Kretschmann scalar
लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में, विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता के अनुप्रयोगों के संदर्भ में, क्रेट्शमैन स्केलर एक द्विघात स्केलर अपरिवर्तनीय है। इसे एरिक क्रेश्चमैन द्वारा पेश किया गया था। परिभाषा क्रेत्शमैन अपरिवर्तनीय वह जगह है जहाँ रीमान वक्रता टेंसर है (इस समीकरण में आइंस्टीन योग परंपरा का उपयोग किया गया था, और इसका उपयोग पूरे लेख में किया जाएगा)। क्योंकि यह टेंसर घटकों के वर्गों का योग है, यह एक द्विघात अपरिवर्तनीय है। कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के उपयोग के लिए एक अधिक विस्तृत लेखन सार्थक हैः द्रव्यमान के श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल के लिए, क्रेट्शमैन स्केलर वह जगह है जहाँ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। मीट्रिक के साथ एक सामान्य एफ. आर. डब्ल्यू. स्थानकाल के लिए क्रेत्शमैन स्केलर अन्य अपरिवर्तनीयों के साथ संबंध है एक अन्य संभावित अपरिवर्तनीय (जिसे उदाहरण के लिए कुछ उच्च-क्रम गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के लिए लैग्रैन्जियन के गुरुत्वाकर्षण शब्द को लिखने में नियोजित किया गया है) वेइल टेंसर है, जो अनुरूप वक्रता टेंसर है जो रीमान टेंसर का पूरी तरह से अनुरेखणहीन हिस्सा भी है। आयामों में यह क्रेत्शमैन अपरिवर्तनीय से संबंधित है जहाँ रिक्की वक्रता टेंसर है और रिक्की स्केलर वक्रता है (रीमान टेंसर के क्रमिक निशान लेने से प्राप्त)। रिक्की टेंसर निर्वात अंतराल में गायब हो जाता है (जैसे कि ऊपर वर्णित श्वार्जस्चिल्ड समाधान), और इसलिए वहाँ रीमान टेंसर और वेल टेंसर मेल खाते हैं, जैसा कि उनके अपरिवर्तक करते हैं। गेज सिद्धांत अपरिवर्तनीय क्रेत्शमैन स्केलर और चेरन-पोंट्रियागिन स्केलर जहां रीमान टेंसर का बायां दोहरा है, गणितीय रूप से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर के परिचित अपरिवर्तनीयों के समान (कुछ हद तक, भौतिक रूप से समान) हैं। यहाँ एक सहपरिवर्तन व्युत्पन्न की वक्रता है, और यह एक ट्रेस रूप है। क्रेत्शमैन स्केलर फ्रेम बंडल पर होने के लिए कनेक्शन लेने से उत्पन्न होता है। कार्मिनाटी-मैकलेनाघन अपरिवर्तनीय भी देखें, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के अपरिवर्तनीय वर्गीकरण के एक समूह के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर वक्रता अपरिवर्तनीय के अपरिवर्तनीय के बारे में अधिक जानकारी के लिए, रीमानियन में वक्रता अपरिवर्तनीय के लिए और सामान्य वक्रता अपरिवर्तनीय (सामान्य सापेक्षता) रिची अपघटन में छद्म-रीमानियन ज्यामिति के लिए, रीमान और वेल टेंसर के बारे में अधिक जानकारी के लिए।