Ice-type model
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बर्फ-प्रकार के मॉडल या छह-वर्टेक्स मॉडल हाइड्रोजन बंधन के साथ क्रिस्टल जाली के लिए शीर्ष मॉडल का एक परिवार है। इस तरह का पहला मॉडल 1935 में लिनस पॉलिंग द्वारा पानी की बर्फ की अवशिष्ट एन्ट्रापी के लिए पेश किया गया था। वैरिएंट को कुछ फेरोइलेक्ट्रिक और एंटीफेरोइलेक्ट्रिक क्रिस्टल के मॉडल के रूप में प्रस्तावित किया गया है। 1967 में, इलियट एच. लिब ने "स्क्वायर आइस" के रूप में जाने जाने वाले द्वि-आयामी बर्फ मॉडल का सटीक समाधान पाया। तीन आयामों में सटीक समाधान केवल एक विशेष "जमे हुए" अवस्था के लिए जाना जाता है। विवरण एक बर्फ-प्रकार का मॉडल एक जाली मॉडल है जिसे समन्वय संख्या 4 के जाली पर परिभाषित किया गया है। अर्थात्, जाली का प्रत्येक शीर्ष चार "निकटतम पड़ोसियों" से एक किनारे से जुड़ा होता है। मॉडल की एक अवस्था में जाली के प्रत्येक किनारे पर एक तीर होता है, जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर अंदर की ओर इशारा करने वाले तीरों की संख्या 2 होती है। तीर विन्यास पर इस प्रतिबंध को बर्फ नियम के रूप में जाना जाता है। ग्राफ सैद्धांतिक शब्दों में, अवस्थाएँ एक अंतर्निहित 4-नियमित दिशाहीन ग्राफ के यूलरियन अभिविन्यास हैं। विभाजन फलन शून्य-शून्य 3-प्रवाहों की संख्या को भी गिनता है। द्वि-आयामी मॉडलों के लिए, जाली को वर्गाकार जाली माना जाता है। अधिक यथार्थवादी मॉडलों के लिए, कोई भी विचार की जा रही सामग्री के लिए उपयुक्त त्रि-आयामी जाली का उपयोग कर सकता है; उदाहरण के लिए, षट्कोणीय बर्फ जाली का उपयोग बर्फ का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। किसी भी शीर्ष पर, तीरों के छह विन्यास होते हैं जो बर्फ के नियम को संतुष्ट करते हैं ("सिक्स-वर्टेक्स मॉडल" नाम को उचित ठहराते हुए)। (द्वि-आयामी) वर्ग जाली के लिए वैध विन्यास निम्नलिखित हैंः किसी अवस्था की ऊर्जा को प्रत्येक शीर्ष पर विन्यास के एक कार्य के रूप में समझा जाता है। वर्गाकार जाली के लिए, यह माना जाता है कि कुल ऊर्जा कुछ स्थिरांकों के लिए दी जाती है, जहाँ यहाँ उपरोक्त आकृति से th विन्यास के साथ शीर्षों की संख्या को दर्शाया गया है। मान शीर्ष विन्यास संख्या से जुड़ी ऊर्जा है। एक का उद्देश्य एक बर्फ-प्रकार मॉडल के विभाजन कार्य की गणना करना है, जो उस सूत्र द्वारा दिया जाता है जहां मॉडल की सभी अवस्थाओं पर योग लिया जाता है, अवस्था की ऊर्जा है, बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और प्रणाली का तापमान है। आमतौर पर, किसी को थर्मोडायनामिक सीमा में दिलचस्पी है जिसमें शीर्षों की संख्या अनंत तक पहुंचती है। उस स्थिति में, इसके बजाय सीमा में प्रति शीर्ष मुक्त ऊर्जा का मूल्यांकन किया जाता है, जहां समतुल्य रूप से दिया जाता है, एक थर्मोडायनामिक सीमा में प्रति शीर्ष विभाजन कार्य का मूल्यांकन करता है, जहां मान और भौतिक औचित्य से संबंधित हैं हाइड्रोजन बंधन के साथ कई वास्तविक क्रिस्टल बर्फ और पोटेशियम डाइहाइड्रोजन फॉस्फेट (केडीपी) सहित बर्फ मॉडल को संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, इस तरह के क्रिस्टल ने बर्फ-प्रकार के मॉडल के अध्ययन को प्रेरित किया। बर्फ में, प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु चार अन्य ऑक्सीजन के साथ एक बंधन द्वारा जुड़ा होता है, और प्रत्येक बंधन में अंतिम ऑक्सीजन के बीच एक हाइड्रोजन परमाणु होता है। हाइड्रोजन सममित रूप से स्थित दो स्थितियों में से एक पर कब्जा करता है, जिनमें से कोई भी बंधन के बीच में नहीं है। पॉलिंग ने तर्क दिया कि हाइड्रोजन परमाणुओं का अनुमत विन्यास ऐसा है कि प्रत्येक ऑक्सीजन के करीब हमेशा ठीक दो हाइड्रोजन होते हैं, इस प्रकार स्थानीय वातावरण पानी के अणु की नकल करता है। इस प्रकार, यदि हम ऑक्सीजन परमाणुओं को जाली के शीर्ष के रूप में और हाइड्रोजन बंधनों को जाली के किनारों के रूप में लेते हैं, और यदि हम एक बंधन पर एक तीर खींचते हैं जो उस बंधन के किनारे की ओर इंगित करता है जिस पर हाइड्रोजन परमाणु बैठता है, तो बर्फ बर्फ मॉडल को संतुष्ट करता है। इसी तरह का तर्क यह दिखाने के लिए लागू होता है कि केडीपी भी बर्फ मॉडल को संतुष्ट करता है। हाल के वर्षों में, बर्फ-प्रकार के मॉडल को पायरोक्लोर स्पिन बर्फ और कृत्रिम स्पिन बर्फ प्रणालियों के विवरण के रूप में खोजा गया है, जिसमें बिस्टेबल चुंबकीय क्षणों ("स्पिन") के बीच बातचीत में ज्यामितीय हताशा "बर्फ-नियम" स्पिन विन्यास को पसंद करती है। हाल ही में ऐसी समानताओं को उन परिस्थितियों का पता लगाने के लिए बढ़ाया गया है जिनके तहत स्पिन-आइस सिस्टम को रीस एफ-मॉडल द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। वर्टेक्स ऊर्जाओं के विशिष्ट विकल्प वर्गाकार जाली पर, वर्टेक्स विन्यास 1-6 से जुड़ी ऊर्जाएँ अवस्थाओं की सापेक्ष संभावनाओं को निर्धारित करती हैं, और इस प्रकार सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक व्यवहार को प्रभावित कर सकती हैं। इन शीर्ष ऊर्जाओं के लिए निम्नलिखित सामान्य विकल्प हैं। बर्फ मॉडल जब बर्फ का प्रतिरूपण किया जाता है, तो सभी अनुमेय शीर्ष विन्यासों को समान रूप से संभावित माना जाता है। इस मामले में, विभाजन फलन वैध अवस्थाओं की कुल संख्या के बराबर होता है। इस मॉडल को बर्फ मॉडल के रूप में जाना जाता है (एक बर्फ-प्रकार के मॉडल के विपरीत)। फेरोइलेक्ट्रिक स्लेटर के के. डी. पी. मॉडल ने तर्क दिया कि के. डी. पी. को ऊर्जा के साथ एक बर्फ-प्रकार के मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है इस मॉडल के लिए (जिसे के. डी. पी. मॉडल कहा जाता है), सबसे अधिक संभावना अवस्था (सबसे कम-ऊर्जा अवस्था) में सभी क्षैतिज तीर एक ही दिशा में इंगित होते हैं, और इसी तरह सभी ऊर्ध्वाधर तीरों के लिए। ऐसी अवस्था एक फेरोइलेक्ट्रिक अवस्था होती है, जिसमें सभी हाइड्रोजन परमाणुओं को अपने बंधनों के एक निश्चित पक्ष के लिए वरीयता होती है। एक एंटीफेरोइलेक्ट्रिक का आर. आई. एस. एफ. मॉडल आर. आई. एस. मॉडल को इस मॉडल के लिए कम से कम-ऊर्जा स्थिति को निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है जिसमें शीर्ष विन्यास 5 और 6 का प्रभुत्व है। ऐसी स्थिति के लिए, आसन्न क्षैतिज बंधनों में अनिवार्य रूप से विपरीत दिशाओं में तीर होते हैं और इसी तरह ऊर्ध्वाधर बंधनों के लिए, इसलिए यह स्थिति एक एंटीफेरोइलेक्ट्रिक अवस्था है। शून्य क्षेत्र की धारणा यदि कोई परिवेशी विद्युत क्षेत्र नहीं है, तो चार्ज रिवर्सल के तहत किसी अवस्था की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहना चाहिए, अर्थात। सभी तीरों को पलटते हुए। इस प्रकार कोई भी सामान्यता को खोए बिना यह मान सकता है कि इस धारणा को शून्य क्षेत्र धारणा के रूप में जाना जाता है, और यह बर्फ मॉडल, केडीपी मॉडल और आरवाईएस एफ मॉडल के लिए मान्य है। बर्फ का नियम 1935 में लिनस पॉलिंग द्वारा बर्फ की अवशिष्ट एन्ट्रापी के लिए पेश किया गया था जिसे विलियम एफ. गियाक और जे. डब्ल्यू. स्टाउट द्वारा मापा गया था। बर्फ की अवशिष्ट एन्ट्रापी, सूत्र द्वारा दी जाती है जहाँ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, बर्फ के टुकड़े में ऑक्सीजन परमाणुओं की संख्या है, जिसे हमेशा बड़ा (थर्मोडायनामिक सीमा) माना जाता है और पॉलिंग के बर्फ नियम के अनुसार हाइड्रोजन परमाणुओं के विन्यास की संख्या है। बर्फ के नियम के बिना हमारे पास हाइड्रोजन परमाणुओं की संख्या होगी और प्रत्येक हाइड्रोजन के दो संभावित स्थान हैं। पॉलिंग ने अनुमान लगाया कि बर्फ का नियम इसे कम कर देता है, एक ऐसी संख्या जो के गियाक-स्टाउट माप के साथ बहुत अच्छी तरह से सहमत होगी। यह कहा जा सकता है कि बर्फ के लिए पॉलिंग की गणना अब तक बनाए गए वास्तविक पदार्थों के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी के सबसे सरल, लेकिन सबसे सटीक अनुप्रयोगों में से एक है। सवाल यह था कि क्या मॉडल को देखते हुए, पॉलिंग की गणना, जो बहुत अनुमानित थी, एक कठोर गणना द्वारा कायम रखी जाएगी। यह संयोजन में एक महत्वपूर्ण समस्या बन गई। त्रि-आयामी और द्वि-आयामी मॉडल दोनों की गणना 1966 में जॉन एफ. नागले द्वारा संख्यात्मक रूप से की गई थी, जिन्होंने पाया कि यह त्रि-आयामों और द्वि-आयामों में है। दोनों आश्चर्यजनक रूप से पॉलिंग की मोटे तौर पर गणना के करीब हैं। 1967 में, लिब ने तीन द्वि-आयामी बर्फ-प्रकार के मॉडल का सटीक समाधान पायाः बर्फ मॉडल, रीस मॉडल और केडीपी मॉडल। बर्फ मॉडल के समाधान ने दो-आयामों में का सटीक मूल्य दिया जिसे लीब के वर्ग बर्फ स्थिरांक के रूप में जाना जाता है। बाद में 1967 में, बिल सदरलैंड ने शून्य क्षेत्र की धारणा को संतुष्ट करने वाले वर्ग-जाली बर्फ-प्रकार के मॉडल के लिए एक सामान्य सटीक समाधान के लिए तीन विशिष्ट बर्फ-प्रकार के मॉडल के लाइब के समाधान को सामान्यीकृत किया। फिर भी बाद में 1967 में, सी. पी. यांग ने क्षैतिज विद्युत क्षेत्र में वर्ग-जाली बर्फ-प्रकार के मॉडल के लिए एक सटीक समाधान के लिए सदरलैंड के समाधान को सामान्यीकृत किया। 1969 में, जॉन नागले ने तापमान की एक विशिष्ट सीमा के लिए केडीपी मॉडल के त्रि-आयामी संस्करण के लिए सटीक समाधान निकाला। ऐसे तापमानों के लिए, मॉडल इस अर्थ में "जमे हुए" है कि (थर्मोडायनामिक सीमा में) प्रति शीर्ष ऊर्जा और प्रति शीर्ष एन्ट्रापी दोनों शून्य हैं। त्रि-आयामी बर्फ-प्रकार मॉडल के लिए यह एकमात्र ज्ञात सटीक समाधान है। आठ-वर्टेक्स मॉडल से संबंध आठ-वर्टेक्स मॉडल, जिसे ठीक से हल किया गया है, (वर्ग-जाली) छह-वर्टेक्स मॉडल का एक सामान्यीकरण हैः आठ-वर्टेक्स मॉडल से छह-वर्टेक्स मॉडल को पुनर्प्राप्त करने के लिए, शीर्ष विन्यास 7 और 8 के लिए ऊर्जा को अनंत पर सेट करें। छह-वर्टेक्स मॉडल को कुछ मामलों में हल किया गया है जिनके लिए आठ-वर्टेक्स मॉडल में नहीं है; उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी केडीपी मॉडल के लिए नागले का समाधान और क्षैतिज क्षेत्र में छह-वर्टेक्स मॉडल का यांग का समाधान। सीमा स्थितियाँ यह बर्फ मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण 'प्रति-उदाहरण' प्रदान करता हैः ऊष्मागतिकीय सीमा में थोक मुक्त ऊर्जा सीमा स्थितियों पर निर्भर करती है। मॉडल को आवधिक सीमा स्थितियों, एंटी-पेरियोडिक, फेरोमैग्नेटिक और डोमेन दीवार सीमा स्थितियों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया था। एक वर्गाकार जाली पर क्षेत्र दीवार सीमा स्थितियों के साथ छह शीर्ष मॉडल का संयोजन में विशिष्ट महत्व है, यह वैकल्पिक संकेत मैट्रिक्स की गणना करने में मदद करता है। इस मामले में विभाजन फलन को एक मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है (जिसका आयाम जाली के आकार के बराबर है), लेकिन अन्य मामलों में गणना इस तरह के सरल बंद रूप में नहीं आती है। स्पष्ट रूप से, सबसे बड़ा मुक्त सीमा स्थितियों द्वारा दिया जाता है (सीमा पर विन्यास पर कोई बाधा नहीं है), लेकिन वही होता है, थर्मोडायनामिक सीमा में, आवधिक सीमा स्थितियों के लिए, जैसा कि मूल रूप से प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है। एक जाली के 3-रंग एक जाली के वर्गों के एक सीमित बस जुड़े संघ के आंतरिक किनारों पर एक बर्फ प्रकार के मॉडल की अवस्थाओं की संख्या 3-रंग के वर्गों की संख्या के एक तिहाई के बराबर होती है, जिसमें कोई भी दो आसन्न वर्ग एक ही रंग के नहीं होते हैं। राज्यों के बीच यह पत्राचार एंड्रयू लेनार्ड के कारण है और निम्नानुसार दिया गया है। यदि एक वर्ग का रंग i = 0,1, या 2 है, तो एक आसन्न वर्ग के किनारे पर तीर बाएं या दाएं जाता है (वर्ग में एक पर्यवेक्षक के अनुसार) इस बात पर निर्भर करता है कि आसन्न वर्ग में रंग i + 1 है या i-1 मॉड 3। एक निश्चित प्रारंभिक वर्ग को रंग देने के 3 संभावित तरीके हैं, और एक बार जब यह प्रारंभिक रंग चुना जाता है तो यह बर्फ-प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करने वाले रंगों और तीरों की व्यवस्था के बीच 1:1 का पत्राचार देता है। यह भी देखें आठ-वर्टेक्स मॉडल नोट्स आगे पढ़ने के लिए बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी जाली मॉडल बर्फ