G-ring
परिवर्तनीय बीजगणित में, एक जी-रिंग या ग्रोथेन्डिक रिंग एक नोएथेरियन रिंग है जैसे कि इसके किसी भी स्थानीय रिंग का पूरा होने तक का नक्शा नियमित (नीचे परिभाषित) होता है। बीजगणितीय ज्यामिति या संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक रूप से पाए जाने वाले लगभग सभी नोएथेरियन रिंग जी-रिंग हैं, और नोएथेरियन रिंग के उदाहरणों का निर्माण करना काफी कठिन है जो जी-रिंग नहीं हैं। इस अवधारणा का नाम अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक के नाम पर रखा गया है। एक रिंग जो जी-रिंग और जे-2 रिंग दोनों है, उसे अर्ध-उत्कृष्ट रिंग कहा जाता है, और यदि इसके अलावा यह सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी है तो इसे एक उत्कृष्ट रिंग कहा जाता है। परिभाषा A (नोएथेरियन) रिंग R जिसमें एक क्षेत्र k होता है, उसे k पर ज्यामितीय रूप से नियमित कहा जाता है यदि k के किसी भी सीमित विस्तार K के लिए रिंग R·kK एक नियमित रिंग है। आर से एस तक के रिंगों के समरूपता को नियमित कहा जाता है यदि यह सपाट है और प्रत्येक पी के लिए विशिष्टता (आर) फाइबर एस आर के (पी) पी के अवशिष्ट क्षेत्र के (पी) पर ज्यामितीय रूप से नियमित है। (पोपेस्कू की प्रमेय भी देखें।) एक रिंग को स्थानीय जी-रिंग कहा जाता है यदि यह एक नोएथेरियन स्थानीय रिंग है और इसके पूरा होने का नक्शा (इसके अधिकतम आदर्श के संबंध में) नियमित है। एक रिंग को जी-रिंग कहा जाता है यदि यह नोथेरियन है और प्रमुख आदर्शों पर इसके सभी स्थानीयकरण स्थानीय जी-रिंग हैं। (केवल अधिकतम आदर्शों के लिए इसकी जाँच करना पर्याप्त है, इसलिए विशेष रूप से स्थानीय जी-रिंग जी-रिंग हैं।) उदाहरण प्रत्येक क्षेत्र एक जी-रिंग है प्रत्येक पूर्ण नोएथेरियन स्थानीय रिंग एक जी-रिंग है आर या सी पर चर की एक सीमित संख्या में अभिसारी शक्ति श्रृंखला की प्रत्येक रिंग एक जी-रिंग है। विशेषता 0 में प्रत्येक डेडेकाइंड डोमेन, और विशेष रूप से पूर्णांक की रिंग, एक जी-रिंग है, लेकिन सकारात्मक विशेषता में डेडेकाइंड डोमेन (और यहां तक कि असतत मूल्यांकन रिंग) भी हैं जो जी-रिंग नहीं हैं। जी-रिंग का प्रत्येक स्थानीयकरण एक जी-रिंग है जी-रिंग पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित एक जी-रिंग है। यह ग्रोथेन्डिक के कारण एक प्रमेय है। यहाँ विशिष्ट पी> 0 के एक असतत मूल्यांकन रिंग ए का एक उदाहरण दिया गया है जो जी-रिंग नहीं है। यदि k विशेषता p का कोई भी क्षेत्र है जिसमें [k: kp] = ini और R = k [[x]] है और A शक्ति श्रृंखला की उप-वलयिका है जैसे कि [kp (a0, a1,.): kp] परिमित है तो सामान्य बिंदु पर A का औपचारिक तंतु ज्यामितीय रूप से नियमित नहीं है इसलिए A एक G-वलय नहीं है। यहाँ kp फ्रोबेनियस आकृतिवाद a → ap के तहत k की छवि को दर्शाता है। संदर्भ ए. ग्रोथेन्डिक, जे. ड्यूडोन, एलेमेंट्स डी जियोमेट्री एल्गेब्रिक IV पब्ल। गणित। आई. एच. ई. एस. 24 (1965), धारा 7 एच. मात्सुमुरा, कम्यूटेटिव बीजगणित, अध्याय 13। कम्यूटेटिव बीजगणित