Smoluchowski coagulation equation
सांख्यिकीय भौतिकी में, स्मोलुकोव्स्की जमावट समीकरण एक जनसंख्या संतुलन समीकरण है जिसे मैरियन स्मोलुकोव्स्की द्वारा 1916 के एक मौलिक प्रकाशन में पेश किया गया था, जिसमें कणों के संख्या घनत्व के समय विकास का वर्णन किया गया है क्योंकि वे जमावट करते हैं (इस संदर्भ में "एक साथ क्लंपिंग") समय t पर आकार x में। एक साथ जमावट (या एकत्रीकरण) का सामना बहुलककरण, एरोसोल का एकत्रीकरण, पायसीकरण, फ्लोकुलेशन से जुड़ी प्रक्रियाओं में किया जाता है। समीकरण कण आकार का वितरण प्रणाली के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार समय के साथ बदलता है। इसलिए, स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण कण-आकार वितरण का एक एकीकृत विभेदक समीकरण है। जब जमने वाले कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक समाकलन शामिल होता हैः यदि dy को एक असतत माप के रूप में व्याख्या की जाती है, अर्थात। जब कण असतत आकार में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप एक योग होता हैः एक चुने हुए कर्नेल फलन के लिए एक अद्वितीय समाधान मौजूद होता है। जमावट गुठली प्रचालक, के, को जमावट गुठली के रूप में जाना जाता है और यह उस दर का वर्णन करता है जिस पर आकार के कण आकार के कणों के साथ जमते हैं। समीकरण के लिए विश्लेषणात्मक समाधान तब मौजूद होते हैं जब कर्नेल तीन सरल रूपों में से एक लेता हैः जिसे क्रमशः स्थिरांक, योगात्मक और गुणक कर्नेल के रूप में जाना जाता है। इस मामले के लिए यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरणों के समाधान में स्पर्शोन्मुख रूप से गतिशील स्केलिंग गुण है। यह स्व-समान व्यवहार पैमाने के अपरिवर्तनीयता से निकटता से संबंधित है जो एक चरण संक्रमण की एक विशेषता हो सकती है। हालांकि, अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कर्नेल काफी अधिक जटिल रूप लेता है। उदाहरण के लिए, मुक्त-आणविक गुठली जो एक मंद गैस-चरण प्रणाली में टकराव का वर्णन करती है, कुछ जमावट गुठली गुठली के एक विशिष्ट फ्रैक्टल आयाम के लिए जिम्मेदार हैं, जैसा कि प्रसार-सीमित एकत्रीकरणः या प्रतिक्रिया-सीमित एकत्रीकरणः जहां समूहों के फ्रैक्टल आयाम हैं, बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, तापमान है, फ्यूक्स स्थिरता अनुपात है, निरंतर चरण चिपचिपाहट है, और उत्पाद गुठली का प्रतिपादक है, जिसे आमतौर पर एक उपयुक्त पैरामीटर माना जाता है। बादलों के लिए, बादलों के कणों के जमने के लिए कर्नेल को आमतौर पर इस प्रकार व्यक्त किया जाता हैः आमतौर पर शक्ति नियम का उपयोग करके व्यक्त किए जाने वाले बादलों के कणों की त्रिज्या और गिरावट की गति कहाँ और कहाँ है। आम तौर पर इस तरह के भौतिक रूप से यथार्थवादी गुठली के परिणामस्वरूप जमावट समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, संख्यात्मक तरीकों को आकर्षित करना आवश्यक है। अधिकांश नियतात्मक विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज का केवल एक कण गुण (x) हो, दो प्रमुख क्षणों की विधि और अनुभागीय विधियाँ हों। बहु-प्रकारीय मामले में, हालांकि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकार, संरचना, आदि)। पेश किए जाते हैं, किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित होते हैं। गौसी रेडियल आधार कार्यों पर आधारित सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में जमावट समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है। जब समाधान की सटीकता का प्राथमिक महत्व नहीं होता है, तो यादृच्छिक कण (मोंटे कार्लो) विधियाँ एक आकर्षक विकल्प हैं। संघनन-संचालित एकत्रीकरण एकत्रीकरण के अलावा, कण संघनन, निक्षेपण या वृद्धि द्वारा आकार में भी बढ़ सकते हैं। हसन और हसन ने हाल ही में एक संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण (सीडीए) मॉडल का प्रस्ताव रखा है जिसमें टकराव पर विलय के बीच कणों का एकत्रीकरण लगातार बढ़ता रहता है। सी. डी. ए. मॉडल को निम्नलिखित प्रतिक्रिया योजना द्वारा समझा जा सकता है जहां समय पर आकार के समुच्चय को दर्शाया जाता है और यह बीत चुका समय है। इस प्रतिक्रिया योजना को निम्नलिखित सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, यह देखते हुए कि आकार का एक कण टकराव के समय के बीच संघनन के कारण बढ़ता है जो एक राशि द्वारा व्युत्क्रम के बराबर होता है। स्थिर कर्नेल के लिए सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण को हल किया जा सकता है जो गतिशील स्केलिंग प्रदर्शित करता है। एक सरल फ्रैक्टल विश्लेषण से पता चलता है कि संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण को आयाम के फ्रैक्टल का सबसे अच्छा वर्णन किया जा सकता है। इस तरह के संरक्षण कानून कैंटर सेट में भी पाए गए हैं। आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध भी देखें फ्लोक्यूलेशन स्मोलुचोव्स्की कारक विलियम्स स्प्रे समीकरण संदर्भ विभेदक समीकरण सांख्यिकीय यांत्रिकी