Quantum t-design
एक क्वांटम टी-डिजाइन या तो शुद्ध क्वांटम अवस्थाओं या एकात्मक प्रचालक पर एक प्रायिकता वितरण है जो डिग्री टी या उससे कम के बहुपदों के लिए हार माप पर प्रायिकता वितरण के गुणों की नकल कर सकता है। विशेष रूप से, डिजाइन पर डिग्री टी के किसी भी बहुपद फलन का औसत बिल्कुल हार माप पर औसत के समान है। यहाँ हार माप सभी क्वांटम अवस्थाओं या सभी एकात्मक प्रचालक पर एक समान संभाव्यता वितरण है। क्वांटम टी-डिजाइनों को इसलिए कहा जाता है क्योंकि वे शास्त्रीय सांख्यिकी में टी-डिजाइनों के अनुरूप हैं, जो ऐतिहासिक रूप से प्रयोगों के डिजाइन की समस्या के संबंध में उत्पन्न हुए थे। क्वांटम यांत्रिकी में दो विशेष रूप से महत्वपूर्ण प्रकार के टी-डिज़ाइन प्रोजेक्टिव और यूनिटरी टी-डिज़ाइन हैं। एक गोलाकार डिजाइन इकाई क्षेत्र पर बिंदुओं का एक संग्रह है जिसके लिए बाउंडेड डिग्री के बहुपदों को उसी मूल्य को प्राप्त करने के लिए औसत किया जा सकता है जो गोले पर सतह माप पर एकीकृत करने से मिलता है। गोलाकार और प्रोजेक्टिव टी-डिज़ाइन 1970 के दशक के अंत में डेलसार्टे, गोएथल्स और सीडेल के कार्यों से अपने नाम प्राप्त करते हैं, लेकिन इन वस्तुओं ने संख्यात्मक एकीकरण और संख्या सिद्धांत सहित गणित की कई शाखाओं में पिछली भूमिकाएँ निभाई हैं। इन वस्तुओं के विशेष उदाहरणों का उपयोग क्वांटम सूचना सिद्धांत, क्वांटम क्रिप्टोग्राफी और अन्य संबंधित क्षेत्रों में किया गया है। एकात्मक टी-डिजाइन गोलाकार डिजाइनों के अनुरूप होते हैं जिसमें वे एकात्मक मैट्रिक्स के एक सीमित संग्रह के माध्यम से पूरे एकात्मक समूह को पुनः उत्पन्न करते हैं। एकात्मक 2-डिजाइन का सिद्धांत 2006 में विशेष रूप से क्वांटम कंप्यूटिंग संचालन में त्रुटियों का आकलन करने के लिए कुशल और स्केलेबल यादृच्छिक बेंचमार्किंग के एक व्यावहारिक साधन को प्राप्त करने के लिए विकसित किया गया था, जिसे गेट्स कहा जाता है। तब से एकात्मक टी-डिज़ाइन को क्वांटम कंप्यूटिंग के अन्य क्षेत्रों में और अधिक व्यापक रूप से क्वांटम सूचना सिद्धांत में उपयोगी पाया गया है और ब्लैक होल सूचना विरोधाभास तक पहुंचने वाली समस्याओं पर लागू किया गया है। यूनिटरी टी-डिज़ाइन क्वांटम कंप्यूटिंग में यादृच्छिक कार्यों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हैं क्योंकि आदर्श संचालन आमतौर पर यूनिटरी ऑपरेटरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। अभिप्रेरणा एक डी-आयामी हिल्बर्ट स्थान में जब सभी क्वांटम शुद्ध अवस्थाओं पर औसत होता है तो प्राकृतिक समूह एसयू (डी) होता है, जो आयाम का विशेष एकात्मक समूह है डी। हार माप, परिभाषा के अनुसार, अद्वितीय समूह-अपरिवर्तनीय माप है, इसलिए इसका उपयोग उन गुणों को औसत करने के लिए किया जाता है जो सभी अवस्थाओं या सभी एकात्मकताओं पर एकात्मक रूप से अपरिवर्तनीय नहीं हैं। इसका एक विशेष रूप से व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला उदाहरण स्पिन प्रणाली है। इस प्रणाली के लिए प्रासंगिक समूह एसयू (2) है जो निर्धारक 1 के साथ सभी 2x2 एकात्मक प्रचालक का समूह है। चूँकि एसयू (2) में प्रत्येक प्रचालक ब्लॉच गोले का एक घूर्णन है, इसलिए स्पिन-1/2 कणों के लिए हार माप ब्लॉच गोले के सभी घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। इसका तात्पर्य यह है कि हार माप ब्लॉच गोले पर घूर्णन रूप से अपरिवर्तनीय माप है, जिसे गोले की सतह पर एक स्थिर घनत्व वितरण के रूप में सोचा जा सकता है। जटिल प्रोजेक्टिव टी-डिज़ाइनों का एक महत्वपूर्ण वर्ग, सममित सूचनात्मक रूप से पूर्ण सकारात्मक प्रचालक-मूल्यवान उपाय पी. ओ. वी. एम. हैं, जो जटिल प्रोजेक्टिव 2-डिज़ाइन हैं। चूँकि इस तरह के 2-डिज़ाइनों में कम से कम तत्व होने चाहिए, एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. एक न्यूनतम आकार का जटिल प्रोजेक्टिव 2-डिज़ाइन है। क्वांटम सूचना सिद्धांत में क्वांटम टी-डिजाइन के रूप में गोलाकार टी-डिजाइन जटिल प्रोजेक्टिव टी-डिजाइन का अध्ययन किया गया है। ये इकाई क्षेत्र में वैक्टरों के गोलाकार 2 टी-डिज़ाइनों से निकटता से संबंधित हैं जिसमें जब स्वाभाविक रूप से अंतर्निहित होते हैं तो जटिल प्रोजेक्टिव टी-डिज़ाइनों को जन्म देते हैं। औपचारिक रूप से, हम क्वांटम अवस्थाओं पर एक प्रायिकता वितरण को एक जटिल प्रोजेक्टिव टी-डिज़ाइन के रूप में परिभाषित करते हैं यदि यहाँ, क्वांटम अवस्थाओं पर सटीक टी-डिज़ाइन में इकाई क्षेत्र पर हार माप पर समाकलन अवस्थाओं को लिया जाता है, तो प्रायिकता वितरण से किसी अवस्था की टी प्रतियों का उपयोग करते समय सभी अवस्थाओं पर समान प्रायिकता वितरण से अलग नहीं किया जा सकता है। हालाँकि व्यवहार में टी-डिज़ाइन की गणना करना भी मुश्किल हो सकता है। इस कारण से अनुमानित टी-डिज़ाइन उपयोगी हैं। कुशलता से लागू करने की उनकी क्षमता के कारण अनुमानित टी-डिज़ाइन सबसे अधिक उपयोगी हैं। अर्थात। समय में प्रायिकता वितरण के अनुसार वितरित एक क्वांटम अवस्था उत्पन्न करना संभव है। इस कुशल निर्माण का यह भी तात्पर्य है कि प्रचालक के पी. ओ. वी. एम. को समय पर लागू किया जा सकता है। एक अनुमानित टी-डिजाइन की तकनीकी परिभाषा हैः यदि और फिर एक निकटवर्ती टी-डिजाइन है। यह संभव है, हालांकि शायद अक्षम है, एक निश्चित टी के लिए क्वांटम शुद्ध अवस्थाओं से युक्त एक-निकटवर्ती टी-डिज़ाइन खोजना। सुविधा के लिए निर्माण डी को 2 की शक्ति माना जाता है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि किसी भी d के लिए फलन {0,., d-1} {0,., d-1} का एक समूह मौजूद है जैसे कि किसी भी विशिष्ट {0,., d-1} के लिए f के नीचे की छवि, जहां f को S से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, बिल्कुल {0,., d-1} के N तत्वों के टुपलों पर समान वितरण है। आइए हार माप से खींचा जाए। माना कि और लेट का प्रायिकता वितरण है। यदि हम संभाव्यता और संभाव्यता के साथ परिभाषित करते हैं तोः विषम जे और सम जे के लिए। इस और गौसी चतुर्भुज का उपयोग करके हम निर्माण कर सकते हैं ताकि यह एक अनुमानित टी-डिज़ाइन हो। एकात्मक टी-डिजाइन एकात्मक टी-डिजाइन गोलाकार डिजाइनों के अनुरूप हैं जिसमें वे एकात्मक मैट्रिक्स के एक सीमित संग्रह के माध्यम से पूरे एकात्मक समूह को पुनः उत्पन्न करते हैं। एकात्मक 2-डिजाइन का सिद्धांत 2006 में विशेष रूप से क्वांटम कंप्यूटिंग संचालन में त्रुटियों का आकलन करने के लिए कुशल और स्केलेबल यादृच्छिक बेंचमार्किंग के एक व्यावहारिक साधन को प्राप्त करने के लिए विकसित किया गया था, जिसे गेट्स कहा जाता है। तब से एकात्मक टी-डिज़ाइन क्वांटम कंप्यूटिंग के अन्य क्षेत्रों में और अधिक व्यापक रूप से क्वांटम सूचना सिद्धांत और ब्लैक होल भौतिकी तक पहुँचने वाले क्षेत्रों में उपयोगी पाए गए हैं। यूनिटरी टी-डिज़ाइन क्वांटम कंप्यूटिंग में यादृच्छिक कार्यों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हैं क्योंकि आदर्श संचालन आमतौर पर यूनिटरी ऑपरेटरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। एकात्मक टी-डिजाइन के तत्व एकात्मक समूह, यू (डी), एकात्मक मैट्रिक्स के समूह के तत्व हैं। एकात्मक प्रचालकक एकटा टी-डिजाइन स्थितिक एकटा टी-डिजाइन उत्पन्न करत। मान लीजिए कि यह एकात्मक टी-डिजाइन है (अर्थात। एकात्मक प्रचालक का एक समूह)। फिर किसी भी शुद्ध स्थिति के लिए जाने दें। फिर हमेशा राज्यों के लिए एक टी-डिजाइन होगा। औपचारिक रूप से एकात्मक टी-डिजाइन, एक्स को परिभाषित करें, यदि देखें कि यू के सभी विकल्पों पर मैट्रिक्स द्वारा रैखिक रूप से फैला हुआ स्थान प्रतिबंध के समान है और यह अवलोकन एकात्मक डिजाइन और एकात्मक कोड के बीच द्वंद्व के बारे में एक निष्कर्ष की ओर ले जाता है। क्रमपरिवर्तन मानचित्रों का उपयोग करके सीधे तौर पर सत्यापित करना संभव है कि एकात्मक मैट्रिक्स का एक सेट एक टी-डिज़ाइन बनाता है। इसका एक प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि किसी भी परिमित के लिए समानता के साथ अगर और केवल अगर X एक टी-डिज़ाइन है। 1 और 2-डिजाइनों की कुछ विस्तार से जांच की गई है और X, |X। के आयाम के लिए पूर्ण सीमाएँ प्राप्त की गई हैं। एकात्मक डिजाइनों के लिए सीमाएँ डिग्री टी के सजातीय और डिग्री टी के सजातीय कार्यों के समूह के रूप में परिभाषित करें, फिर यदि प्रत्येक के लिएः तो एक्स एक एकात्मक टी-डिजाइन है। हम आगे कार्यों के लिए आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करते हैं और के रूप मेंः के औसत मूल्य के रूप में और किसी भी परिमित सबसेट के औसत मूल्य के रूप में। यह इस प्रकार है कि एक्स एक एकात्मक टी-डिजाइन है यदि और केवल यदि। ऊपर से यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि यदि एक्स एक टी-डिजाइन है तो डिजाइन के लिए एक पूर्ण बंधन है। यह एकात्मक डिजाइन के आकार पर एक ऊपरी सीमा लगाता है। यह सीमा निरपेक्ष है जिसका अर्थ है कि यह केवल डिजाइन की ताकत या कोड की डिग्री पर निर्भर करती है, न कि सबसेट, X में दूरी पर। एकात्मक कोड एकात्मक समूह का एक सीमित उपसमुच्चय है जिसमें तत्वों के बीच कुछ आंतरिक उत्पाद मान होते हैं। विशेष रूप से, एकात्मक कोड को एक परिमित उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि X में सभी के लिए केवल अलग-अलग मान लेते हैं। यह इस प्रकार है और यदि यू और एम ऑर्थोगोनल हैंः गोलाकार डिजाइन समभुज रेखाएँ भी देखें।