Tensor product of modules
गणित में, मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद एक ऐसा निर्माण है जो द्विरेखीय मानचित्रों के बारे में तर्क की अनुमति देता है (जैसे। गुणा) रैखिक मानचित्रों के संदर्भ में किया जाना है। मॉड्यूल का निर्माण वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद के निर्माण के अनुरूप है, लेकिन एक कम्यूटेटिव रिंग पर मॉड्यूल की एक जोड़ी के लिए किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप एक तीसरा मॉड्यूल होता है, और किसी भी रिंग पर दाएं-मॉड्यूल और बाएं-मॉड्यूल की एक जोड़ी के लिए भी, जिसके परिणामस्वरूप एक अबेलियन समूह होता है। अमूर्त बीजगणित, समरूपीय बीजगणित, बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति, प्रचालक बीजगणित और गैर-परिवर्तनीय ज्यामिति के क्षेत्रों में टेंसर उत्पाद महत्वपूर्ण हैं। वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद का सार्वभौमिक गुण अमूर्त बीजगणित में अधिक सामान्य स्थितियों तक फैला हुआ है। एक बीजगणित और एक मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग स्केलर के विस्तार के लिए किया जा सकता है। एक कम्यूटेटिव रिंग के लिए, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद को एक मॉड्यूल के टेंसर बीजगणित बनाने के लिए दोहराया जा सकता है, जिससे मॉड्यूल में गुणन को सार्वभौमिक तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। एक वलय आर, एक दाएँ आर-मॉड्यूल एम, एक बाएँ आर-मॉड्यूल एन, और एक अबेलियन समूह जी के लिए, एक मानचित्र को आर-संतुलित, आर-मध्य-रैखिक या आर-संतुलित उत्पाद कहा जाता है यदि सभी एम के लिए, एम में एम, एन में एन, एन में एन, और आर में आर निम्नलिखित पकड़ः आर से जी तक ऐसे सभी संतुलित उत्पादों के सेट को इस प्रकार दर्शाया जाता है। यदि φ, si संतुलित उत्पाद हैं, तो प्रत्येक संचालन और-φ परिभाषित बिंदु एक संतुलित उत्पाद है। यह सेट को एक अबेलियन समूह में बदल देता है। एम और एन निश्चित के लिए, मानचित्र अबेलियन समूहों की श्रेणी से अपने आप में एक कारक है। आकृतिवाद भाग को फलन के लिए एक समूह समरूपता का मानचित्रण करके दिया जाता है, जो एक से दूसरे तक जाता है। टिप्पणी गुण (डी. एल.) और (डी. आर.) φ की बायएडिटिविटी को व्यक्त करते हैं, जिसे जोड़ पर φ की वितरणशीलता माना जा सकता है। संपत्ति (ए) φ की कुछ सहयोगी संपत्ति के समान है। प्रत्येक रिंग आर एक आर-बाइमॉड्यूल है। अतः आर में वलय गुणन एक आर-संतुलित उत्पाद है। परिभाषा एक रिंग आर के लिए, एक दाएँ आर-मॉड्यूल एम, एक बाएँ आर-मॉड्यूल एन, आर पर टेंसर उत्पाद एक संतुलित उत्पाद के साथ एक अबेलियन समूह है (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) जो निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक हैः प्रत्येक अबेलियन समूह जी और प्रत्येक संतुलित उत्पाद के लिए एक अद्वितीय समूह समरूपता है जैसे कि सभी सार्वभौमिक गुणों के साथ, उपरोक्त गुण एक अद्वितीय समरूपता तक विशिष्ट रूप से टेंसर उत्पाद को परिभाषित करता हैः कोई भी अन्य अबेलियन समूह और समान गुणों के साथ संतुलित उत्पाद समरूपता और समरूपता होगा। वास्तव में, मानचित्रण को विहित कहा जाता है, या अधिक स्पष्ट रूप सेः टेंसर उत्पाद का विहित मानचित्रण (या संतुलित उत्पाद)। परिभाषा के अस्तित्व को साबित नहीं करती है; एक निर्माण के लिए नीचे देखें। टेंसर उत्पाद को फंक्टर के लिए एक प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तु के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि एक प्राकृतिक समरूपता हैः यह ऊपर दिए गए सार्वभौमिक मानचित्रण गुण को बताने का एक संक्षिप्त तरीका है। (यदि किसी प्राथमिकता वाले को यह प्राकृतिक समरूपता दी जाती है, तो पहचान मानचित्र को लेकर और फिर मानचित्रण करके इसे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।) इसी तरह, प्राकृतिक पहचान को देखते हुए, सूत्र द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है इसे टेंसर-होम एडजंक्शन के रूप में जाना जाता है; यह भी देखें। एम में प्रत्येक एक्स के लिए, एन में वाई, विहित मानचित्र के तहत (एक्स, वाई) की छवि के लिए लिखा जाता है। इसे अक्सर शुद्ध टेंसर कहा जाता है। कड़ाई से बोलते हुए, सही संकेतन x′Ry होगा लेकिन यहाँ R को छोड़ना पारंपरिक है। फिर, परिभाषा से तुरंत, संबंध हैंः एक टेंसर उत्पाद के सार्वभौमिक गुण का निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम होता हैः प्रमाणः पहले कथन के लिए, मान लीजिए कि L प्रश्न में रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न उपसमूह है, और q भागफल मानचित्र है। हमारे पास हैः साथ ही। इसलिए, सार्वभौमिक गुण के विशिष्टता भाग से, q = 0। दूसरा कथन यह है कि एक मॉड्यूल समरूपता को परिभाषित करने के लिए, इसे मॉड्यूल के उत्पन्न करने वाले सेट पर परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। टेंसर उत्पादों के सार्वभौमिक गुण का अनुप्रयोग यह निर्धारित करना कि क्या मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद शून्य है व्यवहार में, यह दिखाना कभी-कभी अधिक कठिन होता है कि आर-मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद शून्य नहीं है, यह दिखाने की तुलना में कि यह 0 है। सार्वभौमिक संपत्ति इसकी जाँच के लिए एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करती है। यह जांचने के लिए कि एक टेंसर उत्पाद गैर-शून्य है, कोई भी अबेलियन समूह के लिए एक आर-बिलीनियर मानचित्र का निर्माण कर सकता है। यह काम करता है क्योंकि अगर, तो। उदाहरण के लिए, यह देखने के लिए कि, गैर-शून्य है, और ले लो। यह कहता है कि शुद्ध टेंसर जब तक शून्य नहीं होते हैं। समतुल्य मॉड्यूल के लिए प्रस्ताव कहता है कि हर बार सीधे सार्वभौमिक गुण का आह्वान करने के बजाय टेंसर उत्पादों के स्पष्ट तत्वों के साथ काम किया जा सकता है। यह व्यवहार में बहुत सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, यदि आर परिवर्तनीय है और मॉड्यूल पर आर द्वारा बाएं और दाएं कार्यों को समतुल्य माना जाता है, तो स्वाभाविक रूप से पिछले प्रस्ताव द्वारा पूरे तक विस्तार करके आर-स्केलर गुणन के साथ प्रस्तुत किया जा सकता है (कड़ाई से बोलते हुए, जो आवश्यक है वह एक द्वि-मॉड्यूल संरचना है जो कम्यूटेटिविटी नहीं है; नीचे एक पैराग्राफ देखें)। इस आर-मॉड्यूल संरचना से लैस, उपरोक्त के समान एक सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता हैः किसी भी आर-मॉड्यूल जी के लिए, एक प्राकृतिक समरूपता हैः यदि आर आवश्यक रूप से परिवर्तनीय नहीं है, लेकिन यदि एम की एक रिंग एस (उदाहरण के लिए, आर) द्वारा एक बाईं कार्रवाई है, तो बाईं एस-मॉड्यूल संरचना दी जा सकती है, ऊपर की तरह, सूत्र अनुरूप रूप से, यदि एन की एक रिंग एस द्वारा एक सही कार्रवाई है, तो एक सही एस-मॉड्यूल बन जाता है। रैखिक मानचित्रों का टेंसर उत्पाद और आधार रिंग का परिवर्तन एक रिंग आर और बाएं मॉड्यूल के ऊपर दाएं मॉड्यूल के रैखिक मानचित्रों को देखते हुए, एक अद्वितीय समूह समरूपता है निर्माण का एक परिणाम है कि टेंसर एक फंक्टर हैः प्रत्येक दाएं आर-मॉड्यूल एम बाएं मॉड्यूल की श्रेणी से अबेलियन समूहों की श्रेणी में फंक्टर निर्धारित करता है जो समूह समरूपता को एन और एक मॉड्यूल समरूपता एफ भेजता है। यदि एक रिंग समरूपता है और यदि एम एक दाएं एस-मॉड्यूल और एन एक बाएं एस-मॉड्यूल है, तो कैनॉनिकल सर्जेक्टिव समरूपता हैः द्वारा प्रेरित परिणामी मानचित्र सर्जेक्टिव है क्योंकि शुद्ध टेंसर पूरे मॉड्यूल को उत्पन्न करते हैं। विशेष रूप से, आर को यह मानते हुए कि मॉड्यूल का प्रत्येक टेंसर उत्पाद अबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद का एक भागफल है। कई मॉड्यूल (इस खंड को अद्यतन करने की आवश्यकता है। अभी के लिए, अधिक सामान्य चर्चा के लिए देखें।) एक ही कम्यूटेटिव रिंग पर किसी भी संख्या में मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद की परिभाषा का विस्तार करना संभव है। उदाहरण के लिए, का सार्वभौमिक गुण यह है कि प्रत्येक त्रिकोणीय मानचित्र एक अद्वितीय रैखिक मानचित्र से मेल खाता है द्विआधारी टेंसर उत्पाद सहयोगी हैः (M1′ M2) ′ M3 स्वाभाविक रूप से M1′ (M2′ M3) के लिए समरूप है। त्रिकोणीय मानचित्रों के सार्वभौमिक गुण द्वारा परिभाषित तीन मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद इन दोनों पुनरावृत्त टेंसर उत्पादों के लिए समरूप है। सामान्य रिंगों पर गुण मॉड्यूल R1, R2, R3, R को रिंग होने दें, आवश्यक रूप से परिवर्तनीय नहीं। आर1-आर2-बाइमॉड्यूल एम12 और एक बाएं आर2-मॉड्यूल एम20 के लिए, एक बाएं आर1-मॉड्यूल है। एक सही R2-मॉड्यूल M02 और एक R2-R3-द्वि-मॉड्यूल M23 के लिए, एक सही R3-मॉड्यूल है। (सहयोगीता) एक दाएँ R1-मॉड्यूल M01, एक R1-R2-बायमॉड्यूल M12, और एक बाएँ R2-मॉड्यूल M20 के लिए हमारे पास हैः चूँकि R एक R-R-बायमॉड्यूल है, इसलिए हमारे पास रिंग गुणन को इसके विहित संतुलित उत्पाद के रूप में है। परिवर्तनीय रिंगों पर मॉड्यूल मान लीजिए कि आर एक परिवर्तनीय रिंग है, और एम, एन और पी आर-मॉड्यूल हैं। फिर आइडेंटिटी एसोसिएटिविटी पहले तीन गुण (मॉर्फिज्म पर प्लस आइडेंटिटीज) कहते हैं कि आर-मॉड्यूल की श्रेणी, आर कम्यूटेटिव के साथ, एक सममित मोनोइडल श्रेणी बनाती है। इस प्रकार यह अच्छी तरह से परिभाषित है। सममिति वास्तव में, समुच्चय {1,., n} के किसी भी क्रमपरिवर्तन σ के लिए, एक अद्वितीय समरूपता हैः प्रत्यक्ष योग पर वितरण वास्तव में, मनमाने कार्डिनलिटी के सूचकांक समुच्चय I के लिए। चूँकि परिमित उत्पाद परिमित प्रत्यक्ष राशियों के साथ मेल खाते हैं, इसलिए ये उदाहरण हैंः सीमित उत्पादों पर वितरण किसी भी परिमित रूप से कई के लिए, आधार विस्तार यदि S एक R-बीजगणित है, तो लेखन, cf। .. एक परिणाम हैः स्थानीयकरण पर वितरण आर के किसी भी गुणक रूप से बंद उपसमुच्चय एस के लिए, एक-मॉड्यूल के रूप में। यदि आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम है, तो आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम है, जहां टेंसर-होम संबंध एक कैनॉनिकल आर-रैखिक मानचित्र हैः जो एक समरूपता है यदि एम या पी एक परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल है (गैर-परिवर्तनीय मामले के लिए देखें); अधिक सामान्य रूप से, एक कैनॉनिकल आर-रैखिक मानचित्र हैः जो एक समरूपता है यदि दोनों में से एक या तो परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल की एक जोड़ी है। एक व्यावहारिक उदाहरण देने के लिए, मान लीजिए कि एम, एन बेस और के साथ मुक्त मॉड्यूल हैं। फिर एम प्रत्यक्ष योग है और एन के लिए समान है। वितरण गुण द्वारा, एक के पास हैः अर्थात, के आर-आधार हैं। भले ही एम मुक्त न हो, एम की एक मुफ्त प्रस्तुति का उपयोग टेंसर उत्पादों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। टेन्सर उत्पाद, सामान्य रूप से, व्युत्क्रम सीमा के साथ आवागमन नहीं करता हैः एक ओर, (सी. एफ. "उदाहरण")। दूसरी ओर, p-adic पूर्णांकों का वलय और p-adic संख्याओं का क्षेत्र कहाँ हैं। समान भावना में एक उदाहरण के लिए "अनंत पूर्णांक" भी देखें। यदि आर परिवर्तनीय नहीं है, तो टेंसर उत्पादों का क्रम निम्नलिखित तरीके से मायने रख सकता हैः हम टेंसर उत्पाद बनाने के लिए एम की सही क्रिया और एन की बाईं क्रिया का "उपयोग" करते हैं; विशेष रूप से, परिभाषित भी नहीं किया जाएगा। यदि एम, एन द्वि-मॉड्यूल हैं, तो बाईं क्रिया एम की बाईं क्रिया से आ रही है और दाईं क्रिया एन की दाईं क्रिया से आ रही है; उन कार्यों के बाईं और दाईं क्रियाओं के समान होने की आवश्यकता नहीं है। एसोसिएटिविटी आम तौर पर गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के लिए अधिक होती हैः यदि एम एक सही आर-मॉड्यूल है, एन ए (आर, एस)-मॉड्यूल और पी एक बाएं एस-मॉड्यूल है, तो अबेलियन समूह के रूप में। टेंसर उत्पादों के संलग्न संबंध का सामान्य रूप कहता हैः यदि आर आवश्यक रूप से कम्यूटेटिव नहीं है, तो एम एक सही आर-मॉड्यूल है, एन एक (आर, एस)-मॉड्यूल है, पी एक सही एस-मॉड्यूल है, तो अबेलियन समूह के रूप में जहां अंश क्षेत्र के साथ आर-मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, मान लीजिए कि आर अंश क्षेत्र के साथ एक अभिन्न डोमेन है। किसी भी आर-मॉड्यूल एम के लिए, आर-मॉड्यूल के रूप में, एम का मरोड़ उप-मॉड्यूल कहां है। यदि एम एक मरोड़ आर-मॉड्यूल है तो और यदि एम एक मरोड़ मॉड्यूल नहीं है। यदि एन एम का एक उप-मॉड्यूल है जो एक मरोड़ मॉड्यूल है तो आर-मॉड्यूल के रूप में। में, यदि और केवल यदि या। विशेष रूप से, कहाँ। अभाज्य आदर्श पर मॉड्यूल का स्थानीयकरण कहाँ है (अर्थात, गैर-शून्य तत्वों के संबंध में स्थानीयकरण)। स्केलर्स का विस्तार सामान्य रूप में संलग्न संबंध का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला हैः किसी भी आर-बीजगणित एस के लिए, एम एक दाएँ आर-मॉड्यूल, पी एक दाएँ एस-मॉड्यूल, का उपयोग करते हुए, हमारे पास प्राकृतिक समरूपता हैः यह कहता है कि फ़ंक्टर भूलने वाले फ़ंक्टर के लिए एक बाएँ बगल है, जो एक एस-एक्शन को आर-एक्शन तक सीमित करता है। इस वजह से, अक्सर आर से एस तक स्केलर का विस्तार कहा जाता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, जब आर, एस समूह बीजगणित होते हैं, तो उपरोक्त संबंध फ्रोबेनियस पारस्परिकता बन जाता है। किसी भी आर-बीजगणित एस के लिए उदाहरण (यानी, स्केलर का विस्तार करने के बाद एक मुक्त मॉड्यूल मुक्त रहता है।) एक कम्यूटेटिव रिंग और एक कम्यूटेटिव आर-बीजगणित एस के लिए, हमारे पास हैः वास्तव में, अधिक सामान्य रूप से, एक आदर्श कहाँ है। पिछले उदाहरण और चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास वलय हैं यह एक उदाहरण देता है जब एक टेंसर उत्पाद एक प्रत्यक्ष उत्पाद होता है। उदाहरण काफी साधारण मॉड्यूल के एक टेंसर उत्पाद की संरचना अप्रत्याशित हो सकती है। मान लीजिए कि G एक अबेलियन समूह है जिसमें प्रत्येक तत्व का परिमित क्रम होता है (यानी G एक मरोड़ अबेलियन समूह है; उदाहरण के लिए G एक परिमित अबेलियन समूह या हो सकता है)। फिरः वास्तव में, कोई भी रूप का है यदि इसका क्रम है, तो हम गणना करते हैंः इसी तरह, हम देखते हैं कि यहाँ गणना के लिए उपयोगी कुछ पहचान हैंः मान लीजिए कि R एक कम्यूटेटिव रिंग है, I, J आइडियल्स, M, NR-मॉड्यूल। फिर. यदि एम सपाट है। (क्योंकि टेन्सरिंग बेस एक्सटेंशन के साथ आवागमन करता है)। उदाहरण-यदि जी एक अबेलियन समूह है, तो यह 1 से आता है। उदाहरण-यह 3 से आता है। विशेष रूप से, अलग-अलग अभाज्य संख्याओं पी, क्यू के लिए, समूहों के तत्वों के क्रम को नियंत्रित करने के लिए टेंसर उत्पादों को लागू किया जा सकता है। मान लीजिए कि G एक अबेलियन समूह है। फिर 2 इंच के गुणक शून्य होते हैं। उदाहरण-माना एकता के n-th मूल का समूह है। यह एक चक्रीय समूह है और चक्रीय समूहों को क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। इस प्रकार, गैर-प्रामाणिक रूप से, और इस प्रकार, जब g, n और m का gcd है, तो उदाहरण लेंः विचार करें क्योंकि इसे बीच में-रैखिकता लागू करने से प्राप्त किया जाता है, हमारे पास अधिक्षेप है जिसका कर्नेल उस रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है जहां r, s, x, u पूर्णांक हैं और s गैर-शून्य है। चूँकि कर्नेल वास्तव में गायब हो जाता है; इसलिए, हालाँकि, और पर विचार करें। वैक्टर स्पेस के रूप में, इसका आयाम 4 है, लेकिन इसका आयाम 2 है। इस प्रकार, और समरूप नहीं हैं। उदाहरण-हम तुलना और करने का प्रस्ताव करते हैं। पिछले उदाहरण की तरह, हमारे पासः अबेलियन समूह के रूप में और इस प्रकार-वेक्टर स्थान के रूप में (-वेक्टर रिक्त स्थान के बीच कोई भी-रैखिक मानचित्र-रैखिक है)। वेक्टर स्पेस के रूप में, निरंतरता का आयाम (आधार की प्रधानता) होता है। इसलिए, निरंतरता के उत्पाद द्वारा अनुक्रमित एक-आधार है; इस प्रकार इसका-आयाम निरंतरता है। इसलिए, आयाम कारण के लिए,-वेक्टर रिक्त स्थान का एक गैर-कैनॉनिकल समरूपता हैः इरेड्यूसिबल बहुपदों के लिए मॉड्यूल पर विचार करें जैसे कि फिर, उदाहरणों का एक और उपयोगी परिवार स्केलर को बदलने से आता है। ध्यान दें कि इस घटना के अच्छे उदाहरण हैं जब निर्माण का निर्माण संकेतों के आधार पर एक मुक्त अबेलियन समूह का एक भाग लेता है, जिसका उपयोग यहाँ क्रमबद्ध जोड़ी को निरूपित करने के लिए किया जाता है, M में m और N में n के लिए सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न उपसमूह द्वारा-m िऱम (n + n′) + m िऱम n + m िऱम n′ − (m + m′) िऱम n + m िऱम n + m′ िऱम n (m·r) िऱम n − m िऱम (r·n) जहाँ m, m′ M में, n में, n′ N में, और r R में। का सार्वभौमिक गुण एक मुक्त अबेलियन समूह और एक भागफल के सार्वभौमिक गुणों का अनुसरण करता है। यदि एस एक वलय आर का एक उप-वलय है, तो उपसमूह द्वारा उत्पन्न भागफल समूह है, जहां विशेष रूप से, आर-मॉड्यूल के किसी भी टेंसर उत्पाद का निर्माण, यदि वांछित हो, तो आर-संतुलित उत्पाद गुण को लागू करके अबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद के भागफल के रूप में किया जा सकता है। अधिक श्रेणी-सैद्धांतिक रूप से, मान लीजिए कि σ, M पर R की दी गई सही कार्रवाई है; अर्थात, σ (m, r) = m·r और τ N के R की बाईं कार्रवाई है। फिर, बशर्ते कि अबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद को पहले से ही परिभाषित किया गया है, M और N के टेंसर उत्पाद को R पर सह-समतुलक के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैः जहां एक सदस्यता के बिना अबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद को संदर्भित करता है। एक कम्यूटेटिव रिंग आर पर टेंसर उत्पाद के निर्माण में, आर-मॉड्यूल संरचना को सामान्य निर्माण के लिए ऊपर दिए गए तत्वों द्वारा उत्पन्न उप-मॉड्यूल द्वारा एक मुक्त आर-मॉड्यूल का भागफल बनाकर शुरू से ही बनाया जा सकता है, जो तत्वों द्वारा संवर्धित होता है। वैकल्पिक रूप से, सामान्य निर्माण को एक जेड (आर)-मॉड्यूल संरचना दी जा सकती है जब यह अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है, जो कि ठीक तब होता है जब आर का केंद्र आर, जेड (आर) होता है। एम और एन का प्रत्यक्ष उत्पाद शायद ही कभी एम और एन के टेंसर उत्पाद के लिए समरूप होता है। जब आर कम्यूटेटिव नहीं होता है, तो टेंसर उत्पाद के लिए आवश्यक है कि एम और एन विपरीत पक्षों पर मॉड्यूल हों, जबकि प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आवश्यक है कि वे एक ही तरफ मॉड्यूल हों। सभी मामलों में जी से लेकर जी तक का एकमात्र कार्य जो रैखिक और द्विरेखीय दोनों है, शून्य मानचित्र है। रैखिक मानचित्रों के रूप में सामान्य मामले में, वेक्टर रिक्त स्थान के एक टेंसर उत्पाद के सभी गुण मॉड्यूल तक विस्तारित नहीं होते हैं। फिर भी, टेंसर उत्पाद के कुछ उपयोगी गुण, जिन्हें मॉड्यूल समरूपता माना जाता है, बने रहते हैं। दोहरे मॉड्यूल एक दाएँ आर-मॉड्यूल ई के दोहरे मॉड्यूल को कैनॉनिकल लेफ्ट आर-मॉड्यूल संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसे ई ऱ्ऱं से दर्शाया गया है। विहित संरचना योग और स्केलर गुणन के बिंदुवार संचालन है। इस प्रकार, E ऱ्ऱं सभी आर-रैखिक मानचित्रों का समूह है (जिसे रैखिक रूप भी कहा जाता है), संचालन के साथ एक बाएं आर-मॉड्यूल के दोहरे को समान संकेतन के साथ समान रूप से परिभाषित किया जाता है। E से लेकर इसके दूसरे दोहरे तक हमेशा एक विहित समरूपता होती है। यह एक समरूपता है यदि E परिमित श्रेणी का एक मुक्त मॉड्यूल है। सामान्य तौर पर, ई को एक रिफ्लेक्सिव मॉड्यूल कहा जाता है यदि कैनॉनिकल होमोमोर्फिज्म एक समरूपता है। द्वैत युग्मन हम इसके दोहरे ई. आर. और एक दाएँ आर-मॉड्यूल ई, या एक बाएँ आर-मॉड्यूल एफ और इसके दोहरे एफ. आर. की प्राकृतिक युग्मन को दर्शाते हैं। यह युग्मन अपने बाएँ तर्क में बाएँ आर-रैखिक है, और अपने दाएँ तर्क में दाएँ आर-रैखिक हैः एक (द्वि) रैखिक मानचित्र के रूप में एक तत्व। परिवर्तनीय मामले के विपरीत, सामान्य मामले में टेंसर उत्पाद एक आर-मॉड्यूल नहीं है, और इस प्रकार अदिश गुणन का समर्थन नहीं करता है। सही आर-मॉड्यूल ई और सही आर-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक कैनॉनिकल होमोमोर्फिज्म है जो कि मानचित्र है। बाएँ आर-मॉड्यूल ई और दाएँ आर-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक कैनॉनिकल होमोमोर्फिज्म है जो मानचित्र है। दोनों मामले सामान्य मॉड्यूल के लिए होते हैं, और समरूपता बन जाते हैं यदि मॉड्यूल ई और एफ परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल (विशेष रूप से सीमित रैंक के मुक्त मॉड्यूल में) होने तक सीमित हैं। इस प्रकार, एक रिंग आर पर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का एक तत्व आर-रैखिक मानचित्र पर विहित रूप से मानचित्र बनाता है, हालांकि वेक्टर रिक्त स्थान के साथ, इस तरह के रैखिक मानचित्रों के पूर्ण स्थान के बराबर होने के लिए मॉड्यूल पर बाधाएं लागू होती हैं। दाएँ आर-मॉड्यूल ई और बाएँ आर-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक कैनॉनिकल होमोमोर्फिज्म है जो मानचित्र है। इस प्रकार, एक टेंसर उत्पाद के एक तत्व को आर-बिलीनियर मानचित्र को जन्म देने या कार्य करने के बारे में सोचा जा सकता है। मान लीजिए कि आर एक कम्यूटेटिव रिंग है और ई एक आर-मॉड्यूल है। फिर एक कैनॉनिकल आर-रैखिक मानचित्र हैः द्वारा रैखिकता के माध्यम से प्रेरित; यह प्राकृतिक जोड़ी के अनुरूप अद्वितीय आर-रैखिक मानचित्र है। यदि ई एक परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव आर-मॉड्यूल है, तो ऊपर उल्लिखित कैनॉनिकल होमोमोर्फिज्म के माध्यम से पहचाना जा सकता है और फिर उपरोक्त ट्रेस मैप हैः जब आर एक क्षेत्र है, तो यह एक रैखिक परिवर्तन का सामान्य ट्रेस है। विभेदक ज्यामिति से उदाहरण-टेंसर क्षेत्र विभेदक ज्यामिति में मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का सबसे प्रमुख उदाहरण वेक्टर क्षेत्रों और विभेदक रूपों के रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद है। अधिक सटीक रूप से, यदि आर एक चिकनी मैनिफोल्ड एम पर चिकनी फ़ंक्शंस का (कम्यूटेटिव) रिंग है, तो एक जगह डालता है जहाँ γ का अर्थ है वर्गों का स्थान और सुपरस्क्रिप्ट का अर्थ है आर पर पी बार टेंसर करना। परिभाषा के अनुसार, का एक तत्व प्रकार (पी, क्यू) का एक टेंसर क्षेत्र है। आर-मॉड्यूल के रूप में, संकेतन को हल्का करने के लिए, पुट और इसी तरह का दोहरा मॉड्यूल है। जब 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q के साथ प्रत्येक (k, l) के लिए p, q ≤ 1 होता है, तो एक R-बहुरेखीय मानचित्र होता हैः जहाँ का अर्थ है और टोपी का अर्थ है एक शब्द को छोड़ दिया गया है। सार्वभौमिक गुण द्वारा, यह एक अद्वितीय आर-रैखिक मानचित्र से मेल खाता हैः इसे सूचकांक (के, एल) में टेंसर का संकुचन कहा जाता है। सार्वभौमिक गुण जो कहता है उसे अनवाइंड करते हुए कोई देखता हैः टिप्पणीः पिछली चर्चा विभेदक ज्यामिति (जैसे, हेलगासन) पर पाठ्यपुस्तकों में मानक है। एक तरह से, शीफ-सैद्धांतिक संरचना (यानी, मॉड्यूल के शीफ की भाषा) अधिक प्राकृतिक और तेजी से अधिक सामान्य है; इसके लिए, खंड देखें। फ्लैट मॉड्यूल के साथ संबंध सामान्य रूप से, एक द्वि-कारक है जो एक दाएं और बाएं आर मॉड्यूल जोड़ी को इनपुट के रूप में स्वीकार करता है, और उन्हें अबेलियन समूहों की श्रेणी में टेंसर उत्पाद को सौंपता है। एक दाहिने आर मॉड्यूल एम को ठीक करने से, एक फ़ंक्टर उत्पन्न होता है, और सममित रूप से एक बाएं आर मॉड्यूल एन को एक फ़ंक्टर बनाने के लिए तय किया जा सकता है होम बाइफ़ंक्टर के विपरीत टेंसर फ़ंक्टर दोनों इनपुट में सहपरिवर्तनशील होता है। यह दिखाया जा सकता है कि और हमेशा सही सटीक कारक होते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि सटीक छोड़ दिया जाए (जहां पहला मानचित्र गुणा है, सटीक है लेकिन टेंसर को लेने के बाद नहीं)। परिभाषा के अनुसार, एक मॉड्यूल टी एक सपाट मॉड्यूल है यदि एक सटीक फ़ंक्टर है। यदि और क्रमशः एम और एन के लिए सेट उत्पन्न कर रहे हैं, तो इसके लिए एक जनरेटिंग सेट होगा क्योंकि टेंसर फ़ंक्टर कभी-कभी सटीक रहने में विफल रहता है, यह एक न्यूनतम जनरेटिंग सेट नहीं हो सकता है, भले ही मूल जनरेटिंग सेट न्यूनतम हों। यदि एम एक सपाट मॉड्यूल है, तो फ़ंक्टर एक सपाट मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार सटीक है। यदि टेंसर उत्पादों को एक क्षेत्र F पर लिया जाता है, तो हम ऊपर के रूप में वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में हैं। चूँकि सभी एफ मॉड्यूल सपाट होते हैं, इसलिए द्वि-कारक दोनों स्थितियों में सटीक होता है, और दिए गए दो उत्पन्न करने वाले सेट आधार होते हैं, तो वास्तव में अतिरिक्त संरचना के लिए एक आधार बनाता है यदि एस और टी कम्यूटेटिव आर-बीजगणित हैं, तो, #For समकक्ष मॉड्यूल के समान, एक कम्यूटेटिव आर-बीजगणित भी होगा, जिसमें रैखिकता द्वारा परिभाषित और विस्तारित गुणन मानचित्र होगा। इस सेटिंग में, टेंसर उत्पाद कम्यूटेटिव आर-अल्जेब्रा की श्रेणी में एक फाइबरयुक्त सह-उत्पाद बन जाता है। (लेकिन यह आर-बीजगणित की श्रेणी में एक सह-उत्पाद नहीं है।) यदि एम और एन दोनों एक कम्यूटेटिव रिंग पर आर-मॉड्यूल हैं, तो उनका टेंसर उत्पाद फिर से एक आर-मॉड्यूल है। यदि R एक रिंग है, तो RM एक लेफ्ट R-मॉड्यूल है, और R के किसी भी दो तत्वों r और s का कम्यूटेटर M के एनिहिलेटर में है, तो हम भागफल कम्यूटेटिव रिंग की क्रिया के माध्यम से M कारकों पर R की क्रिया को सेट करके M को राइट R मॉड्यूल में बना सकते हैं। इस मामले में आर पर स्वयं के साथ एम का टेंसर उत्पाद फिर से एक आर-मॉड्यूल है। यह कम्यूटेटिव बीजगणित में एक बहुत ही सामान्य तकनीक है। सामान्यीकरण मॉड्यूल के परिसरों का टेंसर उत्पाद यदि X, Y, R-मॉड्यूल (R एक कम्यूटेटिव रिंग) के परिसर हैं, तो उनका टेंसर उत्पाद निम्न द्वारा दिए गए अंतर के साथ दिया गया कॉम्प्लेक्स हैः x के लिए x में x और y में yj, उदाहरण के लिए, यदि C फ्लैट अबेलियन समूहों का एक श्रृंखला कॉम्प्लेक्स है और यदि G एक अबेलियन समूह है, तो इसका समरूपता समूह G में गुणांक के साथ C का समरूपता समूह है (यह भी देखेंः सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय)। मॉड्यूल के शीव का टेंसर उत्पाद मॉड्यूल के शीव का टेंसर उत्पाद खुले उपसमुच्चय पर अनुभागों के मॉड्यूल के टेंसर उत्पादों के पूर्व-शीफ से जुड़ा शीफ है। इस सेटअप में, उदाहरण के लिए, एक चिकनी मैनिफोल्ड एम पर एक टेंसर क्षेत्र को टेंसर उत्पाद (जिसे टेंसर बंडल कहा जाता है) के एक (वैश्विक या स्थानीय) खंड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां ओ एम पर चिकनी क्रियाओं के वलय का आवरण है और बंडलों को एम पर स्थानीय रूप से मुक्त आवरण के रूप में देखा जाता है। बाहरी बंडल के खंड एम पर विभेदक रूप होते हैं। एक महत्वपूर्ण मामला जब कोई गैर-परिवर्तनीय रिंगों के आवरण पर एक टेंसर उत्पाद बनाता है तो डी-मॉड्यूल के सिद्धांत में दिखाई देता है; यानी, विभेदक ऑपरेटरों के आवरण पर टेंसर उत्पाद। यह भी देखें कि टॉर फ़ंक्टर टेंसर उत्पाद के क्षेत्र व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद का टेंसर उत्पाद संदर्भ। .. मॉड्यूल सिद्धांत बहुरेखीय बीजगणित संरचनाओं पर समरूपी बीजगणित संचालन