Azumaya algebra
गणित में, एक अजुमाया बीजगणित केंद्रीय सरल बीजगणित से-बीजगणित का एक सामान्यीकरण है जहां एक क्षेत्र होने की आवश्यकता नहीं है। इस तरह की धारणा को गोरो अज़ुमाया के 1951 के एक पेपर में पेश किया गया था, उस मामले के लिए जहां एक कम्यूटेटिव स्थानीय रिंग है। इस धारणा को रिंग सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में आगे विकसित किया गया था, जहां अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक ने इसे 1964-65 से बोरबाकी सेमिनारों में ब्राउर समूह के अपने ज्यामितीय सिद्धांत का आधार बनाया था। अब बुनियादी परिभाषाओं तक पहुँच के कई बिंदु हैं। एक वलय के ऊपर एक अजुमाया बीजगणित एक-बीजगणित है जो निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी का भी पालन करता हैः एक-बीजगणित इस तरह मौजूद है कि-बीजगणित का टेंसर उत्पाद मोरिता के बराबर है। - बीजगणित मोरिता के समतुल्य है, जहाँ का विपरीत बीजगणित है। का केंद्र है, और अलग करने योग्य है। एक-मॉड्यूल के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न, विश्वसनीय और प्रोजेक्टिव है, और टेंसर उत्पाद के एंडोमोर्फिज्म को भेजने वाले मानचित्र के माध्यम से समरूप है। एक क्षेत्र पर उदाहरण, अज़ुमाया बीजगणित को पूरी तरह से आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय द्वारा वर्गीकृत किया गया है क्योंकि वे केंद्रीय सरल बीजगणित के समान हैं। ये कुछ विभाजन बीजगणित के लिए मैट्रिक्स रिंग के लिए समरूप बीजगणित हैं जिनके केंद्र पर न्याय है। उदाहरण के लिए, चतुर्थक बीजगणित केंद्रीय सरल बीजगणित के उदाहरण प्रदान करते हैं। स्थानीय रिंगों पर उदाहरण एक स्थानीय कम्यूटेटिव रिंग को देखते हुए, एक-बीजगणित अजुमाया है यदि और केवल तभी जब एक-मॉड्यूल के रूप में सकारात्मक परिमित श्रेणी से मुक्त हो, और बीजगणित एक केंद्रीय सरल बीजगणित हो, इसलिए सभी उदाहरण केंद्रीय सरल बीजगणित से आते हैं। चक्रीय बीजगणित अजुमाया बीजगणित का एक वर्ग है जिसे चक्रीय बीजगणित कहा जाता है जो एक क्षेत्र पर अजुमाया बीजगणित के सभी समानता वर्गों को उत्पन्न करता है, इसलिए ब्रॉयर समूह के सभी तत्व (नीचे परिभाषित)। डिग्री के एक सीमित चक्रीय गैलोइस क्षेत्र विस्तार को देखते हुए, प्रत्येक और किसी भी जनरेटर के लिए एक मुड़ा हुआ बहुपद वलय होता है, जिसे भी दर्शाया जाता है, जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है और निम्नलिखित कम्यूटेशन गुण धारण करता हैः एक वेक्टर स्थान के रूप में, नोट द्वारा दिए गए गुणन के साथ आधार होता है जो ज्यामितीय रूप से अभिन्न विविधता देता है, भागफल क्षेत्र विस्तार के लिए एक संबंधित चक्रीय बीजगणित भी होता है। एक रिंग का ब्राउर समूह क्षेत्रों के ऊपर, एटेल कोहोमोलॉजी का उपयोग करके अज़ुमाया अल्जेब्रा का एक कोहोमोलॉजिकल वर्गीकरण है। वास्तव में, इस समूह, जिसे ब्राउर समूह कहा जाता है, को एक वलय पर अजुमाया बीजगणित के समानता वर्गों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां कुछ प्राकृतिक संख्याओं के लिए वलय का समरूपता होने पर वलय समान होते हैं। फिर, यह समतुल्यता वास्तव में एक समतुल्यता संबंध है, और यदि, तो, दिखाना एक अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेशन है। यह ऐसे समतुल्य वर्गों के समूह पर एक समूह संरचना बनाता है जिसे ब्राउर समूह कहा जाता है, जिसे दर्शाया जाता है। एक अन्य परिभाषा एटेल कोहोमोलॉजी समूह के मरोड़ उपसमूह द्वारा दी गई है जिसे कोहोमोलॉजिकल ब्राउर समूह कहा जाता है। ये दोनों परिभाषाएँ सहमत हैं कि एक क्षेत्र कब है। गैलोइस कोहोमोलॉजी का उपयोग करते हुए ब्राउर समूह गैलोइस कोहोमोलॉजी का उपयोग करते हुए ब्राउर समूह की एक और समकक्ष परिभाषा है। एक क्षेत्र विस्तार के लिए एक कोहोमोलॉजिकल ब्रॉयर समूह को परिभाषित किया गया है और कोहोमोलॉजिकल ब्रॉयर समूह को परिभाषित किया गया है जहां कोलिमिट्स को सभी परिमित गैलोइस क्षेत्र विस्तारों पर लिया जाता है। एक स्थानीय क्षेत्र के लिए गणना एक स्थानीय गैर-आर्किमिडियन क्षेत्र पर, जैसे कि पी-एडिक संख्या, स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत अबेलियन समूहों का समरूपता देता हैः पी. जी. 193 ऐसा इसलिए है क्योंकि अबेलियन क्षेत्र विस्तार दिए जाने पर गैलोइस समूहों का एक छोटा सटीक अनुक्रम होता है और स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत से, निम्नलिखित परिवर्तनीय आरेख होता हैः जहां ऊर्ध्वाधर मानचित्र समरूपता हैं और क्षैतिज मानचित्र इंजेक्शन हैं। किसी क्षेत्र के लिए एन-मरोड़ याद रखें कि किसी क्षेत्र के लिए समरूपता में एक लंबा सटीक अनुक्रम देने वाला कुमेर अनुक्रम है। चूँकि हिल्बर्ट के प्रमेय 90 का तात्पर्य है, एक संबंधित संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है जो दूसरे इटेल कोहोमोलॉजी समूह को एकता के th जड़ों में गुणांक के साथ दिखाता है जो एक क्षेत्र पर ब्राउर समूह में n-मरोड़ वर्गों के जनरेटर हैं गैलोइस प्रतीक, या मानक-अवशेष प्रतीक,-मरोड़ मिल्नर के-सिद्धांत समूह से इटेल कोहोमोलॉजी समूह का एक मानचित्र है, जिसे हिलबर्ट के प्रमेय 90 समरूपता के साथ इटेल कोहोमोलॉजी में कप उत्पाद की संरचना से दर्शाया गया है, इसलिए यह मानचित्र कारकों के माध्यम से निकलता है, जिसके लिए वर्ग को एक चक्रीय बीजगणित द्वारा दर्शाया जाता है। कुमेर विस्तार के लिए जहाँ, चक्रीय समूह का एक जनरेटर लें, और निर्माण करें। गैलोइस कोहोमोलॉजी और एटेल कोहोमोलॉजी के माध्यम से एक वैकल्पिक, फिर भी समकक्ष निर्माण है। तुच्छ-मॉड्यूल के छोटे सटीक अनुक्रम पर विचार करें लंबे सटीक अनुक्रम से एक नक्शा मिलता है अद्वितीय वर्ण के लिए, एक अद्वितीय लिफ्ट है और ध्यान दें कि वर्ग हिल्बर्ट्स प्रमेय 90 मानचित्र से है। फिर, चूंकि एकता की एक आदिम जड़ मौजूद है, इसलिए एक वर्ग भी है। मानक अवशेष समरूपता प्रमेय के कारण, एक समरूपता है और-मरोड़ वर्ग चक्रीय बीजगणित द्वारा उत्पन्न होते हैं। स्कोलेम-नोइथर प्रमेय अज़ुमाया बीजगणित के बारे में महत्वपूर्ण संरचना परिणामों में से एक स्कोलेम-नोइथर प्रमेय हैः एक स्थानीय कम्यूटेटिव रिंग और एक अज़ुमाया बीजगणित को देखते हुए, इसके एकमात्र ऑटोमोर्फिज्म आंतरिक हैं। अर्थात्, निम्नलिखित मानचित्र अनुमानात्मक हैः इसमें इकाइयों का समूह कहाँ है यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सीधे तौर पर एक योजना पर अज़ुमाया बीजगणित के समानता वर्गों के समरूप वर्गीकरण से संबंधित है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि एक अज़ुमाया बीजगणित में कुछ के लिए संरचना समूह है, और चेच कोहोमोलॉजी समूह ऐसे बंडलों का एक कोहोमोलॉजिकल वर्गीकरण देता है। फिर, यह सटीक अनुक्रम का उपयोग करने से संबंधित हो सकता है यह पता चलता है कि छवि मरोड़ उपसमूह का एक उपसमूह है। एक योजना पर संरचना आवरण के साथ एक योजना X पर एक अज़ुमाया बीजगणित, मूल ग्रोथेन्डिक सेमिनार के अनुसार,-बीजगणित का एक आवरण है जो एक मैट्रिक्स बीजगणित आवरण के लिए स्थानीय रूप से समरूप है; हालाँकि, इस शर्त को जोड़ना चाहिए कि प्रत्येक मैट्रिक्स बीजगणित आवरण सकारात्मक श्रेणी का है। यह परिभाषा एक अज़ुमाया बीजगणित को आवरण के 'मुड़े हुए रूप' में बनाती है। मिल्ने, एटेल कोहोमोलॉजी, इस परिभाषा के बजाय शुरू होती है कि यह-अल्जेब्रा का एक आवरण है जिसका प्रत्येक बिंदु पर डंठल ऊपर दिए गए अर्थ में स्थानीय वलय पर एक अज़ुमाया बीजगणित है। दो अज़ुमाया बीजगणित और समतुल्य हैं यदि स्थानीय रूप से मुक्त आवरण मौजूद हैं और प्रत्येक बिंदु पर सीमित सकारात्मक श्रेणी के हैं जैसे कि एंडोमोर्फिज्म आवरण कहाँ है। ब्रॉयर समूह (एक क्षेत्र के ब्रॉयर समूह का एक अनुरूप) अज़ुमाया बीजगणित के समतुल्य वर्गों का समूह है। समूह संचालन टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, और व्युत्क्रम विपरीत बीजगणित द्वारा दिया जाता है। ध्यान दें कि यह कोहोमोलॉजिकल ब्राउर समूह से अलग है जिसे इस रूप में परिभाषित किया गया है। विशिष्टता पर उदाहरण (Z [1/n]) एक क्षेत्र पर एक चतुर्थक बीजगणित के निर्माण को गैर-परिवर्तनीय-बीजगणित पर विचार करके वैश्वीकृत किया जा सकता है, फिर,-बीजगणित के एक आवरण के रूप में, एक अज़ुमाया बीजगणित की संरचना होती है। ओपन एफाइन सेट तक सीमित रहने का कारण यह है कि क्वाटर्नियन बीजगणित बिंदुओं पर एक विभाजन बीजगणित है और केवल तभी जब हिल्बर्ट प्रतीक जो बिल्कुल भी सही है लेकिन सीमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं। पी. एन. ओवर अज़ुमाया बीजगणित का उदाहरण एक क्षेत्र पर अज़ुमाया बीजगणित के रूप में बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, का एंडोमोर्फिज्म शीफ मैट्रिक्स शीफ है इसलिए एक अज़ुमाया बीजगणित का निर्माण इस शीफ से किया जा सकता है जिसे अज़ुमाया बीजगणित के साथ टेंसर किया गया है, जैसे कि एक चतुर्थक बीजगणित। अनुप्रयोग यूरी मैनिन के काम के बाद, डायोफैंटाइन ज्यामिति में अज़ुमाया बीजगणित के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हुए हैं। हास्स सिद्धांत के लिए मैनिन बाधा को योजनाओं के ब्राउर समूह का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। गेर्ब वर्ग क्षेत्र सिद्धांत बीजगणितीय के-सिद्धांत प्रेरक समरूपता नॉर्म अवशेष समरूपता प्रमेय संदर्भ ब्राउर समूह और अज़ुमाया बीजगणितीय मिल्ने, जॉन भी देखें। ईटेल कोहोमोलॉजी। "अजुमाया अल्जेब्रा के स्पष्ट उदाहरण" पर सीएच IV मैथओवरफ्लो थ्रेड डिवीजन अल्जेब्रा रिंग थ्योरी स्कीम थ्योरी अल्जेब्रा