Proebsting's paradox
संभाव्यता सिद्धांत में, प्रोबस्टिंग का विरोधाभास एक तर्क है जो यह दर्शाता है कि केली मानदंड विनाश का कारण बन सकता है। हालाँकि इसे गणितीय रूप से हल किया जा सकता है, लेकिन यह केली के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में कुछ दिलचस्प मुद्दों को उठाता है, विशेष रूप से निवेश में। इसका नाम और चर्चा पहली बार 2008 में एडवर्ड ओ. थोर्प द्वारा की गई थी। विरोधाभास का नाम इसके निर्माता टॉड प्रोबस्टिंग के नाम पर रखा गया था। विरोधाभास का कथन यदि एक दांव के जीतने या हारने की समान संभावना है, और एक जीत के लिए हिस्सेदारी का दो गुना भुगतान करता है, तो केली दांव हैः धन का गुना। उदाहरण के लिए, यदि एक 50/50 दांव 2 से 1 का भुगतान करता है, तो केली धन का 25 प्रतिशत दांव लगाने के लिए कहता है। यदि एक 50/50 दांव 5 से 1 का भुगतान करता है, तो केली संपत्ति का 40 प्रतिशत दांव लगाने के लिए कहता है। अब मान लीजिए कि एक जुआरी को 2 से 1 भुगतान और 25 प्रतिशत दांव की पेशकश की जाती है। यदि नए दांव पर भुगतान 5 से 1 में बदल जाता है तो उसे क्या करना चाहिए? उसे अधिकतम करने के लिए एफ * चुनना चाहिएः क्योंकि अगर वह जीतता है तो उसके पास 1.5 (2 से 1 बाधाओं पर 25 प्रतिशत दांव जीतने से 0.5) प्लस 5एफ * होगा; और अगर वह हारता है तो उसे पहले दांव से 0.25 और दूसरे से एफ * का भुगतान करना होगा। व्युत्पन्न को f * के संबंध में लेने और इसे शून्य पर सेट करने से मिलता हैः जिसे फिर से लिखा जा सकता हैः तो f * = 0.225। विरोधाभास यह है कि कुल दांव, 0.25 + 0.225 = 0.475,0.40 केली दांव से बड़ा है यदि शुरू से ही 5 से 1 बाधाओं की पेशकश की जाती है। यह विरोधाभासी है कि आप अधिक दांव लगाते हैं जब कुछ दांव प्रतिकूल बाधाओं पर होते हैं। टॉड प्रोबस्टिंग ने इस बारे में पूछने के लिए एड थॉर्प को ईमेल किया। एड थोर्प ने महसूस किया कि केली सट्टेबाज को बर्बाद होने की गैर-शून्य संभावना देने के लिए इस विचार को बढ़ाया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक जुआरी को 2 से 1 बाधाओं की पेशकश की जाती है, तो 4 से 1, फिर 8 से 1 और इसी तरह (n = 1 से अनंत के लिए 2n से 1) केली शर्त लगाने के लिए कहता हैः हर बार। इन सभी दांवों का योग 1 है। इसलिए एक केली जुआरी के पास अपनी पूरी संपत्ति खोने की 50 प्रतिशत संभावना होती है। सामान्य तौर पर, यदि कोई सट्टेबाज बी1 के भुगतान के साथ एक 50/50 प्रस्ताव पर केली शर्त लगाता है, और फिर उसे बी2 की पेशकश की जाती है, तो वह कुल शर्त लगाएगाः पहला कार्यकाल वह है जो सट्टेबाज पहले बी2 की पेशकश करने पर दांव लगाएगा। दूसरा कार्यकाल सकारात्मक है यदि एफ2> एफ1, जिसका अर्थ है कि यदि भुगतान में सुधार होता है, तो केली सट्टेबाज उससे अधिक दांव लगाएगा यदि वह सिर्फ दूसरे भुगतान की पेशकश करता है, जबकि यदि भुगतान खराब हो जाता है तो वह उससे कम दांव लगाएगा यदि वह केवल दूसरे भुगतान की पेशकश करता है। व्यावहारिक अनुप्रयोग कई दांवों में यह विशेषता होती है कि परिणाम निर्धारित होने से पहले भुगतान और संभावनाएं बदल सकती हैं। उदाहरण के लिए खेल सट्टेबाजी में, कार्यक्रम आयोजित होने से पहले रेखा कई बार बदल सकती है, और समाचार सामने आ सकते हैं (जैसे चोट या मौसम का पूर्वानुमान) जो परिणाम की संभावना को बदल देता है। निवेश में, मूल रूप से 20 डॉलर प्रति शेयर पर खरीदा गया स्टॉक अब 10 डॉलर या 30 डॉलर या किसी अन्य कीमत पर उपलब्ध हो सकता है। कुछ खेल सट्टेबाज घटना के परिणामों की भविष्यवाणी करने के बजाय लाइन परिवर्तनों का अनुमान लगाने से आय अर्जित करने की कोशिश करते हैं। कुछ व्यापारी प्रतिभूति की दीर्घकालिक मौलिक संभावनाओं के बजाय संभावित अल्पकालिक मूल्य उतार-चढ़ाव पर ध्यान केंद्रित करते हैं। एक उत्कृष्ट निवेश उदाहरण एक व्यापारी है जिसकी एक्सपोजर सीमाएँ हैं, वह कहता है कि उसे किसी भी एक स्टॉक में 10 लाख डॉलर से अधिक का जोखिम रखने की अनुमति नहीं है। इसका मतलब यह नहीं है कि उसे 10 लाख डॉलर से अधिक का नुकसान नहीं हो सकता है। यदि वह 20 डॉलर में 10 लाख डॉलर का स्टॉक खरीदता है और यह 10 डॉलर तक जाता है, तो वह और 500,000 डॉलर खरीद सकता है। अगर यह 5 डॉलर तक जाता है, तो वह और 500,000 डॉलर खरीद सकता है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो वह अनंत राशि खो सकता है, भले ही उसके पास कभी भी 10 लाख डॉलर से अधिक का जोखिम न हो। समाधान कोई विरोधाभास नहीं है। केली का मानदंड विकास की अपेक्षित दर को अधिकतम करना है; केवल प्रतिबंधित परिस्थितियों में यह लॉग को अधिकतम करने के अनुरूप है। विरोधाभास को खारिज करने का एक आसान तरीका यह है कि केली मानती है कि संभावनाएं नहीं बदलती हैं। एक केली सट्टेबाज जो जानता है कि बाधाएं बदल सकती हैं, वह इसे अधिक जटिल केली सट्टेबाजी में बदल सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि एक केली सट्टेबाज को 2 से 1 के अंतर पर 50/50 प्रस्ताव पर दांव लगाने का एक बार का अवसर दिया जाता है। वह जानते हैं कि 50 प्रतिशत संभावना है कि 5 से 1 पर दूसरा एक बार का अवसर दिया जाएगा। अब उसे अधिकतम करना चाहिएः f1 और f2 दोनों के संबंध में। जवाब 2 से 1 पर शून्य हो जाता है, और 5 से 1 पर दांव लगाने की संभावना की प्रतीक्षा करें, इस स्थिति में आप धन का 40 प्रतिशत दांव लगाते हैं। यदि 5 से 1 बाधाओं की पेशकश की जाने की संभावना 50 प्रतिशत से कम है, तो शून्य और 25 प्रतिशत के बीच की कुछ राशि 2 से 1 पर दांव होगी। यदि 5 से 1 बाधाओं की पेशकश की जाने की संभावना 50 प्रतिशत से अधिक है, तो केली सट्टेबाज वास्तव में 2 से 1 बाधाओं पर एक नकारात्मक दांव लगाएगा (यानी, अगर वह जीतता है तो आधे के भुगतान के साथ 50/50 परिणाम पर दांव लगाएगा और अगर वह हारता है तो 1 का भुगतान करेगा)। किसी भी मामले में, 5 से 1 बाधाओं पर उनका दांव, यदि अवसर दिया जाता है, तो उनके 2 से 1 शर्त का 40 प्रतिशत माइनस 0.7 गुना है। विरोधाभास क्या कहता है, अनिवार्य रूप से, यह है कि यदि एक केली सट्टेबाज को इस बारे में गलत विश्वास है कि भविष्य के दांव की पेशकश की जा सकती है, तो वह कम विकल्प चुन सकता है, और यहां तक कि टूट भी सकता है। केली मानदंड को लंबे समय में किसी भी अनिवार्य रूप से अलग रणनीति की तुलना में बेहतर प्रदर्शन करना चाहिए और बर्बाद होने की कोई संभावना नहीं है, जब तक कि सट्टेबाज संभावनाओं और भुगतानों को जानता है। आरोन ब्राउन द्वारा समस्या पर एक स्वतंत्र विचार द्वारा मुद्दों पर अधिक प्रकाश डाला गया था, जिसे ईमेल द्वारा एड थोर्प को भी सूचित किया गया था। इस सूत्रीकरण में, यह धारणा है कि सट्टेबाज पहले प्रारंभिक दांव को वापस बेच देता है, फिर दूसरे भुगतान पर एक नया दांव लगाता है। इस मामले में उनका कुल दांव हैः जो प्रोबस्टिंग सूत्रीकरण के लिए ऊपर दिए गए सूत्र के समान दिखता है, सिवाय इसके कि दूसरे कार्यकाल पर संकेत उलट दिया जाता है और इसे एक अतिरिक्त कार्यकाल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, 2 से 1 भुगतान के बाद 5 से 1 भुगतान के मूल उदाहरण को देखते हुए, इस सूत्रीकरण में सट्टेबाज पहले धन का 25 प्रतिशत 2 से 1 पर दांव लगाता है। जब 5 से 1 भुगतान की पेशकश की जाती है, तो सट्टेबाज 0.125 के नुकसान के लिए मूल शर्त को वापस बेच सकता है। यदि वह जीतता है तो उसका 2 से 1 का दांव 0.50 का भुगतान करता है और यदि वह हारता है तो 0.25 का भुगतान करता है। नए 5 से 1 भुगतान पर, वह एक शर्त प्राप्त कर सकता है जो 0.625 का भुगतान करता है यदि वह जीतता है और अगर वह हारता है तो यह 0.125 दोनों राज्यों में उसके मूल शर्त से बेहतर है। इसलिए उनके मूल दांव का मूल्य अब-0.125 है। उनके नए संपत्ति स्तर 0.875 को देखते हुए, उनका 40 प्रतिशत दांव (5 से 1 भुगतान के लिए केली राशि) 0.35 है। दोनों सूत्रीकरण समतुल्य हैं। मूल सूत्रीकरण में, सट्टेबाज के पास 2 से 1 पर 0.25 और 5 से 1 पर 0.225 दांव होता है। यदि वह जीतता है, तो उसे 2.625 मिलता है और यदि वह हारता है तो उसके पास 0.525 होता है। दूसरे सूत्रीकरण में, सट्टेबाज के पास 0.875 और 5 से 1 पर 0.35 शर्त होती है। यदि वह जीतता है, तो उसे 2.625 मिलता है और यदि वह हारता है तो उसके पास 0.525 होता है। दूसरा सूत्रीकरण स्पष्ट करता है कि व्यवहार में परिवर्तन मार्क-टू-मार्केट नुकसान के परिणामस्वरूप होता है जो निवेशक अनुभव करता है जब नए भुगतान की पेशकश की जाती है। यह वित्त में सोचने का एक स्वाभाविक तरीका है, जो एक जुआरी के लिए कम स्वाभाविक है। इस व्याख्या में, भुगतान को दोगुना करने की अनंत श्रृंखला केली सट्टेबाज को ओवरबेट करने के लिए लुभाकर बर्बाद नहीं करती है, यह उसके नियंत्रण से परे परिवर्तनों के माध्यम से उसकी सारी संपत्ति निकालती है। संदर्भ जुआ गणित सूचना सिद्धांत सांख्यिकीय विरोधाभास उपयोगिता सिद्धांत में विरोधाभास