Zakai equation
फ़िल्टरिंग सिद्धांत में ज़काई समीकरण एक छिपी हुई अवस्था के गैर-सामान्यीकृत घनत्व के लिए एक रैखिक यादृच्छिक आंशिक विभेदक समीकरण है। इसके विपरीत, कुशनर समीकरण छिपी अवस्था के सामान्यीकृत घनत्व के लिए एक गैर-रैखिक यादृच्छिक आंशिक विभेदक समीकरण देता है। सिद्धांत रूप में दोनों में से कोई भी दृष्टिकोण शोर माप से एक मात्रा फलन (एक गतिशील प्रणाली की स्थिति) का अनुमान लगाने की अनुमति देता है, भले ही प्रणाली गैर-रैखिक हो (इस प्रकार रैखिक प्रणालियों के लिए वीनर और कालमन के पहले के परिणामों को सामान्यीकृत करता है और अनुमान सिद्धांत में एक केंद्रीय समस्या को हल करता है)। हालाँकि, एक विशिष्ट इंजीनियरिंग स्थिति के लिए इस दृष्टिकोण का अनुप्रयोग समस्याग्रस्त हो सकता है, क्योंकि ये समीकरण काफी जटिल हैं। ज़काई समीकरण एक द्विरेखीय यादृच्छिक आंशिक विभेदक समीकरण है। इसका नाम मोशे ज़काई के नाम पर रखा गया था। मान लीजिए कि प्रणाली की स्थिति के अनुसार विकसित होती है और प्रणाली की स्थिति का एक शोर माप उपलब्ध हैः स्वतंत्र वीनर प्रक्रियाएँ कहाँ हैं। फिर समय t पर अवस्था का अस्वाभाविक सशर्त संभाव्यता घनत्व ज़काई समीकरण द्वारा दिया जाता हैः जहाँ प्रचालक जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक अस्वाभाविक घनत्व है और इस प्रकार आवश्यक रूप से 1 से एकीकृत नहीं होता है। हल करने के बाद, एकीकरण और सामान्यीकरण किया जा सकता है यदि वांछित (कुशनर दृष्टिकोण में एक अतिरिक्त कदम की आवश्यकता नहीं है)। ध्यान दें कि यदि दाहिने हाथ की ओर अंतिम पद को छोड़ दिया जाता है (एच को समान रूप से शून्य चुनकर), तो परिणाम एक गैर-यादृच्छिक पीडीई हैः परिचित फोकर-प्लैंक समीकरण, जो उस स्थिति के विकास का वर्णन करता है जब कोई माप जानकारी उपलब्ध नहीं होती है। कुशनर समीकरण कलमन फ़िल्टर वीनर फ़िल्टर संदर्भ आगे पढ़ने के लिए संकेत आकलन यादृच्छिक विभेदक समीकरण भी देखें।