Jeep problem
जीप समस्या, रेगिस्तान पार करने की समस्या या अन्वेषण समस्या एक गणितीय समस्या है जिसमें एक जीप को ईंधन की दी गई मात्रा के साथ रेगिस्तान में यात्रा करने की दूरी को अधिकतम करना चाहिए। जीप केवल एक निश्चित और सीमित मात्रा में ईंधन ले जा सकती है, लेकिन यह ईंधन छोड़ सकती है और रेगिस्तान में कहीं भी ईंधन के ढेर पर ईंधन एकत्र कर सकती है। यह समस्या पहली बार 9वीं शताब्दी के संग्रह प्रपोसिशन एड एक्यूएंडोस जुवेन्स (प्रॉब्लेम्स टू शार्प द यंग) में दिखाई दी, जिसका श्रेय एल्कुइन को दिया जाता है, जिसमें पहेली एक यात्रा करने वाले ऊंट के अनाज खाने के बारे में है। लुका पैसिओली के डी विरिबस क्वांटिटैटिस (लगभग 1500) में भी इस समस्या पर चर्चा की गई है। एन. जे. द्वारा एक आधुनिक उपचार दिया गया। 1947 में ठीक है। समस्या के अंतर हैं ऊँट और केले की समस्या जहां एक व्यापारी को केले खाने वाले ऊँट का उपयोग करके बाजार में ले जाने वाले केले की संख्या को अधिकतम करना होता है, रेगिस्तान की समस्या के पार यात्रियों को जहां कई यात्रियों को एक गंतव्य तक पहुंचना होता है और उन्हें छोड़ने के बजाय केवल आपूर्ति का आदान-प्रदान कर सकते हैं, और रेगिस्तान की समस्या के पार कारें जो फिर से केवल अपने ईंधन का आदान-प्रदान कर सकती हैं, लेकिन जहां खाली कारों को छोड़ दिया जा सकता है। इस अंतिम समस्या में मल्टीस्टेज रॉकेट के संचालन के लिए समानताएं हैं। समस्या ईंधन की n इकाइयाँ एक निश्चित आधार पर संग्रहीत होती हैं। जीप किसी भी समय अधिकतम 1 यूनिट ईंधन ले जा सकती है, और 1 यूनिट ईंधन पर 1 यूनिट दूरी तय कर सकती है (जीप की ईंधन खपत स्थिर मानी जाती है)। यात्रा के किसी भी समय जीप ईंधन के डंप पर किसी भी मात्रा में ईंधन छोड़ सकती है, या ईंधन की किसी भी मात्रा को एकत्र कर सकती है जो पिछली यात्रा पर ईंधन के डंप पर छोड़ी गई थी, जब तक कि इसका ईंधन भार कभी भी 1 इकाई से अधिक न हो। समस्या के दो प्रकार हैंः रेगिस्तान की खोज करने के लिए जीप को हर यात्रा के अंत में आधार पर लौटना होगा। रेगिस्तान को पार करते हुए जीप को अंतिम यात्रा को छोड़कर हर यात्रा के अंत में आधार पर लौटना पड़ता है, जब जीप ईंधन खत्म होने से पहले जितना हो सके यात्रा करती है। दोनों ही मामलों में उद्देश्य जीप द्वारा अपनी अंतिम यात्रा पर तय की गई दूरी को अधिकतम करना है। वैकल्पिक रूप से, उद्देश्य किसी दी गई दूरी की अंतिम यात्रा करने के लिए आवश्यक ईंधन की कम से कम मात्रा का पता लगाना हो सकता है। भिन्नता क्लासिक समस्या में जीप में और ईंधन के ढेर पर ईंधन को एक निरंतर मात्रा के रूप में माना जाता है। समस्या पर अधिक जटिल भिन्नताओं का प्रस्ताव किया गया है जिसमें ईंधन को केवल अलग मात्रा में छोड़ा या एकत्र किया जा सकता है। ऊँट और केले की समस्या में, व्यापारी के पास केले की n इकाइयाँ होती हैं। ऊंट किसी भी समय केले की अधिकतम 1 इकाई ले जा सकता है, और केले की 1 इकाई पर 1 इकाई की दूरी तय कर सकता है। बाजार दूरी की मीटर इकाइयों पर है। यात्रा में किसी भी समय ऊंट किसी भी मात्रा में केले छोड़ सकता है जो वह शिविर चौकी पर ले जा रहा है, या किसी भी मात्रा में केले एकत्र कर सकता है जो पिछली यात्रा पर शिविर चौकी पर छोड़े गए थे, जब तक कि इसका केले का भार कभी भी 1 इकाई से अधिक न हो। समस्या केले की अधिकतम इकाइयों के लिए पूछती है जिन्हें बाजार में ले जाया जा सकता है। रेगिस्तान समस्या के पार यात्रियों में, शुरुआती आधार में आपूर्ति की असीमित इकाइयाँ हैं। प्रत्येक यात्री किसी भी समय आपूर्ति की अधिकतम 1 इकाई ले जा सकता है और आपूर्ति की 1 इकाई पर दूरी की 1 इकाई की यात्रा कर सकता है। दूसरा आधार दूरी की m इकाइयों पर है। पिछली दो समस्याओं के विपरीत, यात्री रेगिस्तान में आपूर्ति नहीं छोड़ सकते हैं; हालाँकि, यात्रा के किसी भी समय, साथ में आने वाले यात्री आपस में आपूर्ति स्थानांतरित कर सकते हैं, जब तक कि प्रत्येक यात्री कभी भी 1 इकाई से अधिक आपूर्ति नहीं ले जाता है। प्रत्येक लौटने वाले यात्री के पास वापसी के रास्ते में पर्याप्त आपूर्ति होनी चाहिए। समस्या दूसरे आधार तक पहुंचने के लिए आवश्यक यात्रियों की न्यूनतम संख्या के लिए पूछती है। इस समस्या का एक प्रकार उपलब्ध यात्रियों की कुल संख्या देता है, और अधिकतम दूरी के लिए पूछता है जिस तक पहुँचा जा सकता है। रेगिस्तान समस्या के पार कारों में, शुरुआती आधार में ईंधन की असीमित इकाइयाँ होती हैं। प्रत्येक कार किसी भी समय आपूर्ति की अधिकतम 1 इकाई ले जा सकती है, और ईंधन की 1 इकाई पर 1 इकाई की दूरी तय कर सकती है। दूसरा आधार दूरी की m इकाइयों पर है। कारें रेगिस्तान में ईंधन नहीं छोड़ सकती हैं; हालाँकि, यात्रा के किसी भी समय, साथ वाली कारें आपस में ईंधन स्थानांतरित कर सकती हैं, जब तक कि प्रत्येक कार में कभी भी 1 यूनिट से अधिक ईंधन नहीं होता है। बिना ईंधन वाली खाली कारों को रेगिस्तान में छोड़ दिया जाता है। समस्या दूसरे आधार तक पहुंचने के लिए आवश्यक कारों की न्यूनतम संख्या के लिए पूछती है। इस समस्या का एक प्रकार उपलब्ध कारों की कुल संख्या देता है, और अधिकतम दूरी के लिए पूछता है जिस तक पहुँचा जा सकता है। समाधान एक रणनीति जो "रेगिस्तान की खोज" संस्करण के लिए अंतिम यात्रा पर तय की गई दूरी को अधिकतम करती है, वह इस प्रकार हैः जीप एन ट्रिप करती है। प्रत्येक यात्रा पर यह 1 यूनिट ईंधन के साथ आधार से शुरू होता है। पहली यात्रा पर जीप 1/(2n) इकाइयों की दूरी तय करती है और ईंधन के डंप पर ईंधन (n-1)/n इकाइयों को छोड़ देती है। जीप में अभी भी ईंधन की 1/(2एन) इकाइयाँ हैं-जो बेस पर लौटने के लिए पर्याप्त है। बाद की प्रत्येक एन-1 यात्रा पर जीप रास्ते में इस पहले ईंधन डंप से 1/(2एन) यूनिट ईंधन एकत्र करती है, ताकि यह 1 यूनिट ईंधन ले जाने वाले ईंधन डंप को छोड़ दे। यह वापसी के रास्ते में इस पहले ईंधन डंप से ईंधन की 1/(2n) इकाइयाँ भी एकत्र करता है, जो आधार पर लौटने के लिए पर्याप्त ईंधन है। दूसरी यात्रा पर जीप पहले ईंधन डंप और ईंधन भरने के लिए यात्रा करती है। इसके बाद यह 1/(2n−2) इकाइयों की दूरी तय करता है और दूसरे ईंधन डंप पर ईंधन (n−2)/(n−1) इकाइयों को छोड़ देता है। जीप में अभी भी ईंधन की 1/(2n−2) इकाइयाँ हैं, जो पहले ईंधन डंप पर लौटने के लिए पर्याप्त है। यहाँ यह ईंधन की 1/(2n) इकाइयाँ एकत्र करता है, जो आधार पर लौटने के लिए पर्याप्त ईंधन है। बाद की प्रत्येक एन-2 यात्राओं पर जीप रास्ते में इस दूसरे ईंधन डंप से 1/(2एन-2) यूनिट ईंधन एकत्र करती है, ताकि यह 1 यूनिट ईंधन ले जाने वाले ईंधन डंप को छोड़ दे। यह वापसी के रास्ते में दूसरे ईंधन डंप से ईंधन की 1/(2n−2) इकाइयाँ भी एकत्र करता है, जो पहले ईंधन डंप पर लौटने के लिए पर्याप्त ईंधन है। जीप इस तरह से जारी रहती है, ताकि ट्रिप k पर यह पिछले ईंधन डंप से 1/(2n−2k + 2) इकाइयों की दूरी पर एक नया kth ईंधन डंप स्थापित करे और वहां ईंधन की इकाइयों (n−k)/(n−k + 1) को छोड़ दे। बाद की प्रत्येक n-k यात्रा पर यह बाहर जाते समय kth डंप से ईंधन की 1/(2n−2k + 2) इकाइयाँ और वापस जाते समय ईंधन की 1/(2n−2k + 2) इकाइयाँ एकत्र करता है। जब जीप अपनी अंतिम यात्रा शुरू करती है, तो एन-1 ईंधन के ढेर होते हैं। सबसे दूर में ईंधन की एक इकाई का आधा हिस्सा होता है, अगले सबसे दूर में ईंधन की एक इकाई का आधा हिस्सा होता है, और इसी तरह, और निकटतम ईंधन डंप में ईंधन की सिर्फ 1/n इकाइयाँ बची होती हैं। ईंधन की 1 इकाई के साथ, जिससे यह आधार से शुरू होती है, इसका मतलब है कि जीप अपनी अंतिम यात्रा पर इकाइयों की कुल दौर की दूरी तय कर सकती है (रेगिस्तान में यात्रा की गई अधिकतम दूरी इसका आधा है)। यह बाहर निकलने के रास्ते में प्रत्येक डंप पर शेष ईंधन का आधा हिस्सा इकट्ठा करता है, जो इसके टैंक को भर देता है। सबसे दूर के ईंधन डंप को छोड़ने के बाद यह रेगिस्तान में डेढ़ यूनिट आगे की यात्रा करता है और फिर सबसे दूर के ईंधन डंप पर लौटता है। यह वापसी के रास्ते में प्रत्येक ईंधन डंप से शेष ईंधन एकत्र करता है, जो अगले ईंधन डंप तक पहुंचने के लिए या अंतिम चरण में, आधार पर लौटने के लिए पर्याप्त है। अंतिम यात्रा में तय की गई दूरी n वीं हार्मोनिक संख्या, Hn है। चूँकि हार्मोनिक संख्याएँ असीमित हैं, इसलिए अंतिम यात्रा पर किसी भी दूरी को पार करना संभव है, क्योंकि आधार पर पर्याप्त ईंधन उपलब्ध है। हालांकि, आवश्यक ईंधन की मात्रा और ईंधन डंप की संख्या दोनों यात्रा की जाने वाली दूरी के साथ तेजी से बढ़ती हैं। "क्रासिंग द डेजर्ट" संस्करण को एक समान रणनीति के साथ हल किया जा सकता है, सिवाय इसके कि अब अंतिम यात्रा पर वापस जाते समय ईंधन एकत्र करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इसलिए ट्रिप k पर जीप पिछले ईंधन डंप से 1/(2n−2k + 1) इकाइयों की दूरी पर एक नया kth ईंधन डंप स्थापित करती है और वहां ईंधन की इकाइयों (2n−2k−1)/(2n−2k + 1) को छोड़ देती है। अगले n−k−1 यात्राओं में से प्रत्येक पर यह बाहर जाते समय kth डंप से ईंधन की 1/(2n−2k + 1) इकाइयाँ और वापस जाते समय ईंधन की 1/(2n−2k + 1) इकाइयाँ एकत्र करता है। अब जब जीप अपनी अंतिम यात्रा शुरू करती है, तो वहाँ n-1 ईंधन के ढेर होते हैं। सबसे दूर में ईंधन की एक इकाई का 1/3 होता है, अगले सबसे दूर में ईंधन की एक इकाई का 1/5 होता है, और इसी तरह, और निकटतम ईंधन डंप में ईंधन की सिर्फ 1/ (2n−1) इकाइयाँ बची होती हैं। ईंधन की 1 इकाई के साथ जो यह आधार से शुरू होती है, इसका मतलब है कि जीप अपनी अंतिम यात्रा पर कुल इकाइयों की दूरी तय कर सकती है। यह बाहर निकलने के रास्ते में प्रत्येक डंप पर शेष सभी ईंधन एकत्र करता है, जो इसके टैंक को भर देता है। सबसे दूर के ईंधन के ढेर को छोड़ने के बाद यह 1 यूनिट की और दूरी तय करता है। ध्यान दें कि सिद्धांत रूप में आधार पर पर्याप्त ईंधन दिए जाने पर किसी भी आकार के रेगिस्तान को पार करना संभव है। पहले की तरह, आवश्यक ईंधन की मात्रा और ईंधन डंप की संख्या दोनों यात्रा की जाने वाली दूरी के साथ तेजी से बढ़ती हैं। संक्षेप में, जीप द्वारा एन ट्रिप में (किसी भी समय 1 यूनिट की दूरी के लिए ईंधन क्षमता के साथ) पहुँचने योग्य अधिकतम दूरी (एन-1 बीच में ईंधन डंप के साथ और ईंधन की कुल एन इकाइयों की खपत के साथ) रेगिस्तान की खोज के लिए है, जहां जीप को हर यात्रा के अंत में आधार पर लौटना होगा; रेगिस्तान को पार करने के लिए जहां जीप को अंतिम यात्रा को छोड़कर हर यात्रा के अंत में आधार पर लौटना होगा, जब जीप ईंधन खत्म होने से पहले जितना हो सके उतना दूर यात्रा करती है। यहाँ n वीं हार्मोनिक संख्या है। ईंधन की निरंतर मात्रा आधार पर उपलब्ध ईंधन इकाइयों की संख्या एक पूर्णांक होने की आवश्यकता नहीं है। सामान्य मामले में, ईंधन की इकाइयों के साथ "रेगिस्तान का पता लगाने" समस्या के लिए प्राप्त की जाने वाली अधिकतम दूरी शुरुआती आधार से दूरी की इकाइयों पर स्थित पहले ईंधन डंप के साथ है, दूसरा पहले ईंधन डंप से दूरी की इकाइयों पर, तीसरा दूसरे ईंधन डंप से दूरी की इकाइयों पर, और इसी तरह। यहाँ का आंशिक भाग है। ईंधन की इकाइयों के साथ "रेगिस्तान पार" समस्या के लिए प्राप्त की जाने वाली अधिकतम दूरी शुरुआती आधार से दूरी की इकाइयों पर स्थित पहले ईंधन डंप के साथ है, दूसरा पहले ईंधन डंप से दूरी की इकाइयों पर, तीसरा दूसरे ईंधन डंप से दूरी की इकाइयों पर, और इसी तरह। यहाँ का आंशिक भाग है। समस्या के अन्य रूप ऊँट और केले की समस्या में, यह मानते हुए कि व्यापारी के पास शुरुआती आधार पर कुल n = 7/3 इकाइयाँ हैं और बाजार m इकाइयाँ दूर हैः यदि, इस समस्या का कोई समाधान मौजूद नहीं है; यदि परिवहन के लिए कोई बीच में शिविर चौकी की आवश्यकता नहीं है, और ऊंट द्वारा दूरी m को बार-बार दोहराया जाएगा, तो बाजार में परिवहन किए जाने वाले केले की अधिकतम मात्रा है; यदि, केले की अधिकतम मात्रा को परिवहन करने के लिए कुछ बीच में शिविर चौकियों की आवश्यकता होती हैः m = 1/4 <(1/3+1 15) के लिए, शुरुआती आधार से दूर 1/15 इकाइयों की दूरी पर केवल एक बीच में शिविर चौकी आवश्यक है, जहां कुल 2 इकाइयाँ हैं। शिविर चौकी से बाजार तक की दूरी (1/4-1 15) है, जिसे ऊंट द्वारा 3 बार दोहराया जाएगा, और बाजार में भेजे जाने वाले केले की अधिकतम मात्रा 2-(1/4-1 15) * 3 = 1.45 यूनिट है; m = 1/2> (1/3+1 15) के लिए, पहली शिविर चौकी से 1/3 यूनिट की दूरी पर एक और मध्य शिविर चौकी आवश्यक है, जहां कुल 1 यूनिट केले जमा होंगे। दूसरी शिविर चौकी से बाजार तक की दूरी [1/2 (1/3+1 15)] है, जिसे ऊंट द्वारा केवल एक बार यात्रा की जाएगी, और बाजार में भेजे जाने वाले केले की अधिकतम मात्रा 1-[1/2 (1/3+1 15)] * 1 = 0.9 इकाइयाँ है। यदि ऊँट को अंततः प्रारंभिक आधार पर लौटने की आवश्यकता होती है, तो कार्य लागू होता है (अभी भी n = 7/3 मानते हुए): यदि, इस समस्या का कोई समाधान मौजूद नहीं है; यदि परिवहन के लिए कोई मध्य शिविर चौकी की आवश्यकता नहीं है, और दूरी m को ऊँट द्वारा बार-बार दोहराया जाएगा, तो बाजार में परिवहन किए जाने वाले केले की अधिकतम मात्रा है; यदि, उस अधिकतम मात्रा में केले के परिवहन के लिए कुछ मध्य शिविर चौकियों की आवश्यकता होती हैः m = 1/4 <(1/4+1 18) के लिए, प्रारंभिक आधार से 1/18 इकाइयों की दूरी पर केवल एक मध्य शिविर चौकी आवश्यक है, जहां ऊँट की अंतिम वापसी के लिए कुल 2 इकाइयाँ (+ 1/18 इकाइयाँ) की आवश्यकता होती है। शिविर चौकी से बाजार तक की दूरी (1/4-1 18) है, जिसे ऊंट द्वारा 4 बार दोहराया जाएगा, और बाजार में भेजे जाने वाले केले की अधिकतम मात्रा 2-(1/4-1 18) * 4 = 1.22 इकाइयाँ हैं; m = 1/2> (1/4+1 18) के लिए, पहली शिविर चौकी से 1/4 इकाइयों की दूरी पर एक और मध्य शिविर चौकी आवश्यक है, जहाँ कुल 1 इकाई केले (ऊंट की अंतिम वापसी के लिए 1/4 इकाइयाँ) जमा होंगे। दूसरी शिविर चौकी से बाजार तक की दूरी [1/2 (1/4+1 18)] है, जिसे ऊंट द्वारा दो बार दोहराया जाएगा, और बाजार में भेजे जाने वाले केले की अधिकतम मात्रा 1-[1/2 (1/4+1 18)] * 2 = 0.61 इकाइयाँ हैं। रेगिस्तानी समस्या के पार यात्रियों में, मान लें कि n यात्री आपूर्ति की n इकाइयों के साथ शुरुआती आधार से निकलते हैं। दूरी की 1/(एन + 1) इकाइयों के बाद, वे पहले से ही आपूर्ति की एन/(एन + 1) इकाइयों का उपभोग कर चुके होंगे; इस बिंदु पर, यात्रियों में से एक को आपूर्ति की 1/(एन + 1) इकाइयों के साथ लौटना चाहिए, जिससे समूह को आपूर्ति की ठीक (एन-1) इकाइयों को छोड़ दिया जाए ताकि प्रत्येक शेष यात्री आपूर्ति की ठीक एक इकाई ले सके। समूह तब दूरी की एक और 1/(एन + 1) इकाइयों की यात्रा करता है, आपूर्ति की इकाइयों की खपत (एन-1)/(एन + 1); इस बिंदु पर, शेष यात्रियों में से एक को आपूर्ति की 2/(एन + 1) इकाइयों के साथ सुरक्षित रूप से शुरुआती आधार पर वापस जाना चाहिए, जिससे समूह को आपूर्ति की ठीक (एन-2) इकाइयों को छोड़ दिया जाए। समूह 1/(एन + 1) इकाइयों की दूरी तय करता रहता है और एक यात्री को कम करता रहता है, जब तक कि केवल एक यात्री के पास आपूर्ति की एक इकाई न रह जाए। अंत में, यह यात्री सबसे दूर के बिंदु तक पहुंचने के लिए एक इकाई की दूरी तय कर सकता है। कुल मिलाकर, सबसे लंबी दूरी n यात्री पहुँच सकते हैं, इसे m के बराबर करते हुए, दूरी की m इकाइयों की यात्रा करने के लिए आवश्यक यात्रियों की न्यूनतम संख्या के लिए हल किया जा सकता है। ध्यान दें कि समाधान केवल m <2 के लिए मौजूद हैं। यदि अंतिम और अंतिम यात्री को भी शुरुआती आधार पर लौटने की आवश्यकता है, तो वह केवल 1/(एन + 1) इकाई की यात्रा करेगा ताकि उसके पास लौटने के लिए आपूर्ति की एन/(एन + 1) इकाइयाँ हों, इसलिए सबसे लंबी दूरी तक यात्री पहुंच सकते हैं। ध्यान दें कि समाधान केवल m <1 के लिए मौजूद हैं। रेगिस्तान समस्या के पार कारों में, मान लीजिए कि n कारें ईंधन की n इकाइयों के साथ शुरुआती आधार से निकलती हैं। 1/एन इकाइयों की दूरी के बाद, समूह ने पहले से ही ईंधन की ठीक एक इकाई की खपत कर ली होगी; इस बिंदु पर, उन्हें अपने बीच ईंधन स्थानांतरित करना चाहिए, एक खाली कार को पीछे छोड़ना चाहिए, और (एन-1) कारों के बीच (एन-1) इकाइयों का ईंधन ले जाना चाहिए। दूरी की एक और 1/(एन-1) इकाइयों के बाद, समूह ने ईंधन की एक और इकाई का उपभोग किया होगा; फिर से, उन्हें ईंधन स्थानांतरित करना चाहिए, एक खाली कार को पीछे छोड़ना चाहिए, और (एन-2) कारों के बीच (एन-2) इकाइयों का ईंधन ले जाना चाहिए। समूह एक कार को आगे बढ़ाता और कम करता रहता है, जब तक कि ईंधन की ठीक एक इकाई ले जाने वाली केवल एक कार बची रहती है। अंत में, यह कार सबसे दूर के बिंदु तक पहुंचने के लिए एक इकाई की दूरी तय कर सकती है। कुल मिलाकर, n कारें सबसे लंबी दूरी तक पहुँच सकती हैं जो n वीं हार्मोनिक संख्या हैः इसे m के बराबर करते हुए, दूरी की m इकाइयों की यात्रा करने के लिए आवश्यक कारों की न्यूनतम संख्या के लिए हल किया जा सकता है। ऑर्डर स्वतंत्रता ध्यान दें कि जीप यात्राओं का क्रम निश्चित नहीं है। उदाहरण के लिए समस्या के "रेगिस्तान की खोज" संस्करण में, जीप आधार और पहले ईंधन डंप के बीच गोल-यात्रा कर सकती है, हर बार ईंधन के डंप पर ईंधन की इकाइयों को छोड़ सकती है और फिर पहले ईंधन डंप के लिए एक-तिहाई यात्रा कर सकती है, इस प्रकार ईंधन की कुल इकाइयों के साथ वहां पहुंच सकती है। इकाइयों को अंत में आधार तक वापसी यात्रा के लिए सहेजा जाता है और ईंधन की अन्य इकाइयों का उपयोग पहले और दूसरे ईंधन डंप के बीच ईंधन को स्थानांतरित करने के लिए किया जाता है, जिसमें राउंड-ट्रिप और फिर दूसरे ईंधन डंप के लिए एक-तिहाई यात्रा का उपयोग किया जाता है। और इसी तरह। व्यावहारिक अनुप्रयोग समस्या का युद्धकालीन स्थितियों में एक व्यावहारिक अनुप्रयोग हो सकता है, विशेष रूप से ईंधन दक्षता के संबंध में। बी-29 द्वारा द्वितीय विश्व युद्ध में जापान पर बमबारी के संदर्भ में, रॉबर्ट मैकनामारा ने फिल्म द फॉग ऑफ वॉर में कहा कि ईंधन को आगे के ठिकानों तक ले जाने के कारण होने वाली ईंधन दक्षता के मुद्दे को समझना मुख्य कारण था कि मुख्य भूमि चीन से बमबारी शुरू करने की रणनीति को द्वीप पर चढ़ने की रणनीति के पक्ष में छोड़ दिया गया थाः (द्वितीय विश्व युद्ध के अंत में परमाणु बमबारी मिशनों को उत्तरी मारियानास द्वीप समूह में टिनियन के प्रशांत द्वीप से बी-29 सुपरफोर्ट्रेस का उपयोग करके उड़ाया गया था।) इन विचारों के अनुप्रयोग के लिए ऑपरेशन ब्लैक बक भी देखें। फ़ॉकलैंड युद्ध के दौरान आयोजित इन मिशनों में, रॉयल एयर फ़ोर्स ने टैंकरों का मंचन करके हवा से हवा में ईंधन भरने का उपयोग किया ताकि एस्केंशन द्वीप पर स्थित वल्कन बमवर्षक फ़ॉकलैंड द्वीप समूह में लक्ष्यों पर बमबारी कर सकें। हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) अनुकूलन (गणित) संदर्भ गणितीय अनुकूलन मनोरंजक गणित भी देखें।