Nilpotent orbit
गणित में, निलपोटेन्ट ऑर्बिट्स निलपोटेन्ट मैट्रिक्स के सामान्यीकरण हैं जो वास्तविक और जटिल अर्ध-सरल लाइ समूहों और अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। परिभाषा एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित का एक तत्व X को निल्पोटेंट कहा जाता है यदि इसका संलग्न एंडोमोर्फिज्म ad X: g → g, ad X (Y) = [X, Y] निल्पोटेंट है, अर्थात, (ad X) n = 0 पर्याप्त बड़े n के लिए। समान रूप से, X निल्पोटेंट है यदि इसकी विशेषता बहुपद पैड X (t) tdim g के बराबर है। एक अर्ध-सरल लाइ समूह या बीजगणितीय समूह G अपने लाइ बीजगणित पर संलग्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से कार्य करता है, और इस क्रिया के तहत निल्पोटेंट होने का गुण अपरिवर्तनीय है। एक निलपोटेन्ट कक्षा आसन्न क्रिया की एक ऐसी कक्षा है जिसमें इसके तत्वों में से कोई भी (समान रूप से, सभी) निलपोटेन्ट होता है। जटिल प्रविष्टियों के साथ नीलपोटेन्ट मैट्रिक्स के उदाहरण सामान्य सिद्धांत के लिए मुख्य प्रेरक मामले हैं, जो जटिल सामान्य रैखिक समूह के अनुरूप हैं। मैट्रिक्स के जॉर्डन सामान्य रूप से हम जानते हैं कि प्रत्येक निल्पोटेंट मैट्रिक्स आकार के जॉर्डन ब्लॉकों के साथ एक अद्वितीय मैट्रिक्स के लिए संयुग्मित होता है जहां n का विभाजन होता है। इस प्रकार n = 2 के मामले में दो निल्पोटेंट कक्षाएं होती हैं, शून्य कक्षा जिसमें शून्य मैट्रिक्स होता है और विभाजन (1,1) के अनुरूप होता है और प्रमुख कक्षा में शून्य निशान और निर्धारक के साथ सभी गैर-शून्य मैट्रिक्स A होते हैं, जो विभाजन (2) के अनुरूप होते हैं। ज्यामितीय रूप से, यह कक्षा मैट्रिक्स के चार आयामी सदिश स्थान में एक द्वि-आयामी जटिल द्विघात शंकु है जो इसके शीर्ष को घटाती है। जटिल विशेष रैखिक समूह सामान्य रैखिक समूह का एक उपसमूह है जिसमें समान नील्पोटेंट कक्षाएँ होती हैं। हालाँकि, यदि हम जटिल विशेष रैखिक समूह को वास्तविक विशेष रैखिक समूह के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो नई नील्पोटेंट कक्षाएँ उत्पन्न हो सकती हैं। विशेष रूप से, n = 2 के लिए अब 3 निलपोटेन्ट कक्षाएं हैंः शून्य कक्षा और दो वास्तविक अर्ध-शंकु (शीर्ष के बिना), जो ऊपर दिए गए मापदंड के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के अनुरूप हैं। गुण निलपोटेन्ट कक्षाओं को आसन्न क्रिया की उन कक्षाओं के रूप में चिह्नित किया जा सकता है जिनके ज़ारिस्की बंद में 0 होता है। नीलपोषणीय कक्षाएँ संख्या में सीमित हैं। एक नील्पोटेंट कक्षा का ज़ारिस्की बंद होना नील्पोटेंट कक्षाओं का एक संघ है। जैकबसन-मोरोज़ोव प्रमेय-विशेषता शून्य के क्षेत्र में, किसी भी निल्पोटेंट तत्व ई को एसएल2-ट्रिपल {ई, एच, एफ} में शामिल किया जा सकता है और ऐसे सभी ट्रिपल जेडजी (ई) द्वारा संयुग्मित होते हैं, जो जी में ई का केंद्रीकारक है। एसएल2 के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ, यह किसी को सीमित संयोजन डेटा द्वारा निल्पोटेंट कक्षाओं को लेबल करने की अनुमति देता है, जिससे निल्पोटेंट कक्षाओं के डायकिन-कोस्टेंट वर्गीकरण को जन्म मिलता है। स्थिति संरचना निलपोटेन्ट कक्षाएं एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह बनाती हैंः दो निलपोटेन्ट कक्षाओं को देखते हुए, O1 O2 से कम या उसके बराबर है यदि O1 O2 के ज़ारिस्की बंद में निहित है। इस स्थिति में एक अद्वितीय न्यूनतम तत्व, शून्य कक्षा और अद्वितीय अधिकतम तत्व, नियमित नीलपोटेन्ट कक्षा है, लेकिन सामान्य रूप से, यह एक श्रेणीबद्ध स्थिति नहीं है। यदि भूमि क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है तो शून्य कक्षा एक अद्वितीय कक्षा द्वारा कवर की जाती है, जिसे न्यूनतम कक्षा कहा जाता है, और नियमित कक्षा एक अद्वितीय कक्षा को कवर करती है, जिसे सबरेगुलर कक्षा कहा जाता है। विशेष रैखिक समूह एस. एल. एन. के मामले में, नीलपोटेन्ट कक्षाओं को एन के विभाजनों द्वारा मानकीकृत किया जाता है। गर्स्टेनहेबर के एक प्रमेय के अनुसार, कक्षाओं का क्रम एन के विभाजनों पर प्रभुत्व क्रम से मेल खाता है। इसके अलावा, यदि जी एक द्विरेखीय रूप का एक सममिति समूह है, अर्थात। एस. एल. एन. का एक ऑर्थोगोनल या सिंप्लेक्टिक उपसमूह, फिर इसकी नीलपोटेन्ट कक्षाओं को एक निश्चित समता स्थिति को संतुष्ट करने वाले एन के विभाजनों द्वारा मानकीकृत किया जाता है और संबंधित स्थिति संरचना सभी विभाजनों पर प्रभुत्व क्रम द्वारा प्रेरित होती है (यह एक गैर-तुच्छ प्रमेय है, गर्स्टेनहेबर और हेसेलिंक के कारण)। संयुक्त प्रतिनिधित्व संदर्भ डेविड कॉलिंगवुड और विलियम मैकगवर्न भी देखें। अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में निल्पोटेंट कक्षाएँ। वान नोस्ट्रैंड रीनहोल्ड गणित श्रृंखला। वैन नोस्ट्रैंड रीनहोल्ड कंपनी, न्यूयॉर्क, 1993. .. .. झूठ बोलने वाले अल्जेब्रा