Hurwitz surface
रीमान सतह सिद्धांत और हाइपरबोलिक ज्यामिति में, एक हर्विट्ज़ सतह, जिसका नाम एडॉल्फ हर्विट्ज़ के नाम पर रखा गया है, ठीक 84 (जी-1) ऑटोमोर्फिज्म के साथ एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह है, जहाँ जी सतह का जीनस है। यह संख्या ऑटोमोर्फिज्म पर हर्विट्ज़ के प्रमेय के आधार पर अधिकतम है। उन्हें जटिल बीजगणितीय वक्र (जटिल आयाम 1 = वास्तविक आयाम 2) के रूप में व्याख्या करते हुए हर्विट्ज़ वक्र के रूप में भी जाना जाता है। हर्विट्ज़ सतह का फ्यूशियन समूह (साधारण) (2,3,7) त्रिभुज समूह का एक परिमित सूचकांक मरोड़ मुक्त सामान्य उपसमूह है। परिमित भागफल समूह सटीक रूप से ऑटोमोर्फिज्म समूह है। जटिल बीजगणितीय वक्रों के ऑटोमोर्फिज्म अंतर्निहित वास्तविक सतह के अभिविन्यास-संरक्षित ऑटोमोर्फिज्म हैं; यदि कोई अभिविन्यास-व्युत्क्रम सममितियों की अनुमति देता है, तो यह 168 (जी-1) क्रम का दोगुना बड़ा समूह देता है, जो कभी-कभी दिलचस्प होता है। शब्दावली पर एक टिप्पणी-इस और अन्य संदर्भों में, "(2,3,7) त्रिभुज समूह" अक्सर पूर्ण त्रिभुज समूह Δ (2,3,7) (श्वार्ज त्रिभुज (2,3,7) के साथ कॉक्सेटर समूह या एक हाइपरबोलिक प्रतिबिंब समूह के रूप में एक प्राप्ति) को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि अभिविन्यास-संरक्षित मानचित्रों (घूर्णन समूह) के साधारण त्रिभुज समूह (वॉन डाइक समूह) D (2,3,7) को संदर्भित करता है, जो सूचकांक 2 है। जटिल स्वरूपताओं का समूह साधारण (अभिविन्यास-संरक्षण) त्रिभुज समूह का एक भागफल है, जबकि (संभवतः अभिविन्यास-प्रतिवर्ती) सममितियों का समूह पूर्ण त्रिभुज समूह का एक भागफल है। जीनस द्वारा वर्गीकरण प्रत्येक जीनस के साथ केवल सीमित रूप से कई हर्विट्ज़ सतहें होती हैं। उस जीनस के साथ हर्विट्ज़ सतहों की संख्या के लिए जीनस का मानचित्रण कार्य असीमित है, भले ही इसके अधिकांश मान शून्य हों। योग के लिए अभिसरण, एक अनुमानित अर्थ में इंगित करता है कि th हर्विट्ज़ सतह का वंश कम से कम एक घन कार्य के रूप में बढ़ता है। सबसे कम वंश की हर्विट्ज़ सतह जीनस 3 की क्लेन क्वार्टिक है, जिसमें ऑटोमोर्फिज्म समूह प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूह पी. एस. एल. (2,7), क्रम 84 (3−1) = 168 = 23·3·7 का है, जो एक सरल समूह है; (या क्रम 336 यदि कोई अभिविन्यास-उलट सममितियों की अनुमति देता है)। अगला संभावित वंश 7 है, जो मैकबीथ सतह के पास है, जिसमें ऑटोमोर्फिज्म समूह पी. एस. एल. (2,8) है, जो 84 (7−1) = 504 = 23·32·7 क्रम का सरल समूह है; यदि किसी में अभिविन्यास-प्रतिवर्ती सममितियाँ शामिल हैं, तो समूह 1,008 क्रम का है। एक दिलचस्प घटना अगले संभावित वंश, अर्थात् 14 में होती है। यहाँ समान ऑटोमोर्फिज्म समूह (क्रम 84 (14−1) = 1092 = 22·3·7·13) के साथ अलग-अलग रीमान सतहों का एक तिगुना है। इस घटना की व्याख्या अंकगणितीय है। अर्थात्, उपयुक्त संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय में, परिमेय अभाज्य 13 तीन विशिष्ट अभाज्य आदर्शों के गुणनफल के रूप में विभाजित होता है। अभाज्य संख्याओं के त्रिगुण द्वारा परिभाषित प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह पहले हर्विट्ज़ त्रिगुण के अनुरूप फ्यूशियन समूहों का उत्पादन करते हैं। हर्विट्ज़ सतह के वंश के लिए स्वीकार्य मानों का क्रम 3,7,14,17,118,129,146,385,411,474,687,769,1009,1025,1459,1537,2091 से शुरू होता है। हर्विट्ज़ चतुर्थक क्रम संदर्भ एल्कीज़, एन.: शिमुरा वक्र गणनाएँ भी देखें। एल्गोरिदमिक संख्या सिद्धांत (पोर्टलैंड, ओआर, 1998), 1-47, व्याख्यान नोट्स इन कंप्यूटर साइंस, 1423, स्प्रिंगर, बर्लिन, 1998। काट्ज़, एम.; शेप्स, एम.; विश्ने, यू.: समरूपता उपसमूहों के साथ अंकगणितीय रीमान सतहों के सिस्टोल की लघुगणकीय वृद्धि देखें। जे. विभेदक जियोम। 76 (2007), नं. 3, 399-422। रीमान सतहों पर सिस्टोलिक ज्यामिति उपलब्ध है