Loewner differential equation
गणित में, लोवनर विभेदक समीकरण, या लोवनर समीकरण, एक साधारण विभेदक समीकरण है जिसकी खोज चार्ल्स लोवनर ने 1923 में जटिल विश्लेषण और ज्यामितीय कार्य सिद्धांत में की थी। मूल रूप से स्लिट मैपिंग के अध्ययन के लिए पेश किया गया था (जटिल तल पर खुली डिस्क के अनुरूप मैपिंग जिसमें 0 से φ को जोड़ने वाला वक्र हटा दिया गया था), लोवनर की विधि को बाद में 1943 में रूसी गणितशास्त्री पावेल पारफेनेविच कुफारेव (1909-1968) द्वारा विकसित किया गया था। जटिल तल में डोमेन का कोई भी परिवार जो कैराथिओडोरी के अर्थ में पूरे तल तक लगातार फैलता है, वह अनुरूप मानचित्रण के एक पैरामीटर परिवार की ओर ले जाता है, जिसे लोवनर श्रृंखला कहा जाता है, साथ ही साथ इकाई डिस्क के होलोमोर्फिक अविभाज्य स्व-मानचित्रण के दो पैरामीटर परिवार, जिसे लोवनर अर्धसमूह कहा जाता है। यह अर्धसमूह डिस्क पर सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ होलोमोर्फिक कार्यों के एक पैरामीटर परिवार द्वारा दिए गए डिस्क पर एक समय निर्भर होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र से मेल खाता है। लोवनर अर्धसमूह एक अविभाज्य अर्धसमूह की धारणा को सामान्यीकृत करता है। लोवनर विभेदक समीकरण ने असमान कार्यों के लिए असमानताओं को जन्म दिया है जिन्होंने 1985 में लुई डी ब्रांजेस द्वारा बीबरबैक अनुमान के समाधान में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। लोवनर ने स्वयं 1923 में तीसरे गुणांक के अनुमान को साबित करने के लिए अपनी तकनीकों का उपयोग किया। श्रैम-लोवेनर समीकरण, 1990 के दशक के अंत में ओडेड श्रैम द्वारा खोजे गए लोवेनर विभेदक समीकरण का एक यादृच्छिक सामान्यीकरण, प्रायिकता सिद्धांत और अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में व्यापक रूप से विकसित किया गया है। समतुल्य कार्यों को अधीन करें यूनिट डिस्क पर समरूपी समतुल्य कार्यों को होने दें, के साथ। इसे यदि और केवल तभी अधीनस्थ कहा जाता है जब इसके लिए खुद को ठीक करने का एक समान मानचित्रण हो। इस तरह के मानचित्रण के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि आवश्यकता तत्काल है। इसके विपरीत को परिभाषित किया जाना चाहिए परिभाषा के अनुसार φ के साथ एक समान होलोमोर्फिक स्व-मानचित्रण है। चूँकि इस तरह का मानचित्र प्रत्येक डिस्क को संतुष्ट करता है और अपने आप में लेता है, इसलिए यह उस और लोवनर श्रृंखला का अनुसरण करता है क्योंकि यह खुले जुड़े हुए और बस जुड़े हुए उपसमुच्चय का एक परिवार है, जैसे कि यदि, और इस प्रकार यदि, कैराथियोडोरी कर्नेल प्रमेय के अर्थ में। यदि इकाई डिस्क को निरूपित किया जाता है, तो इस प्रमेय का तात्पर्य है कि रीमान मानचित्रण प्रमेय द्वारा दिए गए अद्वितीय अविभाज्य मानचित्र इसके सघन उपसमुच्चय पर समान रूप से निरंतर हैं। इसके अलावा, कार्य सकारात्मक, निरंतर, सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है। एक पुनर्निर्धारण द्वारा यह माना जा सकता है कि इसलिए अविभाज्य मानचित्रण को लोवनर श्रृंखला कहा जाता है। कोएबे विरूपण प्रमेय से पता चलता है कि श्रृंखला का ज्ञान खुले समुच्चय के गुणों के बराबर है। लोवनर सेमीग्रुप यदि एक लोवनर श्रृंखला है, तो इसके लिए ताकि डिस्क फिक्सिंग का एक अद्वितीय अविभाज्य स्व-मानचित्रण ऐसा हो कि विशिष्टता से मानचित्रण में निम्नलिखित सेमीग्रुप गुण होंः के लिए। वे एक लोवनर अर्धसमूह का गठन करते हैं। स्व-मानचित्रण लगातार लोवनर विभेदक समीकरण पर निर्भर करता है और उसे संतुष्ट करता है लोवनर विभेदक समीकरण या तो लोवनर अर्धसमूह के लिए या लोवनर श्रृंखला के लिए समतुल्य रूप से प्राप्त किया जा सकता है। सेमीग्रुप के लिए, उसके बाद के लिए छोड़ दें। फिर प्रारंभिक स्थिति के साथ साधारण अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है। लोवनर श्रृंखला द्वारा संतुष्ट विभेदक समीकरण प्राप्त करने के लिए ध्यान दें कि ताकि प्रारंभिक स्थिति के साथ विभेदक समीकरण को संतुष्ट किया जा सके साधारण विभेदक समीकरणों के लिए पिकार्ड-लिंडेलॉफ प्रमेय गारंटी देता है कि इन समीकरणों को हल किया जा सकता है और समाधान समरूप हैं। लोवनर श्रृंखला को लोवनर अर्धसमूह से सीमा तक पार करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता हैः अंत में किसी भी असमान स्व-मानचित्रण, निर्धारण को देखते हुए, एक लोवनर अर्धसमूह का निर्माण इस तरह से करना संभव है कि इसी तरह एक असमान कार्य को देखते हुए, जिसमें बंद इकाई डिस्क होती है, एक लोवनर श्रृंखला ऐसी होती है कि इस प्रकार के परिणाम तत्काल होते हैं यदि या लगातार विस्तारित होते हैं। वे सामान्य रूप से मानचित्रण को सन्निकटन द्वारा प्रतिस्थापित करके और फिर एक मानक सघनता तर्क का उपयोग करके अनुसरण करते हैं। स्लिट मैपिंग सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ होलोमोर्फिक कार्य करता है और सामान्यीकृत होता है ताकि हर्ग्लोट्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जाएः वृत्त पर एक संभाव्यता माप कहाँ है। एक बिंदु माप लेने से कार्य अलग हो जाते हैं, जिन पर सबसे पहले विचार किया गया था। यूनिट डिस्क पर असमान कार्यों के लिए असमानताओं को स्लिट मैपिंग के कॉम्पैक्ट सबसेट पर समान अभिसरण के लिए घनत्व का उपयोग करके साबित किया जा सकता है। ये जटिल तल पर इकाई डिस्क के अनुरूप मानचित्र हैं जिसमें एक जॉर्डन चाप है जो एक परिमित बिंदु को φ से जोड़ता है। कैराथियोडोरी कर्नेल प्रमेय को लागू करके घनत्व का अनुसरण किया जाता है। वास्तव में किसी भी अविभाज्य कार्य को उन कार्यों द्वारा अनुमानित किया जाता है जो इकाई वृत्त को एक विश्लेषणात्मक वक्र पर ले जाते हैं। उस वक्र पर एक बिंदु को जॉर्डन चाप द्वारा अनंत से जोड़ा जा सकता है। चयनित बिंदु के एक तरफ विश्लेषणात्मक वक्र के एक छोटे से खंड को छोड़कर प्राप्त क्षेत्र अभिसरण करते हैं, इसलिए इन क्षेत्रों के संबंधित असमान मानचित्र कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से अभिसरण करते हैं। लोवनर विभेदक समीकरण को एक स्लिट फलन पर लागू करने के लिए, एक सीमित बिंदु से हटाए गए जॉर्डन चाप को पैरामीट्राइज़ किया जा सकता है ताकि मानचित्र के असमान मानचित्र में निरंतरता के साथ रूप हो। विशेष रूप से निरंतर के लिए। यह एक लोवनर श्रृंखला और लोवनर अर्धसमूह देता है जहाँ से इकाई वृत्त तक एक निरंतर मानचित्र है। यह निर्धारित करने के लिए, ध्यान दें कि इकाई डिस्क को इकाई डिस्क में जॉर्डन चाप के साथ एक आंतरिक बिंदु से हटाई गई सीमा तक मानचित्रित करता है। जिस बिंदु पर यह सीमा को छूता है वह इकाई वृत्त से स्वतंत्र है और एक निरंतर कार्य को परिभाषित करता है। इसका जटिल संयुग्म (या व्युत्क्रम) हैः समतुल्य रूप से, कैराथिओडोरी के प्रमेय द्वारा बंद इकाई डिस्क के लिए एक निरंतर विस्तार को स्वीकार किया जाता है और, जिसे कभी-कभी ड्राइविंग फ़ंक्शन कहा जाता है, द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है प्रत्येक निरंतर फ़ंक्शन एक स्लिट मैपिंग से नहीं आता है, लेकिन कुफारेव ने दिखाया कि यह तब सच था जब एक निरंतर व्युत्पन्न होता है। बीबरबैक अनुमान के लिए आवेदन ने एक असमान फलन के तीसरे गुणांक के लिए बीबरबैक अनुमान को साबित करने के लिए स्लिट मैपिंग के लिए अपने अंतर समीकरण का उपयोग किया इस मामले में, यदि आवश्यक हो, तो यह माना जा सकता है कि यह गैर-नकारात्मक है। फिर निरंतर के साथ। वे संतुष्ट करते हैं यदि लोवनर विभेदक समीकरण का तात्पर्य है और तो जो तुरंत बीबरबैक की असमानता का तात्पर्य है इसी तरह से गैर-नकारात्मक है और, कॉची-श्वार्ज असमानता का उपयोग करते हुए। टिप्पणियाँ संदर्भों का जटिल विश्लेषण