Euler–Fokker genus
संगीत सिद्धांत और ट्यूनिंग में, एक यूलर-फोकर जीनस (बहुवचनः जेनेरा), जिसका नाम लियोनहार्ड यूलर और एड्रियान फोकर के नाम पर रखा गया है, केवल स्वर में एक संगीत स्केल है जिसकी पिचों को कुछ बहु-समूह के कुछ सदस्यों के उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आमतौर पर दो की शक्तियों को नजरअंदाज कर दिया जाता है, क्योंकि जिस तरह से मानव कान सप्तक को समतुल्य समझता है। एक एक्स-आयामी स्वर-आयाम में एक्स कारक होते हैं। "दो आयामों के साथ एक यूलर-फोकर जीनस को द्वि-आयामी (आयताकार) टोन-ग्रिड में दर्शाया जा सकता है, जिसमें से एक त्रि-आयामी (ब्लॉक-आकार) टोन-जाली में तीन आयामों के साथ होता है। यूलर-फोकर वंश की विशेषता प्रत्येक आयाम में चरणों की संख्या की एक सूची है। चरणों की संख्या को आयाम के बार-बार उल्लेख द्वारा दर्शाया जाता है, ताकि [3 3 5 5], [3 5 7], [3 3 5 5 7 11 11], आदि जैसे विवरण उत्पन्न हों। उदाहरण के लिए, मल्टीसेट {3,3,7} से यूलर-फोकर वंश [3,3,7] प्राप्त होता है, जिसमें ये पिचें होती हैंः 1,3 = 3 7 = 7 3 × 3 = 9 3 × 7 = 21 3 × 3 × 7 = 63 एक सप्तक के भीतर आने के लिए सामान्यीकृत, ये बन जाते हैंः 1/1,9/8,21/16,3/2,7/4,63/32। यूलर वंश प्रमुख कारक 3 और 5 से उत्पन्न होते हैं, जबकि यूलर-फोकर वंश में 7 या किसी भी उच्च अभाज्य संख्या के कारक हो सकते हैं। डिग्री उन अंतरालों की संख्या है जो एक जीनस उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, एक ही डिग्री के सभी वंशों में समान संख्या में स्वर नहीं होते हैं क्योंकि [XXXYYY] को भी नोट किया जा सकता है [XxYy], "डिग्री इस प्रकार घातांकों का योग है", और प्रत्येक घातांक में एक जोड़कर और फिर उन ((X + 1) × (Y + 1) = Z) को गुणा करके पिचों की संख्या प्राप्त की जाती है। एड्रियान फोकर ने अपना अधिकांश संगीत यूलर-फोकर पीढ़ी में लिखा जिसे 31-स्वर समान स्वभाव में व्यक्त किया गया। एलन रिडाउट ने यूलर-फोकर वंश का भी उपयोग किया। यूलर-फोकर वंश को पूर्ण अनुबंधित तार भी कहा जा सकता है। यूलर ने कम्पलीट कॉर्ड शब्द गढ़ा, जबकि फोकर ने पूरा शब्द गढ़ा। एक पूर्ण तार में दो स्वर होते हैं, मौलिक और एक मार्गदर्शक स्वर, मार्गदर्शक स्वर मौलिक का एक गुणक होता है। बीच में अन्य पिचें हैं जिन्हें या तो मौलिक के गुणकों के रूप में देखा जा सकता है या गाइड टोन (ओटोनैलिटी और युटोनैलिटी) के भाजक के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1 को मौलिक के रूप में दिया जाता है और 15 को मार्गदर्शक स्वर के रूप में चुनते हुए, एक व्यक्ति प्राप्त करता हैः 1:3:5:15 (जीनस [35])। मौलिक द्वारा विभाजित मार्गदर्शक स्वर का भागफल "तनाव संख्या" या "घातांक" (यूलरः एक्सपोनेन्स व्यंजन) है। इर्व विल्सन ने अपनी खुद की संरचनाएँ बनाईं जो इस क्षेत्र को ओवरलैप करती हैं जिन्हें "संयोजन उत्पाद सेट" या संक्षेप में सी. पी. एस. कहा जाता है। ये कारकों के एक समूह के उत्पादों को उत्पन्न करके बनाए जाते हैं जिसमें 1 को केवल एक प्रारंभिक बिंदु के विपरीत सेट के सदस्य के रूप में भी शामिल किया जाता है। इसने उन्हें हेक्सनी, इकोसनी और हेब्दोमेकॉन्टनी जैसी विभिन्न गैर-केंद्रित संरचनाओं की ओर इशारा करने के लिए प्रेरित किया। यूलर वंश की सूची। हेक्सनी संदर्भ और अधिक पढ़ने के लिए फ्रैंक जेडरज़ेव्स्की (2006) भी देखें। संगीत का गणितीय सिद्धांत, पृ. 157. म्यूजिकल स्केल्स म्यूजिकल ट्यूनिंग