Absorbing Markov chain
संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला एक मार्कोव श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक अवस्था एक अवशोषित अवस्था तक पहुंच सकती है। एक अवशोषित अवस्था एक ऐसी अवस्था है जिसे एक बार प्रवेश करने के बाद छोड़ा नहीं जा सकता है। सामान्य मार्कोव श्रृंखलाओं की तरह, एक अनंत अवस्था स्थान के साथ निरंतर-समय अवशोषित मार्कोव श्रृंखलाएं हो सकती हैं। हालाँकि, यह लेख असतत-समय असतत-राज्य-स्थान मामले पर केंद्रित है। औपचारिक परिभाषा एक मार्कोव श्रृंखला एक अवशोषक श्रृंखला है यदि कम से कम एक अवशोषक अवस्था है और सीमित संख्या में चरणों में किसी भी अवस्था से कम से कम एक अवशोषक अवस्था में जाना संभव है। एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला में, एक अवस्था जो अवशोषित नहीं हो रही है, उसे क्षणिक कहा जाता है। केनोनिकल रूप माना कि ट्रांजिशन मैट्रिक्स P के साथ एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला में t क्षणिक अवस्थाएँ और r अवशोषित अवस्थाएँ होती हैं। एक विशिष्ट संक्रमण मैट्रिक्स के विपरीत, पी की पंक्तियाँ स्रोतों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जबकि कॉलम गंतव्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर जहाँ क्यू एक टी-बाय-टी मैट्रिक्स है, आर एक गैर-शून्य टी-बाय-आर मैट्रिक्स है, 0 एक आर-बाय-टी शून्य मैट्रिक्स है, और आईआर आर-बाय-आर पहचान मैट्रिक्स है। इस प्रकार, क्यू कुछ क्षणिक अवस्था से दूसरी में संक्रमण की संभावना का वर्णन करता है जबकि आर कुछ क्षणिक अवस्था से कुछ अवशोषित अवस्था में संक्रमण की संभावना का वर्णन करता है। ठीक k चरणों में i से j में संक्रमण की संभावना Pk की (i, j)-प्रविष्टि है, जिसकी गणना आगे नीचे की गई है। केवल क्षणिक अवस्थाओं पर विचार करते समय, पी. के. के ऊपरी बाएँ में पाई जाने वाली संभावना, क्यू. के. की (आई, जे)-प्रविष्टि। मौलिक मैट्रिक्स क्षणिक अवस्था में यात्राओं की अपेक्षित संख्या एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला के बारे में एक मूल गुण एक क्षणिक अवस्था में यात्राओं की अपेक्षित संख्या है जो एक क्षणिक अवस्था i (अवशोषित होने से पहले) से शुरू होती है। इसे तथाकथित मौलिक मैट्रिक्स N की (i, j) प्रविष्टि द्वारा दिया जा सकता है, जिसे सभी k (0 से φ तक) के लिए Qk का योग करके प्राप्त किया जाता है। यह साबित किया जा सकता है कि यह टी-बाय-टी पहचान मैट्रिक्स है। इस सूत्र की गणना स्केलर की ज्यामितीय श्रृंखला के मैट्रिक्स समकक्ष है। हाथ में मैट्रिक्स एन के साथ, मार्कोव श्रृंखला के अन्य गुण भी प्राप्त करना आसान है। अवशोषित होने से पहले चरणों की अपेक्षित संख्या किसी भी अवशोषित अवस्था में अवशोषित होने से पहले चरणों की अपेक्षित संख्या, जब क्षणिक अवस्था में शुरू किया जाता है तो क्षणिक अवस्थाओं के योग के माध्यम से गणना की जा सकती है। मान वेक्टर की ith प्रविष्टि द्वारा दिया जाता है जहाँ 1 एक लंबाई-t कॉलम वेक्टर है जिसकी प्रविष्टियाँ सभी 1 हैं। अवशोषित संभावनाएँ प्रेरण द्वारा, क्षणिक अवस्था i से शुरू करते समय अंततः अवशोषित अवस्था j में अवशोषित होने की संभावना मैट्रिक्स की (i, j)-प्रविष्टि द्वारा दी जाती है। इस मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या अवशोषित अवस्थाओं की संख्या के बराबर होती है r. उन संभावनाओं का एक अनुमान सीधे (i, j)-प्रविष्टि से भी प्राप्त किया जा सकता है जो k के एक बड़े पर्याप्त मूल्य के लिए है, जब i एक क्षणिक का सूचकांक है, और j एक अवशोषित अवस्था का सूचकांक है। ऐसा इसलिए है क्योंकि। क्षणिक भ्रमण संभावनाएँ एक क्षणिक अवस्था i से शुरू करते समय क्षणिक अवस्था j का दौरा करने की संभावना मैट्रिक्स की (i, j)-प्रविष्टि है जहाँ Ndg एक ही विकर्ण के साथ विकर्ण मैट्रिक्स है जो N के समान है। क्षणिक यात्राओं की संख्या पर भिन्नता एक क्षणिक अवस्था j की यात्राओं की संख्या पर भिन्नता एक क्षणिक अवस्था i (अवशोषित होने से पहले) से शुरू होती है जो मैट्रिक्स की (i, j)-प्रविष्टि है जहाँ Nsq अपने साथ N का हडमर्ड उत्पाद है (यानी। एन की प्रत्येक प्रविष्टि वर्ग है)। चरणों की संख्या पर भिन्नता क्षणिक अवस्था में शुरू करते समय अवशोषित होने से पहले चरणों की संख्या पर भिन्नता वेक्टर की ith प्रविष्टि है जहां tsq स्वयं के साथ t का हडामर्ड उत्पाद है (यानी, Nsq के साथ, t की प्रत्येक प्रविष्टि वर्ग है)। उदाहरण स्ट्रिंग पीढ़ी एक निष्पक्ष सिक्के को बार-बार पलटने की प्रक्रिया पर विचार करें जब तक कि अनुक्रम (सिर, पूंछ, सिर) दिखाई न दे। इस प्रक्रिया को संक्रमण मैट्रिक्स के साथ एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला द्वारा मॉडल किया गया है पहली अवस्था खाली स्ट्रिंग का प्रतिनिधित्व करती है, दूसरी अवस्था स्ट्रिंग "एच", तीसरी अवस्था स्ट्रिंग "एचटी" और चौथी अवस्था स्ट्रिंग "एचटीएच" का प्रतिनिधित्व करती है। हालांकि वास्तव में, स्ट्रिंग "एचटीएच" उत्पन्न होने के बाद सिक्का पलटना बंद हो जाता है, अवशोषित मार्कोव श्रृंखला का परिप्रेक्ष्य यह है कि प्रक्रिया स्ट्रिंग "एचटीएच" का प्रतिनिधित्व करने वाली अवशोषित स्थिति में परिवर्तित हो गई है और इसलिए, छोड़ नहीं सकती है। इस अवशोषित मार्कोव श्रृंखला के लिए, मौलिक मैट्रिक्स है प्रत्येक क्षणिक अवस्था से शुरू होने वाले चरणों की अपेक्षित संख्या है इसलिए, अनुक्रम (सिर, पूंछ, सिर) को देखने से पहले सिक्के के पलटने की अपेक्षित संख्या 10 है, जो खाली स्ट्रिंग का प्रतिनिधित्व करने वाले राज्य के लिए प्रविष्टि है। संयोग के खेल पूरी तरह से संयोग पर आधारित खेलों को एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला द्वारा मॉडल किया जा सकता है। इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण प्राचीन भारतीय बोर्ड गेम सांप और सीढ़ी है। बाईं ओर का ग्राफ एकल अवशोषित अवस्था में प्रायिकता द्रव्यमान को दर्शाता है जो अंतिम वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि संक्रमण मैट्रिक्स को बड़ी और बड़ी शक्तियों में उठाया जाता है। खेल को पूरा करने के लिए मोड़ की अपेक्षित संख्या निर्धारित करने के लिए, ऊपर वर्णित वेक्टर टी की गणना करें और टीस्टार्ट की जांच करें, जो लगभग 39.2 है। संक्रामक रोग परीक्षण, या तो रक्त उत्पादों या चिकित्सा क्लीनिकों में, अक्सर एक अवशोषित मार्कोव श्रृंखला के उदाहरण के रूप में सिखाया जाता है। एच. आई. वी. और हेपेटाइटिस बी के लिए सार्वजनिक यू. एस. रोग नियंत्रण और रोकथाम केंद्र (सी. डी. सी.) मॉडल, उदाहरण के लिए, इस गुण को दर्शाता है कि मार्कोव श्रृंखलाओं को अवशोषित करने से रोग का पता लगाया जा सकता है, बनाम अन्य माध्यमों से पता लगाने की हानि। मानक सी. डी. सी. मॉडल में, मार्कोव श्रृंखला में पाँच राज्य हैं, एक राज्य जिसमें व्यक्ति असंक्रमित है, फिर संक्रमित लेकिन अज्ञात वायरस वाला राज्य, पता लगाने योग्य वायरस वाला राज्य, और क्लिनिक छोड़ने/खो जाने या पता लगाने (लक्ष्य) के अवशोषित होने की स्थिति। मार्कोव राज्यों के बीच संक्रमण की विशिष्ट दरें वायरस से संक्रमित होने की प्रति इकाई समय की संभावना पी, खिड़की अवधि हटाने की दर के लिए डब्ल्यू (वायरस का पता लगाने योग्य होने तक का समय), प्रणाली से छोड़ने/हानि दर के लिए क्यू, और पता लगाने के लिए डी, एक विशिष्ट दर मानते हुए जिस पर स्वास्थ्य प्रणाली रक्त उत्पाद या विचाराधीन रोगियों के परीक्षण करती है। यह इस प्रकार है कि हम मॉडल की प्रत्येक अगली स्थिति में संक्रमण की संभावनाओं को गुणा करके, अज्ञात के रूप में शुरू होने वाले व्यक्ति के लिए पता लगाने की समग्र संभावना की पहचान करने के लिए मार्कोव मॉडल के साथ "चल सकते हैं": गलत नकारात्मक परीक्षणों की बाद की कुल पूर्ण संख्या-प्राथमिक सी. डी. सी. चिंता-तब परीक्षणों की दर होगी, जिसे संक्रमित लेकिन अज्ञात स्थिति तक पहुंचने की संभावना से गुणा किया जाएगा, संक्रमित अज्ञात स्थिति में रहने की अवधिः डिस्क्रीट फेज-टाइप डिस्ट्रीब्यूशन एबसोर्बिंग सेट (यादृच्छिक गतिशील प्रणालियाँ) भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक वोल्फ्राम प्रदर्शन परियोजनाः मार्कोव श्रृंखला एकाधिकार को मार्कोव श्रृंखला के रूप में अवशोषित करना मार्कोव मॉडल को संसाधित करता है