Tennis racket theorem
टेनिस रैकेट प्रमेय या मध्यवर्ती अक्ष प्रमेय शास्त्रीय यांत्रिकी में एक परिणाम है जो जड़ता के तीन अलग-अलग प्रमुख क्षणों के साथ एक कठोर पिंड की गति का वर्णन करता है। इसे सोवियत अंतरिक्ष यात्री व्लादिमीर ज़ानिबेकोव के नाम पर ज़ानिबेकोव प्रभाव भी कहा जाता है, जिन्होंने 1985 में अंतरिक्ष में रहते हुए प्रमेय के तार्किक परिणामों में से एक को देखा था, हालांकि प्रभाव पहले से ही कम से कम 150 साल पहले से जाना जाता था और 1834 में लुई पोइनसो द्वारा एक पुस्तक में शामिल किया गया था। प्रमेय निम्नलिखित प्रभाव का वर्णन करता हैः किसी वस्तु का उसके पहले और तीसरे प्रमुख अक्षों के चारों ओर घूर्णन स्थिर होता है, जबकि उसके दूसरे प्रमुख अक्ष (या मध्यवर्ती अक्ष) के चारों ओर घूर्णन स्थिर नहीं होता है। इसे निम्नलिखित प्रयोग के साथ प्रदर्शित किया जा सकता हैः एक टेनिस रैकेट को उसके हैंडल पर पकड़ें, जिसका चेहरा क्षैतिज हो, और इसे हवा में फेंकने की कोशिश करें ताकि यह हैंडल के लंबवत क्षैतिज अक्ष के चारों ओर एक पूर्ण घूर्णन प्रदर्शन करे (आरेख में η2, वीडियो में η1), और हैंडल को पकड़ने का प्रयास करें। लगभग सभी मामलों में, उस रोटेशन के दौरान चेहरे ने भी आधा रोटेशन पूरा कर लिया होगा, ताकि दूसरा चेहरा अब ऊपर हो। इसके विपरीत, रैकेट को फेंकना आसान है ताकि यह किसी अन्य अक्ष के चारों ओर आधे-घूर्णन के साथ बिना हैंडल अक्ष (आरेख में η1) के चारों ओर घूमे; इसे बिना किसी आधे-घूर्णन के हैंडल (आरेख में η3) के लंबवत ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाना भी संभव है। प्रयोग को किसी भी वस्तु के साथ किया जा सकता है जिसमें जड़ता के तीन अलग-अलग क्षण होते हैं, उदाहरण के लिए एक किताब, रिमोट कंट्रोल या स्मार्टफोन के साथ। प्रभाव तब होता है जब घूर्णन का अक्ष वस्तु के दूसरे प्रमुख अक्ष से थोड़ा अलग होता है; वायु प्रतिरोध या गुरुत्वाकर्षण आवश्यक नहीं है। सिद्धांत टेनिस रैकेट प्रमेय का यूलर के समीकरणों की मदद से गुणात्मक रूप से विश्लेषण किया जा सकता है। टॉर्क-मुक्त परिस्थितियों में, वे निम्नलिखित रूप लेते हैंः यहाँ वस्तु के जड़ता के प्रमुख क्षणों को दर्शाते हैं, और हम मानते हैं। वस्तु के तीन प्रमुख अक्षों के चारों ओर कोणीय वेग हैं और उनके समय व्युत्पन्न द्वारा दर्शाए जाते हैं। पहले और तीसरे प्रमुख अक्ष के चारों ओर स्थिर घूर्णन उस स्थिति पर विचार करें जब वस्तु जड़ता के क्षण के साथ अक्ष के चारों ओर घूम रही हो। संतुलन की प्रकृति को निर्धारित करने के लिए, अन्य दो अक्षों के साथ छोटे प्रारंभिक कोणीय वेग मान लें। नतीजतन, समीकरण (1) के अनुसार, बहुत छोटा है। इसलिए समय की निर्भरता की उपेक्षा की जा सकती है। अब, समीकरण (2) को अलग करते हुए और समीकरण (3) से प्रतिस्थापित करते हुए, क्योंकि और। ध्यान दें कि इसका विरोध किया जा रहा है और इसलिए इस अक्ष के चारों ओर घूर्णन वस्तु के लिए स्थिर है। इसी तरह के तर्क से पता चलता है कि जड़ता के क्षण के साथ अक्ष के चारों ओर घूर्णन भी स्थिर है। दूसरे प्रमुख अक्ष के चारों ओर अस्थिर घूर्णन अब जड़ता के क्षण के साथ अक्ष पर एक ही विश्लेषण लागू करें यह समय बहुत छोटा है। इसलिए समय की निर्भरता की उपेक्षा की जा सकती है। अब, समीकरण (1) को अलग करते हुए और समीकरण (3) से प्रतिस्थापित करते हुए, ध्यान दें कि इसका विरोध नहीं किया गया है (और इसलिए यह बढ़ेगा) और इसलिए दूसरे अक्ष के चारों ओर घूर्णन अस्थिर है। इसलिए, अन्य अक्षों के साथ एक छोटी सी गड़बड़ी भी वस्तु को 'पलटने' का कारण बनती है। मैट्रिक्स विश्लेषण यदि वस्तु ज्यादातर अपने तीसरे अक्ष के साथ घूम रही है, तो हम मान सकते हैं कि इसमें बहुत अंतर नहीं है, और गति के समीकरणों को एक मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिख सकते हैंः जिसमें शून्य निशान और सकारात्मक निर्धारक होता है, जिसका अर्थ है कि की गति मूल के चारों ओर एक स्थिर घूर्णन है-एक तटस्थ संतुलन बिंदु। इसी तरह, बिंदु एक तटस्थ संतुलन बिंदु है, लेकिन एक काठी बिंदु है। ज्यामितीय विश्लेषण गति के दौरान, ऊर्जा और कोणीय संवेग-वर्ग दोनों संरक्षित होते हैं, इस प्रकार हमारे पास दो संरक्षित मात्राएँ होती हैंः और इसलिए किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए, का प्रक्षेपवक्र दो दीर्घवृत्त के बीच प्रतिच्छेदन वक्र पर रहना चाहिए। यूलर के समीकरणों का निरीक्षण करके, हम देखते हैं कि इसके दो घटक शून्य हैं-अर्थात, वस्तु बिल्कुल एक प्रमुख अक्ष के चारों ओर घूम रही है। अन्य सभी स्थितियों में, गति में रहना चाहिए। यूलर के समीकरणों के अनुसार, यदि समाधान है, तो किसी भी स्थिरांक के लिए भी ऐसा ही है। विशेष रूप से, मुक्त स्थान में शरीर की गति (एकीकरण द्वारा प्राप्त) बिल्कुल समान है, बस के अनुपात से तेजी से पूरा होता है। नतीजतन, हम गति की ज्यामिति का एक निश्चित मूल्य के साथ विश्लेषण कर सकते हैं, और स्थिर वर्ग कोणीय संवेग के निश्चित दीर्घवृत्त पर भिन्न हो सकते हैं। जैसे-जैसे परिवर्तन होता है, इसका मूल्य भी भिन्न होता है-इस प्रकार हमें स्थिर ऊर्जा का एक भिन्न दीर्घवृत्त मिलता है। इसे एनीमेशन में एक निश्चित नारंगी दीर्घवृत्त और बढ़ते नीले दीर्घवृत्त के रूप में दिखाया गया है। ठोसता के लिए, विचार करें, तो कोणीय संवेग दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के अनुपात में हैं, और ऊर्जा दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के अनुपात में हैं। इस प्रकार कोणीय संवेग दीर्घवृत्त चपटा और तेज दोनों होता है, जैसा कि एनीमेशन में दिखाई देता है। सामान्य तौर पर, कोणीय संवेग दीर्घवृत्त हमेशा ऊर्जा दीर्घवृत्त की तुलना में अधिक "अतिरंजित" होता है। अब के दीर्घवृत्त के साथ इसके प्रतिच्छेदन वक्रों के एक निश्चित दीर्घवृत्त पर लिखें, जैसा कि शून्य से अनंत तक बढ़ता है। हम देख सकते हैं कि वक्र निम्नानुसार विकसित होते हैंः छोटी ऊर्जा के लिए, कोई प्रतिच्छेदन नहीं है, क्योंकि हमें कोणीय संवेग दीर्घवृत्त पर बने रहने के लिए न्यूनतम ऊर्जा की आवश्यकता होती है। ऊर्जा दीर्घवृत्त पहले संवेग दीर्घवृत्त को काटता है जब, बिंदुओं पर। यह तब होता है जब शरीर जड़ता के सबसे बड़े क्षण के साथ अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है। वे बिंदुओं के चारों ओर दो चक्रों पर प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि प्रत्येक चक्र में कोई बिंदु नहीं होता है, इसलिए प्रत्येक चक्र के चारों ओर की गति एक आवधिक गति होनी चाहिए। वे दो "विकर्ण" वक्रों पर प्रतिच्छेद करते हैं जो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, जब। यदि विकर्ण वक्रों पर कहीं भी शुरू होता है, तो यह किसी एक बिंदु तक पहुंच जाएगा, दूरी तेजी से कम हो जाएगी, लेकिन वास्तव में कभी भी उस बिंदु तक नहीं पहुंच पाएगी। दूसरे शब्दों में, हमारे पास दो काठी बिंदुओं के बीच 4 विषम-चक्रीय कक्षाएँ हैं। वे बिंदुओं के चारों ओर दो चक्रों पर प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि प्रत्येक चक्र में कोई बिंदु नहीं होता है, इसलिए प्रत्येक चक्र के चारों ओर की गति एक आवधिक गति होनी चाहिए। ऊर्जा दीर्घवृत्त अंत में संवेग दीर्घवृत्त को काटता है जब, बिंदुओं पर। यह तब होता है जब शरीर जड़ता के सबसे छोटे क्षण के साथ अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है। टेनिस रैकेट प्रभाव तब होता है जब एक काठी बिंदु के बहुत करीब होता है। शरीर काठी बिंदु के पास टिका रहता है, फिर तेजी से दूसरे काठी बिंदु पर चला जाता है, पास, फिर से लंबे समय तक टिका रहता है, और इसी तरह। प्रस्ताव अवधि के साथ दोहराया जाता है। उपरोक्त विश्लेषण सभी एक पर्यवेक्षक के परिप्रेक्ष्य में किया जाता है जो शरीर के साथ घूम रहा है। मुक्त स्थान में शरीर की गति को देखने वाला एक पर्यवेक्षक इसके कोणीय संवेग सदिश को संरक्षित देखता है, जबकि इसके कोणीय वेग सदिश और इसके जड़त्व के क्षण दोनों अंतरिक्ष में जटिल गतियों से गुजर रहे हैं। शुरुआत में, पर्यवेक्षक दोनों को ज्यादातर के दूसरे प्रमुख अक्ष के साथ संरेखित देखता है। कुछ समय बाद, शरीर एक जटिल गति करता है और इसके साथ समाप्त होता है, और फिर दोनों ज्यादातर दूसरे प्रमुख अक्ष के साथ संरेखित होते हैं। नतीजतन, दो संभावनाएँ हैंः या तो कठोर पिंड का दूसरा प्रमुख अक्ष एक ही दिशा में है, या इसकी दिशा उलट गई है। यदि यह अभी भी एक ही दिशा में है, तो कठोर शरीर के संदर्भ ढांचे में देखा जाने वाला भी ज्यादातर एक ही दिशा में है। हालाँकि, हमने अभी इसे देखा है और लगभग विपरीत काठी बिंदुओं के पास हैं। विरोधाभास। गुणात्मक रूप से, तो, यह वही है जो मुक्त स्थान में देखने वाला एक पर्यवेक्षक देखेगाः शरीर कुछ समय के लिए अपने दूसरे प्रमुख अक्ष के चारों ओर घूमता है। शरीर तेजी से एक जटिल गति से गुजरता है, जब तक कि इसकी दूसरी प्रमुख धुरी की दिशा उलट नहीं जाती है। शरीर कुछ समय के लिए फिर से अपने दूसरे प्रमुख अक्ष के चारों ओर घूमता है। दोहराएँ। इसे माइक्रोग्रैविटी में वीडियो प्रदर्शन में आसानी से देखा जा सकता है। अपव्यय के साथ जब शरीर बिल्कुल कठोर नहीं होता है, लेकिन झुक सकता है और झुक सकता है या उसमें तरल होता है जो चारों ओर ढल जाता है, तो यह अपनी आंतरिक स्वतंत्रता के माध्यम से ऊर्जा को नष्ट कर सकता है। इस मामले में, शरीर में अभी भी निरंतर कोणीय संवेग है, लेकिन इसकी ऊर्जा कम हो जाएगी, जब तक कि यह न्यूनतम बिंदु तक नहीं पहुंच जाती। जैसा कि ऊपर ज्यामितीय रूप से विश्लेषण किया गया है, यह तब होता है जब शरीर का कोणीय वेग जड़ता के अधिकतम क्षण के अपने अक्ष के साथ बिल्कुल संरेखित होता है। यह एक्सप्लोरर 1 के साथ हुआ, जो 1958 में संयुक्त राज्य अमेरिका द्वारा प्रक्षेपित पहला उपग्रह था। अंतरिक्ष यान के लंबे शरीर को अपने लंबे (कम से कम जड़ता) अक्ष के बारे में घूमने के लिए डिज़ाइन किया गया था, लेकिन ऐसा करने से इनकार कर दिया, और इसके बजाय लचीले संरचनात्मक तत्वों से ऊर्जा अपव्यय के कारण पूर्व प्रसंस्करण शुरू कर दिया। सामान्य तौर पर, बड़े या छोटे खगोलीय पिंड जड़ता के अधिकतम क्षण के अपने अक्ष के चारों ओर एक निरंतर घूर्णन में अभिसरण करेंगे। जब भी कोई खगोलीय पिंड एक जटिल घूर्णन अवस्था में पाया जाता है, तो यह या तो हाल के प्रभाव या ज्वारीय संपर्क के कारण होता है, या हाल ही में बाधित हुए पूर्वज का एक टुकड़ा होता है। मीर अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन लुई पोइनसो, थियोरी नोवेल डे ला रोटेशन डेस कॉर्प्स, पेरिस, बैचेलियर, 1834,170 पी.: ऐतिहासिक रूप से, इस प्रभाव का पहला गणितीय विवरण। - मैट पार्कर द्वारा सहज ज्ञान युक्त वीडियो स्पष्टीकरण शास्त्रीय यांत्रिकी भौतिकी प्रमेय बाजीगरी