Hahn decomposition theorem
गणित में, हान अपघटन प्रमेय, जिसका नाम ऑस्ट्रियाई गणितशास्त्री हंस हान के नाम पर रखा गया है, बताता है कि किसी भी मापने योग्य स्थान और बीजगणित पर परिभाषित किसी भी हस्ताक्षरित माप के लिए, दो मापने योग्य समुच्चय मौजूद हैं, और, जैसे किः और। ऐसे प्रत्येक के लिए, जिसके लिए, एक सकारात्मक सेट है। ऐसे प्रत्येक के लिए, एक है, यानी, के लिए एक नकारात्मक सेट है। इसके अलावा, यह अपघटन अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त तीन शर्तों को पूरा करने के लिए मापने योग्य उपसमुच्चय की किसी भी अन्य जोड़ी के लिए, सममित अंतर और शून्य इस मजबूत अर्थ में सेट होते हैं कि उनमें से प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय का माप शून्य होता है। फिर इस जोड़ी को हस्ताक्षरित माप का हान अपघटन कहा जाता है। जॉर्डन माप अपघटन हैन अपघटन प्रमेय का एक परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि परिभाषित प्रत्येक हस्ताक्षरित माप में दो सकारात्मक मापों के अंतर में एक अद्वितीय अपघटन होता है, और जिनमें से कम से कम एक सीमित होता है, जैसे कि प्रत्येक मापने योग्य सबसेट के लिए और प्रत्येक मापने योग्य सबसेट के लिए, किसी भी हैन अपघटन के लिए। हम इसे क्रमशः सकारात्मक और नकारात्मक भाग कहते हैं। इस जोड़ी को जॉर्डन अपघटन (या कभी-कभी हैन-जॉर्डन अपघटन) कहा जाता है। दोनों उपायों को प्रत्येक और किसी भी हान अपघटन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि जॉर्डन अपघटन अद्वितीय है, जबकि हैन अपघटन केवल अनिवार्य रूप से अद्वितीय है। जॉर्डन अपघटन का निम्नलिखित परिणाम हैः एक सीमित हस्ताक्षरित उपाय के जॉर्डन अपघटन को देखते हुए, किसी के लिए किसी में है। इसके अलावा, यदि सीमित गैर-नकारात्मक उपायों की एक जोड़ी के लिए, तो अंतिम अभिव्यक्ति का अर्थ है कि जॉर्डन अपघटन गैर-नकारात्मक उपायों के अंतर में न्यूनतम अपघटन है। यह जॉर्डन अपघटन का न्यूनतम गुण है। जॉर्डन अपघटन का प्रमाणः जॉर्डन माप अपघटन के अस्तित्व, विशिष्टता और न्यूनतमता के प्राथमिक प्रमाण के लिए फिशर (2012) देखें। हान अपघटन प्रमेय की तैयारी का प्रमाणः मान लें कि यह मान नहीं लेता है (अन्यथा इसके अनुसार विघटित होता है)। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक नकारात्मक समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जो प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए है। दावाः मान लीजिए कि यह संतुष्ट करता है। फिर एक नकारात्मक समूह ऐसा होता है। दावे का प्रमाणः परिभाषित करें। प्रेरक रूप से मान लें कि इसके लिए निर्माण किया गया है। आइए सभी मापने योग्य उपसमुच्चय की सर्वोच्चता को दर्शाते हैं। यह सर्वोच्चता एक प्राथमिकता अनंत हो सकती है। जैसा कि खाली सेट की परिभाषा में एक संभावित उम्मीदवार है, और जैसा, हमारे पास है। की परिभाषा के अनुसार, तब एक मापने योग्य उपसमुच्चय मौजूद होता है जो प्रेरण चरण को समाप्त करने के लिए सेट को संतुष्ट करता है। अंत में, परिभाषित करें क्योंकि सेट अलग-अलग उपसमुच्चय हैं, यह हस्ताक्षरित माप की सिग्मा योजकता से अनुसरण करता है जो यह दर्शाता है। मान लीजिए कि यह एक नकारात्मक समूह नहीं था। इसका मतलब है कि एक मापने योग्य उपसमुच्चय मौजूद होगा जो संतुष्ट करता है। फिर प्रत्येक के लिए, इसलिए दाईं ओर की श्रृंखला को अलग करना होगा, जिसका अर्थ है कि, जो एक विरोधाभास है। इसलिए, एक नकारात्मक समुच्चय होना चाहिए। अपघटन का निर्माणः सेट करें। प्रेरक रूप से, दिए गए, के सभी मापने योग्य उपसमुच्चय के अनंत के रूप में परिभाषित करें। यह असीम एक प्राथमिकता हो सकती है। जैसा कि की परिभाषा में एक संभावित उम्मीदवार है, और जैसा, हमारे पास है। इसलिए, एक मापने योग्य उपसमुच्चय मौजूद है जैसे कि उपरोक्त दावे के अनुसार, एक नकारात्मक समुच्चय ऐसा है कि। प्रेरण चरण को समाप्त करने के लिए सेट करें। अंत में, परिभाषित करें कि जैसे-जैसे समुच्चय अलग-अलग होते हैं, हमारे पास प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए सिग्मा एडिटिविटी द्वारा होता है। विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि यह एक नकारात्मक समूह है। इसके बाद, परिभाषित करें। यदि एक सकारात्मक समुच्चय नहीं होता, तो एक मापने योग्य उपसमुच्चय मौजूद होता। फिर सभी के लिए और जिसकी अनुमति नहीं है। इसलिए, यह एक सकारात्मक समुच्चय है। विशिष्टता कथन का प्रमाणः मान लीजिए कि यह एक और हान अपघटन है। फिर एक सकारात्मक समूह और एक नकारात्मक समूह भी होता है। इसलिए, इसके प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय का माप शून्य है। वही बात लागू होती है। जैसे ही यह प्रमाण को पूरा करता है। क्यू. ई. डी. संदर्भ बाहरी लिंक प्लैनेटमैथ में हैन अपघटन प्रमेय। माप सिद्धांत में प्रमेय प्रमाण वाले लेख