Hp-FEM
एच. पी.-एफ. ई. एम. चर आकार (एच) और बहुपद डिग्री (पी) के तत्वों को नियोजित करते हुए पीसवाइज-बहुपद सन्निकटन के आधार पर संख्यात्मक रूप से आंशिक विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए परिमित तत्व विधि (एफ. ई. एम.) का एक सामान्यीकरण है। एच. पी.-एफ. ई. एम. बर्ना ए. स्ज़ाबो और इवो बाबूस्का द्वारा की गई खोज से उत्पन्न होता है कि जब जाल को एच-परिष्करण (तत्वों को छोटे में विभाजित करने) और पी-परिष्करण (उनकी बहुपद डिग्री को बढ़ाने) के उपयुक्त संयोजन का उपयोग करके परिष्कृत किया जाता है तो परिमित तत्व विधि तेजी से अभिसरण करती है। एच. पी.-एफ. ई. एम. के घातीय अभिसरण को कई स्वतंत्र शोधकर्ताओं द्वारा देखा गया है। कई समस्याओं पर, एच. पी.-एफ. ई. एम. एक बीजगणितीय दर पर अभिसरण करने वाली परिमित तत्व विधियों की तुलना में तेज हो सकता है। मानक एफ. ई. एम. से अंतर एच. पी.-एफ. ई. एम. कई पहलुओं में मानक (निम्नतम क्रम) एफ. ई. एम. से अलग है। उच्च-क्रम आकार कार्यों का विकल्पः तत्वों में उच्च-डिग्री बहुपदों को आकार कार्यों के विभिन्न सेटों का उपयोग करके उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह के सेट का चयन कठोरता मैट्रिक्स की कंडीशनिंग को नाटकीय रूप से प्रभावित कर सकता है, और बदले में पूरी समाधान प्रक्रिया को प्रभावित कर सकता है। इस समस्या का दस्तावेजीकरण सबसे पहले बाबुस्का और अन्य लोगों ने किया था। स्वचालित एच. पी.-अनुकूलताः एच. पी.-एफ. ई. एम. में, एक तत्व को कई अलग-अलग तरीकों से एच. पी.-परिष्कृत किया जा सकता है, जैसे किः अंतरिक्ष में उपविभाजित किए बिना इसकी बहुपद डिग्री को बढ़ाना, या तत्व को ज्यामितीय रूप से उपविभाजित करना, जहां उप-तत्वों पर विभिन्न बहुपद डिग्री लागू की जा सकती हैं। तत्व परिष्करण उम्मीदवारों की संख्या आसानी से दो आयामों में 100 और तीन आयामों में 1000 तक पहुंच जाती है। किसी तत्व में त्रुटि के आकार का संकेत देने वाली एक संख्या स्वचालित एचपी-अनुकूलनशीलता (मानक एफईएम में अनुकूलनशीलता के विपरीत) का मार्गदर्शन करने के लिए पर्याप्त नहीं है। प्रत्येक तत्व में त्रुटि के आकार के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करने के लिए संदर्भ समाधान या विश्लेषणात्मक विचार जैसी अन्य तकनीकों का उपयोग किया जाना चाहिए। संयोजन और समाधान सीपीयू समय का अनुपातः मानक एफईएम में, कठोरता मैट्रिक्स को आमतौर पर जल्दी से इकट्ठा किया जाता है लेकिन यह काफी बड़ा होता है। आमतौर पर, असतत समस्या का समाधान समग्र कंप्यूटिंग समय का सबसे बड़ा हिस्सा लेता है। इसके विपरीत, एच. पी.-एफ. ई. एम. में कठोरता मैट्रिक्स आम तौर पर बहुत छोटे होते हैं, लेकिन (एक ही मैट्रिक्स आकार के लिए) उनके संयोजन में मानक एफ. ई. एम. की तुलना में अधिक समय लगता है। यह मुख्य रूप से संख्यात्मक चतुर्भुज की कम्प्यूटेशनल लागत के कारण है, जिसमें उच्च परिशुद्धता होनी चाहिए, और इसलिए तेज अभिसरण दरों का लाभ उठाने के लिए मानक एफ. ई. एम. की तुलना में उच्च क्रम का होना चाहिए। विश्लेषणात्मक चुनौतीः एच. पी.-एफ. ई. एम. को आम तौर पर मानक एफ. ई. एम. की तुलना में विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से समझना अधिक कठिन माना जाता है। यह कई तकनीकों से संबंधित है, जैसे कि अण्डाकार समस्याओं के लिए असतत अधिकतम सिद्धांत (डीएमपी)। इन परिणामों में कहा गया है कि, आमतौर पर जाल पर कुछ सीमित धारणाओं के साथ, पीसवाइस-बहुपद एफ. ई. एम. सन्निकटन अंतर्निहित अण्डाकार पी. डी. ई. के रूप में अनुरूप अधिकतम सिद्धांतों का पालन करता है। इस तरह के परिणाम बहुत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे गारंटी देते हैं कि सन्निकटन भौतिक रूप से स्वीकार्य रहता है, जिससे नकारात्मक घनत्व, नकारात्मक एकाग्रता या नकारात्मक निरपेक्ष तापमान की गणना करने की कोई संभावना नहीं रहती है। डी. एम. पी. को निम्नतम क्रम के एफ. ई. एम. के लिए काफी अच्छी तरह से समझा जाता है लेकिन दो या अधिक आयामों में एच. पी.-एफ. ई. एम. के लिए पूरी तरह से अज्ञात है। एक स्थानिक आयाम में पहला डीएमपी हाल ही में तैयार किया गया था। प्रोग्रामिंग की चुनौतीः मानक एफ. ई. एम. कोड की तुलना में एच. पी.-एफ. ई. एम. समाधानक को लागू करना बहुत कठिन है। जिन कई मुद्दों को दूर करने की आवश्यकता है उनमें शामिल हैं (लेकिन ये सीमित नहीं हैं): उच्च-क्रम चतुर्भुज सूत्र, उच्च-क्रम आकार कार्य, संपर्क और भौतिक क्षेत्र में आधार कार्यों के साथ संदर्भ क्षेत्र पर आकार कार्यों से संबंधित अभिविन्यास जानकारी, आदि। फिचेरा समस्या (जिसे फिचेरा कॉर्नर समस्या भी कहा जाता है) अनुकूली एफ. ई. एम. कोड के लिए एक मानक बेंचमार्क समस्या है। इसका उपयोग मानक एफ. ई. एम. और एच. पी.-एफ. ई. एम. के प्रदर्शन में नाटकीय अंतर दिखाने के लिए किया जा सकता है। समस्या ज्यामिति गायब कोनों के साथ एक घन है सटीक समाधान के केंद्र में एक एकल ढाल (अनंत तनाव का एक सादृश्य) होता है। सटीक समाधान के ज्ञान से सन्निकटन त्रुटि की सटीक गणना करना संभव हो जाता है और इस प्रकार विभिन्न संख्यात्मक विधियों की तुलना की जा सकती है। चित्रण के लिए, समस्या को अनुकूली एफ. ई. एम. के तीन अलग-अलग संस्करणों का उपयोग करके हल किया गया थाः रैखिक तत्व, द्विघात तत्व और एच. पी.-एफ. ई. एम। अभिसरण ग्राफ स्वतंत्रता की डिग्री (डी. ओ. एफ.) की संख्या के एक कार्य के रूप में सन्निकटन त्रुटि को दर्शाते हैं। डी. ओ. एफ. अज्ञात मापदंडों को संदर्भित करता है जो सन्निकटन को परिभाषित करने के लिए आवश्यक हैं, और डी. ओ. एफ. की संख्या कठोरता मैट्रिक्स के आकार के बराबर है। पाठक ग्राफ में देख सकते हैं कि एच. पी.-एफ. ई. एम. का अभिसरण दोनों अन्य विधियों के अभिसरण की तुलना में बहुत तेज है। प्रदर्शन अंतर इतना बड़ा है कि रैखिक एफ. ई. एम. बिल्कुल भी (उचित समय में) अभिसरण नहीं कर सकता है और द्विघात एफ. ई. एम. को उस सटीकता तक पहुंचने के लिए सैकड़ों हजारों या शायद लाखों डी. ओ. एफ. की आवश्यकता होगी जो एच. पी.-एफ. ई. एम. ने लगभग 17,000 डी. ओ. एफ. के साथ प्राप्त की थी। अपेक्षाकृत कम स्वतंत्रता का उपयोग करके बहुत सटीक परिणाम प्राप्त करना एचपी-एफईएम की मुख्य ताकत है। एच. पी.-एफ. ई. एम. चिकने कार्यों की दक्षता को छोटे पीसवाइज-लीनियर की तुलना में बड़े उच्च-क्रम वाले तत्वों का उपयोग करके बहुत अधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है। इसे नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां शून्य डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ एक आयामी पॉइसन समीकरण को दो अलग-अलग जाली पर हल किया जाता है। सटीक समाधान साइन फलन है। बाएँः दो रैखिक तत्वों से युक्त जाली। दाएँः जाल जिसमें एक द्विघात तत्व होता है। जबकि दोनों मामलों में अज्ञात की संख्या समान है (1 डीओएफ), संबंधित मानक में त्रुटियां क्रमशः 0.68 और 0.20 हैं। इसका मतलब है कि द्विघात सन्निकटन टुकड़ों में रैखिक की तुलना में लगभग 3.5 गुना अधिक कुशल था। जब हम एक कदम आगे बढ़ते हैं और (ए) चार रैखिक तत्वों की तुलना (बी) एक चतुर्थक तत्व (पी = 4) से करते हैं, तो दोनों असतत समस्याओं में तीन डीओएफ होंगे, लेकिन चतुर्थक सन्निकटन लगभग 40 गुना अधिक कुशल होगा। इसके विपरीत, छोटे निम्न-क्रम के तत्व छोटे पैमाने की विशेषताओं को पकड़ सकते हैं जैसे कि एकलता बड़े उच्च-क्रम की तुलना में बहुत बेहतर है। एच. पी.-एफ. ई. एम. इन दोनों दृष्टिकोणों के इष्टतम संयोजन पर आधारित है जो घातीय अभिसरण की ओर ले जाता है। ध्यान दें कि यह घातीय अभिसरण त्रुटि की धुरी बनाम स्वतंत्रता की डिग्री में व्यक्त किया जाता है। वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए, हम आमतौर पर सटीकता के समान स्तर तक पहुंचने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल समय पर विचार करते हैं। इस प्रदर्शन संकेतक के लिए एच-और एचपी-परिष्करण समान परिणाम प्रदान कर सकते हैं, जैसे। (वेब आर्काइव लिंक) पर अंतिम आंकड़ा देखें। जैसे ही एच. पी.-एफ. ई. एम. की तुलना में एच. पी.-एफ. ई. एम. को प्रोग्राम और समानांतर करना कठिन हो जाता है, एच. पी.-परिष्करण की अभिसरण उत्कृष्टता अव्यावहारिक हो सकती है। एच. पी.-अनुकूलनशीलता कुछ एफ. ई. एम. साइटें एच. पी.-अनुकूलनशीलता को एच.-अनुकूलनशीलता (अपनी बहुपद डिग्री को स्थिर रखते हुए अंतरिक्ष में तत्वों को विभाजित करना) और पी.-अनुकूलनशीलता (केवल अपनी बहुपद डिग्री को बढ़ाना) के संयोजन के रूप में वर्णित करती हैं। यह पूरी तरह से सटीक नहीं है, क्योंकि एचपी-अनुकूलनशीलता एच-और पी-अनुकूलनशीलता दोनों से काफी अलग है क्योंकि किसी तत्व का एचपी-परिष्करण कई अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। पी-परिष्करण के अलावा, तत्व को अंतरिक्ष में उपविभाजित किया जा सकता है (जैसा कि एच-अनुकूलन में), लेकिन उप-तत्वों पर बहुपद डिग्री के लिए कई संयोजन हैं। यह दाहिनी ओर के चित्र में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिकोणीय या चतुर्भुज तत्व को चार उप-तत्वों में विभाजित किया जाता है, जहां बहुपद की डिग्री को अधिकतम दो से भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, तो इससे 3/4 = 81 परिष्करण उम्मीदवार प्राप्त होते हैं (बहुपदात्मक रूप से अनिसोट्रोपिक उम्मीदवारों पर विचार नहीं करते हुए)। समान रूप से, एक हेक्साहेड्रॉन को आठ उप-तत्वों में विभाजित करना और उनकी बहुपद डिग्री को अधिक से अधिक दो से बदलकर 3 ^ 8 = 6,561 परिष्करण उम्मीदवार प्राप्त करते हैं। मानक एफ. ई. एम. त्रुटि अनुमान प्रति तत्व एक स्थिर संख्या प्रदान करना स्वचालित एच. पी.-अनुकूलनशीलता का मार्गदर्शन करने के लिए पर्याप्त नहीं है। उच्च-क्रम आकार कार्य मानक एफ. ई. एम. में केवल ग्रिड शीर्षों (तथाकथित शीर्ष कार्य) से जुड़े आकार कार्यों के साथ काम करता है। इसके विपरीत, एच. पी.-एफ. ई. एम. का उपयोग करते समय, किनारे के कार्यों (तत्व किनारों से जुड़े), चेहरे के कार्यों (तत्व चेहरों के अनुरूप-केवल 3डी), और बुलबुला कार्यों (उच्च-क्रम बहुपदों जो तत्व सीमाओं पर गायब हो जाते हैं) के संबंध में भी बात की जाती है। निम्नलिखित छवियाँ इन कार्यों को दर्शाती हैं (एक तत्व तक सीमित): नोटः ये सभी कार्य पूरे तत्व आंतरिक में परिभाषित किए गए हैं। मुक्त स्रोत एच. पी.-एफ. ई. एम. कोड Deal.II: Deal.II परिमित तत्व विधि का उपयोग करके आंशिक विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए एक मुक्त, मुक्त स्रोत पुस्तकालय है। अवधारणाएँः एस. ए. एम., ई. टी. एच. ज्यूरिख (स्विट्जरलैंड) में और टी. यू. बर्लिन (जर्मनी) में के. श्मिट के समूह में विकसित दीर्घवृत्ताकार समीकरणों के लिए सी/सी + + एच. पी.-एफ. ई. एम./डी. जी. एफ. ई. एम./बी. ई. एम. पुस्तकालय। 2dhp90,3dhp90: दीर्घवृत्तीय समस्याओं के लिए फोरट्रान कोड और मैक्सवेल के समीकरणों को ICES, UT ऑस्टिन में L. डेमकोविज़ द्वारा विकसित किया गया। पी. एच. ए. एम. एल.: समानांतर पदानुक्रमित अनुकूली बहु-स्तरीय परियोजना। अनुकूलनशील जाली परिष्करण और बहु-ग्रिड समाधान तकनीकों का उपयोग करते हुए वितरित स्मृति समानांतर कंप्यूटरों और बहु-कोर कंप्यूटरों पर 2डी अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए राष्ट्रीय मानक और प्रौद्योगिकी संस्थान, यू. एस. ए. में विकसित परिमित तत्व सॉफ्टवेयर। हर्मेस परियोजनाः नेवादा विश्वविद्यालय, रेनो (यू. एस. ए.), इंस्टीट्यूट ऑफ थर्मो-मैकेनिक्स, प्राग (चेक गणराज्य) और पिल्सन (चेक गणराज्य) में वेस्ट बोहेमिया विश्वविद्यालय में एच. पी.-एफ. ई. एम. समूह द्वारा विकसित विभिन्न प्रकार के पी. डी. ई. और मल्टीफिजिक्स पी. डी. ई. प्रणालियों के लिए अंतरिक्ष-और अंतरिक्ष-समय अनुकूली एच. पी.-एफ. ई. एम. समाधानकों के तेजी से प्रोटोटाइप के लिए सी./सी. + +/पायथन पुस्तकालय-हर्मेस पुस्तकालय के शीर्ष पर निर्मित एग्रोस2डी इंजीनियरिंग सॉफ्टवेयर के साथ। पी. एच. जी.: पी. एच. जी. समानांतर अनुकूली परिमित तत्व कार्यक्रमों को विकसित करने के लिए एक टूलबॉक्स है। यह एच-, पी-और एचपी-फेम के लिए उपयुक्त है। पी. एच. जी. वर्तमान में चीनी विज्ञान अकादमी (एल. एस. ई. सी., सी. ए. एस., चीन) की स्टेट की लेबोरेटरी ऑफ साइंटिफिक एंड इंजीनियरिंग कम्प्यूटिंग, इंस्टीट्यूट ऑफ कम्प्यूटेशनल मैथमेटिक्स एंड साइंटिफिक/इंजीनियरिंग कम्प्यूटिंग में सक्रिय विकास के अधीन है। पी. एच. जी. चतुष्फलकीय जाली के अनुरूप कार्य करता है और अनुकूली स्थानीय जाली परिष्करण के लिए द्विभाजन और संदेश पारित करने के लिए एम. पी. आई. का उपयोग करता है। पी. एच. जी. में एक ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड डिज़ाइन है जो समानांतर विवरणों को छुपाता है और अमूर्त तरीके से जाली और परिमित तत्व कार्यों पर सामान्य संचालन प्रदान करता है, जिससे उपयोगकर्ता अपने संख्यात्मक एल्गोरिदम पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं। एम. ओ. एफ. ई. एम. एक सीमित तत्व विश्लेषण कोड है जो बहु-भौतिक समस्याओं के समाधान के लिए मनमाने स्तर के सन्निकटन और जाली परिष्करण के विभिन्न स्तरों के साथ तैयार किया गया है और उच्च-प्रदर्शन कंप्यूटिंग के लिए अनुकूलित है। इसे एल2, एच1, एच-डिव और एच-कर्ल रिक्त स्थान के लिए अनुमानों के विषम क्रम से संबंधित जटिलताओं को प्रबंधित करने में सक्षम होने के लिए डिज़ाइन किया गया है। स्पार्सेलजार्ड एक बहु-भौतिक, एचपी-अनुकूली, उपयोगकर्ता के अनुकूल, ओपन-सोर्स सी + + परिमित तत्व पुस्तकालय है जिसे वर्तमान में टैम्पेरे विश्वविद्यालय, फिनलैंड में विकसित किया गया है। यह सामान्य स्थिर और क्षणिक एच. पी.-एफ. ई. एम. के लिए मनमाने क्रम के पदानुक्रमित एच1 और एच-कर्ल फ़ंक्शन रिक्त स्थान के साथ 3डी टेट्राहेड्रल और 2डी त्रिभुज/चतुर्भुज अनुरूप अनुकूली जाल परिष्करण को जोड़ती है। वाणिज्यिक एच. पी.-एफ. ई. एम. सॉफ्टवेयर स्ट्रेसचेक विस्तृत संरचनात्मक विश्लेषण की ओर उन्मुख क्षमताओं के साथ एक सीमित तत्व विश्लेषण उपकरण है। संदर्भ परिमित तत्व विधि