Mapping cone (homological algebra)
होमोलॉजिकल बीजगणित में, मानचित्रण शंकु टोपोलॉजी में अनुरूप निर्माण से प्रेरित श्रृंखला परिसरों के मानचित्र पर एक निर्माण है। त्रिकोणीय श्रेणियों के सिद्धांत में यह एक प्रकार का संयुक्त कर्नेल और कोकर्नल हैः यदि श्रृंखला परिसर अपने शब्दों को एक अबेलियन श्रेणी में लेते हैं, ताकि हम समरूपता के बारे में बात कर सकें, तो एक मानचित्र f के शंकु के चक्रीय होने का मतलब है कि मानचित्र एक अर्ध-समरूपता है; यदि हम परिसरों की व्युत्पन्न श्रेणी से गुजरते हैं, तो इसका मतलब है कि f वहां एक समरूपता है, जो समूहों के मानचित्रों, एक रिंग पर मॉड्यूल, या एक मनमाने अबेलियन श्रेणी के तत्वों की परिचित संपत्ति को याद करता है कि यदि कर्नेल और कोकर्नल दोनों गायब हो जाते हैं, तो मानचित्र एक समरूपता है। यदि हम एक टी-श्रेणी में काम कर रहे हैं, तो वास्तव में शंकु अपने मूल की वस्तुओं के बीच मानचित्रों के कर्नेल और कोकर्नल दोनों को प्रस्तुत करता है। परिभाषा शंकु को किसी भी योगात्मक श्रेणी पर कोचेन परिसरों की श्रेणी में परिभाषित किया जा सकता है (यानी, एक श्रेणी जिसकी आकृतिवाद अबेलियन समूहों का निर्माण करती है और जिसमें हम किसी भी दो वस्तुओं का प्रत्यक्ष योग बना सकते हैं)। मान लीजिए कि अंतर के साथ दो परिसर हैं, अर्थात, और इसी तरह के लिए परिसरों के मानचित्र के लिए हम शंकु को परिभाषित करते हैं, जिसे अक्सर निम्नलिखित परिसर द्वारा दर्शाया जाता है या किया जाता हैः शब्दों में, अंतर के साथ (स्तंभ वैक्टर पर कार्य करते हुए)। यहाँ और के साथ कॉम्प्लेक्स है। ध्यान दें कि पर अंतर प्राकृतिक अंतर से अलग है, और कुछ लेखक एक अलग संकेत परंपरा का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, यदि उदाहरण के लिए हमारे परिसर अबेलियन समूहों के हैं, तो अंतर गुणों के रूप में कार्य करेगा मान लीजिए कि अब हम एक अबेलियन श्रेणी पर काम कर रहे हैं, ताकि एक परिसर की समरूपता को परिभाषित किया जा सके। शंकु का मुख्य उपयोग अर्ध-समरूपता की पहचान करना हैः यदि शंकु चक्रीय है, तो मानचित्र एक अर्ध-समरूपता है। इसे देखने के लिए, हम एक त्रिभुज के अस्तित्व का उपयोग करते हैं जहां मानचित्र प्रत्यक्ष योग द्वारा दिए जाते हैं (श्रृंखला परिसरों की होमोटोपी श्रेणी देखें)। चूँकि यह एक त्रिभुज है, यह समरूपता समूहों पर एक लंबे सटीक अनुक्रम को जन्म देता हैः और यदि चक्रीय है तो परिभाषा के अनुसार, ऊपर दिए गए बाहरी शब्द शून्य हैं। चूँकि अनुक्रम सटीक है, इसका मतलब है कि सभी समरूपता समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करता है, और इसलिए (फिर से परिभाषा के अनुसार) एक अर्ध-समरूपता है। यह तथ्य एक अबेलियन श्रेणी में समरूपता के सामान्य वैकल्पिक लक्षण वर्णन को उन मानचित्रों के रूप में याद करता है जिनके कर्नेल और कोकर्नल दोनों गायब हो जाते हैं। एक संयुक्त कर्नेल और कोकर्नल के रूप में शंकु की यह उपस्थिति आकस्मिक नहीं है; वास्तव में, कुछ परिस्थितियों में शंकु शाब्दिक रूप से दोनों का प्रतीक है। उदाहरण के लिए कहें कि हम एक अबेलियन श्रेणी पर काम कर रहे हैं और डिग्री 0 में केवल एक गैर-शून्य पद हैः और इसलिए यह सही है (अंतर्निहित अबेलियन श्रेणी की वस्तुओं के मानचित्र के रूप में)। फिर शंकु बस है (अंडरसेट पाठ प्रत्येक शब्द की डिग्री को इंगित करता है।) इस परिसर की समरूपता यह है कि यह एक दुर्घटना नहीं है और वास्तव में प्रत्येक टी-श्रेणी में होता है। मानचित्रण सिलेंडर एक संबंधित धारणा मानचित्रण सिलेंडर हैः मान लीजिए कि श्रृंखला परिसरों का एक आकृतिवाद है, आगे प्राकृतिक मानचित्र है। एफ का मानचित्रण सिलेंडर परिभाषा के अनुसार जी का मानचित्रण शंकु है। टोपोलॉजिकल प्रेरणा इस परिसर को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के निरंतर मानचित्र के मानचित्रण शंकु (टोपोलॉजी) के अनुरूप शंकु कहा जाता हैः टोपोलॉजिकल शंकु की एकवचन श्रृंखलाओं का परिसर एक्स से वाई की एकवचन श्रृंखलाओं के प्रेरित मानचित्र के शंकु (चेन-कॉम्प्लेक्स-सेंस में) के बराबर है। परिसरों के मानचित्र का मानचित्रण सिलेंडर इसी तरह निरंतर मानचित्रों के मानचित्रण सिलेंडर से संबंधित है। संदर्भ जोसेफ जे. रोटमैन, एन इंट्रोडक्शन टू अलजेब्रिक टोपोलॉजी (1988) स्प्रिंगर-वेरलैग (अध्याय 9 देखें) होमोलॉजिकल बीजगणित