Octal game
ऑक्टल गेम दो खिलाड़ियों के खेलों का एक वर्ग है जिसमें टोकन के ढेर से टोकन (खेल के टुकड़े या पत्थर) को हटाना शामिल है। निम, कायल्स और इसी तरह के खेलों के सामान्यीकरण के रूप में संयोजन खेल सिद्धांत में उनका अध्ययन किया गया है। ऑक्टल खेल निष्पक्ष होते हैं जिसका अर्थ है कि एक खिलाड़ी के लिए उपलब्ध प्रत्येक चाल दूसरे खिलाड़ी के लिए भी उपलब्ध होती है। वे टोकन की संख्या में एक दूसरे से भिन्न होते हैं जिन्हें एक ही चाल में हटाया जा सकता है, और (इस संख्या के आधार पर) क्या इसे एक पूरे ढेर को हटाने, ढेर के आकार को कम करने, या एक ढेर को दो ढेरों में विभाजित करने की अनुमति है। इन नियम भिन्नताओं को अष्टक अंकों का उपयोग करके एक कोडिंग प्रणाली द्वारा संक्षिप्त रूप से वर्णित किया जा सकता है। खेल विनिर्देश एक अष्टक खेल टोकन के साथ खेला जाता है जिसे ढेरों में विभाजित किया जाता है। दो खिलाड़ी बारी-बारी से आगे बढ़ते हैं जब तक कि कोई चाल संभव नहीं हो जाती। प्रत्येक चाल में केवल ढेर में से एक का चयन करना, और या तो ढेर में सभी टोकन को हटाना, कोई ढेर नहीं छोड़ना, कुछ को हटाना लेकिन सभी को नहीं, एक छोटा ढेर छोड़ना, या कुछ टोकन को हटाना और शेष टोकन को दो गैर-खाली ढेर में विभाजित करना शामिल है। चयनित ढेर के अलावा अन्य ढेर अपरिवर्तित रहते हैं। सामान्य खेल में स्थानांतरित करने वाला अंतिम खिलाड़ी जीतता है। खेल को मिसरे प्ले में भी खेला जा सकता है, जिसमें अंतिम खिलाड़ी हार जाता है। इस तरह से ढेरों के साथ खेले जाने वाले खेल, जिसमें प्रत्येक ढेर के लिए अनुमत चालें मूल ढेर के आकार से निर्धारित की जाती हैं, साहित्य में टेकिंग एंड ब्रेकिंग गेम कहा जाता है। ऑक्टल खेल लेने और तोड़ने वाले खेलों का एक उपसमुच्चय है जिसमें अनुमत चालों को ढेर से हटाए गए टोकन की संख्या से निर्धारित किया जाता है। एक खेल के लिए ऑक्टल कोड 0 के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। डी1 डी2 डी3 डी4., जहाँ अष्टक अंक डीएन निर्दिष्ट करता है कि खिलाड़ी को ढेर से एन टोकन हटाने के बाद शून्य, एक या दो ढेर छोड़ने की अनुमति है या नहीं। अंक डीएन 1 का योग है यदि शून्य ढेर छोड़ने की अनुमति है, अन्यथा 0; 2 यदि एक ढेर छोड़ने की अनुमति है, अन्यथा 0; और 4 यदि दो ढेर छोड़ने की अनुमति है, अन्यथा 0। शून्य टोकन को ढेर के रूप में नहीं गिना जाता है। इस प्रकार अंक डीएन विषम है यदि एन टोकन के ढेर को पूरी तरह से हटाया जा सकता है, और अन्यथा भी। डीएन में एक-ढेर के परिणामों का विनिर्देश एन से अधिक के ढेर से एन टोकन को हटाने पर लागू होता है। डीएन में दो-ढेर के परिणाम कम से कम एन + 2 के ढेर से एन टोकन को हटाने और शेष को दो गैर-खाली ढेर में अलग करने पर लागू होते हैं। ऑक्टल गेम दशमलव बिंदु के बाईं ओर अंक 4 का उपयोग करके किसी भी टोकन को हटाए बिना एक ढेर को दो भागों में विभाजित करने की अनुमति दे सकते हैं। यह ग्रंडी के खेल में कदम के समान है, जो एक ढेर को दो असमान भागों में विभाजित करना है। हालांकि, मानक ऑक्टल गेम संकेतन में असमान भागों की बाधा को व्यक्त करने की शक्ति नहीं है। केवल सीमित संख्या में गैर-शून्य अंकों वाले ऑक्टल खेलों को फाइनाइट ऑक्टल गेम कहा जाता है। विशेष ऑक्टल गेम निम संयोजन खेल सिद्धांत में सबसे मौलिक खेल निम है, जिसमें किसी भी संख्या में टोकन को ढेर से हटाया जा सकता है, जिससे शून्य या एक ढेर पीछे रह जाता है। निम के लिए ऑक्टल कोड 0.333 है, जो प्रकाशित साहित्य में दिखाई देता है, जो दोहराए जाने वाले भाग को दोहराए जाने वाले दशमलव के रूप में दर्शाता है। हालाँकि, यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि दोहराए जाने वाला भाग ऑक्टल अंशों के समान भूमिका नहीं निभाता है, जिसमें ऑक्टल अंशों के रूप में उनकी समानता के बावजूद खेल और समान नहीं हैं। केयल्स खेल को आमतौर पर एन पिन की एक पंक्ति के साथ खेले जाने के रूप में देखा जाता है, लेकिन एन काउंटरों के ढेर द्वारा मॉडल किया जा सकता है। एक को ढेर से एक या दो टोकन हटाने और शेष को शून्य, एक या दो ढेर में व्यवस्थित करने की अनुमति है। कायल्स के लिए ऑक्टल कोड 0.77 है। डावसन की शतरंज, 1938 में कैस के वाइल्ड रोज़ेस में थॉमस रेनर डावसन द्वारा प्रस्तुत एक शतरंज पहेली से उत्पन्न होने वाला खेल है। इस पहेली को एक ही श्रेणी द्वारा अलग किए गए मोहरे की विरोधी पंक्तियों के रूप में प्रस्तुत किया गया था। हालांकि पहेली को एक निष्पक्ष खेल के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है, यह धारणा कि कैप्चर्स अनिवार्य हैं, इसका मतलब है कि एक खिलाड़ी के किसी भी फ़ाइल में स्थानांतरित होने का परिणाम केवल उस फ़ाइल और उसके पड़ोसियों (यदि कोई हो) को आगे के विचार से हटाने में होता है, जिसमें विपरीत खिलाड़ी को स्थानांतरित करना होता है। इसे एन टोकन के ढेर के रूप में मॉडल करते हुए, एक खिलाड़ी एक, दो या तीन टोकन के पूरे ढेर को हटा सकता है, किसी भी ढेर को दो या तीन टोकन से कम कर सकता है, या तीन टोकन को हटाने के बाद एक ढेर को दो भागों में विभाजित कर सकता है। डॉसन के शतरंज को इस प्रकार ऑक्टल कोड 0.137 द्वारा दर्शाया जाता है। डावसन के कायल्स 0.07 वाले खेल में, जिसे डावसन के कायल्स कहा जाता है, एक कदम एक ढेर से ठीक दो टोकन को हटाना और शेष को शून्य, एक या दो ढेर में वितरित करना है। डॉसन के कायल्स का नाम डॉसन के शतरंज के साथ इसकी (गैर-स्पष्ट) समानता के लिए रखा गया है, जिसमें डॉसन के कायल्स का एन + 1 टोकन का ढेर बिल्कुल एन टोकन के डॉसन के शतरंज ढेर की तरह काम करता है। डॉसन के कायल्स को डॉसन के शतरंज का पहला चचेरा भाई कहा जाता है। अन्य आधारों के लिए सामान्यीकरण ऑक्टल गेम जैसे निम, जिसमें प्रत्येक चाल एक ढेर को शून्य या एक ढेर में बदल देती है, को चतुर्थक खेल कहा जाता है क्योंकि केवल 0,1,2 और 3 अंक दिखाई देते हैं। ऑक्टल संकेतन को हेक्साडेसिमल खेलों को शामिल करने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है, जिसमें अंक एक ढेर को तीन भागों में विभाजित करने की अनुमति देते हैं। वास्तव में, मनमाने ढंग से बड़े आधार संभव हैं। चतुर्धातुक, अष्टक और षट्कोणीय खेलों के विश्लेषण से पता चलता है कि खेलों के ये वर्ग एक-दूसरे से स्पष्ट रूप से अलग हैं, और बड़े आधारों के व्यवहार की उतनी जांच नहीं की गई है। निम-अनुक्रम स्प्रेग-ग्रंडी प्रमेय का तात्पर्य है कि आकार n का एक ढेर किसी दिए गए आकार के निम ढेर के बराबर होता है, जिसे आमतौर पर G (n) कहा जाता है। एक अष्टक खेल के विश्लेषण में फिर बढ़ते आकार के ढेर के लिए निम-मानों का अनुक्रम खोजना शामिल है। इस अनुक्रम जी (0), जी (1), जी (2). को आमतौर पर खेल का निम-अनुक्रम कहा जाता है। अब तक विश्लेषण किए गए सभी परिमित अष्टक खेलों ने एक निम-अनुक्रम दिखाया है जो अंततः आवधिक है, और क्या सभी परिमित अष्टक खेल अंततः आवधिक हैं, यह एक खुला सवाल है। इसे रिचर्ड गाय द्वारा संयोजन खेलों के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण समस्या के रूप में सूचीबद्ध किया गया है। गणना अभिलेख एक अष्टक खेल के पूर्ण विश्लेषण के परिणामस्वरूप इसकी अवधि और इसके निम-अनुक्रम की पूर्व अवधि का पता चलता है। यह आपके गणितीय नाटकों के लिए जीतने के तरीकों में दिखाया गया है कि यह साबित करने के लिए कि एक सीमित अष्टक खेल आवधिक है, निम-अनुक्रम के मूल्यों की केवल एक सीमित संख्या की आवश्यकता होती है, जिसने कंप्यूटर के साथ गणना के लिए द्वार खोल दिया। वर्षों से अधिकतम 3 ऑक्टल अंकों वाले ऑक्टल खेलों का विश्लेषण किया गया है। 79 गैर-तुच्छ ऑक्टल खेल हैं, जिनमें से 14 को हल किया गया हैः 1967 में जैक केन्यन द्वारा............................................................................................................................................................................... संदर्भ संयुक्त खेल सिद्धांत गणितीय खेल