Satisfaction equilibrium
खेल सिद्धांत में, एक संतुष्टि संतुलन गैर-सहकारी खेलों के एक वर्ग के लिए एक समाधान अवधारणा है, अर्थात् संतुष्टि के रूप में खेल। संतुष्टि में खेल मॉडल स्थितियों का निर्माण करते हैं जिसमें खिलाड़ी किसी दिए गए व्यक्तिगत बाधा को संतुष्ट करने का लक्ष्य रखते हैं, उदाहरण के लिए, एक प्रदर्शन मीट्रिक एक दी गई सीमा से छोटा या बड़ा होना चाहिए। जब कोई खिलाड़ी अपनी बाधाओं को पूरा करता है, तो खिलाड़ी को संतुष्ट कहा जाता है। एक संतुष्टि संतुलन, यदि यह मौजूद है, तब उत्पन्न होता है जब खेल में सभी खिलाड़ी संतुष्ट होते हैं। इतिहास संतुष्टि संतुलन (एस. ई.) शब्द का उपयोग पहली बार उन खिलाड़ियों के बीच एक गतिशील बातचीत के स्थिर बिंदु को संदर्भित करने के लिए किया गया था जो कार्रवाई करके और अपने स्वयं के भुगतान का निरीक्षण करके एक संतुलन सीख रहे हैं। संतुलन संतुष्टि सिद्धांत पर निर्भर करता है, जो निर्धारित करता है कि एक एजेंट जो अपने वर्तमान भुगतान से संतुष्ट है, वह अपनी वर्तमान कार्रवाई को नहीं बदलता है। बाद में, संतुष्टि संतुलन की धारणा को संतुष्टि के रूप में खेलों के लिए एक समाधान अवधारणा के रूप में पेश किया गया था। इस तरह की समाधान अवधारणा को विद्युत इंजीनियरिंग के क्षेत्र में वायरलेस तदर्थ नेटवर्क में सेवा की गुणवत्ता (क्यू. ओ. एस.) के विश्लेषण के लिए पेश किया गया था। इस संदर्भ में, रेडियो उपकरणों (नेटवर्क घटकों) को खिलाड़ियों के रूप में मॉडल किया जाता है जो कुछ लक्षित क्यू. ओ. एस. को संतुष्ट करने के लिए अपने स्वयं के संचालन विन्यास पर निर्णय लेते हैं। ऊर्जा दक्षता, स्पेक्ट्रम साझाकरण और संचारित बिजली नियंत्रण की समस्या से निपटने के लिए सेलुलर संचार (5जी) की पांचवीं पीढ़ी के संदर्भ में संतुष्टि के रूप में खेल और संतुष्टि संतुलन की धारणा का उपयोग किया गया है। स्मार्ट ग्रिड में, डेटा इंजेक्शन हमलों की समस्या के मॉडलिंग के लिए संतुष्टि के रूप में खेलों का उपयोग किया गया है। संतुष्टि के रूप में खेल पूर्ण, सटीक जानकारी के स्थिर खेलों में, एक खेल का संतुष्टि-रूप प्रतिनिधित्व खिलाड़ियों के समूह, खिलाड़ियों के एक्शन सेट और उनकी प्राथमिकताओं का एक विनिर्देश है। किसी दिए गए खिलाड़ी के लिए वरीयताएँ एक मानचित्रण द्वारा निर्धारित की जाती हैं, जिसे अक्सर वरीयता मानचित्रण के रूप में संदर्भित किया जाता है, अन्य सभी खिलाड़ियों के एक्शन सेट के कार्टेशियन उत्पाद से लेकर दिए गए खिलाड़ी के एक्शन के पावर सेट तक। अर्थात्, अन्य सभी खिलाड़ियों द्वारा अपनाए गए कार्यों को देखते हुए, वरीयता मानचित्रण उन कार्यों के उपसमुच्चय को निर्धारित करता है जिनसे खिलाड़ी संतुष्ट होता है। परिभाषा [संतुष्टि रूप में खेल] संतुष्टि के रूप में एक खेल को एक टुपल द्वारा वर्णित किया जाता है जहां, सेट, के साथ, खिलाड़ियों के सेट का प्रतिनिधित्व करता है; सेट, के साथ और, उन कार्यों के सेट का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें खिलाड़ी खेल सकता है। वरीयता मानचित्रण क्रियाओं के समूह को निर्धारित करता है कि अन्य सभी खिलाड़ियों द्वारा खेले गए कार्यों को देखते हुए कौन सा खिलाड़ी संतुष्ट है। सेट का पावर सेट है। अन्य मौजूदा खेल सूत्रीकरणों के विपरीत, उदाहरण के लिए, सामान्य रूप और सीमित कार्रवाई सेट के साथ सामान्य रूप, प्रदर्शन अनुकूलन की धारणा, अर्थात, उपयोगिता अधिकतमकरण या लागत न्यूनतमकरण, मौजूद नहीं है। संतुष्टि-रूप मॉडल में खेल वह मामला है जिसमें खिलाड़ी अन्य सभी खिलाड़ियों द्वारा अपनाए गए कार्यों को देखते हुए एक विशिष्ट व्यक्तिगत बाधा को पूरा करने के उद्देश्य से अपने कार्यों को अपनाते हैं। एक महत्वपूर्ण टिप्पणी यह है कि खिलाड़ियों को इस बात की लापरवाही माना जाता है कि अन्य खिलाड़ी अपनी व्यक्तिगत बाधाओं को पूरा कर सकते हैं या नहीं। संतुष्टि संतुलन एक क्रिया रूपरेखा एक टुपल है। जिस एक्शन प्रोफाइल में सभी खिलाड़ी संतुष्ट होते हैं, वह संतुष्टि के रूप में संबंधित खेल का संतुलन होता है। संतुष्टि संतुलन पर, खिलाड़ी अपनी वर्तमान क्रिया को बदलने में विशेष रुचि नहीं दिखाते हैं। परिभाषा [शुद्ध रणनीतियों में संतुष्टि संतुलन] एक्शन प्रोफाइल खेल के लिए शुद्ध रणनीतियों में एक संतुष्टि संतुलन है। मिश्रित रणनीतियों में संतुष्टि संतुलन सभी के लिए, सेट पर सभी संभावित प्रायिकता वितरणों के सेट को दर्शाता है। खिलाड़ी द्वारा अपने कार्यों को चुनने के लिए अपनाए गए संभाव्यता वितरण (मिश्रित रणनीति) द्वारा निरूपित करें। सभी के लिए, यह उस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ खिलाड़ी कार्रवाई चुनता है। संकेतन खिलाड़ी को छोड़कर सभी खिलाड़ियों की मिश्रित रणनीतियों का प्रतिनिधित्व करता है। परिभाषा [संतुष्टि रूप की मिश्रित रणनीतियों का विस्तार] खेल की मिश्रित रणनीतियों में विस्तार को टुपल द्वारा वर्णित किया जाता है, जहां पत्राचार सभी संभावित संभावना वितरणों के समूह को निर्धारित करता है जो खिलाड़ी को एक ऐसी कार्रवाई चुनने की अनुमति देता है जो संभावना के साथ अपनी व्यक्तिगत स्थितियों को संतुष्ट करती है, यानी, मिश्रित रणनीतियों में संतुष्टि संतुलन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। परिभाषा [मिश्रित रणनीतियों में संतुष्टि संतुलन] मिश्रित रणनीति रूपरेखा मिश्रित रणनीतियों में एक एस. ई. है। माना खिलाड़ी की-th क्रिया, अर्थात, एकात्मक सदिश के साथ संबद्ध है, जहाँ, इसके-th घटक को छोड़कर सभी घटक शून्य हैं, जो एक के बराबर है। वेक्टर एक अपक्षयी संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जहां कार्रवाई को निर्धारक रूप से चुना जाता है। इस तर्क का उपयोग करते हुए, यह स्पष्ट हो जाता है कि खेल की शुद्ध रणनीतियों में प्रत्येक संतुष्टि संतुलन भी खेल की मिश्रित रणनीतियों में एक संतुष्टि संतुलन है। खेल के एस. ई. में, खिलाड़ी संभावना वितरण के बाद अपने कार्यों का चयन करते हैं जैसे कि केवल एक्शन प्रोफाइल जो सभी खिलाड़ियों को एक साथ अपनी व्यक्तिगत स्थितियों को संतुष्ट करने की अनुमति देते हैं और संभावना के साथ एक सकारात्मक संभावना के साथ खेला जाता है। इसलिए, जिस मामले में शुद्ध रणनीतियों में एक एस. ई. मौजूद नहीं है, तो, यह खेल में मिश्रित रणनीतियों में एस. ई. मौजूद नहीं है। ε-संतुष्टि संतुलन कुछ स्थितियों में, मिश्रित रणनीतियों का निर्माण करना हमेशा संभव होता है जो खिलाड़ियों को कुछ के लिए संभावना से संतुष्ट होने की अनुमति देते हैं। यह अवलोकन समाधान अवधारणा की परिभाषा की ओर ले जाता है जिसे-संतुष्टि संतुलन (-एस. ई.) के रूप में जाना जाता है। परिभाषाः [ε-संतुष्टि संतुलन] संतुष्ट होने दें। मिश्रित रणनीति प्रोफ़ाइल खेल का एक एप्सिलॉन-संतुष्टि संतुलन (-एस. ई.) है, यदि सभी के लिए, यह इस प्रकार है, जहां उपरोक्त परिभाषा से, यह निहित किया जा सकता है कि यदि मिश्रित रणनीति प्रोफ़ाइल एक-एस. ई. है, तो यह मानता है कि, यानी, खिलाड़ी संभावना से असंतुष्ट हैं। - एस. ई. की प्रासंगिकता यह है कि यह इस तथ्य को मॉडल करता है कि खिलाड़ी एक निश्चित असंतोष स्तर पर सहिष्णु हो सकते हैं। किसी दिए गए-एस. ई. में, कोई भी खिलाड़ी अपनी मिश्रित रणनीति प्रोफ़ाइल को बदलने में दिलचस्पी नहीं रखता है जब तक कि वह कुछ के लिए उससे अधिक या उसके बराबर संभावना से संतुष्ट है। शुद्ध या मिश्रित रणनीतियों में एस. ई. के अस्तित्व के लिए शर्तों के विपरीत, एक-एस. ई. के अस्तित्व के लिए स्थितियां हल्की हैं। प्रस्ताव [एक-एस. ई. का अस्तित्व] को संतुष्टि के रूप में एक सीमित खेल होने दें। फिर, यदि सभी के लिए, हमेशा एक कार्रवाई प्रोफ़ाइल मौजूद होती है, तो हमेशा एक रणनीति प्रोफ़ाइल मौजूद होती है और एक वास्तविक, जिसके साथ, एक-एस. ई. होता है। संतुष्टि के रूप में संतुलन चयन खेल कई संतुष्टि संतुलन प्रदर्शित कर सकते हैं। ऐसे मामले में, खिलाड़ी अपने प्रत्येक कार्य के साथ एक मूल्य जोड़ सकते हैं जो इस तरह के कार्य को करने के प्रयास या लागत का प्रतिनिधित्व करता है। इस दृष्टिकोण से, यदि कई एस. ई. मौजूद हैं, तो खिलाड़ी सबसे कम (वैश्विक या व्यक्तिगत) प्रयास या लागत की आवश्यकता वाले एस. ई. को पसंद कर सकते हैं। इस वरीयता को मॉडल करने के लिए, संतुष्टि के रूप में खेल प्रत्येक खिलाड़ी के लिए लागत कार्यों से सुसज्जित हो सकते हैं। सभी के लिए, कार्य को अपने प्रत्येक कार्य का उपयोग करने के लिए खिलाड़ी द्वारा भुगतान किए गए प्रयास या लागत को निर्धारित करने दें। अधिक विशेष रूप से, क्रियाओं की एक जोड़ी को देखते हुए, खिलाड़ी द्वारा कार्रवाई को प्राथमिकता दी जाती है यदि ध्यान दें कि खिलाड़ी के लिए यह वरीयता अन्य सभी खिलाड़ियों द्वारा अपनाए गए कार्यों से स्वतंत्र है। परिभाषाः [कुशल संतुष्टि संतुलन (ई. एस. ई.)] संतुष्टि के रूप में खेल की शुद्ध रणनीतियों में संतुष्टि संतुलन का समूह होना चाहिए। रणनीति रूपरेखा एक कुशल संतुष्टि संतुलन है यदि सभी के लिए, यह इसका पालन करता है। तुच्छ मामले में जिसमें सभी फलन के लिए एक स्थिर फलन होता है, ई. एस. ई. का समुच्चय और एस. ई. का समुच्चय समान होते हैं। यह सभी मौजूदा संतुलन के बीच एक (संतुष्टि) संतुलन का चयन करने के लिए एक या दूसरी क्रिया खेलने के प्रयास को अलग करने की खिलाड़ियों की क्षमता की प्रासंगिकता को उजागर करता है। संतोष संतुलन के खाली सेटों के साथ संतुष्टि के रूप में खेलों में, जब सभी खिलाड़ी अपने कार्यों के लिए अलग-अलग लागत निर्धारित करते हैं, यानी सभी के लिए और सभी के लिए, यह मानता है कि, हमेशा एक ई. एस. ई. मौजूद रहता है। फिर भी, यह आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं है, जिसका अर्थ है कि व्यक्तिगत लागत कार्यों की धारणा से परे अन्य संतुलन परिशोधन के लिए अभी भी जगह मौजूद है। सामान्यीकरण संतुष्टि के रूप में खेल जिसके लिए यह एक एक्शन प्रोफाइल मौजूद नहीं है जिसमें सभी खिलाड़ी संतुष्ट हैं, कहा जाता है कि उनमें संतुष्टि संतुलन नहीं है। इस मामले में, एक एक्शन प्रोफाइल सेट और द्वारा बनाए गए सेट के विभाजन को प्रेरित करता है। एक तरफ खिलाड़ी संतुष्ट हैं। दूसरी ओर, खिलाड़ी असंतुष्ट हैं। यदि सेट में खिलाड़ी अन्य सभी खिलाड़ियों के कार्यों को देखते हुए इसके किसी भी कार्य से संतुष्ट नहीं हो सकते हैं, तो इन खिलाड़ियों को इसके वर्तमान कार्य को बदलने में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले एक्शन प्रोफाइल भी संतुलन हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि कोई भी खिलाड़ी विशेष रूप से अपने वर्तमान कार्यों को बदलने में रुचि नहीं रखता है, यहां तक कि वे भी जो असंतुष्ट हैं। इस तर्क ने एक और समाधान अवधारणा को जन्म दिया जिसे सामान्यीकृत संतुष्टि संतुलन (जी. एस. ई.) के रूप में जाना जाता है। यह सामान्यीकरण एक नए खेल निर्माण के संदर्भ में प्रस्तावित किया गया है, अर्थात् सामान्यीकृत संतुष्टि रूप। परिभाषाः सामान्यीकृत संतुष्टि रूप में एक खेल को एक टुपल द्वारा वर्णित किया जाता है, जहां, सेट, के साथ, खिलाड़ियों के सेट का प्रतिनिधित्व करता है; सेट, के साथ और, क्रियाओं के सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो खिलाड़ी खेल सकता है; और वरीयता मानचित्रण, समर्थन के साथ प्रायिकता द्रव्यमान कार्यों (मिश्रित रणनीतियों) के सेट को निर्धारित करता है जो अन्य सभी खिलाड़ियों द्वारा अपनाई गई मिश्रित रणनीतियों को देखते हुए खिलाड़ी को संतुष्ट करता है। सामान्यीकृत संतुष्टि संतुलन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। परिभाषाः [सामान्यीकृत संतुष्टि संतुलन (जी. एस. ई.)] मिश्रित रणनीति रूपरेखा सामान्यीकृत संतुष्टि के रूप में खेल का एक सामान्यीकृत संतुष्टि संतुलन है यदि सेटों द्वारा बनाए गए सेट का एक विभाजन मौजूद है और निम्नलिखित धारण करता हैः (i) सभी के लिए, और (ii) सभी के लिए, ध्यान दें कि जी. एस. ई. संतोष के रूप में खेल के-एस. ई. की धारणा पर निर्भर करता है जब, और सभी के लिए, पत्राचार के साथ होने के लिए चुना जाता है। इसी तरह, जी. एस. ई. कब और कब मिश्रित रणनीतियों में एस. ई. की धारणा पर निर्भर करता है। अंत में, ध्यान दें कि कोई भी एस. ई. एक जी. एस. ई. है, लेकिन इसका उल्टा सच नहीं है। खेल सिद्धांत संतुलन अवधारणाएँ