Dehn invariant
ज्यामिति में, डेहन अपरिवर्तनीय एक मान है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या एक पॉलीहेड्रॉन को टुकड़ों में काटा जा सकता है और दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है (विच्छेदित), और क्या एक पॉलीहेड्रॉन या उसके विच्छेदन स्थान को टाइल कर सकते हैं। इसका नाम मैक्स डेहन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने यह साबित करके हिल्बर्ट की तीसरी समस्या को हल करने के लिए इसका उपयोग किया कि समान आयतन वाले सभी पॉलीहेड्रा को एक दूसरे में विच्छेदित नहीं किया जा सकता है। दो पॉलीहेड्रा में पॉलीहेड्रल टुकड़ों में एक विच्छेदन होता है जिसे दोनों में से किसी एक में फिर से जोड़ा जा सकता है, अगर और केवल तभी जब उनके आयतन और डेहन अपरिवर्तनीय समान हों। डेहन अपरिवर्तनीय शून्य होना एक स्थान-भरने वाले पॉलीहेड्रॉन होने के लिए एक आवश्यक (लेकिन पर्याप्त नहीं) स्थिति है, और एक पॉलीहेड्रॉन को काटा जा सकता है और एक स्थान-भरने वाले पॉलीहेड्रॉन में फिर से जोड़ा जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसका डेहन अपरिवर्तनीय शून्य हो। स्व-छेदन-मुक्त लचीले पॉलीहेड्रॉन का डेहन अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय होता है क्योंकि यह झुकता है। डेहन अपरिवर्तनीय भी उच्च आयामों में विच्छेदन के लिए एक अपरिवर्तनीय हैं, और (आयतन के साथ) चार आयामों में एक पूर्ण अपरिवर्तनीय हैं। घन के लिए डेहन अपरिवर्तनीय शून्य है लेकिन अन्य प्लेटोनिक ठोस के लिए गैर-शून्य है, जिसका अर्थ है कि अन्य ठोस स्थान को टाइल नहीं कर सकते हैं और उन्हें एक घन में विच्छेदित नहीं किया जा सकता है। सभी आर्किमिडियन ठोसों में डेहन अपरिवर्तनीय होते हैं जो प्लेटोनिक ठोसों के अपरिवर्तनीयों के तर्कसंगत संयोजन होते हैं। विशेष रूप से, कटा हुआ ऑक्टाहेड्रॉन भी जगह को टाइल करता है और इसमें घन की तरह डेहन अपरिवर्तनीय शून्य होता है। पॉलीहेड्रा के डेहन अपरिवर्तनीय संख्याएँ नहीं हैं। इसके बजाय, वे एक अनंत आयामी टेंसर स्पेस के तत्व हैं। यह स्थान, जिसे एक अबेलियन समूह के रूप में देखा जाता है, समूह समरूपता से जुड़े एक सटीक अनुक्रम का हिस्सा है। इसी तरह के अपरिवर्तकों को कुछ अन्य विच्छेदन पहेलियों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अक्ष-समानांतर कटौती और अनुवाद द्वारा एक दूसरे में आयताकार बहुभुज को विच्छेदित करने की समस्या शामिल है। पृष्ठभूमि और इतिहास दो आयामों में, 19वीं शताब्दी की शुरुआत से वालेस-बोलाई-गेर्वियन प्रमेय में कहा गया है कि समान क्षेत्र के किसी भी दो बहुभुज को बहुभुज टुकड़ों में काटा जा सकता है और एक दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है। 19वीं शताब्दी के अंत में, डेविड हिल्बर्ट इस परिणाम में रुचि लेने लगे। उन्होंने इसका उपयोग यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों के संबंध में द्वि-आयामी बहुभुज के क्षेत्र को स्वयंसिद्ध करने के तरीके के रूप में किया। यह ज्यामिति की नींव को और अधिक कठोर बनाने के लिए एक कार्यक्रम का हिस्सा था, जिसमें यूक्लिड के तत्वों द्वारा अधिक सहज ज्ञान से नियंत्रित क्षेत्र जैसी स्पष्ट धारणाओं का इलाज किया गया था। स्वाभाविक रूप से, इसने यह सवाल उठाया कि क्या इसी तरह के स्वयंसिद्ध उपचार को ठोस ज्यामिति तक बढ़ाया जा सकता है। 1900 में गणितविदों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में, हिल्बर्ट ने हिल्बर्ट की समस्याओं को तैयार किया, जो समस्याओं का एक समूह था जो 20वीं शताब्दी के गणित में बहुत प्रभावशाली बन गया। उनमें से एक, हिल्बर्ट की तीसरी समस्या, ने ठोस आयतन के स्वयंसिद्धीकरण पर इस प्रश्न को संबोधित किया। हिल्बर्ट की तीसरी समस्या ने विशेष रूप से पूछा कि क्या समान मात्रा के प्रत्येक दो पॉलीहेड्रा को हमेशा पॉलीहेड्रल टुकड़ों में काटा जा सकता है और एक दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है। यदि ऐसा था, तो किसी भी पॉलीहेड्रॉन के आयतन को स्वयंसिद्ध रूप से, एक समतुल्य घन के आयतन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें इसे फिर से जोड़ा जा सकता है। हालांकि, जवाब नकारात्मक निकलाः सभी पॉलीहेड्रा को क्यूब्स में विच्छेदित नहीं किया जा सकता है। हिल्बर्ट की कुछ अन्य समस्याओं के विपरीत, तीसरी समस्या का उत्तर बहुत जल्दी आ गया। वास्तव में, राउल ब्रिकार्ड ने पहले ही 1896 में इसे एक प्रमेय के रूप में दावा किया था, लेकिन एक प्रमाण के साथ जो अधूरा साबित हुआ। हिल्बर्ट के छात्र मैक्स डेहन ने अपनी 1900 की हैबिलिटेशन थीसिस में इस समस्या को हल करने के लिए डेहन अपरिवर्तनीय का आविष्कार किया। डेहन ने साबित किया कि एक दूसरे में फिर से जुड़ने के लिए, समान आयतन के दो पॉलीहेड्रा में भी समान डेहन अपरिवर्तनीय होना चाहिए, लेकिन उन्होंने समान आयतन के दो टेट्राहेड्रा पाए जिनके डेहन अपरिवर्तनीय भिन्न थे। इसने समस्या का एक नकारात्मक समाधान प्रदान किया। यद्यपि डेहन ने अपने अपरिवर्तनीय को अलग तरीके से तैयार किया, डेहन के अपरिवर्तनीय के लिए आधुनिक दृष्टिकोण इसे एक टेंसर उत्पाद में एक मूल्य के रूप में वर्णित करना है। सरल गणना के उदाहरण डेहन अपरिवर्तनीय को इस तरह से परिभाषित करना जो सभी पॉलीहेड्रा पर एक साथ लागू हो सकता है, जिसमें अनंत-आयामी वेक्टर स्थान शामिल हैं (नीचे देखें)। हालांकि, जब प्लेटोनिक ठोस जैसे सीमित रूप से कई पॉलीहेड्रा से युक्त किसी विशेष उदाहरण तक सीमित किया जाता है, तो इसे सरल तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें केवल सीमित संख्या में आयाम शामिल होते हैं, निम्नानुसारः सभी पॉलीहेड्रा के किनारे की लंबाई और द्विध्रुवीय कोण (एक किनारे के साथ मिलने वाले दो चेहरों के बीच का कोण) निर्धारित करें। कोणों का एक उपसमुच्चय खोजें जो एक तर्कसंगत आधार बनाता है। इसका मतलब है कि प्रत्येक द्विध्रुवीय कोण को परिमेय संख्या गुणांक के साथ आधार तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, आधार तत्वों का कोई तर्कसंगत रैखिक संयोजन शून्य नहीं हो सकता है। इस आधार में शामिल करें (या एक परिमेय गुणक)। एक बहुफलक के प्रत्येक किनारे के लिए, आधार से कोणों के तर्कसंगत संयोजन के रूप में इसके द्विध्रुवीय कोण का प्रतिनिधित्व करें। इस संयोजन में के परिमेय गुणक के लिए गुणांक को त्याग दें। शेष गुणांक की व्याख्या एक वेक्टर के निर्देशांक के रूप में करें जिसके आयाम आधार कोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इस वेक्टर को किनारे की लंबाई से मापें। अपने डेहन अपरिवर्तनीय का उत्पादन करने के लिए एक पॉलीहेड्रॉन के सभी किनारों के लिए वैक्टरों का योग करें। यद्यपि इस विधि में आधार तत्वों के मनमाने विकल्प शामिल हैं, ये विकल्प केवल उन गुणांकों को प्रभावित करते हैं जिनके द्वारा डेहन अपरिवर्तकों का प्रतिनिधित्व किया जाता है। एक अमूर्त सदिश स्थान के तत्वों के रूप में, वे आधार के चयन से अप्रभावित रहते हैं। पॉलीहेड्रा के किसी भी परिमित समूह के डेहन अपरिवर्तकों द्वारा फैला हुआ वेक्टर स्थान अनंत-आयामी वेक्टर स्थान का एक परिमित-आयामी उपक्षेत्र बनाता है जिसमें सभी पॉलीहेड्रा के डेहन अपरिवर्तकों को परिभाषित किया जाता है। डायहेड्रल कोणों के कौन से संयोजन तर्कसंगत रैखिक संयोजनों द्वारा संबंधित हैं, यह सवाल हमेशा सीधा नहीं होता है, और इसमें संख्या सिद्धांत से गैर-तुच्छ तरीके शामिल हो सकते हैं। प्लेटोनिक ठोस पाँच प्लेटोनिक ठोसों के लिए, डायहेड्रल कोण हैंः टेट्राहेड्रॉन के लिए। , एक समकोण, घन के लिए। ऑक्टाहेड्रॉन के लिए। डोडेकाहेड्रन के लिए, स्वर्ण अनुपात कहाँ है। आइकोसाहेड्रन के लिए। एक घन का द्विध्रुवीय कोण एक परिमेय गुणक है, लेकिन बाकी नहीं हैं। नियमित टेट्राहेड्रॉन और नियमित ऑक्टाहेड्रॉन के डायहेड्रल कोण पूरक कोण हैंः वे इन पांच कोणों से टेट्राहेड्रॉन या ऑक्टाहेड्रॉन को छोड़कर एक तर्कसंगत आधार उत्पन्न करते हैंः इन कोणों के बीच कोई अन्य तर्कसंगत संबंध नहीं हैं। यदि, उदाहरण के लिए, जिस आधार को छोड़ दिया जाता है, उसका उपयोग किया जाता है, और एक आधार तत्व के रूप में उपयोग किया जाता है, लेकिन फिर डेहन अपरिवर्तनीय गणना से (एक परिमेय गुणक के रूप में) हटा दिया जाता है, तो शेष कोण आधार तत्व हैं, और। परिणामी डेहन अपरिवर्तनीय में प्रत्येक आधार तत्व के लिए एक आयाम होगा। इस आधार के साथ, किनारे की लंबाई वाले प्लेटोनिक ठोसों के लिए, डेहन अपरिवर्तनीय हैंः टेट्राहेड्रॉन के लिए। इसकी लंबाई के छह किनारे हैं, जिसमें चतुष्फलकीय द्विध्रुवीय कोण हैं। क्यूब के लिए। इसके किनारों में द्विध्रुवीय कोण होते हैं जिन्हें केवल के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, जिसे डेहन अपरिवर्तनीय से हटा दिया जाता है। ऑक्टाहेड्रॉन के लिए। इसके बारह किनारों पर त्रिभुज हैं। इस संयोजन में, के लिए गुणांक को त्याग दिया जाता है, जिससे डोडेकाहेड्रॉन के लिए केवल एक गुणांक रह जाता है। इसमें डोडेकाहेड्रल डायहेड्रल कोणों के साथ 30 किनारे हैं। आइकोसाहेड्रन के लिए। एकर 30 टा किनारा छैक जाहिमे आइकोसाहेड्रल डाइहेड्रल कोण छैक। इनमें से घन एकमात्र ऐसा है जिसका डेहन अपरिवर्तनीय शून्य है। अन्य चार प्लेटोनिक ठोसों में से प्रत्येक के डेहन अपरिवर्तनीय असमान और गैर-शून्य हैं। ऑक्टाहेड्रॉन का डेहन अपरिवर्तनीय समान किनारे की लंबाई के टेट्राहेड्रॉन का डेहन अपरिवर्तनीय है। संबंधित पॉलीहेड्रा किसी भी पैरेललपाइप्ड का डेहन अपरिवर्तनीय शून्य होता है, जैसा कि क्यूब के लिए होता है। एक समानांतर रेखा में चार समानांतर किनारों के प्रत्येक सेट की लंबाई समान होती है और इसमें डायहेड्रल कोण होते हैं, इसलिए डेहन अपरिवर्तनीय में उनका योगदान शून्य हो जाता है। अन्य आर्किमिडियन ठोसों के डेहन अपरिवर्तकों को प्लेटोनिक ठोसों के अपरिवर्तकों के तर्कसंगत संयोजन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। पहले के समान आधार के संदर्भ में, उसी धारणा के साथ कि इन आकृतियों में किनारे की लंबाई है, डेहन अपरिवर्तनीय हैंः कटे हुए टेट्राहेड्रॉन के लिए। कटे हुए घन, रम्बिक्युबोक्टेहेड्रन और क्यूबोक्टेहेड्रन के लिए। कटे हुए ऑक्टाहेड्रॉन के लिए, जो बिट्रंकेटेड क्यूबिक हनीकोम्ब के रूप में जगह को टाइल करता है। कटे हुए डोडेकाहेड्रन के लिए। कटे हुए आइकोसाहेड्रन के लिए। आइकोसिडोडेकाहेड्रन के लिए। रम्बिकोसिडोडेकाहेड्रन के लिए। कटे हुए आइकोसिडोडेकाहेड्रोन के लिए। यह सीधे स्थान को टाइल नहीं करता है, लेकिन एक ज़ोनोहेड्रॉन के रूप में इसे पैरेललपाइप्ड में विभाजित किया जा सकता है, जो करते हैं। जैसा कि देखा गया है, डेहन अपरिवर्तनीय पॉलीहेड्रा के विच्छेदन के लिए एक अपरिवर्तनीय है, इस अर्थ में कि एक पॉलीहेड्रॉन को छोटे पॉलीहेड्रल टुकड़ों में काटना और फिर उन्हें एक अलग पॉलीहेड्रॉन में फिर से जोड़ना परिणाम के डेहन अपरिवर्तनीय को नहीं बदलता है। यदि इस काटने की प्रक्रिया में एक नया किनारा पेश किया जाता है, तो या तो यह पॉलीहेड्रॉन के आंतरिक भाग है, और कुल डायहेड्रल कोणों से घिरा हुआ है, या पॉलीहेड्रॉन के एक चेहरे पर, और कुल डायहेड्रलों से घिरा हुआ है; दोनों ही मामलों में यह परिमेय गुणक डेहन अपरिवर्तनीय में योगदान नहीं देता है। इसी तरह के एक विश्लेषण से पता चलता है कि डेहन अपरिवर्तनीय में भी कोई बदलाव नहीं होता है जब एक मौजूदा पॉलीहेड्रॉन किनारा पॉलीहेड्रॉन को काटते समय बनाए गए एक नए चेहरे की सीमा होती है। उस किनारे पर नए डायहेड्रल कोण एक ही राशि के साथ जुड़ते हैं, और डेहन अपरिवर्तनीय के लिए समान योगदान, जो उनके पास पहले था। विच्छेदन का एक अन्य अपरिवर्तनीय तत्व पॉलीहेड्रॉन का आयतन हैः इसे पॉलीहेड्रल टुकड़ों में काटना और टुकड़ों को फिर से जोड़ना कुल आयतन को नहीं बदल सकता है। इसलिए, यदि एक पॉलीहेड्रॉन का दूसरे पॉलीहेड्रॉन में विच्छेदन होता है, तो दोनों में समान डेहन अपरिवर्तनीय होने के साथ-साथ समान आयतन भी होना चाहिए। इस परिणाम को यह साबित करके बढ़ाया कि आयतन और डेहन अपरिवर्तनीय इस समस्या के लिए एकमात्र अपरिवर्तनीय हैं। यदि और दोनों में समान आयतन और समान डेहन अपरिवर्तनीय है, तो एक को दूसरे में विच्छेदित करना हमेशा संभव है। डेहन अपरिवर्तनीय भी टाइल स्थान के लिए एक पॉलीहेड्रॉन की क्षमता को बाधित करता है। प्रत्येक स्थान-भरने वाली टाइल में घन की तरह डेहन अपरिवर्तनीय शून्य होता है। पॉलीहेड्रा के लिए समय-समय पर यह टाइलिंग की आवधिकता का उपयोग करके टाइल को उसी आवधिकता के साथ एक समानांतर में काटने और पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है, लेकिन यह परिणाम श्मिट-कॉनवे-डांजर बाइप्रिज्म जैसी एपेरियोडिक टाइलों के लिए भी लागू होता है। इसका उल्टा सच नहीं है-डेहन अपरिवर्तनीय शून्य के साथ पॉलीहेड्रा मौजूद है जो टाइल स्थान नहीं है। हालाँकि, इन्हें हमेशा एक अन्य आकार (घन) में विच्छेदित किया जा सकता है जो टाइल स्थान करता है। कटा हुआ आइकोसिडोडेकाहेड्रन एक उदाहरण है। डेहन का परिणाम गोलाकार ज्यामिति और हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए मान्य बना हुआ है। उन दोनों ज्यामिति में, दो बहुफलक जिन्हें काटा जा सकता है और एक दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है, उनमें एक ही डेहन अपरिवर्तनीय होना चाहिए। हालांकि, जैसा कि जेसेन ने देखा, गोलाकार या हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए सिडलर के परिणाम का विस्तार खुला रहता हैः यह ज्ञात नहीं है कि क्या एक ही आयतन और एक ही डेहन अपरिवर्तनीय के साथ दो गोलाकार या हाइपरबोलिक पॉलीहेड्रा को हमेशा काटा और एक दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है। परिमित आयतन के साथ प्रत्येक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड को जियोडेसिक सतहों के साथ एक हाइपरबोलिक पॉलीहेड्रॉन (मैनिफोल्ड के मौलिक समूह के लिए एक मौलिक क्षेत्र) में काटा जा सकता है, जो मैनिफोल्ड के सार्वभौमिक आवरण को टाइल करता है और इसलिए आवश्यक रूप से शून्य डेहन अपरिवर्तनीय होता है। अधिक आम तौर पर, यदि पॉलीहेड्रा का कुछ संयोजन संयुक्त रूप से टाइल्स स्थान है, तो उनके डेहन अपरिवर्तकों का योग (समान अनुपात में लिया गया) शून्य होना चाहिए। उदाहरण के लिए, टेट्राहेड्रल-ऑक्टाहेड्रल मधुकोश टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रा (ऑक्टाहेड्रा से दोगुने टेट्राहेड्रा के साथ) द्वारा स्थान की एक टाइलिंग है, जो इस तथ्य के अनुरूप है कि एक ऑक्टाहेड्रॉन और दो टेट्राहेड्रा (एक ही तरफ की लंबाई के साथ) के डेहन अपरिवर्तकों का योग शून्य है। पूर्ण परिभाषा एक टेंसर उत्पाद के रूप में डेहन अपरिवर्तनीय की परिभाषा के लिए एक पॉलीहेड्रॉन की धारणा की आवश्यकता होती है जिसके लिए किनारों की लंबाई और डायहेड्रल कोण अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं। आम तौर पर, यह पॉलीहेड्रा पर लागू होता है जिसकी सीमाएँ टुकड़ों में रैखिक मैनिफोल्ड होती हैं, जो यूक्लिडियन स्पेस में सीमित संख्या में विमानों पर अंतर्निहित होती हैं। हालांकि, डेहन अपरिवर्तनीय को गोलाकार ज्यामिति में या हाइपरबोलिक स्पेस में पॉलीहेड्रा के लिए और यूक्लिडियन स्पेस में कुछ सेल्फ-क्रॉसिंग पॉलीहेड्रा के लिए भी माना गया है। डेहन अपरिवर्तनीय के मान एक अबेलियन समूह से संबंधित हैं जिसे टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है इस टेंसर उत्पाद का बायां कारक वास्तविक संख्याओं का समूह है (इस मामले में पॉलीहेड्रा के किनारों की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है) और सही कारक रेडियन में डायहेड्रल कोणों का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे 2 के संख्या मॉड्यूलो परिमेय गुणकों के रूप में दिया जाता है। (कुछ स्रोत कोणों के बजाय कोणों को मॉड्यूलो लेते हैं या कोणों को विभाजित करते हैं और स्थान पर उपयोग करते हैं लेकिन इससे परिणामी टेंसर उत्पाद पर कोई फर्क नहीं पड़ता है, क्योंकि सही कारक में कोई भी परिमेय गुणक उत्पाद में शून्य हो जाता है।) किनारे की लंबाई और किनारे के डायहेड्रल कोणों के साथ एक पॉलीहेड्रॉन का डेहन अपरिवर्तनीय योग है इसकी संरचना एक टेंसर के रूप में डेहन अपरिवर्तनीय अतिरिक्त गुण देती है जो ज्यामितीय रूप से सार्थक हैं। विशेष रूप से, इसमें एक टेंसर रैंक है, जो इस तरह के शब्दों के योग के रूप में किसी भी अभिव्यक्ति में शब्दों की न्यूनतम संख्या है। चूंकि एक पॉलीहेड्रॉन के किनारों पर योग के रूप में डेहन अपरिवर्तनीय की अभिव्यक्ति का ठीक यही रूप है, इसलिए डेहन अपरिवर्तनीय की श्रेणी किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन के विच्छेदन के परिणामस्वरूप किसी भी पॉलीहेड्रॉन के लिए संभावित किनारों की न्यूनतम संख्या पर एक निचली सीमा देती है। हैमल आधार का उपयोग करना डेहन अपरिवर्तनीय के एक वैकल्पिक लेकिन समतुल्य विवरण में हैमल आधार का चयन शामिल है, जो वास्तविक संख्याओं का एक अनंत सबसेट है जैसे कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को विशिष्ट रूप से तत्वों के परिमित रूप से कई परिमेय गुणकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, एक योगात्मक समूह के रूप में, के प्रत्येक तत्व के लिए एक योग के साथ प्रतियों का प्रत्यक्ष योग समरूप है। यदि इसके तत्वों में से एक (या एक परिमेय गुणक) के लिए चुना जाता है, और इस तत्व के साथ शेष आधार को बाहर रखा जाता है, तो टेंसर उत्पाद को (अनंत आयामी) वास्तविक वेक्टर स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। डेहन अपरिवर्तनीय को प्रत्येक द्विध्रुवीय कोण को आधार तत्वों के एक सीमित योग में विघटित करके व्यक्त किया जा सकता है जहां परिमेय है, हैमल आधार में वास्तविक संख्याओं में से एक है, और इन आधार तत्वों को क्रमांकित किया जाता है ताकि इसका परिमेय गुणक संबंधित हो लेकिन नहीं। इस अपघटन के साथ, डेहन अपरिवर्तनीय वह स्थान है जहाँ प्रत्येक आधार तत्व के अनुरूप मानक इकाई सदिश है। यहाँ योग शुरू होता है, के परिमेय गुणकों के अनुरूप शब्द को हटाने के लिए। इस वैकल्पिक सूत्रीकरण से पता चलता है कि डेहन अपरिवर्तनीय के मूल्यों को एक वास्तविक वेक्टर स्थान की अतिरिक्त संरचना दी जा सकती है। हालांकि, सामान्य तौर पर, हैमल आधारों के निर्माण में पसंद का स्वयंसिद्ध शामिल होता है, लेकिन पॉलीहेड्रा के डायहेड्रल कोणों द्वारा उत्पन्न सीमित-आयामी वेक्टर स्थान पर ध्यान को सीमित करके (पॉलीहेड्रा के किसी भी विशिष्ट सीमित सेट पर विचार करते समय) इससे बचा जा सकता है। असीम किनारे की लंबाई के साथ हाइपरबोलिक पॉलीहेड्रा हाइपरबोलिक स्पेस में एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन के लिए, किनारे की लंबाई अनंत होती है, जिससे डेहन अपरिवर्तनीय की सामान्य परिभाषा लागू नहीं होती है। फिर भी, डेहन अपरिवर्तनीय को उनके शीर्षों को काटने के लिए कुंडली का उपयोग करके, और इस कटाई प्रक्रिया द्वारा बनाए गए अतिरिक्त घुमावदार किनारों की अनदेखी करते हुए, परिणामी कटे हुए आकार के लिए सामान्य तरीके से डेहन अपरिवर्तनीय की गणना करके इन पॉलीहेड्रा तक बढ़ाया जा सकता है। परिणाम कटाई के लिए कुंडली के चयन पर निर्भर नहीं करता है, जब तक कि प्रत्येक दिए गए पॉलीहेड्रॉन के केवल एक शीर्ष को काटता है। हालांकि डेहन अपरिवर्तनीय इस स्थान के सभी तत्वों में मान नहीं लेता है, लेकिन इसे पॉलीहेड्रा के डेहन अपरिवर्तनीय के रूप में महसूस किया जा सकता है। यूक्लिडियन पॉलीहेड्रा के डेहन अपरिवर्तनीय एक वास्तविक रैखिक उपक्षेत्र बनाते हैंः कोई भी पॉलीहेड्रा के असंबद्ध संघ को लेकर (या उन्हें एक चेहरे पर एक साथ चिपकाकर) पॉलीहेड्रा के डेहन अपरिवर्तनीय को जोड़ सकता है, पॉलीहेड्रॉन के आकार में छेद बनाकर बड़े क्यूब्स में डेहन अपरिवर्तनीय को नकार सकता है, और उसी संख्या से पॉलीहेड्रॉन को स्केल करके किसी भी सकारात्मक वास्तविक स्केलर द्वारा डेहन अपरिवर्तनीय को गुणा कर सकता है। डुपॉन्ट और साह के काम ने इस सवाल को स्पष्ट किया कि किन तत्वों को प्राप्त किया जा सकता है, जिन्होंने समूह समरूपता को शामिल करते हुए अबेलियन समूहों (वेक्टर रिक्त स्थान नहीं) के निम्नलिखित सटीक अनुक्रम का अस्तित्व दिखायाः यहाँ, संकेतन यूक्लिडियन पॉलीहेड्रा मॉड्यूल पर मुक्त अबेलियन समूह का प्रतिनिधित्व करता है, कुछ संबंध पॉलीहेड्रा के जोड़े से प्राप्त होते हैं जिन्हें एक दूसरे में विच्छेदित किया जा सकता है। यह त्रिकोणीय प्रिज्म द्वारा इस समूह में उत्पन्न उपसमूह है, और इसका उपयोग यहाँ आयतन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है (क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या इस समूह के बिल्कुल एक तत्व का आयतन है)। पॉलीहेड्रा के समूह का नक्शा डेहन अपरिवर्तनीय है। यह यूक्लिडियन बिंदु घूर्णन समूह है, और समूह समरूपता है। सिडलर की प्रमेय कि आयतन और डेहन अपरिवर्तनीय यूक्लिडियन विच्छेदन के लिए एकमात्र अपरिवर्तनीय हैं, को समरूपता से इस कथन द्वारा दर्शाया जाता है कि इस अनुक्रम में दिखाई देने वाला समूह तुच्छ समूह है (संकेतन 0 द्वारा अनुक्रम में कहीं और दर्शाया गया है)। यदि यह गैर-तुच्छ था, तो पॉलीहेड्रा के समूह में इसकी छवि पॉलीहेड्रा का एक परिवार देगी जो समान आयतन के घन के लिए विच्छेदन योग्य नहीं हैं, लेकिन जिनमें शून्य डेहन अपरिवर्तनीय है। सिडलर के प्रमेय के अनुसार, ऐसी बहुफलक मौजूद नहीं है। सटीक अनुक्रम के दाईं ओर दिखाई देने वाला समूह कहलर विभेदक के समूह के लिए समरूप है, और लंबाई और कोणों के टेंसर उत्पादों से कहलर विभेदक के लिए मानचित्र दिया गया है जहां की सार्वभौमिक व्युत्पत्ति है। यह समूह बोधगम्यता के लिए एक बाधा हैः इसके गैर-शून्य तत्व उन तत्वों से आते हैं जिन्हें डेहन अपरिवर्तनीय के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। हाइपरबोलिक या गोलाकार स्थान में, प्राप्त करने योग्य डेहन अपरिवर्तनीय आवश्यक रूप से एक वेक्टर स्थान नहीं बनाते हैं, क्योंकि स्केलर गुणन अब संभव नहीं है। हालाँकि, वे अभी भी टेंसर उत्पाद का एक उपसमूह बनाते हैं जिसमें वे तत्व हैं। समान रूप से, डुपॉन्ट और साह सटीक अनुक्रमों के अस्तित्व को साबित करते हैं और यहाँ विशेष रैखिक समूह को दर्शाता है, और मोबियस परिवर्तनों का समूह है; सुपरस्क्रिप्ट माइनस-साइन जटिल संयुग्मन द्वारा प्रेरित अंतर्वेशन के लिए (-1)-आइगेनस्पेस को इंगित करता है। विशेष एकात्मक समूह को दर्शाता है। उपसमूह पूरे क्षेत्र द्वारा उत्पन्न समूह है। फिर से, इन अनुक्रमों में सबसे दाएं गैर-शून्य समूह एक डेहन अपरिवर्तनीय के रूप में एक मूल्य की प्राप्ति में बाधा है। डेहन अपरिवर्तनीय के इस बीजगणितीय दृष्टिकोण को उच्च आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, जहां इसकी बीजगणितीय के-सिद्धांत से जुड़ी एक प्रेरक व्याख्या है। चार आयामों में, पॉलीहेड्रा मॉड्यूलो विच्छेदन का समूह त्रि-आयामी समूह के लिए समरूप है। प्रत्येक चार-आयामी पॉलीटोप को त्रि-आयामी पॉलीटोप पर एक प्रिज्म में विच्छेदित किया जा सकता है, और दो चार-आयामी पॉलीटोप को एक दूसरे से विच्छेदित किया जा सकता है जब उनके आयतन और डेहन अपरिवर्तनीय समान होते हैं। चार से अधिक आयामों में, यह खुला रहता है कि क्या विच्छेदन का अस्तित्व पूरी तरह से मात्रा और डेहन अपरिवर्तकों द्वारा वर्णित है, या क्या यह निर्धारित करने के लिए अन्य जानकारी की आवश्यकता है कि क्या विच्छेदन मौजूद है। संबंधित परिणाम डेहन अपरिवर्तनीय के समान एक दृष्टिकोण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या दो आयताकार बहुभुज को केवल अक्ष-समानांतर कटौती और अनुवाद (मनमाने कोणों और घूर्णन पर कटौती के बजाय) का उपयोग करके एक दूसरे में विच्छेदित किया जा सकता है। इस तरह के विच्छेदन के लिए एक अपरिवर्तनीय टेंसर उत्पाद का उपयोग करता है जहां उत्पाद में बाएं और दाएं शब्द आयत की ऊंचाई और चौड़ाई का प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी भी दिए गए बहुभुज के लिए अपरिवर्तनीय की गणना बहुभुज को आयतों में काटकर, प्रत्येक आयत की ऊंचाई और चौड़ाई के टेंसर उत्पाद को लेकर और परिणामों को जोड़कर की जाती है। विच्छेदन तभी संभव है जब दो बहुभुज समान अपरिवर्तनीय हों, जिसका अर्थ है कि उनके क्षेत्र भी समान हों। इस अपरिवर्तनीय का उपयोग 1903 से डेहन के एक और परिणाम को साबित करने के लिए किया जा सकता हैः एक ही क्षेत्र के दो आयतों को एक दूसरे में विच्छेदित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब उनके पहलू अनुपात एक दूसरे के परिमेय गुणक हों। यह इस प्रकार है कि वर्गों के संघ से बने पॉलीमिनो को केवल इस तरह से एक वर्ग में विच्छेदित किया जा सकता है जब एक वर्ग संख्या हो। डेहन अपरिवर्तनीय के इस संस्करण के लिए, टेंसर श्रेणी आयतों की न्यूनतम संख्या के बराबर होती है जिसमें एक बहुभुज को विच्छेदित किया जा सकता है। लचीला पॉलीहेड्रा पॉलीहेड्रा का एक वर्ग है जो एक निरंतर गति से गुजर सकता है जो उनके चेहरे के आकार को संरक्षित करता है। कौची के कठोरता प्रमेय के अनुसार, वे गैर-उत्तल होने चाहिए, और यह ज्ञात है ("धौंस प्रमेय") कि पॉलीहेड्रॉन का आयतन इस गति के दौरान स्थिर रहना चाहिए। इस प्रमेय के एक मजबूत संस्करण में कहा गया है कि इस तरह के पॉलीहेड्रॉन का डेहन अपरिवर्तनीय भी किसी भी निरंतर गति के दौरान अपरिवर्तनीय रहना चाहिए। इस परिणाम को "मजबूत धौंस प्रमेय" कहा जाता है। यह सभी गैर-स्व-छेदक लचीले पॉलीहेड्रा के लिए सिद्ध किया गया है। हालांकि, स्व-छेदन के साथ अधिक जटिल लचीले पॉलीहेड्रा के लिए डेहन अपरिवर्तनीय पॉलीहेड्रॉन फ्लेक्स के रूप में लगातार बदल सकता है। एक चिकनी सतह की कुल औसत वक्रता को डेहन अपरिवर्तनीय के समान परिभाषा का उपयोग करके पॉलीहेड्रल सतहों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, क्योंकि किनारे की लंबाई के किनारों पर योग को बाहरी डाइहेड्रल कोणों से गुणा किया जाता है। यह किसी भी फ्लेक्सिंग पॉलीहेड्रॉन के लिए स्थिर रहने के लिए भी साबित हुआ है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक नंबरफाइल ज्यामितीय विच्छेदन पॉलीहेड्रा पर डेहन अपरिवर्तकों के बारे में वीडियो