Dolbeault cohomology
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति और विभेदक ज्यामिति में, डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी (पियरे डॉल्बेल्ट के नाम पर) जटिल मैनिफोल्ड के लिए डी राम कोहोमोलॉजी का एक एनालॉग है। मान लीजिए कि M एक जटिल कई गुना है। फिर डॉल्बेल्ट समरूपता समूह पूर्णांक पी और क्यू की एक जोड़ी पर निर्भर करते हैं और डिग्री (पी, क्यू) के जटिल अंतर रूपों के स्थान के उपभाग के रूप में महसूस किए जाते हैं। समरूपता समूहों का निर्माण मान लीजिए कि ωp, q डिग्री (p, q) के जटिल विभेदक रूपों का वेक्टर बंडल है। जटिल रूपों पर लेख में, डॉल्बीऑल्ट प्रचालक को चिकने वर्गों पर एक विभेदक प्रचालक के रूप में परिभाषित किया गया है क्योंकि इस प्रचालक के पास कुछ संबद्ध समरूपता है। विशेष रूप से, कोहोमोलॉजी को वेक्टर बंडलों के भागफल स्थान डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी के रूप में परिभाषित करें यदि ई एक जटिल मैनिफोल्ड एक्स पर एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल है, तो कोई भी इसी तरह ई के डॉल्बेल्ट ऑपरेटर का उपयोग करके ई के होलोमोर्फिक वर्गों के आवरण के एक महीन संकल्प को परिभाषित कर सकता है। विशेष रूप से की होलोमोर्फिक संरचना से जुड़ा एक डॉल्बीऑल्ट प्रचालक है जो मूल्यों के साथ टू-फॉर्म के वर्गों को लेता है। यह विभेदक रूपों पर डॉल्बीऑल्ट प्रचालक के संबंध में विशेषता लीबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है, और इसलिए इसे कभी-कभी एक-कनेक्शन के रूप में जाना जाता है, इसलिए, उसी तरह जैसे एक वेक्टर बंडल पर एक कनेक्शन को बाहरी सहपरिवर्तन व्युत्पन्न तक बढ़ाया जा सकता है, डॉल्बीऑल्ट प्रचालक को एक प्रचालक तक बढ़ाया जा सकता है जो एक खंड पर कार्य करता है और किसी भी खंड में रैखिक रूप से विस्तारित होता है। डॉल्बीऑल्ट प्रचालक समाकलन स्थिति को संतुष्ट करता है और इसलिए गुणांक के साथ डॉल्बीऑल्ट समरूपता को ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैः डॉल्बीऑल्ट समरूपता समूह डॉल्बीऑल्ट प्रचालक के चयन पर निर्भर नहीं करते हैं जो की होलोमोर्फिक संरचना के साथ संगत हैं, इसलिए आमतौर पर उन पर निर्भरता को छोड़कर दर्शाया जाता है। डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा डॉल्बेल्ट समरूपता को स्थापित करने के लिए हमें डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा (या-पोइनकेयर लेम्मा) को साबित करने की आवश्यकता है। सबसे पहले हम-पॉइनकेयर लेम्मा का एक-आयामी संस्करण साबित करते हैं; हम सुचारू कार्यों के लिए कॉची इंटीग्रल प्रतिनिधित्व के निम्नलिखित सामान्यीकृत रूप का उपयोग करेंगेः प्रस्तावः त्रिज्या के केंद्र में खुली गेंद को खुला रहने दें और फिर लेम्मा (-जटिल तल पर पॉइनकेयर लेम्मा): पहले की तरह और एक चिकना रूप होने दें, फिर प्रूफ पर संतुष्ट करें। हमारा दावा है कि ऊपर परिभाषित एक अच्छी तरह से परिभाषित सुचारू कार्य है और। यह दिखाने के लिए हम एक बिंदु और एक खुले पड़ोस का चयन करते हैं, फिर हम एक सुचारू कार्य पा सकते हैं जिसका समर्थन कॉम्पैक्ट है और इसमें निहित है और फिर हम लिख और परिभाषित कर सकते हैं क्योंकि तब से स्पष्ट रूप से अच्छी तरह से परिभाषित और चिकनी है; हम ध्यान देते हैं कि जो वास्तव में अच्छी तरह से परिभाषित और चिकनी है, इसलिए वही सच है। अब हम इसे दिखाते हैं। चूंकि यह होलोमोर्फिक है। हम सामान्यीकृत कौची सूत्र को तब से पाते हैं, लेकिन फिर से। चूंकि यह मनमाना था, इसलिए अब यह सिद्धांत साबित हो गया है। डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा का प्रमाण अब डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा को साबित करने के लिए तैयार हैं; यहाँ प्रस्तुत प्रमाण ग्रोथेन्डिक के कारण है। हम त्रिज्या के साथ केंद्रित खुली पॉलीडिस्क के साथ दर्शाते हैं। लेम्मा (डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक): जहाँ खुला हो और जहाँ ऐसा हो, वहाँ कुछ ऐसा है जो संतुष्ट करता हैः प्रमाण शुरू करने से पहले हम ध्यान देते हैं कि किसी भी रूप को बहु-सूचकांकों के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए हम मामले के प्रमाण को कम कर सकते हैं। सबूत। मान लीजिए कि सबसे छोटा सूचकांक ऐसा हो कि-मॉड्यूल के आवरण में, हम प्रेरण द्वारा आगे बढ़ते हैं। क्योंकि हमारे पास तब से है; इसके बाद हम मानते हैं कि अगर ऐसा है तो ऐसा मौजूद है। फिर मान लीजिए और देखें कि हम लिख सकते हैं क्योंकि यह बंद है यह इस प्रकार है जो चर में होलोमोर्फिक हैं और पॉलीडिस्क पर शेष में चिकने हैं। इसके अलावा हम खुली गेंद पर चिकने कार्यों के लिए-पोइनकेयर लेम्मा को लागू कर सकते हैं, इसलिए चिकने कार्यों का एक परिवार मौजूद है जो संतुष्ट भी होते हैं। परिभाषित करें तो हम इस पर प्रेरण परिकल्पना लागू कर सकते हैं, ऐसा मौजूद है जो प्रेरण चरण को समाप्त करता है। क्यू. ई. डी. पॉलीरेडियस के कुछ घटकों के लिए पॉलीडिस्क को स्वीकार करके पिछले लेम्मा को सामान्यीकृत किया जा सकता है। लेम्मा (विस्तारित डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक)। यदि और के साथ एक खुली पॉलीडिस्क है, तो प्रूफ। हम दो मामलों पर विचार करते हैंः और। मामला 1. चलो, और हम पॉलीडिस्क के साथ कवर करते हैं, फिर डॉल्बॉल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा द्वारा हम खुले पर द्विगुणित के रूप पा सकते हैं जैसे कि हम दिखाना चाहते हैं कि हम प्रेरण द्वारा आगे बढ़ते हैंः मामला जब पिछले लेम्मा द्वारा आयोजित किया जाता है। दावा के लिए सही होने दें और उसके साथ लेने दें फिर हम ऐसे एक खुले पड़ोस में परिभाषित एक-रूप पाते हैं। इसके बाद एक खुला पड़ोस होने दें और हम एक-फॉर्म खोजने के लिए डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा को फिर से लागू कर सकते हैं। अब, आइए एक खुला समूह और एक चिकना कार्य इस तरह से हो किः फिर एक अच्छी तरह से परिभाषित चिकना रूप है जो संतुष्ट करता है इसलिए रूप मामले 2 को संतुष्ट करता है। यदि इसके बजाय हम डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा को दो बार लागू नहीं कर सकते हैं; हम लेते हैं और पहले की तरह, हम यह दिखाना चाहते हैं कि फिर से, हम इंडक्शन ऑन करके आगे बढ़ते हैंः क्योंकि जवाब डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा द्वारा दिया गया है। इसके बाद हम मानते हैं कि दावा सही है। हम ऐसे आवरण लेते हैं, फिर हम एक ऐसा रूप पा सकते हैं जो संतुष्ट करता है, अर्थात। जहाँ भी परिभाषित किया गया है, एक होलोमोर्फिक-रूप है, इसलिए स्टोन-वेयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा हम इसे लिख सकते हैं कि बहुपद कहाँ हैं और लेकिन फिर रूप संतुष्ट करता है जो प्रेरण चरण को पूरा करता है; इसलिए हमने एक अनुक्रम बनाया है जो समान रूप से कुछ-रूप में परिवर्तित होता है जैसे कि। क्यू. ई. डी. डॉल्बेल्ट की प्रमेय डॉल्बेल्ट की प्रमेय डी राम की प्रमेय का एक जटिल अनुरूप है। यह दावा करता है कि डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी होलोमोर्फिक विभेदक रूपों के आवरण के आवरण कोहोमोलॉजी के लिए समरूप है। विशेष रूप से, जहाँ एम. पर होलोमोर्फिक पी रूपों का आवरण है, डॉल्बेल्ट प्रमेय का एक संस्करण भी एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल में गुणांक के साथ डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी के लिए धारण करता है। अर्थात् एक समरूपता लॉगरिदमिक रूपों के लिए एक संस्करण भी स्थापित किया गया है। सबूत मान लीजिए कि यह विभिन्न प्रकार का सूक्ष्म आवरण है। फिर-पोइनकेरे लेम्मा कहता है कि अनुक्रम सटीक है। किसी भी लंबे सटीक अनुक्रम की तरह, यह अनुक्रम छोटे सटीक अनुक्रमों में विभाजित हो जाता है। इनके अनुरूप समरूपता के लंबे सटीक अनुक्रम परिणाम देते हैं, एक बार जब कोई इसका उपयोग करता है तो एक महीन आवरण के उच्च समरूपता गायब हो जाते हैं। गणना का स्पष्ट उदाहरण-आयामी जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस का डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी है हम हॉज सिद्धांत से निम्नलिखित प्रसिद्ध तथ्य को लागू करते हैंः क्योंकि यह एक कॉम्पैक्ट कहलर कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर और इसके अलावा हम जानते हैं कि कहलर है, और फुबिनी-अध्ययन मीट्रिक (जो वास्तव में कहलर है) से जुड़ा मौलिक रूप कहाँ है, इसलिए और जब भी परिणाम मिलता है। सेरे द्वैतता-लेम्मा को भी देखें, जो कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड्स की सेटिंग में एक-सटीक अंतर रूप की क्षमता का वर्णन करता है। फुटनोट्स संदर्भ समरूपता सिद्धांत जटिल हॉज सिद्धांत को कई गुना बढ़ाता है