Holomorphic functional calculus
गणित में, होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन होलोमोर्फिक कार्यों के साथ कार्यात्मक कलन है। कहने का मतलब है, एक जटिल तर्क z और एक प्रचालक T के एक होलोमोर्फिक फलन f को देखते हुए, उद्देश्य एक प्रचालक, f (T) का निर्माण करना है, जो स्वाभाविक रूप से फलन f को जटिल तर्क से प्रचालक तर्क तक विस्तारित करता है। अधिक सटीक रूप से, कार्यात्मक कलन एक निरंतर बीजगणित समरूपता को टी के वर्णक्रम के पड़ोस में होलोमोर्फिक कार्यों से बाध्य ऑपरेटरों तक परिभाषित करता है। यह लेख उस मामले पर चर्चा करेगा जहां टी कुछ बनाच स्थान पर एक बंधी हुई रैखिक प्रचालक है। विशेष रूप से, टी जटिल प्रविष्टियों के साथ एक वर्ग मैट्रिक्स हो सकता है, एक ऐसा मामला जिसका उपयोग कार्यात्मक कलन को स्पष्ट करने और सामान्य निर्माण में शामिल धारणाओं के लिए कुछ शोधात्मक अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए किया जाएगा। एक सामान्य कार्यात्मक कलन के लिए प्रेरणा की आवश्यकता इस खंड में टी को जटिल प्रविष्टियों के साथ एक एन × एन मैट्रिक्स माना जाएगा। यदि कोई दिया गया फलन f कुछ विशेष प्रकार का है, तो f (T) को परिभाषित करने के प्राकृतिक तरीके हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक जटिल बहुपद है, तो कोई केवल Z के लिए T को प्रतिस्थापित कर सकता है और परिभाषित कर सकता है कि T0 = I, पहचान मैट्रिक्स कहाँ है। यह बहुपद कार्यात्मक कलन है। यह बहुपदों के वलय से n × n मैट्रिक्स के वलय तक एक समरूपता है। बहुपदों से थोड़ा विस्तार करते हुए, यदि f: C → C हर जगह समरूप है, अर्थात। एक संपूर्ण कार्य, मैकलॉरीन श्रृंखला के साथ बहुपद मामले की नकल करने से पता चलता है कि हम परिभाषित करते हैं क्योंकि मैकलॉरीन श्रृंखला हर जगह अभिसरण करती है, उपरोक्त श्रृंखला एक चुने हुए प्रचालक मानक में अभिसरण करेगी। इसका एक उदाहरण एक मैट्रिक्स का घातांक है। एफ (जेड) = ईज़ की मैकलौरिन श्रृंखला में जेड को टी द्वारा बदलने से यह आवश्यकता मिलती है कि एफ की मैकलौरिन श्रृंखला हर जगह अभिसरण करती है जिसे कुछ हद तक शिथिल किया जा सकता है। ऊपर से यह स्पष्ट है कि वास्तव में केवल यह आवश्यक है कि मैकलॉरीन श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या टी के प्रचालक मानक टी से अधिक हो। यह कुछ हद तक एफ के परिवार को बढ़ाता है जिसके लिए उपरोक्त दृष्टिकोण का उपयोग करके एफ (टी) को परिभाषित किया जा सकता है। लेकिन यह बहुत संतोषजनक नहीं है। उदाहरण के लिए, यह मैट्रिक्स सिद्धांत से एक तथ्य है कि प्रत्येक गैर-एकल T में इस अर्थ में एक लघुगणक S होता है कि eS = T. एक कार्यात्मक कलन होना वांछनीय है जो किसी गैर-एकल T के लिए, ln (T) को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जैसे कि यह S के साथ मेल खाता है। यह शक्ति श्रृंखला के माध्यम से नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए लघुगणक श्रृंखला केवल खुली इकाई डिस्क पर अभिसरण करती है। श्रृंखला में टी को जेड के लिए प्रतिस्थापित करने से व्युत्क्रमणीय टी + आई के लिए एलएन (टी + आई) के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति देने में विफल रहता है। इस प्रकार एक अधिक सामान्य कार्यात्मक गणना की आवश्यकता है। कार्यात्मक कलन और वर्णक्रम यह उम्मीद की जाती है कि f (T) के लिए एक आवश्यक शर्त है कि f को T के वर्णक्रम पर परिभाषित किया जाए। उदाहरण के लिए, सामान्य मैट्रिक्स के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय बताता है कि प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स एकात्मक रूप से विकर्णनीय है। यह f (T) की परिभाषा की ओर ले जाता है जब T सामान्य होता है। यदि f (λ) को T के कुछ आइगेनवैल्यू λ के लिए परिभाषित नहीं किया जाता है तो कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। अन्य संकेत भी इस विचार को पुष्ट करते हैं कि f (T) को केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब f को T के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया जाता है। यदि T व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो (याद करते हुए कि T एक n x n मैट्रिक्स है) 0 एक आइगेनवैल्यू है। चूँकि प्राकृतिक लघुगणक 0 पर अनिर्धारित है, इसलिए यह उम्मीद की जा सकती है कि ln (T) को स्वाभाविक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। वास्तव में यही स्थिति है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, f (T) की गणना करने के उचित तरीके के लिए ऐसा प्रतीत होता है, हालांकि, इस अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया जाता है यदि दाहिने हाथ की ओर व्युत्क्रम मौजूद नहीं हैं, यानी, यदि 2 या 5 T के आइगेनवैल्यू हैं। यह धारणा एक ऐसी सक्षम करने वाली स्थिति साबित होती है कि कार्यात्मक कलन मानचित्र, f → f (T) में कुछ वांछनीय गुण होते हैं। एक बाउंडेड प्रचालक के लिए कार्यात्मक कलन मान लीजिए कि X एक जटिल बनाच स्थान है, और L (X) X पर बाउंडेड प्रचालक के परिवार को दर्शाता है। शास्त्रीय फलन सिद्धांत से कौची समाकलन सूत्र को याद करें। मान लीजिए कि f: C → C किसी खुले समुच्चय D′C पर होलोमोर्फिक है, और D में एक सुधार योग्य जॉर्डन वक्र है, जो कि स्व-छेदन के बिना सीमित लंबाई का एक बंद वक्र है। मान लीजिए कि अंकों का समुच्चय U, जो कि κ के अंदर स्थित है। इस तरह कि z के बारे में 1 की घुमावदार संख्या, D में निहित है। कौची समाकलन सूत्र U में किसी भी z के लिए बताता है। इस सूत्र का विस्तार बनाच स्पेस एल (एक्स) में मान लेने वाले कार्यों तक करने का विचार है। कौची का समाकलन सूत्र निम्नलिखित परिभाषा का सुझाव देता है (विशुद्ध रूप से औपचारिक, अभी के लिए): जहाँ (ζ−T) −1, ζ पर T का विलायक है। यह मानते हुए कि इस बनाच स्पेस-वैल्यूड इंटीग्रल को उचित रूप से परिभाषित किया गया है, इस प्रस्तावित कार्यात्मक कलन का तात्पर्य निम्नलिखित आवश्यक शर्तों से हैः जैसा कि कौची के इंटीग्रल सूत्र का स्केलर संस्करण होलोमोर्फिक एफ पर लागू होता है, हम अनुमान लगाते हैं कि बनाच स्पेस मामले के लिए भी ऐसा ही है, जहां बनाच स्पेस एल (एक्स) में मान लेने वाले कार्यों के लिए होलोमॉर्फी की एक उपयुक्त धारणा होनी चाहिए। चूँकि रिज़ॉल्वेंट मैपिंग ζ → (ζ−T) −1, T, σ (T) के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित नहीं है, इसलिए जॉर्डन वक्र κ को σ (T) को काटना नहीं चाहिए। अब, रिज़ॉल्वेंट मैपिंग σ (T) के पूरक पर होलोमोर्फिक होगी। इसलिए एक गैर-तुच्छ कार्यात्मक कलन प्राप्त करने के लिए, κ को σ (T) को संलग्न (कम से कम इसका हिस्सा) करना चाहिए। कार्यात्मक कलन को इस अर्थ में अच्छी तरह से परिभाषित किया जाना चाहिए कि f (T) को जात से स्वतंत्र होना चाहिए। कार्यात्मक कलन की पूरी परिभाषा इस प्रकार हैः T ω L (X) के लिए, परिभाषित करें कि जहाँ f एक खुले समुच्चय D ω C पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फलन है जिसमें σ (T) होता है, और γ = {γ1,., γm} D में एक "अंदर" समुच्चय U को बांधते हुए असंबद्ध जॉर्डन वक्रों का एक संग्रह है, जैसे कि σ (T) U में स्थित है, और प्रत्येक γi सीमा अर्थ में उन्मुख है। खुला सेट डी एफ के साथ भिन्न हो सकता है और इसे जोड़ने या बस जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि दाईं ओर के आंकड़ों से दिखाया गया है। निम्नलिखित उपखंड परिभाषा में लागू धारणाओं को सटीक बनाते हैं और दर्शाते हैं कि दी गई धारणाओं के तहत f (T) वास्तव में अच्छी तरह से परिभाषित है। बनाच स्पेस-वैल्यूड इंटीग्रल सी. एफ. बोच्नर समाकलन एक निरंतर फलन के लिए जी को एक खुले पड़ोस में परिभाषित किया गया है और एल (एक्स) में मान लेते हुए, समोच्च समाकलन णांक को उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे स्केलर मामले के लिए किया गया है। एक वास्तविक अंतराल [a, b] द्वारा प्रत्येक γi ω को पैरामीटराइज किया जा सकता है, और इंटीग्रल [a, b] के एवर-फाइनर विभाजनों से प्राप्त रीमान योगों की सीमा है। रीमान राशि एक समान प्रचालक स्थलविज्ञान में अभिसरण करती है। हम परिभाषित करते हैं कार्यात्मक कलन की परिभाषा में, f को एक खुले पड़ोस में होलोमोर्फिक माना जाता है। यह नीचे दिखाया जाएगा कि रिज़ॉल्वेंट मैपिंग रिज़ॉल्वेंट सेट पर होलोमोर्फिक है। इसलिए, समाकलन समझ में आता है। रिज़ॉल्वेंट मानचित्रण ζ → (ζ−T) −1 मानचित्रण को T का रिज़ॉल्वेंट मानचित्रण कहा जाता है। इसे σ (T) के पूरक पर परिभाषित किया जाता है, जिसे T का रिज़ॉल्वेंट सेट कहा जाता है और इसे ρ (T) द्वारा दर्शाया जाएगा। अधिकांश शास्त्रीय कार्य सिद्धांत समाकलन के गुणों पर निर्भर करता है होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन इस बात में समान है कि एक अच्छे कार्यात्मक कलन से आवश्यक गुणों को प्राप्त करने में संकल्पक मानचित्रण एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह उपखंड विलायक मानचित्र के उन गुणों को रेखांकित करता है जो इस संदर्भ में आवश्यक हैं। पहला रिज़ॉल्वेंट सूत्र प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है, z1 के लिए, z2 ωρ (T), इसलिए, इस समीकरण को पहला रिज़ॉल्वेंट सूत्र कहा जाता है। सूत्र (z1−T) −1 और (z2−T) −1 कम्यूट को दर्शाता है, जो इस तथ्य पर संकेत देता है कि कार्यात्मक कलन की छवि एक कम्यूटेटिव बीजगणित होगी। मान लीजिए कि z2 → z1 से पता चलता है कि रिज़ॉल्वेंट मानचित्र प्रत्येक z1 ωρ (T) पर (जटिल-) अवकलनीय है; इसलिए कार्यात्मक कलन की अभिव्यक्ति में समाकलन L (X) में अभिसरण करता है। विभेदक मानचित्र के संबंध में विभेदकता की तुलना में विश्लेषणात्मकता अधिक मजबूत बयान दिया जा सकता है। विलायक समुच्चय ρ (T) वास्तव में एक खुला समुच्चय है जिस पर विलायक मानचित्र विश्लेषणात्मक है। इस गुण का उपयोग कार्यात्मक कलन के लिए बाद के तर्कों में किया जाएगा। इस दावे को सत्यापित करने के लिए, मान लीजिए कि (z2−T) −1 के लिए औपचारिक अभिव्यक्ति पर विचार करें। उपरोक्त श्रृंखला L (X) में अभिसरण करती है, जो (z2−T) −1 के अस्तित्व का तात्पर्य है, यदि इसलिए, विलायक समुच्चय ρ (T) खुला है और z1−ρ (T) पर केंद्रित एक खुली डिस्क पर शक्ति श्रृंखला अभिव्यक्ति से पता चलता है कि विलायक मानचित्र ρ (T) पर विश्लेषणात्मक है। न्यूमैन श्रृंखला (z−T) −1 के लिए एक अन्य अभिव्यक्ति भी उपयोगी होगी। औपचारिक अभिव्यक्ति इस श्रृंखला, न्यूमैन श्रृंखला को (z−T) −1 में परिवर्तित करती है यदि σ (T) की सघनता है, तो रिज़ॉल्वेंट के अंतिम दो गुणों से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि एक बाउंडेड ऑपरेटर T का स्पेक्ट्रम σ (T) C का एक कॉम्पैक्ट सबसेट है। इसलिए, कार्यात्मक कलन की परिभाषा के लिए, वास्तव में जॉर्डन वक्रों का एक उपयुक्त परिवार प्रत्येक एफ के लिए पाया जा सकता है जो कुछ डी पर होलोमोर्फिक है। अच्छी तरह से परिभाषित पिछली चर्चा से पता चला है कि समाकलन समझ में आता है, अर्थात। प्रत्येक f के लिए जॉर्डन वक्रों का एक उपयुक्त संग्रह मौजूद है और समाकलन उचित अर्थों में अभिसरण करता है। जो नहीं दिखाया गया है वह यह है कि कार्यात्मक कलन की परिभाषा स्पष्ट है, अर्थात। यह कुलु की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इस समस्या को अब हम हल करने का प्रयास करते हैं। एक प्रारंभिक तथ्य जॉर्डन वक्रों के एक संग्रह के लिए γ = {γ1,., γm} और एक बिंदु a ωC, a के संबंध में γ की घुमावदार संख्या इसके तत्वों की घुमावदार संख्याओं का योग है। यदि हम परिभाषित करते हैंः निम्नलिखित प्रमेय कौची द्वारा हैः प्रमेय। मान लीजिए कि G. C एक खुला समुच्चय है और G. यदि g: G → C समरूप है, और सभी के लिए G के पूरक में a, n (जात, a) = 0 है, तो जात पर g का समोच्च समाकलन शून्य है। जब g, L (X) में मान लेता है तो हमें इस परिणाम के वेक्टर-मूल्य वाले एनालॉग की आवश्यकता होगी। इस उद्देश्य के लिए, मान लीजिए कि g: G → L (X) होलोमॉर्फिक है, जिसमें समान धारणाएँ हैं। विचार यह है कि एल (एक्स) के दोहरे स्थान एल (एक्स) * का उपयोग करें, और स्केलर मामले के लिए कॉची के प्रमेय को पास करें। समाकलन पर विचार करें यदि हम दिखा सकते हैं कि सभी φ ω L (X) * इस समाकलन पर गायब हो जाते हैं तो समाकलन को ही शून्य होना चाहिए। चूँकि φ बाउंडेड है और इंटीग्रल नॉर्म में कन्वर्ज होता है, इसलिए हमारे पास हैः लेकिन g होलोमोर्फिक है, इसलिए संरचना φ (g): G ρC → C होलोमोर्फिक है और इसलिए कॉची के प्रमेय मुख्य तर्क के अनुसार कार्यात्मक कलन की अच्छी तरह से परिभाषितता अब एक आसान परिणाम के रूप में अनुसरण करती है। माना D एक खुला समुच्चय है जिसमें σ (T) है। मान लीजिए कि कार्यात्मक कलन के लिए दी गई धारणा को संतुष्ट करने वाले जॉर्डन वक्रों के दो (परिमित) संग्रह हैं। हम यह दिखाना चाहते हैं कि ω′ को प्रत्येक ωj के अभिविन्यास को उलटकर ω से प्राप्त किया जाए, फिर दो संग्रहों के संयोजन पर विचार करें। दोनों  ताइम और σ (T) कॉम्पैक्ट हैं। तो कुछ खुला समुच्चय U है जिसमें  ताइम (T) U के पूरक में स्थित है। U के पूरक में किसी भी a की घुमावदार संख्या n ( ताइम, a) = 0 है और फलन U पर होलोमोर्फिक है। तो कॉची के प्रमेय का वेक्टर-मूल्यवान संस्करण देता है अर्थात। अतः कार्यात्मक कलन अच्छी तरह से परिभाषित है। नतीजतन, यदि f1 और f2 दो समरूपी फलन हैं जो σ (T) के पड़ोस D1 और D2 पर परिभाषित हैं और वे σ (T) वाले एक खुले समुच्चय पर बराबर हैं, तो f1 (T) = f2 (T)। इसके अलावा, भले ही डी1 डी2 न हो, लेकिन प्रचालक (एफ1 + एफ2) (टी) अच्छी तरह से परिभाषित है। यही बात (f1·f2) (T) की परिभाषा के लिए भी लागू होती है। इस धारणा पर कि f, σ (T) के एक खुले पड़ोस पर होलोमोर्फिक है, अब तक इस धारणा की पूरी ताकत का उपयोग नहीं किया गया है। समाकलन के अभिसरण के लिए, केवल निरंतरता का उपयोग किया गया था। अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए, हमें केवल एक खुले समुच्चय U पर होलोमोर्फिक होने के लिए f की आवश्यकता थी जिसमें समोच्च γ ω′ हो लेकिन जरूरी नहीं कि σ (T) हो। इस धारणा को कार्यात्मक कलन के समरूपता गुण को दिखाने में पूरी तरह से लागू किया जाएगा। गुण बहुपद मामला मानचित्र की रैखिकता f′f (T) समाकलन के अभिसरण से होती है और बनाच स्थान पर रैखिक संचालन निरंतर होते हैं। हम बहुपद कार्यात्मक कलन को तब पुनर्प्राप्त करते हैं जब f (z) = σ0 ≤ i ≤ mi zi एक बहुपद है। इसे साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है, k ≤ 0 और f (z) = zk के लिए, यह सच है कि f (T) = Tk, अर्थात। किसी भी उपयुक्त γ परिवेष्टित σ (T) के लिए। T के प्रचालक मानक से अधिक त्रिज्या का वृत्त होने के लिए γ चुनें। जैसा कि ऊपर कहा गया है, इस तरह के γ पर, विलायक मानचित्र एक शक्ति श्रृंखला प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है जो δ क्रोनेकर डेल्टा प्रतीक है। समरूपता गुण उपयुक्त मान्यताओं को संतुष्ट करने वाले किसी भी f1 और f2 के लिए, समरूपता गुण बताता है कि हम एक तर्क को स्केच करते हैं जो पहले रिज़ॉल्वेंट सूत्र और f पर रखी गई धारणाओं का आह्वान करता है। इसका कारण नीचे स्पष्ट हो जाएगा। सीधे गणना करके शुरू करें अंतिम पंक्ति इस तथ्य से आगे बढ़ती है कि ω ω γ2, γ1 के बाहर स्थित है और f1, σ (T) के कुछ खुले पड़ोस पर होलोमोर्फिक है और इसलिए दूसरा पद गायब हो जाता है। इसलिए, हमारे पास हैः कॉम्पैक्ट अभिसरण के संबंध में निरंतरता मान लीजिए कि G पर होलोमोर्फिक कार्यों का एक अनुक्रम G के कॉम्पैक्ट सबसेट पर समान रूप से अभिसरण करता है (इसे कभी-कभी कॉम्पैक्ट अभिसरण कहा जाता है)। तब {fk (T)} L (X) में अभिसारी हैः सरलता के लिए मान लें कि जात में केवल एक जॉर्डन वक्र होता है। हम अनुमान लगाते हैं कि एक समान अभिसरण धारणा और विभिन्न निरंतरता विचारों को मिलाकर, हम देखते हैं कि उपरोक्त 0 के रूप में k, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, तो {fk (T)} कौची है, इसलिए अभिसारी है। विशिष्टता संक्षेप में, हमने दिखाया है कि होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन, f → f (T) में निम्नलिखित गुण हैंः यह बहुपद कार्यात्मक कलन का विस्तार करता है। यह σ (T) से L (X) के पड़ोस पर परिभाषित होलोमोर्फिक कार्यों के बीजगणित से एक बीजगणित समरूपता है यह कॉम्पैक्ट सेटों पर समान अभिसरण को संरक्षित करता है। यह साबित किया जा सकता है कि उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाला कलन अद्वितीय है। हम ध्यान देते हैं कि, अब तक चर्चा की गई हर चीज शब्दशः होती है यदि बाउंडेड ऑपरेटर एल (एक्स) के परिवार को बनाच बीजगणित ए द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। कार्यात्मक कलन को ए. वर्णक्रमीय विचार वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय में एक तत्व के लिए ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है यह ज्ञात है कि वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय बहुपद कार्यात्मक कलन के लिए हैः किसी भी बहुपद पी, σ (पी (टी)) = पी (σ (टी)) के लिए। इसे होलोमोर्फिक कलन तक बढ़ाया जा सकता है। f (σ (T)) ρ (f (T)) को दिखाने के लिए, मान लीजिए कि μ कोई भी जटिल संख्या है। जटिल विश्लेषण के परिणामस्वरूप, σ (T) के पड़ोस पर एक फलन g होलोमोर्फिक मौजूद है जैसे कि समरूपता गुण के अनुसार, f (T) − f (μ) = (T − μ) g (T)। इसलिए, m (t) का तात्पर्य f (m (t)) से है। अन्य समावेशन के लिए, यदि μ f (σ (T)) में नहीं है, तो कार्यात्मक कलन तो g (T) (f (T) − μ) = I पर लागू होता है। इसलिए, μ, σ (f (T)) में नहीं होता है। वर्णक्रमीय अनुमान अंतर्निहित विचार इस प्रकार है। मान लीजिए कि K, σ (T) और U का एक उपसमुच्चय है, V क्रमशः K और σ (T) \K के असंबद्ध पड़ोस हैं। e (z) = 1 को परिभाषित करें यदि z ω U और e (z) = 0 यदि z ω V. तो e एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है जिसमें [e (z)] 2 = e (z) है और इसलिए, एक उपयुक्त समोच्च के लिए जो U ω V में स्थित है और जो ω (T) को घेरता है, रैखिक प्रचालक एक बंधा हुआ प्रक्षेपण होगा जो T के साथ संचार करता है और बहुत सारी उपयोगी जानकारी प्रदान करता है। यह स्पष्ट करता है कि यह परिदृश्य तभी संभव है जब σ (T) पर उपक्षेत्र स्थलविज्ञान में K खुला और बंद दोनों हो। इसके अलावा, सेट V को सुरक्षित रूप से नजरअंदाज किया जा सकता है क्योंकि इस पर e शून्य है और इसलिए समाकलन में कोई योगदान नहीं देता है। प्रक्षेपण e (T) को K पर T का वर्णक्रमीय प्रक्षेपण कहा जाता है और इसे P (K; T) द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार σ (T) के प्रत्येक सबसेट K, जो सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला और बंद दोनों है, का एक संबंधित वर्णक्रमीय प्रक्षेपण होता है, जिसके द्वारा दिया जाता है कि γ एक समोच्च है जो K को घेरता है लेकिन σ (T) के कोई अन्य बिंदु नहीं हैं। चूँकि पी = पी (के; टी) बंधा हुआ है और टी के साथ संचारित होता है, इसलिए यह टी को यू. वी. के रूप में व्यक्त करने में सक्षम बनाता है जहाँ यू = T|PX और वी = टी। (1−पी) एक्स। PX और (1−P) X दोनों ही T के अपरिवर्तनीय उपक्षेत्र हैं, इसके अलावा σ (U) = K और σ (V) = σ (T) \K। यदि L, σ (T) पर उपस्थान स्थलविज्ञान में एक और खुला और बंद समुच्चय है तो P (K; T) P (L; T) = P (L; T) P (K; T) = P (K θ L; T) जो शून्य है जब भी K और L असंबद्ध होते हैं। वर्णक्रमीय प्रक्षेपणों के कई अनुप्रयोग हैं। सबस्पेस टोपोलॉजी में σ (T) का कोई भी पृथक बिंदु खुला और बंद दोनों होता है और इसलिए इसका एक संबंधित वर्णक्रमीय प्रक्षेपण होता है। जब X का परिमित आयाम होता है तो σ (T) में अलग-अलग बिंदु होते हैं और परिणामी वर्णक्रमीय अनुमान जॉर्डन सामान्य रूप के एक प्रकार की ओर ले जाते हैं जिसमें एक ही आईगन मान के अनुरूप सभी जॉर्डन ब्लॉक समेकित होते हैं। दूसरे शब्दों में प्रति विशिष्ट आइगेनवैल्यू में एक ब्लॉक होता है। अगला खंड इस अपघटन पर अधिक विस्तार से विचार करता है। कभी-कभी वर्णक्रमीय प्रक्षेपण अपने मूल प्रचालक से गुण विरासत में प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए यदि T वर्णक्रमीय त्रिज्या r के साथ एक सकारात्मक मैट्रिक्स है तो पेरॉन-फ्रोबेनियस प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि r bul σ (T) है। संबंधित वर्णक्रमीय प्रक्षेपण पी = पी (आर; टी) भी सकारात्मक है और पारस्परिक ऑर्थोगोनलिटी द्वारा किसी अन्य वर्णक्रमीय प्रक्षेपण में सकारात्मक पंक्ति या स्तंभ नहीं हो सकता है। वास्तव में टी. पी. = आर. पी. और (टी./आर.) एन. → पी. को एन. के रूप में एन. के रूप में इसलिए यह प्रक्षेपण पी (जिसे पेरोन प्रक्षेपण कहा जाता है) अनुमानित (टी./आर.) एन. के रूप में एन बढ़ता है, और इसका प्रत्येक स्तंभ टी का एक आइगेनवेक्टर है। अधिक आम तौर पर यदि टी एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है तो σ (टी) में सभी गैर-शून्य बिंदु अलग होते हैं और इसलिए उनमें से किसी भी परिमित सबसेट का उपयोग टी. को विघटित करने के लिए किया जा सकता है। संबंधित वर्णक्रमीय प्रक्षेपण में हमेशा सीमित श्रेणी होती है। एल (एक्स) में समान वर्णक्रमीय विशेषताओं वाले ऑपरेटरों को रीज़ ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। रीज़ प्रचालक (कॉम्पैक्ट प्रचालक सहित) के कई वर्ग एल (एक्स) में आदर्श हैं और अनुसंधान के लिए एक समृद्ध क्षेत्र प्रदान करते हैं। हालाँकि यदि X एक हिल्बर्ट स्थान है तो रीज़ ऑपरेटरों और परिमित श्रेणी के बीच बिल्कुल एक बंद आदर्श सैंडविच है। अधिकांश पूर्वगामी चर्चा को एक जटिल बनाच बीजगणित के अधिक सामान्य संदर्भ में निर्धारित किया जा सकता है। यहाँ वर्णक्रमीय प्रक्षेपणों को वर्णक्रमीय आइडेम्पोटेंट के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि अब उनके लिए प्रोजेक्ट करने के लिए कोई जगह नहीं हो सकती है। अपरिवर्तनीय उपस्थान अपघटन यदि वर्णक्रम σ (T) जुड़ा नहीं है, तो X को कार्यात्मक कलन का उपयोग करके T के अपरिवर्तनीय उपस्थानों में विघटित किया जा सकता है। मान लीजिए कि σ (T) एक असंबद्ध संघ है, किसी ऐसे पड़ोस में ei को 1 के रूप में परिभाषित करें जिसमें केवल घटक Fi और कहीं और 0 हो। समरूपता गुण द्वारा, ई. आई. (टी) सभी आई के लिए एक प्रक्षेपण है। वास्तव में यह केवल ऊपर वर्णित वर्णक्रमीय प्रक्षेपण पी (फाई; टी) है। संबंध एइआई (टी) टी = टी एइआई (टी) का अर्थ है प्रत्येक एइआई (टी) की सीमा, जिसे एक्सआई द्वारा दर्शाया जाता है, टी का एक अपरिवर्तनीय उपक्षेत्र है। चूंकि एक्स को इन पूरक उपक्षेत्रों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैः इसी तरह, यदि टीआई एक्सआई तक सीमित है, तो प्रत्यक्ष योग पर विचार करें मानक एक्स 'के साथ एक बनाच स्थान है। मानचित्रण R: X '→ X द्वारा परिभाषित एक बनाच स्पेस समरूपता है, और हम देखते हैं कि इसे T के एक ब्लॉक विकर्णन के रूप में देखा जा सकता है। जब X परिमित-आयामी होता है, तो σ (T) = {λi} जटिल तल में बिंदुओं का एक सीमित समूह होता है। स्पेक्ट्रम से केवल λi वाली खुली डिस्क पर Ei को 1 चुनें। संबंधित ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स टी का जॉर्डन विहित रूप है। संबंधित परिणाम मजबूत धारणाओं के साथ, जब टी एक हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाला एक सामान्य प्रचालक है, तो कार्यात्मक कलन के क्षेत्र को व्यापक बनाया जा सकता है। दोनों परिणामों की तुलना करते समय, सामान्य मैट्रिक्स के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय और जॉर्डन विहित रूप के बीच संबंध के साथ एक मोटा सा सादृश्य बनाया जा सकता है। जब T एक सामान्य प्रचालक होता है, तो एक निरंतर कार्यात्मक कलन प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात, कोई भी f (T) का मूल्यांकन कर सकता है जिसमें f एक निरंतर फलन है जिसे σ (T) पर परिभाषित किया गया है। माप सिद्धांत की मशीनरी का उपयोग करते हुए, इसे उन कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है जो केवल मापने योग्य हैं (बोरेल कार्यात्मक कलन देखें)। उस संदर्भ में, यदि E′σ (T) एक बोरेल समुच्चय है और 1E, E का विशिष्ट कार्य है, तो प्रक्षेपण प्रचालक 1E (T) ऊपर चर्चा किए गए Ei (T) का एक परिष्करण है। बोरेल कार्यात्मक कलन एक हिल्बर्ट स्थान पर असीमित स्व-संयोजन प्रचालक तक फैला हुआ है। थोड़ी अधिक अमूर्त भाषा में, होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन को बनाच बीजगणित के किसी भी तत्व तक बढ़ाया जा सकता है, अनिवार्य रूप से ऊपर के समान तर्कों का उपयोग करके। इसी तरह, निरंतर कार्यात्मक कलन किसी भी सी *-बीजगणित में सामान्य तत्वों के लिए और किसी भी वॉन न्यूमैन बीजगणित में सामान्य तत्वों के लिए मापने योग्य कार्यात्मक कलन रखता है। सीमाहीन प्रचालक एक होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन को गैर-खाली रिज़ॉल्वेंट सेट के साथ सीमाहीन बंद प्रचालक के लिए इसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता जॉर्डन कैनॉनिकल रूप भी देखें, जहाँ सीमित-आयामी मामले पर कुछ विस्तार से चर्चा की गई है। संदर्भ एन. डनफोर्ड और जे. टी. श्वार्ट्ज, लीनियर ऑपरेटर्स, भाग I: जनरल थ्योरी, इंटरसाइंस, 1958। स्टीवन जी क्रांट्ज़। बीजगणित, अंकगणितीय और त्रिकोणमिति का शब्दकोश। सीआरसी प्रेस, 2000. इज़राइल गोहबर्ग, सीमोर गोल्डबर्ग और मैरिनस ए. काशोक, क्लास ऑफ़ लीनियर ऑपरेटर्सः वॉल्यूम 1। बिरखौसर, 1991. होलोमोर्फिक कार्य