Niven's theorem
गणित में, निवेन की प्रमेय, जिसका नाम इवान निवेन के नाम पर रखा गया है, बताती है कि 0° ≤ θ ≤ 90° के अंतराल में θ के एकमात्र परिमेय मान जिनके लिए θ डिग्री का साइन भी एक परिमेय संख्या हैः रेडियन में, किसी को 0 ≤ x ≤/2 की आवश्यकता होगी, वह x/परिमेय होगा, और वह sinx परिमेय होगा। निष्कर्ष यह है कि केवल ऐसे मान हैं sin 0 = 0, sin/6 = 1/2, और sin/2 = 1। अपरिमेय संख्याओं पर निवेन की पुस्तक में यह प्रमेय कोरोलरी 3.12 के रूप में दिखाई देता है। यह प्रमेय अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों तक भी फैला हुआ है। θ के परिमेय मानों के लिए, साइन या कोसाइन के केवल परिमेय मान 0, ±1/2, और ±1 हैं; सेकेंट या कोसेकेंट के केवल परिमेय मान ±1 और ±2 हैं; और स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के केवल परिमेय मान 0 और ±1 हैं। उनके प्रमेय का इतिहास निवेन का प्रमाण उनकी पुस्तक अपरिमेय संख्याओं में मिलता है। इससे पहले, इस प्रमेय को डी. एच. लेहमर और जे. एम. एच. ओल्मस्टेड द्वारा सिद्ध किया गया था। अपने 1933 के शोध पत्र में, लेहमर ने अधिक सामान्य परिणाम साबित करके कोसाइन के लिए प्रमेय को साबित किया। अर्थात्, लेहमर ने दिखाया कि अपेक्षाकृत अभाज्य पूर्णांकों के लिए और के साथ, संख्या डिग्री की एक बीजगणितीय संख्या है, जहां यूलर के टोशिएंट फ़ंक्शन को दर्शाता है। चूँकि परिमेय संख्याओं की डिग्री 1 है, इसलिए हमारे पास होना चाहिए और इसलिए केवल संभावनाएँ 1,2,3,4 या 6 हैं। इसके बाद, उन्होंने त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके साइन के लिए एक संबंधित परिणाम साबित किया। 1956 में, निवेन ने लेहमर के परिणाम को अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों तक विस्तारित किया। बाद के वर्षों में अन्य गणितविदों ने नए प्रमाण दिए हैं। यह भी देखें कि पाइथागोरस ट्रिपल सही त्रिकोण बनाते हैं जहां त्रिकोणमितीय कार्य हमेशा तर्कसंगत मान लेते हैं, हालांकि तीव्र कोण तर्कसंगत त्रिकोणमितीय कार्य नहीं हैं त्रिकोणमितीय संख्या संदर्भ आगे पढ़ने के लिए तर्कसंगत संख्या ज्यामिति में त्रिकोणमिति प्रमेय बीजगणित में प्रमेय