Eight-vertex model
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, आठ-वर्टेक्स मॉडल बर्फ-प्रकार (छह-वर्टेक्स) मॉडल का एक सामान्यीकरण है; इस पर सदरलैंड और फैन एंड वू द्वारा चर्चा की गई थी, और शून्य-क्षेत्र मामले में बैक्सटर द्वारा हल किया गया था। विवरण बर्फ-प्रकार के मॉडल की तरह, आठ-वर्टेक्स मॉडल एक वर्गाकार जाली मॉडल है, जहाँ प्रत्येक अवस्था एक शीर्ष पर तीरों का विन्यास है। अनुमत शीर्षों में शीर्ष की ओर इशारा करने वाले तीरों की संख्या समान होती है; इनमें बर्फ-प्रकार के मॉडल (1-6) से विरासत में मिले छह और सिंक और स्रोत (7,8) शामिल हैं। हम शीर्ष और किनारों के साथ एक जाली पर विचार करते हैं। आवधिक सीमा शर्तों को लागू करने के लिए आवश्यक है कि अवस्था 7 और 8 समान रूप से अक्सर हों, जैसा कि अवस्था 5 और 6 करते हैं, और इस प्रकार समान ऊर्जा होने के लिए लिया जा सकता है। शून्य-क्षेत्र मामले के लिए दो अन्य युग्म अवस्थाओं के लिए भी यही सच है। प्रत्येक शीर्ष में एक संबंधित ऊर्जा और बोल्ट्ज़मैन वजन होता है, जो जाली पर विभाजन कार्य देता है जहां जोड़ जाली में शीर्षों के सभी अनुमत विन्यासों पर होता है। इस सामान्य रूप में विभाजन कार्य अनसुलझा रहता है। शून्य-क्षेत्र मामले में समाधान मॉडल का शून्य-क्षेत्र मामला भौतिक रूप से बाहरी विद्युत क्षेत्रों की अनुपस्थिति से मेल खाता है। इसलिए, सभी तीरों के उलटने के तहत मॉडल अपरिवर्तित रहता है; अवस्था 1 और 2, और 3 और 4, परिणामस्वरूप जोड़े के रूप में होना चाहिए। शीर्षों को मनमाना भार सौंपा जा सकता है समाधान इस अवलोकन पर आधारित है कि स्थानांतरण मैट्रिक्स में पंक्तियाँ इन चार बोल्ट्ज़मैन भारों के एक निश्चित मापदंड के लिए आवागमन करती हैं। यह छह-वर्टेक्स मॉडल के लिए एक वैकल्पिक समाधान के संशोधन के रूप में आया; यह अण्डाकार थीटा कार्यों का उपयोग करता है। कम्यूटिंग ट्रांसफर मैट्रिक्स प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि कब और, मात्राओं के लिए ट्रांसफर मैट्रिक्स और (भार,,, और,,, से जुड़े) कम्यूट करते हैं। तारा-त्रिभुज संबंध का उपयोग करते हुए, बैक्सटर ने इस स्थिति को निश्चित मापांक और चर के रूप में दिए गए भार के मापदंड के बराबर के रूप में सुधार किया। यहाँ एस. एन. एच. एस. एन. का हाइपरबोलिक एनालॉग है, जो और द्वारा दिया गया है और मॉड्यूलस के थीटा कार्य हैं। इस प्रकार संबद्ध स्थानांतरण मैट्रिक्स अकेले का एक कार्य है; सभी के लिए, मैट्रिक्स फ़ंक्शन समाधान का दूसरा महत्वपूर्ण हिस्सा एक गैर-एकल मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन का अस्तित्व है, जैसे कि सभी जटिल के लिए मैट्रिक्स एक दूसरे के साथ और स्थानांतरण मैट्रिक्स के साथ कम्यूट करते हैं, और जहां संतुष्ट होते हैं, इस तरह के फ़ंक्शन के अस्तित्व और कम्यूटेशन संबंधों को एक शीर्ष के माध्यम से जोड़ी प्रसार और थीटा कार्यों के आवधिक संबंधों पर विचार करके प्रदर्शित किया जाता है, छह-वर्टेक्स मॉडल के समान। स्पष्ट समाधान () में मैट्रिक्स का कम्यूटेशन उन्हें विकर्णित करने की अनुमति देता है, और इस प्रकार आइगेनवैल्यू पाए जा सकते हैं। विभाजन फलन की गणना अधिकतम आइगेनवैल्यू से की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति साइट एक मुक्त ऊर्जा होती है जहाँ और मॉडुली और के पूर्ण अण्डाकार समाकलन हैं। आठ शीर्ष मॉडल को भी क्वासिक्रिस्टल में हल किया गया था। एक आइसिंग मॉडल के साथ समानता आठ-वर्टेक्स मॉडल और 2-स्पिन और 4-स्पिन निकटतम पड़ोसी अंतःक्रियाओं के साथ आइसिंग मॉडल के बीच एक प्राकृतिक पत्राचार है। इस मॉडल की अवस्थाएँ एक वर्गाकार जाली के चेहरे पर घूमती हैं। आठ-वर्टेक्स मॉडल में 'किनारों' का एनालॉग निकटवर्ती चेहरों पर स्पिन के उत्पाद हैंः इस मॉडल के लिए ऊर्जा का सबसे सामान्य रूप है, जहां, क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और दो विकर्ण 2-स्पिन अंतःक्रियाओं का वर्णन करें, और एक शीर्ष पर चार चेहरों के बीच 4-स्पिन अंतःक्रिया का वर्णन करें; योग पूरे जाली पर होता है। हम आठ-वर्टेक्स मॉडल में क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्पिन (किनारों पर तीर) को दर्शाते हैं, और ऊपर और दाएँ को सकारात्मक दिशाओं के रूप में परिभाषित करते हैं। शीर्ष अवस्थाओं पर प्रतिबंध यह है कि एक शीर्ष पर चार किनारों का गुणनफल 1 है; यह स्वचालित रूप से आइसिंग 'किनारों' के लिए लागू होता है। प्रत्येक विन्यास तब एक अद्वितीय विन्यास से मेल खाता है, जबकि प्रत्येक विन्यास विन्यास के दो विकल्प देता है। प्रत्येक शीर्ष के लिए बोल्ट्ज़मैन भार के सामान्य रूपों की बराबरी करते हुए, और,,, के बीच निम्नलिखित संबंध जाली मॉडल के बीच पत्राचार को परिभाषित करते हैंः यह इस प्रकार है कि आठ-वर्टेक्स मॉडल के शून्य-क्षेत्र मामले में, संबंधित इसिंग मॉडल में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतःक्रियाएँ गायब हो जाती हैं। ये संबंध आठ-वर्टेक्स मॉडल के विभाजन कार्यों और 2,4-स्पिन आइसिंग मॉडल के बीच समानता देते हैं। नतीजतन, किसी भी मॉडल में एक समाधान तुरंत दूसरे में एक समाधान की ओर ले जाएगा। सिक्स-वर्टेक्स मॉडल ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि आईसिंग मॉडल नोट्स संदर्भ बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी जाली मॉडल भी देखें।