Petal projection
गाँठ सिद्धांत में, गाँठ का एक पंखुड़ी प्रक्षेपण एक एकल पार के साथ एक गाँठ आरेख है, जिस पर गैर-घोंसले वाले चापों ("पंखुड़ियों") की एक विषम संख्या सभी मिलती है। चूँकि इस पार करने के बिंदु पर गाँठ की शाखाओं के बीच ऊपर-नीचे का संबंध आरेख की उपस्थिति से स्पष्ट नहीं है, इसलिए इसे अलग से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, शाखाओं के ऊपर-से-नीचे के क्रम का वर्णन करने वाले क्रमपरिवर्तन के रूप में। प्रत्येक गाँठ या कड़ी में एक पंखुड़ी प्रक्षेपण होता है; इस तरह के प्रक्षेपण में पंखुड़ियों की न्यूनतम संख्या एक गाँठ अपरिवर्तनीय, गाँठ की पंखुड़ी संख्या को परिभाषित करती है। पंखुड़ी अनुमानों का उपयोग पेटलुमा मॉडल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो पंखुड़ियों की दी गई संख्या के साथ गांठों पर प्रायिकता वितरण का एक परिवार है, जिसे पंखुड़ी आरेख की शाखाओं के लिए एक यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन का चयन करके परिभाषित किया जाता है। पंखुड़ी प्रक्षेपण एक विशेष प्रकार के गाँठ आरेख के रूप में एक गाँठ का वर्णन है, एक द्वि-आयामी स्व-पार वक्र जो गाँठ को तीन आयामों से नीचे एक तल तक प्रक्षेपित करके बनता है। एक पंखुड़ी प्रक्षेपण में, इस आरेख में केवल एक पार बिंदु है, जो एक स्थलाकृतिक गुलाब बनाता है। इस बिंदु से गुजरने वाली वक्र की प्रत्येक दो शाखाएँ वहाँ एक-दूसरे को पार करती हैं; जो शाखाएँ बिना पार किए प्रत्यक्ष रूप से मिलती हैं, उनकी अनुमति नहीं है। वक्र के चापों द्वारा बनाई गई "पंखुड़ियां" जो निकलती हैं और फिर इस पार करने वाले बिंदु पर लौटती हैं, वे सभी गैर-घोंसले वाली, बाध्यकारी बंद डिस्क होती हैं जो पार करने वाले बिंदु पर उनके सामान्य प्रतिच्छेदन को छोड़कर अलग-अलग होती हैं। इस स्थलाकृतिक विवरण के अलावा, वक्र का सटीक आकार महत्वहीन है। उदाहरण के लिए, इस प्रकार के वक्रों को बीजगणितीय रूप से कुछ गुलाब वक्रों के रूप में महसूस किया जा सकता है। हालाँकि, क्रॉसिंग पॉइंट के पार सीधी रेखा खंडों का उपयोग करके एक पंखुड़ी प्रक्षेपण खींचना आम बात है, जो पंखुड़ियों को बनाने के लिए चिकनी वक्रों द्वारा उनके अंतिम बिंदुओं पर जुड़ा हुआ है। क्रासिंग प्वाइंट पर वक्र की शाखाओं के ऊपर-नीचे संबंध को निर्दिष्ट करने के लिए, प्रत्येक शाखा को 1 से शाखाओं की संख्या तक एक पूर्णांक के साथ लेबल किया जाता है, जो शाखाओं के ऊपर-नीचे क्रम में अपनी स्थिति देता है जैसा कि अनुमानित आरेख के ऊपर त्रि-आयामी दृष्टिकोण से देखा जाएगा। इन पूर्णांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन, पार करने वाले बिंदु के आसपास की शाखाओं के रेडियल क्रम में, पंखुड़ी प्रक्षेपण के विशुद्ध रूप से संयोजन विवरण के रूप में उपयोग किया जा सकता है। एक गांठ बनाने के लिए, एक कड़ी के बजाय, एक पंखुड़ी प्रक्षेपण के पार करने के बिंदु पर शाखाओं की एक विषम संख्या होनी चाहिए। पर्याप्त संख्या में पंखुड़ियों वाले आरेखों के लिए प्रत्येक गाँठ को पंखुड़ी प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया जा सकता है। किसी दिए गए गाँठ की पंखुड़ी प्रक्षेपण में पंखुड़ियों की न्यूनतम संभव संख्या एक गाँठ अपरिवर्तनीय को परिभाषित करती है जिसे इसकी पंखुड़ी संख्या कहा जाता है। पेटलुमा मॉडल गांठों पर एक यादृच्छिक वितरण है, जिसे एक पंखुड़ी आरेख में पंखुड़ियों की एक विषम संख्या द्वारा मानकीकृत किया जाता है, और इसकी शाखाओं पर एक समान यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन का उपयोग करके पंखुड़ियों की इस संख्या के साथ एक पंखुड़ी आरेख का निर्माण करके परिभाषित किया जाता है। पेटल प्रक्षेपणों और पेटलूमा मॉडल को जोड़ने के लिए सामान्यीकरण, गाँठों से लिंक तक सामान्यीकृत किया जा सकता है। हालांकि, इस सामान्यीकरण के लिए, यह गारंटी देना संभव नहीं है कि सभी पंखुड़ियां गैर-घोंसले वाली हैं। इसके बजाय, लिंक के लिए सामान्यीकृत पंखुड़ी अनुमानों में एक अलग प्रकार का मानक आरेख होता है जो पंखुड़ियों के कुछ घोंसले बनाने की अनुमति देता है। संदर्भ गाँठ सिद्धांत