3 31 honeycomb
7-आयामी ज्यामिति में, 331 मधुकोश एक समान मधुकोश है, जिसे श्लाफली प्रतीक {3,3,3,33,1} द्वारा भी दिया गया है और यह 321 और 7-जटिल पहलुओं से बना है, जिनमें से प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर क्रमशः 56 और 576 हैं। निर्माण यह 7-आयामी स्थान में 8 हाइपरप्लेन दर्पणों के एक सेट पर एक विथोफ निर्माण द्वारा बनाया गया है। पहलू की जानकारी को इसके कॉक्सेटर-डिंकिन आरेख से निकाला जा सकता है। छोटी शाखा पर नोड को हटाने से 6-सरल पहलू निकल जाता हैः 3-लंबाई वाली शाखा के अंत में नोड को हटाने से 321 पहलू निकल जाता हैः शीर्ष आकृति रिंग वाले नोड को हटाकर और पड़ोसी नोड को बजाकर निर्धारित की जाती है। यह 233 पॉलीटोप बनाता है। किनारे की आकृति रिंग वाले नोड को हटाकर और पड़ोसी नोड को बजाकर निर्धारित की जाती है। यह 6-डेमिक्यूब (131) बनाता है। रिंग वाले नोड को हटाकर और पड़ोसी नोड को बजाकर चेहरे की आकृति निर्धारित की जाती है। यह संशोधित 5-सिम्प्लेक्स (031) बनाता है। कोशिका आकृति का निर्धारण चेहरे की आकृति के रिंग वाले नोड को हटाकर और पड़ोसी नोड्स को बजाकर किया जाता है। यह टेट्राहेड्रल प्रिज्म {} × {3,3} बनाता है। चुंबन संख्या इस टेसेलेशन का प्रत्येक शीर्ष 7 आयामों में सबसे घनी ज्ञात पैकिंग में 6-गोले का केंद्र है; इसकी चुंबन संख्या 126 है, जिसे इसके शीर्ष आकृति 211 के शीर्षों द्वारा दर्शाया गया है। ई7 जाली 331 मधुकोश के शीर्ष व्यवस्था को ई7 जाली कहा जाता है। यह सूचकांक 144 के उपसमूह के रूप में शामिल है। दोनों और अलग-अलग नोड्स से एफ़ाइन एक्सटेंशन के रूप में देखा जा सकता हैः E7 जाली को दो A7 जाली के शीर्षों के संयोजन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसे A72: = ≤ भी कहा जाता है E7 * जाली (जिसे E72 भी कहा जाता है) में समरूपता दोगुनी होती है, जिसे [3,33,3] द्वारा दर्शाया जाता है। ई7 * जाली की वोरोनोई कोशिका 132 पॉलीटोप है, और वोरोनोई टेसेलेशन 133 मधुकोश है। ई7 * जाली का निर्माण ई7 जाली शीर्षों की 2 प्रतियों द्वारा किया जाता है, कॉक्सेटर आरेख की प्रत्येक लंबी शाखा से एक, और इसे चार ए7 * जाली के संयोजन के रूप में बनाया जा सकता है, जिसे ए74: ≤ = ≤ ≤ = दोहरी भी कहा जाता है। संबंधित मधुकोश यह एक समान पॉलीटोप और मधुकोश की एक आयामी श्रृंखला में है, जिसे कॉक्सेटर द्वारा 3k1 श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया गया है। एक अपक्षयी 4-आयामी मामला 3-गोलाकार टाइलिंग, एक टेट्राहेड्रल होसोहेड्रॉन के रूप में मौजूद है। 8-पॉलीटोप 133 हनीकोम्ब संदर्भ एच. एस. एम. कॉक्सेटर, नियमित पॉलीटोप, तीसरा संस्करण, डोवर न्यूयॉर्क, 1973 कॉक्सेटर द ब्यूटी ऑफ ज्योमेट्रीः ट्वेल्व एसेज, डोवर पब्लिकेशंस, 1999, (अध्याय 3: यूनिफॉर्म पॉलीटोप के लिए विथोफ का निर्माण) कैलिडोस्कोपः एच. एस. एम. के चयनित लेखन। कॉक्सेटर, एफ. आर्थर शेर्क, पीटर मैकमुलन, एंथनी सी. थॉम्पसन, एशिया आइविक वीस, विली-इंटरसाइंस पब्लिकेशन, 1995, गूगलबुक (पेपर 24) एच. एस. एम. द्वारा संपादित। कॉक्सेटर, नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीटोप III, [गणित। ज़िट। 200 (1988) आर. टी. वर्ली, द वोरोनोई रीजन ऑफ ई7 *। सियाम जे. डिस्क्रीट मैथ., 1.1 (1988), 134-141. p 124-125,8.2 7-डिमेंसिनोल जालीः E7 और E7 * 8-बहुपद