Eventually (mathematics)
संख्या सिद्धांत और विश्लेषण के गणितीय क्षेत्रों में कहा जाता है कि एक अनंत अनुक्रम या एक फलन का अंततः एक निश्चित गुण होता है, यदि उसके सभी क्रमबद्ध उदाहरणों में उक्त गुण नहीं है, लेकिन कुछ उदाहरणों के बीत जाने के बाद होगा। "अंततः" शब्द का उपयोग अक्सर "पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या के लिए" के रूप में किया जा सकता है, और इसे उन गुणों के वर्ग तक भी बढ़ाया जा सकता है जो किसी भी क्रमबद्ध समूह (जैसे अनुक्रम और उपसमुच्चय) के तत्वों पर लागू होते हैं। सामान्य रूप जहां वाक्यांश अंततः (या पर्याप्त रूप से बड़ा) पाया जाता है, निम्नानुसार प्रकट होता हैः अंततः (पर्याप्त रूप से बड़े के लिए सही है) के लिए सही है, जहां और सार्वभौमिक और अस्तित्वगत परिमापक हैं, जो वास्तव में इसके लिए एक आशुलिपि हैः जैसे कि सच है या कुछ अधिक औपचारिक रूप सेः इसका आवश्यक रूप से यह अर्थ नहीं है कि किसी विशेष मूल्य के लिए ज्ञात है, लेकिन केवल यह कि ऐसा एक मौजूद है। "पर्याप्त रूप से बड़ा" वाक्यांश को "मनमाने ढंग से बड़ा" या "असीम रूप से बड़ा" वाक्यांशों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। अधिक जानकारी के लिए, आर्बिट्रेरी large#Arbitrarily लार्ज बनाम पर्याप्त रूप से लार्ज बनाम असीम रूप से लार्ज देखें। प्रेरणा और परिभाषा एक अनंत अनुक्रम के लिए, व्यक्ति अक्सर अनुक्रम के दीर्घकालिक व्यवहारों में उन व्यवहारों की तुलना में अधिक रुचि रखता है जो वह शुरू में प्रदर्शित करता है। इस मामले में, इस अवधारणा को औपचारिक रूप से पकड़ने का एक तरीका यह कहना है कि अनुक्रम में अंततः एक निश्चित संपत्ति होती है, या समकक्ष रूप से, कि संपत्ति कुछ लोगों के लिए इसके बाद के एक से संतुष्ट होती है। उदाहरण के लिए, किसी सीमा में अभिसरण करने वाली वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम की परिभाषा हैः प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए, एक प्राकृतिक संख्या ऐसी होती है कि सभी के लिए, जब "अंत में" शब्द का उपयोग "एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है जैसे कि सभी के लिए" के लिए एक संक्षिप्त नाम के रूप में किया जाता है, तो अभिसरण परिभाषा को अधिक सरलता से इस प्रकार दोहराया जा सकता हैः प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए, अंततः। यहाँ, ध्यान दें कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट जो इस गुण को संतुष्ट नहीं करता है, एक परिमित सेट है; यानी, सेट खाली है या इसमें अधिकतम तत्व है। नतीजतन, इस मामले में "अंततः" का उपयोग "सभी के लिए लेकिन शब्दों की एक सीमित संख्या" अभिव्यक्ति का पर्याय है-"लगभग सभी शब्दों के लिए" अभिव्यक्ति का एक विशेष मामला (हालांकि "लगभग सभी" का उपयोग अनंत रूप से कई अपवादों के लिए भी किया जा सकता है)। मूल स्तर पर, एक अनुक्रम को अपने डोमेन के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है, और "अंततः" की धारणा अधिक सामान्य सेटों पर भी फ़ंक्शंस पर लागू होती है-विशेष रूप से उन लोगों के लिए जिनके पास कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है। अधिक विशेष रूप से, यदि ऐसा एक समुच्चय है और इसमें एक तत्व है जिसमें फलन को उससे बड़े सभी तत्वों के लिए परिभाषित किया गया है, तो कहा जाता है कि अंततः कुछ गुण है यदि कोई तत्व ऐसा है कि जब भी, उक्त गुण है। इस धारणा का उपयोग, उदाहरण के लिए, हार्डी क्षेत्रों के अध्ययन में किया जाता है, जो वास्तविक कार्यों से बने क्षेत्र हैं, जिनमें से प्रत्येक में अंततः कुछ गुण होते हैं। उदाहरण "2 से बड़े सभी अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य अभाज्य। एक अभाज्य का वर्ग अंततः 1 मॉड 24 के लिए सर्वांगसम है (विशेष रूप से, यह 3 से अधिक सभी अभाज्य संख्याओं के लिए सच है)। एक प्राकृतिक संख्या का भाज्य अंततः अंक 0 में समाप्त होता है (विशेष रूप से, यह 4 से अधिक सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सच है)। प्रभाव जब किसी अनुक्रम या फलन में अंततः कोई गुण होता है, तो उस अनुक्रम के संबंध में कुछ साबित करने के संदर्भ में इसका उपयोगी प्रभाव हो सकता है। उदाहरण के लिए, कुछ कार्यों के असिम्प्टोटिक व्यवहार के संदर्भ में, यह जानना उपयोगी हो सकता है कि क्या यह अंततः अलग तरह से व्यवहार करता है या कम्प्यूटेशनल रूप से देखा जा सकता है, क्योंकि अन्यथा इस पर ध्यान नहीं दिया जा सकता था। "अंततः" शब्द को कई गणितीय परिभाषाओं में भी शामिल किया जा सकता है ताकि उन्हें अधिक संक्षिप्त बनाया जा सके। इनमें कुछ प्रकार की सीमाओं की परिभाषाएँ (जैसा कि ऊपर देखा गया है), और असिम्प्टोटिक व्यवहार का वर्णन करने के लिए बिग ओ संकेतन शामिल हैं। गणित में अन्य उपयोग ए 3-मैनिफोल्ड को पर्याप्त रूप से बड़ा कहा जाता है यदि इसमें ठीक से एम्बेडेड 2-पक्षीय असंपीड़ित सतह होती है। यह गुण 3-मैनिफोल्ड को हैकन मैनिफोल्ड कहने के लिए मुख्य आवश्यकता है। अस्थायी तर्क एक प्रचालक का परिचय देता है जिसका उपयोग बयानों को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है जिनकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती हैः कुछ गुण अंततः भविष्य के क्षण में पकड़ में आ जाएंगे। लगभग सभी बिग ओ संकेतन गणितीय शब्दजाल संख्या सिद्धांत संदर्भ संख्या सिद्धांत गणितीय शब्दावली 3-मैनिफोल्ड भी देखें।