Macdonald polynomials
गणित में, मैकडोनाल्ड बहुपद Pλ (x; t, q) कई चर में ऑर्थोगोनल सममित बहुपदों का एक परिवार है, जिसे 1987 में मैकडोनाल्ड द्वारा पेश किया गया था। बाद में उन्होंने 1995 में एक गैर-सममित सामान्यीकरण की शुरुआत की। मैकडोनाल्ड ने मूल रूप से अपने बहुपदों को सीमित मूल प्रणालियों के भार λ के साथ जोड़ा और केवल एक चर t का उपयोग किया, लेकिन बाद में महसूस किया कि उन्हें सीमित मूल प्रणालियों के बजाय एफाइन मूल प्रणालियों के साथ जोड़ना अधिक स्वाभाविक है, इस मामले में चर t को कई अलग-अलग चर t = (t1,., tk) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो कि एफाइन मूल प्रणाली में जड़ों की प्रत्येक k कक्षा के लिए एक है। मैकडोनाल्ड बहुपद n चर x = (x1,., xn) में बहुपद हैं, जहाँ n एफ़ाइन मूल प्रणाली की श्रेणी है। वे ऑर्थोगोनल बहुपदों के कई अन्य परिवारों को सामान्यीकृत करते हैं, जैसे कि जैक बहुपदों और हॉल-लिटिलवुड बहुपदों और एस्की-विल्सन बहुपदों, जो बदले में विशेष मामलों के रूप में नामित 1-चर ऑर्थोगोनल बहुपदों में से अधिकांश को शामिल करते हैं। कूर्नवाइंडर बहुपद कुछ गैर-कम मूल प्रणालियों के मैकडोनाल्ड बहुपद हैं। एफाइन हेके अल्जेब्रा और हिल्बर्ट योजनाओं के साथ उनके गहरे संबंध हैं, जिनका उपयोग मैकडोनाल्ड द्वारा उनके बारे में किए गए कई अनुमानों को साबित करने के लिए किया गया था। परिभाषा पहले कुछ संकेतन को ठीक करेंः आर एक वास्तविक सदिश स्थान में एक परिमित मूल प्रणाली है वी. आर + सकारात्मक मूल का एक विकल्प है, जो एक सकारात्मक वेल कक्ष से मेल खाता है। डब्ल्यू आर का वेल समूह है. क्यू आर का मूल जाली है (जड़ों द्वारा फैला हुआ जाली)। पी आर (क्यू युक्त) का भार जाली है। भार पर एक क्रमः यदि और केवल अगर सरल जड़ों का एक गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन हो। पी + प्रमुख भारों का समूह हैः सकारात्मक वेल कक्ष में पी के तत्व। ρ वेइल सदिश हैः धनात्मक जड़ों का आधा योग; यह धनात्मक वेइल कक्ष के आंतरिक भाग में पी + का एक विशेष तत्व है। एफ विशेषता 0 का एक क्षेत्र है, आमतौर पर परिमेय संख्याएँ। ए = एफ (पी) पी का समूह बीजगणित है, जिसमें तत्वों के आधार पर लिखा जाता है eλ के लिए λ. यदि f = eλ, तो f का अर्थ है e − λ, और यह रैखिकता द्वारा पूरे समूह बीजगणित तक विस्तारित होता है। एम. एम. यू. = ए. एस. एल. ए. डब्ल्यू. एम. ई. एल. एक कक्षा योग है; ये तत्व डब्ल्यू. द्वारा तय किए गए तत्वों के उप-बीजगणित ए. डब्ल्यू. के लिए एक आधार बनाते हैं, जो अनंत क्यू-पोचामर प्रतीक है। ए के दो तत्वों का आंतरिक उत्पाद है, कम से कम जब टी क्यू की एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति है। मैकडोनाल्ड बहुपद पी. एल. पी. + के लिए पी. एल. को निम्नलिखित दो शर्तों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता हैः जहां यू. एल. एम. यू. क्यू और टी का एक परिमेय फलन है जिसमें यू. एल. एल. = 1 है; पी. एल. और पी. एम. यू. ऑर्थोगोनल हैं यदि λ <μ है। दूसरे शब्दों में, मैकडोनाल्ड बहुपदों को एडब्ल्यू के लिए स्पष्ट आधार को ऑर्थोगोनलाइज़ करके प्राप्त किया जाता है। इन गुणों के साथ बहुपदों का अस्तित्व दिखाना आसान है (किसी भी आंतरिक उत्पाद के लिए)। मैकडोनाल्ड बहुपदों का एक प्रमुख गुण यह है कि वे ऑर्थोगोनल हैंः पी. पी. एल., पी. एम. ओ. = 0 जब भी λ. यह परिभाषा का एक तुच्छ परिणाम नहीं है क्योंकि पी + पूरी तरह से क्रमबद्ध नहीं है, और इसलिए इसमें बहुत सारे तत्व हैं जो अतुलनीय हैं। इस प्रकार किसी को यह जांचना चाहिए कि संबंधित बहुपद अभी भी ऑर्थोगोनल हैं। ऑर्थोगोनलिटी को यह दिखाकर साबित किया जा सकता है कि मैकडोनाल्ड बहुपद 1-आयामी आइगेनस्पेस के साथ स्व-एडजॉइंट ऑपरेटरों के आवागमन के बीजगणित के लिए आइगेनवेक्टर हैं, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि विभिन्न आइगेनवैल्यू के लिए आइगेनस्पेस ऑर्थोगोनल होना चाहिए। गैर-सरल जड़ प्रणालियों (बी, सी, एफ, जी) के मामले में, मैकडोनाल्ड बहुपदों का तीन-पैरामीटर परिवार देते हुए, पैरामीटर टी को रूट की लंबाई के साथ भिन्न होने के लिए चुना जा सकता है। इस परिभाषा का विस्तार गैर-कम जड़ प्रणाली बी. सी. तक भी किया जा सकता है, जिस स्थिति में कोई छह-पैरामीटर परिवार (जड़ों की प्रत्येक कक्षा के लिए एक टी, प्लस क्यू) प्राप्त करता है जिसे कूर्नविंदर बहुपदों के रूप में जाना जाता है। कभी-कभी मैकडोनाल्ड बहुपदों को संभवतः गैर-कम एफ़ाइन मूल प्रणाली पर निर्भर माना जाना बेहतर होता है। इस मामले में, एफाइन रूट सिस्टम में जड़ों की प्रत्येक कक्षा से जुड़ा एक पैरामीटर t है, साथ ही एक पैरामीटर q है। जड़ों की कक्षाओं की संख्या 1 से 5 तक भिन्न हो सकती है। उदाहरण यदि q = t मैकडोनाल्ड बहुपद मूल प्रणाली के सघन समूह के प्रतिनिधित्व के वेल वर्ण बन जाते हैं, या ए प्रकार के मूल प्रणालियों के मामले में शूर फलन बन जाते हैं। यदि q = 0 है तो मैकडोनाल्ड बहुपद एक अर्ध-सरल p-adic समूह के लिए (पुनर्निर्धारित) क्षेत्रीय गोलाकार कार्य बन जाते हैं, या हॉल-लिटिलवुड बहुपद जब मूल प्रणाली में प्रकार A होता है। यदि टी = 1 है तो मैकडोनाल्ड बहुपद डब्ल्यू कक्षाओं पर योग बन जाते हैं, जो कि एकल सममित फलन होते हैं जब मूल प्रणाली में ए प्रकार होता है। यदि हम t = qα डालते हैं और q को 1 की ओर झुकने देते हैं तो मैकडोनाल्ड बहुपद जैक बहुपद बन जाते हैं जब मूल प्रणाली प्रकार A की होती है, और अधिक सामान्य मूल प्रणालियों के लिए हेकमैन-ऑप्डम बहुपद। एफाइन मूल प्रणाली ए1 के लिए, मैकडोनाल्ड बहुपद रोजर्स बहुपद हैं। प्रकार (सी, सी1) की गैर-कम श्रेणी 1 एफ़ाइन मूल प्रणाली के लिए, मैकडोनाल्ड बहुपद एस्की-विल्सन बहुपद हैं, जो बदले में 1 चर में ऑर्थोगोनल बहुपदों के अधिकांश नामित परिवारों को विशेष मामलों के रूप में शामिल करते हैं। प्रकार (सी, सीएन) की गैर-कम एफ़ाइन मूल प्रणाली के लिए, मैकडोनाल्ड बहुपद कूर्नविंदर बहुपद हैं। मैकडोनाल्ड स्थिरांक शब्द अनुमान यदि कुछ सकारात्मक पूर्णांक k के लिए t = qk है, तो मैकडोनाल्ड बहुपदों का मानक मैकडोनाल्ड (1982) द्वारा डायसन अनुमान के सामान्यीकरण के रूप में अनुमान लगाया गया था, और दोहरे एफ़ाइन हेके बीजगणित के गुणों का उपयोग करके चेरेडनिक (1995) द्वारा सभी (कम) मूल प्रणालियों के लिए साबित किया गया था। इस अनुमान को पहले कई लेखकों द्वारा एन प्रकार को छोड़कर सभी मूल प्रणालियों के लिए मामले-दर-मामले साबित किया गया था। दो अन्य अनुमान हैं जिन्हें मानक अनुमान के साथ सामूहिक रूप से इस संदर्भ में मैकडोनाल्ड अनुमान के रूप में संदर्भित किया जाता हैः मानक के सूत्र के अलावा, मैकडोनाल्ड ने बिंदु tρ पर Pλ के मूल्य के लिए एक सूत्र और एक समरूपता का अनुमान लगाया। मैकडोनाल्ड सकारात्मक अनुमान प्रकार एन-1 की मूल प्रणालियों के मामले में मैकडोनाल्ड बहुपद केवल गुणांक वाले एन चर में सममित बहुपद हैं जो क्यू और टी के परिमेय कार्य हैं। मैकडोनाल्ड बहुपदों का एक निश्चित परिवर्तित संस्करण (नीचे संयुक्त सूत्र देखें) सममित कार्यों के स्थान का एक ऑर्थोगोनल आधार बनाता है, और इसलिए इसे शूर कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इन संबंधों के गुणांक Kλμ (q, t) को कोस्टका-मैकडोनाल्ड गुणांक या qt-कोस्टका गुणांक कहा जाता है। मैकडोनाल्ड ने अनुमान लगाया कि कोस्टका-मैकडोनाल्ड गुणांक गैर-नकारात्मक पूर्णांक गुणांक के साथ q और t में बहुपद थे। ये अनुमान अब साबित हो गए हैं; सबसे कठिन और अंतिम कदम सकारात्मक को साबित करना था, जिसे मार्क हैमन (2001) ने अनुमान को साबित करके किया था। यह अभी भी बीजगणितीय संयोजन विज्ञान में qt-कोस्टका गुणांक के लिए एक संयोजन सूत्र खोजने के लिए एक केंद्रीय खुली समस्या है। एन! अनुमान लगाएँ द एन! एड्रियानो गार्सिया और मार्क हैमन के अनुमान में कहा गया है कि n के प्रत्येक विभाजन के लिए सभी उच्च आंशिक व्युत्पन्नों द्वारा फैले स्थान का आयाम n! है, जहां (pj, qj) विभाजन के आरेख के n तत्वों के माध्यम से चलता है, जिसे गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के जोड़े का सबसेट माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = 3 का विभाजन 3 = 2 + 1 है तो जोड़े (pj, qj) (0,0), (0,1), (1,0) हैं, और स्थान Dμ फैला हुआ है जिसके आयाम 6 = 3! हैं। हैमन का मैकडोनाल्ड सकारात्मक अनुमान का प्रमाण और एन! अनुमान में यह दिखाना शामिल था कि एक विमान में n बिंदुओं की सम-वर्णक्रमीय हिल्बर्ट योजना कोहेन-मैकाले (और यहां तक कि गोरेनस्टीन) थी। हैमन और गार्सिया के पहले के परिणामों से पहले ही पता चल गया था कि इसका अर्थ है एन! अनुमान, और कि एन! अनुमान ने निहित किया कि कोस्टका-मैकडोनाल्ड गुणांक मॉड्यूल डी. एम. यू. के लिए श्रेणीबद्ध वर्ण गुणक थे। यह तुरंत मैकडोनाल्ड सकारात्मक अनुमान का संकेत देता है क्योंकि वर्ण गुणन को गैर-नकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए। इयान ग्रोजनोव्स्की और मार्क हैमन ने एल. एल. टी. बहुपदों के लिए एक सकारात्मक अनुमान साबित करके मैकडोनाल्ड सकारात्मक अनुमान का एक और प्रमाण पाया। मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए संयुक्त सूत्र 2005 में, जे. हैगलंड, एम. हैमन और एन. लोहर ने मैकडोनाल्ड बहुपदों की संयुक्त व्याख्या का पहला प्रमाण दिया। 1988 में आई. जी. मैकडोनाल्ड ने मैकडोनाल्ड बहुपदों (समीकरण (4.11) और (5.13)) की संयुक्त व्याख्या का दूसरा प्रमाण दिया। मैकडोनाल्ड का सूत्र हैगलंड, हैमन और लोहर के काम से अलग है, जिसमें कई कम शब्द हैं (यह सूत्र मैकडोनाल्ड के मौलिक काम, सीएच में भी साबित होता है। VI (7.13))। जबकि गणना के लिए बहुत उपयोगी और अपने आप में दिलचस्प है, उनके संयोजन सूत्र तुरंत कोस्टका-मैकडोनाल्ड गुणांक की सकारात्मकता का संकेत नहीं देते हैं क्योंकि मैकडोनाल्ड बहुपदों का अपघटन शूर कार्यों के बजाय एकाक्षर सममित कार्यों में होता है। सामान्य के बजाय परिवर्तित मैकडोनाल्ड बहुपदों में लिखे गए, वे हैं जहाँ σ आकार के युवा आरेख का एक भरना है, इनव और माज भरने पर परिभाषित कुछ संयोजन सांख्यिकी (कार्य) हैं। यह सूत्र मैकडोनाल्ड बहुपदों को असीम रूप से कई चरों में व्यक्त करता है। n चर में बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, सूत्र को केवल उन भरावों तक सीमित करें जो केवल पूर्णांक 1,2,., n का उपयोग करते हैं। xσ शब्द की व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए जहाँ σi सामग्री i के साथ μ को भरने में डिब्बों की संख्या है। उपरोक्त सूत्र में परिवर्तित मैकडोनाल्ड बहुपद परिवर्तनों के एक क्रम के माध्यम से शास्त्रीय मैकडोनाल्ड बहुपदों से संबंधित हैं। सबसे पहले, मैकडोनाल्ड बहुपदों का अभिन्न रूप, जो निरूपित है, उसका पुनः स्केलिंग है जो गुणांक के भाजकों को साफ़ करता हैः जहां के युवा आरेख में वर्गों का संग्रह है, और वर्ग की भुजा और पैर को दर्शाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नोटः दाहिनी ओर की आकृति झांकी के लिए फ्रांसीसी संकेतन का उपयोग करती है, जिसे युवा आरेखों के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर उपयोग किए गए अंग्रेजी संकेतन से ऊर्ध्वाधर रूप से फ़्लिप किया गया है। मैकडोनाल्ड बहुपदों के अध्ययन में फ्रांसीसी संकेतन का अधिक उपयोग किया जाता है। परिवर्तित मैकडोनाल्ड बहुपदों को तब 's' के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। हमारे पास वह जगह है जहाँ ऊपर दिया गया कोष्ठक संकेतन प्लैथिस्टिक प्रतिस्थापन को दर्शाता है। इस सूत्र का उपयोग जैक बहुपदों के लिए नॉप और साही के सूत्र को साबित करने के लिए किया जा सकता है। 1995 में, मैकडोनाल्ड ने सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों का एक गैर-सममित एनालॉग पेश किया, और सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों को गैर-सममित समकक्ष से आसानी से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। अपनी मूल परिभाषा में, वह दर्शाते हैं कि गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद एक निश्चित आंतरिक उत्पाद के लिए ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक अनूठा परिवार है, साथ ही साथ एकात्मक आधार में विस्तारित होने पर त्रिकोणीयता गुण को संतुष्ट करता है। 2007 में, हैगलंड, हैमन और लोहर ने गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए एक संयोजन सूत्र दिया। गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद q = t = 0 लेकर डिमाज़्योर वर्णों में विशेषज्ञता रखते हैं, और प्रमुख बहुपदों के लिए जब q = t = φ होता है। बहिष्करण प्रक्रिया पर आधारित संयोजन सूत्र 2018 में, एस. कॉर्टील, ओ. मंडेलशटम और एल. विलियम्स ने सममित और गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों दोनों का प्रत्यक्ष संयोजन लक्षण वर्णन देने के लिए बहिष्करण प्रक्रिया का उपयोग किया। उनके परिणाम आंशिक रूप से हैगलंड के पहले के काम से अलग हैं क्योंकि वे मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए एक परिवर्तन के बजाय सीधे एक सूत्र देते हैं। वे एक बहुरेखीय कतार की अवधारणा विकसित करते हैं, जो एक मैट्रिक्स है जिसमें गेंदें या खाली कक्ष होते हैं, जिसमें गेंद और उनके पड़ोसियों के बीच एक मानचित्रण और एक संयुक्त लेबलिंग तंत्र होता है। गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद तब संतुष्ट होता हैः जहां योग प्रकार की सभी बहुरेखीय कतारों पर होता है और उन कतारों को विशिष्ट बहुपदों में मानचित्रित करने वाला एक भार फलन होता है। सममित मैकडोनाल्ड बहुपद संतुष्ट करता हैः जहाँ बाहरी योग उन सभी अलग-अलग रचनाओं पर होता है जो क्रमपरिवर्तन हैं, और आंतरिक योग पहले की तरह होता है। संदर्भ ग्रंथ सूची मार्क हैमन संयोजन, सममित कार्य, और हिल्बर्ट योजनाएँ गणित में वर्तमान विकास 2002, सं। 1 (2002), 39-111। हैमन, मैकडोनाल्ड बहुपदों और हिल्बर्ट योजनाओं की ज्यामिति पर मार्क नोट्स। सममित कार्य 2001: विकास और दृष्टिकोण का सर्वेक्षण, 1-64, नाटो विज्ञान। सर। II गणित। शारीरिक। केम., 74, क्लूवर एकेड। प्रकाशक., डोरड्रेक्ट, 2002। मैकडोनाल्ड, आई. जी. सममित कार्य और हॉल बहुपद। दूसरा संस्करण। ऑक्सफोर्ड गणितीय मोनोग्राफ। ऑक्सफोर्ड साइंस पब्लिकेशंस। द क्लेरेंडन प्रेस, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, न्यूयॉर्क, 1995. x + 475 पीपी। मैकडोनाल्ड, आई. जी. सममित फलन और ऑर्थोगोनल बहुपद। डीन जैकलीन बी. लुईस मेमोरियल व्याख्यान रटगर्स विश्वविद्यालय, न्यू ब्रंसविक, एनजे में प्रस्तुत किए गए। विश्वविद्यालय व्याख्यान श्रृंखला, 12. अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, प्रोविडेंस, आर. आई., 1998. xvi + 53 पीपी। मैकडोनाल्ड, आई. जी. एफ़ाइन हेक अल्जेब्रा और ऑर्थोगोनल बहुपद। सेमिनाइर बोरबाकी 797 (1995)। मैकडोनाल्ड बहुपदों के बारे में माइक जैब्रोकी का पृष्ठ बाहरी लिंक है। मैकडोनाल्ड बहुपदों के बारे में हैमन के कुछ लेख। बीजगणितीय संयोजन बीजगणितीय ज्यामिति ऑर्थोगोनल बहुपद