Generalized integer gamma distribution
संभाव्यता और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत पूर्णांक गामा वितरण (जी. आई. जी.) स्वतंत्र गामा वितरित यादृच्छिक चर के योग का वितरण है, सभी पूर्णांक आकार मापदंडों और विभिन्न दर मापदंडों के साथ। यह सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण का एक विशेष मामला है। एक संबंधित अवधारणा सामान्यीकृत निकट-पूर्णांक गामा वितरण (जी. एन. आई. जी.) है। परिभाषा यादृच्छिक चर में आकार पैरामीटर और दर पैरामीटर के साथ एक गामा वितरण होता है यदि इसका संभाव्यता घनत्व कार्य है और इस तथ्य को मान लीजिए, जहां स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, जिसमें सभी सकारात्मक पूर्णांक और सभी अलग-अलग हैं। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक चर में अलग-अलग आकार मापदंडों के साथ एर्लांग वितरण होता है। प्रत्येक आकार पैरामीटर की विशिष्टता व्यापकता के नुकसान के बिना आती है, क्योंकि किसी भी मामले में जहां कुछ समान हैं, पहले संबंधित चर को जोड़कर माना जाएगाः इस राशि में समान दर पैरामीटर और एक आकार पैरामीटर के साथ एक गामा वितरण होगा जो मूल वितरण में आकार मापदंडों के योग के बराबर है। फिर यादृच्छिक चर Y द्वारा परिभाषित आकार मापदंडों और दर मापदंडों के साथ गहराई का एक GIG (सामान्यीकृत पूर्णांक गामा) वितरण है। इस तथ्य को सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण का एक विशेष मामला भी कहा जाता है। गुण संभाव्यता घनत्व फलन और Y का संचयी वितरण फलन क्रमशः सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण पर साहित्य में वैकल्पिक अभिव्यक्तियों द्वारा और कहाँ और कहाँ और कहाँ उपलब्ध हैं, जो एक ऐसा क्षेत्र है जहाँ कंप्यूटर एल्गोरिदम कुछ वर्षों से उपलब्ध हैं। सामान्यीकरण गहराई का जी. एन. आई. जी. (सामान्यीकृत निकट-पूर्णांक गामा) वितरण यादृच्छिक चर का वितरण है जहां और दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, जहां एक सकारात्मक गैर-पूर्णांक वास्तविक है और जहां। गुण संभावना घनत्व फलन द्वारा दिया जाता है और संचयी वितरण फलन ऊपर ()-() द्वारा दिए गए स्थान द्वारा दिया जाता है। उपरोक्त अभिव्यक्तियों में कुम्मर कॉन्फ़्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन है। इस कार्य में आमतौर पर बहुत अच्छे अभिसरण गुण होते हैं और आजकल इसे आसानी से कई सॉफ्टवेयर पैकेजों द्वारा नियंत्रित किया जाता है। अनुप्रयोग जी. आई. जी. और जी. एन. आई. जी. वितरण बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले बड़ी संख्या में संभावना अनुपात परीक्षण आंकड़ों और संबंधित आंकड़ों के सटीक और निकट-सटीक वितरण के लिए आधार हैं। अधिक सटीक रूप से, यह अनुप्रयोग आमतौर पर ऐसे आंकड़ों के नकारात्मक लघुगणक के सटीक और निकट-सटीक वितरण के लिए होता है। यदि आवश्यक हो, तो एक सरल परिवर्तन के माध्यम से, संबंधित संभावना अनुपात परीक्षण आंकड़ों के लिए संबंधित सटीक या निकट-सटीक वितरण प्राप्त करना आसान है। जी. आई. जी. वितरण भी लिपटे हुए गामा परिवार में कई लिपटे हुए वितरणों का आधार है। सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण के एक विशेष मामले के रूप में, कई अन्य अनुप्रयोग हैं; उदाहरण के लिए, नवीनीकरण सिद्धांत और बहु-एंटीना वायरलेस संचार में। संदर्भ निरंतर वितरण कारक और द्विपद विषय