Staircase paradox
गणितीय विश्लेषण में, सीढ़ी विरोधाभास एक रोगजनक उदाहरण है जो दर्शाता है कि वक्रों की सीमाएं आवश्यक रूप से उनकी लंबाई को संरक्षित नहीं करती हैं। इसमें एक इकाई वर्ग में "सीढ़ी" बहुभुज श्रृंखलाओं का एक क्रम होता है, जो घटती लंबाई के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा खंडों से बना होता है, ताकि ये सीढ़ियां वर्ग के विकर्ण में समान रूप से अभिसरण करें। हालाँकि, प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई दो होती है, जबकि विकर्ण की लंबाई 2 का वर्गमूल होती है, इसलिए सीढ़ी की लंबाई का अनुक्रम विकर्ण की लंबाई में परिवर्तित नहीं होता है। मार्टिन गार्डनर इसे "एक प्राचीन ज्यामितीय विरोधाभास" कहते हैं। यह दर्शाता है कि, समान अभिसरण के तहत वक्रों के लिए, एक वक्र की लंबाई वक्र का एक निरंतर कार्य नहीं है। किसी भी चिकनी वक्र के लिए, खंड की लंबाई शून्य तक कम होने वाली बहुभुज श्रृंखलाएँ, वक्र के साथ लगातार शीर्षों को जोड़ती हैं, हमेशा चाप की लंबाई में अभिसरण करती हैं। सीढ़ियों के वक्रों के सही लंबाई में अभिसरण करने में विफलता को इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि उनके कुछ शीर्ष विकर्ण पर नहीं होते हैं। उच्च आयामों में, श्वार्ज़ लालटेन एक समान उदाहरण प्रदान करता है जो दर्शाता है कि पॉलीहेड्रल सतह जो एक घुमावदार सतह पर बिंदु की दिशा में अभिसरण करती हैं, आवश्यक रूप से इसके क्षेत्र में अभिसरण नहीं करती हैं, भले ही सभी शीर्ष सतह पर हों। गणित शिक्षा में चाप की लंबाई की सावधानीपूर्वक परिभाषाओं की आवश्यकता को उजागर करने के साथ-साथ, डिजिटल ज्यामिति में विरोधाभास के अनुप्रयोग हैं, जहां यह पिक्सेलेटेड आकृतियों की परिधि का अनुमान लगाने के तरीकों को प्रेरित करता है जो केवल पिक्सेल के बीच की सीमाओं की लंबाई का योग नहीं करते हैं। यह भी देखें कि एलियासिंग, पिक्सेलेशन कैंटर सीढ़ियों के कारण होने वाली अशुद्धियों की एक अधिक सामान्य घटना, एक इकाई वर्ग टैक्सीकैब ज्यामिति के विकर्ण के साथ एक अस्थि वक्र, जिसमें सीढ़ियों और विकर्ण की लंबाई बराबर होती है।