Essential extension
गणित में, विशेष रूप से मॉड्यूल सिद्धांत, एक रिंग आर और एक उप-मॉड्यूल एन के साथ एक आर-मॉड्यूल एम दिए जाने पर, मॉड्यूल एम को एन का एक आवश्यक विस्तार कहा जाता है (या एन को एक आवश्यक उप-मॉड्यूल या एम का बड़ा उप-मॉड्यूल कहा जाता है) यदि एम के प्रत्येक उप-मॉड्यूल एच के लिए, इसका तात्पर्य है कि एक विशेष मामले के रूप में, आर का एक आवश्यक लेफ्ट आइडियल एक लेफ्ट आइडियल है जो लेफ्ट मॉड्यूल आरआर के सब-मॉड्यूल के रूप में आवश्यक है। बाएँ आइडियल में आर के किसी भी गैर-शून्य बाएँ आइडियल के साथ गैर-शून्य प्रतिच्छेदन होता है। समान रूप से, एक आवश्यक दाएँ आइडियल बिल्कुल दाएँ आर मॉड्यूल आरआर का एक आवश्यक उप-मॉड्यूल है। आवश्यक विस्तार के लिए सामान्य संकेतन में निम्नलिखित दो अभिव्यक्तियाँ शामिल हैंः, और एक आवश्यक उप-मॉड्यूल की दोहरी धारणा अनावश्यक उप-मॉड्यूल (या छोटे उप-मॉड्यूल) की है। एक उप-मॉड्यूल एन अनावश्यक है यदि किसी अन्य उप-मॉड्यूल एच के लिए, इसका तात्पर्य है। अनावश्यक उप-मॉड्यूल के लिए सामान्य संकेतनों में शामिल हैंः, और गुण यहाँ आवश्यक विस्तार के कुछ प्राथमिक गुण हैं, जो ऊपर दिए गए संकेतन में दिए गए हैं। मान लीजिए कि एम एक मॉड्यूल है, और के, एन और एच के एन के साथ एम के उप-मॉड्यूल हैं, स्पष्ट रूप से एम एम का एक आवश्यक उप-मॉड्यूल है, और एक गैर-शून्य मॉड्यूल का शून्य उप-मॉड्यूल कभी भी आवश्यक नहीं होता है। अगर और केवल अगर और अगर और केवल अगर और ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करके एक और उपयोगी तथ्य साबित करना संभव हैः एम के किसी भी उप-मॉड्यूल एन के लिए, एक उप-मॉड्यूल सी मौजूद है। इसके अलावा, एक मॉड्यूल जिसमें कोई उचित आवश्यक विस्तार नहीं है (यानी, यदि मॉड्यूल किसी अन्य मॉड्यूल में आवश्यक है, तो यह उस मॉड्यूल के बराबर है) एक इंजेक्टिव मॉड्यूल है। तब यह साबित करना संभव है कि प्रत्येक मॉड्यूल एम में एक अधिकतम आवश्यक विस्तार ई (एम) होता है, जिसे एम का इंजेक्टिव पतवार कहा जाता है। इंजेक्टिव पतवार आवश्यक रूप से एक इंजेक्टिव पतवार है, और समरूपता तक अद्वितीय है। इंजेक्टिव पतवार इस मायने में भी न्यूनतम है कि एम वाले किसी भी अन्य इंजेक्टिव मॉड्यूल में ई (एम) की एक प्रति होती है। कई गुण अनावश्यक उप-मॉड्यूल में द्विगुणित हो जाते हैं, लेकिन सब कुछ नहीं। फिर से M को एक मॉड्यूल होने दें, और K, N और H को K N के साथ M के उप-मॉड्यूल होने दें। शून्य उप-मॉड्यूल हमेशा अनावश्यक होता है, और एक गैर-शून्य मॉड्यूल M अपने आप में कभी भी अनावश्यक नहीं होता है। अगर और केवल अगर और अगर और केवल अगर और। चूँकि प्रत्येक मॉड्यूल को एक मोनोमॉर्फिज्म के माध्यम से मैप किया जा सकता है, जिसकी छवि एक इंजेक्टिव मॉड्यूल (इसके इंजेक्टिव पतवार) में आवश्यक है, कोई यह पूछ सकता है कि क्या दोहरा कथन सही है, अर्थात। प्रत्येक मॉड्यूल एम के लिए, क्या एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल पी और पी से एम पर एक एपिमॉर्फिज्म है जिसका कर्नेल अनावश्यक है? (इस तरह के पी को प्रोजेक्टिव कवर कहा जाता है)। इसका उत्तर सामान्य रूप से "नहीं" है, और रिंगों का विशेष वर्ग जिनके सभी सही मॉड्यूल में प्रोजेक्टिव कवर होते हैं, सही पूर्ण रिंगों का वर्ग होता है। नाकायामा के सिद्धांत का एक रूप यह है कि जे (आर) एम एम का एक अनावश्यक उपखंड है जब एम आर पर एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। सामान्यीकरण इस परिभाषा को एक मनमाना अबेलियन श्रेणी सी के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक आवश्यक विस्तार एक मोनोमॉर्फिज्म यूः एम → ई है जैसे कि प्रत्येक गैर-शून्य उप-वस्तु एसः एन → ई के लिए, फाइबर उत्पाद एन × ई एम ≤ 0। एक सामान्य श्रेणी में, एक आकृतिवाद f: X → Y आवश्यक है यदि कोई आकृतिवाद g: Y → Z एक एकरूपता है यदि और केवल अगर g°f एक एकरूपता है। जी को वाई का आइडेंटिटी मॉर्फिज्म लेना दर्शाता है कि एक आवश्यक मॉर्फिज्म एफ एक मोनोमोर्फिज्म होना चाहिए। यदि X में एक इंजेक्टिव पतवार Y है, तो Y, X का सबसे बड़ा आवश्यक विस्तार है। लेकिन सबसे बड़ा आवश्यक विस्तार एक इंजेक्शन पतवार नहीं हो सकता है। वास्तव में, टी1 रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी में, प्रत्येक वस्तु का एक अद्वितीय सबसे बड़ा आवश्यक विस्तार होता है, लेकिन एक से अधिक तत्व वाले किसी भी स्थान में एक इंजेक्टिव पतवार नहीं होता है। यह भी देखें कि घने उप-मॉड्यूल एक विशेष प्रकार के आवश्यक उप-मॉड्यूल हैं संदर्भ डेविड आइजेनबड, बीजगणितीय ज्यामिति अनुभाग III.2 कम्यूटेटिव बीजगणित मॉड्यूल सिद्धांत की दिशा में एक दृष्टिकोण के साथ कम्यूटेटिव बीजगणित