Projective object
श्रेणी सिद्धांत में, एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट की धारणा एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल की धारणा को सामान्यीकृत करती है। अबेलियन श्रेणियों में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट्स का उपयोग होमोलॉजिकल बीजगणित में किया जाता है। एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट की दोहरी धारणा एक इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट की है। परिभाषा एक श्रेणी में एक वस्तु प्रोजेक्टिव होती है यदि किसी भी एपिमॉर्फिज्म और मॉर्फिज्म के लिए, एक मॉर्फिज्म ऐसा होता है, अर्थात। निम्नलिखित आरेख कम्यूट करता हैः अर्थात्, प्रत्येक रूपात्मकता प्रत्येक रूपात्मकता के माध्यम से कारक होती है। यदि सी स्थानीय रूप से छोटा है, अर्थात, विशेष रूप से सी में किसी भी वस्तु एक्स के लिए एक सेट है, तो यह परिभाषा इस शर्त के बराबर है कि होम फ़ंक्टर (जिसे कोर-प्रेजेंटेबल फ़ंक्टर के रूप में भी जाना जाता है) एपिमोर्फिज़्म को संरक्षित करता है। अबेलियन श्रेणियों में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट्स यदि श्रेणी सी एक अबेलियन श्रेणी है जैसे कि, उदाहरण के लिए, अबेलियन समूहों की श्रेणी, तो पी प्रोजेक्टिव है यदि और केवल अगर एक सटीक फ़ंक्टर है, जहां अब अबेलियन समूहों की श्रेणी है। एक अबेलियन श्रेणी को पर्याप्त प्रोजेक्टिव कहा जाता है यदि, प्रत्येक वस्तु के लिए, एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट है और पी से ए तक एक एपिमॉर्फिज्म है या, समकक्ष रूप से, एक छोटा सटीक अनुक्रम इस परिभाषा का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि कोई भी वस्तु ए एक प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन को स्वीकार करता है, यानी, एक (लंबा) सटीक अनुक्रम जहां वस्तुएं प्रोजेक्टिव हैं। प्रतिबंधित वर्गों के संबंध में प्रोजेक्टिविटी एक तथाकथित द्विश्रेणी के सापेक्ष प्रोजेक्टिव (और दोहरी रूप से इंजेक्टिव) वस्तुओं की धारणा पर चर्चा करती है, जिसमें दी गई श्रेणी सी में "इंजेक्शन" और "सर्जेक्शन" की उपश्रेणियों की एक जोड़ी होती है। ये उपश्रेणियाँ कुछ औपचारिक गुणों के अधीन हैं, जिसमें यह आवश्यकता भी शामिल है कि कोई भी सर्जेक्शन एक एपिमॉर्फिज्म है। एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट (सर्जेक्शन के निश्चित वर्ग के सापेक्ष) तब एक ऑब्जेक्ट पी होता है ताकि होम (पी,-) सर्जेक्शन के निश्चित वर्ग (सभी एपिमोर्फिज्म के विपरीत) को सेट के सर्जेक्शन में बदल दे (सामान्य अर्थ में)। गुण दो प्रोजेक्टिव वस्तुओं का सह-उत्पाद प्रोजेक्टिव होता है। प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट का पीछे हटना प्रोजेक्टिव होता है। उदाहरण यह कथन कि सभी समुच्चय प्रोजेक्टिव हैं, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है। आबेलियन समूहों की श्रेणी में प्रक्षेप्य वस्तुएँ मुक्त आबेलियन समूह हैं। पहचान के साथ एक अंगूठी होने दें। (अबेलियन) श्रेणी-लेफ्ट-मॉड्यूल के मॉड पर विचार करें। - मॉड में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट बिल्कुल प्रोजेक्टिव लेफ्ट आर-मॉड्यूल हैं। नतीजतन, यह अपने आप में-मॉड में एक प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट है। दोनों में,-मॉड में इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट बिल्कुल इंजेक्टिव लेफ्ट आर-मॉड्यूल हैं। बाएँ (दाएँ)-मॉड्यूल की श्रेणी में भी पर्याप्त प्रोजेक्टिव होते हैं। यह सच है क्योंकि, प्रत्येक बाएँ (दाएँ)-मॉड्यूल के लिए, हम एक जनरेटिंग सेट द्वारा उत्पन्न मुक्त (और इसलिए प्रोजेक्टिव)-मॉड्यूल के रूप में ले सकते हैं (उदाहरण के लिए हम ले सकते हैं)। फिर विहित प्रक्षेपण आवश्यक अधिक्षेप है। कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस की श्रेणी में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट्स सटीक रूप से चरम रूप से डिस्कनेक्ट किए गए स्पेस हैं। द्वारा दिए गए एक सरलीकृत प्रमाण के कारण यह परिणाम है। बनाच रिक्त स्थान और संकुचन की श्रेणी में (यानी, कार्यात्मक जिनका मानक अधिक से अधिक 1 है), एपिमोर्फिज्म सटीक रूप से घने छवि वाले मानचित्र हैं। यह दर्शाता है कि शून्य स्थान इस श्रेणी में एकमात्र प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट है। हालाँकि, गैर-तुच्छ रिक्त स्थान हैं, जो सर्जेक्टिव संकुचन के वर्ग के संबंध में प्रोजेक्टिव हैं। संकुचन के साथ मानकीकृत वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में (और "अधिक्षेप" के रूप में सर्जेक्टिव मानचित्र), प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट सटीक रूप से-स्पेस हैं। संदर्भ बाहरी लिंक 'होमोलॉजिकल बीजगणित ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत)