Absolute Galois group
गणित में, एक क्षेत्र K का निरपेक्ष गैलोइस समूह GK, K पर सेप का गैलोइस समूह है, जहाँ सेप K का एक अलग करने योग्य समापन है। वैकल्पिक रूप से यह K के बीजगणितीय समापन के सभी ऑटोमोर्फिज्म का समूह है जो K को ठीक करता है। निरपेक्ष गैलोइस समूह आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म तक अच्छी तरह से परिभाषित है। यह एक असीम समूह है। (जब K एक पूर्ण क्षेत्र है, तो Ksep एक बीजगणितीय बंद K के कलग के समान है। विशेषता शून्य के के के लिए, या के एक परिमित क्षेत्र है।) उदाहरण एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का निरपेक्ष गैलोइस समूह तुच्छ है। वास्तविक संख्याओं का निरपेक्ष गैलोइस समूह दो तत्वों का एक चक्रीय समूह है (जटिल संयुग्मन और पहचान मानचित्र), क्योंकि C, R और [C: R] = 2 का पृथक्कृत समापन है। एक परिमित क्षेत्र K का निरपेक्ष गैलोइस समूह समूह के लिए समरूप है (संकेतन के लिए, व्युत्क्रम सीमा देखें।) फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म Fr जी. के. का एक कैनॉनिकल (टोपोलॉजिकल) जनरेटर है। (याद कीजिए कि कलग में सभी x के लिए Fr (x) = xq, जहाँ q, K में तत्वों की संख्या है।) जटिल गुणांक वाले परिमेय फलन क्षेत्र का निरपेक्ष गैलोइस समूह मुक्त है (एक अनंत समूह के रूप में)। यह परिणाम एड्रियन डौडी के कारण है और इसकी उत्पत्ति रीमान के अस्तित्व प्रमेय में हुई है। अधिक सामान्य रूप से, मान लीजिए कि C एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है और x एक चर है। फिर के = सी (एक्स) का निरपेक्ष गैलोइस समूह सी की प्रधानता के बराबर श्रेणी से मुक्त है। यह परिणाम डेविड हार्बेटर और फ्लोरियन पॉप के कारण है, और बाद में डैन हारन और मोशे जार्डन द्वारा बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके भी साबित किया गया था। मान लीजिए कि K, p-adic संख्याओं Qp का एक परिमित विस्तार है। पी § 2 के लिए, इसका निरपेक्ष गैलोइस समूह [केः क्यूपी] + 3 तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है और जनरेटर और संबंधों द्वारा इसका स्पष्ट विवरण होता है। यह उवे जानसेन और के विंगबर्ग का परिणाम है। पी = 2 के मामले में कुछ परिणाम ज्ञात हैं, लेकिन क्यू 2 के लिए संरचना ज्ञात नहीं है। एक अन्य मामला जिसमें निरपेक्ष गैलोइस समूह का निर्धारण किया गया है, वह बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र के सबसे बड़े पूर्णतया वास्तविक उपक्षेत्र के लिए है। समस्याएँ परिमेय संख्याओं के निरपेक्ष गैलोइस समूह के लिए कोई प्रत्यक्ष विवरण ज्ञात नहीं है। इस मामले में, बेली के प्रमेय से यह पता चलता है कि निरपेक्ष गैलोइस समूह की ग्रॉथेन्डिक के शिशुओं (सतहों पर मानचित्र) पर एक विश्वसनीय कार्रवाई है, जिससे हम बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों के गैलोइस सिद्धांत को "देख" सकते हैं। मान लीजिए कि K परिमेय संख्याओं का अधिकतम अबेलियन विस्तार है। फिर शाफ़ारेविच का अनुमान इस बात पर जोर देता है कि के का निरपेक्ष गैलोइस समूह एक मुक्त प्रोफाइनाइट समूह है। एक दिलचस्प समस्या यह है कि मैसी उत्पादों के गायब होने के बारे में जान मिनाच और न्गुयेन डुय टैन के अनुमान को निपटाना है। कुछ सामान्य परिणाम प्रत्येक प्रोफाइनाइट समूह कुछ गैलोइस विस्तार के गैलोइस समूह के रूप में होता है, हालांकि प्रत्येक प्रोफाइनाइट समूह एक निरपेक्ष गैलोइस समूह के रूप में नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आर्टिन-श्रियर प्रमेय का दावा है कि केवल परिमित निरपेक्ष गैलोइस समूह या तो तुच्छ हैं या क्रम 2 के हैं, जो केवल दो समरूपता वर्ग हैं। प्रत्येक प्रोजेक्टिव प्रोफाइनाइट समूह को छद्म बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के एक निरपेक्ष गैलोइस समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है। यह परिणाम अलेक्जेंडर लुबोत्ज़की और लू वैन डेन ड्राइस के कारण है। संदर्भ स्रोत गैलोइस सिद्धांत