Jacobi ellipsoid
एक जैकोबी दीर्घवृत्त एक त्रि-अक्षीय है (अर्थात। जलस्थैतिक संतुलन के तहत स्केलिन) दीर्घवृत्त जो तब उत्पन्न होता है जब एक समान घनत्व का एक स्व-गुरुत्वाकर्षण, तरल पदार्थ एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमता है। इसका नाम जर्मन गणितशास्त्री कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर रखा गया है। जैकोबी से पहले, मैकलौरिन स्फेरॉइड, जिसे 1742 में तैयार किया गया था, को एकमात्र प्रकार का दीर्घवृत्त माना जाता था जो संतुलन में हो सकता है। 1811 में लैग्रेंज ने एक त्रि-अक्षीय दीर्घवृत्त के संतुलन में होने की संभावना पर विचार किया, लेकिन निष्कर्ष निकाला कि दीर्घवृत्त के दो भूमध्यरेखीय अक्ष बराबर होने चाहिए, जिससे मैकलौरिन स्फेरॉइड का समाधान हो जाता है। लेकिन जैकोबी ने महसूस किया कि लैग्रेंज का प्रदर्शन एक पर्याप्त शर्त है, लेकिन आवश्यक नहीं है। उन्होंने टिप्पणी कीः "अगर कोई यह मानता है कि दूसरी-डिग्री सतहों की प्रतिबंधात्मक धारणा के तहत भी क्रांति के गोलाकार ही संतुलन के एकमात्र स्वीकार्य आंकड़े हैं तो कोई गंभीर गलती करेगा" (.) "वास्तव में एक सरल विचार से पता चलता है कि तीन असमान अक्षों वाले दीर्घवृत्त बहुत अच्छी तरह से संतुलन के आंकड़े हो सकते हैं; और यह कि कोई भूमध्यरेखीय खंड के लिए मनमाने आकार का एक दीर्घवृत्त मान सकता है और तीसरी धुरी (जो तीन अक्षों में सबसे कम भी है) और घूर्णन के कोणीय वेग को निर्धारित कर सकता है जैसे कि दीर्घवृत्त संतुलन का एक आंकड़ा है।" जैकोबी सूत्र भूमध्यरेखीय अर्ध-प्रधान अक्षों और ध्रुवीय अर्ध-प्रधान अक्षों वाले एक दीर्घवृत्त के लिए, कोणीय वेग लगभग इस शर्त पर दिया जाता है कि घनत्व कहाँ है और गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक कहाँ है। कार्लसन सममित रूप दीर्घवृत्ताकार समाकलन के संदर्भ में, कोणीय वेग का सूत्र बन जाता है और अर्ध-प्रधान अक्षों के सापेक्ष आकार पर स्थिति होती है जैकोबी दीर्घवृत्त की कोणीय गति दी जाती है जहाँ दीर्घवृत्त का द्रव्यमान होता है और औसत त्रिज्या होती है, जो दीर्घवृत्त के समान आयतन के गोले की त्रिज्या होती है। डेडेकिंड एलिप्सॉइड के साथ संबंध जैकोबी और डेडेकिंड एलिप्सॉइड दोनों घूर्णन सजातीय आत्म-गुरुत्वाकर्षण तरल पदार्थ के शरीर के लिए संतुलन आंकड़े हैं। हालांकि, जबकि जैकोबी एलिप्सॉइड शारीरिक रूप से घूमता है, घूर्णन फ्रेम में तरल पदार्थ का कोई आंतरिक प्रवाह नहीं होता है, डेडेकिंड एलिप्सॉइड एक निश्चित अभिविन्यास बनाए रखता है, जिसमें घटक तरल पदार्थ इसके भीतर घूमता है। यह डेडेकिंड के प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है। किसी भी जैकोबी दीर्घवृत्त के लिए, एक ही अर्ध-प्रधान अक्षों और समान द्रव्यमान के साथ एक डेडेकिंड दीर्घवृत्त मौजूद है और एक प्रवाह वेग क्षेत्र के साथ जहां दीर्घवृत्त के अक्षों के साथ क्रमशः संरेखित अक्षों पर कार्टेशियन निर्देशांक हैं। यहाँ वर्टिसिटी है, जो पूरे स्फेरॉइड () में समान है। जैकोबी दीर्घवृत्त का कोणीय वेग और संबंधित डेडेकिंड दीर्घवृत्त की वर्टिसिटी इसी से संबंधित हैं, अर्थात डेडेकिंड दीर्घवृत्त के द्रव का प्रत्येक कण उसी अवधि में एक समान दीर्घवृत्ताकार परिपथ का वर्णन करता है जिसमें जैकोबी गोलाकार एक घूर्णन करता है। के विशेष मामले में, जैकोबी और डेडेकिंड एलिप्सॉइड (और मैकलौरिन स्फेरॉइड) एक और समान हो जाते हैं; शारीरिक घूर्णन और गोलाकार प्रवाह एक ही चीज के बराबर होता है। इस मामले में, जैसा कि हमेशा एक कठोर रूप से घूमने वाले शरीर के लिए सच है। सामान्य मामले में, जैकोबी और डेडेकिंड दीर्घवृत्त में समान ऊर्जा होती है, लेकिन जैकोबी गोलाकार की कोणीय गति एक कारक से अधिक होती है।