Acyclic model
बीजगणितीय स्थलविज्ञान में, गणित के भीतर एक विषय, चक्रीय मॉडल प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि दो समरूपता सिद्धांत समरूप हैं। इस प्रमेय को स्थलविज्ञानी सैमुअल आइलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक्लेन द्वारा विकसित किया गया था। उन्होंने पाया कि जब स्थलविज्ञानी विभिन्न समरूपता सिद्धांतों की समानता स्थापित करने के लिए प्रमाण लिख रहे थे, तो प्रक्रियाओं में कई समानताएं थीं। आइलेनबर्ग और मैक्लेन ने तब इस प्रक्रिया को सामान्य बनाने के लिए प्रमेय की खोज की। इसका उपयोग आइलेनबर्ग-जिल्बर प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है; यह मॉडल श्रेणी के विचार की ओर ले जाता है। प्रमेय का कथन मान लीजिए कि यह एक मनमाना श्रेणी है और किसी रिंग पर-मॉड्यूल के श्रृंखला परिसरों की श्रेणी है। आइए सहपरिवर्तनशील कारक बनें जैसे किः के लिए। ऐसे लोग हैं जिनका एक आधार है, इसलिए एक मुफ्त फ़ंक्टर भी है। इन मॉडलों में-और-चक्रीय है, जिसका अर्थ है कि सभी और सभी के लिए। फिर निम्नलिखित दावे हैंः प्रत्येक प्राकृतिक परिवर्तन एक प्राकृतिक श्रृंखला मानचित्र को प्रेरित करता है। यदि प्राकृतिक परिवर्तन हैं, तो पहले की तरह और सभी मॉडलों के लिए प्राकृतिक श्रृंखला मानचित्र हैं, तो और के बीच एक प्राकृतिक श्रृंखला समस्थानिक है। विशेष रूप से श्रृंखला मानचित्र प्राकृतिक श्रृंखला समस्थानिक तक अद्वितीय है। सामान्यीकरण प्रोजेक्टिव और एसाइक्लिक कॉम्प्लेक्स जो ऊपर है वह प्रमेय के शुरुआती संस्करणों में से एक है। एक अन्य संस्करण वह है जो कहता है कि यदि एक अबेलियन श्रेणी में प्रक्षेपकों का एक परिसर है और उस श्रेणी में एक चक्रीय परिसर है, तो कोई भी मानचित्र एक श्रृंखला मानचित्र तक फैला हुआ है, जो होमोटॉपी तक अद्वितीय है। यदि कोई अबेलियन श्रेणी के रूप में फंक्टर श्रेणी का उपयोग करता है तो यह लगभग उपरोक्त प्रमेय में विशेषज्ञता रखता है। मुक्त फंक्टर उस श्रेणी में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट हैं। फंक्टर श्रेणी में रूपात्मकता प्राकृतिक परिवर्तन हैं, इसलिए निर्मित श्रृंखला मानचित्र और समरूपता सभी प्राकृतिक हैं। अंतर यह है कि उपरोक्त संस्करण में, चक्रीय होना केवल कुछ वस्तुओं पर चक्रीय होने की तुलना में एक मजबूत धारणा है। दूसरी ओर, उपरोक्त संस्करण लगभग केवल एक वस्तु के साथ एक श्रेणी को अनुमति देकर इस संस्करण का तात्पर्य है। फिर फ्री फंक्टर मूल रूप से सिर्फ एक फ्री (और इसलिए प्रोजेक्टिव) मॉड्यूल है। मॉडलों में एसाइक्लिक होने (केवल एक है) का मतलब है कि कॉम्प्लेक्स एसाइक्लिक है। चक्रीय वर्ग एक भव्य प्रमेय है जो उपरोक्त दोनों को एकीकृत करता है। मान लीजिए कि यह अबेलियन श्रेणी है (उदाहरण के लिए, या)। श्रृंखला परिसरों के एक वर्ग को एक एसाइक्लिक वर्ग कहा जाएगा बशर्ते किः 0 परिसर में हो। परिसर यदि और केवल तभी संबंधित है जब निलंबन करता है। यदि कॉम्प्लेक्स और समस्थानिक हैं और, तो। प्रत्येक परिसर चक्रीय होता है। यदि एक दोहरा कॉम्प्लेक्स है, जिसकी सभी पंक्तियाँ हैं, तो कुल कॉम्प्लेक्स का है। एसाइक्लिक वर्गों के तीन प्राकृतिक उदाहरण हैं, हालांकि निस्संदेह अन्य मौजूद हैं। पहला होमोटॉपी संविदात्मक परिसरों का है। दूसरा एसाइक्लिक कॉम्प्लेक्स का है। फंकटर श्रेणियों में (जैसे। टोपोलॉजिकल स्पेस से लेकर अबेलियन समूहों तक सभी फंक्टरों की श्रेणी), परिसरों का एक वर्ग है जो प्रत्येक वस्तु पर सिकुड़ सकते हैं, लेकिन जहां संकुचन प्राकृतिक परिवर्तनों द्वारा नहीं दिए जा सकते हैं। एक अन्य उदाहरण फिर से फंक्टर श्रेणियों में है लेकिन इस बार परिसर केवल कुछ वस्तुओं पर चक्रीय हैं। आइए उन परिसरों के बीच श्रृंखला मानचित्रों के वर्ग को निरूपित करें जिनके मानचित्रण शंकु से संबंधित हैं। हालाँकि इसमें अनिवार्य रूप से दाएँ या बाएँ अंशों की गणना नहीं होती है, लेकिन इसमें बाएँ और दाएँ दोनों अंशों के समस्थानिक वर्ग होने के कमजोर गुण हैं जो तीरों को उलटकर प्राप्त वर्ग बनाने की अनुमति देते हैं। मान लीजिए कि एक संवर्धित एंडोफंक्टर चालू है, जिसका अर्थ है कि एक प्राकृतिक परिवर्तन (पहचान कार्य) दिया गया है। हम कहते हैं कि श्रृंखला परिसर-प्रस्तुत करने योग्य है यदि प्रत्येक के लिए, श्रृंखला परिसर संबंधित है। सीमा प्रचालक द्वारा दिया जाता है। हम कहते हैं कि यदि संवर्धित श्रृंखला परिसर से संबंधित है तो श्रृंखला परिसर कारक-चक्रीय है। प्रमेय। मान लीजिए कि श्रृंखला परिसरों की श्रेणी में एक चक्रीय वर्ग और तीरों का संबंधित वर्ग है। मान लीजिए कि यह-प्रस्तुत करने योग्य है और-चक्रीय है। फिर कोई भी प्राकृतिक परिवर्तन श्रेणी में चेन फ़ंक्टर्स के प्राकृतिक परिवर्तन तक फैलता है और यह चेन होमोटॉपी तक अद्वितीय है। यदि हम मान लेते हैं, इसके अलावा, वह है-प्रस्तुत करने योग्य, वह है-चक्रीय, और वह एक समरूपता है, तो समरूपता समतुल्यता है। यहाँ कार्रवाई में इस अंतिम प्रमेय का एक उदाहरण है। आइए त्रिकोणीय रिक्त स्थान की श्रेणी बनें और अबेलियन समूह की श्रेणी बनें जिन पर मूल्यवान कारक हैं। सिंगुलर चेन कॉम्प्लेक्स फ़ंक्टर बनें और सरल चेन कॉम्प्लेक्स फ़ंक्टर बनें। आइए वह फ़ंक्टर बनें जो प्रत्येक स्थान को स्थान आवंटित करता है। यहाँ,-सिम्प्लेक्स है और यह फ़ंक्टर प्रत्येक-सिम्प्लेक्स की उतनी ही प्रतियों के योग को निर्धारित करता है जितनी मानचित्र हैं। फिर इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक स्पष्ट वृद्धि है और यह एक को प्रेरित करता है। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों प्रस्तुत करने योग्य और चक्रीय हैं (जो प्रमाण प्रस्तुत करने योग्य और चक्रीय है वह पूरी तरह से सीधा नहीं है और सरल उपखंड के माध्यम से एक चक्कर का उपयोग करता है, जिसे उपरोक्त प्रमेय का उपयोग करके भी संभाला जा सकता है)। वर्ग समरूपता समानताओं का वर्ग है। यह स्पष्ट है कि और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एकवचन और सरल समरूपता समरूप हैं। बीजगणित और टोपोलॉजी दोनों में कई अन्य उदाहरण हैं, जिनमें से कुछ का वर्णन संदर्भ स्कोन, आर. "एसाइक्लिक मॉडल और एक्जिशन" में किया गया है। प्रो. आमेर। गणित। एस. सी. 59 (1) (1976) pp.167--168। बीजगणितीय टोपोलॉजी में समरूपीय बीजगणित प्रमेय