Sum of normally distributed random variables
संभाव्यता सिद्धांत में, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग की गणना यादृच्छिक चर के अंकगणित का एक उदाहरण है। इसे सामान्य वितरण के योग के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो एक मिश्रण वितरण बनाता है। मान लीजिए कि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जो सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं (और इसलिए संयुक्त रूप से भी), तो उनका योग भी सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। अर्थात, यदि तब इसका अर्थ है कि दो स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चरों का योग सामान्य है, जिसका माध्य दो साधनों का योग है, और इसका विचलन दो विचलनों का योग है (अर्थात, मानक विचलन का वर्ग मानक विचलनों के वर्गों का योग है)। इस परिणाम को बनाए रखने के लिए, यह धारणा कि X और Y स्वतंत्र हैं, को हटाया नहीं जा सकता है, हालांकि इसे इस धारणा के लिए कमजोर किया जा सकता है कि X और Y अलग-अलग, सामान्य रूप से वितरित होने के बजाय संयुक्त रूप से हैं। (एक उदाहरण के लिए यहाँ देखें।) माध्य के बारे में परिणाम सभी मामलों में लागू होता है, जबकि विचलन के परिणाम के लिए असंबद्धता की आवश्यकता होती है, लेकिन स्वतंत्रता की नहीं। विशेषता कार्यों का उपयोग करते हुए प्रमाण दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के योग का विशेषता कार्य केवल दो अलग-अलग विशेषता कार्यों का उत्पाद हैः X और Y का। तो यह अपेक्षित मूल्य और भिन्नता के साथ सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य है अंत में, याद रखें कि किसी भी दो अलग-अलग वितरणों में समान विशेषता कार्य नहीं हो सकता है, इसलिए X + Y का वितरण केवल यही सामान्य वितरण होना चाहिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के लिए, Z = X + Y का वितरण fZ, fX और fY के अभिसरण के बराबर हैः यह देखते हुए कि fX और fY सामान्य घनत्व हैं, अभिसरण में प्रतिस्थापित करते हुएः वर्ग को परिभाषित करना और पूरा करनाः समाकलन में अभिव्यक्ति x पर एक सामान्य घनत्व वितरण है, और इसलिए समाकलन 1 का मूल्यांकन करता है। वांछित परिणाम इस प्रकार हैः अभिसरण प्रमेय का उपयोग करते हुए यह दिखाया जा सकता है कि एक गौसी का फूरियर रूपांतरण, अभिसरण प्रमेय द्वारा हैः ज्यामितीय प्रमाण पहले सामान्यीकृत मामले पर विचार करें जब X, Y ~ N (0,1), ताकि उनके पीडीएफ हों और मान लीजिए कि Z = X + Y। फिर Z के लिए CDF होगा यह समाकलन अर्ध-तल पर है जो x + y = z रेखा के नीचे स्थित है। मुख्य अवलोकन यह है कि फलन रेडियल रूप से सममित है। इसलिए हम मूल के बारे में निर्देशांक तल को घुमाते हैं, नए निर्देशांक चुनते हैं जैसे कि रेखा x + y = z को समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जहां ज्यामितीय रूप से निर्धारित किया जाता है। रेडियल समरूपता के कारण, हमारे पास है, और Z के लिए CDF है यह एकीकृत करना आसान है; हम पाते हैं कि Z के लिए CDF है मान निर्धारित करने के लिए, ध्यान दें कि हमने तल को घुमाया ताकि रेखा x + y = z अब c के बराबर x-अवरोधन के साथ ऊर्ध्वाधर रूप से चले। तो दूरी है, और Z के लिए CDF है, यानी, अब, यदि a, b कोई वास्तविक स्थिरांक हैं (दोनों शून्य नहीं) तो संभावना जो ऊपर के समान समाकलन द्वारा पाई जाती है, लेकिन सीमा रेखा के साथ। वही घूर्णन विधि काम करती है, और इस अधिक सामान्य मामले में हम पाते हैं कि मूल रेखा पर निकटतम बिंदु एक (हस्ताक्षरित) दूरी पर स्थित है, ताकि उच्च आयामों में वही तर्क दर्शाता है कि यदि तब हम अनिवार्य रूप से कर रहे हैं, क्योंकि तो सामान्य रूप से, यदि फिर सहसंबद्ध यादृच्छिक चर इस घटना में कि चर X और Y संयुक्त रूप से यादृच्छिक चर वितरित किए जाते हैं, तो X + Y अभी भी सामान्य रूप से वितरित किया जाता है (बहुभिन्न सामान्य वितरण देखें) और माध्य साधनों का योग है। हालाँकि, सहसंबंध के कारण भिन्नताएँ योगात्मक नहीं हैं। वास्तव में, जहाँ ρ सहसंबंध है। विशेष रूप से, जब भी ρ <0 होता है, तो विचरण X और Y के विचरणों के योग से कम होता है। इस परिणाम के विस्तार को सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग करके दो से अधिक यादृच्छिक चर के लिए बनाया जा सकता है। सबूत इस मामले में (एक्स और वाई के शून्य साधन होने के साथ), किसी को विचार करने की आवश्यकता है जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई प्रतिस्थापन करता है यह समाकलन विश्लेषणात्मक रूप से सरल बनाने के लिए अधिक जटिल है, लेकिन एक प्रतीकात्मक गणित कार्यक्रम का उपयोग करके आसानी से किया जा सकता है। प्रायिकता वितरण fZ (z) इस मामले में दिया जाता है जहाँ यदि कोई इसके बजाय Z = X − Y पर विचार करता है, तो वह प्राप्त करता है जिसे मानक सामान्य वितरण की तुलना में प्रत्येक वितरण के मानक विचलन स्पष्ट हैं। संदर्भ भी देखें अनिश्चितता का प्रसार यादृच्छिक चरों का बीजगणित स्थिर वितरण मानक त्रुटि (सांख्यिकी) उत्पाद वितरण अनुपात स्लैश वितरण संभाव्यता वितरणों के संघनन की सूची सामान्य वितरण