Spin representation
गणित में, स्पिन प्रतिनिधित्व मनमाने आयाम और हस्ताक्षर (यानी अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूहों सहित) में ऑर्थोगोनल या विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के विशेष प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्पिन समूहों के दो समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरे आवरण हैं। उनका अध्ययन आमतौर पर वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किया जाता है, लेकिन उन्हें अन्य क्षेत्रों में परिभाषित किया जा सकता है। स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को स्पिनर्स कहा जाता है। वे इलेक्ट्रॉन जैसे फर्मियन के भौतिक विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। स्पिन प्रतिनिधित्व का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में एक अधिकतम समस्थानिक उपक्षेत्र का चयन (शायद केवल निहित रूप से) शामिल होता है। वास्तविक संख्याओं पर, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के जटिलता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले जटिल संख्याओं पर स्पिन अभ्यावेदन को परिभाषित करना और वास्तविक संरचनाओं को पेश करके वास्तविक अभ्यावेदन प्राप्त करना सुविधाजनक है। स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, एक सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को शास्त्रीय लाइ समूहों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये एम्बेडिंग सर्जेक्टिव होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाइ समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनर्स के गुणों को स्पष्ट करता है। सेट-अप एक गैर-अपक्षयी द्विघात रूप के साथ एक परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान होना चाहिए। (वास्तविक या जटिल) रैखिक मानचित्र ऑर्थोगोनल समूह बनाते हैं। समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है। (एक अनिश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक के लिए, यह शब्दावली मानक नहीं हैः विशेष ऑर्थोगोनल समूह को आमतौर पर इस मामले में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। समूह समरूपता तक, एक अद्वितीय जुड़ा हुआ दोहरा आवरण, स्पिन समूह होता है। इस प्रकार एक समूह समरूपता है जिसके कर्नेल में दो तत्वों को दर्शाया गया है, जहां पहचान तत्व है। इस प्रकार, समरूपता के बाद समूह तत्व और के समतुल्य हैं; अर्थात, किसी भी इन के लिए। समूह और सभी लाइ समूह हैं, और निश्चित के लिए उनके पास एक ही लाइ बीजगणित है। यदि वास्तविक है, तो इसके जटिलता का एक वास्तविक सदिश उपक्षेत्र है, और द्विघात रूप स्वाभाविक रूप से एक द्विघात रूप तक फैला हुआ है। यह एक उपसमूह के रूप में अंतर्निहित है, और इसलिए हम एक उपसमूह के रूप में महसूस कर सकते हैं। इसके अलावा, की जटिलता है। जटिल मामले में, द्विघात रूपों को विशिष्ट रूप से समरूपता तक के आयाम द्वारा निर्धारित किया जाता है। ठोस रूप से, हम मान सकते हैं और संबंधित लाइ समूहों को दर्शाया जाता है और उनके लाइ बीजगणित को इस रूप में दर्शाया जाता है। वास्तविक मामले में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां का आयाम है, और हस्ताक्षर है। ठोस रूप से, हम मान सकते हैं और संबंधित लाइ समूहों और लाइ बीजगणित को दर्शाया जाता है और। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए इसके स्थान पर लिखते हैं। स्पिन प्रतिनिधित्व, एक अर्थ में, सबसे सरल प्रतिनिधित्व हैं और जो और के प्रतिनिधित्व से नहीं आते हैं। एक स्पिन प्रतिनिधित्व, इसलिए, एक वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है जिसमें सामान्य रैखिक समूह से या उसके लिए एक समूह समरूपता है जैसे कि तत्व के कर्नेल में नहीं है। यदि ऐसा प्रतिनिधित्व है, तो लाइ समूहों और लाइ बीजगणित के बीच के संबंध के अनुसार, यह एक लाइ बीजगणित प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है, अर्थात, कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ एंडोमोर्फिज्म के लाइ बीजगणित से या उससे एक लाइ बीजगणित समरूपता। स्पिन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता हैः यदि एक वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है, तो इसका जटिलता एक जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व है; के प्रतिनिधित्व के रूप में, इसलिए यह एक जटिल प्रतिनिधित्व तक फैला हुआ है। इसके विपरीत आगे बढ़ते हुए, हम पहले जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व का निर्माण करते हैं और फिर उन्हें जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व तक सीमित करते हैं और फिर अंत में वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं। जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व मानक द्विघात रूप के साथ होने दें ताकि ध्रुवीकरण से जुड़े सममित द्विरेखीय रूप को दर्शाया जा सके। समस्थानिक उपस्थान और जड़ प्रणालियाँ के स्पिन प्रतिनिधित्व का एक मानक निर्माण अधिकतम पूरी तरह से समस्थानिक उपस्थानों (के संबंध में) की एक जोड़ी के विकल्प के साथ शुरू होता है। आइए हम इस तरह का चुनाव करें। यदि या, तो और दोनों का आयाम है। यदि, तब, जबकि यदि, तब, 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक कहाँ है। और के बीच एक जोड़ी को प्रेरित करने से जुड़ा द्विरेखीय रूप, जो गैर-अपक्षयी होना चाहिए, क्योंकि और पूरी तरह से समस्थानिक उप-स्थान हैं और गैर-अपक्षयी हैं। अतः और दोहरे सदिश रिक्त स्थान हैं। अधिक ठोस रूप से, इसके लिए एक आधार बनने दें। फिर इसका एक अनूठा आधार है कि यदि एक मैट्रिक्स है, तो इस आधार के संबंध में एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और ट्रांसपोज़ अंदर और अंदर सभी के लिए एक परिवर्तन को प्रेरित करता है। यह इस प्रकार है कि का एंडोमोर्फिज्म, ऑन, ऑन के बराबर और शून्य (यदि विषम है), तिरछा है, सभी के लिए, और इसलिए (शास्त्रीय समूह देखें) का एक तत्व है। इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग करके एक कार्टन उप-बीजगणित को परिभाषित किया गया हैः की श्रेणी है, और विकर्ण मैट्रिक्स एक आयामी अबेलियन उप-बीजगणित निर्धारित करते हैं। मान लीजिए कि इसका आधार ऐसा हो कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए इसका th विकर्ण प्रविष्टि हो। स्पष्ट रूप से यह एक आधार है। चूंकि द्विरेखीय रूप स्पष्ट रूप से पहचान करता है, इसलिए अब इससे जुड़े मूल प्रणाली का निर्माण करना आसान है। रूट स्पेस (की क्रिया के लिए एक साथ आइगेनस्पेस) निम्नलिखित तत्वों द्वारा फैले हुए हैंः रूट (एक साथ आइगेनवैल्यू) के साथ (जो रूट के साथ रूट के साथ है और, यदि विषम है, और एक गैर-शून्य तत्व है, जिसमें रूट के साथ रूट है। सकारात्मक जड़ों की एक प्रणाली और (विषम के लिए) द्वारा दी जाती है। सकारात्मक जड़ें सरल जड़ों के गैर-नकारात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं। स्पिन अभ्यावेदन और उनके भार स्पिन अभ्यावेदन का एक निर्माण बाहरी बीजगणित (ओं) का उपयोग करता है और/या क्रिया में किसी भी तत्व के लिए इस तरह की एक क्रिया दी जाती हैः जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो जोड़े और। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों का सम्मान करती है, और इसलिए क्लिफोर्ड बीजगणित से एक समरूपता को प्रेरित करती है। एक समान कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है, ताकि दोनों और क्लिफोर्ड मॉड्यूल हों। लाइ बीजगणित आवरण द्वारा प्रेरित मानचित्रण के माध्यम से जटिल लाइ बीजगणित के लिए समरूप है। वे वास्तव में समतुल्य प्रतिनिधित्व हैं, इसलिए हम एस पर ध्यान केंद्रित करते हैं। स्पष्ट विवरण से पता चलता है कि कार्टन उप-बीजगणित के तत्व ए के आधार पर कार्य करते हैं और के लिए रूप के तत्वों द्वारा दिया जाता है। ये स्पष्ट रूप से निम्नलिखित की क्रिया के लिए भार रिक्त स्थान का विस्तार करते हैंः यदि कुछ के लिए दिए गए आधार सदिश पर आइगेनवैल्यू-1/2 है, और अन्यथा आइगेनवैल्यू है। यह इस प्रकार है कि के भार सभी संभावित संयोजन हैं और प्रत्येक वजन स्थान एक-आयामी है। के तत्वों को डीराक स्पिनर्स कहा जाता है। कब सम है, यह एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व नहीं हैः और अपरिवर्तनीय उपस्थान हैं। भार उन में विभाजित होते हैं जिनकी सम संख्या में ऋणात्मक संकेत होते हैं, और जिनकी विषम संख्या में ऋणात्मक संकेत होते हैं। एस + और एस-दोनों आयाम 2 एम-1 के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं जिनके तत्वों को वेल स्पिनर्स कहा जाता है। इन्हें कायरल स्पिन प्रतिनिधित्व या अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त धनात्मक मूल प्रणाली के संबंध में, S + और S-के उच्चतम भार क्रमशः और हैं। क्लिफोर्ड क्रिया सी. एल. एन. सी. को एंड (एस) के साथ पहचानती है और सम उप-बीजगणित को एस + और एस-को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जाता है। अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S′ इस मामले में S के लिए समरूप है। जब n विषम होता है, तो S आयाम 2m के इसलिए (n, C) का एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैः एक इकाई सदिश की क्लिफोर्ड क्रिया u ω U द्वारा दी जाती है और इसलिए रूप के (n, C) के तत्व W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित नहीं करते हैं। अधिक सटीक रूप से, दोनों प्रतिनिधित्व सी. एल. एन. सी. के पैरिटी इनवोल्यूशन α (जिसे प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है) से संबंधित हैं, जो सम उप-बीजगणित पर पहचान है, और सी. एल. एन. सी. के विषम भाग पर पहचान को घटा देता है। दूसरे शब्दों में, S से S′ तक एक रैखिक समरूपता है, जो S′ पर α (A) की क्रिया के साथ S पर ClnC में A की क्रिया की पहचान करती है। यदि λ, S का भार है, तो बिलीनियर रूप लेता है, इसलिए यह −λ है। यह इस प्रकार है कि S दोहरे प्रतिनिधित्व S ≤ के लिए समरूप है। जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S ऱ्ऱं शूर के लेम्मा द्वारा पैमाने तक अद्वितीय होता है, क्योंकि S इरेड्यूसिबल है, और यह S पर एक गैर-अपक्षयी अपरिवर्तनीय रूप β को परिभाषित करता है। वास्तव में, अधिक सच हैः एस ≤ विपरीत क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व है, और इसलिए, चूंकि सी. एल. एन. सी. में केवल दो गैर-तुच्छ सरल मॉड्यूल एस और एस ′ हैं, जो पैरिटी इनवोल्यूशन α से संबंधित हैं, इसलिए सी. एल. एन. सी. का एक एंटीआटोमोर्फिज्म τ है जैसे कि सी. एल. एन. सी. में किसी भी ए के लिए। वास्तव में τ, m सम के लिए प्रत्यावर्तन (V पर पहचान द्वारा प्रेरित एंटीआउटोमोर्फिज्म) है, और m विषम के लिए संयुग्मन (V पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीआउटोमोर्फिज्म) है। ये दोनों एंटीआटोमॉर्फिज्म पैरिटी इनवोल्यूशन α से संबंधित हैं, जो कि V पर माइनस आइडेंटिटी द्वारा प्रेरित ऑटोमॉर्फिज्म है। जब n = 2m होता है, तो स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से m की समता पर निर्भर करती है। m सम के लिए, एक वजन λ में ऋणात्मक संकेतों की एक सम संख्या होती है यदि और केवल यदि −λ करता है; यह इस प्रकार है कि प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व के अलग-अलग समरूपता B ±: S ± → S ± ≤ हैं जो अपने दोहरे के साथ हैं, प्रत्येक को विशिष्ट रूप से पैमाने तक निर्धारित किया जाता है। इन्हें एक समरूपता B: S → S ≤ में जोड़ा जा सकता है। m विषम के लिए, λ, S + का भार है यदि और केवल यदि −λ, S-का भार है; इस प्रकार S + से S-ऱ्ऱं तक एक समरूपता है, जो फिर से पैमाने तक अद्वितीय है, और इसका स्थानांतर S-से S + ऱ्ऱं तक एक समरूपता प्रदान करता है। इन्हें फिर से एक समरूपता में जोड़ा जा सकता है B: S → S ≤। m सम और m विषम दोनों के लिए, B के चयन में स्वतंत्रता को इस बात पर जोर देकर समग्र पैमाने तक सीमित किया जा सकता है कि B के अनुरूप द्विरेखीय रूप β संतुष्ट करता है (1), जहां τ एक निश्चित एंटीआटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है। सममिति और टेंसर वर्ग β: S′S′C के सममिति गुणों को क्लिफोर्ड बीजगणित या प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। वास्तव में और भी बहुत कुछ कहा जा सकता हैः टेंसर वर्ग S′S को विभिन्न k के लिए V पर k-रूपों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होना चाहिए, क्योंकि इसका भार h ≤ में सभी तत्व हैं जिनके घटक {− 1,0,1} से संबंधित हैं। अब समतुल्य रैखिक मानचित्र एस. एस. सी. एस. सी. एस. सी. और गैर-शून्य ऐसे मानचित्रों को क्लिफोर्ड बीजगणित में के. वी. के समावेश के माध्यम से बनाया जा सकता है। इसके अलावा, यदि β (φ, si) = εβ (si, φ) और τ का चिह्न kV पर εk है तो kV में A के लिए। यदि n = 2m + 1 विषम है तो यह शूर के लेम्मा से इस प्रकार है कि (दोनों पक्षों का आयाम 22m है और दाईं ओर के प्रतिनिधित्व असमान हैं)। चूँकि सममितियाँ एक अंतर्वेशन τ द्वारा नियंत्रित होती हैं जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, इसलिए 2jV घटक की समरूपता j के साथ बारी-बारी से होती है। प्राथमिक संयोजन देता है और संकेत निर्धारित करता है कि कौन से प्रतिनिधित्व S2S में होते हैं और कौन से 2S में होते हैं। विशेष रूप से और v ωV के लिए (जो ω2mV के लिए समरूप है), यह पुष्टि करते हुए कि τ, m सम के लिए प्रत्यावर्तन है, और m विषम के लिए संयुग्मन है। यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक शामिल है, लेकिन परिणाम एक अधिक परिष्कृत अपघटन हैः S2S ±, ± 2S ± और S + ± S-प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहां k = m के लिए स्व-द्वैत और स्व-द्वैत विरोधी m-रूपों में एक और अपघटन होता है)। मुख्य परिणाम निम्नलिखित तालिका के अनुसार, एस पर एक शास्त्रीय लाइ बीजगणित के उप-बीजगणित के रूप में तो (एन, सी) की प्राप्ति है, जो एन मॉडुलो 8 पर निर्भर करता हैः एन ≤ 6 के लिए, ये एम्बेडिंग समरूपता हैं (एन = 6 के लिए जीएल के बजाय एसएल पर): वास्तविक प्रतिनिधित्व इसलिए (एन, सी) के जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व वास्तविक उप-बीजगणकों तक कार्रवाई को सीमित करके तो (पी, क्यू) के वास्तविक प्रतिनिधित्व एस प्राप्त करते हैं। हालाँकि, अतिरिक्त "वास्तविकता" संरचनाएँ हैं जो वास्तविक लाइ अल्जेब्रा की क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय हैं। ये तीन प्रकार के होते हैं। आर2 = आईडीएस के साथ एक अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलिनियर मानचित्र आरः एस → एस है। आर का निश्चित बिंदु समुच्चय तब एस का एक वास्तविक सदिश उपक्षेत्र एस. आर. होता है जिसमें एस. आर. सी. = एस. होता है। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है। जे2 = −आई. डी. एस. के साथ एक अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलिनियर मानचित्र जेः एस. → एस. है। यह इस प्रकार है कि ट्रिपल i, j और k: = ij S को एक चतुर्थक सदिश स्थान SH में बनाते हैं। इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है। एक अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलिनियर मानचित्र b: S → S ≤ है जो व्युत्क्रमणीय है। यह एस पर एक छद्महर्मीटियन द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है और इसे एक हर्मिशियन संरचना कहा जाता है। तो (पी, क्यू) के तहत अपरिवर्तनीय संरचना का प्रकार केवल हस्ताक्षर पी-क्यू मॉड्यूलो 8 पर निर्भर करता है, और निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है। यहाँ आर, सी और एच क्रमशः वास्तविक, हर्मिशियन और चतुर्थक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और आर + आर और एच + एच इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्थक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं। विवरण और सारणियाँ वास्तविक प्रतिनिधित्व के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना चाहिए कि ये संरचनाएँ अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती हैं। चूँकि n = p + q + p − q मॉड 2, दो मामले हैंः आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं। विषम मामला सरल है, केवल एक जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व एस है, और हर्मिशियन संरचनाएं नहीं होती हैं। तुच्छ मामले n = 1 के अलावा, S हमेशा सम-आयामी होता है, मान लीजिए मंद S = 2N। अतः (2N, C) के वास्तविक रूप (K, L) के साथ K + L = 2N और इसलिए (N, H) हैं, जबकि sp (2N, C) के वास्तविक रूप sp (2N, R) और sp (K, L) के साथ K + L = N हैं। इसलिए विषम स्पिन प्रतिनिधित्वों को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है। (†) के लिए सम है और के लिए, यह है। सम-आयामी मामला समान है। के लिए, जटिल अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व सम-आयामी हैं। हमें अतिरिक्त रूप से हर्मिशियन संरचनाओं और वास्तविक रूपों से निपटना होगा, जो हैं, के साथ, और। परिणामी सम स्पिन प्रतिनिधित्वों को संक्षेप में इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है। (*) के लिए, हमारे पास इसके बजाय (†) सम है और (जिसमें शामिल है) के लिए, हमारे पास इसके बजाय जटिल मामले में निम्न-आयामी समरूपता के निम्नलिखित वास्तविक रूप हैं। इस तालिका से गायब वास्तविक लाइ अल्जेब्रा के एकमात्र विशेष समरूपताएँ और नोट्स संदर्भ हैं। .. .. .. प्रारंभिक संस्करण के लिए कार्यक्रम की वेबसाइट भी देखें। .. .. .. .. झूठ समूहों का स्पिनर्स प्रतिनिधित्व सिद्धांत