1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
गणित में, एक विचलन श्रृंखला है, जिसे पहली बार यूलर द्वारा माना जाता है, जो प्राकृतिक संख्याओं के भाज्यों को बारी-बारी से संकेतों के साथ जोड़ती है। भिन्न होने के बावजूद, इसे बोरेल योग द्वारा लगभग 0.596347 का मान दिया जा सकता है। यूलर और बोरेल योग इस श्रृंखला पर पहली बार यूलर द्वारा विचार किया गया था, जिन्होंने श्रृंखला को एक सीमित मूल्य निर्धारित करने के लिए योगात्मकता विधियों को लागू किया था। श्रृंखला उन भाज्यों का योग है जिन्हें बारी-बारी से जोड़ा या घटाया जाता है। इस विचलन श्रृंखला के लिए एक मूल्य निर्धारित करने का एक तरीका बोरेल योग का उपयोग करना है, जहां कोई औपचारिक रूप से लिखते हैं यदि योग और एकीकरण आपस में बदले जाते हैं (इस बात को नजरअंदाज करते हुए कि कोई भी पक्ष अभिसरण नहीं करता है), तो कोई प्राप्त करता हैः वर्ग कोष्ठक में योग कब अभिसरण करता है, और उन मूल्यों के लिए बराबर होता है। सभी सकारात्मक वास्तविक के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता योग के लिए एक अभिसारी समाकलन की ओर ले जाती हैः जहाँ E1 (z) घातीय समाकलन है। यह परिभाषा के अनुसार श्रृंखला का बोरेल योग है। विभेदक समीकरणों से संबंध विभेदक समीकरणों की युग्मित प्रणाली पर विचार करें जहां बिंदु t के संबंध में व्युत्पन्न को दर्शाते हैं। स्थिर संतुलन वाले समाधान पर t → φ पर y (t) = होता है, और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने से एक औपचारिक श्रृंखला समाधान मिलता है। दूसरी ओर, विभेदक समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान होता है भागों द्वारा क्रमिक रूप से एकीकृत करके, औपचारिक शक्ति श्रृंखला को x (t) के लिए इस अभिव्यक्ति के लिए एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है। यूलर (कमोबेश) तर्क देते हैं कि चूंकि औपचारिक श्रृंखला और समाकलन दोनों विभेदक समीकरणों के एक ही समाधान का वर्णन करते हैं, इसलिए उन्हें एक दूसरे के बराबर होना चाहिए, वैकल्पिक भाज्य 1 + 1 + 1 + ꯘꯥ1 − 1 + 1 − 1 + ꯘꯥ (ग्रांडी) 1 + 2 + 3 + 4 + ꯘꯥ1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ1 − 2 + 3 − 4 + ꯘꯥ1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ भी देखें।