Bring radical
बीजगणित में, एक वास्तविक संख्या का मूल या पराधारात्मक लाएं बहुपद का अद्वितीय वास्तविक मूल है एक जटिल संख्या का मूल लाएं या तो उपरोक्त बहुपद के पांच मूल में से कोई भी है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट मूल है, जिसे आमतौर पर इस तरह चुना जाता है कि वास्तविक ए के लिए मूल लाएं वास्तविक-मूल्यवान है और वास्तविक रेखा के पड़ोस में एक विश्लेषणात्मक कार्य है। चार शाखा बिंदुओं के अस्तित्व के कारण, रेडिकल लाओ को एक ऐसे कार्य के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है जो पूरे जटिल तल पर निरंतर है, और इसकी निरंतरता के क्षेत्र को चार शाखा कटौती को बाहर करना चाहिए। जॉर्ज जेरार्ड ने दिखाया कि कुछ क्विंटिक समीकरणों को रेडिकल और ब्रिंग रेडिकल का उपयोग करके बंद रूप में हल किया जा सकता है, जिसे एरलैंड ब्रिंग द्वारा पेश किया गया था। इस लेख में, ए के मूल तत्व को लाओ को दर्शाया गया है वास्तविक तर्क के लिए, यह विषम, नीरस रूप से घटता हुआ, और असीम है, जिसमें बड़े के लिए स्पर्शोन्मुख व्यवहार है। सामान्य रूप अपने सबसे सामान्य रूप में पाँच स्वतंत्र गुणांकों के साथ प्रत्यक्ष रूप से क्विंटिक समीकरण का समाधान प्राप्त करना मुश्किल हैः क्विंटिक को हल करने के लिए विभिन्न विधियाँ जो विकसित की गई हैं, वे आम तौर पर स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए त्स्किरन्हॉस परिवर्तनों का उपयोग करके क्विंटिक को सरल बनाने का प्रयास करती हैं। प्रधान क्विंटिक रूप सामान्य क्विंटिक को प्रमुख क्विंटिक रूप में कम किया जा सकता है, जिसे क्वार्टिक और क्यूबिक शब्दों को हटा दिया जाता हैः यदि एक सामान्य क्विंटिक और एक प्रमुख क्विंटिक के मूल एक द्विघात त्सिर्नहॉस परिवर्तन द्वारा संबंधित हैं तो गुणांक α और β को परिणामी का उपयोग करके, या जड़ों के शक्ति योग और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर ले जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रैखिक समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रमुख क्विंटिक रूप के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। इस रूप का उपयोग फेलिक्स क्लेन के क्विंटिक के समाधान द्वारा किया जाता है। ब्रिंग-जेरार्ड नॉर्मल रूप क्विन्टिक को और सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है, जिससे ब्रिंग-जेरार्ड नॉर्मल रूप का उत्पादन होता हैः एक क्यूबिक परिवर्तन के साथ फिर से पावर-सम सूत्रों का उपयोग करना, जैसा कि त्स्चिरन्हॉस ने प्रयास किया है, काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली के परिणामस्वरूप छठी डिग्री का समीकरण होता है। लेकिन 1796 में ब्रिंग ने एक प्रमुख क्विंटिक की जड़ों को ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ों से संबंधित करने के लिए एक क्वार्टिक त्सिर्न्हॉस परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोज निकालाः इस चौथे क्रम के परिवर्तन ने अतिरिक्त पैरामीटर को अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने की अनुमति दी। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर ले जाता है, जिसके लिए तब एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस विधि की खोज 1852 में जेरार्ड ने भी की थी, लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में ब्रिंग के पिछले काम से अनजान थे। गणितीय या मेपल जैसे कंप्यूटर बीजगणित पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है। जैसा कि इन परिवर्तनों की जटिलता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी अभिव्यक्तियाँ बहुत बड़ी हो सकती हैं, विशेष रूप से जब निम्न डिग्री समीकरणों के लिए रेडिकल में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य क्विंटिक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते हैं। एक बीजगणितीय फलन के रूप में माना जाता है, दो चर, d1 और d0 को शामिल करने के लिए समाधान; हालाँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय फलन के लिए है, जो रेडिकल में समाधान के लिए बहुत समान है, क्योंकि हम ब्रिंग-जेरार्ड रूप को और कम कर सकते हैं। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते हैं तो हम समीकरण को उस रूप में कम करते हैं जिसमें z एक एकल चर के बीजगणितीय फलन के रूप में शामिल होता है, जहाँ। इस रूप की आवश्यकता हर्माइट-क्रोनकर-ब्रियोशी विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित विभेदक समाधानों की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा की जाती है। एक वैकल्पिक फॉर्म सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है ताकि कहाँ। इस रूप का उपयोग नीचे ब्रिंग रेडिकल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। ब्रियोशी सामान्य रूप क्विंटिक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोशी सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है, जिसे एक सामान्य क्विंटिक की जड़ों को ब्रियोशी क्विंटिक से संबंधित करने के लिए तर्कसंगत त्स्किरन्हॉस परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। मानकों के मान और रीमान गोले पर पॉलीहेड्रल कार्यों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं, और टेट्राहेड्रल समरूपता की पांच वस्तुओं में आइकोसाहेड्रल समरूपता की एक वस्तु के विभाजन से संबंधित हैं। यह Tschirnhaus परिवर्तन एक प्रमुख क्विंटिक को ब्रिंग-जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन परिवर्तन की तुलना में सरल है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलन पुनरावृत्ति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है। श्रृंखला प्रतिनिधित्व रेडिकल लाने के लिए एक टेलर श्रृंखला, साथ ही हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है क्योंकि वांछित समाधान विषम है। इसके बाद के लिए श्रृंखला को टेलर श्रृंखला के प्रत्यावर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है (जो सरल है), जहां गुणांक के निरपेक्ष मान OEIS में अनुक्रम A002294 बनाते हैं। श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है हाइपरजियोमेट्रिक रूप में, रेडिकल लाओ लिखा जा सकता है क्योंकि ग्लासर की व्युत्पत्ति और विभेदक संकल्पकों की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों के साथ तुलना करना दिलचस्प हो सकता है। सामान्य क्विंटिक का समाधान बहुपद की जड़ों को ब्रिंग रेडिकल और इसके चार संयुग्मों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। समस्या को अब हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में ब्रिंग-जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और केवल चौथी डिग्री तक मूल में बहुपद अभिव्यक्तियों से जुड़े परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि परिवर्तन को उलटना एक बहुपद के मूल का पता लगाकर किया जा सकता है जो कणों में हल किया जा सकता है। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब सही को संख्यात्मक माध्यमों से पाया जाता है, तो क्विंटिक के मूल को वर्गमूल, घनमूल और लाने वाले मूल के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जो इसलिए एक चर के बीजगणितीय कार्यों (मोटे तौर पर रेडिकल लाने के लिए परिभाषित) के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है-सामान्य क्विंटिक का एक बीजगणितीय समाधान। अन्य लक्षण वर्णन ब्रिंग रेडिकल के कई अन्य लक्षण वर्णन विकसित किए गए हैं, जिनमें से पहला 1858 में चार्ल्स हर्माइट द्वारा "अण्डाकार पारगमन" (अण्डाकार और मॉड्यूलर कार्यों से संबंधित) के संदर्भ में है, और आगे की विधियों को बाद में अन्य गणितविदों द्वारा विकसित किया गया है। हर्माइट-क्रोनकर-ब्रियोस्की चरित्र चित्रण 1858 में, चार्ल्स हर्माइट ने "अण्डाकार पार" के संदर्भ में सामान्य क्विंटिक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय फ्रांसेस्को ब्रियोस्की और लियोपोल्ड क्रोनकर ने समतुल्य समाधान निकाले। हर्माइट त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में घन समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके इस समाधान पर पहुंचा और ब्रिंग-जेरार्ड रूप में एक क्विंटिक का समाधान पाता हैः जिसमें किसी भी क्विंटिक समीकरण को त्स्किरन्हॉस परिवर्तनों के माध्यम से कम किया जा सकता है जैसा कि दिखाया गया है। उन्होंने देखा कि दीर्घवृत्तीय कार्यों की ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक के समाधान में एक समान भूमिका होती है जैसा कि घन के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की होती है। उन्हें पहले प्रकार के पूर्ण दीर्घवृत्ताकार समाकलन के रूप में लिखें और लिखेंः जहां दो "दीर्घवृत्ताकार उत्तरोत्तर" को परिभाषित करेंः उन्हें अनंत श्रृंखला द्वारा समतुल्य रूप से परिभाषित किया जा सकता हैः यदि n एक अभाज्य संख्या है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते हैं और निम्नानुसारः और जब n एक विषम अभाज्य है, तो मापदंड और डिग्री n + 1 के समीकरण द्वारा जुड़े होते हैं, जिसे मॉड्यूलर समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसके n + 1 मूल क्रमशः दिए जाते हैंः और जहां 1 या-1 है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या 2 एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो n है या नहीं, और। एन = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण हैः जिसमें छह मूल हैं जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। एन = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण के छह मूलों के निम्नलिखित कार्य द्वारा ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक से संबंधित हो सकता है (हर्माइट के सुर ला थियोरी डेस एक्वेशंस मॉड्यूलेयर्स एट ला रिज़ॉल्यूशन डी ल 'एक्वेशन डु सिन्क्विमे डिग्री में, पहला कारक गलत तरीके से दिया गया है): वैकल्पिक रूप से, सूत्र के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए सूत्र उपयोगी है। हर्माइट के अनुसार, विस्तार में का गुणांक प्रत्येक के लिए शून्य है। पाँच मात्राएँ,,, गुणांक के साथ एक क्विंटिक समीकरण के मूल हैंः जिन्हें प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से ब्रिंग-जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता हैः ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक की ओर ले जाता हैः जहां हर्माइट-क्रोनकर-ब्रियोशी विधि तब एक मूल्य खोजने के लिए होती है जो इसके मूल्य से मेल खाती है, और फिर संबंधित मॉड्यूलर समीकरण के मूल प्राप्त करने के लिए उस मूल्य का उपयोग करती है। हम समीकरण से पता लगाने के लिए रूट फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं (अर्थात। ) के आंशिक व्युत्क्रम की गणना करें। वर्ग (*) केवल (उपयोग) में एक चतुर्थक देता है। (*) का प्रत्येक समाधान (में) चतुर्थक का समाधान है लेकिन चतुर्थक का प्रत्येक समाधान (*) का समाधान नहीं है। ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ें तब इस प्रकार दी जाती हैंः के लिए। एक वैकल्पिक, "समाकलन", दृष्टिकोण निम्नलिखित हैः विचार करें कि कहाँ तब एक समाधान है जहाँ समीकरण के मूल हैंः कहाँ (ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ इसे गलत तरीके से देते हैं)। इनमें से एक जड़ का उपयोग अण्डाकार मापांक के रूप में किया जा सकता है। ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ें तब इस प्रकार दी जाती हैंः के लिए। यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया nवें मूल के सामान्यीकरण का उपयोग करती है, जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः या अधिक बिंदु तक, क्योंकि हर्माइट-क्रोनकर-ब्रियोशी विधि अनिवार्य रूप से घातांक को एक "दीर्घवृत्ताकार पारगमन" द्वारा प्रतिस्थापित करती है, और समाकलन (या वास्तविक रेखा पर का व्युत्क्रम) एक दीर्घवृत्ताकार समाकलन (या एक "दीर्घवृत्ताकार पारगमन" के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा) द्वारा। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला था, जो मनमाने ढंग से उच्च डिग्री के समीकरणों पर लागू होगा। यह प्रमेय, जिसे थोमा के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से 1984 में हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था, जिन्होंने घातीय/अण्डाकार पार के स्थान पर सीगल मॉड्यूलर रूपों का उपयोग किया, और एक अति-दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा समाकलन को प्रतिस्थापित किया। ग्लासर की व्युत्पत्ति एम. एल. ग्लासर के कारण यह व्युत्पत्ति इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला विधि को सामान्यीकृत करती है ताकि रूप के किसी भी त्रिकोणीय समीकरण का समाधान खोजा जा सकेः विशेष रूप से, क्विंटिक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। मान लीजिए, सामान्य रूप बन जाता हैः जहां लैग्रेंज के कारण एक सूत्र बताता है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए, परिवर्तित सामान्य समीकरण के मूल के पड़ोस में, उपरोक्त के संदर्भ में, एक अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः यदि हम इस सूत्र को देते हैं, तो हम मूल के साथ आ सकते हैंः गॉस गुणन प्रमेय के उपयोग से ऊपर की अनंत श्रृंखला को हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों की एक सीमित श्रृंखला में विभाजित किया जा सकता हैः और रूप के त्रिकोणीय में मूल होते हैं इस प्रकार समीकरण के मूल को अधिकतम एन-1 हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस विधि को कम किए गए ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक पर लागू करते हुए, निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित करेंः जो हाइपरजियोमेट्रिक कार्य हैं जो उपरोक्त श्रृंखला सूत्र में दिखाई देते हैं। पंचक की जड़ें इस प्रकार हैंः यह अनिवार्य रूप से वही परिणाम है जो निम्नलिखित विधि द्वारा प्राप्त किया जाता है। 1860 में जेम्स कॉकल और रॉबर्ट हार्ले ने विभेदक हल करने की विधि विकसित की, जो विभेदक समीकरणों के माध्यम से क्विंटिक को हल करने की एक विधि थी। वे जड़ों को गुणांक के कार्य मानते हैं, और इन समीकरणों के आधार पर एक विभेदक विलायक की गणना करते हैं। ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक को एक फलन के रूप में व्यक्त किया जाता हैः और एक फलन को इस तरह से निर्धारित किया जाना चाहिए किः फलन को निम्नलिखित चार विभेदक समीकरणों को भी संतुष्ट करना चाहिएः इनका विस्तार करने और उन्हें एक साथ जोड़ने से विभेदक विभेदक प्राप्त होता हैः विभेदक विभेदक का समाधान, एक चौथा क्रम साधारण विभेदक समीकरण होने के नाते, एकीकरण के चार स्थिरांकों पर निर्भर करता है, जिन्हें मूल क्विंटिक को संतुष्ट करने के लिए चुना जाना चाहिए। यह हाइपरजियोमेट्रिक प्रकार का एक फ्यूशियन साधारण विभेदक समीकरण है, जिसका समाधान हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों की श्रृंखला के समान है जो ऊपर ग्लासर की व्युत्पत्ति में उत्पन्न हुआ था। इस विधि को मनमाने ढंग से उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, विभेदक संकल्पकों के साथ जो आंशिक विभेदक समीकरण हैं, जिनके समाधानों में कई चरों के हाइपरजियोमेट्रिक कार्य शामिल हैं। मनमाना अविभाज्य बहुपदों के विभेदक संकल्पकों के लिए एक सामान्य सूत्र नाहय के घात सूत्र द्वारा दिया जाता है। डॉयल-मैकमुलन पुनरावृत्ति 1989 में, पीटर डॉयल और कर्ट मैकमुलन ने एक पुनरावृत्ति विधि प्राप्त की जो ब्रियोशी सामान्य रूप में एक क्विंटिक को हल करती हैः पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म निम्नानुसार आगे बढ़ता हैः तर्कसंगत फ़ंक्शन की गणना करें जहां नीचे दिया गया एक बहुपद फ़ंक्शन है, और एक यादृच्छिक प्रारंभिक अनुमान पर इटरेट के संबंध में व्युत्पन्न है जब तक कि यह अभिसरण नहीं हो जाता है। सीमा बिंदु पर कॉल करें और जाने दें। गणना करें जहाँ एक बहुपद फलन नीचे दिया गया है। और दोनों के लिए ऐसा करें। अंत में, इसके लिए गणना करें। ये ब्रियोशी क्विंटिक की दो जड़ें हैं। दो बहुपद फलन इस प्रकार हैंः यह पुनरावृत्ति विधि पंचक के दो मूल उत्पन्न करती है। शेष तीन जड़ों को दो जड़ों को विभाजित करने के लिए सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे एक घन समीकरण उत्पन्न होता है। जिस तरह से पुनरावृत्ति को तैयार किया जाता है, उसके कारण यह विधि हमेशा क्विंटिक के दो जटिल संयुग्म मूल ढूंढती प्रतीत होती है, भले ही सभी क्विंटिक गुणांक वास्तविक हों और प्रारंभिक अनुमान वास्तविक हो। यह पुनरावृत्ति विधि आइकोसाहेड्रॉन की सममितियों से ली गई है और फेलिक्स क्लेन ने अपनी पुस्तक में वर्णित विधि से निकटता से संबंधित है। समीकरणों का सिद्धांत भी देखें संदर्भ टिप्पणियाँ अन्य स्रोत बाहरी लिंक समीकरण बहुपद विशेष हाइपरजियोमेट्रिक कार्य