Bergman kernel
कई जटिल चरों के गणितीय अध्ययन में, बर्गमैन कर्नेल, जिसका नाम स्टीफन बर्गमैन के नाम पर रखा गया है, सीएन में एक डोमेन डी पर सभी वर्ग समाकलनीय होलोमोर्फिक कार्यों के हिल्बर्ट स्पेस (आरकेएचएस) के लिए पुनरुत्पादक कर्नेल है। विस्तार से, मान लीजिए कि L2 (D), D पर वर्ग समाकलन फलन का हिल्बर्ट स्थान है, और L2, h (D), L2 (D) में समरूप फलन से युक्त उपक्षेत्र को दर्शाता हैः अर्थात, जहाँ H (D), D में समरूप फलन का स्थान है। यह मौलिक अनुमान से पता चलता है कि डी के प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसेट के के लिए डी में एक होलोमोर्फिक वर्ग-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार एल 2 (डी) में होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के अनुक्रम का अभिसरण भी कॉम्पैक्ट अभिसरण का तात्पर्य है, और इसलिए सीमा फ़ंक्शन भी होलोमोर्फिक है। () का एक अन्य परिणाम यह है कि, प्रत्येक z ωD के लिए, मूल्यांकन L2, h (D) पर एक निरंतर रैखिक कार्यात्मक है। रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, इस कार्यात्मक को L2, h (D) के तत्व के साथ आंतरिक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि बर्गमैन कर्नेल K को द्वारा परिभाषित किया गया है कर्नेल K (z, ζ) z में होलोमोर्फिक और ζ में एंटीहोलोमोर्फिक है, और संतुष्ट करता है इस चित्र के बारे में एक प्रमुख अवलोकन यह है कि L2, h (D) को गुणन के माध्यम से D पर होलोमोर्फिक (n, 0)-रूपों के स्थान के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि इस स्थान पर आंतरिक उत्पाद डी के बायहोलोमोर्फिज्म के तहत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है, इसलिए बर्गमैन कर्नेल और संबंधित बर्गमैन मीट्रिक डोमेन के ऑटोमोर्फिज्म समूह के तहत स्वचालित रूप से अपरिवर्तनीय हैं। बर्गमैन मीट्रिक बर्गमैन स्पेस सेगो कर्नेल संदर्भ भी देखें। .. कई जटिल चर