Coadjoint representation
गणित में, एक लाइ समूह का सह-संयुक्त प्रतिनिधित्व संलग्न प्रतिनिधित्व का दोहरा होता है। यदि के लाइ बीजगणित को दर्शाता है, तो ऑन की संबंधित कार्रवाई, दोहरे स्थान को, सह-संयुक्त कार्रवाई कहा जाता है। एक ज्यामितीय व्याख्या दाएँ-अपरिवर्तनीय 1-रूपों के स्थान पर बाएँ-अनुवाद द्वारा कार्रवाई के रूप में है। कोएडजॉइंट प्रतिनिधित्व के महत्व पर अलेक्जेंडर किरिलोव के काम द्वारा जोर दिया गया था, जिन्होंने दिखाया कि निलपोटेन्ट लाइ समूहों के लिए उनके प्रतिनिधित्व सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका कोएडजॉइंट कक्षाओं द्वारा निभाई जाती है। कक्षाओं की किरिलोव विधि में, के प्रतिनिधित्व को ज्यामितीय रूप से समवर्ती कक्षाओं से शुरू किया जाता है। कुछ अर्थों में वे संयुग्म वर्गों के लिए एक विकल्प भूमिका निभाते हैं, जो फिर से जटिल हो सकते हैं, जबकि कक्षाएं अपेक्षाकृत ट्रैक्टेबल हैं। औपचारिक परिभाषा मान लीजिए कि यह एक झूठ समूह है और इसका झूठ बीजगणित है। के संलग्न प्रतिनिधित्व को दर्शाते हैं। फिर युग्म प्रतिनिधित्व को परिभाषित किया जाता है जहां वेक्टर पर रैखिक कार्यात्मक मूल्य को दर्शाता है। आइए लाइ समूह के संयुक्त प्रतिनिधित्व द्वारा प्रेरित लाइ बीजगणित के प्रतिनिधित्व को निरूपित करें। फिर के लिए परिभाषित समीकरण का असीम संस्करण पढ़ता हैः लाइ बीजगणित का संलग्न प्रतिनिधित्व कहाँ है। सह-संयुक्त कक्षा के दोहरे स्थान के लिए एक सह-संयुक्त कक्षा को या तो बाहरी रूप से, अंदर की वास्तविक कक्षा के रूप में, या आंतरिक रूप से सजातीय स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां सह-संयुक्त क्रिया के संबंध में स्टेबलाइज़र है; यह अंतर करने लायक है क्योंकि कक्षा का एम्बेडिंग जटिल हो सकता है। कोएडजॉइनट ऑर्बिट्स सबमैनिफोल्ड्स हैं और एक प्राकृतिक सिंप्लेक्टिक संरचना ले जाते हैं। प्रत्येक कक्षा पर, निम्नलिखित तरीके से विरासत में प्राप्त एक बंद गैर-अपक्षयी-अपरिवर्तनीय 2-रूप होता हैः निम्नलिखित तथ्यों से अच्छी तरह से परिभाषित, गैर-अपक्षय, और-विचलन की पहचान की जा सकती हैः (i) स्पर्शरेखा स्थान के साथ पहचाना जा सकता है, जहाँ का लाइ बीजगणित है। (ii) मानचित्र का कर्नेल बिल्कुल ठीक है। (iii) द्विरेखीय रूप नीचे अपरिवर्तनीय है। वह भी बंद है। कैनोनिकल 2-रूप को कभी-कभी सह-संयुक्त कक्षा पर किरिलोव-कोस्टेंट-सोरियाउ सिंप्लेक्टिक रूप या केकेएस रूप के रूप में संदर्भित किया जाता है। समस्थानिक कक्षाओं के गुण एक समस्थानिक कक्षा पर समस्थानिक क्रिया एक हैमिल्टनियन-क्रिया है जिसमें समावेश द्वारा दिया गया संवेग मानचित्र होता है। उदाहरण भी देखें बोरेल-बॉट-वेइल प्रमेय, एक संक्षिप्त समूह किरिलोव चरित्र सूत्र किरिलोव कक्षा सिद्धांत संदर्भ किरिलोव, ए. ए., कक्षा विधि पर व्याख्यान, गणित में स्नातक अध्ययन, खंड। 64, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, बाहरी लिंक लाइ समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत प्रतीकात्मक ज्यामिति