Morass (set theory)
स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, एक गणितीय विषय, एक दलदल एक अनंत संयोजन संरचना है, जिसका उपयोग "छोटी" संख्या के "छोटे" सन्निकटनों से "बड़ी" संरचनाएँ बनाने के लिए किया जाता है। इनका आविष्कार रोनाल्ड जेन्सेन ने इस बात के प्रमाण के लिए किया था कि कार्डिनल ट्रांसफर थ्योरम कंस्ट्रक्टिबिलिटी के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के अंतर्गत आते हैं। एक बहुत कम जटिल लेकिन समतुल्य संस्करण जिसे सरलीकृत दलदल के रूप में जाना जाता है, वेलमैन द्वारा पेश किया गया था, और दलदल शब्द का उपयोग अब अक्सर इन सरल संरचनाओं के लिए किया जाता है। हालांकि एन> 1 के लिए तथाकथित अंतराल-एन दलदल को परिभाषित करना संभव है, वे इतने जटिल हैं कि ध्यान आमतौर पर विशिष्ट अनुप्रयोगों को छोड़कर अंतराल-1 मामले तक ही सीमित रहता है। "अंतराल" अनिवार्य रूप से उपयोग किए गए "छोटे सन्निकटन" के आकार और अंतिम संरचना के आकार के बीच का मुख्य अंतर है। एक अनगिनत नियमित कार्डिनल κ (जिसे a (κ, 1)-मोरास भी कहा जाता है) पर A (गैप-1) दलदल में ऊंचाई κ + 1 का एक पेड़ होता है, जिसमें शीर्ष स्तर पर κ +-कई नोड्स होते हैं। नोड्स को ऑर्डिनल्स के रूप में लिया जाता है, और इन ऑर्डिनल्स के बीच के कार्य ट्री ऑर्डर में किनारों से जुड़े होते हैं। यह आवश्यक है कि शीर्ष स्तर के नोड्स की क्रमिक संरचना को मानचित्रों द्वारा उस नोड की शाखा में क्रमिक की सीधी सीमा के रूप में "निर्मित" किया जाए, इसलिए निचले स्तर के नोड्स को (बड़े) शीर्ष स्तर के नोड के सन्निकटन के रूप में सोचा जा सकता है। इसे विशेष रूप से "अच्छे" तरीके से करने के लिए आगे के स्वयंसिद्धों की एक लंबी सूची लागू की गई है। वैरिएंट और समकक्ष वेलेमैन और शेलाह और स्टेनली ने स्वतंत्र रूप से दलदल के अस्तित्व के बराबर मजबूर करने वाले स्वयंसिद्धों का विकास किया, ताकि गैर-विशेषज्ञों द्वारा उनके उपयोग को सुविधाजनक बनाया जा सके। आगे बढ़ते हुए, वेल्लेमैन ने दिखाया कि दलदल का अस्तित्व सरलीकृत दलदल के बराबर है, जो बहुत सरल संरचनाएं हैं। हालांकि, गोडेल के निर्माण योग्य ब्रह्मांड में एक सरलीकृत दलदल का एकमात्र ज्ञात निर्माण दलदल के माध्यम से है, इसलिए मूल धारणा रुचि बरकरार रखती है। दलदल पर अन्य प्रकार, आम तौर पर अतिरिक्त संरचना के साथ, भी वर्षों से दिखाई दिए हैं। इनमें सार्वभौमिक दलदल शामिल हैं, जिसमें κ का प्रत्येक उपसमुच्चय दलदल की शाखाओं के माध्यम से बनाया जाता है, मैंग्रोव, जो स्तरों (मंगल) में स्तरीकृत दलदल हैं जिन पर प्रत्येक शाखा में एक नोड होना चाहिए, और दलदल। सरलीकृत दलदल वेल्लेमैन ने अंतराल-1 सरलीकृत दलदल को परिभाषित किया जो अंतराल-1 दलदल की तुलना में बहुत सरल हैं, और दिखाया कि अंतराल-1 दलदल का अस्तित्व अंतराल-1 सरलीकृत दलदल के अस्तित्व के बराबर है। मोटे तौर पर कहें तो ए (κ, 1)-सरलीकृत दलदल एम = <φ →, एफ. एन. डी.> में क्रमों का एक अनुक्रम φ → = <φβ: β ≤ κ> होता है जैसे कि φβ <κ के लिए <κ और φκ = κ +, और एक दोहरा अनुक्रम एफ. एन. डी = <एफ. ए, β: α <β ≤ κ> जहां एफ. ए., β विशिष्ट (आसान लेकिन महत्वपूर्ण) स्थितियों के साथ α <β ≤ κ के लिए φα से φβ तक मोनोटोन मानचित्रण का संग्रह है। वेलेमैन की स्पष्ट परिभाषा में पाया जा सकता है, जहाँ उन्होंने ZFC में (ω0,1) सरलीकृत दलदल का भी निर्माण किया था। में उन्होंने अंतराल-2 सरलीकृत दलदल के लिए समान सरल परिभाषाएँ दीं, और में उन्होंने जेडएफसी में (ω0,2) सरलीकृत दलदल का निर्माण किया। मॉर्गन और स्जलकाई द्वारा किसी भी n ≤ 1 के लिए उच्च अंतराल सरलीकृत दलदल को परिभाषित किया गया था। मोटे तौर पर कहें तो a (κ, n + 1)-सरलीकृत दलदल (स्ज़ाल्काई का) M = <M →, F णि> में एक अनुक्रम M → = <Mβ: β ≤ κ> (<κ, n)-सरलीकृत दलदल के लिए दलदल जैसी संरचनाओं का β <κ और Mκ a (κ +, n)-सरलीकृत दलदल, और एक दोहरा अनुक्रम F णि = <Fα, β: α <β ≤ κ> जहां Fα, β विशिष्ट स्थितियों के साथ α <β ≤ κ के लिए Mα से Mβ तक मानचित्रण का संग्रह है। संदर्भ वृक्ष (समुच्चय सिद्धांत)