Pseudo-arc
सामान्य टोपोलॉजी में, छद्म-आर्क सबसे सरल गैर-वंशानुगत वंशानुगत रूप से अपघटित निरंतरता है। छद्म-आर्क एक चाप जैसी सजातीय निरंतरता है, और सजातीय समतलीय निरंतरता के वर्गीकरण में एक केंद्रीय भूमिका निभाई है। आर. एच. बिंग ने साबित किया कि, एक निश्चित रूप से अच्छी तरह से परिभाषित अर्थों में, आर. एन. में अधिकांश निरंतर, एन. ओ. आर. 2, छद्म-आर्क के समरूप हैं। 1920 में, ब्रोनिस्लाव नैस्टर और काज़िमियर्ज़ कुराटोव्स्की ने पूछा कि क्या यूक्लिडियन तल R2 में एक गैर-उत्पन्न सजातीय निरंतरता एक जॉर्डन वक्र होना चाहिए। 1921 में, स्टीफन माज़ुरकिविज़ ने पूछा कि क्या R2 में एक गैर-अपक्षयी निरंतरता जो इसके प्रत्येक गैर-अपक्षयी उपखंड के लिए समरूप है, एक चाप होना चाहिए। 1922 में, नैस्टर ने वंशानुगत रूप से अपरिवर्तनीय निरंतरता के का पहला उदाहरण खोजा, जिसे बाद में छद्म-आर्क नाम दिया गया, जो एक मज़ुरकीविज़ प्रश्न का नकारात्मक उत्तर देता है। 1948 में, आर. एच. बिंग ने साबित किया कि नैस्टर की निरंतरता सजातीय है, अर्थात। इसके किसी भी दो बिंदुओं के लिए एक समरूपता है जो एक को दूसरे पर ले जाती है। फिर भी 1948 में, एडविन मोइज़ ने दिखाया कि नैस्टर की निरंतरता इसके प्रत्येक गैर-अपक्षयी उपखंड के लिए समरूप है। चाप के मौलिक गुण से इसकी समानता के कारण, अर्थात्, इसके सभी गैर-अपक्षयी उपखंड के लिए समरूप होने के कारण, मोइज़ ने अपने उदाहरण एम को छद्म-आर्क कहा। बिंग का निर्माण मोइज़ के एम के निर्माण का एक संशोधन है, जिसका वर्णन उन्होंने पहली बार एक व्याख्यान में सुना था। 1951 में, बिंग ने साबित किया कि सभी वंशानुगत रूप से अपरिवर्तनीय चाप जैसे निरंतर समरूप हैं-इसका तात्पर्य है कि नैस्टर का के, मोइज़ का एम और बिंग का बी सभी समरूप हैं। बिंग ने यह भी साबित किया कि छद्म-आर्क कम से कम 2 आयाम के यूक्लिडियन स्थान या एक अनंत-आयामी पृथक्कृत हिल्बर्ट स्थान में निरंतरता के बीच विशिष्ट है। बिंग और एफ. बर्टन जोन्स ने एक अपघटनीय समतलीय निरंतरता का निर्माण किया जो वृत्त पर एक खुले मानचित्र को स्वीकार करता है, जिसमें प्रत्येक बिंदु छद्म-आर्क के लिए पूर्व-समरूपी है, जिसे छद्म-आर्क का वृत्त कहा जाता है। बिंग और जोन्स ने यह भी दिखाया कि यह सजातीय है। 2016 में लोगान होहन और लेक्स ओवरस्टीगन ने सभी समतल सजातीय निरंतरता को, एक समरूपता तक, वृत्त, छद्म-आर्क और छद्म-आर्क के वृत्त के रूप में वर्गीकृत किया। 2019 में होहन और ओवरस्टीगन ने दिखाया कि छद्म-आर्क टोपोलॉजिकल रूप से चाप के अलावा एकमात्र है, जो वंशानुगत रूप से समतुल्य समतलीय निरंतरता है, इस प्रकार 1921 से माज़ुरकीविज़ की समस्या के समतलीय मामले का एक पूर्ण समाधान प्रदान करता है। निर्माण छद्म-आर्क का निम्नलिखित निर्माण इस प्रकार है। स्यूडो-आर्क की परिभाषा के केंद्र में एक श्रृंखला की अवधारणा है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः एक श्रृंखला एक मीट्रिक स्थान में खुले सेटों का एक सीमित संग्रह है जैसे कि यदि और केवल तभी जब एक श्रृंखला के तत्वों को इसके लिंक कहा जाता है, और एक श्रृंखला को ε-श्रृंखला कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक लिंक का व्यास ε से कम हो। ऊपर सूचीबद्ध रिक्त स्थान के प्रकार में सबसे सरल होने के बावजूद, छद्म-आर्क वास्तव में बहुत जटिल है। एक श्रृंखला के टेढ़े-मेढ़े होने की अवधारणा (नीचे परिभाषित) वह है जो छद्म-आर्क को इसकी जटिलता के साथ प्रदान करती है। अनौपचारिक रूप से, एक अन्य श्रृंखला में एक निश्चित पुनरावर्ती ज़िग-ज़ैग पैटर्न का पालन करने के लिए एक श्रृंखला की आवश्यकता होती है। बड़ी श्रृंखला के mth लिंक से nth तक 'स्थानांतरित' करने के लिए, छोटी श्रृंखला को पहले mth लिंक से (n−1) th लिंक तक, फिर घुमावदार तरीके से (m + 1) th लिंक तक, और फिर अंत में nth लिंक तक जाना चाहिए। अधिक औपचारिक रूप सेः मान लीजिए और ऐसी श्रृंखलाएँ बनें कि प्रत्येक कड़ी एक कड़ी का सबसेट है, और किसी भी सूचकांक के लिए i, j, m, और n के साथ, और, सूचकांक मौजूद हैं और (या) के साथ और और फिर सूडो-आर्क में टेढ़ा है। मान लीजिए कि तब पी एक छद्म-आर्क है। टिप्पणियाँ संदर्भ निरंतरता सिद्धांत