Hyperfinite equivalence relation
वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक मानक बोरेल स्थान X पर एक अति-अनंत समतुल्यता संबंध गणना योग्य वर्गों के साथ एक बोरेल समतुल्यता संबंध E है, जिसे एक निश्चित अर्थ में, बोरेल समतुल्यता संबंधों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जिनमें सीमित वर्ग हैं। परिभाषा परिभाषा 1. मान लीजिए कि X एक मानक बोरेल स्थान है, अर्थात; यह एक मापने योग्य स्थान है जो एक पोलिश स्थान X को बोरेल उपसमुच्चय के अपने σ-बीजगणित से लैस करके (और टोपोलॉजी को भूलकर) उत्पन्न होता है। मान लीजिए कि E, X पर एक समतुल्यता संबंध है। हम कहेंगे कि ई बोरेल है यदि ई अपने साथ एक्स के कार्टेशियन उत्पाद का एक बोरेल उपसमुच्चय है, जब उत्पाद σ-बीजगणित से सुसज्जित है। हम कहेंगे कि E परिमित है (क्रमशः, गणना योग्य) यदि E में परिमित (क्रमशः, गणना योग्य) वर्ग हैं। उपरोक्त नाम भ्रामक हो सकते हैं, क्योंकि यदि X एक अगणित मानक बोरेल स्थान है, तो समतुल्यता संबंध अगणित होगा जब X से क्रमबद्ध जोड़े के एक समूह के रूप में माना जाएगा। परिभाषा 2. मान लीजिए कि E एक मानक बोरेल स्थान X पर एक गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध है। हम कहेंगे कि E अतिपरिमित है यदि X पर परिमित बोरेल समतुल्यता संबंधों का एक बढ़ता क्रम है। अंतर्ज्ञानी रूप से, इसका मतलब है कि X पर एक अनुक्रम परिमित समतुल्यता संबंध है, प्रत्येक अपने पूर्ववर्तियों की तुलना में बेहतर है, जो मनमाने ढंग से E का अनुमान लगाता है। चर्चा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र बोरेल समतुल्यता संबंधों का वर्गीकरण है, और विशेष रूप से वे जो गणना योग्य हैं। इनमें से, परिमित समतुल्यता संबंधों को सबसे सरल माना जाता है (उदाहरण के लिए, वे बोरेल पारगमन को स्वीकार करते हैं)। इसलिए, यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या कुछ तुल्यता संबंध, जो आवश्यक रूप से परिमित नहीं हैं, को परिमित तुल्यता संबंधों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह एक ऐसी धारणा है जो गणित में दिखाई देने वाले कई प्राकृतिक समानता संबंधों को समाहित करने के लिए पर्याप्त समृद्ध है, फिर भी गहरी प्रमेयों को विकसित करने की अनुमति देने के लिए पर्याप्त प्रतिबंधात्मक है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि किसी भी गणना योग्य समतुल्यता संबंध E को सीमित समतुल्यता संबंधों के बढ़ते संघ के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह प्रत्येक वर्ग को आकार दो के वर्गों में विभाजित करके किया जा सकता है, फिर आकार चार के वर्गों के साथ एक विभाजन बनाने के लिए नए समतुल्यता संबंध में दो वर्गों को जोड़ा जा सकता है जो एक ही ई-वर्ग के भीतर हैं। प्रमुख अवलोकन यह है कि इस प्रक्रिया के लिए सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की आवश्यकता होती है, और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि यह प्रक्रिया बोरेल सन्निकटन उत्पन्न करती है। वास्तव में, ऐसे गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध हैं जो अतिसंवेदनशील नहीं हैं, और इसलिए विशेष रूप से ऊपर वर्णित प्रक्रिया बोरेल समतुल्यता संबंध उत्पन्न करने में विफल रहेगी जो बड़े समतुल्यता संबंध का अनुमान लगाती है। उदाहरण और गैर-उदाहरण कोई भी परिमित बोरेल समतुल्यता संबंध अति-परिमित है। वास्तव में, यह अपने आप में एक सीमित अनुमान है। एक अति-परिमित समतुल्यता संबंध का एक उप-समतुल्यता संबंध अति-परिमित है। मान लीजिए कि जी एक स्थानीय रूप से सीमित समूह है जो एक मानक बोरेल स्पेस एक्स पर बोरेल-मापनीय रूप से कार्य कर रहा है। फिर परिमित उपसमूहों में एक निस्पंदन स्वाभाविक रूप से X पर G की क्रिया के कक्षीय समतुल्यता संबंध के परिमित बोरेल समतुल्यता संबंधों में निस्पंदन को जन्म देता है, जिससे इसकी अतिपरिमितता साबित होती है। यदि ई एक गणना योग्य समतुल्यता संबंध है और अति अनंत और परिमित सूचकांक का है (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक ई-वर्ग में परिमित रूप से कई ई '-वर्ग होते हैं), तो ई अति अनंत है। कोई भी गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध जो एक बोरेल अनुप्रस्थ को स्वीकार करता है वह अति-अनंत है; इसे फेल्डमैन-मूर प्रमेय के एक सरल अनुप्रयोग द्वारा दिखाया जा सकता है। एक मानक बोरेल स्थान पर पूर्णांकों की कोई भी बोरेल क्रिया एक अति-अनंत कक्षा समतुल्यता संबंध उत्पन्न करती है (याद रखें कि एक मानक बोरेल स्थान X पर एक गणना योग्य समूह G की बोरेल क्रिया एक बोरेल-मापने योग्य क्रिया है, जहां G अपने सभी उपसमुच्चय के σ-बीजगणित से सुसज्जित है)। इसके अलावा, यह पता चला है कि कोई भी अतिपरिमित समतुल्यता संबंध पूर्णांकों की कुछ बोरेल कार्रवाई द्वारा उत्पन्न कक्षा समतुल्यता संबंध के बराबर है, जिससे यह अतिपरिमितता के लिए एक समतुल्य परिभाषा है जो अक्सर अधिक सुलभ होती है। अधिक आम तौर पर, एक मानक बोरेल अंतरिक्ष पर एक गणना योग्य अबेलियन समूह की कोई भी बोरेल क्रिया एक अति-परिमित कक्षा समतुल्यता संबंध को प्रेरित करती है। यदि एफ एक मानक बोरेल स्थान एक्स पर एक गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध है, तो ई एक मानक बोरेल स्थान वाई पर एक अतिपरिमित समतुल्यता संबंध है और एफ से ई की बोरेल कमी है, तो एफ अतिपरिमित है (याद रखें कि ऊपर की तरह जब भी यह संतुष्ट होता है तो बोरेल की कमी होती है)। ध्यान दें कि यदि हम एफ के गणना योग्य होने की धारणा को हटा देते हैं तो उपरोक्त मान्य नहीं है; प्रत्येक दो बिंदुओं की पहचान करने वाली वास्तविक रेखा पर समतुल्यता संबंध बोरेल है और इसे किसी भी अन्य बोरेल समतुल्यता संबंध में कम किया जा सकता है, और विशेष रूप से किसी भी हाइपरफाइनाइट बोरेल समतुल्यता संबंध के लिए, लेकिन इसका एक अनगिनत वर्ग है, इसलिए यह हाइपरफाइनाइट नहीं हो सकता है। एक मानक बोरेल स्थान पर बहुपद वृद्धि के साथ एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह की कोई भी बोरेल क्रिया एक अति-परिमित कक्षा समतुल्यता संबंध को प्रेरित करती है। अपनी ग्रोमोव सीमा पर एक परिमित रूप से उत्पन्न हाइपरबोलिक समूह की क्रिया हाइपरफाइनाइट है। किसी भी गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध को एक कमैगर सेट तक सीमित किया जा सकता है जिस पर यह हाइपरफाइनाइट है। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि कोई समकक्षता वर्गों के एक संग्रह को हटा सकता है जो अल्प है, और यह प्राप्त कर सकता है कि शेष स्थान पर समकक्षता संबंध अतिपरिमित है। कोई भी समूह जो उत्तरदायी नहीं है, एक मानक बोरेल स्थान पर एक बोरेल कार्रवाई को स्वीकार करता है जो एक समतुल्यता संबंध को प्रेरित करता है जो अतिसंवेदनशील नहीं है। स्थानांतरण मानचित्रों द्वारा अंतरिक्ष पर दो जनरेटरों पर मुक्त समूह की क्रिया अति-परिमित नहीं है। इस तथ्य को अक्सर बनाच-टार्स्की विरोधाभास का एक संयुक्त रूप माना जाता है। खुली समस्याएं वीस का अनुमान उपरोक्त उदाहरणों से संकेत मिलता है कि गणना योग्य समूहों की बोरेल क्रियाएँ अति-परिमित समतुल्यता संबंधों को प्रेरित करती हैं। वीस ने अनुमान लगाया कि एक मानक बोरेल अंतरिक्ष पर एक गणना योग्य समूह की कोई भी बोरेल क्रिया एक अति-अनंत कक्षा समतुल्यता संबंध को प्रेरित करती है। हालांकि यह अभी भी एक खुली समस्या है, कुछ आंशिक परिणाम ज्ञात हैं। संघ समस्या इस क्षेत्र में एक और खुली समस्या यह है कि क्या हाइपरफाइनाइट समतुल्यता संबंधों का एक गणना योग्य बढ़ता संघ हाइपरफाइनाइट है। इसे अक्सर संघ समस्या के रूप में जाना जाता है। कुछ स्थितियों में, यह ज्ञात है कि अति-अनंत समतुल्यता संबंधों का एक गणना योग्य बढ़ता संघ अति-अनंत है। उदाहरण के लिए, यदि समतुल्यता संबंधों के संघ में एक गुण है जिसे "बोरेल-सीमा" के रूप में जाना जाता है (जिसका मोटे तौर पर अर्थ है कि अंतरिक्ष पर बिंदुओं के लिए कार्यों के किसी भी बोरेल असाइनमेंट को इस तरह के बोरेल असाइनमेंट द्वारा "अंततः बाध्य" किया जा सकता है जो समतुल्यता वर्गों पर स्थिर है), तो यह हाइपरफाइनाइट है। हालाँकि, यह अज्ञात है कि ऐसा प्रत्येक संघ इस संपत्ति को संतुष्ट करता है या नहीं। माप-सैद्धांतिक परिणाम इस धारणा के तहत कि अंतर्निहित स्थान X एक बोरेल संभाव्यता माप μ से सुसज्जित है और कोई भी माप शून्य के सेट को हटाने के लिए तैयार है, सिद्धांत को बहुत बेहतर ढंग से समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि समतुल्यता संबंध एक गणना योग्य अनुकूल समूह की बोरेल कार्रवाई से उत्पन्न होता है, तो परिणामी कक्षा समतुल्यता संबंध "μ-अतिसूक्ष्म" है, जिसका अर्थ है कि यह पूर्ण माप के स्थान के सबसेट पर अतिसूक्ष्म है (यह ध्यान देने योग्य है कि कार्रवाई को माप-संरक्षण, या यहां तक कि अर्ध-माप संरक्षण की आवश्यकता नहीं है)। चूंकि एक मानक गैर-परमाणु बोरेल संभाव्यता स्थान (एक्स,) पर प्रत्येक गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध ई जो एक बोरेल पारगमन को स्वीकार करता है, पूर्ण माप के सबसेट पर एक सीमित समतुल्यता संबंध है (यह अनिवार्य रूप से फेल्डमैन-मूर है, जो विटाली के तर्क के साथ वास्तविक रेखा के सभी सबसेटों के बीजगणित पर एक गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय माप के अस्तित्व के अपने शास्त्रीय प्रमाण में है), उपरोक्त हमें दिखाता है कि समतुल्यता संबंधों के विपरीत जो पारगमन को स्वीकार करते हैं, समूह क्रियाओं के कई उदाहरण जो एर्गोडिक सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं, हाइपरफाइनाइट ऑर्बिट समतुल्यता संबंधों को जन्म देते हैं (विशेष रूप से जब भी अंतर्निहित स्थान एक मानक बोरेल स्पेस होता है)। इसी तरह, इस तरह के स्थान पर हाइपरफाइनाइट समतुल्यता संबंधों का एक गणना योग्य बढ़ता संघ भी μ "-हाइपरफाइनाइट है। हाइपरफाइनाइट प्रकार II कारक बोरेल समतुल्यता संबंध टिप्पणियाँ संदर्भ वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत समतुल्यता (गणित) भी देखें।