Vitali covering lemma
गणित में, विटाली कवरिंग लेम्मा एक संयोजन और ज्यामितीय परिणाम है जिसका उपयोग आमतौर पर यूक्लिडियन रिक्त स्थान के माप सिद्धांत में किया जाता है। विटाली आवरण प्रमेय के प्रमाण में यह सिद्धांत स्वतंत्र रुचि का एक मध्यवर्ती चरण है। आवरण प्रमेय का श्रेय इतालवी गणितशास्त्री ग्यूसेप विटाली को दिया जाता है। प्रमेय में कहा गया है कि लेम्मा को कवर करने वाले ई. विटाली के विटाली आवरण से निकाले गए एक असंबद्ध परिवार द्वारा आर. डी. के दिए गए सबसेट ई. को लेब्सग्यू-नगण्य सेट तक कवर करना संभव है। लेम्मा के दो बुनियादी संस्करण हैं, एक परिमित संस्करण और एक अनंत संस्करण। दोनों लेम्मा को मीट्रिक स्पेस की सामान्य सेटिंग में साबित किया जा सकता है, आमतौर पर ये परिणाम यूक्लिडियन स्पेस के विशेष मामले में लागू किए जाते हैं। दोनों प्रमेयों में हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगेः यदि एक गेंद है और, हम गेंद के लिए लिखेंगे। परिमित संस्करण प्रमेय (परिमित आवरण लेम्मा)। मान लीजिए कि गेंदों का कोई भी सीमित संग्रह एक मनमाने मीट्रिक स्थान में निहित है। फिर इन गेंदों का एक उप-संग्रह मौजूद है जो असंबद्ध हैं और सबूत को संतुष्ट करते हैंः व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मानते हैं कि गेंदों का संग्रह खाली नहीं है; यानी, n> 0। मान लीजिए कि गेंद सबसे बड़ी त्रिज्या की है। प्रेरक रूप से, मान लीजिए कि उन्हें चुना गया है। यदि वहाँ कुछ गेंद है जिससे अलग है, तो मान लीजिए कि ऐसी गेंद अधिकतम त्रिज्या के साथ हो (मनमाने ढंग से संबंधों को तोड़ना), अन्यथा, हम m: = k सेट करते हैं और प्रेरक परिभाषा को समाप्त करते हैं। अब सेट करें। यह हर किसी के लिए दिखाना बाकी है। यह स्पष्ट है यदि। अन्यथा, आवश्यक रूप से कुछ ऐसे होते हैं जो प्रतिच्छेद करते हैं और की त्रिज्या कम से कम उतनी ही बड़ी होती है जितनी की। त्रिभुज असमानता तब आसानी से इंगित करती है कि, आवश्यकतानुसार। यह परिमित संस्करण के प्रमाण को पूरा करता है। अनंत संस्करण प्रमेय (अनंत आवरण लेम्मा)। मान लीजिए कि एक अलग मीट्रिक स्थान में गेंदों का एक मनमाना संग्रह ऐसा हो जहां गेंद बी की त्रिज्या को दर्शाता है। फिर एक गणना योग्य उप-संग्रह मौजूद है जैसे कि गेंदें जोड़ीदार रूप से अलग होती हैं, और संतुष्ट होती हैं और इसके अलावा, प्रत्येक कुछ के साथ प्रतिच्छेद करता है। प्रमाणः एफ के विभाजन को उप-संग्रह एफएन, एनओआर0 में देखें, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें गेंद बी होती है जिसकी त्रिज्या (2−एन−1आर, 2−एनआर) में होती है। Gn′Fn के साथ एक अनुक्रम Gn को प्रेरक रूप से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, H0 = F0 निर्धारित करें और G0 को H0 का अधिकतम असंबद्ध उप-संग्रह होने दें (ऐसा उप-संग्रह ज़ोर्न के लेम्मा द्वारा मौजूद है)। यह मानते हुए कि G0,., Gn का चयन किया गया है, मान लीजिए और मान लीजिए कि Gn + 1 को Hn + 1 का अधिकतम असंबद्ध उप-संग्रह है। एफ का उप-संग्रह प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता हैः जी एक असंबद्ध संग्रह है, और इस प्रकार गणना योग्य है क्योंकि दिया गया मीट्रिक स्थान अलग करने योग्य है। इसके अलावा, प्रत्येक गेंद B ωF एक गेंद C ωG को इस तरह से काटती है कि B ω5C। वास्तव में, यदि हमें कुछ दिया जाता है, तो कुछ n ऐसा होना चाहिए कि B, Fn से संबंधित हो। या तो B, Hn से संबंधित नहीं है, जिसका अर्थ है n> 0 और इसका अर्थ है कि B एक गेंद को G0,., Gn−1, या B ωHn के संघ से काटता है और Gn की अधिकतमता से, B एक गेंद को Gn में काटता है। किसी भी मामले में, B एक गेंद C को काटता है जो G0,., Gn के संघ से संबंधित है। ऐसी गेंद सी की त्रिज्या 2−n−1R से बड़ी होनी चाहिए। चूँकि बी की त्रिज्या 2 − एन. आर. से कम या उसके बराबर है, इसलिए हम त्रिभुज असमानता से निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बी 5 सी, जैसा कि दावा किया गया है। इससे तुरंत सबूत पूरा होता है। टिप्पणी अनंत संस्करण में, गेंदों का प्रारंभिक संग्रह गणना योग्य या अनगिनत हो सकता है। अलग किए जा सकने वाले मीट्रिक स्थान में, गेंदों का कोई भी जोड़ीदार अलग-अलग संग्रह गणना योग्य होना चाहिए। एक गैर-विभाज्य स्थान में, एक ही तर्क से पता चलता है कि एक जोड़ीदार असंबद्ध उप-परिवार मौजूद है, लेकिन उस परिवार को गणना योग्य होने की आवश्यकता नहीं है। यदि त्रिज्याएँ बंधी नहीं हैं तो परिणाम विफल हो सकता हैः आरडी में 0 पर केंद्रित सभी गेंदों के परिवार पर विचार करें; किसी भी असंबद्ध उप-परिवार में केवल एक गेंद बी होती है, और 5 बी में इस परिवार की सभी गेंदें नहीं होती हैं। स्थिरांक 5 इष्टतम नहीं है। यदि Fn को परिभाषित करने के लिए 2-n के बजाय c − n, c> 1 पैमाने का उपयोग किया जाता है, तो अंतिम मान 5 के बजाय 1 + 2c है। 3 से बड़ा कोई भी स्थिरांक लेम्मा का सही कथन देता है, लेकिन 3 नहीं। एक सूक्ष्म विश्लेषण का उपयोग करते हुए, जब मूल संग्रह F, Rd के सबसेट E का विटाली आवरण है, तो यह पता चलता है कि उप-संग्रह G, उपरोक्त प्रमाण में परिभाषित, E को एक लेबस्ग्यू-नगण्य सेट तक शामिल करता है। अनुप्रयोग और उपयोग की विधि विटाली लेम्मा का एक अनुप्रयोग हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम असमानता को साबित करने में है। जैसा कि इस प्रमाण में, विटाली लेम्मा का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब हम, उदाहरण के लिए, एक सेट ई आर डी के डी-आयामी लेबस्ग्यू माप पर विचार करते हैं, जिसे हम जानते हैं कि गेंदों के एक निश्चित संग्रह के संयोजन में निहित है, जिनमें से प्रत्येक में एक माप है जिसे हम अधिक आसानी से गणना कर सकते हैं, या एक विशेष गुण है जिसका कोई दोहन करना चाहेगा। इसलिए, यदि हम इस संघ के माप की गणना करते हैं, तो हमारे पास ई के माप पर एक ऊपरी सीमा होगी। हालाँकि, इन सभी गेंदों के संघ के माप की गणना करना मुश्किल है यदि वे ओवरलैप करते हैं। विटाली लेम्मा के अनुसार, हम एक उप-संग्रह का चयन कर सकते हैं जो असंबद्ध और ऐसा हो। इसलिए, अब, चूंकि एक डी-आयामी गेंद की त्रिज्या को पांच के कारक से बढ़ाने से इसका आयतन 5d के कारक से बढ़ जाता है, इसलिए हम जानते हैं कि और इस प्रकार विटाली कवरिंग थ्योरम का उद्देश्य एक "नगण्य सेट" तक कवर करना है, एक दिए गए सेट E: Rd को एक विटाली से निकाले गए असंबद्ध उप-संग्रह द्वारा E के लिए कवर करनाः एक विटाली वर्ग या E के लिए विटाली कवरिंग ऐसे सेटों का संग्रह है कि, प्रत्येक x ω E और δ> 0 के लिए, संग्रह में एक सेट U है जैसे कि x ω U और U का व्यास गैर-शून्य और ω से कम है। विटाली की शास्त्रीय सेटिंग में, नगण्य सेट एक लेबेस्ग्यू नगण्य सेट है, लेकिन लेबेस्ग्यू माप के अलावा अन्य उपायों और आरडी के अलावा अन्य स्थानों पर भी विचार किया गया है, जैसा कि नीचे दिए गए प्रासंगिक खंड में दिखाया गया है। निम्नलिखित अवलोकन उपयोगी हैः यदि ई के लिए एक विटाली आवरण है और यदि ई एक खुले सेट में निहित है, तो सेट यू का उप-संग्रह जो ω में निहित है, वह भी ई के लिए एक विटाली आवरण है। आर. डी. के मापने योग्य उपसमुच्चय का एक संग्रह एक नियमित परिवार (लेबस्ग्यू के अर्थ में) है यदि संग्रह में प्रत्येक समूह वी के लिए एक स्थिरांक सी मौजूद है। क्यूब्स का परिवार नियमित परिवार का एक उदाहरण है, जैसा कि R2 में आयतों का परिवार ऐसा है कि कुछ निश्चित m ≤ 1 के लिए भुजाओं का अनुपात m−1 और m के बीच रहता है। यदि आर. डी. पर एक मनमाना मानक दिया जाता है, तो मानक से जुड़े मीट्रिक के लिए गेंदों का परिवार एक और उदाहरण है। इसके विपरीत, आर2 में सभी आयतों का परिवार नियमित नहीं है। इसका मूल परिणाम इस प्रमेय का एक विशेष मामला है, जिसमें d = 1 और अंतरालों का एक संग्रह है जो सीमित माप वाली वास्तविक रेखा के मापने योग्य सबसेट E के लिए एक विटाली है। उपरोक्त प्रमेय यह माने बिना सच रहता है कि E का माप सीमित है। यह सीमित माप मामले में, प्रत्येक पूर्णांक n ω0 के लिए, बिंदु x के खुले वलयाकार ωn में निहित E के हिस्से पर आवरण परिणाम को लागू करके प्राप्त किया जाता है जैसे कि n <|x। <n + 1। कुछ हद तक संबंधित आवरण प्रमेय बेसिकोविच आवरण प्रमेय है। एक उपसमुच्चय ए आरडी के प्रत्येक बिंदु ए के लिए, केंद्र ए और सकारात्मक त्रिज्या आरए के साथ एक यूक्लिडियन गेंद बी (ए, आरए) निर्धारित की जाती है। फिर, जैसा कि विटाली प्रमेय में है, इन गेंदों का एक उप-संग्रह चुना जाता है ताकि ए को एक विशिष्ट तरीके से कवर किया जा सके। विटाली आवरण प्रमेय के साथ मुख्य अंतर यह है कि एक ओर, विटाली की असंगतता की आवश्यकता को इस तथ्य से शिथिल किया जाता है कि एक मनमाना बिंदु x bul Rd वाली चयनित गेंदों की संख्या Nx केवल आयाम d के आधार पर एक स्थिर Bd से घिरी होती है; दूसरी ओर, चयनित गेंदें सभी दिए गए केंद्रों के सेट A को कवर करती हैं। हौसडॉर्फ माप के लिए विटाली के आवरण प्रमेय का एक समान उद्देश्य हो सकता है जब लेबस्ग्यू माप के बजाय हौसडॉर्फ माप पर विचार किया जाए। निम्नलिखित प्रमेय उस मामले में लागू होता है। इसके अलावा, यदि E में सीमित s-आयामी हौसडॉर्फ माप है, तो किसी भी ε> 0 के लिए, हम इस उप-संग्रह को इस तरह से चुन सकते हैं कि यह प्रमेय ऊपर दिए गए लेबस्ग्यू के परिणाम का तात्पर्य है। वास्तव में, जब एस = डी, आरडी पर हौसडॉर्फ माप एचएस डी-आयामी लेबस्ग्यू माप के एक गुणक के साथ मेल खाता है। यदि एक असंबद्ध संग्रह नियमित है और सीमित लेबस्ग्यू माप के साथ एक मापने योग्य क्षेत्र बी में निहित है, तो जो पिछले प्रमेय के पहले दावे में दूसरी संभावना को बाहर करता है। यह इस प्रकार है कि ई को चयनित असंबद्ध उप-संग्रह द्वारा एक लेबस्ग्यू-नगण्य सेट तक कवर किया जाता है। कवरिंग लेम्मा से लेकर कवरिंग थ्योरम तक कवरिंग लेम्मा का उपयोग विटाली कवरिंग थ्योरम के निम्नलिखित मूल रूप के प्रमाण में मध्यवर्ती चरण के रूप में किया जा सकता है। प्रमाणः व्यापकता के नुकसान के बिना, कोई यह मान सकता है कि एफ में सभी गेंदें गैर-अपक्षयी हैं और उनकी त्रिज्या 1 से कम या उसके बराबर है। आवरण लेम्मा के अनंत रूप से, F का एक गणना योग्य असंबद्ध उप-संग्रह मौजूद है जैसे कि प्रत्येक गेंद B ωF एक गेंद C ωG को काटती है जिसके लिए B ω5C दिया जाता है, और Z को उन बिंदुओं के समूह को दर्शाता है जो Z ωE से G की किसी भी गेंद में निहित नहीं हैं और 0 पर केंद्रित त्रिज्या r की खुली गेंद B (r) से संबंधित हैं। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि Z लेबस्ग्यू-नगण्य है, प्रत्येक दिए गए r के लिए। आइए G में उन गेंदों के उप-संग्रह को दर्शाते हैं जो B (r) से मिलते हैं। ध्यान दें कि यह परिमित या गणना करने योग्य रूप से अनंत हो सकता है। मान लीजिए कि z ω Z निश्चित है। प्रत्येक एन के लिए, जेड की परिभाषा के अनुसार जेड बंद सेट से संबंधित नहीं है। लेकिन विटाली आवरण गुण द्वारा, कोई भी गेंद बी (आर) में निहित जेड युक्त बी (एफ) को पा सकता है, और के से अलग हो सकता है। जी के गुण से, गेंद बी कुछ गेंद को काटती है और उसमें निहित होती है। लेकिन क्योंकि K और B असंबद्ध हैं, इसलिए हमारे पास i> N होना चाहिए। तो कुछ i> N के लिए, और इसलिए यह प्रत्येक N के लिए असमानता देता है। लेकिन चूंकि की गेंदें B (r + 2) में निहित हैं, और ये गेंदें असंबद्ध हैं, इसलिए हम देखते हैं। अनंत-आयामी रिक्त स्थान विटाली आवरण प्रमेय अनंत-आयामी विन्यासों में मान्य नहीं है। इस दिशा में पहला परिणाम 1979 में डेविड प्रीस द्वारा दिया गया थाः एक (अनंत-आयामी) पृथक्कृत हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच पर एक गौसी माप γ मौजूद है ताकि विटाली आवरण प्रमेय (एच, बोरेल (एच), γ) के लिए विफल हो जाए। इस परिणाम को 2003 में जारोस्लाव टिसेर द्वारा मजबूत किया गया थाः विटाली आवरण प्रमेय वास्तव में किसी भी (अनंत-आयामी) पृथक्कृत हिल्बर्ट स्थान पर प्रत्येक अनंत-आयामी गॉसियन माप के लिए विफल रहता है। बेसिकोविच कवरिंग थ्योरम नोट्स रेफेरेंसेस (शीर्षक अनुवाद) "वास्तविक चर के बिंदुओं और कार्यों के समूहों पर" वह पेपर है जिसमें विटाली कवरिंग थ्योरम का पहला प्रमाण है। लेम्मा मापन सिद्धांत को शामिल करना वास्तविक विश्लेषण