Mild-slope equation
द्रव गतिकी में, हल्की-ढलान समीकरण स्नानमापी पर और पार्श्व सीमाओं के कारण फैलती जल तरंगों के लिए विवर्तन और अपवर्तन के संयुक्त प्रभावों का वर्णन करता है-जैसे ब्रेकवाटर और तटरेखा। यह एक अनुमानित मॉडल है, जिसका नाम मूल रूप से समुद्र तल की हल्की ढलानों पर तरंग प्रसार के लिए विकसित किया गया है। हल्के-ढलान समीकरण का उपयोग अक्सर तटीय इंजीनियरिंग में बंदरगाहों और तटों के पास तरंग-क्षेत्र परिवर्तनों की गणना करने के लिए किया जाता है। हल्की-ढलान समीकरण जल तरंगों के प्रसार और परिवर्तन को मॉडल करता है, क्योंकि वे अलग-अलग गहराई के पानी के माध्यम से यात्रा करते हैं और चट्टानों, समुद्र तटों, समुद्री दीवारों और ब्रेकवाटर जैसी पार्श्व सीमाओं के साथ बातचीत करते हैं। नतीजतन, यह तरंग आयाम, या समतुल्य तरंग ऊंचाई में भिन्नताओं का वर्णन करता है। तरंग आयाम से, पानी की सतह के नीचे प्रवाह वेग दोलनों के आयाम की गणना भी की जा सकती है। इन मात्राओं-तरंग आयाम और प्रवाह-वेग आयाम-का उपयोग बाद में तटीय और अपतटीय संरचनाओं, जहाजों और अन्य तैरती वस्तुओं, तलछट परिवहन और समुद्र तल और तटरेखा के परिणामस्वरूप स्नानमापी परिवर्तन, औसत प्रवाह क्षेत्र और द्रव्यमान हस्तांतरण पर तरंग प्रभावों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। अक्सर, हल्के-ढलान समीकरण को संख्यात्मक विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करके कंप्यूटर द्वारा हल किया जाता है। माइल्ड-स्लोप समीकरण का पहला रूप 1952 में एकार्ट द्वारा विकसित किया गया था, और एक बेहतर संस्करण-अपने शास्त्रीय सूत्रीकरण में माइल्ड-स्लोप समीकरण-1972 में जूरी बर्खोफ द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया है। इसके बाद, कई संशोधित और विस्तारित रूप प्रस्तावित किए गए हैं, उदाहरण के लिए, लहर-वर्तमान अंतःक्रिया, लहर गैर-रैखिकता, खड़ी समुद्र-तल ढलान, तल घर्षण और लहर टूटने के प्रभावों को शामिल करने के लिए। कम्प्यूटेशनल लागत को कम करने के लिए अक्सर हल्के-ढलान समीकरण के लिए परवलयिक सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। स्थिर गहराई के मामले में, प्रकाश-ढलान समीकरण तरंग विवर्तन के लिए हेल्महोल्ट्ज समीकरण तक कम हो जाता है। एकवर्णी तरंग गति के लिए सूत्रीकरण रैखिक सिद्धांत के अनुसार एकवर्णी तरंगों के लिए-मुक्त सतह की ऊंचाई के रूप में दी गई है और तरंगें औसत पानी की गहराई की एक तरल परत पर फैलती हैं-हल्की-ढलान समीकरण हैः जहाँः मुक्त-सतह की ऊंचाई का जटिल-मूल्यवान आयाम क्षैतिज स्थिति है; एकवर्णी तरंग गति की कोणीय आवृत्ति है; काल्पनिक इकाई है; जिसका अर्थ है ब्रेसिज़ के बीच की मात्रा का वास्तविक हिस्सा लेना; क्षैतिज ढाल ऑपरेटर है; विचलन ऑपरेटर है; तरंगों की चरण गति है और तरंगों की समूह गति है। चरण और समूह की गति फैलाव संबंध पर निर्भर करती है, और हवादार तरंग सिद्धांत से इस प्रकार ली गई हैः पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण कहाँ है और हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा कहाँ है। किसी दिए गए कोणीय आवृत्ति के लिए, तरंग संख्या को फैलाव समीकरण से हल करना पड़ता है, जो इन दो मात्राओं को पानी की गहराई से संबंधित करता है। एक असमरूपी हेल्महोल्ट्ज समीकरण में परिवर्तन परिवर्तन के माध्यम से हल्के ढलान समीकरण को एक असमरूपी हेल्महोल्ट्ज समीकरण के रूप में डाला जा सकता हैः लाप्लास प्रचालक कहाँ है। तरंगों का प्रसार करने वाले तरंगों के स्थानिक रूप से सुसंगत क्षेत्रों में, जटिल आयाम को इसके आयाम और चरण में विभाजित करना उपयोगी है, दोनों का वास्तविक मूल्य हैः जहां आयाम या निरपेक्ष मूल्य है और तरंग चरण है, जो इसका तर्क है। यह समीकरणों के निम्नलिखित सेट में हल्के-ढलान समीकरण को बदल देता है (उन स्थानों के अलावा जिनके लिए एकवचन है): जहां प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत तरंग-ऊर्जा घनत्व है (गतिज और स्थितिज ऊर्जा घनत्वों का योग), प्रभावी तरंग संख्या सदिश है, जिसमें घटक प्रभावी समूह वेग सदिश है, द्रव घनत्व है, और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण द्वारा त्वरण है। अंतिम समीकरण से पता चलता है कि तरंग ऊर्जा को हल्के-ढलान समीकरण में संरक्षित किया जाता है, और यह कि तरंग ऊर्जा को तरंग शिखर तक सामान्य-दिशा में ले जाया जाता है (इस मामले में बिना माध्य धाराओं के शुद्ध तरंग गति)। प्रभावी समूह की गति समूह की गति से अलग है पहला समीकरण बताता है कि प्रभावी तरंग संख्या इर्रोटेशनल है, इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि यह तरंग चरण, एक अदिश क्षेत्र का व्युत्पन्न है। दूसरा समीकरण एकोनल समीकरण है। यह प्रभावी तरंग संख्या पर विवर्तन के प्रभावों को दर्शाता हैः केवल अधिक या कम प्रगतिशील तरंगों के लिए, आयाम और चरण में विभाजन के साथ और के सुसंगत-भिन्न और सार्थक क्षेत्रों की ओर ले जाता है। अन्यथा, κ2 नकारात्मक भी हो सकता है। जब विवर्तन प्रभावों को पूरी तरह से उपेक्षित किया जाता है, तो प्रभावी तरंग संख्या κ बराबर होती है, और तरंग अपवर्तन के लिए ज्यामितीय प्रकाशिकी सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है। जब हल्के-ढलान समीकरण में उपयोग किया जाता है, तो परिणाम एक कारक के अलावा होता हैः अब इस समीकरण के वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों को शून्य के बराबर होना चाहिएः प्रभावी तरंग संख्या सदिश को तरंग चरण के ढाल के रूप में परिभाषित किया गया हैः और इसकी सदिश लंबाई एक इर्रोटेशनल क्षेत्र है, क्योंकि ढाल का कर्ल शून्य हैः अब परिवर्तित हल्के-ढलान समीकरण के वास्तविक और काल्पनिक भाग बन जाते हैं, पहले काल्पनिक भाग को गुणा करते हुएः पहला समीकरण सीधे ऊपर के एकोनल समीकरण की ओर ले जाता है, जबकि दूसरा देता हैः जो-यह ध्यान में रखते हुए कि कोणीय आवृत्ति समय-हार्मोनिक गति के लिए एक स्थिर है-तरंग-ऊर्जा संरक्षण समीकरण की ओर ले जाता है। माइल्ड-स्लोप समीकरण की व्युत्पत्ति माइल्ड-स्लोप समीकरण को कई तरीकों के उपयोग से प्राप्त किया जा सकता है। यहाँ, हम एक परिवर्तनशील दृष्टिकोण का उपयोग करेंगे। द्रव को अभेद्य और असंपीड़ित माना जाता है, और प्रवाह को इर्रोटेशनल माना जाता है। ये धारणाएँ सतह के गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए मान्य हैं, क्योंकि वर्टिसिटी और चिपचिपाहट के प्रभाव केवल स्टोक्स सीमा परतों (प्रवाह के दोलन भाग के लिए) में महत्वपूर्ण हैं। चूंकि प्रवाह इर्रोटेशनल है, इसलिए तरंग गति को संभावित प्रवाह सिद्धांत का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। ल्यूक का परिवर्तनशील सिद्धांत ल्यूक का लैग्रैन्जियन सूत्रीकरण गैर-रैखिक सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए एक परिवर्तनशील सूत्रीकरण देता है। एक स्थिर घनत्व के साथ एक क्षैतिज रूप से असीमित क्षेत्र के मामले में, ल्यूक के परिवर्तनशील सिद्धांत पर एक मुक्त द्रव सतह और एक निश्चित समुद्र तल लैग्रैन्जियन का उपयोग करता है जहां क्षैतिज लैग्रैन्जियन घनत्व है, जिसके द्वारा दिया गया हैः जहां वेग क्षमता है, प्रवाह वेग घटकों के साथ क्रमशः और और दिशाओं में है। ल्यूक के लैग्रैन्जियन सूत्रीकरण को मुक्त सतह पर सतह की ऊंचाई और वेग क्षमता के संदर्भ में हैमिल्टनियन सूत्रीकरण में भी पुनर्निर्मित किया जा सकता है। विभव और सतह की ऊँचाई के संबंध में भिन्नताओं को लेने से द्रव के आंतरिक भाग के लिए लाप्लास समीकरण होता है, साथ ही रैखिक तरंग सिद्धांत में बिस्तर पर मुक्त सतह पर सभी सीमा स्थितियां होती हैं। रैखिक तरंग सिद्धांत के मामले में, लैग्रैन्जियन घनत्व में ऊर्ध्वाधर समाकलन को तल से औसत सतह तक एक भाग में और मुक्त सतह से दूसरे भाग में विभाजित किया जाता है। माध्य मुक्त-सतह उन्नयन के आसपास दूसरे समाकलन के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना और केवल द्विघात शब्दों को बनाए रखना और रैखिक तरंग गति के लिए लैग्रैन्जियन घनत्व बन जाता है ऊर्ध्वाधर समाकलन में शब्द को हटा दिया जाता है क्योंकि यह गतिशील रूप से रुचिहीन हो गया हैः यह यूलर-लैग्रेंज समीकरणों में शून्य योगदान देता है, जिसमें ऊपरी समाकलन सीमा अब तय हो गई है। स्थितिज ऊर्जा के समानुपाती उपेक्षित निम्न अवधि के लिए भी यही सच है। तरंगें क्षैतिज तल में फैलती हैं, जबकि विभव की संरचना ऊर्ध्वाधर दिशा में तरंग जैसी नहीं होती है। यह औसत मुक्त-सतह ऊंचाई पर सामान्यीकरण के साथ क्षमता के रूप पर निम्नलिखित धारणा के उपयोग का सुझाव देता है यहाँ औसत मुक्त-सतह स्तर पर वेग क्षमता है अगला, हल्के-ढलान की धारणा की जाती है, जिसमें ऊर्ध्वाधर आकार कार्य-तल में धीरे-धीरे बदलता है, और प्रवाह वेग में क्षैतिज व्युत्पन्न की उपेक्षा की जा सकती है। तोः एक परिणाम के रूप मेंः इस लैग्रैन्जियन घनत्व के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के साथ, या तो प्रतिनिधित्व करने के साथ हैं या अब पहले के बराबर लिया जाता है और फिर इसके परिणामस्वरूप, तरंग गति के लिए विकास समीकरण बन जाते हैंः क्षैतिज ढाल प्रचालक के साथः जहां सुपरस्क्रिप्ट पारगमन को दर्शाता है। अगला कदम आकार फलन का चयन करना और हवादार तरंग सिद्धांत से ऊर्ध्वाधर आकार फलन का निर्धारण करना है क्योंकि इसका उद्देश्य हल्के ढलान वाले तल पर तरंगों का वर्णन करना है, आकार फलन को हवादार तरंग सिद्धांत के अनुसार चुना जाता है। यह स्थिर गहराई में प्रसार करने वाली तरंगों का रैखिक सिद्धांत है आकार फलन का रूप हैः अब सामान्य रूप से एक स्थिरांक नहीं है, लेकिन स्थानीय गहराई और रैखिक फैलाव संबंध के साथ और उसके अनुसार भिन्न होने के लिए चुना गया हैः यहाँ एक स्थिर कोणीय आवृत्ति, अध्ययन के तहत तरंग क्षेत्र की विशेषताओं के अनुसार चुनी गई है। नतीजतन, समाकलन और बन जाते हैंः निम्नलिखित समय-निर्भर समीकरण मुक्त-सतह उन्नयन और मुक्त-सतह क्षमता का विकास देते हैं दो विकास समीकरणों से, एक चर या जिसे समाप्त किया जा सकता है, हल्के-ढलान समीकरण का समय-निर्भर रूप प्राप्त करने के लिएः और मुक्त-सतह क्षमता के लिए संबंधित समीकरण समान है, जिसे एकवर्णी तरंगों के चारों ओर आवृत्तियों के एक संकीर्ण बैंड में तरंगों को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है जटिल आयाम और कोणीय आवृत्ति के साथ एकवर्णी तरंगों पर विचार करेंः एक दूसरे के साथ और एक दूसरे के बराबर चुनी गई, हल्के-ढलान समीकरण के समय-निर्भर रूप में इसका उपयोग करते हुए, समय के लिए शास्त्रीय हल्के-ढलान समीकरण को पुनर्प्राप्त करता है। हालांकि, कुछ सूक्ष्म पहलू, जैसे कि परावर्तित तरंगों का आयाम, पूरी तरह से गलत हो सकता है, यहां तक कि शून्य पर जाने वाली ढलानों के लिए भी। इस गणितीय जिज्ञासा का सामान्य रूप से बहुत कम व्यावहारिक महत्व है क्योंकि यह प्रतिबिंब छोटी निचली ढलानों के लिए गायब हो जाता है। टिप्पणियाँ संदर्भ, 2 भाग, 967 पृष्ठ। , 740 पृष्ठ। तटीय भूगोल द्रव गतिकी के समीकरण जल तरंगें