Fredholm alternative
गणित में, फ्रेडहोल्म विकल्प, जिसका नाम इवर फ्रेडहोल्म के नाम पर रखा गया है, फ्रेडहोल्म के प्रमेयों में से एक है और फ्रेडहोल्म सिद्धांत का परिणाम है। इसे कई तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, रैखिक बीजगणित की एक प्रमेय के रूप में, समाकलन समीकरणों की एक प्रमेय के रूप में, या फ्रेडहोल्म प्रचालक पर एक प्रमेय के रूप में। परिणाम के एक भाग में कहा गया है कि एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम में एक गैर-शून्य जटिल संख्या एक आइगेनवैल्यू है। रैखिक बीजगणित यदि V एक n-आयामी सदिश स्थान है और एक रैखिक परिवर्तन है, तो निम्नलिखित में से एक मान लेता हैः V में प्रत्येक सदिश v के लिए V में एक सदिश u है ताकि। दूसरे शब्दों मेंः टी सर्जेक्टिव है (और इसलिए भी बाइजेक्टिव है, क्योंकि वी परिमित-आयामी है)। मैट्रिक्स के संदर्भ में एक अधिक प्राथमिक सूत्रीकरण इस प्रकार है। एक m × n मैट्रिक्स A और एक m × 1 कॉलम वेक्टर b को देखते हुए, निम्नलिखित में से ठीक एक को धारण करना चाहिएः या तोः A x = b का हल x है याः AT y = 0 का हल y के साथ yTb  ऒत्त 0 है। दूसरे शब्दों में, A x = b का एक समाधान है यदि और केवल यदि किसी भी y के लिए ऐसा है कि AT y = 0, यह yTb = 0 का अनुसरण करता है। समाकलन समीकरणों को एक समाकलन कर्नेल होने दें, और सजातीय समीकरण, फ्रेडहोल्म समाकलन समीकरण और असमरूप समीकरण पर विचार करें फ्रेडहोल्म विकल्प यह कथन है कि, प्रत्येक गैर-शून्य निश्चित जटिल संख्या के लिए, या तो पहले समीकरण का एक गैर-तुच्छ समाधान होता है, या दूसरे समीकरण में सभी के लिए एक समाधान होता है। इस कथन के सही होने के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि आयत पर वर्ग समाकलनीय हो (जहां a और/या b माइनस या प्लस अनंत हो सकते हैं)। इस तरह के के द्वारा परिभाषित इंटीग्रल ऑपरेटर को हिल्बर्ट-श्मिट इंटीग्रल ऑपरेटर कहा जाता है। कार्यात्मक विश्लेषण फ्रेडहोल्म प्रचालक के बारे में परिणाम इन परिणामों को अनंत आयामों के मानक वेक्टर रिक्त स्थान को पूरा करने के लिए सामान्यीकृत करते हैं; अर्थात, बनाच रिक्त स्थान। समाकलन समीकरण को प्रचालक संकेतन के संदर्भ में निम्नानुसार पुनर्गठित किया जा सकता है। दो चरों में डीराक डेल्टा फलन, जिसे वितरण या सामान्यीकृत फलन माना जाता है, के साथ अर्थ (कुछ हद तक अनौपचारिक रूप से) लिखें। फिर अभिसरण द्वारा, द्वारा दिए गए कार्यों के बनाच स्थान पर कार्य करने वाले एक रैखिक प्रचालक को प्रेरित करता है। इस भाषा में, समाकलन समीकरणों के लिए फ्रेडहोल्म विकल्प को परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित के लिए फ्रेडहोल्म विकल्प के अनुरूप देखा जाता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, कर्नेल के साथ अभिसरण द्वारा दिए गए प्रचालक को हिल्बर्ट-श्मिट समाकलन प्रचालक के रूप में जाना जाता है। इस तरह के ऑपरेटर हमेशा कॉम्पैक्ट होते हैं। अधिक आम तौर पर, फ्रेडहोल्म विकल्प मान्य होता है जब कोई कॉम्पैक्ट ऑपरेटर होता है। फ्रेडहोल्म विकल्प को निम्नलिखित रूप में दोहराया जा सकता हैः एक गैर-शून्य या तो विलायक अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों का एक आइगेनवैल्यू है या उनके क्षेत्र में स्थित है फ्रेडहोल्म विकल्प को रैखिक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है। मूल परिणाम यह हैः यदि समीकरण और उपयुक्त बनाच रिक्त स्थान सही ढंग से स्थापित किए गए हैं, तो या तो (1) सजातीय समीकरण का एक गैर-तुच्छ समाधान है, या (2) असमान समीकरण को डेटा के प्रत्येक विकल्प के लिए विशिष्ट रूप से हल किया जा सकता है। तर्क इस प्रकार है। एक विशिष्ट सरल-से-समझने वाला अण्डाकार प्रचालक एल लाप्लेशियन और कुछ निचले क्रम के शब्द होंगे। उपयुक्त सीमा शर्तों के साथ संयुक्त और एक उपयुक्त बनाच स्थान X (जो सीमा शर्तों और समाधान की वांछित नियमितता दोनों को कूटबद्ध करता है) पर व्यक्त किया जाता है, L, X से अपने आप में एक असीमित प्रचालक बन जाता है, और एक व्यक्ति यह हल करने का प्रयास करता है कि f bul X कुछ कार्य है जो डेटा के रूप में कार्य कर रहा है जिसके लिए हम एक समाधान चाहते हैं। फ्रेडहोल्म विकल्प, अण्डाकार समीकरणों के सिद्धांत के साथ मिलकर, हमें इस समीकरण के समाधानों को व्यवस्थित करने में सक्षम बनाएगा। एक ठोस उदाहरण एक दीर्घवृत्ताकार सीमा-मूल्य समस्या होगी जैसे कि सीमा स्थिति के साथ पूरक जहां ωRn चिकनी सीमा के साथ एक बाध्य खुला समुच्चय है और h (x) एक निश्चित गुणांक फलन है (एक श्रोडिंगर प्रचालक के मामले में एक क्षमता)। फलन f ω X वह चर डेटा है जिसके लिए हम समीकरण को हल करना चाहते हैं। यहाँ कोई X को ω पर सभी वर्ग-समाकलन कार्यों का स्थान L2 (ω) लेगा, और फिर डोम (L) सोबोलेव स्थान W 2,2 (ω) ωW (ω) है, जो ω पर सभी वर्ग-समाकलन कार्यों के समूह के बराबर है जिनके कमजोर पहले और दूसरे व्युत्पन्न मौजूद हैं और वर्ग-समाकलन योग्य हैं, और जो ω पर शून्य सीमा शर्त को पूरा करते हैं। यदि X को सही ढंग से चुना गया है (जैसा कि इस उदाहरण में है), तो μ0>> 0 के लिए प्रचालक L + μ0 धनात्मक है, और फिर दीर्घवृत्ताकार अनुमानों को नियोजित करते हुए, कोई यह साबित कर सकता है कि L + μ0: डोम (L) → X एक बाइजेक्शन है, और इसका व्युत्क्रम एक कॉम्पैक्ट, X से X तक हर जगह परिभाषित प्रचालक K है, जिसकी छवि डोम (L) के बराबर है। हम इस तरह के एक μ0 को ठीक करते हैं, लेकिन इसका मूल्य महत्वपूर्ण नहीं है क्योंकि यह केवल एक उपकरण है। फिर हम कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के लिए ऊपर बताए गए फ्रेडहोल्म विकल्प को सीमा-मूल्य समस्या (*)-(* *) की समाधानशीलता के बारे में एक बयान में बदल सकते हैं। फ्रेडहोल्म विकल्प, जैसा कि ऊपर बताया गया है, दावा करता हैः प्रत्येक λωR के लिए, या तो λ, K का एक आइगेनवैल्यू है, या प्रचालक K−λ, X से अपने आप में बाइजेक्टिव है। आइए हम दोनों विकल्पों का पता लगाएं क्योंकि वे सीमा-मूल्य समस्या के लिए खेलते हैं। मान लीजिए कि λ  ऒत्त 0 है। फिर या तो (A) λ, K′ का एक आइगेनवैल्यू है, और इसका हल है, (L + μ0) h = λ − 1h ′-μ0 + λ − 1, L का एक आइगेनवैल्यू है। (B) प्रचालक K − λ: X → X, एक बाइजेक्शन है, (K − λ) (L + μ0) = ID − λ (L + μ0): डोम (L) → X, एक बाइजेक्शन है। - μ0 + λ−1 को λ से प्रतिस्थापित करते हुए, और मामले λ =-μ0 को अलग से मानते हुए, यह एक अण्डाकार सीमा-मूल्य समस्या के लिए निम्नलिखित फ्रेडहोल्म विकल्प देता हैः प्रत्येक λ ωR के लिए, या तो सजातीय समीकरण (L−λ) u = 0 का एक गैर-तुच्छ समाधान होता है, या सजातीय समीकरण (L−λ) u = f का प्रत्येक दिए गए डेटम f ω X के लिए एक अद्वितीय समाधान u ω _ (L) होता है। बाद वाला फलन u ऊपर प्रस्तुत सीमा-मूल्य समस्या (*)-(* *) को हल करता है। यह वह द्विभाजन है जिसका दावा ऊपर (1)-(2) में किया गया था। कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय से, यह भी प्राप्त होता है कि λ का वह समुच्चय जिसके लिए सॉल्वेबिलिटी विफल हो जाती है, R (L के आइगेनवैल्यू) का एक असतत उपसमुच्चय है। आइगेनवैल्यूज से जुड़े आइगेनफंक्शंस को "अनुनाद" के रूप में सोचा जा सकता है जो समीकरण की समाधानशीलता को अवरुद्ध करते हैं। ए. जी. राम, "ए सिंपल प्रूफ ऑफ द फ्रेडहोल्म अल्टरनेटिव एंड ए कैरेक्टराइजेशन ऑफ द फ्रेडहोल्म ऑपरेटर्स", अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली, 108 (2001) पी. 855 को भी देखें। फ्रेडहोल्म सिद्धांत रैखिक बीजगणित