Heteroclinic channels
हेटेरोक्लिनिक चैनल प्रक्षेपवक्रों के समूह हैं जो चरण स्थान में काठी संतुलन बिंदुओं को जोड़ सकते हैं। गतिशील प्रणालियाँ और उनसे जुड़े चरण रिक्त स्थान का उपयोग गणितीय शब्दों में प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है; हेटेरोक्लिनिक चैनल, और वे जो चक्र (या कक्षाएं) उत्पन्न करते हैं, वे चरण स्थान की विशेषताएं हैं जिन्हें उस स्थान में विशिष्ट स्थानों पर कब्जा करने के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है। हेटेरोक्लिनिक चैनल प्रक्षेपवक्र को एक संतुलन बिंदु से दूसरे में ले जाते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, एक हेटेरोक्लिनिक चैनल चरण अंतरिक्ष में एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें आस-पास के प्रक्षेपवक्र एक अद्वितीय सीमित प्रक्षेपवक्र, हेटेरोक्लिनिक कक्षा के करीब और करीब खींचे जाते हैं। हेटेरोक्लिनिक प्रक्षेपवक्रों द्वारा जुड़ा संतुलन हेटेरोक्लिनिक चक्र बनाता है और चक्रों को हेटेरोक्लिनिक नेटवर्क बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है। हेटेरोक्लिनिक चक्र और नेटवर्क स्वाभाविक रूप से कई अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं, जैसे कि द्रव गतिकी, जनसंख्या गतिकी और तंत्रिका गतिकी। इसके अलावा, गतिशील प्रणालियों का उपयोग अक्सर रोबोटिक नियंत्रण के तरीकों के रूप में किया जाता है। विशेष रूप से, रोबोटिक नियंत्रण के लिए, संतुलन बिंदु रोबोटिक अवस्थाओं के अनुरूप हो सकते हैं, और हेटेरोक्लिनिक चैनल एक राज्य से दूसरे राज्य में जाने के लिए सुचारू तरीके प्रदान कर सकते हैं। हेटेरोक्लिनिक चैनल (या हेटेरोक्लिनिक ऑर्बिट्स) गतिशील प्रणालियों के एक उपसमुच्चय के लिए निर्माण खंड हैं जो जुड़े हुए काठी संतुलन बिंदुओं के आसपास बनाए जाते हैं। होमोक्लिनिक चैनल/कक्षाएँ अपने आप में एक ही संतुलन बिंदु से जुड़ती हैं, जबकि हेटेरोक्लिनिक चैनल चरण स्थान में दो अलग-अलग काठी संतुलन बिंदुओं से जुड़ती हैं। कनेक्शन पहले काठी (उस बिंदु से "दूर धकेलना") के अस्थिर कई गुना से अगले काठी बिंदु (इस बिंदु की ओर "खींचना") के स्थिर कई गुना तक बनता है। इस तरह से कम से कम तीन काठी संतुलन का संयोजन एक हेटेरोक्लिनिक चक्र पैदा करता है, और कई हेटेरोक्लिनिक चक्रों को हेटेरोक्लिनिक नेटवर्क में जोड़ा जा सकता है। हेटेरोक्लिनिक चैनलों में चरण स्थान में स्थानिक और लौकिक दोनों विशेषताएँ होती हैं। स्थानिक क्योंकि वे अपने आसपास के एक निश्चित क्षेत्र के भीतर प्रक्षेपवक्र को प्रभावित करते हैं, और अस्थायी क्योंकि एक हेटेरोक्लिनिक चैनल के पैरामीटर प्रभावित करते हैं कि एक प्रक्षेपवक्र उस चैनल के साथ कितना समय बिताता है (या अधिक विशेष रूप से, यह काठी बिंदुओं में से एक के आसपास कितना समय बिताता है)। हेटेरोक्लिनिक चैनलों की क्षणिक प्रकृति उनकी "स्विचिंग" प्रकृति का वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण है। अर्थात्, प्रत्येक संतुलन बिंदु के आसपास के कुछ पड़ोस को एक अलग अवस्था के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और हेटेरोक्लिनिक चैनल स्वयं इन अवस्थाओं के बीच क्रमिक रूप से बदलने की एक विधि प्रस्तुत करता है। हेटेरोक्लिनिक "स्विचिंग" प्राकृतिक घटनाओं के लिए एक महत्वपूर्ण वर्णनकर्ता है, विशेष रूप से तंत्रिका गतिकी में। इसका उपयोग रोबोटिक नियंत्रण विधियों को डिजाइन करने के लिए एक दृष्टिकोण के रूप में भी किया गया है जो राज्यों के बीच चक्र करते हैं, चाहे वे स्थितियां पूर्व-परिभाषित व्यवहार हों या क्षणिक स्थितियां जो बड़े व्यवहार की ओर ले जाती हैं। इतिहास ऊपर वर्णित गणितीय छवि-उनके बीच बदलने के लिए एक कार्यात्मक तंत्र के साथ अवस्थाओं की एक श्रृंखला-विजेता रहित प्रतिस्पर्धा (डब्ल्यू. एल. सी.) के रूप में जानी जाने वाली एक घटना का भी वर्णन करती है। विजेता रहित प्रतियोगिता दो प्रतिस्पर्धी राज्यों के बीच परिवर्तन की घटना का वर्णन करती है और 1980 में बस्से और हेइक्स द्वारा पहचानी गई थी जब वे एक संवहन चक्र में चरणों के परिवर्तन की जांच कर रहे थे। हालांकि, डब्ल्यू. एल. सी. की क्षणिक गतिशीलता पर व्यापक रूप से सहमति है कि पहले अल्फ्रेड जे. लोटका द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने पहली बार 1910 में स्वतः उत्प्रेरक रासायनिक प्रतिक्रियाओं का वर्णन करने के लिए अवधारणा विकसित की और फिर पारिस्थितिक शिकारी-शिकार संबंधों का वर्णन करने के लिए 1925 में एक विस्तारित संस्करण विकसित किया। 1926 में, विटो वोल्टेरा ने स्वतंत्र रूप से गणितीय जीव विज्ञान, विशेष रूप से बहु-प्रजाति अंतःक्रियाओं पर ध्यान केंद्रित करते हुए समीकरणों के एक ही समूह को प्रकाशित किया। इन समीकरणों, जिन्हें अब लोटका-वोल्टेरा समीकरणों के रूप में जाना जाता है, का व्यापक रूप से क्षणिक हेटेरोक्लिनिक स्विचिंग डायनामिक्स का वर्णन करने के लिए एक गणितीय मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है। हेटेरोक्लिनिक चक्र जो कम से कम तीन राज्यों के बीच संक्रमण का वर्णन करते हैं, पहली बार 1975 में मई और लियोनार्ड द्वारा वर्णित किए गए थे। उन्होंने जनसंख्या गतिकी के लिए लोटका-वोल्टेरा समीकरणों के एक विशेष मामले की पहचान की। हेटेरोक्लिनिक चक्रों के फिर से उभरने और लोटका और वोल्टेरा की अवधि की तुलना में संख्यात्मक गणना करने की बढ़ती क्षमता ने क्षणिक अनुक्रमिक गतिकी के लिए गणितीय मॉडल के रूप में हेटेरोक्लिनिक चैनलों, चक्रों और नेटवर्क में रुचि के पुनरुत्थान को प्रेरित किया। हेटेरोक्लिनिक चैनल तंत्रिका गतिकी के लिए मॉडल बन गए हैं। एक उदाहरण लॉरेंट एट अल है। (2001) जिन्होंने घ्राण उत्तेजनाओं के लिए मछली और कीड़ों की तंत्रिका प्रतिक्रियाओं को डब्ल्यू. एल. सी. प्रणाली के रूप में वर्णित किया, जहां प्रत्येक उत्तेजना और इसकी प्रतिक्रिया को अंतरिक्ष के भीतर एक अलग स्थिति के रूप में पहचाना जा सकता है। प्रतिक्रियाओं को उनके स्थानिक और लौकिक गुणों के कारण इस तरह से मॉडल किया जा सकता है, जो डब्ल्यू. एल. सी. की स्थानिक प्रकृति के साथ संरेखित होते हैं। राबिनोविच एट अल। (2001) और एफ्राइमोविच एट अल। (2004) ने स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों (एस. एच. सी.) की गणितीय अवधारणा को अधिक सामान्य रूप से क्षणिक तंत्रिका गतिकी, विशेष रूप से अन्य संवेदी प्रक्रियाओं और अधिक अमूर्त तंत्रिका कनेक्शनों से जोड़ने के लिए डब्ल्यू. एल. सी. नेटवर्क (क्रमशः फिट्जघ-नागुमो और लोटका-वोल्टेरा मॉडल के माध्यम से) का उपयोग किया। राबिनोविच एट अल। (2008) ने इस विचार को बड़े संज्ञानात्मक गतिशील प्रणालियों और बड़े पैमाने पर मस्तिष्क नेटवर्क तक विस्तारित किया। स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों का उपयोग न्यूरोमैकेनिकल प्रणालियों को मॉडल करने के लिए भी किया गया है। हेटेरोक्लिनिक चैनलों का उपयोग करके समुद्री मोलस्क की भोजन संरचनाओं और संबंधित भोजन प्रक्रियाओं (निगलने के चरणों) का विश्लेषण किया गया है। जैविक मॉडल हमेशा रोबोटिक विशेषज्ञों, विशेष रूप से रोबोटिक नियंत्रण में रुचि रखने वालों के लिए प्रेरणा का स्रोत रहे हैं। चूँकि रोबोटिक नियंत्रण के लिए रोबोट की भौतिक क्रियाओं को परिभाषित करने और अनुक्रमित करने की आवश्यकता होती है, इसलिए तंत्रिका गतिकी के मॉडल बहुत उपयोगी हो सकते हैं। इसका एक उदाहरण केंद्रीय पैटर्न जनरेटर में पाया जा सकता है, जो लयबद्ध रोबोटिक गति के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। हेटेरोक्लिनिक चैनलों का उपयोग रोबोट नियंत्रण के लिए केंद्रीय पैटर्न जनरेटर को दोहराने के लिए किया गया है। इसी तरह, गतिशील गति आदिम, एक अन्य सामान्य रोबोटिक गति नियंत्रण प्रणाली, को अनुकूलित किया गया है और हेटेरोक्लिनिक चैनलों का उपयोग करके अधिक लचीला बनाया गया है। अधिक व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों का प्रत्यक्ष रूप से कई जैविक रूप से प्रेरित रोबोटों के नियंत्रण में उपयोग किया गया है अवधारणाएँ गतिशील प्रणालियाँ एक गतिशील प्रणाली एक नियम या नियमों का समूह है जो समय पर एक राज्य (या राज्यों की प्रणाली) के विकास का वर्णन करता है। सभी संभावित अवस्थाओं के समुच्चय को स्टेट स्पेस कहा जाता है। फेज स्पेस एक निरंतर प्रणाली का स्टेट स्पेस है। गतिशील प्रणालियाँ समय के साथ गणितीय समीकरणों, अक्सर साधारण विभेदक समीकरणों के साथ स्थिति का वर्णन करती हैं। एक विशेष समय पर वर्तमान स्थिति को चरण स्थान में एक बिंदु के रूप में प्लॉट किया जा सकता है। समय के साथ बिंदुओं के समूह को प्रक्षेपवक्र के रूप में प्लॉट किया जा सकता है। स्थिरता एक हेटेरोक्लिनिक चैनल अपने आप में एसिम्प्टोटिक रूप से स्थिर हो सकता है। अर्थात्, चैनल के आसपास का कोई भी बिंदु चैनल के मूल में हेटेरोक्लिनिक चक्र की ओर आकर्षित होता है। हेटेरोक्लिनिक चैनल और चक्र दोनों मजबूत (या संरचनात्मक रूप से स्थिर) हो सकते हैं यदि, किसी दिए गए पैरामीटर सीमा के भीतर, वे एक दिए गए व्यवहार को बनाए रखते हैं; हालाँकि, इसकी आवश्यकता नहीं है। स्टोकेस्टिसिटी नॉइज़ एक हेटेरोक्लिनिक प्रणाली में एक इनपुट है जो इसे एक संतुलन से दूसरे में ले जाता है। इसका कारण यह है कि शोर (या कुछ अन्य यादृच्छिकता) प्रणाली को अनुक्रम में अगले काठी संतुलन बिंदु के आसपास के क्षेत्र में ले जाने के लिए पर्याप्त रूप से परेशान करता है। आवश्यक शोर की मात्रा काठी बिंदुओं की "आकर्षण" के विपरीत आनुपातिक है; काठी का स्थिर भाग प्रणाली अवस्था के लिए जितना अधिक आकर्षक होगा, प्रक्षेपवक्र उसके आसपास के क्षेत्र में उतना ही लंबा रहेगा, और प्रणाली की स्थिति को उस आकर्षक संतुलन बिंदु से दूर ले जाने के लिए उतना ही अधिक शोर की आवश्यकता होगी। संतुलन बिंदुओं के बीच जाने के अन्य तरीके भी हैं जिनमें पैरामीट्रिक परिवर्तन, या संवेदी प्रतिक्रिया का उपयोग करना शामिल है। रोबोटिक्स में नियंत्रण सिद्धांत, रोबोटिक प्रणालियों को नियंत्रित करने के लिए गतिशील प्रणालियों के उपयोग से संबंधित है। रोबोटिक नियंत्रण का लक्ष्य संवेदक इनपुट के जवाब में भौतिक एक्चुएटर्स का उपयोग करके सटीक, समन्वित कार्यों को करना है। गतिशील प्रणालियों का उपयोग उत्प्रेरक त्रुटियों को कम करने के लिए संवेदक इनपुट का उपयोग करके रोबोट को वांछित स्थिति (या अवस्थाओं के समूह) में ले जाने के लिए किया जा सकता है। गणितीय परिभाषा एक गतिशील प्रणाली में एक संतुलन बिंदु अंतर समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है जो एक प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है जो समय के साथ नहीं बदलता है। संतुलन बिंदुओं को उनकी स्थिरता द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अक्सर प्रणाली के जैकोबियन मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। सामान्य तौर पर, एक काठी बिंदु के आइगेनवैल्यू में गैर-शून्य वास्तविक भाग होते हैं, कम से कम एक वास्तविक भाग सकारात्मक होता है और कम से कम एक वास्तविक भाग नकारात्मक होता है। नकारात्मक वास्तविक मूल्य वाला कोई भी आइगेनवैल्यू काठी के एक स्थिर मैनीफोल्ड को इंगित करता है जो प्रक्षेपवक्र को आकर्षित करता है, जबकि सकारात्मक वास्तविक मूल्य वाला कोई भी आइगेनवैल्यू काठी के अस्थिर मैनीफोल्ड को इंगित करता है जो प्रक्षेपवक्र को पीछे हटाता है। चरण अंतरिक्ष परिभाषा (हेटेरोक्लिनिक कक्षा से) एक निरंतर गतिशील प्रणाली का वर्णन करने वाला साधारण विभेदक समीकरण माना जाता है। यदि और पर संतुलन है, तो एक समाधान एक हेटेरोक्लिनिक कनेक्शन है जो से और के रूप में और के रूप में है इसका तात्पर्य है कि कनेक्शन के स्थिर मैनिफोल्ड और के अस्थिर मैनिफोल्ड में निहित है। तंत्रिका गतिकी के उदाहरण तंत्रिका गतिकी गैर-रैखिक गतिकी है जो एकल न्यूरॉन्स से लेकर संज्ञानात्मक प्रक्रियाओं और बड़े पैमाने पर तंत्रिका प्रणालियों तक तंत्रिका प्रक्रियाओं का वर्णन करती है। लोटका-वोल्टेरा मॉडल यह मॉडल पहले अल्फ्रेड जे. लोटका द्वारा स्वचालित रासायनिक प्रतिक्रियाओं के लिए स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत किया गया था और फिर गणितीय जीव विज्ञान के दृष्टिकोण से विटो वोल्टेरा द्वारा प्रतिस्पर्धा में जैविक प्रजातियों के लिए फिर से प्रस्तुत किया गया था। मूल रूप से, इस मॉडल पर केवल दो प्रजातियों के लिए विचार किया गया थाः प्रतिक्रिया में दो रासायनिक प्रजातियां, या एक साझा वातावरण में एक शिकारी-शिकार स्थिति। मूल समीकरण रसद जनसंख्या समीकरण पर आधारित थे, जो पारिस्थितिकी में लोकप्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। जहाँ किसी दिए गए समय में किसी प्रजाति का आकार या सांद्रता, उस प्रजाति की वृद्धि दर और वहन क्षमता है। लोटका ने प्रजातियों के बीच अंतःक्रिया के लिए एक शब्द को शामिल किया और कुछ सामान्यीकरण के साथ, समीकरणों की श्रृंखला को निम्नानुसार लिखा जा सकता हैः इस परिभाषा में,-th प्रजाति का आकार या सांद्रता है और प्रजातियों की कुल संख्या है। प्रत्येक प्रजाति के बीच परस्पर क्रिया को मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जाता है। मई-लियोनार्ड विस्तार मई और लियोनार्ड ने उस प्रणाली की जांच करके लोटका-वोल्टेरा समीकरणों का विस्तार किया जिसमें तीन प्रजातियां एक दूसरे के साथ बातचीत करती हैं (यानी,)। उन्होंने पाया कि एक ऐसी प्रणाली के लिए जिसमें प्रत्येक संतुलन बिंदु एक आयामी स्थिर मैनिफोल्ड के साथ एक काठी है, और अस्थिर मैनिफोल्ड क्रमिक रूप से बिंदुओं को जोड़ता है, उपरोक्त समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता हैः स्पष्ट रूप से, यह वह जगह बन जाता है जहाँ युग्मन मैट्रिक्स, द्वारा दिया जाता है। एक स्थिर हेटेरोक्लिनिक चक्र के गठन के लिए स्थिरता की आवश्यकताएँ या तो या के साथ होती हैं। इस कार्य में यह उल्लेख किया गया था कि प्रणाली कभी भी किसी भी संतुलन बिंदु तक स्पर्शोन्मुख रूप से नहीं पहुंचती है, लेकिन प्रत्येक संतुलन बिंदु पर प्रक्षेपवक्र खर्च होने वाले समय की मात्रा समय के साथ बढ़ती है। पारिस्थितिकी के संदर्भ में, इससे पता चलता है कि एक एकल आबादी अंततः अन्य दो को "हरा" देगी। मई और लियोनार्ड ने नोट किया कि यह जीव विज्ञान में एक व्यावहारिक परिणाम नहीं है (और यह भी देखें)। विनरलेस कॉम्पिटिशन फ्रेमवर्क "विनरलेस कॉम्पिटिशन" फ्रेमवर्क (लॉरेंट एट अल द्वारा सुझाया गया)। एकल न्यूरॉन और/या समकालिक न्यूरॉन्स के संग्रह को "चालू" और "बंद" के बीच कूटबद्ध करने की अनुमति दी। लॉरेंट एट अल। मछलियों और कीड़ों में घ्राण, विशेष रूप से घ्राण ग्रहण, और गंध संवेदी प्रणाली में कुछ पोस्टसिनेप्टिक संरचनाओं की जांच की गई। उन्होंने पाया कि कथित गंधों का प्रसंस्करण (या एन्कोडिंग) कम से कम तीन बार हुआः तेज, मध्यवर्ती और धीमी। उन्होंने कहा कि एक गंध एन्कोडिंग प्रणाली पुनरुत्पादक होनी चाहिए, जिसके लिए इसे किसी भी प्रारंभिक स्थिति के प्रति असंवेदनशील (या तेजी से भूलने) होने की आवश्यकता होती है। यह तभी संभव है जब गतिशील प्रणाली प्रबल रूप से अपव्ययकारी हो, अर्थात, यह जल्दी से एक अवस्था में बस जाए और आंतरिक शोर के प्रति असंवेदनशील हो। इसके विपरीत, एक उपयोगी गंध संकेतन प्रणाली इनपुट में छोटी भिन्नताओं के प्रति संवेदनशील होनी चाहिए, जिसके लिए प्रणाली को सक्रिय होने की आवश्यकता होती है। एक सक्रिय प्रणाली प्रारंभिक अवस्थाओं में छोटे बदलावों को समय के साथ बढ़ने की अनुमति देने के लिए बाहरी स्रोतों का उपयोग करती है। विजेता रहित प्रतिस्पर्धा ढांचे ने एक एकल न्यूरॉन (या नोड) को एक उत्तेजना ("तेज" समय-सीमा) को कूटबद्ध करने की अनुमति दी, या कई उत्तेजनाओं को उत्तेजना-विशिष्ट प्रक्षेपवक्र ("धीमी" समय-सीमा) के माध्यम से कूटबद्ध किया जा सकता है। विजेता रहित प्रतिस्पर्धा प्रणाली का वर्णन इस प्रकार किया गया था कि उत्तेजना-विशिष्ट समूहों की गतिविधियों को कहाँ और किस प्रकार चित्रित किया जाता है और, क्रमशः, न्यूरॉन्स की संख्या का अनुकरण किया जा रहा है, और (यानी, एक दूसरे के साथ उनकी बातचीत) द्वारा अवरोध की ताकत को चिह्नित करता है, और एक उत्तेजना द्वारा वर्तमान इनपुट है। विजेता रहित प्रतिस्पर्धा के लिए आवश्यक था कि मैट्रिक्स में अवरोधक कनेक्शन असममित और चक्रीय हों। उदाहरण के लिए, के लिए, यदि तब, और। कुल मिलाकर, यह विवरण कई हेटेरोक्लिनिक कक्षाओं (प्रक्षेपवक्रों) से बना एक हेटेरोक्लिनिक चैनल उत्पन्न करता है। क्षणिक तंत्रिका गतिकी हेटेरोक्लिनिक कक्षाओं (जिन्हें हेटेरोक्लिनिक चैनलों द्वारा सुगम बनाया जाता है) के माध्यम से संवेदी एन्कोडिंग जैसा कि लॉरेंट एट अल द्वारा वर्णित है। घ्राण प्रणाली से परे बहिर्वेशन किया गया था। राबिनोविच एट अल। विशिष्ट न्यूरॉन्स या न्यूरॉन्स के समूहों की गतिविधि के अनुरूप एक स्पेटिओटेम्पोरल गतिशील प्रणाली के रूप में विजेता रहित प्रतिस्पर्धा का पता लगाया। उन्होंने अतिरिक्त उत्तेजना की पहचान उस कारक के रूप में की जो चैनल के साथ एक नोड से दूसरे नोड तक प्रक्षेपवक्र को चलाएगा। इसके बिना, प्रणाली एक स्थिर स्थिति में कम हो जाएगी जिसमें एक न्यूरॉन (या न्यूरोनल समूह) सक्रिय था जबकि अन्य शांत थे। एफ्राइमोविच एट अल। क्षणिक, क्रमिक तंत्रिका गतिविधि के लिए एक मॉडल के रूप में चरण स्थान में जुड़े काठी बिंदुओं का उपयोग करके विजेता रहित प्रतियोगिता भी विकसित की गई। उन्होंने रेखांकित किया कि काठी बिंदुओं को कैसे परिभाषित किया जाना चाहिए, उनके बीच हेटेरोक्लिनिक कनेक्शन के लिए शर्तें और हेटेरोक्लिनिक अनुक्रम स्थिरता के लिए स्थितियां। उन्होंने एन = 50 न्यूरॉन्स के साथ एक नेटवर्क की गतिशीलता के संख्यात्मक अनुकरण का प्रदर्शन किया और बाहरी इनपुट के रूप में गॉसियन शोर का उपयोग किया। उन्होंने पाया कि प्रत्येक कनेक्शन के साथ एक प्रक्षेपवक्र की गति शोर से शुरू हुई थी, और एक काठी से दूसरी काठी पर जाने की गति शोर के स्तर पर निर्भर करती है। संज्ञानात्मक गतिशीलता उच्च-स्तरीय क्षणिक संज्ञानात्मक गतिशीलता, विशेष रूप से अनुक्रमिक निर्णय लेने का वर्णन करने के लिए स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों के अनुक्रमिक परिवर्तन गुण का विस्तार किया गया है। राबिनोविच एट अल। सबसे पहले इस विचार को अनुक्रमिक स्विचिंग को लागू करके पेश किया गया जो एक निश्चित समय के खेल में देखी जाने वाली अनुक्रमिक निर्णय लेने की प्रक्रिया के लिए स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों की विशेषता है। खिलाड़ी कुछ पुरस्कार को अधिकतम करने के लिए बदलते वातावरण में क्रमिक कार्रवाई करता है। एक निश्चित समय के खेल के लिए, पुरस्कार को अधिकतम करने के लिए, खिलाड़ी को अधिक से अधिक निर्णय स्थितियों का सामना करना पड़ता है। इसका मतलब है कि एक निश्चित समय के भीतर, प्रक्षेपवक्र को जितना संभव हो उतने काठी बिंदुओं, या नोड्स के आसपास से गुजरना चाहिए। जब प्रक्षेपवक्र एक काठी बिंदु के आसपास पहुंच गया, तो एक निर्णय लेने का कार्य लागू किया गया। उचित प्रणाली मापदंडों का चयन करके पुरस्कार को अधिकतम किया गया था। इनमें से एक निर्णय लेने का नियम था जो काठी से दूर सबसे तेज गति के अनुरूप था, जो अगली काठी तक पहुंचने का सबसे कम समय था। इसके अतिरिक्त, योगात्मक शोर का एक इष्टतम स्तर था; शोर इतना अधिक था कि प्रक्षेपवक्र प्रत्येक काठी से जल्दी से दूर जा सकता था, लेकिन इतना अधिक नहीं था कि प्रक्षेपवक्र पूरी तरह से चक्र से दूर हो जाएगा। इस काम का एक प्रमुख बिंदु यह था कि, महत्वपूर्ण बाहरी उत्तेजना के बिना, खिलाड़ी को दो चरम सीमाओं में से एक मिलने की संभावना थीः निर्णय लेने को जल्दी से समाप्त करना या एक ऐसे चक्र तक पहुंचना जो पूरे आवंटित समय से चलता है। व्यवहारिक रूप से, यह चक्र आदत बनाने (संज्ञानात्मक स्तर पर) में बदल जाता है और बाहरी उत्तेजनाओं के प्रति संवेदनशील होता है जो किसी भी समय प्रक्षेपवक्र की दिशा को बदल सकते हैं। राबिनोविच और वरोना ने क्रमिक स्मृति का वर्णन इसी तरह किया। उन्होंने "चन्किंग" भी पेश किया, जो वर्णन करता है कि कैसे मस्तिष्क अनुक्रमिक सूचना वस्तुओं को विभिन्न पदानुक्रमित स्तरों पर टुकड़ों में समूहित करता है। उन्होंने इन हिस्सों को उच्च स्तर के हेटेरोक्लिनिक नेटवर्क में बनाने के लिए एक ढांचे के रूप में स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों का उपयोग किया। न्यूरोमैकेनिकल मॉडल हेटेरोक्लिनिक चैनलों का उपयोग जानवरों में न्यूरोमैकेनिकल प्रणालियों के लिए एक मॉडल के रूप में भी किया गया है, विशेष रूप से समुद्री मोलस्क में भोजन संरचनाओं के लिए। शॉ एट अल। (2015) ने एप्लायसिया कैलिफोर्निका के भोजन व्यवहार के लिए संभावित मॉडल की जांच की। उन्होंने पाया कि हेटेरोक्लिनिक चैनल सीमा चक्र जैसे अन्य मॉडलों की तुलना में वास्तविक प्रयोगात्मक डेटा की विशेषताओं से अधिक सटीक रूप से मेल खा सकते हैं। लिटल एट अल। (2017) ने दिखाया कि एप्लायसिया कैलिफोर्निया की भोजन प्रणाली के हेटेरोक्लिनिक मॉडल और सीमा चक्र मॉडल दोनों अलग-अलग फायदे और नुकसान प्रदान करते हैं, जैसे कि गड़बड़ी के लिए मजबूती और निवेश के लिए लचीलापन। उन्होंने यह भी दिखाया कि बाहरी संवेदी इनपुट का उपयोग करके, मोटर प्रणालियों में मजबूती और लचीलेपन दोनों को समझने के लिए एक गतिशील आधार प्रदान करते हुए, इन तरीकों, हेटेरोक्लिनिक और सीमा चक्र के बीच स्विच करके जानवर के व्यवहार का एक उचित मॉडल बनाया जा सकता है। रोबोटिक नियंत्रण अनुप्रयोगों के लिए संरचना के गणितीय विस्तार की आवश्यकता होती है। उच्च आयामी प्रणालियों के लिए, कनेक्शन/अवरोध मैट्रिक्स को सामान्यीकृत किया जा सकता हैः या इसके समान सूत्रीकरण। प्रणाली को अपव्ययकारी बनाने के लिए उपयुक्त काठी मान निर्धारित किए जाने चाहिए। काठी की ताकत को इसके दो सबसे बड़े आइगेनवैल्यू द्वारा चिह्नित किया जा सकता हैः एकल अस्थिर आइगेनवैल्यू, और सबसे कमजोर स्थिर आइगेनवैल्यू। - th नोड के काठी मूल्य को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है यदि,-th नोड अपव्ययकारी और स्थिर है, और यदि पूरा चक्र स्थिर होगा। जैविक रूप से प्रेरित रोबोटिक नियंत्रण एसएचसी के लिए एसएचसी का उपयोग सीधे रोबोट, विशेष रूप से जैविक रूप से प्रेरित रोबोटिक प्रणालियों को नियंत्रित करने के लिए किया गया है। एस. एच. सी. का उपयोग मौजूदा रोबोट नियंत्रण ढांचे को अनुकूलित करने के लिए भी किया गया है। दोनों ही उदाहरणों में, एस. एच. सी. के विशेष गुणों का उपयोग संबंधित नियंत्रण कार्यों में सुधार के लिए किया गया था। कुछ उदाहरणों में योगात्मक एस. एच. सी. शोर को संशोधित करने के लिए एकीकृत संपर्क संवेदन, एस. एच. सी. "स्विचिंग" को सूचित करने के लिए एक संयुक्त गौसियन मिश्रण मॉडल, एक केंद्रीय पैटर्न जनरेटर जिसे अस्थायी रूप से संवेदनशील होने के लिए अनुकूलित किया गया था, और एक संशोधित नियंत्रण ढांचा जिसमें एक सहज दृश्य गुण है। एडिटिव नॉइज़ मॉड्यूलेशन के लिए कॉन्टैक्ट सेंसिंग एस. एच. सी. एक उच्च स्तर की स्वतंत्रता वाली रोबोटिक प्रणाली में तेजी से विकल्पों के लिए संवेदी प्रतिक्रिया का उपयोग करना संभव बनाता है। उदाहरण के लिए, डाल्टोरियो एट अल। एस. एच. सी. का उपयोग पाइप में कृमि जैसे रोबोट के नकली गति के लिए एक नियंत्रक के रूप में किया जाता था। रोबोट की संरचना में 12 सक्रिय शरीर खंड शामिल थे, जिनमें से प्रत्येक में एक डिग्री की स्वतंत्रता थीः खंड की लंबाई। प्रत्येक खंड ने अपनी ऊंचाई को लंबाई के साथ इस तरह जोड़ा कि जैसे-जैसे लंबाई कम होती गई, ऊंचाई बढ़ती गई। इस संरचना का उपयोग पेरिस्टाल्टिक लोकोमोशन का अनुकरण करने के लिए किया गया था, क्योंकि खंडों के सक्रियण को रोबोट के नीचे एक पेरिस्टाल्टिक तरंग बनाने के लिए समन्वित किया गया था, जिसमें प्रत्येक खंड रोबोट के शरीर के नीचे एक के बाद एक सिकुड़ रहा था। इस प्रणाली के लिए, प्रत्येक शरीर खंड एसएचसी प्रणाली में एक काठी बिंदु से जुड़ा था। बहु-आयामी कनेक्शन मैट्रिक्स का निर्माण इसलिए किया गया था ताकि प्रत्येक बिंदु अपने पड़ोसियों को रोक सके सिवाय उसके तुरंत बाद के बिंदु के। इस विषमता के कारण सक्रिय एस. एच. सी. नोड रोबोट संरचना के नीचे "पीछे की ओर" चला गया, जबकि शरीर आगे बढ़ गया। नियंत्रक का परीक्षण कई पाइप के आकार के रास्तों में किया गया था जहां रोबोट पर संपर्क संवेदक पर्यावरण के बारे में जानकारी प्रदान कर सकते थे। संपर्क संवेदन जानकारी का उपयोग प्रणाली में जोड़े गए शोर को संशोधित करने के लिए किया गया था, जिसने बदले में सक्रियण अनुक्रम को बदलने की अनुमति दी। यह सभी क्षेत्रों में अत्यधिक समन्वित आंदोलन के लिए महत्वपूर्ण था। "स्विचिंग" एसएचसी को सूचित करने के लिए गौसी मिश्रण मॉडल का उपयोग जटिल विन्यासों के बीच स्विचिंग को सूचित करने के लिए किया जा सकता है। पेट्रिस एट अल। रीढ़ की हड्डी के एक्सोस्केलेटन को नियंत्रित करने के लिए एक संयुक्त गॉसियन मिश्रण मॉडल (जी. एम. एम.) और एस. एच. सी. प्रणाली का उपयोग किया गया। एक्सोस्केलेटन को एक अर्ध-निष्क्रिय प्रणाली के रूप में डिज़ाइन किया गया था जो उपयोगकर्ता की वर्तमान मुद्रा या गति के आधार पर अलग-अलग डिग्री तक उपयोगकर्ता का शारीरिक रूप से समर्थन करता है। एस. एच. सी. प्रणाली के भीतर नोड्स के रूप में विभिन्न कार्यात्मक मुद्राओं/आंदोलनों की पहचान की गई थी। जी. एम. एम. का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता था कि प्रत्येक एस. एच. सी. नोड के लिए योगात्मक निवेश क्या होना चाहिए, जो प्रणाली को एक मुद्रा से दूसरी मुद्रा में ले जाएगा। अस्थायी रूप से संवेदनशील केंद्रीय पैटर्न जनरेटर एसएचसी का उपयोग रोबोटिक नियंत्रण के लिए केंद्रीय पैटर्न जनरेटर के विकल्प के रूप में किया गया है। हॉर्चलर एट अल। एस. एच. सी. का उपयोग एक ऑसिलेटर का उत्पादन करने के लिए किया जाता है जिसके प्रत्येक नोड के पास के व्यवहार को सिस्टम मापदंडों का उपयोग करके हेरफेर किया जा सकता हैः योगात्मक शोर और काठी मूल्य। इसने एक चक्रीय नियंत्रक का उत्पादन किया जो आवश्यकता पड़ने पर एक विशेष नोड पर अधिक समय बिता सकता था। बाहरी इनपुट के प्रति नियंत्रक की प्रतिक्रिया को योगात्मक शोर का उपयोग करके चक्र को रोककर और रीसेट करके प्रदर्शित किया गया था। सहज दृश्य गुण राउस और डाल्टोरियो ने एस. एच. सी. के काठी बिंदुओं के साथ गतिशील आंदोलन आदिम, एक अन्य जैविक रूप से प्रेरित रोबोटिक नियंत्रण विधि के अंतर्निहित आकर्षक बिंदुओं को बदल दिया। इस अनुकूली ढांचे ने प्रणाली की स्थिरता को बनाए रखा। इसके अतिरिक्त, यह एक दृश्य संपत्ति प्रदान करता है जो उपयोगकर्ता को कार्य स्थान में वांछित प्रक्षेपवक्र से मेल खाने के लिए सहज रूप से चरण स्थान में काठी बिंदु रखने की अनुमति देता है। गतिशील प्रणालियाँ भी देखें सैडल संतुलन बिंदु हेटेरोक्लिनिक नेटवर्क हेटेरोक्लिनिक कक्षाएँ लोटका-वोल्टेरा समीकरण तंत्रिका-यांत्रिक प्रणालियाँ नियंत्रण सिद्धांत जैविक रूप से प्रेरित रोबोटिक प्रणालियाँ चक्रों को सीमित करें संदर्भ आगे पढ़ने के लिए जे. लोटका, भौतिक जीव विज्ञान के तत्व। बाल्टीमोरः विलियम्स और विल्किंस, 1925। एम. कृपा, "रोबस्ट हेटेरोक्लिनिक साइकल्स", जे. नॉनलीनियर साइंस, वॉल्यूम। 7, पीपी। 129-176,1997। एम. आई. राबिनोविच और एम. के. मुएज़िनोग्लू, "म्यूचुअल इमोशन-कॉग्निशन डायनेमिक्स", एसोसिएशन फॉर द एडवांसमेंट ऑफ आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, 07-सितंबर-2009। [ऑनलाइन]। उपलब्धः [पहुँचा गयाः 02-नवंबर-2021]। एंटोनियो पलासियोस (2007) हेटेरोक्लिनिक चक्र। स्कॉलरपीडिया, 2 (1): 2352। यूजीन एम. इज़िकेविच (2007) संतुलन। स्कॉलरपीडिया, 2 (10): 2014। जेम्स मेस (2007) डायनेमिकल सिस्टम्स। स्कॉलरपीडिया, 2 (2): 1629। फ्रैंक होपपेनस्टेड्ट (2006) प्रिडेटर-प्रे मॉडल। स्कॉलरपीडिया, 1 (10): 1563। रान्डेल डी. बीयर (2009) जैविक रूप से प्रेरित रोबोटिक्स। स्कॉलरपीडिया, 4 (4): 1531। बाहरी लिंक फ्रंटियर्स मीडिया पर सबसे अधिक देखे जाने वाले "हेटेरोक्लिनिक" लेख। स्थिर हेटेरोक्लिनिक चैनलों (एस. एच. सी.) कोड के नेटवर्क पर आधारित निरंतर गतिशील प्रणालियों के अनुकरण, विश्लेषण और डिजाइन के लिए एक मैटलैब टूलबॉक्स, जो कि लाइटल आदि के अनुकरण और आंकड़ों के लिए है। (2017) गतिशील प्रणालियाँ