Atom (measure theory)
गणित में, अधिक सटीक रूप से माप सिद्धांत में, एक परमाणु एक मापने योग्य समूह है जिसमें सकारात्मक माप होता है और इसमें छोटे सकारात्मक माप का कोई सेट नहीं होता है। एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है। परिभाषा एक मापने योग्य स्थान और उस स्थान पर एक माप को देखते हुए, एक सेट को परमाणु कहा जाता है यदि और सेट के साथ किसी भी मापने योग्य सबसेट के लिए माप शून्य है, अर्थात। .. यदि एक परमाणु है, तो-समतुल्यता वर्ग के सभी उपसमुच्चय परमाणु हैं, और इसे परमाणु वर्ग कहा जाता है। यदि एक-अनंत माप है, तो कई परमाणु वर्ग हैं। उदाहरण X = {1,2,., 9,10} समुच्चय पर विचार करें और सिग्मा-बीजगणित को X का घात समुच्चय होने दें। किसी समुच्चय के माप को उसकी प्रधानता, यानी समुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में परिभाषित करें। फिर, प्रत्येक सिंगलेटॉन {i}, i = 1,2,., 9,10 के लिए एक परमाणु है। वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग्यू माप पर विचार करें। इस माप में कोई परमाणु नहीं है। परमाणु माप एक मापने योग्य स्थान पर एक-अनंत माप को परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि सकारात्मक माप के प्रत्येक मापने योग्य सेट में एक परमाणु होता है। यह कहने के बराबर है कि एक शून्य समूह तक परमाणुओं द्वारा गठित एक गणना योग्य विभाजन है। - फिनिटुड की धारणा आवश्यक है। अन्यथा उस स्थान पर विचार करें जहाँ गिनती माप को दर्शाया जाता है। यह स्थान परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु एकल परमाणु होते हैं, फिर भी अंतरिक्ष को अनगिनत रूप से कई असंबद्ध परमाणुओं के असंबद्ध संघ में विभाजित नहीं किया जा सकता है, और एक शून्य समुच्चय क्योंकि एकल परमाणुओं का गणना योग्य संघ एक गणना योग्य समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं की असंबद्धता से पता चलता है कि पूरक को अनगिनत होना होगा, इसलिए इसका माप अनंत होगा, इसके विपरीत कि यह एक शून्य समुच्चय है। - असीम रिक्त स्थान के लिए परिणाम की वैधता सीमित माप रिक्त स्थान के प्रमाण से यह देखते हुए होती है कि गणना योग्य संघों का गणना योग्य संघ फिर से एक गणना योग्य संघ है, और यह कि शून्य सेटों के गणना योग्य संघ शून्य हैं। यदि किसी भी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है तो असतत माप ए-अनंत परमाणु माप को असतत कहा जाता है। यह कहने के बराबर है कि यह गिनती में कई डीराक मापों का भारित योग है, यानी, अंकों का एक क्रम है, और सकारात्मक वास्तविक संख्याओं (भार) का एक क्रम है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक के लिए। हम प्रत्येक बिंदु को-th परमाणु वर्ग में परमाणुओं का एक सामान्य बिंदु चुन सकते हैं। एक असतत माप परमाणु है लेकिन व्युत्क्रम निहितार्थ विफल हो जाता हैः गणना योग्य और सह-गणना योग्य उपसमुच्चय का-बीजगणित, गणना योग्य उपसमुच्चय में और सह-गणना योग्य उपसमुच्चय में लें। फिर एक एकल परमाणु वर्ग है, जो सह-गणना योग्य उपसमुच्चय द्वारा बनाया गया है। माप परमाणु है लेकिन अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली है और इसे डीराक मापों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है। यदि प्रत्येक परमाणु एक एकल टन के बराबर है, तो यह असतत है यदि यह परमाणु है। इस मामले में उपरोक्त परमाणु एकल हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल समुच्चयों के साथ प्रदान किए गए पृथक्कृत मीट्रिक स्थान में कोई भी सीमित माप इस स्थिति को संतुष्ट करता है। गैर-परमाणु माप एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है उसे या ए कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक माप गैर-परमाणु है यदि किसी भी मापने योग्य समुच्चय के लिए एक मापने योग्य सबसेट मौजूद है जिसमें कम से कम एक सकारात्मक मूल्य के साथ एक गैर-परमाणु माप में अनंत संख्या में अलग-अलग मान होते हैं, क्योंकि एक सेट के साथ शुरू होने से मापने योग्य सेटों का एक घटता अनुक्रम बन सकता है जैसे कि यह परमाणु वाले मापों के लिए सही नहीं हो सकता है; ऊपर दिया गया पहला उदाहरण देखें। यह पता चला है कि गैर-परमाणु उपायों में वास्तव में मूल्यों की निरंतरता होती है। यह साबित किया जा सकता है कि यदि यह एक गैर-परमाणु माप है और इसके साथ एक मापने योग्य समुच्चय है तो किसी भी वास्तविक संख्या को संतुष्ट करने के लिए एक मापने योग्य उपसमुच्चय मौजूद है। यह निरंतर कार्यों के लिए मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय की याद दिलाता है। गैर-परमाणु उपायों पर सियेरपिंस्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। एक थोड़ा मजबूत कथन, जो हालांकि प्रमाण को आसान बनाता है, यह है कि यदि एक गैर-परमाणु माप स्थान है और एक ऐसा कार्य मौजूद है जो समावेश के संबंध में मोनोटोन है, और इसका एक विपरीत है, तो मापने योग्य सेटों का एक-पैरामीटर परिवार मौजूद है जैसे कि सभी के लिए प्रमाण आसानी से सभी मोनोटोन आंशिक वर्गों के सेट पर लागू होने वाले जोर्न के लेम्मा का अनुसरण करता हैः ग्राफ को शामिल करके आदेश दिया गया है, फिर यह दिखाने के लिए मानक है कि प्रत्येक श्रृंखला में एक ऊपरी सीमा है और किसी भी अधिकतम तत्व के पास दावे को साबित करने वाला डोमेन है। परमाणु (क्रम सिद्धांत) भी देखें-क्रम सिद्धांत में एक अनुरूप अवधारणा डीराक डेल्टा कार्य प्राथमिक घटना, जिसे एक परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है टिप्पणियाँ संदर्भ गणित मापन सिद्धांत के विश्वकोश में परमाणु को बाहरी लिंक से जोड़ता है।