Köthe conjecture
गणित में, कोथे अनुमान रिंग सिद्धांत में एक समस्या है। इसे विभिन्न तरीकों से तैयार किया जाता है। मान लीजिए कि R एक वलय है। अनुमान को व्यक्त करने का एक तरीका यह है कि यदि R का कोई शून्य आदर्श नहीं है, तो {0} के अलावा इसका कोई शून्य एक तरफा आदर्श नहीं है। यह सवाल 1930 में गॉटफ्राइड कोथे (1905-1989) द्वारा उठाया गया था। कोथे अनुमान को विभिन्न वर्गों के रिंगों के लिए सही दिखाया गया है, जैसे कि बहुपद पहचान रिंग और दाएं नोथेरियन रिंग, लेकिन एक सामान्य समाधान मायावी बना हुआ है। समतुल्य सूत्रीकरण अनुमान में कई अलग-अलग सूत्रीकरण होते हैंः (कोथे अनुमान) किसी भी वलय में, दो शून्य बाएं आदर्शों का योग शून्य होता है। किसी भी वलय में, दो एक तरफा शून्य आदर्शों का योग शून्य होता है। किसी भी रिंग में, रिंग का प्रत्येक शून्य बाएँ या दाएँ आइडियल रिंग के ऊपरी शून्य रेडिकल में निहित होता है। किसी भी रिंग R के लिए और R के किसी भी शून्य आदर्श J के लिए, मैट्रिक्स आदर्श Mn (J) प्रत्येक n के लिए Mn (R) का शून्य आदर्श है। किसी भी रिंग R के लिए और R के किसी भी शून्य आदर्श J के लिए, मैट्रिक्स आदर्श M2 (J) M2 (R) का शून्य आदर्श है। किसी भी वलय R के लिए, Mn (R) का ऊपरी निल्रैडिकल प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए R के ऊपरी निल्रैडिकल से प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स का समूह है। किसी भी वलय R के लिए और R के किसी भी शून्य आदर्श J के लिए, अनिश्चित x और J से गुणांक वाले बहुपद बहुपद रिंग R [x] के जैकबसन रेडिकल में होते हैं। किसी भी रिंग R के लिए, R [x] के जैकबसन रेडिकल में R के ऊपरी निल्रैडिकल से गुणांक के साथ बहुपद होते हैं। संबंधित समस्याएं अमीत्सुर द्वारा एक अनुमान में कहा गया हैः "यदि J, R में शून्य आदर्श है, तो J [x] बहुपद रिंग R [x] का शून्य आदर्श है।" यह अनुमान, यदि सच है, तो उपरोक्त समकक्ष बयानों के माध्यम से कोथे अनुमान को साबित कर सकता था, हालांकि अगाटा स्मोकटुनोविज़ द्वारा एक विपरीत उदाहरण प्रस्तुत किया गया था। जबकि कोथे अनुमान का खंडन नहीं है, इसने संदेह को बढ़ावा दिया कि कोथे अनुमान गलत हो सकता है। केगल ने साबित किया कि एक रिंग जो दो निलपोटेन्ट उप-रिंगों का प्रत्यक्ष योग है, वह स्वयं नीलपोटेन्ट है। सवाल यह उठा कि क्या "निलपोटेन्ट" को "स्थानीय रूप से निलपोटेन्ट" या "शून्य" से बदला जा सकता है या नहीं। आंशिक प्रगति तब हुई जब केलारेव ने एक रिंग का उदाहरण दिया जो शून्य नहीं है, लेकिन दो स्थानीय रूप से निलपोटेन्ट रिंग का प्रत्यक्ष योग है। यह दर्शाता है कि केगल के प्रश्न का उत्तर "निलपोटेंट" की जगह "स्थानीय रूप से निलपोटेंट" के साथ नकारात्मक में दिया जाता है। एक निलपोटेन्ट सबरिंग और एक नील सबरिंग का योग हमेशा शून्य होता है। संदर्भ बाहरी लिंक प्लैनेटमैथ पृष्ठ सर्वेक्षण पत्र (पीडीएफ) रिंग सिद्धांत गणित में अनसुलझी समस्याओं का अनुमान लगाता है