Choquet integral
एक चॉक्वेट समाकलन 1953 में फ्रांसीसी गणितशास्त्री गुस्ताव चॉक्वेट द्वारा बनाया गया एक उप-योगात्मक या अति योगात्मक समाकलन है। इसका उपयोग शुरू में सांख्यिकीय यांत्रिकी और संभावित सिद्धांत में किया गया था, लेकिन 1980 के दशक में निर्णय सिद्धांत में अपना रास्ता खोज लिया, जहां इसका उपयोग एक अनिश्चित घटना की अपेक्षित उपयोगिता को मापने के तरीके के रूप में किया जाता है। यह विशेष रूप से सदस्यता कार्यों और क्षमताओं पर लागू होता है। अस्पष्ट संभाव्यता सिद्धांत में, चोक्वेट समाकलन का उपयोग 2-मोनोटोन कम संभाव्यता, या 2-वैकल्पिक ऊपरी संभाव्यता द्वारा प्रेरित ऊपरी अपेक्षा द्वारा प्रेरित कम अपेक्षा की गणना करने के लिए भी किया जाता है। क्षमताओं के साथ मापा जाने वाले विश्वास कार्यों की अपेक्षित उपयोगिता को दर्शाने के लिए चोक्वेट इंटीग्रल का उपयोग करना एल्सबर्ग विरोधाभास और एलिस विरोधाभास को मिलाने का एक तरीका है। परिभाषा निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता हैः-एक समुच्चय। - के उपसमुच्चय का एक संग्रह। - एक कार्य। - एक मोनोटोन सेट फ़ंक्शन। मान लीजिए कि इसके संबंध में मापने योग्य है, अर्थात तब के संबंध में चॉक्वेट इंटीग्रल को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहां दाहिने हाथ की ओर के इंटीग्रल सामान्य रीमान इंटीग्रल हैं (इंटीग्रैंड इंटीग्रेबल हैं क्योंकि वे मोनोटोन हैं)। गुण सामान्य रूप से चॉक्वेट समाकलन योजकता को संतुष्ट नहीं करता है। अधिक विशेष रूप से, यदि एक संभाव्यता माप नहीं है, तो यह कुछ कार्यों के लिए हो सकता है। चोक्वेट समाकलन निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है। एकरूपता यदि तखन सकारात्मक एकरूपता सभ लेल ई धारण करैत अछि जे कोमोनोटोन योजकता यदि कोमोनोटोन फलन अछि, अर्थात, यदि सब लेल ई एकरा धारण करैत अछि। अगर 2-वैकल्पिक है, तो सुपरएडिटिविटी यदि 2-मोनोटोन है, तो वैकल्पिक प्रतिनिधित्व आइए एक संचयी वितरण कार्य को दर्शाते हैं जो समाकलन योग्य है। फिर इस निम्नलिखित सूत्र को अक्सर चोक्वेट इंटीग्रल कहा जाता हैः जहाँ। प्राप्त करने के लिए चुनें, अनुप्रयोगों को प्राप्त करने के लिए चुनें चॉक्वेट इंटीग्रल को छवि प्रसंस्करण, वीडियो प्रसंस्करण और कंप्यूटर दृष्टि में लागू किया गया था। व्यवहार संबंधी निर्णय सिद्धांत में, एमोस टवर्स्की और डैनियल काहनेमन संचयी संभावना सिद्धांत के निर्माण में चोक्वेट इंटीग्रल और संबंधित तरीकों का उपयोग करते हैं। यह भी देखें गैर-रैखिक अपेक्षा अतिरिक्तता अतिरिक्तता टिप्पणियाँ आगे पढ़ने के लिए अपेक्षित उपयोगिता कार्यात्मक विश्लेषण गणितीय एकीकरण की परिभाषाएँ