Kerala school of astronomy and mathematics
केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स या केरल स्कूल भारत के केरल के तिरूर, मलप्पुरम में संगमग्राम के माधव द्वारा स्थापित गणित और खगोल विज्ञान का एक स्कूल था, जिसमें इसके सदस्यों में परमेश्वर, नीलकांत सोमयाजी, ज्येष्ठदेव, अच्युत पिशारती, मेलपथुर नारायण भट्टथिरी और अच्युत पणिक्कर शामिल थे। यह विद्यालय 14वीं और 16वीं शताब्दी के बीच फला-फूला और ऐसा लगता है कि इसकी मूल खोजें नारायण भट्टथिरी (1559-1632) के साथ समाप्त हो गईं। खगोलीय समस्याओं को हल करने के प्रयास में, केरल स्कूल ने स्वतंत्र रूप से कई महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं की खोज की। उनके सबसे महत्वपूर्ण परिणाम-त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए श्रृंखला विस्तार-का वर्णन नीलकांत की एक पुस्तक तंत्रसंग्रह में संस्कृत पद्य में किया गया था, और फिर से इस काम पर एक टिप्पणी में, जिसे अज्ञात लेखकत्व तंत्रसंग्रह-वख्या कहा जाता है। प्रमेय बिना किसी प्रमाण के बताए गए थे, लेकिन साइन, कोसाइन और व्युत्क्रम स्पर्शरेखा के लिए प्रमाण एक सदी बाद मलयालम में लिखे गए कार्य युक्तिबासा () में, ज्येष्ठदेव द्वारा, और तंत्रसंग्रह पर एक टिप्पणी में भी प्रदान किए गए थे। उनका काम, यूरोप में कलन के आविष्कार से दो शताब्दी पहले पूरा हुआ, जो अब एक शक्ति श्रृंखला (ज्यामितीय श्रृंखला के अलावा) का पहला उदाहरण माना जाता है। पृष्ठभूमि इस्लामी विद्वानों ने 1000 ईस्वी तक बहुपदों के समाकलन को खोजने के लिए लगभग एक सामान्य सूत्र विकसित किया-और स्पष्ट रूप से किसी भी बहुपद के लिए ऐसा सूत्र पा सकते थे जिसमें वे रुचि रखते थे। लेकिन, ऐसा प्रतीत होता है कि वे चार से अधिक डिग्री के किसी भी बहुपद में रुचि नहीं रखते थे, कम से कम किसी भी सामग्री में जो हमारे पास आई है। दूसरी ओर, भारतीय विद्वान वर्ष 1600 तक उन कार्यों के लिए शक्ति श्रृंखला की गणना में मनमाने अभिन्न शक्तियों के लिए इब्न अल-हेथम के योग सूत्र के समान सूत्र का उपयोग करने में सक्षम थे जिनमें वे रुचि रखते थे। उसी समय तक, वे यह भी जानते थे कि इन कार्यों के विभेदों की गणना कैसे की जाती है। अतः कलन के कुछ बुनियादी विचार न्यूटन से कई शताब्दियों पहले मिस्र और भारत में ज्ञात थे। हालाँकि, ऐसा प्रतीत नहीं होता है कि इस्लामी या भारतीय गणितविदों ने कुछ अलग-अलग विचारों को जोड़ने की आवश्यकता को देखा, जिन्हें हम कलन नाम के तहत शामिल करते हैं। जाहिरा तौर पर वे केवल उन विशिष्ट मामलों में रुचि रखते थे जिनमें इन विचारों की आवश्यकता थी। योगदान अनंत श्रृंखला और कलन केरल स्कूल ने अनंत श्रृंखला और कलन के क्षेत्र में कई योगदान दिए हैं। इनमें निम्नलिखित अनंत ज्यामितीय श्रृंखलाएं शामिल हैंः केरल स्कूल ने गणितीय प्रेरण का सहज ज्ञान युक्त उपयोग किया, हालांकि प्रेरक परिकल्पना को अभी तक प्रमाणों में तैयार या नियोजित नहीं किया गया था। उन्होंने इसका उपयोग परिणाम का एक अर्ध-कठोर प्रमाण खोजने के लिए कियाः बड़े n के लिए। उन्होंने, और के लिए (टेलर-मैक्लौरिन) अनंत श्रृंखला प्राप्त करने के लिए (जो बनने वाला था) अंतर और अभिन्न कलन से विचारों को लागू किया। तंत्रसंग्रह-वाख्या श्रृंखला को पद्य में देता है, जिसका जब गणितीय संकेतन में अनुवाद किया जाता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता हैः जहां, श्रृंखला के लिए इन त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए मानक शक्ति श्रृंखला तक कम हो जाता है, उदाहरण के लिएः (केरल स्कूल ने "भाज्य" प्रतीकवाद का उपयोग नहीं किया था।) केरल स्कूल ने इन परिणामों का प्रमाण देने के लिए एक वृत्त के चाप के सुधार (लंबाई की गणना) का उपयोग किया। (लीबनिज़ की बाद की विधि, चतुर्भुज का उपयोग करते हुए (अर्थात। वृत्त के चाप के नीचे क्षेत्र की गणना), अभी तक विकसित नहीं हुई थी।) उन्होंने एक अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति (जिसे बाद में ग्रेगरी श्रृंखला के रूप में जाना गया) प्राप्त करने के लिए श्रृंखला विस्तार का भी उपयोग कियाः उनकी श्रृंखला के सीमित योग के लिए त्रुटि का उनका तर्कसंगत अनुमान विशेष रुचि का है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के लिए त्रुटि, (n विषम, और i = 1,2,3 के लिए): उन्होंने शब्दों में हेरफेर किया, आंशिक अंश विस्तार का उपयोग करते हुएः अधिक तेजी से अभिसरण श्रृंखला प्राप्त करने के लिएः उन्होंने एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए बेहतर श्रृंखला का उपयोग किया, नौ दशमलव स्थानों तक सही करने के लिए, यानी। .. उन्होंने इन परिणामों की गणना करने के लिए एक सीमा की सहज धारणा का उपयोग किया। केरल के स्कूल के गणितविदों ने भी कुछ त्रिकोणमितीय कार्यों के विभेदन की एक अर्ध-कठोर विधि दी, हालांकि एक फलन, या घातीय या लघुगणक कार्यों की धारणा अभी तक तैयार नहीं की गई थी। 1825 में जॉन वारेन ने दक्षिण भारत में समय के विभाजन पर एक संस्मरण प्रकाशित किया, जिसे काल संहिता कहा जाता है, जिसमें केरल के खगोलविदों द्वारा अनंत श्रृंखला की खोज का संक्षेप में उल्लेख किया गया है। केरल स्कूल की कृतियाँ पहली बार 1835 में अंग्रेज सी. एम. व्हिश द्वारा पश्चिमी दुनिया के लिए लिखी गई थीं। विश के अनुसार, केरल के गणितविदों ने "प्रवाह की एक पूरी प्रणाली की नींव रखी थी" और ये कृतियाँ "प्रवाह रूपों और श्रृंखलाओं से भरपूर थीं जो विदेशों के किसी भी कार्य में नहीं पाए जाते थे।" हालाँकि, व्हिश के परिणामों को लगभग पूरी तरह से नजरअंदाज कर दिया गया था, एक सदी से अधिक समय बाद तक, जब सी. टी. राजगोपाल और उनके सहयोगियों द्वारा केरल स्कूल की खोजों की फिर से जांच की गई। उनके काम में दो पत्रों में दिए गए युक्तिबासा में आर्क्टन श्रृंखला के प्रमाणों पर टिप्पणियां, साइन और कोसाइन श्रृंखला के युक्तिबासा प्रमाण पर एक टिप्पणी और दो पत्र शामिल हैं जो आर्क्टन, सिन और कोसाइन (अंग्रेजी अनुवाद और टिप्पणी के साथ) के लिए तंत्रसंग्रहवख्या के संस्कृत छंद प्रदान करते हैं। 1952 में ओटो न्यूगेबॉयर ने तमिल खगोल विज्ञान पर लिखा। 1972 में के. वी. सरमा ने अपना ए हिस्ट्री ऑफ द केरल स्कूल ऑफ हिंदू एस्ट्रोनॉमी प्रकाशित किया जिसमें 13वीं से 17वीं शताब्दी तक ज्ञान संचरण की निरंतरता जैसे स्कूल की विशेषताओं का वर्णन किया गया थाः गोविंद भट्टथिरी से परमेश्वर से दामोदर से नीलकंठ सोमयाजी से ज्येष्ठदेव से अच्युत पिसारती। शिक्षक से छात्र में संचरण ने "खगोल विज्ञान जैसे एक व्यावहारिक, प्रदर्शनात्मक विषय में ज्ञान को ऐसे समय में संरक्षित किया जब मुद्रित पुस्तकों और सार्वजनिक विद्यालयों का प्रसार नहीं था।" 1994 में यह तर्क दिया गया था कि सूर्यकेंद्रित मॉडल को केरल में लगभग 1500 ईस्वी में अपनाया गया था। 1979 में ए. के. बाग ने सुझाव दिया कि इन परिणामों का ज्ञान व्यापारियों और जेसुइट मिशनरियों द्वारा केरल से व्यापार मार्ग के माध्यम से यूरोप में प्रेषित किया गया होगा। केरल चीन, अरब और यूरोप के साथ निरंतर संपर्क में था। कुछ संचार मार्गों का सुझाव और कुछ विद्वानों द्वारा एक कालक्रम इस तरह के प्रसारण की संभावना बना सकता है; हालाँकि, प्रासंगिक पांडुलिपियों के माध्यम से कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है कि ऐसा प्रसारण हुआ था। डेविड ब्रेसौड के अनुसार, "इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि उन्नीसवीं शताब्दी तक श्रृंखला के भारतीय कार्य भारत से बाहर या केरल से बाहर भी ज्ञात थे।" वी. जे. काट्ज़ ने नोट किया कि केरल स्कूल के कुछ विचारों में 11वीं शताब्दी के इराकी विद्वान इब्न अल-हेथम के काम के साथ समानताएं हैं, जो इस्लामी गणित से केरल में विचारों के संभावित संचरण का सुझाव देते हैं। अरब और भारतीय दोनों विद्वानों ने 17वीं शताब्दी से पहले ऐसी खोज की जिन्हें अब कलन का हिस्सा माना जाता है। काट्ज़ के अनुसार, उन्हें अभी तक "व्युत्पन्न और अभिन्न के दो एकीकृत विषयों के तहत कई अलग-अलग विचारों को जोड़ना था, दोनों के बीच संबंध दिखाना था, और कलन को आज हमारे पास मौजूद महान समस्या-समाधान उपकरण में बदलना था", जैसे कि न्यूटन और लीबनिज़। न्यूटन और लीबनिज़ दोनों के बौद्धिक करियर अच्छी तरह से प्रलेखित हैं और उनके काम के उनके अपने नहीं होने का कोई संकेत नहीं है; हालाँकि, यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि क्या न्यूटन और लीबनिज़ के तत्काल पूर्ववर्तियों ने, विशेष रूप से, फर्माट और रोबरवल सहित, इस्लामी और भारतीय गणितविदों के कुछ विचारों के बारे में सीखा, जिनके स्रोतों के माध्यम से हम अब अवगत नहीं हैं। यह वर्तमान अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है, विशेष रूप से स्पेन और मघरेब के पांडुलिपि संग्रहों में, अनुसंधान जो अब अन्य स्थानों के साथ, पेरिस में सेंटर नेशनल डे ला रिसर्च साइंटिफिक में किया जा रहा है। भारतीय खगोल विज्ञान भारतीय गणित भारतीय गणितशास्त्री गणित का इतिहास टिप्पणियाँ संदर्भ भी देखें। गुप्ता, आर. सी. (1969) "सेकंड ऑर्डर ऑफ इंटरपोलेशन ऑफ इंडियन मैथमेटिक्स", इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ साइंस 4:92-94। .. .. परमेश्वरन, एस. 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