Boustrophedon transform
गणित में, बौस्ट्रोफेडन परिवर्तन एक ऐसी प्रक्रिया है जो एक अनुक्रम से दूसरे अनुक्रम का मानचित्रण करती है। परिवर्तित अनुक्रम की गणना एक "जोड़" ऑपरेशन द्वारा की जाती है, जिसे इस तरह से लागू किया जाता है जैसे कि एक त्रिकोणीय सरणी को एक बुस्ट्रोफेडन (ज़िगज़ैग-या सर्पाकार-जैसे) तरीके से भरना-एक "रेखापुंज स्कैन" सॉटूथ-जैसे तरीके के विपरीत। परिभाषा बौस्ट्रोफेडन परिवर्तन एक संख्यात्मक, अनुक्रम उत्पन्न करने वाला परिवर्तन है, जो एक "जोड़" ऑपरेशन द्वारा निर्धारित किया जाता है। आम तौर पर, एक अनुक्रम दिया गया हैः, बॉस्ट्रोफेडन परिवर्तन एक और अनुक्रम देता हैः, जहां संभवतः इसके बराबर परिभाषित किया गया है। परिवर्तन की संपूर्णता को त्रिभुज को भरकर निर्मित किया जा रहा है (या कल्पना की जा सकती है) जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बौस्ट्रोफेडन त्रिभुज संख्यात्मक समद्विबाहु त्रिभुज (चित्र 1) को भरने के लिए, आप इनपुट अनुक्रम से शुरू करते हैं, और बॉस्ट्रोफेडन स्कैन (ज़िगज़ैग-या सर्पिनाइन जैसे) दृष्टिकोण का उपयोग करके प्रति पंक्ति एक मान (इनपुट अनुक्रम से) रखते हैं। त्रिभुज का शीर्ष शीर्ष इनपुट मूल्य होगा, जो आउटपुट मूल्य के बराबर होगा, और हम इस शीर्ष पंक्ति को पंक्ति 0 के रूप में गिनते हैं। बाद की पंक्तियों (त्रिकोण के आधार तक जाने वाली) को लगातार (0 से) पूर्णांक के रूप में गिना जाता है-आइए वर्तमान में भरी जा रही पंक्ति की संख्या को दर्शाते हैं। इन पंक्तियों का निर्माण पंक्ति संख्या () के अनुसार निम्नानुसार किया जाता हैः सभी पंक्तियों के लिए, क्रमांकित, पंक्ति में बिल्कुल मान होंगे। यदि विषम है, तो मान को पंक्ति के दाहिने हाथ के छोर पर रखें। इस पंक्ति के आंतरिक भाग को दाएँ से बाएँ भरें, जहाँ प्रत्येक मान (अनुक्रमणिकाः) मान से दाएँ (अनुक्रमणिकाः) और ऊपरी दाएँ (अनुक्रमणिकाः) के मूल्य के बीच "जोड़" का परिणाम है। आउटपुट मान एक विषम पंक्ति के बाएं हाथ के छोर पर होगा (जहां विषम है)। यदि सम है, तो इनपुट मान को पंक्ति के बाएँ छोर पर रखें। इस पंक्ति के आंतरिक भाग को बाएँ से दाएँ भरें, जहाँ प्रत्येक मान (अनुक्रमणिकाः) अपने बाएँ मूल्य (अनुक्रमणिकाः) और अपने ऊपरी बाएँ मूल्य (अनुक्रमणिकाः) के बीच "जोड़" का परिणाम है। आउटपुट मान एक सम पंक्ति के दाहिने हाथ के छोर पर होगा (जहां सम है)। इन "जोड़" कार्यों के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए चित्र 1 में तीरों का संदर्भ लें। मानों के दिए गए, परिमित इनपुट-अनुक्रम के लिए, त्रिभुज में बिल्कुल पंक्तियाँ होंगी, जैसे कि सीमा में एक पूर्णांकः (अनन्य)। दूसरे शब्दों में, अंतिम पंक्ति है। पुनरावृत्ति संबंध एक अधिक औपचारिक परिभाषा पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करती है। संख्याओं को (k ≤ n ≤ 0 के साथ) द्वारा परिभाषित करें। फिर परिवर्तित अनुक्रम को (अधिक और अधिक सूचकांकों के लिए) द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस परिभाषा के अनुसार, जोड़े पर प्रतिबंधों (उपरोक्त संबंध से) के बाहर के मूल्यों के लिए निम्नलिखित परिभाषाओं पर ध्यान देंः विशेष मामले a0 = 1, an = 0 (n> 0) के मामले में, परिणामी त्रिभुज को सीडेल-एंट्रिंगर-अर्नोल्ड त्रिभुज कहा जाता है और संख्याओं को प्रवेश संख्या कहा जाता है। इस मामले में परिवर्तित अनुक्रम bn में संख्याओं को यूलर अप/डाउन संख्या कहा जाता है। यह पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश पर अनुक्रम A000111 है। ये n अक्षरों पर वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना करते हैं और यूलर संख्याओं और बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं। बीजगणितीय परिभाषा (ओं) बोस्ट्रोफेडन परिवर्तन के ज्यामितीय डिजाइन से निर्माण करते हुए, विभिन्न बीजगणित ("संख्यात्मक क्षेत्र") के लिए इनपुट मानों () से आउटपुट मानों () के संबंध की बीजगणितीय परिभाषाओं को परिभाषित किया जा सकता है। यूक्लिडियन (वास्तविक) मान यूक्लिडियन () बीजगणित में वास्तविक ()-मूल्यवान स्केलरों के लिए, परिवर्तित वास्तविक-मूल्य इनपुट मूल्य से संबंधित है, इस प्रकारः, विपरीत संबंध (आउटपुट से इनपुट) के साथ परिभाषित किया गया हैः, जहाँ "ऊपर/नीचे" संख्याओं का अनुक्रम है-जिसे सेकेंट या स्पर्श संख्या के रूप में भी जाना जाता है। घातीय उत्पादन फलन एक अनुक्रम (एन) के घातीय उत्पादन फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि बॉस्ट्रोफेडन परिवर्तन (बीएन) का घातीय उत्पादन फलन मूल अनुक्रम (एन) से संबंधित है।