Pseudoreflection
गणित में, एक छद्म-परावर्तन एक परिमित-आयामी सदिश स्थान का एक व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन है जैसे कि यह पहचान परिवर्तन नहीं है, एक परिमित (गुणक) क्रम है, और एक हाइपरप्लेन को ठीक करता है। छद्म परावर्तन की अवधारणा परावर्तन और जटिल परावर्तन की अवधारणाओं को सामान्यीकृत करती है और कुछ गणितविदों द्वारा इसे केवल परावर्तन कहा जाता है। यह चेवले-शेफर्ड-टॉड प्रमेय सहित सीमित समूहों के अपरिवर्तनीय सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। औपचारिक परिभाषा मान लीजिए कि V एक क्षेत्र K पर सदिश स्थान है, जिसका आयाम एक सीमित संख्या n है। एक छद्म परावर्तन एक व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन है जैसे कि g का क्रम सीमित है और V में g द्वारा तय किए गए सभी सदिशों के निश्चित उपस्थान का आयाम n-1 है। आइगेनवैल्यूज ए स्यूडोरेफ़्लेक्शन जी में गुणन n-1 का आइगेनवैल्यू 1 और गुणन 1 का एक अन्य आइगेनवैल्यू r होता है। चूँकि g का क्रम सीमित है, इसलिए आइगेनवैल्यू r को K क्षेत्र में एकता का मूल होना चाहिए। यह संभव है कि r = 1 हो (पारगमन देखें)। अगर g का क्रम p के लिए सहमौलिक है तो g विकर्णनीय है और एक विकर्ण मैट्रिक्स आरेख (1,, 1, r) = द्वारा दर्शाया जाता है जहां r एकता का मूल है जो 1 के बराबर नहीं है। इसमें वह मामला शामिल है जब K विशेषता शून्य का क्षेत्र है, जैसे कि वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र और जटिल संख्याओं का क्षेत्र। एक विकर्णनशील छद्म परावर्तन को कभी-कभी अर्ध-सरल परावर्तन कहा जाता है। वास्तविक परावर्तन जब K वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो एक छद्म परावर्तन में मैट्रिक्स रूप आरेख (1,., 1,-1) होता है। इस तरह के मैट्रिक्स रूप के साथ एक छद्म परावर्तन को वास्तविक परावर्तन कहा जाता है। यदि वह स्थान जिस पर यह परिवर्तन कार्य करता है, एक सममित द्विरेखीय रूप को स्वीकार करता है ताकि वैक्टरों की ऑर्थोगोनलिटी को परिभाषित किया जा सके, तो परिवर्तन एक सच्चा प्रतिबिंब है। जटिल परावर्तन जब K जटिल संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो एक छद्म परावर्तन को एक जटिल परावर्तन कहा जाता है, जिसे एक विकर्ण मैट्रिक्स आरेख (1,., 1, r) द्वारा दर्शाया जा सकता है जहां r, 1 से असमान एकता का एक जटिल मूल है। पारगमन यदि छद्म-परावर्तन g विकर्णन योग्य नहीं है तो r = 1 और g का जॉर्डन सामान्य रूप है ऐसे मामले में g को पारगमन कहा जाता है। एक छद्म-परावर्तन g एक पारगमन है यदि और केवल तभी जब क्षेत्र K की विशेषता p धनात्मक हो और g का क्रम p हो। पारगमन सीमित ज्यामिति के अध्ययन और उनके गतियों के समूहों के वर्गीकरण में उपयोगी हैं। संदर्भ कार्य और मानचित्रण