Point groups in two dimensions
ज्यामिति में, एक द्वि-आयामी बिंदु समूह या गुलदस्ता समूह ज्यामितीय सममितियों (सममितियों) का एक समूह है जो एक तल में कम से कम एक बिंदु को स्थिर रखता है। ऐसा प्रत्येक समूह ऑर्थोगोनल समूह ओ (2) का एक उपसमूह है, जिसमें ओ (2) भी शामिल है। इसके तत्व घूर्णन और प्रतिबिंब हैं, और प्रत्येक ऐसा समूह जिसमें केवल घूर्णन होते हैं, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO (2) का एक उपसमूह है, जिसमें SO (2) भी शामिल है। वह समूह आर/जेड के लिए समरूप है और पहला एकात्मक समूह, यू (1), एक समूह जिसे वृत्त समूह के रूप में भी जाना जाता है। द्वि-आयामी बिंदु समूह अक्षीय त्रि-आयामी बिंदु समूहों के लिए एक आधार के रूप में महत्वपूर्ण हैं, जिसमें अक्षीय निर्देशांक में प्रतिबिंबों को जोड़ा जाता है। वे स्टारफिश और जेलीफिश जैसे जीवों और फूलों जैसे जीवों के अंगों की समरूपता में भी महत्वपूर्ण हैं। असतत समूह असतत द्वि-आयामी बिंदु समूहों के दो परिवार हैं, और उन्हें पैरामीटर एन के साथ निर्दिष्ट किया जाता है, जो समूह में घूर्णन के समूह का क्रम है। इंटल हर्मन-मौगुइन संकेतन या अंतर्राष्ट्रीय संकेतन को संदर्भित करता है, जिसका उपयोग अक्सर क्रिस्टलोग्राफी में किया जाता है। असीम सीमा में, ये समूह एक आयामी रेखा समूह बन जाते हैं। यदि कोई समूह द्वि-आयामी जाली या ग्रिड की समरूपता है, तो क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय दोनों परिवारों के लिए n के मान को 1,2,3,4 और 6 तक सीमित करता है। इस प्रकार 10 द्वि-आयामी क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह हैंः सी1, सी2, सी3, सी4, सी6, डी1, डी2, डी3, डी4, डी6 समूहों का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता हैः सीएन। एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जाता है जिसे सीएन भी कहा जाता है, जो कोण 2π/n द्वारा घूर्णन से मेल खाता है। इसके तत्व E (पहचान), Cn, Cn2,., Cnn−1 हैं, जो घूर्णन कोण 0,2π/n, 4π/n,., 2 (n−1) π/n के अनुरूप हैं। डीएन. तत्व Cn और परावर्तन σ द्वारा उत्पन्न। इसके तत्व समूह Cn के तत्व हैं, जिसमें तत्व σ, Cnσ, Cn2σ,., Cnn−1σ जोड़े गए हैं। ये अतिरिक्त कोण अभिविन्यास कोण 0, π/n, 2π/n,., (n−1) π/n के साथ रेखाओं में प्रतिबिंबों के अनुरूप हैं। इस प्रकार Dn, Cn और समूह (E, σ) का एक अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद है। C2 और D1 को छोड़कर, इन सभी समूहों में अलग-अलग अमूर्त समूह हैं, जो अमूर्त समूह Z2 को साझा करते हैं। सभी चक्रीय समूह अबेलियन या कम्यूटेटिव हैं, लेकिन केवल दो डायहेड्रल समूह हैंः D1 ~ Z2 और D2 ~ Z2 × Z2। वास्तव में, डी3 सबसे छोटा गैर-एबेलियन समूह है। सम n के लिए, हर्मन-मौगुइन प्रतीक nm पूर्ण प्रतीक nmm का संक्षिप्त नाम है, जैसा कि नीचे बताया गया है। एच-एम प्रतीक में एन एन-गुना घूर्णन को दर्शाता है, जबकि एम प्रतिबिंब या दर्पण तल को दर्शाता है। अधिक सामान्य समूह ये समूह आसानी से द्वि-आयामी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ बनाए जाते हैं। निरंतर चक्रीय समूह एस. ओ. (2) या सी. इन. आई. और इसके उपसमूहों में ऐसे तत्व होते हैं जो घूर्णन मैट्रिक्स होते हैंः जहाँ एस. ओ. (2) में कोई संभावित θ होता है। आश्चर्य की बात नहीं है कि एस. ओ. (2) और इसके उपसमूह सभी अबेलियन हैं; घूर्णन कोणों का जोड़ आवागमन करता है। असतत चक्रीय समूहों Cn के लिए, तत्व Cnk = R (2πk/n) निरंतर द्विध्रुवीय समूह O (2) या D φ और प्रतिबिंबों के साथ इसके उपसमूहों में ऐसे तत्व होते हैं जिनमें न केवल घूर्णन मैट्रिक्स होते हैं, बल्कि परावर्तन मैट्रिक्स भी होते हैंः जहां O (2) में कोई संभव θ होता है। हालाँकि, परावर्तन के साथ ओ (2) के एकमात्र अबेलियन उपसमूह डी1 और डी2 हैं। असतत द्विध्रुवीय समूहों Dn के लिए, तत्व Cnkσ = S (2πk/n) जब कोई ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करता है, तो इन समूहों का एक-आयामी समरूपता समूहों के साथ संबंध स्पष्ट हो जाता है। एस. ओ. (2) के उपसमूहों के प्रकारः परिमित चक्रीय उपसमूह सी. एन. (एन. ओ. आर. 1); प्रत्येक एन. के लिए एक सममिति समूह होता है, अमूर्त समूह प्रकार जेड. एन. परिमित रूप से उत्पन्न समूहों का, प्रत्येक समरूपता सी. एन. द्वारा उत्पन्न जेड. एम. जेड. एन. के रूप में होती है और एम, एन. ओ. आर. 1; प्रत्येक जोड़ी (एम, एन) के लिए अनगिनत सममिति समूह होते हैं, जो सभी अमूर्त समूह के समान होते हैं; जोड़ी (1,1) के लिए समूह चक्रीय होता है। अन्य गणना योग्य उपसमूह। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक एन के लिए, एस. ओ. (2) सहित कई गैर-गणना योग्य उपसमूहों की नकारात्मक पूर्णांक शक्ति के बराबर कई मोड़ों के सभी घूर्णन से उत्पन्न समूह, एस. ओ. (2) के प्रत्येक उपसमूह के लिए ओ. (2) के उपसमूहों का एक संबंधित गैर-गणना योग्य वर्ग है जो अमूर्त समूह के रूप में पारस्परिक रूप से समरूप हैंः एक वर्ग में प्रत्येक उपसमूह पहले उल्लिखित उपसमूह द्वारा उत्पन्न होता है और मूल के माध्यम से एक रेखा में एक एकल प्रतिबिंब होता है। ये (सामान्यीकृत) डायहेड्रल समूह हैं, जिनमें अमूर्त समूह प्रकार डिह्न के परिमित समूह डीएन (एनओआर 1) शामिल हैं। n = 1 के लिए सामान्य संकेतन Cs है, जो अमूर्त समूह प्रकार Z2 का है। ओ (2) के स्थलवैज्ञानिक उपसमूहों के रूप में, केवल परिमित सममिति समूह और एस. ओ. (2) और ओ. (2) बंद हैं। ये समूह दो अलग-अलग परिवारों में आते हैं, इस आधार पर कि क्या उनमें केवल आवर्तन होते हैं, या उनमें प्रतिबिंब शामिल होते हैं। चक्रीय समूह, सीएन (अमूर्त समूह प्रकार जेडएन) में 360°/एन द्वारा घूर्णन और सभी पूर्णांक गुणक होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चार पैर वाले मल में समरूपता समूह C4 होता है, जिसमें 0°, 90°, 180° और 270° द्वारा घूर्णन होते हैं। एक वर्ग का समरूपता समूह डायहेड्रल समूहों के परिवार से संबंधित है, डीएन (अमूर्त समूह प्रकार डिह्न), जिसमें घूर्णन के रूप में कई प्रतिबिंब शामिल हैं। वृत्त की अनंत घूर्णन समरूपता का अर्थ प्रतिबिंब समरूपता भी है, लेकिन औपचारिक रूप से वृत्त समूह S1 दिह (S1) से अलग है क्योंकि बाद वाले में स्पष्ट रूप से प्रतिबिंब शामिल हैं। एक अनंत समूह को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, हमारे पास 360°/से घूर्णन के सभी पूर्णांक गुणकों का एक समूह है, जिसमें 180° से घूर्णन शामिल नहीं है। इसके अनुप्रयोग के आधार पर, अनुप्रस्थ दिशा में विस्तार के मनमाने ढंग से महीन स्तर तक की एकरूपता को उस दिशा में पूर्ण एकरूपता के बराबर माना जा सकता है, जिस स्थिति में इन समरूपता समूहों को नजरअंदाज किया जा सकता है। n = 1,2,3,4 और 6 के लिए Cn और Dn को अनुवादात्मक समरूपता के साथ जोड़ा जा सकता है, कभी-कभी एक से अधिक तरीकों से। इस प्रकार ये 10 समूह 17 वालपेपर समूहों को जन्म देते हैं। सममिति समूह 2डी सममिति समूह सममिति समूहों के अनुरूप होते हैं, सिवाय इसके कि ओ (2) और एस. ओ. (2) के अनुसार सममिति को केवल सदिश क्षेत्रों के लिए लागू सामान्यीकृत सममिति अवधारणा में अलग किया जा सकता है। इसके अलावा, अनुप्रयोग के आधार पर, अनुप्रस्थ दिशा में मनमाने ढंग से महीन विवरण तक एकरूपता को उस दिशा में पूर्ण एकरूपता के बराबर माना जा सकता है। यह वर्गीकरण को बहुत सरल बनाता हैः हम खुद को ओ (2) के बंद स्थलाकृतिक उपसमूहों तक सीमित कर सकते हैंः परिमित और ओ (2) (वृत्ताकार समरूपता), और सदिश क्षेत्रों एस. ओ. (2) के लिए। ये समूह एक-आयामी समरूपता समूहों के अनुरूप भी होते हैं, जब एक वृत्त में चारों ओर लिपटे होते हैं। अनुवादात्मक समरूपता के साथ संयोजन E (2), O (2) और अनुवाद समूह T का एक अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद है। दूसरे शब्दों में, O (2), E (2) का एक उपसमूह है जो E (2) के भागफल समूह के लिए T: O (2) E (2)/T द्वारा समरूप है। एक "प्राकृतिक" विषयगत समूह समरूपता p: E (2) → E (2)/T है, जो E (2) के प्रत्येक तत्व g को T के कोसेट में भेजता है जिससे g संबंधित है, अर्थात्ः p (g) = gT, जिसे कभी-कभी E (2) का E (2)/T या O (2) पर विहित प्रक्षेपण कहा जाता है। ई (2) के प्रत्येक उपसमूह के लिए हम पी के तहत इसकी छवि पर विचार कर सकते हैंः एक बिंदु समूह जिसमें कोसेट होते हैं जिसमें उपसमूह के तत्व शामिल होते हैं, दूसरे शब्दों में, सममितियों के अनुवादात्मक भागों को नजरअंदाज करके प्राप्त बिंदु समूह। ई (2) के प्रत्येक असतत उपसमूह के लिए, क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय के कारण, यह बिंदु समूह या तो सीएन है या एन = 1,2,3,4 या 6 के लिए डीएन प्रकार का है। n = 1,2,3,4 और 6 के लिए Cn और Dn को अनुवादात्मक समरूपता के साथ जोड़ा जा सकता है, कभी-कभी एक से अधिक तरीकों से। इस प्रकार ये 10 समूह 17 वालपेपर समूहों को जन्म देते हैं, और n = 1 और 2 वाले चार समूह भी 7 फ्रीज समूहों को जन्म देते हैं। प्रत्येक वालपेपर समूह पी1, पी2, पी3, पी4, पी6 के लिए, सभी सममिति समूहों के पी के तहत छवि (यानी। ई (2)/टी या ओ (2) पर "अनुमान" सभी संबंधित सीएन के बराबर हैं; साथ ही दो फ्रीज समूह सी1 और सी2 के अनुरूप हैं। पी6एम के सममिति समूहों में से प्रत्येक को डी6 प्रकार के बिंदु समूहों में से एक में मैप किया जाता है। अन्य 11 वालपेपर समूहों के लिए, प्रत्येक सममिति समूह को डी1, डी2, डी3 या डी4 प्रकार के बिंदु समूहों में से एक में मैप किया जाता है। इसके अलावा पाँच फ्रीज़ समूह डी1 और डी2 के अनुरूप हैं। एक दिए गए षट्कोणीय अनुवाद जाली के लिए दो अलग-अलग समूह D3 हैं, जो P31m और p3m1 को जन्म देते हैं। प्रत्येक प्रकार डी1, डी2 और डी4 के लिए क्रमशः 3,4 और 2 वालपेपर समूहों के बीच का अंतर, समूह में प्रत्येक परावर्तन से जुड़े अनुवाद सदिश द्वारा निर्धारित किया जाता हैः चूंकि सममितियाँ एक ही कोसेट में होती हैं, अनुवादात्मक घटकों की परवाह किए बिना, एक ही दर्पण के साथ एक परावर्तन और एक ग्लाइड परावर्तन एक ही कोसेट में होते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए सममिति समूह। प्रकार पी4एम और पी4जी दोनों को डी4 प्रकार के समूहों को इंगित करने के लिए मैप किया गया है। किसी दिए गए सममिति समूह के लिए, समूह के तत्वों द्वारा समूह में एक अनुवाद के संयुग्म एक अनुवाद समूह (एक जाली) उत्पन्न करते हैं-यह सममिति समूह का एक उपसमूह है जो केवल उस अनुवाद पर निर्भर करता है जिसके साथ हमने शुरुआत की थी, और सममिति समूह से जुड़े बिंदु समूह। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक ग्लाइड परावर्तन द्वारा अनुवाद का संयुग्म संबंधित परावर्तन के समान हैः अनुवाद सदिश परावर्तित होता है। यदि सममिति समूह में एक n-गुना घूर्णन होता है तो जाली में सम n के लिए n-गुना समरूपता और विषम n के लिए 2n-गुना समरूपता होती है। यदि, एक अनुवाद वाले असतत सममिति समूह के मामले में, हम इसे न्यूनतम लंबाई के अनुवाद के लिए लागू करते हैं, तो, दो आसन्न दिशाओं में अनुवाद के सदिश अंतर को ध्यान में रखते हुए, यह n ≤ 6 का अनुसरण करता है, और विषम n के लिए 2n ≤ 6, इसलिए n = 1,2,3,4, या 6 (क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय)। तीन आयामों में बिंदु समूह चार आयामों में बिंदु समूह एक-आयामी समरूपता समूह बाहरी लिंक, ज्यामितीय परिवर्तन और वालपेपर समूहः ज्यामितीय पैटर्न की समरूपता (सममितियों के असतत समूह), लांस ड्रेगर द्वारा भी देखें। पॉइंट ग्रुप्स एंड क्रिस्टल सिस्टम्स, यी-शू वेई द्वारा, पीपी। 4-5 ज्यामिति केंद्रः 2 कार्टेशियन निर्देशांक में सममितियों के लिए सूत्र (दो आयाम) यूक्लिडियन सममितियाँ समूह सिद्धांत