Oscillation theory
गणित में, साधारण विभेदक समीकरणों के क्षेत्र में, एक साधारण विभेदक समीकरण के गैर-तुच्छ समाधान को दोलन कहा जाता है यदि इसके मूल की संख्या अनंत है; अन्यथा इसे गैर-दोलन कहा जाता है। विभेदक समीकरण को दोलन कहा जाता है यदि इसका दोलन समाधान हो। जड़ों की संख्या में संबंधित सीमा मूल्य समस्याओं के स्पेक्ट्रम के बारे में भी जानकारी होती है। उदाहरण अवकल समीकरण दोलन कर रहा है क्योंकि sin (x) एक समाधान है। वर्णक्रमीय सिद्धांत के साथ संबंध ऑसिलेशन सिद्धांत की शुरुआत जैक्स चार्ल्स फ्रांस्वा स्टर्म ने 1836 से स्टर्म-लिउविल समस्याओं की अपनी जांच में की थी। वहाँ उन्होंने दिखाया कि एक स्टर्म-लिउविल समस्या के n 'th आइगेनफ़ंक्शंस में सटीक रूप से n-1 मूल होते हैं। एक-आयामी श्रोडिंगर समीकरण के लिए दोलन/गैर-दोलन के बारे में प्रश्न इस प्रश्न का उत्तर देता है कि क्या आईगन मान निरंतर स्पेक्ट्रम के निचले भाग में जमा होते हैं। सापेक्ष दोलन सिद्धांत 1996 में गेज़्टेसी-साइमन-टेस्ल ने दिखाया कि स्टर्म-लिउविल समस्या के दो आइगेनफ़ंक्शंस के व्रोन्स्की निर्धारक की जड़ों की संख्या संबंधित आइगेनवैल्यू के बीच आइगेनवैल्यू की संख्या देती है। इसे बाद में क्रूगर-टेशल द्वारा दो अलग-अलग स्टर्म-लिउविल समस्याओं के दो आइगेनफ़ंक्शंस के मामले में सामान्यीकृत किया गया था। दो समाधानों के व्रोन्स्की निर्धारक की जड़ों की संख्या की जांच को सापेक्ष दोलन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। यह भी देखें कि दोलन सिद्धांत में शास्त्रीय परिणाम हैंः नेसर की प्रमेय (विभेदक समीकरण) स्टर्म-पिकोने तुलना प्रमेय स्टर्म पृथक्करण प्रमेय संदर्भ सामान्य विभेदक समीकरण