Homogeneous relation
गणित में, एक समुच्चय X पर एक सजातीय संबंध (जिसे एंडोरिलेशन भी कहा जाता है) X और स्वयं के बीच एक द्विआधारी संबंध है, अर्थात। यह कार्टेशियन उत्पाद का एक उपसमुच्चय है। इसे आमतौर पर "एक्स पर एक संबंध" या "एक्स पर एक (द्विआधारी) संबंध" के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक सजातीय संबंध का एक उदाहरण नातेदारी का संबंध है, जहाँ संबंध लोगों के बीच होता है। एंडोरिलेशन के सामान्य प्रकारों में ऑर्डर, ग्राफ और समतुल्यता शामिल हैं। क्रम सिद्धांत और ग्राफ सिद्धांत के विशेष अध्ययनों ने अंतर्वेशन की समझ विकसित की है। ग्राफ सिद्धांत के लिए विशेष शब्दावली का उपयोग विवरण के लिए किया जाता है, जिसमें एक साधारण (अनिर्दिष्ट) ग्राफ को एक सममित संबंध के अनुरूप माना जाता है, और एक निर्देशित ग्राफ के अनुरूप एक सामान्य एंडोरिलेशन होता है। एक एंडोरिलेशन आर 0s और 1s के तार्किक मैट्रिक्स से मेल खाता है, जहां अभिव्यक्ति xRy ग्राफ में x और y के बीच एक किनारे से मेल खाती है, और R के वर्ग मैट्रिक्स में 1 से। इसे ग्राफ शब्दावली में एक निकटता मैट्रिक्स कहा जाता है। विशेष सजातीय संबंध एक समुच्चय X पर कुछ विशेष सजातीय संबंध (मनमाने तत्वों के साथ) हैंः खाली संबंध; अर्थात, कभी नहीं धारण करता है; सार्वभौमिक संबंध; अर्थात, हमेशा धारण करता है; पहचान संबंध (पहचान कार्य भी देखें); अर्थात, यदि और केवल यदि धारण करता है। उदाहरण पृथ्वी की पपड़ी की पंद्रह बड़ी विवर्तनिक प्लेटें एक सजातीय संबंध में एक दूसरे से संपर्क करती हैं। इस संबंध को एक तार्किक मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें 1 संपर्क का संकेत देता है और 0 कोई संपर्क नहीं है। यह उदाहरण एक सममित संबंध को व्यक्त करता है। गुण कुछ महत्वपूर्ण गुण जो एक समुच्चय पर एक सजातीय संबंध में हो सकते हैं वे हैंः सभी के लिए। उदाहरण के लिए, एक प्रतिवर्त संबंध है लेकिन> नहीं है। (या) सभी के लिए, नहीं। उदाहरण के लिए,> एक अपरिवर्तनीय संबंध है, लेकिन ω नहीं है। सभी के लिए, अगर तब। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर संबंध जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित है, एक कोरफ़्लेक्सिव संबंध है। समानता संबंध एक प्रतिबिंबीत और कोरफ़्लेक्सिव संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी कोरफ़्लेक्सिव संबंध पहचान संबंध का एक उपसमुच्चय है। सभी के लिए, अगर तब। सभी के लिए, अगर तब। सभी के लिए, अगर तब और। एक संबंध अर्ध-प्रतिबिंबीत है यदि, और केवल तभी जब, यह बाएं और दाएं दोनों अर्ध-प्रतिबिंबीत हो। पिछले 6 विकल्प संपूर्ण होने से बहुत दूर हैं; उदाहरण के लिए, द्वारा परिभाषित द्विआधारी संबंध न तो अपरिवर्तनीय है, न ही कोरफ़्लेक्सिव है, न ही प्रतिवर्तनीय है, क्योंकि इसमें क्रमशः जोड़ा है, और, लेकिन नहीं। बाद के दो तथ्य (किसी भी प्रकार की) अर्ध-लचीलापन को भी खारिज करते हैं। सभी के लिए, अगर तब। उदाहरण के लिए, "रक्त का सापेक्ष है" एक सममित संबंध है, क्योंकि यह रक्त का सापेक्ष है यदि और केवल यदि रक्त का सापेक्ष है। सभी के लिए, अगर और फिर। उदाहरण के लिए, एक असममितिविरोधी संबंध है; तो है>, लेकिन शून्य (परिभाषा में स्थिति हमेशा गलत होती है)। सभी के लिए, अगर नहीं। एक संबंध असममित है यदि और केवल तभी जब यह प्रतिसमितीय और अपरिवर्तनीय दोनों हो। उदाहरण के लिए,> एक असममित संबंध है, लेकिन ω नहीं है। फिर से, पिछले 3 विकल्प संपूर्ण होने से बहुत दूर हैं; प्राकृतिक संख्याओं पर एक उदाहरण के रूप में, परिभाषित संबंध न तो सममित है और न ही सममित विरोधी, असममित होने की तो बात ही छोड़िए। सभी के लिए, अगर और फिर। एक सकर्मक संबंध अपरिवर्तनीय होता है यदि और केवल तभी जब यह असममित हो। उदाहरण के लिए, "का पूर्वज है" एक सकर्मक संबंध है, जबकि "का जनक है" नहीं है। सभी के लिए, अगर और फिर कभी नहीं। यदि आर का पूरक सकर्मक है। वह है, सभी के लिए, यदि, तब या। इसका उपयोग रचनात्मक गणित में छद्म-क्रम में किया जाता है। सबके लिए, अगर और लेकिन न तो और न ही, फिर लेकिन नहीं। सभी के लिए, यदि और के संबंध में अतुलनीय हैं और यदि वही सच है और, तो और के संबंध में भी अतुलनीय हैं। इसका उपयोग कमजोर क्रम में किया जाता है। एक बार फिर, पिछले 5 विकल्प संपूर्ण नहीं हैं। उदाहरण के लिए, संबंध यदि (या) इनमें से किसी भी गुण को संतुष्ट नहीं करता है। दूसरी ओर, खाली संबंध उन सभी को तुच्छ रूप से संतुष्ट करता है। ऐसे सभी के लिए, कुछ ऐसे हैं जो और। इसका उपयोग घने क्रम में किया जाता है। सभी के लिए, यदि तब या। इस गुण को कभी-कभी "कुल" कहा जाता है, जो नीचे दी गई "बाएँ/दाएँ-कुल" की परिभाषाओं से अलग है। सभी के लिए, या। इस गुण को भी कभी-कभी "कुल" कहा जाता है, जो नीचे दी गई "बाएँ/दाएँ-कुल" की परिभाषाओं से अलग है। सभी के लिए, बिल्कुल एक, या धारण करता है। उदाहरण के लिए,> एक त्रिकोणीय संबंध है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं पर "विभाजित" संबंध नहीं है। (या बस) सभी के लिए, अगर और फिर। उदाहरण के लिए, = एक यूक्लिडियन संबंध है क्योंकि यदि और फिर। सभी के लिए, अगर और फिर। प्रत्येक गैर-खाली उपसमुच्चय के संबंध में एक न्यूनतम तत्व होता है। अच्छी तरह से स्थापित होने का अर्थ है अवरोही श्रृंखला स्थिति (यानी, कोई अनंत श्रृंखला मौजूद नहीं हो सकती है)। यदि आश्रित विकल्प के स्वयंसिद्ध को माना जाता है, तो दोनों शर्तें समान हैं। इसके अलावा, सामान्य रूप से द्विआधारी संबंधों के सभी गुण सजातीय संबंधों पर भी लागू हो सकते हैंः सभी के लिए, ऐसे सभी का वर्ग जो एक समूह है। (यह तभी समझ में आता है जब उचित वर्गों पर संबंधों की अनुमति दी जाती है।) सभी और सभी के लिए, अगर और फिर। सभी और सभी के लिए, अगर और फिर। (जिसे लेफ्ट-टोटल भी कहा जाता है) सभी के लिए ऐसा मौजूद है। यह गुण जुड़े हुए की परिभाषा से अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है)। (जिसे सही-कुल भी कहा जाता है) सभी के लिए, एक ऐसा मौजूद है जो xRy है। ए एक ऐसा संबंध है जो प्रतिबिंबीत और सकर्मक है। ए, जिसे या भी कहा जाता है, एक ऐसा संबंध है जो प्रतिबिंबीत, सकर्मक और जुड़ा हुआ है। ए, जिसे ए भी कहा जाता है, एक ऐसा संबंध है जो रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव है। ए, जिसे ए भी कहा जाता है, एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, प्रतिसमितीय और सकर्मक है। ए, जिसे या भी कहा जाता है, एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्तक, प्रतिसमितीय, सकर्मक और जुड़ा हुआ है। ए, जिसे या भी कहा जाता है, एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, प्रतिसमितीय, सकर्मक और जुड़ा हुआ है। ए एक ऐसा संबंध है जो सममित और सकर्मक है। एन एक ऐसा संबंध है जो प्रतिबिंबीत, सममित और सकर्मक है। यह एक ऐसा संबंध भी है जो सममित, सकर्मक और कुल है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तिता को दर्शाते हैं। यदि R एक समुच्चय X पर एक सजातीय संबंध है तो निम्नलिखित में से प्रत्येक X पर एक सजातीय संबंध हैः, R = परिभाषित या R युक्त X पर सबसे छोटा प्रतिवर्तक संबंध। यह सभी प्रतिवर्तक संबंधों के प्रतिच्छेदन के बराबर साबित किया जा सकता है जिसमें R, R ≤ परिभाषित किया गया है या R, R + में निहित X पर सबसे बड़ा अपरिवर्तक संबंध है। इसे R युक्त X पर सबसे छोटे सकर्मक संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इसे R, R * वाले सभी सकर्मक संबंधों के प्रतिच्छेदन के बराबर देखा जा सकता है। {। वर्ग = "विकिटेबल छँटाई योग्य" शैली = "पाठ-संरेखितः केंद्र"। + गुण द्वारा सजातीय संबंध।-! ! रिफ्लेक्सिविटी! समरूपता! पारगमनशीलता! जुड़ाव! प्रतीक! उदाहरण।-! निर्देशित ग्राफ।।।।।।।।-! दिशाहीन ग्राफ।।।।।।।।-! निर्भरता।।।।।।।-! टूर्नामेंट।।।। पेकिंग ऑर्डर।-! प्रीऑर्डर।।।। ≤। वरीयता।-! कुल प्रीऑर्डर।।।।। ≤।।-! आंशिक क्रम।।।। ≤। सबसेट।-! सख्त आंशिक क्रम।।।।। <। सख्त उपसमुच्चय।-! कुल क्रम।।।। ≤। वर्णमाला क्रम।-! सख्त कुल क्रम।।।। <। सख्त वर्णानुक्रम।-! आंशिक समतुल्यता संबंध।।।।।।।।-! समतुल्यता संबंध।। ̃, ष्ण। समानता।} गणना एक समुच्चय X पर सभी सजातीय संबंधों का समुच्चय वह समुच्चय है जो एक बूलियन बीजगणित है जो इसके विपरीत संबंध के संबंध के मानचित्रण के समावेश के साथ संवर्धित होता है। एक द्विआधारी क्रिया के रूप में संबंधों की संरचना को ध्यान में रखते हुए, यह अंतर्वेशन के साथ एक मोनॉइड बनाता है जहां पहचान तत्व पहचान संबंध है। एक एन-तत्व समुच्चय पर अलग-अलग सजातीय संबंधों की संख्या हैः टिप्पणियाँः अपरिवर्तनीय संबंधों की संख्या प्रतिबिंबीत संबंधों के समान होती है। सख्त आंशिक आदेशों (अपरिवर्तनीय सकर्मक संबंध) की संख्या आंशिक आदेशों के समान होती है। सख्त कमजोर ऑर्डरों की संख्या कुल पूर्व-ऑर्डरों के समान होती है। कुल ऑर्डर आंशिक ऑर्डर होते हैं जो कुल पूर्व ऑर्डर भी होते हैं। इसलिए, पूर्व-आदेशों की संख्या, जो न तो आंशिक क्रम है और न ही कुल पूर्व-आदेश है, पूर्व-आदेशों की संख्या है, आंशिक आदेशों की संख्या को घटाकर, कुल पूर्व-आदेशों की संख्या को घटाकर, साथ ही कुल आदेशों की संख्याः क्रमशः 0,0,0,3 और 85। तुल्यता संबंधों की संख्या विभाजनों की संख्या है, जो बेल संख्या है। सजातीय संबंधों को जोड़े (संबंध, पूरक) में समूहीकृत किया जा सकता है, सिवाय इसके कि संबंध के लिए इसका अपना पूरक है। गैर-सममितियों को चौगुना (संबंध, पूरक, व्युत्क्रम, व्युत्क्रम पूरक) में वर्गीकृत किया जा सकता है। सख्त आदेशों सहित क्रम संबंधों के उदाहरण हैंः अधिक से अधिक या समान से कम या समान से कम (समान रूप से) समतुल्यता संबंधों के सबसेट को विभाजित करता हैः समतुल्यता के साथ समानता समानांतर या समरूपता समतुल्य रेखा खंडों के साथ बाइजेक्शन में है सहिष्णुता संबंध, एक प्रतिवर्तक और सममित संबंधः निर्भरता संबंध, एक सीमित सहिष्णुता संबंध स्वतंत्रता संबंध, कुछ निर्भरता संबंध का पूरक संबंध सामान्यीकरण एक द्विआधारी संबंध को सामान्य रूप से सजातीय होने की आवश्यकता नहीं है, इसे मनमाने सेट X और Y के लिए एक सबसेट R × X × Y के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक परिमित संबंध कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए एक उपसमुच्चय R′ X1 ×. × Xn है और मनमाना समुच्चय X1,., Xn, इसे n-ary संबंध भी कहा जाता है। संदर्भ द्विआधारी संबंध