Tits alternative
गणित में, टिट्स विकल्प, जिसका नाम जैक्स टिट्स के नाम पर रखा गया है, परिमित रूप से उत्पन्न रैखिक समूहों की संरचना के बारे में एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। कथन टिट्स द्वारा सिद्ध प्रमेय को निम्नानुसार बताया गया है। परिणाम एक रैखिक समूह अनुकूल नहीं होता है यदि और केवल तभी जब इसमें एक गैर-एबेलियन मुक्त समूह होता है (इस प्रकार वॉन न्यूमैन अनुमान, जबकि सामान्य रूप से सही नहीं है, रैखिक समूहों के लिए लागू होता है)। टिट्स विकल्प बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय के प्रमाण में एक महत्वपूर्ण घटक है। वास्तव में विकल्प अनिवार्य रूप से रैखिक समूहों के लिए परिणाम स्थापित करता है (यह इसे हल करने योग्य समूहों के मामले में कम कर देता है, जिनसे प्राथमिक तरीकों से निपटा जा सकता है)। सामान्यीकरण ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, एक समूह जी को टिट्स विकल्प को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि जी के प्रत्येक उपसमूह एच के लिए या तो एच वस्तुतः हल करने योग्य है या एच में एक गैर-एबेलियन मुक्त उपसमूह है (परिभाषा के कुछ संस्करणों में इस स्थिति को केवल जी के सभी परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूहों के लिए संतुष्ट करने की आवश्यकता है)। टिट्स विकल्प को संतुष्ट करने वाले समूहों के उदाहरण जो या तो रैखिक नहीं हैं, या कम से कम रैखिक होने के लिए नहीं जाने जाते हैं, वे हैंः हाइपरबोलिक समूह वर्ग समूहों का मानचित्रण; आउट (एफएन); बीजगणितीय सतहों के द्विवार्षिक परिवर्तनों के कुछ समूह। टिट्स विकल्प को संतुष्ट नहीं करने वाले समूहों के उदाहरण हैंः ग्रिगोरचुक समूह; थॉम्पसन का समूह एफ. सबूत मूल टिट्स विकल्प का प्रमाण इन के ज़ारिस्की समापन को देखना है। यदि यह हल करने योग्य है तो समूह हल करने योग्य है। अन्यथा कोई लेवी घटक की छवि को देखता है। यदि यह गैर-संक्षिप्त है तो एक पिंग-पोंग तर्क प्रमाण को समाप्त करता है। यदि यह कॉम्पैक्ट है तो या तो छवि में तत्वों के सभी आइगेनवैल्यू एकता की जड़ें हैं और फिर छवि सीमित है, या कोई एक एम्बेडिंग पा सकता है जिसमें कोई भी पिंग-पोंग रणनीति को लागू कर सकता है। ध्यान दें कि उपरोक्त सभी सामान्यीकरणों का प्रमाण भी एक पिंग-पोंग तर्क पर आधारित है। संदर्भ अनंत समूह सिद्धांत ज्यामितीय समूह सिद्धांत समूह सिद्धांत में प्रमेय