PDIFF
ज्यामितीय स्थलविज्ञान में, पी. डी. आई. एफ. एफ., टुकड़ों में अवकलनीय के लिए, उनके बीच टुकड़ों में-चिकने मैनिफोल्ड और टुकड़ों में-चिकने मानचित्रों की श्रेणी है। इसमें डी. आई. एफ. एफ. (उनके बीच चिकने मैनिफोल्ड और चिकने कार्यों की श्रेणी) और पी. एल. (उनके बीच टुकड़ों में रैखिक मैनिफोल्ड और टुकड़ों में रैखिक मानचित्रों की श्रेणी) ठीक से शामिल हैं, और इसे परिभाषित करने का कारण इन दो श्रेणियों को संबंधित करने की अनुमति देना है। इसके अलावा, स्प्लाइन और बहुभुज श्रृंखला जैसे टुकड़ों में कार्य गणित में आम हैं, और पी. डी. आई. एफ. एफ. उन पर चर्चा करने के लिए एक श्रेणी प्रदान करता है। प्रेरणा पी. डी. आई. एफ. एफ. ज्यादातर एक तकनीकी बिंदु हैः चिकने नक्शे टुकड़ों में रैखिक नहीं होते हैं (जब तक कि रैखिक नहीं होते हैं), और टुकड़ों में रैखिक नक्शे चिकने नहीं होते हैं (जब तक कि विश्व स्तर पर रैखिक नहीं होते हैं)-प्रतिच्छेदन रैखिक नक्शे हैं, या अधिक सटीक रूप से मानचित्रों को जोड़ते हैं (क्योंकि आधारित नहीं हैं)-इसलिए वे सीधे संबंधित नहीं हो सकते हैंः वे एक एफ़ाइन मानचित्र की धारणा के अलग सामान्यीकरण हैं। हालाँकि, जबकि एक चिकना मैनिफोल्ड एक पी. एल. मैनिफोल्ड नहीं है, यह एक विहित पी. एल. संरचना रखता है-यह विशिष्ट रूप से त्रिकोणीय है; इसके विपरीत, हर पी. एल. मैनिफोल्ड चिकना नहीं होता है। चिकनी मैनिफोल्ड के बीच एक विशेष चिकनी मैनिफोल्ड या चिकनी मानचित्र के लिए, इसे मैनिफोल्ड को छोटे पर्याप्त टुकड़ों में विभाजित करके दिखाया जा सकता है, और फिर प्रत्येक टुकड़े पर मैनिफोल्ड या मानचित्र को रैखिकीकृत किया जा सकता हैः उदाहरण के लिए, तल में एक वृत्त को एक त्रिकोण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन 2-गॉन द्वारा नहीं, क्योंकि इस बाद वाले को रैखिक रूप से एम्बेड नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, डिफ़ और पी. एल. के बीच इस संबंध के लिए विकल्पों की आवश्यकता होती है, और दोनों श्रेणियों को एक बड़ी श्रेणी में शामिल करके और फिर यह दर्शाकर कि पी. एल. का समावेश एक समानता हैः प्रत्येक सुचारू मैनिफोल्ड और प्रत्येक पी. एल. मैनिफोल्ड एक पी. डी. आई. एफ. मैनिफोल्ड है, अधिक स्वाभाविक रूप से दिखाया और समझा जाता है। इस प्रकार, डिफ़ से पी. डी. आई. एफ. और पी. एल से पी. डी. आई. एफ. जाना स्वाभाविक है-वे सिर्फ समावेशन हैं। मानचित्र पी. एल. से पी. डी. आई. एफ., जबकि एक समानता नहीं है-हर पीसवाइज स्मूथ फ़ंक्शन पीसवाइज रैखिक नहीं है-एक समानता हैः कोई भी रैखिक टुकड़ों द्वारा पीछे की ओर जा सकता है। इस प्रकार इसे कुछ उद्देश्यों के लिए उल्टा किया जा सकता है, या एक समरूपता माना जा सकता है, जो एक मानचित्र देता है ये सभी श्रेणियां टीओपी के अंदर बैठती हैं, जो उनके बीच टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी है। संक्षेप में, पी. डी. आई. एफ. डिफ़ की तुलना में अधिक सामान्य है क्योंकि यह टुकड़ों (कोनों) की अनुमति देता है, और कोई भी सामान्य रूप से चिकने कोनों में नहीं हो सकता है, जबकि पी. एल. पी. डी. आई. एफ. से कम सामान्य नहीं है क्योंकि कोई भी टुकड़ों को रैखिक बना सकता है (अधिक सटीक रूप से, किसी को उन्हें छोटे टुकड़ों में तोड़ने की आवश्यकता हो सकती है और फिर रैखिक बनाने की आवश्यकता हो सकती है, जो पी. डी. आई. एफ. में अनुमत है)। इतिहास यह है कि प्रत्येक चिकनी (वास्तव में, सी1) मैनिफोल्ड में एक अद्वितीय पी. एल. संरचना होती है जो मूल रूप से साबित हुई थी। एक विस्तृत प्रदर्शनी प्रमाण दिया गया है। परिणाम विस्तार से साबित करने के लिए प्राथमिक और बल्कि तकनीकी है, इसलिए इसे आम तौर पर केवल आधुनिक ग्रंथों में चित्रित किया जाता है, जैसा कि संक्षिप्त प्रमाण रूपरेखा में दिया गया है। एक बहुत ही संक्षिप्त रूपरेखा दी गई है, जबकि एक छोटा लेकिन विस्तृत प्रमाण दिया गया है। संदर्भ ज्यामितीय स्थलविज्ञान