Wrapped normal distribution
संभाव्यता सिद्धांत और दिशात्मक सांख्यिकी में, एक लिपटे हुए सामान्य वितरण एक लिपटे हुए संभाव्यता वितरण है जो इकाई वृत्त के चारों ओर सामान्य वितरण के "रैपिंग" के परिणामस्वरूप होता है। यह ब्राउनियन गति के सिद्धांत में अनुप्रयोग पाता है और आवधिक सीमा स्थितियों के लिए ऊष्मा समीकरण का एक समाधान है। यह वॉन मिसेस वितरण द्वारा निकटता से अनुमानित है, जो अपनी गणितीय सरलता और ट्रैक्टेबिलिटी के कारण, दिशात्मक सांख्यिकी में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला वितरण है। परिभाषा लिपटे हुए सामान्य वितरण का संभाव्यता घनत्व कार्य वह है जहाँ क्रमशः μ और σ बिना लिपटे वितरण का माध्य और मानक विचलन हैं। उपरोक्त घनत्व फलन को सामान्य वितरण पैदावार के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में व्यक्त करनाः जैकोबी थीटा फलन कहाँ है, द्वारा दिया गया है और लपेटा गया सामान्य वितरण को जैकोबी ट्रिपल उत्पाद के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता हैः जहाँ और क्षण वृत्ताकार चर के संदर्भ में लपेटा गया सामान्य वितरण के वृत्ताकार क्षण पूर्णांक तर्कों पर मूल्यांकन किए गए सामान्य वितरण के विशिष्ट कार्य हैंः जहाँ लंबाई का कुछ अंतराल है। पहला क्षण तब z का औसत मान होता है, जिसे औसत परिणामी, या औसत परिणामी सदिश के रूप में भी जाना जाता हैः औसत कोण है और औसत परिणामी की लंबाई है वृत्ताकार मानक विचलन, जो लिपटे हुए सामान्य वितरण और इसके निकट संबंधी के लिए फैलाव का एक उपयोगी उपाय है, वॉन मिसेस वितरण इस प्रकार दिया जाता हैः मापदंडों का अनुमान लिपटे हुए सामान्य वितरण से लिए गए N मापों की एक श्रृंखला zn = e iθn का उपयोग वितरण के कुछ मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। श्रृंखला के औसत को इस रूप में परिभाषित किया गया है और इसका अपेक्षा मूल्य केवल पहला क्षण होगाः दूसरे शब्दों में, पहले क्षण का एक निष्पक्ष अनुमानक है। यदि हम मान लें कि माध्य μ अंतराल [−π, π) में निहित है, तो आर्ग माध्य μ का एक (पक्षपाती) अनुमानक होगा। zn को जटिल तल में सदिशों के एक समूह के रूप में देखते हुए, 2 सांख्यिकीय औसत सदिश की लंबाई का वर्ग हैः और इसका अपेक्षित मूल्य हैः दूसरे शब्दों में, सांख्यिकीय e − σ2 का एक निष्पक्ष अनुमानक होगा, और ln (1/Re2) σ2 एन्ट्रापी का एक (पक्षपाती) अनुमानक होगा। परिभाषित करना और, लिपटे हुए सामान्य के लिए जैकोबी ट्रिपल उत्पाद प्रतिनिधित्व हैः यूलर फ़ंक्शन कहाँ है। लिपटे हुए सामान्य वितरण के घनत्व का लघुगणक लिखा जा सकता हैः लघुगणक के लिए श्रृंखला विस्तार का उपयोग करते हुएः लघुगणक योग को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः ताकि लिपटे हुए सामान्य वितरण के घनत्व का लघुगणक इस प्रकार लिखा जा सकेः जो अनिवार्य रूप से एक फूरियर श्रृंखला है। समाकलन के बाईं ओर लिपटे सामान्य वितरण के लिए विशेषता कार्य प्रतिनिधित्व का उपयोग करनाः एन्ट्रापी लिखी जा सकती हैः जिसे उपज के लिए एकीकृत किया जा सकता हैः लिपटे वितरण डीराक कंघी लिपटे कॉची वितरण वॉन मिसेस वितरण संदर्भ बाहरी लिंक परिपत्र मूल्य गणित और सांख्यिकी सी + + 11 के साथ, ए सी + + 11 वृत्ताकार मूल्यों के लिए बुनियादी ढांचा (कोण, दिन का समय, आदि)। गणित और सांख्यिकी निरंतर वितरण दिशात्मक सांख्यिकी सामान्य वितरण