Kuratowski's closure-complement problem
पॉइंट-सेट टोपोलॉजी में, कुराटोव्स्की की क्लोजर-कॉम्प्लीमेंट समस्या एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दिए गए शुरुआती सबसेट के लिए बार-बार क्लोजर और कॉम्प्लीमेंट के सेट संचालन को लागू करके प्राप्त करने योग्य अलग-अलग सेटों की सबसे बड़ी संख्या के लिए कहती है। इसका उत्तर 14 है। यह परिणाम पहली बार 1922 में काज़िमियर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा प्रकाशित किया गया था। जॉन एल. केली के 1955 के क्लासिक, जनरल टोपोलॉजी में एक पाठ्यपुस्तक अभ्यास के रूप में प्रसिद्धि प्राप्त करने से पहले इसने कुराटोव्स्की के मौलिक मोनोग्राफ टोपोलोगी (पहली बार 1933 में फ्रेंच में प्रकाशित; पहला अंग्रेजी अनुवाद 1966 में दिखाई दिया) में अतिरिक्त प्रदर्शन प्राप्त किया। प्रूफ लेटिंग एक टोपोलॉजिकल स्पेस के मनमाने उपसमुच्चय को दर्शाता है, बंद करने के लिए और के पूरक के लिए लिखें। निम्नलिखित तीन पहचानों का तात्पर्य है कि 14 से अधिक अलग-अलग समूह उपलब्ध नहीं हैंः (बंद करने का कार्य अक्षम है।) .. (पूरक क्रिया एक अंतर्वेशन है।) .. (या समकक्ष रूप से, पहचान (2) का उपयोग करते हुए)। पहले दो मामूली हैं। तीसरा उस पहचान का अनुसरण करता है जिसका आंतरिक भाग पूरक के समापन के पूरक के बराबर है। (ऑपरेशन अक्षम है।) अधिकतम 14 को प्राप्त करने वाले उपसमुच्चय को 14-समुच्चय कहा जाता है। सामान्य स्थलविज्ञान के तहत वास्तविक संख्याओं के स्थान में 14-समूह होते हैं। यहाँ एक उदाहरण दिया गया हैः जहाँ एक खुला अंतराल दर्शाता है और एक बंद अंतराल दर्शाता है। आइए इस समूह को निरूपित करें। फिर निम्नलिखित 14 सेट सुलभ हैंः, ऊपर दिखाया गया सेट। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के संदर्भ में इसकी उत्पत्ति के बावजूद, कुराटोव्स्की की क्लोजर-कॉम्प्लीमेंट समस्या वास्तव में टोपोलॉजिकल की तुलना में अधिक बीजगणितीय है। 1960 के बाद से निकटता से संबंधित समस्याओं और परिणामों की एक आश्चर्यजनक प्रचुरता दिखाई दी है, जिनमें से कई का बिंदु-सेट टोपोलॉजी से बहुत कम या कुछ भी लेना-देना नहीं है। समापन-पूरक संचालन एक मोनॉइड उत्पन्न करते हैं जिसका उपयोग स्थलाकृतिक स्थानों को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है। संदर्भ बाहरी लिंक कुराटोव्स्की समापन-पूरक प्रमेय बी. जे. गार्डनर और मार्सेल जैक्सन द्वारा कुराटोव्स्की समापन-पूरक समस्या मार्क बॉरन टोपोलॉजी गणितीय समस्याएं