Infinity
अनन्तता एक ऐसी चीज है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ी है। इसे अक्सर अनंत प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। प्राचीन यूनानियों के समय से, अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय थी। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक और असीम कलन की शुरुआत के साथ, गणितविदों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना शुरू कर दिया और जिसे कुछ गणितविदों (एल 'होपिटाल और बर्नौली सहित) ने असीम रूप से छोटी मात्रा माना, लेकिन अनंत अंतहीन प्रक्रियाओं से जुड़ा रहा। जैसा कि गणितविदों ने कलन की नींव के साथ संघर्ष किया, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है, तो यह कैसे किया जा सकता है। 19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन का विस्तार किया, जिससे पता चलता है कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समूह के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (यानी रेखा की प्रधानता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है। इस उपयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन, हेरफेर और किसी भी अन्य गणितीय वस्तु की तरह उपयोग किया जा सकता है। अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिष्कृत और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत सेटों के अनंत रूप से कई अलग-अलग आकारों को पेश करके। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों में से, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित किया जा सकता है, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है। अनंत की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है, यहां तक कि संयोजन विज्ञान जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्माट के अंतिम प्रमेय का वाइल्स का प्रमाण एक लंबे समय से चली आ रही समस्या को हल करने के लिए ग्रॉथेन्डिक ब्रह्मांडों, बहुत बड़े अनंत सेटों के अस्तित्व पर निर्भर करता है, जिसे प्राथमिक अंकगणित के संदर्भ में कहा गया है। भौतिकी और ब्रह्मांड विज्ञान में, क्या ब्रह्मांड स्थानिक रूप से अनंत है, यह एक खुला सवाल है। इतिहास प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। प्राचीन भारतीयों और यूनानियों ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है, और इसके बजाय अनंत को एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में देखा। यूनान में अनंत का सबसे पहला अभिलिखित विचार एनाक्सीमैंडर (सी. 610-सी. 546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-सॉक्रेटिक यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने एपेरॉन शब्द का उपयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और शायद इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है। अरस्तू (350 ईसा पूर्व) ने संभावित अनंत को वास्तविक अनंत से अलग किया, जिसे उन्होंने विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव माना। यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, हेलेनिस्टिक यूनानियों में "अनंत का भय" था, जो उदाहरण के लिए, यह बताएगा कि यूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व) ने यह क्यों नहीं कहा कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता है, बल्कि "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित संख्या से अधिक हैं"। यह भी कहा गया है कि, अभाज्य संख्याओं के अनंत को साबित करने में, यूक्लिड "अनंत के भय को दूर करने वाले पहले व्यक्ति थे।" यूक्लिड के समानांतर अभिधारणा के बारे में एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता हैः हालाँकि, अन्य अनुवादक "दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल के लिए प्रस्तुत की जाती हैं", अनुवाद को पसंद करते हैं, इस प्रकार इस निहितार्थ से बचते हुए कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज थे। अंत में, यह कहा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत की भयावहता" को उजागर करने के बजाय, सभी प्रारंभिक यूनानी दर्शन को रेखांकित करता है और अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विचलन है। ज़ेनोः अकिलीज़ और एला के कछुए ज़ेनो (495-430 ईसा पूर्व) ने अनंत के बारे में कोई विचार नहीं रखा। फिर भी, उनके विरोधाभास, विशेष रूप से "अकिलीज़ और कछुआ", महत्वपूर्ण योगदान थे क्योंकि उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को बर्ट्रेंड रसेल ने "अपरिमित रूप से सूक्ष्म और गहन" के रूप में वर्णित किया था। अकिलीज़ एक कछुए की दौड़ लगाता है, जो बाद वाले को एक अच्छी शुरुआत देता है। चरण #1: अकिलीज़ कछुए के शुरुआती बिंदु तक भागता है जबकि कछुआ आगे चलता है। चरण #2: अकिलीज़ वहाँ आगे बढ़ता है जहाँ कछुआ चरण #1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। चरण #3: अकिलीज़ वहाँ आगे बढ़ता है जहाँ कछुआ चरण #2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। चरण #4: अकिलीज़ वहाँ आगे बढ़ता है जहाँ कछुआ चरण #3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि। जाहिरा तौर पर, अकिलीज़ कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने ही कदम आगे बढ़े, कछुआ उसके आगे रहता है। ज़ेनो अनंत के बारे में एक बिंदु बनाने का प्रयास नहीं कर रहा था। एलीटिक्स स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम के रूप में मानते थे, उन्होंने यह मान लेना एक गलती के रूप में देखा कि अकिलीज़ बिल्कुल भी दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दियों से अधिक समय तक संघर्ष किया। अंत में, 1821 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने एक सीमा की संतोषजनक परिभाषा और एक प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, मान लीजिए कि अकिलीज़ 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद वाले के पास 100 मीटर की शुरुआत है। पीछा करने की अवधि और के साथ कॉची के पैटर्न में फिट बैठती है। जैन गणितीय ग्रंथ सूर्य प्रज्ञप्ति (लगभग चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन समूहों में वर्गीकृत करता हैः गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन क्रमों में विभाजित किया गयाः सबसे कम, मध्यवर्ती और उच्चतम असंख्यः लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य असंख्य अनंतः लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, अनंत अनंत 17 वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितविदों ने एक व्यवस्थित तरीके से अनंत संख्याओं और अनंत अभिव्यक्तियों का उपयोग करना शुरू कर दिया। 1655 में, जॉन वालिस ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए संकेतन का उपयोग किया, और क्षेत्र गणना में इसका उपयोग करते हुए क्षेत्र को चौड़ाई के अनंत पट्टियों में विभाजित किया। गणित हर्मन वेल ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक पते की शुरुआत कीः प्रतीक अनंत प्रतीक (जिसे कभी-कभी लेमनिस्केट कहा जाता है) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक को यूनिकोड में और लेटेक्स में \infty के रूप में कूटबद्ध किया गया है। इसे 1655 में जॉन वालिस द्वारा पेश किया गया था, और इसकी शुरुआत के बाद से, इसका उपयोग गणित के बाहर आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीक विज्ञान में भी किया गया है। असीम कलन के सह-आविष्कारकों में से एक, कैलकुलस गॉटफ्राइड लीबनिज़ ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लीबनिज़ के लिए, असीम और अनंत मात्राएँ दोनों आदर्श इकाइयाँ थीं, जो प्रशंसनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं थीं, बल्कि निरंतरता के नियम के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रही थीं। वास्तविक विश्लेषण वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक, जिसे "अनंत" कहा जाता है, का उपयोग एक असीम सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। संकेतन का अर्थ है कि बिना सीमा के बढ़ता है, और इसका अर्थ है कि बिना सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक के लिए, तो इसका मतलब है कि एक सीमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है इसका मतलब है कि नीचे का क्षेत्र अनंत है। इसका मतलब है कि नीचे का कुल क्षेत्रफल सीमित है, और अनंत के बराबर है, इसका उपयोग अनंत श्रृंखला का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है, निम्नानुसारः इसका मतलब है कि अनंत श्रृंखला का योग कुछ वास्तविक मूल्य में परिवर्तित हो जाता है, इसका मतलब है कि अनंत श्रृंखला का योग ठीक से अनंत में बदल जाता है, इस अर्थ में कि आंशिक योग बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं। एक सीमा को परिभाषित करने के अलावा, अनंत का उपयोग विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में एक मूल्य के रूप में भी किया जा सकता है। लेबल किए गए बिंदु और वास्तविक संख्याओं के स्थलाकृतिक स्थान में जोड़े जा सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का दो-बिंदु संकुचन होता है। इसमें बीजगणितीय गुणों को जोड़ने से हमें विस्तारित वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं। हम वास्तविक संख्याओं के एक-बिंदु संकुचन की ओर ले जाने के लिए और उसी के रूप में भी व्यवहार कर सकते हैं, जो वास्तविक प्रोजेक्टिव रेखा है। प्रोजेक्टिव ज्यामिति समतल ज्यामिति में अनंत पर एक रेखा, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अनंत पर एक तल और सामान्य आयामों के लिए अनंत पर एक हाइपरप्लेन को भी संदर्भित करती है, जिसमें प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं। जटिल विश्लेषण में प्रतीक, जिसे "अनंत" कहा जाता है, एक अहस्ताक्षरित अनंत सीमा को दर्शाता है। अभिव्यक्ति का अर्थ है कि का परिमाण किसी भी निर्धारित मूल्य से अधिक बढ़ता है। लेबल किए गए एक बिंदु को जटिल तल में एक टोपोलॉजिकल स्थान के रूप में जोड़ा जा सकता है जो जटिल तल का एक-बिंदु संकुचन देता है। जब ऐसा किया जाता है, तो परिणामी स्थान एक आयामी जटिल मैनिफोल्ड, या रीमान सतह होती है, जिसे विस्तारित जटिल तल या रीमान क्षेत्र कहा जाता है। विस्तारित वास्तविक संख्याओं के लिए ऊपर दिए गए अंकों के समान अंकगणितीय संचालन को भी परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि संकेतों में कोई अंतर नहीं है (जो एक अपवाद की ओर ले जाता है कि अनंत को स्वयं में नहीं जोड़ा जा सकता है)। दूसरी ओर, इस तरह की अनंतता शून्य से विभाजन को सक्षम बनाती है, अर्थात् किसी भी गैर-शून्य जटिल संख्या के लिए। इस संदर्भ में, मेरोमॉर्फिक कार्यों को ध्रुवों पर के मान को लेते हुए रीमान गोले में मानचित्र के रूप में विचार करना अक्सर उपयोगी होता है। एक जटिल-मूल्यवान फलन के क्षेत्र को अनंत पर बिंदु को भी शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। ऐसे कार्यों का एक महत्वपूर्ण उदाहरण मोबियस परिवर्तनों का समूह है (मोबियस परिवर्तन § अवलोकन देखें)। गैर-मानक विश्लेषण आइज़ैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनिज़ द्वारा असीम कलन के मूल सूत्रीकरण में असीम मात्राओं का उपयोग किया गया था। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, यह दिखाया गया था कि इस उपचार को विभिन्न तार्किक प्रणालियों के माध्यम से कठोर आधार पर रखा जा सकता है, जिसमें सहज अनंत विश्लेषण और गैर-मानक विश्लेषण शामिल हैं। उत्तरार्द्ध में, असीम व्युत्क्रम व्युत्क्रमणीय हैं, और उनके व्युत्क्रम अनंत संख्याएँ हैं। इस अर्थ में अनंतताएँ एक अतियथार्थिक क्षेत्र का हिस्सा हैं; उनके बीच कोई समानता नहीं है जैसा कि कैंटोरियन ट्रांसफिनाइट्स के साथ है। उदाहरण के लिए, यदि इस अर्थ में H एक अनंत संख्या है, तो H + H = 2H और H + 1 अलग-अलग अनंत संख्याएँ हैं। गैर-मानक कलन के लिए यह दृष्टिकोण पूरी तरह से विकसित किया गया है। सेट सिद्धांत "अनंत" का एक अलग रूप सेट सिद्धांत की क्रमिक और कार्डिनल अनंतताएँ हैं-ट्रांसफाइनाइट संख्याओं की एक प्रणाली जिसे पहली बार जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित किया गया था। इस प्रणाली में, पहला ट्रांसफाइनाइट कार्डिनल एलेफ-नल (α0) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समूह की कार्डिनलिटी है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, गॉटलोब फ्रेज, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य लोगों के कार्यों से विकसित हुई-संग्रह या सेट के विचार का उपयोग करते हुए। डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से सेटों के आकार की तुलना करने के लिए एक मानक के रूप में एक-से-एक पत्राचार के विचार को अपनाना था, और गैलीलियो (यूक्लिड से व्युत्पन्न) के दृष्टिकोण को अस्वीकार करना था कि पूरा भाग भाग के समान आकार का नहीं हो सकता है। (हालाँकि, गैलीलियो का विरोधाभास देखें जहाँ गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक वर्ग पूर्णांकों के सबसेट से नहीं की जा सकती क्योंकि दोनों अनंत सेट हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल अपने उचित भागों में से कम से कम एक के समान आकार वाले के रूप में परिभाषित किया जा सकता है; अनंत की इस धारणा को डेडेकाइंड अनंत कहा जाता है। दाहिनी ओर का आरेख एक उदाहरण देता हैः रेखाओं को अंकों के अनंत सेट के रूप में देखना, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को ऊपरी नीली रेखा के लिए एक-से-एक तरीके (हरे पत्राचार) में मैप किया जा सकता है, और बदले में, पूरी निचली नीली रेखा (लाल पत्राचार) के लिए; इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और इसके बाएं आधे हिस्से में समान कार्डिनलिटी है, यानी। "आकार"। कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित कियाः क्रमिक संख्याएँ और मूल संख्याएँ। क्रमिक संख्याएँ अच्छी तरह से क्रमबद्ध समुच्चय की विशेषता हैं, या किसी भी ठहराव बिंदु पर गिनती की जाती है, जिसमें एक अनंत संख्या के बाद के अंक भी शामिल हैं जिन्हें पहले ही गिना जा चुका है। परिमित और (साधारण) अनंत अनुक्रमों का सामान्यीकरण जो सकारात्मक पूर्णांकों से मानचित्र हैं, क्रमिक संख्याओं से पारगमन अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर ले जाता है। कार्डिनल संख्या समूह के आकार को परिभाषित करती है, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार की कार्डिनल संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमिक संख्या का चयन करके मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमिक अनंतता धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों की प्रधानता होती है, गणना योग्य रूप से अनंत होता है। यदि कोई समुच्चय बहुत बड़ा है जिसे सकारात्मक पूर्णांकों के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, तो इसे अनगिनत कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रबल हुए और आधुनिक गणित वास्तविक अनंत को एक सुसंगत और सुसंगत सिद्धांत के हिस्से के रूप में स्वीकार करता है। कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतियथार्थिक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ शामिल करती हैं। निरंतरता की कार्डिनलिटी कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि निरंतरता की कार्डिनलिटी प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक है; अर्थात, प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएँ हैं। अर्थात्, कैंटर ने यह दिखाया। निरंतरता परिकल्पना में कहा गया है कि वास्तविक की कार्डिनलिटी और प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनलिटी के बीच कोई कार्डिनल संख्या नहीं है, अर्थात। इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के भीतर साबित या गलत नहीं किया जा सकता है, यहां तक कि स्वयंसिद्ध चयन भी माना जा सकता है। कार्डिनल अंकगणित का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक वास्तविक संख्या रेखा में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी खंड में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह एक तल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है और वास्तव में, किसी भी सीमित-आयामी स्थान में। इन परिणामों में से पहला, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करने से स्पष्ट होता है, जो अंतराल () and.The के बीच एक-से-एक पत्राचार प्रदान करता है, दूसरा परिणाम 1878 में कैंटर द्वारा साबित किया गया था, लेकिन केवल 1890 में सहज रूप से स्पष्ट हो गया, जब ग्यूसेप पीनो ने अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र, घुमावदार रेखाओं की शुरुआत की जो पूरे वर्ग, या घन, या हाइपरक्यूब, या सीमित-आयामी स्थान को भरने के लिए पर्याप्त मोड़ और मुड़ती हैं। इन वक्रों का उपयोग वर्ग के एक तरफ के बिंदुओं और वर्ग में बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। ज्यामिति 19वीं शताब्दी के अंत तक, ज्यामिति में अनंत की चर्चा शायद ही कभी की जाती थी, सिवाय उन प्रक्रियाओं के संदर्भ में जिन्हें बिना किसी सीमा के जारी रखा जा सकता था। उदाहरण के लिए, एक रेखा थी जिसे अब एक रेखा खंड कहा जाता है, इस प्रावधान के साथ कि कोई इसे जहाँ तक चाहे विस्तारित कर सकता है; लेकिन इसे असीम रूप से विस्तारित करने का सवाल ही नहीं था। इसी तरह, एक रेखा को आम तौर पर असीम रूप से कई बिंदुओं से बना नहीं माना जाता था, बल्कि एक ऐसा स्थान था जहाँ एक बिंदु रखा जा सकता था। भले ही असीम रूप से कई संभावित स्थान हों, लेकिन एक रेखा पर केवल सीमित संख्या में अंक ही रखे जा सकते हैं। इसका एक गवाह अभिव्यक्ति है "एक बिंदु का स्थान जो कुछ गुणों को संतुष्ट करता है" (एकवचन), जहां आधुनिक गणितशास्त्री आम तौर पर "गुणों वाले बिंदुओं का समूह" (बहुवचन) कहते हैं। वास्तविक अनंत से जुड़ी गणितीय अवधारणा के दुर्लभ अपवादों में से एक प्रोजेक्टिव ज्यामिति थी, जहां अनंत पर बिंदुओं को यूक्लिडियन स्पेस में परिप्रेक्ष्य प्रभाव के मॉडलिंग के लिए जोड़ा जाता है जो "अनंत पर" प्रतिच्छेदन करने वाली समानांतर रेखाओं को दर्शाता है। गणितीय रूप से, अनंत पर बिंदुओं को कुछ विशेष मामलों पर विचार नहीं करने की अनुमति देने का लाभ होता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेप्य तल में, दो अलग-अलग रेखाएं बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि अनंत पर बिंदुओं के बिना, समानांतर रेखाओं के लिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होते हैं। इसलिए, समानांतर और गैर-समानांतर रेखाओं का शास्त्रीय ज्यामिति में अलग-अलग अध्ययन किया जाना चाहिए, जबकि उन्हें प्रोजेक्टिव ज्यामिति में अलग करने की आवश्यकता नहीं है। गणित की नींव के लिए समुच्चय सिद्धांत के उपयोग से पहले, बिंदुओं और रेखाओं को अलग-अलग संस्थाओं के रूप में देखा जाता था, और एक बिंदु को एक रेखा पर स्थित किया जा सकता था। गणित में समुच्चय सिद्धांत के सार्वभौमिक उपयोग के साथ, दृष्टिकोण नाटकीय रूप से बदल गया हैः एक रेखा को अब उसके बिंदुओं के समूह के रूप में माना जाता है, और एक कहता है कि एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होने के बजाय एक रेखा से संबंधित है (हालाँकि, बाद वाला वाक्यांश अभी भी उपयोग किया जाता है)। विशेष रूप से, आधुनिक गणित में, रेखाएँ अनंत समुच्चय हैं। शास्त्रीय ज्यामिति में पाए जाने वाले वेक्टर रिक्त स्थान का हमेशा एक सीमित आयाम होता है, आमतौर पर दो या तीन। हालाँकि, यह वेक्टर स्पेस की अमूर्त परिभाषा से निहित नहीं है, और अनंत आयाम के वेक्टर स्पेस पर विचार किया जा सकता है। यह आम तौर पर कार्यात्मक विश्लेषण में होता है जहां कार्य स्थान आम तौर पर अनंत आयाम के सदिश स्थान होते हैं। टोपोलॉजी में, कुछ निर्माण अनंत आयाम के टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान उत्पन्न कर सकते हैं। विशेष रूप से, यह पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान का मामला है। फ्रैक्टल एक फ्रैक्टल वस्तु की संरचना को उसके आवर्धन में दोहराया जाता है। फ्रैक्टल को उनकी संरचना को खोए बिना और "चिकनी" बने बिना अनिश्चित काल के लिए आवर्धित किया जा सकता है; उनकी अनंत परिधि होती है, और अनंत या सीमित क्षेत्र हो सकते हैं। एक अनंत परिधि और सीमित क्षेत्र के साथ ऐसा ही एक फ्रैक्टल वक्र कोच स्नोफ्लेक है। अनन्तता के बिना गणित लियोपोल्ड क्रोनेकर को अनंत की धारणा पर संदेह था और उनके साथी गणितशास्त्री 1870 और 1880 के दशक में इसका उपयोग कैसे कर रहे थे। यह संदेहवाद गणित के दर्शन में विकसित हुआ था जिसे फिनिटिज्म कहा जाता है, जो रचनात्मकता और अंतर्ज्ञानवाद के सामान्य दार्शनिक और गणितीय स्कूलों में गणितीय दर्शन का एक चरम रूप है। भौतिकी भौतिकी में, वास्तविक संख्याओं के सन्निकटन का उपयोग निरंतर माप के लिए किया जाता है और प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग असतत माप (यानी, गिनती) के लिए किया जाता है। अनंत समतल तरंग जैसी अनंत चीजों की अवधारणाएँ मौजूद हैं, लेकिन उन्हें उत्पन्न करने के लिए कोई प्रयोगात्मक साधन नहीं हैं। ब्रह्मांड विज्ञान पहला प्रकाशित प्रस्ताव कि ब्रह्मांड अनंत है, 1576 में थॉमस डिगेस से आया था। आठ साल बाद, 1584 में, इतालवी दार्शनिक और खगोलशास्त्री जिओर्डानो ब्रूनो ने ऑन द इनफाइनाइट यूनिवर्स एंड वर्ल्ड्स में एक असीम ब्रह्मांड का प्रस्ताव रखाः "असंख्य सूर्य मौजूद हैं; असंख्य पृथ्वी इन सूर्यों के चारों ओर उसी तरह घूमती हैं जैसे सात ग्रह हमारे सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। जीवित प्राणी इन दुनियाओं में रहते हैं। ब्रह्मांड विज्ञानियों ने लंबे समय से यह पता लगाने की कोशिश की है कि क्या हमारे भौतिक ब्रह्मांड में अनंतता मौजूद हैः क्या अनंत संख्या में तारे हैं? क्या ब्रह्मांड में अनंत आयतन है? क्या अंतरिक्ष "हमेशा के लिए चलता है"? यह अभी भी ब्रह्मांड विज्ञान का एक खुला सवाल है। असीम होने का सवाल तार्किक रूप से सीमाओं के सवाल से अलग है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की द्वि-आयामी सतह सीमित है, फिर भी इसका कोई किनारा नहीं है। पृथ्वी की वक्रता के संबंध में एक सीधी रेखा में यात्रा करके, व्यक्ति अंततः उसी स्थान पर वापस आ जाएगा जहाँ से उसने शुरुआत की थी। ब्रह्मांड में, कम से कम सिद्धांत रूप में, एक समान टोपोलॉजी हो सकती है। यदि ऐसा है, तो ब्रह्मांड के माध्यम से एक सीधी रेखा में लंबे समय तक यात्रा करने के बाद कोई भी अंततः अपने प्रारंभिक बिंदु पर लौट सकता है। ब्रह्मांड की वक्रता को ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि विकिरण के स्पेक्ट्रम में बहुध्रुवीय क्षणों के माध्यम से मापा जा सकता है। आज तक, डब्ल्यूएमएपी अंतरिक्ष यान द्वारा दर्ज विकिरण पैटर्न के विश्लेषण से संकेत मिलता है कि ब्रह्मांड में एक सपाट टोपोलॉजी है। यह एक अनंत भौतिक ब्रह्मांड के अनुरूप होगा। हालाँकि, ब्रह्मांड सीमित हो सकता है, भले ही इसकी वक्रता सपाट हो। इसे समझने का एक आसान तरीका द्वि-आयामी उदाहरणों पर विचार करना है, जैसे कि वीडियो गेम जहां स्क्रीन के एक किनारे को छोड़ने वाली वस्तुएं दूसरे पर फिर से दिखाई देती हैं। इस तरह के खेलों की स्थलविज्ञान टोरॉइडल है और ज्यामिति सपाट है। त्रि-आयामी स्थान के लिए कई संभावित बंधी हुई, सपाट संभावनाएं भी मौजूद हैं। अनंत की अवधारणा बहुविविध परिकल्पना तक भी फैली हुई है, जिसे जब मिचिओ काकू जैसे खगोल भौतिकीविदों द्वारा समझाया जाता है, तो यह माना जाता है कि ब्रह्मांडों की एक अनंत संख्या और विविधता है। इसके अलावा, चक्रीय मॉडल अनंत मात्रा में बिग बैंग्स को प्रदर्शित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक अनंत चक्र में प्रत्येक बिग बैंग घटना के बाद ब्रह्मांडों की अनंत विविधता होती है। तर्क में, एक अनंत प्रतिगमन तर्क "एक विशिष्ट रूप से दार्शनिक प्रकार का तर्क है जो यह दिखाने के लिए है कि एक थीसिस दोषपूर्ण है क्योंकि यह एक अनंत श्रृंखला उत्पन्न करता है जब या तो (रूप ए) ऐसी कोई श्रृंखला मौजूद नहीं है या (रूप बी) यदि यह मौजूद है, तो थीसिस में भूमिका (जैसे, औचित्य की) की कमी होगी जो इसे निभानी चाहिए।" कम्प्यूटिंग आई. ई. ई. ई. फ्लोटिंग-पॉइंट मानक (आई. ई. ई. ई. 754) एक सकारात्मक और नकारात्मक अनंत मूल्य (और अनिश्चित मान भी) को निर्दिष्ट करता है। इन्हें अंकगणितीय अतिप्रवाह, शून्य द्वारा विभाजन और अन्य असाधारण संचालन के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएँ, जैसे जावा और जे, प्रोग्रामर को भाषा स्थिरांक के रूप में सकारात्मक और नकारात्मक अनंत मूल्यों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान करती हैं। इनका उपयोग सबसे बड़े और सबसे कम तत्वों के रूप में किया जा सकता है, क्योंकि वे अन्य सभी मूल्यों से अधिक या कम (क्रमशः) की तुलना करते हैं। उनका उपयोग एल्गोरिदम में प्रहरी मूल्यों के रूप में किया जाता है जिसमें छँटाई, खोज या खिड़की शामिल होती है। जिन भाषाओं में सबसे बड़े और सबसे कम तत्व नहीं होते हैं, लेकिन रिलेशनल ऑपरेटरों को ओवरलोडिंग की अनुमति देते हैं, उनमें एक प्रोग्रामर के लिए सबसे बड़े और सबसे कम तत्वों का निर्माण करना संभव है। उन भाषाओं में जो कार्यक्रम की प्रारंभिक स्थिति से ऐसे मूल्यों तक स्पष्ट पहुंच प्रदान नहीं करते हैं, लेकिन फ्लोटिंग-पॉइंट डेटा प्रकार को लागू करते हैं, अनंत मूल्य अभी भी कुछ संचालन के परिणामस्वरूप सुलभ और उपयोग करने योग्य हो सकते हैं। प्रोग्रामिंग में, एक अनंत लूप एक लूप है जिसकी निकास स्थिति कभी भी संतुष्ट नहीं होती है, इस प्रकार अनिश्चित काल तक निष्पादित होती है। कला, खेल और संज्ञानात्मक विज्ञान परिप्रेक्ष्य कलाकृति लुप्त होने वाले बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग करती है, जो लगभग अनंत पर गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, जो पर्यवेक्षक से अनंत दूरी पर स्थित है। यह कलाकारों को ऐसी पेंटिंग बनाने की अनुमति देता है जो यथार्थवादी रूप से स्थान, दूरी और रूपों को प्रस्तुत करती हैं। कलाकार एम. सी. एशर को विशेष रूप से इस और अन्य तरीकों से अपने काम में अनंत की अवधारणा को लागू करने के लिए जाना जाता है। सीमाहीन बोर्ड पर खेले जाने वाले शतरंज की विविधताओं को अनंत शतरंज कहा जाता है। संज्ञानात्मक वैज्ञानिक जॉर्ज लाकॉफ गणित और विज्ञान में अनंत की अवधारणा को एक रूपक मानते हैं। यह परिप्रेक्ष्य अनंत (बीएमआई) के मूल रूपक पर आधारित है, जिसे लगातार बढ़ते अनुक्रम <1,2,3,.> के रूप में परिभाषित किया गया है। यह भी देखें 0.999. एलेफ संख्या अनंत घातांक अनिश्चित रूप अनंत बंदर प्रमेय अनंत समूह अनंत विरोधाभास अनंत सुपरटास्क अतिवास्तविक संख्या संदर्भ ग्रंथ सूची स्रोत डी. पी. अग्रवाल (2000)। प्राचीन जैन गणितः एक परिचय, इन्फिनिटी फाउंडेशन। बेल, जे. एल. : निरंतरता और असीम। स्टैनफोर्ड एनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी। 2009 में संशोधित। जैन, एल. सी. (1973)। "जैन स्कूल ऑफ मैथेमेटिक्स में सिद्धांत निर्धारित करें", इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ साइंस। एच. जेरोम कीस्लरः एलीमेंट्री कैलकुलसः एन एप्रोच यूजिंग इनफिनिटसिमल्स। पहला संस्करण 1976; दूसरा संस्करण 1986। यह पुस्तक अब आउट ऑफ प्रिंट है। प्रकाशक ने कॉपीराइट को लेखक को वापस कर दिया है, जिसने दूसरे संस्करण को. पी. डी. एफ. प्रारूप में डाउनलोड करने के लिए http://www.math.wisc.edu ~ कीस्लर/कैल्क. एच. टी. एम. एल. ओ 'कॉनर, जॉन जे. और एडमंड एफ. रॉबर्टसन (1998) पर उपलब्ध कराया है। 'जॉर्ज फर्डिनेंड लुडविग फिलिप कैंटर', मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथेमैटिक्स आर्काइव। ओ 'कॉनर, जॉन जे. और एडमंड एफ. रॉबर्टसन (2000)। 'जैना मैथमेटिक्स', मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव। पियर्स, इयान। (2002)। 'जैनिज्म', मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथेमैटिक्स आर्काइव। बाहरी लिंक पीटर सुबर द्वारा अनंत सेटों के गणित में एक क्रैश कोर्स। सेंट जॉन्स रिव्यू से, XLIV, 2 (1998) 1-59। नीचे अनंत प्रतिबिंबों के लिए स्टैंड-अलोन परिशिष्ट है। कैंटर के अनंत समुच्चयों के गणित का एक संक्षिप्त परिचय। पीटर सुबर द्वारा अनंत प्रतिबिंब। कैसे कैंटर का अनंत का गणित अनंत की मुट्ठी भर प्राचीन दार्शनिक समस्याओं को हल करता है। सेंट जॉन्स रिव्यू से, XLIV, 2 (1998) 1-59। होटल इन्फिनिटी जॉन जे. ओ 'कॉनर और एडमंड एफ. रॉबर्टसन (1998)। 'जॉर्ज फर्डिनेंड लुडविग फिलिप कैंटर', मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथेमैटिक्स आर्काइव। जॉन जे. ओ 'कॉनर और एडमंड एफ. रॉबर्टसन (2000)। 'जैना मैथमेटिक्स', मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव। इयान पीयर्स (2002)। 'जैनिज्म', मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथेमैटिक्स आर्काइव। द मिस्ट्री ऑफ द एलेफः मैथमेटिक्स, द कब्बालाह, एंड द सर्च फॉर इन्फिनिटी डिक्शनरी ऑफ द इनफिनिटी (फिजिक्स, मैथमेटिक्स और फिलॉसफी में इनफिनिटी के बारे में लेखों का संकलन) लॉजिक में अवधारणाएं गणित गणितीय वस्तुओं का दर्शन