Linear inequality
गणित में एक रैखिक असमानता एक ऐसी असमानता है जिसमें एक रैखिक फलन शामिल होता है। एक रैखिक असमानता में असमानता के प्रतीकों में से एक होता हैः <कम> से अधिक ≤ से कम या के बराबर ≤ से अधिक या के बराबर § के बराबर नहीं एक रैखिक असमानता बिल्कुल एक रैखिक समीकरण की तरह दिखती है, जिसमें असमानता का संकेत समानता संकेत की जगह लेता है। वास्तविक संख्याओं की रैखिक असमानताएँ द्वि-आयामी रैखिक असमानताएँ दो आयामी रैखिक असमानताएँ रूप के दो चर में अभिव्यक्तियाँ हैंः जहाँ असमानताएँ या तो सख्त हो सकती हैं या नहीं। इस तरह की असमानता के समाधान समुच्चय को यूक्लिडियन तल में एक अर्ध-तल (एक निश्चित रेखा के एक तरफ के सभी बिंदु) द्वारा चित्रात्मक रूप से दर्शाया जा सकता है। वह रेखा जो अर्ध-तल (अक्ष + द्वारा = सी) को निर्धारित करती है, जब असमानता सख्त होती है तो समाधान सेट में शामिल नहीं होती है। समाधान समुच्चय में कौन सा अर्ध-तल है, यह निर्धारित करने के लिए एक सरल प्रक्रिया यह है कि अक्ष + के मान की गणना एक बिंदु (x0, y0) पर की जाए जो रेखा पर नहीं है और देखें कि असमानता संतुष्ट है या नहीं। उदाहरण के लिए, x + 3y <9 के समाधान समुच्चय को खींचने के लिए, पहले एक बिंदीदार रेखा के रूप में समीकरण x + 3y = 9 के साथ रेखा खींचता है, यह इंगित करने के लिए कि रेखा समाधान समुच्चय में शामिल नहीं है क्योंकि असमानता सख्त है। फिर, एक सुविधाजनक बिंदु चुनें जो रेखा पर नहीं है, जैसे कि (0,0)। चूँकि 0 + 3 (0) = 0 <9, यह बिंदु समाधान समुच्चय में है, इसलिए इस बिंदु को धारण करने वाला आधा तल (रेखा के नीचे आधा तल) इस रैखिक असमानता का समाधान समुच्चय है। सामान्य आयामों में रैखिक असमानताएँ Rn रैखिक असमानताएँ वे अभिव्यक्तियाँ हैं जिन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है या जहाँ f एक रैखिक रूप है (जिसे रैखिक कार्यात्मक भी कहा जाता है), और b एक स्थिर वास्तविक संख्या है। अधिक ठोस रूप से, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है या यहाँ अज्ञात कहा जाता है, और इन्हें गुणांक कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, इन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है या जहाँ g एक एफ़ाइन फलन है। यह है या ध्यान दें कि "अधिक से अधिक" या "अधिक से अधिक या समान" चिह्न वाली किसी भी असमानता को "कम से कम" या "कम से कम या समान" चिह्न के साथ फिर से लिखा जा सकता है, इसलिए उन संकेतों का उपयोग करके रैखिक असमानताओं को परिभाषित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। रैखिक असमानताओं की प्रणालियाँ रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली समान चर में रैखिक असमानताओं का एक समूह हैः यहाँ अज्ञात हैं, प्रणाली के गुणांक हैं, और स्थिर शब्द हैं। इसे संक्षिप्त रूप से मैट्रिक्स असमानता के रूप में लिखा जा सकता है जहां A एक m × n मैट्रिक्स है, x चर का एक n × 1 कॉलम वेक्टर है, और b स्थिरांक का एक m × 1 कॉलम वेक्टर है। उपरोक्त प्रणालियों में सख्त और गैर-सख्त दोनों तरह की असमानताओं का उपयोग किया जा सकता है। रैखिक असमानताओं की सभी प्रणालियों के पास समाधान नहीं हैं। फ़ोरियर-मोत्ज़किन उन्मूलन का उपयोग करके रैखिक असमानताओं की प्रणालियों से चर को समाप्त किया जा सकता है। अनुप्रयोग पॉलीहेड्रा एक वास्तविक रैखिक असमानता के समाधानों का समूह 'एन'-आयामी वास्तविक स्थान के आधे स्थान का गठन करता है, जो संबंधित रैखिक समीकरण द्वारा परिभाषित दो में से एक है। रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के समाधानों का समूह व्यक्तिगत असमानताओं द्वारा परिभाषित आधे स्थानों के प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। यह एक उत्तल समुच्चय है, क्योंकि अर्ध-स्थान उत्तल समुच्चय हैं, और उत्तल समुच्चय के एक समुच्चय का प्रतिच्छेदन भी उत्तल है। गैर-अपक्षयी मामलों में यह उत्तल समूह एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन होता है (संभवतः असीमित, उदाहरण के लिए, एक अर्ध-स्थान, दो समानांतर अर्ध-स्थानों या एक पॉलीहेड्रल शंकु के बीच एक स्लैब)। यह खाली भी हो सकता है या निम्न आयाम का एक उत्तल बहुफलक हो सकता है जो एन-आयामी अंतरिक्ष आरएन के एक एफाइन उपक्षेत्र तक सीमित हो। रैखिक प्रोग्रामिंग एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या चर पर कई बाधाओं के अधीन एक फ़ंक्शन (जिसे वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन कहा जाता है) को अनुकूलित करने (अधिकतम या न्यूनतम मूल्य खोजने) का प्रयास करती है, जो सामान्य रूप से रैखिक असमानताएं हैं। बाधाओं की सूची रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली है। सामान्यीकरण उपरोक्त परिभाषा के लिए योग, गुणन और तुलना के अच्छी तरह से परिभाषित संचालन की आवश्यकता होती है; इसलिए, एक रैखिक असमानता की धारणा को क्रमबद्ध वलय और विशेष रूप से क्रमबद्ध क्षेत्रों तक बढ़ाया जा सकता है। संदर्भ स्रोत बाहरी लिंक खान अकादमीः रैखिक असमानताएँ, मुफ्त ऑनलाइन सूक्ष्म व्याख्यान रैखिक बीजगणित रैखिक प्रोग्रामिंग पॉलीहेड्रा