J-homomorphism
गणित में, जे-समरूपता विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के समस्थानिक समूहों से गोले के समस्थानिक समूहों तक का मानचित्रण है। इसे एक निर्माण का विस्तार करके परिभाषित किया गया था। परिभाषा व्हाइटहेड के मूल समरूपता को ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया गया है, और पूर्णांक q के लिए अबेलियन समूहों का समरूपता देता है, और। (होप्फ ने इसे विशेष मामले के लिए परिभाषित किया।) जे-समरूपता को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO (q) के एक तत्व को एक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है और होमोटॉपी समूह) में r-क्षेत्र से SO (q) तक मानचित्रों के होमोटॉपी वर्ग होते हैं। इस प्रकार के एक तत्व को एक मानचित्र द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें होप्फ निर्माण को लागू करने से एक मानचित्र मिलता है, जिसे व्हाइटहेड ने जे-समरूपता के तहत के तत्व की छवि के रूप में परिभाषित किया है। एक सीमा लेते हुए क्योंकि q अनंत की ओर जाता है, स्थिर समरूपता सिद्धांत में स्थिर J-समरूपता देता हैः जहाँ अनंत विशेष ऑर्थोगोनल समूह है, और दाहिने हाथ की ओर गोलों के स्थिर समरूपता समूहों का r-th स्थिर तना है। जे-समरूपता की छवि जे-समरूपता की छवि का वर्णन एडम्स के अनुमान को मानते हुए किया गया था, जिसके द्वारा निम्नानुसार साबित किया गया था। समूह बॉट आवधिकता द्वारा दिया जाता है। यह हमेशा चक्रीय होता है; और यदि r धनात्मक है, तो यह क्रम 2 का होता है यदि r 0 या 1 मापांक 8 है, अनंत यदि r 3 या 7 मापांक 8 है, और अन्यथा क्रम 1 है। विशेष रूप से स्थिर जे-समरूपता की छवि चक्रीय है। स्थिर समरूपता समूह जे-समरूपता की (चक्रीय) छवि का प्रत्यक्ष योग है, और एडम्स ई-इनवेरिएंट का कर्नेल, स्थिर समरूपता समूहों से एक समरूपता है। यदि r 0 या 1 मॉड 8 और सकारात्मक है, तो छवि का क्रम 2 है (इसलिए इस मामले में जे-समरूपता इंजेक्टिव है)। यदि r 3 या 7 मॉड 8 है, तो छवि के भाजक के बराबर क्रम का एक चक्रीय समूह है, जहाँ एक बर्नौली संख्या है। शेष मामलों में जहां r 2,4,5, या 6 मॉड 8 है, छवि तुच्छ है क्योंकि तुच्छ है। {। वर्ग = "विकिटेबल" शैली = "पाठ-संरेखितः केंद्र; पृष्ठभूमि-रंगः सफेद"।-! शैली = "पाठ-संरेखितः दाएँ; चौड़ाईः 10 प्रतिशत"। आर! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 0! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 1! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 2! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 3! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 4! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 5! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 6! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 7! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 8! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 9! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 10! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 11! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 12! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 13! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 14! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 15! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 16! शैली = "चौड़ाईः 5 प्रतिशत"। 17।-! शैली = "पाठ-संरेखणः सही"।। 1।। 2।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। शैली = "पाठ-संरेखणः सही"।। 1।। 2।। 1।। 24।।। 1।।। 1।।। 240।। 2।।। 1।।। 504।।। 1।।। 1।।। 1।।। 1।।।। 480।।। 2।।। 2।-! शैली = "पाठ-संरेखणः सही"।। 2।। 2।। 24।। 1।।। 2।। 240।। 22।। 23।। 6।। 504।। 1।। 3।। 22।।। 480 × 2।। 22।।। 24।-! ।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। जे-होमोमोर्फिज्म का कोकर्नल उन्मुख समस्थानिक एन-गोले () के एच-कोबोर्डिज़्म वर्गों के समूह में दिखाई देता है। संदर्भ। होमोटोपी सिद्धांत झूठ समूहों की टोपोलॉजी