Spin-1/2
क्वांटम यांत्रिकी में, स्पिन सभी प्राथमिक कणों का एक आंतरिक गुण है। सभी ज्ञात फर्मियन, कण जो साधारण पदार्थ का गठन करते हैं, का एक स्पिन होता है। घूर्णन संख्या बताती है कि एक पूर्ण घूर्णन में एक कण के कितने सममित पहलू होते हैं; एक घूर्णन का अर्थ है कि कण को दो पूर्ण मोड़ (720° के माध्यम से) से घुमाया जाना चाहिए, इससे पहले कि इसका विन्यास वही हो जब यह शुरू हुआ था। नेट स्पिन वाले कणों में प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, इलेक्ट्रॉन, न्यूट्रिनो और क्वार्क शामिल हैं। स्पिन-ऑब्जेक्ट्स की गतिशीलता को शास्त्रीय भौतिकी का उपयोग करके सटीक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है; वे सबसे सरल प्रणालियों में से हैं जिनके वर्णन के लिए क्वांटम यांत्रिकी की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, स्पिन-प्रणालियों के व्यवहार का अध्ययन क्वांटम यांत्रिकी का एक केंद्रीय हिस्सा है। स्टर्न-गेर्लाच प्रयोग अर्ध-पूर्णांक स्पिन शुरू करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेर्लाच प्रयोग के परिणामों पर वापस जाती है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत विषम चुम्बकीय क्षेत्र के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति के आधार पर एन भागों में विभाजित हो जाता है। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, बीम को दो भागों में विभाजित किया गया था-इसलिए जमीनी अवस्था एक पूर्णांक नहीं हो सकती है, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति सबसे छोटी (गैर-शून्य) पूर्णांक हो, 1, बीम को 3 भागों में विभाजित किया जाएगा, जो Lz = −1, + 1 और 0 वाले परमाणुओं के अनुरूप होगा, जिसमें 0 केवल-1 और + 1 के बीच आने के लिए जाना जाता है, जबकि यह एक पूर्ण-पूर्णांक भी है, और इस प्रकार इस मामले में एक वैध मात्रात्मक स्पिन संख्या है। दो ध्रुवीकृत क्वांटम अवस्थाओं के बीच इस काल्पनिक "अतिरिक्त चरण" के अस्तित्व के लिए एक तीसरी क्वांटम अवस्था की आवश्यकता होगी; एक तीसरी किरण, जो प्रयोग में नहीं देखी गई है। निष्कर्ष यह था कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय संवेग था। सामान्य गुण स्पिन-ऑब्जेक्ट सभी फर्मियन हैं (एक तथ्य जिसे स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय द्वारा समझाया गया है) और पाउली बहिष्करण सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। स्पिन-कणों में उनके स्पिन की दिशा में एक स्थायी चुंबकीय क्षण हो सकता है, और यह चुंबकीय क्षण विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं को जन्म देता है जो स्पिन पर निर्भर करता है। ऐसा ही एक प्रभाव जो स्पिन की खोज में महत्वपूर्ण था, वह है ज़ीमैन प्रभाव, जो एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में एक वर्णक्रमीय रेखा को कई घटकों में विभाजित करता है। अधिक जटिल क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों के विपरीत, एक स्पिन-कण के स्पिन को केवल दो आइगेनस्टेट या आइगेनस्पिनर्स के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इन्हें पारंपरिक रूप से स्पिन अप और स्पिन डाउन लेबल किया जाता है। इस वजह से, क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन ऑपरेटरों को सरल 2 × 2 मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है। इन मैट्रिक्स को पाउली मैट्रिक्स कहा जाता है। स्पिन ऑब्जेक्ट्स के लिए निर्माण और विनाश प्रचालक बनाए जा सकते हैं; ये अन्य कोणीय संवेग प्रचालक के समान कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं। अनिश्चितता सिद्धांत से संबंध सामान्यीकृत अनिश्चितता सिद्धांत का एक परिणाम यह है कि स्पिन प्रोजेक्शन ऑपरेटर (जो x, y, या z जैसी दी गई दिशा में स्पिन को मापते हैं) को एक साथ मापा नहीं जा सकता है। भौतिक रूप से, इसका मतलब है कि जिस अक्ष के चारों ओर एक कण घूम रहा है वह गलत तरीके से परिभाषित है। स्पिन के जेड-घटक का एक माप एक्स-और वाई-घटकों के बारे में किसी भी जानकारी को नष्ट कर देता है जो पहले प्राप्त की जा सकती थी। गणितीय विवरण एक स्पिन-कण के स्पिन s के लिए एक कोणीय संवेग क्वांटम संख्या द्वारा विशेषता है। श्रोडिंगर समीकरण के समाधानों में, कोणीय संवेग को इस संख्या के अनुसार निर्धारित किया जाता है, ताकि कुल स्पिन कोणीय संवेग हो, हालांकि, जब इलेक्ट्रॉन को एक अक्ष के साथ देखा जाता है, जैसे कि z-अक्ष, तो देखी गई महीन संरचना को एक चुंबकीय क्वांटम संख्या के संदर्भ में निर्धारित किया जाता है, जिसे इस कुल कोणीय संवेग के एक सदिश घटक के परिमाणीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें केवल के मान हो सकते हैं। ध्यान दें कि कोणीय संवेग के लिए ये मान केवल कम किए गए प्लैंक स्थिरांक (किसी भी फोटॉन की कोणीय संवेग) के कार्य हैं, जिसमें द्रव्यमान या आवेश पर कोई निर्भरता नहीं है। गणितीय रूप से जटिल चरण, क्वांटम यांत्रिक स्पिन को वेक्टर द्वारा शास्त्रीय कोणीय संवेग के रूप में वर्णित नहीं किया जाता है। इसे दो घटकों के साथ एक जटिल-मूल्यवान वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे स्पिनोर कहा जाता है। समन्वय घूर्णन के तहत स्पिनर्स और वैक्टर के व्यवहार के बीच सूक्ष्म अंतर हैं, जो एक जटिल क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान के व्यवहार से उत्पन्न होते हैं। जब एक स्पिनोर को 360° (एक पूर्ण मोड़) से घुमाया जाता है, तो यह अपने नकारात्मक में बदल जाता है, और फिर 360° के आगे के घूर्णन के बाद यह फिर से अपने प्रारंभिक मूल्य में बदल जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि क्वांटम सिद्धांत में एक कण या प्रणाली की स्थिति को एक जटिल प्रायिकता आयाम (तरंग फलन) द्वारा दर्शाया जाता है, और जब प्रणाली को मापा जाता है, तो अवस्था में प्रणाली को खोजने की प्रायिकता, आयाम के निरपेक्ष वर्ग (निरपेक्ष मूल्य का वर्ग) के बराबर होती है। गणितीय शब्दों में, क्वांटम हिल्बर्ट स्पेस में घूर्णन समूह SO (3) का एक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व होता है। मान लीजिए कि एक डिटेक्टर जिसे घुमाया जा सकता है, एक कण को मापता है जिसमें डिटेक्टर के घूर्णन से कुछ स्थिति का पता लगाने की संभावनाएं प्रभावित होती हैं। जब प्रणाली को 360° के माध्यम से घुमाया जाता है, तो अवलोकन किए गए आउटपुट और भौतिकी शुरू में समान होते हैं, लेकिन एक स्पिन-कण के लिए आयामों को-1 के कारक या 360° के आधे चरण परिवर्तन द्वारा बदल दिया जाता है। जब संभावनाओं की गणना की जाती है, तो-1 का वर्ग होता है, (-1) 2 = 1, इसलिए अनुमानित भौतिकी प्रारंभिक स्थिति के समान होती है। इसके अलावा, एक स्पिन-कण में केवल दो स्पिन अवस्थाएँ होती हैं और दोनों के लिए आयाम एक ही-1 कारक से बदलते हैं, इसलिए हस्तक्षेप प्रभाव समान होते हैं, उच्च स्पिन के मामले के विपरीत। जटिल संभाव्यता आयाम एक सैद्धांतिक संरचना है जिसे सीधे नहीं देखा जा सकता है। यदि संभाव्यता आयाम डिटेक्टर के समान मात्रा में घूमते हैं, तो वे-1 के कारक से बदल गए होंगे जब उपकरण को 180° से घुमाया गया था जो जब वर्ग किया जाता है तो शुरुआत में समान उत्पादन की भविष्यवाणी करता है, लेकिन प्रयोग इसे गलत बताते हैं। यदि डिटेक्टर को 180° से घुमाया जाता है, तो स्पिन-कणों के साथ परिणाम अलग हो सकता है कि अगर इसे घुमाया नहीं जाता है, तो सिद्धांत की भविष्यवाणियों को प्रयोगों से मेल खाने के लिए आधे का कारक आवश्यक है। अधिक प्रत्यक्ष साक्ष्य के संदर्भ में, न्यूट्रॉन इंटरफेरोमेट्री में क्लासिक प्रयोगों में 720° की तुलना में 360° द्वारा एक स्पिन-कण के घूर्णन के बीच के अंतर के भौतिक प्रभावों को प्रयोगात्मक रूप से देखा गया है। विशेष रूप से, यदि स्पिन-उन्मुख स्पिन-कणों की एक किरण विभाजित होती है, और केवल एक किरण को इसकी गति की दिशा के अक्ष के बारे में घुमाया जाता है और फिर मूल किरण के साथ फिर से जोड़ा जाता है, तो घूर्णन के कोण के आधार पर अलग-अलग हस्तक्षेप प्रभाव देखे जाते हैं। 360° द्वारा घूर्णन के मामले में, रद्द करने के प्रभाव देखे जाते हैं, जबकि 720° द्वारा घूर्णन के मामले में, किरणें पारस्परिक रूप से मजबूत होती हैं। एन. आर. क्यू. एम. (गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी) एक स्पिन-कण की क्वांटम स्थिति को स्पिनोर नामक दो-घटक जटिल-मूल्य वाले वेक्टर द्वारा वर्णित किया जा सकता है। जब स्पिनर्स का उपयोग क्वांटम अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, तो तीन स्पिन ऑपरेटरों (Sx, Cy, Sz) को 2 × 2 मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिन्हें पाउली मैट्रिक्स कहा जाता है, जिनके आइगेनवैल्यू हैं। उदाहरण के लिए, स्पिन प्रोजेक्शन ऑपरेटर Sz, z दिशा में स्पिन के माप को प्रभावित करता है। Sz के दो आइगेनवैल्यू, फिर निम्नलिखित आइगेनस्पिनर्स के अनुरूप हैंः ये वैक्टर हिलबर्ट स्पेस के लिए एक पूर्ण आधार बनाते हैं जो स्पिन-कण का वर्णन करते हैं। इस प्रकार, इन दोनों अवस्थाओं के रैखिक संयोजन x-और y-दिशाओं सहित स्पिन की सभी संभावित अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। सीढ़ी प्रचालक हैंः चूंकि, यह उसका अनुसरण करता है और। इस प्रकारः उनके सामान्यीकृत आइगेनस्पिनर सामान्य तरीके से पाए जा सकते हैं। एसएक्स के लिए, वे हैंः साइ के लिए, वे हैंः आरक्यूएम (सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी) जबकि एनआरक्यूएम हिल्बर्ट स्पेस में 2 आयामों के साथ स्पिन को परिभाषित करता है जो 3-आयामी स्थान और समय में वर्णित हैं, सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी हिल्बर्ट स्पेस में 4 आयामों और 4-आयामी स्थान-समय द्वारा वर्णित गतिशीलता के साथ स्पिन को परिभाषित करता है। सापेक्षता में अंतरिक्ष-समय की चार-आयामी प्रकृति के परिणामस्वरूप, सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी स्पिन ऑपरेटरों और अवलोकनीयों का वर्णन करने के लिए 4 × 4 मैट्रिक्स का उपयोग करता है। क्वांटम सिद्धांत और विशेष सापेक्षता के संयोजन के परिणामस्वरूप स्पिन जब भौतिक विज्ञानी पॉल डीराक ने श्रोडिंगर समीकरण को संशोधित करने की कोशिश की ताकि यह आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के अनुरूप हो, तो उन्होंने पाया कि यह केवल परिणामी डीराक समीकरण में मैट्रिक्स को शामिल करके संभव था, जिसका अर्थ है कि तरंग में कई घटक होने चाहिए जो स्पिन की ओर ले जाते हैं। प्रोजेक्टिव रिप्रेजेंटेशन नोट्स भी देखें आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक तीन आयामों में घूर्णन क्वांटम मॉडल