Rigid unit modes
कठोर इकाई मोड (आर. यू. एम.) जाली कंपन या फोनोन के एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं जो क्वार्ट्ज, क्रिस्टोबालाइट या जिरकोनियम टंगस्टेट जैसी नेटवर्क सामग्री में मौजूद होते हैं। नेटवर्क सामग्री को परमाणुओं के पॉलीहेड्रल समूहों के त्रि-आयामी नेटवर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है जैसे कि SiO4 टेट्राहेड्रा या TiO6 ऑक्टाहेड्रा। आर. यू. एम. एक जाली कंपन है जिसमें पॉलीहेड्रा बिना विकृत किए अनुवाद और/या घूर्णन द्वारा स्थानांतरित करने में सक्षम होता है। क्रिस्टलीय सामग्री में आर. यू. एम. चश्मे में फ्लापी मोड के समकक्ष हैं, जैसा कि जिम फिलिप्स और माइक थोर्प द्वारा पेश किया गया था। कठोर इकाई विधियों में रुचि कठोर इकाई विधियों का विचार क्रिस्टलीय सामग्रियों के लिए विकसित किया गया था ताकि सिलिकेट्स जैसी सामग्रियों में विस्थापन चरण संक्रमणों की उत्पत्ति की समझ को सक्षम किया जा सके, जिन्हें कोने-पंक्तिबद्ध SiO4 और AlO4 टेट्राहेड्रा के अनंत त्रि-आयामी नेटवर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है। विचार यह था कि कठोर इकाई मोड विस्थापन चरण संक्रमण के लिए नरम मोड के रूप में कार्य कर सकते हैं। सिलिकेट्स में मूल कार्य से पता चला कि सिलिकेट्स में कई चरण परिवर्तनों को नरम मोड के संदर्भ में समझा जा सकता है जो आरयूएम हैं। विस्थापन चरण संक्रमणों पर मूल कार्य के बाद, आर. यू. एम. मॉडल को क्रिस्टोबालाइट जैसी सामग्री के अव्यवस्थित उच्च-तापमान चरणों की प्रकृति, जिओलाइट में गतिशीलता और स्थानीयकृत संरचनात्मक विकृतियों और नकारात्मक तापीय विस्तार को समझने के लिए भी लागू किया गया था। आरयूएम की उत्पत्ति को समझने का सबसे सरल तरीका नेटवर्क की बाधाओं की संख्या और स्वतंत्रता की डिग्री के बीच संतुलन पर विचार करना है, एक इंजीनियरिंग विश्लेषण जो जेम्स क्लर्क मैक्सवेल का है और जिसे जिम फिलिप्स और माइक थोर्प द्वारा अनाकार सामग्री के लिए पेश किया गया था। यदि बाधाओं की संख्या स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से अधिक है, तो संरचना कठोर होगी। दूसरी ओर, यदि स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बाधाओं की संख्या से अधिक है, तो संरचना अव्यवस्थित होगी। एक ऐसी संरचना के लिए जिसमें कोने से जुड़े टेट्राहेड्रा होते हैं (जैसे सिलिका में SiO4 टेट्राहेड्रा, SiO2) हम बाधाओं की संख्या और स्वतंत्रता की डिग्री को निम्नानुसार गिन सकते हैं। किसी दिए गए टेट्राहेड्रॉन के लिए, किसी भी कोने की स्थिति के तीन स्थानिक निर्देशांक (x, y, z) एक जुड़े हुए टेट्राहेड्रॉन के संबंधित कोने के स्थानिक निर्देशांक से मेल खाते हैं। इस प्रकार प्रत्येक कोने में तीन बाधाएँ हैं। ये दो जुड़े हुए टेट्राहेड्रा द्वारा साझा किए जाते हैं, इसलिए प्रत्येक टेट्राहेड्रॉन में डेढ़ बाधाओं का योगदान करते हैं। 4 कोने हैं, इसलिए हमारे पास प्रति टेट्राहेड्रॉन कुल 6 बाधाएं हैं। एक कठोर त्रि-आयामी वस्तु में 6 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम, 3 अनुवाद और 3 घूर्णन होते हैं। इस प्रकार बाधाओं की संख्या और स्वतंत्रता की डिग्री के बीच एक सटीक संतुलन है। (ध्यान दें कि हम परमाणुओं को मूल इकाइयाँ मानकर एक समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। संरचनात्मक टेट्राहेड्रॉन में 5 परमाणु होते हैं, लेकिन उनमें से 4 दो टेट्राहेड्रॉन द्वारा साझा किए जाते हैं, ताकि प्रति टेट्राहेड्रॉन 3 + 4 * 3/2 = 9 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम हो। इस तरह के टेट्राहेड्रॉन को एक साथ पकड़ने के लिए बाधाओं की संख्या 9 (4 दूरी और 5 कोण) है। इस संतुलन का मतलब यह है कि कोनों पर जुड़े संरचनात्मक टेट्राहेड्रा से बनी संरचना बिल्कुल कठोर और फ्लापी होने के बीच की सीमा पर होती है। ऐसा प्रतीत होता है कि समरूपता बाधाओं की संख्या को कम कर देती है ताकि क्वार्ट्ज और क्रिस्टोबालाइट जैसी संरचनाएं थोड़ी अव्यवस्थित हों और इस प्रकार कुछ आरयूएम का समर्थन करें। उपरोक्त विश्लेषण परमाणुओं के पॉलीहेड्रल समूहों से बनी किसी भी नेटवर्क संरचना पर लागू किया जा सकता है। एक उदाहरण संरचनाओं का पेरोव्स्काइट परिवार है, जिसमें कोने से जुड़े बी. एक्स. 6 ऑक्टाहेड्रा जैसे टी. आई. ओ. 6 या जेड. आर. ओ. 6 शामिल हैं। एक सरल गणना विश्लेषण वास्तव में सुझाव देगा कि ऐसी संरचनाएं कठोर हैं, लेकिन आदर्श घन चरण समरूपता में कुछ हद तक लचीलेपन की अनुमति है। जिरकोनियम टंगस्टेट, नकारात्मक तापीय विस्तार दिखाने वाली मूल सामग्री, में ZrO6 ऑक्टाहेड्रा और WO4 टेट्राहेड्रा होता है, जिसमें प्रत्येक WO4 टेट्राहेड्रा के कोनों में से एक में कोई संबंध नहीं होता है। गणना विश्लेषण से पता चलता है कि सिलिका की तरह, जिरकोनियम टंगस्टेट में बाधाओं की संख्या और स्वतंत्रता की डिग्री के बीच एक सटीक संतुलन है, और आगे के विश्लेषण से इस सामग्री में आरयूएम का अस्तित्व पता चला है। संदर्भ एंड्रयू पी. गिड्डी मार्टिन टी. डव जी. एस. पावले और वोल्कर हेन। फ्रेमवर्क क्रिस्टल संरचनाओं में विस्थापन चरण संक्रमणों के लिए संभावित नरम मोड के रूप में कठोर-इकाई मोड का निर्धारण केंटन डी. हैमंड्स, मार्टिन टी. डव, एंड्रयू पी. गिडी, वोल्कर हेन और ब्योर्न विंकलर। फ्रेमवर्क सिलिकेट्स में कठोर-इकाई फोनन मोड और संरचनात्मक चरण संक्रमण। मार्टिन टी. डव। खनिज में विस्थापन चरण संक्रमण का सिद्धांत। क्रिस्टलोग्राफी सामग्री विज्ञान