Free Boolean algebra
गणित में, एक मुक्त बूलियन बीजगणित तत्वों के एक विशिष्ट समूह के साथ एक बूलियन बीजगणित है, जिसे जनरेटर कहा जाता है, जैसे किः बूलियन बीजगणित के प्रत्येक तत्व को बूलियन संचालन का उपयोग करके जनरेटर के एक सीमित संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और जनरेटर इस अर्थ में जितना संभव हो उतने स्वतंत्र हैं, कि उनके बीच कोई संबंध नहीं हैं (फिर से बूलियन संचालन का उपयोग करके सीमित अभिव्यक्तियों के संदर्भ में) जो प्रत्येक बूलियन बीजगणित में नहीं होते हैं, चाहे कौन से तत्व चुने गए हों। एक सरल उदाहरण मुक्त बूलियन बीजगणित के जनरेटर स्वतंत्र प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, "जॉन लंबा है" और "मैरी अमीर है" के प्रस्तावों पर विचार करें। ये चार परमाणुओं के साथ एक बूलियन बीजगणित उत्पन्न करते हैं, अर्थात्ः जॉन लंबा है, और मैरी अमीर है; जॉन लंबा है, और मैरी अमीर नहीं है; जॉन लंबा नहीं है, और मैरी अमीर है; जॉन लंबा नहीं है, और मैरी अमीर नहीं है। बूलियन बीजगणित के अन्य तत्व तब परमाणुओं के तार्किक विच्छेदन हैं, जैसे कि "जॉन लंबा है और मैरी अमीर नहीं है, या जॉन लंबा नहीं है और मैरी अमीर है"। इसके अलावा एक और तत्व है, FALSE, जिसे खाली विच्छेदन के रूप में सोचा जा सकता है; वह है, बिना परमाणुओं का विच्छेदन। यह उदाहरण 16 तत्वों के साथ एक बूलियन बीजगणित देता है; सामान्य रूप से, परिमित n के लिए, n जनरेटर के साथ मुक्त बूलियन बीजगणित में 2n परमाणु होते हैं, और इसलिए तत्व होते हैं। यदि असीम रूप से कई जनरेटर हैं, तो इसी तरह की स्थिति बनी रहती है सिवाय इसके कि अब कोई परमाणु नहीं हैं। बूलियन बीजगणित का प्रत्येक तत्व परिमित रूप से कई उत्पन्न करने वाले प्रस्तावों का एक संयोजन है, जिसमें दो ऐसे तत्व समान माने जाते हैं यदि वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं। यह देखने का एक और तरीका है कि एन-तत्व समूह पर मुक्त बूलियन बीजगणित में तत्व क्यों हैं, यह ध्यान रखना है कि प्रत्येक तत्व एन बिट्स से एक तक का फलन है। इस तरह के फ़ंक्शन के लिए संभावित इनपुट हैं और फ़ंक्शन प्रत्येक इनपुट के लिए आउटपुट के लिए 0 या 1 का चयन करेगा, इसलिए संभावित फ़ंक्शन हैं। श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, मुक्त बूलियन बीजगणित को सेट और कार्यों की श्रेणी, सेट और बूलियन बीजगणित और बूलियन बीजगणित समरूपता, बीए की श्रेणी के बीच एक संयोजन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। वास्तव में, यह दृष्टिकोण सार्वभौमिक बीजगणित के ढांचे में परिभाषित किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए सामान्यीकृत है। ऊपर, हमने कहा कि एक मुक्त बूलियन बीजगणित एक बूलियन बीजगणित है जिसमें जनरेटर का एक सेट होता है जो एक निश्चित तरीके से व्यवहार करता है; वैकल्पिक रूप से, कोई एक सेट से शुरू कर सकता है और पूछ सकता है कि यह कौन सा बीजगणित उत्पन्न करता है। प्रत्येक समुच्चय X एक मुक्त बूलियन बीजगणित उत्पन्न करता है जिसे बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि प्रत्येक बीजगणित B और फलन f: X → B के लिए, एक अद्वितीय बूलियन बीजगणित समरूपता f′: FX → B है जो f का विस्तार करता है। आरेखात्मक रूप से, जहां iX समावेशन है, और डैश किया गया तीर विशिष्टता को दर्शाता है। विचार यह है कि एक बार जब कोई यह चुन लेता है कि X के तत्वों को कहाँ भेजना है, तो बूलियन बीजगणित समरूपता के नियम निर्धारित करते हैं कि मुक्त बीजगणित FX में बाकी सब कुछ कहाँ भेजना है। यदि FX में X के तत्वों के संयोजन के रूप में अवर्णनीय तत्व होते, तो f′ अद्वितीय नहीं होता, और यदि X के तत्व पर्याप्त रूप से स्वतंत्र नहीं होते, तो f′ को अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जाता! यह आसानी से दिखाया जाता है कि एफएक्स अद्वितीय है (समरूपता तक), इसलिए यह परिभाषा समझ में आती है। यह भी आसानी से दिखाया जाता है कि एक मुक्त बूलियन बीजगणित, जिसमें मूल रूप से परिभाषित सेट X उत्पन्न होता है, FX के समरूप है, इसलिए दोनों परिभाषाएँ सहमत हैं। उपरोक्त परिभाषा की एक कमी यह है कि आरेख यह नहीं समझता है कि f′ एक समरूपता है; क्योंकि यह सेट में एक आरेख है प्रत्येक तीर केवल एक कार्य को दर्शाता है। हम इसे दो आरेखों में विभाजित करके ठीक कर सकते हैं, एक बीए में और एक सेट में। इन दोनों को संबंधित करने के लिए, हम एक फंक्टर यूः बीए → सेट पेश करते हैं जो बीजगणितीय संरचना को "भूल जाता है", बीजगणित और समरूपता को उनके अंतर्निहित सेट और कार्यों के लिए मानचित्रित करता है। यदि हम ऊपर के तीर को बीए में एक आरेख के रूप में और नीचे के त्रिभुज को सेट में एक आरेख के रूप में व्याख्या करते हैं, तो यह आरेख ठीक से व्यक्त करता है कि प्रत्येक फलन f: X → UB एक अद्वितीय बूलियन बीजगणित समरूपता f′: FX → B तक फैला हुआ है। फ़ंक्टर U को समरूपता f′ को सेट में वापस खींचने के लिए एक उपकरण के रूप में सोचा जा सकता है ताकि यह f से संबंधित हो। इसका उल्लेखनीय पहलू यह है कि बाद वाला आरेख दो फ़ंक्टरों के आसन्न होने की विभिन्न (समकक्ष) परिभाषाओं में से एक है। हमारा एफ आसानी से एक फंक्टर सेट → बीए तक फैलता है, और एक मुक्त बूलियन बीजगणित एफएक्स उत्पन्न करने वाले एक्स की हमारी परिभाषा सटीक रूप से यह है कि यू के पास एक बाएं संलग्न एफ है। टोपोलॉजिकल प्राप्ति κ जनरेटर के साथ मुक्त बूलियन बीजगणित, जहां κ एक परिमित या अनंत कार्डिनल संख्या है, को {0,1} κ के सभी क्लोपेन सबसेट के संग्रह के रूप में महसूस किया जा सकता है, उत्पाद टोपोलॉजी को देखते हुए यह मानते हुए कि {0,1} में असतत टोपोलॉजी है। प्रत्येक α <κ के लिए, αth जनरेटर {0,1} κ के सभी तत्वों का समूह है जिसका αth निर्देशांक 1 है। विशेष रूप से, जनरेटर के साथ मुक्त बूलियन बीजगणित एक कैंटर स्थान के सभी क्लोपन उपसमुच्चय का संग्रह है, जिसे कभी-कभी कैंटर बीजगणित कहा जाता है। यह संग्रह गणना योग्य है। वास्तव में, जहां n जनित्रों के साथ मुक्त बूलियन बीजगणित, n परिमित, में कार्डिनलिटी है, वहीं जनित्रों के साथ मुक्त बूलियन बीजगणित, जैसा कि जनित्रों के साथ किसी भी मुक्त बीजगणित के लिए और कई परिमित संचालन के लिए, कार्डिनलिटी है। मुक्त बूलियन बीजगणित के लिए इस टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण के बारे में अधिक जानकारी के लिए, बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय देखें। बूलियन बीजगणित (संरचना) जनरेटिंग सेट संदर्भ स्टीव अवोडी (2006) श्रेणी सिद्धांत (ऑक्सफोर्ड लॉजिक गाइड 49) भी देखें। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस। पॉल हैल्मोस और स्टीवन गिवेंट (1998) बीजगणित के रूप में तर्क। मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका। सॉन्डर्स मैक लेन (1998) वर्किंग मैथमैटिशियन के लिए श्रेणियाँ। दूसरा संस्करण। (गणित में स्नातक पाठ 5)। स्प्रिंगर-वेरलैग। सॉन्डर्स मैक लेन (1999) बीजगणित, 3डी। एड। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी। .. रॉबर्ट आर. स्टॉल, 1963। सेट थ्योरी एंड लॉजिक, चैप्ट। 6. 6. डोवर का पुनर्मुद्रण 1979। बूलियन बीजगणित मुक्त बीजगणितीय संरचनाएँ