Kuiper's theorem
गणित में, कुइपर का प्रमेय (निकोलास कुइपर के बाद) एक अनंत-आयामी, जटिल हिल्बर्ट स्थान एच पर प्रचालक की स्थलविज्ञान पर एक परिणाम है। यह बताता है कि एच के व्युत्क्रमणीय बंधीय एंडोमोर्फिज्म का स्थान जी. एल. (एच) ऐसा है कि प्रचालक पर मानक स्थलविज्ञान के लिए किसी भी सीमित परिसर वाई से जी. एल. (एच) तक के सभी मानचित्र एक स्थिरांक के समस्थानिक हैं। एक महत्वपूर्ण परिणाम, जिसे कुइपर के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, यह है कि यह समूह कमजोर रूप से संकुचित है, अर्थात। इसके सभी होमोटॉपी समूह तुच्छ हैं। टोपोलॉजिकल के-सिद्धांत में इस परिणाम का महत्वपूर्ण उपयोग है। सामान्य रैखिक समूह की सामान्य स्थलविज्ञान परिमित आयामी एच के लिए, यह समूह एक जटिल सामान्य रैखिक समूह होगा और बिल्कुल भी संकुचित नहीं होगा। वास्तव में यह अपने अधिकतम संक्षिप्त उपसमूह के समस्थानिक के बराबर है, एच का एकात्मक समूह यू. इस बात का प्रमाण है कि जटिल सामान्य रैखिक समूह और एकात्मक समूह में एक ही समस्थानिक प्रकार है, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा, या मैट्रिक्स ध्रुवीय अपघटन के माध्यम से, और पृथक्कृत हिल्बर्ट स्थान के अनंत-आयामी मामले में ले जाता है, मूल रूप से क्योंकि ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का स्थान संकुचित है जैसा कि काफी स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। अंतर्निहित घटना यह है कि असीम रूप से कई आयामों से गुजरने से एकात्मक समूहों की अधिकांश स्थलवैज्ञानिक जटिलता गायब हो जाती है; लेकिन बॉट के एकात्मक समूह पर खंड देखें, जहां अनंत तक का मार्ग अधिक बाधित है, और परिणामी समूह में गैर-तुच्छ समरूपता समूह हैं। क्षेत्रों का ऐतिहासिक संदर्भ और स्थलविज्ञान यह एक आश्चर्यजनक तथ्य है कि अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्थान H में इकाई क्षेत्र, जिसे कभी-कभी S ν कहा जाता है, एक संकुचन योग्य स्थान है, जबकि कोई भी सीमित-आयामी क्षेत्र संकुचन योग्य नहीं हैं। यह परिणाम, निश्चित रूप से कुइपर के दशकों पहले जाना जाता है, गणितीय लोककथाओं का दर्जा हो सकता है, लेकिन इसे अक्सर उद्धृत किया जाता है। वास्तव में अधिक सच हैः S φ, H के लिए डिफियोमोर्फिक है, जो निश्चित रूप से अपनी उत्तलता से सिकुड़ सकता है। एक परिणाम यह है कि एच में इकाई गेंद के लिए ब्रोवर निश्चित-बिंदु प्रमेय के विस्तार के लिए सहज प्रति-उदाहरण हैं। ऐसे प्रति-उदाहरणों का अस्तित्व जो समरूपता हैं, 1943 में शिज़ुओ काकुतानी द्वारा दिखाया गया था, जिन्होंने पहली बार इकाई क्षेत्र की संकुचनशीलता का प्रमाण लिखा होगा। लेकिन परिणाम वैसे भी अनिवार्य रूप से ज्ञात था (1935 में एंड्री निकोलायेविच टाइचोनोफ ने दिखाया कि इकाई क्षेत्र इकाई गेंद का एक वापस लेना था)। बाउंडेड ऑपरेटरों के समूह पर परिणाम डच गणितशास्त्री निकोलास कुइपर द्वारा एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्थान के मामले में साबित किया गया था; पृथकता का प्रतिबंध बाद में हटा दिया गया था। समान परिणाम, लेकिन मानक टोपोलॉजी के बजाय मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी के लिए, 1963 में जैक्स डिक्समियर और एड्रियन डौडी द्वारा प्रकाशित किया गया था। गोले और प्रचालक समूह का ज्यामितीय संबंध यह है कि इकाई क्षेत्र एकात्मक समूह U के लिए एक सजातीय स्थान है। इकाई गोले के एकल सदिश v का स्थिरीकारक v के ऑर्थोगोनल पूरक का एकात्मक समूह है; इसलिए समस्थानिक लंबा सटीक अनुक्रम भविष्यवाणी करता है कि इकाई गोले के सभी समस्थानिक समूह तुच्छ होंगे। यह निकट स्थलवैज्ञानिक संबंध को दर्शाता है, लेकिन अपने आप में पर्याप्त नहीं है, क्योंकि एक बिंदु को शामिल करना केवल एक कमजोर समस्थानिक समतुल्यता होगी, और इसका तात्पर्य सीधे केवल एक सी. डब्ल्यू. परिसर के लिए संकुचनशीलता है। कुइपर के दो साल बाद प्रकाशित एक पेपर में, रिचर्ड पैलेस ने इस मुद्दे को हल करने के लिए पर्याप्त अनंत-आयामी मैनिफोल्ड पर तकनीकी परिणाम प्रदान किए। बॉट का एकात्मक समूह एक और अनंत-आयामी एकात्मक समूह है, जिसका समरूपता सिद्धांत में प्रमुख महत्व है, जिस पर बॉट आवधिकता प्रमेय लागू होता है। यह निश्चित रूप से संविदात्मक नहीं है। कुइपर के समूह से अंतर को समझाया जा सकता हैः बॉट का समूह वह उपसमूह है जिसमें एक दिया गया प्रचालक केवल एक निश्चित ऑर्थोनॉर्मल आधार के पहले एन द्वारा फैले उप-स्थान पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है, कुछ एन के लिए, शेष आधार वैक्टर पर पहचान है। अनुप्रयोग रेशे के बंडलों के सामान्य सिद्धांत को देखते हुए एक तत्काल परिणाम यह है कि प्रत्येक हिल्बर्ट बंडल एक तुच्छ बंडल है। S ≤ की संकुचनशीलता पर परिणाम कुछ समूहों के लिए वर्गीकरण रिक्त स्थान का एक ज्यामितीय निर्माण देता है जो इस पर स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं, जैसे कि दो तत्वों के साथ चक्रीय समूह और वृत्त समूह। बॉट के अर्थ में एकात्मक समूह U में जटिल वेक्टर बंडलों के लिए एक वर्गीकृत स्थान BU है (U (n) के लिए वर्गीकृत स्थान देखें)। कुइपर के प्रमेय से आने वाला एक गहरा अनुप्रयोग अतियाह-जेनिच प्रमेय (क्लाउस जेनिच और माइकल अतियाह के बाद) का प्रमाण है, जिसमें कहा गया है कि मानक टोपोलॉजी के साथ एच पर फ्रेडहोल्म ऑपरेटरों का स्थान, फंक्टर के () का प्रतिनिधित्व करता है। समरूपता सिद्धांत के अर्थ में, टोपोलॉजिकल (जटिल) के-सिद्धांत। यह अतियाह द्वारा दिया गया है। बनाच रिक्त स्थान का मामला यही सवाल अनंत आयाम के किसी भी बनाच रिक्त स्थान पर व्युत्क्रमणीय प्रचालक के बारे में पूछा जा सकता है। यहाँ केवल आंशिक परिणाम हैं। कुछ शास्त्रीय अनुक्रम स्थानों में एक ही गुण होता है, अर्थात् व्युत्क्रमणीय प्रचालक समूह संविदनीय होता है। दूसरी ओर, ऐसे उदाहरण ज्ञात हैं जहाँ यह एक जुड़ा हुआ स्थान होने में विफल रहता है। जहाँ सभी होमोटॉपी समूहों को तुच्छ माना जाता है, वहाँ कुछ मामलों में संकुचन अज्ञात रह सकता है। संदर्भ के-सिद्धांत प्रचालक सिद्धांत हिल्बर्ट स्पेस लाइ समूहों के टोपोलॉजी टोपोलॉजी में प्रमेय