Finite type invariant
गाँठों के गणितीय सिद्धांत में, एक परिमित प्रकार का अपरिवर्तनीय, या वासिलीव अपरिवर्तनीय (विक्टर अनातोलीविच वासिलीव के नाम पर नामित), एक गाँठ अपरिवर्तनीय है जिसे कुछ एकवचन गाँठों के अपरिवर्तनीय तक (सटीक तरीके से वर्णित किया जा सकता है) बढ़ाया जा सकता है जो m + 1 विलक्षणताओं के साथ एकवचन गाँठों पर गायब हो जाता है और 'm' विलक्षणताओं के साथ कुछ एकवचन गाँठ पर गायब नहीं होता है। इसके बाद इसे प्रकार या क्रम m कहा जाता है। हम गौसरोव और (स्वतंत्र रूप से) जोन बिरमैन और शियाओ-सोंग लिन के कारण परिमित प्रकार अपरिवर्तनीय की संयुक्त परिभाषा देते हैं। माना कि V एक गाँठ अपरिवर्तनीय है। V1 को एक अनुप्रस्थ विलक्षणता के साथ गाँठ पर परिभाषित करने के लिए परिभाषित करें। एक गाँठ K को एक वृत्त का एक चिकना एम्बेडिंग मान लीजिए। मान लीजिए कि K एक अनुप्रस्थ दोहरे बिंदु के साथ एक वृत्त का एक चिकना विसर्जन है। फिर, जहाँ एक स्ट्रैंड को दूसरे के ऊपर धकेलकर दोहरे बिंदु को हल करके K से प्राप्त किया जाता है, और K _-इसी तरह विपरीत स्ट्रैंड को दूसरे के ऊपर धकेलकर प्राप्त किया जाता है। हम उपरोक्त संबंध का उपयोग करके दो अनुप्रस्थ दोहरे बिंदु, तीन अनुप्रस्थ दोहरे बिंदु आदि वाले मानचित्रों के लिए ऐसा कर सकते हैं। V के परिमित प्रकार का होने का सटीक अर्थ है कि एक धनात्मक पूर्णांक m होना चाहिए जैसे कि V अनुप्रस्थ दोहरे बिंदुओं वाले मानचित्रों पर गायब हो जाए। इसके अलावा, ध्यान दें कि एकलताओं के अनुप्रस्थ दोहरे बिंदुओं के साथ गांठों की समतुल्यता की धारणा है और V को इस समतुल्यता का सम्मान करना चाहिए। 3-मैनिफोल्ड्स के लिए परिमित प्रकार अपरिवर्तनीय की भी धारणा है। उदाहरण गाँठों का सबसे सरल गैर-तुच्छ वासिलीव अपरिवर्तनीय अलेक्जेंडर-कॉनवे बहुपद के द्विघात शब्द के गुणांक द्वारा दिया जाता है। यह क्रम दो का अपरिवर्तनीय है। मॉड्यूल दो, यह आर्फ़ अपरिवर्तनीय के बराबर है। कोंत्सेविच अपरिवर्तनीय का कोई भी गुणांक एक परिमित प्रकार का अपरिवर्तनीय है। मिल्नर अपरिवर्तनीय स्ट्रिंग लिंक के परिमित प्रकार के अपरिवर्तनीय हैं। अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व माइकल पोलियाक और ओलेग वीरो ने गॉस आरेख अभ्यावेदन के माध्यम से क्रम 2 और 3 के पहले गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय का विवरण दिया। मिखाइल एन. गौसरोव ने साबित कर दिया है कि सभी वासिलीव अपरिवर्तकों को इस तरह से दर्शाया जा सकता है। सार्वभौमिक वासिलीव अपरिवर्तनीय 1993 में, मैक्सिम कोंत्सेविच ने वासिलीव अपरिवर्तनीय के बारे में निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय को साबित कियाः प्रत्येक गाँठ के लिए कोई भी एक समाकलन की गणना कर सकता है, जिसे अब कोंत्सेविच समाकलन कहा जाता है, जो एक सार्वभौमिक वासिलीव अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक वासिलीव अपरिवर्तनीय को एक उचित मूल्यांकन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। वर्तमान में यह ज्ञात नहीं है कि कोंत्सेविच समाकलन, या वासिलीव अपरिवर्तनों की समग्रता, एक पूर्ण गाँठ अपरिवर्तनीय है या नहीं। कोंटसेविच समाकलन की गणना, जिसमें तार आरेखों के बीजगणित में मान हैं, काफी कठिन साबित होती है और अब तक केवल कुछ वर्गों के गांठों के लिए ही की गई है। 11 से कम डिग्री का कोई परिमित प्रकार का अपरिवर्तनीय नहीं है जो उत्परिवर्ती गांठों को अलग करता है। विलर्टन के मछली संदर्भ भी देखें आगे पढ़ने के लिए विक्टर ए. वासिलीव, गाँठ रिक्त स्थान की कोहोमोलॉजी। विलक्षणताओं का सिद्धांत और इसके अनुप्रयोग, 23-69, एड। सोवियत गणित, 1, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, प्रोविडेंस, आर. आई., 1990। जोन बर्मन और शियाओ-सोंग लिन, नॉट बहुपद और वासिलीव के अपरिवर्तनीय। आविष्कार गणित, 111,225-270 (1993) बाहरी लिंक नॉट अपरिवर्तनीय 3-मैनिफोल्ड