Closed geodesic
विभेदक ज्यामिति और गतिशील प्रणालियों में, एक रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक बंद भूगणितीय एक भूगणितीय है जो उसी स्पर्शरेखा दिशा के साथ अपने प्रारंभिक बिंदु पर लौटता है। इसे मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान पर भूगणितीय प्रवाह की एक बंद कक्षा के प्रक्षेपण के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। परिभाषा एक रीमानियन मैनिफोल्ड (एम, जी) में, एक बंद भूगणितीय एक वक्र है जो मीट्रिक जी के लिए एक भूगणितीय है और आवधिक है। बंद भूगणितीय को एक परिवर्तनशील सिद्धांत के माध्यम से चिह्नित किया जा सकता है। एम पर चिकनी 1-आवधिक वक्रों के स्थान से निरूपित करते हुए, अवधि 1 के बंद भूगणितीय ऊर्जा फलन के महत्वपूर्ण बिंदु हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है यदि अवधि पी का एक बंद भूगणितीय है, तो पुनर्परिमित वक्र अवधि 1 का एक बंद भूगणितीय है, और इसलिए यह ई का एक महत्वपूर्ण बिंदु है। इस प्रकार एम पर प्रत्येक बंद भूगणितीय ऊर्जा ई के महत्वपूर्ण बिंदुओं के एक अनंत अनुक्रम को जन्म देता है। उदाहरण मानक गोल रीमानियन मीट्रिक के साथ इकाई क्षेत्र पर, प्रत्येक महान वृत्त एक बंद भूगणितीय का एक उदाहरण है। इस प्रकार, गोले पर, सभी भूगणितीय बंद हैं। एक चिकनी सतह पर स्थलाकृतिक रूप से गोले के समतुल्य, यह सच नहीं हो सकता है, लेकिन हमेशा कम से कम तीन सरल बंद भूगणितीय होते हैं; यह तीन भूगणितीय का प्रमेय है। जिन मैनिफोल्डों के सभी भूगणितीय बंद हैं, उनकी गणितीय साहित्य में पूरी तरह से जांच की गई है। एक कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक सतह पर, जिसके मौलिक समूह में कोई मरोड़ नहीं है, बंद भूगणितीय सतह के फ्यूशियन समूह में तत्वों के गैर-तुच्छ संयुग्मता वर्गों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। तीन भूगणितीय वक्र-संक्षिप्त प्रवाह की ल्युस्टर्निक-फ़ेट प्रमेय प्रमेय भी देखें सेलबर्ग ट्रेस सूत्र सेलबर्ग जीटा फ़ंक्शन ज़ोल सतह संदर्भ बेसे, ए.: "जिन सभी भूगणितीय बंद हैं, उन्हें प्रकट करता है", एर्गेबिस ग्रेन्ज़गेब। गणित., नहीं। 93, स्प्रिंगर, बर्लिन, 1978। विभेदक ज्यामिति गतिशील प्रणालियाँ भूगणितीय (गणित)