Least-squares function approximation
गणित में, न्यूनतम वर्ग फलन सन्निकटन अन्य फलन के भारित योग के माध्यम से फलन सन्निकटन के लिए न्यूनतम वर्ग के सिद्धांत को लागू करता है। सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन को उस रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो मूल फलन और सन्निकटन के बीच के अंतर को कम करता है; कम से कम वर्ग दृष्टिकोण के लिए सन्निकटन की गुणवत्ता को दोनों के बीच वर्ग अंतर के संदर्भ में मापा जाता है। कार्यात्मक विश्लेषण एक डेटा सेट के सन्निकटन के लिए एक सामान्यीकरण अन्य कार्यों के योग द्वारा एक फ़ंक्शन का सन्निकटन है, आमतौर पर एक ऑर्थोगोनल सेटः कार्यों के सेट के साथ {} ब्याज के अंतराल पर एक ऑर्थोनॉर्मल सेट,: फेजर की प्रमेय भी देखें। ।। |2 अंतर के परिमाण को जितना संभव हो उतना छोटा बनाने के लिए गुणांक {} का चयन किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक फलन के परिमाण या मानक को निम्न द्वारा परिभाषित किया जा सकता हैः जहाँ '*' जटिल फलन के मामले में जटिल संयुग्म को दर्शाता है। इस तरह से पाइथागोरस के प्रमेय का विस्तार कार्य रिक्त स्थान और लेबस्ग्यू माप की धारणा की ओर ले जाता है, जो यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल आधार की तुलना में अधिक सामान्य "अंतरिक्ष" का विचार है। संतुष्ट ऑर्थोनॉर्मलिटी संबंधः जहाँ δij क्रोनेकर डेल्टा है। इन समीकरणों में फलन को प्रतिस्थापित करने से एन-आयामी पाइथागोरियन प्रमेय की ओर जाता हैः गुणांक {aj} बनाने वाले। |f −fn। |2 जितना संभव हो उतना छोटा पाए जाते हैंः एन-आयामी पाइथागोरियन प्रमेय के अनंत-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के सामान्यीकरण को पारसेवल की पहचान या पारसेवल के समीकरण के रूप में जाना जाता है। किसी फलन के इस तरह के प्रतिनिधित्व के विशेष उदाहरण फूरियर श्रृंखला और सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला हैं। रैखिक बीजगणित का उपयोग करके आगे की चर्चा यह इस प्रकार है कि कोई भी दो कार्यों के बीच के क्षेत्र को कम करके दूसरे कार्य का "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन पा सकता है, एक निरंतर कार्य और एक कार्य जहां सबस्पेस के भीतर सभी का एक उपक्षेत्र है। निरपेक्ष मूल्य से जुड़े समाकलन का मूल्यांकन करने में लगातार कठिनाई के कारण, इसके बजाय आंतरिक उत्पाद स्थान के संबंध में न्यूनतम वर्ग सन्निकटन, कार्य प्राप्त करने के लिए एक पर्याप्त मानदंड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार, या, समतुल्य रूप से, वेक्टर रूप में लिखा जा सकता हैः दूसरे शब्दों में, का न्यूनतम वर्ग सन्निकटन आंतरिक उत्पाद के संदर्भ में सबसे निकटतम फलन है। इसके अलावा, इसे एक प्रमेय के साथ लागू किया जा सकता हैः मान लीजिए कि यह निरंतर है, और मान लीजिए कि यह एक परिमित-आयामी उपक्षेत्र है। के संबंध में न्यूनतम वर्ग अनुमानित फलन इस प्रकार दिया जाता है कि कहाँ के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है। संदर्भ न्यूनतम वर्ग सन्निकटन सिद्धांत