Filter (set theory)
गणित में, एक समूह पर एक फ़िल्टर उपसमुच्चय का एक परिवार है जैसे किः और यदि और, तो यदि, और, फिर एक समूह पर एक फ़िल्टर को "बड़े उपसमुच्चय के संग्रह" का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, एक सहज ज्ञान युक्त उदाहरण पड़ोस फ़िल्टर है। फ़िल्टर क्रम सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत और सेट सिद्धांत में दिखाई देते हैं, लेकिन टोपोलॉजी में भी पाए जा सकते हैं, जहाँ से वे उत्पन्न होते हैं। फ़िल्टर की दोहरी धारणा एक आदर्श है। 1937 में हेनरी कार्टन द्वारा फ़िल्टर पेश किए गए थे और जैसा कि टोपोलॉजी में फ़िल्टर को समर्पित लेख में वर्णित किया गया था, बाद में उनका उपयोग निकोलस बोरबाकी द्वारा अपनी पुस्तक टोपोलोगी जनरल में 1922 में ई. एच. मूर और हर्मन एल. स्मिथ द्वारा विकसित जाल की संबंधित धारणा के विकल्प के रूप में किया गया था। ऑर्डर फिल्टर सेट से लेकर मनमाने ढंग से आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट तक फिल्टर के सामान्यीकरण हैं। विशेष रूप से, एक सेट पर एक फिल्टर विशेष मामले में सिर्फ एक उचित ऑर्डर फिल्टर होता है जहां आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में सेट समावेशन द्वारा ऑर्डर किए गए पावर सेट होते हैं। प्रारंभिक, संकेतन और बुनियादी धारणाएँ इस लेख में, ऊपरी मामले के रोमन अक्षर जैसे कि सेट को दर्शाते हैं (लेकिन परिवारों को नहीं जब तक कि अन्यथा संकेत नहीं दिया जाता है) और पावर सेट के ए सबसेट के पावर सेट को दर्शाते हैं (या बस,) कहा जाता है जहां यह है कि यदि यह सेट के परिवारों का एक सबसेट है तो इसे ऊपरी मामले के सुलेख अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा जैसे कि जब भी इन धारणाओं की आवश्यकता होती है, तो यह माना जाना चाहिए कि गैर-खाली है और वह आदि। "प्रीफिल्टर" और "फिल्टर बेस" शब्द पर्यायवाची हैं और इनका उपयोग एक दूसरे के स्थान पर किया जाएगा। प्रतिस्पर्धी परिभाषाओं और संकेतन के बारे में चेतावनी दुर्भाग्य से फिल्टर के सिद्धांत में कई शब्द हैं जिन्हें अलग-अलग लेखकों द्वारा अलग-अलग परिभाषित किया गया है। इनमें "फिल्टर" जैसे कुछ सबसे महत्वपूर्ण शब्द शामिल हैं। जबकि एक ही शब्द की अलग-अलग परिभाषाओं में आमतौर पर महत्वपूर्ण ओवरलैप होता है, फ़िल्टर की बहुत ही तकनीकी प्रकृति (और बिंदु-सेट टोपोलॉजी) के कारण, परिभाषाओं में इन अंतरों के बावजूद अक्सर महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं। गणितीय साहित्य को पढ़ते समय, पाठकों को यह जांचने की सलाह दी जाती है कि लेखक द्वारा फिल्टर से संबंधित शब्दावली को कैसे परिभाषित किया जाता है। इस कारण से, यह लेख सभी परिभाषाओं को स्पष्ट रूप से बताएगा क्योंकि उनका उपयोग किया जाता है। दुर्भाग्य से, फिल्टर से संबंधित सभी संकेतन अच्छी तरह से स्थापित नहीं हैं और कुछ संकेतन साहित्य में बहुत भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, एक सेट पर सभी प्रीफिल्टरों के सेट के लिए संकेतन) इसलिए ऐसे मामलों में यह लेख जो भी संकेतन सबसे अधिक स्व-वर्णन या आसानी से याद किया जाता है, उसका उपयोग करता है। फिल्टर्स और प्रीफिल्टर्स का सिद्धांत अच्छी तरह से विकसित है और इसमें परिभाषाओं और संकेतनों की अधिकता है, जिनमें से कई अब इस लेख को प्रोलिक्स बनने से रोकने और संकेतन और परिभाषाओं को आसानी से देखने की अनुमति देने के लिए अनौपचारिक रूप से सूचीबद्ध हैं। इनके महत्वपूर्ण गुणों का वर्णन बाद में किया गया है। संचालन सेट करता है सेटों के परिवार का या है और इसी तरह का पूरा है, एक नक्शा है और एक सेट है। जाल और उनकी पूंछ ए एक पूर्व क्रम के साथ एक समूह है, जिसे (जब तक स्पष्ट रूप से अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है) द्वारा दर्शाया जाएगा, जो एक () में बनाता है; इसका मतलब है कि सभी के लिए कुछ ऐसा मौजूद है कि किसी भी सूचकांक के लिए संकेतन का अर्थ परिभाषित किया गया है जबकि इसका अर्थ है कि धारण करता है लेकिन यह सच है कि (यदि एंटीसिमेट्रिक है तो यह इसके बराबर है)। ए एक गैर-खाली निर्देशित सेट से एक नक्शा है संकेतन का उपयोग सख्त तुलना का उपयोग करने के बारे में डोमेन चेतावनी के साथ एक नेट को दर्शाने के लिए किया जाएगा यदि एक नेट है और फिर सेट के लिए खाली होना संभव है जिसे कॉल किया जाता है (उदाहरण के लिए, ऐसा तब होता है जब निर्देशित सेट की ऊपरी सीमा हो)। इस मामले में, परिवार में खाली सेट होगा, जो इसे प्रीफिल्टर (बाद में परिभाषित) होने से रोकेगा। यह या तो के रूप में परिभाषित करने का (महत्वपूर्ण) कारण है और यह इस कारण से है कि सामान्य रूप से, जब एक नेट की पूंछ के पूर्व फ़िल्टर के साथ काम करते हैं, तो सख्त असमानता का उपयोग असमानता फ़िल्टर और पूर्व फ़िल्टर के साथ एक दूसरे के स्थान पर नहीं किया जा सकता है निम्नलिखित गुणों की एक सूची है जो सेट के एक परिवार के पास हो सकते हैं और वे फ़िल्टर, पूर्व फ़िल्टर और फ़िल्टर उप-आधार के परिभाषित गुणों का निर्माण करते हैं। जब भी यह आवश्यक हो, यह माना जाना चाहिए कि ऊपर और नीचे परिभाषित किए गए कई गुण, जैसे "उचित" और "नीचे की ओर निर्देशित", इस पर निर्भर नहीं करते हैं, इसलिए इस तरह के शब्दों का उपयोग करते समय सेट का उल्लेख करना वैकल्पिक है। "ऊपर की ओर बंद" होने वाली परिभाषाएँ जैसे कि "फ़िल्टर ऑन" इस पर निर्भर करती हैं इसलिए सेट का उल्लेख किया जाना चाहिए यदि यह संदर्भ से स्पष्ट नहीं है। इस पर कोई प्रीफिल्टर नहीं हैं (और न ही कोई मूल्यवान जाल हैं), यही कारण है कि अधिकांश लेखकों की तरह, यह लेख स्वचालित रूप से बिना किसी टिप्पणी के मान लेगा कि जब भी इस धारणा की आवश्यकता होगी। बुनियादी उदाहरण नामित उदाहरण सिंगलटन सेट को या कहा जाता है यह अद्वितीय फ़िल्टर है क्योंकि यह हर फ़िल्टर का एक सबसेट है; हालाँकि, इसे हर प्रीफ़िल्टर का सबसेट होने की आवश्यकता नहीं है। यह एकमात्र दोहरा आदर्श है जिस पर एक फ़िल्टर नहीं है यदि एक टोपोलॉजिकल स्थान है और फिर पड़ोस फ़िल्टर पर एक फ़िल्टर है परिभाषा के अनुसार, एक परिवार को ए (रेस्प) कहा जाता है। ए) अगर और केवल अगर एक प्रीफिल्टर (आर. एस. पी.) है। यह एक फ़िल्टर उप-आधार है) और उस पर जो फ़िल्टर उत्पन्न करता है वह पड़ोस के फ़िल्टर के बराबर है खुले पड़ोस का उप-परिवार दोनों पूर्व-फ़िल्टरों के लिए एक फ़िल्टर आधार है जो स्थलविज्ञान के लिए एक आधार भी बनाते हैं जिसमें उत्पन्न टोपोलॉजी मोटे होने की तुलना में मोटे होते हैं। यह उदाहरण तुरंत सामान्यीकृत करता है कि बिंदुओं के पड़ोस से गैर-खाली उपसमुच्चय के पड़ोस तक एक यदि कुछ अनुक्रम के लिए एक या एक यदि कुछ प्राथमिक पूर्व-फ़िल्टर द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर है। एक अनुक्रम द्वारा उत्पन्न पूंछ का फ़िल्टर जो अंततः स्थिर नहीं है, आवश्यक रूप से एक अल्ट्रा फ़िल्टर है। गणना योग्य सेट पर प्रत्येक प्रमुख फिल्टर क्रमिक होता है जैसा कि गणना योग्य अनंत सेट पर प्रत्येक कोफाइनाइट फिल्टर होता है। परिमित रूप से कई अनुक्रमिक फिल्टरों का प्रतिच्छेदन फिर से अनुक्रमिक है। के सभी कोफाइनाइट सबसेट का सेट (जिसका अर्थ है कि वे सेट जिनके पूरक सीमित हैं) उचित है यदि और केवल तभी जब अनंत है (या समकक्ष रूप से, अनंत है), जिस स्थिति में एक फिल्टर है जिसे या ऑन के रूप में जाना जाता है। यदि अनंत है तो सिंगलटन सेटों के पूरकों का परिवार एक फ़िल्टर उप-आधार है जो फ्रेचेट फ़िल्टर उत्पन्न करता है जैसा कि सेटों के किसी भी परिवार के साथ होता है जिसमें फ्रेचेट फ़िल्टर का कर्नेल होता है जो खाली सेट होता हैः किसी भी गैर-खाली परिवार में सभी तत्वों का प्रतिच्छेदन स्वयं एक फ़िल्टर होता है जिसे कहा जाता है या जिसके कारण इसे अलग तरीके से कहा जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक फ़िल्टर पर एक उपसमुच्चय के रूप में होता है, यह प्रतिच्छेदन कभी भी खाली नहीं होता है। परिभाषा के अनुसार, अनंत फ़िल्टर प्रत्येक सदस्य के सबसे अच्छे/सबसे बड़े (सापेक्ष) फ़िल्टर के रूप में निहित है यदि फ़िल्टर हैं तो उनका अधिकतम फ़िल्टर है यदि प्रीफ़िल्टर हैं तो एक प्रीफ़िल्टर है जो दोनों की तुलना में मोटा (संदर्भ के साथ) है (यानी,); वास्तव में, यह ऐसे सबसे अच्छे प्रीफ़िल्टरों में से एक है, जिसका अर्थ है कि यदि आवश्यक रूप से एक प्रीफ़िल्टर है तो अधिक आम तौर पर, यदि गैर-खाली परिवार हैं और यदि तब और एक सबसे बड़ा तत्व (संबंध के साथ) है तो लेट और लेट का सबसे छोटा (सापेक्ष) डुअल आइडियल है जिसमें प्रत्येक तत्व को एक सबसेट के रूप में शामिल किया गया है; यानी, यह सबसे छोटा (सापेक्ष) डुअल आइडियल है जिसमें शामिल है यह दोहरा आदर्श वह जगह है जहाँ सेटों के किसी भी गैर-खाली परिवार के साथ उत्पन्न-प्रणाली फिल्टर में निहित है यदि और केवल तभी जब यह एक फिल्टर उप-आधार है, या समकक्ष रूप से, यदि और केवल तभी जब एक फिल्टर है जिस स्थिति में यह परिवार एक उपसमुच्चय के रूप में प्रत्येक तत्व को रखने पर सबसे छोटा (सापेक्ष) फिल्टर है और आवश्यक रूप से लेट्स एंड लेट्स या द्वारा दर्शाया गया है यदि यह मौजूद है, तो परिभाषा के अनुसार सबसे छोटा (सापेक्ष) फिल्टर है जिसमें प्रत्येक तत्व को एक उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया गया है। यदि यह मौजूद है तो आवश्यक रूप से (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) और यह सभी फिल्टरों के प्रतिच्छेदन के बराबर भी होगा। वास्तव में, यदि इसमें कम से कम 2 अलग-अलग तत्व हैं तो ऐसे फ़िल्टर मौजूद हैं जिनके लिए एक फ़िल्टर मौजूद है जिसमें दोनों शामिल हैं। यदि प्रीफिल्टर हैं (आर. एस. पी.) फ़िल्टर चालू) फिर एक प्रीफ़िल्टर (रेस्प) है। एक फिल्टर) यदि और केवल यदि यह गैर-अपक्षयी है (या अलग से कहा गया है, यदि और केवल यदि जालीदार है), तो इस मामले में यह सबसे मोटे प्रीफिल्टर (आर. एस. पी.) है। सबसे मोटा फिल्टर) ऑन (के संबंध में) जो दोनों की तुलना में बेहतर (के संबंध में) है, इसका मतलब है कि यदि कोई प्रीफिल्टर (आर. एस. पी.) है। किसी भी फिल्टर) जैसे कि तब आवश्यक रूप से जिस स्थिति में इसे माना जाता है मान लीजिए कि गैर-खाली समुच्चय हैं और प्रत्येक के लिए एक दोहरा आदर्श है। एक नियमित अनगिनत कार्डिनल का क्लब फ़िल्टर सभी सेटों का फ़िल्टर होता है जिसमें एक क्लब सबसेट होता है यह एक पूर्ण फ़िल्टर होता है जो विकर्ण प्रतिच्छेदन के तहत बंद होता है। अन्य उदाहरण लें और दें जो एक प्रीफिल्टर और एक फ़िल्टर सबबेस बनाता है जो सीमित चौराहों के तहत बंद नहीं होता है। क्योंकि एक प्रीफ़िल्टर है, सबसे छोटा प्रीफ़िल्टर है जिसके द्वारा उत्पन्न प्रणाली है विशेष रूप से, सबसे छोटा प्रीफ़िल्टर जिसमें फ़िल्टर सबबेस होता है, वह सेट के सभी सीमित चौराहों के सेट के बराबर होता है। गैर-अपक्षयी, एक फ़िल्टर उप-आधार, एक पूर्व-फ़िल्टर, सीमित संघों के तहत बंद) तो वही सच है यदि एक फ़िल्टर चालू है तो एक पूर्व-फ़िल्टर है लेकिन जरूरी नहीं कि एक फ़िल्टर चालू हो, हालांकि एक (गैर-खाली) टोपोलॉजिकल स्थान के सभी घने खुले उपसमुच्चय का सेट एक उचित-प्रणाली है और इसलिए एक पूर्व-फ़िल्टर भी है। यदि स्थान एक बेयर स्थान है, तो घने खुले उपसमुच्चय के सभी गणना योग्य चौराहों का समूह एक-प्रणाली और एक प्रीफिल्टर है जो इसकी तुलना में बेहतर है यदि (के साथ) तो ऐसे सभी का समूह जिसमें सीमित लेबस्ग्यू माप है, एक उचित-प्रणाली और मुक्त प्रीफिल्टर है जो प्रीफिल्टर्स का एक उचित उपसमुच्चय भी है और समतुल्य है और इसलिए एक ही फ़िल्टर उत्पन्न करता है। यह उदाहरण एक फिल्टर उप-आधार के एक असामान्य वर्ग को दर्शाता है जहां दोनों में सभी सेट और इसकी उत्पन्न-प्रणाली को रूप के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है ताकि विशेष रूप से, उत्पन्न-प्रणाली का वर्णन करने के लिए दो से अधिक चर (विशेष रूप से) की आवश्यकता न हो। सभी वास्तविक के लिए यदि गैर-नकारात्मक है तो सकारात्मक वास्तविकताओं के प्रत्येक सेट के लिए, मान लीजिए कि यह एक सिंगलटन सेट नहीं है। फिर एक फ़िल्टर उप-आधार है लेकिन एक पूर्व-फ़िल्टर नहीं है और यह एक-प्रणाली है जो यह उत्पन्न करता है, इसलिए यह एक अद्वितीय सबसे छोटा फ़िल्टर है। हालांकि, एक फ़िल्टर चालू है (न ही यह एक पूर्व-फ़िल्टर है क्योंकि यह नीचे की ओर निर्देशित नहीं है, हालांकि यह एक फ़िल्टर उप-आधार है) और फ़िल्टर का एक उचित उपसमुच्चय है। उस लेख में अल्ट्राफिल्टर्स के महत्वपूर्ण गुणों का भी वर्णन किया गया है। कोई भी गैर-अपक्षयी परिवार जिसमें एक तत्व के रूप में एक सिंगलटन सेट होता है, अल्ट्रा होता है, इस मामले में यह तब अल्ट्रा प्रीफिल्टर होगा यदि और केवल तभी जब इसमें सीमित प्रतिच्छेदन गुण भी हो। तुच्छ फ़िल्टर अल्ट्रा है अगर और केवल अगर एक सिंगलटन सेट है। निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेय अल्फ्रेड टार्स्की (1930) के कारण है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक फिल्टर सभी अल्ट्राफिल्टरों के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल (जेडएफ) के स्वयंसिद्धों को मानते हुए, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध से अनुसरण करता है (विशेष रूप से ज़ोर्न के लेम्मा से) लेकिन इसकी तुलना में सख्ती से कमजोर है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का तात्पर्य परिमित समुच्चयों के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत से है। यदि हौसडॉर्फ रिक्त स्थान से संबंधित है, तो टोपोलॉजी में अधिकांश बुनियादी परिणाम (जैसा कि परिचयात्मक पाठ्यक्रमों में सामने आया है) (जैसे कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए टाइकॉनॉफ की प्रमेय और अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय) और कार्यात्मक विश्लेषण में (जैसे हैन-बनाच प्रमेय) केवल अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके साबित किया जा सकता है; पसंद के स्वयंसिद्ध की पूरी ताकत की आवश्यकता नहीं हो सकती है। कर्नेल प्रीफिल्टरों और सेटों के अन्य परिवारों के गुणों को वर्गीकृत करने में उपयोगी है। यदि फिर किसी भी बिंदु के लिए कर्नेल के गुण यदि तब और यह सेट भी-सिस्टम के कर्नेल के बराबर है जो विशेष रूप से, यदि एक फ़िल्टर उप-आधार है तो निम्नलिखित सभी सेटों के कर्नेल बराबर हैंः (1) (2) द्वारा उत्पन्न-सिस्टम और (3) द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर यदि एक मानचित्र है और यदि तब जबकि और समकक्ष हैं तो समतुल्य परिवारों में समान कर्नेल होते हैं। दो प्रमुख परिवार समतुल्य होते हैं यदि और केवल तभी जब उनकी गुठली समान होती हैं; अर्थात, यदि और प्रमुख होते हैं तो वे समतुल्य होते हैं यदि और केवल तभी जब परिवारों को उनके गुठली द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, एक फ़िल्टर उप-आधार है यदि गणना योग्य है (उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या), सीमित माप के एक सेट में एक अल्प सेट, या एक बाउंडेड उप-समूह है यदि एक सिंगलटन सेट है तो फ्रेचेट फ़िल्टर के लिए एक उप-आधार है प्रत्येक फ़िल्टर के लिए दोहरे आदर्शों की एक अनूठी जोड़ी मौजूद है जैसे कि मुक्त है, प्रमुख है, और जाली नहीं है (यानी,)। दोहरे आदर्श को वाइल कहा जाता है जहाँ इन दोहरे आदर्शों में से कम से कम एक फिल्टर होता है। यदि प्रमुख है तो अन्यथा, और एक मुक्त (गैर-अपक्षयी) फिल्टर है। परिमित प्रीफिल्टर्स और परिमित सेट यदि एक फ़िल्टर उप-आधार परिमित है तो यह निश्चित है (यानी, मुक्त नहीं); ऐसा इसलिए है क्योंकि यह एक परिमित प्रतिच्छेदन है और फ़िल्टर उप-आधार में परिमित प्रतिच्छेदन गुण है। एक परिमित प्रीफिल्टर अनिवार्य रूप से प्रमुख होता है, हालांकि इसे सीमित चौराहों के तहत बंद करने की आवश्यकता नहीं होती है। विशेष रूप से, एक सीमित समूह पर कोई मुक्त फ़िल्टर उप-आधार नहीं हैं (और इसलिए कोई मुक्त प्रीफ़िल्टर नहीं हैं), सभी प्रीफ़िल्टर प्रमुख हैं, और सभी फ़िल्टर उनके (गैर-खाली) कर्नेल द्वारा उत्पन्न प्रमुख फ़िल्टर हैं। तुच्छ फ़िल्टर हमेशा एक परिमित फ़िल्टर होता है और यदि अनंत है तो यह एकमात्र सीमित फ़िल्टर है क्योंकि एक सेट पर एक गैर-तुच्छ सीमित फ़िल्टर तभी संभव है जब वह सीमित हो। हालाँकि, किसी भी अनंत समूह पर गैर-तुच्छ फ़िल्टर उप-आधार और पूर्व-फ़िल्टर होते हैं जो सीमित होते हैं (हालाँकि वे फ़िल्टर नहीं हो सकते हैं)। यदि एक सिंगलटन सेट है तो तुच्छ फिल्टर एकमात्र उचित सबसेट है और इसके अलावा, यह सेट एक प्रमुख अल्ट्रा प्रीफिल्टर है और सीमित प्रतिच्छेदन गुण के साथ कोई भी सुपरसेट (जहां) भी एक प्रमुख अल्ट्रा प्रीफिल्टर होगा (भले ही वह अनंत हो)। स्थिर अल्ट्रा प्रीफिल्टरों की विशेषता यदि सेटों का एक परिवार स्थिर है (यानी,) तो अल्ट्रा है यदि और केवल तभी जब इसका कुछ तत्व एक सिंगलटन सेट हो, तो इस मामले में आवश्यक रूप से एक प्रीफिल्टर होगा। प्रत्येक प्रमुख प्रीफिल्टर को ठीक किया जाता है, इसलिए एक प्रमुख प्रीफिल्टर अल्ट्रा होता है यदि और केवल तभी जब एक सिंगलटन सेट हो। उस पर प्रत्येक फिल्टर जो एक बिंदु पर प्रमुख है, एक अल्ट्राफिल्टर है, और यदि इसके अलावा सीमित है, तो इनके अलावा कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं हैं। अगले प्रमेय से पता चलता है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर दो श्रेणियों में से एक में आता हैः या तो यह मुक्त है या फिर यह एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख फिल्टर है। महीन/मोटा, अधीनस्थ और जालीदार पूर्व क्रम जो नीचे परिभाषित किया गया है, टोपोलॉजी में पूर्व फ़िल्टर (और फ़िल्टर) के उपयोग के लिए मौलिक महत्व का है। उदाहरण के लिए, इस प्रीऑर्डर का उपयोग "अनुक्रम" के पूर्व फ़िल्टर समतुल्य को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जहां "" की व्याख्या इस रूप में की जा सकती है कि "एक अनुक्रम है" (इसलिए "अधीनस्थ" "के पूर्व फ़िल्टर समतुल्य है)। इसका उपयोग एक टोपोलॉजिकल स्थान में प्रीफिल्टर अभिसरण को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है। जाली की परिभाषा जिसके साथ पूर्व क्रम से निकटता से संबंधित है, का उपयोग समूह बिंदुओं को परिभाषित करने के लिए टोपोलॉजी में किया जाता है। सेटों के दो परिवार और हैं, लिखने से इंगित किया जाता है यदि यदि जाली नहीं है तो वे हैं। यदि फिर कहा जाता है कि यदि जाली, या समतुल्य रूप से, जिसके परिवार में खाली सेट नहीं है, जहां निशान को उदाहरण का भी कहा जाता हैः यदि इसका एक अनुक्रम है तो प्रतीकों के अधीन हैः और सादे अंग्रेजी में भी कहा गया है, तो अनुक्रम की पूंछ का पूर्व फ़िल्टर हमेशा मूल अनुक्रम के अधीन होता है। इसे देखने के लिए, मनमाना होना चाहिए (या समतुल्य रूप से, मनमाना होना चाहिए) और यह दिखाना बाकी है कि इस सेट में कुछ शामिल हैं। नतीजतन, बाएँ हाथ की ओर दाएँ हाथ की ओर का एक उपसमुच्चय होगा यदि (उदाहरण के लिए) प्रत्येक बिंदु अद्वितीय है (यानी, जब इंजेक्शन होता है) और सम-अनुक्रमित अनुक्रम है क्योंकि इन स्थितियों के तहत, अनुक्रम की प्रत्येक पूंछ (प्रत्येक के लिए) दाएँ हाथ की ओर के फिल्टर से संबंधित होगी लेकिन बाएँ हाथ की ओर के फिल्टर से नहीं। एक अन्य उदाहरण के लिए, यदि कोई परिवार है तो हमेशा धारण करता है और इसके अलावा, मान लीजिए कि वे सेट के परिवार हैं जो संतुष्ट करते हैं। अधिक सामान्य रूप से, यदि दोनों और यदि के किसी भी दो तत्वों का प्रतिच्छेदन गैर-खाली है, तो जाल। प्रत्येक फ़िल्टर उप-आधार यह उत्पन्न करने वाले-सिस्टम और यह उत्पन्न करने वाले फ़िल्टर दोनों की तुलना में मोटा होता है। अगर परिवार ऐसे हैं कि परिवार अतिवादी है, और फिर अनिवार्य रूप से अतिवादी है। यह इस प्रकार है कि कोई भी परिवार जो एक अति परिवार के बराबर है, अनिवार्य रूप से अति परिवार होगा। विशेष रूप से, यदि एक प्रीफिल्टर है तो या तो दोनों और इससे उत्पन्न होने वाला फ़िल्टर अल्ट्रा है या कोई भी अल्ट्रा नहीं है। यदि एक फ़िल्टर उप-आधार अल्ट्रा है तो यह आवश्यक रूप से एक प्रीफ़िल्टर है, जिस स्थिति में यह जो फ़िल्टर उत्पन्न करता है वह भी अल्ट्रा होगा। एक फ़िल्टर सबबेस जो प्रीफ़िल्टर नहीं है, अल्ट्रा नहीं हो सकता है; लेकिन फिर भी यह संभव है कि प्रीफ़िल्टर और फ़िल्टर अल्ट्रा हो। यदि ऊपर की ओर बंद किया जाता है तो अधीनता के संबंध संबंधी गुण यह संबंध प्रतिवर्तक और सकर्मक है, जो इसे पूर्व क्रम में बनाता है। संबंध प्रतिसमितीय है लेकिन यदि एक से अधिक बिंदु हैं तो यह सममित है। : किसी के लिए तो सेट में एक से अधिक बिंदु होते हैं यदि और केवल तभी जब संबंध सममित हो। : यदि लेकिन जबकि विपरीत सामान्य रूप से नहीं पकड़ता है, तो यह ऊपर की ओर बंद होने पर पकड़ता है (जैसे कि एक फ़िल्टर है)। दो फिल्टर समतुल्य होते हैं यदि और केवल तभी जब वे समान होते हैं, जो एंटीसिमेट्रिक के लिए प्रतिबंध बनाता है। लेकिन सामान्य तौर पर, एंटीसिमेट्रिक ऑन या ऑन है; अर्थात, आवश्यक रूप से इसका अर्थ है; भले ही दोनों प्रीफिल्टर हों। उदाहरण के लिए, यदि एक प्रीफिल्टर है लेकिन एक फ़िल्टर नहीं है तो सेटों के समतुल्य परिवार प्रीऑर्डर अपने विहित समतुल्यता संबंध को इस बात पर प्रेरित करता है कि सभी के लिए कहाँ है यदि निम्नलिखित में से कोई भी समतुल्य शर्त हैः के ऊपर की ओर बंद होना समान है। दो ऊपर की ओर बंद (इन) उपसमुच्चय समतुल्य हैं यदि और केवल तभी जब वे समान हों। यदि तब आवश्यक रूप से और समतुल्य है तो प्रत्येक समतुल्य वर्ग के अलावा एक अद्वितीय प्रतिनिधि (यानी समतुल्य वर्ग का तत्व) होता है जो समतुल्य परिवारों के बीच संरक्षित गुणों में ऊपर की ओर बंद होता है। यदि समतुल्य हैं (जिसका अर्थ है कि) तो नीचे सूचीबद्ध प्रत्येक कथन/गुण के लिए, या तो यह सही है या अन्यथा यह गलत हैः उचित नहीं (यानी, एक तत्व नहीं है) इसके अलावा, कोई भी दो पतित परिवार अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं। फ़िल्टर सबबेस प्रीफ़िल्टर जिस स्थिति में एक ही फ़िल्टर उत्पन्न होता है (यानी, उनके ऊपर की ओर बंद होने के बराबर होते हैं)। फ्री प्रिंसिपल अल्ट्रा तुच्छ फ़िल्टर के बराबर है शब्दों में, इसका मतलब है कि इसका एकमात्र सबसेट तुच्छ फ़िल्टर के बराबर है। सामान्य तौर पर, समानता का यह निष्कर्ष गैर-तुच्छ फिल्टर तक विस्तारित नहीं होता है (एक अपवाद तब होता है जब दोनों परिवार फिल्टर होते हैं)। उपरोक्त सूची से गायब शब्द "फिल्टर" है क्योंकि यह गुण समतुल्यता द्वारा संरक्षित है। हालाँकि, यदि फ़िल्टर चालू हैं तो वे समकक्ष हैं यदि और केवल तभी जब वे बराबर हैं; यह लक्षण वर्णन पूर्व फ़िल्टरों तक फैला हुआ है। प्रीफिल्टर्स और फ़िल्टर सबबेस की समानता यदि एक प्रीफिल्टर है तो निम्नलिखित परिवार हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैंः; द्वारा उत्पन्न-प्रणाली; द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर; और इसके अलावा, ये तीन परिवार सभी एक ही फ़िल्टर उत्पन्न करते हैं (यानी, इन परिवारों में ऊपर की ओर बंद होना समान है)। विशेष रूप से, प्रत्येक प्रीफिल्टर उस फिल्टर के बराबर होता है जिसे यह उत्पन्न करता है। पारगमन द्वारा, दो प्रीफिल्टर बराबर होते हैं यदि और केवल तभी जब वे एक ही फिल्टर उत्पन्न करते हैं। प्रत्येक प्रीफिल्टर ठीक एक फ़िल्टर के बराबर होता है जिस पर वह फ़िल्टर उत्पन्न करता है (यानी, प्रीफिल्टर का ऊपर की ओर बंद होना)। अलग तरह से कहा जाए तो, प्रीफिल्टर्स के प्रत्येक समतुल्य वर्ग में ठीक एक प्रतिनिधि होता है जो एक फिल्टर होता है। इस तरह, फ़िल्टरों को प्रीफ़िल्टरों के इन तुल्यता वर्गों के विशिष्ट तत्वों के रूप में माना जा सकता है। एक फ़िल्टर सबबेस जो एक प्रीफ़िल्टर भी है, वह प्रीफ़िल्टर (या फ़िल्टर) के बराबर हो सकता है जो यह उत्पन्न करता है। इसके विपरीत, प्रत्येक प्रीफिल्टर उस फिल्टर के बराबर होता है जो वह उत्पन्न करता है। यही कारण है कि प्रीफिल्टर का उपयोग बड़े पैमाने पर उन फ़िल्टरों के साथ किया जा सकता है जो वे उत्पन्न करते हैं जबकि फ़िल्टर उप-आधार नहीं कर सकते हैं। प्रत्येक फिल्टर एक-सिस्टम और सेटों का एक वलय दोनों होता है। समतुल्यता/गैर-समतुल्यता निर्धारित करने के उदाहरण-मान लीजिए और मान लीजिए कि यह पूर्णांकों (या समुच्चय) का समुच्चय है। सेटों को परिभाषित करें सभी तीन सेट फ़िल्टर सबबेस हैं लेकिन कोई भी फ़िल्टर चालू नहीं है और केवल प्रीफ़िल्टर है (वास्तव में, सीमित चौराहों के तहत स्वतंत्र और बंद है)। सेट स्थिर है जबकि मुक्त है (जब तक कि)। वे संतुष्ट करते हैं लेकिन इनमें से कोई भी दो परिवार समतुल्य नहीं हैं; इसके अलावा, इन तीन फ़िल्टर उप-आधारों द्वारा उत्पन्न कोई भी दो फ़िल्टर समतुल्य/समान नहीं हैं। इस निष्कर्ष पर यह दर्शाकर पहुँचा जा सकता है कि वे जो-प्रणालियाँ उत्पन्न करते हैं वे समतुल्य नहीं हैं। एक उपसमुच्चय के रूप में कंटेन द्वारा उत्पन्न-सिस्टम में प्रत्येक सेट के विपरीत, जो उनके उत्पन्न-सिस्टम (और इसलिए उनके उत्पन्न फिल्टर) को समकक्ष होने से रोकता है। यदि इसके बजाय तीनों परिवार स्वतंत्र होंगे और हालांकि सेट एक-दूसरे के बराबर रहेंगे, उनकी उत्पन्न-प्रणालियाँ समान होंगी और परिणामस्वरूप, वे एक ही फ़िल्टर उत्पन्न करेंगे; हालाँकि, यह सामान्य फ़िल्टर अभी भी सेट सैद्धांतिक गुणों और निर्माणों द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर की तुलना में सख्ती से मोटा होगा। फ़िल्टर) जिस पर परिवार का निशान एक प्रीफ़िल्टर (रेस्प) है। एक फ़िल्टर) यदि और केवल यदि जाली (यानी,), जिस स्थिति में का निशान कहा जाता है। यदि अल्ट्रा है और यदि जाली है तो निशान अल्ट्रा है। यदि एक अल्ट्राफिल्टर चालू है तो का निशान एक फ़िल्टर है यदि और केवल यदि उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि वह एक फ़िल्टर है जो ऐसा है कि जाल और उस पर एक फ़िल्टर उत्पन्न करता है जो जब प्रीफिल्टर जाल को दिया जाता है तो परिवार संतुष्ट होता है और यदि उचित होता है (रेस्प। एक प्रीफिल्टर, एक फिल्टर सबबेस) तो यह दोनों के बारे में भी सच है ताकि किसी भी सार्थक कटौती के बारे में उचित होने की आवश्यकता हो (यानी, जो "जाल" की परिभाषा के लिए प्रेरणा है। इस मामले में, एक प्रीफिल्टर (रेस्प) है। फ़िल्टर सबबेस) यदि और केवल तभी जब यह दोनों के लिए सच है अलग-अलग कहा गया है, यदि प्रीफ़िल्टर हैं तो वे जाली बनाते हैं यदि और केवल तभी जब एक प्रीफ़िल्टर हो। सामान्यीकरण पूरी तरह से अधीनता के संदर्भ में "जाल" का एक प्रसिद्ध लक्षण वर्णन देता है (अर्थात,): दो प्रीफिल्टर (रेस्प)। फिल्टर सबबेस) जाल यदि और केवल तभी जब कोई प्रीफिल्टर (आर. एस. पी.) मौजूद हो। फ़िल्टर सबबेस) इस तरह से कि और यदि दो फ़िल्टरों की सबसे कम ऊपरी सीमा मौजूद है तो यह सबसे कम ऊपरी सीमा छवियों के बराबर है और पूरे कार्य के तहत पूर्व छवियां, गैर-खाली सेटों के बीच मानचित्र होंगे। प्रीफिल्टर्स की छवियाँ कई गुणों को मानचित्रों की छवियों के तहत संरक्षित करती हैं; उल्लेखनीय अपवादों में ऊपर की ओर बंद होना, सीमित चौराहों के नीचे बंद होना और एक फिल्टर होना शामिल है, जो आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं हैं। स्पष्ट रूप से, यदि निम्नलिखित गुणों में से एक सही है तो यह आवश्यक रूप से भी सही होगा (हालांकि संभवतः कोडोमेन पर तब तक नहीं जब तक कि सर्जेक्टिव न हो): फ़िल्टर गुणः अल्ट्रा, अल्ट्राफ़िल्टर, फ़िल्टर, प्रीफ़िल्टर, फ़िल्टर सबबेस, दोहरी आदर्श, ऊपर की ओर बंद, उचित/गैर-अपक्षयी। आदर्श गुणः आदर्श, सीमित संघों के तहत बंद, नीचे की ओर बंद, ऊपर की ओर निर्देशित। इसके अलावा, अगर एक प्रीफिल्टर है तो दोनों भी हैं एक अल्ट्रा सेट के नक्शे के नीचे की छवि फिर से अल्ट्रा है और अगर एक अल्ट्रा प्रीफिल्टर है तो ऐसा ही है यदि एक फिल्टर है तो रेंज पर एक फिल्टर है लेकिन यह कोडोमेन पर एक फिल्टर है अगर और केवल अगर सर्जेक्टिव है। अन्यथा यह सिर्फ एक प्रीफिल्टर है और फ़िल्टर प्राप्त करने के लिए इसके ऊपर की ओर बंद करने की आवश्यकता होती है। ऊपर की ओर बंद करना वह जगह है जहाँ अगर ऊपर की ओर बंद किया जाता है (यानी, एक फ़िल्टर) तो यह सरल हो जाता हैः यदि तब समावेशन मानचित्र होने से पता चलता है कि कोई भी प्रीफ़िल्टर (रेस्प)। अल्ट्रा प्रीफिल्टर, फिल्टर सबबेस) भी एक प्रीफिल्टर (रेस्प) है। अल्ट्रा प्रीफिल्टर, फ़िल्टर सबबेस) प्रीफिल्टरों की पूर्व छवियों पर इस धारणा के तहत कि अनुमानात्मक हैः एक प्रीफिल्टर (रेस्प) है। फ़िल्टर सबबेस,-सिस्टम, परिमित संघों के तहत बंद, उचित) यदि और केवल तभी जब यह सच है। हालाँकि, यदि एक अल्ट्राफ़िल्टर चालू है तो भले ही सर्जेक्टिव हो (जो एक प्रीफ़िल्टर बना देगा), फिर भी प्रीफ़िल्टर के लिए न तो अल्ट्रा होना संभव है और न ही फ़िल्टर चालू होना (उदाहरण के लिए इस फुटनोट को देखें)। यदि अनुमानात्मक नहीं है तो उस निशान को इंगित करें जहां इस मामले में विशेष मामले में निशान संतुष्ट होता हैः और परिणामस्वरूप यह भीः यह अंतिम समानता और तथ्य कि निशान सेटों का एक परिवार है, इसका मतलब है कि निशान के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए उपयोग किया जा सकता है और के स्थान पर उपयोग किया जा सकता है। फ़िल्टर सबबेस,-सिस्टम, प्रॉपर) यदि और केवल तभी जब यह सच है इस तरह से, उस मामले में जहां (आवश्यक रूप से) सर्जेक्टिव नहीं है, उसे एक सर्जेक्टिव फ़ंक्शन के मामले में कम किया जा सकता है (जो एक ऐसा मामला है जिसे इस उपखंड की शुरुआत में वर्णित किया गया था)। यहां तक कि अगर एक अल्ट्राफिल्टर चालू है अगर सर्जेक्टिव नहीं है तो फिर भी यह संभव है कि जो विकृत भी हो जाए। अगले लक्षण वर्णन से पता चलता है कि अपक्षय ही एकमात्र बाधा है। यदि एक प्रीफिल्टर है तो निम्नलिखित समतुल्य हैंः एक प्रीफिल्टर है; एक प्रीफिल्टर है; के साथ जोड़ता है और इसके अलावा, यदि एक प्रीफिल्टर है तो भी ऐसा ही है यदि और यदि समावेश मानचित्र को दर्शाता है तो का निशान एक सेट पर निशान की जांच करने के लिए इस उपखंड के परिणामों को लागू करने की अनुमति देता है। बीजक्शन, इंजेक्शन और अधिभार फिल्टर से जुड़े सभी गुणों को बीजक्शन के तहत संरक्षित किया जाता है। इसका मतलब है कि यदि एक बाइजेक्शन है, तो एक प्रीफिल्टर (आर. एस. पी.) है। अल्ट्रा, अल्ट्रा प्रीफिल्टर, फिल्टर सबबेस पर अल्ट्राफिल्टर पर फिल्टर,-सिस्टम, आइडियल ऑन आदि) यदि और केवल तभी जब एक नक्शा इंजेक्टिव है और केवल तभी जब सभी प्रीफिल्टर्स के लिए एक इंजेक्शन के तहत सेटों के एक अल्ट्रा परिवार की छवि फिर से अल्ट्रा है। मानचित्र एक अधिक्षेप है यदि और केवल तभी जब भी कोई प्रीफिल्टर चालू हो तो वही सच है (इस परिणाम के लिए अल्ट्राफिल्टर लेम्मा की आवश्यकता नहीं है)। अधीनता छवियों और पूर्व छवियों द्वारा संरक्षित है संबंध छवियों और सेटों के परिवारों की पूर्व छवियों दोनों के तहत संरक्षित है। इसका मतलब यह है कि परिवारों के लिए इसके अलावा, निम्नलिखित संबंध हमेशा समूह के परिवार के लिए होते हैंः जहां समानता होगी यदि यह अनुमानात्मक है। इसके अलावा, अगर तब और जहां समानता होगी अगर इंजेक्टिव है। मान लीजिए कि प्रीफिल्टर्स के उत्पाद एक या अधिक गैर-खाली सेटों का एक परिवार है, जिसके उत्पाद को प्रत्येक सूचकांक द्वारा दर्शाया जाएगा और प्रत्येक सूचकांक के लिए विहित प्रक्षेपण को दर्शाया जाएगा। मान लीजिए कि गैर-खाली परिवार भी इस तरह से अनुक्रमित होते हैं कि प्रत्येक परिवार के लिए उत्पाद टोपोलॉजी के बुनियादी खुले उपसमुच्चय को कैसे परिभाषित किया जाता है (यदि ये सभी टोपोलॉजी होते)। अर्थात्, दोनों संकेतन सभी सिलेंडर उपसमुच्चय के परिवार को इस तरह से दर्शाते हैं कि सभी के लिए लेकिन सीमित रूप से कई और जहां इनमें से किसी एक के लिए सीमित रूप से कई अपवाद हैं (यानी, ऐसे किसी भी के लिए जो आवश्यक है)। जब प्रत्येक एक फ़िल्टर उप-आधार होता है तो परिवार द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर के लिए एक फ़िल्टर उप-आधार होता है। हालांकि, एक फ़िल्टर होने में विफल हो सकता है, भले ही प्रत्येक सेट घटाव पर एक फ़िल्टर हो और कुछ उदाहरण कर्नेल के एक उपसमुच्चय को घटाने के लिए सेट करें यदि एक प्रीफ़िल्टर है तो एक प्रीफ़िल्टर है, जहां यह बाद वाला सेट एक फ़िल्टर है यदि और केवल यदि एक फ़िल्टर है और विशेष रूप से, यदि कम से कम 2 अंक वाले टोपोलॉजिकल स्थान में एक बिंदु पर पड़ोस का आधार है, तो एक प्रीफ़िल्टर है इस निर्माण का उपयोग पूर्व फ़िल्टर अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित करने के लिए किया जाता है। आदर्शों और दोहरे आदर्शों के बीच द्वैत का उपयोग करना एक दोहरा संबंध है या जिसका अर्थ यह परिभाषित किया गया है कि प्रत्येक के लिए कुछ स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि प्रत्येक के लिए कुछ ऐसा है कि यह संबंध इस अर्थ में दोहरे है कि यदि और केवल तभी जब संबंध एक परिवार के नीचे की ओर बंद होने से निकटता से संबंधित है जैसे कि ऊपर की ओर बंद होने वाले परिवार से संबंधित है। एक उदाहरण के लिए जो इस द्वैत का उपयोग करता है, मान लीजिए कि एक नक्शा है और परिभाषित करें जिसमें खाली सेट है यदि और केवल यदि करता है। एक अल्ट्राफिल्टर होना और सीमित चौराहों के नीचे खाली होना या बंद नहीं होना संभव है (उदाहरण के लिए फुटनोट देखें)। हालांकि फ़िल्टर के गुणों को बहुत अच्छी तरह से संरक्षित नहीं करता है, अगर नीचे की ओर बंद किया जाता है (रेस्प। परिमित संघों के तहत बंद, एक आदर्श) तो यह आदर्शों और दोहरे आदर्शों के बीच द्वंद्व का उपयोग करने के लिए भी सच होगा जो निम्नलिखित फ़िल्टर के निर्माण की अनुमति देता है। मान लीजिए कि एक फ़िल्टर चालू है और इसका डुअल इफ़ में होने दें तो डुअल एक फ़िल्टर होगा। अन्य उदाहरण-एक स्थलवैज्ञानिक स्थान के सभी घने खुले उपसमुच्चय का समुच्चय एक उचित प्रणाली और एक प्रीफिल्टर है। यदि स्थान एक बेयर स्थान है, तो घने खुले उपसमुच्चय के सभी गणना योग्य प्रतिच्छेदनों का समूह एक-प्रणाली और एक प्रीफिल्टर है जो उदाहरण से बेहतर हैः सीमित लेबस्ग्यू माप वाले सभी घने खुले सेटों का परिवार एक उचित-प्रणाली और एक मुक्त प्रीफिल्टर है। प्रीफिल्टर ठीक से प्रीफिल्टर में निहित है, और इसके बराबर नहीं है, जिसमें सभी घने खुले उपसमुच्चय शामिल हैं क्योंकि एक बेयर स्थान है, सेट का प्रत्येक गणना योग्य प्रतिच्छेदन घना है (और कम और गैर-माप भी) इसलिए के तत्वों के सभी गणना योग्य प्रतिच्छेदन का सेट एक प्रीफिल्टर और-सिस्टम है; यह फ़िल्टर और जाल की तुलना में भी महीन है, और इसके बराबर नहीं है यह खंड प्रीफिल्टर और जाल के बीच संबंधों का बहुत विस्तार से वर्णन करेगा क्योंकि ये विवरण फ़िल्टर को टोपोलॉजी में लागू कर रहे हैं-विशेष रूप से जाल का उपयोग करने से लेकर फ़िल्टर और उप-पद का उपयोग करने में-और क्योंकि यह बाद में समझने में आसान बनाता है कि सबनेट (उनकी सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली परिभाषाओं के साथ) क्यों हैं। नेट टू प्रीफिल्टर्स एक नेट विहित रूप से पूंछ के अपने प्रीफिल्टर के साथ जुड़ा हुआ है यदि एक नक्शा है और इसमें एक नेट है तो प्रीफिल्टर्स टू नेट ए एक जोड़ी है जिसमें एक गैर-खाली सेट और एक तत्व होता है किसी भी परिवार के लिए यदि ऐसा है तो भी यह प्रीऑर्डर एंटीसिमेट्रिक नहीं है और सेट के किसी भी परिवार को आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है यदि और केवल तभी जब पूरी तरह से सिंगलटन सेट होते हैं। यदि एक अधिकतम तत्व है; इसके अलावा, सभी अधिकतम तत्व इस रूप के हैं। यदि एक सबसे बड़ा तत्व है और केवल तभी जब इस मामले में सभी सबसे बड़े तत्वों का समूह है। हालाँकि, एक सबसे बड़ा तत्व एक अधिकतम तत्व है यदि और केवल अगर ऐसा है तो अधिक से अधिक एक तत्व है जो अधिकतम और सबसे बड़ा दोनों है। हालांकि, सामान्य रूप से, एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट नहीं है, यह एक निर्देशित सेट है यदि (और केवल अगर) एक प्रीफिल्टर है। इसलिए "एक प्रीफिल्टर द्वारा प्रेरित नेट" की परिभाषा के लिए सबसे तत्काल विकल्प है असाइनमेंट इनटू इफ एक प्रीफिल्टर है जो एक नेट है और उससे जुड़ा प्रीफिल्टर है; अर्थात्ः यह आवश्यक रूप से सच नहीं होगा कि इसे एक उचित उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया था। इसके बजाय सिंगलटन सेट पर परिभाषित किया गया था जहां के प्रतिबंध को अस्थायी रूप से दर्शाया जाएगा, तब तक संबंधित पूंछ का पूर्व फ़िल्टर मूल फ़िल्टर के बजाय प्रमुख पूर्व फ़िल्टर होगा; इसका मतलब है कि समानता है, इसलिए पूर्व फ़िल्टर के विपरीत वर्से स्टिल से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, जबकि पूर्व फ़िल्टर पर अद्वितीय फ़िल्टर इसके बजाय एक फ़िल्टर (यानी एक अल्ट्रा फ़िल्टर) उत्पन्न करता है। अल्ट्रानेट और अल्ट्रा प्रीफिल्टर एक नेट को एन या इन कहा जाता है यदि प्रत्येक सबसेट अंततः अंदर है या यह अंततः अंदर है; यह तभी होता है जब और केवल तभी होता है जब एक अल्ट्रा प्रीफिल्टर हो। एक प्रीफिल्टर एक अल्ट्रा प्रीफिल्टर है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से क्रमबद्ध नेट में एक अल्ट्रानेट हो कैनोनिकल नेट का डोमेन सामान्य रूप से आंशिक रूप से क्रमबद्ध नहीं होता है। हालाँकि, 1955 में ब्रन्स और श्मिट ने एक ऐसे निर्माण की खोज की जो कैनॉनिकल नेट के लिए एक डोमेन की अनुमति देता है जो आंशिक रूप से आदेशित और निर्देशित दोनों है; इसे 1970 में अल्बर्ट विलान्स्की द्वारा स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया था। यह एक सख्त आंशिक क्रम के निर्माण के साथ शुरू होता है (जिसका अर्थ है एक सकर्मक और अपरिवर्तनीय संबंध) जिसके एक उपसमुच्चय पर सख्त आंशिक आदेशों के शब्दकोशात्मक क्रम के समान है किसी के लिए भी यह घोषणा करते हुए कि यदि और केवल यदि या समकक्ष रूप से, यदि और केवल तभी जब द्वारा निरूपित गैर-सख्त आंशिक क्रम को यह घोषणा करके परिभाषित किया जाता है कि इन परिभाषाओं को अनवाइंड करने से निम्नलिखित लक्षण वर्णन मिलता हैः जो दर्शाता है कि यह केवल उस शब्दकोषीय क्रम से प्रेरित है जहां आंशिक रूप से समानता द्वारा आदेश दिया गया है दोनों क्रमबद्ध हैं और न ही उनमें कोई सबसे बड़ा तत्व या अधिकतम तत्व है; यह तब भी सच रहता है जब वे प्रत्येक परिभाषित के उपसमुच्चय तक सीमित हैं जहां अब से यह माना जाएगा कि वे हैं। इस उपसमुच्चय से असाइनमेंट को इस प्रकार दर्शाइएः यदि पहले की तरह ही शुरुआत की पूंछ बराबर है यदि एक प्रीफिल्टर चालू है तो एक नेट है जिसके डोमेन में आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट है और इसके अलावा, क्योंकि दोनों की पूंछ समान हैं (क्योंकि दोनों प्रीफिल्टर के बराबर हैं), यह मानते हुए कि प्रीफिल्टर से जुड़े नेट का डोमेन आंशिक रूप से क्रमबद्ध है, आम तौर पर कुछ भी नहीं खोता है। यदि सेट को सकारात्मक परिमेय संख्याओं से बदल दिया जाता है तो सख्त आंशिक क्रम भी एक घना क्रम होगा। अधीनस्थ फिल्टर और सबनेट (लिखित) की धारणा फिल्टर और प्रीफिल्टर के लिए है जो अनुक्रमों के लिए है। उदाहरण के लिए, यदि पूंछ के समूह को दर्शाता है और यदि बाद की पूंछ के समूह को दर्शाता है (जहां) तो (यानी,) सही है लेकिन सामान्य रूप से गलत है। सबनेट और अधीनस्थ फिल्टर की गैर-समतुल्यता एक पूर्व-क्रमबद्ध स्थान का एक उपसमुच्चय है या यदि प्रत्येक के लिए कुछ मौजूद है तो एक पूंछ होती है तो कहा जाता है या; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि कुछ मौजूद है (यानी,)। एक अंतिम सेट आवश्यक रूप से खाली नहीं है। एक उपसमुच्चय अंतिम होता है यदि और केवल तभी जब इसका पूरक लगातार न हो (जिसे कहा जाता है)। दो पूर्व-क्रमबद्ध समुच्चयों के बीच एक मानचित्र यह है कि जब भी विलार्ड के अर्थ में सबनेट और केली के अर्थ में सबनेट "सबनेट" की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली परिभाषाएँ हों। सबनेट की पहली परिभाषा 1955 में जॉन एल. केली द्वारा पेश की गई थी। स्टीफन विलार्ड ने 1970 में केली की सबनेट की परिभाषा का अपना संस्करण पेश किया। ए. ए.-सबनेट को स्माइली (1957), आर्नेस एंड एंडनेस (1972) और मुर्देश्वर (1983) द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था; ए. ए.-सबनेट का अध्ययन आर्नेस और एंडनेस द्वारा बहुत विस्तार से किया गया था लेकिन उनका अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है। केली को मानचित्र को क्रम में संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं थी, जबकि ए. ए.-सबनेट की परिभाषा पूरी तरह से दो जाल के डोमेन के बीच किसी भी मानचित्र के साथ दूर करती है और इसके बजाय पूरी तरह से-जाल के सामान्य कोडोमेन पर ध्यान केंद्रित करती है। प्रत्येक विलार्ड-सबनेट एक केली-सबनेट है और दोनों ए. ए.-सबनेट हैं। विशेष रूप से, यदि एक विलार्ड-सबनेट या एक केली-सबनेट है तो उदाहरण लेंः मान लीजिए और एक स्थिर अनुक्रम होने दें, मान लीजिए कि यह एक एए-सबनेट है क्योंकि लेकिन एक विलार्ड-सबनेट नहीं है क्योंकि कोई भी मानचित्र मौजूद नहीं है जिसकी छवि एक सह-अंतिम उपसमुच्चय है और न ही एक केली-सबनेट है क्योंकि यदि कोई मानचित्र है तो एक सह-अंतिम उपसमुच्चय है लेकिन अंततः एए-सबनेट में नहीं है तो एक परिभाषित लक्षण वर्णन है जो तुरंत दर्शाता है कि वे उप (क्रमबद्ध) फिल्टर के साथ पूरी तरह से विनिमेय हैं। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि एए-सबनेट के लिए निम्नलिखित कथन सही हैः यदि प्रीफिल्टर हैं तो इसका एए-सबनेट है यदि "एए-सबनेट" को "विलार्ड-सबनेट" या "केली-सबनेट" से बदल दिया जाता है तो उपरोक्त कथन बन जाता है। विशेष रूप से, समस्या यह है कि निम्नलिखित कथन सामान्य रूप से गलत हैः कथन यदि प्रीफिल्टर ऐसे हैं जो एक केली-सबनेट है क्योंकि प्रत्येक विलार्ड-सबनेट एक केली-सबनेट है, तो यह कथन गलत रहता है यदि "केली-सबनेट" शब्द को "विलार्ड-सबनेट" से बदल दिया जाता है। : सभी के लिए मान लीजिए जो एक उचित प्रणाली है, और मान लीजिए कि जहां दोनों परिवार प्राकृतिक संख्याओं पर प्रीफिल्टर हैं क्योंकि एक अनुक्रम के रूप में है। तो आदर्श रूप से, एक उपजाल होना चाहिए मान लीजिए कि डोमेन में एक सह-अंतिम उपसमुच्चय होता है जो समरूपता क्रम का होता है और इसके परिणामस्वरूप न तो अधिकतम और न ही सबसे बड़ा तत्व होता है। माना एक अधिकतम और सबसे बड़ा तत्व दोनों है निर्देशित सेट में एक उपसमुच्चय भी होता है जो समरूपता क्रम का होता है (क्योंकि इसमें ऐसा उपसमुच्चय होता है) लेकिन अधिकतम तत्व के कारण ऐसा कोई उपसमुच्चय अंतिम नहीं हो सकता है नतीजतन, कोई भी क्रम-संरक्षित मानचित्र अंततः स्थिर (मूल्य के साथ) होना चाहिए जहां तब सीमा का एक सबसे बड़ा तत्व होता है क्योंकि इसके कारण, ऐसा कोई क्रम संरक्षित मानचित्र नहीं हो सकता है जो विलार्ड-सबनेट होने के लिए आवश्यक शर्तों को पूरा करता हो (क्योंकि इस तरह के मानचित्र की सीमा को अंतिम नहीं किया जा सकता है)। मान लीजिए कि विरोधाभास के लिए एक ऐसा मानचित्र मौजूद है जो अंततः सभी के लिए है क्योंकि ऐसा मौजूद है कि प्रत्येक के लिए क्योंकि अंततः इसमें यह आवश्यक है कि विशेष रूप से, यदि तब परिभाषा के अनुसार कौन सा बराबर है जो गलत है। यदि "सबनेट" का अर्थ विलार्ड-सबनेट या केली-सबनेट के रूप में परिभाषित किया गया है तो जाल और फिल्टर पूरी तरह से विनिमेय नहीं हैं क्योंकि एक फिल्टर-सब (क्रमिक) फिल्टर संबंध मौजूद हैं जिन्हें दो प्रेरित जालों के बीच नेट-सबनेट संबंध के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, समस्या यह है कि केली-सबनेट और विलार्ड-सबनेट अधीनस्थ फिल्टर के साथ पूरी तरह से विनिमेय हैं। यदि "सबनेट" की धारणा का उपयोग नहीं किया जाता है या यदि "सबनेट" को एए-सबनेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो यह एक समस्या नहीं है और इसलिए यह कहना सही हो जाता है कि नेट और फिल्टर विनिमेय हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ए. ए.-सबनेट में वह समस्या नहीं है जो विलार्ड और केली सबनेट में है, वे व्यापक रूप से उपयोग या ज्ञात नहीं हैं। नोट्स प्रूफ साइटेशन संदर्भ भी देखें (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फिल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।) सामान्य स्थलविज्ञान क्रम सिद्धांत सेट सिद्धांत