Dual polygon
ज्यामिति में, बहुभुज युगल नामक जोड़े में जुड़े होते हैं, जहाँ एक के शीर्ष दूसरे के किनारों के अनुरूप होते हैं। गुण नियमित बहुभुज स्व-द्वैत होते हैं। एक समभुज (शीर्ष-संक्रमणशील) बहुभुज का दोहरा एक समस्थानिक (किनारे-संक्रमणशील) बहुभुज है। उदाहरण के लिए, (आइसोगोनल) आयत और (आइसोटॉक्सल) समभुज दोहरे हैं। एक चक्रीय बहुभुज में, लंबी भुजाएँ दोहरे (एक स्पर्शरेखा बहुभुज) में बड़े बाहरी कोणों के अनुरूप होती हैं, और छोटी भुजाएँ छोटे कोणों के अनुरूप होती हैं। इसके अलावा, मूल बहुभुज में सर्वांगसम भुजाएँ दोहरे में सर्वांगसम कोण उत्पन्न करती हैं, और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, एक अत्यधिक तीव्र समद्विबाहु त्रिभुज का दोहरा एक तिरछा समद्विबाहु त्रिभुज है। डोर्मन ल्यूक निर्माण में, एक दोहरे बहुफलक का प्रत्येक चेहरा संबंधित शीर्ष आकृति का दोहरे बहुभुज है। चतुर्भुजों में द्वैत बहुभुज की पार्श्व-कोण द्वैतता के एक उदाहरण के रूप में हम चक्रीय और स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के गुणों की तुलना करते हैं। यह द्वंद्व शायद और भी अधिक स्पष्ट है जब एक समद्विबाहु त्रिभुज की तुलना एक पतंग से की जाती है। द्वैत सुधार के प्रकार एक दोहरे बहुभुज का सबसे सरल गुणात्मक निर्माण एक सुधार कार्य है, जिसमें एक बहुभुज के किनारों को प्रत्येक मूल किनारे के केंद्र में शीर्षों तक काट दिया जाता है। इन नए शीर्षों के बीच नए किनारे बनते हैं। यह संरचना प्रतिवर्ती नहीं है। अर्थात्, इसे दो बार लगाने से उत्पन्न बहुभुज सामान्य रूप से मूल बहुभुज के समान नहीं होता है। ध्रुवीय पारस्परिकता दोहरे बहुफलक की तरह, कोई भी एक वृत्त ले सकता है (चाहे वह उत्कीर्ण वृत्त हो, परिवेष्टित वृत्त हो, या यदि दोनों मौजूद हों, तो उनका मध्य वृत्त) और इसमें ध्रुवीय पारस्परिकता कर सकता है। प्रोजेक्टिव डुअलिटी प्रोजेक्टिव डुअलिटी के तहत, एक बिंदु का डुअल एक रेखा है, और एक रेखा का डुअल एक बिंदु है-इस प्रकार एक बहुभुज का डुअल एक बहुभुज है, जिसमें मूल के किनारे डुअल के शीर्षों के अनुरूप हैं और इसके विपरीत। दोहरे वक्र के दृष्टिकोण से, जहां एक वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर कोई बिंदु को उस बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा रेखा से जोड़ता है, प्रोजेक्टिव डुअल की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती हैः एक बहुभुज के एक तरफ के प्रत्येक बिंदु पर एक ही स्पर्शरेखा रेखा होती है, जो स्वयं पक्ष से सहमत होती है-इस प्रकार वे सभी एक शीर्ष पर दोहरे बहुभुज में एक ही शीर्ष पर मानचित्रित होती हैं, उस शीर्ष पर "स्पर्शरेखा रेखाएं" उस बिंदु के माध्यम से दो किनारों के बीच कोण वाली सभी रेखाएं होती हैं-इन रेखाओं के दोहरे बिंदु तब दोहरे बहुभुज में किनारे होते हैं। संयुक्त रूप से, एक बहुभुज को शीर्षों के एक समूह, किनारों के एक समूह और एक आपतन संबंध (जो शीर्ष और किनारे छूते हैं) के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैः दो आसन्न शीर्ष एक किनारे को निर्धारित करते हैं, और दो आसन्न किनारे एक शीर्ष को निर्धारित करते हैं। फिर दोहरे बहुभुज को केवल शीर्ष और किनारों को बदलकर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार शीर्ष (A, B, C) और किनारों (AB, BC, CA) वाले त्रिभुज के लिए, दोहरे त्रिभुज में शीर्ष (AB, BC, CA) और किनारे (B, C, A) होते हैं, जहाँ B, AB और BC को जोड़ता है, और इसी तरह आगे भी। यह एक विशेष रूप से फलदायी मार्ग नहीं है, क्योंकि संयुक्त रूप से, बहुभुज का एक ही परिवार है (भुजाओं की संख्या द्वारा दिया गया है); बहुभुज की ज्यामितीय द्वैतता अधिक विविध है, जैसा कि संयुक्त दोहरे बहुभुज हैं। दोहरा वक्र दोहरा बहुभुज स्व-दोहरा बहुभुज संदर्भ बाहरी लिंक डॉन हैच बहुभुज द्वारा दोहरा बहुभुज एप्लेट भी देखें।