Gonality of an algebraic curve
गणित में, एक बीजगणितीय वक्र सी की गोनलिटी को सी से प्रोजेक्टिव रेखा तक एक गैर-स्थिर परिमेय मानचित्र की सबसे कम डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है। अधिक बीजगणितीय शब्दों में, यदि C को क्षेत्र K पर परिभाषित किया जाता है और K (C) C के फलन क्षेत्र को दर्शाता है, तो एक फलन f द्वारा उत्पन्न अपने उपक्षेत्रों पर फलन क्षेत्र के क्षेत्र विस्तार K (C)/K (f) की डिग्री द्वारा लिया गया न्यूनतम मान गोनलिटी है। यदि K बीजगणितीय रूप से बंद है, तो जीनस 0 के वक्रों के लिए गोनलिटी सटीक रूप से 1 है। वंश 1 (दीर्घवृत्ताकार वक्र) के वक्रों के लिए और अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए (इसमें वंश 2 के सभी वक्र शामिल हैं) वंशावली 2 है। जीनस जी. ओ. आर. 3 के लिए अब यह मामला नहीं है कि जीनस गोनलिटी निर्धारित करता है। जीनस जी की सामान्य वक्रता (जी + 3)/2 का तल कार्य है। त्रिकोणीय वक्र वे हैं जिनमें गॉनलिटी 3 है, और इस मामले ने सामान्य रूप से नाम को जन्म दिया। त्रिकोणीय वक्रों में जीनस तीन के पिकार्ड वक्र शामिल हैं और एक समीकरण y3 = Q (x) द्वारा दिए गए हैं जहां Q डिग्री 4 का है। एम. ग्रीन और आर. लाज़र्सफेल्ड के गोनलिटी अनुमान में भविष्यवाणी की गई है कि बीजगणितीय वक्र सी की गोनलिटी की गणना होमोलॉजिकल बीजगणित के माध्यम से की जा सकती है, जिसका अर्थ है उच्च डिग्री के एक व्युत्क्रमणीय आवरण के न्यूनतम संकल्प से। कई मामलों में गोनलिटी क्लिफोर्ड सूचकांक से दो अधिक है। ग्रीन-लेज़ार्सफेल्ड अनुमान श्रेणीबद्ध बेट्टी संख्याओं के संदर्भ में एक सटीक सूत्र है जो आर आयामों में एक डिग्री डी एम्बेडिंग के लिए है, जीनस के संबंध में डी बड़े के लिए। बी (सी) लिखना, सी के दिए गए इस तरह के एम्बेडिंग और इसके सजातीय निर्देशांक रिंग के लिए न्यूनतम मुक्त रिज़ॉल्यूशन के संबंध में, न्यूनतम सूचकांक i के लिए जिसके लिए βi, i + 1 शून्य है, तो गोनलिटी के लिए अनुमानित सूत्र r + 1 − b (C) है। फेडेरिको अमोडियो की 1900 आई. सी. एम. वार्ता के अनुसार, यह धारणा (लेकिन शब्दावली नहीं) रीमान के अबेलियन कार्यों के सिद्धांत के खंड V में उत्पन्न हुई थी। अमोडियो ने 1893 की शुरुआत में "गोनालिटा" शब्द का इस्तेमाल किया था। संदर्भ बीजगणितीय वक्र समजातीय बीजगणित