Vietoris–Rips complex
स्थलविज्ञान में, वियटोरिस-रिप्स परिसर, जिसे वियटोरिस परिसर या रिप्स परिसर भी कहा जाता है, बिंदुओं के एक समूह में दूरी से एक स्थलवैज्ञानिक स्थान बनाने का एक तरीका है। यह एक अमूर्त सरल परिसर है जिसे किसी भी मीट्रिक स्थान M और दूरी δ से परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अधिकतम δ व्यास वाले बिंदुओं के प्रत्येक परिमित सेट के लिए एक सिंप्लेक्स बनाया जा सकता है। अर्थात्, यह M के परिमित उपसमुच्चय का एक परिवार है, जिसमें हम k बिंदुओं के एक उपसमुच्चय को एक (k−1)-आयामी सिम्प्लेक्स (दो बिंदुओं के लिए एक किनारा, तीन बिंदुओं के लिए एक त्रिकोण, चार बिंदुओं के लिए एक टेट्राहेड्रॉन, आदि) बनाने के रूप में सोचते हैं। ); यदि एक परिमित समुच्चय S में यह गुण है कि S में बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच की दूरी अधिकतम δ है, तो हम S को परिसर में एक सिंप्लेक्स के रूप में शामिल करते हैं। इतिहास वियटोरिस-रिप्स परिसर को मूल रूप से लियोपोल्ड वियटोरिस के लिए वियटोरिस परिसर कहा जाता था, जिन्होंने इसे सरल परिसरों से मीट्रिक रिक्त स्थान तक समरूपता सिद्धांत का विस्तार करने के साधन के रूप में पेश किया था। एलियाहु रिप्स द्वारा हाइपरबोलिक समूहों के अध्ययन के लिए एक ही कॉम्प्लेक्स को लागू करने के बाद, इसका उपयोग लोकप्रिय हो गया, जिन्होंने इसे रिप्स कॉम्प्लेक्स कहा। "वियटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स" नाम के कारण है। चेच कॉम्प्लेक्स से संबंध वियटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स गेंदों के एक सेट के चेच कॉम्प्लेक्स (या तंत्रिका) से निकटता से संबंधित है, जिसमें गैर-खाली प्रतिच्छेदन के साथ गेंदों के प्रत्येक सीमित सबसेट के लिए एक सिंप्लेक्स होता है। भौगोलिक रूप से उत्तल स्थान Y में, दूरी δ के लिए किसी भी उपक्षेत्र X वाय के वियटोरिस-रिप्स परिसर में वही बिंदु और किनारे होते हैं जो X के बिंदुओं पर केंद्रित Y में त्रिज्या δ/2 की गेंदों के समूह के चेच परिसर के होते हैं। हालांकि, चेच परिसर के विपरीत, एक्स का वियटोरिस-रिप्स परिसर केवल एक्स की आंतरिक ज्यामिति पर निर्भर करता है, न कि किसी बड़े स्थान में एक्स के किसी भी एम्बेडिंग पर। एक उदाहरण के रूप में, एक समान मीट्रिक स्थान M3 पर विचार करें जिसमें तीन बिंदु हैं, जिनमें से प्रत्येक एक दूसरे से इकाई दूरी पर है। एम3 के वियटोरिस-रिप्स परिसर में, δ = 1 के लिए, एम3 में बिंदुओं के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए एक सिम्प्लेक्स शामिल है, जिसमें एम3 के लिए एक त्रिकोण भी शामिल है। यदि हम एम3 को यूक्लिडियन तल में एक समबाहु त्रिभुज के रूप में जोड़ते हैं, तो एम3 के बिंदुओं पर केंद्रित त्रिज्या-1/2 गेंदों के चेच परिसर में वियटोरिस-रिप्स परिसर के अन्य सभी सिम्प्लेक्स होंगे, लेकिन इसमें यह त्रिभुज नहीं होगा, क्योंकि तीनों गेंदों में समतल का कोई बिंदु नहीं है। हालाँकि, यदि M3 को इसके बजाय एक मीट्रिक स्थान में एम्बेड किया जाता है जिसमें M3 के तीन बिंदुओं में से प्रत्येक से 1/2 की दूरी पर एक चौथा बिंदु होता है, तो इस स्थान में त्रिज्या-1/2 गेंदों के चेच परिसर में त्रिकोण होगा। इस प्रकार, एम3 पर केंद्रित निश्चित-त्रिज्या गेंदों का चेच परिसर इस बात पर निर्भर करता है कि किस बड़े स्थान एम3 में एम्बेडेड किया जा सकता है, जबकि वियटोरिस-रिप्स परिसर अपरिवर्तित रहता है। यदि कोई मीट्रिक स्पेस X एक इंजेक्टिव मीट्रिक स्पेस Y में अंतर्निहित है, तो दूरी δ और X के लिए वियटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स Y में X के बिंदुओं पर केंद्रित त्रिज्या δ/2 की गेंदों के चेच कॉम्प्लेक्स के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, किसी भी मीट्रिक स्थान एम का वियटोरिस-रिप्स परिसर एम की तंग अवधि में गेंदों की एक प्रणाली के चेच परिसर के बराबर होता है। इकाई डिस्क ग्राफ और गुट परिसरों से संबंध। δ = 1 के लिए वियटोरिस-रिप्स परिसर में दिए गए मीट्रिक स्थान में इकाई दूरी या उससे कम पर होने वाले बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक किनारा होता है। इस प्रकार, इसका 1-कंकाल इसके बिंदुओं का इकाई डिस्क ग्राफ है। इसमें इकाई डिस्क ग्राफ में प्रत्येक गुट के लिए एक सिंप्लेक्स होता है, इसलिए यह इकाई डिस्क ग्राफ का गुट परिसर या ध्वज परिसर है। अधिक आम तौर पर, किसी भी ग्राफ G का समूह परिसर मीट्रिक स्थान के लिए एक वियटोरिस-रिप्स परिसर है जिसमें G के शीर्ष बिंदु होते हैं और इसकी दूरी G में सबसे छोटे पथों की लंबाई होती है। अन्य परिणाम यदि M एक बंद रीमानियन मैनिफोल्ड है, तो δ के पर्याप्त रूप से छोटे मानों के लिए M का वियटोरिस-रिप्स परिसर, या M के पर्याप्त रूप से करीब रिक्त स्थान, स्वयं M के बराबर समस्थानिक है। यह निर्धारित करने के लिए कुशल एल्गोरिदम का वर्णन करें कि क्या दिया गया चक्र यूक्लिडियन तल में निर्धारित किसी भी परिमित बिंदु के रिप्स परिसर में संकुचन योग्य है। यूनिट डिस्क ग्राफ के साथ अनुप्रयोगों के रूप में, वियटोरिस-रिप्स परिसर को कंप्यूटर विज्ञान में तदर्थ वायरलेस संचार नेटवर्क की टोपोलॉजी को मॉडल करने के लिए लागू किया गया है। इस अनुप्रयोग में वियटोरिस-रिप्स परिसर का एक लाभ यह है कि इसे केवल संचार नोड्स के बीच की दूरी से निर्धारित किया जा सकता है, बिना उनके सटीक भौतिक स्थानों का अनुमान लगाए। एक नुकसान यह है कि चेच परिसर के विपरीत, वियटोरिस-रिप्स परिसर सीधे संचार कवरेज में अंतराल के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है, लेकिन दो वियटोरिस-रिप्स परिसरों के बीच चेच परिसर को δ के विभिन्न मूल्यों के लिए सैंडविच करके इस दोष को कम किया जा सकता है। वियटोरिस-रिप्स परिसरों का कार्यान्वयन टीडीएस्टैट्स आर पैकेज में पाया जा सकता है। डिजिटल छवि डेटा में सुविधा-निष्कर्षण के लिए वियटोरिस-रिप्स परिसरों को भी लागू किया गया है; इस अनुप्रयोग में, परिसर को एक उच्च-आयामी मीट्रिक स्थान से बनाया गया है जिसमें बिंदु निम्न-स्तरीय छवि विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। सभी वियटोरिस-रिप्स परिसरों का संग्रह लगातार समरूपता और स्थलवैज्ञानिक डेटा विश्लेषण में एक सामान्य रूप से लागू निर्माण है, और इसे रिप्स निस्पंदन के रूप में जाना जाता है। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. बीजगणितीय स्थलविज्ञान ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत सरल समुच्चय