Diversity index
एक विविधता सूचकांक एक मात्रात्मक माप है जो दर्शाता है कि एक डेटासेट (एक समुदाय) में कितने विभिन्न प्रकार (जैसे प्रजातियां) हैं, और जो एक साथ उन प्रकारों के बीच वितरित व्यक्तियों के बीच जातिजनित संबंधों को ध्यान में रख सकता है, जैसे कि समृद्धि, विचलन या समानता। ये सूचकांक विभिन्न पहलुओं (समृद्धि, समानता और प्रभुत्व) में जैव विविधता के सांख्यिकीय प्रतिनिधित्व हैं। प्रजातियों या पहाड़ी संख्याओं की प्रभावी संख्या जब पारिस्थितिकी में विविधता सूचकांकों का उपयोग किया जाता है, तो रुचि के प्रकार आमतौर पर प्रजातियां होती हैं, लेकिन वे अन्य श्रेणियां भी हो सकती हैं, जैसे कि वंश, परिवार, कार्यात्मक प्रकार या हैप्लोटाइप। रुचि की इकाइयाँ आमतौर पर अलग-अलग पौधे या जानवर होते हैं, और प्रचुरता का माप, उदाहरण के लिए, व्यक्तियों की संख्या, बायोमास या कवरेज हो सकता है। जनसांख्यिकी में, रुचि की इकाइयाँ लोग हो सकती हैं, और रुचि के प्रकार विभिन्न जनसांख्यिकीय समूह हो सकते हैं। सूचना विज्ञान में, अस्तित्व वर्ण और वर्णमाला के विभिन्न अक्षरों के प्रकार हो सकते हैं। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले विविधता सूचकांक प्रकारों की प्रभावी संख्या के सरल परिवर्तन हैं (जिन्हें 'वास्तविक विविधता' के रूप में भी जाना जाता है), लेकिन प्रत्येक विविधता सूचकांक को किसी वास्तविक घटना के अनुरूप माप के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है (लेकिन प्रत्येक विविधता सूचकांक के लिए एक अलग)। कई सूचकांक केवल विषयों या संस्थाओं के बीच स्पष्ट विविधता के लिए जिम्मेदार हैं। हालाँकि, ऐसे सूचकांक कुल भिन्नता (विविधता) के लिए जिम्मेदार नहीं हैं जो विषयों या संस्थाओं के बीच आयोजित किए जा सकते हैं जो केवल तब होते हैं जब श्रेणीबद्ध और गुणात्मक विविधता दोनों की गणना की जाती है। वास्तविक विविधता, या प्रकारों की प्रभावी संख्या, ब्याज के डेटासेट में देखे गए प्रकारों की औसत आनुपातिक प्रचुरता के लिए आवश्यक समान रूप से प्रचुर मात्रा में प्रकारों की संख्या को संदर्भित करती है (जहां सभी प्रकार समान रूप से प्रचुर मात्रा में नहीं हो सकते हैं)। एक डेटासेट में वास्तविक विविधता की गणना पहले डेटासेट में प्रकारों की आनुपातिक प्रचुरता के भारित सामान्यीकृत माध्य को लेकर की जाती है, और फिर इसका पारस्परिक लेते हुए की जाती है। समीकरण हैः विभाजक डेटासेट में प्रकारों की औसत आनुपातिक प्रचुरता के बराबर होता है जैसा कि घातांक के साथ भारित सामान्यीकृत माध्य के साथ गणना की जाती है। समीकरण में, समृद्धि (डेटासेट में प्रकारों की कुल संख्या) है, और th प्रकार की आनुपातिक प्रचुरता है। आनुपातिक प्रचुरता का उपयोग नाममात्र के भार के रूप में किया जाता है। इन संख्याओं को क्यू क्रम की पहाड़ी संख्या या प्रजातियों की प्रभावी संख्या कहा जाता है। जब, उपरोक्त समीकरण अव्याख्यायित है। हालाँकि, 1 तक पहुँचने वाली गणितीय सीमा को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और संबंधित विविधता की गणना निम्नलिखित समीकरण के साथ की गई हैः जो प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना की गई शैनन एन्ट्रापी का घातांक है (ऊपर देखें)। अन्य क्षेत्रों में, इस आँकड़े को उलझन के रूप में भी जाना जाता है। विविधता का सामान्य समीकरण अक्सर रूप में लिखा जाता है और कोष्ठक के अंदर के शब्द को मूल योग कहा जाता है। कुछ लोकप्रिय विविधता सूचकांक मूल राशि के अनुरूप हैं जैसा कि विभिन्न मूल्यों के साथ गणना की जाती है। दुर्लभ बनाम प्रचुर प्रजातियों के लिए विविधता मूल्य की संवेदनशीलता के मूल्य को अक्सर विविधता के क्रम के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह प्रजातियों की आनुपातिक प्रचुरता के भारित माध्य की गणना कैसे की जाती है, इसे संशोधित करके दुर्लभ बनाम प्रचुर प्रजातियों के प्रति वास्तविक विविधता की संवेदनशीलता को परिभाषित करता है। पैरामीटर के कुछ मूल्यों के साथ, सामान्यीकृत माध्य का मूल्य विशेष मामलों के रूप में परिचित प्रकार के भारित साधनों को मानता है। विशेष रूप से, भारित हार्मोनिक माध्य, भारित ज्यामितीय माध्य और भारित अंकगणितीय माध्य से मेल खाता है। जैसे-जैसे अनंत की ओर बढ़ता है, घातांक के साथ भारित सामान्यीकृत माध्य अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है, जो डेटासेट में सबसे प्रचुर मात्रा में प्रजातियों की आनुपातिक प्रचुरता है। आम तौर पर, वृद्धि के मूल्य को बढ़ाने से सबसे प्रचुर मात्रा में पाई जाने वाली प्रजातियों को प्रभावी वजन मिलता है। यह बढ़ते हुए एक बड़ा मूल्य और एक छोटी वास्तविक विविधता () मूल्य प्राप्त करने की ओर ले जाता है। जब, मूल्यों के भारित ज्यामितीय माध्य का उपयोग किया जाता है, और प्रत्येक प्रजाति को इसकी आनुपातिक प्रचुरता से बिल्कुल भारित किया जाता है (भारित ज्यामितीय माध्य में, भार प्रतिपादक होते हैं)। कब, प्रचुर मात्रा में प्रजातियों को दिया गया वजन अतिरंजित है, और कब, दुर्लभ प्रजातियों को दिया गया वजन है। पर, प्रजातियों का वजन प्रजातियों की आनुपातिक प्रचुरता को बिल्कुल रद्द कर देता है, जैसे कि मूल्यों का भारित औसत तब भी बराबर होता है जब सभी प्रजातियां समान रूप से प्रचुर मात्रा में नहीं होती हैं। प्रजातियों की प्रभावी संख्या, इसलिए प्रजातियों की वास्तविक संख्या के बराबर होती है। विविधता के संदर्भ में, आम तौर पर गैर-नकारात्मक मूल्यों तक सीमित है। ऐसा इसलिए है क्योंकि के नकारात्मक मान दुर्लभ प्रजातियों को प्रचुर मात्रा में प्रजातियों की तुलना में बहुत अधिक वजन देंगे। रिचनेस रिचनेस बस यह निर्धारित करता है कि रुचि के डेटासेट में कितने विभिन्न प्रकार शामिल हैं। उदाहरण के लिए, एक डेटासेट की प्रजाति समृद्धि (आमतौर पर नोट की गई) संबंधित प्रजाति सूची में प्रजातियों की संख्या है। समृद्धि एक सरल उपाय है, इसलिए यह पारिस्थितिकी में एक लोकप्रिय विविधता सूचकांक रहा है, जहां रुचि के डेटासेट के लिए प्रचुरता डेटा अक्सर उपलब्ध नहीं होते हैं। क्योंकि समृद्धि प्रकारों की प्रचुरता को ध्यान में नहीं रखती है, यह विविधता के समान नहीं है, जो प्रचुरता को ध्यान में रखती है। हालाँकि, यदि वास्तविक विविधता की गणना के साथ की जाती है, तो प्रकारों की प्रभावी संख्या () प्रकारों की वास्तविक संख्या के बराबर होती है, जो समृद्धि () के समान होती है। शैनन सूचकांक पारिस्थितिक साहित्य में एक लोकप्रिय विविधता सूचकांक रहा है, जहाँ इसे शैनन के विविधता सूचकांक, शैनन-वीनर सूचकांक और (गलती से) शैनन-वीवर सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है। इस उपाय को मूल रूप से 1948 में क्लाउड शैनन द्वारा पाठ के तारों में एन्ट्रापी (इसलिए शैनन एन्ट्रापी, शैनन सूचना सामग्री से संबंधित) की मात्रा निर्धारित करने के लिए प्रस्तावित किया गया था। विचार यह है कि जितने अधिक अक्षर होंगे, और ब्याज की स्ट्रिंग में उनकी आनुपातिक प्रचुरता उतनी ही अधिक होगी, यह सही ढंग से अनुमान लगाना उतना ही कठिन होगा कि स्ट्रिंग में अगला कौन सा अक्षर होगा। शैनन एन्ट्रापी इस भविष्यवाणी से जुड़ी अनिश्चितता (एन्ट्रापी या आश्चर्य की डिग्री) की मात्रा निर्धारित करती है। इसकी गणना अक्सर इस प्रकार की जाती हैः ब्याज की स्ट्रिंग में छठे प्रकार के अक्षर से संबंधित वर्णों का अनुपात कहाँ है। पारिस्थितिकी में, अक्सर रुचि के डेटासेट में वीं प्रजाति से संबंधित व्यक्तियों का अनुपात होता है। फिर शैनन एन्ट्रापी किसी व्यक्ति की प्रजाति पहचान की भविष्यवाणी करने में अनिश्चितता की मात्रा निर्धारित करती है जिसे डेटासेट से यादृच्छिक रूप से लिया जाता है। यद्यपि समीकरण यहाँ प्राकृतिक लघुगणक के साथ लिखा गया है, शैनन एन्ट्रापी की गणना करते समय उपयोग किए जाने वाले लघुगणक के आधार को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। शैनन ने स्वयं लघुगणक आधार 2,10 और पर चर्चा की और ये तब से शैनन एन्ट्रापी का उपयोग करने वाले अनुप्रयोगों में सबसे लोकप्रिय आधार बन गए हैं। प्रत्येक लॉग आधार एक अलग माप इकाई से मेल खाता है, जिसे आधार 2,10 और, के लिए क्रमशः द्विआधारी अंक (बिट्स), दशमलव अंक (डेसिट्स) और प्राकृतिक अंक (नैट्स) कहा गया है। मूल रूप से विभिन्न लॉग आधारों के साथ गणना किए गए शैनन एन्ट्रापी मूल्यों की तुलना करने के लिए उन्हें एक ही लॉग आधार में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती हैः आधार से आधार में परिवर्तन द्वारा गुणा के साथ प्राप्त किया जाता है। शैनन सूचकांक ({{math|H "'}}) प्रकारों की आनुपातिक प्रचुरता के भारित ज्यामितीय माध्य से संबंधित है। विशेष रूप से, यह सही विविधता के लघुगणक के बराबर है जैसा कि गणना की गई हैः इसे यह भी लिखा जा सकता है जो बराबर है क्योंकि मानों का योग परिभाषा के अनुसार 1 के बराबर होता है, इसलिए भाजक मूल्यों के भारित ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है, जिसमें मूल्यों को स्वयं भार (समीकरण में घातांक) के रूप में उपयोग किया जाता है। कोष्ठक के भीतर शब्द इसलिए वास्तविक विविधता के बराबर है, और {{math|H}} बराबर है। जब ब्याज के डेटासेट में सभी प्रकार समान रूप से सामान्य होते हैं, तो सभी मान समान होते हैं, और इसलिए शैनन सूचकांक मूल्य लेता है। प्रकारों की प्रचुरता जितनी अधिक असमान होगी, मूल्यों का भारित ज्यामितीय माध्य उतना ही बड़ा होगा, और संबंधित शैनन एन्ट्रापी उतनी ही छोटी होगी। यदि व्यावहारिक रूप से सभी प्रचुरता एक प्रकार पर केंद्रित है, और अन्य प्रकार बहुत दुर्लभ हैं (भले ही उनमें से कई हैं), शैनन एन्ट्रापी शून्य के करीब पहुंचती है। जब डेटासेट में केवल एक प्रकार होता है, तो शैनन एन्ट्रापी बिल्कुल शून्य के बराबर होती है (अगली यादृच्छिक रूप से चुनी गई इकाई के प्रकार की भविष्यवाणी करने में कोई अनिश्चितता नहीं होती है)। मशीन लर्निंग में शैनन सूचकांक को सूचना लाभ भी कहा जाता है। रेनी एन्ट्रापी रेनी एन्ट्रापी 1 से अधिक के अन्य मूल्यों के लिए शैनन एन्ट्रापी का सामान्यीकरण है। इसे व्यक्त किया जा सकता हैः जो बराबर है इसका मतलब है कि किसी भी मूल्य के आधार पर वास्तविक विविधता का लघुगणक लेने से उसी मूल्य के अनुरूप रेनी एन्ट्रापी मिलती है। सिम्पसन सूचकांक 1949 में एडवर्ड एच. सिम्पसन द्वारा एकाग्रता की डिग्री को मापने के लिए पेश किया गया था जब व्यक्तियों को प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है। यही सूचकांक 1950 में ऑरिस सी. हर्फिंदाल द्वारा फिर से खोजा गया था। सूचकांक का वर्गमूल पहले ही 1945 में अर्थशास्त्री अल्बर्ट ओ. हिर्शमैन द्वारा पेश किया जा चुका था। नतीजतन, इसी माप को आमतौर पर पारिस्थितिकी में सिम्पसन सूचकांक और अर्थशास्त्र में हर्फिंदाल सूचकांक या हर्फिंदाल-हिर्शमैन सूचकांक (एच. एच. आई.) के रूप में जाना जाता है। माप इस संभावना के बराबर है कि ब्याज के डेटासेट से यादृच्छिक रूप से ली गई दो इकाइयाँ एक ही प्रकार का प्रतिनिधित्व करती हैं। यह बराबर हैः जहाँ समृद्धि है (डेटासेट में प्रकारों की कुल संख्या)। यह समीकरण ब्याज के प्रकारों की आनुपातिक प्रचुरता के भारित अंकगणितीय माध्य के बराबर भी है, जिसमें आनुपातिक प्रचुरता का उपयोग स्वयं भार के रूप में किया जाता है। आनुपातिक प्रचुरता परिभाषा के अनुसार शून्य और एक के बीच के मानों तक सीमित है, लेकिन यह एक भारित अंकगणितीय माध्य है, इसलिए, जो तब प्राप्त होता है जब सभी प्रकार समान रूप से प्रचुर मात्रा में होते हैं। सही विविधता की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समीकरणों के साथ λ की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समीकरण की तुलना करके, यह देखा जा सकता है कि यह सही विविधता के बराबर है। इसलिए मूल सिम्पसन सूचकांक संबंधित मूल राशि के बराबर होता है। λ की व्याख्या इस संभावना के रूप में कि ब्याज के डेटासेट से यादृच्छिक रूप से ली गई दो इकाइयाँ एक ही प्रकार का प्रतिनिधित्व करती हैं, यह मानती हैं कि दूसरी इकाई लेने से पहले पहली इकाई को डेटासेट में बदल दिया जाता है। यदि डेटासेट बहुत बड़ा है, तो प्रतिस्थापन के बिना नमूना लेने से लगभग समान परिणाम मिलता है, लेकिन छोटे डेटासेट में, अंतर पर्याप्त हो सकता है। यदि डेटासेट छोटा है, और प्रतिस्थापन के बिना नमूना माना जाता है, तो दोनों यादृच्छिक ड्रॉ के साथ एक ही प्रकार प्राप्त करने की संभावना हैः जहाँ th प्रकार से संबंधित संस्थाओं की संख्या है और डेटासेट में संस्थाओं की कुल संख्या है। सिम्पसन सूचकांक के इस रूप को सूक्ष्म जीव विज्ञान में हंटर-गैस्टन सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है। चूँकि प्रकारों की औसत आनुपातिक प्रचुरता प्रकारों की घटती संख्या और सबसे प्रचुर प्रकार की बढ़ती प्रचुरता के साथ बढ़ती है, λ उच्च विविधता के डेटासेट में छोटे मान और कम विविधता के डेटासेट में बड़े मान प्राप्त करता है। यह एक विविधता सूचकांक के लिए प्रतिकूल व्यवहार है, इसलिए अक्सर, λ के ऐसे परिवर्तन जो बढ़ती विविधता के साथ बढ़ते हैं, का उपयोग किया गया है। ऐसे सूचकांकों में सबसे लोकप्रिय व्युत्क्रम सिम्पसन सूचकांक (1/λ) और गिनी-सिम्पसन सूचकांक (1-λ) रहे हैं। पारिस्थितिकीय साहित्य में इन दोनों को सिम्पसन सूचकांक भी कहा गया है, इसलिए अलग-अलग सूचकांकों की गलती से तुलना करने से बचने के लिए सावधानी बरतने की आवश्यकता है जैसे कि वे एक ही थे। व्युत्क्रम सिम्पसन सूचकांक व्युत्क्रम सिम्पसन सूचकांक के बराबर हैः यह केवल क्रम 2 की वास्तविक विविधता के बराबर है, अर्थात। प्रकारों की प्रभावी संख्या जो तब प्राप्त होती है जब भारित अंकगणितीय माध्य का उपयोग ब्याज के डेटासेट में प्रकारों की औसत आनुपातिक प्रचुरता की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सूचकांक का उपयोग पक्षों की प्रभावी संख्या के माप के रूप में भी किया जाता है। गिनी-सिम्पसन सूचकांक मशीन लर्निंग के क्षेत्र में गिनी-सिम्पसन सूचकांक को गिनी अशुद्धता या गिनी का विविधता सूचकांक भी कहा जाता है। मूल सिम्पसन सूचकांक λ इस संभावना के बराबर है कि ब्याज के डेटासेट (प्रतिस्थापन के साथ) से यादृच्छिक रूप से ली गई दो इकाइयाँ एक ही प्रकार का प्रतिनिधित्व करती हैं। इसका परिवर्तन 1 − λ, इसलिए, इस संभावना के बराबर है कि दोनों इकाइयाँ अलग-अलग प्रकार का प्रतिनिधित्व करती हैं। इस माप को पारिस्थितिकी में अंतर-विशिष्ट मुठभेड़ (पी. आई. ई.) और गिनी-सिम्पसन सूचकांक की संभावना के रूप में भी जाना जाता है। इसे क्रम 2 की वास्तविक विविधता के परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और प्रबंधन अध्ययनों का गिब्स-मार्टिन सूचकांक, जिसे ब्लाउ सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है, गिनी-सिम्पसन सूचकांक के समान माप है। इस मात्रा को जनसंख्या आनुवंशिकी में अपेक्षित विषमयुग्मता के रूप में भी जाना जाता है। बर्जर-पार्कर सूचकांक बर्जर-पार्कर सूचकांक डेटासेट में अधिकतम मूल्य के बराबर होता है, यानी, सबसे प्रचुर मात्रा में प्रकार की आनुपातिक प्रचुरता। यह मूल्यों के भारित सामान्यीकृत माध्य से मेल खाता है जब अनंत तक पहुँचता है, और इसलिए क्रम अनंत () की वास्तविक विविधता के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ऊपर अनौपचारिक रूप से वर्णित कोडिंग प्रक्रियाओं के विस्तार के लिए अध्याय 5 देखें। सिम्पसन का विविधता सूचकांक विविधता सूचकांक वास्तविक पारिस्थितिकी तंत्र के लिए सिम्पसन के सूचकांक के अनुमानों के कुछ उदाहरण देता है। जैव विविधता सूचकांक संख्या का मापन श्रेणीगत आंकड़ों के लिए सारांश आँकड़े