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गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, विभेदक टोपोलॉजी और ज्यामितीय माप सिद्धांत में, जॉर्जेस डी राम के अर्थ में एक के-धारा सघन रूप से समर्थित विभेदक के-रूपों के स्थान पर, एक चिकनी मैनिफोल्ड एम पर एक कार्यात्मक है। धाराएं औपचारिक रूप से विभेदक रूपों के स्थान पर श्वार्ट्ज वितरण की तरह व्यवहार करती हैं, लेकिन एक ज्यामितीय सेटिंग में, वे एक सबमैनिफोल्ड पर एकीकरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, डीराक डेल्टा फ़ंक्शन को सामान्य बना सकते हैं, या आम तौर पर एम के सबसेट के साथ फैले डेल्टा फ़ंक्शंस (मल्टीपोल्स) के दिशात्मक व्युत्पन्न भी। आइए एक चिकनी मैनिफोल्ड पर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ चिकनी एम-रूपों के स्थान को निरूपित करें एक धारा एक रैखिक कार्यात्मक है जिस पर निरंतर है। इस प्रकार एक रैखिक कार्यात्मक एक एम-आयामी धारा है यदि यह निम्नलिखित अर्थों में निरंतर हैः यदि चिकने रूपों का एक अनुक्रम, जो सभी एक ही कॉम्पैक्ट सेट में समर्थित हैं, ऐसा है कि उनके सभी गुणांकों के सभी व्युत्पन्न समान रूप से 0 की ओर रुख करते हैं जब अनंत की ओर रुख करते हैं, तो 0 की ओर रुख करते हैं। एम-आयामी धाराओं का स्थान एक वास्तविक सदिश स्थान है जिसमें संचालन को वितरण के अधिकांश सिद्धांत द्वारा परिभाषित किया गया है जो न्यूनतम समायोजन के साथ धाराओं को वहन करता है। उदाहरण के लिए, एक धारा के समर्थन को सबसे बड़े खुले समुच्चय के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि जब भी समर्थन के साथ धाराओं से युक्त रैखिक उपक्षेत्र (उपरोक्त अर्थ में) जो कि एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है, तो इसे दर्शाया जाता है होमोलॉजिकल सिद्धांत एक कॉम्पैक्ट रेक्टिफायेबल ओरिएंटेड सबमैनिफोल्ड एम (सीमा के साथ) पर एकीकरण आयाम एम का एकीकरण एक एम-धारा को परिभाषित करता है, जिसे इस प्रकार दर्शाया जाता हैः यदि एम की सीमा ≤ एम सुधार योग्य है, तो यह भी एकीकरण द्वारा एक धारा को परिभाषित करता है, और स्टोक्स के प्रमेय के आधार पर एक हैः यह बाहरी व्युत्पन्न डी को सीमा ऑपरेटर ≤ के साथ एम की समरूपता पर संबंधित करता है। इस सूत्र को देखते हुए हम मनमाने ढंग से धाराओं पर एक सीमा ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें द्वैत के माध्यम से बाहरी व्युत्पन्न होता है। एक शास्त्रीय उदाहरण लिपशिट्ज़ के पड़ोस में पीछे हटने वाली अभिन्न धाराओं का उपवर्ग है। टोपोलॉजी और मानदंड धाराओं का स्थान स्वाभाविक रूप से कमजोर-* टोपोलॉजी से संपन्न है, जिसे आगे केवल कमजोर अभिसरण कहा जाएगा। धाराओं का एक क्रम, एक धारा में परिवर्तित हो जाता है यदि सभी धाराओं के स्थान के उप-स्थानों पर कई मानदंडों को परिभाषित करना संभव है। ऐसा ही एक मानक द्रव्यमान मानक है। यदि एक एम-रूप है, तो इसके कोमास को इस प्रकार परिभाषित करें। तो यदि एक सरल एम-रूप है, तो इसका द्रव्यमान मानक इसके गुणांक का सामान्य एल-मानक है। एक धारा के द्रव्यमान को तब परिभाषित किया जाता है कि एक धारा का द्रव्यमान सामान्यीकृत सतह के भारित क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। एक ऐसी धारा जिसे M (T) <φ, रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के एक संस्करण द्वारा एक नियमित बोरेल माप के एकीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह समरूपी एकीकरण का प्रारंभिक बिंदु है। एक मध्यवर्ती मानक व्हिटनी का सपाट मानक है, जिसे दो धाराओं द्वारा परिभाषित किया गया है जो द्रव्यमान मानक में करीब हैं यदि वे एक छोटे से हिस्से से दूर मेल खाते हैं। दूसरी ओर, यदि वे एक छोटे से विरूपण के साथ मेल खाते हैं तो वे सपाट मानक के करीब होते हैं। उदाहरणों को याद रखें कि निम्नलिखित 0-धारा को परिभाषित करता हैः विशेष रूप से प्रत्येक हस्ताक्षरित नियमित माप एक 0-धारा हैः मान लीजिए (x, y, z) में निर्देशांक हैं तो निम्नलिखित 2-धारा (कई में से एक) को परिभाषित करता हैः जॉर्जेस डी राम हर्बर्ट फेडरर विभेदक ज्यामिति भी देखें। विभेदक स्थलविज्ञान कार्यात्मक विश्लेषण सामान्यीकृत कार्य सामान्यीकृत कई गुना श्वार्ट्ज वितरण