Airy wave theory
द्रव गतिकी में, वायु तरंग सिद्धांत (जिसे अक्सर रैखिक तरंग सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है) एक सजातीय द्रव परत की सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों के प्रसार का एक रैखिक विवरण देता है। सिद्धांत यह मानता है कि द्रव परत में एक समान औसत गहराई होती है, और यह कि द्रव प्रवाह अदृश्य, असंपीड़ित और इर्रोटेशनल होता है। यह सिद्धांत पहली बार 19वीं शताब्दी में जॉर्ज बिडेल ऐरी द्वारा सही रूप में प्रकाशित किया गया था। वायु तरंग सिद्धांत को अक्सर यादृच्छिक समुद्री अवस्थाओं के प्रतिरूपण के लिए महासागर इंजीनियरिंग और तटीय इंजीनियरिंग में लागू किया जाता है-जो कई उद्देश्यों के लिए तरंग गतिविज्ञान और उच्च-पर्याप्त सटीकता की गतिशीलता का विवरण देता है। इसके अलावा, सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के कई दूसरे क्रम के अरैखिक गुणों और उनके प्रसार का अनुमान इसके परिणामों से लगाया जा सकता है। हवादार लहर सिद्धांत समुद्र में सूनामी लहरों के लिए भी एक अच्छा अनुमान है, इससे पहले कि वे तट के पास खड़ी हो जाएं। इस रैखिक सिद्धांत का उपयोग अक्सर तरंग विशेषताओं और उनके प्रभावों का त्वरित और मोटा अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। यह अनुमान तरंग की ऊँचाई और पानी की गहराई (उथले पानी में तरंगों के लिए) के छोटे अनुपात और तरंग की ऊँचाई से तरंग दैर्ध्य (गहरे पानी में तरंगों के लिए) के लिए सटीक है। वायु तरंग सिद्धांत एक द्रव सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों की गति का वर्णन करने के लिए एक संभावित प्रवाह (या वेग क्षमता) दृष्टिकोण का उपयोग करता है। कई अन्य द्रव प्रवाहों का वर्णन करने में विफलता को देखते हुए, जहां चिपचिपाहट, वर्टिसिटी, अशांति या प्रवाह पृथक्करण को ध्यान में रखना अक्सर आवश्यक होता है, जल तरंगों में (अदृश्य और इर्रोटेशनल) संभावित प्रवाह का उपयोग उल्लेखनीय रूप से सफल है। यह इस तथ्य के कारण है कि द्रव गति के दोलनशील भाग के लिए, तरंग-प्रेरित वर्टिसिटी द्रव क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ पतली दोलनशील स्टोक्स सीमा परतों तक सीमित है। वायु तरंग सिद्धांत का उपयोग अक्सर महासागर इंजीनियरिंग और तटीय इंजीनियरिंग में किया जाता है। विशेष रूप से यादृच्छिक तरंगों के लिए, जिन्हें कभी-कभी तरंग अशांति कहा जाता है, तरंग सांख्यिकी के विकास-जिसमें तरंग वर्णक्रम भी शामिल है-की भविष्यवाणी बहुत लंबी दूरी (तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में) और बहुत उथले पानी में नहीं की जाती है। विवर्तन तरंग प्रभावों में से एक है जिसे हवादार तरंग सिद्धांत के साथ वर्णित किया जा सकता है। इसके अलावा, डब्ल्यू. के. बी. जे. सन्निकटन का उपयोग करके, तरंग शोलिंग और अपवर्तन की भविष्यवाणी की जा सकती है। संभावित प्रवाह का उपयोग करके सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों का वर्णन करने के पहले के प्रयास लाप्लास, पॉइसन, कॉची और केलैंड द्वारा किए गए थे। लेकिन एरी 1841 में सही व्युत्पत्ति और सूत्रीकरण प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। इसके तुरंत बाद, 1847 में, स्टोक्स द्वारा गैर-रैखिक तरंग गति के लिए ऐरी के रैखिक सिद्धांत का विस्तार किया गया-जिसे स्टोक्स के तरंग सिद्धांत के रूप में जाना जाता है-जो तरंग की कठोरता में तीसरे क्रम तक सही है। ऐरी के रैखिक सिद्धांत से पहले भी, गेर्स्टनर ने 1802 में एक अरैखिक ट्रोकॉइडल तरंग सिद्धांत प्राप्त किया था, जो हालांकि इर्रोटेशनल नहीं है। वायु तरंग सिद्धांत एक संभावित प्रवाह की सतह पर और क्षैतिज तल के ऊपर तरंगों के प्रसार के लिए एक रैखिक सिद्धांत है। क्षैतिज स्थिति और समय के एक कार्य के रूप में एक तरंग घटक का मुक्त सतह उन्नयन साइनसॉइडल हैः जहाँ मीटर में तरंग आयाम है, कोसाइन कार्य है, प्रति मीटर रेडियन में कोणीय तरंग संख्या है, जो तरंग दैर्ध्य से संबंधित है, प्रति सेकंड रेडियन में कोणीय आवृत्ति है, जो अवधि और आवृत्ति से संबंधित है। तरंगें चरण गति के साथ पानी की सतह के साथ फैलती हैंः कोणीय तरंग संख्या और आवृत्ति स्वतंत्र मापदंड नहीं हैं (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य और अवधि भी स्वतंत्र नहीं हैं), लेकिन युग्मित हैं। एक तरल पदार्थ पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगें फैलाव तरंगें होती हैं-जो आवृत्ति फैलाव का प्रदर्शन करती हैं-जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तरंग संख्या की अपनी आवृत्ति और चरण गति होती है। ध्यान दें कि इंजीनियरिंग में तरंग की ऊंचाई-शिखर और गर्त के बीच ऊंचाई में अंतर-का अक्सर उपयोग किया जाता हैः रैखिक आवधिक तरंगों के वर्तमान मामले में मान्य। सतह के नीचे, मुक्त सतह गति से जुड़ी एक तरल गति होती है। जबकि सतह की ऊँचाई एक प्रसार तरंग दिखाती है, द्रव कण एक कक्षीय गति में होते हैं। हवादार तरंग सिद्धांत के ढांचे के भीतर, कक्षाएं बंद वक्र होती हैंः गहरे पानी में वृत्त और सीमित गहराई में दीर्घवृत्त-द्रव परत के निचले हिस्से तक पहुंचने से पहले वृत्त समाप्त हो जाते हैं, और दीर्घवृत्त द्रव परत के निचले हिस्से के पास चपटे हो जाते हैं। इसलिए जब तरंग फैलती है, तो द्रव कण अपनी औसत स्थिति के आसपास सिर्फ परिक्रमा (दोलन) करते हैं। संचरण तरंग गति के साथ, द्रव कण तरंग संचरण दिशा में ऊर्जा को स्थानांतरित करते हैं, बिना औसत वेग के। मुक्त सतह के नीचे की गहराई के साथ कक्षाओं का व्यास कम हो जाता है। गहरे पानी में, कक्षा का व्यास आधे तरंग दैर्ध्य की गहराई पर अपने मुक्त-सतह मूल्य के 4 प्रतिशत तक कम हो जाता है। इसी तरह, मुक्त सतह के नीचे एक दबाव दोलन भी होता है, जिसमें तरंग-प्रेरित दबाव दोलन मुक्त सतह के नीचे गहराई के साथ कम होते हैं-उसी तरह जैसे द्रव पार्सल की कक्षीय गति के लिए होता है। तरंग गति प्रवाह समस्या सूत्रीकरण का गणितीय सूत्रीकरण तरंगें क्षैतिज दिशा में, निर्देशांक के साथ, और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक (ऊपर की दिशा में सकारात्मक) और समय होने के साथ एक मुक्त सतह द्वारा ऊपर बंधे एक द्रव क्षेत्र में फैलती हैं। स्तर औसत सतह की ऊँचाई से मेल खाता है। द्रव परत के नीचे अभेद्य बिस्तर है। इसके अलावा, प्रवाह को असंपीड़ित और अनियमित माना जाता है-एक तरल सतह पर तरंगों के लिए द्रव के आंतरिक भाग में प्रवाह का एक अच्छा अनुमान-और प्रवाह का वर्णन करने के लिए संभावित सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। वेग विभव प्रवाह वेग घटकों और क्षैतिज () और ऊर्ध्वाधर () दिशाओं से संबंधित हैः फिर, एक असंपीड़ित प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण के कारण, विभव को लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करना होगाः समीकरणों की प्रणाली को बंद करने के लिए तल और मुक्त सतह पर सीमा स्थितियों की आवश्यकता होती है। रैखिक सिद्धांत के ढांचे के भीतर उनके निर्माण के लिए, यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि प्रवाह की आधार अवस्था (या शून्य-क्रम समाधान) क्या है। यहाँ, हम मानते हैं कि आधार अवस्था विश्राम है, जिसका अर्थ है कि औसत प्रवाह वेग शून्य हैं। तल अभेद्य होने के कारण, गतिज तल सीमा-स्थिति की ओर ले जाता हैः गहरे पानी के मामले में-जिसका अर्थ है अनंत पानी की गहराई, गणितीय दृष्टिकोण से-प्रवाह वेग को सीमा में शून्य पर जाना पड़ता है क्योंकि ऊर्ध्वाधर निर्देशांक शून्य से शून्य तक जाता हैः मुक्त सतह पर, असीम तरंगों के लिए, प्रवाह की ऊर्ध्वाधर गति मुक्त सतह के ऊर्ध्वाधर वेग के बराबर होनी चाहिए। यह गतिज मुक्त-सतह सीमा-स्थिति की ओर ले जाता हैः यदि मुक्त सतह का उन्नयन एक ज्ञात कार्य था, तो यह प्रवाह समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त होगा। हालाँकि, सतह की ऊँचाई एक अतिरिक्त अज्ञात है, जिसके लिए एक अतिरिक्त सीमा शर्त की आवश्यकता है। यह एक अस्थिर स्थितिज प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण द्वारा प्रदान किया जाता है। मुक्त सतह के ऊपर का दबाव स्थिर माना जाता है। इस स्थिर दबाव को सामान्यता के नुकसान के बिना शून्य के बराबर लिया जाता है, क्योंकि इस तरह के स्थिर दबाव का स्तर प्रवाह को नहीं बदलता है। रैखिकीकरण के बाद, यह गतिशील मुक्त-सतह सीमा स्थिति देता हैः क्योंकि यह एक रैखिक सिद्धांत है, दोनों मुक्त-सतह सीमा स्थितियों में-गतिज और गतिशील, समीकरण () और ()-का मान और निश्चित माध्य स्तर पर उपयोग किया जाता है। एक प्रगतिशील एकवर्णी तरंग के लिए समाधान एक एकल आवृत्ति की प्रसार तरंग के लिए-एक एकवर्णी तरंग-सतह की ऊँचाई इस रूप में होती हैः संबंधित वेग क्षमता, जो द्रव के आंतरिक भाग में लाप्लास समीकरण (1) के साथ-साथ मुक्त सतह (2) और तल (3) पर गतिज सीमा स्थितियों को संतुष्ट करती है, वह हैः के साथ और हाइपरबॉलिक साइन और हाइपरबॉलिक कोसाइन फ़ंक्शन, क्रमशः। लेकिन और गतिशील सीमा स्थिति को भी संतुष्ट करना पड़ता है, जिसके परिणामस्वरूप तरंग आयाम के लिए गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) मान केवल तभी होते हैं जब रैखिक फैलाव संबंध संतुष्ट होता हैः हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा के साथ। इसलिए कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या-या समकक्ष अवधि और तरंग दैर्ध्य-को स्वतंत्र रूप से नहीं चुना जा सकता है, लेकिन वे संबंधित हैं। इसका मतलब है कि एक द्रव सतह पर तरंग प्रसार एक आईगन समस्या है। फैलाव संबंध को कब और संतुष्ट करते समय, तरंग आयाम को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है (लेकिन वायवीय तरंग सिद्धांत के लिए एक वैध सन्निकटन होने के लिए पर्याप्त छोटा)। तरंग मात्राओं की तालिका नीचे दी गई तालिका में, वायु तरंग सिद्धांत के अनुसार कई प्रवाह मात्राएँ और मापदंड दिए गए हैं। दी गई मात्राएँ ऊपर दिए गए समाधान की तुलना में थोड़ी अधिक सामान्य स्थिति के लिए हैं। सबसे पहले, तरंगें समतल में मनमाने ढंग से क्षैतिज दिशा में फैल सकती हैं। तरंग संख्या सदिश तरंग शिखरों के कैम्स के लंबवत होता है और होता है। दूसरा, क्षैतिज दिशा में एक औसत प्रवाह वेग और (स्वतंत्र) गहराई पर एक समान प्रवाह के लिए भत्ता दिया जाता है। यह फैलाव संबंधों में एक डॉपलर बदलाव का परिचय देता है। पृथ्वी-निर्धारित स्थान पर, देखी गई कोणीय आवृत्ति (या पूर्ण कोणीय आवृत्ति) है। दूसरी ओर, औसत वेग के साथ चलने वाले संदर्भ के ढांचे में (इसलिए इस संदर्भ ढांचे से देखा गया औसत वेग शून्य है), कोणीय आवृत्ति अलग होती है। इसे आंतरिक कोणीय आवृत्ति (या सापेक्ष कोणीय आवृत्ति) कहा जाता है, जिसे दर्शाया जाता है। तो शुद्ध तरंग गति में, दोनों आवृत्तियों के साथ और बराबर हैं। तरंग संख्या (और तरंग दैर्ध्य) संदर्भ के ढांचे से स्वतंत्र हैं, और इसमें कोई डॉप्लर शिफ्ट (एकवर्णी तरंगों के लिए) नहीं है। तालिका केवल प्रवाह मात्राओं के दोलन भागों-वेग, कण भ्रमण और दबाव-को देती है न कि उनके औसत मूल्य या बहाव को। दोलनशील कण भ्रमण और क्रमशः दोलनशील प्रवाह वेगों के समय समाकलन हैं। पानी की गहराई को तीन व्यवस्थाओं में वर्गीकृत किया गया हैः गहरा पानी-तरंग दैर्ध्य के आधे से अधिक पानी की गहराई के लिए, लहरों की चरण गति शायद ही गहराई से प्रभावित होती है (समुद्र और महासागर की सतह पर अधिकांश हवा की लहरों के लिए ऐसा होता है), उथला पानी-तरंग दैर्ध्य के 5 प्रतिशत से कम पानी की गहराई के लिए, लहरों की चरण गति केवल पानी की गहराई पर निर्भर करती है, और अब अवधि या तरंग दैर्ध्य का कार्य नहीं है; और मध्यवर्ती गहराई-अन्य सभी मामले, जहां पानी की गहराई और अवधि (या तरंग दैर्ध्य) दोनों का वायु तरंग सिद्धांत के समाधान पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है। गहरे और उथले पानी के सीमित मामलों में, समाधान के लिए अनुमानों को सरल बनाया जा सकता है। जबकि मध्यवर्ती गहराई के लिए, पूर्ण सूत्रीकरण का उपयोग करना पड़ता है। सतह तनाव प्रभाव सतह तनाव के कारण, फैलाव संबंध बदल जाता हैः प्रति मीटर न्यूटन में सतह तनाव के साथ। रैखिक तरंगों के लिए उपरोक्त सभी समीकरण समान रहते हैं, यदि गुरुत्वाकर्षण त्वरण को प्रतिस्थापित किया जाता है सतह तनाव के परिणामस्वरूप, तरंगें तेजी से फैलती हैं। सतही तनाव का प्रभाव केवल छोटी तरंगों पर पड़ता है, जिसकी तरंग दैर्ध्य जल-वायु इंटरफेस के मामले में कुछ डेसीमीटर से कम होती है। बहुत कम तरंग दैर्ध्य के लिए-2 मिमी या उससे कम, हवा और पानी के बीच इंटरफेस के मामले में-गुरुत्वाकर्षण प्रभाव नगण्य हैं। ध्यान दें कि सतह के तनाव को सर्फैक्टेंट द्वारा बदला जा सकता है। केशिका तरंगों का समूह वेग-सतह तनाव प्रभावों का प्रभुत्व-चरण वेग से अधिक है। यह सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों की स्थिति के विपरीत है (सतह तनाव के साथ गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव की तुलना में नगण्य) जहां चरण वेग समूह वेग से अधिक है। अंतर-मुखीय तरंगें सतह तरंगें अंतर-मुखीय तरंगों का एक विशेष मामला है, जो अलग-अलग घनत्व वाले दो तरल पदार्थों के बीच अंतरफलक पर होती हैं। अनंत गहराई की दो परतें एक इंटरफेस द्वारा अलग किए गए दो तरल पदार्थों पर विचार करें, और आगे की सीमाओं के बिना। फिर उनके फैलाव संबंध को दो तरल पदार्थों के घनत्व के माध्यम से दिया जाता है, क्रमशः नीचे () और ऊपर () इंटरफेस। इसके अलावा γ इंटरफेस पर सतह का तनाव है। अन्तरापृष्ठीय तरंगों के अस्तित्व के लिए, निचली परत को ऊपरी परत की तुलना में भारी होना चाहिए। अन्यथा, इंटरफेस अस्थिर है और एक रेले-टेलर अस्थिरता विकसित होती है। क्षैतिज कठोर तलों के बीच दो परतें तरल पदार्थों की दो सजातीय परतों के लिए, इंटरफेस के नीचे और ऊपर की औसत मोटाई की-गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत और क्षैतिज कठोर दीवारों से ऊपर और नीचे बंधी हुई-गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए फैलाव संबंध इस प्रकार प्रदान किया जाता हैः जहां फिर से और इंटरफेस के नीचे और ऊपर घनत्व हैं, जबकि हाइपरबॉलिक कोटैंजेंट फ़ंक्शन है। शून्य मामले के लिए यह सीमित गहराई के पानी पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के फैलाव संबंध को कम कर देता है। ऊपर एक मुक्त सतह से बंधी दो परतें इस मामले में फैलाव संबंध दो मोड के लिए अनुमति देता हैः एक बैरोट्रॉपिक मोड जहां मुक्त सतह आयाम अंतरफलक तरंग के आयाम की तुलना में बड़ा है, और एक बैरोक्लिनिक मोड जहां विपरीत मामला है-अंतरफलक तरंग मुक्त सतह तरंग के साथ एंटीफ़ेज़ में और उससे अधिक है। इस मामले के लिए फैलाव संबंध अधिक जटिल रूप का है। द्वितीय-क्रम तरंग गुण कई द्वितीय-क्रम तरंग गुण, जो तरंग आयाम में द्विघात हैं, सीधे वायु तरंग सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं। वे कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हैं, जैसे कि लहर की स्थितियों का पूर्वानुमान। डब्ल्यू. के. बी. जे. सन्निकटन का उपयोग करते हुए, दूसरे क्रम के तरंग गुण भी धीरे-धीरे भिन्न होने वाले बैथीमेट्री, और धाराओं और सतह की ऊंचाई के माध्य-प्रवाह भिन्नताओं के मामले में तरंगों का वर्णन करने में अपने अनुप्रयोगों को पाते हैं। साथ ही तरंग क्षेत्र के आयाम, आवृत्ति, तरंग दैर्ध्य और दिशा में समय और स्थान-भिन्नताओं के कारण तरंग और माध्य-प्रवाह अंतःक्रियाओं के विवरण में। द्वितीय-क्रम तरंग गुणों की तालिका नीचे दी गई तालिका में, कई द्वितीय-क्रम तरंग गुण-साथ ही गतिशील समीकरण जो वे स्थान और समय में धीरे-धीरे बदलती स्थितियों के मामले में संतुष्ट करते हैं-दिए गए हैं। इनके बारे में अधिक जानकारी नीचे पाई जा सकती है। तालिका एक क्षैतिज स्थानिक आयाम में तरंग प्रसार के लिए परिणाम देती है। इस खंड में आगे, द्वि-आयामी क्षैतिज स्थान में प्रसार के सामान्य मामले के लिए अधिक विस्तृत विवरण और परिणाम दिए गए हैं। अंतिम चार समीकरण औसत प्रवाह के साथ बातचीत में बाथिमेट्री पर धीरे-धीरे बदलती तरंग ट्रेनों के विकास का वर्णन करते हैं, और एक परिवर्तनशील सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता हैः व्हिथम की औसत लैग्रैन्जियन विधि। माध्य क्षैतिज-गति समीकरण में, स्थिर पानी की गहराई है, यानी, द्रव परत के नीचे का तल स्थित है। ध्यान दें कि द्रव्यमान और संवेग समीकरणों में माध्य-प्रवाह वेग द्रव्यमान परिवहन वेग है, जिसमें क्षैतिज द्रव्यमान परिवहन पर तरंगों के स्पलैश-ज़ोन प्रभाव शामिल हैं, न कि औसत यूलरियन वेग (उदाहरण के लिए, जैसा कि एक निश्चित प्रवाह मीटर से मापा जाता है)। तरंग ऊर्जा घनत्व तरंग ऊर्जा प्राथमिक ब्याज की एक मात्रा है, क्योंकि यह एक प्राथमिक मात्रा है जिसे तरंग ट्रेनों के साथ ले जाया जाता है। जैसा कि ऊपर देखा जा सकता है, सतह की ऊँचाई और कक्षीय वेग जैसी कई तरंग मात्राएँ शून्य माध्य (रैखिक सिद्धांत के ढांचे के भीतर) के साथ प्रकृति में दोलनशील होती हैं। जल तरंगों में, सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला ऊर्जा माप प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत तरंग ऊर्जा घनत्व है। यह गतिज और स्थितिज ऊर्जा घनत्व का योग है, जो द्रव परत की गहराई पर एकीकृत होता है और तरंग चरण पर औसत होता है। सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत स्थितिज ऊर्जा घनत्व प्राप्त करना सबसे आसान है, जो तरंगों की उपस्थिति के कारण स्थितिज ऊर्जा का विचलन हैः ऊपरी पट्टी औसत मूल्य को दर्शाती है (जिसे आवधिक तरंगों के वर्तमान मामले में या तो समय औसत के रूप में या अंतरिक्ष में एक तरंग दैर्ध्य से अधिक औसत के रूप में लिया जा सकता है)। तरंग गति के प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत गतिज ऊर्जा घनत्व इसी तरह पाया जाता हैः आंतरिक आवृत्ति के साथ, तरंग मात्राओं की तालिका देखें। फैलाव संबंध का उपयोग करते हुए, सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों का परिणाम हैः जैसा कि देखा जा सकता है, औसत गतिज और स्थितिज ऊर्जा घनत्व समान हैं। यह एक रूढ़िवादी प्रणाली में प्रगतिशील रैखिक तरंगों के ऊर्जा घनत्व का एक सामान्य गुण है। विभव और गतिज योगदान को जोड़ना, और, तरंग गति के प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत ऊर्जा घनत्व हैः सतह तनाव प्रभावों के नगण्य नहीं होने के मामले में, उनका योगदान क्षमता और गतिज ऊर्जा घनत्व में भी जोड़ता है, जो सतह तनाव के साथ देता है। तरंग क्रिया, तरंग ऊर्जा प्रवाह और विकिरण तनाव सामान्य रूप से, तरंग गति और औसत द्रव गति के बीच एक ऊर्जा हस्तांतरण हो सकता है। इसका मतलब यह है कि तरंग ऊर्जा घनत्व सभी मामलों में एक संरक्षित मात्रा नहीं है (अपव्ययकारी प्रभावों की उपेक्षा करते हुए), लेकिन कुल ऊर्जा घनत्व-तरंग गति के प्रति इकाई क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व और औसत प्रवाह गति का योग है। हालांकि, धीरे-धीरे भिन्न होने वाली तरंग गाड़ियों के लिए, धीरे-धीरे भिन्न होने वाले बैथीमेट्री और माध्य-प्रवाह क्षेत्रों में प्रसार, एक समान और संरक्षित तरंग मात्रा, तरंग क्रियाः क्रिया प्रवाह और समूह वेग सदिश के साथ। क्रिया संरक्षण कई पवन तरंग मॉडल और तरंग अशांति मॉडल के लिए आधार बनाता है। यह तरंग शोलिंग की गणना के लिए तटीय इंजीनियरिंग मॉडल का भी आधार है। उपरोक्त तरंग क्रिया संरक्षण समीकरण का विस्तार करने से तरंग ऊर्जा घनत्व के लिए निम्नलिखित विकास समीकरण की ओर जाता हैः के साथः माध्य तरंग ऊर्जा घनत्व प्रवाह है, विकिरण तनाव टेंसर है और माध्य-वेग कतरनी दर टेंसर है। गैर-संरक्षण रूप में इस समीकरण में, फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद स्रोत शब्द है जो माध्य प्रवाह के साथ तरंग गति के ऊर्जा आदान-प्रदान का वर्णन करता है। केवल उस स्थिति में जब औसत अपरूपण दर शून्य हो, औसत तरंग ऊर्जा घनत्व संरक्षित रहता है। दो टेंसर और रूप की एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में हैंः तरंग संख्या वेक्टर के घटकों के साथ और इसी तरह और माध्य वेग वेक्टर के घटकों के साथ। तरंग द्रव्यमान प्रवाह और तरंग संवेग तरंग गति द्वारा प्रेरित प्रति इकाई क्षेत्र का औसत क्षैतिज संवेग-और तरंग-प्रेरित द्रव्यमान प्रवाह या द्रव्यमान परिवहन भी-हैः जो आवधिक प्रगतिशील जल तरंगों के लिए एक सटीक परिणाम है, जो अरैखिक तरंगों के लिए भी मान्य है। हालाँकि, इसकी वैधता दृढ़ता से इस बात पर निर्भर करती है कि तरंग संवेग और द्रव्यमान प्रवाह को कैसे परिभाषित किया जाता है। स्टोक्स ने पहले से ही आवधिक अरैखिक तरंगों के लिए चरण वेग की दो संभावित परिभाषाओं की पहचान कीः स्टोक्स ने तरंग गति (एस1) की पहली परिभाषा-तरंग गर्त के नीचे सभी ऊँचाई के लिए शून्य के बराबर औसत यूलरियन प्रवाह वेग के साथ, और स्टोक्स ने तरंग गति (एस2) की दूसरी परिभाषा-शून्य के बराबर औसत द्रव्यमान परिवहन के साथ। तरंग संवेग और तरंग ऊर्जा घनत्व के बीच उपरोक्त संबंध स्टोक्स की पहली परिभाषा के ढांचे के भीतर मान्य है। हालांकि, तट रेखा के लंबवत या बंद प्रयोगशाला तरंग चैनल में लहरों के लिए, दूसरी परिभाषा (एस 2) अधिक उपयुक्त है। दूसरी परिभाषा का उपयोग करते समय इन तरंग प्रणालियों में शून्य द्रव्यमान प्रवाह और गति होती है। इसके विपरीत, स्टोक्स की पहली परिभाषा (एस1) के अनुसार, तरंग प्रसार दिशा में एक तरंग-प्रेरित द्रव्यमान प्रवाह होता है, जिसे विपरीत दिशा में एक औसत प्रवाह द्वारा संतुलित किया जाना होता है-जिसे अंडरटॉ कहा जाता है। तो सामान्य रूप से, इसमें कुछ सूक्ष्मताएँ शामिल हैं। इसलिए भी तरंगों के छद्म-संवेग शब्द का उपयोग तरंग संवेग के बजाय किया जाता है। द्रव्यमान और संवेग विकास समीकरण धीरे-धीरे बदलते बैथीमेट्री, तरंग और माध्य-प्रवाह क्षेत्रों के लिए, माध्य प्रवाह के विकास को माध्य द्रव्यमान-परिवहन वेग के संदर्भ में इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता हैः ध्यान दें कि गहरे पानी के लिए, जब माध्य गहराई अनंत तक जाती है, तो माध्य यूलरियन वेग और माध्य परिवहन वेग बराबर हो जाते हैं। द्रव्यमान संरक्षण के लिए समीकरण हैः जहाँ औसत पानी की गहराई है, धीरे-धीरे स्थान और समय में भिन्न होती है। इसी तरह, औसत क्षैतिज संवेग इस प्रकार विकसित होता हैः स्थिर-जल की गहराई के साथ (समुद्र तल पर है), तरंग विकिरण-तनाव टेंसर है, पहचान मैट्रिक्स है और डायडिक उत्पाद हैः ध्यान दें कि क्षैतिज संवेग केवल तभी संरक्षित होती है जब समुद्र तल क्षैतिज हो (स्थिर-जल की गहराई एक स्थिरांक हो), नोथर के प्रमेय के अनुसार। समीकरणों की प्रणाली तरंगों के विवरण के माध्यम से बंद होती है। तरंग ऊर्जा प्रसार को तरंग-क्रिया संरक्षण समीकरण (अपव्यय और अरैखिक तरंग अंतःक्रियाओं के बिना) के माध्यम से वर्णित किया जाता हैः तरंग गतिविज्ञान को तरंग-क्रेस्ट संरक्षण समीकरण के माध्यम से वर्णित किया जाता हैः कोणीय आवृत्ति के साथ (कोणीय) तरंग संख्या का एक कार्य, जो फैलाव संबंध के माध्यम से संबंधित है। यह संभव होने के लिए, तरंग क्षेत्र सुसंगत होना चाहिए। तरंग-क्रेस्ट संरक्षण के कर्ल को लेने से, यह देखा जा सकता है कि शुरू में एक इर्रोटेशनल तरंग संख्या क्षेत्र इर्रोटेशनल रहता है। स्टोक्स ड्रिफ्ट शुद्ध तरंग गति () में एक कण का अनुसरण करते समय, रैखिक हवादार तरंग सिद्धांत के अनुसार, पहला अनुमान पानी के कणों के लिए बंद अण्डाकार कक्षाएं देता है। हालांकि, अरैखिक तरंगों के लिए, कण एक स्टोक्स ड्रिफ्ट प्रदर्शित करते हैं जिसके लिए एक दूसरे क्रम की अभिव्यक्ति हवादार तरंग सिद्धांत के परिणामों से प्राप्त की जा सकती है (दूसरे क्रम के तरंग गुणों पर ऊपर दी गई तालिका देखें)। स्टोक्स ड्रिफ्ट वेग, जो अवधि द्वारा विभाजित एक तरंग चक्र के बाद कण ड्रिफ्ट है, का अनुमान रैखिक सिद्धांत के परिणामों का उपयोग करके लगाया जा सकता हैः इसलिए यह उन्नयन के कार्य के रूप में भिन्न होता है। दिया गया सूत्र स्टोक्स के लिए तरंग गति की पहली परिभाषा है। जब गहराई पर एकीकृत किया जाता है, तो माध्य तरंग संवेग के लिए अभिव्यक्ति पुनर्प्राप्त की जाती है। उथले पानी में तरंगों के लिए गैर-रैखिक सिद्धांत-बौसिनेस्क सन्निकटन (जल तरंग) भी देखें। केशिका तरंग-सतह के तनाव की क्रिया के तहत सतह की तरंगें-ज्वारीय तरंग-उथले पानी में अरैखिक आवधिक तरंगें, कोर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण के समाधान हल्के-ढलान समीकरण-अपवर्तन और अलग-अलग गहराई पर सतह की तरंगों का विवर्तन महासागर की सतह की तरंग-समुद्र और समुद्र में देखी जाने वाली वास्तविक जल तरंगें-गैर-उथले जल तरंग शक्ति में अरैखिक आवधिक तरंगें-बिजली उत्पादन के लिए महासागर और समुद्री तरंगों का उपयोग करती हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ ऐतिहासिक भीः "त्रिकोणमिति, पृथ्वी, ज्वार और लहरों की आकृति पर", 396 पृष्ठ। पुनः मुद्रित किया गयाः आगे पढ़ने के लिए दो भाग, 967 पृष्ठ। मूल रूप से 1879 में प्रकाशित, छठा विस्तारित संस्करण पहली बार 1932 में प्रकाशित हुआ। 504 पीपी। विकी तरंगों पर समुद्र की सतह की तरंगों का रैखिक सिद्धांत। एम. आई. टी. में जल लहरें। जल तरंग तरंग यांत्रिकी