Hilbert modular variety
गणित में, एक हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह या हिल्बर्ट-ब्लुमेंथल सतह एक बीजगणितीय सतह है जो एक हिल्बर्ट मॉड्यूलर समूह द्वारा ऊपरी अर्ध-तल की दो प्रतियों के उत्पाद का भागफल लेकर प्राप्त की जाती है। अधिक आम तौर पर, एक हिल्बर्ट मॉड्यूलर विविधता एक बीजगणितीय विविधता है जो एक हिल्बर्ट मॉड्यूलर समूह द्वारा ऊपरी अर्ध-तल की कई प्रतियों के उत्पाद का भागफल लेकर प्राप्त की जाती है। हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतहों का वर्णन पहली बार लगभग 10 साल पहले डेविड हिल्बर्ट द्वारा लिखे गए कुछ अप्रकाशित टिप्पणियों का उपयोग करके किया गया था। परिभाषाएँ यदि आर एक वास्तविक द्विघात क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय है, तो हिल्बर्ट मॉड्यूलर समूह एस. एल. 2 (आर) ऊपरी आधे तल एच की दो प्रतियों के उत्पाद एच × एच पर कार्य करता है। इस क्रिया से संबंधित कई द्विआधारी समतुल्य सतह हैं, जिनमें से किसी को भी हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह कहा जा सकता हैः सतह एक्स एस. एल. 2 (आर) द्वारा एच × एच का भागफल है; यह सघन नहीं है और आमतौर पर इसमें गैर-तुच्छ समस्थानिक समूहों वाले बिंदुओं से आने वाली भागफल विलक्षणताएँ होती हैं। सतह एक्स * को एक्स से क्रिया के कस्प्स के अनुरूप सीमित संख्या में बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह सघन है, और इसमें न केवल एक्स की भागफल विलक्षणताएँ हैं, बल्कि इसके कस्प्स में विलक्षणताएँ भी हैं। सतह Y को X * से एकलताओं को न्यूनतम तरीके से हल करके प्राप्त किया जाता है। यह एक सघन चिकनी बीजगणितीय सतह है, लेकिन सामान्य रूप से न्यूनतम नहीं है। Y से सतह Y0 कुछ असाधारण-1-वक्रों को नीचे उड़ाकर प्राप्त की जाती है। यह चिकना और सघन होता है, और अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) न्यूनतम होता है। इस संरचना में कई भिन्नताएँ हैंः हिल्बर्ट मॉड्यूलर समूह को परिमित सूचकांक के कुछ उपसमूह द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जैसे कि एक अनुरूपता उपसमूह। गैलोइस क्रिया के माध्यम से हिल्बर्ट मॉड्यूलर समूह पर कार्य करते हुए, और ऊपरी आधे तल की दो प्रतियों का आदान-प्रदान करते हुए, कोई भी हिल्बर्ट मॉड्यूलर समूह को क्रम 2 के समूह द्वारा विस्तारित कर सकता है। एकलताओं ने दिखाया कि भागफल एकलताओं को कैसे हल किया जाए, और दिखाया कि उनकी पुच्छ एकलताओं को कैसे हल किया जाए। सतहों का वर्गीकरण पेपर, और बीजगणितीय सतहों के वर्गीकरण में उनके प्रकार की पहचान की। उनमें से अधिकांश सामान्य प्रकार की सतह हैं, लेकिन कई तर्कसंगत सतह हैं या के3 सतहों या अण्डाकार सतहों को उड़ा देती हैं। उदाहरणों से उदाहरणों की एक लंबी तालिका मिलती है। क्लेब्श सतह अपने 10 एकार्ड बिंदु पर उड़ती हुई एक हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह है। एक वर्गात्मक क्षेत्र विस्तार से संबद्ध एक वर्गात्मक क्षेत्र विस्तार के लिए एक संबंधित हिल्बर्ट मॉड्यूलर विविधता है जो एक निश्चित भागफल विविधता को संकुचित करने और इसकी विलक्षणताओं को हल करने से प्राप्त होती है। आइए ऊपरी आधे तल को निरूपित करें और जहां गैलोइस संयुग्म हैं, वहां से कार्य करें। संबंधित भागफल किस्म को निरूपित किया जाता है और इसे एक किस्म में संकुचित किया जा सकता है, जिसे कस्प्स कहा जाता है, जो आदर्श वर्गों के साथ द्विभाजन में होते हैं। इसकी विलक्षणताओं को हल करने से क्षेत्र विस्तार की हिल्बर्ट मॉड्यूलर विविधता नामक विविधता मिलती है। बेली-बोरेल संकुचन प्रमेय से, इस सतह को एक प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड किया गया है। हिल्बर्ट मॉड्यूलर रूप पिकार्ड मॉड्यूलर सतह सीगल मॉड्यूलर विविधता संदर्भ बाहरी लिंक बीजगणितीय सतह जटिल सतह