Intersection theory
गणित में, प्रतिच्छेदन सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति की मुख्य शाखाओं में से एक है, जहां यह किसी दिए गए प्रकार के दो उपप्रकारों के प्रतिच्छेदन के बारे में जानकारी देता है। किस्मों के लिए सिद्धांत पुराना है, जिसकी जड़ें वक्र और उन्मूलन सिद्धांत पर बेज़ौट के प्रमेय में हैं। दूसरी ओर, स्थलवैज्ञानिक सिद्धांत अधिक तेज़ी से एक निश्चित रूप में पहुँच गया। प्रतिच्छेदन सिद्धांत का विकास अभी भी जारी है। वर्तमान में मुख्य ध्यान इस पर हैः आभासी मौलिक चक्र, क्वांटम प्रतिच्छेदन रिंग, ग्रोमोव-विटन सिद्धांत और योजनाओं से ढेर तक प्रतिच्छेदन सिद्धांत का विस्तार। एक जुड़े हुए उन्मुख आयाम के लिए प्रतिच्छेदन रूप को मौलिक वर्ग पर कप उत्पाद के मूल्यांकन द्वारा-th समरूपता समूह (जिसे आमतौर पर 'मध्य आयाम' कहा जाता है) पर परिभाषित किया जाता है। यह सम के लिए एक सममित रूप है (इसलिए दोगुना सम), इस मामले में के हस्ताक्षर को रूप के हस्ताक्षर के रूप में परिभाषित किया जाता है, और विषम के लिए एक वैकल्पिक रूप (इसलिए एकल रूप से सम है)। इन्हें समान रूप से ε-सममित रूपों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जहां क्रमशः सममित और तिरछे-सममित रूपों के लिए। कुछ परिस्थितियों में इस रूप को एक-चतुष्कोणीय रूप में परिष्कृत करना संभव है, हालांकि इसके लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता होती है जैसे कि स्पर्शरेखा बंडल की संरचना। अभिविन्यास की स्थिति को छोड़ना और इसके बजाय गुणांक के साथ काम करना संभव है। ये रूप महत्वपूर्ण स्थलवैज्ञानिक अपरिवर्तनीय हैं। उदाहरण के लिए, माइकल फ्रीडमैन की एक प्रमेय में कहा गया है कि केवल जुड़े हुए कॉम्पैक्ट 4-मैनिफोल्ड्स (लगभग) होमोमोर्फिज्म तक उनके प्रतिच्छेदन रूपों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। पोइनकेयर द्वैतता से यह पता चलता है कि इसके बारे में ज्यामितीय रूप से सोचने का एक तरीका है। यदि संभव हो, तो और के पोइनकेयर युगल के लिए प्रतिनिधि-आयामी सबमैनिफोल्ड चुनें। फिर और की उन्मुख प्रतिच्छेदन संख्या है, जो अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि के आयाम और कुल आयाम का योग वे सामान्य रूप से अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह शब्दावली प्रतिच्छेदन रूप की व्याख्या करता है। बीजगणितीय ज्यामिति में छेदन सिद्धांत विलियम फुल्टन ने छेदन सिद्धांत (1984) में लिखा है. यदि और एक गैर-एकल विविधता के उप-प्रकार हैं, तो छेदन उत्पाद बीजगणितीय चक्रों का एक समतुल्य वर्ग होना चाहिए जो ज्यामिति से निकटता से संबंधित है कि कैसे, और कैसे स्थित हैं। दो चरम मामले सबसे अधिक परिचित हैं। यदि प्रतिच्छेदन उचित है, अर्थात। , तब के अपरिवर्तनीय घटकों का एक रैखिक संयोजन है, गुणांक प्रतिच्छेदन गुणकों के साथ। दूसरे चरम पर, यदि एक गैर-एकल उप-विविधता है, तो स्व-छेदन सूत्र कहता है कि यह अंदर के सामान्य बंडल के शीर्ष चेरन वर्ग द्वारा दर्शाया जाता है। एक परिभाषा देने के लिए, सामान्य मामले में, प्रतिच्छेदन बहुलता की आंद्रे वेल की 1946 की पुस्तक फाउंडेशन ऑफ अलजेब्रिक ज्योमेट्री की प्रमुख चिंता थी। बी. एल. वैन डेर वेर्डेन के 1920 के दशक में काम ने पहले ही इस प्रश्न को संबोधित कर दिया था; बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में विचार अच्छी तरह से ज्ञात थे, लेकिन मूलभूत प्रश्नों को उसी भावना में संबोधित नहीं किया गया था। गतिशील चक्र बीजगणितीय चक्रों को प्रतिच्छेदन करने वाली एक अच्छी तरह से काम करने वाली मशीनरी है और इसके लिए केवल विचाराधीन चक्रों के सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन को लेने से अधिक की आवश्यकता होती है। यदि दोनों चक्र "अच्छी स्थिति" में हैं तो प्रतिच्छेदन उत्पाद, जिसे दर्शाया गया है, में दो उपप्रकारों का सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन होना चाहिए। हालाँकि चक्र खराब स्थिति में हो सकते हैं, जैसे। समतल में दो समानांतर रेखाएँ, या एक समतल जिसमें एक रेखा होती है (3-स्थान में प्रतिच्छेदन)। दोनों ही मामलों में प्रतिच्छेदन एक बिंदु होना चाहिए, क्योंकि, फिर से, यदि एक चक्र को स्थानांतरित किया जाता है, तो यह प्रतिच्छेदन होगा। दो चक्रों का प्रतिच्छेदन और इसे उचित कहा जाता है यदि (सेट-सैद्धांतिक) प्रतिच्छेदन का कोडिमेंशन क्रमशः और के कोडिमेंशन का योग है, अर्थात। "अपेक्षित" मूल्य। इसलिए, बीजगणितीय चक्रों पर उपयुक्त समतुल्यता संबंधों का उपयोग करके गतिशील चक्रों की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। किसी भी दो चक्रों को देखते हुए समतुल्यता इतनी व्यापक होनी चाहिए कि समतुल्य चक्र हों और ऐसा हो कि प्रतिच्छेदन उचित हो। बेशक, दूसरी ओर, एक दूसरे समकक्ष के लिए और, के बराबर होना चाहिए। प्रतिच्छेदन सिद्धांत के उद्देश्यों के लिए, तर्कसंगत समतुल्यता सबसे महत्वपूर्ण है। संक्षेप में, एक प्रकार पर द्वि-आयामी चक्र तर्कसंगत रूप से समतुल्य होते हैं यदि एक आयामी उप-विविधता पर एक तर्कसंगत कार्य होता है, अर्थात। फलन क्षेत्र का एक तत्व या समतुल्य रूप से एक फलन, जैसे कि, जहाँ गुणा के साथ गिना जाता है। तर्कसंगत समतुल्यता ऊपर उल्लिखित आवश्यकताओं को पूरा करती है। छेदक गुणन चक्रों के छेदक गुणन की परिभाषा में मार्गदर्शक सिद्धांत एक निश्चित अर्थ में निरंतरता है। निम्नलिखित प्राथमिक उदाहरण पर विचार कीजिएः एक परवलय और एक अक्ष का प्रतिच्छेदन होना चाहिए, क्योंकि यदि एक चक्र चलता है (फिर भी एक अनिर्धारित अर्थ में), तो ठीक दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं जो दोनों तब अभिसरण करते हैं जब चक्र चित्रित स्थिति तक पहुँचते हैं। (चित्र भ्रामक है क्योंकि परवलय और रेखा का स्पष्ट रूप से खाली प्रतिच्छेदन खाली है, क्योंकि केवल समीकरणों के वास्तविक समाधानों को दर्शाया गया है)। प्रतिच्छेदन गुणन की पहली पूरी तरह से संतोषजनक परिभाषा सेर द्वारा दी गई थीः परिवेश की विविधता को चिकना (या सभी स्थानीय वलय नियमित) होने दें। इसके अलावा दो (इरेड्यूसिबल रिड्यूस्ड क्लोज्ड) उप-विविधताएँ होने दें, जैसे कि उनका प्रतिच्छेदन उचित हो। संरचना स्थानीय है, इसलिए किस्मों को दो आदर्शों और के निर्देशांक वलय में दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि यह सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन और इसके सामान्य बिंदु का एक अपरिवर्तनीय घटक है। प्रतिच्छेदन उत्पाद में गुणन को उप-विविधताओं के अनुरूप कारक रिंगों के मरोड़ समूहों के स्थानीय रिंग पर लंबाई पर वैकल्पिक योग द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस अभिव्यक्ति को कभी-कभी सेर के टोर-सूत्र के रूप में संदर्भित किया जाता है। टिप्पणीः पहला सारांश, की लंबाई बहुलता का "भोला" अनुमान है; हालाँकि, जैसा कि सेरे से पता चलता है, यह पर्याप्त नहीं है। योग परिमित है, क्योंकि नियमित स्थानीय वलय में सीमित टोर-आयाम होता है। यदि और का प्रतिच्छेदन उचित नहीं है, तो उपरोक्त बहुलता शून्य होगी। यदि यह उचित है, तो यह पूरी तरह से सकारात्मक है। (परिभाषा से दोनों कथन स्पष्ट नहीं हैं)। एक वर्णक्रमीय अनुक्रम तर्क का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है। चाउ वलय निम्नलिखित परिवर्तनीय प्रतिच्छेदन उत्पाद के साथ बीजगणितीय चक्र मॉड्यूलो तर्कसंगत समतुल्यता का समूह हैः जब भी V और W अनुप्रस्थ रूप से मिलते हैं, तो सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन का अपरिवर्तनीय घटकों में अपघटन कहाँ होता है। स्व-छेदन दो उप-विविधताओं को देखते हुए और, कोई भी उनका प्रतिच्छेदन ले सकता है, लेकिन यह भी संभव है, हालांकि अधिक सूक्ष्म, एक एकल उप-विविधता के स्व-छेदन को परिभाषित करना। उदाहरण के लिए, किसी सतह पर एक वक्र को देखते हुए, स्वयं के साथ इसका प्रतिच्छेदन (समुच्चयों के रूप में) स्वयं ही हैः यह स्पष्ट रूप से सही है, लेकिन दूसरी ओर असंतोषजनक हैः एक सतह पर किसी भी दो अलग-अलग वक्रों को देखते हुए (जिसमें कोई घटक समान नहीं है), वे बिंदुओं के कुछ सेट में प्रतिच्छेद करते हैं, जिन्हें उदाहरण के लिए कोई गणना कर सकता है, एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त कर सकता है, और हम किसी दिए गए वक्र के लिए भी ऐसा ही करना चाह सकते हैंः सादृश्य यह है कि अलग-अलग वक्रों को प्रतिच्छेद करना दो संख्याओं को गुणा करने जैसा हैः, जबकि स्व-प्रतिच्छेदन एक संख्या को वर्ग करने जैसा हैः औपचारिक रूप से, सादृश्य को एक सममित द्विरेखीय रूप (गुणन) और एक द्विघात रूप (वर्ग) के रूप में कहा जाता है। इसका एक ज्यामितीय समाधान यह है कि वक्र को स्वयं के साथ नहीं, बल्कि स्वयं के थोड़े से धकेल दिए गए संस्करण के साथ काटना है। समतल में, इसका मतलब केवल किसी दिशा में वक्र का अनुवाद करना है, लेकिन सामान्य रूप से एक वक्र लेने के बारे में बात की जाती है जो रैखिक रूप से समतुल्य है, और प्रतिच्छेदन की गिनती करता है, इस प्रकार एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त करता है, जिसे दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि अलग-अलग वक्रों के विपरीत और, प्रतिच्छेदन के वास्तविक बिंदुओं को परिभाषित नहीं किया गया है, क्योंकि वे एक विकल्प पर निर्भर करते हैं, लेकिन स्वयं प्रतिच्छेदन बिंदुओं की व्याख्या सामान्य बिंदुओं के रूप में की जा सकती है। अधिक ठीक से, का स्व-छेदन बिंदु सामान्य बिंदु है, जिसे बहुलता के साथ लिया जाता है। वैकल्पिक रूप से, कोई भी इस समस्या को बीजगणितीय रूप से "हल" (या प्रेरित) कर सकता है, और के वर्ग को देखकर-यह दोनों एक संख्या देता है, और एक ज्यामितीय व्याख्या का सवाल उठाता है। ध्यान दें कि समरूपता वर्गों में जाना एक वक्र को एक रैखिक प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित करने के समान है। ध्यान दें कि स्व-छेदन संख्या ऋणात्मक हो सकती है, जैसा कि नीचे दिया गया उदाहरण दर्शाता है। उदाहरण प्रोजेक्टिव प्लेन में एक रेखा पर विचार करेंः इसमें स्व-छेदन संख्या 1 होती है क्योंकि अन्य सभी रेखाएं इसे एक बार पार करती हैंः इसलिए कोई भी (किसी भी विकल्प के लिए) की ओर धकेल सकता है। प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं कि तल का एक प्रकार है (रेखाओं का केवल एक वर्ग है, और वे सभी एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेदन करते हैं)। ध्यान दें कि एफाइन तल पर, कोई एक समानांतर रेखा की ओर धकेल सकता है, इसलिए (ज्यामितीय रूप से सोचकर) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या पुश-ऑफ के विकल्प पर निर्भर करती है। एक का कहना है कि "एफ़ाइन तल में एक अच्छा प्रतिच्छेदन सिद्धांत नहीं है", और गैर-प्रोजेक्टिव किस्मों पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत बहुत अधिक कठिन है। ए पर एक रेखा (जिसे गैर-एकल चतुर्भुज के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है) में स्व-छेदन होता है, क्योंकि एक रेखा को स्वयं से हटा दिया जा सकता है। (यह एक शासित सतह है।) प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं कि एक प्रकार की रेखाएँ हैं-रेखाओं के दो बुनियादी वर्ग हैं, जो एक दूसरे को एक बिंदु () में काटते हैं, लेकिन शून्य आत्म-छेदन (नहीं या शब्द) होते हैं। स्व-छेदन संख्याओं का एक प्रमुख उदाहरण एक ब्लो-अप का असाधारण वक्र है, जो द्विवार्षिक ज्यामिति में एक केंद्रीय संचालन है। एक बीजगणितीय सतह को देखते हुए, एक बिंदु पर उड़ने से एक वक्र बनता है। इस वक्र को इसके वंश द्वारा पहचाना जा सकता है, जो है, और इसकी स्व-छेदन संख्या, जो है। (यह स्पष्ट नहीं है।) ध्यान दें कि एक परिणाम के रूप में, और न्यूनतम सतह हैं (वे ब्लो-अप नहीं हैं), क्योंकि उनमें नकारात्मक आत्म-छेदन के साथ कोई वक्र नहीं है। वास्तव में, कैस्टेलनुवोवो की संकुचन प्रमेय इसके विपरीत बताती हैः प्रत्येक-वक्र कुछ ब्लो-अप का असाधारण वक्र है (इसे "उड़ा दिया जा सकता है")। चाउ समूह ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच प्रमेय भी देखें गणनात्मक ज्यामिति उद्धरण संदर्भ ग्रंथ सूची