Biharmonic equation
गणित में, बायहार्मोनिक समीकरण एक चौथे क्रम का आंशिक विभेदक समीकरण है जो निरंतरता यांत्रिकी के क्षेत्रों में उत्पन्न होता है, जिसमें रैखिक लोच सिद्धांत और स्टोक्स प्रवाह का समाधान शामिल है। विशेष रूप से, इसका उपयोग पतली संरचनाओं के प्रतिरूपण में किया जाता है जो बाहरी बलों के लिए लोचदार रूप से प्रतिक्रिया करते हैं। संकेतन इसे या या जहाँ के रूप में लिखा जाता है, जो डेल ऑपरेटर की चौथी शक्ति है और लाप्लासियन ऑपरेटर (या) के वर्ग को बिहार्मोनिक ऑपरेटर या बिलाप्लासियन ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। कार्टेशियन निर्देशांक में, इसे आयामों में इस प्रकार लिखा जा सकता हैः क्योंकि यहाँ सूत्र में सूचकांकों का योग है, कई गणितशास्त्री संकेतन को पसंद करते हैं क्योंकि पूर्व स्पष्ट करता है कि चार नबल प्रचालक के सूचकांकों में से कौन सा संकुचित है। उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में द्वि-हार्मोनिक समीकरण का रूप होता है एक और उदाहरण के रूप में, एन-आयामी वास्तविक समन्वय स्थान में मूल के बिना, जहां दर्शाता है, केवल एन = 3 और एन = 5 के लिए, द्वि-हार्मोनिक समीकरण का एक समाधान है। बिहार्मोनिक समीकरण के समाधान को बिहार्मोनिक फलन कहा जाता है। कोई भी हार्मोनिक कार्य बायहार्मोनिक होता है, लेकिन इसका उल्टा हमेशा सच नहीं होता है। द्वि-आयामी ध्रुवीय निर्देशांकों में, द्वि-हार्मोनिक समीकरण है जिसे चरों के पृथक्करण द्वारा हल किया जा सकता है। परिणाम मिशेल समाधान है। 2-आयामी स्थान 2-आयामी मामले का सामान्य समाधान यह है कि कहाँ, और हार्मोनिक कार्य हैं और इसका एक हार्मोनिक संयुग्म है। जिस तरह 2 चर में हार्मोनिक कार्य जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों से निकटता से संबंधित हैं, उसी तरह 2 चर में हार्मोनिक कार्य भी हैं। 2 चरों में एक द्वि-हार्मोनिक फलन के सामान्य रूप को विश्लेषणात्मक फलन के रूप में भी लिखा जा सकता है। हार्मोनिक फ़ंक्शन संदर्भ एरिक डब्ल्यू वेइज़स्टीन, सी. आर. सी. गणित का संक्षिप्त विश्वकोश, सी. आर. सी. प्रेस, 2002 भी देखें। एस आई हायेक, विज्ञान और इंजीनियरिंग में उन्नत गणितीय विधियाँ, मार्सेल डेकर, 2000। बाहरी लिंक अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरण