Positive-definite kernel
प्रचालक सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक सकारात्मक-निश्चित कर्नेल एक सकारात्मक-निश्चित फलन या एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स का सामान्यीकरण है। यह पहली बार जेम्स मर्सर द्वारा 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में इंटीग्रल ऑपरेटर समीकरणों को हल करने के संदर्भ में पेश किया गया था। तब से, गणित के विभिन्न भागों में सकारात्मक-निश्चित कार्य और उनके विभिन्न अनुरूप और सामान्यीकरण उत्पन्न हुए हैं। वे स्वाभाविक रूप से फूरियर विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत, प्रचालक सिद्धांत, जटिल कार्य-सिद्धांत, क्षण समस्याएं, अभिन्न समीकरण, आंशिक विभेदक समीकरणों के लिए सीमा-मूल्य समस्याएं, मशीन लर्निंग, एम्बेडिंग समस्या, सूचना सिद्धांत और अन्य क्षेत्रों में होते हैं। परिभाषा मान लीजिए कि यह एक गैर-खाली समुच्चय है, जिसे कभी-कभी सूचकांक समुच्चय के रूप में जाना जाता है। एक सममित फलन को धनात्मक-निश्चित (पी. डी.) कहा जाता है। अगर किसी के लिए पकड़ता है, तो कर्नेल चालू करें। संभाव्यता सिद्धांत में, कभी-कभी सकारात्मक-निश्चित कर्नेल के बीच एक अंतर किया जाता है, जिसके लिए (1.1) में समानता का तात्पर्य है, और सकारात्मक अर्ध-निश्चित (पी. एस. डी.)। कर्नेल, जो इस शर्त को लागू नहीं करते हैं। ध्यान दें कि यह आवश्यकता के बराबर है कि जोड़ीदार मूल्यांकन द्वारा निर्मित किसी भी परिमित मैट्रिक्स में या तो पूरी तरह से सकारात्मक (पी. डी.) हो। या गैर नकारात्मक (पी. एस. डी.) आइगेनवैल्यूज़। गणितीय साहित्य में, कर्नेल आमतौर पर जटिल मूल्यवान कार्य होते हैं, लेकिन इस लेख में हम वास्तविक मूल्य वाले कार्य मानते हैं, जो पी. डी. के अनुप्रयोगों में सामान्य अभ्यास है। गुठली। कुछ सामान्य संपत्तियाँ पी. डी. के परिवार के लिए गुठली शंक्वाकार राशि पी. डी. है, दी गई उत्पाद पी. डी. है, दी गई सीमा पी. डी. है। यदि सीमा मौजूद है। यदि समुच्चयों का एक क्रम है, और पी. डी. का एक क्रम है। कर्नेल, फिर दोनों और पी. डी. हैं। गुठली चालू। जाने दीजिए। फिर करने का प्रतिबंध भी एक पी. डी. है। कर्नेल। पी. डी के उदाहरण कर्नेल पी. डी. के सामान्य उदाहरण यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित कर्नेल में शामिल हैंः रैखिक कर्नेलः बहुपद कर्नेलः। गॉसियन कर्नेल (आरबीएफ कर्नेल): लाप्लासियन कर्नेलः आबेल कर्नेलः। सोबोलेव रिक्त स्थान उत्पन्न करने वाला कर्नेलः, जहाँ तीसरे प्रकार का बेसल फलन है। पाले-वीनर स्थान उत्पन्न करने वाला कर्नेलः यदि एक हिल्बर्ट स्थान है, तो इसका संबंधित आंतरिक उत्पाद एक पी. डी. है। कर्नेल। वास्तव में, हमारे पास कर्नेल और हिस्टोग्राम को परिभाषित किया गया हैः वास्तविक जीवन की समस्याओं के अनुप्रयोगों में अक्सर हिस्टोग्राम का सामना करना पड़ता है। अधिकांश अवलोकन आमतौर पर गणना के गैर-नकारात्मक वैक्टर के रूप में उपलब्ध होते हैं, जो यदि सामान्य हो जाते हैं, तो आवृत्तियों के हिस्टोग्राम प्राप्त होते हैं। यह दिखाया गया है कि वर्ग मेट्रिक्स के निम्नलिखित परिवार, क्रमशः जेनसन विचलन,-वर्ग, कुल भिन्नता, और हेलिंगर दूरी के दो बदलावः का उपयोग पी. डी. को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। निम्नलिखित सूत्र हिस्ट्री पॉजिटिव-डेफिनिट कर्नेल का उपयोग करने वाले कर्नेल, जैसा कि (1.1) में परिभाषित किया गया है, पहली बार 1909 में जेम्स मर्सर द्वारा इंटीग्रल समीकरणों पर एक पेपर में दिखाई दिए। कई अन्य लेखकों ने अगले दो दशकों में इस अवधारणा का उपयोग किया, लेकिन उनमें से किसी ने भी स्पष्ट रूप से कर्नेल का उपयोग नहीं किया, अर्थात। पी. डी कार्य (वास्तव में एम. माथियास और एस. बोच्नर को पी. डी. के अध्ययन के बारे में पता नहीं था। गुठली)। मर्सर का काम दूसरे प्रकार के फ्रेडहोल्म इंटीग्रल समीकरणों पर 1904 के हिल्बर्ट के पेपर से उत्पन्न हुआः विशेष रूप से, हिल्बर्ट ने दिखाया था कि जहां एक निरंतर वास्तविक सममित कर्नेल है, वह निरंतर है, ऑर्थोनॉर्मल आइगेनफ़ंक्शंस की एक पूरी प्रणाली है, और s (1.2) के संबंधित आइगेनवैल्यू हैं। हिल्बर्ट ने एक "निश्चित" कर्नेल को परिभाषित किया जिसके लिए दोहरे समाकलन को छोड़कर संतुष्ट करता है। मर्सर के शोध पत्र का मूल उद्देश्य उन गुठली को चिह्नित करना था जो हिल्बर्ट के अर्थ में निश्चित हैं, लेकिन मर्सर ने जल्द ही पाया कि इस तरह के कार्यों का वर्ग निर्धारकों के संदर्भ में चिह्नित करने के लिए बहुत प्रतिबंधात्मक था। इसलिए उन्होंने एक निरंतर वास्तविक सममित कर्नेल को सकारात्मक प्रकार (अर्थात। सकारात्मक-निश्चित) यदि सभी वास्तविक निरंतर कार्यों के लिए, और उन्होंने साबित किया कि (1.1) एक कर्नेल के सकारात्मक प्रकार का होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। मर्सर ने तब साबित किया कि किसी भी निरंतर पी. डी. के लिए। कर्नेल का विस्तार पूरी तरह से और समान रूप से होता है। लगभग उसी समय डब्ल्यू. एच. यंग ने समाकलन समीकरणों के सिद्धांत में एक अलग प्रश्न से प्रेरित होकर दिखाया कि निरंतर कर्नेल की स्थिति (1.1) सभी के लिए समतुल्य है। ई. एच. मूर ने एक बहुत ही सामान्य प्रकार के पी. डी. का अध्ययन शुरू किया। कर्नेल। यदि एक अमूर्त समुच्चय है, तो वह "सकारात्मक हर्मिशियन मैट्रिक्स" पर परिभाषित कार्यों को कहते हैं यदि वे सभी के लिए (1.1) संतुष्ट करते हैं। मूर समाकलन समीकरणों के सामान्यीकरण में रुचि रखते थे और उन्होंने दिखाया कि ऐसे प्रत्येक के लिए इस तरह के कार्यों का एक हिल्बर्ट स्थान है कि प्रत्येक के लिए। इस गुण को कर्नेल का पुनरुत्पादन गुण कहा जाता है और अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के लिए सीमा-मूल्य समस्याओं के समाधान में इसका महत्व है। विकास की एक अन्य पंक्ति जिसमें पी. डी. 1929 में ई. कार्टन द्वारा शुरू किए गए और एच. वेल और एस. इतो द्वारा जारी किए गए सजातीय स्थानों पर सामंजस्य के सिद्धांत ने एक बड़ी भूमिका निभाई। पी. डी. का सबसे व्यापक सिद्धांत सजातीय स्थानों में गुठली एम. क्रेइन की होती है जिसमें विशेष मामलों में पी. डी. पर काम शामिल होता है। स्थानीय रूप से सघन समूहों के कार्य और अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व। संभाव्यता सिद्धांत में पी. डी. गुठली यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सहप्रसरण गुठली के रूप में उत्पन्न होती है। कर्नेल हिल्बर्ट रिक्त स्थान और विशेषता मानचित्रों के पुनरुत्पादन के साथ संबंध सकारात्मक-निश्चित कर्नेल एक ढांचा प्रदान करते हैं जिसमें कुछ बुनियादी हिल्बर्ट अंतरिक्ष निर्माण शामिल हैं। निम्नलिखित में हम सकारात्मक-निश्चित कर्नेल और दो गणितीय वस्तुओं के बीच एक घनिष्ठ संबंध प्रस्तुत करते हैं, अर्थात् हिल्बर्ट रिक्त स्थान और विशेषता मानचित्रों को पुनः प्रस्तुत करते हैं। मान लीजिए कि एक समुच्चय, कार्यों का एक हिल्बर्ट स्थान, और संबंधित आंतरिक उत्पाद चालू है। किसी के लिए मूल्यांकन कार्यात्मक द्वारा परिभाषित किया जाता है। हम सबसे पहले एक पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस (आरकेएचएस) को परिभाषित करते हैंः परिभाषाः यदि मूल्यांकन कार्य निरंतर हैं तो स्पेस को एक पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस कहा जाता है। प्रत्येक आर. के. एच. एस. का इससे जुड़ा एक विशेष कार्य होता है, अर्थात् पुनरुत्पादन कर्नेलः परिभाषाः पुनरुत्पादन कर्नेल एक ऐसा कार्य है जो, और, सभी के लिए और। बाद के गुण को पुनरुत्पादन गुण कहा जाता है। निम्नलिखित परिणाम आर. के. एच. एस. और पुनरुत्पादक कर्नेल के बीच समानता को दर्शाता हैः अब सकारात्मक निश्चित कर्नेल और आर. के. एच. एस. के बीच संबंध निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है। जैसा कि पहले कहा गया है, सकारात्मक निश्चित गुठली का निर्माण आंतरिक उत्पादों से किया जा सकता है। इस तथ्य का उपयोग पी. डी. को जोड़ने के लिए किया जा सकता है। मशीन लर्निंग अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाली एक अन्य दिलचस्प वस्तु के साथ कर्नेल, अर्थात् फीचर मैप। मान लीजिए कि एक हिल्बर्ट स्थान, और संबंधित आंतरिक उत्पाद है। किसी भी नक्शे को फीचर मैप कहा जाता है। इस मामले में हम फीचर स्पेस को कॉल करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रत्येक विशेषता मानचित्र एक अद्वितीय पी. डी. को परिभाषित करता है। वास्तव में, पी. डी. से निम्नलिखित की सकारात्मक निश्चितता। आंतरिक उत्पाद की संपत्ति। दूसरी ओर, हर पी. डी. कर्नेल और इसके संबंधित आर. के. एच. एस. में कई संबंधित विशेषता मानचित्र हैं। उदाहरण के लिएः चलो और सभी के लिए। फिर, पुनरुत्पादन गुण द्वारा। यह पी. डी. पर एक नए रूप का सुझाव देता है। उपयुक्त हिल्बर्ट स्थानों में आंतरिक उत्पादों के रूप में गुठली, या दूसरे शब्दों में पी. डी. गुठली को समानता मानचित्र के रूप में देखा जा सकता है जो प्रभावी रूप से यह निर्धारित करता है कि दो बिंदु मूल्य के माध्यम से कितने समान हैं। इसके अलावा, पी. डी. की समतुल्यता के माध्यम से। कर्नेल और इसके अनुरूप आर. के. एच. एस., प्रत्येक विशेषता मानचित्र का उपयोग आर. के. एच. एस. के निर्माण के लिए किया जा सकता है। कर्नेल और दूरी कर्नेल विधियों की तुलना अक्सर दूरी आधारित विधियों जैसे निकटतम पड़ोसियों से की जाती है। इस खंड में हम उनके दो संबंधित अवयवों, अर्थात् गुठली और दूरी के बीच समानताओं पर चर्चा करते हैं। यहाँ किसी समुच्चय के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के बीच एक दूरी फलन से हमारा मतलब उस समुच्चय पर परिभाषित एक मीट्रिक से है, अर्थात। कोई भी गैर-नकारात्मक-मूल्यवान फलन जो संतुष्ट करता है, और केवल यदि,,। दूरी और पी. डी. के बीच एक कड़ी। गुठली एक विशेष प्रकार के गुठली द्वारा दी जाती है, जिसे नकारात्मक निश्चित गुठली कहा जाता है, और निम्नानुसार परिभाषित किया जाता हैः परिभाषाः एक सममित फलन को नकारात्मक निश्चित (एन. डी.) गुठली कहा जाता है यदि वह किसी और के लिए हो। एन. डी. गुठली और दूरी के बीच का समानांतर निम्न में हैः जब भी कोई एन. डी. गुठली सेट पर गायब हो जाती है, और केवल इस सेट पर शून्य होती है, तो इसका वर्गमूल इसके लिए एक दूरी है। उसी समय प्रत्येक दूरी आवश्यक रूप से एक एन. डी. कर्नेल के अनुरूप नहीं होती है। यह केवल हिल्बर्टियन दूरी के लिए सच है, जहाँ दूरी को हिल्बर्टियन कहा जाता है यदि कोई किसी हिल्बर्ट स्थान में मीट्रिक स्थान को सममित रूप से एम्बेड कर सकता है। दूसरी ओर, एन. डी. गुठली को पी. डी. के उप-परिवार के साथ पहचाना जा सकता है। गुठली को असीम रूप से विभाज्य गुठली के रूप में जाना जाता है। एक गैर-नकारात्मक-मूल्य वाले कर्नेल को असीम रूप से विभाज्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए एक सकारात्मक-निश्चित कर्नेल मौजूद हो। एक अन्य कड़ी यह है कि एक पी. डी. कर्नेल एक छद्ममितिक को प्रेरित करता है, जहाँ दूरी फलन पर पहली बाधा को अनुमति देने के लिए ढीला कर दिया जाता है। एक सकारात्मक-निश्चित कर्नेल को देखते हुए, हम एक दूरी फलन को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैंः मशीन लर्निंग में कुछ अनुप्रयोग, सकारात्मक-निश्चित कर्नेल, कर्नेल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के पुनरुत्पादन के साथ उनकी समानता के माध्यम से, सांख्यिकीय शिक्षण सिद्धांत के क्षेत्र में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं क्योंकि प्रसिद्ध प्रतिनिधि प्रमेय जो बताता है कि एक आरकेएचएस में प्रत्येक न्यूनतम फलन को प्रशिक्षण बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए कर्नेल फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। यह व्यावहारिक रूप से एक उपयोगी परिणाम है क्योंकि यह प्रभावी रूप से अनुभवजन्य जोखिम न्यूनीकरण समस्या को एक अनंत आयामी से एक सीमित आयामी अनुकूलन समस्या तक सरल बनाता है। संभाव्यता मॉडल में कर्नेल कई अलग-अलग तरीके हैं जिनसे संभाव्यता सिद्धांत में कर्नेल उत्पन्न होते हैं। गैर-निर्धारक पुनर्प्राप्ति समस्याएँः मान लीजिए कि हम एक सेट के एक नए बिंदु पर एक अज्ञात मॉडल फ़ंक्शन की प्रतिक्रिया खोजना चाहते हैं, बशर्ते कि हमारे पास अवलोकन या प्रयोग द्वारा दिए गए इनपुट-प्रतिक्रिया जोड़े का एक नमूना हो। पर प्रतिक्रिया एक निश्चित कार्य नहीं है, बल्कि एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर की प्राप्ति है। लक्ष्य उस कार्य के बारे में जानकारी प्राप्त करना है जो निर्धारक सेटिंग में प्रतिस्थापित होता है। दो तत्वों के लिए यादृच्छिक चर और असंबद्ध नहीं होंगे, क्योंकि यदि द्वारा वर्णित यादृच्छिक प्रयोगों के बहुत करीब है और अक्सर समान व्यवहार दिखाएगा। यह एक सहप्रसरण कर्नेल द्वारा वर्णित है। इस तरह का एक कर्नेल मौजूद है और कमजोर अतिरिक्त धारणाओं के तहत सकारात्मक-निश्चित है। अब संभावित पृष्ठभूमि को पूरी तरह से नजरअंदाज करते हुए सहप्रसरण कर्नेल के साथ कर्नेल प्रक्षेप का उपयोग करके एक अच्छा अनुमान प्राप्त किया जा सकता है। अब मान लीजिए कि शून्य माध्य और विचरण के साथ एक शोर चर जोड़ा जाता है, जैसे कि शोर अलग के लिए स्वतंत्र और उससे स्वतंत्र है, तो एक अच्छा अनुमान खोजने की समस्या उपरोक्त के समान है, लेकिन एक संशोधित कर्नेल के साथ। गुठली द्वारा घनत्व का अनुमानः समस्या पुनरावृत्ति सहित एक बड़े नमूने से एक डोमेन पर एक बहुभिन्नरूपी वितरण के घनत्व को पुनर्प्राप्त करना है। जहाँ नमूना बिंदु घने होते हैं, वहाँ वास्तविक घनत्व फलन को बड़े मान लेने चाहिए। एक ग्रिड की प्रत्येक कोशिका में नमूनों की संख्या की गणना करके और परिणामी हिस्टोग्राम को प्लॉट करके एक सरल घनत्व अनुमान संभव है, जो एक टुकड़ों में स्थिर घनत्व अनुमान देता है। एक बेहतर अनुमान एक गैर-नकारात्मक अनुवाद अपरिवर्तनीय कर्नेल का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें कुल समाकलन एक के बराबर होता है, और एक सहज अनुमान के रूप में परिभाषित किया जाता है। आंशिक विभेदक समीकरणों का संख्यात्मक समाधान तथाकथित जाल मुक्त विधियों के सबसे बड़े अनुप्रयोग क्षेत्रों में से एक पीडीई के संख्यात्मक समाधान में है। कुछ लोकप्रिय मेशफ्री विधियाँ सकारात्मक-निश्चित कर्नेल (जैसे मेशलेस लोकल पेट्रोव गैलरकिन (एम. एल. पी. जी.), रिप्रोड्यूसिंग कर्नेल पार्टिकल मेथड (आर. के. पी. एम.) और स्मूथेड-पार्टिकल हाइड्रोडायनामिक्स (एस. पी. एच.)) से निकटता से संबंधित हैं। ये विधियाँ कोलोकेशन के लिए रेडियल आधार कर्नेल का उपयोग करती हैं। स्टाइनस्प्रिंग फैलाव प्रमेय अन्य अनुप्रयोग कंप्यूटर प्रयोगों और अन्य इंजीनियरिंग प्रयोगों पर साहित्य में, एक तेजी से पी. डी. पर आधारित मॉडल का सामना करता है। गुठली, आरबीएफ या क्रिगिंग। ऐसा ही एक विषय प्रतिक्रिया सतह पद्धति है। अन्य प्रकार के अनुप्रयोग जो डेटा फिटिंग पर निर्भर करते हैं, वे हैं रैपिड प्रोटोटाइपिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स। यहाँ अक्सर बिंदु क्लाउड डेटा को अनुमानित या प्रक्षेपित करने के लिए अंतर्निहित सतह मॉडल का उपयोग किया जाता है। पी. डी. के आवेदन गणित की विभिन्न अन्य शाखाओं में कर्नेल बहुभिन्नरूपी एकीकरण, बहुभिन्नरूपी अनुकूलन, और संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में हैं, जहां कोई व्यक्ति उच्च प्रदर्शन वाले कंप्यूटिंग वातावरण में आदर्श रूप से लागू किए गए तेज़, सटीक और अनुकूली एल्गोरिदम का अध्ययन करता है। यह भी देखें कि सहप्रसरण फलन समाकलन समीकरण समाकलन परिवर्तन समूह पर सकारात्मक-निश्चित फलन पुनरुत्पादन कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस कर्नेल विधि संदर्भ प्रचालक सिद्धांत हिल्बर्ट स्पेस