Householder's method
गणित में, और विशेष रूप से संख्यात्मक विश्लेषण में, हाउसहोल्डर्स मेथड्स मूल-खोज एल्गोरिदम का एक वर्ग है जिसका उपयोग किसी क्रम तक निरंतर व्युत्पन्न के साथ एक वास्तविक चर के कार्यों के लिए किया जाता है। इनमें से प्रत्येक विधि की विशेषता संख्या है, जिसे विधि के क्रम के रूप में जाना जाता है। एल्गोरिथ्म पुनरावृत्ति है और इसके अभिसरण की दर है। इन विधियों का नाम अमेरिकी गणितशास्त्री एल्स्टन स्कॉट हाउसहोल्डर के नाम पर रखा गया है। विधि गृहस्थ विधि समीकरण को हल करने के लिए एक संख्यात्मक एल्गोरिथ्म है। इस मामले में, फलन को एक वास्तविक चर का फलन होना चाहिए। विधि में प्रारंभिक अनुमान से शुरू होने वाले पुनरावृत्तियों का एक क्रम होता है। यदि एक बार निरंतर अवकलनीय फलन है और शून्य है लेकिन इसके व्युत्पन्न का नहीं है, तो, के पड़ोस में, पुनरावृत्तियाँ संतुष्ट करती हैंः, कुछ के लिए इसका मतलब है कि पुनरावृत्तियाँ शून्य में अभिसरण करती हैं यदि प्रारंभिक अनुमान पर्याप्त रूप से करीब है, और कि अभिसरण का क्रम या बेहतर है। इसके अलावा, जब काफी करीब होता है, तो यह आमतौर पर कुछ लोगों के लिए होता है। विशेष रूप से, यदि सम है और फिर अभिसरण दाईं ओर से होगा; यदि सम है और फिर अभिसरण बाईं ओर से होगा; यदि विषम है और फिर अभिसरण उस तरफ से होगा जहां से यह शुरू होता है; और यदि विषम है और फिर अभिसरण वैकल्पिक पक्षों में होगा। अभिसरण के क्रम के बावजूद, इन विधियों का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है क्योंकि सटीकता में लाभ बड़े के लिए प्रयास में वृद्धि के अनुरूप नहीं है। ओस्ट्रोव्स्की सूचकांक पुनरावृत्ति गणना के बजाय कार्य मूल्यांकन की संख्या में त्रुटि कमी को व्यक्त करता है। बहुपदों के लिए, हॉर्नर विधि का उपयोग करने के पहले व्युत्पन्न के मूल्यांकन में बहुपद मूल्यांकन का प्रयास होता है। चूँकि पुनरावृत्तियों पर मूल्यांकन एक त्रुटि प्रतिपादक देते हैं, एक कार्य मूल्यांकन के लिए प्रतिपादक, संख्यात्मक रूप से, के लिए, और उसके बाद गिरता है। इस कसौटी के अनुसार, मामला (हैली की विधि) का इष्टतम मूल्य है। सामान्य कार्यों के लिए स्वचालित विभेदन के टेलर अंकगणित का उपयोग करके व्युत्पन्न मूल्यांकन के लिए कार्य मूल्यांकन के समकक्ष की आवश्यकता होती है। एक फलन मूल्यांकन इस प्रकार एक प्रतिपादक द्वारा त्रुटि को कम करता है, जो कि न्यूटन की विधि के लिए है, हेली की विधि के लिए और उच्च क्रम विधियों के लिए 1 या रैखिक अभिसरण की ओर गिरता है। अभिप्रेरणा पहला दृष्टिकोण मान लीजिए कि और के पड़ोस में विश्लेषणात्मक है। फिर एक टेलर श्रृंखला होती है और इसका स्थिर पद शून्य होता है। क्योंकि यह स्थिर पद शून्य है, फलन में एक टेलर श्रृंखला होगी और कब, इसका स्थिर पद शून्य नहीं होगा। क्योंकि वह स्थिर पद शून्य नहीं है, यह इस प्रकार है कि पारस्परिक में एक टेलर श्रृंखला है, जिसे हम इस रूप में लिखेंगे और इसका स्थिर पद शून्य नहीं होगा। उस टेलर श्रृंखला का उपयोग करके हम लिख सकते हैं जब हम इसके-th व्युत्पन्न की गणना करते हैं, तो हम ध्यान देते हैं कि बड़े O संकेतन का उपयोग करने के लिए शब्द आसानी से गायब हो जाते हैं। इस प्रकार हम पाते हैं कि अनुपात यदि उसका शून्य सबसे करीब है तो दूसरा कारक 1 पर जाता है और अनंत तक जाता है। दूसरा दृष्टिकोण मान लीजिए कि यह एक सरल मूल है। फिर निकट, एक मेरोमॉर्फिक फलन है। मान लीजिए कि हमारे पास टेलर विस्तार हैः एक ऐसे बिंदु के आसपास जो किसी भी अन्य शून्य के करीब है। कनिग के प्रमेय के अनुसार, हमारे पास हैः ये सुझाव देते हैं कि हाउसहोल्डर की पुनरावृत्ति एक अच्छी अभिसारी पुनरावृत्ति हो सकती है। अभिसरण का वास्तविक प्रमाण भी इन विचारों पर आधारित है। लोअर ऑर्डर हाउसहोल्डर्स मेथड ऑफ़ ऑर्डर 1 की विधियाँ केवल न्यूटन की विधि हैं, क्योंकिः हाउसहोल्डर्स मेथड ऑफ़ ऑर्डर 2 के लिए एक को हेली की विधि मिलती है, क्योंकि पहचान और परिणाम अंतिम पंक्ति में, बिंदु पर न्यूटन पुनरावृत्ति का अद्यतन है। इस रेखा को यह प्रदर्शित करने के लिए जोड़ा गया था कि सरल न्यूटन की विधि में अंतर कहाँ है। तीसरे क्रम की विधि तीसरे क्रम के व्युत्पन्न की पहचान से प्राप्त की जाती है और इसका सूत्र आदि होता है। उदाहरण न्यूटन द्वारा न्यूटन-रैफसन-सिम्पसन विधि के साथ हल की गई पहली समस्या बहुपद समीकरण थी। उन्होंने देखा कि 2 के करीब एक समाधान होना चाहिए। प्रतिस्थापन समीकरण को बदल देता है। पारस्परिक फलन की टेलर श्रृंखला विभिन्न आदेशों के गृहधारक के तरीकों को लागू करने के परिणाम के साथ शुरू होती है जो बाद की शक्ति श्रृंखला के पड़ोसी गुणांक को विभाजित करके भी प्राप्त की जाती है। पहले ऑर्डर के लिए केवल एक पुनरावृत्ति चरण के बाद निम्नलिखित मान मिलते हैंः उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम के मामले में, जैसा कि कोई देख सकता है, प्रत्येक क्रम के लिए सही दशमलव स्थानों से थोड़ा अधिक हैं। सही समाधान के पहले सौ अंक हैं। आइए कुछ निम्नतम क्रम के लिए मूल्यों की गणना करें, और निम्नलिखित संबंधों का उपयोग करते हुए, पहला क्रम; दूसरा क्रम; तीसरा क्रम; व्युत्पत्ति गृहस्थ की विधियों की एक सटीक व्युत्पत्ति फलन के क्रम के पेडे सन्निकटन से शुरू होती है, जहां रैखिक अंश के साथ सन्निकटन चुना जाता है। एक बार जब यह हासिल हो जाता है, तो अगले सन्निकटन के लिए अद्यतन अंश के अद्वितीय शून्य की गणना से परिणाम देता है। पद सन्निकटन का रूप है परिमेय फलन में शून्य होता है। जिस तरह डिग्री के टेलर बहुपद में गुणांक होते हैं जो फलन पर निर्भर करते हैं, उसी तरह पैडे सन्निकटन में भी गुणांक और उसके व्युत्पन्न होते हैं। अधिक सटीक रूप से, किसी भी पद सन्निकटन में, अंश और भाजक बहुपदों की डिग्री को सन्निकटन के क्रम में जोड़ना पड़ता है। इसलिए, पकड़ना पड़ता है। यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करने के टेलर बहुपद से शुरू होने वाले पैडे सन्निकटन का निर्धारण किया जा सकता है। हालांकि, के टेलर बहुपद से शुरू करना छोटा होता है और सीधे दिए गए सूत्र की ओर ले जाता है। चूँकि वांछित परिमेय फलन के व्युत्क्रम के बराबर होना चाहिए, हम शक्ति में समीकरण के साथ गुणा करने के बाद प्राप्त करते हैं। अब, अंश के शून्य के लिए अंतिम समीकरण को हल करने से परिणाम मिलता है। यह पुनरावृत्ति सूत्र का तात्पर्य है। न्यूटन की विधि से संबंध वास्तविक मूल्य वाले फलन पर लागू हाउसहोल्डर की विधि न्यूटन की विधि के समान हैः विशेष रूप से, न्यूटन की विधि को अपरिवर्तित देता है और हेली की विधि देता है। संदर्भ बाहरी लिंक नोटः इस लिंक के पोस्टस्क्रिप्ट संस्करण का उपयोग करें; वेबसाइट संस्करण सही ढंग से संकलित नहीं किया गया है। रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम