Brauer's theorem on induced characters
प्रेरित वर्णों पर ब्राउर की प्रमेय, जिसे अक्सर ब्राउर की प्रेरण प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और जिसका नाम रिचर्ड ब्राउर के नाम पर रखा गया है, एक सीमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के भीतर, चरित्र सिद्धांत के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में एक बुनियादी परिणाम है। पृष्ठभूमि ब्राउयर के प्रेरण प्रमेय का एक अग्रदूत आर्टिन का प्रेरण प्रमेय था, जिसमें कहा गया है कि |G। गुना G के तुच्छ वर्ण वर्ण वर्णों का एक पूर्णांक संयोजन है जो प्रत्येक G के चक्रीय उपसमूहों के तुच्छ वर्णों से प्रेरित होते हैं। ब्राउयर का प्रमेय कारक |G। को हटा देता है, लेकिन उपयोग किए गए उपसमूहों के संग्रह को बढ़ाने की कीमत पर। ब्राउयर के प्रमेय के प्रमाण के कुछ साल बाद, जे. ए. ग्रीन ने दिखाया (1955 में) कि ऐसा कोई प्रेरण प्रमेय (रैखिक वर्णों से प्रेरित वर्णों के पूर्णांक संयोजन के साथ) ब्राउर प्राथमिक उपसमूहों से छोटे उपसमूहों के संग्रह के साथ साबित नहीं किया जा सकता है। आर्टिन के प्रेरण प्रमेय और ब्रॉयर के प्रेरण प्रमेय के बीच एक और परिणाम, जो ब्रॉयर के कारण भी है और जिसे ब्रॉयर के प्रमेय या ब्रॉयर के सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, यह तथ्य है कि जी के नियमित प्रतिनिधित्व को लिखा जा सकता है जहां सकारात्मक तर्कसंगत हैं और जी के चक्रीय उपसमूहों के वर्णों से प्रेरित हैं। ध्यान दें कि आर्टिन के प्रमेय में वर्ण चक्रीय समूह के तुच्छ चरित्र से प्रेरित होते हैं, जबकि यहां वे मनमाने अक्षरों से प्रेरित होते हैं (आर्टिन के एल कार्यों के अनुप्रयोगों में यह महत्वपूर्ण है कि समूह चक्रीय होते हैं और इसलिए सभी वर्ण रैखिक होते हैं जो देते हैं कि संबंधित एल कार्य विश्लेषणात्मक होते हैं)। कथन मान लीजिए कि जी एक परिमित समूह है और मान लीजिए कि चार (जी) जी के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों के वलय के उप-वलय को दर्शाता है जिसमें अपरिवर्तनीय वर्णों के पूर्णांक संयोजन शामिल हैं। चर (जी) को जी के वर्ण वलय के रूप में जाना जाता है, और इसके तत्वों को आभासी वर्णों के रूप में जाना जाता है (वैकल्पिक रूप से, सामान्यीकृत वर्णों के रूप में, या कभी-कभी भिन्न वर्णों के रूप में)। यह इस तथ्य के आधार पर एक वलय है कि G के वर्णों का गुणनफल फिर से G का एक वर्ण है। इसका गुणन वर्ग फलन के तत्ववार गुणनफल द्वारा दिया जाता है। ब्रॉयर के प्रेरण प्रमेय से पता चलता है कि वर्ण वलय को (एक अबेलियन समूह के रूप में) रूप के प्रेरित वर्णों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, जहां H, G के उपसमूहों पर और λ, H के रैखिक वर्णों (डिग्री 1 वाले) पर होता है। वास्तव में, ब्रॉयर ने दिखाया कि उपसमूह H को एक बहुत ही प्रतिबंधित संग्रह से चुना जा सकता है, जिसे अब ब्रॉयर प्राथमिक उपसमूह कहा जाता है। ये चक्रीय समूहों और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं जिनका क्रम एक अभाज्य की शक्ति है। सबूत ब्राउर के प्रेरण प्रमेय का प्रमाण चार (जी) की वलय संरचना का फायदा उठाता है (अधिकांश प्रमाण थोड़े बड़े वलय, चार * (जी) का भी उपयोग करते हैं, जिसमें अपरिवर्तनीय वर्णों के-संयोजन होते हैं, जहां ω एक आदिम परिसर है। ब्राउर प्राथमिक उपसमूहों के रैखिक वर्णों से प्रेरित वर्णों के पूर्णांक संयोजन का समूह चार (जी) का एक आदर्श आई (जी) है, इसलिए प्रमाण यह दिखाने के लिए कम हो जाता है कि तुच्छ वर्ण आई (जी) में है। ब्रॉयर और जॉन टेट के कारण एक प्रमाण के साथ शुरू होने वाले प्रमेय के कई प्रमाण बताते हैं कि एक समय में एक अभाज्य राशि p पर ध्यान केंद्रित करके और I * (G) के पूर्णांक-मूल्य वाले तत्वों का निर्माण करके, जो p की पर्याप्त उच्च शक्ति (पूर्णांक गुणकों) द्वारा तुच्छ राशि से (तत्व की दृष्टि से) भिन्न होते हैं, यह तुच्छ वर्ण चार * (G) के समान रूप से परिभाषित आदर्श I * (G) में है। एक बार जब यह |G। के प्रत्येक अभाज्य भाजक के लिए प्राप्त हो जाता है, तो अनुरूपता और बीजगणितीय पूर्णांक के साथ कुछ हेरफेर, फिर से इस तथ्य का फायदा उठाते हुए कि I * (G) Ch * (G) का एक आदर्श है, I (G) में तुच्छ वर्ण रखें। यहाँ एक सहायक परिणाम यह है कि एक-मूल्यवान वर्ग फलन आदर्श I * (G) में निहित है यदि इसके सभी मान |G। से विभाज्य (in) हैं। ब्राउर की प्रेरण प्रमेय 1946 में साबित हुई थी, और अब कई वैकल्पिक प्रमाण हैं। 1986 में, विक्टर स्निथ ने एक मौलिक रूप से अलग दृष्टिकोण, प्रकृति में टोपोलॉजिकल (लेफशेट्ज़ फिक्स्ड-पॉइंट थ्योरम का एक अनुप्रयोग) द्वारा एक प्रमाण दिया। ब्रॉयर के प्रमेय के प्राकृतिक और स्पष्ट रूपों को खोजने के सवाल पर हाल ही में संबंधित काम किया गया है, विशेष रूप से रॉबर्ट बोल्टजे द्वारा। फ्रोबेनियस पारस्परिकता का उपयोग करते हुए अनुप्रयोग, ब्राउर का प्रेरण प्रमेय आसानी से वर्णों के उनके मौलिक लक्षण वर्णन की ओर ले जाता है, जो यह दावा करता है कि जी का एक जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्य एक आभासी चरित्र है यदि और केवल तभी जब जी के प्रत्येक ब्राउर प्राथमिक उपसमूह के लिए इसका प्रतिबंध एक आभासी चरित्र है। यह परिणाम, इस तथ्य के साथ कि एक आभासी वर्ण θ एक अपरिवर्तनीय वर्ण है यदि और केवल यदि θ (1)> 0 और (जहां जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों के वलय पर सामान्य आंतरिक उत्पाद है) स्पष्ट रूप से संबंधित अभ्यावेदन का निर्माण किए बिना अपरिवर्तनीय वर्णों के निर्माण का एक साधन देता है। ब्राउयर के प्रेरण प्रमेय के लिए एक प्रारंभिक प्रेरणा आर्टिन एल-कार्यों के लिए अनुप्रयोग था। यह दर्शाता है कि वे डिरिचलेट एल-कार्यों, या अधिक सामान्य हेक एल-कार्यों से निर्मित हैं। उस अनुप्रयोग के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण यह है कि क्या जी का प्रत्येक वर्ण उपसमूहों के रैखिक वर्णों से प्रेरित वर्णों का एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक संयोजन है। सामान्य तौर पर ऐसा नहीं है। वास्तव में, ताकेता के एक प्रमेय के अनुसार, यदि जी के सभी वर्ण इतने व्यक्त करने योग्य हैं, तो जी को एक हल करने योग्य समूह होना चाहिए (हालांकि अकेले हल करने की क्षमता ऐसी अभिव्यक्तियों की गारंटी नहीं देती है-उदाहरण के लिए, हल करने योग्य समूह एस. एल. (2,3) में डिग्री 2 का एक अपरिवर्तनीय जटिल चरित्र होता है जो उपसमूहों के रैखिक वर्णों से प्रेरित वर्णों के गैर-नकारात्मक पूर्णांक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है)। ब्रॉयर के प्रेरण प्रमेय के प्रमाण का एक घटक यह है कि जब G एक परिमित निल्पोटेंट समूह है, तो G का प्रत्येक जटिल अपरिवर्तनीय वर्ण किसी उपसमूह के रैखिक चरित्र से प्रेरित होता है। एकेडेमिक प्रेस द्वारा प्रकाशित 1976 के मूल के संदर्भ संशोधित पुनर्मुद्रण। आगे पढ़ने के लिए नोट्स प्रतिनिधित्व सिद्धांत सीमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत प्रतिनिधित्व सिद्धांत में प्रमेय