Fuzzy sphere
गणित में, अस्पष्ट क्षेत्र गैर-परिवर्तनीय ज्यामिति के सबसे सरल और सबसे विहित उदाहरणों में से एक है। आम तौर पर, एक गोले पर परिभाषित कार्य एक कम्यूटिंग बीजगणित बनाते हैं। एक अस्पष्ट क्षेत्र एक साधारण क्षेत्र से अलग होता है क्योंकि उस पर कार्यों का बीजगणित परिवर्तनीय नहीं होता है। यह गोलाकार हार्मोनिक्स द्वारा उत्पन्न होता है जिसका स्पिन l कुछ जे के बराबर होता है। दो गोलाकार हार्मोनिक्स के उत्पाद में जिन शब्दों में जे से अधिक स्पिन के साथ गोलाकार हार्मोनिक्स शामिल होते हैं, उन्हें उत्पाद में छोड़ दिया जाता है। यह ट्रंकेशन एक अनंत-आयामी कम्यूटेटिव बीजगणित को एक-आयामी गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित द्वारा प्रतिस्थापित करता है। इस गोले को देखने का सबसे सरल तरीका कुछ परिमित-आयामी सदिश स्थान पर एक मैट्रिक्स बीजगणित के रूप में कार्यों के इस कटे हुए बीजगणित को प्राप्त करना है। तीन जे-आयामी मैट्रिक्स लें जो लाइ बीजगणित सु (2) के जे आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए एक आधार बनाते हैं। वे संबंधों को संतुष्ट करते हैं, जहां पूरी तरह से सममित विरोधी प्रतीक है, और मैट्रिक्स उत्पाद के माध्यम से जे आयामी मैट्रिक्स के बीजगणित को उत्पन्न करते हैं। इस प्रतिनिधित्व में सु (2) कासिमिर प्रचालक का मान वह है जहाँ I जे-आयामी पहचान मैट्रिक्स है। इस प्रकार, यदि हम 'निर्देशांक' को परिभाषित करते हैं जहां r गोले की त्रिज्या है और k एक पैरामीटर है, जो r और j से संबंधित है, तो कैसिमिर ऑपरेटर से संबंधित उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है, जो त्रि-आयामी स्थान में अंतर्निहित त्रिज्या r के गोले पर निर्देशांक के लिए सामान्य संबंध है। इस स्थान पर एक समाकलन को परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ F फलन f के अनुरूप मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, एकता का समाकलन, जो परिवर्तनीय मामले में गोले की सतह देता है, यहाँ के बराबर है जो गोले की सतह के मूल्य में अभिसरण करता है यदि कोई j को अनंत पर ले जाता है। नोट्स जेन्स होपे, "मेम्ब्रेन्स एंड मैट्रिक्स मॉडल्स", ग्रीष्मकालीन विद्यालय के दौरान 'क्वांटम फील्ड थ्योरी-फ्रॉम ए हैमिल्टनियन पॉइंट ऑफ व्यू' पर प्रस्तुत व्याख्यान, 2-9 अगस्त, 2000, जॉन मैडोर, एन इंट्रोडक्शन टू नॉन-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ज्योमेट्री एंड इट्स फिजिकल एप्लीकेशन, लंदन मैथमेटिकल सोसाइटी लेक्चर नोट सीरीज। 257, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस 2002 संदर्भ जे. होपे, एक द्रव्यमान रहित सापेक्षवादी सतह और एक दो आयामी बाउंड स्टेट समस्या का क्वांटम सिद्धांत। पीएचडी थीसिस, मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी, 1982। गणितीय परिमाणीकरण गैर-परिवर्तनीय ज्यामिति