Local-density approximation
स्थानीय-घनत्व सन्निकटन (एल. डी. ए.) घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (डी. एफ. टी.) में कार्यात्मक विनिमय-सहसंबंध (एक्स. सी.) ऊर्जा के सन्निकटन का एक वर्ग है जो पूरी तरह से अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर इलेक्ट्रॉनिक घनत्व के मूल्य पर निर्भर करता है (न कि, उदाहरण के लिए, घनत्व के व्युत्पन्न या कोहन-शाम कक्षीय)। कई दृष्टिकोण एक्स. सी. ऊर्जा के लिए स्थानीय सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, अत्यधिक सफल स्थानीय सन्निकटन वे हैं जो सजातीय इलेक्ट्रॉन गैस (एच. ई. जी.) मॉडल से प्राप्त किए गए हैं। इस संबंध में, एल. डी. ए. आम तौर पर एच. ई. जी. सन्निकटन पर आधारित कार्यों का पर्याय है, जिन्हें फिर यथार्थवादी प्रणालियों (अणुओं और ठोस) पर लागू किया जाता है। सामान्य तौर पर, एक स्पिन-अनपोलराइज्ड प्रणाली के लिए, विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा के लिए एक स्थानीय-घनत्व सन्निकटन को लिखा जाता है जहां ρ इलेक्ट्रॉनिक घनत्व है और εxc आवेश घनत्व ρ की सजातीय इलेक्ट्रॉन गैस के प्रति कण विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा है। विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा को विनिमय और सहसंबंध शब्दों में रैखिक रूप से विघटित किया जाता है, ताकि Ex और Ec के लिए अलग-अलग अभिव्यक्तियों की मांग की जा सके। विनिमय शब्द एच. ई. जी. के लिए एक सरल विश्लेषणात्मक रूप लेता है। सहसंबंध घनत्व के लिए केवल सीमित अभिव्यक्तियाँ ही सटीक रूप से ज्ञात हैं, जिससे εc के लिए कई अलग-अलग सन्निकटन होते हैं। स्थानीय-घनत्व सन्निकटन विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा के लिए अधिक परिष्कृत सन्निकटन के निर्माण में महत्वपूर्ण हैं, जैसे कि सामान्यीकृत प्रवणता सन्निकटन (जी. जी. ए.) या संकर कार्यात्मक, किसी भी अनुमानित विनिमय-सहसंबंध कार्यात्मक के वांछनीय गुण के रूप में यह है कि यह गैर-भिन्न घनत्वों के लिए एच. ई. जी. के सटीक परिणामों को पुनः उत्पन्न करता है। जैसे, एल. डी. ए. अक्सर इस तरह के कार्यों का एक स्पष्ट घटक होते हैं। स्थानीय-घनत्व सन्निकटन पहली बार 1965 में वाल्टर कोहन और लू जेउ शाम द्वारा पेश किया गया था। अनुप्रयोग जी. जी. ए. की तरह स्थानीय घनत्व सन्निकटन को ठोस अवस्था भौतिकविदों द्वारा अर्धचालक ऑक्साइड और स्पिनट्रॉनिक्स सहित अर्धचालक पदार्थों में इलेक्ट्रॉनिक और चुंबकीय अंतःक्रियाओं की व्याख्या करने के लिए डी. एफ. टी. अध्ययनों में बड़े पैमाने पर नियोजित किया जाता है। इन कम्प्यूटेशनल अध्ययनों का महत्व प्रणाली की जटिलताओं से उत्पन्न होता है जो संश्लेषण मापदंडों के प्रति उच्च संवेदनशीलता लाते हैं जिसके लिए प्रथम-सिद्धांत आधारित विश्लेषण की आवश्यकता होती है। डोप्ड अर्धचालक ऑक्साइड में फर्मी स्तर और बैंड संरचना की भविष्यवाणी अक्सर सीएएसटीईपी और डीएमओएल3 जैसे अनुकरण पैकेजों में शामिल एलडीए का उपयोग करके की जाती है। हालांकि अक्सर एलडीए और जीजीए सन्निकटन से जुड़े बैंड अंतर मूल्यों में कम आकलन से ऐसी प्रणालियों में अशुद्धता मध्यस्थता चालकता और/या वाहक मध्यस्थता चुंबकत्व की गलत भविष्यवाणियां हो सकती हैं। 1998 में शुरू करते हुए, आइगेनवैल्यूज के लिए रेले प्रमेय के अनुप्रयोग ने एलडीए क्षमताओं का उपयोग करते हुए सामग्री के ज्यादातर सटीक, गणना किए गए बैंड अंतराल को जन्म दिया है। डी. एफ. टी. के दूसरे प्रमेय की एक गलतफहमी एल. डी. ए. और जी. जी. ए. गणनाओं द्वारा बैंड अंतराल के अधिकांश कम आकलन की व्याख्या करती प्रतीत होती है, जैसा कि डी. एफ. टी. के दो प्रमेयों के बयानों के संबंध में घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के विवरण में समझाया गया है। केवल घनत्व के आधार पर εxc के लिए सजातीय इलेक्ट्रॉन गैस सन्निकटन को कई तरीकों से विकसित किया जा सकता है। सबसे सफल दृष्टिकोण सजातीय इलेक्ट्रॉन गैस पर आधारित है। इसका निर्माण एन अंतःक्रियात्मक इलेक्ट्रॉनों को एक आयतन, वी में रखते हुए किया जाता है, जिसमें प्रणाली को तटस्थ रखते हुए एक सकारात्मक पृष्ठभूमि आवेश होता है। फिर N और V को इस तरह से अनंत तक ले जाया जाता है जिससे घनत्व (ρ = N/V) सीमित रहता है। यह एक उपयोगी अनुमान है क्योंकि कुल ऊर्जा में केवल गतिज ऊर्जा, स्थिरविद्युत अंतःक्रिया ऊर्जा और विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा से योगदान होता है, और यह कि तरंग फलन ग्रह तरंगों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक स्थिर घनत्व ρ के लिए, विनिमय ऊर्जा घनत्व ρ⁄3 के समानुपाती है। विनिमय कार्यात्मक एच. ई. जी. के विनिमय-ऊर्जा घनत्व को विश्लेषणात्मक रूप से जाना जाता है। विनिमय के लिए एल. डी. ए. इस अभिव्यक्ति को इस अनुमान के तहत नियोजित करता है कि एक प्रणाली में विनिमय-ऊर्जा जहां घनत्व सजातीय नहीं है, एच. ई. जी. परिणामों को बिंदुवार रूप से लागू करके प्राप्त किया जाता है, जिससे अभिव्यक्ति प्राप्त होती है एच. ई. जी. की सहसंबंध ऊर्जा के लिए सहसंबंध कार्यात्मक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ असीम रूप से कमजोर और असीम रूप से मजबूत सहसंबंध के अनुरूप उच्च और निम्न घनत्व सीमाओं में उपलब्ध हैं। घनत्व ρ वाले एच. ई. जी. के लिए, सहसंबंध ऊर्जा घनत्व की उच्च-घनत्व सीमा है और निम्न सीमा जहां विग्नर-सीटज़ पैरामीटर आयामहीन है। इसे एक गोले की त्रिज्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें ठीक एक इलेक्ट्रॉन शामिल है, जिसे बोहर त्रिज्या द्वारा विभाजित किया गया है। विग्नर-सीटज़ पैरामीटर घनत्व से संबंधित है क्योंकि कई-शरीर विक्षोभ सिद्धांत के आधार पर घनत्वों की पूरी श्रृंखला के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्रस्तावित की गई है। गणना की गई सहसंबंध ऊर्जाएँ क्वांटम मोंटे कार्लो अनुकरण से 2 मिली-हार्ट्री के भीतर के परिणामों के साथ सहमत हैं। एच. ई. जी. की ऊर्जा के लिए सटीक क्वांटम मोंटे कार्लो अनुकरण घनत्व के कई मध्यवर्ती मूल्यों के लिए किए गए हैं, जो बदले में सहसंबंध ऊर्जा घनत्व के सटीक मूल्य प्रदान करते हैं। स्पिन ध्रुवीकरण स्पिन-ध्रुवीकृत प्रणालियों के लिए घनत्व कार्यों का विस्तार विनिमय के लिए सीधा है, जहां सटीक स्पिन-स्केलिंग ज्ञात है, लेकिन सहसंबंध के लिए आगे के अनुमानों को नियोजित किया जाना चाहिए। डी. एफ. टी. में एक स्पिन ध्रुवीकृत प्रणाली दो स्पिन-घनत्वों, ρα और ρβ को ρ = ρα + ρβ के साथ नियोजित करती है, और स्थानीय-स्पिन-घनत्व सन्निकटन (एल. एस. डी. ए.) का रूप है विनिमय ऊर्जा के लिए, सटीक परिणाम (न केवल स्थानीय घनत्व सन्निकटन के लिए) स्पिन-ध्रुवीकृत कार्यात्मक के संदर्भ में जाना जाता हैः सहसंबंध ऊर्जा घनत्व की स्पिन-निर्भरता को सापेक्ष स्पिन-ध्रुवीकरण की शुरुआत करके संपर्क किया जाता हैः समान और स्पिन घनत्व के साथ डायमैग्नेटिक स्पिन-ध्रुवीकृत स्थिति से मेल खाती है जबकि लौह चुम्बकीय स्थिति से मेल खाती है जहां एक स्पिन घनत्व गायब हो जाता है। कुल घनत्व और सापेक्ष ध्रुवीकरण के दिए गए मूल्यों के लिए स्पिन सहसंबंध ऊर्जा घनत्व, εc (ρ, ς), का निर्माण चरम मूल्यों को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है। एल. डी. ए. सहसंबंध कार्यों के संयोजन में कई रूप विकसित किए गए हैं। स्थानीय घनत्व सन्निकटन के लिए विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा के अनुरूप विनिमय-सहसंबंध क्षमता सीमित प्रणालियों में, एल. डी. ए. क्षमता एक घातीय रूप के साथ स्पर्शोन्मुख रूप से क्षय होती है। यह परिणाम त्रुटिपूर्ण है; वास्तविक विनिमय-सहसंबंध क्षमता कूलोम्बिक तरीके से बहुत धीमी गति से क्षय होती है। कृत्रिम रूप से तेजी से क्षय कोहन-शाम कक्षीयों की संख्या में प्रकट होता है जो क्षमता को बांध सकते हैं (यानी, कितने कक्षीयों में शून्य से कम ऊर्जा होती है)। एल. डी. ए. क्षमता एक राइडबर्ग श्रृंखला का समर्थन नहीं कर सकती है और जिन अवस्थाओं को यह बांधती है वे ऊर्जा में बहुत अधिक हैं। इसके परिणामस्वरूप उच्चतम अधिकृत आणविक कक्षीय (एच. ओ. एम. ओ.) ऊर्जा ऊर्जा में बहुत अधिक होती है, ताकि कूपमैन के प्रमेय पर आधारित आयनीकरण क्षमता के लिए कोई भी भविष्यवाणी खराब हो। इसके अलावा, एल. डी. ए. इलेक्ट्रॉन-समृद्ध प्रजातियों जैसे कि आयनों का एक खराब विवरण प्रदान करता है जहां यह अक्सर एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन को बांधने में असमर्थ होता है, गलती से प्रजातियों को अस्थिर होने की भविष्यवाणी करता है। स्पिन ध्रुवीकरण के मामले में, विनिमय-सहसंबंध क्षमता स्पिन सूचकांकों को प्राप्त करती है। हालांकि, अगर कोई केवल विनिमय-सहसंबंध के विनिमय भाग पर विचार करता है, तो कोई एक क्षमता प्राप्त करता है जो स्पिन सूचकांकों में विकर्ण हैः संदर्भ घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत