Quasiconvexity (calculus of variations)
विविधताओं के कलन में, गणित के एक उपक्षेत्र, क्वासिकोनेक्सिटी उत्तलता की धारणा का एक सामान्यीकरण है। इसका उपयोग एक कार्यात्मक और न्यूनतम के अस्तित्व से संबंधित एकीकरण को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। कुछ प्राकृतिक परिस्थितियों में, पर्याप्त नियमित क्षेत्र के लिए, कमजोर टोपोलॉजी में एक कार्यात्मक निम्न अर्ध-निरंतर होने के लिए समाकलन की क्वासिकोवेक्सिटी एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। कॉम्पैक्टनेस आर्ग्यूमेंट्स (बनाच-अलाओग्लू थ्योरम) द्वारा कमजोर रूप से कम अर्ध-निरंतर फंक्शनल के मिनिमाइज़र का अस्तित्व तब प्रत्यक्ष विधि से हो सकता है। इस अवधारणा को 1952 में मॉरी द्वारा पेश किया गया था। इस सामान्यीकरण को क्वासीकॉन्वेक्स फलन की उसी अवधारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जिसका एक ही नाम है। परिभाषा एक स्थानीय रूप से बंधे बोरेल-मापने योग्य फलन को क्वासिकोनेक्स कहा जाता है यदि सभी के लिए, इकाई गेंद कहाँ है और अनिवार्य रूप से बंधे हुए व्युत्पन्न और लुप्त होने वाले निशान के साथ अनिवार्य रूप से बंधे हुए कार्यों का सोबोलेव स्थान है। क्वासीकॉन्वेक्स कार्यों के गुण डोमेन को किसी भी अन्य बंधे हुए लिप्सिट्ज़ डोमेन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। क्वासीकॉन्वेक्स कार्य स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़-निरंतर होते हैं। परिभाषा में स्थान को आवधिक सोबोलेव कार्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उत्तल क्वासीकॉन्वेक्सिटी की अन्य धारणाओं के साथ संबंध मैट्रिक्स पर परिभाषित कार्यों के लिए उत्तल का एक सामान्यीकरण है, ताकि इसे देखा जा सके। रीज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय में कहा गया है कि के दोहरे स्थान की पहचान उस पर हस्ताक्षरित, परिमित रेडॉन मापों के स्थान के साथ की जा सकती है। हम एक रेडॉन माप को परिभाषित करते हैं। यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह एक संभाव्यता माप है और इसका बेरिसेन्टर दिया गया है यदि एक उत्तल फलन है, तो जेन्सेन्स की असमानता यह विशेष रूप से धारण करती है यदि सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा व्युत्पन्न है। निर्धारक एक क्वासीकॉन्वेक्स फलन का एक उदाहरण है, जो उत्तल नहीं है। यह देखने के लिए कि निर्धारक उत्तल नहीं है, विचार करें कि यह तब धारण करता है लेकिन हमारे पास है। इससे पता चलता है कि निर्धारक खेल सिद्धांत की तरह एक क्वासीकॉन्वेक्स फ़ंक्शन नहीं है और इस प्रकार उत्तलता की एक अलग धारणा है। वैरिएशन के कैलकुलस के वेक्टरियल मामले में उत्तलता की अन्य धारणाएँ हैं। एक फलन के लिए यह माना जाता है कि ये सभी धारणाएँ समतुल्य हैं यदि या। पहले से ही 1952 में, मॉरी ने अनुमान लगाया कि रैंक-1-कन्वेक्सिटी का मतलब क्वासीकॉन्वेक्सिटी नहीं है। यह भिन्नताओं की गणना में एक प्रमुख अनसुलझी समस्या थी, जब तक कि स्वेरक ने 1993 में मामले के लिए एक प्रति-उदाहरण नहीं दिया और। मामला या अभी भी एक खुली समस्या है, जिसे मोरे के अनुमान के रूप में जाना जाता है। कमजोर निम्न अर्ध-निरंतरता से संबंध समाकलन की कुछ विकास स्थिति के तहत, एक उपयुक्त सोबोलेव स्थान में एक समाकलन कार्यात्मक की अनुक्रमिक कमजोर निम्न अर्ध-निरंतरता (एस. डब्ल्यू. एल. एस. सी.) समाकलन की क्वासीकॉनवेक्सिटी के बराबर होती है। एसरबी और फुस्को ने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कियाः प्रमेयः यदि कैराथियोडोरी फलन है और यह धारण करता है। फिर सोबोलेव स्पेस में कार्यात्मक एस. डब्ल्यू. एल. एस. सी. है अगर और केवल अगर क्वासिकोनेवेक्स है। यहाँ एक सकारात्मक स्थिरांक और एक समाकलनीय फलन है। अन्य लेखक विभिन्न विकास स्थितियों और विभिन्न प्रमाण स्थितियों का उपयोग करते हैं। इसका पहला प्रमाण अपने पेपर में मॉरी के कारण था, लेकिन उन्हें अतिरिक्त धारणाओं की आवश्यकता थी। संदर्भ भिन्नताओं की गणना