Möbius configuration
ज्यामिति में, मोबियस विन्यास या मोबियस टेट्राड्स यूक्लिडियन स्पेस या प्रोजेक्टिव स्पेस में एक निश्चित विन्यास है, जिसमें दो टेट्राहेड्रा होते हैं जो पारस्परिक रूप से उत्कीर्ण होते हैंः एक टेट्राहेड्रॉन का प्रत्येक शीर्ष दूसरे टेट्राहेड्रॉन के एक चेहरे के तल पर स्थित होता है और इसके विपरीत। इस प्रकार, आठ बिंदुओं और आठ तलों की परिणामी प्रणाली के लिए, प्रत्येक बिंदु चार तलों पर स्थित होता है (तीन तल इसे एक टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष के रूप में परिभाषित करते हैं और चौथा तल दूसरे टेट्राहेड्रॉन से जिस पर यह स्थित होता है), और प्रत्येक तल में चार बिंदु होते हैं (इसके चेहरे के तीन टेट्राहेड्रॉन शीर्ष, और दूसरे टेट्राहेड्रॉन से शीर्ष जो उस पर स्थित होता है)। मोबियस की प्रमेय विन्यास का नाम अगस्त फर्डिनेंड मोबियस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1828 में यह साबित किया कि यदि दो टेट्राहेड्रा में यह गुण है कि उनके सात शीर्ष दूसरे टेट्राहेड्रॉन के संबंधित चेहरे के तल पर स्थित हैं, तो आठवां शीर्ष भी अपने संबंधित चेहरे के तल पर स्थित है, जिससे इस प्रकार का विन्यास बनता है। यह आपतन प्रमेय एक त्रि-आयामी प्रक्षेपात्मक स्थान में अधिक आम तौर पर सच है यदि और केवल तभी जब पैपस की प्रमेय उस स्थान (रीडेमेस्टर, स्कोनहार्ट) के लिए होती है, और यह एक विभाजन रिंग पर मॉडल किए गए त्रि-आयामी स्थान के लिए सच है यदि और केवल तभी जब रिंग कम्यूटेटिव नियम को संतुष्ट करती है और इसलिए एक क्षेत्र (अल-धाहिर) है। प्रोजेक्टिव डुअलिटी से, मोबियस का परिणाम इस कथन के बराबर है कि, यदि दो टेट्राहेड्रा के आठ फेस प्लेन में से सात में अन्य टेट्राहेड्रॉन के संबंधित शीर्ष होते हैं, तो आठवें फेस प्लेन में भी वही शीर्ष होता है। निर्माण विन्यास के लिए एक सरल निर्माण का वर्णन करता है। यूक्लिडियन स्पेस में एक मनमाने बिंदु p से शुरू करते हुए, A, B, C और D को p के माध्यम से चार तल होने दें, जिनमें से कोई भी तीन एक सामान्य प्रतिच्छेदन रेखा साझा नहीं करते हैं, और छह बिंदुओं q, r, s, t, u और v को इन विमानों के जोड़ीदार प्रतिच्छेदन द्वारा बनाई गई छह रेखाओं पर इस तरह से रखें कि इनमें से कोई भी चार बिंदु सह-समतल न हों। ए, बी, सी और डी विमानों में से प्रत्येक के लिए, सात बिंदुओं में से चार पी, क्यू, आर, एस, टी, यू और वी उस विमान पर स्थित हैं और तीन इससे विच्छेदित हैं; क्रमशः ए, बी, सी और डी से विच्छेदित बिंदुओं के तिहरे के माध्यम से विमान ए ', बी', सी 'और डी' बनाते हैं। फिर, मोबियस प्रमेय के दोहरे रूप से, ये चार नए तल एक ही बिंदु डब्ल्यू में मिलते हैं। आठ बिंदु पी, क्यू, आर, एस, टी, यू, वी और डब्ल्यू और आठ तल ए, बी, सी, डी, ए ', बी', सी 'और डी' मोबियस विन्यास का एक उदाहरण बनाते हैं। संबंधित संरचनाओं में (संदर्भों के बिना) कहा गया है कि प्रत्येक तल पर चार बिंदुओं के साथ आठ बिंदु और आठ तल वाले पांच विन्यास हैं और प्रत्येक बिंदु के माध्यम से चार तल हैं जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में प्राप्त किए जा सकते हैंः इस तरह के विन्यासों में आशुलिपि संकेतन होता है। उन्होंने लेख से अपनी जानकारी प्राप्त की होगी। यह वास्तव में बताता है, और के परिणामों के आधार पर, कि गुण के साथ पांच विन्यास हैं कि अधिक से अधिक दो विमानों में दो बिंदु समान हैं, और दोहरी रूप से अधिक से अधिक दो बिंदु दो विमानों के लिए समान हैं। (इस स्थिति का मतलब है कि हर तीन बिंदु गैर-समरेखीय हो सकते हैं और दोनों में तीन विमानों में एक रेखा समान नहीं हो सकती है।) हालाँकि, दस अन्य विन्यास हैं जिनमें यह स्थिति नहीं है, और सभी पंद्रह विन्यास वास्तविक त्रि-आयामी स्थान में प्राप्त करने योग्य हैं। रुचि के विन्यास वे हैं जिनमें दो टेट्राहेड्रा हैं, जिनमें से प्रत्येक दूसरे को अंकित और घेरता है, और ये ठीक वही हैं जो उपरोक्त गुण को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार, टेट्राहेड्रा के साथ पाँच विन्यास हैं, और वे सममित समूह के पाँच संयुग्म वर्गों के अनुरूप हैं। एक टेट्राहेड्रॉन S = ABCD के चार बिंदुओं से एक क्रमपरिवर्तन प्राप्त होता है जो इस प्रकार हैः S का प्रत्येक बिंदु P दूसरे टेट्राहेड्रॉन T के तीन बिंदुओं वाले तल पर होता है। यह T के दूसरे बिंदु को छोड़ देता है, जो S के तल के तीन बिंदुओं पर होता है, और S का दूसरा बिंदु Q छोड़ देता है, और इसलिए क्रमपरिवर्तन P → Q का मानचित्र बनाता है। पाँच संयुग्म वर्गों के प्रतिनिधि ई, (12) (34), (12), (123), (1234) हैं और इनमें से मोबियस विन्यास संयुग्म वर्ग ई से मेल खाता है। इसे के कहा जा सकता है। स्टेनिट्ज द्वारा यह कहा गया है कि यदि के के पूरक टेट्राहेड्रा में से दो हैं, और फिर आठ तल विषम के साथ दिए जाते हैं, जबकि सम योग और उनके पूरक सभी पूरक टेट्राहेड्रा के जोड़े के अनुरूप होते हैं जो के के मॉडल में-और घेर लेते हैं। यह भी कहा गया है कि स्टेनिट्ज़ द्वारा केवल जो एक ज्यामितीय प्रमेय है वह मोबियस विन्यास है। हालाँकि यह विवादित हैः एक कंप्यूटर खोज और प्रमाण का उपयोग करके दिखाता है कि वास्तव में दो "प्रमेय" हैंः मोबियस विन्यास और एक अन्य। उत्तरार्द्ध (जो ऊपर संयुग्म वर्ग (12) (34) से मेल खाता है) भी एक क्षेत्र पर सभी त्रि-आयामी प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के लिए एक प्रमेय है, लेकिन एक सामान्य विभाजन रिंग पर नहीं। दोनों विन्यासों के बीच अन्य निकट समानताएं हैं, जिसमें यह तथ्य भी शामिल है कि दोनों ही मैट्रायड द्वैतता के तहत स्व-द्वैत हैं। अमूर्त शब्दों में, बाद के विन्यास में "बिंदु" 0,., 7 और "तल" 0125 + i, (i = 0,., 7) हैं, जहां ये पूर्णांक मॉड्यूलो आठ हैं। मोबियस की तरह इस विन्यास को दो टेट्राहेड्रा के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जो परस्पर उत्कीर्ण और परिवेष्टित हैंः पूर्णांक प्रतिनिधित्व में टेट्राहेड्रा 0347 और 1256 हो सकता है। हालाँकि, ये दोनों विन्यास गैर-समरूप हैं, क्योंकि मोबियस में चार जोड़े असंबद्ध तल हैं, जबकि बाद वाले में कोई असंबद्ध तल नहीं है। इसी तरह के कारण से (और क्योंकि विमानों के जोड़े विकृत द्विघात सतह हैं), मोबियस विन्यास बाद के विन्यास की तुलना में त्रि-आयामी स्थान की अधिक द्विघात सतहों पर है। मोबियस विन्यास के लेवी ग्राफ में 16 शीर्ष हैं, प्रत्येक बिंदु या विन्यास के तल के लिए एक, प्रत्येक आपतित बिंदु-तल जोड़ी के लिए एक किनारे के साथ। यह 16-वर्टेक्स हाइपरक्यूब ग्राफ क्यू4 के समरूप है। एक निकट से संबंधित विन्यास, मोबियस-कांटोर विन्यास जो दो पारस्परिक रूप से उत्कीर्ण चतुर्भुज द्वारा बनाया गया है, में मोबियस-कांटोर ग्राफ है, जो क्यू4 का एक उपग्राफ है, जो इसके लेवी ग्राफ के रूप में है। संदर्भ। .. .. .. .. .. .. गेसमेल्टे वर्क (1886) में, वॉल्यूम। 1, पीपी. 439-446। .. .. .. .. विन्यास (ज्यामिति)