Shapiro polynomials
गणित में, शापिरो बहुपद बहुपदों का एक क्रम है जिसका अध्ययन पहली बार 1951 में हेरोल्ड एस. शापिरो द्वारा विशिष्ट त्रिकोणमितीय योग के परिमाण पर विचार करते समय किया गया था। संकेत प्रसंस्करण में, शापिरो बहुपदों में अच्छे ऑटोकोरिलेशन गुण होते हैं और इकाई वृत्त पर उनके मान छोटे होते हैं। अनुक्रम के पहले कुछ सदस्य हैंः जहां Q द्वारा इंगित दूसरे अनुक्रम को पहले अनुक्रम का पूरक कहा जाता है, जिसे P. निर्माण द्वारा इंगित किया गया है शापिरो बहुपद Pn (z) का निर्माण गोले-रुडिन-शापिरो अनुक्रम an से किया जा सकता है, जो 1 के बराबर है यदि n के द्विआधारी विस्तार में लगातार जोड़ों की संख्या सम है, और अन्यथा-1 है। इस प्रकार a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, a3 =-1, आदि। पहला शापिरो Pn (z) घात श्रृंखला f (z): = a0 + a1z + a2z2 + के क्रम 2n−1 (जहाँ n = 0,1,2,.) का आंशिक योग है। गोले-रुडिन-शापिरो अनुक्रम {an} में एक फ्रैक्टल जैसी संरचना है-उदाहरण के लिए, an = a2n-जिसका तात्पर्य है कि अनुक्रम (a0, a2, a4.) मूल अनुक्रम {an} की प्रतिकृति बनाता है। यह बदले में f (z) द्वारा संतुष्ट उल्लेखनीय कार्यात्मक समीकरणों की ओर ले जाता है। दूसरे या पूरक शापिरो बहुपदों क्यूएन (जेड) को इस अनुक्रम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, या संबंध क्यूएन (जेड) = (1-) एनजेड2एन-1पीएन (-1/जेड), या पुनरावृत्ति गुणों द्वारा पीएन के अनुरूप पूरक बहुपदों क्यूएन के अनुक्रम को निम्नलिखित गुणों द्वारा विशिष्ट रूप से चिह्नित किया जाता हैः (i) क्यूएन डिग्री 2एन-1 का है; (ii) क्यूएन के गुणांक सभी 1 या-1 हैं, और इसका स्थिर पद 1 के बराबर है; और (iii) पहचान |Pn (जेड) |2 + |Qn (जेड) |2 = 2 ( {Pn} का सबसे दिलचस्प गुण यह है कि Pn (z) का निरपेक्ष मान इकाई वृत्त पर 2 (n + 1) के वर्गमूल से घिरा हुआ है, जो Pn के L2 मानक के क्रम पर है। समूह {−1,1} से गुणांक वाले बहुपद जिनका इकाई वृत्त पर अधिकतम मापांक उनके माध्य मापांक के करीब है, संचार सिद्धांत (जैसे, एंटीना डिजाइन और डेटा संपीड़न) में विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए उपयोगी हैं। गुण (iii) से पता चलता है कि (पी, क्यू) एक गोले जोड़ी बनाते हैं। इन बहुपदों में और भी गुण हैंः लिटिलवुड बहुपद नोट्स संदर्भ अध्याय 4 भी देखें। फूरियर विश्लेषण डिजिटल संकेत प्रसंस्करण बहुपद