Heston model
वित्त में, हेस्टन मॉडल, जिसका नाम स्टीवन एल. हेस्टन के नाम पर रखा गया है, एक गणितीय मॉडल है जो एक अंतर्निहित संपत्ति की अस्थिरता के विकास का वर्णन करता है। यह एक यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल हैः ऐसा मॉडल यह मानता है कि परिसंपत्ति की अस्थिरता स्थिर नहीं है, न ही निर्धारक भी है, लेकिन एक यादृच्छिक प्रक्रिया का पालन करता है। बुनियादी हेस्टन मॉडल मूल हेस्टन मॉडल यह मानता है कि सेंट, संपत्ति की कीमत, एक यादृच्छिक प्रक्रिया द्वारा निर्धारित की जाती है, जहां, तात्कालिक भिन्नता, एक फेलर वर्ग-जड़ या सी. आई. आर प्रक्रिया द्वारा दी जाती है, और सहसंबंध ρ के साथ वीनर प्रक्रियाएं (यानी, निरंतर यादृच्छिक चलना) हैं। मॉडल में पाँच मापदंड हैंः प्रारंभिक भिन्नता। , कीमत का लंबा विचरण, या लंबे समय तक चलने वाला औसत विचरण; जैसे-जैसे टी अनंत की ओर जाता है, νt का अपेक्षित मूल्य θ की ओर जाता है, जो दो वीनर प्रक्रियाओं का सहसंबंध है। , वह दर जिस पर νt, θ पर वापस आता है, अस्थिरता की अस्थिरता, या 'वोल्ट का वॉल्यूम', जो νt के विचरण को निर्धारित करता है। यदि मापदंड निम्नलिखित शर्त का पालन करते हैं (फेलर शर्त के रूप में जाना जाता है) तो प्रक्रिया पूरी तरह से सकारात्मक है जोखिम-तटस्थ उपाय देखें पूरे लेख के लिए जोखिम-तटस्थ उपाय व्युत्पन्न मूल्य निर्धारण में एक मौलिक अवधारणा जोखिम-तटस्थ उपाय है; इसे उपरोक्त लेख में और गहराई से समझाया गया है। हमारे उद्देश्यों के लिए, निम्नलिखित पर ध्यान देना पर्याप्त हैः एक व्युत्पन्न की कीमत निर्धारित करने के लिए जिसका भुगतान एक या अधिक अंतर्निहित परिसंपत्तियों का कार्य है, हम जोखिम-तटस्थ उपाय के तहत इसके रियायती भुगतान के अपेक्षित मूल्य का मूल्यांकन करते हैं। एक जोखिम-तटस्थ उपाय, जिसे एक समतुल्य मार्टिंगल उपाय के रूप में भी जाना जाता है, वह है जो वास्तविक दुनिया के उपाय के बराबर है, और जो मध्यस्थता-मुक्त हैः इस तरह के उपाय के तहत, प्रत्येक अंतर्निहित संपत्ति का रियायती मूल्य एक मार्टिंगल है। गिरसानोव की प्रमेय देखें। ब्लैक-स्कोल्स और हेस्टन ढांचे में (जहां निस्पंदन केवल वीनर प्रक्रियाओं के एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट से उत्पन्न होते हैं), किसी भी समकक्ष माप को वीनर प्रक्रियाओं में से प्रत्येक में एक बहाव जोड़कर बहुत ही कम अर्थों में वर्णित किया जा सकता है। ऊपर वर्णित बहाव के लिए कुछ मूल्यों का चयन करके, हम एक समतुल्य उपाय प्राप्त कर सकते हैं जो मध्यस्थता-मुक्त शर्त को पूरा करता है। एक सामान्य स्थिति पर विचार करें जहाँ हमारे पास अंतर्निहित परिसंपत्तियाँ और वीनर प्रक्रियाओं का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट है। समतुल्य मापों का समुच्चय आर. एम. के समरूपी है, जो संभावित बहाव का स्थान है। समतुल्य मार्टिंगेल उपायों के समूह को आर. एम. में एम्बेडेड मैनिफोल्ड के समरूप होने पर विचार करें; शुरू में, उस स्थिति पर विचार करें जहां हमारे पास कोई संपत्ति नहीं है और आर. एम. के समरूप है। अब प्रत्येक अंतर्निहित परिसंपत्तियों को समतुल्य उपायों के सेट पर एक बाधा प्रदान करने के रूप में देखें, क्योंकि इसकी अपेक्षित छूट प्रक्रिया एक स्थिरांक (अर्थात्, इसका प्रारंभिक मूल्य) के बराबर होनी चाहिए। एक समय में एक परिसंपत्ति जोड़कर, हम प्रत्येक अतिरिक्त बाधा को एक आयाम के आयाम को कम करने के रूप में मान सकते हैं। इसलिए हम देख सकते हैं कि ऊपर वर्णित सामान्य स्थिति में, समतुल्य मार्टिंगेल उपायों के समूह का आयाम है। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में, हमारे पास एक परिसंपत्ति और एक वीनर प्रक्रिया है। समतुल्य मार्टिन्गेल उपायों के समूह का आयाम शून्य है; इसलिए यह दिखाया जा सकता है कि बहाव के लिए एक ही मूल्य है, और इस प्रकार एक एकल जोखिम-तटस्थ उपाय है, जिसके तहत रियायती संपत्ति एक मार्टिन्गेल होगी। हेस्टन मॉडल में, हमारे पास अभी भी एक परिसंपत्ति है (बाजार में अस्थिरता को सीधे अवलोकन योग्य या व्यापार योग्य नहीं माना जाता है) लेकिन अब हमारे पास दो वीनर प्रक्रियाएं हैं-पहला स्टॉक मूल्य के लिए स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण (एस. डी. ई.) में और दूसरा स्टॉक मूल्य के विचलन के लिए एस. डी. ई. में। यहाँ, समतुल्य मार्टिंगेल उपायों के समूह का आयाम एक है; कोई अद्वितीय जोखिम-मुक्त उपाय नहीं है। यह निश्चित रूप से समस्याग्रस्त है; जबकि किसी भी जोखिम-मुक्त उपाय का उपयोग सैद्धांतिक रूप से एक व्युत्पन्न की कीमत निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, यह संभावना है कि उनमें से प्रत्येक एक अलग कीमत देगा। सिद्धांत रूप में, हालांकि, इनमें से केवल एक जोखिम-मुक्त उपाय अस्थिरता-निर्भर विकल्पों (उदाहरण के लिए, यूरोपीय कॉल, या अधिक स्पष्ट रूप से, भिन्नता अदला-बदली) की बाजार कीमतों के साथ संगत होगा। इसलिए हम एक अस्थिरता-निर्भर परिसंपत्ति जोड़ सकते हैं; ऐसा करके, हम एक अतिरिक्त बाधा जोड़ते हैं, और इस प्रकार एक एकल जोखिम-मुक्त उपाय चुनते हैं जो बाजार के साथ संगत है। इस माप का उपयोग मूल्य निर्धारण के लिए किया जा सकता है। कार और मदन द्वारा मूल्य विकल्पों में फूरियर परिवर्तन का उपयोग दिखाया गया था। कहल और जैकेल ने हेस्टन मॉडल के कार्यान्वयन पर चर्चा की। समय-निर्भर हेस्टन मॉडल के लिए बंद-रूप विकल्प कीमतों की एक व्युत्पत्ति बेनहामौ एट अल द्वारा प्रस्तुत की गई थी। डबल हेस्टन मॉडल के लिए बंद-रूप विकल्प कीमतों की व्युत्पत्ति क्रिस्टोफरसन एट अल द्वारा दी गई थी। और गौथियर और पोसमई द्वारा। स्टोकेस्टिक ब्याज दरों के साथ हेस्टन मॉडल का विस्तार ग्रेज़ेलक और ओस्टरली द्वारा दिया गया था। हेस्टन मॉडल के विशिष्ट कार्य की एक अभिव्यक्ति जो मापदंडों के संबंध में संख्यात्मक रूप से निरंतर और आसानी से अवकलनीय दोनों है, कुई एट अल द्वारा पेश की गई थी। स्थानीय यादृच्छिक अस्थिरता के संदर्भ में मॉडल का उपयोग वान डेर वेइजस्ट द्वारा किया गया था। अस्थिरता के संदर्भ में हेस्टन मूल्य समीकरण का एक स्पष्ट समाधान कौरिट्ज़िन द्वारा विकसित किया गया था। इसे हेस्टन मॉडल के स्पष्ट कमजोर समाधानों का उत्पादन करने के लिए अस्थिरता समीकरण और गिरसानोव के प्रमेय के लिए ज्ञात कमजोर समाधानों के साथ जोड़ा जा सकता है। इस तरह के समाधान कुशल अनुकरण के लिए उपयोगी हैं। उच्च सटीक संदर्भ मूल्य एलन लुईस द्वारा एक ब्लॉग पोस्ट में उपलब्ध हैं। हेस्टन मॉडल (शॉनबुशर, एस. वी. आई. और जी. एस. वी. आई.) के आधार पर अस्थिरता सतह के कुछ ज्ञात मापदंड हैं। अंशांकन हेस्टन मॉडल के अंशांकन को अक्सर एक न्यूनतम वर्ग समस्या के रूप में तैयार किया जाता है, जिसमें वस्तुनिष्ठ कार्य बाजार में देखी गई कीमतों और मॉडल से गणना की गई कीमतों के बीच वर्ग अंतर को कम करता है। कीमतें आम तौर पर वेनिला विकल्पों की होती हैं। कभी-कभी मॉडल को गुइलौम और स्काउटेन्स की तरह वैरियंस स्वैप टर्म-स्ट्रक्चर के लिए भी कैलिब्रेट किया जाता है। एक और तरीका यह है कि आगे की मुस्कान को पकड़ने के लिए आगे की ओर शुरू करने के विकल्प, या बाधा विकल्प भी शामिल किए जाएं। हेस्टन मॉडल के तहत, वेनिला विकल्पों की कीमत विश्लेषणात्मक रूप से दी जाती है, लेकिन समाकलन की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक विधि की आवश्यकता होती है। ले फ्लोच ने लागू किए गए विभिन्न चतुर्भुज का सारांश दिया और एक कुशल अनुकूली फिलॉन चतुर्भुज का प्रस्ताव रखा। अंशांकन के लिए आमतौर पर मॉडल मापदंडों के संबंध में वस्तुनिष्ठ कार्य के प्रवणता की आवश्यकता होती है। यह आमतौर पर एक सीमित अंतर सन्निकटन के साथ गणना की जाती थी, हालांकि यह एक विश्लेषणात्मक प्रवणता की तुलना में कम सटीक, कम कुशल और कम सुरुचिपूर्ण है क्योंकि बाद की एक अंतर्दृष्टिपूर्ण अभिव्यक्ति केवल तभी उपलब्ध हुई जब कुई एट अल द्वारा विशेषता कार्य का एक नया प्रतिनिधित्व पेश किया गया था। 2017 में। एक अन्य संभावना स्वचालित विभेदन का सहारा लेना है। उदाहरण के लिए, एल्गोरिथमिक विभेदन के स्पर्शरेखा मोड को दोहरे संख्याओं का उपयोग करके सीधे तरीके से लागू किया जा सकता है। स्टोकेस्टिक अस्थिरता जोखिम-तटस्थ माप (समतुल्य मार्टिंगेल माप के लिए एक और नाम) गिरसानोव की प्रमेय मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत) SABR अस्थिरता मॉडल मैटलैब कोड कहल, जैकेल और लॉर्ड संदर्भ व्युत्पन्न (वित्त) वित्तीय मॉडल विकल्प (वित्त) गणितीय वित्त