Spinors in three dimensions
गणित में, स्पिनोर अवधारणा को तीन आयामों के लिए विशिष्ट के रूप में डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद की पारंपरिक धारणाओं के माध्यम से माना जा सकता है। यह घूर्णन समूह SO (3) की विस्तृत बीजगणितीय चर्चा का हिस्सा है। एक 2 × 2 जटिल हर्मिशियन मैट्रिक्स के साथ एक स्पिनोर का संबंध एली कार्टन द्वारा तैयार किया गया था। विस्तार से, वास्तविक (या जटिल) संख्याओं के वेक्टर x = (x1, x2, x3) को देखते हुए, कोई भी जटिल मैट्रिक्स को संबद्ध कर सकता है भौतिकी में, इसे अक्सर एक बिंदु उत्पाद के रूप में लिखा जाता है, जहां पाउली मैट्रिक्स का वेक्टर रूप है। इस रूप के मैट्रिक में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो उन्हें 3-स्थान की ज्यामिति से आंतरिक रूप से संबंधित करते हैंः, जहां निर्धारक को दर्शाता है। , जहाँ I पहचान मैट्रिक्स है। जहाँ Z क्रॉस उत्पाद से जुड़ा मैट्रिक्स है। यदि एक इकाई सदिश है, तो सदिश से जुड़ा मैट्रिक्स है जो समतल ऑर्थोगोनल में परावर्तित होने से उत्पन्न होता है। अंतिम गुण का उपयोग घूर्णन संचालन को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। यह रैखिक बीजगणित से एक प्राथमिक तथ्य है कि दो प्रतिबिंबों की संरचना के रूप में 3-स्थान कारकों में कोई भी घूर्णन। (अधिक आम तौर पर, कोई भी अभिविन्यास-उलट ऑर्थोगोनल परिवर्तन या तो एक प्रतिबिंब है या तीन प्रतिबिंबों का उत्पाद है।) इस प्रकार यदि आर एक घूर्णन है जो एक इकाई सदिश के लंबवत समतल में परावर्तन के रूप में विघटित होता है और उसके बाद समतल में परावर्तन होता है, तो मैट्रिक्स आर के माध्यम से सदिश के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। 3-स्थान की सभी घूर्णन रैखिक ज्यामिति को जटिल 2 × 2 मैट्रिक्स के एक सेट में प्रभावी ढंग से कूटबद्ध करने के बाद, यह पूछना स्वाभाविक है कि 2 × 1 मैट्रिक्स (यानी, कॉलम वैक्टर) क्या भूमिका निभाते हैं। अनंतिम रूप से, एक स्पिनोर जटिल प्रविष्टियों के साथ एक कॉलम वेक्टर है जिसमें ω1 और ω2 शामिल हैं। स्पिनर्स के स्थान पर स्पष्ट रूप से जटिल 2 × 2 मैट्रिक्स द्वारा कार्य किया जाता है। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, इकाई वैक्टरों की एक जोड़ी में दो परावर्तनों का उत्पाद एक 2 × 2 मैट्रिक्स को परिभाषित करता है जिसकी यूक्लिडियन वैक्टरों पर क्रिया एक घूर्णन है। तो स्पिनर्स पर रोटेशन की एक क्रिया होती है। हालांकि, एक महत्वपूर्ण चेतावनी हैः एक घूर्णन का गुणनखंडन अद्वितीय नहीं है। स्पष्ट रूप से, यदि एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व है, तो R को −R से बदलने से वही घूर्णन प्राप्त होगा। वास्तव में, कोई भी आसानी से दिखा सकता है कि यही एकमात्र अस्पष्टता है जो उत्पन्न होती है। इस प्रकार एक स्पिनोर पर घूर्णन की क्रिया हमेशा दोगुनी होती है। 2 × 2 जटिल मैट्रिक्स के साथ कार्टन के काम के कुछ अग्रदूत थेः वोल्फगैंग पाउली ने इन मैट्रिक्स का इतनी गहनता से उपयोग किया था कि चार आयामी उपक्षेत्र के एक निश्चित आधार के तत्वों को पाउली मैट्रिक्स σi कहा जाता है, ताकि हर्मिशियन मैट्रिक्स को पाउली वेक्टर के रूप में लिखा जा सके। भौतिकी के लिए गणित में माइकल स्टोन और पॉल गोल्डबार ने इसका विरोध करते हुए कहा, "स्पिन प्रतिनिधित्व की खोज 1913 में 'एली कार्टन द्वारा की गई थी, इससे कुछ साल पहले कि भौतिकी में उनकी आवश्यकता थी।" समस्थानिक वैक्टर का उपयोग करके सूत्रीकरण स्पिनर्स का निर्माण सीधे समस्थानिक वैक्टर से 3-स्पेस में चतुर्थक संरचना का उपयोग किए बिना किया जा सकता है। स्पिनर्स के इस परिचय को प्रेरित करने के लिए, मान लीजिए कि X एक मैट्रिक्स है जो जटिल 3-स्पेस में एक वेक्टर x का प्रतिनिधित्व करता है। मान लीजिए कि x समस्थानिक हैः अर्थात, फिर चूंकि X का निर्धारक शून्य है, इसलिए इसकी पंक्तियों या स्तंभों के बीच आनुपातिकता होती है। इस प्रकार मैट्रिक्स को दो जटिल 2-सदिशों के बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता हैः यह गुणनखंडन सदिश x के निर्देशांक में समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली उत्पन्न करता हैः बाधा के अधीन यह प्रणाली समाधानों को स्वीकार करती है संकेत का कोई भी विकल्प प्रणाली () को हल करता है। इस प्रकार एक स्पिनोर को संकेत के विकल्प के साथ एक समस्थानिक सदिश के रूप में देखा जा सकता है। ध्यान दें कि लघुगणक शाखाओं के कारण, एक संकेत को लगातार चुनना असंभव है ताकि () निर्देशांक x के बीच पूर्ण घूर्णन के साथ लगातार भिन्न हो। एक स्पिनोर पर एक घूर्णन के प्रतिनिधित्व की इस अस्पष्टता के बावजूद, घूर्णन स्पष्ट रूप से एक अनुपात पर एक आंशिक रैखिक परिवर्तन द्वारा कार्य करते हैं क्योंकि समाधान () में संकेत का एक विकल्प दूसरे संकेत के चयन को मजबूर करता है। विशेष रूप से, स्पिनर्स का स्थान ऑर्थोगोनल समूह का एक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व है। इस दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप, स्पिनर्स को आइसोट्रोपिक वैक्टर के एक प्रकार के "वर्गमूल" के रूप में माना जा सकता है। विशेष रूप से, मैट्रिक्स को प्रणाली () से परिचित कराना अनिर्धारित स्पिनोर के लिए X = 2 ω t ω C को हल करने के बराबर है। एक फोरटियोरी, यदि ω और x की भूमिकाएँ अब उलट जाती हैं, तो रूप Q (ω) = x, प्रत्येक स्पिनोर ω के लिए, ω के घटकों में एक सदिश x को चतुर्भुज रूप से परिभाषित करता है। यदि इस द्विघात रूप का ध्रुवीकरण किया जाता है, तो यह स्पिनर्स क्यू (क्यू, एक्सएनयूएमएक्स) पर एक द्विरेखीय वेक्टर-मूल्यवान रूप निर्धारित करता है। यह द्विरेखीय रूप तब एक परावर्तन या घूर्णन के तहत टेंसोरियल रूप से बदल जाता है। वास्तविकता उपरोक्त विचार समान रूप से अच्छी तरह से लागू होते हैं कि क्या विचाराधीन मूल यूक्लिडियन स्थान वास्तविक है या जटिल। हालाँकि, जब स्थान वास्तविक होता है, तो स्पिनर्स में कुछ अतिरिक्त संरचना होती है जो बदले में घूर्णन समूह के प्रतिनिधित्व के पूर्ण विवरण की सुविधा प्रदान करती है। मान लीजिए, सरलता के लिए, कि 3-स्थान पर आंतरिक उत्पाद में सकारात्मक-निश्चित हस्ताक्षर हैंः इस परिपाटी के साथ, वास्तविक वैक्टर हर्मिशियन मैट्रिक्स के अनुरूप हैं। इसके अलावा, रूप () को संरक्षित करने वाले वास्तविक घूर्णन (दोहरे मूल्य वाले अर्थ में) निर्धारक के एकात्मक मैट्रिक्स के अनुरूप होते हैं। आधुनिक शब्दों में, यह विशेष एकात्मक समूह एस. यू. (2) को एस. ओ. (3) के दोहरे आवरण के रूप में प्रस्तुत करता है। नतीजतन, स्पिनोर हर्मिशियन उत्पाद सभी आवर्तनों द्वारा संरक्षित है, और इसलिए विहित है। यदि, हालांकि, 3-स्थान पर आंतरिक उत्पाद का हस्ताक्षर अनिश्चित है (यानी, गैर-अपक्षयी, लेकिन सकारात्मक निश्चित भी नहीं), तो इसे प्रतिबिंबित करने के लिए पूर्वगामी विश्लेषण को समायोजित किया जाना चाहिए। मान लीजिए कि 3-स्थान पर लंबाई का रूप इस प्रकार दिया गया हैः फिर पूर्ववर्ती खंडों के स्पिनर्स का निर्माण आगे बढ़ता है, लेकिन सभी सूत्रों में प्रतिस्थापन के साथ। इस नए परिपाटी के साथ, एक वास्तविक सदिश से जुड़ा मैट्रिक्स स्वयं वास्तविक हैः रूप () अब एक वास्तविक घूर्णन (या प्रतिवर्ती) के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है, क्योंकि स्थिर समूह () अब एक लोरेंट्ज़ समूह O (2,1) है। इसके बजाय, एंटी-हर्मिशियन रूप इस मीट्रिक हस्ताक्षर में स्पिनर्स के लिए आंतरिक उत्पाद की उपयुक्त धारणा को परिभाषित करता है। ओ (2,1) की पहचान के जुड़े हुए घटक में परिवर्तनों के तहत यह रूप अपरिवर्तनीय है। दोनों ही मामलों में, चतुर्थक रूप क्रमशः ओ (3) (या ओ (2,1)) के तहत पूरी तरह से अपरिवर्तनीय है, जहां क्यू पिछले खंड में वर्णित सदिश-मूल्य द्विरेखीय रूप है। तथ्य यह है कि यह द्विघात के बजाय एक चतुर्थक अपरिवर्तनीय है, इसका एक महत्वपूर्ण परिणाम है। यदि कोई विशेष ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के समूह पर ध्यान केंद्रित करता है, तो इस रूप के वर्गमूल को लेना और उनके द्विगुणित के साथ स्पिनर्स की पहचान प्राप्त करना स्पष्ट रूप से संभव है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत की भाषा में, इसका तात्पर्य है कि समरूपता तक एस. ओ. (3) (या एस. ओ. (2,1)) का केवल एक अपरिवर्तनीय स्पिन प्रतिनिधित्व है। यदि, हालांकि, उलटने (जैसे, एक तल में प्रतिबिंब) की भी अनुमति है, तो प्रतिबिंब के अनुप्रयोग पर संकेत के परिवर्तन के कारण स्पिनर्स को उनके डुअल के साथ पहचानना संभव नहीं है। इस प्रकार ओ (3) (या ओ (2,1)) के दो अपरिवर्तनीय स्पिन प्रतिनिधित्व हैं, जिन्हें कभी-कभी पिन प्रतिनिधित्व कहा जाता है। वास्तविकता संरचना इन दोनों हस्ताक्षरों के बीच के अंतर को स्पिनर्स के स्थान पर एक वास्तविकता संरचना की धारणा द्वारा संहिताबद्ध किया जा सकता है। अनौपचारिक रूप से, यह एक स्पिनोर का एक जटिल संयुग्म लेने के लिए एक नुस्खा है, लेकिन इस तरह से कि यह एक स्पिनोर के घटकों के अनुसार सामान्य संयुग्म के अनुरूप नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, एक वास्तविकता संरचना को एक हर्मिशियन 2 × 2 मैट्रिक्स K द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जिसका गुणनफल स्वयं पहचान मैट्रिक्स हैः K2 = ID है। एक वास्तविकता संरचना के संबंध में एक स्पिनोर के संयुग्म को वैक्टर (जैसे, () या ()) पर आंतरिक उत्पाद के विशेष रूप द्वारा परिभाषित किया जाता है, जब भी X एक वास्तविक वेक्टर से जुड़ा एक मैट्रिक्स होता है, तो आवश्यकता के आधार पर एक वास्तविकता संरचना (-1 के कारक तक) निर्धारित करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन हस्ताक्षर () में K = iC वास्तविकता संरचना है, और K = ID हस्ताक्षर () के लिए है। हाथ में एक वास्तविकता संरचना के साथ, निम्नलिखित परिणाम होते हैंः X एक वास्तविक सदिश से जुड़ा मैट्रिक्स है यदि, और केवल तभी जब, यदि μ और φ एक स्पिनोर है, तो आंतरिक उत्पाद एक हर्मिशियन रूप निर्धारित करता है जो उचित ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। भौतिकी में पाउली स्पिन मैट्रिक्स के स्पिनर्स के उदाहरण अक्सर, स्पिनर्स का पहला उदाहरण जो भौतिकी के एक छात्र का सामना करता है, वे 2 × 1 स्पिनर्स हैं जिनका उपयोग पाउली के इलेक्ट्रॉन स्पिन के सिद्धांत में किया जाता है। पाउली मैट्रिक्स तीन 2 × 2 मैट्रिक्स के वेक्टर हैं जिनका उपयोग स्पिन ऑपरेटर के रूप में किया जाता है। 3 आयामों में एक इकाई सदिश को देखते हुए, उदाहरण के लिए (ए, बी, सी), कोई इकाई सदिश की दिशा में स्पिन के लिए एक स्पिन मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए पाउली स्पिन मैट्रिक्स के साथ एक बिंदु उत्पाद लेता है। उस स्पिन मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर वेक्टर द्वारा दी गई दिशा में स्पिन-1/2 के लिए स्पिनर्स हैं। उदाहरण-u = (0.8,-0.6,0) एक इकाई सदिश है। पाउली स्पिन मैट्रिक्स के साथ इसे अंकित करने से मैट्रिक्स मिलता हैः आइगेनवेक्टर्स को रैखिक बीजगणित की सामान्य विधियों द्वारा पाया जा सकता है, लेकिन एक सुविधाजनक चाल यह ध्यान रखना है कि पाउली स्पिन मैट्रिक्स एक अनैच्छिक मैट्रिक्स है, यानी उपरोक्त मैट्रिक्स का वर्ग पहचान मैट्रिक्स है। इस प्रकार ±1 के आइगेनवैल्यू के साथ आइगेनवेक्टर समस्या का एक (मैट्रिक्स) समाधान केवल 1 ±Su है। अर्थात्, तब वेक्टर समाधान के रूप में आइगेनवेक्टर मैट्रिक्स के किसी भी कॉलम को चुना जा सकता है, बशर्ते कि चुना गया कॉलम शून्य न हो। उपरोक्त के पहले स्तंभ को लेते हुए, दो आईगन मानों के लिए आईगनवेक्टर समाधान हैंः आईगनवेक्टरों को खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली चाल आदर्शों की अवधारणा से संबंधित है, अर्थात, मैट्रिक्स आईगनवेक्टर (1 ±Su)/2 प्रोजेक्शन ऑपरेटर या आईडेम्पोटेंट हैं और इसलिए प्रत्येक पाउली बीजगणित में एक आदर्श उत्पन्न करता है। यही चाल किसी भी क्लिफोर्ड बीजगणित में काम करती है, विशेष रूप से डीराक बीजगणित जिस पर नीचे चर्चा की गई है। ये प्रक्षेपण प्रचालक घनत्व मैट्रिक्स सिद्धांत में भी देखे जाते हैं जहाँ वे शुद्ध घनत्व मैट्रिक्स के उदाहरण हैं। अधिक आम तौर पर, (ए, बी, सी) दिशा में स्पिन के लिए प्रोजेक्शन ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है और किसी भी गैर-शून्य कॉलम को प्रोजेक्शन ऑपरेटर के रूप में लिया जा सकता है। जबकि दोनों स्तंभ अलग-अलग दिखाई देते हैं, कोई भी यह दिखाने के लिए a2 + b2 + c2 = 1 का उपयोग कर सकता है कि वे एक ही स्पिनोर के गुणक (संभवतः शून्य) हैं। परमाणु भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी में, स्पिन का गुण एक प्रमुख भूमिका निभाता है। अपने अन्य गुणों के अलावा सभी कणों में एक गैर-शास्त्रीय गुण होता है, अर्थात, जिसका पारंपरिक भौतिकी में कोई संबंध नहीं है, अर्थात् स्पिन, जो एक प्रकार का आंतरिक कोणीय संवेग है। स्थिति प्रतिनिधित्व में, स्पिन के बिना एक तरंग फलन के बजाय, एक स्पिन के साथ हैः si = si (r, σ), जहां σ मानों का निम्नलिखित असतत सेट लेता हैः एक कण का कुल कोणीय संवेग प्रचालक, कक्षीय कोणीय संवेग (यानी, केवल पूर्णांकों की अनुमति है) और आंतरिक भाग, स्पिन के योग से मेल खाता है। एक बोसन (एस = 0, ±1, ±2,) और फर्मियन (एस = ±1/2, ±3/2, ±5/2,) को अलग करता है। ब्लॉच स्फीयर पाउली समीकरण भी देखें संदर्भ रैखिक बीजगणित स्पिनर्स रुः σπινορ τρεχμερνογο προστρανστβ