Bruhat order
गणित में, ब्रुहत क्रम (जिसे मजबूत क्रम या मजबूत ब्रुहत क्रम या चेवली क्रम या ब्रुहत-चेवली क्रम या चेवली-ब्रुहत क्रम भी कहा जाता है) एक कॉक्सेटर समूह के तत्वों पर एक आंशिक क्रम है, जो शुबर्ट किस्मों पर समावेश क्रम से मेल खाता है। एक फ्लैग मैनिफोल्ड या एक ग्रासमैनियन की शुबर्ट किस्मों पर ब्रुहाट क्रम का पहली बार अध्ययन किया गया था, और अधिक सामान्य अर्ध-सरल बीजगणितीय समूहों के लिए एनालॉग का अध्ययन किया गया था। वेइल समूह पर बृहत क्रम का संयुक्त अध्ययन शुरू किया, और फ्रांस्वा बृहत द्वारा शुरू किए गए बृहत अपघटन के संबंध में "बृहत क्रम" नाम की शुरुआत की। बाएं और दाएं कमजोर बृहत क्रम का अध्ययन उनके द्वारा किया गया था। परिभाषा यदि (डब्ल्यू, एस) जनरेटर एस के साथ एक कॉक्सेटर प्रणाली है, तो बृहत क्रम समूह डब्ल्यू पर एक आंशिक क्रम है। याद रखें कि डब्ल्यू के एक तत्व डब्ल्यू के लिए एक कम शब्द एस के तत्वों के गुणनफल के रूप में डब्ल्यू की न्यूनतम लंबाई अभिव्यक्ति है, और डब्ल्यू की लंबाई एल (डब्ल्यू) एक कम शब्द की लंबाई है। (मजबूत) बृहत क्रम को यू ≤ वी द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि वी के लिए कुछ (या प्रत्येक) कम किए गए शब्द की कुछ सबस्ट्रिंग यू के लिए एक कम किया गया शब्द है। (ध्यान दें कि यहाँ एक सबस्ट्रिंग आवश्यक रूप से एक लगातार सबस्ट्रिंग नहीं है।) कमजोर बाएँ (बृहत) क्रम को यू ≤ एल वी द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि वी के लिए कुछ कम किए गए शब्द की कुछ अंतिम सबस्ट्रिंग यू के लिए एक कम किया गया शब्द है। कमजोर दाएँ (बृहत) क्रम को यू ≤ आर वी द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि वी के लिए कुछ कम किए गए शब्द की कुछ प्रारंभिक सबस्ट्रिंग यू के लिए एक कम किया गया शब्द है। कमजोर क्रम के बारे में अधिक जानकारी के लिए लेख में क्रमपरिवर्तन का कमजोर क्रम देखें। बृहत ग्राफ बृहत ग्राफ (मजबूत) बृहत क्रम से संबंधित एक निर्देशित ग्राफ है। शीर्ष समूह कॉक्सेटर समूह के तत्वों का समूह है और किनारे के समूह में निर्देशित किनारे (यू, वी) होते हैं जब भी यू = टीवी कुछ प्रतिबिंब के लिए टी और एल (यू) <एल (वी)। ग्राफ को प्रतिबिंबों के सेट से आने वाले किनारे के लेबल के साथ एक किनारे-लेबल वाले निर्देशित ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है। (दाहिनी ओर गुणन का उपयोग करके ब्रुहट ग्राफ को भी परिभाषित किया जा सकता है; ग्राफ के रूप में, परिणामी वस्तुएं समरूप हैं, लेकिन किनारे की लेबलिंग अलग हैं। सममित समूह (क्रमपरिवर्तन) पर मजबूत ब्रुहट क्रम में मोबियस फलन दिया गया है, और इस प्रकार यह स्थिति यूलरियन है, जिसका अर्थ है कि इसका मोबियस फलन स्थिति पर श्रेणी फलन द्वारा उत्पन्न होता है। कज़दान-लुज़्टिग बहुपद संदर्भ कॉक्सेटर समूह आदेश सिद्धांत भी देखें।