Ross–Fahroo lemma
आई. माइकल रॉस और एफ. फ़ाहरू के नाम पर नामित, रॉस-फ़ाहरू लेम्मा इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में एक मौलिक परिणाम है। यह बताता है कि दोहरीकरण और विवेकीकरण, सामान्य रूप से, गैर-परिवर्तनीय संचालन हैं। कोवेक्टर मानचित्रण सिद्धांत के अनुप्रयोग द्वारा संचालन को परिवर्तनीय बनाया जा सकता है। सिद्धांत का विवरण एक निरंतर-समय इष्टतम नियंत्रण समस्या सूचना समृद्ध है। किसी दी गई समस्या के कई दिलचस्प गुणों को पोंट्रियागिन के न्यूनतम सिद्धांत या हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरणों को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। ये सिद्धांत अपनी व्युत्पत्ति में समय की निरंतरता का निहित रूप से उपयोग करते हैं। जब एक इष्टतम नियंत्रण समस्या को विवेकीकृत किया जाता है, तो रॉस-फहरू लेम्मा दावा करता है कि जानकारी का एक मौलिक नुकसान होता है। जानकारी का यह नुकसान प्राथमिक चर में हो सकता है जैसा कि एक या दोनों सीमा बिंदुओं पर नियंत्रण के मूल्य में या दोहरे चर में हो सकता है जैसा कि समय क्षितिज पर हैमिल्टनियन के मूल्य में होता है। सूचना हानि को दूर करने के लिए, रॉस और फ़ारू ने बंद करने की स्थितियों की अवधारणा पेश की जो ज्ञात सूचना हानि को वापस रखने की अनुमति देती है। यह कोवेक्टर मानचित्रण सिद्धांत के एक अनुप्रयोग द्वारा किया जाता है। स्यूडोस्पेक्ट्रल इष्टतम नियंत्रण के लिए अनुप्रयोग जब स्यूडोस्पेक्ट्रल विधियों को इष्टतम नियंत्रण समस्याओं को अलग करने के लिए लागू किया जाता है, तो रॉस-फहरू लेम्मा के निहितार्थ असतत कोवेक्टर्स के रूप में दिखाई देते हैं जो प्रतीत होता है कि विभेदन मैट्रिक्स के स्थानांतरण द्वारा अलग किए जा रहे हैं। जब कोवेक्टर मानचित्रण सिद्धांत लागू किया जाता है, तो यह आस-पास के लिए उचित परिवर्तन को प्रकट करता है। परिवर्तन के अनुप्रयोग से रॉस-फहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधियाँ उत्पन्न होती हैं। रॉस की π लेम्मा रॉस-फहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधियाँ भी देखें संदर्भ इष्टतम नियंत्रण संख्यात्मक विश्लेषण नियंत्रण सिद्धांत