Heteroskedasticity-consistent standard errors
हेटेरोस्केडास्टिसिटी-कंसिस्टेंट (एच. सी.) मानक त्रुटियों का विषय रैखिक प्रतिगमन और समय श्रृंखला विश्लेषण के संदर्भ में सांख्यिकी और अर्थशास्त्र में उत्पन्न होता है। इन्हें फ्रीडहेल्म ईकर, पीटर जे. ह्यूबर और हैलबर्ट व्हाइट के योगदान को पहचानने के लिए हेटेरोस्केडास्टिसिटी-रोबस्ट मानक त्रुटियों (या बस मजबूत मानक त्रुटियां), ईकर-ह्यूबर-व्हाइट मानक त्रुटियों (ह्यूबर-व्हाइट मानक त्रुटियां या व्हाइट मानक त्रुटियां भी) के रूप में भी जाना जाता है। प्रतिगमन और समय-श्रृंखला मॉडलिंग में, मॉडल के बुनियादी रूप इस धारणा का उपयोग करते हैं कि त्रुटियों या गड़बड़ी में सभी अवलोकन बिंदुओं में समान भिन्नता होती है। जब ऐसा नहीं होता है, तो त्रुटियों को हेटेरोस्केडास्टिक कहा जाता है, या हेटेरोस्केडास्टिसिटी होती है, और यह व्यवहार एक फिट किए गए मॉडल से अनुमानित अवशिष्टों में परिलक्षित होगा। हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों का उपयोग एक मॉडल की फिटिंग की अनुमति देने के लिए किया जाता है जिसमें हेटेरोस्केडास्टिक अवशिष्ट होते हैं। इस तरह का पहला दृष्टिकोण ह्यूबर (1967) द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और क्रॉस-सेक्शनल डेटा, समय-श्रृंखला डेटा और जी. ए. आर. सी. एच. अनुमान के लिए आगे की बेहतर प्रक्रियाओं का उत्पादन किया गया है। हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियाँ जो शास्त्रीय मानक त्रुटियों से भिन्न होती हैं, मॉडल के गलत निर्धारण का संकेत दे सकती हैं। विषमस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने से इस गलत विवरण का समाधान नहीं होता है, जिससे गुणांक में पूर्वाग्रह हो सकता है। अधिकांश स्थितियों में, समस्या को ढूंढना और ठीक करना चाहिए। अन्य प्रकार के मानक त्रुटि समायोजन, जैसे कि क्लस्टर मानक त्रुटियाँ या एच. ए. सी. मानक त्रुटियाँ, को एच. सी. मानक त्रुटियों के विस्तार के रूप में माना जा सकता है। हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों को फ्रीडहेल्म ईकर द्वारा पेश किया गया है, और हैलबर्ट व्हाइट द्वारा अर्थशास्त्र में लोकप्रिय किया गया है। समस्या स्केलर के लिए रैखिक प्रतिगमन मॉडल पर विचार करें। जहाँ व्याख्यात्मक चर (विशेषताओं) का एक k x 1 कॉलम वेक्टर है, अनुमानित किए जाने वाले मापदंडों का एक k × 1 कॉलम वेक्टर है, और अवशिष्ट त्रुटि है। साधारण न्यूनतम वर्ग (ओ. एल. एस.) प्राक्कलनकर्ता वह स्थान है जहाँ प्रेक्षणों का वेक्टर होता है, और डेटा में देखे गए ढेर किए गए मूल्यों के मैट्रिक्स को दर्शाता है। यदि नमूना त्रुटियों में समान भिन्नता है और वे असंबद्ध हैं, तो सबसे कम वर्ग अनुमान BLUE (सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक) है, और इसके विचलन का अनुमान लगाया जाता है कि प्रतिगमन अवशिष्ट कहाँ हैं। जब त्रुटि शब्दों में निरंतर भिन्नता नहीं होती है (यानी, की धारणा असत्य है), तो ओ. एल. एस. अनुमानक अपने वांछनीय गुणों को खो देता है। भिन्नता के लिए सूत्र को अब सरल नहीं किया जा सकता हैः जहां ओ. एल. एस. बिंदु अनुमानक निष्पक्ष रहता है, यह न्यूनतम औसत वर्ग त्रुटि होने के अर्थ में "सबसे अच्छा" नहीं है, और ओ. एल. एस. भिन्नता अनुमानक ओ. एल. एस. अनुमानों के भिन्नता का एक सुसंगत अनुमान प्रदान नहीं करता है। हालाँकि, किसी भी गैर-रैखिक मॉडल (उदाहरण के लिए लॉजिट और प्रोबिट मॉडल) के लिए, हेटेरोस्केडास्टिसिटी के अधिक गंभीर परिणाम होते हैंः मापदंडों के अधिकतम संभावना अनुमान पक्षपाती (एक अज्ञात दिशा में) होंगे, साथ ही असंगत (जब तक कि संभावना कार्य को सही ढंग से ध्यान में रखने के लिए संशोधित नहीं किया जाता है। जैसा कि ग्रीन ने बताया, "एक अन्यथा असंगत अनुमानक के लिए केवल एक मजबूत सहप्रसरण मैट्रिक्स की गणना करने से इसे मुक्ति नहीं मिलती है।" समाधान यदि प्रतिगमन त्रुटियां स्वतंत्र हैं, लेकिन उनमें अलग-अलग भिन्नताएं हैं, तो जिसके साथ अनुमान लगाया जा सकता है। यह व्हाइट (1980) अनुमानक प्रदान करता है, जिसे अक्सर एच. सी. ई. (हेटेरोस्केडास्टिसिटी-कंसिस्टेंट एस्टिमेटर) के रूप में संदर्भित किया जाता हैः जहां ऊपर के रूप में डेटा से ढेर किए गए मूल्यों के मैट्रिक्स को दर्शाता है। प्राक्कलनकर्ता को क्षणों की सामान्यीकृत विधि (जी. एम. एम.) के संदर्भ में प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा अक्सर साहित्य में चर्चा की जाती है (व्हाइट के पेपर सहित)-सुसंगत सीमित वितरण का सहप्रसरण मैट्रिक्स हैः कहाँ और इस प्रकार, और सटीक रूप से कौन सा सहप्रसरण मैट्रिक्स चिंता का विषय है। मैककिनन एंड व्हाइट (1985) में वैकल्पिक अनुमानकर्ताओं का प्रस्ताव किया गया है जो विभिन्न उत्तोलन के कारण प्रतिगमन अवशिष्टों के असमान भिन्नताओं के लिए सही हैं। एसिम्प्टोटिक व्हाइट के अनुमानक के विपरीत, उनके अनुमानक निष्पक्ष होते हैं जब डेटा होमोसेडेस्टिक होते हैं। चार व्यापक रूप से उपलब्ध विभिन्न विकल्पों में से, जिन्हें अक्सर एचसी0-एचसी3 के रूप में दर्शाया जाता है, एचसी3 विनिर्देश सबसे अच्छा काम करता प्रतीत होता है, जिसमें परीक्षण एचसी3 अनुमानक पर निर्भर करते हैं जिसमें बेहतर शक्ति और लक्षित आकार के करीब निकटता होती है, विशेष रूप से छोटे नमूनों में। नमूना जितना बड़ा होगा, विभिन्न प्राक्कलनकर्ताओं के बीच का अंतर उतना ही कम होगा। हेटेरोस्केडास्टिसिटी को स्पष्ट रूप से मॉडलिंग करने का एक विकल्प वाइल्ड बूटस्ट्रैप जैसी रीसैम्पलिंग विधि का उपयोग करना है। यह देखते हुए कि छात्रकृत बूटस्ट्रैप, जो अपनी मानक त्रुटि द्वारा पुनः नमूनाकृत सांख्यिकीय को मानकीकृत करता है, एक एसिम्प्टोटिक परिशोधन प्रदान करता है, हेटेरोस्केडास्टिसिटी-रोबस्ट मानक त्रुटियां फिर भी उपयोगी बनी हुई हैं। हेटेरोस्केडास्टिक त्रुटियों के लिए लेखांकन के बजाय, अधिकांश रैखिक मॉडलों को होमोस्केडास्टिक त्रुटि शब्दों की विशेषता में परिवर्तित किया जा सकता है (जब तक कि त्रुटि शब्द निर्माण द्वारा हेटेरोस्केडास्टिक न हो, जैसे। एक रैखिक संभाव्यता मॉडल में)। ऐसा करने का एक तरीका कम से कम भार वाले वर्गों का उपयोग करना है, जिसमें बेहतर दक्षता गुण भी हैं। डेल्टा विधि भी देखें सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग सामान्यीकृत आकलन समीकरण भारित न्यूनतम वर्ग, एक वैकल्पिक सूत्रीकरण सफेद परीक्षण-एक परीक्षण कि क्या विषमस्केडास्टिसिटी मौजूद है। न्यू-वेस्ट अनुमानक अर्ध-अधिकतम संभाव्यता अनुमान सॉफ्टवेयर ईवीव्यूजः ईवीव्यू संस्करण 8 मजबूत न्यूनतम वर्गों के लिए तीन अलग-अलग तरीके प्रदान करता हैः एम-आकलन (ह्यूबर, 1973), एस-आकलन (रूसेयू और योहाई, 1984), और एमएम-आकलन (योहाई 1987)। जूलियाः कोवेरिएंसमैट्रिक्स पैकेज हेटेरोस्केडास्टिक मजबूत विचरण कोवेरिएंस मैट्रिक्स के लिए कई तरीके प्रदान करता है। मैटलैबः इकोनोमेट्रिक्स टूलबॉक्स में एचएसी फंक्शन देखें। पायथनः स्टैट्समॉडल पैकेज विभिन्न मजबूत मानक त्रुटि अनुमान प्रदान करता है, आगे के विवरण के लिए statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults देखें R: पैकेज से vcovHC () कमांड। आर. ए. टी. एस.: विकल्प कई प्रतिगमन और अनुकूलन आदेशों (,, आदि) में उपलब्ध है। स्थितिः कई छद्म-आजीविका आधारित प्रक्रियाओं में लागू मजबूत विकल्प। ग्रेटलः एक क्रॉस-सेक्शनल डेटासेट के संदर्भ में कई आकलन आदेशों (जैसे ओ. एल. एस.) के लिए विकल्प मजबूत मानक त्रुटियां पैदा करता है। बुजा, एंड्रियास आदि को आगे पढ़ने के लिए संदर्भ। "अनुमान के रूप में मॉडल-प्रतिगमन में शास्त्रीय अनुमान के खिलाफ यादृच्छिक प्रतिगामी और मॉडल विचलन की एक साजिश"। सांख्यिकी विज्ञान (2015): 1. प्रतिगमन विश्लेषण समवर्ती समीकरण विधियाँ (अर्थशास्त्र) अनुमान विधियाँ समय श्रृंखला संरचना के साथ प्रतिगमन