Kloosterman sum
गणित में, एक क्लूस्टरमैन योग एक विशेष प्रकार का घातीय योग है। इनका नाम डच गणितशास्त्री हेंड्रिक क्लूस्टरमैन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1926 में उन्हें पेश किया जब उन्होंने पांच या अधिक चर के विपरीत चार में सकारात्मक निश्चित विकर्ण द्विघात रूपों से जुड़ी समस्या से निपटने के लिए हार्डी-लिटिलवुड वृत्त विधि को अनुकूलित किया, जिसे उन्होंने 1924 में अपने शोध प्रबंध में संबोधित किया था। मान लीजिए कि वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं। फिर यहाँ x * मॉड्यूलो का व्युत्क्रम है। क्लूस्टरमैन योग बेसल कार्यों का एक परिमित रिंग एनालॉग है। वे (उदाहरण के लिए) मॉड्यूलर रूपों के फूरियर विस्तार में होते हैं। रीमान जीटा फलन, अल्प अंतराल में अभाज्य संख्याएँ, अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याएँ, स्वचालित कार्यों का वर्णक्रमीय सिद्धांत और संबंधित विषयों से जुड़े मानों का अर्थ निकालने के लिए अनुप्रयोग हैं। क्लूस्टरमैन के गुण अगर या फिर क्लूस्टरमैन राशि रामानुजन राशि तक कम हो जाती है। यह केवल अवशेष वर्ग और मॉड्यूलो पर निर्भर करता है। इसके अलावा और अगर। लेट्स विद एंड कोप्राइम। चुनें और ऐसा वह और। फिर यह क्लूस्टरमैन के मूल्यांकन को उस मामले में कम कर देता है जहां एक अभाज्य संख्या और एक पूर्णांक के लिए। का मान हमेशा एक बीजगणितीय वास्तविक संख्या होती है। वास्तव में उपक्षेत्र का एक तत्व है जो उन क्षेत्रों का संयोजन है जहां सभी विषम अभाज्य संख्याओं की सीमा होती है जैसे कि और के साथ। सेलबर्ग पहचानः एटल सेलबर्ग द्वारा कहा गया था और पहली बार कुज़नेत्सोव द्वारा मॉड्यूलर रूपों के वर्णक्रमीय सिद्धांत का उपयोग करके साबित किया गया था। आजकल इस पहचान के प्राथमिक प्रमाण ज्ञात हैं। एक विषम अभाज्य के लिए, कोई ज्ञात सरल सूत्र नहीं हैं, और साटो-टेट अनुमान से पता चलता है कि कोई भी मौजूद नहीं है। हालाँकि, नीचे दिए गए उठाने के सूत्र अक्सर एक स्पष्ट मूल्यांकन के रूप में अच्छे होते हैं। यदि एक महत्वपूर्ण परिवर्तन भी हैः जहां जैकोबी प्रतीक को दर्शाता है। प्राइम के साथ लें और मान लें। फिरः कहाँ चुना जाता है ताकि इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जा सके (ध्यान दें कि यह विषम है): यह सूत्र पहली बार हंस सैली द्वारा पाया गया था और साहित्य में कई सरल प्रमाण हैं। अनुमान क्योंकि क्लूस्टरमैन राशि मॉड्यूलर रूपों के फूरियर विस्तार में होती है, इसलिए क्लूस्टरमैन के लिए अनुमान मॉड्यूलर रूपों के फूरियर गुणांक के लिए भी उपज अनुमानों को जोड़ता है। सबसे प्रसिद्ध अनुमान आंद्रे वेल के कारण है और कहता हैः यहाँ के सकारात्मक भाजकों की संख्या है। क्लूस्टरमैन योग के गुणक गुणों के कारण इन अनुमानों को उस मामले में कम किया जा सकता है जहां एक अभाज्य संख्या है। वेइल की एक मौलिक तकनीक स्थानीय जीटा-कार्यों पर अपने परिणामों के लिए अनुमान को कम कर देती है जब ab § 0 होता है। ज्यामितीय रूप से योग को एक 'हाइपरबोला' XY = ab के साथ लिया जाता है और हम इसे तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर एक बीजगणितीय वक्र को परिभाषित करने के रूप में मानते हैं। इस वक्र में एक विस्तृत आर्टिन-श्रेयर आवरण है, और वेइल ने दिखाया कि स्थानीय जीटा-फ़ंक्शन का एक गुणनखंडन है; यह वैश्विक क्षेत्रों के मामले के लिए आर्टिन एल-फ़ंक्शन सिद्धांत है जो फ़ंक्शन क्षेत्र हैं, जिसके लिए वेइल संदर्भ के रूप में जे. वेइसिंगर का 1938 का एक पेपर देता है (अगले वर्ष उन्होंने विचार के लिए पहले संदर्भ के रूप में 1935 का एक पेपर दिया; वेइल की विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतकारों की क्षमताओं पर अपमानजनक टिप्पणी को देखते हुए इस उदाहरण को स्वयं काम करने के लिए, अपने संग्रहित पत्रों में, ये विचार संभवतः काफी लंबे समय तक चलने वाले 'लोककथा' थे)। गैर-ध्रुवीय कारक प्रकार के होते हैं, जहाँ एक क्लूस्टरमैन योग होता है। अनुमान तब वेइल के 1940 के मूल कार्य से मिलता है। यह तकनीक वास्तव में बहुत अधिक आम तौर पर दिखाती है कि पूर्ण घातीय योग 'के साथ' बीजगणितीय किस्मों के अच्छे अनुमान हैं, जो आयाम> 1 में वेल अनुमानों पर निर्भर करता है। इसे पियरे डेलीग्ने, जेरार्ड लॉमन और निकोलस काट्ज़ द्वारा बहुत आगे बढ़ाया गया है। लघु क्लूस्टरमैन योग को उस रूप के त्रिकोणमितीय योग के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां संख्याओं के एक समूह के माध्यम से चलता है, सहमौलिक से, तत्वों की संख्या जिसमें अनिवार्य रूप से कम है, और प्रतीक अनुरूपता वर्ग को दर्शाता है, जो मॉड्यूलो के विपरीत हैः 1990 के दशक की शुरुआत तक, इस प्रकार के योग के लिए अनुमान मुख्य रूप से उस मामले में ज्ञात थे जहां योग की संख्या उससे अधिक थी। इस तरह के अनुमान एच. डी. क्लूस्टरमैन, आई. एम. विनोग्रादोव, एच. सैली, एल. कार्लिट्ज़, एस. उचियामा और ए. वेल के कारण थे। केवल अपवाद रूप के विशेष मॉड्यूल थे, जहाँ एक निश्चित अभाज्य होता है और घातांक अनंत तक बढ़ जाता है (इस मामले का अध्ययन ए. जी. पोस्टनिकोव द्वारा इवान मैटवेविच विनोग्रादोव की विधि के माध्यम से किया गया था)। 1990 के दशक में अनातोली अलेक्सीविच करात्सुबा ने छोटी क्लूस्टरमैन राशि का अनुमान लगाने की एक नई विधि विकसित की। करात्सुबा की विधि क्लूस्टरमैन के योग का अनुमान लगाना संभव बनाती है, योगों की संख्या जिसमें अधिक नहीं है, और कुछ मामलों में यह भी कि एक मनमाने ढंग से छोटी निश्चित संख्या है। इस विषय पर ए. ए. करत्सुबा का अंतिम लेख उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित हुआ था। कारात्सुबा की विधि के विभिन्न पहलुओं ने विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की निम्नलिखित समस्याओं को हल करने में अनुप्रयोग पाएः जहां एक के बाद एक, पूर्णांकों के माध्यम से, स्थिति को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों के माध्यम से चलता है, और उन अभाज्य संख्याओं के माध्यम से चलता है जो मॉड्यूल को विभाजित नहीं करते हैं (A.A.Karatsuba); रूप की असमानताओं के समाधान की संख्या के लिए निचली सीमा खोजनाः पूर्णांक में, सहमौलिक से, (A. A. करात्सुबा); रूप के आंशिक भागों द्वारा खंड में एक मनमाने वास्तविक संख्या के सन्निकटन की सटीकताः जहां (A. A. करात्सुबा); ब्रून-टिचमार्श प्रमेय में एक अधिक सटीक स्थिरांकः जहां है (डी। आर. हीथ-ब्राउन); यह साबित करते हुए कि रूप के असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैंः (जे. फ्रीडलैंडर, एच. इवानिक); संख्याओं के समूह के संयोजन गुण (A.A.Glibichuk): क्लूस्टरमैन योग का उत्थान हालांकि क्लूस्टरमैन योग की गणना सामान्य रूप से नहीं की जा सकती है, उन्हें बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों में "उठाया" जा सकता है, जो अक्सर अधिक सुविधाजनक सूत्र प्रदान करते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास किसी भी अभाज्य गुणनखंड के लिए एक वर्ग मुक्त पूर्णांक है तो सभी पूर्णांकों के लिए a, b सह-अभाज्य गुणनखंड गणना के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। दाहिनी ओर के योग को क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांकों के योग के रूप में पुनः व्याख्या की जा सकती है यह सूत्र डॉन ज़ागियर से प्रेरित यांगबो ये के कारण है और इसके लिए सापेक्ष ट्रेस सूत्र पर हर्वे जैक्वेट और ये के काम का विस्तार करता है। वास्तव में, बहुत अधिक सामान्य घातीय राशियों को उठाया जा सकता है। कुजनेत्सोव अनुरेखण सूत्र कुजनेत्सोव या सापेक्ष अनुरेखण सूत्र क्लूस्टरमैन योग को ऑटोमोर्फिक रूपों के वर्णक्रमीय सिद्धांत के साथ एक गहरे स्तर पर जोड़ता है। मूल रूप से इसे इस प्रकार कहा जा सकता था। माना कि यह पर्याप्त रूप से "अच्छा व्यवहार" करने वाला कार्य है। फिर निम्नलिखित प्रकार के कुज़नेत्सोव अनुरेखण सूत्र की पहचान की जाती हैः समाकल परिवर्तन भाग g का कुछ समाकल परिवर्तन है और वर्णक्रमीय भाग फूरियर गुणांक का एक योग है, जिसे होलोमोर्फिक और गैर-होलोमोर्फिक मॉड्यूलर रूपों के रिक्त स्थान पर लिया जाता है, जो g के कुछ समाकल परिवर्तन के साथ मुड़ जाता है। कुज़नेत्सोव अनुरेखण सूत्र को कुज़नेत्सोव द्वारा वजन शून्य ऑटोमोर्फिक कार्यों के विकास का अध्ययन करते हुए पाया गया था। क्लूस्टरमैन राशियों पर अनुमानों का उपयोग करते हुए वे ऐसे मामलों में मॉड्यूलर रूपों के फूरियर गुणांकों के लिए अनुमान प्राप्त करने में सक्षम थे जहां पियरे डेलीग्ने का वेइल अनुमानों का प्रमाण लागू नहीं था। बाद में इसका अनुवाद जैक्वेट द्वारा एक प्रतिनिधित्व सैद्धांतिक ढांचे में किया गया। मान लीजिए कि एक संख्या क्षेत्र F पर एक अपवर्तक समूह हो और एक उपसमूह हो। जबकि सामान्य ट्रेस सूत्र जी पर हार्मोनिक विश्लेषण का अध्ययन करता है, सापेक्ष ट्रेस सूत्र सममित स्थान पर हार्मोनिक विश्लेषण का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण है। एक अवलोकन और कई अनुप्रयोगों के लिए संदर्भ देखें। वेइल के अनुमान का अध्ययन अब डब्ल्यू. एम. श्मिट, परिमित क्षेत्रों पर समीकरणः एक प्राथमिक दृष्टिकोण, द्वितीय संस्करण में किया जा सकता है। (केंड्रिक प्रेस, 2004)। यहाँ अंतर्निहित विचार एस. स्टेपानोव के कारण हैं और डायोफैंटाइन सन्निकटन में एक्सेल थ्यू के काम से प्रेरणा लेते हैं। क्लूस्टरमैन योग और मॉड्यूलर रूपों के बीच कई संबंध हैं। वास्तव में यह राशि पहली बार (नाम को घटाकर) 1912 में हेनरी पॉइनकेयर के एक शोध पत्र में मॉड्यूलर रूपों पर दिखाई दी थी। हंस सालिये ने क्लूस्टरमैन राशि का एक रूप पेश किया जिसे डिरिचलेट चरित्र द्वारा मोड़ दिया जाता हैः इस तरह के सालिये राशि का एक प्राथमिक मूल्यांकन होता है। 1979 में कुज़नेत्सोव द्वारा गैर-होलोमोर्फिक मॉड्यूलर रूपों के साथ क्लूस्टरमैन योग को जोड़ने वाले महत्वपूर्ण सूत्रों की खोज के बाद, जिसमें वर्गमूल अनुमान पर कुछ 'औसतन बचत' शामिल थी, इनवेंशन्स मैथेमेटिका (1982) में एक मौलिक पेपर में इवानिक और डेशौइलर्स द्वारा आगे के विकास हुए। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के बाद के अनुप्रयोगों पर कई लेखकों, विशेष रूप से बॉम्बीरी, फौवरी, फ्रीडलैंडर और इवानिक द्वारा काम किया गया था। यह क्षेत्र कुछ हद तक दुर्गम बना हुआ है। कुजनेत्सोव सूत्र को समझने के लिए आवश्यक वर्णक्रमीय सिद्धांत का एक विस्तृत परिचय आर. सी. बेकर, क्लूस्टरमैन सम और मास फॉर्म, वॉल्यूम में दिया गया है। आई (केंड्रिक प्रेस, 2003)। इस क्षेत्र में रुचि रखने वाले छात्रों और शोधकर्ताओं के लिए भी प्रासंगिक है। यितांग झांग ने अभाज्य संख्याओं के बीच सीमित अंतराल के अपने प्रमाण में क्लूस्टरमैन योग का उपयोग किया। हास्स के बाध्य नोट्स संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत