Local flatness
टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, स्थानीय समतलता एक चिकनी स्थिति है जिसे टोपोलॉजिकल सबमैनिफोल्ड्स पर लगाया जा सकता है। टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, स्थानीय रूप से फ्लैट सबमैनिफोल्ड्स चिकनी मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स के समान भूमिका निभाते हैं। स्थानीय समतलता के उल्लंघन, सामग्री प्रसंस्करण और मैकेनिकल इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों के साथ, रिज नेटवर्क और उखड़ी हुई संरचनाओं का वर्णन करते हैं। परिभाषा मान लीजिए कि एक डी आयामी मैनिफोल्ड एन एक एन आयामी मैनिफोल्ड एम (जहां डी <एन) में अंतर्निहित है। यदि हम कहते हैं कि एन x पर स्थानीय रूप से सपाट है यदि x का एक पड़ोस ऐसा है कि युग्म के लिए स्थलाकृतिक जोड़ी समरूपी है, तो इसके मानक समावेश के साथ, एक समरूपता मौजूद है जैसे कि की छवि के साथ मेल खाती है। आरेखात्मक शब्दों में, निम्नलिखित वर्ग को आवागमन करना चाहिएः हम एन को एम में स्थानीय रूप से सपाट कहते हैं यदि एन प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से सपाट है। इसी तरह, एक मानचित्र को स्थानीय रूप से सपाट कहा जाता है, भले ही वह एक एम्बेडिंग न हो, अगर N में प्रत्येक x का एक पड़ोस U हो जिसकी छवि M में स्थानीय रूप से सपाट हो। सीमा के साथ कई गुना में उपरोक्त परिभाषा मानती है कि, यदि M की सीमा है, तो x, M का सीमा बिंदु नहीं है। यदि x, M की सीमा पर एक बिंदु है, तो परिभाषा को निम्नानुसार संशोधित किया जाता है। हम कहते हैं कि N, M के एक सीमा बिंदु x पर स्थानीय रूप से सपाट है यदि x का एक पड़ोस ऐसा है कि टोपोलॉजिकल जोड़ी जोड़ी के लिए समरूप है, जहां एक मानक अर्ध-स्थान है और इसे इसकी सीमा के एक मानक उपक्षेत्र के रूप में शामिल किया गया है। परिणाम एक एम्बेडिंग की स्थानीय समतलता का अर्थ है मजबूत गुण जो सभी एम्बेडिंग द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं। ब्राउन (1962) ने साबित किया कि यदि d = n−1 है, तो N को कॉलर किया जाता है; अर्थात, इसका एक ऐसा पड़ोस है जो N × [0,1] के समरूप है और N स्वयं N × 1/2 (यदि N, M के आंतरिक भाग में है) या N × 0 (यदि N, M की सीमा में है) के अनुरूप है। यूक्लिडियन स्पेस नीट सबमैनिफोल्ड रेफेरेंसेस ब्राउन, मॉर्टन (1962), टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स के स्थानीय रूप से फ्लैट एम्बेडिंग भी देखें। एनल्स ऑफ मैथेमैटिक्स, सेकंड सीरीज़, वॉल्यूम। 75 (1962), पृ. 331-341। मजूर, बैरी। क्षेत्रों के एम्बेडिंग पर। बुलेटिन ऑफ द अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, वॉल्यूम। 65 (1959), नं. 2, पीपी. 59-65। http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034। स्थलविज्ञान ज्यामितीय स्थलविज्ञान