Yamabe invariant
गणित में, विभेदक ज्यामिति के क्षेत्र में, यामाबे अपरिवर्तनीय, जिसे सिग्मा स्थिरांक भी कहा जाता है, एक वास्तविक संख्या अपरिवर्तनीय है जो एक चिकनी मैनिफोल्ड से जुड़ी होती है जिसे डिफियोमोर्फिज्म के तहत संरक्षित किया जाता है। यह पहली बार ओ. कोबायाशी और आर. शोएन द्वारा स्वतंत्र रूप से लिखा गया था और इसका नाम एच. यामाबे से लिया गया था। आइंस्टीन के समीकरणों के लिए कम हैमिल्टनियन का अध्ययन करने के लिए विंसेंट मोनक्रीफ और आर्थर फिशर द्वारा उपयोग किया गया। परिभाषा मान लीजिए कि आयाम का एक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड (बिना सीमा के) हो। सामान्यीकृत आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्यात्मक प्रत्येक रीमानियन मीट्रिक को एक वास्तविक संख्या पर निम्नानुसार निर्दिष्ट करता हैः जहाँ की स्केलर वक्रता है और मीट्रिक से जुड़ा आयतन घनत्व है। भाजक में घातांक को चुना जाता है ताकि कार्यात्मक पैमाने-अपरिवर्तनीय होः प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक के लिए, यह संतुष्ट करता है। हम औसत स्केलर वक्रता को मापने के बारे में सोच सकते हैं। यामाबे द्वारा यह अनुमान लगाया गया था कि मेट्रिक्स के प्रत्येक अनुरूप वर्ग में निरंतर स्केलर वक्रता (तथाकथित यामाबे समस्या) का एक मीट्रिक होता है; यह यामाबे, ट्रुडिंगर, ऑबिन और शोएन द्वारा साबित किया गया था कि मेट्रिक्स के प्रत्येक अनुरूप वर्ग में न्यूनतम मूल्य प्राप्त किया जाता है, और विशेष रूप से यह न्यूनतम निरंतर स्केलर वक्रता के मीट्रिक द्वारा प्राप्त किया जाता है। हम परिभाषित करते हैं कि अनंत को सहज वास्तविक मूल्य वाले कार्यों पर कहाँ लिया जाता है। यह असीम सीमित है (नहीं): होल्डर की असमानता का तात्पर्य है। इस संख्या को कभी-कभी अनुरूप यामाबे ऊर्जा कहा जाता है (और अनुरूप वर्गों पर स्थिर होती है)। ऑबिन के कारण एक तुलना तर्क से पता चलता है कि किसी भी मीट्रिक के लिए, ऊपर से घिरा हुआ है, जहाँ-गोले पर मानक मीट्रिक है। यह इस प्रकार है कि यदि हम परिभाषित करते हैं कि सभी मेट्रिक्स पर सर्वोच्चता कहाँ ली जाती है, तो (और विशेष रूप से सीमित है)। वास्तविक संख्या को यामाबे अपरिवर्तनीय कहा जाता है। दो आयामों में यामाबे अपरिवर्तनीय इस मामले में कि, (ताकि एम एक बंद सतह है) आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्यात्मक इस प्रकार दिया जाता है कि जी की गॉस वक्रता कहाँ है। हालाँकि, गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा, गॉस वक्रता का अभिन्न इस प्रकार दिया जाता है, जहाँ एम की यूलर विशेषता है। विशेष रूप से, यह संख्या मीट्रिक के चयन पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए, सतहों के लिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि उदाहरण के लिए, 2-गोले में यामाबे अपरिवर्तनीय के बराबर है, और 2-कोरस में शून्य के बराबर यामाबे अपरिवर्तनीय है। उदाहरण 1990 के दशक के अंत में, क्लाउड लेब्रुन और उनके सहयोगियों द्वारा 4-मैनिफोल्ड के बड़े वर्गों के लिए यामाबे अपरिवर्तनीय की गणना की गई थी। विशेष रूप से, यह दिखाया गया था कि अधिकांश कॉम्पैक्ट जटिल सतहों में नकारात्मक, बिल्कुल कम्प्यूटेबल यामाबे अपरिवर्तनीय होता है, और नकारात्मक स्केलर वक्रता का कोई भी कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक आयाम 4 में यामाबे अपरिवर्तनीय को महसूस करता है। यह भी दिखाया गया था कि के यामाबे अपरिवर्तनीय को फुबिनी-अध्ययन मीट्रिक द्वारा महसूस किया जाता है, और इसलिए यह 4-क्षेत्र की तुलना में कम है। इनमें से अधिकांश तर्कों में सीबर्ग-विटन सिद्धांत शामिल है, और इसलिए आयाम 4 के लिए विशिष्ट हैं। पेटियन के कारण एक महत्वपूर्ण परिणाम बताता है कि यदि बस जुड़ा हुआ है और इसका आयाम है, तो। पेरेलमैन के पोइनकेयर अनुमान के समाधान के आलोक में, यह इस प्रकार है कि एक सरल रूप से जुड़े-मैनिफोल्ड में केवल नकारात्मक यामाबे अपरिवर्तनीय हो सकता है यदि। दूसरी ओर, जैसा कि पहले ही संकेत दिया जा चुका है, बस जुड़े हुए-मैनिफोल्ड्स में वास्तव में अक्सर नकारात्मक यामाबे अपरिवर्तनीय होते हैं। नीचे ज्ञात यामाबे अपरिवर्तनीय के साथ आयाम तीन के कुछ चिकने मैनिफोल्ड्स की एक तालिका दी गई है। आयाम 3 में, संख्या बराबर होती है और अक्सर इसे दर्शाया जाता है। एंडरसन के कारण एक तर्क से, रिक्की प्रवाह पर पेरेलमैन के परिणामों का संकेत है कि किसी भी हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड पर स्थिर-वक्रता मीट्रिक यामाबे अपरिवर्तनीय को महसूस करता है। यह हमें 3-मैनिफोल्ड के असीम रूप से कई उदाहरण प्रदान करता है जिनके लिए अपरिवर्तनीय नकारात्मक और बिल्कुल संगणनीय दोनों है। स्थलवैज्ञानिक महत्व के यामाबे अपरिवर्तनीय का संकेत महत्वपूर्ण स्थलवैज्ञानिक जानकारी रखता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक है यदि और केवल तभी जब सकारात्मक स्केलर वक्रता का एक मीट्रिक स्वीकार किया जाए। इस तथ्य का महत्व यह है कि सकारात्मक स्केलर वक्रता के मेट्रिक्स के साथ मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी के बारे में बहुत कुछ जाना जाता है। यामाबे प्रवाह यामाबे समस्या ओबाटा की प्रमेय नोट्स संदर्भ एम. टी. भी देखें। एंडरसन, "कैनोनिकल मेट्रिक्स ऑन 3-मैनिफोल्ड्स एंड 4-मैनिफोल्ड्स", एशियन जे। गणित। 10 127-163 (2006)। के. अकुतागावा, एम. इशिदा, और सी. लेब्रुन, "पेरेलमैन का अपरिवर्तनीय, रिक्की प्रवाह, और चिकनी मैनिफोल्ड्स के यामाबे अपरिवर्तनीय", आर्क। गणित। 88, 71-76 (2007)। एच. ब्रे और ए. नेवेस, "यामाबे अपरिवर्तनीय के साथ अभाज्य 3-मैनिफोल्ड का वर्गीकरण", एन। गणित से। 159, 407-424 (2004)। एम. जे. गुर्स्की और सी. लेब्रुन, "यामाबे अपरिवर्तनीय और संरचनाएँ", जियोम। कार्यात्मक। गुदा। 8965-977 (1998)। ओ. कोबयाशी, "इकाई आयतन के साथ एक मीट्रिक की स्केलर वक्रता", गणित। एन. 279, 253-265,1987। सी. लेब्रुन, "आइंस्टीन मेट्रिक्स के बिना चार-मैनिफोल्ड", गणित। रेस. चलो। 3 133-147 (1996)। सी. लेब्रुन, "कोडाइरा आयाम और यामाबे समस्या", कॉम। गुदा। जियोम। 7 133-156 (1999)। जे. पेटियन, "द यामाबे इनवेरिएंट ऑफ सिम्पली कनेक्टेड मैनिफोल्ड्स", जे. रेइन एंज्यू। गणित। 523 225-231 (2000)। आर. शोएन, "रीमानियन मेट्रिक्स और संबंधित विषयों के लिए कुल स्केलर वक्रता कार्यात्मक के लिए परिवर्तनशील सिद्धांत", विविधताओं के कलन में विषय, व्याख्यान। नोट्स गणित। 1365, स्प्रिंगर, बर्लिन, 120-154,1989। विभेदक ज्यामिति विभेदक स्थलविज्ञान