Witten conjecture
बीजगणितीय ज्यामिति में, विटन अनुमान वक्रों के मापांक स्थान पर स्थिर वर्गों की प्रतिच्छेदन संख्या के बारे में एक अनुमान है, जिसे एडवर्ड विटन द्वारा कागज में पेश किया गया था, और सामान्यीकृत किया गया था। विटन के मूल अनुमान को मैक्सिम कोंटसेविच ने पेपर में साबित किया था। इस अनुमान के लिए विटन की प्रेरणा यह थी कि द्वि-आयामी क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के दो अलग-अलग मॉडलों में एक ही विभाजन कार्य होना चाहिए। इनमें से एक मॉडल के लिए विभाजन फलन को बीजगणितीय वक्रों के मॉडुली ढेर पर प्रतिच्छेदन संख्याओं के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और दूसरे के लिए विभाजन फलन KdV पदानुक्रम के τ-फलन का लघुगणक है। इन विभाजन कार्यों की पहचान करने से विटन का अनुमान मिलता है कि प्रतिच्छेदन संख्याओं से बने एक निश्चित उत्पन्न करने वाले कार्य को के. डी. वी. पदानुक्रम के अंतर समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए। मान लीजिए कि एम. जी., एन. जीनस जी की कॉम्पैक्ट रीमान सतहों का मॉड्यूली स्टैक है जिसमें एन विशिष्ट चिह्नित बिंदु x1,., xn, और जी, एन इसके डिलिग्ने-मम्फोर्ड कॉम्पैक्टिफिकेशन है। जी, एन पर एन लाइन बंडल ली हैं, जिनका फाइबर मॉड्यूली स्टैक के एक बिंदु पर चिह्नित बिंदु xi पर रीमान सतह के कोटैंजेंट स्थान द्वारा दिया जाता है। प्रतिच्छेदन सूचकांक θτd1,., τdn′ g, n पर Πc1 (Li) di का प्रतिच्छेदन सूचकांक है जहाँ σdi = dimg, n = 3g-3 + n, और 0 यदि ऐसा कोई g मौजूद नहीं है, जहाँ c1 एक रेखा बंडल का पहला चेरन वर्ग है। विटन का उत्पन्न करने वाला कार्य सभी प्रतिच्छेदन सूचकांकों को इसके गुणांक के रूप में कूटबद्ध करता है। विटन के अनुमान में कहा गया है कि विभाजन फलन Z = exp F, KdV पदानुक्रम के लिए एक τ-फलन है, दूसरे शब्दों में यह विरासोरो बीजगणित के आधार के अनुरूप आंशिक विभेदक समीकरणों की एक निश्चित श्रृंखला को संतुष्ट करता है। प्रूफ कोंटसेविच ने रिबन ग्राफ के संदर्भ में मॉड्यूली रिक्त स्थान के एक संयोजन विवरण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि यहाँ दाईं ओर का योग सेट जीजी, एन रिबन ग्राफ एक्स के कॉम्पैक्ट रीमान सतहों के एन चिह्नित बिंदुओं के साथ है। किनारों के समूह ई और एक्स के बिंदुओं को एक्स 0 और एक्स 1 द्वारा दर्शाया जाता है। फलन λ को चिह्नित बिंदुओं से वास्तविक तक एक फलन के रूप में माना जाता है, और किनारे के प्रत्येक तरफ के अनुरूप दो चिह्नित बिंदुओं पर λ के योग के बराबर एक किनारे के λ को स्थापित करके रिबन ग्राफ के किनारों तक विस्तारित किया जाता है। फेनमैन आरेख तकनीक द्वारा, इसका तात्पर्य यह है कि F (t0,.) एक असिंप्टोटिक विस्तार है क्योंकि λ अनंत को उधार देता है, जहाँ λ और χ एन हर्मिशियन मैट्रिक्स द्वारा सकारात्मक निश्चित N हैं, और ti द्वारा दिया जाता है और सकारात्मक निश्चित हर्मिशियन मैट्रिक्स पर प्रायिकता माप μ द्वारा दिया जाता है जहाँ cλ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। इस माप में वह गुण है जिसका तात्पर्य है कि फेनमैन आरेखों के संदर्भ में इसका विस्तार रिबन ग्राफ के संदर्भ में एफ के लिए अभिव्यक्ति है। इससे उन्होंने अनुमान लगाया कि एक्स. एफ. के. डी. वी. पदानुक्रम के लिए एक τ-फलन है, इस प्रकार विटन के अनुमान को साबित करता है। सामान्यीकरण विटन अनुमान हैमिल्टनियन पीडीई की एकीकृत प्रणालियों और 2डी टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांतों के कुछ परिवारों की ज्यामिति के बीच एक अधिक सामान्य संबंध का एक विशेष मामला है (कोंटसेविच और मैनिन द्वारा तथाकथित कोहोमोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में स्वयंसिद्ध), जिसे बी. डबरोविन और वाई. झांग, ए. गिवेंटल, सी. टेलीमैन और अन्य द्वारा व्यवस्थित रूप से खोजा और अध्ययन किया गया था। विरासोरो अनुमान विटन अनुमान का एक सामान्यीकरण है। संदर्भ मॉडुली सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति अनुमान जो सिद्ध हो चुके हैं