Ross–Fahroo pseudospectral method
आई. माइकल रॉस और एफ. फ़ाहरू द्वारा प्रस्तुत, रॉस-फ़ाहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधियाँ इष्टतम नियंत्रण के लिए छद्म स्पेक्ट्रल विधियों का एक व्यापक संग्रह है। रॉस-फहरू स्यूडोस्पेक्ट्रल विधियों के उदाहरण हैं स्यूडोस्पेक्ट्रल गाँठ विधि, सपाट स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि, लीजेंड्रे-गॉस-राडाउ स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि और अनंत-क्षितिज इष्टतम नियंत्रण के लिए स्यूडोस्पेक्ट्रल विधियाँ। रॉस-फ़ाहरू विधियाँ स्थानांतरित गॉसियन स्यूडोस्पेक्ट्रल नोड बिंदुओं पर आधारित हैं। बदलाव एक रैखिक या अरैखिक परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं जबकि गॉसियन छद्म-वर्णक्रमीय बिंदुओं को गॉस-लोबेटो या गॉस-राडाउ वितरण के संग्रह से चुना जाता है जो लीजेंड्रे या चेबीशेव बहुपदों से उत्पन्न होता है। गॉस-लोबेटो छद्म स्पेक्ट्रल बिंदुओं का उपयोग परिमित-क्षितिज इष्टतम नियंत्रण समस्याओं के लिए किया जाता है जबकि गॉस-राडाउ छद्म स्पेक्ट्रल बिंदुओं का उपयोग अनंत-क्षितिज इष्टतम नियंत्रण समस्याओं के लिए किया जाता है। गणितीय अनुप्रयोग रॉस-फ़ह्रू विधियाँ रॉस-फ़ह्रू लेम्मा पर आधारित हैं; उन्हें विभेदक समीकरणों, विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों, विभेदक समावेशनों और विभेदक-समतल प्रणालियों द्वारा नियंत्रित इष्टतम नियंत्रण समस्याओं पर लागू किया जा सकता है। इन्हें एक सरल क्षेत्र परिवर्तन तकनीक द्वारा अनंत-क्षितिज इष्टतम नियंत्रण समस्याओं पर भी लागू किया जा सकता है। रॉस-फहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधियाँ भी बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि की नींव बनाती हैं। उड़ान अनुप्रयोग और पुरस्कार रॉस-फहरू विधियों को दुनिया भर के कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों और प्रयोगशालाओं में लागू किया गया है। 2006 में, नासा ने अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन पर "शून्य प्रणोदक पैंतरेबाज़ी" को लागू करने के लिए रॉस-फ़हरू विधि का उपयोग किया। इन सभी प्रगति की मान्यता में, ए. आई. ए. ए. ने "उड़ान यांत्रिकी के परिदृश्य को बदलने" के लिए रॉस और फ़ाहरू को 2010 का यांत्रिकी और उड़ान नियंत्रण पुरस्कार प्रदान किया। रॉस को "छद्म स्पेक्ट्रल इष्टतम नियंत्रण में उनके अग्रणी योगदान" के लिए एएएस फेलो भी चुना गया था। विशिष्ट विशेषताएं रॉस-फहरू विधियों की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि यह "प्रत्यक्ष" और "अप्रत्यक्ष" विधियों की पूर्व धारणाओं को दूर करती है। अर्थात्, रॉस और फ़ारू द्वारा प्रस्तुत प्रमेयों के संग्रह के माध्यम से, उन्होंने दिखाया कि इष्टतम नियंत्रण के लिए छद्म स्पेक्ट्रल विधियों को डिजाइन करना संभव था जो प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष दोनों रूपों में समतुल्य थे। इसका तात्पर्य यह था कि कोई भी अपने तरीकों का उपयोग केवल "प्रत्यक्ष" तरीके के रूप में कर सकता है, जबकि स्वचालित रूप से "अप्रत्यक्ष" तरीकों की तरह सटीक युगल उत्पन्न कर सकता है। इसने इष्टतम नियंत्रण समस्याओं को हल करने में क्रांति ला दी जिससे रॉस-फहरू तकनीकों का व्यापक उपयोग हुआ। सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन रॉस-फहरू विधियों को MATLAB इष्टतम नियंत्रण समाधानकर्ता, DIDO में लागू किया जाता है। कार्थेज रॉस के π लेम्मा रॉस-फहरू लेम्मा संदर्भों की पहली रानी डीडो के नाम पर नामित इष्टतम नियंत्रण के लिए बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि डीआईडीओ-मैटलैब उपकरण भी देखें।