Kantorovich theorem
कान्टोरोविच प्रमेय, या न्यूटन-कान्टोरोविच प्रमेय, न्यूटन की विधि के अर्ध-स्थानीय अभिसरण पर एक गणितीय कथन है। यह पहली बार 1948 में लियोनिद कांटोरोविच द्वारा कहा गया था। यह बनाच निश्चित-बिंदु प्रमेय के रूप के समान है, हालांकि यह एक निश्चित बिंदु के बजाय शून्य के अस्तित्व और विशिष्टता को बताता है। न्यूटन की विधि उन बिंदुओं के अनुक्रम का निर्माण करती है जो कुछ स्थितियों में समीकरण के समाधान या समीकरण की प्रणाली के वेक्टर समाधान में परिवर्तित हो जाते हैं। कान्टोरोविच प्रमेय इस अनुक्रम के प्रारंभिक बिंदु पर शर्तें देता है। यदि उन शर्तों को पूरा किया जाता है तो प्रारंभिक बिंदु के करीब एक समाधान मौजूद होता है और अनुक्रम उस बिंदु पर अभिसरण करता है। मान लीजिए कि यह एक खुला उपसमुच्चय और जैकोबियन के साथ एक अवकलनीय फलन है जो स्थानीय रूप से निरंतर लिपशिट्ज़ है (उदाहरण के लिए यदि दो बार अवकलनीय है)। अर्थात्, यह माना जाता है कि किसी के लिए एक खुला उपसमुच्चय ऐसा है और एक स्थिरांक मौजूद है जो किसी भी धारण के लिए है। बाईं ओर मानक कुछ प्रचालक मानक है जो दाईं ओर वेक्टर मानक के साथ संगत है। इस असमानता को केवल वेक्टर मानक का उपयोग करने के लिए फिर से लिखा जा सकता है। फिर किसी भी वेक्टर के लिए असमानता बनी रहना चाहिए। अब कोई भी प्रारंभिक बिंदु चुनें। मान लीजिए कि यह व्युत्क्रमणीय है और न्यूटन चरण का निर्माण करें अगली धारणा यह है कि न केवल अगला बिंदु बल्कि पूरी गेंद सेट के अंदर निहित है। इस गेंद पर जैकोबियन के लिए लिपशिट्ज़ स्थिरांक होने दें (यह मानते हुए कि यह मौजूद है)। एक अंतिम तैयारी के रूप में, पुनरावृत्ति का निर्माण करें, जब तक संभव हो, अनुक्रम, कथन के अनुसार अब यदि तब बंद गेंद के अंदर एक समाधान मौजूद है और न्यूटन पुनरावृत्ति कम से कम अभिसरण के रैखिक क्रम के साथ अभिसरण करती है। एक कथन जो अधिक सटीक है लेकिन साबित करने के लिए थोड़ा अधिक कठिन है, वह द्विघात बहुपद के मूल का उपयोग करता है, और उनके अनुपात तब बंद गेंद के अंदर एक समाधान मौजूद होता है, यह बड़ी गेंद के अंदर अद्वितीय होता है और के समाधान के लिए अभिसरण पर द्विघात बहुपद के न्यूटन पुनरावृत्ति के अभिसरण का प्रभुत्व होता है, यदि, तब द्विघात अभिसरण त्रुटि अनुमान कोरोलरी से प्राप्त किया जाता है 1986 में, यामामोटो ने साबित किया कि न्यूटन विधि के त्रुटि मूल्यांकन जैसे डोरिंग (1969), ओस्ट्रोव्स्की (1971,1973), ग्रैग-तापिया (1974), पोत्रा-टाक (1980), माइल (1981), पोत्रा (1984), को देखा जा सकता है। सामान्यीकरण कान्टोरोविच प्रमेय के लिए एक क्यू-एनालॉग है। अन्य सामान्यीकरणों/विविधताओं के लिए, ओर्टेगा और राइनबोल्ट (1970) देखें। अनुप्रयोग ओइशी और तनाबे ने दावा किया कि कांटोरोविच प्रमेय को रैखिक प्रोग्रामिंग के विश्वसनीय समाधान प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए जॉन एच. हब्बर्ड और बारबरा बर्क हब्बर्डः वेक्टर कैलकुलस, रैखिक बीजगणित, और विभेदक रूपः एक एकीकृत दृष्टिकोण, मैट्रिक्स संस्करण, (3. संस्करण का पूर्वावलोकन और Kant.-thm सहित नमूना सामग्री) कार्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विश्लेषण में प्रमेय वेक्टर स्पेस में अनुकूलन अनुकूलन एल्गोरिदम और विधियाँ