Semistable reduction theorem
बीजगणितीय ज्यामिति में, अर्धस्थायी अपचयन प्रमेय बताते हैं कि, एक उचित समतल आकृतिवाद को देखते हुए, एक आकृतिवाद मौजूद है (जिसे आधार परिवर्तन कहा जाता है) जो कि अर्धस्थायी है (यानी, कुछ अर्थों में विलक्षणताएं हल्की हैं)। सटीक सूत्रीकरण प्रमेय के विशिष्ट संस्करणों पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि इकाई डिस्क अंदर है, तो "अर्धस्थायी" का अर्थ है कि विशेष फाइबर सामान्य क्रॉसिंग के साथ एक भाजक है। ग्रोथेन्डिक द्वारा एबेलियन किस्मों के लिए मौलिक सेमिस्टेबल रिडक्शन थ्योरम से पता चलता है कि यदि एक असतत मूल्यांकन रिंग के अंश क्षेत्र पर एक एबेलियन किस्म है, तो एक सीमित क्षेत्र विस्तार ऐसा है जिसमें इंटीग्रल क्लोजर पर सेमिस्टेबल कमी होती है। यहाँ सेमिस्टेबिलिटी का अधिक सटीक अर्थ है कि यदि ओवर का नेरॉन मॉडल है तो बंद बिंदुओं पर फाइबर (जो हमेशा एक चिकने बीजगणितीय समूह होते हैं) टोरी द्वारा एबेलियन किस्मों के विस्तार हैं। यहाँ के चारों ओर "छोटी" डिस्क का बीजगणितीय-ज्यामितीय अनुरूप है, और प्रमेय की स्थिति अनिवार्य रूप से बताती है कि इसे एबेलियन किस्मों के एक चिकने परिवार के रूप में सोचा जा सकता है; निष्कर्ष से पता चलता है कि आधार परिवर्तन के बाद यह "परिवार" अबेलियन किस्मों तक फैलता है ताकि ऊपर के रेशे भी एबेलियन किस्मों के होने के करीब हों। बीजगणितीय वक्रों के लिए महत्वपूर्ण अर्धस्थायी अपचयन प्रमेय को सबसे पहले डिलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा साबित किया गया था। प्रमाण यह दर्शाते हुए आगे बढ़ता है कि वक्र में अर्धस्थायी कमी होती है यदि और केवल तभी जब इसकी जैकोबियन किस्म (जो एक एबेलियन किस्म है) में अर्धस्थायी कमी होती है; तब उपरोक्त एबेलियन किस्मों के लिए प्रमेय लागू होता है। द स्टैक्स प्रोजेक्ट चैप्टर 55: सेमिस्टेबल रिडक्शनः इंट्रोडक्शन, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0C2Q बीजगणितीय ज्यामिति