Subnet (mathematics)
टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक सबनेट जाल के मामले में बाद की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। नेट्स के लिए "अनुक्रम" का एनालॉग "सबनेट" की धारणा है। परिभाषा पूरी तरह से सीधी नहीं है, लेकिन बाद के बारे में अधिक से अधिक प्रमेयों को यथासंभव जाल में सामान्यीकृत करने की अनुमति देने के लिए डिज़ाइन की गई है। "सबनेट" की तीन गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं। सबनेट की पहली परिभाषा 1955 में जॉन एल. केली द्वारा पेश की गई थी और बाद में, स्टीफन विलार्ड ने 1970 में केली की परिभाषा का अपना (गैर-समतुल्य) संस्करण पेश किया। विलार्ड के अर्थ में सबनेट और केली के अर्थ में सबनेट "सबनेट" की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली परिभाषाएँ हैं, लेकिन वे प्रत्येक "अधीनस्थ फ़िल्टर" की अवधारणा के बराबर हैं, जो फ़िल्टर के लिए "अनुक्रम" का अनुरूप है (वे इस अर्थ में समकक्ष नहीं हैं कि ऐसे अधीनस्थ फ़िल्टर मौजूद हैं जिनके फ़िल्टर/अधीनस्थ-फ़िल्टर संबंध को संबंधित नेट/सबनेट संबंध के संदर्भ में वर्णित नहीं किया जा सकता है)। "सबनेट" की तीसरी परिभाषा (केली या विलार्ड द्वारा दी गई परिभाषा के बराबर नहीं) जो "अधीनस्थ फिल्टर" की अवधारणा के बराबर है, स्माइली (1957), आर्नेस और एंडनेस (1972), मुर्देश्वर (1983) और संभवतः अन्य लोगों द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश की गई थी, हालांकि इसका अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है। इस लेख में विलार्ड के कारण की गई परिभाषा पर चर्चा की गई है (अन्य परिभाषाओं का वर्णन लेख फिल्टर में topology#Subnets में किया गया है)। परिभाषाएँ "सबनेट" की कई अलग-अलग गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं और यह लेख स्टीफन विलार्ड द्वारा 1970 में शुरू की गई परिभाषा का उपयोग करेगा, जो इस प्रकार हैः यदि और क्रमशः निर्देशित सेटों से एक सेट में नेट हैं, तो इसे (या ए) का (या ए) कहा जाता है यदि कोई मोनोटोन अंतिम फ़ंक्शन मौजूद है जैसे कि ए फ़ंक्शन है, और जब भी और इसे कहा जाता है यदि इसकी छवि सेट में कोफ़ाइनल है। स्पष्ट रूप से, एक अनुक्रम को a कहा जाता है यदि सकारात्मक पूर्णांकों का एक सख्ती से बढ़ता अनुक्रम मौजूद है जैसे कि प्रत्येक के लिए (अर्थात, ऐसा)। अनुक्रम को विहित रूप से परिभाषित कार्य के साथ पहचाना जा सकता है इस प्रकार एक अनुक्रम का एक परिणाम है यदि और केवल तभी जब कोई सख्ती से बढ़ता हुआ कार्य मौजूद हो जैसे कि अनुक्रम सबनेट हों प्रत्येक अनुक्रम एक सबनेट है क्योंकि यदि इसका एक परिणाम है तो द्वारा परिभाषित मानचित्र एक क्रम-संरक्षित मानचित्र है जिसकी छवि अपने कोडोमेन में कोफ़ाइनल है और सभी अनुक्रम और सबनेट के लिए संतुष्ट है लेकिन एक अनुक्रम नहीं है अनुक्रम हालांकि यह एक सबनेट है क्योंकि द्वारा परिभाषित मानचित्र एक क्रम-संरक्षित मानचित्र है जिसकी छवि सभी के लिए है और सभी के लिए संतुष्ट है जबकि एक अनुक्रम एक नेट है, एक अनुक्रम में ऐसे सबनेट हैं जो अनुक्रम नहीं हैं। मुख्य अंतर यह है कि सबनेट नेट में एक ही बिंदु का कई बार उपयोग कर सकते हैं और सबनेट के अनुक्रमण सेट में बहुत बड़ी कार्डिनलिटी हो सकती है। अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हुए जहाँ हमें एकरसता की आवश्यकता नहीं होती है, एक अनुक्रम किसी दिए गए अनुक्रम का एक उपजाल है, यदि और केवल तभी जब इसे कुछ अनुवर्ती से इसकी शर्तों को दोहराकर और उन्हें फिर से व्यवस्थित करके प्राप्त किया जा सकता है। एक अनुक्रम का सबनेट जो एक अनुक्रम नहीं है एक अनुक्रम का सबनेट आवश्यक रूप से एक अनुक्रम है। उदाहरण के लिए, आइए सामान्य क्रम द्वारा निर्देशित किया जाए और तब की छत होने के द्वारा परिभाषित किया जाए एक क्रम-संरक्षित मानचित्र है (क्योंकि यह एक गैर-घटता कार्य है) जिसकी छवि इसके कोडोमेन का एक सह-अंतिम उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि कोई भी अनुक्रम (जैसे कि एक स्थिर अनुक्रम, उदाहरण के लिए) हो और प्रत्येक के लिए (दूसरे शब्दों में, मान लीजिए)। यह जाल एक अनुक्रम नहीं है क्योंकि इसका डोमेन एक अनगिनत समुच्चय है। हालाँकि, अनुक्रम का एक सबनेट है क्योंकि (परिभाषा के अनुसार) प्रत्येक के लिए धारण करता है। इसके अलावा, अनुक्रम भी एक सबनेट है क्योंकि समावेशन मानचित्र (जो भेजता है) एक क्रम-संरक्षित मानचित्र है जिसकी छवि इसके कोडोमेन का एक सह-अंतिम उपसमुच्चय है और सभी के लिए धारण करता है और (एक साथ) एक दूसरे के सबनेट हैं। उपसमुच्चय द्वारा प्रेरित उपसमुच्चय मान लीजिए कि यह एक अनंत समुच्चय है और एक अनुक्रम है। फिर उस पर एक जाल भी एक उपजाल है (समावेशन मानचित्र के रूप में लें)। यह सबनेट बदले में सबसे छोटे मान (यानी, प्रत्येक पूर्णांक के लिए लेट और लेट) के रूप में परिभाषित करके एक अनुक्रम को प्रेरित करता है। इस तरह, प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय एक विहित उपजाल को प्रेरित करता है जिसे एक अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है। हालाँकि, जैसा कि नीचे दिखाया गया है, एक अनुक्रम का प्रत्येक सबनेट एक अनुक्रम नहीं है। अनुप्रयोग परिभाषा अनुक्रमों के बारे में कुछ प्रमुख प्रमेयों को सामान्यीकृत करती हैः एक नेट तभी परिवर्तित होता है जब एक नेट के प्रत्येक सबनेट का एक समूह बिंदु होता है और केवल तभी जब इसमें एक सबनेट होता है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस में परिवर्तित होता है और केवल तभी सघन होता है जब प्रत्येक नेट में एक अभिसारी सबनेट होता है (प्रमाण के लिए नेट देखें)। "सबनेट" की परिभाषा में पहचान मानचित्र को लेते हुए और ए की अवधारणा के लिए एक सह-अंतिम उपसमुच्चय होने की आवश्यकता होती है, जो अपर्याप्त साबित होती है क्योंकि, उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई दूसरी प्रमेय टायचोनॉफ प्लैंक के लिए विफल हो जाती है यदि हम खुद को सह-अंतिम सबनेट तक सीमित रखते हैं। क्लस्टरिंग और क्लोजर यदि किसी सबसेट में एक नेट है और यदि एक क्लस्टर बिंदु है तो दूसरे शब्दों में, एक सबसेट में एक नेट का प्रत्येक क्लस्टर बिंदु उस सेट के क्लोजर से संबंधित है। यदि एक नेट है तो इन के सभी क्लस्टर बिंदुओं का सेट प्रत्येक कन्वर्जेंस बनाम क्लस्टरिंग के लिए कहाँ के बराबर है यदि एक नेट एक बिंदु पर अभिसरण करता है तो आवश्यक रूप से उस नेट का एक क्लस्टर बिंदु है। इसके विपरीत की सामान्य रूप से गारंटी नहीं है। अर्थात्, किसी जाल का समूह बिंदु होना संभव है, लेकिन उसमें अभिसरण करना संभव है। हालांकि, यदि समूह तब वहाँ मौजूद होता है कि वह अभिसरण करता है। इस उपजाल को स्पष्ट रूप से बनाया जा सकता है और पड़ोस फ़िल्टर को निम्नानुसार किया जा सकता हैः यह घोषित करके एक निर्देशित समूह में बनाएँ कि तब और यह एक उपजाल है क्योंकि मानचित्र एक मोनोटोन फ़ंक्शन है जिसकी छवि एक सह-अंतिम उपसमुच्चय है और इस प्रकार, एक बिंदु किसी दिए गए जाल का एक समूह बिंदु है यदि और केवल तभी जब इसमें एक उपजाल है जो अभिसरण करता है।