Oscillatory integral
गणितीय विश्लेषण में एक ऑसिलेटरी इंटीग्रल एक प्रकार का वितरण है। ऑसिलेटरी इंटीग्रल कई तर्क देते हैं जो एक सरल स्तर पर, अलग-अलग इंटीग्रल का उपयोग करते प्रतीत होते हैं। दोलन समाकलन के रूप में कई विभेदक समीकरणों के लिए अनुमानित समाधान प्रचालक का प्रतिनिधित्व करना संभव है। परिभाषा एक ऑसिलेटरी इंटीग्रल को औपचारिक रूप से लिखा जाता है कि निम्न गुणों के साथ कहाँ और कहाँ फ़ंक्शन परिभाषित किए गए हैंः फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान, डिग्री 1 का सकारात्मक-सजातीय है, और उससे दूर असीम रूप से अवकलनीय है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि इसके समर्थन पर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है। इस तरह के फलन को आमतौर पर चरण फलन कहा जाता है। कुछ संदर्भों में अधिक सामान्य कार्यों पर विचार किया जाता है और अभी भी चरण कार्यों के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह कार्य कुछ लोगों के लिए प्रतीक वर्गों में से एक से संबंधित है। सहज रूप से, ये प्रतीक वर्ग डिग्री के सकारात्मक रूप से सजातीय कार्यों की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। जैसा कि चरण फलन के साथ होता है, कुछ मामलों में फलन को अधिक सामान्य, या बस अलग, वर्गों में लिया जाता है। जब, औपचारिक समाकलन परिभाषित करना सभी के लिए अभिसरण करता है, और इसकी परिभाषा पर आगे चर्चा करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, जब दोलन समाकलन को अभी भी एक वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है, भले ही समाकलन अभिसरण न हो। इस मामले में वितरण को इस तथ्य का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है जिसे उन कार्यों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जिनमें घातीय क्षय होता है। ऐसा करने का एक संभावित तरीका यह निर्धारित करना है कि समशीतोष्ण वितरण के अर्थ में सीमा कहाँ ली गई है। भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करते हुए, यह दिखाना संभव है कि यह सीमा अच्छी तरह से परिभाषित है, और यह कि एक अंतर प्रचालक मौजूद है जैसे कि श्वार्ट्ज स्थान में किसी पर कार्य करने वाला परिणामी वितरण दिया जाता है जहां यह समाकलन पूरी तरह से अभिसरण करता है। प्रचालक को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन इसे इस तरह से चुना जा सकता है जो केवल चरण कार्य, प्रतीक के क्रम, और पर निर्भर करता है। वास्तव में, किसी भी पूर्णांक को देखते हुए, एक प्रचालक का पता लगाना संभव है ताकि ऊपर का समाकलन पर्याप्त रूप से बड़े के लिए बाध्य हो। यह प्रतीक वर्गों की परिभाषा का मुख्य उद्देश्य है। उदाहरण कई परिचित वितरणों को ऑसिलेटरी इंटीग्रल के रूप में लिखा जा सकता है। यदि हम ऊपर से इस ऑसिलेटरी इंटीग्रल को परिभाषित करने की पहली विधि के साथ-साथ गॉसियन के फूरियर परिवर्तन को लागू करते हैं, तो हम कार्यों का एक प्रसिद्ध अनुक्रम प्राप्त करते हैं जो डेल्टा फ़ंक्शन का अनुमान लगाते हैंः इस मामले में एक ऑपरेटर उदाहरण के लिए दिया जाता है कि चर के संबंध में लाप्लासियन कहाँ है, और कोई भी पूर्णांक उससे बड़ा है। वास्तव में, इसके साथ हमारे पास है और यह समाकलन पूरी तरह से अभिसरण करता है। किसी भी विभेदक प्रचालक के श्वार्ट्ज कर्नेल को एक दोलन समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तव में यदि, तो का कर्नेल लैग्रैन्जियन वितरण के संबंध द्वारा दिया जाता है किसी भी लैग्रैन्जियन वितरण को स्थानीय रूप से ऑसिलेटरी इंटीग्रल द्वारा दर्शाया जा सकता है, देखें। इसके विपरीत, कोई भी ऑसिलेटरी इंटीग्रल एक लैग्रैन्जियन वितरण है। यह वितरण के प्रकारों का एक सटीक विवरण देता है जिन्हें ऑसिलेटरी इंटीग्रल के रूप में दर्शाया जा सकता है। रीमान-लेबेस्ग्यू लेम्मा वैन डेर कॉर्पुट लेम्मा संदर्भ गणितीय विश्लेषण सामान्यीकृत कार्य कार्यात्मक विश्लेषण श्वार्ट्ज वितरण भी देखें।