Notation for differentiation
विभेदक कलन में, विभेदन के लिए कोई एकल समान संकेतन नहीं है। इसके बजाय, विभिन्न गणितविदों द्वारा किसी फलन या चर के व्युत्पन्न के लिए विभिन्न संकेतन प्रस्तावित किए गए हैं। प्रत्येक संकेतन की उपयोगिता संदर्भ के साथ भिन्न होती है, और कभी-कभी किसी दिए गए संदर्भ में एक से अधिक संकेतन का उपयोग करना फायदेमंद होता है। विभेदन के लिए सबसे आम संकेतन (और इसके विपरीत संचालन, प्रतिविभेदन या अनिश्चितकालीन एकीकरण) नीचे सूचीबद्ध हैं। लीबनिज़ का संकेतन गॉटफ्राइड लीबनिज़ द्वारा नियोजित मूल संकेतन का उपयोग पूरे गणित में किया जाता है। यह विशेष रूप से आम है जब समीकरण को आश्रित और स्वतंत्र चर के बीच एक कार्यात्मक संबंध के रूप में माना जाता है। लीबनिज़ का संकेतन व्युत्पन्न को इस रूप में लिखकर इस संबंध को स्पष्ट करता है इसके अलावा, एट का व्युत्पन्न इसलिए लिखा जाता है उच्च व्युत्पन्न को इस रूप में लिखा जाता है यह एक सूचक सांकेतिक उपकरण है जो प्रतीकों के औपचारिक हेरफेर से आता है, जैसा कि, एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करके दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता हैः लीबनिज़ का संकेतन किसी को विभेदन (भाजक में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। आंशिक व्युत्पन्न पर विचार करते समय यह विशेष रूप से सहायक होता है। यह श्रृंखला नियम को याद रखने और पहचानने में भी आसान बनाता हैः विभेदन के लिए लीबनिज़ के संकेतन के लिए या (विभेदन के रूप में जाना जाता है) जैसे प्रतीकों को स्वयं एक अर्थ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है, और कुछ लेखक इन प्रतीकों को अर्थ निर्दिष्ट करने का प्रयास नहीं करते हैं। लीबनिज़ ने इन प्रतीकों को असीम माना। बाद के लेखकों ने उन्हें अन्य अर्थ दिए हैं, जैसे कि गैर-मानक विश्लेषण में असीम, या बाहरी व्युत्पन्न। आम तौर पर, परिभाषित या समतुल्य छोड़ दिया जाता है, जबकि समीकरण के माध्यम से एक अर्थ सौंपा जाता है, जिसे लिखा भी जा सकता है, उदाहरण के लिए। (नीचे देखें)। इस तरह के समीकरण कुछ ग्रंथों में पाई जाने वाली शब्दावली को जन्म देते हैं जिसमें व्युत्पन्न को "विभेदक गुणांक" (यानी, का गुणांक) के रूप में संदर्भित किया जाता है। कुछ लेखकों और पत्रिकाओं ने अंतर प्रतीक को इटैलिक के बजाय रोमन प्रकार में निर्धारित किया हैः आई. एस. ओ./आई. ई. सी. 80000 वैज्ञानिक शैली गाइड इस शैली की सिफारिश करता है। एंटीडिफरेन्शियेशन के लिए लीबनिज़ के संकेतन लीबनिज़ ने एनालिसिस टेट्रागोनिस्टिक पार्स सेकुंडा और मेथोडी टेंजेंटियम इनवर्स उदाहरण (दोनों 1675 से) में अभिन्न प्रतीक पेश किया। यह अब एकीकरण के लिए मानक प्रतीक है। लैग्रेंज का संकेतन विभेदन के लिए सबसे आम आधुनिक संकेतनों में से एक का नाम जोसेफ लुई लैग्रेंज के नाम पर रखा गया है, भले ही यह वास्तव में यूलर द्वारा आविष्कार किया गया था और बस पूर्व द्वारा लोकप्रिय किया गया था। लैग्रेंज के संकेतन में, एक अभाज्य चिह्न एक व्युत्पन्न को दर्शाता है। यदि f एक फलन है, तो x पर मूल्यांकन किया गया इसका व्युत्पन्न लिखा जाता है। यह पहली बार 1749 में प्रिंट में दिखाई दिया। उच्च व्युत्पन्न को अतिरिक्त अभाज्य चिह्नों का उपयोग करके इंगित किया जाता है, जैसे कि दूसरे व्युत्पन्न के लिए और तीसरे व्युत्पन्न के लिए। बार-बार अभाज्य चिह्नों का उपयोग अंततः भारी हो जाता है। कुछ लेखक रोमन अंकों का उपयोग करना जारी रखते हैं, आमतौर पर छोटे मामले में, जैसे कि चौथे, पांचवें, छठे और उच्च क्रम के व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए। अन्य लेखक कोष्ठक में अरबी अंकों का उपयोग करते हैं, क्योंकि इस संकेतन से nवें व्युत्पन्न का वर्णन करना भी संभव हो जाता है, जहाँ n एक चर है। यह लैग्रेंज के संकेतन से संबंधित यूनिकोड वर्णों में शामिल है जब एक फलन f (x, y) के लिए दो स्वतंत्र चर होते हैं, तो निम्नलिखित परंपरा का पालन किया जा सकता हैः लैग्रेंज के प्रतिविभेदन के लिए संकेतन जब प्रतिविभेदन लेते हैं, तो लैग्रेंज ने लीबनिज़ के संकेतन का पालन कियाः हालाँकि, क्योंकि एकीकरण विभेदन का व्युत्क्रम संचालन है, उच्च क्रम व्युत्पन्न के लिए लैग्रेंज का संकेतन समाकलन तक भी फैला हुआ है। एफ के दोहराए गए समाकलन को पहले समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है (यह आसानी से व्युत्क्रम फलन के साथ भ्रमित होता है), दूसरे समाकलन के लिए, तीसरे समाकलन के लिए, और nवें समाकलन के लिए। डी-संकेतन इस संकेतन को कभी-कभी कहा जाता है, हालांकि इसे लुई फ्रांस्वा एंटोनी अर्बोगास्ट द्वारा पेश किया गया था, और ऐसा लगता है कि लियोनहार्ड यूलर ने इसका उपयोग नहीं किया था। यह संकेतन एक अंतर प्रचालक का उपयोग करता है जिसे (डी प्रचालक) या (न्यूटन-लीबनिज़ प्रचालक) के रूप में दर्शाया जाता है। जब किसी फलन पर लागू किया जाता है, तो इसे उच्च व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित किया जाता है जिन्हें डी की "शक्तियों" के रूप में चिह्नित किया जाता है (जहां सुपरस्क्रिप्ट डी की पुनरावृत्त संरचना को दर्शाते हैं), जैसा कि दूसरे व्युत्पन्न के लिए, तीसरे व्युत्पन्न के लिए, और nवें व्युत्पन्न के लिए। डी-संकेतन उस चर को निहित करता है जिसके संबंध में विभेदन किया जा रहा है। हालांकि, इस चर को इसके नाम को एक सबस्क्रिप्ट के रूप में रखकर भी स्पष्ट किया जा सकता हैः यदि f एक चर x का एक फलन है, तो यह पहले व्युत्पन्न के लिए, दूसरे व्युत्पन्न के लिए, तीसरे व्युत्पन्न के लिए और nवें व्युत्पन्न के लिए लिखा जाता है। जब f कई चरों का एक फलन होता है, तो "" के बजाय एक शैलीबद्ध कर्सिव लोअर-केस d, "ष्ण" का उपयोग करना आम बात है। ऊपर के रूप में, अभिलिखितियाँ उन व्युत्पन्नों को दर्शाती हैं जिन्हें लिया जा रहा है। उदाहरण के लिए, किसी फलन के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न हैंः देखें। डी-संकेतन अवकल समीकरणों के अध्ययन और अवकल बीजगणित में उपयोगी है। एंटीडेरिवेटिव्स डी-नोटेशन के लिए डी-नोटेशन का उपयोग एंटीडेरिवेटिव्स के लिए उसी तरह किया जा सकता है जैसे कि लैग्रेंज का नोटेशन पहले एंटीडेरिवेटिव के लिए, दूसरे एंटीडेरिवेटिव के लिए और एक nth एंटीडेरिवेटिव के लिए निम्नानुसार है। न्यूटन के संकेतन विभेदन के लिए आइज़ैक न्यूटन के संकेतन (जिसे बिंदु संकेतन, प्रवाह भी कहा जाता है, या कभी-कभी, अस्पष्ट रूप से, विभेदन के लिए फ्लाईस्पेक संकेतन) आश्रित चर पर एक बिंदु रखता है। अर्थात्, यदि y, t का फलन है, तो t के संबंध में y का व्युत्पन्न उच्च व्युत्पन्न को कई बिंदुओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है, जैसा कि न्यूटन ने इस विचार को काफी दूर तक बढ़ाया हैः न्यूटन के संकेतन से संबंधित यूनिकोड वर्णों में शामिल हैंः दो बार "कंबाइनिंग डायरेसिस" द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। न्यूटन के संकेतन का उपयोग आम तौर पर तब किया जाता है जब स्वतंत्र चर समय को दर्शाता है। यदि स्थान टी का फलन है, तो वेग को दर्शाता है और त्वरण को दर्शाता है। यह संकेतन भौतिकी और गणितीय भौतिकी में लोकप्रिय है। यह भौतिकी से जुड़े गणित के क्षेत्रों जैसे विभेदक समीकरणों में भी दिखाई देता है। एक आश्रित चर y = f (x) के व्युत्पन्न को लेते समय, एक वैकल्पिक संकेतन मौजूद हैः न्यूटन ने एक घुमावदार X (x) पर साइड-डॉट्स का उपयोग करके निम्नलिखित आंशिक विभेदक प्रचालक विकसित किए। व्हाइटसाइड द्वारा दी गई परिभाषाएँ नीचे दी गई हैंः एकीकरण के लिए न्यूटन के संकेतन ने अपने क्वाड्रटुरा कर्वरम (1704) और बाद के कार्यों में एकीकरण के लिए कई अलग-अलग संकेतन विकसित किएः उन्होंने आश्रित चर () के ऊपर एक छोटी ऊर्ध्वाधर पट्टी या अभाज्य, एक उपसर्ग आयत (), या एक आयत () में शब्द का झुकाव धाराप्रवाह या समय अभिन्न (अनुपस्थिति) को दर्शाने के लिए लिखा। कई समाकलन को निरूपित करने के लिए, न्यूटन ने दो छोटे ऊर्ध्वाधर पट्टियों या अभाज्य संख्याओं (), या पिछले प्रतीकों के संयोजन का उपयोग किया, ताकि दूसरी बार समाकलन (अनुपस्थिति) को निरूपित किया जा सके। उच्च क्रम समय समाकलन इस प्रकार थेः यह गणितीय संकेतन मुद्रण कठिनाइयों और लीबनिज़-न्यूटन कलन विवाद के कारण व्यापक नहीं हुआ। आंशिक व्युत्पन्न जब अधिक विशिष्ट प्रकार के विभेदन आवश्यक होते हैं, जैसे कि बहुभिन्नरूपी कलन या टेंसर विश्लेषण में, अन्य संकेतन आम होते हैं। एकल स्वतंत्र चर x के फलन f के लिए, हम स्वतंत्र चर की अभिलिखियों का उपयोग करके व्युत्पन्न को व्यक्त कर सकते हैंः इस प्रकार का संकेतन विशेष रूप से कई चरों के फलन के आंशिक व्युत्पन्न लेने के लिए उपयोगी है। आंशिक व्युत्पन्न को आम तौर पर विभेदक प्रचालक d को "ष्ण" प्रतीक के साथ प्रतिस्थापित करके साधारण व्युत्पन्न से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम x के संबंध में के आंशिक व्युत्पन्न को इंगित कर सकते हैं, लेकिन y या z के लिए नहीं कई तरीकों सेः जो बात इस अंतर को महत्वपूर्ण बनाती है, वह यह है कि एक गैर-आंशिक व्युत्पन्न जैसे कि संदर्भ के आधार पर, परिवर्तन की दर के रूप में व्याख्या की जा सकती है जब सभी चर को एक साथ भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, जबकि आंशिक व्युत्पन्न के साथ जैसे कि यह स्पष्ट है कि केवल एक चर को भिन्न होना चाहिए। अन्य संकेतन गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के विभिन्न उपक्षेत्रों में पाए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए थर्मोडायनामिक्स के मैक्सवेल संबंधों को देखें। प्रतीक आयतन V के संबंध में तापमान T का व्युत्पन्न है, जबकि एन्ट्रापी (सबस्क्रिप्ट) S को स्थिर रखते हुए, जबकि दबाव P को स्थिर रखते हुए आयतन के संबंध में तापमान का व्युत्पन्न है। यह उन स्थितियों में आवश्यक हो जाता है जहां चरों की संख्या स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक हो जाती है, ताकि किसी को यह चुनना पड़े कि कौन से अन्य चर को स्थिर रखा जाना है। एक चर के संबंध में उच्च क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को और इसी तरह व्यक्त किया जाता है। मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि इस अंतिम मामले में चर को दो संकेतनों के बीच व्युत्क्रम क्रम में लिखा जाता है, जिसे निम्नानुसार समझाया गया हैः तथाकथित बहु-सूचकांक संकेतन का उपयोग उन स्थितियों में किया जाता है जब उपरोक्त संकेतन बोझिल या अपर्याप्त रूप से अभिव्यंजक हो जाता है। फंक्शन पर विचार करते समय, हम एक बहु-सूचकांक को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की एक क्रमबद्ध सूची के रूप में परिभाषित करते हैंः फिर हम संकेतन के लिए परिभाषित करते हैं इस तरह से कुछ परिणाम (जैसे कि लीबनिज़ नियम) जो अन्य तरीकों से लिखने के लिए थकाऊ हैं, उन्हें संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है-कुछ उदाहरण बहु-सूचकांकों पर लेख में पाए जा सकते हैं। वेक्टर कलन वेक्टर कलन में संकेतन वेक्टर या स्केलर क्षेत्रों के विभेदन और एकीकरण से संबंधित है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान के मामले में विशिष्ट कई संकेतन आम हैं। मान लीजिए कि यह एक दी गई कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली है, कि ए घटकों के साथ एक सदिश क्षेत्र है, और यह एक अदिश क्षेत्र है। विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तुत विभेदक प्रचालक, जिसे लिखा गया है और जिसे डेल या नाबला कहा जाता है, को प्रतीकात्मक रूप से एक सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां शब्दावली प्रतीकात्मक रूप से दर्शाती है कि प्रचालक को भी एक साधारण सदिश के रूप में माना जाएगा। ग्रेडिएंटः स्केलर फील्ड का ग्रेडिएंट एक वेक्टर है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ρ और स्केलर फील्ड के गुणन द्वारा व्यक्त किया जाता है, विचलनः वेक्टर फील्ड A का विचलन एक स्केलर है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ρ और वेक्टर A के डॉट उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाता है, लाप्लेशियनः स्केलर फील्ड का लाप्लेशियन एक स्केलर है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ρ2 और स्केलर फील्ड φ के स्केलर गुणन द्वारा व्यक्त किया जाता है, घूर्णनः वेक्टर फील्ड A का घूर्णन, या, एक वेक्टर है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से ρ और वेक्टर A के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा व्यक्त किया जाता है, डेरिवेटिव के कई प्रतीकात्मक संचालन को एक सीधे में सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एकल-चर उत्पाद नियम में ढाल प्रचालक को लागू करके अदिश क्षेत्रों के गुणन में एक सीधा अनुरूप है, जैसा कि एकल चर कलन के कई अन्य नियमों में ढाल, विचलन, कर्ल और लाप्लेशियन के लिए वेक्टर कलन अनुरूप हैं। अधिक विदेशी प्रकार के स्थानों के लिए आगे के संकेतन विकसित किए गए हैं। मिन्कोव्स्की स्थान में गणना के लिए, डी 'अलेम्बर्ट प्रचालक, जिसे डी' अलेम्बर्टियन, तरंग प्रचालक, या बॉक्स प्रचालक भी कहा जाता है, को लाप्लेशियन के प्रतीक के साथ संघर्ष में नहीं होने पर या के रूप में दर्शाया जाता है। जेफ मिलर () द्वारा बनाए गए गणना के प्रतीकों के प्रारंभिक उपयोग से जुड़े कार्यात्मक कलन संदर्भ बाहरी लिंक भी देखें। विभेदक कलन गणितीय संकेतन