Hyperbolic group
समूह सिद्धांत में, अधिक सटीक रूप से ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, एक हाइपरबोलिक समूह, जिसे शब्द हाइपरबोलिक समूह या ग्रोमोव हाइपरबोलिक समूह के रूप में भी जाना जाता है, एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह है जो एक शब्द मीट्रिक से सुसज्जित है जो शास्त्रीय हाइपरबोलिक ज्यामिति से अमूर्त कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। एक हाइपरबोलिक समूह की धारणा को उनके द्वारा पेश और विकसित किया गया था। प्रेरणा विभिन्न मौजूदा गणितीय सिद्धांतों से मिलीः हाइपरबोलिक ज्यामिति लेकिन निम्न-आयामी टोपोलॉजी (विशेष रूप से एक हाइपरबोलिक रीमान सतह के मौलिक समूह से संबंधित मैक्स डेहन के परिणाम, और त्रि-आयामी टोपोलॉजी में अधिक जटिल घटनाएं), और संयोजन समूह सिद्धांत। 1987 के एक बहुत ही प्रभावशाली (1000 से अधिक उद्धरण) अध्याय में, ग्रोमोव ने एक व्यापक शोध कार्यक्रम का प्रस्ताव रखा। अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत में विचार और मूलभूत सामग्री भी जॉर्ज मोस्टो, विलियम थर्स्टन, जेम्स डब्ल्यू. कैनन, एलियाहु रिप्स और कई अन्य लोगों के काम से उपजी है। परिभाषा मान लीजिए कि यह एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह है और जनरेटरों के कुछ सीमित समूह के संबंध में इसका केली ग्राफ है। सेट को अपने ग्राफ मीट्रिक के साथ संपन्न किया जाता है (जिसमें किनारों की लंबाई एक होती है और दो शीर्षों के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले पथ में किनारों की न्यूनतम संख्या होती है) जो इसे लंबाई के स्थान में बदल देती है। यदि ग्रोमोव के अर्थ में एक हाइपरबोलिक स्थान है तो समूह को हाइपरबोलिक कहा जाता है। संक्षेप में, इसका मतलब है कि ऐसा कोई भी भूगणितीय त्रिभुज मौजूद है जो-पतला है, जैसा कि दाईं ओर के चित्र में दर्शाया गया है (अंतरिक्ष को तब-हाइपरबोलिक कहा जाता है)। एक प्राथमिकता यह परिभाषा एक परिमित उत्पन्न करने वाले समूह के चयन पर निर्भर करती है। यह निम्नलिखित दो तथ्यों से पता चलता है कि ऐसा नहीं हैः दो परिमित उत्पन्न करने वाले सेटों के अनुरूप केली ग्राफ हमेशा एक दूसरे के लिए अर्ध-सममितीय होते हैं; कोई भी भूगणितीय स्थान जो एक भूगणितीय ग्रोमोव-हाइपरबॉलिक स्थान के लिए अर्ध-सममितीय होता है, वह स्वयं ग्रोमोव-हाइपरबॉलिक होता है। इस प्रकार हम वैध रूप से एक जनरेटिंग सेट का उल्लेख किए बिना एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह के हाइपरबोलिक होने की बात कर सकते हैं। दूसरी ओर, एक स्थान जो एक-हाइपरबोलिक स्थान के लिए अर्ध-सममितीय है, कुछ लोगों के लिए स्वयं-हाइपरबोलिक है, लेकिन बाद वाला मूल और अर्ध-आइसोमेट्री दोनों पर निर्भर करता है, इस प्रकार-हाइपरबोलिक होने की बात करने का कोई मतलब नहीं है। टिप्पणी स्वार्क-मिल्नर लेम्मा में कहा गया है कि यदि कोई समूह उचित लंबाई के स्थान पर ठीक से असंतत रूप से और कॉम्पैक्ट भागफल (इस तरह की कार्रवाई को अक्सर ज्यामितीय कहा जाता है) के साथ कार्य करता है, तो यह परिमित रूप से उत्पन्न होता है, और इसके लिए कोई भी केली ग्राफ अर्ध-सममितीय होता है। इस प्रकार एक समूह (परिमित रूप से उत्पन्न और) हाइपरबोलिक होता है यदि और केवल तभी जब इसकी उचित हाइपरबोलिक स्थान पर ज्यामितीय क्रिया होती है। यदि सीमित सूचकांक वाला एक उपसमूह है (यानी, सेट सीमित है), तो समावेशन किसी भी स्थानीय रूप से सीमित केले ग्राफ के शीर्षों पर किसी भी स्थानीय रूप से सीमित केले ग्राफ में एक अर्ध-सममिति को प्रेरित करता है। इस प्रकार अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल यदि स्वयं है। अधिक सामान्य रूप से, यदि दो समूह तुलनीय हैं, तो एक हाइपरबोलिक है यदि और केवल तभी जब दूसरा है। उदाहरण प्राथमिक हाइपरबोलिक समूह हाइपरबोलिक समूहों के सबसे सरल उदाहरण सीमित समूह हैं (जिनके केली ग्राफ सीमित व्यास के होते हैं, इसलिए इस व्यास के बराबर-हाइपरबोलिक)। एक अन्य सरल उदाहरण अनंत चक्रीय समूह द्वारा दिया गया हैः उत्पन्न करने वाले समूह के संबंध में केले ग्राफ एक रेखा है, इसलिए सभी त्रिकोण रेखा खंड हैं और ग्राफ-हाइपरबॉलिक है। यह इस प्रकार है कि कोई भी समूह जो वस्तुतः चक्रीय है (जिसमें परिमित सूचकांक की एक प्रति होती है) भी हाइपरबोलिक है, उदाहरण के लिए अनंत डायहेड्रल समूह। समूहों के इस वर्ग के सदस्यों को अक्सर प्राथमिक हाइपरबोलिक समूह कहा जाता है (शब्दावली को हाइपरबोलिक तल पर क्रियाओं से अनुकूलित किया जाता है)। पेड़ों पर कार्य करने वाले मुक्त समूह और समूह एक सीमित समूह होने चाहिए और सेट बनाने के साथ मुक्त समूह होने चाहिए। फिर के संबंध में केले ग्राफ एक स्थानीय रूप से सीमित वृक्ष है और इसलिए एक 0-हाइपरबॉलिक स्थान है। इस प्रकार यह एक हाइपरबोलिक समूह है। अधिक आम तौर पर हम देखते हैं कि कोई भी समूह जो स्थानीय रूप से सीमित वृक्ष पर ठीक से असंतत रूप से कार्य करता है (इस संदर्भ में इसका मतलब है कि शीर्षों के स्थिरक सीमित हैं) हाइपरबोलिक है। वास्तव में, यह इस तथ्य से मिलता है कि इसमें एक अपरिवर्तनीय उप-वृक्ष है जिस पर यह कॉम्पैक्ट भागफल के साथ कार्य करता है, और स्वार्क-मिलनर लेम्मा। ऐसे समूह वास्तव में लगभग स्वतंत्र हैं (अर्थात। इसमें परिमित सूचकांक का एक परिमित रूप से उत्पन्न मुक्त उपसमूह होता है), जो उनकी अतिवादिता का एक और प्रमाण देता है। एक दिलचस्प उदाहरण मॉड्यूलर समूह हैः यह हाइपरबोलिक तल के संबंधित टेसेलेशन के 1-कंकाल द्वारा दिए गए वृक्ष पर कार्य करता है और इसमें सूचकांक 6 का एक सीमित सूचकांक मुक्त उपसमूह (दो जनरेटर पर) होता है (उदाहरण के लिए मैट्रिक्स का सेट जिसमें पहचान मॉड्यूलो 2 तक कम हो जाता है, एक ऐसा समूह है)। इस उदाहरण की एक दिलचस्प विशेषता पर ध्यान देंः यह एक हाइपरबोलिक स्थान (हाइपरबोलिक तल) पर ठीक से असंतत रूप से कार्य करता है लेकिन क्रिया को-कॉम्पैक्ट नहीं है (और वास्तव में हाइपरबोलिक तल के लिए अर्ध-सममित नहीं है)। मॉड्यूलर समूह के उदाहरण को सामान्य करते हुए एक फ्यूशियन समूह एक ऐसा समूह है जो हाइपरबोलिक तल (समतुल्य रूप से, एक असतत उपसमूह) पर ठीक से असंतत कार्रवाई को स्वीकार करता है। हाइपरबोलिक तल एक-हाइपरबोलिक स्थान है और इसलिए स्वार्क-मिल्नर लेम्मा हमें बताता है कि को-कॉम्पैक्ट फ्यूशियन समूह हाइपरबोलिक हैं। नकारात्मक यूलर विशेषता की बंद सतहों के मौलिक समूह इसके उदाहरण हैं। वास्तव में, इन सतहों को हाइपरबोलिक तल के भागफल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि पोइनकेयर-कोएबे यूनिफॉर्माइजेशन प्रमेय द्वारा निहित है। कोकोम्पैक्ट फ्यूशियन समूहों के उदाहरणों का एक और परिवार त्रिभुज समूहों द्वारा दिया गया हैः सीमित रूप से कई को छोड़कर सभी हाइपरबोलिक हैं। नकारात्मक वक्रता बंद सतहों के उदाहरण को सामान्य करते हुए, कड़ाई से नकारात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड्स के मौलिक समूह हाइपरबोलिक हैं। उदाहरण के लिए, हस्ताक्षर के एक रूप के ऑर्थोगोनल या एकात्मक समूह में को-कॉम्पैक्ट जाली हाइपरबोलिक होते हैं। एक और सामान्यीकरण एक कैट (के) स्थान पर एक ज्यामितीय कार्रवाई को स्वीकार करने वाले समूहों द्वारा दिया जाता है। ऐसे उदाहरण मौजूद हैं जो पिछले किसी भी निर्माण के अनुरूप नहीं हैं (उदाहरण के लिए हाइपरबोलिक इमारतों पर ज्यामितीय रूप से कार्य करने वाले समूह)। छोटे रद्द करने वाले समूह छोटे रद्द करने की शर्तों को पूरा करने वाली प्रस्तुतियाँ रखने वाले समूह अतिशयोक्तिपूर्ण होते हैं। यह उन उदाहरणों का स्रोत देता है जिनकी ज्यामितीय उत्पत्ति ऊपर दिए गए उदाहरणों की तरह नहीं है। वास्तव में अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के प्रारंभिक विकास के लिए प्रेरणाओं में से एक छोटे रद्दीकरण की अधिक ज्यामितीय व्याख्या देना था। यादृच्छिक समूह कुछ अर्थों में, बड़े परिभाषित संबंधों के साथ "अधिकांश" परिमित रूप से प्रस्तुत समूह अतिशयोक्तिपूर्ण होते हैं। एकर अर्थ के मात्रात्मक विवरण लेल यादृच्छिक समूह देखू। गैर-उदाहरण एक समूह का सबसे सरल उदाहरण जो अतिसंवेदनशील नहीं है, वह है मुक्त श्रेणी 2 अबेलियन समूह। वास्तव में, यह यूक्लिडियन तल के लिए अर्ध-सममितीय है जिसे आसानी से अतिसंवेदनशील नहीं देखा जाता है (उदाहरण के लिए समरूपता के अस्तित्व के कारण)। अधिक आम तौर पर, कोई भी समूह जो एक उपसमूह के रूप में होता है, अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं होता है। विशेष रूप से, उच्च श्रेणी के अर्ध-सरल लाइ समूहों में जाली और गैर-तुच्छ गाँठ पूरक के मौलिक समूह इस श्रेणी में आते हैं और इसलिए हाइपरबोलिक नहीं होते हैं। यह बंद हाइपरबोलिक सतहों के वर्ग समूहों के मानचित्रण के लिए भी मामला है। बामस्लाग-सोलिटार समूह बी (एम, एन) और कोई भी समूह जिसमें कुछ बी (एम, एन) के लिए एक उपसमूह समरूपता होती है, हाइपरबोलिक होने में विफल रहता है (क्योंकि बी (1,1) =, यह पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है)। एक श्रेणी 1 सरल लाइ समूह में एक गैर-समान जाली हाइपरबोलिक होती है यदि और केवल तभी जब समूह आइसोजेनस हो (समतुल्य रूप से संबंधित सममित स्थान हाइपरबोलिक तल है)। इसका एक उदाहरण हाइपरबोलिक गाँठ समूहों द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, दूसरा बियांची समूह है। गुण बीजगणितीय गुण हाइपरबोलिक समूह टिट्स विकल्प को संतुष्ट करते हैंः वे या तो वस्तुतः हल करने योग्य हैं (यह संभावना केवल प्राथमिक हाइपरबोलिक समूहों द्वारा संतुष्ट की जाती है) या उनके पास एक गैर-एबेलियन मुक्त समूह के लिए एक उपसमूह समरूपता है। गैर-तात्विक हाइपरबोलिक समूह बहुत मजबूत अर्थों में सरल नहीं हैंः यदि गैर-तात्विक हाइपरबोलिक है तो एक अनंत उपसमूह मौजूद है और दोनों अनंत हैं। यह ज्ञात नहीं है कि क्या कोई हाइपरबोलिक समूह मौजूद है जो अवशिष्ट रूप से सीमित नहीं है। ज्यामितीय गुण गैर-तत्व (अनंत और वस्तुतः चक्रीय नहीं) हाइपरबोलिक समूहों में हमेशा घातीय वृद्धि दर होती है (यह टिट्स विकल्प का एक परिणाम है)। हाइपरबोलिक समूह एक रैखिक आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करते हैं। होमोलॉजिकल गुण हाइपरबॉलिक समूहों को हमेशा सीमित रूप से प्रस्तुत किया जाता है। वास्तव में कोई भी स्पष्ट रूप से एक परिसर (रिप्स परिसर) का निर्माण कर सकता है जो सिकुड़ने योग्य है और जिस पर समूह ज्यामितीय रूप से कार्य करता है इसलिए यह प्रकार F ≤ का है। जब समूह मरोड़-मुक्त होता है तो क्रिया मुक्त होती है, जिससे पता चलता है कि समूह का परिमित समरूपी आयाम है। 2002 में, आई. मिनेयेव ने दिखाया कि हाइपरबोलिक समूह बिल्कुल वे परिमित रूप से उत्पन्न समूह हैं जिनके लिए बाउंडेड कोहोमोलॉजी और साधारण कोहोमोलॉजी के बीच तुलना मानचित्र सभी डिग्री में, या समकक्ष रूप से, डिग्री 2 में सर्जेक्टिव है। एल्गोरिदमिक गुण हाइपरबोलिक समूहों में एक हल करने योग्य शब्द समस्या होती है। वे द्वि-स्वचालित और स्वचालित हैं। वास्तव में, वे दृढ़ता से भूगणितीय रूप से स्वचालित हैं, यानी समूह पर एक स्वचालित संरचना है, जहां स्वीकारकर्ता शब्द द्वारा स्वीकार की गई भाषा सभी भूगणितीय शब्दों का समूह है। 2010 में यह दिखाया गया था कि हाइपरबोलिक समूहों में एक निर्णायक चिह्नित समरूपता समस्या है। यह उल्लेखनीय है कि इसका मतलब है कि समरूपता समस्या, कक्षा समस्याएं (विशेष रूप से संयुग्मता समस्या) और व्हाइटहेड की समस्या सभी निर्णायक हैं। कैनन और स्वेनसन ने दिखाया है कि अनंत पर 2-गोले वाले हाइपरबोलिक समूहों में एक प्राकृतिक उपखंड नियम होता है। यह तोप के अनुमान से संबंधित है। सामान्यीकरण अपेक्षाकृत अतिसंवेदनशील समूह अपेक्षाकृत अतिसंवेदनशील समूह एक सामान्यीकृत अतिसंवेदनशील समूह हैं। बहुत मोटे तौर पर उपसमूहों के एक संग्रह के सापेक्ष अतिसंवेदनशील है यदि यह एक उचित अतिसंवेदनशील स्थान पर ठीक से असंतत कार्रवाई (आवश्यक रूप से सहसंयोजन नहीं) को स्वीकार करता है जो सीमा पर "अच्छा" है और ऐसा है कि सीमा पर बिंदुओं के स्थिरीकारक उपसमूह हैं। यह तब दिलचस्प होता है जब दोनों और ऑन की क्रिया प्राथमिक नहीं होती है (विशेष रूप से अनंत हैः उदाहरण के लिए प्रत्येक समूह एक ही बिंदु पर अपनी क्रिया के माध्यम से अपेक्षाकृत अतिवादी होता है!)। इस वर्ग के दिलचस्प उदाहरणों में विशेष रूप से श्रेणी 1 अर्ध-सरल लाइ समूहों में गैर-समान जाली शामिल हैं, उदाहरण के लिए सीमित आयतन के गैर-कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स के मौलिक समूह। गैर-उदाहरण उच्च श्रेणी के लाइ समूहों और मानचित्रण वर्ग समूहों में जाली हैं। एसाइलिंड्रिकली हाइपरबोलिक समूह एक एसाइलिंड्रिकली हाइपरबोलिक समूह की और भी अधिक सामान्य धारणा है। एक मीट्रिक स्थान पर एक समूह की क्रिया की बेलनाकारता क्रिया की उचित असंतुलन का कमजोर होना है। एक समूह को एसाइलिंड्रिकल रूप से हाइपरबोलिक कहा जाता है यदि यह एक (आवश्यक रूप से उचित नहीं) ग्रोमोव-हाइपरबोलिक स्थान पर एक गैर-तत्व एसाइलिंड्रिकल क्रिया को स्वीकार करता है। इस धारणा में वक्र परिसरों पर उनके कार्यों के माध्यम से वर्ग समूहों का मानचित्रण शामिल है। उच्च श्रेणी के लाइ समूहों में जाली (अभी भी!) हैं। एसाइलिंड्रिकली हाइपरबोलिक नहीं। कैट (0) समूह एक अन्य दिशा में उपरोक्त उदाहरणों में वक्रता के बारे में धारणा को कमजोर किया जा सकता हैः एक कैट (0) समूह एक समूह है जो कैट (0) स्थान पर ज्यामितीय कार्रवाई को स्वीकार करता है। इसमें यूक्लिडियन क्रिस्टलोग्राफिक समूह और उच्च श्रेणी के लाइ समूहों में एक समान जाली शामिल हैं। यह ज्ञात नहीं है कि क्या कोई हाइपरबोलिक समूह मौजूद है जो कैट (0) नहीं है। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ने के लिए ज्यामितीय समूह सिद्धांत मीट्रिक ज्यामिति शब्दों पर समूहों के गुण संयोजन हाइपरबॉलिक मीट्रिक स्पेस हाइपरबॉलिक ज्यामिति