Complete sequence
गणित में, प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को एक पूर्ण अनुक्रम कहा जाता है यदि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को अनुक्रम में मूल्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, प्रत्येक मान का अधिकतम एक बार उपयोग करके। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या प्रणाली का आधार दो (1,2,4,8) की शक्तियों का अनुक्रम एक पूर्ण अनुक्रम है; किसी भी प्राकृतिक संख्या को देखते हुए, हम इसके द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 बिट के अनुरूप मान चुन सकते हैं और उस संख्या को प्राप्त करने के लिए उनका योग कर सकते हैं (जैसे। 37 = 1001012 = 1 + 4 + 32)। यह अनुक्रम न्यूनतम है, क्योंकि कुछ प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना असंभव बनाए बिना इससे कोई भी मान नहीं हटाया जा सकता है। पूर्ण नहीं होने वाले अनुक्रमों के सरल उदाहरणों में सम संख्याएँ शामिल हैं, क्योंकि सम संख्याएँ जोड़ने से केवल सम संख्याएँ उत्पन्न होती हैं-कोई विषम संख्या नहीं बनाई जा सकती है। पूर्णता के लिए शर्तें सामान्यता के नुकसान के बिना, मान लें कि अनुक्रम एक गैर-घटते क्रम में है, और एक के आंशिक योग को इस प्रकार परिभाषित करता हैः तब एक पूर्ण अनुक्रम होने के लिए शर्तें आवश्यक और पर्याप्त दोनों होती हैं। उपरोक्त अवस्थाओं के लिए एक परिणाम जो एक पूर्ण अनुक्रम होने के लिए पर्याप्त हैं। हालाँकि ऐसे पूर्ण अनुक्रम हैं जो इस परिणाम को संतुष्ट नहीं करते हैं, उदाहरण के लिए, जिसमें संख्या 1 और 2 की प्रत्येक घात के बाद पहला अभाज्य होता है। अन्य पूर्ण अनुक्रम पूर्ण अनुक्रमों में शामिल हैंः संख्या 1 का अनुक्रम जिसके बाद अभाज्य संख्याएँ (एस. एस. पिल्लई और अन्य द्वारा अध्ययन किया गया); यह बर्ट्रैंड के अभिधारणा से मिलता है। व्यावहारिक संख्याओं का अनुक्रम जिसमें प्रथम पद के रूप में 1 है और उपसमुच्चय के रूप में 2 की अन्य सभी शक्तियाँ शामिल हैं। फिबोनाची संख्याएँ, साथ ही किसी भी एक संख्या के साथ फिबोनाची संख्याएँ हटा दी गई हैं। यह इस पहचान से पता चलता है कि पहली n फिबोनाची संख्याओं का योग (n + 2) nd फिबोनाची संख्या माइनस 1 है। अनुप्रयोग जिस प्रकार द्विआधारी संख्या प्रणाली के कारण दो की शक्तियाँ एक पूर्ण अनुक्रम बनाती हैं, वास्तव में किसी भी पूर्ण अनुक्रम का उपयोग पूर्णांकों को बिट स्ट्रिंग के रूप में कूटबद्ध करने के लिए किया जा सकता है। सबसे दाएँ बिट की स्थिति अनुक्रम के पहले, सबसे छोटे सदस्य को दी जाती है; अगले सबसे दाएँ सदस्य को; और इसी तरह। 1 पर सेट किए गए बिटों को राशि में शामिल किया जाता है। ये प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं हो सकते हैं। फिबोनाची कोडिंग उदाहरण के लिए, फिबोनाची अनुक्रम पर आधारित फिबोनाची अंकगणितीय प्रणाली में, संख्या 17 को छह अलग-अलग तरीकों से कूटबद्ध किया जा सकता हैः 110111 (F6 + F5 + F3 + F2 + F1 = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17, अधिकतम रूप) 111001 (F6 + F5 + F4 + F1 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17) 111010 (F6 + F5 + F4 + F2 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17) 1000111 (F7 + F3 + F2 + F1 = 13 + 2 + 1 + 1 = 17) पीछे वाले के बिना पूर्ण कोडिंग यहाँ पाई जा सकती है। पीछे वाले को छोड़ने से, ऊपर 17 के लिए कोडिंग A104326 के 16वें पद के रूप में होती है। न्यूनतम फॉर्म कभी भी F1 का उपयोग नहीं करेगा और हमेशा एक पीछे शून्य होगा। पीछे शून्य के बिना पूर्ण कोडिंग यहाँ पाई जा सकती है। इस कोडिंग को ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इस अंक प्रणाली में, किसी भी सबस्ट्रिंग "100" को "011" द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और इसके विपरीत फिबोनाची संख्याओं की परिभाषा के कारण। इन नियमों का निरंतर उपयोग अधिकतम से न्यूनतम में बदल जाएगा, और इसके विपरीत। तथ्य यह है कि किसी भी संख्या (1 से अधिक) को टर्मिनल 0 के साथ दर्शाया जा सकता है, इसका मतलब है कि 1 को जोड़ना हमेशा संभव है, और यह देखते हुए कि 1 और 2 के लिए फिबोनाची कोडिंग में दर्शाया जा सकता है, पूर्णता का अनुसरण प्रेरण द्वारा किया जाता है। ओस्ट्रोव्स्की संख्या संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक पूर्णांक अनुक्रम