Synge's world function
सामान्य सापेक्षता में, सिन्ज का विश्व फलन चिकनी लोरेन्ट्ज़ियन मीट्रिक के साथ एक चिकनी अंतरिक्ष काल में बिंदुओं के जोड़े का एक चिकनी स्थानीय रूप से परिभाषित फलन है। मान लीजिए कि अंतरिक्ष काल में दो बिंदु हैं, और मान लीजिए कि यह एक उत्तल सामान्य पड़ोस से संबंधित है (जिससे जुड़े लेवी-सिविटा कनेक्शन को संदर्भित किया जाता है) ताकि एफाइन पैरामीटर तक शामिल करने के लिए एक अद्वितीय भूगणितीय मौजूद हो। मान लीजिए और। फिर सिंगे के विश्व फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहां स्पर्शरेखा वेक्टर संबद्ध रूप से पैरामीट्राइज्ड भूगणितीय के लिए है। अर्थात्, दो बिंदुओं को जोड़ते हुए, अद्वितीय भूगणितीय खंड के साथ गणना करने के लिए हस्ताक्षरित भूगणितीय लंबाई का आधा वर्ग है। सिंगे का विश्व कार्य अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि उपरोक्त समाकलन पुनर्परिमाणन के तहत अपरिवर्तनीय है। विशेष रूप से, मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के लिए, सिन्ज का विश्व कार्य दो बिंदुओं के बीच अंतरिक्ष समय अंतराल के आधे तक सरल हो जाता हैः यह विश्व स्तर पर परिभाषित है और यह इस रूप में होता है जाहिर है कि सिन्ज के कार्य को रीमानियन मैनिफोल्ड में भी परिभाषित किया जा सकता है और उस स्थिति में इसका गैर-नकारात्मक संकेत होता है। आम तौर पर, सिन्ज का कार्य केवल स्थानीय रूप से परिभाषित किया जाता है और उत्तल सामान्य पड़ोस से बड़े डोमेन के विस्तार को परिभाषित करने का प्रयास आम तौर पर एक बहु-मूल्यवान कार्य की ओर ले जाता है क्योंकि अंतरिक्ष काल में कई भूगणितीय खंड एक जोड़ी बिंदुओं में शामिल हो सकते हैं। हालाँकि इसे विकर्ण के पड़ोस में परिभाषित करना संभव है, हालाँकि इस परिभाषा के लिए कुछ मनमाने विकल्प की आवश्यकता है। सिंगे का विश्व फलन (विकर्ण के पड़ोस तक इसका विस्तार भी) विशेष रूप से घुमावदार अंतरिक्ष काल में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के कई सैद्धांतिक निर्माणों में दिखाई देता है। यह एक महत्वपूर्ण वस्तु है जिसका उपयोग वैश्विक स्तर पर हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड में लॉरेंट्ज़ियन ग्रीन हाइपरबोलिक द्वितीय क्रम आंशिक विभेदक समीकरणों के ग्रीन के कार्यों के एक पैरामीट्रिक्स के निर्माण के लिए किया जाता है, और हैडमर्ड गॉसियन अवस्थाओं की परिभाषा में। संदर्भ सामान्य सापेक्षता