Fatou–Lebesgue theorem
गणित में, फातोउ-लेबेस्ग्यू प्रमेय निम्नतम सीमा के समाकलन (लेबेस्ग्यू के अर्थ में) से संबंधित असमानताओं की एक श्रृंखला स्थापित करता है और इन कार्यों के समाकलन की निम्नतम और उच्चतर सीमा तक कार्यों के अनुक्रम की सीमा श्रेष्ठ होती है। इस प्रमेय का नाम पियरे फातोउ और हेनरी लियोन लेब्सग्यू के नाम पर रखा गया है। यदि कार्यों का अनुक्रम बिंदु की दिशा में अभिसरण करता है, तो असमानताएं समानताओं में बदल जाती हैं और प्रमेय लेबस्ग्यू के प्रमुख अभिसरण प्रमेय तक कम हो जाता है। प्रमेय का कथन मान लीजिए कि f1, f2,. एक माप स्थान (S, σ, μ) पर परिभाषित वास्तविक मूल्य वाले मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम को दर्शाता है। यदि S पर एक लेबस्ग्यू-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन g मौजूद है जो निरपेक्ष मूल्य में अनुक्रम पर हावी है, जिसका अर्थ है कि सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए |fn। ≤ g, तो सभी fn के साथ-साथ निम्नतम सीमा और fn से बेहतर सीमा इंटीग्रेबल हैं और यहाँ निम्नतम सीमा और fn से बेहतर सीमा को बिंदुवार लिया जाता है। इन सीमित करने वाले कार्यों के निरपेक्ष मूल्य का समाकलन ऊपर g के समाकलन से घिरा होता है। चूंकि मध्य असमानता (वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए) हमेशा सही होती है, इसलिए अन्य असमानताओं की दिशाओं को याद रखना आसान होता है। प्रमाण सभी एफएन के साथ-साथ निम्नतम सीमा और एफएन से बेहतर सीमा मापने योग्य हैं और जी द्वारा निरपेक्ष मूल्य में हावी हैं, इसलिए समाकलन योग्य हैं। पहली असमानता गैर-नकारात्मक कार्यों fn + g पर फातोउ के लेम्मा को लागू करने और लेबेस्ग इंटीग्रल की रैखिकता का उपयोग करने के बाद होती है। अंतिम असमानता विपरीत फातोउ लेम्मा है। चूँकि लेब्सग इंटीग्रल की एकरसता द्वारा |fn। की उच्चतर सीमा पर भी g का प्रभुत्व है। वही अनुमान एफ. एन. से बेहतर सीमा के लिए हैं। विएना विश्वविद्यालय के गेराल्ड टेशल द्वारा वास्तविक और कार्यात्मक विश्लेषण में संदर्भ विषय। बाहरी लिंक वास्तविक विश्लेषण में प्रमेय माप सिद्धांत में प्रमेय प्रमाण वाले लेख