Nevanlinna's criterion
गणित में, जटिल विश्लेषण में नेवनलिन्ना का मानदंड, जिसे 1920 में फिनिश गणितशास्त्री रॉल्फ नेवनलिन्ना द्वारा साबित किया गया था, इकाई डिस्क पर होलोमोर्फिक अविभाज्य कार्यों की विशेषता है जो तारों जैसे हैं। नेवनलिन्ना ने इस मानदंड का उपयोग तारों जैसे असमान कार्यों के लिए बीबरबैक अनुमान को साबित करने के लिए किया। मानदंड का कथन इकाई डिस्क पर एक समतुल्य फलन एच, जो एच (0) = 0 और एच (0) = 1 को संतुष्ट करता है, तारा जैसा है, अर्थात। [0,1] में वास्तविक संख्याओं द्वारा गुणन के तहत छवि अपरिवर्तनीय है, अगर और केवल अगर |z। <1 के लिए सकारात्मक वास्तविक भाग है और 0 पर मान 1 लेता है। ध्यान दें कि, परिणाम को a·h (rz) पर लागू करके, मानदंड किसी भी डिस्क |z। <r पर केवल इस आवश्यकता के साथ लागू होता है कि f (0) = 0 और f "(0)  ऒत्त 0। मान लीजिए कि h (0) = 0 और h (0) = 1 के साथ h (z), |z। <1 पर एक स्टार जैसा अविभाज्य फलन है। टी <0 के लिए, डी के होलोमोर्फिक मानचित्रण के एक अर्धसमूह को परिभाषित करें जो खुद में 0 तय करता है। इसके अलावा एच अर्धसमूह फीट के लिए कोएनिग्स फलन है। श्वार्ज लेम्मा के अनुसार, |ft (z)। जैसे-जैसे t बढ़ता है कम होता जाता है। लेकिन, डब्ल्यू = फीट (जेड) की सेटिंग, जहां इसलिए और इसलिए, |w |2 से विभाजित करना, पारस्परिक लेना और टी को 0 पर जाने देना सभी |z। <1 के लिए देता है। चूँकि बाएँ हाथ की ओर एक हार्मोनिक कार्य है, अधिकतम सिद्धांत का तात्पर्य है कि असमानता सख्त है। इसके विपरीत यदि सकारात्मक वास्तविक भाग और g (0) = 1 है, तो h केवल 0 पर गायब हो सकता है, जहां इसका एक सरल शून्य होना चाहिए। इस प्रकार जैसे-जैसे z वृत्त का पता लगाता है, छवि का तर्क सख्ती से बढ़ जाता है। तर्क सिद्धांत के अनुसार, चूंकि 0 पर एक साधारण शून्य है, इसलिए यह मूल को केवल एक बार घेरेगा। इस क्षेत्र का आंतरिक भाग जिस वक्र का पता लगाता है, उससे घिरा हुआ है, इसलिए यह तारों जैसा है। यदि a आंतरिक भाग में एक बिंदु है तो n (a) के h (z) = a के समाधानों की संख्या |z। <r के साथ दी जाती है। इसलिए प्रत्येक डिस्क |z। <r में और इसलिए हर जगह h अविभाज्य और तारा जैसा है। बीबरबैक अनुमान के लिए अनुप्रयोग कैराथिओडोरी के लेम्मा कॉन्स्टेंटिन कैराथिओडोरी ने 1907 में साबित किया कि यदि सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ इकाई डिस्क डी पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, तो वास्तव में यह किसी भी आर <1 के लिए जी को जीआर (जेड) = जी (आरजेड) द्वारा प्रतिस्थापित करने के साथ परिणाम दिखाने के लिए पर्याप्त है और फिर सीमा आर = 1 तक जाता है। उस स्थिति में g सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ बंद डिस्क पर एक निरंतर कार्य तक फैलता है और श्वार्ज सूत्र द्वारा पहचान का उपयोग करते हुए यह इस प्रकार है, इसलिए एक संभाव्यता माप को परिभाषित करता है, और इसलिए तारारूपी कार्यों के लिए प्रमाण आइए |z। <1 में एक अविभाज्य तारारूपी कार्य होने दें। यह साबित किया कि वास्तव में नेवनलिन्ना के मानदंड के अनुसार |z। <1 के लिए सकारात्मक वास्तविक भाग है। तो कैराथिओडोरी के लेम्मा से दूसरी ओर पुनरावृत्ति संबंध देता है जहाँ a "1 = 1 है। इस प्रकार यह प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है कि टिप्पणियाँ संदर्भ विश्लेषणात्मक कार्य करती हैं