Riemann–Roch theorem for surfaces
गणित में, सतहों के लिए रीमान-रॉच प्रमेय एक बीजगणितीय सतह पर रैखिक प्रणालियों के आयाम का वर्णन करता है। इसका शास्त्रीय रूप सबसे पहले और द्वारा इसके प्रारंभिक संस्करणों की खोज के बाद दिया गया था। शीफ-सैद्धांतिक संस्करण हिरज़ेब्रुक के कारण है। कथन रीमान-रॉक प्रमेय के एक रूप में कहा गया है कि यदि डी एक गैर-एकल प्रोजेक्टिव सतह पर एक भाजक है तो जहां χ होलोमोर्फिक यूलर विशेषता है, वह बिंदु है। प्रतिच्छेदन संख्या है, और K विहित भाजक है। स्थिरांक χ (0) तुच्छ बंडल की होलोमोर्फिक यूलर विशेषता है, और 1 + पा के बराबर है, जहाँ पा सतह का अंकगणितीय वंश है। तुलना के लिए, एक वक्र के लिए रीमान-रॉक प्रमेय बताता है कि χ (D) = χ (0) + डिग्री (D)। नोइथर का सूत्र नोइथर का सूत्र बताता है कि जहाँ χ = χ (0) होलोमोर्फिक यूलर विशेषता है, c12 = (K. K) एक चेरन संख्या है और कैनॉनिकल वर्ग K की स्व-छेदन संख्या है, और e = c2 टोपोलॉजिकल यूलर विशेषता है। इसका उपयोग रीमान-रॉच प्रमेय में χ (0) शब्द को स्थलाकृतिक शब्दों से बदलने के लिए किया जा सकता है; यह सतहों के लिए हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय देता है। सतहों के लिए, हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रॉच प्रमेय अनिवार्य रूप से नोइथर सूत्र के साथ संयुक्त सतहों के लिए रीमैन-रॉच प्रमेय है। इसे देखने के लिए, याद रखें कि किसी सतह पर प्रत्येक भाजक D के लिए एक व्युत्क्रमणीय आवरण L = O (D) ऐसा होता है कि D की रैखिक प्रणाली कमोबेश L के खंडों का स्थान होती है। पहले डी = 0 डालने से पता चलता है कि (नोइथर का सूत्र) व्युत्क्रमणीय शीव्स (रेखा बंडलों) के लिए दूसरा चेरन वर्ग गायब हो जाता है। दूसरे समरूपता वर्गों के उत्पादों को पिकार्ड समूह में प्रतिच्छेदन संख्याओं के साथ पहचाना जा सकता है, और हमें सतहों के लिए रीमान रोच का एक अधिक शास्त्रीय संस्करण मिलता हैः यदि हम चाहते हैं, तो हम एच2 (ओ (डी)) को एच0 (ओ (के-डी) के रूप में व्यक्त करने के लिए सेरे द्वैतता का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन वक्रों के मामले के विपरीत सामान्य रूप से एच1 (ओ (डी)) शब्द को ऐसे रूप में लिखने का कोई आसान तरीका नहीं है जिसमें शीफ समरूपता शामिल न हो (हालांकि व्यवहार में यह अक्सर गायब हो जाता है)। प्रारंभिक संस्करण सतहों के लिए रीमान-रॉच प्रमेय के शुरुआती रूपों को अक्सर समानता के बजाय असमानता के रूप में कहा जाता था, क्योंकि पहले समरूपता समूहों का कोई प्रत्यक्ष ज्यामितीय विवरण नहीं था। एक विशिष्ट उदाहरण इसके द्वारा दिया गया है, जिसमें कहा गया है कि जहां r एक भाजक D की पूर्ण रैखिक प्रणाली |D। का आयाम है (इसलिए r = h0 (O (D)) −1) n, D की आभासी डिग्री है, जो स्व-छेदन संख्या (D. D) द्वारा दी गई है, π, D का आभासी वंश है, जो 1 + (D. D. + K. D.) के बराबर है/2 पा, सतह का अंकगणितीय वंश χ (OF) −1 है, जो D की विशेषता का सूचकांक है, जो मंद H0 (O (K−D) के बराबर है (जो सेरे द्वैत द्वारा मंद H2 (O (D)) के समान है)। इस असमानता के दोनों पक्षों के बीच के अंतर को भाजक डी की अति-प्रचुरता कहा जाता था। इस असमानता की तुलना रीमान-रॉक प्रमेय के आवरण-सैद्धांतिक संस्करण से करने पर पता चलता है कि डी की अति-प्रचुरता एस = डिम एच1 (ओ (डी)) द्वारा दी जाती है। भाजक डी को नियमित कहा जाता था यदि आई = एस = 0 (या दूसरे शब्दों में यदि ओ (डी) के सभी उच्च समरूपता समूह गायब हो जाते हैं) और सुपरबंडेंट यदि एस> 0। फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक द्वारा बीजगणितीय ज्यामिति में टोपोलॉजिकल विधियाँ बीजगणितीय ज्यामिति में प्रमेय बीजगणितीय सतह बीजगणितीय ज्यामिति के टोपोलॉजिकल विधियाँ