CAT(k) space
गणित में, एक स्थान, जहाँ एक वास्तविक संख्या है, एक विशिष्ट प्रकार का मीट्रिक स्थान है। सहज रूप से, एक स्थान में त्रिभुज स्थिर वक्रता के एक मानक स्थान में संबंधित "मॉडल त्रिभुज" की तुलना में "पतले" होते हैं। एक स्थान में, वक्रता ऊपर से बंधी होती है। एक उल्लेखनीय विशेष मामला है; फ्रांसीसी गणितशास्त्री जैक्स हैडमर्ड के नाम पर पूर्ण रिक्त स्थान को "हैडमर्ड रिक्त स्थान" के रूप में जाना जाता है। मूल रूप से, अलेक्जेंड्रोव ने इन स्थानों को "डोमेन" कहा। इस शब्दावली को 1987 में मिखाइल ग्रोमोव द्वारा गढ़ा गया था और यह एली कार्टन, अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव और विक्टर एंड्रीविच टोपोनोगोव के लिए एक संक्षिप्त नाम है (हालांकि टोपोनोगोव ने कभी भी प्रकाशनों में ऊपर की ओर बंधी वक्रता की खोज नहीं की)। परिभाषाएँ एक वास्तविक संख्या के लिए, स्थिर वक्रता के साथ अद्वितीय पूर्ण सरल रूप से जुड़ी सतह (वास्तविक 2-आयामी रीमानियन मैनिफोल्ड) को निरूपित करें। के व्यास से दर्शाएँ, जो कि यदि है और यदि है। मान लीजिए कि यह एक भूगणितीय मीट्रिक स्थान है, अर्थात। एक मीट्रिक स्थान जिसके लिए प्रत्येक दो बिंदुओं को एक भूगणितीय खंड से जोड़ा जा सकता है, एक चाप लंबाई पैरामीट्राइज्ड निरंतर वक्र, जिसकी लंबाई सटीक है। मान लीजिए कि यह एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ भूगणितीय खंड हैं। इसे असमानता को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि मॉडल स्थान में एक तुलनात्मक त्रिभुज है, जिसकी भुजाओं की लंबाई समान है, जैसे कि बिंदुओं के बीच की दूरी संबंधित बिंदुओं के बीच की दूरी से कम या बराबर है। भूगणितीय मीट्रिक स्थान को एक स्थान कहा जाता है यदि प्रत्येक भूगणितीय त्रिभुज की परिधि असमानता को संतुष्ट करती है। एक (आवश्यक रूप से-भूगणितीय नहीं) मीट्रिक स्थान को वक्रता वाला स्थान कहा जाता है यदि प्रत्येक बिंदु का भूगणितीय रूप से उत्तल पड़ोस होता है। वक्रता वाले स्थान को गैर-सकारात्मक वक्रता कहा जा सकता है। उदाहरण कोई भी स्थान सभी के लिए एक स्थान भी है। वास्तव में, इसके विपरीत हैः यदि सभी के लिए एक स्थान है, तो यह एक स्थान है। अपने सामान्य मीट्रिक के साथ-आयामी यूक्लिडियन स्थान एक स्थान है। अधिक आम तौर पर, कोई भी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान (आवश्यक रूप से पूर्ण नहीं) एक स्थान है; इसके विपरीत, यदि एक वास्तविक मानकीकृत वेक्टर स्थान कुछ वास्तविक के लिए एक स्थान है, तो यह एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। अपने सामान्य मीट्रिक के साथ-आयामी हाइपरबोलिक स्थान एक स्थान है, और इसलिए एक स्थान भी है। आयामी इकाई क्षेत्र एक स्थान है। अधिक आम तौर पर, मानक स्थान एक स्थान है। इसलिए, उदाहरण के लिए, आयाम की परवाह किए बिना, त्रिज्या का क्षेत्र (और स्थिर वक्रता) एक स्थान है। ध्यान दें कि गोले का व्यास (जैसा कि गोले की सतह पर मापा जाता है) नहीं है (जैसा कि गोले के केंद्र से गुजरकर मापा जाता है)। पंक्चर समतल एक स्थान नहीं है क्योंकि यह भूगणितीय रूप से उत्तल नहीं है (उदाहरण के लिए, बिंदु और चाप की लंबाई 2 के साथ एक भूगणितीय द्वारा जोड़ा नहीं जा सकता है), लेकिन के प्रत्येक बिंदु में एक भूगणितीय रूप से उत्तल पड़ोस होता है, इसलिए वक्रता का एक स्थान है। प्रेरित लंबाई मीट्रिक से सुसज्जित द्वारा दिया गया बंद उपक्षेत्र किसी के लिए भी स्थान नहीं है। रिक्त स्थान का कोई भी उत्पाद है। (यह नकारात्मक तर्कों के लिए मान्य नहीं है।) हैडमर्ड रिक्त स्थान एक विशेष मामले के रूप में, एक पूर्ण कैट (0) स्थान को हैडमर्ड स्थान के रूप में भी जाना जाता है; यह हैडमर्ड मैनिफोल्ड्स की स्थिति के साथ सादृश्य है। एक हैडमर्ड स्थान सिकुड़ने योग्य होता है (इसमें एक ही बिंदु का समस्थानिक प्रकार होता है) और, हैडमर्ड स्थान के किसी भी दो बिंदुओं के बीच, उन्हें जोड़ने वाला एक अद्वितीय भूगणितीय खंड होता है (वास्तव में, दोनों गुण सामान्य, संभवतः अपूर्ण, कैट (0) रिक्त स्थान के लिए भी होते हैं)। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि हैडमार्ड रिक्त स्थान में दूरी फलन उत्तल होते हैंः यदि X में दो भूगणक समय I के समान अंतराल पर परिभाषित किए गए हैं, तो इसके द्वारा दिया गया फलन t में उत्तल होता है। फिर निम्नलिखित गुण हैंः किसी भी दो बिंदुओं (यदि के साथ) को देखते हुए, एक अद्वितीय भूगणितीय खंड है जो जुड़ता है; इसके अलावा, यह खंड अपने अंतिम बिंदुओं के एक कार्य के रूप में लगातार बदलता रहता है। प्रत्येक स्थानीय भूगणितीय अधिक से अधिक लंबाई के साथ एक भूगणितीय है। त्रिज्या में-गेंदें (भौगोलिक रूप से) उत्तल से कम होती हैं। त्रिज्या से कम की गेंदें सिकुड़ने योग्य होती हैं। अनुमानित मध्यबिंदु निम्नलिखित अर्थों में मध्यबिंदुओं के करीब होते हैंः प्रत्येक और प्रत्येक के लिए एक ऐसा मौजूद होता है कि, यदि एक भूगणितीय खंड का मध्यबिंदु है तो उसके साथ और फिर। इन गुणों से यह पता चलता है कि, प्रत्येक स्थान के सार्वभौमिक आवरण के लिए संकुचन योग्य है; विशेष रूप से, इस तरह के स्थान के उच्च समस्थानिक समूह तुच्छ हैं। जैसा कि-गोले के उदाहरण से पता चलता है, सामान्य रूप से, किसी स्थान के सिकुड़ने की कोई उम्मीद नहीं है। गैर-सकारात्मक वक्रता की सतह एक ऐसे क्षेत्र में जहां सतह की वक्रता संतुष्ट होती है, भूगणितीय त्रिकोण कार्टान, अलेक्जेंड्रोव और टोपोनोगोव द्वारा अध्ययन की गई तुलनात्मक ज्यामिति की कैट (0) असमानताओं को संतुष्ट करते हैं, और बाद में ब्रुहट और टिट्स द्वारा एक अलग दृष्टिकोण से विचार किया गया; ग्रोमोव की दृष्टि के लिए धन्यवाद, अंतर्निहित मीट्रिक स्थान के संदर्भ में गैर-सकारात्मक वक्रता के इस लक्षण वर्णन का आधुनिक ज्यामिति और विशेष रूप से ज्यामितीय समूह सिद्धांत पर गहरा प्रभाव पड़ा है। चिकनी सतहों और उनके भूगणितीय के लिए जाने जाने वाले कई परिणाम, जैसे कि अपनी वक्र-संक्षिप्त प्रक्रिया द्वारा भूगणितीय के निर्माण की बिरखॉफ की विधि या वैन मैंगोल्ट और हैडमार्ड की प्रमेय कि गैर-सकारात्मक वक्रता की एक सरल रूप से जुड़ी सतह समतल के लिए समरूप है, इस अधिक सामान्य सेटिंग में समान रूप से मान्य हैं। अलेक्जेंड्रोव की तुलना असमानता तुलना असमानता का सबसे सरल रूप, जिसे पहली बार 1940 के आसपास अलेक्जेंड्रोव द्वारा सतहों के लिए साबित किया गया था, कहता है कि असमानता इस तथ्य से होती है कि यदि आर्क्लेन्थ द्वारा ज्यामितीय मापदंड का वर्णन किया जाता है और यह एक निश्चित बिंदु है, तो यह एक उत्तल फलन है, अर्थात। उत्पत्ति के साथ भूगणितीय ध्रुवीय निर्देशांकों को लेते हुए, उत्तलता सामान्य निर्देशांकों में बदलने के बराबर है, पर, यह असमानता बन जाती है, जहां इकाई सदिश से मेल खाती है। यह असमानता का अनुसरण करता है, जो स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के व्रोन्स्कियन के व्युत्पन्न की गैर-नकारात्मकता का एक परिणाम है। कार्टन-हैडमर्ड प्रमेय संदर्भ मीट्रिक ज्यामिति भी देखें।