Character sum
गणित में, एक वर्ण योग एक डिरिचलेट वर्ण χ मॉडुलो N के मूल्यों का योग है, जो n के मूल्यों की एक दी गई सीमा पर लिया जाता है। इस तरह के योग कई प्रश्नों में बुनियादी होते हैं, उदाहरण के लिए द्विघात अवशेषों के वितरण में, और विशेष रूप से कम से कम द्विघात गैर-अवशेष मॉडुलो N के लिए एक ऊपरी सीमा खोजने के शास्त्रीय प्रश्न में। वर्ण योग अक्सर गॉस योग द्वारा घातीय योग से निकटता से जुड़े होते हैं (यह एक परिमित मेलिन परिवर्तन की तरह है)। मान लीजिए कि χ मापांक एन के लिए एक गैर-प्रमुख डिरिचलेट वर्ण है। श्रेणियों पर योग सभी अवशेष वर्गों मॉड एन पर लिया गया योग तब शून्य होता है। इसका मतलब है कि ब्याज के मामले अपेक्षाकृत छोटी सीमाओं पर होंगे, लंबाई आर <एन कहते हैं, तुच्छ अनुमान पर एक मौलिक सुधार पोल्या-विनोग्रादोव असमानता है, जिसे 1918 में जॉर्ज पोल्या और आई. एम. विनोग्रादोव द्वारा स्वतंत्र रूप से स्थापित किया गया था, जिसमें बिग ओ नोटेशन में कहा गया था कि सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना को मानते हुए, ह्यूग मोंटगोमेरी और आर. सी. वॉन ने दिखाया है कि आगे सुधार है सारांश बहुपदों का एक और महत्वपूर्ण प्रकार का वर्ण योग है जो कुछ फ़ंक्शन एफ के लिए बनता है, आमतौर पर एक बहुपद। एक शास्त्रीय परिणाम एक द्विघात का मामला है, उदाहरण के लिए, और χ एक लीजेंड्रे प्रतीक है। यहाँ योग का मूल्यांकन (−1 के रूप में) किया जा सकता है, एक परिणाम जो एक शंकु खंड के स्थानीय जीटा-फलन से जुड़ा होता है। अधिक आम तौर पर, जैकोबी प्रतीक के लिए इस तरह के योग दीर्घवृत्ताकार वक्रों और अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों के स्थानीय जीटा-कार्यों से संबंधित हैं; इसका मतलब है कि आंद्रे वेल के परिणामों के माध्यम से, एन = पी एक प्रमुख संख्या के लिए, गैर-तुच्छ सीमाएँ हैं संकेतन में निहित स्थिरांक प्रश्न में वक्र के जीनस में रैखिक है, और इसलिए (लीजेंड्रे प्रतीक या अति-दीर्घवृत्ताकार मामले) को एफ की डिग्री के रूप में लिया जा सकता है। वेइल के परिणामों ने बर्गेस को भी बाध्य किया, पोल्या-विनोग्रादोव से परे गैर-तुच्छ परिणाम देने के लिए आवेदन किया, आर के लिए 1/4 से अधिक एन की शक्ति। मान लीजिए कि मापांक एन एक अभाज्य है। किसी भी पूर्णांक r ≤ 3 के लिए। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक प्लैनेटमैथ पोल्या-विनोग्रादोव असमानता पर लेख विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत