Belyi's theorem
गणित में, बीजगणितीय वक्रों पर बेली की प्रमेय बताती है कि कोई भी गैर-एकल बीजगणितीय वक्र सी, जिसे बीजगणितीय संख्या गुणांक द्वारा परिभाषित किया गया है, एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह का प्रतिनिधित्व करता है जो रीमान गोले का एक विस्तृत आवरण है, जो केवल तीन बिंदुओं पर विस्तृत है। यह 1979 से जी. वी. बेली का परिणाम है। उस समय इसे आश्चर्यजनक माना जाता था, और इसने ग्रोथेन्डिक को डेसिन्स डी 'एनफैंट के अपने सिद्धांत को विकसित करने के लिए प्रेरित किया, जो संयोजन डेटा का उपयोग करके बीजगणितीय संख्याओं पर गैर-एकल बीजगणितीय वक्रों का वर्णन करता है। ऊपरी अर्ध-तल के भाग इस प्रकार हैं कि विचाराधीन रीमान सतह को भागफल एच/ए. के रूप में लिया जा सकता है (जहां एच ऊपरी अर्ध-तल है और ए. सी. ए. मॉड्यूलर समूह में परिमित सूचकांक का एक उपसमूह है) जिसे सी. ए. एस. पी. द्वारा संकुचित किया जाता है। चूँकि मॉड्यूलर समूह में गैर-अनुरूप उपसमूह होते हैं, इसलिए यह निष्कर्ष नहीं है कि ऐसा कोई भी वक्र एक मॉड्यूलर वक्र है। बेली फलन एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह एस से जटिल प्रोजेक्टिव रेखा पी1 (सी) तक का एक होलोमोर्फिक मानचित्र है जो केवल तीन बिंदुओं पर विस्तृत है, जिसे मोबियस परिवर्तन के बाद लिया जा सकता है। बेली कार्यों को डेसिन डी 'एनफैंट्स द्वारा संयुक्त रूप से वर्णित किया जा सकता है। बेली कार्य और डेसिन डी 'एन्फैंट्स-लेकिन बेली की प्रमेय नहीं-कम से कम फेलिक्स क्लेन के काम से संबंधित हैं; उन्होंने अपने लेख में मोनोड्रोमी समूह पी. एस. एल. (2,11) के साथ जटिल प्रोजेक्टिव लाइन के 11 गुना आवरण का अध्ययन करने के लिए उनका उपयोग किया। अनुप्रयोग बेली की प्रमेय बेली कार्यों के लिए एक अस्तित्व प्रमेय है, और बाद में व्युत्क्रम गैलोइस समस्या में इसका बहुत उपयोग किया गया है। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बीजगणितीय वक्र बीजगणितीय ज्यामिति में प्रमेय