Corner transfer matrix
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स एक जाली में एक चतुर्थांश जोड़ने के प्रभाव का वर्णन करता है। 1968 में रॉडनी बैक्सटर द्वारा क्रैमर्स-वैनियर पंक्ति-से-पंक्ति स्थानांतरण मैट्रिक्स के विस्तार के रूप में पेश किया गया, यह जाली मॉडल का अध्ययन करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है। कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स के साथ गणना ने बैक्सटर को 1980 में हार्ड हेक्सागोन मॉडल के सटीक समाधान के लिए प्रेरित किया। परिभाषा आई. आर. एफ. (इंटरैक्शन-राउंड-ए-फेस) मॉडल पर विचार करें, अर्थात। एक वर्गाकार जाली मॉडल जिसमें एक स्पिन σi प्रत्येक साइट i को सौंपा गया है और एक आम चेहरे के चारों ओर स्पिन तक सीमित बातचीत है। मान लीजिए कि कुल ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है कि जहां प्रत्येक चेहरे के लिए आसपास की साइटों i, j, k और l को निम्नानुसार व्यवस्थित किया गया हैः N साइटों के साथ एक जाली के लिए, विभाजन कार्य वह है जहां योग सभी संभावित स्पिन विन्यासों पर है और डब्ल्यू बोल्ट्जमैन भार है संकेतन को सरल बनाने के लिए, हम एक लौह चुम्बकीय आइसिंग-प्रकार की जाली का उपयोग करते हैं जहां प्रत्येक स्पिन का मान + 1 या-1 होता है, और ग्राउंड स्टेट सभी स्पिन द्वारा दी जाती है (यानी। कुल ऊर्जा को कम किया जाता है जब जाली पर सभी स्पिन का मान + 1) होता है। हम यह भी मानते हैं कि जाली में 4 गुना घूर्णन समरूपता (सीमा स्थितियों तक) है और यह परावर्तन-अपरिवर्तनीय है। ये सरल धारणाएँ महत्वपूर्ण नहीं हैं, और परिभाषा को सामान्य मामले तक विस्तारित करना अपेक्षाकृत सीधा है। अब नीचे दिखाए गए जाली चतुर्थांश पर विचार करेंः त्रिभुज द्वारा चिह्नित बाहरी सीमा स्थलों को उनकी जमीनी अवस्था स्पिन (इस मामले में + 1) दी जाती है। खुले वृत्तों द्वारा चिह्नित स्थल चतुर्थांश की आंतरिक सीमाएँ बनाते हैं; उनके संबंधित स्पिन सेट को {σ1,., σm} और {σ '1,., σ' m} लेबल किया जाता है, जहाँ σ1 = σ '1 है। प्रत्येक आंतरिक सीमा के लिए 2 मीटर संभावित विन्यास हैं, इसलिए हम 2 मीटर × 2 मीटर मैट्रिक्स को प्रवेश-वार परिभाषित करते हैं। चूँकि बाहरी सीमा स्पिन स्थिर होती है और योग सभी आंतरिक स्पिन पर होता है, इसलिए ए की प्रत्येक प्रविष्टि आंतरिक सीमा स्पिन का एक कार्य है। अभिव्यक्ति में क्रोनेकर डेल्टा यह सुनिश्चित करता है कि σ1 = σ '1, इसलिए विन्यासों को उचित रूप से क्रमबद्ध करके हम A को एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में डाल सकते हैंः कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स एक सरल तरीके से विभाजन फ़ंक्शन से संबंधित हैं। हमारे सरलीकृत उदाहरण में, हम जाली चतुर्थांश की चार घूर्णित प्रतियों से पूर्ण जाली का निर्माण करते हैं, जहां आंतरिक सीमा स्पिन सेट σ, σ ', σ' और σ 'को अलग करने की अनुमति दी जाती हैः विभाजन कार्य को फिर कोने हस्तांतरण मैट्रिक्स A के संदर्भ में चर्चा पुनरावृत्ति संबंध के रूप में लिखा जाता है एक कोने हस्तांतरण मैट्रिक्स A2m (एक m × m चतुर्थांश के लिए परिभाषित) को छोटे कोने हस्तांतरण मैट्रिक्स A2m-1 और A2m-2 (क्रमशः कम (m-1) × (m-1) और (m-2) × (m-2) चतुर्थांश के लिए परिभाषित) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। यह पुनरावर्तन संबंध, सिद्धांत रूप में, सीमित आकार के किसी भी जाली चतुर्थांश के लिए कोने हस्तांतरण मैट्रिक्स की पुनरावृत्ति गणना की अनुमति देता है। उनके रो-टू-रो समकक्षों की तरह, कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स को फेस ट्रांसफर मैट्रिक्स में फैक्टर किया जा सकता है, जो जाली में एक फेस जोड़ने के अनुरूप है। पहले दिए गए जाली चतुर्थांश के लिए, फेस ट्रांसफर मैट्रिक्स आकार 2 मीटर × 2 मीटर के होते हैं और प्रवेश-वार परिभाषित किए जाते हैं जहाँ 2 ≤ i ≤ m + 1 होता है। बाहरी सीमा के पास, विशेष रूप से, हमारे पास है तो कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स ए फैक्टराइज़ करता है जहां ग्राफिक रूप से, यह इस प्रकार हैः हमें 2 मीटर × 2 मीटर मैट्रिक्स ए * और ए * * की भी आवश्यकता होती है, जिसे प्रविष्टि-वार परिभाषित किया जाता है जहां ए मैट्रिक्स जिनकी प्रविष्टियां आरएचएस पर दिखाई देती हैं, उनका आकार क्रमशः 2 मीटर-1 × 2 मीटर-1 और 2 मीटर-2 × 2 मीटर-2 होता है। अब A, A *, A * *, Ui और Fj की परिभाषाओं से, हमारे पास A2m-1 और A2m-2 के संदर्भ में A2m के लिए पुनरावृत्ति संबंध है। विकर्ण रूप गणना करने के लिए कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स का उपयोग करते समय, इसके बजाय उनके विकर्ण रूपों के साथ काम करना विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक रूप से सुविधाजनक है। इसे सुविधाजनक बनाने के लिए, पुनरावृत्ति संबंध को सीधे ए, ए * और ए * * के विकर्ण रूपों और आइगेनवेक्टर मैट्रिक्स के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है। यह याद करते हुए कि हमारे उदाहरण में जाली परावर्तन-अपरिवर्तनीय है, इस अर्थ में कि हम देखते हैं कि ए एक सममित मैट्रिक्स है (अर्थात। यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा विकर्णनीय है)। इसलिए हम लिखते हैं कि जहाँ एड एक विकर्ण मैट्रिक्स है (सामान्यीकृत इस तरह से कि इसकी संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ी प्रविष्टि 1 है), αm A का सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू है, और PTP = I। इसी तरह ए * और ए * * के लिए, हमारे पास विज्ञापन *, विज्ञापन * *, पी * और पी * * को ए * और ए * * के अनुरूप परिभाषित किया गया है, अर्थात। A2m-1 और A2m-2 के छोटे (सामान्यीकृत) विकर्ण रूपों और (ऑर्थोगोनल) आइगेनवेक्टर मैट्रिक्स के संदर्भ में। इन विकर्णों को पुनरावृत्ति संबंध में प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं जहां अब एट भी सममित है, और गणना की जा सकती है यदि एड *, एड * * और आर * ज्ञात हैं; विकर्णन एट तब इसका सामान्यीकृत विकर्ण रूप एड, इसका सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू κ, और इसका ऑर्थोगोनल आइगेनवेक्टर मैट्रिक्स आर प्राप्त करता है। पहले दिए गए पूर्ण जाली के लिए, केंद्रीय साइट पर स्पिन अपेक्षा मूल्य द्वारा दिया जाता है इस तरह के विन्यास के साथ कि A पहले की तरह ब्लॉक विकर्ण है, हम एक 2m × 2m विकर्ण मैट्रिक्स को इस तरह से परिभाषित कर सकते हैं कि प्रति साइट विभाजन फ़ंक्शन जाली मॉडल के लिए एक और महत्वपूर्ण मात्रा प्रति साइट विभाजन फ़ंक्शन है, जिसका मूल्यांकन थर्मोडायनामिक सीमा में किया जाता है और लिखा जाता है। इसके अलावा, चेहरे की संख्या 2m (m + 1) थर्मोडायनामिक सीमा में साइटों की संख्या N तक पहुंचती है, इसलिए हमारे पास जो पहले के समीकरण के अनुरूप है जो κ को एट के लिए सबसे बड़े आइगेनवैल्यू के रूप में देता है। दूसरे शब्दों में, प्रति साइट विभाजन कार्य थर्मोडायनामिक सीमा में कोने हस्तांतरण मैट्रिक्स के लिए विकर्णित पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया जाता है; यह κ को एक बड़ी जाली के लिए ad की गणना करने की पुनरावृत्ति प्रक्रिया के माध्यम से अनुमानित करने की अनुमति देता है। हालांकि, इसमें शामिल मैट्रिक्स आकार में तेजी से बढ़ते हैं, और वास्तविक संख्यात्मक गणनाओं में उन्हें प्रत्येक चरण में काटा जाना चाहिए। ऐसा करने का एक तरीका यह है कि कुछ निश्चित n के लिए प्रत्येक चरण में n सबसे बड़े आइगेनवैल्यू को रखा जाए। ज्यादातर मामलों में, n = 1,2,3 लेने से प्राप्त सन्निकटनों का क्रम,. तेजी से अभिसरण करता है, और सटीक मूल्य पर (एक सटीक हल करने योग्य मॉडल के लिए)। स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि संदर्भ ठीक से हल करने योग्य मॉडल जाली मॉडल मैट्रिक्स सांख्यिकीय यांत्रिकी भी देखें।