Bartlett's bisection theorem
बार्टलेट की द्विभाजन प्रमेय नेटवर्क विश्लेषण में एक विद्युत प्रमेय है जिसका श्रेय अल्बर्ट चार्ल्स बार्टलेट को दिया जाता है। प्रमेय से पता चलता है कि किसी भी सममित दो-पोर्ट नेटवर्क को जाली नेटवर्क में बदला जा सकता है। यह प्रमेय अक्सर फ़िल्टर सिद्धांत में दिखाई देता है जहां जाली नेटवर्क को कभी-कभी फ़िल्टर एक्स-सेक्शन के रूप में जाना जाता है, जो वर्णमाला अक्षरों के बाद अनुभागों के नामकरण के सामान्य फ़िल्टर सिद्धांत अभ्यास का पालन करता है, जिससे वे एक समानता रखते हैं। जैसा कि मूल रूप से बार्टलेट द्वारा बताए गए प्रमेय में नेटवर्क के दो हिस्सों को स्थलाकृतिक रूप से सममित होने की आवश्यकता थी। इस प्रमेय को बाद में विल्हेम कॉयर द्वारा उन सभी नेटवर्कों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया गया जो विद्युत रूप से सममित थे। अर्थात्, नेटवर्क का भौतिक कार्यान्वयन किसी भी प्रासंगिकता का नहीं है। यह केवल आवश्यक है कि दोनों हिस्सों में इसकी प्रतिक्रिया सममित हो। अनुप्रयोग जाली टोपोलॉजी फिल्टर बहुत आम नहीं हैं। इसका कारण यह है कि उन्हें अन्य डिजाइनों की तुलना में अधिक घटकों (विशेष रूप से प्रेरक) की आवश्यकता होती है। सीढ़ी स्थलविज्ञान बहुत अधिक लोकप्रिय है। हालाँकि, उनके पास आंतरिक रूप से संतुलित होने का गुण है और एक अन्य टोपोलॉजी का एक संतुलित संस्करण, जैसे कि टी-सेक्शन, वास्तव में अधिक प्रेरक का उपयोग कर सकते हैं। एक अनुप्रयोग संतुलित दूरसंचार लाइनों पर ऑल-पास चरण सुधार फिल्टर के लिए है। आर. एफ. आवृत्तियों पर क्रिस्टल फिल्टर के डिजाइन में भी यह प्रमेय दिखाई देता है। यहाँ सीढ़ी के स्थलविज्ञान में कुछ अवांछनीय गुण होते हैं, लेकिन एक सामान्य डिजाइन रणनीति इसकी सादगी के कारण सीढ़ी के कार्यान्वयन से शुरू करना है। बार्टलेट के प्रमेय का उपयोग अंतिम कार्यान्वयन की दिशा में एक कदम के रूप में डिजाइन को एक मध्यवर्ती चरण में बदलने के लिए किया जाता है (जाली टोपोलॉजी के एक असंतुलित संस्करण का उत्पादन करने के लिए एक ट्रांसफॉर्मर का उपयोग करना)। परिभाषा और प्रमाण परिभाषा दो बंदरगाहों के बीच समरूपता के तल के साथ दो-बंदरगाह नेटवर्क, एन से शुरू होती है। इसके बाद दो नए समान दो-बंदरगाह, 1⁄2 एन बनाने के लिए समरूपता के अपने तल के माध्यम से एन काटें। दो समान वोल्टेज जनरेटरों को एन के दो बंदरगाहों से जोड़ें। समरूपता से यह स्पष्ट है कि समरूपता के तल से गुजरने वाली किसी भी शाखा से कोई धारा नहीं बहने वाली है। इन परिस्थितियों में एन के बंदरगाह में मापी जाने वाली प्रतिबाधा मापी जाने वाली प्रतिबाधा के समान होगी यदि समरूपता के तल से गुजरने वाली सभी शाखाएं ओपन सर्किट थीं। इसलिए यह 1⁄2 एन के खुले परिपथ प्रतिबाधा के समान प्रतिबाधा है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं। अब नेटवर्क एन पर विचार करें जिसमें दो समान वोल्टेज जनरेटर हैं जो बंदरगाहों से जुड़े हैं लेकिन विपरीत ध्रुवीयता के साथ। जिस तरह पिछले मामले में समरूपता के तल पर शाखाओं के माध्यम से धाराओं का सुपरपोजिशन शून्य होना चाहिए, उसी तरह समरूपता के तल पर नोड्स के बीच वोल्टेज का सुपरपोजिशन भी शून्य होना चाहिए। इस प्रकार इनपुट प्रतिबाधा 1⁄2 एन के शॉर्ट सर्किट प्रतिबाधा के समान है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं। बार्टलेट की द्विभाजन प्रमेय बताती है कि नेटवर्क एन एक जाली नेटवर्क के बराबर है जिसकी श्रृंखला शाखाएँ और क्रॉस शाखाएँ हैं। प्रमाण प्रत्येक बंदरगाह से जुड़े समान जनरेटर, ई के साथ दिखाए गए जाली नेटवर्क पर विचार करें। समरूपता और सुपरपोजिशन से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला शाखाओं में कोई धारा नहीं बह रही है। इस प्रकार उन शाखाओं को हटाया जा सकता है और शेष परिपथ पर बिना किसी प्रभाव के खुला परिपथ छोड़ दिया जा सकता है। यह 2E के वोल्टेज और के लूप में एक धारा देने की प्रतिबाधा के साथ एक सर्किट लूप छोड़ देता है; और एक इनपुट प्रतिबाधा; क्योंकि यह मूल दो-पोर्ट के समतुल्यता के लिए आवश्यक है। इसी तरह, जनरेटर में से एक को उलटने से, एक समान तर्क द्वारा, एक प्रतिबाधा और एक इनपुट प्रतिबाधा के साथ एक लूप में परिणाम मिलता है; यह याद करते हुए कि ये जनरेटर विन्यास सटीक तरीके से हैं और मूल दो-पोर्ट में परिभाषित किए गए थे, यह साबित होता है कि जाली उन दो मामलों के लिए समतुल्य है। यह साबित किया जाता है कि यह सभी मामलों के लिए इस बात पर विचार करके है कि अन्य सभी इनपुट और आउटपुट स्थितियों को पहले से साबित दो मामलों के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण बार्टलेट परिवर्तन का उल्टा उपयोग करना संभव है; अर्थात, एक सममित जाली नेटवर्क को किसी अन्य सममित स्थलविज्ञान में बदलना। ऊपर दिखाए गए उदाहरणों को समान रूप से विपरीत रूप में दिखाया जा सकता था। हालांकि, उपरोक्त उदाहरणों के विपरीत, परिणाम हमेशा रैखिक निष्क्रिय घटकों के साथ भौतिक रूप से प्राप्त करने योग्य नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक संभावना है कि विपरीत परिवर्तन नकारात्मक मूल्यों वाले घटकों को उत्पन्न करेगा। नकारात्मक मात्राओं को केवल नेटवर्क में मौजूद सक्रिय घटकों के साथ भौतिक रूप से महसूस किया जा सकता है। प्रमेय का विस्तार बार्टलेट के प्रमेय का एक विस्तार है जो समान इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा समाप्ति के बीच काम करने वाले एक सममित फिल्टर नेटवर्क को असमान स्रोत और भार प्रतिबाधा के लिए संशोधित करने की अनुमति देता है। यह एक प्रोटोटाइप फिल्टर के प्रतिबाधा स्केलिंग का एक उदाहरण है। सममित नेटवर्क अपने समरूपता के तल के साथ द्विभाजित होता है। एक आधा प्रतिबाधा को इनपुट प्रतिबाधा के लिए मापा जाता है और दूसरे को आउटपुट प्रतिबाधा के लिए मापा जाता है। फ़िल्टर का प्रतिक्रिया आकार समान रहता है। यह एक प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क के बराबर नहीं है, नेटवर्क बंदरगाहों में देखने वाली प्रतिबाधाओं का समाप्ति प्रतिबाधाओं से कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब है कि बार्टलेट के प्रमेय द्वारा डिज़ाइन किया गया एक नेटवर्क, ठीक फ़िल्टर प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करते हुए, फ़िल्टर प्रतिक्रिया के अलावा एक निरंतर क्षीणन भी जोड़ता है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क में, एक सामान्य डिजाइन मानदंड बिजली हस्तांतरण को अधिकतम करना है। आउटपुट प्रतिक्रिया इनपुट को चलाने वाले सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर के वोल्टेज के सापेक्ष "एक ही आकार" है। यह वास्तविक इनपुट वोल्टेज के सापेक्ष नहीं है जो सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर द्वारा अपने भार प्रतिबाधा के माध्यम से दिया जाता है। इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधाओं में अंतर के कारण निरंतर लाभ इस प्रकार दिया जाता है; ध्यान दें कि इसके लिए एकता से अधिक होना संभव है, यानी वोल्टेज लाभ संभव है, लेकिन शक्ति हमेशा खो जाती है। संदर्भ रैखिक फ़िल्टर फ़िल्टर सिद्धांत एनालॉग सर्किट इलेक्ट्रॉनिक डिज़ाइन