Homography
प्रोजेक्टिव ज्यामिति में, एक समरूपता प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान का एक समरूपता है, जो वेक्टर रिक्त स्थान के समरूपता से प्रेरित होती है जिससे प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान प्राप्त होते हैं। यह एक द्विभाजन है जो रेखाओं को रेखाओं से जोड़ता है, और इस प्रकार एक सम्मिश्रण है। सामान्य तौर पर, कुछ सम्मिश्रण समरूपता नहीं हैं, लेकिन प्रोजेक्टिव ज्यामिति का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि कम से कम दो आयामों के वास्तविक प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के मामले में ऐसा नहीं है। समानार्थक शब्दों में प्रोजेक्टिविटी, प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्मेशन और प्रोजेक्टिव कोलिनेशन शामिल हैं। ऐतिहासिक रूप से, समरूपता (और प्रोजेक्टिव स्पेस) को यूक्लिडियन ज्यामिति में परिप्रेक्ष्य और अनुमानों का अध्ययन करने के लिए पेश किया गया है, और समरूपता शब्द, जिसका, व्युत्पत्ति के अनुसार, मोटे तौर पर अर्थ "समान रेखाचित्र" है, इस समय से है। 19वीं शताब्दी के अंत में, प्रोजेक्टिव स्पेस की औपचारिक परिभाषाएं पेश की गईं, जो अनंत पर बिंदु जोड़कर यूक्लिडियन या एफ़ाइन स्पेस के विस्तार से अलग थीं। "प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्मेशन" शब्द की उत्पत्ति इन अमूर्त निर्माणों में हुई थी। ये निर्माण दो वर्गों में विभाजित हैं जिन्हें समतुल्य दिखाया गया है। एक प्रोजेक्टिव स्पेस का निर्माण किसी दिए गए क्षेत्र पर एक वेक्टर स्पेस की रेखाओं के सेट के रूप में किया जा सकता है (उपरोक्त परिभाषा इस संस्करण पर आधारित है); यह निर्माण प्रोजेक्टिव निर्देशांक की परिभाषा को सुविधाजनक बनाता है और समरूपता के अध्ययन के लिए रैखिक बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। वैकल्पिक दृष्टिकोण में स्वयंसिद्धों के एक समूह के माध्यम से प्रोजेक्टिव स्पेस को परिभाषित करना शामिल है, जिसमें स्पष्ट रूप से कोई क्षेत्र शामिल नहीं है (आपतन ज्यामिति, सिंथेटिक ज्यामिति भी देखें); इस संदर्भ में, समरूपता की तुलना में समरूपता को परिभाषित करना आसान है, और समरूपता को विशिष्ट समरूपता के रूप में परिभाषित किया जाता है, इस प्रकार "प्रोजेक्टिव समरूपता" कहा जाता है। सरलता के लिए, जब तक कि अन्यथा नहीं कहा गया है, इस लेख में विचार किए गए प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान को एक (कम्यूटेटिव) क्षेत्र पर परिभाषित किया जाना चाहिए। समान रूप से पैपस की षट्कोणीय प्रमेय और डेसारग्यूज की प्रमेय को सच माना जाता है। परिणामों का एक बड़ा हिस्सा सही रहता है, या प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसके लिए ये प्रमेय नहीं हैं। ज्यामितीय प्रेरणा ऐतिहासिक रूप से, होमोग्राफी की अवधारणा को दृश्य परिप्रेक्ष्य को समझने, समझाने और अध्ययन करने के लिए पेश किया गया था, और विशेष रूप से, विभिन्न दृष्टिकोणों से देखी जाने वाली दो समतल वस्तुओं की उपस्थिति में अंतर। त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक बिंदु O (केंद्र) से एक तल P पर एक केंद्रीय प्रक्षेपण जिसमें O नहीं होता है, वह मानचित्रण है जो रेखा OA और तल P के प्रतिच्छेदन (यदि यह मौजूद है) पर एक बिंदु A को भेजता है। प्रक्षेपण को परिभाषित नहीं किया जाता है यदि बिंदु A, O से गुजरने वाले तल से संबंधित है और P के समानांतर है। प्रोजेक्टिव स्पेस की धारणा मूल रूप से यूक्लिडियन स्थान का विस्तार करके, यानी O को छोड़कर प्रत्येक बिंदु के लिए प्रक्षेपण को परिभाषित करने के लिए, अनंत पर बिंदुओं को जोड़कर पेश की गई थी। एक अन्य तल Q को देखते हुए, जिसमें O नहीं है, उपरोक्त प्रक्षेपण के Q पर प्रतिबंध को परिप्रेक्ष्य कहा जाता है। इन परिभाषाओं के साथ, एक परिप्रेक्ष्य केवल एक आंशिक कार्य है, लेकिन यदि प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान तक विस्तारित किया जाता है तो यह एक बाइजेक्शन बन जाता है। इसलिए, इस धारणा को आम तौर पर प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए परिभाषित किया जाता है। इस धारणा को किसी भी आयाम के प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए, किसी भी क्षेत्र पर, निम्नलिखित तरीके से आसानी से सामान्यीकृत किया जाता हैः यदि f, P से Q तक की एक परिप्रेक्ष्य है, और g, एक अलग केंद्र के साथ, Q से P तक की परिप्रेक्ष्य है, तो P से अपने आप में एक समरूपता है, जिसे केंद्रीय संयोजन कहा जाता है, जब P का आयाम कम से कम दो होता है। (नीचे और देखें।) मूल रूप से, एक समरूपता को सीमित संख्या में दृष्टिकोण की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया था। यह प्रोजेक्टिव ज्यामिति के मौलिक प्रमेय का एक हिस्सा है (नीचे देखें) कि यह परिभाषा परिचय में चित्रित और नीचे विस्तृत अधिक बीजगणितीय परिभाषा के साथ मेल खाती है। सजातीय निर्देशांकों में परिभाषा और अभिव्यक्ति एक क्षेत्र K पर आयाम n के एक प्रोजेक्टिव स्पेस P (V) को आयाम के K-वेक्टर स्पेस V में मूल के माध्यम से रेखाओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि V का आधार निर्धारित किया गया है, तो V के एक बिंदु को Kn + 1 के बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है। पी (वी) का एक बिंदु, जो वी में एक रेखा है, इस प्रकार इस रेखा के किसी भी गैर-शून्य बिंदु के निर्देशांक द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें इस प्रकार प्रोजेक्टिव बिंदु के सजातीय निर्देशांक कहा जाता है। समान आयाम के दो प्रक्षेपात्मक रिक्त स्थान पी (वी) और पी (डब्ल्यू) को देखते हुए, एक समरूपता पी (वी) से पी (डब्ल्यू) तक का मानचित्रण है, जो सदिश रिक्त स्थान के समरूपता द्वारा प्रेरित होता है। इस तरह का समरूपता पी (वी) से पी (डब्ल्यू) तक एक द्विभाजन को प्रेरित करता है, क्योंकि एफ की रैखिकता के कारण। दो ऐसे समरूपता, एफ और जी, एक ही समरूपता को परिभाषित करते हैं यदि और केवल तभी जब के का एक गैर-शून्य तत्व ए ऐसा हो। इसे सजातीय निर्देशांकों के संदर्भ में निम्नलिखित तरीके से लिखा जा सकता हैः एक समलेखन φ को एक गैर-एकल मैट्रिक्स [एआइ, जे] द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जिसे समलेखन का मैट्रिक्स कहा जाता है। इस मैट्रिक्स को K के एक गैर-शून्य तत्व द्वारा गुणन तक परिभाषित किया जाता है। एक बिंदु के सजातीय निर्देशांक और φ द्वारा इसकी छवि के निर्देशांक इस प्रकार संबंधित होते हैं जब प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान को अनंत पर बिंदुओं को जोड़कर परिभाषित किया जाता है (प्रोजेक्टिव पूर्णता) तो पूर्ववर्ती सूत्र, एफ़ाइन निर्देशांक में बन जाते हैं, जो अगले खंड के समरूपी कार्य की अभिव्यक्ति को सामान्यीकृत करते हैं। यह केवल एफ़ाइन रिक्त स्थान के बीच एक आंशिक कार्य को परिभाषित करता है, जिसे केवल हाइपरप्लेन के बाहर परिभाषित किया जाता है जहां भाजक शून्य होता है। एक प्रक्षेप्य रेखा की समरूपता एक क्षेत्र K पर प्रक्षेप्य रेखा को K और एक बिंदु के संयोजन के साथ पहचाना जा सकता है, जिसे "अनंत पर बिंदु" कहा जाता है और φ द्वारा दर्शाया जाता है (प्रक्षेप्य रेखा देखें)। प्रोजेक्टिव लाइन के इस प्रतिनिधित्व के साथ, होमोग्राफी मैपिंग हैं जिन्हें होमोग्राफिक फ़ंक्शन या रैखिक आंशिक परिवर्तन कहा जाता है। जटिल प्रक्षेपात्मक रेखा के मामले में, जिसे रीमान क्षेत्र के साथ पहचाना जा सकता है, समरूपताओं को मोबियस परिवर्तन कहा जाता है। ये रीमान क्षेत्र के उन द्विभाजनों के साथ सटीक रूप से मेल खाते हैं जो अभिविन्यास को संरक्षित करते हैं और अनुरूप होते हैं। संरेखण के अध्ययन में, लघु आयाम के कारण प्रक्षेपात्मक रेखाओं का मामला विशेष है। जब रेखा को पृथक रूप में एक प्रोजेक्टिव स्थान के रूप में देखा जाता है, तो प्रोजेक्टिव रेखा के बिंदुओं का कोई भी क्रमपरिवर्तन एक संरेखण होता है, क्योंकि बिंदुओं का प्रत्येक सेट संरेखीय होता है। हालाँकि, यदि प्रोजेक्टिव रेखा एक उच्च-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में अंतर्निहित है, तो उस स्थान की ज्यामितीय संरचना का उपयोग रेखा पर एक ज्यामितीय संरचना लागू करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, कृत्रिम ज्यामिति में, जिन समरूपताओं और प्रोजेक्टिव रेखा के समरूपताओं पर विचार किया जाता है, वे उच्च आयाम के रिक्त स्थान की समरूपताओं और समरूपताओं की रेखा के प्रतिबंधों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। इसका मतलब है कि प्रोजेक्टिव ज्यामिति का मौलिक प्रमेय (नीचे देखें) एक-आयामी सेटिंग में मान्य रहता है। एक प्रोजेक्टिव रेखा की समरूपता को इस बात पर जोर देकर भी ठीक से परिभाषित किया जा सकता है कि मानचित्रण क्रॉस-अनुपात को संरक्षित करता है। प्रोजेक्टिव फ्रेम और निर्देशांक आयाम के प्रोजेक्टिव स्थान का एक प्रोजेक्टिव फ्रेम या प्रोजेक्टिव आधार बिंदुओं का एक क्रमबद्ध समूह है जिसमें किसी भी हाइपरप्लेन में वे नहीं होते हैं। एक प्रोजेक्टिव फ्रेम को कभी-कभी सिम्प्लेक्स कहा जाता है, हालांकि आयाम के स्थान में एक सिम्प्लेक्स में अधिकांश शीर्ष होते हैं। इस खंड में एक कम्यूटेटिव क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान पर विचार किया जाता है, हालांकि अधिकांश परिणामों को एक विभाजन रिंग पर प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए कि यह आयाम का एक प्रोजेक्टिव स्पेस है, जहां आयाम का एक-वेक्टर स्पेस है, और कैनॉनिकल प्रोजेक्शन है जो एक गैर-शून्य वेक्टर को वेक्टर रेखा के लिए मैप करता है जिसमें यह शामिल है। के प्रत्येक फ्रेम के लिए, इस तरह का एक आधार मौजूद है कि फ्रेम है और यह आधार इसके सभी तत्वों के समान गैर-शून्य तत्व द्वारा गुणा करने तक अद्वितीय है। इसके विपरीत, यदि इसका आधार है, तो इसका एक फ्रेम है। इसके बाद, दो फ्रेम दिए गए हैं, तो ठीक एक होमोग्राफी है जो पहले वाले को दूसरे पर मैप करती है। विशेष रूप से, एक फ्रेम के बिंदुओं को ठीक करने वाली एकमात्र समरूपता पहचान मानचित्र है। यह परिणाम सिंथेटिक ज्यामिति में बहुत अधिक कठिन है (जहां प्रोजेक्टिव स्पेस को स्वयंसिद्ध के माध्यम से परिभाषित किया जाता है)। इसे कभी-कभी प्रोजेक्टिव ज्यामिति का पहला मौलिक प्रमेय कहा जाता है। प्रत्येक फ्रेम प्रोजेक्टिव निर्देशांक को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिसे सजातीय निर्देशांक के रूप में भी जाना जाता हैः प्रत्येक बिंदु को इस रूप में लिखा जा सकता है; इस फ्रेम पर प्रोजेक्टिव निर्देशांक आधार पर निर्देशांक हैं यह सत्यापित करना मुश्किल नहीं है कि और, फ्रेम और न ही पी (वी) को बदले बिना, प्रोजेक्टिव निर्देशांक को के के समान गैर-शून्य तत्व से गुणा करने में परिणाम देता है। प्रोजेक्टिव स्पेस में एक कैनॉनिकल फ्रेम होता है जिसमें छवि के कैनॉनिकल आधार (जिसमें केवल एक गैर-शून्य प्रविष्टि वाले तत्व होते हैं, जो 1 के बराबर होता है), और। इस आधार पर, के सजातीय निर्देशांक केवल टुपल की प्रविष्टियाँ (गुणांक) हैं। एक ही आयाम के एक अन्य प्रोजेक्टिव स्थान और उसके एक फ्रेम को देखते हुए, एक और केवल एक होमोग्राफी मैपिंग है। फ्रेम पर एक बिंदु के प्रोजेक्टिव निर्देशांक के कैनॉनिकल फ्रेम पर के सजातीय निर्देशांक हैं। उपरोक्त खंडों में, समरूपताओं को रैखिक बीजगणित के माध्यम से परिभाषित किया गया है। कृत्रिम ज्यामिति में, उन्हें पारंपरिक रूप से एक या कई विशेष समरूपताओं की संरचना के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें केंद्रीय संयोजन कहा जाता है। यह प्रोजेक्टिव ज्यामिति के मौलिक प्रमेय का एक हिस्सा है कि दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। एक प्रोजेक्टिव स्पेस में, पी, आयाम का, पी का एक संरेखण पी से पी पर एक द्विभाजन है जो रेखाओं पर रेखाओं का मानचित्रण करता है। एक केंद्रीय संयोजन (पारंपरिक रूप से इन्हें परिप्रेक्ष्य कहा जाता था, लेकिन यह शब्द भ्रमित करने वाला हो सकता है, जिसका एक और अर्थ हो सकता है; परिप्रेक्ष्य देखें) पी से पी तक एक द्विभाजन α है, जैसे कि एक हाइपरप्लेन एच मौजूद है (जिसे α का अक्ष कहा जाता है), जो α द्वारा बिंदु की दिशा में तय किया जाता है (यानी, H में सभी बिंदुओं X के लिए) और एक बिंदु O (जिसे α का केंद्र कहा जाता है), जिसे α द्वारा रैखिक रूप से तय किया जाता है (O के माध्यम से किसी भी रेखा को α द्वारा खुद को मैप किया जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि बिंदु की दिशा में)। केंद्रीय संरेखण दो प्रकार के होते हैं। इलशन केंद्रीय संरेखण हैं जिनमें केंद्र अक्ष के साथ आपतित होता है और समरूपता वे हैं जिनमें केंद्र अक्ष के साथ आपतित नहीं होता है। एक केंद्रीय संरेखण को विशिष्ट रूप से इसके केंद्र, इसकी धुरी और किसी भी दिए गए बिंदु P की छवि α (P) द्वारा परिभाषित किया जाता है जो केंद्र O से भिन्न होता है और अक्ष से संबंधित नहीं होता है। (किसी भी अन्य बिंदु क्यू की छवि ओ और क्यू द्वारा परिभाषित रेखा का प्रतिच्छेदन है और α (पी) से गुजरने वाली रेखा और पी और क्यू द्वारा परिभाषित रेखा के अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन है।) एक केंद्रीय समरूपता एक समरूपता है जिसे एक (एन + 1) × (एन + 1) मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है जिसमें आयाम एन का एक आइगेनस्पेस है। यह एक समरूपता है, यदि मैट्रिक्स में एक और आइगेनवैल्यू है और इसलिए विकर्णनीय है। यह एक उल्लास है, यदि सभी आईगन मान समान हैं और मैट्रिक्स विकर्ण नहीं है। एक केंद्रीय संरेखण का ज्यामितीय दृश्य एक प्रोजेक्टिव प्लेन में देखना सबसे आसान है। एक केंद्रीय संरेखण α को देखते हुए, एक ऐसी रेखा पर विचार करें जो केंद्र O से नहीं गुजरती है, और इसकी छवि α के नीचे है। सेटिंग में, α का अक्ष कुछ रेखा M से R तक है। α के नीचे के किसी भी बिंदु A की छवि OA का प्रतिच्छेदन है। एक बिंदु B की छवि B′ जो संबंधित नहीं है, का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता हैः मान लीजिए। दो केंद्रीय संयोजनों की संरचना, जबकि अभी भी सामान्य रूप से एक समरूपता है, एक केंद्रीय संयोजन नहीं है। वास्तव में, प्रत्येक समरूपता सीमित संख्या में केंद्रीय संयोजनों की संरचना है। कृत्रिम ज्यामिति में, यह गुण, जो प्रोजेक्टिव ज्यामिति के मौलिक सिद्धांत का एक हिस्सा है, को समरूपता की परिभाषा के रूप में लिया जाता है। प्रोजेक्टिव ज्यामिति की मौलिक प्रमेय समरूपताओं के अलावा संरेखण भी हैं। विशेष रूप से, एक क्षेत्र F का कोई भी क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म σ एक बिंदु के सभी सजातीय निर्देशांकों (एक प्रोजेक्टिव फ्रेम पर) पर σ लागू करके F पर प्रत्येक प्रोजेक्टिव स्पेस का एक संयोजन प्रेरित करता है। इन सम्मिश्रणों को ऑटोमोर्फिक सम्मिश्रण कहा जाता है। प्रोजेक्टिव ज्यामिति के मौलिक प्रमेय में निम्नलिखित तीन प्रमेय शामिल हैं। एक प्रोजेक्टिव स्पेस पी के दो प्रोजेक्टिव फ्रेम को देखते हुए, पी की बिल्कुल एक समरूपता है जो पहले फ्रेम को दूसरे पर मैप करती है। यदि एक प्रोजेक्टिव स्पेस पी का आयाम कम से कम दो है, तो पी का प्रत्येक संरेखण एक ऑटोमोर्फिक संरेखण और एक समरूपता की संरचना है। विशेष रूप से, वास्तविक पर, कम से कम दो आयामों के प्रोजेक्टिव स्पेस का प्रत्येक सम्मिश्रण एक समरूपता है। प्रत्येक समलेखन एक सीमित संख्या में दृष्टिकोण की संरचना है। विशेष रूप से, यदि निहित प्रोजेक्टिव स्पेस का आयाम कम से कम दो है, तो प्रत्येक समरूपता केंद्रीय संयोजनों की एक सीमित संख्या की संरचना है। यदि प्रोजेक्टिव स्पेस को स्वयंसिद्ध (सिंथेटिक ज्यामिति) के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तो तीसरा भाग केवल एक परिभाषा है। दूसरी ओर, यदि प्रोजेक्टिव स्पेस को रैखिक बीजगणित के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तो पहला भाग परिभाषाओं का एक आसान परिणाम है। इसलिए, कृत्रिम ज्यामिति में पहले भाग का प्रमाण, और रैखिक बीजगणित के संदर्भ में तीसरे भाग का प्रमाण दोनों प्रोजेक्टिव स्पेस को परिभाषित करने के दो तरीकों की समानता के प्रमाण के मौलिक चरण हैं। होमोग्राफी समूह चूंकि प्रत्येक होमोग्राफी में एक व्युत्क्रम मानचित्रण होता है और दो होमोग्राफी की संरचना दूसरी होती है, इसलिए किसी दिए गए प्रोजेक्टिव स्पेस की होमोग्राफी एक समूह बनाती है। उदाहरण के लिए, मोबियस समूह किसी भी जटिल प्रोजेक्टिव रेखा का होमोग्राफी समूह है। चूँकि एक ही क्षेत्र पर एक ही आयाम के सभी प्रोजेक्टिव स्पेस समरूप हैं, इसलिए उनके समरूपता समूहों के लिए भी यही सच है। इसलिए उन्हें कई स्थानों पर कार्य करने वाले एकल समूह के रूप में माना जाता है, और केवल आयाम और क्षेत्र संकेतन में दिखाई देते हैं, न कि विशिष्ट प्रोजेक्टिव स्थान में। होमोग्राफी समूहों को प्रोजेक्टिव रैखिक समूह भी कहा जाता है जब वे एक क्षेत्र एफ पर आयाम एन के प्रोजेक्टिव स्थान पर कार्य करते हैं। होमोग्राफी की उपरोक्त परिभाषा से पता चलता है कि भागफल समूह के लिए पहचाना जा सकता है, जहां व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का सामान्य रैखिक समूह है, और एफ × आई आकार के पहचान मैट्रिक्स के एफ के गैर-शून्य तत्व द्वारा उत्पादों का समूह है। जब F एक गैलोइस क्षेत्र GF (q) है तो समरूपता समूह लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, परिमित क्षेत्र जी. एफ. (7) पर प्रोजेक्टिव रेखा में आठ बिंदुओं पर कार्य करता है, जबकि, जो वैकल्पिक समूह ए5 के लिए समरूप है, पांच बिंदुओं के साथ प्रोजेक्टिव रेखा का समरूपता समूह है। समलेखन समूह आयाम एन के प्रोजेक्टिव स्पेस के कोलिनेशन के कोलिनेशन समूह का एक उपसमूह है। जब प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदुओं और रेखाओं को एक ब्लॉक डिज़ाइन के रूप में देखा जाता है, जिनके ब्लॉक एक रेखा में निहित बिंदुओं के सेट होते हैं, तो कोलिनेशन समूह को डिज़ाइन का ऑटोमोर्फिज्म समूह कहना आम बात है। चार संरेखीय बिंदुओं का क्रॉस-अनुपात समरूपता के तहत एक अपरिवर्तनीय है जो रेखाओं के समरूपता के अध्ययन के लिए मौलिक है। तीन अलग-अलग बिंदु, और एक क्षेत्र के ऊपर एक प्रोजेक्टिव रेखा पर इस रेखा का एक प्रोजेक्टिव फ्रेम बनाते हैं। इसलिए उस नक्शे पर इस रेखा की एक अनूठी समरूपता है जो 0 और 1 तक है। एक ही रेखा पर एक चौथे बिंदु को देखते हुए, चार बिंदुओं का क्रॉस-अनुपात, और, निरूपित, का तत्व है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रोजेक्टिव फ्रेम पर सजातीय निर्देशांक हैं, तो। मान लीजिए कि ए एक रिंग है और यू इसकी इकाइयों का समूह है। होमोग्राफी ए, लिखित पी (ए) पर एक प्रोजेक्टिव रेखा पर कार्य करती है, जिसमें प्रोजेक्टिव निर्देशांक वाले बिंदु होते हैं। पी (ए) पर होमोग्राफी को मैट्रिक्स मानचित्रण द्वारा वर्णित किया जाता है जब ए एक कम्यूटेटिव रिंग है, तो होमोग्राफी लिखी जा सकती है लेकिन अन्यथा रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन को एक समतुल्यता के रूप में देखा जाता हैः पूर्णांक जेड के रिंग का होमोग्राफी समूह मॉड्यूलर समूह है। चतुर्धातुक विश्लेषण में रिंग होमोग्राफी का उपयोग किया गया है, और पेंच सिद्धांत को सुविधाजनक बनाने के लिए दोहरे चतुर्धातुकों के साथ। स्पेसटाइम के अनुरूप समूह को समरूपताओं के साथ दर्शाया जा सकता है जहाँ ए द्विघातों का रचना बीजगणित है। आवधिक समरूपता समरूपता आवधिक होती है जब वलय Z/nZ (पूर्णांक मॉड्यूलो n) होता है तब से आर्थर केले को आवधिकता में रुचि थी जब उन्होंने 1879 में पुनरावृत्तियों की गणना की थी। समलेखन की आवधिकता के लिए एक क्रूर बल दृष्टिकोण की अपनी समीक्षा में, एच. एस. एम. कॉक्सेटर ने यह विश्लेषण दियाः एक वास्तविक समलेखन अनैच्छिक (अवधि 2 का) है यदि और केवल यदि। यदि यह अवधि के साथ आवधिक है, तो यह अण्डाकार है, और ऐसा मानने से व्यापकता का कोई नुकसान नहीं होता है। चूँकि विशिष्ट जड़ें एक्सप (±hπi/m) हैं, जहाँ, निशान है। डब्ल्यू-कर्व नोट्स संदर्भ भी देखें, जिसका अनुवाद एम. कोल और एस. लेवी द्वारा 1977 के फ्रांसीसी मूल से किया गया था, 1987 के अंग्रेजी अनुवाद की चौथी छपाई आगे पढ़ने के लिए पैट्रिक डू वैल (1964) होमोग्राफी, क्वाटर्नियन और रोटेशन, ऑक्सफोर्ड गणितीय मोनोग्राफ, क्लेरेंडन प्रेस, ऑक्सफोर्ड। गुंटर इवाल्ड (1971) ज्यामितिः एक परिचय, पृष्ठ 263, बेलमॉन्टः वाड्सवर्थ पब्लिशिंग। बाहरी लिंक प्रोजेक्टिव ज्यामिति परिवर्तन (कार्य)