Compass equivalence theorem
ज्यामिति में, कम्पास समतुल्यता प्रमेय कम्पास और सीधी धार के निर्माण में एक महत्वपूर्ण कथन है। इन निर्माणों में प्लेटो द्वारा समर्थित उपकरण एक विभाजक या ढहने वाला कम्पास है, यानी एक कम्पास जो जब भी किसी पृष्ठ से उठाया जाता है तो "ढह जाता है", ताकि इसका उपयोग सीधे दूरी स्थानांतरित करने के लिए न किया जा सके। अपने स्थिर छिद्र के साथ आधुनिक कम्पास का उपयोग सीधे दूरी स्थानांतरित करने के लिए किया जा सकता है और इसलिए यह एक अधिक शक्तिशाली उपकरण प्रतीत होता है। हालांकि, कम्पास समतुल्यता प्रमेय में कहा गया है कि "आधुनिक कम्पास" के माध्यम से किसी भी निर्माण को ढहने वाले कम्पास के साथ प्राप्त किया जा सकता है। यह यह स्थापित करके दिखाया जा सकता है कि एक ढहने वाले कम्पास के साथ, समतल में एक वृत्त दिए जाने पर, समतल पर किसी भी बिंदु पर केंद्रित समान त्रिज्या के एक और वृत्त का निर्माण करना संभव है। यह प्रमेय यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I का प्रस्ताव II है। इस प्रमेय के प्रमाण का इतिहास उतार-चढ़ाव वाला रहा है। यूक्लिड ने अपने एलिमेंट्स में निम्नलिखित निर्माण और शुद्धता का प्रमाण दिया है। यद्यपि यूक्लिड के उपचार में कई मामले प्रतीत होते हैं, अस्पष्ट निर्देशों की व्याख्या करते समय किए गए विकल्पों के आधार पर, वे सभी एक ही निष्कर्ष पर पहुँचते हैं, और इसलिए, विशिष्ट विकल्प नीचे दिए गए हैं। दिए गए बिंदु, और, त्रिज्या की लंबाई के साथ केंद्रित एक वृत्त का निर्माण करें (यानी, ठोस हरे वृत्त के बराबर, लेकिन पर केंद्रित)। (लाल वृत्त) पर केंद्रित और उससे गुजरते हुए और इसके विपरीत एक वृत्त बनाएँ। वे बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे और समबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंगे। अतीत का विस्तार करें और लेबल किए गए और वृत्त के प्रतिच्छेदन को ढूंढें। (नीला वृत्त) पर केंद्रित और उससे गुजरने वाला एक वृत्त बनाएँ। अतीत का विस्तार करें और लेबल किए गए और वृत्त के प्रतिच्छेदन को ढूंढें। (बिंदीदार हरा वृत्त) पर केंद्रित और उससे गुजरने वाले एक वृत्त का निर्माण करें क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है। क्योंकि और चारों ओर एक घेरे पर हैं। इसलिए,। क्योंकि वृत्त पर है,। इसलिए,। सीधी धार के बिना वैकल्पिक निर्माण सीधी धार के उपयोग के बिना कम्पास समतुल्यता साबित करना संभव है। यह मोहर-मासचेरोनी प्रमेय के प्रमाणों में "निश्चित कम्पास" चालों (एक अलग स्थान पर दी गई त्रिज्या के एक वृत्त का निर्माण) के उपयोग को उचित ठहराता है, जिसमें कहा गया है कि सीधी धार और कम्पास के साथ किसी भी संभव निर्माण को केवल कम्पास के साथ पूरा किया जा सकता है। दिए गए बिंदु, और, त्रिज्या के साथ केंद्रित एक वृत्त का निर्माण करें, केवल एक ढहने वाले कम्पास का उपयोग करके और कोई सीधी धार नहीं। केंद्र में एक वृत्त बनाएँ और उससे गुजरते हुए और इसके विपरीत (नीले वृत्त)। वे बिंदुओं और पर प्रतिच्छेद करेंगे। केंद्रों पर और (लाल वृत्त) के साथ वृत्त बनाएँ। उनके दूसरे प्रतिच्छेदन को लेबल करें। केंद्र के गुजरने के साथ एक वृत्त (हरा वृत्त) बनाएँ। यह आवश्यक वृत्त है। इस रचना की शुद्धता के कई प्रमाण हैं और इसे अक्सर पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है। यहाँ परिवर्तनों का उपयोग करने वाला एक आधुनिक है। रेखा का लंबवत द्विभाजक है। इस प्रकार रेखा के माध्यम से परावर्तन होता है। निर्माण द्वारा, थ्रू लाइन का प्रतिबिंब होता है। चूँकि परावर्तन एक सममिति है, इसलिए यह वांछित के अनुसार होता है। संदर्भ कम्पास और सीधे किनारे के निर्माण