Characteristic function (probability theory)
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, किसी भी वास्तविक मूल्य वाले यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य पूरी तरह से इसके संभाव्यता वितरण को परिभाषित करता है। यदि एक यादृच्छिक चर एक संभाव्यता घनत्व फलन को स्वीकार करता है, तो विशेषता फलन संभाव्यता घनत्व फलन का फूरियर रूपांतरण है। इस प्रकार यह संभाव्यता घनत्व कार्यों या संचयी वितरण कार्यों के साथ सीधे काम करने की तुलना में विश्लेषणात्मक परिणामों के लिए एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करता है। यादृच्छिक चर के भारित योग द्वारा परिभाषित वितरण के विशिष्ट कार्यों के लिए विशेष रूप से सरल परिणाम हैं। अविभाज्य वितरण के अलावा, विशेषता कार्यों को वेक्टर-या मैट्रिक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और अधिक सामान्य मामलों में भी विस्तारित किया जा सकता है। मोमेन्ट-जनरेटिंग फ़ंक्शन के विपरीत, जब एक वास्तविक-मूल्यवान तर्क के एक फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है, तो विशेषता फ़ंक्शन हमेशा मौजूद रहता है। वितरण के विशिष्ट कार्य के व्यवहार और वितरण के गुणों के बीच संबंध हैं, जैसे कि क्षणों का अस्तित्व और घनत्व कार्य का अस्तित्व। परिचय विशेषता फलन एक यादृच्छिक चर का वर्णन करने का एक तरीका है। विशेषता फलन, टी का एक फलन, यादृच्छिक चर एक्स के संभाव्यता वितरण के व्यवहार और गुणों को पूरी तरह से निर्धारित करता है। विशेषता फलन संचयी वितरण फलन के समान है, (जहाँ 1 {X ≤ x} सूचक फलन है-यह 1 के बराबर है जब, और शून्य अन्यथा), जो यादृच्छिक चर X के संभाव्यता वितरण के व्यवहार और गुणों को भी पूरी तरह से निर्धारित करता है। दोनों दृष्टिकोण इस अर्थ में समतुल्य हैं कि एक कार्य को जानने से दूसरे को खोजना हमेशा संभव है, फिर भी वे यादृच्छिक चर की विशेषताओं को समझने के लिए अलग-अलग अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। इसके अलावा, विशेष मामलों में, इस बात में अंतर हो सकता है कि क्या इन कार्यों को सरल मानक कार्यों को शामिल करने वाले अभिव्यक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि एक यादृच्छिक चर एक घनत्व फलन को स्वीकार करता है, तो विशेषता फलन उसका फूरियर दोहरा है, इस अर्थ में कि उनमें से प्रत्येक दूसरे का फूरियर रूपांतरण है। यदि एक यादृच्छिक चर में एक क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य है, तो विशेषता कार्य के क्षेत्र को जटिल तल तक बढ़ाया जा सकता है, और ध्यान दें कि एक वितरण का विशेषता कार्य हमेशा मौजूद रहता है, भले ही संभाव्यता घनत्व कार्य या क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य न हो। विशेषता फलन दृष्टिकोण विशेष रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रैखिक संयोजनों के विश्लेषण में उपयोगी हैः केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक शास्त्रीय प्रमाण विशेषता कार्यों और लेवी की निरंतरता प्रमेय का उपयोग करता है। एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यादृच्छिक चर की अपघटनशीलता के सिद्धांत के लिए है। परिभाषा एक स्केलर यादृच्छिक चर X के लिए विशेषता फलन को eitX के अपेक्षित मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां i काल्पनिक इकाई है, और विशेषता फलन का तर्क हैः यहाँ FX X का संचयी वितरण फलन है, fX संबंधित संभाव्यता घनत्व फलन है, QX (p) संबंधित व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन है जिसे मात्रात्मक फलन भी कहा जाता है, और समाकलन रीमान-स्टील्टजेस प्रकार के हैं। यदि एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फलन है तो विशेषता फलन जटिल घातांक में संकेत प्रत्यावर्तन के साथ इसका फूरियर रूपांतरण है। विशेषता फलन की परिभाषा में दिखाई देने वाले स्थिरांकों के लिए यह परिपाटी फूरियर परिवर्तन के लिए सामान्य परिपाटी से अलग है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक परिभाषित करते हैं, जो अनिवार्य रूप से मापदंड का परिवर्तन है। साहित्य में अन्य संकेतन का सामना किया जा सकता हैः एक संभाव्यता माप पी के लिए विशेषता कार्य के रूप में, या एक घनत्व एफ के अनुरूप विशेषता कार्य के रूप में। सामान्यीकरण विशेषता कार्यों की धारणा बहुभिन्न यादृच्छिक चर और अधिक जटिल यादृच्छिक तत्वों के लिए सामान्यीकृत होती है। विशेषता फलन का तर्क हमेशा उस स्थान के निरंतर दोहरे से संबंधित होगा जहाँ यादृच्छिक चर X अपने मान लेता है। सामान्य मामलों के लिए ऐसी परिभाषाएँ नीचे सूचीबद्ध हैंः यदि एक्स एक के-आयामी यादृच्छिक वेक्टर है, तो वेक्टर का पारगमन कहाँ है, यदि एक्स एक के × पी-आयामी यादृच्छिक मैट्रिक्स है, तो ट्रेस ऑपरेटर कहाँ है, यदि एक्स एक जटिल यादृच्छिक चर है, तो कहाँ के लिए जटिल संयुग्म है और जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा है, यदि एक्स एक के-आयामी जटिल यादृच्छिक वेक्टर है, तो कहाँ के लिए वेक्टर का संयुग्म पारगमन है, यदि एक्स (एस) एक यादृच्छिक प्रक्रिया है, तो सभी कार्यों के लिए टी (एस) ऐसा है कि एक्स के लगभग सभी अनुभवों के लिए अभिन्न अभिसरण करता है उदाहरण के लिए ओबेरहेटिंगर (1973) विशेषता कार्यों की व्यापक तालिका प्रदान करता है। गुण एक वास्तविक मूल्य वाले यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य हमेशा मौजूद रहता है, क्योंकि यह एक ऐसे स्थान पर एक बंधे हुए निरंतर कार्य का अभिन्न अंग है जिसका माप परिमित है। एक विशिष्ट कार्य पूरे स्थान पर समान रूप से निरंतर होता है। यह शून्य के आसपास के क्षेत्र में लुप्त नहीं हो रहा हैः φ (0) = 1। यह बंधा हुआ हैः |φ (t)। ≤1। यह हर्मिशियन हैः विशेष रूप से, एक सममित (मूल के आसपास) यादृच्छिक चर का विशिष्ट कार्य वास्तविक-मूल्यवान और सम होता है। संभाव्यता वितरण और विशेषता कार्यों के बीच एक द्विभाजन है। अर्थात्, किसी भी दो यादृच्छिक चर X1, X2 के लिए, दोनों का समान प्रायिकता वितरण है यदि और केवल यदि। यदि एक यादृच्छिक चर X में k-th क्रम तक के क्षण हैं, तो विशेषता फलन φX पूरी वास्तविक रेखा पर k गुना लगातार अवकलनीय है। इस मामले में यदि एक विशेषता फलन φX का शून्य पर k-th व्युत्पन्न है, तो यादृच्छिक चर X में k तक के सभी क्षण हैं यदि k सम है, लेकिन केवल तभी जब k विषम है। यदि X1,., Xn स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और a1,., an कुछ स्थिरांक हैं, तो xi 's के रैखिक संयोजन का विशिष्ट कार्य है एक विशिष्ट मामला दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X1 और X2 का योग है जिसमें एक में दो यादृच्छिक चर हैं जो विशिष्ट कार्यों के साथ हैं और। और स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि। विशेषता फलन का पूंछ व्यवहार संबंधित घनत्व फलन की चिकनाई को निर्धारित करता है। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर का रैखिक परिवर्तन है। का विशिष्ट कार्य है। यादृच्छिक सदिशों के लिए और (जहाँ ए एक स्थिरांक है और बी एक स्थिर सदिश है), हमारे पास है। निरंतरता संभावना वितरण और विशेषता कार्यों के बीच ऊपर बताया गया द्विभाजन क्रमिक रूप से निरंतर है। अर्थात्, जब भी वितरण फलन Fj (x) का कोई अनुक्रम किसी वितरण F (x) में (कमजोर रूप से) अभिसरण करता है, तो विशेषता फलन φj (t) का संबंधित अनुक्रम भी अभिसरण करेगा, और सीमा φ (t) नियम F के विशेषता फलन के अनुरूप होगी। अधिक औपचारिक रूप से, इसे लेवी की निरंतरता प्रमेय के रूप में कहा जाता हैः n-चर यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम Xj यादृच्छिक चर X में वितरण में तभी अभिसरण करता है जब अनुक्रम φXj एक फलन φ में बिंदु की दिशा में अभिसरण करता है जो मूल पर निरंतर है। जहाँ φ, X का विशिष्ट फलन है। इस प्रमेय का उपयोग बड़ी संख्या के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है। व्युत्क्रम सूत्र संचयी वितरण कार्यों और विशेषता कार्यों के बीच एक-से-एक पत्राचार है, इसलिए यदि हम दूसरे को जानते हैं तो इनमें से किसी एक कार्य को खोजना संभव है। विशेषता फलन की परिभाषा में सूत्र हमें φ की गणना करने की अनुमति देता है जब हम वितरण फलन F (या घनत्व f) को जानते हैं। यदि, दूसरी ओर, हम विशेषता फलन φ को जानते हैं और संबंधित वितरण फलन को खोजना चाहते हैं, तो निम्नलिखित व्युत्क्रम प्रमेयों में से एक का उपयोग किया जा सकता है। प्रमेय। यदि किसी यादृच्छिक चर X का विशेषता फलन φX समाकलन योग्य है, तो FX बिल्कुल निरंतर है, और इसलिए X का संभाव्यता घनत्व फलन है। अविभाज्य मामले में (अर्थात। जब X स्केलर-वैल्यूड होता है) तो घनत्व फलन इसके द्वारा दिया जाता है। मल्टीवेरिएट मामले में यह वह जगह है जहाँ डॉट उत्पाद होता है। घनत्व फलन लेबस्ग्यू माप λ: प्रमेय (लेवी) के संबंध में वितरण μX का रेडॉन-निकोडियम व्युत्पन्न है। यदि φX वितरण फलन FX का विशिष्ट फलन है, तो दो बिंदु a <b ऐसे हैं जो μX का एक निरंतरता समूह है (अविभाज्य मामले में यह स्थिति बिंदु a और b पर FX की निरंतरता के बराबर है), तो यदि X स्केलर हैः इस सूत्र को संख्यात्मक गणना के लिए अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से बताया जा सकता है क्योंकि नीचे से बंधे एक यादृच्छिक चर को इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है कि अन्यथा, यदि एक यादृच्छिक चर नीचे से बंधा नहीं है, तो देने की सीमा, लेकिन संख्यात्मक रूप से अव्यावहारिक है। यदि X एक सदिश यादृच्छिक चर हैः प्रमेय। यदि a (संभवतः) X का एक परमाणु है (अविभाज्य मामले में इसका अर्थ है FX की असंतुलन का एक बिंदु) तो यदि X अदिश हैः यदि X एक सदिश यादृच्छिक चर हैः प्रमेय (गिल-पेलेज़)। एक अविभाज्य यादृच्छिक चर X के लिए, यदि x, FX का एक निरंतरता बिंदु है तो जहाँ एक जटिल संख्या का काल्पनिक भाग दिया जाता है। और इसका घनत्व फलन हैः समाकलन लेबेस्ग्यू-समाकलन योग्य नहीं हो सकता है; उदाहरण के लिए, जब X असतत यादृच्छिक चर है जो हमेशा 0 होता है, तो यह डिरिचलेट समाकलन बन जाता है। बहुभिन्नरूपी वितरण के लिए व्युत्क्रम सूत्र उपलब्ध हैं। विशेषता कार्यों के लिए मानदंड सभी विशेषता कार्यों का समूह कुछ संचालनों के तहत बंद होता हैः एक परिमित या गणना योग्य संख्या में विशेषता कार्यों का एक उत्तल रैखिक संयोजन (के साथ) भी एक विशेषता कार्य है। सीमित संख्या में विशिष्ट कार्यों का गुणनफल भी एक विशिष्ट कार्य है। यही बात एक अनंत उत्पाद के लिए भी लागू होती है बशर्ते कि यह मूल पर निरंतर फलन में परिवर्तित हो जाए। यदि φ एक विशिष्ट फलन है और α एक वास्तविक संख्या है, तो, Re (φ), |φ |2, और φ (αt) भी विशिष्ट फलन हैं। यह सर्वविदित है कि कोई भी गैर-घटता हुआ सी. ए. डी. एल. ए. जी. फलन F, जिसकी सीमाएँ F (− ν) = 0, F (+ ν) = 1 हैं, कुछ यादृच्छिक चर के संचयी वितरण फलन से मेल खाता है। समान सरल मानदंड खोजने में भी रुचि है जब कोई दिया गया फलन φ किसी यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन हो सकता है। यहाँ केंद्रीय परिणाम बोच्नर की प्रमेय है, हालाँकि इसकी उपयोगिता सीमित है क्योंकि प्रमेय की मुख्य शर्त, गैर-नकारात्मक निश्चितता, को सत्यापित करना बहुत कठिन है। अन्य प्रमेय भी मौजूद हैं, जैसे कि खिनचिन, माथियास या क्रैमर, हालांकि उनका अनुप्रयोग उतना ही कठिन है। दूसरी ओर, पोल्या का प्रमेय एक बहुत ही सरल उत्तल स्थिति प्रदान करता है जो पर्याप्त है लेकिन आवश्यक नहीं है। इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले विशिष्ट कार्यों को पोल्या-प्रकार कहा जाता है। बोच्नर की प्रमेय। एक मनमाना फलन φ: Rn → C कुछ यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन है यदि और केवल तभी जब φ धनात्मक निश्चित हो, मूल पर निरंतर हो, और यदि φ (0) = 1 हो। खिनचिन की कसौटी। एक जटिल-मूल्य वाला, पूरी तरह से निरंतर फलन φ, φ (0) = 1 के साथ, एक विशिष्ट फलन है यदि और केवल तभी जब यह माथियास प्रमेय के प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है। φ (0) = 1 के साथ एक वास्तविक-मूल्य, सम, निरंतर, पूरी तरह से समाकलनीय फलन φ एक विशिष्ट फलन है यदि और केवल n = 0,1,2,., और सभी p> 0 के लिए। यहाँ H2n डिग्री 2n के हर्माइट बहुपद को दर्शाता है। पोल्या की प्रमेय। यदि एक वास्तविक-मूल्य, सम, निरंतर फलन है जो शर्तों को संतुष्ट करता है, तो के लिए उत्तल है, तो φ (t) लगभग 0 के एक बिल्कुल निरंतर वितरण सममित का विशेषता फलन है। उपयोग निरंतरता प्रमेय के कारण, विशेषता कार्यों का उपयोग केंद्रीय सीमा प्रमेय के सबसे अधिक बार देखे जाने वाले प्रमाण में किया जाता है। एक विशिष्ट कार्य के साथ गणना करने में शामिल मुख्य तकनीक कार्य को एक विशेष वितरण के विशिष्ट कार्य के रूप में पहचानना है। वितरण विशेषताओं के बुनियादी हेरफेर स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रैखिक कार्यों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं। उदाहरण के लिए, यदि स्वतंत्र (और आवश्यक रूप से समान रूप से वितरित नहीं) यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम है, और जहां एआई स्थिरांक हैं, तो एसएन के लिए विशेषता फलन विशेष रूप से, द्वारा दिया जाता है। इसे देखने के लिए, विशिष्ट फलन की परिभाषा लिखेंः तीसरी और चौथी अभिव्यक्तियों की समानता स्थापित करने के लिए X और Y की स्वतंत्रता की आवश्यकता होती है। समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए रुचि का एक और विशेष मामला है जब और फिर Sn नमूना माध्य है। इस मामले में, माध्य, क्षण विशेषता कार्यों के लिए लिखने का उपयोग यादृच्छिक चर के क्षणों को खोजने के लिए भी किया जा सकता है। बशर्ते कि nवां क्षण मौजूद हो, विशेषता फलन को n बार अलग किया जा सकता हैः इसे औपचारिक रूप से डीराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न का उपयोग करके लिखा जा सकता हैः जो क्षण समस्या के औपचारिक समाधान की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि X का एक मानक कौची वितरण है। फिर. यह t = 0 पर अवकलनीय नहीं है, यह दर्शाता है कि कौची वितरण की कोई अपेक्षा नहीं है। इसके अलावा, पिछले खंड के परिणाम का उपयोग करते हुए, n स्वतंत्र टिप्पणियों के नमूना माध्य के विशिष्ट कार्य में विशिष्ट कार्य होता है। यह मानक कौची वितरण का विशिष्ट कार्य हैः इस प्रकार, नमूना माध्य का वितरण जनसंख्या के समान है। एक और उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि एक्स एक गौसी वितरण का अनुसरण करता है अर्थात। .. फिर और इसी तरह की गणना से पता चलता है कि अपेक्षा की परिभाषा को लागू करने और मूल्यांकन के लिए भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने की तुलना में इसे पूरा करना आसान है। एक विशेषता फलन का लघुगणक एक संचयी उत्पन्न करने वाला फलन है, जो संचयी को खोजने के लिए उपयोगी है; कुछ इसके बजाय संचयी उत्पन्न करने वाले फलन को क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन के लघुगणक के रूप में परिभाषित करते हैं, और विशेषता फलन के लघुगणक को दूसरा संचयी उत्पन्न करने वाला फलन कहते हैं। डेटा विश्लेषण विशेषता कार्यों का उपयोग डेटा के नमूनों में प्रायिकता वितरण को फिट करने के लिए प्रक्रियाओं के हिस्से के रूप में किया जा सकता है। ऐसे मामले जहां यह अन्य संभावनाओं की तुलना में एक व्यावहारिक विकल्प प्रदान करता है, उनमें स्थिर वितरण को फिट करना शामिल है क्योंकि घनत्व के लिए बंद रूप अभिव्यक्तियाँ उपलब्ध नहीं हैं जो अधिकतम संभावना अनुमान के कार्यान्वयन को कठिन बनाती हैं। अनुमान प्रक्रियाएँ उपलब्ध हैं जो डेटा से गणना किए गए अनुभवजन्य विशेषता कार्य के लिए सैद्धांतिक विशेषता कार्य से मेल खाती हैं। पॉलसन और अन्य। (1975) और हीथकोट (1977) इस तरह की आकलन प्रक्रिया के लिए कुछ सैद्धांतिक पृष्ठभूमि प्रदान करते हैं। इसके अलावा, यू (2004) समय श्रृंखला मॉडल को फिट करने के लिए अनुभवजन्य विशेषता कार्यों के अनुप्रयोगों का वर्णन करता है जहां संभावना प्रक्रियाएं अव्यावहारिक हैं। अन्सारी और अन्य लोगों द्वारा अनुभवजन्य विशेषता कार्यों का भी उपयोग किया गया है। (2020) और ली एट अल। (2020) उत्पादक प्रतिकूल नेटवर्क के प्रशिक्षण के लिए। उदाहरण स्केल पैरामीटर θ और एक आकार पैरामीटर k के साथ गामा वितरण का विशेषता कार्य है अब मान लीजिए कि हमारे पास X और Y एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और हम जानना चाहते हैं कि X + Y का वितरण क्या है। यह गामा वितरण पैमाने पैरामीटर θ और आकार पैरामीटर k1 + k2 का विशेषता कार्य है, और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि परिणाम को समान पैमाने पैरामीटर के साथ n स्वतंत्र गामा वितरित यादृच्छिक चर तक विस्तारित किया जा सकता है और हमें संपूर्ण विशेषता कार्य मिलते हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, विशेषता कार्य के तर्क को एक वास्तविक संख्या के रूप में माना जाता हैः हालाँकि, विशेषता कार्यों के सिद्धांत के कुछ पहलुओं को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा जटिल तल में परिभाषा का विस्तार करके उन्नत किया जाता है, उन मामलों में जहां यह संभव है। संबंधित अवधारणाओं में क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य और संभावना-उत्पन्न करने वाला कार्य शामिल हैं। सभी संभाव्यता वितरणों के लिए विशिष्ट कार्य मौजूद है। यह क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्य के लिए मामला नहीं है। विशेषता फलन फूरियर रूपान्तरण से निकटता से संबंधित हैः एक संभाव्यता घनत्व फलन p (x) का विशेषता फलन p (x) के निरंतर फूरियर रूपान्तरण का जटिल संयुग्म है (सामान्य परिपाटी के अनुसार; निरंतर फूरियर रूपान्तरण-अन्य परिपाटी देखें)। जहाँ पी (टी) संभाव्यता घनत्व फलन पी (एक्स) के निरंतर फूरियर परिवर्तन को दर्शाता है। इसी तरह, पी (एक्स) को φX (टी) से व्युत्क्रम फूरियर परिवर्तन के माध्यम से पुनर्प्राप्त किया जा सकता हैः वास्तव में, जब यादृच्छिक चर में घनत्व नहीं होता है, तब भी विशेषता फलन को यादृच्छिक चर के अनुरूप माप के फूरियर परिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है। एक अन्य संबंधित अवधारणा वितरण के कर्नेल एम्बेडिंग के माध्यम से एक पुनरुत्पादन कर्नेल हिल्बर्ट स्थान के तत्वों के रूप में प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व है। इस ढांचे को कर्नेल फ़ंक्शन के विशिष्ट विकल्पों के तहत विशेषता फ़ंक्शन के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। आत्मनिर्भरता को भी देखें, जो स्वतंत्रता की तुलना में एक कमजोर स्थिति है, जिसे विशिष्ट कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। संचयी, संचयी उत्पन्न करने वाले कार्यों का एक शब्द है, जो विशेषता कार्यों के लॉग हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ उद्धरण स्रोत बाहरी लिंक संभाव्यता वितरण से संबंधित कार्य