Direct linear transformation
प्रत्यक्ष रैखिक परिवर्तन (डी. एल. टी.) एक एल्गोरिथ्म है जो समानता संबंधों के एक समूह से चरों के एक समूह को हल करता हैः जहाँ और ज्ञात वैक्टर हैं, एक अज्ञात स्केलर गुणन तक समानता को दर्शाता है, और एक मैट्रिक्स (या रैखिक परिवर्तन) है जिसमें अज्ञात शामिल हैं जिन्हें हल किया जाना है। इस प्रकार का संबंध प्रोजेक्टिव ज्यामिति में अक्सर दिखाई देता है। व्यावहारिक उदाहरणों में एक दृश्य में 3डी बिंदुओं और एक पिनहोल कैमरे के छवि तल पर उनके प्रक्षेपण और समरूपता के बीच संबंध शामिल हैं। परिचय के लिए रैखिक समीकरणों की एक साधारण प्रणाली को हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसे एक मैट्रिक्स समीकरण के रूप में फिर से लिखकर जहां मैट्रिक्स और वेक्टर और उनके संबंधित स्तंभों में होते हैं। यह देखते हुए कि एक अद्वितीय समाधान मौजूद है, इसे समाधान द्वारा दिया जाता है, इस मामले में भी वर्णित किया जा सकता है कि समीकरण अधिक या कम निर्धारित हैं। जो बात प्रत्यक्ष रैखिक परिवर्तन समस्या को उपरोक्त मानक मामले से अलग बनाती है, वह यह है कि परिभाषित समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष एक अज्ञात गुणक कारक से भिन्न हो सकते हैं जो k पर निर्भर है। परिणामस्वरूप, मानक मामले की तरह गणना नहीं की जा सकती है। इसके बजाय, समानता संबंधों को उचित रैखिक सजातीय समीकरणों के रूप में फिर से लिखा जाता है जिन्हें फिर एक मानक विधि द्वारा हल किया जा सकता है। समानता समीकरणों को सजातीय रैखिक समीकरणों के रूप में फिर से लिखने और उन्हें मानक तरीकों से हल करने के संयोजन को प्रत्यक्ष रैखिक परिवर्तन एल्गोरिदम या डीएलटी एल्गोरिदम के रूप में संदर्भित किया जाता है। डी. एल. टी. का श्रेय इवान सदरलैंड को दिया जाता है। उदाहरण मान लीजिए। मान लीजिए और दो ज्ञात वैक्टर हैं, और हम मैट्रिक्स को इस तरह खोजना चाहते हैं कि समीकरण k से संबंधित अज्ञात स्केलर कारक कहां है। अज्ञात स्केलर से छुटकारा पाने और सजातीय समीकरण प्राप्त करने के लिए, एंटी-सिमेट्रिक मैट्रिक्स को परिभाषित करें और समीकरण के दोनों पक्षों को बाएं से गुणा करें क्योंकि निम्नलिखित सजातीय समीकरण, जिनमें अब अज्ञात स्केलर नहीं हैं, हाथ में हैं। समीकरणों के इस सेट से हल करने के लिए, वैक्टर और मैट्रिक्स के तत्वों पर विचार करेंः,, और उपरोक्त सजातीय समीकरण मैट्रिक्स के रूप में भी लिखा जा सकता हैः जहां और दोनों 6-आयामी वैक्टर हैं और अब तक, हमारे पास 1 समीकरण और 6 अज्ञात हैं। सजातीय समीकरणों का एक समूह मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है जहां एक मैट्रिक्स है जो अपनी पंक्तियों में ज्ञात वैक्टर रखता है। अज्ञात को निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक एकवचन मूल्य अपघटन द्वारा; एक एकवचन मूल्य के अनुरूप एक सही एकवचन सदिश है जो शून्य के बराबर है। एक बार निर्धारित हो जाने के बाद, मैट्रिक्स के तत्वों को वेक्टर से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि स्केलिंग या महत्वपूर्ण नहीं है (सिवाय इसके कि यह गैर-शून्य होना चाहिए) क्योंकि परिभाषित समीकरण पहले से ही अज्ञात स्केलिंग की अनुमति देते हैं। व्यवहार में वैक्टर और इसमें शोर हो सकता है जिसका अर्थ है कि समानता समीकरण केवल लगभग मान्य हैं। नतीजतन, ऐसा कोई सदिश नहीं हो सकता है जो सजातीय समीकरण को ठीक से हल करे। इन मामलों में, कुल न्यूनतम वर्ग समाधान का उपयोग अधिक सामान्य मामलों के सबसे छोटे एकवचन मूल्य के अनुरूप एक सही एकवचन सदिश के रूप में चुनकर किया जा सकता है, लेकिन समानता संबंधों को सजातीय रैखिक समीकरणों में फिर से लिखने की सामान्य रणनीति दोनों के लिए मनमाने आयामों के लिए सामान्यीकृत की जा सकती है और यदि और पिछली अभिव्यक्तियाँ अभी भी एक समीकरण की ओर ले जा सकती हैं जहां अब प्रत्येक k अज्ञात तत्वों में एक समीकरण प्रदान करता है और इन समीकरणों को ज्ञात मैट्रिक्स और अज्ञात 2q-आयामी सदिश के लिए लिखा जा सकता है। सबसे सामान्य मामले में और। पहले की तुलना में मुख्य अंतर यह है कि अब मैट्रिक्स और एंटी-सिमेट्रिक है। जब ऐसे मैट्रिक्स का स्थान अब एक-आयामी नहीं रहता है, तो यह आयाम का होता है इसका मतलब है कि k का प्रत्येक मान M के लिए और जहां के लिए सममित-विरोधी मैट्रिक्स के स्थान का एक M-आयामी आधार है, के प्रकार के सजातीय समीकरण प्रदान करता है। उदाहरण पी = 3 इस मामले में कि पी = 3 निम्नलिखित तीन मैट्रिक्स को चुना जा सकता है, इस विशेष मामले में, सजातीय रैखिक समीकरणों को लिखा जा सकता है कि वेक्टर क्रॉस उत्पाद का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व कहाँ है। ध्यान दें कि यह अंतिम समीकरण सदिश मूल्यवान है; बाईं ओर शून्य तत्व है। के का प्रत्येक मान के अज्ञात तत्वों में तीन सजातीय रैखिक समीकरण प्रदान करता है। हालाँकि, चूंकि रैंक = 2 है, इसलिए अधिक से अधिक दो समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। व्यवहार में, इसलिए, तीन मैट्रिक्स में से केवल दो का उपयोग करना आम है, उदाहरण के लिए, m = 1,2 के लिए। हालांकि, समीकरणों के बीच रैखिक निर्भरता इस पर निर्भर है, जिसका अर्थ है कि दुर्भाग्यपूर्ण मामलों में चुनना बेहतर होता, उदाहरण के लिए, m = 2,3। नतीजतन, यदि समीकरणों की संख्या चिंता का विषय नहीं है, तो मैट्रिक्स के निर्माण के समय तीनों समीकरणों का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। परिणामी सजातीय रैखिक समीकरणों के बीच रैखिक निर्भरता मामले पी> 2 के लिए एक सामान्य चिंता का विषय है और इससे या तो सममित-विरोधी मैट्रिक्स के सेट को कम करके या संदर्भ निर्धारित करने के लिए आवश्यक से बड़ा होने की अनुमति देकर निपटा जाना चाहिए।