Quantile function
संभाव्यता और सांख्यिकी में, मात्रात्मक फलन एक यादृच्छिक चर के मूल्य का उत्पादन इस तरह करता है कि इसकी संभाव्यता एक इनपुट संभाव्यता मूल्य से कम या उसके बराबर होती है। सहज रूप से, मात्रात्मक फलन एक संभाव्यता इनपुट पर और उसके नीचे की सीमा के साथ इस संभावना को जोड़ता है कि कुछ संभाव्यता वितरण के लिए उस सीमा में एक यादृच्छिक चर का अनुभव किया जाता है। इसे प्रतिशत फलन (प्रतिशत के बाद), प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन (संचयी वितरण फलन के बाद) भी कहा जाता है। परिभाषा सख्ती से एकरस वितरण फलन एक यादृच्छिक चर X के निरंतर और सख्ती से एकरस संचयी वितरण फलन के संदर्भ में, मात्रात्मक फलन अपने इनपुट p को एक सीमा मान x पर मानचित्रित करता है ताकि X के x से कम या बराबर होने की संभावना p हो। वितरण फलन F के संदर्भ में, मात्रात्मक फलन Q, x मान को इस तरह लौटाता है जिसे c. d. f. के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है। सामान्य वितरण फलन वितरण फलन के सामान्य मामले में जो सख्ती से एकरस नहीं होते हैं और इसलिए एक व्युत्क्रम सी. डी. एफ. की अनुमति नहीं देते हैं, क्वांटाइल एक (संभावित) सेट है जो एक वितरण फलन एफ का मूल्यवान कार्यात्मक है, जो अंतराल द्वारा दिया जाता है। यह अक्सर सबसे कम मान चुनने के लिए मानक होता है, जिसे समतुल्य रूप से (एफ की सही-निरंतरता का उपयोग करके) लिखा जा सकता है। यहाँ हम इस तथ्य को पकड़ते हैं कि क्वांटाइल फलन उन सभी मूल्यों में से एक्स का न्यूनतम मान देता है जिनका सी. डी. एफ. मान पी से अधिक है, जो विशेष मामले में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है कि वितरण निरंतर है। ध्यान दें कि असीम फ़ंक्शन को न्यूनतम फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, क्योंकि वितरण फ़ंक्शन सही-निरंतर और कमजोर रूप से नीरस रूप से बढ़ रहा है। क्वांटाइल गैलोइस असमानताओं को संतुष्ट करने वाला अद्वितीय कार्य है यदि और केवल तभी यदि फलन F निरंतर और सख्ती से नीरस रूप से बढ़ रहा है, तो असमानताओं को समानताओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और हमारे पास हैः सामान्य रूप से, भले ही वितरण फलन F एक बाएँ या दाएँ व्युत्क्रम रखने में विफल हो सकता है, लेकिन क्वांटाइल फलन Q वितरण फलन के लिए "लगभग निश्चित रूप से बाएँ व्युत्क्रम" के रूप में व्यवहार करता है, इस अर्थ में कि लगभग निश्चित रूप से। सरल उदाहरण उदाहरण के लिए, घातीय (λ) का संचयी वितरण फलन (अर्थात। तीव्रता λ और प्रत्याशित मान (माध्य) 1/λ) घातीय (λ) के लिए मात्रात्मक फलन Q के मान को खोजने से प्राप्त होता है जिसके लिएः 0 ≤ p <1 के लिए। इसलिए चतुर्थक इस प्रकार हैंः पहला चतुर्थक (पी = 1/4) माध्यिका (पी = 2/4) तीसरा चतुर्थक (पी = 3/4) अनुप्रयोग मात्रात्मक कार्यों का उपयोग सांख्यिकीय अनुप्रयोगों और मोंटे कार्लो विधियों दोनों में किया जाता है। मात्रात्मक फलन संभाव्यता वितरण निर्धारित करने का एक तरीका है, और यह संभाव्यता घनत्व फलन (पी. डी. एफ.) या संभाव्यता द्रव्यमान फलन, संचयी वितरण फलन (सी. डी. एफ.) और विशेषता फलन का एक विकल्प है। संभाव्यता वितरण का मात्रात्मक फलन, क्यू, इसके संचयी वितरण फलन एफ का व्युत्क्रम है। मात्रात्मक फलन का व्युत्पन्न, अर्थात् मात्रात्मक घनत्व फलन, संभाव्यता वितरण निर्धारित करने का एक और तरीका है। यह मात्रात्मक फलन के साथ रचित पी. डी. एफ. का पारस्परिक है। सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए, उपयोगकर्ताओं को दिए गए वितरण के प्रमुख प्रतिशत बिंदुओं को जानने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, उन्हें उपरोक्त उदाहरण में माध्यिका और 25 प्रतिशत और 75 प्रतिशत चतुर्थक की आवश्यकता होती है या अन्य अनुप्रयोगों के लिए 5 प्रतिशत, 95 प्रतिशत, 2.5 प्रतिशत, 97.5% स्तरों की आवश्यकता होती है जैसे कि एक अवलोकन के सांख्यिकीय महत्व का आकलन करना जिसका वितरण ज्ञात है; मात्रात्मक प्रविष्टि देखें। कंप्यूटर के लोकप्रिय होने से पहले, पुस्तकों में मात्रात्मक कार्य का नमूना लेने वाली सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ परिशिष्ट होना असामान्य नहीं था। गिलक्रिस्ट द्वारा मात्रात्मक कार्यों के सांख्यिकीय अनुप्रयोगों पर व्यापक रूप से चर्चा की गई है। मोंटे-कार्लो सिमुलेशन विभिन्न प्रकार की सिमुलेशन गणनाओं में उपयोग के लिए गैर-समान यादृच्छिक या छद्म यादृच्छिक संख्याओं का उत्पादन करने के लिए मात्रात्मक कार्यों को नियोजित करते हैं। दिए गए वितरण से एक नमूना सिद्धांत रूप में एक समान वितरण से एक नमूने पर अपने मात्रात्मक कार्य को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। अनुकरण विधियों की मांग, उदाहरण के लिए आधुनिक कम्प्यूटेशनल वित्त में, मात्रात्मक कार्यों पर आधारित विधियों पर अधिक ध्यान केंद्रित कर रहे हैं, क्योंकि वे कॉपुला या अर्ध-मोंटे-कार्लो विधियों और वित्त में मोंटे कार्लो विधियों पर आधारित बहुभिन्न तकनीकों के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं। गणना मात्रात्मक कार्यों के मूल्यांकन में अक्सर संख्यात्मक विधियाँ शामिल होती हैं, जैसे कि उपरोक्त घातीय वितरण, जो उन कुछ वितरणों में से एक है जहाँ एक बंद-रूप अभिव्यक्ति पाई जा सकती है (अन्य में वर्दी, वेइबुल, टुकी लैम्ब्डा (जिसमें रसद शामिल है) और लॉग-लॉजिस्टिक शामिल हैं)। जब सी. डी. एफ. में ही एक बंद-रूप अभिव्यक्ति होती है, तो सी. डी. एफ. को उलटने के लिए हमेशा एक संख्यात्मक मूल-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि का उपयोग किया जा सकता है। मात्रात्मक कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए अन्य एल्गोरिदम पुस्तकों की संख्यात्मक व्यंजनों की श्रृंखला में दिए गए हैं। सामान्य वितरण के लिए एल्गोरिदम कई सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर पैकेजों में बनाए जाते हैं। मात्रात्मक फलन को गैर-रैखिक साधारण और आंशिक विभेदक समीकरणों के समाधान के रूप में भी चिह्नित किया जा सकता है। सामान्य, छात्र, बीटा और गामा वितरण के मामलों के लिए साधारण विभेदक समीकरण दिए गए हैं और हल किए गए हैं। सामान्य वितरण सामान्य वितरण शायद सबसे महत्वपूर्ण मामला है। क्योंकि सामान्य वितरण एक स्थान-पैमाने का परिवार है, मनमाने मापदंडों के लिए इसका मात्रात्मक कार्य मानक सामान्य वितरण के मात्रात्मक कार्य के सरल परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसे प्रोबिट कार्य के रूप में जाना जाता है। दुर्भाग्य से, इस फ़ंक्शन में बुनियादी बीजगणितीय कार्यों का उपयोग करके कोई बंद-रूप प्रतिनिधित्व नहीं है; परिणामस्वरूप, अनुमानित प्रतिनिधित्व आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। विचुरा और अकलम द्वारा संपूर्ण मिश्रित तर्कसंगत और बहुपद सन्निकटन दिए गए हैं। शॉ द्वारा गैर-समग्र तर्कसंगत सन्निकटन विकसित किए गए हैं। सामान्य मात्रा के लिए साधारण विभेदक समीकरण सामान्य मात्रा के लिए एक गैर-रैखिक साधारण विभेदक समीकरण, डब्ल्यू (पी), दिया जा सकता है। यह केंद्र (प्रारंभिक) स्थितियों के साथ है इस समीकरण को शास्त्रीय शक्ति श्रृंखला दृष्टिकोण सहित कई तरीकों से हल किया जा सकता है। इससे मनमाने ढंग से उच्च सटीकता के समाधान विकसित किए जा सकते हैं (स्टाइनब्रेचर और शॉ, 2008 देखें)। छात्र का टी-वितरण यह ऐतिहासिक रूप से अधिक कठिन मामलों में से एक रहा है, क्योंकि एक पैरामीटर, ν, स्वतंत्रता की डिग्री की उपस्थिति, तर्कसंगत और अन्य सन्निकटनों के उपयोग को अजीब बनाती है। सरल सूत्र तब मौजूद होते हैं जब ν = 1,2,4 और समस्या को एक बहुपद के समाधान तक कम किया जा सकता है जब ν सम होता है। अन्य मामलों में मात्रात्मक कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विकसित किया जा सकता है। सरल मामले इस प्रकार हैंः ν = 1 (कौची वितरण) ν = 2 ν = 4 जहाँ और उपरोक्त में "संकेत" फलन सकारात्मक तर्कों के लिए + 1, नकारात्मक तर्कों के लिए-1 और शून्य पर शून्य है। इसे त्रिकोणमितीय साइन फलन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। मात्रात्मक मिश्रण घनत्वों के मिश्रणों के अनुरूप, वितरण को मात्रात्मक मिश्रण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां, मात्रात्मक कार्य हैं और, मॉडल पैरामीटर हैं। मापदंडों का चयन किया जाना चाहिए ताकि यह एक मात्रात्मक कार्य हो। दो चार-पैरामीट्रिक मात्रात्मक मिश्रण, सामान्य-बहुपद मात्रात्मक मिश्रण और कौची-बहुपद मात्रात्मक मिश्रण, कार्वानेन द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं। मात्रात्मक फलन के लिए गैर-रैखिक विभेदक समीकरण सामान्य वितरण के लिए दिया गया गैर-रैखिक साधारण विभेदक समीकरण किसी भी मात्रात्मक फलन के लिए उपलब्ध एक विशेष मामला है जिसका दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है। सामान्य तौर पर एक मात्रा के लिए समीकरण, क्यू (पी), दिया जा सकता है। यह उपयुक्त सीमा स्थितियों द्वारा संवर्धित किया जाता है, जहाँ और f (x) संभाव्यता घनत्व फलन है। इस समीकरण के रूप, और सामान्य, छात्र, गामा और बीटा वितरण के मामलों के लिए श्रृंखला और एसिम्प्टोटिक समाधानों द्वारा इसके शास्त्रीय विश्लेषण को स्टाइनब्रेचर और शॉ (2008) द्वारा स्पष्ट किया गया है। इस तरह के समाधान सटीक मानक प्रदान करते हैं, और छात्र के मामले में, लाइव मोंटे कार्लो उपयोग के लिए उपयुक्त श्रृंखला। इनवर्स ट्रांसफॉर्म सैंपलिंग परसेंटेज प्वाइंट प्रोबेबिलिटी इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म क्वांटिल रैंक-साइज डिस्ट्रीब्यूशन रेफेरेंसेस भी देखें आगे पढ़ने के लिए एबरनेथी, रोजर डब्ल्यू. और स्मिथ, रॉबर्ट पी. (1993) * "एफ-डिस्ट्रीब्यूशन के प्रतिशत खोजने के लिए इनवर्स बीटा डिस्ट्रीब्यूशन में श्रृंखला विस्तार को लागू करना", एसीएम ट्रांस। गणित। Softw., 9 (4), 478-480 सामान्य मात्रा का परिष्करण "छात्र के" टी वितरण के प्रबंधन के लिए नए तरीके एसीएम एल्गोरिदम 396: संभावना वितरण से संबंधित छात्र के टी-क्वांटाइल कार्य pt: क्वांटाइल