Lagrange bracket
लैग्रेंज कोष्ठक कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं जो पॉइसन कोष्ठक से निकटता से संबंधित हैं जिन्हें शास्त्रीय यांत्रिकी के गणितीय निर्माण के उद्देश्यों के लिए जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा 1808-1810 में पेश किया गया था, लेकिन पॉइसन कोष्ठक के विपरीत, उपयोग से बाहर हो गए हैं। परिभाषा मान लीजिए कि (q1,., qn, p1,., pn) एक चरण स्थान पर विहित निर्देशांकों की एक प्रणाली है। यदि उनमें से प्रत्येक को दो चर, यू और वी के फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो यू और वी के लैग्रेंज कोष्ठक को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है गुण लैग्रेंज कोष्ठक विहित निर्देशांक (क्यू, पी) की प्रणाली पर निर्भर नहीं करते हैं। यदि (क्यू, पी) = (क्यू1,., क्यूएन, पी1,., पीएन) विहित निर्देशांकों की एक और प्रणाली है, तो यह एक विहित परिवर्तन है, तो लैग्रेंज कोष्ठक परिवर्तन का एक अपरिवर्तनीय है, इस अर्थ में कि इसलिए, विहित निर्देशांकों को दर्शाने वाली अभिलिखियों को अक्सर छोड़ दिया जाता है। यदि 2n-आयामी चरण स्थान W और u1 पर सिंप्लेक्टिक रूप है, तो u2n, W पर निर्देशांकों की एक प्रणाली बनाता है, तो सिंप्लेक्टिक रूप को लिखा जा सकता है जहां मैट्रिक्सः: के घटकों का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे निर्देशांक u में एक टेंसर के रूप में देखा जाता है। यह मैट्रिक्स निर्देशांक u के पॉइसन कोष्ठक द्वारा बनाए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है। पूर्ववर्ती गुणों के परिणाम के रूप में, एक चरण स्थान पर निर्देशांक (क्यू1,., क्यूएन, पी1,., पीएन) विहित हैं यदि और केवल तभी जब उनके बीच लैग्रेंज कोष्ठकों का रूप है। इग्लेसियस, पैट्रिक, लेस ओरिजिन्स डु कैलकुल सिम्प्लेक्टिक चेज़ लैग्रेंज [लैग्रेंज के काम में सिम्प्लेक्टिक कैलकुलस की उत्पत्ति], एल 'एनसाइन। गणित। (2) 44 (1998), सं। 3-4,257-277। बाहरी लिंक बिलिनियर मानचित्र हैमिल्टनियन यांत्रिकी