Edge-matching puzzle
एक किनारे से मेल खाने वाली पहेली एक प्रकार की टाइलिंग पहेली है जिसमें एक क्षेत्र को (आमतौर पर नियमित) बहुभुज के साथ टाइल किया जाता है, जिसके किनारों को रंगों या पैटर्न के साथ इस तरह से अलग किया जाता है कि आसन्न टाइलों के किनारे मेल खाते हैं। किनारे से मेल खाने वाली पहेलियाँ एन. पी.-पूर्ण के रूप में जानी जाती हैं, और समतुल्य जिगसॉ पहेलियाँ और पॉलीमिनो पैकिंग पहेली में परिवर्तित होने में सक्षम होती हैं। 1892 में ई. एल. थर्स्टन द्वारा यू. एस. में पहली धार-मिलान पहेली का पेटेंट कराया गया था। व्यावसायिक एज-मैचिंग पहेलियों के वर्तमान उदाहरणों में एटर्निटी II पहेली, टैंट्रिक्स, कैडॉन एंटरप्राइजेज की एज-मैचिंग पहेलियों की श्रृंखला और एज मैच पज़ल्स आईफोन ऐप शामिल हैं। उल्लेखनीय विविधताएं मैकमोहन स्क्वेयर्स मैकमोहन स्क्वेयर्स ब्रिटिश गणितशास्त्री पर्सी मैकमोहन द्वारा सुझाए गए एक मनोरंजक गणित पहेली को दिया गया नाम है, जिन्होंने 1921 में विभिन्न आकारों के किनारे-रंग पर एक ग्रंथ प्रकाशित किया था। यह विशेष पहेली 24 टाइलों का उपयोग करती है जिसमें एक वर्ग के किनारों के लिए 3 रंगों के सभी क्रमपरिवर्तन होते हैं। टाइलों को 6 × 4 आयताकार क्षेत्र में व्यवस्थित किया जाना चाहिए ताकि सभी किनारे मेल खा सकें और इसके अलावा, आयत के बाहरी किनारे के लिए केवल एक रंग का उपयोग किया जाता है। इस पहेली को 10×7 में व्यवस्थित 4 रंगों के क्रमपरिवर्तन के साथ टाइलों तक बढ़ाया जा सकता है। दोनों ही मामलों में, वर्ग वांग टाइलों का एक उपसमुच्चय हैं, जो बारी-बारी से समान टाइलों को कम करते हैं। समाधानों की संख्या हजारों में होती है। मैकमोहन स्क्वेयर्स, विचार पर भिन्नताओं के साथ, मल्टीमैच के रूप में व्यावसायीकरण किया गया था। टेट्रावेक्स एक कंप्यूटर गेम है जो खिलाड़ी को एक वर्गाकार ग्रिड और टाइलों के संग्रह के साथ प्रस्तुत करता है, डिफ़ॉल्ट रूप से 3 × 3 ग्रिड के लिए नौ वर्गाकार टाइल्स। प्रत्येक टाइल में चार एकल-अंकीय संख्याएँ होती हैं, प्रत्येक किनारे पर एक। खेल का उद्देश्य टाइलों को ग्रिड में उचित स्थिति में रखना है, इस पहेली को जल्द से जल्द पूरा करना है। टाइलों को घुमाया नहीं जा सकता है, और दो को एक दूसरे के बगल में तभी रखा जा सकता है जब आस-पास के किनारों पर संख्याएँ मेल खाती हों। टेट्रावेक्स "द प्रॉब्लम ऑफ टाइलिंग द प्लेन" से प्रेरित था जैसा कि डोनाल्ड क्नुथ ने वॉल्यूम 1: फंडामेंटल एल्गोरिदम्स के पेज 382 पर वर्णित किया है, जो उनकी श्रृंखला द आर्ट ऑफ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग की पहली पुस्तक है। इसका नाम स्कॉट फर्ग्यूसन द्वारा रखा गया था, जो विजुअल बेसिक के पहले संस्करण के विकास प्रमुख और वास्तुकार थे, जिन्होंने इसे विंडोज एंटरटेनमेंट पैक 3 के लिए लिखा था। टेट्रावेक्स GNOME गेम्स संग्रह में एक ओपन सोर्स गेम के रूप में भी उपलब्ध है। टेट्रावेक्स की संभावित संख्या को गिना जा सकता है। एक बोर्ड पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर जोड़े होते हैं जिनका मिलान होना चाहिए और किनारों के साथ संख्याएँ जिन्हें मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। इसलिए 10 अंकों के विकल्प हैं, अर्थात। संभावित बोर्ड। यह तय करना कि क्या टेट्रावेक्स पहेली का कोई समाधान है, सामान्य रूप से एनपी-पूर्ण है। इसके कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण में डगलस-रैचफोर्ड एल्गोरिदम शामिल है। हेक्सागन्स सर्पेन्टाइल्स हेक्सागोनल टाइल्स हैं जिनका उपयोग साइक-पाथ, कालिको और टैंट्रिक्स जैसे विभिन्न अमूर्त रणनीति खेलों में किया जाता है। प्रत्येक सर्पाकार के भीतर, किनारों को जोड़ा जाता है, इस प्रकार टाइलों के सेट को इस तरह से सीमित किया जाता है कि षट्कोण के भीतर कोई भी किनारे का रंग विषम संख्या में नहीं होता है। गणितीय रूप से तीन आयाम, किनारे से मेल खाने वाली पहेलियाँ द्वि-आयामी होती हैं। एक 3डी एज-मैचिंग पहेली एक ऐसी पहेली है जो यूक्लिडियन स्पेस में सपाट नहीं है, इसलिए इसमें एक त्रि-आयामी क्षेत्र जैसे कि एक नियमित पॉलीहेड्रॉन की सतह को टाइल करना शामिल है। पहले की तरह, बहुभुज के टुकड़ों में अलग-अलग किनारे होते हैं ताकि आस-पास के टुकड़ों के किनारे मेल खा सकें। 3डी एज-मैचिंग पहेलियाँ वर्तमान में सीधे अमेरिकी पेटेंट संरक्षण के तहत नहीं हैं, क्योंकि ई. एल. थर्स्टन द्वारा 1892 के पेटेंट की अवधि समाप्त हो गई है। वाणिज्यिक पहेलियों के वर्तमान उदाहरणों में डोडेक डुओ, द एनिग्मा, मेंटल मिसरी और कैडॉन एंटरप्राइजेज की त्रि-आयामी एज-मैचिंग पहेलियों की श्रृंखला शामिल हैं। कार्कसॉन बोर्ड गेम में किनारे के मिलान को शामिल करने के लिए किनारे के मिलान का उपयोग किया जाता है जहां इसकी चौकोर टाइलों को रखा जा सकता है। मूल खेल में तीन प्रकार के किनारे होते हैंः मैदान, सड़कें और शहर। यह भी देखें डोमिनोज़ टाइलिंग वांग डोमिनोज़ संदर्भ बाहरी लिंक एरिक के मिलान पहेली संग्रह रंग-और रॉब स्टेगमैन एज मिलान वर्ग टाइलिंग पहेलियों द्वारा पीटर एसर रॉब के पहेली पृष्ठ द्वारा किनारे-मिलान बहुभुज