Oseen equations
द्रव गतिकी में, ओसीन समीकरण (या ओसीन प्रवाह) छोटे रेनॉल्ड्स संख्याओं पर एक चिपचिपा और असंपीड़ित द्रव के प्रवाह का वर्णन करते हैं, जैसा कि 1910 में कार्ल विल्हेम ओसीन द्वारा तैयार किया गया था। स्टोक्स प्रवाह की तुलना में, संवहन त्वरण के (आंशिक) समावेश के साथ, इन प्रवाहों का एक बेहतर विवरण है। ओसीन का काम जी. जी के प्रयोगों पर आधारित है। स्टोक्स, जिन्होंने एक चिपचिपे तरल पदार्थ के माध्यम से एक गोले के गिरने का अध्ययन किया था। उन्होंने एक सुधार शब्द विकसित किया, जिसमें स्टोक्स की गणना में उपयोग किए जाने वाले प्रवाह वेग के लिए जड़त्वीय कारक शामिल थे, ताकि स्टोक्स के विरोधाभास के रूप में जानी जाने वाली समस्या को हल किया जा सके। उनके अनुमान से स्टोक्स की गणना में सुधार होता है। समीकरण दृश्य समीकरण, किसी वस्तु के तरल पदार्थ के माध्यम से एक स्थिर प्रवाह वेग U के साथ आगे बढ़ने के मामले में होते हैं-जो वस्तु से दूर आराम में होता है-और वस्तु से जुड़े संदर्भ के ढांचे में होता हैः जहां u गतिमान वस्तु द्वारा प्रेरित प्रवाह वेग में गड़बड़ी है, अर्थात। वस्तु के साथ चलने वाले संदर्भ के ढांचे में कुल प्रवाह वेग −U + u है, p दबाव है, ρ द्रव का घनत्व है, μ गतिशील चिपचिपाहट है, ρ ढाल प्रचालक है, और ρ2 लाप्लास प्रचालक है। एक कठोर वस्तु के चारों ओर ओसीन प्रवाह के लिए सीमा शर्तें इस प्रकार हैंः वस्तु के केंद्र से दूरी r के साथ, और वस्तु से दूर निरंतर दबाव पी। अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें ओसीन के समीकरण का एक मौलिक गुण यह है कि सामान्य समाधान को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों में विभाजित किया जा सकता है। एक समाधान एक अनुदैर्ध्य तरंग है यदि वेग इर्रोटेशनल है और इसलिए चिपचिपा शब्द बाहर निकल जाता है। समीकरण बन जाते हैं परिणामस्वरूप वेग संभावित सिद्धांत से प्राप्त होता है और दबाव रैखिक बर्नौली के समीकरणों से प्राप्त होता है। समाधान एक अनुप्रस्थ तरंग है यदि दबाव समान रूप से शून्य है और वेग क्षेत्र सोलनॉइडल है। समीकरण हैं तब पूर्ण ओसीन समाधान होरेस लैम्ब के कारण एक विभाजन प्रमेय द्वारा दिया जाता है। विभाजन अद्वितीय है यदि अनंत (मान लीजिए) पर स्थितियां निर्दिष्ट की जाती हैं। कुछ दृश्य प्रवाहों के लिए, अनुप्रस्थ तरंग का इर्रोटेशनल और घूर्णन घटक में आगे विभाजन संभव है। आइए एक स्केलर फ़ंक्शन होने दें जो अनंत पर संतुष्ट करता है और गायब हो जाता है और इसके विपरीत इस तरह से दिया जाता है कि, तब अनुप्रस्थ तरंग वह है जहाँ से निर्धारित किया जाता है और वह इकाई सदिश है। न तो या अपने आप में पारगमनशील हैं, लेकिन पारगमनशील हैं। इसलिए, एकमात्र घूर्णन घटक हो रहा है। मौलिक समाधान एक ओसीन प्रवाह में अंतर्निहित एकवचन बिंदु बल के कारण मौलिक समाधान ओसीनलेट है। न्युटोनियन और माइक्रोपोलर तरल पदार्थों के लिए मनमाने समय-निर्भर ट्रांसलेशनल और रोटेशनल गतियों से जुड़े सामान्यीकृत अस्थिर स्टोक्स और ओसीन प्रवाहों के लिए बंद-रूप मौलिक समाधान प्राप्त किए गए हैं। ओसीन समीकरण का उपयोग करते हुए, होरेस लैम्ब 1911 में एक गोले के चारों ओर चिपचिपे प्रवाह के लिए बेहतर अभिव्यक्तियाँ प्राप्त करने में सक्षम थे, जिससे कुछ हद तक उच्च रेनॉल्ड्स संख्याओं की ओर स्टोक्स के नियम में सुधार हुआ। इसके अलावा, भेड़ के बच्चे ने पहली बार एक गोलाकार सिलेंडर के चारों ओर चिपचिपे प्रवाह के लिए एक समाधान प्राप्त किया। एकवचन बल की प्रतिक्रिया का समाधान जब कोई बाहरी सीमाएं मौजूद नहीं होती हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है यदि, जहां एकवचन बल बिंदु पर केंद्रित है और एक मनमाना बिंदु है और दिया गया सदिश है, जो एकवचन बल की दिशा देता है, तो सीमाओं के अभाव में, वेग और दबाव मौलिक टेंसर और मौलिक सदिश से प्राप्त होता है। उत्पत्ति पर ली गई व्यापकता के नुकसान के बिना द्वि-आयामी और। फिर मौलिक टेंसर और वेक्टर हैं जहां दूसरे प्रकार के ऑर्डर शून्य का संशोधित बेसल फ़ंक्शन है। त्रि-आयामी उत्पत्ति पर ली गई व्यापकता के नुकसान के बिना और। फिर मौलिक टेंसर और वेक्टर वे हैं जहाँ गणनाओं में ओसीन ने गोले को स्थिर माना और तरल पदार्थ को गोले से अनंत दूरी पर प्रवाह वेग () के साथ बहने के लिए माना। स्टोक्स की गणना में जड़त्वीय शब्दों की उपेक्षा की गई थी। यह एक सीमित समाधान है जब रेनॉल्ड्स संख्या शून्य हो जाती है। जब रेनॉल्ड्स संख्या छोटी और परिमित होती है, जैसे कि 0.1, तो जड़त्वीय पद के लिए सुधार की आवश्यकता होती है। ओसीन ने निम्नलिखित प्रवाह वेग मानों को नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रतिस्थापित किया। इन्हें नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में डालने और प्राथमिक मात्राओं में द्विघात शब्दों की उपेक्षा करने से ओसीन के सन्निकटन की व्युत्पत्ति होती हैः चूंकि गति अक्ष के संबंध में सममित है और वर्टिसिटी वेक्टर का विचलन हमेशा शून्य होता है, इसलिए हमें मिलता हैः एक उपयुक्त फलन में जोड़कर फलन को समाप्त किया जा सकता है, यह वर्टिसिटी फलन है, और पिछले फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः और कुछ एकीकरण द्वारा समाधान हैः इस प्रकार "विशेषाधिकार प्राप्त दिशा" होने से यह उत्पन्न होता हैः फिर तीन सीमा शर्तों को लागू करने से हम नया बेहतर ड्रैग गुणांक प्राप्त करते हैंः और अंत में, जब स्टोक्स के समाधान को ओसीन के सन्निकटन के आधार पर हल किया गया था, तो यह दिखाया गया कि अर्थात्ः जड़ता शब्द इस शब्द से प्रभावित होता हैः त्रुटि तब इस अनुपात से दी जाती हैः यह 1 के लिए असीमित हो जाता है, इसलिए जड़ता को दूर के क्षेत्र में नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। कर्ल लेने से, स्टोक्स समीकरण देता है क्योंकि शरीर वर्टिसिटी का एक स्रोत है, यह निश्चित रूप से अनफिजिकल है और इसे स्टोक्स के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है। असंपीड़ित द्रव में एक गतिशील गोले के लिए समाधान एक स्थिर तरल में एक स्थिर वेग के साथ एक ठोस गोले के गतिमान होने के मामले पर विचार करें। तरल को एक असंपीड़ित तरल पदार्थ के रूप में मॉडल किया गया है (अर्थात। स्थिर घनत्व के साथ), और स्थिर होने का मतलब है कि इसका वेग शून्य की ओर बढ़ता है क्योंकि गोले से दूरी अनंत तक पहुंचती है। एक वास्तविक पिंड के लिए इसके त्वरण के कारण एक क्षणिक प्रभाव होगा क्योंकि यह अपनी गति शुरू करता है; हालाँकि पर्याप्त समय के बाद यह शून्य की ओर बढ़ेगा, ताकि हर जगह द्रव वेग उस काल्पनिक मामले में प्राप्त वेग के पास पहुँच जाए जिसमें पिंड पहले से ही अनंत समय के लिए आगे बढ़ रहा है। इस प्रकार हम त्रिज्या के एक गोले को एक स्थिर वेग से गतिमान मानते हैं, एक असंपीड़ित तरल पदार्थ में जो अनंत पर स्थिर रहता है। हम निर्देशांकों में काम करेंगे जो गोले के केंद्र में स्थित समन्वय केंद्र के साथ गोले के साथ चलते हैं। हमारे पास हैः चूंकि ये सीमा स्थितियाँ, साथ ही गति के समीकरण, समय अपरिवर्तनीय हैं (अर्थात। वे समय को स्थानांतरित करके अपरिवर्तित रहते हैं) जब निर्देशांकों में व्यक्त किया जाता है, तो समाधान केवल इन निर्देशांकों के माध्यम से समय पर निर्भर करता है। गति के समीकरण विश्राम फ्रेम निर्देशांक में परिभाषित नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं। जबकि स्थानिक व्युत्पन्न दोनों निर्देशांक प्रणालियों में बराबर होते हैं, समीकरणों में दिखाई देने वाला समय व्युत्पन्न संतुष्ट करता हैः जहां व्युत्पन्न गतिशील निर्देशांक के संबंध में होता है। हम अब से एम सबस्क्रिप्ट को छोड़ देते हैं। ओसीन का अनुमान गैर-रैखिक शब्द की उपेक्षा करने के बराबर है। इस प्रकार असंपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण बन जाते हैंः घनत्व ρ वाले तरल पदार्थ के लिए और गतिज चिपचिपाहट ν = μ/ρ (गतिशील चिपचिपाहट होने के कारण)। पी दबाव है। असंपीड़ित द्रव के लिए निरंतरता समीकरण के कारण, समाधान को वेक्टर क्षमता का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। यह दिशा में निर्देशित होता है और इसका परिमाण द्वि-आयामी समस्याओं में उपयोग किए जाने वाले धारा फलन के बराबर है। यह पता चलता हैः गोले के करीब प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या कहाँ है। ध्यान दें कि कुछ संकेतनों में इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ताकि से की व्युत्पत्ति द्वि-आयामी मामले (ध्रुवीय निर्देशांक में) में धारा फलन से इसकी व्युत्पत्ति के समान हो। विस्तार को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता हैः जहाँः, ताकि। एक प्रकार के वेक्टर का वेक्टर लाप्लेशियन पढ़ता हैः इस प्रकार यह गणना की जा सकती है किः इसलिएः इस प्रकार वर्टिसिटी हैः जहाँ हमने वेक्टर लैपलेसियन और एक डबल कर्ल को संबंधित करने के लिए विचलन के गायब होने का उपयोग किया है। गति की बाईं ओर का समीकरण निम्नलिखित का कर्ल हैः हम प्रत्येक पद के लिए अलग-अलग व्युत्पन्न की गणना करते हैं। ध्यान दें किः और यह भीः हमारे पास इस प्रकार हैः हमारे पास सभी शब्दों का संयोजनः कर्ल को लेते हुए, हम एक ऐसी अभिव्यक्ति पाते हैं जो निम्नलिखित फलन के प्रवणता के गुना के बराबर है, जो दबाव हैः अनंत पर दबाव कहाँ है, ध्रुवीय कोण सामने के ठहराव बिंदु के विपरीत दिशा से उत्पन्न हुआ है (जहाँ सामने का ठहराव बिंदु है)। इसके अलावा, वेग निम्न के कर्ल को लेकर प्राप्त किया जाता हैः ये p और u गति के समीकरण को संतुष्ट करते हैं और इस प्रकार ओसीन के सन्निकटन का समाधान बनाते हैं। हालाँकि, कोई यह सवाल कर सकता है कि क्या सुधार शब्द को संयोग से चुना गया था, क्योंकि गोले के साथ चलने वाले संदर्भ के ढांचे में, गोले के पास का तरल पदार्थ लगभग आराम में होता है, और उस क्षेत्र में जड़त्वीय बल नगण्य होता है और स्टोक्स का समीकरण अच्छी तरह से उचित है। गोले से बहुत दूर, प्रवाह वेग u तक पहुँचता है और ओसीन का सन्निकटन अधिक सटीक होता है। लेकिन पूरे प्रवाह क्षेत्र के लिए समीकरण को लागू करते हुए ओसीन का समीकरण प्राप्त किया गया था। इस प्रश्न का उत्तर प्राउडमैन और पियर्सन ने 1957 में दिया था, जिन्होंने नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल किया और गोले के पड़ोस में स्टोक्स का एक बेहतर समाधान दिया और अनंत पर ओसीन का एक बेहतर समाधान दिया, और दोनों समाधानों को उनकी वैधता के एक कथित सामान्य क्षेत्र में मिलान किया। उन्होंने प्राप्त कियाः अनुप्रयोग बहुत कम रेनॉल्ड्स संख्या पर प्रवाह के विश्लेषण के लिए विधि और सूत्रीकरण महत्वपूर्ण है। बायो-इंजीनियरिंग में तरल पदार्थ में छोटे कणों की धीमी गति आम है। ओसीन के ड्रैग फॉर्मूलेशन का उपयोग विभिन्न विशेष स्थितियों के तहत तरल पदार्थों के प्रवाह के संबंध में किया जा सकता है, जैसे किः कणों को शामिल करना, कणों का अवसादन, ट्यूमर और एंटीजन के अलगाव के माध्यम से निलंबन, कोलॉइड और रक्त का अपकेंद्रण या अल्ट्रासेंट्रीफ्यूगेशन। तरल भी तरल नहीं होना चाहिए, और कणों को ठोस होने की आवश्यकता नहीं है। इसका उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जा सकता है, जैसे कि धुंध का निर्माण और तरल पदार्थों का परमाणुकरण। केशिकाओं जैसी छोटी वाहिकाओं में रक्त प्रवाह की विशेषता रेनॉल्ड्स और वोमर्सली की छोटी संख्या होती है। रक्त के प्रवाह, चिपचिपाहट, घनत्व और हृदय गति के साथ व्यास की एक वाहिका में 0.005 की रेनॉल्ड्स संख्या और 0.0126 की वोमर्सली संख्या होगी। इन छोटी रेनॉल्ड्स और वोमर्सली संख्याओं पर, द्रव का चिपचिपा प्रभाव प्रमुख हो जाता है। दवा वितरण और कैंसर के मेटास्टेसिस आंदोलनों का अध्ययन करने के लिए इन कणों की गति को समझना आवश्यक है। टिप्पणियाँ संदर्भ द्रव गतिकी द्रव गतिकी के समीकरण