Square root of a 2 by 2 matrix
2 × 2 मैट्रिक्स M का वर्गमूल एक और 2 × 2 मैट्रिक्स R है जैसे कि M = R2, जहाँ R2 स्वयं के साथ R के मैट्रिक्स उत्पाद को दर्शाता है। सामान्य तौर पर, शून्य, दो, चार, या यहाँ तक कि वर्गमूल मैट्रिक्स का एक अनंत भी हो सकता है। कई मामलों में, इस तरह के मैट्रिक्स आर को एक स्पष्ट सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। वर्गमूल जो पूर्ण-शून्य मैट्रिक्स नहीं हैं, जोड़े में आते हैंः यदि R, M का वर्गमूल है, तो −R भी M का वर्गमूल है, क्योंकि (−R) (−R) = (−1) (−1) (RR) = R2 = M. दो अलग-अलग गैर-शून्य आइगेनवैल्यू के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स के चार वर्गमूल होते हैं। एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स में सटीक रूप से एक सकारात्मक-निश्चित वर्गमूल होता है। एक सामान्य सूत्र निम्नलिखित एक सामान्य सूत्र है जो लगभग किसी भी 2 × 2 मैट्रिक्स पर लागू होता है। मान लीजिए कि दिए गए मैट्रिक्स में ए, बी, सी और डी वास्तविक या जटिल संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, मान लीजिए कि τ = A + D M का निशान है, और δ = AD-BC इसका निर्धारक है। मान लीजिए कि s ऐसा हो कि s2 = δ, और t ऐसा हो कि t2 = τ + 2s। अर्थात, तब, यदि t ष्ण 0 है, तो M का वर्गमूल वास्तव में है, R का वर्ग ध्यान दें कि R में जटिल प्रविष्टियाँ हो सकती हैं, भले ही M एक वास्तविक मैट्रिक्स हो; यह मामला होगा, विशेष रूप से, यदि निर्धारक δ ऋणात्मक है। इस सूत्र का सामान्य मामला तब होता है जब δ गैर-शून्य होता है, और τ2 § 4δ, इस मामले में s गैर-शून्य होता है, और t s के संकेत के प्रत्येक विकल्प के लिए गैर-शून्य होता है। फिर उपरोक्त सूत्र चार अलग वर्गमूल R प्रदान करेगा, जो s और t के लिए संकेतों के प्रत्येक विकल्प के लिए एक होगा। सूत्र के विशेष मामले यदि निर्धारक δ शून्य है, लेकिन ट्रेस τ गैर-शून्य है, तो उपरोक्त सामान्य सूत्र केवल दो अलग-अलग समाधान देगा, जो t के दो संकेतों के अनुरूप है। अर्थात्, जहाँ t ट्रेस τ का कोई भी वर्गमूल है। सूत्र केवल दो अलग-अलग समाधान भी देता है यदि δ गैर-शून्य है, और τ2 = 4δ (डुप्लिकेट आइगेनवैल्यूज का मामला), जिस स्थिति में s के लिए विकल्पों में से एक भाजक t को शून्य बना देगा। उस स्थिति में, दो मूल हैं जहाँ s, δ का वर्गमूल है जो τ − 2s को गैर-शून्य बनाता है, और t, τ − 2s का कोई भी वर्गमूल है। उपरोक्त सूत्र पूरी तरह से विफल हो जाता है यदि δ और τ दोनों शून्य हैं; यानी, यदि D =-A, और A2 =-BC, तो मैट्रिक्स का ट्रेस और निर्धारक दोनों शून्य हैं। इस मामले में, यदि एम शून्य मैट्रिक्स है (ए = बी = सी = डी = 0 के साथ), तो शून्य मैट्रिक्स भी एम का वर्गमूल है, जैसा कि कोई भी मैट्रिक्स है जहां बी और सी मनमाने वास्तविक या जटिल मान हैं। अन्यथा M का कोई वर्गमूल नहीं है। विशेष मैट्रिक्स आइडेम्पोटेंट मैट्रिक्स के लिए सूत्र यदि एम एक आइडेम्पोटेंट मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि एमएम = एम, तो यदि यह आइडेंटिटी मैट्रिक्स नहीं है, तो इसका निर्धारक शून्य है, और इसका ट्रेस इसकी श्रेणी के बराबर है, जो (शून्य मैट्रिक्स को छोड़कर) 1 है। फिर उपरोक्त सूत्र में s = 0 और τ = 1 है, जो M और-M को M के दो वर्गमूल के रूप में देता है। घातीय मैट्रिक्स यदि मैट्रिक्स M को किसी मैट्रिक्स A के घातांक के वास्तविक गुणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसके दो वर्गमूल हैं। इस मामले में वर्गमूल वास्तविक है। विकर्ण आव्यूह यदि एम विकर्ण है (अर्थात, बी = सी = 0), तो कोई भी सरलीकृत सूत्र का उपयोग कर सकता है जहाँ ए = ± σए, और डी = ± σडी। यह, विभिन्न संकेत विकल्पों के लिए, चार, दो, या एक अलग मैट्रिक्स देता है, यदि ए और डी दोनों में से कोई भी, केवल एक, या दोनों क्रमशः शून्य नहीं हैं। आइडेंटिटी मैट्रिक्स क्योंकि इसमें डुप्लिकेट आइगेनवैल्यू होते हैं, 2 × 2 आइडेंटिटी मैट्रिक्स में अनंत रूप से कई सममित तर्कसंगत वर्गमूल होते हैं, जहां कोई भी जटिल संख्या ऐसी होती है कि मैट्रिक्स एक ऑफ-डायगोनल शून्य के साथ यदि बी शून्य है, लेकिन ए और डी दोनों शून्य नहीं हैं, तो कोई भी इसका उपयोग कर सकता है। एक समान सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है जब सी शून्य हो, लेकिन ए और डी दोनों शून्य नहीं हैं। संदर्भ मैट्रिक्स