Quasicircle
गणित में, एक अर्धवृत्त जटिल तल में एक जॉर्डन वक्र है जो स्वयं पर तल के एक अर्ध-औपचारिक मानचित्रण के तहत एक वृत्त की छवि है। मूल रूप से और द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश किया गया, पुराने साहित्य में (जर्मन में) उन्हें क्वासिकोफॉर्मल वक्र के रूप में संदर्भित किया गया था, एक शब्दावली जो चापों पर भी लागू होती है। जटिल विश्लेषण और ज्यामितीय कार्य सिद्धांत में, वृत्त के अर्धसममित समरूपता के माध्यम से, सार्वभौमिक टेचमुलर स्थान के विवरण में अर्धवृत्त एक मौलिक भूमिका निभाते हैं। जटिल गतिशील प्रणालियों में अर्धवृत्त भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। परिभाषा एक अर्धवृत्त को विस्तारित जटिल तल के अर्ध-औपचारिक मानचित्रण के तहत एक वृत्त की छवि के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे के-क्वासिसर्कल कहा जाता है यदि क्वासिसर्कल की परिभाषा समतल के समरूपता के तहत एक वृत्त की छवि के रूप में जॉर्डन वक्र के लक्षण वर्णन को सामान्यीकृत करती है। विशेष रूप से एक अर्धवृत्त एक जॉर्डन वक्र है। एक अर्धवृत्त के आंतरिक भाग को अर्धवृत्त कहा जाता है। जैसा कि इसमें दिखाया गया है, जहां पुराने शब्द "क्वासिकोफॉर्मल कर्व" का उपयोग किया जाता है, यदि एक जॉर्डन वक्र वक्र के पड़ोस में एक क्वासिकोफॉर्मल मानचित्र के नीचे एक वृत्त की छवि है, तो यह विस्तारित तल के क्वासिकोफॉर्मल मानचित्रण के तहत एक वृत्त की छवि भी है और इस प्रकार एक क्वासिसर्कल है। यही बात "क्वासिकोफॉर्मल आर्क्स" के लिए भी सच है जिसे एक खुले समुच्चय में या विस्तारित तल में समतुल्य रूप से एक गोलाकार चाप की क्वासिकोफॉर्मल छवियों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय लक्षण वर्णनों ने जॉर्डन वक्रों के रूप में अर्धवृत्त का एक ज्यामितीय लक्षण वर्णन दिया, जिसके लिए किसी भी चार बिंदुओं के पार-अनुपात का निरपेक्ष मान, चक्रीय क्रम में लिया जाता है, जो नीचे एक सकारात्मक स्थिरांक से घिरा होता है। अहलफोर्स ने यह भी साबित किया कि अर्धवृत्त को तीन बिंदुओं के लिए एक विपरीत त्रिभुज असमानता के संदर्भ में चिह्नित किया जा सकता हैः एक स्थिरांक C होना चाहिए जैसे कि यदि दो बिंदु z1 और z2 को वक्र पर चुना जाता है और z3 परिणामी चापों के छोटे पर स्थित होता है, तो इस गुण को बाउंडेड टर्निंग या चाप स्थिति भी कहा जाता है। जॉर्डन कर्व्स के लिए विस्तारित तल में φ से गुजरने के लिए, एक अर्धवृत्त होने के लिए एक सरल आवश्यक और पर्याप्त शर्त दी गई। एक स्थिरांक C> 0 ऐसा है कि यदि z1, z2 वक्र पर कोई बिंदु हैं और z3 उनके बीच के खंड पर स्थित है, तो इन मीट्रिक लक्षण वर्णनों का अर्थ है कि एक चाप या बंद वक्र जब भी एक अंतराल या वृत्त की छवि के रूप में एक द्वि-लिपशिट्ज़ मानचित्र f के तहत उत्पन्न होता है, अर्थात। सकारात्मक स्थिरांक सी. आई. के लिए संतोषजनक। क्वासिसर्कल्स और क्वासिसिमेट्रिक होमोमोर्फिज्म यदि φ वृत्त का एक क्वासिसिमेट्रिक होमोमोर्फिज्म है, तो अलग-अलग क्षेत्रों में [z। <1 के अनुरूप मानचित्र f और |z।> 1 के अनुरूप मानचित्र इस तरह हैं कि f और g की छवियों का पूरक एक जॉर्डन वक्र है। मानचित्र f और g लगातार वृत्त |z। = 1 तक फैले हुए हैं और सिलाई समीकरण बना हुआ है। वृत्त की छवि एक अर्धवृत्त है। इसके विपरीत, रीमान मानचित्रण प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक अर्धवृत्त के बाहरी हिस्से को एकरूप करने वाले अनुरूप मानचित्र f और g उपरोक्त समीकरण के माध्यम से एक अर्धसममित समरूपता को जन्म देते हैं। मोबियस परिवर्तनों के उपसमूह द्वारा अर्धसममित समरूपता के समूह का भागफल स्थान सार्वभौमिक टेचमुलर स्थान का एक मॉडल प्रदान करता है। उपरोक्त पत्राचार से पता चलता है कि अर्धवृत्त के स्थान को भी एक मॉडल के रूप में लिया जा सकता है। क्वासिकोफॉर्मल रिफ्लेक्शन जॉर्डन वक्र में एक क्वासिकोफॉर्मल रिफ्लेक्शन अवधि 2 का एक अभिविन्यास-उलटने वाला क्वासिकोफॉर्मल मानचित्र है जो वक्र पर वक्र निर्धारण बिंदुओं के अंदर और बाहर स्विच करता है। चूँकि नक्शा इकाई वृत्त के लिए ऐसा परावर्तन प्रदान करता है, इसलिए कोई भी अर्धवृत्त एक अर्ध-औपचारिक परावर्तन को स्वीकार करता है। यह साबित हुआ कि यह गुण अर्धवृत्तों की विशेषता है। अहलफोर्स ने नोट किया कि इस परिणाम को इकाई डिस्क डी पर समान रूप से बंधे होलोमोर्फिक अविभाज्य कार्यों f (z) पर लागू किया जा सकता है। जैसा कि कैराथिओडोरी ने अपने अभाज्य छोरों के सिद्धांत का उपयोग करके साबित किया था, f इकाई वृत्त तक लगातार फैलता है यदि और केवल तभी जब ष्णू स्थानीय रूप से जुड़ा हो, अर्थात। मनमाने ढंग से छोटे व्यास के सीमित रूप से कई कॉम्पैक्ट जुड़े सेटों द्वारा एक आवरण को स्वीकार करता है। वृत्त का विस्तार 1-1 है यदि और केवल तभी जब कोई कट बिंदु नहीं है, अर्थात। जिन बिंदुओं को जब ष्णू से हटा दिया जाता है तो एक डिस्कनेक्टेड सेट प्राप्त होता है। कैराथिओडोरी के प्रमेय से पता चलता है कि बिना कट बिंदुओं के एक स्थानीय रूप से सेट केवल एक जॉर्डन वक्र है और ठीक इस मामले में बंद इकाई डिस्क के लिए f का विस्तार एक समरूपता है। यदि f विस्तारित जटिल तल के एक अर्ध-औपचारिक मानचित्रण तक फैला हुआ है तो परिभाषा के अनुसार एक अर्धवृत्त है। इसके विपरीत यह देखा गया है कि यदि एक अर्धवृत्त एक अर्धवृत्त है और R1 एक अर्धवृत्त में अर्धरूपी परावर्तन को दर्शाता है तो |z।> 1 के लिए असाइनमेंट विस्तारित जटिल तल में f के एक अर्धरूपी विस्तार को परिभाषित करता है। जटिल गतिशील प्रणालियों क्वासिसर्कल को तर्कसंगत मानचित्र आर (जेड) के जूलिया सेट के रूप में उत्पन्न होने के लिए जाना जाता था। यह साबित हुआ कि यदि आर के फातो सेट में दो घटक हैं और जूलिया सेट पर आर की क्रिया "हाइपरबोलिक" है, अर्थात। वहाँ स्थिरांक c> 0 और A> 1 ऐसे हैं कि जूलिया सेट पर, फिर जूलिया सेट एक अर्धवृत्त है। कई उदाहरण हैंः एक आकर्षक निश्चित बिंदु के साथ द्विघात बहुपद R (z) = z2 + c डौडी खरगोश (c =-0.122561 + 0.744862i, जहाँ c3 + 2 c2 + c + 1 = 0) द्विघात बहुपद z2 + λz के साथ |λ। परिभाषा के अनुसार उनके सीमा सेट अर्धवृत्त हैं। मान लीजिए कि γ पहली तरह का एक फ्यूशियन समूह हैः इकाई वृत्त को संरक्षित करने वाले मोबियस समूह का एक असतत उपसमूह। इकाई डिस्क डी पर ठीक से असंगत रूप से कार्य करना और सीमा के साथ इकाई वृत्त निर्धारित करना। मान लीजिए कि μ (z), D पर एक मापने योग्य फलन है, जिसके साथ μ, γ-अपरिवर्तनीय है। प्रत्येक जी के लिए। (इस प्रकार रीमान सतह डी/जात पर एक "बेलट्रामी अंतर" है।) सी पर एक फलन को एक्सटेंड करने के लिए डी से बाहर μ (z) = 0 निर्धारित करें। बेल्ट्रामी समीकरण एक मोबियस परिवर्तन के साथ संरचना तक अद्वितीय समाधान को स्वीकार करता है। यह विस्तारित जटिल तल का एक क्वासिकोफॉर्मल समरूपता है। यदि g एक तत्व है, तो f (g (z)) बेलट्रामी समीकरण का एक और समाधान देता है, इसलिए यह एक मोबियस परिवर्तन है। समूह α (जात) एक अर्ध-फ्यूशियन समूह है जिसकी सीमा इकाई वृत्त की छवि द्वारा f के तहत दिए गए अर्धवृत्त को निर्धारित करती है। हौसडॉर्फ आयाम यह ज्ञात है कि ऐसे अर्धवृत्त हैं जिनके लिए किसी भी खंड की लंबाई सीमित नहीं है। क्वासिसर्कल्स के हौसडॉर्फ आयाम की जांच सबसे पहले उनके द्वारा की गई थी, जिन्होंने साबित किया कि यह अंतराल [1,2] में सभी मान ले सकता है। , "होलोमोर्फिक गतियों" की नई तकनीक का उपयोग करते हुए किसी भी समतलीय सेट के हौसडॉर्फ आयाम में परिवर्तन का अनुमान लगाने में सक्षम था, जिसमें विस्तार के साथ एक क्वासिकोफॉर्मल मानचित्र के तहत के. क्वासिसर्कल्स सी के लिए, हौसडॉर्फ आयाम के लिए एक कच्चा अनुमान था जहां दूसरी ओर, जूलिया सेट के लिए हौसडॉर्फ आयाम जे. सी. तर्कसंगत मानचित्रों के पुनरावृत्तियों का अनुमान रूफस बोवेन और डेविड रूएल के काम के परिणामस्वरूप लगाया गया था, जिन्होंने दिखाया कि चूंकि ये एक फैलाव के अनुरूप क्वासिसर्कल हैं, जहां इससे पता चलता है कि के स्मॉल के लिए स्टेफ के साथ कोच स्नोफ्लेक के लिए गणना के बाद निचली सीमा में सुधार हुआ है। एक अर्ध-फ्यूशियन समूह के लिए और दिखाया कि सीमा सेट का हौसडॉर्फ आयाम d हमेशा 1 से अधिक होता है। जब डी <2 होता है, तो मात्रा संबंधित हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड के लाप्लेशियन का सबसे कम आइगेनवैल्यू होती है। टिप्पणियाँ संदर्भ, धारा 13.2, अर्धवृत्त का आयाम। + जटिल विश्लेषण गतिशील प्रणालियाँ फ्रैक्टल