Cluster expansion
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, समूह विस्तार (जिसे उच्च तापमान विस्तार या कूदना विस्तार भी कहा जाता है) एक मॉडल के आसपास एक सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत के विभाजन कार्य का एक शक्ति श्रृंखला विस्तार है जो गैर-परस्पर 0-आयामी क्षेत्र सिद्धांतों का एक संघ है। के कार्य में क्लस्टर विस्तार की उत्पत्ति हुई। सामान्य गड़बड़ी विस्तार के विपरीत जो आमतौर पर एक अलग एसिम्प्टोटिक श्रृंखला की ओर ले जाता है, समूह विस्तार एक गैर-तुच्छ क्षेत्र के भीतर अभिसरण कर सकता है, विशेष रूप से जब बातचीत छोटी और कम दूरी की होती है। शास्त्रीय मामला सामान्य सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी में, गैर-परस्पर क्रिया करने वाले कणों की एक प्रणाली के गुणों को विभाजन कार्य का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। एन गैर-अंतःक्रियाशील कणों के लिए, प्रणाली को हैमिल्टनियन द्वारा वर्णित किया जाता है, और विभाजन कार्य की गणना (शास्त्रीय मामले के लिए) के रूप में की जा सकती है विभाजन कार्य से, कोई भी हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा की गणना कर सकता है और उससे, प्रणाली के सभी ऊष्मागतिकीय गुण, जैसे एन्ट्रापी, आंतरिक ऊर्जा, रासायनिक क्षमता, आदि। जब प्रणाली के कण परस्पर क्रिया करते हैं, तो विभाजन कार्य की सटीक गणना आमतौर पर संभव नहीं होती है। कम घनत्व के लिए, अंतःक्रियाओं को दो-कण क्षमताओं के योग के साथ अनुमानित किया जा सकता हैः इस अंतःक्रिया क्षमता के लिए, विभाजन कार्य को इस रूप में लिखा जा सकता है, और मुक्त ऊर्जा है, जहां क्यू विन्यास अभिन्न हैः विन्यास अभिन्न की गणना विन्यास अभिन्न की गणना एक सामान्य जोड़ी क्षमता के लिए विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती है। लगभग क्षमता की गणना करने का एक तरीका मेयर समूह विस्तार का उपयोग करना है। यह विस्तार इस अवलोकन पर आधारित है कि समीकरण में घातांक को रूप के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। इसके बाद, मेयर फ़ंक्शन को परिभाषित करें। प्रतिस्थापन के बाद, विन्यास समाकलन के लिए समीकरण बन जाता हैः उपरोक्त समीकरण में उत्पाद की गणना शब्दों की एक श्रृंखला में ले जाती है; पहला एक के बराबर है, दूसरा पद शब्दों के i और j पर योग के बराबर है, और प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सभी उच्च क्रम शब्दों की गणना नहीं की जाती है। प्रत्येक शब्द केवल एक बार दिखाई देना चाहिए। इस विस्तार के साथ शामिल कणों की संख्या के संदर्भ में अलग-अलग क्रम के शब्दों को खोजना संभव है। पहला शब्द गैर-अंतःक्रिया शब्द है (कणों के बीच कोई अंतःक्रिया के अनुरूप नहीं), दूसरा शब्द दो-कण अंतःक्रिया के अनुरूप है, तीसरा 4 (आवश्यक रूप से अलग नहीं) कणों के बीच दो-कण अंतःक्रिया के अनुरूप है, और इसी तरह। यह भौतिक व्याख्या ही कारण है कि इस विस्तार को समूह विस्तार कहा जाता हैः योग को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक शब्द एक निश्चित संख्या में कणों के समूहों के भीतर बातचीत का प्रतिनिधित्व करे। विन्यास अभिन्न के लिए उत्पाद के विस्तार को अभिव्यक्ति में वापस प्रतिस्थापित करने से एक श्रृंखला विस्तार में परिणाम मिलता हैः मुक्त ऊर्जा के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, परस्पर क्रिया करने वाले कणों की प्रणाली के लिए अवस्था के समीकरण को प्राप्त करना संभव है। समीकरण का रूप होगा, जिसे विरियल समीकरण के रूप में जाना जाता है, और घटक विरियल गुणांक हैं। प्रत्येक वायरियल गुणांक समूह विस्तार से एक शब्द से मेल खाता है (दो-कण अंतःक्रिया शब्द है, तीन-कण अंतःक्रिया शब्द है और इसी तरह)। केवल दो-कण अंतःक्रिया शब्द को रखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि समूह विस्तार, कुछ अनुमानों के साथ, वैन डेर वाल्स समीकरण देता है। इसे आगे गैसों और तरल घोलों के मिश्रण पर लागू किया जा सकता है। संदर्भ, अध्याय 9। सांख्यिकीय यांत्रिकी