Nagata ring
कम्यूटेटिव बीजगणित में, एक एन-1 रिंग एक अभिन्न डोमेन है जिसका अभिन्न समापन अपने भागफल क्षेत्र में एक परिमित रूप से उत्पन्न-मॉड्यूल है। इसे एक जापानी रिंग (या एक एन-2 रिंग) कहा जाता है यदि इसके भागफल क्षेत्र के प्रत्येक परिमित विस्तार के लिए, इन का अभिन्न समापन एक परिमित रूप से उत्पन्न-मॉड्यूल (या समकक्ष रूप से एक परिमित-बीजगणित) है। एक रिंग को सार्वभौमिक रूप से जापानी कहा जाता है यदि इसके ऊपर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न अभिन्न क्षेत्र जापानी है, और इसे नागाता रिंग कहा जाता है, जिसका नाम मासायोशी नागाता के नाम पर रखा गया है, या एक छद्म-ज्यामितीय रिंग कहा जाता है यदि यह नोएथेरियन है और सार्वभौमिक रूप से जापानी (या, जो समान हो जाता है, यदि यह नोएथेरियन है और एक प्रमुख आदर्श द्वारा इसके सभी भाग एन-2 रिंग हैं)। एक वलय को ज्यामितीय कहा जाता है यदि यह एक बीजगणितीय किस्म का स्थानीय वलय है या इस तरह के स्थानीय वलय का पूरा होना है, लेकिन इस अवधारणा का अधिक उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण बहुपदों के क्षेत्र और वलय या क्षेत्रों पर परिमित रूप से कई अनिश्चितों में शक्ति श्रृंखला जापानी वलय के उदाहरण हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण नोथेरियन इंटीग्रली क्लोज्ड डोमेन है (जैसे। एक डेडेकाइंड डोमेन) जिसमें अंशों का एक सही क्षेत्र होता है। दूसरी ओर, एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र या यहां तक कि एक असतत मूल्यांकन चक्र भी आवश्यक रूप से जापानी नहीं है। कोई भी अर्ध-उत्कृष्ट वलय एक नागाता वलय है, इसलिए विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में पाए जाने वाले लगभग सभी नोएथेरियन वलय नागाता वलय हैं। नोथेरियन डोमेन का पहला उदाहरण जो कि नागाता रिंग नहीं है, द्वारा दिया गया था। यहाँ एक असतत मूल्यांकन रिंग का एक उदाहरण दिया गया है जो एक जापानी रिंग नहीं है। एक विशिष्ट क्षेत्र का एक अभाज्य और एक अनंत डिग्री क्षेत्र विस्तार चुनें, जैसे कि। माना कि असतत मूल्यांकन चक्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला का चक्र है जिसके गुणांक एक सीमित विस्तार उत्पन्न करते हैं। यदि कोई औपचारिक शक्ति श्रृंखला नहीं है तो रिंग एक एन-1 रिंग नहीं है (इसका अभिन्न समापन एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल नहीं है) इसलिए यह एक जापानी रिंग नहीं है। यदि सभी जनित्रों के वर्गों और घनों द्वारा उत्पन्न असीम रूप से कई जनरेटरों में बहुपद वलय का उप-वलय है, और सभी तत्वों के निकटवर्ती व्युत्क्रम द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो कुछ द्वारा उत्पन्न किसी भी आदर्श में नहीं है, तो एक नोथेरियन क्षेत्र है जो एक एन-1 वलय नहीं है, दूसरे शब्दों में इसके भागफल क्षेत्र में इसका अभिन्न समापन एक परिमित रूप से उत्पन्न-मॉड्यूल नहीं है। प्रत्येक बंद बिंदु पर एक पुच्छ विलक्षणता भी होती है, इसलिए एकवचन बिंदुओं का समूह बंद नहीं होता है। संदर्भ बॉश, गुंट्ज़र, रेमेर्ट, गैर-आर्किमिडियन विश्लेषण, स्प्रिंगर 1984, ए. ग्रोथेन्डिक, जे. ड्यूडोन, एलेमेंट्स डी जियोमेट्री एल्गेब्रिक, च। 0IV § 23, प्रकाशन। गणित। आईएचईएस 20 (1964)। एच. मात्सुमुरा, कम्यूटेटिव बीजगणित, अध्याय 12। नागाटा, मसायोशी स्थानीय रिंग्स। इंटरसाइंस ट्रैक्ट्स इन प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, नं. 13 इंटरसाइंस पब्लिशर्स जॉन विली एंड संस, न्यूयॉर्क-लंदन 1962 का एक प्रभाग, आर. ई. क्रीगर पब द्वारा पुनर्मुद्रित। सह (1975) बाहरी लिंक http://stacks.math.columbia.edu/tag/032E बीजगणितीय ज्यामिति कम्यूटेटिव बीजगणित