Generalized Dirichlet distribution
सांख्यिकी में, सामान्यीकृत डिरिचलेट वितरण (जी. डी.) एक अधिक सामान्य सहप्रसरण संरचना और मापदंडों की लगभग दोगुनी संख्या के साथ डिरिचलेट वितरण का एक सामान्यीकरण है। जी. डी. वितरण वाले यादृच्छिक वैक्टर पूरी तरह से तटस्थ होते हैं। घनत्व फलन वह है जहाँ हम परिभाषित करते हैं। यहाँ बीटा फ़ंक्शन को दर्शाया गया है। यह मानक डिरिचलेट वितरण तक कम हो जाता है यदि (मनमाना है)। उदाहरण के लिए, यदि k = 4 है, तो इसका घनत्व फलन कहाँ और है। कोनोर और मोसिमन पीडीएफ को परिभाषित करते हैं जैसा कि उन्होंने निम्नलिखित कारणों से किया था। यादृच्छिक चर को इसके साथ परिभाषित करें। फिर सामान्यीकृत डिरिचलेट वितरण को ऊपर दिए गए मापदंड के रूप में रखें, यदि वे मापदंडों के साथ स्वतंत्र बीटा हैं। वोंग वोंग द्वारा दिया गया वैकल्पिक रूप कहाँ के लिए और के लिए थोड़ा अधिक संक्षिप्त रूप देता है। ध्यान दें कि वोंग एक आयामी स्थान (अंतर्निहित रूप से परिभाषित) पर एक वितरण को परिभाषित करता है जबकि कॉनर और मोसीमन एक आयामी स्थान का उपयोग करते हैं। सामान्य क्षण फलन यदि, तो कहाँ के लिए और। इस प्रकार मानक डिरिचलेट वितरण में कमी जैसा कि ऊपर बताया गया है, यदि तब वितरण एक मानक डिरिचलेट तक कम हो जाता है। यह स्थिति सामान्य मामले से अलग है, जिसमें सामान्यीकृत वितरण के अतिरिक्त मापदंडों को शून्य पर सेट करने से मूल वितरण में परिणाम मिलता है। हालाँकि, जी. डी. डी. के मामले में, इसके परिणामस्वरूप एक बहुत ही जटिल घनत्व कार्य होता है। बायेसियन विश्लेषण मान लीजिए कि डिरिचलेट को सामान्यीकृत किया गया है, और यह परीक्षणों के साथ बहुपद है (यहाँ)। के लिए और संयुक्त पोस्टीरियर के लिए लिखना एक सामान्यीकृत डिरिचलेट वितरण है जिसमें कहाँ और नमूना प्रयोग के लिए वोंग निम्नलिखित प्रणाली को एक उदाहरण के रूप में देता है कि डिरिचलेट और सामान्यीकृत डिरिचलेट वितरण कैसे भिन्न होते हैं। उनका मानना है कि एक बड़े कलश में विभिन्न रंगों की गेंदें होती हैं। प्रत्येक रंग का अनुपात अज्ञात है। कलश में रंग के साथ गेंदों के अनुपात के लिए लिखें। प्रयोग 1. विश्लेषक 1 का मानना है कि (यानी, मापदंडों के साथ डिरिचलेट है)। इसके बाद विश्लेषक कांच के डिब्बे बनाता है और डिब्बे में रंग के संगमरमर डालता है (यह माना जाता है कि वे पूर्णांक हैं)। फिर विश्लेषक 1 कलश से एक गेंद खींचता है, उसके रंग (रंग कहें) को देखता है और उसे डिब्बे में डाल देता है। वह सही डिब्बे की पहचान कर सकता है क्योंकि वे पारदर्शी हैं और अंदर संगमरमर के रंग दिखाई देते हैं। प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक गेंदें नहीं खींची जाती हैं। बाद का वितरण तब डिरिचलेट होता है जिसमें प्रत्येक डिब्बे में संगमरमर की संख्या होती है। प्रयोग 2. विश्लेषक 2 का मानना है कि एक सामान्यीकृत डिरिचलेट वितरण का अनुसरण करता हैः सभी मापदंडों को फिर से सकारात्मक पूर्णांक माना जाता है। विश्लेषक लकड़ी के डिब्बे बनाता है। डिब्बों में दो क्षेत्र होते हैंः एक गेंद के लिए और एक संगमरमर के लिए। गेंदें रंगीन होती हैं लेकिन संगमरमर रंगीन नहीं होती हैं। फिर वह डिब्बे में रंग की गेंदें और संगमरमर डालता है। फिर वह डिब्बे में एक रंगीन गेंद डालता है। इसके बाद विश्लेषक कलश से एक गेंद खींचता है। क्योंकि डिब्बे लकड़ी के होते हैं, विश्लेषक यह नहीं बता सकता कि गेंद को किस डिब्बे में डालना है (जैसा कि वह ऊपर प्रयोग 1 में कर सकता है); उसकी याददाश्त भी खराब है और उसे याद नहीं है कि किस डिब्बे में कौन सी रंगीन गेंदें हैं। उसे यह पता लगाना होगा कि गेंद को अंदर डालने के लिए कौन सा बॉक्स सही है। वह बॉक्स 1 खोलकर और उसमें की गेंदों की तुलना ड्रॉ हुई गेंद से करके ऐसा करता है। यदि रंग अलग-अलग हैं, तो बॉक्स गलत है। विश्लेषक बॉक्स 1 में एक संगमरमर (एस. आई. सी.) रखता है और बॉक्स 2 की ओर बढ़ता है। वह इस प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक कि बॉक्स में गेंदें ड्रॉ हुई गेंद से मेल नहीं खाती हैं, जिस बिंदु पर वह गेंद (एस. आई. सी.) को मैचिंग रंग की अन्य गेंदों के साथ बॉक्स में डाल देते हैं। इसके बाद विश्लेषक कलश से एक और गेंद खींचता है और गेंद के ड्रॉ होने तक दोहराता है। इसके बाद पीछे के हिस्से को सामान्यीकृत डिरिचलेट किया जाता है, जिसमें प्रत्येक डिब्बे में गेंदों की संख्या और संगमरमर की संख्या के मापदंड होते हैं। ध्यान दें कि प्रयोग 2 में, बक्से के क्रम को बदलने से प्रयोग 1 के विपरीत एक गैर-तुच्छ प्रभाव पड़ता है। डिरिचलेट-मल्टीनोमियल वितरण भी देखें लुकाक्स का अनुपात-राशि स्वतंत्रता प्रमेय संदर्भ निरंतर वितरण बहुभिन्न निरंतर वितरण पूर्व वितरणों को संयोजित करते हैं घातीय परिवार वितरण