Water retention on random surfaces
यादृच्छिक सतहों पर जल प्रतिधारण एक वर्गाकार जाली जैसे नियमित सरणी पर विभिन्न ऊंचाइयों की कोशिकाओं की सतह पर तालाबों में पानी पकड़ने का अनुकरण है, जहां प्रणाली में प्रत्येक कोशिका पर पानी की बारिश होती है। प्रणाली की सीमाएँ खुली हैं और पानी को बाहर निकलने देती हैं। पानी तालाबों में फंस जाएगा, और अंततः सभी तालाब अपनी अधिकतम ऊंचाई तक भर जाएंगे, जिसमें कोई भी अतिरिक्त पानी स्पिलवे पर और सिस्टम की सीमाओं से बाहर बह जाएगा। समस्या यह है कि किसी सतह के लिए फंसे हुए या रखे गए पानी की मात्रा का पता लगाना है। यादृच्छिक सतहों के लिए इसका व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। यादृच्छिक सतह एक प्रणाली जिसमें प्रतिधारण प्रश्न का अध्ययन किया गया है, यादृच्छिक ऊंचाइयों की सतह है। यहाँ कोई भी यादृच्छिक सतह को साइट पर रिसाव के लिए मैप कर सकता है, और प्रत्येक सेल को अंतर्निहित ग्राफ या जाली पर एक साइट पर मैप किया जाता है जो सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है। परकोलेशन सिद्धांत का उपयोग करके, इस प्रणाली के कई गुणों की व्याख्या की जा सकती है। यह आक्रमण परकोलेशन मॉडल का एक उदाहरण है जिसमें किसी भी यादृच्छिक स्थल से प्रणाली में तरल पदार्थ डाला जाता है। जलविज्ञान में, प्रवाह और जलग्रहण क्षेत्रों के निर्माण से संबंधित है। विभिन्न जल निकासी बेसिन (उत्तरी अमेरिका में वाटरशेड) के बीच की सीमा लगभग 1.22 के फ्रैक्टल आयाम के साथ एक जल निकासी विभाजन बनाती है। प्रतिधारण समस्या को मानक परकोलेशन में मैप किया जा सकता है। पाँच समान रूप से संभावित स्तरों की प्रणाली के लिए, उदाहरण के लिए, संग्रहीत पानी की मात्रा केवल दो-स्तरीय प्रणालियों R2 (p) में संग्रहीत पानी का योग है, जिसमें निम्नतम अवस्था में स्तर p के अलग-अलग अंश हैंः R5 = R2 (1/5) + R2 (2/5) + R2 (3/5) + R2 (4/5) विशिष्ट दो-स्तरीय प्रणालियाँ 1,2 जिसमें p = 0.2,0.4,0.6,0.8 दाईं ओर दिखाई गई हैं (नीलाः गीला, हराः सूखा, पीलाः गीले स्थलों की सीमा से लगे स्पिलवे)। पाँच-स्तरीय प्रणाली का शुद्ध प्रतिधारण इन सभी का योग है। शीर्ष स्तर पर कोई पानी नहीं फंसता है क्योंकि यह एक वर्गाकार जाली, 0.592746 के लिए रिसाव सीमा से बहुत ऊपर है। दो-स्तरीय प्रणाली आर2 (पी) का प्रतिधारण तालाबों से जुड़े पानी की मात्रा है जो प्रणाली की सीमा को नहीं छूते हैं। जब पी महत्वपूर्ण परकोलेशन सीमा पी सी से ऊपर होता है, तो एक परकोलेटिंग क्लस्टर या तालाब होगा जो पूरी प्रणाली का दौरा करता है। एक बिंदु के परकोलेटिंग या "अनंत" समूह से संबंधित होने की संभावना को परकोलेशन सिद्धांत में P ≤ के रूप में लिखा जाता है, और यह R2 (p)/R2/L2 = p − P ≤ से संबंधित है जहां L वर्ग का आकार है। इस प्रकार, एक बहुस्तरीय प्रणाली का प्रतिधारण परकोलेशन सिद्धांत में एक प्रसिद्ध मात्रा से संबंधित हो सकता है। प्रतिधारण को मापने के लिए, कोई भी बाढ़ एल्गोरिदम का उपयोग कर सकता है जिसमें जल को सीमाओं से लाया जाता है और जल स्तर बढ़ने पर सबसे निचले स्पिलवे के माध्यम से बाढ़ आती है। प्रतिधारण केवल जल स्तर में अंतर है कि एक स्थल में बाढ़ आ गई थी और उसके नीचे के इलाके की ऊंचाई को घटाया गया था। ऊपर वर्णित असतत स्तरों की प्रणालियों के अलावा, कोई भी भू-भाग चर को 0 से 1 तक एक निरंतर चर बना सकता है। इसी तरह, कोई भी सतह की ऊंचाई को स्थानिक चर का एक निरंतर कार्य बना सकता है। सभी मामलों में, एक उपयुक्त परकोलेशन प्रणाली के लिए मानचित्रण की मूल अवधारणा बनी हुई है। एक जिज्ञासु परिणाम यह है कि n असतत स्तरों की एक वर्ग प्रणाली पर्याप्त रूप से बड़े क्रम L> L * के लिए n + 1 स्तरों की प्रणाली की तुलना में अधिक पानी को बनाए रख सकती है। इस व्यवहार को परकोलेशन सिद्धांत के माध्यम से समझा जा सकता है, जिसका उपयोग L * ≈ (p−pc) − ν का अनुमान लगाने के लिए भी किया जा सकता है जहां ν = 4/3, p = i */n जहां i * i का सबसे बड़ा मान है जिसके लिए i/n <pc, और pc = 0.592746 एक वर्ग जाली के लिए साइट पर परकोलेशन सीमा है। संख्यात्मक अनुकरण एल * के निम्नलिखित मान देते हैं, जो गैर-पूर्णांक मानों के लिए बहिर्वेष्टित होते हैं। उदाहरण के लिए, L ≤ 51 के लिए R2 <R3, लेकिन L ≤ 52 के लिए R2> R3: जैसे-जैसे n बड़ा होता जाता है, पार करना कम और कम बार होता जाता है, और L * का मान जहां पार होता है वह अब n का एक एकरस फलन नहीं है। जब सतह पूरी तरह से यादृच्छिक नहीं होती है, लेकिन हर्स्ट प्रतिपादक H के साथ सहसंबद्ध होती है तो प्रतिधारण की चर्चा श्रेंक एट अल में की गई है। जल निकासी विभाजन संदर्भ भी देखें आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक https://commons.wikimedia.org/wiki/Category: एसोसिएटिव _ मैजिक _ स्क्वेयर्स _ ऑफ _ ऑर्डर _ 4 ह्यूगो पफोर्टनर। मैजिक स्क्वायर पिक्चर्स ह्यूगो पफोर्टनर के लिंक के साथ। अल ज़िमरमैन की प्रोग्रामिंग प्रतियोगिताओं के लिए चर्चा स्थल फ़्यूटिटी क्लोसेट पर आइटम-पॉलीमिनोए गणना और झील के पैटर्न-मॉडल को 2डी से 3डी प्रकृति 2018 में अपग्रेड करें जल प्रतिधारण हिस्टोग्राम एक कंप्यूटिंग समस्या के रूप में http://oeis.org/A331507 तालाबों की अधिकतम संख्या यादृच्छिक मैट्रिक्स महत्वपूर्ण घटना परकोलेशन सिद्धांत