Preissmann's theorem
रीमानियन ज्यामिति, गणित के एक क्षेत्र में, प्रेसमैन की प्रमेय एक ऐसा कथन है जो नकारात्मक रूप से घुमावदार कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड की संभावित टोपोलॉजी को प्रतिबंधित करता है। इसका नाम अलेक्जेंडर प्रेसमैन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1943 में एक प्रमाण प्रकाशित किया था। प्रीसमैन की प्रमेय नकारात्मक अनुभागीय वक्रता के रीमानियन मीट्रिक के साथ एक बंद मैनिफोल्ड पर विचार करें। प्रेसमैन की प्रमेय में कहा गया है कि मौलिक समूह का प्रत्येक गैर-तुच्छ अबेलियन उपसमूह पूर्णांकों के योगात्मक समूह के समरूप होना चाहिए। इसे शिथिल रूप से यह कहते हुए व्याख्या की जा सकती है कि इस तरह के कई गुना का मौलिक समूह अत्यधिक गैर-एबेलियन होना चाहिए। इसके अलावा, मूल समूह स्वयं अबेलियन नहीं हो सकता है। एक उदाहरण के रूप में, प्रेसमैन के प्रमेय का तात्पर्य है कि-आयामी टोरस कड़ाई से नकारात्मक अनुभागीय वक्रता (जब तक कि दो न हो) के किसी भी रीमानियन मीट्रिक को स्वीकार नहीं करता है। अधिक आम तौर पर, सकारात्मक आयामों के दो बंद मैनिफोल्ड्स का उत्पाद सख्ती से नकारात्मक अनुभागीय वक्रता के रीमानियन मीट्रिक को स्वीकार नहीं करता है। प्रेसमैन के प्रमेय का मानक प्रमाण उन बाधाओं से संबंधित है जो नकारात्मक वक्रता भूगणितीय की लंबाई और कोणों पर बनाती है। हालाँकि, इसे आंशिक विभेदक समीकरणों की तकनीकों द्वारा भी साबित किया जा सकता है, जो हार्मोनिक मानचित्रों पर जेम्स ईल्स और जोसेफ सैम्पसन के मूलभूत प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में है। फ्लैट टोरस प्रमेय प्रेसमैन प्रमेय को डेटलेफ ग्रोमोल और जोसेफ वुल्फ द्वारा और स्वतंत्र रूप से ब्लेन लॉसन और शिंग-तुंग याउ द्वारा प्राप्त अधिक शक्तिशाली फ्लैट टोरस प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। यह स्थापित करता है कि, अनुभागीय वक्रता की गैर-सकारात्मकता के तहत, मौलिक समूह के अबेलियन उपसमूहों को ज्यामितीय रूप से विशेष सबमैनिफोल्ड्स द्वारा दर्शाया जाता हैः एक सपाट टोरस के पूरी तरह से जियोडेसिक आइसोमेट्रिक विसर्जन। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान का एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है जो अनुभागीय वक्रता पर ऊपरी सीमा के सिद्धांत को मीट्रिक रिक्त स्थान के संदर्भ में विस्तारित करता है। सपाट टोरस प्रमेय, प्रेसमैन प्रमेय के विशेष मामले के साथ, इस व्यापक संदर्भ में रखा जा सकता है। संदर्भ पुस्तकें। रीमानियन ज्यामिति में प्रमेय