Eilenberg–Steenrod axioms
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, आइलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्ध ऐसे गुण हैं जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के समरूपता सिद्धांतों में समान हैं। स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करने वाले समरूपता सिद्धांत का सर्वोत्कृष्ट उदाहरण एकवचन समरूपता है, जिसे सैमुअल आइलेनबर्ग और नॉर्मन स्टीनरोड द्वारा विकसित किया गया है। एक समरूपता सिद्धांत को आइलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करने वाले कारकों के अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण, जिसे 1945 में विकसित किया गया था, किसी को परिणाम साबित करने की अनुमति देता है, जैसे कि मेयर-विटोरिस अनुक्रम, जो स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करने वाले सभी समरूपता सिद्धांतों के लिए सामान्य हैं। यदि कोई आयाम स्वयंसिद्ध (नीचे वर्णित) को छोड़ देता है, तो शेष स्वयंसिद्ध परिभाषित करते हैं जिसे असाधारण समरूपता सिद्धांत कहा जाता है। असाधारण समरूपता सिद्धांत सबसे पहले के-सिद्धांत और कोबोर्डिज़्म में उत्पन्न हुए। औपचारिक परिभाषा आइलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धियां स्थलवैज्ञानिक स्थानों के जोड़े की श्रेणी से लेकर अबेलियन समूहों की श्रेणी तक फ़ंक्टरों के एक अनुक्रम पर लागू होती हैं, जिसमें एक प्राकृतिक परिवर्तन होता है जिसे सीमा मानचित्र कहा जाता है (यहाँ इसके लिए एक संक्षिप्त नाम है। स्वयंसिद्ध हैंः होमोटोपीः होमोटोपिक मानचित्र समरूपता में एक ही मानचित्र को प्रेरित करते हैं। अर्थात्, यदि समस्थानिक है, तो उनके प्रेरित समरूपता समान हैं। छेदनः यदि एक जोड़ी है और यू ए का एक उपसमुच्चय है कि यू का समापन ए के आंतरिक भाग में निहित है, तो समावेशन मानचित्र समरूपता में एक समरूपता को प्रेरित करता है। आयामः मान लीजिए कि पी एक-बिंदु स्थान है; फिर सभी के लिए। योगात्मकताः यदि, स्थलवैज्ञानिक रिक्त स्थान के परिवार का असंबद्ध संघ, तो यथार्थताः प्रत्येक जोड़ा (एक्स, ए) समरूपता में एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है, समावेशन के माध्यम से औरः यदि पी एक बिंदु स्थान है, तो इसे गुणांक समूह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एकवचन समरूपता (पूर्णांक गुणांक के साथ लिया जाता है, जैसा कि सबसे आम है) में पूर्णांक गुणांक होते हैं। परिणाम समरूपता समूहों के बारे में कुछ तथ्य सीधे स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं, जैसे कि यह तथ्य कि समरूपता के रूप में समतुल्य स्थानों में समरूपता समूह होते हैं। कुछ अपेक्षाकृत सरल स्थानों की समरूपता, जैसे कि एन-गोले, की गणना सीधे स्वयंसिद्धों से की जा सकती है। इससे यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि (एन-1)-क्षेत्र एन-डिस्क का अपवर्तन नहीं है। इसका उपयोग ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है। आयाम स्वयंसिद्ध को छोड़कर आइलेनबर्ग-स्टीनरोड के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले एक "समरूपता-जैसे" सिद्धांत को एक असाधारण समरूपता सिद्धांत (दोहरी, असाधारण समरूपता सिद्धांत) कहा जाता है। इनके महत्वपूर्ण उदाहरण 1950 के दशक में पाए गए, जैसे कि टोपोलॉजिकल के-सिद्धांत और कोबोर्डिज़्म सिद्धांत, जो असाधारण समरूपता सिद्धांत हैं, और उनके लिए दोहरे समरूपता सिद्धांतों के साथ आते हैं। ज़िग-ज़ैग लेम्मा नोट्स संदर्भ होमोलॉजी सिद्धांत गणितीय स्वयंसिद्ध भी देखें।