Conformal welding
गणित में, अनुरूप वेल्डिंग (सिलाई या ग्लूइंग) ज्यामितीय कार्य सिद्धांत में दो रीमान सतहों को एक साथ जोड़कर एक रीमान सतह का उत्पादन करने के लिए एक प्रक्रिया है, जिसमें से प्रत्येक को उनके सीमा वृत्तों के साथ एक डिस्क को हटा दिया जाता है। इस समस्या को इकाई डिस्क के अविभाज्य होलोमोर्फिक मानचित्र f, g और विस्तारित जटिल तल में इसके पूरक को खोजने तक कम किया जा सकता है, दोनों अपने डोमेन को बंद करने के लिए निरंतर विस्तार को स्वीकार करते हैं, जैसे कि छवियां पूरक जॉर्डन डोमेन हैं और इस तरह कि इकाई वृत्त पर वे दिए गए अर्धसममित समरूपता से भिन्न होती हैं। विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके कई प्रमाण ज्ञात हैं, जिनमें बेलट्रामी समीकरण, वृत्त पर हिल्बर्ट परिवर्तन और प्राथमिक सन्निकटन तकनीक शामिल हैं। अनुरूप वेल्डिंग की पहली दो विधियों का वर्णन करने के साथ-साथ समतल में आकृतियों के विश्लेषण के लिए संख्यात्मक गणना और अनुप्रयोग प्रदान करें। बेलट्रामी समीकरण का उपयोग करके वेल्डिंग यह विधि सबसे पहले द्वारा प्रस्तावित की गई थी। यदि f वृत्त का एक डिफियोमोर्फिज्म है, तो अलेक्जेंडर विस्तार इकाई डिस्क D के डिफियोमोर्फिज्म तक f का विस्तार करने का एक तरीका देता हैः जहां ± [0,1] में मानों के साथ एक चिकना फलन है, जो 0 के पास 0 और 1 के पास 1 के बराबर है, और g (θ + 2π) = g (θ) + 2π के साथ। विस्तार एफ को आर> 1 के साथ किसी भी बड़ी डिस्क |z। <आर तक जारी रखा जा सकता है। तदनुसार इकाई डिस्क में अब पूरे C पर एक बेलट्रामी गुणांक को |z। ≤1 के लिए 0 के बराबर सेट करके विस्तार करें। मान लीजिए कि G, बेलट्रामी समीकरण का संबंधित समाधान हैः मान लीजिए कि |z। ≤1 के लिए F1 (z) = G°F−1 (z) और |z। ≤1 के लिए F2 (z) = G (z)। इस प्रकार F1 और F2 जॉर्डन वक्र के अंदर और बाहर |z। <1 और |z।> 1 के असमान समरूपी मानचित्र हैं। वे सीमा पर जॉर्डन वक्र पर इकाई वृत्त के समरूपता फाई तक लगातार विस्तारित होते हैं। निर्माण द्वारा वे अनुरूप वेल्डिंग स्थिति को संतुष्ट करते हैंः वृत्त पर हिल्बर्ट परिवर्तन का उपयोग करके वेल्डिंग अनुरूप वेल्डिंग स्थापित करने के लिए हिल्बर्ट परिवर्तन का उपयोग सबसे पहले जॉर्जियाई गणितविदों डी. जी. द्वारा सुझाया गया था। 1958 में मांडझाविद्ज़े और बी. वी. ख्वेदेलिद्ज़े। एफ. डी. द्वारा उसी समय एक विस्तृत विवरण दिया गया था। गखोव और अपने क्लासिक मोनोग्राफ () में प्रस्तुत किया। मान लीजिए कि एन (θ) = आई. एन. टी. एल. 2 (टी) का मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार है। मान लीजिए कि H2 (T) हार्डी स्पेस है, बंद सबस्पेस एन द्वारा n ≤ 0 के साथ फैला हुआ है। मान लीजिए कि P हार्डी स्पेस पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है और T = 2P-I सेट करें। प्रचालक एच = आई. टी. वृत्त पर हिल्बर्ट रूपांतरण है और इसे एकवचन समाकलन प्रचालक के रूप में लिखा जा सकता है। इकाई वृत्त के एक डिफियोमोर्फिज्म f को देखते हुए, कार्य |z। <1 और |z।> 1 में परिभाषित दो अविभाज्य होलोमोर्फिक कार्यों को निर्धारित करना है और दोनों इकाई वृत्त तक सुचारू रूप से विस्तारित होते हैं, जॉर्डन डोमेन और उसके पूरक पर मानचित्रण करते हैं, जैसे कि मान लीजिए कि F इकाई वृत्त के लिए f + का प्रतिबंध है। फिर और इसलिए यदि V (f) डिफियोमोर्फिज्म f द्वारा प्रेरित L2 पर बाउंडेड इनवर्टिबल ऑपरेटर को दर्शाता है, तो ऑपरेटर कॉम्पैक्ट है, वास्तव में यह स्मूथ कर्नेल वाले ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है क्योंकि P और T सिंगुलर इंटीग्रल ऑपरेटरों द्वारा दिए जाते हैं। ऑपरेटर I − Kf सूचकांक शून्य का एक फ्रेडहोल्म ऑपरेटर है। इसमें शून्य कर्नेल होता है और इसलिए यह व्युत्क्रमणीय होता है। वास्तव में कर्नेल में एक तत्व D और Dc पर होलोमोर्फिक कार्यों की एक जोड़ी से बना होगा जिसमें f से संबंधित वृत्त पर चिकनी सीमा मान होते हैं। चूंकि Dc पर होलोमोर्फिक कार्य φ पर गायब हो जाता है, इसलिए इस जोड़ी की सकारात्मक शक्तियां भी समाधान प्रदान करती हैं, जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इस तथ्य का खंडन करते हुए कि I−Kf एक फ्रेडहोल्म प्रचालक है। इसलिए उपरोक्त समीकरण का एक अनूठा समाधान F है जो चिकना है और जिससे ऊपर के चरणों को उलटकर f ± का पुनर्निर्माण किया जा सकता है। वास्तव में, एफ के व्युत्पन्न के लघुगणक द्वारा संतुष्ट समीकरण को देखने से, यह पता चलता है कि एफ का इकाई वृत्त पर कहीं भी लुप्त होने वाला व्युत्पन्न नहीं है। इसके अलावा F वृत्त पर एक-से-एक है क्योंकि यदि यह अलग-अलग बिंदुओं z1 और z2 पर मान a मानता है तो R (z) = (F (z) − a)/(z-z1) (z − z2) का लघुगणक एक समाकलन समीकरण को संतुष्ट करेगा जिसका कोई गैर-शून्य समाधान नहीं है। इकाई वृत्त पर इन गुणों को देखते हुए, f ± के आवश्यक गुण तर्क सिद्धांत का पालन करते हैं। टिप्पणियाँ विश्लेषण में संदर्भ प्रमेय जटिल विश्लेषण रीमान सतह