Mean curvature flow
गणित में विभेदक ज्यामिति के क्षेत्र में, माध्य वक्रता प्रवाह एक रीमानियन मैनिफोल्ड में अति सतहों के ज्यामितीय प्रवाह का एक उदाहरण है (उदाहरण के लिए, 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में चिकनी सतह)। स्वाभाविक रूप से, सतहों का एक परिवार औसत वक्रता प्रवाह के तहत विकसित होता है यदि वेग का सामान्य घटक जिसके लिए सतह पर एक बिंदु चलता है, सतह की औसत वक्रता द्वारा दिया जाता है। उदाहरण के लिए, एक गोल गोला समान रूप से अंदर की ओर सिकुड़कर औसत वक्रता प्रवाह के तहत विकसित होता है (क्योंकि एक गोले का औसत वक्रता सदिश अंदर की ओर इंगित करता है)। विशेष मामलों को छोड़कर, औसत वक्रता प्रवाह विलक्षणता विकसित करता है। इस बाधा के तहत कि संलग्न आयतन स्थिर है, इसे सतह तनाव प्रवाह कहा जाता है। यह एक परवलयिक आंशिक विभेदक समीकरण है, और इसकी व्याख्या "स्मूथिंग" के रूप में की जा सकती है। अस्तित्व और विशिष्टता माइकल गेज और रिचर्ड एस. हैमिल्टन द्वारा परवलयिक ज्यामितीय प्रवाह के लिए हैमिल्टन के सामान्य अस्तित्व प्रमेय के एक अनुप्रयोग के रूप में निम्नलिखित को दिखाया गया था। एक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड होने दें, एक पूर्ण स्मूथ रीमानियन मैनिफोल्ड होने दें, और एक स्मूथ इमर्शन होने दें। फिर एक सकारात्मक संख्या है, जो अनंत हो सकती है, और निम्नलिखित गुणों के साथ एक मानचित्र हैः किसी के लिए एक चिकना विसर्जन है जैसा कि किसी के लिए है, वक्र का व्युत्पन्न एट के औसत वक्रता सदिश के बराबर है। यदि उपरोक्त चार गुणों के साथ कोई अन्य मानचित्र है, तो और किसी भी आवश्यक रूप से, का प्रतिबंध है। एक प्रारंभिक डेटा के साथ (अधिकतम विस्तारित) औसत वक्रता प्रवाह के रूप में संदर्भित करता है। अभिसरण प्रमेय रिची प्रवाह पर हैमिल्टन के 1982 के युग के काम के बाद, 1984 में गेरहार्ड हुइस्केन ने निम्न अनुरूप परिणाम उत्पन्न करने के लिए औसत वक्रता प्रवाह के लिए समान तरीकों का उपयोग कियाः यदि यूक्लिडियन स्थान है, जहां के आयाम को दर्शाता है, तो आवश्यक रूप से सीमित है। यदि 'प्रारंभिक विसर्जन' का दूसरा मौलिक रूप कड़ाई से सकारात्मक है, तो विसर्जन का दूसरा मौलिक रूप भी प्रत्येक के लिए कड़ाई से सकारात्मक है, और इसके अलावा यदि कोई इस तरह के कार्य का चयन करता है कि रीमानियन मैनिफोल्ड का आयतन स्वतंत्र हो, तो जब विसर्जन सुचारू रूप से एक विसर्जन में परिवर्तित हो जाता है जिसकी छवि एक गोल गोले में होती है। ध्यान दें कि यदि और एक चिकनी हाइपरसर्फेस विसर्जन है जिसका दूसरा मौलिक रूप सकारात्मक है, तो गॉस मानचित्र एक डिफियोमोर्फिज्म है, और इसलिए शुरू से ही कोई जानता है कि प्राथमिक विभेदक टोपोलॉजी से, कि ऊपर माने गए सभी विसर्जन एम्बेडिंग हैं। गेज और हैमिल्टन ने मामले में हुइस्केन के परिणाम को आगे बढ़ाया। मैथ्यू ग्रेसन (1987) ने दिखाया कि यदि कोई सहज एम्बेडिंग है, तो प्रारंभिक डेटा के साथ औसत वक्रता प्रवाह में अंततः सख्ती से सकारात्मक वक्रता के साथ विशेष रूप से एम्बेडिंग शामिल होती है, जिस बिंदु पर गेज और हैमिल्टन का परिणाम लागू होता है। संक्षेप मेंः यदि एक सहज एम्बेडिंग है, तो प्रारंभिक डेटा के साथ औसत वक्रता प्रवाह पर विचार करें। फिर प्रत्येक के लिए एक चिकनी एम्बेडिंग है और ऐसा मौजूद है जिसमें प्रत्येक के लिए सकारात्मक (बाहरी) वक्रता है। यदि कोई ह्यूस्केन के परिणाम के रूप में कार्य का चयन करता है, तो एम्बेडिंग आसानी से एक एम्बेडिंग में परिवर्तित हो जाती है जिसकी छवि एक गोल वृत्त है। गुण औसत वक्रता प्रवाह सतह क्षेत्र को चरम पर ले जाता है, और न्यूनतम सतह औसत वक्रता प्रवाह के लिए महत्वपूर्ण बिंदु हैं; मिनीमा आइसोपेरिमेट्रिक समस्या को हल करता है। कहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड में एम्बेडेड मैनिफोल्ड्स के लिए, यदि सतह एक लैग्रैन्जियन सबमैनिफोल्ड है, तो औसत वक्रता प्रवाह लैग्रैन्जियन प्रकार का है, इसलिए सतह लैग्रैन्जियन सबमैनिफोल्ड्स के वर्ग के भीतर विकसित होती है। हुइस्केन का एकरसता सूत्र औसत वक्रता प्रवाह से गुजरने वाली सतह के साथ एक समय-विपरीत ऊष्मा गुठली के अभिसरण का एकरसता गुण देता है। संबंधित प्रवाह हैंः वक्र-संक्षिप्त प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह का एक-आयामी मामला सतह तनाव प्रवाह लैग्रैन्जियन माध्य वक्रता प्रवाह व्युत्क्रम माध्य वक्रता प्रवाह त्रि-आयामी सतह का माध्य वक्रता प्रवाह किसी सतह के माध्य वक्रता प्रवाह के लिए अंतर समीकरण द्वारा दिया जाता है जो वक्रता और सतह की गति से संबंधित स्थिरांक के साथ दिया जाता है, और माध्य वक्रता सीमा में होती है और, ताकि सतह लगभग समतल हो और अक्ष के लगभग समानांतर हो, यह एक प्रसार समीकरण में कम हो जाता है जबकि पारंपरिक प्रसार समीकरण एक रैखिक परवलयिक आंशिक विभेदक समीकरण है और विलक्षणता विकसित नहीं करता है (जब समय में आगे बढ़ता है)। सामान्य रूप से औसत वक्रता प्रवाह के तहत विलक्षणताओं को रोकने के लिए सतह पर अतिरिक्त बाधाओं को लगाने की आवश्यकता होती है। प्रत्येक चिकनी उत्तल सतह अन्य विलक्षणताओं के बिना, माध्य-वक्रता प्रवाह के तहत एक बिंदु पर गिर जाती है, और एक गोले के आकार में परिवर्तित हो जाती है। दो या दो से अधिक आयाम वाली सतहों के लिए यह गेरहार्ड हुइस्केन की एक प्रमेय है; एक-आयामी वक्र-लघु प्रवाह के लिए यह गेज-हैमिल्टन-ग्रेसन प्रमेय है। हालांकि, गोले के अलावा दो या दो से अधिक आयामों की अंतःस्थापित सतहें मौजूद हैं जो एंजिनेंट टोरस सहित माध्य-वक्रता प्रवाह के तहत एक बिंदु तक सिकुड़ते हुए स्व-समान रहती हैं। उदाहरण-एम-आयामी क्षेत्रों का औसत वक्रता प्रवाह औसत वक्रता प्रवाह का एक सरल उदाहरण केंद्रित गोल अतिगोलों के एक परिवार द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या के एक आयामी गोले की औसत वक्रता है। गोले की घूर्णन समरूपता के कारण (या सामान्य रूप से, सममितियों के तहत माध्य वक्रता की अपरिवर्तनीयता के कारण) माध्य वक्रता प्रवाह समीकरण त्रिज्या के प्रारंभिक गोले के लिए साधारण विभेदक समीकरण में कम हो जाता है, इस ODE का समाधान (प्राप्त, उदाहरण के लिए, चरों के पृथक्करण द्वारा) है, जो इसके लिए मौजूद है। संदर्भ। .. .. विशेष रूप से समीकरण 3a और 3b देखें। ज्यामितीय प्रवाह विभेदक ज्यामिति