Gromov product
गणित में, ग्रोमोव उत्पाद मीट्रिक रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक अवधारणा है जिसका नाम गणितशास्त्री मिखाइल ग्रोमोव के नाम पर रखा गया है। ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग ग्रोमोव के अर्थ में δ-हाइपरबोलिक मीट्रिक रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। परिभाषा मान लीजिए कि (X, d) एक मीट्रिक स्थान है और मान लीजिए कि x, y, z ω X है। फिर x पर y और z का ग्रोमोव उत्पाद, जिसे (y, z) x दर्शाया जाता है, को प्रेरणा द्वारा परिभाषित किया जाता है मीट्रिक स्पेस X में तीन बिंदुओं x, y, z को देखते हुए, त्रिकोण असमानता द्वारा गैर-नकारात्मक संख्या a, b, c मौजूद हैं जैसे कि। फिर ग्रोमोव उत्पाद हैं। यदि बिंदु x, y, z एक तिपाई के बाहरी नोड हैं तो ये ग्रोमोव उत्पाद किनारों की लंबाई हैं। हाइपरबोलिक, गोलाकार या यूक्लिडियन तल में, ग्रोमोव उत्पाद (ए, बी) सी सी और उस बिंदु के बीच की दूरी पी के बराबर है जहां जियोडेसिक त्रिभुज एबीसी का अंतःवृत्त सीबी या सीए के किनारे को छूता है। वास्तव में आरेख से, ताकि। इस प्रकार किसी भी मीट्रिक स्थान के लिए, (ए, बी) सी की ज्यामितीय व्याख्या सममितीय रूप से (ए, बी, सी) को यूक्लिडियन तल में अंतःस्थापित करके प्राप्त की जाती है। गुण ग्रोमोव उत्पाद सममित हैः (y, z) x = (z, y) x। ग्रोमोव उत्पाद अंतिम बिंदुओं पर पतित होता हैः (y, z) y = (y, z) z = 0। किसी भी बिंदु p, q, x, y और z के लिए, अनंत पर बिंदु हाइपरबोलिक स्पेस Hn पर विचार करें। एक आधार बिंदु p को ठीक करें और अनंत पर दो अलग-अलग बिंदु होने दें। फिर सीमा मौजूद है और सीमित है, और इसलिए इसे एक सामान्यीकृत ग्रोमोव उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। यह वास्तव में सूत्र द्वारा दिया जाता है जहां भूगणितीय किरणों और के बीच का कोण है। δ-हाइपरबोलिक रिक्त स्थान और भूगणितीय का विचलन ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग ग्रोमोव के अर्थ में δ-हाइपरबोलिक रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। : (X, d) को δ-हाइपरबोलिक कहा जाता है यदि, X में सभी p, x, y और z के लिए, इस मामले में। ग्रोमोव उत्पाद यह मापता है कि भूगणित कितने समय तक एक-दूसरे के करीब रहता है। अर्थात्, यदि x, y और z एक δ-हाइपरबोलिक मीट्रिक स्पेस के तीन बिंदु हैं, तो x से y और x से z तक भूगणितीय की लंबाई (y, z) x के प्रारंभिक खंड 2δ से आगे नहीं हैं (बंद सेटों के बीच हौसडॉर्फ दूरी के अर्थ में)। टिप्पणियाँ संदर्भ मीट्रिक ज्यामिति हाइपरबोलिक मीट्रिक स्पेस