Functional-theoretic algebra
किसी भी सदिश स्थान को एक एकात्मक सहयोगी बीजगणित में बनाया जा सकता है, जिसे दो रैखिक कार्यों के संदर्भ में उत्पादों को परिभाषित करके कार्यात्मक-सैद्धांतिक बीजगणित कहा जाता है। सामान्य तौर पर, यह एक गैर-परिवर्तनीय बीजगणित है। यह तब परिवर्तनीय हो जाता है जब दोनों कार्यात्मक समान होते हैं। परिभाषा मान लीजिए कि एएफ एक क्षेत्र एफ पर एक सदिश स्थान है, और मान लीजिए कि एएफ में कुछ ई के लिए एल1 (ई) = एल2 (ई) = 1एफ गुण के साथ एल1 और एल2 एएफ पर दो रैखिक कार्यात्मक हैं। हम एएफ में दो तत्वों x, y के गुणन को परिभाषित करते हैं। यह सत्यापित किया जा सकता है कि उपरोक्त गुणन सहयोगी है और ई इस गुणन की पहचान है। तो, ए. एफ. इकाई ई के साथ एक सहयोगी बीजगणित बनाता है और इसे कार्यात्मक सैद्धांतिक बीजगणित (एफ़. टी. ए.) कहा जाता है। मान लीजिए कि दो रैखिक फलन L1 और L2 समान हैं, मान लीजिए कि L. तो एएफ एक कम्यूटेटिव बीजगणित बन जाता है जिसमें उदाहरण X द्वारा परिभाषित गुणन एक गैर-खाली समुच्चय है और F a क्षेत्र है। यदि f, g, FX में, x, X में और α, F में हैं, तो परिभाषित करें और जोड़ और स्केलर गुणन के साथ, FX, F पर एक सदिश स्थान है। अब, X में दो तत्वों a, b को ठीक करें और X में सभी x के लिए एक फलन e को X से F द्वारा e (x) = 1F द्वारा परिभाषित करें। L1 (f) = f (a) और L2 (f) = f (b) द्वारा FX से F तक L1 और L2 को परिभाषित करें। फिर L1 और L2 FX पर दो रैखिक फलन हैं जैसे कि L1 (e) = L2 (e) = 1F f के लिए, FX में g परिभाषित करता है फिर FX गुणन की पहचान के रूप में फलन e के साथ एक गैर-परिवर्तनीय फलन बीजगणित बन जाता है। ध्यान दें कि जटिल विमान में वक्रों का एफ. टी. ए. मान लीजिए कि सी जटिल संख्याओं के क्षेत्र को दर्शाता है। वास्तविक संख्याओं के बंद अंतराल [0,1] से क्षेत्र C तक एक निरंतर फलन γ को वक्र कहा जाता है। जटिल संख्याएँ γ (0) और γ (1), क्रमशः, वक्र के प्रारंभिक और अंतिम बिंदु हैं। यदि वे मेल खाते हैं, तो वक्र को लूप कहा जाता है। सभी वक्रों का समुच्चय V [0,1] C पर एक सदिश स्थान है। हम ऊपर के रूप में गुणन को परिभाषित करके वक्रों के इस सदिश स्थान को बीजगणित में बना सकते हैं। चुनते हुए हमारे पास α के लिए है, C में β [0,1], फिर, V [0,1] एक गैर-परिवर्तनीय बीजगणित है जिसमें e एकता के रूप में है। हम इसे एक उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं। वक्रों के एफ-उत्पाद का उदाहरण आइए हम (1) बिंदुओं (1,0) और (0,1) को जोड़ने वाले रेखा खंड और (2) मूल पर केंद्र के साथ इकाई वृत्त को लेते हैं। V [0,1] में वक्र के रूप में, उनके समीकरण इस प्रकार प्राप्त किए जा सकते हैं क्योंकि वृत्त g एक लूप है। रेखा खंड f: से शुरू होता है और यहाँ समाप्त होता है अब, हमें दो एफ-उत्पाद मिलते हैं और चित्र देखें। ध्यान दें कि यह दर्शाना कि गुणन गैर-परिवर्तनीय है। इसके अलावा दोनों उत्पाद सी-एन-कर्व संदर्भ सेबेस्टियन वट्टामट्टम और आर. शिवरामकृष्णन, ए नोट ऑन कन्वोलुशन अल्जेब्रास, इन रीसेंट ट्रेंड्स इन मैथमेटिकल एनालिसिस, एलाइड पब्लिशर्स, 2003 से शुरू होते हैं। सेबेस्टियन वट्टामट्टम और आर. शिवरामकृष्णन, एसोसिएटिव अल्जेब्रास वाया लीनियर फंक्शनल्स, प्रोसीडिंग्स ऑफ द एनुअल कॉन्फ्रेंस ऑफ के. एम. ए., जनवरी 17-19,2000, पीपी. 81-89 सेबेस्टियन वट्टामट्टम, नॉन-कम्यूटेटिव फंक्शन अल्जेब्रा, इन बुलेटिन ऑफ केरल मैथमेटिकल एसोसिएशन, वॉल्यूम। 4, नं. 2 दिसंबर 2007 सेबेस्टियन वट्टामट्टम, ट्रांसफॉर्मिंग कर्व्स बाय एन-कर्विंग, इन बुलेटिन ऑफ केरल मैथमेटिक्स एसोसिएशन, वॉल्यूम। 5, नहीं। 1 दिसंबर 2008 सेबेस्टियन वट्टामट्टम, बुक ऑफ ब्यूटीफुल कर्व्स, जनवरी 2015 बुक ऑफ ब्यूटीफुल कर्व्स आर. शिवरामकृष्णन, सेर्टेन नंबर थियोरेटिक एपिसोड्स इन अलजेब्रा, चैपमैन एंड हॉल/सी. आर. सी. सेर्टेन नंबर थियोरेटिक एपिसोड्स इन अलजेब्रा अल्जेब्रा