Proof that π is irrational
1760 के दशक में, जोहान हेनरिक लैम्बर्ट यह साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे कि संख्या अतार्किक है, जिसका अर्थ है कि इसे एक अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां दोनों पूर्णांक हैं। 19वीं शताब्दी में, चार्ल्स हर्माइट ने एक ऐसा प्रमाण पाया जिसके लिए बुनियादी गणना से परे किसी पूर्व-आवश्यक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। हर्माइट के प्रमाण के तीन सरलीकरण मैरी कार्टराइट, इवान निवेन और निकोलस बोरबाकी के कारण हैं। एक अन्य प्रमाण, जो लैम्बर्ट के प्रमाण का सरलीकरण है, मिक्लोस लैक्सकोविच के कारण है। इनमें से कई विरोधाभास के प्रमाण हैं। 1882 में, फर्डिनेंड वॉन लिंडेमन ने साबित किया कि यह न केवल तर्कहीन है, बल्कि दिव्य भी है। लैम्बर्ट का प्रमाण 1761 में, लैम्बर्ट ने साबित किया कि यह तर्कहीन है, पहले यह दर्शाते हुए कि यह निरंतर अंश विस्तार धारण करता हैः फिर लैम्बर्ट ने साबित किया कि यदि गैर-शून्य और तर्कसंगत है, तो यह अभिव्यक्ति तर्कहीन होनी चाहिए। चूंकि, यह तर्कहीन है, और इस प्रकार तर्कहीन भी है। लैम्बर्ट के प्रमाण का सरलीकरण नीचे दिया गया है। हर्माइट का प्रमाण 1873 में लिखा गया, यह प्रमाण सबसे छोटी धनात्मक संख्या के रूप में लक्षण वर्णन का उपयोग करता है जिसका आधा कोसाइन फलन का शून्य है और यह वास्तव में साबित करता है कि यह तर्कहीन है। अतार्किकता के कई प्रमाणों की तरह, यह विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण है। वास्तविक कार्यों के अनुक्रमों पर विचार करें और इसके द्वारा परिभाषित करने के लिएः प्रेरण का उपयोग करके हम यह साबित कर सकते हैं और इसलिए हमारे पास हैः तो जो अनुक्रम की परिभाषा का उपयोग करने और प्रेरण को नियोजित करने के बराबर है, हम यह दिखा सकते हैं कि पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद कार्य कहाँ और कहाँ हैं और इसकी डिग्री उससे छोटी या बराबर है। सबसे पहले, यह अभिकथन प्रेरण द्वारा आगे बढ़ने के बराबर है, और, प्रेरक चरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या पर विचार करें यदि फिर, भागों और लीबनिज़ के नियम द्वारा एकीकरण का उपयोग करते हुए, एक को मिलता है यदि के साथ और अंदर, तो, चूंकि के गुणांक पूर्णांक हैं और इसकी डिग्री कुछ पूर्णांक से छोटी या बराबर है। हर्माइट ने अपने प्रमाण को अपने आप में एक अंत के रूप में प्रस्तुत नहीं किया, बल्कि उत्कृष्टता के प्रमाण की अपनी खोज के भीतर एक विचार के रूप में उन्होंने एक सुविधाजनक अभिन्न प्रतिनिधित्व को प्रेरित करने और प्राप्त करने के लिए पुनरावृत्ति संबंधों पर चर्चा की। एक बार जब यह अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त हो जाता है, तो अभिन्न से शुरू होने वाले एक संक्षिप्त और आत्म-निहित प्रमाण प्रस्तुत करने के विभिन्न तरीके हैं (जैसा कि कार्टराइट, बोरबाकी या निवेन की प्रस्तुतियों में), जिसे हर्माइट आसानी से देख सकता था (जैसा कि उसने अपने उत्कृष्टता के प्रमाण में किया था)। इसके अलावा, हर्माइट का प्रमाण लैम्बर्ट के प्रमाण के जितना लगता है उससे कहीं अधिक करीब है। वास्तव में, कार्टराइट के प्रमाण के लिए लैम्बर्ट के निरंतर अंश का "अवशेष" (या "शेष") है हेरोल्ड जेफ्रीज़ ने लिखा है कि इस प्रमाण को मैरी कार्टराइट द्वारा 1945 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में एक परीक्षा में एक उदाहरण के रूप में स्थापित किया गया था, लेकिन उन्होंने इसकी उत्पत्ति का पता नहीं लगाया था। यह आज भी कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में विश्लेषण आई. ए. पाठ्यक्रम के लिए चौथी समस्या पत्रक पर बना हुआ है। समाकलन पर विचार करें जहाँ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। भागों द्वारा दो एकीकरण पुनरावृत्ति संबंध देते हैं यदि तब यह अधिक हो जाता है, और इसलिए सभी के लिए जहाँ और डिग्री के बहुपद हैं और पूर्णांक गुणांक के साथ (यदि संभव हो तो लें और मान लें कि प्राकृतिक संख्याएँ कहाँ और हैं (यानी, मान लें कि परिमेय है)। फिर दाहिनी ओर एक पूर्णांक है। लेकिन चूंकि अंतराल की लंबाई होती है और एकीकृत किया जा रहा फलन केवल और के बीच के मान लेता है। दूसरी ओर, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए, हम और के बीच एक पूर्णांक पा सकते हैं। यह प्रमाण हर्माइट के प्रमाण के समान है। वास्तव में, हालांकि, यह स्पष्ट रूप से सरल है। यह कार्यों की प्रेरक परिभाषा को छोड़कर और एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में उनकी अभिव्यक्ति को एक अभिन्न के रूप में लेकर प्राप्त किया जाता है। निवेन का प्रमाण यह प्रमाण साइन फलन के सबसे छोटे धनात्मक शून्य के रूप में लक्षण वर्णन का उपयोग करता है। मान लीजिए कि यह तर्कसंगत है, अर्थात। कुछ पूर्णांकों के लिए और जिन्हें सामान्यता के नुकसान के बिना दोनों को सकारात्मक माना जा सकता है। किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को देखते हुए हम बहुपद फलन को परिभाषित करते हैंः और, प्रत्येक के लिए दावा 1: एक पूर्णांक है। प्रमाणः एकाक्षरों के योग के रूप में विस्तार करते हुए, का गुणांक उस रूप की एक संख्या है जहाँ एक पूर्णांक है, जो है यदि इसलिए, जब है और यह प्रत्येक मामले में यदि के बराबर है, एक पूर्णांक है और इसलिए एक पूर्णांक है। दूसरी ओर, और इसलिए प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए विशेष रूप से, इसलिए, एक पूर्णांक भी है और इसलिए एक पूर्णांक भी है (वास्तव में, यह देखना आसान है कि चूंकि और पूर्णांक हैं, इसलिए उनका योग भी है। दावा 2: प्रमाणः चूंकि शून्य बहुपद है, इसलिए हमारे पास है साइन और कोसाइन फलन के व्युत्पन्न sin '= cos और cos' = − sin द्वारा दिए जाते हैं। इसलिए उत्पाद नियम का तात्पर्य है कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा चूंकि और (यहाँ हम साइन फलन के शून्य के रूप में उपरोक्त लक्षण वर्णन का उपयोग करते हैं), दावा 2 निम्नानुसार है। निष्कर्षः चूंकि और के लिए (क्योंकि साइन फलन का सबसे छोटा धनात्मक शून्य है), दावा 1 और 2 से पता चलता है कि यह एक धनात्मक पूर्णांक है। चूंकि और हमारे लिए, जिसकी मूल परिभाषा के अनुसार बड़ी की तुलना में छोटी है, इसलिए दावा 2 द्वारा इनके लिए। सकारात्मक पूर्णांक के लिए यह असंभव है यह दर्शाता है कि मूल धारणा जो तर्कसंगत है, एक विरोधाभास की ओर ले जाती है, जो प्रमाण को समाप्त करती है। उपरोक्त प्रमाण एक पॉलिश संस्करण है, जिसे भागों द्वारा एकीकरण द्वारा प्राप्त सूत्र के विश्लेषण के पूर्व शर्तों के संबंध में यथासंभव सरल रखा जाता है। दावा 2 अनिवार्य रूप से इस सूत्र को स्थापित करता है, जहां का उपयोग भागों द्वारा पुनरावृत्त एकीकरण को छुपाता है। अंतिम समाकलन गायब हो जाता है क्योंकि यह शून्य बहुपद है। दावा 1 से पता चलता है कि शेष राशि एक पूर्णांक है। निवेन का प्रमाण पहली नजर में दिखाई देने की तुलना में कार्टराइट (और इसलिए हर्माइट) के प्रमाण के करीब है। वास्तव में, इसलिए, प्रतिस्थापन इस समाकलन को विशेष रूप से, प्रमाणों के बीच एक और संबंध इस तथ्य में निहित है कि हर्माइट पहले से ही उल्लेख करता है कि यदि एक बहुपद फलन है और फिर जिससे यह पता चलता है कि बोरबाकी के प्रमाण बोरबाकी के प्रमाण को उनके कलन ग्रंथ में एक अभ्यास के रूप में रेखांकित किया गया है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या b और प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए परिभाषित किया गया है क्योंकि यह उस पर परिभाषित एक फलन का समाकलन है जो मान लेता है और जो अन्यथा से अधिक है, इसके अलावा, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए यदि पर्याप्त बड़ी है, क्योंकि और इसलिए दूसरी ओर, भागों द्वारा बार-बार समाकलन हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि, यदि और प्राकृतिक संख्याएँ ऐसी हैं और तब तक परिभाषित बहुपद फलन हैः यह अंतिम समाकलन है क्योंकि यह शून्य फलन है (क्योंकि यह डिग्री का एक बहुपद फलन है) क्योंकि प्रत्येक फलन (पूर्णांक मानों पर लेता है और क्योंकि यही बात साइन और कोसाइन फलन के साथ होती है, यह साबित करता है कि यह एक पूर्णांक है। चूँकि यह एक प्राकृतिक संख्या से भी बड़ी होनी चाहिए। लेकिन यह भी साबित हुआ कि अगर यह काफी बड़ा है, तो यह एक विरोधाभास तक पहुंच जाता है। यह प्रमाण निवेन के प्रमाण के काफी करीब है, उनके बीच मुख्य अंतर यह साबित करने का तरीका है कि संख्याएं पूर्णांक हैं। लैक्सकोविच का प्रमाण मिक्लोस लैक्सकोविच का प्रमाण लैम्बर्ट के मूल प्रमाण का सरलीकरण है। दावा 1 के अलावा किसी भी वास्तविक संख्या के लिए इन कार्यों को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया हैः निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध किसी भी वास्तविक संख्या के लिए होता है प्रमाणः इसे दावा 2 की शक्तियों के गुणांक की तुलना करके साबित किया जा सकता हैः प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए प्रमाणः वास्तव में, अनुक्रम बाध्य है (क्योंकि यह एक ऊपरी सीमा में अभिसरण करता है और यदि है तो दावा 3: यदि तर्कसंगत है, और फिर प्रमाणः अन्यथा, एक संख्या और पूर्णांक होंगे और ऐसा होगा कि और यह देखने के लिए कि क्यों, पूर्णांक लें और यदि अन्यथा, पूर्णांक चुनें और परिभाषित करें प्रत्येक मामले में, ऐसा नहीं हो सकता है क्योंकि अन्यथा यह दावा 1 से अनुसरण करेगा कि प्रत्येक () वह होगा जो दावे 2 का खंडन करेगा। अब, एक प्राकृतिक संख्या लें कि सभी तीन संख्याएँ और पूर्णांक हों और अनुक्रम पर विचार करें फिर दूसरी ओर, यह दावा 1 से अनुसरण करता है जो पूर्णांक गुणांक के साथ एक रैखिक संयोजन है। इसलिए, प्रत्येक का एक पूर्णांक गुणक है इसके अलावा, यह दावा 2 से इस प्रकार है कि प्रत्येक से बड़ा है (और इसलिए कि यदि पर्याप्त बड़ा है और सभी का अनुक्रम में अभिसरण होता है लेकिन उससे बड़ी या बराबर संख्याओं का एक अनुक्रम में अभिसरण नहीं हो सकता है। दूसरी ओर, क्योंकि दावा 3 का एक अन्य परिणाम यह है कि यदि ऐसा है तो यह तर्कहीन है। लैक्सकोविच का प्रमाण वास्तव में हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के बारे में है। वास्तव में, और गॉस ने अपने कार्यात्मक समीकरण का उपयोग करके हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन का एक निरंतर अंश विस्तार पाया। इसने लैक्सकोविच को इस तथ्य का एक नया और सरल प्रमाण खोजने की अनुमति दी कि स्पर्शरेखा फलन में निरंतर अंश विस्तार है जिसे लैम्बर्ट ने खोजा था। लैक्सकोविच के परिणाम को पहली तरह के बेसल कार्यों में भी व्यक्त किया जा सकता है। वास्तव में, (गामा फलन कहाँ है)। तो लैक्सकोविच का परिणाम इसके बराबर हैः यदि तर्कसंगत है, और फिर यह भी प्रमाण देखें कि ई अतार्किक प्रमाण है जो दिव्य संदर्भ पाई लेख प्रमाण अतार्किक संख्या है।