Scheinerman's conjecture
गणित में, स्कीनरमैन का अनुमान, जो अब एक प्रमेय है, बताता है कि प्रत्येक समतलीय ग्राफ समतल में रेखा खंडों के एक समूह का प्रतिच्छेदन ग्राफ है। इस अनुमान को ई. आर. शाइनरमैन ने अपने पी. एच. डी. थीसिस (1984) में पहले के परिणामों के बाद तैयार किया था कि प्रत्येक समतलीय ग्राफ को समतल में सरल वक्रों के एक समूह के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह सिद्ध हुआ। उदाहरण के लिए, नीचे बाईं ओर दिखाए गए ग्राफ जी को नीचे दाईं ओर दिखाए गए खंडों के समूह के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। यहाँ, G के शीर्षों को सीधी रेखा खंडों द्वारा दर्शाया जाता है और G के किनारों को प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। शाइनरमैन ने यह भी अनुमान लगाया कि केवल तीन दिशाओं वाले खंड 3-रंगीन ग्राफ का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त होंगे, और अनुमान लगाया कि समान रूप से प्रत्येक समतल ग्राफ को चार दिशाओं का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। यदि एक ग्राफ को केवल के दिशाओं वाले खंडों के साथ दर्शाया जाता है और कोई दो खंड एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं, तो ग्राफ को के रंगों का उपयोग करके रंगीन किया जा सकता है, प्रत्येक दिशा के लिए एक रंग। इसलिए, यदि प्रत्येक समतलीय ग्राफ को केवल चार दिशाओं के साथ इस तरह से दर्शाया जा सकता है, तो चार रंग प्रमेय इस प्रकार है। और साबित किया कि प्रत्येक द्विदलीय समतलीय ग्राफ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है; इस परिणाम के लिए भी देखें। यह साबित किया कि प्रत्येक त्रिभुज-मुक्त समतलीय ग्राफ को केवल तीन दिशाओं वाले रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है; इस परिणाम से ग्रोट्ज़्श की प्रमेय का तात्पर्य है कि त्रिभुज-मुक्त समतलीय ग्राफ को तीन रंगों से रंगा जा सकता है। यह साबित हुआ कि यदि एक समतलीय ग्राफ G को 4-रंग का इस तरह से बनाया जा सकता है कि कोई भी अलग करने वाला चक्र सभी चार रंगों का उपयोग नहीं करता है, तो G का प्रतिनिधित्व खंडों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में होता है। यह साबित किया कि समतलीय ग्राफ 1-स्ट्रिंग में हैं, समतल में सरल वक्रों के प्रतिच्छेदन ग्राफ का वर्ग जो प्रति जोड़ी अधिकतम एक पार बिंदु पर एक दूसरे को काटता है। यह वर्ग स्कीनरमैन के अनुमान में दिखाई देने वाले खंडों के प्रतिच्छेदन ग्राफ और एरलिच एट अल के परिणाम से अप्रतिबंधित सरल वक्रों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के बीच मध्यवर्ती है। इसे वृत्त पैकिंग प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है, जो एक ही परिणाम दिखाता है जब वक्रों को एक स्पर्शरेखा में प्रतिच्छेद करने की अनुमति दी जाती है। अनुमान का प्रमाण इस परिणाम के सुधार पर आधारित था। संदर्भ। .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. प्लेनर ग्राफ अनुमान जो सिद्ध हो चुके हैं