Artin–Verdier duality
गणित में, आर्टिन-वर्डियर द्वैतता बीजगणितीय संख्याओं के एक वलय के वर्णक्रम पर निर्माण योग्य अबेलियन आवरणों के लिए एक द्वैतता प्रमेय है, जो टेट द्वैतता को सामान्यीकृत करता है। यह दर्शाता है कि, जहाँ तक ईटेल (या सपाट) समरूपता का संबंध है, एक संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों की वलयिका एक त्रि-आयामी गणितीय वस्तु की तरह व्यवहार करती है। कथन मान लीजिए कि X पूरी तरह से काल्पनिक संख्या क्षेत्र K में पूर्णांकों के वलय का वर्णक्रम है, और F X पर एक निर्माण योग्य एटेल एबेलियन आवरण है। फिर योनेडा युग्मन प्रत्येक पूर्णांक r के लिए परिमित अबेलियन समूहों की एक गैर-अपक्षयी युग्मन है। यहाँ, Hr (X, F) F में मानों के साथ योजना X का r-th étale समरूपता समूह है, और अतिरिक्त (F, G) X पर étale ébelian शीव की श्रेणी में étale शीफ F द्वारा étale शीफ G के r-विस्तार का समूह है। इसके अलावा, जी. एम. एक्स. के संरचना आवरण में इकाइयों के एटेल आवरण को दर्शाता है. निर्माण योग्य के लिए आर्टिन-वर्डियर द्वैतता साबित हुई, लेकिन जरूरी नहीं कि मरोड़ आवरण। इस तरह के आवरण F के लिए, उपरोक्त युग्मन समरूपता को प्रेरित करता है जहां परिमित समतल समूह योजनाएँ मान लीजिए कि U एक संख्या क्षेत्र K में पूर्णांकों के वलय के वर्णक्रम का एक खुला उपसमुच्चय है, और F U पर एक परिमित समतल परिवर्तनीय समूह योजना है। फिर कप उत्पाद सभी पूर्णांक r के लिए परिमित अबेलियन समूहों की एक गैर-अपक्षयी जोड़ी को परिभाषित करता है। यहाँ FD F के कार्टियर दोहरे को दर्शाता है, जो U पर एक और परिमित फ्लैट कम्यूटेटिव समूह योजना है। इसके अलावा, समतल अबेलियन शीफ एफ में मानों के साथ योजना यू का आर-th फ्लैट कोहोमोलॉजी समूह है, और सपाट अबेलियन शीफ एफ में मानों के साथ यू के कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ आर-th फ्लैट कोहोमोलॉजी है। कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ फ्लैट कोहोमोलॉजी को एक लंबे सटीक अनुक्रम को जन्म देने के लिए परिभाषित किया गया है। स्थानीय योगदान एचआर (केवी, एफ) स्थान वी पर के के हेन्सेलाइजेशन केवी की गैलोइस कोहोमोलॉजी है, एक ला टेट को संशोधित किया गया हैः यहाँ संख्या सिद्धांत द्वैतता सिद्धांतों में संदर्भ प्रमेयों का एक अलग समापन है।