Cauchy formula for repeated integration
बार-बार समाकलन के लिए कौची सूत्र, जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कौची के नाम पर रखा गया है, किसी फलन के एन एंटीडेरिवेटिव्स को एकल समाकलन (सी. एफ.) में संपीड़ित करने की अनुमति देता है। कौची का सूत्र)। स्केलर केस मान लीजिए कि f वास्तविक रेखा पर एक निरंतर फलन है। फिर आधार-बिंदु a के साथ f का n वां दोहराए गए समाकलन को एकल समाकलन प्रमाण द्वारा दिया जाता है। n = 1 के साथ आधार मामला तुच्छ है, क्योंकि यह इसके बराबर हैः अब, मान लीजिए कि यह n के लिए सही है, और हम इसे n + 1 के लिए साबित करते हैं। सबसे पहले, लीबनिज़ इंटीग्रल नियम का उपयोग करते हुए, ध्यान दें कि फिर, इंडक्शन परिकल्पना को लागू करते हुए, यह दिखाया गया है कि यह कथन आधार मामले के लिए सही है। यदि कथन सत्य है, तो यह दिखाया गया है कि कथन सत्य है। इस प्रकार यह कथन सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए सही साबित हुआ है। यह प्रमाण को पूरा करता है। सामान्यीकरण और अनुप्रयोग कौची सूत्र को रीमान-लिउविल समाकलन द्वारा गैर-पूर्णांक मापदंडों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जहां इसे प्रतिस्थापित किया जाता है, और भाज्य को गामा फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। दोनों सूत्र कब सहमत होते हैं। कॉची सूत्र और रीमान-लिउविल समाकलन दोनों को रीज़ विभव द्वारा मनमाने आयाम के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। भिन्नात्मक कलन में, इन सूत्रों का उपयोग एक भिन्न समाकलन के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिससे किसी को भिन्नात्मक संख्या में अंतर करने या एकीकृत करने की अनुमति मिलती है। एक आंशिक संख्या को बार-बार अंतर करने को आंशिक एकीकरण द्वारा पूरा किया जा सकता है, फिर परिणाम को अलग किया जा सकता है। संदर्भ ऑगस्टिन-लुई कॉचीः ट्रेंट-सिन्क्विएम लेकोन। इस प्रकार हैः एकोल रॉयल पॉलीटेक्निक सुर ले कैलकुल इनफिनिटी। इम्प्रिमेरी रॉयल, पेरिस 1823। पुनर्मुद्रणः युवर्स कॉम्प्लेट्स II (4), गौथियर-विलार्स, पेरिस, पीपी। 5-261। गेराल्ड बी. फोलैंड, एडवांस्ड कैलकुलस, पृष्ठ 193, प्रेंटिस हॉल (2002)। बाहरी लिंक विश्लेषण में ऑगस्टिन-लुई कॉची इंटीग्रल कैलकुलस प्रमेय