Convex analysis
उत्तल विश्लेषण गणित की वह शाखा है जो उत्तल कार्यों और उत्तल समुच्चयों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित है, अक्सर उत्तल लघुकरण में अनुप्रयोगों के साथ, अनुकूलन सिद्धांत का एक उपक्षेत्र। कन्वेक्स सेट कुछ वेक्टर स्थान का एक उपसमुच्चय है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता हैः यदि वास्तविक है और फिर यदि वास्तविक है और उसके साथ पूरे, एक डोमेन के साथ विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यवान एक मानचित्र होगा जो कुछ वेक्टर स्थान का एक उत्तल उपसमुच्चय है। मानचित्र किसी भी वास्तविक और किसी भी के लिए एक यदि धारण करता है यदि यह तब भी सच रहता है जब परिभाषित असमानता () को सख्त असमानता से बदल दिया जाता है तो इसे कहा जाता है। उत्तल फलन उत्तल समुच्चयों से संबंधित होते हैं। विशेष रूप से, फलन उत्तल है यदि और केवल तभी जब यह एक उत्तल समुच्चय हो। विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के शिलालेख उत्तल विश्लेषण में एक भूमिका निभाते हैं जो वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक-मूल्यवान कार्य के ग्राफ द्वारा निभाई गई भूमिका के अनुरूप है। विशेष रूप से, एक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान कार्य का शिलालेख ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करता है जिसका उपयोग सूत्र में मदद करने या अनुमानों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। एक फलन के क्षेत्र को इसके द्वारा दर्शाया जाता है जबकि इसका समुच्चय है फलन को यदि और वैकल्पिक रूप से कहा जाता है, इसका मतलब है कि उस क्षेत्र में कुछ मौजूद है जिस पर और इसके बराबर भी है। शब्दों में, एक फलन है यदि इसका क्षेत्र खाली नहीं है, तो यह कभी भी मान नहीं लेता है और यह भी समान रूप से इसके बराबर नहीं है। कन्वेक्स संयुग्म एक विस्तारित वास्तविक-मूल्य वाले फलन (आवश्यक रूप से उत्तल नहीं) का फलन (निरंतर) दोहरे स्थान से है और जहां कोष्ठक विहित द्वैतता को दर्शाते हैं। उपविभेदक समुच्चय और फेनशेल-युवा असमानता यदि और फिर है उदाहरण के लिए, महत्वपूर्ण विशेष मामले में जहां एक मानक है, यह दिखाया जा सकता है कि यदि तब यह परिभाषा कम हो जाती हैः और किसी के लिए और जिसे कहा जाता है। यह असमानता एक समानता है (अर्थात) यदि और केवल अगर यह इस तरह से है कि उपविभेदक समुच्चय सीधे उत्तल संयुग्म बाइकोन्जुगेट से संबंधित है एक फलन का संयुग्म संयुग्म है, जिसे आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है कि बाइकोन्जुगेट यह दिखाने के लिए उपयोगी है कि कब मजबूत या कमजोर द्वैत पकड़ (विक्षोभ फलन के माध्यम से) है। किसी के लिए भी असमानता का अनुसरण करता है। उचित कार्यों के लिए, यदि और केवल यदि फेन्शेल-मोरेउ प्रमेय द्वारा उत्तल और निम्न अर्ध-निरंतर है। कन्वेक्स मिनिमाइजेशन ए () उन रूपों में से एक है जो एक कन्वेक्स फ़ंक्शन और एक कन्वेक्स सबसेट दोहरी समस्या दिए जाने पर पाया जाता है अनुकूलन सिद्धांत में, यह बताता है कि अनुकूलन समस्याओं को दो दृष्टिकोणों में से किसी एक से देखा जा सकता है, प्राथमिक समस्या या दोहरी समस्या। सामान्य तौर पर दो दोहरे जोड़े दिए गए हैं जो स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों को अलग करते हैं और फिर फ़ंक्शन को देखते हुए हम प्राइमल समस्या को इस तरह से परिभाषित कर सकते हैं कि यदि बाधा स्थितियां हैं, तो इन्हें फ़ंक्शन में बनाया जा सकता है जहां इंडिकेटर फ़ंक्शन है। फिर एक विक्षोभ फलन को इस तरह से होने दें कि चुने गए विक्षोभ फलन के संबंध में दिया गया है कि दोनों चर में उत्तल संयुग्म कहाँ है। यदि दोनों पक्ष एक-दूसरे के बराबर हैं, तो समस्या को मजबूत द्वैत को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। मजबूत द्वैतता को बनाए रखने के लिए कई स्थितियां हैं जैसे किः जहां प्राथमिक और दोहरी समस्याओं से संबंधित गड़बड़ी कार्य है और इसका बाइकोन्जुगेट है; प्राथमिक समस्या एक रैखिक अनुकूलन समस्या है; एक उत्तल अनुकूलन समस्या के लिए स्लेटर की स्थिति। लैग्रेंज द्वैत असमानता बाधाओं के साथ एक उत्तल लघुकरण समस्या के लिए, लैग्रैन्जियन दोहरी समस्या के अधीन है जहां वस्तुनिष्ठ कार्य लैग्रेंज दोहरा कार्य है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः नोट्स बाहरी लिंक विश्लेषण भी देखें