Word (group theory)
समूह सिद्धांत में, एक शब्द समूह तत्वों और उनके व्युत्क्रम का कोई भी लिखित उत्पाद है। उदाहरण के लिए, यदि x, y और z एक समूह G के तत्व हैं, तो xy, z−1xzz और y−1zx−1yz−1 सेट {x, y, z} में शब्द हैं। जी में या यहाँ तक कि प्रत्येक समूह में भी दो अलग-अलग शब्द एक ही मूल्य का मूल्यांकन कर सकते हैं। शब्द स्वतंत्र समूहों और प्रस्तुतियों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और संयोजन समूह सिद्धांत में अध्ययन के केंद्रीय उद्देश्य हैं। परिभाषाएँ मान लीजिए कि G एक समूह है, और मान लीजिए कि S, G का एक उपसमुच्चय है। S में एक शब्द उस रूप की कोई भी अभिव्यक्ति है जहाँ s1,., sn, S के तत्व हैं, जिन्हें जनरेटर कहा जाता है, और प्रत्येक εi, ±1 है। संख्या n को शब्द की लंबाई के रूप में जाना जाता है। एस में प्रत्येक शब्द जी के एक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात् अभिव्यक्ति का उत्पाद। परंपरा के अनुसार, अद्वितीय पहचान तत्व को खाली शब्द द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो शून्य लंबाई का अद्वितीय शब्द है। संकेतन शब्दों को लिखते समय, एक संक्षिप्त नाम के रूप में घातीय संकेतन का उपयोग करना आम बात है। उदाहरण के लिए, शब्द को इस रूप में लिखा जा सकता है यह बाद की अभिव्यक्ति स्वयं एक शब्द नहीं है-यह मूल के लिए केवल एक छोटा संकेतन है। लंबे शब्दों के साथ काम करते समय, एस के तत्वों के व्युत्क्रम को दर्शाने के लिए एक ओवरलाइन का उपयोग करना सहायक हो सकता है। ओवरलाइन संकेतन का उपयोग करते हुए, उपरोक्त शब्द को निम्नानुसार लिखा जाएगाः कम शब्द कोई भी शब्द जिसमें एक जनरेटर अपने स्वयं के व्युत्क्रम (xx−1 या x−1x) के बगल में दिखाई देता है, उसे अनावश्यक जोड़ी को छोड़कर सरल बनाया जा सकता हैः इस ऑपरेशन को रिडक्शन के रूप में जाना जाता है, और यह शब्द द्वारा दर्शाए गए समूह तत्व को नहीं बदलता है। कटौती को संबंधों (नीचे परिभाषित) के रूप में सोचा जा सकता है जो समूह स्वयंसिद्धियों से अनुसरण करते हैं। एक छोटा शब्द एक ऐसा शब्द है जिसमें कोई अनावश्यक जोड़े नहीं होते हैं। कटौती के क्रम का प्रदर्शन करके किसी भी शब्द को कम किए गए शब्द में सरल बनाया जा सकता हैः परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें कटौती की जाती है। एक शब्द को चक्रीय रूप से तभी कम किया जाता है जब शब्द के प्रत्येक चक्रीय क्रमपरिवर्तन को कम किया जाता है। शब्दों पर क्रियाएं दो शब्दों का गुणनफल संयोजन द्वारा प्राप्त किया जाता हैः भले ही दो शब्दों को कम कर दिया जाए, लेकिन गुणनफल नहीं भी हो सकता है। एक शब्द का व्युत्क्रम प्रत्येक जनित्र को उलटने और तत्वों के क्रम को उलटने से प्राप्त किया जाता हैः एक शब्द के गुणनफल को उसके व्युत्क्रम के साथ खाली शब्द में घटाया जा सकता हैः आप एक शब्द के आरंभ से अंत तक जनित्र को संयुग्मन द्वारा स्थानांतरित कर सकते हैंः एक समूह के समूह A के उपसमुच्चय S को उत्पन्न करने वाले समूह को उत्पन्न करने वाला समूह कहा जाता है यदि G के प्रत्येक तत्व को S में एक शब्द द्वारा दर्शाया जा सकता है। जब S, G के लिए एक उत्पन्न समूह नहीं है, तो S में शब्दों द्वारा दर्शाए गए तत्वों का समूह G का एक उपसमूह है, जिसे S द्वारा उत्पन्न G के उपसमूह के रूप में जाना जाता है और आमतौर पर दर्शाया जाता है। यह जी का सबसे छोटा उपसमूह है जिसमें एस के तत्व होते हैं। सामान्य रूप समूह एस उत्पन्न करने वाले समूह जी के लिए एक सामान्य रूप जी के प्रत्येक तत्व के लिए एस में एक कम किए गए शब्द का विकल्प है। उदाहरण के लिएः शब्द 1, आई, जे, आईज क्लेन चार-समूह के लिए एक सामान्य रूप हैं जिसमें} और 1 खाली शब्द (समूह के लिए पहचान तत्व) का प्रतिनिधित्व करते हैं। शब्द 1, r, r2,., rn-1, s, sr,., srn-1 डायहेड्रल समूह डिह्न के लिए एक सामान्य रूप हैं। m के लिए xmyn रूप के शब्दों का समूह, n bul Z चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए एक सामान्य रूप है और साथ}। एस में कम किए गए शब्दों का समुच्चय एस पर मुक्त समूह के लिए अद्वितीय सामान्य रूप है। संबंध और प्रस्तुतियाँ यदि एस समूह जी के लिए एक उत्पन्न करने वाला समुच्चय है, तो एक संबंध एस में शब्दों का एक जोड़ा है जो जी के समान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है। ये आमतौर पर समीकरणों के रूप में लिखे जाते हैं, जैसे। संबंधों का एक समूह जी को परिभाषित करता है यदि जी में प्रत्येक संबंध एक समूह के लिए स्वयंसिद्धों का उपयोग करने वालों से तार्किक रूप से अनुसरण करता है। जी के लिए एक प्रस्तुति एक जोड़ी है, जहां एस जी के लिए एक उत्पन्न करने वाला सेट है और संबंधों का एक परिभाषित सेट है। उदाहरण के लिए, क्लेन चार-समूह को प्रस्तुति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है यहाँ 1 खाली शब्द को दर्शाता है, जो पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है। मुक्त समूह यदि एस कोई समूह है, तो एस पर मुक्त समूह प्रस्तुति वाला समूह है। अर्थात्, एस पर मुक्त समूह एस के तत्वों द्वारा उत्पन्न समूह है, जिसमें कोई अतिरिक्त संबंध नहीं है। मुक्त समूह के प्रत्येक तत्व को एस में एक छोटे शब्द के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। संयोजन समूह सिद्धांत समूह सिद्धांत शब्दों पर संयोजन