6-orthoplex
ज्यामिति में, एक 6-ऑर्थोप्लेक्स, या 6-क्रॉस पॉलीटोप, 12 शीर्षों, 60 किनारों, 160 त्रिभुज चेहरों, 240 टेट्राहेड्रॉन कोशिकाओं, 192 5-कोशिका 4-चेहरों और 64 5-चेहरों के साथ एक नियमित 6-पॉलीटोप है। इसके दो निर्मित रूप हैं, पहला श्लाफली प्रतीक {34,4} के साथ नियमित है, और दूसरा वैकल्पिक रूप से लेबल (चेकरबोर्ड) वाले पहलुओं के साथ, श्लाफली प्रतीक {3,3,3,31,1} या कॉक्सेटर प्रतीक 311 के साथ। यह पॉलीटोप के एक अनंत परिवार का एक हिस्सा है, जिसे क्रॉस-पॉलीटोप या ऑर्थोप्लेक्स कहा जाता है। दोहरा पॉलीटोप 6-हाइपरक्यूब या हेक्सेरैक्ट है। वैकल्पिक नाम हेक्साक्रॉस, ग्रीक में छह (आयाम) के लिए हेक्स के साथ पारिवारिक नाम क्रॉस पॉलीटोप के संयोजन से लिया गया है। हेक्साकॉन्टिटेट्रैपेटन एक 64-पक्षीय 6-पॉलीटोप के रूप में। एक विन्यास के रूप में यह विन्यास मैट्रिक्स 6-ऑर्थोप्लेक्स का प्रतिनिधित्व करता है। पंक्तियाँ और स्तंभ शीर्ष, किनारों, चेहरों, कक्षों, 4-चेहरों और 5-चेहरों के अनुरूप होते हैं। विकर्ण संख्याएँ बताती हैं कि प्रत्येक तत्व में से कितने पूरे 6-ऑर्थोप्लेक्स में पाए जाते हैं। गैर-विकर्ण संख्याएँ बताती हैं कि स्तंभ के कितने तत्व पंक्ति के तत्व में या उस पर पाए जाते हैं। निर्माण 6-ऑर्थोप्लेक्स से जुड़े तीन कॉक्सेटर समूह हैं, एक नियमित, C6 या [4,3,3,3,3] कॉक्सेटर समूह के साथ हेक्सेरैक्ट का दोहरा, और 5-सिम्प्लेक्स पहलुओं की दो प्रतियों के साथ आधा समरूपता, बारी-बारी से, D6 या [33,1,1] कॉक्सेटर समूह के साथ। एक न्यूनतम समरूपता संरचना 6-ऑर्थोटोप के दोहरे पर आधारित होती है, जिसे 6-फ्यूसिल कहा जाता है। कार्टेशियन निर्देशांक मूल पर केंद्रित 6-ऑर्थोप्लेक्स के शीर्षों के लिए कार्टेशियन निर्देशांक (±1,0,0,0,0,0), (0, ±1,0,0,0,0), (0,0, ±1,0,0,0), (0,0,0, ± 1,0,0), (0,0,0,0, ±1,0), (0,0,0,0,0, ±1) हैं। छवियाँ संबंधित पॉलीटोप 6-ऑर्थोप्लेक्स को एक नियमित आइकोसाहेड्रॉन के शीर्षों में 3-आयामों तक प्रक्षेपित किया जा सकता है। यह एक समान पॉलीटोप और मधुकोश की एक आयामी श्रृंखला में है, जिसे कॉक्सेटर द्वारा 3k1 श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया गया है। (एक अपक्षयी 4-आयामी मामला 3-गोलाकार टाइलिंग, एक टेट्राहेड्रल होसोहेड्रॉन के रूप में मौजूद है।) यह पॉलीटोप बी6 कॉक्सेटर तल से उत्पन्न 63 समान 6-पॉलीटोप में से एक है, जिसमें नियमित 6-घन या 6-ऑर्थोप्लेक्स शामिल हैं। संदर्भ एच. एस. एम कॉक्सेटरः एच. एस. एम. कॉक्सेटर, रेगुलर पॉलीटोप, तीसरा संस्करण, डोवर न्यूयॉर्क, 1973 कैलिडोस्कोपः एच. एस. एम. के चयनित लेखन। कॉक्सेटर, एफ. आर्थर शेर्क, पीटर मैकमुलन, एंथनी सी. थॉम्पसन, एशिया आइविक वीस, विली-इंटरसाइंस पब्लिकेशन, 1995, (पेपर 22) एच. एस. एम. द्वारा संपादित। कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध नियमित पॉलीटोप I, [गणित। ज़िट। 46 (1940) 380-407, एम. आर. 2,10] (पेपर 23) एच. एस. एम. कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीटोप II, [गणित। ज़िट। 188 (1985) 559-591] (पेपर 24) एच. एस. एम. कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीटोप III, [गणित। ज़िट। 200 (1988) नॉर्मन जॉनसन यूनिफॉर्म पॉलीटोप, पांडुलिपि (1991) एन. डब्ल्यू. जॉनसनः यूनिफॉर्म पॉलीटोप और हनीकोम्ब्स का सिद्धांत, पीएच. डी. 1966 विशिष्ट बाहरी लिंक विभिन्न आयामों के पॉलीटोप बहु-आयामी शब्दावली 6-पॉलीटोप