Murnaghan equation of state
मुरनाघन अवस्था समीकरण किसी पिंड के आयतन और उस दबाव के बीच का संबंध है जिसके अधीन वह होता है। यह कई अवस्था समीकरणों में से एक है जिसका उपयोग पृथ्वी विज्ञान और आघात भौतिकी में उच्च दबाव की स्थितियों में पदार्थ के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया गया है। इसका नाम फ्रांसिस डी. मुरनाघन को दिया गया है जिन्होंने 1944 में एक प्रयोगात्मक रूप से स्थापित तथ्य को प्रतिबिंबित करने के लिए यथासंभव व्यापक दबाव सीमा के तहत भौतिक व्यवहार को प्रतिबिंबित करने के लिए इसका प्रस्ताव रखाः एक ठोस को जितना अधिक संपीड़ित किया जाता है, उतना ही आगे संपीड़ित करना कठिन होता है। मुरनाघन समीकरण, कुछ मान्यताओं के तहत, निरंतरता यांत्रिकी के समीकरणों से प्राप्त होता है। इसमें दो समायोज्य मापदंड शामिल हैंः असंपीड़नशीलता का मापांक K0 और दबाव के संबंध में इसका पहला व्युत्पन्न, K′0, दोनों को परिवेशी दबाव पर मापा जाता है। सामान्य तौर पर, इन गुणांकों का निर्धारण दबाव पी के एक कार्य के रूप में आयतन वी के प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त मूल्यों पर प्रतिगमन द्वारा किया जाता है। इन प्रयोगात्मक आंकड़ों को एक्स-रे विवर्तन या आघात परीक्षणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। एब-इनिशियो और आणविक गतिकी गणनाओं से प्राप्त आयतन के एक कार्य के रूप में ऊर्जा के मूल्यों पर भी प्रतिगमन किया जा सकता है। मुरनाघन अवस्था समीकरण को आम तौर पर इस प्रकार व्यक्त किया जाता हैः यदि संपीड़न के तहत आयतन में कमी कम है, यानी, लगभग 90 प्रतिशत से अधिक V/V0 के लिए, मुरनाघन समीकरण संतोषजनक सटीकता के साथ प्रयोगात्मक डेटा का मॉडल बना सकता है। इसके अलावा, अवस्था के कई प्रस्तावित समीकरणों के विपरीत, यह दबाव V (P) के फलन के रूप में आयतन की एक स्पष्ट अभिव्यक्ति देता है। लेकिन इसकी वैधता की सीमा सीमित है और भौतिक व्याख्या अपर्याप्त है। हालाँकि, अवस्था के इस समीकरण का व्यापक रूप से ठोस विस्फोटकों के मॉडल में उपयोग किया जाता है। अवस्था के अधिक विस्तृत समीकरणों में, पृथ्वी भौतिकी में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अवस्था का बिर्च-मुरनाघन समीकरण है। धातुओं और मिश्र धातुओं के आघात भौतिकी में, अवस्था का एक और व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला समीकरण अवस्था का मी-ग्रुनिसेन समीकरण है। पृष्ठभूमि ग्रह की आंतरिक परतों के घटकों के यांत्रिक गुणों के ज्ञान के माध्यम से पृथ्वी की आंतरिक संरचना के अध्ययन में चरम स्थितियां शामिल हैं; दबाव को सैकड़ों गीगापास्कल और तापमान को हजारों डिग्री में गिना जा सकता है। इन स्थितियों में पदार्थ के गुणों का अध्ययन प्रायोगिक रूप से स्थिर दबाव के लिए डायमंड एनविल सेल जैसे उपकरणों के माध्यम से या सामग्री को आघात तरंगों के अधीन करके किया जा सकता है। इसने अवस्था के समीकरण को निर्धारित करने के लिए सैद्धांतिक कार्य को भी जन्म दिया, अर्थात विभिन्न मापदंडों के बीच संबंध जो इस मामले में पदार्थ की स्थिति को परिभाषित करते हैंः आयतन (या घनत्व), तापमान और दबाव। दो दृष्टिकोण हैंः अंतरपरमाण्विक क्षमताओं से प्राप्त अवस्था समीकरण, या संभवतः एब इनिशियो गणना; अवस्था समीकरण यांत्रिकी और ऊष्मागतिकी के सामान्य संबंधों से प्राप्त। मुरनाघन समीकरण इस दूसरी श्रेणी से संबंधित है। विभिन्न लेखकों द्वारा दर्जनों समीकरण प्रस्तावित किए गए हैं। ये अनुभवजन्य संबंध हैं, गुणवत्ता और प्रासंगिकता इसके उपयोग पर निर्भर करती है और विभिन्न मानदंडों द्वारा आंकी जा सकती हैः स्वतंत्र मापदंडों की संख्या जो शामिल हैं, भौतिक अर्थ जो इन मापदंडों को सौंपा जा सकता है, प्रयोगात्मक डेटा की गुणवत्ता, और सैद्धांतिक मान्यताओं की स्थिरता जो उच्च संपीड़न पर ठोस पदार्थों के व्यवहार को बहिर्वेशन करने की उनकी क्षमता को रेखांकित करती है। अवस्था के समीकरण के लिए अभिव्यक्तियाँ आम तौर पर, स्थिर तापमान पर, थोक मापांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता हैः पी और वी को जोड़ने वाली अवस्था के समीकरण को प्राप्त करने का सबसे आसान तरीका यह मान लेना है कि के स्थिर है, अर्थात, ठोस के दबाव और विरूपण से स्वतंत्र है, तो हम बस हुक का नियम पाते हैं। इस मामले में, आयतन दबाव के साथ तेजी से कम हो जाता है। यह एक संतोषजनक परिणाम नहीं है क्योंकि यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि जैसे-जैसे ठोस को संपीड़ित किया जाता है, इसे संपीड़ित करना अधिक कठिन हो जाता है। आगे बढ़ने के लिए, हमें संपीड़न के साथ ठोस के लोचदार गुणों की विविधताओं को ध्यान में रखना चाहिए। मुरनाघन का मानना है कि बल्क मॉड्यूलस दबाव का एक रैखिक कार्य हैः मुरनाघन समीकरण विभेदक समीकरण के एकीकरण का परिणाम हैः हम दबाव के आधार पर आयतन को भी व्यक्त कर सकते हैंः इस सरलीकृत प्रस्तुति की हालांकि पोइरियर ने कठोरता की कमी के रूप में आलोचना की है। एक ही संबंध को इस तथ्य से अलग तरीके से दिखाया जा सकता है कि मापांक और तापीय विस्तार गुणांक के उत्पाद की असंपीड़नशीलता किसी दिए गए पदार्थ के दबाव पर निर्भर नहीं है। अवस्था का यह समीकरण पुराने पॉलीट्रोप संबंध का भी एक सामान्य मामला है जिसका एक स्थिर शक्ति संबंध भी है। कुछ परिस्थितियों में, विशेष रूप से एब इनिशियो गणनाओं के संबंध में, आयतन के एक फलन के रूप में ऊर्जा की अभिव्यक्ति को प्राथमिकता दी जाएगी, जिसे संबंध के अनुसार उपरोक्त समीकरण को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है। इसे 3 से अलग K′0 पर लिखा जा सकता है, लाभ और सीमाएँ इसकी सरलता के बावजूद, मुरनाघन समीकरण K0/2 के क्रम पर काफी बड़े दबावों के लिए प्रयोगात्मक डेटा को पुनः उत्पन्न करने में सक्षम है। यह भी संतोषजनक बना हुआ है क्योंकि V/V0 का अनुपात लगभग 90 प्रतिशत से ऊपर बना हुआ है। इस सीमा में, यदि कोई आयतन को दबाव के फलन के रूप में व्यक्त करना चाहता है तो स्थिति के अन्य समीकरणों की तुलना में मुरनाघन समीकरण का लाभ है। फिर भी, अन्य समीकरण बेहतर परिणाम प्रदान कर सकते हैं और कई सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक अध्ययनों से पता चलता है कि मुरनाघन समीकरण कई समस्याओं के लिए असंतोषजनक है। इस प्रकार, इस हद तक कि V/V0 का अनुपात बहुत कम हो जाता है, सिद्धांत भविष्यवाणी करता है कि K′ 5/3 तक जाता है, जो थॉमस-फर्मी सीमा है। हालांकि, मुरनाघन समीकरण में, K′ स्थिर है और अपने प्रारंभिक मूल्य पर सेट है। विशेष रूप से, मान K′0 = 5/3 कुछ स्थितियों में सिद्धांत के साथ असंगत हो जाता है। वास्तव में, जब बहिर्वेशन किया जाता है, तो मुरनाघन समीकरण द्वारा भविष्यवाणी किया गया व्यवहार काफी जल्दी असंभव हो जाता है। इस सैद्धांतिक तर्क के बावजूद, अनुभव स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि K′ दबाव के साथ घटता है, या दूसरे शब्दों में, कि असंपीड़नता मापांक K′′ का दूसरा व्युत्पन्न सख्ती से नकारात्मक है। उसी सिद्धांत पर आधारित दूसरा क्रम सिद्धांत (अगला खंड देखें) इस अवलोकन के लिए जिम्मेदार हो सकता है, लेकिन यह दृष्टिकोण अभी भी असंतोषजनक है। वास्तव में, यह उस सीमा में एक नकारात्मक थोक मापांक की ओर ले जाता है जहां दबाव अनंत की ओर जाता है। वास्तव में, यह एक अपरिहार्य विरोधाभास है जो भी बहुपद विस्तार चुना जाता है क्योंकि हमेशा एक प्रमुख शब्द होगा जो अनंत की ओर मुड़ता है। इन महत्वपूर्ण सीमाओं ने मुरनाघन समीकरण को त्याग दिया है, जिसे डब्ल्यू. होल्ज़ापेल "बिना किसी भौतिक औचित्य के एक उपयोगी गणितीय रूप" कहते हैं। व्यवहार में, संपीड़न डेटा का विश्लेषण अवस्था के अधिक परिष्कृत समीकरणों का उपयोग करके किया जाता है। विज्ञान समुदाय के भीतर सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला बिर्च-मुरनाघन समीकरण है, जो एकत्र किए गए डेटा की गुणवत्ता में दूसरा या तीसरा क्रम है। अंत में, इस प्रकार के अवस्था समीकरण की एक बहुत ही सामान्य सीमा पिघलने के दबाव और तापमान से प्रेरित चरण संक्रमणों को ध्यान में रखने में उनकी असमर्थता है, लेकिन कई ठोस-ठोस संक्रमण भी हैं जो घनत्व और बल्क मॉड्यूलस में अचानक परिवर्तन का कारण बन सकते हैं। उदाहरण व्यवहार में, मुरनाघन समीकरण का उपयोग डेटा सेट पर प्रतिगमन करने के लिए किया जाता है, जहां किसी को गुणांक K0 और K′0 के मान मिलते हैं। ये प्राप्त गुणांक, और परिवेश की स्थितियों के लिए आयतन के मूल्य को जानने के बाद, हम सिद्धांत रूप में किसी भी दबाव के लिए आयतन, घनत्व और थोक मापांक की गणना करने में सक्षम हैं। डेटा सेट ज्यादातर लागू दबाव के विभिन्न मूल्यों के लिए आयतन माप की एक श्रृंखला है, जो ज्यादातर एक्स-रे विवर्तन द्वारा प्राप्त की जाती है। एब इनिशियो विधियों द्वारा आयतन के विभिन्न मूल्यों के लिए ऊर्जा की गणना करते हुए, और फिर इन परिणामों को वापस लेते हुए, सैद्धांतिक डेटा पर काम करना भी संभव है। यह लोच के मापांक का एक सैद्धांतिक मूल्य देता है जिसकी तुलना प्रयोगात्मक परिणामों से की जा सकती है। निम्नलिखित तालिका विभिन्न सामग्रियों के कुछ परिणामों को सूचीबद्ध करती है, जिसका एकमात्र उद्देश्य कुछ संख्यात्मक विश्लेषणों को चित्रित करना है जो प्राप्त मॉडल की गुणवत्ता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना मुरनाघन समीकरण का उपयोग करके किए गए हैं। मुरनाघन समीकरण के भौतिक अर्थ पर पिछले खंड में की गई आलोचनाओं को देखते हुए, इन परिणामों पर सावधानी से विचार किया जाना चाहिए। विस्तार और सामान्यीकरण मॉडल में सुधार करने या ऊपर उल्लिखित आलोचना से बचने के लिए, मुरनाघन समीकरण के कई सामान्यीकरण प्रस्तावित किए गए हैं। वे आमतौर पर एक सरलीकरण धारणा को छोड़ने और एक अन्य समायोज्य पैरामीटर जोड़ने में शामिल होते हैं। यह परिष्करण के गुणों में सुधार कर सकता है, लेकिन जटिल अभिव्यक्तियों को भी जन्म दे सकता है। इन अतिरिक्त मापदंडों के भौतिक अर्थ का सवाल भी उठाया जाता है। एक संभावित रणनीति पिछले विकास में एक अतिरिक्त शब्द पी2 को शामिल करना है, जिसकी आवश्यकता है। इस विभेदक समीकरण को हल करने से द्वितीय क्रम के मुरनाघन का समीकरण मिलता हैः जहाँ। स्वाभाविक रूप से प्रथम क्रम समीकरण लेने में पाया जाता है। सिद्धांत रूप में 2 से अधिक क्रम में विकास संभव है, लेकिन प्रत्येक अवधि के लिए एक समायोज्य पैरामीटर जोड़ने की कीमत पर। अन्य सामान्यीकरणों को उद्धृत किया जा सकता हैः कुमारी और दास ने स्थिति K = 0 को छोड़कर एक सामान्यीकरण का प्रस्ताव दिया है, लेकिन दबाव से स्वतंत्र रिपोर्ट K/K′ मानते हुए; कुमार ने आयतन के कार्य के रूप में एंडरसन पैरामीटर की निर्भरता को ध्यान में रखते हुए एक सामान्यीकरण का प्रस्ताव रखा। बाद में यह दिखाया गया कि यह सामान्यीकृत समीकरण नया नहीं था, बल्कि टैट समीकरण के लिए कम करने योग्य था। टिप्पणियाँ और संदर्भ ग्रंथ सूची भी देखें अवस्था के बर्च-मुरनाघन समीकरण का समीकरण पॉलीट्रोप बाहरी लिंक ई. ओ. एस. फिट का गुलाब-विनेट समीकरण, प्रयोगात्मक डेटा के परिशोधन और मुरनाघन समीकरण सहित अवस्था के विभिन्न समीकरणों के लिए गणना संबंधों पी (वी) के लिए एक कार्यक्रम। निरंतरता यांत्रिकी भौतिकी के समानार्थी समीकरण अवस्था के समीकरण