Gregory coefficients
ग्रेगरी गुणांक, जिन्हें पारस्परिक लघुगणक संख्या के रूप में भी जाना जाता है, द्वितीय प्रकार की बर्नौली संख्याएँ, या प्रथम प्रकार की कौची संख्याएँ, वे परिमेय संख्याएँ हैं जो पारस्परिक लघुगणक के मैकलौरिन श्रृंखला विस्तार में होती हैं। इन संख्याओं का नाम जेम्स ग्रेगरी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने उन्हें 1670 में संख्यात्मक एकीकरण के संदर्भ में पेश किया था। उन्हें बाद में कई गणितविदों द्वारा फिर से खोजा गया और अक्सर आधुनिक लेखकों के कार्यों में दिखाई देते हैं, जो हमेशा उन्हें नहीं पहचानते हैं। संख्यात्मक मान गणना और प्रतिनिधित्व ग्रेगरी गुणांक की गणना करने का सबसे सरल तरीका पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करना है। ग्रेगरी गुणांक की गणना स्पष्ट रूप से निम्नलिखित अंतर या समाकलन के माध्यम से भी की जा सकती है जिसे एक बार सीधे और दूसरी बार पहले द्विपद श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके 0 और 1 के बीच समाकलन करके साबित किया जा सकता है। इसका तात्पर्य परिमित योग सूत्र से है जहाँ प्रथम प्रकार की हस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्याएँ हैं। और श्रोडर का अभिन्न सूत्र सीमाएँ और असिम्प्टोटिक व्यवहार ग्रेगरी गुणांक जोहान स्टेफेंसन द्वारा दी गई सीमाओं को पूरा करते हैं। इन सीमाओं में बाद में विभिन्न लेखकों द्वारा सुधार किया गया। उनके लिए सबसे प्रसिद्ध सीमाएँ ब्लागौचिन द्वारा दी गई थीं। विशेष रूप से, असिंप्टोटिक रूप से, बड़े सूचकांक पर, ये संख्याएँ वैन वीन, डेविस, कॉफी, नेमस और ब्लागौचिन के कार्यों में बड़े पैमाने पर अधिक सटीक विवरण के रूप में व्यवहार करती हैं। ग्रेगरी गुणांक श्रृंखला के साथ ग्रेगरी गुणांक श्रृंखला की गणना अक्सर एक बंद रूप में की जा सकती है। इन संख्याओं के साथ मूल श्रृंखला में शामिल है कि यूलर का स्थिरांक कहाँ है। ये परिणाम बहुत पुराने हैं, और उनके इतिहास का पता ग्रेगोरियो फोंटाना और लोरेंजो मासचेरोनी के कार्यों से लगाया जा सकता है। ग्रेगरी गुणांक के साथ अधिक जटिल श्रृंखला की गणना विभिन्न लेखकों द्वारा की गई थी। कोवालेंको, अलबदुलमोहसिन और कुछ अन्य लेखकों ने गणना की कि अलबदुलमोहसिन भी कैंडेलपर्जर के साथ इन पहचानों को देते हैं, कोप्पो और यंग ने दिखाया कि हार्मोनिक संख्याएँ कहाँ हैं। Blagouchine निम्नलिखित पहचान प्रदान करता है जहाँ अभिन्न लघुगणक है और द्विपद गुणांक है। यह भी ज्ञात है कि जीटा फलन, गामा फलन, बहु-गामा फलन, स्टील्टजेस स्थिरांक और कई अन्य विशेष फलन और स्थिरांक इन संख्याओं वाली अनंत श्रृंखला के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं। सामान्यीकरण ग्रेगरी गुणांक के लिए विभिन्न सामान्यीकरण संभव हैं। उनमें से कई मूल उत्पन्न करने वाले समीकरण को संशोधित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, वान वीन मानते हैं और इसलिए बाद में कोवालेंको और रुबिनस्टीन द्वारा समतुल्य सामान्यीकरण का प्रस्ताव रखा गया था। इसी तरह, ग्रेगरी गुणांक सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं, ताकि जॉर्डन बहुपदों को इस तरह से परिभाषित करता है और उन्हें दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद कहते हैं। उपरोक्त से यह स्पष्ट है। कार्लिट्ज ने बहुपदों को पेश करके जॉर्डन के बहुपदों को सामान्यीकृत किया और इसलिए ब्लागोचिन ने ऐसी संख्याएँ पेश कीं जो उनके उत्पन्न करने वाले कार्य को प्राप्त करती हैं और बड़े पैमाने पर उनके एसिम्प्टोटिक्स का अध्ययन करती हैं। जाहिर है। ये संख्याएँ सख्ती से बारी-बारी से आती हैं और जीटा-कार्यों, यूलर के स्थिरांक और बहु-गामा कार्यों के लिए विभिन्न विस्तारों में शामिल होती हैं। कोमाट्सु द्वारा एक ही प्रकार का एक अलग सामान्यीकरण भी प्रस्तावित किया गया था ताकि संख्याओं को लेखक पॉली-काउची संख्याओं द्वारा बुलाया जाए। कॉफी बहुपदों को परिभाषित करता है और इसलिए। दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग बहुपद बर्नौली बहुपद भी देखें संदर्भ पूर्णांक अनुक्रम संख्या सिद्धांत असमानताएं लक्षणहीन विश्लेषण