Madhava's correction term
माधव का सुधार शब्द एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसका श्रेय संगमग्राम के माधव (सी. 1340-सी. 1425) को दिया जाता है, जो केरल के खगोल विज्ञान और गणित के स्कूल के संस्थापक थे, जिसका उपयोग गणितीय स्थिरांक (पाई) के मूल्य के लिए माधव-लीबनिज़ अनंत श्रृंखला को काटकर प्राप्त आंशिक योग सन्निकटन की तुलना में बेहतर अनुमान देने के लिए किया जा सकता है। माधव-लीबनिज़ अनंत श्रृंखला के लिए पहले शब्दों के आंशिक योग को लेते हुए हमारे पास निम्नलिखित अनुमान हैंः माधव सुधार शब्द को निरूपित करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित बेहतर अनुमान हैंः तीन अलग-अलग अभिव्यक्तियों को माधव के संभावित मूल्यों के रूप में जिम्मेदार ठहराया गया है, अर्थात्, केरल स्कूल के गणितविदों के मौजूदा लेखन में सुधार शब्द और प्राप्त किए जाने के बारे में कुछ संकेत हैं, लेकिन इस बात के कोई संकेत नहीं हैं कि अभिव्यक्ति कैसे प्राप्त की गई है। इसने बहुत सारे अटकलों को जन्म दिया है कि सूत्र कैसे प्राप्त किए गए होंगे। केरल के ग्रंथों में दिए गए सुधार के शब्द 1530 के आसपास केरल के गणित स्कूल के भारतीय खगोलशास्त्री ज्येष्ठदेव द्वारा लिखित गणित और खगोल विज्ञान पर एक प्रमुख ग्रंथ युक्ति भाषा में स्पष्ट रूप से दिए गए हैं, लेकिन यह केवल तर्क में एक कदम के रूप में दिखाई देता है जिससे इसकी व्युत्पत्ति होती है। केरल के खगोल विज्ञान और गणित स्कूल से संबंधित खगोलशास्त्री/गणितशास्त्री नीलकंठ सोमयाजी द्वारा लिखित और 1501 में पूरा किया गया ग्रंथ तंत्रसंग्रह की युक्तीदीपिका-लघुविव्र्ति टिप्पणी, निम्नलिखित छंदों में दूसरा सुधार शब्द प्रस्तुत करती है (अध्याय 2: छंद 271-274): छंदों का अंग्रेजी अनुवादः "व्यास को 4 से गुणा करने पर बारी-बारी से व्यास को 4 से गुणा करने और विषम संख्या 3,5, आदि से अलग-अलग विभाजित करने के क्रम में जोड़ें और घटाएं। वह विषम संख्या जिस पर यह प्रक्रिया समाप्त होती है, व्यास का चार गुना अगली सम संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, आधा किया जाना चाहिए और [फिर] उस [सम] संख्या वर्ग में जोड़े गए एक से विभाजित किया जाना चाहिए। परिणाम को जोड़ा या घटाया जाना है क्योंकि अंतिम पद को घटाया या जोड़ा गया था। यह उस प्रक्रिया को जारी रखने से प्राप्त होने वाली परिधि की तुलना में अधिक सटीक रूप से परिधि देता है। आधुनिक संकेतनों में इसे निम्नानुसार कहा जा सकता है (वृत्त का व्यास कहाँ है): परिधि यदि हम निर्धारित करते हैं, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर अंतिम पद कम हो जाता है। यही टिप्पणी निम्नलिखित छंदों में सुधार शब्द भी देती है (अध्याय 2: छंद 295-296): छंदों का अंग्रेजी अनुवादः "एक सूक्ष्म विधि, एक और सुधार के साथ। [बनाए रखें] पहली प्रक्रिया जिसमें विषम संख्या, 3,5, आदि द्वारा व्यास के चार गुना का विभाजन शामिल है। [लेकिन] फिर इसे [व्यास का चार गुना] जोड़ें या घटाएं, जिसे एक से गुणा करके अगली सम संख्या में जोड़ा जाता है, जिसे आधा और वर्ग किया जाता है, और एक से विभाजित करके पूर्ववर्ती गुणक का चार गुना किया जाता है, जिसे आधे से गुणा किया जाता है। आधुनिक संकेतनों में, इसे निम्नानुसार कहा जा सकता हैः जहां "गुणक" यदि हम निर्धारित करते हैं, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर अंतिम पद कम हो जाता है। सुधार शर्तों की सटीकता ले. फिर, लिखने पर, त्रुटियों की निम्नलिखित सीमाएँ होती हैंः की गणना में त्रुटियों के संख्यात्मक मान की गणना में इन सन्निकटनों का उपयोग करने में त्रुटियाँ हैं निम्नलिखित तालिका कुछ चयनित मूल्यों के लिए इन त्रुटियों के मान देती है। सुधार शब्दों के लिए निरंतर अंश अभिव्यक्तियाँ यह ध्यान दिया गया है कि सुधार शब्द निम्नलिखित निरंतर अंश अभिव्यक्तियों के पहले तीन अभिसारी हैंः समीकरण को सटीक बनाने वाले फलन को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः इस अनंत निरंतर अंश के पहले तीन अभिसारी ठीक माधव के सुधार शब्द हैं। इसके अलावा, इस फलन का निम्नलिखित गुण हैः हयासी और अन्य द्वारा अनुमानित व्युत्पत्ति। 1990 में प्रकाशित एक शोध पत्र में, तीन जापानी शोधकर्ताओं के एक समूह ने एक सरल विधि का प्रस्ताव रखा जिसके द्वारा माधव ने तीन सुधार शब्दों को प्राप्त किया होगा। उनका प्रस्ताव दो मान्यताओं पर आधारित थाः माधव का उपयोग मूल्य के रूप में किया गया और उन्होंने विभाजन के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग किया। मानों को लिखना और गणना करना उन्हें अंश के रूप में 1 के साथ एक अंश के रूप में व्यक्त करता है, और अंत में सन्निकटन प्राप्त करने के लिए भाजक में आंशिक भागों को अनदेखा करता हैः यह निम्नलिखित पहले सन्निकटन का सुझाव देता है जिसके बारे में पहले बात की गई थी। जिन अंशों को नजरअंदाज किया गया था, उन्हें 1 के साथ अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें अगले सन्निकटन को प्राप्त करने के लिए भाजकों में आंशिक भागों को नजरअंदाज कर दिया जाता है। ऐसे दो चरण हैंः यह अगले दो अनुमानों को ठीक सुधार शर्तों के समान देता है और इसका श्रेय माधव को दिया जाता है। माधव श्रृंखला माधव की साइन टेबल संदर्भ अतिरिक्त पठन पाई कलन का इतिहास केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स मैथमेटिकल सीरीज़ भी देखें।