8-orthoplex
ज्यामिति में, एक 8-ऑर्थोप्लेक्स या 8-क्रॉस पॉलीटोप एक नियमित 8-पॉलीटोप है जिसमें 16 शीर्ष, 112 किनारे, 448 त्रिभुज चेहरे, 1120 टेट्राहेड्रॉन सेल, 1792 5-सेल 4-चेहरे, 1792 5-चेहरे, 1024 6-चेहरे और 256 7-चेहरे होते हैं। इसके दो रचनात्मक रूप हैं, पहला श्लाफली प्रतीक {36,4} के साथ नियमित है, और दूसरा वैकल्पिक रूप से लेबल (चेकरबोर्ड) वाले पहलुओं के साथ, श्लाफली प्रतीक {3,3,3,3,3,3 1,1} या कॉक्सेटर प्रतीक 511 के साथ। यह पॉलीटोप के एक अनंत परिवार का एक हिस्सा है, जिसे क्रॉस-पॉलीटोप या ऑर्थोप्लेक्स कहा जाता है। दोहरा पॉलीटोप एक 8-हाइपरक्यूब या ऑक्टेरैक्ट होता है। वैकल्पिक नाम ऑक्टाक्रॉस, जो ग्रीक में डायकोसिपेन्टाकॉन्टेहेक्साजेटन में 256-पक्षीय 8-पॉलीटोप (पॉलीजेटन) के रूप में आठ (आयामों) के लिए ऑक्ट के साथ पारिवारिक नाम क्रॉस पॉलीटोप के संयोजन से प्राप्त होता है, यह विन्यास मैट्रिक्स 8-ऑर्थोप्लेक्स का प्रतिनिधित्व करता है। पंक्तियाँ और स्तंभ शीर्ष, किनारों, चेहरों, कक्षों, 4-चेहरे, 5-चेहरे, 6-चेहरे और 7-चेहरे के अनुरूप हैं। विकर्ण संख्याएँ बताती हैं कि प्रत्येक तत्व में से कितने पूरे 8-ऑर्थोप्लेक्स में पाए जाते हैं। गैर-विकर्ण संख्याएँ बताती हैं कि स्तंभ के कितने तत्व पंक्ति के तत्व में या उस पर पाए जाते हैं। विकर्ण एफ-वेक्टर संख्याएँ विथोफ निर्माण के माध्यम से प्राप्त की जाती हैं, जो अलग-अलग दर्पणों को हटाकर एक उपसमूह क्रम के पूर्ण समूह क्रम को विभाजित करती हैं। निर्माण 8-घन से जुड़े दो कॉक्सेटर समूह हैं, एक नियमित, C8 या [4,3,3,3,3,3,3] समरूपता समूह के साथ ऑक्टेरैक्ट का दोहरा, और 7-सरल पहलुओं की दो प्रतियों के साथ आधा समरूपता, बारी-बारी से, D8 या [35,1,1] समरूपता समूह के साथ। एक न्यूनतम समरूपता संरचना 8-ऑर्थोटोप के दोहरे पर आधारित होती है, जिसे 8-फ्यूसिल कहा जाता है। एक 8-घन के शीर्षों के लिए कार्टेशियन निर्देशांक, जो मूल पर केंद्रित होते हैं, वे हैं (±1,0,0,0,0,0,0,0), (0, ±1,0,0,0,0,0,0), (0,0, ±1,0,0,0,0,0), (0,0,0, ±1,0,0,0,0), (0,0,0,0, ±1,0,0,0), (0,0,0,0,0, ± 1,0,0), (0,0,0,0,0,0,0, ± <ID1), (<ID1), (0,0,0,0,0,0, <ID1), (0,0,0,0,0,0, <ID1), (<ID1, <ID1), छवियाँ इसका उपयोग 521 मधुकोश बनाने के लिए 8-सिम्प्लेक्स के साथ इसके वैकल्पिक रूप 511 में किया जाता है। संदर्भ एच. एस. एम कॉक्सेटरः एच. एस. एम. कॉक्सेटर, रेगुलर पॉलीटोप, तीसरा संस्करण, डोवर न्यूयॉर्क, 1973 कैलिडोस्कोपः एच. एस. एम. के चयनित लेखन। कॉक्सेटर, एफ. आर्थर शेर्क, पीटर मैकमुलन, एंथनी सी. थॉम्पसन, एशिया आइविक वीस, विली-इंटरसाइंस पब्लिकेशन, 1995, (पेपर 22) एच. एस. एम. द्वारा संपादित। कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध नियमित पॉलीटोप I, [गणित। ज़िट। 46 (1940) 380-407, एम. आर. 2,10] (पेपर 23) एच. एस. एम. कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीटोप II, [गणित। ज़िट। 188 (1985) 559-591] (पेपर 24) एच. एस. एम. कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीटोप III, [गणित। ज़िट। 200 (1988) नॉर्मन जॉनसन यूनिफॉर्म पॉलीटोप, पांडुलिपि (1991) एन. डब्ल्यू. जॉनसनः यूनिफॉर्म पॉलीटोप और हनीकोम्ब्स का सिद्धांत, पीएचडी। बाहरी लिंक विभिन्न आयामों के पॉलीटोप बहु-आयामी शब्दावली 8-पॉलीटोप