Serial relation
समुच्चय सिद्धांत में एक क्रमिक संबंध एक सजातीय संबंध है जो एक अनुक्रम के तत्व के संबंध को निम्नलिखित तत्व से व्यक्त करता है। पीनो द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला उत्तराधिकारी कार्य एक क्रमिक संबंध के लिए प्रोटोटाइप है। बर्ट्रेंड रसेल ने द प्रिंसिपल्स ऑफ मैथेमैटिक्स (1903) में क्रम संबंधों का उपयोग किया क्योंकि उन्होंने क्रम सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों की नींव की खोज की थी। क्रमिक संबंध शब्द का उपयोग बी द्वारा भी किया गया था। ए. बर्नस्टीन एक लेख के लिए जो दर्शाता है कि क्रम सिद्धांत में विशेष सामान्य स्वयंसिद्ध लगभग असंगत हैंः जुड़ाव, अपरिवर्तनीयता और पारगमनशीलता। एक क्रमिक संबंध आर एक समुच्चय यू पर एक अंतर्वेशन है। जैसा कि रसेल ने कहा है, जहाँ सार्वभौमिक और अस्तित्वगत परिमापक यू को संदर्भित करते हैं। संबंधों की समकालीन भाषा में, यह गुण कुल संबंध को परिभाषित करता है। लेकिन कुल संबंध विषम हो सकता है। धारावाहिक संबंध ऐतिहासिक रुचि के हैं। एक संबंध R के लिए, मान लीजिए कि {y: xRy} x के "उत्तराधिकारी पड़ोस" को दर्शाता है। एक क्रमिक संबंध को समान रूप से एक ऐसे संबंध के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसके लिए प्रत्येक तत्व का एक गैर-खाली उत्तराधिकारी पड़ोस होता है। इसी तरह, एक व्युत्क्रम क्रमिक संबंध एक ऐसा संबंध है जिसमें प्रत्येक तत्व का गैर-खाली "पूर्ववर्ती पड़ोस" होता है। सामान्य मोडल तर्क में, क्रमिक गुण द्वारा मौलिक स्वयंसिद्ध सेट K का विस्तार स्वयंसिद्ध सेट D में परिणाम देता है। रसेल की श्रृंखला संबंधों का उपयोग गणित के सिद्धांतों में श्रृंखला विकसित करने के लिए किया जाता है। प्रोटोटाइप प्राकृतिक संख्याओं पर एक-एक संबंध के रूप में पीनो का उत्तराधिकारी कार्य है। रसेल की श्रृंखला परिमित हो सकती है या चक्रीय क्रम देने वाले संबंध से उत्पन्न हो सकती है। उस स्थिति में, विवरण के लिए बिंदु-जोड़ी पृथक्करण संबंध का उपयोग किया जाता है। एक प्रगति को परिभाषित करने के लिए, उसे उत्पन्न करने वाले संबंध को एक जुड़े हुए संबंध की आवश्यकता होती है। फिर क्रमिक संख्याएँ प्रगति से प्राप्त होती हैं, परिमित संख्याएँ परिमित क्रमिक होती हैं। खुली और बंद श्रृंखलाओं को अलग करने से कुल चार क्रम होते हैंः परिमित, एक छोर, कोई अंत और खुला नहीं, और कोई अंत और बंद नहीं। अन्य लेखकों के विपरीत, रसेल नकारात्मक आदेशों को स्वीकार करते हैं। प्रेरणा के लिए, वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके माप के तराजू पर विचार करें, जहां दस की शक्ति माप के एक दशक का प्रतिनिधित्व करती है। अनौपचारिक रूप से, यह पैरामीटर भौतिक इकाइयों की मात्रा निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले परिमाण के क्रम से मेल खाता है। पैरामीटर नकारात्मक के साथ-साथ सकारात्मक मूल्यों को भी लेता है। स्ट्रेच रसेल ने स्ट्रेच शब्द को माइनॉन्ग से अपनाया, जिन्होंने दूरी के सिद्धांत में योगदान दिया था। स्ट्रेच एक श्रृंखला में दो बिंदुओं के बीच मध्यवर्ती शब्दों को संदर्भित करता है, और "शब्दों की संख्या पूरे की दूरी और विभाज्यता को मापती है"। माइनॉन्ग की व्याख्या करने के लिए, रसेल केले-क्लेन मीट्रिक को संदर्भित करता है, जो अनहार्मोनिक अनुपात में खिंचाव निर्देशांक का उपयोग करता है जो लघुगणक का उपयोग करके दूरी निर्धारित करता है। संदर्भ बाहरी लिंक यहाँः पृष्ठ 416.. द्विआधारी संबंध क्रम सिद्धांत