Barnes integral
गणित में, एक बार्न्स इंटीग्रल या मेलिन-बार्न्स इंटीग्रल एक समोच्च इंटीग्रल है जिसमें गामा कार्यों का एक उत्पाद शामिल है। उनके द्वारा परिचय कराया गया। वे सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला से निकटता से संबंधित हैं। समाकलन को आमतौर पर एक समोच्च के साथ लिया जाता है जो सभी ध्रुवों के कारकों के दाईं ओर और सभी ध्रुवों के बाईं ओर जाने वाले काल्पनिक अक्ष का एक विरूपण है। हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन को बार्न्स इंटीग्रल के रूप में भी देखा जा सकता है। यह समानता s = 0,1,2, पर अवशेषों को उठाते हुए समोच्च को दाईं ओर घुमाकर प्राप्त की जा सकती है। कहीं और विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए। उचित अभिसरण स्थितियों को देखते हुए, कोई भी अधिक सामान्य बार्न्स इंटीग्रल और सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस pFq को इसी तरह से संबंधित कर सकता है। बार्न्स लेम्मास द फर्स्ट बार्न्स लेम्मा में कहा गया है कि यह गॉस के 2F1 योग सूत्र का एक एनालॉग है, और यूलर के बीटा इंटीग्रल का एक विस्तार भी है। इसमें समाकलन को कभी-कभी बार्न्स बीटा समाकलन कहा जाता है। दूसरा बार्न्स लेम्मा बताता है जहाँ e = a + b + c − d + 1 है। यह सालशुट्ज़ के योग सूत्र का एक अनुरूप है। क्यू-बार्न्स इंटीग्रल बुनियादी हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला के लिए बार्न्स इंटीग्रल के अनुरूप हैं, और कई अन्य परिणामों को भी इस मामले में बढ़ाया जा सकता है। संदर्भ (2008 का एक पेपरबैक है) विशेष कार्य हाइपरजियोमेट्रिक कार्य