Complex torus
गणित में, एक जटिल टोरस एक विशेष प्रकार का जटिल मैनिफोल्ड एम है जिसका अंतर्निहित चिकना मैनिफोल्ड सामान्य अर्थों में एक टोरस है (यानी। कुछ संख्या एन वृत्तों का कार्टेशियन उत्पाद)। यहाँ N को सम संख्या 2n होना चाहिए, जहाँ n, M का जटिल आयाम है। ऐसी सभी जटिल संरचनाओं को निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता हैः एक वेक्टर स्थान V में एक जाली λ को वास्तविक वेक्टर स्थान के रूप में माने जाने वाले Cn के समरूपी रूप में लें; तो भागफल समूह एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। समरूपता तक सभी जटिल तोरी इस तरह से प्राप्त की जाती हैं। एन = 1 के लिए यह अण्डाकार वक्रों का शास्त्रीय अवधि जाली निर्माण है। एन> 1 के लिए बर्नहार्ड रीमैन ने एक जटिल टोरस के लिए एक बीजगणितीय किस्म होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां पाईं; जो किस्में हैं उन्हें जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड किया जा सकता है, और अबेलियन किस्में हैं। वास्तविक प्रोजेक्टिव एम्बेडिंग जटिल होते हैं (अबेलियन किस्मों को परिभाषित करने वाले समीकरण देखें) जब n> 1, और वास्तव में कई जटिल चर (निश्चित मापांक के साथ) के थीटा-कार्यों के सिद्धांत के साथ सह-विस्तारित होते हैं। n = 1 के लिए घन वक्र विवरण जितना सरल कुछ नहीं है। कंप्यूटर बीजगणित छोटे n के मामलों को उचित रूप से अच्छी तरह से संभाल सकता है। चाउ के प्रमेय के अनुसार, अबेलियन किस्मों के अलावा कोई भी जटिल टोरस प्रोजेक्टिव स्पेस में 'फिट' नहीं हो सकता है। परिभाषा जटिल तोरी को परिभाषित करने का एक तरीका कॉम्पैक्ट से जुड़े जटिल लाइ समूह के रूप में है। ये लाइ समूह हैं जहाँ संरचना मानचित्र जटिल मैनिफोल्ड के होलोमोर्फिक मानचित्र हैं। यह पता चला है कि ऐसे सभी कॉम्पैक्ट जुड़े लाइ समूह परिवर्तनीय हैं, और उनके लाइ बीजगणित के एक भागफल के लिए समरूप हैं, जिसका आवरण मानचित्र एक लाइ बीजगणित का उसके संबंधित लाइ समूह के लिए घातीय मानचित्र है। इस मानचित्र की गुठली एक जाली है और। इसके विपरीत, एक जटिल वेक्टर स्थान और अधिकतम श्रेणी के जाली को देखते हुए, भागफल परिसर मैनिफोल्ड में एक जटिल लाइ समूह संरचना होती है, और यह कॉम्पैक्ट और जुड़ा हुआ भी होता है। इसका तात्पर्य है कि जटिल तोरी की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। एक जटिल टोरस का अवधि मैट्रिक्स एक जी-आयामी जटिल टोरस का वर्णन करने का एक तरीका एक मैट्रिक्स का उपयोग करना है जिसके स्तंभ एक आधार का उपयोग करके विस्तारित जाली के आधार से मेल खाते हैं। यदि हम एक मैट्रिक्स का चयन करके विपरीत दिशा में जाते हैं, तो यह एक अवधि मैट्रिक्स से मेल खाता है यदि और केवल तभी जब जटिल संयुग्म मैट्रिक्स से सटे हुए संबंधित मैट्रिक्स का निर्माण किया गया है, तो यह गैर-एकल है। यह एक जाली के विस्तार के स्तंभ वैक्टरों की गारंटी देता है इसलिए उन पर रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर होने चाहिए। उदाहरण एक द्वि-आयामी जटिल टोरस के लिए, इसमें रूप का एक अवधि मैट्रिक्स होता है, उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स एक अवधि मैट्रिक्स बनाता है क्योंकि संबंधित अवधि मैट्रिक्स में निर्धारक 4 होता है। सामान्यीकृत अवधि मैट्रिक्स आयाम के किसी भी जटिल टोरस के लिए इसमें उस रूप का एक अवधि मैट्रिक्स होता है जहां पहचान मैट्रिक्स है और जहां। हम इसे उपरोक्त रूप का एक ब्लॉक मैट्रिक्स देते हुए वेक्टर स्थान के आधार का परिवर्तन लेने से प्राप्त कर सकते हैं। संबंधित-मैट्रिक्स को देखने से निम्नलिखित के लिए शर्त क्योंकि यह एक गैर-एकल मैट्रिक्स होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि हम ब्लॉक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं, तो यह केवल निहितार्थ देता है। उदाहरण के लिए, हम एक 2-आयामी जटिल टोरस के लिए एक सामान्यीकृत अवधि मैट्रिक्स लिख सकते हैं क्योंकि ऐसा ही एक उदाहरण सामान्यीकृत अवधि मैट्रिक्स है क्योंकि इसका निर्धारक गैर-शून्य है, जो इसके बराबर है। अबेलियन किस्मों की अवधि मैट्रिक्स एक अवधि मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए जो एक प्रोजेक्टिव कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड देता है, इसलिए एक बीजगणितीय विविधता, अवधि मैट्रिक्स को रीमान द्विरेखीय संबंधों को और संतुष्ट करने की आवश्यकता होती है। जटिल तोरी के समरूपता यदि हमारे पास जटिल तोरी और आयाम हैं तो जटिल तोरी का समरूपता एक ऐसा कार्य है जिससे समूह संरचना संरक्षित रहती है। इसके कई परिणाम होते हैं, जैसे कि प्रत्येक समरूपता उनके आवरण स्थानों का एक नक्शा प्रेरित करती है जो उनके आवरण मानचित्रों के साथ संगत है। इसके अलावा, क्योंकि एक समूह समरूपता को प्रेरित करता है, इसे जाली के रूपात्मकता तक सीमित होना चाहिए विशेष रूप से, इंजेक्शन हैं और जिन्हें समरूपता के स्थान का विश्लेषणात्मक और तर्कसंगत प्रतिनिधित्व कहा जाता है। ये परिमेय आयाम वाले एंडोमोर्फिज्म रिंग के बारे में कुछ जानकारी निर्धारित करने के लिए उपयोगी हैं। जटिल तोरी के समरूपी मानचित्र जटिल तोरी के बीच समरूपी मानचित्रों के वर्ग की संरचना बहुत सरल होती है। बेशक, प्रत्येक समरूपता एक समरूपता मानचित्र को प्रेरित करती है, लेकिन प्रत्येक समरूपता मानचित्र एक समरूपता के साथ एक विशेष प्रकार के समरूपता मानचित्र की संरचना है। फिर, यदि जटिल टोरी के बीच एक होलोमोर्फिक मानचित्र है, तो एक अद्वितीय होमोमोर्फिज्म है जैसे कि होलोमोर्फिक मानचित्र दिखाना जटिल टोरी के होमोमोर्फिज्म के सेट से बहुत बड़ा नहीं है। समरूपता जटिल तोरी के समरूपता के एक अलग वर्ग को समरूपता कहा जाता है। ये एक गैर-शून्य कर्नेल के साथ जटिल टोरी के एंडोमोर्फिज्म हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक पूर्णांक देते हैं, तो एक संबंधित मानचित्र प्रेषण होता है जिसमें कर्नेल समरूपता होती है। समरूपी जटिल तोरी वास्तविक सदिश स्थान पर जटिल संरचनाओं का एक समरूपता है और समुच्चय और समरूपी तोरी को उनके जाली के आधार में परिवर्तन द्वारा दिया जा सकता है, इसलिए इसमें एक मैट्रिक्स है। यह आयाम के जटिल टोरी के समरूपता वर्गों का समूह देता है, डबल कोसेट स्पेस के रूप में ध्यान दें कि एक वास्तविक मैनिफोल्ड के रूप में, इसका आयाम है जो अबेलियन किस्मों के मॉड्यूली के आयामों पर विचार करते समय महत्वपूर्ण है, जो दर्शाता है कि अबेलियन किस्मों की तुलना में कहीं अधिक जटिल टोरी हैं। लाइन बंडल और ऑटोमोर्फिक रूप जटिल मैनिफोल्ड के लिए, विशेष रूप से जटिल टोरी में, होलोमोर्फिक लाइन बंडल से संबंधित एक निर्माण है जिसका पुलबैक के समूह कोहोमोलॉजी का उपयोग करके तुच्छ है। सौभाग्य से जटिल तोरी के लिए, हर जटिल लाइन बंडल तुच्छ हो जाता है। ऑटोमोर्फी के कारक पहले समूह कोहोमोलॉजी समूह से शुरू करते हुए हम याद करते हैं कि इसके तत्वों को कैसे दर्शाया जा सकता है। चूँकि इसके सभी आवरणों पर एक प्रेरित क्रिया होती है, इसलिए द-एक्शन को फिर एक होलोमोर्फिक मानचित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह मानचित्र कोसाइकिल की स्थिति को संतुष्ट करता है यदि प्रत्येक और के लिए। 1-कोशिकाओं के अबेलियन समूह को ऑटोमोर्फी के कारकों का समूह कहा जाता है। ध्यान दें कि ऐसे कार्यों को केवल कारक भी कहा जाता है। जटिल तोरी पर जटिल तोरी के लिए, ये कार्य उन कार्यों द्वारा दिए जाते हैं जो कोसाइकल स्थिति का पालन करते हैं। ये स्वचालित कार्य हैं, अधिक सटीक रूप से, थीटा कार्यों के लिए परिवर्तन नियमों में उपयोग किए जाने वाले स्वचालित कार्य हैं। इसके अलावा, ऐसा कोई भी मानचित्र लिखा जा सकता है जिसके लिए संबंधित रेखा बंडल से संबंधित अपरिवर्तकों की गणना के लिए उपयोगी है। ऑटोमोर्फी के कारकों से लाइन बंडल ऑटोमोर्फी के एक कारक को देखते हुए हम एक लाइन बंडल को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैंः तुच्छ लाइन बंडल में कारक के लिए एक-क्रिया दी जाती है। चूँकि यह क्रिया मुक्त और उचित रूप से असंतत है, भागफल बंडल एक जटिल कई गुना है। इसके अलावा, आवरण प्रक्षेपण से प्रेरित प्रक्षेपण। यह एक नक्शा देता है जो वांछित परिणाम देते हुए एक समरूपता को प्रेरित करता है। जटिल तोरी के लिए जटिल तोरी के मामले में, हमारे पास एक समरूपता है जो संबंधित समूह समरूपता में 1-कोशिकाओं के रूप में जटिल तोरी पर रेखा बंडलों का प्रतिनिधित्व करती है। समूह को जाली परिभाषित करने के रूप में लिखना विशिष्ट है, इसलिए इसमें रेखा बंडलों के समरूपता वर्ग शामिल हैं। जटिल तोरी पर रेखा बंडलों का पहला चेरन वर्ग घातीय सटीक अनुक्रम से जोड़ने वाला आकृतिवाद पहला चेरन वर्ग मानचित्र है, जो एक रेखा बंडले का एक समरूपता वर्ग अपने संबंधित पहले चेरन वर्ग को भेजता है। यह पता चला है कि जाली पर वैकल्पिक रूपों के मॉड्यूल के बीच एक समरूपता है। इसलिए, इसे एक वैकल्पिक-मूल्यवान 2-फॉर्म के रूप में माना जा सकता है। यदि ऑटोमोर्फी का कारक है तो वैकल्पिक रूप को और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण मानक आधार का उपयोग करके विस्तारित एक सामान्यीकृत अवधि मैट्रिक्स के लिए हमारे पास जाली को परिभाषित करने वाले कॉलम वैक्टर हैं। फिर, कोई भी वैकल्पिक फॉर्म उस रूप का होता है जिसमें कई संगतता शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए। लाइन बंडलों के अनुभाग और थीटा कार्य स्वचालितता के एक कारक द्वारा दिए गए एक लाइन बंडल के लिए, इसलिए और, खंडों का एक संबद्ध आवरण है जहां खुला है। फिर, वैश्विक वर्गों पर मूल्यांकन किया जाता है, यह होलोमॉर्फिक कार्यों का समूह है जैसे कि जो बिल्कुल समतल पर थीटा कार्य हैं। इसके विपरीत, इस प्रक्रिया को पीछे की ओर किया जा सकता है जहां थीटा फ़ंक्शन में ऑटोमोर्फिक कारक वास्तव में एक जटिल टोरस पर एक लाइन बंडल को परिभाषित करने वाले ऑटोमोर्फी का कारक है। हर्मिशियन रूप और एपेल-हम्बर्ट प्रमेय लाइन बंडल से जुड़े वैकल्पिक-मूल्यवान 2-रूप के लिए, इसे-मूल्यवान होने तक बढ़ाया जा सकता है। फिर, यह पता चलता है कि किसी भी के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला कोई भी मूल्यवान वैकल्पिक रूप एक लाइन बंडल के कुछ पहले चेरन वर्ग का विस्तार है। इसके अलावा, एक संबंधित हर्मिशियन रूप है जो किसी के लिए भी संतोषजनक है। नेरोन-सेवेरी समूह एक जटिल टोरस के लिए हम नेरोन-सेरवेरी समूह को हर्मिशियन रूपों के समूह के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, समान रूप से, यह पहले चेरन वर्ग से समरूपता की छवि है। हम इसे वैकल्पिक वास्तविक-मूल्य वाले वैकल्पिक रूपों के समूह के साथ भी पहचान सकते हैं। एक दीर्घवृत्ताकार वक्र पर एक हर्मिशियन रूप का उदाहरण जाली द्वारा दिए गए एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के लिए जहां हम एक सामान्य प्रत्यावर्ती मैट्रिक्स को देखकर और उम्मीद के अनुसार व्यवहार करने के लिए सही संगतता स्थितियों का पता लगाकर अभिन्न रूप पा सकते हैं। यदि हम एक वास्तविक सदिश स्थान (तो) के रूप में के मानक आधार का उपयोग करते हैं, तो हम एक वैकल्पिक मैट्रिक्स लिख सकते हैं और इससे जुड़े वैक्टरों पर संबंधित उत्पादों की गणना कर सकते हैं। ये हैं फिर, इन वैक्टरों के आंतरिक उत्पादों (मानक आंतरिक उत्पाद के साथ) को वैक्टरों के साथ लेते हुए हमें मिलता है, तो हम सीधे सत्यापित कर सकते हैं, जो ऊपर दिए गए मैट्रिक्स के लिए है। एक निश्चित के लिए, हम समाकलन रूप को इस प्रकार लिखेंगे। फिर, एक संबंधित हर्मिशियन रूप दिया गया है जहां हर्मिशियन रूपों के लिए अर्ध-वर्ण जोड़े एक हर्मिशियन रूप के लिए एक अर्ध-वर्ण एक ऐसा मानचित्र है कि इसलिए मानचित्र हर्मिशियन रूप द्वारा मुड़े हुए चरित्र की तरह व्यवहार करता है। ध्यान दें कि यदि शून्य तत्व है, तो यह तुच्छ रेखा बंडल से मेल खाता है, तो संबंधित अर्ध-वर्ण वर्णों का समूह है। यह पता चलेगा कि यह इसके दोहरे टोरस पर डिग्री लाइन बंडलों के समूह से मेल खाता है, जिसे वर्णों के समूह की गणना करके देखा जा सकता है जिनके तत्वों को मानचित्र के रूप में फैक्टर किया जा सकता है जो एक चरित्र को कुछ निश्चित दोहरे जाली वेक्टर के रूप में दर्शाता है। यह एक वास्तविक टोरस के साथ वर्णों के समूह का समरूपता देता है। अर्ध-वर्णों के सभी जोड़े और उनके संबंधित हर्मिशियन रूप, या अर्ध-वर्ण जोड़े का समूह एक समूह बनाता है जहां यह समूह संरचना अर्ध-वर्णों के लिए पिछले कम्यूटेशन नियम को नए अर्ध-वर्ण पर लागू करने से आती हैः यह पता चलता है कि यह समूह ऊपर चढ़ता है और इसमें कर्नेल होता है, जो एक छोटा सटीक अनुक्रम देता है। अर्ध-वर्ण जोड़े और रेखा बंडल एक अर्ध-वर्ण जोड़ी के लिए हम एक मानचित्र के रूप में परिभाषित एक 1-चक्र का निर्माण कर सकते हैं। इसलिए कोसाइकल एक लाइन बंडल निर्धारित करता है जहां-क्रिया नोट द्वारा दी जाती है इस क्रिया का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि लाइन बंडल के अनुभाग ऑटोमोर्फी के कारक के साथ थीटा कार्यों द्वारा दिए जाते हैं। कभी-कभी, इसे ऑटोमोर्फी का विहित कारक कहा जाता है। ध्यान दें कि क्योंकि प्रत्येक लाइन बंडल में एक संबंधित हर्मिशियन रूप होता है, और एक अर्ध-वर्ण का निर्माण ऑटोमॉर्फी के कारक का उपयोग करके किया जा सकता है, इसलिए हमें एक अधिक्षेप मिलता है। इन सभी तथ्यों को निम्नलिखित परिवर्तनीय आरेख में संक्षेपित किया जा सकता है जहां ऊर्ध्वाधर तीर समरूपता या समानता हैं। इस आरेख को आम तौर पर एपेल-हम्बर्ट प्रमेय कहा जाता है। दोहरे जटिल टोरस जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, जाली पर एक वर्ण को कुछ निश्चित दोहरे सदिश के लिए एक फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि हम सभी वर्णों के वास्तविक टोरस पर एक जटिल संरचना रखना चाहते हैं, तो हमें एक जटिल वेक्टर स्थान के साथ शुरुआत करने की आवश्यकता है जो इसमें अंतर्निहित है। यह पता चला है कि जटिल एंटीलिनियर मानचित्रों का जटिल वेक्टर स्थान, वास्तविक दोहरे वेक्टर स्थान के लिए समरूप है, जो वर्णों को लिखने के लिए गुणनखंडन का हिस्सा है। इसके अलावा, एक संबद्ध जाली है जिसे दोहरी जाली कहा जाता है। फिर, हम दोहरे जटिल टोरस का निर्माण कर सकते हैं जिसमें यह विशेष गुण है कि दोहरे जटिल टोरस का वह दोहरा मूल जटिल टोरस है। इसके अलावा, उपरोक्त चर्चा से, हम पिकार्ड समूह के साथ दोहरे जटिल टोरस की पहचान कर सकते हैं, मानचित्र देने के लिए एक एंटी-लीनियर दोहरे वेक्टर भेजकर जो दोहरे जटिल टोरस के माध्यम से कारक है। एबेलियन किस्मों के सिद्धांत से तकनीकों का उपयोग करके दोहरे जटिल टोरस के अन्य निर्माण हैं। अनिवार्य रूप से, एक जटिल टोरस (या एबेलियन किस्म) पर एक रेखा बंडल लेते हुए, एक बंद उपसमुच्चय को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां उनके अनुवाद अपरिवर्तनीय होते हैं, अर्थात। फिर, दोहरे जटिल टोरस का निर्माण इसे एक आइसोजेनी के रूप में प्रस्तुत करने के रूप में किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि इस तरह से परिभाषित करना सार्वभौमिक गुणों को संतुष्ट करता है, इसलिए वास्तव में दोहरी जटिल टोरस (या एबेलियन किस्म) है। दोहरे जटिल टोरस के निर्माण से, यह सुझाव दिया जाता है कि टोरस और उसके दोहरे के उत्पाद पर एक रेखा बंडल मौजूद होना चाहिए जिसका उपयोग डिग्री 0 रेखा बंडलों के सभी समरूपता वर्गों को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है। हम इस व्यवहार को निम्नलिखित दो गुणों के साथ कूटबद्ध कर सकते हैं किसी भी बिंदु के लिए लाइन बंडल एक तुच्छ लाइन बंडल है जहां पहला ऊपर चर्चा की गई संपत्ति है, और दूसरा सामान्यीकरण संपत्ति के रूप में कार्य करता है। हम निम्नलिखित हर्मिशियन रूप और अर्ध-चरित्र का उपयोग करके निर्माण कर सकते हैं। इस डेटा को दिखाने से वांछित गुणों के साथ एक लाइन बंडल का निर्माण होता है जो संबंधित विहित कारक को देखने और विभिन्न प्रतिबंधों पर इसके व्यवहार का निरीक्षण करने से होता है। पोइनकेयर बंडल कॉम्प्लेक्स लाइ ग्रुप ऑटोमोर्फिक फंक्शन इंटरमीडिएट जैकोबियन एलिप्टिक गामा फंक्शन संदर्भ कॉम्प्लेक्स 2-आयामी टोरी-जटिल टोरी को खोजने के लिए उपकरण देता है जो जटिल टोरी पर एबेलियन किस्में नहीं हैं जर्ब्स-जाली पर वैकल्पिक रूपों का उपयोग करने के विचार को बढ़ाता है, एक जटिल टोरस पर जर्ब्स का निर्माण करने के लिए-जिसमें जटिल टोरी पर जर्ब्स के उदाहरण शामिल हैं-जिसे जटिल टोरी पी-एडिक टोरी पी-एडिक एबेलियन इंटीग्रल तक बढ़ाया जा सकता हैः थ्योरी से प्रैक्टिस कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स जटिल सतहों एबेलियन किस्मों तक।