SIC-POVM
क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम सूचना सिद्धांत के संदर्भ में, सममित, सूचनात्मक रूप से पूर्ण, सकारात्मक प्रचालक-मूल्यवान उपाय (एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम.) एक विशेष प्रकार के सामान्यीकृत माप (पी. ओ. वी. एम.) हैं। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. विशेष रूप से उल्लेखनीय हैं क्योंकि उनकी परिभाषित विशेषताएँ (1) सूचनात्मक रूप से पूर्ण होना; (2) सूचनात्मक पूर्णता के साथ संगत परिणामों की न्यूनतम संख्या होना, और (3) अत्यधिक सममित होना। इस संदर्भ में, सूचनात्मक पूर्णता एक पी. ओ. वी. एम. की संपत्ति है जो माप डेटा से इनपुट अवस्थाओं को पूरी तरह से फिर से बनाने की अनुमति देती है। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के गुण उन्हें "मानक क्वांटम माप" के लिए एक दिलचस्प उम्मीदवार बनाते हैं, जिसका उपयोग मूलभूत क्वांटम यांत्रिकी के अध्ययन में किया जाता है, विशेष रूप से क्यूबिज्म में। क्वांटम स्टेट टोमोग्राफी और क्वांटम क्रिप्टोग्राफी के संदर्भ में एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के कई अनुप्रयोग हैं, और हिल्बर्ट की बारहवीं समस्या के साथ एक संभावित संबंध की खोज की गई है। परिभाषा एक-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर एक पी. ओ. वी. एम. सकारात्मक-समपरिमित प्रचालक का एक समूह है जो पहचान का योग करता हैः यदि एक पी. ओ. वी. एम. में कम से कम प्रचालक होते हैं जो स्व-संयुक्त प्रचालक के स्थान का विस्तार करते हैं, तो इसे एक सूचनात्मक रूप से पूर्ण पी. ओ. वी. एम. (आई. सी.-पी. ओ. वी. एम.) कहा जाता है। सटीक तत्वों से युक्त आईसी-पीओवीएम को न्यूनतम कहा जाता है। रैंक-1 प्रोजेक्टरों का एक समूह जिसमें समान जोड़ीदार हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद होते हैं, एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. नामक तत्वों के साथ एक न्यूनतम आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. को परिभाषित करता है। गुण सममिति रैंक-1 प्रोजेक्टरों के एक मनमाने समूह पर विचार करें जैसे कि एक पी. ओ. वी. एम., और इस प्रकार। प्रोजेक्टरों को सभी के लिए समान जोड़ीदार आंतरिक उत्पाद रखने के लिए कहना, का मूल्य तय करता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि इसका मतलब यह है। इस प्रकार, यह गुण है जो एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. को सममित बनाता है; हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद के संबंध में, तत्वों की कोई भी जोड़ी किसी भी अन्य जोड़ी के बराबर है। सुपरऑपरेटर एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. तत्वों का उपयोग करते हुए, एक दिलचस्प सुपरऑपरेटर का निर्माण किया जा सकता है, जो किस नक्शे की तरह है। यह प्रचालक गोलाकार टी-डिजाइन के साथ एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के संबंध पर विचार करने में सबसे अधिक उपयोगी है। मानचित्र पर विचार करें कि यह प्रचालक एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. तत्व पर पहचान के समान ही कार्य करता है, लेकिन चूंकि एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के तत्व किसी भी क्वांटम अवस्था को पूरी तरह से और विशिष्ट रूप से निर्धारित कर सकते हैं, इसलिए इस रैखिक प्रचालक को किसी भी अवस्था के अपघटन पर लागू किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप निम्नलिखित लिखने की क्षमता होती हैः जहाँ से, बाएं व्युत्क्रम की गणना की जा सकती है, और इसलिए इस ज्ञान के साथ कि, एक अवस्था के लिए एक अभिव्यक्ति एक अर्ध-संभावना वितरण के संदर्भ में बनाई जा सकती है, निम्नानुसारः हिल्बर्ट स्थान में देखे जाने वाले घनत्व प्रचालक के लिए डीराक संकेतन कहाँ है। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. को परिभाषित करने वाले समीकरणों को हाथ से हल किया जा सकता है, जिससे वेक्टर प्राप्त होते हैं जो ब्लॉच क्षेत्र में एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष बनाते हैं। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. को परिभाषित करने वाले प्रोजेक्टर एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. द्वारा दिए जाते हैं, और एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के तत्व इस प्रकार हैं। उच्च आयामों के लिए यह संभव नहीं है, जिससे अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण के उपयोग की आवश्यकता होती है। समूह सहप्रसरण सामान्य समूह सहप्रसरण एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. को समूह सहप्रसरण कहा जाता है यदि एक आयामी एकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ एक समूह मौजूद है जैसे कि एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. की खोज को समूह सहप्रसरण के गुण का दोहन करके बहुत सरल बनाया जा सकता है। वास्तव में, समस्या को एक सामान्यीकृत फिड्यूशियल वेक्टर खोजने के लिए कम कर दिया जाता है। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. तब ऑन की समूह कार्रवाई द्वारा उत्पन्न सेट होता है। जेड. डी. × जेड. डी. का मामला अब तक, अधिकांश एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. को समूह सहप्रसरण पर विचार करके पाया गया है। एकात्मक प्रतिनिधित्व का निर्माण करने के लिए, हम डी-आयामों पर एकात्मक प्रचालक के समूह को मानचित्रित करते हैं। कई ऑपरेटरों को पहले पेश किया जाना चाहिए। मान लीजिए कि इसके लिए एक आधार है, फिर चरण प्रचालक वह है जहां एकता का मूल है और शिफ्ट प्रचालक इन दो प्रचालक के संयोजन से वेल प्रचालक प्राप्त होता है जो हाइजेनबर्ग-वेल समूह उत्पन्न करता है। यह एक एकात्मक प्रचालक है क्योंकि यह जांचा जा सकता है कि मानचित्रण एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व है। यह समूह सहप्रसरण के लिए सभी गुणों को भी संतुष्ट करता है, और एस. आई. सी. समुच्चयों की संख्यात्मक गणना के लिए उपयोगी है। ज़ौनर का अनुमान एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के कुछ उपयोगी गुणों को देखते हुए, यह उपयोगी होगा यदि यह सकारात्मक रूप से ज्ञात हो कि क्या ऐसे सेटों का निर्माण मनमाने आयाम के हिल्बर्ट स्थान में किया जा सकता है। मूल रूप से ज़ौनर के शोध प्रबंध में प्रस्तावित, मनमाने आयामों के लिए एक प्रत्ययी वेक्टर के अस्तित्व के बारे में एक अनुमान की परिकल्पना की गई थी। विशेष रूप से, प्रत्येक आयाम के लिए एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. मौजूद है जिसके तत्व वेल-हाइजेनबर्ग समूह के तहत एक सकारात्मक श्रेणी-एक प्रचालक की कक्षा हैं। इसके अलावा, जैकोबी समूह के एक तत्व टी के साथ आवागमन करता है। मॉड्यूलो केंद्र पर टी की क्रिया का क्रम तीन है। समूह सहप्रसरण की धारणा का उपयोग करते हुए, इसे किसी भी आयाम के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में दोहराया जा सकता है, और फिर परिभाषित किया जा सकता है ताकि सेट एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. हो। आंशिक परिणाम मनमाने आयामों के लिए एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के अस्तित्व का प्रमाण एक खुला सवाल बना हुआ है, लेकिन क्वांटम सूचना समुदाय में अनुसंधान का एक निरंतर क्षेत्र है। एस. आई. सी. समुच्चयों के लिए सटीक अभिव्यक्तियाँ सभी आयामों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए समावेशी के माध्यम से, और कुछ उच्च आयामों में सभी के 115 मानों के लिए पाए गए हैं। इसके अलावा, हाइजेनबर्ग समूह सहप्रसरण का उपयोग करते हुए, सभी पूर्णांकों के लिए संख्यात्मक समाधान पाए गए हैं, और कुछ बड़े आयामों में। गोलाकार टी-डिजाइन से संबंध एक गोलाकार टी-डिजाइन डी-आयामी सामान्यीकृत अतिक्षेत्र पर वैक्टरों का एक समूह है, जैसे कि किसी भी-क्रम बहुपद का औसत मूल्य सभी सामान्यीकृत वैक्टरों के औसत के बराबर होता है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के टी-गुना टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित करते हुए, और टी-गुना टेंसर उत्पाद फ्रेम ऑपरेटर के रूप में, यह दिखाया जा सकता है कि सामान्यीकृत वैक्टरों का एक समूह एक गोलाकार टी-डिज़ाइन बनाता है यदि और केवल तभी जब यह तुरंत इस बात का अनुसरण करता है कि प्रत्येक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. एक 2-डिज़ाइन है, जो सटीक रूप से आवश्यक मान है जो उपरोक्त प्रमेय को संतुष्ट करता है। एम. यू. बी. से संबंध एक डी-आयामी हिल्बर्ट स्थान में, दो अलग-अलग आधारों को पारस्परिक रूप से निष्पक्ष कहा जाता है यदि यह प्रकृति में एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के सममित गुण के समान लगता है। वूटर्स बताते हैं कि निष्पक्ष आधारों का एक पूरा सेट एक ज्यामितीय संरचना उत्पन्न करता है जिसे एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन के रूप में जाना जाता है, जबकि एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. (किसी भी आयाम में जो एक प्रमुख शक्ति है) एक परिमित एफ़ाइन प्लेन उत्पन्न करता है, एक प्रकार की संरचना जिसकी परिभाषा एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन के समान है जिसमें बिंदुओं और रेखाओं की भूमिकाओं का आदान-प्रदान होता है। इस मायने में, एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की समस्याएं एक दूसरे के लिए दोहरी हैं। आयाम में, सादृश्य को आगे ले जाया जा सकता हैः पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का एक पूरा समूह सीधे एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. से बनाया जा सकता है। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के 9 वैक्टर, पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के 12 वैक्टरों के साथ मिलकर एक समूह बनाते हैं जिसका उपयोग कोचेन-स्पेकर प्रूफ में किया जा सकता है। हालांकि, 6-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष में, एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. ज्ञात है, लेकिन पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का कोई पूरा सेट अभी तक नहीं खोजा गया है, और यह व्यापक रूप से माना जाता है कि ऐसा कोई सेट मौजूद नहीं है। क्वांटम यांत्रिकी में माप पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार पीओवीएम क्यूबिज्म नोट्स संदर्भ क्वांटम माप भौतिकी में अनसुलझी समस्याएं गणित में अनसुलझी समस्याएं हिल्बर्ट स्पेस ऑपरेटर सिद्धांत घटना ज्यामिति यूक्लिडियन प्लेन ज्यामिति बीजगणितीय ज्यामिति हाइपरग्राफ कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण