Geometric median
ज्यामिति में, एक यूक्लिडियन स्थान में नमूना बिंदुओं के एक असतत समूह का ज्यामितीय मध्यक वह बिंदु है जो नमूना बिंदुओं की दूरी के योग को कम करता है। यह माध्यिका को सामान्यीकृत करता है, जिसमें एक आयामी डेटा के लिए दूरी के योग को कम करने का गुण है, और उच्च आयामों में एक केंद्रीय प्रवृत्ति प्रदान करता है। इसे 1-माध्यिका, स्थानिक माध्यिका, यूक्लिडियन मिनीसम बिंदु या टोरिसेली बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। ज्यामितीय माध्यिका सांख्यिकी में स्थान का एक महत्वपूर्ण अनुमानक है, जहाँ इसे एल1 अनुमानक (एल1 मानक के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह सुविधा स्थान में भी एक मानक समस्या है, जहां यह परिवहन की लागत को कम करने के लिए एक सुविधा का पता लगाने की समस्या का मॉडल बनाता है। अधिक सामान्य के-माध्यम समस्या प्रत्येक नमूना बिंदु से उसके निकटतम केंद्र तक की दूरी के योग को कम करते हुए के समूह केंद्रों के स्थान के लिए पूछती है। यदि बिंदु को एक रेखा या वक्र में सामान्यीकृत किया जाता है, तो सबसे उपयुक्त समाधान कम से कम निरपेक्ष विचलन के माध्यम से पाया जाता है। समतल में तीन बिंदुओं के लिए समस्या का विशेष मामला (जो कि नीचे दी गई परिभाषा में = 3 और = 2 है) कभी-कभी फर्माट की समस्या के रूप में भी जाना जाता है; यह न्यूनतम स्टेनर पेड़ों के निर्माण में उत्पन्न होता है, और मूल रूप से पियरे डी फर्माट द्वारा एक समस्या के रूप में प्रस्तुत किया गया था और इवेंजेलिस्टा टोरिसेली द्वारा हल किया गया था। इसका समाधान अब तीन नमूना बिंदुओं से बने त्रिभुज के फर्माट बिंदु के रूप में जाना जाता है। ज्यामितीय माध्यिका को भारित दूरी के योग को कम करने की समस्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे सुविधा स्थान पर अपनी 1909 की पुस्तक में समस्या के बारे में अल्फ्रेड वेबर की चर्चा के बाद वेबर समस्या के रूप में जाना जाता है। इसके बजाय कुछ स्रोत वेबर की समस्या को फर्माट-वेबर समस्या कहते हैं, लेकिन अन्य इस नाम का उपयोग भारहीन ज्यामितीय माध्य समस्या के लिए करते हैं। ज्यामितीय माध्य समस्या का एक सर्वेक्षण प्रदान करता है। गैर-विविक्त बिंदु समुच्चयों के लिए समस्या के सामान्यीकरण के लिए देखें। परिभाषा औपचारिक रूप से, प्रत्येक के साथ m अंकों के दिए गए सेट के लिए, ज्यामितीय माध्यिका को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। इस मामले में, यह एन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वह बिंदु है जहाँ से सभी यूक्लिडियन दूरियों का योग न्यूनतम है। गुण 1-आयामी मामले के लिए, ज्यामितीय माध्यिका माध्यिका के साथ मेल खाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अविभाज्य माध्यिका भी बिंदुओं से दूरी के योग को कम करती है। (अधिक सटीक रूप से, यदि बिंदु p1,., pn हैं, तो उस क्रम में, ज्यामितीय माध्यिका मध्य बिंदु है यदि n विषम है, लेकिन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है कि क्या n सम है, जब यह दो मध्य बिंदुओं और के बीच रेखा खंड में कोई भी बिंदु हो सकता है।) ज्यामितीय माध्यिका अद्वितीय होती है जब भी बिंदु समरेखीय नहीं होते हैं। ज्यामितीय माध्यिका यूक्लिडियन समानता परिवर्तनों के लिए समरूप है, जिसमें अनुवाद और घूर्णन शामिल हैं। इसका मतलब है कि या तो ज्यामितीय माध्यिका को परिवर्तित करके, या नमूना डेटा में समान परिवर्तन लागू करके और परिवर्तित डेटा के ज्यामितीय माध्यिका को खोजने से एक ही परिणाम प्राप्त होगा। यह गुण इस तथ्य से मिलता है कि ज्यामितीय माध्यिका को केवल जोड़ीदार दूरी से परिभाषित किया जाता है, और यह ऑर्थोगोनल कार्टेशियन निर्देशांक की प्रणाली पर निर्भर नहीं करता है जिसके द्वारा नमूना डेटा का प्रतिनिधित्व किया जाता है। इसके विपरीत, एक बहुभिन्नरूपी डेटा सेट के लिए घटक-वार माध्यिका सामान्य घूर्णन अपरिवर्तनीय में नहीं है, और न ही यह निर्देशांक के चयन से स्वतंत्र है। ज्यामितीय माध्यिका का टूटना बिंदु 0.5 है। अर्थात्, नमूना डेटा का आधा तक मनमाने ढंग से दूषित हो सकता है, और नमूनों का माध्यिका अभी भी भ्रष्ट डेटा के स्थान के लिए एक मजबूत अनुमानक प्रदान करेगा। विशेष मामले 3 (गैर-संरेखीय) बिंदुओं के लिए, यदि उन बिंदुओं से बने त्रिभुज का कोई भी कोण 120° या उससे अधिक है, तो ज्यामितीय माध्यिका उस कोण के शीर्ष पर बिंदु है। यदि सभी कोण 120° से कम हैं, तो ज्यामितीय माध्यिका त्रिभुज के अंदर का वह बिंदु है जो त्रिभुज शीर्षों के प्रत्येक तीन जोड़े के लिए 120° का कोण प्रस्तुत करता है। इसे तीन शीर्षों से बने त्रिभुज के फर्माट बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। (यदि तीन बिंदु समरेखीय हैं तो ज्यामितीय माध्यिका दो अन्य बिंदुओं के बीच का बिंदु है, जैसा कि एक आयामी माध्यिका के मामले में होता है।) 4 सह-समतलीय बिंदुओं के लिए, यदि चार बिंदुओं में से एक अन्य तीन बिंदुओं द्वारा बनाए गए त्रिभुज के अंदर है, तो ज्यामितीय माध्यिका वह बिंदु है। अन्यथा, चार बिंदु एक उत्तल चतुर्भुज बनाते हैं और ज्यामितीय माध्यिका चतुर्भुज के विकर्णों का पार करने का बिंदु है। चार सह-ग्रह बिंदुओं का ज्यामितीय माध्यिका चार बिंदुओं के अद्वितीय रेडॉन बिंदु के समान है। ज्यामितीय माध्यिका के समझने में आसान अवधारणा होने के बावजूद, इसकी गणना करना एक चुनौती है। केंद्रक या द्रव्यमान का केंद्र, जिसे ज्यामितीय माध्यिका के समान परिभाषित किया गया है, प्रत्येक बिंदु तक दूरी के वर्गों के योग को न्यूनतम करने के रूप में, एक सरल सूत्र द्वारा पाया जा सकता है-इसके निर्देशांक बिंदुओं के निर्देशांक के औसत हैं-लेकिन यह दिखाया गया है कि कोई स्पष्ट सूत्र, न ही केवल अंकगणितीय संचालन और kth मूल को शामिल करने वाला एक सटीक एल्गोरिथ्म, ज्यामितीय माध्यिका के लिए सामान्य रूप से मौजूद हो सकता है। इसलिए, गणना के इस मॉडल के तहत इस समस्या के समाधान के लिए केवल संख्यात्मक या प्रतीकात्मक सन्निकटन संभव हैं। हालांकि, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया का उपयोग करके ज्यामितीय माध्यिका के लिए एक सन्निकटन की गणना करना सीधा है जिसमें प्रत्येक चरण अधिक सटीक सन्निकटन उत्पन्न करता है। इस प्रकार की प्रक्रियाएँ इस तथ्य से प्राप्त की जा सकती हैं कि नमूना बिंदुओं की दूरी का योग एक उत्तल फलन है, क्योंकि प्रत्येक नमूना बिंदु की दूरी उत्तल है और उत्तल कार्यों का योग उत्तल रहता है। इसलिए, जो प्रक्रियाएँ प्रत्येक चरण पर दूरी के योग को कम करती हैं, वे स्थानीय इष्टतम में नहीं फंस सकती हैं। इस प्रकार का एक सामान्य दृष्टिकोण, जिसे एंड्रे वेज़फेल्ड के काम के बाद वेज़फेल्ड का एल्गोरिथ्म कहा जाता है, पुनरावृत्त रूप से पुनः भारित न्यूनतम वर्गों का एक रूप है। यह एल्गोरिथ्म भारों के एक समूह को परिभाषित करता है जो वर्तमान अनुमान से नमूना बिंदुओं तक की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, और एक नया अनुमान बनाता है जो इन भारों के अनुसार नमूने का भारित औसत है। अर्थात्, यह विधि लगभग सभी प्रारंभिक स्थितियों के लिए अभिसरण करती है, लेकिन जब इसका एक अनुमान दिए गए बिंदुओं में से एक पर पड़ता है तो अभिसरण करने में विफल हो सकती है। इन मामलों को संभालने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है ताकि यह सभी प्रारंभिक बिंदुओं के लिए अभिसरण कर सके। इस समस्या के लगभग इष्टतम समाधान खोजने के लिए अधिक परिष्कृत ज्यामितीय अनुकूलन प्रक्रियाओं का वर्णन करें। दिखाएँ कि लगभग रैखिक समय में ज्यामितीय माध्यिका की गणना मनमाने ढंग से कैसे की जाए। यह भी ध्यान दें कि समस्या को दूसरे क्रम के शंकु कार्यक्रम के रूप में तैयार किया जा सकता है जिसे सामान्य अनुकूलन समाधानकों का उपयोग करके बहुपद समय में हल किया जा सकता है। ज्यामितीय माध्यिका की विशेषता यदि y सभी दिए गए बिंदुओं, xi से अलग है, तो y ज्यामितीय माध्यिका है यदि और केवल तभी जब यह संतुष्ट करता हैः यह समतुल्य हैः जो वेज़फेल्ड के एल्गोरिथ्म से निकटता से संबंधित है। सामान्य तौर पर, y ज्यामितीय माध्यिका है यदि और केवल तभी जब वेक्टर ui ऐसे हों किः जहाँ xi  ऒत्त y के लिए, और xi = y के लिए, इस स्थिति का एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है कि इसे माध्यिका गुण के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, इस अर्थ में कि बिंदुओं का कोई भी विभाजन, विशेष रूप से y के माध्यम से किसी भी हाइपरप्लेन द्वारा प्रेरित, प्रत्येक तरफ y से सकारात्मक दिशाओं का समान और विपरीत योग है। एक आयामी मामले में, हाइपरप्लेन स्वयं बिंदु y है, और दिशाओं का योग (निर्देशित) गिनती माप के लिए सरल हो जाता है। सामान्यीकरण ज्यामितीय माध्यिका को यूक्लिडियन रिक्त स्थान से लेकर सामान्य रीमानियन मैनिफोल्ड्स (और यहां तक कि मीट्रिक रिक्त स्थान) तक उसी विचार का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसका उपयोग रीमानियन मैनिफोल्ड पर फ्रेचेट माध्य को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। मान लीजिए कि संबंधित दूरी फलन के साथ एक रीमानियन मैनिफोल्ड हो, मान लीजिए कि भार 1 का योग है, और मान लीजिए कि वे अवलोकन हैं। फिर हम डेटा बिंदुओं के भारित ज्यामितीय माध्यिका (या भारित फ्रेचेट माध्यिका) को इस प्रकार परिभाषित करते हैं। यदि सभी भार समान हैं, तो हम बस कहते हैं कि यह ज्यामितीय माध्यिका है। मेडॉइड ज्यामितीय माध्यिका निरपेक्ष विचलन टिप्पणियाँ भी देखें। अंग्रेजी में अनुवादित अर्थ बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी गणितीय अनुकूलन ज्यामितीय एल्गोरिदम वर्णनात्मक सांख्यिकी