Koenigs function
गणित में, कोएनिग्स फलन जटिल विश्लेषण और गतिशील प्रणालियों में उत्पन्न होने वाला एक फलन है। 1884 में फ्रांसीसी गणितशास्त्री गैब्रियल कोएनिग्स द्वारा पेश किया गया, यह जटिल संख्याओं में इकाई डिस्क के एक असमान होलोमोर्फिक मानचित्रण, या मानचित्रण के एक अर्धसमूह के विस्तार के रूप में एक विहित प्रतिनिधित्व देता है। कोएनिग्स फलन का अस्तित्व और विशिष्टता मान लीजिए कि डी जटिल संख्याओं में इकाई डिस्क है। मान लीजिए कि डी का मानचित्रण करने वाला एक होलोमोर्फिक कार्य है, जो बिंदु 0 को ठीक करता है, जिसमें समान रूप से 0 नहीं है और डी का ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, अर्थात। एस. यू. (1,1) में एक मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित मोबियस परिवर्तन। डेनजॉय-वोल्फ प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक डिस्क |z। <r को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है और इसके पुनरावृत्तियां कॉम्पैक्ट पर समान रूप से 0 पर अभिसरण करती हैंः वास्तव में 0 <<1 के लिए, |z। ≤ r के लिए M (r) <1 के साथ। इसके अलावा '(0) = 0 के साथ <। <1. ने साबित किया कि डी पर परिभाषित एक अद्वितीय समरूप फलन एच है, जिसे कोएनिग्स फलन कहा जाता है, जैसे कि (0) = 0,' (0) = 1 और श्रोडर का समीकरण संतुष्ट होता है, फलन एच सामान्यीकृत पुनरावृत्तियों के कॉम्पैक्ट पर एक समान सीमा है। इसके अलावा, अगर असमान है, तो ऐसा ही है। नतीजतन, जब (और इसलिए) असमान होते हैं, तो ओपन डोमेन के साथ पहचाना जा सकता है। इस अनुरूप पहचान के तहत, मानचित्रण एक फैलाव द्वारा गुणा हो जाता है। विशिष्टता का प्रमाण। यदि एक और समाधान है, तो विश्लेषणात्मकता से, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि k = h 0 के करीब है। 0 के करीब आने दें। इस प्रकार H (0) = 0, H "'(0) = 1 और, |z। स्मॉल के लिए, पावर सीरीज़ में प्रतिस्थापित करने पर, यह 0 के करीब है। इसलिए 0.Existence के पास। यदि तब श्वार्ज लेम्मा द्वारा दूसरी ओर, इसलिए जीएन समान रूप से |z। ≤ आर के लिए वीयरस्ट्रास एम-परीक्षण द्वारा समान रूप से अभिसरण करता है। हर्विट्ज़ के प्रमेय के अनुसार, चूंकि प्रत्येक जीएन अविभाज्य और सामान्यीकृत है, अर्थात। 0 को ठीक करता है और वहाँ व्युत्पन्न 1 है, उनकी सीमा भी अविभाज्य है। एक अर्धसमूह का कोएनिग्स कार्य आइए अपने आप में होलोमोर्फिक अविभाज्य मानचित्रण का एक अर्धसमूह बनें जो ऐसे 0 के लिए परिभाषित है जो कि> 0 के लिए एक ऑटोमोर्फिज्म नहीं है जो संयुक्त रूप से निरंतर है और> 0 के साथ प्रत्येक का समान कोएनिग्स कार्य है, cf। पुनरावृत्त कार्य। वास्तव में, यदि एच का कोएनिग्स फलन है, तो श्रोएडर के समीकरण को संतुष्ट करता है और इसलिए एच का अनुपात है। अविभाज्य अर्धसमूहों की संरचना क्षेत्र पर, मानचित्र एक निरंतर अर्धसमूह द्वारा गुणा हो जाते हैं। तो Re <0 के साथ एक विशिष्ट रूप से निर्धारित समाधान कहाँ है। यह इस प्रकार है कि अर्धसमूह 0 पर अवकलनीय है। मान लीजिए कि एक समरूप फलन v (0) = 0 और {{math|v '(0)}} = के साथ चालू है। फिर वह और एक वेक्टर क्षेत्र के लिए प्रवाह समीकरण। 0 <λ <1 के मामले को सीमित करते हुए, h (D ") को तारों जैसा होना चाहिए ताकि चूंकि वही परिणाम पारस्परिक के लिए भी हो, ताकि उपरोक्त चरणों को उलटते हुए, इन शर्तों को पूरा करने वाला कोई भी होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र एक अर्धसमूह से जुड़ा हो, जिसमें टिप्पणियाँ संदर्भ ASIN: B0006BTAC2 जटिल विश्लेषण गतिशील प्रणालियों के प्रकार कार्य