Fano variety
बीजगणितीय ज्यामिति में, गिनो फ़ानो द्वारा शुरू की गई एक फ़ानो किस्म, एक पूर्ण प्रकार X है जिसका एंटीकैनोनिकल बंडल KX * पर्याप्त है। इस परिभाषा में, कोई यह मान सकता है कि एक्स एक क्षेत्र पर चिकना है, लेकिन न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम ने विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं के साथ नैनो किस्मों का अध्ययन भी किया है, जैसे कि टर्मिनल या के. एल. टी. विलक्षणता। हाल ही में विभेदक ज्यामिति में तकनीकों को जटिल संख्याओं पर फ़ानो किस्मों के अध्ययन के लिए लागू किया गया है, और फ़ानो किस्मों के मॉड्यूली रिक्त स्थान के निर्माण और फ़ानो किस्मों की के-स्थिरता के अध्ययन के माध्यम से उन पर कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व को साबित करने में सफलता मिली है। उदाहरण नैनो किस्मों का मौलिक उदाहरण प्रोजेक्टिव स्पेस हैंः एक क्षेत्र k पर Pn का एंटीकैनोनिकल लाइन बंडल O (n + 1) है, जो बहुत पर्याप्त है (जटिल संख्याओं पर, इसकी वक्रता फुबिनी-स्टडी सिंप्लेक्टिक रूप का n + 1 गुना है)। मान लीजिए कि डी, पीएन में एक चिकनी कोडिमेंशन-1 उप-विविधता है। संयोजन सूत्र का तात्पर्य है कि केडी = (केएक्स + डी) |D = (− (एन + 1) एच + डिग (डी) एच) |D, जहां एच एक हाइपरप्लेन का वर्ग है। अतिसरफेस डी इसलिए फैनो है यदि और केवल अगर डिग्री (डी) <एन + 1 हो। अधिक आम तौर पर, एन-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस में हाइपरसर्फेस का एक चिकना पूर्ण प्रतिच्छेदन नैनो है यदि और केवल तभी जब उनकी डिग्री का योग अधिकतम एन हो। भारित प्रोजेक्टिव स्पेस पी (ए0,., एन) एकवचन (के. एल. टी.) नैनो किस्म है। यह एक श्रेणीबद्ध बहुपद वलय से जुड़ी प्रोजेक्टिव योजना है जिसके जनरेटर में डिग्री a0,., an होती है। यदि यह अच्छी तरह से गठित है, इस अर्थ में कि संख्याओं में से किसी भी n का एक सामान्य कारक 1 से अधिक नहीं है, तो हाइपरसर्फेस का कोई भी पूर्ण प्रतिच्छेदन इस तरह से कि उनकी डिग्री का योग a0 + + an से कम है, एक नैनो किस्म है। विशेषता शून्य में प्रत्येक प्रोजेक्टिव विविधता जो एक रैखिक बीजगणितीय समूह के तहत सजातीय है, फ़ानो है। कुछ गुण एक्स पर कुछ पर्याप्त लाइन बंडल का अस्तित्व एक्स के एक प्रोजेक्टिव किस्म होने के बराबर है, इसलिए एक नैनो किस्म हमेशा प्रोजेक्टिव होती है। जटिल संख्याओं पर एक नैनो किस्म X के लिए, कोडाइरा लुप्त प्रमेय का तात्पर्य है कि संरचना आवरण के आवरण समरूपता समूह गायब हो जाते हैं। विशेष रूप से, टॉड वंश स्वचालित रूप से 1 के बराबर होता है। इस लुप्तप्राय कथन के मामले हमें यह भी बताते हैं कि पहला चेरन वर्ग एक समरूपता को प्रेरित करता है। कालाबी अनुमान के याउ के समाधान से, एक चिकनी जटिल किस्म सकारात्मक रिक्की वक्रता के कहलर मेट्रिक्स को तभी स्वीकार करती है जब वह फ़ानो हो। मायर्स की प्रमेय हमें बताती है कि एक नैनो मैनिफोल्ड का सार्वभौमिक आवरण संक्षिप्त है, और इसलिए केवल एक सीमित आवरण हो सकता है। हालाँकि, हमने अभी देखा है कि एक नैनो मैनिफोल्ड का टॉड जीनस 1 के बराबर होना चाहिए। चूँकि यह मैनिफोल्ड के सार्वभौमिक आवरण पर भी लागू होगा, और चूँकि टॉड जीनस सीमित आवरण के तहत गुणक है, इसलिए यह इस प्रकार है कि कोई भी नैनो मैनिफोल्ड बस जुड़ा हुआ है। एक बहुत आसान तथ्य यह है कि प्रत्येक नैनो किस्म में कोडाइरा आयाम − φ होता है। कैम्पाना और कोल्लर-मियाओका-मोरी ने दिखाया कि एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक चिकनी नैनो किस्म तर्कसंगत रूप से श्रृंखला से जुड़ी हुई है; यानी, किसी भी दो बंद बिंदुओं को तर्कसंगत वक्रों की एक श्रृंखला द्वारा जोड़ा जा सकता है। कोल्लर-मियाओका-मोरी ने यह भी दिखाया कि किसी दिए गए आयाम की चिकनी नैनो किस्में, विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक बंधे हुए परिवार का निर्माण करती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें सीमित रूप से कई बीजगणितीय किस्मों के बिंदुओं द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, प्रत्येक आयाम की नैनो किस्मों के केवल सीमित रूप से कई विरूपण वर्ग हैं। इस मायने में, नैनो किस्में अन्य वर्गों की किस्मों की तुलना में बहुत अधिक विशेष हैं जैसे कि सामान्य प्रकार की किस्में। छोटे आयामों में वर्गीकरण निम्नलिखित चर्चा जटिल संख्याओं पर चिकनी नैनो किस्मों से संबंधित है। एक नैनो वक्र प्रोजेक्टिव रेखा के समरूप है। एक नैनो सतह को डेल पेज़ो सतह भी कहा जाता है। प्रत्येक डेल पेज़ो सतह या तो पी1 × पी1 या अधिक से अधिक आठ बिंदुओं पर उड़ाए गए प्रोजेक्टिव प्लेन के लिए समरूप है, जो सामान्य स्थिति में होना चाहिए। नतीजतन, वे सभी तर्कसंगत हैं। आयाम 3 में, चिकनी जटिल नैनो किस्में हैं जो तर्कसंगत नहीं हैं, उदाहरण के लिए पी4 में घन 3-तह (क्लेमेंस-ग्रिफिथ्स द्वारा) और पी4 में चतुर्थक 3-तह (इस्कोव्स्कीख-मानिन द्वारा)। दूसरे बेट्टी नंबर 1 के साथ चिकने नैनो 3-फोल्ड को 17 वर्गों में वर्गीकृत किया, और दूसरे बेट्टी नंबर के साथ चिकने वाले को कम से कम 2 के साथ वर्गीकृत किया, जिसमें 88 विरूपण वर्ग पाए गए। चिकनी नैनो 3-फोल्ड के वर्गीकरण का एक विस्तृत सारांश दिया गया है। सभी फ़ानो किस्मों को तीन, चार और पाँच आयामों में वर्गीकृत करने के लिए एक परियोजना आकारों की आवधिक तालिका भी देखें। नोट्स एक्सटर्नल लिंक्स फैनोग्राफी-त्रि-आयामी नैनो किस्मों के वर्गीकरण का नेत्रहीन अध्ययन करने का एक उपकरण। संदर्भ बीजगणितीय ज्यामिति 3-तह