Filling radius
रीमानियन ज्यामिति में, एक रीमानियन मैनिफोल्ड X की भरने की त्रिज्या X का एक मीट्रिक अपरिवर्तनीय है। यह मूल रूप से 1983 में मिखाइल ग्रोमोव द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग आवश्यक मैनिफोल्ड्स के लिए अपनी सिस्टोलिक असमानता को साबित करने के लिए किया था, लोवनर की टोरस असमानता और वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन के लिए पु की असमानता को व्यापक रूप से सामान्य करते हुए, और अपने आधुनिक रूप में सिस्टोलिक ज्यामिति का निर्माण किया। समतल में एक साधारण लूप सी की भरने की त्रिज्या को एक वृत्त की सबसे बड़ी त्रिज्या, आर> 0 के रूप में परिभाषित किया गया है जो सी के अंदर फिट बैठती हैः पड़ोस के माध्यम से दोहरी परिभाषा एक प्रकार का दोहरा दृष्टिकोण है जो इस धारणा को सामान्य बनाने की अनुमति देता है, जैसा कि ग्रोमोव द्वारा दिखाया गया है। अर्थात्, हम लूप सी के-पड़ोस पर विचार करते हैं, जिसे दर्शाया जाता है जैसे-जैसे बढ़ता है,-पड़ोस लूप के आंतरिक भाग को अधिक से अधिक निगल जाता है। निगलने के लिए अंतिम बिंदु सटीक रूप से एक सबसे बड़े उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र है। इसलिए, हम उपरोक्त परिभाषा को इस तरह से परिभाषित करके सुधार कर सकते हैं कि लूप सी एक बिंदु तक सिकुड़ जाए। यूक्लिडियन स्पेस E में अंतःस्थापित एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड X को देखते हुए, हम अंतःस्थापित के सापेक्ष भरने की त्रिज्या को परिभाषित कर सकते हैं, पड़ोस के आकार को कम करके जिसमें X को कुछ छोटे आयामी के लिए समस्थानिक किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक निम्न-आयामी पॉलीहेड्रॉन के लिए। तकनीकी रूप से एक समान परिभाषा के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है। समरूपी परिभाषा ए द्वारा गुणांक वलय को निरूपित करें या, यह इस बात पर निर्भर करता है कि एक्स अभिविन्यास योग्य है या नहीं। फिर एक कॉम्पैक्ट एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एक्स का मौलिक वर्ग, जिसे [एक्स] दर्शाया जाता है, समरूपता समूह का एक जनरेटर है, और हम निर्धारित करते हैं कि समावेशन समरूपता कहाँ है। ऐसी स्थिति में एक पूर्ण भरने की त्रिज्या को परिभाषित करने के लिए जहां X एक रीमानियन मीट्रिक ग्राम से लैस है, ग्रोमोव निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। एक कुराटोव्स्की एम्बेडिंग का फायदा उठाता है। एक्स पर बाउंडेड बोरेल फ़ंक्शंस के बनाच स्पेस में एक्स को शामिल किया जाता है, जो सुपर नॉर्म से लैस होता है। अर्थात्, हम सभी के लिए सूत्र द्वारा परिभाषित फलन के लिए एक बिंदु का मानचित्र बनाते हैं, जहाँ d मीट्रिक द्वारा परिभाषित दूरी फलन है। त्रिभुज असमानता से हमारे पास है और इसलिए अंतःस्थापन दृढ़ता से सममितीय है, सटीक अर्थ में कि आंतरिक दूरी और परिवेशी दूरी मेल खाती है। यदि परिवेशीय स्थान एक हिल्बर्ट स्थान है तो इस तरह की दृढ़ता से सममितीय अंतःस्थापन असंभव है, भले ही X रीमानियन वृत्त हो (विपरीत बिंदुओं के बीच की दूरी 2 नहीं होनी चाहिए!)। फिर हम उपरोक्त सूत्र में सेट करते हैं, और गुणों को परिभाषित करते हैं भरने की त्रिज्या व्यास का अधिकतम एक तिहाई है (काट्ज़, 1983)। स्थिर वक्रता के मीट्रिक के साथ वास्तविक प्रोजेक्टिव स्पेस की भरने की त्रिज्या इसके रीमानियन व्यास का एक तिहाई है, देखें (काट्ज़, 1983)। समान रूप से, इन मामलों में भरने की त्रिज्या सिस्टोल का छठा हिस्सा है। 2π लंबाई के रीमानियाई वृत्त की भरने की त्रिज्या, अर्थात। प्रेरित रीमानियन दूरी फलन के साथ इकाई वृत्त, π/3 के बराबर है, अर्थात। इसकी लंबाई का छठा हिस्सा। इसके बाद ऊपर उल्लिखित व्यास की ऊपरी सीमा को सिस्टोल के संदर्भ में ग्रोमोव की निचली सीमा के साथ जोड़ा जाता है (ग्रोमोव, 1983) एक आवश्यक मैनिफोल्ड एम का सिस्टोल इसकी भरने की त्रिज्या का अधिकतम छह गुना है, देखें (ग्रोमोव, 1983)। असमानता इस अर्थ में इष्टतम है कि समानता का सीमा मामला उपरोक्त वास्तविक प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान द्वारा प्राप्त किया जाता है। कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड की इंजेक्टिविटी त्रिज्या भरने की त्रिज्या पर एक निचली सीमा देती है। अर्थात्, आवश्यक मैनिफोल्ड्स के लिए ग्रोमॉव की सिस्टोलिक असमानता को भरने का क्षेत्र अनुमान भी देखें संदर्भ ग्रोमॉव, एम.: रीमानियन मैनिफोल्ड्स को भरना, जर्नल ऑफ डिफरेंशियल ज्योमेट्री 18 (1983), 1-147। काट्ज़, एम.: दो-बिंदु सजातीय रिक्त स्थान की भरने की त्रिज्या। जर्नल ऑफ डिफरेंशियल ज्योमेट्री 18, संख्या 3 (1983), 505-511। रीमानियन ज्यामिति विभेदक ज्यामिति सिस्टोलिक ज्यामिति