Hyperfunction
गणित में, हाइपरफ़ंक्शंस कार्यों के सामान्यीकरण हैं, एक सीमा पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन से दूसरे में 'कूद' के रूप में, और अनौपचारिक रूप से अनंत क्रम के वितरण के रूप में सोचा जा सकता है। हाइपरफंक्शंस को मिको साटो द्वारा 1958 में जापानी में (1959,1960 में अंग्रेजी में) पेश किया गया था, जो लॉरेंट श्वार्ट्ज, ग्रोथेन्डिक और अन्य लोगों के पहले के काम पर आधारित था। फॉर्मूलेशन वास्तविक रेखा पर एक अति-फलन को ऊपरी अर्ध-तल पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फलन और निचले अर्ध-तल पर दूसरे के बीच 'अंतर' के रूप में माना जा सकता है। अर्थात्, एक अति फलन को एक जोड़ी (f, g) द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जहाँ f ऊपरी अर्ध-तल पर एक समरूप फलन है और g निचले अर्ध-तल पर एक समरूप फलन है। अनौपचारिक रूप से, हाइपरफंक्शंस वह है जो वास्तविक रेखा पर ही अंतर होगा। यह अंतर f और g दोनों में एक ही होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को जोड़ने से प्रभावित नहीं होता है, इसलिए यदि h पूरे जटिल तल पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है, तो हाइपरफ़ंक्शंस (f, g) और (f + h, g + h) को समतुल्य के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक आयाम में परिभाषा शीफ कोहोमोलॉजी के विचारों का उपयोग करके प्रेरणा को ठोस रूप से लागू किया जा सकता है। वास्तविक रेखा पर हाइपरफ़ंक्शंस को पहले स्थानीय समरूपता समूह के रूप में परिभाषित करेंः ठोस रूप से, क्रमशः ऊपरी आधा-तल और निचला आधा-तल होने दें। फिर इसलिए चूंकि किसी भी आवरण का शून्य समरूपता समूह केवल उस आवरण का वैश्विक खंड है, इसलिए हम देखते हैं कि एक हाइपरफंक्शन होलोमोर्फिक कार्यों की एक जोड़ी है जो ऊपरी और निचले जटिल अर्ध तल मॉड्यूलो पूरे होलोमोर्फिक कार्यों पर एक-एक है। अधिक आम तौर पर कोई भी किसी भी खुले सेट के लिए भागफल के रूप में परिभाषित कर सकता है जहां कोई भी खुला सेट है। कोई यह दिखा सकता है कि यह परिभाषा हाइपरफ़ंक्शंस को होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के "सीमा मूल्यों" के रूप में सोचने के लिए एक और कारण देने के विकल्प पर निर्भर नहीं करती है। उदाहरण यदि f पूरे जटिल तल पर कोई समरूप फलन है, तो वास्तविक अक्ष पर f का प्रतिबंध एक अति फलन है, जिसे (f, 0) या (0, −f) द्वारा दर्शाया जाता है। हेविसाइड चरण फलन को इस रूप में दर्शाया जा सकता है कि जटिल लघुगणक का प्रमुख मान कहाँ है। डीराक डेल्टा "फलन" द्वारा दर्शाया जाता है यह वास्तव में कौची के समाकलन सूत्र का पुनर्कथन है। इसे सत्यापित करने के लिए वास्तविक रेखा के ठीक नीचे f के एकीकरण की गणना की जा सकती है, और वास्तविक रेखा के ठीक ऊपर g के एकीकरण को घटाया जा सकता है-दोनों बाएं से दाएं। ध्यान दें कि हाइपरफ़ंक्शन गैर-तुच्छ हो सकता है, भले ही घटक एक ही फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता हों। इसके अलावा इसे हेविसाइड फ़ंक्शन को अलग करके आसानी से जांचा जा सकता है। यदि g वास्तविक रेखा पर एक निरंतर फलन (या अधिक सामान्य रूप से एक वितरण) है जो एक सीमित अंतराल I में निहित समर्थन के साथ है, तो g अति फलन (f, −f) से मेल खाता है, जहां f, I के पूरक पर एक समरूप फलन है। f का सूत्र पिछले उदाहरण से मिलता है जिसमें g को डीराक डेल्टा फलन के साथ स्वयं के अभिसरण के रूप में लिखा गया है। एकता के विभाजन का उपयोग करके कोई भी निरंतर कार्य (वितरण) को सघन समर्थन के साथ स्थानीय रूप से सीमित कार्य (वितरण) के रूप में लिख सकता है। यदि f कोई भी फलन है जो 0 पर एक आवश्यक विलक्षणता को छोड़कर हर जगह समरूप है (उदाहरण के लिए, e1/z), तो समर्थन 0 के साथ एक अति फलन है जो एक वितरण नहीं है। यदि f में 0 पर परिमित क्रम का ध्रुव है तो यह एक वितरण है, इसलिए जब f में एक आवश्यक विलक्षणता होती है तो यह 0 पर "अनंत क्रम के वितरण" की तरह दिखता है। (ध्यान दें कि वितरण में हमेशा किसी भी बिंदु पर सीमित क्रम होता है।) हाइपरफंक्शंस पर संचालन कोई भी खुला उपसमुच्चय होना चाहिए। परिभाषा के अनुसार एक सदिश स्थान ऐसा है कि जटिल संख्याओं के साथ जोड़ और गुणन अच्छी तरह से परिभाषित हैं। स्पष्ट रूप सेः स्पष्ट प्रतिबंध मानचित्र एक आवरण में बदल जाते हैं (जो वास्तव में दुबला होता है)। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों और विभेदन के साथ गुणन अच्छी तरह से परिभाषित हैंः इन परिभाषाओं के साथ एक डी-मॉड्यूल बन जाता है और एम्बेडिंग डी-मॉड्यूल का एक रूपात्मकता है। यदि दो होलोमोर्फिक बिंदु हैं, तो एकीकरण अच्छी तरह से परिभाषित हैः जहां मनमाने वक्र हैं समाकलन इन वक्रों के चयन से स्वतंत्र हैं क्योंकि ऊपरी और निचले आधे तल बस जुड़े हुए हैं। कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ हाइपरफ़ंक्शंस का स्थान होने दें। द्विरेखीय रूप के माध्यम से प्रत्येक हाइपरफ़ंक्शन के लिए एक सहयोगी कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक निरंतर रैखिक फ़ंक्शन पर यह दोहरे स्थान की पहचान को प्रेरित करता है, जिसमें एक विशेष मामला विचार करने योग्य है जो कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों या वितरण का मामला हैः यदि कोई उपरोक्त एम्बेडिंग के माध्यम से (या) को एक सबसेट के रूप में मानता है, तो यह ठीक पारंपरिक लेबस्ग्यू-इंटीग्रल की गणना करता है। इसके अलावाः यदि कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक वितरण है, तो एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य है, और फिर इस प्रकार एकीकरण की यह धारणा औपचारिक अभिव्यक्तियों को एक सटीक अर्थ देती है जैसे कि सामान्य अर्थों में अनिर्धारित हैं। इसके अलावाः क्योंकि वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य घने हैं, इसका एक उपक्षेत्र है। यह उसी एम्बेडिंग का एक वैकल्पिक विवरण है। यदि के खुले सेटों के बीच एक वास्तविक विश्लेषणात्मक मानचित्र है, तो रचना के साथ एक अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेटर हैः बीजगणितीय विश्लेषण सामान्यीकृत कार्य वितरण (गणित) माइक्रोलोकल विश्लेषण छद्म-विभेदक ऑपरेटर शीफ कोहोमोलॉजी संदर्भ भी देखें। .. .. .. - इसे एसकेके कहा जाता है। .. .. .. .. .. .. .. बाहरी लिंक बीजगणितीय विश्लेषण जटिल विश्लेषण सामान्यीकृत कार्य शीफ सिद्धांत