Berezinian
गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, बेरेज़िनियन या सुपरडिटरमिनेंट सुपरमैट्रिक्स के मामले में निर्धारक का एक सामान्यीकरण है। इसका नाम फेलिक्स बेरेज़िन के नाम पर रखा गया है। एक सुपरमैनिफोल्ड पर एकीकरण के लिए समन्वय परिवर्तनों पर विचार करते समय बेरेज़िनियन निर्धारक के अनुरूप भूमिका निभाता है। परिभाषा बेरेज़िनियन विशिष्ट रूप से दो परिभाषित गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता हैः जहाँ स्ट्र (एक्स) एक्स के सुपरट्रेस को दर्शाता है। शास्त्रीय निर्धारक के विपरीत, बेरेज़िनियन को केवल व्युत्क्रमणीय सुपरमैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया गया है। विचार करने के लिए सबसे सरल मामला एक क्षेत्र K में प्रविष्टियों के साथ एक सुपरमैट्रिक्स का बेरेज़िनियन है। ऐसे सुपरमैट्रिक्स K पर एक सुपर वेक्टर स्थान के रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक विशेष सम सुपरमैट्रिक्स रूप का एक ब्लॉक मैट्रिक्स है। ऐसा मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल तभी जब A और D दोनों K पर व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स हैं। X का बेरेज़िनियन इसके द्वारा दिया जाता है। नकारात्मक प्रतिपादक की प्रेरणा के लिए विषम मामले में प्रतिस्थापन सूत्र देखें। अधिक आम तौर पर, एक सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित आर में प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स पर विचार करें। एक सम सुपरमैट्रिक्स तब उस रूप का होता है जहाँ ए और डी में सम प्रविष्टियाँ होती हैं और बी और सी में विषम प्रविष्टियाँ होती हैं। ऐसा मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल तभी जब ए और डी दोनों परिवर्तनीय वलय आर0 (आर का सम उप-बीजगणित) में व्युत्क्रमणीय हों। इस मामले में बेरेज़िनियन को या, समतुल्य रूप से, द्वारा दिया जाता है ये सूत्र अच्छी तरह से परिभाषित हैं क्योंकि हम केवल मैट्रिक्स के निर्धारक ले रहे हैं जिनकी प्रविष्टियाँ कम्यूटेटिव रिंग R0 में हैं। मैट्रिक्स को विषम मैट्रिक्स X के सापेक्ष A के शूर पूरक के रूप में जाना जाता है और यह केवल तभी व्युत्क्रमणीय हो सकता है जब सम आयामों की संख्या विषम आयामों की संख्या के बराबर हो। इस मामले में, X की व्युत्क्रमता JX की व्युत्क्रमता के बराबर है, जहां फिर X के बेरेज़िनियन को गुणों के रूप में परिभाषित किया जाता है। जहाँ का सुपरट्रांसपोज़ दर्शाता है। बेरेज़िनियन मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल एम के एंडोमोर्फिज्म के निर्धारक को एम की 1-आयामी उच्चतम बाहरी शक्ति पर प्रेरित कार्रवाई के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। सुपरसिमेट्रिक मामले में कोई उच्चतम बाहरी शक्ति नहीं है, लेकिन अभी भी बेरेज़िनियन की एक समान परिभाषा निम्नानुसार है। मान लीजिए कि एम आर पर आयाम (पी, क्यू) का एक मुक्त मॉड्यूल है। मान लीजिए कि ए एम के दोहरे एम * का (सुपर) सममित बीजगणित एस * (एम *) है। फिर एम का एक ऑटोमोर्फिज्म एक्स्ट मॉड्यूल पर कार्य करता है (जिसका आयाम (1,0) है यदि क्यू सम है और आयाम (0,1) यदि क्यू विषम है)) बेरेज़िनियन द्वारा गुणन के रूप में। बेरेज़िन एकीकरण संदर्भ सुपर रैखिक बीजगणित निर्धारक भी देखें।