Mutually unbiased bases
क्वांटम सूचना सिद्धांत में, हिल्बर्ट स्पेस सी. डी. में आधारों के एक समूह को पारस्परिक रूप से निष्पक्ष कहा जाता है, जिसका अर्थ है, कि यदि एक प्रणाली को आधारों में से एक की आईगन स्थिति में तैयार किया जाता है, तो दूसरे आधार के संबंध में माप के सभी परिणाम 1/डी के बराबर समान संभावना के साथ होने की भविष्यवाणी की जाती है। पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की धारणा पहली बार 1960 में श्विंगर द्वारा पेश की गई थी, और क्वांटम अवस्था निर्धारण की समस्या में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के अनुप्रयोगों पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति इवानोविक थे। एम. यू. बी. और उनके अस्तित्व की समस्या, अब गणित और क्वांटम विज्ञान की कई अन्य शाखाओं में कई निकट से संबंधित समस्याओं और समकक्ष अवतारों के लिए जानी जाती है, जैसे कि एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम., परिमित प्रोजेक्टिव/एफ़ाइन प्लेन, जटिल हदामर्ड मैट्रिक्स आदि। [विवरण के लिए नीचे दिए गए संबंधित समस्याएं और निर्माण अनुभाग देखें] क्वांटम कुंजी वितरण के लिए एम. यू. बी. महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से सुरक्षित क्वांटम कुंजी विनिमय में। पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का उपयोग कई प्रोटोकॉल में किया जाता है क्योंकि परिणाम यादृच्छिक होता है जब एक माप उस आधार पर किया जाता है जिसमें राज्य तैयार किया गया था। जब दो दूरस्थ पक्ष दो गैर-ऑर्थोगोनल क्वांटम अवस्थाओं को साझा करते हैं, तो एक ईवसड्रॉपर द्वारा माप द्वारा इनके बीच अंतर करने का प्रयास प्रणाली को प्रभावित करेगा और इसका पता लगाया जा सकता है। जबकि कई क्वांटम क्रिप्टोग्राफी प्रोटोकॉल 1-क्यूबिट तकनीकों पर निर्भर हैं, उच्च-आयामी अवस्थाओं को नियोजित करते हुए, जैसे कि कुत्रिट्स, जासूसी के खिलाफ बेहतर सुरक्षा की अनुमति देता है। यह उच्च आयामी स्थानों में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के अध्ययन को प्रेरित करता है। पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के अन्य उपयोगों में क्वांटम अवस्था पुनर्निर्माण, क्वांटम त्रुटि सुधार कोड, क्वांटम उलझन का पता लगाना और तथाकथित "मीन किंग्स प्रॉब्लम" शामिल हैं। परिभाषा और उदाहरण ऑर्थोनॉर्मल आधारों की एक जोड़ी और हिल्बर्ट स्पेस सीडी में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष कहा जाता है, अगर और केवल तभी जब किसी भी आधार अवस्थाओं के बीच आंतरिक उत्पाद के परिमाण का वर्ग और आयाम डी के व्युत्क्रम के बराबर होः ये आधार निम्नलिखित अर्थों में निष्पक्ष हैंः यदि एक प्रणाली आधारों में से एक से संबंधित स्थिति में तैयार की जाती है, तो दूसरे आधार के संबंध में माप के सभी परिणाम समान संभावना के साथ होने की भविष्यवाणी की जाती है। d = 2 के लिए उदाहरण तीन आधार C2 में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का सबसे सरल उदाहरण प्रदान करते हैं। उपरोक्त आधार क्रमशः पाउली स्पिन मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर्स और उनके उत्पाद से बने हैं। डी = 4 के लिए उदाहरण डी = 4 के लिए, डी + 1 = 5 पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का एक उदाहरण जहां प्रत्येक आधार को एमजे, 0 ≤ जे ≤ 4 द्वारा दर्शाया जाता है, निम्नानुसार दिया गया हैः अस्तित्व समस्या आइए डी-आयामी हिल्बर्ट स्पेस सीडी में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की अधिकतम संख्या को दर्शाते हैं। यह एक खुला सवाल है कि मनमाने d के लिए, Cd में कितने पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार पाए जा सकते हैं। सामान्य तौर पर, यदि d का अभाज्य-शक्ति गुणनखंडन है, तो पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की अधिकतम संख्या जिसे बनाया जा सकता है वह संतुष्ट करता है। इसे पिछले समीकरण में देखा जा सकता है, क्योंकि d का अभाज्य संख्या अपघटन सरलता से है। इसलिए, इस प्रकार, पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की अधिकतम संख्या तब ज्ञात होती है जब d एक अभाज्य संख्या की पूर्णांक शक्ति है, लेकिन यह मनमाने तरीके से d के लिए ज्ञात नहीं है। संबंधित समस्याएं एम. यू. बी. की समस्या प्रकृति में एस. आई. सी. _ पी. ओ. वी. एम. के सममित गुण के समान प्रतीत होती है। वूटर्स बताते हैं कि निष्पक्ष आधारों का एक पूरा सेट एक ज्यामितीय संरचना उत्पन्न करता है जिसे एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन के रूप में जाना जाता है, जबकि एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. (किसी भी आयाम में जो एक प्रमुख शक्ति है) एक परिमित एफ़ाइन प्लेन उत्पन्न करता है, एक प्रकार की संरचना जिसकी परिभाषा एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन के समान है जिसमें बिंदुओं और रेखाओं की भूमिकाओं का आदान-प्रदान होता है। इस मायने में, एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की समस्याएं एक दूसरे के लिए दोहरी हैं। आयाम में, सादृश्य को आगे ले जाया जा सकता हैः पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का एक पूरा समूह सीधे एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. से बनाया जा सकता है। एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. के 9 वैक्टर, पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के 12 वैक्टरों के साथ मिलकर एक समूह बनाते हैं जिसका उपयोग कोचेन-स्पेकर प्रूफ में किया जा सकता है। हालांकि, 6-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष में, एक एस. आई. सी.-पी. ओ. वी. एम. ज्ञात है, लेकिन पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का कोई पूरा सेट अभी तक नहीं खोजा गया है, और यह व्यापक रूप से माना जाता है कि ऐसा कोई सेट मौजूद नहीं है। पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों को खोजने के तरीके वेइल समूह विधि आइए और हिल्बर्ट स्पेस सीडी में दो एकात्मक प्रचालक हों जैसे कि कुछ चरण कारक के लिए। यदि एकता का एक आदिम मूल है, उदाहरण के लिए और के आइगेनबेस पारस्परिक रूप से निष्पक्ष हैं। मानक आधार के रूप में आइगेनबेस को चुनकर, हम फूरियर मैट्रिक्स का उपयोग करके इसके लिए निष्पक्ष रूप से एक और आधार उत्पन्न कर सकते हैं। फ़ोरियर मैट्रिक्स के तत्व अन्य आधारों द्वारा दिए जाते हैं जो मानक आधार दोनों के लिए निष्पक्ष होते हैं और फ़ोरियर मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न आधार को वेल समूहों का उपयोग करके उत्पन्न किया जा सकता है। जब वेइल समूहों का उपयोग करके पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के सेट तैयार किए जाते हैं तो हिल्बर्ट स्थान का आयाम महत्वपूर्ण होता है। जब d एक अभाज्य संख्या होती है, तो वेइल समूहों का उपयोग करके सामान्य d + 1 पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार उत्पन्न किए जा सकते हैं। जब d एक अभाज्य संख्या नहीं है, तो यह संभव है कि इस विधि का उपयोग करके उत्पन्न किए जा सकने वाले पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की अधिकतम संख्या 3 हो। परिमित क्षेत्रों का उपयोग करते हुए एकात्मक प्रचालक विधि जब d = p अभाज्य होता है, तो हम एकात्मक प्रचालक को परिभाषित करते हैं और जहां मानक आधार है और एकता का मूल है। फिर निम्नलिखित d + 1 प्रचालक के आइगेनबेस पारस्परिक रूप से निष्पक्ष होते हैंः विषम d के लिए, प्रचालक का t-th आइगेनवेक्टर स्पष्ट रूप से इस प्रकार दिया जाता है जब एक अभाज्य की शक्ति होती है, तो हम d + 1 पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के अधिकतम समूह का निर्माण करने के लिए परिमित क्षेत्र का उपयोग करते हैं। हम सीमित क्षेत्र का उपयोग करके सीडी के कम्प्यूटेशनल आधार के तत्वों को लेबल करते हैंः हम प्रचालक को परिभाषित करते हैं और निम्नलिखित तरीके से जहाँ क्षेत्र पर एक योगात्मक वर्ण है और केट्स में जोड़ और गुणन है और वह है। फिर हम कम्यूटिंग यूनिटरी ऑपरेटरों के डी + 1 सेट बनाते हैंः और प्रत्येक के लिए एक सेट में ऑपरेटरों के संयुक्त आइगेनबेस किसी भी अन्य सेट के लिए पारस्परिक रूप से निष्पक्ष होते हैं। इस प्रकार हमारे पास d + 1 पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार हैं। हैडमर्ड मैट्रिक्स विधि यह देखते हुए कि हिल्बर्ट स्थान में एक आधार मानक आधार है, तो सभी आधार जो इस आधार के संबंध में निष्पक्ष हैं, उन्हें एक जटिल हैडमर्ड मैट्रिक्स के स्तंभों द्वारा एक सामान्यीकरण कारक द्वारा गुणा किया जा सकता है। d = 3 के लिए इन मैट्रिक्स का रूप होगा k + 1 पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के एक समूह को खोजने की समस्या इसलिए k पारस्परिक रूप से निष्पक्ष जटिल हैडामार्ड मैट्रिक्स को खोजने से मेल खाती है। 4-आयामी हिल्बर्ट स्पेस में हैडमर्ड मैट्रिक्स के एक पैरामीटर परिवार का एक उदाहरण है एम. यू. बी. के अधिकतम सेट को खोजने की समस्या जब डी = 6 सबसे छोटा आयाम जो एक अभाज्य की पूर्णांक शक्ति नहीं है, डी = 6 है। यह सबसे छोटा आयाम भी है जिसके लिए पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की संख्या ज्ञात नहीं है। इस मामले में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की संख्या निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों का उपयोग नहीं किया जा सकता है जब d एक अभाज्य संख्या की पूर्णांक शक्ति है। चार पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के एक समूह के लिए खोज जब d = 6, दोनों हैडमर्ड मैट्रिक्स और संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके असफल रहे हैं। सामान्य मान्यता यह है कि d = 6 के लिए पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की अधिकतम संख्या है। एन्ट्रोपिक अनिश्चितता संबंध और एम. यू. बी. पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन है जो उन्हें अनिश्चितता संबंधों के संदर्भ में मानते हैं। एन्ट्रोपिक अनिश्चितता संबंध हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुरूप हैं, और मासेन और उफ़िंक ने पाया कि किसी भी दो आधारों के लिए औरः कहाँ और और आधारों की संबंधित एन्ट्रापी है और, किसी दी गई स्थिति को मापते समय। एन्ट्रोपिक अनिश्चितता संबंध अक्सर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत की तुलना में बेहतर होते हैं, क्योंकि उन्हें मापी जाने वाली स्थिति के संदर्भ में नहीं, बल्कि सी के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। क्वांटम कुंजी वितरण जैसे परिदृश्यों में, हम माप आधारों के लिए इस तरह का लक्ष्य रखते हैं कि एक आधार के संबंध में एक राज्य का पूर्ण ज्ञान अन्य आधारों के संबंध में स्थिति का न्यूनतम ज्ञान दर्शाता है। यह माप परिणामों की एक उच्च एन्ट्रापी का तात्पर्य है, और इस प्रकार हम इन मजबूत एन्ट्रॉपिक अनिश्चितता संबंधों को कहते हैं। दो आधारों के लिए, अनिश्चितता संबंध की निचली सीमा को अधिकतम किया जाता है जब माप आधार पारस्परिक रूप से निष्पक्ष होते हैं, क्योंकि पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार अधिकतम रूप से असंगत होते हैंः उस आधार में किए गए माप का परिणाम जिसमें अवस्था तैयार की जाती है, वह पूरी तरह से यादृच्छिक होता है। वास्तव में, एक डी-आयामी स्थान के लिए, हमारे पास हैः पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की किसी भी जोड़ी के लिए और। यह सीमा इष्टतम हैः यदि हम एक आधार से एक अवस्था को मापते हैं तो परिणाम में उस आधार में एन्ट्रापी 0 और दूसरे में एक एन्ट्रापी होती है। यदि स्थान का आयाम एक अभाज्य शक्ति है, तो हम डी + 1 एम. यू. बी. का निर्माण कर सकते हैं, और फिर यह पाया गया है कि जो संबंध हमें सेटों की जोड़ी बनाने और फिर मासेन और उफ़िंक समीकरण का उपयोग करने से मिलेगा, उससे अधिक मजबूत है। इस प्रकार हमारे पास d + 1 पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों का एक लक्षण वर्णन है जिनके लिए अनिश्चितता संबंध सबसे मजबूत हैं। यद्यपि दो आधारों और डी + 1 आधारों के मामले का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है, अन्य परिस्थितियों में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के लिए अनिश्चितता संबंधों के बारे में बहुत कम जानकारी है। दो से अधिक और आधारों से कम पर विचार करते समय यह ज्ञात होता है कि पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के बड़े समूह मौजूद हैं जो बहुत कम अनिश्चितता प्रदर्शित करते हैं। इसका मतलब है कि केवल दो आधारों में माप पर विचार करने के अलावा, केवल पारस्परिक रूप से निष्पक्ष होने से उच्च अनिश्चितता नहीं होती है। फिर भी अन्य माप मौजूद हैं जो बहुत अनिश्चित हैं। जबकि अनंत आयाम हिल्बर्ट अंतरिक्ष में पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों की जांच की गई है, उनका अस्तित्व एक खुला सवाल बना हुआ है। यह अनुमान लगाया जाता है कि एक निरंतर हिल्बर्ट स्थान में, दो ऑर्थोनॉर्मल आधार और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष कहा जाता है यदि सामान्यीकृत स्थिति और संवेग आइगेनस्टेट के लिए और, k का मान है। स्थिति अवस्थाएँ और संवेग अवस्थाएँ क्रमशः हर्मिशियन प्रचालक के आइगेनवेक्टर हैं। वेइगर्ट और विल्किंसन ने सबसे पहले ध्यान दिया कि इन प्रचालक के एक रैखिक संयोजन में भी आइगेनबेस होते हैं, जिनमें पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के लिए कुछ विशिष्ट विशेषताएं होती हैं। एक प्रचालक के साथ और संबंधित आइगेनवैल्यूज के समानुपाती आइगेनफ़ंक्शंस होते हैं। यदि हम पैरामीटराइज करते हैं और और के रूप में, रैखिक संयोजन के किसी भी आइगेनस्टेट और स्थिति प्रचालक के किसी भी आइगेनस्टेट (दोनों अवस्थाओं को डीराक डेल्टा के लिए सामान्यीकृत) के बीच ओवरलैप स्थिर है, लेकिन इस पर निर्भर करता हैः और के आइगेनफ़ंक्शंस के लिए कहाँ और कहाँ खड़ा है। क्वांटम यांत्रिकी में माप पीओवीएम एसआईसी-पीओवीएम क्यूबिज्म संदर्भ क्वांटम माप भौतिकी में अनसुलझी समस्याएं गणित में अनसुलझी समस्याएं हिल्बर्ट स्पेस ऑपरेटर सिद्धांत घटना ज्यामिति यूक्लिडियन समतल ज्यामिति बीजगणितीय ज्यामिति हाइपरग्राफ कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण