Sturm separation theorem
गणित में, साधारण अवकल समीकरणों के क्षेत्र में, स्टर्म पृथक्करण प्रमेय, जिसका नाम जैक्स चार्ल्स फ्रांस्वा स्टर्म के नाम पर रखा गया है, सजातीय द्वितीय क्रम रैखिक अवकल समीकरणों के समाधानों के मूल के स्थान का वर्णन करता है। मूल रूप से प्रमेय बताती है कि इस तरह के समीकरण के दो रैखिक स्वतंत्र समाधान दिए जाने पर दोनों समाधानों के शून्य बारी-बारी से आ रहे हैं। स्टर्म पृथक्करण प्रमेय यदि u (x) और v (x) एक सजातीय द्वितीय क्रम रैखिक अवकल समीकरण के दो गैर-तुच्छ निरंतर रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, जिसमें x0 और x1, u (x) के क्रमिक मूल हैं, तो v (x) का खुला अंतराल (x0, x1) में बिल्कुल एक मूल है। यह स्टर्म-पिकोने तुलना प्रमेय का एक विशेष मामला है। सबूत चूंकि और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि व्रोन्स्कियन को उन सभी के लिए संतुष्ट करना चाहिए जहां विभेदक समीकरण को परिभाषित किया गया है। व्यापकता के नुकसान के बिना, मान लीजिए कि। फिर तो और या तो और दोनों सकारात्मक या दोनों नकारात्मक हैं। व्यापकता को खोए बिना, मान लीजिए कि वे दोनों सकारात्मक हैं। अब, पर और उसके बाद से और इसके कारण क्रमिक शून्य हैं। इस प्रकार, रखने के लिए हमारे पास होना चाहिए। हम इसे यह देखते हुए देखते हैं कि अगर तब (-अक्ष से दूर) बढ़ रहा होगा, जो कभी भी शून्य पर नहीं ले जाएगा। तो एक शून्य के लिए अधिक से अधिक होने के लिए (यानी, और यह पता चलता है, ब्रोन्स्कियन से हमारे परिणाम से)। तो अंतराल में कहीं का संकेत बदल गया। मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के अनुसार ऐसा मौजूद है। दूसरी ओर, केवल एक शून्य हो सकता है, क्योंकि अन्यथा दो शून्य होंगे और बीच में कोई शून्य नहीं होगा, और यह सिर्फ साबित हुआ कि यह असंभव है। संदर्भ सामान्य विभेदक समीकरण विश्लेषण में प्रमेय