McKay graph
गणित में, एक परिमित समूह के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व का मैके ग्राफ एक भारित क्विवर है जो प्रतिनिधित्व सिद्धांत की संरचना को कूटबद्ध करता है। प्रत्येक नोड एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व करता है। यदि के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं, तो एक तीर है अगर और केवल अगर टेंसर उत्पाद का एक घटक है तो तीर का वजन इस घटक में दिखाई देने की संख्या है। यदि अपरिवर्तनीय वर्ण हैं, तो आयाम के प्रतिनिधित्व के कार्टन मैट्रिक्स को क्रोनेकर डेल्टा के स्थान से परिभाषित किया जाता है। द्वारा एक परिणाम बताता है कि यदि एक संयुग्म वर्ग का प्रतिनिधि है, तो वैक्टर आइगेनवैल्यूज के आइगेनवेक्टर हैं जहां प्रतिनिधित्व का चरित्र है। जॉन मैके के नाम पर रखे गए मैके पत्राचार में कहा गया है कि के परिमित उपसमूहों के मैके ग्राफ और विस्तारित डायनकिन आरेखों के बीच एक-से-एक पत्राचार है, जो सरल लाइ बीजगणित के एडीई वर्गीकरण में दिखाई देते हैं। परिभाषा मान लीजिए कि यह एक सीमित समूह है, जो इसके चरित्र का प्रतिनिधित्व करता है। के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व होने दें। यदि फिर मैके ग्राफ को निम्नानुसार परिभाषित किया जाएः प्रत्येक इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व एक नोड से मेल खाता है। यदि, वजन से लेकर एक तीर है, जिसे कभी-कभी बिना लेबल वाले तीर के रूप में लिखा जाता है। यदि हम दो विपरीत तीरों को वजन के एक दिशाहीन किनारे के रूप में दर्शाते हैं। इसके अलावा, अगर हम वजन लेबल को छोड़ देते हैं। हम वर्णों पर आंतरिक उत्पाद का उपयोग करने के मूल्य की गणना कर सकते हैंः वर्णों के एक सीमित उपसमूह के मैके ग्राफ को इसके विहित प्रतिनिधित्व के मैके ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है। विहित प्रतिनिधित्व के परिमित उपसमूहों के लिए स्व-द्वैत है, इसलिए सभी के लिए। इस प्रकार, के परिमित उपसमूहों का मैके ग्राफ दिशाहीन है। वास्तव में, मैके पत्राचार द्वारा, ए-डी-ई प्रकार के सीमित उपसमूहों और विस्तारित कॉक्सेटर-डाइन्किन आरेखों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। हम कार्टन मैट्रिक्स को निम्नानुसार परिभाषित करते हैंः क्रोनेकर डेल्टा कहाँ है। कुछ परिणाम यदि प्रतिनिधित्व विश्वसनीय है, तो प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व कुछ टेंसर शक्ति में निहित है और का मैके ग्राफ जुड़ा हुआ है। के एक सीमित उपसमूह के मैके ग्राफ में कोई स्व-लूप नहीं है, यानी सभी के लिए। के एक सीमित उपसमूह के मैके ग्राफ के तीर सभी एक वजन के हैं। उदाहरण मान लीजिए, और क्रमशः कैनॉनिकल इरेड्यूसिबल रिप्रेजेंटेशन हैं। यदि, के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं और, के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं, तो के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं, जहां इस मामले में, हमारे पास है इसलिए, और यदि के बीच के मैके ग्राफ में एक तीर है और केवल तभी जब बीच के मैके ग्राफ में एक तीर है और बीच के मैके ग्राफ में एक तीर है। इस मामले में, के मैके ग्राफ में तीर पर भार और के मैके ग्राफ में दो संबंधित तीरों के भार का गुणनफल है। फेलिक्स क्लेन ने साबित किया कि के परिमित उपसमूह द्विआधारी पॉलीहेड्रल समूह हैं; सभी द मैके पत्राचार के उपसमूहों के लिए संयुग्मित हैं कि इन द्विआधारी पॉलीहेड्रल समूहों के मैके ग्राफ और विस्तारित डाइनकिन आरेखों के बीच एक-से-एक पत्राचार है। उदाहरण के लिए, द्विआधारी चतुष्फलकीय समूह मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न होता हैः जहां एकता का एक आदिम आठवां मूल है। वास्तव में, हमारे पास संयुग्मता वर्ग हैंः की वर्ण सारणी यहाँ है विहित प्रतिनिधित्व यहाँ द्वारा दर्शाया गया है। आंतरिक उत्पाद का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि का मैके ग्राफ प्रकार का विस्तारित कॉक्सेटर-डाइन्किन आरेख है एडीई वर्गीकरण द्विआधारी चतुष्फलकीय समूह संदर्भ प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी देखें।