Weak equivalence (homotopy theory)
गणित में, एक कमजोर समतुल्यता समरूपता सिद्धांत की एक धारणा है जो कुछ अर्थों में उन वस्तुओं की पहचान करती है जिनका "आकार" समान होता है। इस धारणा को मॉडल श्रेणी की स्वयंसिद्ध परिभाषा में औपचारिक रूप दिया गया है। एक मॉडल श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें रूपात्मकता के वर्ग होते हैं जिन्हें कमजोर समतुल्यता, फाइब्रेशन और कोफ़िब्रेशन कहा जाता है, जो कई स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करते हैं। एक मॉडल श्रेणी की संबंधित समस्थानिक श्रेणी में समान वस्तुएँ होती हैं, लेकिन कमजोर समानताओं को समरूपता में बदलने के लिए रूपात्मकताओं को बदल दिया जाता है। यह एक उपयोगी अवलोकन है कि संबंधित होमोटॉपी श्रेणी केवल कमजोर समतुल्यताओं पर निर्भर करती है, न कि फाइब्रेशन और कोफ़िब्रेशन पर। टोपोलॉजिकल स्पेस मॉडल श्रेणियों को क्विलन द्वारा होमोटॉपी सिद्धांत के स्वयंसिद्धीकरण के रूप में परिभाषित किया गया था जो टोपोलॉजिकल स्पेस पर लागू होता है, लेकिन बीजगणित और ज्यामिति में कई अन्य श्रेणियों पर भी लागू होता है। जिस उदाहरण ने इस विषय को शुरू किया वह सेरे फाइब्रेशन के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है जो फाइब्रेशन के रूप में और कमजोर समस्थानिक समतुल्यता के रूप में कमजोर समतुल्यता के रूप में है (इस मॉडल संरचना के लिए कोफ़िब्रेशन को सापेक्ष कोशिका परिसरों X वाय के पीछे हटने के रूप में वर्णित किया जा सकता है)। परिभाषा के अनुसार, रिक्त स्थान के एक निरंतर मानचित्रण f: X → Y को एक कमजोर समरूपता समतुल्यता कहा जाता है यदि पथ घटकों के सेट पर प्रेरित फलन बाइजेक्टिव है, और X में प्रत्येक बिंदु x और प्रत्येक n ≤ 1 के लिए, समरूपता समूहों पर प्रेरित समरूपता बाइजेक्टिव है। (X और Y पथ से जुड़े होने के लिए, पहली शर्त स्वचालित है, और यह X में एक बिंदु x के लिए दूसरी शर्त बताने के लिए पर्याप्त है।) केवल जुड़े हुए टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान X और Y के लिए, एक मानचित्र f: X → Y एक कमजोर समरूपता समतुल्यता है यदि और केवल तभी जब एकवचन समरूपता समूहों पर प्रेरित समरूपता f *: Hn (X, Z) → Hn (Y, Z) सभी n के लिए बाइजेक्टिव है। इसी तरह, केवल जुड़े हुए रिक्त स्थान X और Y के लिए, एक मानचित्र f: X → Y एक कमजोर समरूपता समतुल्यता है यदि और केवल अगर एकवचन समरूपता पर पुलबैक समरूपता f *: Hn (Y, Z) → Hn (X, Z) सभी n के लिए बाइजेक्टिव है। उदाहरण के लिएः मान लीजिए कि X प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। सकारात्मक पूर्णांक n के लिए 0 से 0 और n से 1/n का मानचित्रण करके f: X → Y को परिभाषित करें। फिर f निरंतर है, और वास्तव में एक कमजोर समस्थानिक समतुल्यता है, लेकिन यह एक समस्थानिक समतुल्यता नहीं है। टोपोलॉजिकल स्पेस की होमोटॉपी श्रेणी (कमजोर होमोटॉपी समकक्षों को उलटकर प्राप्त) टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी को बहुत सरल बनाती है। वास्तव में, यह होमोटॉपी श्रेणी सी. डब्ल्यू. परिसरों की श्रेणी के बराबर है जिसमें मॉर्फिज्म निरंतर मानचित्रों के होमोटॉपी वर्ग हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी पर कई अन्य मॉडल संरचनाओं पर भी विचार किया गया है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर स्ट्रॉम मॉडल संरचना में, फाइब्रेशन हुरेविज़ फाइब्रेशन हैं और कमजोर समतुल्यता होमोटॉपी समतुल्यता हैं। श्रृंखला परिसर कुछ अन्य महत्वपूर्ण मॉडल श्रेणियों में श्रृंखला परिसर शामिल हैं। मान लीजिए कि ए एक ग्रोथेन्डिक अबेलियन श्रेणी है, उदाहरण के लिए एक रिंग पर मॉड्यूल की श्रेणी या एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर अबेलियन समूहों के शीव की श्रेणी। ए में वस्तुओं के कॉम्प्लेक्स एक्स के साथ एक श्रेणी सी (ए) को परिभाषित करें, और श्रृंखला मानचित्रों को मॉर्फिज्म करें। (यह ए की वस्तुओं के "कोचेन कॉम्प्लेक्स" पर विचार करने के बराबर है, जहां संख्या को केवल xi = x−i को परिभाषित करके लिखा जाता है।) श्रेणी सी (ए) में एक मॉडल संरचना है जिसमें कोफ़िब्रेशन मोनोमोर्फिज्म हैं और कमजोर समकक्ष अर्ध-आइसोमोर्फिज्म हैं। परिभाषा के अनुसार, एक श्रृंखला मानचित्र f: X → Y एक अर्ध-समरूपता है यदि समरूपता पर प्रेरित समरूपता सभी पूर्णांक n के लिए एक समरूपता है। परिणामी होमोटॉपी श्रेणी को व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) कहा जाता है। तुच्छ तंतु और तुच्छ कोफ़िब्रेशन किसी भी मॉडल श्रेणी में, एक तंतु जो एक कमजोर समतुल्यता भी है, उसे तुच्छ (या एसाइक्लिक) तंतु कहा जाता है। एक कोफ़िब्रेशन जो एक कमजोर समतुल्यता भी है, उसे तुच्छ (या एसाइक्लिक) कोफ़िब्रेशन कहा जाता है। टिप्पणियाँ संदर्भ समरूपता सिद्धांत समरूपता बीजगणित समतुल्यता (गणित)