Compound of three octahedra
गणित में, तीन ऑक्टाहेड्रा या ऑक्टाहेड्रॉन 3-यौगिक का यौगिक तीन नियमित ऑक्टाहेड्रा से बना एक पॉलीहेड्रल यौगिक है, जो सभी एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं लेकिन एक दूसरे के संबंध में घूमते हैं। हालांकि गणितीय साहित्य में पहले दिखाई देने के बावजूद, इसे एम. सी. एस्चर द्वारा फिर से खोजा और लोकप्रिय बनाया गया, जिन्होंने इसे अपने 1948 के लकड़ी के तारों की केंद्रीय छवि में इस्तेमाल किया। निर्माण एक नियमित ऑक्टाहेड्रॉन को एक घन के चारों ओर इस तरह से घेर लिया जा सकता है कि घन के दो विपरीत वर्गों के आठ किनारे ऑक्टाहेड्रॉन के आठ चेहरों पर स्थित हों। तीन ऑक्टाहेड्रा इस तरह से विपरीत घन वर्गों के तीन जोड़े से तीन ऑक्टाहेड्रा का यौगिक बनाते हैं। आठ घन शीर्ष परिसर में आठ बिंदुओं के समान हैं जहां तीन किनारे एक दूसरे को पार करते हैं। इन ट्रिपल क्रॉसिंग में भाग लेने वाले ऑक्टाहेड्रॉन किनारों में से प्रत्येक को 1: के अनुपात में क्रॉसिंग पॉइंट द्वारा विभाजित किया जाता है। शेष ऑक्टाहेड्रॉन किनारे जोड़े में एक दूसरे को पार करते हैं, परिसर के आंतरिक भाग के भीतर; उनके पार अपने मध्य बिंदुओं पर होते हैं और समकोण बनाते हैं। तीन सममिति अक्षों में से एक के चारों ओर/4 के कोण से प्रत्येक प्रति को घुमाकर एक एकल ऑक्टाहेड्रॉन की तीन प्रतियों से तीन ऑक्टाहेड्रॉन का यौगिक भी बनाया जा सकता है जो प्रारंभिक ऑक्टाहेड्रॉन के दो विपरीत शीर्षों से गुजरते हैं। तीन ऑक्टाहेड्रा के एक ही यौगिक के लिए एक तीसरी संरचना तीन क्यूब्स के यौगिक के दोहरे पॉलीहेड्रॉन के रूप में है, जो एक समान पॉलीहेड्रॉन यौगिकों में से एक है। तीन अष्टभुज में से एक के छह शीर्ष निर्देशांक और द्वारा दिए जा सकते हैं। अन्य दो ऑक्टाहेड्रा में निर्देशांक होते हैं जो x या y निर्देशांक के लिए z निर्देशांक का आदान-प्रदान करके इन निर्देशांकों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सममितियाँ तीन ऑक्टाहेड्रों के यौगिक में एकल ऑक्टाहेड्रों के समान सममितियाँ होती हैं। यह एक आइसोहेड्रल डेल्टा हेड्रॉन है, जिसका अर्थ है कि इसके चेहरे समबाहु त्रिभुज हैं और इसमें एक समरूपता है जो हर चेहरे को हर दूसरे चेहरे पर ले जाती है। आइसोहेड्रल डेल्टाहेड्रा का एक ज्ञात अनंत परिवार है, और 36 और जो इस परिवार में नहीं आते हैं; तीन ऑक्टाहेड्रा का यौगिक 36 छिटपुट उदाहरणों में से एक है। हालाँकि, इसका समरूपता समूह प्रत्येक शीर्ष को प्रत्येक अन्य शीर्ष पर नहीं ले जाता है, इसलिए यह स्वयं एक समान पॉलीहेड्रॉन यौगिक नहीं है। तीन ऑक्टाहेड्रा का प्रतिच्छेदन 14 शीर्षों और 24 चेहरों के साथ एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है, एक टेट्राकिस हेक्साहेड्रॉन, जो केंद्रीय घन के प्रत्येक चेहरे पर एक कम वर्गाकार पिरामिड को जोड़कर बनाया गया है। इस प्रकार, यौगिक को टेट्राकिस हेक्साहेड्रॉन के तारामंडल के रूप में देखा जा सकता है। टेट्राकिस हेक्साहेड्रॉन का एक अलग रूप, जो घन के प्रत्येक चेहरे पर लंबे पिरामिडों का उपयोग करके बनाया गया है, गैर-उत्तल है, लेकिन इसमें समबाहु त्रिभुज चेहरे हैं जो फिर से तीन ऑक्टाहेड्रा के चेहरों के समान तल पर स्थित हैं; यह ज्ञात आइसोहेड्रल डेल्टाहेड्रा में से एक है। एक ही चेहरे के तल को साझा करने वाला एक तीसरा आइसोहेड्रल डेल्टा-हेड्रॉन, छह टेट्राहेड्रा का यौगिक, तीन ऑक्टाहेड्रा के यौगिक के प्रत्येक चेहरे को तीन स्टेला ऑक्टांगुला बनाने के लिए स्टेलेट करके बनाया जा सकता है। एक ही फेस प्लेन के साथ एक चौथा आइसोहेड्रल डेल्टा-हेड्रॉन, जो तीन ऑक्टाहेड्रा के यौगिक का एक तार भी है, में टेट्राकिस हेक्साहेड्रॉन के समान संयोजन संरचना होती है, लेकिन क्यूब के बाहरी हिस्से में पिरामिड को जोड़ने के बजाय क्यूब के अंदर की ओर छेद करने वाले पिरामिडों में घिरा हुआ होता है। जिस घन के चारों ओर तीन ऑक्टाहेड्रा को घेर लिया जा सकता है, उसमें परावर्तन समरूपता के नौ तल हैं। इनमें से तीन परावर्तन फलक घन के किनारों के समानांतर से गुजरते हैं, दो विपरीत पक्षों के बीच आधे रास्ते से; अन्य छह घन के पार तिरछे रूप से इसके चार शीर्षों से गुजरते हैं। ये नौ विमान तीन अष्टभुज के नौ भूमध्यरेखीय विमानों के साथ मेल खाते हैं। पिएरो डेला फ्रांसेस्का की 15वीं शताब्दी की पांडुलिपि डी क्विंक कॉर्पोरिबस रेग्युलरिबस में, डेला फ्रांसेस्का ने पहले से ही एक घन के चारों ओर एक ऑक्टाहेड्रॉन का एक चित्र शामिल किया है, जिसमें आठ घन किनारे ऑक्टाहेड्रॉन के आठ चेहरों में पड़े हैं। एक घन के चारों ओर इस तरह से घेरे गए तीन ऑक्टाहेड्रा तीन ऑक्टाहेड्रा के यौगिक का निर्माण करेंगे, लेकिन डेला फ्रांसेस्का यौगिक को चित्रित नहीं करता है। गणितीय साहित्य में तीन ऑक्टाहेड्रा के यौगिक का अगला रूप मैक्स ब्रूकनर का 1900 का काम प्रतीत होता है, जिसमें इसका उल्लेख किया गया है और इसमें इसके एक मॉडल की तस्वीर शामिल है। डच कलाकार एम. सी. एस्चर ने अपने 1948 के वुडकट स्टार्स में, इस आकार में एक पिंजरे की केंद्रीय आकृति के रूप में उपयोग किया, जिसमें दो गिरगिट होते हैं और अंतरिक्ष में तैरते हैं। एच. एस. एम. कॉक्सेटर, यह मानते हुए कि एस्चर ने इस आकार को स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा, लिखते हैं कि "यह उल्लेखनीय है कि एस्चर, बीजगणित या विश्लेषणात्मक ज्यामिति के किसी भी ज्ञान के बिना, इस अत्यधिक सममित आकृति को फिर से खोजने में सक्षम थे।" हालांकि, जॉर्ज डब्ल्यू. हार्ट ने प्रलेखित किया है कि एस्चर ब्रूकनर के काम से परिचित थे और उन्होंने इसे कई स्टेलेटेड पॉलीहेड्रा और पॉलीहेड्रल यौगिकों के आधार के रूप में इस्तेमाल किया जो उन्होंने बनाए थे। इससे पहले 1948 में, एस्चर ने एक समान विषय के साथ एक प्रारंभिक लकड़ी की कटाई की थी, स्टार के लिए अध्ययन, लेकिन अध्ययन में तीन नियमित ऑक्टाहेड्रा के यौगिक का उपयोग करने के बजाय उन्होंने एक अलग लेकिन संबंधित आकार, एक स्टेलेटेड रॉम्बिक डोडेकाहेड्रॉन (जिसे कभी-कभी एस्चर का ठोस कहा जाता है) का उपयोग किया, जिसे तीन चपटे ऑक्टाहेड्रा के यौगिक के रूप में बनाया जा सकता है। पॉलीहेड्रॉन के रूप में यह रूप स्थलाकृतिक रूप से डिसड्याकिस डोडेकाहेड्रॉन के समान है, जिसे समस्थानिक चेहरे पर छोटे पिरामिड के साथ समस्थानिक डोडेकाहेड्रॉन के रूप में देखा जा सकता है। ऑक्टाहेड्रल परिसर की दोहरी आकृति, तीन क्यूब्स का यौगिक, बाद में एस्चर वुडकट, वाटरफॉल में भी दिखाया गया है, जो उसी स्टेलेटेड रॉम्बिक डोडेकाहेड्रॉन के बगल में है। तीन ऑक्टाहेड्रा के यौगिक ने गणितीय साहित्य में अधिक ठीक से प्रवेश किया, जिन्होंने इसके अस्तित्व का निरीक्षण किया और इसके शीर्षों के लिए निर्देशांक प्रदान किए। और द्वारा इसका अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया था। तीन ऑक्टाहेड्रा के अन्य यौगिक ऑक्टाहेड्रा को त्रिकोणीय एंटीप्रिज्म के रूप में देखा जाता है, एंटीप्रिज्म का एक और समान प्रिज्मेटिक यौगिक डी3डी समरूपता के साथ मौजूद है, क्रम 12। प्रत्येक एंटीप्रिज्म को 40 डिग्री घुमाया जाता है। ऊपर और नीचे के तल में यौगिक एननेग्राम, {9/3} या 3 {3} होते हुए देखा जा सकता है। यह भी देखें कि चार ऑक्टाहेड्रा का यौगिक पाँच ऑक्टाहेड्रा का यौगिक दस ऑक्टाहेड्रा का यौगिक बीस ऑक्टाहेड्रा का यौगिक संदर्भ बाहरी लिंक पॉलीहेड्रल यौगिक