Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
गणित में, ग्रोथेन्डीक-काट्ज़ पी-वक्रता अनुमान रैखिक साधारण विभेदक समीकरणों के लिए एक स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत है, जो विभेदक गैलोइस सिद्धांत से संबंधित है और एक ढीले अर्थ में चेबोटारेव घनत्व प्रमेय के परिणाम के अनुरूप है जिसे बहुपद मामले के रूप में माना जाता है। यह 1960 के दशक के उत्तरार्ध से अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक का एक अनुमान है, और जाहिरा तौर पर उनके द्वारा किसी भी रूप में प्रकाशित नहीं किया गया है। हाल की प्रगति के बावजूद सामान्य मामला अनसुलझा है; इसे बीजगणितीय पर्णसमूहों से जुड़ी ज्यामितीय जांच से जोड़ा गया है। एक सरलतम संभव कथन में अनुमान को एक वेक्टर प्रणाली के लिए अपने मूल रूप में कहा जा सकता है जिसे आकार n के वेक्टर v के रूप में लिखा जाता है, और बीजगणितीय संख्या गुणांक के साथ बीजगणितीय कार्यों के एक n × n मैट्रिक्स A के रूप में लिखा जाता है। सवाल यह है कि जब बीजगणितीय फलन समाधानों का एक पूरा सेट होता है, जिसका अर्थ है एक मौलिक मैट्रिक्स (अर्थात। एन वेक्टर समाधानों को एक ब्लॉक मैट्रिक्स में रखा जाता है)। उदाहरण के लिए, एक शास्त्रीय प्रश्न हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण के लिए थाः इसके मापदंडों के संदर्भ में बीजगणितीय समाधानों की एक जोड़ी कब होती है? इस उत्तर को शास्त्रीय रूप से श्वार्ज की सूची के रूप में जाना जाता है। मोनोड्रोमी के संदर्भ में, सवाल परिमित मोनोड्रोमी समूह के मामलों की पहचान करने का है। सुधार और एक बड़ी प्रणाली में पारित करके, आवश्यक मामला ए और परिमेय संख्या गुणांक में परिमेय कार्यों के लिए है। फिर एक आवश्यक शर्त यह है कि लगभग सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए, रिडक्शन मॉड्यूलो p द्वारा परिभाषित प्रणाली में भी p तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर बीजगणितीय समाधानों का एक पूरा सेट होना चाहिए। ग्रोथेन्डिक का अनुमान है कि ये आवश्यक शर्तें, लगभग सभी पी के लिए, पर्याप्त होनी चाहिए। पी-वक्रता के साथ संबंध यह है कि बताई गई मॉड पी स्थिति ए पर पुनरावृत्ति संचालन द्वारा बनाई गई पी-वक्रता को शून्य कहने के समान है; इसलिए यह कहने का एक और तरीका यह है कि लगभग सभी पी के लिए 0 की पी-वक्रता मूल समीकरण के पर्याप्त बीजगणितीय समाधान का तात्पर्य है। गैलोइस समूह के लिए काट्ज़ के सूत्रीकरण निकोलस काट्ज़ ने तनाकियन श्रेणी तकनीकों को यह दिखाने के लिए लागू किया है कि यह अनुमान अनिवार्य रूप से अंतर गैलोइस समूह जी (या बीजगणितीय समूह जी के लाइ बीजगणित जी को सख्ती से बोलते हुए, जो इस मामले में मोनोड्रोमी समूह का ज़ारिस्की समापन है) को अंतर समीकरणों के एक निश्चित विस्तृत वर्ग के लिए मॉड पी जानकारी द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। प्रगति बेन्सन फार्ब और मार्क किसिन द्वारा मामलों के एक विस्तृत वर्ग को साबित किया गया है; ये समीकरण कुछ समूह-सैद्धांतिक स्थितियों के अधीन स्थानीय रूप से सममित विविधता X पर हैं। यह काम पिकार्ड-फुक्स समीकरणों के लिए काट्ज़ के पिछले परिणामों पर आधारित है (गॉस-मैनिन संबंध के समकालीन अर्थ में), जैसा कि आंद्रे द्वारा तनाकियन दिशा में प्रवर्धित किया गया है। यह विशेष रूप से अंकगणितीय समूहों के लिए अति कठोरता के एक संस्करण को भी लागू करता है। अन्य प्रगति अंकगणितीय विधियों द्वारा हुई है। इतिहास निकोलस काट्ज़ ने 1972 में एक पेपर में कुछ मामलों को विरूपण सिद्धांत से संबंधित किया, जहाँ अनुमान प्रकाशित किया गया था। तब से, सुधार प्रकाशित किए गए हैं। अंतर समीकरणों के लिए एक क्यू-एनालॉग प्रस्तावित किया गया है। 2009 के कोलोक ग्रोथेन्डिक में इस काम पर किसिन के भाषण के जवाब में, काट्ज़ ने अनुमान की उत्पत्ति के व्यक्तिगत ज्ञान से एक संक्षिप्त विवरण दिया। ग्रोथेन्डिक ने इसे स्प्रिंग 1969 में सार्वजनिक चर्चा में रखा, लेकिन इस विषय पर कुछ नहीं लिखा। उन्हें क्रिस्टलीय समरूपता के क्षेत्र में मूलभूत अंतर्ज्ञान द्वारा इस विचार के लिए प्रेरित किया गया था, उस समय उनके छात्र पियरे बर्थेलोट द्वारा विकसित किया जा रहा था। किसी तरह से कनेक्शन के सिद्धांत में "निलपोटेन्स" की धारणा को विभाजित शक्ति संरचना तकनीक के साथ बराबरी करने की इच्छा रखते हुए, जो क्रिस्टलीय सिद्धांत में मानक बन गई, ग्रोथेन्डिक ने एक उप-उत्पाद के रूप में अनुमान का उत्पादन किया। टिप्पणियाँ संदर्भ निकोलस एम. काट्ज़, कठोर स्थानीय प्रणालियाँ, अध्याय 9। आगे पढ़ने के लिए जीन-बेनोइट बोस्ट, संख्या क्षेत्रों पर बीजगणितीय पर्णसमूह के बीजगणितीय पत्ते, प्रकाशन मैथमेटिक्स डी एल 'आईएचईएस, खंड 93, संख्या 1, सितंबर 2001 यवेस आंद्रे, सुर ला अनुमान डेस पी-कोर्बुरेस डी ग्रोथेन्डिक-काट्ज़ एट अन प्रोब्लेमे डी वर्क, ज्यामितीय पहलुओं में कार्य सिद्धांत (2004), संपादक एलन एडोल्फसन, फ्रांसेस्को बालदासरी, पियरे बर्थेलोट, निकोलस काट्ज़, फ्रांकोइस लोसर आनंद पिल्लै (2006), विभेदक बीजगणित और रैखिक विभेदक समीकरणों के बीजगणित पर ग्रोथेन्डिक के अनुमानों के सामान्यीकरण बीजगणित