Probability bounds analysis
संभाव्यता सीमा विश्लेषण (पी. बी. ए.) विभिन्न प्रकार की अनिश्चितताओं के बावजूद गुणात्मक और मात्रात्मक गणना करने के लिए अनिश्चितता प्रसार के तरीकों का एक संग्रह है। इसका उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों के माध्यम से यादृच्छिक चर और अन्य मात्राओं के बारे में आंशिक जानकारी प्रस्तुत करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह एक योग, उत्पाद, या अधिक जटिल कार्य के वितरण पर निश्चित सीमाओं की गणना करता है, केवल निवेश के वितरण पर निश्चित सीमाओं को देखते हुए। इस तरह की सीमाओं को संभाव्यता बॉक्स कहा जाता है, और संचयी संभाव्यता वितरण (घनत्व या द्रव्यमान कार्यों के बजाय) को बाधित करता है। यह सीमा दृष्टिकोण विश्लेषकों को पैरामीटर मूल्यों, चरों के बीच निर्भरता, या यहां तक कि वितरण आकार के बारे में अत्यधिक सटीक धारणाओं की आवश्यकता के बिना गणना करने की अनुमति देता है। संभाव्यता सीमा विश्लेषण अनिवार्य रूप से मानक अंतराल विश्लेषण और शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत की विधियों का एक संयोजन है। संभाव्यता सीमा विश्लेषण वही उत्तर देता है जो अंतराल विश्लेषण तब देता है जब केवल सीमा की जानकारी उपलब्ध होती है। यह वही उत्तर भी देता है जो मोंटे कार्लो सिमुलेशन देता है जब जानकारी पर्याप्त मात्रा में होती है जो इनपुट वितरण और उनकी निर्भरताओं को सटीक रूप से निर्दिष्ट करती है। इस प्रकार, यह अंतराल विश्लेषण और संभाव्यता सिद्धांत दोनों का सामान्यीकरण है। संभाव्यता सीमा विश्लेषण सहित विविध विधियाँ गणितीय अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए एल्गोरिदम प्रदान करती हैं जब इनपुट मूल्यों, उनकी निर्भरताओं या गणितीय अभिव्यक्ति के रूप के बारे में अनिश्चितता होती है। गणना से ऐसे परिणाम प्राप्त होते हैं जो आउटपुट चर के सभी संभावित वितरणों को संलग्न करने की गारंटी देते हैं यदि इनपुट पी-बॉक्स भी अपने संबंधित वितरणों को संलग्न करना सुनिश्चित करते हैं। कुछ मामलों में, एक गणना की गई पी-बॉक्स भी इस अर्थ में सबसे अच्छी तरह से संभव होगी कि कुछ संभावित वितरणों को हटाए बिना सीमा अधिक सख्त नहीं हो सकती है। पी-बॉक्स आमतौर पर केवल संभावित वितरण की सीमा होते हैं। सीमाएँ अक्सर उन वितरणों को भी घेरती हैं जो स्वयं संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, दो (सटीक) वितरणों से स्वतंत्रता की धारणा के बिना यादृच्छिक मूल्यों को जोड़ने के परिणामस्वरूप होने वाले संभाव्यता वितरणों का समूह आम तौर पर योग के लिए गणना किए गए पी-बॉक्स द्वारा संलग्न सभी वितरणों का एक उचित उपसमुच्चय होता है। अर्थात्, आउटपुट पी-बॉक्स के भीतर ऐसे वितरण हैं जो दो इनपुट वितरणों के बीच किसी भी निर्भरता के तहत उत्पन्न नहीं हो सकते हैं। हालाँकि, आउटपुट पी-बॉक्स में हमेशा वे सभी वितरण शामिल होंगे जो संभव हैं, जब तक कि इनपुट पी-बॉक्स अपने संबंधित अंतर्निहित वितरणों को संलग्न करना सुनिश्चित करते हैं। यह गुण अक्सर जोखिम विश्लेषण और अनिश्चितता के तहत गणना की आवश्यकता वाले अन्य क्षेत्रों में उपयोग के लिए पर्याप्त होता है। बाउंडिंग प्रोबेबिलिटी का इतिहास संभाव्यता सिद्धांत के पूरे इतिहास में बाउंडिंग प्रोबेबिलिटी के विचार की बहुत लंबी परंपरा रही है। वास्तव में, 1854 में जॉर्ज बूल ने अपनी द लॉज़ ऑफ़ थॉट्स में संभाव्यता पर अंतराल सीमा की धारणा का उपयोग किया। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से भी, चेबिशेव के लिए जिम्मेदार असमानता ने एक वितरण पर सीमाओं का वर्णन किया जब केवल चर का माध्य और भिन्नता ज्ञात होती है, और मार्कोव के लिए जिम्मेदार संबंधित असमानता एक सकारात्मक चर पर सीमा पाई जाती है जब केवल माध्य ज्ञात होता है। किबर्ग ने अंतराल संभावनाओं के इतिहास की समीक्षा की और 20वीं शताब्दी के दौरान महत्वपूर्ण विचारों के विकास का पता लगाया, जिसमें कीन्स द्वारा समर्थित अतुलनीय संभावनाओं की महत्वपूर्ण धारणा भी शामिल थी। विशेष रूप से ध्यान देने योग्य बात यह है कि 1930 के दशक में फ्रेचेट की व्युत्पत्ति निर्भरता धारणाओं के बिना कुल संभावनाओं को शामिल करने वाली गणनाओं पर सीमा है। बाउंडिंग संभावनाएँ आज तक जारी हैं (उदाहरण के लिए, वॉली का अस्पष्ट संभावना का सिद्धांत)। संभाव्यता सीमा विश्लेषण के तरीके जो नियमित रूप से जोखिम मूल्यांकन में उपयोग किए जा सकते हैं, 1980 के दशक में विकसित किए गए थे। हेलपेरिन ने बूल के विचारों को विस्तारित करने वाली तार्किक गणनाओं को सीमित करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल योजना का वर्णन किया। यागर ने उन प्राथमिक प्रक्रियाओं का वर्णन किया जिनके द्वारा स्वतंत्रता की धारणा के तहत संकुचन की सीमा की गणना की जा सकती है। लगभग उसी समय, मकारोव और स्वतंत्र रूप से, रुशेनडॉर्फ ने मूल रूप से कोल्मोगोरोव द्वारा प्रस्तुत समस्या को हल किया, कि यादृच्छिक चरों के योग के लिए प्रायिकता वितरण के लिए ऊपरी और निचली सीमा कैसे ज्ञात की जाए, जिनके सीमांत वितरण, लेकिन उनके संयुक्त वितरण नहीं, ज्ञात हैं। फ्रैंक एट अल। मकारोव के परिणाम को सामान्यीकृत किया और इसे कोपुला के संदर्भ में व्यक्त किया। उस समय से, योग के लिए सूत्रों और एल्गोरिदम को सामान्यीकृत किया गया है और विभिन्न निर्भरता धारणाओं के तहत अंतर, उत्पाद, भागफल और अन्य द्विआधारी और एकात्मक कार्यों तक विस्तारित किया गया है। अंकगणितीय अभिव्यक्तियाँ अंकगणितीय अभिव्यक्तियाँ जिनमें जोड़, घटाव, गुणन, विभाजन, न्यूनतम, अधिकतम, शक्तियाँ, घातांक, लघुगणक, वर्गमूल, निरपेक्ष मान आदि शामिल हैं, आमतौर पर जोखिम विश्लेषण और अनिश्चितता मॉडलिंग में उपयोग की जाती हैं। कन्वोलुशन प्रायिकता वितरण द्वारा निर्दिष्ट स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग के प्रायिकता वितरण को खोजने का कार्य है। हम इस शब्द का विस्तार अन्य गणितीय कार्यों (उत्पाद, अंतर, भागफल और अधिक जटिल कार्य) के वितरण और अंतरपरिवर्तनीय निर्भरताओं के बारे में अन्य धारणाओं को खोजने के लिए कर सकते हैं। इनपुट के बीच निर्भरता के बारे में विभिन्न धारणाओं के तहत इन सामान्यीकृत कन्वोलुशन की गणना करने के लिए सुविधाजनक एल्गोरिदम हैं। गणितीय विवरण आइए वास्तविक संख्याओं पर वितरण कार्यों के स्थान को दर्शाते हैं अर्थात, एक पी-बॉक्स एक क्विंटुपल है जहां वास्तविक अंतराल हैं, और यह क्विंटुपल वितरण कार्यों के समूह को इस तरह दर्शाता है किः यदि कोई फ़ंक्शन ऊपर की सभी शर्तों को पूरा करता है तो इसे पी-बॉक्स के अंदर कहा जाता है। कुछ मामलों में, पी-बॉक्स के किनारों का गठन करने वाले दो वितरण कार्यों में एन्कोड किए गए क्षणों या वितरण परिवार के अलावा कोई जानकारी नहीं हो सकती है। फिर पी-बॉक्स का प्रतिनिधित्व करने वाले क्विंटुपल को [बी1, बी2] के रूप में अधिक सघन रूप से दर्शाया जा सकता है। यह संकेतन वास्तविक रेखा पर अंतराल की ओर ध्यान देता है, सिवाय इसके कि अंतिम बिंदु अंकों के बजाय वितरण हैं। संकेतन इस तथ्य को दर्शाता है कि वितरण फलन F द्वारा नियंत्रित एक यादृच्छिक चर है, अर्थात, आइए हम p-बक्से के साथ उपयोग के लिए टिल्ड संकेतन को सामान्यीकृत करें। हम X ~ B को इस अर्थ में लिखेंगे कि X एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण कार्य अज्ञात है सिवाय इसके कि यह B के अंदर है। इस प्रकार, वितरण फलन का स्पष्ट रूप से उल्लेख किए बिना X ~ F ωB को X ~ B से अनुबंधित किया जा सकता है। यदि X और Y क्रमशः वितरण F और G के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो X + Y = Z ~ H द्वारा दिए गए इस ऑपरेशन को F और G पर कन्वोलुशन कहा जाता है। मान लीजिए कि यदि X और Y यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो Z = X + Y का वितरण p-बॉक्स के अंदर है। मकारोव ने दिखाया कि ये सीमाएँ फ्रेचेट-होफिंग कॉपुला सीमा द्वारा निहित हैं। गणितीय प्रोग्रामिंग के तरीकों का उपयोग करके भी समस्या का समाधान किया जा सकता है। इस मध्यवर्ती धारणा के तहत कि X और Y की सकारात्मक निर्भरता है, कन्वोलुशन की गणना करना भी उतना ही आसान है, जैसा कि X और Y के बीच पूर्ण सकारात्मक या पूर्ण नकारात्मक निर्भरता की चरम धारणाओं के तहत कन्वोलुशन है। अन्य कार्यों जैसे कि घटाव, गुणन, विभाजन आदि के लिए सामान्यीकृत कन्वोलुशन को परिवर्तनों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पी-बॉक्स घटाव ए-बी को ए + (-बी) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां पी-बॉक्स बी = [बी1, बी2] का ऋणात्मक [बी2 (-एक्स), बी1 (-एक्स)] है। तार्किक अभिव्यक्तियाँ तार्किक या बूलियन अभिव्यक्तियाँ जिसमें संयोजन (और संचालन), विच्छेदन (या संचालन), अनन्य विच्छेदन, समतुल्य, सशर्त, आदि शामिल हैं। जोखिम आकलन में सामान्य रूप से पाए जाने वाले दोष वृक्षों और घटना वृक्षों के विश्लेषण में उत्पन्न होता है। यदि घटनाओं की संभावनाओं को अंतरालों द्वारा चिह्नित किया जाता है, जैसा कि बूले और कीन्स द्वारा अन्य लोगों के बीच सुझाव दिया गया है, तो इन द्विआधारी संचालन का मूल्यांकन करना सीधा है। उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना ए की संभावना अंतराल पी (ए) = ए = [0.2,0.25] में है, और घटना बी की संभावना पी (बी) = बी = [0.1,3] में है, तो संयोजन की संभावना निश्चित रूप से अंतराल पी (ए और बी) = ए × बी = [0.2,0.25] × [0.1,0.3] = [0.2 × 0.1,0.25 × 0.3] = [0.02,0.075] में है, जब तक कि ए और बी को स्वतंत्र घटनाएं माना जा सकता है। यदि वे स्वतंत्र नहीं हैं, तो हम अभी भी शास्त्रीय फ्रेचेट असमानता का उपयोग करके संयोजन को बांध सकते हैं। इस मामले में, हम कम से कम यह अनुमान लगा सकते हैं कि संयुक्त घटना ए और बी की संभावना निश्चित रूप से अंतराल पी (ए और बी) = एनवी (अधिकतम (0, ए + बी-1), न्यूनतम (ए, बी)) = एनवी (अधिकतम (0, [0,0.25] + [0.1,0.3]-1), न्यूनतम ([0,0.25], [0.1,0.3]) = एनवी ([अधिकतम (0,0 + 0.1-1), अधिकतम (0,0.25 + 0.3-1)], [न्यूनतम (0.2,0.1), न्यूनतम (0.25,0.3)] = एनवी ([0,0], [0.1,0.25]) के भीतर है। इसी तरह, विच्छेदन की संभावना निश्चित रूप से अंतराल P (A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b) = 1 − (1 − [0,0.25]) × (1 − [0,0.3]) = 1 − [0.75,0.8] × [0.7,0.9] = 1 − [0.525,0.72] = [0.28,0.475] में है यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं। यदि वे स्वतंत्र नहीं हैं, तो फ्रेचेट असमानता विच्छेदन P (A v B) = env (अधिकतम (a, b), न्यूनतम (1, a + b)) = env (अधिकतम ([0.2,0.25], [0.1,0.3]), न्यूनतम (1, [0.2,0.25] + [0.1,0.3]) = env ([0.2,0.3], [0.3,0.55]) = [0.2,0.55] को सीमित करती है। ए और बी के बीच निर्भरता के बारे में अन्य धारणाओं के तहत संयोजन या विच्छेदन पर अंतराल सीमा की गणना करना भी संभव है। उदाहरण के लिए, कोई यह मान सकता है कि वे सकारात्मक रूप से निर्भर हैं, इस मामले में परिणामी अंतराल उतना कड़ा नहीं है जितना कि स्वतंत्रता मानते हुए उत्तर, लेकिन फ्रेचेट असमानता द्वारा दिए गए उत्तर की तुलना में कड़ा है। तुलनात्मक गणनाओं का उपयोग अन्य तार्किक कार्यों जैसे निषेध, अनन्य विच्छेदन आदि के लिए किया जाता है। जब मूल्यांकन की जाने वाली बूलियन अभिव्यक्ति जटिल हो जाती है, तो अभिव्यक्ति पर सर्वोत्तम-संभव सीमा प्राप्त करने के लिए गणितीय प्रोग्रामिंग के तरीकों का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करना आवश्यक हो सकता है। एक समान समस्या संभावित तर्क के मामले में प्रस्तुत की जाती है (उदाहरण के लिए गेरला 1994 देखें)। यदि घटनाओं की संभावनाओं को अंतराल के बजाय संभावना वितरण या पी-बॉक्स द्वारा चिह्नित किया जाता है, तो शीर्ष घटना की संभावना को दर्शाते हुए वितरण या पी-बॉक्स परिणाम प्राप्त करने के लिए अनुरूप गणना की जा सकती है। परिमाण तुलना एक पी-बॉक्स डी द्वारा प्रदर्शित एक अनिश्चित संख्या के शून्य से कम होने की संभावना अंतराल पीआर (डी <0) = [एफ (0), एफएन (0)] है, जहां एफएन (0) संभाव्यता बॉक्स डी की बाईं सीमा है और एफ (0) इसकी दाहिनी सीमा है, दोनों का मूल्यांकन शून्य पर किया जाता है। संभाव्यता बक्से द्वारा दर्शाए गए दो अनिश्चित संख्याओं की तुलना संख्यात्मक परिमाण के लिए निम्नलिखित संकेतन के साथ की जा सकती हैः ए <बी = पीआर (ए − बी <0), ए> बी = पीआर (बी − ए <0), ए ≤ बी = पीआर (ए − बी ≤ 0), और ए ≤ बी = पीआर (बी − ए ≤ 0)। इस प्रकार ए के बी से कम होने की संभावना इस संभावना के समान है कि उनका अंतर शून्य से कम है, और इस संभावना को ए <बी अभिव्यक्ति का मान कहा जा सकता है। अंकगणितीय और तार्किक संचालन की तरह, ये परिमाण तुलनाएं आम तौर पर ए और बी के बीच यादृच्छिक निर्भरता पर निर्भर करती हैं, और एन्कोडिंग में घटाव उस निर्भरता को दर्शाता है। यदि उनकी निर्भरता अज्ञात है, तो फ्रेचेट ऑपरेशन का उपयोग करके कोई धारणा बनाए बिना अंतर की गणना की जा सकती है। नमूना-आधारित गणना कुछ विश्लेषक संभाव्यता सीमाओं की गणना के लिए नमूना-आधारित दृष्टिकोणों का उपयोग करते हैं, जिसमें मोंटे कार्लो अनुकरण, लैटिन हाइपरक्यूब विधियाँ या महत्व नमूनाकरण शामिल हैं। ये दृष्टिकोण परिणाम में गणितीय कठोरता का आश्वासन नहीं दे सकते हैं क्योंकि इस तरह के अनुकरण विधियाँ अनुमान हैं, हालाँकि उनके प्रदर्शन में आम तौर पर अनुकरण में प्रतिकृतियों की संख्या को बढ़ाकर सुधार किया जा सकता है। इस प्रकार, गणितीय प्रोग्रामिंग पर आधारित विश्लेषणात्मक प्रमेयों या विधियों के विपरीत, नमूना-आधारित गणनाएं आमतौर पर सत्यापित गणनाओं का उत्पादन नहीं कर सकती हैं। हालाँकि, नमूना-आधारित विधियाँ विभिन्न प्रकार की समस्याओं को संबोधित करने में बहुत उपयोगी हो सकती हैं जिन्हें विश्लेषणात्मक रूप से हल करना कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है या यहां तक कि सख्ती से बंधे हुए भी हैं। एक महत्वपूर्ण उदाहरण उच्च-आयामी समस्याओं के माध्यम से अंतराल अनिश्चितता के प्रसार में आयामीता के अभिशाप से बचने के लिए कौची-विचलन नमूने का उपयोग है। अन्य अनिश्चितता प्रसार दृष्टिकोणों के साथ संबंध पी. बी. ए. उन तरीकों के एक वर्ग से संबंधित है जो अस्पष्ट संभावनाओं का उपयोग करते हैं जो एक साथ एलियटोरिक और महामारी अनिश्चितताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। पी. बी. ए. अंतराल विश्लेषण और संभावित अभिसरण दोनों का एक सामान्यीकरण है जैसे कि आमतौर पर मोंटे कार्लो अनुकरण के साथ लागू किया जाता है। पी. बी. ए. मजबूत बेयस विश्लेषण से भी निकटता से संबंधित है, जिसे कभी-कभी बेयसियन संवेदनशीलता विश्लेषण कहा जाता है। पी. बी. ए. दूसरे क्रम के मोंटे कार्लो अनुकरण का एक विकल्प है। अनुप्रयोग भी देखें संभावना बॉक्स मजबूत बेयस विश्लेषण त्रुटिपूर्ण संभावना द्वितीय क्रम मोंटे कार्लो सिमुलेशन मोंटे कार्लो सिमुलेशन अंतराल विश्लेषण संभावना सिद्धांत जोखिम विश्लेषण संदर्भ आगे के संदर्भ पर्यावरणीय जोखिम मूल्यांकन अंतराल और संभावना वितरण में संभावना सीमा विश्लेषण महामारी अनिश्चितता परियोजना त्रुटिपूर्ण संभावना के लिए सोसायटीः सिद्धांत और अनुप्रयोग गणितीय विश्लेषण