Bolza surface
गणित में, बोल्ज़ा सतह, वैकल्पिक रूप से, जटिल बीजगणितीय बोल्ज़ा वक्र (द्वारा प्रस्तुत), इस जीनस में अनुरूप स्व-आकृति समूह के उच्चतम संभव क्रम के साथ जीनस की एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह है, अर्थात् क्रम 48 (सीमित क्षेत्र पर मैट्रिक्स का सामान्य रैखिक समूह)। पूर्ण ऑटोमोर्फिज्म समूह (प्रतिबिंबों सहित) क्रम 96 का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है। बोल्ज़ा सतह के लिए एक एफ़ाइन मॉडल को समीकरण के स्थान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। बोल्ज़ा सतह एफ़ाइन वक्र का चिकना समापन है। सभी जीनस हाइपरबोलिक सतहों में से, बोल्ज़ा सतह सिस्टोल की लंबाई को अधिकतम करती है। एक अति-दीर्घवृत्ताकार रीमान सतह के रूप में, यह रीमान गोले के विस्तृत दोहरे आवरण के रूप में उत्पन्न होता है, जिसमें गोले में अंकित एक नियमित ऑक्टाहेड्रॉन के छह शीर्षों पर रैमिफिकेशन लोकस होता है, जैसा कि उपरोक्त समीकरण से आसानी से देखा जा सकता है। बोल्ज़ा सतह ने भौतिकविदों का ध्यान आकर्षित किया है, क्योंकि यह क्वांटम अराजकता के लिए एक अपेक्षाकृत सरल मॉडल प्रदान करता है; इस संदर्भ में, इसे आमतौर पर हैडमर्ड-गुट्ज़विलर मॉडल के रूप में जाना जाता है। बोल्ज़ा सतह पर कार्यों पर कार्य करने वाले लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक का वर्णक्रमीय सिद्धांत गणितविदों और भौतिकविदों दोनों के लिए दिलचस्प है, क्योंकि सतह को सभी कॉम्पैक्ट, बंद रीमान सतहों के बीच लाप्लासियन के पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू को अधिकतम करने के लिए अनुमान लगाया जाता है। त्रिभुज सतह बोल्ज़ा सतह एक त्रिभुज सतह है-श्वार्ज त्रिभुज देखें। अधिक विशेष रूप से, बोल्ज़ा सतह को परिभाषित करने वाला फ्यूशियन समूह, कोणों के साथ एक हाइपरबोलिक त्रिभुज के किनारों में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह का एक उपसमूह है। अभिविन्यास संरक्षित सममितियों का समूह प्रतिबिंबों के समूह के सूचकांक-दो उपसमूह का एक उपसमूह है, जिसमें सम संख्या में प्रतिबिंबों के उत्पाद होते हैं, जिसमें जनरेटर और संबंधों के साथ-साथ एक अमूर्त प्रस्तुति होती है। बोल्ज़ा सतह को परिभाषित करने वाला फ्यूशियन समूह भी (3,3,4) त्रिभुज समूह का एक उपसमूह है, जो त्रिभुज समूह में सूचकांक 2 का एक उपसमूह है। समूह के पास चतुर्थक बीजगणित के संदर्भ में कोई प्राप्ति नहीं है, लेकिन समूह करता है। पोइनकेयर डिस्क पर की क्रिया के तहत, बोल्ज़ा सतह का मौलिक क्षेत्र एक नियमित अष्टभुज होता है जिसमें कोण और कोने होते हैं। अष्टभुज की विपरीत भुजाओं की पहचान फ्यूशियन समूह की क्रिया के तहत की जाती है। इसके जनरेटर मैट्रिक्स हैं जहाँ और, उनके व्युत्क्रम के साथ। जनरेटर संबंध को संतुष्ट करते हैं ये जनरेटर लंबाई स्पेक्ट्रम से जुड़े होते हैं, जो जियोडेसिक लूप की सभी संभावित लंबाई देता है। इस तरह की सबसे छोटी लंबाई को सतह का सिस्टोल कहा जाता है। बोल्ज़ा सतह का सिस्टोल है बोल्ज़ा सतह के लिए लंबाई स्पेक्ट्रम का तत्व इस प्रकार दिया जाता है कि सकारात्मक पूर्णांकों के माध्यम से कहाँ चलता है (लेकिन 4,24,48,72,140 और विभिन्न उच्च मानों को छोड़कर) और अद्वितीय विषम पूर्णांक कहाँ है जो कम करता है त्रिभुज समूह से सीधे सिस्टोल का एक समतुल्य बंद रूप प्राप्त करना संभव है। एक (2,3,8) त्रिभुज की पार्श्व लंबाई की स्पष्ट रूप से गणना करने के लिए सूत्र मौजूद हैं। सिस्टोल एक (2,3,8) त्रिभुज में मध्य लंबाई के पक्ष की लंबाई के चार गुना के बराबर है, यानी, भूगणितीय लंबाई सतह के फेंचेल-नील्सन निर्देशांक में भी दिखाई देती है। जीनस 2 की सतह के लिए फेंचेल-नील्सन निर्देशांक के एक समूह में तीन जोड़े होते हैं, प्रत्येक जोड़ी की लंबाई और मोड़ होता है। शायद बोल्ज़ा सतह के लिए निर्देशांकों का सबसे सरल समूह है, कहाँ। निर्देशांकों का एक "सममित" समूह भी होता है, जिसमें तीनों लंबाई सिस्टोल होती है और तीनों मोड़ सतह की सममितियों द्वारा दिए जाते हैं बोल्ज़ा सतह का मौलिक क्षेत्र पोइनकेयर डिस्क में एक नियमित अष्टभुज होता है; (पूर्ण) समरूपता समूह उत्पन्न करने वाली चार सममित क्रियाएँ हैंः आर-अष्टभुज के केंद्र के बारे में क्रम 8 का घूर्णन; एस-वास्तविक रेखा में प्रतिबिंब; टी-16 (4,4,4) त्रिकोणों में से एक के किनारे पर प्रतिबिंब जो अष्टभुज को टेसलेट करता है; यू-एक (4,4,4) त्रिकोण के केंद्र के बारे में क्रम 3 का घूर्णन। इन्हें निकटवर्ती आकृति में बोल्ड रेखाओं द्वारा दिखाया गया है। वे संबंधों के निम्नलिखित समूह को संतुष्ट करते हैंः तुच्छ (पहचान) क्रिया कहाँ है। समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए जी. ए. पी. में संबंधों के इस समूह का उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से, चार 1-आयामी, दो 2-आयामी, चार 3-आयामी और तीन 4-आयामी इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व हैं, और जैसा कि अपेक्षित है। वर्णक्रमीय सिद्धांत यहाँ, वर्णक्रमीय सिद्धांत लाप्लेशियन के वर्णक्रम को संदर्भित करता है। बोल्ज़ा सतह का पहला आइगेनस्पेस (यानी, पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू के अनुरूप आइगेनस्पेस) त्रि-आयामी है, और दूसरा, चार-आयामी है। ऐसा माना जाता है कि टेचमुलर स्पेस में पहले आइगेनस्पेस में कार्यों की नोडल लाइनों की गड़बड़ी की जांच करने से परिचय में अनुमानित परिणाम मिलेगा। यह अनुमान सतह और जीनस 2 की अन्य सतहों के आईगन मानों की व्यापक संख्यात्मक गणनाओं पर आधारित है। विशेष रूप से, बोल्ज़ा सतह का वर्णक्रम बहुत उच्च सटीकता के लिए जाना जाता है। निम्नलिखित तालिका बोल्ज़ा सतह के पहले दस सकारात्मक आईगन मान देती है। बोल्ज़ा सतह के वर्णक्रमीय निर्धारक और कासिमिर ऊर्जा क्रमशः और हैं, जहाँ सभी दशमलव स्थानों को सही माना जाता है। यह अनुमान लगाया जाता है कि बोल्ज़ा सतह के लिए वर्णक्रमीय निर्धारक को जीनस 2 में अधिकतम किया जाता है। मैकलाचलन और रीड के बाद, चतुर्थक बीजगणित को जनरेटर i, j और एक क्रम के उपयुक्त विकल्प के साथ संबंधों द्वारा एक सहयोगी बीजगणित के रूप में उत्पन्न बीजगणित के रूप में लिया जा सकता है। हाइपरएलिप्टिक वक्र क्लेन क्वार्टिक लाओ की वक्र मैकबीथ सतह पहली हर्विट्ज़ ट्रिपल संदर्भ विशिष्ट रीमान सतह सिस्टोलिक ज्यामिति भी देखें।