Complex measure
गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत, एक जटिल माप माप की अवधारणा को जटिल मान देकर सामान्यीकृत करता है। दूसरे शब्दों में, एक ऐसे समुच्चय के लिए अनुमति देता है जिसका आकार (लंबाई, क्षेत्र, आयतन) एक जटिल संख्या है। परिभाषा औपचारिक रूप से, एक मापने योग्य स्थान पर एक जटिल माप एक जटिल-मूल्यवान कार्य है जो सिग्मा-एडिटिव है। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रमपरिवर्तन (बाइजेक्शन) के लिए, यह बिना शर्त (इसलिए बिल्कुल) अभिसरण करता है। एक जटिल माप के संबंध में एकीकरण एक जटिल माप के संबंध में एक जटिल-मूल्यवान मापने योग्य फलन के समाकलन को उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है जैसे एक गैर-नकारात्मक माप के संबंध में एक वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य फलन के लेबस्ग इंटीग्रल को सरल कार्यों के साथ एक मापने योग्य फलन का अनुमान लगाकर परिभाषित किया जा सकता है। जैसे साधारण समाकलन के मामले में, यह अधिक सामान्य समाकलन अस्तित्व में विफल हो सकता है, या इसका मूल्य अनंत (जटिल अनंत) हो सकता है। एक अन्य दृष्टिकोण यह है कि एकीकरण के सिद्धांत को नए सिरे से विकसित नहीं किया जाए, बल्कि एक गैर-नकारात्मक माप के संबंध में एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य के अभिन्न की पहले से उपलब्ध अवधारणा का उपयोग किया जाए। उस अंत तक, यह एक त्वरित जाँच है कि एक जटिल माप के वास्तविक और काल्पनिक भाग μ1 और μ2 सीमित-मूल्य वाले हस्ताक्षरित उपाय हैं। इन उपायों को विभाजित करने के लिए कोई भी हैन-जॉर्डन अपघटन को लागू कर सकता है और जहां μ1 +, μ1-, μ2 +, μ2-सीमित-मूल्य वाले गैर-नकारात्मक उपाय हैं (जो कुछ अर्थों में अद्वितीय हैं)। फिर, एक मापने योग्य फलन f के लिए, जो क्षण के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, कोई भी तब तक परिभाषित कर सकता है जब तक कि दाहिने हाथ की ओर अभिव्यक्ति को परिभाषित किया गया है, यानी, सभी चार समाकलन मौजूद हैं और जब उन्हें जोड़ा जाता है तो कोई भी अनिश्चित का सामना नहीं करता है। अब एक जटिल-मूल्यवान मापने योग्य फलन को देखते हुए, कोई भी अपने वास्तविक और काल्पनिक घटकों को अलग-अलग एकीकृत कर सकता है जैसा कि ऊपर चित्रित किया गया है और परिभाषित कर सकता है, जैसा कि अपेक्षित है, एक जटिल माप और ध्रुवीय अपघटन की भिन्नता एक जटिल माप के लिए, कोई इसकी भिन्नता, या निरपेक्ष मूल्य, |μ। को सूत्र द्वारा परिभाषित करता है जहां A, σ में है और सर्वोच्चता, असंबद्ध समुच्चय (An) n के सभी अनुक्रमों पर चलती है जिसका संघ A है। मापने योग्य उपसमुच्चय में समूह ए के केवल सीमित विभाजनों को लेते हुए, एक समतुल्य परिभाषा प्राप्त होती है। यह पता चला है कि |μ। एक गैर-नकारात्मक सीमित उपाय है। जिस तरह से एक जटिल संख्या को ध्रुवीय रूप में दर्शाया जा सकता है, उसी तरह एक जटिल माप के लिए एक ध्रुवीय अपघटन होता हैः वास्तविक मूल्यों के साथ एक मापने योग्य फलन θ मौजूद है जिसका अर्थ किसी भी पूरी तरह से एकीकृत मापने योग्य फलन f के लिए है, यानी, f संतोषजनक है। जटिल मापों का स्थान दो जटिल मापों का योग एक जटिल माप है, जैसा कि एक जटिल माप का एक जटिल संख्या द्वारा गुणनफल है। कहने का मतलब है, एक माप स्थान (X, σ) पर सभी जटिल मापों का समूह जटिल संख्याओं पर एक सदिश स्थान बनाता है। इसके अलावा, कुल भिन्नता को एक मानक के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके संबंध में जटिल उपायों का स्थान एक बनाच स्थान है। रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय हस्ताक्षरित माप वेक्टर माप बाहरी लिंक गणित पर जटिल माप विश्व माप (माप सिद्धांत) जटिल संख्याएँ