Pseudoconvex function
उत्तल विश्लेषण और भिन्नताओं के कलन में, गणित की दोनों शाखाओं में, एक सूडोकॉन्वेक्स फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो अपने स्थानीय मिनीमा को खोजने के संबंध में एक उत्तल फ़ंक्शन की तरह व्यवहार करता है, लेकिन वास्तव में उत्तल होने की आवश्यकता नहीं है। अनौपचारिक रूप से, एक अवकलनीय फलन सूडोकॉन्वेक्स है यदि यह किसी भी दिशा में बढ़ रहा है जहां इसका सकारात्मक दिशात्मक व्युत्पन्न है। संपत्ति को सभी कार्य क्षेत्र में होना चाहिए, न कि केवल आस-पास के बिंदुओं के लिए। औपचारिक परिभाषा एक अवकलनीय फलन पर विचार करें, जिसे परिमित-आयामी यूक्लिडियन स्थान के एक (गैर-खाली) उत्तल खुले समुच्चय पर परिभाषित किया गया है। इस फलन को सूडोकॉन्वेक्स कहा जाता है यदि निम्नलिखित गुण धारण करता हैः समतुल्यः यहाँ का प्रवणता है, जिसके द्वारा परिभाषित किया गया हैः ध्यान दें कि परिभाषा को वेक्टर द्वारा दी गई दिशा में, के दिशात्मक व्युत्पन्न के संदर्भ में भी कहा जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि, जैसा कि अवकलनीय है, यह दिशात्मक व्युत्पन्न इस प्रकार दिया गया हैः गुण अन्य प्रकार की "उत्तलता" के साथ संबंध प्रत्येक उत्तल फलन सूडोकॉन्वेक्स है, लेकिन विपरीत सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, फलन सूडोकॉन्वेक्स है लेकिन उत्तल नहीं है। इसी तरह, कोई भी सूडोकॉन्वेक्स फ़ंक्शन क्वासीकॉन्वेक्स है; लेकिन इसके विपरीत सच नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन क्वासीकॉन्वेक्स है लेकिन सूडोकॉन्वेक्स नहीं है। इसे योजनाबद्ध रूप से संक्षेपित किया जा सकता हैः यह देखने के लिए कि यह सूडोकॉन्वेक्स नहीं है, इसके व्युत्पन्न पर विचार करें। फिर, यदि सूडोकॉन्वेक्स था, तो हमारे पास होना चाहिएः विशेष रूप से यह इसके लिए सही होना चाहिए। लेकिन ऐसा नहीं हैः पर्याप्त इष्टतमता की स्थिति किसी भी अवकलनीय फलन के लिए, हमारे पास फर्माट की प्रमेय की इष्टतमता की आवश्यक शर्त है, जिसमें कहा गया है किः यदि एक खुले क्षेत्र में स्थानीय न्यूनतम है, तो (अर्थातः) का एक स्थिर बिंदु होना चाहिए। स्यूडोकॉन्वेक्सिटी अनुकूलन के क्षेत्र में बहुत रुचि रखता है, क्योंकि इसके विपरीत किसी भी स्यूडोकॉन्वेक्स फ़ंक्शन के लिए भी सच है। अर्थात्ः यदि एक सूडोकनवेक्स फलन का एक स्थिर बिंदु है, तो इसका वैश्विक न्यूनतम है। यह भी ध्यान दें कि परिणाम एक वैश्विक न्यूनतम (न केवल स्थानीय) की गारंटी देता है। यह अंतिम परिणाम एक उत्तल फलन के लिए भी सही है, लेकिन यह एक क्वासिकोनेवेक्स फलन के लिए सही नहीं है। उदाहरण के लिए क्वासीकॉन्वेक्स फलन पर विचार करेंः यह फलन स्यूडोकॉन्वेक्स नहीं है, बल्कि यह क्वासीकॉन्वेक्स है। इसके अलावा, बिंदु एक महत्वपूर्ण बिंदु है। हालाँकि, इसका वैश्विक न्यूनतम (स्थानीय न्यूनतम भी नहीं) नहीं है। अंत में, ध्यान दें कि एक सूडोकॉन्वेक्स फ़ंक्शन का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए सूडोकॉन्वेक्स फलन को लेंः, जिसका व्युत्पन्न हमेशा धनात्मक होता हैः। उदाहरण एक ऐसे फलन का एक उदाहरण जो सूडोकॉन्वेक्स है, लेकिन उत्तल नहीं है, यह हैः यह चित्र उस मामले के लिए इस फलन को दर्शाता है जहां। इस उदाहरण को दो चरों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता हैः पिछले उदाहरण को एक ऐसे फलन को प्राप्त करने के लिए संशोधित किया जा सकता है जो उत्तल नहीं है, न ही सूडोकॉन्वेक्स है, लेकिन क्वासीकॉन्वेक्स हैः यह चित्र उस मामले के लिए इस फलन को दर्शाता है जहां। जैसा कि देखा जा सकता है, यह फलन अवतलता के कारण उत्तल नहीं है, और यह सूडोकॉन्वेक्स नहीं है क्योंकि यह अवकल पर अवकलनीय नहीं है। गैर-विभेदक कार्यों के लिए सामान्यीकरण छद्म संवहन की धारणा को निम्नानुसार गैर-विभेदक कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। किसी भी फलन को देखते हुए, हम इसके द्वारा ऊपरी दीनी व्युत्पन्न को परिभाषित कर सकते हैंः जहाँ u कोई भी इकाई सदिश है। फलन को सूडोकॉन्वेक्स कहा जाता है यदि यह किसी भी दिशा में बढ़ रहा है जहां ऊपरी दीनी व्युत्पन्न सकारात्मक है। अधिक सटीक रूप से, इसे निम्नानुसार उपविभेदक के संदर्भ में चिह्नित किया गया हैः जहां x और y से सटे रेखा खंड को दर्शाता है। संबंधित धारणाएँ ए एक ऐसा फलन है जिसका ऋणात्मक सूडोकॉन्वेक्स है। ए एक ऐसा फलन है जो सूडोकॉन्वेक्स और सूडोकॉन्केव दोनों है। उदाहरण के लिए, रैखिक-भिन्न कार्यक्रमों में छद्म आयामी कार्य और रैखिक-गुणवत्ता बाधाएं होती हैं। ये गुण भिन्न-रैखिक समस्याओं को सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म (जॉर्ज बी. डांट्जिग के) के एक प्रकार द्वारा हल करने की अनुमति देते हैं। एक वेक्टर-मूल्यवान कार्य को देखते हुए,-स्यूडोकॉन्वेक्सिटी और-स्यूडोलिनियरिटी की एक अधिक सामान्य धारणा है; जिसमें शास्त्रीय स्यूडोकॉन्वेक्सिटी और स्यूडोलिनियरिटी उस मामले से संबंधित है जब। स्यूडोकनवेक्सिटी कन्वेक्स फ़ंक्शन क्वासीकनवेक्स फ़ंक्शन इनवेक्स फ़ंक्शन नोट्स संदर्भ भी देखें। .. कन्वेक्स विश्लेषण कन्वेक्स अनुकूलन सामान्यीकृत कन्वेक्सिटी कार्यों के प्रकार