Hyperhomology
होमोलॉजिकल बीजगणित में, हाइपरहोमोलॉजी या हाइपरकोहोमोलॉजी () (सह) होमोलॉजी फ़ंक्टर्स का एक सामान्यीकरण है जो अबेलियन श्रेणी में वस्तुओं को नहीं बल्कि वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों को इनपुट के रूप में लेता है, इसलिए वस्तुओं को अंदर ले जाता है। यह किसी वस्तु के व्युत्पन्न फंक्टर कोहोमोलॉजी और एक श्रृंखला परिसर के समरूपता के बीच एक प्रकार का क्रॉस है क्योंकि हाइपरकोहोमोलॉजी व्युत्पन्न वैश्विक खंडों के फंक्टर से मेल खाती है। हाइपरहोमोलॉजी का अब ज्यादा उपयोग नहीं किया जाता हैः लगभग 1970 के बाद से इसे काफी हद तक व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच एक व्युत्पन्न फ़ंक्टर की मोटे तौर पर समकक्ष अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। अति-मद्यविज्ञान के लिए प्रेरणाओं में से एक इस तथ्य से आता है कि संक्षिप्त सटीक sequencesi.e से जुड़े कोहोमोलॉजिकल लंबे सटीक अनुक्रमों का स्पष्ट सामान्यीकरण नहीं है। एक संबद्ध लंबा सटीक अनुक्रम है यह पता चलता है कि हाइपरकोहलोलॉजी एक मनमाने लंबे सटीक अनुक्रमों से एक समान समरूपता संबंधी लंबे सटीक अनुक्रम के निर्माण के लिए तकनीक देती है क्योंकि इसके इनपुट एक अबेलियन श्रेणी से केवल वस्तुओं के बजाय श्रृंखला परिसरों द्वारा दिए जाते हैं। हम इस श्रृंखला परिसर को एक विशिष्ट त्रिभुज में बदल सकते हैं (एक व्युत्पन्न श्रेणी पर त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा का उपयोग करके) जिसे हम दर्शाते हैं. फिर, व्युत्पन्न वैश्विक वर्गों को लेने से एक लंबा सटीक अनुक्रम मिलता है, जो कि अति-मद्यविज्ञान समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है। परिभाषा हम अति-मद्यविज्ञान की परिभाषा देते हैं क्योंकि यह अधिक सामान्य है। हमेशा की तरह, अति-मद्यपान और अति-समरूपता अनिवार्य रूप से समान हैंः एक द्विगुणित करके एक से दूसरे में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात। सभी तीरों की दिशा बदलकर, इंजेक्टिव वस्तुओं को प्रोजेक्टिव वस्तुओं से बदलकर, और इसी तरह। मान लीजिए कि ए एक अबेलियन श्रेणी है जिसमें पर्याप्त इंजेक्शन हैं और एफ एक अन्य अबेलियन श्रेणी बी के लिए एक सटीक कारक है। यदि सी बाईं ओर बंधी हुई ए की वस्तुओं का एक समूह है, तो सी (एक पूर्णांक i के लिए) के हाइपरकोहोमोमोलॉजी हाई (सी) की गणना इस प्रकार की जाती हैः एक अर्ध-समरूपता लीजिएः सी → आई, यहाँ आई ए के इंजेक्टिव तत्वों का एक समूह है। सी का हाइपरकोहलमोलॉजी हाई (सी) तब जटिल एफ (आई) का कोहोमोलॉजी हाई (एफ (आई)) है। सी की अति-मद्यविज्ञान अद्वितीय समरूपता तक अर्ध-समरूपता के चयन से स्वतंत्र है। अति-मद्यविज्ञान को व्युत्पन्न श्रेणियों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता हैः सी की अति-मद्यविज्ञान केवल आर. एफ. (सी) की समरूपता है जिसे बी की व्युत्पन्न श्रेणी का एक तत्व माना जाता है। नकारात्मक सूचकांकों के लिए गायब होने वाले परिसरों के लिए, अति-मद्यविज्ञान को H0 = FH0 = H0F के व्युत्पन्न कारक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अति-मद्यविज्ञान वर्णक्रमीय अनुक्रम दो अति-मद्यविज्ञान वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं; एक ई2 शब्द के साथ और दूसरा ई1 शब्द और ई2 शब्द के साथ दोनों अति-मद्यविज्ञान में परिवर्तित हो जाते हैं, जहां आर. जे. एफ. एफ. का एक सही व्युत्पन्न कारक है। याद रखें कि एक स्थान पर रैंक एन वेक्टर बंडलों को सेच-शराब विज्ञान समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। गेर्ब्स के पीछे मुख्य विचार इस विचार को कोहोमोलॉजिकल रूप से विस्तारित करना है, इसलिए कुछ फ़ंक्टर लेने के बजाय, हम इसके बजाय कोहोमोलॉजी समूह पर विचार करते हैं, इसलिए यह उन वस्तुओं को वर्गीकृत करता है जो मूल वर्गीकरण समूह में वस्तुओं द्वारा चिपकाई जाती हैं। एक निकटता से संबंधित विषय जो जर्बिस और हाइपरकोहलोलॉजी का अध्ययन करता है, वह है डिलिग्ने-शराब विज्ञान। उदाहरण भी देखें कार्टन-आइलेनबर्ग संकल्प गेर्बे संदर्भ एच. कार्टन, एस. आइलेनबर्ग, होमोलॉजिकल बीजगणित ए. ग्रोथेन्डिक, सुर क्वेल्कस पॉइंट्स डी 'एल्गेब्रे होमोलॉजिक टोहोकू मठ। जे. 9 (1957) पीपी। 119-221 होमोलॉजिकल बीजगणित