Peetre theorem
गणित में, (रैखिक) पीतर प्रमेय, जिसका नाम जाक पीतर के नाम पर रखा गया है, कार्यात्मक विश्लेषण का एक परिणाम है जो सामान्यीकृत कार्य स्थानों पर उनके प्रभाव के संदर्भ में विभेदक प्रचालक का एक लक्षण वर्णन देता है, और स्पष्ट शब्दों में विभेदन का उल्लेख किए बिना। पीतर प्रमेय एक परिमित क्रम प्रमेय का एक उदाहरण है जिसमें एक फलन या एक फंक्टर, जिसे बहुत सामान्य तरीके से परिभाषित किया गया है, वास्तव में कुछ बाहरी स्थिति या समरूपता के कारण एक बहुपद के रूप में दिखाया जा सकता है। यह लेख पीतर प्रमेय के दो रूपों का वर्णन करता है। पहला मूल संस्करण है, जो हालांकि अपने आप में काफी उपयोगी है, लेकिन वास्तव में अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए बहुत सामान्य है। मूल पीटर प्रमेय मान लीजिए कि एम एक चिकना मैनीफोल्ड है और ई और एफ को एम पर दो वेक्टर बंडल होने दें। मान लीजिए कि ई और एफ के चिकने खंडों के रिक्त स्थान हैं। एक प्रचालक आवरणों का एक आकृतिवाद है जो ऐसे खंडों पर रैखिक है कि डी का समर्थन नहीं बढ़ रहा हैः मान लीजिए कि डी एस मान लीजिए कि ई के प्रत्येक चिकने खंड एस के लिए है। मूल पीटर प्रमेय का दावा है कि, एम में प्रत्येक बिंदु पी के लिए, पी का एक पड़ोस यू और एक पूर्णांक के (यू पर निर्भर) है जैसे कि डी यू पर क्रम के का एक अंतर प्रचालक है। इसका मतलब है कि डी कारक एक रैखिक मानचित्रण आईडी के माध्यम से ई के वर्गों के के-जेट से एफ के चिकने वर्गों के स्थान मेंः जहां के-जेट ऑपरेटर है और वेक्टर बंडलों का एक रैखिक मानचित्रण है। सबूत समस्या स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए यह साबित करने के लिए पर्याप्त है जब एम आरएन में एक खुला सेट है और ई और एफ तुच्छ बंडल हैं। इस बिंदु पर, यह मुख्य रूप से दो लेम्मा पर निर्भर करता हैः लेम्मा 1। यदि प्रमेय की परिकल्पनाएँ संतुष्ट हैं, तो प्रत्येक x ωM और C> 0 के लिए, x का एक पड़ोस V और एक सकारात्मक पूर्णांक k मौजूद है जैसे कि किसी भी y ωV\ {x} के लिए और E के किसी भी खंड s के लिए जिसका k-जेट y (jks (y) = 0) पर गायब हो जाता है, हमारे पास |Ds (y)। <C है। लेम्मा 2. प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पहला सिद्धांत पर्याप्त है। हम लेम्मा 1 के प्रमाण से शुरू करते हैं। मान लीजिए कि लेम्मा गलत है। फिर एक अनुक्रम xk है जो x की ओर झुकता है, और xk के चारों ओर बहुत अलग-अलग गेंदों Bk का एक क्रम है (जिसका अर्थ है कि ऐसी किसी भी दो गेंदों के बीच की भूगणितीय दूरी गैर-शून्य है), और प्रत्येक Bk पर E के खंड इस तरह से हैं कि jksk (xk) = 0 लेकिन |Dsk (xk)। मान लीजिए कि ρ (x) मूल पर इकाई गेंद के लिए एक मानक टक्कर फलन को दर्शाता हैः एक चिकना वास्तविक-मूल्यवान फलन जो B1/2 (0) पर 1 के बराबर है, जो इकाई गेंद की सीमा पर अनंत क्रम में गायब हो जाता है। प्रत्येक अन्य खंड एस2के पर विचार करें। x2k पर, ये j2ks2k (x2k) = 0 को संतुष्ट करते हैं। मान लीजिए कि 2k दिया गया है। फिर, चूंकि ये फ़ंक्शन चिकने होते हैं और प्रत्येक संतुष्ट करते हैं j2k (s2k) (x2k) = 0, इसलिए एक छोटी गेंद B′ δ (x2k) को इस तरह निर्दिष्ट करना संभव है कि उच्च क्रम के व्युत्पन्न निम्नलिखित अनुमान का पालन करते हैंः जहां अब B′ δ (x2k) में समर्थित एक मानक टक्कर फ़ंक्शन है, और उत्पाद s2kρ2k का व्युत्पन्न इस तरह से बंधा हुआ है कि परिणामस्वरूप, क्योंकि निम्नलिखित श्रृंखला और इसके व्युत्पन्न के सभी आंशिक योग समान रूप से अभिसरण करते हैं q (y) सभी V पर एक चिकना फ़ंक्शन है। अब हम देखते हैं कि चूंकि s2k और 2ks2k x2k के पड़ोस में बराबर हैं, इसलिए निरंतरता से <ID दूसरी ओर, क्योंकि Dq (x2k + 1) = 0 क्योंकि q B2k + 1 में समान रूप से शून्य है और D समर्थन गैर-वृद्धि है। अतः Dq (x) = 0 है। यह एक विरोधाभास है। अब हम लेम्मा 2 को साबित करते हैं। सबसे पहले, आइए हम पहले लेम्मा से स्थिरांक C को हटा दें। हम दिखाते हैं कि, लेम्मा 1 के समान परिकल्पनाओं के तहत, |Ds (y)। = 0। V में एक y चुनें ताकि jks (y) = 0 लेकिन |Ds (y)। = g> 0 हो। 2C/g के कारक द्वारा s को पुनः प्राप्त करें। फिर यदि g गैर-शून्य है, तो D की रैखिकता से, |Ds (y)। = 2C> C, जो लेम्मा 1 द्वारा असंभव है। यह पंक्चर पड़ोस V\ {x} में प्रमेय को साबित करता है। अब, हमें विभेदक प्रचालक को पंचर पड़ोस में केंद्रीय बिंदु x तक जारी रखना चाहिए। डी चिकनी गुणांक वाला एक रैखिक विभेदक प्रचालक है। इसके अलावा, यह x पर भी सुचारू कार्यों के कीटाणुओं को सुचारू कार्यों के कीटाणु भेजता है। इस प्रकार डी के गुणांक भी x पर चिकने होते हैं। एक विशेष अनुप्रयोग मान लीजिए कि एम एक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड (संभवतः सीमा के साथ) है, और ई और एफ एम पर परिमित आयामी वेक्टर बंडल हैं। मान लीजिए कि ई के स्मूथ सेक्शन का संग्रह है। एक ऑपरेटर एक स्मूथ फंक्शन (फ्रेचेट मैनिफोल्ड का) है जो फाइबर पर रैखिक है और एम पर आधार बिंदु का सम्मान करता हैः पीटर प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक ऑपरेटर डी के लिए, एक पूर्णांक के मौजूद है जैसे कि डी ऑर्डर के एक अंतर ऑपरेटर है। विशेष रूप से, हम विघटित कर सकते हैं जहां ई के वर्गों के जेट से बंडल एफ तक एक मानचित्रण है। आंतरिक अंतर ऑपरेटर भी देखें। उदाहरण-लाप्लासियन निम्नलिखित प्रचालक पर विचार कीजिएः त्रिज्या के साथ गोल कहाँ और कहाँ केंद्रित है। यह वास्तव में लाप्लेशियन है। हम दिखाएंगे कि पीटर्स थ्योरम द्वारा एक डिफरेंशियल ऑपरेटर है। मुख्य विचार यह है कि चूंकि इसे केवल निकट के व्यवहार के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह प्रकृति में स्थानीय है; विशेष रूप से, यदि स्थानीय रूप से शून्य है, तो ऐसा ही है, और इसलिए समर्थन नहीं बढ़ सकता है। तकनीकी प्रमाण इस प्रकार है। आइए और रैंक के तुच्छ बंडल बनें। फिर और बस सुचारू कार्यों का स्थान है। एक आवरण के रूप में, खुले समूह पर चिकने कार्यों का समूह है और प्रतिबंध कार्य प्रतिबंध है। देखने के लिए वास्तव में एक रूपात्मकता है, हमें खुले सेट और इस तरह की जांच करने की आवश्यकता है। यह स्पष्ट है क्योंकि, दोनों के लिए और सरल हैं, क्योंकि अंततः दोनों के भीतर और वैसे भी बैठता है। यह जांचना आसान है कि क्या रैखिक हैः और अंत में, हम इस अर्थ में जाँच करते हैं कि क्या स्थानीय है। यदि, तो ऐसा कि त्रिज्या की गेंद में केंद्रित है। इस प्रकार, के लिए, के लिए और इसलिए। इसलिए,। तो पीट्रे के प्रमेय के अनुसार, एक विभेदक प्रचालक है। संदर्भ पीटर, जे., यूने कैरेक्टेरिजेशन एब्स्ट्राइट डेस ऑपरेटर्स डिफरेंटियल्स, मैथ। स्कैंड। 7 (1959), 211-218। पीट्रे, जे., रेक्टिफिकेशन ए एल आर्टिकल यूने कैरेक्टेरिजेशन एब्स्ट्राइट डेस ऑपरेटर्स डिफरेंटियल्स, मैथ। स्कैंड। 8 (1960), 116-120। टेर्न्ग, सी. एल., प्राकृतिक वेक्टर बंडल और प्राकृतिक विभेदक प्रचालक, एम। जे. गणित। 100 (1978), 775-828। प्रमाण वाले लेख विभेदक प्रचालक कार्यात्मक विश्लेषण में प्रमेय