Oscillator representation
गणित में, ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व सिंप्लेक्टिक समूह का एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व है, जिसकी जांच पहले इरविंग सेगल, डेविड शेल और आंद्रे वेल द्वारा की गई थी। प्रतिनिधित्व का एक प्राकृतिक विस्तार संकुचन संचालकों के एक अर्धसमूह की ओर ले जाता है, जिसे 1988 में रोजर होवे द्वारा ऑसिलेटर अर्धसमूह के रूप में पेश किया गया था। सेमीग्रुप का अध्ययन पहले अन्य गणितविदों और भौतिकविदों द्वारा किया गया था, विशेष रूप से 1960 के दशक में फेलिक्स बेरेज़िन। एक आयाम में सबसे सरल उदाहरण एसयू (1,1) द्वारा दिया गया है। यह विस्तारित जटिल तल पर मोबियस परिवर्तन के रूप में कार्य करता है, जिससे इकाई वृत्त अपरिवर्तनीय हो जाता है। उस स्थिति में ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व एसयू (1,1) के दोहरे आवरण का एकात्मक प्रतिनिधित्व है और ऑसिलेटर सेमीग्रुप एसएल (2, सी) में सेमीग्रुप के संकुचन ऑपरेटरों द्वारा प्रतिनिधित्व से मेल खाता है जो मोबियस परिवर्तनों के अनुरूप है जो इकाई डिस्क को अपने आप में ले जाते हैं। संकुचन प्रचालक, जो केवल एक संकेत तक निर्धारित किए जाते हैं, उनमें गुच्छे होते हैं जो गौसी कार्य होते हैं। एक असीम स्तर पर अर्धसमूह को एसयू (1,1) के लाइ बीजगणित में एक शंकु द्वारा वर्णित किया गया है जिसे एक प्रकाश शंकु से पहचाना जा सकता है। वही ढांचा उच्च आयामों में सिंप्लेक्टिक समूह को सामान्यीकृत करता है, जिसमें अनंत आयामों में इसका एनालॉग भी शामिल है। यह लेख एसयू (1,1) के सिद्धांत को विस्तार से बताता है और सारांश देता है कि सिद्धांत को कैसे बढ़ाया जा सकता है। वर्नर हाइजेनबर्ग और इरविन श्रोडिंगर द्वारा क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण मूल रूप से एक हिल्बर्ट स्थान पर असीम स्व-एडजॉइंट ऑपरेटरों के संदर्भ में था। स्थिति और संवेग के अनुरूप मौलिक प्रचालक हाइजेनबर्ग कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं। इन प्रचालकों में चतुर्भुज बहुपदों, जिनमें हार्मोनिक ऑसिलेटर शामिल हैं, को भी कम्यूटेटर लेने के तहत बंद कर दिया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर नींव प्रदान करने के लिए 1920 और 1930 के दशक में बड़ी मात्रा में प्रचालक सिद्धांत विकसित किया गया था। सिद्धांत का एक हिस्सा संचालकों के एकात्मक समूहों के संदर्भ में तैयार किया गया था, मुख्य रूप से हर्मन वेल, मार्शल स्टोन और जॉन वॉन न्यूमैन के योगदान के माध्यम से। बदले में गणितीय भौतिकी में इन परिणामों को गणितीय विश्लेषण के भीतर शामिल किया गया, जिसकी शुरुआत 1933 के नॉर्बर्ट वीनर के व्याख्यान टिप्पणियों से हुई, जिन्होंने फूरियर परिवर्तन के गुणों को प्राप्त करने के लिए हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए ऊष्मा कर्नेल का उपयोग किया। हाइजेनबर्ग कम्यूटेशन संबंधों की विशिष्टता, जैसा कि स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय में तैयार किया गया था, बाद में समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के भीतर व्याख्या की गई, विशेष रूप से जॉर्ज मैकी द्वारा शुरू किए गए प्रेरित प्रतिनिधित्व के सिद्धांत। द्विघात प्रचालकों को समूह एसयू (1,1) और इसके लाइ बीजगणित के एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व के संदर्भ में समझा गया था। इरविंग सेगल और डेविड शेल ने इस निर्माण को सिमप्लेक्टिक समूह के लिए सीमित और अनंत आयामों में सामान्यीकृत किया-भौतिकी में, इसे अक्सर बोसोनिक क्वांटाइजेशन के रूप में संदर्भित किया जाता हैः इसे एक अनंत-आयामी स्थान के सममित बीजगणित के रूप में बनाया जाता है। सेगल और शेल ने फर्मियोनिक क्वांटाइजेशन के मामले का भी इलाज किया है, जिसे एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्पेस के बाहरी बीजगणित के रूप में बनाया गया है। 1 + 1 आयामों में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के विशेष मामले में, दोनों संस्करण तथाकथित "बोसॉन-फर्मियन पत्राचार" के माध्यम से समकक्ष हो जाते हैं। यह न केवल विश्लेषण में लागू होता है जहां बोसोनिक और फर्मियोनिक हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एकात्मक प्रचालक होते हैं, बल्कि शीर्ष प्रचालक बीजगणित के गणितीय सिद्धांत में भी लागू होता है। वर्टेक्स प्रचालक स्वयं मूल रूप से 1960 के दशक के अंत में सैद्धांतिक भौतिकी में उभरे, विशेष रूप से स्ट्रिंग सिद्धांत में। आंद्रे वेइल ने बाद में पी-एडिक लाइ समूहों के निर्माण का विस्तार किया, जिसमें दिखाया गया कि विचारों को संख्या सिद्धांत में कैसे लागू किया जा सकता है, विशेष रूप से थीटा कार्यों और द्विघात पारस्परिकता की एक समूह सैद्धांतिक व्याख्या देने के लिए। कई भौतिकविदों और गणितविदों ने देखा कि हार्मोनिक ऑसिलेटर के अनुरूप ऊष्मा कर्नेल प्रचालक एसयू (1,1) के जटिलता से जुड़े थेः यह संपूर्ण एसएल (2, सी) नहीं था, बल्कि एक प्राकृतिक ज्यामितीय स्थिति द्वारा परिभाषित एक जटिल अर्धसमूह था। इस अर्धसमूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत और सीमित और अनंत आयामों में इसके सामान्यीकरण का गणित और सैद्धांतिक भौतिकी दोनों में अनुप्रयोग है। एस. एल. (2, सी) में अर्धसमूह समूहः जी. सी. = एस. एल. (2, सी) का एक उपसमूह है, जो निर्धारक 1 के साथ जटिल 2 × 2 मैट्रिक्स का समूह है। यदि जी1 = एस. एल. (2, आर) है तो यह तब होता है जब संबंधित मोबियस परिवर्तन केली परिवर्तन होता है जो ऊपरी आधे तल को इकाई डिस्क पर और वास्तविक रेखा को इकाई वृत्त पर ले जाता है। एस. एल. (2, आर) समूह एक अमूर्त समूह के रूप में और निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उपसमूह के रूप में उत्पन्न होता है वास्तव में, इन मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न उपसमूह के तहत वेक्टर की कक्षा को आसानी से पूरे आर 2 के रूप में देखा जाता है और जी1 में वी का स्टेबलाइज़र इस उपसमूह के अंदर स्थित होता है। एस. यू. (1,1) के लाइ बीजगणित में मैट्रिक्स होते हैं जी. सी. की अवधि 2 ऑटोमोर्फिज्म में निश्चित बिंदु उपसमूह जी होता है क्योंकि इसी तरह वही सूत्र जी. सी. के लाइ बीजगणित की अवधि दो ऑटोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है, ट्रेस शून्य के साथ जटिल मैट्रिक्स। इस प्रकार −1 ≤ m, n ≤ 1 के लिए एक प्रत्यक्ष योग अपघटन होता है जहाँ σ का + 1 आइगेनस्पेस और-1 आइगेनस्पेस होता है। मैट्रिक्स X में यह रूप है ध्यान दें कि शंकु C को दो शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है। पहला यह है कि परिभाषा के अनुसार इस स्थिति को जी द्वारा संयुग्मन के तहत संरक्षित किया जाता है क्योंकि जी जुड़ा हुआ है और यह दोनों घटकों को x> 0 और x <0 अपरिवर्तनीय के साथ छोड़ देता है। दूसरी शर्त यह है कि समूह जी. सी. विस्तारित जटिल तल पर मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है। जी. सी. के एक अर्धसमूह एच को ज्यामितीय स्थिति द्वारा परिभाषित किया जा सकता हैः अर्धसमूह को स्पष्ट रूप से शंकु सी के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता हैः वास्तव में मैट्रिक्स एक्स को जी के एक तत्व द्वारा मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित किया जा सकता है। इसके विपरीत यदि जी एच में स्थित है तो यह बंद इकाई डिस्क को अपने आंतरिक भाग में एक छोटी बंद डिस्क पर ले जाता है। जी के एक तत्व द्वारा संयुग्मित, छोटी डिस्क को केंद्र 0 के रूप में लिया जा सकता है। लेकिन फिर उपयुक्त y के लिए, तत्व D को अपने आप पर ले जाता है इसलिए G में निहित है। इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि H का समापन, जो एक अर्धसमूह भी है, द्वारा दिया गया है। इसलिए एच में यह भी शामिल है जो व्युत्क्रम मैट्रिक्स देता है यदि मूल मैट्रिक्स एसयू (1,1) में स्थित है। संयुग्मता पर एक और परिणाम यह ध्यान देने के बाद आता है कि H के प्रत्येक तत्व को D में एक बिंदु तय करना चाहिए, जिसे G के एक तत्व के साथ संयुग्मन द्वारा 0 लिया जा सकता है। फिर H के तत्व का रूप होता है इस तरह के निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का सेट H का एक उपसमूह H0 बनाता है क्योंकि H0 में प्रत्येक मैट्रिक्स H0 में एक मैट्रिक्स M द्वारा एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए संयुग्मित होता है। इसी तरह H में प्रत्येक एक-पैरामीटर अर्धसमूह S (t) D में एक ही बिंदु को तय करता है इसलिए G के एक तत्व द्वारा H0 में एक-पैरामीटर अर्धसमूह में संयुग्मित होता है। यह इस प्रकार है कि H0 में एक मैट्रिक्स M है जो S0 (t) विकर्ण के साथ है। इसी तरह H0 में एक मैट्रिक्स N इस तरह है कि अर्धसमूह H0 निर्धारक 1 के साथ जटिल निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उपसमूह L को उत्पन्न करता है (उपरोक्त सूत्र द्वारा दिया गया है)। इसके लाइ बीजगणित में रूप के मैट्रिक्स होते हैं विशेष रूप से एक पैरामीटर सेमीग्रुप एक्सप tZ सभी t> 0 के लिए H0 में निहित है यदि और केवल और केवल यदि और यह H के लिए मानदंड से या सीधे सूत्र से अनुसरण करता है घातीय मानचित्र को इस मामले में सर्जेक्टिव नहीं माना जाता है, भले ही यह पूरे समूह L पर सर्जेक्टिव हो। इसका कारण यह है कि वर्ग संचालन H में सर्जेक्टिव नहीं है। वास्तव में, क्योंकि एक तत्व का वर्ग 0 को तभी ठीक करता है जब मूल तत्व 0 को ठीक करता है, यह H0 में इसे साबित करने के लिए पर्याप्त है। |α। <1 के साथ α लें और यदि a = α2 और उसके साथ मैट्रिक्स का H0 में कोई वर्गमूल नहीं है। दूसरी ओर, बंद अर्धसमूह एस. एल. (2, सी) में अधिकतम हैः कोई भी बड़ा अर्धसमूह पूरे एस. एल. (2, सी) का होना चाहिए। सैद्धांतिक भौतिकी द्वारा प्रेरित गणनाओं का उपयोग करते हुए, असमानताओं के एक समूह के माध्यम से परिभाषित अर्धसमूह की शुरुआत की गई। एक संपीड़न अर्धसमूह के रूप में पहचान के बिना, उन्होंने इसकी अधिकतमता स्थापित की। एक संपीड़न अर्धसमूह के रूप में परिभाषा का उपयोग करते हुए, अधिकतमता यह जांचने के लिए कम हो जाती है कि एक नए आंशिक परिवर्तन को जोड़ते समय क्या होता है। प्रमाण का विचार दो डिस्क और डिस्क की स्थिति पर विचार करने पर निर्भर करता है। प्रमुख मामलों में, या तो एक डिस्क में दूसरी होती है या वे असंबद्ध होती हैं। सबसे सरल मामलों में, एक स्केलिंग परिवर्तन का व्युत्क्रम है या। दोनों ही मामलों में और 1 का एक खुला पड़ोस उत्पन्न करें और इसलिए पूरे एस. एल. (2, सी) ने बाद में पहले यह दिखाकर अधिकतमता साबित करने का एक और अधिक सीधा तरीका दिया कि एस में एक जी है जो डिस्क डी. सी., |z।> 1 पर डी भेज रहा है। वास्तव में यदि तब डी में एक छोटी डिस्क डी 1 ऐसी है कि एक्स डी 1 डी सी में स्थित है। फिर H में कुछ h के लिए, D1 = hD। इसी तरह H में कुछ y के लिए yxD1 = Dc. तो g = yxh S में स्थित है और D को Dc पर भेजता है। यह इस प्रकार है कि जी2 इकाई डिस्क डी को ठीक करता है इसलिए यह एसयू (1,1) में स्थित है। अतः g-1 S में निहित है। यदि t, H में स्थित है तो tgD में gD होता है। इसलिए t − 1 S में स्थित है और इसलिए S में 1 का एक खुला पड़ोस है। अतः एस = एसएल (2, सी)। ठीक यही तर्क Rn और खुले अर्धसमूह पर मोबियस परिवर्तनों के लिए काम करता है जो बंद इकाई गोले। |x।। ≤1 को खुले इकाई गोले। |x।। <1 में ले जाता है। समापन सभी मोबियस परिवर्तनों के समूह में एक अधिकतम उचित अर्धसमूह है। जब n = 1 होता है, तो समापन वास्तविक रेखा के मोबियस परिवर्तनों से मेल खाता है जो बंद अंतराल [-1,1] को अपने आप में लेता है। सेमीग्रुप एच और इसके बंद होने की संरचना का एक और टुकड़ा जी से विरासत में मिला है, अर्थात् जी पर व्युत्क्रम एच और इसके बंद होने के एक एंटीआटोमोर्फिज्म तक फैला हुआ है, जो एक्स. सी और इसके बंद होने के तत्वों को ठीक करता है। एंटीआउटोमोर्फिज्म के लिए एस. एल. (2, सी) के एंटीआउटोमोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है और विस्तारित होता है। इसी तरह एंटीआटोमॉर्फिज्म G1 को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है और तत्वों को exp C1 और इसके समापन में ठीक करता है, इसलिए इसमें G1 में अर्धसमूह के लिए समान गुण हैं। हाइजेनबर्ग और वेइल के कम्यूटेशन संबंध R पर श्वार्ट्ज कार्यों का स्थान होने चाहिए। यह R पर वर्ग-समाकलन कार्यों के हिल्बर्ट स्थान L2 (R) में घना है। क्वांटम यांत्रिकी की शब्दावली का पालन करते हुए, "संवेग" प्रचालक P और "स्थिति" प्रचालक Q को परिभाषित किया गया है। दो एक पैरामीटर एकात्मक समूहों U (s) और V (t) पर परिभाषित किया जा सकता है और L2 (R) के लिए परिभाषा के अनुसार, ताकि औपचारिक रूप से यह परिभाषा से तत्काल है कि एक पैरामीटर समूह U और V वेल कम्यूटेशन संबंध को संतुष्ट करते हैं L2 (R) पर U और V की प्राप्ति को श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व कहा जाता है। फ़ोरियर परिवर्तन फ़ोरियर परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया गया है यह अपने प्राकृतिक स्थलविज्ञान के लिए अपने आप में एक निरंतर मानचित्र को परिभाषित करता है। समोच्च एकीकरण से पता चलता है कि कार्य अपना स्वयं का फूरियर परिवर्तन है। दूसरी ओर, भागों द्वारा समाकलन या समाकलन के तहत विभेदन, यह इस प्रकार है कि प्रचालक को क्यू (और पी) दोनों के साथ आवागमन द्वारा परिभाषित किया जाता है। दूसरी ओर, और चूंकि इसमें निहित है, यह इसका अनुसरण करता है और इसलिए इसका तात्पर्य फूरियर व्युत्क्रम सूत्र हैः और यह दर्शाता है कि फूरियर परिवर्तन अपने आप में एक समरूपता है। फुबिनी के प्रमेय के अनुसार जब व्युत्क्रम सूत्र के साथ जोड़ा जाता है तो इसका तात्पर्य है कि फूरियर परिवर्तन आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है इसलिए अपने आप में एक सममिति को परिभाषित करता है। घनत्व द्वारा यह L2 (R) पर एकात्मक प्रचालक तक फैला हुआ है, जैसा कि प्लानचेरेल के प्रमेय द्वारा दावा किया गया है। मान लीजिए कि यू (एस) और वी (टी) हिल्बर्ट स्पेस पर एक पैरामीटर एकात्मक समूह हैं जो वेल कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, यदि एफ. डी. एस. और जी. डी. टी. संहत समर्थन के साथ संभाव्यता उपायों को परिभाषित करते हैं, तो स्मीयर ऑपरेटर संतुष्ट होते हैं और मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में पहचान ऑपरेटर में परिवर्तित हो जाते हैं यदि उपायों का समर्थन 0 तक कम हो जाता है। चूँकि यू (एफ) वी (जी) का रूप टी (एफ) है, इसलिए गैर-अपक्षय होता है। L2 (R) पर श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व कब होता है, ऑपरेटर T (F) द्वारा दिया जाता है यह इस सूत्र से इस प्रकार है कि U और V संयुक्त रूप से श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व पर अपरिवर्तनीय रूप से कार्य करते हैं क्योंकि यह कर्नेल द्वारा दिए गए ऑपरेटरों के लिए सच है जो श्वार्ट्ज फ़ंक्शन हैं। एक ठोस विवरण रैखिक विहित परिवर्तनों द्वारा प्रदान किया जाता है। इसके विपरीत, वेइल कम्यूटेशन संबंधों के प्रतिनिधित्व को देखते हुए, यह कर्नेल ऑपरेटरों के *-बीजगणित के गैर-अपक्षयी प्रतिनिधित्व को जन्म देता है। लेकिन इस तरह के सभी अभ्यावेदन L2 (R) की प्रतियों के एक ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग पर हैं, जिसमें प्रत्येक प्रति पर उपरोक्त कार्रवाई की गई है। यह इस प्राथमिक तथ्य का सीधा सामान्यीकरण है कि एन × एन मैट्रिक्स के प्रतिनिधित्व सी. एन. पर मानक प्रतिनिधित्व के प्रत्यक्ष योग पर हैं। मैट्रिक्स इकाइयों का उपयोग करने वाला प्रमाण अनंत आयामों में समान रूप से अच्छी तरह से काम करता है। एक पैरामीटर एकात्मक समूह U और V प्रत्येक घटक को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं, जो श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व पर मानक कार्रवाई को प्रेरित करते हैं। विशेष रूप से यह स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय का तात्पर्य हैः श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व एक हिल्बर्ट स्थान पर वेल कम्यूटेशन संबंधों का अद्वितीय अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है। एस. एल. (2, आर) का ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व यू और वी को वेइल कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हुए, परिभाषित करें फिर ताकि डब्ल्यू कोशिक के साथ आर 2 के एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करे जहां और बी द्वारा दिया गया आर 2 पर सिंप्लेक्टिक रूप है स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय द्वारा, इस कोशिक के अनुरूप एक अद्वितीय इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व है। यह इस प्रकार है कि यदि जी, बी के रूप को संरक्षित करते हुए आर2 का एक स्वरूपता है, अर्थात। एस. एल. (2, आर) का एक तत्व, फिर एल2 (आर) पर एक एकात्मक π (जी) होता है जो सहप्रसरण संबंध को संतुष्ट करता है। शूर्स लेम्मा द्वारा एकात्मक π (जी) एक स्केलर द्वारा |ζ। = 1 के साथ गुणा करने के लिए अद्वितीय है, ताकि π एस. एल. (2, आर) के एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है। यह सीधे श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व की अपरिवर्तनीयता का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है। अपरिवर्तनीयता इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम था कि के ए श्वार्ट्ज फलन वाले प्रचालक श्वार्ट्ज फलन वाले कर्नेल द्वारा दिए गए प्रचालक से बिल्कुल मेल खाते हैं। ये हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों के स्थान में घने हैं, जो, क्योंकि इसमें सीमित रैंक ऑपरेटर शामिल हैं, अपरिवर्तनीय रूप से कार्य करते हैं। π के अस्तित्व को केवल श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व की अपरिवर्तनीयता का उपयोग करके साबित किया जा सकता है। प्रचालक एक चिन्ह तक अद्वितीय होते हैं ताकि एस. एल. (2, आर) के प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व के लिए 2-चक्र मान ±1 ले। वास्तव में समूह एस. एल. (2, आर) रूप के मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न होता है और यह सीधे तौर पर सत्यापित किया जा सकता है कि निम्नलिखित प्रचालक उपरोक्त सहप्रसरण संबंधों को संतुष्ट करते हैंः जनरेटर जी. आई. निम्नलिखित बृहत संबंधों को संतुष्ट करते हैं, जो समूह एस. एल. (2, आर) को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करते हैंः यह प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है कि ये संबंध संबंधित प्रचालक द्वारा एक संकेत तक संतुष्ट हैं, जो स्थापित करता है कि कोसाइकिल मान ±1 लेता है। एस. एल. (2, आर) के दोहरे आवरण के रूप में मेटाप्लेक्टिक समूह के स्पष्ट निर्माण का उपयोग करते हुए एक अधिक वैचारिक व्याख्या है। एस. एल. (2, आर) ऊपरी आधे तल एच पर मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है। इसके अलावा, यदि तब फलन 1-चक्र संबंध को संतुष्ट करता है प्रत्येक जी के लिए, फलन एम (जी, जेड) एच पर गैर-लुप्त हो रहा है और इसलिए इसके दो संभावित समरूप वर्गमूल हैं। मेटाप्लेक्टिक समूह को समूह के रूप में परिभाषित किया गया है परिभाषा के अनुसार यह एस. एल. (2, आर) का दोहरा आवरण है और जुड़ा हुआ है। इस प्रकार मेटाप्लेक्टिक समूह के एक तत्व g के लिए एक विशिष्ट रूप से निर्धारित फलन m (g, z) 1/2 है जो 1-चक्र संबंध को संतुष्ट करता है। यदि, तो L2 में स्थित है और इसे एक सुसंगत अवस्था कहा जाता है। ये फलन एस. एल. (2, आर) की एकल कक्षा में होते हैं जो एस. एल. (2, आर) में जी के लिए उत्पन्न होते हैं और विशेष रूप से यदि जी एम. पी. (2, आर) में होता है तो वास्तव में, यदि यह जी और एच के लिए होता है, तो यह उनके उत्पाद के लिए भी होता है। दूसरी ओर, सूत्र को आसानी से जांचा जा सकता है कि क्या जी. टी. में जी. आई. का रूप है और ये जनरेटर हैं। यह मेटाप्लेक्टिक समूह के एक साधारण एकात्मक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है। तत्व (1,-1) एल2 (आर) पर-1 से गुणा के रूप में कार्य करता है, जिससे यह पता चलता है कि एसएल (2, आर) पर कोसाइकल केवल मान ±1 लेता है। मास्लोव सूचकांक जैसा कि में समझाया गया है, मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व से जुड़े एस. एल. (2, आर) पर 2-चक्र, मान ±1 लेते हुए, मास्लोव सूचकांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। समतल में तीन गैर-शून्य वैक्टरों u, v, w को देखते हुए, उनके मास्लोव सूचकांक को मास्लोव सूचकांक के गुणों द्वारा परिभाषित R3 पर द्विघात रूप के हस्ताक्षर के रूप में परिभाषित किया गया हैः यह वैक्टरों द्वारा फैले एक-आयामी उपस्थानों पर निर्भर करता है यह SL (2, R) के तहत अपरिवर्तनीय है यह अपने तर्कों में बारी-बारी से है, अर्थात। इसका चिह्न बदलता है यदि दो तर्क आपस में बदले जाते हैं तो यह गायब हो जाता है यदि दो उपस्थान मेल खाते हैं तो यह मान लेते हैं-1,0 और + 1: यदि यू और वी संतुष्ट करते हैं बी (यू, वी) = 1 और डब्ल्यू = एयू + बीवी, तो मास्लोव सूचकांक शून्य है यदि एबी = 0 और अन्यथा माइनस के बराबर है एबी का संकेत एक गैर-शून्य सदिश यू0 को चुनना, यह इस प्रकार है कि फलन एसएल (2, आर) पर 2-चक्र को एकता के आठवें मूल में मानों के साथ परिभाषित करता है। 2-चक्र के एक संशोधन का उपयोग मेटाप्लेक्टिक कोसाइकल से जुड़े ±1 में मानों के साथ 2-चक्र को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में समतल में गैर-शून्य वैक्टर u, v दिए जाने पर, f (u, v) को B (u, v) के संकेत का i गुना होने के लिए परिभाषित करें यदि u और v λ के संकेत के समानुपाती नहीं हैं यदि u = λv है। यदि तब मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व में प्रतिनिधि π (g) को चुना जा सकता है ताकि जहां 2-चक्र ω को होलोमोर्फिक फॉक स्पेस (जिसे सेगल-बर्गमैन स्पेस के रूप में भी जाना जाता है) के साथ दिया जाता है, उसे सीमित के साथ C पर होलोमोर्फिक कार्यों f (z) के वेक्टर स्पेस के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका आंतरिक उत्पाद ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ एक हिल्बर्ट स्थान है इसके अलावा, एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का शक्ति श्रृंखला विस्तार इस आधार के संबंध में इसका विस्तार देता है। इस प्रकार सी में जेड के लिए ताकि जेड पर मूल्यांकन एक निरंतर रैखिक कार्यात्मक देता है वास्तव में जहां इस प्रकार विशेष रूप से एक पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्थान है। सी में एफ इन और जेड के लिए परिभाषित करें तो यह वेल कम्यूटेशन संबंधों का एकात्मक प्रतिनिधित्व देता है। अब यह इस प्रकार है कि प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, सभी ई. ए. के लिए किसी भी ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन को गायब होना चाहिए, ताकि उनकी रैखिक अवधि घनी हो। यदि पी डब्ल्यू (जेड) के साथ आने-जाने वाला एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है, तो मान लीजिए कि एफ = पीई0 है। फिर इस स्थिति को संतुष्ट करने वाला एकमात्र समरूप फलन स्थिर फलन है। तो λ = 0 या 1 के साथ। चूँकि E0 चक्रीय है, इसलिए यह इस प्रकार है कि P = 0 या I। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय के अनुसार एल2 (आर) से एक एकात्मक प्रचालक है, जो एक स्केलर द्वारा गुणन तक अद्वितीय है, जो वेल कम्यूटेशन संबंधों के दो अभ्यावेदनों को आपस में जोड़ता है। शूर्स लेम्मा और गेलफैंड-नाइमार्क निर्माण द्वारा, किसी भी वेक्टर का मैट्रिक्स गुणांक एक अदिश गुणक तक वेक्टर को निर्धारित करता है। चूँकि F = E0 और f = H0 के मैट्रिक्स गुणांक बराबर हैं, इसलिए एकात्मक गुण विशिष्ट रूप से गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसलिए L2 (R) में f के लिए ताकि ऑपरेटर को सेगल-बर्गमैन परिवर्तन और B को बर्गमैन कर्नेल कहा जाए। के संयोजन सूत्र द्वारा दिया गया हैः फॉक मॉडल होलोमोर्फिक फॉक स्पेस पर एसयू (1,1) की क्रिया को और द्वारा वर्णित किया गया था। एस. यू. (1,1) के मेटाप्लेक्टिक डबल कवर का निर्माण स्पष्ट रूप से जोड़े (जी, γ) के रूप में और यदि जी = जी1जी2 के साथ किया जा सकता है, तो |z। <1 के लिए (1 + जेड) 1/2 की शक्ति श्रृंखला विस्तार का उपयोग किया जा सकता है। मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व इस समूह का एकात्मक प्रतिनिधित्व π (g, γ) है जो सहप्रसरण संबंधों को संतुष्ट करता है जहाँ चूंकि एक पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्थान है, इसलिए उस पर कोई भी बंधा हुआ प्रचालक T अपने दो तर्कों की एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिए गए कर्नेल से मेल खाता है। वास्तव में यदि और एफ में, तो सहप्रसरण संबंध और कर्नेल की विश्लेषणात्मकता का अर्थ है कि एस = π (जी, γ) के लिए, कुछ स्थिर सी के लिए। प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि दोहरे आवरण का एक साधारण प्रतिनिधित्व होता है। सुसंगत अवस्थाओं को फिर से मेटाप्लेक्टिक समूह के तहत E0 की कक्षा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। डब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के लिए, अगर और केवल अगर |w। <1 सेट करें। विशेष रूप से F0 = 1 = E0। इसके अलावा, जहां इसी तरह फलन zFw स्थित होते हैं और मेटाप्लेक्टिक समूह की एक कक्षा बनाते हैंः चूंकि (Fw, E0) = 1, फलन E0 = 1 का मैट्रिक्स गुणांक डिस्क मॉडल द्वारा दिया जाता है L2 (R) पर SL (2, R) का प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व या दो इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्वों के प्रत्यक्ष योग के रूप में टूटने पर, x या z के सम और विषम कार्यों के अनुरूप। दो प्रतिनिधित्वों को इकाई डिस्क पर होलोमोर्फिक कार्यों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर महसूस किया जा सकता है; या, केली परिवर्तन का उपयोग करके, ऊपरी आधे तल पर। सम फलन होलोमोर्फिक फलन F + के अनुरूप होते हैं जिसके लिए वे परिमित होते हैं और विषम फलन होलोमोर्फिक फलन F-के लिए जिनके लिए वे परिमित होते हैं। इन अभिव्यक्तियों के ध्रुवीकृत रूप आंतरिक उत्पादों को परिभाषित करते हैं। मेटाप्लेक्टिक समूह की क्रिया इन अभ्यावेदनों की अपरिवर्तनीयता द्वारा दी जाती है जो एक मानक तरीके से स्थापित की जाती है। प्रत्येक प्रतिनिधित्व घूर्णन समूह के एक आयामी आइगेनस्पेस के प्रत्यक्ष योग के रूप में विभाजित होता है, जिनमें से प्रत्येक पूरे समूह के लिए एक सी. आई. वेक्टर द्वारा उत्पन्न होता है। यह इस प्रकार है कि कोई भी बंद अपरिवर्तनीय सबस्पेस इसमें शामिल आइगेनस्पेस के बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग से उत्पन्न होता है और यह योग लाइ बीजगणित की असीम क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय है। दूसरी ओर, वह क्रिया अपरिवर्तनीय है। सम और विषम कार्यों के साथ समरूपता को गेलफैंड-नाइमार्क निर्माण का उपयोग करके साबित किया जा सकता है क्योंकि संबंधित अभ्यावेदन में 1 और z से जुड़े मैट्रिक्स गुणांक आनुपातिक हैं। समान और विषम भागों से लेकर इकाई डिस्क पर कार्यों तक मानचित्रों से शुरू होने वाली एक और विधि दी। ये मानचित्र ऊपर दिए गए मेटाप्लेक्टिक समूह की क्रियाओं को आपस में जोड़ते हैं और डब्ल्यूएन के गुणक को जेडएन भेजते हैं। यह निर्धारित करना कि यू ± एकात्मक होना चाहिए, डिस्क पर कार्यों पर आंतरिक उत्पादों को निर्धारित करता है, जिन्हें उपरोक्त रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यद्यपि इन प्रतिनिधित्वों में प्रचालक L0 में सकारात्मक वर्णक्रम होता है-वह विशेषता जो एसयू (1,1) के होलोमोर्फिक असतत श्रृंखला प्रतिनिधित्वों को अलग करती है-प्रतिनिधित्व मेटाप्लेक्टिक समूह की असतत श्रृंखला में नहीं होते हैं। वास्तव में, ध्यान दिया कि मैट्रिक्स गुणांक वर्ग समाकलन योग्य नहीं हैं, हालांकि उनकी तीसरी शक्ति है। हार्मोनिक ऑसिलेटर और हर्माइट कार्य L2 (R) के निम्नलिखित उपक्षेत्र पर विचार करेंः X पर कार्य करने वाले प्रचालक को विनाश प्रचालक और Y को सृजन प्रचालक कहा जाता है। वे कार्यों को संतुष्ट करते हैं हम दावा करते हैं कि वे हार्मोनिक ऑसिलेटर, डी के आइगेनफ़ंक्शंस हैं। इसे साबित करने के लिए हम ऊपर दिए गए कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करते हैंः अगला हमारे पास हैः यह एन = 0 के लिए जाना जाता है और उपज के ऊपर कम्यूटेशन संबंध। इस प्रकार ऑपरेटर पी, क्यू या समकक्ष ए, ए * एक मानक तर्क द्वारा अपरिवर्तनीय रूप से कार्य करते हैं। वास्तव में, होलोमोर्फिक फॉक स्पेस के साथ एकात्मक समरूपता के तहत सी [जेड] के साथ पहचाना जा सकता है, जेड में बहुपदों का स्थान, के साथ यदि ए और ए * के तहत एक उप-स्थान अपरिवर्तनीय में एक गैर-शून्य बहुपद पी (जेड) होता है, तो, ए * की शक्ति लागू करते हुए, इसमें एक गैर-शून्य स्थिरांक होता है; तब लागू करते हुए ए की शक्ति, इसमें सभी जेडएन होते हैं। समरूपता के तहत Fn को zn के गुणज पर भेजा जाता है और प्रचालक D को चलो द्वारा दिया जाता है ताकि भौतिकी A की शब्दावली में, A * एक एकल बोसॉन दे और L0 ऊर्जा प्रचालक हो। यह 1/2,1,3/2,, प्रत्येक गुणन एक के आइगेनवैल्यू के साथ विकर्णनीय है। इस तरह के प्रतिनिधित्व को सकारात्मक ऊर्जा प्रतिनिधित्व कहा जाता है। इसके अलावा, ताकि L0 के साथ लाइ ब्रैकेट A, A * और I द्वारा फैले लाइ बीजगणित की व्युत्पत्ति को परिभाषित करता है। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय के असीम संस्करण में कहा गया है कि C [z] पर उपरोक्त प्रतिनिधित्व L0 = A * A + 1/2 के साथ इस लाइ बीजगणित का अद्वितीय अपरिवर्तनीय सकारात्मक ऊर्जा प्रतिनिधित्व है। ए ऊर्जा को कम करता है और ए * ऊर्जा को बढ़ाता है। तो किसी भी सबसे कम ऊर्जा सदिश v को A द्वारा नष्ट कर दिया जाता है और मॉड्यूल को A * की शक्तियों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जो v पर लागू होती है। इस प्रकार यह C [z] का एक गैर-शून्य भागफल है और इसलिए इसे अपरिवर्तनीयता द्वारा पहचाना जा सकता है। मान लीजिए कि ये प्रचालक संतुष्ट करते हैंः और ए, ए * और आई द्वारा फैले लाइ बीजगणित पर व्युत्पत्तियों द्वारा कार्य करें। वे एसयू (1,1) के मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व के अनुरूप असीम प्रचालक हैं। फलन एफ. एन. को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि हर्माइट फलन ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया को xn exp-x2/2 के आधार पर लागू करके प्राप्त ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं। हर्माइट कार्यों की पूर्णता इस तथ्य से होती है कि बर्गमैन परिवर्तन एकात्मक है और एचएन (एक्स) पर होलोमोर्फिक फॉक स्पेस के ऑर्थोनॉर्मल आधार एन (जेड) को वहन करता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए ऊष्मा प्रचालक L2 (R) पर प्रचालक है जिसे विकर्ण प्रचालक के रूप में परिभाषित किया गया है यह मेहलर के सूत्र द्वारा दिए गए ऊष्मा कर्नेल से मेल खाता हैः यह सूत्र से निम्नलिखित है इस सूत्र को साबित करने के लिए ध्यान दें कि यदि s = σ2 है, तो टेलर के सूत्र द्वारा इस प्रकार Fσ, x होलोमोर्फिक फॉक स्पेस में स्थित है और एक आंतरिक उत्पाद है जिसकी गणना सीधे की जा सकती है। मेहलर के सूत्र को सीधे स्थापित करता है और यह साबित करने के लिए एक शास्त्रीय तर्क का उपयोग करता है कि एल 2 (आर) में एफ की प्रवृत्ति होती है क्योंकि टी 0 तक कम हो जाता है। यह हर्माइट कार्यों की पूर्णता को दर्शाता है और इसका उपयोग फूरियर परिवर्तन के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। हर्माइट कार्यों की पूर्णता को साबित करने के लिए अन्य प्राथमिक तरीके हैं, उदाहरण के लिए फूरियर श्रृंखला का उपयोग करना। सोबोलेव रिक्त स्थान Hs, जिसे कभी-कभी हर्माइट-सोबोलेव रिक्त स्थान कहा जाता है, को उन मानदंडों के संबंध में पूर्ण होने के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां हर्माइट कार्यों में f का विस्तार होता है। इस प्रकार सोबोलेव रिक्त स्थान हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं। इसके अलावा, कुछ सकारात्मक स्थिरांक सीएस के लिए, एसएस और एच-एस युग्मन के तहत द्वैतता में हैं। वास्तव में, इस तरह की असमानता को हर्माइट कार्यों एचएन पर कार्य करने वाले निर्माण और विनाश संचालकों के लिए रोका जा सकता है और यह सामान्य असमानता को दर्शाता है। यह द्वैत द्वारा मनमाना s के लिए अनुसरण करता है। नतीजतन, पी और क्यू में एक द्विघात बहुपद आर के लिए सोबोलेव असमानता एचएस में एफ के लिए s> 1/2: के साथ किसी भी के लिए मानती है। वास्तव में, सामान्य k का परिणाम qkf पर लागू मामले k = 0 से मिलता है। के = 0 के लिए फूरियर व्युत्क्रम सूत्र का तात्पर्य है यदि एस <टी, डी का विकर्ण रूप, दर्शाता है कि एचएस में एचटी का समावेश कॉम्पैक्ट (रेलिच का लेम्मा) है। यह सोबोलेव की असमानता से पता चलता है कि रिक्त स्थान का प्रतिच्छेदन एचएस है। में कार्य उनके हर्माइट गुणांक के तेजी से क्षय द्वारा विशेषता है। मानक तर्कों से पता चलता है कि प्रत्येक सोबोलेव स्थान प्रचालक डब्ल्यू (जेड) और मेटाप्लेक्टिक समूह के तहत अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, यह अपरिवर्तनीयता की जांच करने के लिए पर्याप्त है जब g पहचान के पर्याप्त रूप से करीब है। उस मामले में D + A के साथ एक समरूपता यह इस प्रकार है कि यदि तब जहां व्युत्पन्न में स्थित हैं, इसी तरह U (s) V (t) f की कुल डिग्री k के आंशिक व्युत्पन्न s-k/2 क्रम के सोबोलेव रिक्त स्थान में स्थित हैं। नतीजतन, पी और क्यू में 2k क्रम का एक एकाधिकार जो f पर लागू होता है, Hs-k में होता है और इसे 0 पर मूल्यांकन किए गए डिग्री ≤ 2k के U (s) V (t) f के आंशिक व्युत्पन्न के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वेइल कम्यूटेशन संबंधों के लिए चिकने वैक्टर L2 (R) में वे हैं जो मानचित्र चिकना है। समान सीमा प्रमेय द्वारा, यह इस आवश्यकता के बराबर है कि प्रत्येक मैट्रिक्स गुणांक (डब्ल्यू (जेड) यू, वी) चिकना हो। एक वेक्टर चिकना होता है यदि और केवल यह इसमें स्थित होता है। पर्याप्तता स्पष्ट है। आवश्यकता के लिए, चिकनाई का तात्पर्य है कि W (z) u के आंशिक व्युत्पन्न L2 (R) में निहित हैं और इसलिए सभी सकारात्मक k के लिए भी Dku। इसलिए u Hk के प्रतिच्छेदन में स्थित है, इसलिए अंदर। यह इस प्रकार है कि चिकने वैक्टर भी मेटाप्लेक्टिक समूह के लिए चिकने होते हैं। इसके अलावा, एक सदिश यदि और केवल तभी होता है जब वह एसयू (1,1) के घूर्णन उपसमूह के लिए एक चिकना सदिश हो। विश्लेषणात्मक सदिश यदि Π (t) एक पैरामीटर एकात्मक समूह है और f के लिए तब सदिश Π (f) ω, Π के लिए चिकने सदिशों का एक घना समूह बनाते हैं। वास्तव में वैक्टरों को लेते हुए v = Π (fε) ω को ω में परिवर्तित किया जाता है क्योंकि ε घटकर 0 हो जाता है और यह t का एक विश्लेषणात्मक फलन है जो C पर एक पूरे फलन तक फैला होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर से जुड़े तरंग प्रचालक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि प्रचालक हर्माइट फलन एचएन के साथ विकर्ण है जो आइगेनफंक्शंस के रूप में हैः चूंकि यह डी के साथ संचार करता है, इसलिए यह सोबोलेव रिक्त स्थान को संरक्षित करता है। ऊपर निर्मित विश्लेषणात्मक सदिशों को हर्माइट अर्धसमूह के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है। यह तथ्य कि v, Π के लिए एक संपूर्ण सदिश है, सभी r> 0 के लिए योगात्मक स्थिति के बराबर है। ऐसा कोई भी वेक्टर U (s) V (t) के लिए एक संपूर्ण वेक्टर भी है, यानी R2 पर परिभाषित मानचित्र C2 पर एक विश्लेषणात्मक मानचित्र तक फैला हुआ है। तो ये U (s) V (t) के लिए पूरे वैक्टर का एक घना सेट बनाते हैं; इसे सीधे मेहलर के सूत्र का उपयोग करके भी जांचा जा सकता है। यू (एस) वी (टी) के लिए चिकने और पूरे वैक्टर के स्थान परिभाषा के अनुसार मेटाप्लेक्टिक समूह के साथ-साथ हर्माइट अर्धसमूह की क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय हैं। मान लीजिए कि R2 से C2 तक प्रचालक W (x, y) की विश्लेषणात्मक निरंतरता ऐसी हो कि फिर W पूरे वैक्टरों के स्थान को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है और संतुष्ट करता है। औपचारिक रूप से ऑसिलेटर सेमीग्रुप ओल्शान्स्की सेमीग्रुप एच का एक प्राकृतिक दोहरा आवरण है, और इसका समापन जो मेटाप्लेक्टिक समूह के अनुरूप एसयू (1,1) के दोहरे आवरण का विस्तार करता है। यह जोड़े (g, γ) द्वारा दिया जाता है जहाँ g, H या उसके बंद होने का एक तत्व है और γ, a का वर्गमूल है। इस तरह का विकल्प |z। <1 के लिए एक अद्वितीय शाखा निर्धारित करता है। एस. एल. (2, आर) में जी के लिए एकात्मक प्रचालक π (जी) सी2 में यू के लिए संतुष्ट करते हैं। जटिल एस. एल. (2, सी) के एक तत्व जी को लागू करने योग्य कहा जाता है यदि एक बंधा हुआ प्रचालक टी ऐसा है कि यह और इसका आसन्न डब्ल्यू अपरिवर्तनीय के लिए पूरे वैक्टर का स्थान छोड़ देता है, दोनों में घने चित्र होते हैं और सी 2 में यू के लिए सहप्रसरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं। कार्यान्वयन प्रचालक टी विशिष्ट रूप से एक गैर-शून्य स्केलर द्वारा गुणन तक निर्धारित किया जाता है। कार्यान्वयन योग्य तत्व एक अर्धसमूह बनाते हैं, जिसमें एस. एल. (2, आर) होता है। चूँकि प्रतिनिधित्व में सकारात्मक ऊर्जा होती है, इसलिए t> 0 के लिए बाउंडेड कॉम्पैक्ट सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर समूह तत्वों को exp C1 में लागू करते हैं। इसके बाद ओल्शान्स्की अर्धसमूह और इसके समापन के सभी तत्वों को लागू किया जाता है। ओल्शंकी अर्धसमूह की अधिकतमता का तात्पर्य है कि एस. एल. (2, सी) के किसी अन्य तत्व को लागू नहीं किया गया है। वास्तव में, अन्यथा एस. एल. (2, सी) के प्रत्येक तत्व को एक बंधे हुए प्रचालक द्वारा लागू किया जाएगा, जो टी> 0 के लिए प्रचालक एस0 (टी) की गैर-परिवर्तनीयता का खंडन करेगा। श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में t> 0 के लिए प्रचालक S0 (t) मेहलर के सूत्र द्वारा दिए गए हैं। वे संकुचन प्रचालक हैं, सकारात्मक और हर शैटन वर्ग में। इसके अलावा, वे सोबोलेव रिक्त स्थान में से प्रत्येक को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं। विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए भी यही सूत्र सही है। यह सीधे फॉक मॉडल में देखा जा सकता है कि कार्यान्वयन संचालकों को चुना जा सकता है ताकि वे ऊपर निर्मित एच के दोहरे आवरण के एक सामान्य प्रतिनिधित्व को परिभाषित कर सकें। संकुचन प्रचालकों के संबंधित अर्धसमूह को ऑसिलेटर अर्धसमूह कहा जाता है। विस्तारित ऑसिलेटर अर्धसमूह प्रचालक डब्ल्यू (यू) के साथ अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद लेकर प्राप्त किया जाता है। ये प्रचालक प्रत्येक शैटन वर्ग में स्थित होते हैं और डब्ल्यू के लिए सोबोलेव रिक्त स्थान और पूरे वैक्टर के स्थान को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं। अपघटन प्रचालक स्तर पर बंधे प्रचालक के ध्रुवीय अपघटन से मेल खाता है। इसके अलावा, चूँकि H में कोई भी मैट्रिक्स H या H−1 में तत्वों द्वारा एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए संयुग्मित होता है, ऑसिलेटर अर्धसमूह में प्रत्येक ऑपरेटर एक ऑपरेटर S0 (t) के साथ अर्ध-समान होता है। विशेष रूप से इसमें एक ही स्पेक्ट्रम होता है जिसमें सरल आइगेनवैल्यू होते हैं। फॉक मॉडल में, यदि ओल्शंकी अर्धसमूह एच का तत्व जी मैट्रिक्स से मेल खाता है, तो संबंधित प्रचालक को कहाँ दिया जाता है और γ ए का वर्गमूल है। सेमीग्रुप H में g के लिए प्रचालक π (g, γ) ठीक वही हैं जो हिल्बर्ट-श्मिट प्रचालक हैं और उस रूप के कर्नेल के अनुरूप हैं जिसके लिए जटिल सममित मैट्रिक्स में प्रचालक मानक सख्ती से एक से कम है। विस्तारित ऑसिलेटर अर्धसमूह में प्रचालक समान अभिव्यक्तियों द्वारा दिए जाते हैं जिसमें z और w में अतिरिक्त रैखिक शब्द घातांक में दिखाई देते हैं। मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व के दो इरेड्यूसिबल घटकों के लिए डिस्क मॉडल में, संबंधित ऑपरेटरों द्वारा दिए गए हैं श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में एच में जी के अनुरूप संकुचन ऑपरेटरों के लिए एक स्पष्ट सूत्र देना भी संभव है, इस सूत्र द्वारा ही ऑसिलेटर सेमीग्रुप को एल 2 (आर) पर ऑपरेटरों के एक स्पष्ट परिवार के रूप में पेश किया गया था। वास्तव में सीगल के ऊपरी आधे तल पर विचार करें जिसमें सकारात्मक निश्चित वास्तविक भाग के साथ सममित जटिल 2x2 मैट्रिक्स होते हैंः और L2 (R) में f के लिए संबंधित प्रचालक के साथ कर्नेल को परिभाषित करें। फिर प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि इसके अलावा, जहाँ द ऑसिलेटर सेमीग्रुप के लिए मेहलर का सूत्र केवल बी ≤ 0 के साथ मैट्रिक्स लेकर प्राप्त किया जाता है। उपरोक्त से, इस स्थिति को संरचना के तहत बंद कर दिया जाता है। एक सामान्यीकृत प्रचालक को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि वर्गमूल का चयन दोहरे आवरण को निर्धारित करता है। इस मामले में SZ ओल्शैंकी अर्धसमूह H के तत्व से मेल खाता है। इसके अलावा, SZ एक सख्त संकुचन हैः यह भी इस प्रकार है कि वेइल कलन R2 = C पर एक फलन a (x, y) के लिए, मान लीजिए। संबंधित प्रचालक टी में कर्नेल होते हैं जो श्वार्ट्ज फलन होते हैं। वे प्रत्येक सोबोलेव स्थान को श्वार्ट्ज कार्यों में ले जाते हैं। इसके अलावा, इस गुण वाले L2 (R) पर प्रत्येक बाउंडेड ऑपरेटर का यह रूप होता है। प्रचालकक लेल ± (a) मोयल उत्पाद वेल प्रतीकात्मक कलन मे बदलि जायत छैक। वास्तव में, यदि a और b के फूरियर परिवर्तनों को जहां यह होता है, उसकी तुलना में सघन समर्थन मिलता है क्योंकि इस मामले में b को पाले-वीनर प्रमेय द्वारा C2 पर एक पूरे फलन तक विस्तारित होना चाहिए। इस कलन को प्रतीकों के एक व्यापक वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन सबसे सरल कार्य या वितरण के एक वर्ग द्वारा अभिसरण से मेल खाता है जिसमें सभी का रूप T + S है जहां T 0 पर केंद्रित एकवचन समर्थन के साथ कॉम्पैक्ट का वितरण है और जहां S एक श्वार्ट्ज फ़ंक्शन है। इस वर्ग में प्रचालक पी, क्यू के साथ-साथ डी1/2 और डी−1/2 शामिल हैं जहां डी हार्मोनिक ऑसिलेटर है। एम. टी. एच. क्रम के प्रतीकों एस. एम. को सभी α के लिए एक संतोषजनक स्मूथ फंक्शन द्वारा दिया जाता है और इस तरह के ए के लिए सभी प्रचालक si (a) होते हैं। यदि ए एस. एम. में है और χ 0 के पास 1 के बराबर कॉम्पैक्ट समर्थन का एक चिकना कार्य है, तो ऊपर के रूप में टी और एस के साथ। ये प्रचालक श्वार्ट्ज कार्यों को संरक्षित करते हैं और संतुष्ट करते हैं; प्रचालक पी और क्यू ेडआईएसआई1 में और डीआईएसआई2 में होते हैं। गुणः एक शून्य क्रम प्रतीक L2 (R) पर एक बंधे हुए प्रचालक को परिभाषित करता है। यदि R = R * चिकना हो रहा है, तो D + R में (D + R) fn = λnfn के साथ आइगेनवेक्टर fn का एक पूरा सेट होता है और λn ≈ की ओर जाता है क्योंकि n की प्रवृत्ति ≈ की ओर होती है। D1/2 χ1 में निहित है और इसलिए D − 1/2 χ1-1 में निहित है, क्योंकि D − 1/2 = D1/2 · D − 1 χ1 में कॉम्पैक्ट ऑपरेटर होते हैं, χ1-s में s> 1 के लिए ट्रेस-क्लास ऑपरेटर होते हैं और χk में Hm को Hm-k में ले जाता है। की सीमा का प्रमाण विशेष रूप से सरल हैः यदि तब जहां ब्रैकेटेड ऑपरेटर का मानक उससे कम है। तो अगर F को |z। ≤ R में समर्थित किया जाता है, तो D−1 का गुण इसके साथ लेने से साबित होता है। इसलिए यह ेडसीआई-2 में निहित है क्योंकि डी-1टी चिकना हो रहा है। डी1/2 के लिए गुण इसी तरह वास्तविक प्रतीक के साथ बी1/2 में बी का निर्माण करके स्थापित किया जाता है जैसे कि डी-बी4 एक स्मूथिंग ऑपरेटर है। होलोमोर्फिक फंक्शनल कैलकुलस का उपयोग करके यह जांचा जा सकता है कि D1/2-B2 एक स्मूथिंग ऑपरेटर है। उपरोक्त सीमा परिणाम का उपयोग छद्म विभेदक संचालकों के लिए अल्बर्टो काल्डेरॉन और रेमी वैलनकॉर्ट की अधिक सामान्य असमानता को स्थापित करने के लिए किया गया था। एक वैकल्पिक प्रमाण जो आम तौर पर फ़ोरियर इंटीग्रल ऑपरेटरों पर लागू होता है, द्वारा दिया गया था। उन्होंने दिखाया कि ऐसे प्रचालक को ऑसिलेटर अर्धसमूह पर समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और फिर कोटलर-स्टीन लेम्मा का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है। परिमित अबेलियन समूहों के लिए अनुप्रयोग और सामान्यीकरण सिद्धांत ने नोट किया कि स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय की औपचारिकता और सिंप्लेक्टिक समूह का ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व वास्तविक संख्या आर से किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट अबेलियन समूह तक फैला हुआ है। एक विशेष रूप से सरल उदाहरण परिमित अबेलियन समूहों द्वारा प्रदान किया जाता है, जहां प्रमाण या तो प्राथमिक होते हैं या आर के लिए प्रमाणों के सरलीकरण होते हैं। मान लीजिए कि ए एक परिमित अबेलियन समूह है, जिसे योगात्मक रूप से लिखा जाता है, और मान लीजिए कि क्यू ए पर टी में मानों के साथ एक गैर-अपक्षयी द्विघात रूप है। इस प्रकार ए पर एक सममित द्विरेखीय रूप है जो गैर-अपक्षयी है, इसलिए ए और उसके दोहरे समूह ए * = होम (ए, टी) के बीच एक पहचान की अनुमति देता है। मान लीजिए कि आंतरिक उत्पाद के साथ ए पर जटिल-मूल्य वाले कार्यों का स्थान ए में एक्स, वाई के लिए वी पर ऑपरेटरों को परिभाषित करें। तब U (x) और V (y) परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करने वाले A पर V के एकात्मक प्रतिनिधित्व हैं यह क्रिया अपरिवर्तनीय है और इन संबंधों का अद्वितीय इस तरह का अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है। मान लीजिए कि G = A × A और Z = (x, y) के लिए G समुच्चय में फिर जहां G पर एक गैर-अपक्षयी प्रत्यावर्ती द्विरेखीय रूप है। उपरोक्त विशिष्टता परिणाम का तात्पर्य है कि यदि W (z) एकात्मकता का एक और परिवार है जो G का एक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व देता है, तो एक एकात्मक U है, जो एक चरण तक अद्वितीय है, जैसे कि T में कुछ λ (z) के लिए। विशेष रूप से यदि g, G का एक ऑटोमोर्फिज्म है जो B को संरक्षित करता है, तो एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय यूनिटरी π (g) होता है जैसे कि ऐसे सभी ऑटोमोर्फिज्म के समूह को B के लिए सिंप्लेक्टिक समूह कहा जाता है और π, V पर G का प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व देता है। समूह SL (2. Z) स्वाभाविक रूप से यह मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न होता है यदि Z =-I, तो Z केंद्रीय है और G के ये ऑटोमोर्फिज्म निम्नलिखित ऑपरेटरों द्वारा V पर लागू किए जाते हैंः यह इस प्रकार है कि जहाँ μ, T में स्थित है। प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि μ, थीटा कार्यों के लिए गॉस योग परिवर्तन नियमों द्वारा दिया गया है। मेटाप्लेक्टिक समूह को समूह के रूप में परिभाषित किया गया था। सुसंगत अवस्था H के एक होलोमोर्फिक मानचित्र को L2 (R) संतोषजनक में परिभाषित करती है। यह वास्तव में प्रत्येक सोबोलेव स्पेस Hk में एक होलोमोर्फिक मानचित्र है और इसलिए भी। दूसरी ओर, (वास्तव में एच-1 में) एसएल (2, जेड) के तहत अपरिवर्तनीय वितरण का एक सीमित-आयामी स्थान है और एन-आयामी ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व के लिए समरूप है जहां ए = जेड/एनजेड है। वास्तव में मान लीजिए कि m> 0 और N = 2m निर्धारित करें। मान लीजिए कि M में x और y के साथ U (x), V (y) प्रचालक सभी आवागमन करते हैं और M1 में b के साथ वितरण द्वारा गठित निश्चित वैक्टरों का एक सीमित-आयामी उपक्षेत्र होता है, जहां χb को परिभाषित करने वाला योग अभिसरण करता है और केवल M1/M में b के वर्ग पर निर्भर करता है। दूसरी ओर, प्रचालक यू (एक्स) और वी (वाई) एम1 में एक्स, वाई के साथ एम के लिए सभी संबंधित प्रचालक के साथ आवागमन करते हैं। अतः समूह A = M1, V0 पर कार्य करता है। इस क्रिया को A से जुड़े N-आयामी ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व के लिए V पर कार्रवाई के साथ तुरंत पहचाना जा सकता है, क्योंकि ऑपरेटर π (R) और π (S) ऑपरेटरों के दो सेटों U और V को M और M1 के अनुरूप सामान्य करते हैं, इसलिए वे V0 को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं और V0 पर A के ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व से जुड़े ऑपरेटरों के स्थिर गुणक होने चाहिए। वास्तव में वे मेल खाते हैं। आर से यह परिभाषाओं से तत्काल है, जो दर्शाता है कि एस के लिए यह पॉइसन योग सूत्र और प्रचालक यू) एक्स) और वी (वाई) के साथ कम्यूटेशन गुणों का अनुसरण करता है। पॉइसन योग शास्त्रीय रूप से निम्नानुसार साबित होता है। a> 0 और f के लिए मान लीजिए F अवधि a के साथ R पर एक चिकना फलन हैः फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत से पता चलता है कि योग के साथ बिल्कुल अभिसारी और फूरियर गुणांक दिए गए हैं इसलिए सामान्य पॉइसन योग सूत्र है। यह सूत्र दर्शाता है कि S निम्नानुसार कार्य करता है और इसलिए A पर ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व के लिए सूत्र के साथ बिल्कुल सहमत है। A को Z/2mZ के साथ पहचानते हुए, एक पूर्णांक n मॉडुलो 2m को सौंपा गया है, थीटा कार्यों को सीधे मैट्रिक्स गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैः H में τ और C सेट में z के लिए ताकि |q। <1 हो। थीटा फलन जैकोबी-रीमान थीटा फलन के लिए मानक शास्त्रीय सूत्रों से सहमत होते हैंः परिभाषा के अनुसार वे H × C पर होलोमोर्फिक फलन को परिभाषित करते हैं। फलन fτ के सहप्रसरण गुण और वितरण χb तुरंत निम्नलिखित परिवर्तन नियमों की ओर ले जाता हैः द्विघात पारस्परिकता के नियम की व्युत्पत्ति क्योंकि L2 (R) पर प्रचालक π (S), π (R) और π (J) m के किसी भी विकल्प के लिए V0 पर संबंधित प्रचालक तक सीमित हैं, सहचक्रों के संकेतों को m = 1 लेकर निर्धारित किया जा सकता है। इस मामले में प्रतिनिधित्व 2-आयामी है और L2 (R) पर संबंध को सीधे V0 पर जांचा जा सकता है। लेकिन इस मामले में संबंध को दोनों पक्षों को ग्राउंड स्टेट एक्सप-x2/2 पर लागू करके भी सीधे जांचा जा सकता है। नतीजतन, यह इस प्रकार है कि m ≤ 1 के लिए गॉस योग का मूल्यांकन किया जा सकता हैः m विषम के लिए, परिभाषित करें यदि m विषम है, तो, पिछले योग को दो भागों में विभाजित करते हुए, यह इस प्रकार है कि G (1, m) m1/2 के बराबर है यदि m 1 मॉड 4 के लिए सर्वांगसम है और अन्यथा i m1/2 के बराबर है। यदि पी एक विषम अभाज्य है और सी पी द्वारा विभाज्य नहीं है, तो इसका तात्पर्य है कि लीजेंड्रे प्रतीक 1 के बराबर है यदि सी एक वर्ग मॉड पी है और अन्यथा-1 है। इसके अलावा, यदि p और q अलग-अलग विषम अभाज्य संख्याएँ हैं, तो G (1, p) के सूत्र और इस संबंध से, द्विघात पारस्परिकता का नियम इस प्रकार हैः उच्च आयामों में सिद्धांत ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व के सिद्धांत को समूह SL (2, R) के साथ R से Rn तक बढ़ाया जा सकता है, जिसे सिंप्लेक्टिक समूह Sp (2n, R) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। परिणामों को या तो एक-आयामी मामले से सीधे सामान्यीकरण द्वारा या इस तथ्य का उपयोग करके साबित किया जा सकता है कि एन-आयामी मामला एन एक-आयामी मामलों का एक टेंसर उत्पाद है, जो अपघटन को दर्शाता हैः मान लीजिए कि आरएन पर श्वार्ट्ज कार्यों का स्थान, एल 2 (आरएन) का एक घना उपक्षेत्र है। एस के लिए, आरएन में टी, यू (एस) और वी (टी) को परिभाषित करें और एल 2 (आर) को परिभाषित करें परिभाषा से यू और वी वेइल कम्यूटेशन संबंध को संतुष्ट करते हैं जैसा कि पहले इसे श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व कहा जाता है। फ़ोरियर परिवर्तन को फ़ोरियर व्युत्क्रम सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है जो दर्शाता है कि फ़ोरियर परिवर्तन अपने आप में एक समरूपता है जो अपने आप में L2 (Rn) के एकात्मक मानचित्रण (प्लैनचेरल की प्रमेय) तक फैली हुई है। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय दावा करता है कि श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है और कम्यूटेशन संबंधों का अद्वितीय अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैः कोई भी अन्य प्रतिनिधित्व इस प्रतिनिधित्व की प्रतियों का प्रत्यक्ष योग है। यदि यू और वी वेइल कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं, तो परिभाषित करें फिर ताकि डब्ल्यू कोसाइकल के साथ आर2एन के एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है जहां और बी द्वारा दिया गया आर2एन पर सिंप्लेक्टिक रूप है सिंप्लेक्टिक समूह एसपी (2एन, आर) को बी रूप को संरक्षित करते हुए आर2एन के ऑटोमोर्फिज्म जी के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। यह स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय से पता चलता है कि ऐसे प्रत्येक g के लिए L2 (R) पर एक एकात्मक π (g) होता है जो सहप्रसरण संबंध को संतुष्ट करता है। प्रतिनिधियों को π (g) के लिए चुना जा सकता है, जो एक संकेत तक अद्वितीय है, जो दर्शाता है कि Sp (2n, R) के प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व के लिए 2-चक्र मान ±1 लेता है। वास्तव में समूह Sp (n, R) के तत्व 2n × 2n वास्तविक मैट्रिक्स g द्वारा दिए जाते हैं जो संतुष्ट करते हैं जहां Sp (2n, R) रूप के मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न होता है और प्रचालक उपरोक्त सहप्रसरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं। यह मेटाप्लेक्टिक समूह का एक साधारण एकात्मक प्रतिनिधित्व देता है, जो एसपी (2एन, आर) का दोहरा आवरण है। वास्तव में, एसपी (एन, आर) सामान्यीकृत सीगल ऊपरी आधे तल एचएन पर मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है जिसमें सममित जटिल एन × एन मैट्रिक्स जेड होते हैं जिसमें कड़ाई से काल्पनिक भाग होता है यदि फलन 1-चक्र संबंध को संतुष्ट करता है मेटाप्लेक्टिक समूह एमपी (2एन, आर) को समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है और यह एसपी (2एन, आर) का एक जुड़ा हुआ दोहरा आवरण समूह है। यदि g, Mp (2n, R) में स्थित है तो मेटाप्लेक्टिक समूह के एक साधारण एकात्मक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है, जिससे यह पता चलता है कि Sp (2n, R) पर कोसाइकल केवल मान ±1 लेता है। होलोमॉर्फिक फ़ॉक स्पेस सीएन पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शंस एफ (जेड) का हिल्बर्ट स्पेस है जिसमें सीमित मानक आंतरिक उत्पाद और α एक बहुपद के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार है। सीएन में एफ इन और जेड के लिए, प्रचालक वेल परिवर्तन संबंधों के एक अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करते हैं। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय के अनुसार L2 (Rn) से एक एकात्मक प्रचालक है जो दोनों अभ्यावेदनों को आपस में जोड़ता है। यह बर्गमैन परिवर्तन द्वारा दिया जाता है जहाँ इसका संयोजन सूत्र द्वारा दिया जाता हैः सोबोलेव रिक्त स्थान, चिकने और विश्लेषणात्मक वैक्टर को एक आयामी मामले में हार्मोनिक ऑसिलेटर की एन प्रतियों के योग का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। सिंप्लेक्टिक समूह के जटिलता एसपी (2एन, सी) को एक ही संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है, लेकिन मैट्रिक्स ए, बी, सी और डी को जटिल होने की अनुमति देता है। समूह तत्वों के उप-समूह जो सीगल के ऊपरी आधे तल को अपने आप में ले जाते हैं, उनमें एक प्राकृतिक दोहरा आवरण होता है। एल2 (आरएन) पर एमपी (2एन, आर) के प्रतिनिधित्व और कर्नेल द्वारा परिभाषित संकुचन प्रचालक द्वारा इस अर्धसमूह के प्रतिनिधित्व के लिए स्वाभाविक रूप से विस्तारित होते हैं, जो एक-आयामी मामले (जहां आवश्यक हो निर्धारकों को लेते हुए) को सामान्यीकृत करते हैं। सुसंगत अवस्थाओं पर एम. पी. (2एन, आर) की क्रिया इस बड़े अर्धसमूह में प्रचालक के लिए समान रूप से अच्छी तरह से लागू होती है। जैसा कि 1-आयामी मामले में, जहां समूह एस. एल. (2, आर) में केली परिवर्तन के माध्यम से एक समकक्ष एस. यू. (1,1) होता है और ऊपरी आधे तल को इकाई डिस्क द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, सिंप्लेक्टिक समूह में एक जटिल समकक्ष होता है। वास्तव में, यदि C एकात्मक मैट्रिक्स है तो C Sp (2n) C−1 सभी मैट्रिक्स का समूह है जैसे कि या समकक्ष रूप से जहां सीगल सामान्यीकृत डिस्क Dn को 1 से कम प्रचालक मानक के साथ जटिल सममित n x n मैट्रिक्स W के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। इसमें सीगल सामान्यीकृत ऊपरी आधे तल में बिंदु Z के केली परिवर्तन होते हैंः तत्व g, Dn पर कार्य करते हैं और एक आयामी मामले में यह क्रिया संक्रमणशील होती है। 0 के स्टेबलाइज़र उपसमूह में ए एकात्मक और बी = 0 के साथ मैट्रिक्स होते हैं। डीएन में डब्ल्यू के लिए होलोमोर्फिक फॉक स्पेस में मेटाप्लेक्टिक सुसंगत अवस्थाओं को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है ऐसी दो अवस्थाओं का आंतरिक उत्पाद इस प्रकार दिया जाता है इसके अलावा, मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व π संतुष्ट करता है इन अवस्थाओं की बंद रैखिक अवधि होलोमोर्फिक फॉक स्पेस का सम भाग देती है। एस. पी. (2 (एन + 1)) में एस. पी. (2एन) का एम्बेडिंग और संगत पहचान पूरे पर एक कार्रवाई की ओर ले जाती है। यह सीधे सत्यापित किया जा सकता है कि यह प्रचालक डब्ल्यू (जेड) की कार्रवाई के साथ संगत है। चूँकि जटिल अर्धसमूह में शीलोव की सीमा सिंप्लेक्टिक समूह के रूप में होती है, यह तथ्य कि इस प्रतिनिधित्व में अर्धसमूह के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित संविदात्मक विस्तार है, अधिकतम मापांक सिद्धांत और इस तथ्य का अनुसरण करता है कि अर्धसमूह प्रचालक संलग्न के तहत बंद हैं। वास्तव में, यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि दो ऐसे प्रचालक एस, टी और वैक्टर vi मेटाप्लेक्टिक सुसंगत अवस्थाओं के समानुपाती हैं, क्योंकि योग एस और टी पर समरूप रूप से निर्भर करता है, जो सीमा पर एकात्मक हैं। टोइप्लिट्ज़ प्रचालकों के लिए सूचकांक प्रमेय एस को सीएन में इकाई क्षेत्र को दर्शाते हैं और हार्डी स्थान एच2 (एस) को निर्देशांक जेड1,., जेडएन में बहुपदों के प्रतिबंध के एल2 (एस) में समापन के रूप में परिभाषित करते हैं। मान लीजिए कि पी हार्डी स्पेस पर प्रक्षेपण है। यह ज्ञात है कि यदि m (f) S पर एक निरंतर फलन f द्वारा गुणन को दर्शाता है, तो कम्यूटेटर [P, m (f)] कॉम्पैक्ट है। नतीजतन, हार्डी स्पेस द्वारा टोइप्लिट्ज़ प्रचालक को परिभाषित करते हुए, यह इस प्रकार है कि T (fg)-T (f) T (g) निरंतर f और g के लिए सघन है। यदि f और g मैट्रिक्स-मूल्य वाले फलन हैं (ताकि संबंधित टोइप्लिट्ज़ प्रचालक H2 (S) पर प्रचालक के मैट्रिक्स हों) तो भी ऐसा ही होता है। विशेष रूप से यदि f, S पर एक फलन है जो व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स में मान लेता है, तो कॉम्पैक्ट होते हैं और इसलिए T (f) एक फ्रेडहोल्म ऑपरेटर है जिसे एक सूचकांक के रूप में परिभाषित किया गया है। इस सूचकांक प्रमेय को स्थापित करने के लिए एक विश्लेषणात्मक तरीका दिया, जिसे बाद में होवे द्वारा सरल बनाया गया। उनका प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि यदि f चिकना है तो सूचकांक मैककीन और सिंगर के सूत्र द्वारा दिया जाता हैः ध्यान दिया कि एच2 (एस) और एल2 (आरएन) के बीच एक प्राकृतिक एकात्मक समरूपता थी जो ऑपरेटर्स पर टोप्लिट्ज़ ऑपरेटरों को ले जा रही थी ये वेल कलन के भीतर निर्मित शून्य क्रम ऑपरेटरों के उदाहरण हैं। मैककियन-सिंगर सूत्र में निशान की गणना सीधे वेल कलन का उपयोग करके की जा सकती है, जिससे सूचकांक प्रमेय का एक और प्रमाण मिलता है। सूचकांक प्रमेयों को साबित करने की इस विधि को चक्रीय समरूपता के ढांचे के भीतर एलेन कॉन द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। अनंत आयामों में सिद्धांत अनंत आयामों में ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व का सिद्धांत इरविंग सेगल और डेविड शेल के कारण है। ग्रीम सेगल ने इसका उपयोग लूप समूहों के प्रोजेक्टिव अभ्यावेदन और वृत्त के डिफियोमोर्फिज्म के समूह का गणितीय रूप से कठोर निर्माण देने के लिए किया। एक असीम स्तर पर लाइ बीजगणित के प्रतिनिधित्व का निर्माण, इस मामले में अफाइन काक-मूडी बीजगणित और विरासोरो बीजगणित, भौतिकविदों के लिए पहले से ही दोहरे अनुनाद सिद्धांत और बाद के स्ट्रिंग सिद्धांत के माध्यम से जाना जाता था। यहाँ केवल सबसे सरल मामले पर विचार किया जाएगा, जिसमें यू (1) = टी में वृत्त के चिकने मानचित्रों के लूप समूह एलयू (1) शामिल हैं। नरेटिन और सेगल द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित ऑसिलेटर सेमीग्रुप, संकुचन ऑपरेटरों को इकाई डिस्क के असमान होलोमोर्फिक मानचित्रों के सेमीग्रुप के लिए परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वृत्त के डिफियोमोर्फिज्म के अनुरूप एकात्मक ऑपरेटरों का विस्तार होता है। जब डिफियोमोर्फिज्म समूह के उपसमूह एसयू (1,1) पर लागू किया जाता है, तो यह एल 2 (आर) पर ऑसिलेटर प्रतिनिधित्व और ओल्शान्स्की अर्धसमूह तक इसके विस्तार का सामान्यीकरण देता है। फॉक स्पेस पर कम्यूटेशन के प्रतिनिधित्व को एक मनमाना जटिल हिल्बर्ट स्पेस एच द्वारा सीएन (या इसके दोहरे स्थान) को प्रतिस्थापित करके अनंत आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। एस. के. (एच) को एस. के. के निश्चित बिंदु उपक्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है और सममित बीजगणित बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग है इसका एक प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद एच. के. से विरासत में मिला हैः घटकों एस. के. (एच) को पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल लेते हुए, सममित फॉक्स स्थान एस. (एच) को इस प्रत्यक्ष योग के हिल्बर्ट स्थान समापन के रूप में परिभाषित किया गया है। यह इस प्रकार है कि उनकी रैखिक अवधि S (H) में घनी है, कि n विशिष्ट वैक्टरों के अनुरूप सुसंगत अवस्थाएँ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और जब H परिमित-आयामी है, तो S (H) को स्वाभाविक रूप से H * के लिए होलोमोर्फिक फॉक स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है, क्योंकि मानक तरीके से Sk (H) H * पर केवल डिग्री k के सजातीय बहुपद हैं और आंतरिक उत्पाद मेल खाते हैं। इसके अलावा, एस (एच) में कार्यात्मक गुण हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि एक समान परिणाम परिमित ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योगों के लिए है और अनंत ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योगों तक फैला हुआ है, जिसमें S0 (Hi) में संदर्भ इकाई वेक्टर 1 के साथ अनंत टेंसर उत्पाद की वॉन न्यूमैन की परिभाषा का उपयोग किया गया है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच कोई भी संकुचन प्रचालक एक कार्यात्मक तरीके से संबंधित सममित फ़ॉक रिक्त स्थान के बीच एक संकुचन प्रचालक को प्रेरित करता है। एस (एच) पर एकात्मक प्रचालक विशिष्ट रूप से सुसंगत अवस्थाओं पर उसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, किसी भी असाइनमेंट के लिए, जैसे कि S (H) पर एक अद्वितीय एकात्मक प्रचालक U होता है, जैसे कि परिमित-आयामी मामले में, यह एकात्मक प्रचालक W (x) को H में x के लिए परिभाषित करने की अनुमति देता हैः यह परिमित-आयामी मामले से तुरंत बाद आता है कि ये प्रचालक एकात्मक हैं और संतुष्ट हैं। इनमें से प्रत्येक स्थान पर W की अपरिवर्तनीयता का तात्पर्य पूरे S (H) पर W की अपरिवर्तनीयता से है। W को जटिल तरंग प्रतिनिधित्व कहा जाता है। सिमप्लेक्टिक समूह को अनंत आयामों में परिभाषित करने के लिए एचआर को सिमप्लेक्टिक रूप और वास्तविक आंतरिक उत्पाद के साथ एच का अंतर्निहित वास्तविक सदिश स्थान होने दें जटिल संरचना को तब ऑर्थोगोनल ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया जाता है ताकि एचआर पर ए बाउंडेड इनवर्टिबल ऑपरेटर वास्तविक रैखिक ऑपरेटर टी सिमप्लेक्टिक समूह में निहित हो यदि यह और इसका व्युत्क्रम बी को संरक्षित करता है। यह शर्तों के बराबर हैः ऑपरेटर टी को एस (एच) पर लागू करने योग्य कहा जाता है बशर्ते कि एक एकात्मक π (टी) ऐसा हो कि लागू करने योग्य ऑपरेटर सिंप्लेक्टिक समूह, प्रतिबंधित सिंप्लेक्टिक समूह का एक उपसमूह बनाते हैं। शूर्स लेम्मा द्वारा, π (T) को विशिष्ट रूप से T में एक स्केलर तक निर्धारित किया जाता है, इसलिए π इस उपसमूह का एक प्रोजेक्टिव एकात्मक प्रतिनिधित्व देता है। सेगल-शेल परिमाणीकरण मानदंड में कहा गया है कि टी लागू करने योग्य है, अर्थात। यह प्रतिबंधित सिंप्लेक्टिक समूह में स्थित है, यदि और केवल तभी जब कम्यूटेटर टीजे-जेटी एक हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर है। परिमित-आयामी मामले के विपरीत जहां एक उठाने π को चुना जा सकता है ताकि यह एक संकेत तक गुणक हो, यह अनंत-आयामी मामले में संभव नहीं है। (इसे सीधे नीचे बनाए गए वृत्त के डिफियोमोर्फिज्म समूह के प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व के उदाहरण का उपयोग करके देखा जा सकता है।) प्रतिबंधित सिंप्लेक्टिक समूह के प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व का निर्माण सीधे सुसंगत अवस्थाओं पर किया जा सकता है जैसा कि परिमित-आयामी मामले में होता है। वास्तव में, H का एक वास्तविक हिल्बर्ट उपक्षेत्र चुनना जिसमें से H एक जटिलता है, H पर किसी भी प्रचालक T के लिए T का एक जटिल संयुग्म भी परिभाषित किया जाता है। फिर एसयू (1,1) के अनंत-आयामी अनुरूप में व्युत्क्रमणीय बंधे हुए प्रचालक होते हैं जो जीकेजी * = के (या समतुल्य रूप से परिमित-आयामी मामले में समान संबंध) को संतुष्ट करते हैं। ये प्रतिबंधित सिंप्लेक्टिक समूह से संबंधित हैं यदि और केवल तभी जब बी एक हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर है। यह समूह सीगल सामान्यीकृत इकाई डिस्क के अनंत-आयामी एनालॉग D ≈ पर पारगमन रूप से कार्य करता है जिसमें हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर W होते हैं जो सूत्र के माध्यम से 1 से कम ऑपरेटर मानक के साथ सममित होते हैं। मेटाप्लेक्टिक सुसंगत अवस्थाओं fW को पहले के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और उनके आंतरिक उत्पाद को उसी सूत्र द्वारा दिया जाता है, जिसमें फ्रेडहोल्म निर्धारक का उपयोग किया जाता हैः इकाई वैक्टर को परिभाषित करें और सेट करें जहां μ (ζ) = ζ/|ζ। है। जैसा कि पहले यह एक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है और, यदि g3 = g1g2 है, तो कोसाइकल द्वारा दिया जाता है यह प्रतिनिधित्व परिमित-आयामी मामले में समान विश्लेषणात्मक निरंतरता तर्क द्वारा जटिल अर्धसमूह के लिए संकुचन ऑपरेटरों को परिभाषित करने के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा विस्तारित होता है। यह भी दिखाया जा सकता है कि वे सख्त संकुचन हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि HR वास्तविक हिल्बर्ट स्थान है जिसमें माध्य 0 के साथ वृत्त पर वास्तविक-मूल्य वाले फलन होते हैं और जिसके लिए आंतरिक उत्पाद एक ऑर्थोगोनल आधार द्वारा दिया जाता है जो n> 0 के लिए फलन sin (nθ) और cos (nθ) द्वारा दिया जाता है। द्वारा परिभाषित वृत्त पर हिल्बर्ट परिवर्तन मानव संसाधन पर एक जटिल संरचना को परिभाषित करता है। J को वहाँ भी लिखा जा सकता है जहाँ चिह्न n = ±1 n के संकेत को दर्शाता है। संबंधित सिंप्लेक्टिक रूप विशेष रूप से आनुपातिक है यदि φ वृत्त का अभिविन्यास-संरक्षित डिफियोमोर्फिज्म है और फिर Tφ लागू करने योग्य है। एफ स्मूथ के साथ प्रचालक डब्ल्यू (एफ) वृत्त के डिफियोमोर्फिज्म समूह के तहत लूप समूह एलटी अपरिवर्तनीय के एक उपसमूह के अनुरूप हैं। वेक्टर क्षेत्रों के अनुरूप असीम प्रचालक की गणना स्पष्ट रूप से की जा सकती है। वे विरासोरो संबंधों को संतुष्ट करते हैं विशेष रूप से उन्हें दाहिने हाथ की ओर दूसरे पद को हटाने के लिए स्केलर ऑपरेटरों को जोड़कर समायोजित किया जा सकता है। इससे पता चलता है कि प्रतिबंधित सिंप्लेक्टिक समूह पर कोसाइकल केवल ±1 मान लेने वाले के बराबर नहीं है। मेटाप्लेक्टिक समूह अपरिवर्तनीय उत्तल शंकु नोट्स संदर्भ प्रचालक सिद्धांत हार्मोनिक विश्लेषण प्रतिनिधित्व सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी थीटा कार्य भी देखें।