Spacetime algebra
गणितीय भौतिकी में, स्पेसटाइम बीजगणित (एस. टी. ए.) क्लिफोर्ड बीजगणित सी. एल. 1,3 (आर.), या समतुल्य ज्यामितीय बीजगणित का एक नाम है। डेविड हेस्टेनस के अनुसार, स्पेसटाइम बीजगणित विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सापेक्षवादी स्पेसटाइम की ज्यामिति के साथ निकटता से जुड़ा हो सकता है। यह एक वेक्टर स्पेस है जो न केवल वैक्टरों, बल्कि बाइवेक्टर्स (विशेष विमानों से जुड़ी निर्देशित मात्राएं, जैसे क्षेत्र, या घूर्णन) या ब्लेड (विशेष हाइपर-वॉल्यूम से जुड़ी मात्राएं) को संयुक्त करने के साथ-साथ घुमाने, प्रतिबिंबित करने या लॉरेंट्ज़ को बढ़ावा देने की अनुमति देता है। यह विशेष सापेक्षता में स्पिनर्स का प्राकृतिक मूल बीजगणित भी है। ये गुण भौतिकी में कई सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों को विशेष रूप से सरल रूपों में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं, और उनके अर्थों की अधिक ज्यामितीय समझ के लिए बहुत सहायक हो सकते हैं। संरचना स्पेसटाइम बीजगणित को एक समय जैसे वेक्टर और तीन स्थान जैसे वैक्टर के ऑर्थोगोनल आधार से बनाया जा सकता है, गुणन नियम के साथ जहां हस्ताक्षर के साथ मिन्कोव्स्की मीट्रिक है। अतः, अन्यथा। आधार वैक्टर इन गुणों को डीराक मैट्रिक्स के साथ साझा करते हैं, लेकिन एस. टी. ए. में किसी स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। यह एक स्केलर, चार वैक्टर, छह बाइवेक्टर, चार स्यूडोवेक्टर और एक स्यूडोस्केलर का आधार उत्पन्न करता है। स्पेसटाइम बीजगणित में एक गैर-तुच्छ उप-बीजगणित भी होता है जिसमें केवल सम श्रेणी के तत्व होते हैं, अर्थात। स्केलर, बाइवेक्टर और स्यूडोस्केलर। सम उप-बीजगणित में, स्केलर और स्यूडोस्केलर दोनों सभी तत्वों के साथ संचार करते हैं, और जटिल संख्याओं की तरह कार्य करते हैं। हालांकि, स्पेसटाइम बीजगणित के सभी विषम-श्रेणी तत्वों के साथ छद्मस्केलर एंटीकॉम्युट, इस तथ्य के अनुरूप है कि समानता परिवर्तनों के तहत, वैक्टर और छद्मवेक्टर नकारात्मक हो जाते हैं। ऑर्थोगोनल आधार के साथ संबद्ध पारस्परिक फ्रेम पारस्परिक आधार है, जो संबंध को संतुष्ट करता है ये पारस्परिक फ्रेम वैक्टर केवल एक संकेत, के साथ, और के लिए भिन्न होते हैं। आइंस्टीन संकेतन के अनुसार, एक वेक्टर को योग के साथ ऊपरी या निचले सूचकांक निर्देशांक में दर्शाया जा सकता है, जहां निर्देशांक को आधार वैक्टर या उनके पारस्परिक के साथ बिंदु उत्पादों को लेकर निकाला जा सकता है। टेंसर कैलकुलस की तरह, सूचकांक की स्थिति में परिवर्तन मीट्रिक और सूचकांक जिमनास्टिक के उपयोग का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता हैः बहुभाजक विभाजन स्पेसटाइम बीजगणित एक विभाजन बीजगणित नहीं है, क्योंकि इसमें निष्क्रिय तत्व और गैर-शून्य शून्य भाजक होते हैंः इन्हें ऐसे प्रोजेक्टरों के लिए क्रमशः प्रकाश-शंकु और ऑर्थोगोनलिटी संबंधों पर प्रोजेक्टर के रूप में व्याख्या की जा सकती है। लेकिन कुछ मामलों में एक मल्टीवेक्टर मात्रा को दूसरे से विभाजित करना और परिणाम को समझना संभव हैः इसलिए, उदाहरण के लिए, एक ही तल में एक वेक्टर द्वारा विभाजित एक निर्देशित क्षेत्र एक और वेक्टर देता है, जो पहले के लिए ऑर्थोगोनल है। स्पेसटाइम ग्रेडिएंट, यूक्लिडियन स्पेस में ग्रेडिएंट की तरह, स्पेसटाइम ग्रेडिएंट को इस तरह परिभाषित किया गया है कि दिशात्मक व्युत्पन्न संबंध संतुष्ट होः इसके लिए ग्रेडिएंट की परिभाषा को स्पष्ट रूप से लिखने की आवश्यकता होती है, ये पार्टियल्स स्पेसटाइम विभाजित हैं। स्पेसटाइम बीजगणित में, एक स्पेसटाइम विभाजन चार-आयामी स्पेस से (3 + 1)-आयामी स्पेस में निम्नलिखित दो संचालनों के माध्यम से चुना गया संदर्भ फ्रेम हैः चुने हुए समय अक्ष का पतन, जो बाइवेक्टर्स द्वारा फैला हुआ 3D स्पेस देता है, जो भौतिक स्थान के बीजगणित में मानक 3D आधार वैक्टर के बराबर है और चुने हुए समय अक्ष पर 4D स्पेस का प्रक्षेपण है, जिससे 1D स्पेस मिलता है। यह एक टाइमलाइक आधार वेक्टर द्वारा पूर्व-या पोस्ट-गुणन द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो एक चार वेक्टर को एक स्केलर टाइमलाइक और एक बाइवेक्टर स्पेसलाइक घटक में विभाजित करने का काम करता है, संदर्भ फ्रेम के साथ सह-चलने में। जैसा कि ये द्विभाजक एकता के लिए वर्ग हैं, वे एक स्थानिक आधार के रूप में कार्य करते हैं। पाउली मैट्रिक्स संकेतन का उपयोग करते हुए, ये लिखे जाते हैं। एस. टी. ए. में स्थानिक वैक्टरों को बोल्डफेस में दर्शाया जाता है; फिर और,-स्पेसटाइम विभाजन के साथ, और इसके विपरीत हैंः हालाँकि, उपरोक्त सूत्र केवल मिन्कोव्स्की मीट्रिक में हस्ताक्षर (+--) के साथ काम करते हैं। स्पेसटाइम विभाजन के रूपों के लिए जो किसी भी हस्ताक्षर में काम करते हैं, वैकल्पिक परिभाषाएँ जिनमें और उनका उपयोग किया जाना चाहिए। लोरेंट्ज़ परिवर्तन ज्यामितीय बीजगणित में एक सदिश को घुमाने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता हैः, जहाँ से घुमाने के लिए कोण है, और सामान्यीकृत द्विभाजक है जो घूर्णन के तल का प्रतिनिधित्व करता है ताकि। किसी दिए गए स्पेसिलाइक बाइवेक्टर के लिए, इसलिए यूलर का सूत्र लागू होता है, जो रोटेशन देता है। किसी दिए गए समय समान द्विभाजक के लिए, इसलिए "समय के माध्यम से घूर्णन" विभाजन-जटिल संख्याओं के लिए अनुरूप समीकरण का उपयोग करता हैः इस समीकरण की व्याख्या करते हुए, यह देखना आसान है कि समय की दिशा में ये घूर्णन केवल हाइपरबोलिक घूर्णन हैं। ये विशेष सापेक्षता में लोरेंट्ज़ बूस्ट के बराबर हैं। इन दोनों परिवर्तनों को लोरेंट्ज़ परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, और उन सभी का संयुक्त समूह लोरेंट्ज़ समूह है। एस. टी. ए. में किसी वस्तु को किसी भी आधार (संदर्भ फ्रेम के अनुरूप) से दूसरे में बदलने के लिए, इनमें से एक या अधिक परिवर्तनों का उपयोग किया जाना चाहिए। शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व फैराडे बाइवेक्टर एस. टी. ए. में, विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र को एक एकल बाइवेक्टर क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है, जिसे फैराडे बाइवेक्टर के रूप में जाना जाता है, जो फैराडे टेंसर के बराबर है। इसे सामान्य विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया गया है और यह एस. टी. ए. सूडोस्केलर है। वैकल्पिक रूप से, घटकों के संदर्भ में विस्तार को परिभाषित किया गया है कि अलग और क्षेत्रों को उपयोग करने से पुनर्प्राप्त किया जाता है यह शब्द एक दिए गए संदर्भ फ्रेम का प्रतिनिधित्व करता है, और इस तरह, विभिन्न संदर्भ फ्रेम का उपयोग करने से स्पष्ट रूप से अलग-अलग सापेक्ष क्षेत्र होंगे, जैसा कि मानक विशेष सापेक्षता में होता है। चूँकि फैराडे बाइवेक्टर सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय है, इसलिए आगे की जानकारी इसके वर्ग में पाई जा सकती है, जिससे दो नई लॉरेंट्ज़-अपरिवर्तनीय मात्राएँ, एक स्केलर और एक स्यूडोस्केलर मिलता हैः स्केलर भाग विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए लैग्रैन्जियन घनत्व से मेल खाता है, और स्यूडोस्केलर भाग कम बार देखा जाने वाला लॉरेंट्ज़ अपरिवर्तनीय है। मैक्सवेल के समीकरण मैक्सवेल के समीकरणों को मानक वेक्टर कलन की तुलना में सरल रूप में स्पेसटाइम बीजगणित का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। इसी तरह उपरोक्त क्षेत्र द्विभाजक के लिए, विद्युत आवेश घनत्व और वर्तमान घनत्व को एक एकल स्थान-काल सदिश में एकीकृत किया जा सकता है, जो चार-सदिश के बराबर है। इस प्रकार, स्पेसटाइम धारा इस प्रकार दी जाती है जहाँ घटक शास्त्रीय 3-आयामी धारा घनत्व के घटक हैं। जब इन मात्राओं को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो यह विशेष रूप से स्पष्ट हो जाता है कि शास्त्रीय आवेश घनत्व द्वारा दी गई समय-समान दिशा में यात्रा करने वाली धारा से ज्यादा कुछ नहीं है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और वर्तमान घनत्व को स्पेसटाइम ग्रेडिएंट के साथ मिलाकर, जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है, हम मैक्सवेल के सभी चार समीकरणों को स्पेसटाइम बीजगणित में एक ही समीकरण में जोड़ सकते हैं। यह तथ्य कि ये मात्राएँ स्पेसटाइम बीजगणित में सभी सहपरिवर्तनशील वस्तुएँ हैं, स्वचालित रूप से समीकरण के लॉरेंट्ज़ सहप्रसरण की गारंटी देती हैं, जिसे चार अलग-अलग समीकरणों में विभाजित करने की तुलना में दिखाना बहुत आसान है। इस रूप में, मैक्सवेल के समीकरणों के कुछ गुणों को साबित करना भी बहुत सरल है, जैसे कि आवेश का संरक्षण। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि किसी भी द्विभाजक क्षेत्र के लिए, इसके स्थानकाल प्रवणता का विचलन है, कोई भी निम्नलिखित हेरफेर कर सकता हैः इस समीकरण का स्पष्ट अर्थ है कि वर्तमान घनत्व का विचलन शून्य है, अर्थात। समय के साथ कुल आवेश और धारा घनत्व संरक्षित रहता है। इसके अलावा, दाहिने हाथ की ओर, एक वेक्टर और एक बाइवेक्टर का उत्पाद होने के कारण, एक स्यूडोवेक्टर भाग हो सकता है, जो चुंबकीय मोनोपोल का वर्णन करेगा। प्रयोग से पता चलता है कि ये मौजूद नहीं हैं, जो समीकरण को कुछ हद तक असममित बनाता है। लोरेन्ज़ बल एक आवेशित कण पर लोरेन्ज़ बल के रूप को भी स्पेसटाइम बीजगणित का उपयोग करके काफी सरल बनाया जा सकता है। संभावित सूत्रीकरण मानक सदिश कलन सूत्रीकरण में, दो संभावित कार्यों का उपयोग किया जाता हैः विद्युत अदिश क्षमता, और चुंबकीय सदिश क्षमता। एस. टी. ए. के उपकरणों का उपयोग करते हुए, इन दोनों वस्तुओं को एक ही सदिश क्षेत्र में जोड़ा जाता है, जो टेंसर कलन में विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के अनुरूप होता है। एस. टी. ए. में, इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है कि स्केलर क्षमता कहाँ है, और चुंबकीय क्षमता के घटक हैं। जैसा कि परिभाषित किया गया है, इस क्षेत्र में प्रति मीटर वेबर की एस. आई. इकाइयाँ हैं। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को इस संभावित क्षेत्र के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, हालांकि, यह परिभाषा अद्वितीय नहीं है। किसी भी दो बार-विभेदक स्केलर फ़ंक्शन के लिए, द्वारा दी गई क्षमता भी मूल के समान ही देगी, इस तथ्य के कारण कि इस घटना को गेज स्वतंत्रता कहा जाता है। किसी समस्या को सबसे सरल बनाने के लिए एक उपयुक्त कार्य चुनने की प्रक्रिया को गेज फिक्सिंग के रूप में जाना जाता है। हालाँकि, सापेक्षतावादी विद्युतगतिकी में, लोरेन्ज़ स्थिति अक्सर लागू की जाती है, जहाँ। एस. टी. ए. मैक्सवेल समीकरण को क्षमता के संदर्भ में सुधारने के लिए, पहले उपरोक्त परिभाषा के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है। इस परिणाम को प्रतिस्थापित करते हुए, कोई एस. टी. ए. में विद्युत चुंबकत्व के संभावित सूत्रीकरण पर पहुंचता हैः लैग्रैन्जियन सूत्रीकरण टेंसर कलन औपचारिकता के अनुरूप, एस. टी. ए. में संभावित सूत्रीकरण स्वाभाविक रूप से एक उपयुक्त लैग्रैन्जियन घनत्व की ओर ले जाता है। फ़ील्ड के लिए मल्टीवेक्टर-वैल्यूड यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं, और किसी ऐसी चीज़ के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेने की गणितीय कठोरता के साथ ढीले होने के कारण जो स्केलर नहीं है, प्रासंगिक समीकरण बन जाते हैं इस रूप से संभावित समीकरण को फिर से प्राप्त करना शुरू करने के लिए, लोरेन्ज़ गेज में काम करना सबसे सरल है, सेटिंग यह प्रक्रिया चुने हुए गेज की परवाह किए बिना की जा सकती है, लेकिन इससे परिणामी प्रक्रिया काफी स्पष्ट हो जाती है। ज्यामितीय उत्पाद की संरचना के कारण, इस स्थिति का उपयोग करने से परिणाम मिलता है। प्रतिस्थापित करने के बाद, स्थितिज क्षेत्र के लिए गति का वही समीकरण जो ऊपर दिया गया है, आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। पाउली समीकरण स्पेसटाइम बीजगणित एक मैट्रिक्स सिद्धांत के स्थान पर एक वास्तविक सिद्धांत के संदर्भ में पाउली कण के विवरण की अनुमति देता है। पाउली कण का मैट्रिक्स सिद्धांत विवरण हैः जहाँ एक स्पिनोर है, कोई ज्यामितीय व्याख्या के साथ काल्पनिक इकाई है, पाउली मैट्रिक्स हैं ('टोपी' संकेतन के साथ जो दर्शाता है कि एक मैट्रिक्स ऑपरेटर है और ज्यामितीय बीजगणित में एक तत्व नहीं है), और श्रोडिंगर हैमिल्टनियन है। स्पेसटाइम बीजगणित में पाउली कण को वास्तविक पाउली-श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया हैः जहां अब इकाई सूडोस्केलर है, और और ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, एक सम बहु-वेक्टर के साथ; फिर से श्रोडिंगर हैमिल्टनियन है। हेस्टेन्स इसे वास्तविक पाउली-श्रोडिंगर सिद्धांत के रूप में संदर्भित करता है इस बात पर जोर देने के लिए कि यह सिद्धांत श्रोडिंगर सिद्धांत तक कम हो जाता है यदि चुंबकीय क्षेत्र को शामिल करने वाले शब्द को हटा दिया जाता है। यह समीकरण भौतिक स्थान के बीजगणित के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि इस समीकरण में स्थान-काल बीजगणित के लिए कुछ भी आवश्यक नहीं है। डीराक समीकरण स्पेसटाइम बीजगणित एक मैट्रिक्स सिद्धांत के स्थान पर एक वास्तविक सिद्धांत के संदर्भ में डीराक कण का वर्णन करने में सक्षम बनाता है। डीराक कण का मैट्रिक्स सिद्धांत विवरण हैः डीराक मैट्रिक्स कहाँ हैं। स्पेसटाइम बीजगणित में, हेस्टेन्स की व्युत्पत्ति के बाद, डीराक कण को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया हैः यहाँ, स्पिनोर क्षेत्र है, और ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, और स्पेसटाइम वेक्टर व्युत्पन्न है। यह एक ही गणितीय प्रचालक को विद्युत चुंबकत्व और क्वांटम यांत्रिकी दोनों के लिए गति के समीकरणों का वर्णन करने की अनुमति देता है, जिससे दोनों का एकीकरण बहुत सरल हो जाता है। डीराक स्पिनर्स सापेक्ष क्वांटम तरंग फलन को कभी-कभी स्पिनोर क्षेत्र के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात। जहाँ एक बाइवेक्टर है, और जहाँ, डेविड हेस्टेन्स द्वारा इसकी व्युत्पत्ति के अनुसार, स्पेसटाइम पर एक सम मल्टीवेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है, एक यूनिमॉड्यूलर स्पिनोर (या "रोटर") है, और स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन हैं। इस निर्माण में, के घटकों को सीधे एक डीराक स्पिनोर के घटकों के साथ जोड़ा जा सकता है, जिसे आसानी से इस तथ्य से जांचा जा सकता है कि दोनों में 8 स्केलर डिग्री ऑफ़ फ्रीडम है। इस समीकरण की व्याख्या काल्पनिक स्यूडोस्केलर के साथ स्पिन को जोड़ने के रूप में की जाती है। इसे एक लोरेंट्ज़ रोटेशन के रूप में देखा जाता है जो ऑपरेशन द्वारा वैक्टरों के एक अन्य फ्रेम में वैक्टरों का एक फ्रेम है, जहां टिल्ड प्रतीक विपरीत को इंगित करता है (विपरीत को अक्सर खंजर प्रतीक द्वारा भी दर्शाया जाता है, ज्यामितीय बीजगणित में घूर्णन भी देखें)। इसे स्थानीय रूप से भिन्न वेक्टर-और स्केलर-मूल्य वाले अवलोकनों के लिए एक रूपरेखा प्रदान करने और मूल रूप से श्रोडिंगर द्वारा प्रस्तावित क्वांटम यांत्रिकी की ज़िटरबेवेगंग व्याख्या के लिए समर्थन प्रदान करने के लिए विस्तारित किया गया है। हेस्टेन्स ने अपनी अभिव्यक्ति की तुलना पथ अभिन्न सूत्रीकरण में इसके लिए फेनमैन की अभिव्यक्ति से की हैः पथ के साथ शास्त्रीय क्रिया कहाँ है। भौतिक अवलोकन योग्य क्षेत्र से वर्तमान घनत्व को यू (1) गेज समरूपता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है डीराक समीकरण कुछ स्थिर चरण परिवर्तन द्वारा दिए गए कुछ वैश्विक चरण परिवर्तन के तहत सममित है। परिवर्तन करते हुए, जहाँ क्षेत्र का आवेश है और इकाई सूडोस्केलर है, ऊपर दिखाए गए अनुसार डीराक समीकरण अपरिवर्तित रहता है। हालांकि, समीकरण से सभी भौतिक अवलोकन एक मजबूत स्थानीयकृत चरण समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय हैं, जहां चरण बदलाव स्थान पर एक मनमाना राशि से भिन्न हो सकता है। स्थानीयकृत चरण परिवर्तन स्केलर फलन द्वारा दिया जाता है, और परिवर्तन इस तथ्य द्वारा दिया जाता है कि परिवर्तन इस तथ्य से आता है कि यह एक स्केलर और स्यूडोस्केलर भाग में विघटित हो जाता है, जो दोनों सम उप-बीजगणित के तत्वों के साथ परिवर्तित होते हैं। हालांकि, डीराक समीकरण में इस मजबूत समरूपता का उपयोग करते समय, स्पेसटाइम व्युत्पन्न उत्पाद नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करने में बदल जाता है। चूँकि परिवर्तित व्युत्पन्न का मूल के समान रूप नहीं होता है (अर्थात। इसका एक अतिरिक्त पद है जो स्पष्ट रूप से चरण पर निर्भर करता है), व्युत्पन्न समीकरण को स्थानीय रूप से चरण अपरिवर्तनीय होने से रोकता है। इस समस्या को ठीक करने के लिए, एक गेज क्षेत्र पेश किया जा सकता है, जिसे समीकरण में स्थानीय चरण निर्भरता को दूर करने के लिए एक तरह से परिवर्तन करने के लिए परिभाषित किया जाएगा। यदि कोई गेज क्षेत्र को उसी मनमाने चरण बदलाव के तहत बदलने के लिए परिभाषित करता है, और यह ठीक वहीं है जहाँ से अंतःक्रिया शब्द आता है। सबसे पहले, यह स्पष्ट नहीं हो सकता है कि यह अमूर्त गेज क्षेत्र वास्तव में क्या दर्शाता है, क्योंकि ऐसा लगता है कि इसका तरंग फलन के चरण को बदलने के अलावा कोई अवलोकन योग्य प्रभाव नहीं है। लेकिन जब इसके परिचय के परिणामों की जांच की जाती है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि यह केवल विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, और यह कि स्थिरांक केवल क्षेत्र में दिए गए कण का आवेश है। इस प्रकार, डीराक समीकरण को चरण-अपरिवर्तनीय होने के लिए मजबूर करने से यह विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रिया को एक बोनस के रूप में वर्णित करने की अनुमति देता है। एस. टी. ए. में गेज परिवर्तनों के लिए इसी तरह के गेज क्षेत्र मौजूद हैं जो विद्युत-कमजोर अंतःक्रिया को नियंत्रित करते हैं, और मजबूत अंतःक्रिया, जिसने कुछ लोगों को इस ढांचे में मानक मॉडल में सुधार शुरू करने के लिए प्रेरित किया है। सामान्य सापेक्षता कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के सामान्य सापेक्षता के एक नए सूत्रीकरण लेसेनबी, डोरान और गुल ने गुरुत्वाकर्षण के एक नए सूत्रीकरण का प्रस्ताव रखा है, जिसे गेज सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण (जी. टी. जी.) कहा जाता है, जिसमें स्पेसटाइम बीजगणित का उपयोग मिन्कोव्स्की स्पेस पर वक्रता को प्रेरित करने के लिए किया जाता है, जबकि "स्पेसटाइम पर घटनाओं के मनमाने ढंग से रीमैपिंग" (लेसेनबी, एट अल। ); एक गैर-तुच्छ व्युत्पत्ति तब भूगणितीय समीकरण की ओर ले जाती है, और सहपरिवर्तन व्युत्पन्न जहां गुरुत्वाकर्षण क्षमता से जुड़ा संबंध है, और एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की तरह एक बाहरी अंतःक्रिया है। यह सिद्धांत ब्लैक होल के उपचार के लिए कुछ उम्मीद दिखाता है, क्योंकि श्वार्जस्चिल्ड समाधान का इसका रूप विलक्षणताओं पर नहीं टूटता है; सामान्य सापेक्षता के अधिकांश परिणामों को गणितीय रूप से पुनः प्रस्तुत किया गया है, और शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के सापेक्ष सूत्रीकरण को क्वांटम यांत्रिकी और डीराक समीकरण तक बढ़ाया गया है। ज्यामितीय बीजगणित डीराक बीजगणित मैक्सवेल के समीकरण डीराक समीकरण सामान्य सापेक्षता संदर्भ बाहरी लिंक काल्पनिक संख्याएँ वास्तविक नहीं हैं-अंतरिक्ष काल का ज्यामितीय बीजगणित, ज्यामितीय बीजगणित के विचारों का एक शिक्षण परिचय, एस. गुल, ए. लेसेनबी, सी. डोरान द्वारा ज्यामितीय बीजगणित पाठ्यक्रम-टिप्पणियों के भौतिक अनुप्रयोग, विशेष रूप से भाग 2 देखें। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय ज्यामितीय बीजगणित समूह ज्यामितीय कैलकुलस अनुसंधान और विकास ज्यामितीय बीजगणित क्लिफोर्ड बीजगणित मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम गणितीय भौतिकी