Wythoff's game
विथोफ का खेल दो खिलाड़ियों का गणितीय घटाव खेल है, जिसे काउंटरों के दो ढेर के साथ खेला जाता है। खिलाड़ी बारी-बारी से एक या दोनों ढेर से काउंटर हटाते हैं; दोनों ढेर से काउंटर हटाते समय, प्रत्येक ढेर से हटाए गए काउंटरों की संख्या बराबर होनी चाहिए। खेल तब समाप्त होता है जब एक खिलाड़ी अंतिम काउंटर या काउंटर को हटा देता है, इस प्रकार जीत जाता है। खेल का एक समतुल्य विवरण यह है कि एक एकल शतरंज रानी को वर्गों के एक बड़े ग्रिड पर कहीं रखा जाता है, और प्रत्येक खिलाड़ी रानी को ग्रिड के निचले बाएँ कोने की ओर ले जा सकता हैः दक्षिण, पश्चिम या दक्षिण-पश्चिम, किसी भी संख्या में कदम। विजेता वह खिलाड़ी होता है जो रानी को कोने में ले जाता है। रानी के दो कार्टेशियन निर्देशांक खेल के निर्माण में दो ढेर के आकार के अनुरूप होते हैं जिसमें ढेर से काउंटरों को हटाना शामिल होता है। मार्टिन गार्डनर ने साइंटिफिक अमेरिकन में अपने मार्च 1977 के "मैथमेटिकल गेम्स कॉलम" में दावा किया है कि यह खेल चीन में "चुनने वाले पत्थर" के नाम से खेला गया था। डच गणितशास्त्री डब्ल्यू. ए. विथोफ ने 1907 में खेल का एक गणितीय विश्लेषण प्रकाशित किया। इष्टतम रणनीति खेल में किसी भी स्थिति को पूर्णांक (एन, एम) की एक जोड़ी द्वारा एन ≤ एम के साथ वर्णित किया जा सकता है, जो स्थिति में दोनों ढेर के आकार या रानी के निर्देशांक का वर्णन करता है। खेल की रणनीति ठंडी स्थिति और गर्म स्थिति के इर्द-गिर्द घूमती हैः ठंडी स्थिति में, जिस खिलाड़ी की बारी चलती है वह सर्वश्रेष्ठ खेल के साथ हार जाएगा, जबकि गर्म स्थिति में, जिस खिलाड़ी की बारी चलती है वह सर्वश्रेष्ठ खेल के साथ जीत जाएगा। गर्म स्थिति से इष्टतम रणनीति किसी भी पहुंच योग्य ठंडी स्थिति में जाना है। गर्म और ठंड में स्थितियों का वर्गीकरण निम्नलिखित तीन नियमों के साथ पुनरावर्ती रूप से किया जा सकता हैः (0,0) एक ठंडी स्थिति है। कोई भी स्थिति जहाँ से एक ही चाल में ठंडी स्थिति में पहुँचा जा सकता है, एक गर्म स्थिति है। यदि प्रत्येक चाल गर्म स्थिति की ओर ले जाती है, तो स्थिति ठंडी होती है। उदाहरण के लिए, नियम 2 के अनुसार, m> 0 के साथ रूप (0, m) और (m, m) की सभी स्थिति गर्म हैं। हालाँकि, स्थिति (1,2) ठंडी है, क्योंकि इससे केवल (0,1), (0,2), (1,0) और (1,1) तक पहुँचा जा सकता है, सभी गर्म हैं। n और m के सबसे छोटे मानों के साथ ठंडी स्थिति (n, m) (0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10) और (8,13) हैं। (अनुक्रम और ओ. ई. आई. एस. में) (यह भी देखें) इस खेल के मिसेरे खेल के लिए, (0,1) और (2,2) ठंडी स्थिति हैं, और एम, एन> 2 के साथ एक स्थिति (एन, एम) ठंडी है यदि और केवल अगर सामान्य खेल में (एन, एम) ठंडी है। ठंडी स्थिति के लिए सूत्र विथोफ ने पाया कि ठंडी स्थिति सुनहरे अनुपात द्वारा निर्धारित एक नियमित पैटर्न का पालन करती है। विशेष रूप से, यदि k कोई प्राकृतिक संख्या है और जहाँ φ स्वर्ण अनुपात है और हम तल फलन का उपयोग कर रहे हैं, तो (nk, mk) k वीं ठंडी स्थिति है। संख्याओं के इन दो अनुक्रमों को पूर्णांक अनुक्रमों के ऑनलाइन विश्वकोश में क्रमशः और के रूप में दर्ज किया गया है। दो अनुक्रम nk और mk समीकरण से जुड़े बीटी अनुक्रम हैं जैसा कि सामान्य रूप से बीटी अनुक्रमों के जोड़े के लिए सच है, ये दो अनुक्रम पूरक हैंः प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक किसी भी अनुक्रम में बिल्कुल एक बार दिखाई देता है। निम ग्रंडी का खेल एक वर्गाकार विथोफ सरणी को घटाएँ संदर्भ बाहरी लिंक गणितीय खेल भी देखें।