Euclidean random matrix
गणित के भीतर, एक एन × एन यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स को एक मनमाना नियतात्मक फलन f (r, r′) की मदद से परिभाषित किया जाता है और डी-आयामी यूक्लिडियन स्थान के क्षेत्र V में यादृच्छिक रूप से वितरित एन बिंदुओं {ri} की मदद से परिभाषित किया जाता है। मैट्रिक्स का तत्व ऐज f (ri, rj) के बराबर हैः ऐज = f (ri, rj)। यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स को पहली बार 1999 में पेश किया गया था। उन्होंने फलन f के एक विशेष मामले का अध्ययन किया जो केवल बिंदुओं के जोड़े के बीच की दूरी पर निर्भर करता हैः f (r, r′) = f (r-r′) और विकर्ण तत्वों AII, Aij = f (ri-rj)-u δijsskf (ri-rk) पर एक अतिरिक्त शर्त लगाई, जो उस भौतिक संदर्भ से प्रेरित थी जिसमें उन्होंने मैट्रिक्स का अध्ययन किया था। एक यूक्लिडियन दूरी मैट्रिक्स यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स का एक विशेष उदाहरण है जिसमें या तो f (ri-rj) = |ri-rj|2 या f (ri-rj) = |ri-rj। होता है। उदाहरण के लिए, कई जैविक नेटवर्कों में, दो नोड्स के बीच बातचीत की ताकत उन नोड्स की भौतिक निकटता पर निर्भर करती है। नोड्स के बीच स्थानिक अंतःक्रियाओं को यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स के रूप में मॉडल किया जा सकता है, यदि नोड्स को यादृच्छिक रूप से अंतरिक्ष में रखा जाता है। गुण क्योंकि बिंदुओं की स्थिति यादृच्छिक हैं, मैट्रिक्स तत्व ऐज भी यादृच्छिक हैं। इसके अलावा, क्योंकि एन × एन तत्व पूरी तरह से केवल एन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं और, आम तौर पर, कोई एन में रुचि रखता है, विभिन्न तत्वों के बीच मजबूत सहसंबंध मौजूद हैं। हर्मिशियन यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स हर्मिशियन यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स विभिन्न भौतिक संदर्भों में दिखाई देते हैं, जिनमें सुपरकुल्ड तरल पदार्थ, अव्यवस्थित प्रणालियों में फोनॉन और यादृच्छिक माध्यम में तरंगें शामिल हैं। उदाहरण 1: k0 = 2π/λ0 के साथ फलन f (r, r′) = sin (k0|r-r′।)/(k0|r-r′।) द्वारा उत्पन्न मैट्रिक्स पर विचार करें। यह मैट्रिक्स हर्मिशियन है और इसके आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। पक्ष L और आयतन V = L3 के घन में यादृच्छिक रूप से वितरित N बिंदुओं के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि λ का प्रायिकता वितरण लगभग मार्चेंको-पास्टर नियम द्वारा दिया जाता है, यदि बिंदुओं ρ = N/V का घनत्व ρλ03 ≤ 1 और 2.8N/(k0L) 2 <1 का पालन करता है (चित्र देखें)। गैर-हर्मिशियाई यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स बड़े (एन. 1) गैर-हर्मिशियाई यूक्लिडियन यादृच्छिक मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू घनत्व के लिए एक सिद्धांत विकसित किया गया है और यादृच्छिक लेजर की समस्या का अध्ययन करने के लिए लागू किया गया है। उदाहरण 2: k0 = 2π/λ0 और f (r = r′) = 0 के साथ फलन f (r, r′) = exp (ik0|r-r′।)/(k0|r-r′।) द्वारा उत्पन्न मैट्रिक्स पर विचार करें। यह मैट्रिक्स हर्मिशियन नहीं है और इसके आइगेनवैल्यू जटिल हैं। λ का संभाव्यता वितरण विश्लेषणात्मक रूप से पाया जा सकता है यदि बिंदु ρ = N/V का घनत्व ρλ03 ≤ 1 और 9N/(8k0 R) 2 <1 का पालन करता है (चित्र देखें)। यादृच्छिक मैट्रिक्स गणितीय भौतिकी