Interval finite element
संख्यात्मक विश्लेषण में, अंतराल परिमित तत्व विधि (अंतराल एफ. ई. एम.) एक सीमित तत्व विधि है जो अंतराल मापदंडों का उपयोग करती है। अंतराल एफ. ई. एम. को उन स्थितियों में लागू किया जा सकता है जहां संरचना की विश्वसनीय संभावित विशेषताओं को प्राप्त करना संभव नहीं है। यह ठोस संरचनाओं, लकड़ी की संरचनाओं, भू-यांत्रिकी, समग्र संरचनाओं, जैव-यांत्रिकी और कई अन्य क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है। अंतराल परिमित तत्व का लक्ष्य मॉडल की विभिन्न विशेषताओं की ऊपरी और निचली सीमा का पता लगाना है (जैसे। तनाव, विस्थापन, उपज सतह आदि) और डिजाइन प्रक्रिया में इन परिणामों का उपयोग करें। इसे सबसे खराब स्थिति डिजाइन कहा जाता है, जो सीमा अवस्था डिजाइन से निकटता से संबंधित है। सबसे खराब केस डिजाइन के लिए संभावित डिजाइन की तुलना में कम जानकारी की आवश्यकता होती है, हालांकि परिणाम अधिक रूढ़िवादी हैं [कोयलोग्लू और एलिशाकॉफ 1998]। अनिश्चितता के प्रतिरूपण के लिए अंतराल मापदंडों के अनुप्रयोग निम्नलिखित समीकरण पर विचार करेंः जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और। बहुत बार, ए और बी मापदंडों के सटीक मान अज्ञात होते हैं। मान लीजिए कि और। इस मामले में, निम्नलिखित समीकरण को हल करना आवश्यक है अंतराल मापदंडों के साथ इस समीकरण के समाधान सेट की कई परिभाषाएँ हैं। संयुक्त समाधान समुच्चय इस दृष्टिकोण में समाधान निम्नलिखित समुच्चय है यह अंतराल समीकरण का सबसे लोकप्रिय समाधान समुच्चय है और इस समाधान समुच्चय को इस लेख में लागू किया जाएगा। बहुआयामी मामले में संयुक्त समाधान सेट बहुत अधिक जटिल है। रैखिक अंतराल समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का समाधान समुच्चय निम्नलिखित चित्र पर दिखाया गया है सटीक समाधान समुच्चय बहुत जटिल है, इसलिए सबसे छोटे अंतराल को खोजना आवश्यक है जिसमें सटीक समाधान समुच्चय हो या बस जहां अंतराल रैखिक प्रणाली का पैरामीट्रिक समाधान समुच्चय भी देखें अंतराल परिमित तत्व विधि के लिए समीकरणों की एक पैरामीटर-निर्भर प्रणाली (आमतौर पर एक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के साथ) के समाधान की आवश्यकता होती है। समीकरणों की सामान्य पैरामीटर आश्रित प्रणाली के समाधान समुच्चय का एक उदाहरण नीचे दिए गए चित्र पर दिखाया गया है। बीजगणितीय समाधान इस दृष्टिकोण में x एक अंतराल संख्या है जिसके लिए समीकरण संतुष्ट है। दूसरे शब्दों में, समीकरण का बायां पक्ष समीकरण के दाहिने पक्ष के बराबर होता है। इस विशेष मामले में समाधान यह है कि यदि अनिश्चितता अधिक है, अर्थात। , तब क्योंकि यदि अनिश्चितता और भी बड़ी है, अर्थात। , तब समाधान मौजूद नहीं है। बीजगणितीय अंतराल समाधान समुच्चय की भौतिक व्याख्या खोजना बहुत जटिल है। इस प्रकार, अनुप्रयोगों में, संयुक्त समाधान सेट आमतौर पर लागू किया जाता है। विधि पी. डी. ई. को अंतराल मापदंडों के साथ विचार करें जहां दिए गए अंतरालों से संबंधित मापदंडों का एक सदिश है उदाहरण के लिए, ऊष्मा हस्तांतरण समीकरण जहां अंतराल मापदंड हैं (यानी। )। समीकरण () का समाधान निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया जा सकता है उदाहरण के लिए, ऊष्मा हस्तांतरण समीकरण के मामले में समाधान बहुत जटिल है क्योंकि व्यवहार में सबसे छोटे संभव अंतराल को खोजना अधिक दिलचस्प है जिसमें सटीक समाधान सेट होता है। उदाहरण के लिए, ऊष्मा हस्तांतरण समीकरण के मामले में परिमित तत्व विधि बीजगणितीय समीकरणों की निम्नलिखित पैरामीटर आश्रित प्रणाली की ओर ले जाती है जहां एक कठोरता मैट्रिक्स है और एक दाहिने हाथ की ओर है। अंतराल समाधान को एक बहु-मूल्यवान फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है उपरोक्त प्रणाली के सबसे सरल मामले में रैखिक अंतराल समीकरणों की प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। अंतराल समाधान को निम्नलिखित अनुकूलन समस्या के समाधान के रूप में परिभाषित करना भी संभव है बहुआयामी मामले में अंतराल समाधान को अंतराल समाधान बनाम संभावित समाधान के रूप में लिखा जा सकता है यह जानना महत्वपूर्ण है कि अंतराल मापदंड समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की तुलना में अलग-अलग परिणाम उत्पन्न करते हैं। अंतराल पैरामीटर सभी संभावित संभाव्यता वितरण (के लिए) को ध्यान में रखता है। अंतराल मापदंड को परिभाषित करने के लिए केवल ऊपरी और निचली सीमा को जानना आवश्यक है। संभावित विशेषताओं की गणना के लिए बहुत सारे प्रयोगात्मक परिणामों के ज्ञान की आवश्यकता होती है। यह दिखाना संभव है कि n अंतराल संख्याओं का योग उपयुक्त सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चरों के योग से कई गुना अधिक है। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर X पर विचार करें कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग निम्नलिखित विशेषताओं के साथ एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है (छह सिग्मा देखें) हम मान सकते हैं कि संभावित परिणाम की चौड़ाई 6 सिग्मा के बराबर है (छह सिग्मा की तुलना करें)। अब हम अंतराल परिणाम की चौड़ाई और संभावित परिणाम की तुलना कर सकते हैं क्योंकि अंतराल सीमित तत्व (या सामान्य रूप से सबसे खराब मामले के विश्लेषण में) के परिणामों को यादृच्छिक महिला विश्लेषण की तुलना में अधिक आंका जा सकता है (अनिश्चितता का प्रसार भी देखें)। हालांकि, गैर-संभावित अनिश्चितता के मामले में शुद्ध संभावित तरीकों को लागू करना संभव नहीं है। क्योंकि उस मामले में संभावित विशेषताएँ बिल्कुल ज्ञात नहीं हैं (एलिशाकॉफ 2000)। अंतराल मापदंडों के साथ यादृच्छिक (और अस्पष्ट यादृच्छिक चर) पर विचार करना संभव है (जैसे। अंतराल माध्य, भिन्नता आदि के साथ)। कुछ शोधकर्ता सांख्यिकीय गणनाओं में अंतराल (अस्पष्ट) माप का उपयोग करते हैं (जैसे। )। इस तरह की गणनाओं के परिणाम के रूप में हम तथाकथित अस्पष्ट संभावना प्राप्त करेंगे। अस्पष्ट संभावना को बहुत व्यापक अर्थों में समझा जाता है। इसका उपयोग सभी गणितीय मॉडलों को शामिल करने के लिए एक सामान्य शब्द के रूप में किया जाता है जो तेज संख्यात्मक संभावनाओं के बिना मौका या अनिश्चितता को मापते हैं। इसमें गुणात्मक (तुलनात्मक संभावना, आंशिक वरीयता क्रम) और मात्रात्मक तरीके (अंतराल संभावनाएं, विश्वास कार्य, ऊपरी और निचले रुझान) दोनों शामिल हैं। अनुमान समस्याओं में जहां प्रासंगिक जानकारी दुर्लभ, अस्पष्ट या परस्पर विरोधी है, और निर्णय समस्याओं में जहां प्राथमिकताएं भी अधूरी हो सकती हैं, अनुचित संभावना मॉडल की आवश्यकता होती है। सरल उदाहरण-मॉडलिंग तनाव, संपीड़न, तनाव और तनाव) 1-आयाम उदाहरण तनाव-संपीड़न समस्या में, निम्नलिखित समीकरण विस्थापन और बल के बीच के संबंध को दर्शाता हैः जहां लंबाई है, एक क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्र है, और यंग का मापांक है। यदि यंग का मापांक और बल अनिश्चित हैं, तो विस्थापन की ऊपरी और निचली सीमाओं को खोजने के लिए, निम्नलिखित आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें-विस्थापन के चरम मूल्यों की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके करें-विस्थापन से व्युत्पन्न का उपयोग करके तनाव के व्युत्पन्न की गणना करें-विस्थापन के चरम मूल्यों की गणना निम्नानुसार करें-विस्थापन का उपयोग करके तनाव के चरम मूल्यों की गणना करना भी संभव है। अंतराल एफ. ई. एम. बहुआयामी मामलों [पोवनुक 2004] में बहुत समान पद्धति का उपयोग करता है। हालांकि, बहुआयामी मामलों में अनिश्चित मापदंडों और समाधान के बीच संबंध हमेशा मोनोटोन नहीं होता है। उन मामलों में, अधिक जटिल अनुकूलन विधियों को लागू करना होगा। बहुआयामी उदाहरण तनाव-संपीड़न समस्या के मामले में संतुलन समीकरण का निम्नलिखित रूप है जहां विस्थापन है, यंग का मापांक है, क्रॉस-सेक्शन का एक क्षेत्र है, और एक वितरित भार है। अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के लिए उपयुक्त सीमा शर्तों को जोड़ना आवश्यक है जैसे। यदि यंग का मापांक और अनिश्चित हैं तो अंतराल समाधान को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया जा सकता है प्रत्येक एफ. ई. एम. तत्व के लिए परीक्षण फलन द्वारा समीकरण को गुणा करना संभव है जहां भागों द्वारा एकीकरण के बाद हम समीकरण को कमजोर रूप में प्राप्त करेंगे जहां ग्रिड बिंदुओं का एक सेट पेश करते हैं, जहां कई तत्व हैं, और प्रत्येक एफ. ई. एम. तत्व के लिए रैखिक आकार के कार्य जहां तत्व का बायां अंतिम बिंदु, तत्व संख्या "ई" का बायां अंतिम बिंदु है। "ई"-th तत्व में अनुमानित समाधान आकार कार्यों का एक रैखिक संयोजन है समीकरण के कमजोर रूप के प्रतिस्थापन के बाद हमें समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली या मैट्रिक्स रूप में मिलेगा वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स को इकट्ठा करने के लिए प्रत्येक नोड में एक संतुलन समीकरण पर विचार करना आवश्यक है। उसके बाद समीकरण में निम्नलिखित मैट्रिक्स रूप है जहां वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स है, समाधान वेक्टर है, दाहिने हाथ की ओर है। तनाव-संपीड़न समस्या के मामले में यदि हम वितरित भार की उपेक्षा करते हैं तो सीमा स्थितियों को ध्यान में रखने के बाद कठोरता मैट्रिक्स का निम्नलिखित रूप होता है दाहिने हाथ की ओर निम्नलिखित रूप होता है आइए मान लें कि यंग का मापांक, क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्र और भार अनिश्चित हैं और कुछ अंतरालों से संबंधित हैं अंतराल समाधान को निम्नलिखित तरीके से गणना करते हुए परिभाषित किया जा सकता है अंतराल वेक्टर की गणना सामान्य रूप से एनपी-हार्ड है, हालांकि विशिष्ट मामलों में समाधान की गणना करना संभव है जिसका उपयोग कई इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में किया जा सकता है। गणना के परिणाम अंतराल विस्थापन हैं आइए मान लें कि कॉलम में विस्थापन कुछ दिए गए मूल्य (सुरक्षा के कारण) से कम होना चाहिए। अनिश्चित प्रणाली सुरक्षित है यदि अंतराल समाधान सभी सुरक्षा शर्तों को पूरा करता है। इस विशेष मामले में या सरल पोस्टप्रोसेसिंग में अंतराल तनाव, अंतराल तनाव और अंतराल सीमा अवस्था कार्यों की गणना करना और डिजाइन प्रक्रिया में इन मूल्यों का उपयोग करना संभव है। अंतराल परिमित तत्व विधि को उन समस्याओं के समाधान के लिए लागू किया जा सकता है जिनमें संरचनाओं की विश्वसनीय संभावित विशेषता बनाने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं है (एलिशाकॉफ 2000)। अंतराल परिमित तत्व विधि को अस्पष्ट संभाव्यता के सिद्धांत में भी लागू किया जा सकता है। अंतिम बिंदु संयोजन विधि अंतराल के अंतिम बिंदुओं के सभी संभावित संयोजनों के लिए समीकरण को हल करना संभव है। अंतराल के सभी शीर्षों की सूची को इस प्रकार लिखा जा सकता है। समाधान की ऊपरी और निचली सीमा की गणना निम्नलिखित तरीके से की जा सकती है एंडप्वाइंट संयोजन विधि समाधान देती है जो आमतौर पर सटीक होती है; दुर्भाग्य से विधि में घातीय कम्प्यूटेशनल जटिलता होती है और इसे कई अंतराल मापदंडों वाली समस्याओं पर लागू नहीं किया जा सकता है। टेलर विस्तार विधि टेलर श्रृंखला का उपयोग करके कार्य का विस्तार किया जा सकता है। सबसे सरल मामले में टेलर श्रृंखला केवल रैखिक सन्निकटन का उपयोग करती है समाधान की ऊपरी और निचली सीमा की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है विधि बहुत कुशल है हालांकि यह बहुत सटीक नहीं है। सटीकता में सुधार करने के लिए उच्च क्रम टेलर विस्तार [पोवनुक 2004] को लागू करना संभव है। इस दृष्टिकोण को अंतराल परिमित अंतर विधि और अंतराल सीमा तत्व विधि में भी लागू किया जा सकता है। ग्रेडिएंट विधि यदि व्युत्पन्नों का संकेत स्थिर है तो कार्य मोनोटोन है और सटीक समाधान की गणना बहुत तेजी से की जा सकती है। यदि तब समाधान के चरम मूल्यों की गणना निम्नलिखित तरीके से की जा सकती है कई संरचनात्मक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में विधि सटीक समाधान देती है। यदि समाधान मोनोटोन नहीं है तो समाधान आमतौर पर उचित होता है। विधि की सटीकता में सुधार करने के लिए एकरसता परीक्षण और उच्च क्रम संवेदनशीलता विश्लेषण लागू करना संभव है। इस विधि को कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी [पोवनुक 2004] की रैखिक और अरैखिक समस्याओं के समाधान के लिए लागू किया जा सकता है। सिविल इंजीनियरिंग समस्याओं के समाधान के लिए संवेदनशीलता विश्लेषण विधि के अनुप्रयोग निम्नलिखित पेपर [एम. वी.] में पाए जा सकते हैं। रामा राव, ए. पोउनुक और आई. स्कलना 2008]। इस दृष्टिकोण को अंतराल परिमित अंतर विधि और अंतराल सीमा तत्व विधि में भी लागू किया जा सकता है। तत्व विधि द्वारा तत्व मुहन्ना और मुलेन ने अंतराल मापदंडों के साथ परिमित तत्व समीकरण के समाधान के लिए तत्व निर्माण द्वारा तत्व को लागू किया। उस विधि का उपयोग करके ट्रस और फ्रेम संरचनाओं के मामले में गारंटीकृत सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करना संभव है। विक्षोभ विधियाँ विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके समाधान कठोरता मैट्रिक्स और भार सदिश का विस्तार किया जा सकता है। विक्षोभ सिद्धांत अंतराल समाधान के अनुमानित मूल्य की ओर ले जाता है। विधि बहुत कुशल है और कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी की बड़ी समस्याओं पर लागू की जा सकती है। प्रतिक्रिया सतह विधि प्रतिक्रिया सतह का उपयोग करके समाधान का अनुमान लगाना संभव है। फिर अंतराल समाधान प्राप्त करने के लिए प्रतिक्रिया सतह का उपयोग करना संभव है। प्रतिक्रिया सतह विधि का उपयोग करके कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी की बहुत जटिल समस्या को हल करना संभव है। शुद्ध अंतराल विधियाँ कई लेखकों ने अंतराल मापदंडों के साथ परिमित तत्व समस्याओं के समाधान के लिए शुद्ध अंतराल विधियों को लागू करने की कोशिश की। कुछ मामलों में बहुत दिलचस्प परिणाम प्राप्त करना संभव है जैसे। [पोपोवा, इयानकोव, बोनेव 2008]। हालाँकि, सामान्य रूप से विधि बहुत अधिक अनुमानित परिणाम उत्पन्न करती है। पैरामीट्रिक अंतराल प्रणाली पोपोवा और स्काल्ना ने रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के लिए विधियों की शुरुआत की जिसमें गुणांक अंतराल मापदंडों के रैखिक संयोजन हैं। इस मामले में निश्चित सटीकता के साथ अंतराल समीकरणों का बहुत सटीक समाधान प्राप्त करना संभव है। अंतराल सीमा तत्व विधि अंतराल (गणित) अंतराल अंकगणितीय त्रुटिपूर्ण संभावना बहु-मूल्यवान कार्य विभेदक समावेशन अवलोकन त्रुटि यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्वास अंतराल सर्वश्रेष्ठ, सबसे खराब और औसत स्थिति संभावनात्मक डिजाइन अनिश्चितता का प्रसार प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण विक्षोभ सिद्धांत निरंतरता यांत्रिकी ट्रस स्पेस फ्रेम सामग्री की रैखिक लोच शक्ति संदर्भ डेम्पस्टर, ए. पी. 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