Taubes's Gromov invariant
गणित में, क्लिफोर्ड टौब्स का ग्रोमोव अपरिवर्तनीय एक सिंप्लेक्टिक 4-मैनिफोल्ड में एम्बेडेड (संभवतः डिस्कनेक्टेड) स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों की गिनती करता है, जहां वक्र एक सहायक संगत लगभग जटिल संरचना के संबंध में होलोमोर्फिक होते हैं। (सेल्फ-इंटरसेक्शन 0 के साथ 2-टोरी के कई कवर भी गिने जाते हैं।) टाउब्स ने चार लंबे पत्रों की एक श्रृंखला में साबित किया कि इस अपरिवर्तनीय में निहित जानकारी सीबर्ग-विटन समीकरणों से प्राप्त अपरिवर्तनीय के बराबर है। इस अपरिवर्तनीय से जुड़ी अधिकांश विश्लेषणात्मक जटिलता ठीक से गणना करने से आती है जिससे कि परिणाम लगभग जटिल संरचना की पसंद का अपरिवर्तनीय हो। मूल सूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के लिए एक स्थलाकृतिक रूप से परिभाषित सूचकांक है जो अंतर्निहितता को नियंत्रित करता है और फ्रेडहोल्म सूचकांक को सीमित करता है। एम्बेडेड कॉन्टैक्ट होमोलॉजी इस काम के माइकल हचिंग्स के कारण एक विस्तार है जो फॉर्म के गैर-कॉम्पैक्ट चार-मैनिफोल्ड तक है, जहां Y एक कॉम्पैक्ट कॉन्टैक्ट 3-मैनिफोल्ड है। ईसीएच एक सिंप्लेक्टिक क्षेत्र सिद्धांत की तरह अपरिवर्तनीय है; अर्थात्, यह वाई पर एक संपर्क रूप के रीब कक्षाओं के कुछ संयोजनों द्वारा उत्पन्न एक श्रृंखला परिसर की समरूपता है, और जिसका अंतर कुछ अंतर्निहित छद्महोलोमोर्फिक वक्रों को गिनता है और "ईसीएच सूचकांक" 1 इंच के साथ कवर किए गए छद्महोलोमोर्फिक सिलेंडरों को गुणा करता है। ईसीएच सूचकांक बेलनाकार मामले के लिए टौब्स के सूचकांक का एक संस्करण है, और फिर से, वक्र एक उपयुक्त लगभग जटिल संरचना के संबंध में छद्महोलोमोर्फिक हैं। परिणाम Y का एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय है, जिसे टौब्स ने साबित किया कि मोनोपोल फ्लोर होमोलॉजी के लिए समरूप है, जो Y के लिए सीबर्ग-विटन होमोलॉजी का एक संस्करण है।