Quadrature of the Parabola
पाराबोला का चतुर्भुज (Quadrature of the Parabola) ज्यामिति पर एक ग्रंथ है, जिसे आर्किमिडीज़ ने तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखा था और अपने अलेक्जेंड्रियन परिचित डोसिथियस को संबोधित किया था। इसमें परवलय के संबंध में 24 प्रस्ताव हैं, जो दो प्रमाणों में समाप्त होते हैं जो दर्शाते हैं कि एक परवलय खंड (एक परवलय और एक रेखा से घिरा क्षेत्र) का क्षेत्र एक निश्चित उत्कीर्ण त्रिभुज का है। यह आर्किमिडीज के सबसे प्रसिद्ध कार्यों में से एक है, विशेष रूप से थकावट की विधि के सरल उपयोग के लिए और ज्यामितीय श्रृंखला के दूसरे भाग में। आर्किमिडीज इस क्षेत्र को असीम रूप से कई त्रिकोणों में विभाजित करता है जिनके क्षेत्र ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं। फिर वह परिणामी ज्यामितीय श्रृंखला के योग की गणना करता है, और साबित करता है कि यह परवलयिक खंड का क्षेत्र है। यह प्राचीन यूनानी गणित में रिडक्टियो एड एब्सर्डम तर्क के सबसे परिष्कृत उपयोग का प्रतिनिधित्व करता है, और 17 वीं शताब्दी में इंटीग्रल कैलकुलस के विकास तक आर्किमिडीज़ का समाधान नायाब रहा, जिसके बाद कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र आया। मुख्य प्रमेय एक परवलय खंड एक परवलय और रेखा से घिरा क्षेत्र है। एक परवलयिक खंड के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, आर्किमिडीज़ एक निश्चित उत्कीर्ण त्रिभुज पर विचार करते हैं। इस त्रिभुज का आधार परवलय का दिया गया तार है, और तीसरा शीर्ष परवलय पर ऐसा बिंदु है कि उस बिंदु पर परवलय की स्पर्शरेखा तार के समानांतर हो। कार्य के प्रस्ताव 1 में कहा गया है कि अक्ष के समानांतर खींची गई तीसरे शीर्ष से एक रेखा तार को समान खंडों में विभाजित करती है। मुख्य प्रमेय का दावा है कि परवलयिक खंड का क्षेत्रफल उत्कीर्ण त्रिभुज का है। पाराबोला जैसे पाठ कोनिक खंडों की संरचना एक सदी पहले मेनेकमस की बदौलत आर्किमिडीज़ के समय में पहले से ही अच्छी तरह से जानी जाती थी। हालांकि, विभेदक और अभिन्न कलन के आगमन से पहले, शंकु खंड के क्षेत्र को खोजने का कोई आसान तरीका नहीं था। आर्किमिडीज विशेष रूप से एक परवलय और एक तार से घिरे क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करके इस समस्या का पहला प्रमाणित समाधान प्रदान करता है। आर्किमिडीज मुख्य प्रमेय के दो प्रमाण देते हैंः एक अमूर्त यांत्रिकी का उपयोग करते हुए और दूसरा शुद्ध ज्यामिति द्वारा। पहले प्रमाण में, आर्किमिडीज़ गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत संतुलन में एक लीवर पर विचार करते हैं, जिसमें एक परवलय के भारित खंड और एक त्रिभुज एक लीवर की बाहों के साथ फुलक्रम से विशिष्ट दूरी पर निलंबित होता है। जब त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का पता चलता है, तो लीवर का संतुलन त्रिभुज के क्षेत्र के संदर्भ में परवलय का क्षेत्र देता है जिसका आधार और ऊंचाई समान होती है। यहाँ आर्किमिडीज ऑन द इक्विलिब्रियम ऑफ प्लेन्स में पाई गई प्रक्रिया से इस मायने में विचलित हैं कि उनके पास संतुलन से नीचे के स्तर पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र हैं। दूसरा और अधिक प्रसिद्ध प्रमाण शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करता है, विशेष रूप से एक ज्यामितीय श्रृंखला का योग। चौबीस प्रस्तावों में से, पहले तीन को यूक्लिड के एलिमेंट्स ऑफ कॉनिक्स (शंकु वर्गों पर यूक्लिड द्वारा एक खोया हुआ काम) से सबूत के बिना उद्धृत किया गया है। प्रस्ताव 4 और 5 परवलय के प्राथमिक गुणों को स्थापित करते हैं। प्रस्ताव 6-17 मुख्य प्रमेय का यांत्रिक प्रमाण देते हैं; प्रस्ताव 18-24 ज्यामितीय प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। परवलयिक खंड का ज्यामितीय प्रमाण विच्छेदन प्रमाण का मुख्य विचार परवलयिक खंड का असीम रूप से कई त्रिकोणों में विच्छेदन है, जैसा कि दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज को अपने पैराबोलिक खंड में उसी तरह अंकित किया गया है जैसे नीले त्रिकोण को बड़े खंड में अंकित किया गया है। अठारह से इकतीस के प्रस्तावों में, आर्किमिडीज़ ने साबित किया कि प्रत्येक हरे त्रिकोण का क्षेत्रफल नीले त्रिकोण का क्षेत्रफल है, ताकि दोनों हरे त्रिकोण एक साथ नीले त्रिकोण के क्षेत्रफल का योग कर सकें। आधुनिक दृष्टिकोण से, ऐसा इसलिए है क्योंकि हरे त्रिभुज में नीले त्रिभुज की चौड़ाई और ऊंचाई होती हैः एक ही तर्क के बाद, प्रत्येक पीले त्रिभुज में एक हरे त्रिभुज का क्षेत्रफल या नीले त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है, जो नीले त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग है; प्रत्येक लाल त्रिभुज में एक पीले त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है, जो नीले त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग है; आदि। निष्कर्षण की विधि का उपयोग करते हुए, यह इस प्रकार है कि परवलयिक खंड का कुल क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है यहाँ T बड़े नीले त्रिकोण के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा पद दो हरे त्रिकोणों के कुल क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है, तीसरा पद चार पीले त्रिकोणों के कुल क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है, और इसी तरह आगे। यह श्रृंखला का योग देने के लिए सरल बनाता है प्रमाण को पूरा करने के लिए, आर्किमिडीज़ बताते हैं कि उपरोक्त सूत्र एक ज्यामितीय श्रृंखला है-प्रत्येक क्रमिक पद पिछले पद का एक चौथाई है। आधुनिक गणित में, वह सूत्र एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए योग सूत्र का एक विशेष मामला है। आर्किमिडीज एक पूरी तरह से ज्यामितीय विधि का उपयोग करके योग का मूल्यांकन करते हैं, जो निकटवर्ती चित्र में सचित्र है। यह चित्र एक इकाई वर्ग को दर्शाता है जिसे छोटे वर्गों की अनंतता में विच्छेदित किया गया है। प्रत्येक क्रमिक बैंगनी वर्ग में पिछले वर्ग के क्षेत्रफल का एक चौथाई हिस्सा होता है, जिसमें कुल बैंगनी क्षेत्र का योग होता है, हालांकि, बैंगनी वर्ग पीले वर्ग के किसी भी समूह के लिए सर्वांगसम होते हैं, और इसलिए इकाई वर्ग के क्षेत्र को कवर करते हैं। यह इस प्रकार है कि उपरोक्त श्रृंखला का योग (चूंकि चतुर्भुज (ज्यामिति भी देखें) कलन टिप्पणियों का इतिहास आगे पढ़ने के लिए। डिजकस्टरहुइस, ई. जे. (1987) "आर्किमिडीज़", प्रिंसटन यू। प्रेस करें। .. .. .. बाहरी लिंक पूर्ण पाठ, जैसा कि टी. एल. हीथ। .. टिप्पणी के साथ प्रस्ताव 1-3 और 20-24 का पाठ। http://planetmath.org/ArchimedesCalculus आर्किमिडीज़ की प्राचीन यूनानी गणितीय कृतियाँ आर्किमिडीज़ की कृतियाँ गणित का इतिहास