Rotation around a fixed axis
एक निश्चित अक्ष या अक्षीय घूर्णन के चारों ओर घूर्णन त्रि-आयामी स्थान में स्थिर, स्थिर या स्थिर घूर्णन के अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति का एक विशेष मामला है। इस प्रकार की गति में घूर्णन के तात्कालिक अक्ष के अपने अभिविन्यास को बदलने की संभावना को शामिल नहीं किया गया है और इस तरह की घटनाओं को हिलाना या पूर्वगमन के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यूलर के घूर्णन प्रमेय के अनुसार, एक ही समय में कई स्थिर अक्षों के साथ एक साथ घूर्णन असंभव है; यदि एक ही समय में दो घूर्णन मजबूर किए जाते हैं, तो घूर्णन का एक नया अक्ष होगा। यह अवधारणा मानती है कि घूर्णन भी स्थिर है, जैसे कि इसे जारी रखने के लिए किसी टोक़ की आवश्यकता नहीं है। एक कठोर पिंड के एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के गतिकी और गतिकी गणितीय रूप से एक कठोर पिंड के मुक्त घूर्णन की तुलना में बहुत सरल हैं; वे पूरी तरह से एक निश्चित दिशा के साथ रैखिक गति के समान हैं, जो एक कठोर पिंड के मुक्त घूर्णन के लिए सही नहीं है। वस्तु की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्तियाँ, और वस्तु के भागों पर बलों के लिए, सामान्य घूर्णन गति की तुलना में एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए भी सरल हैं। इन कारणों से, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन आमतौर पर छात्रों को रैखिक गति में महारत हासिल करने के बाद परिचयात्मक भौतिकी पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है; घूर्णन गति की पूर्ण व्यापकता आमतौर पर परिचयात्मक भौतिकी कक्षाओं में नहीं सिखाई जाती है। अनुवाद और घूर्णन एक कठोर पिंड एक सीमित सीमा की वस्तु है जिसमें घटक कणों के बीच की सभी दूरी स्थिर होती है। वास्तव में कोई कठोर पिंड मौजूद नहीं है; बाहरी बल किसी भी ठोस को विकृत कर सकते हैं। हमारे उद्देश्यों के लिए, एक कठोर पिंड एक ठोस है जिसे काफी हद तक विकृत करने के लिए बड़ी ताकतों की आवश्यकता होती है। त्रि-आयामी स्थान में एक कण की स्थिति में परिवर्तन को पूरी तरह से तीन निर्देशांकों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। एक कठोर पिंड की स्थिति में परिवर्तन का वर्णन करना अधिक जटिल है। इसे दो अलग-अलग प्रकार की गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता हैः अनुवादात्मक गति और गोलाकार गति। विशुद्ध रूप से परिवर्तनशील गति तब होती है जब शरीर के प्रत्येक कण का प्रत्येक अन्य कण के समान तात्कालिक वेग होता है; फिर किसी भी कण द्वारा खोजा गया मार्ग शरीर के प्रत्येक अन्य कण द्वारा खोजे गए मार्ग के बिल्कुल समानांतर होता है। अनुवादात्मक गति के तहत, एक कठोर पिंड की स्थिति में परिवर्तन को पूरी तरह से तीन निर्देशांकों जैसे x, y और z द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जो किसी भी बिंदु का विस्थापन देता है, जैसे कि द्रव्यमान का केंद्र, जो कठोर पिंड पर स्थिर होता है। विशुद्ध रूप से घूर्णन गति तब होती है जब शरीर का प्रत्येक कण एक वृत्त में एक ही रेखा के आसपास चलता है। इस रेखा को घूर्णन का अक्ष कहा जाता है। फिर अक्ष से सभी कणों तक त्रिज्या वैक्टर एक ही समय में एक ही कोणीय विस्थापन से गुजरते हैं। घूर्णन की धुरी को शरीर के माध्यम से जाने की आवश्यकता नहीं है। सामान्य तौर पर, किसी भी घूर्णन को आयताकार-निर्देशांक अक्षों x, y और z के संबंध में तीन कोणीय विस्थापनों द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस प्रकार कठोर पिंड की स्थिति में किसी भी परिवर्तन को पूरी तरह से तीन अनुवादात्मक और तीन घूर्णन निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाता है। एक कठोर वस्तु के किसी भी विस्थापन पर पहले वस्तु को विस्थापन के अधीन करने के बाद एक घूर्णन, या इसके विपरीत, एक घूर्णन के बाद एक विस्थापन के द्वारा पहुँचा जा सकता है। हम पहले से ही जानते हैं कि कणों के किसी भी संग्रह के लिए-चाहे वह एक दूसरे के संबंध में स्थिर हो, जैसे कि एक कठोर पिंड में, या सापेक्ष गति में, जैसे कि एक खोल के विस्फोटक टुकड़े, द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण इस प्रकार दिया जाता है जहाँ M प्रणाली का कुल द्रव्यमान है और ACM द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण है। द्रव्यमान के केंद्र के बारे में शरीर के घूर्णन का वर्णन करने और इसे शरीर पर कार्य करने वाले बाहरी बलों से संबंधित करने की बात बनी हुई है। एक ही अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति के गतिकी और गतिकी गतिकी और अनुवाद गति की गतिकी से मिलते-जुलते हैं; एक ही अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति में कण गतिकी के समान कार्य-ऊर्जा प्रमेय भी होता है। गतिविज्ञान कोणीय विस्थापन एक कण को देखते हुए जो त्रिज्या के एक वृत्त की परिधि के साथ चलता है, एक चाप की लंबाई को स्थानांतरित करता है, इसकी कोणीय स्थिति इसकी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष होती है, जहाँ। गणित और भौतिकी में रेडियन, समतल कोण की एक इकाई, को 1 के रूप में मानना पारंपरिक है, अक्सर इसे छोड़ दिया जाता है। इकाइयों को निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता हैः एक कोणीय विस्थापन कोणीय स्थिति में परिवर्तन हैः जहाँ कोणीय विस्थापन है, प्रारंभिक कोणीय स्थिति है और अंतिम कोणीय स्थिति है। कोणीय वेग प्रति इकाई समय में कोणीय विस्थापन में परिवर्तन को घूर्णन अक्ष के साथ दिशा के साथ कोणीय वेग कहा जाता है। कोणीय वेग का प्रतीक है और इकाइयाँ आम तौर पर रेड s-1 होती हैं। कोणीय गति कोणीय वेग का परिमाण है। कोणीय स्थिति के लिए सूत्र का उपयोग करके तात्कालिक कोणीय वेग दिया जाता है और हमारे पास यह भी है कि कण की अनुवाद गति कहाँ है। कोणीय वेग और आवृत्ति कोणीय त्वरण द्वारा संबंधित हैं एक बदलते कोणीय वेग कठोर पिंड में कोणीय त्वरण की उपस्थिति को इंगित करता है, जिसे आमतौर पर रेड s−2 में मापा जाता है। तत्काल त्वरण α (t) द्वारा दिया जाता है इस प्रकार, कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है, जैसे त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है। घूर्णन करने वाली वस्तु पर एक बिंदु का अनुवाद त्वरण इस प्रकार दिया जाता है जहाँ r त्रिज्या या घूर्णन की धुरी से दूरी है। यह त्वरण का स्पर्शरेखा घटक भी हैः यह बिंदु की गति की दिशा के लिए स्पर्शरेखा है। यदि यह घटक 0 है, तो गति एक समान गोलाकार गति है, और वेग केवल दिशा में बदलता है। रेडियल त्वरण (गति की दिशा के लंबवत) द्वारा दिया जाता है यह घूर्णन गति के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, और इसे अक्सर केंद्रगामी त्वरण कहा जाता है। कोणीय त्वरण टोक़ के कारण होता है, जिसका सकारात्मक और नकारात्मक कोणीय आवृत्ति की परंपरा के अनुसार सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य हो सकता है। टोक़ और कोणीय त्वरण के बीच का संबंध (शुरू करना, रोकना या अन्यथा घूर्णन को बदलना कितना मुश्किल है) जड़ता के क्षण द्वारा दिया जाता हैः गतिकी के समीकरण जब कोणीय त्वरण स्थिर होता है, तो पाँच मात्राएँ कोणीय विस्थापन, प्रारंभिक कोणीय वेग, अंतिम कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और समय को गतिकी के चार समीकरणों द्वारा संबंधित किया जा सकता हैः गतिकी जड़ता का क्षण किसी वस्तु के जड़ता का क्षण, जिसका प्रतीक, उसके घूर्णन में परिवर्तन के प्रति वस्तु के प्रतिरोध का एक माप है। जड़ता के क्षण को किलोग्राम मीटर 2 (किलोग्राम एम 2) में मापा जाता है। यह वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता हैः किसी वस्तु के द्रव्यमान को बढ़ाने से जड़ता का क्षण बढ़ जाता है। यह द्रव्यमान के वितरण पर भी निर्भर करता हैः घूर्णन के केंद्र से आगे द्रव्यमान का वितरण जड़ता के क्षण को अधिक डिग्री से बढ़ाता है। घूर्णन की धुरी से दूरी पर द्रव्यमान के एक कण के लिए, जड़ता का क्षण टॉर्क टॉर्क द्वारा दिया जाता है जो एक घूर्णन वस्तु पर लागू बल F का घुमावदार प्रभाव है जो अपने घूर्णन की धुरी से स्थिति r पर है। गणितीय रूप से, जहाँ × क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है। किसी वस्तु पर कार्य करने वाला एक शुद्ध टोक़ उसी तरह वस्तु का कोणीय त्वरण उत्पन्न करेगा जैसे रैखिक गतिकी में F = Ma। किसी वस्तु पर कार्य करने वाले टोक़ द्वारा किया गया कार्य उस टोक़ के परिमाण के बराबर होता है जिसके माध्यम से टोक़ लागू किया जाता हैः एक टोक़ की शक्ति प्रति इकाई समय में टोक़ द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है, इसलिएः कोणीय संवेग कोणीय संवेग एक घूर्णन वस्तु को आराम करने में कठिनाई का एक उपाय है। यह इस आधार पर दिया जाता है कि वस्तु में सभी कणों पर योग कहाँ लिया जाता है। कोणीय संवेग जड़ता और कोणीय वेग के क्षण का उत्पाद हैः जैसे रैखिक गतिकी में p = mv। घूर्णन गति में रैखिक संवेग का अनुरूप कोणीय संवेग है। कताई वस्तु की कोणीय गति जितनी अधिक होगी जैसे कि एक शीर्ष, उतनी ही अधिक इसकी घूमना जारी रखने की प्रवृत्ति होगी। एक घूर्णन पिंड की कोणीय गति इसके द्रव्यमान और यह कितनी तेजी से घूम रहा है, इसके समानुपाती होती है। इसके अलावा, कोणीय संवेग इस बात पर निर्भर करता है कि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान कैसे वितरित किया जाता हैः द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से जितना दूर स्थित होता है, कोणीय संवेग उतना ही अधिक होता है। रिकॉर्ड टर्नटेबल जैसी एक सपाट डिस्क में समान द्रव्यमान और घूर्णन के वेग के खोखले सिलेंडर की तुलना में कम कोणीय गति होती है। रैखिक संवेग की तरह, कोणीय संवेग वेक्टर मात्रा है, और इसके संरक्षण का तात्पर्य है कि स्पिन अक्ष की दिशा अपरिवर्तित रहती है। इस कारण से, कताई शीर्ष सीधा रहता है जबकि एक स्थिर तुरंत ऊपर गिर जाता है। कोणीय संवेग समीकरण का उपयोग एक अक्ष (जिसे कभी-कभी टोक़ कहा जाता है) के बारे में किसी वस्तु पर परिणामी बल के क्षण और उस अक्ष के बारे में घूर्णन की दर को संबंधित करने के लिए किया जा सकता है। टॉर्क और कोणीय संवेग उसी तरह संबंधित हैं जैसे रैखिक गतिकी में F = dp/dt। एक बाहरी टोक़ की अनुपस्थिति में, एक वस्तु की कोणीय गति स्थिर रहती है। कोणीय संवेग का संरक्षण विशेष रूप से फिगर स्केटिंग में प्रदर्शित किया जाता हैः जब एक स्पिन के दौरान बाहों को शरीर के करीब खींचते हैं, तो जड़ता का क्षण कम हो जाता है, और इसलिए कोणीय वेग बढ़ जाता है। गतिज ऊर्जा शरीर के घूर्णन के कारण गतिज ऊर्जा रैखिक गतिकी की तरह ही दी जाती है। गतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है। दो चरों में पाई जाने वाली परिवर्तनीय गतिज ऊर्जा की मात्राः वस्तु का द्रव्यमान () और वस्तु की गति () जैसा कि उपरोक्त समीकरण में दिखाया गया है। गतिज ऊर्जा का मान हमेशा शून्य या सकारात्मक होना चाहिए। जबकि वेग का मान सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, वेग वर्ग हमेशा सकारात्मक रहेगा। वेक्टर अभिव्यक्ति उपरोक्त विकास सामान्य घूर्णन गति का एक विशेष मामला है। सामान्य मामले में, कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और टोक़ को वैक्टर माना जाता है। एक कोणीय विस्थापन को एक सदिश माना जाता है, जो अक्ष के साथ इंगित करता है, जिसका परिमाण के बराबर होता है। दाएँ हाथ के नियम का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि यह अक्ष के साथ किस दिशा में इंगित करता है; यदि दाएँ हाथ की उंगलियों को उस तरह से इंगित करने के लिए घुमाया जाता है जिस तरह से वस्तु घूम चुकी है, तो दाएँ हाथ का अंगूठा वेक्टर की दिशा में इंगित करता है। कोणीय वेग सदिश भी घूर्णन की धुरी के साथ उसी तरह इंगित करता है जैसे कोणीय विस्थापन के कारण होता है। यदि कोई डिस्क घड़ी की विपरीत दिशा में घूमती है जैसा कि ऊपर से देखा जाता है, तो इसका कोणीय वेग सदिश ऊपर की ओर इंगित करता है। इसी तरह, कोणीय त्वरण सदिश घूर्णन की धुरी के साथ उसी दिशा में इंगित करता है कि कोणीय वेग इंगित करेगा यदि कोणीय त्वरण को लंबे समय तक बनाए रखा जाए। टॉर्क वेक्टर उस अक्ष के साथ इंगित करता है जिसके चारों ओर टॉर्क घूर्णन का कारण बनता है। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन बनाए रखने के लिए, कुल टॉर्क वेक्टर को अक्ष के साथ होना चाहिए, ताकि यह केवल परिमाण को बदल सके न कि कोणीय वेग वेक्टर की दिशा को। काज के मामले में, अक्ष के साथ केवल टोक़ सदिश के घटक का घूर्णन पर प्रभाव पड़ता है, अन्य बलों और टोक़ों को संरचना द्वारा क्षतिपूर्ति की जाती है। गणितीय प्रतिनिधित्व उदाहरण और अनुप्रयोग स्थिर कोणीय गति एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन का सबसे सरल मामला स्थिर कोणीय गति का होता है। तब कुल टोक़ शून्य होता है। पृथ्वी के अपनी धुरी के चारों ओर घूमने के उदाहरण के लिए, बहुत कम घर्षण होता है। पंखे के लिए, मोटर घर्षण की भरपाई के लिए एक टोक़ लगाती है। पंखे के समान, बड़े पैमाने पर उत्पादन निर्माण उद्योग में पाए जाने वाले उपकरण एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन को प्रभावी ढंग से प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, एक बहु-कताई खराद का उपयोग सामग्री को उसकी धुरी पर घुमाने के लिए किया जाता है ताकि काटने, विरूपण और मोड़ संचालन की उत्पादकता को प्रभावी ढंग से बढ़ाया जा सके। घूर्णन का कोण समय का एक रैखिक फलन है, जो 360° मॉड्यूलो एक आवधिक फलन है। इसका एक उदाहरण वृत्ताकार कक्षाओं के साथ दो-पिंड समस्या है। केंद्रीय बल आंतरिक तन्यता तनाव केंद्रीय बल प्रदान करता है जो एक कताई वस्तु को एक साथ रखता है। एक कठोर शरीर मॉडल साथ के तनाव की उपेक्षा करता है। यदि शरीर कठोर नहीं है तो यह तनाव इसका आकार बदल देगा। इसे "अपकेंद्र बल" के कारण आकार बदलने वाली वस्तु के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक-दूसरे के चारों ओर घूमने वाले खगोलीय पिंडों में अक्सर अण्डाकार कक्षाएं होती हैं। वृत्ताकार कक्षाओं का विशेष मामला एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन का एक उदाहरण हैः यह अक्ष गति के तल के लंबवत द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से रेखा है। केन्द्रगामी बल गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है, दो-शरीर समस्या भी देखें। यह आमतौर पर एक घूमने वाले खगोलीय पिंड के लिए भी लागू होता है, इसलिए इसे एक साथ रखने के लिए ठोस होने की आवश्यकता नहीं है जब तक कि इसके घनत्व के संबंध में कोणीय गति बहुत अधिक न हो। (हालाँकि, यह ओब्लेट हो जाएगा।) उदाहरण के लिए, आकार की परवाह किए बिना, पानी के एक घूमने वाले खगोलीय पिंड को घूमने में कम से कम 3 घंटे और 18 मिनट का समय लगना चाहिए, अन्यथा पानी अलग हो जाएगा। यदि द्रव का घनत्व अधिक है तो समय कम हो सकता है। कक्षीय अवधि देखें। घूर्णन के विमान भी गति के शारीरिक शब्दों को देखें घूर्णन द्वारा कृत्रिम गुरुत्वाकर्षण अक्षीय झुकाव अक्षीय कोण प्रतिनिधित्व कैरोसेल, फेरिस व्हील सेंटर पिन अपकेंद्र बल अपकेंद्र बल केंद्रीकृत केंद्रीय बल वृत्तीय गति कोरियोलिस प्रभाव काल्पनिक बल फ्लाईव्हील गैरेशन घूर्णन का तत्काल केंद्र रैखिक-घूर्णन अनुरूप ऑप्टिकल अक्ष प्रति मिनट घूर्णन दरवाजा कठोर शरीर कोणीय गति घूर्णन मैट्रिक्स घूर्णन गति घूर्णन समरूपता रन-आउट संदर्भ भौतिक विज्ञान के मूलभूत तत्व हैलिडे, रेस्निक और वॉकर द्वारा विस्तारित 7 वें संस्करण। एच. सी. वर्मा द्वारा भौतिकी खंड 1 की अवधारणाएँ, पहला संस्करण, खगोलीय यांत्रिकी यूक्लिडियन समरूपता घूर्णन