Smooth completion
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक चिकनी एफ़ाइन बीजगणितीय वक्र X का चिकना समापन (या चिकना संकुचन) एक पूर्ण चिकना बीजगणितीय वक्र है जिसमें X एक खुले उपसमुच्चय के रूप में होता है। चिकनी पूर्णताएँ मौजूद हैं और एक परिपूर्ण क्षेत्र में अद्वितीय हैं। उदाहरण एक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र के एक एफ़ाइन रूप को प्रस्तुत किया जा सकता है जहाँ और () की अलग-अलग जड़ें हैं और इसकी डिग्री कम से कम 5 है। एफ़ाइन वक्र का ज़ारिस्की समापन जोड़े गए अद्वितीय अनंत बिंदु पर एकवचन है। फिर भी, एफ़ाइन वक्र को एक अद्वितीय कॉम्पैक्ट रीमान सतह में एम्बेड किया जा सकता है जिसे इसका स्मूथ कंप्लीशन कहा जाता है। रीमान सतह का प्रक्षेपण अनंत पर एकवचन बिंदु पर 2-से-1 है यदि सम डिग्री है, और 1-से-1 (लेकिन विस्तृत) अन्यथा। यह सुचारू समापन निम्नानुसार भी प्राप्त किया जा सकता है। एक्स-निर्देशांक का उपयोग करके एफ़ाइन रेखा पर एफ़ाइन वक्र को प्रक्षेपित करें। प्रोजेक्टिव लाइन में एफ़ाइन लाइन को एम्बेड करें, फिर एफ़ाइन वक्र के कार्य क्षेत्र में प्रोजेक्टिव लाइन का सामान्यीकरण लें। अनुप्रयोग एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक चिकनी जुड़ी हुई वक्र को हाइपरबोलिक कहा जाता है यदि g चिकनी पूर्णता का जीनस है और r जोड़े गए बिंदुओं की संख्या है। विशेषता 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, X का मौलिक समूह जनरेटर के साथ मुक्त है यदि r> 0 है। (डिरिचलेट की इकाई प्रमेय का एनालॉग) मान लीजिए कि X एक परिमित क्षेत्र पर एक चिकनी जुड़ी हुई वक्र है। फिर X पर नियमित फलन O (X) के वलय की इकाइयाँ r-1 श्रेणी का एक परिमित रूप से उत्पन्न अबेलियन समूह है। मान लीजिए कि आधार क्षेत्र एकदम सही है। कोई भी एफ़ाइन वक्र X एक अभिन्न प्रोजेक्टिव (इसलिए पूर्ण) वक्र के एक खुले उपसमुच्चय के लिए समरूप है। प्रोजेक्टिव वक्र के सामान्यीकरण (या विलक्षणताओं को उड़ाने) को लेने से X का सुचारू समापन होता है। उनके अंक फलन क्षेत्र के असतत मूल्यांकन के अनुरूप होते हैं जो आधार क्षेत्र पर तुच्छ होते हैं। निर्माण द्वारा, चिकनी पूर्णता एक प्रोजेक्टिव वक्र है जिसमें दिए गए वक्र को हर जगह घने खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया गया है, और जोड़े गए नए बिंदु चिकने हैं। इस तरह का (प्रोजेक्टिव) समापन हमेशा मौजूद रहता है और अद्वितीय होता है। यदि आधार क्षेत्र सही नहीं है, तो एक चिकनी एफ़ाइन वक्र का सुचारू समापन हमेशा मौजूद नहीं होता है। लेकिन उपरोक्त प्रक्रिया हमेशा एक नियमित पूर्णता उत्पन्न करती है यदि हम एक नियमित एफ़ाइन वक्र के साथ शुरू करते हैं (चिकनी किस्में नियमित होती हैं, और विपरीत सही क्षेत्रों पर सही होता है)। एक नियमित पूर्णता अद्वितीय है और, उचितता के मूल्यांकन मानदंड से, एफ़ाइन वक्र से लेकर पूर्ण बीजगणितीय विविधता तक कोई भी आकृतिवाद विशिष्ट रूप से नियमित पूर्णता तक फैला हुआ है। सामान्यीकरण यदि एक्स एक अलग बीजगणितीय विविधता है, तो नागाता की एक प्रमेय कहती है कि एक्स को एक पूर्ण बीजगणितीय विविधता के एक खुले उपसमुच्चय के रूप में अंतर्निहित किया जा सकता है। यदि X इसके अलावा चिकना है और आधार क्षेत्र की विशेषता 0 है, तो हिरोनाका के प्रमेय के अनुसार X को एक पूर्ण चिकनी बीजगणितीय विविधता के एक खुले उपसमुच्चय के रूप में भी अंतर्निहित किया जा सकता है, जिसमें एक सामान्य पार भाजक सीमा हो। यदि एक्स अर्ध-प्रोजेक्टिव है, तो सुचारू समापन को प्रोजेक्टिव होने के लिए चुना जा सकता है। हालांकि, एक-आयामी मामले के विपरीत, सुचारू रूप से पूरा होने की कोई विशिष्टता नहीं है, न ही यह विहित है। हाइपरेलिप्टिक वक्र बोल्ज़ा सतह संदर्भ ग्रंथ सूची भी देखें (अध्याय 4 देखें)। बीजगणितीय ज्यामिति रीमान सतहों पर बीजगणितीय वक्र जन्मात्मक ज्यामिति