Fractional approval voting
फ्रैक्शनल अप्रूवल वोटिंग एक चुनावी प्रणाली है जिसमें अप्रूवल बैलेट का उपयोग किया जाता है (प्रत्येक मतदाता एक या अधिक उम्मीदवार विकल्पों का चयन करता है), जिसमें परिणाम फ्रैक्शनल होता हैः प्रत्येक वैकल्पिक जे के लिए 0 और 1 के बीच एक अंश पीजे होता है, जैसे कि पीजे का योग 1 है। इसे अनुमोदन मतदान के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता हैः बाद वाले में, एक उम्मीदवार जीतता है (पीजे = 1) और अन्य उम्मीदवार हारते हैं (पीजे = 0)। भिन्न pj की व्याख्या सेटिंग के आधार पर विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। उदाहरण हैंः समय साझाकरणः प्रत्येक वैकल्पिक जे को समय का एक अंश पीजे लागू किया जाता है (जैसे। प्रत्येक उम्मीदवार जे कार्यालय में कार्यकाल का एक अंश पीजे कार्य करता है)। बजट वितरणः प्रत्येक वैकल्पिक जे को कुल बजट का एक अंश पीजे प्राप्त होता है। संभाव्यताएँः आंशिक परिणामों की गणना के बाद, एक उम्मीदवार का चयन करने के लिए एक लॉटरी होती है, जहाँ प्रत्येक उम्मीदवार जे को संभाव्यता पीजे के साथ चुना जाता है। हकः आंशिक परिणामों का उपयोग विभाजन के नियमों में हक के रूप में (जिसे भार भी कहा जाता है) या विभिन्न हक के साथ उचित विभाजन के एल्गोरिदम में किया जाता है। आंशिक अनुमोदन मतदान आंशिक सामाजिक पसंद का एक विशेष मामला है जिसमें सभी मतदाताओं की द्वि-आयामी प्राथमिकताएँ होती हैं। यह साहित्य में कई अलग-अलग शब्दों के तहत दिखाई देता हैः लॉटरी, साझाकरण, विभाजन, मिश्रण और वितरण। औपचारिक परिभाषाएँ उम्मीदवारों का एक सीमित समूह सी है (जिसे परिणाम या विकल्प भी कहा जाता है), और एन मतदाताओं का एक सीमित समूह एन (जिसे एजेंट भी कहा जाता है)। प्रत्येक मतदाता सी का एक उपसमुच्चय एआई निर्दिष्ट करता है, जो उन उम्मीदवारों के समूह का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें मतदाता अनुमोदित करता है। एक आंशिक अनुमोदन मतदान नियम सेट एआई के सेट को इनपुट के रूप में लेता है, और आउटपुट के रूप में एक मिश्रण (जिसे वितरण या लॉटरी भी कहा जाता है) देता है-[0,1] में वास्तविक संख्याओं का एक वेक्टर पी, प्रत्येक उम्मीदवार के लिए एक संख्या, जैसे कि संख्याओं का योग 1 है। यह माना जाता है कि प्रत्येक एजेंट आई अपने अनुमोदन सेट एआई में प्रत्येक उम्मीदवार से 1 की उपयोगिता प्राप्त करता है, और प्रत्येक उम्मीदवार से 0 की उपयोगिता जो एआई में नहीं है। अतः, अभिकर्त्ता i प्रत्येक मिश्रण p से लाभ प्राप्त करता है, जिसकी उपयोगिता है। उदाहरण के लिए, यदि मिश्रण पी की व्याख्या बजट वितरण के रूप में की जाती है, तो आई की उपयोगिता उसके पसंद के परिणामों के लिए आवंटित कुल बजट है। वांछित गुण बुनियादी गुण सामान्य रूप से मतदान नियमों के दो बुनियादी गुण, और विशेष रूप से आंशिक-अनुमोदन-मतदान नियम हैंः अनामता-मतदाताओं के नाम मायने नहीं रखते हैं; तटस्थता-उम्मीदवारों के नाम मायने नहीं रखते हैं; दक्षता गुण पारेतो-दक्षता (पी. ई.) का अर्थ है कि कोई भी मिश्रण एक एजेंट को उच्च उपयोगिता नहीं देता है और कम से कम अन्य सभी के लिए उच्च उपयोगिता देता है। एक्स-पोस्ट पी. ई. एक कमजोर संपत्ति है, जो केवल लॉटरी के रूप में मिश्रण की व्याख्या के लिए प्रासंगिक है। इसका मतलब है कि, लॉटरी के बाद, कोई भी परिणाम एक एजेंट को उच्च उपयोगिता नहीं देता है और कम से कम अन्य सभी को उच्च उपयोगिता देता है (दूसरे शब्दों में, यह पीई परिणामों पर एक मिश्रण है)। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि 5 उम्मीदवार (ए, बी, सी, डी, ई) और अनुमोदन सेट (एसी, एड, एई, बीसी, बीडी, बी) वाले 6 मतदाता हैं। किसी भी एक उम्मीदवार का चयन पी. ई. है, इसलिए प्रत्येक लॉटरी पूर्व-पोस्ट पी. ई. है। लेकिन 1/3 संभावना के साथ सी, डी, ई का चयन करने वाली लॉटरी पीई नहीं है, क्योंकि यह प्रत्येक मतदाता को 1/3 की अपेक्षित उपयोगिता देती है, जबकि 1/2 संभावना के साथ ए, बी का चयन करने वाली लॉटरी प्रत्येक मतदाता को 1/2 की अपेक्षित उपयोगिता देती है। पी. ई. का अर्थ हमेशा पूर्व-पद पी. ई. होता है। इसके विपरीत निम्नलिखित मामलों में भी सच हैः जब अधिकतम 4 मतदाता हों, या अधिकतम 3 उम्मीदवार हों। जब उम्मीदवारों को एक पंक्ति पर इस तरह से आदेश दिया जा सकता है कि प्रत्येक अनुमोदन सेट एक अंतराल हो (एकल शिखर वरीयताओं के अनुरूप)। निष्पक्षता गुण निष्पक्षता आवश्यकताओं को उचित हिस्सेदारी (एफ. एस.) की धारणा के विभिन्न रूपों द्वारा पकड़ा जाता है। इंडिविजुअल-एफएस (जिसे फेयर वेलफेयर शेयर भी कहा जाता है) का अर्थ है कि प्रत्येक मतदाता की उपयोगिता कम से कम 1/एन है, यानी बजट का कम से कम 1/एन i द्वारा अनुमोदित उम्मीदवारों को आवंटित किया जाता है। इंडिविजुअल-आउटकम-एफएस का अर्थ है कि प्रत्येक मतदाता की उपयोगिता कम से कम एक लॉटरी में उसकी उपयोगिता है जो एक उम्मीदवार का यादृच्छिक रूप से चयन करती है, यानी कम से कम के/<आईडी1।, जहां के i द्वारा अनुमोदित उम्मीदवारों की संख्या है। इंडिविजुअल-एफएस और इंडिविजुअल-आउटकम-एफएस अपर्याप्त हैं क्योंकि वे मतदाताओं के समूहों की अनदेखी करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 99 प्रतिशत मतदाता एक्स को मंजूरी देते हैं और 1 प्रतिशत वाई को मंजूरी देते हैं, तो दोनों संपत्तियां बजट का एक चौथाई एक्स को और आधा वाई को देने की अनुमति देती हैं। यह यकीनन वाई समर्थकों के समूह के लिए अनुचित है। एकल-वोट-एफएस (जिसे वफादार भी कहा जाता है) का अर्थ है कि, यदि प्रत्येक मतदाता एक उम्मीदवार को मंजूरी देता है, तो प्रत्येक उम्मीदवार जे को सौंपा गया अंश उन मतदाताओं की संख्या के बराबर है जो जे को एन द्वारा विभाजित करते हैं। एकल-वोट-एफएस एक बुनियादी आवश्यकता है, लेकिन यह अपर्याप्त है क्योंकि यह उस मामले के बारे में कुछ नहीं कहता है जिसमें मतदाता दो या दो से अधिक उम्मीदवारों को मंजूरी दे सकते हैं। सर्वसम्मति से-एफ. एस. का अर्थ है कि, समान वरीयता वाले मतदाताओं के प्रत्येक समूह एस के लिए, एस में प्रत्येक सदस्य की उपयोगिता कम से कम |S।// एन है। सर्वसम्मत-एफ. एस. का तात्पर्य एकल-वोट-एफ. एस. है, लेकिन यह अभी भी अपर्याप्त है क्योंकि यह उन एजेंटों के समूहों के बारे में कुछ नहीं कहता है जिनके अनुमोदन-सेट ओवरलैप होते हैं। समूह-एफ. एस. (आनुपातिक बंटवारा भी कहा जाता है) का अर्थ है कि, प्रत्येक मतदाता समूह एस के लिए, एस के कम से कम एक सदस्य द्वारा अनुमोदित उम्मीदवारों को आवंटित कुल बजट कम से कम |S।/एन. है। समूह-एफ. एस. का तात्पर्य सर्वसम्मत-एफ. एस., एकल-वोट-एफ. एस. और व्यक्तिगत-एफ. एस. है। समूह-एफ. एस. अपघटनीयता नामक संपत्ति के बराबर हैः वितरण को राशि 1/एन के एन वितरणों में विघटित करना संभव है, जैसे कि एजेंट आई को अनुशंसित वितरण केवल i द्वारा अनुमोदित उम्मीदवारों पर सकारात्मक हो। औसत-एफ. एस. का अर्थ है कि, प्रत्येक मतदाता सेट एस के लिए कम से कम एक स्वीकृत उम्मीदवार के साथ, एस में मतदाताओं की औसत उपयोगिता कम से कम |S।/एन है। कोर-एफएस का अर्थ है कि, प्रत्येक मतदाता समूह एस के लिए, उनके |S।/एन बजट का कोई अन्य वितरण नहीं है, जो एस के सभी सदस्यों को एक उच्च उपयोगिता देता है। कोर-एफ. एस. का अर्थ है समूह-एफ. एस.। रणनीतिक गुण मतदान नियमों के लिए रणनीति प्रूफनेस (एसपी) के कई रूपों का अध्ययन किया गया हैः इंडिविजुअल-एसपी का मतलब है कि एक व्यक्तिगत मतदाता, जो निष्ठाहीन प्राथमिकताओं की रिपोर्ट करता है, उसे उच्च उपयोगिता नहीं मिल सकती है। कमजोर-समूह-सपा का मतलब है कि मतदाताओं का एक समूह, जो समन्वय में निष्ठाहीन प्राथमिकताओं की रिपोर्ट करता है, उन सभी के लिए एक उच्च उपयोगिता प्राप्त नहीं कर सकता है। समूह-एस. पी. का अर्थ है कि मतदाताओं का एक समूह, जो समन्वय में निष्ठाहीन प्राथमिकताओं की रिपोर्ट करता है, उनमें से कम से कम एक के लिए उच्च उपयोगिता प्राप्त नहीं कर सकता है, और कम से कम उन सभी के लिए उच्च उपयोगिता के रूप में। वरीयता-एकरूपता का अर्थ है कि यदि कोई मतदाता, जिसने पहले किसी निश्चित उम्मीदवार X का समर्थन नहीं किया था, X का समर्थन करना शुरू कर देता है, तो अन्य उम्मीदवारों के शेयरों में वृद्धि नहीं होती है। इसका तात्पर्य है व्यक्तिगत-एस. पी.। एस. पी. का एक कमजोर संस्करण बहिष्कृत एस. पी. है। यह उन स्थितियों में प्रासंगिक है जहां मतदाताओं को कुछ उम्मीदवार विकल्पों का उपयोग करने से बाहर करना संभव है। उदाहरण के लिए, यदि उम्मीदवार बैठक के समय हैं, तो उन समय में मतदाताओं को बैठक में भाग लेने से बाहर करना संभव है जब उन्होंने मंजूरी नहीं दी थी। इससे हेरफेर करना कठिन हो जाता है, और इसलिए, आवश्यकता कमजोर होती है। भागीदारी संपत्ति नियमों को मतदाताओं को मतदान प्रक्रिया में भाग लेने के लिए प्रोत्साहित करना चाहिए। भागीदारी के कई मानदंडों का अध्ययन किया गया हैः कमजोर भागीदारीः एक मतदाता की उपयोगिता जब वह भाग लेता है तो कम से कम उतनी ही अधिक होती है जितनी कि उसकी उपयोगिता जब वह भाग नहीं लेता है (यह नो शो विरोधाभास का निषेध है)। सख्त भागीदारीः जब एक मतदाता भाग लेता है तो उसकी उपयोगिता उसकी उपयोगिता से कहीं अधिक होती है जब वह भाग नहीं लेता है। विशेष रूप से, एक मतदाता को भाग लेने से लाभ होता है, भले ही उसके पास "क्लोन" हों-समान वरीयता वाले मतदाता। सहभागी बजट व्यवस्था में एक मजबूत संपत्ति की आवश्यकता होती है जिसमें वितरित करने के लिए बजट मतदाताओं द्वारा स्वयं दान किया जाता हैः पूलिंग भागीदारीः एक मतदाता की उपयोगिता जब वह तंत्र के माध्यम से दान करता है तो कम से कम उतनी ही अधिक होती है जितनी कि उसकी उपयोगिता जब वह स्वयं दान करता है। नियम उपयोगितावादी शासन उपयोगितावादी नियम का उद्देश्य उपयोगिताओं के योग को अधिकतम करना है, और इसलिए यह मतदाताओं की सबसे बड़ी संख्या द्वारा अनुमोदित उम्मीदवारों के बीच पूरे बजट को वितरित करता है। विशेष रूप से, यदि सबसे अधिक मतों के साथ एक उम्मीदवार है, तो इस उम्मीदवार को 1 (यानी सभी बजट) मिलता है और अन्य को 0 मिलता है, जैसा कि एकल-विजेता अनुमोदन मतदान में होता है। यदि समान सबसे अधिक मतों वाले कुछ के उम्मीदवार हैं, तो बजट उनके बीच समान रूप से वितरित किया जाता है, जिसमें प्रत्येक ऐसे उम्मीदवार को 1/के और अन्य सभी को 0 दिया जाता है। उपयोगितावादी नियम में कई वांछनीय गुण हैंः यह अनाम, तटस्थ, पी. ई., व्यक्तिगत-एस. पी. और वरीयता-एक-स्वर है। इसकी गणना करना भी आसान है। हालाँकि, यह अल्पसंख्यकों के प्रति उचित नहीं है-यह इंडिविजुअल-एफ. एस. (साथ ही एफ. एस. के सभी मजबूत रूपों) का उल्लंघन करता है। उदाहरण के लिए, यदि 51 प्रतिशत मतदाता एक्स को मंजूरी देते हैं और 49 प्रतिशत मतदाता वाई को मंजूरी देते हैं, तो उपयोगितावादी नियम पूरे बजट को एक्स को देता है और वाई को कोई बजट नहीं देता है, इसलिए 49 प्रतिशत जो वाई को वोट देते हैं, उन्हें 0 की उपयोगिता मिलती है। दूसरे शब्दों में, यह बहुमत के अत्याचार की अनुमति देता है। उपयोगितावादी शासन भी कमजोर-समूह-एस. पी. (और इसलिए समूह-एस. पी.) नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि 3 उम्मीदवार (ए, बी, सी) और 3 मतदाता हैं, उनमें से प्रत्येक एक उम्मीदवार को मंजूरी देता है। यदि वे ईमानदारी से मतदान करते हैं, तो उपयोगितावादी मिश्रण (1/3,1/3,1/3) है इसलिए प्रत्येक एजेंट की उपयोगिता 1/3 है। यदि कोई एकल मतदाता असंवेदनशील रूप से मतदान करता है (मान लीजिए, पहला मतदाता ए और बी दोनों के लिए मतदान करता है), तो मिश्रण (0,1,0) है, जो असंवेदनशील मतदाता के लिए बदतर है। हालाँकि, यदि दो मतदाता मिली-जुली भूमिका निभाते हैं और असंवेदनशील तरीके से मतदान करते हैं (मान लीजिए, पहले दो मतदाता पहले दो परिणामों के लिए मतदान करते हैं), तो उपयोगितावादी मिश्रण (1/2,1/2,0) है, जो दोनों असंवेदनशील मतदाताओं के लिए बेहतर है। नैश-इष्टतम नियम नैश-इष्टतम नियम उपयोगिताओं के लघुगणक के योग को अधिकतम करता है। यह अनाम और तटस्थ है, और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करता हैः पी. ई.; समूह-एफ. एस. (अपघटनीयता), औसत-एफ. एस., कोर-एफ. एस.; पूलिंग भागीदारी (और सख्त भागीदारी); कोई अन्य रणनीति-बचाव गुण (यहां तक कि बहिष्कृत-एस. पी. में भी विफल रहता है); नैश-इष्टतम नियम की गणना एक उत्तल कार्यक्रम को हल करके की जा सकती है। एक और नियम है, जिसे उचित उपयोगितावादी कहा जाता है, जो समान गुणों (पी. ई. और समूह-एफ. एस.) को संतुष्ट करता है लेकिन गणना करना आसान है। समतावादी नियम समतावादी (लेक्सिमिन) नियम सबसे छोटी उपयोगिता को अधिकतम करता है, फिर अगली सबसे छोटी, आदि। यह अनाम और तटस्थ है, और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करता हैः पीई; इंडिविजुअल-एफएस, लेकिन सर्वसम्मत-एफएस नहीं; एक्सक्लूडेबल-इंडिविजुअल-एसपी, लेकिन इंडिविजुअल-एसपी नहीं; कमजोर-भागीदारी, लेकिन सख्त-भागीदारी नहीं (क्योंकि "क्लोन"-समान प्राथमिकताओं वाले मतदाताओं-को एकल मतदाता के रूप में माना जाता है)। अन्य कल्याणवादी नियम किसी भी नीरस रूप से बढ़ते फलन f के लिए, कोई भी f (ui) के योग को अधिकतम कर सकता है। उपयोगितावादी नियम एक विशेष मामला है जहाँ f (x) = x, और नैश नियम एक विशेष मामला है जहाँ f (x) = log (x) है। प्रत्येक एफ-अधिकतम नियम पीई है, और इसमें निम्नलिखित अतिरिक्त गुण हैंः यदि एफ लॉग का कोई अवतल कार्य है, तो यह व्यक्तिगत-एफएस की गारंटी देता है। यदि-और-केवल-यदि f स्वयं लॉग फलन है, तो यह समूह-FS और सर्वसम्मत-FS की गारंटी देता है (यह नैश-इष्टतम नियम से मेल खाता है)। यदि-और-केवल-यदि f एक रैखिक फलन है, तो यह व्यक्तिगत-एस. पी. है (यह उपयोगितावादी नियम से मेल खाता है)। यदि-और-केवल-यदि यह उपयोगितावादी या समतावादी नियम है, तो यह संतोषजनक है-एसपी; यदि-और-केवल-यदि यह उपयोगितावादी नहीं है और न ही समतावादी नियम है, तो यह सख्त-भागीदारी को संतुष्ट करता है। प्राथमिकता नियम एक प्राथमिकता नियम (जिसे क्रमिक तानाशाही भी कहा जाता है) को मतदाताओं के क्रमपरिवर्तन द्वारा मानकीकृत किया जाता है, जो प्राथमिकता क्रम का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक ऐसे परिणाम का चयन करता है जो उच्चतम-प्राथमिकता वाले एजेंट की उपयोगिता को अधिकतम करता है; इसके अधीन, दूसरे-सर्वोच्च-प्राथमिकता वाले एजेंट की उपयोगिता को अधिकतम करता है; और इसी तरह। प्रत्येक प्राथमिकता नियम तटस्थ, पी. ई., कमजोर-समूह-एस. पी. और वरीयता-मोनोटोन है। हालाँकि, यह गुमनाम नहीं है और किसी भी निष्पक्षता की धारणा को संतुष्ट नहीं करता है। यादृच्छिक प्राथमिकता नियम यादृच्छिक रूप से समान रूप से मतदाताओं के क्रमपरिवर्तन का चयन करता है, और फिर उस क्रमपरिवर्तन के लिए प्राथमिकता नियम को लागू करता है। यह अनाम, तटस्थ है, और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करता हैः एक्स-पोस्ट पीई, लेकिन (एक्स-एंटे) पीई नहीं। एकल-चोटी वरीयताओं के अनुरूप (उम्मीदवारों को एक पंक्ति पर आदेश दिया जाता है और प्रत्येक मतदाता एक अंतराल को मंजूरी देता है), यादृच्छिक-प्राथमिकता पीई है। कमजोर-समूह-एसपी। समूह-एफ. एस. इस नियम का एक नुकसान यह है कि सटीक संभावनाओं को खोजना कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है (डिक्टेटरशिप mechanism#Computation देखें)। सशर्त उपयोगितावादी नियम सशर्त उपयोगितावादी नियम में, प्रत्येक अभिकर्ता को कुल बजट का 1/n प्राप्त होता है। प्रत्येक अभिकर्ता उन उम्मीदवारों को पाता है जिन्हें वह मंजूरी देता है, जिन्हें अन्य अभिकर्ताओं की सबसे बड़ी संख्या द्वारा समर्थित किया जाता है, और अपने बजट को उनके बीच समान रूप से विभाजित करता है। यह अनाम और तटस्थ है, और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करता हैः इंडिविजुअल-एसपी; ग्रुप-एफएस; एक्स-पोस्ट पीई लेकिन (एक्स-एंटे) पीई नहीं। यह सिद्धांत और अनुकरण दोनों में यादृच्छिक-प्राथमिकता की तुलना में अधिक कुशल है। यह हमेशा समूह-एफ. एस. वितरण के सबसेट के बीच एक वितरण पाता है जो पी. ई. है। बहुसंख्यक शासन का उद्देश्य निष्पक्षता की गारंटी देते हुए कुछ उम्मीदवारों के हाथों में अधिक से अधिक शक्ति केंद्रित करना है। यह चक्करों में आगे बढ़ता है। शुरुआत में सभी उम्मीदवार और मतदाता सक्रिय होते हैं। प्रत्येक चरण में, नियम एक सक्रिय उम्मीदवार सी का चयन करता है जिसे सक्रिय मतदाताओं के सबसे बड़े समूह, एन. सी. द्वारा अनुमोदित किया जाता है। फिर, नियम इन मतदाताओं को एन. सी. से सी. को "असाइन" करता है, यानी, यह मानता है कि एन. सी. में मतदाताओं ने केवल सी. को वोट दिया, और सी. को अंश |Nc।/एन. असाइन करता है। फिर, उम्मीदवार सी और एन. सी. में मतदाता निष्क्रिय हो जाते हैं, और नियम अगले दौर में आगे बढ़ता है। ध्यान दें कि सशर्त-उपयोगितावादी नियम समान है, सिवाय इसके कि एन. सी. में मतदाता निष्क्रिय नहीं होते हैं। बहुसंख्यकवादी नियम गुमनाम, तटस्थ है, जो व्यक्तिगत-एफ. एस. और एकल-वोट-एफ. एस. की गारंटी देता है। असंभवता परिणाम गुणों के कुछ संयोजनों को एक साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता है। पूर्व-पद पी. ई. और समूह-एस. पी. असंगत हैं (3 मतदाताओं और 3 उम्मीदवारों के लिए)। अनामता, तटस्थता, पूर्व-पद पी. ई. और कमजोर-समूह-एस. पी. असंगत हैं (4 मतदाताओं और 6 उम्मीदवारों के लिए)। यदि हम इनमें से किसी एक गुण को हटा दें, तो शेष तीन प्राप्त किए जा सकते हैं। पूर्व-पद पी. ई., व्यक्तिगत-एस. पी. और व्यक्तिगत-परिणाम-एफ. एस. असंगत हैं (3 मतदाताओं और 3 उम्मीदवारों के लिए)। यदि हम इनमें से किसी एक गुण को हटा दें, तो शेष दो प्राप्त किए जा सकते हैं। हालांकि, अगर हम प्रत्येक एजेंट को उसके उचित-परिणाम-हिस्से का केवल ε गुना देने की अनुमति देकर व्यक्तिगत-परिणाम-FS को कमजोर करते हैं, तो कुछ ε> 0 के लिए, असंभवता बनी रहती है। अनामता, तटस्थता, पी. ई., व्यक्तिगत-एस. पी. और व्यक्तिगत-एफ. एस. असंगत हैं (5 मतदाताओं और 17 उम्मीदवारों के लिए)। यदि हम पी. ई. या व्यक्तिगत-एस. पी. या व्यक्तिगत-एफ. एस. को हटा देते हैं, तो शेष चार गुण प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि हम गुमनामी और तटस्थता को हटा देते हैं, तो असंभवता अभी भी बनी हुई है, लेकिन इसे साबित करना बहुत कठिन है। इसके विपरीत, एकल-चोटी वरीयताओं के अनुरूप (उम्मीदवारों को एक पंक्ति पर आदेश दिया जाता है और प्रत्येक मतदाता एक अंतराल को मंजूरी देता है), सभी गुण यादृच्छिक-प्राथमिकता द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। यदि हम व्यक्तिगत-एस. पी. को बहिष्कृत-एस. पी. में कमजोर करते हैं, तो गुण समतावादी नियम से संतुष्ट होते हैं। यह खुला है कि क्या पीई और बहिष्कृत-एसपी सख्त-भागीदारी और/या सर्वसम्मत-एफएस के साथ संगत हैं। पी. ई., वरीयता-एकरूपता और सकारात्मक-हिस्सेदारी (व्यक्तिगत-एफ. एस. की तुलना में कमजोर संपत्ति) असंगत हैं (6 मतदाताओं और 6 उम्मीदवारों के लिए)। अनामता, तटस्थता, पी. ई., व्यक्तिगत-एस. पी. और समूह-एफ. एस. असंगत हैं (5 मतदाताओं और 4 उम्मीदवारों के लिए)। यदि हम पी. ई. या व्यक्तिगत-एस. पी. या समूह-एफ. एस. को हटा देते हैं, तो शेष चार गुण प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि हम गुमनामी और तटस्थता को हटा देते हैं, तो असंभवता अभी भी बनी हुई है, लेकिन इसे साबित करना बहुत कठिन है। जब अधिकतम 4 मतदाता या अधिकतम 3 उम्मीदवार होते हैं, तो यादृच्छिक तानाशाही का एक सरल रूप सभी 5 गुणों को प्राप्त करता हैः एक तानाशाह को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, और सबसे लोकप्रिय परिणाम जिसे वह पसंद करता है उसका चयन किया जाता है। यह नियम अनाम, तटस्थ, पूर्व-पद पी. ई., व्यक्तिगत-एस. पी., समूह-एफ. एस. और पूर्व-पद पी. ई. है; लेकिन अधिकतम 4 मतदाताओं या अधिकतम 3 उम्मीदवारों के साथ, पूर्व-पद पी. ई. का अर्थ है पी. ई.। पीई, इंडिविजुअल-एसपी और पॉजिटिव-शेयर असंगत हैं (6 मतदाताओं और 4 उम्मीदवारों के लिए)। यह 386 अलग-अलग प्रोफाइल का उपयोग करके एक SAT सॉल्वर की मदद से साबित किया गया था-शायद सामाजिक पसंद में सबसे लंबा प्रमाण। अतिरिक्त गुणों के रूप में गुमनामी और तटस्थता के साथ, असंगति पहले से ही 5 मतदाताओं और 4 उम्मीदवारों के लिए है, और प्रमाण बहुत सरल है। सारांश तालिका नीचे दी गई तालिका में, प्रत्येक कक्ष में संख्या संपत्ति की "ताकत" का प्रतिनिधित्व करती हैः 0 का अर्थ है कोई नहीं (संपत्ति संतुष्ट नहीं है); 1 संपत्ति के कमजोर संस्करण से मेल खाता है; 2 एक मजबूत संस्करण से मेल खाता है; आदि। न्यायोचित प्रतिनिधित्व भी देखें-निष्पक्ष-हिस्सेदारी के समान एक संपत्ति, लेकिन असतत परिणामों के लिए। पार्टी-अनुमोदन मतदान-उम्मीदवार दल होते हैं, और प्रत्येक दल को आवंटित अंश संसद में मिलने वाली सीटों के अंश के अनुरूप होता है। पार्टिसिपेटरी बजट एल्गोरिदम-बजट को निष्पक्ष रूप से वितरित करने के लिए अन्य दृष्टिकोण। कुछ लेखकों ने विभिन्न वितरण नियमों की निष्पक्षता की कीमत का अध्ययन किया। वितरण समस्या का अध्ययन अधिक चुनौतीपूर्ण सेटिंग में भी किया गया है जिसमें एजेंटों की योगात्मक उपयोगिताएँ होती हैं। संदर्भ सामाजिक विकल्प सिद्धांत अनुमोदन मतदान