Whitehead product
गणित में, व्हाइटहेड उत्पाद एक स्थान के समस्थानिक समूहों पर एक श्रेणीबद्ध अर्ध-झूठ बीजगणित संरचना है। इसे जे. एच. सी. व्हाइटहेड द्वारा परिभाषित किया गया था। प्रासंगिक एम. एस. सी. कोड हैः 55Q15, व्हाइटहेड उत्पाद और सामान्यीकरण। परिभाषा तत्वों को देखते हुए, व्हाइटहेड ब्रैकेट को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः उत्पाद को वेज सम में एक-सेल को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है; संलग्न करने वाला मानचित्र एक मानचित्र प्रतिनिधित्व है और मानचित्रों द्वारा और फिर संलग्न करने वाले मानचित्र के साथ उनके वेज की रचना करता है, क्योंकि परिणामी मानचित्र का होमोटॉपी वर्ग प्रतिनिधियों के विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है, और इस प्रकार कोई भी ग्रेडिंग का एक अच्छी तरह से परिभाषित तत्व प्राप्त करता है। इस प्रकार प्रत्येक श्रेणीबद्ध घटक पर कार्य करता है। व्हाइटहेड उत्पाद निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता हैः बिलिनियरिटी। श्रेणीबद्ध सममिति। श्रेणीबद्ध जैकोबी पहचान। कभी-कभी व्हाइटहेड उत्पाद संचालन के साथ एक स्थान के समस्थानिक समूहों को एक श्रेणीबद्ध अर्ध-झूठ बीजगणित कहा जाता है; यह मैसी ट्रिपल उत्पाद के माध्यम से साबित होता है। इफ की क्रिया से संबंध, तो व्हाइटहेड ब्रैकेट ऑन की सामान्य क्रिया से संबंधित है जहां से के संयुग्मन को दर्शाता है। के लिए, यह कम हो जाता है जिसमें सामान्य कम्यूटेटर होता है। इसे यह देखकर भी देखा जा सकता है कि टोरस की-कोशिका-कंकाल में कम्यूटेटर के साथ जुड़ी हुई है। एच-स्पेस पर व्हाइटहेड उत्पाद एच-स्पेस से जुड़े पथ के लिए, सभी व्हाइटहेड उत्पाद गायब हो जाते हैं। पिछले उपखंड द्वारा, यह दोनों तथ्यों का सामान्यीकरण है कि एच-स्पेस के मौलिक समूह अबेलियन हैं, और एच-स्पेस सरल हैं। सस्पेंशन वर्गों के सभी व्हाइटहेड उत्पाद, सस्पेंशन होमोमोर्फिज्म उदाहरणों के कर्नेल में स्थित हैं, जहाँ होप्फ मानचित्र है। इसे यह देखकर दिखाया जा सकता है कि होप्फ अपरिवर्तनीय एक समरूपता को परिभाषित करता है और स्पष्ट रूप से एक मानचित्र का प्रतिनिधित्व करने वाले कोफ़ाइबर के कोहोमोलॉजी रिंग की गणना करता है। पोंट्रियागिन-थॉम निर्माण का उपयोग करते हुए एक सीधा ज्यामितीय तर्क है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक नियमित बिंदु की पूर्व छवि होप्फ लिंक की एक प्रति है। φ-समूहकों के लिए अनुप्रयोग याद रखें कि एक φ-समूह समूहकों का एक-श्रेणी सामान्यीकरण है जो एक बीजगणितीय औपचारिकता में होमोटॉपी प्रकार के डेटा को कूटबद्ध करने के लिए अनुमान लगाया जाता है। वस्तुएँ अंतरिक्ष में बिंदु हैं, आकृतिवाद बिंदुओं के बीच पथ के समस्थानिक वर्ग हैं, और उच्च आकृतिवाद उन बिंदुओं के उच्च समस्थानिक हैं। व्हाइटहेड उत्पाद का अस्तित्व मुख्य कारण है कि क्यों φ-समूह की धारणा को परिभाषित करना एक ऐसा चुनौतीपूर्ण कार्य है। यह दिखाया गया था कि किसी भी सख्त-समूह में केवल तुच्छ व्हाइटहेड उत्पाद होते हैं, इसलिए सख्त समूह कभी भी होमोटॉपी प्रकार के क्षेत्रों का मॉडल नहीं बना सकते हैं, जैसे कि। सामान्यीकृत व्हाइटहेड उत्पाद मैसी उत्पाद टोडा ब्रैकेट संदर्भ होमोटोपी सिद्धांत लाइ अलजेब्रा भी देखें।