Weak Hopf algebra
गणित में, कमजोर बायाल्जेब्रा बायाल्जेब्रा का एक सामान्यीकरण है जो दोनों बीजगणित और कोलजेब्रा हैं, लेकिन जिनके लिए दोनों संरचनाओं के बीच संगतता की स्थिति "कमजोर" हो गई है। उसी भावना में, कमजोर होप्फ बीजगणित एक रैखिक मानचित्र एस के साथ कमजोर द्विभुज हैं जो विशिष्ट स्थितियों को संतुष्ट करते हैं; वे होप्फ बीजगणित के सामान्यीकरण हैं। इन वस्तुओं को बोहम, नील और स्ज़्लाचानी द्वारा पेश किया गया था। उनके अध्ययन के लिए पहली प्रेरणाएँ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और प्रचालक बीजगणित से आई थीं। कमजोर होप्फ बीजगणित में काफी दिलचस्प प्रतिनिधित्व सिद्धांत है; विशेष रूप से एक अर्ध-सरल परिमित पर मॉड्यूल में कमजोर होप्फ बीजगणित एक संलयन श्रेणी है (जो अतिरिक्त गुणों के साथ एक एकल श्रेणी है)। ईटिंगॉफ, निकशिच और ओस्ट्रिक द्वारा यह भी दिखाया गया था कि कोई भी संलयन श्रेणी एक कमजोर होप्फ बीजगणित पर मॉड्यूल की एक श्रेणी के बराबर है। परिभाषा एक क्षेत्र पर एक कमजोर द्वि-बीजगणित एक ऐसा सदिश स्थान है जो गुणन और इकाई के साथ एक सहयोगी बीजगणित बनाता है, गुणन और गणना के साथ एक सहसंयोजक सह-बीजगणित बनाता है, जिसके लिए निम्नलिखित संगतता शर्तें हैंः गुणन की गुणनः, परिषद की कमजोर गुणनः, इकाई की कमजोर गुणनः, जहां दो टेंसर कारकों को फ़्लिप करता है। इसके अलावा विपरीत गुणन है और विपरीत गुणन है। ध्यान दें कि हम वेक्टर स्पेस की मोनोइडल श्रेणी के लिए मैक लेन की सुसंगतता प्रमेय का भी उपयोग करते हैं, साथ ही साथ पहचान करते हैं। यह परिभाषा बीजगणित की बीजगणित और कोलजेब्रा संरचनाओं के बीच संगतता को कमजोर करती है। विशेष रूप से, इकाई और परिषद कमजोर हो जाते हैं। यह एक कमजोर होप्फ बीजगणित के स्वयंसिद्धों में सच है। एक कमजोर होप्फ बीजगणित एक रैखिक मानचित्र के साथ एक कमजोर द्वि-बीजगणित है, जिसे एंटीपोड कहा जाता है, जो संतुष्ट करता हैः,,। होप्फ बीजगणित के उदाहरण। बेशक कोई भी होप्फ बीजगणित एक कमजोर होप्फ बीजगणित है। ग्रुपॉइड बीजगणित। मान लीजिए कि यह एक ग्रुपॉइड है और इसे ग्रुपॉइड बीजगणित माना जाता है, दूसरे शब्दों में, मॉर्फिज्म द्वारा उत्पन्न बीजगणित। यदि हम परिभाषित करते हैं तो यह एक कमजोर होप्फ बीजगणित बन जाता है। ध्यान दें कि यह दूसरा उदाहरण एक कमजोर होप्फ बीजगणित है लेकिन होप्फ बीजगणित नहीं है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत मान लीजिए कि एच एक अर्ध-सरल परिमित कमजोर होप्फ बीजगणित है, फिर एच पर मॉड्यूल सीमित रूप से कई सरल वस्तुओं के साथ एक अर्ध-सरल कठोर मोनोइडल श्रेणी बनाते हैं। इसके अलावा समरूपता रिक्त स्थान परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान हैं और सरल वस्तुओं के अंतरूपता रिक्त स्थान एक-आयामी हैं। अंत में, एकल इकाई एक सरल वस्तु है। ऐसी श्रेणी को संलयन श्रेणी कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि कुछ एकल श्रेणी हॉफ बीजगणित पर मॉड्यूल नहीं हैं। संलयन श्रेणियों के मामले में (जो अतिरिक्त स्थितियों के साथ केवल एकल श्रेणी हैं), एटिंगॉफ, निकशिच और ओस्ट्रिक द्वारा यह साबित किया गया था कि कोई भी संलयन श्रेणी एक कमजोर होप्फ बीजगणित पर मॉड्यूल की एक श्रेणी के बराबर है। टिप्पणियाँ संदर्भ होप्फ अल्जेब्रा