Symmetric derivative
गणित में, सममित व्युत्पन्न एक ऑपरेशन है जो साधारण व्युत्पन्न को सामान्य करता है। इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है सीमा के तहत अभिव्यक्ति को कभी-कभी सममित अंतर भागफल कहा जाता है। एक फलन को एक बिंदु x पर सममित रूप से अवकलनीय कहा जाता है यदि उसका सममित व्युत्पन्न उस बिंदु पर मौजूद हो। यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय (सामान्य अर्थ में) है, तो यह सममित रूप से अवकलनीय भी है, लेकिन विपरीत सत्य नहीं है। एक प्रसिद्ध प्रति-उदाहरण निरपेक्ष मान फलन है, जो पर अवकलनीय नहीं है, लेकिन यहाँ सममित रूप से अवकलनीय है सममित व्युत्पन्न 0 के साथ। अवकलनीय कार्यों के लिए, सममित अंतर भागफल सामान्य अंतर भागफल की तुलना में व्युत्पन्न का एक बेहतर संख्यात्मक सन्निकटन प्रदान करता है। किसी दिए गए बिंदु पर सममित व्युत्पन्न उस बिंदु पर बाएं और दाएं व्युत्पन्न के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है, यदि बाद वाले दोनों मौजूद हैं। सममित व्युत्पन्न के लिए न तो रोल की प्रमेय और न ही माध्य-मूल्य प्रमेय; कुछ समान लेकिन कमजोर कथन साबित हुए हैं। उदाहरण निरपेक्ष मान फलन निरपेक्ष मान फलन के लिए, सममित व्युत्पन्न के लिए संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारे पास उस पर है इसलिए निरपेक्ष मान फलन का सममित व्युत्पन्न शून्य पर मौजूद है और शून्य के बराबर है, भले ही इसका साधारण व्युत्पन्न उस बिंदु पर मौजूद न हो (वक्र में एक "तेज" मोड़ के कारण)। ध्यान दें कि इस उदाहरण में 0 पर बाएं और दाएं दोनों व्युत्पन्न मौजूद हैं, लेकिन वे असमान हैं (एक −1 है, जबकि दूसरा + 1 है); उनका औसत 0 है, जैसा कि अपेक्षित है। फलन x − 2 फलन के लिए, हमारे पास है फिर से, इस फलन के लिए सममित व्युत्पन्न मौजूद है, जबकि इसका साधारण व्युत्पन्न वहाँ वक्र में असंतुलन के कारण मौजूद नहीं है। इसके अलावा, न तो बाएँ और न ही दाएँ व्युत्पन्न 0 पर सीमित है, अर्थात। यह एक आवश्यक विसंगति है। डिरिचलेट फलन, जिसे डिरिचलेट फलन के रूप में परिभाषित किया गया है, प्रत्येक पर एक सममित व्युत्पन्न है, लेकिन किसी भी समय सममित रूप से अवकलनीय नहीं है; अर्थात। सममित व्युत्पन्न परिमेय संख्याओं पर मौजूद होता है लेकिन अपरिमेय संख्याओं पर नहीं। सममित व्युत्पन्न सामान्य माध्य-मूल्य प्रमेय (लैग्रेंज की) का पालन नहीं करता है। एक प्रति-उदाहरण के रूप में, के सममित व्युत्पन्न में छवि होती है, लेकिन f के लिए सेकेंट में ढलानों की एक विस्तृत श्रृंखला हो सकती है; उदाहरण के लिए, अंतराल पर, माध्य-मूल्य प्रमेय यह अनिवार्य करेगा कि एक बिंदु मौजूद है जहां (सममित) व्युत्पन्न एक प्रमेय का मान लेता है जो कुछ हद तक रोल के प्रमेय के समान है, लेकिन सममित व्युत्पन्न के लिए 1967 में सी. ई. औल द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने इसे अर्ध-रोल प्रमेय नाम दिया था। यदि बंद अंतराल पर निरंतर है और खुले अंतराल पर सममित रूप से अवकलनीय है, और, तो दो बिंदु मौजूद हैं, जैसे कि, और। इस प्रमेय के लिए एक कदम के रूप में औल द्वारा स्थापित एक सिद्धांत में कहा गया है कि यदि बंद अंतराल पर निरंतर है और खुले अंतराल पर सममित रूप से अवकलनीय है, और इसके अतिरिक्त, तो एक बिंदु मौजूद है जहां सममित व्युत्पन्न गैर-नकारात्मक है, या ऊपर उपयोग किए गए संकेतन के साथ। समान रूप से, यदि, तो कहाँ में एक बिंदु मौजूद है। सममित रूप से अवकलनीय फलन के लिए अर्ध-अर्थ-मूल्य प्रमेय बताता है कि यदि बंद अंतराल पर निरंतर है और खुले अंतराल पर सममित रूप से अवकलनीय है, तो इस तरह से मौजूद है कि एक अनुप्रयोग के रूप में, 0 वाले अंतराल के लिए अर्ध-अर्थ-मूल्य प्रमेय भविष्यवाणी करता है कि किसी भी सेकेंट का ढलान-1 और 1 के बीच है। यदि के सममित व्युत्पन्न में डार्बौक्स गुण है, तो (का रूप) नियमित माध्य-मूल्य प्रमेय (लैग्रेंज का) धारण करता है, अर्थात। एक परिणाम के रूप में, यदि कोई फलन निरंतर है और इसका सममित व्युत्पन्न भी निरंतर है (इस प्रकार डार्बॉक्स गुण है), तो फलन सामान्य अर्थों में अवकलनीय है। सामान्यीकरण यह धारणा उच्च-क्रम सममित व्युत्पन्न और एन-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान के लिए भी सामान्यीकृत होती है। दूसरा सममित व्युत्पन्न दूसरे सममित व्युत्पन्न को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है यदि (सामान्य) दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है, तो दूसरा सममित व्युत्पन्न मौजूद है और इसके बराबर है। दूसरा सममित व्युत्पन्न मौजूद हो सकता है, हालांकि, तब भी जब (साधारण) दूसरा व्युत्पन्न नहीं होता है। उदाहरण के लिए, संकेत फलन पर विचार करें, जिसे शून्य पर संकेत फलन निरंतर नहीं है द्वारा परिभाषित किया गया है, और इसलिए इसके लिए दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। लेकिन दूसरा सममित व्युत्पन्न इसके लिए मौजूद हैः केंद्रीय विभेदक योजना भी देखें-व्युत्पन्न सममित रूप से निरंतर कार्य के घनत्व बिंदु सामान्यीकरण संदर्भ सममित अंतर अनुपात (वोल्फ्राम प्रदर्शन परियोजना) विभेदक गणना द्वारा व्युत्पन्न का अनुमान लगाने वाले बाहरी लिंक।