Overdetermined system
गणित में, समीकरणों की एक प्रणाली को अतिनिर्धारित माना जाता है यदि अज्ञात की तुलना में अधिक समीकरण हैं। एक अतिनिर्धारित प्रणाली लगभग हमेशा असंगत होती है (इसका कोई समाधान नहीं होता है) जब यादृच्छिक गुणांक के साथ इसका निर्माण किया जाता है। हालांकि, एक अतिनिर्धारित प्रणाली में कुछ मामलों में समाधान होंगे, उदाहरण के लिए यदि कुछ समीकरण प्रणाली में कई बार होते हैं, या यदि कुछ समीकरण दूसरों के रैखिक संयोजन हैं। शब्दावली को बाधा गणना की अवधारणा के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। प्रत्येक अज्ञात को स्वतंत्रता की एक उपलब्ध डिग्री के रूप में देखा जा सकता है। प्रणाली में पेश किए गए प्रत्येक समीकरण को एक बाधा के रूप में देखा जा सकता है जो एक डिग्री की स्वतंत्रता को प्रतिबंधित करता है। इसलिए, महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब समीकरणों की संख्या और मुक्त चर की संख्या समान होती है। स्वतंत्रता की एक डिग्री देने वाले प्रत्येक चर के लिए, एक संबंधित बाधा मौजूद है। अतिनिर्धारित मामला तब होता है जब प्रणाली को अति-सीमित कर दिया जाता है-यानी, जब समीकरण अज्ञात से अधिक होते हैं। इसके विपरीत, कम निर्धारित मामला तब होता है जब प्रणाली को कम सीमित किया गया है-यानी, जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है। इस तरह की प्रणालियों में आमतौर पर अनंत संख्या में समाधान होते हैं। समीकरणों की अतिनिर्धारित रैखिक प्रणालियाँ दो आयामों में एक उदाहरण 3 समीकरणों और 2 अज्ञात (और) की प्रणाली पर विचार करें, जो 3> 2 के कारण अतिनिर्धारित है, और जो आरेख #1 से मेल खाती हैः रैखिक समीकरणों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक समाधान हैः पहले और दूसरे समीकरणों (0.2, −1,4) के लिए, पहले और तीसरे (−2/3,1/3) के लिए, और दूसरे और तीसरे (1.5,25) के लिए। लेकिन ऐसा कोई समाधान नहीं है जो तीनों को एक साथ संतुष्ट करे। आरेख #2 आ 3 अन्य विन्यास देखबैत अछि जे असंगत अछि किएक तँ सभ रेखा पर कोनो बिन्दु नहि अछि। इस किस्म की प्रणालियों को असंगत माना जाता है। केवल ऐसे मामले जहां अतिनिर्धारित प्रणाली का वास्तव में समाधान होता है, रेखाचित्र #4,5 और 6 में प्रदर्शित किए जाते हैं। ये अपवाद केवल तभी हो सकते हैं जब अतिनिर्धारित प्रणाली में पर्याप्त रैखिक रूप से निर्भर समीकरण होते हैं जो स्वतंत्र समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से अधिक नहीं होती है। रैखिक निर्भरता का अर्थ है कि कुछ समीकरणों को अन्य समीकरणों के रैखिक संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Y = X + 1 और 2Y = 2X + 2 रैखिक रूप से निर्भर समीकरण हैं क्योंकि दूसरे को पहले वाले से दोगुना लेकर प्राप्त किया जा सकता है। मैट्रिक्स रूप रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। समीकरणों की पिछली प्रणाली (आरेख #1 में) को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः ध्यान दें कि गुणांक मैट्रिक्स (समीकरणों के अनुरूप) की पंक्तियाँ स्तंभों (अज्ञात के अनुरूप) से अधिक हैं, जिसका अर्थ है कि प्रणाली अतिनिर्धारित है। इस मैट्रिक्स की श्रेणी 2 है, जो प्रणाली में आश्रित चर की संख्या से मेल खाती है। एक रैखिक प्रणाली तभी सुसंगत होती है जब गुणांक मैट्रिक्स की श्रेणी उसके संवर्धित मैट्रिक्स के समान हो (एक अतिरिक्त कॉलम के साथ गुणांक मैट्रिक्स जोड़ा जाता है, वह कॉलम स्थिरांक का कॉलम वेक्टर होता है)। संवर्धित मैट्रिक्स की श्रेणी 3 है, इसलिए प्रणाली असंगत है। शून्यता 0 है, जिसका अर्थ है कि शून्य स्थान में केवल शून्य सदिश होता है और इसलिए इसका कोई आधार नहीं होता है। रैखिक बीजगणित में मैट्रिक्स के गुणों को निर्धारित करने के लिए पंक्ति स्थान, स्तंभ स्थान और शून्य स्थान की अवधारणाएं महत्वपूर्ण हैं। उपरोक्त बाधाओं और स्वतंत्रता की डिग्री की अनौपचारिक चर्चा सीधे इन अधिक औपचारिक अवधारणाओं से संबंधित है। सजातीय मामला सजातीय मामला (जिसमें सभी स्थिर पद शून्य होते हैं) हमेशा सुसंगत होता है (क्योंकि एक तुच्छ, सभी-शून्य समाधान होता है)। रैखिक रूप से निर्भर समीकरणों की संख्या के आधार पर दो मामले हैंः या तो केवल तुच्छ समाधान है, या तुच्छ समाधान और अन्य समाधानों का एक अनंत समूह है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार कीजिएः 1 ≤ i ≤ M के लिए Li = 0, और चर X1, X2,., XN, जहां प्रत्येक Li Xis का भारित योग है। तब X1 = X2 = ꯘꯥ = XN = 0 हमेशा एक समाधान होता है। जब एम <एन प्रणाली कम निर्धारित होती है और हमेशा आगे के समाधानों की एक अनंतता होती है। वास्तव में समाधानों के स्थान का आयाम हमेशा कम से कम N-M होता है। अन्य समाधानों का अनंत तभी होगा जब समीकरणों की प्रणाली में पर्याप्त निर्भरताएँ (रैखिक रूप से निर्भर समीकरण) हों कि स्वतंत्र समीकरणों की संख्या अधिकतम N-1 हो। लेकिन M ≤ N के साथ स्वतंत्र समीकरणों की संख्या N जितनी अधिक हो सकती है, इस मामले में केवल एक ही तुच्छ समाधान है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में, 1 ≤ i ≤ M के लिए Li = ci, चर X1, X2, XN में समीकरण कभी-कभी रैखिक रूप से निर्भर होते हैं; वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र समीकरणों की संख्या N + 1 से अधिक नहीं हो सकती है। हमारे पास एन अज्ञात और एम समीकरणों (एम> एन) के साथ एक अतिनिर्धारित प्रणाली के लिए निम्नलिखित संभावित मामले हैं। एम = एन + 1 और सभी एम समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इस मामले से कोई हल नहीं निकलता है। उदाहरण-x = 1, x = 2। M> N लेकिन केवल K समीकरण (K <M और K ≤ N + 1) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसके तीन संभावित उप-मामले हैंः के = एन + 1। इस मामले से कोई समाधान नहीं निकलता है। उदाहरण-2x = 2, x = 1, x = 2। K = N. यह मामला या तो एकल समाधान देता है या कोई समाधान नहीं देता है, बाद वाला तब होता है जब एक समीकरण के गुणांक सदिश को अन्य समीकरणों के गुणांक सदिशों के भारित योग द्वारा दोहराया जा सकता है, लेकिन अन्य समीकरणों के स्थिर शब्दों पर लागू भारित योग एक समीकरण के स्थिर पद को नहीं दोहराता है। एक समाधान के साथ उदाहरण 2x = 2, x = 1। बिना समाधान वाला उदाहरण हैः 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3। के <एन. यह मामला या तो असीम रूप से कई समाधान देता है या कोई समाधान नहीं देता है, बाद वाला पिछले उप-मामले की तरह होता है। असीम रूप से कई समाधानों के साथ उदाहरण 3x + 3y = 3,2x + 2y = 2, x + y = 1। बिना किसी समाधान के उदाहरण 3x + 3y + 3z = 3,2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4। गॉसियन उन्मूलन का उपयोग करके प्रणाली के गुणांकों के संवर्धित मैट्रिक्स को पंक्ति ईचेलॉन रूप में रखकर इन परिणामों को समझना आसान हो सकता है। यह पंक्ति ईचेलॉन रूप समीकरणों की एक प्रणाली का संवर्धित मैट्रिक्स है जो दी गई प्रणाली के बराबर है (इसमें बिल्कुल समान समाधान हैं)। मूल प्रणाली में स्वतंत्र समीकरणों की संख्या ईचेलॉन रूप में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या है। प्रणाली असंगत (कोई समाधान नहीं) है यदि और केवल तभी जब ईचेलॉन रूप में अंतिम गैर-शून्य पंक्ति में केवल एक गैर-शून्य प्रविष्टि है जो अंतिम स्तंभ में है (एक समीकरण 0 = c देता है जहां c एक गैर-शून्य स्थिरांक है)। अन्यथा, ठीक एक समाधान होता है जब ईचेलॉन रूप में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है, और असीम रूप से कई समाधान होते हैं जब गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या चर की संख्या से कम होती है। इसे दूसरे तरीके से कहें तो, रूचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, समीकरणों की कोई भी प्रणाली (अतिनिर्धारित या अन्यथा) असंगत है यदि संवर्धित मैट्रिक्स की श्रेणी गुणांक मैट्रिक्स की श्रेणी से अधिक है। यदि, दूसरी ओर, इन दो मैट्रिक्स की श्रेणी समान है, तो प्रणाली में कम से कम एक समाधान होना चाहिए। समाधान अद्वितीय है यदि और केवल तभी जब श्रेणी चर की संख्या के बराबर हो। अन्यथा सामान्य समाधान में k मुक्त मापदंड होते हैं जहाँ k चर की संख्या और श्रेणी के बीच का अंतर होता है; इसलिए ऐसे मामले में समाधानों की एक अनंतता होती है। सटीक समाधान सभी सटीक समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं, या यह दिखाया जा सकता है कि मैट्रिक्स बीजगणित का उपयोग करके कोई भी मौजूद नहीं है। सिस्टम ऑफ लीनियर equations#Matrix समाधान देखें। अनुमानित समाधान साधारण न्यूनतम वर्गों की विधि का उपयोग अतिनिर्धारित प्रणालियों का अनुमानित समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है। प्रणाली के लिए न्यूनतम वर्ग सूत्र उस समस्या से प्राप्त किया जाता है जिसका समाधान सामान्य समीकरणों के साथ लिखा जा सकता है, जहां एक मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ को इंगित करता है, बशर्ते कि मौजूद हो (यानी, बशर्ते कि ए में पूर्ण कॉलम रैंक हो)। इस सूत्र के साथ एक अनुमानित समाधान तब मिलता है जब कोई सटीक समाधान मौजूद नहीं होता है, और जब कोई मौजूद होता है तो यह एक सटीक समाधान देता है। हालांकि, अच्छी संख्यात्मक सटीकता प्राप्त करने के लिए, कम से कम वर्ग समस्या को हल करने के लिए ए के क्यू. आर. गुणनखंडन का उपयोग करना पसंद किया जाता है। समीकरणों की अतिनिर्धारित अरैखिक प्रणालियाँ परिमित आयामी रिक्त स्थान में, समीकरणों की एक प्रणाली को एक बिंदु के रूप में या वास्तविक या जटिल कार्यों के रूप में लिखा या दर्शाया जा सकता है। प्रणाली अतिनिर्धारित है यदि। इसके विपरीत, प्रणाली एक कम निर्धारित प्रणाली है यदि। अतिनिर्धारित प्रणालियों को हल करने के लिए एक प्रभावी विधि के रूप में, गॉस-न्यूटन पुनरावृत्ति स्थानीय रूप से चतुर्भुज रूप से उन समाधानों में परिवर्तित हो जाती है जिन पर जैकोबियन मैट्रिक्स इंजेक्टिव होते हैं। सामान्य उपयोग में अवधारणा को समीकरणों की अधिक सामान्य प्रणालियों पर भी लागू किया जा सकता है, जैसे कि बहुपद समीकरणों की प्रणालियाँ या आंशिक विभेदक समीकरण। बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के मामले में, यह हो सकता है कि एक अतिनिर्धारित प्रणाली का एक समाधान हो, लेकिन यह कि कोई एक समीकरण दूसरों का परिणाम नहीं है और किसी भी समीकरण को हटाते समय, नई प्रणाली में अधिक समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, इसका एक ही समाधान है लेकिन प्रत्येक समीकरण के अपने आप में दो समाधान हैं। यह भी देखें कि कम निर्धारित प्रणाली रूचे-कैपेली (या, रूचे-फ्रोबेनियस) प्रमेय समाकलन स्थिति कम से कम वर्ग स्थिरता प्रमाण संपीड़ित संवेदन मूर-पेनरोज़ छद्म-व्युत्क्रम संदर्भ वक्र फिटिंग रैखिक बीजगणित आंशिक विभेदक समीकरण