Crystal base
एक-सदिश स्थान पर एक क्वांटम समूह के प्रतिनिधित्व के लिए एक क्रिस्टल आधार उस सदिश स्थान का आधार नहीं है, बल्कि उस सदिश स्थान में एक-जाली कहाँ है, इसका आधार है। क्रिस्टल आधार के काम में और के काम में भी दिखाई दिया। द्वारा परिभाषित विहित आधार के रूप में उन्हें विशेषज्ञता के रूप में देखा जा सकता है। परिभाषा इसके परिभाषित संबंधों के परिणामस्वरूप, क्वांटम समूह को एक अनिश्चित q ओवर के सभी परिमेय कार्यों के क्षेत्र पर एक होप्फ बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जिसे दर्शाया जाता है। सरल मूल और गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए, एक समाकलनीय मॉड्यूल में परिभाषित करें, और वजन के लिए, एक वेक्टर (अर्थात। भार के साथ एक सदिश) को विशिष्ट रूप से योग में विघटित किया जा सकता है जहाँ, केवल यदि, और केवल यदि। रैखिक मानचित्रण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है मान लीजिए कि यह उन सभी तर्कसंगत कार्यों का अभिन्न क्षेत्र है जिनमें नियमित रूप से (अर्थात। एक परिमेय फलन एक तत्व है यदि और केवल तभी जब बहुपद मौजूद हों और बहुपद वलय में ऐसा हो कि, और)। के लिए एक क्रिस्टल आधार एक क्रमबद्ध जोड़ी है, जैसे कि इस तरह का एक मुक्त-उप-मॉड्यूल है जो वेक्टर स्थान का एक-आधार है और, जहाँ और और और इसे अधिक अनौपचारिक सेटिंग में रखने के लिए, की क्रियाएँ और आम तौर पर एक इंटीग्रेबल मॉड्यूल पर एकवचन होती हैं। रैखिक मानचित्रण और मॉड्यूल पर पेश किए जाते हैं ताकि मॉड्यूल पर और के कार्य नियमित रूप से हों। भार सदिशों का एक-आधार मौजूद है, जिसके संबंध में क्रियाएँ और सभी के लिए नियमित हैं। मॉड्यूल को तब आधार द्वारा उत्पन्न मुक्त-मॉड्यूल तक सीमित किया जाता है, और आधार वैक्टर, उप-मॉड्यूल और और के कार्यों का मूल्यांकन किया जाता है। इसके अलावा, आधार को इस तरह से चुना जा सकता है कि सभी के लिए, और पारस्परिक स्थानान्तरण द्वारा दर्शाया जाता है, और आधार वैक्टर को आधार वैक्टर या 0 के लिए मैप किया जाता है। एक क्रिस्टल आधार को लेबल वाले किनारों के साथ एक निर्देशित ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है। ग्राफ का प्रत्येक शीर्ष-आधार के एक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है, और एक निर्देशित किनारा, जिसे i द्वारा लेबल किया गया है, और शीर्ष से शीर्ष तक निर्देशित किया गया है, यह दर्शाता है कि (और, समतुल्य रूप से, वह), जहां द्वारा दर्शाया गया आधार तत्व है, और द्वारा दर्शाया गया आधार तत्व है। ग्राफ पूरी तरह से और के कार्यों को निर्धारित करता है। यदि एक इंटीग्रेबल मॉड्यूल में एक क्रिस्टल आधार है, तो मॉड्यूल अपरिवर्तनीय है यदि और केवल तभी जब क्रिस्टल आधार का प्रतिनिधित्व करने वाला ग्राफ जुड़ा हुआ है (एक ग्राफ को "जुड़ा हुआ" कहा जाता है यदि शीर्षों के सेट को गैर-तुच्छ असंबद्ध उपसमुच्चय के संघ में विभाजित नहीं किया जा सकता है और ऐसा है कि किसी भी शीर्ष में किसी भी शीर्ष को जोड़ने वाले कोई किनारे नहीं हैं)। क्रिस्टल बेस वाले किसी भी इंटीग्रेबल मॉड्यूल के लिए, क्रिस्टल बेस के लिए वजन स्पेक्ट्रम मॉड्यूल के लिए वजन स्पेक्ट्रम के समान होता है, और इसलिए क्रिस्टल बेस के लिए वजन स्पेक्ट्रम उपयुक्त केएसी-मूडी बीजगणित के संबंधित मॉड्यूल के लिए वजन स्पेक्ट्रम के समान होता है। क्रिस्टल आधार में भार की गुणा भी उपयुक्त काक-मूडी बीजगणित के संबंधित मॉड्यूल में उनकी गुणा के समान होती है। यह काशीवाड़ा की एक प्रमेय है कि प्रत्येक समाकलन योग्य उच्चतम वजन मॉड्यूल में एक क्रिस्टल आधार होता है। इसी तरह, प्रत्येक इंटीग्रेबल सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल में एक क्रिस्टल आधार होता है। क्रिस्टल बेस के टेंसर उत्पाद क्रिस्टल बेस के साथ एक इंटीग्रेबल मॉड्यूल होने चाहिए और क्रिस्टल बेस के साथ एक इंटीग्रेबल मॉड्यूल होने चाहिए। क्रिस्टल बेस के लिए, द्वारा दिए गए सह-उत्पाद को अपनाया जाता है। इंटीग्रेबल मॉड्यूल में क्रिस्टल आधार है, जहाँ। एक आधार सदिश के लिए, परिभाषित करें उत्पाद के दो समाकलन योग्य उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल का अपघटनीय उप-मॉड्यूल में अपघटन क्रिस्टल आधार के ग्राफ के उसके जुड़े हुए घटकों में अपघटन द्वारा निर्धारित किया जाता है (यानी। उप-मॉड्यूल का उच्चतम भार निर्धारित किया जाता है, और प्रत्येक उच्चतम भार की बहुलता निर्धारित की जाती है)। संदर्भ बाहरी लिंक लाइ अलजेब्रा प्रतिनिधित्व सिद्धांत क्वांटम समूह