Bézout domain
गणित में, बेज़आउट डोमेन एक प्रूफर डोमेन का एक रूप है। यह एक अभिन्न क्षेत्र है जिसमें दो प्रमुख आदर्शों का योग फिर से एक प्रमुख आदर्श है। इसका मतलब है कि तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक बेजआउट पहचान होती है, और प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न आदर्श प्रमुख होता है। कोई भी प्रमुख आदर्श डोमेन (पी. आई. डी.) एक बेज़आउट डोमेन है, लेकिन एक बेज़आउट डोमेन को नोथेरियन रिंग होने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए इसमें गैर-परिमित रूप से उत्पन्न आदर्श हो सकते हैं (जो स्पष्ट रूप से एक पी. आई. डी. होने को शामिल नहीं करता है); यदि ऐसा है, तो यह एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (यू. एफ. डी.) नहीं है, लेकिन फिर भी एक जी. सी. डी. डोमेन है। बेज़आउट डोमेन का सिद्धांत नोथेरियन संपत्ति की आवश्यकता के बिना, पी. आई. डी. के कई गुणों को बरकरार रखता है। बेज़आउट डोमेन का नाम फ्रांसीसी गणितशास्त्री एटियेन बेज़आउट के नाम पर रखा गया है। उदाहरण सभी पी. आई. डी. बेजआउट डोमेन हैं। बेज़आउट डोमेन के उदाहरण जो पी. आई. डी. नहीं हैं, उनमें पूरे कार्यों की रिंग (पूरे जटिल तल पर होलोमोर्फिक कार्य) और सभी बीजगणितीय पूर्णांकों की रिंग शामिल हैं। संपूर्ण फलन के मामले में, केवल अपरिवर्तनीय तत्व डिग्री 1 के बहुपद फलन से जुड़े फलन हैं, इसलिए एक तत्व का गुणनखंडन केवल तभी होता है जब इसमें परिमित रूप से कई शून्य होते हैं। बीजगणितीय पूर्णांकों के मामले में कोई भी अपरिवर्तनीय तत्व नहीं हैं, क्योंकि किसी भी बीजगणितीय पूर्णांक के लिए इसका वर्गमूल (उदाहरण के लिए) भी एक बीजगणितीय पूर्णांक है। यह दोनों ही मामलों में दर्शाता है कि अंगूठी यू. एफ. डी. नहीं है, और इसलिए निश्चित रूप से पी. आई. डी. नहीं है। मूल्यांकन रिंग बेज़आउट डोमेन हैं। कोई भी गैर-नोएथेरियन मूल्यांकन चक्र गैर-नोएथेरियन बेज़आउट क्षेत्र का एक उदाहरण है। निम्नलिखित सामान्य निर्माण एक बेज़आउट डोमेन एस का उत्पादन करता है जो किसी भी बेज़आउट डोमेन आर से यूएफडी नहीं है जो एक क्षेत्र नहीं है, उदाहरण के लिए एक पी. आई. डी. से; मामला दिमाग में रखने के लिए बुनियादी उदाहरण है। मान लीजिए कि F, R के भिन्नों का क्षेत्र है, और रखें, R में स्थिर पद के साथ F [X] में बहुपदों की उप-रिंग। यह रिंग नोथेरियन नहीं है, क्योंकि शून्य स्थिर पद वाले X जैसे तत्व को अनिश्चित काल के लिए R के गैर-परिवर्तनीय तत्वों द्वारा विभाजित किया जा सकता है, जो अभी भी S में अपरिवर्तनीय हैं, और इन सभी भागों द्वारा उत्पन्न आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न नहीं होता है (और इसलिए X का S में कोई गुणनखंडन नहीं है)। एक इस प्रकार दिखाता है कि एस एक बेजआउट डोमेन है। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि एस में प्रत्येक जोड़ी ए, बी के लिए एस में एस, टी मौजूद है जो ए और बी दोनों को विभाजित करता है। यदि a और b में एक समान भाजक d है, तो यह a/d और b/d के लिए इसे साबित करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि वही s, t करेंगे। हम बहुपदों a और b को गैर-शून्य मान सकते हैं; यदि दोनों में शून्य स्थिरांक पद है, तो n को न्यूनतम घातांक ऐसा होने दें कि उनमें से कम से कम एक में Xn का गैर-शून्य गुणांक हो; कोई भी F में f पा सकता है जैसे कि fXn a और b का एक सामान्य भाजक है और उससे विभाजित होता है। इसलिए हम मान सकते हैं कि a में से कम से कम एक, b का एक गैर-शून्य स्थिरांक पद है। यदि एफ [एक्स] के तत्वों के रूप में देखे जाने वाले ए और बी अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं, तो इस यूएफडी में ए और बी का एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक है जिसका स्थिर पद 1 है, और इसलिए एस में स्थित है; हम इस कारक से विभाजित कर सकते हैं। इसलिए हम यह भी मान सकते हैं कि ए और बी एफ [एक्स] में अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, ताकि 1 निहित हो, और आर में कुछ स्थिर बहुपद आर निहित हो। इसके अलावा, चूंकि आर एक बेजआउट डोमेन है, इसलिए आर में स्थिर शब्दों ए0 और बी0 का जीसीडी डी इसमें निहित है। चूँकि स्थिर पद के बिना कोई भी तत्व, जैसे या, किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक से विभाज्य है, इसलिए स्थिरांक d, a और b के S में एक सामान्य भाजक है; हम यह दिखाएँगे कि यह वास्तव में एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। a0 और b0 के संबंध में d के लिए क्रमशः a और b को बेज़आउट गुणांक से गुणा करने से एक बहुपद p मिलता है जिसमें स्थिर पद d होता है। लेकिन फिर डी भी करता है, जो प्रमाण को पूरा करता है। गुण एक रिंग एक बेजआउट डोमेन है यदि और केवल तभी जब यह एक अभिन्न डोमेन है जिसमें किसी भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है जो उनका एक रैखिक संयोजन होता हैः यह इस कथन के बराबर है कि एक आदर्श जो दो तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है वह भी एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है, और प्रेरण दर्शाता है कि सभी परिमित रूप से उत्पन्न आदर्श प्रमुख हैं। एक रैखिक संयोजन के रूप में पी. आई. डी. के दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य भाजक की अभिव्यक्ति को अक्सर बेज़आउट की पहचान कहा जाता है, जहाँ से शब्दावली आती है। ध्यान दें कि उपरोक्त जी. सी. डी. स्थिति केवल जी. सी. डी. के अस्तित्व से अधिक मजबूत है। एक अभिन्न डोमेन जहाँ किसी भी दो तत्वों के लिए एक जी. सी. डी. मौजूद है, उसे जी. सी. डी. डोमेन कहा जाता है और इस प्रकार बेजआउट डोमेन जी. सी. डी. डोमेन हैं। विशेष रूप से, बेज़आउट डोमेन में, अपरिवर्तनीय अभाज्य होते हैं (लेकिन जैसा कि बीजगणितीय पूर्णांक उदाहरण से पता चलता है, उन्हें मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है)। बेज़आउट डोमेन आर के लिए, निम्नलिखित शर्तें सभी समकक्ष हैंः आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन है। आर नोथेरियन है। आर एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र (यू. एफ. डी.) है। आर प्रमुख आदर्शों (ए. सी. सी. पी.) पर आरोही श्रृंखला शर्त को संतुष्ट करता है। आर में प्रत्येक गैर-शून्य गैर-इकाई अपरिवर्तनीय के गुणनफल में कारक (आर एक परमाणु क्षेत्र है)। (1) और (2) की समानता ऊपर उल्लिखित की गई थी। चूँकि बेज़आउट डोमेन एक जीसीडी डोमेन है, इसलिए यह तुरंत अनुसरण करता है कि (3), (4) और (5) समतुल्य हैं। अंत में, यदि आर नोएथेरियन नहीं है, तो परिमित रूप से उत्पन्न आदर्शों की एक अनंत आरोही श्रृंखला मौजूद है, इसलिए बेज़आउट क्षेत्र में प्रमुख आदर्शों की एक अनंत आरोही श्रृंखला मौजूद है। (4) और (2) इस प्रकार समतुल्य हैं। एक बेज़आउट डोमेन एक प्रूफर डोमेन है, यानी, एक डोमेन जिसमें प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न आदर्श व्युत्क्रमणीय है, या दूसरे तरीके से कहा जाता है, एक परिवर्तनीय अर्ध-वंशानुगत डोमेन।) नतीजतन, कोई भी "बेज़आउट डोमेन आई. एफ. एफ. प्रूफर डोमेन और जी. सी. डी.-डोमेन" की समानता को अधिक परिचित "पी. आई. डी. आई. एफ. एफ. डीडेकाइंड डोमेन और यू. एफ. डी". के अनुरूप देख सकता है। प्रूफर डोमेन को अभिन्न डोमेन के रूप में चिह्नित किया जा सकता है जिनके सभी प्रमुख (समतुल्य, सभी अधिकतम) आदर्शों पर स्थानीयकरण मूल्यांकन डोमेन हैं। इसलिए एक प्रमुख आदर्श पर बेज़आउट डोमेन का स्थानीयकरण एक मूल्यांकन डोमेन है। चूँकि एक स्थानीय रिंग में एक व्युत्क्रमणीय आदर्श प्रमुख होता है, एक स्थानीय रिंग एक बेजआउट डोमेन है यदि यह एक मूल्यांकन डोमेन है। इसके अलावा, गैर-चक्रीय (समतुल्य गैर-विविक्त) मूल्य समूह के साथ एक मूल्यांकन क्षेत्र नोथेरियन नहीं है, और प्रत्येक पूरी तरह से क्रमबद्ध अबेलियन समूह कुछ मूल्यांकन क्षेत्र का मूल्य समूह है। यह गैर-नोएथेरियन बेज़आउट डोमेन के कई उदाहरण देता है। गैर-परिवर्तनीय बीजगणित में, सही बेजआउट डोमेन ऐसे डोमेन होते हैं जिनके परिमित रूप से उत्पन्न सही आदर्श प्रमुख सही आदर्श होते हैं, अर्थात, आर में कुछ एक्स के लिए एक्सआर के रूप में। एक उल्लेखनीय परिणाम यह है कि एक सही बेजआउट डोमेन एक सही अयस्क डोमेन है। यह तथ्य परिवर्तनीय मामले में दिलचस्प नहीं है, क्योंकि प्रत्येक परिवर्तनीय क्षेत्र एक अयस्क क्षेत्र है। सही बेजआउट डोमेन भी सही अर्ध-वंशानुगत वलय हैं। बेज़आउट डोमेन पर मॉड्यूल पी. आई. डी. पर मॉड्यूल के बारे में कुछ तथ्य बेज़आउट डोमेन पर मॉड्यूल तक फैले हुए हैं। मान लीजिए कि आर एक बेजआउट डोमेन है और आर पर एम परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। फिर एम सपाट है यदि और केवल तभी जब यह मरोड़-मुक्त है। सेमीफ़ायर भी देखें (एक कम्यूटेटिव सेमीफ़ायर सटीक रूप से एक बेज़आउट डोमेन है।) बेजआउट रिंग संदर्भ कम्यूटेटिव बीजगणित रिंग सिद्धांत