Differentiation rules
यह विभेदन नियमों का सारांश है, यानी कलन में किसी फलन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए नियम। विभेदन के प्राथमिक नियम जब तक कि अन्यथा नहीं कहा गया है, सभी कार्य वास्तविक संख्याओं (आर) के कार्य हैं जो वास्तविक मान लौटाते हैं; हालाँकि अधिक सामान्य रूप से, नीचे दिए गए सूत्र जहाँ भी वे अच्छी तरह से परिभाषित हैं, लागू होते हैं-जिसमें जटिल संख्या (सी) का मामला भी शामिल है। स्थिर पद नियम किसी भी मूल्य के लिए, जहाँ, यदि द्वारा दिया गया स्थिर फलन है, तो। प्रूफ लेट एंड। व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, यह दर्शाता है कि किसी भी स्थिर फलन का व्युत्पन्न 0 है। अंतर्ज्ञानी (ज्यामितीय) व्याख्या एक बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न बिंदु पर वक्र के लिए रेखा स्पर्शरेखा का ढलान है। स्थिर फलन की ढलान शून्य है, क्योंकि स्थिर फलन की स्पर्शरेखा क्षैतिज है और इसका कोण शून्य है। दूसरे शब्दों में, स्थिर फलन, y, का मान नहीं बदलेगा क्योंकि x का मान बढ़ता या घटता है। विभेदन रैखिक है किसी भी फलन और किसी भी वास्तविक संख्या के लिए और, के संबंध में फलन का व्युत्पन्न हैः लीबनिज़ के संकेतन में इसे इस प्रकार लिखा जाता हैः विशेष मामलों में शामिल हैंः स्थिर कारक नियम योग नियम अंतर नियम उत्पाद नियम फलन f और g के लिए, फलन h (x) = f (x) g (x) का व्युत्पन्न x के संबंध में है लीबनिज़ के संकेतन में यह लिखा जाता है श्रृंखला नियम फलन का व्युत्पन्न लीबनिज़ के संकेतन में, इसे इस प्रकार लिखा जाता हैः अक्सर मानचित्रों की धारणा पर ध्यान केंद्रित करने के लिए संक्षिप्त किया जाता है, और विभेदन एक मानचित्र होने के कारण, इसे अधिक संक्षिप्त तरीके से लिखा जाता हैः व्युत्क्रम फलन पारस्परिक नियम किसी भी (गैर-लुप्त) फलन के लिए व्युत्पन्न हैः जहाँ भी गैर-शून्य है। लीबनिज़ के संकेतन में, यह लिखा गया है पारस्परिक नियम या तो भागफल नियम से, या शक्ति नियम और श्रृंखला नियम के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है। भागफल नियम यदि और फलन हैं, तोः जहाँ भी शून्य नहीं है। यह उत्पाद नियम और पारस्परिक नियम से प्राप्त किया जा सकता है। सामान्यीकृत शक्ति नियम प्राथमिक शक्ति नियम काफी हद तक सामान्यीकृत होता है। सबसे सामान्य शक्ति नियम कार्यात्मक शक्ति नियम हैः किसी भी कार्य के लिए और जहां दोनों पक्ष अच्छी तरह से परिभाषित हैं। विशेष मामले यदि, तब कोई गैर-शून्य वास्तविक संख्या कब होती है और सकारात्मक होती है। पारस्परिक नियम को विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। एक्सपोनेंशियल और लॉगरिदमिक कार्यों के व्युत्पन्न उपरोक्त समीकरण सभी के लिए सही है, लेकिन एक जटिल संख्या प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न। उपरोक्त समीकरण सभी के लिए भी सही है, लेकिन एक जटिल संख्या प्राप्त करता है यदि। जहाँ लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन लघुगणक व्युत्पन्न है लघुगणक व्युत्पन्न एक फलन के लघुगणक को अलग करने के लिए नियम बताने का एक और तरीका है (श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए): जहाँ भी धनात्मक हो। लघुगणक विभेदन एक ऐसी तकनीक है जो वास्तव में व्युत्पन्न को लागू करने से पहले कुछ अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए लघुगणक और इसके विभेदन नियमों का उपयोग करती है। लघुगणक का उपयोग घातांकों को हटाने, उत्पादों को योग में बदलने और विभाजन को घटाव में बदलने के लिए किया जा सकता है-जिनमें से प्रत्येक व्युत्पन्न लेने के लिए एक सरल अभिव्यक्ति का कारण बन सकता है। त्रिकोणमितीय फलन के व्युत्पन्न उपरोक्त तालिका में व्युत्पन्न तब होते हैं जब व्युत्क्रम सेकेंट की सीमा होती है और जब व्युत्क्रम कोसेकेंट की सीमा होती है। दो तर्कों के साथ एक व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन को अतिरिक्त रूप से परिभाषित करना आम बात है। इसका मान सीमा में निहित है और बिंदु के चतुर्थांश को दर्शाता है। पहले और चौथे चतुर्थांश के लिए (अर्थात) एक है। इसके आंशिक व्युत्पन्न हाइपरबोलिक कार्यों के व्युत्पन्न हैं इन व्युत्पन्न पर प्रतिबंधों के लिए हाइपरबोलिक कार्य देखें। विशेष कार्यों के व्युत्पन्न गामा कार्य डिगम्मा कार्य होने के साथ, ऊपर की पंक्ति में दाईं ओर कोष्ठक अभिव्यक्ति द्वारा व्यक्त किया गया है। मान लीजिए कि x के संबंध में उस फलन को अलग करना आवश्यक है जहां फलन और दोनों समतल के दोनों और कुछ क्षेत्रों में निरंतर हैं, जिसमें शामिल हैं, और कार्य और दोनों निरंतर हैं और दोनों के लिए निरंतर व्युत्पन्न हैं। फिर के लिएः यह सूत्र लीबनिज़ समाकलन नियम का सामान्य रूप है और इसे कलन के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। फलन के-th व्युत्पन्न की गणना के लिए कुछ नियम मौजूद हैं, जहाँ एक सकारात्मक पूर्णांक है। इनमें शामिल हैंः फा डी ब्रूनो का सूत्र यदि और-बार अवकलनीय हैं, तो कहाँ और सेट में डायोफैंटाइन समीकरण के सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधान होते हैं। सामान्य लीबनिज़ नियम यदि और-कई बार अवकलनीय हैं, तो संदर्भ स्रोत भी देखें और आगे पढ़ें ये नियम शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में प्राथमिक और उन्नत दोनों कलन पर कई पुस्तकों में दिए गए हैं। इस लेख में (उपरोक्त संदर्भों के अलावा) सूत्र और तालिकाओं की गणितीय पुस्तिका (तीसरा संस्करण), एस. लिप्सुट्ज़, एम. आर. स्पीगल, जे. लियू, शॉम्स आउटलाइन सीरीज़, 2009। द कैम्ब्रिज हैंडबुक ऑफ फिजिक्स फॉर्मूला, जी. वोन, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010। भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए गणितीय विधियाँ, के. एफ. रिले, एम. पी. होब्सन, एस. जे. बेंस, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, एन. आई. एस. टी. हैंडबुक ऑफ मैथमेटिकल फंक्शंस, एफ. डब्ल्यू. जे. ओल्वर, डी. डब्ल्यू. लोज़ियर, आर. एफ. बोइसवर्ट, सी. डब्ल्यू. क्लार्क, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010। सूत्र सरलीकरण के साथ व्युत्पन्न गणकयंत्र विश्लेषण में व्युत्पन्न व्युत्पन्न गणितीय पहचान प्रमेय वाले लेख कलन में प्रमेय