Buffon's noodle
ज्यामितीय संभावना में, बफ़न के नूडल की समस्या बफ़न की सुई की प्रसिद्ध समस्या पर एक भिन्नता है, जिसका नाम 18 वीं शताब्दी में रहने वाले जॉर्जेस-लुई लेक्लर्क, कॉम्टे डी बफ़न के नाम पर रखा गया है। इस समस्या के लिए यह दृष्टिकोण 1860 में जोसेफ-एमिल बारबियर द्वारा प्रकाशित किया गया था। बफन की सुई मान लीजिए कि अनंत रूप से कई समान दूरी वाली समानांतर रेखाएँ मौजूद हैं, और हमें यादृच्छिक रूप से एक सुई फेंकनी थी जिसकी लंबाई आसन्न रेखाओं के बीच की दूरी से कम या बराबर है। उतरने पर सुई के एक रेखा के पार होने की क्या संभावना है? इस समस्या को हल करने के लिए, सुई की लंबाई और दो आसन्न रेखाओं के बीच की दूरी मान लीजिए। फिर, सुई क्षैतिज के साथ जो तीव्र कोण बनाती है, उसे सुई के केंद्र से निकटतम रेखा तक की दूरी होने दें। सुई निकटतम रेखा के पार होती है अगर और केवल अगर। हम इस स्थिति को सुई द्वारा बनाए गए दाहिने त्रिभुज, निकटतम रेखा और लंबाई की रेखा से देखते हैं जब सुई निकटतम रेखा के पार होती है। अब, हम मानते हैं कि के मान यादृच्छिक रूप से निर्धारित किए जाते हैं जब वे उतरते हैं, कहाँ, से, और। इस प्रकार नमूना स्थान पार्श्व लंबाई का एक आयत है और। सुई के निकटतम रेखा के पार होने की घटना की संभावना नमूना स्थान का वह अंश है जो उसके साथ प्रतिच्छेद करता है। चूंकि, इस प्रतिच्छेदन का क्षेत्र अब नमूना स्थान का क्षेत्र है इसलिए, घटना की संभावना सुई को मोड़ना है सूत्र तब भी समान रहता है जब सुई किसी भी तरह से मुड़ी हुई होती है (इस बाधा के अधीन कि यह एक समतल में होनी चाहिए), जिससे यह एक "नूडल"-एक कठोर समतल वक्र बन जाता है। हम इस धारणा को छोड़ देते हैं कि नूडल की लंबाई समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी से अधिक नहीं है। क्रॉसिंग की संख्या का प्रायिकता वितरण नूडल के आकार पर निर्भर करता है, लेकिन क्रॉसिंग की अपेक्षित संख्या नहीं है; यह केवल नूडल की लंबाई एल और समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी डी पर निर्भर करता है (देखें कि एक घुमावदार नूडल एक ही रेखा को कई बार पार कर सकता है)। इस तथ्य को निम्नानुसार साबित किया जा सकता है (क्लेन और रोटा देखें)। सबसे पहले मान लीजिए कि नूडल टुकड़ों में रैखिक है, अर्थात। इसमें n सीधे टुकड़े होते हैं। मान लीजिए कि ith टुकड़ा समानांतर रेखाओं में से एक को कितनी बार पार करता है। ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र नहीं हैं, लेकिन अपेक्षा की रैखिकता के कारण अपेक्षाएं अभी भी योगात्मक हैंः एक घुमावदार नूडल के बारे में पीसवाइस रैखिक नूडल्स के अनुक्रम की सीमा के रूप में, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रति टॉस क्रॉसिंग की अपेक्षित संख्या लंबाई के समानुपाती है; यह लंबाई एल का कुछ स्थिर गुना है। यदि नूडल समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी डी के बराबर व्यास का एक वृत्त है, तो एल = डी और क्रॉसिंग की संख्या ठीक 2 है, संभावना 1 के साथ। इसलिए जब L = D होता है तो क्रॉसिंग की अपेक्षित संख्या 2 होती है। इसलिए, क्रॉसिंग की अपेक्षित संख्या 2 एल/(डी) होनी चाहिए। बारबियर की प्रमेय इस तर्क को थोड़ा बढ़ाते हुए, यदि एक उत्तल सघन उपसमुच्चय है, तो प्रतिच्छेदन करने वाली रेखाओं की अपेक्षित संख्या, की परिधि को प्रतिच्छेदन करने वाली रेखाओं की अपेक्षित संख्या के आधे के बराबर है, जो है। विशेष रूप से, यदि नूडल स्थिर चौड़ाई डी का कोई बंद वक्र है, तो क्रॉसिंग की संख्या भी बिल्कुल 2 है। इसका मतलब है कि परिधि की लंबाई एक वृत्त के समान है, जो बार्बियर के प्रमेय को साबित करती है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक कट-द-नॉट वेबसाइट पर इंटरैक्टिव गणित पृष्ठ इंटरैक्टिव वोल्फ्राम सी. डी. एफ. प्रदर्शन इंटीग्रल ज्यामिति