Special linear Lie algebra
गणित में, क्रम n (निरूपित या) का विशेष रैखिक लाइ बीजगणित शून्य अनुरेखण और लाइ कोष्ठक के साथ मैट्रिक्स का लाइ बीजगणित है। यह बीजगणित अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और समझा गया है, और अक्सर अन्य लाइ बीजगणित के अध्ययन के लिए एक मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है। लाइ समूह जो यह उत्पन्न करता है वह विशेष रैखिक समूह है। अनुप्रयोग लाइ बीजगणित विशेष सापेक्षता, सामान्य सापेक्षता और अतिसममिति के अध्ययन के लिए केंद्रीय हैः इसका मौलिक प्रतिनिधित्व तथाकथित स्पिनोर प्रतिनिधित्व है, जबकि इसका आसन्न प्रतिनिधित्व विशेष सापेक्षता के लॉरेंट्ज़ समूह SO (3,1) को उत्पन्न करता है। बीजगणित अराजकता और अस्थिभंग के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, क्योंकि यह मोबियस समूह एस. एल. (2, आर) उत्पन्न करता है, जो हाइपरबोलिक तल के ऑटोमोर्फिज्म का वर्णन करता है, जो नकारात्मक वक्रता की सबसे सरल रीमान सतह है; इसके विपरीत, एस. एल. (2, सी) हाइपरबोलिक 3-आयामी गेंद के ऑटोमोर्फिज्म का वर्णन करता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत एस. एल. 2. सी. का प्रतिनिधित्व सिद्धांत लाइ बीजगणित एक त्रि-आयामी जटिल लाइ बीजगणित है। इसकी परिभाषित विशेषता यह है कि इसमें कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाला आधार होता है, और। यह एक कार्टन-वेल आधार है। शून्य निशान के साथ दो-दो जटिल मैट्रिक्स के संदर्भ में इसकी स्पष्ट प्राप्ति हैः,,। यह इसके लिए मौलिक या परिभाषित प्रतिनिधित्व है। लाइ बीजगणित को इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के एक उपक्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है और इसमें, प्रेरण द्वारा दिखाए गए निम्नलिखित कम्यूटेटर संबंध हैंः ध्यान दें कि, यहाँ, शक्तियाँ, आदि। शक्तियों को बीजगणित यू के तत्वों के रूप में संदर्भित करें न कि मैट्रिक्स शक्तियों के रूप में। पहला बुनियादी तथ्य (जो उपरोक्त कम्यूटेटर संबंधों से मिलता है) यह हैः इस सिद्धांत से, कोई निम्नलिखित मौलिक परिणाम का अनुमान लगाता हैः पहला कथन सही है क्योंकि या तो शून्य है या-आइगेनवैल्यू अन्य गैर-शून्य के आइगेनवैल्यू से अलग है। यह कहना कि यह एक-भार सदिश है, यह कहने के बराबर है कि यह एक साथ एक आइगेनवेक्टर है; एक छोटी गणना से पता चलता है कि, उस मामले में, का-आइगेनवैल्यू शून्य हैः है। इस प्रकार, कुछ पूर्णांक के लिए, और विशेष रूप से, प्रारंभिक लेम्मा द्वारा, जिसका तात्पर्य है कि। यह दिखाना बाकी है कि यह अपरिवर्तनीय है। यदि एक उप-प्रतिनिधित्व है, तो यह एक आइगेनवेक्टर को स्वीकार करता है, जिसमें रूप का आइगेनवैल्यू होना चाहिए; इस प्रकार यह इसके समानुपाती है। पूर्ववर्ती लेम्मा के अनुसार, हमारे पास है और इस प्रकार है। एक उपसंहार के रूप में, कोई यह अनुमान लगाता हैः यदि इसका आयाम सीमित है और यह अपरिवर्तनीय है, तो v का-आइगेनवैल्यू एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और इसका एक आधार है। इसके विपरीत, यदि का-आइगेनवैल्यू एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और इरेड्यूसिबल है, तो इसका एक आधार है; विशेष रूप से इसका परिमित आयाम है। लाइ अलजेब्रा का सुंदर विशेष मामला लाइ अलजेब्रा के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व को खोजने का एक सामान्य तरीका दिखाता है। अर्थात्, हम बीजगणित को तीन उप-बीजगणितों "एच" (कार्टन उप-बीजगणित), "ई" और "एफ" में विभाजित करते हैं, जो लगभग अपने नाम के समान व्यवहार करते हैं। अर्थात्, एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में, हमारे पास "एच" का एक "उच्चतम" आइगेनवेक्टर है, जिस पर "ई" शून्य से कार्य करता है। अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का आधार "एच" के उच्चतम आइगेनवेक्टर्स पर "एफ" की क्रिया से उत्पन्न होता है। उच्चतम भार की प्रमेय देखें। एस. एल. एन. सी. का प्रतिनिधित्व सिद्धांत जब आयाम के एक जटिल सदिश स्थान के लिए, के प्रत्येक परिमित-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व को की एक टेंसर शक्ति के उप-प्रतिनिधित्व के रूप में पाया जा सकता है। लाइ बीजगणित को स्पष्ट रूप से ट्रेसलेस मैट्रिक्स के मैट्रिक्स लाइ बीजगणित के रूप में महसूस किया जा सकता है। यह इसके लिए मौलिक प्रतिनिधित्व है। प्रविष्टि में एक और हर जगह शून्य के साथ मैट्रिक्स के रूप में सेट करें। फिर एक आधार बनाएँ। यह तकनीकी रूप से संकेतन का दुरुपयोग है, और ये वास्तव में मौलिक प्रतिनिधित्व के आधार की छवि हैं। इसके अलावा, यह वास्तव में एक कार्टन-वेल आधार है, जिसमें कार्टन उप-बीजगणित फैला हुआ है। संकेतन का परिचय देना यदि, और, यह भी कि यदि, सकारात्मक मूल हैं और संबंधित नकारात्मक मूल हैं। सरल जड़ों का आधार फॉर द्वारा दिया जाता है। टिप्पणियाँ संदर्भ एटिंगॉफ़, पावेल। "प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर व्याख्यान टिप्पणियाँ"। ए. एल. ओनिशचिक, ई. बी. विनबर्ग, वी. वी. गोर्बाटसेविच, लाइ समूहों और लाइ अल्जेब्रा की संरचना। झूठ बोलने वाले समूह और झूठ बोलने वाले बीजगणित, III। गणितीय विज्ञान का विश्वकोश, 41. स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन, 1994. iv + 248 पीपी। (गणित में वर्तमान समस्याओं का अनुवाद। मौलिक दिशाएँ। खण्ड. 41, अकद। नौक एस. एस. एस. आर., वेसोयुज। इंस्टा. नौचन। और तकनीक। सूचित करें।, मास्को, 1990। वी. मिनाचिन द्वारा अनुवाद। ए. एल. ओनिशचिक और ई. बी. विनबर्ग द्वारा संपादित अनुवाद) वी. एल. पोपोव, ई. बी. विनबर्ग, इनवेरिएंट थ्योरी। बीजगणितीय ज्यामिति। IV. रैखिक बीजगणितीय समूह। गणितीय विज्ञान का विश्वकोश, 55. स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन, 1994. vi + 284 पीपी। (बीजगणितीय ज्यामिति का अनुवाद। 4, अकड़। नौक एस. एस. एस. आर. वेसोयुज। इंस्टा. नौचन। और तकनीक। सूचित करें।, मास्को, 1989। ए. एन. पारशिन और आई. आर. शफारेविच द्वारा संपादित अनुवाद)। एफाइन वेल समूह फाइनाइट कॉक्सेटर समूह हैस्से आरेख रैखिक बीजगणितीय समूह निलपोटेंट ऑर्बिट रूट सिस्टम एसएल2-ट्रिपल वेल समूह लाइ समूह भी देखें।