Classical orthogonal polynomials
गणित में, शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल बहुपद हैंः हर्माइट बहुपद, लैगुएरे बहुपद, जैकोबी बहुपद (एक विशेष मामले के रूप में गेजेनबॉयर बहुपद, चेबीशेव बहुपद और लीजेंड्रे बहुपद सहित)। गणितीय भौतिकी (विशेष रूप से, यादृच्छिक मैट्रिक्स का सिद्धांत), सन्निकटन सिद्धांत, संख्यात्मक विश्लेषण और कई अन्य क्षेत्रों में उनके कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद 19वीं शताब्दी की शुरुआत में एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे के कार्यों में दिखाई दिए, जिन्होंने लीजेंड्रे बहुपदों की शुरुआत की। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, पी. एल. चेबिशेव और फिर ए. ए. मार्कोव और टी. जे. स्टील्टजेस द्वारा क्षण समस्या को हल करने के लिए निरंतर अंशों के अध्ययन ने ऑर्थोगोनल बहुपदों की सामान्य धारणा को जन्म दिया। दिए गए बहुपदों के लिए और शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों को निर्धारित स्थिरांक के साथ विभेदक समीकरण के समाधान होने की विशेषता है। ऑर्थोगोनल शास्त्रीय बहुपदों की कई और सामान्य परिभाषाएँ हैं; उदाहरण के लिए, एस्की योजना में सभी बहुपदों के लिए इस शब्द का उपयोग करें। परिभाषा सामान्य तौर पर, एक भार के संबंध में ऑर्थोगोनल बहुपद संतुष्ट करते हैं उपरोक्त संबंध एक संख्या द्वारा गुणन तक परिभाषित करते हैं। स्थिरांक को ठीक करने के लिए विभिन्न सामान्यीकरणों का उपयोग किया जाता है, जैसे। शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद भार के निम्नलिखित तीन परिवारों के अनुरूप हैंः मानक सामान्यीकरण (जिसे मानकीकरण भी कहा जाता है) नीचे विस्तृत है। जैकोबी बहुपदों के लिए जैकोबी बहुपदों को सूत्र द्वारा दिया जाता है वे सामान्यीकृत (मानकीकृत) होते हैं और ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति को संतुष्ट करते हैं जैकोबी बहुपद अंतर समीकरण के समाधान हैं महत्वपूर्ण विशेष मामलों के साथ जैकोबी बहुपदों को गेगेनबॉयर बहुपद (पैरामीटर के साथ) कहा जाता है क्योंकि, इन्हें लीजेंड्रे बहुपद कहा जाता है (जिसके लिए ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल [−1,1] है और वजन कार्य केवल 1 है): क्योंकि, एक व्यक्ति चेबीशेव बहुपदों (क्रमशः दूसरे और पहले प्रकार के) को प्राप्त करता है। हर्माइट बहुपदों हर्माइट बहुपदों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि वे ऑर्थोगोनलिटी स्थिति और विभेदक समीकरण लैगुएरे बहुपदों को संतुष्ट करते हैं सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों को (शास्त्रीय लैगुएरे बहुपदों के अनुरूप) द्वारा परिभाषित किया जाता है। वे ऑर्थोगोनलिटी संबंध और विभेदक समीकरण को संतुष्ट करते हैं विभेदक समीकरण शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद उस रूप के विभेदक समीकरण से उत्पन्न होते हैं जहां Q एक दिए गए द्विघात (अधिक से अधिक) बहुपद है, और L एक दी गई रैखिक बहुपद है। फलन f, और स्थिरांक λ, पाए जाने हैं। (ध्यान दें कि इस तरह के समीकरण का बहुपद समाधान होना समझ में आता है। समीकरण में प्रत्येक पद एक बहुपद है, और डिग्री सुसंगत हैं।) यह एक स्टर्म-लिउविल प्रकार का समीकरण है। इस तरह के समीकरणों में आम तौर पर λ के विशेष मूल्यों को छोड़कर उनके समाधान फलन f में विलक्षणता होती है। उन्हें आइगेनवेक्टर/आइगेनवैल्यू समस्याओं के रूप में सोचा जा सकता हैः डी को डिफरेंशियल ऑपरेटर मानते हुए, और λ के संकेत को बदलते हुए, समस्या आइगेनवेक्टर्स (आइगेनफ़ंक्शंस) f, और संबंधित आइगेनवैल्यूज λ को खोजने की है, जैसे कि f में सिंगुलरिटी न हो और D (f) = λf। इस विभेदक समीकरण के समाधानों में विलक्षणताएँ होती हैं जब तक कि λ विशिष्ट मूल्यों को नहीं लेता है। संख्याएँ λ0, λ1, λ2 की एक श्रृंखला होती है. जिससे बहुपद समाधान P0, P1, P2 की एक श्रृंखला बनती है. यदि शर्तों के निम्नलिखित सेटों में से एक को पूरा किया जाता हैः Q वास्तव में द्विघात है, L रैखिक है, Q के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, L का मूल सख्ती से Q के मूल के बीच स्थित है, और Q और L के प्रमुख शब्दों का एक ही संकेत है। क्यू वास्तव में द्विघात नहीं है, लेकिन रैखिक है, एल रैखिक है, क्यू और एल के मूल अलग हैं, और क्यू और एल के प्रमुख शब्दों का एक ही संकेत है यदि एल का मूल क्यू के मूल से कम है, या इसके विपरीत। क्यू सिर्फ एक गैर-शून्य स्थिरांक है, एल रैखिक है, और एल के अग्रणी पद में क्यू का विपरीत संकेत है। ये तीन मामले क्रमशः जैकोबी जैसे, लैगुएरे जैसे और हर्माइट जैसे बहुपदों की ओर ले जाते हैं। इन तीन मामलों में से प्रत्येक में, हमारे पास निम्नलिखित हैंः समाधान बहुपदों की एक श्रृंखला है P0, P1, P2,., प्रत्येक Pn की डिग्री n है, और एक संख्या λn के अनुरूप है। ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल क्यू की जो भी जड़ें हैं, उनसे घिरा हुआ है। एल का मूल ऑर्थोगोनलिटी के अंतराल के भीतर है। मान लीजिए, बहुपद भार फलन डब्ल्यू (एक्स) के तहत ऑर्थोगोनल हैं, अंतराल के अंदर कोई शून्य या अनंतता नहीं है, हालांकि इसमें अंतिम बिंदुओं पर शून्य या अनंतता हो सकती है। W (x) किसी भी बहुपद को एक परिमित आंतरिक उत्पाद देता है। अंतराल में डब्ल्यू (एक्स) को 0 से बड़ा बनाया जा सकता है। (यदि आवश्यक हो तो संपूर्ण विभेदक समीकरण को बराबर करें ताकि अंतराल के भीतर Q (x)> 0 हो।) समाकलन के स्थिरांक के कारण, मात्रा आर (एक्स) केवल एक मनमाने सकारात्मक गुणक स्थिरांक तक निर्धारित की जाती है। इसका उपयोग केवल सजातीय विभेदक समीकरणों में किया जाएगा (जहां इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) और भार फलन की परिभाषा में (जो अनिश्चित भी हो सकता है)। नीचे दी गई तालिका आर (एक्स) और डब्ल्यू (एक्स) के "आधिकारिक" मान देगी। रोड्रिग्स का सूत्र पूर्ववर्ती खंड की धारणाओं के तहत, पीएन (एक्स) आनुपातिक है इसे रोड्रिग्स के सूत्र के रूप में जाना जाता है, ओलिंडे रोड्रिग्स के बाद। यह अक्सर लिखा जाता है जहाँ संख्याएँ मानकीकरण पर निर्भर करती हैं। एन के मानक मान नीचे दी गई तालिकाओं में दिए जाएंगे। संख्याएँ λn पूर्ववर्ती खंड की धारणाओं के तहत, हमारे पास हैं (चूंकि Q द्विघात है और L रैखिक है, और स्थिरांक हैं, इसलिए ये केवल संख्याएँ हैं।) अब अंतर समीकरण को R/Q से गुणा करें, प्राप्त करना या यह समीकरण के लिए मानक स्टर्म-लिउविल रूप है। अवकल समीकरण के लिए तीसरा रूप आइए फिर अब अवकल समीकरण को S/Q से गुणा करें, प्राप्त करें या प्राप्त करें। (हम एक प्रतिपादक के साथ भ्रम से बचने के लिए कोष्ठक में "आर" डालते हैं।) पी डिग्री एन-आर का एक बहुपद है। फिर हमारे पास निम्नलिखित हैः (ऑर्थोगोनलिटी) निश्चित आर के लिए, बहुपद अनुक्रम पी, पी, पी,. ऑर्थोगोनल हैं, जिनका भार द्वारा किया जाता है। (सामान्यीकृत रोड्रिग्स सूत्र) पी (विभेदक समीकरण) के समानुपाती है पी एक समाधान है, जहां λr λn के समान फलन है, अर्थात, (विभेदक समीकरण, दूसरा रूप) पी का एक समाधान है कुछ मिश्रित पुनरावृत्तियाँ भी हैं। इनमें से प्रत्येक में, ए, बी और सी संख्याएँ एन और आर पर निर्भर करती हैं, और विभिन्न सूत्रों में असंबंधित हैं। विभिन्न तरीकों से ऑर्थोगोनल बहुपदों को शामिल करने वाले कई अन्य सूत्र हैं। यहाँ उनका एक छोटा सा नमूना है, जो चेबीशेव, संबंधित लैगुएरे और हर्माइट बहुपदों से संबंधित हैः ऑर्थोगोनैलिटी किसी विशेष λ के लिए अंतर समीकरण को लिखा जा सकता है (x पर स्पष्ट निर्भरता को छोड़कर) पैदावार से गुणा करने और अभिलिखियों को उलटने से उपज घटती और एकीकृत होती हैः लेकिन यह देखा जा सकता है किः यदि बहुपद f ऐसे हैं कि बाईं ओर का शब्द शून्य है, और के लिए, तो ऑर्थोगोनैलिटी संबंध होगाः के लिए। अवकल समीकरण से व्युत्पत्ति उपरोक्त अवकल समीकरण से उत्पन्न होने वाले सभी बहुपद अनुक्रम समतुल्य हैं, डोमेन के स्केलिंग और/या स्थानांतरण के तहत, और बहुपदों को अधिक प्रतिबंधित वर्गों में मानकीकृत करना। वे प्रतिबंधित वर्ग बिल्कुल "शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद" हैं। प्रत्येक जैकोबी जैसे बहुपद अनुक्रम का अपना क्षेत्र स्थानांतरित और/या मापा जा सकता है ताकि इसकी ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल [−1,1] हो, और इसमें Q = 1 − x2 हो। फिर उन्हें जैकोबी बहुपदों में मानकीकृत किया जा सकता है। इनमें से कई महत्वपूर्ण उपवर्ग हैंः गेगेनबॉयर, लीजेंड्रे और दो प्रकार के चेबीशेव। प्रत्येक लैगुएरे जैसे बहुपद अनुक्रम का अपना क्षेत्र स्थानांतरित, मापा और/या परावर्तित हो सकता है ताकि इसकी ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल हो, और इसमें Q = x हो। फिर उन्हें संबद्ध लैगुएरे बहुपदों में मानकीकृत किया जा सकता है। सादा लैगुएरे बहुपद इनमें से एक उपवर्ग है। प्रत्येक हर्माइट जैसे बहुपद अनुक्रम का अपना क्षेत्र स्थानांतरित और/या मापा जा सकता है ताकि इसकी ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल हो, और इसमें Q = 1 और L (0) = 0 हो। फिर उन्हें हर्माइट बहुपदों में मानकीकृत किया जा सकता है। क्योंकि ऊपर वर्णित तरीके से एक विभेदक समीकरण से उत्पन्न होने वाले सभी बहुपद अनुक्रम शास्त्रीय बहुपदों के तुच्छ रूप से समकक्ष होते हैं, इसलिए वास्तविक शास्त्रीय बहुपदों का हमेशा उपयोग किया जाता है। जैकोबी बहुपद जैकोबी जैसे बहुपद, एक बार जब वे अपने क्षेत्र को स्थानांतरित कर लेते हैं और माप लेते हैं ताकि ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल [−1,1] हो, तो अभी भी दो मापदंड निर्धारित किए जाने हैं। वे जैकोबी बहुपदों में लिखे गए हैं। हमारे पास और है। और दोनों का-1 से बड़ा होना आवश्यक है। (यह एल के मूल को ऑर्थोगोनलिटी के अंतराल के अंदर रखता है।) जब और बराबर नहीं होते हैं, तो ये बहुपद x = 0 के बारे में सममित नहीं होते हैं। विभेदक समीकरण जैकोबी का समीकरण है। अधिक जानकारी के लिए जैकोबी बहुपद देखें। गेजेनबॉयर बहुपद जब कोई मापदंड निर्धारित करता है और जैकोबी बहुपदों में एक दूसरे के बराबर होता है, तो कोई गेजेनबॉयर या अल्ट्रासफेरिकल बहुपदों को प्राप्त करता है। वे लिखे गए हैं, और परिभाषित किए गए हैं जैसा कि हमारे पास है और। पैरामीटर-1/2 से बड़ा होना आवश्यक है। (संयोग से, नीचे दी गई तालिका में दिए गए मानकीकरण का α = 0 और n ष्ण 0 के लिए कोई अर्थ नहीं होगा, क्योंकि यह बहुपदों को शून्य पर सेट करेगा। उस स्थिति में, स्वीकृत मानकीकरण तालिका में दिए गए मूल्य के बजाय सेट करता है।) उपरोक्त विचारों को नजरअंदाज करते हुए, पैरामीटरः या, अधिक सामान्य रूप सेः अन्य सभी शास्त्रीय जैकोबी जैसे बहुपदों (लीजेंड्रे, आदि) के व्युत्पन्न से निकटता से संबंधित है। गेगेनबॉयर बहुपदों के विशेष मामले हैं, जो मान चुनकर और मानकीकरण चुनकर प्राप्त किए जाते हैं। अधिक जानकारी के लिए, गेगेनबॉयर बहुपदों को देखें। लीजेंड्रे बहुपद अवकल समीकरण यह लीजेंड्रे का समीकरण है। विभेदक समीकरण का दूसरा रूप हैः पुनरावृत्ति संबंध है एक मिश्रित पुनरावृत्ति रोड्रिग्स का सूत्र है अधिक जानकारी के लिए, लीजेंड्रे बहुपदों को देखें। एसोसिएटेड लीजेंड्रे बहुपद एसोसिएटेड लीजेंड्रे बहुपद, जिसे दर्शाया जाता है कि कहाँ और कहाँ पूर्णांक हैं, को इस रूप में परिभाषित किया जाता है कोष्ठक में m (एक प्रतिपादक के साथ भ्रम से बचने के लिए) एक मापदंड है। कोष्ठक में m लीजेंड्रे बहुपद के m-th व्युत्पन्न को दर्शाता है। इन "बहुपदों" को गलत नाम दिया गया है-जब m विषम होता है तो वे बहुपद नहीं होते हैं। उनका एक पुनरावृत्ति संबंध हैः निश्चित m के लिए, अनुक्रम वजन 1 के साथ [−1,1] पर ऑर्थोगोनल हैं। दिए गए m के लिए, चेबीशेव बहुपदों के समाधान हैं अंतर समीकरण है यह चेबीशेव का समीकरण है। पुनरावृत्ति संबंध रोड्रिग्स का सूत्र है इन बहुपदों में यह गुण है कि, ऑर्थोगोनलिटी के अंतराल में, (इसे साबित करने के लिए, पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करें।) इसका मतलब है कि उनके सभी स्थानीय मिनीमा और मैक्सिमा में-1 और + 1 के मान हैं, यानी, बहुपद "स्तर" हैं। इस वजह से, कभी-कभी कंप्यूटर गणित पुस्तकालयों में बहुपद सन्निकटन के लिए चेबीशेव बहुपदों के संदर्भ में कार्यों के विस्तार का उपयोग किया जाता है। कुछ लेखक इन बहुपदों के उन संस्करणों का उपयोग करते हैं जिन्हें स्थानांतरित किया गया है ताकि ऑर्थोगोनलिटी का अंतराल [0,1] या [−2,2] हो। दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद भी हैं, जिन्हें हमारे पास दर्शाया गया हैः पहले कुछ बहुपदों के लिए अभिव्यक्तियों सहित अधिक विवरण के लिए, चेबीशेव बहुपद देखें। लैगुएरे बहुपद सबसे सामान्य लैगुएरे जैसे बहुपद, डोमेन को स्थानांतरित करने और मापने के बाद, एसोसिएटेड लैगुएरे बहुपद (जिन्हें सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद भी कहा जाता है) हैं, जिन्हें दर्शाया जाता है। एक पैरामीटर है, जो-1 से सख्ती से बड़ी कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। एक प्रतिपादक के साथ भ्रम से बचने के लिए पैरामीटर को कोष्ठक में रखा जाता है। सादा लैगुएरे बहुपद केवल इनका संस्करण हैः विभेदक समीकरण है यह लैगुएरे का समीकरण है। अवकल समीकरण का दूसरा रूप है पुनरावृत्ति संबंध रोड्रिग्स का सूत्र है यह पैरामीटर के व्युत्पन्न से निकटता से संबंधित हैः या, अधिक सामान्य रूप सेः लैगुएरे के समीकरण को एक ऐसे रूप में हेरफेर किया जा सकता है जो अनुप्रयोगों में अधिक उपयोगी हैः इसका एक समाधान है। समाधान को अक्सर संबंधित लैगुएरे बहुपदों के बजाय व्युत्पन्न के संदर्भ में व्यक्त किया जाता हैः यह समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में उत्पन्न होता है, एक-इलेक्ट्रॉन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रेडियल भाग में। भौतिक विज्ञानी अक्सर लैगुएरे बहुपदों के लिए एक परिभाषा का उपयोग करते हैं जो यहाँ उपयोग की गई परिभाषा से एक कारक द्वारा बड़ी है। अधिक जानकारी के लिए, पहले कुछ बहुपदों के लिए अभिव्यक्तियों सहित, लैगुएरे बहुपदों को देखें। हर्माइट बहुपद अवकल समीकरण है यह हर्माइट का समीकरण है। अवकल समीकरण का दूसरा रूप है तीसरा रूप है पुनरावृत्ति संबंध रोड्रिग्स का सूत्र है पहले कुछ हर्माइट बहुपद हैं एक संबंधित हर्माइट कार्यों को परिभाषित कर सकता है क्योंकि गुणक भार कार्य के वर्गमूल के समानुपाती होता है, ये कार्य बिना किसी भार कार्य के ऑर्थोगोनल होते हैं। उपरोक्त विभेदक समीकरण का तीसरा रूप, संबंधित हर्माइट कार्यों के लिए, गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में संबंधित हर्माइट कार्य उत्पन्न होते हैं। क्वांटम यांत्रिकी में, वे हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए श्रोडिंगर के समीकरण के समाधान हैं। वे निरंतर फूरियर परिवर्तन के आइगेनफंक्शंस (आइगेनवैल्यू (−in) के साथ) भी हैं। कई लेखक, विशेष रूप से संभावित, हर्माइट बहुपदों की एक वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसमें हर्माइट के बजाय वजन कार्य होता है। यदि इन हर्माइट बहुपदों के लिए संकेतन हे का उपयोग किया जाता है, और उपरोक्त के लिए एच का उपयोग किया जाता है, तो इन्हें हर्माइट बहुपदों द्वारा चिह्नित किया जा सकता है। शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की विशेषताएँ ऐसी कई स्थितियाँ हैं जो शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों को दूसरों से अलग करती हैं। पहली स्थिति सोनिन (और बाद में हैन) द्वारा पाई गई थी, जिन्होंने दिखाया कि (चर के रैखिक परिवर्तनों तक) शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद केवल ऐसे हैं कि उनके व्युत्पन्न भी ऑर्थोगोनल बहुपद हैं। बोच्नर ने अपने पुनरावृत्ति संबंधों के संदर्भ में शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की विशेषता बताई। ट्रिकोमी ने शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों को उन लोगों के रूप में चिह्नित किया जिनके पास रोड्रिग्स सूत्र का एक निश्चित अनुरूप है। शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की तालिका निम्नलिखित तालिका शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों के गुणों का सारांश देती है। यह भी देखें कि एपेल अनुक्रम द्विपद प्रकार के हाइपरजियोमेट्रिक ऑर्थोगोनल बहुपदों की प्रमुख योजना बहुपद अनुक्रम सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला माध्यमिक माप शेफर अनुक्रम अम्ब्रल कैलकुलस नोट्स संदर्भ ऑर्थोगोनल बहुपदों के प्रमाण वाले लेख विशेष हाइपरजियोमेट्रिक कार्य zh: