Poincaré–Lindstedt method
विक्षोभ सिद्धांत में, पोइनकेयर-लिंडस्टेड विधि या लिंडस्टेड-पोइनकेयर विधि सामान्य विभेदक समीकरणों के लिए समान रूप से आवधिक समाधानों का अनुमान लगाने के लिए एक तकनीक है, जब नियमित विक्षोभ दृष्टिकोण विफल हो जाते हैं। विधि धर्मनिरपेक्ष शब्दों को हटा देती है-बिना सीमा के बढ़ने वाले शब्द-जो सीमित दोलन समाधानों के साथ कमजोर रूप से अरैखिक समस्याओं के लिए विक्षोभ सिद्धांत के सीधे अनुप्रयोग में उत्पन्न होते हैं। विधि का नाम हेनरी पोइनकेरे और एंडर्स लिंडस्टेड्ट के नाम पर रखा गया है। लेख में कई उदाहरण दिए गए हैं। यह सिद्धांत के अध्याय 10 में पाया जा सकता है। उदाहरण के लिएः डफिंग समीकरण अप्रचलित, अप्रवर्तित डफिंग समीकरण t> 0 के लिए 0 <ε ′1 के साथ दिया गया है। प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करें x (t) = x0 (t) + ε x1 (t) +. के रूप में एक गड़बड़ी-श्रृंखला समाधान की मांग की जाती है। श्रृंखला के पहले दो पद हैं यह सन्निकटन समय में बिना किसी सीमा के बढ़ता है, जो समीकरण मॉडल की भौतिक प्रणाली के साथ असंगत है। इस असीम विकास के लिए जिम्मेदार शब्द, जिसे धर्मनिरपेक्ष शब्द कहा जाता है, है। पोइनकेयर-लिंडस्टेड विधि एक ऐसे सन्निकटन के निर्माण की अनुमति देती है जो निम्नानुसार सभी समय के लिए सटीक है। समाधान को एक असिम्प्टोटिक श्रृंखला के रूप में व्यक्त करने के अलावा, एक और श्रृंखला बनाएँ जिसके साथ समय t को मापना हैः जहाँ हमारे पास अग्रणी क्रम ω0 = 1 है, क्योंकि जब, समीकरण का समाधान होता है। फिर मूल समस्या बन जाती है अब x (τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) +... के रूप में समाधान खोजें। ε में शून्य और प्रथम क्रम समस्या के लिए निम्नलिखित समाधान प्राप्त किए जाते हैंः इसलिए धर्मनिरपेक्ष शब्द को विकल्प के माध्यम से हटाया जा सकता हैः ω1 =। इस तरह से गड़बड़ी विश्लेषण जारी रखने से सटीकता के उच्च क्रम प्राप्त किए जा सकते हैं। अब तक, सन्निकटन-ε में पहले क्रम तक सही-उदाहरण हैः वैन डेर पोल ऑसिलेटर हम वैन डेर पोल ऑसिलेटर को केवल क्रम 2 तक हल करते हैं। इस विधि को उसी तरह अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, जहां ऑर्डर-एन शब्द में एक हार्मोनिक शब्द, साथ ही कुछ सुपर-हार्मोनिक शब्द होते हैं। अति-हार्मोनिक शब्दों के गुणांक सीधे हल किए जाते हैं, और हार्मोनिक शब्द के गुणांक क्रम-(एन + 1) तक विस्तार करके और इसके धर्मनिरपेक्ष शब्द को समाप्त करके निर्धारित किए जाते हैं। क्रम 3 तक की व्युत्पत्ति के लिए और क्रम 164 तक की कंप्यूटर व्युत्पत्ति के लिए अध्याय 10 देखें। समीकरण के साथ वैन डेर पोल ऑसिलेटर पर विचार करें जहाँ एक छोटी धनात्मक संख्या है। दूसरे क्रम में प्रतिस्थापन निष्पादित करेंः जहां से समीकरण प्राप्त होता है, अब जोड़ दें, और हमारे पास क्रम के लिए क्रमशः तीन समीकरण हैंः पहले समीकरण का सामान्य समाधान है। समय की उत्पत्ति को ऐसे चुनें। फिर इसे प्राप्त करने के लिए दूसरे समीकरण में डालें (कुछ त्रिकोणमितीय पहचानों के बाद) धर्मनिरपेक्ष शब्द को समाप्त करने के लिए, हमें दोनों गुणांकों को शून्य पर सेट करना होगा, इस प्रकार हमारे पास उपज है। विशेष रूप से, हमने पाया कि जब शून्य से एक छोटे सकारात्मक स्थिरांक तक बढ़ता है, तो चरण स्थान में सभी गोलाकार कक्षाएं नष्ट हो जाती हैं, सिवाय त्रिज्या 2 के। अब पैदावार को हल करना। हम हमेशा शब्द को अवशोषित कर सकते हैं, इसलिए हम डब्ल्यू. एल. ओ. जी. कर सकते हैं। अब प्राप्त करने के लिए दूसरे समीकरण में प्लग करें धर्मनिरपेक्ष शब्द को समाप्त करने के लिए, हम सेट करते हैं। इस प्रकार हम यह पाते हैं। उदाहरण-मैथ्यू समीकरण यह पैरामीट्रिक अनुनाद का एक उदाहरण है। मैथ्यू समीकरण पर विचार करें, जहाँ एक स्थिरांक है, और छोटा है। समीकरण के समाधान में दो समय-पैमाने होंगे, एक के क्रम पर तेजी से बदलता है, और दूसरा के क्रम पर धीमी गति से बदलता है। इसलिए समाधान का विस्तार करें अब मैथ्यू समीकरण में प्लग करें और प्राप्त करने के लिए विस्तार करेंएसे पहले, हमारे पास समाधान हैंएक धर्मनिरपेक्ष शब्द गुणांक उन्हें तीसरे समीकरण में शून्य पर सेट कर रहे हैं, हम गति के समीकरण पाते हैंः इसका निर्धारक है, और इसलिए जब, मूल एक काठी बिंदु है, तो दोलन का आयाम असीमित रूप से बढ़ता है। दूसरे शब्दों में, जब पैरामीटर में कोणीय आवृत्ति (इस मामले में,) मूल ऑसिलेटर की कोणीय आवृत्ति (इस मामले में) के पर्याप्त रूप से करीब होती है, तो ऑसिलेशन असीम रूप से बढ़ता है, जैसे कि एक बच्चा झूले पर झूलता है जो चंद्रमा तक पंप करता है। शोहाट विस्तार वैन डेर पोल ऑसिलेटर के लिए, हमारे पास बड़े के लिए है, इसलिए जैसे-जैसे बड़ा होता जाता है, विचलन के संदर्भ में क्रमिक विस्तार होता है और हमें बंधे रहने के लिए इसकी अधिक से अधिक शर्तों को रखने की आवश्यकता होगी। यह हमें एक ऐसे मापदंड का सुझाव देता है जो बाध्य हैः फिर, क्रमिक विस्तार का उपयोग करते हुए और धर्मनिरपेक्ष शब्दों को समाप्त करने के लिए एक ही विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं। क्योंकि, विस्तार हमें दाईं ओर की श्रृंखला के लिए एक सीमित संख्या में शब्द लेने की अनुमति देता है, और यह सीमा पर एक सीमित मूल्य में परिवर्तित हो जाएगा। फिर हमारे पास होगा, जो वास्तव में वांछित एसिम्प्टोटिक व्यवहार है। शोहत के विस्तार के पीछे यही विचार है। सटीक असिम्प्टोटिक स्थिरांक है, जिसे हम देख सकते हैं। संदर्भ और टिप्पणियाँ अशांति सिद्धांत