Zolotarev's lemma
संख्या सिद्धांत में, ज़ोलोटारेव के लेम्मा में कहा गया है कि एक पूर्णांक ए मॉड्यूलो के लिए लीजेंड्रे प्रतीक एक विषम अभाज्य संख्या पी, जहां पी ए को विभाजित नहीं करता है, की गणना एक क्रमपरिवर्तन के संकेत के रूप में की जा सकती हैः जहां ε एक क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर को दर्शाता है और πa एक द्वारा गुणन द्वारा प्रेरित गैर-शून्य अवशेष वर्गों मॉड पी का क्रमपरिवर्तन है। उदाहरण के लिए, a = 2 और p = 7 लें। गैर-शून्य वर्ग मॉड 7 1,2 और 4 हैं, इसलिए (2|7) = 1 और (6|7) =-1। गैर-शून्य संख्या मॉड 7 पर 2 से गुणा करने पर चक्र अपघटन (1,2,4) (3,6,5) होता है, इसलिए इस क्रमपरिवर्तन का संकेत 1 है, जो (2|7) है। गैर-शून्य संख्या मॉड 7 पर 6 से गुणा करने पर चक्र अपघटन (1,6) (2,5) (3,4) होता है, जिसका चिह्न-1 है, जो (6|7) है। प्रमाण सामान्य तौर पर, n क्रम के किसी भी परिमित समूह G के लिए, G के तत्व g द्वारा बाएं-गुणन द्वारा किए गए क्रमपरिवर्तन πg के हस्ताक्षर को निर्धारित करना सीधा है। मान लीजिए कि n सम, इसलिए, πg के लिए एक विषम क्रमपरिवर्तन होने की शर्त, जब g का क्रम k है, तो यह है कि n/k विषम होना चाहिए, या कि g द्वारा उत्पन्न उपसमूह <g> में विषम सूचकांक होना चाहिए। हम इसे गैर-शून्य संख्या मॉड पी के समूह पर लागू करेंगे, जो पी-1 क्रम का एक चक्रीय समूह है। एक आदिम मूल मॉड्यूलो पी की जे. टी. एच. शक्ति का सूचकांक सबसे बड़ा सामान्य भाजक i = (जे, पी-1) होगा। एक गैर-शून्य संख्या मॉड पी के लिए एक द्विघात गैर-अवशेष होने की शर्त एक आदिम मूल की विषम शक्ति होनी चाहिए। अतः लैम्मा यह कहने के लिए नीचे आता है कि जब जे विषम होता है तो आई विषम होता है, जो कि सच में एक फोरटियोरी होता है, और जब आई विषम होता है तो जे विषम होता है, जो सच है क्योंकि पी-1 सम होता है (पी विषम है)। एक अन्य प्रमाण जोलोटारेव के लेम्मा का अनुमान गौस के लेम्मा से आसानी से लगाया जा सकता है और इसके विपरीत भी। उदाहरण के लिए, अर्थात। a = 3 और p = 11 के साथ लीजेंड्रे प्रतीक (a/p), यह बताएगा कि प्रमाण कैसे जाता है। सेट {1,2,.... से शुरू करें। p − 1} को दो पंक्तियों के मैट्रिक्स के रूप में व्यवस्थित किया गया है जैसे कि किसी भी कॉलम में दो तत्वों का योग शून्य मॉड p है, मान लीजिएः क्रमपरिवर्तन लागू करेंः कॉलम में अभी भी यह गुण है कि एक कॉलम में दो तत्वों का योग शून्य मॉड p है। अब एक क्रमपरिवर्तन V लागू करें जो किसी भी जोड़े को बदल देता है जिसमें ऊपरी सदस्य मूल रूप से एक निचला सदस्य थाः अंत में, एक क्रमपरिवर्तन W लागू करें जो मूल मैट्रिक्स को वापस प्राप्त करता हैः हमारे पास W − 1 = VU है। ज़ोलोटारेव का लेम्मा कहता है (a/p) = 1 यदि और केवल तभी जब क्रमपरिवर्तन U सम हो। गॉस का लेम्मा कहता है (a/p) = 1 iff V सम है। लेकिन डब्ल्यू सम है, इसलिए दो लेम्मा दिए गए (लेकिन मनमाने) ए और पी के लिए समतुल्य हैं। जैकोबी प्रतीक एक क्रमपरिवर्तन के संकेत के रूप में लीजेंड्रे प्रतीक की इस व्याख्या को जैकोबी प्रतीक तक बढ़ाया जा सकता है जहां ए और एन विषम एन> 0 के साथ अपेक्षाकृत अभाज्य पूर्णांक हैंः ए व्युत्क्रमणीय मॉड एन है, इसलिए जेड/एनजेड पर ए से गुणन एक क्रमपरिवर्तन है और ज़ोलोटारेव के लेम्मा का सामान्यीकरण यह है कि ऊपर दिया गया जैकोबी प्रतीक इस क्रमपरिवर्तन का संकेत है। उदाहरण के लिए, Z/21Z पर 2 से गुणा करने पर चक्र अपघटन (0) (1,2,4,8,16,11) (3,6,12) (5,10,20,19,17,13) (7,14) (9,18,15) होता है, इसलिए इस क्रमपरिवर्तन का संकेत (1) (−1) (1) (−1) (1) = −1 है और जैकोबी प्रतीक (2|21) −1 है। (ध्यान दें कि मॉड 21 इकाइयों पर 2 से गुणा करना दो 6-चक्रों का गुणनफल है, इसलिए इसका संकेत 1 है। इस प्रकार सही क्रमपरिवर्तन को परिभाषित करने के लिए सभी पूर्णांक मॉड एन का उपयोग करना महत्वपूर्ण है न कि केवल मॉड एन इकाइयों का।) जब n = p एक विषम अभाज्य है और a, p से विभाज्य नहीं है, तो एक निश्चित 0 मॉड p से गुणन होता है, इसलिए सभी संख्याओं मॉड p और इकाइयों मॉड p पर a से गुणन का संकेत समान होता है। लेकिन समग्र n के लिए ऐसा नहीं है, जैसा कि हम ऊपर दिए गए उदाहरण में देखते हैं। यह लेम्मा येगोर इवानोविच ज़ोलोटारेव द्वारा 1872 में द्विघात पारस्परिकता के प्रमाण में पेश किया गया था। संदर्भ बाहरी लिंक ज़ोलोटारेव के लेम्मा पर प्लैनेटमैथ लेख; इसमें द्विघात पारस्परिकता के उनके प्रमाण शामिल हैं लेख जिसमें संख्या सिद्धांत में लेम्मा के प्रमाण हैं क्रमपरिवर्तन संख्या सिद्धांत में द्विघात अवशेष वर्ग