Abstract algebra
गणित में, विशेष रूप से बीजगणित, अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन है। बीजगणितीय संरचनाओं में एक क्षेत्र पर समूह, वलय, क्षेत्र, मॉड्यूल, सदिश स्थान, जाली और बीजगणित शामिल हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द को 20वीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अलग करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से प्राथमिक बीजगणित से, गणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग। बीजगणित पर अमूर्त परिप्रेक्ष्य उन्नत गणित के लिए इतना मौलिक हो गया है कि इसे केवल "बीजगणित" कहा जाता है, जबकि "अमूर्त बीजगणित" शब्द का उपयोग शिक्षाशास्त्र को छोड़कर शायद ही कभी किया जाता है। बीजगणितीय संरचनाएँ, अपने संबंधित समरूपताओं के साथ, गणितीय श्रेणियाँ बनाती हैं। श्रेणी सिद्धांत उन गुणों और निर्माणों का अध्ययन करने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है जो विभिन्न संरचनाओं के लिए समान हैं। सार्वभौमिक बीजगणित एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकारों का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक बीजगणित में समूहों की संरचना एक ही वस्तु है, जिसे समूहों की विविधता कहा जाता है। उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित को बहुपदों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया गया था। अमूर्त बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के दौरान अस्तित्व में आया क्योंकि अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों का विकास हुआ। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और बीजगणितीय समीकरणों के समाधानों से आए। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, वे गणित की विभिन्न शाखाओं से अलग-अलग तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो एक मूल के रूप में कार्य करता था जिसके आसपास विभिन्न परिणामों को समूहीकृत किया गया था, और अंत में अवधारणाओं के एक सामान्य समूह के आधार पर एकीकृत हो गया। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के शुरुआती दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, वलय और क्षेत्रों की औपचारिक स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ हुईं। यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डेन का आधुनिक बीजगणित, जो प्रत्येक अध्याय को एक संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ शुरू करता है और फिर ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करता है। प्राथमिक बीजगणित बहुपद समीकरणों या बीजगणितीय समीकरणों के अध्ययन का एक लंबा इतिहास है। बेबीलोनवासी शब्द समस्याओं के रूप में निर्दिष्ट द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम थे। इस शब्द समस्या चरण को अलंकारिक बीजगणित के रूप में वर्गीकृत किया गया है और यह 16वीं शताब्दी तक प्रमुख दृष्टिकोण था। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी ने 830 ईस्वी में "बीजगणित" शब्द की उत्पत्ति की, लेकिन उनका काम पूरी तरह से अलंकारिक बीजगणित था। फ्रांस्वा वाइटे के 1591 के नए बीजगणित तक पूरी तरह से प्रतीकात्मक बीजगणित प्रकट नहीं हुआ था, और यहां तक कि इसमें कुछ वर्तनी वाले शब्द थे जिन्हें डेसकार्टेस के 1637 ला जियोमेट्री में प्रतीक दिए गए थे। प्रतीकात्मक समीकरणों को हल करने के औपचारिक अध्ययन ने लियोनहार्ड यूलर को 18वीं शताब्दी के अंत में उन चीजों को स्वीकार करने के लिए प्रेरित किया जिन्हें तब "मूर्खतापूर्ण" मूल माना जाता था जैसे कि नकारात्मक संख्याएँ और काल्पनिक संख्याएँ। हालाँकि, अधिकांश यूरोपीय गणितविदों ने 19वीं शताब्दी के मध्य तक इन अवधारणाओं का विरोध किया। जॉर्ज पीकॉक का 1830 का ट्रीटीज ऑफ अलजेब्रा बीजगणित को कड़ाई से प्रतीकात्मक आधार पर रखने का पहला प्रयास था। उन्होंने एक नए प्रतीकात्मक बीजगणित को अलग किया, जो पुराने अंकगणितीय बीजगणित से अलग था। जबकि अंकगणितीय बीजगणित में सीमित है, प्रतीकात्मक बीजगणित में संचालन के सभी नियम बिना किसी प्रतिबंध के होते हैं। इस मोर का उपयोग करने से अंदर जाने देने जैसे नियम दिखाई दे सकते हैं। मयूर ने अपने तर्क को सही ठहराने के लिए समतुल्य रूपों के स्थायित्व के सिद्धांत का उपयोग किया, लेकिन उनका तर्क प्रेरण की समस्या से ग्रस्त था। उदाहरण के लिए, यह गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए लागू होता है, लेकिन सामान्य जटिल संख्याओं के लिए नहीं। प्रारंभिक समूह सिद्धांत गणित के कई क्षेत्रों ने समूहों के अध्ययन को प्रेरित किया। क्विंटिक समीकरण के समाधानों के लैग्रेंज के 1770 के अध्ययन ने बहुपद के गैलोइस समूह को जन्म दिया। गॉस के 1801 के फर्माट के छोटे प्रमेय के अध्ययन ने पूर्णांक मॉड्यूलो एन के वलय, पूर्णांक मॉड्यूलो एन के गुणक समूह और चक्रीय समूहों और अबेलियन समूहों की अधिक सामान्य अवधारणाओं को जन्म दिया। क्लेन के 1872 के एर्लान्जेन कार्यक्रम ने ज्यामिति का अध्ययन किया और यूक्लिडियन समूह और प्रोजेक्टिव परिवर्तनों के समूह जैसे समरूपता समूहों का नेतृत्व किया। 1874 में लाइ ने "विभेदक समीकरणों के गैलोइस सिद्धांत" के उद्देश्य से लाइ समूहों के सिद्धांत की शुरुआत की। 1876 में पोइनकेयर और क्लेन ने विश्लेषण में ऑटोमोर्फिक कार्यों पर काम के आधार पर मोबियस परिवर्तनों के समूह और इसके उपसमूह जैसे मॉड्यूलर समूह और फ्यूशियन समूह की शुरुआत की। समूह की अमूर्त अवधारणा उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में धीरे-धीरे उभरी। 1832 में गैलोइस "समूह" शब्द का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे, जो रचना के तहत बंद किए गए क्रमपरिवर्तनों के संग्रह को दर्शाते हैं। आर्थर केले के 1854 के पेपर ऑन द थ्योरी ऑफ ग्रुप्स ने एक समूह को एक सहयोगी रचना संचालन और पहचान 1 के साथ एक समूह के रूप में परिभाषित किया, जिसे आज एक मोनॉइड कहा जाता है। 1870 में क्रोनेकर ने एक अमूर्त द्विआधारी संचालन को परिभाषित किया जो एक सीमित अबेलियन समूह के लिए आधुनिक कानूनों के समान बंद, परिवर्तनीय, सहयोगी था, और इसमें बाएं रद्द करने का गुण था। वेबर की 1882 की एक समूह की परिभाषा एक बंद द्विआधारी ऑपरेशन थी जो सहयोगी थी और जिसमें बाएं और दाएं रद्द करना था। 1882 में वाल्थेर वॉन डाइक को समूह की परिभाषा के हिस्से के रूप में व्युत्क्रम तत्वों की आवश्यकता थी। एक बार जब यह अमूर्त समूह अवधारणा उभरी, तो परिणामों को इस अमूर्त सेटिंग में फिर से तैयार किया गया। उदाहरण के लिए, सायलो के प्रमेय को 1887 में फ्रोबेनियस द्वारा सीधे एक परिमित समूह के नियमों से पुनः प्रमाणित किया गया था, हालांकि फ्रोबेनियस ने टिप्पणी की कि प्रमेय का अनुसरण क्रमपरिवर्तन समूहों पर कॉची के प्रमेय से किया गया था और यह तथ्य कि प्रत्येक परिमित समूह एक क्रमपरिवर्तन समूह का एक उपसमूह है। ओटो होल्डर इस क्षेत्र में विशेष रूप से विपुल थे, जिन्होंने 1889 में भागफल समूहों, 1893 में समूह ऑटोमोर्फिज्म के साथ-साथ सरल समूहों को परिभाषित किया। उन्होंने जॉर्डन-होल्डर प्रमेय को भी पूरा किया। डेडेकिंड और मिलर ने स्वतंत्र रूप से हैमिल्टनियन समूहों की विशेषता बताई और दो तत्वों के कम्यूटेटर की धारणा को पेश किया। बर्नसाइड, फ्रोबेनियस और मोलियन ने उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का निर्माण किया। जे. ए. डी सेगुइयर के 1905 के मोनोग्राफ एलिमेंट्स ऑफ द थ्योरी ऑफ एब्स्ट्रैक्ट ग्रुप्स ने इनमें से कई परिणामों को एक अमूर्त, सामान्य रूप में प्रस्तुत किया, जिसमें "ठोस" समूहों को एक परिशिष्ट में बदल दिया गया, हालांकि यह सीमित समूहों तक सीमित था। सीमित और अनंत दोनों अमूर्त समूहों पर पहला मोनोग्राफ ओ. के. श्मिट का 1916 का समूहों का अमूर्त सिद्धांत था। प्रारंभिक रिंग सिद्धांत गैर-परिवर्तनीय रिंग सिद्धांत जटिल संख्याओं के अति-जटिल संख्याओं के विस्तार के साथ शुरू हुआ, विशेष रूप से 1843 में विलियम रोवन हैमिल्टन के चतुर्थक। जल्द ही कई अन्य संख्या प्रणालियों का पालन किया गया। 1844 में, हैमिल्टन ने द्विघातों को प्रस्तुत किया, केले ने ऑक्टोनिओं को पेश किया, और ग्रासमैन ने बाहरी बीजगणित को पेश किया। जेम्स कॉकल ने 1848 में टेसरीन और 1849 में कोक्वाटर्नियन प्रस्तुत किए। विलियम किंगडन क्लिफोर्ड ने 1873 में विभाजन-सर्वव्यापी की शुरुआत की। इसके अलावा केले ने 1854 में वास्तविक और जटिल संख्याओं पर समूह बीजगणित और 1855 और 1858 के दो पत्रों में वर्ग मैट्रिक्स की शुरुआत की। एक बार जब पर्याप्त उदाहरण थे, तो उन्हें वर्गीकृत करना बाकी था। 1870 के एक मोनोग्राफ में, बेंजामिन पियर्से ने 6 से नीचे के आयाम की 150 से अधिक अति जटिल संख्या प्रणालियों को वर्गीकृत किया, और एक सहयोगी बीजगणित की एक स्पष्ट परिभाषा दी। उन्होंने निलपोटेन्ट और इडेम्पोटेंट तत्वों को परिभाषित किया और साबित किया कि किसी भी बीजगणित में एक या दूसरा होता है। उन्होंने पियर्से अपघटन को भी परिभाषित किया। 1878 में फ्रोबेनियस और 1881 में चार्ल्स सैंडर्स पियर्से ने स्वतंत्र रूप से साबित किया कि केवल परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित वास्तविक संख्याएँ, जटिल संख्याएँ और चतुर्थक थे। 1880 के दशक में किलिंग और कार्टन ने दिखाया कि अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा को सरल में विघटित किया जा सकता है, और सभी सरल लाइ अल्जेब्रा को वर्गीकृत किया जा सकता है। इससे प्रेरित होकर, 1890 के दशक में कार्टन, फ्रोबेनियस और मोलियन ने (स्वतंत्र रूप से) साबित किया कि एक परिमित-आयामी सहयोगी बीजगणित या विशिष्ट रूप से एक निलपोटेन्ट बीजगणित और एक अर्ध-सरल बीजगणित के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है जो कुछ संख्या में सरल बीजगणित, विभाजन बीजगणित पर वर्ग मैट्रिक्स का उत्पाद है। कार्टन ने सबसे पहले प्रत्यक्ष योग और सरल बीजगणित जैसी अवधारणाओं को परिभाषित किया और ये अवधारणाएं काफी प्रभावशाली साबित हुईं। 1907 में वेडरबर्न ने कार्टन के परिणामों को एक मनमाने क्षेत्र में विस्तारित किया, जिसे अब वेडरबर्न प्रमुख प्रमेय और आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय कहा जाता है। कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए, कई क्षेत्रों ने एक साथ कम्यूटेटिव रिंग सिद्धांत को जन्म दिया। 1828 और 1832 में दो पत्रों में, गॉस ने गॉसियन पूर्णांक तैयार किए और दिखाया कि वे एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र (यू. एफ. डी.) बनाते हैं और द्विघात पारस्परिकता नियम को साबित करते हैं। जैकोबी और आइजेनस्टीन लगभग एक ही समय में आइजेनस्टीन पूर्णांकों के लिए एक घन पारस्परिकता नियम साबित हुए। फर्माट के अंतिम प्रमेय के अध्ययन ने बीजगणितीय पूर्णांकों को जन्म दिया। 1847 में, गैब्रियल लैमे ने सोचा कि उन्होंने एफ. एल. टी. साबित कर दिया है, लेकिन उनका प्रमाण दोषपूर्ण था क्योंकि उन्होंने माना कि सभी साइक्लोटोमिक क्षेत्र यू. एफ. डी. थे, फिर भी जैसा कि कुमेर ने बताया, यू. एफ. डी. नहीं था। 1846 और 1847 में कुमेर ने आदर्श संख्याओं की शुरुआत की और साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के लिए आदर्श अभाज्य संख्याओं में अद्वितीय गुणनखंडन साबित किया। डेडेकिंड ने 1871 में इसका विस्तार यह दिखाने के लिए किया कि एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांक के क्षेत्र में प्रत्येक गैर-शून्य आदर्श अभाज्य आदर्शों का एक अद्वितीय उत्पाद है, जो डेडेकिंड डोमेन के सिद्धांत का एक अग्रदूत है। कुल मिलाकर, डेडेकिंड के काम ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत का विषय बनाया। 1850 के दशक में, रीमान ने रीमान सतह की मौलिक अवधारणा पेश की। रीमैन के तरीके एक धारणा पर निर्भर थे जिसे उन्होंने डिरिचलेट का सिद्धांत कहा था, जिस पर 1870 में वेयरस्ट्रास ने सवाल उठाया था। बहुत बाद में, 1900 में, हिल्बर्ट ने भिन्नताओं के कलन में प्रत्यक्ष विधि विकसित करके रीमान के दृष्टिकोण को उचित ठहराया। 1860 और 1870 के दशक में, क्लेबश, गोर्डन, ब्रिल और विशेष रूप से एम. नोथर ने बीजगणितीय कार्यों और वक्रों का अध्ययन किया। विशेष रूप से, नोइथर ने अध्ययन किया कि एक बहुपद के लिए बहुपद वलय में दो बीजगणितीय वक्रों द्वारा उत्पन्न आदर्श का एक तत्व होने के लिए किन शर्तों की आवश्यकता थी, हालांकि नोइथर ने इस आधुनिक भाषा का उपयोग नहीं किया था। 1882 में डेडेकिंड और वेबर ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत पर डेडेकिंड के पहले के काम के अनुरूप, बीजगणितीय फलन क्षेत्रों का एक सिद्धांत बनाया जिसने रीमान सतह की पहली कठोर परिभाषा और रीमान-रॉच प्रमेय का एक कठोर प्रमाण दिया। 1880 के दशक में क्रोनेकर, 1890 में हिल्बर्ट, 1905 में लास्कर और 1913 में मैकाले ने ई. नोथर के काम में निहित बहुपद वलय के आदर्शों की आगे जांच की। लास्कर ने लास्कर-नोइथर प्रमेय का एक विशेष मामला साबित किया, अर्थात् कि एक बहुपद वलय में प्रत्येक आदर्श प्राथमिक आदर्शों का एक परिमित प्रतिच्छेदन है। मकाउली ने इस अपघटन की विशिष्टता को साबित किया। कुल मिलाकर, इस काम से बीजगणितीय ज्यामिति का विकास हुआ। 1801 में गॉस ने पूर्णांकों पर द्विआधारी द्विघात रूपों की शुरुआत की और उनकी समतुल्यता को परिभाषित किया। उन्होंने आगे इन रूपों के विभेदक को परिभाषित किया, जो एक द्विआधारी रूप का अपरिवर्तनीय है। 1860 और 1890 के दशक के बीच अपरिवर्तनीय सिद्धांत विकसित हुआ और बीजगणित का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। केले, सिल्वेस्टर, गोर्डन और अन्य लोगों ने द्विआधारी चतुर्थक रूपों और घन रूपों के लिए जैकोबियन और हेसियन की खोज की। 1868 में गोर्डन ने साबित किया कि जटिल संख्याओं पर द्विआधारी रूप के अपरिवर्तकों का श्रेणीबद्ध बीजगणित परिमित रूप से उत्पन्न किया गया था, यानी इसका एक आधार है। हिल्बर्ट ने 1885 में अपरिवर्तनीय पर एक थीसिस लिखा और 1890 में दिखाया कि किसी भी डिग्री या चर की संख्या के किसी भी रूप का एक आधार होता है। उन्होंने इसे 1890 में हिल्बर्ट के आधार प्रमेय तक विस्तारित किया। एक बार इन सिद्धांतों को विकसित किए जाने के बाद, एक अमूर्त वलय अवधारणा के उभरने में अभी भी कई दशक लगे थे। पहली स्वयंसिद्ध परिभाषा 1914 में अब्राहम फ्रेंकेल द्वारा दी गई थी। उनकी परिभाषा मुख्य रूप से मानक स्वयंसिद्ध थीः दो संचालन जोड़ के साथ एक सेट, जो एक समूह बनाता है (आवश्यक रूप से परिवर्तनीय नहीं), और गुणन, जो सहयोगी है, जोड़ पर वितरित करता है, और एक पहचान तत्व है। इसके अलावा, उनके पास पी-एडिक संख्याओं पर काम से प्रेरित "नियमित तत्वों" पर दो स्वयंसिद्ध सिद्धांत थे, जिसमें पूर्णांकों के वलय जैसे अब-सामान्य वलय शामिल नहीं थे। इसने फ्रेंकेल को यह साबित करने की अनुमति दी कि जोड़ परिवर्तनीय था। फ्रेंकेल के काम का उद्देश्य स्टीनित्ज़ की 1910 की क्षेत्रों की परिभाषा को रिंग्स में स्थानांतरित करना था, लेकिन यह कंक्रीट प्रणालियों पर मौजूदा काम से जुड़ा नहीं था। मसाज़ो सोनो की 1917 की परिभाषा वर्तमान के समकक्ष पहली थी। 1920 में, एम्मी नोथर ने डब्ल्यू. श्मिडलर के सहयोग से आदर्शों के सिद्धांत के बारे में एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने एक रिंग में बाएं और दाएं आदर्शों को परिभाषित किया। अगले वर्ष उन्होंने (गणितीय) आदर्शों के संबंध में आरोही श्रृंखला स्थितियों का विश्लेषण करते हुए रिंगबेरीचेन (रिंगों में आदर्श सिद्धांत) में आइडियलथियोरी नामक एक ऐतिहासिक पेपर प्रकाशित किया। इस प्रकाशन ने "नोथेरियन रिंग" शब्द को जन्म दिया, और कई अन्य गणितीय वस्तुओं को नोथेरियन कहा जा रहा है। प्रसिद्ध बीजगणितविद् इरविंग कप्लान्स्की ने इस काम को "क्रांतिकारी" कहा; जो परिणाम बहुपद वलय के गुणों से अटूट रूप से जुड़े हुए प्रतीत होते थे, उन्हें एकल स्वयंसिद्ध से अनुसरण करते हुए दिखाया गया था। आर्टिन, नोइथर के काम से प्रेरित होकर, अवरोही श्रृंखला स्थिति के साथ आया। इन परिभाषाओं ने अमूर्त वलय सिद्धांत के जन्म को चिह्नित किया। प्रारंभिक क्षेत्र सिद्धांत 1801 में गॉस ने पूर्णांक मॉड पी की शुरुआत की, जहाँ पी एक अभाज्य संख्या है। गैलोइस ने 1830 में इसे तत्वों के साथ सीमित क्षेत्रों में विस्तारित किया। 1871 में रिचर्ड डेडेकिंड ने वास्तविक या जटिल संख्याओं के एक समूह के लिए, जो चार अंकगणितीय संचालन के तहत बंद है, जर्मन शब्द कोर्पर पेश किया, जिसका अर्थ है "शरीर" या "कॉर्पस" (एक जैविक रूप से बंद इकाई का सुझाव देने के लिए)। अंग्रेजी शब्द "फील्ड" की शुरुआत 1893 में मूर द्वारा की गई थी। 1881 में लियोपोल्ड क्रोनेकर ने तर्कसंगतता के क्षेत्र को परिभाषित किया, जो आधुनिक शब्दों में तर्कसंगत अंशों का क्षेत्र है। अमूर्त क्षेत्र की पहली स्पष्ट परिभाषा 1893 में हेनरिक मार्टिन वेबर के कारण थी। इसमें गुणन के लिए सहयोगी नियम की कमी थी, लेकिन इसमें सीमित क्षेत्र और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्र शामिल थे। 1910 में स्टीनित्ज़ ने अब तक संचित अमूर्त क्षेत्र सिद्धांत के ज्ञान को संश्लेषित किया। उन्होंने आधुनिक परिभाषा के साथ क्षेत्रों को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया, उन्हें उनकी विशेषताओं के आधार पर वर्गीकृत किया, और आज आम तौर पर देखे जाने वाले कई प्रमेयों को साबित किया। अन्य प्रमुख क्षेत्र रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना, जिसके कारण रैखिक बीजगणित हुआ आधुनिक बीजगणित 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत में गणित की पद्धति में बदलाव देखा गया। अमूर्त बीजगणित 20वीं शताब्दी की शुरुआत में आधुनिक बीजगणित के नाम से उभरा। इसका अध्ययन गणित में अधिक बौद्धिक कठोरता के लिए अभियान का हिस्सा था। प्रारंभ में, शास्त्रीय बीजगणित में धारणाएँ, जिन पर संपूर्ण गणित (और प्राकृतिक विज्ञान के प्रमुख भाग) निर्भर करते हैं, ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों का रूप ले लिया। ठोस वस्तुओं के गुणों को स्थापित करने से संतुष्ट नहीं होने के कारण, गणितविदों ने अपना ध्यान सामान्य सिद्धांत पर केंद्रित करना शुरू कर दिया। 19वीं शताब्दी में कुछ बीजगणितीय संरचनाओं की औपचारिक परिभाषाएँ उभरने लगीं। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन के विभिन्न समूहों के बारे में परिणामों को सामान्य प्रमेयों के उदाहरणों के रूप में देखा जाने लगा जो एक अमूर्त समूह की सामान्य धारणा से संबंधित हैं। विभिन्न गणितीय वस्तुओं की संरचना और वर्गीकरण के प्रश्न सामने आए। ये प्रक्रियाएँ पूरे गणित में घटित हो रही थीं, लेकिन बीजगणित में विशेष रूप से स्पष्ट हो गईं। समूह, वलय और क्षेत्र जैसी कई बुनियादी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए आदिम संचालन और स्वयंसिद्ध के माध्यम से औपचारिक परिभाषा प्रस्तावित की गई थी। इसलिए समूह सिद्धांत और वलय सिद्धांत जैसी चीजों ने शुद्ध गणित में अपना स्थान बना लिया। अर्न्स्ट स्टेनिट्ज़ द्वारा सामान्य क्षेत्रों की बीजगणितीय जांच और फिर डेविड हिल्बर्ट, एमिल आर्टिन और एमी नोथर द्वारा परिवर्तनीय और फिर सामान्य रिंगों की, अर्न्स्ट कुमेर, लियोपोल्ड क्रोनेकर और रिचर्ड डेडेकिंड के काम पर आधारित, जिन्होंने परिवर्तनीय रिंगों में आदर्शों पर विचार किया था, और जॉर्ज फ्रोबेनियस और इसाई शूर, समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संबंध में, अमूर्त बीजगणित को परिभाषित करने के लिए आए। 19वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और 20वीं शताब्दी की पहली तिमाही के इन विकासों को बार्टेल वैन डेर वेर्डेन के आधुनिक बीजगणित में व्यवस्थित रूप से उजागर किया गया था, जो 1930-1931 में प्रकाशित दो-खंड मोनोग्राफ है जो समीकरणों के सिद्धांत से बीजगणित के विचार को बीजगणितीय संरचनाओं के सिद्धांत में पुनर्निर्देशित करता है। बुनियादी अवधारणाएँ विभिन्न मात्राओं के विवरण को अलग करके, गणितविदों ने विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं को परिभाषित किया है जिनका उपयोग गणित के कई क्षेत्रों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, अध्ययन की गई लगभग सभी प्रणालियाँ समुच्चय हैं, जिन पर समुच्चय सिद्धांत के प्रमेय लागू होते हैं। जिन सेटों पर एक निश्चित द्विआधारी क्रिया परिभाषित होती है, वे मैग्मा बनाते हैं, जिन पर मैग्मा से संबंधित अवधारणाएं, साथ ही सेटों से संबंधित अवधारणाएं लागू होती हैं। हम बीजगणितीय संरचना पर अतिरिक्त बाधाओं को जोड़ सकते हैं, जैसे कि सहयोगीता (अर्धसमूह बनाने के लिए); पहचान, और व्युत्क्रम (समूह बनाने के लिए); और अन्य अधिक जटिल संरचनाएँ। अतिरिक्त संरचना के साथ, अधिक प्रमेयों को साबित किया जा सकता है, लेकिन व्यापकता कम हो जाती है। बीजगणितीय वस्तुओं का "पदानुक्रम" (सामान्यता के संदर्भ में) संबंधित सिद्धांतों का एक पदानुक्रम बनाता हैः उदाहरण के लिए, समूह सिद्धांत के प्रमेयों का उपयोग वलय का अध्ययन करते समय किया जा सकता है (बीजगणितीय ऑब्जेक्ट जिनमें कुछ स्वयंसिद्ध के साथ दो द्विआधारी संचालन होते हैं) क्योंकि एक वलय अपने कार्यों में से एक पर एक समूह है। सामान्य तौर पर सामान्यता की मात्रा और सिद्धांत की समृद्धि के बीच एक संतुलन होता हैः अधिक सामान्य संरचनाओं में आमतौर पर कम गैर-तुच्छ प्रमेय और कम अनुप्रयोग होते हैं। एकल द्विआधारी संक्रिया के साथ बीजगणितीय संरचनाओं के उदाहरण हैंः मैग्मा क्वासिग्रुप मोनॉइड सेमीग्रुप ग्रुप कई संक्रियाओं को शामिल करने वाले उदाहरणों में शामिल हैंः रिंग फील्ड मॉड्यूल वेक्टर स्पेस बीजगणित एक क्षेत्र पर सहयोगी बीजगणित लाइ बीजगणित जाली बूलियन बीजगणित अमूर्त बीजगणित की शाखाएं समूह सिद्धांत एक समूह एक "समूह उत्पाद" के साथ एक समूह है, एक द्विआधारी संक्रिया। समूह निम्नलिखित परिभाषित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता हैः पहचानः एक तत्व मौजूद है, जिसमें प्रत्येक तत्व के लिए, यह धारण करता है। इसके विपरीतः के प्रत्येक तत्व के लिए, एक तत्व मौजूद है ताकि। रिंग सिद्धांत एक रिंग दो द्विआधारी संचालन के साथ एक सेट है, जोड़ः और गुणनः निम्नलिखित स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करना। जोड़ के तहत एक कम्यूटेटिव समूह है। गुणन के तहत एक मोनॉइड है। जोड़ के संबंध में गुणन वितरणात्मक है। अपनी व्यापकता के कारण, अमूर्त बीजगणित का उपयोग गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय वस्तुओं का उपयोग करती है। 2003 में साबित किए गए पोइनकेयर अनुमान में दावा किया गया है कि एक मैनिफोल्ड का मौलिक समूह, जो जुड़ाव के बारे में जानकारी को कूटबद्ध करता है, का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि एक मैनिफोल्ड एक गोला है या नहीं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत विभिन्न संख्या चक्रों का अध्ययन करता है जो पूर्णांकों के समूह को सामान्यीकृत करते हैं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के उपकरणों का उपयोग करते हुए, एंड्रयू वाइल्स ने फर्माट के अंतिम प्रमेय को साबित किया। भौतिकी में, समूहों का उपयोग समरूपता संचालन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, और समूह सिद्धांत का उपयोग अंतर समीकरणों को सरल बना सकता है। गेज सिद्धांत में, स्थानीय समरूपता की आवश्यकता का उपयोग किसी प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरणों का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। उन सममितियों का वर्णन करने वाले समूह लाइ समूह हैं, और लाइ समूहों और लाइ बीजगणित के अध्ययन से भौतिक प्रणाली के बारे में बहुत कुछ पता चलता है; उदाहरण के लिए, एक सिद्धांत में बल वाहकों की संख्या लाइ बीजगणित के आयाम के बराबर है, और ये बोसॉन उस बल के साथ बातचीत करते हैं जो वे मध्यस्थता करते हैं यदि लाइ बीजगणित नॉनबेलियन है। कोडिंग सिद्धांत समूह सिद्धांत अमूर्त बीजगणित में प्रकाशनों की सूची संदर्भ ग्रंथ सूची आगे पढ़ने के लिए डब्ल्यू. कीथ निकोलसन (2012) अमूर्त बीजगणित का परिचय, चौथा संस्करण, जॉन विली एंड संस देखें। जॉन आर. डर्बिन (1992) मॉडर्न अलजेब्राः एन इंट्रोडक्शन, जॉन विली एंड संस एक्सटर्नल लिंक्स चार्ल्स सी. पिंटर (1990) [1982] ए बुक ऑफ एब्स्ट्रैक्ट अलजेब्रा, दूसरा संस्करण, मैरीलैंड विश्वविद्यालय से।