Banach–Mazur compactum
कार्यात्मक विश्लेषण के गणितीय अध्ययन में, बनाच-मजूर दूरी आयामी मानकीकृत रिक्त स्थान के सेट पर दूरी को परिभाषित करने का एक तरीका है। इस दूरी के साथ, आयामी मानकीकृत रिक्त स्थान के सममिति वर्गों का समूह एक सघन मीट्रिक स्थान बन जाता है, जिसे बनाच-मजूर कॉम्पैक्टम कहा जाता है। परिभाषाएँ यदि और एक ही आयाम वाले दो परिमित-आयामी मानकीकृत रिक्त स्थान हैं, तो आइए सभी रैखिक समरूपताओं के संग्रह को निरूपित करें जो इस तरह के रैखिक मानचित्र के प्रचालक मानक द्वारा निरूपित होता है-वह अधिकतम कारक जिसके द्वारा यह वैक्टर को "लंबा" करता है। और के बीच बनाच-मज़ूर की दूरी को परिभाषित किया गया है हमारे पास अगर और केवल तभी है जब रिक्त स्थान और सममितीय रूप से समरूप हैं। मीट्रिक δ से लैस, आयामी मानक रिक्त स्थान के सममिति वर्गों का स्थान एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान बन जाता है, जिसे बनाच-मजूर कॉम्पैक्टम कहा जाता है। कई लेखक गुणक बनाच-मजूर दूरी के साथ काम करना पसंद करते हैं जिसके लिए और एक उत्तल पिंड में निहित अधिकतम दीर्घवृत्त पर गुण एफ. जॉन की प्रमेय अनुमान देती हैः जहां यूक्लिडियन मानक के साथ दर्शाता है (रिक्त स्थान पर लेख देखें)। इससे यह पता चलता है कि सभी के लिए हालांकि, शास्त्रीय रिक्त स्थान के लिए, व्यास के लिए यह ऊपरी सीमा संपर्क करने से बहुत दूर है। उदाहरण के लिए, और के बीच की दूरी (केवल) क्रम की है (आयाम से स्वतंत्र एक गुणक स्थिरांक तक)। व्यास का अनुमान लगाने की दिशा में एक बड़ी उपलब्धि ई. ग्लुस्किन के कारण है, जिन्होंने 1981 में साबित किया कि बनाच-मजूर कॉम्पैक्टम का (गुणक) व्यास कुछ सार्वभौमिक ग्लुस्किन की विधि के लिए नीचे से घिरा हुआ है, जिसमें यादृच्छिक सममित पॉलीटोप का एक वर्ग और मानक रिक्त स्थान हैं जो इकाई गेंद के रूप में हैं (वेक्टर स्थान है और मानक इसका माप है)। प्रमाण में यह दिखाना शामिल है कि मानकीकृत स्थान की दो स्वतंत्र प्रतियों के लिए एक पूर्ण विस्तारक होने की बड़ी संभावना के साथ आवश्यक अनुमान सही है। दूसरी ओर, एक हिल्बर्ट घन के लिए समरूप नहीं है। नोट्स संदर्भ भी देखें https://planetmath.org/BanachMazurCompactum क्यूब के लिए बनाच-मज़ूर की दूरी पर एक टिप्पणी बनाच-मज़ूर कॉम्पैक्टम एक हिल्बर्ट क्यूब मैनिफोल्ड कार्यात्मक विश्लेषण मीट्रिक ज्यामिति मीट्रिक रिक्त स्थान का अलेक्जेंड्रॉफ कॉम्पैक्टिफिकेशन है।