Classical mechanics
शास्त्रीय यांत्रिकी एक भौतिक सिद्धांत है जो प्रक्षेप्य से लेकर मशीनरी के कुछ हिस्सों और खगोलीय वस्तुओं, जैसे अंतरिक्ष यान, ग्रहों, सितारों और आकाशगंगाओं तक मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं की गति का वर्णन करता है। शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा शासित वस्तुओं के लिए, यदि वर्तमान स्थिति ज्ञात है, तो यह भविष्यवाणी करना संभव है कि यह भविष्य में कैसे आगे बढ़ेगा (निर्धारणवाद), और यह अतीत में कैसे आगे बढ़ा है (प्रतिवर्ती)। "शास्त्रीय यांत्रिकी" में "शास्त्रीय" शास्त्रीय पुरातनता को संदर्भित नहीं करता है, जैसा कि शास्त्रीय वास्तुकला में कहा जा सकता है। इसके विपरीत, शास्त्रीय यांत्रिकी के विकास में भौतिकी के तरीकों और दर्शन में पर्याप्त परिवर्तन शामिल थे। इसके बजाय, योग्यता 20 वीं शताब्दी की शुरुआत की क्रांतियों के बाद विकसित भौतिकी से शास्त्रीय यांत्रिकी को अलग करती है, जिसने शास्त्रीय यांत्रिकी की सीमाओं को प्रकट किया। शास्त्रीय यांत्रिकी के प्रारंभिक सूत्रीकरण को अक्सर न्यूटनियन यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है। इसमें सर आइज़ैक न्यूटन के मूलभूत कार्यों पर आधारित भौतिक अवधारणाएँ और 17वीं शताब्दी में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़, जोसेफ-लुई लैग्रेंज, लियोनहार्ड यूलर और अन्य समकालीनों द्वारा आविष्कार की गई गणितीय विधियाँ शामिल हैं जो बलों के प्रभाव में निकायों की गति का वर्णन करती हैं। बाद में, अधिक अमूर्त विधियों का विकास किया गया, जिससे शास्त्रीय यांत्रिकी के सुधार हुए जिन्हें लैग्रैन्जियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है। मुख्य रूप से 18वीं और 19वीं शताब्दी में की गई ये प्रगति, विशेष रूप से विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के उपयोग के माध्यम से, पहले के कार्यों से काफी आगे तक फैली हुई है। कुछ संशोधनों के साथ इनका उपयोग आधुनिक भौतिकी के सभी क्षेत्रों में भी किया जाता है। शास्त्रीय यांत्रिकी उन बड़ी वस्तुओं का अध्ययन करते समय सटीक परिणाम प्रदान करता है जो अत्यधिक विशाल नहीं हैं और गति प्रकाश की गति के करीब नहीं है। जब जांच की जा रही वस्तुओं का आकार परमाणु व्यास के बराबर होता है, तो यांत्रिकी के अन्य प्रमुख उप-क्षेत्रः क्वांटम यांत्रिकी का परिचय देना आवश्यक हो जाता है। उन वेगों का वर्णन करने के लिए जो प्रकाश की गति की तुलना में छोटे नहीं हैं, विशेष सापेक्षता की आवश्यकता है। ऐसे मामलों में जहां वस्तुएं अत्यधिक विशाल हो जाती हैं, सामान्य सापेक्षता लागू हो जाती है। हालांकि, कई आधुनिक स्रोतों में शास्त्रीय भौतिकी में सापेक्षवादी यांत्रिकी शामिल हैं, जो उनके विचार में अपने सबसे विकसित और सटीक रूप में शास्त्रीय यांत्रिकी का प्रतिनिधित्व करते हैं। सिद्धांत का विवरण निम्नलिखित विचार शास्त्रीय यांत्रिकी की बुनियादी अवधारणाओं का परिचय देते हैं। सरलता के लिए, यह अक्सर वास्तविक दुनिया की वस्तुओं को बिंदु कणों (नगण्य आकार वाली वस्तुओं) के रूप में मॉडल करता है। एक बिंदु कण की गति कुछ मापदंडों द्वारा निर्धारित की जाती हैः इसकी स्थिति, द्रव्यमान और उस पर लागू बल। वास्तव में, शास्त्रीय यांत्रिकी जिस तरह की वस्तुओं का वर्णन कर सकते हैं, उनका आकार हमेशा गैर-शून्य होता है। (बहुत छोटे कणों का व्यवहार, जैसे कि इलेक्ट्रॉन, क्वांटम यांत्रिकी द्वारा अधिक सटीक रूप से वर्णित किया गया है।) गैर-शून्य आकार वाली वस्तुओं में काल्पनिक बिंदु कणों की तुलना में अधिक जटिल व्यवहार होता है, क्योंकि स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री होती है, उदाहरण के लिए, एक बेसबॉल चलते समय घूम सकता है। हालांकि, बिंदु कणों के परिणामों का उपयोग ऐसी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है, उन्हें समग्र वस्तुओं के रूप में माना जा सकता है, जो बड़ी संख्या में सामूहिक रूप से कार्य करने वाले बिंदु कणों से बने होते हैं। एक मिश्रित वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु कण की तरह व्यवहार करता है। शास्त्रीय यांत्रिकी मानता है कि पदार्थ और ऊर्जा में निश्चित, ज्ञात विशेषताएँ हैं जैसे कि अंतरिक्ष और गति में स्थान। गैर-सापेक्षवादी यांत्रिकी यह भी मानती है कि बल तुरंत कार्य करते हैं (दूरी पर कार्रवाई भी देखें)। स्थिति और उसके व्युत्पन्न एक बिंदु कण की स्थिति को अंतरिक्ष में एक मनमाने निश्चित संदर्भ बिंदु पर केंद्रित एक समन्वय प्रणाली के संबंध में परिभाषित किया जाता है जिसे मूल O कहा जाता है। एक सरल निर्देशांक प्रणाली आर लेबल वाले एक तीर द्वारा चिह्नित एक सदिश के साथ एक कण पी की स्थिति का वर्णन कर सकती है जो मूल ओ से बिंदु पी तक इंगित करता है। सामान्य तौर पर, बिंदु कण को ओ के सापेक्ष स्थिर होने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे मामलों में जहां पी ओ के सापेक्ष गति कर रहा है, आर को टी, समय के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। पूर्व-आइंस्टीन सापेक्षता (जिसे गैलीलियन सापेक्षता के रूप में जाना जाता है) में, समय को एक निरपेक्ष माना जाता है, यानी किसी भी जोड़ी घटनाओं के बीच जो समय अंतराल देखा जाता है वह सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान होता है। निरपेक्ष समय पर भरोसा करने के अलावा, शास्त्रीय यांत्रिकी अंतरिक्ष की संरचना के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति मानता है। वेग और गति वेग, या समय के साथ विस्थापन के परिवर्तन की दर को समय के संबंध में स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया हैः शास्त्रीय यांत्रिकी में, वेग सीधे योगात्मक और घटाव वाले होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार 60 किमी/घंटा की गति से पूर्व की ओर यात्रा करती है और उसी दिशा में 50 किमी/घंटा की गति से यात्रा करने वाली दूसरी कार को पार करती है, तो धीमी कार को लगता है कि तेज कार पूर्व की ओर यात्रा कर रही है। हालांकि, तेज कार के दृष्टिकोण से, धीमी कार पश्चिम की ओर 10 किमी/घंटा आगे बढ़ रही है, जिसे अक्सर-10 किमी/घंटा के रूप में दर्शाया जाता है जहां संकेत विपरीत दिशा का संकेत देता है। वेग वेक्टर मात्राओं के रूप में सीधे योगात्मक होते हैं; उन्हें वेक्टर विश्लेषण का उपयोग करके निपटा जाना चाहिए। गणितीय रूप से, यदि पिछली चर्चा में पहली वस्तु के वेग को सदिश द्वारा दर्शाया जाता है और दूसरी वस्तु के वेग को सदिश द्वारा दर्शाया जाता है, जहां u पहली वस्तु का वेग है, v दूसरी वस्तु का वेग है, और d और e क्रमशः प्रत्येक वस्तु की गति की दिशाओं में इकाई सदिश हैं, तो दूसरी वस्तु द्वारा देखी गई पहली वस्तु का वेग हैः इसी तरह, पहली वस्तु दूसरी वस्तु के वेग को इस तरह देखती हैः जब दोनों वस्तुएं एक ही दिशा में आगे बढ़ रही होती हैं, तो इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता हैः या, दिशा को अनदेखा करके, अंतर को केवल गति के संदर्भ में दिया जा सकता हैः त्वरण या वेग परिवर्तन की दर, समय के संबंध में वेग का व्युत्पन्न है (दूसरा) वेग परिमाण, दिशा या दोनों में बदल सकता है। कभी-कभी, वेग "v" के परिमाण में कमी को मंदी के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन आम तौर पर समय के साथ वेग में किसी भी परिवर्तन, जिसमें मंदी भी शामिल है, को त्वरण के रूप में संदर्भित किया जाता है। जहाँ एक कण की स्थिति, वेग और त्वरण को किसी भी गति की स्थिति में किसी भी पर्यवेक्षक के संबंध में वर्णित किया जा सकता है, शास्त्रीय यांत्रिकी संदर्भ फ्रेम के एक विशेष परिवार के अस्तित्व को मानती है जिसमें प्रकृति के यांत्रिक नियम तुलनात्मक रूप से सरल रूप लेते हैं। इन विशेष संदर्भ फ्रेमों को जड़त्वीय फ्रेम कहा जाता है। एक जड़त्वीय फ्रेम संदर्भ का एक आदर्श फ्रेम है जिसके भीतर शून्य शुद्ध बल के साथ एक वस्तु एक स्थिर वेग के साथ चलती है; अर्थात, यह या तो आराम में है या एक सीधी रेखा में समान रूप से आगे बढ़ रही है। एक जड़त्वीय फ्रेम में न्यूटन का गति का नियम, मान्य है। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम एक अन्य जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में गति बढ़ाते हैं। एक जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में घूमने वाला शरीर एक जड़त्वीय फ्रेम नहीं है। जब एक जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है, तो गैर-जड़त्वीय फ्रेम में कण उन तरीकों से चलते दिखाई देते हैं जो संदर्भ फ्रेम में मौजूदा क्षेत्रों के बलों द्वारा समझाया नहीं गया है। इसलिए, ऐसा प्रतीत होता है कि अन्य बल हैं जो केवल सापेक्ष त्वरण के परिणामस्वरूप गति के समीकरणों में प्रवेश करते हैं। इन बलों को काल्पनिक बल, जड़ता बल या छद्म बल के रूप में संदर्भित किया जाता है। दो संदर्भ फ्रेम एस और एस पर विचार करें। प्रत्येक संदर्भ फ्रेम में पर्यवेक्षकों के लिए एक घटना में फ्रेम S में (x, y, z, t) और फ्रेम S 'में (x', y ', z', t ') के स्थान-समय निर्देशांक होते हैं। मान लीजिए कि समय को सभी संदर्भ फ्रेमों में समान रूप से मापा जाता है, यदि हमें आवश्यकता हो, तो संदर्भ फ्रेम S 'और S से देखे गए उसी घटना के अंतरिक्ष-समय निर्देशांकों के बीच संबंध, जो x दिशा में सापेक्ष वेग u पर आगे बढ़ रहे हैं, हैः सूत्रों का यह सेट गैलीलियन परिवर्तन (अनौपचारिक रूप से, गैलीलियन परिवर्तन) के रूप में जाने जाने वाले समूह परिवर्तन को परिभाषित करता है। यह समूह विशेष सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले पोइनकेयर समूह का एक सीमित मामला है। सीमित करने वाला मामला तब लागू होता है जब वेग u प्रकाश की गति c की तुलना में बहुत छोटा होता है। परिवर्तनों के निम्नलिखित परिणाम होते हैंः v′ = v−u (S′ के दृष्टिकोण से किसी कण का वेग v′, S के दृष्टिकोण से उसके वेग v की तुलना में u से धीमा होता है) a′ = a (किसी कण का त्वरण किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में समान होता है) F′ = F (किसी कण पर बल किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में समान होता है) शास्त्रीय यांत्रिकी में प्रकाश की गति स्थिर नहीं होती है, और न ही सापेक्षवादी यांत्रिकी में प्रकाश की गति को दी गई विशेष स्थिति का शास्त्रीय यांत्रिकी में समकक्ष होता है। कुछ समस्याओं के लिए, घूर्णन निर्देशांक (संदर्भ फ्रेम) का उपयोग करना सुविधाजनक है। इसके द्वारा कोई भी या तो एक सुविधाजनक जड़त्वीय फ्रेम के लिए एक मानचित्रण रख सकता है, या अतिरिक्त रूप से एक काल्पनिक अपकेंद्र बल और कोरिओलिस बल का परिचय दे सकता है। बल और न्यूटन का दूसरा नियम भौतिकी में एक बल कोई भी क्रिया है जो किसी वस्तु के वेग को बदलने का कारण बनती है; अर्थात, त्वरित करना। एक क्षेत्र के भीतर से एक बल उत्पन्न होता है, जैसे कि एक विद्युत-स्थैतिक क्षेत्र (स्थिर विद्युत आवेशों के कारण), विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र (गतिशील आवेशों के कारण), या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (द्रव्यमान के कारण), अन्य के बीच। न्यूटन गणितीय रूप से बल और संवेग के बीच संबंध को व्यक्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। कुछ भौतिक विज्ञानी न्यूटन के गति के दूसरे नियम की व्याख्या बल और द्रव्यमान की परिभाषा के रूप में करते हैं, जबकि अन्य इसे एक मौलिक अभिधारणा, प्रकृति का नियम मानते हैं। किसी भी व्याख्या के समान गणितीय परिणाम होते हैं, जिन्हें ऐतिहासिक रूप से "न्यूटन के दूसरे नियम" के रूप में जाना जाता हैः मात्रा mv को (विहित) संवेग कहा जाता है। इस प्रकार किसी कण पर शुद्ध बल समय के साथ कण की गति के परिवर्तन की दर के बराबर होता है। चूंकि त्वरण की परिभाषा है, इसलिए दूसरे नियम को सरल और अधिक परिचित रूप में लिखा जा सकता हैः जब तक किसी कण पर कार्य करने वाले बल का पता चलता है, न्यूटन का दूसरा नियम किसी कण की गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। एक बार जब किसी कण पर कार्य करने वाले प्रत्येक बल के लिए स्वतंत्र संबंध उपलब्ध हो जाते हैं, तो उन्हें एक साधारण विभेदक समीकरण प्राप्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसे गति का समीकरण कहा जाता है। एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल घर्षण है, और इसे कण के वेग के एक फलन के रूप में मॉडल किया जा सकता है, उदाहरण के लिएः जहां λ एक सकारात्मक स्थिरांक है, नकारात्मक संकेत बताता है कि बल वेग की भावना के विपरीत है। फिर गति का समीकरण है इसे प्राप्त करने के लिए एकीकृत किया जा सकता है जहाँ v0 प्रारंभिक वेग है। इसका मतलब है कि जैसे-जैसे समय आगे बढ़ता है, इस कण का वेग तेजी से शून्य हो जाता है। इस मामले में, एक समतुल्य दृष्टिकोण यह है कि कण की गतिज ऊर्जा घर्षण द्वारा अवशोषित होती है (जो इसे ऊर्जा संरक्षण के अनुसार ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित करती है), और कण धीमा हो रहा है। इस अभिव्यक्ति को समय के फलन के रूप में कण की स्थिति r प्राप्त करने के लिए आगे एकीकृत किया जा सकता है। महत्वपूर्ण बलों में गुरुत्वाकर्षण बल और विद्युत चुंबकत्व के लिए लॉरेंट्ज़ बल शामिल हैं। इसके अलावा, न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग कभी-कभी किसी कण पर कार्य करने वाले बलों का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता हैः यदि यह ज्ञात हो कि कण ए दूसरे कण बी पर एक बल एफ लगाता है, तो यह इस प्रकार है कि बी को ए पर एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल,-एफ, लगाना चाहिए। न्यूटन के तीसरे नियम के मजबूत रूप के लिए आवश्यक है कि एफ और-एफ ए और बी को जोड़ने वाली रेखा के साथ कार्य करें, जबकि कमजोर रूप नहीं करता है। न्यूटन के तीसरे नियम के कमजोर रूप के चित्रण अक्सर चुंबकीय बलों के लिए पाए जाते हैं। कार्य और ऊर्जा यदि एक स्थिर बल F को एक कण पर लागू किया जाता है जो एक विस्थापन Δr बनाता है, तो बल द्वारा किए गए कार्य को बल और विस्थापन वैक्टर के अदिश उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता हैः अधिक सामान्य रूप से, यदि बल स्थिति के एक कार्य के रूप में भिन्न होता है क्योंकि कण एक पथ C के साथ r1 से r2 की ओर बढ़ता है, तो कण पर किया गया कार्य रेखा समाकलन द्वारा दिया जाता है यदि कण को r1 से r2 की ओर ले जाने में किया गया कार्य समान है, चाहे कोई भी मार्ग लिया जाए, बल को रूढ़िवादी कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण एक रूढ़िवादी बल है, जैसा कि हुक के नियम द्वारा दिया गया है, जैसा कि एक आदर्श स्प्रिंग के कारण बल है। घर्षण के कारण होने वाला बल गैर-परिरक्षक होता है। वेग v पर यात्रा करने वाले द्रव्यमान m के कण की गतिज ऊर्जा Ek द्वारा दी जाती है कई कणों से बनी विस्तारित वस्तुओं के लिए, समग्र शरीर की गतिज ऊर्जा कणों की गतिज ऊर्जा का योग है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है कि स्थिर द्रव्यमान m के कण के लिए, स्थिति r1 से r2 की ओर बढ़ते हुए उस पर किया गया कुल कार्य W, कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है एक कणः रूढ़िवादी बलों को एक अदिश फलन के प्रवणता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे स्थितिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है और EP को निरूपित किया जाता हैः यदि किसी कण पर कार्य करने वाले सभी बल रूढ़िवादी हैं, और EP कुल स्थितिज ऊर्जा है (जिसे निकायों की पारस्परिक स्थितियों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए शामिल बलों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है), जो प्रत्येक बल के अनुरूप स्थितिज ऊर्जा का योग करके प्राप्त की जाती है, तो स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है। यह अक्सर उपयोगी होता है, क्योंकि आम तौर पर सामना की जाने वाली कई ताकतें रूढ़िवादी होती हैं। न्यूटन के नियमों से परे शास्त्रीय यांत्रिकी विस्तारित गैर-बिंदु जैसी वस्तुओं की अधिक जटिल गतियों का भी वर्णन करता है। यूलर के नियम इस क्षेत्र में न्यूटन के नियमों को विस्तार प्रदान करते हैं। कोणीय संवेग की अवधारणाएँ उसी कलन पर निर्भर करती हैं जिसका उपयोग एक-आयामी गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। रॉकेट समीकरण किसी वस्तु की गति के परिवर्तन की दर की धारणा को "द्रव्यमान खोने" के प्रभावों को शामिल करने के लिए विस्तारित करता है। (ये सामान्यीकरण/विस्तार न्यूटन के नियमों से लिए गए हैं, मान लीजिए, एक ठोस पिंड को बिंदुओं के संग्रह में विघटित करके।) शास्त्रीय यांत्रिकी के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक सूत्रीकरण हैंः लग्रांजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी। ये, और अन्य आधुनिक सूत्रीकरण, आमतौर पर सामान्यीकृत निर्देशांक में यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए, ऊर्जा, गति और संवेग जैसी अन्य भौतिक मात्राओं का उल्लेख करने के बजाय, "बल" की अवधारणा को दरकिनार करते हैं। ये मूल रूप से न्यूटन के नियमों के गणितीय पुनर्लेखन हैं, लेकिन जटिल यांत्रिक समस्याओं को इन रूपों में हल करना बहुत आसान है। इसके अलावा, क्वांटम यांत्रिकी के साथ सादृश्य हैमिल्टनियन औपचारिकता में अधिक स्पष्ट है। संवेग और गतिज ऊर्जा के लिए ऊपर दी गई अभिव्यक्तियाँ केवल तभी मान्य होती हैं जब कोई महत्वपूर्ण विद्युत चुम्बकीय योगदान न हो। विद्युत चुंबकत्व में, धारा ले जाने वाले तारों के लिए न्यूटन का दूसरा नियम तब तक टूट जाता है जब तक कि एक में प्रणाली की गति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का योगदान शामिल न हो जैसा कि c2 द्वारा विभाजित पॉइंटिंग वेक्टर द्वारा व्यक्त किया गया है, जहां c मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है। वैधता की सीमाएँ शास्त्रीय यांत्रिकी की कई शाखाएँ अधिक सटीक रूपों के सरलीकरण या सन्निकटन हैं; दो सबसे सटीक सामान्य सापेक्षता और सापेक्ष सांख्यिकीय यांत्रिकी हैं। ज्यामितीय प्रकाशिकी प्रकाश के क्वांटम सिद्धांत का एक अनुमान है, और इसका कोई बेहतर "शास्त्रीय" रूप नहीं है। जब क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी दोनों लागू नहीं हो सकते हैं, जैसे कि स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ क्वांटम स्तर पर, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यू. एफ. टी.) उपयोग में है। क्यू. एफ. टी. छोटी दूरी, और कई डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के साथ बड़ी गति के साथ-साथ बातचीत के दौरान कणों की संख्या में किसी भी बदलाव की संभावना से संबंधित है। जब मैक्रोस्कोपिक स्तर पर बड़ी मात्रा में स्वतंत्रता का इलाज किया जाता है, तो सांख्यिकीय यांत्रिकी उपयोगी हो जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी कणों की बड़ी (लेकिन गणना योग्य) संख्या के व्यवहार और मैक्रोस्कोपिक स्तर पर समग्र रूप से उनकी अंतःक्रियाओं का वर्णन करता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग मुख्य रूप से उन प्रणालियों के लिए ऊष्मागतिकी में किया जाता है जो शास्त्रीय ऊष्मागतिकी की धारणाओं की सीमा से बाहर हैं। प्रकाश की गति के करीब आने वाली उच्च वेग वाली वस्तुओं के मामले में, शास्त्रीय यांत्रिकी को विशेष सापेक्षता द्वारा बढ़ाया जाता है। यदि वस्तुएँ अत्यधिक भारी हो जाती हैं (यानी, किसी दिए गए अनुप्रयोग के लिए उनकी श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या नगण्य रूप से छोटी नहीं है), तो न्यूटोनियन यांत्रिकी से विचलन स्पष्ट हो जाते हैं और न्यूटोनियन औपचारिकता के बाद के मानकों का उपयोग करके उनकी मात्रा निर्धारित की जा सकती है। उस स्थिति में, सामान्य सापेक्षता (जी. आर.) लागू हो जाती है। हालाँकि, अब तक जीआर और क्यूएफटी को एकीकृत करने वाले क्वांटम गुरुत्वाकर्षण का कोई सिद्धांत इस अर्थ में नहीं है कि इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब वस्तुएँ बेहद छोटी और भारी हो जाती हैं। [4] [5] विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटनियन सन्निकटन विशेष सापेक्षता में, एक कण की गति इस प्रकार दी जाती है जहाँ m कण का विश्राम द्रव्यमान है, v इसका वेग है, v v का मापांक है, और c प्रकाश की गति है। यदि v, c की तुलना में बहुत छोटा है, तो v2/c2 लगभग शून्य है, और इसलिए इस प्रकार न्यूटोनियन समीकरण प्रकाश की गति की तुलना में कम गति से चलने वाले पिंडों के लिए सापेक्ष समीकरण का एक अनुमान है। उदाहरण के लिए, एक साइक्लोट्रॉन, जाइरोट्रॉन, या उच्च वोल्टेज मैग्नेट्रॉन की सापेक्ष साइक्लोट्रॉन आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है जहाँ fc गतिज ऊर्जा T और (शेष) द्रव्यमान m0 के साथ एक चुंबकीय क्षेत्र में चक्कर लगाने वाले इलेक्ट्रॉन (या अन्य आवेशित कण) की शास्त्रीय आवृत्ति है। एक इलेक्ट्रॉन का (शेष) द्रव्यमान 511 केवी है। तो आवृत्ति सुधार 5.11 केवी प्रत्यक्ष धारा त्वरण वोल्टेज के साथ एक चुंबकीय वैक्यूम ट्यूब के लिए 1 प्रतिशत है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए शास्त्रीय सन्निकटन शास्त्रीय यांत्रिकी का किरण सन्निकटन तब टूट जाता है जब डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य प्रणाली के अन्य आयामों की तुलना में बहुत छोटा नहीं होता है। गैर-सापेक्ष कणों के लिए, यह तरंग दैर्ध्य वह जगह है जहाँ h प्लैंक का स्थिरांक है और p संवेग है। पुनः, यह भारी कणों के साथ होने से पहले इलेक्ट्रॉनों के साथ होता है। उदाहरण के लिए, 1927 में क्लिंटन डेविसन और लेस्टर जर्मर द्वारा उपयोग किए गए इलेक्ट्रॉन, 54 वी द्वारा त्वरित, की तरंग दैर्ध्य 0.167 nm थी, जो 0.215 nm के परमाणु अंतराल के साथ निकल क्रिस्टल के चेहरे से परावर्तित होने पर एकल विवर्तन साइड लोब प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त थी। एक बड़े निर्वात कक्ष के साथ, कोणीय संकल्प को एक रेडियन के आसपास से एक मिलीरेडियन तक बढ़ाना और एकीकृत परिपथ कंप्यूटर स्मृति के आवधिक पैटर्न से क्वांटम विवर्तन देखना अपेक्षाकृत आसान लगेगा। इंजीनियरिंग पैमाने पर शास्त्रीय यांत्रिकी की विफलता के अधिक व्यावहारिक उदाहरण सुरंग डायोड में क्वांटम टनलिंग और एकीकृत परिपथों में बहुत संकीर्ण ट्रांजिस्टर द्वार द्वारा चालन हैं। शास्त्रीय यांत्रिकी ज्यामितीय प्रकाशिकी के समान ही चरम उच्च आवृत्ति सन्निकटन है। यह अक्सर सटीक होता है क्योंकि यह विश्राम द्रव्यमान वाले कणों और पिंडों का वर्णन करता है। इनमें अधिक गति होती है और इसलिए समान गतिज ऊर्जा वाले प्रकाश जैसे द्रव्यमान रहित कणों की तुलना में डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य कम होती है। पिंडों की गति का अध्ययन एक प्राचीन अध्ययन है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी को विज्ञान, इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी के सबसे पुराने और सबसे बड़े विषयों में से एक बनाता है। प्राचीन काल के कुछ यूनानी दार्शनिकों, जिनमें अरस्तू, अरस्तू के भौतिक विज्ञान के संस्थापक, इस विचार को बनाए रखने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं कि "सब कुछ एक कारण से होता है" और यह कि सैद्धांतिक सिद्धांत प्रकृति की समझ में सहायता कर सकते हैं। जबकि एक आधुनिक पाठक के लिए, इनमें से कई संरक्षित विचार प्रमुख रूप से उचित के रूप में सामने आते हैं, गणितीय सिद्धांत और नियंत्रित प्रयोग दोनों की एक विशिष्ट कमी है, जैसा कि हम जानते हैं। ये बाद में आधुनिक विज्ञान के निर्माण में निर्णायक कारक बन गए, और उनके प्रारंभिक अनुप्रयोग को शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में जाना जाने लगा। मध्ययुगीन गणितशास्त्री जॉर्डन डी नेमोर ने अपने एलिमेंटा सुपर डेमॉन्स्ट्रेशनम पोंडेरम में "स्थितिगत गुरुत्वाकर्षण" और घटक बलों के उपयोग की अवधारणा पेश की। ग्रहों की गतियों की पहली प्रकाशित कारणात्मक व्याख्या जोहान्स केपलर की एस्ट्रोनॉमी नोवा थी, जो 1609 में प्रकाशित हुई थी। मंगल की कक्षा पर टाइको ब्राहे की टिप्पणियों के आधार पर उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि ग्रह की कक्षाएं दीर्घवृत्ताकार थीं। प्राचीन विचार के साथ यह विराम लगभग उसी समय हो रहा था जब गैलीलियो वस्तुओं की गति के लिए अमूर्त गणितीय नियमों का प्रस्ताव कर रहा था। उन्होंने पीसा के मीनार से अलग-अलग वजन के दो तोप के गोले गिराने का प्रसिद्ध प्रयोग किया होगा (या नहीं भी), जिससे पता चलता है कि वे दोनों एक ही समय में जमीन पर गिरे थे। उस विशेष प्रयोग की वास्तविकता विवादित है, लेकिन उन्होंने एक झुके हुए तल पर गेंदों को घुमाकर मात्रात्मक प्रयोग किए। त्वरित गति का उनका सिद्धांत ऐसे प्रयोगों के परिणामों से लिया गया था और शास्त्रीय यांत्रिकी की आधारशिला बनाता है। 1673 में क्रिस्टियन ह्यूजेन्स ने अपने होरोलोगियम ऑसिलेटोरियम में गति के पहले दो नियमों का वर्णन किया। यह कार्य पहला आधुनिक ग्रंथ भी है जिसमें एक भौतिक समस्या (गिरने वाले शरीर की त्वरित गति) को मापदंडों के एक समूह द्वारा आदर्श बनाया जाता है और फिर गणितीय रूप से विश्लेषण किया जाता है और व्यावहारिक गणित के मौलिक कार्यों में से एक का गठन किया जाता है। न्यूटन ने प्राकृतिक दर्शन के अपने सिद्धांतों की स्थापना गति के तीन प्रस्तावित नियमों पर कीः जड़ता का नियम, त्वरण का उनका दूसरा नियम (ऊपर उल्लिखित), और क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम; और इसलिए शास्त्रीय यांत्रिकी की नींव रखी। न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियमों दोनों को न्यूटन के फिलोसोफी नैचुरलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका में उचित वैज्ञानिक और गणितीय उपचार दिया गया था। यहाँ वे समान घटनाओं को समझाने के पहले के प्रयासों से अलग हैं, जो या तो अपूर्ण, गलत थे, या बहुत कम सटीक गणितीय अभिव्यक्ति दी गई थी। न्यूटन ने संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांतों का भी प्रतिपादन किया। यांत्रिकी में, न्यूटन सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के न्यूटन के नियम में गुरुत्वाकर्षण का पहला सही वैज्ञानिक और गणितीय सूत्रीकरण प्रदान करने वाले पहले व्यक्ति भी थे। न्यूटन के गति और गुरुत्वाकर्षण के नियमों का संयोजन शास्त्रीय यांत्रिकी का पूर्ण और सबसे सटीक विवरण प्रदान करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि ये नियम रोजमर्रा की वस्तुओं के साथ-साथ खगोलीय वस्तुओं पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उन्होंने केपलर के ग्रहों की गति के नियमों की एक सैद्धांतिक व्याख्या प्राप्त की। न्यूटन ने पहले गणित के कलन का आविष्कार किया था और इसका उपयोग गणितीय गणना करने के लिए किया था। स्वीकार्यता के लिए, उनकी पुस्तक, द प्रिंसिपिया, पूरी तरह से लंबे समय से स्थापित ज्यामितीय तरीकों के संदर्भ में तैयार की गई थी, जिन्हें जल्द ही उनकी गणना द्वारा ग्रहण कर लिया गया था। हालाँकि, यह लीबनिज़ ही थे जिन्होंने आज की पसंद के व्युत्पन्न और अभिन्न के संकेतन को विकसित किया। न्यूटन और उनके अधिकांश समकालीन, ह्यूजेन्स के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, इस धारणा पर काम करते थे कि शास्त्रीय यांत्रिकी ज्यामितीय प्रकाशिकी के रूप में प्रकाश सहित सभी घटनाओं की व्याख्या करने में सक्षम होगा। तथाकथित न्यूटन के वलय (एक तरंग हस्तक्षेप घटना) की खोज करते समय भी उन्होंने प्रकाश के अपने कॉर्पस्कुलर सिद्धांत को बनाए रखा। न्यूटन के बाद, शास्त्रीय यांत्रिकी गणित के साथ-साथ भौतिकी में अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। गणितीय सूत्रीकरणों ने उत्तरोत्तर अधिक संख्या में समस्याओं का समाधान खोजने की अनुमति दी। पहला उल्लेखनीय गणितीय उपचार 1788 में जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा किया गया था। 1833 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा लग्रांजियन यांत्रिकी को फिर से तैयार किया गया था। 19वीं शताब्दी के अंत में कुछ कठिनाइयों की खोज की गई जिन्हें केवल अधिक आधुनिक भौतिकी द्वारा हल किया जा सकता था। इनमें से कुछ कठिनाइयाँ विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत और प्रसिद्ध माइकलसन-मोर्ले प्रयोग के साथ संगतता से संबंधित हैं। इन समस्याओं के समाधान ने सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को जन्म दिया, जिसे अक्सर अभी भी शास्त्रीय यांत्रिकी का एक हिस्सा माना जाता है। कठिनाइयों का एक दूसरा समूह ऊष्मागतिकी से संबंधित था। जब ऊष्मागतिकी के साथ जोड़ा जाता है, तो शास्त्रीय यांत्रिकी शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के गिब्स विरोधाभास की ओर ले जाता है, जिसमें एन्ट्रापी एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा नहीं है। ब्लैक-बॉडी विकिरण को क्वांटा की शुरुआत के बिना समझाया नहीं गया था। जैसे-जैसे प्रयोग परमाणु स्तर पर पहुंचे, शास्त्रीय यांत्रिकी ऊर्जा स्तर और परमाणुओं के आकार और प्रकाश-विद्युत प्रभाव जैसी बुनियादी चीजों की व्याख्या करने में विफल रहे। इन समस्याओं को हल करने के प्रयास से क्वांटम यांत्रिकी का विकास हुआ। 20वीं शताब्दी के अंत से, भौतिकी में शास्त्रीय यांत्रिकी अब एक स्वतंत्र सिद्धांत नहीं रहा है। इसके बजाय, शास्त्रीय यांत्रिकी को अब अधिक सामान्य क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक अनुमानित सिद्धांत माना जाता है। प्रकृति की मौलिक शक्तियों को समझने पर जोर दिया गया है जैसा कि मानक मॉडल में है और इसके अधिक आधुनिक विस्तारों को हर चीज के एकीकृत सिद्धांत में बदल दिया गया है। शास्त्रीय यांत्रिकी एक सिद्धांत है जो कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में गैर-मात्रात्मक यांत्रिक, कम ऊर्जा वाले कणों की गति के अध्ययन के लिए उपयोगी है। इसके अलावा, इसे जटिल क्षेत्र में विस्तारित किया गया है जहां जटिल शास्त्रीय यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी के समान व्यवहार प्रदर्शित करता है। शाखा शास्त्रीय यांत्रिकी को पारंपरिक रूप से तीन मुख्य शाखाओं में विभाजित किया गया थाः स्टैटिक्स, संतुलन का अध्ययन और बलों के साथ इसके संबंध, गति का अध्ययन और बलों के साथ इसका संबंध, गतिविज्ञान का अध्ययन, जो परिस्थितियों को ध्यान में रखे बिना देखे गए गतियों के प्रभावों से निपटता है, जो उन्हें उत्पन्न करता है एक और विभाजन गणितीय औपचारिकता के चयन पर आधारित हैः न्यूटनियन यांत्रिकी लैग्रैन्जियन यांत्रिकी हैमिल्टनियन यांत्रिकी वैकल्पिक रूप से, अनुप्रयोग के क्षेत्र द्वारा एक विभाजन किया जा सकता हैः खगोलीय यांत्रिकी, सितारों, ग्रहों और अन्य खगोलीय निकायों से संबंधित निरंतरता यांत्रिकी, निरंतरता के रूप में मॉडल की गई सामग्री के लिए, जैसे, ठोस और तरल (यानी, तरल और गैस)। सापेक्षिक यांत्रिकी (अर्थात। सापेक्षता के विशेष और सामान्य सिद्धांतों सहित), उन निकायों के लिए जिनकी गति प्रकाश की गति के करीब है। सांख्यिकीय यांत्रिकी, जो अलग-अलग परमाणुओं और अणुओं के सूक्ष्म गुणों को सामग्री के मैक्रोस्कोपिक या थोक थर्मोडायनामिक गुणों से संबंधित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करता है। गतिशील प्रणाली शास्त्रीय यांत्रिकी का इतिहास शास्त्रीय यांत्रिकी में समीकरणों की सूची शास्त्रीय यांत्रिकी में प्रकाशनों की सूची शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी पर पाठ्यपुस्तकों की सूची आणविक गतिकी न्यूटन के गति के नियम विशेष सापेक्षता क्वांटम यांत्रिकी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत नोट्स संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक क्रोवेल, बेंजामिन। लाइट एंड मैटर (एक परिचयात्मक पाठ, कलन से जुड़े वैकल्पिक वर्गों के साथ बीजगणित का उपयोग करता है) फिट्ज़पैट्रिक, रिचर्ड। शास्त्रीय यांत्रिकी (कलन का उपयोग करता है) होयलैंड, 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