Generic point
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजगणितीय विविधता X का एक सामान्य बिंदु P एक सामान्य स्थिति में एक बिंदु है, जिस पर सभी सामान्य गुण सही हैं, एक सामान्य गुण एक ऐसा गुण है जो लगभग हर बिंदु के लिए सही है। शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में, आयाम डी की एक अफाइन या प्रोजेक्टिव बीजगणितीय विविधता का एक सामान्य बिंदु ऐसा बिंदु है कि इसके निर्देशांकों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र में विविधता के समीकरणों के गुणांकों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर अधिगमन डिग्री डी होती है। योजना सिद्धांत में, एक अभिन्न क्षेत्र के वर्णक्रम में एक अद्वितीय सामान्य बिंदु होता है, जो शून्य आदर्श है। चूंकि ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए इस बिंदु का समापन संपूर्ण स्पेक्ट्रम है, इसलिए परिभाषा को सामान्य टोपोलॉजी तक बढ़ा दिया गया है, जहां एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक सामान्य बिंदु एक ऐसा बिंदु है जिसका समापन X है। परिभाषा और प्रेरणा टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक सामान्य बिंदु एक बिंदु P है जिसका समापन सभी X का होता है, यानी एक बिंदु जो X में घना होता है। एक बीजगणितीय समुच्चय की उप-विविधताओं के समुच्चय पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी के मामले से शब्दावली उत्पन्न होती हैः बीजगणितीय समुच्चय अपरिवर्तनीय है (यानी, यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है) यदि और केवल तभी जब उप-विविधताओं के टोपोलॉजिकल स्थान में एक सामान्य बिंदु हो। उदाहरण एकमात्र हौसडॉर्फ स्थान जिसमें एक सामान्य बिंदु है, वह है सिंगलटन सेट। किसी भी समाकलन योजना में एक (अद्वितीय) सामान्य बिंदु होता है; एक समाकलन समाकलन योजना (यानी, एक समाकलन क्षेत्र का अभाज्य वर्णक्रम) के मामले में सामान्य बिंदु अभाज्य आदर्श (0) से जुड़ा बिंदु होता है। इतिहास आंद्रे वेल के मूलभूत दृष्टिकोण में, जो उनके बीजगणितीय ज्यामिति की नींव में विकसित किया गया था, सामान्य बिंदुओं ने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, लेकिन उन्हें एक अलग तरीके से संभाला गया। एक क्षेत्र K पर एक बीजगणितीय किस्म V के लिए, V के सामान्य बिंदु V के बिंदुओं का एक पूरा वर्ग थे जो एक सार्वभौमिक क्षेत्र ω में मान लेते थे, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जिसमें K होता है लेकिन साथ ही नए अनिश्चितों की एक अनंत आपूर्ति भी होती है। इस दृष्टिकोण ने काम किया, वी (के-ज़ारिस्की टोपोलॉजी, यानी) की टोपोलॉजी से सीधे निपटने की आवश्यकता के बिना, क्योंकि सभी विशेषज्ञताओं पर क्षेत्र स्तर पर चर्चा की जा सकती थी (जैसा कि बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मूल्यांकन सिद्धांत दृष्टिकोण में, जो 1930 के दशक में लोकप्रिय था)। यह समान रूप से सामान्य बिंदुओं का एक विशाल संग्रह होने की कीमत पर था। द्वितीय विश्व युद्ध के ठीक बाद साओ पाउलो में वेइल के एक सहयोगी ऑस्कर ज़ारिस्की ने हमेशा इस बात पर जोर दिया कि सामान्य बिंदु अद्वितीय होने चाहिए। (इसे स्थलविज्ञानी के शब्दों में वापस रखा जा सकता हैः वेइल का विचार कोल्मोगोरोव को जगह देने में विफल रहता है और ज़ारिस्की कोल्मोगोरोव भागफल के संदर्भ में सोचते हैं।) 1950 के दशक के तेजी से मूलभूत परिवर्तनों में वेल का दृष्टिकोण अप्रचलित हो गया। योजना सिद्धांत में, हालांकि, 1957 से, सामान्य बिंदु लौट आएः इस बार ए ला ज़ारिस्की। उदाहरण के लिए आर के लिए एक असतत मूल्यांकन रिंग, विशिष्टता (आर) में दो बिंदु होते हैं, एक सामान्य बिंदु (अभाज्य आदर्श {0} से आता है) और एक बंद बिंदु या विशिष्ट अधिकतम आदर्श से आने वाला विशेष बिंदु। आकृति विज्ञान से लेकर विशिष्टता (आर) तक के लिए, विशेष बिंदु के ऊपर फाइबर विशेष फाइबर है, जो एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, उदाहरण के लिए रिडक्शन मॉड्यूलो पी, मोनोड्रोमी सिद्धांत और अपक्षय के बारे में अन्य सिद्धांतों में। समान रूप से, जेनेरिक फाइबर, जेनेरिक बिंदु से ऊपर का फाइबर है। अपक्षय की ज्यामिति काफी हद तक सामान्य से विशेष तंतुओं तक के मार्ग के बारे में है, या दूसरे शब्दों में मापदंडों की विशेषज्ञता मामलों को कैसे प्रभावित करती है। (एक असतत मूल्यांकन चक्र के लिए विचाराधीन स्थलवैज्ञानिक स्थान स्थलविज्ञानी का सिएरपिंस्की स्थान है। अन्य स्थानीय रिंगों में अद्वितीय सामान्य और विशेष बिंदु होते हैं, लेकिन एक अधिक जटिल स्पेक्ट्रम होता है, क्योंकि वे सामान्य आयामों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन उद्देश्यों के लिए असतत मूल्यांकन का मामला काफी हद तक जटिल इकाई डिस्क की तरह है)। संदर्भ बीजगणितीय ज्यामिति सामान्य स्थलविज्ञान