Hodge structure
गणित में, एक हॉज संरचना, जिसका नाम डब्ल्यू. वी. डी. हॉज के नाम पर रखा गया है, रैखिक बीजगणित के स्तर पर एक बीजगणितीय संरचना है, जो हॉज सिद्धांत एक चिकनी और कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड के कोहोमोलॉजी समूहों को देता है। पियरे डेलिग्ने (1970) द्वारा परिभाषित मिश्रित हॉज संरचनाओं के रूप में हॉज संरचनाओं को सभी जटिल किस्मों (भले ही वे एकवचन और गैर-पूर्ण हों) के लिए सामान्यीकृत किया गया है। हॉज संरचना की एक भिन्नता हॉज संरचनाओं का एक परिवार है जिसे कई गुना द्वारा मानकीकृत किया गया है, जिसका पहली बार फिलिप ग्रिफिथ्स (1968) द्वारा अध्ययन किया गया था। इन सभी अवधारणाओं को मोरिहिको सैतो (1989) द्वारा जटिल किस्मों पर मिश्रित हॉज मॉड्यूल में सामान्यीकृत किया गया था। हॉज संरचनाओं की परिभाषा पूर्णांक भार n की एक शुद्ध हॉज संरचना में एक अबेलियन समूह होता है और इसके जटिलता H का जटिल उपस्थानों के प्रत्यक्ष योग में अपघटन होता है, जहां, इस गुण के साथ कि जटिल संयुग्म हैः हॉज निस्पंदन द्वारा H के प्रत्यक्ष योग अपघटन को प्रतिस्थापित करके एक समतुल्य परिभाषा प्राप्त की जाती है, जटिल उपस्थानों द्वारा H का एक सीमित घटता निस्पंदन इस शर्त के अधीन है कि इन दो विवरणों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया हैः उदाहरण के लिए, यदि X एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड है, तो पूर्णांक गुणांक के साथ X का n-th कोहोमोलॉजी समूह है, तो इसकी n-th कोहोमोलॉजी है। बीजगणितीय ज्यामिति में अनुप्रयोगों के लिए, अर्थात्, उनकी अवधि द्वारा जटिल प्रोजेक्टिव किस्मों का वर्गीकरण, वजन एन ऑन की सभी हॉज संरचनाओं का सेट बहुत बड़ा है। रीमान द्विरेखीय संबंधों का उपयोग करते हुए, इस मामले में जिसे हॉज रीमान द्विरेखीय संबंध कहा जाता है, इसे काफी हद तक सरल बनाया जा सकता है। वजन n की एक ध्रुवीकृत हॉज संरचना में एक हॉज संरचना और एक गैर-अपक्षयी पूर्णांक द्विरेखीय रूप Q ऑन (ध्रुवीकरण) होता है, जिसे रैखिकता द्वारा H तक बढ़ाया जाता है, और शर्तों को संतुष्ट करता हैः हॉज निस्पंदन के संदर्भ में, इन शर्तों का तात्पर्य है कि जहाँ C H पर वेइल ऑपरेटर है, जिसे ऑन द्वारा दिया जाता है। हॉज संरचना की एक और परिभाषा एक जटिल सदिश स्थान पर-श्रेणीकरण और वृत्त समूह U (1) की क्रिया के बीच समानता पर आधारित है। इस परिभाषा में, जटिल संख्याओं के गुणक समूह की एक क्रिया जिसे द्वि-आयामी वास्तविक बीजगणितीय टोरस के रूप में देखा जाता है, एच पर दी गई है। इस क्रिया में यह गुण होना चाहिए कि एक वास्तविक संख्या एक द्वारा कार्य करती है। सबसपेस वह सबसपेस है जिस पर ए-हॉज संरचना द्वारा गुणन के रूप में कार्य करता है उद्देश्यों के सिद्धांत में, कोहोमोलॉजी के लिए अधिक सामान्य गुणांक की अनुमति देना महत्वपूर्ण हो जाता है। हॉज संरचना की परिभाषा को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के नोथेरियन सबरिंग ए को तय करके संशोधित किया जाता है, जिसके लिए एक क्षेत्र है। फिर वजन एन की एक शुद्ध हॉज ए-संरचना को पहले की तरह परिभाषित किया जाता है, जिसे ए के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है। बी के उप-रिंग ए के लिए हॉज ए-संरचनाओं और बी-संरचनाओं से संबंधित आधार परिवर्तन और प्रतिबंध के प्राकृतिक कारक हैं। मिश्रित हॉज संरचनाएँ यह 1960 के दशक में जीन-पियरे सेरे द्वारा वेइल अनुमानों के आधार पर देखा गया था कि एकवचन (संभवतः कम करने योग्य) और गैर-पूर्ण बीजगणितीय किस्मों को भी 'आभासी बेट्टी संख्याएँ' स्वीकार करनी चाहिए। अधिक सटीक रूप से, किसी भी बीजगणितीय किस्म X को एक बहुपद PX (t) निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए, जिसे इसका आभासी पोइनकेयर बहुपद कहा जाता है, गुणों के साथ यदि X गैर-एकल और प्रोजेक्टिव (या पूर्ण) है यदि Y, X और U = X का बंद बीजगणितीय सबसेट है। नवीन विशेषता यह है कि एक सामान्य किस्म की नौवीं समरूपता ऐसी दिखती है जैसे इसमें अलग-अलग भार के टुकड़े हों। इसने अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक को उद्देश्यों के अपने अनुमानात्मक सिद्धांत की ओर अग्रसर किया और हॉज सिद्धांत के विस्तार के लिए एक खोज को प्रेरित किया, जिसकी परिणति पियरे डेलिग्ने के काम में हुई। उन्होंने एक मिश्रित हॉज संरचना की धारणा पेश की, उनके साथ काम करने के लिए तकनीकों का विकास किया, उनका निर्माण किया (हेसुके हिरोनाका के विलक्षणता के संकल्प के आधार पर) और उन्हें एल-एडिक कोहोमोलॉजी पर भार से संबंधित किया, जो वेइल अनुमानों के अंतिम भाग को साबित करता है। वक्रों का उदाहरण परिभाषा को प्रेरित करने के लिए, एक कम करने योग्य जटिल बीजगणितीय वक्र X के मामले पर विचार करें जिसमें दो गैर-एकल घटक होते हैं, और, जो बिंदु और पर अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं। इसके अलावा, मान लें कि घटक कॉम्पैक्ट नहीं हैं, लेकिन अंकों को जोड़कर कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। वक्र एक्स (सघन समर्थन के साथ) का पहला समरूपता समूह पहले समरूपता समूह के लिए दोहरा है, जिसकी कल्पना करना आसान है। इस समूह में तीन प्रकार के एक-चक्र हैं। सबसे पहले, पंचर के चारों ओर छोटे लूप का प्रतिनिधित्व करने वाले तत्व होते हैं। फिर ऐसे तत्व हैं जो प्रत्येक घटक के संकुचन के पहले समरूपता से आ रहे हैं। इस घटक के संकुचन में एक चक्र के अनुरूप () में एक चक्र विहित नहीं हैः इन तत्वों को अवधि के अनुरूप निर्धारित किया जाता है। अंत में, पहले दो प्रकारों के मॉडुलो में, समूह एक संयोजन चक्र द्वारा उत्पन्न होता है जो एक घटक में एक पथ से दूसरे पथ पर जाता है और दूसरे घटक में एक पथ के साथ वापस आता है। इससे पता चलता है कि एक बढ़ते निस्पंदन को स्वीकार करता है जिसके क्रमिक भाग Wn/Wn−1 चिकनी पूर्ण किस्मों के समरूपता से उत्पन्न होते हैं, इसलिए विभिन्न भारों के बावजूद (शुद्ध) हॉज संरचनाओं को स्वीकार करते हैं। आगे के उदाहरण "ए नाइव गाइड टू मिक्स्ड हॉज थ्योरी" में पाए जा सकते हैं। मिश्रित हॉज संरचना की परिभाषा एक अबेलियन समूह पर मिश्रित हॉज संरचना में जटिल सदिश स्थान एच (की जटिलता) पर एक सीमित घटता निस्पंदन एफ. पी. होता है, जिसे हॉज निस्पंदन कहा जाता है और तर्कसंगत सदिश स्थान पर एक सीमित बढ़ता निस्पंदन वाई (स्केलर को तर्कसंगत संख्याओं तक विस्तारित करके प्राप्त किया जाता है), जिसे वजन निस्पंदन कहा जाता है, इस आवश्यकता के अधीन कि वजन निस्पंदन के संबंध में एन-th संबंधित श्रेणीबद्ध भागफल, अपने जटिलता पर एफ द्वारा प्रेरित निस्पंदन के साथ, सभी पूर्णांक एन के लिए वजन एन की एक शुद्ध हॉज संरचना है। यहाँ प्रेरित निस्पंदन को परिभाषित किया गया है। मिश्रित हॉज संरचनाएँ एक अबेलियन श्रेणी बनाती हैं। इस श्रेणी में कर्नेल और कोकर्नल वेक्टर स्पेस की श्रेणी में सामान्य कर्नेल और कोकर्नल के साथ प्रेरित निस्पंदन के साथ मेल खाते हैं। एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड की कुल कोहोमोलॉजी में एक मिश्रित हॉज संरचना होती है, जहां वजन निस्पंदन Wn का n वां स्थान n से कम या उसके बराबर डिग्री के कोहोमोलॉजी समूहों (तर्कसंगत गुणांक के साथ) का प्रत्यक्ष योग है। इसलिए, कोई भी कॉम्पैक्ट, जटिल मामले में शास्त्रीय हॉज सिद्धांत को जटिल कोहोमोलॉजी समूह पर दोहरी श्रेणी प्रदान करने के रूप में सोच सकता है, जो एक बढ़ते निस्पंदन Fp और एक घटते निस्पंदन Wn को परिभाषित करता है जो निश्चित रूप से संगत हैं। सामान्य तौर पर, कुल समरूपता स्थान में अभी भी ये दो निस्पंदन होते हैं, लेकिन वे अब प्रत्यक्ष योग अपघटन से नहीं आते हैं। शुद्ध हॉज संरचना की तीसरी परिभाषा के संबंध में, यह कहा जा सकता है कि मिश्रित हॉज संरचना को समूह की क्रिया का उपयोग करके वर्णित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, (मिश्रित) हॉज संरचनाओं की श्रेणी टेंसर उत्पाद की एक अच्छी धारणा को स्वीकार करती है, जो किस्मों के उत्पाद के साथ-साथ आंतरिक होम और दोहरी वस्तु की संबंधित अवधारणाओं के अनुरूप है, जो इसे तनाकियन श्रेणी में बनाती है। तन्नाका-क्रेइन दर्शन के अनुसार, यह श्रेणी एक निश्चित समूह के सीमित-आयामी प्रतिनिधित्वों की श्रेणी के बराबर है, जो डीलिग्ने, मिल्ने और एट एल हैं। स्पष्ट रूप से वर्णित किया है, देखें और। इस समूह के विवरण को अधिक ज्यामितीय शब्दों में पुनर्निर्मित किया गया था। तर्कसंगत शुद्ध ध्रुवीकरण हॉज संरचनाओं के लिए संबंधित (बहुत अधिक शामिल) विश्लेषण द्वारा किया गया था। कोहोमोलॉजी में मिश्रित हॉज संरचना (डेलिग्ने की प्रमेय) डेलिग्ने ने साबित किया है कि एक मनमाने बीजगणितीय विविधता के nवें कोहोमोलॉजी समूह में एक विहित मिश्रित हॉज संरचना होती है। यह संरचना कार्यात्मक है, और किस्मों के उत्पादों (कुनेथ समरूपता) और समरूपता में उत्पाद के साथ संगत है। एक पूर्ण गैर-एकल किस्म एक्स के लिए यह संरचना वजन एन की शुद्ध है, और हॉज निस्पंदन को कटे हुए डी राम परिसर के अति-मादक द्रव्य विज्ञान के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है। प्रमाण में मोटे तौर पर दो भाग होते हैं, जो गैर-संक्षिप्तता और विलक्षणता का ध्यान रखते हैं। दोनों भाग अनिवार्य रूप से विलक्षणताओं (हिरोनाका के कारण) के संकल्प का उपयोग करते हैं। एकल मामले में, किस्मों को सरल योजनाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे अधिक जटिल समरूप बीजगणित होता है, और परिसरों पर हॉज संरचना की एक तकनीकी धारणा (कोहोमोलॉजी के विपरीत) का उपयोग किया जाता है। उद्देश्यों के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, तर्कसंगत गुणांक के साथ समरूपता पर भार निस्पंदन को अभिन्न गुणांक वाले गुणांक के साथ परिष्कृत करना संभव है। उदाहरण टेट-हॉज संरचना हॉज संरचना है जिसमें अंतर्निहित मॉड्यूल (एक उपसमूह) द्वारा दिया गया है, तो यह परिभाषा के अनुसार वजन-2 से शुद्ध है और यह समरूपता तक वजन-2 की अद्वितीय 1-आयामी शुद्ध हॉज संरचना है। अधिक आम तौर पर, इसकी n वीं टेंसर शक्ति को 1-आयामी और शुद्ध वजन-2n द्वारा दर्शाया जाता है। एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड के कोहोमोलॉजी में एक हॉज संरचना होती है, और nth कोहोमोलॉजी समूह वजन n का शुद्ध होता है। एक जटिल विविधता (संभवतः एकवचन या गैर-सही) के कोहोमोलॉजी में एक मिश्रित हॉज संरचना होती है। यह चिकनी किस्मों के लिए, और सामान्य रूप से द्वारा दिखाया गया था। सामान्य पार करने वाली विलक्षणताओं के साथ एक प्रोजेक्टिव विविधता के लिए एक अपक्षयी E2-पृष्ठ के साथ एक वर्णक्रमीय अनुक्रम होता है जो इसकी सभी मिश्रित हॉज संरचनाओं की गणना करता है। ई1-पृष्ठ में एक सरल समूह से आने वाले अंतर के साथ स्पष्ट शब्द हैं। कोई भी चिकनी किस्म X एक सामान्य पार विभाजक के पूरक के साथ एक चिकनी सघनता को स्वीकार करता है। संबंधित लघुगणक रूपों का उपयोग एक्स के समरूपता पर मिश्रित हॉज संरचना का स्पष्ट रूप से वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। डिग्री के एक चिकनी प्रोजेक्टिव हाइपरसर्फेस के लिए हॉज संरचना पर ग्रिफिथ्स ने अपने "पीरियड इंटीग्रल्स ऑफ अलजेब्रिक मैनिफोल्ड्स" पेपर में स्पष्ट रूप से काम किया था। यदि बहुपद अतिपृष्ठ को परिभाषित करता है तो श्रेणीबद्ध जैकोबियन भागफल वलय में इसके मध्य समरूपता की सभी जानकारी होती है। वह दिखाता है कि उदाहरण के लिए, के3 सतह पर विचार करें, इसलिए और। फिर, ग्रेडेड जैकोबियन रिंग है आदिम समरूपता समूहों के लिए समरूपता फिर इसलिए पढ़ें ध्यान दें कि वेक्टर स्पेस है जो 19-आयामी है। लेफशेट्ज़ वर्ग द्वारा दिया गया एक अतिरिक्त वेक्टर है। लेफशेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय और हॉज द्वैत से, बाकी समरूपता-आयामी के रूप में है। इसलिए हॉज हीरा पढ़ता है हम एक डिग्री प्लेन वक्र के जीनस को सत्यापित करने के लिए पिछले समरूपता का भी उपयोग कर सकते हैं। चूँकि यह एक चिकना वक्र है और एहरेसमैन फाइब्रेशन थ्योरम इस बात की गारंटी देता है कि जीनस का हर दूसरा चिकना वक्र डिफियोमोर्फिक है, हमारे पास यह है कि जीनस तब समान है। तो, जैकोबियन रिंग के श्रेणीबद्ध भाग के साथ आदिम समरूपता के समरूपता का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि इसका तात्पर्य है कि आयाम वांछित है। एक पूर्ण प्रतिच्छेदन के लिए हॉज संख्याएँ भी आसानी से गणना योग्य हैंः फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक द्वारा पाया गया एक संयोजन सूत्र है। अनुप्रयोग हॉज संरचना और मिश्रित हॉज संरचना की धारणाओं पर आधारित तंत्र अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक द्वारा परिकल्पित उद्देश्यों के अभी भी बड़े पैमाने पर अनुमानात्मक सिद्धांत का एक हिस्सा है। गैर-एकल बीजगणितीय विविधता एक्स के लिए अंकगणितीय जानकारी, जो इसके एल-एडिक कोहोमोलॉजी पर कार्य करने वाले फ्रोबेनियस तत्वों के आइगेनवैल्यू द्वारा एन्कोड की गई है, में एक्स से उत्पन्न हॉज संरचना के साथ कुछ समानता है जिसे एक जटिल बीजगणितीय विविधता माना जाता है। सर्गेई गेलफैंड और यूरी मैनिन ने 1988 के आसपास अपने मेथोड्स ऑफ होमोलॉजिकल अलजेब्रा में टिप्पणी की कि अन्य समरूपता समूहों पर कार्य करने वाली गैलोइस सममितियों के विपरीत, "हॉज सममितियों" की उत्पत्ति बहुत रहस्यमय है, हालांकि औपचारिक रूप से, वे डी राम समरूपता पर काफी सरल समूह की क्रिया के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं। तब से, दर्पण समरूपता की खोज और गणितीय सूत्रीकरण के साथ रहस्य गहरा हो गया है। हॉज संरचना की भिन्नता हॉज संरचना की एक भिन्नता (,,) हॉज संरचनाओं का एक परिवार है जो एक जटिल मैनिफोल्ड एक्स द्वारा मानकीकृत है। अधिक सटीक रूप से एक जटिल मैनिफोल्ड एक्स पर वजन एन की हॉज संरचना की भिन्नता में एक्स पर परिमित रूप से उत्पन्न अबेलियन समूहों का एक स्थानीय रूप से स्थिर आवरण एस होता है, साथ ही एस ओ एक्स पर कम हो रहे हॉज निस्पंदन एफ के साथ, निम्नलिखित दो शर्तों के अधीनः निस्पंदन आवरण एस के प्रत्येक डंठल पर वजन एन की एक हॉज संरचना को प्रेरित करता है (ग्रिफिथ्स पारगमन) एस ओ एक्स पर प्राकृतिक संबंध यहाँ एस पर सपाट कनेक्शन और ओ एक्स पर सपाट कनेक्शन डी द्वारा प्रेरित एस ओ एक्स पर प्राकृतिक (फ्लैट) कनेक्शन है, और ओ एक्स एक्स पर होलोमोर्फिक कार्यों का आवरण है, और एक्स पर 1-रूपों का आवरण है। यह प्राकृतिक समतल संबंध एक गॉस-मैनिन संबंध है और इसे पिकार्ड-फुक्स समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। मिश्रित हॉज संरचना की एक भिन्नता को इसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है, एस में एक ग्रेडिंग या निस्पंदन डब्ल्यू जोड़कर। विशिष्ट उदाहरण बीजगणितीय रूपात्मकता से पाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर होते हैं जो जीनस 10 के चिकने समतल वक्र होते हैं और एक एकल वक्र में विकृत हो जाते हैं। हॉज मॉड्यूल हॉज मॉड्यूल एक जटिल कई गुना पर हॉज संरचनाओं की भिन्नता का एक सामान्यीकरण है। उन्हें अनौपचारिक रूप से कई गुना हॉज संरचनाओं के आवरण के रूप में सोचा जा सकता है; सटीक परिभाषा बल्कि तकनीकी और जटिल है। मिश्रित हॉज मॉड्यूल के लिए सामान्यीकरण हैं, और विलक्षणताओं के साथ कई गुना। प्रत्येक चिकनी जटिल किस्म के लिए, इसके साथ जुड़े मिश्रित हॉज मॉड्यूल की एक अबेलियन श्रेणी है। ये औपचारिक रूप से मैनिफोल्ड्स पर शीव्स की श्रेणियों की तरह व्यवहार करते हैं; उदाहरण के लिए, मैनिफोल्ड्स के बीच मॉर्फिज्म f, f *, f!, f! शीव्स के समान मिश्रित हॉज मॉड्यूल (की व्युत्पन्न श्रेणियों) के बीच। मिश्रित हॉज संरचना हॉज अनुमान जैकोबियन आदर्श हॉज-टेट संरचना भी देखें, जो हॉज संरचनाओं का एक पी-एडिक एनालॉग है। नोट्स परिचयात्मक संदर्भ (शीफ कोहोमोलॉजी का उपयोग करके हॉज संख्याओं की गणना के लिए उपकरण देता है) मिश्रित हॉज सिद्धांत के लिए एक निष्कपट गाइड (एक भारित सजातीय बहुपद के एफाइन मिलनर फाइबर की मिश्रित हॉज संख्या के लिए एक सूत्र और जनरेटर देता है, और एक भारित प्रोजेक्टिव स्पेस में भारित सजातीय बहुपदों के पूरक के लिए एक सूत्र भी देता है।) सर्वेक्षण लेख संदर्भ यह एक जटिल विविधता के समरूपता पर एक मिश्रित हॉज संरचना का निर्माण करता है। यह एक जटिल किस्म के समरूपता पर एक मिश्रित हॉज संरचना का निर्माण करता है। यह एक जटिल किस्म के समरूपता पर एक मिश्रित हॉज संरचना का निर्माण करता है। .. इस लेख का एक टिप्पणीकृत संस्करण जे. मिल्ने के मुख पृष्ठ पर पाया जा सकता है। होमोलॉजिकल बीजगणित हॉज सिद्धांत कई गुना पर संरचनाएँ