Rectangular potential barrier
क्वांटम यांत्रिकी में, आयताकार (या, कभी-कभी, वर्ग) संभावित बाधा एक मानक एक-आयामी समस्या है जो तरंग-यांत्रिक सुरंग (जिसे "क्वांटम सुरंग" भी कहा जाता है) और तरंग-यांत्रिक प्रतिबिंब की घटनाओं को प्रदर्शित करती है। समस्या में एक आयामी समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को एक आयताकार संभावित ऊर्जा बाधा का सामना करने वाले कण के लिए हल करना शामिल है। आमतौर पर यह माना जाता है, जैसा कि यहाँ है, कि एक मुक्त कण बाईं ओर से बाधा पर प्रभाव डालता है। यद्यपि शास्त्रीय रूप से एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में व्यवहार करने वाला एक कण प्रतिबिंबित होगा यदि इसकी ऊर्जा एक कण से कम है जो वास्तव में एक पदार्थ तरंग के रूप में व्यवहार कर रही है और बाधा में प्रवेश करने और दूसरी तरफ एक तरंग के रूप में अपनी यात्रा जारी रखने की गैर-शून्य संभावना है। शास्त्रीय तरंग-भौतिकी में, इस प्रभाव को अव्यक्त तरंग युग्मन के रूप में जाना जाता है। कण के बाधा से गुजरने की संभावना संचरण गुणांक द्वारा दी जाती है, जबकि इसकी परावर्तित होने की संभावना परावर्तन गुणांक द्वारा दी जाती है। श्रोडिंगर का तरंग-समीकरण इन गुणांकों की गणना करने की अनुमति देता है। गणना तरंग फलन के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पढ़ता है कि हैमिल्टनियन कहाँ है, (कम) प्लैंक स्थिरांक है, द्रव्यमान है, कण की ऊर्जा है और ऊंचाई और चौड़ाई के साथ बाधा क्षमता है। हेविसाइड चरण फलन है, अर्थात, बाधा और के बीच स्थित है। बाधा को परिणामों को बदले बिना किसी भी स्थिति में स्थानांतरित किया जा सकता है। हैमिल्टनियन में पहला शब्द, गतिज ऊर्जा है। बाधा स्थान को तीन भागों () में विभाजित करती है। इनमें से किसी भी भाग में, विभव स्थिर है, जिसका अर्थ है कि कण अर्ध-मुक्त है, और श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को बाएं और दाएं चलती तरंगों के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है (मुक्त कण देखें)। यदि तरंग संख्याएँ गुणांक पर सूचकांक के माध्यम से ऊर्जा से संबंधित हैं और वेग सदिश की दिशा को दर्शाती हैं। ध्यान दें कि, यदि कण की ऊर्जा बाधा की ऊंचाई से नीचे है, तो काल्पनिक हो जाती है और तरंग फलन बाधा के भीतर तेजी से क्षय हो रहा है। फिर भी, हम संकेतन रखते हैं, भले ही इस मामले में तरंगें अब प्रसार नहीं कर रही हों। यहाँ हमने अनुमान लगाया। इस मामले का इलाज नीचे किया गया है। गुणांक को तरंग फलन की सीमा स्थितियों से और पर खोजना होगा। तरंग फलन और इसके व्युत्पन्न को हर जगह निरंतर होना पड़ता है, इसलिए तरंग कार्यों को डालने पर, सीमा की स्थिति गुणांक संचरण और परावर्तन पर निम्नलिखित प्रतिबंध देती है। इस बिंदु पर, स्थिति की तुलना शास्त्रीय मामले से करना शिक्षाप्रद है। दोनों ही मामलों में, कण बाधा क्षेत्र के बाहर एक मुक्त कण के रूप में व्यवहार करता है। बाधा की ऊँचाई से बड़ी ऊर्जा वाला एक शास्त्रीय कण हमेशा बाधा को पार करेगा, और बाधा पर आपतित होने वाला एक शास्त्रीय कण हमेशा परावर्तित होगा। क्वांटम मामले का अध्ययन करने के लिए, निम्नलिखित स्थिति पर विचार करेंः बाईं ओर से बाधा पर एक कण घटना यह परावर्तित या संचारित हो सकता है बाईं ओर से घटना के लिए परावर्तन और संचरण के लिए आयाम खोजने के लिए, हम उपरोक्त समीकरणों (आने वाले कण), (परावर्तन), (दाईं ओर से कोई आने वाला कण नहीं), और (संचरण) में डालते हैं। फिर हम समीकरण से गुणांक को समाप्त करते हैं और के लिए हल करते हैं और परिणाम यह होता हैः मॉडल की दर्पण समरूपता के कारण, दाईं ओर से आपतन के आयाम बाईं ओर के समान होते हैं। ध्यान दें कि ये अभिव्यक्तियाँ किसी भी ऊर्जा के लिए धारण करती हैं यदि तो इन दोनों अभिव्यक्तियों में एक विलक्षणता है। प्राप्त अभिव्यक्तियों E <V0 का विश्लेषण आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि बाधा की ऊंचाई से कम ऊर्जाओं के लिए, बाधा के माध्यम से कण के संचारित होने की एक गैर-शून्य संभावना है, इस प्रभाव को, जो शास्त्रीय मामले से अलग है, क्वांटम टनलिंग कहा जाता है। संचरण को बैरियर चौड़ाई के साथ तेजी से दबाया जाता है, जिसे तरंग फलन के कार्यात्मक रूप से समझा जा सकता हैः बैरियर के बाहर यह वेव वेक्टर के साथ दोलन करता है जबकि बैरियर के भीतर यह तेजी से एक दूरी पर नम हो जाता है यदि बैरियर इस क्षय की लंबाई से बहुत चौड़ा है, तो बायां और दाहिना भाग वस्तुतः स्वतंत्र है और परिणामस्वरूप सुरंग को दबा दिया जाता है। E> V0 इस मामले में जहां समान रूप से आश्चर्यजनक है कि बाधा की ऊंचाई से बड़ी ऊर्जाओं के लिए, कण एक गैर-शून्य संभावना के साथ बाधा से परावर्तित हो सकता है संचरण और परावर्तन संभावनाएं वास्तव में इसके साथ दोलन कर रही हैं। बिना किसी परावर्तन (,) के पूर्ण संचरण का शास्त्रीय परिणाम न केवल उच्च ऊर्जा की सीमा में पुनः प्रस्तुत किया जाता है, बल्कि तब भी होता है जब ऊर्जा और बाधा की चौड़ाई संतुष्ट होती है, जहां (उपरोक्त चित्र में निकट और 1.8 शिखर देखें)। ध्यान दें कि लिखी गई संभावनाएं और आयाम किसी भी ऊर्जा (ऊपर/नीचे) बाधा ऊंचाई के लिए हैं। ई = वी0 पर संचरण संभाव्यता है यह अभिव्यक्ति अन्य मामलों के लिए ऊपर बताए गए स्थिरांकों से संचरण गुणांक की गणना करके या दृष्टिकोण के रूप में सीमा लेकर प्राप्त की जा सकती है। इस उद्देश्य के लिए अनुपात को परिभाषित किया गया है, जिसका उपयोग फलन में किया जाता हैः अंतिम समीकरण में निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः इन परिभाषाओं को उस अभिव्यक्ति में डाला जा सकता है जिसके लिए मामले के लिए प्राप्त किया गया था। अब, जब x की सीमा 1 तक पहुँचती है (एल 'हॉपिटल्स नियम का उपयोग करते हुए) की गणना की जाती है, तो दृष्टिकोण 1 की सीमा भी प्राप्त की जा सकती हैः सीमा के लिए मूल्यांकन मूल्य के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को जोड़कर, टी के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को सफलतापूर्वक पुनः प्रस्तुत किया जाता है। टिप्पणी और अनुप्रयोग ऊपर प्रस्तुत गणना शुरू में अवास्तविक और शायद ही उपयोगी लग सकती है। हालाँकि यह विभिन्न प्रकार की वास्तविक जीवन प्रणालियों के लिए एक उपयुक्त मॉडल साबित हुआ है। ऐसा ही एक उदाहरण दो चालन सामग्रियों के बीच इंटरफेस है। अधिकांश पदार्थों में, इलेक्ट्रॉनों की गति अर्ध-मुक्त होती है और इसे एक प्रभावी द्रव्यमान के साथ उपरोक्त हैमिल्टनियन में गतिज शब्द द्वारा वर्णित किया जा सकता है। अक्सर ऐसी सामग्रियों की सतह ऑक्साइड परतों से ढकी होती हैं या अन्य कारणों से आदर्श नहीं होती हैं। इस पतली, गैर-संवाहक परत को फिर ऊपर के रूप में एक बाधा क्षमता द्वारा मॉडल किया जा सकता है। इलेक्ट्रान तखन एक पदार्थसँ दोसर पदार्थमे प्रवाहित भऽ सकैत अछि जे प्रवाहकेँ जन्म दैत अछि। स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) का संचालन इस टनलिंग प्रभाव पर निर्भर करता है। उस स्थिति में, बाधा एसटीएम की नोक और अंतर्निहित वस्तु के बीच के अंतर के कारण होती है। चूँकि सुरंग की धारा बाधा की चौड़ाई पर तेजी से निर्भर करती है, इसलिए यह उपकरण जांच किए गए नमूने पर ऊंचाई में बदलाव के प्रति बेहद संवेदनशील है। उपरोक्त मॉडल एक-आयामी है, जबकि स्थान त्रि-आयामी है। श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करना चाहिए। दूसरी ओर, कई प्रणालियाँ केवल एक समन्वय दिशा के साथ बदलती हैं और अन्य के साथ अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय होती हैं; वे अलग करने योग्य होती हैं। श्रोडिंगर समीकरण को तब इस प्रकार के तरंग फलन के लिए एक ansatz द्वारा यहां विचार किए गए मामले में कम किया जा सकता हैः बाधा के एक अन्य संबंधित मॉडल के लिए, डेल्टा संभावित बाधा (क्यू. एम.) देखें, जिसे सीमित संभावित बाधा का एक विशेष मामला माना जा सकता है। इस लेख के सभी परिणाम स्थिर रखते हुए सीमाएँ लेते हुए डेल्टा संभावित बाधा पर तुरंत लागू होते हैं। मोर्स/लॉन्ग-रेंज पोटेंशियल स्टेप पोटेंशियल फाइनाइट पोटेंशियल वेल संदर्भ क्वांटम मॉडल स्कैटरिंग थ्योरी श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम मैकेनिकल पोटेंशियल