Convection–diffusion equation
संवहन-प्रसार समीकरण प्रसार और संवहन (एडवेक्शन) समीकरणों का एक संयोजन है, और भौतिक घटनाओं का वर्णन करता है जहां कण, ऊर्जा या अन्य भौतिक मात्राएं दो प्रक्रियाओं के कारण एक भौतिक प्रणाली के अंदर स्थानांतरित होती हैंः प्रसार और संवहन। संदर्भ के आधार पर, एक ही समीकरण को एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण, ड्रिफ्ट-डिफ्यूजन समीकरण, या (सामान्य) स्केलर परिवहन समीकरण कहा जा सकता है। समीकरण सामान्य सामान्य समीकरण वह है जहाँ ब्याज का चर (द्रव्यमान हस्तांतरण के लिए प्रजाति एकाग्रता, गर्मी हस्तांतरण के लिए तापमान), विसरण (जिसे प्रसार गुणांक भी कहा जाता है) है, जैसे कि कण गति के लिए द्रव्यमान विसरण या गर्मी परिवहन के लिए तापीय विसरण, वह वेग क्षेत्र है जिसके साथ मात्रा आगे बढ़ रही है। यह समय और स्थान का एक कार्य है। उदाहरण के लिए, एडवेक्शन में, एक नदी में नमक की सांद्रता हो सकती है, और फिर समय और स्थान के कार्य के रूप में जल प्रवाह का वेग होगा। एक अन्य उदाहरण, एक शांत झील में छोटे बुलबुले की सांद्रता हो सकती है, और फिर बुलबुले के समय और स्थान के आधार पर उछाल (नीचे देखें) द्वारा सतह की ओर बढ़ने वाले बुलबुले का वेग होगा। छिद्रपूर्ण माध्यम में बहु-चरणीय प्रवाह और प्रवाह के लिए, (काल्पनिक) सतही वेग है। मात्रा के स्रोतों या डूबने का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, एक रासायनिक प्रजाति के लिए, इसका मतलब है कि एक रासायनिक प्रतिक्रिया अधिक प्रजातियों का निर्माण कर रही है, और इसका मतलब है कि एक रासायनिक प्रतिक्रिया प्रजातियों को नष्ट कर रही है। ताप परिवहन के लिए, तब हो सकता है जब घर्षण द्वारा तापीय ऊर्जा उत्पन्न की जा रही हो। ढाल का प्रतिनिधित्व करता है और विचलन का प्रतिनिधित्व करता है। इस समीकरण में, एकाग्रता प्रवणता का प्रतिनिधित्व करता है। शामिल शब्दों को समझना समीकरण का दाहिना पक्ष तीन योगदानों का योग है। पहला, प्रसार का वर्णन करता है। कल्पना कीजिए कि यह एक रसायन की सांद्रता है। जब आसपास के क्षेत्रों की तुलना में कहीं एकाग्रता कम हो (जैसे। एक स्थानीय न्यूनतम सांद्रता), पदार्थ आसपास से फैल जाएगा, इसलिए सांद्रता बढ़ेगी। इसके विपरीत, यदि आसपास की तुलना में एकाग्रता अधिक है (जैसे। एक स्थानीय अधिकतम सांद्रता), फिर पदार्थ फैल जाएगा और सांद्रता कम हो जाएगी। शुद्ध प्रसार सांद्रता के लाप्लासियन (या दूसरा व्युत्पन्न) के समानुपाती होता है यदि प्रसार एक स्थिरांक है। दूसरा योगदान, संवहन (या विकास) का वर्णन करता है। कल्पना कीजिए कि एक नदी के किनारे खड़े होकर हर सेकंड पानी की लवणता (नमक की मात्रा) को मापें। ऊपर की ओर, कोई नमक की एक बाल्टी नदी में फेंक देता है। कुछ समय बाद, आप देखेंगे कि लवणता अचानक बढ़ जाती है, फिर गिर जाती है, जैसे-जैसे नमकीन पानी का क्षेत्र गुजरता है। इस प्रकार, प्रवाह के कारण किसी दिए गए स्थान पर सांद्रता बदल सकती है। अंतिम योगदान, मात्रा के निर्माण या विनाश का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, यदि अणु की सांद्रता है, तो वर्णन करें कि रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा अणु को कैसे बनाया या नष्ट किया जा सकता है। अन्य मापदंडों का एक कार्य हो सकता है। अक्सर कई मात्राएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक का अपना संवहन-प्रसार समीकरण होता है, जहाँ एक मात्रा के विनाश से दूसरे का निर्माण होता है। उदाहरण के लिए, जब मीथेन जलती है, तो इसमें न केवल मीथेन और ऑक्सीजन का विनाश होता है, बल्कि कार्बन डाइऑक्साइड और जल वाष्प का निर्माण भी होता है। इसलिए, जबकि इनमें से प्रत्येक रसायन का अपना संवहन-प्रसार समीकरण होता है, वे एक साथ युग्मित होते हैं और इन्हें एक साथ विभेदक समीकरणों की प्रणाली के रूप में हल किया जाना चाहिए। सामान्य सरलीकरण एक सामान्य स्थिति में, प्रसार गुणांक स्थिर होता है, कोई स्रोत या सिंक नहीं होते हैं, और वेग क्षेत्र एक असंपीड़ित प्रवाह का वर्णन करता है (यानी, इसमें शून्य विचलन होता है)। फिर सूत्र इस प्रकार सरल हो जाता हैः इस रूप में, संवहन-प्रसार समीकरण परवलयिक और हाइपरबोलिक दोनों आंशिक विभेदक समीकरणों को जोड़ता है। गैर-परस्पर क्रिया करने वाली सामग्री में, (उदाहरण के लिए, जब तापमान निरपेक्ष शून्य के करीब होता है, तो मंद गैस में लगभग शून्य द्रव्यमान विसरण होता है), इसलिए परिवहन समीकरण सरल हैः लौकिक और स्थानिक दोनों क्षेत्रों में फूरियर परिवर्तन का उपयोग करके (अर्थात, अभिन्न कर्नेल के साथ), इसका विशिष्ट समीकरण प्राप्त किया जा सकता हैः जो सामान्य समाधान देता हैः जहां कोई भी अवकलनीय स्केलर फलन है। यह उड़ान विधि के समय के माध्यम से निकट बोस-आइंस्टीन संघनन के लिए तापमान माप का आधार है। स्थिर संस्करण स्थिर संवहन-प्रसार समीकरण एक संवहनी-प्रसार प्रणाली के स्थिर-अवस्था व्यवहार का वर्णन करता है। स्थिर अवस्था में, इसलिए सूत्र हैः व्युत्पत्ति संवहन-प्रसार समीकरण को निरंतरता समीकरण से सीधे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है, जो बताता है कि एक विभेदक नियंत्रण आयतन में एक अदिश मात्रा के लिए परिवर्तन की दर प्रवाह द्वारा दी जाती है और नियंत्रण आयतन के अंदर किसी भी उत्पादन या खपत के साथ प्रणाली के उस हिस्से में और बाहर फैलती हैः कुल प्रवाह कहाँ है और इसके लिए एक शुद्ध आयतन स्रोत है। इस स्थिति में प्रवाह के दो स्रोत हैं। सबसे पहले, प्रसार के कारण विसरण प्रवाह उत्पन्न होता है। यह आम तौर पर फिक के पहले नियम द्वारा अनुमानित हैः अर्थात, प्रणाली के किसी भी हिस्से में विसरण सामग्री (थोक गति के सापेक्ष) का प्रवाह स्थानीय एकाग्रता प्रवणता के समानुपाती होता है। दूसरा, जब समग्र संवहन या प्रवाह होता है, तो एक संबद्ध प्रवाह होता है जिसे एडवेक्टिव फ्लक्स कहा जाता हैः कुल प्रवाह (एक स्थिर निर्देशांक प्रणाली में) इन दोनों के योग से दिया जाता हैः निरंतरता समीकरण में जुड़नाः जटिल मिश्रण घटना सामान्य रूप से,, और स्थान और समय के साथ भिन्न हो सकता है। जिन मामलों में वे एकाग्रता पर भी निर्भर करते हैं, समीकरण अरैखिक हो जाता है, जो कई विशिष्ट मिश्रण घटनाओं को जन्म देता है जैसे कि रेले-बेनार्ड संवहन जब गर्मी हस्तांतरण निर्माण में तापमान पर निर्भर करता है और प्रतिक्रिया-प्रसार पैटर्न गठन जब द्रव्यमान हस्तांतरण निर्माण में एकाग्रता पर निर्भर करता है। एक बल के जवाब में वेग कुछ मामलों में, औसत वेग क्षेत्र एक बल के कारण मौजूद होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण एक तरल में घुलनशील आयनों के प्रवाह का वर्णन कर सकता है, जिसमें एक विद्युत क्षेत्र आयनों को किसी दिशा में खींचता है (जैसे जेल इलेक्ट्रोफोरेसिस में)। इस स्थिति में, इसे आमतौर पर ड्रिफ्ट-डिफ्यूजन समीकरण या स्मोलुचोव्स्की समीकरण कहा जाता है, मैरियन स्मोलुचोव्स्की के बाद, जिन्होंने 1915 में इसका वर्णन किया था (आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध या स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। आमतौर पर, औसत वेग लागू बल के सीधे आनुपातिक होता है, जो समीकरण देता हैः बल कहाँ है, और घर्षण या चिपचिपा खिंचाव की विशेषता है। (इसके विपरीत को गतिशीलता कहा जाता है।) आइंस्टीन संबंध की व्युत्पत्ति जब बल एक स्थितिज ऊर्जा से जुड़ा होता है (रूढ़िवादी बल देखें), तो उपरोक्त समीकरण का एक स्थिर अवस्था समाधान (यानी) is: (मानते हुए और स्थिर हैं)। दूसरे शब्दों में, अधिक कण होते हैं जहाँ ऊर्जा कम होती है। यह एकाग्रता रूपरेखा बोल्ट्ज़मैन वितरण (अधिक सटीक रूप से, गिब्स माप) से सहमत होने की उम्मीद है। इस धारणा से, आइंस्टीन संबंध को सिद्ध किया जा सकता हैः स्मोलुकोव्स्की संवहन-प्रसार समीकरण स्मोलुकोव्स्की संवहन-प्रसार समीकरण एक अतिरिक्त संवहन प्रवाह-क्षेत्र के साथ एक यादृच्छिक (स्मोलुकोव्स्की) प्रसार समीकरण है, इस मामले में, बल दो कोलॉइडल कणों या द्रव में दो अणुओं के बीच अंतर-आणविक बातचीत बल के बीच रूढ़िवादी अंतर-कण बातचीत बल का वर्णन करता है, और यह बाहरी रूप से लगाए गए प्रवाह वेग से असंबंधित है। इस समीकरण का स्थिर-अवस्था संस्करण अपरूपण प्रवाह के तहत कोलॉइडल निलंबन के युग्म वितरण कार्य (जिसके साथ पहचाना जा सकता है) का विवरण प्रदान करने का आधार है। इस समीकरण के स्थिर-अवस्था संस्करण का एक अनुमानित समाधान मिलान किए गए असिम्प्टोटिक विस्तार की विधि का उपयोग करके पाया गया है। यह समाधान एक कतरनी प्रवाह में दो अणुओं की परिवहन-नियंत्रित प्रतिक्रिया दर के लिए एक सिद्धांत प्रदान करता है, और कतरनी प्रवाह के अधीन कोलॉइडल प्रणालियों के लिए कोलॉइडल स्थिरता के डी. एल. वी. ओ. सिद्धांत का विस्तार करने का एक तरीका भी प्रदान करता है। माइक्रोफ्लुइडिक्स, रासायनिक रिएक्टरों, पर्यावरणीय प्रवाह में)। मिलान असिंप्टोटिक विस्तार की विधि का उपयोग करके प्राप्त स्थिर-अवस्था समीकरण का पूर्ण समाधान, एलेसियो जैकोन और एल. बैनेटा द्वारा कतरनी प्रवाह में लेनार्ड-जोन्स परस्पर क्रिया करने वाले कणों के युग्म वितरण कार्य की गणना करने के लिए विकसित किया गया है और बाद में अपरूपण प्रवाह में आवेश-स्थिर (युकावा या डेबी-हकल) कोलॉइडल कणों के युग्म वितरण कार्य की गणना करने के लिए विस्तारित किया गया है। एक यादृच्छिक विभेदक समीकरण के रूप में संवहन-प्रसार समीकरण (बिना किसी स्रोत या नाली के) को एक यादृच्छिक विभेदक समीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जो विसरण और पूर्वाग्रह के साथ यादृच्छिक गति का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण किसी एकल कण की ब्राउनियन गति का वर्णन कर सकता है, जहां चर किसी दिए गए समय पर किसी दिए गए स्थान पर कण के होने की संभावना वितरण का वर्णन करता है। समीकरण का उपयोग इस तरह से किया जा सकता है क्योंकि एक कण के संभाव्यता वितरण और असीम रूप से कई कणों के संग्रह की एकाग्रता रूपरेखा (जब तक कि कण एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं) के बीच कोई गणितीय अंतर नहीं है। लैंगविन समीकरण एक स्पष्ट रूप से यादृच्छिक तरीके से विकास, प्रसार और अन्य घटनाओं का वर्णन करता है। लैंगविन समीकरण के सबसे सरल रूपों में से एक है जब इसका "शोर शब्द" गॉसियन होता है; इस मामले में, लैंगविन समीकरण बिल्कुल संवहन-प्रसार समीकरण के बराबर होता है। हालाँकि, लैंगविन समीकरण अधिक सामान्य है। संख्यात्मक समाधान संवहन-प्रसार समीकरण को शायद ही कभी कलम और कागज से हल किया जा सकता है। अक्सर, कंप्यूटर का उपयोग समीकरण के समाधान को संख्यात्मक रूप से अनुमानित करने के लिए किया जाता है, आमतौर पर परिमित तत्व विधि का उपयोग करते हुए। अधिक जानकारी और एल्गोरिदम के लिए कन्वेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण का संख्यात्मक समाधान देखें। अन्य संदर्भों में समान समीकरण संवहन-प्रसार समीकरण एक अपेक्षाकृत सरल समीकरण है जो प्रवाह का वर्णन करता है, या वैकल्पिक रूप से, एक यादृच्छिक रूप से बदलती प्रणाली का वर्णन करता है। इसलिए, समान या समान समीकरण कई संदर्भों में उत्पन्न होता है जो अंतरिक्ष के माध्यम से प्रवाह से असंबंधित है। यह औपचारिक रूप से एक कण के वेग के लिए फोकर-प्लैंक समीकरण के समान है। यह ब्लैक-स्कोल्स समीकरण और वित्तीय गणित में अन्य समीकरणों से निकटता से संबंधित है। यह नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से निकटता से संबंधित है, क्योंकि किसी द्रव में संवेग का प्रवाह गणितीय रूप से द्रव्यमान या ऊर्जा के प्रवाह के समान होता है। एक असंपीड़ित न्यूटोनियन द्रव के मामले में पत्राचार सबसे स्पष्ट है, इस मामले में नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैः जहां प्रत्येक बिंदु पर द्रव की गति (प्रति इकाई आयतन) है (वेग से गुणा किए गए घनत्व के बराबर), चिपचिपाहट है, द्रव दबाव है, और गुरुत्वाकर्षण जैसे किसी भी अन्य शरीर बल है। इस समीकरण में, बाईं ओर का शब्द किसी दिए गए बिंदु पर संवेग में परिवर्तन का वर्णन करता है; दाईं ओर का पहला पद चिपचिपाहट द्वारा संवेग के प्रसार का वर्णन करता है; दाईं ओर का दूसरा पद संवेग के संवहनी प्रवाह का वर्णन करता है; और दाईं ओर के अंतिम दो शब्द बाहरी और आंतरिक बलों का वर्णन करते हैं जो संवेग के स्रोत या डूब के रूप में कार्य कर सकते हैं। अर्धचालक भौतिकी में, इस समीकरण को बहाव-प्रसार समीकरण कहा जाता है। "ड्रिफ्ट" शब्द ड्रिफ्ट करंट और ड्रिफ्ट वेग से संबंधित है। समीकरण आम तौर पर लिखा जाता हैः जहां और हैं, क्रमशः इलेक्ट्रॉनों और छेदों की सांद्रता (घनत्व) प्राथमिक आवेश है, और क्रमशः इलेक्ट्रॉनों और छेदों के कारण विद्युत धाराएं हैं, और क्रमशः इलेक्ट्रॉनों और छेदों की संबंधित "कण धाराएं" हैं, जो वाहक उत्पादन और पुनर्संयोजन (इलेक्ट्रॉन-छेद जोड़े की पीढ़ी के लिए, पुनर्संयोजन के लिए) का प्रतिनिधित्व करती हैं। विद्युत क्षेत्र सदिश है और इलेक्ट्रॉन और छेद गतिशीलता हैं। प्रसार गुणांक और गतिशीलता ऊपर के रूप में आइंस्टीन संबंध से संबंधित हैंः जहाँ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और निरपेक्ष तापमान है। प्रवाह धारा और प्रसार धारा अलग-अलग अभिव्यक्तियों में दो शब्दों को संदर्भित करते हैं, अर्थात्ः इस समीकरण को पॉइसन के समीकरण के साथ संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। बहाव प्रसार समीकरण को हल करने के परिणामों का एक उदाहरण दाईं ओर दिखाया गया है। जब प्रकाश अर्धचालक के केंद्र पर चमकता है, तो वाहक बीच में उत्पन्न होते हैं और दो सिरों की ओर फैलते हैं। प्रवाह-प्रसार समीकरण को इस संरचना में हल किया जाता है और इलेक्ट्रॉन घनत्व वितरण को चित्र में प्रदर्शित किया जाता है। वाहक का ढाल केंद्र से दो छोरों की ओर देखा जा सकता है। उन्नत अनुकरण पुस्तकालय संरक्षण समीकरण असंपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण नेर्नस्ट-प्लैंक समीकरण दोहरे विसरण संवहन प्राकृतिक संवहन बकले-लेवरेट समीकरण संदर्भ आगे पढ़ने के लिए विभाजक परवलयिक आंशिक विभेदक समीकरण यादृच्छिक विभेदक समीकरण परिवहन घटना समीकरण भौतिकी के समीकरण