Rathjen's psi function
गणित में, रथजेन का पी. एस. आई. फलन माइकल रथजेन द्वारा विकसित एक क्रमिक पतनशील फलन है। यह बड़े गणना योग्य ऑर्डिनलों को उत्पन्न करने के लिए कमजोर माहलो कार्डिनलों को ध्वस्त कर देता है। एक कमजोर माहलो कार्डिनल एक ऐसा कार्डिनल होता है जिसके नीचे नियमित कार्डिनलों का समूह (यानी। बंद किए गए सभी सामान्य कार्य कुछ नियमित क्रमिक के तहत बंद किए जाते हैं)। रथजेन इसका उपयोग कमजोर रूप से दुर्गम पदानुक्रम पर विकर्ण करने के लिए करते हैं। यह एक संबद्ध क्रमिक संकेतन को स्वीकार करता है जिसकी सीमा (अर्थात। क्रमिक प्रकार) है, जो दोनों से सख्ती से अधिक है और रथजेन द्वारा व्यक्त गणना योग्य क्रमिक की सीमा है। , जिसे "स्मॉल रथजेन ऑर्डिनल" कहा जाता है, क्रिप्के-प्लैटेक सेट सिद्धांत का प्रमाण-सैद्धांतिक ऑर्डिनल है, जो स्वयंसिद्ध योजना द्वारा संवर्धित है "किसी भी-सूत्र को संतुष्ट करने के लिए, एक स्वीकार्य सेट संतोषजनक मौजूद है"। यह रथजेन के फलन के बराबर है। परिभाषा सीमित और अनगिनत नियमित कार्डिनलों के लिए; एक कार्य के लिए डोमेन को निरूपित करें; आइए निरूपित करें, और आइए गणना को निरूपित करें। अंत में, एक ऑर्डिनल को दृढ़ता से महत्वपूर्ण कहा जाता है। के लिए औरः यदि कुछ के लिए, अद्वितीय का उपयोग करके परिभाषित करें। अन्यथा यदि कुछ के लिए, तो अद्वितीय का उपयोग करके परिभाषित करें, जहां मूल स्रोत में स्पष्ट रूप से परिभाषित दृढ़ता से महत्वपूर्ण ऑर्डिनल्स का एक सेट है। के लिएः व्याख्या अनगिनत नियमित कार्डिनलों तक सीमित है। एक अद्वितीय बढ़ता हुआ कार्य है जैसे कि की सीमा बिल्कुल है। इसका समापन है, अर्थात। , जहाँ गैर-शून्य सीमा ऑर्डिनल्स के वर्ग को दर्शाता है। रथजेन ने मूल रूप से कार्य को अधिक जटिल तरीके से परिभाषित किया ताकि इससे जुड़े एक क्रमिक संकेतन का निर्माण किया जा सके। इसलिए, यह निश्चित नहीं है कि ऊपर दिया गया सरलीकृत ओ. सी. एफ. एक क्रमिक संकेतन देता है या नहीं। रथजेन के मूल ओ. सी. एफ. में उपयोग किए जाने वाले मूल कार्य भी समझने में इतने आसान नहीं हैं, और ऊपर परिभाषित कार्यों से भिन्न हैं। रथजेन और ऊपर दिए गए सरलीकरण समान ओ. सी. एफ. नहीं हैं। यह आंशिक रूप से इसलिए है क्योंकि पूर्व को एक क्रमिक संकेतन को स्वीकार करने के लिए जाना जाता है, जबकि बाद वाले को एक क्रमिक संकेतन को स्वीकार करने के लिए नहीं जाना जाता है। रथजेन को अक्सर उनके एक अन्य ओ. सी. एफ. के साथ भ्रमित किया जाता है जो प्रतीक का भी उपयोग करता है, लेकिन वे अलग-अलग धारणाएं हैं। पहला एक प्रकाशित ओ. सी. एफ. है, जबकि दूसरा एक अप्रकाशित ओ. सी. एफ. से जुड़े एक क्रमिक संकेतन में सिर्फ एक कार्य प्रतीक है। संदर्भ गणितीय तर्क साधारण संख्याएँ कार्डिनल संख्याएँ