Courant algebroid
गणित के एक क्षेत्र में जिसे विभेदक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है, एक कोरेंट ज्यामिति को मूल रूप से झांग-जू लियू, एलन वेनस्टीन और पिंग जू द्वारा 1997 में लाइ बायल्जब्रोइड्स के डबल्स की अपनी जांच में पेश किया गया था। लियू, वेनस्टीन और शू ने इसका नाम कोरेंट के नाम पर रखा, जिन्होंने 1990 में एक तिरछे सममित कोष्ठक की खोज के माध्यम से कोरेंट अल्जेब्रॉइड का मानक प्रोटोटाइप तैयार किया था, जिसे आज कोरेंट कोष्ठक कहा जाता है, जो जैकोबी पहचान को संतुष्ट करने में विफल रहता है। यह मानक उदाहरण और एक लाइ द्वि-बीजगणित का दोहरा दोनों ही कोरेंट बीजगणितीय के विशेष उदाहरण हैं। परिभाषा एक कोरेंट अल्जेब्रॉइड में एक कोष्ठक के साथ एक वेक्टर बंडल डेटा होता है, एक गैर-अपक्षयी फाइबर-वार आंतरिक उत्पाद, और निम्नलिखित स्वयंसिद्धियों के अधीन एक बंडल मानचित्र होता है, जहां ई और एफ के खंड आधार मैनिफोल्ड पर एक चिकना कार्य है एम. डी. डी डी डी रैम अंतर, का दोहरा मानचित्र, और आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित करने के लिए ई से मानचित्र के साथ संयोजन है। तिरछा-सममित परिभाषा कोष्ठक को तिरछा-सममित बनाने के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा दी जा सकती है क्योंकि यह अब उपरोक्त जैकोबी-पहचान स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है। इसके बजाय यह एक समस्थानिक जैकोबी-पहचान को पूरा करता है। जहाँ टी लीबनिज़ नियम है और स्केलर उत्पाद की अपरिवर्तनीयता संबंध द्वारा संशोधित हो जाती है और तिरछे-सममिति के उल्लंघन को स्वयंसिद्ध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तिरछे-सममित कोष्ठक व्युत्पत्ति डी और जैकोबिएटर टी के साथ मिलकर एक मजबूत समस्थानिक लाइ बीजगणित बनाते हैं। गुण कोष्ठक तिरछा-सममित नहीं है जैसा कि तीसरे स्वयंसिद्ध से देखा जा सकता है। इसके बजाय यह एक निश्चित जैकोबी-पहचान (पहला स्वयंसिद्ध) और एक लीबनिज़ नियम (दूसरा स्वयंसिद्ध) को पूरा करता है। इन दो स्वयंसिद्धियों से यह प्राप्त किया जा सकता है कि लंगर मानचित्र ρ कोष्ठकों का एक रूपात्मकता हैः चौथा नियम कोष्ठक के नीचे आंतरिक उत्पाद का एक अपरिवर्तनीयता है। ध्रुवीकरण उदाहरणों की ओर ले जाता है कोरेंट अल्जेब्रॉइड का एक उदाहरण डॉर्फमैन ब्रैकेट है जो सीधे योग पर एक मोड़ के साथ है जिसे सिवरा (1998) द्वारा पेश किया गया है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहाँ X, Y वेक्टर क्षेत्र हैं, φ, η 1-रूप हैं और H एक बंद 3-रूप है जो ब्रैकेट को घुमाता है। इस कोष्ठक का उपयोग सामान्यीकृत जटिल संरचनाओं की समाकलनशीलता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। एक अधिक सामान्य उदाहरण एक लाइ अल्जेब्रॉइड ए से उत्पन्न होता है जिसका प्रेरित अंतर पर फिर से डी के रूप में लिखा जाएगा। फिर उसी सूत्र का उपयोग करें जो डॉर्फमैन कोष्ठक के लिए एच के साथ एक ए-3-रूप डी के तहत बंद है। एक कोरेंट बीजगणितीय का एक और उदाहरण एक द्विघात लाइ बीजगणित है, अर्थात। एक अपरिवर्तनीय स्केलर उत्पाद के साथ एक लाइ बीजगणित। यहाँ आधार मैनिफोल्ड केवल एक बिंदु है और इस प्रकार एंकर मानचित्र (और डी) तुच्छ हैं। वीनस्टीन एट अल द्वारा पेपर में वर्णित उदाहरण। यह एक लाइ बाइएलजेब्रॉइड से आता है, अर्थात। ए ए लाइ अल्जेब्रॉइड (एंकर और ब्रैकेट के साथ), इसके दोहरे ए लाइ अल्जेब्रॉइड (अंतर को प्रेरित करते हुए) और (जहां आरएचएस पर आप ए-ब्रैकेट को श्रेणीबद्ध लीबनिज़ नियम का उपयोग करने के लिए विस्तारित करते हैं)। यह धारणा ए और (रॉयटेनबर्ग देखें) में सममित है। यहाँ लंगर और कोष्ठक के साथ X और α में उपरोक्त का तिरछा-सममिति है (Y और β में समतुल्य): डीराक संरचनाएँ विभाजित हस्ताक्षर के आंतरिक उत्पाद के साथ एक कोरेंट बीजगणितीय दिए गए हैं (जैसे। मानक एक), तो एक डीराक संरचना एक अधिकतम समस्थानिक समाकलन वेक्टर सबबंडल L → M है, अर्थात। ,,,। उदाहरण जैसा कि कोरेंट द्वारा खोजा गया और डॉर्फमैन द्वारा समानांतर, 2-रूप ω ω ω2 (M) का ग्राफ अधिकतम समस्थानिक है और इसके अलावा समाकलन योग्य है यदि dω = 0, अर्थात। 2-रूप डी राम अंतर के तहत बंद है, अर्थात। एक पूर्व लक्षणात्मक संरचना। उदाहरणों का एक दूसरा वर्ग द्विभाजक से उत्पन्न होता है जिसका ग्राफ अधिकतम समस्थानिक और समाकलन योग्य आई. एफ. एफ. [Π, Π] = 0, यानी। Π एम. सामान्यीकृत जटिल संरचनाओं पर एक पॉइसन बाइवेक्टर है (मुख्य लेख सामान्यीकृत जटिल ज्यामिति भी देखें) विभाजित हस्ताक्षर के आंतरिक उत्पाद के साथ एक कोरेंट अल्जेब्रॉइड दिया गया है। एक सामान्यीकृत जटिल संरचना L → M जटिल कोरेंट अल्जेब्रॉइड में अतिरिक्त गुण के साथ एक डीराक संरचना है जिसका अर्थ है जटिलता पर मानक जटिल संरचना के संबंध में जटिल संयुग्मन। जैसा कि ग्वाल्टेरी द्वारा विस्तार से अध्ययन किया गया है, सामान्यीकृत जटिल संरचनाएँ जटिल ज्यामिति के अनुरूप ज्यामिति के अध्ययन की अनुमति देती हैं। उदाहरणों में प्रीसिम्प्लेक्टिक और पॉइसन संरचनाओं के अलावा एक जटिल संरचना J: TM → TM का ग्राफ भी है। दिमित्री रॉयटेनबर्गः कोरेंट अल्जेब्रॉइड्स, व्युत्पन्न कोष्ठक, और यहां तक कि सिंप्लेक्टिक सुपरमैनिफोल्ड्स, पीएचडी थीसिस विश्वविद्यालय। कैलिफोर्निया बर्कले (1999) विभेदक ज्यामिति