Theta correspondence
गणित में, थीटा पत्राचार या होवे पत्राचार एक अपवर्तक दोहरी जोड़ी के दो समूहों के प्रतिनिधित्व के बीच एक गणितीय संबंध है। स्थानीय थीटा पत्राचार एक स्थानीय क्षेत्र पर अपरिवर्तनीय स्वीकार्य प्रतिनिधित्व से संबंधित है, जबकि वैश्विक थीटा पत्राचार एक वैश्विक क्षेत्र पर अपरिवर्तनीय ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व से संबंधित है। थीटा पत्राचार की शुरुआत रोजर होवे ने की थी। इसका नाम आंद्रे वेल के थीटा श्रृंखला के सिद्धांत के प्रतिनिधित्व सैद्धांतिक सूत्रीकरण में इसकी उत्पत्ति के कारण उत्पन्न हुआ। जीन-लूप वाल्डस्पर्गर द्वारा निर्मित शिमुरा पत्राचार को थीटा पत्राचार के एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। कथन सेटअप एक स्थानीय या वैश्विक क्षेत्र होना चाहिए, न कि विशेषता का। मान लीजिए कि एक सिंप्लेक्टिक वेक्टर स्पेस और सिंप्लेक्टिक समूह है। एक अपवर्तक दोहरी जोड़ी को ठीक करें। अपवर्तक दोहरे जोड़े का एक वर्गीकरण है। स्थानीय थीटा पत्राचार अब एक स्थानीय क्षेत्र है। के एक गैर-तुच्छ योगात्मक वर्ण को ठीक करें। इससे जुड़े मेटाप्लेक्टिक समूह का एक वेइल प्रतिनिधित्व मौजूद है, जिसे हम इस रूप में लिखते हैं। रिडक्टिव दोहरी जोड़ी को देखते हुए, प्रक्षेपण मानचित्र को पीछे खींचकर आने-जाने वाले उपसमूहों की एक जोड़ी प्राप्त की जाती है। स्थानीय थीटा पत्राचार कुछ अपरिवर्तनीय स्वीकार्य अभ्यावेदनों और कुछ अपरिवर्तनीय स्वीकार्य अभ्यावेदनों के बीच एक 1-1 पत्राचार है, जो उपसमूह के वेइल प्रतिनिधित्व को सीमित करके प्राप्त किया जाता है। पत्राचार को रोजर होवे द्वारा परिभाषित किया गया था। यह दावा कि यह 1-1 पत्राचार है, होवे द्वैत अनुमान कहलाता है। स्थानीय थीटा पत्राचार के प्रमुख गुणों में बर्नस्टीन-ज़ेलेविंस्की प्रेरण के साथ इसकी अनुकूलता और विट टावरों के साथ पहली घटना सूचकांकों से संबंधित संरक्षण संबंध शामिल हैं। वैश्विक थीटा पत्राचार स्टीफन रैलिस ने सभी स्थानीय स्थानों के लिए होवे द्वैत अनुमान की वैधता को मानते हुए, एक वैश्विक क्षेत्र पर कस्पिडल ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व के लिए वैश्विक होवे द्वैत अनुमान का एक संस्करण दिखाया। हाउ द्वैत अनुमान के अपरिवर्तनीय स्वीकार्य अभ्यावेदन के समूह को परिभाषित करें, जिन्हें उद्धरण के रूप में महसूस किया जा सकता है। परिभाषित करें और, इसी तरह। होवे द्वैत अनुमान दावा करता है कि और के बीच एक द्विभाजन का ग्राफ है। आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों के लिए होवे द्वैत अनुमान रोजर होवे द्वारा साबित किया गया था। विषम स्थानीय क्षेत्रों के लिए यह जीन-लूप वाल्डस्पर्गर द्वारा साबित किया गया था। अल्बर्टो मिंगुएज़ ने बाद में सामान्य रैखिक समूहों के दोहरे जोड़े के लिए एक प्रमाण दिया, जो मनमाने अवशेष विशेषता के लिए काम करता है। ऑर्थोगोनल-सिंप्लेक्टिक या एकात्मक दोहरे जोड़े के लिए, यह वी टेक गान और शुचिरो टकेडा द्वारा साबित किया गया था। चतुर्धातुक दोहरे जोड़े का अंतिम मामला वी टेक गान और बिन्योंग सन द्वारा पूरा किया गया था। रिडक्टिव दोहरी जोड़ी मेटाप्लेक्टिक समूह संदर्भ ग्रंथ सूची लैंगलैंड्स कार्यक्रम प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी देखें।