Free lattice
गणित में, क्रम सिद्धांत के क्षेत्र में, एक मुक्त जाली एक जाली के अनुरूप मुक्त वस्तु है। मुक्त वस्तुओं के रूप में, उनके पास सार्वभौमिक संपत्ति है। औपचारिक परिभाषा क्योंकि जाली की अवधारणा को दो संचालनों और कुछ पहचानों को संतुष्ट करने के संदर्भ में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है, सभी जाली की श्रेणी एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) का गठन करती है, और इस प्रकार इस श्रेणी के भीतर (सार्वभौमिक बीजगणित के सामान्य सिद्धांतों द्वारा) मुक्त वस्तुएं मौजूद हैंः जाली जहां केवल वे संबंध होते हैं जो सामान्य स्वयंसिद्धियों से अनुसरण करते हैं। इन मुक्त जाली को प्रासंगिक सार्वभौमिक गुण का उपयोग करके चिह्नित किया जा सकता है। ठोस रूप से, मुक्त जाली सेट से लैटिस तक एक फंक्टर है, जो प्रत्येक सेट को एक सेट मानचित्र से सुसज्जित मुक्त जाली प्रदान करता है जो प्रत्येक संबंधित तत्व को निर्दिष्ट करता है। इनका सार्वभौमिक गुण यह है कि किसी भी मनमाने जाली से किसी भी मानचित्र के लिए एक अद्वितीय जाली समरूपता संतोषजनक, या एक परिवर्तनीय आरेख के रूप में मौजूद हैः फंक्टर को जाली से उनके अंतर्निहित सेटों तक भूलने वाले फंक्टर के बगल में छोड़ दिया जाता है। सार्वभौमिक गुण का उपयोग करके सीधे मुक्त जाली के बारे में चीजों को साबित करना अक्सर संभव है, लेकिन इस तरह के तर्क काफी अमूर्त होते हैं, इसलिए एक ठोस निर्माण एक मूल्यवान वैकल्पिक प्रस्तुति प्रदान करता है। सेमीलैटिस सेमीलैटिस के मामले में, मुक्त सेमीलैटिस का एक स्पष्ट निर्माण देना सीधा है; यह सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से परिभाषा की कई विशेषताओं को स्पष्ट करने में मदद करता है। ठोस रूप से, मुक्त अर्धजालिका को सभी सीमित गैर-खाली उपसमुच्चय के समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है, जिसमें साधारण समूह संघ को जोड़ संचालन के रूप में शामिल किया जा सकता है। मानचित्र एकल टन सेट के तत्वों को मैप करता है, यानी सभी के लिए। किसी भी सेमीलैटिस और किसी भी सेट मानचित्र के लिए, संबंधित सार्वभौमिक आकृतिवाद दिया जाता है जहां सेमीलैटिस ऑपरेशन को दर्शाता है। के इस रूप को सार्वभौमिक गुण द्वारा मजबूर किया जाता हैः किसी को भी कुछ के लिए रूप पर तत्वों के एक सीमित संघ के रूप में लिखा जा सकता है, सार्वभौमिक गुण में समानता कहती है, और अंत में सभी के लिए समरूपता की स्थिति का तात्पर्य है। (यदि एक भी है) के अनंत उपसमुच्चय के किसी भी विस्तार को इन शर्तों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए के अनंत उपसमुच्चय के अनुरूप कोई भी तत्व नहीं हो सकते हैं। लोअर सेमीलैटिसेस लोअर सेमीलैटिसेस के लिए एक फ्री फ़ंक्टर को परिभाषित करना इसी तरह संभव है, लेकिन संयोजन कई तरीकों से फ्री जाली का उत्पादन करने में विफल रहता है, क्योंकि यह केवल एक सेट के रूप में माना जाता हैः जॉइन ऑपरेशन नए तत्वों तक विस्तारित नहीं है, मौजूदा आंशिक क्रम का सम्मान नहीं किया जाता है; विचार और असंबंधित के रूप में, इसे समझने की आवश्यकता नहीं है। मुक्त जाली की वास्तविक संरचना मुक्त अर्ध जाली की तुलना में काफी अधिक जटिल है। शब्द समस्या मुक्त जाली के लिए शब्द समस्या के कुछ दिलचस्प पहलू हैं। बद्ध जाली के मामले पर विचार करें, अर्थात। दो द्विआधारी संक्रियाओं के साथ बीजगणितीय संरचनाएँ और दो स्थिरांक (शून्य संक्रियाएँ) 0 और 1। सभी अच्छी तरह से गठित अभिव्यक्तियों का समूह जिसे जनरेटर X के दिए गए समूह के तत्वों पर इन कार्यों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है, उसे W (X) कहा जाएगा। शब्दों के इस समूह में कई अभिव्यक्तियाँ हैं जो प्रत्येक जाली में समान मूल्यों को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि a, X का कोई तत्व है, तो a * 1 = 1 और a * 1 = a। मुक्त बंधी जाली के लिए समस्या शब्द यह निर्धारित करने की समस्या है कि W (X) के इनमें से कौन से तत्व मुक्त बंधी जाली FX में एक ही तत्व को दर्शाते हैं, और इसलिए प्रत्येक बंधी जाली में। शब्द समस्या को निम्नानुसार हल किया जा सकता है। W (X) पर एक संबंध ≤ ~ को प्रेरक रूप से परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल निम्नलिखित में से कोई एक धारण करता हैः w = v (यह उस मामले तक सीमित हो सकता है जहां w और v X के तत्व हैं), w = 0, v = 1, w = w1 ≤ w2 और दोनों w1 ≤ v और w2 ≤ v होल्ड, w = w1 ≤ v और या w1 ≤ v धारण करता है, v = v1 ≤ v2 और या तो w ≤ v1 या w ≤ v2 धारण करता है, v = v1 ≤ v2 और दोनों w ≤ v1 और w ≤ v यह डब्ल्यू (एक्स) पर एक पूर्व क्रम ≤ ~ को परिभाषित करता है, इसलिए एक समतुल्यता संबंध को डब्ल्यू ~ वी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जब डब्ल्यू ≤ ~ वी और वी ≤ ~ डब्ल्यू। तब कोई यह दिखा सकता है कि आंशिक रूप से क्रमबद्ध भागफल स्थान डब्ल्यू (एक्स)/~ मुक्त बाध्य जाली एफएक्स है। डब्ल्यू (एक्स)/~ के समतुल्यता वर्ग डब्ल्यू और वी के साथ डब्ल्यू ≤ वी और वी ≤ डब्ल्यू के सभी शब्दों के समूह हैं। डब्ल्यू (एक्स) में दो अच्छी तरह से गठित शब्द वी और डब्ल्यू प्रत्येक बंधे हुए जाली में समान मान को दर्शाते हैं यदि और केवल अगर डब्ल्यू ≤ वी और वी ≤ डब्ल्यू; बाद की शर्तों को उपरोक्त प्रेरक परिभाषा का उपयोग करके प्रभावी ढंग से तय किया जा सकता है। तालिका में गणना का एक उदाहरण दिखाया गया है जो यह दर्शाता है कि xwz और xwzw (xwy) शब्द प्रत्येक बंधी हुई जाली में समान मान को दर्शाते हैं। उपरोक्त निर्माण में नियम 2 और 3 को छोड़कर, जो जाली बंधी नहीं हैं, उनके मामले में भी इसी तरह का व्यवहार किया जाता है। मुक्त जाली पर समस्या शब्द के समाधान में कई दिलचस्प उपसंहार हैं। एक यह है कि जनरेटर के तीन-तत्व समूह का मुक्त जाली अनंत है। वास्तव में, यह भी दिखाया जा सकता है कि तीन जनरेटरों पर प्रत्येक मुक्त जाली में एक उप-जाली होती है जो चार जनरेटरों के एक सेट के लिए निःशुल्क होती है। प्रेरण द्वारा, यह अंततः अनगिनत जनरेटरों पर एक सबलैटिस मुक्त उत्पन्न करता है। यह गुण समूहों में एस. क्यू.-सार्वभौमिकता की याद दिलाता है। यह प्रमाण कि तीन जनरेटरों में मुक्त जाली अनंत है, pn + 1 = xw (yw (xw (yw (xw (zw)))) को प्रेरक रूप से परिभाषित करके प्राप्त होती है, जहां x, y और z तीन जनरेटर हैं, और p0 = x। फिर समस्या शब्द के प्रेरक संबंधों का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जाता है कि pn + 1 pn से सख्ती से बड़ा है, और इसलिए सभी अनंत रूप से कई शब्द pn मुक्त जाली FX में विभिन्न मूल्यों का मूल्यांकन करते हैं। पूर्ण मुक्त जाली एक अन्य परिणाम यह है कि पूर्ण मुक्त जाली (तीन या अधिक जनरेटर पर) "मौजूद नहीं है", इस अर्थ में कि यह एक उचित वर्ग है। इसका प्रमाण समस्या शब्द से भी मिलता है। संबंधों के संदर्भ में एक पूर्ण जाली को परिभाषित करने के लिए, मिलने और जुड़ने के परिमित संबंधों का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है; किसी के पास अनंत उपसमुच्चय के मिलने और जुड़ने को परिभाषित करने वाले अनंत संबंध भी होने चाहिए। उदाहरण के लिए, "जॉइन" के अनुरूप अनंत संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है यहाँ, f एक कार्डिनल N से FX के तत्वों से एक मानचित्र है; ऑपरेटर सर्वोच्चता को दर्शाता है, जिसमें यह f की छवि को अपने जॉइन पर ले जाता है। यह, निश्चित रूप से, "जॉइन" के समान है जब N एक परिमित संख्या है; इस परिभाषा का बिंदु जॉइन को एक संबंध के रूप में परिभाषित करना है, भले ही N एक अनंत कार्डिनल हो। समस्या शब्द के पूर्व-आदेश के स्वयंसिद्ध शब्द मिलने और जुड़ने के अनुरूप दो असीम प्रचालक द्वारा संलग्न किए जा सकते हैं। ऐसा करने के बाद, एक बार सीमा क्रमिक होने पर दी गई सामान्य रूप से अनुक्रमित की परिभाषा का विस्तार किया जाता है। फिर, पहले की तरह, कोई यह दिखा सकता है कि यह उससे कहीं अधिक है। इस प्रकार, पूर्ण मुक्त जाली में कम से कम उतने ही तत्व हैं जितने क्रमिक हैं, और इस प्रकार, पूर्ण मुक्त जाली एक समूह के रूप में मौजूद नहीं हो सकती है, और इसलिए एक उचित वर्ग होना चाहिए। संदर्भ पीटर टी. जॉनस्टोन, स्टोन स्पेस, कैम्ब्रिज स्टडीज इन एडवांस्ड मैथमेटिक्स 3, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, 1982। () (अध्याय 1 देखें) जाली सिद्धांत मुक्त बीजगणितीय संरचनाएं शब्दों पर संयोजन