Height function
ऊँचाई फलन एक प्रकार्य है जो गणितीय वस्तुओं की जटिलता की मात्रा निर्धारित करता है। डायोफैंटाइन ज्यामिति में, ऊंचाई कार्य डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधानों के आकार की मात्रा निर्धारित करते हैं और आम तौर पर बीजगणितीय किस्मों (या बीजगणितीय किस्मों के एक समूह) पर बिंदुओं के एक समूह से वास्तविक संख्याओं तक कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर शास्त्रीय या सरल ऊँचाई को आम तौर पर निर्देशांकों के अंशों और भाजकों के अधिकतम के रूप में परिभाषित किया जाता है (जैसे। निर्देशांक के लिए), लेकिन एक लघुगणक पैमाने में। महत्व ऊंचाई कार्य गणितविदों को वस्तुओं को गिनने की अनुमति देते हैं, जैसे कि परिमेय बिंदु, जो अन्यथा मात्रा में अनंत हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी दिए गए स्थिरांक के नीचे सरल ऊँचाई (अंश और भाजक का अधिकतम जब सबसे कम शब्दों में व्यक्त किया जाता है) की परिमेय संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय के अनंत होने के बावजूद परिमित होता है। इस अर्थ में, ऊंचाई कार्यों का उपयोग असिम्प्टोटिक परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि बेकर के प्रमेय द्वारा पारगमन संख्या सिद्धांत में साबित किया गया था। अन्य मामलों में, ऊंचाई कार्य कुछ वस्तुओं को उनकी जटिलता के आधार पर अलग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, द्वारा सिद्ध उपस्थान प्रमेय दर्शाता है कि छोटी ऊँचाई के बिंदु (अर्थात। लघु जटिलता) प्रोजेक्टिव स्पेस में सीमित संख्या में हाइपरप्लेन में होती है और एस-यूनिट समीकरण के अभिन्न बिंदुओं और समाधान पर सीगल के प्रमेय को सामान्यीकृत करती है। मोर्डेल-वेइल प्रमेय और फाल्टिंग्स प्रमेय के प्रमाणों के लिए ऊंचाई फलन महत्वपूर्ण थे। बीजगणितीय किस्मों पर तर्कसंगत बिंदुओं की ऊंचाई के बारे में कई उत्कृष्ट अनसुलझी समस्याएं, जैसे कि मैनिन अनुमान और वोज्ता का अनुमान, डायोफैंटाइन सन्निकटन, डायोफैंटाइन समीकरणों, अंकगणितीय ज्यामिति और गणितीय तर्क में समस्याओं के लिए दूरगामी प्रभाव डालते हैं। इतिहास ऊंचाई फलन का एक प्रारंभिक रूप गिआमबाटिस्टा बेनेडेटी (सी. 1563) द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने तर्क दिया कि एक संगीत अंतराल के व्यंजन को इसके अंश और भाजक (कम रूप में) के उत्पाद से मापा जा सकता है; देखें। डायोफैंटाइन ज्यामिति में ऊंचाइयों को शुरू में 1920 के दशक की शुरुआत में आंद्रे वेल और डगलस नॉर्थकोट द्वारा विकसित किया गया था। 1960 के दशक में नवाचारों में नेरोन-टेट की ऊंचाई और यह अहसास था कि ऊंचाइयों को प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्वों से उसी तरह जोड़ा गया था जैसे बीजगणितीय ज्यामिति के अन्य हिस्सों में पर्याप्त रेखा बंडल हैं। 1970 के दशक में, सुरेन अराकेलोव ने अराकेलोव सिद्धांत में अराकेलोव की ऊंचाइयों का विकास किया। 1983 में, फाल्टिंग्स ने फाल्टिंग्स थ्योरम के अपने प्रमाण में फाल्टिंग्स हाइट्स के अपने सिद्धांत को विकसित किया। डायोफैंटाइन ज्यामिति में ऊंचाई कार्य शून्य ऊंचाई शास्त्रीय या निष्कपट ऊंचाई को सजातीय निर्देशांक पर साधारण निरपेक्ष मूल्य के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। यह आम तौर पर एक लघुगणक पैमाना है और इसलिए इसे "बीजगणितीय जटिलता" या एक बिंदु को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या के समानुपाती होने के रूप में देखा जा सकता है। इसे आम तौर पर सबसे कम सामान्य भाजक द्वारा गुणा करके प्राप्त सहमौलिक पूर्णांकों के सदिश के अधिकतम निरपेक्ष मूल्य के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका उपयोग क्यू पर प्रोजेक्टिव स्पेस में एक बिंदु पर ऊंचाई को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, या एक बहुपद की, जिसे गुणांक का वेक्टर माना जाता है, या एक बीजगणितीय संख्या की, इसकी न्यूनतम बहुपद की ऊंचाई से। एक परिमेय संख्या x = p/q (निम्नतम शब्दों में) की सरल ऊँचाई गुणक ऊँचाई लघुगणक ऊँचाई हैः इसलिए, सरल गुणक और लघुगणक ऊँचाईएँ हैं और, उदाहरण के लिए। एक दीर्घवृत्ताकार वक्र E की सरल ऊँचाई H को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। नेरोन-टेट ऊँचाई, या विहित ऊँचाई, एक वैश्विक क्षेत्र पर परिभाषित अबेलियन किस्म के तर्कसंगत बिंदुओं के मोर्डेल-वेल समूह पर एक द्विघात रूप है। इसका नाम आंद्रे नेरॉन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार इसे स्थानीय ऊंचाइयों के योग के रूप में परिभाषित किया था, और जॉन टेट, जिन्होंने इसे एक अप्रकाशित काम में विश्व स्तर पर परिभाषित किया था। वाइल हाइट मान लीजिए कि X एक संख्या क्षेत्र K पर एक प्रोजेक्टिव किस्म है। मान लीजिए कि L, X पर एक लाइन बंडल है। एक एल के संबंध में एक्स पर वेल ऊंचाई को निम्नानुसार परिभाषित करता है। सबसे पहले, मान लीजिए कि L बहुत पर्याप्त है। वैश्विक खंडों के स्थान के आधार का एक चयन X से प्रोजेक्टिव स्पेस तक एक आकृतिवाद φ को परिभाषित करता है, और X पर सभी बिंदुओं p के लिए, एक परिभाषित करता है, जहां h प्रोजेक्टिव स्पेस पर सरल ऊंचाई है। निश्चित एक्स और एल के लिए, वैश्विक खंडों का एक अलग आधार चुनना बदलता है, लेकिन केवल पी के एक बंधे हुए फलन द्वारा। इस प्रकार एक फलन के जोड़ तक अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है जो ओ (1) है। सामान्य तौर पर, कोई भी L को X पर दो बहुत ही पर्याप्त रेखा बंडलों L1 और L2 के अंतर के रूप में लिख सकता है और परिभाषित कर सकता है कि कौन सा फिर से O (1) तक अच्छी तरह से परिभाषित है। अराकेलोव ऊँचाई बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र पर एक प्रक्षेपात्मक स्थान पर अराकेलोव ऊँचाई एक वैश्विक ऊँचाई फलन है जिसमें स्थानीय योगदान आर्किमिडियन क्षेत्रों पर फुबिनी-अध्ययन मेट्रिक्स और गैर-आर्किमिडियन क्षेत्रों पर सामान्य मीट्रिक से आता है। यह एक अलग मीट्रिक से सुसज्जित सामान्य वेइल ऊंचाई है। फाल्टिंग्स की ऊँचाई एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित एक अबेलियन किस्म की फाल्टिंग्स की ऊँचाई इसकी अंकगणितीय जटिलता का एक माप है। इसे एक मीटर लाइन बंडल की ऊंचाई के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे मोर्डेल अनुमान के उनके प्रमाण में पेश किया गया था। एक बहुपद के लिए H (P) की ऊँचाई द्वारा दिए गए डिग्री n के बहुपद P को उसके गुणांकों के परिमाण का अधिकतम माना जाता हैः कोई भी इसी तरह लंबाई L (P) को गुणांकों के परिमाण के योग के रूप में परिभाषित कर सकता हैः माहलर माप से संबंध P का माहलर माप M (P) भी P की जटिलता का एक माप है। तीन कार्य H (P), L (P) और M (P) असमानताओं से संबंधित हैं जहां द्विपद गुणांक है। ऑटोमोर्फिक रूपों में ऊंचाई कार्य एक एडलिक बीजगणितीय समूह के सामान्य रैखिक समूह पर एक ऑटोमोर्फिक रूप की परिभाषा में स्थितियों में से एक मध्यम वृद्धि है, जो सामान्य रैखिक समूह पर ऊंचाई समारोह के विकास पर एक एसिम्प्टोटिक स्थिति है जिसे एक एफ़ाइन विविधता के रूप में देखा जाता है। अन्य ऊँचाई फलन एक अपरिवर्तनीय परिमेय संख्या x = p/q, q> 0 की ऊँचाई है (इस फलन का उपयोग और के बीच द्विभाजन बनाने के लिए किया जाता है)। ए. बी. सी. अनुमान बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान एलिप्टिक लेहमर अनुमान हीथ-ब्राउन-मोरोज़ एक औपचारिक समूह कानून की निरंतर ऊंचाई ऊंचाई जीटा फ़ंक्शन रेनाउड की आइसोजेनी प्रमेय वृक्ष ऊंचाई संदर्भ स्रोतों में मैथवर्ल्ड बहुपद पर बाहरी लिंक बहुपद ऊंचाई का एक अंग्रेजी अनुवाद शामिल है एबेलियन किस्में एलिप्टिक वक्र डायोफैंटाइन ज्यामिति बीजगणितीय संख्या सिद्धांत बीजगणित