Method of dominant balance
गणित में, प्रमुख संतुलन की विधि का उपयोग समीकरण को पूरी तरह से हल किए बिना एक साधारण विभेदक समीकरण के समाधान के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। प्रक्रिया पुनरावृत्ति है, जिसमें एक बार विधि का प्रदर्शन करके प्राप्त परिणाम का उपयोग इनपुट के रूप में किया जा सकता है जब विधि को दोहराया जाता है, ताकि एसिम्प्टोटिक विस्तार में वांछित रूप से कई शब्द प्राप्त किए जा सकें। प्रक्रिया इस प्रकार हैः मान लीजिए कि एसिम्प्टोटिक व्यवहार का रूप है एक सूचित अनुमान लगाएं कि ODE में कौन से शब्द ब्याज की सीमा में नगण्य हो सकते हैं। इन शब्दों को छोड़ दें और परिणामस्वरूप सरल ODE को हल करें। जाँच करें कि समाधान चरण 2 के अनुरूप है। यदि यह मामला है, तो किसी के पास एसिम्प्टोटिक व्यवहार का नियंत्रण कारक है; अन्यथा, किसी को इसके बजाय चरण 2 में अलग-अलग शब्दों को छोड़ने का प्रयास करने की आवश्यकता है। समाधान में अग्रणी शब्द के रूप में उपरोक्त परिणाम पर भरोसा करते हुए, उच्च आदेशों के लिए प्रक्रिया को दोहराएं। उदाहरण के लिएः बहुपद समीकरण को हल करना समीकरण को छोटे की सीमा पर हल करने के लिए, हम रूप का क्रमिक विस्तार करने पर विचार कर सकते हैं। हालाँकि यह समस्या का सामना करता हैः जब, समीकरण का केवल एक मूल होता है। हालाँकि गैर-शून्य के लिए समीकरण के 5 मूल हैं। मुख्य मुद्दा यह है कि इनमें से 4 जड़ें अनंत तक निकल जाती हैं। यह प्रमुख संतुलन विधि के उपयोग का सुझाव देता है। अर्थात्, छोटे के लिए, हमारे पास होना चाहिए, इसलिए हम लगभग समीकरण को, देने के रूप में हल करेंगे। पाँच मूल हैं, और प्रत्येक मूल को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित करते हुए, हम पाँच श्रृंखला प्राप्त करते हैंः उदाहरण के लिए मनमाने स्थिरांक और, इस अंतर समीकरण को ठीक से हल नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, यह विचार करना उपयोगी है कि समाधान बड़े के लिए कैसे व्यवहार करते हैंः यह पता चला है कि x → ≤ के रूप में व्यवहार करता है। अधिक सख्ती से, हमारे पास होगा, नहीं। चूँकि हम बड़ी सीमा के व्यवहार में रुचि रखते हैं, हम चर को = exp (S (x)) में बदलते हैं, और ODE को S (x) के संदर्भ में फिर से व्यक्त करते हैं, या जहाँ हमने उत्पाद नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग किया है। अब पहले मान लीजिए कि इस ODE का समाधान x → φ के रूप में संतुष्ट होता है, ताकि x → φ के रूप में। यदि उपरोक्त असिम्प्टोटिक स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो उपरोक्त धारणा सुसंगत है। जिन शर्तों को हमने हटा दिया है, वे उन शर्तों के संबंध में नगण्य हैं जिन्हें हमने रखा है। ओ. डी. ई. के लिए समाधान नहीं है, लेकिन यह प्रमुख एसिम्प्टोटिक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें हम रुचि रखते हैं। जाँच करें कि यह विकल्प सुसंगत है, सब कुछ वास्तव में सुसंगत है। इस प्रकार हमारे ओ. डी. ई. के समाधान का प्रमुख एसिम्प्टोटिक व्यवहार पाया गया है, परंपरा के अनुसार, पूर्ण एसिम्प्टोटिक श्रृंखला को इस प्रकार लिखा जाता है ताकि इस श्रृंखला के कम से कम पहले पद को प्राप्त करने के लिए हमें यह देखने के लिए एक और कदम उठाना होगा कि क्या सामने से कोई शक्ति है। एक नए उप-अग्रणी आश्रित चर को पेश करके आगे बढ़ें, और फिर सी (एक्स) के लिए एसिम्प्टोटिक समाधान खोजें। एस (एक्स) के लिए उपरोक्त ओ. डी. ई. में प्रतिस्थापित करते हुए हम पाते हैं कि पहले की तरह ही प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम रखते हैं और यह पता लगाने के लिए कि प्रमुख एसिम्प्टोटिक व्यवहार तब है एसिम्प्टोटिक विश्लेषण संदर्भ एसिम्प्टोटिक विश्लेषण गणितीय श्रृंखला साधारण अंतर समीकरण भी देखें।