Topological modular forms
गणित में, टोपोलॉजिकल मॉड्यूलर फॉर्म (टी. एम. एफ.) एक स्पेक्ट्रम का नाम है जो एक सामान्यीकृत समरूपता सिद्धांत का वर्णन करता है। ठोस शब्दों में, किसी भी पूर्णांक n के लिए एक टोपोलॉजिकल स्थान होता है, और ये स्थान उनके बीच कुछ मानचित्रों से सुसज्जित होते हैं, ताकि किसी भी टोपोलॉजिकल स्थान X के लिए, X से निरंतर मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों के सेट पर एक अबेलियन समूह संरचना प्राप्त हो। एक विशेषता जो टी. एम. एफ. को अलग करती है वह यह है कि इसका गुणांक वलय, (बिंदु), लगभग समाकलन कस्प विस्तार के साथ होलोमोर्फिक मॉड्यूलर रूपों के श्रेणीबद्ध वलय के समान है। वास्तव में, ये दो वलय अभाज्य संख्या 2 और 3 को उलटने के बाद समरूप हो जाते हैं, लेकिन यह व्युत्क्रम गुणांक वलय में बहुत सारी मरोड़ की जानकारी को मिटा देता है। टोपोलॉजिकल मॉड्यूलर रूपों के स्पेक्ट्रम का निर्माण (सामान्यीकृत) अण्डाकार वक्रों के मॉड्यूली ढेर पर ई-अनंत रिंग स्पेक्ट्रा के आवरण के वैश्विक वर्गों के रूप में किया जाता है। इस सिद्धांत का संबंध संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत, क्षेत्रों के समस्थानिक समूहों और कई गुना के लूप स्पेस पर अनुमानात्मक सूचकांक सिद्धांतों से है। टी. एम. एफ. का निर्माण पहली बार माइकल हॉपकिंस और हेन्स मिलर द्वारा किया गया था; कई गणनाएँ पॉल गोअर्स, हॉपकिंस, मार्क महोवाल्ड, मिलर, चार्ल्स रेज़क और टिलमैन बाउर के प्रीप्रिंट और लेखों में पाई जा सकती हैं। निर्माण टी. एम. एफ. का मूल निर्माण हॉपकिंस, मिलर और पॉल गोअर्स के बाधा सिद्धांत का उपयोग करता है, और यह ड्वायर, कान और स्टोवर के विचारों पर आधारित है। इस दृष्टिकोण में, दीर्घवृत्ताकार वक्रों के मॉड्यूली स्टैक के एटेल साइट पर गुणक समरूपता सिद्धांतों के एक प्रीशेफ ओप ("शीर्ष" का अर्थ टोपोलॉजिकल है) को परिभाषित किया जाता है और यह दर्शाता है कि इसे ई-अनंत रिंग स्पेक्ट्रा के आवरण के लिए अनिवार्य रूप से अद्वितीय तरीके से उठाया जा सकता है। इस आवरण में निम्नलिखित गुण हैंः एक वलय आर पर किसी भी दीर्घवृत्ताकार दीर्घवृत्ताकार वक्र के लिए, यह एक ई-अनंत वलय वर्णक्रम (एक शास्त्रीय दीर्घवृत्ताकार समरूपता सिद्धांत) निर्धारित करता है जिसका संबंधित औपचारिक समूह उस दीर्घवृत्ताकार वक्र का औपचारिक समूह है। एक दूसरा निर्माण, जैकब लूरी के कारण, मॉड्यूली समस्या का वर्णन करने के बजाय टी. एम. एफ. का निर्माण करता है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है और फिर अस्तित्व दिखाने के लिए सामान्य प्रतिनिधित्व सिद्धांत को लागू करता हैः जिस तरह दीर्घवृत्ताकार वक्रों का मॉड्यूली स्टैक उस फंक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो एक रिंग को उसके ऊपर दीर्घवृत्ताकार वक्रों की श्रेणी प्रदान करता है, उसी तरह ई-अनंत रिंग स्पेक्ट्रा के आवरण के साथ स्टैक उस फंक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो एक ई-अनंत रिंग को अपनी श्रेणी के उन्मुख व्युत्पन्न दीर्घवृत्ताकार वक्रों को निर्दिष्ट करता है, जिसकी उचित व्याख्या की जाती है। ये निर्माण चिकने अण्डाकार वक्रों के मॉड्यूली स्टैक पर काम करते हैं, और वे इस मॉड्यूली स्टैक के डिलिग्ने-मम्फोर्ड कॉम्पेक्टिफिकेशन के लिए भी काम करते हैं, जिसमें नोडल सिंगुलरिटी के साथ अण्डाकार वक्र शामिल होते हैं। टी. एम. एफ. वह स्पेक्ट्रम है जो चिकनी वक्रों के मॉड्यूली ढेर पर वैश्विक वर्गों से उत्पन्न होता है, और टी. एम. एफ. वह स्पेक्ट्रम है जो डिलिग्ने-मम्फोर्ड संकुचन के वैश्विक वर्गों के रूप में उत्पन्न होता है। टी. एम. एफ. संयोजक टी. एम. एफ. का एक आवधिक संस्करण है। जबकि टी. एम. एफ. के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला रिंग स्पेक्ट्रा अवधि 2 के साथ आवधिक होता है, टी. एम. एफ. की अवधि 576 होती है। आवधिकता मॉड्यूलर डिस्क्रिमिनेंट से संबंधित है। गणित के अन्य भागों के साथ संबंध टी. एम. एफ. में कुछ रुचि स्ट्रिंग सिद्धांत और अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत से आती है। ग्रीम सेगल ने पहली बार 1980 के दशक में एलिप्टिक कोहोमोलॉजी (टी. एम. एफ. के अग्रदूत) के ज्यामितीय निर्माण को अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों के कुछ प्रकार के मॉड्यूली स्थान के रूप में प्रदान करने का प्रस्ताव रखा, और इन विचारों को स्टीफन स्टोल्ज़ और पीटर टेचनर द्वारा जारी और विस्तारित किया गया है। उनका कार्यक्रम सुपरसिमेट्रिक यूक्लिडियन क्षेत्र सिद्धांतों के मॉड्यूली स्थान के रूप में टी. एम. एफ. का निर्माण करने का प्रयास करना है। स्ट्रिंग सिद्धांत द्वारा अधिक प्रत्यक्ष रूप से प्रेरित काम में, एडवर्ड विटन ने विटन जीनस की शुरुआत की, जो स्ट्रिंग बोर्डिज़्म रिंग से मॉड्यूलर रूपों के रिंग तक एक समरूपता है, जिसमें मैनिफोल्ड के लूप स्पेस में ट्रिवियल लोकस के औपचारिक पड़ोस पर समतुल्य सूचकांक सिद्धांत का उपयोग किया गया है। यह किसी भी स्पिन मैनिफोल्ड के साथ आधा पहले पोंट्रियागिन वर्ग के एक मॉड्यूलर रूप को गायब करने के साथ संबद्ध करता है। हॉपकिंस, मैथ्यू एंडो, चार्ल्स रेज़क और नील स्ट्रिकलैंड के काम से, विटन जीनस को टोपोलॉजी में उठाया जा सकता है। अर्थात्, स्ट्रिंग बोर्डिज़्म स्पेक्ट्रम से टी. एम. एफ. (एक तथाकथित अभिविन्यास) तक एक नक्शा है जैसे कि विटन जीनस को इन स्पेक्ट्रा के होमोटॉपी समूहों पर प्रेरित मानचित्र की संरचना के रूप में और टी. एम. एफ. के होमोटॉपी समूहों का एक नक्शा मॉड्यूलर रूपों में पुनर्प्राप्त किया जाता है। इसने विटन वंश के बारे में कुछ विभाज्यता बयानों को साबित करने की अनुमति दी। टी. एम. एफ. का अभिविन्यास स्पिन बोर्डिस्म स्पेक्ट्रम से शास्त्रीय के-सिद्धांत तक अतियाह-बॉट-शापिरो मानचित्र के अनुरूप है, जो डीराक समीकरण से टोपोलॉजी तक का एक उत्थान है। संदर्भ बेहरेंस, एम., नोट्स ऑन द कंस्ट्रक्शन ऑफ टी. एम. एफ. (2007), http://www-math.mit.edu ~ एमबेहरेंस/पेपर्स/बिल्ड. पी. डी. एफ. गोअर्स, पी. एंड हॉपकिंस, एम., मॉड्यूली स्पेस ऑफ कम्यूटेटिव रिंग स्पेक्ट्रा, http://www.math.northwestern.edu ~ पीगोअर्स/पेपर्स/सम. पी. डी. एफ. हॉपकिंस, एम. और महोवाल्ड, एम., फ्रॉम एलिप्टिक कर्व्स टू होमोटोपी थ्योरी (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf लूरी, जे., ए सर्वे ऑफ एलिप्टिक कोहोमोलॉजी (2007), http://www.math.harvard.edu लूरी/पेपर्स/सर्वे. पी. डी. एफ. रेज़क, सी., http://www.math.uiuc.edu