Noether normalization lemma
गणित में, नोइथर सामान्यीकरण लेम्मा परिवर्तनीय बीजगणित का परिणाम है, जिसे 1926 में एमी नोइथर द्वारा पेश किया गया था। यह बताता है कि किसी भी क्षेत्र k, और किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न कम्यूटेटिव k-बीजगणित A के लिए, A में बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र तत्व y1, y2,., yd ऐसे मौजूद हैं कि A बहुपद वलय S = k [y1, y2,., yd] पर एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। पूर्णांक d वलय A के क्रुल आयाम के बराबर है और यदि A एक अभिन्न क्षेत्र है, तो d भी k पर A के अंशों के क्षेत्र की पारगमन डिग्री है। प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या है। मान लीजिए कि ए एक एफाइन किस्म एक्स का समन्वय रिंग है, और एस को डी-आयामी एफाइन स्पेस का समन्वय रिंग मानते हैं। फिर समावेशन मानचित्र एफ़ाइन किस्मों के एक सर्जेक्टिव परिमित आकृतिवाद को प्रेरित करता हैः यानी, कोई भी एफ़ाइन किस्म एफ़ाइन स्थान का एक शाखा आवरण है। जब k अनंत होता है, तो इस तरह के एक शाखा वाले आवरण मानचित्र का निर्माण X युक्त एक एफ़ाइन स्थान से एक डी-आयामी उपक्षेत्र में एक सामान्य प्रक्षेपण लेकर किया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, योजनाओं की भाषा में, प्रमेय को समान रूप से इस प्रकार कहा जा सकता हैः प्रत्येक एफाइन के-योजना (सीमित प्रकार की) एक्स एक एफाइन एन-आयामी स्थान पर सीमित है। प्रमेय को आर (समतुल्य, एक्स के बंद उपसमुच्चय) के आदर्शों की एक श्रृंखला को शामिल करने के लिए परिष्कृत किया जा सकता है जो संबंधित आयामों के एफ़ाइन निर्देशांक उपस्थानों पर सीमित हैं। शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति के सबसे मौलिक परिणामों में से एक हिल्बर्ट के नलस्टेलेनसैट्ज़ को साबित करने के लिए नोइथर सामान्यीकरण लेम्मा का उपयोग एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में किया जा सकता है। सामान्यीकरण प्रमेय भी के-अल्जेब्रा के लिए क्रुल आयाम की धारणाओं को स्थापित करने में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। सबूत ममफोर्ड की लाल किताब के बाद, निम्नलिखित सबूत नागाटा के कारण है। लाल पुस्तक के पृष्ठ 127 पर एक और ज्यामितीय प्रमाण दिया गया है। लेम्मा में वलय ए कुछ तत्वों द्वारा के-बीजगणित के रूप में उत्पन्न होता है। हम एम पर शामिल करेंगे। यदि, तो दावा तुच्छ है। अब मान लीजिए। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि A का एक सबरिंग S है जो तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, जैसे कि A, S पर परिमित है। वास्तव में, प्रेरक परिकल्पना द्वारा, हम S के बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र तत्वों को ऐसे पा सकते हैं जैसे कि S पर सीमित है। चूँकि अन्यथा साबित करने के लिए कुछ भी नहीं होगा, हम यह भी मान सकते हैं कि k पर m चर में एक गैर-शून्य बहुपद f है। एक पूर्णांक r दिया गया है जिसे बाद में निर्धारित किया जाता है, सेट करें फिर पूर्ववर्ती पढ़ता हैः अब, यदि उपरोक्त समीकरण के बाईं ओर गुणांक के साथ एक एकाक्षर दिखाई दे रहा है, तो उत्पाद के विस्तार के बाद उच्चतम पद ऐसा दिखता है जैसे जब भी उपरोक्त प्रतिपादक किसी अन्य एकाक्षर द्वारा उत्पादित उच्चतम प्रतिपादक से सहमत होता है, तो यह संभव है कि इसका उच्चतम पद उपरोक्त रूप का नहीं होगा, क्योंकि यह रद्दीकरण से प्रभावित हो सकता है। हालाँकि, यदि r, f में दिखाई देने वाले किसी भी घातांक से बड़ा है, तो प्रत्येक एक अद्वितीय आधार r संख्या को कूटबद्ध करता है, इसलिए ऐसा नहीं होता है। इस प्रकार यह इंटीग्रल ओवर है। चूँकि वे उस वलय पर भी अभिन्न हैं, A, S पर अभिन्न है। यह इस प्रकार है कि A, S पर परिमित है, और चूँकि S, m-1 तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, इसलिए हम प्रेरक परिकल्पना द्वारा करते हैं। यदि ए एक अभिन्न क्षेत्र है, तो डी इसके भिन्नों के क्षेत्र की उत्कृष्टता डिग्री है। वास्तव में, ए और एक ही पारगमन डिग्री (अर्थात, भिन्नों के क्षेत्र की डिग्री) है क्योंकि ए के भिन्नों का क्षेत्र एस की तुलना में बीजगणितीय है (क्योंकि ए एस पर अभिन्न है) और एस की पारगमन डिग्री डी है। हम डी पर शामिल करते हैं, मामला तुच्छ होने के कारण। चूंकि यह अभाज्य आदर्शों की एक श्रृंखला है, इसलिए इसका आयाम कम से कम d है। विपरीत अनुमान प्राप्त करने के लिए, मान लीजिए कि यह अभाज्य आदर्शों की एक श्रृंखला है। जाने दीजिए। हम नोइथर सामान्यीकरण लागू करते हैं और प्राप्त करते हैं (सामान्यीकरण प्रक्रिया में, हम पहला चर चुनने के लिए स्वतंत्र हैं) जैसे कि एस टी पर अभिन्न है। प्रेरक परिकल्पना द्वारा, आयाम डी-1 है। अतुलनीयता से, लंबाई की एक श्रृंखला होती है और फिर, यह लंबाई की एक श्रृंखला बन जाती है। तब से, हमारे पास है। इसलिए,। परिष्करण आइजेनबुड की पुस्तक में निम्नलिखित परिष्करण दिखाई देता है, जो नागाता के विचार पर आधारित हैः ज्यामितीय रूप से, प्रमेय का अंतिम भाग कहता है कि किसी भी सामान्य रैखिक प्रक्षेपण के लिए एक परिमित आकृतिवाद (सी. एफ. नेतृत्व); आइजेनबुड के अलावा, यह भी देखें। सचित्र अनुप्रयोगः सामान्य स्वतंत्रता सामान्यीकरण लेम्मा का एक विशिष्ट गैर-तुच्छ अनुप्रयोग सामान्य स्वतंत्रता प्रमेय हैः मान लीजिए कि रिंग्स ऐसे हैं जो एक नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन है और मान लीजिए कि एक रिंग होमोमोर्फिज्म है जो एक परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित के रूप में प्रदर्शित होता है। फिर कुछ ऐसे हैं जो एक मुक्त-मॉड्यूल है। इसे साबित करने के लिए, मान लीजिए कि इसका अंश क्षेत्र है। हम के क्रुल आयाम पर प्रेरण द्वारा बहस करते हैं। आधार मामला तब होता है जब क्रुल आयाम होता है; अर्थात, जब कुछ ऐसा होता है, तो वह एक-मॉड्यूल के रूप में मुक्त होता है। प्रेरक चरण के लिए, ध्यान दें कि यह एक परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित है। इसलिए नोइथर सामान्यीकरण लेम्मा में बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र तत्व होते हैं जो बहुपद वलय पर सीमित होते हैं। के तत्वों द्वारा प्रत्येक को गुणा करते हुए, हम मान सकते हैं कि वे हैं। अब हम विचार करते हैंः अब सीमित नहीं हो सकता है, लेकिन यह निम्नानुसार एक तत्व को उलटने के बाद सीमित हो जाएगा। यदि एक तत्व है, तो, एक तत्व के रूप में, यह इंटीग्रल ओवर है; यानी, कुछ के लिए। इस प्रकार, कुछ के गुणांक के सभी भाजकों को मार देते हैं और इसलिए अभिन्न है। एक बीजगणित के रूप में कुछ परिमित रूप से कई जनरेटरों का चयन करते हुए और प्रत्येक जनरेटर पर इस अवलोकन को लागू करते हुए, हम कुछ ऐसे पाते हैं जो अभिन्न (इस प्रकार सीमित) हैं। द्वारा प्रतिस्थापित करें और फिर हम मान सकते हैं कि यह सीमित है। समाप्त करने के लिए,-उप-मॉड्यूल द्वारा एक सीमित निस्पंदन पर विचार करें जैसे कि अभाज्य आदर्शों के लिए (ऐसा निस्पंदन संबंधित अभाज्यों के सिद्धांत द्वारा मौजूद है)। प्रत्येक i के लिए, यदि, प्रेरक परिकल्पना द्वारा, हम कुछ ऐसे चुन सकते हैं जो एक-मॉड्यूल के रूप में मुक्त है, जबकि एक बहुपद वलय है और इस प्रकार मुक्त है। इसलिए, के साथ, एक मुक्त मॉड्यूल समाप्त हो गया है। टिप्पणियाँ संदर्भ। एनबी लेम्मा अद्यतन टिप्पणियों में है। आगे पढ़ने के लिए रॉबर्टज़, डी.: नोइथर सामान्यीकरण मोनोमिअल शंकु अपघटन द्वारा निर्देशित। जे. प्रतीकात्मक संगणना। 44 (10), 1359-1373 (2009) कम्यूटेटिव बीजगणित बीजगणितीय ज्यामिति में लेम्मा की बीजगणितीय किस्में