Square root of 5
5 का वर्गमूल वह धनात्मक वास्तविक संख्या है, जिसे जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो वह अभाज्य संख्या 5 देता है। इसे अधिक सटीक रूप से 5 का प्रमुख वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे एक ही गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। यह संख्या स्वर्ण अनुपात के लिए आंशिक अभिव्यक्ति में दिखाई देती है। इसे सुरद के रूप में दर्शाया जा सकता हैः यह एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है। इसके दशमलव विस्तार के पहले साठ महत्वपूर्ण अंक इस प्रकार हैंः जिसे 99.99% सटीकता के भीतर 2.236 तक गोल किया जा सकता है। पाँच के वर्गमूल के लिए सन्निकटन (≈ 2.23611) का उपयोग किया जा सकता है। केवल 72 का भाजक होने के बावजूद, यह सही मूल्य से (लगभग) कम से भिन्न होता है। )। जनवरी 2022 तक, दशमलव में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम 2,250,000,000,000 अंकों में की गई है। तर्कसंगत सन्निकटन 5 के वर्गमूल को निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है निरंतर अंश के क्रमिक आंशिक मूल्यांकन, जिन्हें इसके अभिसारी कहा जाता है, दृष्टिकोणः उनके अंश 2,9,38,161 हैं, और उनके भाजक 1,4,17,72 हैं। इनमें से प्रत्येक का सबसे अच्छा परिमेय सन्निकटन है; दूसरे शब्दों में, यह एक छोटे भाजक के साथ किसी भी परिमेय संख्या के करीब है। जब बेबीलोनियन विधि के साथ अनुमानित किया जाता है, शुरू करने और उपयोग करने पर, th सन्निकटन निरंतर अंश के th अभिसरण के बराबर होता हैः बेबीलोनियन विधि बहुपद पर लागू रूट फाइंडिंग के लिए न्यूटन की विधि के बराबर है। न्यूटन की विधि अद्यतन,, कब के बराबर है। अतः विधि चतुर्भुज रूप से अभिसरण करती है। स्वर्ण अनुपात और फिबोनाची संख्याओं से संबंध स्वर्ण अनुपात 1 और 1 का अंकगणितीय माध्य है। स्वर्ण अनुपात और स्वर्ण अनुपात () के संयुग्म के बीच बीजगणितीय संबंध निम्नलिखित सूत्रों में व्यक्त किया गया हैः (एक आयत के अपघटन के रूप में उनकी ज्यामितीय व्याख्या के लिए नीचे दिए गए खंड को देखें।) फिर स्वाभाविक रूप से फिबोनाची संख्याओं के लिए बंद रूप अभिव्यक्ति में आंकड़े, एक सूत्र जो आमतौर पर सुनहरे अनुपात के संदर्भ में लिखा जाता हैः और (या और का गुणनफल), और इसका पारस्परिक, निरंतर अंशों का एक दिलचस्प पैटर्न प्रदान करता है और फिबोनाची संख्याओं और लुकास संख्याओं के बीच अनुपात से संबंधित हैः इन मूल्यों के लिए अभिसरणों की श्रृंखला में क्रमशः फिबोनाची संख्याओं की श्रृंखला और अंशों और भाजकों के रूप में लुकास संख्याओं की श्रृंखला होती है, और इसके विपरीतः वास्तव में, लुकास संख्या और फिबोनाची संख्या के भागफल की सीमा सीधे वर्गमूल के बराबर होती हैः ज्यामितीय रूप से ज्यामिति, डाय से मेल खाती है। इस तरह के आयत को एक वर्ग को आधा करके, या दो बराबर वर्गों को साथ-साथ रखकर प्राप्त किया जा सकता है। इसका उपयोग एक वर्गाकार ग्रिड को पाँच गुना अधिक वर्गों के साथ एक झुके हुए वर्गाकार ग्रिड में उपविभाजित करने के लिए किया जा सकता है, जो एक उपखंड सतह के लिए आधार बनाता है। और के बीच बीजगणितीय संबंध के साथ, यह एक वर्ग से एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण के लिए आधार बनाता है, और इसकी तरफ दिए गए एक नियमित पंचभुज के निर्माण के लिए (क्योंकि एक नियमित पंचभुज में पक्ष-से-विकर्ण अनुपात है)। चूँकि एक घन के दो निकटवर्ती चेहरे 1:2 आयत में खुलेंगे, क्यूब की सतह को पार करते समय क्यूब के किनारे की लंबाई और इसके एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष तक की सबसे कम दूरी के बीच का अनुपात है। इसके विपरीत, घन के अंदर से गुजरते समय सबसे कम दूरी घन विकर्ण की लंबाई से मेल खाती है, जो किनारे के तीन गुना का वर्गमूल है। पार्श्व अनुपात 1: वाले एक आयत को मूल-पाँच आयत कहा जाता है और यह मूल आयतों की श्रृंखला का हिस्सा है, जो गतिशील आयतों का एक उपसमुच्चय है, जो एक वर्ग से शुरू होने वाले पिछले मूल आयतों के विकर्ण का उपयोग करके क्रमिक रूप से निर्मित किए जाते हैं। एक मूल-5 आयत विशेष रूप से उल्लेखनीय है कि इसे एक वर्ग और दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) में विभाजित किया जा सकता है, या विभिन्न आकारों (आयामों और) के दो सुनहरे आयतों में विभाजित किया जा सकता है। इसे दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) के संयोजन के रूप में भी विघटित किया जा सकता है, जिनका प्रतिच्छेदन एक वर्ग बनाता है। इन सब को, और ऊपर उल्लिखित के बीच बीजगणितीय संबंधों की ज्यामितीय व्याख्या के रूप में देखा जा सकता है। मूल-5 आयत का निर्माण 1:2 आयत (मूल-4 आयत) से या सीधे एक वर्ग से चित्रण में दिखाए गए सुनहरे आयत के समान तरीके से किया जा सकता है, लेकिन लंबाई के चाप को दोनों तरफ बढ़ाया जा सकता है। त्रिकोणमिति और की तरह, 5 का वर्गमूल सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांकों के लिए सूत्रों में व्यापक रूप से दिखाई देता है, जिसमें प्रत्येक कोण के साइन और कोसाइन शामिल हैं जिनकी डिग्री में माप 3 से विभाज्य है लेकिन 15 से नहीं। इनमें से सबसे सरल हैं जैसे कि त्रिकोणमितीय तालिकाओं को उत्पन्न करने के लिए इसके मूल्य की गणना महत्वपूर्ण है। चूंकि यह ज्यामितीय रूप से अर्ध-वर्ग आयतों और पंचभुज से जुड़ा हुआ है, इसलिए यह अक्सर उनसे प्राप्त आकृतियों के ज्यामितीय गुणों के लिए सूत्रों में भी दिखाई देता है, जैसे कि एक डोडेकाहेड्रॉन के आयतन के सूत्र में। डायोफैंटाइन सन्निकटन में हर्विट्ज़ की प्रमेय बताती है कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या को असीम रूप से कई परिमेय संख्याओं द्वारा सबसे कम शब्दों में इस तरह से अनुमानित किया जा सकता है कि और यह सबसे अच्छा संभव है, इस अर्थ में कि किसी भी बड़े स्थिरांक के लिए, कुछ अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनके लिए केवल सीमित रूप से ऐसे कई सन्निकटन मौजूद हैं। इससे निकटता से संबंधित यह प्रमेय है कि किसी संख्या के किसी भी तीन क्रमिक अभिसरणों में से, कम से कम तीन असमानताओं में से एक यह मानती हैः और भाजक में सबसे अच्छी सीमा संभव है क्योंकि स्वर्ण अनुपात के अभिसरण बाएं हाथ की ओर अंतर को मनमाने ढंग से दाहिने हाथ की ओर के मूल्य के करीब बनाते हैं। विशेष रूप से, कोई भी चार या अधिक लगातार अभिसरणों के अनुक्रमों पर विचार करके एक सख्त सीमा प्राप्त नहीं कर सकता है। बीजगणित रिंग में रूप की संख्याएँ होती हैं, जहाँ और पूर्णांक हैं और यह काल्पनिक संख्या है। यह रिंग एक अभिन्न डोमेन का अक्सर उद्धृत उदाहरण है जो एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन नहीं है। इस वलय के भीतर संख्या 6 के दो असमान गुणनखंडन हैंः किसी भी अन्य द्विघात क्षेत्र की तरह, क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक अबेलियन विस्तार है। क्रोनेकर-वेबर प्रमेय इस बात की गारंटी देता है कि पाँच के वर्गमूल को एकता की जड़ों के तर्कसंगत रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता हैः रामानुजन की पहचान 5 का वर्गमूल श्रीनिवास रामानुजन द्वारा खोजी गई विभिन्न पहचानों में दिखाई देता है जिसमें निरंतर अंश शामिल हैं। उदाहरण के लिए, रोजर्स-रामानुजन के इस मामले में अंश जारी रहाः यह भी देखें कि स्वर्ण अनुपात वर्गमूल वर्गमूल 2 वर्गमूल 3 वर्गमूल 6 वर्गमूल 7 संदर्भ गणितीय स्थिरांक वर्गात्मक अपरिमेय संख्याएँ