Bulirsch–Stoer algorithm
संख्यात्मक विश्लेषण में, बुलिस्च-स्टॉर एल्गोरिथ्म साधारण विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए एक विधि है जो तीन शक्तिशाली विचारों को जोड़ती हैः रिचर्डसन बहिर्वेशन, रिचर्डसन-प्रकार अनुप्रयोगों में तर्कसंगत कार्य बहिर्वेशन का उपयोग, और संशोधित मध्य बिंदु विधि, उच्च सटीकता और तुलनात्मक रूप से कम कम्प्यूटेशनल प्रयास के साथ साधारण विभेदक समीकरणों (ओडीई) के संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए। इसका नाम रोलैंड बुलिर्श और जोसेफ स्टोअर के नाम पर रखा गया है। विलियम बी. ग्रैग के कारण संशोधित मध्यबिन्दु विधि के त्रुटि कार्य के बारे में परिणाम के महत्व के कारण इसे कभी-कभी ग्रैग-बुलिर्श-स्टॉर (जीबीएस) एल्गोरिथ्म कहा जाता है। रिचर्डसन बहिर्वेशन का विचार एक संख्यात्मक गणना पर विचार करना है जिसकी सटीकता चरण आकार एच के एक (अज्ञात) विश्लेषणात्मक कार्य के रूप में उपयोग किए गए चरण आकार एच पर निर्भर करती है, एच के विभिन्न मूल्यों के साथ संख्यात्मक गणना करती है, परिणामी बिंदुओं के लिए एक (चुने हुए) विश्लेषणात्मक कार्य को फिट करती है, और फिर एच = 0 के लिए फिटिंग कार्य का मूल्यांकन करती है, इस प्रकार गणना के परिणाम को असीम रूप से महीन चरणों के साथ अनुमानित करने का प्रयास करती है। बुलिर्श और स्टॉर ने माना कि संख्यात्मक एकीकरण में रिचर्डसन बहिर्वेशन के लिए फिटिंग कार्यों के रूप में परिमेय कार्यों का उपयोग करना बहुपद कार्यों का उपयोग करने से बेहतर है क्योंकि परिमेय कार्य ध्रुवों के साथ कार्यों को अच्छी तरह से अनुमानित करने में सक्षम हैं (बहुपद कार्यों की तुलना में), यह देखते हुए कि भाजक में पास के ध्रुवों के लिए पर्याप्त उच्च-शक्ति शब्द हैं। जबकि एक बहुपद अंतर्वेशन या बहिर्वेशन केवल तभी अच्छे परिणाम देता है जब निकटतम ध्रुव जटिल तल में ज्ञात डेटा बिंदुओं के आसपास एक वृत्त के बाहर होता है, तर्कसंगत कार्य अंतर्वेशन या बहिर्वेशन पास के ध्रुवों की उपस्थिति में भी उल्लेखनीय सटीकता रख सकता है। संशोधित मध्यबिन्दु विधि अपने आप में एक दूसरे क्रम की विधि है, और इसलिए आम तौर पर चौथे क्रम की विधियों जैसे चौथे क्रम की रुंग-कुट्टा विधि से कम है। हालांकि, इसके लिए प्रति उप-चरण केवल एक व्युत्पन्न मूल्यांकन की आवश्यकता होती है (बड़ी संख्या में उप-चरणों के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से), और इसके अलावा, जैसा कि ग्रैग द्वारा खोजा गया है, आकार एच के एक संशोधित मध्य बिंदु चरण की त्रुटि, जिसमें प्रत्येक आकार एच = एच/एन के एन उप-चरण होते हैं, और एच में एक शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जाता है, में केवल एच की सम शक्तियां होती हैं। यह संशोधित मध्य बिंदु विधि को बुलिर्श-स्टॉर विधि के लिए बेहद उपयोगी बनाता है क्योंकि सटीकता एक समय में दो आदेशों को बढ़ाती है जब अंतराल एच को पार करने के अलग-अलग प्रयासों के परिणाम उप-चरणों की बढ़ती संख्या के साथ संयुक्त होते हैं। विधि की उनकी चर्चा में, कहते हैं कि इस मामले में तर्कसंगत बहिर्वेशन बहुपद अंतर्वेशन की तुलना में लगभग कभी सुधार नहीं है। इसके अलावा, संशोधित मध्यबिन्दु विधि इसे अधिक स्थिर बनाने के लिए नियमित मध्यबिन्दु विधि का एक संशोधन है, लेकिन बहिर्वेशन के कारण यह वास्तव में मायने नहीं रखता है। संदर्भ। .. .. बाहरी लिंक ODEX.F, अर्न्स्ट हेयरर और गेरहार्ड वनर द्वारा बुलर्श-स्टॉर एल्गोरिदम का कार्यान्वयन (अन्य दिनचर्या और लाइसेंस शर्तों के लिए, उनके फोरट्रान और मैटलैब कोड पृष्ठ देखें)। बूस्ट पुस्तकालय, सी + + में कार्यान्वयन। अपाचे कॉमन्स गणित, जावा में कार्यान्वयन। संख्यात्मक एकीकरण (चतुर्भुज)