Conformal geometric algebra
अनौपचारिक ज्यामितीय बीजगणित (सी. जी. ए.) एक ज्यामितीय बीजगणित है जो एक मानचित्र के परिणामी स्थान पर एक आयामी आधार स्थान में बिंदुओं से शून्य वैक्टर तक बनाया जाता है। यह ज्यामितीय बीजगणित के संस्करणों का उपयोग करके प्रतिबिंबन, घूर्णन और अनुवाद सहित आधार स्थान पर संचालन की अनुमति देता है; और यह पाया गया है कि बिंदु, रेखाएं, विमान, वृत्त और गोले विशेष रूप से प्राकृतिक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयुक्त प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं। मानचित्रण का प्रभाव सामान्यीकृत है (अर्थात। शून्य वक्रता सहित)-आधार अंतरिक्ष मानचित्र में-ब्लेड पर गोले, और ताकि आधार स्थान के अनुवाद (या किसी भी अनुरूप मानचित्रण) का प्रभाव उच्च-आयामी स्थान में एक घूर्णन के अनुरूप हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के ज्यामितीय उत्पाद के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप हैं, जो 3डी में स्थानिक घूर्णन के लिए चतुर्थक के उपयोग के समान हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजन करते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का एक परिणाम यह है कि गोले, तल, वृत्त और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिनिधित्व और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सह-परिवर्तनशील रूप से परिवर्तित होते हैं। एक ज्यामितीय वस्तु (ए-स्फीयर) को वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है; इसके विपरीत, वस्तु को इसकी सतह में अलग-अलग बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार वेज उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है। कुछ प्रतिच्छेदन संचालन भी एक व्यवस्थित बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैंः उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन आधार स्थान के लिए, दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे पर वेज उत्पाद को लागू करने से उनके प्रतिच्छेदन वृत्त के त्रिभेक्टर प्रतिनिधित्व का दोहरा उत्पादन होता है। चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी गणना के लिए उधार देती है, इसलिए यह एक ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में प्रोजेक्टिव ज्यामिति और व्युत्क्रम ज्यामिति के शास्त्रीय तरीकों के अन्वेषण की सुविधा प्रदान करती है। इसका उपयोग पेंच सिद्धांत में गणना का प्रतिनिधित्व करने और उसे सुविधाजनक बनाने के लिए एक कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सी. जी. ए. को विशेष रूप से पाँच-आयामी वेक्टर स्पेस में रोजमर्रा के यूक्लिडियन स्पेस के प्रोजेक्टिव मैपिंग के संबंध में लागू किया गया है, जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर दृष्टि में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। इसे आम तौर पर किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर लागू किया जा सकता है-उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष के लिए मिन्कोव्स्की स्थान। सी. जी. ए. संकेतन और शब्दावली का निर्माण इस लेख में, बीजगणित पर ध्यान केंद्रित किया गया है क्योंकि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने का विषय रहा है; अन्य मामलों को संक्षेप में एक अलग खंड में शामिल किया गया है। मॉडल की जा रही वस्तुओं वाले स्थान को यहाँ आधार स्थान के रूप में संदर्भित किया जाता है, और इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला बीजगणितीय स्थान। एक सजातीय उपक्षेत्र बीजगणितीय स्थान के एक रैखिक उपक्षेत्र को संदर्भित करता है। वस्तुओं के लिए शब्द हैंः बिंदु, रेखा, वृत्त, क्षेत्र, अर्ध-क्षेत्र आदि। इसका उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के अर्थ के लिए किया जाता है, जिसमें बाद वाले को आम तौर पर तब तक अभिप्रेत किया जाता है जब तक कि अन्यथा संकेत न दिया जाए। बीजगणितीय रूप से, सजातीय उपक्षेत्र के किसी भी गैर-शून्य शून्य तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें एक तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा। बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से आधार स्थान में एक बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। आधार और प्रतिनिधित्व स्थान आधार स्थान को एक चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए एक आधार का विस्तार करके और आधार स्थान में और एक दूसरे के लिए दो आधार वैक्टर और ऑर्थोगोनल जोड़कर, और, प्रतिनिधित्व स्थान बनाकर दर्शाया जाता है। और, कहाँ, और के स्थान पर दो शून्य वैक्टरों और आधार वैक्टरों का उपयोग करना सुविधाजनक है। यह सत्यापित किया जा सकता है, जहां आधार स्थान में है, किः ये गुण प्रत्येक अन्य आधार तत्व के लिए ऑर्थोगोनल तत्वों के साथ एक आधार के लिए प्रतिनिधित्व स्थान में एक सामान्य सदिश के आधार सदिश गुणांक के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैंः for का गुणांक है for का गुणांक है। आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण आधार स्थान में एक सदिश से मानचित्रण (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफ़ाइन स्थान में एक बिंदु तक) सूत्र द्वारा दिया जाता हैः बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल एक गैर-शून्य स्केलर कारक द्वारा भिन्न होती हैं, सभी आधार स्थान में एक ही वस्तु के लिए मानचित्र बनाते हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, तो प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक किसी बिंदु का एक सरल विपरीत मानचित्र बनाने या दूरी निर्धारित करने के लिए, स्थिति का उपयोग किया जा सकता है। फॉरवर्ड मैपिंग इसके बराबर हैः पहले अंतरिक्ष में एक इकाई 3-गोले पर अनुरूप रूप से प्रक्षेपित करना (5-डी में यह उपक्षेत्र में है); फिर इसे एक प्रोजेक्टिव स्पेस में उठाएं, बगल में, और मूल से एक ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करें (5-डी में यह उपक्षेत्र में है); फिर सामान्यीकरण को बदलें, इसलिए सजातीय प्रक्षेपण के लिए तल को एक मूल्य वाले निर्देशांक द्वारा दिया जाता है, अर्थात। .. व्युत्क्रम मानचित्रण शून्य शंकु के लिए एक व्युत्क्रम मानचित्रण दिया जाता है (Perwass eqn 4.37) यह पहले प्रकाश-शंकु से समतल पर एक स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण देता है, और फिर और भागों को फेंक देता है, ताकि समग्र परिणाम सभी समतुल्य बिंदुओं को मानचित्रित करना हो। उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु मानचित्र में बिंदु, इसलिए मूल पर बिंदु के (प्रतिनिधित्व) सदिश के रूप में पहचाना जाता है। एक गैर-शून्य गुणांक के साथ एक वेक्टर, लेकिन एक शून्य गुणांक, (व्युत्क्रम मानचित्र पर विचार करते हुए) एक अनंत वेक्टर की छवि होनी चाहिए। इसलिए दिशा अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है। यह अभिदानों को प्रेरित करता है और शून्य आधार वैक्टरों की पहचान करता है। मूल का चुनाव मनमाना हैः किसी भी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व एक एफ़ाइन स्थान का होता है। उत्पत्ति केवल एक संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है, और बीजगणितीय रूप से किसी भी अन्य बिंदु के बराबर है। किसी भी अनुवाद के साथ, मूल को बदलना प्रतिनिधित्व स्थान में एक घूर्णन के अनुरूप है। ज्यामितीय वस्तुएँ और के साथ मिलकर, ये बीजगणित के 32 आधार ब्लेड हैं। फ्लैट प्वाइंट ओरिजिन को एक बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित श्रेणी का होता है। समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान के रूप में प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान के किसी भी गैर-शून्य ब्लेड को देखते हुए, वैक्टरों का समूह जो रूप के सजातीय समीकरणों की एक जोड़ी का समाधान है, शून्य वैक्टरों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व है। यह ज्यामितीय वस्तुओं के एक विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक उपयोगी तरीके के रूप में एक ब्लेड के चयन की ओर ले जाता है। ब्लेड के लिए विशिष्ट मामले (स्थान के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) जब आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होता हैः एक स्केलरः खाली सेट एक वेक्टरः एक एकल बिंदु एक बाइवेक्टरः बिंदुओं की एक जोड़ी एक ट्राइवेक्टरः एक सामान्यीकृत वृत्त एक 4-वेक्टरः एक सामान्यीकृत क्षेत्र आदि। ये प्रत्येक तीन मामलों में विभाजित हो सकते हैं, इस आधार पर कि क्या सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ मामलों में विपरीत क्रम में), एक बिंदु का अपक्षयी मामला, या कोई बिंदु नहीं (जहां शून्य के गैर-शून्य समाधान शून्य वैक्टर को बाहर करते हैं)। सूचीबद्ध ज्यामितीय वस्तुएँ (सामान्यीकृत-गोले) आधार स्थान के छद्म-यूक्लिडियन होने के अधिक सामान्य मामले में अर्ध-गोले बन जाते हैं। समतल वस्तुओं की पहचान समाधानों में शामिल किए जा रहे अनंत बिंदु से की जा सकती है। इस प्रकार, यदि वस्तु एक रेखा, तल, आदि होगी, तो ब्लेड के लिए क्रमशः ग्रेड 3,4, आदि का होगा। जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है, वस्तु के इस वर्ग में से एक का प्रतिनिधित्व करने वाले ब्लेड को वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर स्थित चौथे बिंदु का उपयोग एक गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में नहीं किया जा सकता है। शून्य शंकु पर ई123 मानचित्र में विषम बिंदु-यदि हम निर्धारित करते हैं तो शून्य परवलय। हम ई123 एस. टी. में बिंदुओं के स्थान पर विचार कर सकते हैं। अनुरूप स्थान में, विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय वस्तु ए के लिए। हम इस तुलना को देखकर शुरू करते हैंः x. a = 0 => x perp a; x। (ए डब्ल्यू बी) = 0 => एक्स परप ए और एक्स परप बी एक्स डब्ल्यू ए = 0 => ए के समानांतर एक्स; एक्स डब्ल्यू (ए डब्ल्यू बी) = 0 => ए के समानांतर एक्स या बी (या किसी रैखिक संयोजन के लिए) आंतरिक उत्पाद और बाहरी उत्पाद प्रतिनिधित्व दोहरेकरण x डब्ल्यू ए = 0 <=> एक्स द्वारा संबंधित हैं। ए * = 0 (चेक-काम करता है यदि एक्स 1-डिम है, ए एन-1 डिम है) जी (एक्स)। A = 0 A बिंदुः R3 में x का स्थान एक बिंदु है यदि R4,1 में A शून्य शंकु पर एक सदिश है। (एन. बी. कि क्योंकि यह एक सजातीय प्रोजेक्टिव स्पेस है, मूल के माध्यम से एक किरण पर किसी भी लंबाई के वैक्टर बराबर हैं, इसलिए g (x). A = 0, g (x). g (a) = 0 के बराबर है। एक गोलाः x का स्थान एक गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से एक सदिश। यदि तब एस. एक्स. = 0 => ये शून्य-शंकु से दूर एक सदिश एस के लिए एक गोले के अनुरूप बिंदु हैं, तो कौन सी दिशाएँ हाइपरबोलिक रूप से ऑर्थोगोनल हैं? (सी. एफ. लोरेंट्ज़ परिवर्तन पिक्स) 2 + 1 डी में, यदि एस (1, ए, बी) है, (सह-सूत्र ई-, {ई +, ईआई} का उपयोग करते हुए), तो एस के लिए हाइपरबोलिक रूप से ऑर्थोगोनल बिंदु (-1, ए, बी)-यानी, एक तल के लिए यूक्लिडियन रूप से ऑर्थोगोनल हैं; या एन आयामों में, मूल के माध्यम से एक हाइपरप्लेन। यह एक अन्य तल को काट देगा जो एक रेखा (एक एन-2 सतह में एक अति सतह) में मूल के माध्यम से नहीं है, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (रेस्प) में काट देगा। किसी प्रकार की एन-3 शंकु सतह)। तो यह शायद किसी तरह के शंकु की तरह दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे एक गोले की छवि है। एक तलः x का लोकस एक तल है यदि A = P, एक वेक्टर जिसमें शून्य कोई घटक नहीं है। एक सजातीय प्रोजेक्टिव स्पेस में ऐसा वेक्टर P समतल संख्या = 1 पर एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (यानी शून्य शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g (x). P = 0 अनंत त्रिज्या के गोले पर x से मेल खाता है, एक तल। विशेष रूप सेः मूल से एक सामान्य ऑर्थोगोनल दूरी α के साथ एक तल पर x से मेल खाता है। यह प्रमाणित किया जा सकता है कि पी जी (एक्स) पी बनाने से शून्य-शंकु, जी (एक्स ') पर एक नई दिशा मिलती है, जहां एक्स' आर 3 में बिंदुओं पी के तल में एक प्रतिबिंब से मेल खाता है जो जी (पी) को संतुष्ट करता है। पी = 0. जी (एक्स)। ए = 0 => पी जी (एक्स)। ए पी = 0 => पी जी (एक्स) पी। पी ए पी (और इसी तरह वेज उत्पाद के लिए), इसलिए उपरोक्त खंड में किसी भी मात्रा ए पर पी सैंडविच-फैशन को लागू करने का प्रभाव बिंदु x के संबंधित स्थान को प्रतिबिंबित करने के लिए समान है, इसलिए संबंधित वृत्त, गोले, रेखाएं और विमान विशेष प्रकार ए के अनुरूप ठीक उसी तरह से प्रतिबिंबित होते हैं जैसे पी को जी (एक्स) पर लागू करना एक बिंदु एक्स को दर्शाता है। इस परावर्तन क्रिया का उपयोग सामान्य अनुवाद और घूर्णन बनाने के लिए किया जा सकता हैः अनुवाद दो समानांतर तलों में परावर्तन एक अनुवाद देता है, यदि और फिर घूर्णन एक x 'से मेल खाते हैं जो एक कोण 2 θ द्वारा मूल के बारे में घुमाया जाता है जहां θ एक और b के बीच का कोण है-वही प्रभाव जो इस रोटर का होगा यदि सीधे x पर लागू किया जाए. एक सामान्य बिंदु के बारे में सामान्य घूर्णन घूर्णन पहले बिंदु को मूल में अनुवाद करके, फिर मूल के चारों ओर घुमाकर, फिर बिंदु को उसकी मूल स्थिति में वापस अनुवाद करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात। प्रचालक द्वारा एक सैंडविचिंग ताकि एक पेंच, या मोटर के प्रभाव को स्क्रू किया जा सके, (एक सामान्य बिंदु के बारे में एक घूर्णन, उसके बाद घूर्णन के अक्ष के समानांतर एक अनुवाद) प्रचालक द्वारा जी (एक्स) सैंडविचिंग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। एम को मानकीकृत भी किया जा सकता है (चैसल्स प्रमेय) व्युत्क्रम एक व्युत्क्रम एक गोले में एक प्रतिबिंब है-विभिन्न संचालन जिन्हें इस तरह के व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, व्युत्क्रम ज्यामिति पर चर्चा की जाती है। विशेष रूप से, यूक्लिडियन परिवर्तन अनुवाद और घूर्णन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मानचित्रण को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है। कोई भी मानचित्रण जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय)। एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम एक फैलाव उत्पन्न करते हैं। सामान्यीकरण इतिहास सम्मेलन और पत्रिकाएँ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ एक जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय के मुख्य सम्मेलनों में क्लिफोर्ड अल्जेब्रा पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (आई. सी. सी. ए.) और कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग (ए. जी. ए. सी. एस. ई.) श्रृंखला में ज्यामितीय बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं। एक मुख्य प्रकाशन आउटलेट स्प्रिंगर जर्नल एडवांसेस इन एप्लाइड क्लिफोर्ड अल्जेब्रास है। नोट्स संदर्भ ग्रंथ सूची पुस्तकें हेस्टेन्स एट अल (2000), जी. सोमर में (संस्करण। ), क्लिफोर्ड बीजगणित के साथ ज्यामितीय कम्प्यूटिंग। स्प्रिंगर वेरलैग। (गूगल बुक्स) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html हेस्टेन की वेबसाइट) Ch. 1: शास्त्रीय ज्यामिति के लिए नए बीजगणितीय उपकरण Ch। 2: कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के लिए सामान्यीकृत सजातीय निर्देशांक Ch। 3: ज्यामितीय बीजगणित Ch के साथ गोलाकार अनौपचारिक ज्यामिति। 4: ए यूनिवर्सल मॉडल फॉर कन्फॉर्मल ज्योमेट्रीज ऑफ यूक्लिडियन, स्फेरिकल एंड डबल-हाइपरबोलिक स्पेस हेस्टेन्स (2001), ई. बायरो-कोरोचानो एंड जी. सोब्जिक (संस्करण। ), विज्ञान और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोगों के साथ ज्यामितीय बीजगणित में प्रगति, स्प्रिंगर वेरलैग। गूगल बुक्स ओल्ड वाइन इन न्यू बॉटल्स (पीपी. 1-14) हेस्टेन्स (2010), ई. बायरो-कोरोचानो और जी. श्यूरमैन (2010) में, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में ज्यामितीय बीजगणित कम्प्यूटिंग। स्प्रिंगर वेरलैग। (गूगल बुक्स)। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति और स्क्रू सिद्धांत डोरान, सी. और लेसेनबी, ए. के कायाकल्प के लिए नए उपकरण। (2003), भौतिकविदों के लिए ज्यामितीय बीजगणित, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय प्रेस। § 10.2; पृ. 351 और सेक डोर्स्ट, एल. एट अल (2007), कंप्यूटर विज्ञान के लिए ज्यामितीय बीजगणित, मॉर्गन-कॉफ़मैन। अध्याय 13; पृ. 355 और विन्स, जे. 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