Surface states
सतही अवस्थाएँ इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाएँ हैं जो सामग्री की सतह पर पाई जाती हैं। वे ठोस पदार्थ से तेज संक्रमण के कारण बनते हैं जो एक सतह के साथ समाप्त होता है और केवल सतह के निकटतम परमाणु परतों पर पाए जाते हैं। एक सतह के साथ एक सामग्री की समाप्ति इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को थोक सामग्री से निर्वात में बदल देती है। सतह पर कमजोर क्षमता में, नई इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाएँ बनाई जा सकती हैं, जिन्हें सतह अवस्थाएँ कहा जाता है। संघनित पदार्थ इंटरफेस पर उत्पत्ति जैसा कि ब्लॉच के प्रमेय में कहा गया है, पूरी तरह से आवधिक क्षमता वाले एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण के आइगेनस्टेट, एक क्रिस्टल, ब्लॉच तरंगें हैं। किसी दिए गए विभव के लिए अनुमत तरंग संख्याएँ सामान्य बोर्न-वोन कर्मन चक्रीय सीमा स्थितियों को लागू करके पाई जाती हैं। एक क्रिस्टल की समाप्ति, अर्थात। एक सतह का गठन, स्पष्ट रूप से पूर्ण आवधिकता से विचलन का कारण बनता है। नतीजतन, यदि चक्रीय सीमा स्थितियों को सतह की सामान्य दिशा में छोड़ दिया जाता है, तो इलेक्ट्रॉनों का व्यवहार थोक में व्यवहार से विचलित हो जाएगा और इलेक्ट्रॉनिक संरचना में कुछ संशोधनों की उम्मीद करनी होगी। एक आयाम में क्रिस्टल क्षमता का एक सरलीकृत मॉडल स्केच किया जा सकता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। क्रिस्टल में, क्षमता में जाली की आवधिकता, ए, होती है, जबकि सतह के करीब इसे किसी तरह निर्वात स्तर के मूल्य को प्राप्त करना होता है। चित्र 1 में दिखाया गया चरण क्षमता (ठोस रेखा) एक अति सरलीकरण है जो सरल मॉडल गणनाओं के लिए ज्यादातर सुविधाजनक है। एक वास्तविक सतह पर विभव छवि आवेश और सतह द्विध्रुवों के गठन से प्रभावित होता है और यह डैश रेखा द्वारा इंगित के रूप में दिखता है। चित्र 1 में क्षमता को देखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि एक-आयामी एकल-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण दो गुणात्मक रूप से अलग-अलग प्रकार के समाधान देता है। पहले प्रकार की अवस्थाएँ (चित्र 2 देखें) क्रिस्टल में फैली हुई हैं और वहाँ ब्लॉच चरित्र है। इस प्रकार के समाधान थोक अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं जो वैक्यूम में पहुंचने वाली तेजी से क्षय होने वाली पूंछ में समाप्त होते हैं। दूसरे प्रकार की अवस्थाएँ (चित्र 3 देखें) वैक्यूम और बल्क क्रिस्टल दोनों में तेजी से क्षय होती हैं। इस प्रकार के समाधान क्रिस्टल सतह के करीब स्थानीयकृत तरंग कार्यों के साथ सतह की अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं। धातु और अर्धचालक दोनों के लिए पहले प्रकार का समाधान प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि अर्धचालकों में, संबंधित आइगेनर्जियों को अनुमत ऊर्जा बैंडों में से एक से संबंधित होना चाहिए। दूसरे प्रकार का समाधान अर्धचालकों के वर्जित ऊर्जा अंतराल के साथ-साथ धातुओं की अनुमानित पट्टी संरचना के स्थानीय अंतराल में मौजूद है। यह दिखाया जा सकता है कि इन सभी अवस्थाओं की ऊर्जा बैंड अंतराल के भीतर होती है। नतीजतन, क्रिस्टल में इन अवस्थाओं को एक काल्पनिक तरंग संख्या द्वारा चिह्नित किया जाता है जिससे थोक में एक घातीय क्षय होता है। सतह की अवस्थाओं की चर्चा में, आम तौर पर शॉकली अवस्थाओं और टैम अवस्थाओं के बीच अंतर किया जाता है, जिसका नाम अमेरिकी भौतिक विज्ञानी विलियम शॉकली और रूसी भौतिक विज्ञानी इगोर टैम के नाम पर रखा गया है। दो प्रकार की अवस्थाओं के बीच कोई सख्त भौतिक अंतर नहीं है, लेकिन गुणात्मक चरित्र और उनका वर्णन करने में उपयोग किया जाने वाला गणितीय दृष्टिकोण अलग है। ऐतिहासिक रूप से, सतह की अवस्थाएँ जो स्वच्छ और आदर्श सतहों के लिए लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन के ढांचे में श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में उत्पन्न होती हैं, उन्हें शॉकली अवस्थाएँ कहा जाता है। इस प्रकार शॉकली अवस्थाएँ वे अवस्थाएँ हैं जो केवल क्रिस्टल समाप्ति से जुड़े इलेक्ट्रॉन क्षमता में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होती हैं। यह दृष्टिकोण सामान्य धातुओं और कुछ संकीर्ण अंतराल अर्धचालकों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है। चित्र 3 एक शॉकली अवस्था का एक उदाहरण दिखाता है, जो लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। स्फटिक के भीतर, शॉकली अवस्थाएँ तेजी से क्षय करने वाली ब्लॉच तरंगों से मिलती-जुलती हैं। सतही अवस्थाएँ जिनकी गणना एक तंग-बंधन मॉडल के ढांचे में की जाती है, उन्हें अक्सर टैम अवस्थाएँ कहा जाता है। टाइट बाइंडिंग दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्यों को आमतौर पर परमाणु कक्षाओं (एल. सी. ए. ओ.) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है। शॉकली अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम अवस्थाएं संक्रमण धातुओं और व्यापक अंतराल अर्धचालकों का भी वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं। गुणात्मक रूप से, टैम अवस्थाएँ सतह पर स्थानीयकृत परमाणु या आणविक कक्षाओं से मिलती-जुलती हैं। टोपोलॉजिकल सतह बताती है कि सभी सामग्रियों को एक एकल संख्या, एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है; इसका निर्माण थोक इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्यों से किया जाता है, जो ब्रिलौइन क्षेत्र में एकीकृत होते हैं, उसी तरह जैसे जीनस की गणना ज्यामितीय टोपोलॉजी में की जाती है। कुछ सामग्रियों में टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय को तब बदला जा सकता है जब कुछ बल्क एनर्जी बैंड मजबूत स्पिन-ऑर्बिटल कपलिंग के कारण उलट जाते हैं। गैर-तुच्छ टोपोलॉजी के साथ एक इंसुलेटर, एक तथाकथित टोपोलॉजिकल इंसुलेटर, और एक तुच्छ टोपोलॉजी के साथ एक के बीच इंटरफेस पर, इंटरफेस धातु होना चाहिए। इसके अलावा, सतह की स्थिति में एक पार करने वाले बिंदु के साथ रैखिक डीराक जैसा फैलाव होना चाहिए जो समय उलट समरूपता द्वारा संरक्षित है। इस तरह की स्थिति विकार के तहत मजबूत होने की भविष्यवाणी की गई है, और इसलिए इसे आसानी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है। शॉकली बताता है कि धातुओं में सतह की अवस्थाएँ धातु की सतह पर अवस्थाओं के मूल गुणों की व्युत्पत्ति के लिए एक सरल मॉडल समान परमाणुओं की एक अर्ध-अनंत आवधिक श्रृंखला है। इस मॉडल में, श्रृंखला की समाप्ति सतह का प्रतिनिधित्व करती है, जहां क्षमता एक चरण फलन के रूप में निर्वात के मान V0 को प्राप्त करती है, चित्र 1। स्फटिक के भीतर क्षमता को जाली की आवधिकता ए के साथ आवधिक माना जाता है। शॉकली अवस्थाएँ तब आवधिक विभव के साथ एक आयामी एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रूप में पाई जाती हैं जहाँ l एक पूर्णांक है, और P सामान्यीकरण कारक है। समाधान को दो डोमेन z <0 और z> 0 के लिए स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए, जहां डोमेन सीमा (z = 0) पर तरंग फलन और उसके व्युत्पन्न की निरंतरता पर सामान्य शर्तें लागू की जाती हैं। चूँकि विभव आवधिक रूप से क्रिस्टल के अंदर गहराई में होता है, इसलिए इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्य यहाँ ब्लॉच तरंगें होनी चाहिए। क्रिस्टल में समाधान तब एक आने वाली लहर और सतह से परावर्तित लहर का एक रैखिक संयोजन होता है। z> 0 के लिए विलयन को निर्वात में तेजी से कम करने की आवश्यकता होगी धातु की सतह पर एक अवस्था के लिए तरंग फलन को चित्र 2 में गुणात्मक रूप से दिखाया गया है। यह क्रिस्टल के भीतर एक विस्तारित ब्लॉच तरंग है जिसकी सतह के बाहर एक तेजी से क्षय होती हुई पूंछ होती है। पूंछ का परिणाम क्रिस्टल के अंदर नकारात्मक आवेश घनत्व की कमी और सतह के ठीक बाहर नकारात्मक आवेश घनत्व में वृद्धि है, जिससे एक द्विध्रुवीय दोहरी परत का निर्माण होता है। द्विध्रुव सतह पर क्षमता को बाधित करता है, उदाहरण के लिए, धातु कार्य कार्य में परिवर्तन के लिए। अर्धचालकों में सतह की अवस्थाएँ लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन का उपयोग संकीर्ण अंतराल अर्धचालकों के लिए सतह की अवस्थाओं के मूल गुणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अर्ध-अनंत रैखिक श्रृंखला मॉडल भी इस मामले में उपयोगी है। हालाँकि, अब परमाणु श्रृंखला के साथ विभव को कोसाइन फलन के रूप में भिन्न माना जाता है, जबकि सतह पर विभव को ऊंचाई V0 के चरण फलन के रूप में मॉडल किया जाता है। श्रोडिंगर समीकरण के समाधान दो डोमेन z <0 और z> 0 के लिए अलग से प्राप्त किए जाने चाहिए। लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन सन्निकटन के अर्थ में, z <0 के लिए प्राप्त समाधानों में ब्रिलौइन क्षेत्र सीमा से दूर तरंग सदिशों के लिए समतल तरंग चरित्र होगा, जहां फैलाव संबंध परवलयिक होगा, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है। ब्रिलौइन क्षेत्र की सीमाओं पर, ब्रैग परावर्तन एक स्थायी तरंग के परिणामस्वरूप होता है जिसमें तरंग सदिश और तरंग सदिश के साथ एक तरंग होती है। यहाँ पारस्परिक जाली का एक जाली सदिश है (चित्र 4 देखें)। चूँकि रुचि के समाधान ब्रिलौइन क्षेत्र सीमा के करीब हैं, इसलिए हम निर्धारित करते हैं, जहाँ κ एक छोटी मात्रा है। स्वेच्छिक स्थिरांक ए, बी श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा पाए जाते हैं। यह ब्रिलौइन क्षेत्र के किनारों पर बैंड विभाजन को प्रदर्शित करने वाले निम्नलिखित आइगेनवैल्यू की ओर ले जाता है, जहां वर्जित अंतराल की चौड़ाई 2V द्वारा दी जाती है। इलेक्ट्रॉनिक तरंग क्रिस्टल के अंदर गहराई से कार्य करती है, जो विभिन्न बैंडों के लिए जिम्मेदार होती है, जहां सी एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। सतह के पास z = 0 पर, थोक विलयन को एक तेजी से क्षय करने वाले विलयन में फिट किया जाना चाहिए, जो स्थिर विभव V0 के साथ संगत है। यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक संभावित ऊर्जा आइगेनवैल्यू के लिए मिलान शर्तों को पूरा किया जा सकता है जो अनुमत बैंड में स्थित है। धातुओं के मामले में, इस प्रकार का समाधान क्रिस्टल में फैली खड़ी ब्लॉच तरंगों का प्रतिनिधित्व करता है जो सतह पर निर्वात में फैलती हैं। तरंग फलन का एक गुणात्मक प्लॉट चित्र 2 में दिखाया गया है। यदि κ के काल्पनिक मानों पर विचार किया जाता है, अर्थात। κ =-i·q z ≤ 0 के लिए और एक परिभाषित करता है कि एक क्रिस्टल में क्षयकारी आयाम के साथ समाधान प्राप्त करता है ऊर्जा आइगेनवैल्यू E द्वारा दिए जाते हैं जो आवश्यकता के अनुसार बड़े नकारात्मक z के लिए वास्तविक है। इसके अलावा सीमा में सतह की अवस्थाओं की सभी ऊर्जाएँ निषिद्ध अंतराल में आती हैं। पूर्ण समाधान फिर से तेजी से क्षय करने वाले निर्वात समाधान के लिए थोक समाधान का मिलान करके पाया जाता है। परिणाम यह है कि सतह पर एक स्थानीय अवस्था क्रिस्टल और वैक्यूम दोनों में क्षय हो रही है। एक गुणात्मक कथानक चित्र 3 में दिखाया गया है। एक त्रि-आयामी क्रिस्टल की सतह की अवस्थाएँ एक एकाधिकारिक रैखिक श्रृंखला की सतह की अवस्थाओं के परिणामों को त्रि-आयामी क्रिस्टल के मामले में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। सतह जाली की द्वि-आयामी आवधिकता के कारण, सतह के समानांतर अनुवाद के लिए ब्लॉच के प्रमेय को धारण करना चाहिए। नतीजतन, सतह की अवस्थाओं को सतह के समानांतर के-मानों के साथ एक ब्लॉच तरंगों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है और एक आयामी सतह की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक कार्य इस स्थिति की ऊर्जा को एक शब्द से बढ़ाया जाता है ताकि हमारे पास हो जहाँ m * इलेक्ट्रॉन का प्रभावी द्रव्यमान है। क्रिस्टल सतह पर मेल खाने वाली स्थितियाँ, अर्थात। z = 0 पर, प्रत्येक के लिए अलग से और प्रत्येक के लिए एक एकल के लिए संतुष्ट होना पड़ता है, लेकिन आम तौर पर सतह की स्थिति के लिए अलग-अलग ऊर्जा स्तर प्राप्त किया जाता है। वास्तविक सतह अवस्थाएँ और सतह अनुनाद एक सतह अवस्था को ऊर्जा और सतह के समानांतर इसके तरंग सदिश द्वारा वर्णित किया जाता है, जबकि एक थोक अवस्था को तरंग संख्या दोनों द्वारा चिह्नित किया जाता है। सतह के द्वि-आयामी ब्रिलौइन क्षेत्र में, प्रत्येक मान के लिए एक छड़ थोक के त्रि-आयामी ब्रिलौइन क्षेत्र में फैली हुई है। इन छड़ों द्वारा काटे जा रहे थोक ऊर्जा बैंड उन अवस्थाओं को अनुमति देते हैं जो क्रिस्टल में गहराई से प्रवेश करते हैं। इसलिए एक आम तौर पर वास्तविक सतह अवस्थाओं और सतह अनुनाद के बीच अंतर करता है। वास्तविक सतह अवस्थाएँ ऊर्जा पट्टियों द्वारा चिह्नित की जाती हैं जो थोक ऊर्जा पट्टियों के साथ विकृत नहीं होती हैं। ये अवस्थाएँ केवल निषिद्ध ऊर्जा अंतराल में मौजूद हैं और इसलिए सतह पर स्थानीयकृत हैं, जो चित्र 3 में दिए गए चित्र के समान है। ऊर्जा में जहां एक सतह और एक थोक अवस्था पतित होती है, सतह और थोक अवस्था मिल सकती है, जिससे एक सतह अनुनाद बनता है। इस तरह की स्थिति सतह के करीब एक बढ़े हुए आयाम को बनाए रखते हुए, ब्लॉच तरंगों के समान, थोक में गहराई से फैल सकती है। टैम स्टेट्स सरफेस स्टेट्स जिनकी गणना एक टाइट-बाइंडिंग मॉडल के ढांचे में की जाती है, उन्हें अक्सर टैम स्टेट्स कहा जाता है। टाइट बाइंडिंग दृष्टिकोण में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्यों को आमतौर पर परमाणु कक्षाओं (एल. सी. ए. ओ.) के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, चित्र 5 देखें। इस चित्र में, यह समझना आसान है कि एक सतह का अस्तित्व बल्क अवस्थाओं की ऊर्जाओं से अलग ऊर्जाओं के साथ सतह अवस्थाओं को जन्म देगाः चूंकि सबसे ऊपरी सतह परत में रहने वाले परमाणु एक तरफ अपने बंधन भागीदारों को याद कर रहे हैं, इसलिए उनके कक्षों में पड़ोसी परमाणुओं के कक्षों के साथ कम अतिव्यापी है। क्रिस्टल बनाने वाले परमाणुओं के ऊर्जा स्तरों का विभाजन और स्थानांतरण इसलिए सतह पर थोक की तुलना में छोटा होता है। यदि कोई विशेष कक्षीय रासायनिक बंधन के लिए जिम्मेदार है, जैसे। सी या जीई में एसपी3 संकर, यह सतह की उपस्थिति से दृढ़ता से प्रभावित होता है, बंधन टूट जाते हैं, और कक्षीय के शेष खंड सतह से बाहर निकल जाते हैं। इन्हें झूलते हुए बंधन कहा जाता है। ऐसे राज्यों के ऊर्जा स्तरों के थोक मूल्यों से महत्वपूर्ण रूप से बदलने की उम्मीद है। शॉकली अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के विपरीत, टैम अवस्थाएं संक्रमण धातुओं और विस्तृत-बैंडगैप अर्धचालकों का भी वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं। साफ और सुव्यवस्थित सतहों से उत्पन्न होने वाली बाह्य सतह अवस्थाओं को आमतौर पर आंतरिक कहा जाता है। इन अवस्थाओं में पुनर्निर्मित सतहों से उत्पन्न होने वाली अवस्थाएं शामिल हैं, जहां दो-आयामी अनुवादात्मक समरूपता सतह के k स्थान में बैंड संरचना को जन्म देती है। बाह्य सतह अवस्थाओं को आमतौर पर ऐसी अवस्थाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक स्वच्छ और सुव्यवस्थित सतह से उत्पन्न नहीं होती हैं। बाहरी श्रेणी में फिट होने वाली सतहें हैंः दोषों वाली सतहें, जहां सतह की अनुवादात्मक समरूपता टूट जाती है। अधिशोषित सतहों के साथ दो सामग्रियों के बीच अंतरफलक, जैसे कि अर्धचालक-ऑक्साइड या अर्धचालक-धातु अंतरफलक ठोस और तरल चरणों के बीच अंतरफलक। आम तौर पर, बाहरी सतह की अवस्थाओं को उनके रासायनिक, भौतिक या संरचनात्मक गुणों के संदर्भ में आसानी से चिह्नित नहीं किया जा सकता है। प्रायोगिक अवलोकन कोण हल किए गए प्रकाश उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी सतह की अवस्थाओं के फैलाव को मापने के लिए एक प्रयोगात्मक तकनीक कोण हल किए गए प्रकाश उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी (एआरपीईएस) या कोण हल किए गए पराबैंगनी फोटोइलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रोस्कोपी (एआरयूपीएस) है। स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोपी सतह की स्थिति के फैलाव को स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप का उपयोग करके मापा जा सकता है; इन प्रयोगों में, सतह की स्थिति के घनत्व में आवधिक परिवर्तन, जो सतह की अशुद्धियों या कदम के किनारों के प्रकीर्णन से उत्पन्न होते हैं, को दिए गए पूर्वाग्रह वोल्टेज पर एसटीएम टिप द्वारा मापा जाता है। सतह अवस्था इलेक्ट्रॉनों का तरंगवाहक बनाम पूर्वाग्रह (ऊर्जा) प्रभावी द्रव्यमान और सतह अवस्था प्रारंभ ऊर्जा के साथ एक मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल के लिए उपयुक्त हो सकता है। हाल ही में एक नया सिद्धांत एक स्वाभाविक रूप से सरल लेकिन मौलिक प्रश्न यह है कि लंबाई के एक आयामी क्रिस्टल में बैंड अंतराल में कितनी सतह स्थितियां हैं (क्या संभावित अवधि है, और क्या एक सकारात्मक पूर्णांक है)? फॉलर द्वारा पहली बार 1933 में प्रस्तावित एक अच्छी तरह से स्वीकृत अवधारणा, फिर सेट्ज़ की क्लासिक पुस्तक में लिखी गई है कि "एक सीमित एक-आयामी क्रिस्टल में सतह की अवस्थाएँ जोड़े में होती हैं, एक अवस्था क्रिस्टल के प्रत्येक छोर से जुड़ी होती है"। इस तरह की अवधारणा पर तब से लगभग एक सदी तक कभी संदेह नहीं किया गया था, जैसा कि उदाहरण के लिए, में दिखाया गया है। हालांकि, हाल ही में की गई एक नई जांच पूरी तरह से अलग जवाब देती है। जाँच आवधिक विभेदक समीकरणों के गणितीय सिद्धांत के आधार पर सीमित आकार के आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाओं को समझने की कोशिश करती है। यह सिद्धांत सतह की अवस्थाओं सहित उन इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाओं की कुछ मौलिक नई समझ प्रदान करता है। इस सिद्धांत में पाया गया कि दो छोरों वाले एक आयामी परिमित क्रिस्टल में हमेशा एक और केवल एक ही अवस्था होती है जिसकी ऊर्जा और गुण इस पर निर्भर करते हैं लेकिन प्रत्येक बैंड अंतराल के लिए नहीं। यह अवस्था या तो एक बैंड-एज अवस्था है या बैंड अंतराल में एक सतह अवस्था है (देखें, एक आयामी जाली में कण, एक बॉक्स में कण)। संख्यात्मक गणनाओं ने ऐसे निष्कर्षों की पुष्टि की है। इसके अलावा, इन व्यवहारों को विभिन्न एक-आयामी प्रणालियों में देखा गया है, जैसे कि इन। इसलिएः एक सतह अवस्था का मौलिक गुण यह है कि इसका अस्तित्व और गुण आवधिक कटाई के स्थान पर निर्भर करते हैं। जाली की आवधिक क्षमता के काटने से बैंड अंतराल में सतह की स्थिति हो सकती है या नहीं भी हो सकती है। दो सिरों के साथ सीमित लंबाई के एक आदर्श एक-आयामी क्रिस्टल में, प्रत्येक बैंड अंतराल में एक छोर पर केवल एक सतह अवस्था हो सकती है। बहु-आयामी मामलों तक विस्तारित आगे की जांच में पाया गया कि एक आदर्श सरल त्रि-आयामी परिमित क्रिस्टल में शीर्ष जैसी, किनारे जैसी, सतह जैसी और थोक जैसी स्थितियां हो सकती हैं। एक सतह की स्थिति हमेशा एक बैंड अंतराल में होती है जो केवल एक आयामी मामलों के लिए मान्य होती है। संदर्भ सामग्री विज्ञान इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना अर्धचालक संरचनाएँ