Weyl law
गणित में, विशेष रूप से वर्णक्रमीय सिद्धांत में, वेल का नियम लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक के आइगेनवैल्यूज के एसिम्प्टोटिक व्यवहार का वर्णन करता है। इस विवरण की खोज 1911 में (मामले में) हर्मन वेल द्वारा लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के लिए आइगेनवैल्यू के लिए की गई थी जो एक बाउंडेड डोमेन की सीमा पर गायब होने वाले कार्यों पर कार्य करता है। विशेष रूप से, उन्होंने साबित किया कि डिरिचलेट आइगेनवैल्यूज (उनकी गुणाओं को गिनते हुए) की संख्या, इकाई गेंद के आयतन को संतुष्ट करने के लिए कम या बराबर है। 1912 में उन्होंने परिवर्तनशील तरीकों के आधार पर एक नया प्रमाण प्रदान किया। सामान्यीकरण वेइल कानून को अधिक सामान्य डोमेन और ऑपरेटरों तक विस्तारित किया गया है। श्रोडिंगर प्रचालक के लिए इसे आवश्यक स्पेक्ट्रम और/या के निचले हिस्से तक विस्तारित किया गया था। यहाँ नीचे के आईगन मानों की संख्या दी गई है जब तक कि इस मामले में नीचे आवश्यक वर्णक्रम न हो। वर्णक्रमीय असिम्प्टोटिक्स के विकास में, परिवर्तनशील तरीकों और सूक्ष्म स्थानीय विश्लेषण द्वारा महत्वपूर्ण भूमिका निभाई गई थी। प्रति-उदाहरण विस्तारित वेल नियम कुछ स्थितियों में विफल हो जाता है। विशेष रूप से, विस्तारित वेइल कानून "दावा" करता है कि कोई आवश्यक वर्णक्रम नहीं है यदि और केवल तभी जब दाहिने हाथ की अभिव्यक्ति सभी के लिए सीमित हो। यदि कोई सी. यू. एस. पी. के साथ डोमेन पर विचार करता है (अर्थात। "सिकुड़ना अनंत से बाहर निकलता है") तब (विस्तारित) वेल नियम का दावा है कि कोई आवश्यक स्पेक्ट्रम नहीं है यदि और केवल तभी जब आयतन सीमित हो। हालाँकि डिरिचलेट लाप्लासियन के लिए कोई आवश्यक वर्णक्रम नहीं है, भले ही आयतन अनंत हो, जब तक कि कस्प्स अनंत पर सिकुड़ते हैं (इसलिए आयतन की परिमितता आवश्यक नहीं है)। दूसरी ओर, न्यूमैन लाप्लेशियन के लिए एक आवश्यक स्पेक्ट्रम है जब तक कि कस्प्स नकारात्मक प्रतिपादक की तुलना में अनंत पर तेजी से सिकुड़ नहीं जाता है (इसलिए आयतन की परिमितता पर्याप्त नहीं है)। वेल अनुमान लगाने वाले वेल ने अनुमान लगाया कि जहां शेष अवधि डिरिचलेट सीमा स्थितियों के लिए नकारात्मक और न्यूमैन के लिए सकारात्मक है। शेष अनुमान में कई गणितविदों ने सुधार किया। 1922 में, रिचर्ड कोरेंट ने एक सीमा साबित की। 1952 में, बोरिस लेविटन ने कॉम्पैक्ट क्लोज्ड मैनिफोल्ड्स के लिए सख्त सीमा साबित की। रॉबर्ट सीली ने 1978 में कुछ यूक्लिडियन क्षेत्रों को शामिल करने के लिए इसका विस्तार किया। 1975 में, हंस डुइस्टरमाट और विक्टर गिलेमिन ने यह साबित किया कि आवधिक द्वि-विशिष्टताओं के समूह का माप 0 है। अंततः 1980 में विक्टर इवरी द्वारा इसका सामान्यीकरण किया गया। यह सामान्यीकरण मानता है कि एक बिलियर्ड के आवधिक प्रक्षेपवक्रों के समूह का माप 0 है, जिसे इवरी ने अनुमान लगाया है कि चिकनी सीमाओं वाले सभी बंधे हुए यूक्लिडियन क्षेत्रों के लिए पूरा किया जाता है। तब से, ऑपरेटरों के व्यापक वर्गों के लिए इसी तरह के परिणाम प्राप्त किए गए हैं। संदर्भ आंशिक विभेदक समीकरण वर्णक्रमीय सिद्धांत