Octonion algebra
गणित में, एक क्षेत्र F पर एक ऑक्टोनियन बीजगणित या केले बीजगणित F पर एक रचना बीजगणित है जिसका आयाम F पर 8 है। दूसरे शब्दों में, यह एक 8-आयामी एकात्मक गैर-संबद्ध बीजगणित A पर F है जिसमें एक गैर-अपक्षयी द्विघात रूप N (जिसे मानक रूप कहा जाता है) है जैसे कि A में सभी x और y के लिए। ऑक्टोनियन बीजगणित का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण शास्त्रीय ऑक्टोनियन है, जो वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र आर पर एक ऑक्टोनियन बीजगणित है। विभाजित-ऑक्टोनीयन भी आर पर एक ऑक्टोनीयन बीजगणित बनाते हैं। आर-बीजगणित समरूपता तक, ये वास्तविक पर एकमात्र ऑक्टोनीयन बीजगणित हैं। बायोक्टोनिओं का बीजगणित जटिल संख्या सी पर ऑक्टोनिऑन बीजगणित है। एन के लिए ऑक्टोनिऑन बीजगणित एक विभाजन बीजगणित है यदि और केवल तभी जब रूप एन अनिसोट्रोपिक है। एक विभाजित ऑक्टोनियन बीजगणित वह है जिसके लिए द्विघात रूप N समस्थानिक है (यानी, N (x) = 0 के साथ एक गैर-शून्य सदिश x मौजूद है)। एफ-बीजगणित समरूपता तक, किसी भी क्षेत्र एफ पर एक अद्वितीय विभाजित ऑक्टोनीयन बीजगणित होता है। जब एफ बीजगणितीय रूप से बंद होता है या एक परिमित क्षेत्र होता है, तो ये एफ पर एकमात्र ऑक्टोनीयन बीजगणित होते हैं। ऑक्टोनीयन बीजगणित हमेशा गैर-संबद्ध होते हैं। हालाँकि, वे वैकल्पिक बीजगणित हैं, वैकल्पिकता साहचर्य का एक कमजोर रूप है। इसके अलावा, मौफैंग पहचान किसी भी ऑक्टोनियन बीजगणित में होती है। यह इस प्रकार है कि किसी भी ऑक्टोनियन बीजगणित में व्युत्क्रमणीय तत्व एक मौफैंग लूप बनाते हैं, जैसा कि इकाई मानक के तत्व करते हैं। एक मनमाने क्षेत्र के पर सामान्य ऑक्टोनियन अल्जेब्रा के निर्माण का वर्णन लियोनार्ड डिक्सन ने अपनी पुस्तक अल्जेब्रेन उंड इहरे ज़ह्लेंथियोरी (1927) (सीट 264) में किया था और मैक्स ज़ोर्न द्वारा दोहराया गया था। गुणनफल k से γ के चयन पर निर्भर करता है। k पर एक चतुर्थक बीजगणित से q और Q दिए जाने पर, ऑक्टोनीयन को q + Qe लिखा जाता है। एक अन्य ऑक्टोनियन को r + Re लिखा जा सकता है। फिर चतुर्धातुक बीजगणित में संयुग्मन को दर्शाने के साथ, उनका उत्पाद ज़ोर्न का जर्मन भाषा में इस केली-डिक्सन निर्माण का विवरण है जो रचना बीजगणित के निर्माण का वर्णन करने वाले इस उपनाम के लगातार उपयोग में योगदान देता है। कोल फ्युरी ने प्रस्ताव दिया है कि ऑक्टोनियन अल्जेब्रा का उपयोग मानक मॉडल के घटकों को मिलाने के प्रयास में किया जा सकता है। वर्गीकरण यह एडॉल्फ हर्विट्ज़ की एक प्रमेय है कि मानक रूप के एफ-समरूपता वर्ग ऑक्टोनियन एफ-अल्जेब्रा के समरूपता वर्गों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसके अलावा, संभावित मानक रूप ठीक एफ पर फिस्टर 3-रूप हैं। चूंकि कोई भी दो ऑक्टोनीयन एफ-बीजगणित एफ के बीजगणितीय समापन पर समरूप हो जाते हैं, इसलिए कोई भी गैर-एबेलियन गैलोइस कोहोमोलॉजी के विचारों को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, इस तथ्य का उपयोग करके कि विभाजित ऑक्टोनिओं का ऑटोमोर्फिज्म समूह विभाजित बीजगणितीय समूह G2 है, कोई भी ऑक्टोनिऑन F-अल्जेब्रा के आइसोमोर्फिज्म वर्गों के साथ F पर G2-टॉर्सर्स के आइसोमोर्फिज्म वर्गों के पत्राचार को देखता है। ये आइसोमोर्फिज्म वर्ग गैर-एबेलियन गैलोइस कोहोमोलॉजी सेट बनाते हैं। संदर्भ बाहरी लिंक रचना बीजगणित गैर-संबद्ध बीजगणित