Second derivative
कलन में, किसी फलन का दूसरा व्युत्पन्न, या दूसरा क्रम व्युत्पन्न, के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। अनौपचारिक रूप से, दूसरे व्युत्पन्न को "परिवर्तन की दर के परिवर्तन की दर" के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न वस्तु का तात्कालिक त्वरण है, या वह दर जिस पर वस्तु का वेग समय के संबंध में बदल रहा है। लीबनिज संकेतन मेंः जहां त्वरण है, वेग है, समय है, स्थिति है, और डी तात्कालिक "डेल्टा" या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति समय के संबंध में स्थिति () का दूसरा व्युत्पन्न है। एक फलन के ग्राफ पर, दूसरा व्युत्पन्न ग्राफ की वक्रता या अवतलता से मेल खाता है। सकारात्मक द्वितीय व्युत्पन्न वाले फलन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि नकारात्मक द्वितीय व्युत्पन्न वक्र वाले फलन का ग्राफ विपरीत दिशा में होता है। दूसरा व्युत्पन्न शक्ति नियम पहले व्युत्पन्न के लिए शक्ति नियम, यदि दो बार लागू किया जाता है, तो दूसरा व्युत्पन्न शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगाः संकेतन किसी फलन के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर दर्शाया जाता है। अर्थात्ः व्युत्पन्नों के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, एक स्वतंत्र चर के संबंध में एक आश्रित चर का दूसरा व्युत्पन्न लिखा जाता है यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त होता हैः उदाहरण के लिए फलन का व्युत्पन्न फलन है। एक फलन जिसका दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है, अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फलन के ग्राफ के नीचे होगी। इसी तरह, एक फलन जिसका दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखा रेखाएं फलन के ग्राफ के ऊपर होंगी। यदि किसी फलन का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, तो फलन का ग्राफ अवतल से अवतल ऊपर, या इसके विपरीत में बदल जाएगा। एक बिंदु जहाँ यह होता है उसे एक विक्षेपण बिंदु कहा जाता है। यह मानते हुए कि दूसरा व्युत्पन्न निरंतर है, इसे किसी भी विक्षेपण बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर वह बिंदु जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, आवश्यक रूप से विक्षेपण का बिंदु नहीं है। दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण दूसरे व्युत्पन्न और ग्राफ के बीच के संबंध का उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है कि क्या किसी फलन (यानी, एक बिंदु जहां) के लिए एक स्थिर बिंदु एक स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम है। विशेष रूप से, यदि, तो एक स्थानीय अधिकतम है। यदि, तो एक स्थानीय न्यूनतम है। यदि, दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है, तो एक संभावित विक्षेपण बिंदु। दूसरा व्युत्पन्न इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण वास्तविक दुनिया के सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक ऐसे वाहन पर विचार करें जो शुरू में एक महान वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन एक नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहां वेग शून्य तक पहुंचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी-इस समय के बाद, वेग नकारात्मक हो जाएगा और वाहन उलट जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक ऐसे वाहन के लिए जिसमें शुरू में बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है। सीमा दूसरे व्युत्पन्न के लिए एक सीमा लिखना संभव हैः सीमा को दूसरा सममित व्युत्पन्न कहा जाता है। ध्यान दें कि दूसरा सममित व्युत्पन्न तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) दूसरा व्युत्पन्न नहीं होता है। दाहिनी ओर की अभिव्यक्ति को अंतर भागफल के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता हैः इस सीमा को अनुक्रमों के लिए दूसरे अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है। हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का मतलब यह नहीं है कि फलन का दूसरा व्युत्पन्न है। उपरोक्त सीमा केवल दूसरे व्युत्पन्न की गणना करने की संभावना देती है-लेकिन कोई परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति-उदाहरण संकेत फलन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः संकेत फलन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए इसके लिए दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। लेकिन उपरोक्त सीमा निम्न के लिए मौजूद हैः चतुर्भुज सन्निकटन जिस तरह पहला व्युत्पन्न रैखिक सन्निकटन से संबंधित है, उसी तरह दूसरा व्युत्पन्न किसी फलन के लिए सर्वोत्तम चतुर्भुज सन्निकटन से संबंधित है। यह वह द्विघात फलन है जिसके पहले और दूसरे व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर के समान हैं। बिंदु के आसपास एक फलन के लिए सबसे अच्छा द्विघात सन्निकटन का सूत्र है यह द्विघात सन्निकटन पर केंद्रित फलन के लिए दूसरे क्रम का टेलर बहुपद है। दूसरे व्युत्पन्न के आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स सीमा स्थितियों के कई संयोजनों के लिए दूसरे व्युत्पन्न के आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह मानते हुए कि सजातीय डिरिचलेट सीमा स्थितियाँ (यानी, आइगेनवेक्टर कहाँ है), आइगेनवैल्यू हैं और संबंधित आइगेनवेक्टर (जिन्हें आइगेनफ़ंक्शंस भी कहा जाता है) यहाँ हैं, अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, दूसरे व्युत्पन्न के आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर देखें। उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण हेसियन दूसरा व्युत्पन्न दूसरे आंशिक व्युत्पन्न की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत होता है। एक फलन के लिए, इनमें तीन द्वितीय क्रम के आंशिक और मिश्रित आंशिक शामिल हैं यदि फलन की छवि और क्षेत्र दोनों में क्षमता है, तो ये हेसियन के रूप में जाने जाने वाले सममित मैट्रिक्स में एक साथ फिट होते हैं। इस मैट्रिक्स के आईगन मानों का उपयोग दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के बहुभिन्नरूपी अनुरूप को लागू करने के लिए किया जा सकता है। (दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण भी देखें।) लाप्लासियन दूसरे व्युत्पन्न का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह विभेदक प्रचालक (या) है जिसे किसी फलन के लाप्लेशियन द्वारा परिभाषित किया गया है जो ढाल के विचलन और हेसियन मैट्रिक्स के निशान के बराबर है। यह भी देखें कि चिरपीनेस, तात्कालिक चरण परिमित अंतर का दूसरा व्युत्पन्न, जिसका उपयोग दूसरे व्युत्पन्न द्वितीय आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण के समरूपता को अनुमानित करने के लिए किया जाता है संदर्भ आगे पढ़ने के लिए ऑनलाइन पुस्तकें मुद्रित करें बाहरी लिंक असमान दूरी वाले बिंदुओं से असतत द्वितीय व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण विभेदक कलन कार्य और गणना में रैखिक प्रचालक मानचित्रण