Hardy–Littlewood maximal function
गणित में, हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम प्रचालक एम एक महत्वपूर्ण गैर-रैखिक प्रचालक है जिसका उपयोग वास्तविक विश्लेषण और हार्मोनिक विश्लेषण में किया जाता है। परिभाषा प्रचालक स्थानीय रूप से समाकलनीय फलन f: Rd → C लेता है और एक अन्य फलन Mf देता है। किसी भी बिंदु x ω Rd के लिए, फलन Mf वास्तविक के एक सेट का अधिकतम देता है, अर्थात् x पर किसी भी त्रिज्या r की सभी गेंदों B (x, r) के लिए f के औसत मूल्यों का सेट। औपचारिक रूप से, जहाँ |E। एक उपसमुच्चय ई आर डी के डी-आयामी लेबस्ग्यू माप को दर्शाता है। औसत x और r में संयुक्त रूप से निरंतर हैं, इसलिए अधिकतम फलन Mf, r> 0 पर सर्वोच्च होने के कारण, मापने योग्य है। यह स्पष्ट नहीं है कि एम. एफ. लगभग हर जगह सीमित है। यह हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता का परिणाम है। हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता जी. एच. हार्डी और जे. ई. लिटिलवुड की इस प्रमेय में कहा गया है कि एम, पी> 1 के लिए एलपी (आरडी) से स्वयं तक एक उपरेखीय प्रचालक के रूप में बंधा हुआ है। अर्थात्, यदि f ω Lp (Rd) है तो अधिकतम फलन Mf कमजोर L1-बाउंडेड और Mf ω Lp (Rd) है। प्रमेय को अधिक सटीक रूप से बताने से पहले, सरलता के लिए, मान लीजिए कि {f> t} सेट {x। f (x)> t} को दर्शाता है। अब हमारे पास हैः प्रमेय (कमजोर प्रकार का अनुमान)। d ≤ 1 के लिए, एक स्थिरांक Cd> 0 है जैसे कि सभी λ> 0 और f ≤ L1 (Rd) के लिए, हमारे पास हैः हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता के साथ, निम्नलिखित मजबूत प्रकार का अनुमान मार्सिंकिविक्ज़ अंतर्वेशन प्रमेय का तत्काल परिणाम हैः प्रमेय (मजबूत प्रकार का अनुमान)। d ≤1,1 <p ≤ ≤, और f ≤ Lp (Rd) के लिए, एक स्थिर Cp, d> 0 ऐसा है कि मजबूत प्रकार के अनुमान में Cp के लिए सबसे अच्छी सीमाएँ, d अज्ञात हैं। हालांकि बाद में एलियास एम. स्टीन ने निम्नलिखित को साबित करने के लिए घूर्णन की काल्डेरॉन-ज़िगमंड विधि का उपयोग कियाः प्रमेय (आयाम स्वतंत्रता)। जबकि इस प्रमेय के कई प्रमाण हैं, एक सामान्य प्रमाण नीचे दिया गया हैः p = φ के लिए, असमानता तुच्छ है (क्योंकि किसी फलन का औसत उसके आवश्यक सर्वोच्च से बड़ा नहीं है)। 1 <p <≤ के लिए, पहले हम कमजोर प्रकार के अनुमान को साबित करने के लिए विटाली कवर लेम्मा के निम्नलिखित संस्करण का उपयोग करेंगे। (लेम्मा के प्रमाण के लिए लेख देखें।) लेम्मा। मान लीजिए कि X एक अलग करने योग्य मीट्रिक स्थान और बंधी हुई व्यास वाली खुली गेंदों का एक परिवार है। फिर एक गणना योग्य उप-परिवार होता है जिसमें असंबद्ध गेंदें होती हैं जैसे कि 5 बी 5 गुना त्रिज्या के साथ बी है। यदि Mf (x)> t, तो, परिभाषा के अनुसार, हम x पर केंद्रित एक गेंद Bx पा सकते हैं जैसे कि लेम्मा द्वारा, हम ऐसी गेंदों के बीच, असंबद्ध गेंदों Bj का एक क्रम पा सकते हैं जैसे कि 5Bj का मिलन {Mf> t} को कवर करता है। यह इस प्रकार हैः यह कमजोर प्रकार के अनुमान के प्रमाण को पूरा करता है। इसके बाद हम एल. पी. सीमा का अनुमान लगाते हैं। b को b (x) = f (x) से परिभाषित करें यदि |f (x)।> t/2 और अन्यथा 0। बी पर लागू कमजोर प्रकार के अनुमान से, हमारे पास हैः सी = 5 डी के साथ। फिर उपरोक्त अनुमान से हमारे पास हैः जहाँ स्थिरांक Cp केवल p और d पर निर्भर करता है। यह प्रमेय के प्रमाण को पूरा करता है। ध्यान दें कि प्रमाण में स्थिरांक को लेबेस्ग्यू माप की आंतरिक नियमितता और लेम्मा को कवर करने वाले विटाली के सीमित संस्करण का उपयोग करके सुधार किया जा सकता है। स्थिरांक को अनुकूलित करने के बारे में अधिक जानकारी के लिए नीचे चर्चा अनुभाग देखें। अनुप्रयोग हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता के कुछ अनुप्रयोगों में निम्नलिखित परिणामों को साबित करना शामिल हैः लेबस्ग्यू विभेदन प्रमेय राडेमाकर विभेदन प्रमेय गैर-स्पर्शज अभिसरण पर फातो की प्रमेय। यहाँ हम लेबस्ग्यू विभेदन प्रमेय का त्वरित प्रमाण देने के लिए अधिकतम फलन को शामिल करते हुए एक मानक चाल का उपयोग करते हैं। (लेकिन याद रखें कि अधिकतम प्रमेय के प्रमाण में, हमने विटाली कवर लेम्मा का उपयोग किया था।) मान लीजिए कि f ω L1 (Rn) और जहाँ हम f = h + g लिखते हैं जहाँ h निरंतर है और इसका कॉम्पैक्ट समर्थन है और g ω L1 (Rn) मानक के साथ जिसे मनमाना छोटा बनाया जा सकता है। फिर निरंतरता से। अब, ωg ≤ 2Mg और इसलिए, प्रमेय के अनुसार, हमारे पास हैः अब, हम लगभग हर जगह ωf = 0 को मान सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं; अर्थात, लगभग सभी x के लिए मौजूद है। यह दिखाना बाकी है कि सीमा वास्तव में f (x) के बराबर है। लेकिन यह आसान हैः यह ज्ञात है कि (पहचान का अनुमान) और इस प्रकार लगभग हर जगह एक अनुगामी है। सीमा की विशिष्टता से, fr → f लगभग हर जगह। चर्चा यह अभी भी अज्ञात है कि उपरोक्त असमानताओं में सबसे छोटे स्थिरांक Cp, d और Cd क्या हैं। हालांकि, गोलाकार अधिकतम कार्यों के बारे में एलियास स्टीन के परिणाम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि, 1 <p <φ के लिए, हम आयाम पर Cp, d की निर्भरता को हटा सकते हैं, यानी, केवल p के आधार पर कुछ स्थिरांक Cp> 0 के लिए Cp, d = Cp। यह अज्ञात है कि क्या कोई कमजोर सीमा है जो आयाम से स्वतंत्र है। हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमल ऑपरेटर के कई सामान्य रूप हैं जो सेट के विभिन्न परिवारों पर औसत के साथ केंद्रित गेंदों पर औसत को प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी गैर-केंद्रित एच. एल. अधिकतम प्रचालक (स्टीन-शकरची के संकेतन का उपयोग करके) को परिभाषित कर सकता है, जहां गेंद बी. एक्स. में एक्स पर केंद्रित होने के बजाय केवल एक्स होना आवश्यक है। डायडिक एच. एल. मैक्सिमल प्रचालक भी होता है जहाँ क्यू. एक्स. बिंदु x वाले सभी डायडिक क्यूब्स पर होता है। ये दोनों प्रचालक एच. एल. अधिकतम असमानता को संतुष्ट करते हैं। राइजिंग सन लेम्मा रेफरेंस जॉन बी. गार्नेट, बाउंडेड एनालिटिक फंक्शंस भी देखें। स्प्रिंगर-वेरलैग, 2006 एंटोनियोस डी. मेलास, द बेस्ट कांस्टेंट फॉर द सेंटर्ड हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमल इनइक्वालिटी, एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स, 157 (2003), रामी शकरची और एलियास एम. स्टीन, प्रिंसटन लेक्चर्स इन एनालिसिस III: रियल एनालिसिस। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2005 एलियास एम. स्टीन, मैक्सिमल फ़ंक्शंसः स्फेरिकल मीन्स, प्रोसी। नताल। एके. विज्ञान. यू. एस. ए. 73 (1976), एलियास एम. स्टीन, सिंगुलर इंटीग्रल्स एंड डिफ्रेंटिएबिलिटी प्रॉपर्टीज ऑफ फंक्शंस। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 1971 गेराल्ड टेशल, वास्तविक और कार्यात्मक विश्लेषण में विषय (व्याख्यान टिप्पणियाँ) वास्तविक विश्लेषण हार्मोनिक विश्लेषण कार्यों के प्रकार