War of attrition (game)
खेल सिद्धांत में, संघर्ष का युद्ध एक गतिशील समय का खेल है जिसमें खिलाड़ी रुकने के लिए एक समय चुनते हैं, और मूल रूप से अन्य खिलाड़ियों से रणनीतिक लाभ और समय बीतने के साथ खर्च की गई वास्तविक लागत का आदान-प्रदान करते हैं। इसका सटीक विपरीत प्री-एम्प्शन गेम है, जिसमें खिलाड़ी रुकने के लिए एक समय चुनते हैं, और मूल रूप से अन्य खिलाड़ियों से रणनीतिक लागत और समय के साथ होने वाले वास्तविक लाभ का आदान-प्रदान करते हैं। मॉडल मूल रूप से जॉन मेनार्ड स्मिथ द्वारा तैयार किया गया था; एक मिश्रित विकासवादी स्थिर रणनीति (ईएसएस) बिशप और कैनिंग्स द्वारा निर्धारित की गई थी। एक उदाहरण दूसरी कीमत की सभी भुगतान वाली नीलामी है, जिसमें पुरस्कार सबसे अधिक बोली लगाने वाले खिलाड़ी को जाता है और प्रत्येक खिलाड़ी हारने वाले की कम बोली का भुगतान करता है (इसे सभी भुगतान वाली सीलबंद बोली दूसरी कीमत की नीलामी बनाता है)। खेल की जाँच यह देखने के लिए कि संघर्ष विराम कैसे काम करता है, सभी वेतन नीलामी पर विचार करेंः मान लीजिए कि प्रत्येक खिलाड़ी एक वस्तु पर बोली लगाता है, और जो सबसे अधिक बोली लगाता है वह मूल्य V का संसाधन जीतता है। प्रत्येक खिलाड़ी अपनी बोली का भुगतान करता है। दूसरे शब्दों में, यदि कोई खिलाड़ी बी बोली लगाता है, तो उसका भुगतान-बी है यदि वह हारता है, और वी-बी यदि वह जीतता है। अंत में, मान लीजिए कि यदि दोनों खिलाड़ी समान राशि बी की बोली लगाते हैं, तो वे वी के मूल्य को विभाजित करते हैं, प्रत्येक को वी/2-बी प्राप्त होता है। अंत में, बोली बी को समय के रूप में सोचें, और यह संघर्ष का युद्ध बन जाता है, क्योंकि एक उच्च बोली महंगी होती है, लेकिन उच्च बोली पुरस्कार जीतती है। यह आधार कि खिलाड़ी किसी भी संख्या में बोली लगा सकते हैं, सभी वेतन, सीलबंद बोली, दूसरे मूल्य की नीलामी के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण है। बोली उस संसाधन के मूल्य से भी अधिक हो सकती है जिस पर विवाद किया गया है। यह शुरू में अतार्किक प्रतीत होता है, किसी संसाधन के लिए उसके मूल्य से अधिक भुगतान करना मूर्खतापूर्ण प्रतीत होता है; हालाँकि, याद रखें कि प्रत्येक बोलीदाता केवल कम बोली का भुगतान करता है। इसलिए, यह प्रत्येक खिलाड़ी के सर्वोत्तम हित में प्रतीत होता है कि संसाधन के मूल्य के बराबर या उससे कम राशि के बजाय अधिकतम संभव राशि की बोली लगाई जाए। हालाँकि, एक पकड़ है; यदि दोनों खिलाड़ी वी से अधिक बोली लगाते हैं, तो उच्च बोली लगाने वाला इतना नहीं जीतता है जितना कि कम हारता है। जो खिलाड़ी कम मूल्य बी की बोली लगाता है वह बी खो देता है और जो अधिक बोली लगाता है वह बी-वी खो देता है (जहां, इस परिदृश्य में, बी> वी)। इस स्थिति को आमतौर पर पिर्रिक जीत के रूप में जाना जाता है। एक टाई के लिए जैसे कि b> V/2, वे दोनों b-V/2 खो देते हैं। ल्यूस और राइफा ने बाद की स्थिति को "विनाशकारी स्थिति" के रूप में संदर्भित किया; दोनों खिलाड़ियों को नुकसान होता है, और कोई विजेता नहीं होता है। इस छद्म-मैट्रिक्स से जो निष्कर्ष निकाला जा सकता है वह यह है कि बोली लगाने का कोई मूल्य नहीं है जो सभी मामलों में फायदेमंद हो, इसलिए कोई प्रमुख रणनीति नहीं है। हालांकि, शुद्ध रणनीतियों में कई असममित कमजोर नैश इक्विलिब्रिया हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी खिलाड़ी किसी भी बोली b ≤ V के लिए प्रतिबद्ध हो सकता है। दूसरे खिलाड़ी की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया शून्य बोली लगाना है क्योंकि ऐसी कोई बोली नहीं है जिससे वे पुरस्कार जीत सकें और सकारात्मक भुगतान प्राप्त कर सकें। सकारात्मक बोली वाला खिलाड़ी संतुलन में कुछ भी भुगतान नहीं करता है। इसलिए, उनके पास कम बोली लगाने के लिए कोई प्रोत्साहन नहीं है। यह संतुलन सबगेम परफ़ेक्ट है। मिश्रित रणनीतियों में एक सममित संतुलन भी होता है। सममित नैश संतुलन संघर्ष का एक अन्य लोकप्रिय सूत्रीकरण इस प्रकार हैः दो खिलाड़ी एक विवाद में शामिल होते हैं। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए वस्तु का मूल्य है। समय को एक निरंतर चर के रूप में मॉडल किया गया है जो शून्य से शुरू होता है और अनिश्चित काल तक चलता है। प्रत्येक खिलाड़ी यह चुनता है कि दूसरे खिलाड़ी को वस्तु कब स्वीकार करनी है। बराबरी के मामले में, प्रत्येक खिलाड़ी को उपयोगिता प्राप्त होती है। समय मूल्यवान है, प्रत्येक खिलाड़ी प्रति अवधि उपयोगिता की एक इकाई का उपयोग करता है। यह सूत्रीकरण थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि यह प्रत्येक खिलाड़ी को वस्तु को एक अलग मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है। हम मानते हैं कि दोनों खिलाड़ी दूसरे खिलाड़ी का मूल्यांकन जानते हैं। इस प्रकार, खेल एक पूर्ण सूचना खेल है। अद्वितीय सममित नैश संतुलन को t के लिए निम्नलिखित उत्तरजीविता फलन द्वारा परिभाषित किया जाता हैः एक खिलाड़ी i के लिए मान, जिसका प्रतिद्वंद्वी समय t पर संसाधन को महत्व देता है, यह संभावना है कि t ≤ x। यह रणनीति किसी भी खिलाड़ी की जीत की गारंटी नहीं देती है। बल्कि, यह इष्टतम रणनीति है क्योंकि आपका प्रतिद्वंद्वी भी उसी रूप की रणनीति खेलता है। ध्यान दें कि यदि, तो, कम मूल्य वाला खिलाड़ी उच्च मूल्य वाले खिलाड़ी की तुलना में अधिक समय तक बना रहता है। इसका मतलब है कि कम मूल्य वाले खिलाड़ी के युद्ध जीतने की संभावना अधिक होती है। ध्यान दें कि ऐसा कोई x मौजूद नहीं है कि उत्तरजीविता फलन शून्य के बराबर हो। इसलिए बोलियों के वितरण को पूरा समर्थन प्राप्त है। इसके अलावा, दोनों खिलाड़ियों को शून्य का अपेक्षित भुगतान प्राप्त होता है क्योंकि उनका भुगतान टी = 0 पर शून्य होता है और उनका अपेक्षित भुगतान टी के प्रत्येक मूल्य पर बराबर होना चाहिए। गतिशील सूत्रीकरण और विकासवादी रूप से स्थिर रणनीति अद्वितीय विकासवादी रूप से स्थिर रणनीति सममित नैश संतुलन के साथ मेल खाती है। यह इस तथ्य से मिलता है कि कोई भी ई. एस. एस. एक नैश संतुलन होना चाहिए और यह तथ्य कि कोई भी शुद्ध दृढ़ता समय ई. एस. एस. नहीं हो सकता है। यह कि कोई शुद्ध दृढ़ता समय एक ई. एस. एस. नहीं है, केवल एक्स की एक अनुमानित ई. एस. एस. बोली पर विचार करके प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे एक्स + की बोली से हराया जाएगा। यह भी दिखाया गया है कि भले ही व्यक्ति केवल शुद्ध रणनीतियाँ खेल सकते हैं, सभी व्यक्तियों के रणनीति मूल्य का समय औसत सटीक रूप से गणना किए गए ईएसएस में परिवर्तित हो जाता है। इस तरह की व्यवस्था में, कोई भी प्रतियोगी व्यक्तियों के चक्रीय व्यवहार का निरीक्षण कर सकता है। विकासवादी खेल सिद्धांत बिशप-कैनिंग्स प्रमेय रुबिनस्टीन सौदेबाजी मॉडल हॉक-डव खेल डॉलर नीलामी संघर्ष युद्ध संदर्भ गैर-सहकारी खेल भी देखें।