Ternary Golay code
कोडिंग सिद्धांत में, त्रयी गोले कोड दो निकटता से संबंधित त्रुटि-सुधार कोड हैं। कोड जिसे आम तौर पर केवल त्रयी गोले कोड के रूप में जाना जाता है, एक-कोड है, यानी, यह एक त्रयी वर्णमाला पर एक रैखिक कोड है; कोड की सापेक्ष दूरी उतनी ही बड़ी है जितनी कि यह संभवतः एक त्रयी कोड के लिए हो सकती है, और इसलिए, त्रयी गोले कोड एक आदर्श कोड है। विस्तारित त्रयी गोले कोड एक [12,6,6] रैखिक कोड है जो [11,6,5] कोड में शून्य-राशि चेक अंक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। परिमित समूह सिद्धांत में, विस्तारित त्रयी गोले कोड को कभी-कभी त्रयी गोले कोड के रूप में संदर्भित किया जाता है। गुण टर्नरी गोले कोड टर्नरी गोले कोड में 36 = 729 कूटशब्द होते हैं। इसका पैरिटी चेक मैट्रिक्स है कोई भी दो अलग-अलग कूटशब्द कम से कम 5 स्थितियों में भिन्न होते हैं। 11 लंबाई के प्रत्येक त्रयी शब्द की ठीक एक कूटशब्द से अधिकतम 2 की दूरी होती है। कोड को परिमित क्षेत्र F3 (यानी गैलोइस फील्ड GF (3)) पर लंबाई 11 के द्विघात अवशेष कोड के रूप में भी बनाया जा सकता है। 11 खेलों के साथ एक फुटबॉल पूल में उपयोग किया जाने वाला, त्रयी गोले कोड 729 दांव से मेल खाता है और अधिकतम 2 गलत परिणामों के साथ बिल्कुल एक दांव की गारंटी देता है। हैमिंग वेट 5 के साथ कूटशब्दों का सेट एक 3-(11,5,4) डिज़ाइन है। गोले द्वारा दिया गया जनरेटर मैट्रिक्स (1949, तालिका 1)। (मूल) त्रयी गोले कोड का ऑटोमोर्फिज्म समूह मैथ्यू समूह M11 है, जो छिटपुट सरल समूहों में सबसे छोटा है। विस्तारित त्रयी गोले कोड विस्तारित त्रयी गोले कोड का पूर्ण वजन गणनाकर्ता है विस्तारित त्रयी गोले कोड का ऑटोमोर्फिज्म समूह 2.M12 है, जहाँ M12 मैथ्यू समूह M12 है। विस्तारित त्रयी गोले कोड का निर्माण क्षेत्र F3 पर क्रम 12 के हडमर्ड मैट्रिक्स की पंक्तियों की अवधि के रूप में किया जा सकता है। विस्तारित कोड के उन सभी कूटशब्दों पर विचार करें जिनमें केवल छह गैर-शून्य अंक हैं। जिन स्थितियों पर ये गैर-शून्य अंक होते हैं, वे स्टेनर प्रणाली एस (5,6,12) बनाते हैं। विस्तारित त्रयी गोले कोड के लिए एक जनरेटर मैट्रिक्स है इस जनरेटर मैट्रिक्स के लिए संबंधित पैरिटी चेक मैट्रिक्स है, जहां मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ को दर्शाता है। इस कोड के लिए एक वैकल्पिक जनरेटर मैट्रिक्स है और इसका पैरिटी चेक मैट्रिक्स है। अंतर्निहित परिमित क्षेत्र के तीन तत्वों को यहाँ द्वारा नहीं बल्कि द्वारा दर्शाया गया है। यह भी समझा जाता है कि (अर्थात, 1 का योगात्मक व्युत्क्रम) और। इन परिमित क्षेत्र तत्वों के उत्पाद पूर्णांकों के समान हैं। पंक्ति और स्तंभ योग का मूल्यांकन मॉडुलो 3 में किया जाता है। मैट्रिक्स की पंक्तियों के रैखिक संयोजन, या वेक्टर जोड़, कोड में निहित सभी संभावित शब्दों का उत्पादन करते हैं। इसे पंक्तियों का विस्तार कहा जाता है। जनरेटर मैट्रिक्स की किसी भी दो पंक्तियों का आंतरिक उत्पाद हमेशा शून्य होगा। इन पंक्तियों या वैक्टरों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है। जनरेटर और पैरिटी-चेक मैट्रिक्स का मैट्रिक्स उत्पाद, सभी शून्यों का मैट्रिक्स है, और इरादे से। वास्तव में, यह अपने जनरेटर मैट्रिक्स के संबंध में किसी भी पैरिटी चेक मैट्रिक्स की परिभाषा का एक उदाहरण है। इतिहास और अनुप्रयोग त्रयी गोले कोड द्वारा प्रकाशित किया गया था। इसे स्वतंत्र रूप से दो साल पहले फिनिश फुटबॉल पूल उत्साही जुहानी वर्चाकालियो द्वारा खोजा गया था, जिन्होंने इसे 1947 में फुटबॉल पत्रिका वेक्काजा के 27,28 और 33 अंकों में प्रकाशित किया था। त्रयी गोले कोड को गलती-सहिष्णु क्वांटम कंप्यूटिंग के दृष्टिकोण के लिए उपयोगी दिखाया गया है जिसे जादू अवस्था आसवन के रूप में जाना जाता है। यह भी देखें बर्लेकैम्प-वैन लिंट-सीडेल ग्राफ द्विआधारी गोले कोड संदर्भ आगे पढ़ने के लिए कोडिंग सिद्धांत सीमित क्षेत्र जाः 3