Von Neumann paradox
गणित में, जॉन वॉन न्यूमैन के नाम पर वॉन न्यूमैन विरोधाभास, यह विचार है कि कोई भी एक समतलीय आकृति जैसे इकाई वर्ग को बिंदुओं के सेटों में तोड़ सकता है और प्रत्येक सेट को एक क्षेत्र-संरक्षित एफ़ाइन परिवर्तन के अधीन कर सकता है जैसे कि परिणाम मूल के समान आकार के दो समतलीय आंकड़े हों। यह 1929 में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा साबित किया गया था, जो पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत को मानते हैं। यह पहले के बनाच-टार्स्की विरोधाभास पर आधारित है, जो हौसडॉर्फ विरोधाभास पर आधारित है। बनाच और टार्स्की ने साबित कर दिया था कि सममितीय परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, एक द्वि-आयामी आकृति को अलग करने और फिर से जोड़ने के परिणाम का मूल के समान क्षेत्रफल होना आवश्यक है। इससे एक में से दो इकाई वर्ग बनाना असंभव हो जाएगा। लेकिन वॉन न्यूमैन ने महसूस किया कि इस तरह के तथाकथित विरोधाभासी अपघटन की चाल परिवर्तनों के एक समूह का उपयोग था जिसमें एक उपसमूह के रूप में दो जनरेटर के साथ एक मुक्त समूह शामिल था। क्षेत्र-संरक्षित परिवर्तनों के समूह (चाहे विशेष रैखिक समूह हो या विशेष एफ़ाइन समूह) में ऐसे उपसमूह होते हैं, और इससे उनका उपयोग करके विरोधाभासी अपघटन करने की संभावना खुलती है। विधि का रेखाचित्र निम्नलिखित वॉन न्यूमैन द्वारा पाई गई विधि का एक अनौपचारिक विवरण है। मान लीजिए कि हमारे पास दो परिवर्तनों, σ और τ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र-संरक्षित रैखिक परिवर्तनों का एक मुक्त समूह H है, जो पहचान तत्व से बहुत दूर नहीं हैं। एक मुक्त समूह होने का अर्थ है कि इसके सभी तत्वों को कुछ एन के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जहां एस और एस सभी गैर-शून्य पूर्णांक हैं, संभवतः पहले और अंतिम को छोड़कर। हम इस समूह को दो भागों में विभाजित कर सकते हैंः वे जो बाईं ओर σ से कुछ गैर-शून्य शक्ति के साथ शुरू होते हैं (हम इस समूह को A कहते हैं) और वे जो τ से कुछ शक्ति के साथ शुरू होते हैं (यानी, शून्य है-हम इस समूह को B कहते हैं, और इसमें पहचान शामिल है)। यदि हम यूक्लिडियन 2-स्पेस में किसी भी बिंदु पर H के विभिन्न तत्वों द्वारा काम करते हैं तो हमें वह मिलता है जिसे उस बिंदु की कक्षा कहा जाता है। इस प्रकार समतल के सभी बिंदुओं को कक्षाओं में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिनमें से निरंतरता की प्रधानता के साथ एक अनंत संख्या होती है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक कक्षा से एक बिंदु चुन सकते हैं और इन बिंदुओं के समूह को एम कह सकते हैं। हम मूल को बाहर करते हैं, जो एच में एक निश्चित बिंदु है। यदि हम एच के सभी तत्वों द्वारा एम पर काम करते हैं, तो हम समतल के प्रत्येक बिंदु (मूल को छोड़कर) को ठीक एक बार उत्पन्न करते हैं। यदि हम ए या बी के सभी तत्वों द्वारा एम पर काम करते हैं, तो हमें दो असंबद्ध समुच्चय मिलते हैं जिनका संघ सभी बिंदु हैं लेकिन मूल। अब हम कुछ आंकड़ा लेते हैं जैसे कि इकाई वर्ग या इकाई डिस्क। फिर हम इसके अंदर पूरी तरह से एक और आकृति चुनते हैं, जैसे कि एक छोटा वर्ग, जो मूल पर केंद्रित होता है। हम बड़ी आकृति को छोटी आकृति की कई प्रतियों के साथ कवर कर सकते हैं, हालांकि कुछ बिंदुओं को दो या दो से अधिक प्रतियों द्वारा कवर किया जा सकता है। फिर हम बड़ी आकृति के प्रत्येक बिंदु को छोटी आकृति की प्रतियों में से एक को निर्दिष्ट कर सकते हैं। आइए हम प्रत्येक प्रति के अनुरूप सेट को कॉल करें। अब हम केवल क्षेत्र-संरक्षित परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, बड़ी आकृति में प्रत्येक बिंदु का उसके आंतरिक भाग में एक बिंदु तक एक-से-एक मानचित्रण करेंगे। हम संबंधित बिंदुओं को लेते हैं और उनका अनुवाद करते हैं ताकि वर्ग का केंद्र मूल स्थान पर हो। फिर हम इसमें उन बिंदुओं को लेते हैं जो ऊपर परिभाषित समूह ए में हैं और उन पर क्षेत्र-संरक्षण संचालन στ द्वारा संचालित होते हैं। यह उन्हें सेट बी में रखता है। फिर हम बी से संबंधित अंकों को लेते हैं और उन पर σ2 के साथ काम करते हैं। वे अब भी बी में होंगे, लेकिन इन अंकों का सेट पिछले सेट से अलग होगा। हम इस तरीके से आगे बढ़ते हैं, C2 से A बिंदुओं पर σ3τ (इसे केंद्रित करने के बाद) और इसके B बिंदुओं पर σ4 का उपयोग करते हुए, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं। इस तरह, हमने बड़ी आकृति (कुछ निश्चित बिंदुओं को छोड़कर) से सभी बिंदुओं को एक-से-एक तरीके से बी प्रकार के बिंदुओं तक मैप किया है जो केंद्र से बहुत दूर नहीं हैं, और बड़ी आकृति के भीतर हैं। फिर हम ए प्रकार के बिंदुओं के लिए दूसरा मानचित्रण बना सकते हैं। इस बिंदु पर हम कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय की विधि को लागू कर सकते हैं। यह प्रमेय हमें बताता है कि यदि हमारे पास सेट डी से ई को सेट करने के लिए एक इंजेक्शन है (जैसे कि बड़ी आकृति से इसमें ए प्रकार के बिंदुओं तक), और ई से डी तक एक इंजेक्शन है (जैसे कि ए प्रकार के बिंदुओं से पहचान मानचित्रण), तो डी और ई के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। दूसरे शब्दों में, बड़ी आकृति से ए बिंदुओं के सबसेट तक मानचित्रण होने पर, हम बड़ी आकृति से सभी ए बिंदुओं तक एक मानचित्रण (एक बाइजेक्शन) बना सकते हैं। (कुछ क्षेत्रों में बिंदुओं को स्वयं मानचित्रित किया जाता है, अन्य में उन्हें पिछले पैराग्राफ में वर्णित मानचित्रण का उपयोग करके मानचित्रित किया जाता है।) इसी तरह हम बड़ी आकृति से सभी बी बिंदुओं तक एक मानचित्रण बना सकते हैं। तो इसे दूसरे तरीके से देखते हुए, हम आकृति को उसके ए और बी बिंदुओं में अलग कर सकते हैं, और फिर इनमें से प्रत्येक को पूरी आकृति में वापस मैप कर सकते हैं (यानी, दोनों प्रकार के बिंदु)! यह रेखाचित्र कुछ चीजों पर प्रकाश डालता है, जैसे कि निश्चित बिंदुओं को कैसे संभालना है। यह पता चला है कि इसके आसपास काम करने के लिए अधिक मानचित्रण और अधिक सेट आवश्यक हैं। परिणाम वर्ग के लिए विरोधाभास को निम्नानुसार मजबूत किया जा सकता हैः यूक्लिडियन तल के गैर-खाली अंदरूनी हिस्सों के साथ कोई भी दो बंधे हुए उपसमुच्चय क्षेत्र-संरक्षित एफ़ाइन मानचित्रों के संबंध में समान हैं। माप की समस्या के संबंध में इसके परिणाम हैं। जैसा कि वॉन न्यूमैन ने नोट किया है, "इन्फोलगेडेसेन गिब्ट ईज़ बोरिट्स इन डेर एबेने कीन निक्टनेगेटिव्स एडिटिव्स मास (वो दास आईनहीट्सक्वाड्रेट दास मास 1 हैट), दास [एसआईसी] गेजेन्यूबर एलेन एबिल्डुंगेन वॉन ए2 इनवेरिएंट वार"। "इसके अनुसार, पहले से ही तल में कोई गैर-नकारात्मक योगात्मक माप नहीं है (जिसके लिए इकाई वर्ग का माप 1 है), जो A2 [क्षेत्र-संरक्षित एफ़ाइन परिवर्तनों के समूह] से संबंधित सभी परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है।" इसे थोड़ा और स्पष्ट करने के लिए, यह सवाल कि क्या एक परिमित योगात्मक माप मौजूद है, जो कुछ परिवर्तनों के तहत संरक्षित है, इस बात पर निर्भर करता है कि किस परिवर्तन की अनुमति है। समतल में सेटों का बनाच माप, जो अनुवाद और घूर्णन द्वारा संरक्षित किया जाता है, गैर-सममितीय परिवर्तनों द्वारा संरक्षित नहीं किया जाता है, भले ही वे बहुभुज के क्षेत्र को संरक्षित करते हों। जैसा कि ऊपर बताया गया है, तल के बिंदुओं (मूल के अलावा) को दो घने सेटों में विभाजित किया जा सकता है जिन्हें हम ए और बी कह सकते हैं। यदि किसी दिए गए बहुभुज के ए बिंदुओं को एक निश्चित क्षेत्र-संरक्षित परिवर्तन द्वारा और बी बिंदुओं को दूसरे द्वारा परिवर्तित किया जाता है, तो दोनों समूह दो नए बहुभुज में बी बिंदुओं के उपसमुच्चय बन सकते हैं। नए बहुभुज का क्षेत्रफल पुराने बहुभुज के समान होता है, लेकिन दो परिवर्तित समुच्चयों का माप पहले की तरह नहीं हो सकता है (क्योंकि उनमें बी बिंदुओं का केवल एक हिस्सा होता है), और इसलिए ऐसा कोई माप नहीं है जो "काम करता है"। बनाच-टार्स्की घटना के अध्ययन के दौरान वॉन न्यूमैन द्वारा अलग किए गए समूहों का वर्ग गणित के कई क्षेत्रों के लिए बहुत महत्वपूर्ण साबित हुआः ये अनुकूल समूह हैं, या एक अपरिवर्तनीय माध्य वाले समूह हैं, और इसमें सभी सीमित और सभी हल करने योग्य समूह शामिल हैं। आम तौर पर, विरोधाभासी अपघटन तब उत्पन्न होते हैं जब समतुल्यता की परिभाषा में तुल्यता के लिए उपयोग किया जाने वाला समूह उत्तरदायी नहीं होता है। हाल की प्रगति वॉन न्यूमैन के पेपर ने रैखिक समूह एस. एल. (2, आर) (वैगन, प्रश्न 7.4) के संबंध में इकाई वर्ग के आंतरिक भाग के विरोधाभासी अपघटन की संभावना को खुला छोड़ दिया। 2000 में, मिक्लोस लैक्सकोविच ने साबित किया कि इस तरह का अपघटन मौजूद है। अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि ए समतल के सभी सीमित उपसमुच्चय का परिवार है जिसका आंतरिक भाग खाली नहीं है और मूल से सकारात्मक दूरी पर है, और बी सभी समतलीय समुच्चय का परिवार उस गुण के साथ सेट करता है जिसे एस. एल. (2, आर) के कुछ तत्वों के तहत परिमित रूप से कई का संयोजन अनुवाद करता है जिसमें मूल का एक छिद्रित पड़ोस होता है। फिर परिवार ए में सभी सेट एस. एल. (2, आर)-समतुल्य हैं, और इसी तरह बी में सेट के लिए। यह इस प्रकार है कि दोनों परिवारों में विरोधाभासी समूह होते हैं। यह भी देखें संदर्भ समूह सिद्धांत माप सिद्धांत गणितीय विरोधाभास प्रमेय गणित की नींव में