Moment distribution method
क्षण वितरण विधि हार्डी क्रॉस द्वारा विकसित स्थिर रूप से अनिश्चित किरणों और फ्रेमों के लिए एक संरचनात्मक विश्लेषण विधि है। यह 1930 में एक ए. एस. सी. ई. पत्रिका में प्रकाशित हुआ था। विधि केवल लचीले प्रभावों के लिए जिम्मेदार है और अक्षीय और कतरनी प्रभावों को अनदेखा करती है। 1930 के दशक से संरचनाओं के डिजाइन और विश्लेषण में कंप्यूटर का व्यापक रूप से उपयोग शुरू होने तक, क्षण वितरण विधि सबसे व्यापक रूप से अभ्यास की जाने वाली विधि थी। परिचय क्षण वितरण विधि में, विश्लेषण की जाने वाली संरचना के प्रत्येक जोड़ को स्थिर किया जाता है ताकि निश्चित-अंत क्षण विकसित किए जा सकें। फिर प्रत्येक स्थिर जोड़ को क्रमिक रूप से जारी किया जाता है और निश्चित-अंत क्षण (जो रिलीज के समय तक संतुलन में नहीं होते हैं) को निकटवर्ती सदस्यों को तब तक वितरित किया जाता है जब तक कि संतुलन प्राप्त नहीं हो जाता है। गणितीय शब्दों में क्षण वितरण विधि को पुनरावृत्ति के माध्यम से एक साथ समीकरणों के एक समूह को हल करने की प्रक्रिया के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। क्षण वितरण विधि संरचनात्मक विश्लेषण की विस्थापन विधि की श्रेणी में आती है। कार्यान्वयन किसी संरचना का विश्लेषण करने के लिए क्षण वितरण विधि को लागू करने के लिए, निम्नलिखित बातों पर विचार किया जाना चाहिए। निश्चित अंतिम क्षण बाहरी भार द्वारा सदस्य छोरों पर उत्पन्न क्षण होते हैं। झुकने की कठोरता किसी सदस्य की झुकने की कठोरता (ई. आई./एल.) को सदस्य की लचीली कठोरता (लोच के मापांक (ई.) और क्षेत्र के दूसरे क्षण (आई.) के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है जिसे सदस्य की लंबाई (एल.) से विभाजित किया जाता है। क्षण वितरण विधि में जो आवश्यक है वह विशिष्ट मूल्य नहीं है, बल्कि सभी सदस्यों के बीच झुकने की कठोरता का अनुपात है। वितरण कारक जब एक जोड़ छोड़ा जा रहा होता है और असंतुलित क्षण के तहत घूमना शुरू हो जाता है, तो प्रतिरोध बल प्रत्येक सदस्य पर संयुक्त पर एक साथ बनाए जाते हैं। यद्यपि कुल प्रतिरोध असंतुलित क्षण के बराबर है, प्रत्येक सदस्य पर विकसित प्रतिरोध बलों का परिमाण सदस्यों की झुकने की कठोरता से भिन्न होता है। वितरण कारकों को प्रत्येक सदस्य द्वारा वहन किए गए असंतुलित क्षणों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। गणितीय शब्दों में, जोड़ पर बनाए गए सदस्य का वितरण कारक इस प्रकार दिया गया हैः जहाँ n जोड़ पर बनाए गए सदस्यों की संख्या है। कैरीओवर कारक जब एक जोड़ छोड़ा जाता है, तो संतुलन क्षण असंतुलित क्षण को प्रतिसंतुलित करने के लिए होता है। संतुलन क्षण शुरू में निश्चित-अंत क्षण के समान होता है। इस संतुलन क्षण को फिर सदस्य के दूसरे छोर तक ले जाया जाता है। दूसरे छोर पर कैरी-ओवर मोमेंट और प्रारंभिक छोर के फिक्स्ड-एंड मोमेंट का अनुपात कैरी-ओवर कारक है। वहन कारकों का निर्धारण मान लीजिए कि एक निश्चित किरण के एक छोर (अंत ए) को छोड़ा जाए और एक क्षण लगाया जाए जबकि दूसरा छोर (अंत बी) स्थिर रहता है। यह अंत A को एक कोण के माध्यम से घुमाने का कारण बनेगा। एक बार बी के अंत में विकसित परिमाण का पता चलने के बाद, इस सदस्य के कैरीओवर कारक को ओवर के अनुपात के रूप में दिया जाता हैः स्थिर क्रॉस-सेक्शन के साथ लंबाई एल के एक बीम के मामले में जिसकी लचीलापन कठोरता है, इसलिए कैरीओवर कारक संकेत परंपरा एक बार एक संकेत परंपरा का चयन किया गया है, इसे पूरी संरचना के लिए बनाए रखना होगा। पारंपरिक इंजीनियर के संकेत परंपरा का उपयोग क्षण वितरण विधि की गणना में नहीं किया जाता है, हालांकि परिणामों को पारंपरिक तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। बी. एम. डी. के मामले में, बाईं ओर का क्षण घड़ी की दिशा में होता है और दूसरा घड़ी की विपरीत दिशा में होता है इसलिए झुकना सकारात्मक होता है और इसे शिथिलता कहा जाता है। फ्रेम की गई संरचना साइडवे के साथ या उसके बिना फ्रेम की गई संरचना का विश्लेषण मोमेंट डिस्ट्रीब्यूशन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है। उदाहरण आकृति में दिखाए गए स्थिर रूप से अनिश्चित किरण का विश्लेषण किया जाना है। बीम को तीन अलग-अलग सदस्य माना जाता है, एबी, बीसी और सीडी, जो बी और सी में निश्चित छोर (क्षण प्रतिरोधी) जोड़ों से जुड़े होते हैं। सदस्यों एबी, बीसी, सीडी का समान विस्तार होता है। लचीली कठोरताएँ क्रमशः ई. आई., 2. ई. आई. और ई. आई. हैं। परिमाण का केंद्रित भार समर्थन ए से दूरी पर कार्य करता है। तीव्रता का समान भार ईसा पूर्व पर कार्य करता है। सदस्य सीडी को इसके मध्यावधि में परिमाण के केंद्रित भार के साथ लोड किया जाता है। निम्नलिखित गणनाओं में, घड़ी की दिशा में क्षण सकारात्मक हैं। स्थिर अंतिम क्षण झुकने की कठोरता और वितरण कारक एबी, बीसी और सीडी सदस्यों की झुकने की कठोरता क्रमशः और हैं। इसलिए, दशमलव संकेतन को दोहराने में परिणामों को व्यक्त करनाः जोड़ों ए और डी के वितरण कारक हैं और। कैरीओवर कारक कैरीओवर कारक हैं, सिवाय डी (निश्चित समर्थन) से सी तक कैरीओवर कारक के जो शून्य है। धूसर रंग में संवेग वितरण संख्याएँ संतुलित क्षण होती हैं; तीर () किसी सदस्य के एक छोर से दूसरे छोर तक संवेग को ले जाने का प्रतिनिधित्व करते हैं। चरण 1: जैसे-जैसे जोड़ ए छोड़ा जाता है, निश्चित अंत क्षण के बराबर परिमाण का संतुलन क्षण विकसित होता है और जोड़ ए से जोड़ बी तक ले जाया जाता है। चरण 2: संयुक्त बी पर असंतुलित क्षण अब निश्चित अंत क्षणों का योग है, और संयुक्त ए से कैरी-ओवर क्षण है। यह असंतुलित क्षण बी. ए. और बी. सी. सदस्यों को वितरण कारकों के अनुसार वितरित किया जाता है। चरण 2 संतुलित क्षण को जोड़ सी में ले जाने के साथ समाप्त होता है। जोड़ ए एक रोलर समर्थन है जिसमें कोई घूर्णन संयम नहीं है, इसलिए जोड़ बी से जोड़ ए तक क्षण परिवहन शून्य है। चरण 3: संयुक्त सी पर असंतुलित क्षण अब निश्चित अंत क्षणों का योग है, और संयुक्त बी से कैरीओवर क्षण है। पिछले चरण की तरह, इस असंतुलित क्षण को प्रत्येक सदस्य को वितरित किया जाता है और फिर संयुक्त डी और वापस संयुक्त बी में ले जाया जाता है। जोड़ डी एक निश्चित सहारा है और इस जोड़ तक ले जाने वाले क्षणों को वितरित नहीं किया जाएगा और न ही जोड़ सी पर ले जाया जाएगा। * चरण 4: जोड़ बी में अभी भी संतुलित क्षण है जिसे चरण 3 में जोड़ सी से ले जाया गया था। संयुक्त बी को एक बार फिर मोमेंट वितरण को प्रेरित करने और संतुलन प्राप्त करने के लिए जारी किया जाता है। चरण 5-10: जोड़ों को छोड़ दिया जाता है और फिर से ठीक किया जाता है जब तक कि प्रत्येक जोड़ में आकार शून्य के असंतुलित क्षण या आवश्यक सटीकता में उपेक्षित रूप से छोटे न हों। अंकगणितीय रूप से प्रत्येक संबंधित कॉलम में सभी क्षणों का योग अंतिम क्षण मान देता है। जोड़ों पर परिणाम क्षण क्षण वितरण विधि द्वारा निर्धारित पारंपरिक इंजीनियर के संकेत परंपरा का उपयोग यहां किया जाता है, अर्थात। सकारात्मक क्षण एक बीम सदस्य के निचले हिस्से में विस्तार का कारण बनते हैं। तुलना उद्देश्यों के लिए, मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके उत्पन्न परिणाम निम्नलिखित हैं। ध्यान दें कि उपरोक्त विश्लेषण में, पुनरावृत्ति प्रक्रिया को> 0.01 सटीकता तक ले जाया गया था। तथ्य यह है कि मैट्रिक्स विश्लेषण के परिणाम और क्षण वितरण विश्लेषण के परिणाम 0.001 सटीकता से मेल खाते हैं, यह केवल संयोग है। मैट्रिक्स विधि द्वारा निर्धारित जोड़ों पर क्षण ध्यान दें कि क्षण वितरण विधि केवल जोड़ों पर क्षणों को निर्धारित करती है। पूर्ण झुकने वाले क्षण आरेख विकसित करने के लिए निर्धारित संयुक्त क्षण और आंतरिक खंड संतुलन का उपयोग करके अतिरिक्त गणना की आवश्यकता होती है। विस्थापन विधि के माध्यम से परिणाम क्योंकि हार्डी क्रॉस विधि केवल अनुमानित परिणाम प्रदान करती है, पुनरावृत्तियों की संख्या के विपरीत अनुपात में त्रुटि के अंतर के साथ, यह विचार करना महत्वपूर्ण है कि यह विधि कितनी सटीक हो सकती है। इसे ध्यान में रखते हुए, यहाँ एक सटीक विधि का उपयोग करके प्राप्त परिणाम हैः विस्थापन विधि इसके लिए, विस्थापन विधि समीकरण निम्नलिखित रूप धारण करता हैः इस उदाहरण में वर्णित संरचना के लिए, कठोरता मैट्रिक्स निम्नानुसार हैः समतुल्य नोडल बल सदिशः समीकरण में ऊपर प्रस्तुत मूल्यों को बदलना और इसे हल करने से निम्नलिखित परिणाम मिलता हैः इसलिए, नोड बी में मूल्यांकन किए गए क्षण इस प्रकार हैंः नोड सी में मूल्यांकन किए गए क्षण इस प्रकार हैंः परिमित तत्व विधि ढलान विक्षेपण विधि नोट्स संदर्भ संरचनात्मक विश्लेषण भी देखें।