Superellipsoid
गणित में, एक सुपरेलिप्सॉइड (या सुपर-एलिप्सॉइड) एक ऐसा ठोस है जिसके क्षैतिज खंड समान वर्गता पैरामीटर के साथ सुपरेलिप्स (लैमे वक्र) हैं, और जिनके केंद्र के माध्यम से ऊर्ध्वाधर खंड वर्गता पैरामीटर के साथ सुपरेलिप्स हैं। यह एक दीर्घवृत्त का सामान्यीकरण है, जो एक विशेष मामला है जब। कंप्यूटर ग्राफिक्स आदिम के रूप में सुपरलिप्सॉइड को एलन एच. बार द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था (जिन्होंने सुपरलिप्सॉइड और सुपरटोरॉइड दोनों को संदर्भित करने के लिए "सुपरक्वाड्रिक्स" नाम का उपयोग किया था)। आधुनिक कंप्यूटर दृष्टि और रोबोटिक्स साहित्य में, सुपरक्वाड्रिक्स और सुपरएलिप्सॉइड का उपयोग एक दूसरे के स्थान पर किया जाता है, क्योंकि सुपरएलिप्सॉइड सभी सुपरक्वाड्रिक्स में सबसे अधिक प्रतिनिधि और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले आकार हैं। सुपरेलिप्सॉइड में एक समृद्ध आकार की शब्दावली होती है, जिसमें क्यूबॉइड, सिलेंडर, एलिप्सॉइड, ऑक्टाहेड्रा और उनके मध्यवर्ती शामिल हैं। यह कंप्यूटर दृष्टि, रोबोटिक्स और भौतिक अनुकरण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय आदिम बन जाता है। सुपरेलिप्सॉइड के साथ वस्तुओं और पर्यावरण का वर्णन करने का मुख्य लाभ इसकी संक्षिप्तता और आकार में अभिव्यक्ति है। इसके अलावा, दो सुपरेलिप्सॉइड के बीच मिन्कोव्स्की योग की एक बंद-रूप अभिव्यक्ति उपलब्ध है। यह इसे रोबोट पकड़ने, टकराव का पता लगाने और गति योजना के लिए एक वांछनीय ज्यामितीय आदिम बनाता है। सुपरक्वाड्रिक विज़ुअलाइज़ेशन, सैंपलिंग और रिकवरी के लिए उपयोगी उपकरण और एल्गोरिदम यहाँ ओपन-सोर्स हैं। विशेष मामले मानों के सही सेट को देखते हुए कुछ उल्लेखनीय गणितीय आंकड़े सुपरेलिप्सॉइड के विशेष मामलों के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं, जिन्हें उपरोक्त चित्र में दर्शाया गया हैः सिलेंडर स्फेयर स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड बाइकोन रेगुलर ऑक्टाहेड्रॉन क्यूब, एक सीमित मामले के रूप में जहां प्रतिपादक अनंत की ओर जाते हैं, पीट हेन के सुपररेग भी सुपरेलिप्सॉइड के विशेष मामले हैं। सूत्र मूल (सामान्यीकृत) सुपरएलिप्सॉइड मूल सुपरएलिप्सॉइड को अंतर्निहित कार्य मापदंडों द्वारा परिभाषित किया जाता है और वे सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जो आकार के वर्ग को नियंत्रित करती हैं। सुपरेलिप्सॉइड की सतह को समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता हैः किसी भी दिए गए बिंदु के लिए, बिंदु सुपरेलिप्सॉइड के अंदर स्थित है यदि, और बाहर यदि। सुपरएलिप्सॉइड का कोई भी "अक्षांश का समानांतर" (-1 और + 1 के बीच किसी भी स्थिरांक z पर एक क्षैतिज खंड) घातांक के साथ एक लैमे वक्र है, जिसके द्वारा मापा जाता है, जो कि कोई भी "देशांतर का मेरिडियन" (मूल के माध्यम से किसी भी ऊर्ध्वाधर तल द्वारा एक खंड) घातांक के साथ एक लैमे वक्र है, जो एक कारक डब्ल्यू द्वारा क्षैतिज रूप से फैला हुआ है जो विभाजन तल पर निर्भर करता है। अर्थात्, यदि और, किसी दिए गए के लिए, तो खंड वह है जहाँ विशेष रूप से, यदि 1 है, तो क्षैतिज क्रॉस-सेक्शन वृत्त हैं, और ऊर्ध्वाधर वर्गों का क्षैतिज खिंचाव सभी विमानों के लिए 1 है। उस स्थिति में, सुपरेलिप्सॉइड एक घूर्णन ठोस है, जो ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घातांक के साथ लैमे वक्र को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। ऊपर की मूल आकृति प्रत्येक निर्देशांक अक्ष के साथ-1 से + 1 तक फैली हुई है। सामान्य सुपरएलिप्सॉइड को प्रत्येक अक्ष के साथ मूल आकार को कारकों, परिणामी ठोस के अर्ध-व्यास द्वारा मापने से प्राप्त किया जाता है। अंतर्निहित कार्य है। इसी तरह, सुपरेलिप्सॉइड की सतह को समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है किसी भी दिए गए बिंदु के लिए, बिंदु सुपरेलिप्सॉइड के अंदर स्थित है यदि, और बाहर यदि। इसलिए, अंतर्निहित कार्य को सुपरेलिप्सॉइड का अंदर-बाहर कार्य भी कहा जाता है। सुपरेलिप्सॉइड में सतह मापदंडों के संदर्भ में एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व है। कंप्यूटर दृष्टि और रोबोटिक अनुप्रयोगों में, 3डी यूक्लिडियन स्थान में एक सामान्य मुद्रा के साथ एक सुपरएलिप्सॉइड आमतौर पर अधिक रुचि का होता है। विश्व फ्रेम के सापेक्ष सुपरेलिप्सॉइड फ्रेम के दिए गए यूक्लिडियन परिवर्तन के लिए, विश्व फ्रेम को परिभाषित एक सामान्य पोज्ड सुपरेलिप्सॉइड सतह का अंतर्निहित कार्य है जहां परिवर्तन ऑपरेशन है जो विश्व फ्रेम में बिंदु को कैनॉनिकल सुपरेलिप्सॉइड फ्रेम में मैप करता है। सुपरेलिप्सॉइड का आयतन सुपरेलिप्सॉइड सतह द्वारा परिवेष्टित आयतन को बीटा कार्यों के संदर्भ में, या गामा कार्य के साथ समतुल्य रूप से व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि डेटा से पुनर्प्राप्ति कच्चे डेटा से सुपरेलिप्सॉइड (या सुपरक्वाड्रिक्स) प्रतिनिधित्व को पुनर्प्राप्त करना (जैसे, बिंदु बादल, जाल, चित्र और वोक्सेल) कंप्यूटर दृष्टि, रोबोटिक्स और भौतिक अनुकरण में एक महत्वपूर्ण कार्य है। पारंपरिक कम्प्यूटेशनल विधियाँ समस्या को कम से कम वर्ग समस्या के रूप में मॉडल करती हैं। लक्ष्य सुपरएलिप्सॉइड मापदंडों के इष्टतम सेट का पता लगाना है जो एक वस्तुनिष्ठ कार्य को छोटा करते हैं। आकार मापदंडों के अलावा, विश्व निर्देशांक के संबंध में सुपरेलिप्सॉइड फ्रेम की मुद्रा है। आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले दो वस्तुनिष्ठ कार्य हैं। पहला सीधे अंतर्निहित कार्य के आधार पर बनाया गया है वस्तुनिष्ठ कार्य का न्यूनतमकरण सभी इनपुट बिंदुओं के जितना संभव हो उतना करीब एक पुनर्प्राप्त सुपरएलिप्सॉइड प्रदान करता है। इस बीच, स्केलर मान सुपरेलिप्सॉइड के आयतन के लिए सकारात्मक रूप से आनुपातिक है, और इस प्रकार आयतन को कम करने का प्रभाव भी पड़ता है। अन्य उद्देश्य फलन बिंदुओं और सुपरेलिप्सॉइड के बीच रेडियल दूरी को कम करने का प्रयास करता है। यही वह जगह है जहाँ ई. एम. एस. नामक एक संभावित विधि शोर और बाहरी लोगों से निपटने के लिए डिज़ाइन की गई है। इस विधि में, सुपरेलिप्सॉइड पुनर्प्राप्ति को अधिकतम संभावना अनुमान समस्या के रूप में पुनर्निर्मित किया जाता है, और सुपरेलिप्सॉइड की ज्यामितीय समानताओं का उपयोग करके स्थानीय मिनीमा से बचने के लिए एक अनुकूलन विधि प्रस्तावित की जाती है। एक साथ कई सुपरेलिप्सॉइड को पुनर्प्राप्त करने के लिए गैर-पैरामीट्रिक बायेसियन तकनीकों के साथ मॉडलिंग करके विधि को आगे बढ़ाया जाता है। आई. ई. ई. ई. कंप्यूटर ग्राफिक्स एंड एप्लीकेशन में संदर्भ ग्रंथ सूची बार, "सुपरक्वाड्रिक्स एंड एंगल-प्रिजर्वेशन ट्रांसफॉर्मेशन", वॉल्यूम। 1, नहीं। 1, पीपी। 11-23, जनवरी 1981, डोईः 10.1109/MCG.1981.1673799। एलेक्स जैकलिच, एलेक्स लियोनार्डिस, फ्रैंक सोलिना, सेगमेंटेशन एंड रिकवरी ऑफ सुपरक्वाड्रिक्स। क्लूवर एकेडेमिक पब्लिशर्स, डोरड्रेक्ट, 2000। अलेश जैकलिच, फ्रैंक सोलिना (2003) मोमेंट्स ऑफ सुपरलिप्सॉइड्स एंड देयर एप्लीकेशन टू रेंज इमेज रजिस्ट्रेशन। सिस्टम, मैन और साइबर्नेटिक्स पर आई. ई. ई. ई. स्थानांतरण, 33 (4)। पीपी। 648-657 डब्ल्यू. लियू, वाई. वू, एस. रुआन और जी. एस. चिरिकजियान, "रोबस्ट एंड एक्यूरेट सुपरक्वाड्रिक रिकवरीः ए प्रोबेबिलिस्टिक अप्रोच", 2022 आई. ई. ई. ई./सी. वी. एफ. कॉन्फ्रेंस ऑन कंप्यूटर विज़न एंड पैटर्न रिकग्निशन (सी. वी. पी. आर.), न्यू ऑरलियन्स, एल. ए., यू. एस. ए., 2022, पीपी. 2666-2675, डोईः 10.1109/CVPR52688.2022.00270। बाहरी लिंक ग्रंथ सूचीः सुपरक्वाड्रिक प्रतिनिधित्व सुपरक्वाड्रिक टेंसर ग्लिफ्स सुपरक्वाड्रिक एलिप्सॉइड्स और टोरॉइड्स, ओपनजीएल लाइटिंग, और रॉबर्ट क्रैगलर द्वारा टाइमिंग सुपरक्वाड्रेटिक्स, द वोल्फ्राम डेमॉन्स्ट्रेशन प्रोजेक्ट। पायथन और मैटलैब में सुपरक्वाड्रिक्स रिकवरी एल्गोरिदम कंप्यूटर ग्राफिक्स कंप्यूटर दृष्टि रोबोटिक्स कंप्यूटर दृष्टि में ज्यामिति