Subharmonic function
गणित में, सबहार्मोनिक और सुपरहार्मोनिक कार्य आंशिक विभेदक समीकरणों, जटिल विश्लेषण और संभावित सिद्धांत में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाने वाले कार्यों के महत्वपूर्ण वर्ग हैं। अंतर्ज्ञानी रूप से, उप-हार्मोनिक कार्य निम्नानुसार एक चर के उत्तल कार्यों से संबंधित हैं। यदि एक उत्तल फलन और एक रेखा का ग्राफ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, तो उत्तल फलन का ग्राफ उन बिंदुओं के बीच की रेखा के नीचे होता है। इसी तरह, यदि एक सबहार्मोनिक फ़ंक्शन के मान एक गेंद की सीमा पर एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के मूल्यों से बड़े नहीं हैं, तो सबहार्मोनिक फ़ंक्शन के मान गेंद के अंदर भी हार्मोनिक फ़ंक्शन के मूल्यों से बड़े नहीं हैं। सुपरहार्मोनिक कार्यों को एक ही विवरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, केवल "कोई बड़ा नहीं" को "कोई छोटा नहीं" के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, एक सुपरहार्मोनिक कार्य केवल एक सबहार्मोनिक कार्य का नकारात्मक है, और इस कारण से सबहार्मोनिक कार्यों के किसी भी गुण को आसानी से सुपरहार्मोनिक कार्यों में स्थानांतरित किया जा सकता है। औपचारिक परिभाषा औपचारिक रूप से, परिभाषा को निम्नानुसार कहा जा सकता है। मान लीजिए कि यह यूक्लिडियन स्थान का एक उपसमुच्चय है और एक ऊपरी अर्ध-निरंतर फलन है। फिर, इसे सबहार्मोनिक कहा जाता है यदि केंद्र और त्रिज्या में निहित किसी भी बंद गेंद के लिए और उस पर प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन हार्मोनिक है और सीमा पर सभी के लिए संतुष्ट करता है, तो हमारे पास सभी के लिए ध्यान दें कि उपरोक्त के अनुसार, फ़ंक्शन जो समान रूप से − φ है, सबहार्मोनिक है, लेकिन कुछ लेखक परिभाषा के अनुसार इस फ़ंक्शन को बाहर करते हैं। एक फलन को सुपरहार्मोनिक कहा जाता है यदि वह सबहार्मोनिक है। गुण एक फलन हार्मोनिक होता है यदि और केवल तभी जब यह सबहार्मोनिक और सुपरहार्मोनिक दोनों हो। यदि एक खुले सेट पर C2 (दो बार लगातार अवकलनीय) है, तो सबहार्मोनिक है यदि और केवल अगर कोई चालू है, तो लाप्लेशियन कहाँ है। सबहार्मोनिक फलन का अधिकतम अपने क्षेत्र के आंतरिक भाग में तब तक प्राप्त नहीं किया जा सकता जब तक कि फलन स्थिर न हो, जिसे अधिकतम सिद्धांत कहा जाता है। हालांकि, एक सबहार्मोनिक कार्य का न्यूनतम इसके क्षेत्र के आंतरिक भाग में प्राप्त किया जा सकता है। सबहार्मोनिक कार्य एक उत्तल शंकु बनाते हैं, अर्थात, सकारात्मक गुणांक के साथ सबहार्मोनिक कार्यों का एक रैखिक संयोजन भी सबहार्मोनिक होता है। दो उप-हार्मोनिक कार्यों का अधिकतम बिंदु-वार उप-हार्मोनिक है। यदि उप-हार्मोनिक कार्यों की गणना योग्य संख्या का बिंदुवार अधिकतम ऊपरी अर्ध-निरंतर है, तो यह भी उप-हार्मोनिक है। सबहार्मोनिक कार्यों के घटते अनुक्रम की सीमा सबहार्मोनिक (या समान रूप से बराबर) है। सबहार्मोनिक कार्य आवश्यक रूप से सामान्य टोपोलॉजी में निरंतर नहीं होते हैं, हालांकि कोई भी ठीक टोपोलॉजी का परिचय दे सकता है जो उन्हें निरंतर बनाता है। उदाहरण यदि विश्लेषणात्मक है तो सबहार्मोनिक है। अधिक उदाहरणों का निर्माण ऊपर सूचीबद्ध गुणों का उपयोग करके, अधिकतम, उत्तल संयोजन और सीमाएँ लेकर किया जा सकता है। आयाम 1 में, सभी उप-हार्मोनिक कार्यों को इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है। रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय यदि किसी क्षेत्र में उप-हार्मोनिक है, तो आयाम के यूक्लिडियन स्थान में, हार्मोनिक है, और, फिर इसे का हार्मोनिक प्रमुख कहा जाता है। यदि एक हार्मोनिक प्रमुख मौजूद है, तो सबसे कम हार्मोनिक प्रमुख मौजूद है, और जबकि आयाम 2 में, जहां सबसे कम हार्मोनिक प्रमुख है, और एक बोरेल माप है। इसे रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहा जाता है। जटिल तल सबहार्मोनिक कार्यों में सबहार्मोनिक कार्य जटिल विश्लेषण में एक विशेष महत्व के होते हैं, जहां वे होलोमोर्फिक कार्यों से घनिष्ठ रूप से जुड़े होते हैं। कोई यह दिखा सकता है कि एक समूह पर परिभाषित एक जटिल चर (यानी, दो वास्तविक चर) का एक वास्तविक-मूल्यवान, निरंतर कार्य उप-हार्मोनिक है यदि और केवल तभी जब केंद्र और त्रिज्या की किसी भी बंद डिस्क के लिए एक में सहज ज्ञान हो, इसका मतलब है कि एक उप-हार्मोनिक कार्य किसी भी बिंदु पर उस बिंदु के आसपास एक वृत्त में मानों के औसत से अधिक नहीं है, एक तथ्य जिसका उपयोग अधिकतम सिद्धांत प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यदि एक होलोमोर्फिक फलन है, तो एक सबहार्मोनिक फलन है यदि हम होने के शून्य पर के मान को परिभाषित करते हैं। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक α> 0 के लिए सबहार्मोनिक है। यह अवलोकन हार्डी रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक भूमिका निभाता है, विशेष रूप से H के अध्ययन के लिए जब 0 <p <1 होता है। जटिल तल के संदर्भ में, उत्तल कार्यों के संबंध को इस तथ्य से भी महसूस किया जा सकता है कि एक डोमेन पर एक उप-हार्मोनिक कार्य जो काल्पनिक दिशा में स्थिर है, वास्तविक दिशा में उत्तल है और इसके विपरीत। सबहार्मोनिक कार्यों के हार्मोनिक प्रमुख यदि जटिल तल के एक क्षेत्र में सबहार्मोनिक है, और हार्मोनिक है, तो इन इन का एक हार्मोनिक प्रमुख है। इस तरह की असमानता को विकास की स्थिति के रूप में देखा जा सकता है। यूनिट डिस्क में सबहार्मोनिक कार्य। रेडियल मैक्सिमल फ़ंक्शन मान लीजिए कि बंद इकाई डिस्क डी (0,1) वाले जटिल तल के एक खुले उपसमुच्चय में φ उप-हार्मोनिक, निरंतर और गैर-नकारात्मक है। फलन φ (इकाई डिस्क तक सीमित) के लिए रेडियल अधिकतम फलन को इकाई वृत्त पर इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि यदि पी. आर. पॉइसन कर्नेल को दर्शाता है, तो यह सबहार्मोनिसिटी से इस प्रकार है कि यह दिखाया जा सकता है कि अंतिम समाकलन इकाई वृत्त टी के लिए φ के प्रतिबंध के हार्डी-लिटिलवुड अधिकतम फलन φ ≤ के ई पर मान से कम है, ताकि 0 ≤ एम. φ ≤ φ ≤। यह ज्ञात है कि हार्डी-लिटिलवुड प्रचालक एल. पी. (टी.) पर तब बंधा होता है जब 1 <पी. यह इस प्रकार है कि कुछ सार्वभौमिक स्थिरांक C के लिए, यदि f, ω और 0 <p <φ में एक समरूप फलन है, तो पूर्ववर्ती असमानता φ = |f। पर लागू होती है। इन तथ्यों से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि शास्त्रीय हार्डी अंतरिक्ष में कोई भी फलन F, Hp संतुष्ट करता है अधिक काम के साथ, यह दिखाया जा सकता है कि F की इकाई वृत्त पर लगभग हर जगह रेडियल सीमा F (e) है, और (प्रबल अभिसरण प्रमेय द्वारा) कि Fr, जिसे Fr (e) = F (पुनः) द्वारा परिभाषित किया गया है, Lp (T) में F की ओर जाता है। रीमानियन मैनिफोल्ड्स पर सबहार्मोनिक कार्यों को एक मनमाने रीमानियन मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है। परिभाषाः मान लीजिए कि एम एक रीमानियन मैनिफोल्ड है, और एक ऊपरी अर्ध-सतत फलन है। मान लीजिए कि किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए, और U पर किसी भी हार्मोनिक फलन f1 के लिए, जैसे कि U की सीमा पर, असमानता सभी U पर होती है। फिर f को सबहार्मोनिक कहा जाता है। यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है। इसके अलावा, दो बार अवकलनीय कार्यों के लिए, सबहार्मोनिसिटी असमानता के बराबर है, जहां सामान्य लाप्लासियन है। प्लुरिसुफार्मोनिक फलन को भी देखें-कई जटिल चरों का सामान्यीकरण शास्त्रीय सूक्ष्म टोपोलॉजी टिप्पणियाँ संदर्भ संभावित सिद्धांत जटिल विश्लेषण कार्यों के प्रकार