Runge's theorem
जटिल विश्लेषण में, रुंग की प्रमेय (जिसे रुंग की सन्निकटन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) का नाम जर्मन गणितशास्त्री कार्ल रुंग के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे पहली बार 1885 में साबित किया था। यह निम्नलिखित बताता हैः C द्वारा जटिल संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करते हुए, K को C का एक संक्षिप्त उपसमुच्चय माना जाता है और f को एक ऐसा फलन माना जाता है जो K वाले एक खुले समुच्चय पर समरूप है। यदि A एक ऐसा समुच्चय है जिसमें C\K के प्रत्येक सीमित जुड़े घटक से कम से कम एक जटिल संख्या है, तो परिमेय कार्यों का एक क्रम मौजूद है जो K पर समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है और इस तरह कि कार्यों के सभी ध्रुव A में होते हैं। ध्यान दें कि ए में प्रत्येक जटिल संख्या को अनुक्रम के प्रत्येक परिमेय फलन का ध्रुव होने की आवश्यकता नहीं है। हम केवल यह जानते हैं कि उसके सभी सदस्यों के लिए खंभे हैं, वे खंभे ए में स्थित हैं। एक पहलू जो इस प्रमेय को इतना शक्तिशाली बनाता है, वह यह है कि कोई भी समूह ए को मनमाने ढंग से चुन सकता है। दूसरे शब्दों में, कोई भी C\K के बंधे हुए जुड़े घटकों में से किसी भी जटिल संख्या का चयन कर सकता है और प्रमेय केवल उन चुनी हुई संख्याओं के बीच ध्रुवों के साथ परिमेय कार्यों के अनुक्रम के अस्तित्व की गारंटी देता है। उस विशेष मामले के लिए जिसमें C\K एक जुड़ा हुआ समुच्चय है (विशेष रूप से जब K सरलता से जुड़ा हुआ है), प्रमेय में समुच्चय A स्पष्ट रूप से खाली होगा। चूँकि बिना ध्रुवों वाले परिमेय फलन केवल बहुपद होते हैं, इसलिए हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैंः यदि K, C का एक संक्षिप्त उपसमुच्चय है जैसे कि C\K एक जुड़ा हुआ समुच्चय है, और f, K वाले एक खुले समुच्चय पर एक होलोमोर्फिक फलन है, तो बहुपदों का एक क्रम मौजूद है जो K पर समान रूप से f तक पहुँचता है (धारणाओं को शिथिल किया जा सकता है, मर्जेलियन की प्रमेय देखें)। रुंगे की प्रमेय निम्नानुसार सामान्यीकृत करती हैः कोई भी A को रीमान क्षेत्र C ≤ {≤} का एक उपसमुच्चय मान सकता है और यह आवश्यक है कि A, K के असीमित जुड़े घटक को भी काटता है (जिसमें अब ≤ शामिल है)। अर्थात्, ऊपर दिए गए सूत्रीकरण में, परिमेय कार्यों में अनंत पर एक ध्रुव हो सकता है, जबकि अधिक सामान्य सूत्रीकरण में ध्रुव को C\K के असीम जुड़े घटक में कहीं भी चुना जा सकता है। प्रमाण एक प्राथमिक प्रमाण, दिया गया है, जो निम्नानुसार आगे बढ़ता है। खुले समुच्चय में एक बंद पीसवाइज-लीनियर समोच्च है, जिसमें इसके आंतरिक भाग में K होता है। के. रीमान में डब्ल्यू के लिए कॉची के समाकलन सूत्र के अनुसार अनुमानित योग का उपयोग के पर समान रूप से समोच्च समाकलन का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। योग में प्रत्येक पद समोच्च पर कुछ बिंदु z के लिए (z−w) −1 का एक अदिश गुणक है। यह एक परिमेय फलन द्वारा एक समान सन्निकटन देता है, जिसमें ध्रुवों को κ पर रखा जाता है। इसे K के पूरक के प्रत्येक घटक में निर्दिष्ट बिंदुओं पर ध्रुवों के साथ एक सन्निकटन में संशोधित करने के लिए, इसे (z−w) −1 रूप के शब्दों के लिए जाँचने के लिए पर्याप्त है। यदि z0, z के समान घटक में बिंदु है, तो z से z0 तक एक पीसवाइज-लीनियर पथ लें। यदि दो बिंदु पथ पर पर्याप्त रूप से करीब हैं, तो केवल पहले बिंदु पर ध्रुवों के साथ किसी भी परिमेय फलन को दूसरे बिंदु के बारे में लॉरेंट श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। उस लॉरेंट श्रृंखला को केवल दूसरे बिंदु पर K पर मूल फलन के समान रूप से करीब ध्रुवों के साथ एक परिमेय फलन देने के लिए काटा जा सकता है। z से z0 तक के मार्ग के साथ चरणों से आगे बढ़ते हुए मूल फलन (z−w) −1 को क्रमिक रूप से संशोधित किया जा सकता है ताकि केवल z0 पर ध्रुवों के साथ एक परिमेय फलन दिया जा सके। यदि z0 अनंत पर बिंदु है, तो उपरोक्त प्रक्रिया द्वारा परिमेय फलन (z−w)-1 को पहले R> 0 पर ध्रुवों के साथ एक परिमेय फलन g द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जहां R इतना बड़ा है कि K, w <R में स्थित है।