Acyclic space
गणित में, एक चक्रीय स्थान एक गैर-खाली स्थलवैज्ञानिक स्थान X है जिसमें समरूपता सिद्धांत के अर्थ में चक्र हमेशा सीमाएँ होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि एक्स के सभी आयामों में अभिन्न समरूपता समूह एक बिंदु के संबंधित समरूपता समूहों के समरूप हैं। दूसरे शब्दों में, कम समरूपता के विचार का उपयोग करते हुए, इस तरह के स्थान को "छेद" के बिना एक खाली स्थान के रूप में मानना आम है; उदाहरण के लिए, एक वृत्त या एक गोला चक्रीय नहीं है, बल्कि एक डिस्क या एक गेंद चक्रीय है। हालाँकि यह स्थिति यह पूछने की तुलना में कमजोर है कि अंतरिक्ष में प्रत्येक बंद लूप अंतरिक्ष में एक डिस्क को बांध देगा, हम केवल इतना पूछते हैं कि कोई भी बंद लूप-और उसका उच्च आयामी एनालॉग-"द्वि-आयामी सतह" की तरह कुछ बांध देगा। उदाहरण के लिए, एक स्थान X पर चक्रीयता की स्थिति का तात्पर्य है, अच्छे स्थानों के लिए-जैसे, सरल परिसर-कि वृत्त या उच्च क्षेत्रों के लिए X का कोई भी निरंतर मानचित्र शून्य-समस्थानिक है। यदि एक स्थान X संकुचन योग्य है, तो यह समरूपता के समस्थानिक अपरिवर्तनीयता द्वारा भी चक्रीय है। इसके विपरीत सामान्य रूप से सच नहीं है। फिर भी, यदि एक्स एक एसाइक्लिक सी. डब्ल्यू. कॉम्प्लेक्स है, और यदि एक्स का मौलिक समूह तुच्छ है, तो एक्स एक संकुचन योग्य स्थान है, जैसा कि व्हाइटहेड प्रमेय और ह्यूरिविज़ प्रमेय से मिलता है। उदाहरण एसाइक्लिक स्पेस टोपोलॉजी में पाए जाते हैं, जहाँ उनका उपयोग अन्य, अधिक दिलचस्प टोपोलॉजिकल स्पेस के निर्माण के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई एक मैनिफोल्ड M से एक बिंदु को हटा देता है जो एक समरूपता क्षेत्र है, तो उसे ऐसा स्थान मिलता है। एक एसाइक्लिक स्पेस X के होमोटॉपी समूह सामान्य रूप से गायब नहीं होते हैं, क्योंकि मौलिक समूह को तुच्छ होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पंक्चर पॉइनकेयर समरूपता क्षेत्र एक चक्रीय, 3-आयामी मैनिफोल्ड है जो सिकुड़ने योग्य नहीं है। यह उदाहरणों की एक सूची देता है, क्योंकि पहला समरूपता समूह मौलिक समूह का अबेलियनकरण है। प्रत्येक पूर्ण समूह जी के साथ कोई भी एक (कैनॉनिकल, टर्मिनल) एसाइक्लिक स्थान को संबद्ध कर सकता है, जिसका मौलिक समूह दिए गए समूह जी का एक केंद्रीय विस्तार है। इन संबंधित एसाइक्लिक स्थानों के होमोटॉपी समूह वर्गीकृत स्थान बीजी पर क्विलेन के प्लस निर्माण से निकटता से संबंधित हैं। एसाइक्लिक समूह एक एसाइक्लिक समूह एक समूह जी है जिसका वर्गीकृत स्थान बीजी एसाइक्लिक है; दूसरे शब्दों में, इसके सभी (कम) समरूपता समूह गायब हो जाते हैं, यानी सभी के लिए। प्रत्येक एसाइक्लिक समूह इस प्रकार एक पूर्ण समूह है, जिसका अर्थ है कि इसका पहला समरूपता समूह गायब हो जाता हैः, और वास्तव में, एक अति परिपूर्ण समूह, जिसका अर्थ है कि पहले दो समरूपता समूह गायब हो जाते हैंः इसके विपरीत सच नहीं हैः द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह अति परिपूर्ण है (इसलिए परिपूर्ण) लेकिन चक्रीय नहीं है। एसफेरिकल स्पेस संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक बीजगणितीय टोपोलॉजी होमोलॉजी सिद्धांत होमोटोपी सिद्धांत