Floquet theory
फ्लोक्वेट सिद्धांत आवधिक रैखिक विभेदक समीकरणों के समाधान के वर्ग से संबंधित साधारण विभेदक समीकरणों के सिद्धांत की एक शाखा है जिसमें अवधि के साथ एक टुकड़ों में निरंतर आवधिक कार्य होता है और समाधानों की स्थिरता की स्थिति को परिभाषित करता है। फ्लोक्वेट सिद्धांत की मुख्य प्रमेय, फ्लोक्वेट की प्रमेय, इस सामान्य रैखिक प्रणाली के प्रत्येक मौलिक मैट्रिक्स समाधान के लिए एक विहित रूप देती है। यह एक समन्वय परिवर्तन देता है जो आवधिक प्रणाली को स्थिर, वास्तविक गुणांक के साथ एक पारंपरिक रैखिक प्रणाली में बदल देता है। जब आवधिक क्षमता वाली भौतिक प्रणालियों पर लागू किया जाता है, जैसे कि संघनित पदार्थ भौतिकी में क्रिस्टल, तो परिणाम को ब्लॉच के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। ध्यान दें कि रैखिक विभेदक समीकरण के समाधान एक सदिश स्थान बनाते हैं। यदि सभी कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं तो एक मैट्रिक्स को मौलिक मैट्रिक्स समाधान कहा जाता है। एक मैट्रिक्स को एक प्रमुख मौलिक मैट्रिक्स समाधान कहा जाता है यदि सभी कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं और ऐसा मौजूद है जो पहचान है। एक प्रमुख मौलिक मैट्रिक्स का निर्माण एक मौलिक मैट्रिक्स का उपयोग करके किया जा सकता है। प्रारंभिक स्थिति के साथ रैखिक विभेदक समीकरण का समाधान यह है कि कोई भी मौलिक मैट्रिक्स समाधान कहाँ है। फ्लोक्वेट की प्रमेय को एक रैखिक प्रथम क्रम विभेदक समीकरण माना जाता है, जहां लंबाई का एक स्तंभ सदिश और अवधि के साथ एक आवधिक मैट्रिक्स (जो सभी वास्तविक मूल्यों के लिए है) है। आइए इस विभेदक समीकरण का एक मौलिक मैट्रिक्स समाधान बनें। फिर, सभी के लिए, यहाँ मोनोड्रोमी मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है। इसके अलावा, प्रत्येक मैट्रिक्स (संभवतः जटिल) के लिए एक आवधिक (अवधि) मैट्रिक्स फ़ंक्शन होता है जैसे कि एक वास्तविक मैट्रिक्स और एक वास्तविक आवधिक (अवधि-) मैट्रिक्स फ़ंक्शन होता है जैसे कि उपरोक्त में, और मैट्रिक्स हैं। परिणाम और अनुप्रयोग यह मानचित्रण निर्देशांक () के समय-निर्भर परिवर्तन को जन्म देता है, जिसके तहत हमारी मूल प्रणाली वास्तविक स्थिर गुणांक के साथ एक रैखिक प्रणाली बन जाती है। चूंकि यह निरंतर और आवधिक है, इसलिए इसे बाध्य किया जाना चाहिए। इस प्रकार और के लिए शून्य समाधान की स्थिरता के आइगेनवैल्यू द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रतिनिधित्व को मौलिक मैट्रिक्स के लिए एक फ्लोक्वेट सामान्य रूप कहा जाता है। के आइगेनवैल्यूज को सिस्टम के कैरेक्टरिस्टिक मल्टिप्लायर कहा जाता है। वे (रैखिक) पोइनकेयर मानचित्रों के आइगेनवैल्यू भी हैं। एक फ्लोक्वेट घातांक (कभी-कभी एक विशेषता घातांक कहा जाता है), एक ऐसा परिसर है जो प्रणाली का एक विशेषता गुणक है। ध्यान दें कि फ्लोक्वेट प्रतिपादक अद्वितीय नहीं हैं, क्योंकि, एक पूर्णांक कहाँ है। फ्लोक्वेट प्रतिपादकों के वास्तविक भागों को लियापुनोव प्रतिपादक कहा जाता है। शून्य समाधान असिम्प्टोटिक रूप से स्थिर है यदि सभी लियापुनोव प्रतिपादक नकारात्मक हैं, लियापुनोव स्थिर है यदि लियापुनोव प्रतिपादक गैर-सकारात्मक और अन्यथा अस्थिर हैं। फ्लोक्वेट सिद्धांत गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, जैसे कि मैथ्यू समीकरण। फ्लोक्वेट सिद्धांत पहाड़ी विभेदक समीकरण (जॉर्ज विलियम हिल द्वारा प्रस्तुत) में स्थिरता दिखाता है जो एक आवधिक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में चंद्रमा की गति का अनुमान लगाता है। तीव्र लेजर क्षेत्रों में बंधन के नरम होने और बंधन के सख्त होने को फ्लोक्वेट प्रमेय से प्राप्त समाधानों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। संदर्भ सी. चिकोन। अनुप्रयोगों के साथ साधारण विभेदक समीकरण। स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क 1999। एम. पी. ईस्टम, "आवधिक विभेदक समीकरणों का वर्णक्रमीय सिद्धांत", गणित में पाठ, स्कॉटिश अकादमिक प्रेस, एडिनबर्ग, 1973। , गणितीय मोनोग्राफ का अनुवाद, 19,294 पी। डब्ल्यू. मैग्नस, एस. विंकलर। हिल का समीकरण, डोवर-फोनिक्स संस्करण,। एन. डब्ल्यू. मैकलाचलन, थ्योरी एंड एप्लीकेशन ऑफ मैथ्यू फंक्शंस, न्यूयॉर्कः डोवर, 1964। बाहरी लिंक गतिशील प्रणालियाँ