Duffing equation
डफिंग समीकरण (या डफिंग ऑसिलेटर), जिसका नाम जॉर्ज डफिंग (1861-1944) के नाम पर रखा गया है, एक गैर-रैखिक द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण है जिसका उपयोग कुछ नम और संचालित ऑसिलेटरों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। समीकरण इस प्रकार दिया जाता है जहाँ (अज्ञात) फलन समय पर विस्थापन है, समय के संबंध में इसका पहला व्युत्पन्न है, अर्थात। वेग, और इसका दूसरा समय-व्युत्पन्न है अर्थात। त्वरण। संख्याएँ और स्थिरांक दिए जाते हैं। समीकरण सरल हार्मोनिक गति (जो मामले से मेल खाता है) की तुलना में अधिक जटिल क्षमता के साथ एक नम ऑसिलेटर की गति का वर्णन करता है; भौतिक शब्दों में, यह मॉडल, उदाहरण के लिए, एक लोचदार पेंडुलम जिसकी स्प्रिंग की कठोरता हूक के नियम का बिल्कुल पालन नहीं करती है। डफिंग समीकरण एक गतिशील प्रणाली का एक उदाहरण है जो अराजक व्यवहार प्रदर्शित करता है। इसके अलावा, डफिंग प्रणाली आवृत्ति प्रतिक्रिया में कूद अनुनाद घटना प्रस्तुत करती है जो एक प्रकार का आवृत्ति हिस्टैरिसीस व्यवहार है। पैरामीटर उपरोक्त समीकरण में पैरामीटर हैंः आर्द्रता की मात्रा को नियंत्रित करता है, रैखिक कठोरता को नियंत्रित करता है, पुनर्स्थापना बल में गैर-रैखिकता की मात्रा को नियंत्रित करता है; यदि डफिंग समीकरण एक नम और संचालित सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर का वर्णन करता है, तो आवधिक चालक बल का आयाम है; यदि प्रणाली एक प्रेरक बल के बिना है, और आवधिक चालक बल की कोणीय आवृत्ति है। डफिंग समीकरण को एक अरैखिक स्प्रिंग और एक रैखिक डैम्पर से जुड़े द्रव्यमान के दोलनों का वर्णन करने के रूप में देखा जा सकता है। गैर-रेखीय स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया गया पुनर्स्थापना बल तब होता है जब और स्प्रिंग को सख्त स्प्रिंग कहा जाता है। इसके विपरीत, क्योंकि यह एक नरम वसंत है (अभी भी साथ में)। नतीजतन, (और) के मूल्यों पर निर्भर करते हुए, सामान्य रूप से डफिंग समीकरण के संबंध में कठोरता और कोमलता विशेषणों का उपयोग किया जाता है। डफिंग समीकरण में मापदंडों की संख्या को स्केलिंग (बकिंघम π प्रमेय के अनुसार) के माध्यम से दो से कम किया जा सकता है, जैसे। भ्रमण और समय को इस प्रकार मापा जा सकता हैः और यह मानते हुए कि यह सकारात्मक है (मापदंडों की विभिन्न श्रेणियों के लिए, या अध्ययन की गई समस्या में अलग-अलग जोर देने के लिए अन्य माप संभव हैं)। फिरः कहाँ और बिंदु इसके संबंध में अंतर को दर्शाते हैं इससे पता चलता है कि मजबूर और नम डफिंग समीकरण के समाधान को तीन मापदंडों (,, और) और दो प्रारंभिक शर्तों (यानी। और) के लिए। समाधान के तरीके सामान्य रूप से, डफिंग समीकरण एक सटीक प्रतीकात्मक समाधान को स्वीकार नहीं करता है। हालांकि, कई अनुमानित तरीके अच्छी तरह से काम करते हैंः एक फूरियर श्रृंखला में विस्तार मनमाने ढंग से सटीकता के लिए गति का समीकरण प्रदान कर सकता है। इस शब्द को, जिसे डफिंग शब्द भी कहा जाता है, छोटे के रूप में अनुमानित किया जा सकता है और इस प्रणाली को एक विचलित सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में माना जाता है। फ्रोबेनियस विधि एक जटिल लेकिन व्यवहार्य समाधान प्रदान करती है। यूलर की विधि और रुंग-कुट्टा विधियों जैसी विभिन्न संख्यात्मक विधियों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है। डफिंग समीकरण के अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए होमोटॉपी विश्लेषण विधि (एच. ए. एम.) की भी सूचना दी गई है, जो मजबूत अरैखिकता के लिए भी है। अनडैम्प्ड () और अनड्राइवन () डफिंग समीकरण के विशेष मामले में, जैकोबी के अण्डाकार कार्यों का उपयोग करके एक सटीक समाधान प्राप्त किया जा सकता है। अनफोर्स्ड ऑसिलेटर के लिए समाधान की सीमा अनडैम्प्ड ऑसिलेटर अनडैम्प्ड और अनफोर्स्ड डफिंग समीकरण का गुणन, के साथ देता हैः एक स्थिरांक के साथ। का मान प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है और H में प्रतिस्थापन से पता चलता है कि प्रणाली हैमिल्टनियन हैः जब दोनों और सकारात्मक होते हैं, तो समाधान सीमित होता हैः हैमिल्टनियन सकारात्मक होने के साथ। इसी तरह, डैंप्ड ऑसिलेटर डैंपिंग के लिए लियापुनोव फ़ंक्शन विधि द्वारा विश्व स्तर पर अभिसरण करता है। नम डफिंग ऑसिलेटर को मजबूर किए बिना इसके स्थिर संतुलन बिंदु (ओं) में से एक पर समाप्त हो जाएगा। संतुलन बिंदु, स्थिर और अस्थिर, पर हैं यदि स्थिर संतुलन पर है और स्थिर संतुलन पर है और आवृत्ति प्रतिक्रिया घन अरैखिकता के साथ मजबूर डफिंग ऑसिलेटर को निम्नलिखित साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया हैः इस ऑसिलेटर की आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरण (यानी) की स्थिर स्थिति प्रतिक्रिया के आयाम का वर्णन करती है। उत्तेजना की दी गई आवृत्ति पर आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ एक रैखिक ऑसिलेटर के लिए भी रैखिक है। हालांकि, एक गैर-शून्य घन गुणांक के लिए, आवृत्ति प्रतिक्रिया गैर-रैखिक हो जाती है। गैर-रैखिकता के प्रकार के आधार पर, डफिंग ऑसिलेटर कठोरता, नरम या मिश्रित कठोरता-नरम आवृत्ति प्रतिक्रिया दिखा सकता है। वैसे भी, होमोटॉपी विश्लेषण विधि या हार्मोनिक संतुलन का उपयोग करके, कोई निम्नलिखित रूप में आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरण प्राप्त कर सकता हैः डफिंग समीकरण के मापदंडों के लिए, उपरोक्त बीजगणितीय समीकरण किसी दिए गए उत्तेजना आवृत्ति पर स्थिर अवस्था दोलन आयाम देता है। आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए चित्रात्मक रूप से हल करने के लिए हम समतल में दो वक्रों के प्रतिच्छेदन के रूप में चित्रात्मक रूप से हल कर सकते हैंः स्थिर के लिए, दूसरा वक्र पहले चतुर्थांश में एक निश्चित हाइपरबोला है। पहला वक्र आकार के साथ एक परवलय है, और स्थान पर शीर्ष। यदि हम ठीक करते हैं और बदलते हैं, तो परवलय का शीर्ष रेखा के साथ चलता है। चित्रात्मक रूप से, फिर, हम देखते हैं कि यदि एक बड़ी धनात्मक संख्या है, तो जैसा कि बदलता है, परवलय एक बिंदु पर अतिध्रुव को काटता है, फिर तीन बिंदु, फिर एक बिंदु फिर से। इसी तरह हम मामले का विश्लेषण कर सकते हैं जब एक बड़ी ऋणात्मक संख्या हो। कूद डफिंग समीकरण में मापदंडों की कुछ श्रेणियों के लिए, आवृत्ति प्रतिक्रिया अब आवृत्ति को मजबूर करने का एकल-मूल्यवान कार्य नहीं हो सकती है एक कठोर स्प्रिंग ऑसिलेटर (और काफी बड़ा सकारात्मक) के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया उच्च आवृत्ति पक्ष और नरम स्प्रिंग ऑसिलेटर (और) के लिए कम आवृत्ति पक्ष पर अधिक होती है। निचला लटकता हुआ पक्ष अस्थिर है-अर्थात। आवृत्ति प्रतिक्रिया के आंकड़ों में डैश-लाइन भाग-और एक निरंतर समय के लिए महसूस नहीं किया जा सकता है। नतीजतन, कूदने की घटना दिखाई देती हैः जब कोणीय आवृत्ति को धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है (अन्य मापदंडों के साथ तय किया जाता है), तो प्रतिक्रिया आयाम अचानक ए से बी तक गिर जाता है, यदि आवृत्ति धीरे-धीरे कम हो जाती है, तो सी पर आयाम डी तक कूद जाता है, इसके बाद आवृत्ति प्रतिक्रिया की ऊपरी शाखा का अनुसरण किया जाता है। कूद ए-बी और सी-डी मेल नहीं खाते हैं, इसलिए प्रणाली आवृत्ति स्वीप दिशा के आधार पर हिस्टैरिसीस दिखाती है। अराजकता में संक्रमण उपरोक्त विश्लेषण ने माना कि आधार आवृत्ति प्रतिक्रिया हावी होती है (हार्मोनिक संतुलन करने के लिए आवश्यक), और उच्च आवृत्ति प्रतिक्रियाएं नगण्य हैं। यह धारणा तब कायम नहीं रह पाती जब बल पर्याप्त रूप से मजबूत होता है। उच्च क्रम हार्मोनिक्स की उपेक्षा नहीं की जा सकती है, और गतिशीलता अराजक हो जाती है। अराजकता के लिए अलग-अलग संभावित संक्रमण हैं, जो आमतौर पर लगातार अवधि के दोगुने होने से होते हैं। उदाहरण डफिंग समीकरण की समय श्रृंखला और चरण चित्रों के कुछ विशिष्ट उदाहरण, जो अवधि-दोगुना विभाजन के साथ-साथ अराजक व्यवहार के माध्यम से सबहार्मोनिक्स की उपस्थिति को दर्शाते हैं, नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाए गए हैं। अन्य मापदंडों में मान होते हैंः और प्रारंभिक स्थितियां हैं और चरण चित्रों में लाल बिंदु कभी-कभी होते हैं जो अवधि का एक पूर्णांक गुणक होते हैं संदर्भ उद्धरण ग्रंथ सूची बाहरी लिंक डफिंग ऑसिलेटर ऑन स्कॉलरपीडिया मैथ वर्ल्ड पेज सामान्य विभेदक समीकरण अराजक मानचित्र अरैखिक प्रणाली वीडियो क्लिप वाले लेख