Generic property
गणित में, जो गुण "विशिष्ट" उदाहरणों के लिए होते हैं, उन्हें सामान्य गुण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कार्यों के एक वर्ग का एक सामान्य गुण वह है जो उन कार्यों के "लगभग सभी" के लिए सही है, जैसा कि बयानों में कहा गया है, "एक सामान्य बहुपद का शून्य पर मूल नहीं होता है", या "एक सामान्य वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है"। एक अन्य उदाहरण के रूप में, एक स्थान का सामान्य गुण एक ऐसा गुण है जो स्थान के "लगभग सभी" बिंदुओं पर धारण करता है, जैसा कि कथन में कहा गया है, "यदि चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच एक सहज कार्य है, तो एक सामान्य बिंदु का महत्वपूर्ण मूल्य नहीं है।" (यह सार्ड के प्रमेय से है।) गणित में "सामान्य" (जिसका अर्थ "लगभग सभी" है) की कई अलग-अलग धारणाएँ हैं, "लगभग कोई नहीं" (नगण्य समुच्चय) की संबंधित दोहरी धारणाओं के साथ; दो मुख्य वर्ग हैंः माप सिद्धांत में, एक सामान्य गुण वह है जो लगभग हर जगह धारण करता है, जिसमें दोहरी अवधारणा शून्य समुच्चय है, जिसका अर्थ है "संभावना 0 के साथ"। टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सामान्य गुण वह है जो एक घने खुले सेट पर, या आम तौर पर एक अवशिष्ट सेट पर होता है, जिसमें दोहरी अवधारणा कहीं भी घने सेट नहीं होती है, या आम तौर पर एक अल्प सेट होती है। ऐसे कई प्राकृतिक उदाहरण हैं जहाँ वे धारणाएँ समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, लियोविल संख्याओं का समूह स्थलाकृतिक अर्थ में सामान्य है, लेकिन लेबस्ग्यू माप शून्य है। माप सिद्धांत में, एक सामान्य गुण वह है जो लगभग हर जगह होता है। दोहरी अवधारणा एक शून्य समुच्चय है, जो कि शून्य माप का एक समुच्चय है। प्रायिकता में, एक सामान्य गुण एक ऐसी घटना है जो लगभग निश्चित रूप से होती है, जिसका अर्थ है कि यह प्रायिकता 1 के साथ होती है। उदाहरण के लिए, बड़ी संख्या के नियम में कहा गया है कि नमूना माध्य लगभग निश्चित रूप से जनसंख्या माध्य में परिवर्तित हो जाता है। यह माप सिद्धांत मामले में परिभाषा है जो एक संभाव्यता स्थान के लिए विशिष्ट है। असतत गणित में, लगभग सभी शब्द का उपयोग सह-अनंत (सभी लेकिन परिमित रूप से कई), गणना योग्य (सभी लेकिन गणना योग्य रूप से कई), पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या के लिए, या, कभी-कभी, लगभग निश्चित रूप से असिंप्टोटिक रूप से करने के लिए किया जाता है। यादृच्छिक आलेखों के अध्ययन में अवधारणा विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। टोपोलॉजी में टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सामान्य गुण वह है जो एक घने खुले समुच्चय पर, या अधिक सामान्य रूप से एक अवशिष्ट समुच्चय (घने खुले समुच्चय का एक गणना योग्य प्रतिच्छेदन) पर धारण करता है, जिसमें दोहरी अवधारणा एक बंद कहीं भी घना समुच्चय नहीं है, या अधिक आम तौर पर एक अल्प समुच्चय (कहीं भी घने बंद समुच्चय का एक गणना योग्य संघ) है। हालांकि, एक सामान्य गुण को चिह्नित करने के लिए अकेले घनत्व पर्याप्त नहीं है। यह वास्तविक संख्याओं में भी देखा जा सकता है, जहाँ परिमेय संख्याएँ और उनके पूरक, अपरिमेय संख्याएँ, दोनों ही घनी हैं। चूँकि यह कहने का कोई मतलब नहीं है कि एक समूह और उसके पूरक दोनों विशिष्ट व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, तर्कसंगत और तर्कहीन दोनों ही विशिष्ट होने के लिए पर्याप्त बड़े सेटों के उदाहरण नहीं हो सकते हैं। नतीजतन, हम ऊपर दी गई मजबूत परिभाषा पर भरोसा करते हैं जिसका तात्पर्य है कि तर्कहीन विशिष्ट हैं और तर्कसंगत नहीं हैं। अनुप्रयोगों के लिए, यदि कोई गुण एक अवशिष्ट समुच्चय पर रहता है, तो यह प्रत्येक बिंदु के लिए नहीं हो सकता है, लेकिन इसे थोड़ा विचलित करने से आम तौर पर अवशिष्ट समुच्चय के अंदर उतर जाएगा (कम समुच्चय के घटकों के कहीं भी घनत्व से), और इस प्रकार ये प्रमेय और एल्गोरिदम में संबोधित करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण मामले हैं। फंक्शन स्पेस में ए प्रॉपर्टी सीआर में सामान्य है यदि इस प्रॉपर्टी को धारण करने वाले सेट में सीआर टोपोलॉजी में एक अवशिष्ट सबसेट होता है। यहाँ सीआर वह फलन स्थान है जिसके सदस्य निरंतर कार्य हैं जिसमें आर निरंतर व्युत्पन्न एक मैनिफोल्ड एम से एक मैनिफोल्ड एन तक हैं। एम और एन के बीच सीआर मैपिंग का स्थान सीआर (एम, एन) एक बेयर स्थान है, इसलिए कोई भी अवशिष्ट सेट घना है। फंक्शन स्पेस का यह गुण सामान्य गुणों को विशिष्ट बनाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में बीजगणितीय किस्मों में एक अपरिवर्तनीय बीजगणितीय किस्म X के गुण को सामान्य रूप से सही कहा जाता है यदि यह X के उचित ज़ारिस्की-बंद उपसमुच्चय को छोड़कर, दूसरे शब्दों में, यदि यह एक गैर-खाली ज़ारिस्की-खुले उपसमुच्चय पर धारण करता है। यह परिभाषा उपरोक्त टोपोलॉजिकल से सहमत है, क्योंकि अपरिवर्तनीय बीजगणितीय किस्मों के लिए कोई भी गैर-खाली खुला सेट घना होता है। उदाहरण के लिए, नियमितता के लिए जैकोबियन मानदंड के अनुसार, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर विविधता का एक सामान्य बिंदु चिकना होता है। (इस कथन को सामान्य सुगमता के रूप में जाना जाता है।) यह सच है क्योंकि जैकोबियन मानदंड का उपयोग उन बिंदुओं के लिए समीकरण खोजने के लिए किया जा सकता है जो चिकने नहीं हैंः वे बिल्कुल वही बिंदु हैं जहां X के बिंदु के जैकोबियन मैट्रिक्स की पूर्ण श्रेणी नहीं है। विशेषता शून्य में, ये समीकरण गैर-तुच्छ हैं, इसलिए वे विविधता में प्रत्येक बिंदु के लिए सही नहीं हो सकते हैं। नतीजतन, X के सभी गैर-नियमित बिंदुओं का समुच्चय X का एक उचित ज़ारिस्की-बंद उपसमुच्चय है। इसका एक और उदाहरण दिया जाता है। मान लीजिए कि f: X → Y दो बीजगणितीय किस्मों के बीच एक नियमित मानचित्र है। Y के प्रत्येक बिंदु y के लिए, y पर f के फाइबर के आयाम पर विचार करें, अर्थात, मंद f − 1 (y)। सामान्य रूप से, यह संख्या स्थिर है। जरूरी नहीं कि यह हर जगह स्थिर रहे। यदि, मान लीजिए, X एक बिंदु पर Y का विस्फोट है और f प्राकृतिक प्रक्षेपण है, तो f का सापेक्ष आयाम शून्य है, सिवाय उस बिंदु के जो उड़ा दिया गया है, जहां यह मंद Y-1 है। कहा जाता है कि कुछ संपत्तियों को बहुत सामान्य रूप से रखा जाता है। अक्सर इसका मतलब है कि जमीन का क्षेत्र अनगिनत है और यह कि संपत्ति उचित ज़ारिस्की-बंद उपसमुच्चय (यानी, संपत्ति एक घने जी. डी. ए. सेट पर होती है) के गणना योग्य संघ को छोड़कर सही है। उदाहरण के लिए, बहुत सामान्य की यह धारणा तर्कसंगत जुड़ाव पर विचार करते समय होती है। हालाँकि, बहुत सामान्य की अन्य परिभाषाएँ अन्य संदर्भों में हो सकती हैं और हो सकती हैं। सामान्य बिंदु बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजगणितीय विविधता का एक सामान्य बिंदु वह बिंदु है जिसके निर्देशांक किसी अन्य बीजगणितीय संबंध को संतुष्ट नहीं करते हैं, जो विविधता के प्रत्येक बिंदु से संतुष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर एक एफ़ाइन स्थान का एक सामान्य बिंदु एक ऐसा बिंदु है जिसके निर्देशांक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं। योजना सिद्धांत में, जहां बिंदु उप किस्में हैं, विविधता का एक सामान्य बिंदु एक ऐसा बिंदु है जिसका ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए समापन पूरी विविधता है। एक सामान्य गुण सामान्य बिंदु का एक गुण है। किसी भी उचित संपत्ति के लिए, यह पता चलता है कि संपत्ति सामान्य रूप से उप-विविधता पर सही है (एक खुले घने उपसमुच्चय पर सही होने के अर्थ में) यदि और केवल तभी जब संपत्ति सामान्य बिंदु पर सही है। ई. जी. ए. IV 8 में विकसित एफ़ाइन योजनाओं की सीमाओं के तरीकों का उपयोग करके इस तरह के परिणाम अक्सर साबित होते हैं। सामान्य स्थिति बीजगणितीय ज्यामिति में एक संबंधित अवधारणा सामान्य स्थिति है, जिसका सटीक अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन तल में, सामान्य स्थिति में तीन बिंदु संरेखीय नहीं होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि रैखिक न होने का गुण R2 में तीन बिंदुओं के विन्यास स्थान का एक सामान्य गुण है। कम्प्यूटेबिलिटी में कम्प्यूटेबिलिटी और एल्गोरिथमिक यादृच्छिकता में, प्राकृतिक संख्याओं की एक अनंत स्ट्रिंग को 1-जेनेरिक कहा जाता है यदि, प्रत्येक सी. ई. के लिए। सेट, या तो एक प्रारंभिक खंड है, या एक प्रारंभिक खंड है जैसे कि प्रत्येक विस्तार डब्ल्यू में नहीं है 1-जेनेरिक संगणना में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि कई निर्माणों को एक उपयुक्त 1-जेनेरिक पर विचार करके सरल बनाया जा सकता है। कुछ प्रमुख गुण हैंः एक 1-जेनेरिक में एक तत्व के रूप में प्रत्येक प्राकृतिक संख्या होती है; कोई 1-जेनेरिक संगणनीय नहीं है (या यहां तक कि एक संगणनीय कार्य से भी घिरा हुआ है); सभी 1-जेनेरिक सामान्यीकृत निम्न हैंः 1-सामान्यता "सामान्य" की स्थलवैज्ञानिक धारणा से निम्नानुसार जुड़ी हुई है। बेयेर स्पेस में प्राकृतिक संख्याओं की प्रत्येक परिमित स्ट्रिंग के लिए बुनियादी खुले सेट के साथ एक टोपोलॉजी है। फिर, एक तत्व 1-सामान्य होता है यदि और केवल तभी जब वह किसी खुले समुच्चय की सीमा पर न हो। विशेष रूप से, प्रत्येक घने खुले समूह को पूरा करने के लिए 1-जेनेरिक की आवश्यकता होती है (हालांकि यह एक कड़ाई से कमजोर गुण है, जिसे कमजोर 1-जेनेरिक कहा जाता है)। सामान्यता सार्ड के प्रमेय का परिणाम हैः यदि चिकनी मैनिफोल्ड के बीच एक सहज फलन है, तो एन का एक सामान्य बिंदु एफ का एक महत्वपूर्ण मान नहीं है-एफ के महत्वपूर्ण मान एन में एक शून्य सेट हैं। जैकोबियन मानदंड/सामान्य चिकनाईः विशेषता शून्य के क्षेत्र पर विविधता का एक सामान्य बिंदु चिकना है। रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों की नियंत्रणीयता और अवलोकन क्षमता टोपोलॉजिकल और माप सिद्धांत दोनों अर्थों में सामान्य हैं। संदर्भ एकात्मकता सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति