Parallelizable manifold
गणित में, आयाम n के एक अवकलनीय मैनिफोल्ड को समानांतर कहा जाता है यदि मैनिफोल्ड पर चिकने सदिश क्षेत्र मौजूद हैं, जैसे कि स्पर्शरेखा सदिश के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का आधार प्रदान करते हैं। समान रूप से, स्पर्शरेखा बंडल एक तुच्छ बंडल है, ताकि रैखिक फ्रेम के संबंधित प्रमुख बंडल में वेक्टर क्षेत्रों के इस तरह के आधार के एक विशेष विकल्प पर एक वैश्विक खंड होता है जिसे का समानांतरकरण (या एक पूर्ण समानांतरता) कहा जाता है। उदाहरण वृत्त के साथ एक उदाहरण हैः हम V1 को इकाई स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्र के रूप में ले सकते हैं, मान लीजिए कि घड़ी की विपरीत दिशा में इंगित करना। आयाम का टोरस भी समानांतर है, जैसा कि इसे वृत्तों के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में व्यक्त करके देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बिंदु पर दो स्पर्शरेखा दिशाओं का अंदाजा लगाने के लिए, ग्राफ पेपर के एक वर्ग से विपरीत किनारों के साथ एक टोरस लें और उसका निर्माण करें। अधिक आम तौर पर, प्रत्येक लाइ समूह जी समानांतर है, क्योंकि पहचान तत्व पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए एक आधार को जी पर जी के अनुवाद समूह की क्रिया द्वारा इधर-उधर घुमाया जा सकता है (प्रत्येक अनुवाद एक भिन्नरूपता है और इसलिए ये अनुवाद जी में बिंदुओं के स्पर्शरेखा स्थानों के बीच रैखिक समरूपता को प्रेरित करते हैं)। एक शास्त्रीय समस्या यह निर्धारित करना था कि कौन से गोले Sn समानांतर हैं। शून्य-आयामी मामला S0 मामूली रूप से समानांतर है। मामला S1 वृत्त है, जो समानांतर है जैसा कि पहले ही समझाया जा चुका है। हेयर बॉल थ्योरम से पता चलता है कि S2 समानांतर नहीं है। हालाँकि एस3 समानांतर है, क्योंकि यह लाइ समूह एसयू (2) है। एकमात्र अन्य समानांतर क्षेत्र S7 है; यह 1958 में फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक, मिशेल कर्वायर और राउल बॉट और जॉन मिलनर द्वारा स्वतंत्र काम में साबित किया गया था। समानान्तर गोले वास्तविक संख्या, जटिल संख्या, चतुर्थक और अष्टक के मानक विभाजन बीजगणित में इकाई मानक के तत्वों के साथ सटीक रूप से मेल खाते हैं, जो प्रत्येक के लिए एक समानांतरता का निर्माण करने की अनुमति देता है। यह साबित करना कि अन्य क्षेत्र समानांतर नहीं हैं, अधिक कठिन है, और इसके लिए बीजगणितीय स्थलविज्ञान की आवश्यकता होती है। समानांतर मैनिफोल्ड्स का उत्पाद समानांतर है। प्रत्येक उन्मुख बंद त्रि-आयामी मैनिफोल्ड समानांतर है। टिप्पणी कोई भी समानांतर कई गुना अभिविन्यास योग्य है। फ्रेम्ड मैनिफोल्ड (कभी-कभी रिग्ड मैनिफोल्ड) शब्द आमतौर पर सामान्य बंडल के दिए गए तुच्छकरण के साथ एक एम्बेडेड मैनिफोल्ड पर लागू किया जाता है, और स्पर्शरेखा बंडल के दिए गए स्थिर तुच्छकरण के साथ एक अमूर्त (यानी, गैर-एम्बेडेड) मैनिफोल्ड के लिए भी लागू किया जाता है। एक संबंधित धारणा एक π-मैनिफोल्ड की अवधारणा है। एक चिकनी मैनिफोल्ड को π-मैनिफोल्ड कहा जाता है यदि, जब एक उच्च आयामी यूक्लिडियन स्थान में एम्बेडेड किया जाता है, तो इसका सामान्य बंडल तुच्छ होता है। विशेष रूप से, प्रत्येक समानांतर मैनिफोल्ड एक π-मैनिफोल्ड होता है। चार्ट (टोपोलॉजी) डिफ्रेंटिएबल मैनिफोल्ड फ्रेम बंडल कर्वायर इनवेरिएंट ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल प्रिंसिपल बंडल कनेक्शन (गणित) जी-स्ट्रक्चर नोट्स संदर्भ डिफरेंशियल टोपोलॉजी फाइबर बंडल मैनिफोल्ड वेक्टर बंडल