Flat cover
बीजगणित में, एक रिंग पर एक मॉड्यूल M का एक सपाट आवरण एक फ्लैट मॉड्यूल F से M तक एक सर्जेक्टिव होमोमोर्फिज्म है जो कुछ अर्थों में न्यूनतम है। रिंग के ऊपर किसी भी मॉड्यूल में एक सपाट आवरण होता है जो (गैर-अद्वितीय) समरूपता तक अद्वितीय होता है। फ्लैट कवर कुछ अर्थों में इंजेक्शन पतवार के लिए दोहरे होते हैं, और प्रोजेक्टिव कवर और मरोड़-मुक्त कवर से संबंधित होते हैं। परिभाषाएँ समरूपता F → M को M के एक सपाट आवरण के रूप में परिभाषित किया गया है यदि यह सर्जेक्टिव है, तो F सपाट है, F के माध्यम से फ्लैट मॉड्यूल से M कारकों तक प्रत्येक समरूपता, और मानचित्र के साथ F से F तक का कोई भी मानचित्र F का एक स्वरूपता है। इतिहास जबकि मॉड्यूल के लिए प्रोजेक्टिव कवर हमेशा मौजूद नहीं होते हैं, यह अनुमान लगाया गया था कि सामान्य रिंग के लिए, प्रत्येक मॉड्यूल में एक सपाट आवरण होगा। यह सपाट आवरण अनुमान स्पष्ट रूप से पहली बार में कहा गया था। यह अनुमान सच निकला, सकारात्मक रूप से हल किया गया और एक साथ सिद्ध हुआ। इससे पहले पी. एकलोफ, जे. त्रिलिफाज और जे. शू ने महत्वपूर्ण योगदान दिया था। न्यूनतम समतल संकल्प किसी भी रिंग पर किसी भी मॉड्यूल M का समतल मॉड्यूल द्वारा एक संकल्प होता है जैसे कि प्रत्येक Fn + 1, Fn → Fn−1 के कर्नेल का समतल आवरण होता है। इस तरह का संकल्प समरूपता तक अद्वितीय है, और इस अर्थ में एक न्यूनतम समतल संकल्प है कि इसके माध्यम से M कारक का कोई भी सपाट संकल्प है। मॉड्यूल का कोई भी समरूपता संबंधित सपाट संकल्पों के बीच एक समरूपता तक फैली हुई है, हालांकि यह विस्तार सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं है। संदर्भ मॉड्यूल सिद्धांत