Kasch ring
रिंग सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित का एक उपक्षेत्र, एक दाएँ कैश रिंग एक रिंग आर है जिसके लिए प्रत्येक सरल दाएँ आर मॉड्यूल आर के दाएँ आदर्श के समरूप है। समान रूप से एक बाएँ कैश रिंग की धारणा को परिभाषित किया गया है, और दोनों गुण एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। कास्च रिंग्स का नाम गणितशास्त्री फ्रेडरिक कास्च के सम्मान में रखा गया है। कास्च को मूल रूप से आर्टिनियन रिंग कहा जाता था, जिनके उचित आदर्शों में गैर-शून्य विनाशक एस-रिंग होते हैं। नीचे दी गई विशेषताओं से पता चलता है कि कास्च रिंग्स एस-रिंग्स को सामान्यीकृत करते हैं। परिभाषा समतुल्य परिभाषाएँ केवल दाहिने हाथ के संस्करण के लिए पेश की जाएंगी, इस समझ के साथ कि बाएं हाथ के अनुरूप भी सही हैं। कास्च शर्तों में विनाशकों की अवधारणा का उपयोग करते हुए कुछ समकक्ष कथन हैं, और यह लेख विनाशक लेख में दिखाई देने वाले समान संकेतन का उपयोग करता है। परिचय में दी गई परिभाषा के अलावा, निम्नलिखित गुण एक रिंग आर के सही कास्च होने के लिए समतुल्य परिभाषाएँ हैं। वे इस प्रकार दिखाई देते हैंः प्रत्येक सरल सही आर मॉड्यूल एम के लिए, एम से आर में एक गैर-शून्य मॉड्यूल समरूपता होती है। आर के अधिकतम सही आइडियल रिंग तत्वों के सही विनाशक होते हैं, अर्थात, प्रत्येक उस रूप का होता है जहां एक्स आर में होता है। आर के किसी भी अधिकतम सही आइडियल टी के लिए,। आर के किसी भी उचित सही आदर्श टी के लिए,। आर के किसी भी अधिकतम सही आदर्श टी के लिए,। आर के अलावा आर का कोई घना सही आदर्श नहीं है। उदाहरण नीचे दी गई सामग्री संदर्भों में पाई जा सकती है जैसे,,। मान लीजिए कि आर जैकबसन रेडिकल जे के साथ एक अर्ध-प्राथमिक वलय है। यदि R परिवर्तनीय है, या यदि R/J एक सरल वलय है, तो R दाएँ (और बाएँ) कोश है। विशेष रूप से, कम्यूटेटिव आर्टिनियन रिंग दाएं और बाएं कास्च होते हैं। विभाजन रिंग k के लिए, k से प्रविष्टियों के साथ चार-गुणा-चार मैट्रिक्स रिंग के एक निश्चित सबरिंग R पर विचार करें। सबरिंग R में निम्नलिखित रूप के मैट्रिक्स होते हैंः यह एक दाएँ और बाएँ आर्टिनियन रिंग है जो दाएँ कास्च है, लेकिन बाएँ कास्च नहीं है। मान लीजिए कि S दो गैर-कम्यूटिंग चर X और Y पर एक क्षेत्र F के गुणांक के साथ शक्ति श्रृंखला का वलय है। मान लीजिए कि आदर्श A दो तत्वों YX और Y2 द्वारा उत्पन्न आदर्श है। भागफल रिंग एस/ए एक स्थानीय रिंग है जो दाहिनी ओर कास्च है लेकिन बाईं ओर कास्च नहीं है। मान लीजिए कि आर असीम रूप से कई गैर-शून्य रिंगों का एक रिंग प्रत्यक्ष उत्पाद है जिसे ए. के. लेबल किया गया है। ए. के. का प्रत्यक्ष योग आर. का एक उचित आदर्श बनाता है। यह आसानी से जांचा जाता है कि इस आदर्श के बाएँ और दाएँ सर्वनाशकर्ता शून्य हैं, और इसलिए आर दाएँ या बाएँ कास्च नहीं है। दो-से-दो ऊपरी (या निचला) त्रिकोणीय मैट्रिक्स रिंग दाएँ या बाएँ कास्च नहीं है। सही सोल शून्य के साथ एक रिंग (यानी) सही कास्च नहीं हो सकता है, क्योंकि रिंग में कोई न्यूनतम सही आदर्श नहीं होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, जो डोमेन विभाजन रिंग नहीं हैं, वे दाएं या बाएं कैश नहीं हैं। संदर्भ बीजगणितीय संरचना रिंग सिद्धांत