Projective cover
अमूर्त गणित की शाखा में जिसे श्रेणी सिद्धांत कहा जाता है, एक वस्तु X का एक प्रोजेक्टिव कवर एक अर्थ में एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट P द्वारा X का सबसे अच्छा अनुमान है। प्रोजेक्टिव कवर इंजेक्टिव लिफाफों के दोहरे हैं। परिभाषा मान लीजिए कि एक श्रेणी और एक्स एक वस्तु है। एक प्रोजेक्टिव कवर एक जोड़ी (पी, पी) है, जिसमें पी एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट है और पी होम (पी, एक्स) में एक अनावश्यक एपिमॉर्फिज्म है। यदि आर एक रिंग है, तो आर-मॉड्यूल की श्रेणी में, एक अनावश्यक एपिमॉर्फिज्म तब एक एपिमॉर्फिज्म है जैसे कि पी का कर्नेल पी का एक अनावश्यक सबमॉड्यूल है। आइसोमोर्फिज्म को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, हालांकि, क्योंकि प्रोजेक्टिव गुण एक पूर्ण विकसित सार्वभौमिक गुण नहीं है। पी के अनावश्यक कर्नेल होने का मुख्य प्रभाव निम्नलिखित हैः यदि एन पी का कोई उचित उप-मॉड्यूल है, तो। अनौपचारिक रूप से, यह दिखाता है कि अनावश्यक कर्नेल पी को एम को इष्टतम रूप से कवर करने का कारण बनता है, यानी, पी का कोई भी उप-मॉड्यूल पर्याप्त नहीं होगा। यह पी की प्रक्षेपकता पर निर्भर नहीं करता हैः यह सभी अनावश्यक उपरूपताओं के बारे में सच है। यदि (पी, पी) एम का एक प्रोजेक्टिव कवर है, और पी 'एक एपिमॉर्फिज्म के साथ एक और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल है, तो पी' से पी तक एक विभाजित एपिमॉर्फिज्म α है जैसे कि इंजेक्टिव लिफाफे और फ्लैट कवर के विपरीत, जो रिंग आर की परवाह किए बिना प्रत्येक बाएं (दाएं) आर-मॉड्यूल के लिए मौजूद हैं, बाएं (दाएं) आर-मॉड्यूल में सामान्य रूप से प्रोजेक्टिव कवर नहीं होते हैं। एक रिंग आर को बाएँ (दाएँ) सही कहा जाता है यदि प्रत्येक बाएँ (दाएँ) आर-मॉड्यूल में आर-मॉड (मॉड-आर) में एक प्रोजेक्टिव कवर होता है। एक रिंग को अर्ध-परिपूर्ण कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न बाएं (दाएं) आर-मॉड्यूल में आर-मॉड (मॉड-आर) में एक प्रोजेक्टिव कवर होता है। "सेमिपरफ़ेक्ट" एक बाएँ-दाएँ सममित गुण है। एक रिंग को लिफ्ट/रेड कहा जाता है यदि इडेम्पोटेंट आर/जे से आर तक उठाते हैं, जहां जे आर का जैकबसन रेडिकल है। लिफ्ट/रेड होने के गुण को प्रोजेक्टिव कवर के संदर्भ में चिह्नित किया जा सकता हैः आर लिफ्ट/रेड है यदि और केवल आर मॉड्यूल आर/जे (दाएं या बाएं मॉड्यूल के रूप में) के प्रत्यक्ष योग में प्रोजेक्टिव कवर हों। आर मॉड्यूल की श्रेणी में उदाहरण-यदि एम पहले से ही एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल है, तो एम से एम तक का पहचान मानचित्र एक अनावश्यक एपिमॉर्फिज्म है (इसका कर्नेल शून्य है)। इसलिए, प्रोजेक्टिव मॉड्यूल में हमेशा प्रोजेक्टिव कवर होते हैं। यदि जे (आर) = 0 है, तो एक मॉड्यूल एम में एक प्रोजेक्टिव कवर है यदि और केवल अगर एम पहले से ही प्रोजेक्टिव है। यदि एक मॉड्यूल एम सरल है, तो यह आवश्यक रूप से इसके प्रोजेक्टिव कवर का शीर्ष है, यदि यह मौजूद है। एक मॉड्यूल के लिए इंजेक्शन लिफाफा हमेशा मौजूद रहता है, हालांकि कुछ रिंग मॉड्यूल पर प्रोजेक्टिव कवर नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, Z से Z/2Z पर प्राकृतिक मानचित्र Z-मॉड्यूल Z/2Z का प्रोजेक्टिव कवर नहीं है (जिसमें वास्तव में कोई प्रोजेक्टिव कवर नहीं है)। रिंग्स का वह वर्ग जो प्रोजेक्टिव कवर के साथ अपने सभी सही मॉड्यूल प्रदान करता है, सही सही रिंग्स का वर्ग है। किसी भी आर-मॉड्यूल एम में एक सपाट आवरण होता है, जो प्रोजेक्टिव आवरण के बराबर होता है यदि आर में प्रोजेक्टिव आवरण होता है। प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन संदर्भ श्रेणी सिद्धांत होमोलॉजिकल बीजगणित मॉड्यूल सिद्धांत भी देखें।