Jacobson–Morozov theorem
गणित में, जैकबसन-मोरोज़ोव प्रमेय यह दावा करता है कि अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में निल्पोटेंट तत्वों को एसएल2-ट्रिपल तक बढ़ाया जा सकता है। प्रमेय का नाम, के नाम पर रखा गया है। कथन जैकबसन-मोरोज़ोव का कथन निम्नलिखित प्रारंभिक धारणाओं पर निर्भर करता हैः एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में एक एसएल2-ट्रिपल (इस लेख में, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर) लाइ बीजगणित का एक समरूपता है। समान रूप से, यह संबंधों को संतुष्ट करने में तत्वों का एक तिगुना है एक तत्व को निलपोटेन्ट कहा जाता है, यदि एंडोमोर्फिज्म (जिसे एडजॉइंट रिप्रजेंटेशन के रूप में जाना जाता है) एक निलपोटेन्ट एंडोमोर्फिज्म है। यह एक प्राथमिक तथ्य है कि किसी भी एस. एल. 2-ट्रिपल के लिए, ई को नीलपोटेन्ट होना चाहिए। जैकबसन-मोरोज़ोव प्रमेय में कहा गया है कि, इसके विपरीत, किसी भी नीलपोटेन्ट गैर-शून्य तत्व को एसएल2-ट्रिपल तक बढ़ाया जा सकता है। के लिए, इस तरह से प्राप्त एसएल2-ट्रिपल्स को स्पष्ट किया गया है। प्रमेय को रैखिक बीजगणितीय समूहों के लिए भी कहा जा सकता है (फिर से विशेषता शून्य के क्षेत्र k पर): एम्बेडिंग के माध्यम से योगात्मक समूह से एक अपवर्तक समूह H कारकों में कोई भी आकृतिवाद (बीजगणितीय समूहों का) इसके अलावा, ऐसे कोई भी दो गुणनखंडन H के k-बिंदु द्वारा संयुग्मित होते हैं। सामान्यीकरण जैसा कि ऊपर तैयार किया गया है, प्रमेय का एक दूरगामी सामान्यीकरण निम्नानुसार कहा जा सकता हैः सभी रैखिक बीजगणितीय समूहों में प्रो-रिडक्टिव समूहों का समावेश, जहां दोनों श्रेणियों में आकृतिवाद को तत्वों द्वारा संयुग्मन के लिए लिया जाता है, एक बाएं संयोजन को स्वीकार करता है, तथाकथित प्रो-रिडक्टिव लिफाफा। यह बायां संयोजन योगात्मक समूह को भेजता है (जो अर्ध-सरल होता है, प्रो-रिडक्टिव के विपरीत), जिससे जैकबसन-मोरोज़ोव के उपरोक्त रूप को पुनर्प्राप्त किया जाता है। इस सामान्यीकृत जैकबसन-मोरोज़ोव प्रमेय को तनाकियन श्रेणियों से संबंधित विधियों और अधिक ज्यामितीय विधियों द्वारा साबित किया गया था। संदर्भ लाइ बीजगणितीय समूह