Moduli scheme
गणित में, एक मॉडुली योजना एक मॉडुली स्थान है जो अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक द्वारा विकसित योजनाओं की श्रेणी में मौजूद है। बीजगणितीय ज्यामिति की कुछ महत्वपूर्ण मॉडुली समस्याओं को केवल योजना सिद्धांत के माध्यम से संतोषजनक रूप से हल किया जा सकता है, जबकि अन्य को 'ज्यामितीय वस्तु' अवधारणा (बीजगणितीय रिक्त स्थान, माइकल आर्टिन के बीजगणितीय ढेर) के कुछ विस्तार की आवश्यकता होती है। ग्रोथेन्डिक और डेविड ममफोर्ड के इतिहास कार्य (ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत देखें) ने 1960 के दशक की शुरुआत में इस क्षेत्र को खोला। मॉडुली समस्याओं के लिए अधिक बीजगणितीय और अमूर्त दृष्टिकोण उन्हें एक प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर प्रश्न के रूप में स्थापित करना है, फिर एक मानदंड लागू करें जो योजनाओं के लिए प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टरों को अलग करता है। जब यह प्रोग्रामेटिक दृष्टिकोण काम करता है, तो परिणाम एक बढ़िया मॉड्यूली योजना होती है। अधिक ज्यामितीय विचारों के प्रभाव में, एक ऐसी योजना खोजना पर्याप्त है जो सही ज्यामितीय बिंदु देती है। यह शास्त्रीय विचार की तरह है कि मॉडुली समस्या एक समूह के साथ स्वाभाविक रूप से आने वाली बीजगणितीय संरचना को व्यक्त करना है (दीर्घवृत्ताकार वक्रों के समरूपता वर्गों के बारे में कहें)। परिणाम तब एक मोटे मॉडुली योजना है। मोटे तौर पर, इसके परिष्करण की कमी यह है कि यह वस्तुओं के परिवारों के लिए गारंटी नहीं देता है कि ठीक मॉडुली योजना में क्या निहित है। जैसा कि ममफोर्ड ने अपनी पुस्तक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत में बताया है, कोई भी अच्छा संस्करण चाहते हैं, लेकिन एक तकनीकी समस्या (स्तर संरचना और अन्य 'निशान') है जिसे इस तरह के उत्तर के अवसर के साथ एक प्रश्न प्राप्त करने के लिए संबोधित किया जाना चाहिए। तेरूहिसा मात्सुसाका ने एक परिणाम साबित किया, जिसे अब मात्सुसाका के बड़े प्रमेय के रूप में जाना जाता है, एक मोटे मॉडुली योजना के अस्तित्व के लिए एक मॉडुली समस्या पर एक आवश्यक शर्त स्थापित की। ममफोर्ड के उदाहरणों ने साबित किया कि यदि जी> 1 है, तो जीनस जी के चिकने वक्रों की एक मोटे मॉड्यूली योजना मौजूद है, जो अर्ध-प्रोजेक्टिव है। जानोस कोल्लर द्वारा हाल ही में किए गए एक सर्वेक्षण के अनुसार, इसमें "एक समृद्ध और दिलचस्प आंतरिक ज्यामिति है जो गणित और सैद्धांतिक भौतिकी की कई शाखाओं में प्रमुख प्रश्नों से संबंधित है।" ब्राउनगार्ड ने यह सवाल उठाया है कि क्या बेली के प्रमेय को बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र पर उच्च आयाम की किस्मों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, इस सूत्रीकरण के साथ कि वे आम तौर पर वक्रों के एक मॉड्यूली स्थान के एक परिमित एटेल आवरण के लिए द्विवार्षिक हैं। स्थिर वेक्टर बंडल की धारणा का उपयोग करते हुए, किसी भी चिकनी जटिल किस्म पर वेक्टर बंडलों के लिए मोटे मॉड्यूली योजनाओं को मौजूद दिखाया गया है, और अर्ध-प्रोजेक्टिव होने के लिएः कथन अर्धस्थायित्व की अवधारणा का उपयोग करता है। गणितीय भौतिकी में, कुछ मामलों में, शंकु की शास्त्रीय ज्यामिति में वस्तुओं के साथ विशेष इंस्टैंटन बंडलों के मोटे मॉड्यूली स्थान की पहचान करना संभव है। संदर्भ टिप्पणियाँ मॉडुली सिद्धांत प्रतिनिधित्व योग्य कारक