Aubry–André model
ऑब्री-आंद्रे मॉडल संघनित पदार्थ में ऊष्मागतिकीय गुणों का अध्ययन करने के लिए एक सांख्यिकीय खिलौना मॉडल है। मॉडल को आमतौर पर एंडरसन स्थानीयकरण द्वारा अनुमानित अव्यवस्थित प्रणालियों में क्वासिक्रिस्टल और संक्रमण धातु-अवरोधक का अध्ययन करने के लिए नियोजित किया जाता है। इसे पहली बार 1980 में सर्ज ऑब्री और गिल्स आंद्रे द्वारा विकसित किया गया था। टाइट-बाइंडिंग विवरण ऑब्री-आंद्रे मॉडल एक आयामी जाली पर एक आवधिक क्षमता को परिभाषित करता है जिसमें बिना किसी बातचीत के निकटतम पड़ोसी स्थलों के बीच कूदना होता है। टाइट-बाइंडिंग में, ऑब्री-आंद्रे क्षमता की ऑन-साइट ऊर्जाओं में एक आवधिकता होती है जो जाली की आवधिकता के अनुरूप नहीं होती है। विभव को इस रूप में लिखा जा सकता है, जहां योग सभी स्थलों पर जाता है, जाली स्थल पर एक वानियर अवस्था है और ऑन-साइट ऊर्जाएँ इसके द्वारा दी जाती हैं। जहाँ विकार की शक्ति है, एक चरण है और क्षमता की आवधिकता है। पूर्ण हैमिल्टनियन को इस रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ कूदना स्थिरांक है। यह हैमिल्टनियन स्व-द्वैत है क्योंकि यह एक फूरियर परिवर्तन के बाद उसी रूप को बरकरार रखता है। प्रणाली के विशेष मूल्यों के लिए स्थानीयकरण का प्रदर्शन किया जा सकता है। जहां और (सुनहरे अनुपात) के मामले के लिए, ऑब्री और आंद्रे ने दिखाया कि यदि, तो आइगेनमोड तेजी से स्थानीयकृत हैं, जैसा कि एंडरसन मॉडल में है। के लिए, आइगेनमोड विस्तारित समतल तरंगें हैं। दोनों व्यवहारों के बीच की इस सीमा को स्थानीयकरण संक्रमण या ऑब्री-आंद्रे संक्रमण कहा जाता है। परिमित श्रृंखलाओं के लिए, क्षमता की आवधिकता को अनुपात के रूप में भी चुना जा सकता है, जिसमें श्रृंखला में अभाज्य संख्या और साइटों की संख्या अधिक होती है। ऑब्री-आंद्रे मॉडल में, कार्य के रूप में ऊर्जा वर्णक्रम, लगभग मैथ्यू समीकरण द्वारा दिया जाता है, जो हार्पर समीकरण () से संबंधित है, जो हॉफस्टैडर की तितली के रूप में जाना जाने वाला एक फ्रैक्टल स्पेक्ट्रम की ओर ले जाता है, जो एक चुंबकीय क्षेत्र के तहत द्वि-आयामी जाली में एक इलेक्ट्रॉन की गति का वर्णन करता है। 2009 में अनुभव, वाई. लाहिनी और अन्य। फोटोनिक जाली में ऑब्री-आंद्रे मॉडल के पहले प्रयोगात्मक अनुभवों में से एक को प्रस्तुत किया। संघनित पदार्थ भौतिकी संदर्भ