Flat (geometry)
ज्यामिति में, एक फ्लैट या एफ़ाइन सबस्पेस एक एफ़ाइन स्पेस का एक सबसेट है जो स्वयं एक एफ़ाइन स्पेस (बराबर या निचले आयाम का) है। यदि मूल स्थान यूक्लिडियन है, तो एक समतल एक यूक्लिडियन उपक्षेत्र है जो अपने मूल स्थान से दूरी की धारणा विरासत में प्राप्त करता है। एक तल (द्वि-आयामी स्थान) में समतल बिंदु, रेखाएँ और स्वयं तल होते हैं; त्रि-आयामी स्थान में समतल बिंदु, रेखाएँ, तल और स्वयं स्थान होते हैं। एक-आयामी स्थान में, प्रत्येक आयाम के-फ्लैट होते हैं 0 से; उपस्थान मूल स्थान से एक आयाम कम होते हैं,-फ्लैट, हाइपरप्लेन कहलाते हैं। समतल रैखिक बीजगणित में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान सेटों के ज्यामितीय प्राप्ति के रूप में होते हैं। एक समतल एक मैनिफोल्ड और एक बीजगणितीय विविधता है, और इसे कभी-कभी अन्य मैनिफोल्ड या किस्मों से अलग करने के लिए एक रैखिक मैनिफोल्ड या रैखिक विविधता कहा जाता है। समीकरणों द्वारा एक समतल को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी स्थान में एक रेखा को एक एकल रैखिक समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसमें और शामिल हैंः त्रि-आयामी स्थान में, एक एकल रैखिक समीकरण शामिल है, और एक तल को परिभाषित करता है, जबकि रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी का उपयोग एक रेखा का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, चर में एक रैखिक समीकरण एक हाइपरप्लेन का वर्णन करता है, और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली उन हाइपरप्लेन के प्रतिच्छेदन का वर्णन करती है। मान लीजिए कि समीकरण सुसंगत और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, समीकरणों की एक प्रणाली आयाम के एक समतल का वर्णन करती है। पैरामीट्रिक ए फ्लैट को रैखिक पैरामीट्रिक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। एक रेखा को एक पैरामीटर वाले समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता हैः जबकि एक तल के विवरण के लिए दो मापदंडों की आवश्यकता होगीः सामान्य रूप से, आयाम के एक समतल के पैरामीटराइजेशन के लिए मापदंडों की आवश्यकता होगी। इंटरसेक्टिंग, पैरेलल और स्क्यू फ्लैटों पर संचालन और संबंध फ्लैटों का एक प्रतिच्छेदन या तो एक फ्लैट या खाली सेट होता है। यदि एक फ्लैट से प्रत्येक रेखा दूसरे फ्लैट से किसी रेखा के समानांतर है, तो ये दोनों फ्लैट समानांतर हैं। एक ही आयाम के दो समानांतर फ्लैट या तो मेल खाते हैं या प्रतिच्छेद नहीं करते हैं; उन्हें रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो केवल उनके दाहिने हाथ की भुजाओं में भिन्न होते हैं। यदि फ्लैट प्रतिच्छेदन नहीं करते हैं, और पहले फ्लैट से कोई भी रेखा दूसरे फ्लैट से एक रेखा के समानांतर नहीं है, तो ये तिरछे फ्लैट हैं। यह तभी संभव है जब उनके आयामों का योग परिवेशीय स्थान के आयाम से कम हो। आयामों के दो फ्लैटों के लिए जोड़ें और न्यूनतम फ्लैट मौजूद है जिसमें वे शामिल हैं, अधिक से अधिक आयाम का। यदि दो समतल प्रतिच्छेदन करते हैं, तो समतुल्य समतल का आयाम प्रतिच्छेदन के आयाम को घटाने के बराबर होता है। संचालन के गुण ये दो संचालन (मिलन और जुड़ाव के रूप में संदर्भित) यूक्लिडियन-स्पेस में सभी फ्लैटों के सेट को एक जाली बनाते हैं और किसी भी आयाम में फ्लैटों के लिए व्यवस्थित निर्देशांक का निर्माण कर सकते हैं, जिससे ग्रासमैन निर्देशांक या दोहरे ग्रासमैन निर्देशांक बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी स्थान में एक रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं या दो अलग-अलग तलों द्वारा निर्धारित की जाती है। हालांकि, सभी फ्लैटों की जाली एक वितरण जाली नहीं है। यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं, तो एक बिंदु है। यदि एक ही तल पर एक बिंदु नहीं है, तो दोनों एक रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। लेकिन जब और समानांतर होते हैं, तो यह वितरण विफल हो जाता है, जो बाएं हाथ की ओर और दाएं हाथ की ओर एक तीसरी समानांतर रेखा देता है। यूक्लिडियन ज्यामिति उपरोक्त तथ्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष (अर्थात्, यूक्लिडियन दूरी को शामिल करते हुए) की संरचना पर निर्भर नहीं करते हैं और किसी भी एफ़ाइन स्पेस में सही हैं। एक यूक्लिडियन स्थान मेंः एक समतल और एक बिंदु के बीच की दूरी होती है। (उदाहरण के लिए एक बिंदु से एक समतल की दूरी और एक बिंदु से एक रेखा की दूरी देखें।) दो समतलों के बीच की दूरी 0 के बराबर है यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं। (उदाहरण के लिए दो रेखाओं के बीच की दूरी (एक ही तल में) और देखें।) दो समतलों के बीच एक कोण होता है, जो 0 और समकोण के बीच के अंतराल से संबंधित होता है। (उदाहरण के लिए डायहेड्रल कोण (दो तलों के बीच) देखें। फ्लैटों के बीच के कोण भी देखें।) एन-डायमेंशनल स्पेस मैट्रायड कोप्लेनेरिटी आइसोमेट्री नोट्स रेफेरेंसेस हेनरिक गुगेनहाइमर (1977) एप्लिकेबल ज्योमेट्री, पेज 7, क्रीगर, न्यूयॉर्क भी देखें। मूल स्टैनफोर्ड पी. एच. डी. शोध प्रबंध, प्रिमिटिव्स फॉर कम्प्यूटेशनल ज्योमेट्री, डी. ई. सी. एस. आर. सी. अनुसंधान रिपोर्ट 36 के रूप में उपलब्ध है। बाहरी लिंक यूक्लिडियन ज्यामिति एफाइन ज्यामिति रैखिक बीजगणित fr: हाइपरप्लान