Classical group
गणित में, शास्त्रीय समूहों को वास्तविक पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जटिल संख्याएँ और चतुर्थक एक साथ सममित या विषम-सममित द्विरूप रूपों के विशेष स्वरूपता समूहों के साथ और हर्मिशियन या विषम-हर्मिशियन सेस्क्विलिनियर रूपों को वास्तविक, जटिल और चतुर्थक परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जाता है। इनमें से, जटिल शास्त्रीय लाइ समूह लाइ समूहों के चार अनंत परिवार हैं जो असाधारण समूहों के साथ मिलकर सरल लाइ समूहों के वर्गीकरण को समाप्त कर देते हैं। सघन शास्त्रीय समूह जटिल शास्त्रीय समूहों के संक्षिप्त वास्तविक रूप हैं। शास्त्रीय समूहों के परिमित अनुरूप लाइ प्रकार के शास्त्रीय समूह हैं। "शास्त्रीय समूह" शब्द हर्मन वेल द्वारा गढ़ा गया था, यह उनके 1939 के मोनोग्राफ द क्लासिकल ग्रुप्स का शीर्षक था। शास्त्रीय समूह रैखिक झूठ समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी हिस्सा बनाते हैं। अधिकांश प्रकार के शास्त्रीय समूह शास्त्रीय और आधुनिक भौतिकी में अनुप्रयोग पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह यूक्लिडियन स्पेस और भौतिकी के सभी मौलिक नियमों की समरूपता है, लॉरेंट्ज़ समूह विशेष सापेक्षता के स्पेसटाइम का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सिंप्लेक्टिक समूह हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है। शास्त्रीय समूह शास्त्रीय समूह बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह हैं जो नीचे चर्चा किए गए गैर-अपक्षयी रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों के साथ हैं। ये समूह आमतौर पर अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक ही सीमित होते हैं जिनके तत्वों में निर्धारक 1 होता है, ताकि उनके केंद्र असतत हों। शास्त्रीय समूह, निर्धारक 1 शर्त के साथ, नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। सीक्वल में, निर्धारक 1 शर्त का उपयोग अधिक सामान्यता के हित में लगातार नहीं किया जाता है। जटिल शास्त्रीय समूह हैं, और। एक समूह इस आधार पर जटिल होता है कि उसका लाइ बीजगणित जटिल है या नहीं। वास्तविक शास्त्रीय समूह सभी शास्त्रीय समूहों को संदर्भित करते हैं क्योंकि कोई भी लाइ बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। सघन शास्त्रीय समूह जटिल शास्त्रीय समूहों के संक्षिप्त वास्तविक रूप हैं। ये हैं, बदले में, और। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण वर्णन लाइ बीजगणित के संदर्भ में है। यदि, का जटिलता, और यदि द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह कॉम्पैक्ट है, तो एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है। शास्त्रीय समूहों को समान रूप से वास्तविक रूपों का उपयोग करके एक अलग तरीके से चिह्नित किया जा सकता है। शास्त्रीय समूह (यहाँ निर्धारक 1 शर्त के साथ, लेकिन यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैंः जटिल रैखिक बीजगणितीय समूह, और उनके वास्तविक रूपों के साथ। उदाहरण के लिए, का एक वास्तविक रूप है, का एक वास्तविक रूप है, और का एक वास्तविक रूप है। निर्धारक 1 शर्त के बिना, विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ प्रतिस्थापित करें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह लाइ समूह हैं, लेकिन "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता होती है। द्विरेखीय और सेस्क्विलिनियर रूप शास्त्रीय समूहों को वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्रों पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। चतुर्धातुक, एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन कम्यूट नहीं करता है; वे एक विभाजन रिंग या एक तिरछा क्षेत्र या गैर-परिवर्तनीय क्षेत्र बनाते हैं। हालांकि, मैट्रिक्स चतुर्थक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, एक वेक्टर स्थान को ऊपर, साथ ही नीचे परिभाषित करने की अनुमति है। के मामले में, समूह कार्रवाई के प्रतिनिधित्व को बाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन के रूप में संभव बनाने के लिए एक सही वेक्टर स्थान है, जैसे कि और के लिए। कुछ परिमित-आयामी सही सदिश स्थान पर एक रूप, या द्विरेखीय है यदि और यदि इसे सेस्क्विलिनियर कहा जाता है यदि और यदि इन परंपराओं को चुना जाता है क्योंकि वे सभी मामलों में काम करते हैं। एक ऑटोमोर्फिज्म रैखिक प्रचालक के समूह में एक नक्शा है जिस पर एक समूह बनाने वाले सभी ऑटोमोर्फिज्म का समूह, इसे ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है, जिसे दर्शाया जाता है। यह एक शास्त्रीय समूह की प्रारंभिक परिभाषा की ओर ले जाता हैः एक शास्त्रीय समूह एक ऐसा समूह है जो या पर परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर एक द्विरेखीय या सेस्क्विलिनियर रूप को संरक्षित करता है। इस परिभाषा में कुछ अतिरेक है। के मामले में, द्विरेखीय सेस्क्विलिनियर के बराबर है। के मामले में, कोई गैर-शून्य द्विरेखीय रूप नहीं हैं। सममित, तिरछा-सममित, हर्मिशियन और तिरछा-हर्मिशियन रूप एक रूप सममित है यदि यह तिरछा-सममित है यदि यह हर्मिशियन है अंत में, यह तिरछा-हर्मिशियन है यदि एक द्विरेखीय रूप विशिष्ट रूप से एक सममित रूप और एक तिरछा-सममित रूप का योग है। एक परिवर्तन संरक्षण दोनों भागों को अलग-अलग संरक्षित करता है। इस प्रकार सममित और विषम-सममित रूपों को संरक्षित करने वाले समूहों का अलग से अध्ययन किया जा सकता है। यही बात, उत्परिवर्तन उत्परिवर्तन, हर्मिशियन और तिरछे-हर्मिशियन रूपों पर लागू होती है। इस कारण से, वर्गीकरण के उद्देश्यों के लिए, केवल विशुद्ध रूप से सममित, तिरछे-सममित, हर्मिशियन या तिरछे-हर्मिशियन रूपों पर विचार किया जाता है। रूपों के सामान्य रूप आधारों के विशिष्ट उपयुक्त विकल्पों के अनुरूप होते हैं। ये निर्देशांक में निम्नलिखित सामान्य रूप देने वाले आधार हैंः तिरछे-हर्मिशियाई रूप में आधार में तीसरा आधार तत्व है। इन आधारों के अस्तित्व का प्रमाण और सिल्वेस्टर के जड़ता के नियम, प्लस और माइनस-संकेतों की संख्या की स्वतंत्रता, और, सममित और हर्मिशियन रूपों में, साथ ही प्रत्येक अभिव्यक्ति में क्षेत्रों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, या में पाई जा सकती है। जोड़ी, और कभी-कभी, रूप का हस्ताक्षर कहा जाता है। क्षेत्रों की घटना की व्याख्याः कोई गैर-तुच्छ द्विमितीय रूप नहीं हैं। सममित द्विमितीय मामले में, केवल ऊपर के रूपों में एक हस्ताक्षर होता है। दूसरे शब्दों में, "हस्ताक्षर" के साथ एक जटिल द्विरेखीय रूप, आधार के परिवर्तन से, एक ऐसे रूप में कम किया जा सकता है जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति में सभी संकेत "" हैं, जबकि वास्तविक मामले में यह असंभव है, जिसमें आधार से स्वतंत्र है जब इस रूप में रखा जाता है। हालाँकि, हर्मिशियन रूपों में जटिल और चतुर्धातुक दोनों मामलों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर होते हैं। (वास्तविक मामला सममित मामले में कम हो जाता है।) एक जटिल सदिश स्थान पर एक तिरछा-हर्मिशियाई रूप को गुणा करके हर्मिशियाई प्रस्तुत किया जाता है, इसलिए इस मामले में, केवल दिलचस्प है। ऑटोमोर्फिज्म समूह पहला खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड उन गुणात्मक रूप से अलग-अलग मामलों को समाप्त कर देते हैं जो परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर द्वि-रेखीय और सेस्क्विलिनीयर रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं। ऑट (φ)-ऑटोमोर्फिज्म समूह मान लें कि या के ऊपर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर एक गैर-अपक्षयी रूप है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को स्थिति () के आधार पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि प्रत्येक में परिभाषित करने के संबंध में एक संयोजन होता है। इस आधार के संदर्भ में, यह रखें कि इसके घटक कहाँ हैं। यह द्विरेखीय रूपों के लिए उपयुक्त है। सेस्क्विलिनियर रूपों में समान अभिव्यक्तियाँ होती हैं और बाद में अलग से इलाज किया जाता है। मैट्रिक्स संकेतन में कोई पाता है और () से मैट्रिक्स कहाँ है। गैर-अपक्षय स्थिति का सटीक अर्थ है कि यह व्युत्क्रमणीय है, इसलिए संयोजन हमेशा मौजूद रहता है। इसके साथ व्यक्त किया जाता है ऑटोमोर्फिज्म समूहों के झूठ बीजगणित को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, यदि और केवल यदि सभी के लिए, लाइ बीजगणित के घातीय मानचित्रण के तहत () में स्थिति के अनुरूप, ताकि या एक आधार में जैसा कि घातीय मानचित्रण की शक्ति श्रृंखला विस्तार और शामिल संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। इसके विपरीत, मान लीजिए। फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए। इस प्रकार लाइ बीजगणित को आधार, या संयोजन के संदर्भ के बिना चिह्नित किया जा सकता है, क्योंकि सामान्य रूप नीचे दिए गए प्रत्येक शास्त्रीय समूह के लिए दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से, मैट्रिक्स को सीधे पढ़ा जा सकता है। नतीजतन, संयोजन और लाइ बीजगणित के लिए अभिव्यक्तियों को सूत्र () और () का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। अधिकांश गैर-तुच्छ मामलों में यह नीचे दिखाया गया है। बिलीनियर मामला जब रूप सममित होता है, तो कहा जाता है। जब यह तिरछा-सममित होता है तो इसे कहा जाता है। यह वास्तविक और जटिल मामलों पर लागू होता है। चतुर्धातुक मामला खाली है क्योंकि चतुर्धातुक सदिश रिक्त स्थान पर कोई गैर-शून्य द्विरेखीय रूप मौजूद नहीं है। वास्तविक मामला दो मामलों में विभाजित होता है, सममित और प्रतिसमितीय रूप जिनका अलग से इलाज किया जाना चाहिए। ओ (पी, क्यू) और ओ (एन)-ऑर्थोगोनल समूह यदि सममित है और वेक्टर स्थान वास्तविक है, तो एक आधार चुना जा सकता है ताकि प्लस और माइनस-संकेतों की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र हो। इस मामले में एक व्यक्ति लिखते हैं कि प्लस संकेतों की संख्या कहाँ है और माइनस-संकेतों की संख्या कहाँ है। यदि संकेतन है। यदि आवश्यक हो तो आधार को फिर से व्यवस्थित करने के बाद मैट्रिक्स इस मामले में है। एडजॉइंट ऑपरेशन () तब बन जाता है जो सामान्य ट्रांसपोज़ में कम हो जाता है जब या 0 होता है। लाइ बीजगणित समीकरण () और एक उपयुक्त ansatz का उपयोग करके पाया जाता है (यह नीचे दिए गए मामले के लिए विस्तृत है), और () के अनुसार समूह समूहों द्वारा दिया जाता है और मानचित्र के माध्यम से समरूप होते हैं उदाहरण के लिए, लॉरेंट्ज़ समूह के लाइ बीजगणित को स्वाभाविक रूप से लिखा जा सकता है, इसलिए पुनर्व्यवस्थित करना संभव है ताकि-ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) हो। यहाँ "समय घटक" भौतिक व्याख्या में चौथे निर्देशांक के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले के रूप में जो अधिक सामान्य हो सकता है। एसपी (एम, आर)-वास्तविक सिंप्लेक्टिक समूह यदि तिरछा-सममित है और वेक्टर स्थान वास्तविक है, तो एक आधार है जो कहाँ देता है। एक के लिए लिखना किसी के लिखने या लिखने की स्थिति में। जहाँ-आयामी मैट्रिक्स हैं और () पर विचार करते हुए, कोई लाइ बीजगणित पाता है, और समूह को जटिल मामले द्वारा दिया जाता है जैसे कि वास्तविक मामले में, दो मामले हैं, सममित और प्रतिसमितीय मामले जो प्रत्येक शास्त्रीय समूहों का एक परिवार उत्पन्न करते हैं। ओ (एन, सी)-जटिल ऑर्थोगोनल समूह यदि मामला सममित है और वेक्टर स्थान जटिल है, तो केवल प्लस-साइन वाले आधार का उपयोग किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह कॉल के मामले में है। झूठ बीजगणित केवल इसके लिए एक विशेष मामला है, और समूह द्वारा दिया गया है सरल झूठ बीजगणित के वर्गीकरण के संदर्भ में, दो वर्गों में विभाजित हैं, जो मूल प्रणाली के साथ विषम और मूल प्रणाली के साथ भी विषम हैं। एस. पी. (एम, सी)-जटिल सिंप्लेक्टिक समूह तिरछा-सममित और वेक्टर स्पेस कॉम्प्लेक्स के लिए, वही सूत्र, वास्तविक मामले में लागू होता है। एक के लिए लिखते हैं। मामले में एक या लिखते हैं। लाइ बीजगणित के समानांतर है, और समूह सेस्क्विलिनियर मामले द्वारा दिया गया है सेस्क्विलिनियर मामले में, एक आधार के संदर्भ में रूप के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण बनाता है, अन्य अभिव्यक्तियाँ जो संशोधित होती हैं। जटिल और चतुर्धातुक मामले पर नीचे विचार किया जाएगा। एक गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछे-हर्मिशियाई रूपों (समरूपता तक) पर विचार कोई नया समूह प्रदान नहीं करता है; एक तिरछे-हर्मिशियाई रूप हर्मिशियाई को प्रस्तुत करके गुणन, और इसके विपरीत। अतः केवल हर्मिशियन मामले पर विचार करने की आवश्यकता है। यू (पी, क्यू) और यू (एन)-एकात्मक समूह ए गैर-अपक्षयी हर्मिशियन रूप का सामान्य रूप होता है जैसा कि द्विरेखीय मामले में, हस्ताक्षर (पी, क्यू) आधार से स्वतंत्र होता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को दर्शाया जाता है, या, के मामले में,। यदि संकेतन है। इस मामले में, रूप लेता है और लाइ बीजगणित द्वारा दिया जाता है समूह द्वारा दिया जाता है जहां g एक सामान्य n x n जटिल मैट्रिक्स है और इसे g के संयुग्म ट्रांसपोज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे भौतिक विज्ञानी कहते हैं। एक तुलना के रूप में, एक यूनिटरी मैट्रिक्स U (n) को परिभाषित किया गया है क्योंकि हम ध्यान देते हैं कि यह क्वाटर्नियोनिक मामले के समान है। इस तरह, एक चतुर्थक के लिए, एक चतुर्थक स्तंभ सदिश और चतुर्थक आव्यूह। यदि एक लेफ्ट वेक्टर स्पेस ओवर था, तो रैखिकता बनाए रखने के लिए पंक्ति वैक्टर पर दाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन की आवश्यकता होगी। यह एक वेक्टर स्थान पर एक समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं है जब एक आधार दिया जाता है, जो कॉलम वैक्टर पर बाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन है। इस प्रकार अब से एक सही वेक्टर स्थान है। फिर भी, गैर-परिवर्तनीय प्रकृति के कारण ध्यान रखा जाना चाहिए। (ज्यादातर स्पष्ट) विवरणों को छोड़ दिया जाता है क्योंकि जटिल प्रतिनिधित्वों का उपयोग किया जाएगा। चतुर्धातुक समूहों के साथ काम करते समय जटिल का उपयोग करके चतुर्धातुकों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है, इस प्रतिनिधित्व के साथ, चतुर्धातुक गुणन मैट्रिक्स गुणन बन जाता है और चतुर्धातुक संयुग्मन हर्मिशियन संलग्न हो जाता है। इसके अलावा, यदि जटिल कूटलेखन के अनुसार एक चतुर्थक को एक स्तंभ सदिश के रूप में दिया जाता है, तो एक चतुर्थक के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा बाईं ओर से गुणन एक नए स्तंभ सदिश का उत्पादन करता है जो सही चतुर्थक का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रतिनिधित्व चतुर्थक लेख में पाए जाने वाले अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिक सामान्य परंपरा एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए एक पंक्ति मैट्रिक्स पर दाईं ओर से गुणन को मजबूर करेगी। संयोग से, उपरोक्त प्रतिनिधित्व यह स्पष्ट करता है कि इकाई चतुर्थक () का समूह समरूप है। चतुर्धातुक-मात्रकों को, स्पष्ट विस्तार द्वारा, जटिल संख्याओं के खंड-मात्रकों द्वारा दर्शाया जा सकता है। यदि कोई उपरोक्त एन्कोडिंग के अनुसार जटिल संख्याओं के साथ एक कॉलम वेक्टर द्वारा एक चतुर्थक स्तंभ सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत होता है, जिसमें ऊपरी संख्याएँ और निचली संख्याएँ होती हैं, तो एक चतुर्थक-मैट्रिक्स ठीक ऊपर दिए गए रूप का एक जटिल-मैट्रिक्स बन जाता है, लेकिन अब α और β-मैट्रिक्स के साथ। अधिक औपचारिक रूप से ए मैट्रिक्स का रूप () में प्रदर्शित होता है यदि और केवल यदि। इन पहचानों के साथ, अंतरिक्ष एक वास्तविक बीजगणित है, लेकिन यह एक जटिल उपक्षेत्र नहीं है। प्रविष्टि-वार चतुर्थक गुणन का उपयोग करके गुणा (बाएँ से) और फिर छवि में मानचित्रण करने से प्रविष्टि-वार सीधे अंदर से गुणा करने की तुलना में एक अलग परिणाम प्राप्त होता है। चतुर्धातुक गुणन नियम बताते हैं कि नए और कोष्ठक के अंदर कहाँ हैं। चतुर्धातुक वैक्टर पर चतुर्धातुक मैट्रिक्स की क्रिया को अब जटिल मात्राओं द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन अन्यथा यह "साधारण" मैट्रिक्स और वैक्टर के लिए समान है। क्वाटरनियोनिक समूह इस प्रकार क्वाटरनियोनिक मैट्रिक्स के आयाम में अंतर्निहित हैं। एक चतुर्थक आव्यूह के निर्धारक को इस प्रतिनिधित्व में इसके प्रतिनिधि आव्यूह के साधारण जटिल निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। चतुर्धातुक गुणन की गैर-परिवर्तनीय प्रकृति, मैट्रिक्स के चतुर्धातुक प्रतिनिधित्व में, अस्पष्ट होगी। जिस तरह से एम्बेडेड है वह अद्वितीय नहीं है, लेकिन इस तरह के सभी एम्बेडिंग फॉर के माध्यम से संबंधित हैं, जिससे निर्धारक अप्रभावित रहता है। इस जटिल वेश में इसका नाम है। इसके विपरीत, हर्मिशियन और तिरछा-हर्मिशियन दोनों मामले कुछ नया लाते हैं जब विचार किया जाता है, इसलिए इन मामलों पर अलग से विचार किया जाता है। जी. एल. (एन, एच) और एस. एल. (एन, एच) उपरोक्त पहचान के तहत, इसका लाइ बीजगणित उपरोक्त मानचित्रण की छवि में सभी मैट्रिक्स का समूह है, चतुर्थक विशेष रैखिक समूह इसके द्वारा दिया जाता है जहां मैट्रिक्स पर निर्धारक लिया जाता है। वैकल्पिक रूप से, इसे डायूडोन निर्धारक के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। लाइ बीजगणित एसपी (पी, क्यू) है-चतुर्धातुक एकात्मक समूह जैसा कि ऊपर जटिल मामले में, सामान्य रूप है और योग-संकेतों की संख्या आधार से स्वतंत्र है। जब इस रूप के साथ,। संकेतन का कारण यह है कि समूह को उपरोक्त प्रिस्क्रिप्शन का उपयोग करके, हस्ताक्षर के एक जटिल-हर्मिशियन रूप को संरक्षित करने के उपसमूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसे कभी-कभी अति-एकात्मक समूह कहा जाता है। चतुर्धातुक संकेतन में, जिसका अर्थ है कि रूप के चतुर्धातुक मैट्रिक्स संतुष्ट करेंगे, के बारे में खंड देखें। चतुर्थक आव्यूह गुणन के साथ व्यवहार करते समय सावधानी बरतने की आवश्यकता है, लेकिन केवल यहाँ और शामिल हैं और ये प्रत्येक चतुर्थक आव्यूह के साथ आवागमन करते हैं। अब प्रत्येक ब्लॉक पर प्रिस्क्रिप्शन () लागू करें, और () में संबंध संतुष्ट हो जाएंगे यदि द लाइ अलजेब्रा बन जाता है। फिर एक-मूल्यवान रूप के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार के तत्व, के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखे जाते हैं, हस्ताक्षर के एक हर्मिशियन रूप और एक गैर-अपक्षयी तिरछे-सममित रूप दोनों को संरक्षित करते हैं। दोनों रूप विशुद्ध रूप से जटिल मान लेते हैं और दूसरे रूप के पूर्व कारक के कारण, वे अलग से संरक्षित हैं। इसका मतलब है कि और यह समूह के नाम और संकेतन दोनों की व्याख्या करता है। O ≤ (2n) = O (n, H)-चतुर्धातुक ऑर्थोगोनल समूह एक तिरछे-हर्मिशियन रूप के लिए सामान्य रूप इस प्रकार दिया जाता है कि क्रमबद्ध सूची में तीसरा आधार चतुर्थक कहाँ है। इस मामले में, उपरोक्त के जटिल मैट्रिक्स एन्कोडिंग का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है, जिसके एक उपसमूह के रूप में हस्ताक्षर का एक गैर-अपक्षयी जटिल तिरछा-हर्मिशियन रूप संरक्षित है। सामान्य रूप से कोई यह देखता है कि चतुर्थक संकेतन में और () से इसके लिए अनुसरण किया जाता है। अब प्रिस्क्रिप्शन () के अनुसार डालें। समान प्रिस्क्रिप्शन यील्ड के लिए, अब जटिल संकेतन में () में अंतिम शर्त पढ़ती है कि द लाइ अलजेब्रा बन जाता है और समूह द्वारा दिया जाता है। इसके अलावा, समूह को निर्धारित करने वाले प्रपत्र को एक-मूल्यवान प्रपत्र के रूप में देखा जा सकता है। रूप के लिए प्रतिस्थापन और अभिव्यक्ति में करें। फिर हस्ताक्षर का रूप हर्मिशियन है (जबकि बाईं ओर पहला रूप तिरछा-हर्मिशियन है)। हस्ताक्षर को आधार के परिवर्तन से स्पष्ट किया जाता है जहां से क्रमशः पहले और अंतिम आधार वैक्टर हैं। दूसरा रूप, सममित धनात्मक निश्चित है। इस प्रकार, कारक के कारण, दोनों को अलग-अलग संरक्षित किया जाता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि और संकेतन "ओ" को समझाया गया है। सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित शास्त्रीय समूहों पर शास्त्रीय समूह, जिन्हें बीजगणित में अधिक व्यापक रूप से माना जाता है, विशेष रूप से दिलचस्प मैट्रिक्स समूह प्रदान करते हैं। जब मैट्रिक्स समूह के गुणांक का क्षेत्र F या तो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या होती है, तो ये समूह केवल शास्त्रीय लाइ समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक सीमित क्षेत्र होता है, तो शास्त्रीय समूह लाइ प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह सीमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इसके अलावा, कोई भी एफ पर एकात्मक सहयोगी बीजगणित आर पर शास्त्रीय समूहों पर विचार कर सकता है; जहां आर = एच (वास्तविक पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण मामले का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यता के लिए लेख आर पर समूहों को संदर्भित करेगा, जहां आर स्वयं जमीनी क्षेत्र एफ हो सकता है। उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रैखिक समूहों में एक "विशेष" उपसमूह होता है, जिसमें आमतौर पर जमीनी क्षेत्र पर निर्धारक 1 के तत्व होते हैं, और उनमें से अधिकांश में "प्रोजेक्टिव" भाग होते हैं, जो समूह के केंद्र द्वारा भाग होते हैं। ऑर्थोगोनल समूहों के लिए विशेषता 2 "एस" का एक अलग अर्थ है। समूह के नाम के सामने "सामान्य" शब्द का अर्थ आमतौर पर यह होता है कि समूह को स्थिर छोड़ने के बजाय किसी प्रकार के रूप को स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट एन आमतौर पर उस मॉड्यूल के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यह एक वेक्टर स्थान है यदि आर = एफ। सामान्य और विशेष रैखिक समूह सामान्य रैखिक समूह जी. एल. एन. (आर) आर. एन. के सभी आर-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह है। एक उपसमूह हैः विशेष रैखिक समूह एस. एल. एन. (आर), और उनके अंशः प्रोजेक्टिव सामान्य रैखिक समूह पी. जी. एल. एन. (आर) = जी. एल. एन. (आर)/जेड (जी. एल. एन. (आर)) और प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूह पी. एस. एल. एन. (आर) = एस. एल. एन. (आर)/जेड (एस. एल. एन. (आर))। एक क्षेत्र एफ पर प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूह पी. एस. एल. एन. (एफ) एन. ओ. आर. 2 के लिए सरल है, दो मामलों को छोड़कर जब एन = 2 और क्षेत्र का क्रम 2 या 3 है। एकात्मक समूह एकात्मक समूह यू. एन. (आर) एक समूह है जो एक मॉड्यूल पर एक सेस्क्विलिनियर रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह एस. यू. एन. (आर) और उनके भाग प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह पी. यू. एन. (आर) = यू. एन. (आर)/जेड (यू. एन. (आर)) और प्रोजेक्टिव विशेष एकात्मक समूह पी. एस. यू. एन. (आर) = एस. यू. एन. (आर)/जेड (एस. यू. एन. (आर)) सिंप्लेक्टिक समूह सिंप्लेक्टिक समूह एस. पी. 2. एन. (आर) एक मॉड्यूल पर एक तिरछे सममित रूप को संरक्षित करता है। इसका एक भागफल है, प्रोजेक्टिव सिंप्लेक्टिक समूह पीएसपी2एन (आर)। सामान्य सिंप्लेक्टिक समूह जी. एस. पी. 2. एन. (आर.) में एक मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं जो एक तिरछे सममित रूप को कुछ व्युत्क्रमणीय स्केलर से गुणा करते हैं। दो और तीन तत्वों के क्षेत्रों पर पी. एस. पी. 2 के मामलों को छोड़कर, एक सीमित क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव सिंप्लेक्टिक समूह पी. एस. पी. 2. एन. (एफ. क्यू.) एन. ओ. आर. 1 के लिए सरल है। ऑर्थोगोनल समूह ऑर्थोगोनल समूह ऑन (आर) एक मॉड्यूल पर एक गैर-अपक्षयी द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष ऑर्थोगोनल समूह एस. ओ. एन. (आर) और भागफल, प्रोजेक्टिव ऑर्थोगोनल समूह पी. ओ. एन. (आर), और प्रोजेक्टिव विशेष ऑर्थोगोनल समूह पी. एस. ओ. एन. (आर)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अक्सर डिक्सन अपरिवर्तनीय 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक अनाम समूह है जिसे अक्सर ωn (R) द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें स्पिनोर मानक 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्व शामिल होते हैं, जिसमें संबंधित उपसमूह और भागफल समूह Sωn (R), Pωn (R), Pωn (R), Pωn (R) होते हैं। (वास्तविक पर सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह ω ऑर्थोगोनल समूह के समान होता है, लेकिन सामान्य रूप से यह छोटा होता है।) पिन समूह पिन (आर) नामक ωn (आर) का एक दोहरा आवरण भी है, और इसमें स्पिन समूह स्पिन (आर) नामक एक उपसमूह है। सामान्य ऑर्थोगोनल समूह जी. ओ. एन. (आर.) में एक वर्गात्मक रूप को कुछ व्युत्क्रमणीय स्केलर से गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं। उल्लेखनीय परंपराएं असाधारण झूठ समूहों के साथ तुलना शास्त्रीय झूठ समूहों के साथ तुलना करने वाले असाधारण झूठ समूह, जी2, एफ4, ई6, ई7, ई8 हैं, जो अपने अमूर्त गुणों को साझा करते हैं, लेकिन उनकी परिचितता को नहीं। विल्हेल्म किलिंग और एली कार्टन द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाइ बीजगणित के वर्गीकरण में 1890 के आसपास इनकी खोज की गई थी। नोट्स संदर्भ ई. आर्टिन (1957) ज्यामितीय बीजगणित, अध्याय III, IV, और V इंटरनेट आर्काइव लाइ समूहों के माध्यम से