Associahedron
गणित में, एक एसोसिएहेड्रॉन एक आयामी उत्तल पॉलीटोप है जिसमें प्रत्येक शीर्ष अक्षरों की एक स्ट्रिंग में कोष्ठक को सही ढंग से खोलने और बंद करने के तरीके से मेल खाता है, और किनारे एसोसिएटिविटी नियम के एकल अनुप्रयोग के अनुरूप हैं। समान रूप से, एक असोकियाहेड्रॉन के शीर्ष भुजाओं के साथ एक नियमित बहुभुज के त्रिकोण के अनुरूप होते हैं और किनारे किनारे के फ़्लिप के अनुरूप होते हैं जिसमें एक एकल विकर्ण को एक त्रिकोण से हटा दिया जाता है और एक अलग विकर्ण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एसोसिएहेड्रा को जिम स्टैशेफ के काम के बाद स्टैशेफ पॉलीटोप भी कहा जाता है, जिन्होंने 1960 के दशक की शुरुआत में डॉव तामारी द्वारा उन पर पहले काम करने के बाद उन्हें फिर से खोजा था। उदाहरण एक-आयामी एसोसियाहेड्रन K3 तीन प्रतीकों के दो कोष्ठक ((xy) z) और (x (yz)) या एक वर्ग के दो त्रिकोणों का प्रतिनिधित्व करता है। यह अपने आप में एक लाइन सेगमेंट है। द्वि-आयामी एसोकियाहेड्रन के4 चार प्रतीकों के पाँच कोष्ठकों, या एक नियमित पंचभुज के पाँच त्रिकोणों का प्रतिनिधित्व करता है। यह अपने आप में एक पंचभुज है और एक एकल श्रेणी के पंचभुज आरेख से संबंधित है। त्रि-आयामी एसोसियाहेड्रन के5 नौ चेहरों (तीन असंबद्ध चतुर्भुज और छह पेंटागन) और चौदह शीर्षों के साथ एक एननियाहेड्रन है, और इसका दोहरा त्रिकोणीय प्रिज्म है। प्रारंभ में जिम स्टैशेफ ने इन वस्तुओं को वक्ररेखीय पॉलीटोप माना। इसके बाद, उन्हें कई अलग-अलग तरीकों से उत्तल पॉलीटोप के रूप में निर्देशांक दिए गए; एक सर्वेक्षण के लिए परिचय देखें। एसोसियाहेड्रॉन को प्राप्त करने की एक विधि एक नियमित बहुभुज के द्वितीयक पॉलीटोप के रूप में है। इस संरचना में, n + 1 भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक त्रिकोण (n + 1)-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक बिंदु से मेल खाता है, जिसका ith निर्देशांक बहुभुज के ith शीर्ष पर त्रिकोणों का कुल क्षेत्रफल है। उदाहरण के लिए, इकाई वर्ग के दो त्रिकोण इस तरह से निर्देशांक (1,1/2,1,1/2) और (1/2,1/2,1) के साथ दो चार आयामी बिंदुओं को जन्म देते हैं। इन दो बिंदुओं का उत्तल पतवार एसोसियाहेड्रोन के3 की प्राप्ति है। हालाँकि यह एक 4-आयामी स्थान में रहता है, यह उस स्थान के भीतर एक रेखा खंड (एक 1-आयामी पॉलीटोप) बनाता है। इसी तरह, एसोसियाहेड्रॉन K4 को इस तरह से पाँच-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक नियमित पंचभुज के रूप में महसूस किया जा सकता है, जिसका शीर्ष निर्देशांक वेक्टर (1,2 + φ, 1,1 + φ, 1 + φ) के चक्रीय क्रमपरिवर्तन हैं जहां φ सुनहरे अनुपात को दर्शाता है। चूँकि एक नियमित षट्कोण के भीतर संभावित त्रिभुजों में ऐसे क्षेत्र होते हैं जो एक दूसरे के पूर्णांक गुणक होते हैं, इस निर्माण का उपयोग त्रि-आयामी एसोसिहेड्रॉन K5 को पूर्णांक निर्देशांक (छह आयामों में) देने के लिए किया जा सकता है; हालाँकि (जैसा कि K4 का उदाहरण पहले से ही दिखाता है) यह निर्माण सामान्य रूप से निर्देशांक के रूप में अपरिमेय संख्याओं की ओर ले जाता है। जीन-लुई लोडे के कारण एक और उपलब्धि, एन-पत्ती वाले द्विआधारी पेड़ों के साथ एसोसियाहेड्रॉन के शीर्षों के पत्राचार पर आधारित है, और सीधे (एन-2)-आयामी स्थान में पूर्णांक निर्देशांक का उत्पादन करती है। लोडे की प्राप्ति का ith निर्देशांक ऐबी है, जहां ऐ पेड़ के आंतरिक नोड (बाएं से दाएं क्रम में) के बाएं बच्चे के पत्ते के वंशजों की संख्या है और बी दाएं बच्चे के पत्ते के वंशजों की संख्या है। एक पॉलीटोप के रूप में सीधे (एन-2)-आयामी स्थान में एसोसियाहेड्रॉन को प्राप्त करना संभव है, जिसके लिए सभी चेहरे के सामान्य वैक्टरों के निर्देशांक 0, + 1, या-1 हैं। ऐसा करने के तेजी से कई संयुक्त रूप से अलग तरीके हैं। क्योंकि के5 केवल शीर्षों के साथ एक बहुफलक है जिसमें 3 किनारे एक साथ आते हैं, इसलिए एक हाइड्रोकार्बन का अस्तित्व (प्लेटोनिक हाइड्रोकार्बन के समान) संभव है जिसकी रासायनिक संरचना को के5 के कंकाल द्वारा दर्शाया जाता है। इस "एसोसियाहेड्रेन" C14H14 में स्माइल्स संकेतन होगाः C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78। इसके किनारे लगभग बराबर लंबाई के होंगे, लेकिन जरूरी नहीं कि प्रत्येक चेहरे के शीर्ष सह-समतल हों। वास्तव में, के5 एक निकट-चूक जॉनसन ठोस हैः ऐसा लगता है कि वर्गों और नियमित पेंटागन से बनाना संभव हो सकता है, लेकिन ऐसा नहीं है। या तो शीर्ष काफी सह-समतल नहीं होंगे, या चेहरों को नियमितता से थोड़ा दूर विकृत करना होगा। के-चेहरों की संख्या n (Kn + 1) क्रम के एसोसियाहेड्रॉन के (n−k)-आयामी चेहरों की संख्या दाईं ओर दिखाए गए संख्या त्रिकोण (n, k) द्वारा दी गई है। Kn + 1 में शीर्षों की संख्या n-th कैटलन संख्या (त्रिकोण में दाएँ विकर्ण) है। Kn + 1 (n ≤ 2 के लिए) में पहलुओं की संख्या n-th त्रिकोणीय संख्या माइनस एक (त्रिकोण में दूसरा स्तंभ) है, क्योंकि प्रत्येक पहलू n वस्तुओं के 2-सबसेट से मेल खाता है जिनके समूह तामारी जाली Tn बनाते हैं, 2-सबसेट को छोड़कर जिसमें पहला और अंतिम तत्व होता है। सभी आयामों के चेहरों की संख्या (एक चेहरे के रूप में स्वयं एसोसिएहेड्रॉन सहित, लेकिन खाली सेट को शामिल नहीं करते हुए) एक श्रोडर-हिप्पार्कस संख्या (त्रिकोण की पंक्ति योग) है। व्यास 1980 के दशक के उत्तरार्ध में, घूर्णन दूरी की समस्या के संबंध में, डैनियल स्लेटर, रॉबर्ट टार्जन और विलियम थर्स्टन ने एक प्रमाण प्रदान किया कि एन-आयामी एसोसियाहेड्रॉन केएन + 2 का व्यास असीम रूप से कई एन के लिए अधिकतम 2एन-4 है और एन के सभी "बड़े पर्याप्त" मानों के लिए। उन्होंने यह भी साबित किया कि यह ऊपरी सीमा तंग है जब एन पर्याप्त बड़ा है, और अनुमान लगाया कि "बड़े पर्याप्त" का अर्थ है "सख्ती से 9 से बड़ा"। इस अनुमान को 2012 में लियोनेल पोर्निन द्वारा साबित किया गया था। फैलाव आयाम 2017 में, मिज़ेरा और अर्कानी-हमीद आदि। यह दर्शाता है कि द्वि-संयुक्त घन स्केलर सिद्धांत के लिए प्रकीर्णन आयाम के सिद्धांत में एसोसियाहेड्रॉन एक केंद्रीय भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, प्रकीर्णन गतिविज्ञान के स्थान में एक एसोसियाहेड्रॉन मौजूद है, और वृक्ष स्तर का प्रकीर्णन आयाम दोहरे एसोसियाहेड्रॉन का आयतन है। एसोकियाहेड्रन स्ट्रिंग सिद्धांत में खुले और बंद तारों के प्रकीर्णन आयामों के बीच संबंधों को समझाने में भी मदद करता है। साइक्लोहेड्रॉन को भी देखें, एक पॉलीटोप जिसकी परिभाषा कोष्ठक को चक्रीय क्रम में लपेटने की अनुमति देती है। फ़्लिप ग्राफ, एसोसियाहेड्रॉन के 1-कंकाल का एक सामान्यीकरण है। पर्मूटोहेड्रॉन, एक पॉलीटोप जिसे कम्यूटेटिविटी से उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे एसोसिएटिविटी से एसोसिएहेड्रॉन की परिभाषा। पर्मूटोआसोसिएहेड्रन, एक पॉलीटोप जिसके शीर्ष कोष्ठक क्रमपरिवर्तन हैं। तामारी जाली, एक जाली जिसका ग्राफ एसोसियाहेड्रॉन का कंकाल है। संदर्भ बाहरी लिंक अजीब संघ-एसोसियाहेड्रॉन पर एसोसियाहेड्रा ज़िगलर के व्याख्यान के बारे में ए. एम. एस. कॉलम। बार्सिलोना के स्वायत्त विश्वविद्यालय में गुंटर ज़िगलर के एक व्याख्यान से नोट्स, 2009। एसोसियाहेड्रा और साइक्लोहेड्रा पर व्याख्यान। एम. एस. आर. आई. व्याख्यान नोट्स। पॉलीटोप