Toral subalgebra
गणित में, एक तोरल उप-बीजगणित एक सामान्य रैखिक लाइ बीजगणित का एक लाइ उप-बीजगणित है जिसके सभी तत्व अर्ध-सरल (या एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर विकर्णनीय) हैं। समान रूप से, एक लाइ बीजगणित टोरल होता है यदि इसमें कोई गैर-शून्य निलपोटेन्ट तत्व नहीं होते हैं। एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, प्रत्येक तोरल लाइ बीजगणित अबेलियन है; इस प्रकार, इसके तत्व एक साथ विकर्णनीय हैं। सेमीसिम्पल और रिडक्टिव लाइ अलजेब्रा में सेमीसिम्पल लाइ अलजेब्रा के एक उप-बीजगणित को टोरल कहा जाता है यदि ऑन का संलग्न प्रतिनिधित्व एक टोरल उप-बीजगणित है। एक सीमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित का एक अधिकतम तोरल लाइ उप-बीजगणित, या अधिक सामान्य रूप से एक सीमित-आयामी अपचायक लाइ बीजगणित, विशेषता 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक कार्टन उप-बीजगणित है और इसके विपरीत। विशेष रूप से, इस सेटिंग में एक अधिकतम टोरल लाइ उप-बीजगणित स्व-सामान्यीकरण है, जो इसके केंद्रीकरण के साथ मेल खाता है, और प्रतिबंधित का हत्या रूप गैर-अपक्षयी है। अधिक सामान्य लाइ बीजगणित के लिए, एक कार्टन उप-बीजगणित एक अधिकतम तोरल उप-बीजगणित से भिन्न हो सकता है। एक सीमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में एक विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक तोरल उप-बीजगणित मौजूद है। वास्तव में, यदि केवल निलपोटेन्ट तत्व हैं, तो यह निलपोटेन्ट (एंगेल की प्रमेय) है, लेकिन फिर इसका हत्या रूप समान रूप से शून्य है, जो अर्ध-सरलीकरण का खंडन करता है। इसलिए, एक गैर-शून्य अर्ध-सरल तत्व होना चाहिए, मान लीजिए x; x की रैखिक अवधि तब एक तोरल उप-बीजगणित है। लाइ समूहों के सिद्धांत में मैक्सिमल टोरस भी देखें, लाइ अल्जेब्रा के संदर्भ गुण