Hasse–Witt matrix
गणित में, एक सीमित क्षेत्र F पर एक गैर-एकल बीजगणितीय वक्र C का हैस्से-विट मैट्रिक्स H फ्रोबेनियस मैपिंग (p-th पावर मैपिंग जहां F में q तत्व हैं, q प्राइम नंबर p की शक्ति है) का मैट्रिक्स है। यह एक जी × जी मैट्रिक्स है जहाँ सी में जीनस जी है। हैस्से-विट मैट्रिक्स की श्रेणी हैस्से या हैस्से-विट अपरिवर्तनीय है। परिभाषा के लिए दृष्टिकोण यह परिभाषा, जैसा कि परिचय में दी गई है, शास्त्रीय शब्दों में स्वाभाविक है, और हेल्मुट हासे और अर्न्स्ट विट (1936) के कारण है। यह सी की जैकोबियन किस्म जे के पी-रैंक के प्रश्न का समाधान प्रदान करता है; पी-रैंक एच की रैंक से घिरा हुआ है, विशेष रूप से यह फ्रोबेनियस मानचित्रण की रैंक है जो स्वयं जी बार के साथ बनी है। यह एक ऐसी परिभाषा भी है जो सिद्धांत रूप में एल्गोरिदमिक है। क्रिप्टोग्राफी के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में इसमें हाल ही में काफी रुचि रही है, सी ए हाइपरलिप्टिक वक्र के मामले में। यदि H = 0 है तो वक्र C विशेष है। उस परिभाषा के लिए कम से कम कुछ चेतावनियों की आवश्यकता है। सबसे पहले, फ्रोबेनियस मानचित्रण के बारे में एक परंपरा है, और आधुनिक समझ के तहत एच के लिए जो आवश्यक है वह फ्रोबेनियस का स्थानान्तरण है (अधिक चर्चा के लिए अंकगणितीय और ज्यामितीय फ्रोबेनियस देखें)। दूसरा, फ्रोबेनियस मानचित्रण एफ-रैखिक नहीं है; यह एफ में प्रमुख क्षेत्र जेड/पीजेड पर रैखिक है। इसलिए मैट्रिक्स को लिखा जा सकता है लेकिन सीधे अर्थों में एक रैखिक मानचित्रण का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। शीफ कोहोमोलॉजी के लिए व्याख्या यह हैः पी-पावर मैप एच1 (सी, ओसी) पर कार्य करता है, या दूसरे शब्दों में सी की पहली कोहोमोलॉजी इसकी संरचना शीफ में गुणांक के साथ। इसे अब पियरे कार्टियर और यूरी मैनिन के लिए कार्टियर-मैनिन ऑपरेटर (कभी-कभी केवल कार्टियर ऑपरेटर) कहा जाता है। हैस्से-विट परिभाषा के साथ संबंध सेरे द्वैतता के माध्यम से है, जो एक वक्र के लिए उस समूह को H0 (C, ωC) से संबंधित करता है जहां ωC = ωC सी. अबेलियन किस्मों और उनके पी-रैंक पर कहलर विभेदों का आवरण है। यह 0 से d तक कोई भी मान ले सकता है, A का आयाम; किसी भी अन्य अभाज्य संख्या l के विपरीत A [l] में l2d बिंदु हैं। पी-रैंक कम होने का कारण यह है कि ए पर पी द्वारा गुणा एक अविभाज्य समरूपता हैः अंतर पी है जो के में 0 है। कर्नेल को एक समूह योजना के रूप में देखने से कोई भी अधिक पूर्ण संरचना प्राप्त कर सकता है (संदर्भ डेविड ममफोर्ड एबेलियन किस्में पीपी। 146-7); लेकिन अगर उदाहरण के लिए कोई विभाजन समीकरण के रिडक्शन मॉड पी को देखता है, तो समाधानों की संख्या कम होनी चाहिए। कार्टियर-मैनिन प्रचालक, या हैस्से-विट मैट्रिक्स की श्रेणी, इसलिए पी-रैंक के लिए एक ऊपरी सीमा देती है। पी-रैंक फ्रोबेनियस ऑपरेटर की रैंक है जो स्वयं जी बार के साथ बनी होती है। हैस्से और विट के मूल लेख में समस्या को सी के लिए आंतरिक शब्दों में व्यक्त किया गया है, न कि जे पर निर्भर करते हुए। फलन क्षेत्र एफ (सी) (कुम्मर सिद्धांत के इस मामले में एनालॉग) के संभावित आर्टिन-श्रेयर विस्तारों को वर्गीकृत करने का सवाल है। जीनस 1 का मामला अण्डाकार वक्रों के मामले पर 1934 में हासे द्वारा काम किया गया था। चूँकि जीनस 1 है, इसलिए मैट्रिक्स एच के लिए एकमात्र संभावनाएँ हैंः एच शून्य है, हैस अपरिवर्तनीय 0, पी-रैंक 0, सुपरसिंगुलर मामला; या एच गैर-शून्य, हैस अपरिवर्तनीय 1, पी-रैंक 1, साधारण मामला। यहाँ एक सर्वांगसम सूत्र है जो कहता है कि H, F पर C पर अंकों की संख्या N के लिए सर्वांगसम मॉड्यूलो p है, कम से कम जब q = p। दीर्घवृत्ताकार वक्रों पर हैस के प्रमेय के कारण, N मॉड्यूलो p को जानने से p ≤ 5 के लिए N निर्धारित होता है। स्थानीय जीटा-कार्यों के साथ इस संबंध की गहराई से जांच की गई है। एक घन f (X, Y, Z) = 0 द्वारा परिभाषित समतल वक्र के लिए, हैस्स अपरिवर्तनीय शून्य है यदि और केवल तभी जब fp−1 में (XYZ) p−1 का गुणांक शून्य हो। टिप्पणियाँ संदर्भ (एक रूसी मूल का अंग्रेजी अनुवाद) बीजगणितीय वक्र परिमित क्षेत्र मैट्रिक जटिल कई गुना