Algebraic character
एक बीजगणितीय वर्ण अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक मॉड्यूल से जुड़ी एक औपचारिक अभिव्यक्ति है जो एक सीमित-आयामी प्रतिनिधित्व के चरित्र को सामान्यीकृत करती है और अर्ध-सरल लाइ समूहों के प्रतिनिधित्व के हरीश-चंद्र चरित्र के अनुरूप है। परिभाषा एक निश्चित कार्टन उप-बीजगणित के साथ एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित होने दें और अबेलियन समूह में (संभवतः अनंत) औपचारिक अभिन्न रैखिक संयोजन होते हैं, जहां, भार का (जटिल) सदिश स्थान होता है। मान लीजिए कि यह एक स्थानीय रूप से सीमित वजन वाला मॉड्यूल है। फिर का बीजगणितीय चरित्र सूत्र द्वारा परिभाषित एक तत्व हैः जहां योग को मॉड्यूल के सभी वजन स्थानों पर लिया जाता है उदाहरण वर्मा मॉड्यूल का बीजगणितीय चरित्र उच्चतम वजन के साथ सूत्र द्वारा दिया जाता है जिसमें उत्पाद को सकारात्मक मूल के सेट पर लिया जाता है। गुण बीजगणितीय वर्णों को स्थानीय रूप से सीमित वजन वाले मॉड्यूल के लिए परिभाषित किया जाता है और ये योगात्मक होते हैं, अर्थात। मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग का चरित्र उनके वर्णों का योग है। दूसरी ओर, हालांकि कोई सूत्र द्वारा औपचारिक घातांकों के गुणन को परिभाषित कर सकता है और रैखिकता द्वारा इसे उनके परिमित रैखिक संयोजनों तक बढ़ा सकता है, औपचारिक अनंत योगों की संभावना के कारण यह एक वलय में नहीं बनता है। इस प्रकार बीजगणितीय वर्णों का उत्पाद केवल प्रतिबंधित स्थितियों में अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, उच्चतम वजन मॉड्यूल, या एक परिमित-आयामी मॉड्यूल के मामले में। अच्छी स्थितियों में, बीजगणितीय वर्ण गुणक होता है, अर्थात, दो भार मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का चरित्र उनके वर्णों का गुणनफल होता है। सामान्यीकरण वर्णों को केएसी-मूडी या सामान्यीकृत केएसी-मूडी लाइ बीजगणित पर वजन मॉड्यूल के लिए लगभग शब्दशः परिभाषित किया जा सकता है। यह भी देखें कि बीजगणितीय प्रतिनिधित्व वेल-काक चरित्र सूत्र संदर्भ लाइ अल्जेब्रा लाइ अल्जेब्रा का प्रतिनिधित्व सिद्धांत