Population balance equation
आधुनिक विज्ञान की कई शाखाओं में, मुख्य रूप से रासायनिक इंजीनियरिंग में, कणों की आबादी के विकास का वर्णन करने के लिए जनसंख्या संतुलन समीकरण (पी. बी. ई.) पेश किए गए हैं। इसमें क्रिस्टलीकरण, लीचिंग (धातु विज्ञान), तरल-तरल निष्कर्षण, गैस-तरल फैलाव जैसे जल इलेक्ट्रोलिसिस, तरल-तरल प्रतिक्रियाएं, कम्यून्यूशन, एयरोसोल इंजीनियरिंग, जीव विज्ञान (जहां अलग-अलग इकाइयां उनके आकार या इंट्रासेल्युलर प्रोटीन के आधार पर कोशिकाएं हैं), पोलीमराइजेशन आदि जैसे विषय शामिल हैं। जनसंख्या संतुलन समीकरणों को स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण के विस्तार के रूप में व्युत्पन्न कहा जा सकता है जो केवल कणों के संयोजन का वर्णन करता है। पी. बी. ई., आम तौर पर, परिभाषित करते हैं कि समय के साथ विशिष्ट गुणों में अलग-अलग संस्थाओं की आबादी कैसे विकसित होती है। वे समाकलन-आंशिक विभेदक समीकरणों का एक समूह है जो स्थानीय स्थितियों में एकल कण के व्यवहार के विश्लेषण से कणों की आबादी का औसत-क्षेत्र व्यवहार देता है। पार्टिकुलेट सिस्टम कणों के जन्म और मृत्यु की विशेषता है। उदाहरण के लिए, वर्षा प्रक्रिया (तरल विलयन से ठोस का निर्माण) पर विचार करें जिसमें उप-प्रक्रियाएँ नाभिकीकरण, एकत्रीकरण, टूटना आदि होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक विशेष त्रिज्या के कणों की संख्या में वृद्धि या कमी होती है (गोलाकार कणों का गठन मानते हुए)। जनसंख्या संतुलन और कुछ नहीं बल्कि एक विशेष अवस्था के कणों की संख्या पर एक संतुलन है (इस उदाहरण में, आकार)। पी. बी. ई. का सूत्रीकरण कण अवस्था सदिश (x, r) द्वारा निरूपित कण गुणों वाले कणों की औसत संख्या पर विचार करें (जहाँ x आकार, घनत्व आदि जैसे कण गुणों से मेल खाता है। आंतरिक निर्देशांक के रूप में भी जाना जाता है और, r स्थानिक स्थिति या बाहरी निर्देशांक से मेल खाता है) जो एक चरण सदिश Y (r, t) द्वारा परिभाषित एक निरंतर चरण में फैला हुआ है (जो फिर से ऐसे सभी सदिशों का एक कार्य है जो विभिन्न स्थानों पर चरण गुणों को दर्शाते हैं) को f (x, r, t) द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए यह गुण और अंतरिक्ष क्षेत्रों में कण विशेषताओं को दर्शाता है। मान लीजिए कि एच (एक्स, आर, वाई, टी) कण अवस्था स्थान के प्रति इकाई आयतन कणों की जन्म दर को दर्शाता है, इसलिए संख्या संरक्षण को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि यह पी. बी. ई. का एक सामान्यीकृत रूप है। पी. बी. ई. मोंटे कार्लो विधियों का समाधान, विवेचना विधियों और क्षण विधियों का उपयोग मुख्य रूप से इन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। चयन अनुप्रयोग और कम्प्यूटिंग बुनियादी ढांचे पर निर्भर करता है। आंशिक विभेदक समीकरण गणितीय और सैद्धांतिक जीव विज्ञान