Span (category theory)
श्रेणी सिद्धांत में, एक अवधि, छत या पत्राचार एक श्रेणी की दो वस्तुओं के बीच संबंध की धारणा का सामान्यीकरण है। जब श्रेणी में सभी पुलबैक होते हैं (और अन्य स्थितियों की एक छोटी संख्या को संतुष्ट करते हैं), तो भिन्नों की एक श्रेणी में विस्तार को रूपात्मक माना जा सकता है। एक अवधि की धारणा नोबुओ योनेडा (1954) और जीन बेनाबोउ (1967) के कारण है। औपचारिक परिभाषा ए स्पैन प्रकार का एक आरेख है अर्थात, रूप का एक आरेख। अर्थात्, मान लीजिए कि λ श्रेणी (-1-0-0-+ 1) है। फिर श्रेणी सी में एक अवधि एक कारक S: λ → C है। इसका मतलब है कि एक अवधि में सी की तीन वस्तुएँ X, Y और Z शामिल हैं और आकृतिवाद f: X → Y और g: X → Z: यह सामान्य क्षेत्र के साथ दो मानचित्र हैं। स्पैन का कोलिमिट एक पुशआउट होता है। उदाहरण यदि R समुच्चय X और Y के बीच का संबंध है (अर्थात। X × Y) का एक उपसमुच्चय है, तो X → R → Y एक अवधि है, जहां मानचित्र प्रक्षेपण मानचित्र हैं और। कोई भी वस्तु तुच्छ अवधि ए-ए-ए-ए प्राप्त करती है, जहाँ नक्शे पहचान हैं। अधिक सामान्य रूप से, कुछ श्रेणी में एक आकृतिवाद होने दें। एक तुच्छ अवधि ए-ए-ए-बी है, जहां बायीं ओर का मानचित्र ए पर पहचान है, और दाईं ओर का मानचित्र दिया गया मानचित्र φ है। यदि एम एक मॉडल श्रेणी है, डब्ल्यू के साथ कमजोर समानताओं का समूह है, तो उस रूप के विस्तार जहां वाम आकृतिवाद डब्ल्यू में है, को एक सामान्यीकृत आकृतिवाद माना जा सकता है (यानी, जहां एक "कमजोर समानताओं को उलट देता है")। ध्यान दें कि मॉडल श्रेणियों के साथ व्यवहार करते समय यह सामान्य दृष्टिकोण नहीं है। श्रेणी सी में कॉस्पैन ए कॉस्पैन के एक फंक्टर के हैः λop → सी; समतुल्य रूप से, λ से सी तक एक विपरीत फंक्टर है। इस प्रकार इसमें सी की तीन वस्तुएँ एक्स, वाई और जेड शामिल हैं और आकृतिवाद एफः वाई → एक्स और जीः जेड → एक्सः यह सामान्य कोडोमेन के साथ दो नक्शे हैं। कॉस्पैन की सीमा एक पुलबैक है। कॉस्पैन का एक उदाहरण दो मैनिफोल्ड्स एम और एन के बीच एक कोबोर्डिज़्म डब्ल्यू है, जहां दो नक्शे डब्ल्यू में समावेशन हैं। ध्यान दें कि जबकि कोबोर्डिज़्म कॉस्पैन हैं, कोबोर्डिज़्म की श्रेणी एक "कॉस्पैन श्रेणी" नहीं हैः यह "सीमा पर समावेशन के साथ मैनिफोल्ड्स की श्रेणी" में सभी कॉस्पैन की श्रेणी नहीं है, बल्कि इसकी एक उपश्रेणी है, क्योंकि आवश्यकता है कि एम और एन डब्ल्यू की सीमा का एक विभाजन बनाते हैं जो एक वैश्विक बाधा है। परिमित-आयामी कोबोर्डिज़्म की श्रेणी nCob एक खंजर कॉम्पैक्ट श्रेणी है। अधिक आम तौर पर, सीमित सीमाओं के साथ किसी भी श्रेणी सी पर विस्तार की श्रेणी विस्तार (सी) भी खंजर कॉम्पैक्ट है। द्विआधारी संबंध पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) कोबोर्डिज़्म संदर्भ योनेडा, नोबुओ, मॉड्यूल के समरूपता सिद्धांत पर भी देखें। जे. फेस। विज्ञान. विश्वविद्यालय। टोक्यो संप्रदाय। I, 7 (1954), 193-227। बेनाबोउ, जीन, इंट्रोडक्शन टू बाइकैटेगरीज, लेक्चर नोट्स इन मैथमेटिक्स 47, स्प्रिंगर (1967), pp.1-77 फंक्टर्स