Elliptic cohomology
गणित में, एलिप्टिक कोहोमोलॉजी बीजगणितीय टोपोलॉजी के अर्थ में एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है। यह अण्डाकार वक्र और मॉड्यूलर रूपों से संबंधित है। इतिहास और प्रेरणा ऐतिहासिक रूप से, अण्डाकार समरूपता अण्डाकार वंश के अध्ययन से उत्पन्न हुई। यह अतिया और हिरज़ेब्रुक द्वारा ज्ञात था कि यदि एक स्पिन मैनिफोल्ड पर सुचारू रूप से और गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है, तो डीराक ऑपरेटर का सूचकांक गायब हो जाता है। 1983 में, विटन ने अनुमान लगाया कि इस स्थिति में एक निश्चित मुड़े हुए डीराक प्रचालक का समरूप सूचकांक कम से कम स्थिर है। इसने मैनिफोल्ड्स पर-क्रियाओं से संबंधित कुछ अन्य समस्याओं को जन्म दिया, जिन्हें अण्डाकार पीढ़ी की शुरुआत से ओचेनाइन द्वारा हल किया जा सकता था। बदले में, विटन ने इन्हें मुक्त लूप रिक्त स्थान पर (अनुमानात्मक) सूचकांक सिद्धांत से संबंधित किया। एलिप्टिक कोहोमोलॉजी, जिसका आविष्कार 1980 के दशक के अंत में लैंडवेबर, स्टोंग और रेवेनेल द्वारा अपने मूल रूप में किया गया था, को एलिप्टिक जेनेरा के साथ कुछ मुद्दों को स्पष्ट करने और फ्री लूप स्पेस पर डिफरेंशियल ऑपरेटरों के परिवारों के (अनुमान) सूचकांक सिद्धांत के लिए एक संदर्भ प्रदान करने के लिए पेश किया गया था। कुछ अर्थों में इसे मुक्त लूप स्थान के के-सिद्धांत के सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है। परिभाषाएँ और निर्माण एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत को सम आवधिक कहते हैं यदि i विषम है और एक व्युत्क्रमणीय तत्व है। इन सिद्धांतों में एक जटिल अभिविन्यास होता है, जो एक औपचारिक समूह नियम देता है। औपचारिक समूह नियमों के लिए एक विशेष रूप से समृद्ध स्रोत अण्डाकार वक्र हैं। एक समरूपता सिद्धांत को दीर्घवृत्ताकार कहा जाता है यदि यह सम आवधिक है और इसका औपचारिक समूह नियम एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के औपचारिक समूह नियम के लिए समरूप है। इस तरह के अण्डाकार समरूपता सिद्धांतों का सामान्य निर्माण लैंडवेबर सटीक फंक्टर प्रमेय का उपयोग करता है। यदि लैंडवेबर का औपचारिक समूह नियम सटीक है, तो फ्रैंके द्वारा एक दीर्घवृत्ताकार समरूपता सिद्धांत (परिमित परिसरों पर) को परिभाषित किया जा सकता है, जिसने लैंडवेबर की सटीकता को पूरा करने के लिए आवश्यक स्थिति की पहचान की हैः समतल होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, सार्वभौमिक मामले में शर्तों को इस अर्थ में पूरा किया जाता है कि अण्डाकार वक्रों के मॉड्यूली ढेर से औपचारिक समूहों के मॉड्यूली ढेर तक का नक्शा सपाट है। यह तब अण्डाकार वक्रों के मॉड्यूली ढेर के ऊपर सपाट एफ़ाइन योजनाओं के स्थान पर समरूपता सिद्धांतों का एक पूर्वाभास देता है। वैश्विक खंडों को लेकर एक सार्वभौमिक अण्डाकार समरूपता सिद्धांत प्राप्त करने की इच्छा ने पिछली साइट की तुलना में इस प्रीशीफ की समस्थानिक सीमा के रूप में टोपोलॉजिकल मॉड्यूलर रूपों का निर्माण किया है। स्पेक्ट्रल बीजगणितीय ज्यामिति मध्यवर्ती जैकोबियन क्रोमेटिक होमोटॉपी सिद्धांत संदर्भ भी देखें। .. .. .. .. संस्थापक लेख एलिप्टिक कोहोमोलॉजी-ग्रीम सेगल एक्सटेंशन टू कैलाबी-यू मैनिफोल्ड्स के3 स्पेक्ट्रा स्पष्ट के3 स्पेक्ट्रा का निर्माण गेज सिद्धांत, स्ट्रिंग सिद्धांत और कोहोमोलॉजी में एलिप्टिक वक्र, कोहोमोलॉजी सिद्धांत एलिप्टिक वक्र मॉड्यूलर रूप