Inductive dimension
टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का प्रेरक आयाम या तो दो मानों का होता है, छोटा प्रेरक आयाम इंड (X) या बड़ा प्रेरक आयाम इंड (X)। ये इस अवलोकन पर आधारित हैं कि, एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष आरएन में, (एन-1)-आयामी गोले (यानी, एन-आयामी गेंदों की सीमाएँ) का आयाम एन-1 है। इसलिए उपयुक्त खुले समुच्चयों की सीमाओं के आयामों के संदर्भ में एक स्थान के आयाम को प्रेरक रूप से परिभाषित करना संभव होना चाहिए। छोटे और बड़े प्रेरक आयाम एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए "आयाम" की धारणा को पकड़ने के तीन सबसे सामान्य तरीकों में से दो हैं, जो केवल टोपोलॉजी पर निर्भर करता है (और, मान लीजिए, एक मीट्रिक स्पेस के गुणों पर नहीं)। दूसरा लेब्सग्यू आवरण आयाम है। "स्थलवैज्ञानिक आयाम" शब्द को आम तौर पर लेबस्ग्यू आवरण आयाम को संदर्भित करने के लिए समझा जाता है। "पर्याप्त रूप से अच्छे" रिक्त स्थान के लिए, आयाम के तीन माप बराबर हैं। औपचारिक परिभाषा हम चाहते हैं कि एक बिंदु का आयाम 0 हो, और एक बिंदु की खाली सीमा हो, इसलिए हम शुरू करते हैं। (यदि एक्स एक यूक्लिडियन एन-आयामी स्थान है, तो वी को एक्स पर केंद्रित एक एन-आयामी गेंद के रूप में चुना जा सकता है।) बड़े प्रेरक आयाम के लिए, हम V की पसंद को और भी सीमित करते हैं; Ind (X) सबसे छोटा n है कि, X के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय U के प्रत्येक बंद उपसमुच्चय F के लिए, बीच में एक खुला V होता है (यानी, F, V का एक उपसमुच्चय है और V का बंद होना U का एक उपसमुच्चय है), जैसे कि V की सीमा का बड़ा प्रेरक आयाम n-1 से कम या उसके बराबर होता है। आयामों के बीच संबंध लेब्सग्यू आवरण आयाम होना चाहिए। किसी भी स्थलवैज्ञानिक स्थान X के लिए, हमारे पास अगर और केवल तभी है जब यूरीसोहन की प्रमेय बताती है कि जब X एक गणना योग्य आधार के साथ एक सामान्य स्थान है, तो ऐसे स्थान बिल्कुल अलग करने योग्य और मापने योग्य X हैं (यूरीसोहन की मापन प्रमेय देखें)। नोबलिंग-पोंट्रियागिन प्रमेय तब बताता है कि सीमित आयाम वाले ऐसे रिक्त स्थान यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उपस्थानों के रूप में समरूपता तक की विशेषता रखते हैं, उनकी सामान्य स्थलविज्ञान के साथ। मेंगर-नोबलिंग प्रमेय (1932) में कहा गया है कि यदि कॉम्पैक्ट मीट्रिक अलग करने योग्य और आयाम का है, तो यह आयाम के यूक्लिडियन स्थान के उपक्षेत्र के रूप में अंतर्निहित है। (जॉर्ज नोबलिंग कार्ल मेंगर के छात्र थे। उन्होंने नोबलिंग स्पेस की शुरुआत की, जिसमें कम से कम निर्देशांक अपरिमेय संख्या वाले बिंदु शामिल होते हैं, जिसमें आयाम के रिक्त स्थान को एम्बेड करने के लिए सार्वभौमिक गुण होते हैं।) केवल एक्स मापन योग्य मानते हुए हमारे पास (मिरोस्लाव काटेटोव) इंड एक्स ≤ इंड एक्स = डिम एक्स है; या एक्स कॉम्पैक्ट और हौसडॉर्फ (पी. एस. अलेक्जेंड्रोव) डिम एक्स ≤ इंड एक्स ≤ इंड एक्स मानते हुए। या तो यहाँ असमानता सख्त हो सकती है; व्लादिमीर वी. फिलिपोव के एक उदाहरण से पता चलता है कि दो प्रेरक आयाम भिन्न हो सकते हैं। एक पृथक्कृत मीट्रिक स्थान X असमानता को संतुष्ट करता है यदि और केवल तभी जब स्थान के प्रत्येक बंद उप-स्थान और प्रत्येक निरंतर मानचित्रण के लिए एक निरंतर विस्तार मौजूद हो। क्रिली, टोनी, 2005, "पॉल यूरीसोहन और कार्ल मेंगरः पेपर ऑन डायमेंशन थ्योरी" इन ग्रैटन-गिनीज, I., संस्करण, लैंडमार्क राइटिंग्स इन वेस्टर्न मैथमेटिक्स। एल्सेवियरः 844-55। आर. एंगेल्किंग, आयामों का सिद्धांत। परिमित और अनंत, हेल्डरमैन वेर्लाग (1995)। वी. वी. फेडोरचुक, द फंडामेंटल्स ऑफ डायमेंशन थ्योरी, एनसाइक्लोपीडिया ऑफ मैथमेटिकल साइंसेज, खंड 17, जनरल टोपोलॉजी I, (1993) ए. वी. अर्खांगेलस्की और एल. एस. पोंट्रियागिन (एड। ), स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन। वी. वी. फिलिपोव, ऑन द इंडक्टिव डायमेंशन ऑफ द प्रोडक्ट ऑफ बाइकोम्पैक्ट, सोवियत। गणित। डॉकल., 13 (1972), एन°1,250-254। ए. आर. पियर्स, डायमेंशन थ्योरी ऑफ जनरल स्पेस, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस (1975)। आयाम सिद्धांत