Polymer field theory
बहुलक क्षेत्र सिद्धांत एक सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत है जो एक तटस्थ या आवेशित बहुलक प्रणाली के सांख्यिकीय व्यवहार का वर्णन करता है। इसे हब्बर्ड-स्ट्रैटोनोविच परिवर्तन या डेल्टा-कार्यात्मक परिवर्तन का उपयोग करके, एक सहायक क्षेत्र कार्य पर एक कार्यात्मक अभिन्न प्रतिनिधित्व में स्वतंत्रता के कण डिग्री पर अपने मानक बहु-आयामी अभिन्न प्रतिनिधित्व से विभाजन कार्य को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है। बहुलक क्षेत्र सिद्धांतों पर आधारित कंप्यूटर सिमुलेशन को उपयोगी परिणाम देने के लिए दिखाया गया है, उदाहरण के लिए बहुलक समाधानों की संरचनाओं और गुणों की गणना करने के लिए (बेयरले 2007, श्मिड 1998), बहुलक पिघल (श्मिड 1998, मैट्सन 2002, फ्रेडरिक्सन 2002) और थर्मोप्लास्टिक्स (बेयरले 2006)। केनोनिकल एन्सेम्बल पार्टिकल रिप्रजेंटेशन ऑफ कैनोनिकल पार्टिशन फंक्शन एडवर्ड्स (एडवर्ड्स 1965) द्वारा पेश किए गए लचीले पॉलिमर का मानक निरंतरता मॉडल, रैखिक मोनोडिस्पर्स होमोपॉलिमर से बने समाधान को मोटे-दाने वाले पॉलिमर की एक प्रणाली के रूप में मानता है, जिसमें श्रृंखलाओं के सांख्यिकीय यांत्रिकी को निरंतर गॉसियन थ्रेड मॉडल (बेयरले 2007) द्वारा वर्णित किया जाता है और विलायक को निहित रूप से ध्यान में रखा जाता है। गॉसियन थ्रेड मॉडल को असतत गॉसियन श्रृंखला मॉडल की निरंतरता सीमा के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें पॉलिमर को निरंतर, रैखिक रूप से लोचदार तंतुओं के रूप में वर्णित किया जाता है। ऐसी प्रणाली के विहित विभाजन कार्य को, एक व्युत्क्रम तापमान पर रखा जाता है और एक आयतन में सीमित किया जाता है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि खंडों के बीच विलायक-मध्यस्थ गैर-बंधुआ अंतःक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करते हुए दिए गए माध्य बल की क्षमता कहाँ है, जबकि श्रृंखलाओं की हार्मोनिक बंधन ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। बाद के ऊर्जा योगदान को सांख्यिकीय खंड की लंबाई और बहुलककरण सूचकांक के रूप में तैयार किया जा सकता है। क्षेत्र-सैद्धांतिक परिवर्तन विहित विभाजन फलन के मूल क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित में बहुलक प्रणाली के खंड घनत्व प्रचालक का परिचय इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, कोई भी Eq को फिर से लिख सकता है। (2) इसके बाद, मॉडल को हबर्ड-स्ट्रैटोनोविच परिवर्तन या डेल्टा-कार्यात्मक परिवर्तन का उपयोग करके एक क्षेत्र सिद्धांत में परिवर्तित किया जाता है जहां एक कार्यात्मक है और सहायक क्षेत्र कार्य का प्रतिनिधित्व करने के साथ दिया गया डेल्टा कार्यात्मक है। यहाँ हम ध्यान देते हैं कि, एक फूरियर श्रृंखला में क्षेत्र फलन का विस्तार करने का तात्पर्य है कि आवधिक सीमा शर्तें सभी दिशाओं में लागू होती हैं और-सदिश सुपरसेल के पारस्परिक जाली सदिशों को निर्दिष्ट करते हैं। Eqs का उपयोग करके विहित विभाजन कार्य का बुनियादी क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व। (3), (4) और (5), हम Eq में विहित विभाजन फलन को पुनः रचना कर सकते हैं। (1) क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व में, जो गैर-परस्पर क्रिया करने वाले पॉलिमर की एक आदर्श गैस के लिए विभाजन कार्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है और लोचदार ऊर्जा के साथ शून्य क्षेत्र में एक मुक्त बहुलक का पथ अभिन्न है। इसके अलावा, Eq में। (6) एकल बहुलक का विभाजन कार्य, क्षेत्र के अधीन, ग्रैंड कैनोनिकल समूह द्वारा दिया जाता है ग्रैंड कैनोनिकल विभाजन कार्य का बुनियादी क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व ग्रैंड कैनोनिकल विभाजन कार्य को प्राप्त करने के लिए, हम कैनोनिकल विभाजन कार्य के लिए इसके मानक थर्मोडायनामिक संबंध का उपयोग करते हैं, जिसके द्वारा दिया जाता है कि रासायनिक क्षमता कहाँ है और Eq द्वारा दिया जाता है। (6)। योग को निष्पादित करते हुए, यह भव्य विहित विभाजन कार्य का क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व प्रदान करता है, जहां Eq द्वारा परिभाषित भव्य विहित कार्रवाई है। (8) और स्थिरांक इसके अलावा, रासायनिक क्षमता से संबंधित पैरामीटर Eq द्वारा प्रदान किया गया है। (7)। माध्य क्षेत्र सन्निकटन बहुलक क्षेत्र सिद्धांतों के लिए एक मानक सन्निकटन रणनीति माध्य क्षेत्र (एम. एफ.) सन्निकटन है, जिसमें क्रिया में कई-शरीर अंतःक्रिया शब्द को एक ऐसे शब्द से प्रतिस्थापित करना शामिल है जिसमें प्रणाली के सभी निकाय एक औसत प्रभावी क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करते हैं। यह दृष्टिकोण किसी भी बहु-शरीर समस्या को एक प्रभावी एक-शरीर समस्या में यह मानते हुए कम कर देता है कि मॉडल का विभाजन कार्य अभिन्न एक एकल क्षेत्र विन्यास द्वारा हावी है। एम. एफ. सन्निकटन के साथ समस्याओं को हल करने का एक प्रमुख लाभ, या इसके संख्यात्मक कार्यान्वयन को आमतौर पर आत्म-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत (एस. सी. एफ. टी.) के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह है कि यह अक्सर अपेक्षाकृत कम कम्प्यूटेशनल लागत पर जटिल कई-शरीर प्रणालियों के गुणों और व्यवहार में कुछ उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। इस सन्निकटन रणनीति के सफल अनुप्रयोग पॉलिमर और जटिल तरल पदार्थों की विभिन्न प्रणालियों के लिए पाए जा सकते हैं, जैसे। उच्च आणविक भार के दृढ़ता से अलग किए गए ब्लॉक सह-पॉलिमर, अत्यधिक केंद्रित तटस्थ बहुलक समाधान या अत्यधिक केंद्रित ब्लॉक पॉलीइलेक्ट्रोलाइट (पीई) समाधान (श्मिड 1998, मैट्सन 2002, फ्रेडरिकसन 2002)। हालाँकि, ऐसे कई मामले हैं जिनके लिए एस. सी. एफ. टी. गलत या यहां तक कि गुणात्मक रूप से गलत परिणाम प्रदान करता है (बेयुर्ले 2006ए)। इनमें डाइलूट और सेमीडायल्यूट सांद्रता व्यवस्थाओं में तटस्थ बहुलक या पॉलीइलेक्ट्रोलाइट समाधान, उनके क्रम-विकार संक्रमण के पास ब्लॉक कॉपोलिमर, उनके चरण संक्रमण के पास बहुलक मिश्रण आदि शामिल हैं। ऐसी स्थितियों में क्षेत्र-सैद्धांतिक मॉडल को परिभाषित करने वाले विभाजन कार्य अभिन्न पर पूरी तरह से एकल एम. एफ. विन्यास का प्रभुत्व नहीं है और इससे दूर क्षेत्र विन्यास महत्वपूर्ण योगदान कर सकते हैं, जिसके लिए सन्निकटन के एम. एफ. स्तर से परे अधिक परिष्कृत गणना तकनीकों के उपयोग की आवश्यकता होती है। उच्च-क्रम सुधार समस्या का सामना करने की एक संभावना एम. एफ. सन्निकटन में उच्च-क्रम सुधारों की गणना करना है। त्सोन्चेव और अन्य। अग्रणी (एक-लूप) क्रम उतार-चढ़ाव सुधारों सहित ऐसी रणनीति विकसित की, जिसने सीमित पीई समाधानों (त्सोन्चेव 1999) के भौतिकी में नई अंतर्दृष्टि प्राप्त करने की अनुमति दी। हालांकि, ऐसी स्थितियों में जहां एम. एफ. सन्निकटन खराब है, वांछित सटीकता प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल में उच्च-क्रम सुधार की मांग करने वाले कई कम्प्यूटेशनल आवश्यक हैं। पुनर्नवीकरण तकनीक क्षेत्र सिद्धांतों में होने वाले मजबूत उतार-चढ़ाव की समस्याओं से निपटने के लिए एक वैकल्पिक सैद्धांतिक उपकरण 1940 के दशक के अंत में पुनर्नवीकरण की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है, जिसे मूल रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों (क्यू. एफ. टी.) में उत्पन्न होने वाले कार्यात्मक समाकलन की गणना करने के लिए तैयार किया गया है। क्यू. एफ. टी. में एक मानक सन्निकटन रणनीति विकृति सिद्धांत का उपयोग करके युग्मन स्थिरांक में एक शक्ति श्रृंखला में कार्यात्मक समाकलन का विस्तार करना है। दुर्भाग्य से, आम तौर पर अधिकांश विस्तार शब्द अनंत हो जाते हैं, जिससे ऐसी गणना अव्यवहारिक हो जाती है (शिर्कोव 2001)। क्यू. एफ. टी. से अनंतताओं को हटाने का एक तरीका पुनर्व्यवस्थापन की अवधारणा का उपयोग करना है (बेयुर्ले 2007)। इसमें मुख्य रूप से युग्मन मापदंडों के खाली मूल्यों को प्रतिस्थापित करना शामिल है, जैसे कि। विद्युत आवेश या द्रव्यमान, पुनर्रचित युग्मन मापदंडों द्वारा और इस परिवर्तन के तहत भौतिक मात्राओं को बदलने की आवश्यकता नहीं होती है, जिससे विक्षोभ विस्तार में सीमित शर्तें आती हैं। पुनर्नवीकरण की प्रक्रिया की एक सरल भौतिक तस्वीर एक शास्त्रीय विद्युत आवेश के उदाहरण से ली जा सकती है, जिसे एक ध्रुवीकरण माध्यम में डाला जाता है, जैसे कि एक इलेक्ट्रोलाइट समाधान में। माध्यम के ध्रुवीकरण के कारण आवेश से कुछ दूरी पर, इसका कुलम्ब क्षेत्र प्रभावी रूप से एक फलन पर निर्भर करेगा, अर्थात। नंगे विद्युत आवेश के बजाय प्रभावी (पुनः सामान्यीकृत) आवेश। 1970 के दशक की शुरुआत में के. जी. विल्सन ने सांख्यिकीय प्रणालियों (विल्सन 1971) की महत्वपूर्ण घटनाओं की जांच करने के लिए पुनर्भरण समूह (आर. जी.) सिद्धांत की औपचारिकता को विकसित करके पुनर्भरण अवधारणाओं की शक्ति का बीड़ा उठाया। पुनर्गठन समूह सिद्धांत आर. जी. सिद्धांत आर. जी. परिवर्तनों की एक श्रृंखला का उपयोग करता है, जिनमें से प्रत्येक में एक मोटा-अनाज चरण होता है जिसके बाद पैमाने में परिवर्तन होता है (विल्सन 1974)। सांख्यिकीय-यांत्रिक समस्याओं के मामले में विभाजन राशि या समाकलन में स्वतंत्रता की डिग्री को क्रमिक रूप से समाप्त और पुनर्निर्धारित करके कदमों को लागू किया जाता है जो विचाराधीन मॉडल को परिभाषित करता है। डी गेन्स ने इस रणनीति का उपयोग चरण संक्रमण के पास लौह चुंबकत्व के शून्य-घटक शास्त्रीय वेक्टर मॉडल के व्यवहार और एक जाली पर अनंत लंबाई की बहुलक श्रृंखला के एक स्व-परिहार यादृच्छिक चलने के बीच एक सादृश्य स्थापित करने के लिए किया, ताकि बहुलक बहिष्कृत आयतन घटकों (डी गेन्स 1972) की गणना की जा सके। इस अवधारणा को क्षेत्र-सैद्धांतिक कार्यात्मक समाकलन के लिए अनुकूलित करने का तात्पर्य एक व्यवस्थित तरीके से अध्ययन करना है कि विभाजन फलन समाकलन (विल्सन 1974) से स्वतंत्रता की एक निश्चित संख्या को समाप्त करते हुए और पुनः प्राप्त करते हुए एक क्षेत्र सिद्धांत मॉडल कैसे बदलता है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण को हार्ट्री सन्निकटन या आत्म-सुसंगत एक-लूप सन्निकटन (अमित 1984) के रूप में जाना जाता है। यह मॉडल मापदंडों को फिर से सामान्य बनाने और महत्वपूर्ण एकाग्रता व्यवस्थाओं में एकाग्रता में उतार-चढ़ाव के प्रमुख लंबाई पैमाने को आत्म-सुसंगत तरीके से निकालने के लिए-क्रम एम. एफ. योगदान में गॉसियन उतार-चढ़ाव सुधारों का लाभ उठाता है। एक और हाल के काम में एफिमोव और नोगोवित्सिन ने दिखाया कि क्यू. एफ. टी. से उत्पन्न एक वैकल्पिक पुनर्भरण तकनीक, जो टैडपोल पुनर्भरण की अवधारणा पर आधारित है, शास्त्रीय कई-कण प्रणालियों (एफिमोव 1996) के सांख्यिकीय यांत्रिकी में उत्पन्न होने वाले कार्यात्मक समाकलन की गणना के लिए एक बहुत ही प्रभावी दृष्टिकोण हो सकता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि शास्त्रीय विभाजन फलन समाकलन में मुख्य योगदान निम्न-क्रम के टैडपोल-प्रकार के फेनमैन आरेखों द्वारा प्रदान किए जाते हैं, जो कण आत्म-अंतःक्रिया के कारण अलग-अलग योगदान के लिए जिम्मेदार होते हैं। इस दृष्टिकोण में की गई पुनर्रचना प्रक्रिया एक आवेश के स्व-अंतःक्रिया योगदान पर प्रभाव डालती है (जैसे। एक इलेक्ट्रॉन या एक आयन), जो उस आवेश की उपस्थिति के कारण निर्वात में प्रेरित स्थैतिक ध्रुवीकरण के परिणामस्वरूप होता है (बेयुर्ले 2007)। जैसा कि एफिमोव और गानबोल्ड द्वारा एक पूर्व कार्य (एफिमोव 1991) में प्रमाणित किया गया है, विभाजन कार्य के मूल क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व की क्रिया से विचलन को दूर करने के लिए टैडपोल पुनर्निर्धारण की प्रक्रिया को बहुत प्रभावी ढंग से नियोजित किया जा सकता है और एक वैकल्पिक कार्यात्मक अभिन्न प्रतिनिधित्व की ओर ले जाता है, जिसे गॉसियन समकक्ष प्रतिनिधित्व (जीईआर) कहा जाता है। उन्होंने दिखाया कि प्रक्रिया विश्लेषणात्मक गड़बड़ी की गणना के लिए महत्वपूर्ण रूप से बेहतर अभिसरण गुणों के साथ कार्यात्मक समाकलन प्रदान करती है। बाद के कार्यों में बेयरले एट अल। टैडपोल पुनर्निर्धारण प्रक्रिया के आधार पर प्रभावी कम लागत वाले सन्निकटन विधियों का विकास किया गया है, जो प्रोटोटाइप पॉलिमर और पी. ई. समाधानों (बेयुर्ले 2006ए, बेयुर्ले 2006बी, बेयुर्ले 2007ए) के लिए उपयोगी परिणाम देते हैं। संख्यात्मक अनुकरण एक अन्य संभावना मोंटे कार्लो (एमसी) एल्गोरिदम का उपयोग करना और क्षेत्र-सैद्धांतिक सूत्रीकरण में पूर्ण विभाजन कार्य अभिन्न का नमूना लेना है। इसके परिणामस्वरूप होने वाली प्रक्रिया को एक बहुलक क्षेत्र-सैद्धांतिक अनुकरण कहा जाता है। हाल के एक काम में, हालांकि, बायर्ले ने प्रदर्शित किया कि तथाकथित संख्यात्मक संकेत समस्या (बायर्ले 2002) के कारण मूल क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व के संयोजन में एमसी नमूनाकरण अव्यवहारिक है। कठिनाई परिणामी वितरण फलन की जटिल और दोलनशील प्रकृति से संबंधित है, जो वांछित ऊष्मागतिकीय और संरचनात्मक मात्राओं के समूह औसत के खराब सांख्यिकीय अभिसरण का कारण बनती है। ऐसे मामलों में सांख्यिकीय अभिसरण में तेजी लाने के लिए विशेष विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक तकनीकों की आवश्यकता होती है (बेयरले 2003, बेयरले 2003ए, बेयरले 2004)। माध्य क्षेत्र प्रतिनिधित्व पद्धति को गणना के लिए उपयुक्त बनाने के लिए, बायर्ले ने कॉची के समाकलन प्रमेय का उपयोग करके सजातीय एम. एफ. समाधान के माध्यम से विभाजन फलन समाकलन के समोच्च को स्थानांतरित करने का प्रस्ताव रखा, जो इसके तथाकथित माध्य-क्षेत्र प्रतिनिधित्व प्रदान करता है। इस रणनीति को पहले बेयर एट अल द्वारा सफलतापूर्वक नियोजित किया गया था। क्षेत्र-सैद्धांतिक इलेक्ट्रॉनिक संरचना गणना में (बेयर 1998)। बेयुर्ले यह प्रदर्शित कर सकता है कि यह तकनीक एमसी नमूनाकरण प्रक्रिया (बेयुर्ले 2002, बेयुर्ले 2002ए) में समूह औसत के सांख्यिकीय अभिसरण का एक महत्वपूर्ण त्वरण प्रदान करती है। गौसी समकक्ष प्रतिनिधित्व बाद के कार्यों में बेयरले एट अल। (बेयुर्ले 2002, बेयुर्ले 2002ए, बेयुर्ले 2003, बेयुर्ले 2003ए, बेयुर्ले 2004) ने टैडपोल रीनोर्मलाइजेशन की अवधारणा को लागू किया, जिससे ग्रैंड कैनोनिकल एन्सेम्बल में उन्नत एमसी तकनीकों के संयोजन में विभाजन फ़ंक्शन इंटीग्रल के गॉसियन समकक्ष प्रतिनिधित्व की ओर अग्रसर किया गया। वे आश्वस्त रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं कि यह रणनीति वांछित समूह औसत (बेयुरले 2002) के सांख्यिकीय अभिसरण में एक और बढ़ावा प्रदान करती है। संदर्भ बाहरी लिंक उन्नत सामग्री सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांतों के सिद्धांत और गणना पर रेगेन्सबर्ग विश्वविद्यालय अनुसंधान समूह