Google matrix
गूगल मैट्रिक्स एक विशेष यादृच्छिक मैट्रिक्स है जिसका उपयोग गूगल के पेजरैंक एल्गोरिदम द्वारा किया जाता है। मैट्रिक्स पृष्ठों के बीच लिंक का प्रतिनिधित्व करने वाले किनारों के साथ एक ग्राफ का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक पृष्ठ का पेजरैंक फिर पावर विधि का उपयोग करके गूगल मैट्रिक्स से बार-बार उत्पन्न किया जा सकता है। हालांकि, शक्ति विधि के अभिसरण के लिए, मैट्रिक्स को यादृच्छिक, अपरिवर्तनीय और अपेरियोडिक होना चाहिए। एडजसेंसी मैट्रिक्स ए और मार्कोव मैट्रिक्स एस गूगल मैट्रिक्स जी उत्पन्न करने के लिए, हमें पहले एक एडजसेंसी मैट्रिक्स ए उत्पन्न करना होगा जो पृष्ठों या नोड्स के बीच संबंधों का प्रतिनिधित्व करता है। मान लीजिए कि एन पृष्ठ हैं, हम निम्नलिखित करके ए को भर सकते हैंः एक मैट्रिक्स तत्व 1 से भरा जाता है यदि नोड का नोड से लिंक है, और अन्यथा 0; यह लिंक का आसन्न मैट्रिक्स है। दिए गए नेटवर्क की मार्कोव श्रृंखला में संक्रमणों के अनुरूप एक संबंधित मैट्रिक्स एस का निर्माण ए से कॉलम "जे" के तत्वों को एक संख्या से विभाजित करके किया जाता है जहां नोड जे से अन्य सभी नोड्स में आउटगोइंग लिंक की कुल संख्या होती है। झूलते हुए नोड्स के अनुरूप शून्य मैट्रिक्स तत्वों वाले स्तंभों को एक स्थिर मान 1/एन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस तरह की प्रक्रिया हर सिंक से एक कड़ी जोड़ती है, हर दूसरे नोड में लटकती स्थिति। अब निर्माण द्वारा मैट्रिक्स S के किसी भी कॉलम में सभी तत्वों का योग एकता के बराबर है। इस तरह मैट्रिक्स एस गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है और यह मार्कोव श्रृंखलाओं के वर्ग और पेरॉन-फ्रोबेनियस ऑपरेटरों के वर्ग से संबंधित है। यह S को पेजरैंक एल्गोरिदम के लिए उपयुक्त बनाता है। गूगल मैट्रिक्स जी का निर्माण तब अंतिम गूगल मैट्रिक्स जी को एस के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता हैः निर्माण द्वारा प्रत्येक मैट्रिक्स कॉलम के अंदर सभी गैर-नकारात्मक तत्वों का योग एकता के बराबर है। संख्यात्मक गुणांक को अवमंदन कारक के रूप में जाना जाता है। आम तौर पर एस एक विरल मैट्रिक्स है और आधुनिक निर्देशित नेटवर्क के लिए इसमें एक रेखा या कॉलम में केवल दस गैर-शून्य तत्व होते हैं, इस प्रकार मैट्रिक्स जी द्वारा एक वेक्टर को गुणा करने के लिए केवल लगभग 10 एन गुणन की आवश्यकता होती है। गूगल मैट्रिक्स के उदाहरण Eq के माध्यम से मैट्रिक्स निर्माण का एक उदाहरण है। (1) एक सरल नेटवर्क के भीतर लेख चेयरैंक में दिया गया है। वास्तविक मैट्रिक्स के लिए, गूगल 0.85 के आसपास एक डैंपिंग कारक का उपयोग करता है। यह शब्द किसी भी पृष्ठ पर यादृच्छिक रूप से कूदने के लिए एक सर्फर संभावना देता है। मैट्रिक्स मार्कोव श्रृंखलाओं के पेरोन-फ्रोबेनियस ऑपरेटरों के वर्ग से संबंधित है। गूगल मैट्रिक्स संरचना के उदाहरण 2009 में विकिपीडिया लेख हाइपरलिंक नेटवर्क के लिए Fig.1 में छोटे पैमाने पर और 2006 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय नेटवर्क के लिए बड़े पैमाने पर Fig.2 में दिखाए गए हैं। जी मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम और आइगेनस्टेट के लिए संबंधित राइट आइगेनवेक्टर के साथ केवल एक अधिकतम आइगेनवेल्यू होता है जिसमें गैर-नकारात्मक तत्व होते हैं जिन्हें स्थिर संभावना वितरण के रूप में देखा जा सकता है। ये संभावनाएँ उनके घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध की जाती हैं जो वेबपृष्ठों को श्रेणीबद्ध करने के लिए गूगल खोज द्वारा उपयोग किए जाने वाले पेजरैंक के साथ पेजरैंक वेक्टर देती हैं। आमतौर पर वर्ल्ड वाइड वेब के लिए ऐसा होता है। दिए गए पेजरैंक मान स्केल के साथ नोड्स की संख्या, जैसा कि प्रतिपादक के साथ होता है। बाएँ आइगेनवेक्टर में स्थिर मैट्रिक्स तत्व होते हैं। सभी आइगेनवैल्यू के साथ मैक्सिमल आइगेनवैल्यू को छोड़कर आगे बढ़ते हैं, जो अपरिवर्तित रहता है। पेजरैंक वेक्टर अलग-अलग होता है लेकिन अन्य आइगेनवेक्टर स्थिर बाएं वेक्टर पर अपनी ऑर्थोगोनलिटी के कारण अपरिवर्तित रहते हैं। और अन्य आइगेनवैल्यू के बीच का अंतर मैट्रिक्स पर लगभग 50 गुणा के बाद पेज रैंक के लिए एक यादृच्छिक प्रारंभिक वेक्टर का तेजी से अभिसरण देता है। मैट्रिक्स में आम तौर पर कई अपक्षयी आइगेनवैल्यू होते हैं (उदाहरण के लिए देखें। [6])। विभिन्न निर्देशित नेटवर्क के गूगल मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रम के उदाहरण Fig.3 से और Fig.4 से में दिखाए गए हैं। गतिशील मानचित्रों के लिए उलम विधि [8] द्वारा उत्पन्न उलम नेटवर्क के लिए भी गूगल मैट्रिक्स का निर्माण किया जा सकता है। इस तरह के मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय गुणों की चर्चा [9,10,11,12,13,15] में की गई है। कई मामलों में स्पेक्ट्रम को फ्रैक्टल वेल नियम [10,12] द्वारा वर्णित किया जाता है। गूगल मैट्रिक्स का निर्माण अन्य निर्देशित नेटवर्क के लिए भी किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। [15] में शुरू किए गए लिनक्स कर्नेल सॉफ्टवेयर के प्रक्रिया कॉल नेटवर्क के लिए। इस मामले में के स्पेक्ट्रम को फ्रैक्टल वेइल नियम द्वारा फ्रैक्टल आयाम के साथ वर्णित किया गया है (देखें Fig.5 से)। संख्यात्मक विश्लेषण से पता चलता है कि मैट्रिक्स के आइगेनस्टेट स्थानीयकृत हैं (देखें Fig.6 से)। अर्नोल्डी पुनरावृत्ति विधि बड़े आकार के मैट्रिक्स के लिए कई आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर्स की गणना करने की अनुमति देती है [13]। मैट्रिक्स के अन्य उदाहरणों में मस्तिष्क का गूगल मैट्रिक्स [17] और व्यवसाय प्रक्रिया प्रबंधन [18] शामिल हैं, यह भी देखें। डीएनए अनुक्रमों के लिए गूगल मैट्रिक्स विश्लेषण के अनुप्रयोगों का वर्णन [20] में किया गया है। इस तरह का गूगल मैट्रिक्स दृष्टिकोण व्यक्तियों के बारे में बहुभाषी विकिपीडिया लेखों की रैंकिंग के माध्यम से संस्कृतियों के उलझाव का विश्लेषण करने की भी अनुमति देता है [21] ऐतिहासिक नोट्स 1998 में सर्गेई ब्रिन और लैरी पेज द्वारा डैंपिंग कारक के साथ गूगल मैट्रिक्स का वर्णन किया गया था [22], पेज रैंक इतिहास पर लेख भी देखें [23], [24]। यह भी देखें चेरैंक अर्नोल्डी पुनरावृत्ति मार्कोव श्रृंखला स्थानांतरण संचालक पेरोन-फ्रोबेनियस प्रमेय वेब खोज इंजन संदर्भ बाहरी लिंक गूगल मैट्रिक्स स्कॉलरपीडिया गूगल पीआर शट डाउन आईएचईएस कार्यशाला में वीडियो व्याख्यान "गूगल मैट्रिक्सः मौलिक, अनुप्रयोग और उससे आगे", अक्टूबर 2018 मैट्रिक्स लिंक विश्लेषण मार्कोव मॉडल