Dirichlet's test
गणित में, डिरिचलेट परीक्षण एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए परीक्षण की एक विधि है। इसका नाम इसके लेखक पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है, और 1862 में जर्नल डी मैथमेटिक्स प्योरस एट एप्लिकेश में मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था। कथन परीक्षण में कहा गया है कि यदि वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम और संतोषजनक जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक N के लिए एकरस है जहां M कुछ स्थिरांक है, तो श्रृंखला अभिसरण करती है। प्रूफ लेट एंड। भागों द्वारा योग से, हमारे पास वह है। चूंकि यह एम से घिरा हुआ है और इनमें से पहला पद शून्य तक पहुंचता है। हमारे पास, प्रत्येक के के लिए, है। चूंकि मोनोटोन है, इसलिए यह या तो कम हो रहा है या बढ़ रहा हैः यदि कम हो रहा है, जो एक दूरबीन योग है जो बराबर है और इसलिए के रूप में पहुंचता है। इस प्रकार, अभिसरण होता है। <ली> अगर बढ़ रहा है, जो फिर से एक दूरबीन योग है जो बराबर है और इसलिए के रूप में पहुंचता है। इस प्रकार, फिर से, अभिसरण होता है। तो, श्रृंखला पूर्ण अभिसरण परीक्षण द्वारा अभिसरण करती है। अतः अभिसरण होता है। अनुप्रयोग डिरिचलेट परीक्षण का एक विशेष मामला मामले के लिए अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाने वाला वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण है एक अन्य परिणाम यह है कि जब भी कोई घटता अनुक्रम होता है जो शून्य की ओर जाता है तो अभिसरण होता है। यह देखने के लिए कि यह बाध्य है, हम योग सूत्र अनुचित समाकलन का उपयोग कर सकते हैं अनुचित समाकलन के अभिसरण के लिए एक अनुरूप कथन भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके साबित किया जाता है। यदि किसी फलन f का समाकलन सभी अंतरालों पर समान रूप से बंधा हुआ है, और g एक गैर-नकारात्मक एकरस घटता हुआ फलन है, तो fg का समाकलन एक अभिसारी अनुचित समाकलन है। टिप्पणियाँ संदर्भ हार्डी, जी. एच., शुद्ध गणित का एक पाठ्यक्रम, नौवां संस्करण, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय प्रेस, 1946। (पीपी. 379-380)। वोक्समैन, विलियम एल., एडवांस्ड कैलकुलसः एन इंट्रोडक्शन टू मॉडर्न एनालिसिस, मार्सेल डेकर, इंक., न्यूयॉर्क, 1981। (§ 8.B.13-15)। बाहरी लिंक PlanetMath.org अभिसरण परीक्षण