Approximation in algebraic groups
बीजगणितीय समूह सिद्धांत में, सन्निकटन प्रमेय वैश्विक क्षेत्रों पर बीजगणितीय समूहों जी के लिए चीनी शेष प्रमेय का एक विस्तार है। इतिहास कुछ शास्त्रीय समूहों के लिए मजबूत सन्निकटन साबित हुआ। 1960 और 1970 के दशक में वैश्विक क्षेत्रों पर अर्ध-सरल सरल रूप से जुड़े बीजगणितीय समूहों के लिए मजबूत सन्निकटन स्थापित किया गया था। संख्या क्षेत्रों के लिए परिणाम और के कारण हैं; परिमित क्षेत्रों पर फलन क्षेत्र मामले, और के कारण है। संख्या क्षेत्र के मामले में प्लाटोनोव ने स्थानीय क्षेत्रों पर एक संबंधित परिणाम भी साबित किया जिसे नेसर-टिट्स अनुमान कहा जाता है। औपचारिक परिभाषाएँ और गुण मान लीजिए कि G एक वैश्विक क्षेत्र k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह है, और A, k का एडेले वलय है। यदि S, k के स्थानों का एक गैर-खाली परिमित समूह है, तो हम पूर्णांक ks के गुणनफल के लिए AS और परिमित समुच्चय S में s के लिए AS लिखते हैं। S के किसी भी विकल्प के लिए, G (k) G (AS) और G (AS) में एम्बेड होता है। कमजोर सन्निकटन में पूछा गया प्रश्न यह है कि क्या जी (ए. एस.) में जी (के) की एम्बेडिंग में घनी छवि है। यदि समूह जी जुड़ा हुआ है और के-रैशनल है, तो यह किसी भी सेट एस के संबंध में कमजोर सन्निकटन को संतुष्ट करता है। अधिक आम तौर पर, किसी भी जुड़े समूह G के लिए, k के परिमित स्थानों का एक परिमित सेट T होता है जैसे कि G किसी भी सेट S के संबंध में कमजोर सन्निकटन को संतुष्ट करता है जो T के साथ असंबद्ध है। विशेष रूप से, यदि k एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र है तो कोई भी जुड़ा हुआ समूह G अनंत स्थानों के सेट S = S ≤ के संबंध में कमजोर सन्निकटन को संतुष्ट करता है। मजबूत सन्निकटन में पूछा गया प्रश्न यह है कि क्या जी (ए. एस.) में जी (के) की एम्बेडिंग में घनी छवि है, या समकक्ष रूप से क्या जी (के) जी (ए. एस.) सेट जी (ए) में एक घना उपसमुच्चय है। मजबूत सन्निकटन के मुख्य प्रमेय में कहा गया है कि एक वैश्विक क्षेत्र k पर एक गैर-हल करने योग्य रैखिक बीजगणितीय समूह G का परिमित समुच्चय S के लिए मजबूत सन्निकटन होता है यदि और केवल तभी जब इसका मूल N एक-शक्तिशाली हो, G/N बस जुड़ा हुआ हो, और G/N के प्रत्येक लगभग सरल घटक H में S में कुछ s के लिए एक गैर-कॉम्पैक्ट घटक Hs हो (H पर निर्भर करता है)। मजबूत सन्निकटन के प्रमाण बीजगणितीय समूहों के लिए हैस्से सिद्धांत पर निर्भर थे, जो E8 प्रकार के समूहों के लिए केवल कई वर्षों बाद साबित हुआ था। समूह के एक व्यापक वर्ग के लिए कमजोर सन्निकटन होता है, जिसमें संलग्न समूह और चेवलली समूहों के आंतरिक रूप शामिल हैं, जो दर्शाता है कि मजबूत सन्निकटन गुण प्रतिबंधात्मक है। सुपरस्ट्रॉन्ग सन्निकटन संदर्भ भी देखें बीजगणितीय समूह डायोफैंटाइन ज्यामिति