Chaotic scattering
अराजक प्रकीर्णन अराजकता सिद्धांत की एक शाखा है जो प्रारंभिक स्थितियों के प्रति एक मजबूत संवेदनशीलता प्रदर्शित करने वाली प्रकीर्णन प्रणालियों से संबंधित है। एक शास्त्रीय प्रकीर्णन प्रणाली में एक या अधिक प्रभाव मापदंड होंगे, बी, जिसमें एक कण को प्रकीर्णक में भेजा जाता है। यह एक या अधिक निकास मापदंडों, y को जन्म देता है, क्योंकि कण अनंत की ओर निकलता है। जब कण प्रणाली को पार कर रहा होता है, तो एक विलंब समय भी हो सकता है, टी-कण को प्रणाली से बाहर निकलने में लगने वाला समय-यात्रा की गई दूरी के अलावा, एस। कुछ प्रणालियों में (जैसे। "बिलियर्ड-जैसी" प्रणालियाँ जिसमें कण कठोर, स्थिर वस्तुओं के साथ हानिरहित टकराव से गुजरता है) दोनों बराबर होंगे-नीचे देखें। एक अराजक प्रकीर्णन प्रणाली में, प्रभाव मापदंड में एक मिनट का परिवर्तन, निकास मापदंडों में बहुत बड़े परिवर्तन को जन्म दे सकता है। गैस्पर्ड-राइस प्रणाली एक उत्कृष्ट उदाहरण प्रणाली "गैस्पर्ड-राइस" (जी. आर.) प्रकीर्णन प्रणाली है-जिसे केवल "थ्री-डिस्क" प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है-जो सरल और समझने और अनुकरण करने में आसान होने के साथ-साथ अराजक प्रकीर्णन में कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं का प्रतीक है। अवधारणा बहुत सरल हैः हमारे पास कुछ त्रिकोणीय गठन में व्यवस्थित तीन हार्ड डिस्क हैं, एक बिंदु कण भेजा जाता है और अनंत की ओर बाहर निकलने तक सही, लोचदार टकराव से गुजरता है। इस चर्चा में, हम केवल समान आकार की डिस्क वाले जी. आर. प्रणालियों पर विचार करेंगे, जो एक समबाहु त्रिभुज के बिंदुओं के चारों ओर समान रूप से फैले हुए हैं। चित्र 1 इस प्रणाली को दर्शाता है जबकि चित्र 2 दो उदाहरण प्रक्षेपवक्र दिखाता है। पहले ध्यान दें कि प्रक्षेपवक्र अंत में बाहर निकलने से पहले कुछ समय के लिए प्रणाली के चारों ओर उछलते हैं। यह भी ध्यान दें कि यदि हम प्रभाव मापदंडों को बाईं ओर दो पूरी तरह से क्षैतिज रेखाओं की शुरुआत मानते हैं (प्रणाली पूरी तरह से प्रतिवर्ती हैः निकास बिंदु भी प्रवेश बिंदु हो सकता है), तो दोनों प्रक्षेपवक्र शुरू में इतने करीब हैं कि लगभग समान हैं। जब तक वे बाहर निकलते हैं, वे पूरी तरह से अलग होते हैं, इस प्रकार प्रारंभिक स्थितियों के प्रति मजबूत संवेदनशीलता को दर्शाते हैं। इस प्रणाली का उपयोग पूरे लेख में एक उदाहरण के रूप में किया जाएगा। क्षय दर यदि हम समान रूप से वितरित प्रभाव मापदंडों के साथ बड़ी संख्या में कणों को पेश करते हैं, तो जिस दर पर वे प्रणाली से बाहर निकलते हैं, उसे क्षय दर के रूप में जाना जाता है। हम कई परीक्षणों में प्रणाली का अनुकरण करके और विलंब समय, टी का एक हिस्टोग्राम बनाकर क्षय दर की गणना कर सकते हैं। जी. आर. प्रणाली के लिए, यह देखना आसान है कि विलंब समय और कण प्रक्षेपवक्र की लंबाई समतुल्य है लेकिन एक गुणन गुणांक के लिए। प्रभाव पैरामीटर के लिए एक विशिष्ट विकल्प y-निर्देशांक है, जबकि प्रक्षेपवक्र कोण को शून्य डिग्री-क्षैतिज पर स्थिर रखा जाता है। इस बीच, हम कहते हैं कि कण प्रणाली के केंद्र से कुछ मनमाने, लेकिन पर्याप्त रूप से बड़े, दूरी की सीमा को पार करने के बाद "प्रणाली से बाहर निकल गया है"। हम उम्मीद करते हैं कि प्रणाली में शेष कणों की संख्या, एन (टी), इस प्रकार भिन्न होगीः इस प्रकार क्षय दर, इस प्रकार दी गई हैः जहाँ एन कणों की कुल संख्या है। चित्र 3 यादृच्छिक प्रभाव पैरामीटर, बी के साथ शुरू हुए दस लाख (1ई6) कणों के अनुकरण के लिए पथ-लंबाई बनाम कणों की संख्या का एक भूखंड दिखाता है। नकारात्मक ढलान की एक फिट की गई सीधी रेखा, आच्छादित है। पथ-लंबाई, s, क्षय समय, T के बराबर है, बशर्ते हम (स्थिर) गति को उचित रूप से मापें। ध्यान दें कि एक घातीय क्षय दर विशेष रूप से हाइपरबोलिक अराजक प्रकीर्णन का एक गुण है। गैर-हाइपरबॉलिक स्कैटरर्स में अंकगणितीय क्षय दर हो सकती है। एक प्रयोगात्मक प्रणाली और स्थिर कई गुना चित्र 4 एक बिंदु कण के बजाय लेजर का उपयोग करके गैस्पर्ड-राइस प्रणाली की एक प्रयोगात्मक प्राप्ति को दर्शाता है। जैसा कि वास्तव में इसे आजमाने वाला कोई भी व्यक्ति जानता है, यह प्रणाली का परीक्षण करने का एक बहुत प्रभावी तरीका नहीं है-लेजर बीम हर दिशा में बिखरा हुआ है। जैसा कि स्वीट, ओट और यॉर्क द्वारा दिखाया गया है, एक अधिक प्रभावी तरीका डिस्क के बीच के अंतराल के माध्यम से रंगीन प्रकाश को निर्देशित करना है (या इस मामले में, सिलेंडरों के जोड़े में कागज की टेप रंगीन पट्टियाँ) और एक खुले अंतराल के माध्यम से प्रतिबिंबों को देखना है। परिणाम वैकल्पिक रंग की धारियों का एक जटिल पैटर्न है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है, जो उसके नीचे नकली संस्करण में अधिक स्पष्ट रूप से देखा गया है। चित्र 5 और 6 प्रत्येक प्रभाव पैरामीटर के लिए आकर्षण के बेसिन दिखाते हैं, बी, यानी बी के दिए गए मूल्य के लिए, कण किस अंतराल से बाहर निकलता है? बेसिन की सीमाएँ एक कैंटर सेट बनाती हैं और स्थिर मैनिफोल्ड के सदस्यों का प्रतिनिधित्व करती हैंः प्रक्षेपवक्र जो एक बार शुरू होने के बाद कभी भी प्रणाली से बाहर नहीं निकलते हैं। अपरिवर्तनीय समुच्चय और प्रतीकात्मक गतिकी जब तक यह सममित है, हम आसानी से प्रणाली को एक पुनरावृत्त कार्य मानचित्र के रूप में सोच सकते हैं, जो एक अराजक, गतिशील प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने की एक सामान्य विधि है। चित्र 7 चर का एक संभावित प्रतिनिधित्व दिखाता है, जिसमें पहला चर, पलटाव पर डिस्क के चारों ओर के कोण का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा, डिस्क के सापेक्ष प्रभाव/पलटाव कोण का प्रतिनिधित्व करता है। इन दो चरों का एक उपसमुच्चय, जिसे अपरिवर्तनीय समुच्चय कहा जाता है, स्वयं पर नक्शा बनाएगा। यह समूह, जिनमें से चार सदस्य चित्र 8 और 9 में दिखाए गए हैं, खंडित, पूरी तरह से गैर-आकर्षक और शून्य माप का होगा। यह अधिक सामान्य रूप से चर्चा की गई अराजक प्रणालियों का एक दिलचस्प व्युत्क्रम है जिसमें फ्रैक्टल अपरिवर्तनीय समूह आकर्षित कर रहा है और वास्तव में इसमें आकर्षण का बेसिन शामिल है। ध्यान दें कि अपरिवर्तनीय समुच्चय की पूरी तरह से गैर-आकर्षक प्रकृति एक हाइपरबोलिक अराजक प्रकीर्णक का एक और गुण है। अपरिवर्तनीय समूह के प्रत्येक सदस्य को प्रतीकात्मक गतिकी का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता हैः प्रक्षेपवक्र को प्रत्येक डिस्क के आधार पर लेबल किया जाता है जिससे यह पलटता है। ऐसे सभी अनुक्रमों का समुच्चय एक अनगिनत समुच्चय बनाता है। चित्र 8 और 9 में दिखाए गए चार सदस्यों के लिए, प्रतीकात्मक गतिशीलता निम्नानुसार होगीः. 1212121212.. 23232323............................... जब आप विचार करते हैं कि अपरिवर्तनीय समुच्चय का एक सदस्य आकर्षण के दो बेसिनों के बीच की सीमाओं में "फिट" होना चाहिए, तो यह स्पष्ट है कि, यदि विचलित हो जाता है, तो प्रक्षेपवक्र अनुक्रम के साथ कहीं भी बाहर निकल सकता है। इस प्रकार यह भी स्पष्ट होना चाहिए कि किसी भी सीमा के बीच तीनों "रंगों" के बारी-बारी से बेसिनों की एक अनंत संख्या मौजूद होगी। उनकी अस्थिर प्रकृति के कारण, अपरिवर्तनीय समूह या स्थिर मैनिफोल्ड के सदस्यों तक सीधे पहुंचना मुश्किल है। अनिश्चितता प्रतिपादक आदर्श रूप से इस प्रकार की प्रणाली के फ्रैक्टल आयाम को मापने के लिए तैयार किया गया है। एक बार फिर एकल प्रभाव पैरामीटर, बी का उपयोग करते हुए, हम यादृच्छिक प्रभाव मापदंडों के साथ कई परीक्षण करते हैं, उन्हें एक मिनट की राशि से परेशान करते हैं, और गिनती करते हैं कि डिस्क से रीबाउंड की संख्या कितनी बार बदलती है, यानी अनिश्चितता अंश। ध्यान दें कि भले ही प्रणाली दो आयामी है, एक एकल प्रभाव पैरामीटर स्थिर मैनिफोल्ड के फ्रैक्टल आयाम को मापने के लिए पर्याप्त है। यह चित्र 10 में प्रदर्शित किया गया है, जो दोहरे प्रभाव पैरामीटर के कार्य के रूप में प्लॉट किए गए आकर्षण के बेसिन को दर्शाता है, और। स्थिर मैनिफोल्ड, जिसे बेसिनों के बीच की सीमाओं में देखा जा सकता है, केवल एक आयाम के साथ फ्रैक्टल है। चित्र 11 एक नकली गैस्पर्ड-राइस प्रणाली के लिए अनिश्चितता के एक कार्य के रूप में अनिश्चितता अंश, f को दर्शाता है। फिट किए गए वक्र की ढलान अनिश्चितता प्रतिपादक को लौटाती है, इस प्रकार स्थिर मैनिफोल्ड का बॉक्स-गिनती आयाम है। अपरिवर्तनीय समुच्चय स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड का प्रतिच्छेदन है। चूँकि प्रणाली समान है, चाहे आगे या पीछे की ओर चले, अस्थिर मैनिफोल्ड केवल स्थिर मैनिफोल्ड की दर्पण छवि है और उनके फ्रैक्टल आयाम समान होंगे। इस आधार पर हम अपरिवर्तनीय समुच्चय के फ्रैक्टल आयाम की गणना कर सकते हैंः जहाँ D _ s और D _ u क्रमशः स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड के फ्रैक्टल आयाम हैं और N = 2 प्रणाली की आयामीता है। अपरिवर्तनीय समुच्चय का फ्रैक्टल आयाम D = 1.24 है। फ्रैक्टल आयाम, क्षय दर और लियापुनोव प्रतिपादकों के बीच संबंध पिछली चर्चा से, यह स्पष्ट होना चाहिए कि क्षय दर, फ्रैक्टल आयाम और लियापुनोव प्रतिपादक सभी संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, बड़ा लियापुनोव प्रतिपादक हमें बताता है कि अपरिवर्तनीय समूह में एक प्रक्षेपवक्र कितनी तेजी से विचलित होगा। इसी तरह, फ्रैक्टल आयाम हमें अपरिवर्तनीय सेट में कक्षाओं के घनत्व के बारे में जानकारी देगा। इस प्रकार हम देख सकते हैं कि दोनों ही क्षय दर को प्रभावित करेंगे जैसा कि एक द्वि-आयामी प्रकीर्णन प्रणाली के लिए निम्नलिखित अनुमान में दर्ज किया गया हैः जहां डी1 सूचना आयाम है और एच1 और एच2 क्रमशः छोटे और बड़े लियापुनोव प्रतिपादक हैं। एक आकर्षक के लिए, और यह कप्लान-यॉर्क अनुमान तक कम हो जाता है। लेक्स ऑफ वाडा अनिश्चितता प्रतिपादक भी देखें संदर्भ गैस्पर्ड-राइस प्रणाली का अनुकरण करने के लिए बाहरी लिंक सॉफ्टवेयर गैस्पर्ड-राइस प्रणाली और इसकी प्रतीकात्मक गतिशीलता का अनुकरण, कैओस V: डुहेम के बुल कैओस सिद्धांत स्कैटरिंग से