Collinearity
ज्यामिति में, बिंदुओं के एक समूह की समरेखीयता एक ही रेखा पर उनके होने का गुण है। इस गुण के साथ बिंदुओं के एक समूह को कोलिनियर (कभी-कभी कोलिनियर के रूप में वर्तनी) कहा जाता है। अधिक सामान्यता में, इस शब्द का उपयोग संरेखित वस्तुओं के लिए किया गया है, अर्थात, चीजें "एक पंक्ति में" या "एक पंक्ति में" हैं। एक रेखा पर बिंदु किसी भी ज्यामिति में, एक रेखा पर बिंदुओं के समूह को संरेखीय कहा जाता है। यूक्लिडियन ज्यामिति में इस संबंध को एक "सीधी रेखा" पर एक पंक्ति में स्थित बिंदुओं द्वारा सहज रूप से देखा जाता है। हालांकि, अधिकांश ज्यामिति (यूक्लिडियन सहित) में एक रेखा आम तौर पर एक आदिम (अनिर्धारित) वस्तु प्रकार होती है, इसलिए इस तरह के दृश्य आवश्यक रूप से उपयुक्त नहीं होंगे। ज्यामिति के लिए एक मॉडल इस बात की व्याख्या प्रदान करता है कि कैसे बिंदु, रेखाएं और अन्य वस्तु प्रकार एक दूसरे से संबंधित हैं और उस मॉडल के संदर्भ में कोलिनियरिटी जैसी धारणा की व्याख्या की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में, जहां रेखाओं को मानक मॉडल में एक गोले के बड़े वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है, समरेखीय बिंदुओं के समूह एक ही महान वृत्त पर स्थित होते हैं। इस तरह के बिंदु यूक्लिडियन अर्थ में "सीधी रेखा" पर नहीं होते हैं, और इन्हें एक पंक्ति में नहीं माना जाता है। एक ज्यामिति का मानचित्रण जो रेखाओं को रेखाएँ भेजता है, उसे संरेखण कहा जाता है; यह संरेखण गुण को संरक्षित करता है। वेक्टर स्पेस के रैखिक मानचित्र (या रैखिक कार्य), जिन्हें ज्यामितीय मानचित्रों के रूप में देखा जाता है, रेखाओं को रेखाओं के लिए मानचित्रित करते हैं; यानी, वे संरेखीय बिंदु सेटों को संरेखीय बिंदु सेटों के लिए मानचित्रित करते हैं और इसलिए, संरेखण हैं। प्रोजेक्टिव ज्यामिति में इन रैखिक मानचित्रणों को समरूपी कहा जाता है और ये केवल एक प्रकार के सम्मिश्रण हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति त्रिकोण में उदाहरण किसी भी त्रिभुज में बिंदुओं के निम्नलिखित समूह संरेखीय होते हैंः ऑर्थोसेंटर, परिधि केंद्र, केंद्रक, एक्सेटर बिंदु, डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु और नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र संरेखीय होते हैं, जो सभी यूलर रेखा नामक रेखा पर आते हैं। डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु में अन्य समरेखात्मकताएँ भी हैं। कोई भी शीर्ष, एक अग्रवृत्त के साथ विपरीत पक्ष की स्पर्शरेखा, और नागेल बिंदु एक रेखा में समरेखीय होते हैं जिसे त्रिभुज का विभाजन कहा जाता है। किसी भी पक्ष का मध्य बिंदु, वह बिंदु जो त्रिभुज की सीमा के साथ किसी भी दिशा में उससे समान दूरी पर है (इसलिए ये दो बिंदु परिधि को द्विभाजित करते हैं), और स्पाइकर वृत्त का केंद्र एक रेखा में समरेखीय होता है जिसे त्रिभुज का क्लीवर कहा जाता है। (स्पाइकर वृत्त मध्य त्रिभुज का अंतःवृत्त है, और इसका केंद्र त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान का केंद्र है।) कोई भी शीर्ष, अंतःवृत्त के साथ विपरीत पक्ष की स्पर्शरेखा, और गर्गोन बिंदु समरेखीय होते हैं। त्रिभुज की परिधि पर किसी भी बिंदु से, त्रिभुज की तीन विस्तारित भुजाओं में से प्रत्येक पर निकटतम बिंदु परिधि पर बिंदु की सिमसन रेखा में समरेखीय होते हैं। ऊँचाई के पैरों को जोड़ने वाली रेखाएँ विपरीत दिशाओं को समरेखीय बिंदुओं पर काटती हैं। एक त्रिभुज का प्रेरक, एक ऊंचाई का मध्य बिंदु, और उस पक्ष के सापेक्ष त्रिभुज के साथ संबंधित पक्ष का संपर्क बिंदु समरेखीय होते हैं। मेनेलाउस की प्रमेय बताती है कि एक त्रिभुज के विपरीत शीर्षों की भुजाओं (कुछ विस्तारित) पर तीन बिंदु क्रमशः संरेखीय होते हैं यदि और केवल तभी जब खंड की लंबाई के निम्नलिखित उत्पाद समान होंः प्रेरक, केंद्रक और स्पाइकर वृत्त का केंद्र संरेखीय होते हैं। त्रिभुज का परिधि केंद्र, ब्रोकार्ड मध्य बिंदु और लेमोइन बिंदु समरेखीय होते हैं। एक त्रिभुज के ऑर्थोसेन्टर पर प्रतिच्छेद करने वाली दो लंबवत रेखाएँ प्रत्येक त्रिभुज की विस्तारित भुजाओं में से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करती हैं। चौराहों के इन बिंदुओं के तीन तरफ के मध्य बिंदु ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा में समरेखीय हैं। चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज में जिसके विपरीत पक्ष प्रतिच्छेद करते हैं और, के मध्य बिंदु समरेखीय होते हैं और उनके माध्यम से रेखा को न्यूटन रेखा कहा जाता है (कभी-कभी न्यूटन-गॉस रेखा के रूप में जाना जाता है)। यदि चतुर्भुज एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज है, तो इसका प्रेरक भी इस रेखा पर स्थित है। एक उत्तल चतुर्भुज में, क्वासियोर्थोसेंटर, "क्षेत्र केंद्रक", और क्वासिसर्कमसेंटर इस क्रम में संरेखीय होते हैं, और। (एक उत्तल चतुर्भुज में Quadrilateral#Remarkable बिंदु और रेखाएँ देखें।) एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज की अन्य समरूपताएँ स्पर्शरेखा quadrilateral#Collinear बिंदुओं में दी गई हैं। एक चक्रीय चतुर्भुज में, परिधि केंद्र, शीर्ष केंद्रक (दो द्विमानों का प्रतिच्छेदन), और विरोधी केंद्र समरेखीय होते हैं। एक चक्रीय चतुर्भुज में, क्षेत्र केंद्रक, शीर्ष केंद्रक और विकर्णों का प्रतिच्छेदन समरेखीय होते हैं। एक स्पर्शरेखा त्रिभुज में, दो आधारों के साथ अंतःवृत्त की स्पर्शरेखाएँ प्रेरक के साथ समरेखीय होती हैं। एक स्पर्शरेखा ट्रैपेज़ॉइड में, पैरों के मध्य बिंदु प्रेरक के साथ समरेखीय होते हैं। हेक्सागन्स पास्कल की प्रमेय (जिसे हेक्साग्रामम मिस्टिकम प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) में कहा गया है कि यदि एक कोनिक खंड (यानी, दीर्घवृत्त, परवलय या हाइपरबोला) पर एक मनमाने छह बिंदुओं को चुना जाता है और एक षट्कोण बनाने के लिए किसी भी क्रम में रेखा खंडों से जोड़ा जाता है, तो षट्कोण के विपरीत पक्षों के तीन जोड़े (यदि आवश्यक हो तो विस्तारित) तीन बिंदुओं में मिलते हैं जो एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे षट्कोण की पास्कल रेखा कहा जाता है। इसके विपरीत भी सच हैः ब्रैकेनरिज-मैक्लौरिन प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक षट्कोण के विपरीत पक्षों के माध्यम से रेखाओं के तीन जोड़े के तीन प्रतिच्छेदन बिंदु एक रेखा पर स्थित हैं, तो षट्कोण के छह शीर्ष एक शंकु पर स्थित हैं, जो पैपस के षट्कोण प्रमेय की तरह पतित हो सकते हैं। कोनिक खंड मोंग के प्रमेय के अनुसार, एक समतल में किसी भी तीन वृत्तों के लिए, जिनमें से कोई भी पूरी तरह से एक दूसरे के अंदर नहीं है, रेखाओं के तीन जोड़े के तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक दो वृत्तों के लिए बाहरी रूप से स्पर्शरेखा, समरेखीय हैं। एक दीर्घवृत्त में, केंद्र, दो केंद्र और वक्रता की सबसे छोटी त्रिज्या वाले दो शीर्ष समरेखीय होते हैं, और वक्रता की सबसे बड़ी त्रिज्या वाले केंद्र और दो शीर्ष समरेखीय होते हैं। एक हाइपरबोला में, केंद्र, दो केंद्र और दो शीर्ष समरेखीय होते हैं। शंकु एक समान घनत्व वाले शंकु ठोस के द्रव्यमान का केंद्र आधार के केंद्र से शीर्ष तक, दोनों को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर, एक चौथाई मार्ग पर स्थित होता है। टेट्राहेड्रॉन एक टेट्राहेड्रॉन का केंद्रक इसके मोंग बिंदु और परिधि केंद्र के बीच का मध्य बिंदु है। ये बिंदु टेट्राहेड्रॉन की यूलर रेखा को परिभाषित करते हैं जो एक त्रिभुज की यूलर रेखा के अनुरूप है। टेट्राहेड्रॉन के बारह-बिंदु गोले का केंद्र भी यूलर रेखा पर स्थित है। निर्देशांक ज्यामिति में, आयामी स्थान में, तीन या अधिक विशिष्ट बिंदुओं का एक समूह संरेखीय होता है यदि और केवल तभी जब इन वैक्टरों के निर्देशांक का मैट्रिक्स श्रेणी 1 या उससे कम का होता है। उदाहरण के लिए, तीन अंक दिए गए हैं यदि मैट्रिक्स रैंक 1 या उससे कम का है, तो अंक संरेखीय हैं। समान रूप से, के प्रत्येक सबसेट के लिए, यदि मैट्रिक्स रैंक 2 या उससे कम का है, तो अंक समरेखीय हैं। विशेष रूप से, तल () में तीन बिंदुओं के लिए, उपरोक्त मैट्रिक्स वर्ग है और बिंदु समरेखीय हैं यदि और केवल तभी जब इसका निर्धारक शून्य है; चूंकि वह 3 × 3 निर्धारक एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है और उन तीन बिंदुओं को शीर्ष के रूप में है, यह इस कथन के बराबर है कि तीन बिंदु समरेखीय हैं यदि और केवल तभी जब उन बिंदुओं के साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो। कम से कम तीन अलग-अलग बिंदुओं के एक समूह को सीधा कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी बिंदु समरेखीय हैं, यदि और केवल तभी, उन तीन बिंदुओं में से प्रत्येक के लिए, एक केले-मेंगर निर्धारक का निम्नलिखित निर्धारक शून्य है (जिसका अर्थ है और, आदि के बीच की दूरी। ): यह निर्धारक, हेरॉन के सूत्र के अनुसार, पार्श्व लंबाई के साथ एक त्रिभुज के क्षेत्र के वर्ग के-16 गुना के बराबर है; इसलिए यह जाँच करना कि क्या यह निर्धारक शून्य के बराबर है, यह जाँचने के बराबर है कि क्या शीर्ष वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है (इसलिए शीर्ष समरेखीय हैं)। समान रूप से, कम से कम तीन अलग-अलग बिंदुओं का एक समूह संरेखीय होता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक तीन बिंदुओं के लिए प्रत्येक और प्रत्येक से अधिक या बराबर के साथ, त्रिभुज असमानता समानता के साथ होती है। संख्या सिद्धांत दो संख्याएँ और सहमौलिक नहीं हैं-अर्थात, वे 1 के अलावा एक सामान्य कारक साझा करते हैं-यदि और केवल तभी जब शीर्षों के साथ एक वर्ग जाली पर प्लॉट किए गए एक आयत के लिए, कम से कम एक आंतरिक बिंदु और के साथ समरेखीय हो। समरूपता (समतल द्वैत) विभिन्न समतल ज्यामिति में उनके बीच संबंधों को संरक्षित करते हुए "बिंदु" और "रेखाओं" की भूमिकाओं को आपस में बदलने की धारणा को समतल द्वैतता कहा जाता है। समरेखीय बिंदुओं के एक समूह को देखते हुए, समतल द्वैतता द्वारा हम रेखाओं का एक समूह प्राप्त करते हैं जो सभी एक सामान्य बिंदु पर मिलती हैं। रेखाओं के इस समूह में जो गुण होता है (एक सामान्य बिंदु पर मिलना) उसे समवर्ती रेखा कहा जाता है, और रेखाओं को समवर्ती रेखा कहा जाता है। इस प्रकार, समवर्ती मुद्रा समरेखात्मकता के लिए समतल दोहरी धारणा है। एक आंशिक ज्यामिति को देखते हुए, जहां दो बिंदु अधिक से अधिक एक रेखा का निर्धारण करते हैं, एक संरेखण ग्राफ एक ग्राफ है जिसके शीर्ष बिंदु हैं, जहां दो शीर्ष आसन्न हैं यदि और केवल तभी जब वे एक रेखा का निर्धारण करते हैं। सांख्यिकी और अर्थशास्त्र में उपयोग सांख्यिकी में, समरूपता दो व्याख्यात्मक चरों के बीच एक रैखिक संबंध को संदर्भित करती है। यदि दोनों के बीच एक सटीक रैखिक संबंध है, तो दो चर पूरी तरह से समरेखीय हैं, इसलिए उनके बीच सहसंबंध 1 या-1 के बराबर है। इसका मतलब है कि यदि विभिन्न टिप्पणियों को समतल में प्लॉट किया गया है, तो ये बिंदु इस लेख में पहले परिभाषित अर्थ में समरेखीय हैं। पूर्ण बहुकोशीयता एक ऐसी स्थिति को संदर्भित करती है जिसमें सभी टिप्पणियों के अनुसार, एक से अधिक प्रतिगमन मॉडल में व्याख्यात्मक चर पूरी तरह से रैखिक रूप से संबंधित होते हैं। व्यवहार में, हम शायद ही कभी एक डेटा सेट में पूर्ण बहुकोशीयता का सामना करते हैं। अधिक सामान्य रूप से, मल्टीकोलिनियरिटी का मुद्दा तब उत्पन्न होता है जब दो या दो से अधिक स्वतंत्र चरों के बीच एक "मजबूत रैखिक संबंध" होता है, जिसका अर्थ है कि जहां का विचरण अपेक्षाकृत कम है। पार्श्व संरेखण की अवधारणा इस पारंपरिक दृष्टिकोण पर फैलती है, और व्याख्यात्मक और मानदंड (यानी, समझाया गया) चर के बीच संरेखण को संदर्भित करती है। अन्य क्षेत्रों में उपयोग एंटीना सरणियाँ दूरसंचार में, एक समरेखीय (या सह-रैखिक) एंटीना सरणी द्विध्रुवीय एंटीना की एक सरणी है जो इस तरह से घुड़सवार होती है कि प्रत्येक एंटीना के संबंधित तत्व समानांतर और संरेखित होते हैं, यानी वे एक सामान्य रेखा या अक्ष के साथ स्थित होते हैं। छायांकन समरेखी समीकरण दो समीकरणों का एक समूह है, जिसका उपयोग फोटोग्रामेट्री और कंप्यूटर स्टीरियो दृष्टि में किया जाता है, जो एक छवि (संवेदक) तल (दो आयामों में) में निर्देशांक को वस्तु निर्देशांक (तीन आयामों में) से संबंधित करता है। फोटोग्राफी सेटिंग में, समीकरणों को छवि (संवेदक) तल में छवि के लिए कैमरे के ऑप्टिकल केंद्र के माध्यम से वस्तु के एक बिंदु के केंद्रीय प्रक्षेपण पर विचार करके प्राप्त किया जाता है। तीन बिंदु, वस्तु बिंदु, छवि बिंदु और प्रकाशिक केंद्र, हमेशा समरेखीय होते हैं। यह कहने का एक और तरीका यह है कि वस्तु बिंदुओं को उनके छवि बिंदुओं से जोड़ने वाले रेखा खंड सभी ऑप्टिकल केंद्र में समवर्ती होते हैं। पैपस की षट्कोणीय प्रमेय संख्या तीन-इन-लाइन समस्या घटना (ज्यामिति) #Collinearity कोप्लेनेरिटी नोट्स संदर्भ घटना ज्यामिति भी देखें।