Heat kernel signature
एक हीट कर्नेल सिग्नेचर (एचकेएस) विकृत आकार विश्लेषण में उपयोग के लिए एक विशेषता वर्णनकर्ता है और वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण विधियों के समूह से संबंधित है। आकार में प्रत्येक बिंदु के लिए, एचकेएस अपने विशेषता सदिश को परिभाषित करता है जो बिंदु के स्थानीय और वैश्विक ज्यामितीय गुणों का प्रतिनिधित्व करता है। अनुप्रयोगों में विभाजन, वर्गीकरण, संरचना की खोज, आकार मिलान और आकार पुनर्प्राप्ति शामिल हैं। एचकेएस को 2009 में जियान सन, मैक्स ओवस्जानिकोव और लियोनिडास गुइबास द्वारा पेश किया गया था। यह ऊष्मा गुठली पर आधारित है, जो ऊष्मा समीकरण का एक मौलिक समाधान है। एचकेएस हाल ही में पेश किए गए कई आकार वर्णनकर्ताओं में से एक है जो आकार से जुड़े लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक पर आधारित हैं। अवलोकन आकार विश्लेषण आकृतियों के स्वचालित डिजिटल विश्लेषण का क्षेत्र है, जैसे कि 3डी वस्तुएँ। कई आकार विश्लेषण कार्यों (जैसे आकार मिलान/पुनर्प्राप्ति) के लिए, आकार के पूर्ण 3 डी मॉडल का उपयोग करने के बजाय कुछ प्रमुख बिंदुओं के लिए सुविधा वैक्टर का उपयोग किया जाता है। इस तरह के विशेषता वर्णनकर्ताओं की एक महत्वपूर्ण आवश्यकता उनके लिए कुछ परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय होना है। कठोर परिवर्तनों के लिए, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले फीचर डिस्क्रिप्टर में आकार संदर्भ, स्पिन इमेज, इंटीग्रल वॉल्यूम डिस्क्रिप्टर और मल्टीस्केल स्थानीय विशेषताएं शामिल हैं। एच. के. एस. सममितीय परिवर्तनों की अनुमति देता है जो कठोर परिवर्तनों को सामान्यीकृत करता है। एच. के. एस. एक सतह पर ऊष्मा प्रसार की अवधारणा पर आधारित है। सतह पर प्रारंभिक ऊष्मा वितरण को देखते हुए, ऊष्मा गुठली समय से बाद में स्थानांतरित ऊष्मा की मात्रा से संबंधित है। आइसोमेट्रिक परिवर्तनों के तहत ऊष्मा कर्नेल अपरिवर्तनीय है और आइसोमेट्री के लिए छोटे विक्षोभों के तहत स्थिर है। इसके अलावा, ऊष्मा गुठली पूरी तरह से एक सममिति तक के आकारों को दर्शाती है और बढ़ते समय के साथ आकार के तेजी से वैश्विक गुणों का प्रतिनिधित्व करती है। चूंकि एक अस्थायी क्षेत्र पर बिंदुओं की एक जोड़ी के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए सीधे सुविधाओं के रूप में ऊष्मा गुठली का उपयोग करने से उच्च जटिलता पैदा होगी। इसके बजाय एचकेएस केवल विचार करके खुद को केवल अस्थायी क्षेत्र तक ही सीमित रखता है। एच. के. एस. को कुछ स्थितियों में ऊष्मा गुठली के अधिकांश गुण विरासत में मिलते हैं। तकनीकी विवरण एक कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड (संभवतः एक सीमा के साथ) पर ऊष्मा प्रसार समीकरण के द्वारा दिया जाता है, जहाँ लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक है और एक समय पर एक बिंदु पर ऊष्मा वितरण है। इस समीकरण के समाधान को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, ऊष्मा गुठली के आइगन अपघटन को व्यक्त किया जाता है, जहाँ और कहाँ के आइगन मान और आइगन फलन हैं। हीट कर्नेल एक आइसोमेट्री तक की सतह को पूरी तरह से चिह्नित करता हैः दो रीमानियन मैनिफोल्ड्स के बीच किसी भी सर्जेक्टिव मानचित्र के लिए और, यदि तब एक आइसोमेट्री है, और इसके विपरीत। एक संक्षिप्त विशेषता वर्णनकर्ता के लिए, एच. के. एस. गर्मी कर्नेल को केवल अस्थायी डोमेन तक सीमित करता है, एच. के. एस., गर्मी कर्नेल के समान, इस शर्त के तहत सतहों को चिह्नित करता है कि के लिए और के आईगन मान दोहराए नहीं जा रहे हैं। कटऑफ आवृत्तियों को निर्धारित करने के साथ शब्दों को लो-पास फिल्टर के बैंक के रूप में अंतर्ज्ञानी किया जा सकता है। व्यावहारिक विचार चूंकि, सामान्य रूप से, एक गैर-पैरामीट्रिक निरंतर कार्य है, इसलिए एचकेएस को व्यवहार में कभी-कभी नमूने के मूल्यों के एक असतत अनुक्रम के रूप में दर्शाया जाता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, किसी वस्तु के लिए अंतर्निहित कई गुना ज्ञात नहीं है। एचकेएस की गणना की जा सकती है यदि मैनिफोल्ड का एक जाली प्रतिनिधित्व उपलब्ध है, तो ऊष्मा समीकरण के असतत एनालॉग का उपयोग करके और एक असतत सन्निकटन का उपयोग करके। विविक्त मामले में, लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक एक विरल मैट्रिक्स है और इसे इस रूप में लिखा जा सकता है, जहां शीर्ष को साझा करने वाले जाल में त्रिकोणों के क्षेत्र के अनुरूप प्रविष्टियों के साथ एक सकारात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, और एक सममित अर्ध-निश्चित भार मैट्रिक्स है। इसमें विघटित किया जा सकता है, जहां आरोही क्रम में व्यवस्थित आइगेनवैल्यूज का एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और संबंधित ऑर्थोनॉर्मल आइगेनवेक्टर्स के साथ मैट्रिक्स है। असतत ऊष्मा कर्नेल द्वारा दिया गया मैट्रिक्स है, तत्व शीर्षों के बीच और समय के बाद ऊष्मा प्रसार का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसके बाद एच. के. एस. को इस मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों द्वारा दिया जाता है, जिसका अलग समय अंतराल पर नमूना लिया जाता है। निरंतर मामले के समान, असतत एचकेएस शोर के लिए मजबूत है। सीमाएँ गैर-दोहराए जाने वाले आइगेनवैल्यूज मुख्य गुण जो एचकेएस का उपयोग करके सतहों को आइसोमेट्री तक दर्शाता है, केवल तभी होता है जब सतहों के आइगेनवैल्यूज दोहराए नहीं जाते हैं। कुछ सतहें हैं (विशेष रूप से समरूपता वाली) जहां इस स्थिति का उल्लंघन किया जाता है। एक गोला ऐसी सतह का एक सरल उदाहरण है। समय पैरामीटर चयन एचकेएस में समय पैरामीटर वैश्विक जानकारी के पैमाने से निकटता से संबंधित है। हालांकि, समय विवेचना चुनने का कोई सीधा तरीका नहीं है। मौजूदा विधि समय के नमूनों को लघुगणकीय रूप से चुनती है जो समय की जटिलता की कोई गारंटी के साथ एक शोधात्मक है असतत ऊष्मा कर्नेल को आकार के मैट्रिक्स के ईगेनडेकंपोजीशन की आवश्यकता होती है, जहां मैनिफोल्ड के जाल प्रतिनिधित्व में शीर्षों की संख्या होती है। ईगेनडेकंपोजीशन की गणना करना एक महंगा कार्य है, विशेष रूप से वृद्धि के रूप में। हालाँकि, ध्यान दें कि आइगेनवैल्यू पर व्युत्क्रम घातीय निर्भरता के कारण, आम तौर पर केवल एक छोटे (100 से कम) आइगेनवेक्टर एचकेएस का एक अच्छा अनुमान प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होते हैं। गैर-सममितीय परिवर्तन एचकेएस के लिए प्रदर्शन की गारंटी केवल सही मायने में सममितीय परिवर्तनों के लिए होती है। हालाँकि, वास्तविक आकृतियों के लिए विकृतियाँ अक्सर सममितीय नहीं होती हैं। इस तरह के परिवर्तन का एक सरल उदाहरण एक व्यक्ति द्वारा मुट्ठी को बंद करना है, जहां दो उंगलियों के बीच भूगणितीय दूरी बदल जाती है। अन्य विधियों के साथ संबंध वक्रता रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक बिंदु पर (निरंतर) एचकेएस स्केलर वक्रता से संबंधित है, इसलिए, एचकेएस को पैमाने पर वक्रता के रूप में व्याख्या की जा सकती है। वेव कर्नेल सिग्नेचर (डब्ल्यू. के. एस.) डब्ल्यू. के. एस. एच. के. एस. के समान विचार का अनुसरण करता है, गर्मी समीकरण को श्रोडिंगर तरंग समीकरण से प्रतिस्थापित करता है, जहां जटिल तरंग फलन है। एक बिंदु पर कण को मापने की औसत संभावना इस प्रकार दी जाती है, जहाँ प्रारंभिक ऊर्जा वितरण है। इन ऊर्जा वितरणों के एक परिवार को ठीक करके, डब्ल्यूकेएस को एक असतत अनुक्रम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। एचकेएस के विपरीत, डब्ल्यूकेएस को बैंड-पास फिल्टर के एक समूह के रूप में अंतर्ज्ञानी किया जा सकता है जिससे बेहतर सुविधा स्थानीयकरण हो सकता है। हालांकि, डब्ल्यूकेएस बड़े पैमाने पर सुविधाओं का अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं करता है (क्योंकि उन्हें फ़िल्टर किया जाता है) जो आकार मिलान अनुप्रयोगों में खराब प्रदर्शन देता है। वैश्विक बिंदु हस्ताक्षर (जी. पी. एस.) एच. के. एस. के समान, जी. पी. एस. लाप्लास-बेलट्रामी प्रचालक पर आधारित है। एक बिंदु पर जी. पी. एस. लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक के स्केल किए गए आइगेनफ़ंक्शंस का एक वेक्टर है जिसकी गणना की जाती है। जी. पी. एस. एक वैश्विक विशेषता है जबकि एच. के. एस. के पैमाने को ऊष्मा प्रसार के लिए समय मापदंड को बदलकर बदला जा सकता है। इसलिए, एचकेएस का उपयोग आंशिक आकार मिलान अनुप्रयोगों में किया जा सकता है जबकि जीपीएस का उपयोग नहीं किया जा सकता है। स्पेक्ट्रल ग्राफ वेवलेट सिग्नेचर (एस. जी. डब्ल्यू. एस.) एस. जी. डब्ल्यू. एस. स्पेक्ट्रल डिस्क्रिप्टर्स के लिए एक सामान्य रूप प्रदान करता है, जहाँ कोई भी फिल्टर फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करके एच. के. एस. प्राप्त कर सकता है। एस. जी. डब्ल्यू. एस. एक मल्टी-रिज़ॉल्यूशन स्थानीय डिस्क्रिप्टर है जो न केवल सममितीय अपरिवर्तनीय है, बल्कि कॉम्पैक्ट, गणना करने में आसान है और बैंड-पास और लो-पास फिल्टर दोनों के लाभों को जोड़ता है। यद्यपि एच. के. एस. कई पैमाने पर आकार का प्रतिनिधित्व करता है, यह स्वाभाविक रूप से पैमाने में अपरिवर्तनीय नहीं है। उदाहरण के लिए, एक आकार के लिए एचकेएस और इसके स्केल किए गए संस्करण पूर्व-सामान्यीकरण के बिना समान नहीं हैं। पैमाने की अपरिवर्तनीयता सुनिश्चित करने का एक सरल तरीका प्रत्येक आकार को समान सतह क्षेत्र के लिए पूर्व-स्केलिंग करना है (जैसे। 1)। उपरोक्त संकेतन का उपयोग करते हुए, इसका मतलब हैः वैकल्पिक रूप से, एचकेएस के पैमाने-अपरिवर्तनीय संस्करण का निर्माण भी एक पैमाने स्थान प्रतिनिधित्व उत्पन्न करके किया जा सकता है। स्केल-स्पेस में, एक स्केल आकार का एचकेएस एक गुणक कारक तक के अनुवाद से मेल खाता है। इस एचकेएस का फूरियर परिवर्तन समय-अनुवाद को जटिल तल में बदल देता है, और अनुवाद पर निर्भरता को परिवर्तन के मापांक पर विचार करके समाप्त किया जा सकता है। .. एक वैकल्पिक पैमाने अपरिवर्तनीय एचकेएस को एक पैमाने अपरिवर्तनीय मीट्रिक के माध्यम से इसके निर्माण पर काम करके स्थापित किया जा सकता है, जैसा कि में परिभाषित किया गया है। आयतन एच. के. एस. एच. के. एस. को 3डी आकार की सीमा सतह के लिए परिभाषित किया गया है, जिसे 2डी रीमानियन मैनिफोल्ड के रूप में दर्शाया गया है। केवल सीमा पर विचार करने के बजाय, 3डी आकार की पूरी मात्रा को एचकेएस के वॉल्यूमेट्रिक संस्करण को परिभाषित करने के लिए माना जा सकता है। आयतन एच. के. एस. को पूरे आयतन (3-सबमैनिफोल्ड के रूप में) पर ऊष्मा समीकरण पर विचार करके और आकार की 2-मैनिफोल्ड सीमा पर एक न्यूमैन सीमा स्थिति को परिभाषित करके सामान्य एच. के. एस. के अनुरूप परिभाषित किया जाता है। आयतन एचकेएस आयतन सममिति तक परिवर्तनों की विशेषता है, जो सीमा सममिति की तुलना में वास्तविक 3डी वस्तुओं के लिए अधिक विश्वासपूर्वक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं। आकार खोज स्केल-इनवेरिएंट एचकेएस सुविधाओं का उपयोग आकार पुनर्प्राप्ति अनुप्रयोगों के लिए बैग-ऑफ-फीचर्स मॉडल में किया जा सकता है। विशेषताओं का उपयोग ज्यामितीय शब्दों के निर्माण के लिए उनके स्थानिक संबंधों को ध्यान में रखते हुए किया जाता है, जिनसे आकृतियों का निर्माण किया जा सकता है (शब्दों के रूप में विशेषताओं और वाक्यों के रूप में आकृतियों का उपयोग करने के अनुरूप)। आकार स्वयं को एक अनुक्रमित संग्रह बनाने के लिए कॉम्पैक्ट द्विआधारी कोड का उपयोग करके दर्शाया जाता है। एक प्रश्न आकार को देखते हुए, संभवतः सममितीय परिवर्तनों के साथ सूचकांक में समान आकृतियों को निकटता-माप के रूप में कोड की हैमिंग दूरी का उपयोग करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। संदर्भ छवि प्रसंस्करण ऊष्मा हस्तांतरण डिजिटल ज्यामिति टोपोलॉजी विभेदक ज्यामिति