Beth definability
गणितीय तर्क में, बेथ परिभाषा एक ऐसा परिणाम है जो किसी गुण की अंतर्निहित परिभाषा को उसकी स्पष्ट परिभाषा से जोड़ता है। विशेष रूप से बेथ परिभाषा बताती है कि परिभाषा की दो इंद्रियां समान हैं। प्रथम-क्रम तर्क में बेथ परिभाषा गुण है। प्रथम-क्रम तर्क के लिए, प्रमेय में कहा गया है कि, L 'L भाषा में एक सिद्धांत T और L' में एक सूत्र φ दिए जाने पर, निम्नलिखित समतुल्य हैंः T के किसी भी दो मॉडल A और B के लिए जैसे कि A|L = B|L (जहां A|L A से L का अपचयन है), यह मामला है कि A φ [a] यदि और केवल अगर B φ [a] (A के सभी टुपल्स a के लिए); φ, L में एक सूत्र के लिए समतुल्य मॉड्यूलो T है। कम औपचारिक रूप सेः एक गुण भाषा L में एक सिद्धांत में निहित रूप से परिभाषित किया जाता है (एक विस्तारित भाषा L 'के सूत्र φ के माध्यम से) स्पष्ट रूप से विपरीत भी लागू होता है, ताकि हमारे पास अंतर्निहित और स्पष्ट परिभाषा के बीच एक समानता हो। अर्थात्, एक "गुण" को एक सिद्धांत के संबंध में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब यह निहित रूप से परिभाषित किया जा सके। यदि स्थिति परिमित मॉडलों तक ही सीमित है तो प्रमेय मान्य नहीं है। हमारे पास A′φ [a] हो सकता है अगर और केवल तभी जब B′φ [a] सभी जोड़े A, परिमित मॉडलों के B के लिए φ मॉड्यूलो T के बराबर कोई L-सूत्र के बिना। परिणाम पहली बार एवर्ट विलेम बेथ द्वारा सिद्ध किया गया था। विल्फ्रिड हॉजेस ए शॉर्टर मॉडल थ्योरी के स्रोत भी देखें। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1997। गणितीय तर्क गणितीय संरचना मॉडल सिद्धांत गणित की नींव में प्रमेय