Steinitz's theorem
पॉलीहेड्रल संयोजन विज्ञान में, गणित की एक शाखा, स्टेनिट्ज़ की प्रमेय त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रा के किनारों और शीर्षों द्वारा बनाए गए अनिर्दिष्ट ग्राफों का एक लक्षण वर्णन हैः वे बिल्कुल 3-वर्टेक्स से जुड़े समतलीय ग्राफ हैं। अर्थात्, प्रत्येक उत्तल पॉलीहेड्रॉन एक 3-जुड़ा हुआ समतलीय ग्राफ बनाता है, और प्रत्येक 3-जुड़ा हुआ समतलीय ग्राफ को एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन के ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस कारण से, 3-जुड़े समतलीय आलेखों को पॉलीहेड्रल आलेखों के रूप में भी जाना जाता है। यह परिणाम त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए एक वर्गीकरण प्रमेय प्रदान करता है, कुछ ऐसा जो उच्च आयामों में ज्ञात नहीं है। यह इन पॉलीहेड्रा के आलेखों का एक पूर्ण और विशुद्ध रूप से संयोजन विवरण प्रदान करता है, जिससे उन पर अन्य परिणामों की अनुमति मिलती है, जैसे कि दिए गए प्रकार के चेहरों के साथ पॉलीहेड्रा की प्राप्ति पर एबरहार्ड की प्रमेय, इन आकृतियों की ज्यामिति के संदर्भ के बिना अधिक आसानी से साबित की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, इसे ग्राफ ड्राइंग में अमूर्त ग्राफ के त्रि-आयामी दृश्यों के निर्माण के तरीके के रूप में लागू किया गया है। ब्रांको ग्रनबॉम ने इस प्रमेय को "3-बहुपदों पर सबसे महत्वपूर्ण और सबसे गहरा ज्ञात परिणाम" कहा है। यह प्रमेय अर्न्स्ट स्टेनिट्ज़ के 1922 के प्रकाशन में दिखाई देता है, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। इसे गणितीय प्रेरण द्वारा (जैसा कि स्टीनित्ज़ ने किया था), द्वि-आयामी स्प्रिंग प्रणाली की न्यूनतम-ऊर्जा स्थिति का पता लगाकर और परिणाम को तीन आयामों में उठाकर, या वृत्त पैकिंग प्रमेय का उपयोग करके साबित किया जा सकता है। प्रमेय के कई विस्तार ज्ञात हैं, जिसमें दिए गए ग्राफ को महसूस करने वाले पॉलीहेड्रॉन में अतिरिक्त बाधाएं होती हैं; उदाहरण के लिए, प्रत्येक पॉलीहेड्रल ग्राफ पूर्णांक निर्देशांक के साथ एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ होता है, या एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ होता है जिसके सभी किनारे एक सामान्य मध्य क्षेत्र के लिए स्पर्शरेखा होते हैं। प्रमेय की परिभाषाएँ और कथन एक दिशाहीन ग्राफ शीर्षों और किनारों की एक प्रणाली है, प्रत्येक किनारा दो शीर्षों को जोड़ता है। जैसा कि ग्राफ सिद्धांत में आम है, स्टेनिट्ज़ के प्रमेय के उद्देश्यों के लिए ये ग्राफ सीमित होने तक सीमित हैं (शीर्ष और किनारे सीमित सेट हैं) और सरल (कोई भी दो किनारे एक ही दो शीर्षों को नहीं जोड़ते हैं, और कोई भी किनारा एक शीर्ष को खुद से नहीं जोड़ता है)। किसी भी पॉलीहेड्रॉन से कोई भी ग्राफ बना सकता है, ग्राफ के शीर्षों को पॉलीहेड्रॉन के शीर्षों के अनुरूप करके और किसी भी दो ग्राफ शीर्षों को एक किनारे से जोड़कर जब भी संबंधित दो पॉलीहेड्रॉन शीर्ष पॉलीहेड्रॉन के किनारे के अंतिम बिंदु हों। इस ग्राफ को पॉलीहेड्रॉन के कंकाल के रूप में जाना जाता है। एक ग्राफ समतल होता है यदि इसे यूक्लिडियन तल में बिंदुओं के रूप में अपने शीर्षों के साथ खींचा जा सकता है, और इसके किनारों को वक्रों के रूप में जो इन बिंदुओं को जोड़ते हैं, जैसे कि कोई दो किनारे वक्र एक दूसरे को पार नहीं करते हैं और ऐसा कि एक शीर्ष का प्रतिनिधित्व करने वाला बिंदु वक्र पर स्थित होता है जो केवल एक किनारे का प्रतिनिधित्व करता है जब शीर्ष किनारे का अंतिम बिंदु होता है। फैरी के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक समतल रेखा को सीधा किया जा सकता है ताकि किनारों का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्र रेखा खंड हों। एक ग्राफ 3 से जुड़ा होता है यदि इसमें तीन से अधिक शीर्ष होते हैं और इसके किसी भी दो शीर्षों को हटाने के बाद, शीर्षों की कोई भी अन्य जोड़ी एक पथ से जुड़ी रहती है। स्टेनिट्ज़ के प्रमेय में कहा गया है कि ये दोनों स्थितियाँ त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रा के कंकालों को चिह्नित करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त दोनों हैंः एक दिया गया ग्राफ एक उत्तल त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ है, अगर और केवल अगर समतल और 3-वर्टेक्स-जुड़ा हुआ है। सबूत स्टेनिट्ज़ के प्रमेय की एक दिशा (साबित करने के लिए आसान दिशा) बताती है कि प्रत्येक उत्तल पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ समतल और 3-जुड़ा हुआ है। जैसा कि चित्रण में दिखाया गया है, एक श्लेगल आरेख का उपयोग करके समतलीयता को दिखाया जा सकता हैः यदि कोई प्रकाश स्रोत को पॉलीहेड्रॉन के एक चेहरे के पास रखता है, और दूसरी तरफ एक तल रखता है, तो पॉलीहेड्रॉन किनारों की छाया एक समतलीय ग्राफ बनाएगी, जो इस तरह से अंतर्निहित होगी कि किनारे सीधी रेखा खंड हों। पॉलीहेड्रल ग्राफ की 3-संयोजकता बालिंस्की के प्रमेय का एक विशेष मामला है कि किसी भी आयामी उत्तल पॉलीटोप का ग्राफ-जुड़ा हुआ है। एक पॉलीटोप के ग्राफ की कनेक्टिविटी, उसके किसी भी शीर्ष को हटाने के बाद, एक और शीर्ष को चुनकर, शीर्षों के परिणामी सेट पर शून्य होने वाले एक रैखिक फ़ंक्शन को ढूंढकर, और सिंप्लेक्स विधि द्वारा उत्पन्न पथ का पालन करके साबित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक शीर्ष को रैखिक फ़ंक्शन के दो चरम शीर्षों में से एक से जोड़ा जा सके, जिसमें चुना गया शीर्ष दोनों से जुड़ा हो। स्टेनिट्ज़ के प्रमेय की दूसरी, अधिक कठिन दिशा में कहा गया है कि प्रत्येक समतलीय 3-जुड़ा ग्राफ एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन का ग्राफ है। इस भाग के लिए तीन मानक दृष्टिकोण हैंः प्रेरण द्वारा प्रमाण, मैक्सवेल-क्रेमोना पत्राचार का उपयोग करके दो-आयामी टट्टे एम्बेडिंग को तीन आयामों में उठाना, और एक कैनॉनिकल पॉलीहेड्रॉन उत्पन्न करने के लिए सर्कल पैकिंग प्रमेय का उपयोग करने की विधियाँ। इंडक्शन हालांकि स्टेनिट्ज़ का मूल प्रमाण ग्राफ सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया था, लेकिन इसे उन शब्दों में फिर से लिखा जा सकता है, और इसमें δ-Y और Y-δ परिवर्तनों का एक अनुक्रम खोजना शामिल है जो किसी भी 3-जुड़े प्लेनर ग्राफ को टेट्राहेड्रॉन के ग्राफ में कम कर देता है। एक Y-δ परिवर्तन एक ग्राफ से एक डिग्री-तीन शीर्ष को हटा देता है, अपने सभी पूर्व पड़ोसियों के बीच किनारों को जोड़ता है यदि वे किनारे पहले से मौजूद नहीं थे; एक विपरीत परिवर्तन, एक त्रिभुज के किनारों को एक ग्राफ से हटा देता है और उन्हें उसी तीन शीर्षों से सटे एक नए डिग्री-तीन शीर्ष द्वारा प्रतिस्थापित करता है। एक बार जब ऐसा अनुक्रम मिल जाता है, तो इसे उलट दिया जा सकता है और ज्यामितीय संचालन में परिवर्तित किया जा सकता है जो एक टेट्राहेड्रॉन से शुरू होकर चरण-दर-चरण वांछित पॉलीहेड्रॉन का निर्माण करता है। एक बहुफलक से एक डिग्री-तीन शीर्ष को काटकर विपरीत अनुक्रम में प्रत्येक Y-δ परिवर्तन को ज्यामितीय रूप से किया जा सकता है। एक बहुफलक से एक त्रिकोणीय चेहरे को हटाकर और उसके पड़ोसी चेहरों को उस बिंदु तक विस्तारित करके ज्यामितीय रूप से एक विपरीत अनुक्रम में एक δ-Y परिवर्तन किया जा सकता है जहां वे मिलते हैं, लेकिन केवल तभी जब तीन पड़ोसी चेहरों का वह ट्रिपल प्रतिच्छेदन बिंदु बहुफलक से हटाए गए चेहरे के दूर की ओर हो। जब ट्रिपल प्रतिच्छेदन बिंदु इस चेहरे के दूर की ओर नहीं होता है, तो पॉलीहेड्रॉन का एक प्रोजेक्टिव परिवर्तन इसे सही तरफ ले जाने के लिए पर्याप्त होता है। इसलिए, दिए गए ग्राफ को कम करने के लिए आवश्यक α-Y और Y-α परिवर्तनों की संख्या को शामिल करके, प्रत्येक पॉलीहेड्रल ग्राफ को एक पॉलीहेड्रॉन के रूप में महसूस किया जा सकता है। एपिफानोव के एक बाद के काम ने स्टेनिट्ज़ के इस प्रमाण को मजबूत किया कि प्रत्येक पॉलीहेड्रल ग्राफ को δ-Y और Y-δ परिवर्तनों द्वारा कम किया जा सकता है। एपिफानोव ने साबित किया कि यदि एक समतलीय ग्राफ में दो शीर्ष निर्दिष्ट किए जाते हैं, तो ग्राफ को श्रृंखला-समानांतर कटौती के साथ δ-Y और Y-δ परिवर्तनों को जोड़कर उन टर्मिनलों के बीच एक किनारे तक कम किया जा सकता है। एपिफानोव का प्रमाण जटिल और गैर-रचनात्मक था, लेकिन इसे ट्रूमपर द्वारा ग्राफ माइनर पर आधारित तरीकों का उपयोग करके सरल बनाया गया था। ट्रूमपर ने देखा कि प्रत्येक ग्रिड ग्राफ इस तरह से α-Y और Y-α परिवर्तनों द्वारा कम किया जा सकता है, कि इस कम करने की क्षमता को ग्राफ माइनर द्वारा संरक्षित किया जाता है, और यह कि प्रत्येक प्लेनर ग्राफ एक ग्रिड ग्राफ का एक माइनर है। इस विचार का उपयोग स्टेनिट्ज़ के इस सिद्धांत को बदलने के लिए किया जा सकता है कि एक कमी अनुक्रम मौजूद है। इस प्रतिस्थापन के बाद, बाकी प्रमाण को स्टीनित्ज़ के मूल प्रमाण की तरह ही प्रेरण का उपयोग करके किया जा सकता है। इन प्रमाणों के लिए, α-Y और Y-α परिवर्तनों के अनुक्रमों को खोजने के किसी भी तरीके का उपयोग करके, पॉलीहेड्रल ग्राफ मौजूद हैं जिनके लिए गैर-रैखिक संख्या में चरणों की आवश्यकता होती है। अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक समतलीय ग्राफ को अधिक से अधिक आनुपातिक कई चरणों का उपयोग करके कम किया जा सकता है, और असीम रूप से कई ग्राफों को कम से कम आनुपातिक कई चरणों की आवश्यकता होती है, जहां ग्राफ में शीर्षों की संख्या है। प्रेरण प्रमाण का एक वैकल्पिक रूप किनारों को हटाने (और डिग्री-दो शीर्षों को संपीड़ित करने पर आधारित है जो इस हटाने के बाद छोड़े जा सकते हैं) या किनारों को सिकोड़ने और दिए गए समतलीय ग्राफ का एक छोटा हिस्सा बनाने पर आधारित है। किसी भी पॉलीहेड्रल ग्राफ को इन संचालनों की एक रैखिक संख्या से कम किया जा सकता है, और फिर से संचालन को उलट दिया जा सकता है और विपरीत संचालन को ज्यामितीय रूप से किया जा सकता है, जिससे ग्राफ की एक पॉलीहेड्रल प्राप्ति होती है। हालांकि, यह साबित करना आसान है कि इस प्रकार के तर्क के लिए एक कमी अनुक्रम मौजूद है, और कमी अनुक्रम छोटे हैं, अनुक्रम को उलटने के लिए आवश्यक ज्यामितीय चरण अधिक जटिल हैं। यदि समतल में सीधी रेखा के किनारों के साथ एक ग्राफ खींचा जाता है, तो एक संतुलन तनाव को किनारों पर गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं (भार) के एक असाइनमेंट के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष अपने पड़ोसियों के भारित औसत द्वारा दी गई स्थिति में होता है। मैक्सवेल-क्रेमोना पत्राचार के अनुसार, एक संतुलन तनाव को एक टुकड़ों में रैखिक निरंतर त्रि-आयामी सतह पर उठाया जा सकता है जैसे कि सतह परियोजना के सपाट हिस्सों के बीच की सीमाओं को बनाने वाले किनारे दिए गए चित्र के लिए। प्रत्येक किनारे का वजन और लंबाई किनारे के दोनों ओर सतह की ढलानों में अंतर निर्धारित करती है, और यह स्थिति कि प्रत्येक शीर्ष अपने पड़ोसियों के साथ संतुलन में है, इस स्थिति के बराबर है कि ये ढलान अंतर सतह को शीर्ष के पड़ोस में सही ढंग से मिलने का कारण बनते हैं। सकारात्मक भार टुकड़ों की रैखिक सतह के दो चेहरों के बीच उत्तल द्विध्रुवीय कोणों में परिवर्तित हो जाते हैं, और नकारात्मक भार अवतल द्विध्रुवीय कोणों में परिवर्तित हो जाते हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर पीसवाइज-लीनियर सतह इस तरह से एक संतुलन तनाव से आती है। यदि एक परिमित समतलीय ग्राफ खींचा जाता है और एक संतुलन तनाव इस तरह से दिया जाता है कि ड्राइंग के सभी आंतरिक किनारों में सकारात्मक भार होते हैं, और सभी बाहरी किनारों में नकारात्मक भार होते हैं, तो इस तनाव को इस तरह से त्रि-आयामी सतह में अनुवाद करके, और फिर उसी तल में पूरक द्वारा ग्राफ के बाहरी हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वाली सपाट सतह को प्रतिस्थापित करके, एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन प्राप्त होता है, अतिरिक्त गुण के साथ कि तल पर इसके लंबवत प्रक्षेपण में कोई क्रॉसिंग नहीं होती है। मैक्सवेल-क्रेमोना पत्राचार का उपयोग डब्ल्यू. टी. टुट्टे, टुट्टे एम्बेडिंग की एक समतलीय ग्राफ ड्राइंग विधि के साथ संयोजन करके पॉलीहेड्रल ग्राफ की पॉलीहेड्रल प्राप्ति प्राप्त करने के लिए किया गया है। टुट्टे की विधि एक पॉलीहेड्रल ग्राफ के एक चेहरे को तल में उत्तल स्थिति में ठीक करने से शुरू होती है। यह चेहरा एक ग्राफ के चित्र का बाहरी चेहरा बन जाएगा। विधि शीर्ष निर्देशांक में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित करके जारी है, जिसके अनुसार प्रत्येक शेष शीर्ष को अपने पड़ोसियों के औसत पर रखा जाना चाहिए। फिर जैसा कि टुट्टे ने दिखाया, समीकरणों की इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान होगा जिसमें ग्राफ के प्रत्येक चेहरे को उत्तल बहुभुज के रूप में खींचा जाता है। सहज रूप से, यह समाधान उस पैटर्न का वर्णन करता है जो ग्राफ के आंतरिक किनारों को आदर्श स्प्रिंग्स द्वारा प्रतिस्थापित करके और उन्हें अपनी न्यूनतम-ऊर्जा स्थिति में बसने देकर प्राप्त किया जाएगा। परिणाम लगभग एक संतुलन तनाव हैः यदि कोई प्रत्येक आंतरिक किनारे पर एक वजन निर्धारित करता है, तो ड्राइंग का प्रत्येक आंतरिक शीर्ष संतुलन में होता है। हालांकि, बाहरी किनारों पर नकारात्मक संख्याओं को निर्दिष्ट करना हमेशा संभव नहीं होता है ताकि वे भी संतुलन में हों। इस तरह का कार्य हमेशा तब संभव होता है जब बाहरी चेहरा एक त्रिकोण होता है, और इसलिए इस विधि का उपयोग किसी भी पॉलीहेड्रल ग्राफ को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जिसमें त्रिकोणीय चेहरा होता है। यदि एक पॉलीहेड्रल ग्राफ में त्रिकोणीय चेहरा नहीं होता है, तो इसके दोहरे ग्राफ में एक त्रिकोण होता है और यह पॉलीहेड्रल भी होता है, इसलिए कोई इस तरह से दोहरे को महसूस कर सकता है और फिर मूल ग्राफ को दोहरे प्राप्ति के ध्रुवीय पॉलीहेड्रॉन के रूप में महसूस कर सकता है। लिफ्टिंग का उपयोग करके पॉलीहेड्रा को साकार करने के लिए एक वैकल्पिक विधि बाहरी चेहरे के रूप में अधिकतम पांच शीर्षों वाले किसी भी चेहरे को चुनकर द्वंद्व से बचाती है। प्रत्येक पॉलीहेड्रल ग्राफ में ऐसा चेहरा होता है, और इस चेहरे के निश्चित आकार को अधिक सावधानी से चुनकर, बाकी ग्राफ के टट्टे एम्बेडिंग को उठाया जा सकता है। वृत्त पैकिंग वृत्त पैकिंग प्रमेय के एक प्रकार के अनुसार, प्रत्येक पॉलीहेड्रल ग्राफ के लिए, समतल में या किसी भी गोले पर वृत्तों की एक प्रणाली मौजूद होती है, जो ग्राफ के शीर्षों और चेहरों का प्रतिनिधित्व करती है, ताकिः ग्राफ के प्रत्येक दो आसन्न शीर्षों को स्पर्शरेखा वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है, ग्राफ के प्रत्येक दो आसन्न चेहरों को स्पर्शरेखा वृत्त द्वारा दर्शाया जाता है, एक शीर्ष की प्रत्येक जोड़ी और एक चेहरा जिसे यह छूता है, वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है जो एक समकोण पर पार करते हैं, और वृत्तों के अन्य सभी जोड़े एक दूसरे से अलग होते हैं। वृत्तों की एक ही प्रणाली वृत्तों की भूमिकाओं की अदला-बदली करके दोहरे ग्राफ का प्रतिनिधित्व करती है जो शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और वृत्त जो चेहरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एम्बेडेड किसी गोले पर ऐसे किसी भी प्रतिनिधित्व से, कोई भी एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन बना सकता है जो दिए गए ग्राफ के समतुल्य है, अर्ध-स्थानों के प्रतिच्छेदन के रूप में जिनकी सीमाएं चेहरे के वृत्तों से गुजरती हैं। इस बहुफलक के प्रत्येक शीर्ष से, गोले पर क्षितिज, उस शीर्ष से देखा जाता है, वह वृत्त है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है। यह क्षितिज गुण प्रत्येक शीर्ष की त्रि-आयामी स्थिति को निर्धारित करता है, और पॉलीहेड्रॉन को इस तरह से स्थित शीर्षों के उत्तल पतवार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। गोला प्राप्ति का मध्य क्षेत्र बन जाता हैः बहुफलक का प्रत्येक किनारा गोले के लिए स्पर्शरेखा है, एक ऐसे बिंदु पर जहां दो स्पर्शरेखा शीर्ष वृत्त दो स्पर्शरेखा मुख वृत्तों को पार करते हैं। अतिरिक्त गुणों के साथ अनुभव पूर्णांक निर्देशांक स्टेनिट्ज़ के प्रमेय के एक मजबूत रूप को साबित करना संभव है, कि किसी भी पॉलीहेड्रल ग्राफ को एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन द्वारा महसूस किया जा सकता है जिसके निर्देशांक पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, स्टेनिट्ज़ के मूल प्रेरण-आधारित प्रमाण को इस तरह से मजबूत किया जा सकता है। हालांकि, स्टेनिट्ज़ के निर्माण के परिणामस्वरूप आने वाले पूर्णांक दिए गए पॉलीहेड्रल ग्राफ के शीर्षों की संख्या में दोगुने घातीय हैं। द्विआधारी संकेतन में इस परिमाण की संख्या को लिखने के लिए बिट्स की एक घातीय संख्या की आवश्यकता होगी। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि पॉलीहेड्रॉन की कुछ विशेषताओं का आकार दूसरों की तुलना में दोगुना तेजी से बड़ा हो सकता है, जिससे ग्राफ ड्राइंग में अनुप्रयोगों के लिए इस विधि से प्राप्त प्राप्ति समस्याग्रस्त हो जाती है। बाद के शोधकर्ताओं ने उठाने-आधारित प्राप्ति एल्गोरिदम पाए हैं जो प्रति शीर्ष बिट्स की केवल एक रैखिक संख्या का उपयोग करते हैं। निर्देशांक पूर्णांक होने की आवश्यकता को कम करना भी संभव है, और निर्देशांक इस तरह से निर्धारित करें कि शीर्षों के-निर्देशांक 0 से लेकर इकाई अंतराल में अलग-अलग पूर्णांक हों और अन्य दो निर्देशांक वास्तविक संख्याएँ हों, ताकि प्रत्येक किनारे की लंबाई कम से कम एक हो, जबकि समग्र पॉलीहेड्रॉन में रैखिक आयतन हो। कुछ पॉलीहेड्रल ग्राफ केवल बहुपद आकार के ग्रिड पर प्राप्त करने योग्य होने के लिए जाने जाते हैं; विशेष रूप से यह पिरामिड (पहिया ग्राफ की प्राप्ति), प्रिज्म (प्रिज्म ग्राफ की प्राप्ति), और ढेर किए गए पॉलीहेड्रा (अपोलोनियन नेटवर्क की प्राप्ति) के लिए सच है। पूर्णांक प्राप्ति के अस्तित्व को बताने का एक अन्य तरीका यह है कि प्रत्येक त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रॉन में एक संयुक्त समतुल्य पूर्णांक पॉलीहेड्रॉन होता है। उदाहरण के लिए, नियमित डोडेकाहेड्रॉन अपने नियमित पंचभुज चेहरों के कारण स्वयं एक पूर्णांक पॉलीहेड्रॉन नहीं है, लेकिन इसे एक समतुल्य पूर्णांक पाइरिटोहेड्रॉन के रूप में महसूस किया जा सकता है। यह हमेशा उच्च आयामों में संभव नहीं है, जहां पॉलीटोप मौजूद हैं (जैसे कि पर्ल्स विन्यास से निर्मित) जिनमें कोई पूर्णांक समकक्ष नहीं है। समान ढलान एक हेलिन ग्राफ एक पॉलीहेड्रल ग्राफ का एक विशेष मामला है, जो पेड़ की पत्तियों को एक चक्र में जोड़कर एक समतल-एम्बेडेड पेड़ (बिना किसी डिग्री-दो शीर्ष के) से बना है। हेलिन ग्राफ के लिए, कोई भी एक विशेष प्रकार के पॉलीहेड्रल अनुभवों का चयन कर सकता हैः बाहरी चक्र एक क्षैतिज उत्तल आधार चेहरे का निर्माण करता है, और हर दूसरा चेहरा सीधे आधार चेहरे के ऊपर स्थित होता है (जैसा कि उठाने के माध्यम से प्राप्त पॉलीहेड्रा में), इन सभी ऊपरी चेहरों में एक ही ढलान होती है। किसी भी आधार बहुभुज (आवश्यक रूप से उत्तल नहीं) पर समान-ढलान वाले चेहरे वाली पॉलीहेड्रल सतहों का निर्माण बहुभुज के सीधे कंकाल से किया जा सकता है, और इस अहसास का वर्णन करने का एक समान तरीका यह है कि आधार चेहरे पर पेड़ का द्वि-आयामी प्रक्षेपण इसका सीधा कंकाल बनाता है। इस परिणाम का प्रमाण प्रेरण का उपयोग करता हैः किसी भी जड़ वाले पेड़ को एक आंतरिक नोड से पत्तियों को हटाकर एक छोटे पेड़ में बदल दिया जा सकता है, जिसके सभी बच्चे पत्ते हैं, छोटे पेड़ से बने हेलिन ग्राफ को प्रेरण परिकल्पना से एहसास होता है, और इस प्राप्ति को संशोधित करना संभव है ताकि पेड़ के नोड में किसी भी संख्या में पत्ती के बच्चों को जोड़ा जा सके जिनके बच्चों को हटा दिया गया था। एक चेहरे के आकार को निर्दिष्ट करना किसी भी पॉलीहेड्रॉन में जो एक दिए गए पॉलीहेड्रल ग्राफ का प्रतिनिधित्व करता है, उसके चेहरे बिल्कुल वही चक्र होते हैं जो दो घटकों में अलग नहीं होते हैंः यानी, चेहरे के चक्र को हटाने से बाकी एक जुड़े हुए उपग्राफ के रूप में निकल जाता है। ऐसे चक्रों को परिधीय चक्र कहा जाता है। इस प्रकार, चेहरों की संयुक्त संरचना (लेकिन उनकी ज्यामितीय आकृतियाँ नहीं) विशिष्ट रूप से ग्राफ संरचना से निर्धारित की जाती है। बार्नेट और ग्रनबॉम द्वारा स्टेनिट्ज़ के प्रमेय की एक और मजबूती में कहा गया है कि किसी भी पॉलीहेड्रल ग्राफ, ग्राफ के किसी भी चेहरे और उस चेहरे का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए, पूरे ग्राफ का एक पॉलीहेड्रल प्राप्ति खोजना संभव है जिसमें निर्दिष्ट चेहरे के लिए निर्दिष्ट आकार है। यह टुट्टे के एक प्रमेय से संबंधित है, कि किसी भी पॉलीहेड्रल ग्राफ को समतल में सभी चेहरे उत्तल और इसके बाहरी चेहरे के लिए किसी भी निर्दिष्ट आकार के साथ खींचा जा सकता है। हालांकि, टुट्टे की विधि द्वारा उत्पादित समतल ग्राफ चित्र आवश्यक रूप से उत्तल पॉलीहेड्रा तक नहीं पहुंचते हैं। इसके बजाय, बार्नेट और ग्रनबॉम एक प्रेरक विधि का उपयोग करके इस परिणाम को साबित करते हैं। यह भी हमेशा संभव है, एक पॉलीहेड्रल ग्राफ और एक मनमाना चक्र को देखते हुए, एक प्राप्ति का पता लगाना जिसके लिए समानांतर प्रक्षेपण के तहत प्राप्ति का सिल्हूट बनता है। वृत्त पैकिंग प्रमेय का उपयोग करके पॉलीहेड्रा की प्राप्ति स्टेनिट्ज़ के प्रमेय को एक और मजबूती प्रदान करती हैः प्रत्येक 3-जुड़े समतल ग्राफ को एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन के रूप में इस तरह से दर्शाया जा सकता है कि इसके सभी किनारे एक ही इकाई क्षेत्र, पॉलीहेड्रॉन के मध्य क्षेत्र के लिए स्पर्शरेखा हों। पॉलीहेड्रॉन में बदलने से पहले एक सर्कल पैकिंग के सावधानीपूर्वक चुने गए मोबियस परिवर्तन का प्रदर्शन करके, एक पॉलीहेड्रल प्राप्ति का पता लगाना संभव है जो अंतर्निहित ग्राफ की सभी समरूपताओं को महसूस करता है, इस अर्थ में कि प्रत्येक ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म पॉलीहेड्रल प्राप्ति की समरूपता है। अधिक आम तौर पर, यदि एक पॉलीहेड्रल ग्राफ है और कोई चिकनी त्रि-आयामी उत्तल पिंड है, तो एक पॉलीहेड्रल प्रतिनिधित्व खोजना संभव है जिसमें सभी किनारे स्पर्शरेखा हैं। वृत्त पैकिंग विधियों का उपयोग पॉलीहेड्रा के ग्राफ को चिह्नित करने के लिए भी किया जा सकता है जिनकी सभी शीर्षों के माध्यम से एक परिधि होती है, या उनके सभी चेहरों के लिए एक अंतःक्षेत्र स्पर्शरेखा होती है। (एक परिधि के साथ पॉलीहेड्रा भी आदर्श पॉलीहेड्रा के रूप में हाइपरबोलिक ज्यामिति में महत्वपूर्ण हैं।) दोनों ही मामलों में, एक गोले का अस्तित्व ग्राफ के प्रत्येक किनारे से जुड़े सकारात्मक वास्तविक चर पर रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली की समाधानशीलता के बराबर है। इनस्फेयर के मामले में, इन चरों को ग्राफ के प्रत्येक फेस चक्र पर बिल्कुल एक और प्रत्येक गैर-फेस चक्र पर एक से अधिक का योग करना चाहिए। दो बार, परिधि के लिए, चर का योग प्रत्येक शीर्ष पर एक होना चाहिए, और कट के प्रत्येक तरफ दो या दो से अधिक शीर्षों के साथ प्रत्येक कट पर एक से अधिक होना चाहिए। यद्यपि संतुष्ट करने के लिए तेजी से कई रैखिक असमानताएँ हो सकती हैं, एक समाधान (यदि एक मौजूद है) दीर्घवृत्तीय विधि का उपयोग करके बहुपद समय में पाया जा सकता है। एक समाधान से चर के मान एक वृत्त पैकिंग में वृत्तों के जोड़े के बीच के कोणों को निर्धारित करते हैं जिनके संबंधित पॉलीहेड्रॉन का इसके गोले के साथ वांछित संबंध होता है। संबंधित परिणाम तीन से अधिक किसी भी आयाम में, एल्गोरिथमिक स्टेनिट्ज़ समस्या में यह निर्धारित करना शामिल है कि क्या दिया गया जाली एक उत्तल पॉलीटोप का चेहरा जाली है। बहुपद समय जटिलता होने की संभावना नहीं है, क्योंकि यह एन. पी.-कठोर है और रिक्टर-गेबर्ट की सार्वभौमिकता प्रमेय द्वारा चार-आयामी पॉलीटोप के लिए भी वास्तविक के अस्तित्ववादी सिद्धांत के लिए अधिक दृढ़ता से पूर्ण है। यहाँ, वास्तविक का अस्तित्वगत सिद्धांत कम्प्यूटेशनल समस्याओं का एक वर्ग है जिसे वास्तविक चर खोजने के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है जो बहुपद समीकरणों और असमानताओं की दी गई प्रणाली को संतुष्ट करते हैं। एल्गोरिदमिक स्टेनिट्ज़ समस्या के लिए, इस तरह की समस्या के चर एक पॉलीटोप के शीर्ष निर्देशांक हो सकते हैं, और समीकरणों और असमानताओं का उपयोग दिए गए चेहरे के जाली में प्रत्येक चेहरे की समतलता और चेहरे के बीच प्रत्येक कोण की उत्तलता को निर्दिष्ट करने के लिए किया जा सकता है। पूर्णता का अर्थ है कि इस वर्ग की प्रत्येक अन्य समस्या को बहुपद समय में एल्गोरिथमिक स्टेनिट्ज़ समस्या के समतुल्य उदाहरण में बदला जा सकता है। इस तरह के परिवर्तन के अस्तित्व का तात्पर्य है कि, यदि एल्गोरिथमिक स्टेनिट्ज़ समस्या का बहुपद समय समाधान है, तो वास्तविक के अस्तित्ववादी सिद्धांत में हर समस्या और एन. पी. में हर समस्या है। हालांकि, क्योंकि एक दिया गया ग्राफ एक से अधिक चेहरे की जाली के अनुरूप हो सकता है, इस पूर्णता परिणाम को 4-बहुपदों के ग्राफ को पहचानने की समस्या तक बढ़ाना मुश्किल है। इस ग्राफ पहचानने की समस्या की कम्प्यूटेशनल जटिलता को निर्धारित करना खुला रहता है। शोधकर्ताओं ने त्रि-आयामी गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा और चार-आयामी उत्तल पॉलीटोप के कुछ विशेष वर्गों के ग्राफ के ग्राफ-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन भी पाए हैं। हालाँकि, दोनों ही मामलों में, सामान्य समस्या अभी भी अनसुलझी है। वास्तव में, यह निर्धारित करने की समस्या भी अनसुलझी है कि कौन से पूर्ण ग्राफ गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा (टेट्राहेड्रॉन और सिस्जर पॉलीहेड्रॉन के अलावा) के ग्राफ हैं। एबरहार्ड की प्रमेय आंशिक रूप से बहुभुज के बहुसमुच्चय को दर्शाती है जिन्हें एक उत्तल बहुफलक के चेहरे बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है। इसे बहुभुज चेहरों के दिए गए समूह के साथ एक 3-जुड़ा हुआ समतलीय ग्राफ बनाकर और फिर उस ग्राफ की एक पॉलीहेड्रल प्राप्ति का पता लगाने के लिए स्टेनिट्ज़ के प्रमेय को लागू करके साबित किया जा सकता है। László Lovász ने समान ग्राफ के कॉलिन डी वर्डीयर ग्राफ अपरिवर्तनों को महसूस करते हुए ग्राफ और मैट्रिक्स के पॉलीहेड्रल प्रतिनिधित्वों के बीच एक पत्राचार दिखाया है। कॉलिन डी वर्डियर अपरिवर्तनीय ग्राफ के भारित निकटता मैट्रिक्स का अधिकतम कोरैंक है, कुछ अतिरिक्त स्थितियों के तहत जो पॉलीहेड्रल ग्राफ के लिए अप्रासंगिक हैं। ये शीर्षों द्वारा अनुक्रमित वर्ग सममित मैट्रिक्स हैं, विकर्ण गुणांक में शीर्ष के वजन के साथ और विकर्ण गुणांक में किनारे के वजन के साथ और। जब शीर्ष और निकटवर्ती नहीं होते हैं, तो गुणांक शून्य होना आवश्यक है। यह अपरिवर्तनीय अधिकतम तीन है यदि और केवल तभी जब ग्राफ एक समतलीय ग्राफ हो। जैसा कि लोवाज़ से पता चलता है, जब ग्राफ पॉलीहेड्रल होता है, तो एक पॉलीहेड्रॉन के रूप में इसका प्रतिनिधित्व कोरैंक तीन के भारित निकटता मैट्रिक्स को ढूंढकर, इसके शून्य स्थान के लिए आधार बनाने वाले तीन वैक्टरों को ढूंढकर, इन वैक्टरों के गुणांकों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। स्टेनिट्ज़ के प्रमेय के इतिहास का वर्णन उनके द्वारा किया गया है, जो मूल रूप से 1916 में लिखे गए अर्न्स्ट स्टेनिट्ज़ के प्रकाशन में एक गुप्त रूप में इसकी पहली उपस्थिति को नोट करते हैं। स्टेनिट्ज़ ने बाद के व्याख्यान टिप्पणियों में अधिक विवरण प्रदान किए, जो उनकी 1928 की मृत्यु के बाद प्रकाशित हुए। हालांकि स्टेनिट्ज़ के प्रमेय के आधुनिक उपचार इसे पॉलीहेड्रा के ग्राफ-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन के रूप में बताते हैं, स्टेनिट्ज़ ने ग्राफ की भाषा का उपयोग नहीं किया। प्रमेय के ग्राफ-सैद्धांतिक सूत्रीकरण को 1960 के दशक की शुरुआत में ब्रांको ग्रुनबाम और थियोडोर मोत्ज़किन द्वारा पेश किया गया था, इसके प्रमाण को भी ग्रुनबाम के 1967 के पाठ कन्वेक्स पॉलीटोप में ग्राफ सिद्धांत में परिवर्तित किया गया था। स्टेनिट्ज़ के प्रमाण को मजबूत करते हुए, α-Y और Y-α परिवर्तनों पर एपिफानोव का काम, पॉलीहेड्रा के लक्षण वर्णन के अलावा अन्य समस्याओं से प्रेरित था। स्टीनित्ज़ के प्रमेय के लिए इस काम की प्रासंगिकता को देखने का श्रेय ग्रुनबाम को दिया जाता है। तनाव आरेख आ पॉलीहेड्रल लिफ्टिंगक बीच मैक्सवेल-क्रेमोना पत्राचार 1864 सँ 1870 धरि जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा शोधपत्रक एकटा श्रृंखलामे विकसित कयल गेल छल, जे पियरे वैरिग्नन, विलियम रैंकिन आ अन्यलोकनिक पहिलक काज पर आधारित छल, आ 19म शताब्दीक अंतमे लुइगी क्रेमोना द्वारा लोकप्रिय बनाओल गेल छल। यह अवलोकन कि इस पत्राचार का उपयोग स्टेनिट्ज़ के प्रमेय को साबित करने के लिए टुटे एम्बेडिंग के साथ किया जा सकता है, से आता है; यह भी देखें। वृत्त पैकिंग प्रमेय 1936 में पॉल कोएबे द्वारा और 1970 में ई. एम. एंड्रीव द्वारा (स्वतंत्र रूप से) साबित किया गया था; इसे 1980 के दशक के मध्य में विलियम थर्स्टन द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था, जिन्हें (कोएबे और एंड्रीव का हवाला देने के बावजूद) अक्सर इसके खोजकर्ताओं में से एक के रूप में श्रेय दिया जाता है। एंड्रीव के प्रमेय के संस्करण को पहले से ही हाइपरबोलिक स्पेस में कुछ पॉलीहेड्रा के लिए स्टेनिट्ज़ जैसे लक्षण वर्णन के रूप में तैयार किया गया था, और मध्य क्षेत्रों के साथ पॉलीहेड्रा का एहसास करने के लिए सर्कल पैकिंग का उपयोग थर्स्टन के काम से आता है। उत्कीर्ण या परिवेष्टित क्षेत्रों के साथ पॉलीहेड्रा को चिह्नित करने की समस्या, अंततः सर्कल पैकिंग प्राप्ति के आधार पर एक विधि का उपयोग करके हल की गई, लगभग 1630 में रेने डेसकार्टेस और 1832 में जैकब स्टेनर के अप्रकाशित काम में वापस जाती है; पॉलीहेड्रा के पहले उदाहरण जिनमें परिधि या अंतःक्षेत्र के साथ कोई अनुभूति नहीं है, 1928 में स्टेनिट्ज़ द्वारा दिए गए थे। प्लैनर ग्राफ ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत पॉलीहेड्रल संयोजन ग्राफ सिद्धांत में प्रमेय असतत ज्यामिति में प्रमेय