An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism
एन एसे ऑन द एप्लीकेशन ऑफ मैथमेटिकल एनालिसिस टू द थियरीज ऑफ इलेक्ट्रिसिटी एंड मैग्नेटिस्म 1828 में जॉर्ज ग्रीन द्वारा एक मौलिक प्रकाशन है, जिसमें उन्होंने बिजली और चुंबकत्व पर सिमोन डेनिस पॉइसन के पिछले काम का विस्तार किया है। गणितीय विश्लेषण में काम, विशेष रूप से जिसे अब सार्वभौमिक रूप से ग्रीन की प्रमेय के रूप में जाना जाता है, गणितीय भौतिकी की सभी शाखाओं में सबसे अधिक महत्वपूर्ण है। इसमें क्षमता के सिद्धांत की पहली व्याख्या शामिल है। भौतिकी में, ग्रीन के प्रमेय का उपयोग ज्यादातर द्वि-आयामी प्रवाह समाकलन को हल करने के लिए किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक आयतन के अंदर किसी भी बिंदु पर द्रव बहिर्वाह का योग एक संलग्न क्षेत्र के बारे में कुल बहिर्वाह के योग के बराबर होता है। समतल ज्यामिति में, और विशेष रूप से, क्षेत्र सर्वेक्षण में, ग्रीन के प्रमेय का उपयोग केवल परिधि पर एकीकृत करके समतल आकृतियों के क्षेत्र और केंद्रक को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। यह इस निबंध में है कि 'संभावित कार्य' शब्द सबसे पहले आता है। इसमें भी शुद्ध गणित में उनकी उल्लेखनीय प्रमेय, जिसे सार्वभौमिक रूप से ग्रीन की प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और शायद गणितीय भौतिकी की पूरी श्रृंखला में जांच का सबसे महत्वपूर्ण साधन, सामने आया। हम सभी अब सामान्य रूप से कम से कम ग्रीन के काम के महत्व और 1828 में उनके निबंध के प्रकाशन के बाद से हुई प्रगति को समझने में सक्षम हैं। लेकिन उनके काम और बाद की प्रगति की पूरी तरह से सराहना करने के लिए किसी को गणितीय-भौतिक विज्ञान के दृष्टिकोण को जानने की आवश्यकता है जैसा कि इस समय ग्रीन को दिखाई दिया था और अपनी खोजों को प्रचारित करने में उनकी परिष्कृत संवेदनशीलता को महसूस करने की आवश्यकता है। जॉर्ज ग्रीन द्वारा 1828 में पॉइसन की विद्युत और चुंबकीय जांच को सामान्यीकृत और विस्तारित किया गया था। ग्रीन का उपचार लैग्रेंज, लाप्लास और पॉइसन द्वारा पहले से ही उपयोग किए जाने वाले फलन के गुणों पर आधारित है, जो क्षेत्र में सभी विद्युत या चुंबकीय आवेशों के योग का प्रतिनिधित्व करता है, जो किसी दिए गए बिंदु से उनकी संबंधित दूरी से विभाजित होता हैः इस फलन को ग्रीन ने नाम विभव दिया, जिसके द्वारा यह हमेशा से जाना जाता रहा है। 1828 में, ग्रीन ने पेपर प्रकाशित किया जो वह निबंध है जिसके लिए वह आज सबसे प्रसिद्ध हैं। जब ग्रीन ने अपना निबंध प्रकाशित किया, तो इसे सदस्यता के आधार पर 51 लोगों को बेचा गया, जिनमें से अधिकांश दोस्त थे और शायद इसे समझ नहीं पा रहे थे। अमीर जमींदार और गणितशास्त्री एडवर्ड ब्रोमहेड ने एक प्रति खरीदी और ग्रीन को गणित में आगे काम करने के लिए प्रोत्साहित किया। प्रस्ताव को ईमानदार नहीं मानते हुए, ग्रीन ने दो साल तक ब्रॉमहेड से संपर्क नहीं किया। इस कार्य को प्रकाशित करने के बाद, उन्होंने पहली बार एक प्रणाली के सभी कणों के द्रव्यमान को जोड़कर प्राप्त परिणाम को दर्शाने के लिए 'क्षमता' शब्द की शुरुआत की, प्रत्येक को एक दिए गए बिंदु से इसकी दूरी से विभाजित किया जाता है; और इस कार्य के गुणों पर पहले विचार किया जाता है और चुंबकत्व और बिजली के सिद्धांतों पर लागू किया जाता है। इसके बाद सर ब्रोमहेड ने कैम्ब्रिज फिलोसोफिकल सोसाइटी को दो पत्र भेजेः (1) 'ऑन द लॉज ऑफ द इक्विलिब्रियम ऑफ फ्लूइड्स एनालॉग टू द इलेक्ट्रिक फ्लूइड' (12 नवंबर 1832); (2) 'ऑन द डिटरमिनेशन ऑफ द एट्रेक्शन ऑफ एलिप्सॉइड्स ऑफ वेरिएबल डेंसिटीज' (6 मई 1833)। दोनों पेपर बहुत विश्लेषणात्मक शक्ति प्रदर्शित करते हैं, लेकिन व्यावहारिक रूप से दिलचस्प होने के बजाय जिज्ञासु हैं। ग्रीन के 1828 के निबंध को 1846 तक गणितविदों द्वारा उपेक्षित किया गया था, और उस समय से पहले इसके अधिकांश महत्वपूर्ण प्रमेयों को गॉस, चेज़ल्स, स्टर्म और थॉमसन जे द्वारा फिर से खोजा गया था। इसने लॉर्ड केल्विन और जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के काम को प्रभावित किया। स्व-शिक्षित गणितशास्त्री का निबंध उनके समय तक विद्युत के गणितीय सिद्धांत में की गई सबसे बड़ी प्रगति में से एक था। जैसा कि सर विलियम थॉमसन ने देखा है, "उनके शोधों ने प्राथमिक प्रस्ताव को जन्म दिया है जो कूलम्ब के प्रयोगात्मक नियमों में प्रस्तुत सामग्री से बनाई जाने वाली प्रत्येक पूर्ण गणितीय संरचना की वैध नींव का गठन करता है। वे न केवल उन सुंदर मात्रात्मक प्रयोगों की प्राकृतिक और पूर्ण व्याख्या देते हैं जो व्यावहारिक विद्युतविदों के लिए हर समय इतने दिलचस्प रहे हैं, बल्कि वे गणितविदों को समस्याओं से निपटने के सबसे सरल और सबसे शक्तिशाली तरीकों का सुझाव देते हैं, जिन पर अगर केवल पुराने विश्लेषण के बल से हमला किया जाता है, तो वे हमेशा के लिए अनसुलझे रहे होंगे। संस्मरण की शुरुआत के निकट सतह और आयतन समाकलन को जोड़ने वाला प्रसिद्ध सूत्र स्थापित किया गया है, जिसे अब आम तौर पर ग्रीन का प्रमेय कहा जाता है, और जिसमें से समतुल्य सतह पर पॉइसन का परिणाम-और आयतन-चुंबकत्व का वितरण एक विशेष अनुप्रयोग है। क्षमता के गुणों की जांच करने के लिए इस प्रमेय का उपयोग करके, ग्रीन उल्लेखनीय सुंदरता और रुचि के कई परिणामों पर पहुंचे। उनकी विधि की शक्ति के एक उदाहरण के रूप में, हमें केवल निम्नलिखित का उल्लेख करने की आवश्यकता हैः-मान लीजिए कि दो बंद सतहों से घिरा एक खोखला संवाहक कवच है, और कई विद्युतीकृत निकाय रखे गए हैं, जिनमें से कुछ इसके भीतर और कुछ इसके बिना हैं; और आंतरिक सतह और आंतरिक निकायों को आंतरिक प्रणाली कहा जाए, और बाहरी सतह और बाहरी निकायों को बाहरी प्रणाली कहा जाए। तब आंतरिक प्रणाली की सभी विद्युत घटनाएं, आकर्षण, प्रतिकर्षण और घनत्व के सापेक्ष, वैसी ही होंगी जैसे कि कोई बाहरी प्रणाली नहीं थी, और आंतरिक सतह एक आदर्श संवाहक थी, जिसे पृथ्वी के साथ संचार में रखा गया था; और बाहरी प्रणाली के सभी ऐसे ही होंगे जैसे कि आंतरिक प्रणाली मौजूद नहीं थी, और बाहरी सतह एक पूर्ण संवाहक थी, जिसमें मूल रूप से खोल में और सभी आंतरिक निकायों में निहित बिजली की मात्रा के बराबर थी। यह स्पष्ट होगा कि विद्युतस्थैतिकता ने इस समय तक विकास की स्थिति प्राप्त कर ली थी जिसमें आगे की प्रगति की उम्मीद केवल गणितीय अधिरचना में की जा सकती थी, जब तक कि प्रयोग अप्रत्याशित रूप से एक पूरी तरह से नए चरित्र की घटनाओं को प्रकाश में नहीं लाता। इन प्रमेयों के सबसे सरल अनुप्रयोगों में से एक लेडेन फिल के सिद्धांत को परिपूर्ण करना था, जिसका परिणाम (यदि हम फैराडे द्वारा खोजे गए इन्सुलेट ठोस माध्यम की विशिष्ट क्रिया को छोड़कर) हम उनकी प्रतिभा के लिए ऋणी हैं। उन्होंने यह भी दिखाया है कि कैसे चालकों के अनंत रूपों का आविष्कार किया जा सकता है, ताकि प्रत्येक पर संतुलन में बिजली का वितरण सीमित बीजगणितीय शब्दों में व्यक्त किया जा सके-विज्ञान में एक बहुत बड़ी प्रगति, जब हम विचार करते हैं कि एक एकल गोलाकार चालक पर बिजली का वितरण, एक अप्रभावित दीर्घवृत्तीय चालक, और एक दूसरे को परस्पर प्रभावित करने वाले दो गोले, केवल पॉइसन द्वारा हल किए गए मामले थे, और वास्तव में गणितीय लेखकों द्वारा हल किए जाने वाले एकमात्र मामले थे। विद्युत और चुंबकत्व के सिद्धांतों के लिए गणितीय विश्लेषण के अनुप्रयोग पर संस्करण निबंध, नॉटिंघम, 1828। गणितीय विश्लेषण वेक्टर कलन आंशिक विभेदक समीकरण संदर्भ संभावित सिद्धांत गणित पेपर 1828 निबंध भी देखें।