Anisohedral tiling
ज्यामिति में, एक आकार को अनिसाहेड्रल कहा जाता है यदि यह एक टाइलिंग को स्वीकार करता है, लेकिन ऐसी कोई टाइलिंग आइसोहेड्रल (टाइल-ट्रांजिटिव) नहीं है; यानी, उस आकार से किसी भी टाइलिंग में दो टाइल्स होती हैं जो टाइलिंग की किसी भी समरूपता के तहत समकक्ष नहीं होती हैं। एनिसोहेड्रल टाइल द्वारा एक टाइलिंग को एनिसोहेड्रल टाइलिंग के रूप में संदर्भित किया जाता है। अस्तित्व हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या के पहले भाग में पूछा गया कि क्या यूक्लिडियन 3-स्पेस में एक एनीसोहेड्रल पॉलीहेड्रॉन मौजूद है; ग्रनबॉम और शेफर्ड का सुझाव है कि हिल्बर्ट मान रहे थे कि तल में ऐसी कोई टाइल मौजूद नहीं थी। रेनहार्ड्ट ने 1928 में हिल्बर्ट की समस्या का जवाब इस तरह के पॉलीहेड्रा के उदाहरण ढूंढकर दिया, और जोर देकर कहा कि उनका प्रमाण कि विमान में ऐसी कोई टाइल मौजूद नहीं है, जल्द ही दिखाई देगा। हालाँकि, हेश ने 1935 में विमान में एक अनीसोहेड्रल टाइल का एक उदाहरण दिया। कन्वेक्स टाइल्स रेनहार्ड्ट ने पहले अनीसोहेड्रल उत्तल बहुभुज के प्रश्न पर विचार किया था, जिससे पता चलता है कि कोई अनीसोहेड्रल उत्तल षट्कोण नहीं थे, लेकिन यह दिखाने में असमर्थ थे कि ऐसे कोई उत्तल पंचभुज नहीं थे, जबकि पांच प्रकार के उत्तल पंचभुज को समतल में आइसोहेड्रली टाइलिंग करते हुए पाया गया था। केर्शनर ने 1968 में तीन प्रकार के एनिसोहेड्रल उत्तल पंचभुज दिए; इनमें से एक टाइल में बिना प्रतिबिंब या ग्लाइड प्रतिबिंब के केवल प्रत्यक्ष सममितियों का उपयोग किया जाता है, इसलिए हेश के एक प्रश्न का उत्तर दिया जाता है। आइसोहेड्रल संख्याएँ अनिसाहेड्रल टाइलिंग की समस्या को यह कहकर सामान्यीकृत किया गया है कि एक टाइल की आइसोहेड्रल संख्या उस टाइलिंग के समरूपता समूह की क्रिया के तहत उस टाइल की किसी भी टाइलिंग में टाइलों की सबसे कम संख्या कक्षा (समतुल्यता वर्ग) है, और यह कि आइसोहेड्रल संख्या k के साथ एक टाइल k-अनिसाहेड्रल है। बर्गलंड ने पूछा कि क्या सभी के के लिए के-एनिसोहेड्रल टाइल्स मौजूद हैं, के ≤ 4 के लिए उदाहरण देते हुए (2-एनिसोहेड्रल और 3-एनिसोहेड्रल टाइलों के उदाहरण पहले से ज्ञात हैं, जबकि दी गई 4-एनिसोहेड्रल टाइल पहली ऐसी प्रकाशित टाइल थी)। गुडमैन-स्ट्रॉस ने इसे सामान्य प्रश्नों के संदर्भ में माना कि किसी दिए गए टाइल या टाइलों के सेट का व्यवहार कितना जटिल हो सकता है, मायर्स के 10-अनसोहेड्रल उदाहरण को ध्यान में रखते हुए। ग्रनबॉम और शेफर्ड ने पहले इसी प्रश्न पर थोड़ा अंतर उठाया था। सोकोलार ने 2007 में दिखाया कि मनमाने ढंग से उच्च आइसोहेड्रल संख्याओं को दो आयामों में प्राप्त किया जा सकता है यदि टाइल को डिस्कनेक्ट किया जाता है, या किन रंगों के आसन्न होने पर बाधाओं के साथ रंगीन किनारे होते हैं, और बिना रंगों के जुड़े टाइल के साथ तीन आयामों में, यह देखते हुए कि रंगों के बिना जुड़े टाइल के लिए दो आयामों में उच्चतम ज्ञात आइसोहेड्रल संख्या 10 है। जोसेफ मायर्स ने उच्च आइसोहेड्रल संख्याओं के साथ टाइलों का एक संग्रह तैयार किया है, विशेष रूप से आइसोहेड्रल संख्या 10 के साथ एक बहुभुज (अनुवाद के तहत 20 कक्षाओं में होता है) और दूसरा आइसोहेड्रल संख्या 9 के साथ (अनुवाद के तहत 36 कक्षाओं में होता है)। संदर्भ बाहरी लिंक जॉन बर्गलंड, एनीसोहेड्रल टिलिंग्स पेज जोसेफ मायर्स, पॉलीमिनो, पॉलीहेक्स और पॉलीअमोंड टाइलिंग टेसेलेशन