Dehn function
ज्यामितीय समूह सिद्धांत के गणितीय विषय में, मैक्स डेहन के नाम पर एक डेहन फ़ंक्शन, एक परिमित समूह प्रस्तुति से जुड़ा एक इष्टतम फ़ंक्शन है जो उस समूह में एक संबंध के क्षेत्र को सीमित करता है (जो समूह के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करने वाले जनरेटर में एक स्वतंत्र रूप से कम शब्द है) उस संबंध की लंबाई के संदर्भ में (पीपी देखें। 79-80 in)। डेहन फलन का विकास प्रकार एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह का अर्ध-सममिति अपरिवर्तनीय है। एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह का डेहन कार्य भी समूहों में समस्या शब्द की गैर-निर्धारक एल्गोरिथमिक जटिलता के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह में हल करने योग्य शब्द समस्या होती है यदि और केवल तभी जब इस समूह की सीमित प्रस्तुति के लिए डेहन फ़ंक्शन पुनरावर्ती हो (प्रमेय 2.1 इंच देखें)। डेहन फलन की धारणा ज्यामिति में आइसोपेरिमेट्रिक समस्याओं से प्रेरित है, जैसे कि यूक्लिडियन तल के लिए क्लासिक आइसोपेरिमेट्रिक असमानता और, अधिक सामान्य रूप से, एक भरने वाले क्षेत्र फलन की धारणा जो उस सतह की सीमा वक्र की लंबाई के संदर्भ में एक रीमानियन मैनिफोल्ड में न्यूनतम सतह के क्षेत्र का अनुमान लगाती है। एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के लिए एक आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन का विचार 1910 के दशक में मैक्स डेहन के काम में वापस जाता है। डेहन ने साबित किया कि कम से कम दो वंश की एक बंद उन्मुख सतह के मौलिक समूह की मानक प्रस्तुति के लिए समस्या शब्द को अब डेहन के एल्गोरिदम द्वारा हल किया जा सकता है। इस तथ्य का एक सीधा परिणाम यह है कि इस प्रस्तुति के लिए डेहन फ़ंक्शन डेहन (एन) ≤ एन को संतुष्ट करता है। इस परिणाम को 1960 के दशक में मार्टिन ग्रीनडलिंगर द्वारा सी '(1/6) छोटी रद्दीकरण शर्त को संतुष्ट करने वाले परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों तक बढ़ाया गया था। एक आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन और एक डेहन फ़ंक्शन की औपचारिक धारणा जैसा कि आज उपयोग किया जाता है, 1980 के दशक के अंत में-1990 के दशक की शुरुआत में शब्द-हाइपरबॉलिक समूहों के सिद्धांत की शुरुआत और विकास के साथ दिखाई दी। अपने 1987 के मोनोग्राफ "हाइपरबोलिक समूहों" में ग्रोमोव ने साबित किया कि एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह शब्द-हाइपरबोलिक है यदि और केवल तभी जब यह एक रैखिक आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है, अर्थात, यदि और केवल तभी जब इस समूह का डेहन फलन फलन f (n) = n के बराबर हो। ग्रोमोव का प्रमाण बड़े हिस्से में कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड्स के लिए क्षेत्र कार्यों को भरने के साथ सादृश्य द्वारा सूचित किया गया था जहां एक नल-होमोटोपिक बंद वक्र को घेरने वाली न्यूनतम सतह का क्षेत्र उस वक्र की लंबाई के संदर्भ में सीमित है। आइसोपेरिमेट्रिक और डेहन कार्यों का अध्ययन जल्दी से ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक अलग प्रमुख विषय के रूप में विकसित हुआ, विशेष रूप से क्योंकि इन कार्यों के विकास प्रकार परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों के प्राकृतिक अर्ध-सममिति अपरिवर्तनीय हैं। इस विषय में प्रमुख परिणामों में से एक सपीर, बर्गेट और रिप्स द्वारा प्राप्त किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि ट्यूरिंग मशीनों के अधिकांश "उचित" समय जटिलता कार्यों को प्राकृतिक समतुल्यता तक, परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों के डेहन कार्यों के रूप में महसूस किया जा सकता है। औपचारिक परिभाषा आइए एक सीमित समूह प्रस्तुति होने दें जहां X एक सीमित वर्णमाला है और जहां R′F (X) चक्रीय रूप से कम किए गए शब्दों का एक सीमित समूह है। किसी संबंध का क्षेत्रफल मान लीजिए कि डब्ल्यू, एफ (एक्स), जी में एक संबंध है, अर्थात एक स्वतंत्र रूप से घटाया हुआ शब्द है, जैसे कि जी में डब्ल्यू = 1। ध्यान दें कि यह यह कहने के बराबर है कि डब्ल्यू, एफ (एक्स) में आर के सामान्य समापन से संबंधित है, अर्थात, डब्ल्यू का प्रतिनिधित्व (′) के रूप में मौजूद है जहां एम ≤ 0 और जहां r ≤ आर ± 1 के लिए आई = 1,,, एम। डब्ल्यू ≤ एफ (एक्स) के लिए जी में डब्ल्यू = 1 को संतुष्ट करने के लिए, डब्ल्यू का क्षेत्र (≤) के संबंध में, निरूपित क्षेत्र (डब्ल्यू), सबसे छोटा एम ≤ 0 है जैसे कि एम संयुग्म के एफ (एक्स) में उत्पाद के रूप में डब्ल्यू के लिए एक प्रतिनिधित्व () मौजूद है। एक स्वतंत्र रूप से घटाया गया शब्द डब्ल्यू. एफ. एफ. (एक्स) जी में डब्ल्यू = 1 को संतुष्ट करता है यदि और केवल तभी जब जी के लिए प्रस्तुति परिसर में डब्ल्यू द्वारा लेबल किया गया लूप नल-होमोटोपिक हो। इस तथ्य का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि क्षेत्र (डब्ल्यू) एक वैन काम्पेन आरेख में 2-कोशिकाओं की सबसे छोटी संख्या है, जिसमें सीमा चक्र के साथ डब्ल्यू द्वारा लेबल किया गया है। आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन एक सीमित प्रस्तुति के लिए एक आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन एक मोनोटोन गैर-घटता फ़ंक्शन है जैसे कि जब भी डब्ल्यू. एफ. (एक्स) जी में डब्ल्यू = 1 को संतुष्ट करने वाला एक स्वतंत्र रूप से कम शब्द है, तो क्षेत्र (डब्ल्यू) ≤ एफ (|w।), जहां |w। शब्द की लंबाई डब्ल्यू है। डेहन फ़ंक्शन फिर एक सीमित प्रस्तुति के डेहन फ़ंक्शन को समतुल्य रूप से परिभाषित किया जाता है, डेहन (एन) सबसे छोटा आइसोपेरिम् है। कार्यों के विकास के प्रकार क्योंकि सटीक डेहन कार्य आमतौर पर प्रस्तुति पर निर्भर करता है, आमतौर पर इसके एसिम्प्टोटिक विकास प्रकार का अध्ययन किया जाता है क्योंकि एन अनंत की ओर जाता है, जो केवल समूह पर निर्भर करता है। दो मोनोटोन-गैर-घटते कार्यों के लिए एक कहता है कि f पर g का प्रभुत्व है यदि प्रत्येक पूर्णांक n ≤ 0 के लिए C ≤ 1 मौजूद है। मान लीजिए कि f ≈ g यदि f पर g का प्रभुत्व है और g पर f का प्रभुत्व है तो ≈ एक समतुल्यता संबंध है और डेहन फलन और समपरिमित फलन का अध्ययन आमतौर पर इस समतुल्यता संबंध तक किया जाता है। इस प्रकार किसी भी a, b> 1 के लिए हमारे पास एक ≈ bn है। इसी तरह, यदि f (n) गैर-ऋणात्मक गुणांकों के साथ डिग्री d (जहाँ d ≤ 1 एक वास्तविक संख्या है) का बहुपद है, तो f (n) ≈ nd। इसके अलावा, 1 ≈ n. यदि एक परिमित समूह प्रस्तुति एक समपरिमित फलन f (n) को स्वीकार करती है जो एक रैखिक (क्रमशः, द्विघात, घन, बहुपद, घातीय, आदि) के बराबर है। n में फलन, प्रस्तुति को एक रैखिक (क्रमशः, द्विघात, घन, बहुपद, घातीय, आदि) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। आइसोपेरिमेट्रिक असमानता। यदि G और H अर्ध-सममितीय परिमित रूप से प्रस्तुत समूह हैं और G की कुछ सीमित प्रस्तुति में एक समपरिमित फलन f (n) है तो H की किसी भी सीमित प्रस्तुति के लिए f (n) के बराबर एक समपरिमित फलन है। विशेष रूप से, यह तथ्य जी = एच के लिए लागू होता है, जहां एक ही समूह को दो अलग-अलग सीमित प्रस्तुतियों द्वारा दिया जाता है। नतीजतन, एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के लिए, उपरोक्त परिभाषा के अर्थ में, इसके डेहन कार्य का विकास प्रकार, उस समूह के लिए एक सीमित प्रस्तुति के चयन पर निर्भर नहीं करता है। अधिक सामान्य रूप से, यदि दो परिमित रूप से प्रस्तुत समूह अर्ध-सममितीय हैं तो उनके डेहन फलन समतुल्य हैं। एक परिमित प्रस्तुति द्वारा दिए गए परिमित रूप से प्रस्तुत समूह G के लिए निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैंः G में (ऱ्ऱं) के संबंध में एक पुनरावर्ती डेहन फलन है। एक पुनरावर्ती आइसोपेरिमेट्रिक फलन f (n) मौजूद है। समूह जी में हल करने योग्य शब्द समस्या है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि शब्द समस्या की समाधानशीलता परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए एक अर्ध-सममिति अपरिवर्तनीय है। किसी संबंध के क्षेत्रफल (डब्ल्यू) को जानने से, |w। के संदर्भ में, न केवल परिभाषित संबंधों के संयुग्मों की संख्या, बल्कि संयुग्म तत्वों की लंबाई भी बाध्य हो सकती है। इसके परिणामस्वरूप, यह ज्ञात होता है कि यदि एक परिमित प्रस्तुति द्वारा दिए गए एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह G में संगणनीय डेहन फलन डेहन (n) है, तो G के लिए समस्या शब्द गैर-निर्धारक समय जटिलता डेहन (n) और निर्धारक समय जटिलता एक्सप (डेहन (n)) के साथ हल करने योग्य है। हालाँकि, सामान्य रूप से समस्या शब्द की निर्धारक समय जटिलता के संदर्भ में एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के डेहन फ़ंक्शन पर कोई उचित सीमा नहीं है और दोनों कार्यों के बीच का अंतर काफी बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए एक सीमित समूह जी की किसी भी सीमित प्रस्तुति के लिए हमारे पास डेहन (एन) ≈ एन है। जीनस 2 की बंद उन्मुख सतह के लिए, इसके मौलिक समूह की मानक प्रस्तुति डेहन (एन) ≤ एन और डेहन (एन) ≈ एन को संतुष्ट करती है। प्रत्येक पूर्णांक के लिए के ≤ 2 मुक्त अबेलियन समूह में डेहन (एन) ≈ एन 2 होता है। बॉम्सलैग-सॉलिटर समूह में डेहन (एन) ≈ 2एन (देखें) है। त्रि-आयामी असतत हाइजेनबर्ग समूह एक घन को संतुष्ट करता है लेकिन कोई द्विघात आइसोपेरिमेट्रिक असमानता नहीं है। उच्च-आयामी हाइजेनबर्ग समूह, जहाँ k ≤ 2, द्विघात समपरिमित असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। यदि जी एक "नोविकोव-बून समूह" है, अर्थात, अनसुलझी शब्द समस्या के साथ एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह है, तो जी का डेहन फलन किसी भी पुनरावर्ती फलन की तुलना में तेजी से बढ़ता है। थॉम्पसन समूह F के लिए डेहन फलन द्विघात है, जो कि n2 के बराबर है (देखें)। तथाकथित बॉम्सलैग-गेर्स्टन समूह में घातांक के किसी भी निश्चित पुनरावृत्त टावर की तुलना में तेजी से बढ़ने वाला डेहन कार्य है। विशेष रूप से, इस समूह के लिए डेहन (एन) ≈ एक्सप (एक्सप (. (एक्सप (1)).)) जहां घातांक की संख्या लॉग 2 (एन) के अभिन्न भाग के बराबर है (देखें)। ज्ञात परिणाम एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह शब्द-हाइपरबॉलिक समूह है यदि और केवल तभी जब इसका डेहन फ़ंक्शन एन के बराबर है, यानी, यदि और केवल तभी जब इस समूह की प्रत्येक परिमित प्रस्तुति एक रैखिक आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करती है। आइसोपेरिमेट्रिक गैपः यदि एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह एक उप-वर्गात्मक आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है तो यह शब्द-हाइपरबॉलिक है। इस प्रकार डीह्न फलन के साथ कोई परिमित रूप से प्रस्तुत समूह नहीं हैं जो डी के साथ एन. डी. के समतुल्य हैं। स्वचालित समूह और, अधिक सामान्य रूप से, जुझारू समूह द्विघात समपरिमित असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। एक परिमित रूप से उत्पन्न निलपोटेन्ट समूह में nd के समतुल्य एक डेहन फलन होता है जहाँ d ≤ 1 और सभी सकारात्मक पूर्णांक d इस तरह से प्राप्त किए जाते हैं। इसके अलावा, प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न निलपोटेन्ट समूह G, डिग्री c + 1 की एक बहुपद समपरिमित असमानता को स्वीकार करता है, जहां c, G का निलपोटेन्सी वर्ग है। वास्तविक संख्याओं का समूह d ≤ 1, जैसे कि nd के समतुल्य डेहन फलन के साथ एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह मौजूद है, अंतराल में घना है। यदि एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के सभी एसिम्प्टोटिक शंकु बस जुड़े हुए हैं, तो समूह एक बहुपद आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है। यदि एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह एक द्विघात आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है, तो इस समूह के सभी एसिम्प्टोटिक शंकु बस जुड़े हुए हैं। यदि (एम, जी) एक बंद रीमानियन मैनिफोल्ड है और जी = π1 (एम) तो जी का डेहन फलन मैनिफोल्ड के भरने क्षेत्र फलन के बराबर है। यदि जी एक समूह है जो एक कैट (0) स्थान पर सममितियों द्वारा ठीक से असंतत रूप से और सहसंयोजित रूप से कार्य कर रहा है, तो जी एक द्विघात सममापी असमानता को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, यह उस मामले पर लागू होता है जहां जी गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता (आवश्यक रूप से स्थिर नहीं) के एक बंद रीमानियन मैनिफोल्ड का मौलिक समूह है। एस. एल. (एम., जेड.) का डेहन फलन किसी भी एम. 3 के लिए सबसे अधिक घातीय होता है। एस. एल. (3, जेड) के लिए यह सीमा तेज है और उस स्थिति में यह ज्ञात होता है कि डेहन फलन एक उप-घातीय ऊपरी सीमा को स्वीकार नहीं करता है। एस. एल. (एम, जेड) के लिए डेहन फलन, जहाँ एम> 4 द्विघात हैं। थर्स्टन द्वारा एस. एल. (4, जेड) के डेहन फलन को द्विघात होने का अनुमान लगाया गया है। यह और, अधिक सामान्य रूप से, ग्रोमोव का अनुमान कि उच्च श्रेणी के लाइ समूहों में जाली में एक द्विघात डेहन कार्य होता है, ल्यूजिंगर और यंग द्वारा साबित किया गया है। परिमित प्रकार की सतहों के मानचित्रण वर्ग समूह स्वचालित होते हैं और द्विघात समपरिमित असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। समूह ऑट (एफ. के.) और आउट (एफ. के.) के लिए डेहन फलन प्रत्येक के. ओ. आर. 3 के लिए घातीय हैं। ऑट (एफके) और आउट (एफके) के लिए घातीय आइसोपेरिमेट्रिक असमानताएँ जब कि हैचर और वोग्टमैन द्वारा केओआर 3 पाई गई थीं। ये सीमाएँ तीखी हैं, और समूह ऑट (एफके) और आउट (एफके) उप-घातीय आइसोपेरिमेट्रिक असमानताओं को संतुष्ट नहीं करते हैं, जैसा कि ब्रिडसन और वोग्टमैन द्वारा के = 3 के लिए और हैंडेल और मोशर द्वारा के ≤ 4 के लिए दिखाया गया है। एक परिमित रूप से उत्पन्न मुक्त समूह Fk के प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म φ के लिए φ का मानचित्रण टोरस समूह एक द्विघात आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है। अधिकांश "उचित" संगणकीय फलन जो ωn4 हैं, उन्हें परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों के डेहन फलन के रूप में समतुल्यता तक महसूस किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि f (n) ≤n4 एक सुपरएडिटिव फ़ंक्शन है जिसका द्विआधारी प्रतिनिधित्व एक ट्यूरिंग मशीन द्वारा समय में गणना योग्य है, तो f (n) एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के डेहन फ़ंक्शन के बराबर है। यद्यपि किसी समूह के डेहन फलन को उसकी शब्द समस्या की जटिलता के संदर्भ में यथोचित रूप से बाध्य नहीं किया जा सकता है, बिर्गेट, ओल्शान्स्की, रिप्स और सपीर ने निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किया, जो हिगमैन के अंतःस्थापित प्रमेय का एक दूरगामी सामान्यीकरण प्रदान करता हैः एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह की शब्द समस्या गैर-निर्धारक बहुपद समय में निर्णायक है यदि और केवल तभी जब इस समूह को एक बहुपद समरूपी फलन के साथ एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह में अंतःस्थापित किया जा सकता है। इसके अलावा, समय T (n) में हल करने योग्य समस्या शब्द वाले प्रत्येक समूह को n2T (n2) 4 के समतुल्य समपरिमित फलन वाले समूह में एम्बेड किया जा सकता है। सामान्यीकरण एक समपरिमित फलन की धारणा से निकटता से संबंधित कई साथी धारणाएँ हैं। इस प्रकार एक आइसोडायमेट्रिक फलन किसी विशेष संबंध के लिए वैन काम्पेन आरेख के सबसे छोटे व्यास (सरल मीट्रिक के संबंध में जहां प्रत्येक किनारे की लंबाई एक होती है) को डब्ल्यू की लंबाई के संदर्भ में सीमित करता है। एक भरने की लंबाई फलन एक विशेष संबंध के लिए वैन काम्पेन आरेख की सबसे छोटी भरने की लंबाई डब्ल्यू की लंबाई के संदर्भ में डब्ल्यू की लंबाई के संदर्भ में। यहाँ एक आरेख की भरने की लंबाई न्यूनतम है, आरेख की सभी संयोजन शून्य-मोटर प्रतियों पर, इस तरह के शून्य-मोटर प्रतियों के साथ बाध्य मध्यवर्ती लूप की अधिकतम लंबाई की। भरने की लंबाई का कार्य परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए समस्या शब्द की गैर-निर्धारक स्थान जटिलता से निकटता से संबंधित है। डेहन फलन, इष्टतम आइसोडायमेट्रिक फलन और इष्टतम भरने की लंबाई फलन को जोड़ने वाली कई सामान्य असमानताएँ हैं, लेकिन उनके बीच सटीक संबंध अभी तक समझा नहीं गया है। आइसोपेरिमेट्रिक और डेहन कार्यों के उच्च-आयामी सामान्यीकरण भी हैं। के ≤ 1 के लिए एक समूह का के-आयामी आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन के-क्षेत्रों के (के + 1)-आयामी गेंद-भरने की न्यूनतम संयोजन मात्रा को एक के-जुड़े हुए स्थान में मैप करता है जिस पर समूह ठीक से और सहसंयोजित रूप से कार्य करता है; सीमा को के-क्षेत्र के संयोजन आयतन के एक कार्य के रूप में दिया जाता है। एक समपरिमित फलन की मानक धारणा मामले k = 1 से मेल खाती है। शास्त्रीय मामले की तुलना में इन उच्च आयामी भरने के कार्यों के बारे में बहुत कम जानकारी है। एक मुख्य परिणाम यह है कि उच्च श्रेणी के अर्ध-सरल लाइ समूहों में जाली श्रेणी से नीचे के आयामों में अनिर्दिष्ट हैं, अर्थात। वे अपने संबंधित सममित स्थान के समान भरने के कार्यों को संतुष्ट करते हैं। अपने मोनोग्राफ में अनंत समूहों के एसिम्प्टोटिक अपरिवर्तकों में ग्रोमोव ने डेहन फ़ंक्शन के एक संभावित या औसत संस्करण का प्रस्ताव रखा और सुझाव दिया कि कई समूहों के लिए औसत डेहन फ़ंक्शंस में मानक डेहन फ़ंक्शंस की तुलना में सख्ती से धीमी एसिम्प्टोटिक्स होनी चाहिए। एक औसत डेहन कार्य या औसत डेहन कार्य की धारणा के अधिक सटीक उपचार बाद में अन्य शोधकर्ताओं द्वारा दिए गए थे जिन्होंने यह भी साबित किया कि वास्तव में औसत डेहन कार्य कई मामलों (जैसे निलपोटेन्ट और अबेलियन समूह) में मानक डेहन कार्यों के लिए उप-लक्षणात्मक हैं। एक आइसोपेरिमेट्रिक फ़ंक्शन की धारणा का एक सापेक्ष संस्करण अपेक्षाकृत हाइपरबॉलिक समूहों के लिए ओसिन के दृष्टिकोण में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है। ग्रिगोरचुक और इवानोव ने सीमित रूप से कई जनरेटरों पर समूह प्रस्तुतियों के लिए डेहन फ़ंक्शन के कई प्राकृतिक सामान्यीकरणों की खोज की, लेकिन असीम रूप से कई परिभाषित संबंधों के साथ। वैन काम्पेन आरेख शब्द-अतिसंवेदनशील समूह स्वचालित समूह लघु रद्दीकरण सिद्धांत ज्यामितीय समूह सिद्धांत नोट्स आगे पढ़ने के लिए नोएल ब्रैडी, टिम रिले और हामिश शॉर्ट भी देखें। परिमित रूप से उत्पन्न समूहों के लिए शब्द समस्या की ज्यामिति। गणित में उन्नत पाठ्यक्रम सी. आर. एम. बार्सिलोना, बिरखौसर, बासेल, 2007. मार्टिन आर. ब्रिडसन। समस्या शब्द की ज्यामिति। ज्यामिति और टोपोलॉजी के लिए निमंत्रण, पीपी। 29-91, गणित में ऑक्सफोर्ड ग्रेजुएट टेक्स्ट्स, 7, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, ऑक्सफोर्ड, 2002. बाहरी लिंक एस. एल. (एन, जेड) के लिए आइसोपेरिमेट्रिक असमानता। अमेरिकन इंस्टीट्यूट ऑफ मैथेमैटिक्स में सितंबर 2008 की कार्यशाला। ब्रिडसन के लेख द ज्योमेट्री ऑफ द वर्ड प्रॉब्लम की पीडीएफ। ज्यामितीय समूह सिद्धांत ज्यामितीय स्थलविज्ञान शब्दों पर संयोजन