Borda–Carnot equation
द्रव गतिकी में बोर्डा-कार्नोट समीकरण एक (अचानक) प्रवाह विस्तार के कारण द्रव की यांत्रिक ऊर्जा हानि का एक अनुभवजन्य विवरण है। यह वर्णन करता है कि नुकसान के कारण कुल सिर कैसे कम हो जाता है। यह अपव्यय रहित प्रवाह (अपरिवर्तनीय हानि के बिना) के लिए बर्नौली के सिद्धांत के विपरीत है, जहां कुल शीर्ष एक प्रवाह रेखा के साथ एक स्थिरांक है। समीकरण का नाम जीन-चार्ल्स डी बोर्डा (1733-1799) और लाज़र कार्नोट (1753-1823) के नाम पर रखा गया है। इस समीकरण का उपयोग खुले चैनल प्रवाह के साथ-साथ पाइप प्रवाह दोनों के लिए किया जाता है। प्रवाह के कुछ हिस्सों में जहां अपरिवर्तनीय ऊर्जा हानि नगण्य है, बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। फॉर्मूलेशन बोर्डा-कार्नोट समीकरण वह जगह है जहाँ δE द्रव की यांत्रिक ऊर्जा हानि है, φ एक अनुभवजन्य हानि गुणांक है, जो आयामहीन है और जिसका मान शून्य और एक के बीच है, 0 ≤ φ ≤ 1, ρ द्रव घनत्व है, v1 और v2 विस्तार से पहले और बाद में औसत प्रवाह वेग हैं। अचानक और व्यापक विस्तार के मामले में, हानि गुणांक एक के बराबर होता है। अन्य उदाहरणों में, हानि गुणांक को अन्य तरीकों से निर्धारित किया जाता है, अक्सर अनुभवजन्य सूत्रों से (प्रयोगों द्वारा प्राप्त आंकड़ों के आधार पर)। बोर्डा-कार्नोट हानि समीकरण केवल घटते वेग, v1> v2 के लिए मान्य है, अन्यथा अतिरिक्त बाहरी बलों द्वारा यांत्रिक कार्य के बिना ΔE हानि शून्य है, तरल पदार्थ की यांत्रिक ऊर्जा में लाभ नहीं हो सकता है। हानि गुणांक को सुव्यवस्थित करके प्रभावित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पाइप के विस्तार के मामले में, धीरे-धीरे विस्तार करने वाले विसारक का उपयोग यांत्रिक ऊर्जा नुकसान को कम कर सकता है। कुल शीर्ष और बर्नौली के सिद्धांत से संबंध बोर्डा-कार्नोट समीकरण बर्नौली समीकरण के स्थिरांक में कमी देता है। एक असंपीड़ित प्रवाह के लिए परिणाम 1 और 2 लेबल वाले दो स्थानों के लिए होता है, जिसमें स्थान 2 प्रवाह रेखा के साथ 1 से नीचे की ओर होता हैः p1 और p2 के साथ स्थान 1 और 2 पर दबाव, z1 और z2 के साथ द्रव कण की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई (कुछ संदर्भ स्तर से ऊपर), g गुरुत्वाकर्षण त्वरण है। समान चिह्न के दोनों ओर पहले तीन पद क्रमशः दबाव, द्रव का गतिज ऊर्जा घनत्व और गुरुत्वाकर्षण के कारण स्थितिज ऊर्जा घनत्व हैं। जैसा कि देखा जा सकता है, दबाव संभावित ऊर्जा के रूप में प्रभावी ढंग से कार्य करता है। उच्च दबाव वाली नली के प्रवाह के मामले में, जब गुरुत्वाकर्षण प्रभावों की उपेक्षा की जा सकती है, तो δE हानि के बराबर होता है (p + ρv2/2): खुले चैनल के प्रवाह के लिए, δE कुल शीर्ष हानि से संबंधित है, जैसे कि H कुल शीर्षः जहां h हाइड्रोलिक शीर्ष है, एक संदर्भ डेटम के ऊपर मुक्त सतह की ऊँचाईः h = z + p/(ρg)। पाइप के अचानक विस्तार के उदाहरण बोर्डा-कार्नोट समीकरण को क्षैतिज पाइप के अचानक विस्तार के माध्यम से प्रवाह पर लागू किया जाता है। क्रॉस सेक्शन 1 पर, औसत प्रवाह वेग v1 के बराबर है, दबाव p1 है और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र A1 है। क्रॉस सेक्शन 2 पर संबंधित प्रवाह मात्राएं-विस्तार (और अलग प्रवाह के क्षेत्रों) से काफी पीछे-क्रमशः v2, p2 और A2 हैं। विस्तार पर, प्रवाह अलग हो जाता है और यांत्रिक ऊर्जा हानि के साथ अशांत पुनर्चक्रण प्रवाह क्षेत्र होते हैं। इस अचानक विस्तार के लिए हानि गुणांक लगभग एक के बराबर हैः 1। द्रव्यमान संरक्षण के कारण, एक स्थिर द्रव घनत्व ρ मानते हुए, दोनों क्रॉस सेक्शन 1 और 2 के माध्यम से वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर बराबर होनी चाहिएः इसलिए परिणामस्वरूप-बोर्डा-कार्नोट समीकरण के अनुसार-इस अचानक विस्तार में यांत्रिक ऊर्जा का नुकसान हैः कुल सिर αH का संबंधित नुकसान हैः इस मामले के लिए ω = 1 के साथ, दो क्रॉस सेक्शन के बीच गतिज ऊर्जा में कुल परिवर्तन समाप्त हो जाता है। नतीजतन, दोनों क्रॉस सेक्शन के बीच दबाव परिवर्तन होता है (गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के बिना इस क्षैतिज पाइप के लिए): और हाइड्रोलिक हेड में परिवर्तन h = z + p/(ρg): दाहिने हाथ के किनारों के सामने माइनस संकेतों का मतलब है कि पाइप के विस्तार के बाद दबाव (और हाइड्रोलिक हेड) बड़ा होता है। बर्नौली के सिद्धांत के परिणामों के साथ तुलना करते समय यह स्पष्ट हो जाता है कि पाइप के विस्तार से ठीक पहले और बाद में दबाव (और हाइड्रोलिक हेड) में यह परिवर्तन ऊर्जा हानि के साथ मेल खाता है। इस अपव्यय रहित सिद्धांत के अनुसार, प्रवाह की गति में कमी वर्तमान मामले में यांत्रिक ऊर्जा हानि की तुलना में दबाव में बहुत अधिक वृद्धि से जुड़ी है। पाइप का अचानक संकुचन पाइप के व्यास में अचानक कमी के मामले में, बिना सुव्यवस्थित किए, प्रवाह संकीर्ण पाइप में तेज मोड़ का पालन करने में सक्षम नहीं है। नतीजतन, प्रवाह पृथक्करण होता है, जिससे संकीर्ण पाइप के प्रवेश द्वार पर पुनर्चक्रण पृथक्करण क्षेत्र बनते हैं। मुख्य प्रवाह अलग प्रवाह क्षेत्रों के बीच संकुचित होता है, और बाद में पूर्ण पाइप क्षेत्र को कवर करने के लिए फिर से फैलता है। संकुचन से पहले क्रॉस सेक्शन 1 और क्रॉस सेक्शन 3, वेना कॉन्ट्रैक्टा, जिस पर मुख्य प्रवाह सबसे अधिक संकुचित होता है, के बीच बहुत अधिक नुकसान नहीं होता है। लेकिन क्रॉस सेक्शन 3 से 2 तक प्रवाह विस्तार में काफी नुकसान होता है। इन शीर्ष हानियों को बोर्डा-कार्नोट समीकरण का उपयोग करके, संकुचन के गुणांक के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता हैः A3 के साथ सबसे मजबूत मुख्य प्रवाह संकुचन 3 के स्थान पर पार-अनुभागीय क्षेत्र, और A2 पाइप के संकीर्ण भाग का पार-अनुभागीय क्षेत्र। चूँकि A3 ≤ A2, संकुचन का गुणांक एक से कम हैः μ ≤ 1। फिर से द्रव्यमान का संरक्षण है, इसलिए तीन क्रॉस सेक्शन में आयतन प्रवाह एक स्थिरांक हैं (स्थिर द्रव घनत्व ρ के लिए): v1, v2 और v3 के साथ संबंधित क्रॉस सेक्शन में औसत प्रवाह वेग। फिर, बोर्डा-कार्नोट समीकरण के अनुसार (हानि गुणांक ω = 1 के साथ), द्रव आयतन की प्रति इकाई और पाइप संकुचन के कारण ऊर्जा हानि ωE हैः कुल शीर्ष ωH के संबंधित हानि की गणना ωH = ωE/(ρg) के रूप में की जा सकती है। वीसबैक द्वारा किए गए मापों के अनुसार, एक तेज-धार वाले संकुचन के लिए संकुचन गुणांक लगभग हैः अचानक विस्तार के लिए संवेग संतुलन से व्युत्पन्न एक पाइप में अचानक विस्तार के लिए, ऊपर दी गई आकृति देखें, बोर्डा-कार्नोट समीकरण प्रवाह के द्रव्यमान और संवेग संरक्षण से प्राप्त किया जा सकता है। संवेग प्रवाह एस (अर्थात। पाइप अक्ष के समानांतर द्रव संवेग घटक के लिए) क्षेत्र ए के एक क्रॉस सेक्शन के माध्यम से है-यूलर समीकरणों के अनुसारः विस्तार के ठीक ऊपर की ओर क्रॉस सेक्शन 1 से घिरा एक नियंत्रण आयतन के लिए द्रव्यमान और संवेग के संरक्षण पर विचार करें, क्रॉस सेक्शन 2 डाउनस्ट्रीम जहां प्रवाह पाइप की दीवार से फिर से जुड़ता है (विस्तार पर प्रवाह पृथक्करण के बाद), और पाइप की दीवार। प्रवाह पर नियंत्रण आयतन का संवेग S1 का लाभ और बहिर्वाह पर S2 का नुकसान होता है। इसके अलावा, विस्तार की दीवार (पाइप अक्ष के लंबवत) द्वारा लगाए गए तरल पदार्थ पर दबाव से भी बल F का योगदान होता हैः जहां यह माना गया है कि दबाव निकट-अपस्ट्रीम दबाव p1 के बराबर है। योगदान को जोड़ते हुए, क्रॉस सेक्शन 1 और 2 के बीच नियंत्रण आयतन के लिए संवेग संतुलन देता हैः नतीजतन, द्रव्यमान संरक्षण द्वाराः उपरोक्त उदाहरण में दबाव ड्रॉप के साथ सहमति में। यांत्रिक ऊर्जा हानि ΔE हैः जो बोर्डा-कार्नोट समीकरण है (φ = 1 के साथ)। डार्सी-वेइसबैक समीकरण प्रोनी समीकरण नोट्स संदर्भ, 634 पीपी भी देखें। , 634 पीपी। , 706 पीपी। द्रव गतिकी के समीकरण द्रव गतिकी हाइड्रोलिक्स पाइपिंग