Signed measure
गणित में, हस्ताक्षरित माप (सकारात्मक) माप की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है जो सेट फ़ंक्शन को नकारात्मक मान लेने की अनुमति देता है, यानी, संकेत प्राप्त करने के लिए। परिभाषा एक हस्ताक्षरित उपाय की दो थोड़ी अलग अवधारणाएँ हैं, जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि कोई इसे अनंत मूल्य लेने की अनुमति देता है या नहीं। हस्ताक्षरित उपायों को आमतौर पर केवल सीमित वास्तविक मूल्य लेने की अनुमति दी जाती है, जबकि कुछ पाठ्यपुस्तकें उन्हें अनंत मूल्य लेने की अनुमति देती हैं। भ्रम से बचने के लिए, यह लेख इन दो मामलों को "सीमित हस्ताक्षरित उपाय" और "विस्तारित हस्ताक्षरित उपाय" कहेगा। एक मापने योग्य स्थान को देखते हुए (यानी, उस पर एक σ-बीजगणित के साथ एक सेट), एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप एक सेट फ़ंक्शन है जो कि σ-योगात्मक है-यानी, यह असंबद्ध सेटों के किसी भी अनुक्रम के लिए समानता को संतुष्ट करता है। एक परिणाम यह है कि एक विस्तारित हस्ताक्षरित उपाय एक मूल्य के रूप में ले सकता है, लेकिन दोनों नहीं। अभिव्यक्ति अनिर्धारित है और इससे बचा जाना चाहिए। एक सीमित हस्ताक्षरित उपाय (उर्फ। वास्तविक माप) को उसी तरह से परिभाषित किया गया है, सिवाय इसके कि इसे केवल वास्तविक मान लेने की अनुमति है। अर्थात्, यह एक वास्तविक वेक्टर स्थान नहीं बना सकता है या हस्ताक्षरित उपायों को सीमित नहीं कर सकता है, जबकि विस्तारित हस्ताक्षरित उपाय इसलिए नहीं हैं क्योंकि वे जोड़ के तहत बंद नहीं हैं। दूसरी ओर, उपाय विस्तारित हस्ताक्षरित उपाय हैं, लेकिन सामान्य रूप से सीमित हस्ताक्षरित उपाय नहीं हैं। उदाहरण स्थान (X,  निष्प) पर एक गैर-ऋणात्मक माप और एक मापने योग्य फलन f: X → R पर विचार करें कि फिर, सभी A के लिए एक सीमित हस्ताक्षरित माप  निष्पन्न में दिया जाता है। यह हस्ताक्षरित उपाय केवल सीमित मूल्य लेता है। इसे एक मान के रूप में लेने की अनुमति देने के लिए, किसी को इस धारणा को बदलने की आवश्यकता है कि f पूरी तरह से अधिक आरामदायक स्थिति के साथ समाकलन योग्य है जहां f − (x) = अधिकतम (−f (x), 0) f का नकारात्मक भाग है। गुण निम्नलिखित दो परिणाम हैं जो इंगित करेंगे कि एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप दो गैर-नकारात्मक उपायों का अंतर है, और एक सीमित हस्ताक्षरित माप दो सीमित गैर-नकारात्मक उपायों का अंतर है। हैन अपघटन प्रमेय में कहा गया है कि एक हस्ताक्षरित माप को देखते हुए, दो मापने योग्य समुच्चय पी और एन मौजूद हैं जैसे किः पी ≤ एन = एक्स और पी ≤ एन = φ; प्रत्येक ई के लिए एम (ई) ≤ 0 जैसे कि ई ≤ पी-दूसरे शब्दों में, पी एक सकारात्मक समुच्चय है; एम (ई) ≤ 0 प्रत्येक ई के लिए एम में ऐसा है कि ई ≤ एन-यानी, एन एक नकारात्मक समुच्चय है। इसके अलावा, यह अपघटन पी और एन से एम. यू.-नल सेटों को जोड़ने/घटाने के लिए अद्वितीय है। फिर दो गैर-नकारात्मक उपायों पर विचार करें जो एम. यू. + और एम. यू.-द्वारा परिभाषित हैं और सभी मापने योग्य सेटों ई के लिए, यानी, ई. एस. में। यह जांचा जा सकता है कि दोनों ही गैर-नकारात्मक उपाय हैं, जिनमें से एक केवल सीमित मान लेता है, और इन्हें क्रमशः धनात्मक भाग और ऋणात्मक भाग कहा जाता है। एक के पास वह है कि μ = μ + − μ −। माप |μ। = μ + + μ-को μ की भिन्नता कहा जाता है, और इसका अधिकतम संभव मान,। |μ।। = |μ। (X), को μ की कुल भिन्नता कहा जाता है। हान अपघटन प्रमेय के इस परिणाम को जॉर्डन अपघटन कहा जाता है। हान अपघटन प्रमेय में पी और एन के चयन से माप μ +, μ-और |μ। स्वतंत्र हैं। हस्ताक्षरित मापों का स्थान दो सीमित हस्ताक्षरित मापों का योग एक सीमित हस्ताक्षरित माप है, जैसा कि एक वास्तविक संख्या द्वारा एक सीमित हस्ताक्षरित माप का उत्पाद है-यानी, वे रैखिक संयोजनों के तहत बंद हैं। यह इस प्रकार है कि एक मापने योग्य स्थान (एक्स, एस) पर सीमित हस्ताक्षरित उपायों का समूह एक वास्तविक सदिश स्थान है; यह सकारात्मक उपायों के विपरीत है, जो केवल शंक्वाकार संयोजनों के तहत बंद होते हैं, और इस प्रकार एक उत्तल शंकु बनाते हैं लेकिन एक सदिश स्थान नहीं। इसके अलावा, कुल भिन्नता एक मानक को परिभाषित करती है जिसके संबंध में सीमित हस्ताक्षरित उपायों का स्थान बनाच स्थान बन जाता है। इस स्थान की संरचना और भी अधिक है, जिसमें इसे एक डेडेकिंड पूर्ण बनाच जाली के रूप में दिखाया जा सकता है और ऐसा करने में रेडॉन-निकोडीम प्रमेय को फ्रायडेन्थल वर्णक्रमीय प्रमेय का एक विशेष मामला दिखाया जा सकता है। यदि X एक संक्षिप्त पृथक्करण योग्य स्थान है, तो सीमित हस्ताक्षरित बेयर मापों का स्थान रीज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा X पर सभी निरंतर वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों के वास्तविक बनाच स्थान का दोहरा है। कोणीय विस्थापन जटिल माप वर्णक्रमीय माप वेक्टर माप रीज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय हस्ताक्षरित चाप लंबाई हस्ताक्षरित क्षेत्र हस्ताक्षरित दूरी हस्ताक्षरित मात्रा कुल भिन्नता टिप्पणियाँ संदर्भ एकीकृत कलन माप (माप सिद्धांत) विकिपीडिया लेख प्लैनेटमैथ साइन (गणित) से पाठ को शामिल करते हुए