Ideal (set theory)
समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक आदर्श समुच्चय का आंशिक रूप से क्रमबद्ध संग्रह है जिसे "छोटा" या "नगण्य" माना जाता है। आदर्श के तत्व के प्रत्येक उपसमुच्चय को भी आदर्श में होना चाहिए (यह इस विचार को संहिताबद्ध करता है कि एक आदर्श क्षुद्रता की धारणा है), और आदर्श के किसी भी दो तत्वों का मिलन भी आदर्श में होना चाहिए। अधिक औपचारिक रूप से, एक सेट को दिए जाने पर एक आइडियल ऑन इस तरह के पावरसेट का एक गैर-खाली सबसेट है किः यदि और फिर और यदि फिर तो कुछ लेखक एक चौथी शर्त जोड़ते हैं जो स्वयं में नहीं है; इस अतिरिक्त गुण वाले आइडियल को कहा जाता है। सेट-थियोरेटिक अर्थ में आदर्श क्रम-थियोरेटिक अर्थ में बिल्कुल आदर्श हैं, जहां प्रासंगिक क्रम सेट समावेशन है। इसके अलावा, वे अंतर्निहित सेट के पावरसेट द्वारा बनाई गई बूलियन रिंग पर रिंग-सैद्धांतिक अर्थ में बिल्कुल आदर्श हैं। एक आदर्श की दोहरी धारणा एक फिल्टर है। शब्दावली एक आदर्श के तत्व को या, या सरलता से कहा जाता है या यदि आदर्श को संदर्भ से समझा जाता है। यदि एक आदर्श है तो एक उपसमुच्चय को (या न्यायपूर्ण) कहा जाता है यदि यह सभी सकारात्मक उपसमुच्चय का एक तत्व है। आदर्शों के उदाहरण सामान्य उदाहरण किसी भी समुच्चय के लिए और किसी भी मनमाने ढंग से चुने गए उपसमुच्चय के लिए एक आदर्श के रूप में उपसमुच्चय परिमित के लिए सभी आदर्श इस रूप के होते हैं। किसी भी समुच्चय के परिमित उपसमुच्चय एक आदर्श बनाते हैं किसी भी माप स्थान के लिए, माप शून्य के समुच्चय के उपसमुच्चय। किसी भी माप स्थान के लिए, सीमित माप के सेट। इसमें परिमित उपसमुच्चय (गणना माप का उपयोग करते हुए) और नीचे दिए गए छोटे समुच्चय शामिल हैं। एक समूह पर एक जन्मविज्ञान एक आदर्श है जो उपसमुच्चय के एक गैर-खाली परिवार को शामिल करता है, यह एक उचित आदर्श है यदि और केवल तभी जब इसे एक उचित फिल्टर पर दर्शाया और परिभाषित किया जाता है (एक फिल्टर तब होता है जब यह इसके बराबर नहीं होता है)। पावर सेट का डुअल ही है; अर्थात, इस प्रकार एक गैर-खाली परिवार एक आदर्श है यदि और केवल तभी जब इसका डुअल एक डुअल आदर्श है (जो परिभाषा के अनुसार या तो पावर सेट है या फिर एक उचित फिल्टर है)। प्राकृतिक संख्याओं पर आदर्श प्राकृतिक संख्याओं के सभी परिमित समुच्चयों के आदर्श को फिन कहा जाता है। प्राकृतिक संख्याओं पर, प्राकृतिक संख्याओं के सभी सेटों का संग्रह इस तरह से दर्शाया जाता है कि योग परिमित है। छोटा समूह देखें। प्राकृतिक संख्याओं पर, प्राकृतिक संख्याओं के सभी सेटों का संग्रह इस तरह से दर्शाया जाता है कि उससे कम प्राकृतिक संख्याओं का अंश शून्य हो जाता है क्योंकि अनंत की ओर जाता है। (अर्थात, का असिम्प्टोटिक घनत्व शून्य है।) वास्तविक संख्याओं पर आदर्श वास्तविक संख्याओं के सभी समूहों का संग्रह है जैसे कि लेबस्ग्यू का माप शून्य है। यह वास्तविक संख्याओं के सभी अल्प समुच्चयों का संग्रह है। अन्य समुच्चयों पर आदर्श यदि अनगिनत को-फाइनलिटी की एक क्रमिक संख्या है, तो ऑन उन सभी उपसमुच्चयों का संग्रह है जो स्थिर समुच्चयों नहीं हैं। इस आदर्श का डब्ल्यू. ह्यूग वुडिन द्वारा व्यापक अध्ययन किया गया है। आदर्शों पर संचालन दिए गए आदर्शों और अंतर्निहित समुच्चयों पर और क्रमशः, कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद निम्नानुसार बनता हैः किसी भी सबसेट के लिए, उत्पाद आदर्श में एक सेट नगण्य है यदि केवल-निर्देशांक का एक नगण्य संग्रह-दिशा में एक गैर-नगण्य टुकड़े के अनुरूप है। (शायद अधिक स्पष्टः एक सेट उत्पाद आदर्श में है यदि सकारात्मक रूप से कई-निर्देशांक सकारात्मक टुकड़ों के अनुरूप हैं।) एक समुच्चय पर एक आदर्श एक समतुल्यता संबंध को (के उपसमुच्चय के लिए) के पावरसेट पर विचार करने और समतुल्य होने के लिए प्रेरित करता है यदि और केवल तभी जब सममित अंतर और का एक तत्व हो। इस समतुल्यता संबंध का भागफल एक बूलियन बीजगणित है, जिसे दर्शाया जाता है ("मॉड का पी" पढ़ें)। प्रत्येक आइडियल के लिए एक संबंधित फिल्टर होता है, जिसे इसका कहा जाता है। यदि एक आदर्श चालू है, तो का दोहरा फ़िल्टर सभी सेटों का संग्रह है जहाँ का एक तत्व है। (यहाँ के सापेक्ष पूरक को दर्शाता है; अर्थात, सभी तत्वों का संग्रह जिसमें हैं)। आदर्शों के बीच संबंध यदि और क्रमशः आदर्श हैं, और हैं यदि वे एक ही आदर्श हैं, सिवाय उनके अंतर्निहित समुच्चयों के तत्वों के नाम बदलने के (नगण्य समुच्चयों को नजरअंदाज करते हुए)। अधिक औपचारिक रूप से, आवश्यकता यह है कि और के समूह और तत्व क्रमशः हों, और एक बाइजेक्शन ऐसा हो कि किसी भी सबसेट के लिए यदि और केवल यदि नीचे की छवि रुडिन-कीस्लर समरूप है, तो और बूलियन बीजगणित के रूप में समरूप हैं। आदर्शों के रुडिन-कीस्लर समरूपता द्वारा प्रेरित भागफल बूलियन बीजगणित के समरूपता को कहा जाता है। यह भी देखें संदर्भ सेट सिद्धांत