Frobenius characteristic map
गणित में, विशेष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत और संयोजन विज्ञान में, एक फ्रोबेनियस विशेषता मानचित्र सममित समूहों के वर्णों के वलय और सममित कार्यों के वलय के बीच एक सममितीय समरूपता है। यह सममित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय संयोजन के बीच एक सेतु बनाता है। यह मानचित्र सममित कार्यों की मदद से प्रतिनिधित्व समस्याओं का अध्ययन करना संभव बनाता है और इसके विपरीत। इस मानचित्र का नाम जर्मन गणितशास्त्री फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है। परिभाषा वर्णों का वलय सभी अपवर्तनीय वर्णों द्वारा उत्पन्न-मॉड्यूल होना चाहिए। विशेष रूप से और इसलिए। वर्णों के वलय को एक श्रेणीबद्ध परिवर्तनीय वलय बनाने के लिए निम्नलिखित गुणन के साथ प्रत्यक्ष योग के रूप में परिभाषित किया गया है। दिए गए और, उत्पाद को उस समझ के साथ परिभाषित किया गया है जो प्रेरित चरित्र में अंतर्निहित है और दर्शाता है। फ्रोबेनियस विशेषता मानचित्र के लिए, फ्रोबेनियस विशेषता मानचित्र का मान, जिसे फ्रोबेनियस छवि भी कहा जाता है, को बहुपद टिप्पणी के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, कब और, विभाजन से मेल खाता है। इसके विपरीत, (के रूप में लिखा गया) का एक विभाजन एक संयुग्म वर्ग को निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, दिया गया, एक संयुग्म वर्ग है। इसलिए संकेतन के दुरुपयोग का उपयोग द्वारा निर्धारित संयुग्मता वर्ग के मूल्य को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह हमेशा समझ में आता है क्योंकि यह एक वर्ग कार्य है। मान लीजिए कि यह एक विभाजन है, तो यह चरों द्वारा निर्धारित शक्ति योग सममित बहुपदों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, दिया गया है, अंत में, एक विभाजन को परिभाषित किया गया है, जहां संयुग्म वर्ग की प्रधानता है। उदाहरण के लिए, कब। इसलिए की दूसरी परिभाषा को सीधे तौर पर उचित ठहराया जा सकता हैः गुण आंतरिक उत्पाद और सममिति हॉल आंतरिक उत्पाद सममित कार्यों के वलय पर आंतरिक उत्पाद हॉल आंतरिक उत्पाद है। यह आवश्यक है। यहाँ, एक एकाधिकार सममित फलन है और पूरी तरह से सजातीय सममित फलन का एक उत्पाद है। सटीक होने के लिए, पूर्णांक का एक विभाजन होने दें, फिर विशेष रूप से, इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, एक ऑर्थोगोनल आधार बनाते हैंः, और शूर बहुपद एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैंः, जहां क्रोनेकर डेल्टा है। अक्षरों के आंतरिक उत्पाद मान लीजिए, उनके आंतरिक उत्पाद को परिभाषित किया गया है यदि, तो एक सममिति के रूप में फ्रोबेनियस विशेषता मानचित्र यह साबित कर सकता है कि फ्रोबेनियस विशेषता मानचित्र स्पष्ट गणना द्वारा एक सममिति है। इसे दिखाने के लिए, यह मान लेना पर्याप्त है किः रिंग समरूपता मानचित्र और-रिंग के बीच एक समरूपता है। यह तथ्य कि यह मानचित्र एक वलय समरूपता है, फ्रोबेनियस पारस्परिकता द्वारा दिखाया जा सकता है। के लिए और, द्वारा परिभाषित करते हुए, फ्रोबेनियस विशेषता मानचित्र को एक छोटे रूप में लिखा जा सकता हैः विशेष रूप से, यदि एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है, तो चर का एक शूर बहुपद है। यह इस प्रकार है कि एक ऑर्थोनॉर्मल आधार को एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के लिए मैप करता है। इसलिए यह एक समरूपता है। फ्रोबेनियस छवि की गणना का उदाहरण आइए इसका वैकल्पिक प्रतिनिधित्व करें, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है, जहां क्रमपरिवर्तन का संकेत है। तीन संयुग्म वर्ग हैं, जिन्हें (पहचान या तीन 1-चक्रों का उत्पाद), (स्थानान्तरण या एक 2-चक्र और एक 1-चक्र के उत्पाद) और (3-चक्र) द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसलिए ये तीन संयुग्म वर्ग,, द्वारा दिए गए तीन विभाजनों के अनुरूप हैं। इन तीनों वर्गों के मूल्य क्रमशः हैं। इसलिएः चूंकि यह एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है (जिसे इसके वर्णों की गणना करके दिखाया जा सकता है), उपरोक्त गणना विभाजन के अनुरूप तीन चरों का शूर बहुपद देती है। संदर्भ प्रतिनिधित्व _ सिद्धांत संयोजन