Elliptic surface
गणित में, एक दीर्घवृत्ताकार सतह एक ऐसी सतह है जिसमें एक दीर्घवृत्ताकार तंतु होता है, दूसरे शब्दों में एक बीजगणितीय वक्र से जुड़े तंतुओं के साथ एक उचित आकृतिवाद जैसे कि लगभग सभी तंतु जीनस 1 के चिकने वक्र होते हैं। (एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जैसे कि जटिल संख्याओं पर, ये तंतु अण्डाकार वक्र होते हैं, शायद बिना किसी चुने हुए मूल के।) यह जेनेरिक फाइबर के जीनस एक के चिकने वक्र होने के बराबर है। यह उचित आधार परिवर्तन से होता है। सतह और आधार वक्र को गैर-एकल (संदर्भ के आधार पर जटिल मैनिफोल्ड या नियमित योजनाएँ) माना जाता है। जो रेशे दीर्घवृत्ताकार वक्र नहीं होते हैं उन्हें एकवचन रेशे कहा जाता है और इन्हें कुनिहिको कोडायरा द्वारा वर्गीकृत किया गया था। तार सिद्धांत में अण्डाकार और एकवचन दोनों तंतु महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से एफ-सिद्धांत में। अण्डाकार सतहें सतहों का एक बड़ा वर्ग बनाती हैं जिनमें सतहों के कई दिलचस्प उदाहरण होते हैं, और जटिल मैनिफोल्ड और चिकनी 4-मैनिफोल्ड के सिद्धांतों में अपेक्षाकृत अच्छी तरह से समझे जाते हैं। वे संख्या क्षेत्रों पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के समान हैं (जिनके साथ समानताएं हैं)। उदाहरण किसी भी वक्र के साथ किसी भी दीर्घवृत्ताकार वक्र का उत्पाद एक दीर्घवृत्ताकार सतह है (जिसमें कोई एकल फाइबर नहीं है)। कोडाइरा आयाम 1 की सभी सतहें अण्डाकार हैं। एनरिक की प्रत्येक जटिल सतह अण्डाकार होती है, और प्रोजेक्टिव लाइन के ऊपर एक अण्डाकार तंतु होता है। कोडाइरा की सतह डोलगाचेव की सतहों पर शिओडा मॉड्यूलर सतह कोडाइरा की एकल तंतुओं की मेज पर एक दीर्घवृत्ताकार तंतु के अधिकांश तंतु (गैर-एकल) दीर्घवृत्ताकार वक्र होते हैं। शेष तंतुओं को एकवचन तन्तु कहा जाता हैः उनमें से एक सीमित संख्या होती है, और प्रत्येक में तर्कसंगत वक्रों का एक संघ होता है, संभवतः एकलता या गैर-शून्य गुणन के साथ (इसलिए तंतु गैर-कम योजनाएं हो सकती हैं)। कोडाइरा और नेरॉन ने स्वतंत्र रूप से संभावित तंतुओं को वर्गीकृत किया, और टेट के एल्गोरिदम का उपयोग एक संख्या क्षेत्र पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के तंतुओं के प्रकार का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। निम्नलिखित तालिका न्यूनतम अण्डाकार तंतुओं के संभावित तंतुओं को सूचीबद्ध करती है। ("न्यूनतम" का अर्थ है मोटे तौर पर वह जिसे "छोटे" के माध्यम से फैक्टर नहीं किया जा सकता है; सटीक रूप से, एकवचन तंतुओं में स्व-छेदन संख्या-1 के साथ कोई चिकनी तर्कसंगत वक्र नहीं होनी चाहिए।) यह देता हैः फाइबर के लिए कोडायरा का प्रतीक, फाइबर के लिए आंद्रे नेरॉन का प्रतीक, फाइबर के अपरिवर्तनीय घटकों की संख्या (प्रकार I0 को छोड़कर सभी तर्कसंगत) घटकों का प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स। यह या तो एक 1 × 1 शून्य मैट्रिक्स है, या एक एफ़ाइन कार्टन मैट्रिक्स है, जिसका डाइनकिन आरेख दिया गया है। प्रत्येक रेशे की गुणाओं को डायनकिन आरेख में दर्शाया गया है। यह तालिका निम्नानुसार पाई जा सकती है। ज्यामितीय तर्कों से पता चलता है कि फाइबर के घटकों का प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स नकारात्मक अर्धपरिमित, जुड़ा हुआ, सममित होना चाहिए, और इसमें-1 (न्यूनतमता द्वारा) के बराबर कोई विकर्ण प्रविष्टियाँ नहीं होनी चाहिए। इस तरह का मैट्रिक्स 0 या एडीई प्रकार के एक एफ़ाइन डाइनकिन आरेख के कार्टन मैट्रिक्स का एक गुणक होना चाहिए। प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स तीन अपवादों के साथ फाइबर के प्रकार को निर्धारित करता हैः यदि प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स 0 है तो फाइबर या तो एक अण्डाकार वक्र (प्रकार I0) हो सकता है, या एक दोहरा बिंदु (प्रकार I1), या एक पुच्छ (प्रकार II) हो सकता है। यदि प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स ए1 से संबंधित है, तो प्रतिच्छेदन गुणन 2 के साथ 2 घटक हैं। वे या तो क्रम 1 (प्रकार I2) के साथ 2 अंकों में, या एक बिंदु पर क्रम 2 (प्रकार III) के साथ मिल सकते हैं। यदि प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स ए 2 से जुड़ा हुआ है, तो 3 घटक हैं जिनमें से प्रत्येक अन्य दो से मिलता है। वे या तो 3 अलग-अलग बिंदुओं (प्रकार I3) पर जोड़े में मिल सकते हैं, या सभी एक ही बिंदु (प्रकार IV) पर मिल सकते हैं। मोनोड्रोमी प्रत्येक एकल फाइबर के आसपास मोनोड्रोमी निर्धारक 1 के साथ 2 × 2 पूर्णांक मैट्रिक्स के समूह एस. एल. (2, जेड) में एक अच्छी तरह से परिभाषित संयुग्मता वर्ग है। मोनोड्रोमी उस तरीके का वर्णन करती है जिस तरह से एक चिकने फाइबर का पहला समरूपता समूह (जो Z2 के लिए समरूप है) बदलता है क्योंकि हम एक एकल फाइबर के चारों ओर जाते हैं। एकवचन तंतुओं से जुड़े इन संयुग्म वर्गों के प्रतिनिधियों को इस प्रकार दिया जाता हैः प्रकार II, III, IV, I0 *, IV *, III *, या II * के एकवचन तंतुओं के लिए, मोनोड्रोमी का SL (2, Z) में सीमित क्रम होता है। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि एक दीर्घवृत्ताकार तंतु में इस तरह के तंतु में संभावित अच्छी कमी होती है। अर्थात्, आधार वक्र के एक विस्तृत परिमित आवरण के बाद, एकवचन फाइबर को एक चिकनी अण्डाकार वक्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। कौन सा चिकना वक्र दिखाई देता है, यह तालिका में जे-इनवेरिएंट द्वारा वर्णित है। जटिल संख्याओं पर, जे-इनवेरिएंट 0 के साथ वक्र क्रम 6 के ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ अद्वितीय दीर्घवृत्ताकार वक्र है, और जे-इनवेरिएंट 1728 के साथ वक्र क्रम 4 के ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ अद्वितीय दीर्घवृत्ताकार वक्र है। (अन्य सभी अण्डाकार वक्रों में क्रम 2 का ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है।) एक खंड के साथ एक दीर्घवृत्ताकार तंतु के लिए, जिसे जैकोबियन दीर्घवृत्ताकार तन्तु कहा जाता है, प्रत्येक तंतु के चिकने स्थान में एक समूह संरचना होती है। एकवचन तंतुओं के लिए, चिकनी लोकस पर इस समूह संरचना को तालिका में वर्णित किया गया है, यह मानते हुए कि आधार क्षेत्र जटिल संख्या है। (एक एफाइन डाइनकिन आरेख द्वारा दिए गए प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स के साथ एकवचन फाइबर के लिए, चिकने लोकस के घटकों का समूह डाइनकिन आरेख के साथ सरल रूप से जुड़े सरल लाइ समूह के केंद्र में समरूप है, जैसा कि यहां सूचीबद्ध है।) एकल तंतुओं की समूह संरचना को जानना एक दीर्घवृत्ताकार तंतु (वर्गों के समूह) के मोर्डेल-वेल समूह की गणना के लिए उपयोगी है, विशेष रूप से इसके मरोड़ उपसमूह में। केनोनिकल बंडल सूत्र यह समझने के लिए कि अण्डाकार सतह सतहों को सतहों के वर्गीकरण में कैसे फिट किया जाता है, एक न्यूनतम अण्डाकार सतह f: X → S के कैनोनिकल बंडल की गणना करना महत्वपूर्ण है। जटिल संख्याओं पर, कोडायरा ने निम्नलिखित कैनोनिकल बंडल सूत्र को साबित कियाः यहाँ f (यदि कोई हो) के कई तंतुओं को इस प्रकार लिखा जाता है, एक पूर्णांक mi के लिए कम से कम 2 और एक भाजक Di जिसके गुणांक में 1 के बराबर सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है, और L चिकनी वक्र S पर कुछ रेखा बंडल होता है। यदि S प्रोजेक्टिव (या समकक्ष, कॉम्पैक्ट) है, तो L की डिग्री X और S की होलोमोर्फिक यूलर विशेषताओं द्वारा निर्धारित की जाती हैः χ (χ) = χ (χ) कैनोनिकल बंडल सूत्र का तात्पर्य है कि केएक्स एस पर कुछ क्यू-विभाजक के पुलबैक के बराबर क्यू-रैखिक है; यहाँ यह आवश्यक है कि अण्डाकार सतह एक्स → एस न्यूनतम हो। केंजी यूनो के काम के आधार पर, ताकाओ फुजीता (1986) ने कैनॉनिकल बंडल सूत्र का एक उपयोगी संस्करण दिया, जिसमें दिखाया गया कि कैसे KX चिकनी तंतुओं की भिन्नता पर निर्भर करता है। अर्थात्, एक क्यू-रैखिक समतुल्यता है जहाँ विभेदक भाजक बी. एस. एफ. के एकल तंतुओं से जुड़े एस पर एक स्पष्ट प्रभावी क्यू-भाजक है, और मॉड्यूली भाजक एम. एस. है, जहाँ जेः एस. पी. 1 चिकने तंतुओं के जे-इनवेरिएंट को देने वाला कार्य है। (इस प्रकार एमएस, विभाजक वर्ग समूह सीएल (एस) और पिकार्ड समूह पिक (एस) के बीच की पहचान का उपयोग करते हुए, क्यू-भाजकों का एक क्यू-रैखिक समतुल्य वर्ग है।) विशेष रूप से, एस प्रोजेक्टिव के लिए, मॉड्यूली भाजक एमएस में गैर-नकारात्मक डिग्री होती है, और इसकी डिग्री शून्य होती है यदि और केवल तभी जब अण्डाकार सतह समस्थानिक हो, जिसका अर्थ है कि सभी चिकने फाइबर समरूप हैं। फुजीता के सूत्र में विभेदक भाजक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, जहाँ c (p) लॉग विहित सीमा है। यह एकवचन फाइबर के प्रकार के आधार पर 0 और 1 के बीच एक स्पष्ट परिमेय संख्या है। स्पष्ट रूप से, एक चिकने रेशे या प्रकार के लिए एल. सी. टी. 1 है, और यह एक से अधिक रेशे के लिए 1/मीटर, 2 के लिए 1/2, II के लिए 5/6, III के लिए 3/4, IV के लिए 2/3, IV * के लिए 1/3, III * के लिए 1/4, और II * के लिए 1/6 है। कैनोनिकल बंडल सूत्र (फुजीता के रूप में) को युजिरो कवामाता और अन्य लोगों द्वारा किसी भी आयाम की कालाबी-यू किस्मों के परिवारों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। लघुगणक परिवर्तन एक दीर्घवृत्ताकार सतह या तंतु का लघुगणक परिवर्तन (केंद्र पी के साथ क्रम एम का) आधार स्थान के एक बिंदु पी पर बहुलता 1 के फाइबर को बहुगुणित मीटर के फाइबर में बदल देता है। इसे उलट किया जा सकता है, इसलिए उच्च बहुलता वाले फाइबर सभी को बहुगुणित 1 के फाइबर में बदला जा सकता है, और इसका उपयोग सभी एकाधिक फाइबर को खत्म करने के लिए किया जा सकता है। लघुगणक परिवर्तन काफी हिंसक हो सकते हैंः वे कोडायरा आयाम को बदल सकते हैं, और बीजगणितीय सतहों को गैर-बीजगणितीय सतहों में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिएः मान लीजिए कि L, C का जाली Z + iZ है, और मान लीजिए कि E, C/L का अण्डाकार वक्र है। फिर E × C से C तक का प्रक्षेपण मानचित्र एक अण्डाकार तंतु है। हम दिखाएँगे कि 0 से अधिक फाइबर को गुणा 2 के फाइबर से कैसे बदला जाए। क्रम 2 का E × C का एक ऑटोमोर्फिज्म है जो (c, s) से (c + 1/2, −s) को मैप करता है। हम इस समूह क्रिया द्वारा X को E × C का भागफल मानते हैं। हम (सी, एस) से एस2 का मानचित्रण करके एक्स को सी के ऊपर एक फाइबर स्थान में बनाते हैं। हम (सी, एस) से (सी-लॉग (एस)/2πi, एस 2) तक मानचित्रण करके एक्स माइनस फाइबर से 0 से ई × सी माइनस फाइबर से 0 तक एक समरूपता का निर्माण करते हैं। (0 से अधिक दो तंतु गैर-समरूपी दीर्घवृत्ताकार वक्र हैं, इसलिए तंतु X निश्चित रूप से पूरे C पर तंतु E × C के लिए समरूप नहीं है।) फिर तंतु X में 2 से 0 की गुणन क्षमता का तंतु होता है, और अन्यथा E × C जैसा दिखता है। हम कहते हैं कि एक्स केंद्र 0 के साथ क्रम 2 से ई × सी के लघुगणक परिवर्तन को लागू करके प्राप्त किया जाता है। एनरिक-कोडाइरा वर्गीकरण नेरोन न्यूनतम मॉडल नोट्स संदर्भ जटिल सतह बिरैशनल ज्यामिति बीजगणितीय सतह गणितीय वर्गीकरण प्रणालियाँ भी देखें।