CR manifold
गणित में, एक सी. आर. मैनिफोल्ड, या कॉची-रीमैन मैनिफोल्ड, एक ज्यामितीय संरचना के साथ एक विभेदक मैनिफोल्ड है जो एक जटिल वेक्टर स्पेस में एक वास्तविक हाइपरसर्फेस पर मॉडल किया गया है, या आम तौर पर एक वेज के किनारे पर मॉडल किया गया है। औपचारिक रूप से, एक सी. आर. मैनिफोल्ड एक पसंदीदा जटिल वितरण एल के साथ एक अवकलनीय मैनिफोल्ड एम है, या दूसरे शब्दों में जटिल स्पर्शरेखा बंडल का एक जटिल उप-बंडल है जैसे कि (एल औपचारिक रूप से समाकलन योग्य है)। सबबंडल एल को मैनिफोल्ड एम पर एक सी. आर. संरचना कहा जाता है। संक्षिप्त नाम सी. आर. का अर्थ "कॉची-रीमैन" या "कॉम्प्लेक्स-रियल" है। परिचय और प्रेरणा एक सी. आर. संरचना की धारणा अतिपृष्ठ से स्पर्श करने वाले होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों के गुणों का अध्ययन करके जटिल स्थान में अतिपृष्ठ (या उच्च कोडिमेंशन के कुछ वास्तविक सबमैनिफोल्ड) होने के गुण का आंतरिक रूप से वर्णन करने का प्रयास करती है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि M उस समीकरण द्वारा दिए गए हाइपरसर्फेस है जहाँ z और w सामान्य जटिल निर्देशांक हैं। के होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल में वैक्टरों के सभी रैखिक संयोजन होते हैं। एम पर वितरण एल में इन वैक्टरों के सभी संयोजन होते हैं जो एम के स्पर्शरेखा होते हैं। स्पर्शरेखा वैक्टरों को एम के लिए परिभाषित समीकरण को नष्ट करना चाहिए, इसलिए एल में एम के जटिल अदिश गुणक होते हैं। विशेष रूप से, एल में होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र होते हैं जो एफ को नष्ट करते हैं। ध्यान दें कि एल एम पर एक सी. आर. संरचना देता है, [एल, एल] = 0 के लिए (क्योंकि एल एक आयामी है) और चूंकि एम/एस. एम. जेड और एस. एम./एस. एम. डब्ल्यू अपने जटिल संयुग्मों से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। अधिक सामान्य रूप से, मान लीजिए कि समीकरण F (z1,., zn) = 0 को परिभाषित करने के साथ M एक वास्तविक अति सतह है। फिर सी. आर. संरचना एल. में मूल होलोमोर्फिक वैक्टरों के वे रैखिक संयोजन होते हैंः जो परिभाषित कार्य को नष्ट कर देते हैं। इस मामले में, पहले की तरह ही उसी कारण से। इसके अलावा, [एल, एल] एल चूंकि होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों के कम्यूटेटर एफ को नष्ट कर रहा है, फिर से एक होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र है जो एफ को नष्ट कर रहा है। एम्बेडेड और अमूर्त सी. आर. मैनिफोल्ड एम्बेडेड सी. आर. मैनिफोल्ड्स (हाइपरसर्फेस और जटिल स्थान में वेजों के किनारे) और अमूर्त सी. आर. मैनिफोल्ड्स (जो जटिल वितरण एल द्वारा दिए गए हैं) के सिद्धांतों के बीच एक तेज विरोधाभास है। कई औपचारिक ज्यामितीय विशेषताएं समान हैं। इनमें शामिल हैंः उत्तलता की एक धारणा (लेवी रूप द्वारा आपूर्ति की गई) एक विभेदक प्रचालक, डॉल्बेल्ट प्रचालक के अनुरूप, और एक संबंधित समरूपता (स्पर्शरेखा कॉची-रीमैन परिसर)। अंतःस्थापित सी. आर. मैनिफोल्ड्स में कुछ अतिरिक्त संरचना होती है, हालांकिः कॉची-रीमान समीकरणों के लिए एक न्यूमैन और डिरिचलेट समस्या। यह लेख पहले एम्बेडेड सी. आर. मैनिफोल्ड्स की ज्यामिति पर विचार करता है, दिखाता है कि इन संरचनाओं को आंतरिक रूप से कैसे परिभाषित किया जाए, और फिर इन्हें अमूर्त सेटिंग में सामान्यीकृत करता है। एम्बेडेड सी. आर. मैनिफोल्ड्स प्रारंभिक एंबेडेड सी. आर. मैनिफोल्ड्स, सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण, जटिल स्पर्शरेखा बंडल के उप-बंडलों की एक जोड़ी को परिभाषित करते हैंः इसमें एंटीहोलोमोर्फिक कार्यों को नष्ट करने वाले जटिल वैक्टर होते हैं। होलोमोर्फिक निर्देशांक में होलोमोर्फिक कार्यों को नष्ट करने वाले जटिल वैक्टर होते हैं। निर्देशांकों मेंः डॉल्बीऑल्ट परिसर से विशिष्ट विनाशकारी भी प्रासंगिक हैंः निर्देशांकों में, निर्देशांकों में, इनके बाहरी उत्पादों को स्वयं-स्पष्ट संकेतन ω (p, q) द्वारा दर्शाया जाता है, और डॉल्बीऑल्ट प्रचालक और इन स्थानों के बीच इसके जटिल संयुग्म मानचित्र के माध्यम सेः इसके अलावा, सामान्य बाहरी व्युत्पन्न का अपघटन होता है। जटिल स्थान के वास्तविक सबमैनिफोल्ड्स मान लीजिए कि एक वास्तविक सबमैनिफोल्ड है, जिसे स्थानीय रूप से चिकनी वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों की प्रणाली के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है मान लीजिए कि इस प्रणाली के अंतर के जटिल-रैखिक भाग में अधिकतम श्रेणी है, इस अर्थ में कि अंतर निम्नलिखित स्वतंत्रता शर्त को पूरा करते हैंः ध्यान दें कि यह स्थिति अंतर्निहित कार्य प्रमेय को लागू करने के लिए आवश्यकता से सख्ती से मजबूत हैः विशेष रूप से, एम वास्तविक आयाम का एक मैनिफोल्ड है। हम कहते हैं कि एम, सी. आर. कोडिमेंशन के का एक सामान्य एम्बेडेड सी. आर. सबमैनिफोल्ड है। विशेषण सामान्य इंगित करता है कि स्पर्शरेखा स्थान जटिल संख्याओं से अधिक के स्पर्शरेखा स्थान में फैला हुआ है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, k = 1, इस मामले में मैनिफोल्ड को हाइपरसर्फेस प्रकार का कहा जाता है। मान लीजिए कि सभी परिभाषित कार्यों को नष्ट करने वाले वैक्टरों का सबबंडल ध्यान दें कि, हाइपरसर्फेस पर इंटीग्रेबल डिस्ट्रीब्यूशन के लिए सामान्य विचारों के अनुसार, L अनैच्छिक है। इसके अलावा, स्वतंत्रता की स्थिति का तात्पर्य है कि L स्थिर श्रेणी n-k का एक बंडल है। अब से, मान लीजिए कि k = 1 (ताकि CR मैनिफोल्ड हाइपरसर्फेस प्रकार का हो), जब तक कि अन्यथा उल्लेख न किया जाए। लेवी रूप मान लीजिए कि एम एकल परिभाषित फलन एफ = 0 के साथ हाइपरसर्फेस प्रकार का एक सी. आर. मैनिफोल्ड है। एम का लेवी रूप, जिसका नाम यूजीनियो एलिया लेवी के नाम पर रखा गया है, हर्मिशियन 2-रूप है यह एल. एम. पर एक मीट्रिक निर्धारित करता है जिसे सख्ती से स्यूडोकॉन्वेक्स कहा जाता है (एफ <0 पक्ष से) यदि एच सकारात्मक निश्चित है (या एच सकारात्मक अर्ध-परिमित होने के मामले में स्यूडोकॉन्वेक्स)। सी. आर. मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में कई विश्लेषणात्मक अस्तित्व और विशिष्टता के परिणाम सूडोकॉन्वेक्सिटी पर निर्भर करते हैं। यह नामकरण सूडोकॉन्वेक्स डोमेन के अध्ययन से आता हैः एम एक (सख्ती से) सूडोकॉन्वेक्स डोमेन की सीमा है यदि और केवल अगर यह डोमेन के किनारे से एक सी. आर. मैनिफोल्ड के रूप में (सख्ती से) सूडोकॉन्वेक्स है। (प्लुरिसुफार्मोनिक फंक्शन और स्टीन मैनिफोल्ड देखें।) अमूर्त सी. आर. संरचनाएँ वास्तविक आयाम एन के वास्तविक मैनिफोल्ड एम पर एक अमूर्त सी. आर. संरचना में जटिल स्पर्शरेखा बंडल का एक जटिल उप-बंडल एल होता है जो औपचारिक रूप से समाकलनीय होता है, इस अर्थ में कि [एल, एल] एल, जिसका अपने जटिल संयुग्म के साथ शून्य प्रतिच्छेदन होता है। सी. आर. संरचना का सी. आर. संहिताकरण वह है जहाँ डिम एल जटिल आयाम है। के = 1 के मामले में, सी. आर. संरचना को अति सतह प्रकार का कहा जाता है। अमूर्त सी. आर. संरचनाओं के अधिकांश उदाहरण हाइपरसर्फेस प्रकार के हैं। लेवी रूप और सूडोकॉन्वेक्सिटी मान लीजिए कि एम हाइपरसर्फेस प्रकार का एक सी. आर. मैनिफोल्ड है। लेवी रूप वेक्टर मूल्य 2-रूप है, जिसे एल पर परिभाषित किया गया है, जिसमें एच द्वारा दिए गए रेखा बंडल में मान एल पर एक सेस्क्विलिनियर रूप को परिभाषित करते हैं क्योंकि यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि एकीकरण की स्थिति द्वारा एल के वर्गों तक वी और डब्ल्यू को कैसे विस्तारित किया जाता है। यह रूप उसी अभिव्यक्ति द्वारा बंडल पर एक हर्मिशियन रूप तक फैला हुआ है। विस्तारित रूप को कभी-कभी लेवी रूप भी कहा जाता है। लेवी रूप को वैकल्पिक रूप से द्वैत के संदर्भ में चिह्नित किया जा सकता है। जटिल कोटैंजेंट बंडल के लाइन सबबंडल पर विचार करें जो V को नष्ट कर रहा है प्रत्येक स्थानीय खंड के लिए α ω (H0M), मान लीजिए कि रूप hα एक जटिल-मूल्यवान हर्मिशियन रूप है जो α से जुड़ा हुआ है। लेवी रूप के सामान्यीकरण तब मौजूद होते हैं जब मैनिफोल्ड हाइपरसर्फेस प्रकार का नहीं होता है, जिस स्थिति में रूप अब एक लाइन बंडल में मान नहीं लेता है, बल्कि एक वेक्टर बंडल में मान लेता है। तब कोई लेवी रूप की नहीं, बल्कि संरचना के लिए लेवी रूपों के संग्रह की बात कर सकता है। अमूर्त सी. आर. मैनिफोल्ड्स पर, दृढ़ता से छद्म-उत्तल प्रकार के, लेवी रूप एक छद्म-हर्मिशियाई मीट्रिक को जन्म देता है। मीट्रिक को केवल होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा वैक्टर के लिए परिभाषित किया गया है और इसलिए यह अपक्षयी है। फिर इस मीट्रिक का उपयोग करके एक संबंध और मरोड़ और संबंधित वक्रता टेंसर को परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता। यह डेविड जेरिसन और जॉन ली द्वारा पहली बार अध्ययन की गई एक अनुरूप सी. आर. यामाबे समस्या को जन्म देता है। सी. आर. मैनिफोल्ड्स से जुड़े संबंध को पहली बार सिडनी एम. वेबस्टर ने समतुल्यता समस्या के अध्ययन पर अपनी थीसिस में परिभाषित और अध्ययन किया था और स्वतंत्र रूप से तनाका द्वारा भी परिभाषित और अध्ययन किया गया था। इन धारणाओं के विवरण लेखों में पाए जा सकते हैं। सी. आर. ज्यामिति के बुनियादी प्रश्नों में से एक यह पूछना है कि एक अमूर्त सी. आर. संरचना के साथ संपन्न एक चिकनी मैनिफोल्ड को कुछ में अंतर्निहित मैनिफोल्ड के रूप में कब महसूस किया जा सकता है। इस प्रकार हम न केवल मैनिफोल्ड को एम्बेड कर रहे हैं, बल्कि हम वैश्विक एम्बेडिंग की भी मांग करते हैं कि अमूर्त मैनिफोल्ड को एम्बेड करने वाले मानचित्र को एम्बेडेड मैनिफोल्ड की प्रेरित सी. आर. संरचना को पीछे खींचना चाहिए (इस तथ्य से आ रहा है कि यह बैठता है) ताकि पुल बैक सी. आर. संरचना अमूर्त सी. आर. संरचना से बिल्कुल सहमत हो। इस प्रकार वैश्विक एम्बेडिंग एक दो भाग की स्थिति है। यहाँ प्रश्न दो भागों में विभाजित होता है। कोई भी स्थानीय एम्बेडेबिलिटी या वैश्विक एम्बेडेबिलिटी के लिए पूछ सकता है। वैश्विक एम्बेडेबिलिटी हमेशा अमूर्त रूप से परिभाषित, कॉम्पैक्ट सी. आर. संरचनाओं के लिए सही होती है जो दृढ़ता से स्यूडोकॉन्वेक्स होते हैं, यानी लेवी रूप सकारात्मक निश्चित होता है, जब लुई बोटेट डी मोनवेल के परिणामस्वरूप मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 5 या उससे अधिक होता है। आयाम 3 में, वैश्विक एम्बेडेबिलिटी के लिए बाधाएं हैं। तीन क्षेत्रों पर मानक सी. आर. संरचना की छोटी गड़बड़ी करने से परिणामी अमूर्त सी. आर. संरचना विश्व स्तर पर सम्मिलित करने में विफल रहती है। इसे कभी-कभी रॉसी उदाहरण कहा जाता है। वास्तव में उदाहरण हंस ग्रौअर्ट के पास जाता है और एल्डो आंद्रेओटी और यम-टोंग सिउ के एक पेपर में भी दिखाई देता है। जोसेफ जे. कोहन के एक परिणाम में कहा गया है कि वैश्विक एम्बेडेबिलिटी इस स्थिति के बराबर है कि कोहन लाप्लेशियन की सीमा बंद है। बंद सीमा की यह स्थिति एक सी. आर. अपरिवर्तनीय स्थिति नहीं है। आयाम 3 में, स्थिति का एक गैर-अशांत समूह जो सी. आर. अपरिवर्तनीय है, सागुन चानिलो, हंग-लिन चिउ और पॉल सी. यांग द्वारा पाया गया है जो कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित अमूर्त दृढ़ता से छद्म-उत्तल सी. आर. संरचनाओं के लिए वैश्विक एम्बेडेबिलिटी की गारंटी देता है। इस परिकल्पना के तहत कि सी. आर. पैनिट्ज़ ऑपरेटर गैर-नकारात्मक है और सी. आर. यामाबे स्थिरांक सकारात्मक है, एक में वैश्विक एम्बेडिंग है। दूसरी स्थिति को एक गैर-सी. आर. अपरिवर्तनीय स्थिति में कमजोर किया जा सकता है, जिसमें अमूर्त मैनिफोल्ड की वेबस्टर वक्रता को एक सकारात्मक स्थिरांक द्वारा नीचे सीमित करने की मांग की जा सकती है। यह लेखकों को कोह्न के लाप्लेशियन के पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू पर एक तेज निचली सीमा प्राप्त करने की अनुमति देता है। रीमानियन ज्यामिति में कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक के पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू के लिए बंधी आंद्रे लिच्नेरोविज़ की सी. आर. ज्यामिति में निचली सीमा एनालॉग है। आयाम 3 में सी. आर. पैनिट्ज़ प्रचालक की गैर-नकारात्मकता एक सी. आर. अपरिवर्तनीय स्थिति है जो वास्तविक आयाम 3 के सी. आर. मैनिफोल्ड पर सी. आर. पैनिट्ज़ प्रचालक के अनुरूप सहपरिवर्तन गुणों द्वारा निम्नानुसार है, जिसे पहली बार केंगो हिराकी द्वारा देखा गया था। पैनिट्ज़ ऑपरेटर का सी. आर. संस्करण, तथाकथित सी. आर. पैनिट्ज़ ऑपरेटर पहली बार सी. रॉबिन ग्राहम और जॉन ली के काम में दिखाई देता है। प्रचालक को वास्तविक आयाम 5 और उससे अधिक में अनुरूप रूप से सहपरिवर्तक के रूप में नहीं जाना जाता है, बल्कि केवल वास्तविक आयाम 3 में जाना जाता है। यह हमेशा वास्तविक आयाम 5 और उससे अधिक में एक गैर-नकारात्मक प्रचालक होता है। कोई यह पूछ सकता है कि क्या सभी कॉम्पैक्टली एम्बेडेड सी. आर. मैनिफोल्ड्स में गैर-नकारात्मक पैनिट्ज़ ऑपरेटर हैं। यह ऊपर चर्चा किए गए एम्बेडिंग प्रमेयों के लिए एक प्रकार का विपरीत प्रश्न है। इस दिशा में जेफरी केस, सागुन चानिलो और पॉल सी. यांग ने एक स्थिरता प्रमेय साबित किया है। अर्थात्, यदि कोई व्यक्ति कॉम्पैक्ट सी. आर. मैनिफोल्ड्स के एक परिवार के साथ शुरू करता है और परिवार की सी. आर. संरचना पैरामीटर के संबंध में वास्तविक-विश्लेषणात्मक तरीके से बदलती है और मैनिफोल्ड्स के परिवार का सी. आर. यामाबे स्थिरांक समान रूप से नीचे एक सकारात्मक स्थिरांक से बंधा होता है, तो सी. आर. पैनिट्ज़ ऑपरेटर पूरे परिवार के लिए गैर-नकारात्मक रहता है, बशर्ते परिवार के एक सदस्य के पास उसका सी. आर. पैनिट्ज़ ऑपरेटर गैर-नकारात्मक हो। इसके विपरीत प्रश्न को अंततः युया टेकुची ने हल किया। उन्होंने साबित किया कि एम्बेडेड, कॉम्पैक्ट सी. आर.-3 मैनिफोल्ड्स के लिए जो सख्ती से स्यूडोकॉन्वेक्स हैं, इस एम्बेडेड मैनिफोल्ड से जुड़ा सी. आर. पैनिट्ज़ ऑपरेटर गैर-नकारात्मक है। डेनियल बर्न्स और चार्ल्स एपस्टीन के कारण 3-आयामी क्षेत्र के लिए मानक सी. आर. संरचना की छोटी गड़बड़ी के लिए वैश्विक एम्बेडिंग के परिणाम भी हैं। ये परिणाम गड़बड़ी शब्द के फूरियर गुणांक पर धारणाओं की परिकल्पना करते हैं। अमूर्त सी. आर. मैनिफोल्ड की अनुभूति कुछ में एक चिकनी मैनिफोल्ड के रूप में एक जटिल विविधता को बाध्य करेगी जिसमें सामान्य रूप से विलक्षणता हो सकती है। यह एफ. रीज़ हार्वे और एच. ब्लेन लॉसन द्वारा लेख में अध्ययन की गई जटिल पठार समस्या की सामग्री है। स्टीफन एस. टी. याउ द्वारा जटिल पठार समस्या पर भी आगे काम किया गया है। अमूर्त सी. आर. संरचनाओं का स्थानीय एम्बेडिंग वास्तविक आयाम 3 में सही नहीं है, क्योंकि लुई निरेनबर्ग का एक उदाहरण (नीचे उल्लिखित चेन और मेई-ची शॉ की पुस्तक में भी निरेनबर्ग के प्रमाण की प्रस्तुति है)। एल. निरेनबर्ग के उदाहरण को हंस लेवी के गैर-हल करने योग्य जटिल सदिश क्षेत्र के एक सुचारू विक्षोभ के रूप में देखा जा सकता है। ऊपर परिभाषित वेक्टर क्षेत्र में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रथम समाकलन होते हैं जो हाइजेनबर्ग समूह द्वारा दिए गए एंटी-होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र से शुरू हो सकते हैं। अर्थात् सजातीय समीकरण के दो समाधान हैं, चूंकि हम वास्तविक आयाम तीन में हैं औपचारिक समाकलन की स्थिति सरल है, जो स्वचालित है। ध्यान दें कि लेवी रूप कड़ाई से सकारात्मक निश्चित है जैसा कि एक सरल गणना देती है, जहां होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र L द्वारा दिया जाता है, पहले समाकलन जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, हमें सीआर संरचना को ग्राफ के रूप में महसूस करने की अनुमति देते हैं। निरेनबर्ग एक एकल, गैर-लुप्त हो रहे जटिल वेक्टर क्षेत्र का निर्माण करता है जिसे हे में मूल के पड़ोस में परिभाषित किया गया है, फिर यह दर्शाता है कि यदि, तो एक स्थिरांक होना चाहिए। इस प्रकार वेक्टर क्षेत्र में कोई पहला समाकलन नहीं होता है। वेक्टर क्षेत्र हाइजेनबर्ग समूह के लिए एंटी-होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र से बनाया गया है जिसे ऊपर एक चिकने जटिल-मूल्य वाले फलन द्वारा विचलित करके प्रदर्शित किया गया है जैसा कि नीचे प्रदर्शित किया गया हैः इस प्रकार इस नए वेक्टर क्षेत्र पी में स्थिरांक के अलावा कोई पहला समाकलन नहीं है और इसलिए इस विचलित सी. आर. संरचना को किसी भी तरह से किसी भी ग्राफ के रूप में महसूस करना संभव नहीं है। वास्तविक आयाम 9 और उससे अधिक में, अमूर्त सख्ती से छद्म-उत्तल सी. आर. संरचनाओं का स्थानीय एम्बेडिंग मासाताके कुरानिशी के काम से और वास्तविक आयाम 7 में अकाहोरी के काम से सच है कुरानिशी के प्रमाण की एक सरलीकृत प्रस्तुति वेबस्टर के कारण है। स्थानीय एम्बेडिंग की समस्या वास्तविक आयाम 5 में खुली रहती है। कैरेक्टरिस्टिक आइडियल्स स्पर्शरेखा कॉची-रीमैन कॉम्प्लेक्स (कोहन लाप्लासियन, कोहन-रॉसी कॉम्प्लेक्स) सबसे पहले एक सह-सीमा प्रचालक को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। सी. आर. मैनिफोल्ड्स के लिए जो जटिल मैनिफोल्ड्स की सीमाओं के रूप में उत्पन्न होते हैं, कोई भी इस ऑपरेटर को आंतरिक से सीमा तक के प्रतिबंध के रूप में देख सकता है। सबस्क्रिप्ट बी किसी को यह याद दिलाने के लिए है कि हम सीमा पर हैं। सह-सीमा प्रचालक (0, पी) प्रपत्रों को (0, पी + 1) प्रपत्रों में लेता है। एक अमूर्त सी. आर. मैनिफोल्ड के लिए सह-सीमा प्रचालक को भी परिभाषित किया जा सकता है, भले ही वह एक जटिल किस्म की सीमा न हो। यह वेबस्टर कनेक्शन का उपयोग करके किया जा सकता है। सह-सीमा प्रचालक एक परिसर बनाता है, अर्थात। इस परिसर को टेंजेंशियल कॉची-रीमैन परिसर या कोहन-रॉसी परिसर कहा जाता है। इस परिसर की जांच और इस परिसर के कोहोमोलॉजी समूहों का अध्ययन जोसेफ जे. कोहन और ह्यूगो रॉसी द्वारा एक मौलिक पत्र में किया गया था। टेंजेंशियल सी. आर. कॉम्प्लेक्स से जुड़ा हुआ सी. आर. ज्यामिति और कई जटिल चर, कोहन लाप्लेशियन में एक मौलिक वस्तु है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः यहाँ के औपचारिक संयोजन को दर्शाता है जहां आयतन रूप एक संपर्क रूप से प्राप्त किया जा सकता है जो सी. आर. संरचना से जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए जे. एम. का पेपर देखें। ली ने अमेरिकी जे. में नीचे उल्लेख किया है। ध्यान दें कि कोहन लाप्लासियन (0, पी) रूपों को (0, पी) रूपों में लेता है। कोहन लाप्लासियन द्वारा नष्ट किए गए कार्यों को सी. आर. कार्य कहा जाता है। वे होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा अनुरूप हैं। सी. आर. फलन के वास्तविक भागों को सी. आर. प्लूरीहार्मोनिक फलन कहा जाता है। कोहन लाप्लेशियन एक गैर-नकारात्मक, औपचारिक रूप से स्व-सहायक प्रचालक है। यह विकृत है और इसका एक विशिष्ट समूह है जहाँ इसका प्रतीक गायब हो जाता है। एक कॉम्पैक्ट, दृढ़ता से छद्म-उत्तल अमूर्त सी. आर. मैनिफोल्ड पर, इसमें असतत सकारात्मक आइगेनवैल्यू होते हैं जो अनंत तक जाते हैं और शून्य तक भी पहुंचते हैं। कर्नेल में सी. आर. फलन होते हैं और इसलिए यह अनंत आयामी होता है। यदि कोहन लाप्लासियन के सकारात्मक आइगेनवैल्यू एक सकारात्मक स्थिरांक से नीचे बंधे हैं, तो कोहन लाप्लासियन की सीमा बंद है और इसके विपरीत। इस प्रकार ऊपर बताए गए कोहन के परिणाम का उपयोग करते हुए एम्बेडेड सी. आर. संरचनाओं के लिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कॉम्पैक्ट सी. आर. संरचना जो दृढ़ता से स्यूडोकॉन्वेक्स है, केवल तभी एम्बेडेड होती है जब कोहन लाप्लेशियन में सकारात्मक आइगेनवैल्यू होते हैं जो एक सकारात्मक स्थिरांक से नीचे बंधे होते हैं। कोहन लाप्लासियन में हमेशा सी. आर. कार्यों के अनुरूप आइगेनवैल्यू शून्य होता है। विभिन्न सेटिंग्स में विभिन्न कार्य स्थानों के लिए अनुमान और प्राप्त किए गए हैं। इन अनुमानों को तब प्राप्त करना सबसे आसान होता है जब मैनिफोल्ड दृढ़ता से स्यूडोकनवेक्स होता है, तब कोई भी मैनिफोल्ड को हाइजेनबर्ग समूह के साथ उच्च क्रम में ऑस्क्युलेट करके प्रतिस्थापित कर सकता है। फिर हाइजेनबर्ग समूह के समूह गुण और परिचर अभिसरण संरचना का उपयोग करके, कोई व्युत्क्रम/मापदंड या सापेक्ष मापदंडों को लिख सकता है। ऑपरेटर का एक ठोस उदाहरण हाइजेनबर्ग समूह पर प्रदान किया जा सकता है। सामान्य हाइजेनबर्ग समूह पर विचार करें और एंटीहोलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों पर विचार करें जो समूह बाएं अपरिवर्तनीय भी हैं, फिर एक फलन के लिए हमारे पास (0,1) रूप है। उपरोक्त कोहन लाप्लासियन के लिए अभिव्यक्ति को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है। सबसे पहले यह आसानी से जांचा जाता है कि इस प्रकार हमारे पास एक प्राथमिक गणना हैः दाईं ओर पहला प्रचालक एक वास्तविक प्रचालक है और वास्तव में यह कोहन लाप्लेशियन का वास्तविक हिस्सा है। इसे उप-लैप्लेशियन कहा जाता है। यह एक प्राथमिक उदाहरण है जिसे होर्मेंडर सम ऑफ स्क्वेयर्स ऑपरेटर कहा जाता है। यह स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक है जैसा कि भागों द्वारा एकीकरण के माध्यम से देखा जा सकता है। कुछ लेखक उप-लैप्लेशियन को एक विपरीत संकेत के साथ परिभाषित करते हैं। हमारे मामले में हमारे पास विशेष रूप से हैः जहां प्रतीक उप-लैप्लेशियन के लिए पारंपरिक प्रतीक है। इस प्रकार उदाहरण एक कॉम्पैक्ट सी. आर. मैनिफोल्ड का विहित उदाहरण एक सबमैनिफोल्ड के रूप में वास्तविक क्षेत्र है। ऊपर वर्णित बंडल इस प्रकार दिया गया है कि होलोमोर्फिक वैक्टर का बंडल कहाँ है। इसका वास्तविक रूप दिया गया है, जटिल संरचना के संदर्भ में एक बिंदु पर ठोस रूप से दिया गया बंडल, द्वारा और लगभग जटिल संरचना केवल प्रतिबंध है। क्षेत्र निरंतर सकारात्मक वेबस्टर वक्रता और शून्य वेबस्टर मरोड़ के साथ एक सी. आर. मैनिफोल्ड का एक उदाहरण है। हाइजेनबर्ग समूह शून्य वेबस्टर मरोड़ और शून्य वेबस्टर वक्रता के साथ एक गैर-कॉम्पैक्ट सी. आर. मैनिफोल्ड का एक उदाहरण है। कॉम्पैक्ट रीमान सतहों पर इकाई वृत्त बंडल 1 से अधिक जीनस के साथ सी. आर. मैनिफोल्ड्स के उदाहरण भी प्रदान करता है जो दृढ़ता से सूडोकॉन्वेक्स होते हैं और जिनमें शून्य वेबस्टर मरोड़ और निरंतर नकारात्मक वेबस्टर वक्रता होती है। इन रिक्त स्थान का उपयोग एच. ई. के समान शून्य वेबस्टर मरोड़ के साथ सी. आर. मैनिफोल्ड्स पर भूगणितीय और आयतन तुलना प्रमेयों के अध्ययन में तुलनात्मक रिक्त स्थान के रूप में किया जा सकता है। रीमानियन ज्यामिति में राउच तुलना प्रमेय। हाल के वर्षों में, हाइजेनबर्ग समूह पर विश्लेषण के अन्य पहलुओं का भी अध्ययन किया गया है, जैसे कि हाइजेनबर्ग समूह में न्यूनतम सतह, हाइजेनबर्ग समूह में बर्नस्टीन समस्या और वक्रता प्रवाह। यूजेनियो एलिया लेवी स्यूडोकॉन्वेक्सिटी नोट्स संदर्भ भी देखें। कई जटिल चरों के कार्यों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण पेपर। शीर्षक का एक अंग्रेजी अनुवाद इस प्रकार हैः "दो या दो से अधिक जटिल चरों के विश्लेषणात्मक कार्यों के आवश्यक एकल बिंदुओं पर अध्ययन"। चिकनी मैनीफोल्ड जटिल मैनीफोल्ड