Homoscedasticity and heteroscedasticity
सांख्यिकी में, यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम (या एक वेक्टर) समस्थानिक () होता है यदि इसके सभी यादृच्छिक चरों में समान परिमित भिन्नता होती है; इसे भिन्नता की एकरूपता के रूप में भी जाना जाता है। पूरक धारणा को विजातीयता कहा जाता है, जिसे भिन्नता की विजातीयता के रूप में भी जाना जाता है। वर्तनी होमोस्केडास्टिसिटी और हेटेरोस्केडास्टिसिटी का भी अक्सर उपयोग किया जाता है। एक चर को होमोसेडास्टिक मानते हुए जब वास्तव में यह हेटेरोसेडास्टिक () होता है तो इसके परिणामस्वरूप निष्पक्ष लेकिन अक्षम बिंदु अनुमान और मानक त्रुटियों के पक्षपाती अनुमान होते हैं, और इसके परिणामस्वरूप पियर्सन गुणांक द्वारा मापा गया फिट की अच्छाई को अधिक महत्व दिया जा सकता है। प्रतिगमन विश्लेषण और विचरण के विश्लेषण में विषमलैंगिकता का अस्तित्व एक प्रमुख चिंता का विषय है, क्योंकि यह महत्व के सांख्यिकीय परीक्षणों को अमान्य करता है जो यह मानते हैं कि मॉडलिंग त्रुटियों में सभी में समान विचरण है। जबकि सामान्य न्यूनतम वर्ग प्राक्कलनकर्ता अभी भी हेटेरोस्केडास्टिसिटी की उपस्थिति में निष्पक्ष है, यह अक्षम है और होमोस्केडास्टिसिटी की धारणा पर आधारित अनुमान भ्रामक है। उस मामले में, सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग (जी. एल. एस.) का उपयोग अतीत में अक्सर किया जाता था। आजकल, अर्थशास्त्र में मानक अभ्यास जी. एल. एस. का उपयोग करने के बजाय हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों को शामिल करना है, क्योंकि जी. एल. एस. छोटे नमूनों में मजबूत पूर्वाग्रह प्रदर्शित कर सकता है यदि वास्तविक स्केडास्टिक कार्य अज्ञात है। क्योंकि विषमलैंगिकता त्रुटियों के दूसरे क्षण की अपेक्षाओं से संबंधित है, इसकी उपस्थिति को दूसरे क्रम की गलत व्याख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है। अर्थशास्त्री रॉबर्ट एंगल को हेटेरोस्केडास्टिसिटी की उपस्थिति में प्रतिगमन विश्लेषण पर उनके अध्ययन के लिए अर्थशास्त्र के लिए 2003 के नोबेल मेमोरियल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, जिसके कारण उन्होंने ऑटोरेग्रेसिव सशर्त हेटेरोस्केडास्टिसिटी (एआरसीएच) मॉडलिंग तकनीक का निर्माण किया। परिभाषा रैखिक प्रतिगमन समीकरण पर विचार करें जहाँ आश्रित यादृच्छिक चर नियतात्मक चर गुणा गुणांक के साथ एक यादृच्छिक विक्षोभ शब्द के बराबर होता है जिसका माध्य शून्य होता है। विक्षोभ समस्थानिक होते हैं यदि का विचरण स्थिर होता है; अन्यथा, वे विषमस्थानिक होते हैं। विशेष रूप से, विक्षोभ विषमलैंगिक होते हैं यदि का भिन्नता के मूल्य पर या उस पर निर्भर करती है। एक तरीका है कि वे विषमलैंगिक हो सकते हैं (एक स्केडास्टिक फ़ंक्शन का एक उदाहरण), इसलिए विचरण के मूल्य के समानुपाती है। अधिक आम तौर पर, यदि विक्षोभ के विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स में एक गैर-स्थिर विकर्ण है, तो विक्षोभ विषमलैंगिक है। नीचे दिए गए मैट्रिक्स सहपरिवर्तन हैं जब समय के साथ केवल तीन अवलोकन होते हैं। मैट्रिक्स ए में विक्षोभ समस्थानिक है; यह सरल मामला है जहाँ ओ. एल. एस. सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमानक है। मैट्रिक्स बी और सी में व्यवधान विषमलैंगिक हैं। मैट्रिक्स बी में, भिन्नता समय के साथ बदलती रहती है, जो समय के साथ लगातार बढ़ती रहती है; मैट्रिक्स सी में, भिन्नता के मूल्य पर निर्भर करती है। मैट्रिक्स डी में विक्षोभ समस्थानिक है क्योंकि विकर्ण विचरण स्थिर होते हैं, भले ही विकर्ण सहप्रसरण गैर-शून्य हों और साधारण न्यूनतम वर्ग एक अलग कारण से अक्षम होंः क्रमिक सहसंबंध। उदाहरण हेटेरोस्केडास्टिसिटी अक्सर तब होती है जब टिप्पणियों के आकारों के बीच एक बड़ा अंतर होता है। विषमलैंगिकता का एक उत्कृष्ट उदाहरण आय बनाम भोजन पर व्यय है। एक धनी व्यक्ति कभी सस्ता भोजन और कभी महंगा भोजन खा सकता है। एक गरीब व्यक्ति लगभग हमेशा सस्ता भोजन खाएगा। इसलिए, उच्च आय वाले लोग भोजन पर खर्च में अधिक परिवर्तनशीलता प्रदर्शित करते हैं। एक रॉकेट प्रक्षेपण में, एक पर्यवेक्षक प्रति सेकंड एक बार रॉकेट द्वारा तय की गई दूरी को मापता है। पहले कुछ सेकंड में, माप निकटतम सेंटीमीटर तक सटीक हो सकते हैं। पाँच मिनट के बाद, बढ़ती दूरी, वायुमंडलीय विरूपण और कई अन्य कारकों के कारण माप की सटीकता केवल 100 मीटर तक ही हो सकती है। इसलिए दूरी के माप विषमलैंगिकता प्रदर्शित कर सकते हैं। परिणाम शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल की मान्यताओं में से एक यह है कि कोई विषमलैंगिकता नहीं है। इस धारणा को तोड़ने का मतलब है कि गॉस-मार्कोव प्रमेय लागू नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि ओ. एल. एस. अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (बी. एल. यू. ई.) नहीं हैं और उनका भिन्नता अन्य सभी निष्पक्ष अनुमानकों में सबसे कम नहीं है। हेटेरोस्केडास्टिसिटी साधारण न्यूनतम वर्ग गुणांक अनुमानों को पक्षपाती नहीं बनाती है, हालांकि यह गुणांकों के विचलन (और इस प्रकार, मानक त्रुटियों) के सामान्य न्यूनतम वर्ग अनुमानों को पक्षपाती होने का कारण बन सकता है, संभवतः जनसंख्या विचलन के सत्य से ऊपर या नीचे। इस प्रकार, हेटेरोस्केडास्टिक डेटा का उपयोग करके प्रतिगमन विश्लेषण अभी भी भविष्यवक्ता चर और परिणाम के बीच संबंध के लिए एक निष्पक्ष अनुमान प्रदान करेगा, लेकिन मानक त्रुटियां और इसलिए डेटा विश्लेषण से प्राप्त निष्कर्ष संदिग्ध हैं। पक्षपाती मानक त्रुटियाँ पक्षपाती अनुमान लगाती हैं, इसलिए परिकल्पना परीक्षणों के परिणाम संभवतः गलत होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि ओ. एल. एस. को हेटेरोस्केडास्टिक डेटा सेट पर किया जाता है, जो पक्षपाती मानक त्रुटि अनुमान देता है, तो एक शोधकर्ता किसी दिए गए महत्व स्तर पर एक शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल हो सकता है, जब वह शून्य परिकल्पना वास्तव में वास्तविक जनसंख्या (एक प्रकार II त्रुटि बनाते हुए) की अस्वाभाविक थी। कुछ मान्यताओं के तहत, ओ. एल. एस. अनुमानक में एक सामान्य एसिम्प्टोटिक वितरण होता है जब ठीक से सामान्यीकृत और केंद्रित होता है (तब भी जब डेटा सामान्य वितरण से नहीं आता है)। इस परिणाम का उपयोग एक परिकल्पना परीक्षण का संचालन करते समय एक सामान्य वितरण, या एक ची वर्ग वितरण (इस बात पर निर्भर करता है कि परीक्षण सांख्यिकी की गणना कैसे की जाती है) का उपयोग करने के लिए किया जाता है। यह हेटेरोस्केडास्टिसिटी के तहत भी लागू होता है। अधिक सटीक रूप से, विषमलैंगिकता की उपस्थिति में ओ. एल. एस. अनुमानक लक्षणहीन रूप से सामान्य होता है, जब ठीक से सामान्यीकृत और केंद्रित होता है, एक विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ जो समलैंगिकता के मामले से अलग होता है। 1980 में, व्हाइट ने ओ. एल. एस. अनुमानक के असिम्प्टोटिक वितरण के विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए एक सुसंगत अनुमानक का प्रस्ताव रखा। यह हेटेरोस्केडास्टिसिटी के तहत ओएलएस अनुमानक और व्हाइट के विचरण-सहप्रसरण अनुमानक का उपयोग करके परिकल्पना परीक्षण के उपयोग को मान्य करता है। ए. एन. ओ. वी. ए. समस्याओं में हेटेरोस्केडास्टिसिटी भी एक प्रमुख व्यावहारिक समस्या है। एफ परीक्षण का उपयोग अभी भी कुछ परिस्थितियों में किया जा सकता है। हालांकि, यह कहा गया है कि अर्थशास्त्र में छात्रों को विषमलैंगिकता के प्रति अधिक प्रतिक्रिया नहीं करनी चाहिए। एक लेखक ने लिखा, "असमान त्रुटि भिन्नता को तभी ठीक किया जा सकता है जब समस्या गंभीर हो।" इसके अलावा, सावधानी का एक और शब्द इस रूप में था, "विषमलैंगिकता कभी भी एक अन्यथा अच्छे मॉडल को बाहर फेंकने का कारण नहीं रही है।" हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों के आगमन के साथ, त्रुटि अवधि के सशर्त दूसरे क्षण को निर्दिष्ट किए बिना अनुमान लगाने की अनुमति देते हुए, सशर्त होमोस्केडास्टिसिटी का परीक्षण अतीत की तरह महत्वपूर्ण नहीं है। हालाँकि, किसी भी गैर-रैखिक मॉडल (उदाहरण के लिए लॉजिट और प्रोबिट मॉडल) के लिए, विषमलैंगिकता के अधिक गंभीर परिणाम होते हैंः मापदंडों के अधिकतम संभावना अनुमान (एम. एल. ई.) आमतौर पर पक्षपाती और साथ ही असंगत होंगे (जब तक कि संभावना कार्य को विषमलैंगिकता के सटीक रूप को सही ढंग से ध्यान में रखने के लिए संशोधित नहीं किया जाता है या वितरण रैखिक घातीय परिवार का सदस्य है और सशर्त अपेक्षा कार्य सही ढंग से निर्दिष्ट किया जाता है)। फिर भी, द्विआधारी विकल्प मॉडल (लॉजिट या प्रोबिट) के संदर्भ में, हेटेरोस्केडास्टिसिटी का परिणाम केवल गलत निर्दिष्ट एम. एल. ई. के एसिम्प्टोटिक माध्य पर एक सकारात्मक स्केलिंग प्रभाव में होगा। मॉडल जो विषमलैंगिकता को अनदेखा करता है)। नतीजतन, गलत निर्दिष्ट एम. एल. ई. पर आधारित भविष्यवाणियां सही रहेंगी। इसके अलावा, गलत निर्दिष्ट प्रोबिट और लॉजिट एम. एल. ई. को एसिम्प्टोटिक रूप से सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा जो सामान्य महत्व परीक्षण (उपयुक्त प्रसरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ) करने की अनुमति देता है। हालांकि, सामान्य परिकल्पना परीक्षण के संबंध में, जैसा कि ग्रीन द्वारा बताया गया है, "केवल एक अन्यथा असंगत अनुमानक के लिए एक मजबूत सहप्रसरण मैट्रिक्स की गणना करने से इसे मुक्ति नहीं मिलती है। नतीजतन, इस सेटिंग में एक मजबूत सहप्रसरण मैट्रिक्स का गुण स्पष्ट नहीं है। "सुधार हेटेरोस्केडास्टिसिटी के लिए कई सामान्य सुधार हैं। वे हैंः डेटा का एक स्थिर परिवर्तन, उदाहरण के लिए। लॉगरिथमाइज्ड डेटा। गैर-लघुगणक श्रृंखला जो तेजी से बढ़ रही है, अक्सर समय के साथ श्रृंखला के बढ़ने के साथ परिवर्तनशीलता में वृद्धि होती दिखाई देती है। हालांकि, प्रतिशत के संदर्भ में परिवर्तनशीलता काफी स्थिर हो सकती है। मॉडल के लिए एक अलग विनिर्देश का उपयोग करें (विभिन्न एक्स चर, या शायद एक्स चर के गैर-रैखिक परिवर्तन)। एक भारित न्यूनतम वर्ग आकलन विधि लागू करें, जिसमें ओ. एल. एस. को एक्स और वाई के परिवर्तित या भारित मूल्यों पर लागू किया जाता है। आमतौर पर बदलती त्रुटि भिन्नताओं के आधार पर, टिप्पणियों के आधार पर वजन अलग-अलग होते हैं। एक भिन्नता में भार सीधे आश्रित चर के परिमाण से संबंधित होते हैं, और यह न्यूनतम वर्ग प्रतिशत प्रतिगमन से मेल खाता है। हेटेरोस्केडास्टिसिटी-कंसिस्टेंट स्टैंडर्ड एरर्स (एच. सी. एस. ई.), हालांकि अभी भी पक्षपाती है, ओ. एल. एस. अनुमानों में सुधार करता है। एच. सी. एस. ई. हेटेरोस्केडास्टिसिटी के साथ प्रतिगमन मॉडल में मानक त्रुटियों का एक सुसंगत अनुमानक है। यह विधि गुणांकों के मूल्यों को बदले बिना विषमलैंगिकता के लिए सुधार करती है। यह विधि नियमित ओ. एल. एस. से बेहतर हो सकती है क्योंकि यदि हेटेरोस्केडास्टिसिटी मौजूद है तो यह इसके लिए सुधार करती है, हालांकि, यदि डेटा होमोस्केडास्टिक है, तो मानक त्रुटियां ओ. एल. एस. द्वारा अनुमानित पारंपरिक मानक त्रुटियों के बराबर हैं। हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों की गणना करने की श्वेत पद्धति के कई संशोधनों को बेहतर सीमित नमूना गुणों के साथ सुधार के रूप में प्रस्तावित किया गया है। वाइल्ड बूटस्ट्रैपिंग का उपयोग रीसैम्पलिंग विधि के रूप में किया जा सकता है जो त्रुटि शब्द के सशर्त विचरण में अंतर का सम्मान करता है। एक विकल्प त्रुटियों के बजाय टिप्पणियों का पुनः नमूना है। अवलोकन के संबद्ध मूल्यों के सम्मान के बिना पुनः नमूने की त्रुटियों पर ध्यान दें होमोस्केडास्टिसिटी को लागू करता है और इस प्रकार गलत अनुमान देता है। MINQUE या यहां तक कि प्रथागत अनुमानक (प्रत्येक अवलोकन के साथ स्वतंत्र नमूनों के लिए) का उपयोग करें, जिनकी दक्षता हानि तब पर्याप्त नहीं होती है जब प्रति नमूने अवलोकन की संख्या बड़ी होती है (), विशेष रूप से स्वतंत्र नमूनों की छोटी संख्या के लिए। परीक्षण अवशेषों का परीक्षण ब्रूसच-पेगन परीक्षण का उपयोग करके होमोसेडास्टिसिटी के लिए किया जा सकता है, जो स्वतंत्र चर पर वर्ग अवशिष्टों का एक सहायक प्रतिगमन करता है। इस सहायक प्रतिगमन से, वर्गों के बताए गए योग को बनाए रखा जाता है, दो से विभाजित किया जाता है, और फिर स्वतंत्र चर की संख्या के बराबर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ एक ची-वर्ग वितरण के लिए परीक्षण सांख्यिकीय बन जाता है। इस ची-वर्ग परीक्षण की शून्य परिकल्पना समस्थानिकता है, और वैकल्पिक परिकल्पना विषमस्थानिकता का संकेत देगी। चूंकि ब्रूसच-मूर्तिपूजक परीक्षण सामान्यता या छोटे नमूने के आकार से प्रस्थान के प्रति संवेदनशील है, इसलिए इसके बजाय आमतौर पर कोएनकर-बैसेट या 'सामान्यीकृत ब्रूसच-मूर्तिपूजक' परीक्षण का उपयोग किया जाता है। सहायक प्रतिगमन से, यह आर-वर्ग मूल्य को बरकरार रखता है जिसे फिर नमूने के आकार से गुणा किया जाता है, और फिर एक ची-वर्ग वितरण के लिए परीक्षण सांख्यिकीय बन जाता है (और स्वतंत्रता की समान डिग्री का उपयोग करता है)। हालांकि कोएनकर-बैसेट परीक्षण के लिए यह आवश्यक नहीं है, ब्रूसच-मूर्तिपूजक परीक्षण के लिए आवश्यक है कि वर्ग अवशिष्टों को भी नमूनों के आकार से विभाजित वर्गों के अवशिष्ट योग से विभाजित किया जाए। समूहवार विषमलैंगिकता के लिए परीक्षण गोल्डफेल्ड-क्वांड्ट परीक्षण के साथ किया जा सकता है। हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियों के मानक उपयोग और पूर्व-परीक्षण की समस्या के कारण, अर्थशास्त्री आजकल शायद ही कभी सशर्त हेटेरोस्केडास्टिसिटी के लिए परीक्षणों का उपयोग करते हैं। परीक्षणों की सूची हालांकि समूहों के बीच विषमलैंगिकता के लिए परीक्षणों को औपचारिक रूप से प्रतिगमन मॉडल के भीतर परीक्षण के एक विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है, कुछ परीक्षणों में इस मामले के लिए विशिष्ट संरचनाएं होती हैं। रिग्रेशन लेवेन टेस्ट गोल्डफेल्ड-क्वांड्ट टेस्ट पार्क टेस्ट ग्लेजर टेस्ट ब्राउन-फोर्सी टेस्ट हैरिसन-मैककेब टेस्ट ब्रूसच-पेगन टेस्ट व्हाइट टेस्ट कुक-वीसबर्ग टेस्ट फॉर ग्रुप्ड डेटा एफ-टेस्ट ऑफ इक्वैलिटी ऑफ वैरियंस कोचरान का सी टेस्ट हार्टले का टेस्ट बार्टलेट का टेस्ट जनरलाइजेशन होमोसेडास्टिक डिस्ट्रीब्यूशन दो या अधिक सामान्य वितरण, दोनों होमोसेडास्टिक हैं और यदि वे अपने सहप्रसरण मैट्रिक्स में समान विकर्ण साझा करते हैं, और उनकी गैर-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं, तो उनमें क्रमिक सहसंबंध की कमी है। होमोसेडास्टिक वितरण विशेष रूप से सांख्यिकीय पैटर्न पहचान और मशीन लर्निंग एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं। एक एल्गोरिथ्म का एक लोकप्रिय उदाहरण जो होमोसेडास्टिसिटी मानता है, फिशर का रैखिक विभेदक विश्लेषण है। होमोसेडास्टिसिटी की अवधारणा को क्षेत्रों पर वितरण पर लागू किया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी डेटा होमस्केडास्टिसिटी और हेटेरोस्केडास्टिसिटी के अध्ययन को बहुभिन्नरूपी मामले के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जो स्केलर टिप्पणियों के विचलन के बजाय वेक्टर टिप्पणियों के सहप्रसरण से संबंधित है। इसका एक संस्करण फैलाव के बहुभिन्नरूपी माप के रूप में सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग करना है। कई लेखकों ने इस संदर्भ में प्रतिगमन और समूहीकृत-डेटा दोनों स्थितियों के लिए परीक्षणों पर विचार किया है। समूहीकृत डेटा के बीच विषमलैंगिकता के लिए बार्टलेट का परीक्षण, जो आमतौर पर अविभाज्य मामले में उपयोग किया जाता है, को भी बहुभिन्नरूपी मामले के लिए बढ़ाया गया है, लेकिन एक ट्रैक्टेबल समाधान केवल 2 समूहों के लिए मौजूद है। दो से अधिक समूहों के लिए अनुमान मौजूद हैं, और उन दोनों को बॉक्स का एम परीक्षण कहा जाता है। हेटेरोजेनिटी गोलाकार त्रुटि हेटेरोस्केडास्टिसिटी-सुसंगत मानक त्रुटियाँ भी देखें संदर्भ आगे पढ़ना अधिकांश सांख्यिकी पाठ्यपुस्तकों में होमोस्केडास्टिसिटी और हेटेरोस्केडास्टिसिटी पर कम से कम कुछ सामग्री शामिल होगी। कुछ उदाहरण हैंः मार्क थोमा द्वारा बाहरी लिंक सांख्यिकीय विचलन और फैलाव प्रतिगमन विश्लेषण जाः एआरसीएच मॉडल #分散不均一性