Maxwell stress tensor
मैक्सवेल तनाव टेंसर (जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के नाम पर) एक सममित दूसरे क्रम का टेंसर है जिसका उपयोग विद्युत चुम्बकीय बलों और यांत्रिक गति के बीच बातचीत का प्रतिनिधित्व करने के लिए शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में किया जाता है। सरल स्थितियों में, जैसे कि एक सजातीय चुंबकीय क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से चलने वाले बिंदु आवेश में, लॉरेंट्ज़ बल नियम से आवेश पर बलों की गणना करना आसान है। जब स्थिति अधिक जटिल हो जाती है, तो यह सामान्य प्रक्रिया अव्यावहारिक रूप से कठिन हो सकती है, जिसमें समीकरण कई रेखाओं में फैले होते हैं। इसलिए मैक्सवेल तनाव टेंसर में इनमें से कई शब्दों को इकट्ठा करना और समस्या का उत्तर खोजने के लिए टेंसर अंकगणित का उपयोग करना सुविधाजनक है। विद्युत चुंबकत्व के सापेक्ष सूत्रीकरण में, मैक्सवेल का टेंसर विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर के एक भाग के रूप में दिखाई देता है जो कुल तनाव-ऊर्जा टेंसर का विद्युत चुम्बकीय घटक है। उत्तरार्द्ध अंतरिक्ष काल में ऊर्जा और संवेग के घनत्व और प्रवाह का वर्णन करता है। अभिप्रेरणा जैसा कि नीचे उल्लिखित है, विद्युत चुम्बकीय बल को और के संदर्भ में लिखा जाता है। सदिश कलन और मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग करते हुए, और युक्त शब्दों में समरूपता की मांग की जाती है, और मैक्सवेल तनाव टेंसर को पेश करने से परिणाम सरल हो जाता है। संवेग के संरक्षण के लिए उपरोक्त संबंध में, संवेग प्रवाह घनत्व है और पॉयंटिंग के प्रमेय के समान भूमिका निभाता है। उपरोक्त व्युत्पत्ति दोनों और (मुक्त और सीमित आवेश और धारा दोनों) का पूर्ण ज्ञान मानती है। अरैखिक पदार्थों (जैसे बी. एच.-वक्र के साथ चुंबकीय लोहा) के मामले में, अरैखिक मैक्सवेल तनाव टेंसर का उपयोग किया जाना चाहिए। समीकरण भौतिकी में, मैक्सवेल तनाव टेंसर एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का तनाव टेंसर है। जैसा कि एस. आई. इकाइयों में ऊपर प्राप्त किया गया है, यह इस प्रकार दिया गया हैः, जहां विद्युत स्थिरांक है और चुंबकीय स्थिरांक है, विद्युत क्षेत्र है, चुंबकीय क्षेत्र है और क्रोनेकर का डेल्टा है। गॉसियन सी. जी. एस. इकाई में, यह इस प्रकार दिया जाता हैः, चुंबक क्षेत्र कहाँ है। इस टेंसर को व्यक्त करने का एक वैकल्पिक तरीका हैः डायडिक उत्पाद कहाँ है, और अंतिम टेंसर इकाई डायड हैः मैक्सवेल तनाव टेंसर के तत्व में प्रति इकाई समय क्षेत्र की प्रति इकाई संवेग की इकाइयाँ होती हैं और गति का प्रवाह देता है जो th अक्ष के समानांतर एक सतह को पार करते हुए th अक्ष (नकारात्मक दिशा में) प्रति इकाई समय को पार करता है। इन इकाइयों को क्षेत्र की प्रति इकाई बल (नकारात्मक दबाव) की इकाइयों के रूप में भी देखा जा सकता है, और टेंसर के तत्व की व्याख्या उस बल के रूप में भी की जा सकती है जो प्रति इकाई क्षेत्र में सतह के सामान्य से th अक्ष के समानांतर होता है। वास्तव में, विकर्ण तत्व संबंधित अक्ष के लिए सामान्य अंतर क्षेत्र तत्व पर कार्य करने वाले तनाव (खींचने) देते हैं। एक आदर्श गैस के दबाव के कारण होने वाले बलों के विपरीत, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक क्षेत्र तत्व भी उस दिशा में एक बल महसूस करता है जो तत्व के लिए सामान्य नहीं है। यह कतरनी तनाव टेंसर के ऑफ-डायगोनल तत्वों द्वारा दी जाती है। मैग्नेटोस्टैटिक्स में यदि क्षेत्र केवल चुंबकीय है (जो उदाहरण के लिए मोटरों में काफी हद तक सही है), तो कुछ शब्द निकल जाते हैं, और एस. आई. इकाइयों में समीकरण बन जाता हैः बेलनाकार वस्तुओं के लिए, जैसे कि मोटर का रोटर, इसे और सरल बनाया जाता हैः रेडियल (सिलेंडर से बाहर की ओर) दिशा में कतरनी कहाँ है, और स्पर्शरेखा (सिलेंडर के आसपास) दिशा में कतरनी कहाँ है। यह स्पर्शरेखा बल है जो मोटर को घुमाता है। रेडियल दिशा में फ्लक्स घनत्व है, और स्पर्शरेखा दिशा में फ्लक्स घनत्व है। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में चुंबकत्व के प्रभाव मौजूद नहीं हैं। इस मामले में चुंबकीय क्षेत्र गायब हो जाता है, अर्थात। , और हम स्थिरविद्युत मैक्सवेल तनाव टेंसर प्राप्त करते हैं। यह घटक रूप में और प्रतीकात्मक रूप में दिया जाता है जहां आमतौर पर उपयुक्त पहचान टेंसर होता है। मैक्सवेल तनाव टेंसर के आइगेनवैल्यू इस प्रकार दिए जाते हैंः ये आइगेनवैल्यू मैट्रिक्स निर्धारक लेम्मा को शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन के साथ पुनरावृत्त रूप से लागू करके प्राप्त किए जाते हैं। यह देखते हुए कि विशेषता समीकरण मैट्रिक्स, को लिखा जा सकता है जहां हम एक बार मैट्रिक्स निर्धारक लेम्मा को लागू करने के लिए सेट करते हैं, यह हमें देता है इसे फिर से लागू करने से उपज मिलती है, आरएचएस पर अंतिम गुणक से, हम तुरंत देखते हैं कि यह आइगेनवैल्यू में से एक है। के व्युत्क्रम का पता लगाने के लिए, हम शेरमेन-मॉरिसन सूत्र का उपयोग करते हैंः निर्धारक में एक शब्द को फैक्टर करने पर, हमारे पास परिमेय फलन के शून्य खोजने के लिए छोड़ दिया जाता हैः इस प्रकार, एक बार जब हम हल कर लेते हैं तो हम अन्य दो आइगेनवैल्यू प्राप्त करते हैं। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का रिची कलन ऊर्जा घनत्व भी देखें बिंदु सदिश विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर चुंबकीय दबाव संदर्भ डेविड जे. ग्रिफिथ्स, "इलेक्ट्रोडायनामिक्स का परिचय" पीपी। 351-352, बेंजामिन कमिंग्स इंक., 2008 जॉन डेविड जैक्सन, "क्लासिकल इलेक्ट्रोडायनामिक्स, थर्ड एड। ", जॉन विली एंड संस, इंक., 1999। रिचर्ड बेकर, "इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड्स एंड इंटरेक्शंस", डोवर पब्लिकेशंस इंक., 1964। टेंसर भौतिक मात्राएँ विद्युत चुंबकत्व जेम्स क्लर्क मैक्सवेल