Stress majorization
तनाव प्रमुखता बहुआयामी स्केलिंग (एम. डी. एस.) में उपयोग की जाने वाली एक अनुकूलन रणनीति है, जहां, आयामी डेटा वस्तुओं के एक सेट के लिए, आयामी स्थान में बिंदुओं का एक विन्यास मांगा जाता है जो तथाकथित तनाव कार्य को कम करता है। आमतौर पर या, अर्थात। मैट्रिक्स आयामी यूक्लिडियन स्थान में बिंदुओं को सूचीबद्ध करता है ताकि परिणाम की कल्पना की जा सके (अर्थात। एक एम. डी. एस. प्लॉट)। फलन एक लागत या हानि फलन है जो आर-आयामी स्थान में आदर्श (-आयामी) दूरी और वास्तविक दूरी के बीच वर्ग अंतर को मापता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहां बिंदुओं की एक जोड़ी के बीच माप के लिए एक वजन है, और के बीच यूक्लिडियन दूरी है और-आयामी डेटा स्पेस में बिंदुओं (उनके पृथक्करण) के बीच आदर्श दूरी है। ध्यान दें कि इसका उपयोग बिंदुओं के बीच समानता में विश्वास की एक डिग्री निर्दिष्ट करने के लिए किया जा सकता है (जैसे। 0 को निर्दिष्ट किया जा सकता है यदि किसी विशेष जोड़ी के लिए कोई जानकारी नहीं है)। एक विन्यास जो न्यूनतम करता है वह एक प्लॉट देता है जिसमें जो बिंदु एक साथ निकट होते हैं वे उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जो मूल आयामी डेटा स्थान में भी एक साथ निकट होते हैं। ऐसे कई तरीके हैं जिन्हें कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्रुस्कल ने एक पुनरावृत्त तीव्र अवरोहण दृष्टिकोण की सिफारिश की। हालांकि, तनाव को कम करने के लिए जान डी लीयू द्वारा एक बेहतर (गारंटी और अभिसरण की दर के संदर्भ में) विधि पेश की गई थी। प्रत्येक चरण पर डी लीयू की पुनरावृत्ति प्रमुखकरण विधि एक सरल उत्तल फलन को न्यूनतम करती है जो दोनों ऊपर से सीमा बनाती है और एक बिंदु पर सतह को छूती है, जिसे सहायक बिंदु कहा जाता है। उत्तल विश्लेषण में इस तरह के कार्य को प्रमुख कार्य कहा जाता है। इस पुनरावृत्ति प्रमुखता प्रक्रिया को एस. एम. ए. सी. ओ. एफ. एल्गोरिथ्म ("एक जटिल कार्य को बड़ा करके मापना") के रूप में भी जाना जाता है। एस. एम. ए. सी. ओ. एफ. एल्गोरिदम तनाव फलन को निम्नानुसार विस्तारित किया जा सकता हैः ध्यान दें कि पहला पद एक स्थिरांक है और दूसरा पद (अर्थात) में द्विघात है। हेसियन मैट्रिक्स के लिए दूसरा पद ट्र) के बराबर है और इसलिए अपेक्षाकृत आसानी से हल किया जा सकता है। तीसरा पदः जहाँ हैः के लिए और के लिए और से घिरा हुआ है। इस असमानता का प्रमाण कौची-श्वार्ज असमानता से मिलता है, बोर्ग (पीपी. 152-153) देखें। इस प्रकार, हमारे पास एक सरल द्विघात कार्य है जो तनाव को प्रमुख बनाता हैः पुनरावृत्ति न्यूनतमकरण प्रक्रिया तब होती हैः यदि हम अन्यथा दोहराते हैं तो चरण में हम स्टॉप सेट करते हैं। इस एल्गोरिथ्म को तनाव को नीरस रूप से कम करने के लिए दिखाया गया है (डी लीयू देखें)। ग्राफ ड्राइंग में उपयोग तनाव प्रमुखता और एस. एम. ए. सी. ओ. एफ. के समान एल्गोरिदम का भी ग्राफ ड्राइंग के क्षेत्र में उपयोग होता है। अर्थात्, ग्राफ में नोड्स की स्थिति पर एक तनाव कार्य को कम करके एक नेटवर्क या ग्राफ के लिए एक उचित रूप से सौंदर्यपूर्ण रूप से आकर्षक लेआउट पा सकते हैं। इस मामले में, वे आमतौर पर नोड्स और भार के बीच ग्राफ-सैद्धांतिक दूरी पर सेट किए जाते हैं। यहाँ, लंबी या छोटी दूरी की आदर्श दूरी को संरक्षित करने के बीच एक समझौते के रूप में चुना जाता है। इसके अच्छे परिणाम सामने आए हैं। संदर्भ ग्राफ ड्राइंग आयाम में कमी गणितीय अनुकूलन गणितीय विश्लेषण