Clifton–Pohl torus
ज्यामिति में, क्लिफ्टन-पोल टोरस एक कॉम्पैक्ट लॉरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड का एक उदाहरण है जो भूगणितीय रूप से पूर्ण नहीं है। जबकि प्रत्येक कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड भी भूगणितीय रूप से पूर्ण है (होप्फ-रिनोव प्रमेय द्वारा), यह स्थान दर्शाता है कि वही निहितार्थ छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्य नहीं है। इसका नाम येटन एच. क्लिफ्टन और विलियम एफ. पोल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1962 में इसका वर्णन किया था लेकिन अपना परिणाम प्रकाशित नहीं किया था। परिभाषा मीट्रिक के साथ कई गुना पर विचार करें कोई भी समरूपता एक सममिति है, विशेष रूप से मानचित्र सहितः आइए इसके द्वारा उत्पन्न सममिति समूह का उपसमूह बनें। फिर एक उचित, असंतत कार्रवाई होती है। इसलिए भागफल जो स्थलाकृतिक रूप से टोरस है, एक लॉरेंट्ज़ सतह है जिसे क्लिफ्टन-पोल टोरस कहा जाता है। कभी-कभी, विस्तार से, एक सतह को क्लिफ्टन-पोल टोरस कहा जाता है यदि यह अनुपात के किसी भी समरूपता द्वारा भागफल का एक सीमित आवरण है। भूगणितीय अपूर्णता यह सत्यापित किया जा सकता है कि वक्र M का एक भूगणितीय है जो पूर्ण नहीं है (क्योंकि इसे परिभाषित नहीं किया गया है)। नतीजतन, (इसलिए भी) भौगोलिक रूप से अधूरा है, इस तथ्य के बावजूद कि यह कॉम्पैक्ट है। इसी तरह, वक्र एक शून्य भूगणितीय है जो अधूरा है। वास्तव में, प्रत्येक शून्य भूगणितीय चालू या अधूरा है। क्लिफ्टन-पोल टोरस की भूगणितीय अपूर्णता को इस तथ्य के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में बेहतर देखा जाता है कि यह विस्तार योग्य है, अर्थात। कि इसे एक बड़ी लोरेंट्ज़ियन सतह के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। यह निर्देशांकों के सरल परिवर्तन का प्रत्यक्ष परिणाम है। मीट्रिक को ध्यान में रखते हुए (अर्थात। निर्देशांक में व्यक्त मीट्रिक) पढ़ता है लेकिन यह मीट्रिक स्वाभाविक रूप से यहाँ तक फैला हुआ है, जहाँ सतह, जिसे विस्तारित क्लिफ्टन-पोल तल के रूप में जाना जाता है, भूगणितीय रूप से पूर्ण है। संयुग्म बिंदु क्लिफ्टन-पोल तोरी इस तथ्य से भी उल्लेखनीय हैं कि वे पहले ज्ञात गैर-समतल लोरेंट्ज़ियन तोरी थे जिनमें कोई संयुग्म बिंदु नहीं थे। विस्तारित क्लिफ्टन-पोल तल में संयुग्म बिंदुओं के बहुत सारे जोड़े होते हैं, जिनमें से कुछ यानी की सीमा में होते हैं। "अनंत में"। यह भी याद रखें कि, होप्फ-रिनोव प्रमेय के अनुसार रीमानियन सेटिंग में ऐसी कोई टोरी मौजूद नहीं है। संदर्भ लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड्स मीट्रिक ज्यामिति