Ahlfors theory
अहलफोर्स सिद्धांत एक गणितीय सिद्धांत है जिसका आविष्कार लार्स अहलफोर्स ने नेवनलिन्ना सिद्धांत के ज्यामितीय समकक्ष के रूप में किया था। अहलफोर्स को 1936 में इस सिद्धांत के लिए दो सबसे पहले फील्ड्स मेडल में से एक से सम्मानित किया गया था। इसे मानचित्रों को कवर करने के बुनियादी गुणों के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है जो कुछ अच्छी तरह से परिभाषित अर्थों में "लगभग कवर" हैं। यह अनुरूप रीमानियन मेट्रिक्स से लैस सीमावर्ती रीमान सतहों पर लागू होता है। प्रारंभिक सीमा ए सीमा रीमान सतह एक्स को एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह पर एक क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसकी सीमा एक्स में सीमित रूप से कई असंबद्ध जॉर्डन वक्र होते हैं। अधिकांश अनुप्रयोगों में ये वक्र टुकड़ों में विश्लेषणात्मक होते हैं, लेकिन इन वक्रों पर कुछ स्पष्ट न्यूनतम नियमितता की स्थिति होती है जो सिद्धांत को काम करने के लिए आवश्यक है; इसे अहलफोर्स नियमितता कहा जाता है। एक अनुरूप रीमानियन मीट्रिक को एक लंबाई तत्व ds द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसे अनुरूप स्थानीय निर्देशांक z में ds = ρ (z) |dz। के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां ρ पृथक शून्यों के साथ एक चिकना धनात्मक फलन है। यदि शून्य अनुपस्थित हैं, तो मीट्रिक को चिकना कहा जाता है। लंबाई तत्व सुधार योग्य वक्रों की लंबाई और क्षेत्रों के क्षेत्रों को सूत्रों द्वारा परिभाषित करता है फिर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को इन बिंदुओं को जोड़ने वाले वक्रों की लंबाई के अनंत के रूप में परिभाषित किया जाता है। सेटिंग और संकेतन मान लीजिए कि X और Y दो सीमावर्ती रीमान सतह हैं, और मान लीजिए कि Y एक चिकनी (सीमा सहित) अनुरूप मीट्रिक σ (z) dz से लैस है। मान लीजिए कि f, X से Y तक का एक समरूप मानचित्र है। फिर X पर पुल-बैक मीट्रिक मौजूद होता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जब X इस मीट्रिक से लैस होता है, तो f एक स्थानीय सममिति बन जाता है; यानी, एक वक्र की लंबाई उसकी छवि की लंबाई के बराबर होती है। एक्स और वाई पर सभी लंबाई और क्षेत्रों को इन दो मेट्रिक्स के संबंध में मापा जाता है। यदि f X की सीमा को Y की सीमा पर भेजता है, तो f एक विस्तृत आवरण है। विशेष रूप से, क) प्रत्येक बिंदु में पूर्व छवियों की समान (सीमित) संख्या होती है, जो बहुलता की गणना करती है। यह संख्या आवरण की डिग्री है। ख) रीमान-हर्विट्ज़ सूत्र में, विशेष रूप से, एक्स की यूलर विशेषता अधिक से अधिक Y गुना डिग्री की यूलर विशेषता है। अब मान लीजिए कि X की सीमा का कुछ हिस्सा Y के आंतरिक भाग में मैप किया गया है। इस भाग को सापेक्ष सीमा कहा जाता है। मान लीजिए कि L इस सापेक्ष सीमा की लंबाई है। प्रथम मुख्य प्रमेय औसत आवरण संख्या को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है यह संख्या एक आवरण की डिग्री का सामान्यीकरण है। इसी तरह, प्रत्येक नियमित वक्र के लिए γ और Y में प्रत्येक नियमित क्षेत्र D के लिए औसत आवरण संख्याएँ परिभाषित की जाती हैंः पहला मुख्य प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नियमित क्षेत्र और प्रत्येक नियमित वक्र के लिए, जहाँ L सापेक्ष सीमा की लंबाई है, और k वह स्थिरांक है जो केवल Y, σ, D और γ पर निर्भर हो सकता है, लेकिन f और X से स्वतंत्र है। जब L = 0 होता है तो ये असमानताएँ आवरणों के गुण a) का एक कमजोर अनुरूप बन जाती हैं। दूसरा मुख्य प्रमेय मान लीजिए कि ρ यूलर विशेषता का ऋणात्मक है (ताकि m छेद वाले गोले के लिए ρ = 2m−2)। फिर यह केवल तभी सार्थक होता है जब ρ (Y)> 0, उदाहरण के लिए जब Y तीन (या अधिक) छिद्रों वाला एक गोला हो। इस मामले में, परिणाम को आवरण के गुण बी) के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। अनुप्रयोग मान लीजिए कि अब Z एक खुली रीमान सतह है, उदाहरण के लिए जटिल तल या इकाई डिस्क, और Z को एक अनुरूप मीट्रिक ds से सुसज्जित होने दें। हम कहते हैं कि (Z, ds) नियमित रूप से समाप्त हो जाता है यदि Z में निहित सीमा सतहों का एक बढ़ता क्रम है, DJ उनके बंद होने के साथ, जिसका Z में मिलन होता है, और इस तरह से कि अहलफोर्स ने साबित किया कि मनमाने अनुरूप मीट्रिक के साथ जटिल तल नियमित रूप से समाप्त होता है। यह तथ्य, दो मुख्य प्रमेयों के साथ मिलकर पिकार्ड की प्रमेय और नेवनलिन्ना सिद्धांत की दूसरी मुख्य प्रमेय का तात्पर्य है। पिकार्ड के प्रमेय के कई अन्य महत्वपूर्ण सामान्यीकरण अहल्फ़ोर्स सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं। एक विशेष रूप से उल्लेखनीय परिणाम (आंद्रे ब्लोच द्वारा पहले अनुमान लगाया गया) पाँच द्वीप प्रमेय है। पाँच-द्वीप प्रमेय मान लीजिए कि D1,., D5 रीमान क्षेत्र पर अलग-अलग बंद के साथ पाँच जॉर्डन क्षेत्र हैं। फिर एक स्थिरांक c मौजूद है, जो केवल इन क्षेत्रों पर निर्भर करता है, और निम्नलिखित गुण रखता हैः मान लीजिए कि f इकाई डिस्क में एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है जिससे गोलाकार व्युत्पन्न संतुष्ट होता है। यह चार क्षेत्रों में लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, f (z) = χ (Kz) को लें, जहां K> 0 मनमाने ढंग से बड़ा है, और χ विभेदक समीकरण को संतुष्ट करने वाला वेयरस्ट्रास दीर्घवृत्ताकार फलन है चार बिंदुओं e1, e2, e3, φ की सभी पूर्व छवियां कई हैं, इसलिए यदि हम इन बिंदुओं के चारों ओर अलग-अलग समापन के साथ चार डिस्क लेते हैं, तो ऐसा कोई क्षेत्र नहीं होगा जो इनमें से किसी भी डिस्क पर समरूप रूप से मैप किया गया हो। अहल्फ़ोर्स के मूल पत्रिका पत्र के अलावा, इस सिद्धांत को पुस्तकों में समझाया गया है। द्वितीय मुख्य प्रमेय के सरलीकृत प्रमाण टोकी और डी थेलिन के लेखों में पाए जा सकते हैं। पाँच द्वीप प्रमेय का एक सरल प्रमाण, जो अहल्फ़ोर्स के सिद्धांत पर निर्भर नहीं है, बर्गवीलर द्वारा विकसित किया गया था। संदर्भ