Final value theorem
गणितीय विश्लेषण में, अंतिम मूल्य प्रमेय (एफ. वी. टी.) कई समान प्रमेयों में से एक है जिसका उपयोग आवृत्ति क्षेत्र अभिव्यक्तियों को समय क्षेत्र व्यवहार से संबंधित करने के लिए किया जाता है क्योंकि समय अनंत के करीब आता है। गणितीय रूप से, यदि निरंतर समय में (एकतरफा) लाप्लास परिवर्तन होता है, तो एक अंतिम मूल्य प्रमेय ऐसी स्थितियों को स्थापित करता है जिनके तहत इसी तरह, यदि असतत समय में (एकतरफा) जेड-परिवर्तन होता है, तो एक अंतिम मूल्य प्रमेय ऐसी स्थितियों को स्थापित करता है जिनके तहत एक अबेलियन अंतिम मूल्य प्रमेय गणना करने के लिए (या) के समय-क्षेत्र व्यवहार के बारे में धारणाएं करता है। इसके विपरीत, एक टाउबेरियन अंतिम मूल्य प्रमेय गणना (या) करने के लिए आवृत्ति-क्षेत्र व्यवहार के बारे में धारणाएँ बनाता है (अभिन्न परिवर्तनों के लिए एबेलियन और टाउबेरियन प्रमेय देखें)। लाप्लास परिवर्तन के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय डिड्यूसिंग निम्नलिखित कथनों में, संकेतन "का अर्थ है कि 0 तक पहुँचता है, जबकि" का अर्थ है कि सकारात्मक संख्याओं के माध्यम से 0 तक पहुँचता है। मान लीजिए कि मानक अंतिम मूल्य प्रमेय का प्रत्येक ध्रुव या तो खुले बाएं आधे तल में या मूल पर है, और जिसके मूल में अधिक से अधिक एक ध्रुव है। फिर जैसे, और। व्युत्पन्न के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करते हुए अंतिम मूल्य प्रमेय मान लीजिए कि और दोनों में लाप्लास परिवर्तन हैं जो सभी के लिए मौजूद हैं। यदि मौजूद है और मौजूद है तो। टिप्पणी प्रमेय को बनाए रखने के लिए दोनों सीमाएँ मौजूद होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि तब मौजूद नहीं है, लेकिन। बेहतर टौबेरियन अंतिम मूल्य प्रमेय को परिवर्तित करता है मान लीजिए कि यह बाध्य और अवकलनीय है, और यह भी बाध्य है। अगर ऐसा है। विस्तारित अंतिम मूल्य प्रमेय मान लीजिए कि इसका प्रत्येक ध्रुव या तो खुले बाएं अर्ध-तल में है या मूल पर है। फिर निम्नलिखित में से एक होता हैः के रूप में, और। जैसे, और जैसे। जैसे, और जैसे। विशेष रूप से, यदि एक बहु ध्रुव है तो मामला 2 या 3 लागू होता है (या)। मान लीजिए कि सामान्यीकृत अंतिम मूल्य प्रमेय लाप्लास परिवर्तनशील है। जाने दीजिए। यदि मौजूद है और मौजूद है तो कहाँ गामा फलन को दर्शाता है। अनुप्रयोग प्राप्त करने के लिए अंतिम मूल्य प्रमेयों का उपयोग किसी प्रणाली की दीर्घकालिक स्थिरता स्थापित करने में होता है। अबेलियन अंतिम मूल्य प्रमेय को कम करना मान लीजिए कि यह सीमित और मापने योग्य है और। फिर सभी के लिए मौजूद है और। प्राथमिक प्रमाण मान लीजिए कि सुविधा के लिए, और चालू करें। चलो, और चुनें ताकि सभी के लिए। चूंकि, हर एक के लिए हमारे पास है इसलिए अब हर एक के लिए हमारे पास है। दूसरी ओर, चूंकि तय किया गया है, यह स्पष्ट है कि, और इसलिए यदि काफी छोटा है। मान लीजिए कि निम्नलिखित सभी शर्तें संतुष्ट हैंः निरंतर अवकलनीय है और दोनों और एक लाप्लास परिवर्तन पूरी तरह से समाकलन योग्य है-अर्थात, परिमित मौजूद है और परिमित है। टिप्पणी प्रमाण प्रमुख अभिसरण प्रमेय का उपयोग करता है। मान लीजिए कि किसी फलन के माध्य के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय एक निरंतर और बंधा हुआ फलन है जैसे कि निम्नलिखित सीमा मौजूद हो। आवधिक फलन के असिम्प्टोटिक योग के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय मान लीजिए कि यह निरंतर और पूरी तरह से समाकलन योग्य है। मान लीजिए कि यह असिम्प्टोटिक रूप से आवधिक कार्यों के एक सीमित योग के बराबर है, यही वह जगह है जहाँ यह पूरी तरह से इंटीग्रेबल है और अनंत पर गायब हो जाता है। फिर. एक फलन के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय जो अनंत की ओर मुड़ता है, मान लीजिए और इसका लाप्लास रूपांतरण हो। मान लीजिए कि यह निम्नलिखित सभी शर्तों को संतुष्ट करता हैः शून्य पर असीम रूप से अवकलनीय है, सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए एक लाप्लास परिवर्तन होता है जो अनंत में अलग हो जाता है। अनुचित रूप से समाकलन योग्य कार्यों के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय (समाकलन के लिए एबेल की प्रमेय) को मापने योग्य और ऐसा होना चाहिए कि (संभवतः अनुचित) समाकलन के लिए अभिसरण हो। फिर यह एबेल के प्रमेय का एक संस्करण है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें और अंतिम मूल्य प्रमेय को भागों द्वारा एकीकरण के बाद लागू करें क्योंकि, अंतिम मूल्य प्रमेय के अनुसार, बायीं ओर का पक्ष इसके लिए अभिसरण करता है। व्यवहार में अनुचित समाकलन के अभिसरण को स्थापित करने के लिए, अनुचित समाकलन के लिए डिरिचलेट का परीक्षण अक्सर सहायक होता है। एक उदाहरण डिरिचलेट इंटीग्रल है। अनुप्रयोग प्राप्त करने के लिए अंतिम मूल्य प्रमेयों में यादृच्छिक चर के क्षणों की गणना करने के लिए संभावना और सांख्यिकी में अनुप्रयोग होते हैं। मान लीजिए कि यह एक निरंतर यादृच्छिक चर का संचयी वितरण कार्य है और इसका लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण है। फिर के-th मोमेंट की गणना इस रूप में की जा सकती है रणनीति यह लिखने की है कि कहाँ निरंतर है और प्रत्येक के लिए, एक फ़ंक्शन के लिए। प्रत्येक के लिए, व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के रूप में रखें, प्राप्त करें, और निष्कर्ष निकालने के लिए एक अंतिम मूल्य प्रमेय लागू करें। तब और इसलिए प्राप्त किया जाता है। उदाहरण जहाँ एफ. वी. टी. धारण करता है उदाहरण के लिए, स्थानांतरण फलन द्वारा वर्णित एक प्रणाली के लिए आवेग प्रतिक्रिया एक छोटे आवेग से विचलित होने के बाद शून्य पर लौट आती है। हालांकि, इकाई चरण प्रतिक्रिया का लाप्लास परिवर्तन है और इसलिए चरण प्रतिक्रिया 3 के अंतिम मूल्य तक घातीय वृद्धि का पालन करेगी। उदाहरण जहाँ एफ. वी. टी. नहीं धारण करता है स्थानांतरण फलन द्वारा वर्णित एक प्रणाली के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय आवेग प्रतिक्रिया के अंतिम मूल्य 0 और चरण प्रतिक्रिया के अंतिम मूल्य 1 होने की भविष्यवाणी करता प्रतीत होता है। हालाँकि, न तो समय-क्षेत्र सीमा मौजूद है, और इसलिए अंतिम मूल्य प्रमेय भविष्यवाणियाँ मान्य नहीं हैं। वास्तव में, आवेग प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया दोनों दोलन करते हैं, और (इस विशेष मामले में) अंतिम मूल्य प्रमेय उन औसत मूल्यों का वर्णन करता है जिनके आसपास प्रतिक्रियाएं दोलन करती हैं। नियंत्रण सिद्धांत में दो जाँच किए जाते हैं जो अंतिम मूल्य प्रमेय के लिए वैध परिणामों की पुष्टि करते हैंः के भाजक के सभी गैर-शून्य मूल में नकारात्मक वास्तविक भाग होने चाहिए। मूल स्थान पर एक से अधिक पोल नहीं होने चाहिए। नियम 1 इस उदाहरण में संतुष्ट नहीं था, कि भाजक के मूल और हैं। जेड परिवर्तन के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय अंतिम मूल्य प्रमेय यदि मौजूद है और तब मौजूद है। रैखिक प्रणालियों का अंतिम मूल्य निरंतर-समय एल. टी. आई. प्रणालियाँ आयाम के साथ एक चरण इनपुट के जवाब में प्रणाली का अंतिम मूल्य हैः नमूना-डेटा प्रणालियाँ एपेरियोडिक नमूना समय पर उपरोक्त निरंतर-समय एल. टी. आई. प्रणाली की नमूना-डेटा प्रणाली असतत-समय प्रणाली है जहाँ और, आयाम के साथ एक चरण इनपुट के जवाब में इस प्रणाली का अंतिम मूल्य इसकी मूल निरंतर-समय प्रणाली के अंतिम मूल्य के समान है। इनिशियल वैल्यू थ्योरम जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म एबेलियन और टौबेरियन थ्योरम नोट्स एक्सटर्नल लिंक्स https://web.archive.org/web/20101225034508/http:// विकिज़. कंट्रोलथियोरिप्रो. कॉम/इंडेक्स. पी. पी. शीर्षक = फाइनल _ वैल्यू _ थ्योरम http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html: लाप्लास के लिए अंतिम मान https://web.archive.org/web/20110719222313/http:// डब्ल्यू. एन. जी. आर..........................................................