Erdős–Mordell inequality
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एर्दोस-मोर्डेल असमानता बताती है कि एबीसी के अंदर किसी भी त्रिभुज एबीसी और बिंदु पी के लिए, पी से भुजाओं तक की दूरी का योग पी से शीर्षों तक की दूरी के योग के आधे से कम या बराबर होता है। इसका नाम पॉल एर्दोस और लुई मोर्डेल के नाम पर रखा गया है। असमानता को साबित करने की समस्या उत्पन्न हुई; एक प्रमाण दो साल बाद द्वारा प्रदान किया गया था। हालाँकि यह समाधान बहुत प्राथमिक नहीं था। बाद के सरल प्रमाण तब, और द्वारा पाए गए। बैरो की असमानता एर्दोस-मोर्डेल असमानता का एक मजबूत संस्करण है जिसमें पी से किनारों तक की दूरी को पी से उन बिंदुओं तक की दूरी से प्रतिस्थापित किया जाता है जहां ए. ए. पी. बी., ए. एन. टी. बी. पी. सी. और ए. एन. टी. सी. पी. ए. के कोण द्विभाजक किनारों को पार करते हैं। यद्यपि प्रतिस्थापित दूरी अधिक लंबी है, फिर भी उनका योग शीर्षों तक की दूरी के योग के आधे से कम या बराबर है। कथन मान लीजिए कि किसी दिए गए त्रिभुज के अंदर एक मनमाना बिंदु P है, और मान लीजिए, और त्रिभुजों की भुजाओं तक लंबवत हो। (यदि त्रिभुज तिरछा है, तो इनमें से एक लंबवत त्रिभुज की एक अलग तरफ से पार हो सकता है और एक तरफ का समर्थन करने वाली रेखा पर समाप्त हो सकता है।) फिर असमानता बताती है कि प्रमाण मान लीजिए कि ए. बी. सी. की भुजाएँ ए के विपरीत, बी के विपरीत और सी के विपरीत हों; साथ ही मान लीजिए कि पी. ए. = पी, पी. बी. = क्यू, पी. सी. = आर, डिस्ट (पी; बी. सी.) = एक्स, डिस्ट (पी; सी. ए.) = वाई, डिस्ट (पी; ए. बी.) = जेड। सबसे पहले, हम साबित करते हैं कि यह त्रिभुज एबीसी का क्षेत्रफल है, लेकिन बाईं ओर, आर + जेड कम से कम त्रिभुज की ऊँचाई है; परिणामस्वरूप, बाईं ओर दाईं ओर से छोटा नहीं हो सकता है। अब सी पर कोण द्विभाजक पर पी को परावर्तित करें। हम पाते हैं कि पी के परावर्तन के लिए सी आर ए + बी एक्स है। इसी तरह, bq ≤ az + cx और ap ≤ bz + cy। हम r, q और p के लिए इन असमानताओं को हल करते हैंः तीनों को जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं क्योंकि एक सकारात्मक संख्या और उसके पारस्परिक का योग कम से कम 2/AM-GM असमानता है, हम समाप्त हो जाते हैं। समानता केवल समबाहु त्रिभुज के लिए होती है, जहाँ पी इसका केंद्रक है। एक अन्य मजबूत संस्करण मान लीजिए कि ए. बी. सी. एक वृत्त (ओ) में उत्कीर्ण त्रिभुज है और पी. ए. बी. सी. के अंदर एक बिंदु है। माना D, E, F, BC, CA, AB पर P के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण हैं। एम, एन, क्यू क्रमशः ए, बी, सी पर (ओ) की स्पर्शरेखाओं पर पी के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण हैं, तोः समानता तभी होती है और केवल तभी जब त्रिभुज एबीसी समबाहु हो (;) एक सामान्यीकरण मान लीजिए कि एक उत्तल बहुभुज हो, और इसका आंतरिक बिंदु हो। मान लीजिए कि शीर्ष से दूरी, पक्ष से दूरी, कोण के द्विभाजक का खंड पक्ष के साथ उसके प्रतिच्छेदन तक तबः निरपेक्ष ज्यामिति में एर्दोस-मोर्डेल असमानता इस कथन के बराबर है, जैसा कि साबित हुआ है कि एक त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण से कम या बराबर है। त्रिभुज असमानताओं की सूची भी देखें। .. .. .. .. .. .. .. .. बाहरी लिंक अलेक्जेंडर बोगोमोलनी, "एर्डोस-मोर्डेल असमानता", कट-द-गांठ से। त्रिभुज असमानताएँ