6-cube
ज्यामिति में, एक 6-घन एक छह-आयामी अति घन है जिसमें 64 शीर्ष, 192 किनारे, 240 वर्ग चेहरे, 160 घन कक्ष, 60 टेसराक्ट 4-चेहरे और 12 5-घन 5-चेहरे हैं। इसमें श्लाफली प्रतीक {4,34} है, जो प्रत्येक 4-चेहरे के चारों ओर 3 5-क्यूब से बना है। इसे हेक्सेरैक्ट कहा जा सकता है, ग्रीक में छह (आयाम) के लिए हेक्स के साथ टेसेरैक्ट (4-घन) का एक संयोजन। इसे एक नियमित डोडेका-6-टोप या डोडेकापेटन भी कहा जा सकता है, जो 12 नियमित पहलुओं से निर्मित एक 6-आयामी पॉलीटोप है। संबंधित पॉलीटोप यह पॉलीटोप के एक अनंत परिवार का एक हिस्सा है, जिसे हाइपरक्यूब कहा जाता है। 6-घन के दोहरे को 6-ऑर्थोप्लेक्स कहा जा सकता है, और यह क्रॉस-पॉलीटोप के अनंत परिवार का एक हिस्सा है। एक प्रत्यावर्ती ऑपरेशन को लागू करते हुए, 6-घन के प्रत्यावर्ती शीर्षों को हटाते हुए, एक और समान पॉलीटोप बनाता है, जिसे 6-डेमिक्यूब कहा जाता है, (एक अनंत परिवार का हिस्सा जिसे डेमिहाइपरक्यूब कहा जाता है), जिसमें 12 5-डेमिक्यूब और 32 5-सिम्प्लेक्स पहलू होते हैं। एक विन्यास के रूप में यह विन्यास मैट्रिक्स 6-घन का प्रतिनिधित्व करता है। पंक्तियाँ और स्तंभ शीर्ष, किनारों, चेहरों, कक्षों, 4-चेहरों और 5-चेहरों के अनुरूप होते हैं। विकर्ण संख्याएँ बताती हैं कि प्रत्येक तत्व में से कितने पूरे 6-घन में पाए जाते हैं। गैर-विकर्ण संख्याएँ बताती हैं कि स्तंभ के कितने तत्व पंक्ति के तत्व में या उस पर पाए जाते हैं। कार्टेशियन निर्देशांक मूल और किनारे की लंबाई 2 पर केंद्रित 6-घन के शीर्षों के लिए कार्टेशियन निर्देशांक (±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1) हैं जबकि उसी के आंतरिक भाग में सभी बिंदु (x0, x1, x2, x3, x4, x5) −1 <xi <1 के साथ होते हैं। निर्माण 6-घन से जुड़े तीन कॉक्सेटर समूह हैं, एक नियमित, C6 या [4,3,3,3,3] कॉक्सेटर समूह के साथ, और एक आधा समरूपता (D6) या [33,1,1] कॉक्सेटर समूह। सबसे कम समरूपता संरचना हाइपररेक्टेंगल या प्रोप्रिज्म पर आधारित है, जो निम्न आयामी हाइपरक्यूब्स के कार्टेशियन उत्पाद हैं। एक 6-घन के 64 शीर्ष भी एक नियमित तिरछे 4-बहुपद का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसके जाल को 64 क्यूब्स के 4 × 4 × 4 मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो 3-आयामों में घन मधुकोश, {4,3,4} का एक आवधिक उपसमुच्चय है। इसके 192 किनारे और 192 वर्गाकार चेहरे हैं। विपरीत चेहरे एक साथ 4-चक्र में मोड़ते हैं। प्रत्येक मोड़ दिशा 1 आयाम जोड़ती है, इसे 6-स्थान में बढ़ाती है। 6-घन हाइपरक्यूब की एक श्रृंखला में 6 वां हैः यह पॉलीटोप बी 6 कॉक्सेटर तल से उत्पन्न 63 समान 6-पॉलीटोप में से एक है, जिसमें नियमित 6-घन या 6-ऑर्थोप्लेक्स शामिल है। संदर्भ कॉक्सेटर, एच. एस. एम. नियमित पॉलीटोप, (तीसरा संस्करण, 1973), डोवर संस्करण, पृष्ठ 296, तालिका I (iii): नियमित पॉलीटोप, एन-आयामों में तीन नियमित पॉलीटोप (एन> = 5) बाहरी लिंक बहु-आयामी शब्दावलीः हाइपरक्यूब गैरेट जोन्स 6-पॉलीटोप वीडियो क्लिप वाले लेख