Dictatorship mechanism
सामाजिक चयन सिद्धांत में, एक तानाशाही तंत्र एक ऐसा नियम है जिसके द्वारा, सभी संभावित विकल्पों के बीच, मतदान के परिणाम अन्य मतदाताओं पर विचार किए बिना, एक एकल पूर्व-निर्धारित व्यक्ति की प्राथमिकताओं को प्रतिबिंबित करते हैं। तानाशाही को व्यवहार में एक अच्छा तंत्र नहीं माना जाता है, लेकिन यह सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण हैः तीर की असंभवता प्रमेय के अनुसार, जब कम से कम तीन विकल्प होते हैं, तो तानाशाही एकमात्र श्रेणीबद्ध मतदान चुनावी प्रणाली है जो अप्रतिबंधित क्षेत्र, पारेतो दक्षता और अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता को संतुष्ट करती है। इसी तरह, गिबार्ड के प्रमेय के अनुसार, जब कम से कम तीन विकल्प होते हैं, तो तानाशाही ही एकमात्र रणनीतिक नियम है। गैर-तानाशाही अधिक सामान्य मतदान नियमों की संपत्ति है, जिसमें परिणाम सभी व्यक्तियों की प्राथमिकताओं से प्रभावित होते हैं। इस संपत्ति की संतुष्टि तब होती है जब व्यक्तिगत वरीयता क्रम पी के साथ कोई एकल मतदाता नहीं होता है, जैसे कि पी हमेशा सामाजिक ("विजेता") वरीयता क्रम होता है। दूसरे शब्दों में, व्यक्तिगत i की प्राथमिकताएँ हमेशा प्रबल नहीं होनी चाहिए। बेनामी मतदान प्रणाली (कम से कम दो मतदाताओं के साथ) स्वचालित रूप से गैर-तानाशाही संपत्ति को संतुष्ट करती है। तानाशाही शासन में ऐसे रूप हैं जो व्यवहार में उपयोगी हैंः क्रमिक तानाशाही, यादृच्छिक तानाशाही, और यादृच्छिक क्रमिक तानाशाही (नीचे देखें)। औपचारिक परिभाषा गैर-तानाशाही तीर की असंभवता प्रमेय में आवश्यक शर्तों में से एक है। सामाजिक विकल्प और व्यक्तिगत मूल्यों में, केनेथ एरो ने गैर-तानाशाही को इस प्रकार परिभाषित किया हैः {1,., n} में कोई मतदाता नहीं है जैसे कि, संविधान के क्षेत्र में क्रम के प्रत्येक सेट के लिए, और सामाजिक राज्यों की प्रत्येक जोड़ी x और y, x y का अर्थ x P y है। स्वाभाविक रूप से तानाशाही एक ऐसा नियम है जो गैर-तानाशाही को संतुष्ट नहीं करता है। क्रमिक तानाशाही एक तानाशाही तंत्र तभी अच्छी तरह से परिभाषित होता है जब तानाशाह के पास सबसे अच्छा विकल्प होता है। जब तानाशाह दो या दो से अधिक पसंदीदा विकल्पों के बीच उदासीन होता है, तो उनमें से एक को मनमाने ढंग से/यादृच्छिक रूप से चुनना संभव है, लेकिन यह पारेटो कुशल नहीं होगा। एक अधिक कुशल समाधान एक दूसरे तानाशाह को नियुक्त करना है, जिसे पहले तानाशाह के सभी सर्वोत्तम विकल्पों में से चुनने का अधिकार है, जिसे वे सबसे अधिक पसंद करते हैं। यदि दूसरा तानाशाह भी दो या दो से अधिक विकल्पों के बीच उदासीन है, तो तीसरा तानाशाह उनमें से चुनता है, और इसी तरह। इस नियम को क्रमिक तानाशाही कहा जाता है। इसका दूसरा नाम प्राथमिकता तंत्र है। प्राथमिकता तंत्र का उपयोग अक्सर घर आवंटन की समस्याओं में किया जाता है। उदाहरण के लिए, जब छात्रों को शयनकक्ष कक्ष आवंटित किए जाते हैं, तो छात्रों को पूर्व-निर्दिष्ट प्राथमिकता क्रम द्वारा आदेश देना आम बात है। आयु, श्रेणी, दूरी आदि के आधार पर। ), और उनमें से प्रत्येक को उपलब्ध कमरों में से अपने सबसे पसंदीदा कमरे चुनने दें। यादृच्छिक तानाशाही और यादृच्छिक क्रमिक तानाशाही तानाशाही शासन स्पष्ट रूप से अनुचित है, लेकिन इसका एक ऐसा रूप है जो उम्मीद में उचित है। यादृच्छिक तानाशाही (आर. डी.) शासन में, मतदाताओं में से एक को यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना जाता है, और उस मतदाता द्वारा सबसे अधिक पसंद किए जाने वाले विकल्प का चयन किया जाता है। यादृच्छिक सामाजिक चयन के लिए यह सामान्य नियमों में से एक है। जब इसका उपयोग बहु-संविधान निकायों में किया जाता है, तो इसे कभी-कभी यादृच्छिक मतपत्र कहा जाता है। इसी तरह तानाशाही के लिए, यादृच्छिक तानाशाही को भी उदासीनता की संभावना को संभालना चाहिए; सामान्य समाधान यह है कि इसे यादृच्छिक क्रमिक तानाशाही (आरएसडी) तक बढ़ाया जाए, जिसे यादृच्छिक प्राथमिकता भी कहा जाता है। इस तंत्र में, मतदाताओं का एक यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन चुना जाता है, और प्रत्येक मतदाता बदले में मौजूदा विकल्पों को उन विकल्पों के लिए संकुचित कर देता है जिन्हें वे सबसे अधिक पसंद करते हैं, जो अभी भी उपलब्ध हैं। एजेंटों के बीच अविभाज्य वस्तुओं को आवंटित करने में यह एक सामान्य तंत्र है; यादृच्छिक प्राथमिकता वस्तु आवंटन देखें। गुण एलन गिबार्ड ने यादृच्छिक तानाशाही प्रमेय को साबित किया। यह कहता है कि, जब वरीयताएँ सख्त होती हैं, तो आर. डी. एकमात्र नियम है जो निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता हैः अनामताः लॉटरी अलग-अलग मतदाताओं के बीच पहले से भेदभाव नहीं करती है। मजबूत एस. डी.-रणनीति-बचावः एक एजेंट द्वारा प्रत्येक झूठी रिपोर्ट के परिणामस्वरूप एक परिणाम होता है जो कमजोर रूप से अस्थिर रूप से हावी होता है। एक्स-पोस्ट पेरेटो दक्षताः परिणाम पेरेटो-कुशल है। वास्तव में, सख्त प्राथमिकताओं के साथ, आर. डी. एस. डी.-दक्षता नामक एक मजबूत दक्षता गुण को संतुष्ट करता हैः परिणामी लॉटरी में यादृच्छिक रूप से प्रभुत्व नहीं होता है। कमजोर वरीयताओं के साथ, आरएसडी पूर्व-पश्चात दक्षता को संतुष्ट करता है, लेकिन एसडी-दक्षता का उल्लंघन करता है। यहां तक कि सख्त प्राथमिकताओं के साथ, आर. डी. पी. सी.-दक्षता नामक मजबूत संपत्ति का उल्लंघन करता हैः परिणामी लॉटरी जोड़ीदार-तुलना के अर्थ में हावी हो सकती है (प्रत्येक एजेंट के लिए, संभावना है कि एक और लॉटरी आर. डी. लॉटरी की तुलना में बेहतर विकल्प देती है)। आर. डी. एक गुण को भी संतुष्ट करता है जिसे कार्यसूची स्थिरता कहा जाता है। यह एकमात्र नियम है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता हैः मजबूत संकुचन स्थिरता ("नियमितता"): मनमाने विकल्पों को हटाते समय संभावनाएं कम नहीं हो सकती हैं। पूर्व-पश्चात दक्षता। अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता का एक संभावित संस्करण। बाद के शोध ने वैकल्पिक प्रमाण के साथ-साथ विभिन्न विस्तार भी प्रदान किए हैं। एक असंभवता परिणाम कमजोर प्राथमिकताओं के लिए प्रमेय का विस्तार करने से संबंधित है। यह कहता है कि, कमजोर प्राथमिकताओं के साथ, गुमनामी, एस. डी.-दक्षता और एस. डी.-रणनीति-प्रूफनेस के गुण असंगत हैं जब कम से कम 4 एजेंट और 4 विकल्प होते हैं। प्रमाण एक एस. एम. टी. समाधानक का उपयोग करके प्राप्त किया गया था और एक अंतःक्रियात्मक प्रमेय कहावत इसाबेल/एच. ओ. एल. द्वारा सत्यापित किया गया था। आर. डी. एक स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है जिसे जनसंख्या स्थिरता कहा जाता है, और एक स्वयंसिद्ध जिसे क्लोनिंग-स्थिरता कहा जाता है, लेकिन संरचना स्थिरता का उल्लंघन करता है। गणना आर. डी. और आर. एस. डी. दोनों तंत्रों को व्यवहार में लागू करना आसान हैः बस एक यादृच्छिक मतदाता, या एक यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन चुनें, और प्रत्येक तानाशाह को बदले में सबसे अच्छा विकल्प चुनने दें। हालांकि, कभी-कभी कोई पहले से गणना करना चाहता है कि एक निश्चित विकल्प चुने जाने की संभावना क्या है। आर. डी. (जब वरीयताएँ सख्त होती हैं) के साथ, यह भी आसान हैः वैकल्पिक एक्स के चुने जाने की संभावना उन मतदाताओं की संख्या के बराबर होती है जो एक्स पहले स्थान पर आते हैं, जिसे कुल मतदाताओं की संख्या से विभाजित किया जाता है। लेकिन आरएसडी के साथ स्थिति अलग है (जब मतभेद होते हैं): संभावनाओं की गणना करना #P-कठिन है; समर्थन की गणना करने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है (सकारात्मक संभावना के साथ चुने गए विकल्प); ट्रैक्टेबल पैरामीटराइज्ड जटिलता के साथ एल्गोरिदम हैं, जहां पैरामीटर हैंः वस्तुओं की संख्या, विकल्पों की संख्या और मतदाता प्रकारों की संख्या। आंशिक अनुमोदन मतदान के संदर्भ में संभावनाओं की गणना के लिए एक घातीय-समय एल्गोरिथ्म है। संदर्भ मतदान सिद्धांत तानाशाही सामाजिक विकल्प सिद्धांत