Group Hopf algebra
गणित में, किसी दिए गए समूह का समूह होप्फ बीजगणित समूह क्रियाओं की समरूपता से संबंधित एक निश्चित संरचना है। क्वांटम समूहों के सिद्धांत में समूह होप्फ बीजगणित की विकृतियाँ मूलभूत हैं। परिभाषा मान लीजिए कि G एक समूह है और k एक क्षेत्र है। G का समूह होपफ बीजगणित, जिसे k पर k (या k [G]) दर्शाया जाता है, एक समुच्चय (और एक सदिश स्थान) के रूप में G पर मुक्त सदिश स्थान है। एक बीजगणित के रूप में, इसके उत्पाद को G में समूह संरचना के रैखिक विस्तार द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसमें G में गुणक इकाई की पहचान होती है; इस उत्पाद को अभिसरण के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि जबकि एक परिमित समूह के समूह बीजगणित को समूह पर कार्यों के स्थान के साथ पहचाना जा सकता है, एक अनंत समूह के लिए ये अलग-अलग हैं। समूह बीजगणित, जिसमें परिमित योग होते हैं, उस समूह के कार्यों से मेल खाता है जो कई अंकों के लिए गायब हो जाते हैं; स्थलवैज्ञानिक रूप से (असतत स्थलविज्ञान का उपयोग करते हुए), ये उन कार्यों से मेल खाते हैं जो केवल एक परिमित समूह पर गैर-शून्य होते हैं। हालांकि, समूह बीजगणित और-G गुणा k के कार्यों का परिवर्तनीय बीजगणित-दोहरे हैंः समूह बीजगणित का एक तत्व और समूह पर एक फलन दिए जाने पर इन जोड़े को k का एक तत्व देने के लिए, जिसके माध्यम से एक अच्छी तरह से परिभाषित योग है क्योंकि यह परिमित है। होप्फ बीजगणित संरचना हम जी पर परिभाषित निम्नलिखित मानचित्रों के रैखिक विस्तार के रूप में सह-उत्पाद, काउंटी और एंटीपोड को परिभाषित करके के. जी. को एक सह-परिवर्तनीय होप्फ बीजगणित की संरचना देते हैंः आवश्यक होप्फ बीजगणित संगतता स्वयंसिद्ध को आसानी से जांचा जाता है। ध्यान दें कि, के. जी. के समूह जैसे तत्वों का समूह (अर्थात। तत्व जैसे कि और), सटीक रूप से जी है। समूह क्रियाओं की सममितियाँ मान लीजिए कि जी एक समूह है और एक्स एक स्थलाकृतिक स्थान है। एक्स पर जी की कोई भी क्रिया एक समरूपता देती है, जहाँ एफ (एक्स) के-मूल्य वाले कार्यों का एक उपयुक्त बीजगणित है, जैसे कि अनंत पर गायब होने वाले निरंतर कार्यों का गेलफैंड-नाइमार्क बीजगणित। समरूपता को परिभाषित किया गया है, साथ में परिभाषित किया गया है, और के लिए। इसे एक रैखिक मानचित्रण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां, जी के तत्व हैं, और, जिसमें वह गुण है जो समूह जैसे तत्व एफ (एक्स) के स्वरूपता को जन्म देते हैं। नीचे वर्णित एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त संरचना के साथ एफ (एक्स) प्रदान करता है। होप्फ मॉड्यूल बीजगणित और होप्फ स्मैश उत्पाद एच को एक होप्फ बीजगणित होने दें। ए (बाएँ) होप्फ एच-मॉड्यूल बीजगणित ए एक बीजगणित है जो बीजगणित एच पर एक (बाएँ) मॉड्यूल है जैसे कि और जब भी, और योगहीन स्वीडलर संकेतन में। जब पिछले खंड के रूप में परिभाषित किया गया है, तो यह एफ (एक्स) को एक बाएं होप्फ केजी-मॉड्यूल बीजगणित में बदल देता है, जो निम्नलिखित निर्माण की अनुमति देता है। मान लीजिए कि एच एक होप्फ बीजगणित है और ए एक बाएं होप्फ एच-मॉड्यूल बीजगणित है। स्मैश उत्पाद बीजगणित उत्पाद के साथ वेक्टर स्थान है, और हम इस संदर्भ में इसके लिए लिखते हैं। हमारे मामले में, और हमारे पास है। इस मामले में स्मैश उत्पाद बीजगणित को भी इसके द्वारा दर्शाया जाता है। होप्फ स्मैश उत्पादों की चक्रीय समरूपता की गणना की गई है। हालांकि, वहाँ स्मैश उत्पाद को एक पार उत्पाद कहा जाता है और-गतिशील प्रणालियों से प्राप्त पार उत्पाद के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। संदर्भ होप्फ अल्जेब्रा क्वांटम समूह