Isothermal coordinates
गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति में, रीमानियन मैनिफोल्ड पर सम-तापीय निर्देशांक स्थानीय निर्देशांक होते हैं जहां मीट्रिक यूक्लिडियन मीट्रिक के अनुरूप होता है। इसका मतलब है कि सम-तापीय निर्देशांकों में, रीमानियन मीट्रिक का स्थानीय रूप से वह रूप होता है जहाँ एक सकारात्मक चिकना फलन होता है। (यदि रीमानियन मैनिफोल्ड उन्मुख है, तो कुछ लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि एक समन्वय प्रणाली को सम-तापीय होने के लिए उस अभिविन्यास से सहमत होना चाहिए।) सतहों पर आइसोथर्मल निर्देशांक सबसे पहले गॉस द्वारा पेश किए गए थे। कॉर्न और लिक्टेंस्टीन ने साबित किया कि दो आयामी रीमानियन मैनिफोल्ड पर किसी भी बिंदु के आसपास सम-तापीय निर्देशांक मौजूद हैं। इसके विपरीत, अधिकांश उच्च-आयामी मैनिफोल्ड कहीं भी सम-तापीय निर्देशांक को स्वीकार नहीं करते हैं; यानी, वे आमतौर पर स्थानीय रूप से अनुरूप रूप से सपाट नहीं होते हैं। आयाम 3 में, एक रीमानियन मीट्रिक स्थानीय रूप से अनुरूप रूप से सपाट होता है यदि और केवल तभी जब इसका कपास टेंसर गायब हो जाता है। आयाम> 3 में, एक मीट्रिक स्थानीय रूप से अनुरूप रूप से सपाट होता है यदि और केवल तभी जब इसका वेल टेंसर गायब हो जाता है। सतहों पर समताप निर्देशांक 1822 में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक रीमानियन मीट्रिक के साथ एक मनमाने सतह पर समताप निर्देशांक के अस्तित्व को साबित किया, जो कि क्रांति की सतहों के विशेष मामले में जोसेफ लैग्रेंज के पहले के परिणामों का अनुसरण करता है। गॉस द्वारा उपयोग किए गए निर्माण में कॉची-कोवलेवस्की प्रमेय का उपयोग किया गया, ताकि उनकी विधि मौलिक रूप से वास्तविक-विश्लेषणात्मक संदर्भ तक ही सीमित रहे। आर्थर कॉर्न द्वारा द्वि-आयामी आंशिक विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में नवाचारों के बाद, लियोन लिक्टेंस्टीन ने 1916 में कम नियमितता के रीमानियन मेट्रिक्स के लिए सम-तापीय निर्देशांकों का सामान्य अस्तित्व पाया, जिसमें चिकनी मेट्रिक्स और यहां तक कि होल्डर निरंतर मेट्रिक्स भी शामिल थे। द्वि-आयामी मैनिफोल्ड पर एक रीमानियन मीट्रिक को देखते हुए, सम-तापीय निर्देशांक चार्ट के बीच संक्रमण कार्य, जो कि के खुले उपसमुच्चय के बीच एक मानचित्र है, आवश्यक रूप से कोण-संरक्षित है। अभिविन्यास-संरक्षण के साथ कोण-संरक्षण गुण होलोमोर्फिक कार्यों का एक लक्षण वर्णन (कई के बीच) है, और इसलिए आइसोथर्मल निर्देशांक चार्ट से युक्त एक उन्मुख निर्देशांक एटलस को होलोमोर्फिक निर्देशांक एटलस के रूप में देखा जा सकता है। यह दर्शाता है कि एक रीमानियन मीट्रिक और एक द्वि-आयामी मैनिफोल्ड पर एक अभिविन्यास एक रीमान सतह (यानी रीमान सतह) की संरचना को प्रेरित करने के लिए संयोजन करते हैं। एक आयामी जटिल कई गुना)। इसके अलावा, एक उन्मुख सतह को देखते हुए, दो रीमानियन मेट्रिक्स एक ही होलोमोर्फिक एटलस को प्रेरित करते हैं यदि और केवल तभी जब वे एक दूसरे के अनुरूप हों। इस कारण से, रीमान सतहों का अध्ययन उन्मुख सतहों पर रीमानियन मेट्रिक्स के अनुरूप वर्गों के अध्ययन के समान है। 1950 के दशक तक, कॉर्न और लिक्टेंस्टीन के विचारों की व्याख्या को जटिल व्युत्पन्न की भाषा में और लिपमैन बेर्स और शिंग-शेन चेरन द्वारा बेल्ट्रामी समीकरण में रखा गया था। इस संदर्भ में, सामान्यीकृत समाधानों के अस्तित्व की जांच करना स्वाभाविक है, जो प्रासंगिक आंशिक विभेदक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं लेकिन अब सामान्य तरीके से समन्वय चार्ट के रूप में व्याख्या करने योग्य नहीं हैं। इसकी शुरुआत चार्ल्स मॉरी ने 1938 में दो आयामी क्षेत्रों पर अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के सिद्धांत पर अपने मौलिक लेख में की थी, जो बाद में लार्स अहलफोर्स और बेर्स के मापने योग्य रीमान मानचित्रण प्रमेय की ओर ले गया। बेल्ट्रामी समीकरण सम-तापीय निर्देशांकों के अस्तित्व को बेल्ट्रामी समीकरण के लिए ज्ञात अस्तित्व प्रमेयों को लागू करके साबित किया जा सकता है, जो काल्डेरॉन और ज़िग्मंड के एकवचन समाकलन संचालकों के लिए एलपी अनुमानों पर निर्भर करते हैं। बेलट्रामी समीकरण के लिए एक सरल दृष्टिकोण हाल ही में एड्रियन डौडी द्वारा दिया गया है। यदि रीमानियन मीट्रिक को जटिल निर्देशांक में स्थानीय रूप से दिया जाता है, तो यह वह रूप लेता है जहाँ और और के साथ चिकना होता है। वास्तव में समताप निर्देशांक में मीट्रिक को ρ चिकनी के साथ रूप लेना चाहिए। जटिल निर्देशांक इस प्रकार संतुष्ट होता है कि निर्देशांक (यू, वी) सम-तापीय होंगे यदि बेल्ट्रामी समीकरण का विभेदक समाधान हो। इस तरह का समाधान किसी भी पड़ोस में मौजूद साबित हुआ है। अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के लिए स्थानीय समाधान के माध्यम से अस्तित्व एक चिकनी द्वि-आयामी रीमानियन मैनिफोल्ड पर सम-तापीय निर्देशांकों का अस्तित्व अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के विश्लेषण में मानक स्थानीय समाधान के परिणाम का एक परिणाम है। वर्तमान संदर्भ में, प्रासंगिक दीर्घवृत्ताकार समीकरण किसी फलन के लिए रीमानियन मीट्रिक के सापेक्ष हार्मोनिक होने की स्थिति है। स्थानीय सॉल्वेबिलिटी तब बताती है कि किसी भी बिंदु का एक पड़ोस होता है जिस पर कहीं भी गायब न होने वाले व्युत्पन्न के साथ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन होता है। इस प्रकार के फलन से आइसोथर्मल निर्देशांकों का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जाता है। की सामंजस्यता रीमानियन मीट्रिक से जुड़े हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके परिभाषित अंतर 1-रूप की निकटता के समान है। पॉइनकेयर लेम्मा इस प्रकार हॉज स्टार की परिभाषा के अनुसार एक फ़ंक्शन के अस्तित्व का तात्पर्य है, और एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और फिर यह व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय से अनुसरण करता है और इसके कुछ पड़ोस पर एक निर्देशांक प्रणाली बनाता है। यह निर्देशांक प्रणाली स्वचालित रूप से आइसोथर्मल है, क्योंकि की ऑर्थोगोनलिटी और मीट्रिक की विकर्णता का तात्पर्य है, और हॉज स्टार के मानक-संरक्षण गुण से दो विकर्ण घटकों की समानता का तात्पर्य है। गौसी वक्रता समताप निर्देशांक में, गौसी वक्रता सरल रूप लेती है लिउविल के समीकरण क्वासिकोफॉर्मल मानचित्र नोट्स संदर्भ भी देखें। में पुनः मुद्रित किया गयाः बाहरी लिंक विभेदक ज्यामिति विभेदक ज्यामिति में प्रणालियों का समन्वय आंशिक विभेदक समीकरण