Gelfand pair
गणित में, एक गेलफैंड जोड़ी एक जोड़ी (जी, के) है जिसमें एक समूह जी और एक उपसमूह के (जिसे जी का यूलर उपसमूह कहा जाता है) होता है जो प्रतिबंधित अभ्यावेदन पर एक निश्चित गुण को संतुष्ट करता है। गेलफैंड जोड़ों का सिद्धांत विशेष कार्यों के शास्त्रीय सिद्धांत में गोलाकार कार्यों के विषय और विभेदक ज्यामिति में रीमानियन सममित रिक्त स्थान के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। मोटे तौर पर, यह सिद्धांत हार्मोनिक विश्लेषण और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संदर्भ में इन सिद्धांतों से उनकी सामग्री को अमूर्त करने के लिए मौजूद है। जब G एक परिमित समूह है तो सबसे सरल परिभाषा है, मोटे तौर पर, कि (K, K)-डबल कोसेट G कम्यूट में। अधिक सटीक रूप से, हेक बीजगणित, जी पर कार्यों का बीजगणित जो के द्वारा दोनों तरफ अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय हैं, जी पर अभिसरण के लिए परिवर्तनीय होना चाहिए। सामान्य तौर पर, गेलफैंड जोड़ी की परिभाषा मोटे तौर पर यह है कि जी के किसी भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के के लिए प्रतिबंध में 1 से अधिक नहीं गुणन के साथ के का तुच्छ प्रतिनिधित्व होता है। प्रत्येक मामले में किसी को माने गए अभ्यावेदन के वर्ग और निहित का अर्थ निर्दिष्ट करना चाहिए। परिभाषाएँ प्रत्येक क्षेत्र में, प्रतिनिधित्वों का वर्ग और प्रतिनिधित्वों के लिए निरोध की परिभाषा थोड़ी अलग है। ऐसे कई मामलों में स्पष्ट परिभाषाएँ यहाँ दी गई हैं। परिमित समूह मामला जब जी एक परिमित समूह है तो निम्नलिखित समतुल्य (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। (के, के)-जी पर द्विगुणित अपरिवर्तनीय कार्यों का बीजगणित जिसमें अभिसरण द्वारा परिभाषित गुणन होता है, परिवर्तनीय होता है। G के किसी भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π के लिए, π में K-अपरिवर्तनीय वैक्टर का स्थान πK, 1-से अधिक-आयामी नहीं है। जी के किसी भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए, होमके (π, सी) का आयाम 1 से कम या बराबर है, जहां सी तुच्छ प्रतिनिधित्व को दर्शाता है। के के कोसेट पर जी का क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व गुणन-मुक्त है, यानी, यह विशेषता शून्य में अलग-अलग बिल्कुल अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है। क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व का केंद्रीकारक बीजगणित (शूर बीजगणित) परिवर्तनीय है। (जी/एन, के/एन) एक गेलफैंड जोड़ी है, जहां एन के में निहित जी का एक सामान्य उपसमूह है। कॉम्पैक्ट समूह मामले में जब जी एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह है तो निम्नलिखित समतुल्य हैंः (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। (के, के)-डबल अपरिवर्तनीय का बीजगणित जी पर संहत रूप से समर्थित निरंतर मापों के साथ संवेग द्वारा परिभाषित गुणन के साथ परिवर्तनीय है। G के किसी भी निरंतर, स्थानीय रूप से उत्तल, अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π के लिए, π में K-अपरिवर्तनीय वैक्टर का स्थान πK, 1-से अधिक-आयामी नहीं है। जी के किसी भी निरंतर, स्थानीय रूप से उत्तल, अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए होमके (π, सी) का आयाम 1 से कम या उसके बराबर होता है। जी का प्रतिनिधित्व एल2 (जी/के) बहुलता मुक्त है अर्थात। यह विशिष्ट एकात्मक अपरिवर्तनीय अभ्यावेदनों का एक प्रत्यक्ष योग है। जब जी एक लाइ समूह है और के एक कॉम्पैक्ट उप समूह है तो निम्नलिखित समतुल्य हैंः (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। (के, के)-डबल अपरिवर्तनीय का बीजगणित जी पर संहत रूप से समर्थित निरंतर मापों के साथ संवेग द्वारा परिभाषित गुणन के साथ परिवर्तनीय है। जी/के पर के-इनवेरिएंट डिफरेंशियल ऑपरेटरों का बीजगणित डी (जी/के) के परिवर्तनीय है। G के किसी भी निरंतर, स्थानीय रूप से उत्तल, अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π के लिए, π में K-अपरिवर्तनीय वैक्टर का स्थान πK, 1-से अधिक-आयामी नहीं है। जी के किसी भी निरंतर, स्थानीय रूप से उत्तल, अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए होमके (π, सी) का आयाम 1 से कम या उसके बराबर होता है। जी का प्रतिनिधित्व एल2 (जी/के) बहुलता मुक्त है अर्थात। यह विशिष्ट एकात्मक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों का एक प्रत्यक्ष अभिन्न अंग है। इस तरह के गेलफैंड जोड़े के वर्गीकरण के लिए देखें। इस तरह के गेलफैंड जोड़े के शास्त्रीय उदाहरण (जी, के) हैं, जहां जी एक अपवर्तक लाइ समूह है और के एक अधिकतम सघन उपसमूह है। सघन उपसमूह के साथ स्थानीय रूप से सघन स्थलाकृतिक समूह जब जी एक स्थानीय रूप से सघन स्थलाकृतिक समूह है और के एक सघन उपसमूह है तो निम्नलिखित समतुल्य हैंः (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। (के, के)-डबल अपरिवर्तनीय का बीजगणित जी पर संहत रूप से समर्थित निरंतर मापों के साथ संवेग द्वारा परिभाषित गुणन के साथ परिवर्तनीय है। जी के किसी भी निरंतर स्थानीय रूप से उत्तल अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π के लिए, π में के-अपरिवर्तनीय वैक्टर का स्थान πK, 1-से अधिक-आयामी नहीं है। जी के किसी भी निरंतर, स्थानीय रूप से उत्तल, अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π के लिए, होमके (π, सी) का आयाम 1 से कम या उसके बराबर है। जी का प्रतिनिधित्व एल2 (जी/के) बहुलता मुक्त है अर्थात। यह विशिष्ट एकात्मक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों का एक प्रत्यक्ष अभिन्न अंग है। उस सेटिंग में, जी में एक इवासावा-मोनोड अपघटन होता है, अर्थात् जी के कुछ सहज उपसमूह पी के लिए जी = केपी। यह अर्ध-सरल लाइ समूहों के इवासावा अपघटन का अमूर्त एनालॉग है। जब G एक लाइ समूह होता है और K एक बंद उपसमूह होता है, तो जोड़ी (G, K) को एक सामान्यीकृत गेलफैंड जोड़ी कहा जाता है यदि किसी हिल्बर्ट स्थान पर G के किसी भी अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व π के लिए HomK (π, C) का आयाम 1 से कम या बराबर होता है, जहां π φ चिकने वैक्टरों के उप प्रतिनिधित्व को दर्शाता है। बंद उपसमूह के साथ एक स्थानीय क्षेत्र पर अपवर्तक समूह जब जी एक स्थानीय क्षेत्र पर एक अपवर्तक समूह है और के एक बंद उपसमूह है, तो साहित्य में दिखाई देने वाले गेलफैंड जोड़ी की तीन (संभवतः गैर-समतुल्य) धारणाएँ हैं। हम उन्हें यहाँ जी. पी. 1, जी. पी. 2 और जी. पी. 3 कहेंगे। जी. पी. 1) जी के किसी भी अपरिवर्तनीय स्वीकार्य प्रतिनिधित्व के लिए होमके (π, सी) का आयाम 1 से कम या उसके बराबर है। जी. पी. 2) हमारे पास जी के किसी भी इरेड्यूसिबल एडमिसिबल प्रतिनिधित्व π के लिए है, जहां स्मूथ डुअल को दर्शाता है। जी. पी. 3) हिल्बर्ट स्पेस पर जी के किसी भी अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व के लिए होमके (π, सी) का आयाम 1 से कम या उसके बराबर होता है। यहाँ, स्वीकार्य प्रतिनिधित्व स्वीकार्य प्रतिनिधित्व की सामान्य धारणा है जब स्थानीय क्षेत्र गैर-आर्किमिडियन होता है। जब स्थानीय क्षेत्र आर्किमिडियन होता है, तो इसके बजाय स्वीकार्य प्रतिनिधित्व का अर्थ है मध्यम विकास का सुचारू फ्रेचेट प्रतिनिधित्व जैसे कि संबंधित हरीश-चंद्र मॉड्यूल स्वीकार्य है। यदि स्थानीय क्षेत्र आर्किमिडियन है, तो जी. पी. 3 पिछले मामले में परिभाषित सामान्यीकृत गेलफैंड गुण के समान है। स्पष्ट रूप से, जी. पी. 1. जी. पी. 2. जी. पी. 3। एक जोड़ी (G, K) को एक मजबूत गेलफैंड जोड़ी कहा जाता है यदि जोड़ी (G × K, δK) एक गेलफैंड जोड़ी है, जहाँ δK ≤ G × K विकर्ण उपसमूह हैः {(k, k) G × K: k में K}। कभी-कभी, इस गुण को बहुलता एक गुण भी कहा जाता है। उपरोक्त प्रत्येक मामले में मजबूत गेलफैंड जोड़े के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है। फिर निम्नलिखित समतुल्य हैं। (जी, के) एक मजबूत गेलफैंड जोड़ी है। के द्वारा संयुग्मन के संबंध में जी अपरिवर्तनीय पर कार्यों का बीजगणित (अभिसरण द्वारा परिभाषित गुणन के साथ) परिवर्तनीय है। G के किसी भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π और K के τ के लिए, स्थान HomK (τ, π) 1-से अधिक-आयामी नहीं है। G के किसी भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व π और K के τ के लिए, स्थान HomK (π, τ) 1-से अधिक-आयामी नहीं है। गेलफैंड गुण के लिए मानदंड कॉम्पैक्ट उपसमूह के साथ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह इस मामले में गेलफैंड के कारण जोड़ी (जी, के) के लिए गेलफैंड होने के लिए एक शास्त्रीय मानदंड हैः मान लीजिए कि जी एस टी का एक अनैच्छिक एंटी-ऑटोमोर्फिज्म σ मौजूद है। कोई भी (के, के) दोहरा कोसेट σ अपरिवर्तनीय है। फिर जोड़ी (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। यह कसौटी निम्नलिखित कसौटी के बराबर हैः मान लीजिए कि G का एक अनैच्छिक एंटी-ऑटोमोर्फिज्म σ मौजूद है जैसे कि G पर कोई भी फलन जो K द्वारा दाएँ और बाएँ दोनों अनुवादों के संबंध में अपरिवर्तनीय है, σ अपरिवर्तनीय है। फिर जोड़ी (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। बंद उपसमूह के साथ एक स्थानीय क्षेत्र पर अपवर्तक समूह इस मामले में जी. पी. 2 को संतुष्ट करने के लिए जोड़ी (जी, के) के लिए गेलफैंड और कज़दान के कारण एक मानदंड है। मान लीजिए कि G का एक अनैच्छिक एंटी-ऑटोमोर्फिज्म σ मौजूद है जैसे कि G पर कोई भी (K, K)-डबल अपरिवर्तनीय वितरण σ-अपरिवर्तनीय है। फिर जोड़ी (जी, के) जीपी2 को संतुष्ट करती है। देखिए। यदि उपरोक्त कथन केवल सकारात्मक निश्चित वितरण के लिए है तो युग्म जी. पी. 3 को संतुष्ट करता है (अगला मामला देखें)। गुण जी. पी. 1 अक्सर जी. पी. 2 से अनुसरण करता है। उदाहरण के लिए, यह तब लागू होता है जब G का एक अनैच्छिक एंटी-ऑटोमोर्फिज्म मौजूद होता है जो K को संरक्षित करता है और प्रत्येक बंद संयुग्म वर्ग को संरक्षित करता है। जी = जी. एल. (एन) के लिए स्थानान्तरण इस तरह के अंतर्वेशन के रूप में काम कर सकता है। बंद उपसमूह के साथ समूह झूठ इस मामले में जोड़ी (जी, के) के लिए सामान्यीकृत गेलफैंड जोड़ी होने के लिए निम्नलिखित मानदंड है। मान लीजिए कि जी एस टी का एक अनैच्छिक एंटी-ऑटोमोर्फिज्म σ मौजूद है। G पर कोई भी K × K अपरिवर्तनीय सकारात्मक निश्चित वितरण σ-अपरिवर्तनीय है। फिर जोड़ी (जी, के) एक सामान्यीकृत गेलफैंड जोड़ी है। देखिए। मजबूत गेलफैंड गुण के लिए मानदंड उपरोक्त सभी मानदंडों को मजबूत गेलफैंड जोड़े के लिए मानदंड में बदला जा सकता है, जो के × के की दो-तरफा क्रिया को के. ट्विस्टेड गेलफैंड जोड़े की संयुग्मन क्रिया द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। गेलफैंड जोड़े की धारणा का सामान्यीकरण ट्विस्टेड गेलफैंड जोड़े की धारणा है। अर्थात् एक जोड़ी (जी, के) को समूह के चरित्र χ के संबंध में एक मुड़ा हुआ गेलफैंड जोड़ी कहा जाता है, यदि गेलफैंड गुण सही रहता है जब तुच्छ प्रतिनिधित्व को अक्षर χ से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, जब के कॉम्पैक्ट होता है तो इसका मतलब है कि होमके (π, χ) का आयाम 1 से कम या उसके बराबर है। गेलफैंड जोड़ों के लिए मानदंड को मुड़े हुए गेलफैंड जोड़ों के मामले में अनुकूलित किया जा सकता है। सममित जोड़े गेलफैंड गुण अक्सर सममित जोड़े द्वारा संतुष्ट होते हैं। एक जोड़ी (G, K) को एक सममित जोड़ी कहा जाता है यदि G का एक अनैच्छिक ऑटोमोर्फिज्म θ मौजूद है जैसे कि K θ-अपरिवर्तनीय तत्वों के समूह के जुड़े घटकों का एक संघ हैः Gθ। यदि G, R पर एक जुड़ा हुआ अपवर्तक समूह है और K = Gθ एक सघन उपसमूह है तो (G, K) एक गेलफैंड जोड़ी है। उदाहरण-जी = जीएल (एन, आर) और के = ओ (एन, आर), ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का उपसमूह। सामान्य तौर पर, यह एक दिलचस्प सवाल है जब एक स्थानीय क्षेत्र पर एक अपवर्तक समूह की एक सममित जोड़ी के पास गेलफैंड गुण होता है। श्रेणी एक के सममित जोड़े के लिए इस प्रश्न की जांच की गई थी और उच्च श्रेणी गेलफैंड सममित जोड़ी का एक उदाहरण (जी. एल. (एन + के), जी. एल. (एन) × जी. एल. (के)) है। यह गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों में और बाद में शून्य विशेषता वाले सभी स्थानीय क्षेत्रों में साबित हुआ। उच्च श्रेणी के सममित जोड़े के लिए इस प्रश्न पर अधिक जानकारी के लिए देखें। गोलाकार जोड़े बीजगणितीय समूहों के संदर्भ में गेलफैंड जोड़े के अनुरूपों को गोलाकार जोड़ा कहा जाता है। अर्थात्, बीजगणितीय समूहों की एक जोड़ी (जी, के) को गोलाकार जोड़ी कहा जाता है यदि निम्नलिखित समकक्ष स्थितियों में से एक होती है। जी में एक खुला (बी, के)-डबल कोसेट मौजूद है, जहां बी जी का बोरेल उपसमूह है। जी में (बी, के)-डबल कोसेट की एक सीमित संख्या है। जी के किसी भी बीजगणितीय प्रतिनिधित्व के लिए, हमारे पास मंद है। इस मामले में स्थान G/H को गोलाकार स्थान कहा जाता है। यह अनुमान लगाया जाता है कि किसी स्थानीय क्षेत्र पर कोई भी गोलाकार जोड़ी (G, K) गेलफैंड गुण के निम्नलिखित कमजोर संस्करण को संतुष्ट करती हैः G के किसी भी स्वीकार्य प्रतिनिधित्व π के लिए, स्थान HomK (π, C) परिमित-आयामी है। इसके अलावा, इस आयाम की सीमा π पर निर्भर नहीं करती है। यह अनुमान सभी सममित जोड़ों सहित गोलाकार जोड़ों के एक बड़े वर्ग के लिए सिद्ध होता है। अनुप्रयोग वर्गीकरण गेलफैंड जोड़ों का उपयोग अक्सर निम्नलिखित तरीकों से अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों के वर्गीकरण के लिए किया जाता हैः मान लीजिए (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है। यदि होमके (π, सी) 1-आयामी है तो जी का एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व जिसे के-विशिष्ट कहा जाता है। प्रतिनिधित्व इंड (सी) सभी के-विशिष्ट प्रतिनिधित्वों के लिए एक मॉडल है। कोई भी के-विशिष्ट प्रतिनिधित्व ठीक 1 की बहुलता के साथ दिखाई देता है। मुड़े हुए गेलफैंड जोड़े के लिए भी इसी तरह की धारणा मौजूद है। उदाहरण-यदि जी एक स्थानीय क्षेत्र पर एक अपवर्तक समूह है और के इसका अधिकतम सघन उपसमूह है, तो के विशिष्ट अभ्यावेदन को गोलाकार कहा जाता है, ऐसे अभ्यावेदन को सातक पत्राचार के माध्यम से वर्गीकृत किया जा सकता है। गोलाकार प्रतिनिधित्व की धारणा हरीश-चंद्र मॉड्यूल की धारणा के आधार पर है। उदाहरण-यदि जी एक स्थानीय क्षेत्र पर विभाजित अपवर्तक समूह है और के इसका अधिकतम एकशकित उपसमूह है तो जोड़ी (जी, के) को गेलफैंड जोड़ी डब्ल्यू. आर. टी. मोड़ दिया जाता है। कोई भी गैर-अपक्षयी वर्ण (देखें,)। इस मामले में के-विशिष्ट प्रतिनिधित्वों को सामान्य (या गैर-अपक्षयी) कहा जाता है और उन्हें वर्गीकृत करना आसान होता है। लगभग कोई भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व सामान्य है। इंड (si) के लिए एक सामान्य प्रतिनिधित्व के अद्वितीय (स्केलर तक) अंतःस्थापित करने को व्हिटेकर मॉडल कहा जाता है। जी = जी. एल. (एन) के मामले में उपरोक्त परिणाम का एक बेहतर संस्करण है, अर्थात् उपसमूह की और वर्ण एस. टी. का एक सीमित अनुक्रम मौजूद है। (जी, की) ट्विस्टेड गेलफैंड जोड़ी डब्ल्यू. आर. टी. है। और किसी भी अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व को ठीक एक i के लिए प्रतिष्ठित किया जाता है (देखें,) गेलफैंड-जेइटलिन निर्माण कोई भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाने के लिए गेलफैंड जोड़े का भी उपयोग कर सकता हैः मान लीजिए कि हमारे पास एक अनुक्रम है। (गी, गी-1) एक मजबूत गेलफैंड जोड़ी है। सरलता के लिए मान लीजिए कि जीएन कॉम्पैक्ट है। फिर यह एक-आयामी उप-प्रतिनिधित्व के लिए जीएन के किसी भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का एक विहित अपघटन देता है। जब Gn = U (n) (एकात्मक समूह) होता है तो इस संरचना को गेलफैंड ज़ाइटलिन आधार कहा जाता है। चूँकि यू (एन) के प्रतिनिधित्व जीएल (एन) के बीजगणितीय प्रतिनिधित्व के समान हैं, इसलिए हम जीएल (एन) के किसी भी बीजगणितीय इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व का आधार भी प्राप्त करते हैं। हालांकि किसी को इस बात से अवगत होना चाहिए कि निर्मित आधार विहित नहीं है क्योंकि यह एम्बेडिंग यू (आई) यू (आई + 1) के चयन पर निर्भर करता है। ऑटोमोर्फिक रूपों की अवधि का विभाजन गेलफैंड जोड़े का एक और हालिया उपयोग ऑटोमोर्फिक रूपों की अवधि के विभाजन के लिए है। मान लीजिए कि G एक वैश्विक क्षेत्र F पर परिभाषित एक अपवर्तक समूह है और K को G का एक बीजगणितीय उपसमूह है। मान लीजिए कि F के किसी भी स्थान के लिए जोड़ी (G, K) एक गेलफैंड जोड़ी है। मान लीजिए कि m, G पर एक स्वचालित रूप है, फिर इसकी H-अवधि स्थानीय कारकों के उत्पाद के रूप में विभाजित होती है (अर्थात। कारक जो केवल प्रत्येक स्थान पर m के व्यवहार पर निर्भर करते हैं)। अब मान लीजिए कि हमें एक जटिल पैरामीटर s के साथ ऑटोमोर्फिक रूपों का एक परिवार दिया गया है। फिर उन रूपों की अवधि एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो स्थानीय कारकों के उत्पाद में विभाजित होती है। अक्सर इसका मतलब है कि यह फलन एक निश्चित एल-फलन है और यह इस एल-फलन के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता और कार्यात्मक समीकरण देता है। टिप्पणीः आम तौर पर वे अवधियाँ अभिसरण नहीं करती हैं और उन्हें नियमित किया जाना चाहिए। प्रतिनिधित्व सिद्धांत का सामान्यीकरण प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए एक संभावित दृष्टिकोण समूह जी के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को समूह जी डब्ल्यू. आर. टी. पर एक हार्मोनिक विश्लेषण के रूप में मानना है। जी × जी की दो तरफा क्रिया. वास्तव में, जी के सभी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों को जानना जी × जी प्रतिनिधित्व के रूप में जी पर कार्यों के स्थान के अपघटन को जानने के बराबर है। इस दृष्टिकोण में प्रतिनिधित्व सिद्धांत को किसी भी गोलाकार जोड़ी (जी, के) द्वारा जोड़ी (जी × जी, जी) को प्रतिस्थापित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। फिर हमें अंतरिक्ष जी/के डब्ल्यू. आर. टी. पर हार्मोनिक विश्लेषण के प्रश्न की ओर ले जाया जाएगा। अब जोड़ी (जी, के) के लिए गेलफैंड गुण शूर के लेम्मा का एक अनुरूप है। इस दृष्टिकोण का उपयोग करके कोई भी प्रतिनिधित्व सिद्धांत की किसी भी अवधारणा को ले सकता है और उन्हें गोलाकार जोड़ी के मामले में सामान्यीकृत कर सकता है। उदाहरण के लिए, इस प्रक्रिया द्वारा ट्रेस सूत्र से सापेक्ष ट्रेस सूत्र प्राप्त किया जाता है। परिमित समूहों के उदाहरण गेलफैंड जोड़े के कुछ सामान्य उदाहरण हैंः (सिम (एन + 1), सिम (एन)), एन + 1 बिंदुओं पर कार्य करने वाला सममित समूह और एक बिंदु स्थिरीकारक जो स्वाभाविक रूप से एन बिंदुओं पर समरूप है। (एजीएल (एन, क्यू), जीएल (एन, क्यू)), एफाइन (सामान्य रैखिक) समूह और एक बिंदु स्थिरीकारक जो स्वाभाविक रूप से सामान्य रैखिक समूह के लिए समरूप है। यदि (जी, के) एक गेलफैंड जोड़ी है, तो (जी/एन, के/एन) के के प्रत्येक जी-सामान्य उपसमूह एन के लिए एक गेलफैंड जोड़ी है। कई उद्देश्यों के लिए ऐसे किसी भी गैर-पहचान सामान्य उपसमूह के बिना के पर विचार करना पर्याप्त है। K के कोसेट पर G की क्रिया इस प्रकार विश्वसनीय है, इसलिए कोई तब बिंदु स्थिरीकारक K के साथ क्रमपरिवर्तन समूहों G को देख रहा है। एक गेलफैंड जोड़ी होना इर (G) में प्रत्येक χ के बराबर है। चूंकि फ्रोबेनियस पारस्परिकता द्वारा और क्रमपरिवर्तन क्रिया का चरित्र है, एक क्रमपरिवर्तन समूह एक गेलफैंड जोड़ी को तभी परिभाषित करता है जब क्रमपरिवर्तन चरित्र एक तथाकथित गुणन-मुक्त क्रमपरिवर्तन चरित्र हो। इस तरह के बहुलता-मुक्त क्रमपरिवर्तन वर्णों को छिटपुट समूहों के लिए निर्धारित किया गया था। यह गेलफैंड जोड़े के साथ परिमित समूहों के उदाहरणों के एक वर्ग को जन्म देता हैः 2-सकर्मक समूह। एक क्रमपरिवर्तन समूह G 2-सकर्मक है यदि किसी बिंदु का स्थिरीकारक K शेष बिंदुओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। विशेष रूप से, n + 1 बिंदुओं पर सममित समूह G और n बिंदुओं पर सममित समूह K प्रत्येक n ≤ 1 के लिए एक गेलफैंड जोड़ी बनाते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एक 2-सकर्मक क्रमपरिवर्तन क्रिया का वर्ण कुछ अपरिवर्तनीय वर्ण χ और तुच्छ वर्ण 1, के लिए 1 + χ रूप का होता है। वास्तव में, यदि G एक सकर्मक क्रमपरिवर्तन समूह है जिसके बिंदु स्थिरीकारक K की अधिकतम चार कक्षाएँ हैं (जिसमें केवल स्थिर बिंदु वाली तुच्छ कक्षा भी शामिल है), तो इसका शूर वलय परिवर्तनीय है और (G, K) एक गेलफैंड युग्म है। यदि G, बिंदु स्थिरीकारक K के साथ दो बार एक अभाज्य का एक आदिम समूह है, तो फिर से (G, K) एक गेलफैंड जोड़ी है। गेलफैंड जोड़ों (सिम (एन), के) को वर्गीकृत किया गया था। मोटे तौर पर, के को निम्नलिखित समूहों में से किसी एक में छोटे सूचकांक के उपसमूह के रूप में निहित किया जाना चाहिए जब तक कि एन 18 से छोटा न होः सिम (एन-के) × सिम (के), सिम (एन/2) डब्ल्यूआर सिम (2), सिम (2) डब्ल्यूआर सिम (एन/2) एन सम के लिए, सिम (एन-5) × एजीएल (1,5), सिम (एन-6) × पीजीएल (2,5), या सिम (एन-9) × पीजेएल (2,8)। शास्त्रीय समूहों के लिए गेलफैंड जोड़े की भी जांच की गई है। कॉम्पैक्ट के (जीएल (एन, आर), ओ (एन, आर)) (जीएल (एन, सी), यू (एन)) (ओ (एन + के, आर), ओ (एन, आर) × ओ (के, आर)) (यू (एन + के), यू (एन) × यू (के)) (जी, के) के साथ सममित जोड़े जहां जी एक रिडक्टिव लाइ समूह है और के एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है। सममित गेलफैंड श्रेणी एक के जोड़े मान लीजिए कि एफ विशेषता शून्य का एक स्थानीय क्षेत्र है। (एस. एल. (एन + 1, एफ), जी. एल. (एन, एफ)) एन> 5 के लिए। (sp (2n + 2, F), sp (2n, F)) × sp (2, F)) n> 4 के लिए। (एस. ओ. (वी. एफ.), एस. ओ. (वी.)) जहाँ वी. एक गैर-अपक्षयी द्विघात रूप के साथ एफ पर एक सदिश स्थान है। उच्च श्रेणी के सममित जोड़े मान लीजिए कि एफ विशेषता शून्य का एक स्थानीय क्षेत्र है। मान लीजिए कि G, F पर एक अपवर्तक समूह है। निम्न उच्च श्रेणी के सममित गेलफैंड जोड़े के उदाहरण हैंः (G × G, ΔG): शूर्स लेम्मा से अनुसरण करता है। (जीएल (एन + के, एफ), जीएल (एन, एफ) × जीएल (के, एफ))। (जीएल (2एन, एफ), एसपी (2एन, एफ))। (ओ (एन + के, सी), ओ (एन, सी) × ओ (के, सी))। (जीएल (एन, सी), ओ (एन, सी))। (जी. एल. (एन., ई.), जी. एल. (एन., एफ.)), जहाँ ई. एफ. का एक द्विघात विस्तार है। मजबूत गेलफैंड जोड़े निम्नलिखित जोड़े मजबूत गेलफैंड जोड़े हैंः (एस. एम. (एन. + 1), एस. एम. (एन.)), यह अनैच्छिक एंटी-ऑटोमोर्फिज्म जी. जी.-1 का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। (GL (n + 1, F), GL (n, F)) जहाँ F विशेषता शून्य का एक स्थानीय क्षेत्र है। (ओ (वी), ओ (वी)) जहाँ वी एक गैर-अपक्षयी द्विघात रूप के साथ एफ पर एक सदिश स्थान है। यू (वी), यू (वी) जहां ई एफ का एक द्विघात विस्तार है और वी ई के ऊपर एक गैर-अपक्षयी हर्मिशियन रूप के साथ एक सदिश स्थान है। उन चार उदाहरणों को इस कथन के रूप में फिर से व्यक्त किया जा सकता है कि निम्नलिखित गेलफैंड जोड़े हैंः (सिम (एन + 1) × सिम (एन), Δ सिम (एन))। (जी. एल. (एन. + 1, एफ.) × जी. एल. (एन., एफ.), (एन., एफ.)) (ओ. (वी.) × ओ. (वी.), (यू. (वी.) × यू. (वी.), (वी.)) (यू. (वी.) × यू. (वी.), (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.) (वी.