Banach–Tarski paradox
बनाच-टार्स्की विरोधाभास सेट-सैद्धांतिक ज्यामिति में एक प्रमेय है, जो निम्नलिखित बताता हैः त्रि-आयामी स्थान में एक ठोस गेंद को देखते हुए, गेंद का एक सीमित संख्या में असंबद्ध उपसमुच्चय में अपघटन होता है, जिसे फिर मूल गेंद की दो समान प्रतियां प्राप्त करने के लिए एक अलग तरीके से वापस रखा जा सकता है। वास्तव में, पुनः संयोजन प्रक्रिया में केवल टुकड़ों को इधर-उधर घुमाना और उनका आकार बदले बिना उन्हें घुमाना शामिल है। हालांकि, टुकड़े स्वयं सामान्य अर्थों में "ठोस" नहीं हैं, बल्कि अंकों के अनंत प्रकीर्णन हैं। पुनर्निर्माण कम से कम पाँच टुकड़ों के साथ काम कर सकता है। प्रमेय के एक वैकल्पिक रूप में कहा गया है कि किसी भी दो "उचित" ठोस वस्तुओं (जैसे कि एक छोटी गेंद और एक बड़ी गेंद) को देखते हुए, किसी एक के कटे हुए टुकड़ों को दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है। इसे अक्सर अनौपचारिक रूप से कहा जाता है कि "मटर को काटा जा सकता है और सूर्य में फिर से जोड़ा जा सकता है" और इसे "मटर और सूर्य विरोधाभास" कहा जाता है। इस प्रमेय को विरोधाभास कहा जाता है क्योंकि यह मूल ज्यामितीय अंतर्ज्ञान का खंडन करता है। गेंद को भागों में विभाजित करके और उन्हें घुमाने और अनुवाद द्वारा इधर-उधर घुमाने, बिना किसी खिंचाव, झुकने या नए अंक जोड़े, "गेंद को दोगुना करना" असंभव प्रतीत होता है, क्योंकि इन सभी कार्यों को, सहज रूप से, मात्रा को बनाए रखने के लिए करना चाहिए। यह अंतर्ज्ञान कि इस तरह के संचालन मात्रा को संरक्षित करते हैं, गणितीय रूप से बेतुका नहीं है और इसे मात्रा की औपचारिक परिभाषा में भी शामिल किया गया है। हालाँकि, यह यहाँ लागू नहीं है क्योंकि इस मामले में माने गए उपसमुच्चय के आयतन को परिभाषित करना असंभव है। उन्हें फिर से इकट्ठा करने से एक समूह का पुनरुत्पादन होता है जिसमें एक आयतन होता है, जो शुरू में आयतन से अलग होता है। ज्यामिति में अधिकांश प्रमेयों के विपरीत, इस परिणाम का गणितीय प्रमाण महत्वपूर्ण तरीके से सेट सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के चयन पर निर्भर करता है। इसे पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके साबित किया जा सकता है, जो गैर-मापने योग्य सेटों के निर्माण की अनुमति देता है, यानी, उन बिंदुओं का संग्रह जिसमें सामान्य अर्थों में मात्रा नहीं होती है, और जिनके निर्माण के लिए अनगिनत विकल्पों की आवश्यकता होती है। 2005 में यह दिखाया गया था कि अपघटन में टुकड़ों को इस तरह से चुना जा सकता है कि उन्हें एक दूसरे से मिले बिना लगातार स्थानांतरित किया जा सके। जैसा कि लेरॉय और सिम्पसन द्वारा स्वतंत्र रूप से साबित किया गया है, बनाच-टार्स्की विरोधाभास मात्रा का उल्लंघन नहीं करता है यदि कोई स्थलाकृतिक स्थानों के बजाय स्थानों के साथ काम करता है। इस अमूर्त सेटिंग में, बिना बिंदु के उप-स्थान होना संभव है लेकिन फिर भी खाली नहीं है। विरोधाभासी अपघटन के भाग स्थानों के अर्थ में बहुत कुछ काटते हैं, इतना कि इनमें से कुछ चौराहों को एक सकारात्मक द्रव्यमान दिया जाना चाहिए। इस छिपे हुए द्रव्यमान को ध्यान में रखने की अनुमति देते हुए, स्थानों का सिद्धांत यूक्लिडियन स्थान के सभी सबसेट (और यहां तक कि सभी सबलोकेल) को संतोषजनक रूप से मापने की अनुमति देता है। बनाच और टार्स्की प्रकाशन 1924 में प्रकाशित एक पेपर में, स्टीफन बनाच और अल्फ्रेड टार्स्की ने इकाई अंतराल और फेलिक्स हौसडॉर्फ द्वारा गोले के विरोधाभासी अपघटन से संबंधित ग्यूसेप विटाली के पहले के काम के आधार पर इस तरह के विरोधाभासी अपघटन का निर्माण किया, और विभिन्न आयामों में यूक्लिडियन रिक्त स्थान के सबसेट के अपघटन से संबंधित कई संबंधित प्रश्नों पर चर्चा की। उन्होंने निम्नलिखित अधिक सामान्य कथन, बनाच-टार्स्की विरोधाभास के मजबूत रूप को साबित कियाः कम से कम तीन आयामों में किसी भी दो बंधे हुए उपसमुच्चय और एक यूक्लिडियन स्थान को देखते हुए, जिनमें से दोनों का एक खाली आंतरिक भाग है, एक सीमित संख्या में असंबद्ध उपसमुच्चय के विभाजन हैं, (कुछ पूर्णांक k के लिए), जैसे कि प्रत्येक (पूर्णांक) के लिए और के बीच, सेट और सर्वांगसम हैं। अब मूल गेंद होने दें और मूल गेंद की दो अनुवादित प्रतियों का संयोजन होने दें। फिर प्रस्ताव का मतलब है कि आप मूल गेंद को एक निश्चित संख्या में टुकड़ों में विभाजित कर सकते हैं और फिर इन टुकड़ों को इस तरह से घुमा सकते हैं और अनुवाद कर सकते हैं कि परिणाम पूरा सेट हो, जिसमें गेंद की दो प्रतियां होती हैं। बनाच-टार्स्की विरोधाभास का मजबूत रूप एक और दो आयामों में गलत है, लेकिन बनाच और टार्स्की ने दिखाया कि एक अनुरूप कथन सही रहता है यदि गिनती में कई उपसमुच्चय की अनुमति दी जाती है। एक ओर आयाम 1 और 2 और दूसरी ओर 3 और उससे अधिक के बीच का अंतर 3 आयामों में यूक्लिडियन गतियों के समूह की समृद्ध संरचना के कारण है। समूह के लिए हल करने योग्य है, लेकिन इसके लिए दो जनरेटर के साथ एक मुक्त समूह शामिल है। जॉन वॉन न्यूमैन ने समानताओं के समूह के गुणों का अध्ययन किया जो एक विरोधाभासी अपघटन को संभव बनाते हैं, और उपयुक्त समूहों की धारणा को पेश किया। उन्होंने तल में विरोधाभास का एक रूप भी पाया जो सामान्य अनुरूपताओं के स्थान पर क्षेत्र-संरक्षित संबंध परिवर्तनों का उपयोग करता है। टार्स्की ने साबित किया कि उपयुक्त समूह ठीक वे हैं जिनके लिए कोई विरोधाभासी अपघटन मौजूद नहीं है। चूंकि बनाच-टार्स्की विरोधाभास में केवल मुक्त उपसमूहों की आवश्यकता है, इसलिए इसने लंबे समय से चले आ रहे वॉन न्यूमैन अनुमान को जन्म दिया, जिसे 1980 में खारिज कर दिया गया था। औपचारिक उपचार बनाच-टार्स्की विरोधाभास में कहा गया है कि साधारण यूक्लिडियन स्थान में एक गेंद को केवल सबसेट में विभाजित करने, एक सेट को एक अनुरूप सेट के साथ बदलने और फिर से इकट्ठा करने के संचालन का उपयोग करके दोगुना किया जा सकता है। इसकी गणितीय संरचना को यूक्लिडियन गतियों के समूह द्वारा निभाई गई भूमिका पर जोर देकर और समतुल्य समुच्चय और एक विरोधाभासी समुच्चय की धारणाओं को पेश करके बहुत स्पष्ट किया गया है। मान लीजिए कि यह एक समूह है जो एक समूह पर कार्य कर रहा है। सबसे महत्वपूर्ण विशेष मामले में, एक आयामी यूक्लिडियन स्थान (समाकलन n के लिए) है, और इसमें सभी सममितियाँ होती हैं, अर्थात। स्वयं में परिवर्तन जो दूरी को संरक्षित करते हैं, आमतौर पर दर्शाया जाता है। दो ज्यामितीय आकृतियाँ जिन्हें एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है, उन्हें सर्वांगसम कहा जाता है, और इस शब्दावली को सामान्य-क्रिया तक विस्तारित किया जाएगा। दो उपसमुच्चय और के को-समतुल्य कहा जाता है, या के संबंध में समतुल्य कहा जाता है, यदि और क्रमशः-सुसंगत टुकड़ों की समान सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है। यह सभी उपसमुच्चय के बीच एक समतुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। औपचारिक रूप से, यदि ऐसे गैर-खाली समूह मौजूद हैं, जैसे कि और ऐसे तत्व मौजूद हैं जिन्हें टुकड़ों का उपयोग करके कहा जा सकता है और समान हैं। यदि किसी समुच्चय में दो असंगत उपसमुच्चय हैं और जैसे कि और, साथ ही साथ और,-समतुल्य हैं, तो इसे विरोधाभासी कहा जाता है। इस शब्दावली का उपयोग करते हुए, बनाच-टार्स्की विरोधाभास को निम्नानुसार संशोधित किया जा सकता हैः एक त्रि-आयामी यूक्लिडियन गेंद अपनी दो प्रतियों के साथ समतुल्य है। वास्तव में, इस मामले में एक तेज परिणाम है, राफेल एम. रॉबिन्सन के कारणः गेंद को दोगुना करना पाँच टुकड़ों के साथ पूरा किया जा सकता है, और पाँच से कम टुकड़े पर्याप्त नहीं होंगे। विरोधाभास का मजबूत संस्करण दावा करता हैः गैर-खाली अंदरूनी के साथ 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान के किसी भी दो बंधे हुए उपसमुच्चय बराबर हैं। जबकि स्पष्ट रूप से अधिक सामान्य है, यह कथन बनाच के कारण बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के सामान्यीकरण का उपयोग करके एक गेंद के दोगुने होने से एक सरल तरीके से लिया गया है जिसका अर्थ है कि यदि एक उपसमुच्चय के साथ समतुल्य है और एक उपसमुच्चय के साथ समतुल्य है, तो और समतुल्य हैं। बनाच-टार्स्की विरोधाभास को संदर्भ में यह इंगित करके रखा जा सकता है कि विरोधाभास के मजबूत रूप में दो सेटों के लिए, हमेशा एक बाइजेक्टिव फ़ंक्शन होता है जो एक-से-एक तरीके से एक आकार में दूसरे में बिंदुओं को मैप कर सकता है। जॉर्ज कैंटर के सेट सिद्धांत की भाषा में, इन दोनों सेटों में समान कार्डिनलिटी है। इस प्रकार, यदि कोई मनमाने ढंग से बाइजेक्शन की अनुमति देने के लिए समूह को बड़ा करता है, तो गैर-खाली आंतरिक के साथ सभी सेट सर्वांगसम हो जाते हैं। इसी तरह, एक गेंद को फैलाकर, या दूसरे शब्दों में, समानता परिवर्तनों को लागू करके, बड़ी या छोटी गेंद में बनाया जा सकता है। इसलिए, यदि समूह काफी बड़ा है, तो-समतुल्य समूह पाए जा सकते हैं जिनका "आकार" भिन्न होता है। इसके अलावा, चूंकि एक गणना योग्य सेट को अपनी दो प्रतियों में बनाया जा सकता है, इसलिए कोई उम्मीद कर सकता है कि कई टुकड़ों का उपयोग किसी भी तरह से काम कर सकता है। दूसरी ओर, बनाच-टार्स्की विरोधाभास में, टुकड़ों की संख्या सीमित है और अनुमत समतुल्यता यूक्लिडियन एकरूप हैं, जो आयतन को संरक्षित करते हैं। फिर भी, किसी तरह, वे गेंद की मात्रा को दोगुना कर देते हैं! हालांकि यह निश्चित रूप से आश्चर्यजनक है, विरोधाभासी अपघटन में उपयोग किए जाने वाले कुछ टुकड़े गैर-मापने योग्य सेट हैं, इसलिए आयतन की धारणा (अधिक सटीक रूप से, लेबस्ग्यू माप) उनके लिए परिभाषित नहीं है, और विभाजन को व्यावहारिक तरीके से पूरा नहीं किया जा सकता है। वास्तव में, बनाच-टार्स्की विरोधाभास दर्शाता है कि तीन (और अधिक) आयामों के यूक्लिडियन स्थान के सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित एक परिमित-योगात्मक माप (या एक बनाच माप) को खोजना असंभव है जो यूक्लिडियन गतियों के संबंध में अपरिवर्तनीय है और एक इकाई घन पर एक मान लेता है। अपने बाद के काम में, टार्स्की ने दिखाया कि, इसके विपरीत, इस प्रकार के विरोधाभासी अपघटन का अस्तित्व एक परिमित-योगात्मक अपरिवर्तनीय माप के अस्तित्व का तात्पर्य है। नीचे प्रस्तुत विरोधाभास के "गेंद को दोगुना करने" रूप के प्रमाण का दिल यह उल्लेखनीय तथ्य है कि एक यूक्लिडियन सममिति (और तत्वों का नाम बदलना) द्वारा, कोई भी एक निश्चित समूह (अनिवार्य रूप से, एक इकाई गोले की सतह) को चार भागों में विभाजित कर सकता है, फिर उनमें से एक को घुमाकर खुद को अन्य भागों में से दो से जोड़ सकता है। यह दो जनरेटर वाले मुक्त समूह के-पैराडॉक्सिकल अपघटन से आसानी से होता है। बनाच और टार्स्की का प्रमाण कुछ साल पहले हौसडॉर्फ द्वारा खोजे गए एक समान तथ्य पर निर्भर करता हैः अंतरिक्ष में एक इकाई गोले की सतह तीन सेटों का एक अलग संयोजन और एक गणना योग्य सेट है, जो एक ओर, जोड़ीदार सर्वांगसम है, और दूसरी ओर, और के संयोजन के साथ सर्वांगसम है। इसे अक्सर हौसडॉर्फ विरोधाभास कहा जाता है। पहले के काम के साथ संबंध और पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की भूमिका बनाच और टार्स्की स्पष्ट रूप से ग्यूसेप विटाली के 1905 में उनके नाम वाले सेट के निर्माण, हौसडॉर्फ के विरोधाभास (1914), और बनाच के एक पहले (1923) पेपर को उनके काम के अग्रदूत के रूप में स्वीकार करते हैं। विटाली और हौसडॉर्फ के निर्माण ज़र्मेलो की पसंद के स्वयंसिद्ध ("एसी") पर निर्भर करते हैं, जो अपने विरोधाभास को साबित करने और दूसरे परिणाम के प्रमाण के लिए बनाच-टार्स्की पेपर के लिए भी महत्वपूर्ण हैः दो यूक्लिडियन बहुभुज, जिनमें से एक में सख्ती से दूसरा होता है, समतुल्य नहीं हैं। वे टिप्पणी करते हैंः हमारे तर्क में यह स्वयंसिद्ध भूमिका हमें ध्यान देने योग्य लगती है) वे बताते हैं कि जबकि दूसरा परिणाम पूरी तरह से ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से सहमत है, इसका प्रमाण विरोधाभास के प्रमाण की तुलना में और भी अधिक महत्वपूर्ण तरीके से एसी का उपयोग करता है। इस प्रकार बनाच और टार्स्की का तात्पर्य है कि एसी को केवल इसलिए अस्वीकार नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह एक विरोधाभासी अपघटन पैदा करता है, क्योंकि इस तरह का तर्क ज्यामितीय रूप से सहज कथन के प्रमाण को भी कमजोर करता है। हालांकि, 1949 में, ए. पी. मोर्स ने दिखाया कि यूक्लिडियन बहुभुज के बारे में कथन को जेड. एफ. सेट सिद्धांत में साबित किया जा सकता है और इस प्रकार इसे पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की आवश्यकता नहीं है। 1964 में, पॉल कोहेन ने साबित किया कि पसंद का स्वयंसिद्ध ZF से स्वतंत्र है-यानी, इसे ZF से साबित नहीं किया जा सकता है। पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर संस्करण आश्रित विकल्प, डी. सी. का स्वयंसिद्ध है, और यह दिखाया गया है कि बनाच-टार्स्की विरोधाभास को साबित करने के लिए डी. सी. पर्याप्त है, यानी बनाच-टार्स्की विरोधाभास जेड. एफ. की प्रमेय नहीं है, न ही जेड. एफ. + डी. सी. की। बड़ी मात्रा में गणित में एसी का उपयोग किया जाता है। जैसा कि स्टैन वैगन अपने मोनोग्राफ के अंत में बताते हैं, बनाच-टार्स्की विरोधाभास मूलभूत प्रश्नों की तुलना में शुद्ध गणित में अपनी भूमिका के लिए अधिक महत्वपूर्ण रहा हैः इसने अनुसंधान के लिए एक फलदायी नई दिशा, समूहों की सहजता को प्रेरित किया, जिसका मूलभूत प्रश्नों से कोई लेना-देना नहीं है। 1991 में, मैथ्यू फोरमैन और फ्रेडरिक वेहरुंग के तत्कालीन हाल के परिणामों का उपयोग करते हुए, जानुज़ पाव्लिकोव्स्की ने साबित किया कि बनाच-टार्स्की विरोधाभास जेडएफ प्लस हैन-बनाच प्रमेय का अनुसरण करता है। हान-बनाच प्रमेय पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन इसे अल्ट्राफिल्टर लेम्मा नामक एसी के एक कमजोर संस्करण का उपयोग करके साबित किया जा सकता है। इसलिए पाव्लिकोव्स्की ने साबित किया कि बनाच-टार्स्की विरोधाभास को साबित करने के लिए आवश्यक सेट सिद्धांत, जबकि जेडएफ से मजबूत है, पूर्ण जेडएफसी से कमजोर है। प्रमाण का एक रेखाचित्र यहाँ एक प्रमाण का रेखाचित्र बनाया गया है जो बनाच और टार्स्की द्वारा दिए गए प्रमाण के समान है लेकिन उसके समान नहीं है। अनिवार्य रूप से, गेंद का विरोधाभासी अपघटन चार चरणों में प्राप्त किया जाता हैः दो जनरेटरों में मुक्त समूह का एक विरोधाभासी अपघटन ज्ञात करें। दो जनरेटरों में मुक्त समूह के लिए 3-डी स्थान समरूपी में घूर्णन का एक समूह खोजें। खोखले इकाई गोले के विरोधाभासी अपघटन का उत्पादन करने के लिए उस समूह के विरोधाभासी अपघटन और पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करें। गोले के इस अपघटन को ठोस इकाई गेंद के अपघटन तक फैलाएं। इन चरणों पर नीचे अधिक विस्तार से चर्चा की गई है। चरण 1 दो जनरेटर a और b के साथ मुक्त समूह में सभी परिमित तार होते हैं जो चार प्रतीकों a, a-1, b और b-1 से बनाए जा सकते हैं जैसे कि कोई भी a सीधे an a-1 के बगल में दिखाई नहीं देता है और कोई भी b सीधे a b-1 के बगल में दिखाई नहीं देता है। इस तरह के दो तारों को जोड़ा जा सकता है और खाली तार के साथ बार-बार "वर्जित" सबस्ट्रिंग को बदलकर इस प्रकार के तार में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिएः अबाब-1ए-1 को अबाब-1ए के साथ संयोजित करने से अबाब-1ए-1ए प्राप्त होता है, जिसमें सबस्ट्रिंग ए-1ए होता है, और इसलिए अबाब-1एए तक कम हो जाता है, जिसमें सबस्ट्रिंग बी-1बी होता है, जो कम हो जाता है। यह जांचा जा सकता है कि इस ऑपरेशन के साथ उन स्ट्रिंग्स का सेट पहचान तत्व खाली स्ट्रिंग के साथ एक समूह बनाता है। इस समूह को F2 कहा जा सकता है। समूह को इस प्रकार "विरोधाभासी रूप से विघटित" किया जा सकता हैः मान लीजिए कि एस (ए) उन सभी तारों का उपसमुच्चय है जो ए से शुरू होते हैं, और एस (ए-1), एस (बी) और एस (बी-1) को इसी तरह परिभाषित करते हैं। स्पष्ट रूप से, लेकिन यह भी और जहां संकेतन aS (a−1) का अर्थ है S (a−1) में सभी तारों को लेना और उन्हें a के साथ बाईं ओर जोड़ना। यह सबूत के मूल में है। उदाहरण के लिए, सेट में एक स्ट्रिंग हो सकती है, जो उस नियम के कारण जो स्ट्रिंग के बगल में दिखाई नहीं देना चाहिए, स्ट्रिंग में कम हो जाती है। इसी तरह, इसमें वे सभी स्ट्रिंग्स शामिल हैं जो शुरू होती हैं (उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग जो कम हो जाती है)। इस तरह, इसमें सभी स्ट्रिंग शामिल हैं जो और के साथ शुरू होती हैं, साथ ही साथ खाली स्ट्रिंग भी होती है। समूह एफ2 को चार टुकड़ों में काटा गया है (प्लस सिंगलटन {ई}), फिर उनमें से दो को ए या बी के साथ गुणा करके "स्थानांतरित" किया गया है, फिर एक प्रति बनाने के लिए दो टुकड़ों के रूप में "फिर से इकट्ठा" किया गया है और अन्य दो की दूसरी प्रति बनाने के लिए। गेंद के साथ ठीक यही करने का इरादा है। चरण 2 3डी स्थान के आवर्तनों का एक मुक्त समूह खोजने के लिए, अर्थात। जो मुक्त समूह F2 की तरह व्यवहार करता है (या "समरूप है"), दो ऑर्थोगोनल अक्षों को लिया जाता है (जैसे। x और z अक्ष)। फिर, ए को लगभग x अक्ष का घूर्णन माना जाता है, और बी को लगभग z अक्ष का घूर्णन माना जाता है (π के अपरिमेय गुणकों के कई अन्य उपयुक्त जोड़े हैं जिनका उपयोग यहां भी किया जा सकता है)। A और B द्वारा उत्पन्न घूर्णनों के समूह को H कहा जाएगा। मान लीजिए कि H का एक तत्व है जो z अक्ष के आसपास एक सकारात्मक घूर्णन के साथ शुरू होता है, जो कि के साथ रूप का एक तत्व है। इसे प्रेरण द्वारा दिखाया जा सकता है जो कुछ के लिए बिंदु का मानचित्रण करता है। विश्लेषण और मॉड्यूलो 3, कोई भी इसे दिखा सकता है। वही तर्क दोहराया जाता है (समस्या की समरूपता द्वारा) मान्य होता है जब z अक्ष के बारे में एक नकारात्मक घूर्णन, या x अक्ष के बारे में एक घूर्णन के साथ शुरू होता है। इससे पता चलता है कि यदि ए और बी में एक गैर-तुच्छ शब्द द्वारा दिया जाता है, तो। इसलिए, समूह H एक मुक्त समूह है, जो F2 के समरूप है। दोनों घूर्णन समूह F2 में तत्वों a और b की तरह ही व्यवहार करते हैंः अब H का एक विरोधाभासी अपघटन है। यह चरण दो आयामों में नहीं किया जा सकता है क्योंकि इसमें तीन आयामों में घूर्णन शामिल हैं। यदि एक ही अक्ष के बारे में दो घूर्णन लिए जाते हैं, तो परिणामी समूह अबेलियन वृत्त समूह है और इसमें चरण 1 में आवश्यक गुण नहीं है। अभिन्न चतुर्धातुकों का उपयोग करके कुछ विशेष ऑर्थोगोनल समूहों में मुक्त समूहों के अस्तित्व का एक वैकल्पिक अंकगणितीय प्रमाण घूर्णन समूह के विरोधाभासी अपघटन की ओर ले जाता है। चरण 3 इकाई क्षेत्र S2 को हमारे समूह H की क्रिया द्वारा कक्षाओं में विभाजित किया जाता हैः दो बिंदु एक ही कक्षा से संबंधित होते हैं यदि और केवल तभी जब H में एक घूर्णन होता है जो पहले बिंदु को दूसरे में ले जाता है। (ध्यान दें कि एक बिंदु की कक्षा S2 में एक घना सेट है।) पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग प्रत्येक कक्षा से ठीक एक बिंदु को चुनने के लिए किया जा सकता है; इन बिंदुओं को एक समूह एम में इकट्ठा करें। दी गई कक्षा में एच की क्रिया मुक्त और सकर्मक है और इसलिए प्रत्येक कक्षा को एच के साथ पहचाना जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एस 2 में प्रत्येक बिंदु को एच से एम से उचित तत्व पर उचित घूर्णन लागू करके बिल्कुल एक तरीके से प्राप्त किया जा सकता है। इस वजह से, एच का विरोधाभासी अपघटन एस 2 का चार टुकड़ों ए 1, ए 2, ए 3, ए 4 में एक विरोधाभासी अपघटन उत्पन्न करता हैः जहां हम परिभाषित करते हैं और इसी तरह अन्य सेटों के लिए, और जहां हम परिभाषित करते हैं (एफ 2 के पांच "विरोधाभासी" भागों का सीधे उपयोग नहीं किया गया था, क्योंकि वे एम को एक अतिरिक्त के रूप में छोड़ देंगे। (अधिकांश) गोले को अब चार सेटों में विभाजित किया गया है (प्रत्येक गोले पर घना होता है), और जब इनमें से दो को घुमाया जाता है, तो परिणाम पहले की तुलना में दोगुना होता हैः चरण 4 अंत में, S2 पर प्रत्येक बिंदु को मूल से आधे खुले खंड के साथ जोड़ें; S2 का विरोधाभासी अपघटन तब ठोस इकाई गेंद माइनस गेंद के केंद्र में बिंदु का एक विरोधाभासी अपघटन उत्पन्न करता है। (इस केंद्र बिंदु को थोड़ी अधिक देखभाल की आवश्यकता है; नीचे देखें।) एनबी. यह रेखाचित्र कुछ विवरणों पर प्रकाश डालता है। गोले पर अंकों के समूह के बारे में सावधान रहना पड़ता है जो एच में कुछ घूर्णन की धुरी पर स्थित होते हैं, हालांकि, केवल ऐसे कई बिंदु हैं, और गेंद के केंद्र में बिंदु के मामले की तरह, उन सभी के लिए प्रमाण को पैच करना संभव है। (नीचे देखें।) कुछ विवरण, स्पष्ट किए गए चरण 3 में, गोले को हमारे समूह एच की कक्षाओं में विभाजित किया गया था। प्रमाण को सुव्यवस्थित करने के लिए, कुछ घूर्णन द्वारा तय किए गए बिंदुओं की चर्चा को हटा दिया गया था; क्योंकि एफ 2 का विरोधाभासी अपघटन कुछ उपसमुच्चय को स्थानांतरित करने पर निर्भर करता है, यह तथ्य कि कुछ बिंदु स्थिर हैं, कुछ परेशानी पैदा कर सकते हैं। चूँकि S2 के किसी भी घूर्णन (शून्य घूर्णन के अलावा) में ठीक दो निश्चित बिंदु होते हैं, और चूँकि H, जो F2 के समरूप है, गणना योग्य है, इसलिए S2 के कई बिंदु हैं जो H में कुछ घूर्णन द्वारा तय किए जाते हैं। जो दिखाया जाना बाकी है वह दावा हैः S2-D, S2 के बराबर है। सबूत। मान लीजिए कि λ मूल के माध्यम से कुछ रेखा है जो D में किसी भी बिंदु को नहीं काटती है। यह संभव है क्योंकि D गणना योग्य है। मान लीजिए कि J कोणों का समुच्चय है, α, जैसे कि किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए, और D में कुछ P के लिए, r (nα) P भी D में है, जहाँ r (nα) nα के λ के बारे में एक घूर्णन है। तब J गणना योग्य है। अतः एक कोण θ मौजूद है जो J में नहीं है। मान लीजिए कि ρ का घूर्णन लगभग λ बटा θ है। फिर ρ, D में कोई निश्चित बिंदु नहीं होने पर S2 पर कार्य करता है, अर्थात, ρn (D), D से विच्छेदित है, और प्राकृतिक m <n के लिए, ρn (D), ρm (D) से विच्छेदित है। मान लीजिए कि E, n = 0,1,2,.. पर ρn (D) का असंबद्ध संघ है। फिर S2 = E ≤ (S2 − E) ~ ρ (E) ≤ (S2 − E) = (E − D) ≤ (S2 − E) = S2 − D, जहाँ ~ "के बराबर है" को दर्शाता है। चरण 4 के लिए, यह पहले ही दिखाया जा चुका है कि गेंद माइनस एक बिंदु एक विरोधाभासी अपघटन को स्वीकार करता है; यह दिखाया जाना बाकी है कि गेंद माइनस एक बिंदु गेंद के बराबर है। गेंद के भीतर एक वृत्त पर विचार करें, जिसमें गेंद के केंद्र में बिंदु हो। दावे को साबित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले इस तरह के तर्क का उपयोग करते हुए, कोई यह देख सकता है कि पूर्ण वृत्त गेंद के केंद्र में वृत्त माइनस बिंदु के बराबर है। (मूल रूप से, वृत्त पर अंकों के एक गणना योग्य समूह को खुद को एक और अंक देने के लिए घुमाया जा सकता है।) ध्यान दें कि इसमें मूल के अलावा किसी अन्य बिंदु के बारे में घूर्णन शामिल है, इसलिए बनाच-टार्स्की विरोधाभास में केवल एस. ओ. (3) के बजाय यूक्लिडियन 3-स्पेस की सममितियाँ शामिल हैं। इस तथ्य का उपयोग किया जाता है कि यदि A ~ B और B ~ C, तो A ~ C. A का C में अपघटन A को B में लेने और B को C में लेने के लिए आवश्यक संख्याओं के गुणनफल के बराबर टुकड़ों की संख्या का उपयोग करके किया जा सकता है। ऊपर स्केच किए गए प्रमाण के लिए 2 × 4 × 2 + 8 = 24 टुकड़ों की आवश्यकता होती है-निश्चित अंकों को हटाने के लिए 2 का एक कारक, चरण 1 से एक कारक 4, निश्चित अंकों को फिर से बनाने के लिए एक कारक 2, और दूसरी गेंद के केंद्र बिंदु के लिए 8। लेकिन चरण 1 में जब {e} और रूप के सभी तारों को S (a−1) में स्थानांतरित करते हैं, तो एक को छोड़कर सभी कक्षाओं के लिए ऐसा करें। इस अंतिम कक्षा के {e} को दूसरी गेंद के केंद्र बिंदु पर ले जाएँ। यह कुल 16 + 1 टुकड़ों तक लाता है। अधिक बीजगणित के साथ, कोई भी निश्चित कक्षाओं को चरण 1 की तरह 4 सेटों में विघटित कर सकता है। यह 5 टुकड़े देता है और सबसे अच्छा संभव है। बनाच-टार्स्की विरोधाभास का उपयोग करते हुए, किसी भी पूर्णांक n ≤ 3 और k ≤ 1 के लिए एक से यूक्लिडियन n-स्पेस में एक गेंद की k प्रतियां प्राप्त करना संभव है, अर्थात। एक गेंद को के टुकड़ों में काटा जा सकता है ताकि उनमें से प्रत्येक मूल के समान आकार की गेंद के बराबर हो। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि श्रेणी 2 का मुक्त समूह F2 गणना योग्य रूप से अनंत श्रेणी के एक मुक्त उपसमूह को स्वीकार करता है, एक समान प्रमाण यह बताता है कि इकाई क्षेत्र Sn−1 को गणना योग्य रूप से अनंत रूप से कई टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक आवर्तन का उपयोग करके Sn−1 के बराबर (दो टुकड़ों के साथ) है। घूर्णन समूह SO (n) के विश्लेषणात्मक गुणों का उपयोग करके, जो एक जुड़ा हुआ विश्लेषणात्मक लाइ समूह है, कोई भी आगे यह साबित कर सकता है कि गोले Sn−1 को उतने ही टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है जितना कि वास्तविक संख्याएँ (यानी, टुकड़े) हैं, ताकि प्रत्येक टुकड़ा घूर्णन का उपयोग करके Sn−1 के दो टुकड़ों के साथ समतुल्य हो। ये परिणाम तब मूल से वंचित इकाई गेंद तक फैलते हैं। वैलेरी चुरकिन का 2010 का एक लेख बनाच-टार्स्की विरोधाभास के निरंतर संस्करण का एक नया प्रमाण देता है। यूक्लिडियन तल में वॉन न्यूमैन विरोधाभास यूक्लिडियन तल में, दो आंकड़े जो यूक्लिडियन गतियों के समूह के संबंध में समतुल्य हैं, अनिवार्य रूप से एक ही क्षेत्र के हैं, और इसलिए, बनाच-टार्स्की प्रकार के वर्ग या डिस्क का एक विरोधाभासी अपघटन जो केवल यूक्लिडियन अनुरूपता का उपयोग करता है, असंभव है। समतलीय और उच्च-आयामी मामलों के बीच अंतर की एक वैचारिक व्याख्या जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा दी गई थीः तीन आयामों में घूर्णन के समूह SO (3) के विपरीत, तल की यूक्लिडियन गतियों का समूह E (2) हल करने योग्य है, जिसका तात्पर्य है कि E (2) और R2 पर एक परिमित-योगात्मक माप का अस्तित्व है जो अनुवाद और घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है, और गैर-नगण्य सेटों के विरोधाभासी अपघटन को खारिज करता है। वॉन न्यूमैन ने तब निम्नलिखित प्रश्न पूछाः क्या इस तरह के विरोधाभासी अपघटन का निर्माण किया जा सकता है यदि कोई समानताओं के एक बड़े समूह की अनुमति देता है? यह स्पष्ट है कि यदि कोई समानता की अनुमति देता है, तो तल में कोई भी दो वर्ग आगे उपखंड के बिना भी बराबर हो जाते हैं। यह क्षेत्र-संरक्षित संबंध परिवर्तनों के समूह SA2 पर किसी का ध्यान सीमित करने के लिए प्रेरित करता है। चूँकि क्षेत्र संरक्षित है, इस समूह के संबंध में एक वर्ग का कोई भी विरोधाभासी अपघटन उसी कारण से विपरीत होगा जो एक गेंद के बनाच-टार्स्की अपघटन के कारण होता है। वास्तव में, समूह SA2 में एक उपसमूह के रूप में विशेष रैखिक समूह SL (2, R) होता है, जिसमें एक उपसमूह के रूप में दो जनरेटरों के साथ मुक्त समूह F2 होता है। इससे यह प्रशंसनीय हो जाता है कि बनाच-टार्स्की विरोधाभास के प्रमाण को समतल में अनुकरण किया जा सकता है। यहाँ मुख्य कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि रैखिक समूह SL (2, R) की क्रिया के तहत इकाई वर्ग अपरिवर्तनीय नहीं है, इसलिए कोई भी समूह से वर्ग में एक विरोधाभासी अपघटन को स्थानांतरित नहीं कर सकता है, जैसा कि बनाच-टार्स्की विरोधाभास के उपरोक्त प्रमाण के तीसरे चरण में है। इसके अलावा, समूह के निश्चित बिंदु कठिनाइयों को प्रस्तुत करते हैं (उदाहरण के लिए, सभी रैखिक परिवर्तनों के तहत उत्पत्ति तय की जाती है)। यही कारण है कि वॉन न्यूमैन ने अनुवाद सहित बड़े समूह SA2 का उपयोग किया, और उन्होंने बढ़े हुए समूह (1929 में) के संबंध में इकाई वर्ग के एक विरोधाभासी अपघटन का निर्माण किया। बनाच-टार्स्की विधि को लागू करते हुए, वर्ग के लिए विरोधाभास को निम्नानुसार मजबूत किया जा सकता हैः यूक्लिडियन तल के गैर-खाली अंदरूनी हिस्सों के साथ कोई भी दो बंधे हुए उपसमुच्चय क्षेत्र-संरक्षित एफ़ाइन मानचित्रों के संबंध में समान हैं। जैसा कि वॉन न्यूमैन ने नोट कियाः "इन्फोलगेडेसेन गिब्ट ईज़ बोरिट्स इन डेर एबेने कीन निक्टनेगेटिव्स एडिटिव्स मास (वो दास आईनहीट्सक्वाड्रेट दास मास 1 हैट), दास गेजेन्यूबर एलेन एबिल्डुंगेन वॉन ए2 इनवेरिएंट वार"। "इसके अनुसार, पहले से ही तल में कोई गैर-नकारात्मक योगात्मक माप नहीं है (जिसके लिए इकाई वर्ग का माप 1 है), जो A2 [क्षेत्र-संरक्षित एफ़ाइन परिवर्तनों के समूह] से संबंधित सभी परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है।" आगे समझाने के लिए, यह सवाल कि क्या एक परिमित योगात्मक माप (जो कुछ परिवर्तनों के तहत संरक्षित है) मौजूद है या नहीं, इस बात पर निर्भर करता है कि किस परिवर्तन की अनुमति है। समतल में सेटों का बनाच माप, जो अनुवाद और घूर्णन द्वारा संरक्षित किया जाता है, गैर-सममितीय परिवर्तनों द्वारा संरक्षित नहीं किया जाता है, भले ही वे बहुभुज के क्षेत्र को संरक्षित करते हों। समतल के बिंदुओं (मूल के अलावा) को दो घने सेटों में विभाजित किया जा सकता है जिन्हें ए और बी कहा जा सकता है। यदि किसी दिए गए बहुभुज के ए बिंदुओं को एक निश्चित क्षेत्र-संरक्षित परिवर्तन द्वारा और बी बिंदुओं को दूसरे द्वारा परिवर्तित किया जाता है, तो दोनों समूह दो नए बहुभुज में ए बिंदुओं के उपसमुच्चय बन सकते हैं। नए बहुभुज का क्षेत्रफल पुराने बहुभुज के समान होता है, लेकिन दो परिवर्तित समुच्चयों का माप पहले की तरह नहीं हो सकता है (क्योंकि उनमें ए बिंदुओं का केवल एक हिस्सा होता है), और इसलिए ऐसा कोई माप नहीं है जो "काम करता है"। बनाच-टार्स्की घटना के अध्ययन के दौरान वॉन न्यूमैन द्वारा अलग किए गए समूहों का वर्ग गणित के कई क्षेत्रों के लिए बहुत महत्वपूर्ण साबित हुआः ये अनुकूल समूह हैं, या एक अपरिवर्तनीय माध्य वाले समूह हैं, और इसमें सभी सीमित और सभी हल करने योग्य समूह शामिल हैं। आम तौर पर, विरोधाभासी अपघटन तब उत्पन्न होते हैं जब समतुल्यता की परिभाषा में तुल्यता के लिए उपयोग किया जाने वाला समूह उत्तरदायी नहीं होता है। हाल की प्रगति 2000: वॉन न्यूमैन के पेपर ने रैखिक समूह एस. एल. (2, आर) (वैगन, प्रश्न 7.4) के संबंध में इकाई वर्ग के आंतरिक भाग के विरोधाभासी अपघटन की संभावना को खुला छोड़ दिया। 2000 में, मिक्लोस लैक्सकोविच ने साबित किया कि इस तरह का अपघटन मौजूद है। अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि ए समतल के सभी सीमित उपसमुच्चय का परिवार है जिसका आंतरिक भाग खाली नहीं है और मूल से सकारात्मक दूरी पर है, और बी सभी समतलीय समुच्चय का परिवार उस गुण के साथ सेट करता है जिसे एस. एल. (2, आर) के कुछ तत्वों के तहत परिमित रूप से कई का संयोजन अनुवाद करता है जिसमें मूल का एक छिद्रित पड़ोस होता है। फिर परिवार ए में सभी सेट एस. एल. (2, आर)-समतुल्य हैं, और इसी तरह बी में सेट के लिए। यह इस प्रकार है कि दोनों परिवारों में विरोधाभासी समूह होते हैं। 2003: यह लंबे समय से ज्ञात था कि पूर्ण तल SA2 के संबंध में विरोधाभासी था, और यह कि टुकड़ों की न्यूनतम संख्या चार के बराबर होगी बशर्ते कि SA2 का एक स्थानीय रूप से कम्यूटेटिव मुक्त उपसमूह मौजूद हो। 2003 में केंज़ी साटो ने इस तरह के एक उपसमूह का निर्माण किया, यह पुष्टि करते हुए कि चार टुकड़े पर्याप्त हैं। 2011: लैक्सकोविच के पेपर ने इस संभावना को खुला छोड़ दिया कि क्या निश्चित बिंदुओं के बिना पंचर डिस्क डी पर कार्य करने वाले पीसवाइस रैखिक परिवर्तनों का एक मुक्त समूह एफ मौजूद है। ग्रेज़गोरज़ टॉमकोविज़ ने इस तरह के एक समूह का निर्माण किया, जिससे पता चलता है कि सर्वांगता की प्रणाली ए ≈ बी ≈ सी ≈ बी यू सी को एफ और डी के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। 2017: यह लंबे समय से ज्ञात है कि हाइपरबोलिक तल H2 में एक समूह E मौजूद है जो H2 का तीसरा, चौथा और एक-वां भाग है। H2 के अभिविन्यास-संरक्षित सममितियों द्वारा आवश्यकता को पूरा किया गया था। समान परिणाम जॉन फ्रैंक एडम्स और जान माइसिल्स्की द्वारा प्राप्त किए गए थे जिन्होंने दिखाया कि इकाई क्षेत्र S2 में एक सेट E है जो S2 का आधा, तीसरा, चौथा और चौथा भाग है। ग्रेज़गोरज़ टॉमकोविज़ ने दिखाया कि एडम्स और माइसील्स्की निर्माण को एस 2 के समान गुणों के साथ एच 2 के एक सेट ई प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। 2017: वॉन न्यूमैन का विरोधाभास यूक्लिडियन तल से संबंधित है, लेकिन अन्य शास्त्रीय स्थान भी हैं जहां विरोधाभास संभव हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह पूछ सकता है कि क्या हाइपरबोलिक तल H2 में बनाच-टार्स्की विरोधाभास है। यह जान माइसील्स्की और ग्रेज़गोरज़ टॉमकोविज़ द्वारा दिखाया गया था। टॉमकोविक्ज़ ने यह भी साबित किया कि अधिकांश शास्त्रीय विरोधाभास एक ग्राफ सैद्धांतिक परिणाम और इस तथ्य का एक आसान परिणाम है कि विचाराधीन समूह पर्याप्त समृद्ध हैं। 2018: 1984 में, जान माइसिल्स्की और स्टेन वैगन ने हाइपरबोलिक प्लेन H2 के एक विरोधाभासी अपघटन का निर्माण किया जो बोरेल सेट का उपयोग करता है। विरोधाभास एच2 के सममितियों के समूह के एक उचित रूप से असंतत उपसमूह के अस्तित्व पर निर्भर करता है। इसी तरह का विरोधाभास ग्रेज़गोरज़ टॉमकोविज़ द्वारा प्राप्त किया गया है जिन्होंने एफ़ाइन समूह SA (3, Z) के एक मुक्त ठीक से असंतत उपसमूह G का निर्माण किया। इस तरह के समूह के अस्तित्व का तात्पर्य Z3 के एक उपसमुच्चय E के अस्तित्व से है कि Z3 के किसी भी परिमित F के लिए ऐसा एक तत्व मौजूद है, जहां और के सममित अंतर को दर्शाता है। 2019: बनाच-टार्स्की विरोधाभास दोहराव में सीमित रूप से कई टुकड़ों का उपयोग करता है। गिनती में कई टुकड़ों के मामले में, गैर-खाली अंदरूनी के साथ कोई भी दो सेट अनुवाद का उपयोग करके समतुल्य हैं। लेकिन केवल लेबस्ग्यू मापने योग्य टुकड़ों को प्राप्त करने की अनुमति देनाः यदि ए और बी खाली अंदरूनी हिस्सों के साथ आरएन के उपसमुच्चय हैं, तो उनके पास समान लेबस्ग्यू उपाय हैं यदि और केवल तभी जब वे लेबस्ग्यू मापने योग्य टुकड़ों का उपयोग करके गणना योग्य रूप से समतुल्य हों। जान माइसिल्स्की और ग्रेज़गोरज़ टॉमकोविज़ ने इस परिणाम को सीमित आयामी लाइ समूहों और दूसरे गणना योग्य स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूहों तक विस्तारित किया जो पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हैं या जिनमें कई जुड़े हुए घटक हैं। नोट्स संदर्भ एडवर्ड कासनर और जेम्स न्यूमैन (1940) गणित और कल्पना, पीपी 205-7, साइमन और शूस्टर भी देखें। बाहरी लिंक स्टैन वैगन (मैकालेस्टर कॉलेज) द्वारा बनाच-टार्स्की विरोधाभास, वोल्फ्राम प्रदर्शन परियोजना। अनियमित वेबकॉमिक! डेविड मॉर्गन-मार द्वारा #2339 विरोधाभास की एक गैर-तकनीकी व्याख्या प्रदान करता है। इसमें एक से दो क्षेत्रों को बनाने के तरीके का चरण-दर-चरण प्रदर्शन शामिल है। विरोधाभास की बुनियादी बातों पर एक अवलोकन देता है। बनाच-टार्स्की और अनंत क्लोनिंग का विरोधाभास समानार्थी विरोधाभास समूह सिद्धांत माप सिद्धांत गणितीय विरोधाभास प्रमेय गणित की नींव में ज्यामितीय विच्छेदन 1924 परिचय अनंत के विरोधाभास