Zone diagram
एक क्षेत्र आरेख एक निश्चित ज्यामितीय वस्तु है जो वोरोनोई आरेख की धारणा पर एक भिन्नता है। इसे 2007 में टेटसुओ असानो, जिरी मातौसेक और ताकेशी तोकुयामा द्वारा पेश किया गया था। औपचारिक रूप से, यह एक निश्चित फलन का एक निश्चित बिंदु है। इसका अस्तित्व या विशिष्टता पहले से स्पष्ट नहीं है और केवल विशिष्ट मामलों में स्थापित की गई है। इसकी गणना भी स्पष्ट नहीं है। एक विशेष लेकिन सूचनात्मक मामला यूक्लिडियन तल में विभिन्न बिंदुओं के एक समूह पर विचार करें। प्रत्येक बिंदु को एक स्थल कहा जाता है। जब हम इन साइटों द्वारा प्रेरित वोरोनोई आरेख के बारे में बात करते हैं, तो हम साइट को प्लेन में उन सभी बिंदुओं के सेट से जोड़ते हैं जिनकी दी गई साइट से दूरी किसी अन्य साइट से उनकी दूरी से अधिक नहीं है। इन क्षेत्रों का संग्रह इन स्थलों से जुड़ा वोरोनोई आरेख है, और यह समतल के क्षेत्रों में अपघटन को प्रेरित करता हैः वोरोनोई क्षेत्र (वोरोनोई कोशिकाएं)। एक क्षेत्र आरेख में स्थल से जुड़े क्षेत्र को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया गया हैः इसे उन सभी बिंदुओं के समूह से जोड़ने के बजाय जिनकी दूरी अन्य स्थलों से उनकी दूरी से अधिक नहीं है, हम समतल में उन सभी बिंदुओं के समूह से जोड़ते हैं जिनकी दूरी किसी अन्य क्षेत्र से उनकी दूरी से अधिक नहीं है। औपचारिक रूप से। यहाँ बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी को दर्शाता है और और बिंदु और सेट के बीच की दूरी है। इसके अलावा, क्योंकि हम विमान पर विचार करते हैं। टुपल साइटों से जुड़ा क्षेत्र आरेख है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह गोलाकार प्रतीत होता हैः यह जानने के लिए कि हमें प्रत्येक सूचकांक के लिए पता होना चाहिए, लेकिन प्रत्येक ऐसे सूचकांक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। एक दूसरे विचार पर, हम देखते हैं कि वास्तव में टुपल समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का एक समाधान हैः कठोरता से, एक क्षेत्र आरेख इस प्रणाली का कोई भी समाधान है, यदि ऐसा कोई समाधान मौजूद है। इस परिभाषा को अनिवार्य रूप से उच्च आयामों में किसी भी बदलाव के बिना, उन स्थलों तक विस्तारित किया जा सकता है जो आवश्यक रूप से बिंदु नहीं हैं, असीम रूप से कई स्थलों आदि तक। व्याख्या कुछ स्थितियों में, जैसे कि ऊपर वर्णित, एक क्षेत्र आरेख की व्याख्या पारस्परिक रूप से शत्रुतापूर्ण राज्यों के बीच एक निश्चित संतुलन के रूप में की जा सकती है। एक असतत सेटिंग में इसे एक निश्चित संयोजन खेल में एक स्थिर विन्यास के रूप में व्याख्या की जा सकती है। औपचारिक परिभाषा मान लीजिए कि यह एक मीट्रिक स्थान है और कम से कम 2 तत्वों (सूचकांकों) का एक समूह है, संभवतः अनंत। गैर-खाली उपसमुच्चय के एक टुपल को देखते हुए, जिन्हें साइट कहा जाता है, इस टुपल के संबंध में एक क्षेत्र आरेख ऐसे उपसमुच्चय का एक टुपल है जो निम्नलिखित सभी समीकरणों के लिए संतुष्ट हैः एक निश्चित बिंदु के रूप में क्षेत्र आरेख समीकरणों की प्रणाली जो क्षेत्र आरेख को परिभाषित करती है, उसे उत्पाद स्थान पर परिभाषित एक फलन के एक निश्चित बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक सूचकांक के लिए सभी गैर-खाली उपसमुच्चय का समूह होना चाहिए। मान लीजिए और मान लीजिए कि फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, कहाँ और फिर एक क्षेत्र आरेख है यदि और केवल यदि यह डोम का एक निश्चित बिंदु है, अर्थात। क्षेत्र आरेखों को निश्चित बिंदुओं के रूप में देखना उपयोगी है क्योंकि कुछ सेटिंग्स में ज्ञात उपकरणों या निश्चित बिंदु सिद्धांत से दृष्टिकोण का उपयोग उनकी जांच करने और प्रासंगिक गुणों (अस्तित्व, आदि) को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अस्तित्व और विशिष्टता असानो एट अल के अग्रणी कार्य के बाद। (सीमित रूप से कई बिंदु स्थलों के संबंध में यूक्लिडियन तल में क्षेत्र आरेख का अस्तित्व और विशिष्टता), कई अस्तित्व या अस्तित्व और विशिष्टता परिणाम प्रकाशित किए गए हैं। 2012 तक, सबसे सामान्य परिणाम जो प्रकाशित किए गए हैं वे हैंः 2 स्थल (अस्तित्व): किसी भी मीट्रिक स्थान में मनमाने स्थलों की किसी भी जोड़ी के लिए कम से कम एक क्षेत्र आरेख मौजूद है। वास्तव में, यह अस्तित्व परिणाम किसी भी एम-स्पेस में होता है (मीट्रिक स्पेस का एक सामान्यीकरण जिसमें, उदाहरण के लिए, दूरी फलन नकारात्मक हो सकता है और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट नहीं कर सकता है)। 2 से अधिक स्थल (अस्तित्व): एक समान उत्तल स्थान के संक्षिप्त और उत्तल उपसमुच्चय के आंतरिक भाग में सीमित रूप से कई संक्षिप्त और असंबद्ध स्थलों का एक क्षेत्र आरेख मौजूद है। यह परिणाम वास्तव में अधिक सामान्य सेटिंग में होता है। 2 से अधिक स्थल (अस्तित्व और विशिष्टता): किसी भी सीमित-आयामी यूक्लिडियन स्थान में बंद और सकारात्मक रूप से अलग किए गए स्थलों के किसी भी संग्रह (संभवतः अनंत) के संबंध में एक अद्वितीय क्षेत्र आरेख मौजूद है। सकारात्मक रूप से अलग होने का मतलब है कि किसी भी दो स्थलों के बीच की दूरी पर एक सकारात्मक निचली सीमा मौजूद है। एक समान परिणाम उस मामले के लिए तैयार किया गया था जिसमें मानकीकृत स्थान परिमित-आयामी है और समान रूप से उत्तल और समान रूप से चिकना दोनों है। गैर-विशिष्टताः दो बिंदु स्थलों के मामले में भी सरल उदाहरण ज्ञात हैं। गणना अधिक जानकारी की आवश्यकता है। संबंधित वस्तुएँ और संभावित अनुप्रयोग वोरोनोई आरेखों के अलावा, क्षेत्र आरेख अन्य ज्यामितीय वस्तुओं जैसे कि दोहरे क्षेत्र आरेख, त्रिक्षेत्र, के-क्षेत्र, मोलफाइड क्षेत्र आरेख से निकटता से संबंधित हैं और परिणामस्वरूप रोबोट गति और वीएलएसआई डिजाइन से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। संदर्भ आरेख