Cardinal characteristic of the continuum
समुच्चय सिद्धांत के गणितीय अनुशासन में, निरंतरता की एक प्रमुख विशेषता एक अनंत कार्डिनल संख्या है जो लगातार (प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनलिटी) और निरंतरता की कार्डिनलिटी, यानी सभी वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनलिटी के बीच हो सकती है। बाद वाले कार्डिनल को या दर्शाया जाता है। इस तरह की कई प्रमुख विशेषताएं स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और यह निर्धारित करने में बहुत काम किया गया है कि उनके बीच कौन से संबंध सिद्ध करने योग्य हैं, और उनके विभिन्न सुसंगत विन्यासों के लिए सेट सिद्धांत के मॉडल का निर्माण किया गया है। पृष्ठभूमि कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि यह कड़ाई से उससे बड़ा है, लेकिन यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि क्या यह (यानी,) से सबसे कम कार्डिनल बड़ा है। वास्तव में यह धारणा प्रसिद्ध कॉन्टिनम परिकल्पना है, जिसे कर्ट गोडेल द्वारा सेट सिद्धांत के लिए मानक जेडएफसी स्वयंसिद्धियों के अनुरूप दिखाया गया था और पॉल कोहेन द्वारा इससे स्वतंत्र होने के लिए। यदि कॉन्टिनम परिकल्पना विफल हो जाती है और कम से कम, तो कार्डिनलों के बारे में और के बीच सख्ती से प्राकृतिक प्रश्न उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए लेबस्ग मापनीयता के बारे में। कुछ संपत्ति के साथ सबसे कम कार्डिनल पर विचार करने से, एक अनगिनत कार्डिनल के लिए एक परिभाषा मिल सकती है जो लगातार उससे कम है। आम तौर पर केवल कार्डिनलों के लिए परिभाषाओं पर विचार किया जाता है जो निरंतरता की मुख्य विशेषताओं के रूप में और अधिक से अधिक हैं, इसलिए यदि निरंतरता परिकल्पना मानती है तो वे सभी समान हैं। उदाहरण जैसा कि सेट सिद्धांत में मानक है, हम कम से कम अनंत क्रमिक द्वारा निरूपित करते हैं, जिसमें कार्डिनलिटी होती है; इसे सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ पहचाना जा सकता है। कई प्रमुख विशेषताएँ स्वाभाविक रूप से आदर्शों के लिए मुख्य अपरिवर्तनीय के रूप में उत्पन्न होती हैं जो वास्तविक की संरचना के साथ निकटता से जुड़े होते हैं, जैसे कि लेबस्ग्यू नल सेट का आदर्श और अल्प सेट का आदर्श। गैर (एन) कार्डिनल विशेषता गैर () एक गैर-मापने योग्य सेट की सबसे कम कार्डिनलिटी है; समान रूप से, यह एक सेट की सबसे कम कार्डिनलिटी है जो एक लेबस्ग्यू नल सेट नहीं है। बाउंडिंग संख्या और प्रमुख संख्या हम से से कार्यों के सेट द्वारा निरूपित करते हैं। किसी भी दो कार्यों के लिए और हम इस कथन से दर्शाते हैं कि सभी के लिए लेकिन परिमित रूप से कई। सीमा संख्या इस संबंध में एक असीम समुच्चय की सबसे कम कार्डिनलिटी है, अर्थात, प्रमुख संख्या इस तरह के कार्यों के एक समूह की सबसे कम कार्डिनलिटी है कि इस तरह के प्रत्येक कार्य पर उस समूह के एक सदस्य का प्रभुत्व है, अर्थात, स्पष्ट रूप से ऐसा कोई भी प्रमुख समुच्चय असीमित है, इसलिए अधिक से अधिक है, और एक विकर्णन तर्क से पता चलता है कि। बेशक अगर इसका तात्पर्य यह है, लेकिन हेकलर ने दिखाया है कि यह भी सुसंगत है कि सख्ती से कम है। विभाजन संख्या और कटाई संख्या हम सभी अनंत उपसमुच्चय के समूह द्वारा निरूपित करते हैं। किसी के लिए भी, हम कहते हैं कि विभाजित होता है यदि दोनों और अनंत हैं। विभाजन संख्या एक ऐसे उपसमुच्चय की सबसे कम प्रधानता है कि सभी के लिए, कुछ ऐसे हैं जो विभाजित हो जाते हैं। अर्थात्, कटाई संख्या एक ऐसे उपसमुच्चय की सबसे कम प्रधानता है जिसका कोई भी तत्व प्रत्येक तत्व को विभाजित नहीं करता है। अर्थात्, अल्ट्राफिल्टर संख्या अल्ट्राफिल्टर संख्या को एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर के फिल्टर आधार की सबसे कम कार्डिनलिटी के रूप में परिभाषित किया गया है। कुनेन ने सेट सिद्धांत का एक मॉडल दिया जिसमें लेकिन, और सैक्स फोर्सिंग के एक गणना योग्य समर्थन पुनरावृत्ति का उपयोग करते हुए, बॉमगार्टनर और लेवर ने एक मॉडल का निर्माण किया जिसमें और। लगभग असंगतता संख्या दो उपसमुच्चय और के को लगभग असंगत कहा जाता है यदि यह सीमित है, और के उपसमुच्चय के एक परिवार को लगभग असंगत कहा जाता है यदि इसके सदस्य युग्म की दिशा में लगभग असंगत हैं। के उपसमुच्चय का एक अधिकतम लगभग असंबद्ध (पागल) परिवार इस प्रकार एक लगभग असंबद्ध परिवार है जैसे कि में नहीं के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए, एक ऐसा समूह है जो लगभग असंबद्ध नहीं है (यानी, उनका प्रतिच्छेदन अनंत है)। लगभग असंगतता संख्या एक अनंत अधिकतम लगभग असंगत परिवार की सबसे कम कार्डिनलिटी है। एक बुनियादी परिणाम एरिक वैन डौवेन। पूर्णांक और टोपोलॉजी। के. कुनेन और जे. ई. वॉन (ई. डी. एस.) हैंडबुक ऑफ सेट-थियोरेटिक टोपोलॉजी। नॉर्थ-हॉलैंड, एम्स्टर्डम, 1984. यह है कि; शेलाह ने दिखाया कि सख्त असमानता का होना सुसंगत है। सिचोन का आरेख मुख्य विशेषताओं का एक प्रसिद्ध आरेख सिचोन का आरेख है, जो 10 मुख्य विशेषताओं के बीच जेडएफसी में साबित होने वाले सभी जोड़ी-वार संबंधों को दर्शाता है। टोमेक बार्टोज़िन्स्की और हैम जुडाह को आगे पढ़ने के लिए संदर्भ। वास्तविक रेखा की संरचना पर सिद्धांत निर्धारित करें। ए के पीटर्स, 1995। कार्डिनल संख्याएँ