Sylvester equation
गणित में, नियंत्रण सिद्धांत के क्षेत्र में, सिल्वेस्टर समीकरण इस रूप का एक मैट्रिक्स समीकरण हैः इसका नाम अंग्रेजी गणितशास्त्री जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर के नाम पर रखा गया है। फिर मैट्रिक्स ए, बी और सी दिए जाने पर, समस्या संभावित मैट्रिक्स एक्स का पता लगाने की है जो इस समीकरण का पालन करते हैं। सभी मैट्रिक्स को जटिल संख्याओं में गुणांक माना जाता है। समीकरण को समझने के लिए, मैट्रिक्स का उपयुक्त आकार होना चाहिए, उदाहरण के लिए वे सभी एक ही आकार के वर्ग मैट्रिक्स हो सकते हैं। लेकिन आम तौर पर, ए और बी क्रमशः एन और एम आकार के वर्ग मैट्रिक्स होने चाहिए, और फिर एक्स और सी दोनों में एन पंक्तियाँ और एम कॉलम हैं। एक सिल्वेस्टर समीकरण में X के लिए एक अद्वितीय समाधान होता है जब A और-B के कोई सामान्य आइगेनवैल्यू नहीं होते हैं। अधिक आम तौर पर, समीकरण AX + XB = C को एक (संभवतः अनंत-आयामी) बनाच स्थान पर बंधे हुए प्रचालक के समीकरण के रूप में माना गया है। इस मामले में, एक समाधान X की विशिष्टता की शर्त लगभग समान हैः एक अद्वितीय समाधान X तब मौजूद होता है जब A और-B का स्पेक्ट्रा असंबद्ध होते हैं। समाधानों का अस्तित्व और विशिष्टता क्रोनेकर उत्पाद संकेतन और वेक्टराइजेशन ऑपरेटर का उपयोग करके, हम सिल्वेस्टर के समीकरण को उस रूप में फिर से लिख सकते हैं जहां आयाम का है, आयाम का है, आयाम का है और पहचान मैट्रिक्स है। इस रूप में, समीकरण को आयाम की एक रैखिक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है। प्रमेय। मैट्रिक्स को देखते हुए और, सिल्वेस्टर समीकरण में किसी भी के लिए एक अद्वितीय समाधान है यदि और केवल अगर कोई आइगेनवैल्यू साझा नहीं करता है। सबूत। समीकरण एक रैखिक प्रणाली है जिसमें अज्ञात और समान संख्या में समीकरण हैं। इसलिए यह किसी भी दिए गए के लिए विशिष्ट रूप से हल करने योग्य है यदि और केवल तभी जब सजातीय समीकरण केवल तुच्छ समाधान को स्वीकार करता है। (i) ऐसा मान लें और किसी भी आईगन वैल्यू को साझा न करें। मान लीजिए कि यह उपर्युक्त सजातीय समीकरण का समाधान है। फिर, जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा प्रत्येक के लिए उठाया जा सकता है। नतीजतन, किसी भी बहुपद के लिए। विशेष रूप से, की विशेषता बहुपद होने दें। फिर केले-हैमिल्टन प्रमेय के कारण; इस बीच, वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय हमें बताता है कि एक मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम को कहाँ दर्शाता है। चूंकि और किसी भी आइगेनवैल्यू को साझा नहीं करते हैं, इसलिए इसमें शून्य नहीं होता है, और इसलिए यह नॉन-सिंगुलर है। इस प्रकार जैसा वांछित है। यह प्रमेय के "यदि" भाग को साबित करता है। (ii) अब इसे मान लें और एक आइगेनवैल्यू साझा करें। मान लीजिए कि एक संबंधित दाएं आइगेनवेक्टर के लिए, और के लिए एक संबंधित बाएं आइगेनवेक्टर हो। तब, और इसलिए उपरोक्त सजातीय समीकरण का एक गैर-तुच्छ समाधान है, जो प्रमेय के "केवल यदि" भाग को उचित ठहराता है। क्यू. ई. डी. वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय के विकल्प के रूप में, प्रमाण के भाग (i) की असंगतता को सहमौलिक बहुपदों के लिए बेज़आउट की पहचान द्वारा भी प्रदर्शित किया जा सकता है। मान लीजिए कि यह विशेषता बहुपद है। चूंकि और किसी भी आइगेनवैल्यू को साझा नहीं करते हैं, और सहमौलिक हैं। इसलिए बहुपद और इस तरह के मौजूद हैं। केले-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, इस प्रकार, इसका अर्थ गैर-एकल है। यह प्रमेय वास्तविक मैट्रिक्स के लिए इस चेतावनी के साथ सही रहता है कि कोई उनके जटिल आइगेनवैल्यू पर विचार करता है। "यदि" भाग के लिए प्रमाण अभी भी लागू है; "केवल यदि" भाग के लिए, ध्यान दें कि दोनों और सजातीय समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और वे एक साथ शून्य नहीं हो सकते हैं। रोथ का हटाने का नियम दो वर्ग जटिल मैट्रिक्स ए और बी को देखते हुए, आकार एन और एम के, और एक मैट्रिक्स सी आकार एन द्वारा एम के, तो कोई पूछ सकता है कि निम्नलिखित दो वर्ग मैट्रिक्स आकार एन + एम एक दूसरे के समान कब हैंः और। इसका उत्तर यह है कि ये दोनों मैट्रिक्स बिल्कुल समान होते हैं जब एक मैट्रिक्स X मौजूद होता है जैसे कि AX − XB = C। दूसरे शब्दों में, X एक सिल्वेस्टर समीकरण का समाधान है। इसे रोथ के हटाने के नियम के रूप में जाना जाता है। कोई भी आसानी से एक दिशा की जाँच कर सकता हैः यदि AX-XB = C है तो रोथ का हटाने का नियम बनाच स्थान पर अनंत-आयामी बंधे ऑपरेटरों के लिए सामान्य नहीं है। फिर भी, रोथ का हटाने का नियम सिल्वेस्टर समीकरणों की प्रणालियों के लिए सामान्यीकृत है। संख्यात्मक समाधान सिल्वेस्टर समीकरण के संख्यात्मक समाधान के लिए एक शास्त्रीय एल्गोरिथ्म बार्टेल्स-स्टीवर्ट एल्गोरिथ्म है, जिसमें एक क्यू. आर. एल्गोरिथ्म द्वारा शूर रूप में परिवर्तन और फिर बैक-प्रतिस्थापन के माध्यम से परिणामी त्रिकोणीय प्रणाली को हल करना शामिल है। यह एल्गोरिथ्म, जिसकी कम्प्यूटेशनल लागत अंकगणितीय संचालन है, का उपयोग दूसरों के बीच, जीएनयू ऑक्टेव में एलएपीएसीके और लाइप फ़ंक्शन द्वारा किया जाता है। उस भाषा में सिल्वेस्टर कार्य भी देखें। कुछ विशिष्ट छवि प्रसंस्करण अनुप्रयोगों में, व्युत्पन्न सिल्वेस्टर समीकरण का एक बंद रूप समाधान होता है। ल्यपुनोव समीकरण को भी देखें, जो सिल्वेस्टर समीकरण बीजगणितीय रिकाटी समीकरण का एक विशेष मामला है। सिल्वेस्टर समीकरण को हल करने के लिए गणितीय कार्य मैटलैब कार्य सिल्वेस्टर समीकरण को हल करने के लिए मैट्रिक नियंत्रण सिद्धांत