Discontinuous Galerkin method
व्यावहारिक गणित में, असंतत गैलरकिन विधियाँ (डी. जी. विधियाँ) विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों का एक वर्ग बनाती हैं। वे परिमित तत्व और सीमित आयतन ढांचे की विशेषताओं को जोड़ते हैं और अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला से उत्पन्न हाइपरबोलिक, अण्डाकार, परवलयिक और मिश्रित रूप की समस्याओं पर सफलतापूर्वक लागू किए गए हैं। डी. जी. विधियों को विशेष रूप से एक प्रमुख प्रथम-क्रम भाग के साथ समस्याओं के लिए काफी रुचि मिली है, जैसे। इलेक्ट्रोडायनामिक्स, द्रव यांत्रिकी और प्लाज्मा भौतिकी में। असंगत गैलरकिन विधियों को पहली बार 1970 के दशक की शुरुआत में आंशिक विभेदक समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने की तकनीक के रूप में प्रस्तावित और विश्लेषण किया गया था। 1973 में रीड और हिल ने हाइपरबोलिक न्यूट्रॉन परिवहन समीकरण को हल करने के लिए एक DG विधि पेश की। अण्डाकार समस्याओं के लिए डी. जी. विधि की उत्पत्ति का पता किसी एक प्रकाशन से नहीं लगाया जा सकता है क्योंकि आधुनिक अर्थों में कूद दंड जैसी विशेषताओं को धीरे-धीरे विकसित किया गया था। हालाँकि, शुरुआती प्रभावशाली योगदानकर्ताओं में बाबूस्का, जे. एल. लायंस, जोआचिम निट्शे और मिलोस ज़्लामल थे। अण्डाकार समस्याओं के लिए डी. जी. विधियों को पहले से ही गार्थ बेकर द्वारा 1977 में चौथे क्रम के समीकरणों की स्थापना में एक पेपर में विकसित किया गया था। अर्नोल्ड, ब्रेज़ी, कॉकबर्न और मारिनी द्वारा एक प्रकाशन में ऐतिहासिक विकास का एक और पूरा विवरण और अण्डाकार समस्याओं के लिए डी. जी. विधियों का परिचय दिया गया है। डी. जी. विधियों पर कई शोध निर्देश और चुनौतियों को कॉकबर्न, कर्णियादाकिस और शू द्वारा संपादित कार्यवाही खंड में एकत्र किया गया है। अवलोकन निरंतर गैलरकिन (सी. जी.) विधि की तरह, असंतत गैलरकिन (डी. जी.) विधि एक सीमित तत्व विधि है जो एक विशेष मॉडल प्रणाली के कमजोर सूत्रीकरण के सापेक्ष तैयार की गई है। पारंपरिक सी. जी. विधियों के विपरीत जो अनुरूप हैं, डी. जी. विधि कार्यों के एक परीक्षण स्थान पर काम करती है जो केवल टुकड़ों में निरंतर होते हैं, और इस प्रकार अक्सर अनुरूप विधियों में उपयोग किए जाने वाले परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद उपस्थानों की तुलना में अधिक समावेशी कार्य स्थान शामिल होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, "स्रोत" या "सिंक" के बिना एक स्थानिक डोमेन में अज्ञात स्केलर के लिए निरंतरता समीकरण पर विचार करेंः कहाँ का प्रवाह है। अब एक असतत त्रिकोण तक सीमित स्थानिक क्षेत्र पर असंगत पीसवाइज बहुपद कार्यों के परिमित-आयामी स्थान पर विचार करें, जिसे अनुक्रमित तत्व से कम या उसके बराबर डिग्री वाले बहुपदों के स्थान के रूप में लिखा जाता है। फिर परिमित तत्व आकार कार्यों के लिए समाधान का प्रतिनिधित्व किया जाता है फिर इसी तरह एक परीक्षण कार्य का चयन करते हुए निरंतरता समीकरण को गुणा करते हुए और अंतरिक्ष में भागों द्वारा एकीकृत करते हुए, अर्ध-विविक्त DG सूत्रीकरण बन जाता हैः स्केलर हाइपरबॉलिक संरक्षण कानून एक स्केलर हाइपरबॉलिक संरक्षण कानून उस रूप का है जहां कोई अज्ञात स्केलर फ़ंक्शन के लिए हल करने का प्रयास करता है, और कार्य आमतौर पर दिए जाते हैं। इसके अलावा, हमें निम्नलिखित परिभाषाओं की आवश्यकता है-कार्य स्थान के लिए आधार हम अपने समाधान के कार्य स्थान के लिए आधार प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं। फलन स्थान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है जहाँ अंतराल पर के प्रतिबंध को दर्शाता है, और अधिकतम डिग्री के बहुपदों के स्थान को दर्शाता है। सूचकांक द्वारा दिए गए एक अंतर्निहित विवेकीकरण के संबंध को दिखाना चाहिए। यहाँ ध्यान दें कि प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। सबसे पहले हम अंतराल पर एक विशिष्ट बहुपद आधार का उपयोग करते हैं, लीजेंड्रे बहुपद, अर्थात, विशेष रूप से ऑर्थोगोनलिटी संबंधों पर ध्यान दें अंतराल पर परिवर्तन, और सामान्यीकरण उन कार्यों द्वारा प्राप्त किया जाता है जो ऑर्थोनॉर्मलिटी संबंध को पूरा करते हैं एक अंतराल पर परिवर्तन दिया जाता है जिसके द्वारा हम-सामान्यीकरण के लिए परिभाषित करते हैं, और-सामान्यीकरण के लिए हम परिभाषित करते हैं, एस. टी. अंत में, हम अपने समाधानों के आधार प्रतिनिधित्व को परिभाषित कर सकते हैं यहाँ नोट करें, जो इंटरफेस स्थितियों पर परिभाषित नहीं है। इसके अलावा, प्रिज्म आधार समतल जैसी संरचनाओं के लिए नियोजित हैं, और 2-डी/3-डी संकरण के लिए सक्षम हैं। डी. जी.-योजना संरक्षण कानून को परीक्षण कार्यों के साथ गुणा करके और परीक्षण अंतराल पर एकीकरण करके अपने कमजोर रूप में बदल दिया जाता है आंशिक एकीकरण का उपयोग करके एक के साथ छोड़ दिया जाता है इंटरफेस पर फ्लक्स को संख्यात्मक फ्लक्स द्वारा अनुमानित किया जाता है जहां बाएं और दाएं हाथ की सीमा को दर्शाता है। अंत में, DG-योजना को स्केलर एलिप्टिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है एक स्केलर एलिप्टिक समीकरण इस रूप का है यह समीकरण स्थिर-अवस्था ऊष्मा समीकरण है, जहाँ तापमान है। स्पेस डिस्क्रीटाइजेशन ऊपर की तरह ही है। हम याद करते हैं कि अंतराल को लंबाई के अंतराल में विभाजित किया जाता है। हम नोड पर कूद और कार्यों के औसत का परिचय देते हैंः आंतरिक दंड असंतत गैलरकिन (आई. पी. डी. जी.) विधि हैः संतोषजनक पाएँ जहां द्विरेखीय रूप हैं और हैं और हैं। इसके मूल्य को बढ़ाने से असंतत विलयन में उछाल कम हो जाएगा। शब्द को सममित आंतरिक दंड गैलरकिन विधि के लिए बराबर होने के लिए चुना गया है; यह गैर-सममित आंतरिक दंड गैलरकिन विधि के लिए बराबर है। प्रत्यक्ष असंतत गैलरकिन विधि प्रत्यक्ष असंतत गैलरकिन (डी. डी. जी.) विधि प्रसार समस्याओं को हल करने के लिए एक नई असंतत गैलरकिन विधि है। 2009 में, लियू और यान ने पहली बार प्रसार समीकरणों को हल करने के लिए डी. डी. जी. विधि का प्रस्ताव रखा। असंगत गैलरकिन विधि की तुलना में इस विधि के फायदे यह हैं कि प्रत्यक्ष असंगत गैलरकिन विधि मध्यवर्ती चरों को पेश किए बिना सीधे फलन के संख्यात्मक प्रवाह और पहले व्युत्पन्न शब्द को लेकर संख्यात्मक प्रारूप प्राप्त करती है। हम अभी भी इस विधि का उपयोग करके एक उचित संख्यात्मक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और व्युत्पत्ति प्रक्रिया अधिक सरल है, गणना की मात्रा बहुत कम हो जाती है। प्रत्यक्ष असंगत परिमित तत्व विधि असंगत गैलरकिन विधियों की एक शाखा है। इसमें मुख्य रूप से समस्या को परिवर्तनशील रूप में बदलना, क्षेत्रीय इकाई विभाजन, आधार कार्यों का निर्माण, असंतत परिमित तत्व समीकरणों का निर्माण और समाधान, और अभिसरण और त्रुटि विश्लेषण शामिल हैं। उदाहरण के लिए, एक अरैखिक प्रसार समीकरण पर विचार करें, जो एक-आयामी हैः है, जिसमें स्पेस डिस्क्रीटाइजेशन सबसे पहले, और को परिभाषित करता है। इसलिए हमने स्पेस डिस्क्रीटाइजेशन किया है। साथ ही, परिभाषित करें। हम इस तरह का एक सन्निकटन खोजना चाहते हैं कि,,, अधिकतम डिग्री के साथ बहुपदों का स्थान हो। फ्लक्स योजना का निर्माणः : समीकरण का सटीक समाधान। समीकरण को एक सुचारू फलन के साथ गुणा करें ताकि हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर सकेंः, यहाँ मनमाना है, समीकरण का सटीक समाधान अनुमानित समाधान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अर्थात, हमें जो संख्यात्मक समाधान चाहिए वह अंतर समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है। डी. डी. जी. विधि की सटीकता के लिए एक उचित संख्यात्मक प्रवाह का चयन करना महत्वपूर्ण है। संख्यात्मक प्रवाह को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता हैः यह इसके अनुरूप है। इसमें-स्थिरता है; यह विधि की सटीकता में सुधार कर सकता है। इस प्रकार, संख्यात्मक प्रवाह के लिए एक सामान्य योजना दी गई हैः इस प्रवाह में, दो पड़ोसी कंप्यूटिंग इकाइयों में बहुपदों का अधिकतम क्रम है। एक फलन का कूदना है। ध्यान दें कि गैर-समान ग्रिड में, समान ग्रिड में होना चाहिए। त्रुटि अनुमान यह दर्शाते हैं कि सटीक समाधान और संख्यात्मक समाधान के बीच की त्रुटि है। हम निम्नलिखित मानक के साथ त्रुटि को मापते हैंः और हमारे पास है, गैलर्किन विधि संदर्भ डी. एन. भी देखें। अर्नोल्ड, एफ. ब्रेज़ी, बी. कॉकबर्न और एल. डी. मरीनी, दीर्घवृत्तीय समस्याओं के लिए असंतत गैलरकिन विधियों का एकीकृत विश्लेषण, सियाम जे. नुमर। गुदा। 39 (5): 1749-1779,2002। जी. बेकर, गैर-अनुरूप तत्वों का उपयोग करके दीर्घवृत्ताकार समीकरणों के लिए परिमित तत्व विधियाँ, गणित। कम्प. 31 (1977), नं. 137, 45-59। ए. कैंगियानी, जेड. डोंग, ई. एच. जॉर्जोलिस, और पी. ह्यूस्टन, एचपी-वर्जन डिस्कंटीन्यूअस गैलरकिन मेथड्स ऑन पॉलीगोनल एंड पॉलीहेड्रल मेशेस, स्प्रिंगर ब्रीफ्स इन मैथमेटिक्स, (दिसंबर 2017)। डब्ल्यू. माई, जे. हू, पी. ली, और एच. झाओ, "फैलाव समानांतर-प्लेट जोड़ी में मनमाने आकार के एंटीपैड के लिए अनुकूली मानदंड के साथ एक कुशल और स्थिर 2-डी/3-डी संकर असंतत गैलर्किन समय-क्षेत्र विश्लेषण", आई. ई. ई. ई. ट्रांस। माइक्रो। थ्योरी टेक., वॉल्यूम। 65, नहीं। 10, पीपी। 3671-3681, अक्टूबर 2017। डब्ल्यू. माई और अन्य, "तुलनात्मक त्रुटि को नियंत्रित करने वाली 2-डी/3-डी संकर असंतत गैलरकिन समय-क्षेत्र विधि के लिए एक सीधा अद्यतन मानदंड", आई. ई. ई. ई. ट्रांस। माइक्रो। थ्योरी टेक., वॉल्यूम। 66, नहीं। 4, पीपी। 1713-1722, अप्रैल। 2018 में। बी. कॉकबर्न, जी. ई. कर्णियाडाकिस और सी. डब्ल्यू. शू (संस्करण। ), असंगत गैलरकिन विधियाँ। सिद्धांत, गणना और अनुप्रयोग, कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्याख्यान टिप्पणियाँ, 11. स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन, 2000। पी. लेसेन्ट, और पी. ए. रवियार्ट। "न्यूट्रॉन परिवहन समीकरण को हल करने के लिए एक परिमित तत्व विधि पर"। आंशिक विभेदक समीकरण 33 (1974) में परिमित तत्वों के गणितीय पहलूः 89-123। डी. ए डि पिएत्रो और ए. अर्न, गणितीय पहलुओं की निरंतर गैलरकिन विधियाँ। गणित और अनुप्रयोग, खंड। 69, स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन, 2011। जे. एस हेस्टहेवन और टी. वारबर्टन, नोडल डिस्कॉन्टिन्यूअस गैलरकिन तरीकेः एल्गोरिदम, विश्लेषण और अनुप्रयोग। अनुप्रयुक्त गणित में स्प्रिंगर ग्रंथ 54. स्प्रिंगर वेर्लाग, न्यूयॉर्क, 2008। बी. रिवियर, एलिप्टिक और परवलयिक समीकरणों को हल करने के लिए असंगत गैलरकिन विधियाँः सिद्धांत और कार्यान्वयन। एस. आई. ए. एम. फ्रंटियर्स इन एप्लाइड मैथमेटिक्स, 2008. सी. एफ. डी. विकी http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin डब्ल्यू. एच. रीड और टी. आर. न्यूट्रॉन परिवहन समीकरण के लिए पहाड़ी, त्रिकोणीय जाल विधियाँ, टेक। रिपोर्ट एल. ए.-यू. आर.-73-479, लॉस एलामोस वैज्ञानिक प्रयोगशाला, 1973। संख्यात्मक विभेदक समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण परिमित तत्व विधि