Hitchin's equations
गणित में, और विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति और मापक सिद्धांत में, हिचिन के समीकरण 1987 में निगेल हिचिन द्वारा लिखे गए रीमान सतह पर एक वेक्टर बंडल या प्रमुख बंडल पर एक संबंध और हिग्स क्षेत्र के लिए आंशिक विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली है। हिचिन के समीकरण स्थानीय रूप से संरचना समूह के सममित स्थान दोहरी में एक सतह के लिए हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के बराबर हैं। वे स्व-द्वैत यांग-मिल्स समीकरणों के चार आयामों से दो आयामों में एक आयामी कमी के रूप में भी दिखाई देते हैं, और हिचिन के समीकरणों के समाधान हिग्स बंडलों और होलोमोर्फिक कनेक्शन के उदाहरण देते हैं। एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह पर हिचिन के समीकरणों के समाधान का अस्तित्व संबंधित हिग्स बंडल या संबंधित होलोमोर्फिक कनेक्शन की स्थिरता से होता है, और यह नॉनबेलियन हॉज पत्राचार का सबसे सरल रूप है। हिचिन के समीकरणों के समाधान के मॉड्यूली स्थान का निर्माण हिचिन द्वारा एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह पर रैंक दो मामले में किया गया था और यह निर्मित हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड के पहले उदाहरणों में से एक था। नॉनबेलियन हॉज पत्राचार से पता चलता है कि यह हिग्स बंडल मॉड्यूली स्पेस और होलोमोर्फिक कनेक्शन के मॉड्यूली स्पेस के लिए समरूप है। हिचिन के समीकरणों के संदर्भ में हिग्स बंडल मॉड्यूली स्थान पर मीट्रिक संरचना का उपयोग करते हुए, हिचिन ने हिचिन प्रणाली का निर्माण किया, एक पूरी तरह से एकीकृत प्रणाली जिसका एक सीमित क्षेत्र पर विकृत सामान्यीकरण का उपयोग न्गो बाओ चाउ द्वारा लैंगलैंड्स कार्यक्रम में मौलिक लेम्मा के अपने प्रमाण में किया गया था, जिसके लिए उन्हें 2010 फील्ड्स पदक दिया गया था। परिभाषा परिभाषा को वेक्टर बंडल या प्रमुख बंडल पर एक संबंध के लिए शब्दबद्ध किया जा सकता है, जिसमें दो दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से विनिमेय हैं। यहाँ प्रमुख बंडलों की परिभाषा प्रस्तुत की गई है, जो कि हिचिन के काम में दिखाई देने वाला रूप है। आइए एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह पर एक कॉम्पैक्ट वास्तविक लाइ समूह के लिए एक प्रमुख-बंडल बनें। सरलता के लिए हम विशेष एकात्मक समूह या विशेष ऑर्थोगोनल समूह के मामले पर विचार करेंगे। मान लीजिए कि एक कनेक्शन चालू है, और मान लीजिए कि यह जटिल वेक्टर बंडल का एक खंड है, जहां के लाइ बीजगणित के जटिलता द्वारा दिए गए फाइबर के साथ संलग्न बंडल का जटिलता है। अर्थात्, यह एक जटिल-मूल्यवान-रूप है। यांग-मिल्स सिद्धांत में दिखाई देने वाले सहायक हिग्स क्षेत्र के अनुरूप इस तरह के क्षेत्र को हिग्स क्षेत्र कहा जाता है। एक जोड़ी के लिए, हिचिन के समीकरण इस बात पर जोर देते हैं कि वक्रता रूप कहाँ है, जटिल संलग्न बंडल पर प्रेरित संबंध का-भाग है, और लाइ बीजगणित-मूल्यवान विभेदक रूपों के अर्थ में-मूल्यवान एक-रूप का कम्यूटेटर है। चूंकि यह प्रकार का है, इसलिए हिचिन के समीकरण इस बात पर जोर देते हैं कि-घटक। चूंकि, इसका तात्पर्य है कि यह एक डॉल्बीऑल्ट प्रचालक है और इस लाइ बीजगणित बंडल को एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल की संरचना देता है। इसलिए, स्थिति का अर्थ है कि एक होलोमोर्फिक-मूल्यवान-रूप है। होलोमोर्फिक एंडोमोर्फिज्म-वैल्यूड-फॉर्म के साथ एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल से युक्त एक जोड़ी को हिग्स बंडल कहा जाता है, और इसलिए हिचिन के समीकरणों का प्रत्येक समाधान हिग्स बंडल का एक उदाहरण देता है। व्युत्पत्ति हिचिन के समीकरणों को चार आयामों से दो आयामों में यांग-मिल्स समीकरणों की आयामी कमी के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। एक तुच्छ प्रिंसिपल-बंडल ओवर पर एक कनेक्शन पर विचार करें। फिर चार कार्य मौजूद हैं जैसे कि मानक समन्वय विभेदक रूप कहाँ हैं। संबंध के लिए स्व-द्वैत समीकरण, यांग-मिल्स समीकरणों का एक विशेष मामला, लिखा जा सकता है जहां वक्रता का दो रूप है। आयामी रूप से दो आयामों तक कम करने के लिए, एक यह लागू करता है कि कनेक्शन रूप निर्देशांक से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार घटक प्रतिबंधित बंडल पर एक कनेक्शन को परिभाषित करते हैं, और यदि एक रिलेबल है, तो ये सहायक-मूल्यवान क्षेत्र हैं। यदि कोई अब लिखते हैं और मानक जटिल-रूप कहाँ है, तो ऊपर दिए गए स्व-द्वैत समीकरण सटीक रूप से हिचिन के समीकरण बन जाते हैं। चूँकि ये समीकरण अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए वे समतल, एक रीमान सतह के अनुरूप संकुचन पर समझ में आते हैं। संदर्भ विभेदक ज्यामिति