2 22 honeycomb
ज्यामिति में, 222 मधुकोश छह आयामी यूक्लिडियन स्थान का एक समान टेसेलेशन है। इसे श्लाफली प्रतीक {3,3,32,2} द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसका निर्माण 221 पहलुओं से किया गया है और इसमें 122 शीर्ष आकृति हैं, जिसमें प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर 54,221 पॉलीटोप हैं। इसकी शीर्ष व्यवस्था ई6 जाली है, और ई6 लाइ समूह की मूल प्रणाली है इसलिए इसे ई6 मधुकोश भी कहा जा सकता है। निर्माण यह 6-आयामी स्थान में 7 हाइपरप्लेन दर्पणों के एक सेट पर एक विथोफ निर्माण द्वारा बनाया गया है। पहलू की जानकारी को इसके कॉक्सेटर-डिंकिन आरेख से निकाला जा सकता है। 2-नोड शाखाओं में से एक के अंत में एक नोड को हटाने से 221 निकल जाता है, जो इसका एकमात्र पहलू प्रकार है, शीर्ष आकृति रिंग वाले नोड को हटाकर और पड़ोसी नोड को बजाकर निर्धारित की जाती है। यह 122 बनाता है। किनारे की आकृति शीर्ष आकृति की शीर्ष आकृति है, यहाँ एक निर्देशित 5-सिम्प्लेक्स, t2 {34}, है। चेहरे की आकृति किनारे की आकृति की शीर्ष आकृति है, यहाँ एक त्रिकोणीय डुओप्रिज्म, {3} × {3}, है। चुंबन संख्या इस टेसेलेशन का प्रत्येक शीर्ष 6 आयामों में सबसे घनी ज्ञात पैकिंग में 5-गोले का केंद्र है, जिसमें चुंबन संख्या 72 है, जिसे इसके शीर्ष आकृति 122 के शीर्षों द्वारा दर्शाया गया है। ई6 जाली 222 मधुकोश के शीर्ष व्यवस्था को ई6 जाली कहा जाता है। [[3,3,32,2]] समरूपता के साथ E62 जाली का निर्माण दो E6 जाली के संयोजन द्वारा किया जा सकता हैः [[3,32,2,2]] समरूपता के साथ E6 * जाली (या E63)। ई6 * जाली की वोरोनोई कोशिका एक संशोधित 122 पॉलीटोप है, और वोरोनोई टेसेलेशन एक बिट्रन्केटेड 222 मधुकोश है। इसका निर्माण E6 जाली शीर्षों की 3 प्रतियों द्वारा किया गया है, जो कॉक्सेटर आरेख की तीन शाखाओं में से प्रत्येक से एक है। ≤ = दोहरी से। ज्यामितीय तह समूह एक ज्यामितीय मोड़ से संबंधित है, इसलिए इस मधुकोश को 4-आयामी 16-कोशिका मधुकोश में प्रक्षेपित किया जा सकता है। संबंधित मधुकोश 222 मधुकोश समरूपता वाले 127 समान मधुकोशों (39 अद्वितीय) में से एक है। उनमें से 24 में 2 समान रूप से वलयाकार शाखाओं के साथ दोहरी समरूपता [[3,3,32,2]] है, और 7 में विभाजन (3!) है। सभी 3 शाखाओं पर समान वलय के साथ समरूपता [[3,32,2,2]]। परिवार में कोई नियमित मधुकोश नहीं हैं क्योंकि इसका कॉक्सेटर आरेख एक अरैखिक ग्राफ है, लेकिन 222 और निर्देशित 222 समस्थानिक हैं, जिसमें केवल एक प्रकार का पहलू हैः 221, और क्रमशः 122 पॉलीटोप को संशोधित किया गया है। निर्देशित 222 मधुकोश निर्देशित 222 मधुकोश ने 1 22 पॉलीटोप पहलुओं को ठीक किया है, और एक प्रोप्रिज्म {3} × {3} × {3} शीर्ष आकृति है। इसके पहलू E6 * जाली की शीर्ष व्यवस्था पर केंद्रित हैं, जैसे किः निर्माण पहलू की जानकारी को इसके कॉक्सेटर-डिंकिन आरेख से निकाला जा सकता है। शीर्ष आकृति रिंग वाले नोड को हटाकर और पड़ोसी नोड को बजाकर निर्धारित की जाती है। यह एक प्रोप्रिज्म {3} × {3} × {3} बनाता है। 3-नोड शाखाओं में से एक के अंत में एक नोड को हटाने से 122, इसका एकमात्र पहलू प्रकार, निकल जाता है। दूसरे छोर के नोड को हटाने से 2 प्रकार के 5-चेहरे परिभाषित होते हैंः निर्देशित 5-सिम्प्लेक्स, 022 और निर्देशित 5-ऑर्थोप्लेक्स, 0211। तीसरे छोर के नोड को हटाने से 2 प्रकार के 4-चेहरे परिभाषित होते हैंः संशोधित 5-कोशिका, 021, और 24-कोशिका, 0111। चौथे छोर के नोड को हटाना 2 प्रकार की कोशिकाओं को परिभाषित करता हैः ऑक्टाहेड्रॉन, 011, और टेट्राहेड्रॉन, 020. के22 पॉलीटोप 222 हनीकोम्ब, समान पॉलीटोप की आयामी श्रृंखला में चौथा है, जिसे कॉक्सेटर द्वारा के22 श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया गया है। फाइनल एक पैराकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक हनीकोम्ब है, 322। प्रत्येक प्रगतिशील एकसमान पॉलीटोप का निर्माण पिछले से इसके शीर्ष आकृति के रूप में किया जाता है। 222 मधुकोश एक अन्य आयामी श्रृंखला 22k में तीसरे स्थान पर है। टिप्पणियाँ संदर्भ कॉक्सेटर ज्यामिति की सुंदरताः बारह निबंध, डोवर प्रकाशन, 1999, (अध्याय 3: समान पॉलीटोप के लिए विथोफ का निर्माण) कॉक्सेटर नियमित पॉलीटोप (1963), मैकमिलन कंपनी नियमित पॉलीटोप, तीसरा संस्करण, (1973), डोवर संस्करण, (अध्याय 5: द कैलिडोस्कोप) कैलिडोस्कोपः एच. एस. एम. के चयनित लेखन। कॉक्सेटर, एफ. आर्थर शेर्क, पीटर मैकमुलन, एंथनी सी. थॉम्पसन, एशिया आइविक वीस, विली-इंटरसाइंस पब्लिकेशन, 1995, गूगलबुक (पेपर 24) एच. एस. एम. द्वारा संपादित। कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीटोप III, [गणित। ज़िट। 200 (1988) आर. टी. वर्ली, द वोरोनोई रीजन ऑफ ई6 *। जे. ऑस्ट्रेलिया। गणित। एस. सी. सर। ए, 43 (1987), 268-278। पी 125-126,8.3 6-आयामी जालीः ई6 और ई6 * 7-बहुपद