Dynamic mode decomposition
डायनेमिक मोड अपघटन (डी. एम. डी.) एक आयामी कमी एल्गोरिथ्म है जिसे 2008 में पीटर जे. श्मिड और जोर्न सेस्टरहेन द्वारा विकसित किया गया था। डेटा की एक समय श्रृंखला को देखते हुए, डीएमडी मोड के एक समूह की गणना करता है जिसमें से प्रत्येक एक निश्चित दोलन आवृत्ति और क्षय/विकास दर से जुड़ा होता है। विशेष रूप से रैखिक प्रणालियों के लिए, ये मोड और आवृत्तियाँ प्रणाली के सामान्य मोड के अनुरूप हैं, लेकिन अधिक सामान्य रूप से, वे रचना ऑपरेटर (जिसे कूपमैन ऑपरेटर भी कहा जाता है) के मोड और आइगेनवैल्यूज के सन्निकटन हैं। प्रत्येक मोड से जुड़े आंतरिक लौकिक व्यवहारों के कारण, डीएमडी प्रमुख घटक विश्लेषण जैसे आयामी कमी विधियों से अलग है, जो ऑर्थोगोनल मोड की गणना करता है जिसमें पूर्व निर्धारित लौकिक व्यवहारों की कमी होती है। चूँकि इसके तरीके ऑर्थोगोनल नहीं हैं, इसलिए पी. सी. ए. द्वारा उत्पन्न प्रतिनिधित्वों की तुलना में डी. एम. डी.-आधारित प्रतिनिधित्व कम अस्पष्ट हो सकते हैं। हालांकि, वे शारीरिक रूप से भी अधिक सार्थक हो सकते हैं क्योंकि प्रत्येक मोड समय पर एक नम (या संचालित) साइनसॉइडल व्यवहार से जुड़ा होता है। अवलोकन गतिशील मोड अपघटन को पहली बार श्मिड द्वारा प्रवाह डेटा से गतिशील विशेषताओं को निकालने के लिए एक संख्यात्मक प्रक्रिया के रूप में पेश किया गया था। डेटा एक स्नैपशॉट अनुक्रम का रूप लेता है जहां प्रवाह क्षेत्र का-th स्नैपशॉट होता है, और एक डेटा मैट्रिक्स होता है जिसके कॉलम अलग-अलग स्नैपशॉट होते हैं। इन स्नैपशॉट्स को एक रैखिक मानचित्रण के माध्यम से संबंधित माना जाता है जो एक रैखिक गतिशील प्रणाली को परिभाषित करता है जो नमूना अवधि की अवधि में लगभग समान रहता है। मैट्रिक्स के रूप में लिखित, इसका तात्पर्य है कि अवशिष्टों का वेक्टर कहाँ है जो उन व्यवहारों के लिए जिम्मेदार है जिन्हें,,, और द्वारा पूरी तरह से वर्णित नहीं किया जा सकता है। दृष्टिकोण के बावजूद, डी. एम. डी. का आउटपुट आईगेनवैल्यूज और आईगेनवेक्टर्स हैं, जिन्हें क्रमशः डी. एम. डी. आईगेनवैल्यूज और डी. एम. डी. मोड के रूप में संदर्भित किया जाता है। एल्गोरिदम इन आइगेनवैल्यूज और मोड को प्राप्त करने के लिए दो तरीके हैं। पहला अर्नोल्डी की तरह है, जो क्रिलोव विधियों के साथ अपने संबंध के कारण सैद्धांतिक विश्लेषण के लिए उपयोगी है। दूसरा एक एकल मूल्य अपघटन (एस. वी. डी.) आधारित दृष्टिकोण है जो डेटा में शोर और संख्यात्मक त्रुटियों के लिए अधिक मजबूत है। अर्नोल्डी दृष्टिकोण तरल अनुप्रयोगों में, एक स्नैपशॉट का आकार, स्नैपशॉट की संख्या की तुलना में बहुत बड़ा माना जाता है, इसलिए कई समान रूप से मान्य विकल्प हैं। मूल डीएमडी एल्गोरिथ्म चुनता है ताकि प्रत्येक स्नैपशॉट को स्नैपशॉट के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके। क्योंकि अधिकांश स्नैपशॉट्स दोनों डेटा सेटों में दिखाई देते हैं, यह प्रतिनिधित्व सभी स्नैपशॉट्स के लिए त्रुटि मुक्त है, सिवाय इसके कि जहाँ गुणांक का एक सेट है जिसे डीएमडी को पहचानना चाहिए और अवशिष्ट है। कुल मिलाकर, साथी मैट्रिक्स कहाँ है वेक्टर की गणना कम से कम वर्ग समस्या को हल करके की जा सकती है, जो समग्र अवशिष्ट को कम करता है। विशेष रूप से यदि हम क्यू. आर. अपघटन लेते हैं। इस रूप में, डी. एम. डी. एक प्रकार की अर्नोल्डी विधि है, और इसलिए के आइगेनवैल्यूज के आइगेनवैल्यूज के सन्निकटन हैं। इसके अलावा, यदि एक आइगेनवेक्टर है, तो एक अनुमानित आइगेनवेक्टर है। एक आइगेनडेकंपोजीशन के प्रदर्शन का कारण यह है कि यह उससे बहुत छोटा है, इसलिए डीएमडी की कम्प्यूटेशनल लागत स्नैपशॉट के आकार के बजाय स्नैपशॉट की संख्या से निर्धारित होती है। एस. वी. डी.-आधारित दृष्टिकोण साथी मैट्रिक्स की गणना करने के बजाय, एस. वी. डी.-आधारित दृष्टिकोण मैट्रिक्स देता है जो एक समानता परिवर्तन के माध्यम से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एसवीडी है। फिर अर्नोल्डी-आधारित दृष्टिकोण द्वारा की गई धारणा के समतुल्य, हम इस तरह का चयन करते हैं कि स्नैपशॉट को कॉलम के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सके, जो कि आवश्यकता के बराबर है कि उन्हें पी. ओ. डी. मोड के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रतिबंध के साथ, अवशिष्ट को कम करने के लिए आवश्यक है कि यह पी. ओ. डी. आधार (यानी,) के लिए ऑर्थोगोनल हो। फिर उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को पैदावार से गुणा करना, जिसे प्राप्त करने के लिए हेरफेर किया जा सकता है क्योंकि और समानता परिवर्तन के माध्यम से संबंधित हैं, के आइगेनवैल्यू के आइगेनवैल्यू हैं, और यदि एक आइगेनवेक्टर है, तो इसका एक आइगेनवेक्टर है। संक्षेप में, एस. वी. डी.-आधारित दृष्टिकोण इस प्रकार हैः डेटा की समय श्रृंखला को दो मैट्रिक्स में विभाजित करें और। एस. वी. डी. की गणना करें। मैट्रिक्स बनाएँ, और इसके आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स की गणना करें। - th डीएमडी आइगेनवैल्यू है और-th डीएमडी मोड है। अर्नोल्डी जैसे दृष्टिकोण की तुलना में एस. वी. डी. आधारित दृष्टिकोण का लाभ यह है कि डेटा में शोर और संख्यात्मक कटौती के मुद्दों की भरपाई एस. वी. डी. को काटकर की जा सकती है। जैसा कि पहले जोड़े मोड और आइगेनवैल्यू से अधिक की सटीक गणना में उल्लेख किया गया है कि इस ट्रंकेशन चरण के बिना प्रयोगात्मक डेटा सेट पर मुश्किल हो सकती है। सैद्धांतिक और एल्गोरिदमिक प्रगति 2010 में अपनी स्थापना के बाद से, डीएमडी को समझने और सुधारने पर काफी काम किया गया है। राउली एट अल द्वारा डी. एम. डी. के पहले विश्लेषणों में से एक। डी. एम. डी. और कूपमैन प्रचालक के बीच संबंध स्थापित किया, और गैर-रैखिक प्रणालियों पर लागू होने पर डी. एम. डी. के उत्पादन को समझाने में मदद की। तब से, कई संशोधन विकसित किए गए हैं जो या तो इस संबंध को और मजबूत करते हैं या दृष्टिकोण की मजबूती और प्रयोज्यता को बढ़ाते हैं। अनुकूलित डी. एम. डी.: अनुकूलित डी. एम. डी. मूल डी. एम. डी. एल्गोरिथम का एक संशोधन है जिसे उस दृष्टिकोण की दो सीमाओं की भरपाई के लिए डिज़ाइन किया गया हैः (i) डी. एम. डी. मोड चयन की कठिनाई, और (ii) समय श्रृंखला के अंतिम स्नैपशॉट में शोर या अन्य त्रुटियों के प्रति डी. एम. डी. की संवेदनशीलता। अनुकूलित डी. एम. डी. डी. एम. डी. प्रक्रिया को एक अनुकूलन समस्या के रूप में पुनर्निर्धारित करता है जहां पहचाने गए रैखिक प्रचालक की एक निश्चित श्रेणी होती है। इसके अलावा, डी. एम. डी. के विपरीत जो अंतिम को छोड़कर सभी स्नैपशॉट्स को पूरी तरह से पुनः प्रस्तुत करता है, अनुकूलित डी. एम. डी. पुनर्निर्माण त्रुटियों को पूरे डेटा सेट में वितरित करने की अनुमति देता है, जो व्यवहार में दृष्टिकोण को अधिक मजबूत बनाता है। इष्टतम मोड अपघटनः इष्टतम मोड अपघटन (ओ. एम. डी.) डी. एम. डी. प्रक्रिया को एक अनुकूलन समस्या के रूप में पुनर्निर्मित करता है और उपयोगकर्ता को सीधे पहचाने गए सिस्टम की श्रेणी को लागू करने की अनुमति देता है। बशर्ते कि इस श्रेणी को ठीक से चुना गया हो, ओ. एम. डी. सिंथेटिक और प्रयोगात्मक डेटा सेट दोनों पर छोटी अवशिष्ट त्रुटियों और अधिक सटीक आइगेनवैल्यू के साथ रैखिक मॉडल का उत्पादन कर सकता है। सटीक डी. एम. डी.: सटीक डी. एम. डी. एल्गोरिदम मूल डी. एम. डी. एल्गोरिदम को दो तरीकों से सामान्यीकृत करता है। सबसे पहले, मूल डीएमडी एल्गोरिदम में डेटा स्नैपशॉट की एक समय श्रृंखला होनी चाहिए, लेकिन सटीक डीएमडी स्नैपशॉट जोड़े के डेटा सेट को स्वीकार करता है। जोड़ी में स्नैपशॉट को एक निश्चित द्वारा अलग किया जाना चाहिए, लेकिन एक ही समय श्रृंखला से तैयार करने की आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, सटीक डीएमडी कई प्रयोगों से डेटा को एक एकल डेटा सेट में एकत्रित करने की अनुमति दे सकता है। दूसरा, मूल डी. एम. डी. एल्गोरिदम प्रभावी रूप से पी. ओ. डी. मोड के एक सेट पर प्रक्षेपित करके डेटा को पूर्व-संसाधित करता है। सटीक डीएमडी एल्गोरिथ्म इस पूर्व-प्रसंस्करण चरण को हटा देता है, और डीएमडी मोड का उत्पादन कर सकता है जिसे पीओडी मोड के सुपरपोजिशन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। डी. एम. डी. को बढ़ावा देनाः डी. एम. डी. को बढ़ावा देना डी. एम. डी. मोड और आईगन वैल्यू चयन के लिए एक पोस्ट प्रोसेसिंग प्रक्रिया है। डी. एम. डी. को बढ़ावा देने वाला विश्वविद्यालय महत्वपूर्ण डी. एम. डी. मोड के एक छोटे समूह की पहचान करने के लिए एक दंड का उपयोग करता है, और डी. एम. डी. मोड चयन समस्या के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है जिसे उत्तल अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करके कुशलता से हल किया जा सकता है। मल्टी-रिज़ॉल्यूशन डी. एम. डी.: मल्टी-रिज़ॉल्यूशन डी. एम. डी. (एम. आर. डी. एम. डी.) सटीक डी. एम. डी. के साथ मल्टी-रिज़ॉल्यूशन विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली तकनीकों का एक संयोजन है जिसे कई टाइमस्केल वाले डेटा सेटों से डी. एम. डी. मोड और आइगेनवैल्यू को निकालने के लिए डिज़ाइन किया गया है। एम. आर. डी. एम. डी. दृष्टिकोण को वैश्विक सतह के तापमान डेटा पर लागू किया गया था, और एक डी. एम. डी. मोड की पहचान करता है जो अल नीनो वर्षों के दौरान दिखाई देता है। विस्तारित डीएमडीः विस्तारित डीएमडी सटीक डीएमडी का एक संशोधन है जो डीएमडी और कूपमैन ऑपरेटर के बीच संबंध को मजबूत करता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, विस्तारित डी. एम. डी. डी. एम. डी. का एक विस्तार है जो कूपमैन प्रचालक के अधिक सटीक अनुमानों का उत्पादन करने के लिए अवलोकन योग्य कार्यों के एक समृद्ध समूह का उपयोग करता है। इस विस्तारित समूह को प्राथमिकता से चुना जा सकता है या डेटा से सीखा जा सकता है। इसने डी. एम. डी. का भी प्रदर्शन किया और संबंधित विधियाँ अधिक सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले आइगेनवैल्यू और मोड के अलावा कूपमैन आइगेनफ़ंक्शंस के सन्निकटन का उत्पादन करती हैं। अवशिष्ट डी. एम. डी.: अवशिष्ट डी. एम. डी. डी. एम. डी. और विस्तारित डी. एम. डी. की प्रक्षेपण त्रुटियों को नियंत्रित करने का एक साधन प्रदान करता है जो कूपमैन प्रचालक के परिमित-आयामी सन्निकटन से उत्पन्न होते हैं। विधि एक ही स्नैपशॉट डेटा का उपयोग करती है लेकिन एक अतिरिक्त परिमित मैट्रिक्स पेश करती है जो असीम-आयामी अवशिष्टों को ठीक बड़ी डेटा सीमा में पकड़ती है। यह उपयोगकर्ताओं को वर्णक्रमीय प्रदूषण (नकली मोड) को दरकिनार करने, कूपमैन मोड अपघटन और सीखा शब्दकोशों को सत्यापित करने और निरंतर स्पेक्ट्रा की गणना करने में सक्षम बनाता है। इसके अलावा, यह विधि डी. एम. डी. और कूपमैन प्रचालक के बीच की कड़ी को यह प्रदर्शित करके और मजबूत करती है कि सत्यापन और त्रुटि नियंत्रण के साथ कूपमैन प्रचालक की वर्णक्रमीय सामग्री की गणना कैसे की जा सकती है। भौतिकी-सूचित डी. एम. डी.: भौतिकी-सूचित डी. एम. डी. एक प्रोक्रस्ट समस्या बनाता है जो स्वीकार्य मॉडल के परिवार को एक मैट्रिक्स मैनिफोल्ड तक सीमित करता है जो प्रणाली की भौतिक संरचना का सम्मान करता है। यह भौतिक संरचनाओं को डी. एम. डी. में शामिल करने की अनुमति देता है। यह दृष्टिकोण ओवरफिटिंग के लिए कम प्रवण है, कम प्रशिक्षण डेटा की आवश्यकता होती है, और अक्सर मानक डीएमडी मॉडल की तुलना में निर्माण करने के लिए कम कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा होता है। माप-संरक्षण ई. डी. एम. डी.: माप-संरक्षण विस्तारित डी. एम. डी. (एम. पी. ई. डी. एम. डी.) एक गैलरकिन विधि प्रदान करता है जिसका आइगेनडेकंपोजिशन सामान्य माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियों के लिए कूपमैन ऑपरेटरों की वर्णक्रमीय मात्राओं में परिवर्तित हो जाता है। यह विधि डीएमडी और विस्तारित डीएमडी के लिए एक ऑर्थोगोनल प्रोक्रस्टेस समस्या (अनिवार्य रूप से एक ध्रुवीय अपघटन) को नियोजित करती है। अभिसरण से परे, एम. पी. ई. डी. एम. डी. भौतिक संरक्षण कानूनों को बनाए रखता है, और शोर के लिए बढ़ी हुई मजबूती के साथ-साथ बेहतर दीर्घकालिक व्यवहार को प्रदर्शित करता है। नियंत्रण के साथ डीएमडीः नियंत्रण के साथ गतिशील मोड अपघटन (डीएमडीसी) इनपुट आउटपुट सिस्टम से प्राप्त डेटा के लिए डिज़ाइन की गई डीएमडी प्रक्रिया का एक संशोधन है। डी. एम. डी. सी. की एक अनूठी विशेषता ओपन लूप डायनामिक्स से सिस्टम एक्चुएशन के प्रभावों को अलग करने की क्षमता है, जो एक्चुएशन की उपस्थिति में डेटा प्राप्त करने पर उपयोगी होती है। कुल न्यूनतम वर्ग डी. एम. डी.: कुल न्यूनतम वर्ग डी. एम. डी. सटीक डी. एम. डी. का एक हालिया संशोधन है जिसका उद्देश्य डेटा में माप शोर के लिए मजबूती के मुद्दों को संबोधित करना है। में, लेखक सटीक डीएमडी की व्याख्या एक प्रतिगमन समस्या के रूप में करते हैं जिसे साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) का उपयोग करके हल किया जाता है, जो मानता है कि प्रतिगामी शोर मुक्त हैं। यह धारणा डीएमडी आइगेनवैल्यूज में एक पूर्वाग्रह पैदा करती है जब इसे प्रयोगात्मक डेटा सेट पर लागू किया जाता है जहां सभी अवलोकन शोर करते हैं। कुल न्यूनतम वर्ग डीएमडी ओएलएस समस्या को कुल न्यूनतम वर्ग समस्या से बदल देता है, जो इस पूर्वाग्रह को समाप्त करता है। गतिशील वितरण अपघटनः डी. डी. डी. निरंतर समय में आगे की समस्या पर ध्यान केंद्रित करता है, अर्थात, स्थानांतरण प्रचालक। हालांकि विकसित विधि का उपयोग निरंतर समय में डीएमडी समस्याओं को ठीक करने के लिए भी किया जा सकता है। यहाँ सूचीबद्ध एल्गोरिदम के अलावा, इसी तरह की अनुप्रयोग-विशिष्ट तकनीकें विकसित की गई हैं। उदाहरण के लिए, डी. एम. डी. की तरह, प्रोनी की विधि डैंप्ड साइनसॉइड्स के सुपरपोजिशन के रूप में एक संकेत का प्रतिनिधित्व करती है। जलवायु विज्ञान में, रैखिक व्युत्क्रम मॉडलिंग भी डी. एम. डी. के साथ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। अधिक व्यापक सूची के लिए, तु एट अल देखें। एक रूपरेखा के पीछे के किनारे के उदाहरण प्रवाह में एक बाधा के कारण एक कार्मन भंवर सड़क विकसित हो सकती है। Fig.1 प्रोफाइल के पिछले किनारे के पीछे एक भंवर के गिरने को दर्शाता है। डी. एम. डी.-विश्लेषण को 90 अनुक्रमिक एन्ट्रापी क्षेत्रों पर लागू किया गया था और एक अनुमानित आइगेनवैल्यू-स्पेक्ट्रम प्राप्त हुआ जैसा कि नीचे दर्शाया गया है। विश्लेषण को शासी समीकरणों का उल्लेख किए बिना संख्यात्मक परिणामों पर लागू किया गया था। प्रोफाइल सफेद रंग में दिखाई देती है। सफेद चाप प्रोसेसर सीमाएँ हैं क्योंकि गणना विभिन्न कम्प्यूटेशनल ब्लॉकों का उपयोग करके एक समानांतर कंप्यूटर पर की गई थी। मोटे तौर पर स्पेक्ट्रम का एक तिहाई हिस्सा अत्यधिक नम (बड़ा, नकारात्मक) था और इसे नहीं दिखाया गया है। प्रमुख शेडिंग मोड निम्नलिखित चित्रों में दिखाया गया है। बाईं ओर की छवि वास्तविक भाग है, दाईं ओर की छवि, आइगेनवेक्टर का काल्पनिक भाग है। पुनः, इस चित्र में एन्ट्रापी-आइगेनवेक्टर दिखाया गया है। उसी मोड की ध्वनिक सामग्री अगले प्लॉट के निचले आधे हिस्से में दिखाई देती है। शीर्ष आधा ऊपर के रूप में एन्ट्रापी मोड से मेल खाता है। एक यात्रा पैटर्न का कृत्रिम उदाहरण डीएमडी विश्लेषण उस रूप का एक पैटर्न मानता है जहां समस्या का कोई भी स्वतंत्र चर है, लेकिन इसे पहले से चुना जाना चाहिए। उदाहरण के लिए समय के साथ पैटर्न को पूर्व-चयनित घातीय कारक के रूप में लें। एक नमूना निम्नलिखित चित्र में, और के साथ दिया गया है। बायीं तस्वीर बिना पैटर्न को दिखाती है, दाईं ओर शोर जोड़ा गया है। यादृच्छिक शोर का आयाम पैटर्न के समान है। एक डी. एम. डी. विश्लेषण एक समय अंतराल का उपयोग करके 21 कृत्रिम रूप से उत्पन्न क्षेत्रों के साथ किया जाता है, जो विश्लेषण को सीमित करता है। स्पेक्ट्रम सममित है और तीन लगभग अप्रचलित मोड (छोटे नकारात्मक वास्तविक भाग) दिखाता है, जबकि अन्य मोड भारी रूप से नम हैं। उनके संख्यात्मक मान क्रमशः हैं। वास्तविक एक क्षेत्र के माध्य से मेल खाता है, जबकि इसके साथ लगाए गए पैटर्न से मेल खाता है। − 1/1000 की सापेक्ष त्रुटि उत्पन्न करना। शोर को संकेत मूल्य के 10 गुना तक बढ़ाने से लगभग एक ही त्रुटि प्राप्त होती है। बाद के दो आइगेनमोड में से एक के वास्तविक और काल्पनिक भाग को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है। प्रयोगात्मक डेटा के कई अन्य अपघटन भी मौजूद हैं। यदि शासी समीकरण उपलब्ध हैं, तो एक आइगेनवैल्यू अपघटन संभव हो सकता है। आइगेनवैल्यू अपघटन अनुभवजन्य मोड अपघटन वैश्विक मोड सामान्य मोड उचित ऑर्थोगोनल अपघटन एकल-मूल्य अपघटन संदर्भ श्मिड, पी. जे. & सेस्टरहेन, जे. एल. 2008. संख्यात्मक और प्रयोगात्मक डेटा का गतिशील मोड अपघटन। बुल में। आमेर। शारीरिक। एस. सी., 61वीं ए. पी. एस. बैठक, पृ. 208. सैन एंटोनियो। हैसलमैन, के., 1988। पी. ओ. पी और पी. आई. पी. प्रमुख दोलन और अंतःक्रिया पैटर्न का उपयोग करके जटिल गतिशील प्रणालियों की कमी। जे. जियोफिज़। रेस., 93 (डी9): 10975-10988। प्रायोगिक भौतिकी समय श्रृंखला मैट्रिक्स अपघटन