Zero dagger
समुच्चय सिद्धांत में, 0 (शून्य खंजर) प्राकृतिक संख्याओं का एक विशेष उपसमुच्चय है, जिसे पहली बार 1960 के दशक में अप्रकाशित कार्य में रॉबर्ट एम. सोलोवे द्वारा परिभाषित किया गया था। (सुपरस्क्रिप्ट एक खंजर होना चाहिए, लेकिन यह कुछ ब्राउज़रों पर एक प्लस संकेत के रूप में दिखाई देता है।) परिभाषा थोड़ी अजीब है, क्योंकि स्थितियों को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याओं का कोई समूह नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, यदि ZFC सुसंगत है, तो ZFC + "0 † मौजूद नहीं है" सुसंगत है। जेड. एफ. सी. + "0 मौजूद है" को असंगत नहीं माना जाता है (और अधिकांश सेट सिद्धांतकारों का मानना है कि यह सुसंगत है)। दूसरे शब्दों में, इसे स्वतंत्र माना जाता है (चर्चा के लिए बड़ा कार्डिनल देखें)। इसे आमतौर पर निम्न रूप में तैयार किया जाता हैः 0 मौजूद है यदि और केवल तभी जब सापेक्ष गोडेल निर्माण योग्य ब्रह्मांड एल [यू] के लिए एक गैर-तुच्छ प्राथमिक एम्बेडिंग जेः एल [यू] → एल [यू] मौजूद हो, जहां यू एक अल्ट्राफिल्टर है जो यह दर्शाता है कि कुछ कार्डिनल κ मापने योग्य है। यदि 0 मौजूद है, तो अपने आप में L [U] के एम्बेडिंग के सावधानीपूर्वक विश्लेषण से पता चलता है कि κ का एक बंद असीमित सबसेट है, और κ से अधिक ऑर्डिनल्स का एक बंद असीमित उचित वर्ग है, जो एक साथ संरचना के लिए अविवेकी हैं, और 0 * को L [U] में अविवेकी के बारे में सही सूत्रों के गोडेल संख्याओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। सोलोवे ने दिखाया कि 0 का अस्तित्व दो मापने योग्य कार्डिनलों के अस्तित्व से मिलता है। इसे पारंपरिक रूप से एक बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध माना जाता है, हालांकि यह एक बड़ा कार्डिनल नहीं है, न ही वास्तव में एक कार्डिनल है। यह भी देखें कि 0 #: सूत्रों का एक समूह (या पूर्णांकों का सबसेट) एक समान तरीके से परिभाषित किया गया है, लेकिन सरल। संदर्भ बाहरी लिंक परिभाषा "ज़ेंट्रलब्लैट गणित डेटाबेस" (पी. डी. एफ.) लार्ज कार्डिनल्स