Kodaira vanishing theorem
गणित में, कोडाइरा लुप्त प्रमेय जटिल मैनिफोल्ड सिद्धांत और जटिल बीजगणितीय ज्यामिति का एक बुनियादी परिणाम है, जो सामान्य स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत सूचकांक q> 0 के साथ शीफ कोहोमोलॉजी समूह स्वचालित रूप से शून्य होते हैं। सूचकांक q = 0 वाले समूह के लिए निहितार्थ आमतौर पर यह होता है कि इसका आयाम-स्वतंत्र वैश्विक वर्गों की संख्या-एक होलोमोर्फिक यूलर विशेषता के साथ मेल खाती है जिसकी गणना हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। जटिल विश्लेषणात्मक मामला कुनिहिको कोडायरा के परिणाम का कथन यह है कि यदि एम जटिल आयाम एन का एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड है, तो एल एम पर कोई भी होलोमोर्फिक लाइन बंडल है जो सकारात्मक है, और के. एम कैनोनिकल लाइन बंडल है, तो क्यू> 0 के लिए। यहाँ रेखा बंडलों के टेंसर उत्पाद के लिए खड़ा है। सेरे द्वैतता के माध्यम से, कोई भी q <n के लिए गायब होने को भी प्राप्त करता है। एक सामान्यीकरण है, कोडाइरा-नाकानो गायब होने की प्रमेय, जिसमें, जहां ωn (L), L पर मानों के साथ M पर होलोमोर्फिक (n, 0)-रूपों के आवरण को दर्शाता है, को ωr (L) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो कि L पर मानों के साथ होलोमोर्फिक (r, 0)-रूपों का आवरण है। फिर जब भी q + r> n होता है, कोहोमोलॉजी समूह Hq (M, ωr (L) गायब हो जाता है। बीजगणितीय मामले कोडाइरा गायब होने की प्रमेय को बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा के भीतर किसी भी संदर्भ के बिना तैयार किया जा सकता है। लाइन बंडल एल की सकारात्मकता का अर्थ है कि संबंधित व्युत्क्रमणीय आवरण पर्याप्त है (यानी, कुछ टेंसर शक्ति एक प्रोजेक्टिव एम्बेडिंग देती है)। बीजगणितीय कोडाइरा-अकिज़ुकी-नाकानो लुप्त प्रमेय निम्नलिखित कथन हैः यदि k विशेषता शून्य का क्षेत्र है, तो X आयाम d की एक चिकनी और प्रोजेक्टिव k-योजना है, और L X पर एक पर्याप्त व्युत्क्रमणीय आवरण है, जहां ωp सापेक्ष (बीजगणितीय) विभेदक रूपों की आवरणों को दर्शाता है (कहलर विभेदक देखें)। यह पता चला है कि यह परिणाम हमेशा विशेषता पी> 0 के क्षेत्रों पर नहीं रहता है, और विशेष रूप से रेनाउड सतहों के लिए विफल रहता है। बाद में गैर-लॉग कैनोनिकल विलक्षणताओं के साथ एकवचन किस्मों के लिए एक प्रति-उदाहरण दें, और गैर-कम स्थिरीकारक के साथ उचित सजातीय स्थानों से प्रेरित प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी दिए। 1987 तक विशेषता शून्य में एकमात्र ज्ञात प्रमाण हालांकि जटिल विश्लेषणात्मक प्रमाण और जी. ए. जी. ए. तुलना प्रमेयों पर आधारित था। हालाँकि, 1987 में पियरे डेलिग्ने और ल्यूक इलुसी ने लुप्त प्रमेय का विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण दिया। उनका प्रमाण यह दिखाने पर आधारित है कि बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के लिए हॉज-डी राम वर्णक्रमीय अनुक्रम डिग्री 1 में पतित होता है। यह विशेषता पी> 0 से एक संबंधित अधिक विशिष्ट परिणाम को उठाकर दिखाया जाता है-सकारात्मक-विशेषता परिणाम बिना सीमाओं के नहीं होता है, लेकिन पूर्ण परिणाम प्रदान करने के लिए उठाया जा सकता है। परिणाम और अनुप्रयोग ऐतिहासिक रूप से, कोडाइरा एम्बेडिंग प्रमेय को लुप्त प्रमेय की मदद से प्राप्त किया गया था। सेरे द्वैतता के अनुप्रयोग के साथ, वक्रों और सतहों के विभिन्न शीफ कोहोमोलॉजी समूहों (आमतौर पर कैनोनिकल लाइन बंडल से संबंधित) का गायब होना जटिल मैनिफोल्ड्स के वर्गीकरण में मदद करता है, जैसे। एनरिक-कोडाइरा वर्गीकरण। कवामाता-विएहवेग वैनिशिंग थ्योरम ममफोर्ड वैनिशिंग थ्योरम रामानुजम वैनिशिंग थ्योरम नोट संदर्भ फिलिप ग्रिफिथ्स और जोसेफ हैरिस, जटिल ज्यामिति में बीजगणितीय ज्यामिति के सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में बीजगणितीय ज्यामिति के टोपोलॉजिकल तरीके