Rational number
गणित में, एक परिमेय संख्या एक ऐसी संख्या है जिसे दो पूर्णांकों, एक अंश और एक गैर-शून्य भाजक के भागफल या अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णांक है (उदाहरण के लिए, सभी परिमेय संख्याओं का समूह, जिसे "परिमेय" भी कहा जाता है, परिमेय का क्षेत्र या परिमेय संख्याओं का क्षेत्र आमतौर पर बोल्डफेस या ब्लैकबोर्ड बोल्ड द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याएँ जो तर्कसंगत हैं वे हैं जिनका दशमलव विस्तार या तो अंकों की एक सीमित संख्या के बाद समाप्त हो जाता है (उदाहरण के लिएः), या अंततः अंकों के एक ही सीमित अनुक्रम को बार-बार दोहराना शुरू कर देता है (उदाहरण के लिएः)। यह कथन न केवल आधार 10 में सच है, बल्कि हर अन्य पूर्णांक आधार में भी सच है, जैसे कि द्विआधारी और हेक्साडेसिमल वाले (देखें)। एक वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है, उसे अपरिमेय कहा जाता है। अपरिमेय संख्याओं में 2 का वर्गमूल, और स्वर्ण अनुपात () शामिल हैं। चूँकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणना योग्य है, और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय गणना योग्य नहीं है, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं। तर्कसंगत संख्याओं को औपचारिक रूप से पूर्णांकों के जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, निम्नानुसार परिभाषित समतुल्य संबंध का उपयोग करते हुएः अंश तब समतुल्य वर्ग को दर्शाता है। जोड़ और गुणन के साथ तर्कसंगत संख्याएँ एक क्षेत्र बनाती हैं जिसमें पूर्णांक होते हैं, और पूर्णांक वाले किसी भी क्षेत्र में निहित होते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र एक अभाज्य क्षेत्र है, और एक क्षेत्र की विशेषता शून्य होती है यदि और केवल तभी जब इसमें परिमेय संख्याएँ उपक्षेत्र के रूप में हों। के परिमित विस्तार को बीजगणितीय संख्या क्षेत्र कहा जाता है, और के बीजगणितीय समापन बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है। गणितीय विश्लेषण में, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक घना उपसमुच्चय बनाती हैं। कौची अनुक्रम, डेडेकिंड कट, या अनंत दशमलव का उपयोग करके पूर्ण करके परिमेय संख्याओं से वास्तविक संख्याओं का निर्माण किया जा सकता है (वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें)। शब्दावली समुच्चय के संदर्भ में परिमेय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एक परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करती है। गणित में, "परिमेय" का उपयोग अक्सर "परिमेय संख्या" को संक्षिप्त करने वाली संज्ञा के रूप में किया जाता है। कभी-कभी विशेषण परिमेय का अर्थ होता है कि गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमेय बिंदु परिमेय निर्देशांक वाला एक बिंदु है (यानी, एक बिंदु जिसका निर्देशांक परिमेय संख्याएँ हैं); एक परिमेय मैट्रिक्स परिमेय संख्याओं का एक मैट्रिक्स है; एक परिमेय बहुपद परिमेय गुणांक के साथ एक बहुपद हो सकता है, हालांकि "परिमेय अभिव्यक्ति" और "परिमेय फलन" के बीच भ्रम से बचने के लिए "परिमेय पर बहुपद" शब्द को आम तौर पर पसंद किया जाता है (एक बहुपद एक परिमेय अभिव्यक्ति है और एक परिमेय फलन को परिभाषित करता है, भले ही इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ न हों)। हालांकि, एक परिमेय वक्र परिमेय पर परिभाषित वक्र नहीं है, बल्कि एक वक्र है जिसे परिमेय कार्यों द्वारा मानकीकृत किया जा सकता है। हालांकि आजकल परिमेय संख्याओं को अनुपात के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, परिमेय शब्द अनुपात की व्युत्पत्ति नहीं है। इसके विपरीत, यह अनुपात है जो तर्कसंगत से प्राप्त होता हैः इसके आधुनिक अर्थ के साथ अनुपात का पहला उपयोग अंग्रेजी में लगभग 1660 में प्रमाणित किया गया था, जबकि योग्यता प्राप्त करने वाली संख्याओं के लिए तर्कसंगत का उपयोग लगभग एक सदी पहले 1570 में दिखाई दिया था। तर्कसंगत का यह अर्थ अतार्किक के गणितीय अर्थ से आया है, जिसका उपयोग पहली बार 1551 में किया गया था, और इसका उपयोग "यूक्लिड के अनुवाद (उनके विशिष्ट उपयोग के बाद)" में किया गया था। यह असामान्य इतिहास इस तथ्य से उत्पन्न हुआ कि प्राचीन यूनानी "उन [तर्कहीन] लंबाई को संख्याओं के रूप में सोचने से खुद को मना करके विधर्म से बचते थे।" इसलिए इस तरह की लंबाई अतार्किक थी, अतार्किक के अर्थ में, जिसका अर्थ है "के बारे में नहीं कहा जाना चाहिए" (ग्रीक में)। यह व्युत्पत्ति काल्पनिक संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के समान है। प्रत्येक परिमेय संख्या को एक अनूठे तरीके से एक अपरिवर्तनीय अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां और सहमौलिक पूर्णांक हैं और। इसे अक्सर परिमेय संख्या का विहित रूप कहा जाता है। एक परिमेय संख्या से शुरू करके इसका विहित रूप विभाजित करके और उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, और, यदि, परिणामी अंश और भाजक के संकेत को बदल दिया जाता है। पूर्णांकों का अंतःस्थापन किसी भी पूर्णांक को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो एक परिमेय संख्या के रूप में इसका विहित रूप है। समानता यदि और केवल यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तोः यदि और केवल यदि और क्रमबद्ध करना यदि दोनों भाजक धनात्मक हैं (विशेष रूप से यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं): यदि और केवल यदि दूसरी ओर, यदि कोई भी भाजक ऋणात्मक है, तो ऋणात्मक भाजक वाले प्रत्येक अंश को पहले एक धनात्मक भाजक के साथ एक समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए-अपने अंश और भाजक दोनों के संकेतों को बदलकर। जोड़ दो अंश निम्नानुसार जोड़े जाते हैंः यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में होता है यदि और केवल तभी जब सहमौलिक पूर्णांक हों। घटाव यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में होता है यदि और केवल तभी जब सहमौलिक पूर्णांक हों। गुणन के लिए नियम हैः जहां परिणाम एक कम करने योग्य अंश हो सकता है-भले ही दोनों मूल अंश विहित रूप में हों। व्युत्क्रम प्रत्येक परिमेय संख्या का एक योगात्मक व्युत्क्रम होता है, जिसे अक्सर इसके विपरीत कहा जाता है, यदि यह विहित रूप में है, तो यह इसके विपरीत के लिए भी सच है। एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का एक गुणक व्युत्क्रम होता है, जिसे इसका पारस्परिक भी कहा जाता है, यदि यह विहित रूप में है, तो इसके पारस्परिक का विहित रूप या तो है या इसके संकेत पर निर्भर करता है। विभाजन यदि गैर-शून्य हैं, तो विभाजन नियम है इस प्रकार, द्वारा विभाजित करना घातांक से पूर्णांक शक्ति के पारस्परिक द्वारा गुणा करने के बराबर है यदि एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, तो परिणाम विहित रूप में होता है यदि यह विशेष रूप से यदि, तो यदि विहित रूप में है, तो परिणाम का विहित रूप है यदि या सम है। अन्यथा, परिणाम का विहित रूप निरंतर अंश प्रतिनिधित्व है एक परिमित निरंतर अंश एक अभिव्यक्ति है जैसे कि पूर्णांक कहाँ हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित निरंतर अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणांक को यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू करके निर्धारित किया जा सकता है। अन्य प्रतिनिधित्व सामान्य अंशः मिश्रित अंकः एक विनकुलम का उपयोग करके दशमलव को दोहरानाः कोष्ठक का उपयोग करके दशमलव को दोहरानाः पारंपरिक टाइपोग्राफी का उपयोग करके निरंतर अंशः संक्षिप्त संकेतन में निरंतर अंशः मिस्र का अंशः अभाज्य शक्ति अपघटनः उद्धरण संकेतनः एक ही परिमेय मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीके हैं। औपचारिक निर्माण परिमेय संख्याओं को पूर्णांकों के क्रमबद्ध जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में बनाया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, इस तरह के पूर्णांकों के जोड़े का सेट होने दें। इस समुच्चय पर समतुल्यता संबंध को योग द्वारा परिभाषित किया जाता है और गुणन को निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया जा सकता हैः यह समतुल्यता संबंध एक सर्वांगता संबंध है, जिसका अर्थ है कि यह ऊपर परिभाषित योग और गुणन के साथ संगत है; परिमेय संख्याओं का समुच्चय इस समतुल्यता संबंध द्वारा निर्धारित भागफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उपरोक्त संचालन द्वारा प्रेरित योग और गुणन से सुसज्जित होता है। (यह निर्माण किसी भी अभिन्न क्षेत्र के साथ किया जा सकता है और इसके भिन्नों के क्षेत्र का उत्पादन करता है।) एक जोड़ी के समतुल्यता वर्ग को दो जोड़े के रूप में दर्शाया जाता है और एक ही समतुल्यता वर्ग (जो समतुल्य है) से संबंधित है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक समतुल्यता वर्ग को अनंत रूप से कई जोड़े द्वारा दर्शाया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक समतुल्यता वर्ग में एक अद्वितीय विहित प्रतिनिधि तत्व होता है। विहित प्रतिनिधि समतुल्यता वर्ग में अद्वितीय जोड़ी है जैसे कि और सहमौलिक हैं, और। इसे परिमेय संख्या के न्यूनतम शब्दों में प्रतिनिधित्व कहा जाता है। पूर्णांकों को परिमेय संख्या माना जा सकता है जो परिमेय संख्या के साथ पूर्णांक की पहचान करते हैं कुल क्रम को परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया जा सकता है, जो पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम का विस्तार करता है। सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय, ऊपर दिखाए गए योग और गुणन संचालन के साथ, एक क्षेत्र बनाता है। पहचान के अलावा कोई फील्ड ऑटोमोर्फिज्म नहीं है। (एक क्षेत्र स्वचालितता को 0 और 1 को ठीक करना चाहिए; क्योंकि इसे दो निश्चित तत्वों के योग और अंतर को ठीक करना चाहिए, इसे प्रत्येक पूर्णांक को ठीक करना चाहिए; क्योंकि इसे दो निश्चित तत्वों के भागफल को ठीक करना चाहिए, इसे प्रत्येक परिमेय संख्या को ठीक करना चाहिए, और इस प्रकार यह पहचान है।) एक अभाज्य क्षेत्र है, जो एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है। परिमेय विशेषता शून्य के साथ सबसे छोटा क्षेत्र है। ऊपर परिभाषित क्रम के साथ, एक क्रमबद्ध क्षेत्र है जिसमें स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है, और यह सबसे छोटा क्रमबद्ध क्षेत्र है, इस अर्थ में कि प्रत्येक क्रमबद्ध क्षेत्र में एक अद्वितीय उपक्षेत्र समरूपता होती है जो पूर्णांकों के अंशों का क्षेत्र है। परिमेय बहुपदों के मूल का क्षेत्र, बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है। तर्कसंगत एक सघन क्रमबद्ध समुच्चय हैंः किसी भी दो तर्कसंगतों के बीच, एक और बैठता है, और इसलिए, असीम रूप से कई अन्य। उदाहरण के लिए, किसी भी दो अंशों के लिए जैसे कि (जहां सकारात्मक हैं), हमारे पास कोई भी पूरी तरह से क्रमबद्ध समूह है जो गणना योग्य, घना (उपरोक्त अर्थ में) है, और जिसमें परिमेय संख्याओं के लिए कोई न्यूनतम या सबसे बड़ा तत्व समरूप क्रम नहीं है। गणना सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणना योग्य है, जैसा कि दाईं ओर के चित्र में दर्शाया गया है। चूंकि एक परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली की तरह एक वर्ग जाली पर किसी भी बिंदु के लिए दो पूर्णांक निर्धारित करना संभव है, जैसे कि कोई भी ग्रिड बिंदु एक परिमेय संख्या से मेल खाता है। हालाँकि, यह विधि अतिरेक के एक रूप को प्रदर्शित करती है, क्योंकि कई अलग-अलग ग्रिड बिंदु एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप होंगे; इन्हें प्रदान किए गए चित्र पर लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। एक स्पष्ट उदाहरण नीचे दाईं ओर विकर्ण रूप से जाने वाली रेखा में देखा जा सकता है; इस तरह के अनुपात हमेशा 1 के बराबर होंगे, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या को स्वयं से विभाजित करने पर हमेशा एक के बराबर होगा। इस तरह की अतिरेकताओं के बिना सभी परिमेय संख्याओं को उत्पन्न करना संभव हैः उदाहरणों में काल्किन-विल्फ वृक्ष और स्टर्न-ब्रोकोट वृक्ष शामिल हैं। चूँकि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणना योग्य है, और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (साथ ही अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय) गणना योग्य नहीं है, इसलिए परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक शून्य समुच्चय है, अर्थात, लेबस्ग्यू माप के अर्थ में लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं। वास्तविक संख्याएँ और स्थलाकृतिक गुण परिमेय वास्तविक संख्याओं का एक घना उपसमुच्चय हैं; प्रत्येक वास्तविक संख्या में परिमेय संख्याएँ मनमाने ढंग से इसके करीब होती हैं। एक संबंधित गुण यह है कि परिमेय संख्याएँ नियमित निरंतर अंशों के रूप में सीमित विस्तार वाली एकमात्र संख्याएँ हैं। वास्तविक संख्याओं की सामान्य स्थलविज्ञान में, परिमेय न तो एक खुला समुच्चय होते हैं और न ही एक बंद समुच्चय। उनके क्रम के आधार पर, तर्कसंगत एक क्रम टोपोलॉजी रखते हैं। परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याओं के उपक्षेत्र के रूप में, एक उपक्षेत्र स्थलविज्ञान भी रखती हैं। परिमेय संख्याएँ निरपेक्ष अंतर मीट्रिक का उपयोग करके एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं और यह तीनों टोपोलॉजी पर एक तीसरी टोपोलॉजी उत्पन्न करती है और परिमेय को एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में बदल देती है। परिमेय संख्याएँ उस स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से सघन नहीं है। रैशनलों को स्थलाकृतिक रूप से अलग-अलग बिंदुओं के बिना अद्वितीय गणना योग्य मापने योग्य स्थान के रूप में चिह्नित किया जाता है। जगह भी पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गई है। परिमेय संख्याएँ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान नहीं बनाती हैं, और वास्तविक संख्याएँ उपरोक्त मीट्रिक के तहत पूर्ण होती हैं। पी-एडिक संख्याएँ ऊपर उल्लिखित निरपेक्ष मूल्य मीट्रिक के अलावा, अन्य मेट्रिक्स हैं जो एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में बदल जाते हैंः मान लीजिए कि एक अभाज्य संख्या है और किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक के लिए, मान लीजिए कि विभाजन की उच्चतम शक्ति कहाँ है। इसके अलावा सेट किसी भी परिमेय संख्या के लिए जिसे हम निर्धारित करते हैं फिर उस पर एक मीट्रिक को परिभाषित करता है मीट्रिक स्थान पूर्ण नहीं है, और इसका पूरा होना-अडिक संख्या क्षेत्र है ओस्ट्रोव्स्की की प्रमेय बताती है कि परिमेय संख्याओं पर कोई भी गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान या तो सामान्य वास्तविक निरपेक्ष मान या-अडिक निरपेक्ष मान के बराबर है। डायडिक रैशनल फ्लोटिंग पॉइंट भी देखें फोर्ड वृत्त गौसीयन रैशनल नाइव ऊंचाई-सबसे कम अवधि में एक रैशनल संख्या की ऊंचाई निवेन की प्रमेय रैशनल डेटा प्रकार दिव्य अनुपातः रैशनल त्रिकोणमिति से सार्वभौमिक ज्यामिति संदर्भ बाहरी लिंक "रैशनल नंबर" मैथवर्ल्ड से-एक वोल्फ्रम वेब संसाधन प्राथमिक गणित क्षेत्र (गणित) अंश (गणित) वास्तविक संख्याओं के सेट