Membrane analogy
लोचदार झिल्ली सादृश्य, जिसे साबुन-फिल्म सादृश्य के रूप में भी जाना जाता है, पहली बार 1903 में अग्रणी वायुगतिकी लुडविग प्रांड्टल द्वारा प्रकाशित किया गया था। यह मरोड़ में एक लंबी पट्टी पर तनाव वितरण का वर्णन करता है। बार का क्रॉस सेक्शन इसकी लंबाई के साथ स्थिर है, और गोलाकार होने की आवश्यकता नहीं है। विभेदक समीकरण जो मरोड़ में पट्टी पर तनाव वितरण को नियंत्रित करता है, उसी रूप का होता है जो विभेदक दबाव में झिल्ली के आकार को नियंत्रित करने वाला समीकरण होता है। इसलिए, बार पर तनाव वितरण की खोज करने के लिए, सभी को लकड़ी के एक टुकड़े से क्रॉस सेक्शन के आकार को काटना होगा, इसे साबुन की फिल्म से ढकना होगा, और उस पर एक अंतर दबाव लागू करना होगा। फिर क्रॉस सेक्शन के किसी भी क्षेत्र में साबुन फिल्म की ढलान अपने क्रॉस सेक्शन पर उसी बिंदु पर बार में तनाव के सीधे आनुपातिक होती है। जबकि झिल्ली सादृश्य किसी भी क्रॉस सेक्शन पर तनाव वितरण को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है, यह पतली-दीवार वाले, खुले क्रॉस सेक्शन पर तनाव वितरण को उसी सैद्धांतिक दृष्टिकोण से निर्धारित करने की अनुमति देता है जो आयताकार वर्गों के व्यवहार का वर्णन करता है। झिल्ली सादृश्य का उपयोग करते हुए, किसी भी पतली-दीवार वाले क्रॉस सेक्शन को मरोड़ के तहत तनाव वितरण को प्रभावित किए बिना एक आयत में "बढ़ाया" जा सकता है। अधिकतम कतरनी तनाव, इसलिए, फैला हुआ क्रॉस सेक्शन के मध्य बिंदु के किनारे पर होता है, और इसके बराबर होता है, जहां T लागू टोक़ है, b फैला हुआ क्रॉस सेक्शन की लंबाई है, और t क्रॉस सेक्शन की मोटाई है। यह दिखाया जा सकता है कि एक सजातीय झिल्ली की विक्षेपण सतह के लिए विभेदक समीकरण, समान पार्श्व दबाव के अधीन और समान सतह तनाव के साथ और मरोड़ के तहत एक बार के क्रॉस सेक्शन के समान रूपरेखा के साथ, वही रूप है जो मरोड़ के तहत एक बार के क्रॉस सेक्शन पर तनाव वितरण को नियंत्रित करता है। यह सादृश्य मूल रूप से 1903 में लुडविग प्रांड्टल द्वारा प्रस्तावित किया गया था। एक उपकरण के भीतर इलेक्ट्रॉनों के प्रक्षेपवक्र को मॉडल करने के लिए इलेक्ट्रॉन ट्यूब ("वैक्यूम ट्यूब") डिजाइन (1930 से 1960 के दशक) के क्षेत्र में प्रांड्टल की विस्तारित-झिल्ली अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। मॉडल का निर्माण एक फ्रेम पर एक पतली रबर शीट को समान रूप से फैलाकर किया जाता है, और नीचे से शीट में प्रभावित इलेक्ट्रोड के भौतिक मॉडल के साथ शीट को ऊपर की ओर विकृत किया जाता है। पूरी असेंबली झुकी हुई है, और स्टील की गेंदें (इलेक्ट्रॉन एनालॉग के रूप में) असेंबली के नीचे लुढ़की हुई हैं और प्रक्षेपवक्रों को नोट किया गया है। "इलेक्ट्रोड" के आसपास की घुमावदार सतह क्षेत्र की ताकत में जटिल वृद्धि का प्रतिनिधित्व करती है क्योंकि इलेक्ट्रॉन-एनालॉग "इलेक्ट्रोड" के पास पहुंचता है; शीट में ऊपर की ओर विरूपण क्षेत्र की ताकत के लिए एक करीबी सादृश्य है। संदर्भ। विशेष रूप से अध्याय XIV, अनुच्छेद 215 से 224 तक। "यह डोवर संस्करण, जो पहली बार 1944 में प्रकाशित हुआ था, चौथे (1927) संस्करण का एक अपरिवर्तित और अप्रकाशित गणराज्य है।" यांत्रिकी ठोस यांत्रिकी संरचनात्मक विश्लेषण सादृश्य