Power sum symmetric polynomial
गणित में, विशेष रूप से कम्यूटेटिव बीजगणित में, शक्ति योग सममित बहुपद सममित बहुपदों के लिए एक प्रकार का मूल निर्माण खंड है, इस अर्थ में कि परिमेय गुणांक वाले प्रत्येक सममित बहुपद को परिमेय गुणांक वाले शक्ति योग सममित बहुपदों के गुणनखंडों के योग और अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हालांकि, अभिन्न गुणांक के साथ प्रत्येक सममित बहुपद शक्ति-योग बहुपदों के उत्पादों के अभिन्न संयोजन से उत्पन्न नहीं होता हैः वे परिमेय पर एक उत्पन्न करने वाला सेट हैं, लेकिन पूर्णांक पर नहीं। परिभाषा चर x1,., xn में डिग्री k का घात योग सममित बहुपद, k = 0,1,2,. के लिए लिखित pk, चर की सभी kth शक्तियों का योग है। औपचारिक रूप से, इन बहुपदों में से पहले कुछ इस प्रकार हैं, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, चर में डिग्री का एक घात योग सममित बहुपद मौजूद है। घात राशि सममित बहुपदों के उत्पादों के सभी अभिन्न रैखिक संयोजनों को लेकर बनाई गई बहुपद वलय एक परिवर्तनीय वलय है। उदाहरण निम्नलिखित के पहले तीन सकारात्मक मानों के लिए n तक की सकारात्मक डिग्री के शक्ति योग सममित बहुपदों को सूचीबद्ध करता है। सूची डिग्री एन तक जाती है क्योंकि डिग्री 1 से एन के शक्ति योग सममित बहुपद नीचे बताए गए प्रमेय के अर्थ में मूल हैं। n = 1 के लिएः n = 2 के लिएः n = 3 के लिएः गुण n चर में 1,2,., n डिग्री के शक्ति योग सममित बहुपदों का समुच्चय n चर में सममित बहुपदों का वलय उत्पन्न करता है। अधिक विशेष रूप सेः प्रमेय। परिमेय गुणांक वाले सममित बहुपदों का वलय परिमेय बहुपद वलय के बराबर होता है यदि गुणांक को किसी भी विशेषता 0 के क्षेत्र में लिया जाता है तो भी यही सच है। हालाँकि, यह सच नहीं है यदि गुणांक पूर्णांक होने चाहिए। उदाहरण के लिए, n = 2 के लिए, सममित बहुपद में अभिव्यक्ति होती है जिसमें अंश शामिल होते हैं। प्रमेय के अनुसार पी1 और पी2 के संदर्भ में प्रतिनिधित्व करने का यह एकमात्र तरीका है। इसलिए, पी अभिन्न बहुपद वलय से संबंधित नहीं है एक अन्य उदाहरण के लिए, प्राथमिक सममित बहुपद एक, जिसे घात योग बहुपदों में बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जाता है, सभी में अभिन्न गुणांक नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रमेय भी असत्य है यदि क्षेत्र की विशेषता 0 से अलग है। उदाहरण के लिए, यदि क्षेत्र F में विशेषता 2 है, तो p1 और p2 से e2 = x1x2 उत्पन्न नहीं हो सकता है। प्रमेय के आंशिक प्रमाण का रेखाचित्रः न्यूटन की पहचानों द्वारा शक्ति योग प्राथमिक सममित बहुपदों के कार्य हैं; यह निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध द्वारा निहित है, हालांकि स्पष्ट कार्य जो ईजे के संदर्भ में शक्ति योग देता है वह जटिल हैः एक ही पुनरावृत्ति को फिर से लिखने पर, शक्ति योग के संदर्भ में प्राथमिक सममित बहुपद होते हैं (स्पष्ट रूप से, स्पष्ट सूत्र भी जटिल होता है): इसका तात्पर्य है कि प्राथमिक बहुपद परिमेय होते हैं, हालांकि अभिन्न नहीं होते हैं, लेकिन 1,, एन डिग्री के शक्ति योग बहुपदों के रैखिक संयोजन। चूंकि प्राथमिक सममित बहुपद गुणांक वाले सभी सममित बहुपदों के लिए एक बीजगणितीय आधार हैं। अर्थात्, सममित बहुपदों की वलय शक्ति योग द्वारा उत्पन्न वलय में निहित होती है, क्योंकि प्रत्येक घात योग बहुपद सममित होता है, दोनों वलय समान होते हैं। (यह नहीं दिखाता है कि बहुपद f को अद्वितीय कैसे साबित किया जाए।) समान गुणों वाले सममित बहुपदों की एक अन्य प्रणाली के लिए पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों को देखें। प्रतिनिधित्व सिद्धांत न्यूटन की पहचान संदर्भ इयान जी. मैकडोनाल्ड (1979), सममित कार्य और हॉल बहुपद भी देखें। ऑक्सफोर्ड गणितीय मोनोग्राफ। ऑक्सफोर्डः क्लेरेंडन प्रेस। इयान जी. मैकडोनाल्ड (1995), सममित कार्य और हॉल बहुपद, दूसरा संस्करण। ऑक्सफोर्डः क्लेरेंडन प्रेस। (पेपरबैक, 1998)। रिचर्ड पी. स्टेनली (1999), एन्यूमरेटिव कॉम्बिनेटोरिक्स, वॉल्यूम। 2. कैम्ब्रिजः कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। सजातीय बहुपद सममित कार्य