Schur polynomial
गणित में, शुर बहुपद, जिनका नाम इसाई शूर के नाम पर रखा गया है, n चर में कुछ सममित बहुपद हैं, जिन्हें विभाजन द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जो प्राथमिक सममित बहुपदों और पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों को सामान्यीकृत करते हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वे सामान्य रैखिक समूहों के बहुपद इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं। शूर बहुपद सभी सममित बहुपदों के स्थान के लिए एक रैखिक आधार बनाते हैं। शूर बहुपदों के किसी भी उत्पाद को गैर-नकारात्मक समाकलन गुणांक के साथ शूर बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; इन गुणांकों के मान लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा संयुक्त रूप से दिए जाते हैं। अधिक आम तौर पर, तिरछे शूर बहुपद विभाजनों के जोड़े के साथ जुड़े होते हैं और उनके शूर बहुपदों के समान गुण होते हैं। परिभाषा (जैकोबी का द्विस्तरीय सूत्र) शूर बहुपदों को पूर्णांक विभाजन द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। एक विभाजन को देखते हुए, जहाँ, और प्रत्येक एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, कार्य निर्धारक के गुणों द्वारा बहुपदों को वैकल्पिक कर रहे हैं। एक बहुपद वैकल्पिक होता है यदि यह चर के किसी भी स्थानांतरण के तहत संकेत बदलता है। चूँकि वे बारी-बारी से हैं, वे सभी वेंडरमोंडे निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं शूर बहुपदों को अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है इसे जैकोबी के द्विस्तरीय सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह वेल चरित्र सूत्र का एक विशेष मामला है। यह एक सममित फलन है क्योंकि अंश और भाजक दोनों वैकल्पिक हैं, और एक बहुपद क्योंकि सभी वैकल्पिक बहुपद वेंडरमोंडे निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं। गुण चर में डिग्री शूर बहुपद चर में सजातीय डिग्री सममित बहुपदों के स्थान के लिए एक रैखिक आधार हैं। एक विभाजन के लिए, शूर बहुपद एकाक्षरों का योग है, जहां योग आकार की सभी अर्ध-मानक युवा झांकी पर होता है। प्रतिपादक वजन देते हैं, दूसरे शब्दों में प्रत्येक संख्या की घटनाओं को गिनता है। इसे लिंडस्ट्रॉम-गेसल-वियनोट लेम्मा (जैसा कि उस पृष्ठ पर उल्लिखित है) का उपयोग करके पहले गिआम्बेली सूत्र की परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है। शूर बहुपदों को गैर-नकारात्मक पूर्णांक गुणांक के साथ एकसंध सममित कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें कोस्टका संख्या कहा जाता है, कोस्टका संख्याएँ अर्ध-मानक युवा झांकी की संख्या द्वारा दी जाती हैं जो आकार λ और वजन μ की होती हैं। जैकोबी-ट्रुडी पहचान पहला जैकोबी-ट्रुडी सूत्र शूर बहुपदों को पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों के संदर्भ में एक निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है, जहाँ। दूसरा जैकोबी-ट्रुडी सूत्र प्राथमिक सममित बहुपदों के संदर्भ में एक निर्धारक के रूप में शूर बहुपद को व्यक्त करता है, जहाँ और संयुग्म विभाजन है। दोनों पहचानों में, नकारात्मक सदस्यता वाले कार्यों को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है। जियाम्बेली पहचान एक अन्य निर्धारक पहचान जियाम्बेली का सूत्र है, जो यंग आरेख के भीतर निहित हुक विभाजनों के संदर्भ में एक मनमाने विभाजन के लिए शूर फ़ंक्शन को व्यक्त करता है। फ्रोबेनियस संकेतन में, विभाजन को दर्शाया जाता है जहां, स्थिति में प्रत्येक विकर्ण तत्व के लिए, एक ही पंक्ति में दाईं ओर बक्से की संख्या को दर्शाता है और एक ही स्तंभ (क्रमशः हाथ और पैर की लंबाई) में इसके नीचे बक्से की संख्या को दर्शाता है। जिआम्बेली पहचान इस विभाजन के अनुरूप शूर फलन को हुक विभाजन के लिए निर्धारक के रूप में व्यक्त करती है। कौची पहचान शूर कार्यों के लिए कौची पहचान (अब असीम रूप से कई चर में), और इसकी दोहरी स्थिति यह है कि और जहां योग को सभी विभाजन λ पर लिया जाता है, और, क्रमशः पूर्ण सममित कार्यों और प्राथमिक सममित कार्यों को दर्शाता है। यदि योग को चर में शूर बहुपदों के गुणनखंडों पर लिया जाता है, तो योग में केवल लंबाई के विभाजन शामिल होते हैं क्योंकि अन्यथा शूर बहुपद गायब हो जाते हैं। सममित कार्यों के अन्य परिवारों के लिए इन पहचानों के कई सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, मैकडोनाल्ड बहुपद, शुबर्ट बहुपद और ग्रोथेन्डिक बहुपद कॉची जैसी पहचान को स्वीकार करते हैं। आगे की पहचान शूर बहुपद की गणना हॉल-लिटिलवुड बहुपदों के लिए एक सूत्र के विशेषज्ञता के माध्यम से भी की जा सकती है, जहां क्रमपरिवर्तन का उपसमूह ऐसा है कि सभी i, और w के लिए सूचकांकों को क्रमबद्ध करके चर पर कार्य करता है। मुरनाघन-नाकायामा नियम मुरनाघन-नाकायामा नियम शूर बहुपदों के संदर्भ में शूर बहुपद के साथ एक शक्ति-राशि सममित फलन के गुणनफल को व्यक्त करता हैः जहां योग सभी विभाजनों पर इस तरह होता है कि μ/λ आकार r का एक रिम-हुक है और ht (μ/λ) आरेख में पंक्तियों की संख्या है। लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम और पियरी का सूत्र लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक तीन विभाजनों पर निर्भर करते हैं, जैसे, जिनमें से और वर्णन करते हैं कि शूर कार्यों को गुणा किया जा रहा है, और शूर कार्य देता है जिसका यह रैखिक संयोजन में गुणांक है; दूसरे शब्दों में वे ऐसे गुणांक हैं जैसे कि लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम बताता है कि यह तिरछे आकार और वजन की लिटिलवुड-रिचर्डसन झांकी की संख्या के बराबर है। पियरी का सूत्र लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम का एक विशेष मामला है, जो उत्पाद को शूर बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त करता है। दोहरा संस्करण शूर बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त होता है। विशेषताओं में शूर बहुपद का मूल्यांकन करने से प्रविष्टियों के साथ आकार की अर्ध-मानक युवा झांकी की संख्या मिलती है। उदाहरण के लिए, वेइल वर्ण सूत्र का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि इस सूत्र में, युवा आरेख की प्रत्येक पंक्ति की चौड़ाई को दर्शाने वाले टुपल को निहित रूप से शून्य के साथ तब तक बढ़ाया जाता है जब तक कि इसकी लंबाई न हो। तत्वों का योग है। हुक लंबाई सूत्र को भी देखें जो निश्चित λ के लिए समान मात्रा की गणना करता है। निम्नलिखित विस्तारित उदाहरण से इन विचारों को स्पष्ट करने में मदद मिलनी चाहिए। मामले n = 3, d = 4 पर विचार करें। फेरर आरेख या किसी अन्य विधि का उपयोग करके, हम पाते हैं कि अधिकतम तीन भागों में 4 के केवल चार विभाजन हैं। हमारे पास और इसी तरह, वेंडरमोंडे निर्धारक कहाँ है। सारांशः तीन चर में प्रत्येक सजातीय डिग्री-चार सममित बहुपद को इन चार शूर बहुपदों के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इस संयोजन को फिर से एक उपयुक्त उन्मूलन क्रम के लिए ग्रोबनर आधार का उपयोग करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्पष्ट रूप से एक सममित बहुपद है जो डिग्री चार का सजातीय है, और हमारे पास प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंध है शूर बहुपद सममित समूहों, सामान्य रैखिक समूहों और एकात्मक समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में होते हैं। वेइल वर्ण सूत्र का तात्पर्य है कि शूर बहुपद सामान्य रैखिक समूहों के परिमित-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं, और शूर के काम को अन्य कॉम्पैक्ट और अर्ध-सरल लाइ समूहों के लिए सामान्य बनाने में मदद करते हैं। इस संबंध के लिए कई अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न होती हैं, जिनमें से एक सबसे महत्वपूर्ण सममित शक्ति कार्यों के संदर्भ में शूर कार्यों का विस्तार है। यदि हम विभाजन ρ द्वारा अनुक्रमित चक्र प्रकार के तत्वों पर मूल्यांकन किए गए विभाजन λ द्वारा अनुक्रमित सममित समूह के प्रतिनिधित्व के चरित्र के लिए χ लिखते हैं, तो जहाँ ρ = (1r1,2r2,3r3,.) का अर्थ है कि विभाजन ρ में लंबाई k के rk भाग हैं। इसका प्रमाण R. स्टेनली के गणनात्मक संयोजन खंड 2, कोरोलरी 7.17.5 में पाया जा सकता है। पूर्णांक χ की गणना मुरनाघन-नाकायामा नियम का उपयोग करके की जा सकती है। शूर सकारात्मकता प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध के कारण, एक सममित कार्य जो शूर कार्यों में सकारात्मक रूप से फैलता है, विशेष रुचि का विषय है। उदाहरण के लिए, तिरछे शूर फलन सामान्य शूर फलन में सकारात्मक रूप से विस्तारित होते हैं, और गुणांक लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक होते हैं। इसका एक विशेष मामला शूर फलन में पूर्ण सजातीय सममित फलन एच. एल. का विस्तार है। यह अपघटन दर्शाता है कि कैसे एक क्रमपरिवर्तन मॉड्यूल को अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन में विघटित किया जाता है। शूर सकारात्मकता साबित करने के तरीके किसी दिए गए सममित फलन एफ के शूर सकारात्मकता को साबित करने के लिए कई तरीके हैं। यदि एफ को संयुक्त तरीके से वर्णित किया गया है, तो एक सीधा तरीका अर्ध-मानक युवा झांकी के साथ एक द्विभाजन का उत्पादन करना है। एडलमैन-ग्रीन पत्राचार और रॉबिन्सन-शैंस्टेड-नुथ पत्राचार इस तरह के बाइजेक्शन के उदाहरण हैं। अधिक संरचना वाला बाइजेक्शन तथाकथित क्रिस्टल का उपयोग करके एक प्रमाण है। इस विधि को अंतर्निहित संयोजन वस्तुओं पर स्थानीय नियमों के साथ वर्णित एक निश्चित ग्राफ संरचना को परिभाषित करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है। एक समान विचार दोहरी समानता की धारणा है। यह दृष्टिकोण एक ग्राफ संरचना का भी उपयोग करता है, लेकिन मौलिक अर्धसममित आधार में विस्तार का प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं पर। यह आरएसके-पत्राचार से निकटता से संबंधित है। सामान्यीकरण स्क्यू शूर फलन स्क्यू शूर फलन एस. एल./एम. यू. दो विभाजनों λ और एम. यू. पर निर्भर करता है, और इसे गुण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। साधारण शूर बहुपदों के समान, इनकी गणना करने के कई तरीके हैं। अनुरूप जैकोबी-ट्रूडी पहचानें हैं तिरछे शूर बहुपदों की एक संयुक्त व्याख्या भी है, अर्थात् यह तिरछे आकार की सभी अर्ध-मानक युवा झांकी (या स्तंभ-सख्त झांकी) का योग है। तिरछे शूर बहुपदों का शूर बहुपदों में सकारात्मक रूप से विस्तार होता है। गुणांक के लिए एक नियम लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा दिया गया है। दोहरे शूर बहुपदों को स्थानांतरित शूर बहुपदों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। ये बहुपद फैक्टोरियल शूर बहुपदों से भी निकटता से संबंधित हैं। एक विभाजन और एक अनुक्रम को देखते हुए कोई भी दोहरे शूर बहुपद को परिभाषित कर सकता है जहां योग को सभी विपरीत अर्ध-मानक आकार की युवा झांकी और पूर्णांक प्रविष्टियों पर लिया जाता है। यहाँ बॉक्स में मूल्य को दर्शाता है और बॉक्स की सामग्री है। लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक (अनुक्रम ए के आधार पर) के लिए एक संयुक्त नियम ए. आई. मोलेव द्वारा दिया गया था। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि स्थानांतरित शूर बहुपदों में गैर-नकारात्मक लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक होते हैं। स्थानांतरित शूर बहुपदों को दोहरे शूर बहुपदों से और में विशेषज्ञता प्राप्त करके प्राप्त किया जा सकता है। दोहरे शूर बहुपद दोहरे शुबर्ट बहुपदों के विशेष मामले हैं। फैक्टोरियल शूर बहुपदों को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन को देखते हुए λ, और एक दोगुना अनंत अनुक्रम., a-1, a0, a1,. कोई भी भाज्य शूर बहुपद sλ (x|a) को परिभाषित कर सकता है जहां योग को सभी अर्ध-मानक युवा झांकी T के आकार λ पर लिया जाता है, और 1,, n में पूर्णांक प्रविष्टियाँ। यहाँ T (α) बॉक्स में मान को दर्शाता है T में α और c (α) बॉक्स की सामग्री है। एक निर्धारक सूत्र भी है, जहाँ (y|a) k = (y−a1). (y−ak)। यह स्पष्ट है कि यदि हम सभी i के लिए छोड़ देते हैं, तो हम सामान्य शूर बहुपद sλ को पुनर्प्राप्त करते हैं। दोहरे शूर बहुपद और n चर में भाज्य शूर बहुपद पहचान sλ (x। |a) = sλ (x|u) के माध्यम से संबंधित हैं जहां एक −i + 1 = ui है। अन्य सामान्यीकरण शूर बहुपदों के कई सामान्यीकरण हैंः हॉल-लिटिलवुड बहुपद स्थानांतरित शूर बहुपद फ्लैग्ड शूर बहुपद शुबर्ट बहुपद स्टेनली सममितियाँ (जिन्हें स्थिर शुबर्ट बहुपदों के रूप में भी जाना जाता है) प्रमुख बहुपद (जिन्हें डिमाज़्योर वर्णों के रूप में भी जाना जाता है) अर्ध-सममित शूर बहुपद पंक्ति-सख्त शूर बहुपद जैक बहुपद मॉड्यूलर शूर बहुपद लूप शूर कार्य मैकडोनाल्ड बहुपद शूर बहुपद सिंप्लेक्टिक और ऑर्थोगोनल समूह के लिए। के-शूर फलन ग्रॉथेन्डिक बहुपद (शूर बहुपदों का के-सैद्धांतिक अनुरूप) एल. एल. टी. बहुपद भी देखें शूर फंकटर लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम, जहां कोई शूर बहुपदों से जुड़ी कुछ पहचान पाता है। संदर्भ सजातीय बहुपद अपरिवर्तनीय सिद्धांत परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत सममित कार्य ऑर्थोगोनल बहुपद