Opposite ring
गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, एक वलय का विपरीत समान तत्वों और योग संचालन के साथ एक और वलय है, लेकिन विपरीत क्रम में किए गए गुणन के साथ। अधिक स्पष्ट रूप से, एक रिंग का विपरीत वह रिंग है जिसका गुणन आर में सभी के लिए परिभाषित किया गया है। विपरीत रिंग का उपयोग मल्टीमॉड्यूल्स को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो बाइमॉड्यूल्स का सामान्यीकरण है। वे बाएँ और दाएँ मॉड्यूल के बीच संबंध को स्पष्ट करने में भी मदद करते हैं (देखें)। मोनॉइड, समूह, वलय और बीजगणित सभी को एक ही वस्तु के साथ श्रेणियों के रूप में देखा जा सकता है। विपरीत श्रेणी का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत वलय आदि को सामान्यीकृत करता है। ऑटोमोर्फिज्म और एंटीआउटोमोर्फिज्म से संबंध इस खंड में विपरीत रिंग में गुणन के लिए प्रतीक को तारांकन से हीरे में बदल दिया जाता है, ताकि कुछ यूनरी ऑपरेशन के साथ भ्रम से बचा जा सके। समरूपी विपरीत वलय वाली वलय को स्व-विपरीत वलय कहा जाता है, जो नाम इंगित करता है कि यह अनिवार्य रूप से समरूप वलय के समान है। सभी परिवर्तनीय वलय स्व-विरोधी होते हैं। आइए हम एंटीआइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करें, जहां के लिए। यह वास्तव में एक एंटीआइसोमोर्फिज्म है। एंटीआइसोमोर्फिज्म को आम तौर पर अर्धसमूहों, मोनॉइड्स, समूहों, रिंग्स, आरएनजीएस, अल्जेब्रा के लिए परिभाषित किया जा सकता है। रिंग्स (और rngs) के मामले में हम सामान्य समतुल्यता प्राप्त करते हैं। एक रिंग स्व-विरोधी होती है यदि और केवल तभी जब इसमें कम से कम एक एंटीआटोमोर्फिज्म हो। प्रमाणःः आत्म-विरोधी होने दें। यदि एक समरूपता है, तो, समरूपता विरोधी और समरूपता की एक संरचना होने के नाते, यह अपने आप में एक समरूपता विरोधी है, इसलिए समरूपता विरोधी है। : यदि एक एंटीआटोमोर्फिज्म है, तो दो एंटीआइसोमोर्फिज्म की संरचना के रूप में एक आइसोमोर्फिज्म है। तो यह स्वयं-विरोधी है। और यदि स्व-विरोधी है और ऑटोमोर्फिज्म का समूह सीमित है, तो एंटीआटोमोर्फिज्म की संख्या ऑटोमोर्फिज्म की संख्या के बराबर होती है। प्रमाणः धारणा और उपरोक्त समतुल्यता से एंटीआटोमोर्फिज्म मौजूद हैं। यदि हम उनमें से एक को चुनते हैं और उसे दर्शाते हैं, तो नक्शा, जहां से गुजरता है, स्पष्ट रूप से इंजेक्टिव है, लेकिन सर्जेक्टिव भी है, क्योंकि कुछ ऑटोमोर्फिज्म के लिए प्रत्येक एंटीआटोमोर्फिज्म है। यह एक समान तरीके से साबित किया जा सकता है, कि एक ही धारणाओं के तहत समरूपता की संख्या से एंटीआटोमोर्फिज्म की संख्या के बराबर होती है। यदि कुछ एंटीआउटोमोर्फिज्म भी एक ऑटोमोर्फिज्म है, तो प्रत्येक के लिए चूंकि सभी के लिए बाइजेक्टिव है और इसलिए रिंग कम्यूटेटिव है और सभी एंटीआउटोमोर्फिज्म ऑटोमोर्फिज्म हैं। कंट्रापोजिशन द्वारा, यदि एक रिंग गैर-परिवर्तनीय (और स्व-विपरीत) है, तो कोई एंटीआटोमोर्फिज्म एक ऑटोमोर्फिज्म नहीं है। सभी ऑटोमोर्फिज्मों के समूह को सभी एंटीआटोमोर्फिज्मों के साथ एक साथ निरूपित करें। उपरोक्त टिप्पणियों का तात्पर्य है कि यदि एक रिंग (या आर. एन. जी.) गैर-परिवर्तनीय और स्व-विरोधी है। यदि यह परिवर्तनीय या गैर-स्व-विरोधी है, तो। उदाहरण एकता के साथ सबसे छोटा गैर-परिवर्तनीय वलय इस तरह के सबसे छोटे वलय में आठ तत्व होते हैं और यह समरूपता तक क्रम 8 की एकता के साथ 11 वलय के बीच एकमात्र गैर-परिवर्तनीय वलय है। इसमें योगात्मक समूह होता है। जाहिर है कि यह एंटीआइसोमोर्फिक है, जैसा कि हमेशा होता है, लेकिन यह आइसोमोर्फिक भी है। नीचे जोड़ और गुणन की तालिकाएँ दी गई हैं, और विपरीत वलय में गुणन, जो एक परिवर्तित तालिका है। यह साबित करने के लिए कि दोनों वलय समरूप हैं, तालिका द्वारा दिया गया मानचित्र लें मानचित्र केवल दो जोड़े में तत्वों की अदला-बदली करता हैः और। (तर्क और मान) के लिए गुणन तालिका में तत्वों का नाम उसी के अनुसार बदलें। इसके बाद, तर्कों को आरोही क्रम में वापस लाने के लिए पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करें। तालिका बिल्कुल की गुणन तालिका बन जाती है। योगात्मक समूह की तालिका में इसी तरह के परिवर्तनों से एक ही तालिका प्राप्त होती है, इसलिए इस समूह का एक ऑटोमोर्फिज्म है, और चूंकि, यह वास्तव में एक रिंग आइसोमोर्फिज्म है। नक्शा अनैच्छिक है, अर्थात। , तो = और यह समान रूप से एक समरूपता है। तो, आइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करने के लिए क्रमपरिवर्तन की पुनः व्याख्या की जा सकती है और फिर उसी क्रमपरिवर्तन द्वारा दिया गया एक एंटीआटोमोर्फिज्म है। रिंग में ठीक दो ऑटोमोर्फिज्म होते हैंः पहचान और, वह है। अतः इसके पूर्ण समूह में चार तत्व हैं जिनमें से दो एंटीआटोमोर्फिज्म हैं। क्रम 4 का कोई तत्व नहीं है, इसलिए समूह चक्रीय नहीं है और समूह (या क्लेन समूह) होना चाहिए, जिसकी गणना द्वारा पुष्टि की जा सकती है। इस वलय का "समरूपता समूह" आयत के समरूपता समूह के समरूप है। 27 तत्वों के साथ गैर-परिवर्तनीय वलय 3 तत्वों के साथ क्षेत्र पर ऊपरी त्रिकोणीय 2 x 2 मैट्रिक्स के वलय में 27 तत्व होते हैं और यह एक गैर-परिवर्तनीय वलय है। यह समरूपता तक अद्वितीय है, अर्थात, एकता वाले सभी गैर-परिवर्तनीय वलय और 27 तत्व इसके समरूप हैं। "बुक ऑफ द रिंग्स" में सूचीबद्ध सबसे बड़े गैर-परिवर्तनीय वलय में 27 तत्व हैं, और यह समरूप भी है। इस खंड में के तत्वों के लिए "द बुक" से संकेतन का उपयोग किया गया है। दो बातों को ध्यान में रखा जाना चाहिएः कि जिस तत्व द्वारा दर्शाया जाता है वह एकता है और वह एकता नहीं है। का योगात्मक समूह है। सभी ऑटोमोर्फिज्म के समूह में 6 तत्व होते हैंः चूंकि यह स्व-विपरीत है, इसलिए इसमें 6 एंटीआटोमोर्फिज्म भी होते हैं। एक समरूपता है जिसे "द बुक" में संचालन की तालिकाओं का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है जैसे कि पहले उदाहरण में नाम बदलकर और पुनः व्यवस्थित करके। इस बार परिवर्तन संचालन की मूल तालिकाओं में किए जाने चाहिए। परिणाम गुणन तालिका है और जोड़ तालिका अपरिवर्तित रहती है। इस प्रकार, एक एंटीआटोमॉर्फिज्म एक ही क्रमपरिवर्तन द्वारा दिया जाता है। अन्य पाँच की गणना की जा सकती है (गुणक संकेतन में संरचना प्रतीक को हटाया जा सकता है): समूह में क्रम 2 के 7 तत्व हैं (3 ऑटोमोर्फिज्म और 4 एंटीआटोमोर्फिज्म) और इसे डायहेड्रल समूह के रूप में पहचाना जा सकता है (छोटे समूहों की सूची देखें)। ज्यामितीय सादृश्य में रिंग में 3-एंटीप्रिज्म के समरूपता समूह के लिए "समरूपता समूह" समरूपता है, जो स्कोनफ्लाइज संकेतन में बिंदु समूह है या 3-आयामी स्थान के लिए संक्षेप में हर्मन-मौगुइन संकेतन है। एकता वाले सबसे छोटे गैर-स्व-विरोधी वलय 9 से 15 तक के क्रम की एकता वाले सभी वलय परिवर्तनीय होते हैं, इसलिए वे स्व-विरोधी होते हैं। रिंग्स, जो स्व-विपरीत नहीं हैं, पहली बार क्रम 16 के रिंग्स के बीच दिखाई देते हैं। 50 वृत्तों की कुल संख्या में से 4 अलग-अलग गैर-स्व-विरोधी वलय हैं जिनमें 16 तत्व (37 परिवर्तनीय और 13 अपरिवर्तनीय) हैं। उन्हें एक जोड़ी में एक दूसरे के विपरीत रिंगों के दो जोड़े में जोड़ा जा सकता है, और आवश्यक रूप से एक ही योगात्मक समूह के साथ, क्योंकि रिंगों का एक एंटीआइसोमोर्फिज्म उनके योगात्मक समूहों का एक समरूपता है। रिंग्स की एक जोड़ी और इसमें एडिटिव ग्रुप होता है और दूसरी जोड़ी और, ग्रुप होता है। उनके संचालन की सारणी इस लेख में प्रस्तुत नहीं की गई है, क्योंकि वे उद्धृत स्रोत में पाए जा सकते हैं, और यह सत्यापित किया जा सकता है कि, वे विपरीत हैं, लेकिन समरूप नहीं हैं। जोड़ी के लिए भी यही सच है और, हालांकि, "द बुक ऑफ द रिंग्स" में सूचीबद्ध अंगूठी बराबर नहीं है, बल्कि केवल समरूप है। शेष 13−4 = 9 गैर-परिवर्तनीय वलय स्व-विपरीत हैं। दो जनित्रों के साथ मुक्त बीजगणित जनित्रों के साथ एक क्षेत्र पर मुक्त बीजगणित में शब्दों के गुणन से गुणन होता है। उदाहरण के लिए, तब विपरीत बीजगणित में गुणन दिया जाता है जिसके द्वारा समान तत्व नहीं होते हैं। चतुर्थक बीजगणित एक क्षेत्र पर चतुर्थक बीजगणित एक विभाजन बीजगणित है जिसे तीन जनरेटरों द्वारा संबंधों के साथ परिभाषित किया गया है सभी तत्व एक रूप के हैं, जहां उदाहरण के लिए, यदि, तो सामान्य चतुर्थक बीजगणित है। यदि के गुणन को दर्शाया जाता है, तो इसमें गुणन तालिका {। वर्ग = "विकिटेबल" शैली = "पाठ-संरेखितः केंद्र"। + है! ! ! ! ।-! ।।।।-! ।।।।-! ।।। फिर गुणा के साथ विपरीत बीजगणित में तालिका {। वर्ग = "विकिटेबल" शैली = "पाठ-संरेखितः केंद्र"। + है! ! ! ! ।-! ।।।।-! ।।।।-! ।।।। कम्यूटेटिव रिंग एक कम्यूटेटिव रिंग अपने विपरीत रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है क्योंकि सभी के लिए और अंदर। वे समान हैं, क्योंकि उनके संचालन समान हैं, अर्थात। .. गुण दो वलय R1 और R2 समरूप हैं यदि और केवल तभी जब उनके संबंधित विपरीत वलय समरूप हों। एक रिंग के विपरीत का विपरीत समान है, जो कि रोपॉप = है। एक वलय और इसके विपरीत वलय समरूपता विरोधी होते हैं। एक रिंग तभी परिवर्तनीय होती है जब इसका संचालन इसके विपरीत संचालन के साथ मेल खाता है। रिंग के बाएँ आइडियल इसके विपरीत के दाएँ आइडियल होते हैं। विभाजन रिंग का विपरीत रिंग एक विभाजन रिंग है। एक रिंग के ऊपर एक बाएँ मॉड्यूल अपने विपरीत पर एक दाएँ मॉड्यूल है, और इसके विपरीत। टिप्पणियाँ उद्धरण संदर्भ भी देखें विपरीत समूह विपरीत श्रेणी रिंग सिद्धांत