Carathéodory kernel theorem
गणित में, कैराथिओडोरी कर्नेल प्रमेय 1912 में यूनानी गणितशास्त्री कॉन्स्टेंटिन कैराथिओडोरी द्वारा स्थापित जटिल विश्लेषण और ज्यामितीय कार्य सिद्धांत का परिणाम है। होलोमोर्फिक अविभाज्य कार्यों के अनुक्रम के कॉम्पैक्ट सेटों पर एक समान अभिसरण, जिसे जटिल तल में इकाई डिस्क पर परिभाषित किया गया है और 0 तय किया गया है, को विशुद्ध रूप से ज्यामितीय रूप से कार्यों की छवियों के सीमित व्यवहार के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। कर्नेल प्रमेय का अविभाज्य कार्यों के सिद्धांत में व्यापक अनुप्रयोग है और विशेष रूप से लोवनर विभेदक समीकरण के लिए ज्यामितीय आधार प्रदान करता है। खुले समुच्चयों के अनुक्रम का कर्नेल मान लीजिए कि यह सी में खुले समुच्चयों का एक क्रम है जिसमें 0 है। माना कि Vn, 0 को धारण करने वाले आंतरिक भाग का जुड़ा हुआ घटक है। अनुक्रम के कर्नेल को Vn के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है, बशर्ते कि यह गैर-खाली हो; अन्यथा इसे परिभाषित किया गया है। इस प्रकार कर्नेल या तो एक जुड़ा हुआ खुला सेट है जिसमें 0 या एक बिंदु सेट होता है। कहा जाता है कि अनुक्रम एक कर्नेल में परिवर्तित हो जाता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक ही कर्नेल हो। उदाहरण यदि यू. एन. 0 वाले जुड़े हुए खुले समुच्चयों का एक बढ़ता हुआ अनुक्रम है, तो कर्नेल सिर्फ संघ है। यदि यू. एन. 0 वाले जुड़े हुए खुले समुच्चयों का एक घटता हुआ अनुक्रम है, तो, यदि 0 यू1 θ यू2 θ का एक आंतरिक बिंदु है, तो अनुक्रम 0 वाले आंतरिक घटक में परिवर्तित हो जाता है। अन्यथा, यदि 0 एक आंतरिक बिंदु नहीं है, तो अनुक्रम में अभिसरण होता है। कर्नेल प्रमेय मान लीजिए कि fn (z) इकाई डिस्क D पर होलोमोर्फिक अविभाज्य कार्यों का एक अनुक्रम है, जिसे सामान्यीकृत किया गया है ताकि fn (0) = 0 और f 'n (0)> 0 हो। फिर fn, D में कॉम्पैक्ट पर एक फलन f में समान रूप से अभिसरण करता है यदि और केवल तभी जब Un = fn (D) अपने कर्नेल में अभिसरण करता है और यह कर्नेल C नहीं है। अन्यथा कर्नेल एक जुड़ा हुआ खुला समुच्चय U है, f, D पर अविभाज्य है और f (D) = U। सबूत हर्विट्ज़ की प्रमेय और मोंटेल की प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह जांचना आसान है कि यदि fn कॉम्पैक्ट पर समान रूप से f की ओर जाता है तो UN के प्रत्येक अनुक्रम में कर्नेल U = f (D) होता है। इसके विपरीत यदि यू. एन. एक ऐसे कर्नेल में परिवर्तित हो जाता है जो सी के बराबर नहीं है, तो कोएबे चतुर्थांश प्रमेय यू. एन. में केंद्र 0 के साथ त्रिज्या एफ 'एन (0)/4 की डिस्क होती है। यह धारणा कि U ष्ण C का तात्पर्य है कि ये त्रिज्याएँ समान रूप से बंधी हुई हैं। कोएबे विरूपण प्रमेय के अनुसार इसलिए अनुक्रम fn समान रूप से सघन समुच्चयों पर बंधा होता है। यदि दो अनुक्रम होलोमोर्फिक सीमा f और g में अभिसरण करते हैं, तो f (0) = g (0) और f '(0), g' (0) के साथ। पहले भाग और मान्यताओं से यह पता चलता है कि f (D) = g (D)। रीमान मानचित्रण प्रमेय में विशिष्टता f = g को मजबूर करती है, इसलिए मूल अनुक्रम f "n कॉम्पैक्ट सेटों पर समान रूप से अभिसारी है। जटिल विश्लेषण में संदर्भ प्रमेय