Erdős–Anning theorem
एर्दोस-एन्निंग प्रमेय में कहा गया है कि समतल में अनंत संख्या में बिंदुओं की पारस्परिक पूर्णांक दूरी तभी हो सकती है जब सभी बिंदु एक सीधी रेखा पर हों। इसका नाम पॉल एर्दोस और नॉर्मन एच. एनिंग के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1945 में इसका प्रमाण प्रकाशित किया था। हालांकि पूर्णांक दूरी वाले बिंदुओं का कोई अनंत गैर-संरेखीय सेट नहीं हो सकता है, लेकिन ऐसे अनंत गैर-संरेखीय सेट हैं जिनकी दूरी परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज में तीक्ष्ण कोण द्वारा बार-बार घुमाने से प्राप्त एक इकाई वृत्त पर बिंदुओं के उपसमुच्चय में यह गुण होता है। यह वृत्त में एक घना समूह बनाता है। (अभी भी अनसुलझी) एर्दोस-उलम समस्या यह पूछती है कि क्या एक दूसरे से तर्कसंगत दूरी पर बिंदुओं का एक समूह मौजूद हो सकता है जो पूरे यूक्लिडियन तल के लिए एक घना समूह बनाता है। एर्डोस के अनुसार, एर्डोस-एनिंग प्रमेय के बारे में एर्डोस से सुनने के बाद स्टानिस्लाव उलाम को यह सवाल पूछने के लिए प्रेरित किया गया था। एक दूसरे से परिमेय दूरी पर बिंदुओं के किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, S में दूरी के कम से कम सामान्य भाजक के कारक द्वारा S का विस्तार करके, एक दूसरे से पूर्णांक दूरी पर बिंदुओं का एक समान समुच्चय खोजना संभव है। इस तरह से इकाई वृत्त निर्माण के एक परिमित उपसमुच्चय का विस्तार करके, कोई भी एक दूसरे से पूर्णांक दूरी के साथ गैर-संरेखीय बिंदुओं के मनमाने ढंग से बड़े परिमित समुच्चय का निर्माण कर सकता है। हालांकि, एस में अधिक बिंदुओं को शामिल करने से विस्तार कारक बढ़ सकता है, इसलिए यह निर्माण तर्कसंगत दूरी पर बिंदुओं के अनंत सेटों को पूर्णांक दूरी पर बिंदुओं के अनंत सेटों में बदलने की अनुमति नहीं देता है। एर्डोस-एनिंग प्रमेय के मूल प्रकाशन के कुछ ही समय बाद, एर्डोस ने निम्नलिखित सरल प्रमाण प्रदान किया। प्रमाण में वक्रों की एक प्रणाली खोजना शामिल है ताकि सेट का प्रत्येक बिंदु दो वक्रों के पार पर स्थित हो। पूर्णांक दूरी वाले बिंदुओं के एक समूह को देखते हुए, सभी एक रेखा पर नहीं, मनमाने ढंग से तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का चयन करें। आइए यूक्लिडियन दूरी फलन को निरूपित करें। किसी भी दिए गए बिंदु के लिए, पूर्णांक त्रिभुज असमानता द्वारा अधिक से अधिक होता है। इस प्रकार, हाइपरबोला में से एक है, जिसे के साथ रूप के समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है। एक सममित तर्क द्वारा, रूप के समीकरणों द्वारा परिभाषित हाइपरबोला में से एक पर भी होना चाहिए। दो हाइपरबोला युक्त मेल नहीं खा सकते हैं, इसलिए एक बिंदु होना चाहिए जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं। बेज़ाउट्स थ्योरम के अनुसार, प्रत्येक विकल्प के लिए और अधिकतम चार प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। चूँकि प्रत्येक दिए गए बिंदु को इन प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक होना चाहिए, इसलिए दिए गए बिंदुओं के सेट में अधिकांश बिंदुओं पर एक सीमित संख्या होनी चाहिए। वही प्रमाण दर्शाता है कि, जब पूर्णांक दूरी वाले बिंदुओं के एक समूह का व्यास होता है, तो अधिकांश बिंदु होते हैं। इस बाउंड ऑन की द्विघात निर्भरता में सुधार किया जा सकता है, एक समान प्रमाण का उपयोग करके लेकिन हाइपरबोला के परिवारों को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले बिंदुओं के जोड़े के अधिक सावधानीपूर्वक चयन के साथः पूर्णांक दूरी और व्यास के साथ सेट किए गए प्रत्येक बिंदु का आकार होता है। हालांकि, बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी से प्रतिस्थापित करना संभव नहीं हैः पूर्णांक दूरी और न्यूनतम दूरी दो के साथ मनमाने ढंग से बड़े गैर-समरेखीय बिंदु सेट मौजूद हैं। समाकलन दूरी के साथ अधिकतम बिंदु समुच्चय प्रमेय को बताने का एक वैकल्पिक तरीका यह है कि पूर्णांक दूरी के साथ समतल में बिंदुओं के एक गैर-संरेखीय समुच्चय को केवल सीमित रूप से कई अतिरिक्त बिंदुओं को जोड़कर बढ़ाया जा सकता है, इससे पहले कि कोई और बिंदु नहीं जोड़ा जा सके। पूर्णांक निर्देशांक और पूर्णांक दूरी दोनों के साथ बिंदुओं का एक समूह, जिसमें दोनों गुणों को संरक्षित करते हुए और अधिक नहीं जोड़ा जा सकता है, एक एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ बनाता है। एर्डोस-एनिंग प्रमेय के प्रमाण का उपयोग एक एल्गोरिथ्म में यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि क्या पूर्णांक दूरी के साथ पूर्णांक बिंदुओं का एक दिया गया सेट एर्डोस-डायोफैंटाइन ग्राफ बनाता हैः केवल प्रमाण में उपयोग किए गए हाइपरबोला के सभी पार करने वाले बिंदुओं को ढूंढें, और जांच करें कि क्या किसी भी परिणामी बिंदु में दिए गए सेट से पूर्णांक निर्देशांक और पूर्णांक दूरी भी है। समतल ज्यामिति की अंकगणितीय समस्याएं विविक्त गणित में प्रमेय विविक्त ज्यामिति में प्रमेय वाले लेख विविक्त ज्यामिति में प्रमेय ऐनिंग प्रमेय