Singular integral
गणित में, एकवचन समाकलन हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय हैं और आंशिक विभेदक समीकरणों के अध्ययन के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं। मोटे तौर पर एकवचन समाकलन एक समाकलन प्रचालक होता है जिसका कर्नेल फलन K: Rn × Rn → R विकर्ण x = y के साथ एकवचन होता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K (x, y)। आकार |x −y। −n एसिम्प्टोटिक रूप से |x −y। → 0 के रूप में है। चूँकि इस तरह के समाकलन सामान्य रूप से पूरी तरह से समाकलन योग्य नहीं हो सकते हैं, एक कठोर परिभाषा को उन्हें |y −x।> ε पर समाकलन की सीमा के रूप में ε → 0 के रूप में परिभाषित करना चाहिए, लेकिन व्यवहार में यह एक तकनीकीता है। आमतौर पर परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है जैसे कि एलपी (आरएन) पर उनकी सीमा। हिल्बर्ट परिवर्तन मूल एकवचन समाकलन प्रचालक हिल्बर्ट परिवर्तन H है। यह R में x के लिए कर्नेल K (x) = 1/(πx) के विरुद्ध अभिसरण द्वारा दिया जाता है। अधिक सटीक रूप से, इनमें से सबसे सीधे उच्च आयाम अनुरूप रीज़ परिवर्तन हैं, जो K (x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ i = 1,., n और Rn में x का i-th घटक है। ये सभी प्रचालक एल. पी. पर बंधे हैं और कमजोर प्रकार (1,1) अनुमानों को पूरा करते हैं। कन्वोलुशन प्रकार के सिंगुलर इंटीग्रल कन्वोलुशन प्रकार का एक सिंगुलर इंटीग्रल एक ऑपरेटर T है जिसे एक कर्नेल K के साथ कन्वोलुशन द्वारा परिभाषित किया गया है जो Rn\ {0} पर स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल है, इस अर्थ में कि मान लीजिए कि कर्नेल संतुष्ट करता हैः K के फूरियर परिवर्तन पर आकार की स्थिति चिकनीपन की स्थितिः कुछ C> 0 के लिए, फिर यह दिखाया जा सकता है कि T Lp (Rn) पर बंधा हुआ है और एक कमजोर प्रकार (1,1) अनुमान को संतुष्ट करता है। गुण 1. यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि समशीतोष्ण वितरण के साथ अभिसरण () पी. वी. मुख्य मूल्य समाकलन द्वारा दिया गया K, L2 पर एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर गुणक है। 1. या 2. गुणों में से किसी को भी सत्यापित करना आवश्यक रूप से आसान नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त शर्तें मौजूद हैं। आम तौर पर आवेदनों में, रद्द करने की शर्त भी होती है जिसे जांचना काफी आसान होता है। यह स्वचालित है, उदाहरण के लिए, यदि K एक विषम फलन है। यदि, इसके अलावा, कोई 2. और निम्नलिखित आकार की स्थिति मानता है तो यह दिखाया जा सकता है कि 1. अनुसरण करता है। चिकनाई की स्थिति 2. को भी अक्सर सिद्धांत रूप में जांचना मुश्किल होता है, एक कर्नेल के की निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति का उपयोग किया जा सकता हैः ध्यान दें कि ये शर्तें हिल्बर्ट और रीज़ परिवर्तनों के लिए संतुष्ट हैं, इसलिए यह परिणाम उन परिणामों का एक विस्तार है। गैर-अभिसरण प्रकार के एकल समाकलन ये और भी अधिक सामान्य प्रचालक हैं। हालाँकि, चूंकि हमारी धारणाएँ इतनी कमजोर हैं, इसलिए यह जरूरी नहीं है कि ये ऑपरेटर एलपी पर बंधे हों। काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल एक फलन को काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल कहा जाता है यदि यह कुछ स्थिरांक C> 0 और δ> 0 के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है। गैर-अभिसरण प्रकार टी के एकल समाकलन को काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल के से जुड़े गैर-अभिसरण प्रकार का एक एकल समाकलन प्रचालक कहा जाता है यदि जब भी एफ और जी चिकने होते हैं और उनका समर्थन अलग-अलग होता है। ऐसे प्रचालक को एलपी काल्डेरॉन-ज़िग्मंड प्रचालक पर बाध्य होने की आवश्यकता नहीं है एक काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल के से जुड़े गैर-अभिसरण प्रकार टी के एकवचन समाकलन को काल्डेरॉन-ज़िग्मंड प्रचालक कहा जाता है जब यह एल 2 पर सीमित होता है, यानी, एक सी> 0 ऐसा होता है जो सभी चिकनी सघन रूप से समर्थित एफ के लिए होता है। यह साबित किया जा सकता है कि ऐसे प्रचालक, वास्तव में, सभी एलपी पर 1 <पी <φ के साथ भी बंधे होते हैं। टी (बी) प्रमेय टी (बी) प्रमेय एक एकल समाकलन प्रचालक के लिए एक काल्डेरॉन-ज़िग्मंड प्रचालक होने के लिए पर्याप्त शर्तें प्रदान करता है, जो कि एल 2 पर बंधे काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल से जुड़े एक एकल समाकलन प्रचालक के लिए है। परिणाम बताने के लिए हमें पहले कुछ शब्दों को परिभाषित करना होगा। एक सामान्यीकृत टक्कर एक चिकना फलन φ है जो Rn पर त्रिज्या 1 की गेंद में समर्थित है और मूल पर इस तरह केंद्रित है कि सभी बहु-सूचकांकों |α। ≤ n + 2 के लिए। Rn और r> 0 में सभी x के लिए τx (φ) (y) = φ (y−x) और φr (x) = r−nφ (x/r) से निरूपित करें। एक प्रचालक को कमजोर रूप से बंधा हुआ कहा जाता है यदि एक स्थिरांक C ऐसा है कि सभी सामान्यीकृत धक्कों φ और si के लिए। एक फलन को अभिग्राही कहा जाता है यदि एक स्थिरांक c> 0 ऐसा है कि R में सभी x के लिए Re (b) (x) ≤ c. एक फलन b द्वारा गुणन द्वारा दिए गए प्रचालक को Mb द्वारा निरूपित करें। टी (बी) प्रमेय में कहा गया है कि एक काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल से जुड़ा एक एकल समाकलन प्रचालक टी एल2 पर बंधा होता है यदि यह कुछ बद्ध एक्रेटिव कार्यों बी1 और बी2 के लिए निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता हैः कमजोर रूप से बंधा होता है; बी. एम. ओ. में होता है; बी. एम. ओ. में होता है, जहां टी. टी. टी. टी. का पारगमन प्रचालक है। .. .. (रूसी में)। .. , (यूरोपीय संस्करणः)। बाहरी लिंक हार्मोनिक विश्लेषण वास्तविक विश्लेषण