Covering number
गणित में, एक आवरण संख्या किसी दिए गए आकार की गोलाकार गेंदों की संख्या है जो किसी दिए गए स्थान को पूरी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक होती है, जिसमें संभावित ओवरलैप होते हैं। दो संबंधित अवधारणाएँ हैं पैकिंग संख्या, एक स्थान में फिट होने वाली असंबद्ध गेंदों की संख्या, और मीट्रिक एन्ट्रापी, उन बिंदुओं की संख्या जो एक स्थान में फिट होते हैं जब कुछ निश्चित न्यूनतम दूरी पर अलग होने के लिए विवश होते हैं। परिभाषा मान लीजिए कि (एम, डी) एक मीट्रिक स्थान है, मान लीजिए कि के एम का एक उपसमुच्चय है, और मान लीजिए कि आर एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए कि बीआर (एक्स) x पर केंद्रित त्रिज्या आर की गेंद को दर्शाता है। एम का एक उपसमुच्चय सी, के का एक आर-बाहरी आवरण है यदिः दूसरे शब्दों में, हर एक के लिए ऐसा मौजूद है। यदि इसके अलावा सी, के का एक उपसमुच्चय है, तो यह एक आर-आंतरिक आवरण है। के की बाहरी आवरण संख्या, जिसे दर्शाया गया है, के के किसी भी बाहरी आवरण की न्यूनतम कार्डिनलिटी है। आंतरिक आवरण संख्या, जिसे दर्शाया गया है, किसी भी आंतरिक आवरण की न्यूनतम कार्डिनलिटी है। के का एक सबसेट पी एक पैकिंग है अगर और सेट जोड़ीदार रूप से अलग है। के की पैकिंग संख्या, जिसे दर्शाया जाता है, के की किसी भी पैकिंग की अधिकतम कार्डिनलिटी है। के का एक सबसेट एस को आर-सेपरेटेड किया जाता है यदि एस में x और y अंकों की प्रत्येक जोड़ी डी (एक्स, वाई) ≤ आर को संतुष्ट करती है। के की मीट्रिक एन्ट्रापी, जिसे दर्शाया गया है, के के किसी भी आर-सेपरेटेड सबसेट की अधिकतम कार्डिनलिटी है। उदाहरण गुण निम्नलिखित गुण मानक यूक्लिडियन स्थान में संख्याओं को कवर करने से संबंधित हैंः मशीन लर्निंग के लिए अनुप्रयोग आइए एल-अनंत मीट्रिक के साथ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक स्थान बनें (ऊपर उदाहरण 3 देखें)। मान लीजिए कि सभी कार्य एक वास्तविक स्थिरांक से बंधे हैं। फिर, आवरण संख्या का उपयोग सीखने के कार्यों की सामान्यीकरण त्रुटि को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है, वर्ग हानि के सापेक्षः कहाँ और नमूनों की संख्या है। चुंबन संख्या को कवर करने वाले बहुभुज भी देखें संदर्भ टोपोलॉजी मीट्रिक ज्यामिति