Hilbert class field
बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, संख्या क्षेत्र K का हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र E, K का अधिकतम अबेलियन अनरामिफाइड विस्तार है। K पर इसकी डिग्री K की वर्ग संख्या के बराबर है और K पर E का गैलोइस समूह K में अभाज्य आदर्शों के लिए फ्रोबेनियस तत्वों का उपयोग करके K के आदर्श वर्ग समूह के लिए प्रामाणिक रूप से समरूप है। इस संदर्भ में, K का हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र न केवल सीमित स्थानों (शास्त्रीय आदर्श सैद्धांतिक व्याख्या) पर अनरामिफाइड है, बल्कि K के अनंत स्थानों पर भी है। अर्थात, K का प्रत्येक वास्तविक एम्बेडिंग E के वास्तविक एम्बेडिंग (E के जटिल एम्बेडिंग के बजाय) तक फैला हुआ है। उदाहरण यदि के के पूर्णांकों का वलय एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है, विशेष रूप से यदि, तो के इसका अपना हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र है। भेदभाव करने दें। इस क्षेत्र में भेदभाव है और इसलिए यह हर जगह K का एक असंक्रमित विस्तार है, और यह अबेलियन है। मिन्कोव्स्की बाउंड का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि के का वर्ग संख्या 2 है। इसलिए, इसका हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र है। K का एक गैर-प्रधान आदर्श (2, (1 +)/2) है, और L में यह प्रमुख आदर्श ((1 +)/2) बन जाता है। मैदान में कक्षा संख्या 3 है। इसके हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र को x3-x-1 के मूल को संलग्न करके बनाया जा सकता है, जिसमें डिस्क्रिमिनेंट-23 है। यह देखने के लिए कि आर्किमिडियन अभाज्य राशियों में विखंडन को ध्यान में क्यों रखा जाना चाहिए, 3 के वर्गमूल को Q से जोड़कर प्राप्त वास्तविक द्विघात क्षेत्र K पर विचार करें। इस क्षेत्र में वर्ग संख्या 1 और विभेदक 12 है, लेकिन विभेदक 9 = 32 का विस्तार K (i)/K, K में सभी अभाज्य आदर्शों पर असंक्रमित है, इसलिए K, 1 से अधिक डिग्री के परिमित अबेलियन विस्तारों को स्वीकार करता है जिसमें K के सभी परिमित अभाज्य संख्याएं असंक्रमित हैं। यह हिलबर्ट वर्ग के क्षेत्र के स्वयं के के होने का खंडन नहीं करता हैः के के प्रत्येक उचित परिमित अबेलियन विस्तार को किसी स्थान पर विस्तृत होना चाहिए, और विस्तार के (आई)/के में आर्किमिडियन स्थानों पर विस्तार होता हैः के के वास्तविक एम्बेडिंग के (आई) के जटिल (वास्तविक के बजाय) एम्बेडिंग तक विस्तारित होते हैं। जटिल गुणन के सिद्धांत के अनुसार, एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र का हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र पूर्णांकों के वलय (जेड-मॉड्यूल के रूप में) के लिए एक जनरेटर पर दीर्घवृत्ताकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन के मूल्य से उत्पन्न होता है। एक दिए गए संख्या क्षेत्र K के लिए एक (संकीर्ण) हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र का अस्तित्व फिलिप फ़र्टवैंगलर द्वारा अनुमान लगाया गया था और साबित किया गया था। हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र का अस्तित्व किसी दिए गए क्षेत्र के आदर्श वर्ग समूह की संरचना का अध्ययन करने में एक मूल्यवान उपकरण है। अतिरिक्त गुण हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र E निम्नलिखित को भी संतुष्ट करता हैः E, K और [E: K] = hK का एक परिमित गैलोइस विस्तार है, जहाँ hK, K की वर्ग संख्या है। OK का प्रत्येक अभाज्य आदर्श P, OE में hK/f अभाज्य आदर्शों के गुणनफल में विघटित हो जाता है, जहाँ f, OK के आदर्श वर्ग समूह में [P] का क्रम है। वास्तव में, ई पहला, दूसरा और चौथा गुणों को संतुष्ट करने वाला अद्वितीय क्षेत्र है। स्पष्ट संरचनाएँ यदि K काल्पनिक द्विघात है और A एक दीर्घवृत्ताकार वक्र है जिसमें K के पूर्णांकों की वलय द्वारा जटिल गुणन होता है, तो A से K के जे-अपरिवर्तनीय को संलग्न करने से हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र मिलता है। सामान्यीकरण वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में, एक दिए गए मापांक के संबंध में किरण वर्ग क्षेत्र का अध्ययन किया जाता है, जो अभाज्य आदर्शों (संभवतः, पुरातन आदर्शों सहित) का एक औपचारिक उत्पाद है। किरण वर्ग क्षेत्र अधिकतम अबेलियन विस्तार है जो आयतन को विभाजित करने वाले अभाज्य संख्याओं के बाहर असंक्रमित होता है और आयतन को विभाजित करने वाले अभाज्य संख्याओं पर एक विशेष विखंडन स्थिति को संतुष्ट करता है। हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र तब तुच्छ मापांक 1 के संबंध में किरण वर्ग क्षेत्र है। संकीर्ण वर्ग क्षेत्र सभी अनंत अभाज्य संख्याओं से युक्त मापांक के संबंध में किरण वर्ग क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि का संकीर्ण वर्ग क्षेत्र है। नोट्स संदर्भ जे. एस. मिल्ने, क्लास फील्ड थ्योरी (पाठ्यक्रम टिप्पणियाँ http://www.jmilne.org/math पर उपलब्ध हैं)। टिप्पणियों का परिचय अध्याय, विशेष रूप से पृष्ठ 4 देखें। वर्ग क्षेत्र सिद्धांत