Hard hexagon model
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, कठोर षट्कोण मॉडल एक गैस का 2-आयामी जाली मॉडल है, जहां कणों को त्रिकोणीय जाली के शीर्षों पर होने की अनुमति है, लेकिन कोई भी दो कण निकटवर्ती नहीं हो सकते हैं। मॉडल को हल किया गया था, जिन्होंने पाया कि यह रोजर्स-रामानुजन पहचान से संबंधित था। कठोर षट्कोण मॉडल का विभाजन कार्य कठोर षट्कोण मॉडल भव्य विहित समूह के ढांचे के भीतर होता है, जहां कणों की कुल संख्या ("षट्कोण") को स्वाभाविक रूप से भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, और एक रासायनिक क्षमता द्वारा तय किया जाता है। कठोर षट्कोणीय मॉडल में, सभी वैध अवस्थाओं में शून्य ऊर्जा होती है, और इसलिए एकमात्र महत्वपूर्ण ऊष्मागतिकीय नियंत्रण चर रासायनिक क्षमता और तापमान का अनुपात है। इस अनुपात के घातांक, z = exp (μ/(kT)) को गतिविधि कहा जाता है और बड़े मान मोटे तौर पर सघन विन्यास के अनुरूप होते हैं। एन साइटों के साथ एक त्रिकोणीय जाली के लिए, भव्य विभाजन कार्य वह है जहां जी (एन, एन) अलग-अलग जाली साइटों पर एन कणों को रखने के तरीकों की संख्या है जैसे कि संख्या 2 आसन्न हैं। फलन κ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि लॉग (κ) प्रति इकाई साइट मुक्त ऊर्जा है। कठिन षट्कोण मॉडल को हल करने का अर्थ है (मोटे तौर पर) z के फलन के रूप में κ के लिए एक सटीक अभिव्यक्ति खोजना। जाली के शीर्ष 1,2 और 3 संख्या वाले 3 वर्गों में आते हैं, जो कठिन षट्कोण के साथ स्थान भरने के 3 अलग-अलग तरीकों से दिए जाते हैं। 3 स्थानीय घनत्व ρ1, ρ2, ρ3 हैं, जो 3 वर्गों के स्थलों के अनुरूप हैं। जब गतिविधि बड़ी होती है तो प्रणाली इन 3 पैकेजिंग में से एक का अनुमान लगाती है, इसलिए स्थानीय घनत्व भिन्न होते हैं, लेकिन जब गतिविधि एक महत्वपूर्ण बिंदु से नीचे होती है तो तीन स्थानीय घनत्व समान होते हैं। निम्न-गतिविधि सजातीय चरण को उच्च-गतिविधि क्रमबद्ध चरण से अलग करने वाला महत्वपूर्ण बिंदु स्वर्ण अनुपात φ के साथ है। महत्वपूर्ण बिंदु के ऊपर स्थानीय घनत्व भिन्न होते हैं और उस चरण में जहां अधिकांश षट्कोण प्रकार 1 की साइटों पर होते हैं, उन्हें समाधान के रूप में विस्तारित किया जा सकता है समाधान z <zc के छोटे मानों के लिए दिया जाता है जहां बड़े z> zc के लिए समाधान (उस चरण में जहां अधिकांश कब्जे वाली साइटों में प्रकार 1 होता है) द्वारा दिया जाता है। यदि x = e2πiτ है, तो x − 1/60 G (x), x 11/60 H (x), x − 1/24 P (x), z, κ, ρ, ρ1, ρ2, और ρ3 τ के मॉड्यूलर फंक्शन हैं, जबकि x 1/24 Q (x) भार 1/2 का एक मॉड्यूलर रूप है। चूँकि कोई भी दो मॉड्यूलर कार्य एक बीजगणितीय संबंध द्वारा संबंधित हैं, इसका तात्पर्य है कि कार्य κ, z, R, ρ सभी एक दूसरे के बीजगणितीय कार्य हैं (काफी उच्च डिग्री के)। विशेष रूप से, κ (1) का मान, जिसे एरिक वीज़स्टीन ने कठोर षट्कोणीय एन्ट्रापी स्थिरांक कहा, 24 डिग्री की एक बीजगणितीय संख्या है जो 1.395485972. () के बराबर है। संबंधित मॉडल कठोर षट्कोण मॉडल को वर्ग और मधुकोश जाली पर समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। इनमें से किसी भी मॉडल के लिए कोई सटीक समाधान ज्ञात नहीं है, लेकिन महत्वपूर्ण बिंदु zc वर्गाकार जाली और मधुकोश जाली के लिए निकट है; κ (1) लगभग 1.503048082 है। संदर्भ एक्सटन, एच. (1983), क्यू-हाइपरजियोमेट्रिक कार्य और अनुप्रयोग, न्यूयॉर्कः हालस्टेड प्रेस, चिचेस्टरः एलिस हॉरवुड बाहरी लिंक बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी जाली मॉडल मॉड्यूलर बीजगणितीय संख्याएँ बनाते हैं।