Non-positive curvature
गणित में, गैर-सकारात्मक वक्रता के रिक्त स्थान कई संदर्भों में होते हैं और हाइपरबोलिक ज्यामिति का सामान्यीकरण बनाते हैं। रीमानियन मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, कोई भी मैनिफोल्ड की अनुभागीय वक्रता पर विचार कर सकता है और यह आवश्यक है कि यह वक्रता हर जगह शून्य से कम या उसके बराबर हो। वक्रता की धारणा भूगणितीय मीट्रिक रिक्त स्थान की श्रेणी तक फैली हुई है, जहाँ कोई स्थान की वक्रता की मात्रा निर्धारित करने के लिए तुलनात्मक त्रिभुजों का उपयोग कर सकता है; इस संदर्भ में, गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार रिक्त स्थान को (स्थानीय रूप से) कैट (0) रिक्त स्थान के रूप में जाना जाता है। रीमान सतह यदि एक बंद, उन्मुख रीमान सतह है तो यह एकरूपता प्रमेय का अनुसरण करता है जिसे या तो, या की स्थिर गौसी वक्रता के साथ एक पूर्ण रीमानियन मीट्रिक के साथ संपन्न किया जा सकता है। गॉस-बोनट प्रमेय के परिणामस्वरूप यह निर्धारित किया जा सकता है कि जिन सतहों पर स्थिर वक्रता का रीमानियन मीट्रिक है अर्थात। गैर-सकारात्मक स्थिर वक्रता के एक पूर्ण, रीमानियन मीट्रिक के साथ रीमान सतह, बिल्कुल वही हैं जिनकी जीनस कम से कम है। एकरूपता प्रमेय आ गॉस-बोनट प्रमेय दुनूकेँ सीमाक संग उन्मुख रीमान सतहसभ पर लागू कयल जा सकैत अछि जे देखाबय जे ओ सतह सभ जाहिमे गैर-सकारात्मक यूलर विशेषता छैक ठीक ओ सभ अछि जे गैर-सकारात्मक वक्रताक रीमानियन मीट्रिककेँ स्वीकार करैत छैक। इसलिए ऐसी सतहों के समरूपता प्रकारों का एक अनंत परिवार है जबकि रीमान क्षेत्र स्थिर गौसी वक्रता की एकमात्र बंद, उन्मुख रीमान सतह है। ऊपर दी गई वक्रता की परिभाषा रीमानियन मीट्रिक के अस्तित्व पर निर्भर करती है और इसलिए यह ज्यामिति के क्षेत्र में है। हालांकि गॉस-बोनट प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि किसी सतह की स्थलविज्ञान पूर्ण रीमानियन मेट्रिक्स पर बाधाएं डालती है जिन्हें किसी सतह पर लगाया जा सकता है, इसलिए गैर-सकारात्मक वक्रता के मीट्रिक रिक्त स्थान का अध्ययन ज्यामिति और स्थलविज्ञान दोनों के गणितीय क्षेत्रों में महत्वपूर्ण रुचि रखता है। गैर-सकारात्मक वक्रता की सतहों के शास्त्रीय उदाहरण यूक्लिडियन तल और सपाट टोरस (वक्रता के लिए) और हाइपरबोलिक तल और छद्म मंडल (वक्रता के लिए) हैं। इस कारण से इन मेट्रिक्स के साथ-साथ रीमान सतहों को, जिन पर वे पूर्ण मेट्रिक्स के रूप में स्थित हैं, क्रमशः यूक्लिडियन और हाइपरबोलिक के रूप में संदर्भित किया जाता है। सामान्यीकरण गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार रीमान सतहों की ज्यामिति की विशिष्ट विशेषताओं का उपयोग रीमान सतहों के अध्ययन से परे गैर-सकारात्मक की धारणा को सामान्य बनाने के लिए किया जाता है। उच्च आयाम के मैनिफोल्ड्स या ऑर्बिफोल्ड्स के अध्ययन में, अनुभागीय वक्रता की धारणा का उपयोग किया जाता है जिसमें एक दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के द्वि-आयामी उप-स्थानों पर ध्यान केंद्रित किया जाता है। मोस्टो-प्रसाद कठोरता प्रमेय से अधिक आयामों में यह सुनिश्चित किया जाता है कि सीमित क्षेत्र के एक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड में एक अद्वितीय पूर्ण हाइपरबोलिक मीट्रिक होता है, इसलिए इस सेटिंग में हाइपरबोलिक ज्यामिति का अध्ययन टोपोलॉजी के अध्ययन के लिए अभिन्न है। एक मनमाना जियोडेसिक मीट्रिक स्पेस में ग्रोमोव हाइपरबोलिक होने या एक सीएटी (0) स्पेस होने की धारणा इस धारणा को सामान्य बनाती है कि गैर-सकारात्मक वक्रता की रीमान सतह पर, त्रिभुज जिनकी भुजाएं जियोडेसिक हैं, वे पतले दिखाई देते हैं जबकि सकारात्मक वक्रता की सेटिंग्स में वे मोटे दिखाई देते हैं। गैर-सकारात्मक वक्रता की यह धारणा गैर-सकारात्मक वक्रता की धारणा की अनुमति देती है जिसे आमतौर पर ग्राफ पर लागू किया जाता है और इसलिए संयोजन और ज्यामितीय समूह सिद्धांत के क्षेत्र में इसका बहुत उपयोग होता है। मार्गुलिस लेम्मा संदर्भ वक्रता (गणित) हाइपरबोलिक ज्यामिति मीट्रिक ज्यामिति भी देखें।