One-seventh area triangle
समतल ज्यामिति में, एक त्रिभुज ए. बी. सी. में ए. बी. सी. के क्षेत्रफल का सातवां भाग वाला एक त्रिभुज होता है, जो इस प्रकार बनता हैः इस त्रिभुज की भुजाएँ सीवियन पी, क्यू, आर पर होती हैं जहाँ पी ए को बी. सी. पर एक बिंदु से जोड़ता है जो बी से सी की दूरी का एक तिहाई है, क्यू बी को सी. ए. पर एक बिंदु से जोड़ता है जो सी से ए की दूरी का एक तिहाई है, आर सी को ए. बी. पर एक बिंदु से जोड़ता है जो ए से बी की दूरी का एक तिहाई है। एक-सातवें क्षेत्र त्रिभुज के अस्तित्व का प्रमाण छह समानांतर रेखाओं के निर्माण से मिलता हैः दो पी के समानांतर, एक सी के माध्यम से, दूसरा क्यू आर के माध्यम से दो क्यू के समानांतर, एक ए के माध्यम से, दूसरा आर पी के माध्यम से दो आर के समानांतर, एक बी के माध्यम से, दूसरा पी क्यू के माध्यम से। ह्यूगो स्टाइनहॉस का सुझाव है कि p, q, r भुजाओं वाला (केंद्रीय) त्रिभुज अपनी भुजाओं और शीर्षों में परावर्तित हो। ये छह अतिरिक्त त्रिकोण आंशिक रूप से ए. बी. सी. को कवर करते हैं, और ए. बी. सी. के बाहर छह अतिरिक्त त्रिकोणों को छोड़ देते हैं। पूर्ण निर्माण (जेम्स रैंडी की ऑनलाइन पत्रिका के माध्यम से मार्टिन गार्डनर द्वारा प्रस्तुत) के समानांतरता पर ध्यान केंद्रित करते हुए, एबीसी के ओवरहैंगिंग और लापता टुकड़ों की जोड़ी-वार एकरूपता स्पष्ट है। जैसा कि चित्रात्मक समाधान में देखा गया है, छह जमा मूल पूरे त्रिभुज ए. बी. सी. के बराबर है। इस ज्यामितीय निर्माण और क्षेत्र गणना का एक प्रारंभिक प्रदर्शन 1859 में रॉबर्ट पॉट्स द्वारा अपनी यूक्लिडियन ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में दिया गया था। कुक एंड वुड (2004) के अनुसार, इस त्रिकोण ने रिचर्ड फेनमैन को रात के खाने की बातचीत में उलझन में डाल दिया; वे चार अलग-अलग प्रमाण देते हैं। एक अधिक सामान्य परिणाम को रूथ की प्रमेय के रूप में जाना जाता है। संदर्भ एच. एस. एम. कॉक्सेटर (1969) ज्यामिति का परिचय, पृष्ठ 211, जॉन विली एंड संस। एक त्रिभुज के लिए परिभाषित वस्तुएँ प्रमाण वाले लेख एरिया एफ़ाइन ज्यामिति