Aronszajn tree
समुच्चय सिद्धांत में, एक एरोन्ज़ाज़न पेड़ अनगिनत ऊँचाई का एक पेड़ है जिसकी कोई अनगिनत शाखाएँ नहीं हैं और कोई अनगिनत स्तर नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सुसलिन पेड़ एक एरोन्ज़ाज़न पेड़ है। अधिक आम तौर पर, एक कार्डिनल κ के लिए, एक κ-एरोनज़ाज़न पेड़ ऊंचाई κ का एक पेड़ है जिसमें सभी स्तरों का आकार κ से कम होता है और सभी शाखाओं की ऊंचाई κ से कम होती है (इसलिए एरोनज़ाज़न पेड़-एरोनज़ाज़न पेड़ों के समान होते हैं)। इनका नाम नचमैन एरोनज़ाज़न के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1934 में एक एरोनज़ाज़न पेड़ का निर्माण किया था। एक कार्डिनल κ जिसके लिए कोई κ-एरोनज़ाजन पेड़ मौजूद नहीं है, कहा जाता है कि पेड़ की संपत्ति है (कभी-कभी शर्त यह है कि κ नियमित और अनगिनत है)। κ-अरोनज़ाज़न पेड़ों का अस्तित्व कनिग के लेम्मा में कहा गया है कि-अरोनज़ाज़न पेड़ मौजूद नहीं हैं। अरोन्ज़ाज़न पेड़ों (-अरोन्ज़ाज़न पेड़) का अस्तित्व नचमैन अरोन्ज़ाज़न द्वारा साबित किया गया था, और इसका तात्पर्य है कि कोनिग के लेम्मा का एनालॉग अनगिनत पेड़ों के लिए नहीं है। जेडएफसी में-एरोनज़ाज़न पेड़ों का अस्तित्व अनिश्चित हैः अधिक सटीक रूप से, निरंतरता परिकल्पना एक-एरोनज़ाज़न पेड़ के अस्तित्व का संकेत देती है, और मिशेल और सिल्वर ने दिखाया कि यह सुसंगत है (एक कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल के अस्तित्व के सापेक्ष) कि कोई-एरोनज़ाज़न पेड़ मौजूद नहीं हैं। जेनसन ने साबित किया कि V = L का तात्पर्य है कि प्रत्येक अनंत उत्तराधिकारी कार्डिनल के लिए एक κ-एरोनज़ाजन वृक्ष (वास्तव में एक κ-सुसलिन वृक्ष) है (एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हुए) कि यह सुसंगत है कि 1 के अलावा किसी भी परिमित n के लिए कोई-एरोनज़ाजन वृक्ष मौजूद नहीं है। यदि κ कमजोर रूप से सघन है तो कोई κ-Aronzajn पेड़ मौजूद नहीं है। इसके विपरीत, यदि κ दुर्गम है और कोई κ-Aronzajn पेड़ मौजूद नहीं है, तो κ कमजोर रूप से सघन है। विशेष एरोनज़ाज़्न वृक्ष एक एरोनज़ाज़्न वृक्ष को विशेष कहा जाता है यदि वृक्ष से रैशनल तक कोई फलन f होता है ताकि f (x) <f (y) जब भी x <y हो। मार्टिन के स्वयंसिद्ध एमए () का तात्पर्य है कि सभी एरोनज़ाज़्न वृक्ष विशेष हैं, एक प्रस्ताव जिसे कभी-कभी ईएटीएस द्वारा संक्षिप्त किया जाता है। मजबूत उचित दबाव स्वयंसिद्ध का तात्पर्य इस मजबूत कथन से है कि किसी भी दो आरोनज़ाज़न पेड़ों के लिए स्तरों का एक समूह समूह होता है जैसे कि इस स्तर के समूह के लिए पेड़ों के प्रतिबंध समरूप होते हैं, जो कहता है कि कुछ अर्थों में कोई भी दो आरोनज़ाज़न पेड़ अनिवार्य रूप से समरूप होते हैं। दूसरी ओर, यह सुसंगत है कि गैर-विशेष एरोन्ज़ाज़न पेड़ मौजूद हैं, और यह सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना और सुसलिन की परिकल्पना के अनुरूप भी है। एक विशेष आरोनज़ाज़न पेड़ का निर्माण एक विशेष आरोनज़ाज़न पेड़ का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। वृक्ष के तत्व सर्वोच्चता के साथ परिमेय संख्याओं के कुछ सुव्यवस्थित समूह हैं जो परिमेय या-ν हैं। यदि x और y इनमें से दो समुच्चय हैं तो हम x ≤ y (वृक्ष क्रम में) को परिभाषित करते हैं जिसका अर्थ है कि x क्रमबद्ध समुच्चय y का एक प्रारंभिक खंड है। प्रत्येक गणना योग्य क्रमिक α के लिए हम स्तर α के वृक्ष के तत्वों के लिए Uα लिखते हैं, ताकि Uα के तत्व क्रम प्रकार α के साथ तर्कसंगत के कुछ सेट हों। विशेष एरोनसजान वृक्ष T सभी गणना योग्य α के लिए समुच्चय Uα का संयोजन है। हम गणना योग्य स्तर Uα का निर्माण α पर अनंत प्रेरण द्वारा करते हैं जो खाली समुच्चय से U0 के रूप में शुरू होता हैः यदि α + 1 एक उत्तराधिकारी है तो Uα + 1 में Uα में एक अनुक्रम x के सभी विस्तार होते हैं जो सुपर x से अधिक परिमेय होते हैं। यदि α एक सीमा है तो Tα को α से कम स्तर के सभी बिंदुओं का वृक्ष होने दें। Tα में प्रत्येक x के लिए और सुपर x से बड़ी प्रत्येक परिमेय संख्या q के लिए, सर्वोच्च q के साथ x युक्त Tα की एक स्तर α शाखा चुनें। फिर Uα में ये शाखाएँ होती हैं। Uα गणना योग्य है क्योंकि इसमें Tα में गणना योग्य कई तत्वों में से प्रत्येक के लिए गिनती योग्य कई शाखाएँ होती हैं। फलन f (x) = सुपर x परिमेय या − ini है, और इसका गुण है कि यदि x <y है तो f (x) <f (y) है। टी में किसी भी शाखा को गणना योग्य माना जाता है क्योंकि एफ शाखाओं को इंजेक्टिव रूप से − ≤ और रैशनल के रूप में मैप करता है। टी अगणित है क्योंकि इसमें प्रत्येक गणना योग्य क्रमिक α के लिए एक गैर-खाली स्तर Uα है जो पहला अगणित क्रमिक बनाता है। यह साबित करता है कि टी एक विशेष एरोन्ज़ाज़न पेड़ है। इस निर्माण का उपयोग κ-Aronzajn पेड़ों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जब भी κ एक नियमित कार्डिनल का उत्तराधिकारी होता है और सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना अधिक सामान्य η सेट द्वारा परिमेय संख्याओं को प्रतिस्थापित करके होती है। यह भी देखें कुरेपा वृक्ष एरोनसजान पंक्ति संदर्भ बाहरी लिंक प्लैनेटमैथ ट्रीज (सेट सिद्धांत) स्वतंत्रता परिणाम