Anomalous cancellation
एक विसंगत रद्द या आकस्मिक रद्द एक विशेष प्रकार की अंकगणितीय प्रक्रियात्मक त्रुटि है जो संख्यात्मक रूप से सही उत्तर देती है। अंश और भाजक में अलग-अलग अंकों को रद्द करके एक अंश को कम करने का प्रयास किया जाता है। यह एक वैध ऑपरेशन नहीं है, और सामान्य रूप से सही उत्तर नहीं देता है, लेकिन कुछ दुर्लभ मामलों में परिणाम संख्यात्मक रूप से समान होता है जैसे कि एक सही प्रक्रिया लागू की गई थी। पीछे के शून्य को रद्द करने या जहां सभी अंक बराबर हैं, के तुच्छ मामलों को नजरअंदाज कर दिया जाता है। असंगत रद्दीकरण के उदाहरण जो अभी भी सही परिणाम उत्पन्न करते हैं, उनमें शामिल हैं (ये और उनके व्युत्क्रम आधार 10 में सभी मामले हैं जिनमें 1 से भिन्न अंश और दो अंकों के साथ): बोस का लेख आधार 10 के अलावा अन्य आधारों में दो अंकों के मामलों का विश्लेषण करता है, उदाहरण के लिए, = और इसका व्युत्क्रम आधार 4 में दो अंकों के साथ एकमात्र समाधान है। दो से अधिक अंकों के साथ विसंगत रद्दीकरण का एक उदाहरण = है, और अंकों की अलग-अलग संख्या वाला एक उदाहरण = है। प्राथमिक गुण जब आधार अभाज्य होता है, तो कोई दो अंकों का समाधान मौजूद नहीं होता है। इसे विरोधाभास से साबित किया जा सकता हैः मान लीजिए कि कोई समाधान मौजूद है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम कह सकते हैं कि यह समाधान वह जगह है जहाँ दोहरी ऊर्ध्वाधर रेखा अंकों के संयोजन को इंगित करती है। इस प्रकार, हमारे पास है लेकिन, क्योंकि वे आधार में अंक हैं; फिर भी विभाजित होता है, जिसका अर्थ है कि। इसलिए। दाहिने हाथ की ओर शून्य है, जिसका अर्थ है कि बाएं हाथ की ओर भी शून्य होना चाहिए, यानी, समस्या की परिभाषा के अनुसार एक विरोधाभास। (यदि, गणना हो जाती है, जो बहिष्कृत तुच्छ मामलों में से एक है।) एक अन्य विशेषता यह है कि आधार में समाधानों की संख्या विषम होती है यदि और केवल एक सम वर्ग हो। यह उपरोक्त के समान साबित किया जा सकता हैः मान लीजिए कि हमारे पास एक समाधान है फिर, वही हेरफेर करते हुए, हम पाते हैं मान लीजिए कि। फिर ध्यान दें कि यह भी समीकरण का एक समाधान है। यह लगभग समाधानों के समूह से अपने आप में एक अंतर्विरोध स्थापित करता है। लेकिन हम पाने के लिए भी प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिसका समाधान केवल तब होता है जब एक वर्ग होता है। जाने दीजिए। वर्गमूल लेना और पैदावार को फिर से व्यवस्थित करना। चूँकि सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक है, हम यह जानते हैं। यह ध्यान में रखते हुए कि, इसके ठीक-ठीक समाधान हैंः अर्थात, जब सम वर्ग होता है तो इसके समाधानों की विषम संख्या होती है। कथन के विपरीत को इस बात से साबित किया जा सकता है कि ये सभी समाधान प्रारंभिक आवश्यकताओं को पूरा करते हैं। हाउलर (गणित) गणितीय मजाक संदर्भ अंकगणितीय भी देखें।