Hardy Cross method
हार्डी क्रॉस विधि पाइप नेटवर्क प्रणालियों में प्रवाह को निर्धारित करने के लिए एक पुनरावृत्ति विधि है जहां इनपुट और आउटपुट ज्ञात हैं, लेकिन नेटवर्क के अंदर प्रवाह अज्ञात है। विधि को पहली बार नवंबर 1936 में इसके नाम, हार्डी क्रॉस द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो अर्बाना-शैंपेन में इलिनोइस विश्वविद्यालय में एक संरचनात्मक इंजीनियरिंग के प्रोफेसर थे। हार्डी क्रॉस विधि मोमेंट वितरण विधि का एक रूपांतरण है, जिसे हार्डी क्रॉस द्वारा स्थिर रूप से अनिश्चित संरचनाओं में बलों को निर्धारित करने के तरीके के रूप में भी विकसित किया गया था। पाइप प्रवाह नेटवर्क के विश्लेषण के लिए हार्डी क्रॉस विधि की शुरुआत ने नगरपालिका जल आपूर्ति डिजाइन में क्रांति ला दी। विधि शुरू होने से पहले, वितरण के लिए जटिल पाइप प्रणालियों को हल करना सिर के नुकसान और प्रवाह के बीच गैर-रैखिक संबंध के कारण बेहद मुश्किल था। इस विधि को बाद में न्यूटन-रैफसन विधि या अन्य संख्यात्मक विधियों को नियोजित करते हुए कंप्यूटर समाधान एल्गोरिदम द्वारा अप्रचलित कर दिया गया था जो हाथ से समीकरणों की अरैखिक प्रणालियों को हल करने की आवश्यकता को समाप्त करते हैं। 1930 में, हार्डी क्रॉस ने "एनालिसिस ऑफ कंटीन्यूअस फ्रेम्स बाय डिस्ट्रीब्यूटिंग फिक्स्ड-एंड मोमेंट्स" नामक एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने मोमेंट डिस्ट्रीब्यूशन विधि का वर्णन किया, जो इस क्षेत्र में इंजीनियरों के संरचनात्मक विश्लेषण करने के तरीके को बदल देगा। क्षण वितरण विधि का उपयोग स्थिर रूप से अनिश्चित संरचनाओं में बलों को निर्धारित करने के लिए किया गया था और इंजीनियरों को 1930 से 1960 के दशक तक संरचनाओं को सुरक्षित रूप से डिजाइन करने की अनुमति दी गई थी, जब तक कि कंप्यूटर उन्मुख विधियों का विकास नहीं हुआ। नवंबर 1936 में, क्रॉस ने पाइप नेटवर्क प्रवाह वितरण समस्याओं को हल करने के लिए एक ही ज्यामितीय विधि लागू की, और "नलिकाओं या कंडक्टरों के नेटवर्क में प्रवाह का विश्लेषण" नामक एक पेपर प्रकाशित किया। व्युत्पत्ति हार्डी क्रॉस विधि एक पाइप नेटवर्क में प्रवाह के लिए पुनरावृत्त रूप से हल करने के लिए प्रवाह की निरंतरता और क्षमता की निरंतरता का एक अनुप्रयोग है। पाइप प्रवाह के मामले में, प्रवाह के संरक्षण का मतलब है कि प्रवाह पाइप में प्रत्येक जंक्शन पर प्रवाह के बराबर है। विभव के संरक्षण का अर्थ है कि प्रणाली में किसी भी लूप के साथ कुल दिशात्मक हेड लॉस शून्य है (यह मानते हुए कि प्रवाह के खिलाफ गिना गया हेड लॉस वास्तव में एक हेड गेन है)। हार्डी क्रॉस ने प्रवाह नेटवर्क को हल करने के लिए दो विधियाँ विकसित कीं। प्रत्येक विधि प्रवाह या विभव की निरंतरता बनाए रखने से शुरू होती है, और फिर दूसरे के लिए पुनरावृत्त रूप से हल होती है। अनुमान हार्डी क्रॉस विधि यह मानती है कि प्रणाली के अंदर और बाहर जाने वाले प्रवाह को जाना जाता है और पाइप की लंबाई, व्यास, खुरदरापन और अन्य प्रमुख विशेषताओं को भी जाना जाता है या माना जा सकता है। विधि यह भी मानती है कि प्रवाह दर और शीर्ष हानि के बीच संबंध ज्ञात है, लेकिन विधि का उपयोग करने के लिए किसी विशेष संबंध की आवश्यकता नहीं है। पाइप के माध्यम से पानी के प्रवाह के मामले में, सिर के नुकसान और प्रवाह के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए कई तरीके विकसित किए गए हैं। हार्डी क्रॉस विधि इनमें से किसी भी संबंध का उपयोग करने की अनुमति देती है। हेड लॉस और प्रवाह के बीच सामान्य संबंध हैः जहाँ k प्रति इकाई प्रवाह में हेड लॉस है और n प्रवाह प्रतिपादक है। अधिकांश डिजाइन स्थितियों में k को बनाने वाले मान, जैसे कि पाइप की लंबाई, व्यास और खुरदरापन, को ज्ञात या अनुमानित माना जाता है और इस प्रकार नेटवर्क में प्रत्येक पाइप के लिए k का मूल्य निर्धारित किया जा सकता है। k को बनाने वाले मान और n का मान हेड लॉस को निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले संबंध के आधार पर बदलता है। हालाँकि, सभी संबंध हार्डी क्रॉस विधि के साथ संगत हैं। यह भी ध्यान देने योग्य है कि हार्डी क्रॉस विधि का उपयोग सरल परिपथ और अन्य प्रवाह जैसी स्थितियों को हल करने के लिए किया जा सकता है। सरल परिपथ के मामले में, के बराबर है। गुणांक k से K, प्रवाह दर Q से I और घातांक n से 1 निर्धारित करके, हार्डी क्रॉस विधि का उपयोग एक सरल परिपथ को हल करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, क्योंकि वोल्टेज ड्रॉप और करंट के बीच का संबंध रैखिक है, हार्डी क्रॉस विधि आवश्यक नहीं है और सर्किट को गैर-पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। शीर्षों को संतुलित करने की विधि शीर्षों को संतुलित करने की विधि एक प्रारंभिक अनुमान का उपयोग करती है जो प्रत्येक जंक्शन पर प्रवाह की निरंतरता को संतुष्ट करती है और फिर प्रवाह को संतुलित करती है जब तक कि प्रणाली में प्रत्येक लूप पर क्षमता की निरंतरता भी प्राप्त नहीं हो जाती है। प्रमाण (आर दर्शाता है के) निम्नलिखित प्रमाण हार्डी क्रॉस के पेपर, "नलिकाओं या कंडक्टरों के नेटवर्क में प्रवाह का विश्लेषण" से लिया गया है, और इसे प्रौद्योगिकी संवर्धित शिक्षण जल और अपशिष्ट जल इंजीनियरिंग पृष्ठ पर राष्ट्रीय कार्यक्रम और रॉबर्ट जे. हौटालेन द्वारा हाइड्रोलिक इंजीनियरिंग सिस्टम के मूल सिद्धांतों द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। यदि प्रत्येक पाइप में प्रवाह दर का प्रारंभिक अनुमान सही है, तो प्रणाली में एक लूप पर सिर में परिवर्तन शून्य के बराबर होगा। हालाँकि, यदि प्रारंभिक अनुमान सही नहीं है, तो शीर्ष में परिवर्तन गैर-शून्य होगा और प्रवाह में परिवर्तन लागू किया जाना चाहिए। नई प्रवाह दर, पुरानी प्रवाह दर और प्रवाह दर में कुछ परिवर्तन का योग है जैसे कि लूप के शीर्ष में परिवर्तन शून्य है। नए लूप पर हेड में परिवर्तन का योग तब होगा। के मूल्य का अनुमान टेलर विस्तार का उपयोग करके लगाया जा सकता है। अतिरिक्त शब्दों की तुलना में एक छोटे के लिए गायब हो जाता है, छोड़ दिया जाता हैः और प्रवाह में परिवर्तन जो लूप पर सिर को संतुलित करेगा, द्वारा अनुमानित है। हालाँकि, यह केवल उन शर्तों के कारण एक अनुमान है जिन्हें टेलर के विस्तार से नजरअंदाज कर दिया गया था। लूप के शीर्ष में परिवर्तन शून्य नहीं हो सकता है, लेकिन यह प्रारंभिक अनुमान से छोटा होगा। एक नया खोजने की कई पुनरावृत्तियाँ सही समाधान के लिए अनुमानित होंगी। प्रक्रिया विधि इस प्रकार हैः प्रत्येक पाइप में प्रवाह का अनुमान लगाएं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रवाह में कुल प्रत्येक जंक्शन पर कुल प्रवाह के बराबर है। (अनुमान अच्छा होना जरूरी नहीं है, लेकिन एक अच्छा अनुमान समाधान खोजने में लगने वाले समय को कम कर देगा।) प्रणाली में प्रत्येक बंद लूप का निर्धारण करें। प्रत्येक लूप के लिए, घड़ी की दिशा में सिर के नुकसान और घड़ी की विपरीत दिशा में सिर के नुकसान का निर्धारण करें। प्रत्येक पाइप में सिर के नुकसान की गणना का उपयोग करके की जाती है। घड़ी की दिशा में सिर का नुकसान घड़ी की दिशा में प्रवाह से होता है और इसी तरह घड़ी की विपरीत दिशा में होता है। घड़ी की दिशा में सिर के नुकसान से घड़ी की विपरीत दिशा में सिर के नुकसान को घटाकर, प्रत्येक लूप में कुल सिर के नुकसान का निर्धारण करें। प्रत्येक लूप के लिए, दिशा के संदर्भ के बिना खोजें (सभी मान सकारात्मक होने चाहिए)। प्रवाह में परिवर्तन बराबर है। यदि प्रवाह में परिवर्तन सकारात्मक है, तो इसे घड़ी की विपरीत दिशा में लूप के सभी पाइपों पर लागू करें। यदि प्रवाह में परिवर्तन नकारात्मक है, तो इसे घड़ी की दिशा में लूप के सभी पाइपों पर लागू करें। चरण 3 से तब तक जारी रखें जब तक कि प्रवाह में परिवर्तन संतोषजनक सीमा के भीतर न हो जाए। प्रवाह को संतुलित करने की विधि (खंड अधूरा) प्रवाह को संतुलित करने की विधि एक प्रारंभिक अनुमान का उपयोग करती है जो प्रत्येक लूप पर क्षमता की निरंतरता को संतुष्ट करती है और फिर प्रवाह को तब तक संतुलित करती है जब तक कि प्रत्येक जंक्शन पर प्रवाह की निरंतरता भी प्राप्त नहीं हो जाती है। हार्डी क्रॉस पद्धति के लाभ सरल गणित हार्डी क्रॉस विधि उपयोगी है क्योंकि यह केवल सरल गणित पर निर्भर करती है, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता को दरकिनार करती है। हार्डी क्रॉस विधियों के बिना, इंजीनियरों को परिवर्तनशील घातांकों के साथ समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना होगा जिन्हें आसानी से हाथ से हल नहीं किया जा सकता है। स्वयं सुधार द हार्डी क्रॉस विधि समस्या को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रारंभिक अनुमान में गलतियों को बार-बार सुधारती है। गणना में बाद की गलतियों को भी बार-बार ठीक किया जाता है। यदि विधि का सही ढंग से पालन किया जाता है, तो प्रत्येक पाइप में उचित प्रवाह तब भी पाया जा सकता है जब प्रक्रिया में लगातार छोटी गणितीय त्रुटियां की जाती हैं। जब तक अंतिम कुछ पुनरावृत्तियों को विस्तार पर ध्यान देते हुए किया जाता है, तब भी समाधान सही रहेगा। वास्तव में, गणना को तेजी से चलाने के लिए विधि के शुरुआती पुनरावृत्तियों में जानबूझकर दशमलव को छोड़ना संभव है। उदाहरण हार्डी क्रॉस विधि का उपयोग पाइप नेटवर्क में प्रवाह वितरण की गणना करने के लिए किया जा सकता है। दाहिनी ओर दिखाए गए एक साधारण पाइप प्रवाह नेटवर्क के उदाहरण पर विचार करें। इस उदाहरण के लिए, अंदर और बाहर का प्रवाह 10 लीटर प्रति सेकंड होगा। हम n को 2, और हेड लॉस प्रति इकाई प्रवाह r, और प्रत्येक पाइप के लिए प्रारंभिक प्रवाह अनुमान को निम्नानुसार मानेंगेः हम ऊपर दी गई विधि प्रक्रिया में उल्लिखित चरणों का पालन करते हुए, हेड को संतुलित करने की विधि द्वारा नेटवर्क को हल करते हैं। 1. प्रारंभिक अनुमानों को स्थापित किया जाता है ताकि नेटवर्क में प्रत्येक जंक्शन पर प्रवाह की निरंतरता बनी रहे। 2. सिस्टम के लूप की पहचान लूप 1-2-3 और लूप 2-3-4 के रूप में की जाती है। 3. प्रत्येक पाइप में सिर के नुकसान का निर्धारण किया जाता है। लूप 1-2-3 के लिए, घड़ी की दिशा में हेड लॉस का योग 25 है और घड़ी की विपरीत दिशा में हेड लॉस का योग 125 है। लूप 2-3-4 के लिए, घड़ी की दिशा में हेड लॉस का योग 125 है और घड़ी की विपरीत दिशा में हेड लॉस का योग 25 है। 4. लूप 1-2-3 में कुल घड़ी की दिशा में सिर का नुकसान है। लूप 2-3-4 में कुल घड़ी की दिशा में सिर का नुकसान है। 5. प्रत्येक लूप के लिए मान निर्धारित किया जाता है। यह दोनों लूपों (समरूपता के कारण) में 60 पाया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 6. समीकरण का उपयोग करके प्रत्येक लूप के लिए प्रवाह में परिवर्तन पाया जाता है। लूप 1-2-3 के लिए, प्रवाह में परिवर्तन बराबर है और लूप 2-3-4 के लिए प्रवाह में परिवर्तन बराबर है। 7. प्रवाह में परिवर्तन लूपों में लागू किया जाता है। लूप 1-2-3 के लिए, प्रवाह में परिवर्तन ऋणात्मक होता है इसलिए इसका निरपेक्ष मान घड़ी की दिशा में लागू किया जाता है। लूप 2-3-4 के लिए, प्रवाह में परिवर्तन सकारात्मक होता है इसलिए इसका निरपेक्ष मान घड़ी की विपरीत दिशा में लागू किया जाता है। पाइप 2-3 के लिए, जो दोनों लूप में है, प्रवाह में परिवर्तन संचयी हैं। प्रक्रिया तब चरण 3 से तब तक दोहराई जाती है जब तक कि प्रवाह में परिवर्तन पर्याप्त रूप से छोटा न हो जाए या शून्य न हो जाए। 3. लूप 1-2-3 में कुल हेड लॉस ध्यान दें कि घड़ी की दिशा में हेड लॉस घड़ी की विपरीत दिशा में हेड लॉस के बराबर है। इसका मतलब है कि इस लूप में प्रवाह संतुलित है और प्रवाह दर सही है। लूप 2-3-4 में कुल हेड लॉस भी संतुलित होगा (फिर से समरूपता के कारण)। इस मामले में, विधि ने एक पुनरावृत्ति में सही समाधान पाया। अन्य नेटवर्क के लिए, यह कई पुनरावृत्तियों ले सकता है जब तक कि पाइप में प्रवाह सही या लगभग सही न हो। पाइप नेटवर्क विश्लेषण क्षण वितरण विधि संदर्भ हाइड्रोलिक इंजीनियरिंग भी देखें।