Lie product formula
गणित में, लाइ उत्पाद सूत्र, जिसे सोफस लाइ (1875) के लिए नामित किया गया है, लेकिन व्यापक रूप से ट्रॉटर उत्पाद सूत्र भी कहा जाता है, जिसका नाम हेल ट्रॉटर के नाम पर रखा गया है, बताता है कि मनमाने m × m वास्तविक या जटिल मैट्रिक्स A और B के लिए, जहां eA, A के मैट्रिक्स घातांक को दर्शाता है। लाइ-ट्रॉटर उत्पाद सूत्र और ट्रॉटर-काटो प्रमेय इसे कुछ असीम रैखिक प्रचालक ए और बी तक विस्तारित करते हैं। यह सूत्र शास्त्रीय घातीय नियम का एक अनुरूप है जो सभी वास्तविक या जटिल संख्याओं x और y के लिए है। यदि x और y को मैट्रिक्स A और B से प्रतिस्थापित किया जाता है, और घातांक को एक मैट्रिक्स घातांक से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो आमतौर पर A और B के लिए नियम को अभी भी बनाए रखने के लिए कम्यूट करना आवश्यक है। हालांकि, लाइ उत्पाद सूत्र सभी मैट्रिक्स ए और बी के लिए लागू होता है, यहां तक कि वे भी जो आवागमन नहीं करते हैं। लाइ उत्पाद सूत्र अवधारणात्मक रूप से बेकर-कैम्पबेल-हौसडॉर्फ सूत्र से संबंधित है, जिसमें दोनों गैर-कम्यूटिंग ऑपरेटरों के संदर्भ में, शास्त्रीय घातीय नियम के लिए प्रतिस्थापन हैं। सूत्र के अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में। यह श्रोडिंगर इवोल्यूशन ऑपरेटर (प्रोपेगेटर) को गतिज और संभावित ऑपरेटरों (सुजुकी-ट्रॉटर अपघटन, ट्रॉटर और मासुओ सुजुकी के बाद) की वैकल्पिक वृद्धि में अलग करने की अनुमति देता है। विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए विभाजन विधियों के निर्माण में इसी विचार का उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, लाइ उत्पाद प्रमेय फेनमैन-काक सूत्र को साबित करने के लिए पर्याप्त है। ट्रॉटर-काटो प्रमेय का उपयोग रैखिक सी0-अर्धसमूहों के सन्निकटन के लिए किया जा सकता है। सोफुस लाइ और फ्रेडरिक एंगेल (1888,1890,1893) भी देखें। थियोरी डेर ट्रांसफॉर्मेशनग्रुपेन (पहला संस्करण, लीपज़िग; दूसरा संस्करण, एएमएस चेल्सी पब्लिशिंग, 1970)। , पृ. 99. मैट्रिक्स सिद्धांत झूठ समूह