Mechanics of planar particle motion
समतलीय कण गति की यांत्रिकी कणों की गति का विश्लेषण है, जो गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से देखे जाते हैं, जो गुरुत्वाकर्षण रूप से एक दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं, और इस समस्या का सामान्यीकरण ग्रहों की गति के लिए होता है। (केन्द्रत्यागी बल, दो-पिंड समस्या, कक्षा और केपलर के ग्रहों की गति के नियम देखें।) ये समस्याएं विश्लेषणात्मक गतिकी के सामान्य क्षेत्र में आती हैं, जो दिए गए बल नियमों से कक्षाओं का निर्धारण करती हैं। यह लेख समतलीय गति के आसपास के गतिज मुद्दों पर अधिक केंद्रित है, जो कण प्रक्षेपवक्र को देखते हुए एक निश्चित प्रक्षेपवक्र में परिणाम के लिए आवश्यक बलों का निर्धारण है। काल्पनिक बलों में प्रस्तुत सामान्य परिणाम एक गतिशील कण के अवलोकन पर लागू होते हैं जैसा कि कई विशिष्ट गैर-जड़त्वीय फ्रेमों से देखा जाता है। उदाहरण के लिए, एक स्थानीय फ्रेम (एक गतिशील कण से बंधा हुआ है ताकि यह स्थिर दिखाई दे), और एक सह-घूर्णन फ्रेम (एक मनमाने ढंग से स्थित लेकिन निश्चित अक्ष और घूर्णन की दर के साथ जो कण को केवल रेडियल गति और शून्य अजीमुथल गति प्रतीत होता है)। इसके साथ, काल्पनिक ताकतों के लिए लग्रांजियन दृष्टिकोण पेश किया जाता है। विद्युत चुम्बकीय बलों जैसे वास्तविक बलों के विपरीत, काल्पनिक बल वस्तुओं के बीच भौतिक अंतःक्रियाओं से उत्पन्न नहीं होते हैं। काल्पनिक शक्तियों का उपयोग करके विश्लेषण काल्पनिक शक्तियों की उपस्थिति आम तौर पर संदर्भ के एक गैर-जड़त्वीय ढांचे के उपयोग और संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे के उपयोग के साथ उनकी अनुपस्थिति से जुड़ी होती है। जड़त्वीय संरचना और काल्पनिक बलों (जिन्हें जड़त्वीय बल या छद्म-बल भी कहा जाता है) के बीच संबंध, अर्नोल्ड द्वारा व्यक्त किया गया हैः इस विषय पर थोड़ा अलग दृष्टिकोण इरो द्वारा प्रदान किया गया हैः काल्पनिक बल गति के समीकरणों में एक जड़त्वीय संदर्भ में दिखाई नहीं देते हैं। एक जड़त्वीय फ्रेम में, किसी वस्तु की गति को वास्तविक प्रभावित बलों द्वारा समझाया जाता है। एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम जैसे कि एक घूर्णन फ्रेम में, हालांकि, न्यूटन के पहले और दूसरे नियमों का उपयोग अभी भी सटीक भौतिक भविष्यवाणियां करने के लिए किया जा सकता है बशर्ते काल्पनिक बलों को वास्तविक बलों के साथ शामिल किया जाए। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में यांत्रिकी की समस्याओं को हल करने के लिए, काल्पनिक बलों को वास्तविक बलों की तरह व्यवहार करें और एक जड़त्वीय फ्रेम में होने का नाटक करें। यह उल्लेख किया जाना चाहिए कि "काल्पनिक शक्तियों को वास्तविक शक्तियों की तरह मानने" का अर्थ है कि काल्पनिक शक्तियां, जैसा कि एक विशेष गैर-जड़त्वीय ढांचे में देखा जाता है, उस ढांचे के भीतर किए गए समन्वय परिवर्तनों के तहत वैक्टर के रूप में परिवर्तित हो जाती हैं, जैसे कि वास्तविक शक्तियां। इसके बाद, यह देखा गया है कि समय में परिवर्तनशील निर्देशांक का उपयोग संदर्भ के जड़त्वीय और गैर-जड़त्वीय फ्रेम दोनों में किया जाता है, इसलिए समय में परिवर्तनशील निर्देशांक का उपयोग पर्यवेक्षक के परिवर्तन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, और केवल पर्यवेक्षक के विवरण की पसंद का परिवर्तन है। संदर्भ और समन्वय प्रणाली की रूपरेखा संदर्भ की रूपरेखा शब्द का उपयोग अक्सर बहुत व्यापक अर्थों में किया जाता है, लेकिन वर्तमान चर्चा के लिए इसका अर्थ एक पर्यवेक्षक की गति की स्थिति को संदर्भित करने के लिए प्रतिबंधित है, अर्थात, संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे या संदर्भ के एक गैर-जड़त्वीय ढांचे के लिए। समन्वय प्रणाली शब्द का उपयोग गति का वर्णन करने के लिए चरों के एक समूह के लिए विभिन्न संभावित विकल्पों के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है, किसी भी पर्यवेक्षक के लिए उपलब्ध विकल्प, उनकी गति की स्थिति की परवाह किए बिना। उदाहरण हैं कार्टेशियन निर्देशांक, ध्रुवीय निर्देशांक और (अधिक सामान्य रूप से) वक्ररेखीय निर्देशांक। यहाँ "गति की स्थिति" और "समन्वय प्रणाली" से संबंधित दो उद्धरण दिए गए हैंः समय परिवर्तनशील समन्वय प्रणालियाँ एक सामान्य समन्वय प्रणाली में, निर्देशांक के लिए आधार वैक्टर निश्चित स्थितियों पर समय के अनुसार भिन्न हो सकते हैं, या वे निश्चित समय पर स्थिति के अनुसार भिन्न हो सकते हैं, या दोनों। यह ध्यान दिया जा सकता है कि जड़त्वीय फ्रेम और गैर-जड़त्वीय फ्रेम दोनों से जुड़ी समन्वय प्रणालियों में आधार वैक्टर हो सकते हैं जो समय, स्थान या दोनों में भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक में प्रक्षेपवक्र का विवरण जैसा कि एक जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है या जैसा कि एक घूर्णन फ्रेम से देखा जाता है। अवलोकनों का एक समय-निर्भर विवरण संदर्भ के उस ढांचे को नहीं बदलता है जिसमें अवलोकन किए जाते हैं और दर्ज किए जाते हैं। एक स्थानीय निर्देशांक प्रणाली में काल्पनिक बल एक वृत्ताकार कक्षा में चलने वाले कण की चर्चा में, संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में, कोई भी केंद्रगामी और स्पर्शरेखा बलों की पहचान कर सकता है। कुछ काल्पनिक बल, जिन्हें आमतौर पर केंद्रापसारक और यूलर बल कहा जाता है, शब्दावली में इस बदलाव को रेखांकित करते हैं, और यह जड़त्वीय ढांचे से संदर्भ के अवलोकन ढांचे का परिवर्तन है, जहां केंद्रापसारक और स्पर्शरेखा बल समझ में आते हैं, संदर्भ के एक घूर्णन ढांचे में जहां कण गतिहीन और काल्पनिक केंद्रापसारक दिखाई देता है और यूलर बलों को खेल में लाना पड़ता है। एक प्रश्न जो आम तौर पर पाठ्यपुस्तक में पूछा जाता है, वह है "यदि किसी को सामान्य समतलीय गति (केवल एक गोलाकार कक्षा नहीं) में एक कण पर बैठना है, तो काल्पनिक केंद्रापसारक और यूलर बलों को पेश करने के लिए टोपी के एक स्विच के आधार पर कौन सा विश्लेषण है?" उस प्रश्न का पता लगाने के लिए, संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में शुरू करें। आमतौर पर समतलीय गति में उपयोग की जाने वाली एक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके, तथाकथित स्थानीय निर्देशांक प्रणाली, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य केंद्रीय आंतरिक बल (चित्र 1 में एक के विपरीत दिशा में), और प्रक्षेपवक्र के समानांतर स्पर्शरेखा बल (दिशा यू. टी. में) के लिए सूत्रों की पहचान करना आसान हो जाता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। चित्र 1 में दिखाए गए स्थानीय निर्देशांक प्रणाली के इकाई वैक्टरों को पेश करने के लिए, एक दृष्टिकोण कार्टेशियन निर्देशांक में एक जड़त्वीय ढांचे में शुरू करना है और इन कार्टेशियन निर्देशांकों के संदर्भ में स्थानीय निर्देशांकों का वर्णन करना है। चित्र 1 में, चाप की लंबाई s वह दूरी है जो कण ने समय t में अपने पथ के साथ तय की है। कार्टेशियन निर्देशांक में घटकों x (t), y (t) के साथ पथ r (t) को चाप की लंबाई s (t) का उपयोग करके वर्णित किया गया हैः s के उपयोग को देखने का एक तरीका कण के पथ को अंतरिक्ष में बैठे हुए के रूप में सोचना है, जैसे कि एक स्काईराइटर द्वारा छोड़ी गई पगडंडी, समय से स्वतंत्र है। इस पथ पर किसी भी स्थिति का वर्णन पथ पर किसी प्रारंभिक बिंदु से इसकी दूरी s बताकर किया जाता है। फिर पथ ds के साथ एक वृद्धिशील विस्थापन का वर्णन इस प्रकार किया जाता हैः जहां s के संबंध में व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए अभाज्य संख्याओं को पेश किया जाता है। इस विस्थापन का परिमाण ds है, जो दर्शाता है किः यह विस्थापन आवश्यक रूप से s पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा है, जो दर्शाता है कि वक्र के लिए इकाई सदिश स्पर्शरेखा हैः जबकि वक्र के लिए सामान्य बाहरी इकाई सदिश ऑर्थोगोनलिटी को सदिश बिंदु उत्पाद शून्य दिखाकर सत्यापित किया जा सकता है। इन वैक्टरों का इकाई परिमाण इसका एक परिणाम है। एक तरफ, ध्यान दें कि यूनिट वैक्टर के उपयोग जो कार्टेशियन xy-अक्ष के साथ संरेखित नहीं हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि कोई अब जड़त्वीय फ्रेम में नहीं है। इसका मतलब यह है कि उक्त व्यक्ति इकाई वैक्टर का उपयोग कर रहा है जो पथ का वर्णन करने के लिए s के साथ भिन्न होता है, लेकिन फिर भी जड़त्वीय फ्रेम से गति का निरीक्षण करता है। स्पर्शरेखा सदिश का उपयोग करते हुए, वक्र के लिए स्पर्शरेखा का कोण, मान लीजिए कि θ, इस प्रकार दिया गया हैः और वक्रता की त्रिज्या को पूरी तरह से औपचारिक रूप से (ज्यामितीय व्याख्या की आवश्यकता के बिना) इस प्रकार पेश किया गया हैः θ का व्युत्पन्न sin θ के लिए पाया जा सकता हैः अबः जिसमें भाजक Eq के अनुसार एकता है। 1. साइन के व्युत्पन्न के लिए इस सूत्र के साथ, वक्रता की त्रिज्या बन जाती हैः जहां रूपों की समतुल्यता Eq के विभेदन से उत्पन्न होती है। 1: s के लिए संबंधित मूल्य के संदर्भ में पथ पर किसी भी स्थिति का विवरण स्थापित करने के बाद, और इस विवरण के संदर्भ में पथ के गुणों को खोजने के बाद, कण की गति को किसी भी समय t पर कण स्थिति को संबंधित मूल्य s (t) के रूप में बताकर पेश किया जाता है। एस के संदर्भ में पथ गुणों के लिए उपरोक्त परिणामों का उपयोग करते हुए, कण के पथ के लिए सामान्य और स्पर्शरेखा घटकों के संदर्भ में वर्णित जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में त्वरण फलन एस (टी) के संदर्भ में पाया जा सकता है और इसके विभिन्न समय व्युत्पन्न (पहले की तरह, अभाज्य एस के संबंध में अंतर इंगित करते हैं) के साथः जैसा कि इकाई वैक्टर के साथ डॉट उत्पाद को लेकर सत्यापित किया जा सकता है और। त्वरण के लिए यह परिणाम त्रिज्या ρ पर आधारित गोलाकार गति के लिए समान है। जड़त्वीय फ्रेम में इस निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य बल को केंद्रगामी बल के रूप में और प्रक्षेपवक्र के समानांतर स्पर्शरेखा बल के रूप में पहचानना आसान है। बिनि उनाव, नायनायनि फ्रेमखौ सोलायनांगोन। कण पर बैठकर, किसी को एक गैर-जड़त्वीय ढांचे को अपनाना चाहिए जहां कण आराम में हो (शून्य वेग)। इस फ्रेम का लगातार बदलता मूल है, जो समय t पर समय t पर पथ के वक्रता का केंद्र (चित्र 1 में दोलन वृत्त का केंद्र) है, और जिसकी घूर्णन दर समय t पर उस मूल के बारे में कण की गति की कोणीय दर है। यह गैर-जड़त्वीय फ्रेम प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य और इसके समानांतर इकाई वैक्टर को भी नियोजित करता है। इस फ्रेम का कोणीय वेग समय t पर वक्रता के केंद्र के बारे में कण का कोणीय वेग है। जड़त्वीय फ्रेम के केंद्रक बल की व्याख्या गैर-जड़त्वीय फ्रेम में की जाती है जहां शरीर केंद्रापसारक बल को दूर करने के लिए आवश्यक बल के रूप में आराम करता है। इसी तरह, जड़त्वीय फ्रेम में देखे गए मार्ग के साथ गति के किसी भी त्वरण का कारण बनने वाला बल गैर-जड़त्वीय फ्रेम में यूलर बल को दूर करने के लिए आवश्यक बल बन जाता है जहां कण आराम में होता है। फ्रेम में शून्य कोरिओलिस बल होता है क्योंकि इस फ्रेम में कण का वेग शून्य होता है। उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज में एक पायलट के लिए, ये काल्पनिक शक्तियाँ प्रत्यक्ष अनुभव की बात हैं। हालाँकि, ये काल्पनिक बल कण के अलावा संदर्भ के एक सरल अवलोकन ढांचे से संबंधित नहीं हो सकते हैं, जब तक कि यह एक वृत्त की तरह विशेष रूप से सरल पथ में न हो। उस ने कहा, एक गुणात्मक दृष्टिकोण से, एक हवाई जहाज के मार्ग को एक सीमित समय के लिए एक वृत्त के चाप द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और सीमित समय के लिए वक्रता की एक विशेष त्रिज्या लागू होती है, केंद्रापसारक और यूलर बलों का विश्लेषण किया जा सकता है उस त्रिज्या के साथ गोलाकार गति के आधार पर (एक हवाई जहाज को घुमाने पर चर्चा करने वाला लेख देखें)। इसके बाद, एक निश्चित अक्ष के बारे में घूमने वाले संदर्भ फ्रेम पर अधिक विस्तार से चर्चा की जाती है। ध्रुवीय निर्देशांक में काल्पनिक बल कण गति का विवरण अक्सर गैर-कार्टेशियन निर्देशांक प्रणालियों में सरल होता है, उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक। जब गति के समीकरणों को किसी भी वक्ररेखीय निर्देशांक प्रणाली के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, तो अतिरिक्त शब्द दिखाई देते हैं जो दर्शाते हैं कि निर्देशांक बदलने के साथ आधार वैक्टर कैसे बदलते हैं। ये शब्द ध्रुवीय (या बेलनाकार) निर्देशांक में परिवर्तन पर स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं और इस प्रकार काल्पनिक बल नहीं हैं, बल्कि केवल ध्रुवीय निर्देशांक में त्वरण में जोड़े गए शब्द हैं। विशुद्ध रूप से गणितीय उपचार में, समन्वय प्रणाली के फ्रेम (जड़त्वीय या गैर-जड़त्वीय) से जुड़े होने की परवाह किए बिना, वक्ररेखीय निर्देशांक का उपयोग करते समय एक देखे गए कण के त्वरण में अतिरिक्त शब्द दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांकों में त्वरण इस प्रकार दिया जाता है (विवरण के लिए नीचे देखें): जिसमें निर्देशांकों के न केवल दोहरे समय व्युत्पन्न होते हैं बल्कि अतिरिक्त शब्द भी होते हैं। यह उदाहरण ध्रुवीय निर्देशांकों को नियोजित करता है, लेकिन आम तौर पर जोड़े गए शब्द इस बात पर निर्भर करते हैं कि कौन सी समन्वय प्रणाली चुनी जाती है (यानी, ध्रुवीय, अण्डाकार, या कोई अन्य प्रणाली)। कभी-कभी इन समन्वय-प्रणाली आश्रित शब्दों को "काल्पनिक बलों" के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, जो "काल्पनिक बलों" के लिए एक दूसरा अर्थ पेश करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि इन शब्दों में वेक्टर परिवर्तन गुण नहीं हैं जो बलों से अपेक्षित हैं। उदाहरण के लिए, शंकर और हिल्डेब्रांड देखें। इस शब्दावली के अनुसार, काल्पनिक बलों को कुछ हद तक समन्वय प्रणाली द्वारा ही निर्धारित किया जाता है, चाहे वह किसी भी फ्रेम से जुड़ा हो, यानी, इस बात की परवाह किए बिना कि समन्वय प्रणाली एक जड़त्वीय या संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम से जुड़ी है। इसके विपरीत, पर्यवेक्षक की गति की स्थिति के संदर्भ में परिभाषित काल्पनिक बल संदर्भ के जड़त्वीय ढांचे में गायब हो जाते हैं। इन दो शब्दावली को अलग करने के लिए, काल्पनिक बल जो संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में गायब हो जाते हैं, न्यूटनियन यांत्रिकी के जड़त्वीय बलों को इस लेख में "गति की स्थिति" काल्पनिक बल कहा जाता है और जो विशेष समन्वय प्रणालियों में समय व्युत्पन्न की व्याख्या में उत्पन्न होते हैं उन्हें "समन्वय" काल्पनिक बल कहा जाता है। यह मानते हुए कि यह स्पष्ट है कि "गति की स्थिति" और "समन्वय प्रणाली" अलग हैं, यह इस प्रकार है कि "गति की स्थिति" पर केंद्रापसारक बल (जैसा कि इस लेख में है) की निर्भरता और "समन्वय प्रणाली" से इसकी स्वतंत्रता, जो बिल्कुल विपरीत निर्भरताओं के साथ "समन्वय" संस्करण के विपरीत है, इंगित करता है कि दो अलग-अलग विचारों को "काल्पनिक बल" शब्दावली द्वारा संदर्भित किया जाता है। वर्तमान लेख इन दो विचारों में से एक ("गति की स्थिति") पर जोर देता है, हालांकि दूसरे का भी वर्णन किया गया है। नीचे, ध्रुवीय निर्देशांक (पहले) संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में और फिर (दूसरा) संदर्भ के एक घूर्णन ढांचे में उपयोग के लिए पेश किए जाते हैं। "काल्पनिक बल" शब्द के दो अलग-अलग उपयोगों की ओर इशारा किया गया है। हालाँकि, सबसे पहले, यह समझाने के लिए एक संक्षिप्त विषयांतर का अनुसरण किया जाता है कि काल्पनिक बल के लिए "समन्वय" शब्दावली कैसे उत्पन्न हुई है। लग्रांजियन दृष्टिकोण "गणितीय सुविधा" के संदर्भ से अधिक "समन्वय" जड़त्वीय बलों की शुरूआत को प्रेरित करने के लिए, इन बलों को कुछ लेखकों द्वारा "सामान्यीकृत" काल्पनिक बलों या "सामान्यीकृत जड़ता बलों" के अनुरूप दिखाने के लिए एक विषयांतर है। इन बलों को सामान्यीकृत निर्देशांकों द्वारा एक प्रणाली का वर्णन करने के आधार पर यांत्रिकी के लिए लैग्रैन्जियन यांत्रिकी दृष्टिकोण के माध्यम से पेश किया जाता है जिसे आमतौर पर {qk} के रूप में दर्शाया जाता है। इन निर्देशांकों की एकमात्र आवश्यकता यह है कि वे प्रणाली की स्थिति को विशिष्ट रूप से चिह्नित करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त हैंः उन्हें प्रणाली में कणों के निर्देशांक होने की आवश्यकता नहीं है (हालांकि वे हो सकते हैं)। इसके बजाय, वे उदाहरण के लिए, एक रोबोट भुजा में लिंक के कोण और विस्तार हो सकते हैं। यदि एक यांत्रिक प्रणाली में एन कण होते हैं और m स्वतंत्र गतिज स्थितियां लागू होती हैं, तो प्रणाली को n = 3N-m स्वतंत्र सामान्यीकृत निर्देशांक {qk} द्वारा विशिष्ट रूप से चिह्नित करना संभव है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, लैग्रैन्जियन को प्रणाली की गतिज ऊर्जा, माइनस इसकी स्थितिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रतीकों में, लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में दी गई शर्तों के तहत, यदि किसी प्रणाली का लैग्रैन्जियन ज्ञात है, तो प्रणाली की गति के समीकरणों को लैग्रैन्जियन के लिए अभिव्यक्ति के सीधे प्रतिस्थापन द्वारा यूलर-लैग्रैन्ज समीकरण में प्राप्त किया जा सकता है, जो आंशिक विभेदक समीकरणों का एक विशेष परिवार है। यहाँ कुछ परिभाषाएँ दी गई हैंः परिभाषाः क्या लैग्रेंज फलन या लैग्रैन्जियन है, qi सामान्यीकृत निर्देशांक हैं, सामान्यीकृत वेग हैं, सामान्यीकृत संवेग हैं, सामान्यीकृत बल हैं, लैग्रेंज के समीकरण हैं। लैग्रैन्जियन यांत्रिकी कैसे काम करती है, इसकी रूपरेखा तैयार करना यहाँ उद्देश्य नहीं है। इच्छुक पाठक इस दृष्टिकोण की व्याख्या करने वाले अन्य लेखों को देख सकते हैं। अभी के लिए, लक्ष्य केवल यह दिखाना है कि लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण "सामान्यीकृत काल्पनिक ताकतों" को जन्म दे सकता है जो जड़त्वीय फ्रेम में गायब नहीं होते हैं। यहाँ जो प्रासंगिक है वह यह है कि एक कण के मामले में, लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण को ठीक उसी "समन्वय" काल्पनिक बलों को पकड़ने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है जो अभी पेश किए गए हैं। आगे बढ़ने के लिए, एक एकल कण पर विचार करें, और सामान्यीकृत निर्देशांक को {qk} = (r, θ) के रूप में प्रस्तुत करें। फिर हिल्डेब्रांड ध्रुवीय निर्देशांकों में qk = (r, θ) के साथ "सामान्यीकृत संवेग" दिखाता हैः उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत बल की ओर अग्रसरः प्रभावित रेडियल बल के साथ। "सामान्यीकृत बलों" और न्यूटोनियन बलों के बीच संबंध निर्देशांकों के चयन के साथ भिन्न होता है। यह लैग्रैन्जियन सूत्रीकरण ऊपर उल्लिखित काल्पनिक बलों के ठीक "समन्वय" रूप का परिचय देता है जो जड़त्वीय संरचना में "काल्पनिक" (सामान्यीकृत) बलों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, हिल्डेब्रांड के सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि वह "संदर्भ के जड़त्वीय संरचना" की भूमिका पर चर्चा नहीं करता है, और वास्तव में, कहता है कि "[जड़त्व बलों की] उपस्थिति या अनुपस्थिति हाथ में विशेष समस्या पर नहीं बल्कि चुनी गई समन्वय प्रणाली पर निर्भर करती है।" समन्वय प्रणाली द्वारा संभवतः {qk} का चयन किया जाता है। बाद में वे कहते हैं, "यदि सामान्यीकृत निर्देशांकों से जुड़े त्वरण प्रमुख हित के होते हैं (जैसा कि आमतौर पर होता है), तो [गैर-त्वरक] शब्दों को आसानी से दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है. और अतिरिक्त (सामान्यीकृत) जड़ता बलों के रूप में माना जा सकता है। इस तरह के जड़ता बलों को अक्सर कोरिओलिस प्रकार का कहा जाता है। संक्षेप में, निर्देशांकों और उनके व्युत्पन्न पर कुछ लेखकों का जोर और (सामान्यीकृत) काल्पनिक बलों का उनका परिचय जो संदर्भ के जड़त्वीय ढांचे में गायब नहीं होते हैं, लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में सामान्यीकृत निर्देशांकों के उपयोग का एक परिणाम है। उदाहरण के लिए, मैकक्वेरी हिल्डेब्रांड और वॉन श्वेरिन देखें। नीचे इस उपयोग का एक उदाहरण दिया गया है जैसा कि रोबोटिक मैनिपुलेटर के डिजाइन में नियोजित किया गया हैः एक रोबोट मैनिपुलेटर के लिए, समीकरणों को क्रिस्टोफेल प्रतीकों का उपयोग करके एक रूप में लिखा जा सकता है (नीचे आगे चर्चा की गई है) जहां M "मैनिपुलेटर जड़ता मैट्रिक्स" है और V गुरुत्वाकर्षण के कारण संभावित ऊर्जा है (उदाहरण के लिए), और संयुक्त i पर सामान्यीकृत बल हैं। इसलिए क्रिस्टोफेल प्रतीकों से जुड़े शब्द "सामान्यीकृत केंद्रत्यागी" और "सामान्यीकृत कोरिओलिस" शब्दों को निर्धारित करते हैं। सामान्यीकृत काल्पनिक शक्तियों का परिचय अक्सर बिना अधिसूचना के और "सामान्यीकृत" शब्द को निर्दिष्ट किए बिना किया जाता है। शब्दावली के इस उपयोग से भ्रम पैदा हो सकता है क्योंकि सामान्यीकृत काल्पनिक बल, मानक "गति की स्थिति" काल्पनिक बलों के विपरीत, संदर्भ के जड़त्वीय ढांचे में गायब नहीं होते हैं। संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में ध्रुवीय निर्देशांक नीचे, एक कण का त्वरण प्राप्त किया जाता है जैसा कि ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके एक जड़त्वीय फ्रेम में देखा जाता है। परिभाषा के अनुसार, एक जड़त्वीय ढांचे में कोई "गति की स्थिति" काल्पनिक बल नहीं होते हैं। उस प्रस्तुति के बाद, "समन्वय" काल्पनिक बलों की विपरीत शब्दावली को प्रस्तुत किया जाता है और इन "बलों" के गैर-वाहक परिवर्तन व्यवहार के आधार पर आलोचना की जाती है। एक जड़त्वीय फ्रेम में, एक गतिशील कण का स्थिति सदिश होने दें। इसके कार्टेशियन घटक (x, y) हैंः समय t के आधार पर ध्रुवीय निर्देशांक r और θ के साथ। इकाई वैक्टर को त्रिज्यीय रूप से बाहरी दिशा में परिभाषित किया जाता हैः और समकोण पर दिशा मेंः ये इकाई वैक्टर समय के साथ दिशा में भिन्न होते हैंः औरः इन व्युत्पन्नों का उपयोग करते हुए, स्थिति के पहले और दूसरे व्युत्पन्न हैंः और जहां बिंदु-ओवरमार्किंग समय विभेदन को इंगित करते हैं। त्वरण के लिए इस रूप के साथ, संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त न्यूटन का दूसरा नियम हैः जहाँ F कण पर शुद्ध वास्तविक बल है। कोई काल्पनिक बल प्रकट नहीं होते हैं क्योंकि सभी काल्पनिक बल एक जड़त्वीय ढांचे में परिभाषा के अनुसार शून्य होते हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, हालांकि, कभी-कभी इस समीकरण के दाईं ओर केवल दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को रखना आसान होता है; अर्थात हम उपरोक्त समीकरण को शब्दों की पुनर्व्यवस्था द्वारा इस प्रकार लिखते हैंः जहां "त्वरण" का एक "निर्देशांक" संस्करण पेश किया जाता हैः जिसमें निर्देशांक r और θ के केवल दूसरे क्रम के समय व्युत्पन्न होते हैं। समीकरण के बल-पक्ष में स्थानांतरित शब्दों को अब अतिरिक्त "काल्पनिक बलों" के रूप में माना जाता है और भ्रमित करने के लिए, परिणामी बलों को "केंद्रापसारक" और "कोरिओलिस" बल भी कहा जाता है। ये नए परिभाषित "बल" एक जड़त्वीय फ्रेम में गैर-शून्य होते हैं, और इसलिए निश्चित रूप से पहले पहचाने गए काल्पनिक बलों के समान नहीं होते हैं जो एक जड़त्वीय फ्रेम में शून्य होते हैं और केवल गैर-जड़त्वीय फ्रेम में गैर-शून्य होते हैं। इस लेख में, इन नए परिभाषित बलों को "गति की स्थिति" बलों से अलग करने के लिए "समन्वय" केंद्रापसारक बल और "समन्वय" कोरिओलिस बल कहा जाता है। यहाँ एक चित्रण है जो दर्शाता है कि "केंद्रत्यागी शब्द" एक वास्तविक बल के रूप में परिवर्तित नहीं होता है। मान लीजिए कि फ्रेम S में एक कण स्थिर वेग से मूल से रेडियल रूप से दूर जाता है। चित्र 2 देखें। न्यूटन के पहले नियम के अनुसार कण पर बल शून्य है। अब हम फ्रेम S 'से एक ही चीज़ को देखते हैं, जो समान है, लेकिन मूल में विस्थापित है। S 'में कण अभी भी स्थिर गति से सीधी रेखा की गति में है, इसलिए फिर से बल शून्य है। यदि कोई दो फ्रेमों में ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करता है तो क्या होगा? फ्रेम एस में रेडियल गति स्थिर होती है और कोई कोणीय गति नहीं होती है। इसलिए, त्वरण हैः और प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य है क्योंकि और। फ्रेम एस में कोई बल नहीं है, जिसमें फ्रेम एस में कोई बल नहीं है। फ्रेम एस में, हालांकि, हमारे पास हैः इस मामले में अजीमुथल शब्द शून्य है, जो कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है। रेडियल दिशा में शून्य त्वरण प्राप्त करने के लिए, हालांकि, हमें आवश्यकता हैः दाहिने हाथ की ओर गैर-शून्य है, क्योंकि न तो शून्य है और न ही शून्य है। अर्थात्, हम शून्य बल (शून्य) प्राप्त नहीं कर सकते हैं यदि हम केवल त्वरण के रूप में बनाए रखते हैं; हमें दोनों शब्दों की आवश्यकता है। उपरोक्त तथ्यों के बावजूद, मान लीजिए कि किसी को ध्रुवीय निर्देशांक को अपनाना था, और यह कहना चाहते हैं कि यह "केंद्रापसारक बल" है, और "त्वरण" के रूप में पुनः व्याख्या करें (किसी भी संभावित औचित्य पर ध्यान दिए बिना)। यह निर्णय कैसे लिया जाता है जब कोई यह मानता है कि भौतिकी का एक उचित सूत्रीकरण ज्यामिति और समन्वय-स्वतंत्र है? सामान्य सहप्रसरण पर लेख देखें। एक सहपरिवर्तन अभिव्यक्ति बनाने का प्रयास करने के लिए, इस तथाकथित केंद्रापसारक "बल" को वेक्टर संकेतन में इस प्रकार रखा जा सकता हैः के साथः और गति के तल के लिए एक इकाई वेक्टर सामान्य। दुर्भाग्य से, हालांकि यह अभिव्यक्ति औपचारिक रूप से एक वेक्टर की तरह दिखती है, जब एक पर्यवेक्षक परिवर्तनों के मूल्य को मूल रूप से बदलता है (चित्र 2 देखें), इसलिए विभिन्न सड़क कोनों पर खड़े संदर्भ के एक ही ढांचे में पर्यवेक्षक अलग-अलग "बलों" को देखते हैं, भले ही वे वास्तविक घटनाओं को देख रहे हों। कैसे एक भौतिक बल (चाहे वह काल्पनिक हो या वास्तविक) एक फ्रेम S में शून्य हो सकता है, लेकिन दूसरे फ्रेम S में गैर-शून्य समान, लेकिन कुछ फीट दूर हो सकता है? यहाँ तक कि एक ही कण व्यवहार के लिए भी अभिव्यक्ति संदर्भ के प्रत्येक फ्रेम में अलग-अलग होती है, यहां तक कि फ्रेम के बीच बहुत मामूली अंतर के लिए भी। संक्षेप में, यदि हम "केंद्रत्यागी बल" के रूप में लेते हैं, तो इसका कोई सार्वभौमिक महत्व नहीं हैः यह भौतिक नहीं है। इस समस्या के अलावा, वास्तविक प्रभावित शुद्ध बल शून्य है। (स्थिर गति पर सीधी रेखा की गति में कोई वास्तविक प्रभावित बल नहीं होता है)। यदि कोई ध्रुवीय निर्देशांकों को अपनाता है, और यह कहना चाहता है कि यह "केंद्रापसारक बल" है, और "त्वरण" के रूप में पुनः व्याख्या करता है, तो विषमता का परिणाम फ्रेम एस में होता है कि स्थिर गति पर सीधी रेखा गति के लिए ध्रुवीय निर्देशांकों में एक शुद्ध बल की आवश्यकता होती है, लेकिन कार्टेशियन निर्देशांक में नहीं। इसके अलावा, यह उलझन फ्रेम S में लागू होती है, लेकिन फ्रेम S में नहीं। का व्यवहार इंगित करता है कि किसी को यह कहना चाहिए कि यह केंद्रापसारक बल नहीं है, बल्कि त्वरण में दो शब्दों में से एक है। यह दृष्टिकोण, कि त्वरण दो शब्दों से बना है, फ्रेम-स्वतंत्र हैः किसी भी और प्रत्येक जड़त्वीय फ्रेम में शून्य अपकेंद्र बल होता है। यह समन्वय-प्रणाली स्वतंत्र भी है, जिसका अर्थ है कि कोई कार्टेशियन, ध्रुवीय या किसी अन्य वक्ररेखीय प्रणाली का उपयोग कर सकता है क्योंकि वे सभी शून्य का उत्पादन करते हैं। उपरोक्त भौतिक तर्कों के अलावा, निश्चित रूप से, विभेदन के गणितीय नियमों के अनुप्रयोग के आधार पर उपरोक्त व्युत्पत्ति से पता चलता है कि रेडियल त्वरण में वास्तव में दो शब्द शामिल हैं। उस ने कहा, अगले उपखंड से पता चलता है कि इन केंद्रापसारक और कोरिओलिस शब्दों और काल्पनिक बलों के बीच एक संबंध है जो संदर्भ के एक विशेष घूर्णन ढांचे (एक जड़त्वीय ढांचे से अलग) से संबंधित है। सह-घूर्णन फ्रेम एक कण की समतलीय गति के मामले में, एक जड़त्वीय फ्रेम में गैर-शून्य पाए जाने वाले "निर्देशांक" केंद्रापसारक और कोरिओलिस त्वरण शब्दों को "गति की स्थिति" केंद्रापसारक और कोरिओलिस शब्दों के नकारात्मक के रूप में दिखाया जा सकता है जो एक बहुत ही विशेष गैर-जड़त्वीय सह-घूर्णन फ्रेम में दिखाई देते हैं (अगला उपखंड देखें)। चित्र 3 देखें। एक सह-घूर्णन फ्रेम को परिभाषित करने के लिए, पहले एक मूल का चयन किया जाता है जिससे कण की दूरी r (t) को परिभाषित किया जाता है। घूर्णन का एक अक्ष स्थापित किया जाता है जो कण की गति के तल के लंबवत होता है, और इस मूल से गुजरता है। फिर, चयनित क्षण t पर, सह-घूर्णन फ्रेम ω के घूर्णन की दर को इस अक्ष के बारे में कण के घूर्णन की दर, dθ/dt से मेल खाने के लिए बनाया जाता है। सह-घूर्णन फ्रेम केवल एक पल के लिए लागू होता है, और कण के चलने के साथ लगातार फिर से चुना जाना चाहिए। अधिक जानकारी के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक, केंद्रापसारक और कोरिओलिस शब्द देखें। संदर्भ के एक घूर्णन ढांचे में ध्रुवीय निर्देशांक अगला, एक ही दृष्टिकोण का उपयोग एक (गैर-जड़त्वीय) घूर्णन ढांचे के काल्पनिक बलों को खोजने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक घूर्णन ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली को अवलोकन के घूर्णन ढांचे में उपयोग के लिए अपनाया जाता है, दोनों एक ही स्थिर घड़ी की घड़ी की विपरीत दिशा में घूर्णन करते हैं, तो इस ढांचे में गति के समीकरण निम्नानुसार पाए जा सकते हैंः घूर्णन ढांचे में रेडियल निर्देशांक को r के रूप में लिया जाता है, लेकिन घूर्णन ढांचे में कोण θ 'समय के साथ बदल जाता हैः नतीजतन, पिछले खंड के इकाई वैक्टरों का उपयोग करके इस परिणाम को त्वरण में प्लग करनाः प्रमुख दो शब्द वही रूप हैं जो जड़त्वीय ढांचे में हैं, और वे एकमात्र शब्द हैं यदि फ्रेम घूर्णन नहीं कर रहा है, यानी यदि ω = 0 है। हालांकि, इस घूर्णन फ्रेम में हमारे पास अतिरिक्त शब्द हैंः रेडियल शब्द ω2 r प्रणाली के घूर्णन दर ω पर होने के कारण प्रति इकाई द्रव्यमान में केंद्रापसारक बल है और रेडियल शब्द प्रति इकाई द्रव्यमान में कोरिओलिस बल का रेडियल घटक है, जहां घूर्णन फ्रेम में देखे गए कण वेग का स्पर्शरेखा घटक है। यह शब्द कोरिओलिस बल प्रति इकाई द्रव्यमान का तथाकथित अजीमुथल घटक है। वास्तव में, इन अतिरिक्त शब्दों का उपयोग ω को मापने के लिए किया जा सकता है और यह देखने के लिए एक परीक्षण प्रदान किया जा सकता है कि फ्रेम घूम रहा है या नहीं, जैसा कि समान क्षेत्रों को घुमाने के उदाहरण में समझाया गया है। यदि कण की गति को पर्यवेक्षक द्वारा न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके इन ω-निर्भर शब्दों के बिना वर्णित किया जा सकता है, तो पर्यवेक्षक संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में होता है जहाँ ω = 0 होता है। कण के त्वरण में ये "अतिरिक्त शब्द" इस घूर्णन फ्रेम के लिए "गति की स्थिति" काल्पनिक बल हैं, जो कोणीय दर ω पर फ्रेम के घूर्णन द्वारा पेश किए गए बल हैं। इस घूर्णन फ्रेम में, "समन्वय" काल्पनिक बल क्या हैं? पहले की तरह, मान लीजिए कि हम न्यूटन के नियम के दाईं ओर केवल दूसरे क्रम के समय व्युत्पन्न को रखने का विकल्प चुनते हैंः यदि किसी को "त्वरण" के रूप में मानने के लिए, सुविधा के लिए, चुनना था, तो इन शब्दों को तथाकथित "काल्पनिक बल" में जोड़ा जाता है, जो "गति की स्थिति" काल्पनिक बल नहीं हैं, बल्कि वास्तव में बल के घटक हैं जो ω = 0 होने पर भी बने रहते हैं, यानी काल्पनिक स्रोत संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में भी बने रहते हैं। चूंकि इन अतिरिक्त शब्दों को जोड़ा गया है, इसलिए "समन्वय" काल्पनिक बल "गति की स्थिति" काल्पनिक बल के समान नहीं है। इन अतिरिक्त शब्दों के कारण, "समन्वय" काल्पनिक बल संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में भी शून्य नहीं है। हालांकि, एक घूर्णन फ्रेम का मामला जिसमें कण के समान कोणीय दर होती है, ताकि किसी विशेष क्षण में ω = dθ/dt (यानी, ध्रुवीय निर्देशांक चित्र 3 के तात्कालिक, गैर-जड़त्वीय सह-घूर्णन फ्रेम में स्थापित किए जाते हैं)। इस मामले में, इस समय, dθ '/dt = 0। इस सह-घूर्णन गैर-जड़त्वीय फ्रेम में इस समय "समन्वय" काल्पनिक बल केवल वे हैं जो फ्रेम की गति के कारण होते हैं, यानी वे "गति की स्थिति" काल्पनिक बलों के समान हैं, जैसा कि पिछले खंड में चित्र 3 के सह-घूर्णन फ्रेम के बारे में टिप्पणियों में चर्चा की गई थी। वक्ररेखीय निर्देशांकों में काल्पनिक बल बुल्लो और लुईस को उद्धृत करने के लिएः "केवल असाधारण परिस्थितियों में ही वेक्टर स्पेस में एक वेक्टर द्वारा लैग्रैन्जियन प्रणाली के विन्यास का वर्णन किया जा सकता है। प्राकृतिक गणितीय सेटिंग में, सिस्टम के विन्यास स्थान को शिथिल रूप से एक घुमावदार स्थान के रूप में, या अधिक सटीक रूप से एक विभेदक मैनिफोल्ड के रूप में वर्णित किया गया है। कार्टेशियन निर्देशांकों के बजाय, जब गति के समीकरणों को एक वक्ररेखीय निर्देशांक प्रणाली में व्यक्त किया जाता है, तो क्रिस्टोफेल प्रतीक इस निर्देशांक प्रणाली में व्यक्त किए गए कण के त्वरण में दिखाई देते हैं, जैसा कि नीचे अधिक विस्तार से वर्णित है। वक्ररेखीय निर्देशांकों में संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे के दृष्टिकोण से एक कण गति के विवरण पर विचार करें। मान लीजिए कि कार्टेशियन निर्देशांक में एक बिंदु P की स्थिति (x, y, z) है और वक्ररेखीय निर्देशांक में (q1, q2) है। क्यू3)। फिर ऐसे कार्य मौजूद हैं जो इन विवरणों से संबंधित हैंः और इसी तरह आगे। (आयामों की संख्या तीन से बड़ी हो सकती है।) इस तरह की समन्वय प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण पहलू चाप की लंबाई का तत्व है जो दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है। यदि वक्ररेखीय निर्देशांक एक ऑर्थोगोनल निर्देशांक प्रणाली बनाते हैं, तो चाप की लंबाई ds के तत्व को इस प्रकार व्यक्त किया जाता हैः जहाँ मात्रा hk को स्केल कारक कहा जाता है। qk में एक परिवर्तन dqk, qk के लिए निर्देशांक रेखा के साथ एक विस्थापन hk dqk का कारण बनता है। एक बिंदु पी पर, हम इकाई वैक्टर एक प्रत्येक स्पर्शरेखा को एक चर qk की निर्देशांक रेखा पर रखते हैं। फिर किसी भी सदिश को इन आधार सदिशों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे से, स्थिति P पर समय t पर स्थित एक गतिशील कण r का स्थिति सदिश बन जाता हैः जहाँ qk, r और ek का सदिश बिंदु उत्पाद है। P पर एक कण का वेग v, P पर इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता हैः जहाँ vk, v और ek का सदिश बिंदु उत्पाद है, और बिंदु पर समय विभेदन को दर्शाता है। आधार वैक्टर के समय व्युत्पन्न को ऊपर पेश किए गए पैमाने के कारकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिएः या, सामान्य रूप से जिसमें इकाई वैक्टर के गुणांक समन्वय प्रणाली के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं। क्रिस्टोफेल प्रतीकों के लिए सामान्य संकेतन और सूत्र हैंः और प्रतीक शून्य होता है जब सभी सूचकांक अलग होते हैं। इसके विपरीत दिखने के बावजूद, क्रिस्टोफेल प्रतीक एक टेंसर के घटकों का निर्माण नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, वे कार्टेशियन निर्देशांक में शून्य हैं, लेकिन ध्रुवीय निर्देशांक में नहीं हैं। इस तरह के संबंधों का उपयोग करना, जो हर समय व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, वेग के लिएः ब्रैकेट संकेतन की जगह क्रिस्टोफेल प्रतीकों के लिए γ-संकेतन के साथ। समान दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, त्वरण तब होता है त्वरण के संबंध को देखते हुए, पहले योग में वेग के समय व्युत्पन्न होते हैं, जो त्वरण से जुड़े होते यदि ये कार्टेशियन निर्देशांक होते, और दूसरे योग (क्रिस्टोफेल प्रतीकों के साथ) में समय के साथ इकाई वैक्टर के बदलने के तरीके से संबंधित शब्द होते हैं। "गति की स्थिति" बनाम "समन्वय" काल्पनिक शक्तियाँ इससे पहले इस लेख में दो शब्दावली के बीच एक अंतर पेश किया गया था, संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में गायब होने वाली काल्पनिक शक्तियों को इस लेख में "गति की स्थिति" काल्पनिक शक्तियाँ कहा गया है और जो एक विशेष समन्वय प्रणाली में भेदभाव से उत्पन्न होती हैं उन्हें "समन्वय" काल्पनिक शक्तियाँ कहा जाता है। उपरोक्त त्वरण के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, संदर्भ के जड़त्वीय ढांचे में न्यूटन की गति का नियम बन जाता हैः जहाँ F कण पर शुद्ध वास्तविक बल है। कोई "गति की स्थिति" काल्पनिक बल मौजूद नहीं हैं क्योंकि फ्रेम जड़त्वीय है, और परिभाषा के अनुसार, एक जड़त्वीय फ्रेम में "गति की स्थिति" काल्पनिक बल शून्य हैं। ऊपर दिए गए न्यूटन के नियम के लिए "समन्वय" दृष्टिकोण निर्देशांक के दूसरे क्रम के समय व्युत्पन्न को इस समीकरण के दाईं ओर एकमात्र शब्दों के रूप में बनाए रखना है, जो भौतिकी की तुलना में गणितीय सुविधा से अधिक प्रेरित है। उस अंत तक, बल नियम को फिर से लिखा जा सकता है, समीकरण के बल-पक्ष में दूसरे योग को इस प्रकार लिया जा सकता हैः इस परंपरा के साथ कि "त्वरण" अब हैः उपरोक्त अभिव्यक्ति में, समीकरण के बल-पक्ष में जोड़ा गया योग अब माना जाता है जैसे कि जोड़ा गया "बल" मौजूद थे। इन योग शब्दों को पारंपरिक रूप से इस "समन्वय" दृष्टिकोण के भीतर काल्पनिक बल कहा जाता है, हालांकि संदर्भ के इस जड़त्वीय ढांचे में सभी "गति की स्थिति" काल्पनिक बल समान रूप से शून्य हैं। इसके अलावा, ये "बल" समन्वय परिवर्तनों के तहत वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं। इस प्रकार, "काल्पनिक शक्तियों" के रूप में योग की शर्तों का पदनाम इस शब्दावली का उपयोग उन योगदानों के लिए करता है जो किसी भी वास्तविक बल से पूरी तरह से अलग हैं, और "गति की स्थिति" काल्पनिक शक्तियों से। इस भ्रम में जो बात जोड़ती है वह यह है कि इन "समन्वित" काल्पनिक शक्तियों को दो समूहों में विभाजित किया गया है और उन्हें "गति की स्थिति" काल्पनिक शक्तियों के समान नाम दिए गए हैं, यानी, उन्हें "केंद्रापसारक" और "कोरिओलिस" शब्दों में विभाजित किया गया है, उनके शब्दों के समावेश के बावजूद जो "गति की स्थिति" केंद्रापसारक और कोरिओलिस शब्द नहीं हैं। उदाहरण के लिए, ये "समन्वय" केंद्रत्यागी और कोरिओलिस शब्द संदर्भ के एक जड़त्वीय ढांचे में भी गैर-शून्य हो सकते हैं जहां "गति की स्थिति" केंद्रत्यागी बल (इस लेख का विषय) और कोरिओलिस बल हमेशा शून्य होते हैं। यदि फ्रेम जड़त्वीय नहीं है, उदाहरण के लिए, संदर्भ के एक घूर्णन फ्रेम में, "गति की स्थिति" काल्पनिक बलों को उपरोक्त "समन्वय" काल्पनिक बल अभिव्यक्ति में शामिल किया जाता है। इसके अलावा, यदि वेग के प्रथम क्रम समय व्युत्पन्न के संदर्भ में व्यक्त "त्वरण" का परिणाम उन शब्दों में होता है जो समय में निर्देशांक {qk} के केवल द्वितीय क्रम व्युत्पन्न नहीं हैं, तो ये शब्द जो द्वितीय क्रम नहीं हैं, उन्हें भी समीकरण के बल-पक्ष में लाया जाता है और काल्पनिक बलों के साथ शामिल किया जाता है। लैग्रैन्जियन सूत्रीकरण के दृष्टिकोण से, उन्हें सामान्यीकृत काल्पनिक बल कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए हिल्डेब्रांड को देखें। क्रिस्टोफेल प्रतीकों के संदर्भ में गतिशीलता के निर्माण और काल्पनिक बलों के "समन्वय" संस्करण का उपयोग अक्सर गति के समीकरणों के लैग्रैन्जियन निर्माण के संबंध में रोबोट के डिजाइन में किया जाता है। नोट्स और संदर्भ प्रिंसिपिया सेंट्रीफ्यूगल रिएक्शन फोर्स-कोलंबिया इलेक्ट्रॉनिक विश्वकोश एम. अलोंसो और ई. जे. में न्यूटन के विवरण को आगे पढ़ रहे हैं। फिन, फंडामेंटल यूनिवर्सिटी फिजिक्स, एडिसन-वेस्ली सेंट्रिपेटल फोर्स बनाम सेंट्रीफ्यूगल फोर्स-ओस्वेगो सिटी स्कूल डिस्ट्रिक्ट सेंट्रीफ्यूगल फोर्स द्वारा एक ऑनलाइन रीजेंट्स परीक्षा भौतिकी ट्यूटोरियल से हाइपरफिजिक्स अवधारणा साइट पर एक ब्लैक होल सेंट्रीफ्यूगल बल के पास अंदर की ओर कार्य करता है दिलचस्प लिंक की एक सूची बाहरी लिंक ब्रायन फिडलर (ओक्लाहोमा विश्वविद्यालय में स्कूल ऑफ मेटियोरोलॉजी से) द्वारा एक सपाट सतह जावा फिज़लेट पर गति काल्पनिक बलों को दर्शाती है। फिज़लेट घूर्णन और गैर-घूर्णन दोनों दृष्टिकोण से देखा जाता है। ब्रायन फिडलर (ओक्लाहोमा विश्वविद्यालय में स्कूल ऑफ मेटियोरोलॉजी से) द्वारा एक परवलयिक सतह जावा फिज़लेट पर गति काल्पनिक शक्तियों का चित्रण करती है। फिज़लेट घूर्णन से देखे गए दृष्टिकोण और गैर-घूर्णन दृष्टिकोण से देखे गए दृष्टिकोण दोनों को दर्शाता है। एक जड़त्वीय फ्रेम और संदर्भ के एक घूर्णन फ्रेम दोनों से देखे गए दृश्यों को दिखाने वाली एनिमेशन क्लिप, कोरिओलिस और अपकेंद्र बलों की कल्पना करती है। मैथपेजेस में H2g2 पर अपकेंद्र बल जॉन बैज़ः क्या अपकेंद्र बल चंद्रमा को ऊपर रखता है? यह भी देखें कि सापेक्ष केंद्रत्यागी बल कोरिओलिस बल कोरिओलिस प्रभाव की गणना (धारणा) समतुल्यता सिद्धांत संदर्भ की संरचना संदर्भ की जड़त्वीय संरचना संदर्भ की घूर्णन गति यूलर बल-एक बल जो तब प्रकट होता है जब फ्रेम कोणीय घूर्णन दर भिन्न होती है केंद्रीय बल प्रतिक्रियाशील केंद्रत्यागी बल-एक बल जो एक केंद्रीय बल केंद्रत्यागी बल के कारण प्रतिक्रिया के रूप में होता है काल्पनिक बल-एक बल जिसे संदर्भ जी-बल ऑर्थोगोनल निर्देशांक ऑस्कुलेटिंग सर्कल फ्रेनेट-सेरेट के ढांचे को बदलकर गायब किया जा सकता है।