Classical probability density
शास्त्रीय संभाव्यता घनत्व संभाव्यता घनत्व फलन है जो एक शास्त्रीय यांत्रिक प्रणाली में स्थितिज ऊर्जा के अधीन एक निश्चित स्थान के आसपास एक कण को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है। ये संभाव्यता घनत्व पत्राचार सिद्धांत में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने और अध्ययन के तहत क्वांटम प्रणाली और शास्त्रीय सीमा के बीच संबंध बनाने में सहायक हैं। गणितीय पृष्ठभूमि एक सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर के उदाहरण पर विचार करें जो शुरू में आयाम के साथ स्थिर रहता है। मान लीजिए कि इस प्रणाली को एक हल्के तंग पात्र के अंदर रखा गया था ताकि कोई इसे केवल एक कैमरे का उपयोग करके देख सके जो केवल एक स्नैपशॉट ले सके कि अंदर क्या हो रहा है। प्रत्येक स्नैपशॉट में ऑसिलेटर को उसके प्रक्षेपवक्र के साथ किसी भी संभावित स्थिति में देखने की कुछ संभावना होती है। शास्त्रीय संभाव्यता घनत्व किस स्थिति की अधिक संभावना है, जिसकी संभावना कम है, प्रणाली की औसत स्थिति आदि को समाहित करता है। इस कार्य को प्राप्त करने के लिए, इस तथ्य पर विचार करें कि जिन स्थानों पर ऑसिलेटर के पाए जाने की सबसे अधिक संभावना है, वे वे स्थान हैं जिन पर ऑसिलेटर अपना अधिकांश समय बिताता है। वास्तव में, किसी दिए गए मूल्य पर होने की संभावना उस मूल्य के आसपास बिताए गए समय के समानुपाती होती है। यदि ऑसिलेटर किसी दिए गए-मान के आसपास एक असीम समय बिताता है, तो उस आसपास होने की संभावना होगी क्योंकि ऑसिलेटर पर कार्य करने वाला बल रूढ़िवादी है और गति एक सीमित क्षेत्र पर होती है, गति कुछ अवधि के साथ चक्रीय होगी जिसे दर्शाया जाएगा। चूँकि ऑसिलेटर के न्यूनतम संभव-मान और अधिकतम संभव-मान के बीच किसी भी संभावित स्थिति में होने की संभावना का योग 1 होना चाहिए, इसलिए सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है, जहाँ सामान्यीकरण स्थिरांक होता है। चूँकि दोलन द्रव्यमान अपनी आधी अवधि में स्थितियों की इस सीमा को कवर करता है (एक पूरी अवधि तब से वापस जाती है) समाकलन ओवर के बराबर होता है, जो होने के लिए सेट होता है। श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, उस ऊंचाई के संदर्भ में रखा जा सकता है जिस पर द्रव्यमान टिका हुआ है, इसलिए हमारा प्रायिकता घनत्व बन जाता है जहां ऑसिलेटर की गति उसकी स्थिति के एक कार्य के रूप में होती है। (ध्यान दें कि क्योंकि गति एक अदिश है, दोनों अर्ध अवधियों के लिए समान है।) इस बिंदु पर, जो कुछ भी आवश्यक है वह प्राप्त करने के लिए एक कार्य प्रदान करना है। रूढ़िवादी बलों के अधीन प्रणालियों के लिए, यह गति को ऊर्जा से संबंधित करके किया जाता है। चूँकि गतिज ऊर्जा है और कुल ऊर्जा, प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा कहाँ है, गति को उपज के लिए हमारी अभिव्यक्ति में प्लग करने के रूप में लिखा जा सकता है हालांकि हमारा प्रारंभिक उदाहरण हार्मोनिक ऑसिलेटर था, इस बिंदु तक का सारा गणित एक कण के लिए पूरी तरह से सामान्य रहा है जो एक रूढ़िवादी बल के अधीन है। इस सूत्र को किसी भी एक-आयामी भौतिक प्रणाली के लिए संबंधित स्थितिज ऊर्जा फलन को जोड़कर सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक बार ऐसा करने के बाद, किसी भी अनुमत ऊर्जा के लिए आसानी से प्राप्त किया जाता है। सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर के उदाहरण उपरोक्त व्युत्पत्ति में उपयोग किए गए उदाहरण से शुरू करते हुए, सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर में संभावित ऊर्जा कार्य होता है जहां ऑसिलेटर का स्प्रिंग स्थिरांक होता है और ऑसिलेटर की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति होती है। दोलक की कुल ऊर्जा मोड़ बिंदुओं पर मूल्यांकन करके दी जाती है। उपज के लिए अभिव्यक्ति में इसे जोड़ना इस कार्य में मोड़ बिंदुओं पर दो ऊर्ध्वाधर एसिम्प्टोट्स होते हैं, जो भौतिक रूप से समझ में आता है क्योंकि मोड़ बिंदु वे हैं जहां ऑसिलेटर आराम में होता है, और इस प्रकार उन मूल्यों के आसपास पाए जाने की सबसे अधिक संभावना है। ध्यान दें कि भले ही प्रायिकता घनत्व फलन अनंत की ओर जाता है, लेकिन प्रायिकता अभी भी वक्र के नीचे के क्षेत्र के कारण सीमित है, न कि वक्र के कारण, जो प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। उछलती हुई गेंद हानिरहित उछलती हुई गेंद के लिए, स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा वे हैं जहाँ गेंद अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है। इन्हें पैदावार में जोड़कर जहां संबंध का उपयोग कारकों को सरल बनाने के लिए किया गया था। इस फलन का क्षेत्र है (गेंद फर्श के माध्यम से नहीं गिरती है), इसलिए वितरण सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर के मामले में सममित नहीं है। फिर से, मोड़ बिंदु पर एक ऊर्ध्वाधर एसिम्प्टोट है। गति-स्थान वितरण स्थिति स्थान में संभाव्यता वितरण को देखने के अलावा, इसकी गति के आधार पर एक प्रणाली को चिह्नित करना भी सहायक है। ऊपर दिए गए समान तर्क के बाद, परिणाम यह है कि कण पर स्थिति के फलन के रूप में कार्य करने वाला बल कहाँ है। व्यवहार में, इस फलन को चरों के परिवर्तन द्वारा संवेग के संदर्भ में रखा जाना चाहिए। सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर उपरोक्त सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर का उदाहरण लेते हुए, स्थितिज ऊर्जा और बल को प्रणाली की अधिकतम गति के रूप में पहचान के रूप में लिखा जा सकता है, यह ध्यान रखना सरल बनाता है कि इसका कार्यात्मक रूप स्थिति-स्थान संभाव्यता वितरण के समान है। यह सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर की समस्या के लिए विशिष्ट है और गति के समीकरणों में और के बीच समरूपता के कारण उत्पन्न होता है। उछलती हुई गेंद का उदाहरण अधिक सीधा है, क्योंकि इस मामले में बल एक स्थिरांक है, जिसके परिणामस्वरूप संभाव्यता घनत्व फलन होता है जहाँ गेंद की अधिकतम गति होती है। इस प्रणाली में, सभी क्षण समान रूप से संभावित हैं। संभाव्यता घनत्व कार्य पत्राचार सिद्धांत शास्त्रीय सीमा तरंग कार्य संदर्भ भौतिकी में अवधारणाएँ शास्त्रीय यांत्रिकी सैद्धांतिक भौतिकी