M/G/k queue
कतार सिद्धांत में, संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के भीतर एक अनुशासन, एक एम/जी/के कतार एक कतार मॉडल है जहां आगमन मार्कोवियन (पॉइसन प्रक्रिया द्वारा संशोधित) होते हैं, सेवा समय का एक सामान्य वितरण होता है और के सर्वर होते हैं। मॉडल का नाम केंडल के संकेतन में लिखा गया है, और एम/एम/सी कतार का एक विस्तार है, जहां सेवा समय को तेजी से वितरित किया जाना चाहिए और एकल सर्वर के साथ एम/जी/1 कतार का। इस कतार प्रणाली के लिए अधिकांश प्रदर्शन मेट्रिक्स ज्ञात नहीं हैं और एक खुली समस्या बनी हुई है। मॉडल परिभाषा एम/जी/के कतार द्वारा प्रदर्शित एक कतार एक यादृच्छिक प्रक्रिया है जिसका राज्य स्थान सेट {0,1,2,3.} है, जहां मूल्य कतार में ग्राहकों की संख्या से मेल खाता है, जिसमें कोई भी सेवा भी शामिल है। अवस्था i से i + 1 में परिवर्तन एक नए ग्राहक के आगमन का प्रतिनिधित्व करते हैंः ऐसे आगमन के बीच के समय में पैरामीटर λ के साथ एक घातीय वितरण होता है। अवस्था i से i-1 में परिवर्तन एक ग्राहक के प्रस्थान का प्रतिनिधित्व करता है जिसने अभी-अभी सेवा समाप्त की हैः एक व्यक्तिगत ग्राहक की सेवा के लिए आवश्यक समय की अवधि का एक सामान्य वितरण कार्य होता है। आगमन और सेवा अवधि के बीच के समय की लंबाई यादृच्छिक चर हैं जिन्हें सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र माना जाता है। स्थिर राज्य वितरण टिज्म्स आदि। उनका मानना है कि "यह संभावना नहीं है कि एम/जी/के कतार में स्थिर-अवस्था संभाव्यता के सटीक संख्यात्मक मूल्यों की गणना करने के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से ट्रैक्टेबल विधियों को विकसित किया जा सकता है।" औसत कतार के आकार, स्थिर वितरण और प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति द्वारा सन्निकटन के लिए विभिन्न अनुमान विभिन्न लेखकों द्वारा प्रस्तुत किए गए हैं। हाल ही में स्थिर अवस्था संभावनाओं के लिए लाप्लास परिवर्तन पर आधारित एक नया अनुमानित दृष्टिकोण हमज़ेह खज़ाई और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तावित किया गया है। यह नया दृष्टिकोण अभी भी बड़ी संख्या में सर्वरों के मामलों में पर्याप्त सटीक है और जब सेवा समय के वितरण में एक से अधिक भिन्नता का गुणांक होता है। औसत देरी/प्रतीक्षा समय नौकरी के अनुभवों में औसत देरी के लिए कई अनुमान हैं। पहला ऐसा 1959 में एम/एम/सी कतार में औसत प्रतीक्षा समय को समायोजित करने के लिए एक कारक का उपयोग करके दिया गया था इस परिणाम को कभी-कभी किंगमैन के भीड़ के नियम के रूप में जाना जाता है। जहाँ सी सेवा समय वितरण की भिन्नता का गुणांक है। वार्ड व्हिट ने इस अनुमान को "आमतौर पर एक उत्कृष्ट अनुमान के रूप में वर्णित किया, यहां तक कि सेवा-समय वितरण के बारे में अतिरिक्त जानकारी भी दी गई।" हालाँकि, यह ज्ञात है कि केवल पहले दो क्षणों का उपयोग करके कोई भी अनुमान सभी मामलों में सटीक नहीं हो सकता है। एक मार्कोव-क्रेइन चरित्र चित्रण को औसत प्रतीक्षा समय पर तंग सीमा उत्पन्न करने के लिए दिखाया गया है। अंतर-प्रस्थान समय यह अनुमान लगाया जाता है कि प्रस्थान के बीच का समय, एक प्रस्थान दिए जाने पर n ग्राहकों को कतार में छोड़ देता है, इसका एक औसत होता है जो कि n के रूप में अनंत की ओर जाता है जो सहज ज्ञान युक्त 1/μ परिणाम से अलग होता है। दो सर्वर एक एम/जी/2 कतार (दो सर्वर वाला मॉडल) के लिए सीमांत संभावनाओं को निर्धारित करने की समस्या को अभिन्न समीकरणों की एक जोड़ी को हल करने या वितरण के लाप्लास परिवर्तन तक कम किया जा सकता है जब सेवा समय वितरण घातीय वितरण का मिश्रण होता है। कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय वितरण के लाप्लास परिवर्तन की गणना तब की जा सकती है जब प्रतीक्षा समय वितरण में एक तर्कसंगत लाप्लास परिवर्तन हो। संदर्भ एकल कतार नोड्स गणित में अनसुलझी समस्याएं