Euler method
गणित और कम्प्यूटेशनल विज्ञान में, यूलर विधि (जिसे फॉरवर्ड यूलर विधि भी कहा जाता है) एक दिए गए प्रारंभिक मूल्य के साथ साधारण विभेदक समीकरणों (ओडीई) को हल करने के लिए एक प्रथम-क्रम संख्यात्मक प्रक्रिया है। यह साधारण विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण के लिए सबसे बुनियादी स्पष्ट विधि है और सबसे सरल रुंग-कुट्टा विधि है। यूलर विधि का नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार अपनी पुस्तक इंस्टीट्यूशनम कैलकुली इंटीग्रेलिस (प्रकाशित 1768-1770) में इसका प्रस्ताव रखा था। यूलर विधि एक प्रथम क्रम विधि है, जिसका अर्थ है कि स्थानीय त्रुटि (प्रति चरण त्रुटि) चरण आकार के वर्ग के समानुपाती है, और वैश्विक त्रुटि (किसी दिए गए समय में त्रुटि) चरण आकार के समानुपाती है। यूलर विधि अक्सर अधिक जटिल विधियों के निर्माण के लिए आधार के रूप में कार्य करती है, उदाहरण के लिए, भविष्यवक्ता-सुधारक विधि। ज्यामितीय विवरण उद्देश्य और यह क्यों काम करता है एक अज्ञात वक्र के आकार की गणना करने की समस्या पर विचार करें जो एक दिए गए बिंदु पर शुरू होता है और एक दिए गए अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है। यहाँ, एक विभेदक समीकरण को एक सूत्र के रूप में सोचा जा सकता है जिसके द्वारा वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान की गणना वक्र पर किसी भी बिंदु पर की जा सकती है, एक बार उस बिंदु की स्थिति की गणना की जा चुकी है। विचार यह है कि जबकि वक्र शुरू में अज्ञात है, इसका प्रारंभिक बिंदु, जिसे हम दर्शाते हैं, ज्ञात है (चित्र 1 देखें)। फिर, विभेदक समीकरण से, वक्र पर ढलान की गणना की जा सकती है, और इसलिए, स्पर्शरेखा रेखा। उस स्पर्शरेखा रेखा के साथ एक बिंदु तक एक छोटा कदम उठाएँ इस छोटे से कदम के साथ, ढलान बहुत अधिक नहीं बदलता है, इसलिए वक्र के करीब होगा। यदि हम यह दिखावा करते हैं कि यह अभी भी वक्र पर है, तो उपरोक्त बिंदु के लिए उसी तर्क का उपयोग किया जा सकता है। कई चरणों के बाद, एक बहुभुज वक्र () की गणना की जाती है। सामान्य तौर पर, यह वक्र मूल अज्ञात वक्र से बहुत दूर नहीं जाता है, और दो वक्रों के बीच की त्रुटि को छोटा किया जा सकता है यदि चरण का आकार काफी छोटा है और गणना का अंतराल सीमित है। प्रथम-क्रम प्रक्रिया जब और के लिए मान दिए जाते हैं, और का व्युत्पन्न एक दिया गया कार्य है और के रूप में दर्शाया जाता है। सेटिंग करके प्रक्रिया शुरू करें। इसके बाद, टी-अक्ष के साथ प्रत्येक चरण के आकार के लिए एक मान चुनें, और सेट (या समकक्ष) करें। अब, यूलर विधि का उपयोग और से पता लगाने के लिए किया जाता हैः का मान समय पर समाधान का एक अनुमान है, अर्थात। यूलर विधि स्पष्ट है, अर्थात। समाधान के लिए एक स्पष्ट कार्य है। उच्च-क्रम प्रक्रिया जबकि यूलर विधि प्रथम-क्रम ओडीई को एकीकृत करती है, किसी भी क्रम के ओडीई को प्रथम-क्रम ओडीई की प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है। जब परिभाषित क्रम का ODE दिया जाता है और साथ ही, और, हम निम्नलिखित सूत्र को तब तक लागू करते हैं जब तक कि हम वांछित समय पर ODE के समाधान के सन्निकटन तक नहीं पहुंच जाते हैंः इन प्रथम-क्रम प्रणालियों को यूलर की विधि या वास्तव में, प्रथम-क्रम प्रणालियों के लिए किसी अन्य योजना द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है। प्रथम-क्रम उदाहरण प्रारंभिक मूल्य समस्या को देखते हुए हम अनुमानित करने के लिए यूलर विधि का उपयोग करना चाहेंगे। 1 () के बराबर चरण आकार का उपयोग करना यूलर विधि है इसलिए पहले हमें गणना करनी चाहिए। इस सरल विभेदक समीकरण में, फलन को परिभाषित किया गया है। उपरोक्त चरण को करने से, हमने उस रेखा का ढलान पाया है जो बिंदु पर समाधान वक्र के लिए स्पर्शरेखा है। याद रखें कि ढलान को या में परिवर्तन से विभाजित परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है। अगला कदम उपरोक्त मान को चरण आकार से गुणा करना है, जिसे हम यहां एक के बराबर लेते हैंः चूंकि चरण आकार में परिवर्तन होता है, जब हम चरण आकार और स्पर्शरेखा के ढलान को गुणा करते हैं, तो हमें मूल्य में परिवर्तन मिलता है। फिर इस मान को प्रारंभिक मूल्य में जोड़ा जाता है ताकि गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले अगले मूल्य को प्राप्त किया जा सके। और खोजने के लिए उपरोक्त चरणों को दोहराया जाना चाहिए। इस एल्गोरिथ्म की पुनरावृत्ति प्रकृति के कारण, त्रुटियाँ करने से बचने के लिए, जैसा कि नीचे देखा गया है, एक चार्ट के रूप में गणनाओं को व्यवस्थित करना सहायक हो सकता है। {। वर्ग = "विकिटेबल"।-! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ।-।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। विभेदक समीकरण का सटीक समाधान है, तो। यद्यपि इस विशिष्ट मामले में यूलर विधि का सन्निकटन बहुत सटीक नहीं था, विशेष रूप से एक बड़े मूल्य वाले चरण के आकार के कारण, इसका व्यवहार गुणात्मक रूप से सही है जैसा कि चित्र से पता चलता है। अन्य चरण आकारों का उपयोग करना जैसा कि परिचय में सुझाया गया है, यदि चरण आकार छोटा है तो यूलर विधि अधिक सटीक है। नीचे दी गई तालिका विभिन्न चरण आकारों के साथ परिणाम दिखाती है। शीर्ष पंक्ति पिछले खंड के उदाहरण से मेल खाती है, और दूसरी पंक्ति को चित्र में चित्रित किया गया है। {। वर्ग = "विकिटेबल"।-! कदम का आकार! ! यूलर की विधि का परिणाम! ! त्रुटि।-।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। तालिका के निचले भाग में, चरण आकार पिछली पंक्ति में चरण आकार का आधा है, और त्रुटि भी पिछली पंक्ति में त्रुटि का लगभग आधा है। इससे पता चलता है कि त्रुटि लगभग चरण आकार के समानुपाती है, कम से कम चरण आकार के काफी छोटे मूल्यों के लिए। यह सामान्य रूप से सच है, अन्य समीकरणों के लिए भी; अधिक विवरण के लिए खंड ग्लोबल ट्रंकेशन एरर देखें। अन्य विधियाँ, जैसे कि मध्यबिन्दु विधि भी आकृतियों में सचित्र है, अधिक अनुकूल व्यवहार करती हैः मध्यबिन्दु विधि की वैश्विक त्रुटि लगभग चरण आकार के वर्ग के समानुपाती होती है। इस कारण से, यूलर विधि को प्रथम क्रम विधि कहा जाता है, जबकि मध्य बिंदु विधि द्वितीय क्रम है। हम उपरोक्त तालिका से अनुमान लगा सकते हैं कि तीन दशमलव स्थानों के लिए सही उत्तर प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरण आकार लगभग 0.00001 है, जिसका अर्थ है कि हमें 400,000 चरणों की आवश्यकता है। इस बड़ी संख्या में कदमों के लिए उच्च कम्प्यूटेशनल लागत आती है। इस कारण से, उच्च-क्रम विधियों का उपयोग किया जाता है जैसे कि रुंग-कुट्टा विधियाँ या रैखिक बहु-चरण विधियाँ, विशेष रूप से यदि उच्च सटीकता वांछित है। इस तीसरे क्रम के उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि निम्नलिखित जानकारी दी गई हैः इससे हम समीकरण प्राप्त करने के लिए 'y' को अलग कर सकते हैंः इसका उपयोग करके हम समाधान प्राप्त कर सकते हैंः और समाधान का उपयोग करके, हम समाधान प्राप्त कर सकते हैंः हम इस प्रक्रिया को उसी सूत्र का उपयोग करके जारी रख सकते हैं जब तक कि जो भी वांछित हो उसे खोजने के लिए आवश्यक हो। व्युत्पत्ति यूलर विधि को कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है। (1) सबसे पहले, ऊपर ज्यामितीय विवरण है। (2) एक अन्य संभावना यह है कि चारों ओर फलन के टेलर विस्तार पर विचार किया जाएः अवकल समीकरण बताता है कि। यदि इसे टेलर विस्तार में प्रतिस्थापित किया जाता है और द्विघात और उच्च क्रम के शब्दों को नजरअंदाज कर दिया जाता है, तो यूलर विधि उत्पन्न होती है। टेलर विस्तार का उपयोग यूलर विधि द्वारा की गई त्रुटि का विश्लेषण करने के लिए नीचे किया गया है, और इसे रुंग-कुट्टा विधियों का उत्पादन करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। (3) एक निकट से संबंधित व्युत्पत्ति अवकल समीकरण में, व्युत्पन्न के लिए अग्र परिमित अंतर सूत्र को प्रतिस्थापित करना है। पुनः, इससे यूलर विधि प्राप्त होती है। इसी तरह की गणना मध्य बिंदु विधि और पिछड़े यूलर विधि की ओर ले जाती है। (4) अंत में, कोई भी विभेदक समीकरण को एकीकृत कर सकता है और प्राप्त करने के लिए कलन के मौलिक प्रमेय को लागू कर सकता हैः अब बाएं हाथ के आयत विधि (केवल एक आयत के साथ) द्वारा समाकलन का अनुमान लगाएंः दोनों समीकरणों को मिलाकर, एक बार फिर यूलर विधि मिलती है। विचार की इस रेखा को विभिन्न रैखिक बहु-चरणीय विधियों तक पहुंचने के लिए जारी रखा जा सकता है। स्थानीय छंटाई त्रुटि यूलर विधि की स्थानीय छंटाई त्रुटि एक ही चरण में की गई त्रुटि है। यह एक चरण के बाद संख्यात्मक समाधान और समय पर सटीक समाधान के बीच का अंतर है। सटीक समाधान के लिए, हम ऊपर दिए गए व्युत्पत्ति खंड में उल्लिखित टेलर विस्तार का उपयोग करते हैंः यूलर विधि द्वारा शुरू की गई स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि (एल. टी. ई.) इन समीकरणों के बीच के अंतर से दी जाती हैः यह परिणाम मान्य है यदि एक सीमित तीसरा व्युत्पन्न है। इससे पता चलता है कि छोटे के लिए, स्थानीय छंटाई त्रुटि लगभग समानुपाती है। यह यूलर विधि को रुंग-कुट्टा विधियों और रैखिक बहु-चरण विधियों जैसी उच्च-क्रम तकनीकों की तुलना में कम सटीक बनाता है, जिसके लिए स्थानीय छंटाई त्रुटि चरण आकार की उच्च शक्ति के समानुपाती होती है। स्थानीय छंटाई त्रुटि के लिए थोड़ा अलग सूत्रीकरण टेलर के प्रमेय में शेष पद के लिए लैग्रेंज रूप का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। यदि एक निरंतर दूसरा व्युत्पन्न है, तो एक ऐसा मौजूद है कि त्रुटि के लिए उपरोक्त अभिव्यक्तियों में, अज्ञात सटीक समाधान के दूसरे व्युत्पन्न को अंतर समीकरण के दाहिने हाथ वाले पक्ष को शामिल करने वाली अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। वास्तव में, यह इस समीकरण से मिलता है कि वैश्विक छंटाई त्रुटि वैश्विक छंटाई त्रुटि एक निश्चित समय पर त्रुटि है, हालांकि प्रारंभिक समय से उस समय तक पहुंचने के लिए विधि को कई कदम उठाने की आवश्यकता होती है। वैश्विक छंटाई त्रुटि प्रत्येक चरण में की गई स्थानीय छंटाई त्रुटियों का संचयी प्रभाव है। चरणों की संख्या आसानी से निर्धारित की जाती है, जो आनुपातिक है, और प्रत्येक चरण में की गई त्रुटि आनुपातिक है (पिछला खंड देखें)। इस प्रकार, यह उम्मीद की जानी चाहिए कि वैश्विक छंटाई त्रुटि इसके समानुपाती होगी। इस सहज ज्ञान युक्त तर्क को सटीक बनाया जा सकता है। यदि समाधान में एक बाध्य दूसरा व्युत्पन्न है और अपने दूसरे तर्क में लिप्सिट्ज़ निरंतर है, तो वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि (के रूप में निरूपित) दी गई अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न पर एक ऊपरी सीमा है और जहाँ का लिप्सिट्ज़ स्थिरांक है। या अधिक सरलता से, जब, मान (जैसे कि एक स्थिरांक के रूप में माना जाता है)। इसके विपरीत, जहाँ फलन सटीक समाधान है जिसमें केवल चर होता है। इस सीमा का सटीक रूप बहुत कम व्यावहारिक महत्व का है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में सीमा यूलर विधि द्वारा की गई वास्तविक त्रुटि का बहुत अधिक अनुमान लगाती है। महत्वपूर्ण बात यह है कि यह दर्शाता है कि वैश्विक छंटाई त्रुटि (लगभग) आनुपातिक है। इस कारण से, यूलर विधि को प्रथम क्रम कहा जाता है। उदाहरण यदि हमारे पास विभेदक समीकरण है, और सटीक समाधान है, और हमें क्या खोजना है और कब खोजना है। इस प्रकार हम t = 2.5 और h = 0.5 पर बाध्य त्रुटि पा सकते हैंः ध्यान दें कि t0,2 के बराबर है क्योंकि यह t के लिए निचली सीमा है। संख्यात्मक स्थिरता यूलर विधि संख्यात्मक रूप से भी अस्थिर हो सकती है, विशेष रूप से कठोर समीकरणों के लिए, जिसका अर्थ है कि संख्यात्मक समाधान उन समीकरणों के लिए बहुत बड़ा होता है जहां सटीक समाधान नहीं होता है। इसे रैखिक समीकरण का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है सटीक समाधान है, जो शून्य के रूप में क्षय होता है। हालाँकि, यदि यूलर विधि को चरण आकार के साथ इस समीकरण पर लागू किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान गुणात्मक रूप से गलत हैः यह दोलन करता है और बढ़ता है (चित्र देखें)। अस्थिर होने का यही अर्थ है। उदाहरण के लिए, यदि एक छोटे चरण आकार का उपयोग किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान शून्य हो जाता है। यदि यूलर विधि को रैखिक समीकरण पर लागू किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान अस्थिर होता है यदि उत्पाद दाईं ओर चित्रित क्षेत्र के बाहर है। इस क्षेत्र को (रैखिक) स्थिरता क्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण में, यदि तब जो स्थिरता क्षेत्र से बाहर है, और इस प्रकार संख्यात्मक समाधान अस्थिर है। यह सीमा-त्रुटि के साथ इसके धीमे अभिसरण के साथ-इसका मतलब है कि यूलर विधि का अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है, सिवाय संख्यात्मक एकीकरण के एक सरल उदाहरण के। यूलर विधि के चरण में, गोल त्रुटि मोटे तौर पर उस परिमाण की होती है जहाँ मशीन एप्सिलॉन है। यह मानते हुए कि गोल करने की त्रुटियाँ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, अपेक्षित कुल गोल करने की त्रुटि आनुपातिक है। इस प्रकार, चरण आकार के अत्यंत छोटे मूल्यों के लिए छंटाई त्रुटि छोटी होगी लेकिन गोल त्रुटि का प्रभाव बड़ा हो सकता है। यदि यूलर विधि के सूत्र में क्षतिपूर्ति योग का उपयोग किया जाता है तो गोल त्रुटि के अधिकांश प्रभाव से आसानी से बचा जा सकता है। संशोधन और विस्तार यूलर विधि का एक सरल संशोधन जो ऊपर उल्लिखित स्थिरता समस्याओं को समाप्त करता है, वह है बैकवर्ड यूलर विधिः यह (मानक, या आगे) यूलर विधि से अलग है जिसमें कार्य का मूल्यांकन प्रारंभिक बिंदु के बजाय चरण के अंतिम बिंदु पर किया जाता है। बैकवर्ड यूलर विधि एक अंतर्निहित विधि है, जिसका अर्थ है कि बैकवर्ड यूलर विधि का सूत्र दोनों तरफ है, इसलिए बैकवर्ड यूलर विधि को लागू करते समय हमें एक समीकरण हल करना होगा। इससे कार्यान्वयन अधिक महंगा हो जाता है। यूलर विधि के अन्य संशोधन जो स्थिरता में मदद करते हैं, वे घातीय यूलर विधि या अर्ध-निहित यूलर विधि प्राप्त करते हैं। अधिक जटिल विधियाँ उच्च क्रम (और अधिक सटीकता) प्राप्त कर सकती हैं। एक संभावना अधिक कार्य मूल्यांकन का उपयोग करना है। यह मध्यबिन्दु विधि द्वारा सचित्र है जिसका उल्लेख इस लेख में पहले ही किया जा चुका हैः यह रुंगे-कुट्टा विधियों के परिवार की ओर ले जाता है। दूसरी संभावना अधिक पिछले मूल्यों का उपयोग करना है, जैसा कि दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि द्वारा सचित्र हैः यह रैखिक बहु-चरणीय विधियों के परिवार की ओर ले जाता है। अन्य संशोधन हैं जो स्मृति के उपयोग को कम करने के लिए संपीड़ित संवेदन से तकनीकों का उपयोग करते हैं लोकप्रिय संस्कृति में फिल्म हिडन फिगर्स में, कैथरीन गोबल ने पृथ्वी की कक्षा से अंतरिक्ष यात्री जॉन ग्लेन के पुनः प्रवेश की गणना में यूलर विधि का सहारा लिया। क्रैंक-निकोल्सन विधि भी देखें ग्रेडिएंट डिसेंट इसी तरह सीमित चरणों का उपयोग करता है, यहाँ फंक्शंस की मिनीमा खोजने के लिए रुंग-कुट्टा विधियों की सूची रैखिक बहु-चरण विधि संख्यात्मक एकीकरण (निश्चित समाकलन की गणना के लिए) सामान्य विभेदक समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ नोट्स संदर्भ बाहरी लिंक यूलर विधि कार्यान्वयन विभिन्न भाषाओं में रोसेटा कोड द्वारा संख्यात्मक विभेदक समीकरण रुंग-कुट्टा विधियाँ प्रथम क्रम विधियाँ लियोनहार्ड यूलर लेख उदाहरण के साथ आर कोड लेख उदाहरण के साथ मैटलैब/ऑक्टेव कोड