Large set (combinatorics)
संयोजी गणित में, धनात्मक पूर्णांकों का एक बड़ा समूह ऐसा होता है कि पारस्परिक का अनंत योग अलग हो जाता है। एक छोटा समुच्चय सकारात्मक पूर्णांकों का कोई भी उपसमुच्चय है जो बड़ा नहीं है; अर्थात, जिसका पारस्परिक योग अभिसरण करता है। मुंट्ज़-स्ज़ाज़ प्रमेय और अंकगणितीय प्रगति पर एर्दोस अनुमान में बड़े समुच्चय दिखाई देते हैं। उदाहरण सकारात्मक पूर्णांकों का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय छोटा होता है। सभी सकारात्मक पूर्णांकों का समुच्चय एक बड़ा समुच्चय है; यह कथन हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन के बराबर है। अधिक सामान्य रूप से, कोई भी अंकगणितीय प्रगति (अर्थात, एक + बी के रूप में सभी पूर्णांकों का एक समूह जिसमें एक ≤1, बी ≤1 और एन = 0,1,2,3,) एक बड़ा समुच्चय है। वर्ग संख्याओं का समुच्चय छोटा है (बेसल समस्या देखें)। तो घन संख्याओं का समुच्चय, चौथी शक्तियों का समुच्चय, और इसी तरह। अधिक आम तौर पर, डिग्री 2 या उससे बड़े किसी भी बहुपद के सकारात्मक पूर्णांक मूल्यों का समुच्चय एक छोटा समुच्चय बनाता है। 2 की शक्तियों का समुच्चय {1,2,4,8,.} एक छोटा समुच्चय है, और इसी तरह कोई भी ज्यामितीय प्रगति (यानी, एक ≤1, b ≤2 और n = 0,1,2,3, के साथ abn रूप के रूप की संख्याओं का एक समुच्चय) है। अभाज्य संख्याओं का समुच्चय बड़ा होता है। जुड़वां अभाज्य संख्याओं का समूह छोटा होता है (ब्रून का स्थिरांक देखें)। अभाज्य शक्तियों का समूह जो अभाज्य नहीं हैं (यानी, n ≤ 2 और p अभाज्य के साथ pn रूप की सभी संख्याएँ) छोटी होती हैं, हालांकि अभाज्य संख्याएँ बड़ी होती हैं। इस गुण का उपयोग अक्सर विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में किया जाता है। अधिक सामान्य रूप से, पूर्ण शक्तियों का समूह छोटा होता है; यहां तक कि शक्तिशाली संख्याओं का समूह भी छोटा होता है। संख्याओं का समूह जिसका दिए गए आधार में विस्तार किसी दिए गए अंक को बाहर करता है, छोटा होता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का समूह जिसका दशमलव विस्तार अंक 7 को शामिल नहीं करता है, छोटा है। ऐसी श्रृंखलाओं को केम्पनर श्रृंखला कहा जाता है। कोई भी समुच्चय जिसका ऊपरी असिम्प्टोटिक घनत्व गैर-शून्य है, बड़ा होता है। गुण एक छोटे समूह का प्रत्येक उपसमुच्चय छोटा होता है। परिमित रूप से कई छोटे समुच्चयों का मिलन छोटा होता है, क्योंकि दो अभिसारी श्रृंखलाओं का योग एक अभिसारी श्रृंखला होती है। (सेट सैद्धांतिक शब्दावली में, छोटे सेट एक आदर्श बनाते हैं।) प्रत्येक छोटे समूह का पूरक बड़ा होता है। मुंट्ज़-स्ज़ाज़ प्रमेय बताता है कि एक समुच्चय बड़ा होता है यदि और केवल तभी जब सकारात्मक वास्तविक संख्याओं में एक बंद अंतराल पर निरंतर कार्यों की समान मानक टोपोलॉजी में बहुपदों का समुच्चय घना होता है। यह स्टोन-वेयरस्ट्रास प्रमेय का सामान्यीकरण है। बड़े सेटों से जुड़ी खुली समस्याओं के बारे में पॉल एर्दोस ने अनुमान लगाया कि सभी बड़े सेटों में मनमाने ढंग से लंबी अंकगणितीय प्रगति होती है। उन्होंने एक प्रमाण के लिए 3000 डॉलर के पुरस्कार की पेशकश की, जो उनके किसी भी अन्य अनुमान से अधिक है, और मजाक में कहा कि इस पुरस्कार प्रस्ताव ने न्यूनतम मजदूरी कानून का उल्लंघन किया है। सवाल अभी भी खुला है। यह ज्ञात नहीं है कि यह कैसे पहचाना जाए कि दिया गया समूह सामान्य रूप से बड़ा है या छोटा। नतीजतन, ऐसे कई समूह हैं जो बड़े या छोटे के रूप में नहीं जाने जाते हैं। पारस्परिक टिप्पणियों के योगों की सूची संदर्भ ए. डी. वाधवा (1975) भी देखें। हार्मोनिक श्रृंखला की एक दिलचस्प उप-श्रृंखला। अमेरिकी गणितीय मासिक 82 (9) 931-933। संयोजन पूर्णांक अनुक्रम गणितीय श्रृंखला