Grothendieck spectral sequence
गणित में, होमोलॉजिकल बीजगणित के क्षेत्र में, अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक द्वारा अपने तोहोकू पेपर में पेश किया गया ग्रोथेन्डिक वर्णक्रमीय अनुक्रम एक वर्णक्रमीय अनुक्रम है जो और के व्युत्पन्न गुणकों के ज्ञान से दो गुणकों की संरचना के व्युत्पन्न गुणकों की गणना करता है। बीजगणितीय ज्यामिति में कई वर्णक्रमीय अनुक्रम ग्रोथेन्डिक वर्णक्रमीय अनुक्रम के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम। कथन यदि और अबेलियन श्रेणियों के बीच दो योगात्मक और बाएं सटीक कारक हैं जैसे कि दोनों में पर्याप्त इंजेक्टिव हैं और इंजेक्टिव वस्तुओं को-एसाइक्लिक वस्तुओं पर ले जाते हैं, तो प्रत्येक वस्तु के लिए एक वर्णक्रमीय अनुक्रम होता हैः जहां पी-th दाएं-व्युत्पन्न कारक, आदि को दर्शाता है, और जहां तीर का अर्थ वर्णक्रमीय अनुक्रमों का अभिसरण है। पाँच पद सटीक अनुक्रम निम्न डिग्री का सटीक अनुक्रम पढ़ता है उदाहरण लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम यदि और हैं टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, तो क्रमशः और पर अबेलियन समूहों के आवरणों की श्रेणी होने दें। एक निरंतर मानचित्र के लिए (बाएं-सटीक) प्रत्यक्ष छवि फ़ंक्टर होता है। हमारे पास वैश्विक अनुभाग फ़ंक्टर भी हैं और फिर और फ़ंक्टर और परिकल्पनाओं को संतुष्ट करते हैं (चूंकि प्रत्यक्ष छवि फ़ंक्टर में एक सटीक बाएँ संलग्न होता है, इसलिए इंजेक्शन के आगे की ओर इंजेक्टिव होते हैं और विशेष रूप से वैश्विक अनुभाग फ़ंक्टर के लिए एसाइक्लिक होते हैं), इस मामले में अनुक्रम बन जाता हैः अबेलियन समूहों के एक ढेर के लिए। स्थानीय-से-वैश्विक बाह्य वर्णक्रमीय अनुक्रम वैश्विक एक्सट और शीफ एक्सट से संबंधित एक वर्णक्रमीय अनुक्रम हैः मान लीजिए कि एफ, जी एक रिंग वाले स्थान पर मॉड्यूल के शीव हैं; जैसे, एक योजना। फिर यह ग्रोथेन्डिक वर्णक्रमीय अनुक्रम का एक उदाहरण हैः वास्तव में, और। इसके अलावा, फ्लास्क शीव्स को इंजेक्टिव-मॉड्यूल भेजता है, जो-एसाइक्लिक होते हैं। अतः परिकल्पना संतुष्ट होती है। व्युत्पत्ति हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगेः प्रमाणः कर्नेल और इसकी छवि होने दें। हमारे पास कौन से विभाजन हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक इंजेक्टिव है। इसके बाद हम इट स्प्लिट्स को देखते हैं, जो लेम्मा के पहले भाग को दर्शाता है, साथ ही इसकी सटीकता को भी दर्शाता है। अब हम एक वर्णक्रमीय अनुक्रम का निर्माण करते हैं। मान लीजिए कि ए का एक इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन है। इसके लिए लिखते हुए, हमारे पास हैः इंजेक्टिव संकल्प लें और पहले और तीसरे गैर-शून्य शब्दों को लें। हॉर्सशू लेम्मा द्वारा, उनका प्रत्यक्ष योग एक इंजेक्टिव संकल्प है। इसलिए, हमें कॉम्प्लेक्स का एक इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन मिलाः जैसे कि प्रत्येक पंक्ति लेम्मा की परिकल्पना को संतुष्ट करती है (सीएफ। कार्टन-आइलेनबर्ग संकल्प।) अब, डबल कॉम्प्लेक्स दो वर्णक्रमीय अनुक्रमों को जन्म देता है, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, जिनकी अब हम जांच करने जा रहे हैं। एक ओर, परिभाषा के अनुसार, जो हमेशा शून्य होता है जब तक कि q = 0 परिकल्पना के अनुसार G-चक्रीय न हो। अतः, और। दूसरी ओर, परिभाषा और लेम्मा के अनुसार, चूंकि यह एक इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन है (यह एक रिज़ॉल्यूशन है क्योंकि इसकी कोहोमोलॉजी तुच्छ है), चूंकि और एक ही सीमित शब्द है, इसलिए प्रमाण पूरा होता है। टिप्पणियाँ संदर्भ कम्प्यूटेशनल उदाहरण शार्प, एरिक (2003)। डी-ब्रेन और शीव्स (पृष्ठ 18-19), वर्णक्रमीय अनुक्रमों पर व्याख्यान