Peano existence theorem
गणित में, विशेष रूप से साधारण विभेदक समीकरणों के अध्ययन में, पीनो अस्तित्व प्रमेय, पीनो प्रमेय या कॉची-पीनो प्रमेय, जिसका नाम ग्यूसेप पीनो और ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है, एक मौलिक प्रमेय है जो कुछ प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के समाधान के अस्तित्व की गारंटी देता है। हिस्ट्री पीनो ने पहली बार 1886 में एक गलत प्रमाण के साथ प्रमेय प्रकाशित किया। 1890 में उन्होंने क्रमिक अनुमानों का उपयोग करते हुए एक नया सही प्रमाण प्रकाशित किया। मान लीजिए कि यह एक निरंतर फलन के साथ एक खुला उपसमुच्चय है और डी पर परिभाषित एक निरंतर, स्पष्ट प्रथम-क्रम अवकल समीकरण है, फिर f के लिए प्रत्येक प्रारंभिक मूल्य समस्या का एक स्थानीय समाधान होता है जहां अंदर का एक पड़ोस होता है, जैसे कि सभी के लिए। समाधान अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं हैः एक ही प्रारंभिक मूल्य कई अलग-अलग समाधानों को जन्म दे सकता है। सबूत के साथ प्रतिस्थापित करके, हम मान सकते हैं। जैसे ही खुला होता है एक आयत होता है। क्योंकि कॉम्पैक्ट है और निरंतर है, हमारे पास है और स्टोन-वेयरस्ट्रास प्रमेय के अनुसार लिपशिट्ज़ फ़ंक्शंस का एक क्रम मौजूद है जो समान रूप से इन में परिवर्तित होता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम सभी के लिए मानते हैं। हम पिकार्ड पुनरावृत्तियों को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं, जहाँ। , और। वे प्रेरण द्वारा अच्छी तरह से परिभाषित हैंः जैसा कि के क्षेत्र के भीतर है। हमारे पास Lipschitz स्थिरांक कहाँ है। इस प्रकार अधिकतम अंतर के लिए, हमारे पास एक सीमा है, और प्रेरण द्वारा, इसका तात्पर्य उस सीमा से है जो सभी के लिए शून्य की ओर जाता है। फलन समतुल्य हैं क्योंकि हमारे पास आर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय के अनुसार वे अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए एक निरंतर फलन में समान रूप से परिवर्तित होने वाला एक अनुक्रम होता है। सीमा लेते हुए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं। कार्य एक अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट सेट के समापन में हैं, इसलिए वे स्वयं अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट हैं। इस प्रकार एक निरंतर फलन में समान रूप से अभिसरण करने वाला एक अनुक्रम होता है। सीमा लेते हुए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि, इस तथ्य का उपयोग करते हुए जो आर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय द्वारा समरूप हैं। कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार, में। संबंधित प्रमेय पीनो प्रमेय की तुलना इसी संदर्भ में एक अन्य अस्तित्व परिणाम, पिकार्ड-लिंडेलॉफ प्रमेय से की जा सकती है। पिकार्ड-लिंडेलॉफ प्रमेय दोनों अधिक मानते हैं और अधिक निष्कर्ष निकालते हैं। इसके लिए लिपशिट्ज़ निरंतरता की आवश्यकता होती है, जबकि पीनो प्रमेय के लिए केवल निरंतरता की आवश्यकता होती है; लेकिन यह अस्तित्व और विशिष्टता दोनों को साबित करता है जहां पीनो प्रमेय केवल समाधानों के अस्तित्व को साबित करता है। उदाहरण के लिए, डोमेन पर साधारण विभेदक समीकरण पर विचार करें पीनो प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण के समाधान हैं, लेकिन पिकार्ड-लिंडेलॉफ प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि दाएँ हाथ की ओर 0 वाले किसी भी पड़ोस में लिपशिट्ज़ निरंतर नहीं है। इस प्रकार हम अस्तित्व का निष्कर्ष निकाल सकते हैं लेकिन विशिष्टता का नहीं। यह पता चला है कि इस साधारण विभेदक समीकरण में दो प्रकार के समाधान हैं जब शुरू करते हैं, या तो या। और के बीच संक्रमण किसी भी समय हो सकता है। कैराथियोडोरी अस्तित्व प्रमेय पीनो अस्तित्व प्रमेय का एक सामान्यीकरण है जिसमें निरंतरता की तुलना में कमजोर स्थितियां हैं। सामान्य विभेदक समीकरणों के विश्लेषण में ऑगस्टिन-लुई कॉची प्रमेय