Bombieri–Lang conjecture
अंकगणितीय ज्यामिति में, बॉम्बीरी-लैंग अनुमान एक अनसुलझी समस्या है जिसका अनुमान एनरिको बॉम्बीरी और सर्ज लैंग ने सामान्य प्रकार के बीजगणितीय प्रकार के तर्कसंगत बिंदुओं के सेट के ज़ारिस्की घनत्व के बारे में लगाया है। कथन सतहों के लिए कमजोर बॉम्बीरी-लैंग अनुमान में कहा गया है कि यदि एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित सामान्य प्रकार की एक चिकनी सतह है, तो के बिंदु ज़ारिस्की टोपोलॉजी में एक घना सेट नहीं बनाते हैं। बम्बेरी-लैंग अनुमान के सामान्य रूप में कहा गया है कि यदि एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित सामान्य प्रकार की एक सकारात्मक-आयामी बीजगणितीय विविधता है, तो के बिंदु ज़ारिस्की टोपोलॉजी में एक घना सेट नहीं बनाते हैं। बम्बेरी-लैंग अनुमान के परिष्कृत रूप में कहा गया है कि यदि एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित सामान्य प्रकार की बीजगणितीय विविधता है, तो इसका एक घना खुला उपसमुच्चय ऐसा है कि सभी संख्या क्षेत्र विस्तारों के लिए, अंकों का समूह सीमित है। इतिहास बम्बेरी-लांग अनुमान स्वतंत्र रूप से एनरिको बम्बेरी और सर्ज लैंग द्वारा प्रस्तुत किया गया था। शिकागो विश्वविद्यालय में 1980 के एक व्याख्यान में, एनरिको बॉम्बीरी ने सामान्य प्रकार की सतहों के लिए तर्कसंगत बिंदुओं के अपक्षय के बारे में एक समस्या उत्पन्न की। 1971 में शुरू होने वाले शोध पत्रों की एक श्रृंखला में स्वतंत्र रूप से, सर्ज लैंग ने तर्कसंगत बिंदुओं के वितरण और बीजगणितीय अतिशयोक्तिकता के बीच एक अधिक सामान्य संबंध का अनुमान लगाया, जिसे बॉम्बीरी-लैंग अनुमान के "परिष्कृत रूप" में तैयार किया गया था। सामान्यीकरण और निहितार्थ बॉम्बीरी-लैंग अनुमान फाल्टिंग्स प्रमेय की सतहों के लिए एक अनुरूप है, जिसमें कहा गया है कि एक से अधिक वंश के बीजगणितीय वक्रों में केवल सीमित रूप से कई तर्कसंगत बिंदु होते हैं। यदि सच है, तो बॉम्बीरी-लैंग अनुमान एर्दोस-उलम समस्या का समाधान करेगा, क्योंकि इसका मतलब यह होगा कि यूक्लिडियन तल के घने उपसमुच्चय मौजूद नहीं हैं, जिनकी सभी जोड़ीदार दूरी तर्कसंगत हैं। 1997 में, लूसिया कैपोरासो, बैरी मज़ूर, जो हैरिस और पेट्रीसिया पेसेली ने दिखाया कि बॉम्बीरी-लैंग अनुमान तर्कसंगत बिंदुओं के लिए एक समान सीमा अनुमान का तात्पर्य हैः केवल और इस तरह के आधार पर एक स्थिरांक है कि किसी भी डिग्री संख्या क्षेत्र पर किसी भी जीनस वक्र के तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या अधिक से अधिक है। संदर्भ डायोफैंटाइन ज्यामिति ज्यामिति में अनसुलझी समस्याएं अनुमान