Alexander duality
गणित में, अलेक्जेंडर द्वैत 1915 में जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर के परिणामस्वरूप शुरू किए गए एक द्वैत सिद्धांत को संदर्भित करता है, और बाद में विशेष रूप से पावेल अलेक्जेंड्रोव और लेव पोंट्रियागिन द्वारा आगे विकसित किया गया। यह यूक्लिडियन स्थान, एक गोले या अन्य कई गुना में एक उपक्षेत्र X के पूरक के समरूपता सिद्धांत गुणों पर लागू होता है। यह स्पैनियर-व्हाइटहेड द्वैत द्वारा सामान्यीकृत है। स्फीयर के लिए सामान्य कथन मान लीजिए कि आयाम n के स्फीयर का एक कॉम्पैक्ट, स्थानीय रूप से सिकुड़ने योग्य सबस्पेस हो। फिर यदि किसी दिए गए अबेलियन समूह में गुणांक के साथ कम समरूपता या कम समरूपता के लिए खड़ा है, तो सभी के लिए एक समरूपता है। ध्यान दें कि हम परिकल्पना के हिस्से के रूप में स्थानीय संकुचनशीलता को छोड़ सकते हैं यदि हम चेच कोहोमोलॉजी का उपयोग करते हैं, जिसे स्थानीय विकृतियों से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है। अनुप्रयोग यह गाँठ और लिंक पूरक की समरूपता की गणना के लिए उपयोगी है। याद रखें कि गाँठ एक एम्बेडिंग है और एक कड़ी गाँठों का एक असंबद्ध संघ है, जैसे कि बोरोमियन रिंग्स। फिर, अगर हम लिंक/गाँठ लिखते हैं, तो हम कोहोमोलॉजी समूहों की गणना के लिए एक विधि देते हैं। फिर, मैसी उत्पादों का उपयोग करके विभिन्न लिंक के बीच अंतर करना संभव है। उदाहरण के लिए, बोरोमियन रिंग्स के लिए, समरूपता समूह निर्माण योग्य शीव्स के लिए अलेक्जेंडर द्वैत हैं चिकनी मैनिफोल्ड्स के लिए, अलेक्जेंडर द्वैतता अबेलियन समूहों के शीव्स के लिए वर्डीयर द्वैतता का एक औपचारिक परिणाम है। अधिक सटीक रूप से, यदि हम एक चिकनी मैनिफोल्ड को दर्शाते हैं और हम समावेशन द्वारा दर्शाए गए एक बंद सबस्पेस (जैसे कि एक चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला एक सबस्पेस, या एक सबमैनिफोल्ड) होने देते हैं, और यदि एक क्षेत्र है, तो यदि-वेक्टर रिक्त स्थान का एक आवरण है तो हमारे पास निम्नलिखित समरूपता है, जहां बाईं ओर कोहोमोलॉजी समूह कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कोहोमोलॉजी है। हम इस कथन को आगे खोल सकते हैं ताकि इसका अर्थ बेहतर ढंग से समझ सकें। सबसे पहले, यदि स्थिर शीफ है और एक चिकनी सबमैनिफोल्ड है, तो हम पाते हैं, जहां दाईं ओर कोहोमोलॉजी समूह स्थानीय कोहोमोलॉजी है जिसमें समर्थन है। आगे की कटौती के माध्यम से, के समरूपता के साथ के समरूपता की पहचान करना संभव है। यह प्रोजेक्टिव किस्मों के कोहोमोलॉजी समूहों की गणना के लिए बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोगी है, और जैकोबियन रिंग का उपयोग करके डिग्री के हाइपरसर्फेस की हॉज संरचना के आधार के निर्माण के लिए इसका उपयोग किया जाता है। सिकंदर के 1915 के परिणाम सिकंदर के मूल कार्य का उल्लेख करते हुए, यह माना जाता है कि एक्स एक सरल जटिल है। सिकंदर के पास आधुनिक उपकरण बहुत कम था, और उसका परिणाम केवल बेट्टी संख्याओं के लिए था, जिसमें गुणांक को मॉड्यूलो 2 लिया गया था। उदाहरणों से क्या उम्मीद की जा सकती है। उदाहरण के लिए 3-गोले में क्लिफोर्ड टोरस निर्माण से पता चलता है कि एक ठोस टोरस का पूरक एक और ठोस टोरस है; जो दूसरे के बंद होने पर खुला रहेगा, लेकिन यह इसकी समरूपता को प्रभावित नहीं करता है। प्रत्येक ठोस तोरी होमोटॉपी के दृष्टिकोण से एक वृत्त है। यदि हम केवल वृत्त की बेट्टी संख्या 1,1,0,0 को लिखते हैं (जब से हम 3-गोले में हैं), तो 0,0,1,1 के रूप में उल्टा करें और फिर 0,1,0 प्राप्त करने के लिए एक को बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक कठिनाई है, क्योंकि हम वह नहीं प्राप्त कर रहे हैं जिससे हमने शुरुआत की थी। दूसरी ओर वही प्रक्रिया कम हुई बेट्टी संख्याओं पर लागू होती है, जिसके लिए प्रारंभिक बेट्टी संख्या को 1 से घटाया जाता है, जो 0,1,0,0 से शुरू होती है और 0,0,1,0 देती है जहां से 0,1,0,0 है। यह काम करता है, पूरक की कम हुई बेट्टी संख्या की भविष्यवाणी करता है। यहाँ प्रोटोटाइप जॉर्डन वक्र प्रमेय है, जो स्थलवैज्ञानिक रूप से रीमान क्षेत्र में एक वृत्त के पूरक से संबंधित है। यह भी वही कहानी बताती है। हमारे पास वृत्त की ईमानदार बेट्टी संख्याएँ 1,1,0 हैं, और इसलिए ऊपर फ़्लिप करके 0,1,1 और बाईं ओर शिफ्ट करके 1,1,0 हैं। यह जॉर्डन प्रमेय से कुछ अलग बताता है, जो यह है कि दो घटक हैं, जिनमें से प्रत्येक सिकुड़ सकता है (स्कोनफ्लाइज प्रमेय, यहाँ जो उपयोग किया गया है उसके बारे में सटीक होने के लिए)। यानी ईमानदार बेट्टी संख्याओं में सही उत्तर 2,0,0 है। एक बार फिर, यह कम हुई बेट्टी संख्या है जो काम करती है। उनके साथ, हम 0,1,0 से शुरू करते हैं और 1,0,0 के साथ समाप्त करते हैं। इन दो उदाहरणों से, इसलिए, सिकंदर के सूत्रीकरण का अनुमान लगाया जा सकता हैः कम हुई बेट्टी संख्याएँ पूरक रूप से संबंधित हैं। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी द्वैतता सिद्धांत