Dihedral angle
एक द्विध्रुवीय कोण दो प्रतिच्छेदन विमानों या अर्ध-विमानों के बीच का कोण है। रसायन विज्ञान में, यह तीन परमाणुओं के दो सेटों के माध्यम से आधे विमानों के बीच घड़ी की दिशा में कोण है, जिसमें दो परमाणु समान हैं। ठोस ज्यामिति में, इसे एक रेखा और दो अर्ध-समतल के संयोजन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें यह रेखा एक सामान्य किनारे के रूप में होती है। उच्च आयामों में, एक डायहेड्रल कोण दो हाइपरप्लेन के बीच के कोण को दर्शाता है। एक उड़ने वाली मशीन के विमानों को सकारात्मक डायहेड्रल कोण पर कहा जाता है जब दोनों स्टारबोर्ड और पोर्ट मुख्य विमान (जिन्हें आमतौर पर "पंख" कहा जाता है) पार्श्व अक्ष की ओर ऊपर की ओर झुकते हैं; जब नीचे की ओर झुकते हैं तो उन्हें नकारात्मक डायहेड्रल कोण पर कहा जाता है। गणितीय पृष्ठभूमि जब दो प्रतिच्छेदन विमानों को दो समीकरणों द्वारा कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में वर्णित किया जाता है, तो उनके बीच का द्विध्रुवीय कोण इस प्रकार दिया जाता हैः और संतुष्ट करता है वैकल्पिक रूप से, यदि और विमानों के लिए सामान्य सदिश हैं, तो एक के पास सदिश का बिंदु उत्पाद है और उनकी लंबाई का उत्पाद है। उपरोक्त सूत्रों में निरपेक्ष मान की आवश्यकता होती है, क्योंकि एक समीकरण में सभी गुणांक संकेतों को बदलते समय या एक सामान्य सदिश को उसके विपरीत से प्रतिस्थापित करते समय तल नहीं बदले जाते हैं। हालांकि दो आधे विमानों के डायहेड्रल कोण पर विचार करते समय निरपेक्ष मानों से बचा जा सकता है और उनसे बचा जाना चाहिए जिनकी सीमाएँ एक ही रेखा हैं। इस मामले में, आधे विमानों को उनके प्रतिच्छेदन के एक बिंदु, और तीन वैक्टरों, और इस तरह से वर्णित किया जा सकता है कि वे क्रमशः प्रतिच्छेदन रेखा, पहले आधे तल और दूसरे आधे तल से संबंधित हैं। रसायन विज्ञान में (नीचे देखें), हम एक द्विध्रुवीय कोण को इस तरह परिभाषित करते हैं कि कोण के संकेत को परिवर्तन के साथ प्रतिस्थापित किया जाए, जो और के बीच हो सकता है। बहुलक भौतिकी में बहुलक भौतिकी जैसे कुछ वैज्ञानिक क्षेत्रों में, कोई भी लगातार बिंदुओं के बीच बिंदुओं और संबंधों की एक श्रृंखला पर विचार कर सकता है। यदि अंक क्रमिक रूप से क्रमांकित हैं और पदों,, आदि पर स्थित हैं। तब बॉन्ड वैक्टर को आम तौर पर = −, = −, और = − द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह एक प्रोटीन संरचना में गतिज श्रृंखलाओं या अमीनो एसिड के लिए मामला है। इन मामलों में, कोई भी अक्सर तीन लगातार बिंदुओं द्वारा परिभाषित अर्ध-तल में रुचि रखता है, और दो लगातार ऐसे अर्ध-तलों के बीच द्विध्रुवीय कोण। यदि, और तीन लगातार बंधन वैक्टर हैं, तो अर्ध-तल का प्रतिच्छेदन उन्मुख है, जो अंतराल से संबंधित एक डायहेड्रल कोण को परिभाषित करने की अनुमति देता है। इस डायहेड्रल कोण को एटान2 फलन का उपयोग करके या द्वारा परिभाषित किया जाता है, यह डायहेड्रल कोण श्रृंखला के अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है (जिस क्रम में बिंदु पर विचार किया जाता है)-इस क्रम को उलटने में प्रत्येक वेक्टर को उसके विपरीत वेक्टर द्वारा प्रतिस्थापित करना और सूचकांक 1 और 3 का आदान-प्रदान करना शामिल है। दोनों क्रियाएँ कोसाइन को नहीं बदलती हैं, लेकिन साइन के संकेत को बदल देती हैं। इस प्रकार, एक साथ, वे कोण नहीं बदलते हैं। समान द्विध्रुवीय कोण के लिए एक सरल सूत्र निम्नलिखित है (प्रमाण नीचे दिया गया है) या समकक्ष रूप से, इसका पता वेक्टर चतुर्भुज उत्पाद सूत्र का उपयोग करके पिछले सूत्रों से लगाया जा सकता है, और तथ्य यह है कि एक स्केलर ट्रिपल उत्पाद शून्य है यदि इसमें दो बार एक ही वेक्टर होता हैः क्रॉस उत्पाद की परिभाषा को देखते हुए, इसका मतलब है कि पहले परमाणु की तुलना में चौथे परमाणु की घड़ी की दिशा में कोण है, जबकि दूसरे परमाणु से तीसरे परमाणु तक अक्ष को नीचे देखते हुए। विशेष मामले (एक सामान्य मामले कह सकते हैं) हैं, और, जिन्हें ट्रांस, गौचे +, और गौचे-अनुरूपण कहा जाता है। स्टीरियोकेमिस्ट्री में, एक मरोड़ कोण को एक डायहेड्रल कोण के एक विशेष उदाहरण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो एक रासायनिक बंधन से जुड़े अणु के दो हिस्सों के ज्यामितीय संबंध का वर्णन करता है। एक अणु के तीन गैर-अक्षीय परमाणुओं का प्रत्येक समूह एक अर्ध-तल को परिभाषित करता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, जब दो ऐसे अर्ध-तल प्रतिच्छेद करते हैं (यानी, चार लगातार-बंधे परमाणुओं का एक समूह), तो उनके बीच का कोण एक द्विध्रुवीय कोण होता है। डायहेड्रल कोणों का उपयोग आणविक संरचना को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। 0° और ±90° के बीच के कोणों के अनुरूप स्टीरियोकेमिकल व्यवस्थाओं को सिन (एस) कहा जाता है, जो ±90° और 180° एंटी (ए) के बीच के कोणों के अनुरूप होते हैं। इसी तरह, 30° और 150° के बीच या −30° और −150° के बीच के कोणों के अनुरूप व्यवस्थाओं को क्लाइनल (सी) कहा जाता है और जो 0° और ±30° या ±150° और 180° के बीच होते हैं उन्हें पेरिप्लानर (पी) कहा जाता है। दो प्रकार के शब्दों को जोड़ा जा सकता है ताकि कोण की चार श्रेणियों को परिभाषित किया जा सके; 0° से ±30° सिंपेरिप्लानर (sp); 30° से 90° और −30° से −90° सिंक्लिनल (एससी); 90° से 150° और −90° से −150° एंटीक्लिनल (एसी); ±150° से 180° एंटीपेरिप्लानर (एपी)। सिंपेरिप्लेनर संरचना को सिं-या सिस-संरचना के रूप में भी जाना जाता है; एंटीपेरिप्लेनर को एंटी या ट्रांस के रूप में; और सिंक्लिनल को गौचे या स्क्यू के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, एन-ब्यूटेन के साथ दो विमानों को दो केंद्रीय कार्बन परमाणुओं और मिथाइल कार्बन परमाणुओं में से किसी एक के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जा सकता है। ऊपर दिखाया गया 60° के डायहेड्रल कोण के साथ सिंक-संरचना 180° के डायहेड्रल कोण के साथ एंटी-संरचना की तुलना में कम स्थिर है। मैक्रोमोलेक्युलर उपयोग के लिए प्रतीकों टी, सी, जी +, जी-, ए + और ए-की सिफारिश की जाती है (क्रमशः एपी, एसपी, + एससी,-एससी, + एसी और-एसी)। प्रोटीन ए रामचंद्रन प्लॉट (जिसे रामचंद्रन आरेख या एक प्लॉट के रूप में भी जाना जाता है), जिसे मूल रूप से 1963 में जी. एन. रामचंद्रन, सी. रामकृष्णन और वी. शशिशेखरन द्वारा विकसित किया गया था, प्रोटीन संरचना में एमिनो एसिड अवशेषों के φ के खिलाफ रीढ़ की हड्डी के डायहेड्रल कोणों के लिए ऊर्जावान रूप से अनुमत क्षेत्रों की कल्पना करने का एक तरीका है। एक प्रोटीन श्रृंखला में तीन द्विध्रुवीय कोणों को परिभाषित किया जाता हैः ω (ω) श्रृंखला में कोण है Cα − C '− N − Cα, φ (phi) श्रृंखला में कोण है C' − N − Cα − C 'si (psi) श्रृंखला में कोण है N − Cα − C' − N (जिसे रामचंद्रन द्वारा φ′ कहा जाता है) दाईं ओर की आकृति इनमें से प्रत्येक कोण के स्थान को दर्शाती है (लेकिन यह सही तरीके से नहीं दिखाती है कि उन्हें कैसे परिभाषित किया गया है)। पेप्टाइड बंधन की समतलीयता आमतौर पर ω को 180° (विशिष्ट ट्रांस केस) या 0° (दुर्लभ सिस केस) तक सीमित करती है। ट्रांस और सिस आइसोमर्स में Cα परमाणुओं के बीच की दूरी क्रमशः लगभग 3.8 और 2.9 Å है। प्रोटीन में अधिकांश पेप्टाइड बंधन ट्रांस होते हैं, हालांकि प्रोलिन के नाइट्रोजन के लिए पेप्टाइड बंधन में अन्य एमिनो-एसिड जोड़े की तुलना में सिस का प्रसार बढ़ जाता है। पार्श्व श्रृंखला डायहेड्रल कोणों को χn (ची-एन) के साथ नामित किया जाता है। वे 180°, 60° और-60° के पास समूह बनाते हैं, जिन्हें ट्रांस, गौचे-और गौचे + अनुरूपण कहा जाता है। कुछ साइडचेन डायहेड्रल कोणों की स्थिरता φ और si मानों से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, गौचे + रोटेमर में साइड चेन के सी. जी. एम. और अगले अवशेष के रीढ़ की हड्डी नाइट्रोजन के बीच प्रत्यक्ष स्टेरिक अंतःक्रिया होती है जब-60° के करीब होता है। यह रीढ़ पर निर्भर रोटेमर पुस्तकालयों में सांख्यिकीय वितरण से स्पष्ट है। श्रृंखलाओं में डायहेड्रल कोणों से कार्टेशियन निर्देशांक में बदलना आंतरिक निर्देशांकों में पॉलिमर की रीढ़ की हड्डियों, विशेष रूप से प्रोटीन का प्रतिनिधित्व करना आम बात है; यानी, लगातार डायहेड्रल कोणों और बंधन की लंबाई की एक सूची। हालांकि, कुछ प्रकार के कम्प्यूटेशनल रसायन इसके बजाय कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करते हैं। कम्प्यूटेशनल संरचना अनुकूलन में, कुछ कार्यक्रमों को अपने पुनरावृत्तियों के दौरान इन अभ्यावेदनों के बीच आगे-पीछे पलटने की आवश्यकता होती है। यह कार्य गणना समय पर हावी हो सकता है। कई पुनरावृत्तियों वाली या लंबी श्रृंखलाओं वाली प्रक्रियाओं के लिए, यह संचयी संख्यात्मक अशुद्धि भी पेश कर सकता है। जबकि सभी रूपांतरण एल्गोरिदम गणितीय रूप से समान परिणाम देते हैं, वे गति और संख्यात्मक सटीकता में भिन्न होते हैं। ज्यामिति प्रत्येक बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर एक द्विध्रुवीय कोण होता है जो उस किनारे को साझा करने वाले दो चेहरों के संबंध का वर्णन करता है। इस द्विध्रुवीय कोण को, जिसे मुख कोण भी कहा जाता है, बहुफलक के संबंध में आंतरिक कोण के रूप में मापा जाता है। 0° के कोण का मतलब है कि चेहरे के सामान्य वैक्टर एंटीपैरलल हैं और चेहरे एक दूसरे को ओवरलैप करते हैं, जिसका अर्थ है कि यह एक अपक्षयी पॉलीहेड्रॉन का हिस्सा है। 180° के कोण का मतलब है कि चेहरे समानांतर हैं, जैसे कि एक टाइलिंग में। पॉलीहेड्रॉन के अवतल भागों पर 180° से अधिक का कोण होता है। एक किनारे-संक्रमणशील पॉलीहेड्रॉन में प्रत्येक डायहेड्रल कोण का मूल्य समान होता है। इसमें 5 प्लेटोनिक ठोस, 13 कैटलन ठोस, 4 केपलर-पॉइंसोट पॉलीहेड्रा, दो क्वासिरेगुलर ठोस और दो क्वासिरेगुलर दोहरे ठोस शामिल हैं। डायहेड्रल कोण के लिए कोसाइनों का नियम एक पॉलीहेड्रॉन के 3 चेहरों को देखते हुए जो एक सामान्य शीर्ष पी पर मिलते हैं और जिनके किनारे एपी, बीपी और सीपी होते हैं, एपीसी और बीपीसी वाले चेहरों के बीच डायहेड्रल कोण की कोसाइन हैः यह कोसाइनों के गोलाकार नियम से निकाला जा सकता है एट्रोपिसोमर संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक 5 नियमित पॉलीहेड्रा के विश्लेषण पर वुडवर्किंग में डायहेड्रल कोण इन सटीक मूल्यों की चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति देता है। स्टीरियोकेमिस्ट्री प्रोटीन संरचना यूक्लिडियन ठोस ज्यामिति कोण विमान (ज्यामिति)