Baum–Sweet sequence
गणित में बाउम-स्वीट अनुक्रम 0s और 1s का एक अनंत स्वचालित अनुक्रम है जिसे नियम द्वारा परिभाषित किया गया हैः bn = 1 यदि n के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में विषम लंबाई के लगातार 0s का कोई ब्लॉक नहीं है; bn = 0 अन्यथा; n ≤ 0 के लिए। उदाहरण के लिए, b4 = 1 क्योंकि 4 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व 100 है, जिसमें केवल 2 की लंबाई के लगातार 0s का एक ब्लॉक होता है; जबकि b5 = 0 क्योंकि 5 का द्विआधारी प्रतिनिधित्व 101 है, जिसमें 1 की लंबाई के लगातार 0s का एक ब्लॉक होता है। n = 0 से शुरू करते हुए, बाम-मीठे अनुक्रम के पहले कुछ शब्द हैंः 1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1। ऐतिहासिक प्रेरणा अनुक्रम के गुणों का अध्ययन पहली बार 1976 में लियोनार्ड ई. बाउम और मेल्विन एम. स्वीट द्वारा किया गया था। 1949 में, खिंचिन ने अनुमान लगाया कि एक गैर-चतुष्कोणीय बीजगणितीय वास्तविक संख्या मौजूद नहीं है जो अपने निरंतर अंश विस्तार में सीमित आंशिक भागांश रखती है। इस अनुमान का एक विपरीत उदाहरण अभी भी ज्ञात नहीं है। बाउम और स्वीट के शोध पत्र से पता चला कि बीजगणितीय शक्ति श्रृंखला के लिए समान अपेक्षा पूरी नहीं होती है। उन्होंने घन शक्ति श्रृंखला का एक उदाहरण दिया जिसके आंशिक भाग सीमित हैं। (बाउम और स्वीट के परिणाम में शक्ति श्रृंखला की डिग्री खिंचिन के अनुमान में बीजगणितीय वास्तविक से जुड़े क्षेत्र विस्तार की डिग्री के अनुरूप है।) बाउम और स्वीट के पेपर में विचार की गई श्रृंखलाओं में से एक इसका मूल है। लेखक बताते हैं कि हेन्सेल के लेम्मा में, इस तरह की एक अनूठी जड़ है क्योंकि मॉड्यूलो के परिभाषित समीकरण को कम करने से यह पता चलता है कि इस अद्वितीय मूल में डिग्री के आंशिक अंश हैं। ऐसा करने से पहले, वे कहते हैं (प्रमेय 2, पृष्ठ 598 के बाद की टिप्पणी में) कि मूल को उस रूप में लिखा जा सकता है जहां और केवल अगर के लिए और केवल अगर के द्विआधारी विस्तार में केवल s के सम लंबाई खंड शामिल हों। यह बाउम-स्वीट अनुक्रम की उत्पत्ति है। मकाउर और याओ ने साबित किया कि उपरोक्त के लिए निरंतर अंश के आंशिक भाग एक स्वचालित अनुक्रम नहीं बनाते हैं। हालांकि, आंशिक उद्धरणों का अनुक्रम एक गैर-समान आकृतिवाद द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। गुण बाउम-मीठे अनुक्रम को 3-अवस्था स्वचालित द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। बाउम-स्वीट अनुक्रम में शब्द bn का मान निम्नलिखित रूप में पुनरावर्ती रूप से पाया जा सकता है। यदि n = m·4k, जहाँ m 4 से विभाज्य नहीं है (या 0 है), तो इस प्रकार b76 = b9 = b4 = b0 = 1, जिसे यह देखकर सत्यापित किया जा सकता है कि 76 के द्विआधारी प्रतिनिधित्व, जो कि 1001100 है, में विषम लंबाई के साथ 0s के कोई क्रमिक खंड नहीं हैं। बाउम-मीठा शब्द 1101100101001001., जो बाउम-मीठा अनुक्रम की शर्तों को जोड़कर बनाया गया है, आकृतिवाद या स्ट्रिंग प्रतिस्थापन नियमों का एक निश्चित बिंदु है 00 → 0000 01 → 1001 10 → 0100 11 → 1101 निम्नानुसार हैः 11 → 1101 → 11011001 → 1101100101001001 → 1101100101001001000001001001001. आकृतिवाद नियमों से यह देखा जा सकता है कि बाउम-मीठा शब्द में किसी भी लंबाई के लगातार 0s के ब्लॉक होते हैं (bn = 0 सभी 2k पूर्णांकों के लिए 5.2k ≤ n <6.2k)। अधिक संक्षिप्त रूप से, कोभम के छोटे से प्रमेय द्वारा बॉम-स्वीट शब्द को एक समान आकृतिवाद के निश्चित बिंदु पर लागू कोडिंग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वास्तव में, आकृतिवाद और कोडिंग इस तरह से शब्द उत्पन्न करते हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ द्विआधारी अनुक्रम