Construction of an irreducible Markov chain in the Ising model
इसिंग मॉडल में एक अपरिवर्तनीय मार्कोव श्रृंखला का निर्माण परिणामों को साबित करने के लिए एक गणितीय विधि है। प्रयुक्त गणित में, इसिंग मॉडल में एक अपरिवर्तनीय मार्कोव श्रृंखला का निर्माण एक कम्प्यूटेशनल बाधा को दूर करने की दिशा में पहला कदम है जब एक मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो विधि का उपयोग परिमित इसिंग मॉडल के लिए एक सटीक अच्छाई-की-फिट परीक्षण प्राप्त करने के लिए किया जाता है। आइसिंग मॉडल का उपयोग चुंबकीय चरण संक्रमणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है और यह अंतःक्रिया प्रणालियों के मॉडल में से एक है। मार्कोव प्रत्येक पूर्णांक सदिश को आधार बनाता है, जिसे विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, जहाँ और गैर-ऋणात्मक सदिश हैं। आइसिंग मॉडल के लिए एक मार्कोव आधार पूर्णांक वैक्टर का एक समूह है जो इस प्रकार हैः (i) सभी के लिए, और होना चाहिए। (ii) किसी भी और किसी भी के लिए, हमेशा संतुष्टि मौजूद होती है और l = 1,., k के लिए। फिर, मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम एक अपेरियोडिक, प्रतिवर्ती और अपरिवर्तनीय मार्कोव श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं। 1998 में पर्सी डायकोनिस और बर्न्ड स्टर्मफेल्स द्वारा प्रकाशित पेपर 'सशर्त वितरण से नमूने के लिए बीजगणितीय एल्गोरिदम' से पता चलता है कि एक मार्कोव आधार को बीजगणितीय रूप से एक आइसिंग मॉडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। कागज के अनुसार, आदर्श के लिए कोई भी उत्पन्न करने वाला सेट इसिंग मॉडल के लिए एक मार्कोव आधार है। एक अपरिवर्तनीय मार्कोव श्रृंखला का निर्माण कागज में उल्लिखित एल्गोरिदम को संशोधित किए बिना, एक समान नमूने प्राप्त करना असंभव है, अन्यथा गलत पी-मानों की ओर ले जाता है। एक साधारण अदला-बदली को रूप के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ का विहित आधार सदिश है। सरल अदला-बदली y में दो जाली बिंदुओं की अवस्थाओं को बदल देती है। जेड नमूना अदला-बदली के समूह को दर्शाता है। फिर दो विन्यास Z द्वारा जुड़े होते हैं, यदि सरल अदला-बदली के बीच और उसमें कोई रास्ता है, जिसका अर्थ है कि ऐसा मौजूद है कि l = 1,., k के लिए एल्गोरिथ्म को अब इस प्रकार वर्णित किया जा सकता हैः (i) एक विन्यास में मार्कोव श्रृंखला से शुरू करें (ii) यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुनें और जाने दें। (iii) यदि स्वीकार करें; अन्यथा y में रहें। हालांकि परिणामी मार्कोव श्रृंखला संभवतः प्रारंभिक स्थिति को नहीं छोड़ सकती है, लेकिन 1-आयामी आइसिंग मॉडल के लिए समस्या उत्पन्न नहीं होती है। उच्च आयामों में, हम 1-आयामी आइसिंग मॉडल में सबसे छोटे विस्तारित नमूना स्थान में मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम का उपयोग करके इस समस्या को दूर कर सकते हैं। 1-आयामी आइसिंग मॉडल में इरेड्यूसिबिलिटी के प्रमाण के लिए दो लेम्मा की आवश्यकता होती है। लेम्मा 1:1-आयाम आईसिंग मॉडल के लिए मैक्स-सिंगलटन विन्यास अद्वितीय है (इसके जुड़े हुए घटकों के स्थान तक) और इसमें सिंगलटन और आकार के एक जुड़े हुए घटक होते हैं। लेम्मा 2: और के लिए, आइए अद्वितीय मैक्स-सिंगलेटन विन्यास को निरूपित करें। एक अनुक्रम मौजूद है जैसे किः और l = 1,., k के लिए क्योंकि सबसे छोटा विस्तारित नमूना स्थान है जिसमें शामिल है, किसी भी दो विन्यासों को सरल अदला-बदली Z द्वारा बिना छोड़े जोड़ा जा सकता है। यह लेम्मा 2 द्वारा साबित किया गया है, इसलिए हम 1-आयाम आइसिंग मॉडल के लिए सरल अदला-बदली के आधार पर मार्कोव श्रृंखला की अपरिवर्तनीयता प्राप्त करते हैं। उपरोक्त चरणों के माध्यम से आयाम 2 या उच्चतर आइसिंग मॉडल के लिए समान निष्कर्ष प्राप्त करना भी संभव है। संदर्भ जाली मॉडल मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो