Saddle-node bifurcation
द्विभाजन सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में एक काठी-नोड द्विभाजन, स्पर्शरेखा द्विभाजन या तह द्विभाजन एक स्थानीय द्विभाजन है जिसमें एक गतिशील प्रणाली के दो निश्चित बिंदु (या संतुलन) टकराते हैं और एक दूसरे को नष्ट कर देते हैं। 'काठी-नोड द्विभाजन' शब्द का उपयोग अक्सर निरंतर गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। असतत गतिशील प्रणालियों में, एक ही द्विभाजन को अक्सर एक गुना द्विभाजन कहा जाता है। एक अन्य नाम दो निश्चित बिंदुओं के अचानक निर्माण के संदर्भ में नीला आकाश विभाजन है। यदि चरण स्थान एक-आयामी है, तो संतुलन बिंदुओं में से एक अस्थिर (काठी) है, जबकि दूसरा स्थिर (नोड) है। सैडल-नोड विभाजन हिस्टैरिसीस लूप और आपदाओं से जुड़े हो सकते हैं। सामान्य रूप एक काठी-नोड द्विभाजन के साथ एक विभेदक समीकरण का एक विशिष्ट उदाहरण हैः यहाँ अवस्था चर है और द्विभाजन पैरामीटर है। यदि दो संतुलन बिंदु हैं, तो एक स्थिर संतुलन बिंदु पर और एक अस्थिर बिंदु पर। (द्विभाजन बिंदु) पर ठीक एक संतुलन बिंदु होता है। इस बिंदु पर निश्चित बिंदु अब हाइपरबोलिक नहीं है। इस मामले में निश्चित बिंदु को काठी-नोड निश्चित बिंदु कहा जाता है। यदि कोई संतुलन बिंदु नहीं हैं। वास्तव में, यह एक काठी-नोड विभाजन का एक सामान्य रूप है। एक स्केलर विभेदक समीकरण जिसके साथ एक निश्चित बिंदु होता है, स्थानीय रूप से स्थलाकृतिक रूप से समतुल्य होता है, बशर्ते यह संतुष्ट हो और। पहली स्थिति गैर-वंशानुगत स्थिति है और दूसरी स्थिति पारगमन स्थिति है। दो आयामों में उदाहरण दो आयामों में एक काठी-नोड विभाजन का एक उदाहरण द्वि-आयामी गतिशील प्रणाली में होता हैः जैसा कि पैरामीटर को बदलकर चरण चित्रों को प्लॉट करके प्राप्त एनीमेशन द्वारा देखा जा सकता है, जब नकारात्मक होता है, तो कोई संतुलन बिंदु नहीं होते हैं। जब, एक काठी-नोड बिंदु होता है। जब सकारात्मक होता है, तो दो संतुलन बिंदु होते हैंः एक काठी बिंदु और एक नोड (या तो एक आकर्षण या एक विकर्षक)। अन्य उदाहरण जैविक स्विचों के प्रतिरूपण में हैं। हाल ही में, यह दिखाया गया था कि कुछ शर्तों के तहत, सामान्य सापेक्षता के आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का एक गुना विभाजन के समान रूप है। काठी-नोड विभाजन का एक गैर-स्वायत्त संस्करण (अर्थात। पैरामीटर समय-निर्भर है) का भी अध्ययन किया गया है। पिचफोर्क द्विभाजन ट्रांसक्रिटिकल द्विभाजन होप्फ द्विभाजन सैडल प्वाइंट नोट्स संदर्भ द्विभाजन सिद्धांत वीडियो क्लिप वाले लेख भी देखें।