Matrix differential equation
विभेदक समीकरण एक या कई चरों के अज्ञात फलन के लिए एक गणितीय समीकरण है जो स्वयं फलन के मूल्यों और विभिन्न क्रमों के उसके व्युत्पन्नों से संबंधित है। एक मैट्रिक्स विभेदक समीकरण में वेक्टर रूप में ढेर किए गए एक से अधिक कार्य होते हैं, जिसमें एक मैट्रिक्स होता है जो कार्यों को उनके व्युत्पन्न से संबंधित करता है। उदाहरण के लिए, एक प्रथम-क्रम मैट्रिक्स साधारण विभेदक समीकरण वह है जहाँ एक अंतर्निहित चर के कार्यों का एक सदिश है, इन कार्यों के पहले व्युत्पन्न का सदिश है, और गुणांक का एक मैट्रिक्स है। जिस स्थिति में स्थिरांक है और इसमें n रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर हैं, इस विभेदक समीकरण का निम्नलिखित सामान्य समाधान है, जहां A के आइगेनवैल्यू हैं; A के संबंधित आइगेनवेक्टर हैं; और स्थिरांक हैं। अधिक आम तौर पर, यदि इसके समाकलन के साथ आवागमन होता है तो मैग्नस विस्तार अग्रणी क्रम में कम हो जाता है, और विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान यह है कि एक स्थिर सदिश कहाँ है। केले-हैमिल्टन प्रमेय और वेंडरमोंडे-प्रकार के मैट्रिक्स के उपयोग से, इस औपचारिक मैट्रिक्स घातीय समाधान को एक सरल रूप में कम किया जा सकता है। नीचे, यह समाधान पुटज़र के एल्गोरिथ्म के संदर्भ में प्रदर्शित किया गया है। मैट्रिक्स प्रणाली की स्थिरता और स्थिर स्थिति n × 1 पैरामीटर स्थिर सदिश b के साथ मैट्रिक्स समीकरण स्थिर है यदि और केवल तभी जब स्थिर मैट्रिक्स A के सभी आईगन मानों में एक नकारात्मक वास्तविक भाग हो। स्थिर अवस्था x * जिसमें यह स्थिर होने पर अभिसरण करता है, सेटिंग द्वारा पाया जाता है इस प्रकार ए को व्युत्क्रमणीय मानते हुए उपज देता है। इस प्रकार, मूल समीकरण को स्थिर अवस्था से विचलन के संदर्भ में सजातीय रूप में लिखा जा सकता है, इसे व्यक्त करने का एक समतुल्य तरीका यह है कि x * असमरूप समीकरण का एक विशेष समाधान है, जबकि सभी समाधान सजातीय समीकरण (b = 0) के समाधान के रूप में हैं। दो-अवस्था-चर मामले की स्थिरता n = 2 मामले में (दो अवस्था चर के साथ), स्थिरता की स्थिति कि संक्रमण मैट्रिक्स A के दो आईगन मानों में से प्रत्येक का एक नकारात्मक वास्तविक भाग है, इस शर्त के बराबर है कि A का निशान नकारात्मक हो और इसका निर्धारक सकारात्मक हो। मैट्रिक्स के रूप में समाधान के औपचारिक समाधान में मैट्रिक्स घातीय रूप का मूल्यांकन कई तकनीकों में से किसी का उपयोग करके किया जाता है। कंप्यूटिंग के लिए पुटज़र एल्गोरिदम आइगेनवैल्यू के साथ एक मैट्रिक्स ए दिया गया है, जहां के लिए समीकरण सरल प्रथम क्रम के असमान ODE हैं। ध्यान दें कि एल्गोरिथ्म के लिए यह आवश्यक नहीं है कि मैट्रिक्स ए विकर्णनीय हो और सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले जॉर्डन कैनॉनिकल रूपों की जटिलताओं को दरकिनार कर दे। एक मैट्रिक्स साधारण विभेदक समीकरण का विघटित उदाहरण दो कार्यों x (t) और y (t) में एक प्रथम-क्रम सजातीय मैट्रिक्स साधारण विभेदक समीकरण, जब मैट्रिक्स रूप से लिया जाता है, तो इसका निम्नलिखित रूप होता हैः जहाँ,, और कोई भी मनमाने स्केलर हो सकते हैं। उच्च क्रम मैट्रिक्स ODE में बहुत अधिक जटिल रूप हो सकता है। विघटित मैट्रिक्स साधारण विभेदक समीकरणों को हल करना उपरोक्त समीकरणों को हल करने और इस विशेष क्रम और रूप के आवश्यक कार्यों को खोजने की प्रक्रिया में 3 मुख्य चरण होते हैं। इनमें से प्रत्येक चरण का संक्षिप्त विवरण नीचे दिया गया हैः आईगेनवैल्यूज का पता लगाना आईगेनवेक्टर्स का पता लगाना आवश्यक कार्यों का पता लगाना इस प्रकार के साधारण विभेदक समीकरणों को हल करने में अंतिम, तीसरा कदम आमतौर पर पिछले दो चरणों में गणना किए गए मूल्यों को एक विशेष सामान्य रूप समीकरण में जोड़कर किया जाता है, जिसका उल्लेख इस लेख में बाद में किया गया है। मैट्रिक्स ODE का हल किया गया उदाहरण एक मैट्रिक्स ODE को ऊपर वर्णित तीन चरणों के अनुसार हल करने के लिए, प्रक्रिया में सरल मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए, आइए हम पहले क्रम के निम्नलिखित सजातीय रैखिक विभेदक समीकरण में एकल स्वतंत्र चर के संदर्भ में एक फलन और एक फलन दोनों को ढूंढें, इस विशेष साधारण विभेदक समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए, समाधान प्रक्रिया के किसी बिंदु पर, हमें दो प्रारंभिक मूल्यों (प्रारंभिक बिंदु पर दो अवस्था चर के अनुरूप) के एक समूह की आवश्यकता होगी। इस मामले में, हम चुनते हैं। पहला कदम पहला कदम, जिसका पहले ही उल्लेख किया जा चुका है, व्युत्पन्न संकेतन x′ आदि में A के आइगेनवैल्यूज का पता लगाना है। ऊपर के वैक्टरों में से एक में देखा गया है जिसे लैग्रेंज के संकेतन के रूप में जाना जाता है (पहली बार जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया था। यह पिछले समीकरण में उपयोग किए गए व्युत्पन्न संकेतन dx/dt के बराबर है, जिसे गॉटफ्राइड लीबनिज़ के नाम का सम्मान करते हुए लीबनिज़ के संकेतन के रूप में जाना जाता है।) एक बार जब दो चरों के गुणांक ऊपर प्रदर्शित मैट्रिक्स रूप ए में लिखे जाते हैं, तो कोई भी आइगेनवैल्यू का मूल्यांकन कर सकता है। उस अंत तक, मैट्रिक्स का निर्धारक तब बनता है जब एक पहचान मैट्रिक्स, जिसे किसी स्थिरांक से गुणा किया जाता है, को उपरोक्त गुणांक मैट्रिक्स से घटाकर उसकी विशेषता बहुपद प्राप्त की जाती है, और उसके शून्य के लिए हल किया जाता है। एक एकल 2 × 2 मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने के नियमों को लागू करते हुए, निम्नलिखित प्राथमिक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिसे उपरोक्त का एक सरल संस्करण प्राप्त करने के लिए और कम किया जा सकता है, अब दो मूलों को ढूंढना, और गुणनखंडन विधि को लागू करके दिए गए द्विघात समीकरण से प्राप्त होता है। कुछ मामलों में, अन्य मैट्रिक्स ODE के अनुसार, आइगेनवैल्यू जटिल हो सकते हैं, इस मामले में हल करने की प्रक्रिया का अगला चरण, साथ ही अंतिम रूप और समाधान, नाटकीय रूप से बदल सकते हैं। दूसरा चरण जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस चरण में मूल रूप से प्रदान की गई जानकारी से ए के आइगेनवेक्टर्स का पता लगाना शामिल है। गणना किए गए प्रत्येक आइगेनवैल्यू के लिए, हमारे पास एक अलग आइगेनवेक्टर है। पहले आइगेनवैल्यू के लिए, जो कि है, हमने मूल मैट्रिक्स गुणन नियमों को लागू करके उपरोक्त अभिव्यक्ति को सरल बनाया है, ये सभी गणनाएं केवल अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की गई हैं, जो हमारे मामले में है। अब कुछ मनमाना मूल्य लेते हुए, संभवतः, एक छोटा महत्वहीन मूल्य, जिसके साथ काम करना बहुत आसान है, या (ज्यादातर मामलों में, यह वास्तव में मायने नहीं रखता है), हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं। ऐसा करने से एक सरल सदिश उत्पन्न होता है, जो इस विशेष आइगेनवैल्यू के लिए आवश्यक आइगेनवेक्टर है। हमारे मामले में, हम चुनते हैं, जो बदले में यह निर्धारित करता है और, मानक वेक्टर संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारा वेक्टर ऐसा लगता है जैसे हमने गणना किए गए दूसरे आइगेनवैल्यू का उपयोग करके एक ही ऑपरेशन कर रहे हैं, जो है, हम अपना दूसरा आइगेनवेक्टर प्राप्त करते हैं। इस वेक्टर को काम करने की प्रक्रिया नहीं दिखाई गई है, लेकिन अंतिम परिणाम तीसरा चरण है यह अंतिम चरण आवश्यक कार्यों को ढूंढता है जो मूल रूप से हमें दिए गए व्युत्पन्न के पीछे 'छिपे हुए' हैं। दो कार्य हैं, क्योंकि हमारे अवकल समीकरण दो चरों से संबंधित हैं। जिस समीकरण में जानकारी के सभी टुकड़े शामिल हैं जो हमने पहले पाए हैं, उसका निम्नलिखित रूप हैः आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने से उपज मिलती है आगे सरलीकरण लागू करना, आगे सरलीकरण करना और कार्यों के लिए समीकरण लिखना और अलग से, उपरोक्त समीकरण वास्तव में, सामान्य कार्य हैं, लेकिन वे अपने सामान्य रूप में हैं (और के अनिर्दिष्ट मूल्यों के साथ), जबकि हम वास्तव में उनके सटीक रूप और समाधान खोजना चाहते हैं। तो अब हम समस्या की दी गई प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करते हैं (दी गई प्रारंभिक स्थितियों सहित समस्या तथाकथित प्रारंभिक मूल्य समस्या है)। मान लीजिए कि हमें दिया गया है, जो हमारे साधारण अवकल समीकरण के लिए प्रारंभिक बिंदु की भूमिका निभाता है; इन शर्तों का अनुप्रयोग स्थिरांक को निर्दिष्ट करता है, और। जैसा कि हम स्थितियों से देखते हैं, जब उपरोक्त समीकरणों की बाईं भुजाएँ 1 के बराबर होती हैं। इस प्रकार हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का निर्माण कर सकते हैं, इन समीकरणों को हल करते हुए, हम पाते हैं कि दोनों स्थिरांक और बराबर 1/3 हैं। इसलिए इन मूल्यों को इन दो कार्यों के सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने से उनके सटीक रूप निर्दिष्ट होते हैं, दोनों कार्यों की मांग की जाती है। मैट्रिक्स घातांक का उपयोग करना उपरोक्त समस्या को मैट्रिक्स घातांक के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से हल किया जा सकता था। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि यह देखते हुए कि (जिसकी गणना किसी भी उपयुक्त उपकरण का उपयोग करके की जा सकती है, जैसे कि MATLAB का expm उपकरण, या मैट्रिक्स विकर्णन करके और इस गुण का लाभ उठाते हुए कि एक विकर्ण मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक अपने तत्वों के तत्व-वार घातांक के समान है) अंतिम परिणाम यह है कि यह पहले दिखाए गए आइगेनवेक्टर दृष्टिकोण के समान है। गैर-सजातीय समीकरण भी देखें मैट्रिक्स अंतर समीकरण न्यूटन का शीतलन का नियम फिबोनाची अनुक्रम अंतर समीकरण तरंग समीकरण स्वायत्त प्रणाली (गणित) संदर्भ साधारण अंतर समीकरण