Quartic reciprocity
चतुर्थक या द्विघात पारस्परिकता प्राथमिक और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में प्रमेयों का एक संग्रह है जो उन स्थितियों को बताता है जिनके तहत सर्वांगसम x4 ष्ण p (मॉड q) हल करने योग्य है; "पारस्परिकता" शब्द इनमें से कुछ प्रमेयों के रूप से आता है, जिसमें वे सर्वांगसम x4 ष्ण p (मॉड q) की समाधानशीलता को x4 ष्ण q (मॉड p) से संबंधित करते हैं। इतिहास यूलर ने द्विघात पारस्परिकता के बारे में पहले अनुमान लगाए। गॉस ने द्विघात पारस्परिकता पर दो मोनोग्राफ प्रकाशित किए। पहले एक (1828) में उन्होंने 2 के द्विघात चरित्र के बारे में यूलर के अनुमान को साबित किया। दूसरे में (1832) उन्होंने गौसी पूर्णांकों के लिए द्विघात पारस्परिकता नियम का उल्लेख किया और पूरक सूत्रों को साबित किया। उन्होंने कहा कि सामान्य प्रमेय के प्रमाण के साथ एक तीसरा मोनोग्राफ आने वाला है, लेकिन यह कभी प्रकट नहीं हुआ। जैकोबी ने अपने कोनिग्सबर्ग व्याख्यानों में 1836-37 के प्रमाण प्रस्तुत किए। पहला प्रकाशित प्रमाण आइजेनस्टीन द्वारा था। तब से शास्त्रीय (गौसी) संस्करण के कई अन्य प्रमाणों के साथ-साथ वैकल्पिक बयान भी पाए गए हैं। लेमर्मेयर का कहना है कि 1970 के दशक से तर्कसंगत पारस्परिकता कानूनों में रुचि का विस्फोट हुआ है। पूर्णांक एक चतुर्थक या द्विघात अवशिष्ट (मॉड पी) एक पूर्णांक (मॉड पी) की चौथी घात के लिए सर्वांगसम कोई भी संख्या है। यदि x4 ष्ण a (मॉड p) का पूर्णांक समाधान नहीं है, तो a एक चतुर्थक या द्विघात अवशेष (मॉड p) है। जैसा कि अक्सर संख्या सिद्धांत में होता है, मॉड्यूलो अभाज्य संख्याओं पर काम करना सबसे आसान है, इसलिए इस खंड में सभी मॉड्यूली पी, क्यू, आदि को सकारात्मक, विषम अभाज्य माना जाता है। पूर्णांकों के वलय Z के भीतर काम करते समय ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि यदि अभाज्य संख्या q ष्ण 3 (मॉड 4) है तो एक अवशिष्ट r एक द्विघात अवशेष (मॉड q) है यदि और केवल यदि यह एक द्विघात अवशेष (मॉड q) है। वास्तव में, द्विघात पारस्परिकता के पहले पूरक में कहा गया है कि-1 एक द्विघात अवशेष (मॉड क्यू) है, ताकि किसी भी पूर्णांक x के लिए, x और-x में से एक द्विघात अवशेष है और दूसरा एक अवशेष है। इस प्रकार, यदि r ष्ण a2 (मॉड q) एक द्विघात अवशेष है, तो यदि a ष्ण b2 एक अवशेष है, तो r ष्ण a2 ष्ण b4 (मॉड q) एक द्विघात अवशेष है, और यदि a एक गैर-अवशेष है, तो − a एक अवशेष है, − a ष्ण b2, और फिर, r ष्ण (− a) 2 ष्ण b4 (मॉड q) एक द्विघात अवशेष है। इसलिए, एकमात्र दिलचस्प मामला तब होता है जब मापांक p ष्ण1 (मॉड 4) होता है। गॉस ने साबित किया कि यदि p ष्ण 1 (मॉड 4) है तो गैर-शून्य अवशेष वर्गों (मॉड पी) को चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में (पी-1)/4 संख्याएँ हैं। मान लीजिए कि ई एक द्विघात अवशेष है। पहला सेट क्वार्टिक अवशेष है; दूसरा पहले सेट में संख्याओं का ई गुना है, तीसरा पहले सेट में संख्याओं का ई 2 गुना है, और चौथा पहले सेट में संख्याओं का ई 3 गुना है। इस विभाजन का वर्णन करने का एक और तरीका है कि g को एक आदिम मूल (मॉड पी) माना जाए; फिर पहला सेट उन सभी संख्याओं का है जिनके सूचकांक इस मूल के संबंध में ष्ण 0 (मॉड 4) हैं, दूसरा सेट वे सभी हैं जिनके सूचकांक ष्ण 1 (मॉड 4), आदि हैं। समूह सिद्धांत की शब्दावली में, पहला समूह सूचकांक 4 (गुणक समूह Z/pZ × का) का एक उपसमूह है, और अन्य तीन इसके कोसेट हैं। पहला समूह द्विघात अवशेष है, तीसरा समूह द्विघात अवशेष है जो चतुर्थक अवशेष नहीं हैं, और दूसरा और चौथा समूह द्विघात गैर-अवशेष हैं। गॉस ने साबित किया कि-1 एक द्विघात अवशिष्ट है यदि p ष्ण 1 (मॉड 8) और एक द्विघात है, लेकिन द्विघात नहीं, अवशेष, जब p ष्ण 5 (मॉड 8) है। 2 एक द्विघात अवशेष मॉड पी है यदि और केवल अगर पी ष्ण ± 1 (मॉड 8)। चूँकि पी भी ष्ण 1 (मॉड 4) है, इसका अर्थ है पी ष्ण 1 (मॉड 8)। ऐसा प्रत्येक अभाज्य एक वर्ग और दो बार एक वर्ग का योग है। गॉस ने साबित किया कि मान लीजिए कि q = a2 + 2b2 ष्ण 1 (मॉड 8) एक अभाज्य संख्या है। तब 2 एक द्विघात अवशिष्ट (मॉड क्यू) है यदि और केवल यदि एक ष्ण ± 1 (मॉड 8), और 2 एक द्विघात है, लेकिन एक द्विघात नहीं है, अवशेष (मॉड क्यू) यदि और केवल यदि एक ष्ण ± 3 (मॉड 8) है। प्रत्येक अभाज्य p ष्ण 1 (मॉड 4) दो वर्गों का योग है। यदि p = a2 + b2 जहाँ a विषम है और b सम है, तो गॉस ने साबित किया कि 2 ऊपर परिभाषित पहले (क्रमशः दूसरे, तीसरे या चौथे) वर्ग से संबंधित है यदि और केवल अगर b ष्ण 0 (रेसप) हो। 2,4, या 6) (मॉड 8)। इसका पहला मामला यूलर के अनुमानों में से एक हैः 2 एक अभाज्य p ष्ण 1 (मॉड 4) का एक द्विघात अवशेष है यदि और केवल यदि p = a2 + 64b2 है। डिरिचलेट एक विषम अभाज्य संख्या पी और एक द्विघात अवशेष ए (मॉड पी) के लिए, यूलर के मानदंड में कहा गया है कि इसलिए यदि पी ष्ण 1 (मॉड 4), अभाज्य पी ष्ण 1 (मॉड 4) और द्विघात अवशेष ए (मॉड पी) के लिए परिमेय चतुर्थक अवशेष प्रतीक को परिभाषित करें क्योंकि यह साबित करना आसान है कि ए एक द्विघात अवशेष (मॉड पी) है यदि और केवल तभी जब डिरिचलेट ने गॉस के 2 के द्विघात चरित्र के प्रमाण को सरल बनाया (उसके प्रमाण के लिए केवल पूर्णांकों के लिए द्विघात पारस्परिकता की आवश्यकता होती है) और परिणाम को निम्नलिखित रूप में रखेंः मान लीजिए पी = ए 2 + बी 2 ष्ण 1 (मॉड 4) अभाज्य हो। फिर (ध्यान दें कि i2 ष्ण −1 (मॉड पी)।) वास्तव में, मान लीजिए कि p = a2 + b2 = c2 + 2d2 = e2 − 2f2 ष्ण1 (मॉड 8) अभाज्य है, और मान लीजिए कि a विषम है। फिर साधारण लेजेंड्रे प्रतीक कहाँ है। 2 के वर्ण से परे जाकर, मान लीजिए कि अभाज्य राशि p = a2 + b2 जहाँ b सम है, और मान लीजिए कि q एक अभाज्य राशि है जिससे द्विघात पारस्परिकता कहती है कि जहाँ σ2 ष्ण p (मॉड q) है। फिर इसका तात्पर्य यह है कि पहले कुछ उदाहरण हैंः यूलर ने 2,3 और 5 के लिए नियमों का अनुमान लगाया था, लेकिन उनमें से किसी को भी साबित नहीं किया। डिरिचलेट ने यह भी साबित किया कि यदि p ष्ण 1 (मॉड 4) अभाज्य है और फिर इसे ब्राउन और लेहमर द्वारा 17 से 17,73,97 और 193 तक बढ़ाया गया है। बर्ड के तर्कसंगत द्विघात पारस्परिकता कानून को बताने के कई समान तरीके हैं। वे सभी मानते हैं कि p = a2 + b2 और q = c2 + d2 अभाज्य संख्याएँ हैं जहाँ b और d सम हैं, और यह कि गोसेट का संस्करण लेटिंग i2 ष्ण −1 (मॉड p) और j2 ष्ण −1 (मॉड q) है, फ्रॉलिच का नियम बर्ड ने अपने रूप में कहा हैः ध्यान दें कि मिसेलनी मान लीजिए कि p ष्ण q ष्ण −1 (मॉड 4) अभाज्य संख्याएँ हैं और मान लीजिए। तब e2 = p f2 + q g2 में गैर-तुच्छ पूर्णांक समाधान होते हैं, और मान लीजिए कि p ष्ण q ष्ण1 (मॉड 4) अभाज्य संख्याएँ हैं और मान लीजिए कि p = r2 + q s2 है। फिर मान लीजिए कि p = 1 + 4x2 अभाज्य है, मान लीजिए कि a कोई भी विषम संख्या है जो x को विभाजित करती है, और मान लीजिए कि a * एक द्विघात अवशिष्ट (मॉड p) है। मान लीजिए कि p = a2 + 4b2 = c2 + 2d2 ष्ण1 (मॉड 8) अभाज्य है। फिर c4 − p a2 के सभी भाजक द्विघात अवशिष्ट (मॉड p) हैं। यही बात d4 − p b2 के सभी भाजकों के लिए भी लागू होती है। गौसी पूर्णांक पृष्ठभूमि द्विवार्षिक पारस्परिकता पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में गौस कुछ उदाहरण प्रदर्शित करता है और ऐसे अनुमान लगाता है जो छोटे अभाज्य संख्याओं के द्विवार्षिक चरित्र के लिए ऊपर सूचीबद्ध प्रमेयों का संकेत देते हैं। वह कुछ सामान्य टिप्पणियां करता है, और स्वीकार करता है कि काम में कोई स्पष्ट सामान्य नियम नहीं है। वे आगे कहते हैं कि द्विध्रुवीय अवशेषों पर प्रमेय सबसे बड़ी सरलता और वास्तविक सुंदरता के साथ तभी चमकते हैं जब अंकगणित के क्षेत्र को काल्पनिक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है, ताकि बिना किसी प्रतिबंध के, a + b रूप की संख्याएँ अध्ययन का उद्देश्य बन सकें। हम ऐसी संख्याओं को अभिन्न जटिल संख्याएँ कहते हैं। [मूल में बोल्ड] इन संख्याओं को अब गौसी पूर्णांक का वलय कहा जाता है, जिसे Z [i] द्वारा दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि i, 1 का चौथा मूल है। एक फुटनोट में वे कहते हैं कि घन अवशेषों का सिद्धांत इसी तरह से a + bh रूप की संख्याओं पर विचार करने पर आधारित होना चाहिए, जहां h समीकरण h3 = 1 का एक काल्पनिक मूल है और इसी तरह उच्च शक्तियों के अवशेषों का सिद्धांत अन्य काल्पनिक मात्राओं की शुरुआत की ओर ले जाता है। एकता के घनमूल से निर्मित संख्याओं को अब आइजेनस्टीन पूर्णांक का वलय कहा जाता है। "उच्च शक्तियों के अवशेषों के सिद्धांत" के लिए आवश्यक "अन्य काल्पनिक मात्राएं" साइक्लोटोमिक संख्या क्षेत्रों के पूर्णांक के वलय हैं; गॉसियन और आइजेनस्टीन पूर्णांक इनके सबसे सरल उदाहरण हैं। तथ्य और शब्दावली गॉस "अभिन्न जटिल संख्याओं" के अंकगणितीय सिद्धांत को विकसित करता है और दर्शाता है कि यह साधारण पूर्णांकों के अंकगणित के समान है। यही वह जगह है जहाँ गणित में इकाई, सहयोगी, मानक और प्राथमिक शब्दों को पेश किया गया था। इकाइयाँ वे संख्याएँ हैं जो 1 को विभाजित करती हैं। वे हैं 1, i, −1, और −i। वे साधारण पूर्णांकों में 1 और-1 के समान हैं, जिसमें वे प्रत्येक संख्या को विभाजित करते हैं। इकाइयाँ i की शक्तियाँ हैं। एक संख्या λ = a + b को देखते हुए, इसका संयुग्म a-b है और इसके सहयोगी चार संख्याएँ हैं λ = + a + b = − iλ = − a − b − iλ = + b − i यदि λ = a + b, तो λ का मानक, Nλ लिखा गया, संख्या a2 + b2 है। यदि λ और μ दो गौसी पूर्णांक हैं, तो एन. एल. एम. यू. = एन. एल. एन. एम. यू.; दूसरे शब्दों में, मानक गुणक है। शून्य का मानक शून्य है, किसी भी अन्य संख्या का मानक एक धनात्मक पूर्णांक है। ε एक इकाई है यदि और केवल यदि Nε = 1 हो। λ के मानक का वर्गमूल, एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या जो एक गौसी पूर्णांक नहीं हो सकती है, लैम्ब्डा का निरपेक्ष मान है। गॉस साबित करता है कि Z [i] एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है और दर्शाता है कि अभाज्य संख्याएँ तीन वर्गों में आती हैंः 2 एक विशेष मामला हैः 2 = i3 (1 + i) 2। यह Z में एकमात्र अभाज्य है जो Z [i] में एक अभाज्य के वर्ग से विभाज्य है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, 2 को Z [i] में श्रेणीबद्ध कहा जाता है। Z ष्ण 3 (मॉड 4) में धनात्मक अभाज्य संख्याएँ भी Z [i] में अभाज्य संख्याएँ हैं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में कहा जाता है कि ये अभाज्य संख्याएँ Z [i] में निष्क्रिय रहती हैं। Z ष्ण 1 (मॉड 4) में धनात्मक अभाज्य संख्याएँ Z [i] में दो संयुग्म अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हैं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, इन अभाज्य संख्याओं को Z [i] में विभाजित कहा जाता है। इस प्रकार, निष्क्रिय अभाज्य संख्याएँ 3,7,11,19 हैं और विभाजित अभाज्य संख्याओं का गुणनखंडन 5 = (2 + i) × (2-i), 13 = (2 + 3i) × (2-3i), 17 = (4 + i) × (4-i), 29 = (2 + 5i) × (2-5i), है। एक अभाज्य के सहयोगी और संयुग्म भी अभाज्य संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि एक निष्क्रिय अभाज्य q का मानक Nq = q2 ष्ण 1 (मॉड 4) है; इस प्रकार 1 + i और इसके सहयोगियों के अलावा सभी अभाज्य संख्याओं का मानक ष्ण 1 (मॉड 4) है। गॉस एक संख्या को Z [i] विषम में कॉल करता है यदि उसका मानक एक विषम पूर्णांक है। इस प्रकार 1 + i और इसके सहयोगियों को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं। दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम है और एक विषम संख्या का संयुग्म और सहयोगी विषम हैं। अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय को बताने के लिए, किसी संख्या के सहयोगियों में से किसी एक को अलग करने का एक तरीका होना आवश्यक है। गॉस एक विषम संख्या को प्राथमिक के रूप में परिभाषित करता है यदि यह ष्ण 1 (मॉड (1 + i) 3) है। यह दिखाना सीधा है कि प्रत्येक विषम संख्या का ठीक एक प्राथमिक सहयोगी होता है। एक विषम संख्या λ = a + b प्राथमिक है यदि a + b ष्ण a − b ष्ण 1 (मॉड 4); अर्थात, a ष्ण 1 और b ष्ण 0, या a ष्ण 3 और b ष्ण 2 (मॉड 4)। दो प्राथमिक संख्याओं का गुणनफल प्राथमिक है और प्राथमिक संख्या का संयुग्म भी प्राथमिक है। Z [i] के लिए अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय यह हैः यदि λ  ऒत्त 0 है, तो जहाँ 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≤ 0, πs प्राथमिक अभाज्य संख्याएँ हैं और αs ≤ 1 है, और यह प्रतिनिधित्व कारकों के क्रम तक अद्वितीय है। एकरूपता और सबसे बड़े सामान्य भाजक की धारणाओं को Z [i] में उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे वे साधारण पूर्णांक Z के लिए हैं। चूँकि इकाइयाँ सभी संख्याओं को विभाजित करती हैं, एक अनुरूपता (मॉड λ) भी λ के किसी भी सहयोगी के लिए सही मॉड्यूलो है, और GCD का कोई भी सहयोगी भी एक GCD है। चतुर्थक अवशेष चरित्र गॉस फर्माट के प्रमेय के अनुरूप साबित करता हैः यदि α एक विषम अभाज्य π से विभाज्य नहीं है, तो चूंकि Nπ ष्ण 1 (मॉड 4), समझ में आता है, और एक अद्वितीय इकाई ik के लिए। इस इकाई को α (मॉड π) का चतुर्थक या द्विघात अवशेष वर्ण कहा जाता है और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है कि इसके औपचारिक गुण लीजेंड्रे प्रतीक के समान हैं। एकरूपता Z [i] मे हल कैल जा सकैत अछि यदि आ केवल तखनि जखन बार जटिल संयुग्मनकेँ दर्शबैत अछि। यदि π और θ सहयोगी हैं, यदि α ष्ण β (मॉड π) है, तो द्विघात वर्ण को "भाजक" में विषम समग्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, उसी तरह जैसे लीजेंड्रे प्रतीक को जैकोबी प्रतीक में सामान्यीकृत किया जाता है। जैसा कि उस मामले में, यदि "भाजक" समग्र है, तो प्रतीक सर्वांगसम के बिना एक के बराबर हो सकता हैः जहां यदि a और b साधारण पूर्णांक हैं, तो a §0, |b।> 1, gcd (a, b) = 1, तो गॉस प्रमेय के कथन इस रूप में द्विघात पारस्परिकता के नियम को बताते हैंः मान लीजिए कि π और θ Z [i] के विशिष्ट प्राथमिक अभाज्य संख्याएँ हैं। फिर यदि या तो π या θ या दोनों ष्ण 1 (मॉड 4) हैं, तो लेकिन यदि π और θ दोनों ष्ण 3 + 2i (मॉड 4) हैं, तो जिस तरह लीजेंड्रे प्रतीक के लिए द्विघात पारस्परिकता नियम जैकोबी प्रतीक के लिए भी सही है, उसी तरह संख्याओं के अभाज्य होने की आवश्यकता नहीं है; यह पर्याप्त है कि वे विषम अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हों। संभवतः सबसे प्रसिद्ध कथन हैः मान लीजिए कि π और θ प्राथमिक अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हैं। फिर इकाइयों के लिए पूरक प्रमेय हैं और अर्ध-सम अभाज्य 1 + i. यदि π = a + b एक प्राथमिक अभाज्य है, तो और इस प्रकार भी। जैकोबी ने π = a + b को प्राथमिक होने के लिए परिभाषित किया यदि a ष्ण 1 (मॉड 4) हो। इस सामान्यीकरण के साथ, नियम इस रूप को लेता है मान लीजिए कि α = a + b और β = c + d जहाँ a ष्ण c ष्ण 1 (मॉड 4) और b और d अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हैं। फिर निम्नलिखित संस्करण गॉस की अप्रकाशित पांडुलिपियों में पाया गया। मान लीजिए कि α = a + 2bi और β = c + 2di जहाँ a और c विषम हैं, वे अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हैं। फिर नियम को प्राथमिक की अवधारणा का उपयोग किए बिना कहा जा सकता हैः यदि λ विषम है, तो मान लीजिए कि ε (λ) λ (मॉड (1 + i) 3) की अद्वितीय इकाई है; अर्थात, ε (λ) = ik ष्ण λ (मॉड 2 + 2i), जहाँ 0 ≤ k ≤ 3 है। फिर विषम और अपेक्षाकृत अभाज्य α और β के लिए, न तो एक इकाई, विषम λ के लिए, मान लीजिए फिर यदि λ और μ अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हैं, तो आइजेनस्टीन ने साबित किया कि क्वाड्रैटिक पारस्परिकता क्यूबिक पारस्परिकता आइजेनस्टीन पारस्परिकता आर्टिन पारस्परिकता नोट्स A.Here, "तर्कसंगत" का अर्थ है ऐसे नियम जो कुछ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के संदर्भ में नहीं बल्कि साधारण पूर्णांकों के संदर्भ में बताए गए हैं। यूलर, डिरिचलेट और आइजेनस्टीन के मूल पत्रों के संदर्भों को लेमेर्मेयर और कॉक्स की ग्रंथ सूची से कॉपी किया गया था, और इस लेख की तैयारी में उनका उपयोग नहीं किया गया था। यूलर यह वास्तव में 1748-1750 लिखा गया था, लेकिन केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था; यह खंड V, पीपी में है। गौस का 182-283 द्विघात पारस्परिकता पर प्रकाशित दो मोनोग्राफ गौस में लगातार खंडों को क्रमांकित किया गया हैः पहले में §§ 1-23 और दूसरे में §§ 24-76 शामिल हैं। इन्हें संदर्भित करने वाले फुटनोट "गॉस, बीक्यू, §एन" के रूप में हैं। शोध अंकगणित को संदर्भित करने वाले फुटनोट "गॉस, डी. ए., आर्ट" के रूप में हैं। एन "। ये गॉस के वर्क, खंड II, पीपी में हैं। 65-92 और 93-148 जर्मन अनुवाद पीपी में हैं। निम्नलिखित में से 511-533 और 534-586, जिसमें संख्या सिद्धांत पर डिसक्विजिशन अर्थमेटी और गॉस के अन्य शोध पत्र भी हैं। आइजेनस्टीन ये सभी कागजात उनके वर्क के खंड I में हैं। डिरिचलेट ये दोनों अपने वर्क के खंड I में हैं। आधुनिक लेखक बाहरी लिंक फ्रांज लेमेर्मेयर के इन दो शोध पत्रों में बर्ड के नियम और संबंधित परिणामों के प्रमाण हैंः तर्कसंगत चतुर्थक पारस्परिकता तर्कसंगत चतुर्थक पारस्परिकता II बीजगणितीय संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर अंकगणितीय प्रमेय