Zeta function regularization
गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, जीटा फलन नियमितीकरण एक प्रकार का नियमितीकरण या योगात्मकता विधि है जो भिन्न राशियों या उत्पादों को सीमित मूल्य प्रदान करती है, और विशेष रूप से कुछ स्व-संयुक्त प्रचालक के निर्धारकों और निशान को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। तकनीक को अब आमतौर पर भौतिकी की समस्याओं पर लागू किया जाता है, लेकिन इसकी उत्पत्ति संख्या सिद्धांत में दिखाई देने वाले गैर-वातानुकूलित योगों को सटीक अर्थ देने के प्रयासों में हुई है। परिभाषा संभवतः भिन्न श्रृंखला के योग को परिभाषित करने के लिए कई अलग-अलग योग विधियाँ हैं जिन्हें जीटा फ़ंक्शन नियमितकरण कहा जाता है एक विधि इसके जीटा नियमित योग को ζA (−1) के रूप में परिभाषित करना है यदि इसे परिभाषित किया गया है, जहां जीटा फ़ंक्शन को बड़े Re (s) के लिए परिभाषित किया गया है यदि यह योग अभिसरण करता है, और कहीं और विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा। जब an = n होता है, तो जीटा फलन साधारण रीमान जीटा फलन होता है। इस विधि का उपयोग यूलर द्वारा श्रृंखला 1 + 2 + 3 + 4 + से ζ (−1) = − 1/12 को "योग" करने के लिए किया गया था। यह दर्शाता है कि सपाट स्थान में, जिसमें लाप्लासियन के आइगेनवैल्यू ज्ञात हैं, विभाजन फलन के अनुरूप जीटा फलन की गणना स्पष्ट रूप से की जा सकती है। T = β−1 तापमान पर समतल अंतरिक्ष काल में आयतन V के एक बड़े डिब्बे में निहित एक अदिश क्षेत्र φ पर विचार करें। विभाजन फलन को यूक्लिडियन स्थान पर सभी क्षेत्रों φ पर एक पथ समाकलन द्वारा परिभाषित किया जाता है जो τ = इसे डालने से प्राप्त होता है जो बॉक्स की दीवारों पर शून्य होते हैं और जो अवधि β के साथ τ में आवधिक होते हैं। इस स्थिति में विभाजन फलन से वह क्षेत्र φ के विकिरण की ऊर्जा, एन्ट्रापी और दबाव की गणना करता है। सपाट स्थानों के मामले में भौतिक मात्राओं में दिखाई देने वाले आइगेनवैल्यू आम तौर पर ज्ञात होते हैं, जबकि घुमावदार स्थान के मामले में वे ज्ञात नहीं होते हैंः इस मामले में एसिम्प्टोटिक विधियों की आवश्यकता होती है। एक अन्य विधि संभवतः विचलन अनंत उत्पाद a1a2. को exp (− ζ′A (0)) के रूप में परिभाषित करती है। इसका उपयोग एक सकारात्मक स्व-संयुक्त प्रचालक ए (उनके अनुप्रयोग में एक रीमानियन मैनिफोल्ड का लाप्लेशियन) के निर्धारक को आइगेनवैल्यू ए1, ए2 के साथ परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और इस मामले में जीटा फ़ंक्शन औपचारिक रूप से ए-एस का निशान है। यह दर्शाता है कि यदि ए एक कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड का लाप्लेशियन है तो मिनाक्षीसुंदरम-प्लिजेल जीटा फ़ंक्शन अभिसरण करता है और सभी जटिल संख्याओं के लिए एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के रूप में एक विश्लेषणात्मक निरंतरता रखता है, और इसे कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड पर अण्डाकार छद्म-विभेदक ऑपरेटर ए तक विस्तारित किया। तो ऐसे ऑपरेटरों के लिए जीटा फ़ंक्शन नियमितकरण का उपयोग करके निर्धारक को परिभाषित किया जा सकता है। "विश्लेषणात्मक मरोड़" देखें। इस विचार का उपयोग घुमावदार स्थान समय में पथ समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए करने का सुझाव दिया। उन्होंने थर्मल ग्रेविटॉन और पदार्थ के क्वांटा के लिए विभाजन कार्यों की गणना करने के लिए जीटा फ़ंक्शन नियमितकरण का अध्ययन किया ताकि घुमावदार पृष्ठभूमि में जैसे कि ब्लैक होल के क्षितिज पर और डी सिटर पृष्ठभूमि पर ऊष्मा समीकरणों के कर्नेल के निशान के लिए व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा संबंध का उपयोग किया जा सके। उदाहरण पहला उदाहरण जिसमें जीटा फलन नियमितकरण उपलब्ध है, कैसिमिर प्रभाव में दिखाई देता है, जो तीन अंतरिक्ष आयामों में क्वांटम क्षेत्र के थोक योगदान के साथ एक सपाट स्थान में है। इस मामले में हमें-3 पर रीमान जीटा फलन के मूल्य की गणना करनी चाहिए, जो स्पष्ट रूप से अलग हो जाता है। हालाँकि, इसे विश्लेषणात्मक रूप से s =-3 तक जारी रखा जा सकता है जहाँ उम्मीद है कि कोई ध्रुव नहीं है, इस प्रकार अभिव्यक्ति को एक सीमित मूल्य देता है। काम पर इस नियमितकरण का एक विस्तृत उदाहरण लेख में कासिमिर प्रभाव के विस्तृत उदाहरण पर दिया गया है, जहां परिणामी योग बहुत स्पष्ट रूप से रीमान जीटा-फ़ंक्शन है (और जहां प्रतीत होता है कि लेगर्डमेन विश्लेषणात्मक निरंतरता एक योगात्मक अनंत को हटा देती है, जिससे भौतिक रूप से महत्वपूर्ण सीमित संख्या रह जाती है)। जीटा-फलन नियमितकरण का एक उदाहरण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक कण क्षेत्र की ऊर्जा के निर्वात अपेक्षा मूल्य की गणना है। अधिक आम तौर पर, जीटा-फ़ंक्शन दृष्टिकोण का उपयोग सपाट और घुमावदार अंतरिक्ष काल दोनों में पूरे ऊर्जा-गति टेंसर को नियमित करने के लिए किया जा सकता है। ऊर्जा का अनियमित मूल्य निर्वात के सभी उत्तेजना मोड की शून्य-बिंदु ऊर्जा पर एक योग द्वारा दिया जाता हैः यहाँ, ऊर्जा-गति टेंसर का शून्य घटक है और योग (जो एक अभिन्न हो सकता है) को सभी (सकारात्मक और नकारात्मक) ऊर्जा मोड पर विस्तारित करने के लिए समझा जाता है; निरपेक्ष मूल्य हमें याद दिलाता है कि ऊर्जा को सकारात्मक माना जाता है। यह योग, जैसा कि लिखा गया है, आमतौर पर अनंत होता है (आमतौर पर एन में रैखिक होता है)। योग को इस रूप में लिख कर नियमित किया जा सकता है जहां s कुछ पैरामीटर है, जिसे एक जटिल संख्या माना जाता है। 4 से बड़े, वास्तविक s के लिए (त्रि-आयामी स्थान के लिए), योग स्पष्ट रूप से सीमित है, और इस प्रकार अक्सर सैद्धांतिक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है। जीटा-नियमितकरण उपयोगी है क्योंकि इसका उपयोग अक्सर इस तरह से किया जा सकता है कि भौतिक प्रणाली की विभिन्न सममितियों को संरक्षित किया जाए। जीटा-फ़ंक्शन नियमितकरण का उपयोग अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, पुनर्भरण और स्ट्रिंग सिद्धांत के महत्वपूर्ण स्थान-काल आयाम को ठीक करने में किया जाता है। अन्य नियमितकरणों से संबंध जीटा फ़ंक्शन नियमितकरण आयामी नियमितकरण के बराबर है, देखें। हालांकि, जीटा नियमितीकरण का मुख्य लाभ यह है कि जब भी आयामी नियमितीकरण विफल हो जाता है तो इसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए यदि गणना के अंदर मैट्रिक्स या टेंसर हैं डिरिचलेट श्रृंखला जीटा-फ़ंक्शन नियमितीकरण से संबंध एक अंकगणितीय फ़ंक्शन f (n) पर किसी भी योग के लिए एक विश्लेषणात्मक संरचना देता है। इस तरह की राशियों को डिरिचलेट श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। नियमित रूप जटिल एस-तल पर योग के विचलन को सरल ध्रुवों में परिवर्तित करता है। संख्यात्मक गणना में, जीटा-फ़ंक्शन नियमितकरण अनुचित है, क्योंकि यह अभिसरण करने के लिए बेहद धीमा है। संख्यात्मक उद्देश्यों के लिए, एक अधिक तेजी से अभिसरण योग घातीय नियमितीकरण है, जो इसके द्वारा दिया जाता है इसे कभी-कभी f का Z-रूपांतरण कहा जाता है, जहाँ z = exp (−t)। घातीय और जीटा-नियमितकरण की विश्लेषणात्मक संरचना संबंधित हैं। लॉरेंट श्रृंखला के रूप में घातीय राशि का विस्तार करने से पता चलता है कि जीटा-श्रृंखला की संरचना घातीय और जीटा-नियामकों की संरचना मेलिन परिवर्तन के माध्यम से संबंधित है। गामा फलन के अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करके एक को दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता हैः जो घातीय और जीटा-नियामकों से संबंधित पहचान की ओर ले जाता है, और एस-प्लेन में ध्रुवों को लॉरेंट श्रृंखला में अलग-अलग शब्दों में परिवर्तित करता है। ऊष्मा गुठली नियमितकरण योग को कभी-कभी ऊष्मा गुठली या ऊष्मा गुठली नियमित राशि कहा जाता है; यह नाम इस विचार से उपजा है कि इसे कभी-कभी ऊष्मा गुठली के आइगेनवैल्यू के रूप में समझा जा सकता है। गणित में, इस तरह के योग को सामान्यीकृत डिरिचलेट श्रृंखला के रूप में जाना जाता है; औसत के लिए इसका उपयोग एबेलियन माध्य के रूप में जाना जाता है। यह लाप्लास-स्टील्टजेस परिवर्तन से निकटता से संबंधित है, जिसमें एक चरण फलन है, जिसमें एट के चरण हैं। ऐसी श्रृंखला के अभिसरण के लिए कई प्रमेय मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, हार्डी-लिटिलवुड टॉबेरियन प्रमेय के अनुसार, यदि तब श्रृंखला अर्ध-तल में अभिसरण करती है और अर्ध-तल के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर समान रूप से अभिसरण करती है। भौतिकी के लगभग सभी अनुप्रयोगों में, एक का इतिहास है गर्मी कर्नेल और जीटा फ़ंक्शन नियमितकरण विधियों के साथ नियमित श्रृंखला के अभिसरण और समानता को स्थापित करने वाला अधिकांश प्रारंभिक कार्य 1916 में जी. एच. हार्डी और जे. ई. लिटिलवुड द्वारा किया गया था और यह कैहेन-मेलिन समाकलन के अनुप्रयोग पर आधारित है। यह प्रयास संख्या सिद्धांत में दिखाई देने वाले विभिन्न गैर-परिभाषित, सशर्त अभिसारी राशियों के लिए मूल्य प्राप्त करने के लिए किया गया था। भौतिक समस्याओं में नियामक के रूप में अनुप्रयोग के संदर्भ में, इससे पहले, जे. स्टुअर्ट डाउकर और रेमंड क्रिचली ने 1976 में क्वांटम भौतिक समस्याओं के लिए एक जीटा-फ़ंक्शन नियमितकरण विधि का प्रस्ताव रखा था। एमिलियो एलिज़ाल्ड और अन्य लोगों ने भी समाकलन के लिए जीटा नियमितीकरण के आधार पर एक विधि का प्रस्ताव दिया है, यहाँ एक नियामक है और विचलन समाकलन सीमा में संख्याओं पर निर्भर करता है देखें पुनर्रचना। आयामी नियमितीकरण और विश्लेषणात्मक नियमितीकरण जैसे अन्य नियमितीकरणों के विपरीत, जीटा नियमितीकरण में कोई प्रतिशब्द नहीं है और यह केवल सीमित परिणाम देता है। संदर्भ टॉम एम. एपोस्टोल, "मॉड्यूलर फ़ंक्शंस एंड डिरिचलेट सीरीज़ इन नंबर थ्योरी", "स्प्रिंगर-वेरलैग न्यूयॉर्क" भी देखें। (अध्याय 8 देखें।) " ए. बाइत्सेंको, जी. कॉग्नोला, ई. एलिज़ाल्ड, वी. मोरेट्टी और एस. ज़र्बिनी, "एनालिटिक एस्पेक्ट्स ऑफ़ क्वांटम फ़ील्ड्स", वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग, 2003, जी. एच. हार्डी और जे. ई. लिटिलवुड, "कंट्रीब्यूशन टू द थ्योरी ऑफ द रीमान जीटा-फंक्शन एंड द थ्योरी ऑफ द डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ प्राइम", एक्टा मैथेमेटिका, 41 (1916) पीपी। (उदाहरण के लिए, प्रमेय 2.12 देखें) वी. मोरेट्टी, "डायरेक्ट जेड-फंक्शन एप्रोच एंड रीनॉर्मलाइजेशन ऑफ वन-लूप स्ट्रेस टेंसर इन कर्व्ड स्पेसटाइम्स, फिज़। Rev.D 56,7797 "(1997)। डी. फर्मी, एल. पिज़ोचेरो, "स्थानीय जीटा नियमितीकरण और स्केलर कासिमिर प्रभाव। इंटीग्रल कर्नेल पर आधारित एक सामान्य दृष्टिकोण, "वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग, ISBN: 978-981-3224-99-5 (हार्डकवर), ISBN: 978-981-3225-01-5 (ईबुक)। डीओआईः 10.1142/10570 (2017)। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्ट्रिंग सिद्धांत गणितीय विश्लेषण जीटा और एल-कार्य योगात्मकता विधियाँ