Barratt–Priddy theorem
समरूपता सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, बैरेट-प्रिडी प्रमेय (जिसे बैरेट-प्रिडी-क्विलेन प्रमेय भी कहा जाता है) सममित समूहों की समरूपता और क्षेत्रों के मानचित्रण रिक्त स्थान के बीच संबंध को व्यक्त करता है। प्रमेय (माइकल बैरेट, स्टीवर्ट प्रिडी और डैनियल क्विलन के नाम पर) को अक्सर क्विलन के प्लस निर्माण के माध्यम से सममित समूहों के गोलाकार वर्णक्रम और वर्गीकृत रिक्त स्थान के बीच एक संबंध के रूप में भी कहा जाता है। प्रमेय का कथन मानचित्रण स्थान एक समान अभिसरण के टोपोलॉजी (कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी का एक विशेष मामला) के तहत-आयामी क्षेत्र से अपने आप में सभी निरंतर मानचित्रों का टोपोलॉजिकल स्थान है। इन मानचित्रों की आवश्यकता एक आधार बिंदु को ठीक करने, संतोषजनक, और डिग्री 0 होने के लिए होती है; यह गारंटी देता है कि मानचित्रण स्थान जुड़ा हुआ है। बैरेट-प्रिडी प्रमेय इन मानचित्रण स्थानों की समरूपता और सममित समूहों की समरूपता के बीच संबंध को व्यक्त करता है। फ्रायडेन्थल सस्पेंशन थ्योरम और हुरेविक्ज़ थ्योरम से पता चलता है कि इस मानचित्रण स्थान की th समरूपता आयाम से स्वतंत्र है, जब तक कि। इसी तरह, यह साबित किया कि तत्वों पर सममित समूह का th समूह समरूपता स्वतंत्र है, जब तक कि। यह समरूपीय स्थिरता का एक उदाहरण है। बैरेट-प्रिडी प्रमेय बताता है कि ये "स्थिर समरूपता समूह" समान हैंः क्योंकि, एक प्राकृतिक समरूपता है यह समरूपता अभिन्न गुणांक के साथ होती है (वास्तव में किसी भी गुणांक के साथ, जैसा कि नीचे दिए गए सुधार में स्पष्ट किया गया है)। उदाहरण-प्रथम समरूपता इस समरूपता को प्रथम समरूपता के लिए स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। किसी समूह की पहली समरूपता उस समूह का सबसे बड़ा परिवर्तनीय भागफल है। क्रमपरिवर्तन समूहों के लिए, एकमात्र परिवर्तनीय भागफल एक क्रमपरिवर्तन के संकेत द्वारा दिया जाता है, जिसमें मानों को लिया जाता है। यह दर्शाता है कि, सभी के लिए क्रम 2 का चक्रीय समूह। (क्योंकि, यह तुच्छ समूह है, इसलिए।) यह रिक्त स्थान को कवर करने के सिद्धांत का अनुसरण करता है कि वृत्त का मानचित्रण स्थान संकुचित है, इसलिए। 2-गोले के लिए, मानचित्रण स्थान का पहला समस्थानिक समूह और पहला समस्थानिक समूह दोनों अनंत चक्रीय हैंः इस समूह के लिए एक जनरेटर होप्फ फाइब्रेशन से बनाया जा सकता है। अंत में, एक बार, दोनों क्रम 2 के चक्रीय हैंः प्रमेय का सुधार अनंत सममित समूह परिमित सममित समूहों का संघ है, और नाकाओका के प्रमेय का तात्पर्य है कि समूह समरूपता की स्थिर समरूपता हैः के लिए,। इस समूह के वर्गीकरण स्थान को दर्शाया गया है, और इस स्थान की एकरूपता समूह समरूपता हैः हम इसी तरह निलंबन द्वारा प्रेरित समावेशन के तहत मानचित्रण स्थानों के संयोजन को दर्शाते हैं। की समरूपता पिछले मानचित्रण स्थानों की स्थिर समरूपता हैः क्योंकि, एक प्राकृतिक मानचित्र है; इस मानचित्र के निर्माण का एक तरीका एक उपयुक्त टोपोलॉजी के साथ संपन्न के परिमित उपसमुच्चय के स्थान के रूप में मॉडल के माध्यम से है। बैरेट-प्रिडी प्रमेय का एक समतुल्य सूत्रीकरण एक समरूपता समतुल्यता (या चक्रीय मानचित्र) है, जिसका अर्थ है कि किसी भी स्थानीय गुणांक प्रणाली के साथ सभी समरूपता समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। क्विलेन के प्लस निर्माण के साथ संबंध बैरेट-प्रिडी प्रमेय का तात्पर्य है कि क्विलेन के प्लस निर्माण को लागू करने से उत्पन्न स्थान के साथ पहचाना जा सकता है। (चूंकि, मानचित्र प्लस निर्माण के सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है जब यह ज्ञात हो जाता है कि यह एक समरूपता समतुल्यता है।) मानचित्रण रिक्त स्थान को अधिक सामान्य रूप से इस द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ-गोले का-गुना लूप स्थान है, और इसी तरह से दर्शाया जाता है। इसलिए बैरेट-प्रिडी प्रमेय को इस रूप में भी कहा जा सकता है या विशेष रूप से, के समस्थानिक समूह क्षेत्रों के स्थिर समस्थानिक समूह हैंः "एफ1 का के-सिद्धांत" बैरेट-प्रिडी प्रमेय को कभी-कभी बोलचाल की भाषा में यह कहते हुए दोहराया जाता है कि "एफ1 के के-समूह गोले के स्थिर समस्थानिक समूह हैं"। यह एक सार्थक गणितीय कथन नहीं है, बल्कि एक रूपक है जो बीजगणितीय के-सिद्धांत के साथ एक सादृश्य व्यक्त करता है। "एक तत्व वाला क्षेत्र" F1 एक गणितीय वस्तु नहीं है; यह बीजगणित और संयोजन के बीच समानताओं के संग्रह को संदर्भित करता है। एक केंद्रीय सादृश्य वह विचार है जो सममित समूह होना चाहिए। एक वलय आर के उच्च के-समूहों को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है इस सादृश्य के अनुसार, के-समूहों को इस रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए, जो बैरेट-प्रिडी प्रमेय द्वारा हैः समरूपता सिद्धांत में संदर्भ प्रमेय