Equilateral pentagon
ज्यामिति में, एक समबाहु पंचभुज यूक्लिडियन तल में एक बहुभुज है जिसकी पाँच भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। इसके पाँच शीर्ष कोण मूल्यों की एक श्रृंखला ले सकते हैं, इस प्रकार यह पेंटागन का एक परिवार बनाने की अनुमति देता है। इसके विपरीत, नियमित पंचभुज अद्वितीय है, क्योंकि यह समबाहु है और इसके अलावा यह समकोणीय है (इसके पाँच कोण बराबर हैं; माप 108 डिग्री है)। एक बंद श्रृंखला में व्यवस्थित चार प्रतिच्छेदन बराबर वृत्त एक उत्तल समबाहु पंचभुज निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं। प्रत्येक वृत्त का केंद्र पंचभुज के चार शीर्षों में से एक है। शेष शीर्ष श्रृंखला के पहले और अंतिम वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है। उत्तल समबाहु पंचभुज के आंतरिक कोणों के उदाहरण जब एक उत्तल समबाहु पंचभुज को त्रिकोणों में विच्छेदित किया जाता है, तो उनमें से दो समद्विबाहु (नारंगी और नीले रंग में त्रिकोण) के रूप में दिखाई देते हैं, जबकि दूसरा अधिक सामान्य (हरे रंग में त्रिकोण) होता है। हम मानते हैं कि हमें आसन्न कोण दिए गए हैं और। साइन के नियम के अनुसार हरे और नीले त्रिकोणों को विभाजित करने वाली रेखा की लंबाई हैः नारंगी और हरे त्रिकोणों को विभाजित करने वाली रेखा की लंबाई का वर्ग हैः कोसाइन के नियम के अनुसार, δ की कोसाइन को चित्र से देखा जा सकता हैः सरल करते हुए, δ को α और β के फलन के रूप में प्राप्त किया जाता हैः पंचभुज के शेष कोण ज्यामितीय रूप से पाए जा सकते हैंः नारंगी और नीले त्रिकोणों के शेष कोण आसानी से इस बात को ध्यान में रखते हुए पाए जाते हैं कि समद्विबाहु त्रिकोण के दो कोण समान हैं जबकि तीनों कोण 180° का योग करते हैं। फिर और हरे त्रिभुज के दो शेष कोणों को चार समीकरणों से पाया जा सकता है जो बताते हैं कि पंचभुज के कोणों का योग 540° है, हरे त्रिभुज के कोणों का योग 180° है, कोण इसके तीन घटकों का योग है, और कोण इसके दो घटकों का योग है। एक चक्रीय पंचभुज समकोणीय होता है यदि और केवल तभी जब इसकी भुजाएँ समान हों और इस प्रकार यह नियमित हो। इसी तरह, एक स्पर्शरेखा पंचभुज समबाहु होता है यदि और केवल तभी जब इसके कोण समान हों और इस प्रकार यह नियमित हो। टाइलिंग समबाहु उत्तल पेंटागन के दो अनंत परिवार हैं जो तल को टाइल करते हैं, एक में दो आसन्न पूरक कोण होते हैं और दूसरे में दो गैर-आसन्न पूरक कोण होते हैं। उनमें से कुछ पेंटागन एक से अधिक तरीकों से टाइल कर सकते हैं, और एक समबाहु पेंटागन का एक छिटपुट उदाहरण है जो तल को टाइल कर सकता है लेकिन उन दोनों परिवारों में से किसी से भी संबंधित नहीं है; इसके कोण लगभग 89°16 ', 144°32.5', 70°55 ', 135°22', और 99°54.5 'हैं, कोई दो पूरक नहीं हैं। एक द्वि-आयामी मानचित्रण समबाहु पंचभुज या तो बिल्कुल नहीं, एक बार, दो बार या पाँच बार खुद को काट सकते हैं। जो स्वयं को काटते नहीं हैं उन्हें सरल कहा जाता है, और उन्हें उत्तल या अवतल के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। हम यहाँ "स्टेलेटेड" शब्द का उपयोग उन लोगों को संदर्भित करने के लिए करते हैं जो या तो दो बार या पाँच बार खुद को काटते हैं। हम इस खंड में, समबाहु पंचभुज को खारिज करते हैं जो खुद को ठीक एक बार काटते हैं। यह देखते हुए कि हम उन पेंटागन को खारिज करते हैं जो खुद को एक बार काटते हैं, हम शेष को द्वि-आयामी तल में दो चरों के फलन के रूप में प्लॉट कर सकते हैं। मानों की प्रत्येक जोड़ी (α, β) समतल के एक बिंदु पर मानचित्रित होती है और एक एकल पंचभुज पर भी मानचित्रित होती है। α और β के मूल्यों की आवधिकता और शर्त α ≤ β ≤ δ मानचित्रण के आकार को सीमित करने की अनुमति देती है। निर्देशांक अक्षों α और β वाले तल में, समीकरण α = β एक रेखा है जो तल को दो भागों में विभाजित करती है (रेखाचित्र में नारंगी रंग में दिखाई गई दक्षिणी सीमा)। समीकरण δ = β एक वक्र के रूप में तल को विभिन्न वर्गों में विभाजित करता है (उत्तरी सीमा नीले रंग में दिखाई गई है)। दोनों सीमाएँ समतल के एक निरंतर क्षेत्र को घेरती हैं जिसके बिंदु अद्वितीय समबाहु पंचभुज तक पहुँचते हैं। क्षेत्र के बाहर के बिंदु केवल बार-बार पेंटागन का मानचित्र बनाते हैं-यानी, पेंटागन जो घुमाने या परावर्तित होने पर पहले से वर्णित अन्य लोगों से मेल खा सकते हैं। पेंटागन जो ठीक उन सीमाओं पर नक्शा बनाते हैं, उनमें समरूपता की एक रेखा होती है। अद्वितीय मानचित्रण के क्षेत्र के अंदर तीन प्रकार के पेंटागन होते हैंः स्टेलेटेड, अवतल और उत्तल, जो नई सीमाओं से अलग होते हैं। स्टेलेटेड-स्टेलेटेड पेंटागन की भुजाएँ दूसरों द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं। इस प्रकार के पंचभुज का एक सामान्य उदाहरण पेंटाग्राम है। एक पंचभुज के स्टेलेटेड या स्व-छेदक होने की स्थिति 2α + β ≤ 180° होनी चाहिए। इसलिए, मानचित्रण में, रेखा 2α + β = 180° (उत्तर में नारंगी रंग में दिखाई गई) स्टेलेटेड और गैर-स्टेलेटेड पेंटागन के क्षेत्रों के बीच की सीमा है। पेंटागन जो इस सीमा को ठीक से मापते हैं, उनका एक शीर्ष दूसरी तरफ छूता है। अवतल पेंटागन गैर-स्टेलेटेड पेंटागन होते हैं जिनका कम से कम एक कोण 180° से अधिक होता है। पहला कोण जो 180° से अधिक चौड़ा खुलता है वह γ है, इसलिए समीकरण γ = 180° (दाईं ओर हरे रंग में दिखाई गई सीमा) एक वक्र है जो अवतल पेंटागन और अन्य क्षेत्रों की सीमा है, जिसे उत्तल कहा जाता है। पेंटागन जो ठीक इस सीमा का नक्शा बनाते हैं, उनकी कम से कम दो लगातार भुजाएँ दोहरी लंबाई वाली भुजा के रूप में दिखाई देती हैं, जो एक चतुर्भुज के लिए विकृत पंचभुज जैसा दिखता है। उत्तल पंचभुज के सभी पाँच कोण 180° से छोटे होते हैं और कोई भी भुजा दूसरों को नहीं काटती है। इस प्रकार के पंचभुज का एक सामान्य उदाहरण नियमित पंचभुज है। संदर्भ बहुभुज के प्रकार