Dirac algebra
गणितीय भौतिकी में, डीराक बीजगणित क्लिफोर्ड बीजगणित है। यह 1928 में गणितीय भौतिक विज्ञानी पी. ए. एम. डीराक द्वारा गामा मैट्रिक्स के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के साथ स्पिन-कणों के लिए डीराक समीकरण विकसित करने में पेश किया गया था, जो बीजगणित के जनरेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं। गामा मैट्रिक्स चार मैट्रिक्स का एक समूह है, जिसमें प्रविष्टियां होती हैं, यानी, उस तत्व को संतुष्ट करते हैं, जहां परंपरा के अनुसार, एक पहचान मैट्रिक्स को दाहिने हाथ की ओर दबा दिया गया है। संख्याएँ मिन्कोव्स्की मीट्रिक के घटक हैं। इस लेख के लिए हम हस्ताक्षर को ज्यादातर माइनस, यानी, तय करते हैं। डीराक बीजगणित तब पहचान, गामा मैट्रिक्स के साथ-साथ गामा मैट्रिक्स के किसी भी रैखिक रूप से स्वतंत्र उत्पाद की रैखिक अवधि है। यह क्षेत्र पर या आयाम के साथ एक परिमित-आयामी बीजगणित बनाता है। बीजगणित के लिए आधार बीजगणित का एक आधार है जहां प्रत्येक अभिव्यक्ति में, प्रत्येक यूनानी सूचकांक बढ़ रहा है क्योंकि हम दाईं ओर जाते हैं। विशेष रूप से, अभिव्यक्तियों में कोई दोहराए गए सूचकांक नहीं हैं। आयाम गणना द्वारा, बीजगणित का आयाम 16 है। बीजगणित को केवल के उत्पाद लेकर उत्पन्न किया जा सकता हैः पहचान उत्पन्न होती है जबकि अन्य स्पष्ट रूप से के उत्पाद हैं। इन तत्वों द्वारा उत्पन्न स्थान का विस्तार होता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारे पास वास्तव में क्वाड्रैटिक शक्तियों और लॉरेंट्ज़ बीजगणित द्वारा उत्पन्न क्लिफोर्ड बीजगणित का आधार है इस खंड में सिद्धांत के लिए, साहित्य में पाए जाने वाले सम्मेलनों के कई विकल्प हैं, जो अक्सर के कारकों के अनुरूप हैं। स्पष्टता के लिए, यहाँ हम आवश्यक संख्यात्मक कारकों की संख्या को कम करने के लिए परंपराओं का चयन करेंगे, लेकिन जनरेटर हर्मिशियन के बजाय एंटी-हर्मिशियन हो सकते हैं। क्लिफोर्ड बीजगणित के द्विघात उपक्षेत्र को लिखने का एक और सामान्य तरीका हैः के साथ। नोट करें। इसे लिखने का एक और तरीका है जो तब भी लागू होता है जबः इस रूप का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि रूप लॉरेंट्ज़ बीजगणित (वास्तविक परंपराओं के साथ) भौतिकी परंपराओं का प्रतिनिधित्व करता है। एक कारक को शामिल करना भौतिकी में आम परंपरा है, ताकि हर्मिशियन संयुग्मन (जहां स्थानांतर ग्रीक सूचकांकों के संबंध में किया जाता है) सिग्मा जनरेटर का एक 'हर्मिशियन मैट्रिक्स' देता है, जिनमें से केवल कोष्ठक की समरूपता के कारण गैर-शून्य होते हैं, अंदर लॉरेंट्ज़ बीजगणित के टेंसर-प्रतिनिधित्व के छह-आयामी स्थान को फैलाते हैं। इसके अलावा, उनके पास लाइ बीजगणित के कम्यूटेशन संबंध हैं, और इसलिए स्पिन प्रतिनिधित्व के अंदर बैठे लोरेंट्ज़ बीजगणित (एक प्रतिनिधित्व स्थान को फैलाने के अलावा) का प्रतिनिधित्व करते हैं। स्पिन (1,3) मैट्रिक्स के लिए घातीय मानचित्र अच्छी तरह से परिभाषित है। लोरेंट्ज़ बीजगणित को संतुष्ट करते हैं, और लोरेंट्ज़ समूह के स्पिन समूह के प्रतिनिधित्व के लिए प्रतिपादक बन जाते हैं (सख्ती से, पहचान से जुड़ा भविष्य-निर्देशित भाग)। फिर इस प्रतिनिधित्व के स्पिन जनरेटर हैं। हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह अपने आप में एक मैट्रिक्स है, न कि मैट्रिक्स के घटक। एक जटिल मैट्रिक्स के रूप में इसके घटकों को वर्णमाला की शुरुआत से यूनानी अक्षरों का उपयोग करके परंपरा द्वारा लेबल किया जाता है। एक स्पिनोर पर क्रिया, जो इस सेटिंग में वेक्टर स्पेस का एक तत्व है, है, या घटकों में, यह एक स्पिनोर पर एक असीम लॉरेंट्ज़ परिवर्तन से मेल खाती है। फिर एक परिमित लोरेंट्ज़ परिवर्तन, घटकों (एंटीसिमेट्रिक इन) द्वारा पैरामीट्राइज्ड को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि यह उस गुण से संतुष्ट करता है और जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यह स्पिनर्स के लिए डीराक एडजॉइंट की परिभाषा को प्रेरित करता है। के लिए संबंधित परिवर्तन है। इसके साथ, डीराक लैग्रैन्जियन जैसे लैग्रैन्जियन के निर्माण के लिए लॉरेंट्ज़ अपरिवर्तनीय मात्राओं का निर्माण करना सरल हो जाता है। क्वार्टिक शक्ति क्वार्टिक सबसपेस में एक एकल आधार तत्व होता है, जहां पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर होता है जैसे कि परंपरा के अनुसार। यह किसी भी दो आसन्न गामा मैट्रिक्स के आदान-प्रदान के तहत प्रतिसमितीय है। γ5 जटिल अवधि पर विचार करते समय, इस आधार तत्व को वैकल्पिक रूप से लिया जा सकता है अधिक विवरण यहाँ पाया जा सकता है। आयतन रूप के रूप में क्वार्टिक तत्व की कुल एंटीसिमेट्री द्वारा, इसे आयतन रूप माना जा सकता है। वास्तव में, यह अवलोकन बाहरी बीजगणित के सामान्यीकरण के रूप में क्लिफोर्ड बीजगणित की चर्चा तक फैला हुआ हैः दोनों टेंसर बीजगणित के भागफल के रूप में उत्पन्न होते हैं, लेकिन बाहरी बीजगणित एक अधिक प्रतिबंधात्मक भागफल देता है, जहां सभी एंटी-कम्यूटेटर गायब हो जाते हैं। डीराक और क्लेन-गॉर्डन समीकरण से शुरू होने वाली व्युत्पत्ति गामा तत्वों का परिभाषित रूप तब प्राप्त किया जा सकता है जब कोई डीराक समीकरणः और क्लेन-गॉर्डन समीकरणः के सहपरिवर्तन रूप को ग्रहण करता है, और इसके लिए आवश्यक है कि ये समीकरण सुसंगत परिणाम दें। स्थिरता आवश्यकता (प्रमाण) से व्युत्पन्न। डीराक समीकरण को उसके संयुग्म समीकरण से गुणा करने से यह प्राप्त होता हैः क्लेन-गॉर्डन समीकरण के साथ स्थिरता की मांग तुरंत इस ओर ले जाती हैः जहां एंटीकॉम्यूटेटर है, हस्ताक्षर (+ −−) के साथ मिन्कोव्स्की मीट्रिक है और 4x4 इकाई मैट्रिक्स है। सी. एल. 1,3 (सी) और सी. एल. 1,3 (आर) डीराक बीजगणित को वास्तविक स्थान-काल बीजगणित सी. एल. 1,3 () का एक जटिलता माना जा सकता हैः सी. एल. 1,3 (), सी. एल. 1,3 () से भिन्न हैः सी. एल. 1,3 () में केवल गामा मैट्रिक्स और उनके उत्पादों के वास्तविक रैखिक संयोजन की अनुमति है। ज्यामितीय बीजगणित के समर्थक जहां भी संभव हो वास्तविक बीजगणित के साथ काम करने का प्रयास करते हैं। उनका तर्क है कि भौतिक समीकरण में एक काल्पनिक इकाई की उपस्थिति की पहचान करना आम तौर पर संभव (और आमतौर पर ज्ञानवर्धक) है। ऐसी इकाइयाँ एक वास्तविक क्लिफोर्ड बीजगणित में कई मात्राओं में से एक से उत्पन्न होती हैं जो वर्ग से-1 तक होती हैं, और बीजगणित के गुणों और इसके विभिन्न उपस्थानों की परस्पर क्रिया के कारण इनका ज्यामितीय महत्व होता है। इनमें से कुछ समर्थक यह भी सवाल करते हैं कि क्या डीराक समीकरण के संदर्भ में एक अतिरिक्त काल्पनिक इकाई को पेश करना आवश्यक है या उपयोगी भी है। रीमानियन ज्यामिति के गणित में, मनमाने आयामों के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित सी. एल. पी., क्यू () को परिभाषित करना पारंपरिक है; वेइल स्पिनर्स का एंटी-कम्यूटेशन स्वाभाविक रूप से क्लिफोर्ड बीजगणित से उभरता है। वेइल स्पिनर्स स्पिन समूह की क्रिया के तहत बदल जाते हैं। स्पिन समूह का जटिलता, जिसे स्पिन समूह कहा जाता है, स्पिन समूह का एक उत्पाद है जिसमें वृत्त के साथ उत्पाद को पहचानने के लिए सिर्फ एक सांकेतिक उपकरण है। इसका ज्यामितीय बिंदु यह है कि यह वास्तविक स्पिनोर को, जो लॉरेंट्ज़ परिवर्तनों के तहत सहपरिवर्तनशील है, घटक से विच्छेदित करता है, जिसे विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रिया के फाइबर से पहचाना जा सकता है। यह डीराक कण/कण-विरोधी अवस्थाओं (समान रूप से, वेइल आधार में कायरल अवस्थाएं) को संबंधित करने के लिए उपयुक्त तरीके से उलझाने वाली समानता और आवेश संयुग्मन है। बिस्पिनर, जहाँ तक इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र बाएँ और दाएँ घटक हैं, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया कर सकता है। यह मजोराना स्पिनोर और ELKO स्पिनोर के विपरीत है, जो नहीं कर सकते (यानी। वे विद्युत रूप से तटस्थ हैं), क्योंकि वे स्पष्ट रूप से स्पिनोर को बाधित करते हैं ताकि जटिलता से आने वाले भाग के साथ बातचीत न हो। जहाँ तक पारंपरिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पाठ्यपुस्तकों में आवेश और समानता की प्रस्तुति एक भ्रमित करने वाला विषय हो सकता है, एक सामान्य ज्यामितीय सेटिंग में इन विषयों का अधिक सावधानीपूर्वक विच्छेदन स्पष्ट किया जा सकता है। क्लिफोर्ड बीजगणित की मानक व्याख्याएं पहले सिद्धांतों से वेल स्पिनर्स का निर्माण करती हैं; कि वे "स्वचालित रूप से" एंटी-कम्यूट निर्माण का एक सुरुचिपूर्ण ज्यामितीय उप-उत्पाद है, जो पूरी तरह से किसी भी तर्क को दरकिनार करता है जो पाउली बहिष्करण सिद्धांत (या कभी-कभी सामान्य सनसनी कि ग्रासमैन चर को तदर्थ तर्क के माध्यम से पेश किया गया है) को आकर्षित करता है। समकालीन भौतिकी अभ्यास में, डीराक बीजगणित मानक वातावरण बना हुआ है जिसमें डीराक समीकरण के स्पिनर्स स्पेसटाइम बीजगणित के बजाय "लाइव" हैं। उच्च-आयामी गामा मैट्रिक्स फिएर्ज पहचान संदर्भ क्लिफोर्ड बीजगणित भी देखें।