Breather surface
विभेदक ज्यामिति में, एक श्वास सतह गणितीय सतहों का एक-पैरामीटर परिवार है जो साइन-गॉर्डन समीकरण के श्वास समाधानों के अनुरूप है, जो सैद्धांतिक भौतिकी में दिखाई देने वाला एक विभेदक समीकरण है। सतहों में उल्लेखनीय गुण है कि उनमें निरंतर वक्रता होती है, जहां वक्रता अच्छी तरह से परिभाषित होती है। यह उन्हें सामान्यीकृत छद्म क्षेत्रों का उदाहरण देता है। गणितीय पृष्ठभूमि स्थिर वक्रता-1 की अंतर्निहित सतहों के बीच एक पत्राचार होता है, जिसे सूडोस्फेयर के रूप में जाना जाता है, और साइन-गॉर्डन समीकरण के समाधान होते हैं। इस पत्राचार को एक छद्म मंडल, ट्रैक्टॉइड के सबसे सरल उदाहरण से शुरू किया जा सकता है। निर्देशांकों के एक विशेष समूह में, जिसे एसिम्प्टोटिक निर्देशांक के रूप में जाना जाता है, गॉस-कोडाज़ी समीकरण, जो स्थिरता समीकरण हैं जो निर्धारित करते हैं कि जब निर्धारित पहले और दूसरे मौलिक रूप की सतह को सपाट मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी स्थान में एम्बेड किया जा सकता है, तो साइन-गॉर्डन समीकरण में कम हो जाता है। पत्राचार में, ट्रैक्ट्रॉइड साइन-गॉर्डन समाधान के स्थिर 1-सोलिटन समाधान से मेल खाता है। साइन-गॉर्डन के लॉरेंट्ज़ अपरिवर्तनीयता के कारण, लॉरेंट्ज़ बूस्ट के एक-पैरामीटर परिवार को नए समाधान प्राप्त करने के लिए स्थिर समाधान पर लागू किया जा सकता हैः छद्म मंडल की ओर, इन्हें लाइ परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, जो ट्रैक्ट्रायड को सतहों के एक-पैरामीटर परिवार में विकृत करते हैं जिन्हें दीनी की सतहों के रूप में जाना जाता है। बैक्लंड परिवर्तन की विधि साइन-गॉर्डन समीकरण, बहु-सोलिटन समाधानों के लिए बड़ी संख्या में अलग-अलग समाधानों के निर्माण की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, 2-सोलिटन कुएन सतह से मेल खाता है। हालांकि, यह समाधानों का एक अनंत परिवार उत्पन्न करता है, लेकिन सांस लेने वाले समाधान उनमें से नहीं हैं। इसके बजाय ब्रीदर समाधान साइन-गॉर्डन समीकरण के लिए व्युत्क्रम प्रकीर्णन विधि से प्राप्त किए जाते हैं। वे अंतरिक्ष में स्थानीयकृत हैं लेकिन समय के साथ दोलन करते हैं। साइन-गॉर्डन समीकरण का प्रत्येक समाधान पहला और दूसरा मौलिक रूप देता है जो गॉस-कोडाज़ी समीकरणों को संतुष्ट करता है। सतह सिद्धांत का मौलिक प्रमेय तब इस बात की गारंटी देता है कि एक मानकीकृत सतह है जो निर्धारित पहले और दूसरे मौलिक रूपों को पुनर्प्राप्त करती है। स्थानीय रूप से पैरामीटराइजेशन अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, लेकिन मनमाने ढंग से विस्तारित परिणामी सतह में स्व-छेदन और कस्प हो सकते हैं। वास्तव में, हिल्बर्ट की एक प्रमेय कहती है कि किसी भी छद्म मंडल को नियमित रूप से (मोटे तौर पर, जिसका अर्थ है कस्प्स के बिना) अंतःस्थापित नहीं किया जा सकता है। पैरामीटराइजेशन पैरामीटर के साथ पैरामीटराइजेशन संदर्भों द्वारा दिया गया है बाहरी लिंक ज़ाह ली वेब-सतह गैलरी आभासी गणित संग्रहालय में सांस की सतह गणित लेखों पर विशेषज्ञ ध्यान देने की आवश्यकता है विभेदक समीकरण