Gauss's lemma (number theory)
संख्या सिद्धांत में गॉस का लेम्मा एक पूर्णांक के लिए एक द्विघात अवशेष होने की शर्त देता है। हालाँकि यह कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी नहीं है, लेकिन इसका सैद्धांतिक महत्व है, जो द्विघात पारस्परिकता के कुछ प्रमाणों में शामिल है। यह पहली बार कार्ल फ्रेडरिक गॉस के द्विघात पारस्परिकता के तीसरे प्रमाण (1808) में दिखाई दिया और उन्होंने इसे अपने पांचवें प्रमाण (1818) में फिर से साबित किया। लेम्मा का कथन किसी भी विषम अभाज्य के लिए एक पूर्णांक होना चाहिए जो सह-अभाज्य है। पूर्णांकों और उनके कम से कम धनात्मक अवशेष मॉडुलो पर विचार करें। ये अवशेष सभी अलग-अलग हैं, इसलिए (उनमें से) हैं। मान लीजिए कि इन अवशेषों की संख्या उनसे अधिक है। फिर लेजेंड्रे प्रतीक कहाँ है। उदाहरण = 11 और = 7 लेते हुए, पूर्णांकों का प्रासंगिक अनुक्रम 7,14,21,28,35 है। घटाव मॉड्यूलो 11 के बाद, यह अनुक्रम 7,3,10,6,2 हो जाता है। इनमें से तीन पूर्णांक 11/2 (अर्थात् 6,7 और 10) से बड़े हैं, इसलिए = 3। तदनुसार गॉस का लेम्मा भविष्यवाणी करता है कि यह वास्तव में सही है, क्योंकि 7 एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो 11 नहीं है। 7, 3, 10, 6, 2 अवशेषों के उपरोक्त अनुक्रम को −4,3, −1, −5,2 भी लिखा जा सकता है। इस रूप में, 11/2 से बड़े पूर्णांक ऋणात्मक संख्याओं के रूप में दिखाई देते हैं। यह भी स्पष्ट है कि अवशेषों के निरपेक्ष मान अवशेषों 1,2,3,4,5 का क्रमपरिवर्तन हैं। एक काफी सरल प्रमाण, जो फर्माट के छोटे प्रमेय के सबसे सरल प्रमाणों में से एक की याद दिलाता है, दो अलग-अलग तरीकों से उत्पाद मॉड्यूलो पी का मूल्यांकन करके प्राप्त किया जा सकता है। एक ओर यह बराबर है दूसरी ओर मूल्यांकन में अधिक मेहनत लगती है। यदि एक गैर-शून्य अवशेष मॉड्यूलो है, तो आइए हम होने के "निरपेक्ष मूल्य" को परिभाषित करें क्योंकि उन गुणकों की गणना करता है जो बाद की सीमा में हैं, और चूंकि उन गुणकों के लिए, पहली सीमा में है, इसलिए हमने अब देखा है कि मान अलग हैं। वास्तव में, हमारे पास है क्योंकि यह सहमौलिक है। यह देता है =, क्योंकि और सकारात्मक न्यूनतम अवशेष हैं। लेकिन उनमें से वास्तव में हैं, इसलिए उनके मान पूर्णांकों की पुनर्व्यवस्था हैं। इसलिए, हमारे पहले मूल्यांकन के साथ तुलना करते हुए, हम गैर-शून्य कारक को रद्द कर सकते हैं और हमारे पास यह वांछित परिणाम है, क्योंकि यूलर के मानदंड के अनुसार बाएं हाथ की ओर केवल लीजेंड्रे प्रतीक के लिए एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति है। सामान्यीकरण किसी भी विषम अभाज्य के लिए एक पूर्णांक होना चाहिए जो सह-अभाज्य है। मान लीजिए कि एक समूह ऐसा हो जो और का असंबद्ध संघ हो। फिर, कहाँ। मूल कथन में, सबूत लगभग एक ही है। अनुप्रयोग गॉस के लेम्मा का उपयोग कई में किया जाता है, लेकिन किसी भी तरह से सभी नहीं, द्विघात पारस्परिकता के ज्ञात प्रमाणों में से। उदाहरण के लिए, गॉटहोल्ड आइजेनस्टीन ने गॉस के लेम्मा का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि यदि एक विषम अभाज्य है तो इस सूत्र का उपयोग द्विघात पारस्परिकता को साबित करने के लिए किया। वृत्ताकार कार्यों के बजाय दीर्घवृत्ताकार का उपयोग करके, उन्होंने घन और चतुर्थक पारस्परिकता नियमों को साबित किया। लियोपोल्ड क्रोनेकर ने लेम्मा का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि स्विचिंग और तुरंत द्विघात पारस्परिकता देता है। इसका उपयोग संभवतः "दूसरे पूरक नियम" के सबसे सरल प्रमाणों में भी किया जाता है, गौस के लेम्मा के उच्च शक्तियों के सामान्यीकरण का उपयोग उच्च शक्ति अवशेष प्रतीकों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। द्विघात पारस्परिकता पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में, गॉस ने गॉसियन पूर्णांकों के वलय के द्विघात चरित्र के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए एक चतुर्थ-शक्ति लेम्मा का उपयोग किया। इसके बाद, आइजेनस्टीन ने क्यूबिक और क्वार्टिक पारस्परिकता साबित करने के लिए थर्ड-और फोर्थ-पावर संस्करणों का उपयोग किया। मान लीजिए कि k पूर्णांकों के वलय के साथ एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र है और एक अभाज्य आदर्श है। के आदर्श मानक को अवशेष वर्ग रिंग की कार्डिनलिटी के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि अभाज्य है यह एक परिमित क्षेत्र है, इसलिए आदर्श मानक है। मान लीजिए कि एकता का एक आदिम मूल और वह और सहप्रधान हैं (अर्थात। )। तब एकता की कोई भी दो अलग-अलग जड़ें सर्वांगसम मॉड्यूलो नहीं हो सकती हैं। यह विरोधाभास से साबित किया जा सकता है, यह मानते हुए कि मॉड,। इस तरह के मॉड, और। एकता की जड़ों की परिभाषा से, और द्वारा विभाजित करने से अवशेषों को लेने और लेने का तरीका मिलता है, क्योंकि और सहमौलिक, मॉड हैं, लेकिन धारणा के तहत, दाईं ओर के कारकों में से एक शून्य होना चाहिए। इसलिए, यह धारणा कि दो अलग-अलग मूल सर्वांगसम हैं, गलत है। इस प्रकार की शक्तियों को धारण करने वाले अवशिष्ट वर्ग इसकी इकाइयों के (गुणक) समूह के क्रम का एक उपसमूह हैं, इसलिए, का क्रम एक गुणक है, और इसमें फर्माट के प्रमेय का एक अनुरूप है। यदि के लिए, तब और मॉड के बाद से, अच्छी तरह से परिभाषित है और एकता के एक अद्वितीय th मूल के लिए सर्वांगसम है। एकता की इस जड़ को th-शक्ति अवशेष प्रतीक कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है यह साबित किया जा सकता है कि यदि और केवल तभी जब ऐसा कोई मॉड हो। 1/n प्रणालियाँ मान लीजिए कि एकता के th मूल का गुणक समूह है, और मान लीजिए कि वे एक प्रणाली मॉड के प्रतिनिधि हैं। दूसरे शब्दों में, सेट में संख्याएँ होती हैं और यह सेट एक प्रतिनिधि सेट का गठन करता है। एक प्रणाली का निर्माण करना सीधा हैः किसी को भी चुनने के लिए एक प्रतिनिधि सेट होने दें और उनमें से सर्वांगसम संख्याओं को हटा दें। से चुनें और समाप्त होने तक दोहराने के लिए सर्वांगसम संख्याओं को हटा दें। फिर एक प्रणाली मॉड है nth शक्तियों के लिए लेम्मा गॉस के लेम्मा को निम्नानुसार th शक्ति अवशेष प्रतीक तक बढ़ाया जा सकता है। माना एकता का एक आदिम मूल, एक प्रमुख आदर्श, (अर्थात। फिर प्रत्येक के लिए, पूर्णांक, अद्वितीय (मॉड), और अद्वितीय (मॉड) होते हैं, जैसे कि और th-शक्ति अवशेष प्रतीक सूत्र द्वारा दिया जाता है। प्रमाण th-पावर लेम्मा का प्रमाण उन्हीं विचारों का उपयोग करता है जो द्विघात लेम्मा के प्रमाण में उपयोग किए गए थे। पूर्णांकों और, और उनकी विशिष्टता (मॉड) और (मॉड) का अस्तित्व, क्रमशः, इस तथ्य से आता है कि यह एक प्रतिनिधि समूह है। मान लीजिए कि = =, अर्थात। और फिर क्योंकि और सहमौलिक हैं दोनों पक्षों को विभाजित किया जा सकता है, जो देते हुए, चूंकि एक प्रणाली है, तात्पर्य है और, यह दर्शाता है कि सेट का क्रमपरिवर्तन है। फिर एक ओर, शक्ति अवशेष प्रतीक की परिभाषा के अनुसार, और दूसरी ओर, क्योंकि एक क्रमपरिवर्तन है, इसलिए और सभी के लिए, और सहमौलिक हैं, दोनों पक्षों से रद्द किया जा सकता है, और प्रमेय इस तथ्य से अनुसरण करता है कि एकता के कोई भी दो अलग-अलग मूल सर्वांगसम (मॉड) नहीं हो सकते हैं। समूह सिद्धांत में स्थानांतरण का संबंध मान लीजिए कि गैर-शून्य अवशेष वर्गों का गुणक समूह है, और मान लीजिए कि उपसमूह {+ 1, −1} है। इन के निम्नलिखित कोसेट प्रतिनिधियों पर विचार करें, कोसेट प्रतिनिधियों के इस संग्रह में स्थानांतरण की मशीनरी को लागू करते हुए, हम स्थानांतरण समरूपता प्राप्त करते हैं जो मानचित्र के रूप में निकलता है जो लेम्मा के कथन में भेजता है, कहाँ और हैं। गॉस के लेम्मा को तब एक गणना के रूप में देखा जा सकता है जो स्पष्ट रूप से इस समरूपता को द्विघात अवशेष चरित्र के रूप में पहचानता है। ज़ोलोटारेव के लेम्मा संदर्भ भी देखें संख्या सिद्धांत में लेम्मा के प्रमाण वाले लेख संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर अंकगणितीय चतुर्भुज अवशेष वर्ग