Orr–Sommerfeld equation
ओर-सोमरफेल्ड समीकरण, द्रव गतिकी में, एक आइगेनवैल्यू समीकरण है जो एक चिपचिपा समानांतर प्रवाह के लिए विक्षोभ के रैखिक दो-आयामी तरीकों का वर्णन करता है। एक समानांतर, लैमिनार प्रवाह के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का समाधान अस्थिर हो सकता है यदि प्रवाह पर कुछ शर्तों को पूरा किया जाता है, और ऑर-सोमरफेल्ड समीकरण ठीक से निर्धारित करता है कि हाइड्रोडायनामिक स्थिरता के लिए क्या स्थितियां हैं। समीकरण का नाम विलियम मैकफैडेन ऑर और अर्नोल्ड सॉमरफेल्ड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 20वीं शताब्दी की शुरुआत में प्राप्त किया था। सूत्र समीकरण विक्षोभ वेग क्षेत्र के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण के एक रैखिक संस्करण को हल करके प्राप्त किया जाता है, जहां अबाधित या मूल प्रवाह होता है। विक्षोभ वेग में तरंग जैसा समाधान होता है (वास्तविक भाग समझा जाता है)। इस ज्ञान और प्रवाह के लिए धारा फलन प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, ऑर-सोमरफेल्ड समीकरण का निम्नलिखित आयामी रूप प्राप्त किया जाता हैः, जहाँ द्रव की गतिशील चिपचिपाहट है, उसका घनत्व है, और संभावित या धारा कार्य है। शून्य चिपचिपाहट () के मामले में, समीकरण रेले के समीकरण में कम हो जाता है। समीकरण को कुछ विशिष्ट वेग द्वारा निर्धारित पैमाने के अनुसार वेगों को मापकर और चैनल की गहराई के अनुसार लंबाई को मापकर गैर-आयामी रूप में लिखा जा सकता है। फिर समीकरण रूप लेता है, जहां आधार प्रवाह की रेनॉल्ड्स संख्या है। प्रासंगिक सीमा स्थितियाँ चैनल के ऊपर और नीचे नो-स्लिप सीमा स्थितियाँ हैं और उस मामले में जहां संभावित कार्य है। or: at और उस मामले में जहाँ धारा फलन है। समस्या का आइगेनवैल्यू पैरामीटर है और आइगेनवेक्टर है। यदि तरंग गति का काल्पनिक भाग सकारात्मक है, तो आधार प्रवाह अस्थिर है, और प्रणाली में शुरू की गई छोटी गड़बड़ी समय के साथ बढ़ जाती है। समाधान सबसे सरल वेग प्रोफाइल को छोड़कर सभी के लिए, समाधान की गणना करने के लिए संख्यात्मक या एसिम्प्टोटिक विधियों की आवश्यकता होती है। कुछ विशिष्ट प्रवाह रूपरेखाओं पर नीचे चर्चा की गई है। सामान्य तौर पर, समीकरण का वर्णक्रम एक सीमित प्रवाह के लिए असतत और अनंत होता है, जबकि असीम प्रवाहों (जैसे सीमा-परत प्रवाह) के लिए, वर्णक्रम में निरंतर और असतत दोनों भाग होते हैं। समतल पोइसेउइल प्रवाह के लिए, यह दिखाया गया है कि प्रवाह अस्थिर है (अर्थात। एक या अधिक आइगेनवैल्यूज में एक सकारात्मक काल्पनिक भाग होता है) कुछ के लिए जब और होने पर तटस्थ रूप से स्थिर मोड,। प्रणाली के स्थिरता गुणों को देखने के लिए, एक फैलाव वक्र को प्लॉट करने की प्रथा है, जो कि तरंग संख्या के एक कार्य के रूप में विकास दर का एक प्लॉट है। पहला आंकड़ा ऊपर सूचीबद्ध महत्वपूर्ण मूल्यों पर ओर-सोमरफेल्ड समीकरण के वर्णक्रम को दर्शाता है। यह जटिल तल में आइगेनवैल्यूज (रूप में) का एक प्लॉट है। सबसे दाहिना आइगेनवैल्यू सबसे अस्थिर होता है। रेनॉल्ड्स संख्या और तरंग संख्या के महत्वपूर्ण मूल्यों पर, सबसे सही आइगेनवैल्यू बिल्कुल शून्य है। रेनॉल्ड्स संख्या के उच्च (निम्न) मूल्यों के लिए, सबसे सही आइगेनवैल्यू जटिल तल के सकारात्मक (नकारात्मक) आधे में स्थानांतरित हो जाता है। फिर, स्थिरता गुणों की एक पूर्ण तस्वीर एक प्लॉट द्वारा दी जाती है जो इस आइगेनवैल्यू की कार्यात्मक निर्भरता को प्रदर्शित करती है; यह दूसरी आकृति में दिखाया गया है। दूसरी ओर, कौएट प्रवाह के लिए आईगन मानों का वर्णक्रम सभी रेनॉल्ड्स संख्याओं पर स्थिरता को इंगित करता है। हालांकि, प्रयोगों में, कौएट प्रवाह को अस्थिर से छोटे, लेकिन सीमित, गड़बड़ी के लिए पाया जाता है, जिसके लिए रैखिक सिद्धांत और ऑर-सॉमरफेल्ड समीकरण लागू नहीं होते हैं। यह तर्क दिया गया है कि कौएट (और वास्तव में, पोइसेउइल) प्रवाह से जुड़ी आइगेनवैल्यू समस्या की गैर-सामान्यता उस देखी गई अस्थिरता की व्याख्या कर सकती है। अर्थात्, ऑर-सॉमरफेल्ड प्रचालक के आइगेनफ़ंक्शंस पूर्ण हैं लेकिन गैर-ऑर्थोगोनल हैं। फिर, विक्षोभ की ऊर्जा में ऑर-सोमरफेल्ड समीकरण के सभी आइगेनफ़ंक्शंस का योगदान होता है। यहां तक कि अगर अलग से माने जाने वाले प्रत्येक आइगेनवैल्यू से जुड़ी ऊर्जा समय के साथ तेजी से क्षय हो रही है (जैसा कि कौएट प्रवाह के लिए ऑर-सोमरफेल्ड विश्लेषण द्वारा भविष्यवाणी की गई है), तो आइगेनवैल्यू की गैर-ऑर्थोगोनलिटी से उत्पन्न होने वाले क्रॉस शब्द क्षणिक रूप से बढ़ सकते हैं। इस प्रकार, कुल ऊर्जा क्षणिक रूप से बढ़ती है (शून्य की ओर स्पर्शोन्मुख रूप से झुकने से पहले)। तर्क यह है कि यदि इस क्षणिक वृद्धि का परिमाण पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो यह लैमिनार प्रवाह को अस्थिर कर देता है, हालांकि इस तर्क को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया गया है। संक्रमण की व्याख्या करने वाला एक अरैखिक सिद्धांत भी प्रस्तावित किया गया है। हालाँकि उस सिद्धांत में रैखिक क्षणिक वृद्धि शामिल है, लेकिन ध्यान 3डी अरैखिक प्रक्रियाओं पर है जिन पर कतरनी प्रवाह में अशांति में संक्रमण के लिए दृढ़ता से संदेह किया जाता है। इस सिद्धांत ने तथाकथित पूर्ण 3डी स्थिर अवस्थाओं, यात्रा तरंगों और नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समय-आवधिक समाधानों का निर्माण किया है जो अशांत कतरनी प्रवाह के निकट दीवार क्षेत्र में देखे गए संक्रमण और सुसंगत संरचनाओं की कई प्रमुख विशेषताओं को पकड़ते हैं। भले ही "समाधान" आमतौर पर एक विश्लेषणात्मक परिणाम के अस्तित्व का तात्पर्य है, लेकिन द्रव यांत्रिकी में संख्यात्मक परिणामों को "समाधान" के रूप में संदर्भित करना आम बात है-भले ही अनुमानित समाधान गणितीय रूप से संतोषजनक तरीके से नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को संतुष्ट करते हैं या नहीं। यह माना जाता है कि अशांति में संक्रमण में एक समाधान से दूसरे समाधान में विकसित होने वाले तरल पदार्थ की गतिशील स्थिति शामिल होती है। इस प्रकार यह सिद्धांत ऐसे समाधानों के वास्तविक अस्तित्व पर आधारित है (जिनमें से कई अभी तक एक भौतिक प्रयोगात्मक व्यवस्था में देखे जाने बाकी हैं)। सटीक समाधानों की आवश्यकता पर यह छूट बहुत अधिक लचीलेपन की अनुमति देती है, क्योंकि कठोरता और (संभवतः) शुद्धता की कीमत पर सटीक समाधान प्राप्त करना (संख्यात्मक समाधानों के विपरीत) बेहद मुश्किल है। इस प्रकार, भले ही संक्रमण के लिए पिछले दृष्टिकोणों की तरह कठोर नहीं है, लेकिन इसने अपार लोकप्रियता हासिल की है। हाल ही में छिद्रपूर्ण मीडिया में प्रवाह के लिए ऑर-सोमरफेल्ड समीकरण के विस्तार का सुझाव दिया गया है। मुक्त-सतह प्रवाह के लिए गणितीय विधियाँ कौएट प्रवाह के लिए, ओर-सोमरफेल्ड समीकरण के समाधान में गणितीय प्रगति करना संभव है। इस खंड में, इस विधि का एक प्रदर्शन मुक्त-सतह प्रवाह के मामले के लिए दिया गया है, यानी जब चैनल के ऊपरी ढक्कन को एक मुक्त सतह द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सबसे पहले ध्यान दें कि मुक्त सतह को ध्यान में रखते हुए ऊपरी सीमा स्थितियों को संशोधित करना आवश्यक है। गैर-आयामी रूप में, इन शर्तों को अब,, पर पढ़ा जाता है। पहली मुक्त-सतह स्थिति स्पर्शरेखा तनाव की निरंतरता का कथन है, जबकि दूसरी स्थिति सामान्य तनाव को सतह तनाव से संबंधित करती है। यहाँ क्रमशः फ्राउड और वेबर संख्याएँ दी गई हैं। कौएट प्रवाह के लिए, गैर-आयामी ऑर-सॉमरफेल्ड समीकरण के चार रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, जहाँ पहली तरह का ऐरी फलन है। चार सीमा स्थितियों में सुपरपोजिशन समाधान के प्रतिस्थापन से चार अज्ञात स्थिरांकों में चार समीकरण मिलते हैं। समीकरणों के गैर-तुच्छ समाधान के लिए, निर्धारक शर्त को संतुष्ट किया जाना चाहिए। यह अज्ञात सी में एक एकल समीकरण है, जिसे संख्यात्मक रूप से या एसिम्प्टोटिक तरीकों से हल किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि तरंगों की संख्या की एक श्रृंखला के लिए और पर्याप्त रूप से बड़ी रेनॉल्ड्स संख्या के लिए, विकास दर सकारात्मक है। गुरुत्वाकर्षण धूमकेतु-क्षुद्रग्रह को मजबूर करने वाली घटनाओं को भी देखें गुरुत्वाकर्षण तरंग ली तरंगें दुष्ट तरंग संदर्भ आगे पढ़ने के लिए द्रव गतिकी द्रव गतिकी समीकरण द्रव गतिशील अस्थिरता डीः रेखा स्थिर tstheorie#Orr-सोमरफेल्ड-ग्लीचुंग