Eilenberg–Moore spectral sequence
गणित में, बीजगणितीय स्थलविज्ञान के क्षेत्र में, आइलेनबर्ग-मूर वर्णक्रमीय अनुक्रम एक तंतु पर एक पुलबैक के समरूपता समूहों की गणना को संबोधित करता है। वर्णक्रमीय अनुक्रम शेष रिक्त स्थान के समरूपता के ज्ञान से गणना तैयार करता है। सैमुअल आइलेनबर्ग और जॉन सी. मूर के मूल लेख में इसे एकवचन समरूपता के लिए संबोधित किया गया है। अभिप्रेरणा एक क्षेत्र होने दें और क्रमशः k में गुणांक के साथ एकवचन समरूपता और एकवचन समरूपता को दर्शाते हैं। एक निरंतर मानचित्र पी के निम्नलिखित पुलबैक पर विचार करेंः एक लगातार सवाल यह है कि फाइबर उत्पाद की समरूपता, बी, एक्स और ई की समरूपता से कैसे संबंधित है। उदाहरण के लिए, यदि बी एक बिंदु है, तो पुलबैक केवल सामान्य उत्पाद है। इस मामले में कुनेथ सूत्र कहता है कि हालांकि यह संबंध अधिक सामान्य स्थितियों में सच नहीं है। आइलेनबर्ग-मूर वर्णक्रमीय अनुक्रम एक उपकरण है जो कुछ स्थितियों में फाइबर उत्पाद के (सह) समरूपता की गणना की अनुमति देता है। कथन आइलेनबर्ग-मूर वर्णक्रमीय अनुक्रम उपरोक्त समरूपता को उस स्थिति के लिए सामान्यीकृत करता है जहां पी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक तंतु है और आधार बी बस जुड़ा हुआ है। यह एक सामान्यीकरण है क्योंकि शून्य टॉर फंक्टर सिर्फ टेंसर उत्पाद है और उपरोक्त विशेष मामले में बिंदु B की कोहोमोलॉजी सिर्फ गुणांक क्षेत्र k (डिग्री 0 में) है। दो बार, हमारे पास निम्नलिखित समरूपता वर्णक्रमीय अनुक्रम हैः प्रमाण पर संकेत वर्णक्रमीय अनुक्रम अंतर श्रेणीबद्ध वस्तुओं (श्रृंखला परिसरों) के अध्ययन से उत्पन्न होता है, न कि रिक्त स्थान से। निम्नलिखित में आइलेनबर्ग और मूर के मूल समरूपी निर्माण पर चर्चा की गई है। कोहोमोलॉजी का मामला इसी तरह से प्राप्त किया जाता है। मान लीजिए कि यह गुणांक के साथ एकवचन श्रृंखला कारक है। आइलेनबर्ग-ज़िलबर प्रमेय के अनुसार, संरचना मानचित्रों के साथ एक विभेदक श्रेणीबद्ध कोलजेब्रा संरचना है। नीचे से पृथ्वी तक के शब्दों में, मानचित्र एक एकल श्रृंखला को निर्दिष्ट करता है s: Δn → B s की संरचना और विकर्ण समावेश B × B। इसी तरह, विभेदक श्रेणीबद्ध कोलजेब्रा के मानचित्र और प्रेरित मानचित्र,। कोमोड्युल्स की भाषा में, वे संरचना मानचित्रों के साथ और इसी तरह एक्स के बजाय ई के लिए अंतर श्रेणीबद्ध कोमोड्युल संरचनाओं के साथ प्रदान करते हैं। अब एक विभेदक श्रेणीबद्ध कोमोड्यूल के रूप में तथाकथित कोबर संकल्प का निर्माण करना संभव है। कोबर संकल्प विभेदक समरूपी बीजगणित में एक मानक तकनीक हैः जहां n-th शब्द द्वारा दिया जाता है मानचित्र इस प्रकार दिए जाते हैं कि बाएं कोमोड्युल के रूप में संरचना मानचित्र कहाँ है। कॉबर रिज़ॉल्यूशन एक बाइकोम्प्लेक्स है, एक डिग्री श्रृंखला परिसरों की श्रेणीकरण से आती है S ऱ्ऱं (−), दूसरा सरल डिग्री n है। बाइकोम्प्लेक्स का कुल परिसर दर्शाया जाता है। उपरोक्त बीजगणितीय संरचना का स्थलाकृतिक स्थिति के साथ संबंध इस प्रकार है। उपरोक्त मान्यताओं के तहत, एक नक्शा है जो एक अर्ध-समरूपता (यानी। समरूपता समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करना) जहां कोटेंसर उत्पाद है और कोटोर (कोटोरशन) कोटेंसर उत्पाद के लिए व्युत्पन्न कारक है। गणना करने के लिए, एक दोहरे परिसर के रूप में देखें। किसी भी द्वि-संकुल के लिए दो निस्पंदन होते हैं (देखें या एक फ़िल्टर किए गए परिसर का वर्णक्रमीय अनुक्रम); इस मामले में आइलेनबर्ग-मूर वर्णक्रमीय अनुक्रम समरूपता की डिग्री को बढ़ाकर (वर्णक्रमीय अनुक्रम के मानक चित्र में स्तंभों द्वारा) निस्पंदन से होता है। यह निस्पंदन उपज देता है इन परिणामों को विभिन्न तरीकों से परिष्कृत किया गया है। उदाहरण के लिए, उन रिक्त स्थान को शामिल करने के लिए अभिसरण परिणामों को परिष्कृत किया जिनके लिए सभी के लिए शून्य रूप से कार्य करता है और मनमाने पुलबैक को शामिल करने के लिए इसे सामान्यीकृत किया। मूल संरचना अन्य समरूपता सिद्धांतों के साथ गणना के लिए खुद को उधार नहीं देती है क्योंकि यह उम्मीद करने का कोई कारण नहीं है कि ऐसी प्रक्रिया एक समरूपता सिद्धांत के लिए काम करेगी जो श्रृंखला परिसरों से प्राप्त नहीं है। हालाँकि, उपरोक्त प्रक्रिया को स्वयंसिद्ध करना और ऐसी स्थितियाँ देना संभव है जिनके तहत उपरोक्त वर्णक्रमीय अनुक्रम एक सामान्य (सह) समरूपता सिद्धांत के लिए धारण करता है, लैरी स्मिथ का मूल कार्य या परिचय देखें। आगे पढ़ने के लिए संदर्भ एलन हैचर, बीजगणितीय टोपोलॉजी में वर्णक्रमीय अनुक्रम, अध्याय 3। आइलेनबर्ग-मैक्लेन स्पेस स्पेक्ट्रल अनुक्रम समरूपता सिद्धांत