Vicsek fractal
गणित में विसेक फ्रैक्टल, जिसे विसेक स्नोफ्लेक या बॉक्स फ्रैक्टल के रूप में भी जाना जाता है, एक फ्रैक्टल है जो सियर्पिंस्की कालीन के समान निर्माण से उत्पन्न होता है, जिसे तामास विसेक द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इसमें कॉम्पैक्ट एंटेना सहित अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से सेलुलर फोन में। बॉक्स फ्रैक्टल एक वर्गाकार या आयताकार ग्रिड द्वारा बनाए गए विभिन्न पुनरावृत्त फ्रैक्टल को भी संदर्भित करता है जिसमें विभिन्न बक्से हटाए जाते हैं या अनुपस्थित होते हैं और प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, जो मौजूद होते हैं और/या अनुपस्थित होते हैं, उनकी पिछली छवि को नीचे बढ़ाया जाता है और उनके भीतर खींचा जाता है। सियेरपिंस्की त्रिभुज को एक कोने को हटाने के साथ एक बॉक्स फ्रैक्टल द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। सियेरपिंस्की कालीन एक बॉक्स फ्रैक्टल है जिसमें बीच के वर्ग को हटा दिया गया है। निर्माण मूल वर्ग को 3-बाय-3 ग्रिड में नौ छोटे वर्गों में विघटित किया गया है। कोनों और बीच के वर्ग पर चार वर्ग बचे हैं, अन्य वर्गों को हटा दिया गया है। शेष पाँच उपवर्गों में से प्रत्येक के लिए इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जाता है। विसेक फ्रैक्टल इस प्रक्रिया की सीमा पर प्राप्त सेट है। इस फ्रैक्टल का हौसडॉर्फ आयाम ≈ 1.46497 है। एक वैकल्पिक निर्माण (बाएँ चित्र में नीचे दिखाया गया है) चार कोने के वर्गों को हटाना और बीच के वर्ग और इसके ऊपर, नीचे, बाएँ और दाएँ वर्गों को छोड़ना है। दोनों निर्माण समान सीमित वक्र उत्पन्न करते हैं, लेकिन एक को दूसरे के संबंध में 45 डिग्री से घुमाया जाता है। विसेक फ्रैक्टल में आश्चर्यजनक गुण है कि इसके गैर-पूर्णांक आयाम के कारण इसका क्षेत्रफल शून्य है लेकिन एक अनंत परिधि है। प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, प्रत्येक पांच बनाए रखने के लिए चार वर्गों को हटा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि पुनरावृत्ति n पर क्षेत्र है (पक्ष की लंबाई 1 का प्रारंभिक वर्ग मानते हुए)। जब n अनंत तक पहुँचता है, तो क्षेत्रफल शून्य तक पहुँच जाता है। परिधि हालांकि है, क्योंकि प्रत्येक पक्ष को तीन भागों में विभाजित किया गया है और केंद्र एक को तीन पक्षों से बदल दिया गया है, जिससे तीन से पांच की वृद्धि होती है। जैसे-जैसे n बढ़ता है परिधि अनंत के करीब पहुंचती है। विसेक फ्रैक्टल की सीमा टाइप 1 द्विघात कोच वक्र है। उच्च आयामों में एनालॉग विसेक फ्रैक्टल का एक त्रि-आयामी एनालॉग है। इसका निर्माण प्रत्येक घन को 27 छोटे घनों में विभाजित करके किया जाता है, और "सेंटर क्रॉस", केंद्रीय घन और प्रत्येक चेहरे के केंद्र को छूने वाले छह घनों को छोड़कर सभी को हटा दिया जाता है। इसका हौसडॉर्फ आयाम ≈ 1.7712 है। इसी तरह द्वि-आयामी विसेक फ्रैक्टल के लिए, इस आकृति में शून्य आयतन है। प्रत्येक पुनरावृत्ति प्रत्येक 27 के लिए 7 क्यूब्स रखती है, जिसके परिणामस्वरूप पुनरावृत्ति n पर एक आयतन होता है, जो शून्य के करीब पहुंचता है क्योंकि n अनंत तक पहुंचता है। क्रॉस सेक्शन की एक अनंत संख्या मौजूद है जो द्वि-आयामी विसेक फ्रैक्टल उत्पन्न करती है। बॉक्स-काउंटिंग डायमेंशन क्रॉस क्रॉसलेट लिस्ट ऑफ फ्रैक्टल्स बाय हौसडॉर्फ डायमेंशन सियर्पिंस्की कार्पेट सियर्पिंस्की ट्राइएंगल एन-फ्लेक संदर्भ बाहरी लिंक फ्रैक्टल्स एल-सिस्टम देखें।