Apeirotope
ज्यामिति में, एक एपिरोटोप या अनंत पॉलीटोप एक सामान्यीकृत पॉलीटोप है जिसके अनंत रूप से कई पहलू हैं। एक अमूर्त एन-पॉलीटोप एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह पी है (जिसके तत्वों को चेहरे कहा जाता है) जैसे कि पी में एक न्यूनतम चेहरा और एक सबसे बड़ा चेहरा होता है, प्रत्येक अधिकतम पूरी तरह से क्रमबद्ध सबसेट (जिसे झंडा कहा जाता है) में बिल्कुल एन + 2 चेहरे होते हैं, पी दृढ़ता से जुड़ा होता है, और ठीक दो चेहरे होते हैं जो ए और बी के बीच सख्ती से स्थित होते हैं, दो चेहरे होते हैं जिनकी श्रेणी दो से भिन्न होती है। एक अमूर्त पॉलीटोप को एक अमूर्त एपीरोटोप कहा जाता है यदि इसके असीम रूप से कई चेहरे हैं। एक अमूर्त पॉलीटोप को नियमित कहा जाता है यदि इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह पी. वर्गीकरण के सभी झंडों पर पारगमन रूप से कार्य करता है तो एपीरोटोप के दो मुख्य ज्यामितीय वर्ग हैंः एन आयामों में मधुकोश, जो पूरी तरह से एक एन-आयामी स्थान को भरते हैं। तिरछा एपिरोटोप, जिसमें एक उच्च स्थान हनीकोम्ब में एक एन-आयामी मैनीफोल्ड होता है सामान्य तौर पर, एन आयामों में एक मधुकोश एन + 1 आयामों में एक पॉलीटोप का एक अनंत उदाहरण है। समतल के टिलिंग और पॉलीहेड्रा के निकट-पैक स्थान-भराव क्रमशः दो और तीन आयामों में मधुकोश के उदाहरण हैं। असीम रूप से कई सीमित खंडों में विभाजित एक रेखा एपिरोगन का एक उदाहरण है। दो आयामों में एक तिरछा एपिरोगन समतल में एक ज़िग-ज़ैग रेखा बनाता है। यदि ज़िग-ज़ैग सम और सममित है, तो एपिरोगन नियमित है। तिरछे एपिरोगन का निर्माण किसी भी संख्या में किया जा सकता है। तीन आयामों में, एक नियमित तिरछा एपिरोगन एक पेचदार सर्पिल का पता लगाता है और या तो बाएं या दाएं हाथ का हो सकता है। अनंत तिरछा पॉलीहेड्रा तीन नियमित तिरछे एपिरोहेड्रा होते हैं, जो बल्कि पॉलीहेड्रल स्पंज की तरह दिखते हैंः प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर 6 वर्ग, कॉक्सेटर प्रतीक {4,6|4} प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर 4 षट्कोण, कॉक्सेटर प्रतीक {6,4|4} प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर 6 षट्कोण, कॉक्सेटर प्रतीक {6,6|3} यूक्लिडियन स्पेस में तीस नियमित एपिरोहेड्रा हैं। इनमें ऊपर सूचीबद्ध के साथ-साथ (समतल में) प्रकार के पॉलीटोप शामिल हैंः {ini, 3}, {ini, 4}, {ini, 6} और 3-आयामी स्थान में, इनका मिश्रण या तो एक एपिरोगन या एक रेखा खंड के साथ होता है, और "शुद्ध" 3-आयामी एपिरोहेड्रा (संख्या में 12) संदर्भ ग्रंथ सूची बहु-आयामी ज्यामिति