Intrinsic dimension
डेटा सेट के लिए आंतरिक आयाम को डेटा के न्यूनतम प्रतिनिधित्व में आवश्यक चर की संख्या के रूप में सोचा जा सकता है। इसी तरह, बहुआयामी संकेतों के संकेत प्रसंस्करण में, संकेत का आंतरिक आयाम बताता है कि संकेत का एक अच्छा सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए कितने चर की आवश्यकता होती है। आंतरिक आयाम का अनुमान लगाते समय, हालांकि, कई गुना आयाम पर आधारित थोड़ी व्यापक परिभाषा का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां आंतरिक आयाम में एक प्रतिनिधित्व को केवल स्थानीय रूप से मौजूद होने की आवश्यकता होती है। इस तरह की आंतरिक आयाम आकलन विधियाँ इस प्रकार डेटा सेट के विभिन्न हिस्सों में विभिन्न आंतरिक आयामों के साथ डेटा सेट को संभाल सकती हैं। इसे अक्सर स्थानीय आंतरिक आयाम के रूप में जाना जाता है। आंतरिक आयाम का उपयोग निम्न सीमा के रूप में किया जा सकता है कि आयाम में कमी के माध्यम से डेटा सेट को संपीड़ित करना संभव है, लेकिन इसका उपयोग डेटा सेट या सिग्नल की जटिलता के माप के रूप में भी किया जा सकता है। एन चर के डेटा सेट या संकेत के लिए, इसका आंतरिक आयाम एम 0 ≤ एम ≤ एन को संतुष्ट करता है, हालांकि अनुमानक उच्च मान दे सकते हैं। उदाहरण के लिए एक दो-चर फलन (या संकेत) होना चाहिए जो किसी एक-चर फलन g के रूप में होता है जो स्थिर नहीं होता है। इसका मतलब है कि f, g के अनुसार, पहले चर के साथ या पहले निर्देशांक के साथ बदलता है। दूसरी ओर, f दूसरे चर के संबंध में या दूसरे निर्देशांक के साथ स्थिर है। एफ का मान निर्धारित करने के लिए केवल एक, अर्थात् प्रथम, चर का मान जानना आवश्यक है। इसलिए, यह एक दो-चर फलन है लेकिन इसका आंतरिक आयाम एक है। एक थोड़ा अधिक जटिल उदाहरण है। f अभी भी आंतरिक एक-आयामी है, जिसे एक परिवर्तनीय परिवर्तन करके देखा जा सकता है और जो देता है। चूँकि f में भिन्नता को एकल चर y1 द्वारा वर्णित किया जा सकता है, इसका आंतरिक आयाम एक है। इस मामले में कि f स्थिर है, इसका आंतरिक आयाम शून्य है क्योंकि भिन्नता का वर्णन करने के लिए किसी चर की आवश्यकता नहीं है। सामान्य मामले के लिए, जब दो-चर फलन f का आंतरिक आयाम न तो शून्य है और न ही एक, तो यह दो है। साहित्य में, आंतरिक आयाम शून्य, एक या दो के कार्यों को कभी-कभी क्रमशः आई0डी, आई1डी या आई2डी के रूप में संदर्भित किया जाता है। संकेतों के लिए औपचारिक परिभाषा एन-चर फलन एफ के लिए, चरों के समूह को एन-आयामी सदिश x के रूप में दर्शाया जा सकता हैः यदि किसी एम-चर फलन जी और एम × एन मैट्रिक्स ए के लिए यह मामला है कि सभी एक्स के लिए एम सबसे छोटी संख्या है जिसके लिए एफ और जी के बीच उपरोक्त संबंध पाया जा सकता है, तो एफ का आंतरिक आयाम एम है। अर्थात्, यदि उपरोक्त संबंध कुछ f, g और A के लिए संतुष्ट है, तो इसे उसी f और g′ और A′ के लिए भी संतुष्ट होना चाहिए जो B एक गैर-एकल M × M मैट्रिक्स है। निम्न आंतरिक आयाम के संकेतों का फूरियर परिवर्तन एक एन चर फलन जिसमें आंतरिक आयाम एम <एन होता है, में एक विशेषता फूरियर परिवर्तन होता है। स्वाभाविक रूप से, चूंकि इस प्रकार का फलन एक या कई आयामों के साथ स्थिर होता है, इसलिए इसका फूरियर परिवर्तन आवृत्ति क्षेत्र में एक ही आयाम के साथ एक आवेग (एक स्थिरांक का फूरियर परिवर्तन) की तरह दिखाई देना चाहिए। एक सरल उदाहरण मान लीजिए कि f एक दो-चर फलन है जो i1D है। इसका मतलब है कि एक सामान्यीकृत वेक्टर और एक-चर फलन g मौजूद है जैसे कि सभी के लिए। यदि F, f का फूरियर रूपांतरण है (दोनों दो-चर फलन हैं) तो ऐसा ही होना चाहिए। यहाँ G, g का फूरियर रूपांतरण है (दोनों एक-चर फलन हैं), δ डीराक आवेग फलन है और m, n के लंबवत एक सामान्यीकृत सदिश है। इसका मतलब है कि F एक रेखा को छोड़कर हर जगह गायब हो जाता है जो आवृत्ति क्षेत्र के मूल से गुजरती है और m के समानांतर होती है। इस रेखा के साथ F, G के अनुसार बदलता है। सामान्य मामले में मान लीजिए कि f एक N-चर फलन है जिसका आंतरिक आयाम M है, यानी एक M-चर फलन g और M × N मैट्रिक्स A मौजूद है। इसके फूरियर परिवर्तन F को फिर निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता हैः आयाम M के उपक्षेत्र को छोड़कर हर जगह F गायब हो जाता है उपक्षेत्र M को मैट्रिक्स A की पंक्तियों द्वारा फैलाया जाता है। उपक्षेत्र में, F, G के अनुसार बदलता है, g सामान्यीकरण का फूरियर परिवर्तन ऊपर वर्णित आंतरिक आयाम का प्रकार यह मानता है कि N-चर फलन f के निर्देशांक पर एक रैखिक परिवर्तन लागू किया जाता है ताकि M चर का उत्पादन किया जा सके जो f के प्रत्येक मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हैं। इसका मतलब है कि n और M पर निर्भर करते हुए f रेखाओं, विमानों या हाइपरप्लेन के साथ स्थिर है। एक सामान्य मामले में, f का आंतरिक आयाम M है यदि M कार्य a1, a2, aM और एक M-चर फलन मौजूद हैं। स्थानीय आंतरिक आयामीता (एल. आई. डी.) इस अवलोकन को संदर्भित करता है कि अक्सर डेटा को कम आयामी कई गुना पर वितरित किया जाता है जब केवल डेटा के पास के सबसेट पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए फलन को एक-आयामी माना जा सकता है जब y 0 के करीब हो (एक चर x के साथ), दो-आयामी जब y 1 के करीब हो, और फिर एक-आयामी जब y सकारात्मक हो और 1 से बहुत बड़ा हो (चर x + y के साथ)। स्थानीय आंतरिक आयामीता का उपयोग अक्सर डेटा के संबंध में किया जाता है। यह आमतौर पर एक डेटा बिंदु के निकटतम पड़ोसियों के आधार पर अनुमान लगाया जाता है, जो अक्सर गणित में दोहरीकरण आयाम से संबंधित अवधारणा पर आधारित होता है। चूंकि एक डी-क्षेत्र का आयतन डी में तेजी से बढ़ता है, इसलिए जिस दर पर खोज त्रिज्या में वृद्धि के साथ नए पड़ोसी पाए जाते हैं, उसका उपयोग स्थानीय आंतरिक आयामी (जैसे, जी. ई. डी. अनुमान) का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, अनुमान के वैकल्पिक दृष्टिकोण प्रस्तावित किए गए हैं, उदाहरण के लिए कोण-आधारित अनुमान। आंतरिक आयाम आकलन डेटा मैनिफोल्ड के आंतरिक आयाम का अनुमान कई तरीकों से लगाया जा सकता है, जो डेटा मैनिफोल्ड की धारणाओं पर निर्भर करता है। 2016 की समीक्षा है। दो-निकटतम पड़ोसी (टूएनएन) विधि एक डूबे हुए रीमानियन मैनिफोल्ड के आंतरिक आयाम का अनुमान लगाने के लिए एक विधि है। एल्गोरिथ्म इस प्रकार हैः मैनिफोल्ड पर कुछ बिंदुओं को बिखेरें। कई बिंदुओं के लिए माप, जहां बिंदु के दो निकटतम पड़ोसियों की दूरी है। के अनुभवजन्य सी. डी. एफ. को फिट करें। वापस लौटें। 1950 के दशक के दौरान बहुआयामी डेटा सेट का पता लगाने और सारांशित करने के लिए सामाजिक विज्ञानों में तथाकथित "स्केलिंग" विधियों का विकास किया गया था। 1962 में शेपर्ड द्वारा गैर-मीट्रिक बहुआयामी स्केलिंग की शुरुआत के बाद बहु-आयामी स्केलिंग (एम. डी. एस.) के भीतर प्रमुख शोध क्षेत्रों में से एक आंतरिक आयाम का अनुमान था। इस विषय का अध्ययन सूचना सिद्धांत में भी किया गया था, जिसका नेतृत्व 1965 में बेनेट ने किया था, जिन्होंने "आंतरिक आयाम" शब्द गढ़ा और इसका अनुमान लगाने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिखा। 1970 के दशक के दौरान आंतरिक आयामी आकलन विधियों का निर्माण किया गया था जो आयामी कमी पर निर्भर नहीं थे जैसे कि एम. डी. एस.: स्थानीय आईगन मानों पर आधारित, दूरी वितरण के आधार पर, और अन्य आयाम-निर्भर ज्यामितीय गुणों के आधार पर, गतिशील प्रणालियों के क्षेत्र में लगभग 1980 से सेट और संभाव्यता उपायों के आंतरिक आयाम का अनुमान लगाने का भी व्यापक अध्ययन किया गया है, जहां (अजीब) आकर्षण के आयाम रुचि का विषय रहे हैं। अजीब आकर्षण के लिए कोई कई गुना धारणा नहीं है, और मापा गया आयाम फ्रैक्टल आयाम का कुछ संस्करण है-जो गैर-पूर्णांक भी हो सकता है। हालाँकि, फ्रैक्टल आयाम की परिभाषाएँ कई गुना के लिए कई गुना आयाम प्रदान करती हैं। 2000 के दशक में आंतरिक आयाम का अनुमान लगाने के लिए "आयामीता के अभिशाप" का उपयोग किया गया है। अनुप्रयोग दो-चर संकेत का मामला जो कि i1D है, कंप्यूटर दृष्टि और छवि प्रसंस्करण में अक्सर दिखाई देता है और स्थानीय छवि क्षेत्रों के विचार को पकड़ता है जिसमें रेखाएं या किनारे होते हैं। ऐसे क्षेत्रों के विश्लेषण का एक लंबा इतिहास है, लेकिन जब तक इस तरह के कार्यों का अधिक औपचारिक और सैद्धांतिक उपचार शुरू नहीं हुआ था, तब तक आंतरिक आयाम की अवधारणा स्थापित नहीं हुई थी, भले ही नाम अलग-अलग रहे हों। उदाहरण के लिए, जिस अवधारणा को यहाँ आंतरिक आयाम 1 या i1D पड़ोस की छवि पड़ोस के रूप में संदर्भित किया गया है, उसे नट्सन (1982) द्वारा 1-आयामी, बिगन और ग्रैनलंड (1987) द्वारा रैखिक सममित और ग्रैनलंड और नट्सन (1995) में सरल पड़ोस कहा जाता है। आयाम फ्रैक्टल आयाम हौसडॉर्फ आयाम टोपोलॉजिकल आयाम संदर्भ कंप्यूटर दृष्टि छवि प्रसंस्करण भी देखें।