Weierstrass point
गणित में, जटिल संख्याओं पर परिभाषित एक गैर-एकल बीजगणितीय वक्र पर एक वीयरस्ट्रास बिंदु एक ऐसा बिंदु है जिस पर रीमान-रॉक प्रमेय द्वारा की गई भविष्यवाणी की तुलना में अधिक कार्य होते हैं, जिनके ध्रुव केवल सीमित होते हैं। इस अवधारणा का नाम कार्ल वेयरस्ट्रास के नाम पर रखा गया है। वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार करें जहाँ मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शंस का स्थान है जिसका क्रम कम से कम है और कोई अन्य ध्रुव नहीं है। हम तीन चीजों को जानते हैंः आयाम कम से कम 1 है, क्योंकि निरंतर कार्य चालू हैं; यह गैर-घटता है; और रीमान-रॉच प्रमेय से आयाम अंततः ठीक 1 से बढ़ जाता है क्योंकि हम दाईं ओर जाते हैं। वास्तव में यदि जीनस है, तो-th पद से आयाम अनुक्रम के बारे में हमारे ज्ञान के लिए जाना जाता है इसलिए हम इसके बारे में क्या जानते हैं? प्रविष्टियाँ यह हैं कि वे प्रत्येक बार अधिकतम 1 से वृद्धि कर सकते हैं (यह एक सरल तर्क हैः इसका आयाम अधिकतम 1 है क्योंकि यदि और ध्रुव का समान क्रम है, तो निम्न क्रम का एक ध्रुव होगा यदि स्थिरांक को प्रमुख पद को रद्द करने के लिए चुना जाता है)। यहाँ प्रश्न चिह्न हैं, इसलिए मामलों या आगे चर्चा की आवश्यकता नहीं है और वेयरस्ट्रास बिंदुओं को जन्म नहीं देते हैं। इसलिए मान लीजिए। वहाँ कदम उठाए जाएंगे, और ऐसे कदम जहाँ कोई वृद्धि नहीं होगी। एक गैर-वेयरस्ट्रास बिंदु तब होता है जब वृद्धि सभी यथासंभव दाईं ओर होती हैः अर्थात। अनुक्रम ऐसा दिखता है जैसे कोई अन्य मामला एक वेयरस्ट्रास बिंदु है। के लिए एक वीयरस्ट्रास अंतराल इस तरह का एक मान है कि किसी भी कार्य में केवल एक-गुना ध्रुव नहीं होता है। अंतराल अनुक्रम एक गैर-वेयरस्ट्रास बिंदु के लिए है। वेयरस्ट्रास बिंदु के लिए इसमें कम से कम एक अधिक संख्या होती है। (वेयरस्ट्रास गैप थ्योरम या लुकेनसैट्ज़ यह कथन है कि अंतराल होना चाहिए।) उदाहरण के लिए, अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए, हमारे पास केवल एक दोहरे ध्रुव के साथ एक कार्य हो सकता है। इसकी शक्तियों में व्यवस्था के खंभे आदि होते हैं। इसलिए, इस तरह के ए में अंतराल अनुक्रम होता है सामान्य रूप से यदि अंतराल अनुक्रम वेयरस्ट्रास बिंदु का भार है यह एक गणना प्रमेय के कारण पेश किया गया हैः एक रीमान सतह पर वेयरस्ट्रास बिंदुओं के भार का योग है उदाहरण के लिए, एक अति-दीर्घवृत्तीय वेयरस्ट्रास बिंदु का वजन होता है इसलिए, उनमें से (अधिक से अधिक) हैं। एक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र से प्रोजेक्टिव रेखा तक डिग्री दो के विस्तृत आवरण के विखंडन बिंदु सभी अति-दीर्घवृत्ताकार वेयरस्ट्रास बिंदु हैं और ये जीनस के अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र पर सभी वेयरस्ट्रास बिंदुओं को समाप्त कर देते हैं। अंतराल के बारे में अधिक जानकारी क्लिफोर्ड के प्रमेय को लागू करने से मिलती है। कार्यों का गुणन गैर-अंतराल को एक संख्यात्मक अर्धसमूह संरचना देता है, और एडॉल्फ हर्विट्ज़ के एक पुराने प्रश्न ने होने वाले अर्धसमूहों के लक्षण वर्णन के लिए कहा। आर. ओ. द्वारा एक नई आवश्यक शर्त पाई गई। 1980 में बुचविट्ज़ और उन्होंने 16 अंतरालों के साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के एक उप-समूह का एक उदाहरण दिया जो जीनस 16 के वक्र पर एक बिंदु पर गैर-अंतराल के अर्ध-समूह के रूप में नहीं होता है (देखें)। सकारात्मक विशेषता के क्षेत्र पर एक गैर-कोणीय वक्र के लिए वेयरस्ट्रास बिंदु की परिभाषा 1939 में एफ. के. श्मिट द्वारा दी गई थी। सकारात्मक विशेषता अधिक आम तौर पर, विशेषता के एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर परिभाषित एक गैर-एकल बीजगणितीय वक्र के लिए, सभी के लिए अंतराल संख्याएँ लेकिन परिमित रूप से कई बिंदु एक निश्चित अनुक्रम हैं इन बिंदुओं को गैर-वेयरस्ट्रास बिंदु कहा जाता है। जिनके अंतराल अनुक्रम के सभी बिंदु अलग-अलग होते हैं, उन्हें वेयरस्ट्रास बिंदु कहा जाता है। यदि तब वक्र को शास्त्रीय वक्र कहा जाता है। अन्यथा, इसे गैर-शास्त्रीय कहा जाता है। विशेषता शून्य में, सभी वक्र शास्त्रीय हैं। हर्मिशियन वक्र गैर-शास्त्रीय वक्रों का एक उदाहरण है। ये समीकरण द्वारा परिमित क्षेत्र पर परिभाषित प्रक्षेपात्मक वक्र हैं, जहाँ एक अभाज्य शक्ति है। टिप्पणियाँ संदर्भ रीमान सतहों पर बीजगणितीय वक्र