State-population monotonicity
राज्य-जनसंख्या एकरसता विभाजन विधियों की एक संपत्ति है, जो संघीय राज्यों के बीच संसद में सीटें आवंटित करने के तरीके हैं। संपत्ति में कहा गया है कि यदि किसी राज्य की जनसंख्या अन्य राज्यों की तुलना में तेजी से बढ़ती है, तो उसे एक भी सीट नहीं गंवानी चाहिए। एक विभाजन विधि जो इस संपत्ति को संतुष्ट करने में विफल रहती है, उसे जनसंख्या विरोधाभास कहा जाता है। विभाजन साहित्य में, इस गुण को केवल जनसंख्या एकरसता कहा जाता है। हालांकि, "जनसंख्या एकरसता" शब्द का उपयोग आमतौर पर संसाधन-आवंटन नियमों की एक बहुत ही अलग संपत्ति को दर्शाने के लिए किया जाता हैः संसाधन आवंटन में, संपत्ति विभाजन प्रक्रिया में भाग लेने वाले एजेंटों के समूह से संबंधित है। जनसंख्या में वृद्धि का मतलब है कि पहले से मौजूद एजेंट कम वस्तुओं के हकदार हैं, क्योंकि खाने के लिए अधिक मुंह हैं। अधिक जानकारी के लिए जनसंख्या एकरसता देखें। बंटवारे में, संपत्ति एक व्यक्तिगत राज्य की आबादी से संबंधित होती है, जो राज्य की पात्रता निर्धारित करती है। जनसंख्या में वृद्धि का मतलब है कि एक राज्य अधिक सीटों का हकदार है। निष्पक्ष विभाजन में समानांतर गुण को भार एकरसता कहा जाता हैः जब किसी एजेंट का "वजन" (-पात्रता) बढ़ता है, तो उसकी उपयोगिता कम नहीं होनी चाहिए। राज्य-जनसंख्या एकरसता (पीएम) के कई रूप हैं; परिभाषाओं और संकेतन के लिए विभाजन का गणित देखें। एर्लांग पीएम पीएम की सबसे सरल परिभाषा यह है कि, यदि एक राज्य की जनसंख्या बढ़ती है और दूसरे राज्यों की आबादी समान रहती है (जैसे कि वृद्धि का अधिकार और अन्य राज्यों के अधिकारों में कमी), तो कमजोर विभाजन बढ़ता है। यह धारणा 1907 में अग्नर क्रारुप एर्लांग द्वारा प्रस्तावित की गई थी और 1978 में आनंद हेललैंड द्वारा इसका अध्ययन किया गया था। इस धारणा के साथ समस्या यह है कि, व्यवहार में, राज्यों की आबादी समान नहीं रहती है, वे एक साथ बढ़ती हैं। मजबूत पीएम पीएम के एक मजबूत संस्करण के लिए आवश्यक है कि यदि राज्य का अधिकार बढ़ता है (अर्थातः इसकी आबादी को सभी आबादी के योग से विभाजित किया जाता है), तो कमजोर विभाजन बढ़ता है। यह रूप बहुत मजबूत हैः जब भी कम से कम 3 राज्य होते हैं, और सीटों की संख्या राज्यों की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो कोई आंशिक विभाजन विधि (= राज्यों और सीटों की एक निश्चित संख्या के लिए विभाजन विधि) दृढ़ता से-प्रधानमंत्री नहीं होती है। प्रमाणः विरोधाभास से मान लीजिए कि आंशिक विभाजन दृढ़ता से-पीएम है। कई मामलों पर विचार करेंः-केवल एक सीट है। दो पात्रता सदिशों पर विचार कीजिएः सभी पात्रताएँ समान हैं। फिर समरूपता द्वारा, उन सभी विभाजनों को वापस करना होगा जिनमें कुछ अवस्थाएँ 1 प्राप्त करती हैं और अन्य 0 प्राप्त करते हैं। कुछ दो राज्यों के अधिकार उससे भी बड़े हैं। फिर मजबूत प्रधानमंत्री के लिए दोनों को कम से कम 1 सीट मिलनी चाहिए, लेकिन यह असंभव है। - राज्यों की तुलना में कम सीटें हैं। तीन पात्रता सदिशों पर विचार कीजिएः एक मनमाना सदिश जिसके साथ, जहां पहले राज्यों की पात्रताएँ संतुष्ट होती हैं, और राज्य की पात्रता उससे कम होती है। इस तरह के वेक्टर के लिए विभाजन को निरूपित करें। प्रथम राज्यों के अधिकार सभी के बराबर हैं, जहां पर्याप्त रूप से छोटे हैं, और राज्य की पात्रता उससे कम है। फिर मजबूत पीएम और समरूपता से पहले राज्यों को किसी भी विभाजन में कम से कम सीटें मिलनी चाहिए। इसके लिए कम से कम सीटों की आवश्यकता होती है। अगर ऐसा है तो यह असंभव है। भले ही, यह तभी संभव है जब। इसका मतलब है कि इससे कम पात्रता वाले किसी भी राज्य को अधिकतम 1 सीट मिलनी चाहिए, और इससे कम पात्रता वाले किसी भी राज्य को 0 सीटें मिलनी चाहिए। [के लिए]: राज्य 1 की पात्रता है और अन्य राज्यों की पात्रताएँ हैं, जो उससे कम हैं। फिर, अवस्था 1 का विभाजन और अन्य अवस्थाओं का 0 होना चाहिए। लेकिन फिर विभाजन का योग सीटों की संख्या से कम है-एक विरोधाभास। - सामान्य स्थिति-राज्यों की तुलना में अधिक सीटें हैं। विशेष मामले में, जिसमें दृढ़ता से-पीएम नियम हैं। जनसंख्या-जोड़ी एकरूपता यदि दो राज्यों के अधिकारों के बीच का अनुपात बढ़ता है, तो राज्य को कम सीटें नहीं मिलनी चाहिए जबकि राज्य को अधिक सीटें मिलनी चाहिए। इस गुण को वोट-अनुपात एकरसता भी कहा जाता है; अधिक जानकारी के लिए उस पृष्ठ को देखें। मतदाता एकरसता मतदाता एकरसता जोड़ीदार प्रधानमंत्री की तुलना में कमजोर गुण है। इसमें कहा गया है कि अगर पार्टी आई अधिक मतदाताओं को आकर्षित करती है, जबकि अन्य सभी दल समान संख्या में मतदाताओं को रखते हैं, तो पार्टी आई को एक भी सीट नहीं गंवानी चाहिए। मतदाता एकरसता की विफलता को नो-शो पैराडॉक्स कहा जाता है, क्योंकि एक मतदाता मतदान नहीं करके अपनी पार्टी की मदद कर सकता है। ड्रूप कोटा के साथ सबसे बड़ा-शेष तरीका मतदाता एकरसता में विफल रहता है। कमजोर जनसंख्या-एकरूपता ("एकरूपता") कमजोर जनसंख्या-एकरूपता, जिसे एकरूपता भी कहा जाता है, एक स्थिर संपत्ति हैः यह कहता है कि एक बड़ी आबादी वाले राज्य को एक छोटा आवंटन प्राप्त नहीं होना चाहिए। औपचारिक रूप से, यदि तब। सभी ज्ञात विभाजन विधियाँ सुसंगत हैं। विशेष रूप से, उच्चतम औसत विधियाँ और सबसे बड़ी शेष विधियाँ दोनों सुसंगत हैं। कुछ भाजक विधियों के साथ एक अच्छा बिंदु है जिसमें भाजक अनुक्रम 0 से शुरू होता है। उदाहरण के लिए, एडम्स विभाजन विधि में, प्रत्येक एजेंट का भागफल जिसका वर्तमान आवंटन 0 है, जो अनंत है। इसलिए, यदि एजेंटों की तुलना में कम आइटम हैं, तो एडम्स विधि को, सैद्धांतिक रूप से, वस्तुओं को मनमाने ढंग से आवंटित करने की अनुमति है, यहां तक कि छोटे हक वाले एजेंटों को अधिक आइटम देना, जो सहमति का खंडन करता है। व्यवहार में, ऐसा शायद ही कभी होता है, क्योंकि वस्तुओं की संख्या आमतौर पर एजेंटों की संख्या से अधिक होती है। औपचारिक रूप से, एडम्स की विधि को आमतौर पर इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि जब भी वस्तुओं की संख्या एजेंटों की संख्या से कम होती है तो यह एक खाली सेट लौटाती है। संदर्भ विभाजन विधि मानदंड