Stack (mathematics)
गणित में एक स्टैक या 2-शीफ, मोटे तौर पर, एक शीफ है जो सेट के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक का उपयोग अवरोहण सिद्धांत के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक बनाने के लिए किया जाता है, और जब महीन मॉडुली रिक्त स्थान मौजूद नहीं होते हैं तो महीन मॉडुली स्टैक का निर्माण करने के लिए किया जाता है। अवरोहण सिद्धांत उन स्थितियों के सामान्यीकरण से संबंधित है जहां समरूप, संगत ज्यामितीय वस्तुओं (जैसे कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर वेक्टर बंडलों) को टोपोलॉजिकल आधार के प्रतिबंध के भीतर "एक साथ चिपकाया" जा सकता है। एक अधिक सामान्य व्यवस्था में प्रतिबंधों को पुलबैक के साथ बदल दिया जाता है; फाइबर वाली श्रेणियां तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छी रूपरेखा बनाती हैं। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक रेशेदार श्रेणी है जिसमें "सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं"। ग्लूइंग्स के विनिर्देश के लिए आवरणों की एक परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है। यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी की है। इस प्रकार एक ढेर को औपचारिक रूप से एक अन्य आधार श्रेणी पर एक रेशेदार श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार में एक ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी होती है और जहां रेशेदार श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी के संबंध में कुछ ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है। अवलोकन स्टैक बीजगणितीय स्टैक (जिसे आर्टिन स्टैक भी कहा जाता है) और डेलीग्ने-मम्फोर्ड स्टैक की अंतर्निहित संरचना है, जो योजनाओं और बीजगणितीय रिक्त स्थान को सामान्यीकृत करते हैं और जो मॉड्यूली रिक्त स्थान का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। समावेशन हैंः योजनाएँ-बीजगणितीय रिक्त स्थान-डेलिग्ने-मम्फोर्ड ढेर-बीजगणितीय ढेर (आर्टिन ढेर)-ढेर। और ढेर का एक संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण दें, और अधिक विस्तृत परिचय दें, और अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करें। प्रेरणा और इतिहास ढेर की अवधारणा की उत्पत्ति प्रभावी वंश डेटा की परिभाषा में हुई है। 1959 में सेर को लिखे एक पत्र में, ग्रोथेन्डिक ने देखा कि अच्छे मॉड्यूली रिक्त स्थान के निर्माण में एक मौलिक बाधा ऑटोमोर्फिज्म का अस्तित्व है। ढेर के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि यदि ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए एक मॉड्यूली स्थान मौजूद नहीं है, तो भी एक मॉड्यूली ढेर का निर्माण करना संभव हो सकता है। ढेर को परिभाषित करने से पहले, अण्डाकार वक्रों के मॉडुली ढेर के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को पहली बार परिभाषित किया गया था, और "स्टैक" शब्द को मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए पेश किया गया था जिसका अर्थ है "क्षेत्र"। इस पेपर में उन्होंने डेलिग्ने-मम्फोर्ड स्टैक भी पेश किए, जिन्हें उन्होंने बीजगणितीय स्टैक कहा, हालांकि "बीजगणितीय स्टैक" शब्द अब आमतौर पर उनके द्वारा पेश किए गए अधिक सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है। जब समूह क्रियाओं द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित किया जाता है, तो भागफल के लिए एक योजना होना अक्सर असंभव होता है और फिर भी एक भागफल के लिए वांछनीय गुणों को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, यदि कुछ अंकों में गैर-तुच्छ स्थिरीकारक हैं, तो योजनाओं के बीच श्रेणीगत भागफल मौजूद नहीं होगा, लेकिन यह एक ढेर के रूप में मौजूद होगा। इसी तरह, वक्रों, वेक्टर बंडलों या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉड्यूली रिक्त स्थान को अक्सर योजनाओं के बजाय ढेर के रूप में सबसे अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है। मॉड्यूली रिक्त स्थान का निर्माण अक्सर पहले विचाराधीन वस्तुओं को मापने के लिए एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ता है, और फिर समूह कार्रवाई द्वारा भागफल को ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिए जिम्मेदार ठहराता है जिन्हें अधिक गिना गया है। परिभाषा सार ढेर एक श्रेणी के लिए एक फंक्टर के साथ एक श्रेणी को फाइबर श्रेणी कहा जाता है, अगर किसी भी आकृतिवाद के लिए और छवि के साथ किसी भी वस्तु के लिए (फंक्टर के नीचे), एक पुलबैक है। इसका मतलब है छवि के साथ एक रूपात्मकता जैसे कि छवि के साथ किसी भी रूपात्मकता को एक अद्वितीय रूपात्मकता के रूप में फैक्टर किया जा सकता है जिसमें फ़ंक्टर मैप करता है। तत्व को पुलबैक ऑफ अलॉन्ग कहा जाता है और यह कैनॉनिकल आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है। श्रेणी सी को एक श्रेणी सी पर एक ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी के साथ एक प्रीस्टैक कहा जाता है यदि यह सी पर फाइबर किया गया है और सी की किसी भी वस्तु यू और छवि यू के साथ सी की वस्तुओं एक्स, वाई के लिए, श्रेणी सी/यू से एफः वी → यू से होम (एफ * एक्स, एफ * वाई) लेने वाले सेटों के लिए एक आवरण है। यह शब्दावली शीव्स के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं हैः प्रीस्टैक्स प्रीशीव्स के बजाय अलग किए गए प्रीशीव्स के अनुरूप हैं। कुछ लेखकों को इसकी आवश्यकता प्रीस्टैक्स के बजाय ढेर की संपत्ति के रूप में होती है। श्रेणी सी को ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी के साथ श्रेणी सी पर एक स्टैक कहा जाता है यदि यह सी पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक डिसेंट डेटम प्रभावी है। एक अवरोही डेटम में मोटे तौर पर एक परिवार वी द्वारा सी की एक वस्तु वी का आवरण होता है, वीआई पर फाइबर में तत्व xi, और xi और xj के प्रतिबंधों के बीच रूपात्मकता fji होती है जो अनुकूलता स्थिति fki = fkjfj को संतुष्ट करती है। डिसेंट डेटम को प्रभावी कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से छवि V के साथ एक तत्व x के पुलबैक हैं। एक स्टैक को ग्रुपॉइड में स्टैक कहा जाता है या (2,1)-शीफ कहा जाता है यदि यह ग्रुपॉइड में भी फाइबर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि इसके फाइबर (सी की वस्तुओं की व्युत्क्रम छवियां) ग्रुपॉइड हैं। कुछ लेखक समूह में ढेर की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए "स्टैक" शब्द का उपयोग करते हैं। बीजगणितीय स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफ. पी. पी. एफ. साइट पर समूह एक्स में एक स्टैक है जैसे कि एक्स का विकर्ण मानचित्र प्रतिनिधित्व योग्य है और एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक्स तक एक चिकनी सर्जेक्शन मौजूद है। स्टैक का एक आकृतिवाद Y X प्रतिनिधित्व योग्य है यदि, प्रत्येक आकृतिवाद S X के लिए (स्टैक से जुड़े) एक योजना से X तक, फाइबर उत्पाद Y × X S एक बीजगणितीय स्थान (स्टैक से जुड़े) के लिए समरूप है। स्टैक के फाइबर उत्पाद को सामान्य सार्वभौमिक गुण का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, और इस आवश्यकता को बदल दिया जाता है कि आरेख इस आवश्यकता के लिए कम्यूट करते हैं कि वे 2-कम्यूट करते हैं। अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय ढेर की आकृतिवाद भी देखें। विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित हैः विकर्ण आकृतिवाद का प्रतिनिधित्व तभी किया जा सकता है जब बीजगणितीय रिक्त स्थान की आकृतिवाद की किसी भी जोड़ी के लिए, उनका फाइबर उत्पाद प्रतिनिधित्व योग्य हो। एक डेलीग्ने-मम्फोर्ड स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक X है जैसे कि एक योजना से X तक एक एटेल सर्जेक्शन होता है। मोटे तौर पर, डिलिग्ने-मम्फोर्ड ढेर को बीजगणितीय ढेर के रूप में सोचा जा सकता है जिनकी वस्तुओं में कोई असीम ऑटोमोर्फिज्म नहीं होता है। बीजगणितीय ढेर की स्थानीय संरचना बीजगणितीय ढेर की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की जाती थी कि वे उस रूप के स्थानीय रूप से भागफल ढेर हैं जहां एक रैखिक रूप से अपवर्तक बीजगणितीय समूह है। यह हाल ही में मामला साबित हुआ थाः एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्थानीय रूप से सीमित प्रकार के एक अर्ध-विभाजित बीजगणितीय ढेर को देखते हुए, जिसके स्टेबलाइज़र एफ़ाइन हैं, और रैखिक रूप से रिडक्टिव स्टेबलाइज़र समूह के साथ एक चिकना और बंद बिंदु, जी. आई. टी. भागफल का एक एटेल कवर मौजूद है, जहां, इस तरह से कि आरेख कार्टेशियन है, और एक एटेल मॉर्फिस्म मौजूद है जो और पर स्टेबलाइज़र समूहों के एक समरूपता को प्रेरित करता है। उदाहरण प्रारंभिक उदाहरण ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी वाली श्रेणी के प्रत्येक शीफ को प्रामाणिक रूप से ढेर में बदला जा सकता है। एक वस्तु के लिए, एक समूह के बजाय एक समूह होता है जिसकी वस्तुएँ तत्व होती हैं और तीर पहचान आकृतिवाद होते हैं। अधिक ठोस रूप से, आइए एक विपरीत फ़ंक्टर बनें फिर, यह फ़ंक्टर निम्नलिखित श्रेणी को निर्धारित करता है एक वस्तु एक जोड़ी है जिसमें एक योजना होती है और एक तत्व जिसमें एक आकृतिवाद होता है जिसमें एक आकृतिवाद होता है। भूलने वाले फ़ंक्टर के माध्यम से, श्रेणी एक श्रेणी है जिस पर फाइबर किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि एक योजना है, तो यह विपरीत फंक्टर निर्धारित करता है और संबंधित फाइबर श्रेणी है। इस निर्माण के एक प्रकार के रूप में ढेर (या प्रीस्टैक्स) का निर्माण किया जा सकता है। वास्तव में, अर्ध-संक्षिप्त विकर्ण वाली कोई भी योजना योजना से जुड़ी एक बीजगणितीय ढेर होती है। वस्तुओं के ढेर एक समूह-ढेर। वेक्टर बंडलों का मॉडुली स्टैकः वेक्टर बंडलों की श्रेणी V → S टोपोलॉजिकल स्पेस S की श्रेणी पर एक स्टैक है। V → S से W → T तक एक आकृतिवाद में S से T और V से W (फाइबर पर रैखिक) तक निरंतर मानचित्र होते हैं ताकि स्पष्ट वर्ग आवागमन कर सके। शर्त यह है कि यह एक फाइबर श्रेणी है क्योंकि कोई भी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के निरंतर मानचित्रों पर वेक्टर बंडलों के पुलबैक ले सकता है, और यह शर्त कि एक डिसेंट डेटम प्रभावी है क्योंकि कोई भी एक खुले आवरण के तत्वों पर वेक्टर बंडलों को एक साथ चिपकाकर एक स्थान पर एक वेक्टर बंडल का निर्माण कर सकता है। योजनाओं पर अर्ध-सुसंगत आवरणों का ढेर (एफ. पी. क्यू. सी.-टोपोलॉजी और कमजोर टोपोलॉजी के संबंध में) एक आधार योजना पर संबंध योजनाओं का ढेर (फिर से एफ. पी. क्यू. सी. टोपोलॉजी या कमजोर के संबंध में) ढेर उद्धरणों के साथ निर्माण यदि एक योजना है और एक सुचारू संबंध समूह योजना पर काम कर रही है, तो एक भागफल बीजगणितीय ढेर होता है, जो एक योजना को-समान मानचित्रों के साथ-योजना पर-टॉर्सर्स के समूह तक ले जाता है। स्पष्ट रूप से, एक-क्रिया के साथ एक स्थान दिया गया है, जो ढेर बनाता है जो (सहज रूप से बोलते हुए) पुलबैक आरेखों के समूह को एक स्थान भेजता है जहाँ रिक्त स्थान का एक-समरूप आकृतिवाद होता है और एक प्रमुख-बंडल होता है। इस श्रेणी में आकृतिवाद केवल आरेखों के आकृतिवाद हैं जहां दाहिने हाथ की ओर तीर बराबर होते हैं और बाएं हाथ की ओर तीर प्रमुख-बंडलों के आकृतिवाद होते हैं। स्टैक को वर्गीकृत करना इसका एक विशेष मामला जब X एक बिंदु होता है तो एक चिकनी एफ़ाइन समूह योजना का वर्गीकृत स्टैक BG देता है G: इसका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि श्रेणी, Y पर फाइबर, ठीक-ठीक प्रमुख-बंडलों की श्रेणी है। ध्यान दें कि स्वयं को एक स्टैक के रूप में माना जा सकता है, Y पर प्रमुख G-बंडलों का मॉड्यूली स्टैक। इस निर्माण का एक महत्वपूर्ण उप-उदाहरण है जो प्रमुख-बंडलों का मॉडुली ढेर है। चूँकि एक प्रमुख-बंडल का डेटा एक रैंक वेक्टर बंडल के डेटा के बराबर होता है, यह रैंक वेक्टर बंडलों के मॉड्यूली स्टैक के लिए समरूप है। लाइन बंडलों का मॉड्यूली स्टैक लाइन बंडलों का मॉड्यूली स्टैक इसलिए होता है क्योंकि प्रत्येक लाइन बंडल कैनोनिक रूप से एक प्रमुख-बंडल के समरूप होता है। वास्तव में, एक योजना पर एक रेखा बंडल दिए जाने पर, सापेक्ष एक ज्यामितीय रेखा बंडल निर्दिष्ट करता है। शून्य खंड की छवि को हटाकर, एक प्रमुख-बंडल प्राप्त होता है। इसके विपरीत, प्रतिनिधित्व से, संबंधित लाइन बंडल का पुनर्निर्माण किया जा सकता है। जर्ब्स ए जर्ब्स ग्रुपॉइड्स में एक ढेर है जिसमें हमेशा एक गैर-खाली श्रेणी होती है। उदाहरण के लिए तुच्छ कीटाणु जो प्रत्येक योजना को कुछ समूह के लिए योजना के ऊपर प्रमुख-बंडलों का समूह निर्धारित करता है। यदि ए एक योजना एस पर एक बीजगणितीय स्टैक एक्स में बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत आवरण है, तो एक स्टैक स्पेक (ए) है जो एक कम्यूटेटिव रिंग ए के स्पेक्ट्रम स्पेक (ए) के निर्माण को सामान्य करता है। विशिष्टता (ए) की एक वस्तु एस-योजना टी द्वारा दी जाती है, एक्स (टी) की एक वस्तु एक्स, और एक्स * (ए) से लेकर टी के निर्देशांक रिंग ओ (टी) तक बीजगणित के आवरणों का एक आकृतिवाद। यदि ए एक योजना एस पर एक बीजगणितीय स्टैक एक्स में श्रेणीबद्ध बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत आवरण है, तो एक श्रेणीबद्ध रिंग ए की प्रोजेक्टिव योजना प्रोज (ए) के निर्माण को सामान्य बनाने वाला एक स्टैक प्रोज (ए) है। मॉडुली स्टैक वक्रों के मॉडुली ने दीर्घवृत्ताकार वक्रों के मॉडुली स्टैक एम1,1 का अध्ययन किया, और दिखाया कि इसका पिकार्ड समूह क्रम 12 का चक्रीय है। जटिल संख्याओं पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए संबंधित ढेर मॉड्यूलर समूह की क्रिया द्वारा ऊपरी अर्ध-तल के भागफल के समान होता है। दिए गए जीनस के चिकने वक्रों के एक सार्वभौमिक परिवार के रूप में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का मॉडुली स्थान एक बीजगणितीय विविधता के रूप में मौजूद नहीं है क्योंकि विशेष रूप से गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म को स्वीकार करने वाले वक्र हैं। हालांकि एक मॉड्यूली स्टैक है जो चिकनी जीनस वक्रों के गैर-मौजूद महीन मॉड्यूली स्थान के लिए एक अच्छा विकल्प है। अधिक आम तौर पर चिह्नित बिंदुओं के साथ जीनस वक्रों का एक मॉड्यूली ढेर होता है। सामान्य तौर पर यह एक बीजगणितीय ढेर है, और या के लिए एक डिलिग्ने-मम्फोर्ड ढेर है (दूसरे शब्दों में जब वक्रों के ऑटोमोर्फिज्म समूह सीमित होते हैं)। इस मॉड्यूली स्टैक में एक पूर्णता होती है जिसमें स्थिर वक्रों (दिए गए और) के मॉड्यूली स्टैक होते हैं जो Spec Z पर उचित होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रोजेक्टिव सामान्य रैखिक समूह का वर्गीकृत ढेर है। (परिभाषित करने में एक सूक्ष्मता है, क्योंकि इसे बनाने के लिए योजनाओं के बजाय बीजगणितीय रिक्त स्थान का उपयोग करना पड़ता है।) कोंटसेविच मॉडुली स्पेस मॉडुली स्पेस का एक और व्यापक रूप से अध्ययन किया गया वर्ग कोंटसेविच मॉडुली स्पेस है जो एक निश्चित जीनस के वक्रों के बीच स्थिर मानचित्रों के स्थान को एक निश्चित स्थान पर मापता है जिसकी छवि एक निश्चित समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है। इन मॉडुली रिक्त स्थान को निरूपित किया जाता है और इसमें जंगली व्यवहार हो सकता है, जैसे कि रिड्यूसिबल स्टैक जिनके घटक गैर-समान आयाम हैं। उदाहरण के लिए, मॉडुली स्टैक में एक खुले उपसमुच्चय द्वारा मानकीकृत चिकनी वक्रता होती है। मॉड्यूली स्पेस की सीमा पर, जहां वक्र घटाने योग्य वक्रों में पतित हो सकते हैं, एक जीनस घटक और एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन करने वाले जीनस घटक के साथ एक सबस्टैक पैरामीटराइजिंग रिड्यूसिबल वक्र होता है, और मानचित्र जीनस वक्र को एक बिंदु पर भेजता है। चूँकि इस तरह के सभी वंश वक्रों को मानकीकृत किया जाता है, और एक अतिरिक्त आयामी विकल्प होता है कि ये वक्र वंश वक्र पर कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं, सीमा घटक का आयाम होता है। अन्य मॉडुली स्टैक एक पिकार्ड स्टैक एक पिकार्ड किस्म को सामान्यीकृत करता है। औपचारिक समूह कानूनों का मॉडुली स्टैक औपचारिक समूह कानूनों को वर्गीकृत करता है। एक इंड-स्कीम जैसे कि एक अनंत प्रोजेक्टिव स्पेस और एक औपचारिक योजना एक ढेर है। ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम में श्टुकों के एक मॉडुली ढेर का उपयोग किया जाता है। (श्टुक भी देखें।) ज्यामितीय स्टैक भारित प्रोजेक्टिव स्टैक भारित प्रोजेक्टिव स्पेस के निर्माण में कुछ की भागफल विविधता को एक-क्रिया द्वारा लेना शामिल है। विशेष रूप से, क्रिया एक टुपलैंड भेजती है और इस क्रिया का भागफल भारित प्रोजेक्टिव स्थान देता है। चूँकि इसे एक स्टैक भागफल के रूप में लिया जा सकता है, भारित प्रोजेक्टिव स्टैक pg 30 एक लाइन बंडल में एक भारित बहुपद के गायब होने वाले स्थान को लेना एक स्टैक भारित प्रोजेक्टिव विविधता देता है। स्टैकी वक्र, या ऑर्बिकर्व, का निर्माण सामान्य बिंदुओं पर आवरण के मोनोड्रोमी समूह द्वारा वक्रों के आकृतिवाद के स्टैक भागफल को लेकर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रोजेक्टिव मॉर्फिज्म को लें, जो सामान्य रूप से ईटेल है। द्वारा डोमेन का स्टैक भागफल स्टैक बिंदुओं के साथ एक स्टैक देता है जिसमें-चार्ट में एकता के पांचवें मूल पर स्टेबलाइज़र समूह होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ये वे बिंदु हैं जहाँ आवरण विस्तृत होता है। गैर-एफ़ाइन स्टैक का एक उदाहरण दो स्टैक मूल के साथ अर्ध-रेखा द्वारा दिया जाता है। इसका निर्माण दो समावेशन के कोलीमिट के रूप में किया जा सकता है। एक बीजगणितीय ढेर पर अर्ध-सुसंगत आवरणों की एक श्रेणी का निर्माण किया जा सकता है जो एक योजना पर अर्ध-सुसंगत आवरणों की श्रेणी के समान है। एक अर्ध-सुसंगत शीफ मोटे तौर पर वह होता है जो स्थानीय रूप से एक रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल के शीफ की तरह दिखता है। पहली समस्या यह तय करना है कि "स्थानीय रूप से" का क्या अर्थ हैः इसमें एक ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी का चयन शामिल है, और इसके लिए कई संभावित विकल्प हैं, जिनमें से सभी में कुछ समस्याएं हैं और जिनमें से कोई भी पूरी तरह से संतोषजनक नहीं लगता है। ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी काफी मजबूत होनी चाहिए ताकि स्टैक इस टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से जुड़ा रहेः योजनाएं स्थानीय रूप से ज़ारिस्की टोपोलॉजी में जुड़ी हुई हैं इसलिए यह योजनाओं के लिए एक अच्छा विकल्प है जैसा कि सेर ने खोजा है, बीजगणितीय स्थान और डेलीग्ने-मम्फोर्ड स्टैक स्थानीय रूप से एटेल टोपोलॉजी में जुड़े हुए हैं इसलिए आमतौर पर इनके लिए एटेल टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है, जबकि बीजगणितीय स्टैक स्थानीय रूप से चिकनी टोपोलॉजी में जुड़े होते हैं ताकि कोई भी इस मामले में चिकनी टोपोलॉजी का उपयोग कर सके। सामान्य बीजगणितीय ढेरों के लिए ईटेल टोपोलॉजी में पर्याप्त खुले सेट नहीं होते हैंः उदाहरण के लिए, यदि जी एक चिकना जुड़ा हुआ समूह है तो वर्गीकृत करने वाले ढेर बीजी के केवल ईटेल कवर बीजी की प्रतियों के संघ हैं, जो क्वासिकोहरेंट शीव्स का सही सिद्धांत देने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। बीजगणितीय ढेर के लिए चिकनी टोपोलॉजी का उपयोग करने के बजाय अक्सर इसके एक संशोधन का उपयोग किया जाता है जिसे लिस-एट टोपोलॉजी कहा जाता है (लिसे-एटेल के लिए छोटाः लिसे चिकनी के लिए फ्रांसीसी शब्द है), जिसमें चिकनी टोपोलॉजी के समान खुले सेट होते हैं लेकिन खुले आवरण चिकनी मानचित्रों के बजाय एटेल द्वारा दिए जाते हैं। यह आमतौर पर अर्ध-सुसंगत आवरणों की एक समतुल्य श्रेणी की ओर ले जाता है, लेकिन इसका उपयोग करना आसान हैः उदाहरण के लिए बीजगणितीय रिक्त स्थान पर एटेल टोपोलॉजी के साथ तुलना करना आसान है। लिस-एट टोपोलॉजी में एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या हैः ढेर के बीच एक आकृतिवाद सामान्य रूप से संबंधित टोपोई के बीच एक आकृतिवाद नहीं देता है। (समस्या यह है कि जब कोई टोपोई के ज्यामितीय आकृतिवाद के लिए आवश्यक सहायक फंक्टर f *, f * की एक जोड़ी का निर्माण कर सकता है, तो फंक्टर f * को सामान्य रूप से सटीक नहीं छोड़ा जाता है। यह समस्या प्रकाशित पत्रों और पुस्तकों में कुछ त्रुटियों के कारण कुख्यात है।) इसका मतलब है कि ढेरों की आकृति के तहत एक क्वासिकोहरेंट शीफ के पुलबैक के निर्माण के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। सूक्ष्म स्थलविज्ञान का उपयोग करना भी संभव है। अधिकांश उचित "पर्याप्त रूप से बड़े" ग्रोथेन्डिक स्थलविज्ञान अर्ध-सुसंगत आवरणों की समतुल्य श्रेणियों की ओर ले जाते हैं, लेकिन एक बड़ी स्थलविज्ञान को संभालना उतना ही कठिन होता है, इसलिए आम तौर पर छोटे स्थलविज्ञान का उपयोग करना पसंद किया जाता है जब तक कि उनके पास पर्याप्त खुले सेट हों। उदाहरण के लिए, बड़ी एफ. पी. पी. एफ. टोपोलॉजी अनिवार्य रूप से लिस-एट टोपोलॉजी के समान अर्ध-सुसंगत आवरणों की श्रेणी की ओर ले जाती है, लेकिन इसमें एक सूक्ष्म समस्या हैः इस टोपोलॉजी में ओ. एक्स. मॉड्यूल में अर्ध-सुसंगत आवरणों का प्राकृतिक अंतःस्थापन सटीक नहीं है (यह सामान्य रूप से कर्नेल को संरक्षित नहीं करता है)। अन्य प्रकार के स्टैक विभेदक स्टैक और टोपोलॉजिकल स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के समान परिभाषित किया गया है, सिवाय इसके कि एफ़ाइन योजनाओं की अंतर्निहित श्रेणी को चिकनी मैनिफोल्ड या टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अधिक आम तौर पर एक एन-शीफ या एन-1 स्टैक की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है, जो मोटे तौर पर एन-1 श्रेणियों में मान लेने वाले शीफ का एक प्रकार है। ऐसा करने के कई असमान तरीके हैं। 1-शीव्स शीव्स के समान होते हैं, और 2-शीव्स स्टैक के समान होते हैं। इन्हें हायर स्टैक कहा जाता है। एक बहुत ही समान और अनुरूप विस्तार गैर-विविक्त वस्तुओं पर स्टैक सिद्धांत विकसित करना है (यानी, एक स्थान वास्तव में बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक स्पेक्ट्रम है)। परिणामी स्टैक वस्तुओं को व्युत्पन्न स्टैक (या वर्णक्रमीय स्टैक) कहा जाता है। जैकब लूरी की निर्माणाधीन पुस्तक स्पेक्ट्रल अलजेब्रिक ज्योमेट्री एक सामान्यीकरण का अध्ययन करती है जिसे वे स्पेक्ट्रल डेलिग्ने-मम्फोर्ड स्टैक कहते हैं। परिभाषा के अनुसार, यह एक वलयाकार φ-टोपोस है जो स्थानीय रूप से एक E φ-रिंग का एटेल स्पेक्ट्रम है (यह धारणा एक व्युत्पन्न योजना की है, कम से कम विशेषता शून्य में।) सेट-सैद्धांतिक समस्याएं स्टैक के सिद्धांत की सामान्य नींव के साथ कुछ छोटी सेट सैद्धांतिक समस्याएं हैं, क्योंकि स्टैक को अक्सर सेट की श्रेणी के लिए कुछ निश्चित कारक के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसलिए वे सेट नहीं होते हैं। इस समस्या से निपटने के कई तरीके हैंः कोई भी ग्रोथेन्डिक ब्रह्मांडों के साथ काम कर सकता हैः एक ढेर तब कुछ निश्चित ग्रोथेन्डिक ब्रह्मांड के वर्गों के बीच एक कारक होता है, इसलिए ये वर्ग और ढेर एक बड़े ग्रोथेन्डिक ब्रह्मांड में सेट होते हैं। इस दृष्टिकोण की कमी यह है कि किसी को पर्याप्त ग्रोथेन्डिक ब्रह्मांडों के अस्तित्व को मान लेना पड़ता है, जो अनिवार्य रूप से एक बड़ा मुख्य स्वयंसिद्ध है। स्टैक को पर्याप्त रूप से बड़े रैंक के सेट के फ़ंक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और उपयोग किए जाने वाले विभिन्न सेटों के रैंक पर सावधानीपूर्वक नज़र रखी जा सकती है। इसके साथ समस्या यह है कि इसमें कुछ अतिरिक्त बल्कि थकाऊ बहीखाता शामिल है। कोई भी सेट सिद्धांत से प्रतिबिंब सिद्धांतों का उपयोग कर सकता है जिसमें कहा गया है कि कोई भी जेडएफसी के स्वयंसिद्धों के किसी भी सीमित टुकड़े के सेट मॉडल पा सकता है ताकि यह दिखाया जा सके कि कोई भी स्वचालित रूप से ऐसे सेट पा सकता है जो सभी सेटों के ब्रह्मांड के पर्याप्त रूप से करीब हैं। समस्या को नजरअंदाज किया जा सकता है। यह कई लेखकों द्वारा अपनाया गया दृष्टिकोण है। एक स्टैक के बीजगणितीय स्टैक चाउ समूह को भी देखें डिलिग्ने-मम्फोर्ड स्टैक बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली स्टैक का पीछा करना एक बीजगणितीय स्टैक का अनुपात मॉड्यूलर रूपों की रिंग सरल प्रीशेफ स्टैक परियोजना टॉरिक स्टैक नोट्स शैक्षणिक संदर्भ एक व्याख्यात्मक लेख है जो उदाहरणों के साथ स्टैक की मूल बातों का वर्णन करता है। साहित्य के लिए गाइड https://maths-people.anu.edu.au ~ अल्पर्ज/पेपर/स्टैक-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 संदर्भ दुर्भाग्य से यह पुस्तक इस गलत दावे का उपयोग करती है कि बीजगणितीय स्टैक के आकृतिवाद लिसे-एटेल टोपोई के आकृतिवाद को प्रेरित करते हैं। इनमें से कुछ त्रुटियों को ठीक किया गया था। आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक "बीजगणितीय ढेर पर अच्छे परिचयात्मक संदर्भ?" बीजगणितीय ज्यामिति श्रेणी सिद्धांत