Jacobi sum
गणित में, जैकोबी योग एक प्रकार का वर्ण योग है जो डिरिचलेट वर्णों के साथ बनता है। सरल उदाहरणों में डिरिचलेट वर्णों χ के लिए जैकोबी योग J (χ, si), एक अभाज्य संख्या p, को परिभाषित किया जाएगा जहां योग सभी अवशेषों पर चलता है (जिसके लिए न तो a और न ही 0 है)। जैकोबी योग बीटा फलन के परिमित क्षेत्रों के अनुरूप हैं। इस तरह की राशि सी. जी. जे. जैकोबी द्वारा उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में साइक्लोटोमी के सिद्धांत के संबंध में पेश की गई थी। जैकोबी योग J को सामान्य रूप से गॉस योग g की शक्तियों के उत्पादों में फैक्टर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब वर्ण χsi गैर-तुच्छ होता है, तो गामा कार्यों के संदर्भ में बीटा फ़ंक्शन के सूत्र के अनुरूप होता है। चूँकि गैर-तुच्छ गॉस योग g का निरपेक्ष मान p है, इसलिए इसका निरपेक्ष मान p भी होता है जब वर्ण χsi, χ, si गैर-तुच्छ होते हैं। जैकोबी योग जे गैर-तुच्छ गॉस योग जी की तुलना में छोटे साइक्लोटोमिक क्षेत्रों में निहित है। उदाहरण के लिए के योग में एकता का कोई पी. टी. एच. मूल शामिल नहीं है, बल्कि केवल वे मान शामिल हैं जो एकता के मूल के साइक्लोटोमिक क्षेत्र में स्थित हैं। गॉस सम की तरह, जैकोबी सम ने अपने साइक्लोटोमिक क्षेत्रों में प्रमुख आदर्श गुणनखंडन को जाना है; स्टिकलबर्गर की प्रमेय देखें। जब χ लीजेंड्रे प्रतीक होता है, तो सामान्य रूप से जैकोबी योग के मान विकर्ण रूपों के स्थानीय जीटा-कार्यों के संबंध में होते हैं। लेजेंड्रे प्रतीक पर परिणाम एक शंकु खंड पर बिंदुओं की संख्या के सूत्र के बराबर है जो पी तत्वों के क्षेत्र पर एक प्रोजेक्टिव रेखा है। 1949 से आंद्रे वेल के एक पेपर ने इस विषय को बहुत पुनर्जीवित किया। वास्तव में, 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के हस-डेवनपोर्ट संबंध के माध्यम से, गॉस राशियों की शक्तियों के औपचारिक गुण एक बार फिर से प्रचलित हो गए थे। सामान्य जैकोबी योग के माध्यम से विकर्ण हाइपरसर्फेस के लिए स्थानीय जीटा-कार्यों को लिखने की संभावना की ओर इशारा करते हुए, वेइल (1952) ने हैके वर्णों के रूप में जैकोबी योग के गुणों का प्रदर्शन किया। अबेलियन किस्मों का जटिल गुणन स्थापित होने के बाद यह महत्वपूर्ण हो गया था। उदाहरण के लिए, प्रश्न में हेक वर्ण ठीक वही थे जिन्हें फर्माट वक्रों के हैस्से-वेइल एल-कार्यों को व्यक्त करने की आवश्यकता होती है। इन पात्रों के सटीक संचालक, एक सवाल जिसे वेइल ने खुला छोड़ दिया था, बाद के काम में निर्धारित किए गए थे। संदर्भ साइक्लोटोमिक क्षेत्र