Weierstrass–Enneper parameterization
गणित में, न्यूनतम सतहों का वेयरस्ट्रास-एनेपर मापदंड विभेदक ज्यामिति का एक शास्त्रीय टुकड़ा है। अल्फ्रेड एनेपर और कार्ल वेयरस्ट्रास ने 1863 तक न्यूनतम सतहों का अध्ययन किया था। मान लीजिए और पूरे जटिल तल या इकाई डिस्क पर कार्य करें, जहां मेरोमॉर्फिक है और विश्लेषणात्मक है, जैसे कि जहां भी क्रम का एक ध्रुव है, वहां क्रम का शून्य होता है (या समकक्ष रूप से, जैसे कि उत्पाद होलोमोर्फिक है), और मान लीजिए कि स्थिरांक हैं। फिर निर्देशांक वाली सतह न्यूनतम होती है, जहाँ एक जटिल समाकलन के वास्तविक भाग का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, निम्नानुसारः इसके विपरीत भी सच हैः एक सरल रूप से जुड़े डोमेन पर परिभाषित प्रत्येक गैर-समतल न्यूनतम सतह को इस प्रकार का एक मापदंड दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एन्नेपर की सतह है,। जटिल चरों की पैरामीट्रिक सतह वेयरस्ट्रास-एनेपर मॉडल एक जटिल तल () पर एक न्यूनतम सतह () को परिभाषित करता है। मान लीजिए (अंतरिक्ष के रूप में जटिल तल), सतह के जैकोबियन मैट्रिक्स को जटिल प्रविष्टियों के एक स्तंभ के रूप में लिखा जा सकता हैः कहाँ और कहाँ के समरूपी कार्य हैं। जैकोबियन सतह के दो ऑर्थोगोनल स्पर्शरेखा वैक्टर का प्रतिनिधित्व करता हैः सतह सामान्य जैकोबियन द्वारा कई महत्वपूर्ण गुणों की ओर ले जाता हैः,,,। सबूत शर्मा के निबंध में पाए जा सकते हैंः वेयरस्ट्रास प्रतिनिधित्व हमेशा एक न्यूनतम सतह देता है। व्युत्पन्न का उपयोग पहले मौलिक रूप मैट्रिक्स के निर्माण के लिए किया जा सकता हैः और दूसरा मौलिक रूप मैट्रिक्स अंत में, जटिल तल पर एक बिंदु न्यूनतम सतह पर एक बिंदु तक मानचित्रित करता है जिसमें कोस्टा की न्यूनतम सतह को छोड़कर इस पेपर में सभी न्यूनतम सतहों के लिए कहाँ है। अंतर्निहित न्यूनतम सतहों और उदाहरण परिमित स्थलविज्ञान के साथ अंतर्निहित पूर्ण न्यूनतम सतहों के शास्त्रीय उदाहरणों में तल, कैटेनोइड, हेलिकोइड और कोस्टा की न्यूनतम सतह शामिल हैं। कोस्टा की सतह में वेयरस्ट्रास का अण्डाकार कार्य शामिल हैः जहाँ एक स्थिरांक है। हेलिकेटेनोइड कार्यों का चयन और, न्यूनतम सतहों का एक पैरामीटर परिवार प्राप्त किया जाता है। सतह के मापदंडों को इस प्रकार चुननाः चरम पर, सतह एक कैटेनोइड या एक हेलिकोइड है। अन्यथा, एक मिश्रण कोण का प्रतिनिधित्व करता है। परिणामी सतह, आत्म-छेदन को रोकने के लिए चुने गए क्षेत्र के साथ, एक हेलिकल फैशन में अक्ष के चारों ओर घुमाया गया एक कैटेनरी है। वक्रता की रेखाएँ कोई भी दूसरे मौलिक मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को और के फलन के रूप में फिर से लिख सकता है, उदाहरण के लिए और इसके परिणामस्वरूप दूसरे मौलिक रूप मैट्रिक्स को सरल बनाया जा सकता है क्योंकि इसका एक आइगेनवेक्टर है जो जटिल क्षेत्र में प्रमुख दिशा का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, अंतरिक्ष में दो प्रमुख दिशाएँ सी एसोसिएट फैमिली ब्रायंट सतह भी निकलती हैं, जो हाइपरबोलिक स्पेस में एक अनुरूप पैरामीटराइजेशन द्वारा पाई जाती हैं संदर्भ विभेदक ज्यामिति सतह न्यूनतम सतह