Class number formula
संख्या सिद्धांत में, वर्ग संख्या सूत्र एक संख्या क्षेत्र के कई महत्वपूर्ण अपरिवर्तकों को इसके डेडेकिंड जीटा फलन के एक विशेष मूल्य से संबंधित करता है। वर्ग संख्या सूत्र का सामान्य विवरण हम निम्नलिखित आंकड़ों से शुरू करते हैंः एक संख्या क्षेत्र है। , जहाँ की वास्तविक एम्बेडिंग की संख्या को दर्शाता है, और की जटिल एम्बेडिंग की संख्या है। का डेडेकिंड जीटा फलन है। वर्ग संख्या, के आदर्श वर्ग समूह में तत्वों की संख्या है। का नियामक है। में निहित एकता की जड़ों की संख्या है। विस्तार का भेदभाव है। फिरः प्रमेय (वर्ग संख्या सूत्र)। यह बिल्कुल के लिए अभिसरण करता है और अवशेष के साथ केवल एक सरल ध्रुव के साथ सभी परिसरों के लिए परिभाषित एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन तक विस्तारित होता है यह सबसे सामान्य "वर्ग संख्या सूत्र" है। विशेष मामलों में, उदाहरण के लिए जब एक साइक्लोटोमिक विस्तार होता है, तो विशेष और अधिक परिष्कृत वर्ग संख्या सूत्र होते हैं। प्रमाण वर्ग संख्या सूत्र के प्रमाण का विचार सबसे आसानी से तब देखा जाता है जब K = Q (i)। इस मामले में, के में पूर्णांकों का वलय गौसी पूर्णांक है। एक प्राथमिक हेरफेर से पता चलता है कि s = 1 पर डेडेकिंड जीटा फलन का अवशेष डेडेकिंड जीटा फलन के डिरिचलेट श्रृंखला प्रतिनिधित्व के गुणांक का औसत है। डिरिचलेट श्रृंखला का n-th गुणांक अनिवार्य रूप से गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के दो वर्गों के योग के रूप में n के अभ्यावेदन की संख्या है। अतः प्रतिनिधित्वों की औसत संख्या की गणना करके s = 1 पर डेडेकिंड जीटा फलन के अवशेष की गणना की जा सकती है। जैसा कि गॉस वृत्त समस्या पर लेख में, मूल पर केंद्रित एक चौथाई वृत्त के अंदर जाली बिंदुओं की संख्या का अनुमान लगाकर इसकी गणना की जा सकती है, यह निष्कर्ष निकालते हुए कि अवशेष पाई का एक चौथाई है। प्रमाण जब K एक मनमाना काल्पनिक द्विघात संख्या क्षेत्र है तो बहुत समान है। सामान्य मामले में, डिरिचलेट की इकाई प्रमेय के अनुसार, K के पूर्णांकों के वलय में इकाइयों का समूह अनंत है। फिर भी कोई भी वास्तविक और जटिल एम्बेडिंग के शास्त्रीय सिद्धांत का उपयोग करके अवशेष की गणना को एक जाली बिंदु गणना समस्या तक कम कर सकता है और प्रमाण को पूरा करने के लिए क्षेत्र के आयतन द्वारा एक क्षेत्र में जाली बिंदुओं की संख्या का अनुमान लगा सकता है। डिरिचलेट वर्ग संख्या सूत्र पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने 1839 में द्विघात क्षेत्रों के लिए वर्ग संख्या सूत्र का एक प्रमाण प्रकाशित किया, लेकिन इसे आदर्शों के वर्गों के बजाय द्विघात रूपों की भाषा में कहा गया था। ऐसा प्रतीत होता है कि गॉस 1801 में पहले से ही इस सूत्र को जानते थे। यह प्रदर्शनी डेवनपोर्ट का अनुसरण करती है। मान लीजिए कि डी एक मौलिक विभेदक है, और विभेदक डी के साथ द्विघात रूपों के समतुल्य वर्गों की संख्या के लिए एच (डी) लिखें। फिर एक डिरिचलेट चरित्र है। इस पर आधारित डिरिचलेट एल-श्रृंखला के लिए लिखें। d> 0 के लिए, मान लीजिए कि t> 0, u> 0 पेल समीकरण का समाधान है जिसके लिए u सबसे छोटा है, और लिखें (फिर या तो वास्तविक द्विघात क्षेत्र की एक मौलिक इकाई है या एक मौलिक इकाई का वर्ग है।) डी <0 के लिए, डिस्क्रिमिनेंट डी के द्विघात रूपों के ऑटोमोर्फिज्म की संख्या के लिए डब्ल्यू लिखें; यानी, फिर डिरिचलेट ने दिखाया कि यह उपरोक्त प्रमेय 1 का एक विशेष मामला हैः एक द्विघात क्षेत्र के लिए, डेडेकिंड जीटा फ़ंक्शन न्यायपूर्ण है, और अवशेष है। डिरिचलेट ने यह भी दिखाया कि एल-श्रृंखला को एक सीमित रूप में लिखा जा सकता है, जो वर्ग संख्या के लिए एक सीमित रूप देता है। मान लीजिए कि यह प्राइम कंडक्टर के साथ प्रिमिटिव है। यदि के क्यू का एक गैलोइस विस्तार है, तो आर्टिन एल-कार्यों का सिद्धांत लागू होता है। इसमें रीमान जीटा फलन का एक कारक है, जिसमें अवशेष एक का ध्रुव है, और भागफल s = 1 पर नियमित है। इसका मतलब है कि वर्ग संख्या सूत्र के दाहिने हाथ की ओर एक बाएं हाथ की ओर ΠL (1, ρ) मंद ρ के बराबर किया जा सकता है जिसमें ρ आयाम मंद (ρ) के गैल (के/क्यू) के अपरिवर्तनीय गैर-तुच्छ जटिल रैखिक अभ्यावेदन के वर्गों पर चलता है। यह नियमित प्रतिनिधित्व के मानक अपघटन के अनुसार है। तर्कसंगतों के अबेलियन विस्तार यह उपरोक्त का मामला है, जिसमें गैल (के/क्यू) एक अबेलियन समूह है, जिसमें सभी ρ को डिरिचलेट वर्णों (वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के माध्यम से) द्वारा कुछ मापांक f के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसे चालक कहा जाता है। इसलिए सभी एल (1) मान डिरिचलेट एल-कार्यों के लिए होते हैं, जिसके लिए एक शास्त्रीय सूत्र होता है, जिसमें लघुगणक शामिल होते हैं। क्रोनेकर-वेबर प्रमेय के अनुसार, एक विश्लेषणात्मक वर्ग संख्या सूत्र के लिए आवश्यक सभी मान पहले से ही तब होते हैं जब साइक्लोटोमिक क्षेत्रों पर विचार किया जाता है। उस स्थिति में एक और सूत्रीकरण संभव है, जैसा कि कुम्मर द्वारा दिखाया गया है। नियामक, साइक्लोटोमिक क्षेत्र की इकाइयों के लघुगणक द्वारा विभाजित 'लघुगणक स्थान' में आयतन की गणना, साइक्लोटोमिक इकाइयों के लघुगणक के रूप में पहचाने जाने वाले एल (1) से मात्राओं के खिलाफ निर्धारित किया जा सकता है। वहाँ परिणाम सूत्र बताते हैं कि वर्ग संख्या इकाइयों के पूरे समूह में साइक्लोटोमिक इकाइयों के सूचकांक द्वारा निर्धारित की जाती है। इवासावा सिद्धांत में, इन विचारों को आगे स्टिकलबर्गर के प्रमेय के साथ जोड़ा जाता है। ब्रमर-स्टार्क अनुमान स्मिथ-मिन्कोव्स्की-सीगल द्रव्यमान सूत्र टिप्पणियाँ संदर्भ बीजगणितीय संख्या सिद्धांत द्विघात रूप भी देखें।