Supersingular elliptic curve
बीजगणितीय ज्यामिति में, सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्र असामान्य रूप से बड़े एंडोमोर्फिज्म रिंग्स के साथ विशेषता p> 0 के क्षेत्र पर एलिप्टिक वक्रों का एक निश्चित वर्ग बनाते हैं। ऐसे क्षेत्रों पर एलिप्टिक वक्र जो सुपरसिंगुलर नहीं हैं, उन्हें साधारण कहा जाता है और एलिप्टिक वक्रों के ये दो वर्ग कई पहलुओं में मौलिक रूप से अलग-अलग व्यवहार करते हैं। दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए रीमान परिकल्पना पर अपने काम के दौरान सुपरसिंगुलर दीर्घवृत्ताकार वक्रों की खोज की गई, यह देखते हुए कि सकारात्मक विशेषता दीर्घवृत्ताकार वक्रों में असामान्य रूप से बड़ी श्रेणी 4 के एंडोमोर्फिज्म रिंग हो सकते हैं, और उनके मूल सिद्धांत को विकसित किया। "सुपरसिंगुलर" शब्द का वक्रों के एकवचन बिंदुओं से कोई लेना-देना नहीं है, और सभी सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र गैर-एकल हैं। यह वाक्यांश "जे-इनवेरिएंट के एकल मूल्य" से आता है जिसका उपयोग जे-इनवेरिएंट के मूल्यों के लिए किया जाता है जिसके लिए एक जटिल दीर्घवृत्ताकार वक्र में जटिल गुणन होता है। जटिल गुणन के साथ जटिल दीर्घवृत्ताकार वक्र वे हैं जिनके लिए एंडोमोर्फिज्म रिंग में अधिकतम संभव रैंक 2 है। सकारात्मक विशेषता में एंडोमोर्फिज्म रिंग का और भी बड़ा होना संभव हैः यह आयाम 4 के चतुर्थक बीजगणित में एक क्रम हो सकता है, जिस स्थिति में अण्डाकार वक्र सुपरसिंगुलर होता है। अभाज्य संख्याएँ p ऐसी हैं कि विशेषता p में प्रत्येक अति-कोणीय दीर्घवृत्ताकार वक्र को प्रधान उपक्षेत्र पर परिभाषित किया जा सकता है न कि उन्हें अति-कोणीय अभाज्य संख्या कहा जाता है। परिभाषा सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्रों को परिभाषित करने के कई अलग-अलग लेकिन समकक्ष तरीके हैं जिनका उपयोग किया गया है। इन्हें परिभाषित करने के कुछ तरीके नीचे दिए गए हैं। मान लीजिए कि बीजगणितीय बंद के साथ एक क्षेत्र और K पर E एक दीर्घवृत्ताकार वक्र है।-मूल्य वाले बिंदुओं में एक अबेलियन समूह की संरचना होती है। प्रत्येक एन के लिए, हमारे पास एक गुणन मानचित्र है। इसकी गुठली को इसके द्वारा दर्शाया जाता है। अब मान लीजिए कि के की विशेषता पी> 0 है। तब कोई यह दिखा सकता है कि या तो r = 1,2,3, के लिए। पहले मामले में, ई को सुपरसिंगुलर कहा जाता है। अन्यथा इसे साधारण कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर होता है यदि और केवल तभी जब पी क्रम के ज्यामितीय बिंदुओं का समूह तुच्छ हो। सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्रों में बीजगणितीय समापन पर कई एंडोमोर्फिज्म होते हैं, इस अर्थ में कि एक एलिप्टिक वक्र सुपरसिंगुलर होता है यदि और केवल तभी जब इसका एंडोमोर्फिज्म बीजगणित (ओवर) एक चतुर्थक बीजगणित में एक क्रम हो। इस प्रकार, उनके एंडोमोर्फिज्म बीजगणित (ओवर) में रैंक 4 है, जबकि प्रत्येक अन्य अण्डाकार वक्र के एंडोमोर्फिज्म समूह में केवल रैंक 1 या 2 है। एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र के एंडोमोर्फिज्म रिंग की श्रेणी 4 से कम हो सकती है, और एंडोमोर्फिज्म रिंग 4 की श्रेणी बनाने के लिए आधार क्षेत्र K का एक सीमित विस्तार लेना आवश्यक हो सकता है। विशेष रूप से अभाज्य क्रम के क्षेत्र पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र का एंडोमोर्फिज्म रिंग कभी भी रैंक 4 का नहीं होता है, भले ही दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर हो। मान लीजिए कि G, E से जुड़ा औपचारिक समूह है। चूँकि K सकारात्मक विशेषता का है, इसलिए हम इसकी ऊँचाई ht (G) को परिभाषित कर सकते हैं, जो कि 2 है यदि और केवल तभी जब E सुपरसिंगुलर है और अन्यथा 1 है। हमारे पास एक फ्रोबेनियस आकृतिवाद है, जो कोहोमोलॉजी में एक मानचित्र को प्रेरित करता है। अण्डाकार वक्र E अति-कोणीय है यदि और केवल 0 के बराबर हो। हमारे पास एक वर्शीबंग ऑपरेटर है, जो वैश्विक 1-रूपों पर एक मानचित्र प्रस्तुत करता है। अण्डाकार वक्र E अति-कोणीय है यदि और केवल 0 के बराबर हो। एक दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर होता है यदि और केवल तभी जब इसका हैस्से अपरिवर्तनीय 0 हो। एक दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर होता है यदि और केवल तभी जब पी क्रम के बिंदुओं की समूह योजना जुड़ी हो। एक दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर होता है यदि और केवल तभी जब फ्रोबेनियस मानचित्र का दोहरा विशुद्ध रूप से अविभाज्य हो। एक दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर होता है यदि और केवल तभी जब "पी द्वारा गुणन" मानचित्र विशुद्ध रूप से अविभाज्य है और वक्र का जे-अपरिवर्तनीय के के प्रमुख क्षेत्र के द्विघात विस्तार में स्थित है, जो पी 2 क्रम का एक परिमित क्षेत्र है। मान लीजिए कि E समीकरण द्वारा परिभाषित लीजेंड्रे रूप में है, और p विषम है। फिर के लिए, ई सुपरसिंगुलर है यदि और केवल तभी जब योग गायब हो जाता है, कहाँ। इस सूत्र का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि के (समरूपता तक) पर केवल सीमित रूप से कई सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र हैं। मान लीजिए कि E को एक सजातीय घन बहुपद f (x, y, z) द्वारा दिए गए प्रोजेक्टिव तल में एक घन वक्र के रूप में दिया गया है। फिर E सुपरसिंगुलर है यदि और केवल तभी जब fp-1 में (xyz) p-1 का गुणांक शून्य हो। यदि क्षेत्र K, q क्रम का एक परिमित क्षेत्र है, तो K पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र अति-कोणीय है यदि और केवल तभी जब q-शक्ति फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म का निशान शून्य मॉड्यूलो p के लिए सर्वांगसम है। जब q = p, 3 से बड़ा एक अभाज्य है, तो यह फ्रोबेनियस का निशान शून्य के बराबर होने के बराबर है (हैस्से बाउंड द्वारा); यह p = 2 या 3 के लिए नहीं है। उदाहरण यदि के विशेषता 2 का एक क्षेत्र है, तो a3 गैर-शून्य के साथ रूप के समीकरण द्वारा परिभाषित प्रत्येक वक्र एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र है, और इसके विपरीत प्रत्येक सुपरसिंगुलर वक्र इस रूप में से एक के लिए समरूप है (वाशिंगटन 2003, पृष्ठ 122 देखें)। 2 तत्वों वाले क्षेत्र पर कोई भी सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्र 1,3 और 5 बिंदुओं के साथ सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्रों में से एक के लिए समरूप है। यह अलग-अलग अंकों के साथ एक प्रमुख क्षेत्र पर सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्रों के उदाहरण देता है। विशेषता 2 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर (समरूपता तक) बिल्कुल एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र है, जो जे-इनवेरिएंट 0 के साथ दिया गया है। इसकी एंडोमोर्फिज्म की रिंग हर्विट्ज़ क्वाटर्नियन की रिंग है, जो दो ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न होती है और जहां एकता का एक आदिम घन मूल है। यदि के विशेषता 3 का क्षेत्र है, तो प्रत्येक वक्र को ए 4 गैर-शून्य के साथ रूप के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र है, और इसके विपरीत प्रत्येक सुपरसिंगुलर वक्र इस रूप में से एक के लिए आइसोमोर्फिक है (वाशिंगटन 2003, पी. 122 देखें)। 3 तत्वों वाले क्षेत्र में कोई भी सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्र सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्रों में से एक के लिए समरूप है। 3 की विशेषता वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में (समरूपता तक) बिल्कुल एक सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्र होता है, जिसे जे-इनवेरिएंट 0 के साथ दिया जाता है। इसका एंडोमोर्फिज्म का वलय ए और बी आइजेनस्टीन पूर्णांकों के साथ ए + बीजे रूप के चतुर्धातुकों का वलय है। , दो ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न होता है और जहाँ i एकता का एक आदिम चौथा मूल है। एकर ऑटोमोर्फिज्मक समूह एहि चतुर्धातुक इकाइसभक समूह छैक, जकर क्रम 12 छैक आ एहिमे क्रम 3क एकटा सामान्य उपसमूह होइत छैक जकर भागफल क्रम 4क एकटा चक्रीय समूह होइत छैक। पी> 3 के लिए जे-इनवेरिएंट 0 के साथ परिभाषित दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर है यदि और केवल तभी और जे-इनवेरिएंट 1728 के साथ परिभाषित दीर्घवृत्ताकार वक्र सुपरसिंगुलर है यदि और केवल अगर (वाशिंगटन 2003,4.35 देखें)। द्वारा दिया गया दीर्घवृत्ताकार वक्र गैर-कोणीय है। यह पी = 23 के लिए सुपरसिंगुलर है और हर दूसरे के लिए साधारण है (हार्टशोर्न 1977,4.23.6 देखें)। मॉड्यूलर वक्र X0 (11) में j-अपरिवर्तनीय −2121 − 5313 है, और यह वक्र y2 + y = x3 − x2 − 10x − 20 के समरूप है। जिन अभाज्य संख्याओं p के लिए यह सुपरसिंगुलर है, वे हैं जिनके लिए η (τ) 2η (11τ) 2 में qp का गुणांक मॉड p को गायब कर देता है, और सूची 2,99,29,199,569,809,1289,1439,2539,3319,3559,3919,5519,9419,9539,9929, द्वारा दिए गए हैं। यदि रैशनलों पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र का जटिल गुणन होता है तो अभाज्य संख्याओं के उस समूह का घनत्व 1/2 होता है जिसके लिए यह सुपरसिंगुलर होता है। यदि इसका जटिल गुणन नहीं होता है तो सेर ने दिखाया कि अभाज्य संख्याओं के जिस समूह के लिए यह सुपरसिंगुलर है, उसका घनत्व शून्य है। यह दर्शाता है कि रैशनल पर परिभाषित कोई भी दीर्घवृत्ताकार वक्र अनंत संख्या में अभाज्य संख्याओं के लिए सुपरसिंगुलर है। वर्गीकरण प्रत्येक सकारात्मक विशेषता के लिए सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्रों के संभावित जे-इनवेरिएंट की केवल एक सीमित संख्या होती है। एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र K पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र इसके जे-अपरिवर्तनीय द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए केवल एक सीमित संख्या में सुपरसिंगुलर दीर्घवृत्ताकार वक्र होते हैं। यदि इस तरह के प्रत्येक वक्र का भार 1/|Aut (E)। से किया जाता है तो सुपरसिंगुलर वक्रों का कुल भार (p-1)/24 है। एलिप्टिक वक्रों में क्रम 2 के ऑटोमोर्फिज्म समूह होते हैं जब तक कि उनका जे-इनवेरिएंट 0 या 1728 न हो, इसलिए सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्रों को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जाता है। क्रम 2 के ऑटोमोर्फिज्म समूहों के साथ बिल्कुल पी/12 पी सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र हैं। इसके अलावा यदि पी ष्ण 3 मॉड 4 है तो एक सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्र (जे-इनवेरिएंट 1728 के साथ) है जिसका ऑटोमोर्फिज्म समूह चक्रीय या क्रम 4 है जब तक कि पी = 3 इस मामले में इसका क्रम 12 है, और यदि पी ष्ण 2 मॉड 3 है तो एक सुपरसिंगुलर एलिप्टिक वक्र (जे-इनवेरिएंट 0 के साथ) है जिसका ऑटोमोर्फिज्म समूह क्रम 6 का चक्रीय है जब तक कि पी = 2 इस मामले में इसका क्रम 24 नहीं है. 307 तक के अभाज्य संख्याओं के लिए सुपरसिंगुलर वक्रों के सभी जे-इनवेरिएंट की एक तालिका दें। पहले कुछ अभाज्य संख्याओं के लिए सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र निम्नानुसार दिए गए हैं। 0 या 1728 के अलावा जे के सुपरसिंगुलर मानों की संख्या (पी-1)/12 का पूर्णांक भाग है। सुपरसिंगुलर प्राइम (बीजगणितीय संख्या सिद्धांत) सुपरसिंगुलर प्राइम (मूनशाइन सिद्धांत) सुपरसिंगुलर विविधता संदर्भ रॉबिन हार्टशोर्न (1977), बीजगणितीय ज्यामिति, स्प्रिंगर भी देखें। जोसेफ एच. सिल्वरमैन (2009), द एरिथमेटिक ऑफ एलिप्टिक कर्व्स, स्प्रिंगर। लॉरेंस सी. वाशिंगटन (2003), एलिप्टिक कर्व्स, चैपमैन एंड हॉल। अण्डाकार वक्र