Domain of holomorphy
गणित में, कई जटिल चरों के कार्यों के सिद्धांत में, होलोमॉर्फी का एक क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जो इस अर्थ में अधिकतम है कि इस क्षेत्र पर एक होलोमॉर्फिक कार्य मौजूद है जिसे किसी बड़े क्षेत्र तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, एन-आयामी जटिल स्थान में एक खुले समुच्चय को होलोमॉर्फी का क्षेत्र कहा जाता है यदि गैर-खाली खुले समुच्चय मौजूद नहीं हैं और जहां जुड़ा हुआ है, और इस तरह कि प्रत्येक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के लिए एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन मौजूद है। क्योंकि यह अब सच नहीं है, जैसा कि यह हार्टॉग्स के लेम्मा से मिलता है। समतुल्य स्थितियाँ एक डोमेन के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैंः क्या होलोमॉर्फि का एक डोमेन होलोमॉर्फिक रूप से उत्तल है, स्यूडोकॉन्वेक्स लेवी उत्तल है-विश्लेषणात्मक कॉम्पैक्ट सतहों के प्रत्येक अनुक्रम के लिए जैसे कि हमारे पास कुछ सेट के लिए (विश्लेषणात्मक सतहों के अनुक्रम द्वारा "अंदर से छुआ नहीं जा सकता") स्थानीय लेवी गुण है-प्रत्येक बिंदु के लिए एक पड़ोस और होलोमॉर्फिक मौजूद है जिसे किसी भी पड़ोस तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है जो मानक परिणाम हैं (क्योंकि, ओका का लेम्मा देखें)। मुख्य कठिनाई साबित करने में है, अर्थात। एक वैश्विक समरूपी फलन का निर्माण जो केवल स्थानीय रूप से परिभाषित गैर-विस्तार योग्य कार्यों से कोई विस्तार स्वीकार नहीं करता है। इसे लेवी समस्या (ई. ई. लेवी के बाद) कहा जाता है और इसे पहले कियोशी ओका द्वारा हल किया गया था, और फिर लार्स होर्मेंडर द्वारा कार्यात्मक विश्लेषण और आंशिक विभेदक समीकरणों (-समस्या का परिणाम) से विधियों का उपयोग करके हल किया गया था। गुण यदि होलोमॉर्फी के क्षेत्र हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन भी होलोमॉर्फी का क्षेत्र है। यदि होलोमॉर्फी के क्षेत्रों का एक आरोही अनुक्रम है, तो उनका मिलन भी होलोमॉर्फी का एक क्षेत्र है (बेह्नके-स्टीन प्रमेय देखें)। यदि और ये होलोमॉर्फी के क्षेत्र हैं, तो यह होलोमॉर्फी का क्षेत्र है। पहली कजिन समस्या हमेशा होलोमॉर्फी के क्षेत्र में हल करने योग्य होती है; यह दूसरी कजिन समस्या के लिए अतिरिक्त टोपोलॉजिकल धारणाओं के साथ भी सच है। बेह्नके-स्टीन प्रमेय, लेवी समस्या स्टीन मैनिफोल्ड संदर्भ स्टीवन जी. क्रांट्ज़ का लेवी स्यूडोकॉन्वेक्स समाधान भी देखें। कई जटिल चर का कार्य सिद्धांत, ए. एम. एस. चेल्सी प्रकाशन, प्रोविडेंस, रोड आइलैंड, 1992। बोरिस व्लादिमिरोविच शबाट, इंट्रोडक्शन टू कॉम्प्लेक्स एनालिसिस, एएमएस, 1992 कई जटिल चर