Relative change
किसी भी मात्रात्मक विज्ञान में, सापेक्ष परिवर्तन और सापेक्ष अंतर शब्दों का उपयोग तुलना की जा रही चीजों के "आकार" को ध्यान में रखते हुए दो मात्राओं की तुलना करने के लिए किया जाता है, अर्थात। किसी मानक या संदर्भ या प्रारंभिक मूल्य से विभाजित करना। तुलना को एक अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है और यह एक इकाई रहित संख्या है। इन अनुपातों को 100 से गुणा करके उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इसलिए शब्द प्रतिशत परिवर्तन, प्रतिशत (आयु) अंतर, या सापेक्ष प्रतिशत अंतर भी आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। "परिवर्तन" और "अंतर" शब्दों का उपयोग एक दूसरे के स्थान पर किया जाता है। सापेक्ष परिवर्तन का उपयोग अक्सर बार-बार माप के लिए गुणवत्ता आश्वासन और गुणवत्ता नियंत्रण के मात्रात्मक संकेतक के रूप में किया जाता है जहां परिणाम समान होने की उम्मीद की जाती है। प्रतिशत परिवर्तन (प्रतिशत के रूप में व्यक्त सापेक्ष परिवर्तन) का एक विशेष मामला जिसे प्रतिशत त्रुटि कहा जाता है, उन स्थितियों को मापने में होता है जहां संदर्भ मूल्य स्वीकृत या वास्तविक मूल्य (शायद सैद्धांतिक रूप से निर्धारित) होता है और इसकी तुलना में मूल्य प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है (माप द्वारा)। सापेक्ष परिवर्तन सूत्र कई स्थितियों में अच्छी तरह से व्यवहार नहीं किया जाता है। विभिन्न वैकल्पिक सूत्र, जिन्हें सापेक्ष परिवर्तन के संकेतक कहा जाता है, साहित्य में प्रस्तावित किए गए हैं। कई लेखकों ने लॉग परिवर्तन और लॉग बिंदु को संतोषजनक संकेतक पाया है, लेकिन इनका व्यापक उपयोग नहीं देखा गया है। परिभाषा दो संख्यात्मक मात्राओं को देखते हुए, vref और v कुछ संदर्भ मूल्य के साथ, उनका वास्तविक परिवर्तन, वास्तविक अंतर या निरपेक्ष परिवर्तन है। निरपेक्ष अंतर शब्द का उपयोग कभी-कभी तब भी किया जाता है जब निरपेक्ष मान नहीं लिया जाता है; Δ का संकेत आम तौर पर समान होता है, जैसे। एक बढ़ती हुई डेटा श्रृंखला में। यदि संदर्भ मूल्य (अर्थात, बड़ा या छोटा) के संबंध में मूल्य का संबंध किसी विशेष अनुप्रयोग में मायने नहीं रखता है, तो सापेक्ष परिवर्तन के लिए एक मूल्य उत्पन्न करने के लिए उपरोक्त सूत्र में वास्तविक परिवर्तन के स्थान पर निरपेक्ष मूल्य का उपयोग किया जा सकता है जो हमेशा गैर-नकारात्मक होता है। वास्तविक अंतर आमतौर पर संख्याओं की तुलना करने का एक अच्छा तरीका नहीं है, विशेष रूप से क्योंकि यह माप की इकाई पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, समान है, लेकिन बीच का पूर्ण अंतर 1 है जबकि बीच का पूर्ण अंतर 100 है, जो एक बड़े अंतर की छाप देता है। लेकिन स्थिर इकाइयों के साथ भी, सापेक्ष परिवर्तन संबंधित परिवर्तन के महत्व को निर्धारित करने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, किसी मूल्यवान वस्तु की कीमत में वृद्धि को बड़ा माना जाता है यदि वह बदलती है लेकिन जब वह बदलती है तो उसे छोटा माना जाता है। हम वी. आर. ई. एफ. के सकारात्मक मूल्यों के लिए, परिभाषित करके, शामिल मात्राओं के "आकार" को ध्यान में रखते हुए तुलना को समायोजित कर सकते हैंः सापेक्ष परिवर्तन नियोजित माप की इकाई से स्वतंत्र है; उदाहरण के लिए, सापेक्ष परिवर्तन है, के लिए समान है। सापेक्ष परिवर्तन को परिभाषित नहीं किया जाता है यदि संदर्भ मूल्य (वी. आर. ई. एफ.) शून्य है, और सकारात्मक वृद्धि के लिए नकारात्मक मूल्य देता है यदि वी. आर. ई. एफ. नकारात्मक है, इसलिए इसे आमतौर पर नकारात्मक संदर्भ मूल्यों के लिए भी परिभाषित नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम −10 से −6 के सापेक्ष परिवर्तन की गणना करना चाह सकते हैं। उपरोक्त सूत्र देता है, जो कमी का संकेत देता है, फिर भी वास्तव में रीडिंग में वृद्धि हुई है। सापेक्ष परिवर्तन के माप एक इकाई रहित संख्याएँ हैं जिन्हें एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। प्रतिशत परिवर्तन के अनुरूप मूल्य इन मूल्यों को 100 से गुणा करके प्राप्त किए जाएंगे (और यह इंगित करने के लिए कि मूल्य प्रतिशत है)। सकारात्मक संख्याओं में सापेक्ष परिवर्तन का क्षेत्र प्रतिबंध अक्सर एक बाधा उत्पन्न करता है। इस समस्या से बचने के लिए निरपेक्ष मान लेना सामान्य है, ताकि सापेक्ष परिवर्तन सूत्र vref के सभी गैर-शून्य मूल्यों के लिए सही ढंग से काम करेः यह तब भी समस्या को हल नहीं करता है जब संदर्भ शून्य होता है। इसके बजाय सापेक्ष परिवर्तन के एक संकेतक का उपयोग करना आम बात है, और दोनों और के पूर्ण मूल्यों को लेना। फिर एकमात्र समस्याग्रस्त मामला है, जिसे आमतौर पर संकेतक को उचित रूप से विस्तारित करके संबोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य के लिए इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता हैः प्रतिशत त्रुटि प्रतिशत त्रुटि सापेक्ष परिवर्तन के प्रतिशत रूप का एक विशेष मामला है जिसकी गणना प्रयोगात्मक (मापा) और सैद्धांतिक (स्वीकृत) मूल्यों के बीच पूर्ण परिवर्तन से की जाती है, और सैद्धांतिक (स्वीकृत) मूल्य से विभाजित की जाती है। उपरोक्त समीकरण में उपयोग किए जाने वाले "प्रायोगिक" और "सैद्धांतिक" शब्दों को आमतौर पर समान शब्दों से बदल दिया जाता है। प्रयोगात्मक के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य शब्दों को "मापा", "गणना" या "वास्तविक" किया जा सकता है और सैद्धांतिक के लिए उपयोग किए जाने वाले एक अन्य शब्द को "स्वीकार" किया जा सकता है। प्रायोगिक मूल्य वह है जो गणना और/या माप के उपयोग से प्राप्त किया गया है और सैद्धांतिक मूल्य के खिलाफ इसकी सटीकता का परीक्षण किया जा रहा है, एक मूल्य जिसे वैज्ञानिक समुदाय द्वारा स्वीकार किया जाता है या एक मूल्य जिसे सफल परिणाम के लिए एक लक्ष्य के रूप में देखा जा सकता है। यद्यपि प्रतिशत त्रुटि पर चर्चा करते समय सापेक्ष परिवर्तन के निरपेक्ष मूल्य संस्करण का उपयोग करना सामान्य प्रथा है, कुछ स्थितियों में, परिणाम के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करने के लिए निरपेक्ष मूल्यों को हटाना फायदेमंद हो सकता है। इस प्रकार, यदि एक प्रयोगात्मक मूल्य सैद्धांतिक मूल्य से कम है, तो प्रतिशत त्रुटि नकारात्मक होगी। यह नकारात्मक परिणाम प्रयोगात्मक परिणाम के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, प्रायोगिक रूप से प्रकाश की गति की गणना करने और एक नकारात्मक प्रतिशत त्रुटि के साथ आने से पता चलता है कि प्रायोगिक मूल्य एक वेग है जो प्रकाश की गति से कम है। यह एक सकारात्मक प्रतिशत त्रुटि प्राप्त करने से एक बड़ा अंतर है, जिसका अर्थ है कि प्रयोगात्मक मान एक वेग है जो प्रकाश की गति (सापेक्षता के सिद्धांत का उल्लंघन) से अधिक है और एक समाचार योग्य परिणाम है। प्रतिशत त्रुटि समीकरण, जब निरपेक्ष मानों को हटाकर फिर से लिखा जाता है, तो यह बन जाता हैः यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अंश में दो मान कम्यूट नहीं करते हैं। इसलिए, उपरोक्त क्रम को बनाए रखना महत्वपूर्ण हैः प्रायोगिक मूल्य से सैद्धांतिक मूल्य को घटाना और इसके विपरीत नहीं। प्रतिशत परिवर्तन एक चर में परिवर्तन को व्यक्त करने का एक तरीका है। यह पुराने और नए मूल्य के बीच सापेक्ष परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि आज किसी घर की कीमत 100,000 डॉलर है और उसके बाद के वर्ष में इसकी कीमत 110,000 डॉलर हो जाती है, तो इसके मूल्य में प्रतिशत परिवर्तन को व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि तब कहा जा सकता है कि घर की कीमत में 10 प्रतिशत की वृद्धि हुई है। अधिक आम तौर पर, यदि V1 पुराने मूल्य और V2 नए मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, तो कुछ कैलकुलेटर सीधे a या फ़ंक्शन के माध्यम से इसका समर्थन करते हैं। जब विचाराधीन चर स्वयं एक प्रतिशत है, तो सापेक्ष अंतर और निरपेक्ष अंतर के बीच भ्रम से बचने के लिए प्रतिशत अंकों का उपयोग करके इसके परिवर्तन के बारे में बात करना बेहतर है। प्रतिशत का उदाहरण यदि कोई बैंक बचत खाते पर ब्याज दर 3 प्रतिशत से बढ़ाकर 4 प्रतिशत कर देता है, तो यह कथन कि "ब्याज दर में 1 प्रतिशत की वृद्धि की गई थी" अस्पष्ट होगा। इस स्थिति में पूर्ण परिवर्तन 1 प्रतिशत बिंदु (4 प्रतिशत-3 प्रतिशत) है, लेकिन ब्याज दर में सापेक्ष परिवर्तन हैः सामान्य रूप से, "प्रतिशत बिंदु (ओं)" शब्द प्रतिशत के पूर्ण परिवर्तन या अंतर को इंगित करता है, जबकि प्रतिशत संकेत या शब्द "प्रतिशत" सापेक्ष परिवर्तन या अंतर को संदर्भित करता है। उदाहरण तुलना कार एम की कीमत 50,000 डॉलर और कार एल की कीमत 40,000 डॉलर है। हम इन लागतों की तुलना करना चाहते हैं। कार एल के संबंध में, पूर्ण अंतर है। यानी, कार एम की कीमत कार एल की तुलना में 10,000 डॉलर अधिक है सापेक्ष अंतर है, और हम कहते हैं कि कार एम की कीमत कार एल की तुलना में 25 प्रतिशत अधिक है। तुलना को अनुपात के रूप में व्यक्त करना भी आम है, जो इस उदाहरण में है, और हम कहते हैं कि कार एम की कीमत कार एल की लागत का 125% है। इस उदाहरण में कार एल की लागत को संदर्भ मूल्य माना जाता था, लेकिन हम विकल्प को दूसरे तरीके से बना सकते थे और कार एम की लागत को संदर्भ मूल्य के रूप में मान सकते थे। पूर्ण अंतर अब है क्योंकि कार एल की कीमत कार एम की तुलना में 10,000 डॉलर कम है सापेक्ष अंतर भी नकारात्मक है क्योंकि कार एल की कीमत कार एम की तुलना में 20 प्रतिशत कम है। तुलना का अनुपात रूप कहता है कि कार एल की कीमत कार एम की कीमत का 80 प्रतिशत है। यह "का" और "कम/अधिक" शब्दों का उपयोग है जो अनुपात और सापेक्ष अंतर के बीच अंतर करता है। सापेक्ष परिवर्तन के संकेतक उपरोक्त (शास्त्रीय) सापेक्ष परिवर्तन सापेक्ष परिवर्तन के संभावित उपायों/संकेतकों में से एक है। x (प्रारंभिक या संदर्भ मूल्य) से y (नया मूल्य) में सापेक्ष परिवर्तन का एक संकेतक ब्याज के क्षेत्र के लिए परिभाषित एक द्विआधारी वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता हैः उपयुक्त संकेतः कब तय किया जाता है इसका एक बढ़ता हुआ फलन है। निरंतर है। माप की इकाई से स्वतंत्रः सभी के लिए। स्वतंत्र स्थिति के कारण, ऐसे प्रत्येक फलन को अनुपात के एकल तर्क फलन के रूप में लिखा जा सकता है। यह भी स्पष्ट है कि यदि अन्य शर्तों को पूरा करता है तो प्रत्येक के लिए भी होगा। इस प्रकार हम संकेतकों को इस तरह से सामान्य होने से रोकते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि इसका तात्पर्य है कि ऐसे सभी संकेतक शास्त्रीय की तरह व्यवहार करते हैं जब वे निकट होते हैं। आम तौर पर सापेक्ष परिवर्तन के संकेतक को वास्तविक परिवर्तन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो x और y मानों के कुछ फलन द्वारा मापा जाता है। शास्त्रीय सापेक्ष परिवर्तन के साथ, सामान्य सापेक्ष परिवर्तन परिभाषित नहीं है यदि शून्य है। फलन के लिए विभिन्न विकल्प प्रस्तावित किए गए हैंः जैसा कि तालिका में देखा जा सकता है, पहले दो संकेतकों को छोड़कर सभी में, भाजक के रूप में एक माध्य होता है। एक माध्य फलन के गुणों में से एक हैः, जिसका अर्थ है कि ऐसे सभी संकेतकों में एक "समरूपता" गुण होता है जिसका शास्त्रीय सापेक्ष परिवर्तन में अभाव होता हैः यह अंतर्ज्ञान से सहमत है कि x से y में एक सापेक्ष परिवर्तन का परिमाण विपरीत दिशा में सापेक्ष परिवर्तन के समान होना चाहिए, y से x, जैसा कि संबंध से पता चलता है। एक निश्चित सहिष्णुता के साथ समानता के लिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में फ्लोटिंग पॉइंट मानों की तुलना करते समय अधिकतम औसत परिवर्तन की सिफारिश की गई है। एक अन्य अनुप्रयोग सन्निकटन त्रुटियों की गणना में है जब एक माप की सापेक्ष त्रुटि की आवश्यकता होती है। अर्थमिति में उपयोग के लिए न्यूनतम औसत परिवर्तन की सिफारिश की गई है। लघुगणक परिवर्तन को सापेक्ष परिवर्तन के लिए एक सामान्य-उद्देश्य प्रतिस्थापन के रूप में अनुशंसित किया गया है और नीचे अधिक चर्चा की गई है। टेनहुनेन एल (संदर्भ मान) से के तक एक सामान्य सापेक्ष अंतर फलन को परिभाषित करता हैः जो विशेष रूप से विशेष मामलों के लिए लॉगरिदमिक परिवर्तन की ओर ले जाता है सापेक्ष परिवर्तन के इन संकेतकों में से, सबसे स्वाभाविक यकीनन दो संख्याओं (अंतिम और प्रारंभिक) के अनुपात का प्राकृतिक लघुगणक (एलएन) है, जिसे लॉग परिवर्तन कहा जाता है। वास्तव में, जब, निम्नलिखित अनुमान लागू होता हैः उसी तरह जैसे सापेक्ष परिवर्तन को प्रतिशत प्राप्त करने के लिए 100 से मापा जाता है, उसे प्राप्त करने के लिए 100 से मापा जा सकता है जिसे आमतौर पर लॉग पॉइंट कहा जाता है। जब मूल-शक्ति मात्राओं के लिए मापा जाता है तो लॉग बिंदु इकाई केंद्रक (सी. एन. पी.) के बराबर होते हैं। इस मात्रा को लॉग प्रतिशत के रूप में भी संदर्भित किया गया है और एल% को दर्शाया गया है। चूँकि 1 पर प्राकृतिक लॉग का व्युत्पन्न 1 है, लॉग बिंदु छोटे अंतरों के लिए लगभग प्रतिशत परिवर्तन के बराबर होते हैं-उदाहरण के लिए 1 प्रतिशत की वृद्धि 0.995 cNp की वृद्धि के बराबर होती है, और 5 प्रतिशत की वृद्धि 4.88 cNp की वृद्धि देती है। यह सन्निकटन गुण लघुगणक आधार के अन्य विकल्पों के लिए नहीं है, जो व्युत्पन्न 1 नहीं होने के कारण एक स्केलिंग कारक पेश करता है। लॉग प्वाइंट का उपयोग इस प्रकार प्रतिशत परिवर्तन के प्रतिस्थापन के रूप में किया जा सकता है। योगात्मकता लॉग परिवर्तन का उपयोग करने से सापेक्ष परिवर्तन की तुलना में योगात्मकता के लाभ होते हैं। विशेष रूप से, लॉग परिवर्तन का उपयोग करते समय, परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद कुल परिवर्तन परिवर्तनों के योग के बराबर होता है। प्रतिशत के साथ, परिवर्तनों का योग केवल एक अनुमान है, जिसमें बड़े परिवर्तनों के लिए बड़ी त्रुटि है। उदाहरण के लिएः ध्यान दें कि उपरोक्त तालिका में, चूंकि सापेक्ष परिवर्तन 0 (क्रमशः सापेक्ष परिवर्तन 1) का संख्यात्मक मान लॉग परिवर्तन 0 (क्रमशः लॉग परिवर्तन 1) के समान है, यह उसी भिन्नता के अनुरूप नहीं है। सापेक्ष और लॉग परिवर्तनों के बीच रूपांतरण की गणना इस प्रकार की जा सकती है। योगात्मकता से, और इसलिए योगात्मकता का तात्पर्य एक प्रकार की समरूपता संपत्ति से है, अर्थात् और इस प्रकार लॉग परिवर्तन में व्यक्त परिवर्तन का परिमाण समान है चाहे V0 या V1 को संदर्भ के रूप में चुना गया हो। इसके विपरीत, सापेक्ष परिवर्तन के लिए, अंतर बड़ा होने के साथ जैसे-जैसे V1 या V0 0 के करीब आता है जबकि दूसरा स्थिर रहता है। उदाहरण के लिएः यहाँ 0 + का अर्थ है ऊपर से सीमा को 0 की ओर ले जाना। विशिष्टता और विस्तार लॉग परिवर्तन एक अद्वितीय दो-चर फलन है जो योगात्मक है, और जिसका रैखिककरण सापेक्ष परिवर्तन से मेल खाता है। किसी भी के लिए योगात्मक अंतर कार्यों का एक परिवार है, जैसे कि निरपेक्ष परिवर्तन है और लॉग परिवर्तन है। सांख्यिकी में सन्निकटन त्रुटि त्रुटियाँ और अवशिष्ट सापेक्ष मानक विचलन लघुगणक पैमाने टिप्पणियाँ संदर्भ मापन संख्यात्मक विश्लेषण अनुपात घटाव आयामहीन मात्राएँ भी देखें।