CM-field
गणित में, एक सीएम-क्षेत्र एक विशेष प्रकार का संख्या क्षेत्र है, जिसे जटिल गुणन के सिद्धांत के निकट संबंध के लिए नामित किया गया है। उपयोग किया जाने वाला एक अन्य नाम जे-फील्ड है। संक्षिप्त नाम "सीएम" की शुरुआत उनके द्वारा की गई थी। औपचारिक परिभाषा एक संख्या क्षेत्र K एक CM-क्षेत्र है यदि यह एक द्विघात विस्तार K/F है जहाँ आधार क्षेत्र F पूरी तरह से वास्तविक है लेकिन K पूरी तरह से काल्पनिक है। अर्थात्, एफ में प्रत्येक एम्बेडिंग पूरी तरह से भीतर होती है, लेकिन इसमें के की कोई एम्बेडिंग नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, K का एक उपक्षेत्र F ऐसा है कि K एक तत्व के एकल वर्गमूल द्वारा F पर उत्पन्न होता है, मान लीजिए कि β =, इस तरह से कि परिमेय संख्या क्षेत्र पर β की न्यूनतम बहुपद के सभी मूल गैर-वास्तविक जटिल संख्याएँ होती हैं। इसके लिए α को पूरी तरह से ऋणात्मक चुना जाना चाहिए, ताकि वास्तविक संख्या क्षेत्र में σ के प्रत्येक एम्बेडिंग के लिए, σ (α) <0। एक सीएम-फील्ड की एक विशेषता यह है कि उस पर जटिल संयुग्मन क्षेत्र पर एक ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है जो इसके एम्बेडिंग से स्वतंत्र है। दिए गए संकेतन में, इसे β के संकेत को बदलना होगा। एक संख्या क्षेत्र K एक सीएम-क्षेत्र है यदि और केवल तभी जब इसमें "इकाइयों का दोष" है, अर्थात। यदि इसमें एक उचित उपक्षेत्र F है जिसके इकाई समूह की श्रेणी K के समान है। वास्तव में, एफ ऊपर वर्णित के का पूरी तरह से वास्तविक उपक्षेत्र है। यह डिरिचलेट की इकाई प्रमेय का अनुसरण करता है। उदाहरण सीएम-फील्ड का सबसे सरल और प्रेरक उदाहरण एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र है, जिसके लिए पूरी तरह से वास्तविक उपक्षेत्र केवल तर्कों का क्षेत्र है। सीएम-फील्ड के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से एक साइक्लोटोमिक फील्ड है, जो एकता के एक आदिम nवें मूल द्वारा उत्पन्न होता है। यह पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र का एक काल्पनिक द्विघात विस्तार है। बाद वाला जटिल संयुग्मन का निश्चित क्षेत्र है, और इसे संघ के वर्गमूल से सटे हुए प्राप्त किया जाता है। सभी सीएम क्षेत्रों का क्यूसीएम एक सीएम क्षेत्र के समान है, सिवाय इसके कि इसमें अनंत डिग्री है। यह सभी पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्रों क्यू. आर. के संयोजन का एक द्विघात विस्तार है। निरपेक्ष गैलोइस समूह गैल (/क्यू. आर.) गैल (/क्यू.) में क्रम 2 के सभी तत्वों द्वारा (एक बंद उपसमूह के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, और गैल (/क्यू. सी. एम.) सूचकांक 2 का एक उपसमूह है। गैलोइस समूह गैल (क्यू. सी. एम./क्यू.) में क्रम 2 (जटिल संयुग्मन) के एक तत्व द्वारा उत्पन्न एक केंद्र है और इसके केंद्र द्वारा भागफल समूह गैल (क्यू. आर./क्यू.) है। यदि V आयाम n की एक जटिल अबेलियन विविधता है, तो V के एंडोमोर्फिज्म के किसी भी अबेलियन बीजगणित F की श्रेणी Z पर अधिकतम 2n है। यदि इसकी श्रेणी 2n है और V सरल है तो F एक CM-क्षेत्र में एक क्रम है। इसके विपरीत कोई भी सीएम क्षेत्र कुछ सरल जटिल अबेलियन किस्म से इस तरह उत्पन्न होता है, जो आइसोजेनी तक अद्वितीय है। एक पूरी तरह से काल्पनिक क्षेत्र का एक उदाहरण जो CM नहीं है, वह बहुपद द्वारा परिभाषित संख्या क्षेत्र है। संदर्भ क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय संख्या सिद्धांत जटिल संख्याएँ