Dual curve
प्रक्षेप्य ज्यामिति में, दिए गए समतल वक्र का एक दोहरा वक्र दोहरे प्रक्षेप्य तल में एक वक्र है जिसमें स्पर्शरेखा रेखाओं का समूह होता है। एक वक्र से उसके दोहरे तक का एक नक्शा है, जो प्रत्येक बिंदु को अपनी स्पर्शरेखा रेखा के दोहरे बिंदु पर भेजता है। यदि बीजगणितीय है तो इसका दोहरा भी है और दोहरे की डिग्री को मूल वक्र के वर्ग के रूप में जाना जाता है। रेखा निर्देशांक में दिए गए दोहरे के समीकरण को स्पर्शरेखा समीकरण के रूप में जाना जाता है। द्वैत एक अंतर्वेशन हैः के दोहरे का दोहरा मूल वक्र है। दोहरे वक्र का निर्माण हैमिल्टनियन यांत्रिकी के संदर्भ में लीजेंड्रे परिवर्तन के लिए ज्यामितीय आधार है। समीकरणों को प्रोजेक्टिव तल पर सजातीय निर्देशांक में एक वक्र का समीकरण माना जाता है। मान लीजिए कि यह एक रेखा का समीकरण है, जिसे एक दोहरे प्रक्षेपात्मक तल में अपने रेखा निर्देशांक नामित किया गया है। यह शर्त कि रेखा वक्र के लिए स्पर्शरेखा है, उस रूप में व्यक्त की जा सकती है जो वक्र का स्पर्शरेखा समीकरण है। वक्र पर एक बिंदु पर, स्पर्शरेखा द्वारा दी जाती है तो वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा है यदि उन्मूलन,,, और इन समीकरणों से, साथ में, और दोहरे वक्र का समीकरण देता है। उदाहरण के लिए, कोनिक होने दें। दोहरे को समीकरणों को समाप्त करके,, और समीकरणों से पाया जाता है पहले तीन समीकरणों को आसानी से,, के लिए हल किया जाता है, और अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करने से उत्पन्न होता है हर से स्पष्ट करते हुए, दोहरे का समीकरण प्रोजेक्टिव निर्देशांक में एक पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र पर विचार करें। इसकी प्रक्षेपात्मक स्पर्शरेखा रेखा एक रैखिक तल है जो स्पर्शरेखा के बिंदु और स्पर्शरेखा सदिश द्वारा फैला हुआ है, जिसमें पार उत्पाद द्वारा दिए गए रैखिक समीकरण गुणांक हैंः जो एफ़ाइन निर्देशांक में हैः एक विक्षेपण बिंदु का दोहरा एक कस्प देगा और एक ही स्पर्शरेखा को साझा करने वाले दो बिंदु दोहरे पर एक स्व-विच्छेदन बिंदु देंगे। प्रोजेक्टिव विवरण से, दोहरे की गणना की जा सकती हैः जो प्रोजेक्टिव रूप से मूल वक्र के बराबर है। दोहरे वक्र के गुण मूल वक्र के गुण दोहरे वक्र पर दोहरे गुणों के अनुरूप हैं। परिचय छवि में, लाल वक्र में तीन विलक्षणताएँ हैं-केंद्र में एक नोड, और निचले दाएँ और निचले बाएँ में दो कस्प। काले वक्र में कोई विलक्षणता नहीं होती है, लेकिन इसके चार विशिष्ट बिंदु होते हैंः दो शीर्ष-सबसे बिंदु नोड (दोहरे बिंदु) के अनुरूप होते हैं, क्योंकि दोनों में एक ही स्पर्शरेखा रेखा होती है, इसलिए दोहरे वक्र में एक ही बिंदु पर मानचित्र बनाते हैं, जबकि दो विक्षेपण बिंदु कस्प्स के अनुरूप होते हैं, क्योंकि स्पर्शरेखा रेखाएं पहले एक तरफ जाती हैं और फिर दूसरी तरफ (ढलान बढ़ती है, फिर घटती है)। इसके विपरीत, एक चिकनी, उत्तल वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा का कोण नीरस रूप से बदलता है, और परिणामस्वरूप दोहरी वक्र भी चिकनी और उत्तल होती है। इसके अलावा, ऊपर दोनों वक्रों में एक परावर्तन समरूपता होती हैः प्रोजेक्टिव द्वैतता एक प्रोजेक्टिव स्पेस में समरूपता को संरक्षित करती है, इसलिए दोहरे वक्रों में समान समरूपता समूह होता है। इस मामले में दोनों सममितियों को बाएं-दाएं प्रतिबिंब के रूप में महसूस किया जाता है; यह एक कलाकृति है कि अंतरिक्ष और दोहरे स्थान की पहचान कैसे की गई है-सामान्य रूप से ये विभिन्न स्थानों की सममितियां हैं। डिग्री यदि एक समतल बीजगणितीय वक्र है, तो दोहरे की डिग्री दोहरे तल में एक रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है। चूँकि दोहरे तल में एक रेखा तल में एक बिंदु से मेल खाती है, इसलिए दोहरे की डिग्री उस स्पर्शरेखा की संख्या है जिसे किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से खींचा जा सकता है। जिन बिंदुओं पर ये स्पर्शरेखाएँ वक्र को छूती हैं, वे दिए गए बिंदु के संबंध में वक्र और ध्रुवीय वक्र के बीच प्रतिच्छेदन के बिंदु हैं। यदि वक्र की डिग्री है तो ध्रुवीय की डिग्री है और इसलिए दिए गए बिंदु के माध्यम से खींची जा सकने वाली स्पर्शरेखाओं की संख्या अधिक से अधिक है। एक रेखा का दोहरा (डिग्री 1 का वक्र) इसके लिए एक अपवाद है और इसे दोहरे स्थान (अर्थात् मूल रेखा) में एक बिंदु के रूप में लिया जाता है। एक एकल बिंदु के दोहरे को रेखाओं का संग्रह माना जाता है, हालांकि यह दोहरे स्थान में एक रेखा बनाता है जो मूल बिंदु से मेल खाती है। यदि चिकना है (कोई एकवचन बिंदु नहीं) तो के दोहरे में अधिकतम डिग्री होती है। इसका तात्पर्य है कि एक शंकु का दोहरा भी एक शंकु है। ज्यामितीय रूप से, एक शंकु से उसके दोहरे तक का मानचित्र एक-से-एक है (क्योंकि कोई भी रेखा एक शंकु के दो बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा नहीं है, क्योंकि इसके लिए डिग्री 4 की आवश्यकता होती है), और स्पर्शरेखा रेखा सुचारू रूप से बदलती है (क्योंकि वक्र उत्तल है, इसलिए स्पर्शरेखा रेखा की ढलान नीरस रूप से बदलती हैः दोहरे में कस्प्स को मूल वक्र में एक विक्षेपण बिंदु की आवश्यकता होती है, जिसके लिए डिग्री 3 की आवश्यकता होती है)। एकवचन बिंदुओं वाले वक्रों के लिए, ये बिंदु वक्र और उसके ध्रुवीय के प्रतिच्छेदन पर भी होंगे और इससे संभावित स्पर्शरेखा रेखाओं की संख्या कम हो जाएगी। प्लकर सूत्र डी के संदर्भ में दोहरे की डिग्री और के एकवचन बिंदुओं की संख्या और प्रकार देते हैं। ध्रुवीय पारस्परिक दोहरे को ध्रुवीय पारस्परिक के रूप में तल में एक स्थान के रूप में देखा जा सकता है। इसे एक निश्चित शंकु के संदर्भ में वक्र की स्पर्शरेखा रेखाओं के ध्रुवों के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। शंकु को लगभग हमेशा एक वृत्त के रूप में लिया जाता है, इसलिए ध्रुवीय पारस्परिक के पेडल का व्युत्क्रम है। सामान्यीकरण उच्च आयाम इसी तरह, उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण, एक अति सतह को देखते हुए, प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान अति समतल का एक परिवार देता है, और इस प्रकार दोहरे स्थान में एक दोहरी अति सतह को परिभाषित करता है। एक प्रोजेक्टिव स्पेस में किसी भी बंद उप-विविधता के लिए, किसी बिंदु पर सभी हाइपरप्लेन स्पर्शरेखा का सेट प्रोजेक्टिव स्पेस के दोहरे का एक बंद उप-विविधता है, जिसे की दोहरी विविधता कहा जाता है। उदाहरण यदि एक सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित एक अति सतह है, तो की दोहरी विविधता ढाल मानचित्र द्वारा छवि है जो दोहरी प्रक्षेपात्मक जगह में उतरती है। एक बिंदु की दोहरी विविधता हाइपरप्लेन दोहरी बहुभुज है दोहरी वक्र संरचना तब भी काम करती है जब वक्र टुकड़ों में रैखिक या टुकड़ों में अवकलनीय हो, लेकिन परिणामी मानचित्र अपक्षयी (यदि रैखिक घटक हैं) या गलत परिभाषित (यदि एकवचन बिंदु हैं) है। एक बहुभुज के मामले में, प्रत्येक किनारे पर सभी बिंदु एक ही स्पर्शरेखा रेखा साझा करते हैं, और इस प्रकार दोहरे के एक ही शीर्ष पर मानचित्र बनाते हैं, जबकि एक शीर्ष की स्पर्शरेखा रेखा गलत तरीके से परिभाषित होती है, और दोनों किनारों के बीच कोण के साथ इससे गुजरने वाली सभी रेखाओं के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यह प्रोजेक्टिव डुअलिटी (रेखाएँ बिंदुओं को मैप करती हैं, और रेखाओं को पॉइंट करती हैं), और बिना किसी रैखिक घटक के चिकनी वक्रों की सीमा के साथ दोनों के साथ मेल खाता हैः जैसे-जैसे एक वक्र एक किनारे पर चपटा होता है, इसकी स्पर्शरेखा रेखाएँ करीब और करीब के बिंदुओं पर मैप करती हैं; जैसे-जैसे एक वक्र एक शीर्ष पर तेज होता है, इसकी स्पर्शरेखा रेखाएँ आगे फैलती हैं। अधिक आम तौर पर, किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन या शंकु में एक पॉलीहेड्रल डुअल होता है, और सीमा हाइपरसर्फेस H के साथ किसी भी उत्तल समुच्चय X में एक उत्तल संयुग्म X * होता है जिसकी सीमा दोहरी किस्म H * होती है। होफ ट्रांसफॉर्म गॉस मैप नोट्स संदर्भ वक्र प्रोजेक्टिव ज्यामिति विभेदक ज्यामिति भी देखें।