Small Latin squares and quasigroups
लैटिन वर्ग और अर्धसमूह समतुल्य गणितीय वस्तुएँ हैं, हालाँकि पूर्व में एक संयोजी प्रकृति है जबकि बाद वाला अधिक बीजगणितीय है। नीचे दी गई सूची में कुछ बहुत छोटे क्रमों के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा, जो वर्ग की पार्श्व लंबाई है, या समतुल्य अर्धसमूह में तत्वों की संख्या है। तत्वों के साथ एक अर्धसमूह को देखते हुए, इसकी केली तालिका (लगभग सार्वभौमिक रूप से इसकी गुणन तालिका कहा जाता है) एक ऐसी तालिका है जिसमें सीमाएँ शामिल हैं; स्तंभ शीर्षकों की एक शीर्ष पंक्ति और पंक्ति शीर्षकों का एक बायां स्तंभ। सीमाओं को हटाने से एक सरणी निकलती है जो एक लैटिन वर्ग है। इस प्रक्रिया को उलट दिया जा सकता है, एक लैटिन वर्ग से शुरू करते हुए, एक अर्धसमूह की गुणन तालिका प्राप्त करने के लिए एक सीमावर्ती पंक्ति और स्तंभ का परिचय दें। जबकि इस सीमा को कैसे किया जाता है, इसमें पूरी तरह से मनमानेपन है, विभिन्न विकल्पों द्वारा प्राप्त अर्धसमूह कभी-कभी नीचे दिए गए अर्थ में समकक्ष होते हैं। समस्थानिक और समरूपता दो लैटिन वर्ग, आकार के 1 और 2 समस्थानिक हैं यदि 1 की पंक्तियों, स्तंभों और प्रतीकों से क्रमशः 2 की पंक्तियों, स्तंभों और प्रतीकों पर तीन द्विभाजन हैं, जो 1 से 2 का मानचित्र बनाते हैं। समस्थानिक एक समतुल्य संबंध है और समतुल्य वर्गों को समस्थानिक वर्ग कहा जाता है। समानता का एक मजबूत रूप मौजूद है। दो लैटिन वर्ग, सामान्य प्रतीक सेट के साथ पक्ष के 1 और 2 जो कि प्रत्येक वर्ग की पंक्तियों और स्तंभों के लिए सूचकांक सेट भी है, समरूप हैं यदि कोई बाइजेक्शन है जैसे कि सभी के लिए, में। समरूपी लैटिन वर्गों को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका यह कहना है कि समस्थानिक लैटिन वर्गों की एक जोड़ी समरूपी है यदि यह दिखाने के लिए उपयोग किए जाने वाले तीन बाइजेक्शन कि वे समस्थानिक हैं, वास्तव में बराबर हैं। समरूपता भी एक समतुल्य संबंध है और इसके समतुल्य वर्गों को समरूपता वर्ग कहा जाता है। लैटिन वर्ग का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व एक ऑर्थोगोनल सरणी द्वारा दिया जाता है। क्रम के लैटिन वर्ग के लिए यह एक 2 × 3 मैट्रिक्स है जिसमें कॉलम लेबल किए गए हैं, और जिनकी पंक्तियाँ लैटिन वर्ग की एकल स्थिति के अनुरूप हैं, अर्थात्, स्थिति की पंक्ति, स्थिति का स्तंभ और स्थिति में प्रतीक। इस प्रकार तीन लैटिन वर्ग क्रम के लिए, ऑर्थोगोनल सरणी इस प्रकार दी गई हैः एक लैटिन वर्ग का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक उचित आकार के मैट्रिक्स के लिए शर्त यह है कि किसी भी दो स्तंभों के लिए उन स्तंभों में पंक्तियों द्वारा निर्धारित क्रमबद्ध जोड़े 1 ≤ के साथ सभी जोड़े () हैं, प्रत्येक एक बार। यह गुण तीन स्तंभों (लेकिन लेबल नहीं) को क्रमबद्ध करने से नहीं खोता है, इसलिए एक और ऑर्थोगोनल सरणी (और इस प्रकार, एक और लैटिन वर्ग) प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, पहले दो स्तंभों को क्रमबद्ध करके, जो वर्ग को स्थानांतरित करने के अनुरूप है (इसके मुख्य विकर्ण के बारे में प्रतिबिंबित करता है) एक और लैटिन वर्ग देता है, जो मूल के समस्थानिक हो भी सकता है और नहीं भी। इस मामले में, यदि इस लैटिन वर्ग के अनुरूप अर्धसमूह परिवर्तनीय नियम को संतुष्ट करता है, तो नया लैटिन वर्ग मूल के समान है। कुल मिलाकर "कुछ न करें" सहित छह संभावनाएँ हैं, जो मूल वर्ग के संयुग्म (पैरास्ट्रॉफ़ भी) कहे जाने वाले अधिकतम छह लैटिन वर्ग प्रदान करती हैं। दो लैटिन वर्गों को पैराटोपिक कहा जाता है, जो मुख्य वर्ग के समस्थानिक भी हैं, यदि उनमें से एक दूसरे के संयुग्म के समस्थानिक है। यह भी एक समतुल्यता संबंध है, समतुल्यता वर्गों के साथ जिन्हें मुख्य वर्ग, प्रजाति या पैराटोपी वर्ग कहा जाता है। प्रत्येक मुख्य वर्ग में छह समस्थानिक वर्ग होते हैं। एक मुख्य वर्ग समस्थानिक वर्गों का एक असंगत संघ है और एक समस्थानिक वर्ग समरूपता वर्गों का एक असंगत संघ है। समस्थानिक अर्धसमूह मान लीजिए और दो अर्धसमूह हों। ऊपर से बाइजेक्शंस के एक क्रमबद्ध तिगुना को अंदर के लिए एक आइसोटोपिज्म कहा जाता है। इस तरह के अर्धसमूहों को समस्थानिक कहा जाता है। यदि उपरोक्त परिभाषा में क्वासिग्रुप को समरूप कहा जाता है। लैटिन वर्गों के साथ स्थिति के विपरीत, जब दो समस्थानिक अर्धसमूहों को केले तालिकाओं (सीमावर्ती लैटिन वर्ग) द्वारा दर्शाया जाता है, तो क्रमपरिवर्तन और केवल सीमा शीर्ष पर काम करते हैं और स्तंभों और पंक्तियों को स्थानांतरित नहीं करते हैं, जबकि टेबल के मुख्य भाग पर काम करते हैं। केले तालिका (शीर्षकों सहित) की पंक्तियों और स्तंभों को क्रमबद्ध करने से यह परिभाषित करने वाले अर्धसमूह को नहीं बदलता है, हालांकि, इस तालिका से जुड़े लैटिन वर्ग को एक समस्थानिक लैटिन वर्ग में क्रमबद्ध किया जाएगा। इस प्रकार, एक केली तालिका को सामान्य बनाना (शीर्षकों सहित पंक्तियों और स्तंभों को क्रमबद्ध करके सीमा शीर्षकों को कुछ निश्चित पूर्व निर्धारित क्रम में रखना) संबंधित लैटिन वर्ग के समस्थानिक वर्ग को संरक्षित करता है। इसके अलावा, यदि दो सामान्यीकृत केली तालिकाएं समरूपी अर्धसमूहों का प्रतिनिधित्व करती हैं तो उनके संबंधित लैटिन वर्ग भी समरूपी हैं। इसलिए, किसी दिए गए क्रम के विशिष्ट अर्धसमूहों की संख्या उस क्रम के लैटिन वर्गों के समरूपता वर्गों की संख्या है। एक लैटिन वर्ग (या अर्धसमूह) में उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों का समूह मनमाना होता है और व्यक्तिगत प्रतीकों का कोई अर्थ नहीं होता है, भले ही उनका अन्य संदर्भों में कोई अर्थ हो। इस प्रकार, चूंकि उपयोग किए गए प्रतीक समुच्चयों} या} को देखना सबसे आम है, इसलिए यह याद रखना चाहिए कि इन प्रतीकों का कोई संख्यात्मक अर्थ नहीं है। इस बिंदु पर जोर देने के लिए, छोटे लैटिन वर्ग कभी-कभी वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग प्रतीक समूह के रूप में करते हैं। लैटिन वर्ग के रूप में एक लैटिन वर्ग एक संयोजन वस्तु है, वर्ग लिखने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्रतीक सेट महत्वहीन है। इस प्रकार, लैटिन वर्गों के रूप में, इन्हें समान माना जाना चाहिएः और इसी तरह, और उसी कारण से, और एक ही के रूप में सोचा जाना चाहिए। इस प्रकार, और इसे विभिन्न लैटिन वर्गों के रूप में नहीं सोचा जा सकता है। इस सहज ज्ञान युक्त तर्क को और अधिक सटीक बनाया जा सकता है। लैटिन वर्ग और कई मायनों में समस्थानिक हैं। मान लीजिए कि () सेट पर अनैच्छिक क्रमपरिवर्तन है, जिसे भेजना और भेजना है। फिर आइसोटोपी} पहले वर्ग की दो पंक्तियों का आदान-प्रदान करके दूसरा वर्ग (पहचान क्रमपरिवर्तन है) देगा। लेकिन,} जो दोनों स्तंभों को आपस में बदल देता है, वह भी एक समस्थानिक है, जैसा कि है, जो दोनों प्रतीकों को आपस में बदल देता है। हालाँकि,} दो वर्गों के बीच एक समस्थानिक भी है, और इसलिए, वर्गों की यह जोड़ी समरूप है। किसी दिए गए लैटिन वर्ग के समरूपता वर्ग को खोजना बड़े क्रम के वर्गों के लिए एक कठिन कम्प्यूटेशनल समस्या हो सकती है। समस्या को कुछ हद तक कम करने के लिए, एक लैटिन वर्ग को हमेशा एक मानक रूप में रखा जा सकता है जिसे कम वर्ग के रूप में जाना जाता है। एक कम किए गए वर्ग में प्रतीक समूह के लिए कुछ प्राकृतिक क्रम में लिखे गए शीर्ष पंक्ति तत्व होते हैं (उदाहरण के लिए, बढ़ते क्रम में पूर्णांक या वर्णानुक्रम में अक्षर)। बाएँ स्तंभ प्रविष्टियों को एक ही क्रम में रखा जाता है। जैसा कि यह पंक्ति और स्तंभ क्रमपरिवर्तन द्वारा किया जा सकता है, प्रत्येक लैटिन वर्ग एक कम वर्ग के लिए समस्थानिक है। इस प्रकार, प्रत्येक समस्थानिक वर्ग में एक छोटा लैटिन वर्ग होना चाहिए, हालांकि, एक लैटिन वर्ग में एक से अधिक छोटा वर्ग हो सकता है जो समस्थानिक है। वास्तव में, किसी दिए गए समरूपता वर्ग में एक से अधिक कम वर्ग हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम चार के कम किए गए लैटिन वर्ग, और दोनों समरूपता वर्ग में हैं जिसमें कम किए गए वर्ग भी शामिल हैं इसे क्रमशः समरूपता {(3,4), (3,4), (3,4)} और {(2,3), (2,3), (2,3)} द्वारा दिखाया जा सकता है। चूँकि समस्थानिक वर्ग अलग-अलग होते हैं, इसलिए कम हुए लैटिन वर्गों की संख्या समस्थानिक वर्गों की संख्या पर एक ऊपरी सीमा देती है। इसके अलावा, लैटिन वर्गों की कुल संख्या कम किए गए वर्गों की संख्या का गुना है। एक क्वासिग्रुप की केली तालिका को उसी तरह सामान्य किया जा सकता है जैसे एक छोटा लैटिन वर्ग। फिर एक कम लैटिन वर्ग से जुड़े अर्धसमूह में एक (दो तरफा) पहचान तत्व होता है (अर्थात्, पंक्ति शीर्षकों में पहला तत्व)। दो तरफा पहचान वाले एक अर्धसमूह को लूप कहा जाता है। कुछ, लेकिन सभी नहीं, लूप समूह हैं। एक समूह होने के लिए, सहयोगी कानून भी होना चाहिए। समस्थानिक अपरिवर्तनीय लैटिन वर्ग में विभिन्न उप-संरचनाओं की गिनती उन्हें एक दूसरे से अलग करने में उपयोगी हो सकती है। इनमें से कुछ गणनाएँ लैटिन वर्ग के प्रत्येक समस्थानिक के लिए समान हैं और इन्हें समस्थानिक अपरिवर्तनीय के रूप में संदर्भित किया जाता है। ऐसा ही एक अपरिवर्तनीय 2 × 2 उपवर्गों की संख्या है, जिसे इंटरकेलेट्स कहा जाता है। दूसरा पारगमनों की कुल संख्या है, क्रम के लैटिन वर्ग में स्थितियों का एक समूह, प्रत्येक पंक्ति में एक और प्रत्येक स्तंभ में एक, जिसमें दो बार कोई तत्व नहीं होता है। इन गणनाओं के लिए अलग-अलग मूल्यों वाले लैटिन वर्ग अलग-अलग समस्थानिक वर्गों में होने चाहिए। इंटरकेलेट्स की संख्या भी एक मुख्य वर्ग अपरिवर्तनीय है। क्रम 1 क्रम 1 के लिए प्रतीक 1 के साथ केवल एक लैटिन वर्ग है और अंतर्निहित समूह {1} के साथ एक अर्धसमूह है; यह एक समूह है, तुच्छ समूह। क्रम 2 क्रम दो का केवल एक छोटा लैटिन वर्ग है (और कुल में केवल दो), अर्थात् चूंकि इस क्रम का केवल एक छोटा वर्ग है, इसलिए केवल एक समस्थानिक वर्ग है। वास्तव में, यह समस्थानिक वर्ग भी एक समरूपता वर्ग है (ऊपर दिखाया गया है)। चूँकि लैटिन वर्गों का केवल एक समरूपता वर्ग है, इसलिए क्रम दो का केवल एक अर्धसमूह है (समरूपता तक) और यह समूह आमतौर पर Z/2Z द्वारा दर्शाया जाता है, जो क्रम दो का चक्रीय समूह है। क्रम 3 क्रम तीन (12 में से) का केवल एक छोटा लैटिन वर्ग भी है, इस प्रकार, केवल एक समस्थानिक वर्ग है। हालाँकि, यह समस्थानिक वर्ग पाँच समरूपता वर्गों का संघ है। पाँच समरूपता वर्गों में से तीन में तीन लैटिन वर्ग होते हैं, एक में दो होते हैं और एक में सिर्फ एक होता है। घटा हुआ वर्ग तीन तत्वों के साथ एक समरूपता वर्ग में है और इसलिए संबंधित अर्धसमूह एक लूप है, वास्तव में यह एक समूह है, Z/3Z, क्रम तीन का चक्रीय समूह है। इनमें से प्रत्येक समरूपता वर्ग का एक लैटिन वर्ग प्रतिनिधि इस प्रकार दिया जाता है (प्रत्येक के नीचे की संख्या संबंधित समरूपता वर्ग में वर्गों की संख्या है): क्रम 4 क्रम चार (576 वर्गों में से) के चार कम लैटिन वर्ग हैं। ये हैंः इनमें से अंतिम तीन समरूप हैं (ऊपर देखें)। दो मुख्य वर्ग हैं, दो समस्थानिक वर्ग और 35 समरूपता वर्ग। 35 अर्धसमूहों में से केवल दो लूप हैं, और वे वास्तव में समूह हैं। ऊपर के पहले वर्ग के अनुरूप क्लेन चार समूह है, जबकि अन्य तीन वर्गों में से किसी के अनुरूप चक्रीय समूह Z/4Z है। पहले वर्ग में आठ ट्रांसवर्सल और 12 इंटरकलेट्स हैं, जबकि अन्य में से प्रत्येक में कोई ट्रांसवर्सल और चार इंटरकलेट्स नहीं हैं। क्लेन चार समूह के समरूपता वर्ग में चार सदस्य होते हैं, जबकि चक्रीय समूह के समरूपता वर्ग में 12 सदस्य होते हैं। 576 लैटिन वर्गों में से 288 सुडोकू के 4 × 4 संस्करण के समाधान हैं, जिन्हें कभी-कभी शी डोकू कहा जाता है। क्रम 5 क्रम पाँच के 161,280 लैटिन वर्गों में से 56 कम वर्ग हैं। दो मुख्य वर्ग और केवल दो समस्थानिक वर्ग हैं, लेकिन 1,411 समरूपता वर्ग हैं। छह समरूपता वर्ग हैं जिनमें कम वर्ग होते हैं, यानी छह लूप होते हैं, जिनमें से केवल एक समूह होता है, जो क्रम पाँच का चक्रीय समूह होता है। नीचे क्रम पाँच के दो कम किए गए लैटिन वर्ग हैं, प्रत्येक समस्थानिक वर्ग से एक। पहले वर्ग में 15 अनुप्रस्थ वर्ग होते हैं, कोई अंतर्वेशक नहीं होता है और यह चक्रीय समूह Z/5Z की सीमा रहित केली तालिका है। दूसरे वर्ग में तीन अनुप्रस्थ और चार अंतर्वर्त हैं। यह एक ऐसे लूप का प्रतिनिधित्व करता है जो एक समूह नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2, जबकि (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, इसलिए सहयोगी नियम नहीं है। ऑर्डर 6 से 10 लैटिन वर्गों की संख्या, जैसे-जैसे क्रम बढ़ता है, संयोजन विस्फोट के रूप में जानी जाने वाली घटना को प्रदर्शित करता है; आकार में छोटी वृद्धि के लिए भी किस्मों में भारी वृद्धि होती है। बुनियादी गणनाएँ अगली दो तालिकाओं में दी गई हैं, और यहाँ जो प्रस्तुत किया गया है उससे बहुत अधिक सटीक रूप से ज्ञात नहीं है। इतिहास यह विवरण निम्नलिखित है। लैटिन वर्गों की गिनती का एक लंबा इतिहास है, लेकिन प्रकाशित विवरणों में कई त्रुटियां हैं। 1782 में यूलर और 1890 में केली, दोनों को पता था कि पाँच क्रम तक कम किए गए लैटिन वर्गों की संख्या कितनी है। 1915 में, मैकमोहन ने एक अलग तरीके से समस्या का समाधान किया, लेकिन शुरू में ऑर्डर पाँच के लिए गलत मूल्य प्राप्त किया। 1890 में M.Frolov और 1901 में टैरी ने क्रम छह के घटते वर्गों की संख्या पाई। एम. फ्रोलोव ने सात क्रम के कम किए गए वर्गों की गलत गिनती दी। आर. ए. फिशर और एफ. येट्स, ई. शॉनहार्ट के पहले के काम से अनजान थे, उन्होंने छह तक के आदेशों के समस्थानिक वर्गों की संख्या दी। 1939 में, एच. डब्ल्यू. नॉर्टन ने सात क्रम के 562 समस्थानिक वर्गों की खोज की, लेकिन स्वीकार किया कि उनकी विधि अधूरी थी। ए. साडे, 1951 में, लेकिन निजी तौर पर 1948 में पहले प्रकाशित हुआ, और पी. एन. सक्सेना ने अधिक वर्ग पाए और 1966 में, डी. ए. प्रीस ने नोट किया कि इसने नॉर्टन के परिणाम को 564 समस्थानिक वर्गों में सुधार दिया। हालाँकि, 1968 में, जे. डब्ल्यू. ब्राउन ने 563 के गलत मूल्य की घोषणा की, जिसे अक्सर दोहराया गया है। उन्होंने आठ क्रम के समस्थानिक वर्गों की गलत संख्या भी दी। क्रम आठ के घटते वर्गों की सही संख्या पहले ही एम. बी. द्वारा पाई जा चुकी थी। 1967 में वेल्स, और 1990 में जी. कोलेसोवा, सी. डब्ल्यू. एच. द्वारा समस्थानिक वर्गों की संख्या। लैम और एल. थिएल। नौ क्रम के लिए कम किए गए वर्गों की संख्या एस. ई. बैमेल और जे. रोथस्टीन द्वारा, 10 क्रम के लिए बी. डी. मैके और ई. रोगॉयस्की द्वारा और 11 क्रम के लिए बी. डी. मैके और आई. एम. वानलेस द्वारा प्राप्त की गई थी। यह भी देखें छोटे समूहों की सूची टिप्पणियाँ संदर्भ गैर-संबद्ध बीजगणित लैटिन वर्ग