Regiomontanus' angle maximization problem
गणित में, रेजीओमोंटनस कोण अधिकतमकरण समस्या, 15 वीं शताब्दी के जर्मन गणितशास्त्री जोहान्स मुलर (जिसे रेजीओमोंटनस के रूप में भी जाना जाता है) द्वारा प्रस्तुत एक प्रसिद्ध अनुकूलन समस्या है। समस्या इस प्रकार हैः एक पेंटिंग दीवार से लटकी हुई है। चित्रकारी के ऊपर और नीचे की ऊंचाई को देखते हुए, चित्रकारी द्वारा कम किए गए कोण को अधिकतम करने के लिए दर्शक को दीवार से कितनी दूर खड़ा होना चाहिए और जिसका शीर्ष दर्शक की नजर में है? यदि दर्शक दीवार के बहुत करीब या दीवार से बहुत दूर खड़ा है, तो कोण छोटा है; इसके बीच में कहीं न कहीं जितना संभव हो उतना बड़ा है। यही दृष्टिकोण रग्बी में गेंद को लात मारने के लिए इष्टतम स्थान खोजने पर लागू होता है। उस मामले के लिए, यह आवश्यक नहीं है कि चित्र का संरेखण समकोण पर होः हो सकता है कि हम पीसा के झुकी हुई मीनार की एक खिड़की को देख रहे हों या एक रियाल्टार एक ढलान वाली अटारी की छत में आकाश-प्रकाश के लाभों को दिखा रहा हो। प्राथमिक ज्यामिति द्वारा समाधान पेंटिंग के ऊपर और नीचे से गुजरने वाला एक अनूठा वृत्त होता है और नेत्र-स्तर रेखा के लिए स्पर्शरेखा होती है। प्राथमिक ज्यामिति के अनुसार, यदि दर्शक की स्थिति वृत्त के साथ चलती है, तो चित्र द्वारा कम किया गया कोण स्थिर रहेगा। स्पर्शता के बिंदु को छोड़कर नेत्र-स्तर रेखा पर सभी स्थितियाँ वृत्त के बाहर होती हैं, और इसलिए उन बिंदुओं से चित्र द्वारा कम किया गया कोण छोटा होता है। मान लीजिए कि a = नेत्र स्तर से ऊपर चित्र के निचले हिस्से की ऊंचाई; b = नेत्र स्तर से ऊपर चित्र के शीर्ष की ऊंचाई; वृत्त के केंद्र, चित्र के केंद्र और चित्र के निचले हिस्से से एक समकोण त्रिभुज बनता है। हाइपोटेंज़ की वृत्त की त्रिज्या की लंबाई a + (b-a)/2 है, दोनों पैरों की लंबाई दीवार से स्पर्शता के बिंदु तक की दूरी और (b-a)/2 है। पायथागोरियन प्रमेय के अनुसार, दीवार से स्पर्शता के बिंदु तक की दूरी, चित्र के ऊपर और नीचे की ऊंचाइयों का ज्यामितीय माध्य है। कलन द्वारा समाधान वर्तमान समय में, यह समस्या व्यापक रूप से जानी जाती है क्योंकि यह कई प्रथम वर्ष की कलन पाठ्यपुस्तकों (उदाहरण के लिए स्टीवर्ट की) में एक अभ्यास के रूप में दिखाई देती है। मान लीजिए कि a = नेत्र स्तर से ऊपर पेंटिंग के नीचे की ऊंचाई; b = नेत्र स्तर से ऊपर पेंटिंग के शीर्ष की ऊंचाई; x = दीवार से दर्शक की दूरी; α = पेंटिंग के नीचे की ऊंचाई का कोण, दर्शक की स्थिति से देखा गया; β = पेंटिंग के शीर्ष की ऊंचाई का कोण, जो दर्शक की स्थिति से देखा गया है। हम जिस कोण को अधिकतम करना चाहते हैं वह β − α है। जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, कोण की स्पर्शरेखा बढ़ती है; इसलिए यह अधिकतम करने के लिए पर्याप्त है क्योंकि b − a एक सकारात्मक स्थिरांक है, इसलिए हमें केवल उसके बाद आने वाले अंश को अधिकतम करने की आवश्यकता है। इसलिए जैसे-जैसे x 0 से बढ़ता है, कोण बढ़ता है और जैसे-जैसे x बढ़ता है, कम होता जाता है। अतः कोण यथासंभव बड़ा होता है जब x =, a और b का ज्यामितीय माध्य होता है। बीजगणित द्वारा समाधान हमने देखा है कि यह अधिकतम करने के लिए पर्याप्त है यह पारस्परिक को न्यूनतम करने के बराबर हैः देखें कि यह अंतिम मात्रा बराबर है। वैकल्पिक रूप से, हम इसे अंकगणितीय और ज्यामितीय साधनों के बीच असमानता के एक उदाहरण के रूप में उद्धृत कर सकते हैं। संदर्भ त्रिकोणमिति वृत्त गणना गणित का इतिहास गणितीय समस्याएं