Multiplicative digital root
संख्या सिद्धांत में, किसी दिए गए संख्या आधार में एक प्राकृतिक संख्या का गुणक डिजिटल मूल एक साथ अंकों को गुणा करके पाया जाता है, फिर इस क्रिया को केवल एक अंक तक दोहराया जाता है, जिसे गुणक डिजिटल मूल कहा जाता है। पहले कुछ धनात्मक पूर्णांकों के लिए गुणक डिजिटल मूल हैंः 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,3,4,5,6,7,8,9,0,2,4,6,8,0,2,4,6,8,0,3,6,9,2,5,8,2,8,4,8,0। गुणक डिजिटल जड़ें डिजिटल जड़ों के गुणक समतुल्य हैं। परिभाषा मान लीजिए कि यह एक प्राकृतिक संख्या है। हम आधार के लिए अंक उत्पाद को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित करते हैंः जहां आधार में संख्या में अंकों की संख्या है, और संख्या के प्रत्येक अंक का मूल्य है। एक प्राकृतिक संख्या एक गुणक डिजिटल मूल है यदि यह एक निश्चित बिंदु है, जो तब होता है जब। उदाहरण के लिए, आधार में, 0 9876 का गुणक डिजिटल मूल है, क्योंकि आधार की परवाह किए बिना सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्व-आवधिक बिंदु हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि, तब और इसलिए यदि, तो तुच्छ रूप से इसलिए, केवल संभव गुणक डिजिटल मूल प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और के निश्चित बिंदुओं के अलावा कोई चक्र नहीं हैं। गुणक दृढ़ता एक निश्चित बिंदु तक पहुँचने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या की गुणक दृढ़ता है। गुणक दृढ़ता परिभाषित नहीं है यदि यह कभी भी एक निश्चित बिंदु तक नहीं पहुंचती है। आधार 10 में, यह अनुमान लगाया गया है कि गुणक दृढ़ता के साथ कोई संख्या नहीं हैः यह संख्याओं के लिए सच माना जाता है। दृढ़ता 0,1,. के साथ सबसे छोटी संख्याएँ हैंः 0,10,25,39,77,679,6788,687889,26888999,3778888999,277777888888899। इन रिकॉर्ड तोड़ने वाली संख्याओं के दशमलव अंकों के अतिरिक्त गुणों का उपयोग करके इन संख्याओं की खोज को तेज किया जा सकता है। इन अंकों को क्रमबद्ध किया जाना चाहिए, और पहले दो अंकों को छोड़कर, सभी अंक 7,8 या 9 होने चाहिए। पहले दो अंकों पर भी अतिरिक्त प्रतिबंध हैं। इन प्रतिबंधों के आधार पर, रिकॉर्ड तोड़ने वाली दृढ़ता के साथ अंकों की संख्या के लिए उम्मीदवारों की संख्या केवल वर्ग के समानुपाती है, जो सभी संभावित अंकों की संख्या का एक छोटा सा अंश है। हालाँकि, उपरोक्त अनुक्रम से गायब किसी भी संख्या में गुणक दृढ़ता> 11 होगी; माना जाता है कि ऐसी संख्याएँ मौजूद नहीं हैं, और यदि वे मौजूद हैं तो 20,000 से अधिक अंकों की आवश्यकता होगी। ऋणात्मक पूर्णांकों तक विस्तार गुणक डिजिटल मूल को प्रत्येक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का उपयोग करके ऋणात्मक पूर्णांकों तक बढ़ाया जा सकता है। प्रोग्रामिंग का उदाहरण नीचे दिया गया उदाहरण पायथन में गुणक डिजिटल मूल और गुणक निरंतरता की खोज के लिए उपरोक्त परिभाषा में वर्णित अंक उत्पाद को लागू करता है। डेफ डिजिट प्रोडक्ट (x: int, b: int)-> int: अगर x = = 0: रिटर्न 0 कुल = 1 जबकि x> 1: अगर x% b = = 0: रिटर्न 0 अगर x% b> 1: कुल = कुल * (x% b) x = x// b रिटर्न कुल डेफ मल्टिप्लिकेटिव डिजिटल रूट (x: int, b: int)-> int: देखा गया = [] जबकि x देखा नहीं गयाः seen.append (x) x = डिजिट _ प्रोडक्ट (x, b) रिटर्न x डेफ मल्टिप्लिकेटिव _ पर्सिस्टेंस (x: int, b: int)-> int: देखा गया = [] जबकि x देखा नहीं गयाः seen.append (x) x = डिजिट