Difference set
संयोजन विज्ञान में, एक अंतर समुच्चय क्रम के समूह के आकार का एक उपसमुच्चय है जैसे कि प्रत्येक गैर-पहचान तत्व को तत्वों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक अंतर समूह को चक्रीय, अबेलियन, गैर-अबेलियन, आदि कहा जाता है, यदि समूह के पास संबंधित गुण है। एक अंतर सेट को कभी-कभी समतल या सरल कहा जाता है। यदि योगात्मक संकेतन में लिखा गया एक अबेलियन समूह है, तो परिभाषित करने की स्थिति यह है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को ठीक-ठीक तरीकों से तत्वों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है। "डिफरेंस सेट" शब्द इस तरह से उत्पन्न होता है। बुनियादी तथ्य एक सरल गणना तर्क से पता चलता है कि तत्वों के ठीक-ठीक जोड़े हैं जिनसे गैर-पहचान तत्व प्राप्त होंगे, इसलिए प्रत्येक अंतर सेट को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए यदि एक अंतर सेट है और फिर एक अंतर सेट भी है, और इसे (योगात्मक संकेतन में) का अनुवाद कहा जाता है। एक-अंतर समुच्चय का पूरक एक-अंतर समुच्चय है। एक अंतर सेट के सभी अनुवादों का सेट एक सममित ब्लॉक डिज़ाइन बनाता है, जिसे विकास कहा जाता है और इसके द्वारा दर्शाया जाता है इस तरह के डिज़ाइन में तत्व (आमतौर पर बिंदु कहा जाता है) और ब्लॉक (सबसेट) होते हैं। डिजाइन के प्रत्येक खंड में अंक होते हैं, प्रत्येक बिंदु खंडों में निहित होता है। किसी भी दो खंडों में बिल्कुल समान तत्व होते हैं और कोई भी दो बिंदु एक साथ बिल्कुल खंडों में निहित होते हैं। समूह डिजाइन के एक ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में कार्य करता है। यह दोनों बिंदुओं और खंडों पर तेजी से संक्रमणशील है। विशेष रूप से, यदि, तो अंतर सेट एक प्रोजेक्टिव प्लेन को जन्म देता है। समूह में निर्धारित (7,3,1) अंतर का एक उदाहरण सबसेट है। इस अंतर समूह के अनुवाद नैनो तल बनाते हैं। चूँकि प्रत्येक अंतर सेट एक सममित डिज़ाइन देता है, इसलिए पैरामीटर सेट को ब्रूक-रेसर-चौला प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए। प्रत्येक सममित डिजाइन एक अंतर सेट नहीं देता है। समतुल्य और समरूप अंतर समुच्चय समूह और समूह में दो अंतर समुच्चय समतुल्य होते हैं यदि उनके बीच एक समूह समरूपता होती है और कुछ के लिए ऐसा होता है। समतुल्य अंतर समुच्चय समरूपी होते हैं, लेकिन समरूपी अंतर समुच्चय के उदाहरण मौजूद हैं जो समतुल्य नहीं हैं। चक्रीय अंतर समुच्चय मामले में, सभी ज्ञात समरूप अंतर समुच्चय समतुल्य होते हैं। गुणक समूह में एक अंतर समूह का एक गुणक इस तरह का समूह स्वरूपता है कि कुछ लोगों के लिए यदि अबेलियन है और स्वरूपता है जो मानचित्रण करता है, तो इसे संख्यात्मक या हॉल गुणक कहा जाता है। यह अनुमान लगाया गया है कि यदि p एक अभाज्य विभाजन है और v को विभाजित नहीं करता है, तो डी के कुछ अनुवाद (यह एक गुणक होने के बराबर है) को ठीक करके परिभाषित समूह स्वरूपता। यह एक अबेलियन समूह के लिए सही माना जाता है, और इसे प्रथम गुणक प्रमेय के रूप में जाना जाता है। एक अधिक सामान्य ज्ञात परिणाम, द्वितीय गुणक प्रमेय, कहता है कि यदि घातांक के एक अबेलियन समूह (प्रत्येक तत्व के क्रम का सबसे कम सामान्य गुणक) में निर्धारित एक-अंतर है, तो मान लीजिए कि यह एक पूर्णांक सहमौलिक है। यदि ऐसा कोई भाजक मौजूद है कि m को विभाजित करने वाले प्रत्येक अभाज्य p के लिए, एक पूर्णांक i मौजूद है, तो t एक संख्यात्मक भाजक है। उदाहरण के लिए, 2 ऊपर उल्लिखित (7,3,1)-अंतर सेट का एक गुणक है। यह उल्लेख किया गया है कि एक अबेलियन समूह में निर्धारित अंतर का एक संख्यात्मक गुणक एक अनुवाद को ठीक करता है, लेकिन यह भी दिखाया जा सकता है कि जिसका एक अनुवाद मापदंडों के सभी संख्यात्मक गुणकों द्वारा तय किया जाता है ज्ञात अंतर सेट या उनके पूरक में निम्नलिखित मापदंड सेटों में से एक होता हैः-कुछ अभाज्य शक्ति और कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए निर्धारित अंतर। इन्हें शास्त्रीय मापदंडों के रूप में जाना जाता है और इन मापदंडों वाले अंतर समुच्चयों के कई निर्माण हैं। कुछ सकारात्मक पूर्णांक अंतर समुच्चय के लिए निर्धारित अंतर को पाली-प्रकार अंतर समुच्चय कहा जाता है। कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए-अंतर सेट इन मापदंडों के साथ सेट किया गया एक अंतर हैडमर्ड अंतर सेट है। - कुछ अभाज्य शक्ति और कुछ धनात्मक पूर्णांक के लिए निर्धारित अंतर जिसे मैकफारलैंड मापदंड के रूप में जाना जाता है। - कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए निर्धारित अंतर जिसे स्पेन्स मापदंड के रूप में जाना जाता है। कुछ अभाज्य शक्ति के लिए निर्धारित अंतर और इन मापदंडों के साथ कुछ सकारात्मक पूर्णांक अंतर सेट को डेविस-जेडवाब-चेन अंतर सेट कहा जाता है। ज्ञात अंतर समुच्चय अंतर समुच्चय के कई निर्माणों में, जिन समूहों का उपयोग किया जाता है, वे सीमित क्षेत्रों के योगात्मक और गुणक समूहों से संबंधित होते हैं। इन क्षेत्रों को निरूपित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले संकेतन अनुशासन के अनुसार भिन्न होते हैं। इस खंड में, गैलोइस फ़ील्ड ऑफ़ ऑर्डर है जहाँ एक प्राइम या प्राइम पावर है। जोड़ के तहत समूह द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि गैर-शून्य तत्वों का गुणक समूह है। पाले-अंतर सेटः आइए एक प्रमुख शक्ति बनें। समूह में, सभी गैर-शून्य वर्गों का समूह होने दें। गायक-अंतर सेटः चलो। फिर सेट एक-अंतर सेट है, जहाँ ट्रेस फ़ंक्शन ट्विन प्राइम पावर-अंतर सेट किया जाता है जब और दोनों प्रमुख शक्तियाँ होती हैंः समूह में, इतिहास को सममित ब्लॉक डिजाइनों के निर्माण के लिए चक्रीय अंतर सेट और विधियों का व्यवस्थित उपयोग आर. सी. बोस और 1939 में उनके एक मौलिक पेपर से शुरू होता है। हालाँकि, इससे पहले कई उदाहरण सामने आए, जैसे कि "पैली डिफरेंस सेट्स" जो 1933 का है। अधिक सामान्य समूहों के लिए चक्रीय अंतर सेट अवधारणा का सामान्यीकरण 1955 में आर. एच. ब्रुक के कारण है। 1947 में मार्शल हॉल जूनियर द्वारा गुणक शुरू किए गए थे। अनुप्रयोग शिया, झोउ और गियानाकिस द्वारा यह पाया गया है कि अंतर सेट का उपयोग एक जटिल वेक्टर कोडबुक के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो अधिकतम क्रॉस सहसंबंध आयाम पर बाध्य कठिन वेल्च को प्राप्त करता है। तथाकथित निर्मित कोडबुक तथाकथित ग्रासमैनियन मैनिफोल्ड भी बनाती है। सामान्यीकरण एक अंतर परिवार एक समूह के उपसमुच्चय का एक समूह है जिसका क्रम, आकार सभी के लिए है, और प्रत्येक गैर-पहचान तत्व को कुछ के लिए तत्वों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (यानी। दोनों एक ही से आते हैं) बिल्कुल सही तरीके से। एक अंतर समूह एक अंतर परिवार के साथ एक अंतर परिवार है उपरोक्त पैरामीटर समीकरण सामान्यीकृत करता है एक अंतर परिवार का विकास एक 2-डिज़ाइन है। एक नियमित ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ प्रत्येक 2-डिज़ाइन कुछ अंतर परिवार के लिए है। संयोजकता