Epsilon-equilibrium
खेल सिद्धांत में, एक एप्सिलॉन-संतुलन, या निकट-नैश संतुलन, एक रणनीति प्रोफ़ाइल है जो लगभग नैश संतुलन की स्थिति को संतुष्ट करती है। नैश संतुलन में, किसी भी खिलाड़ी को अपना व्यवहार बदलने के लिए प्रोत्साहन नहीं मिलता है। एक अनुमानित नैश संतुलन में, इस आवश्यकता को कमजोर कर दिया जाता है ताकि एक खिलाड़ी को कुछ अलग करने के लिए एक छोटा सा प्रोत्साहन मिल सके। इसे अभी भी एक पर्याप्त समाधान अवधारणा माना जा सकता है, उदाहरण के लिए यथास्थिति पूर्वाग्रह। इस समाधान अवधारणा को नैश संतुलन की तुलना में पसंद किया जा सकता है क्योंकि गणना करना आसान है, या वैकल्पिक रूप से इस संभावना के कारण कि 2 से अधिक खिलाड़ियों के खेल में, एक सटीक नैश संतुलन में शामिल संभावनाओं को परिमेय संख्याएँ होने की आवश्यकता नहीं है। परिभाषा एक से अधिक वैकल्पिक परिभाषाएँ हैं। मानक परिभाषा एक खेल और एक वास्तविक गैर-नकारात्मक पैरामीटर को देखते हुए, एक रणनीति प्रोफ़ाइल को एक संतुलन कहा जाता है यदि किसी भी खिलाड़ी के लिए अपनी रणनीति से एकतरफा रूप से विचलित होकर अपेक्षित भुगतान से अधिक प्राप्त करना संभव नहीं है। प्रत्येक नैश संतुलन एक-संतुलन के बराबर होता है। औपचारिक रूप से, प्रत्येक खिलाड़ी और उपयोगिता कार्य के लिए एक्शन सेट के साथ एक खिलाड़ी खेल होना चाहिए। जब रणनीति प्रोफ़ाइल खेली जाती है तो खिलाड़ी को भुगतान को दर्शाते हैं। मान लीजिए कि संभावना वितरण का स्थान समाप्त हो गया है। रणनीतियों का एक वेक्टर एक-नैश संतुलन है यदि सभी अच्छी तरह से समर्थित अनुमानित संतुलन के लिए निम्नलिखित परिभाषा मजबूत आवश्यकता को लागू करती है कि एक खिलाड़ी केवल एक शुद्ध रणनीति को सकारात्मक संभावना निर्धारित कर सकता है यदि के भुगतान में सर्वोत्तम प्रतिक्रिया भुगतान से सबसे कम भुगतान की उम्मीद है। माना कि रणनीति प्रोफ़ाइल खेले जाने की संभावना है। खिलाड़ी के लिए इसके अलावा अन्य खिलाड़ियों की रणनीति प्रोफ़ाइल होनी चाहिए और एक शुद्ध रणनीति रणनीति प्रोफ़ाइल होनी चाहिए जहां खेल और अन्य खिलाड़ी खेलते हैं। जब रणनीति प्रोफ़ाइल का उपयोग किया जाता है तो इसका भुगतान होने दें। ε-नैश संतुलन के लिए एक बहुपद-समय सन्निकटन योजना (पी. टी. ए. एस.) का अस्तित्व इस सवाल के बराबर है कि क्या ε-अच्छी तरह से समर्थित अनुमानित नैश संतुलन के लिए एक मौजूद है, लेकिन पी. टी. ए. एस. का अस्तित्व एक खुली समस्या बनी हुई है। ε के स्थिर मानों के लिए, अनुमानित संतुलन के लिए बहुपद-समय एल्गोरिदम ε के कम मानों के लिए जाने जाते हैं जो अच्छी तरह से समर्थित अनुमानित संतुलन के लिए जाने जाते हैं। सीमा [0,1] और ε = 0.3393 में भुगतान वाले खेलों के लिए, ε-नैश संतुलन की गणना बहुपद समय में की जा सकती है [0,1] और ε = 2/3 की सीमा में भुगतान वाले खेलों के लिए, ε-अच्छी तरह से समर्थित संतुलन की गणना बहुपद समय में की जा सकती है उदाहरण संभावित अनंत अवधि के यादृच्छिक खेलों के सिद्धांत में ε-संतुलन की धारणा महत्वपूर्ण है। यादृच्छिक खेल के सरल उदाहरण हैं जिनमें कोई नैश संतुलन नहीं है, लेकिन 0 से सख्ती से बड़े किसी भी ε के लिए ε-संतुलन के साथ। शायद इस तरह का सबसे सरल उदाहरण एवरेट द्वारा सुझाए गए मैचिंग पेनीज़ का निम्नलिखित संस्करण है। खिलाड़ी 1 एक पैसा छुपाता है और खिलाड़ी 2 को अनुमान लगाना चाहिए कि यह ऊपर की ओर है या ऊपर की ओर। यदि खिलाड़ी 2 सही अनुमान लगाता है, तो वह खिलाड़ी 1 से पैसा जीतता है और खेल समाप्त हो जाता है। यदि खिलाड़ी 2 गलत अनुमान लगाता है कि पैसा ऊपर है, तो खेल दोनों खिलाड़ियों को शून्य भुगतान के साथ समाप्त होता है। यदि वह गलत अनुमान लगाता है कि उसकी पूंछ ऊपर है, तो खेल दोहराया जाता है। यदि खेल हमेशा के लिए जारी रहता है, तो दोनों खिलाड़ियों को भुगतान शून्य होता है। एक पैरामीटर ε> 0 को देखते हुए, कोई भी रणनीति प्रोफ़ाइल जहां खिलाड़ी 2 संभावना ε के साथ आगे बढ़ता है और संभावना 1-ε (खेल के हर चरण में, और पिछले चरणों से स्वतंत्र रूप से) के साथ आगे बढ़ता है, खेल के लिए एक ε-संतुलन है। इस तरह की रणनीति प्रोफ़ाइल में खिलाड़ी 2 का अपेक्षित भुगतान कम से कम 1-ε है। हालाँकि, यह देखना आसान है कि खिलाड़ी 2 के लिए ऐसी कोई रणनीति नहीं है जो बिल्कुल 1 के अपेक्षित भुगतान की गारंटी दे सके। इसलिए, खेल में कोई नैश संतुलन नहीं है। एक अन्य सरल उदाहरण टी अवधि के लिए सीमित रूप से दोहराया गया कैदी की दुविधा है, जहां टी अवधि में भुगतान औसत होता है। इस खेल का एकमात्र नैश संतुलन प्रत्येक अवधि में दोष का चयन करना है। अब दो रणनीतियों पर विचार करें-एक के लिए एक और गंभीर ट्रिगर। हालाँकि खेल के लिए न तो टाइट-फॉर-टेट और न ही गंभीर ट्रिगर नैश संतुलन हैं, लेकिन दोनों कुछ सकारात्मक के लिए-संतुलन हैं। के स्वीकार्य मूल्य घटक खेल के भुगतान और अवधि की संख्या टी पर निर्भर करते हैं। अर्थशास्त्र में, एक शुद्ध रणनीति एप्सिलॉन-संतुलन की अवधारणा का उपयोग तब किया जाता है जब मिश्रित रणनीति दृष्टिकोण को अवास्तविक के रूप में देखा जाता है। एक शुद्ध-रणनीति एप्सिलॉन-संतुलन में, प्रत्येक खिलाड़ी एक शुद्ध-रणनीति चुनता है जो अपनी सर्वश्रेष्ठ शुद्ध-रणनीति के एप्सिलॉन के भीतर होती है। उदाहरण के लिए, बर्ट्रेंड-एजवर्थ मॉडल में, जहां कोई शुद्ध-रणनीति संतुलन मौजूद नहीं है, एक शुद्ध-रणनीति एप्सिलॉन संतुलन मौजूद हो सकता है। संदर्भ इनलाइन उद्धरण स्रोत एच डिक्सन एक प्रतिकृति उद्योग में बर्ट्रेंड संतुलन, आर्थिक अध्ययन की समीक्षा, 54 (1987), पृष्ठ 47-62। एच. एवरेट। "पुनरावर्ती खेल"। एच. डब्ल्यू. में कुह्न और ए. डब्ल्यू. टकर, संपादक। खेलों के सिद्धांत में योगदान, वॉल्यूम। III, एनल्स ऑफ मैथमेटिकल स्टडीज का खंड 39। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 1957. 88 पृष्ठों का गणितीय परिचय; 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