Resolution (algebra)
गणित में, और विशेष रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित में, एक रिज़ॉल्यूशन (या बाएँ रिज़ॉल्यूशन; दोहरी रूप से एक कोरेसॉल्यूशन या दाएँ रिज़ॉल्यूशन) मॉड्यूल (या, अधिक सामान्य रूप से, एक अबेलियन श्रेणी की वस्तुओं का) का एक सटीक अनुक्रम है, जिसका उपयोग इस श्रेणी के एक विशिष्ट मॉड्यूल या वस्तु की संरचना की विशेषता वाले अपरिवर्तकों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। जब, आमतौर पर, तीर दाईं ओर उन्मुख होते हैं, तो अनुक्रम (बाएं) संकल्पों के लिए बाईं ओर और सही संकल्पों के लिए दाईं ओर अनंत माना जाता है। हालांकि, एक परिमित संकल्प वह है जहां अनुक्रम में केवल परिमित रूप से कई वस्तुएं गैर-शून्य होती हैं; इसे आमतौर पर एक सीमित सटीक अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें सबसे बाईं वस्तु (संकल्पों के लिए) या सबसे दाहिनी वस्तु (सह-संकल्पों के लिए) शून्य-वस्तु होती है। आम तौर पर, अनुक्रम में वस्तुओं को कुछ गुण पी (उदाहरण के लिए मुक्त होने के लिए) के लिए प्रतिबंधित किया जाता है। इस प्रकार एक पी संकल्प की बात की जाती है। विशेष रूप से, प्रत्येक मॉड्यूल में मुफ्त संकल्प, प्रोजेक्टिव संकल्प और फ्लैट संकल्प होते हैं, जो क्रमशः मुफ्त मॉड्यूल, प्रोजेक्टिव मॉड्यूल या फ्लैट मॉड्यूल से युक्त बचे हुए संकल्प होते हैं। इसी तरह प्रत्येक मॉड्यूल में इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन होते हैं, जो इंजेक्टिव मॉड्यूल से युक्त सही रिज़ॉल्यूशन होते हैं। मॉड्यूल के संकल्प परिभाषा एक रिंग आर पर एक मॉड्यूल एम को देखते हुए, एम का एक लेफ्ट रिज़ॉल्यूशन (या बस रिज़ॉल्यूशन) आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम (संभवतः अनंत) है। मानचित्र ε को संवर्द्धन मानचित्र कहा जाता है। संक्षिप्तता के लिए, उपरोक्त संकल्प को इस रूप में लिखा जा सकता है दोहरी धारणा एक सही संकल्प (या सह-संकल्प, या बस संकल्प) की है। विशेष रूप से, एक रिंग आर पर एक मॉड्यूल एम दिए जाने पर, एक सही रिज़ॉल्यूशन आर-मॉड्यूल का संभवतः अनंत सटीक अनुक्रम है जहां प्रत्येक सी. आई. एक आर-मॉड्यूल है (रिज़ॉल्यूशन में वस्तुओं पर सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करना और उनके बीच के मानचित्रों का उपयोग करना आम है ताकि इस तरह के रिज़ॉल्यूशन की दोहरी प्रकृति को इंगित किया जा सके)। संक्षिप्तता के लिए, उपरोक्त संकल्प को ए (सह) संकल्प के रूप में लिखा जा सकता है जिसे परिमित कहा जाता है यदि केवल सीमित रूप से शामिल कई मॉड्यूल गैर-शून्य हैं। एक परिमित रिज़ॉल्यूशन की लंबाई अधिकतम सूचकांक एन है जो परिमित रिज़ॉल्यूशन में एक गैर-शून्य मॉड्यूल को लेबल करती है। मुफ्त, प्रोजेक्टिव, इंजेक्टिव और फ्लैट रिज़ॉल्यूशन कई परिस्थितियों में दिए गए मॉड्यूल एम को हल करने वाले मॉड्यूल पर शर्तें लगाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक मॉड्यूल एम का एक फ्री रिज़ॉल्यूशन एक लेफ्ट रिज़ॉल्यूशन है जिसमें सभी मॉड्यूल मुक्त आर-मॉड्यूल हैं। इसी तरह, प्रोजेक्टिव और फ्लैट रिज़ॉल्यूशन लेफ्ट रिज़ॉल्यूशन होते हैं जैसे कि सभी Ei क्रमशः प्रोजेक्टिव और फ्लैट R-मॉड्यूल होते हैं। इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन सही रिज़ॉल्यूशन हैं जिनके सभी सी. आई. इंजेक्टिव मॉड्यूल हैं। प्रत्येक आर-मॉड्यूल में एक फ्री लेफ्ट रिज़ॉल्यूशन होता है। एक दुर्भाग्य से, प्रत्येक मॉड्यूल प्रोजेक्टिव और फ्लैट संकल्पों को भी स्वीकार करता है। प्रमाण विचार E0 को M के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त R-मॉड्यूल के रूप में परिभाषित करना है, और फिर E1 को प्राकृतिक मानचित्र E0 → M आदि के कर्नेल के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त R-मॉड्यूल के रूप में परिभाषित करना है। दोनों में, प्रत्येक आर-मॉड्यूल में एक इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन होता है। प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन (और, अधिक सामान्य रूप से, फ्लैट रिज़ॉल्यूशन) का उपयोग टोर फ़ंक्टर की गणना करने के लिए किया जा सकता है। एक मॉड्यूल एम का प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन एक चेन होमोटॉपी तक अद्वितीय है, यानी, दो प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन पी0-एम और पी1-एम को देखते हुए उनके बीच एक चेन होमोटॉपी मौजूद है। संकल्पों का उपयोग समरूप आयामों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। एक मॉड्यूल एम के परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन की न्यूनतम लंबाई को इसका प्रोजेक्टिव आयाम कहा जाता है और इसे पी. डी. (एम) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक मॉड्यूल में प्रोजेक्टिव आयाम शून्य होता है यदि और केवल अगर यह एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल है। यदि एम एक परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन को स्वीकार नहीं करता है तो प्रोजेक्टिव आयाम अनंत है। उदाहरण के लिए, एक कम्यूटेटिव स्थानीय रिंग आर के लिए, प्रोजेक्टिव आयाम सीमित है यदि और केवल तभी जब आर नियमित है और इस मामले में यह आर के क्रल आयाम के साथ मेल खाता है। इंजेक्टिव और प्रोजेक्टिव आयामों का उपयोग सही आर मॉड्यूल की श्रेणी पर आर के लिए एक समरूप आयाम को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिसे आर का सही वैश्विक आयाम कहा जाता है। इसी तरह, सपाट आयाम का उपयोग कमजोर वैश्विक आयाम को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इन आयामों का व्यवहार वलय की विशेषताओं को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, एक रिंग का सही वैश्विक आयाम 0 होता है यदि और केवल तभी जब यह एक अर्ध-सरल रिंग हो, और एक रिंग का कमजोर वैश्विक आयाम 0 होता है यदि और केवल तभी जब यह एक वॉन न्यूमैन नियमित रिंग हो। मान लीजिए कि एम एक श्रेणीबद्ध बीजगणित पर एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल है, जो एक क्षेत्र पर अपने सकारात्मक डिग्री के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है। फिर एम का एक मुक्त संकल्प होता है जिसमें मुक्त मॉड्यूल ईआई को इस तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है कि डीआई और ε श्रेणीबद्ध रैखिक मानचित्र हों। इन श्रेणीबद्ध मुक्त संकल्पों में, न्यूनतम मुक्त संकल्प वे हैं जिनके लिए प्रत्येक ई. आई. के आधार तत्वों की संख्या न्यूनतम है। प्रत्येक ई. आई. के आधार तत्वों की संख्या और उनकी डिग्री एक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल के सभी न्यूनतम मुक्त संकल्पों के लिए समान होती है। यदि I एक क्षेत्र पर एक बहुपद वलय में एक सजातीय आदर्श है, तो I द्वारा परिभाषित प्रोजेक्टिव बीजगणितीय समुच्चय की कैस्टेलनुवोवो-मम्फोर्ड नियमितता न्यूनतम पूर्णांक r है जैसे कि न्यूनतम मुक्त संकल्प में Ei के आधार तत्वों की डिग्री I सभी r-i से कम हैं। उदाहरण एक मुक्त संकल्प का एक उत्कृष्ट उदाहरण एक स्थानीय वलय में एक नियमित अनुक्रम के कोसजुल परिसर द्वारा या एक क्षेत्र पर परिमित रूप से उत्पन्न श्रेणीबद्ध बीजगणित में एक सजातीय नियमित अनुक्रम द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए कि X एक एसफेरिकल स्पेस है, यानी इसका सार्वभौमिक आवरण E संकुचन योग्य है। फिर E का प्रत्येक एकवचन (या सरल) श्रृंखला परिसर मॉड्यूल Z का एक मुक्त संकल्प है जो न केवल वलय Z पर बल्कि समूह वलय Z [π1 (X)] पर भी होता है। अबेलियन श्रेणियों में संकल्प एक अबेलियन श्रेणी ए में एक वस्तु एम के संकल्प की परिभाषा ऊपर के समान है, लेकिन ईआई और सीआई ए में वस्तुएं हैं, और इसमें शामिल सभी मानचित्र ए में आकृतिवाद हैं। प्रोजेक्टिव और इंजेक्टिव मॉड्यूल की समान धारणा प्रोजेक्टिव और इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट हैं, और तदनुसार, प्रोजेक्टिव और इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन हैं। हालाँकि, इस तरह के संकल्प सामान्य अबेलियन श्रेणी ए में मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है। यदि ए की प्रत्येक वस्तु में एक प्रोजेक्टिव (रेस्प) है। इंजेक्टिव) रिज़ॉल्यूशन, फिर ए को पर्याप्त प्रोजेक्टिव (आर. एस. पी.) कहा जाता है। पर्याप्त इंजेक्शन)। भले ही वे मौजूद हों, ऐसे संकल्पों के साथ काम करना अक्सर मुश्किल होता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रत्येक आर-मॉड्यूल में एक इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन होता है, लेकिन यह रिज़ॉल्यूशन फंक्शनल नहीं है, यानी, एक होमोमोर्फिज्म M → M 'को देखते हुए, इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन के साथ सामान्य रूप से और के बीच एक नक्शा प्राप्त करने का कोई फंक्शनल तरीका नहीं है। सामान्य रूप से प्रोजेक्टिव संकल्पों के बिना एबेलियन श्रेणियां प्रोजेक्टिव संकल्पों के बिना एबेलियन श्रेणियों के उदाहरणों का एक वर्ग एक योजना पर सुसंगत आवरणों की श्रेणियां हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रोजेक्टिव स्पेस है, तो किसी भी सुसंगत आवरण में एक सटीक अनुक्रम द्वारा दी गई प्रस्तुति होती है। लेकिन, दोनों शब्द स्थानीय रूप से स्वतंत्र हैं, और स्थानीय रूप से सपाट हैं। कुछ व्युत्पन्न फंक्टरों की गणना के लिए प्रोजेक्टिव संकल्पों को प्रतिस्थापित करते हुए, कुछ गणनाओं के लिए दोनों वर्गों के आवरणों का उपयोग किया जा सकता है। एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन कई मामलों में व्यक्ति वास्तव में एक रिज़ॉल्यूशन में दिखाई देने वाली वस्तुओं में रुचि नहीं रखता है, लेकिन एक दिए गए फ़ंक्टर के संबंध में रिज़ॉल्यूशन के व्यवहार में रुचि रखता है। इसलिए, कई स्थितियों में, एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन की धारणा का उपयोग किया जाता हैः दो अबेलियन श्रेणियों के बीच एक बाएं सटीक फ़ंक्टर F: A → B को देखते हुए, A के एक वस्तु M के रिज़ॉल्यूशन को F-एसाइक्लिक कहा जाता है, यदि व्युत्पन्न फ़ंक्टर RiF (En) सभी i> 0 और n ≤ 0 के लिए गायब हो जाते हैं। दोहरी रूप से, एक बाएँ रिज़ॉल्यूशन एक दाएँ सटीक फ़ंक्टर के संबंध में चक्रीय होता है यदि इसके व्युत्पन्न फ़ंक्टर रिज़ॉल्यूशन की वस्तुओं पर गायब हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक आर मॉड्यूल एम को देखते हुए, टेंसर उत्पाद एक सही सटीक फंक्टर मॉड (आर) → मॉड (आर) है। इस फंक्टर के संबंध में प्रत्येक फ्लैट रिज़ॉल्यूशन चक्रीय है। एक सपाट संकल्प प्रत्येक एम द्वारा टेंसर उत्पाद के लिए एसाइक्लिक होता है। इसी तरह, सभी फंक्टर होम (⋅, एम) के लिए एसाइक्लिक संकल्प प्रोजेक्टिव संकल्प होते हैं और जो फंक्टर होम (एम, ⋅) के लिए एसाइक्लिक होते हैं वे इंजेक्टिव संकल्प होते हैं। कोई भी इंजेक्टिव (प्रोजेक्टिव) रिज़ॉल्यूशन किसी भी बाएं सटीक (दाएं सटीक, क्रमशः) फंक्शन के लिए एफ-एसाइक्लिक होता है। एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि व्युत्पन्न फ़ंक्टर आर. आई. एफ. (एक बाएं सटीक फ़ंक्टर का, और इसी तरह एक दाएं सटीक फ़ंक्टर का एल. आई. एफ.) को एफ-एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन के समरूपता के रूप में प्राप्त किया जा सकता हैः एक वस्तु एम के एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन को देखते हुए, हमारे पास है जहां दाहिने हाथ की ओर परिसर की आई-वीं समरूपता वस्तु है। उदाहरण के लिए, स्थिर आवरण आर के लिए एक अवकलनीय मैनिफोल्ड एम पर चिकनी अवकल रूपों की आवरणों द्वारा हल किया जा सकता हैः आवरण महीन आवरण होते हैं, जिन्हें वैश्विक खंड कारक के संबंध में चक्रीय माना जाता है। इसलिए, शीफ कोहोमोलॉजी, जो वैश्विक अनुभाग फ़ंक्टर का व्युत्पन्न फ़ंक्टर है, की गणना इस प्रकार की जाती है कि इसी तरह गॉडमेंट संकल्प वैश्विक अनुभाग फ़ंक्टर के संबंध में चक्रीय होते हैं। मानक संकल्प हिल्बर्ट-बर्च प्रमेय हिल्बर्ट का सिज़ीजी प्रमेय भी देखें मुक्त प्रस्तुति मैट्रिक्स गुणनखंडन (बीजगणित) टिप्पणियाँ संदर्भ समजातीय बीजगणित मॉड्यूल सिद्धांत