The Fifty-Nine Icosahedra
द फिफ्टी-नाइन इकोसाहेद्रा एच. एस. एम. कॉक्सेटर, पी. डू वैल, एच. टी. फ्लैदर और जे. एफ. पेट्री द्वारा लिखित और सचित्र एक पुस्तक है। जे. सी. पी. मिलर द्वारा रखे गए नियमों के एक समूह के अनुसार, यह नियमित उत्तल या प्लेटोनिक आइकोसाहेड्रॉन के कुछ स्तंभों की गणना करता है। पहली बार 1938 में टोरंटो विश्वविद्यालय द्वारा प्रकाशित, 1982 में स्प्रिंगर-वेरलैग द्वारा दूसरा संस्करण पुनर्मुद्रण किया गया। तारक्विन के 1999 के तीसरे संस्करण में के. और डी. क्रेनेल की नई संदर्भ सामग्री और तस्वीरें शामिल थीं। लेखकों के योगदान मिलर के नियम हालांकि मिलर ने सीधे पुस्तक में योगदान नहीं दिया, वे कॉक्सेटर और पेट्री के करीबी सहयोगी थे। किन तारामंडल रूपों को "उचित रूप से महत्वपूर्ण और विशिष्ट" माना जाना चाहिए, यह परिभाषित करने के लिए उनके नियमों के सेट में उनका योगदान अमर हैः (i) चेहरे बीस समतलों में होने चाहिए, अर्थात, नियमित आईकोसाहेड्रॉन के सीमा तल। (ii) चेहरों की रचना करने वाले सभी भाग प्रत्येक तल में समान होने चाहिए, हालांकि वे काफी डिस्कनेक्ट हो सकते हैं। (iii) किसी भी एक तल में शामिल भागों में परावर्तन के बिना या प्रतिबिंब के साथ त्रिकोणीय समरूपता होनी चाहिए। यह पूरे ठोस के लिए आइकोसाहेड्रल समरूपता को सुरक्षित करता है। (iv) किसी भी तल में शामिल सभी भाग पूर्ण ठोस में "सुलभ" होने चाहिए (अर्थात। वे "बाहर" पर होने चाहिए। कुछ मामलों में हमें बाहर से देखने के लिए विशाल आकार के मॉडलों की आवश्यकता होनी चाहिए। साधारण आकार के मॉडल के साथ, "बाहरी" के कुछ हिस्सों को केवल एक रेंगने वाले कीट द्वारा खोजा जा सकता है)। (v) हम ऐसे मामलों को विचार से बाहर करते हैं जहां भागों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान समरूपता के साथ एक ठोस देता है। लेकिन हम एक एनांटिओमोर्फस जोड़ी के संयोजन की अनुमति देते हैं जिसका कोई सामान्य भाग नहीं होता है (जो वास्तव में केवल एक मामले में होता है)। नियम (i) से (iii) मुख तलों के लिए समरूपता आवश्यकताएँ हैं। नियम (iv) में दफन छिद्रों को शामिल नहीं किया गया है, ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि कोई भी दो स्टेलेशन बाहरी रूप से समान न दिखें। नियम (v) सरल स्टेलेशन के किसी भी असंबद्ध यौगिक को रोकता है। कॉक्सेटर कॉक्सेटर इस काम के पीछे मुख्य प्रेरक शक्ति थे। उन्होंने मिलर के नियमों के आधार पर मूल विश्लेषण किया, जिसमें संयोजन और अमूर्त ग्राफ सिद्धांत जैसी कई तकनीकों को अपनाया गया, जिनका ज्यामितीय संदर्भ में उपयोग तब नया था। उन्होंने देखा कि तारांकन आरेख में कई रेखा खंड शामिल हैं। इसके बाद उन्होंने मिलर के नियमों के तहत अनुमत संयोजनों की औपचारिक रूप से गणना करने के लिए आस-पास के समतल क्षेत्रों के संयोजनों में हेरफेर करने के लिए प्रक्रियाएं विकसित कीं। उनका ग्राफ, यहाँ पुनः प्रस्तुत किया गया है, जो तारांकन आरेख (नीचे देखें) में पहचाने गए विभिन्न चेहरों की कनेक्टिविटी को दर्शाता है। यूनानी प्रतीक संभावित विकल्पों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैंः λ 3 या 4 μ हो सकता है 7 या 8 ν हो सकता है 11 या 12 डु वैल डु वैल ने इस अवलोकन के आधार पर कि वे मूल आइकोसाहेड्रॉन के आसपास "कोश" में स्थित हैं, सर्वांगत कोशिकाओं के समुच्चय की पहचान करने के लिए एक प्रतीकात्मक संकेतन तैयार किया। इसके आधार पर उन्होंने मिलर के नियमों के खिलाफ सभी संभावित संयोजनों का परीक्षण किया, जिससे कॉक्सेटर के अधिक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के परिणाम की पुष्टि हुई। फ्लैदर फ्लैदर का योगदान अप्रत्यक्ष थाः उन्होंने सभी 59 के कार्ड मॉडल बनाए। जब वे पहली बार कॉक्सेटर से मिले तो उन्होंने पहले ही कई स्टेलेशन बना लिए थे, जिनमें कुछ "गैर-मिलर" उदाहरण शामिल थे। उन्होंने उनतालीस की श्रृंखला पूरी की, जो कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय, इंग्लैंड के गणित पुस्तकालय में संरक्षित हैं। पुस्तकालय में कुछ गैर-मिलर मॉडल भी हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि ये फ्लैदर द्वारा बनाए गए थे या मिलर के बाद के छात्रों द्वारा। पेट्री जॉन फ्लिंडर्स पेट्री कॉक्सेटर की आजीवन मित्र थीं और उनमें चार आयामी ज्यामिति की कल्पना करने की उल्लेखनीय क्षमता थी। उन्होंने और कॉक्सेटर ने कई गणितीय समस्याओं पर एक साथ काम किया था। उनतालीस आईकोसाहेद्रा में उनका प्रत्यक्ष योगदान त्रि-आयामी चित्रों का उत्कृष्ट समूह था जो प्रकाशित कार्य का अधिकांश आकर्षण प्रदान करता है। द क्रेनेल्स फॉर द थर्ड एडिशन, केट और डेविड क्रेनेल ने पाठ को रीसेट किया और आरेखों को फिर से बनाया। उन्होंने एक संदर्भ खंड भी जोड़ा जिसमें टेबल, आरेख और कैम्ब्रिज के कुछ मॉडलों की तस्वीरें थीं (जो उस समय सभी फ्लैदर की मानी जाती थीं)। इस संस्करण के सुधार ऑनलाइन प्रकाशित किए गए हैं। कॉक्सेटर से पहले 59 आइकोसाहेड्रा की सूची, केवल ब्रूकनर और व्हीलर ने स्टेलेशन के किसी भी महत्वपूर्ण सेट को दर्ज किया था, हालांकि महान आइकोसाहेड्रॉन जैसे कुछ लंबे समय से जाने जाते थे। द 59 के प्रकाशन के बाद से, वेनिंगर ने कुछ के मॉडल बनाने के निर्देश प्रकाशित किए; उनकी पुस्तक में उपयोग की जाने वाली संख्या योजना व्यापक रूप से संदर्भित हो गई है, हालांकि उन्होंने केवल कुछ स्टेलेशन दर्ज किए हैं। सूची सूचकांक संख्या पर नोट क्रेनेल हैं जब तक कि अन्यथा नहीं कहा गया हैः क्रेनेल क्रेनेल द्वारा तीसरे संस्करण में जोड़े गए सूचकांक संख्या में, पहले 32 रूप (सूचकांक 1-32) प्रतिबिंबीत मॉडल हैं, और अंतिम 27 (सूचकांक 33-59) केवल दाहिने हाथ के रूपों के साथ किराल हैं। यह उस क्रम का अनुसरण करता है जिसमें पुस्तक में स्तंभों को चित्रित किया गया है। डु वैल के संकेतन में, प्रत्येक खोल को बोल्ड प्रकार में पहचाना जाता है, जो मूल आइकोसाहेड्रॉन होने के साथ ए, बी, सी, एच के रूप में बाहर की ओर काम करता है। कुछ कोश दो प्रकार की कोशिकाओं में विभाजित होते हैं, उदाहरण के लिए ई में ई1 और ई2 होते हैं। सेट एफ1 आगे दाएँ और बाएं हाथ के रूपों में विभाजित होता है, क्रमशः एफ1 (सादा प्रकार) और एफ1 (इटैलिक)। जहाँ एक तारामंडल में बाहरी खोल के भीतर सभी कोशिकाएँ मौजूद होती हैं, बाहरी खोल को बड़ा अक्षर दिया जाता है और आंतरिक को छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए a + b + c + e1 को Ce1 के रूप में लिखा जाता है। चेहरे सभी स्टेलेशन को एक स्टेलेशन आरेख द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। यहाँ दिखाए गए आरेख में, क्रमांकित रंग तारांकन आरेख के क्षेत्रों को इंगित करते हैं जो एक समूह के रूप में एक साथ होने चाहिए, यदि पूर्ण आईकोसाहेड्रल समरूपता बनाए रखी जानी है। आरेखमे एहन 13 गोट अछि। इनमें से कुछ कायरल जोड़े (नहीं दिखाए गए) में उपविभाजित होते हैं, जो घूर्णन के साथ स्टेलेशन की अनुमति देते हैं लेकिन रिफ्लेक्सिव समरूपता नहीं। तालिका में, जो चेहरे नीचे से देखे जाते हैं, उन्हें एक एपोस्ट्रोफी द्वारा इंगित किया जाता है, उदाहरण के लिए 3। वेन्निंगर की पुस्तक पॉलीहेड्रॉन मॉडल में उनकी घटना के अनुसार अनुक्रमणिका संख्या और क्रमांकित नामों को वेन्निंगर के प्रकाशक द्वारा मनमाने ढंग से आवंटित किया गया था और इसका किसी भी गणितीय अनुक्रम से कोई संबंध नहीं है। उनके कुछ ही मॉडल आइकोसाहेद्रा के थे। उनके नाम संक्षिप्त रूप में दिए गए हैं, जिसमें ". ऑफ द आइकोसाहेड्रन" छोड़ दिया गया है। व्हीलर ने तारांकन आरेख से रेखा खंडों का चयन करके अपनी आकृतियों, या आइकोसाहेड्रॉन के "रूपों" को पाया। उन्होंने सावधानीपूर्वक इसे केपलर की शास्त्रीय तारांकन प्रक्रिया से अलग किया। कॉक्सेटर एट अल। इस भेद को नजरअंदाज कर दिया और उन सभी को स्टेलेशन के रूप में संदर्भित किया। ब्रुकनर मैक्स ब्रुकनर ने कई पॉलीहेड्रा के मॉडल बनाए और उनकी तस्वीरें लीं, जिनमें से केवल कुछ ही आइकोसाहेड्रा थे। ताफ. यह ताफेल का एक संक्षिप्त नाम है, प्लेट के लिए जर्मन। टिप्पणी नं. 8 को कभी-कभी स्पाइनी एंटीटर या इकिडना के साथ एक काल्पनिक समानता के बाद इकिडनाहेड्रॉन कहा जाता है। यह उपयोग केप्लर द्वारा अपने नियमित तारा पॉलीहेड्रा को अपने इकिडने के रूप में वर्णित करने से स्वतंत्र है। उनतालीस आइकोसाहेड्रा की तालिका कुछ छवियाँ एफ1 कोशिका के बजाय एफ1 के साथ दर्पण-छवि आइकोसाहेड्रॉन को दर्शाती हैं। वेन्निंगर पॉलीहेड्रॉन मॉडल की सूची भी देखें-वेन्निंगर की पुस्तक पॉलीहेड्रॉन मॉडल में इनमें से 21 स्टेलेशन शामिल थे। आइकोसाहेड्रल समरूपता के साथ ठोस नोट्स संदर्भ ब्रुकनर, मैक्स (1900)। विज्ञान और प्रौद्योगिकीः सिद्धांत और दृष्टिकोण। लीपज़िगः बी. जी. ट्रेबनर। .. वर्ल्डकैट अंग्रेजीः बहुभुज और बहुफलकः सिद्धांत और इतिहास। मॉडलों की तस्वीरेंः टाफेल VIII (प्लेट VIII), आदि। हाई रेस। स्कैन करें। एच. एस. एम. कॉक्सेटर, पैट्रिक डू वैल, एच. टी. फ्लेदर, जे. एफ. पेट्री (1938) द फिफ्टी-नाइन इकोसाहेद्रा, टोरंटो विश्वविद्यालय अध्ययन, गणितीय श्रृंखला 6:1-26। तीसरा संस्करण (1999) तारक्विन वेनिंगर, मैग्नस जे। (1983) पॉलीहेड्रॉन मॉडल; कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, पेपरबैक संस्करण (2003)। .. ए. एच. व्हीलर (1924) "आइकोसाहेड्रॉन के कुछ रूप और उच्च पॉलीहेड्रा को प्राप्त करने और नामित करने के लिए एक विधि", प्रोसीडिंग्स ऑफ द इंटरनेशनल कांग्रेस ऑफ मैथेमैटिशंस, टोरंटो, वॉल्यूम। 1, पीपी 701-708। बाहरी लिंक आइकोसाहेड्रॉन के उदाहरण स्टेलेशन आइकोसाहेड्रॉन जॉर्ज हार्ट के नियमित आइकोसाहेड्रॉन स्टेलेशन के 59 स्टेलेशन, आइकोसाहेड्रॉन के 59 स्टेलेशन-वीआरएमएल 3डी फाइलें। पॉलीहेड्रल स्टेलेशन गणित पुस्तकें