Hans Rådström
हंस विल्हेम राडस्ट्रोम (1919-1970) एक स्वीडिश गणितशास्त्री थे जिन्होंने जटिल विश्लेषण, निरंतर समूहों, उत्तल समुच्चय, समुच्चय-मूल्य विश्लेषण और खेल सिद्धांत पर काम किया। 1952 से, वे स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में लेक्टर (सहायक प्रोफेसर) थे, और 1969 से, वे लिंकोपिंग विश्वविद्यालय में अनुप्रयुक्त गणित के प्रोफेसर थे। प्रारंभिक जीवन हंस राडस्ट्रोम लेखक और संपादक कार्ल जोहान राडस्ट्रोम के बेटे थे, और लेखक और पत्रकार पार राडस्ट्रोम के बड़े भाई थे। राडस्ट्रोम ने गणित का अध्ययन किया और टॉर्स्टन कार्लमैन और फ्रिट्ज कार्लसन की संयुक्त देखरेख में अपनी पीएचडी प्राप्त की। उनका प्रारंभिक कार्य एक जटिल चर, विशेष रूप से, जटिल गतिकी के कार्यों के सिद्धांत से संबंधित था। उन्हें 1952 में स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में लेक्टर (सहायक प्रोफेसर) नियुक्त किया गया था। बाद में, वे स्टॉकहोम में रॉयल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी से जुड़े रहे। 1952 में वे स्कैंडिनेवियाई लोकप्रिय-गणितीय पत्रिका Nordisk Matematisk Tidskrift के सह-संपादक बने। उन्होंने मार्टिन गार्डनर की एक मनोरंजक गणित पुस्तक, द साइंटिफिक अमेरिकन बुक ऑफ मैथमेटिकल पज़ल्स एंड डाइवर्शंस के स्वीडिश संस्करण का भी संपादन किया। सेट-मूल्यवान विश्लेषण राडस्ट्रोम को स्थलवैज्ञानिक समूहों के निरंतर संचालन की विश्लेषणात्मकता पर हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या में रुचि थी। एंड्रयू ग्लिसन द्वारा इस समस्या के समाधान ने टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के सबसेट के निर्माण का उपयोग किया, (केवल बिंदुओं के बजाय), और सेट-मूल्यवान विश्लेषण पर रेडस्ट्रॉम के शोध को प्रेरित किया। उन्होंने 1948 से 1950 तक प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी (आई. ए. एस.) का दौरा किया, जहाँ उन्होंने उत्तलता पर एक संगोष्ठी का सह-आयोजन किया। ओलोफ हैनर के साथ, जो, रैडस्ट्रोम की तरह, 1952 में स्टॉकहोम विश्वविद्यालय से अपनी पीएचडी अर्जित करेंगे, उन्होंने कैराथियोडोरी के लेम्मा के वर्नर फ़ेंचेल के संस्करण में सुधार किया। 1950 के दशक में, उन्होंने उत्तल समुच्चयों पर महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए। उन्होंने राडस्ट्रॉम एम्बेडिंग थ्योरम को साबित किया, जिसका तात्पर्य है कि एक मानक वास्तविक वेक्टर-स्पेस (हौसडॉर्फ दूरी के साथ संपन्न) के सभी गैर-खाली कॉम्पैक्ट उत्तल उपसमुच्चय का संग्रह एक मानक वास्तविक वेक्टर-स्पेस में एक उत्तल शंकु के रूप में सममितीय रूप से एम्बेडेड किया जा सकता है। एम्बेडिंग के तहत, गैर-खाली कॉम्पैक्ट उत्तल सेट को रेंज स्पेस में बिंदुओं पर मैप किया जाता है। राडस्ट्रोम के निर्माण में, यह एम्बेडिंग योगात्मक और सकारात्मक रूप से सजातीय है। राडस्ट्रोम के दृष्टिकोण ने टोपोलॉजिकल अर्ध-समूहों के सिद्धांत से विचारों का उपयोग किया। बाद में, लार्स होर्मेंडर ने समर्थन कार्य (उत्तल विश्लेषण) का उपयोग करके स्थानीय रूप से उत्तल स्थलवैज्ञानिक वेक्टर रिक्त स्थान के लिए इस प्रमेय का एक प्रकार साबित किया; होर्मेंडर के दृष्टिकोण में, एम्बेडिंग की सीमा बनाच जाली एल 1 थी, और एम्बेडिंग समस्थानिक थी। राडस्ट्रोम ने समुच्चय के निरंतर अर्धसमूहों के जनरेटरों को सघन उत्तल समुच्चय के रूप में वर्णित किया। राडस्ट्रोम के पीएचडी छात्रों में पर एनफ्लो और मार्टिन रिब शामिल थे, दोनों ने कार्यात्मक विश्लेषण में पीएचडी थीसिस लिखे। टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस की वर्दी और लिपशिट्ज़ श्रेणियों में, एनफ्लो के परिणाम स्थानीय उत्तलता वाले स्पेस, विशेष रूप से बनाच स्पेस से संबंधित हैं। 1970 में, हंस राडस्ट्रोम की दिल का दौरा पड़ने से मृत्यु हो गई। एनफ्लो ने राडस्ट्रॉम के लिंकोपिंग छात्रों में से एक, लार्स-एरिक एंडरसन, 1970-1971 से, पूर्ण, मानक रिक्त स्थान के लिए हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या पर, बनाच रिक्त स्थान के जुड़े उपसमूहों पर, अपने 1972 के शोध प्रबंध में उनकी मदद की। स्वीडिश कार्यात्मक विश्लेषक एडगर एस्प्लंड, जो तब डेनमार्क में आरहस विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर थे, ने 1974 में कैंसर से मरने से पहले रिब को उनकी 1972 की थीसिस के पर्यवेक्षक के रूप में सहायता की। रिब के परिणाम स्थानीय उत्तलता को ग्रहण किए बिना टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान से संबंधित थे; रिब ने स्थानीय उत्तलता की कमी वाले टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के लिए हैन-बनाच प्रमेय के सरल विस्तार के लिए एक प्रति-उदाहरण का निर्माण किया। गणितीय समीक्षा 1919 जन्म 1970 मृत्यु कार्यात्मक विश्लेषक गणितीय विश्लेषक 20वीं सदी के स्वीडिश गणितशास्त्री