Mean line segment length
ज्यामिति में, माध्य रेखा खंड की लंबाई एक रेखा खंड की औसत लंबाई है जो एक दिए गए आकार में यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुने गए दो बिंदुओं को जोड़ती है। दूसरे शब्दों में, यह दो यादृच्छिक बिंदुओं के बीच अपेक्षित यूक्लिडियन दूरी है, जहां आकार में प्रत्येक बिंदु के समान रूप से चुने जाने की संभावना है। यहाँ तक कि एक वर्ग या एक त्रिभुज जैसी सरल आकृतियों के लिए भी, उनकी औसत रेखा खंड लंबाई के सटीक मूल्य के लिए हल करना मुश्किल हो सकता है क्योंकि उनकी बंद-रूप अभिव्यक्तियाँ काफी जटिल हो सकती हैं। एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित प्रश्न पर विचार करेंः एक वर्ग के अंदर दो यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदुओं के बीच औसत दूरी क्या है जिसकी भुजा की लंबाई 1 है? यद्यपि प्रश्न सरल लग सकता है, लेकिन इसका उत्तर काफी जटिल है; इसका सटीक मूल्य है। औपचारिक परिभाषा एक एन-आयामी आकार एस के लिए औसत रेखा खंड की लंबाई को औपचारिक रूप से दो यादृच्छिक बिंदुओं x और y के बीच अपेक्षित यूक्लिडियन दूरी।। के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां λ एन-आयामी लेबस्ग्यू माप है। द्वि-आयामी मामले के लिए, इसे दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) सन्निकटन विधियों के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है क्योंकि माध्य रेखा खंड की लंबाई की गणना में बहुआयामी समाकलन की गणना शामिल होती है, संख्यात्मक एकीकरण के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग किसी भी आकार के लिए इस मान को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है। ऐसी ही एक विधि मोंटे कार्लो विधि है। किसी दिए गए आकार के माध्य रेखा खंड की लंबाई का अनुमान लगाने के लिए, इसके आंतरिक भाग में दो बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और दूरी को मापा जाता है। इन चरणों की कई बार पुनरावृत्ति के बाद, इन दूरी का औसत अंततः सही मान में परिवर्तित हो जाएगा। ये विधियाँ केवल एक अनुमान दे सकती हैं; इनका उपयोग इसके सटीक मूल्य को निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। सूत्र रेखा खंड लंबाई के एक रेखा खंड के लिए, दो बिंदुओं के बीच की औसत दूरी है। त्रिभुज पार्श्व लंबाई वाले त्रिभुज के लिए, और, इसके आंतरिक भाग में दो बिंदुओं के बीच की औसत दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है जहाँ अर्धपरिमाप है, और दर्शाता है। पार्श्व लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज के लिए, यह वर्ग और आयतों के बराबर है पार्श्व लंबाई s वाले वर्ग के अंदर दो बिंदुओं के बीच की औसत दूरी अधिक आम तौर पर, पार्श्व लंबाई l और w वाले आयत की औसत रेखा खंड लंबाई है जहां आयत के विकर्ण की लंबाई है। यदि इसके बजाय दो बिंदुओं को वर्ग के अलग-अलग किनारों पर चुना जाता है, तो औसत दूरी घन और हाइपरक्यूब द्वारा दी जाती है एक एन-आयामी इकाई हाइपरक्यूब के अंदर बिंदुओं के बीच की औसत दूरी को इस रूप में दर्शाया जाता है, और इसके रूप में दिया जाता है। त्रि-आयामी मामले के लिए, एक इकाई घन की औसत रेखा खंड लंबाई को रॉबिन्स स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है, जिसका नाम डेविड पी. रॉबिन्स के नाम पर रखा गया है। इस स्थिरांक का एक बंद रूप है, इसका संख्यात्मक मान लगभग एंडरसन एट है। अल। (1976) ने दिखाया कि सीमा को संतुष्ट करता है इकाई घन के दो अलग-अलग चेहरों से चुनने वाले बिंदु भी एक बंद रूप के साथ एक परिणाम देते हैं, जो वृत्त और गोले द्वारा दिया गया है त्रिज्या r के वृत्त की परिधि पर बिंदुओं के बीच औसत तार की लंबाई है और त्रिज्या r के साथ एक गोले की सतह पर बिंदु चुनना डिस्क है त्रिज्या r की डिस्क के अंदर बिंदुओं के बीच औसत दूरी है। त्रिज्या 1 की आधी डिस्क के लिएः त्रिज्या 1 की एक चौथाई डिस्क के लिएः गेंद एक त्रि-आयामी गेंद के लिए, यह है अधिक आम तौर पर, एक एन-गेंद की औसत रेखा खंड लंबाई जहां की समानता पर निर्भर करती है, सामान्य सीमा बर्गस्टेलर और पिल्लिचशैमर (2008) ने दिखाया कि व्यास 1 के साथ एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान के एक कॉम्पैक्ट सबसेट के लिए, इसकी औसत रेखा खंड लंबाई एल संतुष्ट करती है जहां गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है। एन = 2 के लिए, एक मजबूत सीमा मौजूद है। संदर्भ बाहरी लिंक ज्यामिति