Eilenberg–Zilber theorem
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, आइलेनबर्ग-जिल्बर प्रमेय एक उत्पाद स्थान के समरूपता समूहों और रिक्त स्थान और समरूपता समूहों के बीच संबंध स्थापित करने में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। यह प्रमेय पहली बार 1953 में सैमुअल आइलेनबर्ग और जोसेफ ए. जिल्बर द्वारा अमेरिकन जर्नल ऑफ मैथेमैटिक्स में प्रकाशित किया गया था। एक प्रमाण के लिए एक संभावित मार्ग चक्रीय मॉडल प्रमेय है। प्रमेय का कथन प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। मान लीजिए और टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, तो हमारे पास तीन श्रृंखला परिसर हैं, और। (तर्क सरल या एकवचन श्रृंखला परिसरों पर समान रूप से लागू होता है।) हमारे पास टेंसर उत्पाद परिसर भी है, जिसका अंतर, परिभाषा के अनुसार, के लिए और, पर अंतर है। फिर प्रमेय कहता है कि हमारे पास श्रृंखला मानचित्र हैं जो पहचान है और पहचान के लिए श्रृंखला-समस्थानिक है। इसके अलावा, नक्शे और में प्राकृतिक हैं। नतीजतन दोनों परिसरों में एक ही समरूपता होनी चाहिएः समग्र मानचित्रों के संदर्भ में कथन मूल प्रमेय को चक्रीय मॉडल के संदर्भ में साबित किया गया था, लेकिन स्पष्ट मानचित्रों का उपयोग करके आइलेनबर्ग और मैक लेन द्वारा एक वाक्यांश में अधिक लाभ प्राप्त किया गया था। उनके द्वारा निर्मित मानक मानचित्र को पारंपरिक रूप से अलेक्जेंडर-व्हिटनी मानचित्र और आइलेनबर्ग-जिल्बर मानचित्र के रूप में संदर्भित किया जाता है। नक्शे दोनों में प्राकृतिक और होमोटॉपी तक व्युत्क्रम हैंः एक में दोनों में प्राकृतिक होमोटॉपी होती है और इस तरह कि आगे, प्रत्येक में, और शून्य होता है। यह वह है जिसे संकुचन या होमोटॉपी रिट्रेक्ट डेटम के रूप में जाना जाएगा। सह-उत्पाद विकर्ण मानचित्र सह-श्रृंखला परिसरों के एक मानचित्र को प्रेरित करता है, जिसके बाद अलेक्जेंडर-व्हिटनी एक सह-उत्पाद देता है जो मानक सह-उत्पाद को प्रेरित करता है। और पर इन सह-उत्पादों के संबंध में, मानचित्र, जिसे आइलेनबर्ग-जिल्बर मानचित्र भी कहा जाता है, अंतर श्रेणीबद्ध कोलजेब्रा का मानचित्र बन जाता है। यौगिक स्वयं कोलजेब्रा का नक्शा नहीं है। कोहोमोलॉजी में कथन अलेक्जेंडर-व्हिटनी और आइलेनबर्ग-जिल्बर मानचित्रों की एक जोड़ी के लिए दोहरीकरण (एकता के साथ परिवर्तनीय गुणांक रिंग के किसी भी विकल्प पर) करते हैं जो समरूपता समकक्ष भी हैं, जैसा कि पूर्ववर्ती समीकरणों के युगल द्वारा देखा गया है, दोहरी समरूपता का उपयोग करते हुए। सह-उत्पाद सीधे दोहरीकरण नहीं करता है, क्योंकि दोहरीकरण असीम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के टेंसर उत्पादों पर वितरित नहीं करता है, लेकिन गुणांक रिंग में लिए जा रहे उत्पाद द्वारा दिए गए अंतर श्रेणीबद्ध बीजगणित का एक प्राकृतिक इंजेक्शन है। यह कोहोमोलॉजी में एक समरूपता को प्रेरित करता है, इसलिए किसी के पास डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित मानचित्रों का ज़िग-ज़ैग होता है जो कोहोमोलॉजी में एक उत्पाद को प्रेरित करता है, जिसे कप उत्पाद के रूप में जाना जाता है, क्योंकि और समरूपता हैं। इसके साथ बदलने से सभी नक्शे एक ही तरह से जाते हैं, किसी को कोचेन पर मानक कप उत्पाद मिलता है, जो स्पष्ट रूप से दिया जाता है, जो, क्योंकि कोचेन मूल्यांकन तब तक गायब हो जाता है जब तक कि, अधिक परिचित अभिव्यक्ति तक कम न हो जाए। ध्यान दें कि यदि कोचेन परिसरों का यह प्रत्यक्ष मानचित्र वास्तव में विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित का एक मानचित्र था, तो कप उत्पाद एक परिवर्तनीय श्रेणीबद्ध बीजगणित बनाएगा, जो ऐसा नहीं है। अलेक्जेंडर-व्हिटनी मानचित्र की कोलजेब्रा मानचित्र होने की यह विफलता गैर-शून्य विशेषता के क्षेत्रों पर कोहोमोलॉजी के लिए कम्यूटेटिव कोचेन-स्तर के मॉडल की अनुपलब्धता का एक उदाहरण है, और इस प्रकार एक तरह से स्थिर समरूपता सिद्धांत में अधिकांश सूक्ष्मता और जटिलता के लिए जिम्मेदार है। सामान्यीकरण क्रॉस किए गए परिसरों का उपयोग करके गैर-एबेलियन मामले का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण नीचे एंड्रयू टोंक्स द्वारा पेपर में दिया गया है। यह एक पार किए गए परिसर के (सरल) वर्गीकरण स्थान पर परिणाम का पूरा विवरण देता है, लेकिन रोनाल्ड ब्राउन और फिलिप जे. हिगिंस द्वारा वर्गीकृत स्थानों पर पेपर में साबित नहीं किया गया है। परिणाम आइलेनबर्ग-जिल्बर प्रमेय कुनेथ प्रमेय की स्थापना में एक प्रमुख घटक है, जो समरूपता समूहों को और के संदर्भ में व्यक्त करता है। आइलेनबर्ग-जिल्बर प्रमेय के आलोक में, कुनेथ प्रमेय की सामग्री में यह विश्लेषण करना शामिल है कि टेंसर उत्पाद परिसर की समरूपता कारकों के समरूपता से कैसे संबंधित है। चक्रीय मॉडल संदर्भ भी देखें। .. .. .. बीजगणितीय टोपोलॉजी में समरूपीय बीजगणित प्रमेय