McVittie metric
सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में, मैकविटी मीट्रिक आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों का सटीक समाधान है जो एक ब्लैक होल या विशाल वस्तु का वर्णन करता है जो एक विस्तारित ब्रह्मांड संबंधी अंतरिक्ष काल में डूबा हुआ है। समाधान पहली बार 1930 के दशक में जॉर्ज मैकविटी द्वारा पूरी तरह से प्राप्त किया गया था, जब एक द्रव्यमान कण पर ब्रह्मांड के विस्तार के प्रभाव की जांच की गई थी, जो तब हाल ही में खोजा गया था। एक ब्रह्मांड संबंधी स्थिर पद के साथ सामान्य सापेक्षता के क्षेत्र समीकरणों के लिए एक गोलाकार सममित समाधान का सबसे सरल मामला, श्वार्जस्चिल्ड-डी सिटर स्पेसटाइम, मैकविटी मीट्रिक के एक विशिष्ट मामले के रूप में उत्पन्न होता है, जिसमें सकारात्मक 3-स्पेस स्केलर वक्रता और स्थिर हबल पैरामीटर होता है। समस्थानिक निर्देशांकों में, मैकविटी मीट्रिक इस प्रकार दिया जाता है कि यूक्लिडियन गोले के लिए सामान्य रेखा तत्व कहाँ है, एम को विशाल वस्तु के द्रव्यमान के रूप में पहचाना जाता है, एफएलआरडब्ल्यू मीट्रिक में पाया जाने वाला सामान्य पैमाने का कारक है, जो अंतरिक्ष-समय के विस्तार के लिए जिम्मेदार है; और 3-स्थान की स्केलर वक्रता से संबंधित एक वक्रता पैरामीटर है जो 3-स्थान की वक्रता से ठीक उसी तरह संबंधित है जैसे एफएलआरडब्ल्यू स्पेसटाइम में है। आम तौर पर यह माना जाता है कि अन्यथा ब्रह्मांड एक संकुचन से गुजर रहा है। समय-निर्भर द्रव्यमान पैरामीटर को परिभाषित किया जा सकता है, जो अधिक संक्षिप्त तरीके से मीट्रिक लिखने के लिए समय पर विस्तारित, गतिशील त्रिज्या के अंदर द्रव्यमान घनत्व के लिए जिम्मेदार है कारण संरचना और विलक्षणताएँ यहाँ से, परिभाषित करना उपयोगी है। मैकविटी मेट्रिक्स के लिए सामान्य विस्तार करने वाले एफएलआरडब्ल्यू समाधान गुणों के साथ और, स्पेसटाइम में कम से कम दो विलक्षणताओं को शामिल करने का गुण है। एक समीकरण के सबसे छोटे सकारात्मक मूल पर एक ब्रह्मांड संबंधी, शून्य जैसी नग्न विलक्षणता है। इसकी व्याख्या ब्लैक होल घटना-क्षितिज के रूप में की जाती है। इस मामले के लिए, एक घटना क्षितिज है, लेकिन कोई विलक्षणता नहीं है, जो अंतरिक्ष काल के एक स्पर्शोन्मुख श्वार्जस्चिल्ड-डी सिटर चरण के अस्तित्व से समाप्त हो जाती है। दूसरी विलक्षणता अंतरिक्ष-काल में सभी घटनाओं के कारण अतीत में निहित है, और एक अंतरिक्ष-समय विलक्षणता है, जो अपनी कारणात्मक अतीत प्रकृति के कारण, सामान्य बिग-बैंग की तरह विलक्षणता के रूप में व्याख्या की जाती है। कम से कम दो घटना क्षितिज भी हैंः एक सबसे बड़े समाधान पर, और अंतरिक्ष की तरह, सीमित पिछले समय में बिग-बैंग विलक्षणता की रक्षा करना; और एक समीकरण के सबसे छोटे मूल पर, सीमित समय पर भी। दूसरा घटना क्षितिज मामले के लिए एक ब्लैक होल क्षितिज बन जाता है। श्वार्जस्चिल्ड और एफ. एल. आर. डब्ल्यू. सीमाएँ मैकविट्टी मीट्रिक से श्वार्जस्चिल्ड और रॉबर्टसन-वॉकर मेट्रिक्स को क्रमशः और की सटीक सीमाओं में प्राप्त किया जा सकता है। एक विस्तारित ब्रह्मांड में एक द्रव्यमान कण के व्यवहार का वर्णन करने की कोशिश में, मैकविटी का मूल पेपर एक ब्लैक होल स्पेसटाइम है जिसमें आसपास के ब्रह्मांड संबंधी स्पेसटाइम के विस्तार के लिए श्वार्सचाइल्ड त्रिज्या कम हो रही है। हालांकि, एक छोटे द्रव्यमान पैरामीटर की सीमा में, न्यूटनियन विक्षोभ के साथ एक विचलित एफएलआरडब्ल्यू स्पेसटाइम की व्याख्या भी की जा सकती है। नीचे हम वर्णन करते हैं कि मैकविट्टी मीट्रिक से श्वार्जस्चिल्ड और एफएलआरडब्ल्यू स्पेसटाइम के बीच इन समानताओं को कैसे प्राप्त किया जाए। एक सपाट 3-स्थान के मामले में, अदिश वक्रता स्थिरांक के साथ, मीट्रिक (1) बन जाता है जो, ब्रह्मांडीय समय के प्रत्येक क्षण के लिए, श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या के साथ समस्थानिक निर्देशांक में श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल के बाहर के क्षेत्र का मीट्रिक है। इस समतुल्यता को और अधिक स्पष्ट बनाने के लिए, कोई भी श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक में मीट्रिक प्राप्त करने के लिए रेडियल चर का परिवर्तन कर सकता हैः मीट्रिक के इस रूप की दिलचस्प विशेषता यह है कि कोई स्पष्ट रूप से देख सकता है कि श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या, जो यह निर्धारित करती है कि विशाल पिंड के केंद्र से किस दूरी पर घटना क्षितिज बनता है, ब्रह्मांड के विस्तार के साथ सिकुड़ता जाता है। एक गतिमान पर्यवेक्षक के लिए, जो हबल प्रवाह के साथ होता है, यह प्रभाव बोधगम्य नहीं है, क्योंकि इसका रेडियल निर्देशांक इस प्रकार दिया जाता है, कि गतिमान पर्यवेक्षक के लिए, स्थिर है, और घटना क्षितिज स्थिर रहेगा। एफ. एल. आर. डब्ल्यू. लुप्त होते द्रव्यमान पैरामीटर के मामले में, मैकविट्टी मीट्रिक गोलाकार निर्देशांक में बिल्कुल एफ. एल. आर. डब्ल्यू. मीट्रिक बन जाता है जो पैमाने के कारक के विकास के लिए सटीक फ्रीडमैन समीकरणों की ओर ले जाता है। यदि कोई द्रव्यमान पैरामीटर की सीमा लेता है, तो मीट्रिक (1) बन जाता है जिसे न्यूटोनियन गेज में पर्टर्बेशन क्षमता के साथ एक पर्टर्बर्ड एफएलआरडब्ल्यू स्पेसटाइम में मैप किया जा सकता है; यानी, कोई भी केंद्रीय वस्तु के छोटे द्रव्यमान को एफएलआरडब्ल्यू मीट्रिक में पर्टर्बेशन के रूप में समझ सकता है। कॉस्मोलॉजी सिंगुलरिटी थ्योरम संदर्भ सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान सामान्य सापेक्षता में स्पेसटाइम गणितीय तरीके लॉरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड्स भी देखें।