Berezin integral
गणितीय भौतिकी में, बेरेज़िन समाकलन, जिसका नाम फेलिक्स बेरेज़िन के नाम पर रखा गया है, (जिसे हर्मन ग्रासमैन के नाम पर ग्रासमैन समाकलन के रूप में भी जाना जाता है), ग्रासमैन चर (बाहरी बीजगणित के तत्व) के कार्यों के लिए समाकलन को परिभाषित करने का एक तरीका है। यह लेबेस्ग्यू अर्थ में एक समाकलन नहीं है; समाकलन शब्द का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि बेरेज़िन समाकलन में लेबेस्ग्यू समाकलन के समान गुण होते हैं और क्योंकि यह भौतिकी में पथ समाकलन का विस्तार करता है, जहां इसका उपयोग फर्मियन के लिए इतिहास के योग के रूप में किया जाता है। परिभाषा आइए जटिल संख्याओं के क्षेत्र में एंटीकॉम्यूटिंग तत्वों में बहुपदों का बाहरी बीजगणित हों। (जनरेटरों का क्रम निश्चित है और बाहरी बीजगणित के अभिविन्यास को परिभाषित करता है।) एक चर एकमात्र ग्रासमैन चर पर बेरेज़िन समाकलन को एक रैखिक कार्यात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है जहां हम परिभाषित करते हैं किः ये गुण समाकलन को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं और इंगित करते हैं ध्यान दें कि यह सबसे सामान्य कार्य है क्योंकि ग्रासमैन चर वर्ग से शून्य तक है, इसलिए रैखिक क्रम से परे गैर-शून्य शब्द नहीं हो सकते हैं। एकाधिक चर बेरेज़िन समाकलन को निम्नलिखित गुणों के साथ अद्वितीय रैखिक कार्यात्मक के रूप में परिभाषित किया गया हैः किसी भी स्थान के लिए बाएं या दाएं आंशिक व्युत्पन्न का अर्थ है। ये गुण समाकलन को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं। ध्यान दें कि साहित्य में विभिन्न परंपराएं मौजूद हैंः कुछ लेखक इसके बजाय परिभाषित करते हैं सूत्र फुबिनी नियम को व्यक्त करता है। दाहिने हाथ की ओर, एक एकाधिकार का आंतरिक समाकलन जहाँ पर सेट किया गया है; समाकलन गायब हो जाता है। के संबंध में समाकलन की गणना इसी तरह से की जाती है और इसी तरह। ग्रासमैन चर का परिवर्तन आइए कुछ असममितिविरोधी चर में विषम बहुपद हों। जैकोबियन वह मैट्रिक्स है जहाँ सही व्युत्पन्न () को संदर्भित करता है। समन्वय परिवर्तन का सूत्र सम और विषम चर को एकीकृत करना पढ़ता है परिभाषा अब वास्तविक कम्यूटिंग चर और एंटीकॉम्यूटिंग चर (जिसे आयाम का मुक्त सुपरएलजेब्रा कहा जाता है) के कार्यों के बीजगणित पर विचार करें। सहज ज्ञान से, एक फलन m सम (बोसोनिक, कम्यूटिंग) चर और n विषम (फर्मियोनिक, एंटी-कम्यूटिंग) चर का एक फलन है। अधिक औपचारिक रूप से, एक तत्व तर्क का एक कार्य है जो बीजगणित में मूल्यों के साथ एक खुले सेट में बदलता है मान लीजिए कि यह कार्य निरंतर है और एक कॉम्पैक्ट सेट के पूरक में गायब हो जाता है बेरेज़िन इंटीग्रल संख्या है सम और विषम चर का परिवर्तन आइए एक समन्वय परिवर्तन दिया जाए जहां सम हैं और सम चर के आधार पर विषम बहुपद हैं इस परिवर्तन के जैकोबियन मैट्रिक्स में ब्लॉक रूप हैः जहां प्रत्येक सम व्युत्पन्न बीजगणित के सभी तत्वों के साथ कम्यूट करता है; विषम व्युत्पन्न सम तत्वों के साथ कम्यूट करते हैं और विषम तत्वों के साथ एंटीकॉम्यूट करते हैं। विकर्ण खंडों की प्रविष्टियाँ और सम हैं और अप-विकर्ण खंडों की प्रविष्टियाँ विषम कार्य हैं, जहाँ फिर से सही व्युत्पन्न का अर्थ है। अब हमें मैट्रिक्स के बेरेज़िनियन (या सुपरडिटरमिनेंट) की आवश्यकता है, जो सम फलन है जिसे तब परिभाषित किया जाता है जब फलन व्युत्क्रमणीय होता है मान लीजिए कि वास्तविक फलन खुले समुच्चय के एक चिकने व्युत्क्रमणीय मानचित्र को परिभाषित करते हैं और मानचित्र का रैखिक भाग प्रत्येक के लिए व्युत्क्रमणीय होता है। उपयोगी सूत्र गौसी समाकलन के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग अक्सर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ समाकलन सूत्रीकरण में किया जाता हैः एक जटिल मैट्रिक्स होने के साथ। एक जटिल तिरछा-सममित मैट्रिक्स होने के साथ, और का फाफियन होने के कारण, जो पूरा होता है। उपरोक्त सूत्रों में संकेतन का उपयोग किया जाता है। इन सूत्रों से, अन्य उपयोगी सूत्र निम्नलिखित हैं (परिशिष्ट ए देखें): एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स होने के साथ। ध्यान दें कि ये सभी समाकलन एक विभाजन फलन के रूप में हैं। कम्यूटिंग और एंटीकॉम्यूटिंग चर के साथ इंटीग्रल का गणितीय सिद्धांत फेलिक्स बेरेज़िन द्वारा आविष्कार और विकसित किया गया था। इससे पहले की कुछ महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि 1956 में डेविड जॉन कैंडलिन द्वारा दी गई थी। अन्य लेखकों ने इन विकास में योगदान दिया, जिसमें भौतिक विज्ञानी खलतनिकोव (हालांकि उनके शोध पत्र में गलतियाँ हैं), मैथ्यूज और सलाम और मार्टिन शामिल हैं। यह भी देखें सुपरमैनिफोल्ड बेरेज़िनियन संदर्भ आगे पढ़ने के लिए थियोडोर वोरोनोवः सुपरमैनिफोल्ड्स पर ज्यामितीय एकीकरण सिद्धांत, हारवुड अकादमिक प्रकाशक, बेरेज़िन, फेलिक्स अलेक्जेंड्रोविचः सुपरनैलिसिस का परिचय, स्प्रिंगर नीदरलैंड, बहुरेखीय बीजगणित विभेदक रूप इंटीग्रल कैलकुलस गणितीय भौतिकी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सुपरसिमेट्री