Kazhdan–Lusztig polynomial
प्रतिनिधित्व सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक कज़दान-लुज़्टिग बहुपद द्वारा शुरू किए गए अभिन्न बहुपदों के परिवार का एक सदस्य है। उन्हें कॉक्सेटर समूह डब्ल्यू के तत्वों के जोड़े वाई, डब्ल्यू द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जो विशेष रूप से एक लाइ समूह का वेल समूह हो सकता है। प्रेरणा और इतिहास 1978 के वसंत में कज़दान और लुज़्टिग संयुग्म वर्गों से संबंधित-एडिक कोहोमोलॉजी समूहों पर एक बीजगणितीय समूह के वेल समूह के स्प्रिंगर अभ्यावेदन का अध्ययन कर रहे थे जो एक-शक्तिशाली हैं। उन्होंने जटिल संख्याओं पर इन अभ्यावेदनों का एक नया निर्माण पाया। प्रतिनिधित्व के दो प्राकृतिक आधार थे, और इन दो आधारों के बीच संक्रमण मैट्रिक्स अनिवार्य रूप से कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों द्वारा दिया जाता है। उनके बहुपदों की वास्तविक कज़दान-लुज़्टिग संरचना अधिक प्राथमिक है। कज़दान और लुज़्टिग ने इसका उपयोग कॉक्सेटर समूह के हेक बीजगणित और इसके अभ्यावेदन में एक विहित आधार के निर्माण के लिए किया। अपने पहले पेपर में कज़दान और लुज़्टिग ने उल्लेख किया कि उनके बहुपद शुबर्ट किस्मों के लिए स्थानीय पोइनकेयर द्वैतता की विफलता से संबंधित थे। में उन्होंने मार्क गोरेस्की और रॉबर्ट मैकफर्सन के प्रतिच्छेदन समरूपता के संदर्भ में इसकी पुनः व्याख्या की, और कुछ प्रतिच्छेदन समरूपता समूहों के आयामों के संदर्भ में इस तरह के आधार की एक और परिभाषा दी। स्प्रिंगर प्रतिनिधित्व के लिए दो आधारों ने काजदान और लुज़्टिग को वर्मा मॉड्यूल और सरल मॉड्यूल द्वारा दिए गए अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा के कुछ अनंत आयामी प्रतिनिधित्वों के ग्रोथेन्डिक समूह के लिए दो आधारों की याद दिलाई। यह सादृश्य, और जेन्स कार्स्टन जांटज़न और एंथनी जोसेफ के काम ने वेल समूहों के प्रतिनिधित्व के लिए बीजगणित को घेरने के आदिम आदर्शों से संबंधित, कज़दान-लुज़्टिग अनुमानों को जन्म दिया। परिभाषा सेट एस उत्पन्न करने के साथ एक कॉक्सेटर समूह डब्ल्यू को ठीक करें, और एक तत्व डब्ल्यू की लंबाई के लिए लिखें (एस के तत्वों के उत्पाद के रूप में डब्ल्यू के लिए एक अभिव्यक्ति की सबसे छोटी लंबाई)। W के हेक बीजगणित में वलय के ऊपर के लिए तत्वों का आधार है, जिसमें गुणा द्वारा परिभाषित किया गया है। द्विघात द्वितीय संबंध का तात्पर्य है कि प्रत्येक जनरेटर हेक बीजगणित में व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रम योग्य है। ये व्युत्क्रम संबंध (−2q−1 द्वारा द्विघात संबंध को गुणा करके प्राप्त), और वेणी संबंधों को भी संतुष्ट करते हैं। इससे यह पता चलता है कि हेक बीजगणित में एक ऑटोमोर्फिज्म D है जो q1/2 को q−1/2 और प्रत्येक को भेजता है। अधिक आम तौर पर एक है; डी को भी एक अंतर्वेशन के रूप में देखा जा सकता है। कज़दान-लुज़्टिग बहुपद पायव (क्यू) को डब्ल्यू के तत्व वाई, डब्ल्यू की एक जोड़ी द्वारा अनुक्रमित किया जाता है और विशिष्ट रूप से निम्नलिखित गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता है। वे 0 हैं जब तक कि y ≤ w (W के बृहत क्रम में), 1 यदि y = w, और y <w के लिए उनकी डिग्री अधिकतम (l (w) −l (y) −1)/2 है। हेके बीजगणित के अंतर्वेशन डी के तहत तत्व अपरिवर्तनीय हैं। तत्व एक-मॉड्यूल के रूप में हेके बीजगणित का आधार बनाते हैं, जिसे कज़दान-लुज़्टिग आधार कहा जाता है। कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के अस्तित्व को स्थापित करने के लिए, कज़दान और लुज़्टिग ने अधिक प्राथमिक बहुपदों के संदर्भ में बहुपदों पायव (क्यू) की गणना के लिए एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया दी, जिसे रायव (क्यू) कहा जाता है। द्वारा परिभाषित उन्हें पुनरावर्तन संबंधों का उपयोग करके गणना की जा सकती है कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों को फिर इस तथ्य का उपयोग करके संबंध का उपयोग करके पुनरावर्ती रूप से गणना की जा सकती है कि बाईं ओर दो शब्द बिना स्थिर शब्दों के q1/2 और q−1/2 में बहुपद हैं। ये सूत्र लगभग 3 से अधिक श्रेणी के लिए हाथ से उपयोग करने के लिए थकाऊ हैं, लेकिन कंप्यूटर के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित हैं, और उनके साथ कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों की गणना करने की एकमात्र सीमा यह है कि बड़ी श्रेणी के लिए ऐसे बहुपदों की संख्या कंप्यूटर की भंडारण क्षमता से अधिक है। उदाहरण यदि y ≤ w तो Py, w का स्थिर पद 1 है। यदि y ≤ डब्ल्यू और फिर पी, डब्ल्यू = 1। यदि डब्ल्यू = डब्ल्यू0 एक परिमित कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व है तो सभी वाई के लिए पी, डब्ल्यू = 1 है। यदि डब्ल्यू कॉक्सेटर समूह ए1 या ए2 है (या अधिक सामान्य रूप से अधिकतम 2 रैंक का कोई भी कॉक्सेटर समूह) तो पाई, डब्ल्यू 1 है यदि वाई ≤ डब्ल्यू और अन्यथा 0 है। यदि डब्ल्यू कॉक्सेटर समूह ए3 है जिसमें ए और सी के साथ एस = {ए, बी, सी} उत्पन्न होता है तो पी. बी., बी. ए. सी. बी. = 1 + क्यू और पी. ए. सी., ए. सी. बी. सी. ए. = 1 + क्यू, गैर-स्थिर बहुपदों के उदाहरण देते हैं। निम्न श्रेणी समूहों के लिए कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के सरल मान उच्च श्रेणी समूहों के लिए विशिष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए, E8 के विभाजित रूप के लिए सबसे जटिल लुज़्टिग-वोगन बहुपद (कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों की एक भिन्नताः नीचे देखें) से पता चलता है कि स्थिर पद 1 और गैर-नकारात्मक पूर्णांक गुणांक वाला कोई भी बहुपद कुछ सममित समूह के तत्वों की कुछ जोड़ी के लिए कज़दान-लुज़्टिग बहुपद है। कज़दान-लुज़्टिग का अनुमान है कि कज़दान-लुज़्टिग बहुपद अपने विहित आधार और हेक बीजगणित के प्राकृतिक आधार के बीच संक्रमण गुणांक के रूप में उत्पन्न होते हैं। आविष्कार पत्र ने दो समतुल्य अनुमानों को भी सामने रखा, जिन्हें अब कज़दान-लुज़्टिग अनुमानों के रूप में जाना जाता है, जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक लंबे समय से चली आ रही समस्या को संबोधित करते हुए, जटिल अर्ध-सरल लाइ समूहों और लाइ अल्जेब्रा के प्रतिनिधित्व के साथ 1 पर उनके बहुपदों के मूल्यों को संबंधित करते हैं। माना W एक परिमित वेइल समूह है। प्रत्येक डब्ल्यू के लिए डब्ल्यू उच्चतम वजन के वर्मा मॉड्यूल को दर्शाता है जहां ρ सकारात्मक मूल (या वेल वेक्टर) का आधा योग है, और इसका अपरिवर्तनीय भागफल, उच्चतम वजन का सरल उच्चतम वजन मॉड्यूल है। दोनों और वेइल समूह डब्ल्यू के साथ जटिल अर्ध-सरल लाइ बीजगणित जी पर स्थानीय रूप से-सीमित वजन मॉड्यूल हैं, और इसलिए एक बीजगणितीय चरित्र को स्वीकार करते हैं। आइए हम एक जी-मॉड्यूल एक्स के वर्ण के लिए ch (X) लिखें। कज़दान-लुज़्टिग अनुमानों में कहा गया हैः वेल समूह की अधिकतम लंबाई का तत्व कहाँ है। इन अनुमानों को विशेषता 0 बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर स्वतंत्र रूप से और द्वारा साबित किया गया था। प्रमाण के दौरान शुरू की गई विधियों ने 1980 और 1990 के दशक में ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत के नाम से प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विकास का मार्गदर्शन किया है। टिप्पणी 1. इन दोनों अनुमानों को समतुल्य माना जाता है। इसके अलावा, बोरहो-जांटज़न के अनुवाद सिद्धांत का तात्पर्य है कि इसे किसी भी प्रमुख अभिन्न भार के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार, कज़दान-लुज़्टिग अनुमान बर्नस्टीन-गेलफ़ैंड-गेलफ़ैंड श्रेणी ओ के किसी भी नियमित अभिन्न खंड में वर्मा मॉड्यूल के जॉर्डन-होल्डर गुणन का वर्णन करते हैं। 2. कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के सभी गुणांकों की एक समान व्याख्या जांटज़न अनुमान से मिलती है, जो मोटे तौर पर कहता है कि के व्यक्तिगत गुणांक एक विहित निस्पंदन, जांटज़न निस्पंदन द्वारा निर्धारित वर्मा मॉड्यूल के कुछ उपघटकों में गुणक हैं। रेगुलर इंटीग्रल केस में जांटज़न अनुमान बाद के पेपर में साबित हुआ। 3. डेविड वोगन ने इन अनुमानों के परिणामस्वरूप दिखाया कि और जो विषम होने पर गायब हो जाता है, इसलिए श्रेणी ओ में ऐसे सभी एक्सट समूहों के आयाम कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के गुणांक के संदर्भ में निर्धारित किए जाते हैं। यह परिणाम दर्शाता है कि एक परिमित वेल समूह के कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के सभी गुणांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। हालांकि, एक सीमित वेल समूह डब्ल्यू के मामले के लिए सकारात्मकता पहले से ही कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के गुणांक की व्याख्या से इंटरसेक्शन कोहोमोलॉजी समूहों के आयामों के रूप में जानी जाती थी, चाहे अनुमान कुछ भी हों। इसके विपरीत, कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों और एक्स्ट समूहों के बीच संबंध का उपयोग सैद्धांतिक रूप से अनुमानों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि उन्हें साबित करने के लिए इस दृष्टिकोण को लागू करना अधिक कठिन साबित हुआ। 4. कज़दान-लुज़्टिग अनुमानों के कुछ विशेष मामलों को सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, एम1 एंटीडोमिनेंट वर्मा मॉड्यूल है, जिसे सरल माना जाता है। इसका मतलब है कि एम1 = एल1, डब्ल्यू = 1 के लिए दूसरा अनुमान स्थापित करता है, क्योंकि योग एक पद तक कम हो जाता है। दूसरी ओर, डब्ल्यू = डब्ल्यू0 के लिए पहला अनुमान वेल वर्ण सूत्र और वर्मा मॉड्यूल के चरित्र के लिए सूत्र से मिलता है, इस तथ्य के साथ कि सभी कज़दान-लुज़्टिग बहुपद 1 के बराबर हैं। 5. काशीवाड़ा (1990) ने सममित काक-मूडी बीजगणित के लिए कज़दान-लुज़्टिग अनुमानों का सामान्यीकरण साबित किया। शूबर्ट किस्मों के प्रतिच्छेदन समरूपता से संबंध ब्रुहाट अपघटन द्वारा वेल समूह डब्ल्यू के साथ बीजगणितीय समूह जी का स्थान जी/बी, डब्ल्यू के तत्वों डब्ल्यू द्वारा मानकीकृत एफ़ाइन रिक्त स्थान एक्सडब्ल्यू का एक असंबद्ध संघ है। इन रिक्त स्थान के बंद होने को शूबर्ट किस्में कहा जाता है, और डिलिग्ने के सुझाव के बाद, कज़्डन और लुज़्टिग ने दिखाया कि शूबर्ट किस्मों के प्रतिच्छेदन समरूपता समूहों के संदर्भ में कज़्डन-लुज़्टिग बहुपदों को कैसे व्यक्त किया जाए। अधिक सटीक रूप से, कज़दान-लुज़्टिग बहुपद पाइ, डब्ल्यू (क्यू) के बराबर है जहां प्रत्येक शब्द का सही अर्थ हैः शीव्स के जटिल आईसी को लें, जिसकी हाइपरहोमोलॉजी डब्ल्यू की शुबर्ट किस्म (कोशिका का समापन) की प्रतिच्छेदन समरूपता है, इसकी डिग्री की समरूपता लें, और फिर इस शीफ के डंठल का आयाम कोशिका के किसी भी बिंदु पर लें, जिसका समापन वाई की शुबर्ट किस्म है। विषम-आयामी समरूपता समूह योग में दिखाई नहीं देते हैं क्योंकि वे सभी शून्य हैं। इसने पहला प्रमाण दिया कि परिमित वेइल समूहों के लिए कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के सभी गुणांक गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं। वास्तविक समूहों के लिए सामान्यीकरण लुज़्टिग-वोगन बहुपदों (जिन्हें कज़दान-लुज़्टिग बहुपद या कज़दान-लुज़्टिग-वोगन बहुपद भी कहा जाता है) में पेश किया गया था। वे कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के समान हैं, लेकिन वास्तविक अर्ध-सरल झूठ समूहों के प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं, और उनके एकात्मक युगल के अनुमान विवरण में प्रमुख भूमिका निभाते हैं। उनकी परिभाषा अधिक जटिल है, जो जटिल समूहों की तुलना में वास्तविक समूहों के प्रतिनिधित्व की सापेक्ष जटिलता को दर्शाती है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत से सीधे संबंध वाले मामलों में अंतर को दोहरे कोसेट के स्तर पर समझाया जाता है; या जटिल फ्लैग मैनिफोल्ड्स जी/बी के अनुरूप कार्यों के अन्य शब्दों में जहां जी एक जटिल लाइ समूह है और बी ए बोरेल उपसमूह है। मूल (के. एल.) मामला तब अपघटन के विवरण के बारे में है, जो ब्रुहाट अपघटन का एक शास्त्रीय विषय है, और ग्रासमैनियन में शुबर्ट कोशिकाओं से पहले का है। एल-वी मामला जी का एक वास्तविक रूप लेता है, जो उस अर्ध-सरल समूह में एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है, और के की जटिलता बनाता है। फिर अध्ययन का प्रासंगिक उद्देश्य है। मार्च 2007 में, यह घोषणा की गई थी कि एल-वी बहुपदों की गणना ई8 के विभाजित रूप के लिए की गई थी। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अन्य वस्तुओं के लिए सामान्यीकरण कज़दान और लुज़्टिग के दूसरे पेपर ने कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय सेटिंग स्थापित की, अर्थात्, ध्वज विविधता में शुबर्ट किस्मों की विलक्षणता की ज्यामिति। लुज़्टिग के बाद के अधिकांश कार्यों ने प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होने वाली अन्य प्राकृतिक एकवचन बीजगणितीय किस्मों के संदर्भ में कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के अनुरूपों की खोज की, विशेष रूप से, निलपोटेन्ट कक्षाओं और क्विवर किस्मों के बंद होने। यह पता चला कि क्वांटम समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत, मॉड्यूलर लाइ अल्जेब्रा और एफ़ाइन हेके अल्जेब्रा सभी कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के उपयुक्त अनुरूपों द्वारा कसकर नियंत्रित किए जाते हैं। वे एक प्राथमिक विवरण को स्वीकार करते हैं, लेकिन प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए आवश्यक इन बहुपदों के गहरे गुण आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति और समरूपी बीजगणित की परिष्कृत तकनीकों का पालन करते हैं, जैसे कि प्रतिच्छेदन समरूपता, विकृत आवरण और बेलिंसन-बर्नस्टीन-डेलिग्ने अपघटन का उपयोग। कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के गुणांक सोरगेल के द्विगुण श्रेणी में कुछ समरूपता रिक्त स्थान के आयाम होने का अनुमान लगाया जाता है। मनमाने कॉक्सेटर समूहों के लिए इन गुणांकों की यह एकमात्र ज्ञात सकारात्मक व्याख्या है। कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के संयुक्त सिद्धांत संयुक्त गुण और उनके सामान्यीकरण सक्रिय वर्तमान शोध का विषय हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में उनके महत्व को देखते हुए, काजदान-लुज़्टिग बहुपदों के सिद्धांत को विशुद्ध रूप से संयोजन शैली में विकसित करने के प्रयास किए गए हैं, जो कुछ हद तक ज्यामिति पर निर्भर करते हैं, लेकिन प्रतिच्छेदन समरूपता और अन्य उन्नत तकनीकों के संदर्भ के बिना। इसने बीजगणितीय संयोजन विज्ञान में रोमांचक विकास को जन्म दिया है, जैसे कि पैटर्न-परिहार घटना। की पाठ्यपुस्तक में कुछ संदर्भ दिए गए हैं। इस विषय पर एक शोध मोनोग्राफ है। यहाँ तक कि सममित समूहों के लिए भी कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों (कुछ प्राकृतिक समुच्चयों की प्रधानताओं के रूप में) के सभी गुणांकों की कोई ज्ञात संयुक्त व्याख्या नहीं है, हालांकि कई विशेष मामलों में स्पष्ट सूत्र मौजूद हैं। असमानता कोबायाशी (2013) ने साबित किया कि क्रिस्टलोग्राफिक कॉक्सेटर समूहों के लिए कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों के मूल्य कुछ सख्त असमानता को संतुष्ट करते हैंः आइए एक क्रिस्टलोग्राफिक कॉक्सेटर प्रणाली और इसके कज़दान-लुज़्टिग बहुपद हों। यदि और, तो ऐसा एक प्रतिबिंब मौजूद है। संदर्भ। .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. बाहरी लिंक यू. सी. में कज़दान-लुज़्टिग सिद्धांत पर स्प्रिंग 2005 पाठ्यक्रम से रीडिंग। मोनिका वजीरानी द्वारा डेविस द जी. ए. पी. प्रोग्राम फॉर कंप्यूटिंग कज़दान-लुज़्टिग पॉलीनॉमियल्स। किसी भी कॉक्सेटर समूह के लिए कैज़डन-लुज़्टिग बहुपदों की गणना के लिए फोको डू क्लॉक्स का कॉक्सेटर सॉफ्टवेयर, कैज़डन-लुज़्टिग-वोगन बहुपदों की गणना के लिए एटलस सॉफ्टवेयर। बहुपद लाइ समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत लाइ बीजगणितीय संयोजन का प्रतिनिधित्व सिद्धांत