Microcontinuity
गैर-मानक विश्लेषण में, शास्त्रीय गणित के भीतर एक विषय, एक बिंदु a पर एक आंतरिक फलन f की सूक्ष्म निरंतरता (या S-निरंतरता) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः a के असीम रूप से करीब सभी x के लिए, मान f (x) असीम रूप से f (a) के करीब है। यहाँ x, f के क्षेत्र से गुजरता है। सूत्रों में, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता हैः यदि तब। एफ पर परिभाषित फलन के लिए, परिभाषा को प्रभामंडल के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता हैः एफ यदि और केवल तभी पर सूक्ष्म निरंतर है, जहां अतिमानवों के लिए एफ का प्राकृतिक विस्तार अभी भी एफ को दर्शाया जाता है। वैकल्पिक रूप से, सी पर सूक्ष्म निरंतरता के गुण को यह कहते हुए व्यक्त किया जा सकता है कि संरचना सी के प्रभामंडल पर स्थिर है, जहां "एसटी" मानक भाग फलन है। किसी फलन की निरंतरता के आधुनिक गुण को पहली बार 1817 में बोलजानो द्वारा परिभाषित किया गया था। हालाँकि, 1860 के दशक में हाइने में इसकी पुनः खोज होने तक बोलजानो के काम पर बड़े गणितीय समुदाय द्वारा ध्यान नहीं दिया गया था। इस बीच, कॉची की पाठ्यपुस्तक कोर्स डी 'एनालिसिस ने ऊपर के रूप में असीम का उपयोग करते हुए 1821 में निरंतरता को परिभाषित किया। निरंतरता और समान निरंतरता सूक्ष्म निरंतरता का गुण आम तौर पर एक वास्तविक फलन f के प्राकृतिक विस्तार f * पर लागू होता है। इस प्रकार, एक वास्तविक अंतराल I पर परिभाषित f निरंतर है यदि और केवल तभी जब f * I के प्रत्येक बिंदु पर सूक्ष्म निरंतर हो। इस बीच, f, I पर समान रूप से निरंतर है यदि और केवल तभी जब f * अपने डोमेन I के प्राकृतिक विस्तार I * के हर बिंदु (मानक और गैर-मानक) पर सूक्ष्म निरंतर है (डेविस, 1977, पृष्ठ 96 देखें)। उदाहरण 1 खुला अंतराल (0,1) पर वास्तविक फलन समान रूप से निरंतर नहीं है क्योंकि f का प्राकृतिक विस्तार f * एक असीम पर सूक्ष्म निरंतर होने में विफल रहता है। वास्तव में, ऐसे a के लिए, मान a और 2a असीम रूप से निकट हैं, लेकिन f * के मान, अर्थात् और असीम रूप से निकट नहीं हैं। उदाहरण 2 चालू फलन समान रूप से निरंतर नहीं है क्योंकि f * एक अनंत बिंदु पर सूक्ष्म निरंतर होने में विफल रहता है। अर्थात्, सेटिंग और K = H + e, कोई भी आसानी से देख सकता है कि H और K असीम रूप से करीब हैं लेकिन f * (H) और f * (K) असीम रूप से करीब नहीं हैं। समान अभिसरण समान अभिसरण इसी तरह एक हाइपररियल सेटिंग में एक सरलीकृत परिभाषा को स्वीकार करता है। इस प्रकार, एक अनुक्रम समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है यदि f * के क्षेत्र में सभी x और सभी अनंत n के लिए, असीम रूप से इसके करीब है। मानक भाग कार्य ग्रंथ सूची मार्टिन डेविस (1977) अनुप्रयुक्त गैर-मानक विश्लेषण भी देखें। शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित। विली-इंटरसाइंस [जॉन विली एंड संस], न्यूयॉर्क-लंदन-सिडनी। xii + 181 पीपी। गॉर्डन, ई. आई.; कुसरेव, ए. जी.; कुटाटेलाद्ज़े, एस. एस.: असीम विश्लेषण। 2001 के रूसी मूल का अद्यतन और संशोधित अनुवाद। कुटाटेलाद्ज़े द्वारा अनुवादित। गणित और उसके अनुप्रयोग, 544। क्लूवर अकादमिक प्रकाशक, डोरड्रेक्ट, 2002। संदर्भ गैर-मानक विश्लेषण