Lie bracket of vector fields
विभेदक स्थलविज्ञान के गणितीय क्षेत्र में, वेक्टर क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट, जिसे जैकोबी-लाइ ब्रैकेट या वेक्टर क्षेत्रों के कम्यूटेटर के रूप में भी जाना जाता है, एक ऑपरेटर है जो किसी भी दो वेक्टर क्षेत्रों X और Y को एक चिकनी मैनिफोल्ड M पर निर्दिष्ट करता है। अवधारणात्मक रूप से, लाइ ब्रैकेट X द्वारा उत्पन्न प्रवाह के साथ Y का व्युत्पन्न है, और कभी-कभी इसे दर्शाया जाता है ("X के साथ Y का व्युत्पन्न")। यह X द्वारा उत्पन्न प्रवाह के साथ किसी भी टेंसर क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न को सामान्यीकृत करता है। लाइ ब्रैकेट एक आर-बिलीनियर ऑपरेशन है और मैनिफोल्ड एम पर सभी चिकने वेक्टर क्षेत्रों के सेट को एक (अनंत-आयामी) लाइ बीजगणित में बदल देता है। लाइ ब्रैकेट विभेदक ज्यामिति और विभेदक टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, उदाहरण के लिए फ्रोबेनियस समाकलन प्रमेय में, और अरैखिक नियंत्रण प्रणालियों के ज्यामितीय सिद्धांत में भी मौलिक है। परिभाषा लाइ ब्रैकेट को परिभाषित करने के लिए तीन अवधारणात्मक रूप से अलग लेकिन समतुल्य दृष्टिकोण हैंः वेक्टर क्षेत्रों को व्युत्पत्तियों के रूप में एक मैनिफोल्ड एम पर प्रत्येक स्मूथ वेक्टर क्षेत्र को एक डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है जो स्मूथ फ़ंक्शंस (जहां और वर्ग के) पर कार्य करता है जब हम एक अन्य फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका मान एक बिंदु पर एक्स (पी) की दिशा में पी पर एफ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। इस तरह, प्रत्येक चिकना सदिश क्षेत्र X, C ≤ (M) पर एक व्युत्पत्ति बन जाता है। इसके अलावा, C ≤ (M) पर कोई भी व्युत्पत्ति एक अद्वितीय चिकने सदिश क्षेत्र X से उत्पन्न होती है। सामान्य तौर पर, किसी भी दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर और फिर से एक व्युत्पत्ति है, जहां ऑपरेटरों की संरचना को दर्शाता है। इसका उपयोग लाइ ब्रैकेट को कम्यूटेटर व्युत्पत्ति के अनुरूप वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित करने के लिए किया जा सकता हैः प्रवाह और सीमाएँ मान लीजिए कि वेक्टर क्षेत्र X से जुड़ा प्रवाह है, और मान लीजिए कि D स्पर्शरेखा मानचित्र व्युत्पन्न प्रचालक को दर्शाता है। फिर बिंदु पर X और Y के लाइ कोष्ठक को लाइ व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैः यह बिंदु x पर लौटने के लिए क्रमिक दिशाओं में प्रवाह की विफलता को भी मापता हैः निर्देशांक में हालांकि लाइ कोष्ठक की उपरोक्त परिभाषाएं आंतरिक हैं (कई गुना M पर निर्देशांक के चयन से स्वतंत्र), व्यवहार में अक्सर एक विशिष्ट निर्देशांक प्रणाली के संदर्भ में कोष्ठक की गणना करना चाहते हैं। हम स्पर्शरेखा बंडल के संबंधित स्थानीय आधार के लिए लिखते हैं, ताकि सामान्य सदिश क्षेत्रों को लिखा जा सके और सुचारू कार्यों के लिए। फिर लाइ ब्रैकेट की गणना इस प्रकार की जा सकती हैः यदि एम (का एक खुला उपसमुच्चय) आरएन है, तो वेक्टर फ़ील्ड एक्स और वाई को फॉर्म और के चिकने मानचित्रों के रूप में लिखा जा सकता है, और लाइ ब्रैकेट इस प्रकार दिया जाता हैः जहाँ और जैकोबियन मैट्रिक्स हैं (और क्रमशः सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए) कॉलम वैक्टर एक्स और वाई को गुणा करते हुए। गुण वेक्टर क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट एम पर सभी वेक्टर क्षेत्रों के वास्तविक वेक्टर स्थान (यानी, स्पर्शरेखा बंडल के चिकने खंड) को एक लाइ बीजगणित की संरचना से लैस करता है, जिसका अर्थ है [1] एक मानचित्र हैः आर-बिलीनेरिटी एंटी-सिमेट्री, जैकोबी पहचान, दूसरे गुण का तत्काल परिणाम किसी भी के लिए वह है। इसके अलावा, लाइ ब्रैकेट के लिए एक "उत्पाद नियम" है। एम पर एक चिकना (स्केलर-मूल्य) फलन एफ और एम पर एक सदिश क्षेत्र वाई को देखते हुए, हम प्रत्येक बिंदु पर सदिश वाईएक्स को स्केलर एफ (एक्स) से गुणा करके एक नया सदिश क्षेत्र एफवाई प्राप्त करते हैं। फिरः जहाँ हम स्केलर फलन X (f) को वेक्टर क्षेत्र Y से और स्केलर फलन f को वेक्टर क्षेत्र से गुणा करते हैं। यह लाइ ब्रैकेट के साथ वेक्टर क्षेत्रों को लाइ अल्जेब्रॉइड में बदल देता है। X और Y के लाइ कोष्ठक के लुप्त होने का अर्थ है कि इन दिशाओं में प्रवाह का अनुसरण करने से M में अंतर्निहित एक सतह परिभाषित होती है, जिसमें X और Y समन्वय सदिश क्षेत्रों के रूप में होते हैंः प्रमेयः यदि X और Y के प्रवाह स्थानीय रूप से संचारित होते हैं, जिसका अर्थ है सभी के लिए और पर्याप्त रूप से छोटे s, t। यह फ्रोबेनियस समाकलन प्रमेय का एक विशेष मामला है। लाइ समूह जी के लिए उदाहरण, संबंधित लाइ बीजगणित पहचान पर स्पर्शरेखा स्थान है, जिसे जी पर बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के सदिश स्थान के साथ पहचाना जा सकता है। दो बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के लाइ कोष्ठक को भी अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है, जो जैकोबी-लाइ कोष्ठक संचालन को परिभाषित करता है। एक मैट्रिक्स लाइ समूह के लिए, जिसके तत्व मैट्रिक्स हैं, प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता हैः, जहाँ मैट्रिक्स गुणन का अर्थ है और I पहचान मैट्रिक्स है। इसके अनुरूप अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्र द्वारा दिया जाता है, और एक गणना से पता चलता है कि लाइ ब्रैकेट मैट्रिक्स के सामान्य कम्यूटेटर से मेल खाता हैः सामान्यीकरण जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, लाइ व्युत्पन्न को लाइ ब्रैकेट के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। लाइ ब्रैकेट (वेक्टर-मूल्यवान विभेदक रूपों के लिए) का एक और सामान्यीकरण फ्रोलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट है। संदर्भ लाइ कोष्ठक और लाइ व्युत्पन्न के सामान्य सिद्धांत की व्यापक चर्चा। अनंत आयामों के सामान्यीकरण के लिए। द्विरेखीय मानचित्र विभेदक ज्यामिति विभेदक स्थलविज्ञान रीमानियन ज्यामिति