Appell series
गणित में, एपेल श्रृंखला दो चरों की चार हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखलाओं F1, F2, F3, F4 का एक समूह है जो एक चर की गॉस की हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला 2F1 को सामान्यीकृत करते हैं। एपेल ने आंशिक विभेदक समीकरणों के समूह की स्थापना की, जिनमें से ये कार्य समाधान हैं, और एक चर की हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला के संदर्भ में इन श्रृंखलाओं के विभिन्न कमी सूत्रों और अभिव्यक्तियों को पाया। परिभाषाएँ एपेल श्रृंखला F1 को |x। <1, |y। <1 के लिए दोहरी श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है जहाँ पोचैमर प्रतीक है। x और y के अन्य मूल्यों के लिए फलन F1 को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि इसी तरह, फलन F2 को श्रृंखला द्वारा |x। + |y। <1 के लिए परिभाषित किया गया है और यह दिखाया जा सकता है कि इसके अलावा |x। <1, |y। <1 के लिए फलन F3 को श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंधों द्वारा |x। 1⁄2 + |y। 1⁄2 <1 के लिए फलन F4 को परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एपेल के एफ1 के लिए ऐसे संबंधों का एक मूल सेट इस प्रकार दिया गया हैः एफ1 के लिए मान्य कोई भी अन्य संबंध इन चार से प्राप्त किया जा सकता है। इसी तरह, एप्पेल के F3 के लिए सभी पुनरावृत्ति संबंध पाँच के इस समूह से अनुसरण करते हैंः व्युत्पन्न और विभेदक समीकरण एप्पेल के F1 के लिए, निम्नलिखित व्युत्पन्न एक दोहरी श्रृंखला द्वारा परिभाषा से परिणाम देते हैंः इसकी परिभाषा से, एप्पेल के F1 को आगे द्वितीय-क्रम विभेदक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करने के लिए पाया गया हैः F2 के लिए एक प्रणाली आंशिक विभेदक समीकरण है। हालांकि, यह पता चला कि एपेल के एफ1 को एक-आयामी यूलर-प्रकार के समाकलन के रूप में भी लिखा जा सकता हैः इस प्रतिनिधित्व को समाकलन के टेलर विस्तार के माध्यम से सत्यापित किया जा सकता है, जिसके बाद पदवार समाकलन होता है। विशेष मामलों में पिकार्ड के अभिन्न प्रतिनिधित्व का तात्पर्य है कि अपूर्ण दीर्घवृत्ताकार समाकलन F और E के साथ-साथ पूर्ण दीर्घवृत्ताकार समाकलन Π एपेल के F1 के विशेष मामले हैंः संबंधित श्रृंखला दो चरों की सात संबंधित श्रृंखलाएँ हैं, φ1, φ2, φ3, χ1, χ2, χ1, और χ2, जो एक चर के कुम्मर के मिश्रित अतिभौमितिक फलन 1F1 और एक चर के मिश्रित अतिभौमितिक सीमा फलन 0F1 को समान तरीके से सामान्यीकृत करती हैं। इनमें से पहला 1920 में पियरे हम्बर्ट द्वारा पेश किया गया था. एपेल श्रृंखला के समान चार कार्यों को परिभाषित किया गया था, लेकिन केवल दो चर x और y के बजाय कई चर पर निर्भर करता है। एपेल द्वारा भी इन श्रृंखलाओं का अध्ययन किया गया था। वे कुछ आंशिक विभेदक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, और यूलर-प्रकार के समाकलन और समोच्च समाकलन के संदर्भ में भी दिए जा सकते हैं। संदर्भ (सी. आर. एकेड में "सुर ला सेरी एफ3 (α, α ', β, β', γ; x, y)" भी देखें। विज्ञान. 90, पीपी। 977-980) (पृष्ठ 14 देखें) (पृष्ठ 224 देखें) (सी. आर. एकेड भी देखें। विज्ञान. 90 (1880), पृ. 1119-1121 और 1267-1269) (इसके साथ 2008 का एक पेपरबैक है) बाहरी लिंक हाइपरजियोमेट्रिक कार्य गणितीय श्रृंखला