Analytic function of a matrix
गणित में, प्रत्येक विश्लेषणात्मक फलन का उपयोग एक मैट्रिक्स फलन को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो समान आकार के वर्ग मैट्रिक्स के लिए जटिल प्रविष्टियों के साथ वर्ग मैट्रिक्स का मानचित्रण करता है। इसका उपयोग एक मैट्रिक्स के घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो रैखिक विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के बंद-रूप समाधान में शामिल होता है। स्केलर फ़ंक्शन को मैट्रिक्स फ़ंक्शंस तक विस्तारित करना एक वास्तविक फ़ंक्शन को स्क्वायर मैट्रिक्स फ़ंक्शन तक उठाने के लिए कई तकनीकें हैं जैसे कि दिलचस्प गुण बनाए रखे जाते हैं। निम्नलिखित सभी तकनीकें एक ही मैट्रिक्स फ़ंक्शन प्रदान करती हैं, लेकिन जिन क्षेत्रों पर फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है वे भिन्न हो सकते हैं। यदि विश्लेषणात्मक फलन में टेलर विस्तार होता है तो एक मैट्रिक्स फलन को एक वर्ग मैट्रिक्स द्वारा प्रतिस्थापित करके परिभाषित किया जा सकता हैः शक्तियाँ मैट्रिक्स शक्तियाँ बन जाती हैं, परिवर्धन मैट्रिक्स योग बन जाते हैं और गुणांक द्वारा गुणन स्केलर गुणन बन जाते हैं। यदि श्रृंखला के लिए अभिसरण होता है, तो संबंधित मैट्रिक्स श्रृंखला मैट्रिक्स के लिए इस तरह से अभिसरण करती है कि कुछ मैट्रिक्स मानदंड के लिए जो संतुष्ट करता है। विकर्णनीय मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स विकर्णनीय है, यदि एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है जो एक विकर्ण मैट्रिक्स है, जिसका आकार है क्योंकि यह सेट करना स्वाभाविक है यह सत्यापित किया जा सकता है कि मैट्रिक्स किसी विशेष विकल्प पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई सूत्र के अनुप्रयोग के लिए एक की मांग कर रहा है, तो बस उपज देता है इसी तरह, जॉर्डन अपघटन सभी जटिल मैट्रिक्स, चाहे वे विकर्णनीय हों या नहीं, एक जॉर्डन सामान्य रूप है, जहां मैट्रिक्स J में जॉर्डन ब्लॉक होते हैं। इन खंडों पर अलग से विचार करें और एक जॉर्डन खंड पर शक्ति श्रृंखला लागू करेंः इस परिभाषा का उपयोग शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या से छोटी वर्णक्रमीय त्रिज्या के साथ मैट्रिक्स फ़ंक्शन के क्षेत्र को मैट्रिक्स के सेट से परे विस्तारित करने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि विभाजित मतभेदों का भी संबंध है। एक संबंधित धारणा जॉर्डन-चेवली अपघटन है जो एक मैट्रिक्स को एक विकर्ण और एक नीलपोटेन्ट भाग के योग के रूप में व्यक्त करता है। हर्मिशियन मैट्रिक्स ए हर्मिशियन मैट्रिक्स में सभी वास्तविक आइगेनवैल्यू होते हैं और वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार हमेशा एकात्मक मैट्रिक्स पी द्वारा विकर्णित किया जा सकता है। इस मामले में, जॉर्डन की परिभाषा स्वाभाविक है। इसके अलावा, यह परिभाषा वास्तविक कार्यों के लिए मानक असमानताओं को बढ़ाने की अनुमति देती हैः यदि के सभी आइगेनवैल्यूज के लिए, तो। (एक परंपरा के रूप में, एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स है।) प्रमाण सीधे परिभाषा का अनुसरण करता है। जटिल विश्लेषण से कॉची इंटीग्रल कॉची के इंटीग्रल सूत्र का उपयोग मैट्रिक्स कार्यों के लिए स्केलर कार्यों को सामान्य बनाने के लिए भी किया जा सकता है। कौची के समाकलन सूत्र में कहा गया है कि किसी समुच्चय पर परिभाषित किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए, घेरने वाले क्षेत्र के अंदर एक बंद सरल वक्र होता है। अब, एक मैट्रिक्स द्वारा प्रतिस्थापित करें और अंदर एक पथ पर विचार करें जो सभी आइगेनवैल्यू को घेरता है। इसे प्राप्त करने की एक संभावना यह है कि एक मनमाने मैट्रिक्स मानक की तुलना में बड़ी त्रिज्या के साथ मूल के चारों ओर एक वृत्त होना चाहिए। फिर, द्वारा परिभाषित किया जा सकता है इस समाकलन का आसानी से ट्रेपेज़ियम नियम का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है, जो इस मामले में तेजी से अभिसरण करता है। इसका मतलब है कि जब नोड्स की संख्या दोगुनी हो जाती है तो परिणाम की सटीकता दोगुनी हो जाती है। नियमित मामलों में, इसे सिल्वेस्टर के सूत्र द्वारा दरकिनार कर दिया जाता है। यह विचार बनाच स्पेस पर बाउंडेड लीनियर ऑपरेटरों पर लागू होता है, जिसे अनंत मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन की ओर ले जाता है। मैट्रिक्स विक्षोभ उपरोक्त टेलर शक्ति श्रृंखला स्केलर को मैट्रिक्स द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति देती है। यह सामान्य रूप से सच नहीं है जब तक कि लगभग के संदर्भ में विस्तार नहीं किया जाता है। एक विपरीत उदाहरण है, जिसकी एक सीमित लंबाई टेलर श्रृंखला है। हम इसकी गणना दो तरीकों से करते हैं, वितरण नियमः स्केलर टेलर विस्तार का उपयोग करना और अंत में मेट्रिसेस के साथ स्केलर को प्रतिस्थापित करनाः स्केलर अभिव्यक्ति कम्यूटेटिविटी मानती है जबकि मैट्रिक्स अभिव्यक्ति नहीं मानती है, और इस प्रकार उन्हें सीधे तब तक बराबर नहीं किया जा सकता जब तक कि। कुछ f (x) के लिए इसे स्केलर टेलर श्रृंखला के समान विधि का उपयोग करके निपटा जा सकता है। उदाहरण के लिए,। यदि मौजूद है तो। पहले पद का विस्तार फिर ऊपर दी गई शक्ति श्रृंखला का अनुसरण करता है, शक्ति श्रृंखला के अभिसरण मानदंड तब लागू होते हैं, जिसके लिए उपयुक्त मैट्रिक्स मानक के तहत पर्याप्त रूप से छोटे होने की आवश्यकता होती है। अधिक सामान्य समस्याओं के लिए, जिन्हें इस तरह से फिर से नहीं लिखा जा सकता है कि दो मैट्रिक्स कम्यूट हों, लीबनिज़ नियम के बार-बार उपयोग द्वारा उत्पादित मैट्रिक्स उत्पादों के क्रम को ट्रैक किया जाना चाहिए। एक 2 × 2 मैट्रिक्स का मनमाना फलन 2 × 2 मैट्रिक्स ए का एक मनमाना फलन f (A) है जिसका सिल्वेस्टर सूत्र अपने विशिष्ट समीकरण के आइगेनवैल्यू को सरल बनाता है, और इसे मैट्रिक्स बहुपद मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स लघुगणक मैट्रिक्स घातीय मैट्रिक्स संकेत फलन के उदाहरणों द्वारा दिया जाता है। प्रचालक मोनोटोन एक फलन को प्रचालक मोनोटोन कहा जाता है यदि और केवल यदि के क्षेत्र में स्पेक्ट्रा के साथ सभी स्व-संयुक्त मैट्रिक्स के लिए। यह स्केलर मामले में मोनोटोन फ़ंक्शन के अनुरूप है। प्रचालक अवतल/उत्तल एक फलन को प्रचालक अवतल कहा जाता है यदि और केवल तभी जब और के क्षेत्र में स्पेक्ट्रा के साथ सभी स्व-संयुक्त मैट्रिक्स के लिए। यह परिभाषा अवतल स्केलर फलन के अनुरूप है। ऊपर दी गई परिभाषा में एक प्रचालक उत्तल फलन को परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण मैट्रिक्स लॉग प्रचालक मोनोटोन और प्रचालक अवतल दोनों है। मैट्रिक्स वर्ग प्रचालक उत्तल है। मैट्रिक्स घातांक इनमें से कोई नहीं है। लोवनर की प्रमेय बताती है कि एक खुले अंतराल पर एक फलन प्रचालक मोनोटोन है यदि और केवल तभी जब इसका ऊपरी और निचले जटिल आधे तलों के लिए एक विश्लेषणात्मक विस्तार हो ताकि ऊपरी आधे तल को स्वयं मानचित्रित किया जा सके। बीजगणितीय रिकाटी समीकरण सिल्वेस्टर का सूत्र लोवनर क्रम मैट्रिक्स कलन ट्रेस असमानताएँ मैट्रिक्स के त्रिकोणमितीय कार्य नोट्स संदर्भ मैट्रिक्स सिद्धांत गणितीय भौतिकी देखें।