Hellinger distance
संभाव्यता और सांख्यिकी में, हेलिंगर दूरी (भट्टाचार्या दूरी से निकटता से संबंधित, हालांकि अलग) का उपयोग दो संभाव्यता वितरणों के बीच समानता की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह एक प्रकार का एफ-विचलन है। हेलिंगर दूरी को हेलिंगर समाकलन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिसे अर्न्स्ट हेलिंगर द्वारा 1909 में पेश किया गया था। इसे कभी-कभी जेफ्री की दूरी कहा जाता है। परिभाषा माप सिद्धांत माप सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, एक माप स्थान पर दो संभाव्यता उपायों को दर्शाते हैं जो एक सहायक माप के संबंध में पूरी तरह से निरंतर हैं। ऐसा उपाय हमेशा मौजूद रहता है, उदाहरण के लिए। और के बीच की हेलिंगर दूरी का वर्ग यहाँ की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है, और, अर्थात। और के संबंध में क्रमशः पी और क्यू के रेडॉन-निकोडियम व्युत्पन्न हैं। यह परिभाषा इस पर निर्भर नहीं करती है, अर्थात। पी और क्यू के बीच हेलिंगर दूरी नहीं बदलती है यदि एक अलग संभावना माप के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है जिसके संबंध में पी और क्यू दोनों बिल्कुल निरंतर हैं। कॉम्पैक्टनेस के लिए, उपरोक्त सूत्र को अक्सर लेबेस्ग माप का उपयोग करके प्रायिकता सिद्धांत के रूप में लिखा जाता है प्राथमिक प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, हम λ को लेबेस्ग माप के रूप में लेते हैं, ताकि dP/dλ और dQ/dλ केवल प्रायिकता घनत्व कार्य हों। यदि हम घनत्वों को क्रमशः f और g के रूप में निरूपित करते हैं, तो वर्ग हेलिंगर दूरी को एक मानक कलन समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां दूसरा रूप वर्ग का विस्तार करके और इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि इसके क्षेत्र पर संभाव्यता घनत्व का समाकलन 1 के बराबर है। हेलिंगर दूरी एच (पी, क्यू) गुण को संतुष्ट करती है (कौची-श्वार्ज असमानता से व्युत्पन्न) विविक्त वितरण दो विविक्त संभाव्यता वितरणों के लिए और, उनकी हेलिंगर दूरी को परिभाषित किया जाता है जो वर्गमूल वैक्टर के अंतर के यूक्लिडियन मानक से सीधे संबंधित है, अर्थात। इसके अलावा, गुण हेलिंगर दूरी किसी दिए गए प्रायिकता स्थान पर प्रायिकता वितरण के स्थान पर एक सीमित मीट्रिक बनाती है। अधिकतम दूरी 1 तब प्राप्त की जाती है जब पी प्रत्येक सेट को संभावना शून्य निर्धारित करता है, जिसके लिए क्यू एक सकारात्मक संभावना निर्धारित करता है, और इसके विपरीत। कभी-कभी समाकलन के सामने के कारक को छोड़ दिया जाता है, इस मामले में हेलिंगर की दूरी शून्य से लेकर दो के वर्गमूल तक होती है। हेलिंगर दूरी भट्टाचार्य गुणांक से संबंधित है क्योंकि इसे परिभाषित किया जा सकता है कि हेलिंगर दूरी का उपयोग अनुक्रमिक और स्पर्शोन्मुख सांख्यिकी के सिद्धांत में किया जाता है। दो सामान्य वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी और हैः दो बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी और है दो घातीय वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी और हैः दो वेइबुल वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी और (जहां एक सामान्य आकार पैरामीटर है और क्रमशः स्केल पैरामीटर हैं): दर मापदंडों के साथ दो पॉइसन वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी और, इसलिए और हैः दो बीटा वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी और हैः बीटा फ़ंक्शन कहाँ है। दो गामा वितरणों के बीच वर्ग हेलिंगर दूरी हैः जहाँ गामा फलन है। कुल भिन्नता दूरी के साथ संबंध हेलिंगर दूरी और कुल भिन्नता दूरी (या सांख्यिकीय दूरी) निम्नानुसार संबंधित हैंः इस असमानता में स्थिरांक इस बात पर निर्भर करते हुए बदल सकते हैं कि आप कौन सा पुनर्भरण चुनते हैं (या)। ये असमानताएँ 1-मानक और 2-मानक के बीच की असमानताओं के तुरंत बाद आती हैं। सांख्यिकीय दूरी कुलबैक-लीबलर विचलन भी देखें भट्टाचार्य दूरी कुल भिन्नता दूरी मछुआरा सूचना मीट्रिक नोट्स संदर्भ संभाव्यता वितरण का सिद्धांत एफ-विचलन सांख्यिकीय दूरी