Lill's method
गणित में, लिल की विधि किसी भी डिग्री के अविभाज्य बहुपद के वास्तविक मूल को खोजने की एक दृश्य विधि है। इसे 1867 में ऑस्ट्रियाई इंजीनियर एडवर्ड लिल द्वारा विकसित किया गया था। लिल के बाद के एक शोध पत्र में जटिल जड़ों की समस्या पर चर्चा की गई। लिल की विधि में बहुपद के गुणांक के बराबर लंबाई के साथ समकोण बनाने वाले सीधी रेखा खंडों का एक मार्ग बनाना शामिल है। बहुपद की जड़ें तब अन्य समकोण पथों की ढलानों के रूप में पाई जा सकती हैं, जो प्रारंभ को टर्मिनस से भी जोड़ती हैं, लेकिन पहले पथ की रेखाओं पर शीर्षों के साथ। विधि का विवरण विधि को नियोजित करने के लिए एक आरेख मूल से शुरू किया जाता है। एक रेखा खंड को पहले गुणांक (उच्चतम-शक्ति पद का गुणांक) के परिमाण द्वारा दाईं ओर खींचा जाता है (ताकि एक नकारात्मक गुणांक के साथ खंड मूल के बाईं ओर समाप्त हो जाए)। पहले खंड के अंत से दूसरे खंड को दूसरे गुणांक के परिमाण से ऊपर की ओर खींचा जाता है, फिर तीसरे के परिमाण से छोड़ दिया जाता है, और चौथे के परिमाण से नीचे, और इसी तरह। दिशाओं का क्रम (मोड़ नहीं) हमेशा दाईं ओर, ऊपर की ओर, बाईं ओर, नीचे की ओर होता है, फिर खुद को दोहराता है। इस प्रकार प्रत्येक मोड़ घड़ी की विपरीत दिशा में होता है। यह प्रक्रिया शून्य सहित बहुपद के प्रत्येक गुणांक के लिए जारी रहती है, जिसमें नकारात्मक गुणांक "पीछे की ओर चलते हैं"। समीकरण के स्थिर पद के अनुरूप खंड के अंत में जो अंतिम बिंदु पहुंचता है, वह टर्मिनस है। फिर मूल से कुछ कोण पर एक रेखा को प्रक्षेपित किया जाता है, जो प्रत्येक रेखा खंड से एक समकोण पर परावर्तित होती है (जरूरी नहीं कि प्रतिबिंब का "प्राकृतिक" कोण), और प्रत्येक खंड के माध्यम से रेखा के माध्यम से एक समकोण पर अपवर्तित होती है (शून्य गुणांक के लिए एक रेखा सहित) जब कोणीय पथ उस रेखा पर रेखा खंड से नहीं टकराता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ निम्नलिखित अनुक्रम में परावर्तित या अपवर्तित होती हैंः वह रेखा जिसमें तब के गुणांक आदि के अनुरूप खंड होता है। ऐसा चुनते हुए कि पथ टर्मिनस पर उतरता है, की स्पर्शरेखा का ऋणात्मक इस बहुपद का मूल है। बहुपद के प्रत्येक वास्तविक शून्य के लिए एक अद्वितीय प्रारंभिक कोण और पथ होगा जो टर्मिनस पर उतरेगा। उदाहरण के लिए, दो वास्तविक जड़ों वाले एक द्विघात में ठीक दो कोण होंगे जो उपरोक्त शर्तों को पूरा करते हैं। जटिल जड़ों के लिए, किसी को भी समान त्रिकोणों की एक श्रृंखला खोजने की आवश्यकता होती है, लेकिन जड़ के काल्पनिक भाग के बराबर दूरी से बहुपद पथ से विस्थापित मूल पथ के शीर्षों के साथ। इस मामले में मूल पथ आयताकार नहीं होगा। व्याख्या प्रभाव में संरचना हॉर्नर की विधि के अनुसार बहुपद का मूल्यांकन करती है। बहुपद के लिए,, के मान क्रमिक रूप से बहुपद और मूल पथ के शीर्षों के बीच की दूरी के रूप में उत्पन्न होते हैं। बहुपद के मूल के लिए अंतिम मान शून्य है, इसलिए अंतिम शीर्ष बहुपद पथ टर्मिनस के साथ मेल खाता है। अतिरिक्त गुण एक समाधान रेखा जो एक मूल देती है, वह बहुपद के लिए लिल के निर्माण के समान होती है और उस मूल को हटा दिया जाता है, क्योंकि दृश्य निर्माण एक रैखिक (मूल) मोनिक (रफिनी का नियम) द्वारा बहुपद के कृत्रिम विभाजन के समान होता है। आरेख की समरूपता से, यह आसानी से देखा जा सकता है कि विपरीत बहुपद के मूल मूल मूल के पारस्परिक हैं। निर्माण घड़ी की विपरीत दिशा में मोड़ के बजाय घड़ी की दिशा में मोड़ का उपयोग करके भी किया जा सकता है। जब किसी पथ की व्याख्या दूसरे परिपाटी का उपयोग करके की जाती है, तो यह प्रतिबिंबित बहुपद (प्रत्येक विषम गुणांक संकेत बदल दिया जाता है) से मेल खाता है और मूल को नकार दिया जाता है। जब समकोण पथ को दूसरी दिशा में पार किया जाता है, लेकिन वही दिशा परंपरा होती है, तो यह विपरीत प्रतिबिंबित बहुपद से मेल खाती है और मूल मूल के नकारात्मक पारस्परिक होते हैं। थेल्स के प्रमेय लिल की विधि का उपयोग करके द्विघात मूल का पता लगाने का उपयोग थेल्स के प्रमेय के साथ एक द्विघात बहुपद के वास्तविक मूल का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। इस उदाहरण में 3x2 + 5x−2 के साथ, बहुपद के रेखा खंडों को पहले काले रंग में खींचा जाता है, जैसा कि ऊपर बताया गया है। एक वृत्त खींचा जाता है जिसमें सरल रेखा खंड प्रारंभ और अंत बिंदुओं को जोड़कर व्यास बनाता है। थेल्स के प्रमेय के अनुसार, इन बिंदुओं और वृत्त पर किसी भी अन्य बिंदु को रखने वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है। लिल विधि के मध्य खंड के साथ इस वृत्त के अंतःखंड, यदि आवश्यक हो तो विस्तारित किए जाते हैं, इस प्रकार लिल विधि में दो कोण वाले पथ, रंगीन नीले और लाल को परिभाषित करते हैं। उनके पहले खंडों के प्रवणताओं का ऋणात्मक, m, वास्तविक मूल 1/3 और −2 प्राप्त करता है। पेपर फोल्डिंग का उपयोग करके जड़ों का पता लगाना 1936 में मार्गेरिटा पियाज़ोला बेलोच ने दिखाया कि कैसे लिल की विधि को पेपर फोल्डिंग का उपयोग करके घन समीकरणों को हल करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। यदि एक साथ तहों की अनुमति दी जाती है तो वास्तविक मूल के साथ किसी भी nth डिग्री समीकरण को n-2 एक साथ तहों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इस उदाहरण में 3x3 + 2x2 − 7x + 2 के साथ, बहुपद के रेखा खंडों को पहले कागज (काला) की एक शीट पर खींचा जाता है। क्रमशः दूसरे और तीसरे खंडों (मंद वृत्त और वर्ग) में प्रारंभ और अंत बिंदुओं के प्रतिबिंबों से गुजरने वाली रेखाएँ, और उनके समानांतर (धूसर रेखाएँ) खींची जाती हैं। प्रत्येक जड़ के लिए, कागज को तब तक मोड़ दिया जाता है जब तक कि प्रारंभ बिंदु (काला वृत्त) और अंतिम बिंदु (काला वर्ग) इन रेखाओं पर प्रतिबिंबित नहीं हो जाते। परावर्तन की धुरी (डैश-डॉट रेखा) मूल (नीला, बैंगनी और लाल) के अनुरूप कोण पथ को परिभाषित करती है। उनके पहले खंडों के प्रवणताओं का ऋणात्मक, m, वास्तविक मूल 1/3,1 और-2 प्राप्त करता है। कार्लाइल वृत्त को भी देखें, जो एक मानक द्विघात के लिए लिल की विधि के थोड़े संशोधित संस्करण पर आधारित है। संदर्भ बाहरी लिंक लिल के मेथड मैथोलॉजर वीडियो के लिए एनिमेशनः "लेजर के साथ कछुओं को शूट करके समीकरणों को हल करना" ज्यामिति पेपर तह बहुपदों