Moduli of algebraic curves
बीजगणितीय ज्यामिति में, (बीजगणितीय) वक्रों का एक मॉडुली स्थान एक ज्यामितीय स्थान (आमतौर पर एक योजना या एक बीजगणितीय ढेर) है जिसके बिंदु बीजगणितीय वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार यह एक मॉड्यूली स्थान का एक विशेष मामला है। विचार किए गए बीजगणितीय वक्रों के वर्गों पर लागू प्रतिबंधों के आधार पर, संबंधित मॉड्यूली समस्या और मॉड्यूली स्थान अलग है। एक ही मॉडुली समस्या के लिए महीन और मोटे मॉडुली रिक्त स्थान के बीच भी अंतर किया जाता है। सबसे बुनियादी समस्या एक निश्चित वंश के चिकने पूर्ण वक्रों के मॉड्यूली की है। जटिल संख्याओं के क्षेत्र में ये दिए गए जीनस की कॉम्पैक्ट रीमान सतहों से सटीक रूप से मेल खाते हैं, जिसके लिए बर्नहार्ड रीमान ने मॉड्यूली रिक्त स्थान के बारे में पहले परिणामों को साबित किया, विशेष रूप से उनके आयाम ("मापदंडों की संख्या जिस पर जटिल संरचना निर्भर करती है")। स्थिर वक्रों के मॉड्यूली ढेर मॉड्यूली ढेर चिकनी प्रोजेक्टिव वक्रों के परिवारों को उनके समरूपता के साथ वर्गीकृत करता है। कब, इस ढेर को नए "सीमा" बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपता के साथ) के अनुरूप हैं। एक वक्र स्थिर है यदि यह पूर्ण है, जुड़ा हुआ है, दोहरे बिंदुओं के अलावा कोई विलक्षणता नहीं है, और इसमें केवल ऑटोमोर्फिज्म का एक सीमित समूह है। परिणामी स्टैक को दर्शाया जाता है। दोनों मॉडुली ढेर वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं। ऊपर दिए गए दोनों ढेरों का आयाम है; इसलिए एक स्थिर नोडल वक्र को मापदंडों के मूल्यों को चुनकर पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब। लोअर जीनस में, ऑटोमोर्फिज्म के चिकने परिवारों की उपस्थिति के लिए उनकी संख्या को घटाकर जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए। जीनस जीरो का बिल्कुल एक जटिल वक्र है, रीमान क्षेत्र, और इसका समरूपता समूह पीजीएल (2) है। इसी तरह, जीनस 1 में, वक्रों का एक-आयामी स्थान होता है, लेकिन ऐसे प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक-आयामी समूह होता है। अतः स्टैक का आयाम 0 है। निर्माण और अपरिवर्तनीयता यह एक गैर-तुच्छ प्रमेय है, जिसे पियरे डेलिग्ने और डेविड ममफोर्ड ने साबित किया है कि मॉड्यूली स्टैक अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ है कि इसे दो उचित सबस्टैक्स के संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। वे हिलबर्ट बहुपद वाले त्रि-कैनोनिक रूप से एम्बेडेड वक्रों (प्रत्येक वक्र के लिए बहुत पर्याप्त के एम्बेडिंग से) की हिलबर्ट योजना में स्थिर वक्रों के स्थान का विश्लेषण करके इसे साबित करते हैं। फिर, स्टैक मॉड्यूली स्पेस का एक निर्माण है। विरूपण सिद्धांत का उपयोग करते हुए, डिलिग्ने और ममफोर्ड दिखाते हैं कि यह स्टैक चिकना है और स्थिर वक्रों के बीच समरूपता के स्टैक का उपयोग करते हैं, यह दिखाने के लिए कि इसमें परिमित स्टेबलाइज़र हैं, इसलिए यह एक डिलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक है। इसके अलावा, वे एक स्तरीकरण पाते हैं, जहाँ चिकनी स्थिर वक्रों का उपसमुच्चय है और इसका एक अपरिवर्तनीय घटक है। वे (जी. आई. टी. भागफल के रूप में) के घटकों का विश्लेषण करते हैं। यदि कई घटक मौजूद होते, तो उनमें से कोई भी पूर्ण नहीं होता। इसके अलावा, किसी भी घटक में गैर-एकल वक्र होना चाहिए। नतीजतन, एकवचन लोकस जुड़ा हुआ है, इसलिए यह एक एकल घटक में निहित है। इसके अलावा, क्योंकि प्रत्येक घटक प्रतिच्छेदन करता है, सभी घटकों को एक ही घटक में निहित होना चाहिए, इसलिए मोटा स्थान अपरिवर्तनीय है। बीजगणितीय ढेर के सामान्य सिद्धांत से, इसका तात्पर्य है कि ढेर भागफल अपरिवर्तनीय है। समुचितता, या ऑर्बिफोल्ड्स के लिए सघनता, वक्रों पर स्थिर कमी पर एक प्रमेय से मिलती है। यह अबेलियन किस्मों की स्थिर कमी के संबंध में ग्रोथेन्डिक के एक प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है, और curves.section 5.2 मोटे मॉड्यूली रिक्त स्थान की स्थिर कमी के लिए इसकी समानता को दर्शाता है। मॉडुली स्टैक की धारणा शुरू होने से पहले इन मोटे मॉडुली रिक्त स्थान का वास्तव में अध्ययन किया गया था। वास्तव में, एक मॉडुली स्टैक का विचार डिलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा मोटे मॉडुली रिक्त स्थान की प्रक्षेपकता को साबित करने के प्रयास में पेश किया गया था। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का ढेर वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है। मोटे मॉड्यूली रिक्त स्थान का आयाम ढेर के समान होता है; हालाँकि, जीनस शून्य में मोटे मॉड्यूली स्थान का आयाम शून्य होता है, और जीनस एक में, इसका आयाम एक होता है। निम्न जीनस मॉडुली रिक्त स्थान के उदाहरण जीनस 0 जीनस वक्रों के मॉडुली स्थान की ज्यामिति का निर्धारण विरूपण सिद्धांत का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है। एक जीनस वक्र के लिए मॉड्यूली की संख्या, जैसे। , कोहोमोलॉजी समूह द्वारा दिया गया है. सेरे द्वैतता के साथ यह कोहोमोलॉजी समूह द्विगुणित शीफ के लिए समरूप है। लेकिन, रीमान-रॉच का उपयोग करने से पता चलता है कि कैनॉनिकल बंडल की डिग्री है, इसलिए की डिग्री है, इसलिए कोई वैश्विक खंड नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि जीनस वक्रों की कोई विकृति नहीं है। यह साबित करता है कि केवल एक बिंदु है, और केवल जीनस वक्र द्वारा दिया गया है। एकमात्र तकनीकी कठिनाई बीजगणितीय समूह का ऑटोमोर्फिज्म समूह है, जो तीन बिंदुओं के स्थिर होने के बाद कठोर हो जाता है, इसलिए अधिकांश लेखक इसका अर्थ लेते हैं। जीनस 1 का मामला मॉडुली रिक्त स्थान के पहले अच्छी तरह से समझे गए मामलों में से एक है, कम से कम जटिल संख्याओं पर, क्योंकि अण्डाकार वक्रों के समरूपता वर्गों को जे-इनवेरिएंट द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। टोपोलॉजिकल रूप से, यह सिर्फ एक एफ़ाइन रेखा है, लेकिन इसे अनंत पर एक स्थिर वक्र जोड़कर अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्थान के साथ एक ढेर में संकुचित किया जा सकता है। यह एक एकल पुच्छ के साथ एक दीर्घवृत्ताकार वक्र है। जनरल केस ओवर का निर्माण मूल रूप से डेलीग्ने और रैपोपोर्ट द्वारा पूरा किया गया था। ध्यान दें कि अधिकांश लेखक समूह की उत्पत्ति के रूप में एक चिह्नित बिंदु के साथ जीनस एक वक्र के मामले को मानते हैं क्योंकि अन्यथा एक काल्पनिक मॉड्यूली स्थान में स्टेबलाइज़र समूह में वक्र द्वारा दिए गए बिंदु पर स्टेबलाइज़र समूह होगा, क्योंकि अण्डाकार वक्रों में एक एबेलियन समूह संरचना होती है। यह इस काल्पनिक मॉडुली स्थान में अनावश्यक तकनीकी जटिलता को जोड़ता है। दूसरी ओर, यह एक चिकना डिलिग्ने-मम्फोर्ड स्टैक है। जीनस 2 एफ़ाइन पैरामीटर स्पेस जीनस 2 में यह एक शास्त्रीय परिणाम है कि ऐसे सभी वक्र अति-दीर्घवृत्ताकार हैं, पृष्ठ 298 इसलिए मॉड्यूली स्थान को रीमान-हर्विट्ज़ सूत्र का उपयोग करके वक्र की शाखा स्थान से पूरी तरह से निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि एक मनमाना जीनस 2 वक्र कुछ विशिष्ट रूप से परिभाषित रूप के बहुपद द्वारा दिया जाता है, ऐसे वक्रों के लिए पैरामीटर स्थान इस प्रकार दिया जाता है जहाँ यह स्थान से मेल खाता है। भारित प्रोजेक्टिव स्पेस एक भारित प्रोजेक्टिव स्पेस और रीमान-हर्विट्ज़ सूत्र का उपयोग करते हुए, एक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र को उस रूप के बहुपद के रूप में वर्णित किया जा सकता है जहां के वर्गों के लिए पैरामीटर हैं। फिर, जिन खंडों में कोई त्रिक मूल नहीं होता है, उनके स्थान में एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया प्रत्येक वक्र होता है। जीनस 3 यह वक्रों का पहला मॉडुली स्थान है जिसमें एक हाइपरलिप्टिक लोकस और एक गैर-हाइपरलिप्टिक लोकस दोनों होते हैं। गैर-उपवृत्ताकार वक्र सभी डिग्री 4 के समतल वक्रों द्वारा दिए जाते हैं (जीनस डिग्री सूत्र का उपयोग करते हुए), जो हाइपरसर्फेस की हिल्बर्ट योजना में चिकनी लोकस द्वारा मानकीकृत होते हैं। फिर, मॉड्यूली स्थान को सबस्टैक्स द्वारा स्तरीकृत किया जाता है। पिछले सभी मामलों में, मॉडुली रिक्त स्थान एकात्मक पाए जा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि एक प्रमुख तर्कसंगत आकृतिवाद मौजूद है और यह लंबे समय से अपेक्षित था कि यह सभी वंशों में सच होगा। वास्तव में, सेवेरी ने इसे पीढ़ी तक के लिए सही साबित किया था। हालांकि, यह पता चला है कि जीनस के लिए ऐसे सभी मॉडुली स्थान सामान्य प्रकार के हैं, जिसका अर्थ है कि वे एकात्मक नहीं हैं। उन्होंने मोटे मॉडुली रिक्त स्थान के कोडाइरा आयाम का अध्ययन करके इसे पूरा किया और पाया। वास्तव में, के लिए, और इसलिए सामान्य प्रकार का है। ज्यामितीय निहितार्थ यह ज्यामितीय रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि एक शासित विविधता पर किसी भी रैखिक प्रणाली में सार्वभौमिक वक्र नहीं हो सकता है। सीमा का स्तरीकरण मॉडुली स्थान में सीमा पर एक प्राकृतिक स्तरीकरण होता है जिसके बिंदु एकवचन वंश वक्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह परतों में विघटित हो जाता है, जहाँ के लिए। जहाँ क्रिया दो चिह्नित बिंदुओं को क्रमबद्ध करती है। जब भी सम होता है। इन स्थानों के ऊपर स्थित वक्र एक दोहरे बिंदु पर जुड़े वक्रों की एक जोड़ी के अनुरूप हैं। एकल दोहरे बिंदु एकलता पर एक जीनस वक्र का सामान्यीकरण। एक ही वंश के वक्रों की एक जोड़ी एक दोहरे बिंदु पर क्रमपरिवर्तन तक जुड़ी हुई है। जीनस 2 के लिए स्तरीकरण जीनस मामले के लिए, द्वारा दिया गया एक स्तरीकरण है। इन स्तरों के आगे के विश्लेषण का उपयोग चौ रिंग प्रस्ताव 9.1 के जनरेटर देने के लिए किया जा सकता है। चिह्नित वक्रों के मॉड्यूली कोई भी n चिह्नित बिंदुओं के साथ जीनस जी नोडल वक्रों के मॉड्यूली ढेर पर विचार करके समस्या को समृद्ध कर सकता है, जो युग्म रूप से नोड्स से अलग और अलग है। इस तरह के चिह्नित वक्रों को स्थिर कहा जाता है यदि वक्र स्व-आकृति का उपसमूह जो चिह्नित बिंदुओं को ठीक करता है वह सीमित है। एन चिह्नित बिंदुओं के साथ चिकनी (या स्थिर) जीनस जी वक्रों के परिणामी मॉड्यूली ढेर को दर्शाया जाता है (या), और इसका आयाम होता है। विशेष रुचि का एक मामला एक चिह्नित बिंदु के साथ जीनस 1 वक्रों का मॉड्यूली स्टैक है। यह अण्डाकार वक्रों का ढेर है। स्तर 1 मॉड्यूलर रूप इस ढेर पर रेखा बंडलों के खंड हैं, और स्तर एन मॉड्यूलर रूप स्तर एन संरचना (मोटे तौर पर क्रम एन के बिंदुओं का अंकन) के साथ दीर्घवृत्ताकार वक्रों के ढेर पर रेखा बंडलों के खंड हैं। सीमा ज्यामिति सघन मॉड्यूली रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि उनकी सीमा को जेनेरा के लिए मॉड्यूली रिक्त स्थान के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। एक चिह्नित, स्थिर, नोडल वक्र को देखते हुए कोई भी इसके दोहरे ग्राफ को संबद्ध कर सकता है, एक ग्राफ जिसमें गैर-नकारात्मक पूर्णांक द्वारा लेबल किए गए शीर्ष होते हैं और इसमें लूप, कई किनारे और आधे किनारे भी होते हैं। यहाँ ग्राफ के शीर्ष नोडल वक्र के अपरिवर्तनीय घटकों के अनुरूप हैं, एक शीर्ष की लेबलिंग संबंधित घटक का अंकगणितीय वंश है, किनारे वक्र के नोड्स के अनुरूप हैं और आधे किनारे चिह्नों के अनुरूप हैं। एक दिए गए दोहरे ग्राफ के साथ वक्रों के स्थान का बंद होना एक सीमित समूह द्वारा वक्रों के सघन मॉडुली रिक्त स्थान के उत्पाद के ढेर भागफल के लिए समरूप है। उत्पाद में एक शीर्ष v के अनुरूप कारक में लेबलिंग से लिया गया जीनस gv होता है और v पर बाहर जाने वाले किनारों और अर्ध-किनारों की संख्या के बराबर चिह्नों की संख्या होती है। कुल जीनस g, gv का योग और ग्राफ में बंद चक्रों की संख्या है। स्थिर वक्र जिनके दोहरे ग्राफ में एक शीर्ष होता है (इसलिए अन्य सभी शीर्ष होते हैं और ग्राफ एक वृक्ष होता है) को "परिमेय पूंछ" कहा जाता है और उनके मॉड्यूली स्थान को दर्शाया जाता है। स्थिर वक्र जिनका दोहरा ग्राफ एक वृक्ष है, उन्हें "कॉम्पैक्ट प्रकार" कहा जाता है (क्योंकि जैकोबियन कॉम्पैक्ट है) और उनके मॉड्यूली स्थान को दर्शाया जाता है। यह भी देखें कि चिह्नित वक्रों का मॉडुली विटन अनुमान टाउटोलॉजिकल रिंग ग्रोथेन्डीक-रीमैन-रॉच प्रमेय संदर्भ शास्त्रीय संदर्भ वक्रों के मॉडुली पर किताबें कोहोमोलॉजी और प्रतिच्छेदन सिद्धांत बाहरी लिंक "वक्रों के मॉडुली स्थान की टोपोलॉजी और ज्यामिति" "स्थिर मानचित्रों का मॉडुली, ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स, और क्वांटम कोहोमोलॉजी" मॉडुली सिद्धांत बीजगणितीय किस्में