Tate conjecture
संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में, टेट अनुमान जॉन टेट का 1963 का एक अनुमान है जो एक अधिक कम्प्यूटेबल अपरिवर्तनीय के संदर्भ में विविधता पर बीजगणितीय चक्रों का वर्णन करेगा, एटेल कोहोमोलॉजी पर गैलोइस प्रतिनिधित्व। बीजगणितीय चक्रों के सिद्धांत में अनुमान एक केंद्रीय समस्या है। इसे हॉज अनुमान का एक अंकगणितीय अनुरूप माना जा सकता है। अनुमान का कथन मान लीजिए कि V एक क्षेत्र k पर एक चिकनी प्रक्षेपात्मक किस्म है जो अपने प्रमुख क्षेत्र पर परिमित रूप से उत्पन्न होती है। मान लीजिए कि ks, k का एक पृथक्कृत समापन है और मान लीजिए कि G, k का निरपेक्ष गैलोइस समूह Gal (ks/k) है। एक अभाज्य संख्या l को ठीक करें जो k में व्युत्क्रमणीय है। V से ks के आधार विस्तार के l-adic समरूपता समूहों (l-adic पूर्णांक Zl में गुणांक, स्केलर फिर l-adic संख्याओं Ql तक विस्तारित) पर विचार करें; ये समूह G के प्रतिनिधित्व हैं। किसी भी i ≤ 0 के लिए, V की एक कोडिमेंशन-i उप-विविधता (k पर परिभाषित की गई समझी जाती है) समरूपता समूह के एक तत्व को निर्धारित करती है जिसे G द्वारा तय किया जाता है। यहाँ Ql (i) ith टेट ट्विस्ट को दर्शाता है, जो टेट अनुमान में कहा गया है कि गैलोइस समूह जी द्वारा निर्धारित डब्ल्यू के उपक्षेत्र डब्ल्यूजी को क्यूएल-वेक्टर स्थान के रूप में, वी के कोडिमेंशन-आई उप-विविधताओं के वर्गों द्वारा फैलाया जाता है। एक बीजगणितीय चक्र का अर्थ है उप-विविधताओं का एक सीमित रैखिक संयोजन; इसलिए एक समतुल्य कथन यह है कि डब्ल्यूजी का प्रत्येक तत्व क्यूएल गुणांक के साथ वी पर एक बीजगणितीय चक्र का वर्ग है। ज्ञात मामले भाजकों के लिए टेट अनुमान (कोडीमेंशन 1 का बीजगणितीय चक्र) एक प्रमुख खुली समस्या है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि f: X → C एक परिमित क्षेत्र पर एक चिकनी प्रोजेक्टिव सतह से एक चिकनी प्रोजेक्टिव वक्र पर एक आकृतिवाद है। मान लीजिए कि f का सामान्य फाइबर F, जो फलन क्षेत्र k (C) पर एक वक्र है, k (C) पर चिकना है। फिर एक्स पर भाजकों के लिए टेट अनुमान एफ की जैकोबियन किस्म के लिए बर्च और स्विनरटन-डायर अनुमान के बराबर है। इसके विपरीत, किसी भी चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव विविधता पर भाजकों के लिए हॉज अनुमान ज्ञात है (लेफशेट्ज़ (1,1)-प्रमेय)। संभवतः सबसे महत्वपूर्ण ज्ञात मामला यह है कि टेट अनुमान अबेलियन किस्मों पर भाजकों के लिए सही है। यह परिमित क्षेत्रों पर अबेलियन किस्मों के लिए टेट की एक प्रमेय है, और संख्या क्षेत्रों पर अबेलियन किस्मों के लिए फाल्टिंग्स की, जो मॉर्डेल अनुमान के फाल्टिंग्स के समाधान का हिस्सा है। ज़ारहिन ने इन परिणामों को किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न आधार क्षेत्र तक विस्तारित किया। अबेलियन किस्मों पर भाजकों के लिए टेट अनुमान का तात्पर्य वक्र C1 ×. × Cn के किसी भी उत्पाद पर भाजकों के लिए टेट अनुमान से है। अबेलियन किस्मों पर भाजकों के लिए (ज्ञात) टेट अनुमान अबेलियन किस्मों के बीच समरूपता के बारे में एक शक्तिशाली कथन के बराबर है। अर्थात्, किसी भी अबेलियन किस्म ए और बी के लिए एक परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र के पर, प्राकृतिक मानचित्र एक समरूपता है। विशेष रूप से, एक अबेलियन किस्म ए को इसके टेट मॉड्यूल एच1 (अक्स, जेडएल) पर गैलोइस प्रतिनिधित्व द्वारा आइसोजेनी तक निर्धारित किया जाता है। टेट अनुमान के3 सतहों के लिए भी 2 नहीं बल्कि विशेषता के परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्रों पर लागू होता है। (एक सतह पर, अनुमान का गैर-तुच्छ भाग भाजकों के बारे में है।) विशेषता शून्य में, के3 सतहों के लिए टेट अनुमान आंद्रे और टैंकीव द्वारा साबित किया गया था। 2 नहीं बल्कि विशेषता के सीमित क्षेत्रों पर के3 सतहों के लिए, टेट अनुमान को नायगार्ड, ओगस, चार्ल्स, मडापुसी पेरा और मौलिक द्वारा साबित किया गया था। टेट अनुमान के ज्ञात मामलों का सर्वेक्षण। संबंधित अनुमान मान लीजिए कि X एक परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र k पर एक चिकनी प्रक्षेपात्मक विविधता है। अर्ध-सरलता अनुमान भविष्यवाणी करता है कि X के l-adic समरूपता पर गैलोइस समूह G = Gal (ks/k) का प्रतिनिधित्व अर्ध-सरल है (यानी, अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग)। विशेषता 0 के k के लिए, दिखाया गया कि टेट अनुमान (जैसा कि ऊपर बताया गया है) की अर्ध-सरलता का तात्पर्य है। हॉज अनुमान की तरह, टेट अनुमान बीजगणितीय चक्रों पर ग्रोथेन्डिक के अधिकांश मानक अनुमानों का संकेत देगा। अर्थात्, यह लेफशेट्ज़ मानक अनुमान का संकेत देगा (कि लेफशेट्ज़ समरूपता का व्युत्क्रम एक बीजगणितीय पत्राचार द्वारा परिभाषित किया गया है); कि विकर्ण के कुनेथ घटक बीजगणितीय हैं; और बीजगणितीय चक्रों की संख्यात्मक समानता और समरूपता समान हैं। नोट्स संदर्भ बाहरी लिंक जेम्स मिल्ने, सीमित क्षेत्रों पर द टेट अनुमान (ए. आई. एम. टॉक)। बीजगणितीय ज्यामिति की स्थलाकृतिक विधियाँ डायोफैंटाइन ज्यामिति संख्या सिद्धांत में अनसुलझी समस्याओं का अनुमान लगाती है