Ducci sequence
एक डुची अनुक्रम पूर्णांकों के एन-टुपल्स का एक अनुक्रम है, जिसे कभी-कभी "डिफी गेम" के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह अनुक्रमों पर आधारित होता है। पूर्णांकों के एक एन-टुपल को देखते हुए, अनुक्रम में अगला एन-टुपल पड़ोसी पूर्णांकों के पूर्ण अंतरों को लेकर बनता हैः इसका वर्णन करने का एक और तरीका इस प्रकार है। एक वृत्त में n पूर्णांकों को व्यवस्थित करें और पड़ोसियों के बीच अंतर लेते हुए एक नया वृत्त बनाएँ, किसी भी ऋणात्मक संकेत को नजरअंदाज करते हुए; फिर ऑपरेशन को दोहराएं। डुक्की अनुक्रमों का नाम इतालवी गणितशास्त्री एनरिको डुक्की (1864-1940) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1930 के दशक में इसकी खोज की थी। डुक्की अनुक्रमों को डुक्की मानचित्र या एन-नंबर खेल के रूप में भी जाना जाता है। इन मानचित्रों के अध्ययन में खुली समस्याएं अभी भी बनी हुई हैं। गुण दूसरे एन-टुपल के बाद से, यह स्पष्ट है कि ड्यूची अनुक्रम में प्रत्येक एन-टुपल में प्रत्येक पूर्णांक 0 से अधिक या उसके बराबर होता है और पहले एन-टुपल के अधिकतम और न्यूनतम सदस्यों के बीच के अंतर से कम या उसके बराबर होता है। चूंकि इन बाधाओं के साथ केवल सीमित संख्या में संभावित एन-टुपल्स हैं, इसलिए एन-टुपल्स का अनुक्रम जल्द या बाद में खुद को दोहराना चाहिए। इसलिए प्रत्येक डुक्की अनुक्रम अंततः आवधिक हो जाता है। यदि n, 2 की घात है तो प्रत्येक डुची अनुक्रम अंततः एक सीमित संख्या में चरणों में n-टुपल (0,0,., 0) तक पहुंच जाता है। यदि एन दो की शक्ति नहीं है, तो एक डुची अनुक्रम या तो अंततः शून्य के एन-टपल तक पहुंच जाएगा या 'द्विआधारी' एन-टपल के आवधिक लूप में बस जाएगा; यानी, रूप के एन-टपल, एक स्थिरांक है, और। डुच्ची अनुक्रमों का एक स्पष्ट सामान्यीकरण एन-टुपल्स के सदस्यों को केवल पूर्णांकों के बजाय किसी भी वास्तविक संख्या होने की अनुमति देना है। उदाहरण के लिए, यह 4-टुपल चार पुनरावृत्तियों में (0,0,0,0) में परिवर्तित हो जाता हैः यहाँ प्रस्तुत गुण हमेशा इन सामान्यीकरणों के लिए नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, एन-टुपल (1, क्यू, क्यू2, क्यू3) से शुरू होने वाला एक डुची अनुक्रम जहां क्यूबिक का (अतार्किक) सकारात्मक मूल है, सीमित संख्या में चरणों में (0,0,0,0) तक नहीं पहुंचता है, हालांकि सीमा में यह (0,0,0,0) में परिवर्तित हो जाता है। उदाहरण के लिए ड्यूकी अनुक्रम शून्य के एक टुपल या एक आवधिक लूप तक पहुंचने से पहले मनमाने ढंग से लंबे हो सकते हैं। (0,653,1854,4063) से शुरू होने वाले 4-टुपल अनुक्रम को शून्य टुपल तक पहुंचने के लिए 24 पुनरावृत्तियाँ लगती हैं। यह 5-टुपल अनुक्रम 7 पुनरावृत्तियों के बाद 15 द्विआधारी 'लूप' अवधि में प्रवेश करता है। निम्नलिखित 6-टुपल अनुक्रम से पता चलता है कि टुपल के अनुक्रम जिनकी लंबाई दो की शक्ति नहीं है, वे अभी भी शून्य के टुपल तक पहुंच सकते हैंः यदि किसी भी "दो की शक्ति"-टुपल डुक्की अनुक्रम पर कुछ शर्तें लगाई जाती हैं, तो शून्य टुपल तक पहुंचने के लिए दो या उससे कम पुनरावृत्तियों की उस शक्ति की आवश्यकता होगी। यह परिकल्पना की जाती है कि ये अनुक्रम एक नियम के अनुरूप हैं। जब डुच्ची अनुक्रम द्विआधारी लूप में प्रवेश करते हैं, तो अनुक्रम को मॉड्यूलो दो में इलाज करना संभव है। अर्थात्ः यह साबित करने का आधार बनता है कि अनुक्रम कब सभी शून्यों पर गायब हो जाता है। सेलुलर ऑटोमेटा मॉड्यूलो 2 में रैखिक मानचित्र को आगे सेलुलर ऑटोमेटा के रूप में पहचाना जा सकता है जिसे वोल्फ्राम कोड में नियम 102 के रूप में दर्शाया गया है और मार्टिन-ओडलीज़्को-वोल्फ्राम मानचित्र के माध्यम से नियम 90 से संबंधित है। नियम 102 सियर्पिंस्की त्रिभुज को पुनः प्रस्तुत करता है। अन्य संबंधित विषय ड्यूची मानचित्र एक अंतर समीकरण का एक उदाहरण है, एक ऐसी श्रेणी जिसमें गैर-रैखिक गतिकी, अराजकता सिद्धांत और संख्यात्मक विश्लेषण भी शामिल हैं। साइक्लोटोमिक बहुपदों के साथ समानताओं को भी इंगित किया गया है। जबकि वर्तमान में डुच्ची मानचित्र का कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं है, अंतर समीकरणों के अत्यधिक लागू क्षेत्र से इसके संबंध ने अनुमान लगाया कि डुच्ची मानचित्र का एक रूप भविष्य में भी लागू हो सकता है। संदर्भ बाहरी लिंक कट-द-नॉट अनुक्रमों और श्रृंखला संख्या सिद्धांत पर एक वृत्त पर ड्यूसी अनुक्रम पूर्णांक पुनरावृत्तियाँ