Radial basis function
गणित में एक रेडियल आधार फलन (आरबीएफ) एक वास्तविक मूल्य वाला फलन है जिसका मान केवल इनपुट और कुछ निश्चित बिंदु के बीच की दूरी पर निर्भर करता है, या तो मूल, ताकि, या कोई अन्य निश्चित बिंदु, जिसे केंद्र कहा जाता है, ताकि। कोई भी कार्य जो गुण को संतुष्ट करता है वह एक रेडियल कार्य है। दूरी आमतौर पर यूक्लिडियन दूरी होती है, हालांकि कभी-कभी अन्य मेट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। उन्हें अक्सर एक संग्रह के रूप में उपयोग किया जाता है जो रुचि के कुछ कार्य स्थान के लिए एक आधार बनाता है, इसलिए यह नाम है। रेडियल आधार कार्यों के योग का उपयोग आमतौर पर दिए गए कार्यों को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। इस सन्निकटन प्रक्रिया की व्याख्या एक सरल प्रकार के तंत्रिका नेटवर्क के रूप में भी की जा सकती है; यह वह संदर्भ था जिसमें उन्हें मूल रूप से मशीन लर्निंग पर लागू किया गया था, 1988 में डेविड ब्रूमहेड और डेविड लोव द्वारा काम में, जो 1977 से माइकल जे. डी. पॉवेल के मौलिक शोध से उपजा था। समर्थन वेक्टर वर्गीकरण में आरबीएफ का उपयोग कर्नेल के रूप में भी किया जाता है। तकनीक इतनी प्रभावी और लचीली साबित हुई है कि रेडियल आधार कार्यों को अब विभिन्न प्रकार के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में लागू किया जाता है। परिभाषा रेडियल फलन एक फलन है। जब एक सदिश स्थान पर एक मीट्रिक के साथ जोड़ा जाता है तो एक फलन को एक रेडियल कर्नेल कहा जाता है जो पर केंद्रित होता है। एक रेडियल फ़ंक्शन और संबंधित रेडियल कर्नेल को रेडियल बेसिस फ़ंक्शन कहा जाता है यदि, नोड्स के किसी भी सेट के लिए उदाहरण सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले रेडियल बेसिस फ़ंक्शन के प्रकारों में शामिल हैं (एक आकार पैरामीटर को इंगित करने के लिए लिखना और उपयोग करना जिसका उपयोग रेडियल कर्नेल के इनपुट को मापने के लिए किया जा सकता है): सन्निकटन रेडियल बेसिस फ़ंक्शन का उपयोग आमतौर पर उस रूप के फ़ंक्शन सन्निकटन बनाने के लिए किया जाता है जहां अनुमानित फ़ंक्शन को रेडियल बेसिस फ़ंक्शंस के योग के रूप में दर्शाया जाता है, प्रत्येक एक अलग केंद्र से जुड़ा होता है, और एक उपयुक्त गुणांक द्वारा भारित होता है। इस तरह की सन्निकटन योजनाओं का उपयोग विशेष रूप से समय श्रृंखला की भविष्यवाणी और अरैखिक प्रणालियों के नियंत्रण में किया गया है जो पर्याप्त रूप से सरल अराजक व्यवहार और कंप्यूटर ग्राफिक्स में 3 डी पुनर्निर्माण (उदाहरण के लिए, पदानुक्रमित आरबीएफ और पोज स्पेस विरूपण) प्रदर्शित करते हैं। आर. बी. एफ. नेटवर्क योग की व्याख्या एक सरल एकल-परत प्रकार के कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के रूप में भी की जा सकती है जिसे रेडियल आधार कार्य नेटवर्क कहा जाता है, जिसमें रेडियल आधार कार्य नेटवर्क के सक्रियण कार्यों की भूमिका निभाते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि एक सघन अंतराल पर किसी भी निरंतर फलन को सिद्धांत रूप में इस रूप के योग द्वारा मनमाने सटीकता के साथ प्रक्षेपित किया जा सकता है, यदि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में रेडियल आधार फलन का उपयोग किया जाता है। भार के संबंध में सन्निकटन अवकलनीय है। इस प्रकार तंत्रिका नेटवर्क के लिए किसी भी मानक पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग करके भार को सीखा जा सकता है। इस तरह से रेडियल आधार कार्यों का उपयोग करने से एक उचित अंतर्वेशन दृष्टिकोण प्राप्त होता है बशर्ते कि फिटिंग सेट को इस तरह से चुना गया हो कि यह पूरी सीमा को व्यवस्थित रूप से कवर करता है (समान दूरी के डेटा बिंदु आदर्श हैं)। हालांकि, एक बहुपद शब्द के बिना जो रेडियल आधार कार्यों के लिए ऑर्थोगोनल है, फिटिंग सेट के बाहर के अनुमान खराब प्रदर्शन करते हैं। पी. डी. ई. के रेडियल आधार कार्यों के लिए आर. बी. एफ. का उपयोग अनुमानित कार्यों के लिए किया जाता है और इसलिए इसका उपयोग आंशिक विभेदक समीकरणों (पी. डी. ई.) को अलग करने और संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए किया जा सकता है। यह पहली बार 1990 में ई. जे. कंस द्वारा किया गया था जिन्होंने पहली आर. बी. एफ. आधारित संख्यात्मक विधि विकसित की थी। इसे कंस विधि कहा जाता है और इसका उपयोग अण्डाकार पॉइसन समीकरण और रैखिक एडवेक्शन-प्रसार समीकरण को हल करने के लिए किया जाता था। डोमेन में बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों को आरबीएफ के रैखिक संयोजन द्वारा अनुमानित किया जाता हैः व्युत्पन्न इस तरह अनुमानित होते हैंः जहां विवेकीकृत डोमेन में बिंदुओं की संख्या, डोमेन का आयाम और स्केलर गुणांक जो अंतर ऑपरेटर द्वारा अपरिवर्तित होते हैं। इसके बाद रेडियल आधार कार्यों पर आधारित विभिन्न संख्यात्मक विधियों का विकास किया गया। आर. बी. एफ.-एफ. डी. विधि, आर. बी. एफ.-क्यू. आर. विधि और आर. बी. एफ.-पी. यू. एम विधि कुछ विधियाँ हैं। मैटरन सहप्रसरण फलन रेडियल आधार फलन अंतर्वेशन कंस विधि संदर्भ आगे पढ़ने के लिए सिरायनोन, एस., 1988, खनिज संसाधन समस्याओं को हल करने के लिए क्रिगिंग, मल्टीक्वाड्रिक-बायहार्मोनिक और अन्य तरीकों का तुलनात्मक अध्ययन, पीएचडी देखें। शोध प्रबंध, विभाग। पृथ्वी विज्ञान विभाग, आयोवा स्टेट यूनिवर्सिटी, एम्स, आयोवा। कृत्रिम तंत्रिका तंत्रिका इंटरपोलेशन संख्यात्मक विश्लेषण