(2,3,7) triangle group
रीमान सतहों और हाइपरबोलिक ज्यामिति के सिद्धांत में, त्रिभुज समूह (2,3,7) विशेष रूप से हर्विट्ज़ सतहों के साथ अपने संबंध के लिए महत्वपूर्ण है, अर्थात् रीमान सतह जो अपने ऑटोमोर्फिज्म समूह के सबसे बड़े संभव क्रम, 84 (g−1) के साथ जीनस g की है। "(2,3,7) त्रिभुज समूह" शब्द अक्सर पूर्ण त्रिभुज समूह (2,3,7) (श्वार्ज त्रिभुज (2,3,7) के साथ कॉक्सेटर समूह या एक हाइपरबोलिक प्रतिबिंब समूह के रूप में एक प्राप्ति) को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि अभिविन्यास-संरक्षित मानचित्रों (घूर्णन समूह) के साधारण त्रिभुज समूह (वॉन डाइक समूह) D (2,3,7) को संदर्भित करता है, जो सूचकांक 2 है। (2,3,7) त्रिभुज समूह के मरोड़-मुक्त सामान्य उपसमूह हर्विट्ज़ सतहों से जुड़े फ्यूशियन समूह हैं, जैसे कि क्लेन क्वार्टिक, मैकबीथ सतह और फर्स्ट हर्विट्ज़ ट्रिपलेट। संरचना हाइपरबोलिक संरचना त्रिभुज समूह के निर्माण के लिए, कोण π/2, π/3 और π/7 के साथ एक हाइपरबोलिक त्रिभुज से शुरू करें। यह त्रिभुज, सबसे छोटा हाइपरबोलिक श्वार्ज त्रिभुज, अपने पक्षों में प्रतिबिंबों द्वारा तल को टाइल करता है। फिर त्रिभुज के किनारों में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह पर विचार करें, जो (त्रिभुज टाइलों के रूप में) एक गैर-यूक्लिडियन क्रिस्टलोग्राफिक समूह (हाइपरबोलिक आइसोमेट्री का एक असतत उपसमूह) है जो मौलिक डोमेन के लिए इस त्रिभुज के साथ है; संबंधित टाइलिंग क्रम-3 द्विभाजित हेप्टागोनल टाइलिंग है। (2,3,7) त्रिभुज समूह को सूचकांक 2 उपसमूहों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें अभिविन्यास-संरक्षित सममितियाँ शामिल हैं, जो एक फ्यूशियन समूह (अभिविन्यास-संरक्षित एन. ई. सी. समूह) है। समूह प्रस्तुति इसमें जनरेटरों की एक जोड़ी के संदर्भ में एक प्रस्तुति है, जी2, जी3, निम्नलिखित संबंधों को मॉड्यूलो करते हैंः ज्यामितीय रूप से, ये श्वार्ज त्रिभुज के शीर्षों द्वारा और उनके बारे में घूर्णन के अनुरूप हैं। चतुर्धातुक बीजगणित (2,3,7) त्रिकोण समूह एक चतुर्धातुक बीजगणित में एक उपयुक्त क्रम में मानक 1 के चतुर्धातुकों के समूह के संदर्भ में एक प्रस्तुति को स्वीकार करता है। अधिक विशेष रूप से, त्रिभुज समूह अपने केंद्र ±1 द्वारा चतुर्थक समूह का भागफल है। माना η = 2cos (2π/7)। फिर पहचान से हम देखते हैं कि क्यू (η) क्यू का पूरी तरह से वास्तविक घन विस्तार है। (2,3,7) हाइपरबोलिक त्रिभुज समूह चतुर्थक बीजगणित में मानक 1 तत्वों के समूह का एक उपसमूह है जो जनित्रों की जोड़ी i, j और संबंधों i2 = j2 = η, ij = −i द्वारा एक सहयोगी बीजगणित के रूप में उत्पन्न होता है। चतुर्धातुक बीजगणित में एक उपयुक्त हर्विट्ज़ चतुर्धातुक क्रम चुना जाता है। यहाँ क्रम तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जाता है वास्तव में, क्रम आधार पर एक मुक्त Z [η]-मॉड्यूल है। यहाँ जनरेटर उन संबंधों को संतुष्ट करते हैं जो केंद्र द्वारा भागफल के बाद त्रिभुज समूह में उपयुक्त संबंधों में उतरते हैं। एस. एल. (2, आर) से संबंध Q (η) से R (मानक अंतःस्थापन के माध्यम से) तक स्केलरों का विस्तार करते हुए, कोई भी वास्तविक 2 गुणा 2 मैट्रिक्स के चतुर्थक बीजगणित और बीजगणित M (2, R) के बीच एक समरूपता प्राप्त करता है। एक ठोस समरूपता का चयन एस. एल. (2, आर) में एक विशिष्ट फ्यूशियन समूह के रूप में (2,3,7) त्रिभुज समूह को प्रदर्शित करने की अनुमति देता है, विशेष रूप से मॉड्यूलर समूह के भागफल के रूप में। इसे संबंधित झुकाव द्वारा देखा जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर दर्शाया गया हैः पोइनकेयर डिस्क पर (2,3,7) टाइलिंग ऊपरी आधे तल पर मॉड्यूलर टाइलिंग का एक भाग है। कई उद्देश्यों के लिए, स्पष्ट समरूपता अनावश्यक हैं। इस प्रकार, समूह तत्वों के निशान (और इसलिए ऊपरी अर्ध-तल में कार्य करने वाले हाइपरबोलिक तत्वों की अनुवाद लंबाई के साथ-साथ फ्यूशियन उपसमूहों के सिस्टोल) की गणना चतुर्थक बीजगणित में कम निशान के माध्यम से की जा सकती है, और सूत्र संदर्भ आगे पढ़ने के लिए ज्यामितीय समूह सिद्धांत रीमान सतह हाइपरबोलिक झुकाव सिस्टोलिक ज्यामिति क्लेनियन समूह