Plücker formula
गणित में, जूलियस प्लकर के नाम पर एक प्लकर सूत्र, 1830 के दशक में प्लकर द्वारा पहली बार विकसित किए गए सूत्र के एक परिवार में से एक है, जो बीजगणितीय वक्रों के कुछ संख्यात्मक अपरिवर्तकों को उनके दोहरे वक्रों के अनुरूप अपरिवर्तकों से संबंधित करता है। वंश नामक अपरिवर्तनीय, जो वक्र और उसके दोहरे दोनों के लिए सामान्य है, समान सूत्रों द्वारा अन्य अपरिवर्तनीयों से जुड़ा हुआ है। ये सूत्र, और यह तथ्य कि प्रत्येक अपरिवर्तनीय को एक सकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए, उनके संभावित मूल्यों पर काफी सख्त सीमाएँ रखते हैं। प्लकर अपरिवर्तनीय और मूल समीकरण इस संदर्भ में एक वक्र को जटिल प्रोजेक्टिव तल में एक गैर-अपक्षयी बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस तल में रेखाएँ दोहरे प्रोजेक्टिव तल में बिंदुओं के अनुरूप होती हैं और दी गई बीजगणितीय वक्र सी के लिए स्पर्शरेखा रेखाएँ एक बीजगणितीय वक्र सी * में बिंदुओं के अनुरूप होती हैं जिसे दोहरी वक्र कहा जाता है। प्रक्षेप्य तल और उसके दोहरे के बीच पत्राचार में, सी पर बिंदु स्पर्शरेखा सी * रेखाओं के अनुरूप होते हैं, इसलिए सी * के दोहरे को सी के साथ पहचाना जा सकता है। प्लकर सूत्रों द्वारा कवर किए गए पहले दो अपरिवर्तनीय वक्र सी की डिग्री डी और डिग्री डी * हैं, जिन्हें शास्त्रीय रूप से सी का वर्ग कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, डी एक दी गई रेखा सी को ठीक से गिने गए गुणकों के साथ प्रतिच्छेद करने की संख्या है। (इसमें अनंत पर जटिल बिंदु और बिंदु शामिल हैं क्योंकि वक्रों को जटिल प्रक्षेपात्मक तल के उपसमुच्चय के रूप में लिया जाता है।) इसी तरह, डी * सी के लिए स्पर्शरेखाओं की संख्या है जो तल पर दिए गए बिंदु के माध्यम से रेखाएँ हैं; इसलिए उदाहरण के लिए एक शंकु खंड में डिग्री और वर्ग दोनों 2 हैं। यदि सी में कोई विलक्षणता नहीं है, तो पहला प्लकर समीकरण बताता है कि लेकिन इसे एकवचन वक्रों के लिए सही किया जाना चाहिए। C के दोहरे बिंदुओं में से, मान लीजिए कि δ वह संख्या है जो साधारण है, अर्थात। जिनके अलग-अलग स्पर्शरेखाएँ होती हैं (इन्हें नोड्स भी कहा जाता है) या अलग-अलग बिंदु होते हैं, और मान लीजिए कि κ वह संख्या है जो cusps हैं, अर्थात। एक एकल स्पर्शरेखा (स्पिनोड) होना। यदि सी में उच्च क्रम की विलक्षणताएँ हैं तो इन्हें विलक्षणता की प्रकृति के विश्लेषण के अनुसार कई दोहरे बिंदुओं के रूप में गिना जाता है। उदाहरण के लिए एक साधारण तिहरा बिंदु को 3 दोहरे बिंदु के रूप में गिना जाता है। फिर से, इन गणनाओं में अनंत पर जटिल बिंदु और बिंदु शामिल किए गए हैं। ठीक किया गया रूप पहले प्लकर समीकरण का है इसी तरह, मान लीजिए कि δ * साधारण दोहरे बिंदुओं की संख्या है, और κ * C * के cusps की संख्या है। फिर दूसरा प्लकर समीकरण बताता है कि सी * के एक साधारण दोहरे बिंदु की ज्यामितीय व्याख्या एक ऐसी रेखा है जो दो बिंदुओं (दोहरे स्पर्शरेखा) पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा है और सी * के शिखर की ज्यामितीय व्याख्या एक विक्षेपण बिंदु (स्थिर स्पर्शरेखा) है। उदाहरण के लिए, एक चिकने घन के मामले पर विचार करेंः उपरोक्त सूत्र से पता चलता है कि इसमें अपवर्तन हैं। यदि घन विकृत हो जाता है और एक दोहरा बिंदु प्राप्त करता है, तो 6 बिंदु एकवचन बिंदु पर अभिसरण करते हैं और एकवचन वक्र के साथ केवल 3 विक्षेपण रहते हैं। यदि घन विकृत हो जाता है और एक पुच्छ प्राप्त करता है तो केवल एक विक्षेपण रहता है। ध्यान दें कि पहले दो प्लकर समीकरणों के दोहरे संस्करण हैंः अब तक दिए गए चार समीकरण वास्तव में निर्भर हैं, इसलिए शेष एक को प्राप्त करने के लिए किसी भी तीन का उपयोग किया जा सकता है। उनमें से, छह अपरिवर्तनीयों में से किसी भी तीन को देखते हुए, d, d *, δ, δ *, κ, κ *, शेष तीन की गणना की जा सकती है। अंत में, सी के वंश, जिसे शास्त्रीय रूप से सी की कमी के रूप में जाना जाता है, को परिभाषित किया जा सकता है कि यह दोहरी मात्रा के बराबर है और एक सकारात्मक पूर्णांक है। कुल मिलाकर 7 अज्ञात में चार स्वतंत्र समीकरण हैं, और उनके साथ इनमें से किसी भी तीन अपरिवर्तकों का उपयोग शेष चार की गणना करने के लिए किया जा सकता है। गैर-एकल वक्र एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब वक्र C गैर-एकल होता है, या समकक्ष रूप से δ और κ 0 होते हैं, इसलिए शेष अपरिवर्तकों की गणना केवल d के संदर्भ में की जा सकती है। इस मामले में परिणाम हैंः तो, उदाहरण के लिए, एक गैर-एकल चतुर्थक समतल वक्र जीनस 3 का है और इसमें 28 बिटैंजेंट और 24 विक्षेपण बिंदु हैं। वक्र प्रकार वक्रों को उनके प्लकर अपरिवर्तनीय के अनुसार प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है। प्लकर समीकरण इस प्रतिबंध के साथ कि प्लकर अपरिवर्तनीय सभी प्राकृतिक संख्याएँ होनी चाहिए, किसी दिए गए डिग्री के वक्रों के लिए संभावित प्रकारों की संख्या को बहुत सीमित करते हैं। जो वक्र प्रोजेक्टिव रूप से समतुल्य होते हैं, उनमें समान प्रकार होते हैं, हालांकि समान प्रकार के वक्र सामान्य रूप से प्रोजेक्टिव रूप से समतुल्य नहीं होते हैं। डिग्री 2, शंकु वर्गों के वक्रों में एक ही प्रकार होता है जो d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0 द्वारा दिया जाता है। डिग्री 3 के वक्रों के लिए तीन संभावित प्रकार हैं, जिनके द्वारा दिए गए हैंः प्रकार (ii) और (iii) के वक्र परिमेय घन हैं और इन्हें क्रमशः नोडल और कस्पिडल कहा जाता है। प्रकार (i) के वक्र गैर-कोणीय घन (अण्डाकार वक्र) हैं। डिग्री 4 के वक्रों के लिए 10 संभावित प्रकार हैं, जिनके द्वारा दिए गए हैंः संदर्भ सैल्मन, जॉर्ज (1879) ए ट्रीटीज ऑन द हायर प्लेन कर्व्स पीपी. 64एफएफ। बीजगणितीय वक्र