Finite geometry
एक परिमित ज्यामिति कोई भी ज्यामितीय प्रणाली है जिसमें केवल सीमित संख्या में बिंदु होते हैं। परिचित यूक्लिडियन ज्यामिति सीमित नहीं है, क्योंकि एक यूक्लिडियन रेखा में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं। कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित ग्राफिक्स पर आधारित एक ज्यामिति, जिसमें पिक्सेल को बिंदु माना जाता है, एक सीमित ज्यामिति होगी। जबकि कई प्रणालियाँ हैं जिन्हें परिमित ज्यामिति कहा जा सकता है, उनकी नियमितता और सरलता के कारण ज्यादातर सीमित प्रोजेक्टिव और एफ़ाइन रिक्त स्थान पर ध्यान दिया जाता है। परिमित ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण प्रकार हैं परिमित मोबियस या व्युत्क्रम विमान और लैगुएरे विमान, जो बेंज विमान नामक एक सामान्य प्रकार के उदाहरण हैं, और उनके उच्च-आयामी अनुरूप जैसे कि उच्च परिमित व्युत्क्रम ज्यामिति। परिमित ज्यामिति का निर्माण रैखिक बीजगणित के माध्यम से किया जा सकता है, जो एक सीमित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान से शुरू होता है; इस तरह से निर्मित एफ़ाइन और प्रोजेक्टिव प्लेन को गैलोइस ज्यामिति कहा जाता है। परिमित ज्यामिति को विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। सबसे आम परिमित ज्यामितियाँ गैलोइस ज्यामितियाँ हैं, क्योंकि तीन या उससे अधिक आयाम का कोई भी परिमित प्रोजेक्टिव स्थान एक सीमित क्षेत्र पर एक प्रोजेक्टिव स्थान के लिए समरूप है (यानी, एक सीमित क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान का प्रोजेक्टिवाइजेशन)। हालांकि, आयाम दो में अफाइन और प्रोजेक्टिव प्लेन हैं जो गैलोइस ज्यामिति के लिए समरूप नहीं हैं, अर्थात् गैर-डेजारगेशियन प्लेन। इसी तरह के परिणाम अन्य प्रकार की परिमित ज्यामितियों के लिए भी होते हैं। परिमित तल निम्नलिखित टिप्पणियां केवल परिमित तल पर लागू होती हैं। दो मुख्य प्रकार की परिमित समतल ज्यामिति होती हैः एफ़ाइन और प्रोजेक्टिव। एक एफ़ाइन तल में, समानांतर रेखाओं का सामान्य अर्थ लागू होता है। एक प्रोजेक्टिव प्लेन में, इसके विपरीत, कोई भी दो रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए समानांतर रेखाएँ मौजूद नहीं होती हैं। फाइनाइट एफाइन प्लेन ज्यामिति और फाइनाइट प्रोजेक्टिव प्लेन ज्यामिति दोनों को काफी सरल स्वयंसिद्धियों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। एक एफ़ाइन समतल ज्यामिति एक गैर-खाली समुच्चय X है (जिसके तत्वों को "बिंदु" कहा जाता है), साथ में X के उपसमुच्चय का एक गैर-खाली संग्रह L है (जिसके तत्वों को "रेखाएँ" कहा जाता है), जैसे किः प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, बिल्कुल एक रेखा होती है जिसमें दोनों बिंदु होते हैं। प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध सिद्धांतः एक रेखा और एक बिंदु जो चालू नहीं है, को देखते हुए, बिल्कुल एक रेखा मौजूद है जिसमें चार अंकों का एक समूह मौजूद है, जिनमें से कोई भी तीन एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं। अंतिम स्वयंसिद्ध यह सुनिश्चित करता है कि ज्यामिति तुच्छ नहीं है (या तो खाली है या दिलचस्प होने के लिए बहुत सरल है, जैसे कि एक एकल रेखा जिस पर मनमाने ढंग से अंकों की संख्या है), जबकि पहले दो ज्यामिति की प्रकृति को निर्दिष्ट करते हैं। सबसे सरल एफ़ाइन तल में केवल चार बिंदु होते हैं; इसे क्रम 2 का एफ़ाइन तल कहा जाता है। (एक एफ़ाइन तल का क्रम किसी भी रेखा पर बिंदुओं की संख्या है, नीचे देखें।) चूँकि कोई तीन संरेखीय नहीं हैं, इसलिए बिंदुओं का कोई भी जोड़ा एक अद्वितीय रेखा निर्धारित करता है, और इसलिए इस तल में छह रेखाएँ होती हैं। यह एक टेट्राहेड्रॉन से मेल खाता है जहां गैर-छेदक किनारों को "समानांतर" माना जाता है, या एक वर्ग जहां न केवल विपरीत पक्ष, बल्कि विकर्णों को भी "समानांतर" माना जाता है। क्रम 3 के एफ़ाइन तल को हेस्से विन्यास के रूप में जाना जाता है। अधिक आम तौर पर, n क्रम के एक परिमित एफ़ाइन तल में n2 बिंदु और रेखाएँ होती हैं; प्रत्येक रेखा में n बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु रेखाओं पर होता है। परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन एक प्रोजेक्टिव प्लेन ज्यामिति एक गैर-खाली समुच्चय X है (जिसके तत्वों को "बिंदु" कहा जाता है), साथ में X के उपसमुच्चय का एक गैर-खाली संग्रह L है (जिसके तत्वों को "रेखाएँ" कहा जाता है), इस प्रकार किः प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, बिल्कुल एक रेखा होती है जिसमें दोनों बिंदु होते हैं। किसी भी दो अलग-अलग रेखाओं के प्रतिच्छेदन में बिल्कुल एक बिंदु होता है। चार बिंदुओं का एक समूह मौजूद है, जिनमें से कोई भी तीन एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं। पहले दो स्वयंसिद्धों की जांच से पता चलता है कि वे लगभग समान हैं, सिवाय इसके कि बिंदुओं और रेखाओं की भूमिकाओं को आपस में बदल दिया गया है। यह प्रोजेक्टिव प्लेन ज्यामिति के लिए द्वैत के सिद्धांत का सुझाव देता है, जिसका अर्थ है कि इन सभी ज्यामिति में मान्य कोई भी सही कथन सही रहता है यदि हम रेखाओं के लिए अंकों और बिंदुओं के लिए रेखाओं का आदान-प्रदान करते हैं। तीनों स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाली सबसे छोटी ज्यामिति में सात बिंदु होते हैं। प्रोजेक्टिव प्लेन के इस सबसे सरल स्तर में, सात रेखाएँ भी होती हैं; प्रत्येक बिंदु तीन रेखाओं पर होता है, और प्रत्येक रेखा में तीन बिंदु होते हैं। इस विशेष प्रोजेक्टिव प्लेन को कभी-कभी फैनो प्लेन कहा जाता है। यदि उस रेखा के बिंदुओं के साथ समतल से किसी भी रेखा को हटा दिया जाता है, तो परिणामी ज्यामिति क्रम 2 का एफ़ाइन तल है। फ़ानो तल को क्रम 2 का प्रोजेक्टिव तल कहा जाता है क्योंकि यह अद्वितीय है (समरूपता तक)। सामान्य तौर पर, n क्रम के प्रोजेक्टिव तल में n2 + n + 1 बिंदु और रेखाओं की समान संख्या होती है; प्रत्येक रेखा में n + 1 बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु n + 1 रेखाओं पर होता है। फ़ानो तल के सात बिंदुओं का क्रमपरिवर्तन जो संरेखीय बिंदुओं (एक ही रेखा पर बिंदु) को संरेखीय बिंदुओं तक ले जाता है, उसे तल का संरेखण कहा जाता है। पूर्ण संरेखण समूह क्रम 168 का है और समूह पी. एस. एल. (2,7) ≈ पी. एस. एल. (3,2) के लिए समरूप है, जो इस विशेष मामले में सामान्य रैखिक समूह के लिए भी समरूप है। विमानों का क्रम n क्रम का एक परिमित तल ऐसा होता है कि प्रत्येक रेखा में n बिंदु होते हैं (एक एफ़ाइन तल के लिए), या ऐसा कि प्रत्येक रेखा में n + 1 बिंदु होते हैं (एक प्रोजेक्टिव तल के लिए)। परिमित ज्यामिति में एक प्रमुख खुला प्रश्न हैः क्या एक परिमित तल का क्रम हमेशा एक अभाज्य शक्ति है? यह बात सच मानी जा रही है। जब भी n एक अभाज्य शक्ति होती है (एक अभाज्य संख्या को एक धनात्मक पूर्णांक घातांक तक बढ़ाया जाता है), तो तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर समतुल्य और प्रक्षेपात्मक विमानों का उपयोग करके n क्रम के समतुल्य और प्रक्षेपात्मक विमान मौजूद होते हैं। सीमित क्षेत्रों से प्राप्त विमान भी मौजूद नहीं हैं (जैसे। के लिए), लेकिन सभी ज्ञात उदाहरणों में एक प्रमुख शक्ति होती है। आज तक का सबसे अच्छा सामान्य परिणाम 1949 का ब्रूक-रायसर प्रमेय है, जिसमें कहा गया हैः यदि n रूप का एक सकारात्मक पूर्णांक है या और n दो पूर्णांक वर्गों के योग के बराबर नहीं है, तो n एक परिमित तल के क्रम के रूप में नहीं आता है। सबसे छोटा पूर्णांक जो एक अभाज्य शक्ति नहीं है और ब्रुक-रेसर प्रमेय द्वारा कवर नहीं किया गया है वह 10 है; 10 रूप का है, लेकिन यह वर्गों के योग के बराबर है। क्रम 10 के एक परिमित तल का गैर-अस्तित्व एक कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण में साबित हुआ जो 1989 में समाप्त हुआ-विवरण के लिए देखें। विचार करने के लिए अगली सबसे छोटी संख्या 12 है, जिसके लिए न तो सकारात्मक और न ही नकारात्मक परिणाम साबित हुआ है। व्यक्तिगत उदाहरण थॉमस पेनिंग्टन किर्कमैन (1847) के काम और वॉन स्टॉड (1856) द्वारा दी गई परिमित प्रोजेक्टिव ज्यामिति के व्यवस्थित विकास में पाए जा सकते हैं। परिमित प्रोजेक्टिव ज्यामिति का पहला स्वयंसिद्ध उपचार इतालवी गणितशास्त्री गिनो फानो द्वारा विकसित किया गया था। प्रोजेक्टिव एन-स्पेस के लिए स्वयंसिद्धों के समूह की स्वतंत्रता को साबित करने के अपने काम में, जिसे उन्होंने विकसित किया, उन्होंने 15 अंकों, 35 रेखाओं और 15 विमानों के साथ एक सीमित त्रि-आयामी स्थान पर विचार किया (आरेख देखें), जिसमें प्रत्येक रेखा पर केवल तीन बिंदु थे। 1906 में ओस्वाल्ड वेब्लेन और डब्ल्यू. एच. बस्सी ने गैलोइस क्षेत्र जी. एफ. (क्यू) से प्रविष्टियों के साथ सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके प्रोजेक्टिव ज्यामिति का वर्णन किया। जब एन + 1 निर्देशांकों का उपयोग किया जाता है, तो एन-आयामी परिमित ज्यामिति को पीजी (एन, क्यू) दर्शाया जाता है। यह सिंथेटिक ज्यामिति में उत्पन्न होता है और इसका एक संबंधित परिवर्तन समूह है। 3 या अधिक आयामों के परिमित स्थान परिमित समतल ज्यामिति और उच्च-आयामी सीमित रिक्त स्थान की ज्यामिति के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतरों के लिए, स्वयंसिद्ध प्रक्षेपात्मक स्थान देखें। सामान्य रूप से उच्च-आयामी सीमित स्थानों की चर्चा के लिए, उदाहरण के लिए, जे. डब्ल्यू. पी. के कार्य देखें। हिर्शफेल्ड। इन उच्च-आयामी रिक्त स्थान () के अध्ययन के उन्नत गणितीय सिद्धांतों में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। स्वयंसिद्ध परिभाषा एक प्रोजेक्टिव स्पेस S को स्वयंसिद्ध रूप से एक समुच्चय P (बिंदुओं का समुच्चय) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, साथ में P (रेखाओं का समुच्चय) के सबसेट के एक समुच्चय L के साथ, जो इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता हैः प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदु p और q बिल्कुल एक रेखा में हैं। वेब्लेन का स्वयंसिद्ध सिद्धांतः यदि ए, बी, सी, डी अलग-अलग बिंदु हैं और एबी और सीडी के माध्यम से रेखाएं मिलती हैं, तो एसी और बीडी के माध्यम से रेखाएं भी मिलती हैं। किसी भी रेखा पर कम से कम 3 अंक होते हैं। अंतिम स्वयंसिद्ध ह्रास योग्य मामलों को समाप्त करता है जिन्हें अलग-अलग प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान में किसी भी दो बिंदुओं को जोड़ने वाली 2-बिंदु रेखाओं के साथ प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के असंबद्ध संघ के रूप में लिखा जा सकता है। अधिक अमूर्त रूप से, इसे एक आपतन संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें बिंदुओं का एक सेट पी, रेखाओं का एक सेट एल, और एक आपतन संबंध I यह बताता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं। एक परिमित प्रक्षेपात्मक स्थान प्राप्त करने के लिए एक और स्वयंसिद्ध सिद्धांत की आवश्यकता होती हैः बिंदु पी का समुच्चय एक परिमित समुच्चय है। किसी भी परिमित प्रक्षेपात्मक स्थान में, प्रत्येक रेखा में समान संख्या में बिंदु होते हैं और स्थान के क्रम को इस सामान्य संख्या से एक कम के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रोजेक्टिव स्पेस का एक उपक्षेत्र एक उपसमुच्चय X है, जैसे कि X के दो बिंदुओं वाली कोई भी रेखा X का एक उपसमुच्चय है (यानी पूरी तरह से X में निहित)। पूर्ण स्थान और खाली स्थान हमेशा उप-स्थान होते हैं। अन्तरिक्ष के ज्यामितीय आयाम को n कहा जाता है यदि यह सबसे बड़ी संख्या है जिसके लिए इस रूप के उपस्थानों की एक सख्ती से आरोही श्रृंखला हैः बीजगणितीय निर्माण प्रणालियों का एक मानक बीजगणितीय निर्माण इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक विभाजन रिंग डी के लिए डी पर एक आयामी सदिश स्थान का निर्माण करें (सदिश स्थान आयाम एक आधार में तत्वों की संख्या है)। मान लीजिए कि P इस सदिश स्थान का 1-आयामी (एकल जनित्र) उप-स्थान है और L इस सदिश स्थान का 2-आयामी (दो स्वतंत्र जनित्र) उप-स्थान (सदिश जोड़ के तहत बंद) है। घटना रोकथाम है। यदि D परिमित है तो यह एक परिमित क्षेत्र GF (q) होना चाहिए, क्योंकि वेडरबर्न के लघु प्रमेय के अनुसार सभी परिमित विभाजन वलय क्षेत्र हैं। इस मामले में, यह निर्माण एक सीमित प्रोजेक्टिव स्थान का उत्पादन करता है। इसके अलावा, यदि किसी प्रोजेक्टिव स्पेस का ज्यामितीय आयाम कम से कम तीन है तो एक विभाजन रिंग है जिससे स्पेस का निर्माण इस तरह से किया जा सकता है। नतीजतन, ज्यामितीय आयाम के सभी सीमित प्रोजेक्टिव स्पेस कम से कम तीन सीमित क्षेत्रों पर परिभाषित किए जाते हैं। इस तरह के एक सीमित क्षेत्र पर परिभाषित एक परिमित प्रोजेक्टिव स्पेस में एक रेखा पर बिंदु होते हैं, इसलिए क्रम की दो अवधारणाएं मेल खाती हैं। इस तरह के एक सीमित प्रोजेक्टिव स्पेस को इस प्रकार दर्शाया जाता है, जहां पीजी प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए खड़ा है, एन ज्यामिति का ज्यामितीय आयाम है और क्यू ज्यामिति के निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले परिमित क्षेत्र का आकार (क्रम) है। सामान्य तौर पर, के-आयामी उपस्थानों की संख्या उत्पाद द्वारा दी जाती हैः जो एक गौसी द्विपद गुणांक है, जो एक द्विपद गुणांक का एक क्यू अनुरूप है। ज्यामितीय आयाम द्वारा परिमित प्रोजेक्टिव स्पेस का वर्गीकरण आयाम 0 (कोई रेखा नहीं): स्पेस एक एकल बिंदु है और इतना पतित है कि इसे आमतौर पर नजरअंदाज कर दिया जाता है। आयाम 1 (बिल्कुल एक रेखा): सभी बिंदु अद्वितीय रेखा पर होते हैं, जिसे प्रोजेक्टिव रेखा कहा जाता है। आयाम 2: कम से कम 2 रेखाएँ होती हैं, और कोई भी दो रेखाएँ मिलती हैं। एक प्रोजेक्टिव स्पेस एक प्रोजेक्टिव प्लेन है। इन्हें वर्गीकृत करना बहुत कठिन है, क्योंकि उनमें से सभी ए के साथ समरूप नहीं हैं। डेसारगेशियन तल (जो ए के साथ समरूप हैं) डेसारगेस के प्रमेय को संतुष्ट करते हैं और सीमित क्षेत्रों पर प्रोजेक्टिव तल हैं, लेकिन कई गैर-डेसारगेशियन तल हैं। कम से कम आयाम 3: दो गैर-छेदक रेखाएँ मौजूद हैं। वेब्लेन-यंग प्रमेय परिमित मामले में बताता है कि ज्यामितीय आयाम का प्रत्येक प्रोजेक्टिव स्पेस किसी सीमित क्षेत्र GF (q) पर n-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस के साथ आइसोमोर्फिक है। सबसे छोटा प्रक्षेप्य त्रि-स्थान सबसे छोटा त्रि-आयामी प्रक्षेप्य स्थान जी. एफ. (2) क्षेत्र के ऊपर है और इसे पी. जी. (3,2) द्वारा दर्शाया जाता है। इसमें 15 अंक, 35 लाइनें और 15 विमान हैं। प्रत्येक तल में 7 बिंदु और 7 रेखाएँ होती हैं। प्रत्येक पंक्ति में 3 अंक होते हैं। ज्यामिति के रूप में, ये तल फ़ानो तल के समरूप हैं। प्रत्येक अंक 7 पंक्तियों में निहित है। अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी बिल्कुल एक रेखा में निहित होती है और अलग-अलग विमानों की प्रत्येक जोड़ी बिल्कुल एक रेखा में प्रतिच्छेद करती है। 1892 में, गिनो फ़ानो इस तरह की सीमित ज्यामिति पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे। किर्कमैन की स्कूली छात्रा की समस्या पीजी (3,2) किर्कमैन की स्कूली छात्रा की समस्या के समाधान की पृष्ठभूमि के रूप में उत्पन्न होती है, जिसमें कहा गया हैः "पंद्रह स्कूली छात्राएँ हर दिन तीन के पांच समूहों में चलती हैं। एक सप्ताह के लिए लड़कियों की सैर की व्यवस्था करें ताकि उस समय में, लड़कियों की प्रत्येक जोड़ी एक समूह में सिर्फ एक बार एक साथ चले। लड़कियों के लिए एक साथ चलने के लिए 35 अलग-अलग संयोजन हैं। सप्ताह के 7 दिन भी होते हैं, और प्रत्येक समूह में 3 लड़कियाँ होती हैं। इस समस्या के सात गैर-समरूप समाधानों में से दो को नैनो 3-स्पेस, पीजी (3,2) में संरचनाओं के संदर्भ में कहा जा सकता है, जिसे पैकिंग के रूप में जाना जाता है। एक प्रोजेक्टिव स्पेस का फैलाव इसके बिंदुओं का असंबद्ध रेखाओं में विभाजन है, और एक पैकिंग रेखाओं का असंबद्ध फैलाव में विभाजन है। पीजी (3,2) में, एक स्प्रेड 15 अंकों का 5 अलग-अलग रेखाओं (प्रत्येक पंक्ति पर 3 अंकों के साथ) में विभाजन होगा, इस प्रकार एक विशेष दिन पर स्कूली लड़कियों की व्यवस्था के अनुरूप होगा। पीजी (3,2) की एक पैकिंग में सात अलग-अलग स्प्रेड होते हैं और इसलिए यह व्यवस्था के पूरे सप्ताह के अनुरूप होता है। ब्लॉक डिजाइन भी देखें-एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन का सामान्यीकरण। सामान्यीकृत बहुभुज घटना ज्यामिति रैखिक स्थान (ज्यामिति) बहुभुज के पास आंशिक ज्यामिति ध्रुवीय स्थान टिप्पणियाँ संदर्भ। बाहरी लिंक एरिक मूरहाउस द्वारा घटना ज्यामिति टेरेंस ताओ द्वारा बीजगणितीय संयोजन ज्यामिति माइकल ग्रीनबर्ग द्वारा परिमित ज्यामिति पर निबंध परिमित ज्यामिति (स्क्रिप्ट) सीमित ज्यामिति संसाधन जे. डब्ल्यू. पी. हिर्शफेल्ड, सीमित ज्यामिति पर शोधकर्ता हिर्शफेल्ड द्वारा सीमित ज्यामिति पर किताबें सीमित ज्यामिति ए. एम. एस. कॉलमः सीमित ज्यामिति? गैलोइस ज्यामिति और सामान्यीकृत बहुभुज, 1998 में मैथ ओवरफ्लो पर ऑर्डर 12 के प्रोजेक्टिव प्लेन का गहन पाठ्यक्रम। संयोजकता