Minimal ideal
अमूर्त बीजगणित की शाखा में, जिसे रिंग सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, एक रिंग आर का न्यूनतम सही आइडियल एक गैर-शून्य सही आइडियल है जिसमें कोई अन्य गैर-शून्य सही आइडियल नहीं है। इसी तरह, एक न्यूनतम लेफ्ट आइडियल R का एक गैर-शून्य लेफ्ट आइडियल है जिसमें R का कोई अन्य गैर-शून्य लेफ्ट आइडियल नहीं है, और R का एक न्यूनतम आइडियल एक गैर-शून्य आइडियल है जिसमें R का कोई अन्य गैर-शून्य दो-तरफा आइडियल नहीं है। दूसरे शब्दों में, न्यूनतम सही आदर्श समावेश द्वारा क्रमबद्ध आर के गैर-शून्य सही आदर्शों के आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय (पोजेट) के न्यूनतम तत्व हैं। पाठक को आगाह किया जाता है कि इस संदर्भ के बाहर, आदर्शों के कुछ स्थान शून्य आदर्श को स्वीकार कर सकते हैं, और इसलिए शून्य आदर्श संभावित रूप से उस स्थान में एक न्यूनतम तत्व हो सकता है। यह एक वलय के अभाज्य आदर्शों की स्थिति के लिए मामला है, जिसमें शून्य आदर्श को न्यूनतम अभाज्य आदर्श के रूप में शामिल किया जा सकता है। परिभाषा एक वलय आर के न्यूनतम सही आदर्श एन की परिभाषा निम्नलिखित शर्तों के बराबर हैः एन गैर-शून्य है और यदि के के साथ आर का सही आदर्श है, तो या तो। एन एक सरल आर-मॉड्यूल है। न्यूनतम आदर्श अधिकतम आदर्शों की दोहरी धारणा है। गुण न्यूनतम आदर्शों पर कई मानक तथ्य मानक ग्रंथों जैसे,, और में पाए जा सकते हैं। एकता वाले वलय में, अधिकतम सही आदर्श हमेशा मौजूद रहते हैं। इसके विपरीत, एकता के साथ एक वलय में न्यूनतम दाएँ, बाएँ या दो-तरफा आदर्शों का अस्तित्व होने की आवश्यकता नहीं है। रिंग का राइट सॉल एक महत्वपूर्ण संरचना है जिसे आर रिंग के न्यूनतम राइट आइडियल के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिसके लिए प्रत्येक राइट आइडियल में एक न्यूनतम राइट आइडियल होता है, जो एक आवश्यक राइट सॉल के साथ रिंग होते हैं। किसी भी राइट आर्टिनियन रिंग या राइट कास्च रिंग में न्यूनतम राइट आइडियल होता है। जो डोमेन विभाजन रिंग नहीं हैं, उनमें कोई न्यूनतम सही आदर्श नहीं होते हैं। एकता वाले रिंगों में, न्यूनतम सही आइडियल अनिवार्य रूप से प्रमुख सही आइडियल होते हैं, क्योंकि न्यूनतम सही आइडियल N में किसी भी गैर-शून्य x के लिए, सेट xR, N के अंदर R का एक गैर-शून्य सही आइडियल है, और इसलिए। ब्राउर का सिद्धांतः एक वलय R में कोई भी न्यूनतम सही आदर्श N संतुष्ट करता है या R के कुछ आदर्श तत्व e के लिए। यदि N1 और N2, R के गैर-समरूप न्यूनतम सही आदर्श हैं, तो गुणनफल {0} के बराबर होता है। यदि N1 और N2 एक रिंग R के विशिष्ट न्यूनतम आदर्श हैं, तो न्यूनतम सही आदर्श के साथ एक साधारण रिंग एक अर्ध-सरल रिंग है। सेमीप्राइम रिंग में, एक न्यूनतम दाएँ आइडियल तभी मौजूद होता है जब एक न्यूनतम बाएँ आइडियल मौजूद हो। सामान्यीकरण दाएँ मॉड्यूल एम के एक गैर-शून्य उप-मॉड्यूल एन को न्यूनतम उप-मॉड्यूल कहा जाता है यदि इसमें एम के कोई अन्य गैर-शून्य उप-मॉड्यूल नहीं होते हैं। यदि एन में कोई अन्य गैर-शून्य उप-द्विगुणन नहीं है तो इसे गैर-शून्य उप-द्विगुणन एन को एम का न्यूनतम उप-द्विगुणन कहकर द्विगुणन तक बढ़ाया जा सकता है। यदि मॉड्यूल एम को सही आर-मॉड्यूल आरआर माना जाता है, तो न्यूनतम उप-मॉड्यूल आर के बिल्कुल न्यूनतम दाएं आदर्श हैं। इसी तरह, आर के न्यूनतम बाएं आदर्श ठीक बाएं मॉड्यूल आर के न्यूनतम उप-आदर्श हैं। रिंग्स की तरह, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि एक मॉड्यूल में न्यूनतम उप-मॉड्यूल मौजूद हैं। न्यूनतम उप-मॉड्यूल का उपयोग मॉड्यूल के सॉकल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। संदर्भ बाहरी लिंक http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal सार बीजगणित रिंग सिद्धांत आदर्श (रिंग सिद्धांत)