Nil ideal
गणित में, अधिक विशेष रूप से वलय सिद्धांत, एक वलय के बाएं, दाएं या दो-तरफा आदर्श को शून्य आदर्श कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक तत्व निलपोटेन्ट हो। एक कम्यूटेटिव रिंग का निल्रैडिकल एक शून्य आदर्श का एक उदाहरण है; वास्तव में, यह शून्य होने के गुण के संबंध में अधिकतम रिंग का आदर्श है। दुर्भाग्य से शून्य तत्वों का समूह हमेशा गैर-परिवर्तनीय वलय के लिए एक आदर्श नहीं बनाता है। नील आदर्श अभी भी दिलचस्प खुले प्रश्नों से जुड़े हुए हैं, विशेष रूप से अनसुलझे कोथे अनुमान। कम्यूटेटिव रिंग्स में, शून्य आदर्शों को गैर-कम्यूटेटिव रिंग्स की तुलना में बेहतर ढंग से समझा जाता है, मुख्य रूप से क्योंकि कम्यूटेटिव रिंग्स में, निलपोटेन्ट तत्वों और निलपोटेन्ट तत्वों के योग वाले उत्पाद दोनों निलपोटेन्ट होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि a और b, an = 0 और bm = 0 के साथ R के नीलपोटेन्ट तत्व हैं, और r, R का कोई भी तत्व है, तो (a·r) n = an·rn = 0, और द्विपद प्रमेय के अनुसार, (a + b) m + n = 0। इसलिए, सभी निलपोटेन्ट तत्वों का समुच्चय एक आदर्श बनाता है जिसे एक वलय के शून्य मूलक के रूप में जाना जाता है। चूँकि शून्य मूलक में प्रत्येक निलपोटेन्ट तत्व होता है, एक कम्यूटेटिव रिंग का एक आदर्श शून्य होता है यदि और केवल तभी जब यह शून्य मूलक का एक उपसमुच्चय हो, और इसलिए शून्य मूलक गैर-शून्य आदर्शों के बीच अधिकतम होता है। इसके अलावा, एक कम्यूटेटिव रिंग R के किसी भी निलपोटेन्ट तत्व a के लिए, आदर्श aR शून्य है। हालाँकि, एक गैर-परिवर्तनीय वलय के लिए, यह सामान्य रूप से सच नहीं है कि नीलपोटेन्ट तत्वों का समूह एक आदर्श बनाता है, या यह कि a एक शून्य (एकतरफा) आदर्श है, भले ही a नीलपोटेन्ट हो। गैर-परिवर्तनीय वलय शून्य आदर्शों का सिद्धांत गैर-परिवर्तनीय वलय सिद्धांत में प्रमुख महत्व रखता है। विशेष रूप से, नील रिंग की समझ के माध्यम से-रिंग जिनका प्रत्येक तत्व निलपोटेन्ट है-कोई भी अधिक सामान्य रिंग की बेहतर समझ प्राप्त कर सकता है। कम्यूटेटिव रिंग्स के मामले में, हमेशा एक अधिकतम शून्य आदर्श होता हैः रिंग का निल्रैडिकल। गैर-परिवर्तनीय वलय के मामले में इस तरह के अधिकतम शून्य आदर्श का अस्तित्व इस तथ्य से सुनिश्चित होता है कि शून्य आदर्शों का योग फिर से शून्य है। हालाँकि, इस दावे की सच्चाई कि दो बाएं शून्य आदर्शों का योग फिर से एक बाएं शून्य आदर्श है, मायावी बनी हुई है; यह एक खुली समस्या है जिसे कोथे अनुमान के रूप में जाना जाता है। कोथे अनुमान पहली बार 1930 में प्रस्तुत किया गया था और अभी भी 2023 तक अनसुलझा है। निल्पोटेंट आदर्शों से संबंध शून्य आदर्श की धारणा का एक निल्पोटेंट आदर्श के साथ गहरा संबंध है, और कुछ वर्गों के वलय में, दोनों धारणाएं मेल खाती हैं। यदि एक आदर्श निलपोटेन्ट है, तो यह निश्चित रूप से शून्य है। शून्य आदर्शों के नीलपोटेन्ट होने के लिए दो मुख्य बाधाएँ हैंः तत्वों को नष्ट करने के लिए आवश्यक घातांक पर एक ऊपरी सीमा की आवश्यकता नहीं है। मनमाने ढंग से उच्च घातकों की आवश्यकता हो सकती है। मनमाने ढंग से उच्च n के लिए n निलपोटेन्ट तत्वों का गुणनफल गैर-शून्य हो सकता है। स्पष्ट रूप से एक शून्य आदर्श के लिए इन दोनों बाधाओं से बचा जाना चाहिए ताकि वे निलपोटेन्ट के रूप में अर्हता प्राप्त कर सकें। एक सही आर्टिनियन रिंग में, कोई भी शून्य आदर्श निलपोटेन्ट होता है। यह देखकर साबित होता है कि कोई भी शून्य आदर्श रिंग के जैकबसन रेडिकल में निहित है, और चूंकि जैकबसन रेडिकल एक निलपोटेन्ट आदर्श है (आर्टिनियन परिकल्पना के कारण), परिणाम इस प्रकार है। वास्तव में, इसे राइट नोथेरियन रिंग्स के लिए सामान्यीकृत किया गया है; परिणाम को लेविट्ज़की के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उतुमी के कारण एक विशेष रूप से सरल प्रमाण पाया जा सकता है। कोथे अनुमान निलपोटेंट आदर्श निलराडिकल जैकबसन कट्टरपंथी नोट्स संदर्भ आदर्श (रिंग सिद्धांत) भी देखें।