Fixed points of isometry groups in Euclidean space
एक सममिति समूह का एक निश्चित बिंदु एक ऐसा बिंदु है जो समूह में प्रत्येक सममिति के लिए एक निश्चित बिंदु है। यूक्लिडियन स्पेस में किसी भी आइसोमेट्री समूह के लिए निश्चित बिंदुओं का सेट या तो खाली होता है या एक एफ़ाइन स्पेस होता है। किसी भी वस्तु के लिए, कोई भी अद्वितीय केंद्र और, अधिक सामान्य रूप से, वस्तु के संबंध में अद्वितीय गुणों वाला कोई भी बिंदु उसके समरूपता समूह का एक निश्चित बिंदु होता है। विशेष रूप से यह एक आकृति के केंद्रक के लिए लागू होता है, यदि यह मौजूद है। एक भौतिक पिंड के मामले में, यदि समरूपता के लिए न केवल आकार बल्कि घनत्व को भी ध्यान में रखा जाता है, तो यह द्रव्यमान के केंद्र पर लागू होता है। यदि किसी वस्तु के समरूपता समूह के निश्चित बिंदुओं का समुच्चय एक एकल टन है तो वस्तु में समरूपता का एक विशिष्ट केंद्र होता है। द्रव्यमान का केंद्र और केंद्र, यदि परिभाषित किया गया है, तो यह बिंदु है। "समरूपता केंद्र" का एक अन्य अर्थ एक बिंदु है जिसके संबंध में व्युत्क्रम समरूपता लागू होती है। इस तरह के बिंदु को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है; यदि ऐसा नहीं है, तो अनुवादात्मक समरूपता है, इसलिए ऐसे कई बिंदु अनंत हैं। दूसरी ओर, उदाहरण के लिए। C3h और D2 समरूपता प्रथम अर्थ में समरूपता का एक केंद्र है, लेकिन कोई व्युत्क्रम नहीं है। यदि किसी वस्तु के समरूपता समूह में कोई निश्चित बिंदु नहीं हैं तो वस्तु अनंत है और इसका केंद्रक और द्रव्यमान का केंद्र अनिर्धारित है। यदि किसी वस्तु के समरूपता समूह के निश्चित बिंदुओं का समुच्चय एक रेखा या तल है तो वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र और केंद्र, यदि परिभाषित किया गया है, और कोई अन्य बिंदु जिसमें वस्तु के संबंध में अद्वितीय गुण हैं, इस रेखा या तल पर हैं। 1डी रेखा केवल तुच्छ सममिति समूह ही पूरी रेखा को स्थिर छोड़ता है। एक प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न समूह एक बिंदु को स्थिर छोड़ देते हैं। 2डी विमान केवल तुच्छ सममिति समूह सी1 पूरे तल को स्थिर छोड़ देता है। किसी भी रेखा के संबंध में रेखा सी उस रेखा को स्थिर छोड़ देती है। किसी भी बिंदु के संबंध में दो आयामों में बिंदु समूह उस बिंदु को स्थिर छोड़ देते हैं। 3डी स्पेस केवल तुच्छ सममिति समूह सी1 पूरे स्थान को स्थिर छोड़ देता है। विमान सीएस एक विमान के संबंध में उस विमान को स्थिर छोड़ देता है। एक निश्चित रेखा को छोड़ने वाले रेखा सममिति समूह सममिति होते हैं जो उस रेखा के लंबवत प्रत्येक तल में रेखा और तल के प्रतिच्छेदन बिंदु के संबंध में दो आयामों में सामान्य 2डी बिंदु समूह होते हैं। Cn (n> 1) और Cnv (n> 1) अक्ष मामलों के लंबवत एक तल में बिना प्रतिबिंब समरूपता के बेलनाकार समरूपता जिसमें समरूपता समूह बेलनाकार समरूपता बिंदु का एक अनंत उपसमुच्चय है तीन आयामों में अन्य सभी बिंदु समूह कोई निश्चित बिंदु नहीं सममिति समूह में अनुवाद या एक पेंच संचालन होता है। एक सममिति समूह का एक उदाहरण, जो प्रत्येक आयाम में लागू होता है, वह है जो एक बिंदु में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है। एक एन-आयामी समानांतर रेखा इस तरह के व्युत्क्रम के तहत एक वस्तु अपरिवर्तनीय का एक उदाहरण है। संदर्भ स्लाविक वी. जबलान, सिमेट्री, ऑर्नमेंट एंड मॉड्यूलरिटी, वॉल्यूम 30 ऑफ के एंड ई सीरीज़ ऑन नॉट्स एंड एवरीथिंग, वर्ल्ड साइंटिफिक, 2002। यूक्लिडियन समरूपता समूह सिद्धांत निश्चित बिंदु (गणित) ज्यामितीय केंद्र