Bilateral hypergeometric series
गणित में, एक द्वि-पक्षीय अति-ज्यामितीय श्रृंखला एक श्रृंखला है जो सभी पूर्णांकों n पर योग की जाती है, और इस तरह कि दो शब्दों का अनुपात an/an + 1 n का एक परिमेय फलन है। सामान्यीकृत अति-ज्यामितीय श्रृंखला की परिभाषा समान है, सिवाय इसके कि ऋणात्मक n वाले शब्दों को गायब होना चाहिए; द्वैपाक्षिक श्रृंखला में सामान्य रूप से धनात्मक और ऋणात्मक n दोनों के लिए गैर-शून्य शब्दों की अनंत संख्या होगी। द्वैपाक्षिक अति-ज्यामितीय श्रृंखला अधिकांश परिमेय कार्यों के लिए अभिसरण करने में विफल रहती है, हालांकि इसे विश्लेषणात्मक रूप से अधिकांश परिमेय कार्यों के लिए परिभाषित कार्य के लिए जारी रखा जा सकता है। कई योग सूत्र हैं जो विशेष मूल्यों के लिए अपने मूल्य देते हैं जहां यह अभिसरण करता है। परिभाषा बाइलेटरल हाइपरजियोमेट्रिक सीरीज पी. एच. पी. को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि राइजिंग फैक्टोरियल या पोचामर सिंबल कहाँ है। आम तौर पर चर z को 1 माना जाता है, जिस स्थिति में इसे संकेतन से हटा दिया जाता है। पी. एच. क्यू. श्रृंखला को अलग-अलग पी और क्यू के साथ इसी तरह से परिभाषित करना संभव है, लेकिन यह या तो अभिसरण करने में विफल रहता है या चरों के परिवर्तन से सामान्य हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला में कम किया जा सकता है। अभिसरण और विश्लेषणात्मक निरंतरता मान लीजिए कि चर a या b में से कोई भी पूर्णांक नहीं है, ताकि श्रृंखला के सभी पद परिमित और गैर-शून्य हों। फिर n <0 वाले शब्द अलग हो जाते हैं यदि |z। <1, और n> 0 वाले शब्द अलग हो जाते हैं यदि |z।> 1, तो श्रृंखला तब तक अभिसरण नहीं कर सकती जब तक कि |z। = 1 न हो। जब |z। = 1 होता है, तो श्रृंखला तब अभिसरण करती है जब द्वि-पक्षीय अति-ज्यामितीय श्रृंखला को विश्लेषणात्मक रूप से कई चरों के एक बहु-मूल्यवान मेरोमॉर्फिक फलन के रूप में जारी रखा जा सकता है, जिनकी विलक्षणताएँ z = 0 और z = 1 पर शाखा बिंदु होती हैं और सरल ध्रुवों को ai = −1, −2, और b = 0,1,2, पर। यह निम्नानुसार किया जा सकता है। मान लीजिए कि ए या बी चर में से कोई भी पूर्णांक नहीं है। n धनात्मक वाले पद |z। <1 के लिए एक ऐसे फलन के लिए अभिसरण करते हैं जो z = 0 और z = 1 पर विलक्षणताओं के साथ एक असमरूपी रैखिक समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए इन बिंदुओं को शाखा बिंदुओं के रूप में एक बहु-मूल्यवान फलन के रूप में जारी रखा जा सकता है। इसी तरह n ऋणात्मक वाले पद |z।> 1 के लिए एक ऐसे फलन के लिए अभिसरण करते हैं जो z = 0 और z = 1 पर विलक्षणताओं के साथ एक असमरूपी रैखिक समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए इन बिंदुओं को शाखा बिंदुओं के रूप में एक बहु-मूल्यवान फलन के रूप में भी जारी रखा जा सकता है। इन कार्यों का योग 0 और 1 के अलावा z के सभी मूल्यों के लिए द्वि-पक्षीय अति-ज्यामितीय श्रृंखला की विश्लेषणात्मक निरंतरता देता है, और अति-ज्यामितीय अवकल समीकरण के समान z में एक रैखिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है। सारांश सूत्र डौगल का द्वैपाक्षिक योग इसे कभी-कभी समतुल्य रूप में लिखा जाता है बेली के सूत्र ने डौगल के सूत्र का निम्नलिखित सामान्यीकरण दियाः जहां बुनियादी द्वैपाक्षिक हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला संदर्भ भी देखें (2008 का एक पेपरबैक है) हाइपरजियोमेट्रिक कार्य