Projective range
गणित में, एक प्रोजेक्टिव रेंज प्रोजेक्टिव ज्यामिति में बिंदुओं का एक समूह है जिसे एक एकीकृत तरीके से माना जाता है। एक प्रोजेक्टिव रेंज एक प्रोजेक्टिव लाइन या कोनिक हो सकती है। एक प्रोजेक्टिव रेंज किसी दिए गए बिंदु पर रेखाओं की एक पेंसिल का दोहरा होता है। उदाहरण के लिए, एक सहसंबंध एक प्रक्षेपात्मक सीमा के बिंदुओं को एक पेंसिल की रेखाओं के साथ बदल देता है। एक प्रोजेक्टिविटी को एक रेंज से दूसरी रेंज में कार्य करने के लिए कहा जाता है, हालांकि दोनों रेंज सेट के रूप में मेल खा सकते हैं। एक प्रोजेक्टिव रेंज प्रोजेक्टिव हार्मोनिक संयुग्मों के संबंध के प्रोजेक्टिव इनवेरियंस को व्यक्त करती है। वास्तव में, एक प्रक्षेपात्मक रेखा पर तीन बिंदु इस संबंध से एक चौथाई का निर्धारण करते हैं। इस चतुर्भुज पर एक प्रक्षेपकता के अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप हार्मोनिक संबंध में इसी तरह चार बिंदु होते हैं। इस तरह के चौगुना बिंदुओं को हार्मोनिक रेंज कहा जाता है। 1940 में जूलियन कूलिज ने इस संरचना का वर्णन किया और इसके प्रवर्तक की पहचान कीः दो मौलिक एक-आयामी रूप जैसे बिंदु रेंज, रेखाओं की पेंसिल या विमानों को प्रोजेक्टिव के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब उनके सदस्य एक-से-एक पत्राचार में होते हैं, और एक का हार्मोनिक सेट दूसरे के हार्मोनिक सेट से मेल खाता है। .. यदि दो एक-आयामी रूप प्रक्षेपणों और प्रतिच्छेदनों की एक ट्रेन द्वारा जुड़े हुए हैं, तो हार्मोनिक तत्व हार्मोनिक तत्वों के अनुरूप होंगे, और वे वॉन स्टॉड के अर्थ में प्रोजेक्टिव हैं। कोनिक सीमाएँ जब एक प्रक्षेप्य सीमा के लिए एक कोनिक का चयन किया जाता है, और कोनिक पर एक विशेष बिंदु ई को मूल के रूप में चुना जाता है, तो बिंदुओं के जोड़ को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता हैः मान लीजिए कि ए और बी सीमा (कोनिक) में हैं और एबी उन्हें जोड़ने वाली रेखा है। मान लीजिए कि L, E के माध्यम से और AB के समानांतर रेखा है। "ए और बी बिंदुओं का योग", ए + बी, सीमा के साथ एल का प्रतिच्छेदन है। वृत्त और हाइपरबोला एक शंकु के उदाहरण हैं और दोनों पर कोणों का योग "बिंदुओं के योग" की विधि द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, बशर्ते कि बिंदु वृत्त पर कोणों और हाइपरबोला पर हाइपरबोलिक कोणों से जुड़े हों। संदर्भ एच. एस. एम. कॉक्सेटर (1955) द रियल प्रोजेक्टिव प्लेन, टोरंटो विश्वविद्यालय प्रेस, पंक्ति के लिए पृष्ठ 20, शंकु के लिए पृष्ठ 101। प्रोजेक्टिव ज्यामिति