Crystalline cohomology
गणित में, क्रिस्टलीय समरूपता एक आधार क्षेत्र k पर योजनाओं X के लिए एक वेइल समरूपता सिद्धांत है। इसके मान Hn (X/W) k पर विट वैक्टर के रिंग W पर मॉड्यूल हैं। क्रिस्टलीय समरूपता आंशिक रूप से वेल अनुमानों के हिस्से के पी-एडिक प्रमाण से प्रेरित है और डी राम समरूपता के बीजगणितीय संस्करण से निकटता से संबंधित है जिसे ग्रोथेन्डिक (1963) द्वारा पेश किया गया था। मोटे तौर पर, विशेषता पी में एक किस्म एक्स की क्रिस्टलीय समरूपता एक्स की एक चिकनी लिफ्ट की डी राम समरूपता है जो विशेषता 0 है, जबकि एक्स की डी राम समरूपता क्रिस्टलीय समरूपता कम मॉड पी है (उच्च टॉर्स को ध्यान में रखने के बाद)। क्रिस्टलीय समरूपता का विचार, मोटे तौर पर, एक योजना के ज़ारिस्की खुले सेटों को विभाजित शक्ति संरचनाओं के साथ ज़ारिस्की खुले सेटों के असीम मोटाई द्वारा प्रतिस्थापित करना है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना तब विशेषता पी से विशेषता 0 तक एक योजना के स्थानीय उठाने और बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के एक उपयुक्त संस्करण को नियोजित करके की जा सकती है। क्रिस्टलीय समरूपता केवल सुचारू उचित योजनाओं के लिए अच्छी तरह से काम करती है। कठोर समरूपता इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है। विशेषता पी में योजनाओं के लिए अनुप्रयोग, क्रिस्टलीय समरूपता सिद्धांत पी-एडिक एटेल समरूपता की तुलना में समरूपता समूहों में पी-मरोड़ के बारे में प्रश्नों को बेहतर तरीके से संभाल सकता है। यह पी-एडिक एल-फंक्शन पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि बनाता है। क्रिस्टलीय समरूपता, संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से, एल-एडिक समरूपता जानकारी में एक अंतर को भरती है, जो ठीक वहीं होती है जहां 'समान विशेषता वाले अभाज्य' होते हैं। परंपरागत रूप से विखंडन सिद्धांत का संरक्षण, क्रिस्टलीय समरूपता इस स्थिति को डिउडोन्ने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करती है, जो अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण देती है। इसे औपचारिक बयानों में बनाने की व्यापक गुंजाइश वाले अनुमानों को जीन-मार्क फोंटेन द्वारा प्रतिपादित किया गया था, जिसके संकल्प को पी-एडिक हॉज सिद्धांत कहा जाता है। गुणांक विशेषता p> 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक किस्म X के लिए, p के अलावा किसी भी अभाज्य संख्या के लिए-adic समरूपता समूह X के संतोषजनक समरूपता समूह देते हैं, जिसमें-adic पूर्णांकों के वलय में गुणांक होते हैं। सामान्य तौर पर क्यू (या जेड, या क्यू, या जेड) में गुणांक वाले समान समरूपता समूहों को उचित गुणों के साथ खोजना संभव नहीं है। क्लासिक कारण (सेर के कारण) यह है कि यदि X एक सुपरसिंगुलर दीर्घवृत्ताकार वक्र है, तो इसका एंडोमोर्फिज्म रिंग एक चतुर्थक बीजगणित B में एक अधिकतम क्रम है जो p और φ पर क्यू पर विभाजित है। यदि एक्स का अपेक्षित आयाम 2 के क्यू पर एक समरूपता समूह था, तो (का विपरीत बीजगणित) बी इस 2-आयामी स्थान पर क्यू पर कार्य करेगा, जो असंभव है क्योंकि बी को पी पर विभाजित किया जाता है। ग्रोथेन्डिक का क्रिस्टलीय समरूपता सिद्धांत इस बाधा के चारों ओर जाता है क्योंकि यह भूमि क्षेत्र के विट वैक्टर के वलय पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। इसलिए यदि ग्राउंड फील्ड F का एक बीजगणितीय समापन है, तो इसके मान Z के अधिकतम असंक्रमित विस्तार के p-adic समापन पर मॉड्यूल हैं, एक बहुत बड़ी रिंग जिसमें सभी n के लिए एकता के nवें मूल होते हैं जो p से विभाज्य नहीं होते हैं, न कि Z से अधिक। अभिप्रेरणा विशेषता p के क्षेत्र k पर एक किस्म X के वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत को परिभाषित करने का एक विचार यह है कि इसे k के विट वैक्टर के वलय पर एक किस्म X * तक 'उठाना' है (जो रिडक्शन मॉड p पर X वापस देता है), फिर इस लिफ्ट की डी राम कोहोमोलॉजी लें। समस्या यह है कि यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि यह समरूपता उठाने के विकल्प से स्वतंत्र है। विशेषता 0 में क्रिस्टलीय समरूपता का विचार एक समरूपता सिद्धांत की एक सीधी परिभाषा खोजना है जो एक उपयुक्त स्थल पर निरंतर आवरणों की समरूपता के रूप में होती है, जिसे अनंत स्थल कहा जाता है और फिर यह दिखाना है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी राम समरूपता के समान है। साइट इन्फ (एक्स) एक ऐसी श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को एक्स के पारंपरिक खुले सेटों के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है। विशेषता 0 में इसकी वस्तुएँ ज़ारिस्की के खुले उपसमुच्चय यू ऑफ़ एक्स के अनंत मोटेपन यू → टी हैं। इसका मतलब है कि यू एक योजना टी का बंद उपसमुच्चय है जिसे टी पर आदर्शों के एक नील्पोटेंट आवरण द्वारा परिभाषित किया गया है; उदाहरण के लिए, विशिष्टता (के) → विशिष्टता (के [एक्स]/(एक्स 2))। ग्रोथेन्डिक ने दिखाया कि सी पर चिकनी योजनाओं एक्स के लिए, इन्फ (एक्स) पर शीफ ओएक्स की समरूपता सामान्य (चिकनी या बीजगणितीय) डी राम समरूपता के समान है। क्रिस्टलीय समरूपता विशेषता पी में विशेषता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण मोटे तौर पर यह है कि डी राम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए, किसी को किसी प्रकार के पोइनकेयर लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है, और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशेषता 0 में मौजूद होती हैं लेकिन हमेशा विशेषता पी में नहीं होती हैं। ग्रोथेन्डिक ने एक्स के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को एक्स के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के मोटे तौर पर असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके इस समस्या को हल किया, साथ ही एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ जो आवश्यक विभाजित शक्तियां देती है। हम विशेषता p> 0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर n लंबाई के विट वैक्टर के रिंग Wn = W/pnW पर काम करेंगे। उदाहरण के लिए, k क्रम p का परिमित क्षेत्र हो सकता है, और Wn तब वलय Z/pnZ है। (अधिक आम तौर पर एक आधार योजना S पर काम किया जा सकता है जिसमें एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्श I का एक निश्चित आवरण होता है।) यदि X, k पर एक योजना है, तो Wn के सापेक्ष X की क्रिस्टलीय साइट, जिसे क्रिस (X/Wn) कहा जाता है, में इसकी वस्तुओं के जोड़े U → T होते हैं, जिसमें X के एक ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय U का कुछ Wn-योजना T में एक बंद विसर्जन होता है, जिसे J आदर्शों के आवरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, साथ ही साथ J पर एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ जो Wn पर एक के साथ संगत होती है। एक योजना X की k पर क्रिस्टलीय समरूपता को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है जहां X/Wn के क्रिस्टलीय स्थल की समरूपता रिंग O: = OWn के आवरण में मानों के साथ है। इस सिद्धांत का एक प्रमुख बिंदु यह है कि एक चिकनी योजना X की k पर क्रिस्टलीय समरूपता की गणना अक्सर बीजगणितीय डी राम समरूपता के संदर्भ में की जा सकती है, जिसमें X को एक योजना Z पर W पर उचित और सुचारू रूप से उठाया जाता है। इसके विपरीत एक्स के डी राम कोहोमोलॉजी को इसके क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी (उच्च टॉर्स को ध्यान में रखने के बाद) के रिडक्शन मॉड पी के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। क्रिस्टल्स यदि एक्स एस पर एक योजना है तो शीफ ओएक्स/एस को ओएक्स/एस (टी) = टी के निर्देशांक वलय द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ हम टी को क्रिस (एक्स/एस) की वस्तु यू → टी के संक्षिप्त नाम के रूप में लिखते हैं। साइट क्रिस (एक्स/एस) पर एक क्रिस्टल ओएक्स/एस मॉड्यूल का एक आवरण एफ है जो निम्नलिखित अर्थों में कठोर हैः क्रिस (एक्स/एस) की वस्तुओं टी, टी के बीच किसी भी मानचित्र एफ के लिए, एफ * एफ (टी) से एफ (टी) तक का प्राकृतिक मानचित्र एक समरूपता है। यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के एक क्वासिकोहरेंट शीफ़ की परिभाषा के समान है। क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ OX/S है। इस सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, जिसे ग्रोथेन्डिक के टेट को लिखे पत्र (1966) में समझाया गया है, बीजगणितीय विभेदक समीकरणों के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक था। ये विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक कोहोमोलॉजी सिद्धांतों (क्रिस्टलीय सिद्धांत के अग्रदूत, डवर्क, मोंस्की, वाश्निट्ज़र, लूबकिन और काट्ज़ द्वारा विभिन्न रूपों में पेश किए गए) में एक भूमिका निभाते थे। इस तरह के विभेदक समीकरणों को बीजगणितीय कोसजुल कनेक्शनों के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में विश्लेषणात्मक निरंतरता का एनालॉग अधिक रहस्यमय है (क्योंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के बजाय अलग-अलग होते हैं)। डिक्री द्वारा, एक क्रिस्टल में जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता के मामले में उल्लेखनीय 'कठोरता' और 'प्रसार' होगा। (सी. एफ. 1960 के दशक में जॉन टेट द्वारा पेश किए गए कठोर विश्लेषणात्मक स्थान, जब इन मामलों पर सक्रिय रूप से बहस की जा रही थी।) प्रेरक समरूपता डी राम समरूपता संदर्भ (अतियाह को पत्र, 14 अक्टूबर 1963) भी देखें। बीजगणितीय ज्यामिति समरूपता सिद्धांत समरूपी बीजगणित