Erdős–Diophantine graph
एक एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ डायोफैंटाइन समीकरणों के गणितीय विषय में एक वस्तु है जिसमें तल में पूर्णांक दूरी पर पूर्णांक बिंदुओं का एक समूह होता है जिसे किसी भी अतिरिक्त बिंदु द्वारा बढ़ाया नहीं जा सकता है। समान रूप से, ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत में, इसे पूर्णांक वर्ग ग्रिड पर स्थित शीर्षों के साथ एक पूर्ण ग्राफ के रूप में वर्णित किया जा सकता है जैसे कि शीर्षों के बीच सभी पारस्परिक दूरी पूर्णांक हों, जबकि अन्य सभी ग्रिड बिंदुओं में कम से कम एक शीर्ष के लिए एक गैर-पूर्णांक दूरी हो। एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ का नाम अलेक्जेंड्रिया के पॉल एर्डोस और डायोफैंटस के नाम पर रखा गया है। वे डायोफैंटाइन आकृतियों के समूह का एक उपसमुच्चय बनाते हैं, जिन्हें डायोफैंटाइन तल में पूर्ण ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए सभी किनारों की लंबाई पूर्णांक (इकाई दूरी ग्राफ) होती है। इस प्रकार, एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ बिल्कुल डायोफैंटाइन के आंकड़े हैं जिन्हें बढ़ाया नहीं जा सकता है। एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ का अस्तित्व एर्डोस-एनिंग प्रमेय से मिलता है, जिसके अनुसार अनंत डायोफैंटाइन आंकड़े डायोफैंटाइन तल में समरेखीय होने चाहिए। इसलिए, शीर्ष जोड़कर एक गैर-संरेखीय डायोफैंटाइन आकृति का विस्तार करने की किसी भी प्रक्रिया को अंततः एक ऐसे आंकड़े तक पहुंचना चाहिए जिसे अब बढ़ाया नहीं जा सकता है। उदाहरण शून्य या एक बिंदु के किसी भी सेट को मामूली रूप से बढ़ाया जा सकता है, और दो बिंदुओं के किसी भी डायोफैंटाइन सेट को एक ही रेखा पर अधिक बिंदुओं द्वारा बढ़ाया जा सकता है। इसलिए, तीन से कम नोड्स वाले सभी डायोफैंटाइन सेटों को बढ़ाया जा सकता है, इसलिए तीन से कम नोड्स पर एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ मौजूद नहीं हो सकते हैं। संख्यात्मक खोज से पता चला है कि तीन-नोड एर्दोस-डायोफैंटाइन ग्राफ मौजूद हैं। सबसे छोटे एर्दोस-डायोफैंटाइन त्रिभुज की धार लंबाई 2066,1803 और 505 है। अगले बड़े एर्दोस-डायोफैंटाइन त्रिभुज के किनारे 2549,2307 और 1492 हैं। दोनों ही मामलों में, तीन किनारों की लंबाई का योग सम है। ब्रांचेवा ने साबित किया है कि यह गुण सभी एर्दोस-डायोफैंटाइन त्रिकोणों के लिए है। अधिक आम तौर पर, एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ में किसी भी बंद पथ की कुल लंबाई हमेशा सम होती है। 4-नोड एर्दोस-डायोफैंटाइन ग्राफ का एक उदाहरण 4 और 3 भुजाओं वाले एक आयत के शीर्षों पर स्थित चार नोड्स द्वारा बनाए गए पूर्ण ग्राफ द्वारा प्रदान किया जाता है। संदर्भ डायोफैंटाइन ग्राफ डायोफैंटाइन समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति असतत ज्यामिति ज्यामितीय ग्राफ समतल ज्यामिति की अंकगणितीय समस्याएं