Ramanujan's master theorem
गणित में, रामानुजन का मास्टर प्रमेय, जिसका नाम श्रीनिवास रामानुजन के नाम पर रखा गया है, एक ऐसी तकनीक है जो एक विश्लेषणात्मक फलन के मेलिन परिवर्तन के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्रदान करती है। परिणाम इस प्रकार बताया गया हैः यदि एक जटिल-मूल्य वाले फलन में रूप का विस्तार होता है तो इसका मेलिन परिवर्तन इस प्रकार दिया जाता है कि गामा फलन कहाँ है। इसका व्यापक रूप से उपयोग रामानुजन द्वारा निश्चित समाकलन और अनंत श्रृंखला की गणना करने के लिए किया गया था। इस प्रमेय के उच्च-आयामी संस्करण क्वांटम भौतिकी (फेनमैन आरेखों के माध्यम से) में भी दिखाई देते हैं। ग्लेशर द्वारा भी इसी तरह का परिणाम प्राप्त किया गया था। वैकल्पिक औपचारिकता रामानुजन के मुख्य प्रमेय का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण इस प्रकार हैः जो गामा फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण को प्रतिस्थापित करने और उपयोग करने के बाद उपरोक्त रूप में परिवर्तित हो जाता है। ऊपर दिया गया समाकलन विकास की स्थितियों के अधीन अभिसारी है। सबूत रामानुजन के मास्टर प्रमेय की "प्राकृतिक" धारणाओं (हालांकि सबसे कमजोर आवश्यक शर्तें नहीं) के अधीन एक प्रमाण जी. एच. हार्डी (अध्याय XI) द्वारा अवशिष्ट प्रमेय और प्रसिद्ध मेलिन व्युत्क्रम प्रमेय को नियोजित करते हुए प्रदान किया गया था। बर्नौली बहुपदों के लिए अनुप्रयोग बर्नौली बहुपदों का उत्पन्न करने वाला कार्य इस प्रकार दिया गया हैः इन बहुपदों को हर्विट्ज़ जीटा फलन के संदर्भ में दिया गया हैः के लिए। रामानुजन मास्टर प्रमेय और बर्नौली बहुपदों के उत्पन्न करने वाले कार्य का उपयोग करते हुए निम्नलिखित अभिन्न प्रतिनिधित्व हैः जो इसके लिए मान्य है। गामा फलन के लिए अनुप्रयोग वीयरस्ट्रास की गामा फलन की परिभाषा अभिव्यक्ति के बराबर है जहाँ रीमान जीटा फलन है। फिर रामानुजन मास्टर प्रमेय को लागू करते हुए हमारे पास हैः के लिए मान्य है। रामानुजन के मास्टर प्रमेय के अनुसार, गामा फलन और पुनर्व्यवस्था के लिए कुछ पहचानों के साथ, हम इसके लिए मान्य समाकलन का मूल्यांकन कर सकते हैं। समान रूप से, यदि गोलाकार बेसल फलन को प्राथमिकता दी जाती है, तो सूत्र के लिए मान्य हो जाता है। समाधान उल्लेखनीय है कि यह गामा फलन के लिए प्रमुख पहचानों में अंतर्वेशन करने में सक्षम है। विशेष रूप से, का चयन गामा फलन का वर्ग देता है, दोहराव सूत्र देता है, परावर्तन सूत्र देता है, और मूल्यांकन को ठीक करता है या परावर्तन और स्केलिंग तक गामा फलन देता है। ब्रैकेट एकीकरण विधि ब्रैकेट एकीकरण विधि (ब्रैकेट की विधि) रामानुजन के मास्टर प्रमेय को समाकलन की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू करती है। कोष्ठक एकीकरण विधि एक श्रृंखला विस्तार का एक अभिन्न अंग उत्पन्न करती है, सरल संकेतों का परिचय देती है, रैखिक समीकरणों को हल करती है, और रामानुजन के मास्टर प्रमेय से उत्पन्न होने वाले सूत्रों का उपयोग करके एकीकरण को पूरा करती है। एक श्रृंखला विस्तार का एक अभिन्न अंग उत्पन्न करें यह विधि एम चर, और एस योग मापदंडों को शामिल करते हुए एक श्रृंखला विस्तार के एक अभिन्न अंग में अभिन्न को बदल देती है। एक बहुभिन्नरूपी समाकलन इस रूप को ग्रहण कर सकता है। विशेष संकेतन लागू करें ब्रैकेट (), इंडिकेटर (), और मोनोमिअल पावर नोटेशन श्रृंखला विस्तार में शब्दों को प्रतिस्थापित करते हैं। इन संकेतनों का अनुप्रयोग बी कोष्ठक युक्त कोष्ठक श्रृंखला के अभिन्न अंग को बदल देता है। प्रत्येक कोष्ठक श्रृंखला में एक सूचकांक होता है जिसे सूचकांक = योगों की संख्या-कोष्ठकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक समाकलन के सभी कोष्ठक श्रृंखला प्रतिनिधित्वों में, न्यूनतम सूचकांक के साथ प्रतिनिधित्व को प्राथमिकता दी जाती है। रैखिक समीकरणों को हल करें गुणांकों की सरणी में रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित समूह को हल करने के लिए अधिकतम श्रेणी, रैखिक रूप से स्वतंत्र अग्रणी स्तंभ होने चाहिए। यदि सूचकांक गैर-नकारात्मक है, तो प्रत्येक के लिए इस समीकरण सेट को हल करें। पद के रैखिक कार्य हो सकते हैं। यदि सूचकांक शून्य है, तो समीकरण () प्रत्येक के लिए इस समीकरण सेट को हल करने के लिए सरल बनाता है यदि सूचकांक नकारात्मक है, तो समाकलन निर्धारित नहीं किया जा सकता है। सूत्र लागू करें यदि सूचकांक गैर-नकारात्मक है, तो समाकलन का सूत्र यह रूप है। ये नियम लागू होते हैं। मुक्त योग मापदंडों के प्रत्येक विकल्प के लिए एक श्रृंखला उत्पन्न की जाती है। एक सामान्य क्षेत्र में श्रृंखला अभिसरण जोड़ा जाता है। यदि कोई विकल्प एक अलग श्रृंखला या शून्य श्रृंखला (शून्य मूल्यवान शब्दों वाली श्रृंखला) उत्पन्न करता है, तो श्रृंखला को अस्वीकार कर दिया जाता है। नकारात्मक सूचकांक की एक कोष्ठक श्रृंखला को कोई मूल्य नहीं दिया जाता है। यदि सभी श्रृंखलाओं को अस्वीकार कर दिया जाता है, तो विधि लागू नहीं की जा सकती है। यदि सूचकांक शून्य है, तो सूत्र इस सूत्र को सरल बनाता है और कोई योग नहीं होता है। गणितीय आधार इस चर परिवर्तन को सामान्य समाकलन रूप () में लागू करें। .. यह परिवर्तित समाकलन () है और रामानुजन के मुख्य प्रमेय () को लागू करने का परिणाम है। कोष्ठक (बी) की संख्या समाकलन (एम) () की संख्या के बराबर होती है। एल्गोरिथम के सूत्र (,) उत्पन्न करने के अलावा, चर परिवर्तन एल्गोरिथम के रैखिक समीकरण (,) भी उत्पन्न करता है। उदाहरण ब्रैकेट इंटीग्रेशन विधि इस इंटीग्रल पर लागू की जाती है। एक श्रृंखला विस्तार () का समाकलन उत्पन्न करें। विशेष संकेतन (,) लागू करें। रैखिक समीकरण () को हल करें। सूत्र () लागू करें। संदर्भ बाहरी लिंक श्रीनिवास रामानुजन प्रमेय विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में