Decoherence-free subspaces
एक डिकोहरेंस-फ्री सबस्पेस (डी. एफ. एस.) एक क्वांटम प्रणाली के हिल्बर्ट स्पेस का एक सबस्पेस है जो गैर-एकात्मक गतिकी के लिए अपरिवर्तनीय है। वैकल्पिक रूप से कहा गया है कि वे हिल्बर्ट स्पेस प्रणाली का एक छोटा सा खंड हैं जहां प्रणाली पर्यावरण से अलग हो जाती है और इस प्रकार इसका विकास पूरी तरह से एकात्मक है। डी. एफ. एस. को क्वांटम त्रुटि सुधार कोड के एक विशेष वर्ग के रूप में भी चिह्नित किया जा सकता है। इस प्रतिनिधित्व में वे निष्क्रिय त्रुटि-निवारक कोड हैं क्योंकि इन उपस्थानों को जानकारी के साथ कूटबद्ध किया गया है (संभवतः) किसी भी सक्रिय स्थिरीकरण विधियों की आवश्यकता नहीं होगी। ये उप-स्थान क्वांटम जानकारी को अलग करके विनाशकारी पर्यावरणीय अंतःक्रियाओं को रोकते हैं। इस प्रकार, वे क्वांटम कंप्यूटिंग में एक महत्वपूर्ण विषय हैं, जहाँ क्वांटम प्रणालियों का (सुसंगत) नियंत्रण वांछित लक्ष्य है। डिकोहरेंस एक प्रणाली की क्वांटम अवस्थाओं के बीच सुसंगतता के नुकसान के कारण इस संबंध में समस्याएं पैदा करता है और इसलिए उनके हस्तक्षेप शब्दों का क्षय होता है, इस प्रकार (खुले) क्वांटम प्रणाली से आसपास के वातावरण में जानकारी का नुकसान होता है। चूँकि क्वांटम कंप्यूटर को उनके वातावरण से अलग नहीं किया जा सकता है (अर्थात। हमारे पास वास्तविक दुनिया में वास्तव में एक अलग क्वांटम प्रणाली नहीं हो सकती है) और जानकारी खो सकती है, डीएफएस का अध्ययन वास्तविक दुनिया में क्वांटम कंप्यूटर के कार्यान्वयन के लिए महत्वपूर्ण है। पृष्ठभूमि की उत्पत्ति डी. एफ. एस. का अध्ययन क्वांटम सूचना प्रसंस्करण (क्यू. आई. पी.) के विषय में विसंगति से बचने के लिए संरचित तरीकों की खोज के साथ शुरू हुआ। विधियों में उन विशेष राज्यों की पहचान करने के प्रयास शामिल हैं जिनमें कुछ डिकोहरिंग प्रक्रियाओं द्वारा अपरिवर्तित रहने की क्षमता है (यानी। पर्यावरण के साथ कुछ अंतःक्रियाएँ)। इन अध्ययनों की शुरुआत जी. एम. द्वारा की गई टिप्पणियों से हुई। पाल्मा, के-ए सुओमिनन और ए. के. एकर्ट, जिन्होंने पर्यावरण के साथ समान बातचीत करने वाले दो क्यूबिट्स पर शुद्ध विक्षेपण के परिणामों का अध्ययन किया। उन्होंने पाया कि ऐसे दो क्यूबिट विघटित नहीं होते हैं। मूल रूप से "उप-विघटन" शब्द का उपयोग पाल्मा द्वारा इस स्थिति का वर्णन करने के लिए किया गया था। मार्टिन प्लेनियो, व्लाटको वेड्राल और पीटर नाइट का स्वतंत्र काम भी उल्लेखनीय है, जिन्होंने सहज उत्सर्जन में एक विशेष एकात्मक समय विकास के तहत अपरिवर्तनीय कोडवर्ड्स के साथ एक त्रुटि सुधार कोड का निर्माण किया। इसके कुछ ही समय बाद, एल-एम दुआन और जी-सी गुओ ने भी इस घटना का अध्ययन किया और पाल्मा, सुओमिनन और एकर्ट के समान निष्कर्ष पर पहुंचे। हालाँकि, डुआन और गुओ ने अपनी शब्दावली लागू की, "सुसंगतता संरक्षित अवस्थाओं" का उपयोग उन अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए किया जो विक्षेपण के साथ विघटित नहीं होती हैं। डुआन और गुओ ने सामूहिक विक्षेपण और अपव्यय दोनों के लिए विक्षेपण के खिलाफ सुसंगतता बनाए रखने के लिए दो क्यूबिट्स के संयोजन के इस विचार को आगे बढ़ाया, जिससे पता चलता है कि ऐसी स्थिति में विच्छेदन को रोका जाता है। यह प्रणाली-पर्यावरण युग्मन शक्ति के ज्ञान को मानकर दिखाया गया था। हालाँकि, ऐसे मॉडल सीमित थे क्योंकि वे केवल विक्षेपण और अपव्यय की विघटन प्रक्रियाओं से निपटते थे। अन्य प्रकार के डिकोहरेंस से निपटने के लिए, पाल्मा, सुओमिनन और एकर्ट, और डुआन और गुओ द्वारा प्रस्तुत पिछले मॉडल को पी. ज़नार्डी और एम. रसेट्टी द्वारा अधिक सामान्य सेटिंग में डाला गया था। उन्होंने अधिक सामान्य प्रणाली-पर्यावरण अंतःक्रियाओं को शामिल करने के लिए मौजूदा गणितीय ढांचे का विस्तार किया, जैसे कि सामूहिक विघटन-एक क्वांटम प्रणाली और सामान्य हैमिल्टनियन की सभी स्थितियों पर कार्य करने वाली एक ही विघटन प्रक्रिया। उनके विश्लेषण ने विघटन-मुक्त (डी. एफ.) अवस्थाओं के अस्तित्व के लिए पहली औपचारिक और सामान्य परिस्थितियाँ दीं, जो प्रणाली-पर्यावरण युग्मन शक्ति को जानने पर निर्भर नहीं थीं। ज़नार्डी और रसेट्टी ने इन डी. एफ. अवस्थाओं को "कोड से बचने में त्रुटि" कहा। इसके बाद, डैनियल ए. लिडार ने उस स्थान के लिए "डिकोहरेंस-फ्री सबस्पेस" शीर्षक का प्रस्ताव रखा जिसमें ये डीएफ राज्य मौजूद हैं। लिडार ने गड़बड़ी के खिलाफ डी. एफ. राज्यों की ताकत का अध्ययन किया और पाया कि डी. एफ. राज्यों में प्रचलित सुसंगतता प्रणाली हैमिल्टनियन के विकास से परेशान हो सकती है। इस अवलोकन ने क्वांटम गणना के लिए डी. एफ. अवस्थाओं के संभावित उपयोग के लिए एक और पूर्व शर्त को समझा। डीएफ राज्यों के अस्तित्व के लिए एक पूरी तरह से सामान्य आवश्यकता लिडार, डी. बेकन और के. बी. द्वारा प्राप्त की गई थी। व्हेली ने क्रौस प्रचालक-राशि प्रतिनिधित्व (ओ. एस. आर.) के संदर्भ में व्यक्त किया। बाद में, ए. शबानी और लिडार ने डी. एफ. एस. ढांचे को सामान्यीकृत करते हुए इस आवश्यकता में ढील दी कि प्रारंभिक अवस्था को डी. एफ.-अवस्था होने की आवश्यकता है और डी. एफ. एस. के लिए कुछ ज्ञात शर्तों को संशोधित किया। हाल के शोध डी. एफ. एस. तस्वीर को सामान्य बनाने में एक बाद का विकास किया गया जब ई. निल, आर. लाफ्लामे और एल. वियोला ने "शोर रहित उपप्रणाली" की अवधारणा पेश की। नील ने प्रणाली-पर्यावरण अंतःक्रिया में गतिशील समरूपता उत्पन्न करने वाले बीजगणित के उच्च-आयामी अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन तक विस्तार किया। डी. एफ. एस. पर पहले के काम में डी. एफ. अवस्थाओं को एकल के रूप में वर्णित किया गया था, जो एक-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं। यह काम सफल साबित हुआ, क्योंकि इस विश्लेषण के परिणामस्वरूप सामूहिक विघटन के तहत डी. एफ. एस. बनाने के लिए आवश्यक क्यूबिट्स की संख्या को चार से घटाकर तीन कर दिया गया। उप-स्थानों से लेकर उप-प्रणालियों तक के सामान्यीकरण ने सबसे ज्ञात विघटन रोकथाम और शून्यीकरण रणनीतियों के संयोजन के लिए एक नींव बनाई। डिकोहरेंस-मुक्त उपस्थानों के अस्तित्व के लिए शर्तें हैमिल्टनियन सूत्रीकरण एक एन-आयामी क्वांटम प्रणाली एस पर विचार करें जो एक स्नान बी के साथ युग्मित है और संयुक्त प्रणाली-स्नान हैमिल्टनियन द्वारा निम्नानुसार वर्णित हैः जहां हैमिल्टनियन अंतःक्रिया सामान्य तरीके से दी जाती है और जहां केवल प्रणाली (स्नान) पर कार्य करता है, और प्रणाली (स्नान) हैमिल्टनियन है, और प्रणाली (स्नान) पर कार्य करने वाला पहचान प्रचालक है। इन स्थितियों के तहत, सिस्टम हिल्बर्ट स्पेस के भीतर गतिशील विकास पूरी तरह से एकात्मक (सभी संभावित स्नान अवस्थाएँ) है यदि और केवल अगरः दूसरे शब्दों में, यदि सिस्टम (यानी। प्रणाली और स्नान को शुरू में अलग कर दिया जाता है) और प्रणाली हैमिल्टनियन अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, फिर एक डी. एफ. एस. है यदि और केवल अगर यह संतुष्ट करता है (i)। ये अवस्थाएँ अपक्षयी आइगेनकेट हैं और इस प्रकार अलग-अलग हैं, इसलिए कुछ डिकोहरिंग प्रक्रियाओं में जानकारी को संरक्षित करते हैं। हिल्बर्ट स्पेस प्रणाली का कोई भी उपक्षेत्र जो उपरोक्त शर्तों को संतुष्ट करता है, एक अपघटक-मुक्त उपक्षेत्र है। हालाँकि, यदि शर्त (iii) संतुष्ट नहीं है तो जानकारी अभी भी इस उपक्षेत्र से "लीक" हो सकती है। इसलिए, भले ही एक डी. एफ. एस. हैमिल्टनियन स्थितियों के तहत मौजूद हो, फिर भी गैर-एकात्मक क्रियाएं हैं जो इन उपस्थानों पर कार्य कर सकती हैं और राज्यों को उनमें से किसी अन्य उपस्थान में ले जा सकती हैं, जो सिस्टम हिल्बर्ट स्पेस का डी. एफ. एस. हो भी सकता है और नहीं भी। प्रचालक-राशि प्रतिनिधित्व सूत्रीकरण एक एन-आयामी डी. एफ. एस. माना जाता है, जहां प्रणाली का (अकेले क्वांटम प्रणाली) हिल्बर्ट स्थान है। क्रौस प्रचालक जब आधार के संदर्भ में लिखे जाते हैं तो कहते हैं कि अवधि इस प्रकार दी जाती हैः जहाँ (संयुक्त प्रणाली-स्नान हैमिल्टनियन है), कार्य करता है, और एक मनमाना मैट्रिक्स है जो (ऑर्थोगोनल पूरक) पर कार्य करता है। चूँकि यह चालू रहता है, तब यह डिकोहरेंस नहीं बनाएगा; हालाँकि, यह (संभवतः) डिकोहरिंग प्रभाव पैदा कर सकता है। उन आधार किटों पर विचार करें जो फैले हुए हैं और इसके अलावा, वे पूरा करते हैंः एक मनमाना एकात्मक प्रचालक है और समय पर निर्भर हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन यह अनुक्रमण चर से स्वतंत्र है। एस जटिल स्थिरांक हैं। स्पैन के बाद से, किसी भी शुद्ध अवस्था को इन आधार कीटों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता हैः यह अवस्था अपघटक-मुक्त होगी; इसे इन क्रिया पर विचार करके देखा जा सकता हैः इसलिए, घनत्व प्रचालक प्रतिनिधित्व के संदर्भ में, इस अवस्था का विकास हैः उपरोक्त अभिव्यक्ति कहती है कि यह एक शुद्ध अवस्था है और इसका विकास एकात्मक है, क्योंकि यह एकात्मक है। इसलिए, कोई भी राज्य विघटित नहीं होगा क्योंकि इसका विकास एकात्मक प्रचालक द्वारा नियंत्रित होता है और इसलिए इसका गतिशील विकास पूरी तरह से एकात्मक होगा। इस प्रकार यह एक डिकोहरेंस-मुक्त उपक्षेत्र है। उपरोक्त तर्क को प्रारंभिक मनमाना मिश्रित अवस्था के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। सेमीग्रुप सूत्रीकरण यह सूत्रीकरण सेमीग्रुप दृष्टिकोण का उपयोग करता है। लिंडब्लाड डिकोहेरिंग शब्द यह निर्धारित करता है कि क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता कब एकात्मक होगी; विशेष रूप से, जब, प्रणाली की स्थिति का घनत्व प्रचालक प्रतिनिधित्व कहाँ है, तो गतिशीलता डिकोहेरेन्स-मुक्त होगी। मान लीजिए, सिस्टम का हिल्बर्ट स्पेस कहाँ है। इन धारणाओं के तहत किः डी. एफ. एस. होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त हैः उपरोक्त अभिव्यक्ति में कहा गया है कि सभी आधार अवस्थाएं त्रुटि उत्पन्न करने वाले के पतित आइगेनस्टेट हैं। इस प्रकार एक डिकोहरिंग प्रक्रिया के बाद भीतर की अवस्थाएं पारस्परिक रूप से अलग-अलग रहती हैं क्योंकि उनके संबंधित आइगेनवैल्यू पतित होते हैं और इसलिए त्रुटि जनरेटर के तहत कार्रवाई के बाद पहचाने जा सकते हैं। डी. एफ. एस. को सूचना-संरक्षण संरचनाओं (आई. पी. एस.) और क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड (क्यू. ई. सी. सी.) सूचना-संरक्षण संरचनाओं (आई. पी. एस.) के एक विशेष वर्ग के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए, एक डी-आयामी खुली क्वांटम प्रणाली पर विचार करें जो अवस्था में तैयार की जाती है-एक गैर-नकारात्मक (यानी। इसके आइगेनवैल्यूज पॉजिटिव हैं), ट्रेस-नॉर्मलाइज्ड (), डेंसिटी ऑपरेटर जो सिस्टम के हिल्बर्ट-श्मिट स्पेस से संबंधित है, () पर बाउंडेड ऑपरेटरों का स्पेस। मान लीजिए कि यह घनत्व प्रचालक (अवस्था) अवस्थाओं के एक समूह, (प्रणाली का हिल्बर्ट स्थान) और कहाँ के डी. एफ. एस. से चुना गया है। अवस्थाओं के इस समूह को एक कोड कहा जाता है, क्योंकि इस समूह के भीतर स्थितियां विशेष प्रकार की जानकारी को कूटबद्ध करती हैं; यानी, सेट एस अपनी अवस्थाओं के माध्यम से जानकारी को कूटबद्ध करता है। यह जानकारी जो इसके भीतर निहित है, उसे प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए; चूंकि जानकारी राज्यों में एन्कोड की गई है, इसलिए इन राज्यों को किसी प्रक्रिया के लिए अलग होना चाहिए, जैसे कि जानकारी प्राप्त करने का प्रयास। इसलिए, दो राज्यों के लिए, प्रक्रिया इन राज्यों के लिए सूचना संरक्षण है यदि राज्य प्रक्रिया के बाद उतने ही अलग रहते हैं जितना कि वे पहले थे। एक अधिक सामान्य तरीके से कहा गया है, एक कोड (या डी. एफ. एस.) को एक प्रक्रिया द्वारा संरक्षित किया जाता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक जोड़ी अवस्थाओं को लागू किया जाता है जैसा कि वे लागू होने से पहले थे। एक अधिक व्यावहारिक विवरण होगाः एक प्रक्रिया द्वारा संरक्षित किया जाता है यदि और केवल अगर और यह सिर्फ कहता है कि यह 1:1 निशान-दूरी-संरक्षण मानचित्र है। इस चित्र में डी. एफ. एस. अवस्थाओं (कोड के बजाय) के समूह हैं जिनकी पारस्परिक भेदशीलता एक प्रक्रिया से अप्रभावित है। क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड (क्यू. ई. सी. सी.) चूँकि डी. एफ. एस. अपनी अवस्थाओं के सेट के माध्यम से जानकारी को कूटबद्ध कर सकते हैं, तो वे त्रुटियों (डिकोहरिंग प्रक्रियाओं) के खिलाफ सुरक्षित हैं। इस तरह डी. एफ. एस. को क्यू. ई. सी. सी. के एक विशेष वर्ग के रूप में देखा जा सकता है, जहां जानकारी को राज्यों में कूटबद्ध किया जाता है जो पर्यावरण के साथ बातचीत से परेशान हो सकती है लेकिन कुछ उलट प्रक्रिया द्वारा पुनः प्राप्त की जा सकती है। एक कोड पर विचार करें, जो सिस्टम हिल्बर्ट स्पेस का एक उपक्षेत्र है, जिसमें एन्कोडेड जानकारी दी गई है (यानी। "कूटशब्द")। इस कोड को विघटन से बचाने के लिए लागू किया जा सकता है और इस प्रकार सिस्टम के हिल्बर्ट स्थान के एक छोटे से हिस्से में जानकारी के नुकसान को रोका जा सकता है। त्रुटियाँ पर्यावरण (स्नान) के साथ प्रणाली की अंतःक्रिया के कारण होती हैं और इन्हें क्रॉस ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है। सिस्टम के स्नान के साथ बातचीत करने के बाद, भीतर निहित जानकारी को "डिकोड" करने में सक्षम होना चाहिए; इसलिए, इस जानकारी को पुनः प्राप्त करने के लिए एक पुनर्प्राप्ति ऑपरेटर पेश किया जाता है। तो एक क्यू. ई. सी. सी. पुनर्प्राप्ति ऑपरेटरों के एक समूह के साथ एक उपक्षेत्र है, आइए पुनर्प्राप्ति ऑपरेटरों के साथ क्रॉस ऑपरेटरों द्वारा प्रतिनिधित्व किए गए त्रुटि ऑपरेटरों के लिए एक क्यू. ई. सी. सी. बनें फिर एक डी. एफ. एस. है यदि और केवल यदि प्रतिबंध पर, तो, सिस्टम विकास ऑपरेटर का व्युत्क्रम कहाँ है। क्वांटम संचालन के उलटने की इस तस्वीर में, डी. एफ. एस. अधिक सामान्य क्यू. ई. सी. सी. का एक विशेष उदाहरण है, जिसमें किसी दिए गए कोड पर प्रतिबंध के बाद, पुनर्प्राप्ति प्रचालक प्रणाली विकास प्रचालक के व्युत्क्रम के समानुपाती हो जाते हैं, जिससे प्रणाली के एकात्मक विकास की अनुमति मिलती है। ध्यान दें कि इन दो सूत्रीकरणों के बीच सूक्ष्म अंतर दो शब्दों संरक्षण और सुधार में मौजूद है; पहले मामले में, त्रुटि-रोकथाम का उपयोग किया जाता है जबकि बाद के मामले में यह त्रुटि-सुधार है। इस प्रकार दोनों सूत्रीकरण इस मायने में भिन्न हैं कि एक निष्क्रिय विधि है और दूसरी एक सक्रिय विधि है। डिकोहरेंस-फ्री सबस्पेस कलेक्टिव डेफेसिंग का उदाहरण एक दो-क्यूबिट हिल्बर्ट स्पेस पर विचार करें, जो आधार क्यूबिट्स द्वारा फैला हुआ है जो सामूहिक डेफेसिंग से गुजरता है। इन आधार क्यूबिट्स के बीच एक यादृच्छिक चरण बनाया जाएगा; इसलिए, क्यूबिट्स निम्नलिखित तरीके से बदल जाएंगेः इस परिवर्तन के तहत आधार अवस्थाएं समान चरण कारक प्राप्त करती हैं। इस प्रकार इस पर विचार करते हुए, किसी राज्य को इस जानकारी के साथ कूटबद्ध किया जा सकता है (अर्थात। चरण कारक) और इस प्रकार निम्नलिखित कूटबद्ध क्यूबिट्स को परिभाषित करके इस विक्षेपण प्रक्रिया के तहत एकात्मक रूप से विकसित होता हैः चूंकि ये आधार क्यूबिट्स हैं, इसलिए किसी भी अवस्था को इन अवस्थाओं के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; इसलिए, यह अवस्था विक्षेपण प्रक्रिया के तहत इस प्रकार विकसित होगीः हालाँकि, एक क्वांटम अवस्था के लिए समग्र चरण अवलोकन योग्य नहीं है और इस तरह, अवस्था के विवरण में अप्रासंगिक है। इसलिए, इस विक्षेपण प्रक्रिया के तहत अपरिवर्तनीय रहता है और इसलिए आधार सेट 4-आयामी हिल्बर्ट स्पेस का एक अपघटक-मुक्त उपक्षेत्र है। इसी तरह, उपस्थान भी डी. एफ. एस. हैं। वैकल्पिकः अपघटक-मुक्त उप-प्रणालियाँ एक एन-आयामी प्रणाली हिल्बर्ट स्पेस के साथ एक क्वांटम प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक सामान्य उप-प्रणाली अपघटन होता है उप-प्रणाली एक प्रणाली-पर्यावरण युग्मन के संबंध में एक अपघटक-मुक्त उप-प्रणाली है यदि प्रत्येक शुद्ध अवस्था ओएसआर विकास के तहत इस उप-प्रणाली के संबंध में अपरिवर्तित रहती है। यह पर्यावरण की किसी भी संभावित प्रारंभिक स्थिति के लिए सच है। एक डिकोहरेंस-मुक्त सबसपेस और एक डिकोहरेंस-मुक्त सबसिस्टम के बीच के अंतर को समझने के लिए, जानकारी के एक एकल क्यूबिट को दो-क्यूबिट सिस्टम में एन्कोडिंग करने पर विचार करें। इस दो-क्यूबिट प्रणाली में एक 4-आयामी हिल्बर्ट स्थान है; इस स्थान में एक एकल क्यूबिट को कूटबद्ध करने की एक विधि जानकारी को एक उप-स्थान में कूटबद्ध करना है जो 4-आयामी हिल्बर्ट स्थान के दो ऑर्थोगोनल क्यूबिट द्वारा फैला हुआ है। मान लीजिए कि जानकारी को ऑर्थोगोनल अवस्था में निम्नलिखित तरीके से कूटबद्ध किया गया हैः इससे पता चलता है कि जानकारी को दो-क्विट हिल्बर्ट स्थान के उपक्षेत्र में कूटबद्ध किया गया है। एक ही जानकारी को कूटबद्ध करने का एक और तरीका दो क्यूबिट के क्यूबिट में से केवल एक को कूटबद्ध करना है। मान लीजिए कि पहला क्यूबिट एन्कोडेड है, तो दूसरे क्यूबिट की स्थिति पूरी तरह से मनमाना है क्योंकिः यह मानचित्रण एक क्यूबिट एन्कोडिंग जानकारी से दो-क्यूबिट हिल्बर्ट स्थान तक एक-से-कई मानचित्रण है। इसके बजाय, यदि मानचित्रण करने के लिए है, तो यह एक क्यूबिट से दो-क्यूबिट हिल्बर्ट स्थान के एक उपक्षेत्र के लिए एक मानचित्रण के समान है। क्वांटम डिकोहरेंस क्वांटम माप संदर्भ क्वांटम माप क्वांटम सूचना विज्ञान भी देखें।