Large deviations of Gaussian random functions
एक यादृच्छिक फलन-या तो एक चर (एक यादृच्छिक प्रक्रिया), या दो या दो से अधिक चर (एक यादृच्छिक क्षेत्र)-को गौसियन कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित-आयामी वितरण एक बहुभिन्न सामान्य वितरण है। ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण में विसंगतियों का विश्लेषण करते समय गोले पर गौसी यादृच्छिक क्षेत्र उपयोगी होते हैं (उदाहरण के लिए) (देखें, पीपी। 8-9); पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन टोमोग्राफी द्वारा प्राप्त मस्तिष्क की छवियाँ (देखें, पीपी. 9-10)। कभी-कभी, एक गौसी यादृच्छिक फलन का मान कई मानक विचलनों द्वारा अपने अपेक्षित मूल्य से विचलित हो जाता है। यह एक बड़ा विचलन है। हालांकि एक छोटे से क्षेत्र (स्थान या/और समय) में दुर्लभ, बड़े क्षेत्र में बड़े विचलन काफी सामान्य हो सकते हैं। बुनियादी कथन (द्वि-आयामी) गोले पर एक गौसी यादृच्छिक फलन का अधिकतम मान माना जाता है। मान लीजिए कि का अपेक्षित मान (गोले के प्रत्येक बिंदु पर) है, और का मानक विचलन (गोले के प्रत्येक बिंदु पर) है। फिर, बड़े के लिए, के करीब है, कहाँ वितरित किया जाता है (मानक सामान्य वितरण), और एक स्थिरांक है; यह निर्भर नहीं करता है, लेकिन के सहसंबंध कार्य पर निर्भर करता है (नीचे देखें)। सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि बड़े के लिए तेजी से घटती है। किसी दिए गए बिंदु (गोले के) पर दिए गए दिशा (गोले के स्पर्शरेखा) के दिशात्मक व्युत्पन्न के संदर्भ में वर्णित महत्वपूर्ण विशेष मामले में स्थिरांक का निर्धारण करना आसान है। व्युत्पन्न यादृच्छिक है, शून्य अपेक्षा और कुछ मानक विचलन के साथ। बाद वाला बिंदु और दिशा पर निर्भर हो सकता है। हालाँकि, यदि यह निर्भर नहीं करता है, तो यह (त्रिज्या के गोले के लिए) के बराबर है। इससे पहले का गुणांक वास्तव में गोले की यूलर विशेषता है (टोरस के लिए यह गायब हो जाता है)। यह माना जाता है कि दो बार लगातार अवकलनीय (लगभग निश्चित रूप से) है, और एक ही बिंदु पर अपने अधिकतम (लगभग निश्चित रूप से) तक पहुंच जाता है। क्लूः मीन यूलर विशेषता ऊपर चित्रित सिद्धांत का क्लू, सभी बिंदुओं (गोले के) के सेट की यूलर विशेषता है। इसके अपेक्षित मूल्य (दूसरे शब्दों में, औसत मूल्य) की गणना स्पष्ट रूप से की जा सकती हैः (जो तुच्छ होने से बहुत दूर है, और इसमें पोइनकेयर-हॉफ प्रमेय, गॉस-बोनट प्रमेय, राइस का सूत्र आदि शामिल हैं)। सेट खाली सेट है जब भी; इस मामले में। दूसरे मामले में, जब सेट खाली नहीं होता है; इसकी यूलर विशेषता सेट की टोपोलॉजी (जुड़े हुए घटकों की संख्या, और इन घटकों में संभावित छेद) के आधार पर विभिन्न मान ले सकती है। हालांकि, अगर बड़ा है और फिर सेट आमतौर पर एक छोटा, थोड़ा विकृत डिस्क या दीर्घवृत्त होता है (जिसका अनुमान लगाना आसान है, लेकिन साबित करना काफी मुश्किल है)। इस प्रकार, इसकी यूलर विशेषता आमतौर पर (इसे देखते हुए) के बराबर होती है। यही कारण है कि यह करीब है। आगे पढ़ने के लिए ऊपर दिया गया मूल कथन एडलर द्वारा बताए गए बहुत अधिक सामान्य (और कठिन) सिद्धांत का एक सरल विशेष मामला है। इस विशेष मामले की विस्तृत प्रस्तुति के लिए सिरेलसन के व्याख्यान देखें। यादृच्छिक प्रक्रियाएँ