Thomas–Fermi model
थॉमस-फर्मी (टी. एफ.) मॉडल, जिसका नाम लेवेलिन थॉमस और एनरिको फर्मी के नाम पर रखा गया है, श्रोडिंगर समीकरण की शुरुआत के तुरंत बाद अर्धशास्त्रीय रूप से विकसित कई-शरीर प्रणालियों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के लिए एक क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत है। यह तरंग फलन सिद्धांत से अलग है क्योंकि इसे केवल इलेक्ट्रॉनिक घनत्व के संदर्भ में तैयार किया जा रहा है और इस तरह इसे आधुनिक घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के अग्रदूत के रूप में देखा जाता है। थॉमस-फर्मी मॉडल केवल एक अनंत परमाणु आवेश की सीमा में सही है। यथार्थवादी प्रणालियों के लिए सन्निकटन का उपयोग करने से खराब मात्रात्मक भविष्यवाणियां प्राप्त होती हैं, यहां तक कि घनत्व की कुछ सामान्य विशेषताओं जैसे परमाणुओं में खोल संरचना और ठोस पदार्थों में फ्रीडेल दोलनों को पुनः उत्पन्न करने में विफल रहती हैं। हालाँकि, इसने विश्लेषणात्मक रूप से गुणात्मक रुझानों को निकालने की क्षमता के माध्यम से और मॉडल को आसानी से हल करने के माध्यम से कई क्षेत्रों में आधुनिक अनुप्रयोग पाए हैं। थॉमस-फर्मी सिद्धांत की गतिज ऊर्जा अभिव्यक्ति का उपयोग आधुनिक कक्षीय-मुक्त घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के भीतर गतिज ऊर्जा के अधिक परिष्कृत घनत्व सन्निकटन में एक घटक के रूप में भी किया जाता है। स्वतंत्र रूप से काम करते हुए, थॉमस और फर्मी ने 1927 में एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए इस सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग किया। हालांकि इलेक्ट्रॉनों को एक परमाणु में गैर-समान रूप से वितरित किया जाता है, एक अनुमान लगाया गया था कि इलेक्ट्रॉनों को प्रत्येक छोटे आयतन तत्व में समान रूप से वितरित किया जाता है। स्थानीय रूप से) लेकिन इलेक्ट्रॉन घनत्व अभी भी एक छोटे आयतन तत्व से दूसरे में भिन्न हो सकता है। गतिज ऊर्जा एक छोटे आयतन तत्व के लिए, और परमाणु के लिए इसकी जमीनी अवस्था में, हम एक गोलाकार संवेग अंतरिक्ष आयतन VF को फर्मी संवेग pF तक भर सकते हैं, और इस प्रकार, δV में एक बिंदु का स्थिति सदिश कहाँ है। संबंधित चरण अंतरिक्ष आयतन है δVph में इलेक्ट्रॉनों को इस चरण अंतरिक्ष आयतन के दो इलेक्ट्रॉनों प्रति एच3 के साथ समान रूप से वितरित किया जाता है, जहां एच प्लैंक का स्थिरांक है। फिर αVph में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है αV में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है जहाँ इलेक्ट्रॉन संख्या घनत्व है। द्रव्यमान के साथ एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के लिए शास्त्रीय अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, परमाणु के इलेक्ट्रॉनों के लिए प्रति इकाई आयतन पर गतिज ऊर्जा है, जहां संबंधित पिछली अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया है और, सभी स्थान पर प्रति इकाई आयतन में गतिज ऊर्जा को एकीकृत करने से, इलेक्ट्रॉनों की कुल गतिज ऊर्जा में परिणाम मिलता है, यह परिणाम दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉनों की कुल गतिज ऊर्जा को थॉमस-फर्मी मॉडल के अनुसार केवल स्थानिक रूप से भिन्न इलेक्ट्रॉन घनत्व के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, वे परमाणु-इलेक्ट्रॉन और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतःक्रियाओं के लिए शास्त्रीय अभिव्यक्तियों के साथ संयुक्त गतिज ऊर्जा के लिए इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके एक परमाणु की ऊर्जा की गणना करने में सक्षम थे (जिसे दोनों को इलेक्ट्रॉन घनत्व के संदर्भ में भी दर्शाया जा सकता है)। एक परमाणु के इलेक्ट्रॉनों की स्थितिज ऊर्जा, सकारात्मक रूप से आवेशित नाभिक के विद्युत आकर्षण के कारण होती है, जहां एक इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा नाभिक के विद्युत क्षेत्र के कारण होती है। चार्ज Z पर केंद्रित एक नाभिक के मामले में, जहां Z एक सकारात्मक पूर्णांक है और e प्राथमिक आवेश है, उनके पारस्परिक विद्युत प्रतिकर्षण के कारण इलेक्ट्रॉनों की स्थितिज ऊर्जा है, कुल ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों की कुल ऊर्जा उनकी गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है, थॉमस-फर्मी समीकरण इलेक्ट्रॉनों की संख्या को स्थिर रखते हुए ऊर्जा E को कम करने के लिए, हम रूप का एक लैग्रेंज गुणक शब्द E जोड़ते हैं। यदि हम तब तक कुल विभव को परिभाषित करते हैं यदि नाभिक को मूल पर आवेश Z के साथ एक बिंदु माना जाता है, तो और दोनों केवल त्रिज्या के कार्य होंगे, और हम φ (r) को परिभाषित कर सकते हैं जहां a0 बोहर त्रिज्या है। उपरोक्त समीकरणों का उपयोग गॉस के नियम के साथ करने से, φ (r) को थॉमस-फर्मी समीकरण को संतुष्ट करने के लिए देखा जा सकता है रासायनिक विभव के लिए, यह एक तटस्थ परमाणु का एक मॉडल है, जिसमें एक अनंत आवेश बादल होता है जहां हर जगह शून्य नहीं होता है और समग्र आवेश शून्य होता है, जबकि μ <0 के लिए, यह एक धनात्मक आयन का एक मॉडल है, जिसमें एक सीमित आवेश बादल और धनात्मक समग्र आवेश होता है। बादलों का किनारा वह है जहाँ φ (r) = 0 है। μ> 0 के लिए, इसे एक संपीड़ित परमाणु के मॉडल के रूप में व्याख्या की जा सकती है, ताकि नकारात्मक आवेश को एक छोटे से स्थान में निचोड़ा जा सके। इस मामले में परमाणु त्रिज्या r पर समाप्त होता है जहाँ dφ/dr = φ/r। अशुद्धियाँ और सुधार हालांकि यह एक महत्वपूर्ण पहला कदम था, थॉमस-फर्मी समीकरण की सटीकता सीमित है क्योंकि गतिज ऊर्जा के लिए परिणामी अभिव्यक्ति केवल अनुमानित है, और क्योंकि विधि पाउली बहिष्करण सिद्धांत के निष्कर्ष के रूप में एक परमाणु की विनिमय ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास नहीं करती है। 1930 में डीराक द्वारा विनिमय ऊर्जा के लिए एक शब्द जोड़ा गया था। हालांकि, थॉमस-फर्मी-डीराक सिद्धांत अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए गलत रहा। त्रुटि का सबसे बड़ा स्रोत गतिज ऊर्जा के प्रतिनिधित्व में था, उसके बाद विनिमय ऊर्जा में त्रुटियां, और इलेक्ट्रॉन सहसंबंध की पूर्ण उपेक्षा के कारण। 1962 में, एडवर्ड टेलर ने दिखाया कि थॉमस-फर्मी सिद्धांत आणविक बंधन का वर्णन नहीं कर सकता है-टी. एफ. सिद्धांत के साथ गणना की गई किसी भी अणु की ऊर्जा घटक परमाणुओं की ऊर्जाओं के योग से अधिक है। अधिक सामान्य रूप से, एक अणु की कुल ऊर्जा कम हो जाती है जब बंधन की लंबाई समान रूप से बढ़ जाती है। गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति में सुधार करके इसे दूर किया जा सकता है। थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा में एक उल्लेखनीय ऐतिहासिक सुधार वेइज़सेकर (1935) सुधार है, जो कक्षीय-मुक्त घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत का एक अन्य उल्लेखनीय निर्माण खंड है। थॉमस-फर्मी मॉडल में गतिज ऊर्जा के गलत प्रतिरूपण के साथ-साथ अन्य कक्षीय-मुक्त घनत्व कार्यों के साथ समस्या को कोहन-शाम घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत में गैर-परस्पर क्रिया करने वाले इलेक्ट्रॉनों की एक काल्पनिक प्रणाली के साथ दरकिनार किया गया है, जिनकी गतिज ऊर्जा अभिव्यक्ति ज्ञात है। थामस-फर्मी स्क्रीनिंग थामस-फर्मी सन्निकटन फॉर द डिजनरेसी ऑफ स्टेट्स फॉरदर रीडिंग आर. पी. फेनमैन, एन. मेट्रोपोलिस और ई. टेलर भी देखें। "सामान्यीकृत थॉमस-फर्मी सिद्धांत पर आधारित तत्वों की स्थिति के समीकरण"। भौतिक समीक्षा 75, #10 (15 मई, 1949), पृ. 1561-1573। परमाणु भौतिकी घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत