Garside element
गणित में, एक गारसाइड तत्व एक बीजगणितीय संरचना का एक तत्व है जैसे कि एक मोनॉइड जिसमें कई वांछनीय गुण होते हैं। औपचारिक रूप से, यदि एम एक मोनोइड है, तो एम के एक तत्व को एक गार्साइड तत्व कहा जाता है, यदि सभी दाएँ भाजकों का समूह, सभी बाएँ भाजकों के समूह के समान है, और यह सेट एम उत्पन्न करता है। गार्साइड मोनॉइड और गार्साइड समूह ए गार्साइड मोनॉइड निम्नलिखित गुणों के साथ एक मोनॉइड हैः परिमित रूप से उत्पन्न और परमाणु; अपवर्तनीय; विभाज्यता के आंशिक क्रम संबंध जाली हैं; एक गार्साइड तत्व मौजूद है। एक गार्साइड मोनॉइड गुणक समुच्चयों के लिए अयस्क स्थिति को संतुष्ट करता है और इसलिए अपने अंशों के समूह में अंतर्निहित होता हैः ऐसा समूह एक गार्साइड समूह है। एक गारसाइड समूह द्वि-स्वचालित होता है और इसलिए इसमें घुलनशील शब्द समस्या और संयुग्मता समस्या होती है। ऐसे समूहों के उदाहरणों में वेणी समूह और, आम तौर पर, सीमित कॉक्सेटर प्रकार के आर्टिन समूह शामिल हैं। यह नाम पैट्रिक डेहोर्नॉय और लुइस पेरिस द्वारा मैग्डालेन कॉलेज स्कूल, ऑक्सफोर्ड के एक शिक्षक फ्रैंक अर्नोल्ड गार्साइड (1915-1988) के ब्रैड समूहों के लिए संयुग्मता समस्या पर काम को चिह्नित करने के लिए गढ़ा गया था, जिन्होंने 1984-1985 में ऑक्सफोर्ड के लॉर्ड मेयर के रूप में कार्य किया था। संदर्भ बेन्सन फार्ब, वर्ग समूहों और संबंधित विषयों के मानचित्रण पर समस्याएं (शुद्ध गणित में संगोष्ठियों की कार्यवाही का खंड 74) ए. एम. एस. बुकस्टोर, 2006, पी. 357 पैट्रिक डेहोर्नॉय, ग्रुप्स डी गारसाइड, एनालेस साइंटिफिक डी एल 'इकोले नॉर्मल सुपरियर (4) 35 (2002) 267-306। मैथ्यू पिकेंटिन, "गार्साइड मोनॉइड्स बनाम विभाज्यता मोनॉइड्स", गणित। संरचनाओं की गणना। विज्ञान. 15 (2005) 231-242. सार बीजगणित अर्धसमूह सिद्धांत