Pontryagin product
गणित में, पोंट्रियागिन उत्पाद, द्वारा प्रस्तुत किया गया, टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक उत्पाद द्वारा प्रेरित एक टोपोलॉजिकल स्पेस के समरूपता पर एक उत्पाद है। विशेष मामलों में अबेलियन समूह की समरूपता पर पोंट्रियागिन उत्पाद, एच-स्पेस पर पोंट्रियागिन उत्पाद और लूप स्पेस पर पोंट्रियागिन उत्पाद शामिल हैं। क्रॉस उत्पाद पोंट्रियागिन उत्पाद को परिभाषित करने के लिए हमें पहले एक मानचित्र की आवश्यकता होती है जो m-th और n-th समरूपता समूह के प्रत्यक्ष उत्पाद को एक स्थान के (m + n)-th समरूपता समूह को भेजता है। इसलिए हम क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करते हैं, जो एकवचन श्रृंखलाओं के स्तर से शुरू होता है। दो स्थलवैज्ञानिक रिक्त स्थान X और Y और दो एकवचन सरलीकरणों को देखते हुए और हम उत्पाद मानचित्र को परिभाषित कर सकते हैं, केवल कठिनाई यह दिखाना है कि यह एकवचन (m + n)-सिम्प्लेक्स को परिभाषित करता है। ऐसा करने के लिए इसे (m + n)-सरलीकरणों में विभाजित किया जा सकता है। फिर यह दिखाना आसान है कि यह मानचित्र यह साबित करके रूप के समरूपता पर एक मानचित्र को प्रेरित करता है कि यदि और चक्र हैं तो ऐसा ही है और यदि या तो या एक सीमा है तो उत्पाद भी ऐसा ही है। परिभाषा गुणन के साथ एक एच-स्थान को देखते हुए हम मानचित्रों की निम्नलिखित संरचना द्वारा समरूपता पर पोंट्रियागिन उत्पाद को परिभाषित करते हैं जहां पहला मानचित्र ऊपर परिभाषित क्रॉस उत्पाद है और दूसरा मानचित्र एच-स्थान के गुणन द्वारा दिया गया है जिसके बाद समरूपता के स्तर पर समरूपता प्राप्त करने के लिए समरूपता कारक का अनुप्रयोग किया गया है। फिर. संदर्भ समरूपता सिद्धांत समूह सिद्धांत