Optical phase space
क्वांटम प्रकाशिकी में, एक ऑप्टिकल चरण स्थान एक चरण स्थान है जिसमें एक ऑप्टिकल प्रणाली की सभी क्वांटम अवस्थाओं का वर्णन किया जाता है। ऑप्टिकल चरण स्थान में प्रत्येक बिंदु एक ऑप्टिकल प्रणाली की एक अद्वितीय स्थिति से मेल खाता है। ऐसी किसी भी प्रणाली के लिए, एक दूसरे के खिलाफ चतुर्भुज का एक भूखंड, संभवतः समय के कार्यों के रूप में, एक चरण आरेख कहा जाता है। यदि चतुर्भुज समय के कार्य हैं तो ऑप्टिकल चरण आरेख समय के साथ एक क्वांटम ऑप्टिकल प्रणाली के विकास को दिखा सकता है। एक ऑप्टिकल चरण आरेख प्रणाली के गुणों और व्यवहारों में अंतर्दृष्टि दे सकता है जो अन्यथा स्पष्ट नहीं हो सकता है। यह प्रणाली के उन गुणों का संकेत दे सकता है जो एक ऑप्टिकल प्रणाली का अध्ययन करने वाले व्यक्ति के लिए दिलचस्प हो सकते हैं जो अन्यथा अनुमान लगाना बहुत कठिन होगा। एक ऑप्टिकल चरण आरेख के लिए एक और उपयोग यह है कि यह एक ऑप्टिकल प्रणाली की स्थिति के विकास को दर्शाता है। इसका उपयोग किसी भी समय ऑप्टिकल प्रणाली की स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। पृष्ठभूमि की जानकारी प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत पर चर्चा करते समय, एक मॉडल के रूप में विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर का उपयोग करना बहुत आम है। एक विद्युत चुम्बकीय दोलक विद्युत क्षेत्र के दोलन का वर्णन करता है। चूँकि चुंबकीय क्षेत्र विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की दर के समानुपाती है, इसलिए यह भी दोलन करता है। इस तरह के दोलन प्रकाश का वर्णन करते हैं। ऐसे ऑसिलेटरों से बनी प्रणालियों को एक ऑप्टिकल चरण स्थान द्वारा वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए कि u (x, t) एक विद्युत चुम्बकीय दोलक के एकल मोड का वर्णन करने वाला एक सदिश फलन है। सरलता के लिए, यह माना जाता है कि यह विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर निर्वात में है। एक उदाहरण समतल तरंग है जिसके द्वारा दिया गया है जहाँ u0 ध्रुवीकरण सदिश है, k तरंग सदिश है, आवृत्ति है, और AB सदिश A और B के बीच बिंदु उत्पाद को दर्शाता है। यह एक समतल तरंग के लिए समीकरण है और इस तरह के विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर का एक सरल उदाहरण है। जिन ऑसिलेटरों की जांच की जा रही है वे या तो अंतरिक्ष में मुक्त तरंगें हो सकती हैं या किसी गुहा में निहित कुछ सामान्य मोड हो सकती हैं। विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर के एक एकल मोड को बाकी सिस्टम से अलग किया जाता है और जांच की जाती है। इस तरह के ऑसिलेटर को क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के गणित द्वारा वर्णित किया जाता है। क्वांटम ऑसिलेटर को निर्माण और विनाश ऑपरेटरों का उपयोग करके वर्णित किया गया है। भौतिक मात्राएँ, जैसे कि विद्युत क्षेत्र की शक्ति, तब क्वांटम प्रचालक बन जाती हैं। भौतिक मात्रा को उसका वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर से अलग करने के लिए, ऑपरेटर प्रतीकों पर "टोपी" का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, जहां विद्युत क्षेत्र (एक घटक) का प्रतिनिधित्व कर सकता है, प्रतीक क्वांटम-मैकेनिकल ऑपरेटर को दर्शाता है जो वर्णन करता है। इस परंपरा का उपयोग इस पूरे लेख में किया जाता है, लेकिन अधिक उन्नत ग्रंथों में आम उपयोग में नहीं है, जो टोपी से बचते हैं, क्योंकि यह केवल पाठ को अव्यवस्थित करता है। क्वांटम ऑसिलेटर मोड में, भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले अधिकांश प्रचालक आमतौर पर निर्माण और विनाश प्रचालक के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। इस उदाहरण में, विद्युत क्षेत्र की शक्ति इस प्रकार दी गई हैः (जहाँ xi, x का एक घटक है, स्थिति)। एक विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर के लिए हैमिल्टनियन इस ऑसिलेटर के लिए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की मात्रा निर्धारित करके पाया जाता है और सूत्र इस प्रकार दिया जाता हैः (स्पेटिओ-टेम्पोरल) मोड की आवृत्ति कहाँ है। विनाश प्रचालक बोसोनिक विनाश प्रचालक है और इसलिए यह निम्नलिखित द्वारा दिए गए विहित संचरण संबंध का पालन करता हैः विनाश प्रचालक के आइगेनस्टेट को सुसंगत अवस्था कहा जाता हैः यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि विनाश प्रचालक हर्मिशियन नहीं है; इसलिए इसके आइगेनवेल्यू जटिल हो सकते हैं। इसके महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं। अंत में, फोटॉन संख्या प्रचालक द्वारा दी जाती है जो दिए गए (स्थानिक-अस्थायी) मोड यू में फोटॉनों की संख्या देती है। चतुर्भुज प्रचालक द्वारा दिए गए और उन्हें चतुर्भुज कहा जाता है और वे द्वारा दर्शाए गए जटिल आयाम के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दो चतुर्भुजों के बीच कम्यूटेशन संबंध की आसानी से गणना की जा सकती हैः यह स्थिति और संवेग प्रचालक के कम्यूटेशन संबंध के समान दिखता है। इस प्रकार, चतुर्थांशों को ऑसिलेटर की स्थिति और गति के रूप में सोचना और उनका उपचार करना उपयोगी हो सकता है, हालांकि वास्तव में वे "स्थानिक-अस्थायी मोड के विद्युत क्षेत्र आयाम के चरण में और चरण से बाहर के घटक हैं", या यू, और वास्तव में विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर की स्थिति या गति से कोई लेना-देना नहीं है (क्योंकि यह परिभाषित करना कठिन है कि एक विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर के लिए स्थिति और गति का क्या अर्थ है)। चतुर्भुज के गुण चतुर्भुज प्रचालक के आइगेनस्टेट और इन्हें चतुर्भुज अवस्था कहा जाता है। वे संबंधों को संतुष्ट करते हैंः और और इन रूप में पूर्ण आधार सेट बनाते हैं। महत्वपूर्ण परिणाम निम्नलिखित एक महत्वपूर्ण संबंध है जिसे उपरोक्त से प्राप्त किया जा सकता है जो हमारी व्याख्या को सही ठहराता है कि चतुर्भुज एक परिसर के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं (अर्थात। विद्युत चुम्बकीय ऑसिलेटर के इन-फेज और आउट-ऑफ-फेज घटक) निम्नलिखित एक संबंध है जिसका उपयोग उपरोक्त के मूल्यांकन में मदद करने के लिए किया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता हैः यह हमें देता है किः ऊपर के समान विधि द्वारा। इस प्रकार, यह केवल चतुर्भुज की एक संरचना है। सुसंगत अवस्थाओं का एक और बहुत महत्वपूर्ण गुण इस औपचारिकता में बहुत स्पष्ट हो जाता है। एक सुसंगत अवस्था ऑप्टिकल चरण स्थान में एक बिंदु नहीं है, बल्कि उस पर एक वितरण है। इसे और के माध्यम से देखा जा सकता है। ये केवल राज्य के और राज्य के लिए अपेक्षा मूल्य हैं। यह दिखाया जा सकता है कि चतुर्भुज हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का पालन करते हैं जिसके द्वारा दिया गया हैः (जहां और क्रमशः q और p के वितरण के विचलन हैं) इस असमानता को आवश्यक रूप से संतृप्त नहीं किया जाना चाहिए और ऐसी अवस्थाओं का एक सामान्य उदाहरण निचोड़ी हुई सुसंगत अवस्थाएँ हैं। सुसंगत अवस्थाएँ आसपास स्थानीयकृत चरण स्थान पर गॉसियन संभाव्यता वितरण हैं। चरण स्थान पर प्रचालक चरण स्थान के चारों ओर सुसंगत अवस्थाओं को स्थानांतरित करने के लिए प्रचालक को परिभाषित करना संभव है। ये नई सुसंगत अवस्थाओं का उत्पादन कर सकते हैं और हमें चरण स्थान के चारों ओर जाने की अनुमति दे सकते हैं। फेज-शिफ्टिंग ऑपरेटर फेज-शिफ्टिंग ऑपरेटर ऑप्टिकल फेज स्पेस में एक कोण से सुसंगत स्थिति को घुमाता है। यह प्रचालक इस प्रकार दिया गया हैः महत्वपूर्ण संबंध निम्नानुसार प्राप्त किया गया हैः और इस विभेदक समीकरण को हल करने से वांछित परिणाम प्राप्त होता है। इस प्रकार, उपरोक्त का उपयोग करके यह स्पष्ट हो जाता है कि, या चरण स्थान में सुसंगत अवस्था पर एक कोण थीटा द्वारा एक घूर्णन। निम्नलिखित इसे अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाता हैः (जो इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है कि चरण-स्थानांतरण प्रचालक एकात्मक है। इससे यह देखना संभव है कि कौन सा आइगेनपेयर को व्यक्त करने का एक और तरीका है जो सुसंगत अवस्थाओं पर चरण-स्थानांतरण प्रचालक के प्रभावों को अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाता है। विस्थापन प्रचालक विस्थापन प्रचालक एक एकात्मक प्रचालक है जो एक सुसंगत अवस्था लेता है और इसे एक अन्य सुसंगत अवस्था में बदल देता है। विस्थापन प्रचालक द्वारा दिया जाता है और इसका नाम एक महत्वपूर्ण संबंध से आता है। वास्तव में, आइए अस्थायी रूप से वास्तविक के साथ परिचय दें और विचार करें कि जब 0 से 1 में परिवर्तन होता है तो यह कैसे बदलता है। के संबंध में अंतर करते हुए, हम पाते हैं कि चूंकि सुसंगत अवस्थाएँ विनाश प्रचालक और एक संख्या द्वारा गुणन प्रचालक दोनों की आईगेनस्टेट हैं, इसलिए यह देखना आसान है कि वास्तव में, विस्थापन प्रचालक सुसंगत अवस्थाओं को स्थानांतरित करता है, या, अधिक सटीक रूप से, वास्तव में, ऊपर प्राप्त संबंध को फिर से लिखा जा सकता है, तो फिर आईगेनवैल्यू के साथ विनाश प्रचालक की एक आईगेनस्टेट है, इसलिए। विशेष रूप से, जो की ओर ले जाता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दर्शाता है कि सभी सुसंगत अवस्थाओं को जमीनी अवस्था के विस्थापन के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जो प्रकाशिकी में निर्वात अवस्था भी है। गैर-शास्त्रीय प्रकाश घूर्णन प्रचालक (क्वांटम यांत्रिकी) क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व स्क्वीज़्ड सुसंगत स्थिति विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण संदर्भ क्वांटम प्रकाशिकी देखें।