Gauss's lemma (polynomials)
बीजगणित में, गॉस का लेम्मा, जिसका नाम कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है, पूर्णांकों पर बहुपदों के बारे में एक कथन है, या, अधिक सामान्य रूप से, एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र पर (यानी, एक वलय जिसमें अंकगणित के मौलिक प्रमेय के समान एक अद्वितीय गुणनखंडन गुण है)। गॉस का सिद्धांत गुणनखंडन के सभी सिद्धांत और ऐसे बहुपदों के सबसे बड़े सामान्य भाजक को रेखांकित करता है। गॉस लेम्मा दावा करता है कि दो आदिम बहुपदों का गुणनफल आदिम है (पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद आदिम है यदि इसमें 1 अपने गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के रूप में है)। गॉस के लेम्मा का एक परिणाम, जिसे कभी-कभी गॉस का लेम्मा भी कहा जाता है, यह है कि एक आदिम बहुपद पूर्णांकों पर अपरिवर्तनीय है यदि और केवल तभी जब यह परिमेय संख्याओं पर अपरिवर्तनीय हो। अधिक आम तौर पर, एक आदिम बहुपद में पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर समान पूर्ण गुणनखंडन होता है। एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र में गुणांक के मामले में, "परिमेय संख्याओं" को "के भिन्नों के क्षेत्र" द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि, यदि या तो एक क्षेत्र, पूर्णांकों का वलय, या एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है, तो प्रत्येक बहुपद वलय (एक या कई अनिश्चितों में) एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है। एक अन्य परिणाम यह है कि पूर्णांक या परिमेय गुणांक वाले बहुपदों के गुणनखंडन और सबसे बड़ी सामान्य भाजक गणना को पूर्णांक और आदिम बहुपदों पर समान गणनाओं तक कम किया जा सकता है। यह सभी कार्यान्वित एल्गोरिदम में व्यवस्थित रूप से (स्पष्ट रूप से या निहित रूप से) उपयोग किया जाता है (बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और बहुपदों का गुणनखंडन देखें)। गॉस लेम्मा, और इसके सभी परिणाम जो एक पूर्ण गुणनखंडन के अस्तित्व को शामिल नहीं करते हैं, किसी भी जीसीडी डोमेन (एक अभिन्न डोमेन जिस पर सबसे बड़े सामान्य भाजक मौजूद हैं) पर सही रहते हैं। विशेष रूप से, जी. सी. डी. डोमेन पर एक बहुपद वलय भी एक जी. सी. डी. डोमेन है। यदि कोई आदिम बहुपद को ऐसा कहता है कि गुणांक इकाई आदर्श उत्पन्न करते हैं, तो गॉस का लेम्मा प्रत्येक कम्यूटेटिव रिंग पर सही होता है। हालाँकि, आदिम की इस परिभाषा का उपयोग करते समय कुछ सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र पर जो एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र नहीं है, ऐसे बहुपद हैं जो उपरोक्त अर्थों में आदिम हैं और इस नए अर्थ में आदिम नहीं हैं। यदि पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद है, तो इसे आदिम कहा जाता है यदि सभी गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है; दूसरे शब्दों में, कोई भी अभाज्य संख्या सभी गुणांक को विभाजित नहीं करती है। प्रमाणः स्पष्ट रूप से दो आदिम बहुपदों के गुणनफल f (x) g (x) में पूर्णांक गुणांक हैं। इसलिए, यदि यह आदिम नहीं है, तो एक अभाज्य पी होना चाहिए जो इसके सभी गुणांकों का एक सामान्य भाजक है। लेकिन p, f (x) या g (x) के सभी गुणांकों को विभाजित नहीं कर सकता है (अन्यथा वे आदिम नहीं होते)। मान लीजिए कि arxr, f (x) का पहला पद है जो p से विभाज्य नहीं है और मान लीजिए कि bsxs, g (x) का पहला पद है जो p से विभाज्य नहीं है। अब गुणनफल में xr + s शब्द पर विचार करें, जिसका गुणांक है। इसलिए, उत्पाद के गुणांक में कोई सामान्य भाजक नहीं हो सकता है और इस प्रकार वे आदिम हैं। अधिक सामान्य मामले के लिए सबूत नीचे दिया गया है। ध्यान दें कि Z (एक अभाज्य संख्या) का एक अपरिवर्तनीय तत्व अभी भी अपरिवर्तनीय है जब Z [X] में स्थिर बहुपद के रूप में देखा जाता है; यह कथन में "गैर-स्थिर" की आवश्यकता को समझाता है। अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन के लिए कथन गॉस का लेम्मा आम तौर पर मनमाने ढंग से अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन पर अधिक होता है। वहाँ एक बहुपद की सामग्री को गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (जीसीडी की तरह, सामग्री वास्तव में सहयोगी तत्वों का एक समूह है)। एक यू. एफ. डी. में गुणांक के साथ एक बहुपद को तब आदिम कहा जाता है यदि एक ही समय में सभी गुणांकों को विभाजित करने वाले एकमात्र तत्व इसके व्युत्क्रमणीय तत्व हैं; अर्थात, गुणांक का जी. सी. डी. एक है। आदिमत्व कथन-यदि एक यू. एफ. डी. है, तो आदिम बहुपदों का समूह गुणन के तहत बंद हो जाता है। अधिक आम तौर पर, बहुपदों के उत्पाद की सामग्री उनकी व्यक्तिगत सामग्री का उत्पाद है। इरेड्यूसिबिलिटी स्टेटमेंटः आइए एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र और इसके भिन्नों का क्षेत्र बनें। एक गैर-स्थिर बहुपद में यदि और केवल तभी इरेड्यूसिबल है जब यह इरेड्यूसिबल और प्रिमिटिव दोनों में हो। (प्रमाण के लिए, नीचे #General संस्करण देखें।) भिन्नों के क्षेत्र के साथ एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र होने दें। यदि एक बहुपद है तो कुछ के लिए, गुणांक हैं, और इसलिए-गुणांक के जीसीडी को फैक्टर करते हुए-हम कुछ आदिम बहुपद के लिए लिख सकते हैं। जैसा कि कोई देख सकता है, यह बहुपद एक इकाई द्वारा गुणन तक अद्वितीय है और इसे का आदिम भाग (या आदिम प्रतिनिधि) कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है। प्रक्रिया उत्पाद के साथ संगत हैः संरचना का उपयोग इस कथन को दिखाने के लिए किया जा सकता हैः एक यू. एफ. डी. पर एक बहुपद वलय एक यू. एफ. डी. है। वास्तव में, प्रेरण द्वारा, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि एक यू. एफ. डी. है जब एक यू. एफ. डी. है। माना कि यह एक गैर-शून्य बहुपद है। अब, एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है (क्योंकि यह एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र है) और इसलिए, एक बहुपद के रूप में, इस प्रकार गुणनखंडन किया जा सकता हैः जहां के अपरिवर्तनीय बहुपद हैं। अब, हम (और यह आदिम भाग है) के गुणांकों के जी. सी. डी. के लिए लिखते हैं और फिरः अब, (चूंकि यह एक यू. एफ. डी. है) के अभाज्य तत्वों का गुणनफल है और इसका एक अभाज्य तत्व एक अभाज्य तत्व है, जैसा कि एक अभिन्न क्षेत्र है। इसलिए, एक अभाज्य गुणनखंडन (या अपरिवर्तनीय में एक अद्वितीय गुणनखंडन) को स्वीकार करता है। इसके बाद, ध्यान दें कि अपवर्तनीय तत्वों में एक अद्वितीय गुणनखंडन है, क्योंकि (1) प्रत्येक अपवर्तनीयता कथन द्वारा अपवर्तनीय है और (2) यह अद्वितीय है क्योंकि के गुणनखंडन को एक गुणनखंडन के रूप में भी देखा जा सकता है और वहां गुणनखंडन अद्वितीय है। चूंकि और विशिष्ट रूप से इकाई तत्वों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, इसलिए उपरोक्त गुणनखंडन अपरिवर्तनीय तत्वों में एक अद्वितीय गुणनखंडन है। यह शर्त कि "आर एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है" अनावश्यक नहीं है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि इस वलय का प्रत्येक अपरिवर्तनीय तत्व भी एक प्रमुख तत्व है, जिसका अर्थ है कि आर के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में अपरिवर्तनीय तत्वों के उत्पाद में अधिक से अधिक एक गुणनखंडन होता है और एक इकाई क्रम और संबद्ध संबंध तक होती है। एक रिंग में जहां गुणनखंडन अद्वितीय नहीं है, मान लीजिए कि पी और क्यू अपरिवर्तनीय तत्वों के साथ जो दूसरी तरफ किसी भी कारक को विभाजित नहीं करते हैं, उत्पाद आदिमता कथन की विफलता को दर्शाता है। एक ठोस उदाहरण के लिए,,, ले सकते हैं। इस उदाहरण में बहुपद (दाहिने हाथ की ओर को विभाजित करके प्राप्त) अपवर्तनीयता कथन की विफलता का एक उदाहरण प्रदान करता है (यह आर पर अपवर्तनीय है, लेकिन इसके अंशों के क्षेत्र पर अपवर्तनीय है)। एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण बहुपद है, जिसकी जड़ें स्वर्ण अनुपात और संयुग्म हैं जो दर्शाते हैं कि यह क्षेत्र पर अपचनीय है, हालांकि यह गैर-यू. एफ. डी. पर अपचनीय है जिसमें अंशों का क्षेत्र होता है। बाद के उदाहरण में रिंग को (डिरिचलेट पूर्णांक की रिंग) में इंटीग्रल क्लोजर लेकर यू. एफ. डी. में बनाया जा सकता है, जिसके ऊपर रिड्यूसिबल हो जाता है, लेकिन पूर्व उदाहरण में आर पहले से ही इंटीग्रल रूप से बंद है। सामान्य संस्करण एक कम्यूटेटिव रिंग होने दें। यदि एक बहुपद है, तो हम सभी गुणांकों द्वारा उत्पन्न के आदर्श के लिए लिखते हैं; इसे की सामग्री कहा जाता है। ध्यान दें कि प्रत्येक के लिए। अगला प्रस्ताव एक अधिक महत्वपूर्ण संपत्ति बताता है। एक बहुपद को आदिम कहा जाता है यदि इकाई आदर्श हो। जब (या अधिक आम तौर पर जब एक बेज़आउट डोमेन होता है), यह एक आदिम बहुपद की सामान्य परिभाषा से सहमत होता है। (लेकिन अगर केवल एक यू. एफ. डी. है, तो यह परिभाषा अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन के लिए #Statements में आदिमता की परिभाषा के साथ असंगत है। प्रमाणः यह इस तथ्य का उपयोग करके आसान है जिसका अर्थ है प्रमाणः () पहले ध्यान दें कि के गुणांक का जी. सी. डी. 1 है क्योंकि, अन्यथा, हम लिखने के गुणांक में से कुछ तत्व को कारक बना सकते हैं, जो की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसके बाद, कुछ गैर-स्थिर बहुपदों के लिए मान लीजिए। फिर, कुछ के लिए, बहुपद में गुणांक होते हैं और इसलिए, गुणांक के जीसीडी को फैक्टर करके, हम लिखते हैं। ऐसा ही करें और हम कुछ के लिए लिख सकते हैं। अब, कुछ के लिए छोड़ दें। फिर. इससे, प्रस्ताव का उपयोग करते हुए, हम पाते हैंः अर्थात्, विभाजित करता है। इस प्रकार, और फिर गुणनखंडन की अपरिवर्तनीयता के लिए एक विरोधाभास का गठन करता है। () यदि इरेड्यूसिबल ओवर है, तो या तो यह इरेड्यूसिबल ओवर है या इसमें एक कारक के रूप में एक स्थिर बहुपद है, दूसरी संभावना को धारणा द्वारा खारिज कर दिया जाता है। प्रस्ताव का प्रमाणः स्पष्ट रूप से। यदि एक अभाज्य आदर्श है, तो मॉड्यूलो। चूँकि यह एक इंटीग्रल डोमेन पर एक बहुपद वलय है और इस प्रकार एक इंटीग्रल डोमेन है, इसका तात्पर्य या तो मॉड्यूलो है। इसलिए, या तो या इसमें निहित है। चूंकि यह सभी अभाज्य आदर्शों का प्रतिच्छेदन है जिसमें शामिल हैं और का चयन मनमाना था। अब हम "इसके अलावा" भाग को साबित करते हैं। गुणांकों से जी. सी. डी. को बाहर निकालते हुए, हम लिख सकते हैं और जहां के गुणांकों के जी. सी. डी. दोनों 1 हैं। स्पष्ट रूप से, यह दावे को साबित करने के लिए पर्याप्त है जब इसे प्रतिस्थापित किया जाता है; इस प्रकार, हम मानते हैं कि दोनों के गुणांक का जी. सी. डी. 1 है। शेष प्रमाण आसान और पारदर्शी है यदि एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है; इस प्रकार हम उस मामले में यहाँ प्रमाण देते हैं (और जीसीडी मामले के प्रमाण के लिए देखें)। अगर, तो साबित करने के लिए कुछ भी नहीं है। तो, अन्यथा मान लें; फिर एक गैर-इकाई तत्व है जो गुणांक को विभाजित करता है। उस तत्व को अभाज्य तत्वों के उत्पाद में फैक्टराइज़ करके, हम उस तत्व को एक अभाज्य तत्व के रूप में ले सकते हैं। अब, हमारे पास हैः इस प्रकार, या तो गुणांक के जी. सी. डी. शामिल हैं या; दोनों के जी. सी. डी. का खंडन करते हुए 1 हैं। टिप्पणीः एक जी. सी. डी. डोमेन (जैसे, एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन) पर, एक बहुपद के सभी गुणांकों की जी. सी. डी., जो इकाई तत्वों तक अद्वितीय होती है, को भी की सामग्री कहा जाता है। अनुप्रयोग गॉस के सिद्धांत से यह पता चलता है कि प्रत्येक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र के लिए, बहुपद वलय भी एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र है (अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र के लिए #Statements देखें)। गॉस के लेम्मा का उपयोग आइजेनस्टीन की अपरिवर्तनीयता मानदंड को दिखाने के लिए भी किया जा सकता है। अंत में, इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि साइक्लोटोमिक बहुपद (पूर्णांक गुणांक वाली एकात्मक इकाइयाँ) अपरिवर्तनीय हैं। गॉस के लेम्मा का तात्पर्य निम्नलिखित कथन से हैः यदि एक चर में एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र (या अधिक सामान्य रूप से एक जीसीडी क्षेत्र) में गुणांक के साथ एक मोनिक बहुपद है, तो उसका मूल अंश के क्षेत्र में है। यदि, तो यह कहता है कि पूर्णांक पर एक मोनिक बहुपद का परिमेय मूल एक पूर्णांक (सी. एफ.) है। तर्कसंगत मूल प्रमेय)। कथन को देखने के लिए, मान लीजिए कि वे अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। हम कुछ के लिए लिख सकते हैं। फिर एक गुणनखंडन है। लेकिन यह आदिम है (यू. एफ. डी. के अर्थ में) और इस प्रकार गौस के लेम्मा के गुणांक को विभाजित करता है, और इसी तरह इन के साथ। चूँकि यह मोनिक है, यह केवल तभी संभव है जब एक इकाई हो। एक समान तर्क से पता चलता हैः मान लीजिए कि भिन्नों और अंशों के क्षेत्र के साथ एक जीसीडी डोमेन है। यदि कुछ बहुपद के लिए जो यू. एफ. डी. अर्थ में आदिम है और, तो। अपरिवर्तनीयता कथन का यह भी तात्पर्य है कि एक बीजगणितीय पूर्णांक की परिमेय संख्याओं पर न्यूनतम बहुपद में पूर्णांक गुणांक होते हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ बहुपदों के बारे में प्रमेय वर्तनी सिद्धांत में प्रमेय बीजगणित में लेम्मा