Balanced module
मॉड्यूल सिद्धांत के रूप में जाने जाने वाले अमूर्त बीजगणित के उपक्षेत्र में, एक सही आर मॉड्यूल एम को एक संतुलित मॉड्यूल कहा जाता है (या कहा जाता है कि इसमें दोहरा केंद्रीकरण गुण होता है) यदि अबेलियन समूह एम का प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म जो एम के सभी आर-एंडोमोर्फिज्म के साथ कम्यूट करता है, एक रिंग तत्व द्वारा गुणन द्वारा दिया जाता है। स्पष्ट रूप से, किसी भी योगात्मक एंडोमोर्फिज्म f के लिए, यदि प्रत्येक R एंडोमोर्फिज्म g के लिए fg = gf है, तो R में एक r इस तरह मौजूद है कि M में सभी x के लिए f (x) = xr। केंद्रीकरण की भाषा में, एक संतुलित मॉड्यूल वह है जो दोहरे केंद्रीकरण प्रमेय के निष्कर्ष को संतुष्ट करता है, अर्थात, एम के सभी आर एंडोमोर्फिज्म के साथ समूह एम के एकमात्र एंडोमोर्फिज्म रिंग तत्वों द्वारा सही गुणन द्वारा प्रेरित होते हैं। एक रिंग को संतुलित कहा जाता है यदि प्रत्येक सही आर मॉड्यूल संतुलित हो। यह पता चला है कि संतुलित होना रिंगों पर एक बाएँ-दाएँ सममित स्थिति है, और इसलिए इसे "बाएँ" या "दाएँ" के साथ उपसर्ग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। संतुलित मॉड्यूल और रिंग का अध्ययन सी. जे. द्वारा क्यू. एफ.-1 रिंग के अध्ययन का एक परिणाम है। नेसबिट और आर. एम. थ्राल। यह अध्ययन वी. पी. कैमिलो के शोध प्रबंध में जारी रहा और बाद में यह पूरी तरह से विकसित हो गया। पेपर कई उदाहरणों के साथ विशेष रूप से व्यापक दृष्टिकोण देता है। इन संदर्भों के अलावा, के. मोरिता और एच. तचिकावा ने भी प्रकाशित और अप्रकाशित परिणामों में योगदान दिया है। संतुलित मॉड्यूल और रिंग्स के सिद्धांत में योगदान देने वाले लेखकों की एक आंशिक सूची संदर्भों में पाई जा सकती है। उदाहरण और गुण अर्ध-सरल वलय संतुलित होते हैं। एक साधारण रिंग पर प्रत्येक गैर-शून्य सही आइडियल संतुलित होता है। अर्ध-फ्रोबेनियस रिंग पर प्रत्येक वफादार मॉड्यूल संतुलित होता है। राइट आर्टिनियन रिंग्स के लिए डबल सेंट्रलाइज़र प्रमेय बताता है कि कोई भी सरल राइट आर मॉड्यूल संतुलित है। पेपर में असंतुलित मॉड्यूल के कई निर्माण शामिल हैं। यह स्थापित किया गया था कि एकात्मक वलय संतुलित होते हैं। इसके विपरीत, एक संतुलित वलय जो अपने केंद्र के ऊपर एक मॉड्यूल के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न होता है, एकात्मक होता है। परिवर्तनीय आर्टिनियन वलय में, संतुलित वलय बिल्कुल अर्ध-फ्रोबेनियस वलय होते हैं। गुण "संतुलित" होना मॉड्यूल के लिए एक श्रेणीगत गुण है, यानी इसे मोरिता समतुल्यता द्वारा संरक्षित किया जाता है। स्पष्ट रूप से, यदि एफ (-) आर मॉड्यूल की श्रेणी से एस मॉड्यूल की श्रेणी के लिए एक मोरिता समतुल्यता है, और यदि एम संतुलित है, तो एफ (एम) संतुलित है। संतुलित वलय की संरचना भी पूरी तरह से निर्धारित की जाती है, और इसमें रेखांकित की जाती है। अंतिम बिंदु को ध्यान में रखते हुए, एक संतुलित वलय होने का गुण एक मोरिता अपरिवर्तनीय गुण है। किन रिंगों में सभी परिमित रूप से उत्पन्न सही आर मॉड्यूल संतुलित हैं, इस सवाल का जवाब पहले ही दिया जा चुका है। यह स्थिति रिंग आर के संतुलित होने के बराबर है। टिप्पणियाँ संदर्भ मॉड्यूल सिद्धांत रिंग सिद्धांत