Infinite compositions of analytic functions
गणित में, विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ (आई. सी. ए. एफ.) विश्लेषणात्मक निरंतर अंशों, श्रृंखलाओं, उत्पादों और अन्य अनंत विस्तारों के वैकल्पिक सूत्रीकरण प्रदान करती हैं, और ऐसी रचनाओं से विकसित होने वाला सिद्धांत इन विस्तारों के अभिसरण/विचलन पर प्रकाश डाल सकता है। कुछ कार्यों को वास्तव में सीधे अनंत रचनाओं के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। इसके अलावा, अनंत विस्तार से जुड़े निश्चित बिंदु समीकरणों के समाधान का मूल्यांकन करने के लिए आईसीएएफ का उपयोग करना संभव है। जटिल गतिशीलता एक एकल कार्य के बजाय कार्यों की प्रणालियों के पुनरावृत्ति के लिए एक और स्थान प्रदान करती है। एकल फलन की अनंत रचनाओं के लिए पुनरावृत्त फलन देखें। फ्रैक्टल सिद्धांत में उपयोगी कार्यों की एक सीमित संख्या की रचनाओं के लिए, इटरेटेड फ़ंक्शन सिस्टम देखें। हालाँकि इस लेख का शीर्षक विश्लेषणात्मक कार्यों को निर्दिष्ट करता है, लेकिन एक जटिल चर के अधिक सामान्य कार्यों के लिए भी परिणाम हैं। संकेतन अनंत रचनाओं का वर्णन करने वाले कई संकेत हैं, जिनमें निम्नलिखित शामिल हैंः आगे की रचनाएँः पीछे की रचनाएँः प्रत्येक मामले में अभिसरण की व्याख्या निम्नलिखित सीमाओं के अस्तित्व के रूप में की जाती हैः सुविधा के लिए, सेट और सेट करें। कोई भी और संकुचन प्रमेय भी लिख सकता है कई परिणामों को निम्नलिखित परिणाम का विस्तार माना जा सकता हैः संविदात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ मान लीजिए कि {fn} एक सरल रूप से जुड़े डोमेन S पर विश्लेषणात्मक कार्यों का एक अनुक्रम है। मान लीजिए कि प्रत्येक n, fn (S) के लिए एक कॉम्पैक्ट सेट ωS मौजूद है। इन दो प्रमेयों, विशेष रूप से अग्र रचना प्रमेय पर आधारित जांच के परिणामस्वरूप अतिरिक्त सिद्धांत में निम्नलिखित संदर्भ में प्राप्त सीमाओं के लिए स्थान विश्लेषण शामिल है। पिछड़े रचना प्रमेय के लिए एक अलग दृष्टिकोण के लिए, निम्नलिखित संदर्भ देखें। पिछड़े रचनाओं के प्रमेय के संबंध में, उदाहरण f2n (z) = 1/2 और s = {z: |z। <1} के लिए f2n −1 (z) = −1/2 केवल एक संक्षिप्त उपसमुच्चय में संकुचन की आवश्यकता की अपर्याप्तता को दर्शाता है, जैसे कि आगे की रचनाओं का प्रमेय। आवश्यक रूप से विश्लेषणात्मक नहीं होने वाले कार्यों के लिए लिपशिट्ज़ स्थिति पर्याप्त हैः अन्य कार्यों की अनंत रचनाएँ गैर-संकुचनशील जटिल कार्य पूरे कार्यों को शामिल करने वाले परिणामों में उदाहरण के रूप में निम्नलिखित शामिल हैं। सेट करें फिर निम्नलिखित परिणाम हैंः अतिरिक्त प्राथमिक परिणामों में शामिल हैंः उदाहरण जी. एफ. 1: उदाहरण जी. एफ. 2: रैखिक आंशिक परिवर्तन रैखिक आंशिक (मोबियस) परिवर्तनों की संरचनाओं के लिए परिणामों में निम्नलिखित शामिल हैं, उदाहरण के रूप मेंः उदाहरण और अनुप्रयोग निरंतर अंश अनंत निरंतर अंश के मूल्य को अनुक्रम की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ एक सरल उदाहरण के रूप में, एक प्रसिद्ध परिणाम (वर्पिट्स्की सर्कल *) प्रमेय (ए) के एक अनुप्रयोग से अनुसरण करता हैः निरंतर अंश पर विचार करें कि |ζ <1 और |z। <R <1। फिर 0 <r <1 के लिए, |z। <1 के लिए विश्लेषणात्मक। आर = 1/2 निर्धारित करें। उदाहरण के लिए]। उदाहरण लीजिए। एक निश्चित-बिंदु निरंतर अंश रूप (एक एकल चर)। प्रत्यक्ष कार्यात्मक विस्तार किसी फलन के सीधे रचना में परिवर्तन को दर्शाने वाले उदाहरण इस प्रकार हैंः उदाहरण 1. मान लीजिए कि एक संपूर्ण कार्य निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता हैः फिर। उदाहरण 2. उदाहरण 3. उदाहरण 4. निश्चित-बिंदुओं की गणना प्रमेय (बी) को अनंत विस्तार या कुछ समाकलनों द्वारा परिभाषित कार्यों के निश्चित-बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए लागू किया जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण प्रक्रिया को स्पष्ट करते हैंः उदाहरण एफ. पी. 1। |ζ। ≤ 1 के लिए α = G (α) खोजने के लिए, पहले हम परिभाषित करते हैंः फिर ζ = 1 के साथ गणना करें, जो दस पुनरावृत्तियों के बाद दस दशमलव स्थानों को α = 0.087118118 देता है। विकास कार्य एक समय अंतराल पर विचार करें, जिसे I = [0,1] के लिए सामान्यीकृत किया गया है। आई. सी. ए. एफ. का निर्माण अंतराल पर एक बिंदु, z की निरंतर गति का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन इस तरह से कि प्रत्येक "क्षण" पर गति लगभग शून्य हो (ज़ेनो का तीर देखें): n बराबर उप-अंतराल में विभाजित अंतराल के लिए, 1 ≤ k ≤ n सेट विश्लेषणात्मक या बस निरंतर-एक डोमेन S में, जैसे कि S में सभी k और सभी z के लिए, और। प्रमुख उदाहरण का तात्पर्य है कि समाकलन अच्छी तरह से परिभाषित है यदि एक बंद-रूप समाधान z (t) है। फिर अन्यथा, समाकलन को खराब तरीके से परिभाषित किया जाता है, हालांकि समाकलन के मूल्य की गणना आसानी से की जाती है। इस मामले में कोई इंटीग्रल को "वर्चुअल" इंटीग्रल कह सकता है। उदाहरण के लिए]। उदाहरण लीजिए। मान लीजिएः अगला, सेट करें और Tn (z) = Tn, n (z)। मान लीजिए जब वह सीमा मौजूद हो। अनुक्रम {Tn (z)} आकृति γ = γ (cn, z) को परिभाषित करता है जो सदिश क्षेत्र f (z) के प्रवाह का अनुसरण करता है। यदि एक आकर्षक निश्चित बिंदु α मौजूद है, जिसका अर्थ है |f (z) − α। ≤ ρ |z −α। 0 ≤ ρ <1 के लिए, तो Tn (z) → T (z) ष्ण α के साथ γ = γ (cn, z), प्रदान किया गया (उदाहरण के लिए)। यदि cn ष्ण c> 0 है, तो Tn (z) → T (z), समोच्च पर एक बिंदु γ = γ (c, z) है। यह आसानी से देखा जा सकता है कि ये सीमाएँ कब और कब मौजूद हैं। ये अवधारणाएँ छवि प्रसंस्करण में सक्रिय समोच्च सिद्धांत से मामूली रूप से संबंधित हैं, और यूलर विधि के सरल सामान्यीकरण हैं स्व-प्रतिकृति विस्तार श्रृंखला fn (z) = z + gn (z) द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित श्रृंखला में यह गुण है कि n वां पद पहले n−1 शब्दों के योग पर आधारित है। प्रमेय (GF3) को नियोजित करने के लिए निम्नलिखित अर्थों में सीमा दिखाना आवश्यक हैः यदि प्रत्येक fn को |z। <M के लिए परिभाषित किया गया है तो |Gn (z)। <M को |fn (z) − z। = |gn (z)। ≤ Cβn से पहले अनुसरण करना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह पूरे विस्तार के दौरान होता है। प्रतिबंध इस उद्देश्य को पूरा करता है। फिर Gn (z) → G (z) समान रूप से प्रतिबंधित डोमेन पर। उदाहरण (एस1)। सेट और एम = ρ2। फिर R = ρ2 − (π/6)> 0। फिर, यदि, S में z का अर्थ है |Gn (z)। <M और प्रमेय (GF3) लागू होता है, ताकि यह बिल्कुल अभिसारी हो, तो अभिसारी है। उदाहरण (एस2): जिन उत्पादों द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है, वे उत्पाद हैं। प्रमेय जी. एफ. 3 को लागू करने के लिए यह आवश्यक है किः एक बार फिर, एक सीमा शर्त का समर्थन करना चाहिए। यदि कोई सी. बी. एन. को पहले से जानता है, तो निम्नलिखित पर्याप्त होगाः फिर प्रतिबंधित क्षेत्र पर समान रूप से जी. एन. (जेड) → जी. (जेड)। उदाहरण (पी1)। मान लीजिए कि कुछ प्रारंभिक गणनाओं के बाद अवलोकन के साथ, कि |z। ≤ 1/4 का अर्थ है |Gn (z)। <0.27। फिर और समान रूप से अभिसरण करता है। उदाहरण (पी2)। निरंतर अंश उदाहरण (सी. एफ. 1): एक स्व-उत्पन्न करने वाला निरंतर अंश। उदाहरण (सी. एफ. 2): स्व-उत्पन्न करने वाले विपरीत यूलर निरंतर अंश के रूप में सबसे अच्छा वर्णित है। सामान्यीकृत निरंतर अंश संदर्भ जटिल विश्लेषण विश्लेषणात्मक कार्य निश्चित-बिंदु प्रमेय एल्गोरिदमिक कला का उदय भी देखें।