Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
गणित में, स्मूथ मैनिफोल्ड्स के लिए एक रीमान-रॉच प्रमेय, हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय या ग्रोथेन्डिक-रीमान-रॉच प्रमेय (जी. आर. आर.) जैसे परिणामों का एक संस्करण है, जिसमें बिना किसी परिकल्पना के शामिल स्मूथ मैनिफोल्ड्स एक जटिल संरचना रखते हैं। इस तरह के परिणाम 1959 में माइकल अतिया और फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक द्वारा प्राप्त किए गए थे, जिससे आवश्यकताओं को एक स्पिन संरचना की तरह कुछ कम कर दिया गया था। सूत्रण मान लीजिए कि X और Y उन्मुख चिकने बंद मैनिफोल्ड हैं, और f: X → Y एक निरंतर मानचित्र है। मान लीजिए कि के-समूह के (एक्स) में वीएफ = एफ * (टीवाई)-टीएक्स है। यदि मंद (X) ष्ण (Y) मॉड 2 है, तो जहाँ ch चेरन वर्ण है, d (vf) अभिन्न समरूपता समूह H2 (Y, Z) का एक तत्व है जो d (vf) ष्ण f * w2 (TY)-w2 (TX) मॉड 2 को संतुष्ट करता है, fK * के-सिद्धांत के लिए गिसिन समरूपता, और fH * समरूपता के लिए गिसिन समरूपता। यह प्रमेय सबसे पहले अतिया और हिरज़ेब्रुक द्वारा सिद्ध किया गया था। इस प्रमेय को कई विशेष मामलों पर विचार करके सिद्ध किया जाता है। यदि Y, X पर एक वेक्टर बंडल V का थॉम स्थान है, तो गिसिन मानचित्र केवल थॉम समरूपता हैं। फिर, विभाजन सिद्धांत का उपयोग करते हुए, रेखा बंडलों के लिए स्पष्ट गणना के माध्यम से प्रमेय की जांच करना पर्याप्त है। यदि f: X → Y एक एम्बेडिंग है, तो Y में X के सामान्य बंडल के थॉम स्पेस को Y में X के ट्यूबलर पड़ोस के रूप में देखा जा सकता है, और एक्ससिशन एक नक्शा देता है और। के-सिद्धांत/समरूपता के लिए गिसिन मानचित्र को इन मानचित्रों के साथ थॉम समरूपता की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है। चूँकि प्रमेय X से N के थॉम स्थान तक के मानचित्र के लिए है, और चूँकि चेरन वर्ण u और v के साथ कम्यूट करता है, इसलिए प्रमेय एम्बेडिंग के लिए भी सही है। f: X → Y। अंत में, हम एक एम्बेडिंग और प्रक्षेपण में एक सामान्य मानचित्र f: X → Y को कारक बना सकते हैं। प्रक्षेपण के लिए गिसिन मानचित्र बॉट-पेरियोडिसिटी आइसोमोर्फिज्म है, जो चेरन चरित्र के साथ परिवर्तित होता है, इसलिए प्रमेय इस सामान्य मामले में भी लागू होता है। कोरोलरीज़ अतियाह और हिरज़ेब्रुक ने तब एक्स = एक बिंदु के मामले में विशेषज्ञता और परिष्कृत किया, जहां स्थिति वाई पर एक स्पिन संरचना का अस्तित्व बन जाती है। कोरोलरीज़ पोंट्रियागिन वर्गों और जे-होमोमोर्फिज्म पर हैं। विभेदक ज्यामिति में नोट प्रमेय बीजगणितीय सतह बर्नहार्ड रीमान