Grunsky's theorem
गणित में, जर्मन गणितशास्त्री हेल्मुट ग्रन्स्की के कारण ग्रन्स्की की प्रमेय, जटिल संख्याओं में इकाई डिस्क पर परिभाषित होलोमोर्फिक अविभाज्य कार्यों से संबंधित जटिल विश्लेषण का परिणाम है। प्रमेय में कहा गया है कि इकाई डिस्क पर परिभाषित एक अविभाज्य फलन, बिंदु 0 को ठीक करते हुए, प्रत्येक डिस्क |z। <r को r ≤ तनह π/4 के लिए एक स्टार जैसे डोमेन पर मैप करता है। जिस सबसे बड़े r के लिए यह सच है, उसे फलन की स्टारलिकनेस की त्रिज्या कहा जाता है। कथन मान लीजिए कि f इकाई डिस्क D पर एक अविभाज्य समरूप फलन है जैसे कि f (0) = 0। फिर सभी r ≤ तनह π/4 के लिए, डिस्क की छवि |z। <r, 0 के संबंध में तारा जैसी है, अर्थात। यह (0,1) में वास्तविक संख्याओं द्वारा गुणा के तहत अपरिवर्तनीय है। ग्रुन्स्की की एक असमानता यदि f (0) = 0 के साथ D पर f (z) अविभाज्य है, तो लघुगणक के वास्तविक और काल्पनिक भागों को लेते हुए, यह दो असमानताओं को दर्शाता है और निश्चित z के लिए, इन दोनों समानताओं को उपयुक्त कोएबे कार्यों द्वारा प्राप्त किया जाता है जहां |w। = 1। सबूत ने मूल रूप से लुडविग बीबरबैक की चरम तकनीकों के आधार पर इन असमानताओं को साबित किया। बाद के प्रमाण, में उल्लिखित, लोवनर समीकरण पर निर्भर थे। गोलुज़िन की असमानताओं के आधार पर बाद में और अधिक प्राथमिक प्रमाण दिए गए, जो ग्रुन्स्की मैट्रिक्स के लिए ग्रुन्स्की की असमानताओं (1939) का एक समकक्ष रूप है। एक समतुल्य फलन के लिए z> 1 में एक विस्तार गोलुज़िन की असमानताओं के साथ g बताता है कि जहाँ zi |zi।> 1 के साथ अलग-अलग बिंदु हैं और λi मनमाने ढंग से जटिल संख्याएँ हैं। n = 2 को लेते हुए. λ1 =-λ2 = λ के साथ, असमानता का तात्पर्य है यदि g एक विषम फलन है और η =-ζ, तो यह उपज देता है अंत में यदि f, D में कोई सामान्यीकृत अविभाज्य फलन है, तो f के लिए आवश्यक असमानता प्रमेय के प्रमाण के साथ ली जाती है। नेवनलिन्ना के मानदंड के अनुसार, f, |z। <r पर तारों के समान है यदि और केवल अगर |z। <r के लिए। दूसरी ओर ऊपर ग्रुन्स्की की असमानता से, इस प्रकार यदि असमानता z पर रहती है। यह स्थिति इसके समतुल्य है और इसलिए f किसी भी डिस्क पर r ≤ तनह π/4 के साथ स्टार जैसा है। संदर्भ (रूसी में) (जर्मन में) (जर्मन में) जटिल विश्लेषण में प्रमेय