Grothendieck category
गणित में, एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी एक निश्चित प्रकार की अबेलियन श्रेणी है, जिसे 1957 के अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक के तोहोकू पेपर में पेश किया गया था ताकि मॉड्यूल और शीव्स के लिए एकीकृत तरीके से होमोलॉजिकल बीजगणित की मशीनरी विकसित की जा सके। इन श्रेणियों के सिद्धांत को 1962 में पियरे गैब्रियल के मौलिक शोध प्रबंध में आगे विकसित किया गया था। प्रत्येक बीजगणितीय विविधता के लिए कोई भी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी को संबद्ध कर सकता है, जिसमें अर्ध-सुसंगत आवरण होते हैं। यह श्रेणी सभी प्रासंगिक ज्यामितीय जानकारी को कूटबद्ध करती है, और (गैब्रियल-रोसेनबर्ग पुनर्निर्माण प्रमेय) से पुनर्प्राप्त की जा सकती है। यह उदाहरण गैर-परिवर्तनीय बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक दृष्टिकोण को जन्म देता हैः "गैर-परिवर्तनीय किस्मों" का अध्ययन तब (कुछ) ग्रोथेन्डिक श्रेणियों के अध्ययन के अलावा और कुछ नहीं है। परिभाषा परिभाषा के अनुसार, एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी एक जनरेटर के साथ एक एबी5 श्रेणी है। वर्तनी में, इसका मतलब है कि यह एक अबेलियन श्रेणी है; वस्तुओं के प्रत्येक (संभवतः अनंत) परिवार में एक सह-उत्पाद (जिसे प्रत्यक्ष योग के रूप में भी जाना जाता है) होता है; लघु सटीक अनुक्रमों की प्रत्यक्ष सीमाएं सटीक होती हैं; इसका मतलब है कि यदि लघु सटीक अनुक्रमों की एक प्रत्यक्ष प्रणाली दी जाती है, तो प्रत्यक्ष सीमाओं का प्रेरित अनुक्रम भी एक छोटा सटीक अनुक्रम होता है। (प्रत्यक्ष सीमाएँ हमेशा सही-सही होती हैं; यहाँ महत्वपूर्ण बात यह है कि हम उन्हें बाएं-सही होने की भी आवश्यकता रखते हैं।) एक जनरेटर है, अर्थात। इस तरह की एक वस्तु है जो सेट की श्रेणी से एक वफादार फ़ंक्टर है। (हमारी स्थिति में, यह कहने के बराबर है कि प्रत्येक वस्तु एक उपरूपता को स्वीकार करती है, जहां प्रतियों का प्रत्यक्ष योग दर्शाता है, (संभवतः अनंत) सेट के प्रत्येक तत्व के लिए एक। "ग्रोथेन्डिक श्रेणी" नाम न तो ग्रोथेन्डिक के तोहोकू पेपर में दिखाई दिया और न ही गैब्रियल की थीसिस में; यह 1960 के दशक के उत्तरार्ध में जान-एरिक रूस, बो स्टेनस्ट्रोम, उलरिच ओबर्स्ट और बोडो परेगिस सहित कई लेखकों के काम में उपयोग में आया। (कुछ लेखक एक अलग परिभाषा का उपयोग करते हैं जिसमें उन्हें जनरेटर के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है।) उदाहरण एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी का प्रोटोटाइप उदाहरण अबेलियन समूहों की श्रेणी है; पूर्णांकों का अबेलियन समूह एक जनरेटर के रूप में काम कर सकता है। अधिक आम तौर पर, किसी भी रिंग (सहयोगी, के साथ, लेकिन आवश्यक रूप से परिवर्तनीय नहीं) को देखते हुए, सभी सही (या वैकल्पिक रूप सेः बाएं) मॉड्यूल की श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है; जो स्वयं एक जनरेटर के रूप में काम कर सकती है। एक स्थलवैज्ञानिक स्थान को देखते हुए, अबेलियन समूहों के सभी आवरणों की श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। (अधिक सामान्य रूप सेः किसी भी रिंग के लिए सही-मॉड्यूल के सभी आवरणों की श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है।) रिंग वाले स्थान को देखते हुए, ओएक्स-मॉड्यूल के शीव की श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। एक (अफाइन या प्रोजेक्टिव) बीजगणितीय विविधता (या अधिक सामान्य रूप सेः कोई भी योजना) को देखते हुए, अर्ध-सुसंगत आवरण की श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। एक छोटी सी साइट (सी, जे) दी गई है (यानी। ग्रोथेन्डिक टोपोलॉजी जे) के साथ एक छोटी सी श्रेणी सी, साइट पर अबेलियन समूहों के सभी आवरणों की श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। ग्रोथेन्डिक श्रेणियों का निर्माण कोई भी श्रेणी जो ग्रोथेन्डिक श्रेणी के बराबर है, अपने आप में एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। ग्रोथेन्डिक श्रेणियों को देखते हुए, उत्पाद श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। एक छोटी श्रेणी और एक ग्रॉथेन्डिक श्रेणी को देखते हुए, फंकटर श्रेणी, जिसमें सभी सहपरिवर्तनशील फंकटर शामिल हैं, एक ग्रॉथेन्डिक श्रेणी है। एक छोटी प्रीएडिटिव श्रेणी और एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी को देखते हुए, सभी एडिटिव कोवेरिएंट फ़ंक्टर्स की फ़ंक्टर श्रेणी एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है। यदि एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है और एक स्थानीय उपश्रेणी है, तो दोनों और सेरे भागफल श्रेणी ग्रोथेन्डिक श्रेणियां हैं। गुण और प्रमेय प्रत्येक ग्रोथेन्डिक श्रेणी में एक इंजेक्टिव कोजेनरेटर होता है। उदाहरण के लिए, अबेलियन समूहों की श्रेणी का एक इंजेक्टिव कोजेनरेटर भागफल समूह है। ग्रोथेन्डिक श्रेणी में प्रत्येक वस्तु में एक इंजेक्टिव पतवार होता है। यह इंजेक्टिव संकल्पों का निर्माण करने की अनुमति देता है और इस प्रकार व्युत्पन्न फंक्टरों को परिभाषित करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करता है। (ध्यान दें कि सभी ग्रोथेन्डिक श्रेणियां सभी वस्तुओं के लिए प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन की अनुमति नहीं देती हैं; उदाहरण कई टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर अबेलियन समूहों के आवरणों की श्रेणियां हैं, जैसे कि वास्तविक संख्याओं के स्थान पर। एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी में, किसी दी गई वस्तु के उप-वस्तुओं के किसी भी परिवार में एक सर्वोच्च (या "योग") के साथ-साथ एक अनंत (या "प्रतिच्छेदन") होता है, जो दोनों फिर से के उप-वस्तु होते हैं। इसके अलावा, यदि परिवार को निर्देशित किया जाता है (अर्थात। परिवार में किसी भी दो वस्तुओं के लिए, परिवार में एक तीसरी वस्तु है जिसमें दोनों शामिल हैं), और एक और उप-वस्तु है, हमारे पास ग्रोथेन्डिक श्रेणियां अच्छी तरह से संचालित हैं (कभी-कभी स्थानीय रूप से छोटी कहा जाता है, हालांकि उस शब्द का उपयोग एक अलग अवधारणा के लिए भी किया जाता है), यानी। किसी भी वस्तु की उप-वस्तुओं का संग्रह एक समूह बनाता है (एक उचित वर्ग के बजाय)। यह एक गहरा परिणाम है कि प्रत्येक ग्रोथेन्डिक श्रेणी पूरी हो गई है, अर्थात। कि मनमाना सीमाएँ (और विशेष रूप से उत्पादों में) मौजूद हैं। इसके विपरीत, यह सीधे उस परिभाषा का अनुसरण करता है जो सह-पूर्ण है, अर्थात। कि मनमाना कोलिमिट्स और सह-उत्पाद (प्रत्यक्ष राशि) मौजूद हैं। ग्रोथेन्डिक श्रेणी में सह-उत्पाद सटीक हैं (अर्थात। छोटे सटीक अनुक्रमों के परिवार का सह-उत्पाद फिर से एक छोटा सटीक अनुक्रम है), लेकिन उत्पादों को सटीक होने की आवश्यकता नहीं है। एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी से एक मनमाना श्रेणी में एक फ़ंक्टर का एक बायां संयोजन होता है यदि और केवल तभी जब यह सभी सीमाओं के साथ आवागमन करता है, और इसका एक दाहिना संयोजन होता है यदि और केवल तभी जब यह सभी कोलिमिट्स के साथ आवागमन करता है। यह पीटर जे. फ्रीड के विशेष सहायक फंकटर प्रमेय और इसके दोहरे सिद्धांत का अनुसरण करता है। गैब्रियल-पोपेस्कू प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी ग्रोथेन्डिक श्रेणी कुछ एकात्मक रिंग (जिसे एक जनरेटर का एंडोमोर्फिज्म रिंग माना जा सकता है) पर सही मॉड्यूल की श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी के बराबर है, और कुछ स्थानीयकरण उपश्रेणी द्वारा गैब्रियल भागफल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। गैब्रियल-पोपेस्कू के परिणामस्वरूप, कोई यह दिखा सकता है कि प्रत्येक ग्रोथेन्डिक श्रेणी स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य है। इसके अलावा, गैब्रियल-पोपेस्कू का उपयोग यह देखने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक ग्रोथेन्डिक श्रेणी पूरी है, जो कुछ के लिए पूरी श्रेणी का एक प्रतिबिंबीत उपश्रेणी है। प्रत्येक छोटी अबेलियन श्रेणी को निम्नलिखित तरीके से ग्रोथेन्डिक श्रेणी में शामिल किया जा सकता है। लेफ्ट-एक्ज़ैक्ट एडिटिव (कोवेरिएंट) फ़ंक्टर्स की श्रेणी (जहां अबेलियन समूहों की श्रेणी को दर्शाता है) एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी है, और फ़ंक्टर, पूर्ण, वफादार और सटीक है। एक जनरेटर सभी के सह-उत्पाद द्वारा दिया जाता है। यह श्रेणी इंड-ऑब्जेक्ट्स की श्रेणी के बराबर है और एम्बेडिंग प्राकृतिक एम्बेडिंग के अनुरूप है। इसलिए हम इसके सह-समापन के रूप में देख सकते हैं। विशेष प्रकार की वस्तुएँ और ग्रॉथेन्डिक श्रेणियाँ ग्रॉथेन्डिक श्रेणी में एक वस्तु को परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है यदि, जब भी इसे उप-वस्तुओं के परिवार के योग के रूप में लिखा जाता है, तो यह पहले से ही एक सीमित उप-परिवार का योग होता है। (मॉड्यूल श्रेणियों के मामले में, यह धारणा परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की परिचित धारणा के बराबर है।) परिमित रूप से उत्पन्न वस्तुओं की एपिमोर्फिक छवियां फिर से परिमित रूप से उत्पन्न होती हैं। यदि और दोनों और परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं, तो ऐसा ही है। वस्तु परिमित रूप से तब उत्पन्न होती है जब, और केवल तभी, किसी भी निर्देशित प्रणाली के लिए जिसमें प्रत्येक आकृतिवाद एक समरूपता है, प्राकृतिक आकृतिवाद एक समरूपता है। एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी में किसी भी गैर-शून्य परिमित रूप से उत्पन्न वस्तुओं की आवश्यकता नहीं होती है। एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी को स्थानीय रूप से परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है यदि इसमें परिमित रूप से उत्पन्न जनरेटरों का एक सेट होता है (यानी। यदि परिमित रूप से उत्पन्न वस्तुओं का एक परिवार मौजूद है जैसे कि प्रत्येक वस्तु के लिए एक गैर-शून्य आकृतिवाद मौजूद है; समतुल्य रूप सेः) की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग की एपिमोर्फिक छवि है। ऐसी श्रेणी में, प्रत्येक वस्तु अपनी परिमित रूप से उत्पन्न उप-वस्तुओं का योग है। प्रत्येक श्रेणी स्थानीय रूप से परिमित रूप से उत्पन्न की जाती है। ग्रोथेन्डिक श्रेणी में एक वस्तु को परिमित रूप से प्रस्तुत किया जाता है यदि यह परिमित रूप से उत्पन्न होती है और यदि परिमित रूप से उत्पन्न डोमेन के साथ प्रत्येक एपिमॉर्फिज्म में एक परिमित रूप से उत्पन्न कर्नेल होता है। एक बार फिर, यह परिमित रूप से प्रस्तुत मॉड्यूल की धारणा को सामान्य करता है। यदि और दोनों और परिमित रूप से प्रस्तुत किए जाते हैं, तो ऐसा ही है। स्थानीय रूप से परिमित रूप से उत्पन्न ग्रोथेन्डिक श्रेणी में, परिमित रूप से प्रस्तुत वस्तुओं को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता हैः इन को सीमित रूप से प्रस्तुत किया जाता है यदि, और केवल तभी जब, प्रत्येक निर्देशित प्रणाली के लिए, प्राकृतिक आकृतिवाद एक समरूपता है। ग्रोथेन्डिक श्रेणी में एक वस्तु को सुसंगत कहा जाता है यदि इसे परिमित रूप से प्रस्तुत किया जाता है और यदि इसकी प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न उप-वस्तुओं को भी सीमित रूप से प्रस्तुत किया जाता है। (यह एक वलयाकार स्थान पर सुसंगत आवरण की धारणा को सामान्यीकृत करता है।) सभी सुसंगत वस्तुओं की पूर्ण उपश्रेणी अबेलियन है और समावेशन कारक सटीक है। ग्रोथेन्डिक श्रेणी में एक वस्तु को नोथेरियन कहा जाता है यदि इसकी उप-वस्तुओं का समूह आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, अर्थात। यदि उप-वस्तुओं का प्रत्येक अनुक्रम अंततः स्थिर हो जाता है। यह तभी होता है जब X की प्रत्येक उप-वस्तु परिमित रूप से उत्पन्न होती है। (इस मामले में, यह धारणा नोथेरियन मॉड्यूल की परिचित धारणा के बराबर है।) एक ग्रोथेन्डिक श्रेणी को स्थानीय रूप से नोएथेरियन कहा जाता है यदि इसमें नोएथेरियन जनरेटर का एक सेट है; एक उदाहरण लेफ्ट-नोएथेरियन रिंग पर लेफ्ट मॉड्यूल की श्रेणी है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक अबेलियन श्रेणियाँ, डैनियल मर्फेट द्वारा टिप्पणियाँ। खंड 2.3 में ग्रोथेन्डिक श्रेणियां शामिल हैं। श्रेणी सिद्धांत योगात्मक श्रेणियाँ समरूपी बीजगणित