Complete homogeneous symmetric polynomial
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय संयोजन और परिवर्तनीय बीजगणित में, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद एक विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं। प्रत्येक सममित बहुपद को पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों में बहुपद अभिव्यक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिभाषा चर में डिग्री का पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, जिसके लिए लिखा जाता है, चर में कुल डिग्री के सभी एकाक्षरों का योग है। औपचारिक रूप से, सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता हैः वास्तव में, यह अनुक्रम की केवल बहुलता है। इस प्रकार, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, चर में डिग्री का एक पूर्ण सजातीय सममित बहुपद मौजूद है। परिभाषा को फिर से लिखने का एक और तरीका सभी अनुक्रमों पर योग लेना है, बिना क्रम की शर्त केः यहाँ अनुक्रम में संख्या का गुणन है। उदाहरण के लिए पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों के उत्पादों के सभी अभिन्न रैखिक संयोजनों को लेकर बनाई गई बहुपद वलय एक परिवर्तनीय वलय है। उदाहरण निम्नलिखित के पहले तीन सकारात्मक मूल्यों के लिए मूल (जैसा कि नीचे बताया गया है) पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों को सूचीबद्ध करता है। के लिएः के लिएः के लिएः गुण उत्पन्न करने वाले फलन पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों को औपचारिक शक्ति श्रृंखला की निम्नलिखित पहचान द्वारा चिह्नित किया जाता हैः (इसे पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों के लिए उत्पन्न करने वाला फलन, या उत्पन्न करने वाली श्रृंखला कहा जाता है)। यहाँ अंतिम अभिव्यक्ति में प्रत्येक अंश औपचारिक ज्यामितीय श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करने का सामान्य तरीका है जो मध्य अभिव्यक्ति में एक कारक है। पहचान को इस बात पर विचार करके उचित ठहराया जा सकता है कि उन ज्यामितीय श्रृंखलाओं का गुणनफल कैसे बनता हैः उत्पाद में प्रत्येक कारक को प्रत्येक ज्यामितीय श्रृंखला से चुने गए एक शब्द को एक साथ गुणा करके प्राप्त किया जाता है, और चर में प्रत्येक एकाक्षर को ठीक ऐसे ही शब्दों के एक विकल्प के लिए प्राप्त किया जाता है, और एकाक्षर की डिग्री के बराबर की शक्ति से गुणा किया जाता है। उपरोक्त सूत्र को मैकमोहन मास्टर प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। दाहिने हाथ की ओर की व्याख्या कहाँ और कहाँ के रूप में की जा सकती है। बाईं ओर, मैकमोहन अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाले बहुपद गुणांक के विशेष मामलों के रूप में पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों की पहचान की जा सकती है। कुछ मानक गणनाओं को करते हुए, हम उत्पन्न करने वाले फलन को भी लिख सकते हैं जो कि के प्लैथिस्टिक एक्सपोनेंशियल का शक्ति श्रृंखला विस्तार है (और ध्यान दें कि सटीक रूप से जे-th शक्ति योग सममित बहुपद है)। प्राथमिक सममित बहुपदों के साथ संबंध प्राथमिक सममित बहुपदों और पूर्ण सजातीय बहुपदों के बीच एक मौलिक संबंध हैः जो सभी और किसी भी संख्या में चर के लिए मान्य है। यह देखने का सबसे आसान तरीका है कि यह प्राथमिक सममित बहुपदों के लिए औपचारिक शक्ति श्रृंखला की पहचान से है, जो पूर्ण सजातीय बहुपदों के लिए ऊपर दिए गए एक के अनुरूप है, जिसे प्लैथिस्टिक एक्सपोनेंशियल के संदर्भ में भी लिखा जा सकता हैः (यह वास्तव में बहुपदों की पहचान है, क्योंकि प्राथमिक सममित बहुपदों के शून्य होने के बाद)। पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों के लिए इसे उत्पन्न करने वाले फलन से गुणा करने पर, एक स्थिर श्रृंखला 1 प्राप्त होता है (समतुल्य, प्लैथिस्टिक एक्सपोनेंशियल एक एक्सपोनेंशियल के सामान्य गुणों को संतुष्ट करते हैं), और प्राथमिक और पूर्ण सजातीय बहुपदों के बीच का संबंध इसके गुणांक की तुलना से होता है। उस संबंध को समझने का कुछ अधिक सीधा तरीका यह है कि डिग्री के एक निश्चित एकाधिकार से जुड़े योग में योगदान पर विचार किया जाए। एकाधिकार में गैर-शून्य प्रतिपादक के साथ दिखाई देने वाले चर के किसी भी उपसमुच्चय के लिए, उन चरों के गुणनफल को शामिल करते हुए एक योगदान होता है जैसे कि पद से, कहाँ से, और एकाधिकार से; इस योगदान में गुणांक होता है। फिर संबंध इस तथ्य से आगे बढ़ता है कि द्विपद सूत्र द्वारा, जहां में होने वाले अलग-अलग चरों की संख्या (गैर-शून्य प्रतिपादक के साथ) को दर्शाता है। चूंकि और दोनों 1 के बराबर हैं, इसलिए कोई भी योग के पहले या अंतिम शब्दों को संबंध से अलग कर सकता है। पहला समीकरणों का एक क्रम देता हैः और इसी तरह, जो प्राथमिक सममित बहुपदों के संदर्भ में क्रमिक पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से व्यक्त करने की अनुमति देता है; बाद वाला समीकरणों का एक सेट देता है और इसी तरह, जो व्युत्क्रम करने की अनुमति देता है। पहले प्राथमिक और पूर्ण सजातीय सममित बहुपद इन संबंधों में पूरी तरह से समान भूमिका निभाते हैं, भले ही पूर्व बहुपद तब शून्य हो जाते हैं, जबकि बाद वाले नहीं करते हैं। इस घटना को सममित कार्यों के वलय की स्थापना में समझा जा सकता है। इसमें एक रिंग ऑटोमोर्फिज्म होता है जो प्राथमिक और पहले पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के अनुक्रमों को आपस में बदल देता है। चर में डिग्री 1 के पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों का समुच्चय चर में सममित बहुपदों का वलय उत्पन्न करता है। अधिक विशेष रूप से, पूर्णांक गुणांक के साथ सममित बहुपदों की वलय अभिन्न बहुपद वलय के बराबर होती है इसे यह कहकर तैयार किया जा सकता है कि सममित बहुपदों की वलय का एक उत्कृष्टता आधार सममित गुणांक के साथ बनता है (जैसा कि प्राथमिक सममित बहुपदों के लिए भी सच है)। किसी भी अन्य कम्यूटेटिव रिंग द्वारा प्रतिस्थापित पूर्णांकों की रिंग के साथ भी यही सच है। ये कथन प्राथमिक सममित बहुपदों के लिए अनुरूप कथनों का अनुसरण करते हैं, जो किसी भी प्रकार के सममित बहुपदों को अन्य प्रकार के संदर्भ में व्यक्त करने की इंगित संभावना के कारण होते हैं। स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध पूर्ण सजातीय बहुपदों और प्राथमिक सममित बहुपदों के पूर्णांकों पर मूल्यांकन स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित हैः एकमुश्त सममित बहुपदों के साथ संबंध बहुपद भी डिग्री के सभी अलग-अलग एकमुश्त सममित बहुपदों का योग है, उदाहरण के लिए शक्ति के साथ संबंध सजातीय सममित बहुपदों के लिए न्यूटन की पहचान का सरल पुनरावर्ती सूत्र देता है जहां और pk ऊपर के रूप में k-th शक्ति सममित बहुपदः है। छोटे के लिए हमारा सममित टेंसर के साथ संबंध है एक-आयामी वेक्टर स्थान और आइगेनवैल्यू के साथ एक रैखिक प्रचालक पर विचार करें। इसकी th सममित टेंसर शक्ति और प्रेरित प्रचालक द्वारा निरूपित करें। प्रस्तावः सबूत आसान हैः के लिए एक आइगेनबेस पर विचार करें। आधार को अनुक्रमों द्वारा अनुक्रमित किया जा सकता है, वास्तव में, के समरूपता पर विचार करें। ऐसे सभी वैक्टर आइगेनवैल्यू के लिए आइगेनवेक्टर हैं इसलिए यह प्रस्ताव सही है। इसी तरह कोई भी प्राथमिक सममित बहुपदों को प्रतिसमितीय टेंसर शक्तियों पर निशान के माध्यम से व्यक्त कर सकता है। दोनों अभिव्यक्तियों को शूर बहुपदों की अभिव्यक्तियों में शूर फंक्टरों पर निशान के रूप में शामिल किया गया है, जिन्हें वेइल वर्ण सूत्र के रूप में देखा जा सकता है। 1 द्वारा स्थानांतरित चर के साथ पूर्ण सजातीय सममित बहुपद यदि हम चर को प्रतिस्थापित करते हैं, तो सममित बहुपद को एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि, प्रमाण, जैसा कि लेम्मा 3.5 में पाया जाता है, बढ़ते-टुपल्स के संयोजन गुणों पर निर्भर करता है। सममित बहुपद प्राथमिक सममित बहुपद शूर बहुपद न्यूटन की पहचान मैकमोहन मास्टर प्रमेय सममित फलन प्रतिनिधित्व सिद्धांत संदर्भ मैकडोनाल्ड, आई. जी. भी देखें। (1979), सममित कार्य और कक्ष बहुपद। ऑक्सफोर्ड गणितीय मोनोग्राफ। ऑक्सफोर्डः क्लेरेंडन प्रेस। मैकडोनाल्ड, आई. जी. (1995), सममित कार्य और हॉल बहुपद, दूसरा संस्करण। ऑक्सफोर्डः क्लेरेंडन प्रेस। (पेपरबैक, 1998)। रिचर्ड पी. स्टेनली (1999), एन्यूमरेटिव कॉम्बिनेटोरिक्स, वॉल्यूम। 2. कैम्ब्रिजः कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। सजातीय बहुपद सममित कार्य