Gosper's algorithm
गणित में, बिल गोस्पर के कारण गोस्पर का एल्गोरिथ्म, हाइपरजियोमेट्रिक शब्दों के योग को खोजने की एक प्रक्रिया है जो स्वयं हाइपरजियोमेट्रिक शब्द हैं। अर्थात्ः मान लीजिए कि किसी के पास a (1) +. + a (n) = S (n) −S (0) है, जहाँ S (n) एक हाइपरजियोमेट्रिक शब्द है (अर्थात, S (n + 1)/S (n) n का एक परिमेय फलन है); तो आवश्यक रूप से a (n) स्वयं एक हाइपरजियोमेट्रिक शब्द है, और a (n) के लिए सूत्र दिए जाने पर गोस्पर का एल्गोरिथ्म S (n) के लिए यह पाता है। एल्गोरिथम की रूपरेखा चरण 1: एक बहुपद p का पता ऐसे लगाएं कि b (n) = a (n)/p (n) लिखते हुए, b (n)/b (n-1) के अनुपात में q (n)/r (n) का रूप हो जहां q और r बहुपद हैं और किसी भी q (n) में r (n + j) के साथ एक गैर-तुच्छ कारक नहीं है। (यह हमेशा संभव है, चाहे श्रृंखला बंद रूप में योग योग्य हो या नहीं।) चरण 2: एक बहुपद f ऐसे खोजें कि S (n) = q (n + 1)/p (n) f (n) a (n) हो। यदि श्रृंखला बंद रूप में योग करने योग्य है तो स्पष्ट रूप से इस गुण के साथ एक परिमेय फलन f मौजूद है; वास्तव में यह हमेशा एक बहुपद होना चाहिए, और इसकी डिग्री पर एक ऊपरी सीमा पाई जा सकती है। f का निर्धारण (या यह पता लगाना कि ऐसा कोई f नहीं है) तब रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की बात है। विल्फ-ज़ीलबर्गर जोड़े के साथ संबंध गोस्पर के एल्गोरिदम का उपयोग विल्फ-ज़ीलबर्गर जोड़े की खोज के लिए किया जा सकता है, जहां वे मौजूद हैं। मान लीजिए कि F (n + 1, k) − F (n, k) = G (n, k + 1) − G (n, k) जहाँ F ज्ञात है लेकिन G नहीं है। फिर गोस्पर के एल्गोरिथ्म में a (k): = F (n + 1, k) − F (n, k) डालें। (इसे k के एक फलन के रूप में लें जिसके गुणांक संख्याओं के बजाय n के फलन होते हैं; एल्गोरिथ्म में सब कुछ इस सेटिंग में काम करता है।) यदि यह सफलतापूर्वक S (k) को S (k) − S (k − 1) = a (k) के साथ पाता है, तो हम कर लेते हैंः यह आवश्यक G है। यदि नहीं, तो ऐसा कोई G नहीं है। निश्चित बनाम अनिश्चित योग गोस्पर का एल्गोरिथ्म (जहां संभव हो) हाइपरजियोमेट्रिक शब्दों के अनिश्चित योग के लिए एक हाइपरजियोमेट्रिक बंद रूप पाता है। ऐसा हो सकता है कि ऐसा कोई बंद रूप न हो, लेकिन सभी n पर योग, या n के मूल्यों के किसी विशेष समूह का एक बंद रूप हो। यह प्रश्न तभी सार्थक होता है जब गुणांक स्वयं किसी अन्य चर के फलन होते हैं। तो, मान लीजिए कि a (n, k) n और k दोनों में एक हाइपरजियोमेट्रिक शब्द हैः अर्थात, a (n, k)/a (n − 1, k) और a (n, k)/a (n, k − 1) n और k के रैशनल फंक्शन हैं। बिल गोस्पर ने 1970 के दशक में सेल और एमआईटी में मैक्सिमा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली पर काम करते हुए इस एल्गोरिथ्म की खोज की थी। संदर्भ कंप्यूटर बीजगणित हाइपरजियोमेट्रिक कार्य