Hamburger moment problem
गणित में, हैम्बर्गर क्षण समस्या, जिसका नाम हंस लुडविग हैम्बर्गर के नाम पर रखा गया है, को निम्नानुसार तैयार किया गया हैः एक अनुक्रम (m0, m1, m2,.) दिए जाने पर, क्या वास्तविक रेखा पर एक सकारात्मक बोरेल माप मौजूद है (उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर के संचयी वितरण कार्य द्वारा निर्धारित माप) जैसे कि दूसरे शब्दों में, समस्या के एक सकारात्मक उत्तर का अर्थ है कि (m0, m1, m2,.) कुछ सकारात्मक बोरेल माप के क्षणों का अनुक्रम है। स्टील्टजेस मोमेंट समस्या, वोरोबीव मोमेंट समस्या, और हौसडॉर्फ मोमेंट समस्या समान हैं लेकिन वास्तविक रेखा को (स्टील्टजेस और वोरोबीव; लेकिन वोरोबीव समस्या को मैट्रिक्स सिद्धांत के संदर्भ में तैयार करता है), या एक सीमित अंतराल (हौसडॉर्फ) द्वारा प्रतिस्थापित करता है। लक्षण वर्णन हैम्बर्गर क्षण समस्या हल करने योग्य है (अर्थात, (mn) क्षणों का एक क्रम है) यदि और केवल तभी जब गैर-नकारात्मक पूर्णांकों पर संबंधित हैंकेल कर्नेल सकारात्मक निश्चित है, अर्थात, जटिल संख्याओं के प्रत्येक मनमाने अनुक्रम (cj) के लिए j ≤ 0 जो परिमित हैं (अर्थात। cj = 0, जे) के परिमित रूप से कई मूल्यों को छोड़कर। दावों के "केवल अगर" भाग के लिए बस उस पर ध्यान दें जो गैर-नकारात्मक है यदि गैर-नकारात्मक है। हम इसके विपरीत के लिए एक तर्क तैयार करते हैं। मान लीजिए कि Z + गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और F0 (Z +) परिमित समर्थन के साथ जटिल मूल्यवान अनुक्रमों के परिवार को दर्शाता है। सकारात्मक हैंकेल कर्नेल ए सीमित समर्थन के साथ जटिल-मूल्य वाले अनुक्रमों के परिवार पर एक (संभवतः अपक्षयी) सेस्क्विलिनियर उत्पाद को प्रेरित करता है। यह बदले में एक हिल्बर्ट स्थान देता है जिसका विशिष्ट तत्व एक समतुल्य वर्ग है जिसे [f] द्वारा दर्शाया जाता है। मान लीजिए कि एन, एफ0 (जेड +) में एन (एम) = δnm द्वारा परिभाषित तत्व है। एक ने देखा कि इसलिए, "शिफ्ट" ऑपरेटर T, T [en] = [en + 1] के साथ, सममित है। दूसरी ओर, वांछित अभिव्यक्ति से पता चलता है कि एक स्व-संयुक्त प्रचालक का वर्णक्रमीय माप है। (अधिक सटीक रूप से कहा गया है, μ नीचे परिभाषित ऑपरेटर और वेक्टर [1] के लिए वर्णक्रमीय माप है। यदि हम एक "फलन मॉडल" पा सकते हैं जैसे कि सममित प्रचालक T का x से गुणन हो, तो T के स्व-संयुक्त विस्तार का वर्णक्रमीय संकल्प दावे को साबित करता है। एक फलन मॉडल प्राकृतिक समरूपता द्वारा F0 (Z +) से बहुपदों के परिवार को एक एकल वास्तविक चर और जटिल गुणांक में दिया जाता हैः n ≤ 0 के लिए, xn के साथ एन की पहचान करें। मॉडल में, प्रचालक T का गुणा x से किया जाता है और यह एक सघन रूप से परिभाषित सममित प्रचालक है। यह दिखाया जा सकता है कि टी में हमेशा स्व-संयुक्त विस्तार होते हैं। मान लीजिए कि उनमें से एक है और इसका वर्णक्रमीय माप है। तो दूसरी ओर, अस्तित्व के एक वैकल्पिक प्रमाण के लिए जो केवल स्टील्टजेस इंटीग्रल का उपयोग करता है, विशेष रूप से प्रमेय 3.2 में भी देखें। समाधानों की विशिष्टता समाधान एक उत्तल समूह बनाते हैं, इसलिए समस्या में या तो अनंत रूप से कई समाधान होते हैं या एक अद्वितीय समाधान होता है। (एन + 1) × (एन + 1) हैंकेल मैट्रिक्स पर विचार करें, ए की धनात्मकता का अर्थ है कि प्रत्येक एन के लिए, डेट (Δn) ≤ 0। यदि किसी एन के लिए डेट (Δn) = 0 है, तो यह परिमित-आयामी है और टी स्व-संयुग्म है। तो इस मामले में हैम्बर्गर क्षण समस्या का समाधान अद्वितीय है और टी का वर्णक्रमीय माप होने के कारण, इसका सीमित समर्थन है। अधिक सामान्य रूप से, समाधान अद्वितीय है यदि स्थिरांक C और D ऐसे हैं कि सभी n के लिए, |mn। ≤ CDnn! .. यह अधिक सामान्य कार्लमैन की स्थिति का अनुसरण करता है। ऐसे उदाहरण हैं जहाँ समाधान अद्वितीय नहीं है; उदाहरण के लिए देखें। आगे के परिणाम यह देखा जा सकता है कि हैम्बर्गर क्षण समस्या वास्तविक रेखा पर ऑर्थोगोनल बहुपदों से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया ऑर्थोगोनल बहुपदों का आधार देती है जिसमें प्रचालकः में त्रिकोणीय जैकोबी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व होता है। यह बदले में सकारात्मक हैंकेल कर्नेल के एक त्रिकोणीय मॉडल की ओर ले जाता है। टी के केली परिवर्तन की एक स्पष्ट गणना बाएं आधे तल पर विश्लेषणात्मक कार्यों के नेवनलिन्ना वर्ग के साथ संबंध को दर्शाती है। गैर-परिवर्तनीय सेटिंग में जाते हुए, यह क्रेइन के सूत्र को प्रेरित करता है जो आंशिक सममितियों के विस्तार को मानकीकृत करता है। संचयी वितरण फलन और संभाव्यता घनत्व फलन को अक्सर क्षण उत्पन्न करने वाले फलन में व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को लागू करके पाया जा सकता है बशर्ते कि यह फलन अभिसरण करे। संदर्भ। संभाव्यता समस्याएं मापन सिद्धांत कार्यात्मक विश्लेषण क्षण (गणित) गणितीय समस्याएं