Whitney's planarity criterion
गणित में, व्हिटनी की समतलीयता मानदंड समतलीय ग्राफ का एक मैट्रायड-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन है, जिसका नाम हैस्लर व्हिटनी के नाम पर रखा गया है। यह बताता है कि एक ग्राफ जी समतल है यदि और केवल तभी जब इसका ग्राफिक मैट्रायड भी ग्राफिक हो (यानी, यह किसी अन्य ग्राफिक मैट्रायड का दोहरा मैट्रायड है)। विशुद्ध रूप से ग्राफ-सैद्धांतिक शब्दों में, इस मानदंड को निम्नानुसार कहा जा सकता हैः एक और (दोहरा) ग्राफ G '= (V', E ') होना चाहिए और मूल ग्राफ G के किनारों E' और किनारों E के बीच एक वस्तुनिष्ठ पत्राचार होना चाहिए, जैसे कि E का एक उपसमुच्चय T, G का एक फैला हुआ वृक्ष बनाता है यदि और केवल तभी जब पूरक उपसमुच्चय E-T के अनुरूप किनारे G 'का एक फैला हुआ वृक्ष बनाते हैं। व्हिटनी के मानदंड का एक समतुल्य रूप यह है कि एक ग्राफ जी समतल है यदि और केवल तभी जब इसमें एक दोहरा ग्राफ हो जिसका ग्राफिक मैट्रायड जी के ग्राफिक मैट्रायड के लिए दोहरा हो। एक ग्राफ जिसका ग्राफिक मैट्रायड जी के ग्राफिक मैट्रायड के लिए दोहरा हो जिसे जी के बीजगणितीय दोहरे के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार, व्हिटनी के समतलीय मानदंड को संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता हैः एक ग्राफ समतल है यदि और केवल तभी जब इसमें बीजगणितीय दोहरा हो। यदि एक ग्राफ को समतल जैसी स्थलवैज्ञानिक सतह में इस तरह से एम्बेड किया जाता है कि एम्बेडिंग का प्रत्येक चेहरा एक टोपोलॉजिकल डिस्क है, तो एम्बेडिंग के दोहरे ग्राफ को ग्राफ (या कुछ मामलों में मल्टीग्राफ) एच के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एम्बेडिंग के प्रत्येक चेहरे के लिए एक शीर्ष होता है, और चेहरों की एक जोड़ी के बीच प्रत्येक निकटता के लिए एक किनारा होता है। व्हिटनी के मानदंड के अनुसार, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैंः जिस सतह पर एम्बेडिंग मौजूद है वह स्थलाकृतिक रूप से समतल, गोले या पंचर किए गए तल के बराबर है H, G का एक बीजगणितीय दोहरा है G में प्रत्येक सरल चक्र H में न्यूनतम कटौती से मेल खाता है, और इसके विपरीत H में प्रत्येक सरल चक्र G में न्यूनतम कटौती से मेल खाता है, और इसके विपरीत G में प्रत्येक फैले हुए पेड़ H में एक फैले हुए पेड़ के पूरक से मेल खाता है, और इसके विपरीत। टोरस जैसी गैर-समतल सतहों पर एम्बेडेड ग्राफ के दोहरे ग्राफ को परिभाषित करना संभव है, लेकिन इन दोहरे में आम तौर पर व्हिटनी के मानदंड द्वारा आवश्यक कटौती, चक्र और फैले हुए पेड़ों के बीच पत्राचार नहीं होता है। संदर्भ मैट्रायड सिद्धांत प्लानर ग्राफ