Nonparametric skew
सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, गैर-पैरामीट्रिक तिरछा एक सांख्यिकीय है जिसका उपयोग कभी-कभी यादृच्छिक चर के साथ किया जाता है जो वास्तविक मान लेते हैं। यह एक यादृच्छिक चर के वितरण की वक्रता का एक उपाय है-यानी, वितरण की एक तरफ या दूसरे तरफ "झुकने" की प्रवृत्ति। इसकी गणना के लिए अंतर्निहित वितरण के रूप के बारे में किसी भी ज्ञान की आवश्यकता नहीं है-इसलिए इसका नाम गैर-पैरामीट्रिक है। इसके कुछ वांछनीय गुण हैंः यह किसी भी सममित वितरण के लिए शून्य है; यह एक पैमाने के बदलाव से अप्रभावित है; और यह बाएं या दाएं तिरछेपन को समान रूप से अच्छी तरह से प्रकट करता है। कुछ सांख्यिकीय नमूनों में यह सामान्यता से जनसंख्या के प्रस्थान का पता लगाने में विचलन के सामान्य उपायों की तुलना में कम शक्तिशाली दिखाया गया है। गुण परिभाषा गैर-पैरामीट्रिक वक्र को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ जनसंख्या के माध्य (μ), माध्यिका (ν) और मानक विचलन (σ) के सामान्य अर्थ होते हैं। गुण गैर-पैरामीट्रिक तिरछा पीयरसन 2 तिरछा गुणांक का एक तिहाई है और किसी भी वितरण के लिए-1 और + 1 के बीच स्थित है। यह सीमा इस तथ्य से निहित है कि माध्य किसी भी माध्यिका के एक मानक विचलन के भीतर होता है। चर (एक्स) के एक एफ़ाइन परिवर्तन के तहत, एस का मान संकेत में संभावित परिवर्तन के अलावा नहीं बदलता है। प्रतीकों में जहां a ष्ण 0 और b स्थिरांक हैं और S (X) चर X का गैर-पैरामीट्रिक तिरछा है। इस आँकड़ा (±1) की सीमाएँ मजींदर द्वारा तेज की गई थीं जिन्होंने दिखाया कि इसका निरपेक्ष मान इसके साथ घिरा हुआ है और जहाँ X सीमित विचरण के साथ एक यादृच्छिक चर है, E () अपेक्षा प्रचालक है और Pr () घटना होने की संभावना है। जब p = q = 0.5 होता है तो इस सांख्यिकीय का निरपेक्ष मान 1 से घिरा होता है। पी = 0.1 और पी = 0.01 के साथ, सांख्यिकीय का निरपेक्ष मान क्रमशः 0.6 और 0.199 से घिरा हुआ है। विस्तार यह भी ज्ञात है कि जहाँ ν0 कोई माध्यिका है और E (। अपेक्षा प्रचालक है। यह दिखाया गया है कि जहाँ xq, q वीं मात्रा है। मात्राएँ 0 और 1 के बीच होती हैंः माध्यिका (0.5 मात्रा) में q = 0.5 होता है। इस असमानता का उपयोग वक्रता के माप को परिभाषित करने के लिए भी किया गया है। इस बाद की असमानता को और तेज कर दिया गया है। एक सीमित माध्य के साथ वितरण के लिए एक और विस्तार प्रकाशित किया गया हैः असमानताओं की इस अंतिम जोड़ी में सीमाएँ तब प्राप्त की जाती हैं जब और निश्चित संख्याओं के लिए a <b. परिमित नमूने xr के साथ नमूना आकार n ≤ 2 के साथ एक सीमित नमूने के लिए r वां क्रम सांख्यिकीय है, m नमूना माध्य और s स्वतंत्रता की डिग्री के लिए ठीक किया गया नमूना मानक विचलन है, r को n/2 के साथ बदलने से नमूना माध्यिका के लिए उपयुक्त परिणाम मिलता हैः जहां a नमूना माध्यिका है। सांख्यिकीय परीक्षण होटललिंग और सोलोमन ने परीक्षण सांख्यिकीय के वितरण पर विचार किया जहां n नमूना आकार है, m नमूना माध्य है, a नमूना माध्यिका है और s नमूना का मानक विचलन है। डी के सांख्यिकीय परीक्षणों ने मान लिया है कि परीक्षण की जा रही शून्य परिकल्पना यह है कि वितरण सममित है। गैस्टविर्थ ने n−1/2D के असिम्प्टोटिक विचरण का अनुमान लगाया। यदि वितरण एक-आयामी और लगभग 0 सममित है, तो असिम्प्टोटिक विचरण 1/4 और 1 के बीच होता है। एक रूढ़िवादी अनुमान को मानते हुए (भिन्नता को 1 के बराबर रखने से) नाममात्र के स्तर से काफी नीचे महत्व का एक वास्तविक स्तर हो सकता है। यह मानते हुए कि अंतर्निहित वितरण सममित है, कैबिलियो और मसारों ने दिखाया है कि एस का वितरण स्पर्शोन्मुख रूप से सामान्य है। एसिम्प्टोटिक भिन्नता अंतर्निहित वितरण पर निर्भर करती हैः सामान्य वितरण के लिए, S का एसिम्प्टोटिक भिन्नता 0.5708 है। यह मानते हुए कि अंतर्निहित वितरण सममित है, माध्यिका झेंग के ऊपर और नीचे के मूल्यों के वितरण पर विचार करके और गैस्टविर्थ ने तर्क दिया है कि जहां n नमूना आकार है, उसे टी वितरण के रूप में वितरित किया जाता है। संबंधित सांख्यिकी एंटोनिएटा मीरा ने माध्य और माध्यिका के बीच अंतर के वितरण का अध्ययन किया। जहाँ m नमूना माध्य है और a माध्यिका है। यदि अंतर्निहित वितरण सममित है तो γ1 अपने आप में एसिम्प्टोटिक रूप से सामान्य है। इस आंकड़े का सुझाव पहले बोनफेरोनी ने दिया था। एक सममित अंतर्निहित वितरण को मानते हुए, एस के एक संशोधन का अध्ययन मियाओ, जेल और गैस्टविर्थ द्वारा किया गया था जिन्होंने अपने सांख्यिकीय बनाने के लिए मानक विचलन को संशोधित किया। जहाँ xi नमूना मान हैं,।। निरपेक्ष मान है और योग को सभी n नमूना मानों पर लिया जाता है। परीक्षण आँकड़ा था स्केल किया गया आँकड़ा टी एक सममित वितरण के लिए शून्य के माध्य के साथ स्पर्शोन्मुख रूप से सामान्य है। इसका असिम्प्टोटिक विचरण अंतर्निहित वितरण पर निर्भर करता हैः सीमित मूल्य हैं, सामान्य वितरण के लिए = 0.5708. और, स्वतंत्रता की तीन डिग्री के साथ t वितरण के लिए, = 0.9689। व्यक्तिगत वितरण के लिए मान सममित वितरण सममित संभावना वितरण के लिए गैर-पैरामीट्रिक तिरछा का मान 0 है। असममित वितरण यह दाएँ तिरछे वितरण के लिए सकारात्मक है और बाएँ तिरछे वितरण के लिए नकारात्मक है। निरपेक्ष मान ≤ 0.2 चिह्नित वक्रता को दर्शाते हैं। कुछ वितरणों के लिए एस निर्धारित करना मुश्किल हो सकता है। ऐसा आमतौर पर इसलिए होता है क्योंकि माध्यिका के लिए एक बंद रूप ज्ञात नहीं हैः इस तरह के वितरण के उदाहरणों में गामा वितरण, व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण, व्युत्क्रम-गामा वितरण और स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण शामिल हैं। एस के लिए निम्नलिखित मान ज्ञात हैंः बीटा वितरणः 1 <α <β जहाँ α और β वितरण के मापदंड हैं, फिर एक अच्छे सन्निकटन के लिए यदि 1 <β <α तो सूत्र में α और β की स्थिति उलट जाती है। S हमेशा <0 होता है। द्विपद वितरणः भिन्न होता है। यदि माध्य एक पूर्णांक है तो S = 0। यदि माध्य पूर्णांक नहीं है तो एस में या तो संकेत हो सकता है या शून्य हो सकता है। यह ± न्यूनतम {अधिकतम {p, 1 − p}, लॉज2}/σ से घिरा हुआ है जहाँ σ द्विपद वितरण का मानक विचलन है। बर वितरणः बिर्नबाम-सॉन्डर्स वितरणः जहाँ α आकार पैरामीटर है और β स्थान पैरामीटर है। कैंटर वितरणः ची वर्ग वितरणः हालांकि एस ≤ 0 इसका मान स्वतंत्रता की डिग्री (के) की संख्या पर निर्भर करता है। डगम वितरणः घातीय वितरणः दो मापदंडों के साथ घातीय वितरणः घातीय-लघुगणक वितरण यहाँ S हमेशा> 0 होता है। घातीय रूप से संशोधित गौसी वितरणः एन और एन डिग्री ऑफ फ्रीडम (एन> 4) के साथ एफ वितरणः फ्रेचेट वितरणः इस वितरण का भिन्नता केवल α> 2 के लिए परिभाषित किया गया है। गामा वितरणः इस वितरण के लिए माध्यिका केवल लगभग निर्धारित की जा सकती है। यदि आकार पैरामीटर α ≤1 है तो जहां β> 0 दर पैरामीटर है। यहाँ S हमेशा> 0 होता है। सामान्यीकृत सामान्य वितरण संस्करण 2 एस हमेशा <0 होता है। सामान्यीकृत पारेतो वितरणः एस को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आकार पैरामीटर (के) <1/2 हो। इस वितरण के लिए S <0 है। गुंबेल वितरणः जहाँ γ यूलर का स्थिरांक है। अर्ध-सामान्य वितरणः कुमारस्वामी वितरण लॉग-लॉजिस्टिक वितरण (फिस्क वितरण): मान लीजिए कि β आकार का मापदंड है। इस वितरण के विचरण और माध्य को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब β> 2। संकेतन को सरल बनाने के लिए मान लीजिए कि b = β/। b> 4.932 (लगभग) के मानों के लिए मानक विचलन मौजूद नहीं है। मानों के लिए जिनके लिए मानक विचलन परिभाषित किया गया है, S> 0 है। लॉग-सामान्य वितरणः माध्य (μ) और प्रसरण (σ2) लॉग-वेइबुल वितरण के साथः लोमैक्स वितरणः S को केवल α> 2 मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण के लिए परिभाषित किया गया हैः नाकागामी वितरण पारेटो वितरणः α> 2 के लिए जहां α वितरण का आकार पैरामीटर है, और S हमेशा> 0 होता है। पॉइसन वितरणः जहाँ λ वितरण का मापदंड है। रेले वितरणः वेइबुल वितरणः जहाँ k वितरण का आकार मापदंड है। यहाँ S हमेशा> 0 होता है। 1895 में पियर्सन ने पहली बार माध्य और मोड के बीच के अंतर को मानकीकृत करके वक्रता को मापने का सुझाव दिया, जहां क्रमशः वितरण का माध्य, मोड और मानक विचलन μ, θ और σ है। नमूना डेटा से जनसंख्या मोड का अनुमान लगाना मुश्किल हो सकता है लेकिन कई वितरणों के लिए माध्य और मोड के बीच का अंतर माध्य और माध्य के बीच के अंतर का लगभग तीन गुना है जो पियर्सन को एक दूसरा वक्रता गुणांक का सुझाव देता हैः जहां ν वितरण का मध्यक है। बाउली ने 1901 में इस सूत्र से कारक 3 को हटा दिया जिससे गैर-पैरामीट्रिक तिरछा आँकड़ा सामने आया। माध्यिका, माध्य और मोड के बीच के संबंध को पहली बार पियर्सन ने तब नोट किया था जब वह अपने प्रकार III वितरण की जांच कर रहे थे। माध्य, माध्य और मोड के बीच संबंध एक मनमाने वितरण के लिए मोड, माध्य और माध्य किसी भी क्रम में दिखाई दे सकते हैं। माध्य, माध्य, विधि और मानक विचलन के बीच कुछ संबंधों का विश्लेषण किया गया है। और ये संबंध गैर-पैरामीट्रिक तिरछे के संकेत और परिमाण पर कुछ प्रतिबंध लगाते हैं। इन संबंधों को दर्शाने वाला एक सरल उदाहरण n = 10 और p = 0.09 के साथ द्विपद वितरण है। प्लॉट किए जाने पर इस वितरण की एक लंबी दाहिनी पूंछ होती है। माध्य (0.9) माध्यिका (1) के बाईं ओर है लेकिन तिरछा (0.906) जैसा कि तीसरे मानकीकृत क्षण द्वारा परिभाषित किया गया है, सकारात्मक है। इसके विपरीत गैर-पैरामीट्रिक तिरछा-0.110 है। पियर्सन का नियम यह नियम कि कुछ वितरणों के लिए माध्य और मोड के बीच का अंतर माध्य और माध्य के बीच का तीन गुना है, पियर्सन के कारण है जिन्होंने अपने प्रकार 3 वितरणों की जांच करते समय इसकी खोज की थी। यह अक्सर थोड़े असममित वितरणों पर लागू किया जाता है जो एक सामान्य वितरण के समान होते हैं लेकिन यह हमेशा सच नहीं होता है। 1895 में पियर्सन ने नोट किया कि अब जिसे गामा वितरण के रूप में जाना जाता है, वह संबंध जहां θ, ν और μ क्रमशः वितरण का मोड, मीडियन और मीन हैं, एक बड़े आकार के पैरामीटर के साथ वितरण के लिए लगभग सही था। 1917 में डूडसन ने साबित किया कि माध्यिका सीमित चौथे क्षणों के साथ मध्यम तिरछे वितरण के लिए मोड और माध्य के बीच स्थित है। यह संबंध सभी पियर्सन वितरणों के लिए लागू होता है और इन सभी वितरणों में एक सकारात्मक गैर-पैरामीट्रिक तिरछा होता है। डूडसन ने यह भी नोट किया कि एक अच्छे सन्निकटन के लिए वितरण के इस परिवार के लिए, जहां θ, ν और μ क्रमशः वितरण का मोड, मीडियन और मीन हैं। डूडसन के अनुमान की आगे जांच की गई और हाल्डेन ने इसकी पुष्टि की। हाल्डेन ने नोट किया कि तीसरे संचयी के साथ समान और स्वतंत्र प्रकार वाले नमूनों में नमूना साधन थे जो बड़े नमूना आकारों के लिए पियर्सन के संबंध का पालन करते थे। हाल्डेन को इस संबंध को बनाए रखने के लिए कई शर्तों की आवश्यकता थी, जिसमें एजवर्थ विस्तार का अस्तित्व और माध्यिका और मोड दोनों की विशिष्टता शामिल थी। इन परिस्थितियों में उन्होंने पाया कि मोड और माध्यिका क्रमशः तीसरे क्षण के 1/2 और 1/6 में परिवर्तित हो गए। इस परिणाम की पुष्टि हॉल द्वारा कमजोर परिस्थितियों में विशेषता कार्यों का उपयोग करके की गई थी। डूडसन के संबंधों का अध्ययन केंडल और स्टुअर्ट ने लॉग-सामान्य वितरण में किया था, जिसके लिए उन्होंने इसके करीब एक सटीक संबंध पाया। हॉल ने यह भी दिखाया कि नियमित रूप से अलग-अलग पूंछ और प्रतिपादक α के साथ एक वितरण के लिए यूनिमॉडल वितरण गॉस ने 1823 में दिखाया कि एक यूनिमॉडल वितरण के लिए और जहां ω मोड से मूल माध्य वर्ग विचलन है। एकमुश्त वितरण के एक बड़े वर्ग के लिए जो सकारात्मक रूप से मोड को तिरछा करते हैं, माध्यिका और माध्य उस क्रम में गिरते हैं। इसके विपरीत एक-आयामी वितरण के एक बड़े वर्ग के लिए जो नकारात्मक रूप से तिरछे होते हैं, माध्य माध्य से कम होता है जो बदले में मोड से कम होता है। इन सकारात्मक रूप से विषम यूनिमॉडल वितरणों के प्रतीकों में और इन नकारात्मक रूप से विषम यूनिमॉडल वितरणों के लिए इस वर्ग में महत्वपूर्ण एफ, बीटा और गामा वितरण शामिल हैं। यह नियम यूनिमॉडल वेइबुल वितरण के लिए लागू नहीं होता है। एक समान वितरण के लिए निम्नलिखित सीमाएँ ज्ञात हैं और तीखी हैंः जहाँ μ, ν और θ क्रमशः माध्य, मध्यक और मोड हैं। मध्य सीमा एक समान वितरण के गैर-पैरामीट्रिक तिरछे को लगभग ± 0.775 तक सीमित करती है। निम्नलिखित असमानता, जहाँ θ, ν और μ क्रमशः वितरण का मोड, माध्यिका और माध्य है, तब होती है जब F वितरण का संचयी वितरण फलन है। इन शर्तों को तब से सामान्यीकृत किया गया है और असतत वितरण तक विस्तारित किया गया है। कोई भी वितरण जिसके लिए यह धारण करता है, उसमें या तो शून्य या एक सकारात्मक गैर-पैरामीट्रिक तिरछा होता है। 1964 में वैन ज़्वेट ने वक्रता के उपायों को क्रमबद्ध करने के लिए स्वयंसिद्धियों की एक श्रृंखला का प्रस्ताव रखा। गैर-पैरामीट्रिक तिरछा इन स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट नहीं करता है। बेनफोर्ड का नियम बेनफोर्ड का नियम संख्याओं की सूची में अंकों के वितरण से संबंधित एक अनुभवजन्य नियम है। यह सुझाव दिया गया है कि एक सकारात्मक गैर-पैरामीट्रिक तिरछे के साथ वितरण से यादृच्छिक परिवर्तन इस नियम का पालन करेंगे। बाउली के गुणांक से संबंध यह आँकड़ा बाउली के वक्रता के गुणांक के समान है जहाँ क्यूई वितरण का ith चतुर्थांश है। हिंकले ने इसे सामान्यीकृत किया जहां यह 0 और 0 के बीच स्थित है। बाउली का गुणांक एक विशेष मामला है जो 0.25 के बराबर है। ग्रोएनवेल्ड और मीडेन ने इस पर निर्भरता को एकीकृत करके हटा दिया। भाजक फैलाव का एक माप है। भाजक को मानक विचलन के साथ बदलकर हम गैर-पैरामीट्रिक तिरछा प्राप्त करते हैं। संदर्भ सारांश सांख्यिकी