Lee–Yang theorem
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, ली-यांग प्रमेय बताता है कि यदि लौह चुम्बकीय अंतःक्रियाओं के साथ सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में कुछ मॉडलों के विभाजन कार्यों को बाहरी क्षेत्र के कार्यों के रूप में माना जाता है, तो सभी शून्य विशुद्ध रूप से काल्पनिक हैं (या चर के परिवर्तन के बाद इकाई वृत्त पर)। आइसिंग मॉडल के लिए पहला संस्करण साबित किया गया था। उनके परिणाम को बाद में कई लोगों द्वारा अधिक सामान्य मॉडलों तक बढ़ाया गया। 1970 में असानो ने ली-यांग प्रमेय को हाइजेनबर्ग मॉडल तक विस्तारित किया और असानो संकुचन का उपयोग करके एक सरल प्रमाण प्रदान किया। ली-यांग प्रमेय को आईसिंग मॉडल के एक सुपरपोजिशन द्वारा अनुमानित करके कुछ निरंतर संभावना वितरणों तक विस्तारित किया। उन्होंने एक सामान्य प्रमेय दिया जिसमें मोटे तौर पर कहा गया है कि ली-यांग प्रमेय एक लौह चुम्बकीय अंतःक्रिया के लिए मान्य है बशर्ते कि यह शून्य अंतःक्रिया के लिए मान्य हो। आर पर उपायों से लेकर उच्च-आयामी यूक्लिडियन स्थान पर उपायों तक न्यूमैन के परिणाम को सामान्यीकृत किया। ली-यांग प्रमेय और रीमान जीटा फलन के बारे में रीमान परिकल्पना के बीच संबंध के बारे में कुछ अटकलें लगाई गई हैं; देखें। कथन प्रारंभिक हैमिल्टनियन में औपचारिकरण के साथ दिया जाता है जहाँ Sj स्पिन चर हैं, zj बाहरी क्षेत्र। प्रणाली को लौह चुम्बकीय कहा जाता है यदि अंतःक्रिया शब्द Jjk में सभी गुणांक गैर-नकारात्मक वास्तविक हैं। विभाजन फलन इस प्रकार दिया जाता है कि जहाँ प्रत्येक dμj वास्तविक R पर एक सम माप है जो अनंत पर इतनी तेजी से कम हो रहा है कि सभी गौसी कार्य समाकलन योग्य हैं, अर्थात। वास्तविक पर तेजी से घटते उपाय को ली-यांग गुण कहा जाता है यदि इसके फूरियर परिवर्तन के सभी शून्य निम्नलिखित के रूप में वास्तविक हैं। प्रमेय ली-यांग प्रमेय में कहा गया है कि यदि हैमिल्टनियन लौह चुम्बकीय है और सभी मापों dμj में ली-यांग गुण है, और सभी संख्याओं zj में सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो विभाजन फलन गैर-शून्य है। विशेष रूप से यदि सभी संख्याएँ zj किसी संख्या z के बराबर हैं, तो विभाजन फलन (जिसे z का फलन माना जाता है) के सभी शून्य काल्पनिक हैं। ली और यांग द्वारा विचार किए गए मूल इसिंग मॉडल मामले में, सभी उपायों को 2 बिंदु सेट-1,1 पर समर्थन प्राप्त है, इसलिए विभाजन फलन को चर ρ = eπz का एक फलन माना जा सकता है। चर के इस परिवर्तन के साथ ली-यांग प्रमेय कहता है कि सभी शून्य ρ इकाई वृत्त पर स्थित हैं। ली-यांग गुण के साथ माप के कुछ उदाहरण हैंः इसिंग मॉडल का माप, जिसमें दो बिंदु (आमतौर पर 1 और-1) होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का वजन 1/2 होता है। यह ली और यांग द्वारा विचार किया गया मूल मामला है। स्पिन एन/2 का वितरण, जिसके समर्थन में एन + 1 समान दूरी वाले बिंदु हैं, प्रत्येक का वजन 1/(एन + 1) है। यह इसिंग मॉडल मामले का सामान्यीकरण है। - 1 और-1 के बीच समान रूप से वितरित माप का घनत्व। घनत्व धनात्मक λ और वास्तविक b के लिए घनत्व। यह (φ4) 2 यूक्लिडियन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से मेल खाता है। धनात्मक λ के घनत्व में हमेशा ली-यांग गुण नहीं होता है। यदि डी. एम. यू. में ली-यांग गुण है, तो किसी भी धनात्मक बी. के लिए एक्स. पी. (बी. एस. 2) डी. एम. यू. है। यदि डी. एम. यू. में ली-यांग गुण है, तो किसी भी सम बहुपद क्यू के लिए क्यू (एस) डी. एम. यू. करता है, जिसके सभी शून्य काल्पनिक हैं। ली-यांग संपत्ति के साथ दो उपायों के संयोजन में ली-यांग संपत्ति भी है। ली-यांग सिद्धांत संदर्भ यांग चेन-निंग त्सुंग-दाओ ली सांख्यिकीय यांत्रिकी प्रमेय भी देखें।