Binary icosahedral group
गणित में, द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह 2I या 120 क्रम का एक निश्चित गैर-एबेलियन समूह है। यह क्रम 2 के चक्रीय समूह द्वारा क्रम 60 के आइकोसाहेड्रल समूह I या (2,3,5) का एक विस्तार है, और स्पिन समूह द्वारा विशेष ऑर्थोगोनल समूह के समरूपता को कवर करने वाले 2:1 के तहत आइकोसाहेड्रल समूह की पूर्व छवि है। यह इस प्रकार है कि द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह 120 क्रम के स्पिन (3) का एक असतत उपसमूह है। इसे पूर्ण आइकोसाहेड्रल समूह के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो 120 क्रम का एक अलग समूह है, और बल्कि ऑर्थोगोनल समूह O (3) का एक उपसमूह है। द्विआधारी सममंडलीय समूह को समरूपता के तहत इकाई चतुर्थक के एक असतत उपसमूह के रूप में सबसे आसानी से ठोस रूप से वर्णित किया जाता है, जहां Sp (1) इकाई चतुर्थक का गुणक समूह है। (इस समरूपता के विवरण के लिए चतुर्थक और स्थानिक घूर्णन पर लेख देखें।) तत्व स्पष्ट रूप से, द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह को निम्नलिखित वैक्टरों के सभी सम क्रमपरिवर्तनों के संघ के रूप में दिया गया हैः 16 सम क्रमपरिवर्तनों के 96 सम क्रमपरिवर्तनों के 8 सम क्रमपरिवर्तन। कुल मिलाकर 120 तत्व हैं, अर्थात् इकाई आइकोशियन। इन सभी का इकाई परिमाण है और इसलिए यह इकाई चतुर्थक समूह एस. पी. (1) में स्थित है। 4-आयामी अंतरिक्ष में 120 तत्व 120 शीर्षों 600-कोशिका, एक नियमित 4-बहुपद से मेल खाते हैं। बाइनरी आइकोसाहेड्रल समूह, जिसे 2I द्वारा दर्शाया जाता है, आइकोसाहेड्रल समूह का सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय विस्तार है, और इस प्रकार यह अर्ध-सरल हैः यह एक सरल समूह का एक पूर्ण केंद्रीय विस्तार है। स्पष्ट रूप से, यह संक्षिप्त सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है यह अनुक्रम विभाजित नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि 2I, I द्वारा {±1} का अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है। वास्तव में, I के लिए 2I समरूप का कोई उपसमूह नहीं है। 2I का केंद्र उपसमूह {±1} है, ताकि आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह I के समरूप हो। पूर्ण ऑटोमोर्फिज्म समूह S5 (5 अक्षरों पर सममित समूह) के लिए समरूप है, ठीक उसी तरह जैसे-2I का कोई भी ऑटोमोर्फिज्म केंद्र () के गैर-तुच्छ तत्व को ठीक करता है, इसलिए I के ऑटोमोर्फिज्म में उतरता है, और इसके विपरीत, I का कोई भी ऑटोमोर्फिज्म 2I के ऑटोमोर्फिज्म में ले जाता है, क्योंकि I के जनरेटरों का लिफ्ट 2I के जनरेटर हैं (विभिन्न लिफ्ट समान ऑटोमोर्फिज्म देते हैं)। बाइनरी आइकोसाहेड्रल समूह एकदम सही है, जिसका अर्थ है कि यह अपने कम्यूटेटर उपसमूह के बराबर है। वास्तव में, 2I 120 क्रम का अद्वितीय पूर्ण समूह है। यह इस प्रकार है कि 2I हल करने योग्य नहीं है। इसके अलावा, द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह सुपरपरफ़ेक्ट है, जिसका अर्थ है कि इसके पहले दो समूह समरूपता समूह गायब हो जाते हैंः वास्तव में, इसका मतलब है कि इसका अबेलियनकरण तुच्छ है (इसमें कोई गैर-तुच्छ अबेलियन भागफल नहीं है) और इसका शूर गुणक तुच्छ है (इसमें कोई गैर-तुच्छ पूर्ण केंद्रीय विस्तार नहीं है)। वास्तव में, द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह सबसे छोटा (गैर-तुच्छ) परिपूर्ण समूह है। द्विआधारी समस्थानिक समूह चक्रीय नहीं है, हालांकि, क्योंकि Hn (2I, Z) n = 4k + 3 के लिए 120 क्रम का चक्रीय है, और अन्यथा n> 0 के लिए तुच्छ है। समरूपता ठोस रूप से, द्विआधारी समस्थानिक समूह स्पिन (3) का एक उपसमूह है, और समस्थानिक समूह को शामिल करता है, जो एस. ओ. (3) का एक उपसमूह है। संक्षेप में, आइकोसाहेड्रल समूह 4-सिम्प्लेक्स की समरूपता के लिए समरूप है, जो SO (4) का एक उपसमूह है, और द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह स्पिन (4) में इसके दोहरे आवरण के लिए समरूप है। ध्यान दें कि सममित समूह में एक 4-आयामी प्रतिनिधित्व होता है (-सिम्प्लेक्स की पूर्ण सममितियों के रूप में इसका सामान्य न्यूनतम-आयामी इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व), और यह कि 4-सिम्प्लेक्स की पूर्ण सममितियां इस प्रकार पूर्ण आइकोसाहेड्रल समूह नहीं हैं (ये 120 क्रम के दो अलग-अलग समूह हैं)। द्विआधारी समस्थानिक समूह को प्रत्यावर्ती समूह के दोहरे आवरण के रूप में माना जा सकता है जो इस समरूपता को दर्शाता है जो प्रत्यावर्ती समूह के साथ समस्थानिक समूह के समरूपता को शामिल करता है। जिस तरह का एक असतत उपसमूह है, उसी तरह का एक असतत उपसमूह है, अर्थात्। 2-1 समरूपता तब से 2-1 समरूपता तक सीमित है। कोई यह दिखा सकता है कि द्विआधारी समकोशीय समूह विशेष रैखिक समूह एस. एल. (2,5) के समरूप है-इकाई निर्धारक के साथ परिमित क्षेत्र एफ5 पर सभी 2 × 2 मैट्रिक्स का समूह; यह प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूह पी. एस. एल. (2,5) के साथ असाधारण समरूपता को शामिल करता है। असाधारण समरूपता पर भी ध्यान दें जो क्रम 120 का एक अलग समूह है, जिसमें एस. एल., जी. एल., पी. एस. एल., पी. जी. एल. का परिवर्तनीय वर्ग एक परिवर्तनीय वर्ग के लिए समरूप है, जिनमें से स्पिन (4), पिन (4), एस. ओ. (4), ओ. (4) के परिवर्तनीय वर्ग के उपसमूहों के लिए समरूप हैं। प्रस्तुति समूह 2I में या उसके समकक्ष एक प्रस्तुति दी गई है, इन संबंधों के साथ जनरेटर उपसमूहों द्वारा दिए जाते हैं 2I का एकमात्र उचित सामान्य उपसमूह केंद्र {±1} है। तीसरी समरूपता प्रमेय के अनुसार, 2I के उपसमूहों और I के उपसमूहों के बीच एक गैलोइस संबंध है, जहां 2I के उपसमूहों पर समापन प्रचालक {±1} से गुणा है। यह क्रम 2 का एकमात्र तत्व है, इसलिए यह सम क्रम के सभी उपसमूहों में निहित हैः इस प्रकार 2I का प्रत्येक उपसमूह या तो विषम क्रम का है या I के उपसमूह की पूर्व छवि है। विभिन्न तत्वों द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूहों के अलावा (जिनमें विषम क्रम हो सकता है), 2I के केवल अन्य उपसमूह (संयुग्मन तक) हैंः द्विआधारी द्विध्रुवीय समूह, Dic5 = Q20 = ̃ 2,2,5 ω, क्रम 20 और Dic3 = Q12 = ̃ 2,2,3 ω क्रम 12 का चतुर्थक समूह, 8 लिपशिट्ज़ इकाइयों से बना चतुर्थक समूह सूचकांक 15 का एक उपसमूह बनाता है, जो द्विआधारी समूह Dic2 भी है; यह एक किनारे के स्थिरीकारक को शामिल करता है। 24 हर्विट्ज़ इकाइयाँ एक सूचकांक 5 उपसमूह बनाती हैं जिसे द्विआधारी टेट्राहेड्रल समूह कहा जाता है; इसमें एक कायरल टेट्राहेड्रल समूह शामिल है। यह समूह स्व-सामान्यीकरण कर रहा है इसलिए इसके संयुग्म वर्ग में 5 सदस्य हैं (यह एक नक्शा देता है जिसकी छवि है)। 4-आयामी समरूपता समूहों से संबंध आइकोसाहेड्रल समरूपता समूह Ih का 4-आयामी अनुरूप 600-कोशिका (इसके दोहरे, 120-कोशिका का भी) का समरूपता समूह है। जिस तरह पहला H3 प्रकार का कॉक्सेटर समूह है, उसी तरह बाद वाला H4 प्रकार का कॉक्सेटर समूह है, जिसे [3,3,5] भी दर्शाया जाता है। इसका घूर्णन उपसमूह, जिसे [3,3,5] + दर्शाया गया है, SO (4) में रहने वाले क्रम 7200 का एक समूह है। एस. ओ. (4) में स्पिन (4) नामक एक दोहरा आवरण होता है, ठीक उसी तरह जैसे स्पिन (3) एस. ओ. (3) का दोहरा आवरण होता है। समरूपता स्पिन (3) = एसपी (1) के समान, स्पिन (4) समूह एसपी (1) × एसपी (1) के समरूप है। स्पिन (4) (2I का एक चार-आयामी अनुरूप) में [3,3,5] + की पूर्व छवि ठीक 14400 क्रम का उत्पाद समूह 2I × 2I है। 600-कोशिका का घूर्णन समरूपता समूह तब [3,3,5] + = (2I × 2I)/{±1} है। 2I से विभिन्न अन्य 4-आयामी समरूपता समूहों का निर्माण किया जा सकता है। अधिक जानकारी के लिए देखें (कॉनवे और स्मिथ, 2003)। अनुप्रयोग कोसेट स्पेस स्पिन (3)/2I = S3/2I एक गोलाकार 3-मैनिफोल्ड है जिसे पोइनकेयर होमोलॉजी स्फीयर कहा जाता है। यह एक समरूपता क्षेत्र का एक उदाहरण है, अर्थात। एक 3-गुणा जिसका समरूपता समूह 3-गोले के समान होते हैं। पोइनकेयर स्फीयर का मौलिक समूह द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह के लिए समरूप है, क्योंकि पोइनकेयर स्फीयर द्विआधारी आइकोसाहेड्रल समूह द्वारा 3-स्फीयर का भागफल है। द्विआधारी पॉलीहेड्रल समूह द्विआधारी चक्रीय समूह को भी देखें, 2n द्विआधारी डायहेड्रल समूह क्रम, 2n द्विआधारी डायहेड्रल समूह क्रम, 4n द्विआधारी टेट्राहेड्रल समूह क्रम, 2T = 75 2,3,3  आहात क्रम, 24 द्विआधारी ऑक्टाहेड्रल समूह क्रम, 2O = 75 2,3,4  आहात क्रम, 48 संदर्भ क्रम 6.5 द्विआधारी पॉलीहेड्रल समूह, पी. 68 नोट्स इकोसाहेड्रल