Arithmetic zeta function
गणित में, अंकगणितीय जीटा फलन एक जीटा फलन है जो पूर्णांकों पर परिमित प्रकार की योजना से जुड़ा होता है। अंकगणितीय जीटा फलन रीमान जीटा फलन और डेडेकिंड जीटा फलन को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करता है। अंकगणितीय जीटा फलन संख्या सिद्धांत की सबसे मौलिक वस्तुओं में से एक है। परिभाषा अंकगणितीय जीटा फलन को रीमान जीटा फलन के अनुरूप एक यूलर उत्पाद द्वारा परिभाषित किया जाता हैः जहां उत्पाद को योजना के सभी बंद बिंदुओं पर लिया जाता है। समान रूप से, उत्पाद उन सभी बिंदुओं पर होता है जिनका अवशिष्ट क्षेत्र सीमित होता है। इस क्षेत्र की प्रधानता को दर्शाया जाता है। उदाहरण और गुण एक परिमित क्षेत्र पर विविधताएँ यदि तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र का वर्णक्रम है, तो एक सीमित क्षेत्र पर एक विविधता X के लिए, यह ग्रोथेन्डिक के ट्रेस सूत्र द्वारा जाना जाता है कि कहाँ एक परिमेय फलन है (यानी, बहुपदों का एक भागफल)। एक परिमित क्षेत्र पर दो किस्मों X और Y को देखते हुए, का जीटा फलन इसके द्वारा दिया जाता है जहां पूर्णांकों के विट वैक्टरों के वलय में गुणन को दर्शाता है। पूर्णांकों का वलय यदि पूर्णांकों के वलय का वर्णक्रम है, तो रीमान जीटा फलन है। अधिक सामान्य रूप से, यदि एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय का वर्णक्रम है, तो डेडेकिंड जीटा फलन है। अलग-अलग संघों के जीटा कार्य एक योजना पर एफ़ाइन और प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान का जीटा कार्य इसके द्वारा दिया जाता है। बाद के समीकरण का उपयोग करके पूर्व से अनुमान लगाया जा सकता है कि, किसी भी बंद और खुले उपसमुच्चय का अलग-अलग संघ है और, क्रमशः, अधिक सामान्य रूप से, अनंत अलग-अलग संघों के लिए एक समान सूत्र है। विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि का जीटा फलन अभाज्य संख्याओं के मॉड्यूलो की कमी का गुणनफल हैः प्रत्येक अभाज्य संख्या पर इस तरह की अभिव्यक्ति को कभी-कभी यूलर उत्पाद कहा जाता है और प्रत्येक कारक को यूलर कारक कहा जाता है। रुचि के कई मामलों में, जेनेरिक फाइबर चिकना होता है। फिर, केवल परिमित रूप से कई एकवचन (खराब कमी) हैं। लगभग सभी अभाज्य संख्याओं के लिए, अर्थात् जब अच्छी कमी होती है, तो यूलर कारक के हैस्से-वेइल जीटा फलन के संबंधित कारक के साथ सहमत होने के लिए जाना जाता है। इसलिए, ये दोनों कार्य निकटता से संबंधित हैं। मुख्य अनुमान एक नियमित अपरिवर्तनीय सम-आयामी योजना (पूर्णांकों पर सीमित प्रकार की) के जीटा फलन के व्यवहार के बारे में कई अनुमान हैं। इनमें से कई (लेकिन सभी नहीं) अनुमान यूलर-रीमान-डेडेकिंड जीटा फलन के बारे में प्रसिद्ध प्रमेयों के एक-आयामी मामले को सामान्यीकृत करते हैं। योजना को सपाट होने की आवश्यकता नहीं है, इस मामले में यह कुछ पर सीमित प्रकार की योजना है। इसे नीचे दिए गए विशिष्ट मामले के रूप में संदर्भित किया गया है। बाद के मामले में, इनमें से कई अनुमान (बर्च और स्विनरटन-डायर अनुमान के सबसे उल्लेखनीय अपवाद के साथ, अर्थात। विशेष मूल्यों का अध्ययन) ज्ञात है। ऐसी योजनाओं के लिए बहुत कम जानकारी है जो समतल हैं और दो और उससे अधिक आयाम की हैं। मेरोमॉर्फिक निरंतरता और कार्यात्मक समीकरण हैस्से और वेइल का अनुमान है कि जटिल तल के लिए एक मेरोमॉर्फिक निरंतरता है और इस संबंध में एक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है कि कहाँ का निरपेक्ष आयाम है। यह कुछ बहुत ही विशेष मामलों के लिए साबित होता है जब सपाट योजनाओं के लिए और सभी के लिए सकारात्मक विशेषता में होता है। यह वेइल अनुमानों (अधिक सटीक रूप से, रीमान परिकल्पना का हिस्सा) का एक परिणाम है कि जीटा फ़ंक्शन में एक मेरोमॉर्फिक निरंतरता है। सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना के अनुसार सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना के अनुसार महत्वपूर्ण पट्टी के अंदर शून्य ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर स्थित होते हैं और महत्वपूर्ण पट्टी के अंदर के ध्रुव ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर स्थित होते हैं। यह सभी के लिए सकारात्मक विशेषता में साबित हुआ (एमिल आर्टिन, हेल्मुट हासे, आंद्रे वेल, अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक, पियरे डेलिग्ने)। यह किसी भी योजना के लिए साबित नहीं होता है जो सपाट है। रीमान परिकल्पना अनुमान 2 का एक आंशिक मामला है। ध्रुव क्रम विश्लेषणात्मक निरंतरता के अधीन, शून्य या ध्रुव का क्रम और महत्वपूर्ण पट्टी के अंदर पूर्णांक बिंदुओं पर अवशेष के महत्वपूर्ण अंकगणितीय अपरिवर्तकों द्वारा व्यक्त किए जाने का अनुमान लगाया जाता है। उपरोक्त प्राथमिक गुणों और नोइथर सामान्यीकरण पर आधारित सेर के कारण एक तर्क से पता चलता है कि के जीटा फलन में एक ध्रुव होता है जिसके क्रम में अधिकतम आयाम के साथ के अपरिवर्तनीय घटकों की संख्या के बराबर होता है। दूसरा, टेट का अनुमान है कि ध्रुव क्रम व्युत्क्रमणीय नियमित कार्यों के समूहों और पिकार्ड समूह की श्रेणी द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। बर्च और स्विनरटन-डायर का अनुमान इस अनुमान का एक आंशिक मामला है। वास्तव में, टेट का यह अनुमान बर्च और स्विनरटन-डायर के सामान्यीकरण के बराबर है। अधिक सामान्य रूप से, सोल ने अनुमान लगाया कि दाहिने हाथ की ओर के बीजगणितीय-सिद्धांत के एडम्स आइगेनस्पेस को दर्शाता है। ये श्रेणियाँ बास अनुमान के तहत सीमित हैं। इन अनुमानों को ज्ञात किया जाता है जब, यानी, सीमित क्षेत्रों पर संख्या के वलय और वक्रों का मामला। जहाँ तक, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के आंशिक मामले साबित हुए हैं, लेकिन सकारात्मक विशेषताओं में भी अनुमान खुला रहता है। विधियाँ और सिद्धांत क्रोनेकर आयाम की नियमित रूप से जुड़ी सम-आयामी अंकगणितीय योजना के अंकगणितीय जीटा फलन को उचित रूप से परिभाषित-कारकों और एक सहायक कारक के गुणनफल में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः,-फलन पर परिणाम अंकगणितीय जीटा फलन के लिए संबंधित परिणाम दर्शाते हैं। हालाँकि, अभिलक्षण शून्य और आयाम 2 और उससे अधिक में अंकगणितीय योजनाओं के-कारकों के बारे में अभी भी बहुत कम सिद्ध परिणाम हैं। इवान फेसेनको ने एक सिद्धांत की शुरुआत की जो उनके-कारकों के साथ काम किए बिना सीधे अंकगणितीय जीटा कार्यों का अध्ययन करता है। यह टेट के शोध प्रबंध का एक उच्च-आयामी सामान्यीकरण है, अर्थात। यह उच्च एडेले समूहों, उच्च जीटा समाकलन और वस्तुओं का उपयोग करता है जो उच्च वर्ग क्षेत्र सिद्धांत से आते हैं। इस सिद्धांत में, वैश्विक क्षेत्रों पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के उचित नियमित मॉडलों की मेरोमॉर्फिक निरंतरता और कार्यात्मक समीकरण एक सीमा फलन के माध्य-आवधिकता गुण से संबंधित है। एम. सुजुकी और जी. रिकोटा के साथ उनके संयुक्त कार्य में घातीय वृद्धि से अधिक नहीं की वास्तविक रेखा पर सुचारू कार्यों के स्थान में अंकगणितीय जीटा कार्यों और माध्य-आवधिक कार्यों के बीच संख्या सिद्धांत में एक नया पत्राचार प्रस्तावित किया गया है। यह पत्राचार लैंगलैंड के पत्राचार से संबंधित है। फेसेनको के सिद्धांत के दो अन्य अनुप्रयोग वैश्विक क्षेत्रों पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के उचित मॉडल के जीटा फ़ंक्शन के ध्रुवों और केंद्रीय बिंदु पर विशेष मूल्य के लिए हैं। संदर्भ स्रोत जीटा और एल-कार्य संख्या सिद्धांत