Higher-dimensional algebra
गणित में, विशेष रूप से (उच्च) श्रेणी सिद्धांत में, उच्च-आयामी बीजगणित वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन है। इसके गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनुप्रयोग हैं, और अमूर्त बीजगणित को सामान्यीकृत करता है। उच्च आयामी श्रेणियाँ उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम उच्च श्रेणी सिद्धांत की 2-श्रेणी की अवधारणा है, जिसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है। इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की एक श्रेणी, या अति-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो श्रेणी की धारणा को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करता है-जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो लॉवेरे के अमूर्त श्रेणियों के प्राथमिक सिद्धांत (ई. टी. ए. सी.) की स्वयंसिद्धियों की व्याख्या है। इस प्रकार, एक सुपर-श्रेणी और एक सुपर-श्रेणी को मेटा-श्रेणी, बहु-श्रेणी, और बहु-ग्राफ, के-पार्टाइट ग्राफ, या रंगीन ग्राफ की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है (एक रंग आकृति देखें, और ग्राफ सिद्धांत में इसकी परिभाषा भी देखें)। सुपरकैटेगरी को पहली बार 1970 में पेश किया गया था, और बाद में सैद्धांतिक भौतिकी (विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) और गणितीय जीव विज्ञान या गणितीय जैवभौतिकी में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था। उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य मार्गों में शामिल हैंः द्विश्रेणियाँ, द्विश्रेणियों के समरूपता, चर श्रेणियाँ (जिन्हें अनुक्रमित या मानकीकृत श्रेणियों के रूप में भी जाना जाता है), टोपोई, प्रभावी वंश, और समृद्ध और आंतरिक श्रेणियाँ। उच्च-आयामी बीजगणित (एच. डी. ए.) में, एक दोहरा समूह एक आयामी समूह का दो आयामों के लिए एक सामान्यीकरण है, और बाद वाले समूह को सभी व्युत्क्रमणीय तीरों, या आकृतिवाद के साथ एक श्रेणी का एक विशेष मामला माना जा सकता है। दोहरे समूह का उपयोग अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है जैसे कि उच्च-आयामी मैनिफोल्ड (या एन-आयामी मैनिफोल्ड)। सामान्य तौर पर, एक एन-आयामी मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से एक एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान की तरह दिखता है, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना गैर-यूक्लिडियन हो सकती है। डबल ग्रुपॉइड को पहली बार रोनाल्ड ब्राउन द्वारा डबल ग्रुपॉइड और क्रॉस मॉड्यूल (1976) में पेश किया गया था, और आगे गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनुप्रयोगों की दिशा में विकसित किया गया था। एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा एक दोहरी अल्जेब्रॉइड की है, और आर-अल्जेब्रॉइड की अधिक सामान्य अवधारणा है। गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी देखें गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी अनुप्रयोग सैद्धांतिक भौतिकी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्वांटम श्रेणियां मौजूद हैं। और क्वांटम डबल ग्रुपॉइड्स। क्वांटम डबल ग्रुपॉइड्स को 2-फंक्शन के माध्यम से परिभाषित मौलिक ग्रुपॉइड्स माना जा सकता है, जो किसी को द्वि-श्रेणी अवधि (ग्रुपॉइड्स) के संदर्भ में क्वांटम फंडामेंटल ग्रुपॉइड्स (क्यू. एफ. जी.) के भौतिक रूप से दिलचस्प मामले के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर मैनिफोल्ड और कोबोर्डिज़्म के लिए 2-हिल्बर्ट रिक्त स्थान और 2-रैखिक मानचित्रों का निर्माण करता है। अगले चरण में, ऐसे 2-कारकों के प्राकृतिक परिवर्तनों के माध्यम से कोनों के साथ कोबोर्डिज़्म प्राप्त होता है। एक दावा तब किया गया था कि, गेज समूह एसयू (2) के साथ, "विस्तारित टीक्यूएफटी, या ईटीक्यूएफटी, क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के पोंजानो-रेग मॉडल के बराबर एक सिद्धांत देता है"; इसी तरह, तुराएव-वीरो मॉडल को तब एसयूक्यू (2) के प्रतिनिधित्व के साथ प्राप्त किया जाएगा। इसलिए, कोई भी एक गेज सिद्धांत के अवस्था स्थान का वर्णन कर सकता है-या कई प्रकार के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों (क्यू. एफ. टी.) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, सममितियों द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए एक गेज सिद्धांत के मामले में, उन अवस्थाओं पर कार्य करने वाले गेज परिवर्तनों द्वारा जो इस मामले में, कनेक्शन हैं। क्वांटम समूहों से संबंधित सममितियों के मामले में, कोई भी ऐसी संरचनाएँ प्राप्त करेगा जो 2-वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय क्वांटम ग्रुपॉइड्स की प्रतिनिधित्व श्रेणियाँ हैं जो ग्रुपॉइड्स की प्रतिनिधित्व श्रेणियाँ हैं। क्वांटम फिजिक्स भी देखें नोट्स आगे पढ़ना (डाउनलोड करने योग्य पीडीएफ उपलब्ध) यह ग्रुपॉइड्स के कुछ इतिहास देता है, अर्थात् द्विघात रूपों पर हेनरिक ब्रांड्ट के काम में उत्पत्ति, और 160 संदर्भों के साथ 1987 तक के बाद के काम का संकेत। कई संदर्भों के साथ एक वेब लेख में बताया गया है कि कैसे ग्रुपॉइड अवधारणा ने उच्च-आयामी ग्रुपॉइड की धारणाओं को जन्म दिया है, जो समूह सिद्धांत में उपलब्ध नहीं है, होमोटॉपी सिद्धांत और समूह समरूपता में अनुप्रयोगों के साथ। 1968 और 1988 में पहले प्रकाशित एक पुस्तक का संशोधित और विस्तारित संस्करण। ई-संस्करण वेबसाइट से उपलब्ध है। यह दर्शाता है कि गैलोइस सिद्धांत के सामान्यीकरण कैसे गैलोइस समूह की ओर ले जाते हैं। .. उच्च श्रेणी सिद्धांत श्रेणी सिद्धांत बीजगणितीय टोपोलॉजी बीजगणितीय तर्क श्रेणीगत तर्क डीः ग्रुपॉइड (श्रेणीगत सिद्धांत) ईएसः ग्रुपोइड एफआरः कैटेगोरी ग्रुपोइड कोः यहः ग्रुपोइड (टियोरिया डेले श्रेणी) पीटीः ग्रुपोइड (टियोरिया दास श्रेणी)