Free Lie algebra
गणित में, एक क्षेत्र K पर एक मुक्त झूठ बीजगणित एक सेट X द्वारा उत्पन्न एक झूठ बीजगणित है, जिसमें वैकल्पिक K-बिलीनरिटी और जैकोबी पहचान के परिभाषित संबंधों के अलावा कोई अन्य संबंध नहीं है। परिभाषा एक समुच्चय एक्स द्वारा उत्पन्न मुक्त लाइ बीजगणित की परिभाषा इस प्रकार हैः मान लीजिए कि एक्स एक समुच्चय है और एक्स से एक लाइ बीजगणित एल में समुच्चयों (फलन) का एक रूपात्मकता है। लाइ बीजगणित एल को एक्स पर मुक्त कहा जाता है यदि यह सार्वभौमिक रूपात्मकता है; अर्थात, यदि किसी भी लाइ बीजगणित ए के लिए समुच्चयों की रूपात्मकता के साथ, एक अद्वितीय लाइ बीजगणित रूपात्मकता है जैसे कि। एक समुच्चय X को देखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि X द्वारा उत्पन्न एक अद्वितीय मुक्त लाइ बीजगणित मौजूद है। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, एक्स द्वारा उत्पन्न लाइ बीजगणित को एक सेट एक्स भेजने वाला फ़ंक्टर, लाइ बीजगणित की श्रेणी में सेटों की श्रेणी से मुक्त फ़ंक्टर है। अर्थात्, इसे भूलने वाले फ़ंक्टर के बगल में छोड़ दिया जाता है। एक समुच्चय X पर मुक्त झूठ बीजगणित स्वाभाविक रूप से श्रेणीबद्ध किया जाता है। मुक्त लाइ बीजगणित का 1-श्रेणीकृत घटक उस समुच्चय पर सिर्फ मुक्त सदिश स्थान है। वैकल्पिक रूप से एक वेक्टर स्पेस V पर एक मुक्त लाइ बीजगणित को परिभाषित किया जा सकता है, जो कि लाइ बीजगणित संरचना को भूलकर, लेकिन वेक्टर स्पेस संरचना को याद रखते हुए, एक क्षेत्र K पर लाइ बीजगणित से लेकर क्षेत्र K पर वेक्टर रिक्त स्थान तक भूलने वाले फ़ंक्टर के बाएं बगल में है। सार्वभौमिक आवरण बीजगणित एक सेट X पर एक मुक्त झूठ बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित X द्वारा उत्पन्न मुक्त सहयोगी बीजगणित है। पोइनकेयर-बिर्खोफ-विट प्रमेय के अनुसार यह मुक्त लाइ बीजगणित के सममित बीजगणित के समान आकार का है (जिसका अर्थ है कि यदि दोनों पक्षों को एक्स डिग्री 1 के तत्व देकर श्रेणीबद्ध किया जाता है तो वे श्रेणीबद्ध सदिश रिक्त स्थान के रूप में समरूप हैं)। इसका उपयोग किसी भी डिग्री के मुक्त लाइ बीजगणित के टुकड़े के आयाम का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अर्न्स्ट विट ने दिखाया कि एक m-तत्व समुच्चय पर मुक्त लाइ बीजगणित में डिग्री k के मूल कम्यूटेटरों की संख्या हार बहुपद द्वारा दी जाती हैः मोबियस फलन कहाँ है। एक सीमित समुच्चय पर एक मुक्त लाइ बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का श्रेणीबद्ध दोहरा शफल बीजगणित है। यह अनिवार्य रूप से इस प्रकार है क्योंकि सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में एक होप्फ बीजगणित की संरचना होती है, और शफल उत्पाद इस बीजगणित में गुणन की क्रिया का वर्णन करता है। शफल उत्पाद और गुणन के बीच अंतर-संबंध की विस्तृत व्याख्या के लिए टेंसर बीजगणित देखें। मुक्त झूठ बीजगणित का एक स्पष्ट आधार एक हॉल सेट के संदर्भ में दिया जा सकता है, जो एक्स पर मुक्त मैग्मा के अंदर एक विशेष प्रकार का सबसेट है। मुक्त मैग्मा के तत्व द्विआधारी पेड़ हैं, जिनके पत्तों पर एक्स के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है। समूह पर फिलिप हॉल के काम के आधार पर हॉल सेट पेश किए गए थे। इसके बाद, विल्हेम मैग्नस ने दिखाया कि वे निचली केंद्रीय श्रृंखला द्वारा दिए गए एक मुक्त समूह पर निस्पंदन से जुड़े श्रेणीबद्ध लाइ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं। यह पत्राचार फिलिप हॉल और विट के कारण समूह सिद्धांत में कम्यूटेटर पहचान से प्रेरित था। लिंडन शब्द हॉल शब्दों का एक विशेष मामला है, और इसलिए विशेष रूप से लिंडन शब्दों के अनुरूप मुक्त लाइ बीजगणित का एक आधार है। इसे लिंडन आधार कहा जाता है जिसका नाम रोजर लिंडन के नाम पर रखा गया है। (इसे चेन-फॉक्स-लिंडन आधार या लिंडन-शिर्शोव आधार भी कहा जाता है, और यह अनिवार्य रूप से शिर्शोव आधार के समान है।) एक क्रमबद्ध वर्णमाला में लिंडन शब्दों से मुक्त लाइ बीजगणित के आधार पर एक बाइजेक्शन γ है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः यदि एक शब्द डब्ल्यू की लंबाई 1 है तो (मुक्त लाइ बीजगणित के जनरेटर के रूप में माना जाता है)। यदि डब्ल्यू की लंबाई कम से कम 2 है, तो लिंडन शब्दों यू, वी के लिए वी के साथ यथासंभव लंबे समय तक लिखें ("मानक गुणनखंडन")। फिर. शिर्शोव-विट प्रमेय ने दिखाया कि एक मुक्त लाइ बीजगणित का कोई भी लाइ उप-बीजगणित स्वयं एक मुक्त लाइ बीजगणित है। अनुप्रयोग एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित पर सेर की प्रमेय जनित्रों और संबंधों से एक अर्ध-सरल बीजगणित का निर्माण करने के लिए एक मुक्त लाइ बीजगणित का उपयोग करती है। एक लिंक समूह के मिलनर अपरिवर्तनीय लिंक के घटकों पर मुक्त लाइ बीजगणित से संबंधित हैं, जैसा कि उस लेख में चर्चा की गई है। ऑपेरेड के निर्माण में एक मुक्त लाइ बीजगणित के उपयोग के लिए लाइ ऑपेरेड भी देखें। मुक्त वस्तु मुक्त बीजगणित मुक्त समूह संदर्भ लाइ बीजगणित मुक्त बीजगणितीय संरचनाओं के गुण भी देखें।