Kaplan–Meier estimator
केपलान-मेयर प्राक्कलनकर्ता, जिसे उत्पाद सीमा प्राक्कलनकर्ता के रूप में भी जाना जाता है, एक गैर-पैरामीट्रिक आँकड़ा है जिसका उपयोग जीवनकाल डेटा से उत्तरजीविता कार्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। चिकित्सा अनुसंधान में, इसका उपयोग अक्सर उपचार के बाद एक निश्चित समय के लिए जीवित रोगियों के अंश को मापने के लिए किया जाता है। अन्य क्षेत्रों में, केपलान-मेयर अनुमानक का उपयोग यह मापने के लिए किया जा सकता है कि नौकरी छूटने के बाद लोग कितने समय तक बेरोजगार रहते हैं, मशीन के पुर्जों की समय-समय पर विफलता, या मांसल फल पौधों पर कितने समय तक रहते हैं, इससे पहले कि उन्हें मिताहारी द्वारा हटा दिया जाए। अनुमानकर्ता का नाम एडवर्ड एल. कपलान और पॉल मेयर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने प्रत्येक ने जर्नल ऑफ द अमेरिकन स्टैटिस्टिकल एसोसिएशन को समान पांडुलिपियां प्रस्तुत कीं। पत्रिका के संपादक, जॉन टुकी ने उन्हें अपने काम को एक पेपर में जोड़ने के लिए आश्वस्त किया, जिसे 1958 में इसके प्रकाशन के बाद से 61,800 से अधिक बार उद्धृत किया गया है। उत्तरजीविता फलन (जीवन के उससे अधिक लंबे होने की संभावना) के अनुमानक को निम्न द्वारा दिया जाता हैः एक समय के साथ जब कम से कम एक घटना हुई, घटनाओं की संख्या (जैसे, मृत्यु) जो समय पर हुई, और ज्ञात व्यक्ति समय तक जीवित रहे (अभी तक कोई घटना नहीं हुई है या सेंसर नहीं किया गया है)। बुनियादी अवधारणाएँ केपलान-मेयर अनुमानक का एक भूखंड घटते क्षैतिज चरणों की एक श्रृंखला है, जो एक बड़े पर्याप्त नमूना आकार के साथ, उस आबादी के लिए वास्तविक उत्तरजीविता कार्य तक पहुँचती है। क्रमिक विशिष्ट नमूना टिप्पणियों ("क्लिक") के बीच उत्तरजीविता फलन का मूल्य स्थिर माना जाता है। केपलान-मेयर वक्र का एक महत्वपूर्ण लाभ यह है कि विधि कुछ प्रकार के सेंसर किए गए डेटा को ध्यान में रख सकती है, विशेष रूप से सही-सेंसर, जो तब होता है जब कोई रोगी किसी अध्ययन से हट जाता है, अनुवर्ती कार्रवाई में खो जाता है, या अंतिम अनुवर्ती कार्रवाई में घटना की घटना के बिना जीवित रहता है। प्लॉट पर, छोटे ऊर्ध्वाधर टिक-मार्क व्यक्तिगत रोगियों को बताते हैं जिनके जीवित रहने के समय को सही-सेंसर किया गया है। जब कोई छंटाई या सेंसर नहीं होता है, तो कपलान-मेयर वक्र अनुभवजन्य वितरण कार्य का पूरक होता है। चिकित्सा सांख्यिकी में, एक विशिष्ट अनुप्रयोग में रोगियों को श्रेणियों में वर्गीकृत करना शामिल हो सकता है, उदाहरण के लिए, जिन ए प्रोफ़ाइल वाले और जिन बी प्रोफ़ाइल वाले। ग्राफ में, जीन ए वाले रोगियों की तुलना में जीन बी वाले रोगियों की मृत्यु बहुत जल्दी हो जाती है। दो साल के बाद, जीन ए के लगभग 80 प्रतिशत रोगी बच जाते हैं, लेकिन जीन बी के आधे से भी कम रोगी जीवित रहते हैं। एक कपलान-मेयर अनुमानक उत्पन्न करने के लिए, प्रत्येक रोगी (या प्रत्येक विषय) के लिए कम से कम दो डेटा की आवश्यकता होती हैः अंतिम अवलोकन की स्थिति (घटना की घटना या सही-सेंसर), और घटना का समय (या सेंसर करने का समय)। यदि दो या दो से अधिक समूहों के बीच उत्तरजीविता कार्यों की तुलना की जानी है, तो डेटा का एक तीसरा टुकड़ा आवश्यक हैः प्रत्येक विषय का समूह असाइनमेंट। समस्या की परिभाषा एक यादृच्छिक चर होने दें, जिसे हम संभावित एक्सपोजर अवधि की शुरुआत और उस समय के बीच बीतने वाले समय के रूप में सोचते हैं, जब रुचि की कोई घटना होती है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, लक्ष्य अंतर्निहित उत्तरजीविता कार्य का अनुमान लगाना है। याद रखें कि इस फलन को इस रूप में परिभाषित किया गया है, समय कहाँ है। मान लीजिए कि स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर, जिसका सामान्य वितरण हैः वह यादृच्छिक समय है जब कोई घटना हुई हो। अनुमान लगाने के लिए उपलब्ध डेटा नहीं है, बल्कि जोड़ों की सूची है जहां के लिए, एक निश्चित, नियतात्मक पूर्णांक, घटना का सेंसर करने का समय और। विशेष रूप से, घटना के समय के बारे में उपलब्ध जानकारी यह है कि क्या घटना निर्धारित समय से पहले हुई थी और यदि ऐसा है, तो घटना का वास्तविक समय भी उपलब्ध है। इस आंकड़े को देखते हुए अनुमान लगाने की चुनौती है। कप्लान-मेयर अनुमानक व्युत्पत्ति यहाँ हम कप्लान-मेयर अनुमानक दो व्युत्पत्तियाँ दिखाते हैं। दोनों जीवित रहने के कार्य को फिर से लिखने पर आधारित हैं जिसे कभी-कभी खतरा या मृत्यु दर कहा जाता है। हालाँकि, ऐसा करने से पहले एक सरल अनुमानक पर विचार करना सार्थक है। केपलान-मेयर अनुमानकक शक्तिक बुझबाक लेल, पहिने उत्तरजीविता फलनक एकटा सरल अनुमानकक वर्णन करब सार्थक होयत अछि। ठीक करें और जाने दें। एक बुनियादी तर्क से पता चलता है कि निम्नलिखित प्रस्ताव धारण करता हैः प्रस्ताव 1: यदि घटना का सेंसर करने का समय () से अधिक है, तो यदि और केवल यदि। ऐसा ही रहने दीजिए। उपरोक्त प्रस्ताव से यह पता चलता है कि केवल उन्हीं पर विचार करें, अर्थात। जिन घटनाओं के लिए परिणाम को समय से पहले सेंसर नहीं किया गया था। मान लीजिए कि इसमें तत्वों की संख्या है। ध्यान दें कि सेट यादृच्छिक नहीं है और इसलिए न ही है। इसके अलावा, स्वतंत्र, समान रूप से वितरित बर्नौली यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम है जो सामान्य पैरामीटर के साथ है। यह मानते हुए, यह अनुमान लगाने का सुझाव देता है कि दूसरी समानता कहाँ आती है क्योंकि इसका तात्पर्य है, जबकि अंतिम समानता केवल संकेतन का परिवर्तन है। इस अनुमान की गुणवत्ता के आकार से नियंत्रित होती है। यह समस्याग्रस्त हो सकता है जब छोटा होता है, जो परिभाषा के अनुसार होता है, जब बहुत सारी घटनाओं को सेंसर किया जाता है। इस प्राक्कलनकर्ता का एक विशेष रूप से अप्रिय गुण, जो बताता है कि शायद यह "सबसे अच्छा" प्राक्कलनकर्ता नहीं है, वह यह है कि यह उन सभी टिप्पणियों की अनदेखी करता है जिनके सेंसर करने का समय पहले आता है। अंतर्ज्ञानी रूप से, इन टिप्पणियों में अभी भी इस बारे में जानकारी होती हैः उदाहरण के लिए, जब कई घटनाओं के साथ, भी होती है, तो हम अनुमान लगा सकते हैं कि घटनाएं अक्सर जल्दी होती हैं, जिसका अर्थ है कि यह बड़ा है, जिसका अर्थ है कि यह छोटा होना चाहिए। हालाँकि, इस जानकारी को इस भोली-भाली अनुमानक द्वारा नजरअंदाज कर दिया जाता है। सवाल यह है कि क्या कोई ऐसा अनुमानक मौजूद है जो सभी आंकड़ों का बेहतर उपयोग करता है। यह वही है जो कपलान-मेयर अनुमानक पूरा करता है। ध्यान दें कि जब सेंसर नहीं किया जाता है तो सरल अनुमानक में सुधार नहीं किया जा सकता है; इसलिए क्या कोई सुधार संभव है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि सेंसर किया जा रहा है या नहीं। प्लग-इन दृष्टिकोण प्राथमिक गणनाओं द्वारा, जहां दूसरी से अंतिम समानता का उपयोग किया जाता है जो पूर्णांक मूल्य है और अंतिम पंक्ति के लिए जिसे हमने समानता के पुनरावर्ती विस्तार द्वारा पेश किया है, हमें यहाँ ध्यान दें। केपलान-मेयर प्राक्कलनकर्ता को एक "प्लग-इन प्राक्कलनकर्ता" के रूप में देखा जा सकता है जहां प्रत्येक का अनुमान डेटा के आधार पर लगाया जाता है और प्राक्कलनकर्ता को इन अनुमानों के उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जाता है। यह निर्दिष्ट करना बाकी है कि इसका अनुमान कैसे लगाया जाए। प्रस्ताव 1 के अनुसार, ऐसे किसी भी और दोनों के लिए। इसलिए, ऐसे किसी भी तर्क के लिए, जो उपरोक्त सरल अनुमानक के निर्माण की ओर ले जाता है, हम अनुमानक पर पहुँचते हैं ("खतरे की दर" की परिभाषा में अंश और भाजक का अलग से अनुमान लगाने के बारे में सोचें)। केपलान-मेयर प्राक्कलनकर्ता तब लेख की शुरुआत में बताए गए प्राक्कलनकर्ता के रूप को कुछ और बीजगणित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इसके लिए, बीमांकिक विज्ञान शब्दावली का उपयोग करते हुए लिखें कि कहाँ, समय पर ज्ञात मौतों की संख्या है, जबकि उन व्यक्तियों की संख्या है जो समय पर जीवित हैं (और सेंसर नहीं किए जा रहे हैं)। ध्यान दें कि यदि,। इसका तात्पर्य यह है कि हम उन सभी शब्दों को परिभाषित करने वाले उत्पाद को छोड़ सकते हैं। फिर, उस समय को देखते हुए जब हम लेख की शुरुआत में दिए गए कपलान-मेयर अनुमानक के रूप में पहुंचते हैंः सरल अनुमानक के विपरीत, इस अनुमानक को उपलब्ध जानकारी का अधिक प्रभावी ढंग से उपयोग करते हुए देखा जा सकता हैः पहले से उल्लिखित विशेष मामले में, जब कई प्रारंभिक घटनाएं दर्ज की जाती हैं, तो अनुमानक कई शब्दों को एक से नीचे के मूल्य के साथ गुणा करेगा और इस प्रकार यह ध्यान में रखेगा कि जीवित रहने की संभावना बड़ी नहीं हो सकती है। अधिकतम संभावना अनुमानक के रूप में व्युत्पत्ति केपलान-मेयर अनुमानक को असतत खतरे के कार्य के अधिकतम संभावना अनुमान से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष रूप से घटनाओं की संख्या और उस समय जोखिम में कुल व्यक्तियों के रूप में दिए जाने पर, असतत खतरे की दर को उस समय किसी घटना के साथ किसी व्यक्ति की संभावना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। फिर उत्तरजीविता दर को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता हैः और समय तक खतरे के कार्य के लिए संभावना कार्य हैः इसलिए लॉग संभावना होगीः पैदावार के संबंध में अधिकतम लॉग संभावना का पता लगानाः जहां टोपी का उपयोग अधिकतम संभावना अनुमान को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस परिणाम को देखते हुए, हम लिख सकते हैंः अधिक सामान्य रूप से (निरंतर और साथ ही असतत उत्तरजीविता वितरण के लिए), कपलान-मेयर अनुमानक को एक गैर-पैरामीट्रिक अधिकतम संभावना अनुमानक के रूप में व्याख्या की जा सकती है। लाभ और सीमाएँ केपलान-मेयर अनुमानक उत्तरजीविता विश्लेषण के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक है। यह अनुमान ठीक होने की दर, मृत्यु की संभावना और उपचार की प्रभावशीलता की जांच करने के लिए उपयोगी हो सकता है। यह कोवेरियेट्स के लिए समायोजित उत्तरजीविता का अनुमान लगाने की अपनी क्षमता में सीमित है; पैरामीट्रिक उत्तरजीविता मॉडल और कॉक्स आनुपातिक खतरे मॉडल कोवेरियेट्स-समायोजित उत्तरजीविता का अनुमान लगाने के लिए उपयोगी हो सकते हैं। केपलान-मेयर प्राक्कलनकर्ता सीधे तौर पर नेल्सन-एलेन प्राक्कलनकर्ता से संबंधित है और दोनों ही अनुभवजन्य संभावना को अधिकतम करते हैं। सांख्यिकीय विचार केपलान-मेयर अनुमानक एक सांख्यिकीय है, और इसके विचलन का अनुमान लगाने के लिए कई अनुमानकों का उपयोग किया जाता है। सबसे आम अनुमानकर्ताओं में से एक ग्रीनवुड का सूत्र हैः जहां मामलों की संख्या है और टिप्पणियों की कुल संख्या है। कुछ मामलों में, कोई अलग-अलग कपलान-मेयर वक्रों की तुलना करना चाह सकता है। यह लॉग रैंक परीक्षण और कॉक्स आनुपातिक खतरे परीक्षण द्वारा किया जा सकता है। अन्य आँकड़े जो इस अनुमानक के लिए उपयोगी हो सकते हैं, वे हैं बिंदुवार विश्वास अंतराल, हॉल-वेलनर बैंड और समान-परिशुद्धता बैंड। सॉफ्टवेयर मैथेमेटिकाः अंतर्निहित कार्य सर्वाइवल मॉडलफिट उत्तरजीविता मॉडल बनाता है। एस. ए. एस.: केपलान-मेयर प्राक्कलनकर्ता को प्रोक लाइफटेस्ट प्रक्रिया में लागू किया जाता है। आरः केपलान-मेयर अनुमानक उत्तरजीविता पैकेज के हिस्से के रूप में उपलब्ध है। स्टेटाः एस. टी. एस. आदेश कापलान-मेयर अनुमानक देता है। पायथनः लाइफलाइन और स्किकिट-सर्वाइवल पैकेजों में से प्रत्येक में कपलान-मेयर अनुमानक शामिल है। मैटलैबः 'फलन', 'उत्तरजीवी' तर्कों के साथ ई. सी. डी. एफ. फलन कप्लान-मेयर अनुमानक की गणना या प्लॉट कर सकता है। स्टैट्सडायरेक्टः केपलान-मेयर अनुमानक उत्तरजीविता विश्लेषण सूची में लागू किया गया है। एस. पी. एस. एस.: केपलान-मेयर अनुमानक को एनलाइज> सर्वाइवल> केपलान-मेयर. मेन्यू में लागू किया गया है। जूलियाः Survival.jl पैकेज में कपलान-मेयर अनुमानक शामिल है। ए. पी. आई. जानकारीः के. एम. एस. यू. आर. वी. ए. एल. कमांड के साथ केपलान-मेयर अनुमानक उत्तरजीविता वक्र और लॉग रैंक परीक्षण के परिणाम प्राप्त किए जाते हैं। यह भी देखें उत्तरजीविता विश्लेषण अधिकता की आवृत्ति औसत घातक खुराक नेल्सन-एलेन अनुमानक संदर्भ आगे 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