Spectral shape analysis
ज्यामितीय आकृतियों की तुलना और विश्लेषण करने के लिए वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक के वर्णक्रम (आइगेनवैल्यू और/या आइगेनफंक्शंस) पर निर्भर करता है। चूँकि लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक का वर्णक्रम सममितियों के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए यह गैर-कठोर आकृतियों के विश्लेषण या पुनर्प्राप्ति के लिए अच्छी तरह से उपयुक्त है, अर्थात। झुकने योग्य वस्तुएँ जैसे मनुष्य, जानवर, पौधे आदि। लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक कई महत्वपूर्ण विभेदक समीकरणों में शामिल है, जैसे कि ऊष्मा समीकरण और तरंग समीकरण। इसे रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक वास्तविक मूल्य वाले फलन f के प्रवणता के विचलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैः इसके वर्णक्रमीय घटकों की गणना हेल्महोल्ट्ज समीकरण (या लाप्लेशियन आइगेनवैल्यू समस्या) को हल करके की जा सकती हैः समाधान आइगेनफ़ंक्शंस (मोड) और संबंधित आइगेनवैल्यू हैं, जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के विचलन अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करते हैं। बंद डोमेन के लिए या न्यूमैन सीमा स्थिति का उपयोग करते समय पहला आइगेनवैल्यू शून्य होता है। कुछ आकृतियों के लिए, वर्णक्रम की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है (जैसे। आयताकार, सपाट टोरस, सिलेंडर, डिस्क या गोला)। उदाहरण के लिए, गोले के लिए, आइगेनफ़ंक्शंस गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। आइगेनवैल्यूज और आइगेनफंक्शंस के सबसे महत्वपूर्ण गुण यह हैं कि वे आइसोमेट्री अपरिवर्तनीय हैं। दूसरे शब्दों में, यदि आकार फैला हुआ नहीं है (जैसे। तीसरे आयाम में मुड़े हुए कागज की एक शीट), वर्णक्रमीय मान नहीं बदलेंगे। झुकने योग्य वस्तुएँ, जैसे जानवर, पौधे और मनुष्य, जोड़ों पर केवल न्यूनतम खिंचाव के साथ शरीर की विभिन्न मुद्राओं में जा सकते हैं। परिणामी आकृतियों को नियर-आइसोमेट्रिक कहा जाता है और वर्णक्रमीय आकार विश्लेषण का उपयोग करके उनकी तुलना की जा सकती है। पृथक्करण ज्यामितीय आकृतियों को अक्सर 2 डी घुमावदार सतहों, 2 डी सतह जाली (आमतौर पर त्रिकोण जाली) या 3 डी ठोस वस्तुओं (जैसे। वोक्सेल या टेट्राहेड्रा जाली का उपयोग करना)। हेल्महोल्ट्ज समीकरण को इन सभी मामलों के लिए हल किया जा सकता है। यदि कोई सीमा मौजूद है, जैसे। एक वर्ग, या किसी भी 3डी ज्यामितीय आकार का आयतन, सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। विभिन्न प्रकार के ज्यामिति प्रतिनिधित्वों के लिए लाप्लास प्रचालक के कई पृथक्करण मौजूद हैं (डिस्क्रीट लाप्लास प्रचालक देखें)। इनमें से कई प्रचालक अंतर्निहित निरंतर प्रचालक को अच्छी तरह से अनुमानित नहीं करते हैं। स्पेक्ट्रल शेप डिस्क्रिप्टर्स शेपडीएनए और इसके रूप शेपडीएनए पहले स्पेक्ट्रल शेप डिस्क्रिप्टर्स में से एक है। यह लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक के आइगेनवैल्यूज का सामान्यीकृत प्रारंभिक अनुक्रम है। इसके मुख्य लाभ सरल प्रतिनिधित्व (संख्याओं का एक वेक्टर) और तुलना, पैमाने की अपरिवर्तनीयता हैं, और इसकी सादगी के बावजूद गैर-कठोर आकृतियों के आकार पुनर्प्राप्ति के लिए एक बहुत अच्छा प्रदर्शन है। आकार डी. एन. ए. के प्रतिस्पर्धियों में जियोडेसिक डिस्टेंस मैट्रिक्स (एस. डी.-जी. डी. एम.) और रिड्यूस्ड बिहार्मोनिक डिस्टेंस मैट्रिक्स (आर.-बी. आई. एच. डी. एम.) के एकल मान शामिल हैं। हालांकि, आइगेनवैल्यू वैश्विक विवरणकर्ता हैं, इसलिए आकार डी. एन. ए. और अन्य वैश्विक वर्णक्रमीय विवरणकों का उपयोग स्थानीय या आंशिक आकार विश्लेषण के लिए नहीं किया जा सकता है। वैश्विक बिंदु हस्ताक्षर (जी. पी. एस.) एक बिंदु पर वैश्विक बिंदु हस्ताक्षर लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक के स्केल किए गए आइगेनफ़ंक्शंस का एक वेक्टर है जिसकी गणना (अर्थात। आकार का वर्णक्रमीय एम्बेडिंग)। जी. पी. एस. इस मायने में एक वैश्विक विशेषता है कि इसका उपयोग आंशिक आकार मिलान के लिए नहीं किया जा सकता है। हीट कर्नेल सिग्नेचर (एचकेएस) हीट कर्नेल सिग्नेचर हीट कर्नेल के आइगेन-अपघटन का उपयोग करता हैः सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए हीट कर्नेल के विकर्ण को विशिष्ट समय मूल्यों पर नमूना लिया जाता है और एक स्थानीय हस्ताक्षर प्राप्त होता है जिसका उपयोग आंशिक मिलान या समरूपता का पता लगाने के लिए भी किया जा सकता है। वेव कर्नेल सिग्नेचर (डब्ल्यू. के. एस.) डब्ल्यू. के. एस. एच. के. एस. के समान विचार का अनुसरण करता है, गर्मी समीकरण को श्रोडिंगर तरंग समीकरण से प्रतिस्थापित करता है। बेहतर तरंग कर्नेल हस्ताक्षर (आई. डब्ल्यू. के. एस.) आई. डब्ल्यू. के. एस. आईगेनवैल्यूज में एक नया स्केलिंग फंक्शन पेश करके और एक नए वक्रता शब्द को एकत्रित करके गैर-कठोर आकार पुनर्प्राप्ति के लिए डब्ल्यू. के. एस. में सुधार करता है। स्पेक्ट्रल ग्राफ वेवलेट सिग्नेचर (एस. जी. डब्ल्यू. एस.) एस. जी. डब्ल्यू. एस. एक स्थानीय डिस्क्रिप्टर है जो न केवल सममितीय अपरिवर्तनीय है, बल्कि कॉम्पैक्ट भी है, गणना करने में आसान है और बैंड-पास और लो-पास फिल्टर दोनों के लाभों को जोड़ता है। एस. जी. डब्ल्यू. एस. का एक महत्वपूर्ण पहलू डब्ल्यू. के. एस. और एच. के. एस. के लाभों को एक ही हस्ताक्षर में संयोजित करने की क्षमता है, जबकि आकारों के बहु-संकल्प प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है। वर्णक्रमीय मिलान जटिल आकृतियों से जुड़े ग्राफ लाप्लासियन का वर्णक्रमीय अपघटन (डिस्क्रीट लाप्लास ऑपरेटर देखें) आइगेनफ़ंक्शंस (मोड) प्रदान करता है जो सममितियों के लिए अपरिवर्तनीय हैं। आकार पर प्रत्येक शीर्ष को प्रत्येक बिंदु पर आइगेनमॉडल मूल्यों के संयोजन के साथ विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है, जिसे कभी-कभी वर्णक्रमीय निर्देशांक कहा जाता हैः वर्णक्रमीय मिलान में विभिन्न आकारों पर शीर्षों को जोड़कर बिंदु पत्राचार स्थापित करना होता है जिनमें सबसे समान वर्णक्रमीय निर्देशांक होते हैं। प्रारंभिक कार्य स्टीरियोस्कोपी के लिए विरल पत्राचार पर केंद्रित था। कम्प्यूटेशनल दक्षता अब पूर्ण जाली पर घने पत्राचार को सक्षम बनाती है, उदाहरण के लिए कॉर्टिकल सतहों के बीच। वर्णक्रमीय मिलान का उपयोग जटिल गैर-कठोर छवि पंजीकरण के लिए भी किया जा सकता है, जो विशेष रूप से तब मुश्किल होता है जब छवियों में बहुत बड़ी विकृतियाँ होती हैं। वर्णक्रमीय आइगेनमॉडल मूल्यों पर आधारित ऐसी छवि पंजीकरण विधियाँ वास्तव में वैश्विक आकार विशेषताओं को पकड़ती हैं, और पारंपरिक गैर-कठोर छवि पंजीकरण विधियों के विपरीत होती हैं जो अक्सर स्थानीय आकार विशेषताओं (जैसे, छवि प्रवणता) पर आधारित होती हैं। संदर्भ छवि प्रसंस्करण डिजिटल ज्यामिति टोपोलॉजी विभेदक ज्यामिति