Duflo isomorphism
गणित में, डुफ्लो समरूपता एक परिमित-आयामी लाइ बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के केंद्र और इसके सममित बीजगणित के अपरिवर्तकों के बीच एक समरूपता है। इसे कोंत्सेविच द्वारा मनमाने ढंग से सीमित-आयामी लाइ बीजगणित द्वारा पेश किया गया था और बाद में सामान्यीकृत किया गया था। पोइनकेयर-बिर्कॉफ-विट प्रमेय किसी भी लाइ बीजगणित के लिए बहुपद बीजगणित से लेकर सार्वभौमिक आवरण बीजगणित तक एक सदिश स्थान समरूपता देता है। यह मानचित्र एक बीजगणित समरूपता नहीं है। यह इन रिक्त स्थान के प्राकृतिक प्रतिनिधित्व के संबंध में समतुल्य है, इसलिए यह एक वेक्टर स्पेस समरूपता तक सीमित है जहां सुपरस्क्रिप्ट की क्रिया द्वारा उपस्थान के विनाश को इंगित करता है। दोनों और कम्यूटेटिव सबएलजेब्रा हैं, वास्तव में इसका केंद्र है, लेकिन फिर भी एक बीजगणित समरूपता नहीं है। हालांकि, डुफ्लो ने साबित किया कि कुछ मामलों में हम बीजगणित समरूपता प्राप्त करने के लिए एक मानचित्र के साथ रचना कर सकते हैं बाद में, कोंटसेविच औपचारिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए, कोंटसेविच ने दिखाया कि यह सभी परिमित-आयामी लाइ बीजगणित के लिए काम करता है। कैलाक और रॉसी के बाद, मानचित्र को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। की संलग्न कार्रवाई ऑपरेशन को भेजने वाला नक्शा है। हम मानचित्र को एक तत्व के रूप में या उस मामले के लिए, बड़े स्थान के एक तत्व के रूप में मान सकते हैं। इस तत्व को दोनों कहें और वे अल्जेब्रा हैं इसलिए उनका टेंसर उत्पाद भी है। इस प्रकार, हम शक्तियाँ ले सकते हैं, मान लीजिए आगे बढ़ते हुए, हम किसी भी औपचारिक शक्ति श्रृंखला को एक तत्व पर लागू कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं, जहाँ औपचारिक शक्ति श्रृंखला के बीजगणित को दर्शाता है। औपचारिक शक्ति श्रृंखला के साथ काम करते हुए, हम इस प्रकार एक तत्व प्राप्त करते हैं क्योंकि का आयाम सीमित है, इसलिए कोई ऐसा सोच सकता है, इसलिए है और निर्धारक मानचित्र को लागू करके, हम एक तत्व प्राप्त करते हैं जो बीजगणितीय टोपोलॉजी में टॉड वर्ग से संबंधित है। अब, व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करता है क्योंकि का कोई भी तत्व एक अनुवाद-अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्र देता है। नतीजतन, बीजगणित पर अंतर प्रचालक के रूप में कार्य करता है, और यह पर की कार्रवाई तक फैला हुआ है। इस प्रकार हम एक रैखिक मानचित्र को परिभाषित कर सकते हैं और चूंकि पूरी संरचना अपरिवर्तनीय थी, इसलिए वांछित रैखिक मानचित्र गुणों तक सीमित है एक निलपोटेन्ट लाइ बीजगणित के लिए डुफ्लो समरूपता सममित बीजगणित से सार्वभौमिक आवरण बीजगणित तक समरूपता मानचित्र के साथ मेल खाती है। एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के लिए डुफ्लो समरूपता हरीश-चंद्र समरूपता के साथ प्राकृतिक तरीके से संगत है। संदर्भ लाइ अलजेब्रा