Small cancellation theory
समूह सिद्धांत के गणितीय विषय में, छोटे रद्दीकरण सिद्धांत समूह प्रस्तुतियों द्वारा दिए गए समूहों का अध्ययन करते हैं जो छोटी रद्दीकरण स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, यही वह जगह है जहाँ परिभाषित संबंधों में एक दूसरे के साथ "छोटे अतिव्यापी" होते हैं। छोटी रद्दीकरण स्थितियाँ समूह के बीजगणितीय, ज्यामितीय और एल्गोरिदमिक गुणों को दर्शाती हैं। सीमित रूप से प्रस्तुत समूह जो पर्याप्त रूप से मजबूत छोटी रद्दीकरण स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, वे शब्द अतिसंवेदनशील होते हैं और उनमें शब्द समस्या होती है जिसे डेहन के एल्गोरिदम द्वारा हल किया जा सकता है। टार्सकी राक्षसों के निर्माण और बर्नसाइड की समस्या के समाधान के लिए भी छोटे रद्द करने के तरीकों का उपयोग किया जाता है। छोटे रद्दीकरण सिद्धांत में अंतर्निहित कुछ विचार 1910 के दशक में मैक्स डेहन के काम पर वापस जाते हैं। डेहन ने साबित किया कि कम से कम दो वंशों की बंद उन्मुख सतहों के मौलिक समूहों में शब्द समस्या है जिसे अब डेहन एल्गोरिदम कहा जाता है। उनके प्रमाण में हाइपरबोलिक तल में ऐसे समूह का केली ग्राफ बनाना और केली ग्राफ में एक बंद लूप के लिए गॉस-बोनट प्रमेय के माध्यम से वक्रता अनुमान लगाना शामिल था ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि इस तरह के लूप में एक परिभाषित संबंध का एक बड़ा हिस्सा (आधे से अधिक) होना चाहिए। टार्टाकोव्स्की का 1949 का एक पेपर छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के लिए एक तत्काल अग्रदूत थाः इस पेपर ने संयोजन स्थितियों के एक जटिल समूह को संतुष्ट करने वाले समूहों के एक वर्ग के लिए समस्या शब्द का समाधान प्रदान किया, जहां छोटी रद्दीकरण प्रकार की धारणाओं ने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। छोटे रद्द करने के सिद्धांत का मानक संस्करण, जैसा कि आज भी उपयोग किया जाता है, मार्टिन ग्रीनलिंगर द्वारा 1960 के दशक की शुरुआत में पत्रों की एक श्रृंखला में विकसित किया गया था, जो मुख्य रूप से "मीट्रिक" छोटे रद्द करने की शर्तों से निपटते थे। विशेष रूप से, ग्रीनडलिंगर ने साबित किया कि सी ′ (1/6) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करने वाले परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों में डेहन के एल्गोरिथ्म द्वारा हल करने योग्य शब्द समस्या है। इस सिद्धांत को लिंडन, शुप और लिंडन-शुप के बाद के काम में और परिष्कृत और औपचारिक रूप दिया गया, जिन्होंने गैर-मीट्रिक छोटे रद्दीकरण स्थितियों के मामले का भी इलाज किया और समामेलित मुक्त उत्पादों और एचएनएन-विस्तार के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक संस्करण विकसित किया। छोटे रद्दीकरण सिद्धांत को आगे अलेक्जेंडर ओल्शान्स्की द्वारा सामान्यीकृत किया गया था, जिन्होंने इस सिद्धांत का एक "श्रेणीबद्ध" संस्करण विकसित किया था, जहां परिभाषित संबंधों का सेट एक निस्पंदन से लैस होता है और जहां एक विशेष श्रेणी के परिभाषित रिलेटर को उच्च श्रेणी के परिभाषित रिलेटर के साथ एक बड़े ओवरलैप की अनुमति दी जाती है। ओल्शास्की ने टार्स्की राक्षस सहित विभिन्न "राक्षस" समूहों के निर्माण के लिए श्रेणीबद्ध छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का उपयोग किया और यह भी एक नया प्रमाण दिया कि बड़े विषम प्रतिपादक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं (यह परिणाम मूल रूप से एडियन और नोविकोव द्वारा 1968 में अधिक संयोजन विधियों का उपयोग करके साबित किया गया था)। स्मॉल कैंसिलेशन थ्योरी ने शब्द-हाइपरबॉलिक समूहों के सिद्धांत के लिए उदाहरणों और विचारों का एक बुनियादी सेट प्रदान किया जिसे ग्रोमोव द्वारा 1987 के एक मौलिक मोनोग्राफ "हाइपरबॉलिक समूहों" में सामने रखा गया था। मुख्य परिभाषाएँ नीचे दी गई व्याख्या काफी हद तक Ch का अनुसरण करती है। लिंडन और शुप की पुस्तक का वी। टुकड़ों को एक समूह प्रस्तुति होने दें जहां R′F (X) मुक्त समूह F (X) में स्वतंत्र रूप से कम और चक्रीय रूप से कम किए गए शब्दों का एक समूह है जैसे कि R सममित है, यानी, चक्रीय क्रमपरिवर्तन और व्युत्क्रम लेने के तहत बंद है। एफ (एक्स) में एक गैर-तुच्छ स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्द यू को (आर) के संबंध में एक टुकड़ा कहा जाता है यदि आर में दो अलग-अलग तत्व आर1, आर2 मौजूद हैं जिनमें यू अधिकतम सामान्य प्रारंभिक खंड के रूप में है। ध्यान दें कि यदि एक समूह प्रस्तुति है जहां रिलेटर S को परिभाषित करने का सेट सममित नहीं है, तो हम हमेशा S का सममित बंद R ले सकते हैं, जहां R में S और S−1 के तत्वों के सभी चक्रीय क्रमपरिवर्तन होते हैं। फिर R को सममित किया जाता है और यह G. मीट्रिक छोटी रद्दीकरण स्थितियों की प्रस्तुति भी है मान लीजिए कि 0 <λ <1 है। जैसा कि ऊपर कहा गया है कि प्रस्तुति (ऱ्ऱं) को C′ (λ) छोटी रद्दीकरण शर्त को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी u (ऱ्ऱं) के संबंध में एक टुकड़ा है और u किसी r ω R का उपशब्द है, तो |u। <λ |r।। यहाँ |v। एक शब्द की लंबाई है। C′ (λ) शर्त को कभी-कभी मीट्रिक स्मॉल कैंसिलेशन कंडीशन कहा जाता है। गैर-मीट्रिक छोटी रद्दीकरण शर्तें मान लीजिए कि पी ≤ 3 एक पूर्णांक है। ऊपर के रूप में एक समूह प्रस्तुति (ऱ्ऱं) को सी (पी) छोटी रद्दीकरण शर्त को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी आर ω आर और जहां यूआई टुकड़े होते हैं और जहां उपरोक्त उत्पाद को स्वतंत्र रूप से लिखा जाता है, तो एम ω पी। मान लीजिए कि q ≤ 3 एक पूर्णांक है। ऊपर के रूप में एक समूह प्रस्तुति (ऱ्ऱं) को T (q) छोटी रद्दीकरण शर्त को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी 3 ≤ t <q और r1,., rt R में ऐसे होते हैं कि r1 ≤ r2 − 1,., rt ≤ r1 − 1 तो कम से कम एक उत्पाद r1r2,., rt − 1rt, rt1 को स्वतंत्र रूप से लिखित रूप में कम किया जाता है। ज्यामितीय रूप से, शर्त T (q) का अनिवार्य रूप से अर्थ है कि यदि D एक कम किया हुआ वैन काम्पेन आरेख है, तो कम से कम तीन डिग्री वाले D के प्रत्येक आंतरिक शीर्ष में वास्तव में कम से कम डिग्री q होती है। उदाहरणों में द्वितीय श्रेणी के मुक्त अबेलियन समूह की मानक प्रस्तुति दी गई है। फिर इस प्रस्तुति के सममित समापन के लिए केवल 1 लंबाई के शब्द हैं। यह सममित रूप सी (4)-टी (4) छोटी रद्दीकरण शर्तों और किसी भी 1> λ> 1/4 के लिए सी (λ) शर्त को संतुष्ट करता है। मान लीजिए, जहाँ k ≤ 2, जीनस k की एक बंद उन्मुख सतह के मौलिक समूह की मानक प्रस्तुति है। फिर इस प्रस्तुति के समरूपता के लिए केवल टुकड़े लंबाई 1 के शब्द हैं और यह समरूपता C′ (1/7) और C (8) छोटी रद्दीकरण शर्तों को संतुष्ट करती है। जाने दीजिए। फिर, व्युत्क्रम तक, इस प्रस्तुति के सममित संस्करण के लिए प्रत्येक टुकड़े का रूप बीएबजे या बीआई है, जहाँ 0 ≤ आई, जे ≤ 100 है। यह समरूपता C′ (1/20) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करती है। यदि एक सममित प्रस्तुति C′ (1/m) स्थिति को संतुष्ट करती है तो यह C (m) स्थिति को भी संतुष्ट करती है। मान लीजिए कि r ωF (X) एक गैर-तुच्छ चक्रीय रूप से कम किया गया शब्द है जो F (X) में उचित शक्ति नहीं है और मान लीजिए कि n ω2 है। फिर प्रस्तुति का सममित समापन C (2n) और C′ (1/n) छोटी रद्दीकरण शर्तों को संतुष्ट करता है। लघु रद्द करने के सिद्धांत के बुनियादी परिणाम ग्रीनलिंगर का सिद्धांत मीट्रिक लघु रद्द करने की स्थिति के संबंध में मुख्य परिणाम निम्नलिखित कथन है (Ch में प्रमेय 4.4 देखें। वी ऑफ) जिसे आमतौर पर ग्रीनडलिंगर का लेम्मा कहा जाता हैः मान लीजिए कि ऊपर के रूप में एक समूह प्रस्तुति C′ (λ) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करती है जहां 0 ≤ λ ≤ 1/6 है। मान लीजिए कि डब्ल्यू. एफ. (एक्स) एक गैर-तुच्छ स्वतंत्र रूप से कम किया गया शब्द है जैसे कि जी में डब्ल्यू = 1। फिर डब्ल्यू का एक उपशब्द वी और एक परिभाषित रिलेटर आर है जैसे कि वी भी आर का एक उपशब्द है और ध्यान दें कि धारणा λ ≤ 1/6 का तात्पर्य है कि (1−3λ) ≤ 1/2, ताकि डब्ल्यू में कुछ परिभाषित रिलेटर के आधे से अधिक उपशब्द हो। ग्रीनलिंगर का लेम्मा निम्नलिखित ज्यामितीय कथन के एक उपसंहार के रूप में प्राप्त किया जाता हैः ग्रीनलिंगर के लेम्मा की धारणाओं के तहत, मान लीजिए कि डी एक चक्रवाती रूप से कम सीमा लेबल के साथ (ऱ्ऱं) पर एक कम वैन काम्पेन आरेख है जिसमें डी में कम से कम दो क्षेत्र होते हैं। फिर डी में दो अलग-अलग क्षेत्र डी1 और डी2 मौजूद हैं जैसे कि जे = 1,2 के लिए क्षेत्र डीजे एक साधारण चाप में डी के सीमा चक्र डी को काटता है जिसकी लंबाई (1−3λ)। डीजे से बड़ी है। यह परिणाम बदले में डी के लिए एक दोहरे आरेख पर विचार करके साबित होता है। वहाँ एक वक्रता की एक संयुक्त धारणा को परिभाषित करता है (जो, छोटी रद्दीकरण धारणाओं द्वारा, प्रत्येक आंतरिक शीर्ष पर नकारात्मक है), और फिर एक गौस-बोनट प्रमेय का एक संयुक्त संस्करण प्राप्त करता है। ग्रीनलिंगर का सिद्धांत इस विश्लेषण के परिणामस्वरूप साबित होता है और इस तरह प्रमाण सतह समूहों के मामले में डेहन के मूल प्रमाण के विचारों को उजागर करता है। डेहन का एल्गोरिथ्म किसी भी सममित समूह प्रस्तुति (ऱ्ऱं) के लिए, निम्नलिखित अमूर्त प्रक्रिया को डेहन का एल्गोरिथ्म कहा जाता हैः X ±1 पर एक स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्द डब्ल्यू को देखते हुए, स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्दों डब्ल्यू = डब्ल्यू0, डब्ल्यू1, डब्ल्यू2 का एक अनुक्रम बनाएँ। मान लीजिए कि डब्ल्यूजे पहले से ही निर्मित है। यदि यह खाली शब्द है, तो एल्गोरिथ्म को समाप्त करें। अन्यथा जाँच करें कि क्या डब्ल्यूजे में एक उपशब्द वी है जैसे कि वी भी कुछ परिभाषित रिलेटर आर = वीयू आर का एक उपशब्द है जैसे कि |v।> |r।// 2। यदि नहीं, तो आउटपुट डब्ल्यूजे के साथ एल्गोरिथ्म को समाप्त करें। यदि हाँ, तो डब्ल्यूजे में वी को यू-1 से बदलें, फिर स्वतंत्र रूप से कम करें, परिणामस्वरूप स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्द को डब्ल्यूजे + 1 से निरूपित करें और एल्गोरिथ्म के अगले चरण पर जाएं। ध्यान दें कि हमारे पास हमेशा |w 0।> |w1।> |w 2।> होता है जिसका अर्थ है कि प्रक्रिया को अधिकतम |w। चरणों में समाप्त होना चाहिए। इसके अलावा, सभी शब्द डब्ल्यूजे जी के एक ही तत्व का प्रतिनिधित्व करते हैं जैसा कि डब्ल्यू करता है और इसलिए यदि प्रक्रिया खाली शब्द के साथ समाप्त होती है, तो डब्ल्यू जी के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है। एक का कहना है कि एक सममित प्रस्तुति के लिए डेहन का एल्गोरिथ्म जी में शब्द समस्या को हल करता है यदि विपरीत भी सही है, यानी यदि एफ (एक्स) में किसी भी स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्द डब्ल्यू के लिए यह शब्द जी के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है यदि और केवल तभी जब डेहन का एल्गोरिथ्म, डब्ल्यू से शुरू होता है, खाली शब्द में समाप्त होता है। ग्रीनलिंगर के लेम्मा का तात्पर्य है कि एक सी′ (1/6) प्रस्तुति के लिए डेहन का एल्गोरिथ्म शब्द समस्या को हल करता है। यदि एक C′ (1/6) प्रस्तुति (ऱ्ऱं) परिमित है (अर्थात X और R दोनों सीमित हैं), तो डेहन का एल्गोरिथ्म पुनरावृत्ति सिद्धांत के अर्थ में एक वास्तविक गैर-निर्धारक एल्गोरिथ्म है। हालाँकि, भले ही (ऱ्ऱं) एक अनंत C′ (1/6) प्रस्तुति है, डेहन का एल्गोरिथ्म, जिसे एक अमूर्त प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है, फिर भी सही ढंग से तय करता है कि जनरेटर X ±1 में एक शब्द G के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है या नहीं। आर के एक न्यूनतम उपसमुच्चय एस पर विचार करें ताकि एस का सममित समापन आर के बराबर हो। इस प्रकार यदि आर और एस एस के अलग-अलग तत्व हैं तो आर एस ± 1 का चक्रीय क्रमपरिवर्तन नहीं है और जी के लिए एक और प्रस्तुति है। मान लीजिए कि वाई इस प्रस्तुति के लिए प्रस्तुति परिसर है। फिर (देखें और प्रमेय 13.3 इंच), (ऱ्ऱं) पर उपरोक्त मान्यताओं के तहत, Y, G के लिए एक वर्गीकृत स्थान है, जो कि G = π1 (Y) है और Y का सार्वभौमिक आवरण संकुचन योग्य है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि जी मरोड़-मुक्त है और इसका कोहोमोलॉजिकल आयाम दो है। अधिक सामान्य वक्रता अधिक आम तौर पर, किसी भी वैन काम्पेन आरेख पर विभिन्न प्रकार की स्थानीय "वक्रता" को परिभाषित करना संभव है-बहुत मोटे तौर पर-की औसत अधिकता (जो, यूलर के सूत्र के अनुसार, कुल 2 होनी चाहिए) और, एक विशेष समूह में, यह दिखाकर कि यह हमेशा आंतरिक रूप से गैर-सकारात्मक (या-इससे भी बेहतर-नकारात्मक) है, यह दर्शाता है कि वक्रता सभी सीमा पर या उसके पास होनी चाहिए और इस तरह समस्या शब्द का समाधान प्राप्त करने का प्रयास करें। इसके अलावा, कोई भी उन आरेखों पर ध्यान केंद्रित कर सकता है जिनमें "क्षेत्रों" का कोई भी समूह नहीं होता है जैसे कि एक ही सीमा के साथ एक "छोटा" क्षेत्र होता है। छोटे रद्दीकरण समूहों के अन्य बुनियादी गुण मान लीजिए (ऱ्ऱं) एक C′ (1/6) प्रस्तुति है। फिर G में एक तत्व g का क्रम n> 1 है यदि और केवल तभी जब F (X) में r = sn के रूप में R में एक रिलेटर r है जैसे कि g, G में s के लिए संयुग्मित है। विशेष रूप से, यदि R के सभी तत्व F (X) में उचित शक्तियां नहीं हैं तो G मरोड़-मुक्त है। यदि एक परिमित C′ (1/6) प्रस्तुति है, तो समूह G शब्द-अतिसंवेदनशील है। यदि R और S, F (X) में समान सामान्य समापन के साथ F (X) के परिमित सममित उपसमुच्चय हैं, जैसे कि दोनों प्रस्तुतियाँ और C′ (1/6) शर्त को संतुष्ट करते हैं, तो R = S। यदि एक सीमित प्रस्तुति C′ (1/6), C′ (1/4)-T (4), C (6), C (4)-T (4), C (3)-T (6) में से किसी एक को संतुष्ट करती है, तो समूह G में हल करने योग्य शब्द समस्या और हल करने योग्य संयुग्मता समस्या होती है। परिमित रूप से प्रस्तुत सी. ′ (1/6) छोटे रद्दीकरण समूह शब्द-अतिसंवेदनशील समूहों के बुनियादी उदाहरण हैं। शब्द-अतिसंवेदनशील समूहों के समतुल्य लक्षण वर्णनों में से एक वे हैं जो सीमित प्रस्तुतियों को स्वीकार करते हैं जहां डेहन का एल्गोरिथ्म शब्द समस्या को हल करता है। सीमित सी (4)-टी (4) प्रस्तुतियों द्वारा दिए गए सीमित रूप से प्रस्तुत समूह जहां प्रत्येक टुकड़े की लंबाई होती है, कैट (0) समूहों के बुनियादी उदाहरण हैंः इस तरह की प्रस्तुति के लिए प्रस्तुति परिसर का सार्वभौमिक आवरण एक कैट (0) वर्ग परिसर है। छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के प्रारंभिक अनुप्रयोगों में विभिन्न अंतर्निहितता परिणाम प्राप्त करना शामिल है। उदाहरणों में सेसरडोट और शुप का 1974 का एक पेपर शामिल है जिसमें इस बात का प्रमाण है कि कम से कम तीन जनरेटर वाला प्रत्येक एक-रिलेटर समूह एसक्यू-सार्वभौमिक है और शुप का 1976 का एक पेपर इस प्रमाण के साथ है कि प्रत्येक गणना योग्य समूह को एक सरल समूह में एम्बेड किया जा सकता है जो क्रम दो के एक तत्व और क्रम तीन के एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। एलियाहु रिप्स के कारण तथाकथित रिप्स निर्माण, शब्द-अतिसंवेदनशील समूहों के विभिन्न उपसमूह गुणों के संबंध में प्रति-उदाहरणों का एक समृद्ध स्रोत प्रदान करता हैः एक मनमाने ढंग से परिमित रूप से प्रस्तुत समूह क्यू को देखते हुए, निर्माण एक छोटा सटीक अनुक्रम उत्पन्न करता है जहां के दो-उत्पन्न होता है और जहां जी मरोड़-मुक्त होता है और एक परिमित सी ′ (1/6)-प्रस्तुति द्वारा दिया जाता है (और इस प्रकार जी शब्द-अतिसंवेदनशील है)। निर्माण से शब्द-अतिसंवेदनशील समूहों के लिए कई एल्गोरिदमिक समस्याओं की अघुलनशीलता का प्रमाण मिलता है, जिसमें उपसमूह सदस्यता समस्या, पीढ़ी समस्या और श्रेणी समस्या शामिल हैं। इसके अलावा, कुछ अपवादों के साथ, रिप्स निर्माण में समूह के सीमित रूप से प्रस्तुत करने योग्य नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि ऐसे शब्द-अतिसंवेदनशील समूह मौजूद हैं जो सुसंगत नहीं हैं जिसमें ऐसे उपसमूह होते हैं जो परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं लेकिन सीमित रूप से प्रस्तुत करने योग्य नहीं होते हैं। टार्सकी राक्षस सहित विभिन्न "राक्षस" समूहों के निर्माण के लिए ओल्शान्स्की द्वारा छोटे रद्द करने के तरीकों (अनंत प्रस्तुतियों के लिए) का उपयोग किया गया था और यह भी प्रमाण देने के लिए कि बड़े विषम प्रतिपादक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं (एक समान परिणाम मूल रूप से एडियन और नोविकोव द्वारा 1968 में अधिक संयोजन विधियों का उपयोग करके साबित किया गया था)। ओल्शान्स्की द्वारा इन विधियों का उपयोग करके बनाए गए कुछ अन्य "राक्षस" समूहों में शामिल हैंः एक अनंत सरल नोथेरियन समूह; एक अनंत समूह जिसमें प्रत्येक उचित उपसमूह का अभाज्य क्रम होता है और एक ही क्रम के कोई भी दो उपसमूह संयुग्मित होते हैं; एक गैर-सक्षम समूह जहां प्रत्येक उचित उपसमूह चक्रीय होता है; और अन्य। बौडिच ने यह साबित करने के लिए अनंत छोटी रद्दीकरण प्रस्तुतियों का उपयोग किया कि दो-जनरेटर समूहों के कई अर्ध-सममिति प्रकार लगातार मौजूद हैं। थॉमस और वेलिकोविक ने दो गैर-होमोमोर्फिक एसिम्प्टोटिक शंकुओं के साथ एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह का निर्माण करने के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का उपयोग किया, इस प्रकार ग्रोमोव के एक प्रश्न का उत्तर दिया। मैककैमंड और वाइज ने दिखाया कि रिप्स निर्माण से उत्पन्न कठिनाइयों को कैसे दूर किया जाए और छोटे रद्दीकरण समूहों के बड़े वर्गों का उत्पादन किया जाए जो सुसंगत हैं (यही वह जगह है जहाँ सभी परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूहों को परिमित रूप से प्रस्तुत किया जाता है) और इसके अलावा, स्थानीय रूप से क्वासिकोनेक्स (यही वह जगह है जहाँ सभी परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूह क्वासिकोनेक्स हैं)। छोटे रद्द करने के तरीके "सामान्य" या "यादृच्छिक" सीमित रूप से प्रस्तुत समूहों के विभिन्न मॉडलों के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं (देखें)। विशेष रूप से, जनरेटर की एक निश्चित संख्या m ≤ 2 और संबंधों को परिभाषित करने की एक निश्चित संख्या t ≤ 1 के लिए और किसी भी λ <1 के लिए एक यादृच्छिक m-जनरेटर t-रिलेटर समूह C′ (λ) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है। यहां तक कि अगर परिभाषित संबंधों की संख्या t निश्चित नहीं है, लेकिन (2m−1) εn के रूप में बढ़ती है (जहां ε "यादृच्छिक" समूहों के ग्रोमोव के घनत्व मॉडल में निश्चित घनत्व पैरामीटर है, और जहां परिभाषित संबंधों की लंबाई है), तो एक ε-यादृच्छिक समूह प्रदान की गई C′ (1/6) शर्त को संतुष्ट करता है ε <1/12। ग्रोमोव ने एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के अस्तित्व को साबित करने के लिए एक ग्राफ के संबंध में छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के एक संस्करण का उपयोग किया जिसमें विस्तारकों का एक अनंत अनुक्रम शामिल है और इसलिए हिल्बर्ट स्थान में एक समान एम्बेडिंग को स्वीकार नहीं करता है। यह परिणाम नोविकोव अनुमान के प्रति-उदाहरणों की खोज के लिए एक दिशा (अब तक उपलब्ध एकमात्र) प्रदान करता है। ओसिन ने अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक समूहों के लिए थर्स्टन के हाइपरबोलिक डेहन सर्जरी प्रमेय के अनुरूप प्राप्त करने के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के सामान्यीकरण का उपयोग किया। सामान्यीकरण समामेलित मुक्त उत्पादों और एच. एन. एन. विस्तार के भागफल समूहों के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक संस्करण सैसरडोट और शुप के पेपर में और फिर लिंडन और शुप की पुस्तक में विकसित किया गया था। रिप्स और ओल्शान्स्की ने छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक "स्तरीकृत" संस्करण विकसित किया जहां रिलेटरों के समूह को स्तर के आरोही संघ के रूप में फ़िल्टर किया जाता है (प्रत्येक स्तर एक छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है) और कुछ स्तर से एक रिलेटर आर और एक उच्च स्तर से एक रिलेटर एस के लिए उनका अतिव्यापी |s। के संबंध में छोटा होना आवश्यक है लेकिन |r। के संबंध में बड़ा होने की अनुमति है। इस सिद्धांत ने ओल्शान्स्की को टार्स्की राक्षस सहित विभिन्न "राक्षस" समूहों का निर्माण करने और एक नया प्रमाण देने की अनुमति दी कि बड़े विषम प्रतिपादक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं। ओल्शान्स्की और डेल्ज़ेंट ने बाद में शब्द-अतिसंवेदनशील समूहों के उद्धरणों के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के संस्करण विकसित किए। मैककैमंड ने छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक उच्च-आयामी संस्करण प्रदान किया। मैककैमंड और वाइज ने छोटे रद्दीकरण प्रस्तुतियों पर वैन काम्पेन आरेखों की ज्यामिति के संबंध में मानक छोटे रद्दीकरण सिद्धांत (जैसे ग्रीनलिंगर के लेम्मा) के बुनियादी परिणामों को काफी आगे बढ़ाया। ग्रोमोव ने एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के अस्तित्व को साबित करने के लिए एक ग्राफ के संबंध में छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के एक संस्करण का उपयोग किया जिसमें विस्तारकों का एक अनंत अनुक्रम शामिल है और इसलिए हिल्बर्ट स्थान में एक समान एम्बेडिंग को स्वीकार नहीं करता है। ओसिन ने अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक समूहों के उद्धरणों के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक संस्करण दिया और इसका उपयोग थर्स्टन के हाइपरबोलिक डेहन सर्जरी प्रमेय के अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक सामान्यीकरण को प्राप्त करने के लिए किया। बुनियादी संदर्भ रोजर लिंडन और पॉल शुप, संयोजन समूह सिद्धांत। 1977 के संस्करण का पुनर्मुद्रण। गणित में क्लासिक्स। स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन, 2001. अलेक्जेंडर यू। ओल्शान्स्की, समूहों में संबंधों को परिभाषित करने की ज्यामिति। यू द्वारा 1989 के मूल रूसी से अनुवादित। ए. बख्तुरिन। गणित और उसके अनुप्रयोग (सोवियत श्रृंखला), 70. क्लूवर अकादमिक प्रकाशक समूह, डोरड्रेक्ट, 1991. राल्फ स्ट्रेबेल, परिशिष्ट। छोटे रद्दीकरण समूह। सुर लेस ग्रुप्स हाइपरबोलिक डी 'एप्रस मिखाइल ग्रोमोव (बर्न, 1988), पीपी। 227-273, गणित में प्रगति, 83, बिर्खौसर बोस्टन, बोस्टन, मैसाचुसेट्स, 1990. मिले क्राजेव्स्की, विमान के टिलिंग्स, हाइपरबोलिक समूह और छोटी रद्दीकरण स्थितियाँ। मेमोयर्स ऑफ द अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, वॉल्यूम। 154 (2001), नं. 733. ज्यामितीय समूह सिद्धांत शब्द-अनुदार समूह टार्स्की राक्षस समूह बर्नसाइड समस्या परिमित रूप से प्रस्तुत समूह शब्द समस्या समूहों के लिए वैन काम्पेन आरेख टिप्पणियाँ समूह सिद्धांत ज्यामितीय समूह सिद्धांत शब्दों पर संयोजन