Polar action
गणित में, एक ध्रुवीय क्रिया एक पूर्ण रीमानियन मैनिफोल्ड एम पर एक लाइ समूह जी की एक उचित और सममितीय क्रिया है जिसके लिए एक पूर्ण सबमैनिफोल्ड मौजूद है जो सभी कक्षाओं से मिलता है और उन्हें हमेशा ऑर्थोगोनली रूप से मिलता है; ऐसे सबमैनिफोल्ड को एक खंड कहा जाता है। एक खंड अनिवार्य रूप से पूरी तरह से भूगणितीय है। यदि किसी ध्रुवीय क्रिया के खंड प्रेरित मीट्रिक के संबंध में सपाट हैं, तो उस क्रिया को अतिध्रुवीय कहा जाता है। यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर रैखिक ऑर्थोगोनल क्रियाओं के मामले में, ध्रुवीय क्रियाओं को ध्रुवीय प्रतिनिधित्व कहा जाता है। रीमानियन सममित रिक्त स्थान के समस्थानिक प्रतिनिधित्व ध्रुवीय प्रतिनिधित्व के बुनियादी उदाहरण हैं। इसके विपरीत, दादोक ने यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर कॉम्पैक्ट लाइ समूहों के ध्रुवीय प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत किया है, और यह उनके वर्गीकरण से पता चलता है कि इस तरह के प्रतिनिधित्व में सममित स्थान के समस्थानिक प्रतिनिधित्व के समान कक्षाएं हैं। संदर्भ बर्न्ड्ट, जे; ओल्मोस, सी; कंसोल, एस. (2003)। "सबमैनिफोल्ड्स एंड होलोनॉमी", चैपमैन एंड हॉल/सी. आर. सी., गणित में शोध टिप्पणियाँ, 434, विभेदक ज्यामिति