Finite potential well
परिमित विभव कुआँ (जिसे परिमित वर्ग कुआँ भी कहा जाता है) क्वांटम यांत्रिकी की एक अवधारणा है। यह अनंत क्षमता वाले कुएँ का एक विस्तार है, जिसमें एक कण एक "बॉक्स" तक सीमित होता है, लेकिन जिसमें सीमित क्षमता वाली "दीवारें" होती हैं। असीम विभव कुएँ के विपरीत, डिब्बे के बाहर पाए जाने वाले कण से जुड़ी एक संभावना है। क्वांटम मैकेनिकल व्याख्या शास्त्रीय व्याख्या के विपरीत है, जहां यदि कण की कुल ऊर्जा दीवारों की स्थितिज ऊर्जा बाधा से कम है तो इसे बॉक्स के बाहर नहीं पाया जा सकता है। क्वांटम व्याख्या में, कण के डिब्बे के बाहर होने की एक गैर-शून्य संभावना है, तब भी जब कण की ऊर्जा दीवारों के संभावित ऊर्जा अवरोध से कम हो (सी. एफ. क्वांटम टनलिंग)। 1-आयामी डिब्बे में कण x-अक्ष पर 1-आयामी मामले के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः जहां घटा हुआ प्लैंक का स्थिरांक है, प्लैंक का स्थिरांक है, कण का द्रव्यमान है, (जटिल मूल्यवान) तरंग फलन है जिसे हम खोजना चाहते हैं, प्रत्येक बिंदु x पर स्थितिज ऊर्जा का वर्णन करने वाला एक कार्य है, और ऊर्जा, एक वास्तविक संख्या है, जिसे कभी-कभी आइगेनर्जी कहा जाता है। L लंबाई के 1-आयामी बॉक्स में कण के मामले के लिए, विभव बॉक्स के बाहर है, और और के बीच x के लिए शून्य है। तरंग फलन को x की विभिन्न श्रेणियों में विभिन्न तरंग फलन से बना माना जाता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि x बॉक्स के अंदर है या बाहर। इसलिए, तरंग फलन को इस तरह परिभाषित किया गया है किः बक्से के अंदर बक्से के अंदर के क्षेत्र के लिए, V (x) = 0 और समीकरण 1 कम हो जाता है। बॉक्स के बाहर बॉक्स के बाहर के क्षेत्र के लिए, क्योंकि विभव स्थिर है, और समीकरण बन जाता हैः समाधान के दो संभावित परिवार हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि क्या ई कम है (कण विभव में बंधा हुआ है) या ई (कण मुक्त है) से अधिक है। एक मुक्त कण के लिए, और अंदर के कुएँ के मामले के समान समाधान के साथ उत्पादन करने देंः यह विश्लेषण बाध्य अवस्था पर ध्यान केंद्रित करेगा, जहाँ। लेटिंग वहाँ उत्पन्न करता है जहाँ सामान्य समाधान घातीय हैः इसी तरह, बॉक्स के बाहर अन्य क्षेत्र के लिएः अब समस्या के लिए विशिष्ट समाधान खोजने के लिए, हमें उपयुक्त सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करना चाहिए और ए, बी, एफ, जी, एच और आई के लिए मान खोजना चाहिए जो उन शर्तों को पूरा करते हैं। श्रोडिंगर समीकरण के लिए बाध्य अवस्था समाधानों के लिए तरंग कार्यों का पता लगाना निरंतर और लगातार अवकलनीय होना चाहिए। ये आवश्यकताएँ पहले प्राप्त विभेदक समीकरणों पर सीमा शर्तें हैं, यानी कुएँ के अंदर और बाहर समाधानों के बीच मिलान की स्थितियाँ। इस मामले में, परिमित क्षमता कुआँ सममित है, इसलिए आवश्यक गणनाओं को कम करने के लिए समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। पिछले खंडों का सारांशः जहाँ हमने पाया, और होनाः हम देखते हैं कि जैसा कि जाता है, शब्द अनंत तक जाता है। इसी तरह, जैसा कि जाता है, यह शब्द अनंत तक जाता है। तरंग फलन के वर्ग समाकलनीय होने के लिए, हमें निर्धारित करना होगा, और हमारे पास हैः और इसके बाद, हम जानते हैं कि समग्र फलन निरंतर और अवकलनीय होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, फलन और उनके व्युत्पन्न के मान विभाजन बिंदुओं पर मेल खाना चाहिएः इन समीकरणों में दो प्रकार के समाधान होते हैं, सममित, जिसके लिए और, और प्रतिसममित, जिसके लिए और। सममित मामले के लिए हमें मिलता है इसलिए अनुपात लेने से मिलता है इसी तरह सममित विरोधी मामले के लिए हमें याद आता है कि दोनों और ऊर्जा पर निर्भर करते हैं। हमने जो पाया है वह यह है कि निरंतरता की शर्तों को ऊर्जा के मनमाने मूल्य के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है; क्योंकि यह अनंत क्षमता वाले कुएँ के मामले का परिणाम है। इस प्रकार, केवल कुछ ऊर्जा मूल्यों की अनुमति है, जो इन दो समीकरणों में से एक या दोनों में से किसी एक का समाधान हैं। इसलिए हम पाते हैं कि नीचे दी गई प्रणाली के ऊर्जा स्तर असतत हैं; संबंधित आइगेनफ़ंक्शंस बाध्य अवस्थाएँ हैं। (इसके विपरीत, उपरोक्त ऊर्जा स्तर निरंतर हैं।) ऊर्जा समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। फिर भी, हम देखेंगे कि सममित मामले में, कम से कम एक बाध्य अवस्था हमेशा मौजूद रहती है, भले ही कुआँ बहुत उथला हो। ऊर्जा समीकरणों के चित्रात्मक या संख्यात्मक समाधानों को थोड़ा फिर से लिखने से सहायता मिलती है। यदि हम आयामहीन चर का परिचय देते हैं और और उसकी परिभाषाओं से नोट करते हैं, जहां, मुख्य समीकरण पढ़ने के लिए दाईं ओर के भूखंड में, समाधान मौजूद हैं जहां नीला अर्धवृत्त बैंगनी या धूसर वक्रों (और) को काटता है। प्रत्येक बैंगनी या धूसर वक्र सीमा के भीतर एक संभावित समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। समाधानों की कुल संख्या, (यानी, नीले वृत्त द्वारा प्रतिच्छेदित बैंगनी/धूसर वक्रों की संख्या) इसलिए नीले वृत्त की त्रिज्या को प्रत्येक समाधान की सीमा से विभाजित करके और फर्श या छत के कार्यों का उपयोग करके निर्धारित की जाती हैः इस मामले में ठीक तीन समाधान हैं, क्योंकि। और, संबंधित ऊर्जाओं के साथ यदि हम चाहें, तो हम वापस जा सकते हैं और अब समीकरणों में स्थिरांक के मूल्यों को पा सकते हैं (हमें सामान्यीकरण की स्थिति भी लागू करने की आवश्यकता है)। दाहिनी ओर हम इस मामले में ऊर्जा के स्तर और तरंग कार्यों को दिखाते हैं (जहाँ): हम ध्यान देते हैं कि कितना भी छोटा हो (कुआँ कितना भी उथला या संकीर्ण हो), हमेशा कम से कम एक बंधी हुई अवस्था होती है। दो विशेष मामले ध्यान देने योग्य हैं। जैसे-जैसे विभव की ऊँचाई बड़ी होती जाती है, अर्धवृत्त की त्रिज्या बड़ी होती जाती है और जड़ें मूल्यों के करीब और करीब होती जाती हैं, और हम अनंत वर्ग के मामले को अच्छी तरह से पुनर्प्राप्त करते हैं। दूसरा मामला एक बहुत ही संकीर्ण, गहरे कुएं का है-विशेष रूप से केस और फिक्स्ड के साथ। जैसा कि यह शून्य की ओर बढ़ेगा, और इसलिए केवल एक ही बाध्य अवस्था होगी। अनुमानित समाधान तब होता है, और ऊर्जा की प्रवृत्ति होती है। लेकिन यह सिर्फ शक्ति की डेल्टा फ़ंक्शन क्षमता की बाध्य अवस्था की ऊर्जा है, जैसा कि होना चाहिए। ऊर्जा स्तरों के लिए एक सरल चित्रमय समाधान द्वारा गुणा के माध्यम से क्षमता और ऊर्जा को सामान्य करके प्राप्त किया जा सकता है। सामान्यीकृत मात्राएं क्रमशः सम और विषम समानता तरंग कार्यों के लिए अनुमत जोड़ों के बीच सीधे संबंध दे रही हैं। पिछले समीकरणों में केवल फलन के सकारात्मक व्युत्पन्न भागों पर विचार किया जाना चाहिए। अनुमति प्राप्त जोड़ों को सीधे दिखाने वाला चार्ट चित्र में बताया गया है। अनबाउंड अवस्थाएँ यदि हम किसी ऊर्जा के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को हल करते हैं, तो समाधान कुएँ के अंदर और बाहर दोनों तरफ दोलनशील होंगे। इस प्रकार, समाधान कभी भी वर्ग समाकलन योग्य नहीं होता है; अर्थात, यह हमेशा एक गैर-सामान्य स्थिति होती है। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि एक क्वांटम कण के लिए इससे अधिक ऊर्जा होना असंभव है, इसका केवल यह अर्थ है कि प्रणाली के ऊपर निरंतर वर्णक्रम है। गैर-सामान्यीकृत आइगेनस्टेट वर्ग समाकलनीय होने के काफी करीब हैं कि वे अभी भी एक असीमित प्रचालक के रूप में हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम में योगदान करते हैं। असममित कुआँ के साथ क्षमता द्वारा दी गई एक आयामी असममित क्षमता पर विचार करें। एक बार निम्नलिखित दिव्य समीकरण के मूल के रूप में हल होने के बाद ऊर्जा स्तर निर्धारित किए जाते हैं जहां हमेशा उपरोक्त समीकरण के मूल के अस्तित्व की गारंटी नहीं होती है, उदाहरण के लिए, कोई भी हमेशा इतना छोटा मान पा सकता है, कि और के दिए गए मानों के लिए कोई असतत ऊर्जा स्तर मौजूद नहीं है। सममित कुएँ के परिणाम उपरोक्त समीकरण से सेटिंग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। गोलाकार गुहा उपरोक्त परिणामों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि, एक आयामी मामले के रूप में, एक गोलाकार गुहा में दो बाध्य अवस्थाएँ होती हैं, क्योंकि गोलाकार निर्देशांक किसी भी दिशा में त्रिज्या के बराबर होते हैं। एक गोलाकार सममित विभव की भू अवस्था (n = 1) में हमेशा शून्य कक्षीय कोणीय संवेग (l = n − 1) होगा, और कम तरंग फलन समीकरण को संतुष्ट करता है जहां तरंग फलन का रेडियल भाग है। ध्यान दें कि (n = 1) कोणीय भाग के लिए स्थिर (l = 0) है। यह सीमा शर्तों को छोड़कर एक-आयामी समीकरण के समान है। पहले की तरह, ऊर्जा के स्तर एक बार निम्नलिखित दिव्य समीकरण के मूल के रूप में हल किए जाने पर निर्धारित किए जाते हैं जहां हमेशा उपरोक्त समीकरण के मूल के अस्तित्व की गारंटी होती है। परिणाम हमेशा गोलाकार समरूपता के साथ होते हैं। यह उस स्थिति को पूरा करता है जहां तरंग को गोले के अंदर कोई क्षमता नहीं मिलती हैः अलग-अलग विभेदक समीकरण तब होते हैं जब l §0 होता है, इसलिए उपरोक्त शीर्षकों के रूप में, यहाँ यह हैः समाधान को चर और फलन के कुछ परिवर्तनों द्वारा तर्कसंगत बनाया जा सकता है ताकि बेसल जैसे विभेदक समीकरण को बढ़ाया जा सके, जो समाधान हैः क्रमशः बेसल और न्यूमैन गोलाकार फलन कहाँ हैं और हैं, और मानक बेसल फलन के फलन के रूप में पुनरावर्तित किया जा सकता है। एक बार निम्नलिखित दिव्य समीकरण के मूल के रूप में हल किए जाने के बाद ऊर्जा स्तर निर्धारित किए जाते हैं जहां हमेशा उपरोक्त समीकरण के मूल के अस्तित्व की गारंटी होती है। परिणाम हमेशा गोलाकार समरूपता के साथ होते हैं। यह उस स्थिति को पूरा करता है जहां तरंग को गोले के अंदर कोई क्षमता नहीं मिलती हैः, लेकिन निम्नलिखित ट्रैसेंडैंटल समीकरण के मूल के रूप में हल किया जाता है, जहांः संभावित अच्छी तरह से डेल्टा फ़ंक्शन संभावित अनंत क्षमता अच्छी तरह से अर्धवृत्तीय क्षमता अच्छी तरह से क्वांटम टनलिंग आयताकार संभावित बाधा देखें। क्वांटम यांत्रिक क्षमता क्वांटम मॉडल बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल