Folk theorem (game theory)
खेल सिद्धांत में, लोक प्रमेय उन प्रमेयों का एक वर्ग है जो दोहराए गए खेलों में नैश संतुलन भुगतान प्रोफाइल की प्रचुरता का वर्णन करते हैं। मूल लोक प्रमेय एक असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल के सभी नैश संतुलन के लाभों से संबंधित था। इस परिणाम को लोक प्रमेय कहा गया क्योंकि यह 1950 के दशक में खेल सिद्धांतकारों के बीच व्यापक रूप से जाना जाता था, भले ही किसी ने इसे प्रकाशित नहीं किया था। फ्रीडमैन (1971) का प्रमेय एक असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल के कुछ उप-खेल-परिपूर्ण नैश संतुलन (एसपीई) के भुगतान से संबंधित है, और इसलिए एक मजबूत संतुलन अवधारणा का उपयोग करके मूल लोक प्रमेय को मजबूत करता हैः नैश संतुलन के बजाय उप-खेल-परिपूर्ण नैश संतुलन। लोक प्रमेय बताता है कि यदि खिलाड़ी पर्याप्त धैर्यवान और दूरदर्शी हैं (अर्थात। यदि छूट कारक), तो बार-बार बातचीत के परिणामस्वरूप एक एस. पी. ई. संतुलन में लगभग कोई भी औसत भुगतान हो सकता है। "वस्तुतः कोई भी" यहाँ तकनीकी रूप से "व्यवहार्य" और "व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत" के रूप में परिभाषित किया गया है। सेटअप और परिभाषाएँ हम एक बुनियादी खेल से शुरू करते हैं, जिसे स्टेज गेम के रूप में भी जाना जाता है, जो एक एन-प्लेयर गेम है। इस खेल में, प्रत्येक खिलाड़ी के पास चुनने के लिए सीमित रूप से कई क्रियाएँ होती हैं, और वे एक साथ और दूसरे खिलाड़ी की पसंद की जानकारी के बिना अपनी पसंद बनाते हैं। खिलाड़ियों की सामूहिक पसंद एक भुगतान प्रोफ़ाइल की ओर ले जाती है, अर्थात। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक भुगतान। सामूहिक विकल्पों से लेकर भुगतान प्रोफाइल तक का मानचित्रण खिलाड़ियों के लिए जाना जाता है, और प्रत्येक खिलाड़ी का उद्देश्य अपने भुगतान को अधिकतम करना है। यदि सामूहिक विकल्प को x द्वारा दर्शाया जाता है, तो खिलाड़ी को जो भुगतान मिलता है, जिसे खिलाड़ी की उपयोगिता के रूप में भी जाना जाता है, उसे इसके द्वारा दर्शाया जाएगा। फिर हम इस चरण के खेल को कई बार सीमित या असीम रूप से दोहराने पर विचार करते हैं। प्रत्येक पुनरावृत्ति में, प्रत्येक खिलाड़ी अपने मंच खेल विकल्पों में से एक का चयन करता है, और वह विकल्प चुनते समय, वे पूर्व पुनरावृत्तियों में अन्य खिलाड़ियों की पसंद को ध्यान में रख सकते हैं। इस दोहराए गए खेल में, खिलाड़ियों में से एक के लिए एक रणनीति एक नियतात्मक नियम है जो पूर्व पुनरावृत्तियों में अन्य सभी खिलाड़ियों की पसंद के आधार पर मंच खेल के प्रत्येक पुनरावृत्ति में खिलाड़ी की पसंद को निर्दिष्ट करता है। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए रणनीति का एक विकल्प एक रणनीति प्रोफ़ाइल है, और यह दोहराए गए खेल के लिए एक भुगतान प्रोफ़ाइल की ओर ले जाता है। इस तरह की रणनीति प्रोफ़ाइल का भुगतान प्रोफ़ाइल में अनुवाद करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिन्हें नीचे उल्लिखित किया गया है। दोहराए गए खेल के किसी भी नैश संतुलन भुगतान प्रोफ़ाइल को दो गुणों को संतुष्ट करना चाहिएः व्यक्तिगत तर्कसंगतताः भुगतान को घटक चरण खेल के न्यूनतम अधिकतम भुगतान प्रोफ़ाइल पर कमजोर रूप से हावी होना चाहिए। अर्थात्, प्रत्येक खिलाड़ी का संतुलन भुगतान कम से कम उस खिलाड़ी के न्यूनतम अधिकतम भुगतान जितना बड़ा होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक खिलाड़ी जो अपने न्यूनतम भुगतान से कम प्राप्त करता है, उसे हमेशा हर इतिहास में अपनी न्यूनतम भुगतान रणनीति को खेलकर विचलित होने का प्रोत्साहन मिलता है। व्यवहार्यताः भुगतान मंच खेल के संभावित भुगतान प्रोफाइल का एक उत्तल संयोजन होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बार-बार खेले जाने वाले खेल में भुगतान बुनियादी खेलों में भुगतान का केवल एक भारित औसत है। लोक प्रमेय आंशिक रूप से विपरीत दावे हैंः वे कहते हैं कि, कुछ स्थितियों के तहत (जो प्रत्येक लोक प्रमेय में अलग हैं), प्रत्येक भुगतान प्रोफ़ाइल जो व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत और व्यवहार्य दोनों है, को दोहराए गए खेल के नैश संतुलन भुगतान प्रोफ़ाइल के रूप में महसूस किया जा सकता है। विभिन्न लोक प्रमेय हैं; कुछ सीमित रूप से दोहराए जाने वाले खेलों से संबंधित हैं जबकि अन्य असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेलों से संबंधित हैं। छूट के बिना असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल बिना छूट वाले मॉडल में, खिलाड़ी धैर्य रखते हैं। वे अलग-अलग समय अवधि में उपयोगिताओं के बीच अंतर नहीं करते हैं। इसलिए, दोहराए गए खेल में उनकी उपयोगिता को बुनियादी खेलों में उपयोगिताओं के योग द्वारा दर्शाया जाता है। जब खेल अनंत होता है, तो असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल में उपयोगिता के लिए एक सामान्य मॉडल औसत उपयोगिता की निम्नतम सीमा होती हैः यदि खेल परिणामों के मार्ग में परिणाम देता है, जहां पुनरावृत्ति टी (टी = 0,1,2,) पर खिलाड़ियों के सामूहिक विकल्पों को दर्शाता है, तो खिलाड़ी आई उपयोगिता को परिभाषित किया जाता है जहां खिलाड़ी आई का मूल-खेल उपयोगिता कार्य है। छूट के बिना एक असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल को अक्सर "सुपरगेम" कहा जाता है। इस मामले में लोक प्रमेय बहुत सरल है और इसमें कोई पूर्व-शर्तें नहीं हैंः मूल खेल में प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत और व्यवहार्य भुगतान प्रोफ़ाइल दोहराए गए खेल में नैश संतुलन भुगतान प्रोफ़ाइल है। सबूत एक गंभीर या गंभीर ट्रिगर रणनीति को नियोजित करता है। सभी खिलाड़ी निर्धारित क्रिया को खेलना शुरू करते हैं और ऐसा तब तक करते रहते हैं जब तक कि कोई विचलित न हो जाए। यदि खिलाड़ी आई विचलन करता है, तो अन्य सभी खिलाड़ी उस कार्रवाई को चुनने पर स्विच करते हैं जो खिलाड़ी आई को हमेशा के लिए मिनमैक्स करता है। विचलन से एक चरण का लाभ खिलाड़ी i की कुल उपयोगिता में 0 का योगदान देता है। एक विचलित खिलाड़ी की उपयोगिता उसके न्यूनतम लाभ से अधिक नहीं हो सकती है। इसलिए सभी खिलाड़ी इच्छित मार्ग पर रहते हैं और यह वास्तव में एक नैश संतुलन है। सबगेम पूर्णता उपरोक्त नैश संतुलन हमेशा सबगेम परिपूर्ण नहीं होता है। यदि सजा देने वालों के लिए सजा महंगी है, तो सजा की धमकी विश्वसनीय नहीं है। एक सबगेम परिपूर्ण संतुलन के लिए थोड़ी अधिक जटिल रणनीति की आवश्यकता होती है। सजा हमेशा के लिए नहीं होनी चाहिए; यह केवल एक सीमित समय के लिए होनी चाहिए जो विचलन से लाभ को मिटाने के लिए पर्याप्त है। उसके बाद, अन्य खिलाड़ियों को संतुलन पथ पर लौटना चाहिए। साधनों की सीमा मानदंड यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी सीमित समय की सजा का अंतिम परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, सीमित समय की सजा एक उप-खेल-पूर्ण संतुलन है। गठबंधन उप-खेल-पूर्ण संतुलनः एक संतुलन को गठबंधन नैश संतुलन कहा जाता है यदि कोई गठबंधन विचलन से लाभ नहीं उठा सकता है। इसे गठबंधन उप-खेल-पूर्ण संतुलन कहा जाता है यदि कोई भी गठबंधन किसी भी इतिहास के बाद विचलन से लाभ नहीं उठा सकता है। साधनों की सीमा मानदंड के साथ, गठबंधन-नैश-संतुलन या गठबंधन-उप-खेल-पूर्ण-संतुलन में एक भुगतान प्रोफ़ाइल प्राप्त की जा सकती है, यदि-और-केवल-यदि यह पारेटो कुशल और कमजोर-संयोजन-व्यक्तिगत रूप से-तर्कसंगत है। कुछ लेखकों का दावा है कि साधनों की सीमा मानदंड अवास्तविक है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि किसी भी सीमित समय-अवधि में उपयोगिताएँ कुल उपयोगिता में 0 का योगदान करती हैं। हालाँकि, यदि किसी भी सीमित समय-अवधि में उपयोगिताएँ एक सकारात्मक मूल्य का योगदान करती हैं, और मूल्य असंकलित है, तो एक सीमित संख्यात्मक उपयोगिता को एक अनंत परिणाम अनुक्रम के लिए श्रेय देना असंभव है। इस समस्या का एक संभावित समाधान यह है कि, प्रत्येक अनंत परिणाम अनुक्रम के लिए एक संख्यात्मक उपयोगिता को परिभाषित करने के बजाय, हम केवल दो अनंत अनुक्रमों के बीच वरीयता संबंध को परिभाषित करते हैं। हम कहते हैं कि एजेंट (सख्ती से) अनुक्रम पर परिणामों के अनुक्रम को पसंद करता है, यदिः उदाहरण के लिए, अनुक्रमों पर विचार करें और। साधनों की सीमा मानदंड के अनुसार, वे खिलाड़ी I को समान उपयोगिता प्रदान करते हैं, लेकिन ओवरटेकिंग मानदंड के अनुसार, खिलाड़ी I की तुलना में बेहतर है। अधिक जानकारी के लिए ओवरटेकिंग मानदंड देखें। ओवरटेकिंग मानदंड वाले लोक प्रमेय अर्थ की सीमा मानदंड की तुलना में थोड़े कमजोर हैं। नैश संतुलन में केवल ऐसे परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जो पूरी तरह से व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत हों। ऐसा इसलिए है क्योंकि, यदि कोई एजेंट विचलित होता है, तो वह अल्पावधि में लाभ प्राप्त करता है, और यह लाभ केवल तभी मिटाया जा सकता है जब सजा विचलनकर्ता को समझौते के रास्ते की तुलना में सख्ती से कम उपयोगिता देती है। निम्नलिखित लोक प्रमेय ओवरटेकिंग मानदंड के लिए जाने जाते हैंः सख्त स्थिर संतुलनः एक नैश संतुलन को सख्त कहा जाता है यदि प्रत्येक खिलाड़ी संतुलन में प्राप्त परिणामों के अनंत अनुक्रम को सख्ती से पसंद करता है, किसी भी अन्य अनुक्रम पर जो वह विचलित कर सकता है। यदि प्रत्येक समय-अवधि में परिणाम समान होता है तो नैश संतुलन को स्थिर कहा जाता है। एक परिणाम सख्त-स्थिर-संतुलन में प्राप्त किया जा सकता है यदि-और-केवल-यदि प्रत्येक खिलाड़ी के लिए परिणाम खिलाड़ी के मिनीमैक्स परिणाम से सख्ती से बेहतर है। सख्त स्थिर सबगेम-परफेक्ट इक्विलिब्रियाः सख्त-स्थिर-सबगेम-परफेक्ट-इक्विलिब्रियम में एक परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, अगर प्रत्येक खिलाड़ी के लिए परिणाम खिलाड़ी के मिनीमैक्स परिणाम से सख्ती से बेहतर है (ध्यान दें कि यह "अगर-और-केवल-अगर" परिणाम नहीं है)। ओवरटेकिंग मानदंड के साथ सबगेम-सही संतुलन प्राप्त करने के लिए, न केवल उस खिलाड़ी को दंडित करना आवश्यक है जो समझौते के रास्ते से भटकता है, बल्कि हर उस खिलाड़ी को भी दंडित करना आवश्यक है जो विचलित करने वाले को दंडित करने में सहयोग नहीं करता है। "स्थिर संतुलन" अवधारणा को "आवधिक संतुलन" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें परिणामों की एक सीमित संख्या को समय-समय पर दोहराया जाता है, और एक अवधि में भुगतान परिणामों में भुगतान का अंकगणितीय माध्य है। इसका मतलब है कि भुगतान सख्ती से न्यूनतम भुगतान से ऊपर होना चाहिए। सख्त स्थिर गठबंधन संतुलनः ओवरटेकिंग मानदंड के साथ, यदि गठबंधन-नैश-संतुलन में कोई परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, तो यह पेरेटो कुशल और कमजोर-संयोजन-व्यक्तिगत रूप से-तर्कसंगत है। दूसरी ओर, यदि यह पारेतो कुशल और दृढ़ता से-संयोजन-व्यक्तिगत रूप से-तर्कसंगत है तो इसे सख्त-स्थिर-संयोजन-संतुलन में प्राप्त किया जा सकता है। छूट के साथ असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल मान लीजिए कि एक असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल में एक खिलाड़ी का भुगतान छूट कारक 0 <δ <1 के साथ औसत छूट मानदंड द्वारा दिया जाता हैः छूट कारक इंगित करता है कि खिलाड़ी कितने धैर्यवान हैं। कारक को पेश किया जाता है ताकि भुगतान कब तक सीमित रहे। इस मामले में लोक प्रमेय की आवश्यकता है कि दोहराए गए खेल में भुगतान प्रोफ़ाइल सख्ती से मिनमैक्स भुगतान प्रोफ़ाइल पर हावी हो (यानी, प्रत्येक खिलाड़ी को मिनमैक्स भुगतान से सख्ती से अधिक प्राप्त होता है)। मान लीजिए कि यह भुगतान प्रोफ़ाइल यू के साथ मंच खेल की एक रणनीति प्रोफ़ाइल है जो सख्ती से मिनमैक्स भुगतान प्रोफ़ाइल पर हावी है। यू के साथ खेल के नैश संतुलन को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप भुगतान प्रोफ़ाइल हैः 1. सभी खिलाड़ी ए से खेलना शुरू करते हैं और यदि कोई विचलन नहीं होता है तो ए खेलना जारी रखते हैं। 2. यदि कोई एक खिलाड़ी, मान लीजिए कि खिलाड़ी I, विचलित हो गया है, तो रणनीति प्रोफ़ाइल m को चलाएं जो हमेशा के लिए न्यूनतम करता है। 3. बहुपक्षीय विचलनों को नजरअंदाज करें। यदि खिलाड़ी 1 का अनुसरण करके प्रत्येक चरण में अपने न्यूनतम भुगतान से अधिक ε प्राप्त करता है, तो दंड से संभावित नुकसान यह है कि यदि δ 1 के करीब है, तो यह किसी भी सीमित एक-चरण लाभ से अधिक है, जिससे रणनीति एक नैश संतुलन बन जाती है। इस लोक प्रमेय का एक वैकल्पिक कथन संतुलन भुगतान प्रोफ़ाइल यू को किसी भी व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत व्यवहार्य भुगतान प्रोफ़ाइल होने की अनुमति देता है; इसके लिए केवल एक व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत व्यवहार्य भुगतान प्रोफ़ाइल की आवश्यकता होती है जो मिनमैक्स भुगतान प्रोफ़ाइल पर सख्ती से हावी हो। फिर, लोक प्रमेय गारंटी देता है कि किसी भी वांछित सटीकता के लिए संतुलन में यू तक पहुंचना संभव है (प्रत्येक ε के लिए एक नैश संतुलन मौजूद है जहां भुगतान प्रोफ़ाइल यू से दूर ε है)। सबगेम पूर्णता छूट वाले खेलों में एक सबगेम सही संतुलन प्राप्त करना बिना छूट वाले खेलों की तुलना में अधिक कठिन है। सजा की लागत गायब नहीं होती है (जैसा कि साधनों की सीमा मानदंड के साथ होता है)। गैर-दंडकों को अंतहीन रूप से दंडित करना हमेशा संभव नहीं होता है (जैसा कि ओवरटेकिंग मानदंड के साथ होता है) क्योंकि छूट कारक भविष्य में दंड को वर्तमान के लिए अप्रासंगिक बनाता है। इसलिए, एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता हैः दंडित करने वालों को पुरस्कृत किया जाना चाहिए। इसके लिए एक अतिरिक्त धारणा की आवश्यकता होती है, कि व्यवहार्य भुगतान प्रोफाइल का सेट पूर्ण आयामी है और न्यूनतम-अधिकतम प्रोफाइल इसके आंतरिक भाग में स्थित है। रणनीति इस प्रकार है। 1. सभी खिलाड़ी ए से खेलना शुरू करते हैं और यदि कोई विचलन नहीं होता है तो ए खेलना जारी रखते हैं। 2. यदि कोई एक खिलाड़ी, मान लीजिए कि खिलाड़ी i, विचलित है, तो रणनीति प्रोफ़ाइल m को खेलें जो N अवधि के लिए i को न्यूनतम करता है। (एन और δ को इतना बड़ा चुनें कि किसी भी खिलाड़ी को चरण 1 से विचलित होने का प्रोत्साहन न मिले।) 3. यदि कोई भी खिलाड़ी चरण 2 से विचलित नहीं होता है, तो सभी खिलाड़ी को हमेशा के लिए जे मिन-मैक्स के ऊपर ε से पुरस्कृत किया जाता है, जबकि खिलाड़ी आई को उसका मिन-मैक्स प्राप्त होता रहता है। (यहाँ पूर्ण-आयामीता और आंतरिक धारणा की आवश्यकता है।) 4. यदि खिलाड़ी जे चरण 2 से विचलित हो जाता है, तो सभी खिलाड़ी लक्ष्य के रूप में जे के साथ चरण 2 को फिर से शुरू करते हैं। 5. बहुपक्षीय विचलनों को नजरअंदाज करें। खिलाड़ी जे. आई. आई. के पास अब सजा के चरण 2 से हटने के लिए कोई प्रोत्साहन नहीं है। यह सबगेम परिपूर्ण लोक प्रमेय को साबित करता है। बिना छूट के सीमित रूप से दोहराए जाने वाले खेल मान लीजिए कि एक खेल में खिलाड़ी I का भुगतान जिसे T बार दोहराया जाता है, एक सरल अंकगणितीय माध्य द्वारा दिया जाता हैः इस मामले के लिए एक लोक प्रमेय में निम्नलिखित अतिरिक्त आवश्यकता होती हैः मूल खेल में, प्रत्येक खिलाड़ी i के लिए, एक नैश-संतुलन होता है जो सख्ती से बेहतर होता है, i के लिए, उसके न्यूनतम भुगतान की तुलना में। यह आवश्यकता छूट वाले अनंत खेलों की आवश्यकता से अधिक मजबूत है, जो बदले में बिना छूट वाले अनंत खेलों की आवश्यकता से अधिक मजबूत है। अंतिम चरण के कारण इस आवश्यकता की आवश्यकता है। अंतिम चरण में, एकमात्र स्थिर परिणाम मूल खेल में नैश-संतुलन है। मान लीजिए कि एक खिलाड़ी को नैश संतुलन से कुछ भी प्राप्त नहीं होता है (क्योंकि यह उसे केवल उसका न्यूनतम लाभ देता है)। फिर, उस खिलाड़ी को दंडित करने का कोई तरीका नहीं है। दूसरी ओर, यदि प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक बुनियादी संतुलन है जो मिनमैक्स की तुलना में सख्ती से बेहतर है, तो एक दोहराए जाने वाले खेल संतुलन का निर्माण दो चरणों में किया जा सकता हैः पहले चरण में, खिलाड़ी वांछित भुगतान प्रोफ़ाइल का अनुमान लगाने के लिए आवश्यक आवृत्तियों में रणनीति बदलते हैं। अंतिम चरण में, खिलाड़ी बारी-बारी से प्रत्येक खिलाड़ी का पसंदीदा संतुलन खेलते हैं। अंतिम चरण में, कोई भी खिलाड़ी विचलित नहीं होता है क्योंकि क्रियाएं पहले से ही एक बुनियादी-खेल संतुलन हैं। यदि कोई एजेंट पहले चरण में विचलित हो जाता है, तो उसे अंतिम चरण में मिनीमैक्स करके दंडित किया जा सकता है। यदि खेल पर्याप्त रूप से लंबा है, तो अंतिम चरण का प्रभाव नगण्य है, इसलिए संतुलन भुगतान वांछित प्रोफ़ाइल तक पहुंच जाता है। अनुप्रयोग लोक प्रमेयों को विभिन्न क्षेत्रों में लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिएः मानवशास्त्रः एक ऐसे समुदाय में जहां सभी व्यवहार अच्छी तरह से ज्ञात हैं, और जहां समुदाय के सदस्यों को पता है कि उन्हें एक-दूसरे के साथ व्यवहार करना जारी रखना होगा, तो व्यवहार का कोई भी पैटर्न (परंपराएं, वर्जनाएं, आदि)। सामाजिक मानदंडों द्वारा तब तक बनाए रखा जा सकता है जब तक कि समुदाय के व्यक्ति समुदाय को छोड़ने की तुलना में समुदाय में बने रहना बेहतर है (मिनीमैक्स स्थिति)। अंतर्राष्ट्रीय राजनीतिः देशों के बीच समझौतों को प्रभावी ढंग से लागू नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, उन्हें इसलिए रखा जाता है क्योंकि देशों के बीच संबंध दीर्घकालिक होते हैं और देश एक दूसरे के खिलाफ "मिनीमैक्स रणनीतियों" का उपयोग कर सकते हैं। यह संभावना अक्सर संबंधित देशों के छूट कारक पर निर्भर करती है। यदि कोई देश बहुत अधीर है (भविष्य के परिणामों पर बहुत कम ध्यान देता है), तो उसे दंडित करना (या विश्वसनीय तरीके से दंडित करना) मुश्किल हो सकता है। दूसरी ओर, एम. आई. टी. के अर्थशास्त्री फ्रैंकलिन फिशर ने नोट किया है कि लोक प्रमेय एक सकारात्मक सिद्धांत नहीं है। उदाहरण के लिए, अल्पाधिकार व्यवहार पर विचार करते हुए, लोक प्रमेय अर्थशास्त्री को यह नहीं बताता है कि कंपनियां क्या करेंगी, बल्कि यह बताता है कि अल्पाधिकार के सामान्य सिद्धांत के लिए लागत और मांग कार्य पर्याप्त नहीं हैं, और अर्थशास्त्रियों को उस संदर्भ को शामिल करना चाहिए जिसके भीतर अल्पाधिकार अपने सिद्धांत में काम करते हैं। 2007 में, बोर्ग्स एट अल। यह साबित किया कि, लोक प्रमेय के बावजूद, सामान्य मामले में दोहराए गए खेलों के लिए नैश संतुलन की गणना करना एक-शॉट सीमित खेलों के लिए नैश संतुलन की गणना करने से आसान नहीं है, एक समस्या जो पीपीएडी जटिलता वर्ग में निहित है। इसका व्यावहारिक परिणाम यह है कि कोई भी कुशल (बहुपद-समय) एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है जो सामान्य मामले में लोक प्रमेयों द्वारा आवश्यक रणनीतियों की गणना करता है। लोक प्रमेयों का सारांश निम्नलिखित तालिका कई पहलुओं में विभिन्न लोक प्रमेयों की तुलना करती हैः क्षितिज-चाहे मंच खेल को सीमित रूप से दोहराया जाए या असीम रूप से कई बार। उपयोगिताएँ-दोहराए गए खेल में एक खिलाड़ी की उपयोगिता मंच खेल पुनरावृत्तियों में खिलाड़ी की उपयोगिताओं से कैसे निर्धारित की जाती है। जी (स्टेज गेम) पर शर्तें-क्या कोई तकनीकी स्थितियां हैं जो प्रमेय के काम करने के लिए एक-शॉट गेम में होनी चाहिए। x (दोहराए गए खेल का लक्ष्य भुगतान सदिश) पर शर्तें-क्या प्रमेय किसी भी व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत और व्यवहार्य भुगतान सदिश के लिए काम करता है, या केवल इन सदिशों के सबसेट पर। संतुलन प्रकार-यदि सभी शर्तों को पूरा किया जाता है, तो प्रमेय द्वारा किस प्रकार के संतुलन की गारंटी दी जाती है-नैश या सबगेम-परफेक्ट? सजा का प्रकार-खिलाड़ियों को विचलित होने से रोकने के लिए किस तरह की सजा रणनीति का उपयोग किया जाता है? टिप्पणियाँ संदर्भ लोक प्रमेय के परिचयात्मक टिप्पणियों का एक समूह है। खेल सिद्धांत संतुलन अवधारणाएं प्रमेय