Exsphere (polyhedra)
ज्यामिति में, एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के चेहरे का बाह्य क्षेत्र पॉलीहेड्रॉन के बाहर का गोला है जो चेहरे को छूता है और आसन्न चेहरों को बाहर की ओर फैलाकर परिभाषित किए गए विमान। यह बाहरी रूप से चेहरे के लिए स्पर्शरेखा है और आंतरिक रूप से आस-पास के चेहरे के लिए स्पर्शरेखा है। यह एक्ससर्कल का 3-आयामी समतुल्य है। गोला आम तौर पर किसी भी चेहरे के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होता है जो एक नियमित बहुभुज है और साझा किनारों पर समान द्विध्रुवीय कोणों वाले चेहरों द्वारा सीमांकित होता है। अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा के चेहरों में अक्सर विभिन्न प्रकार के चेहरे होते हैं, जो प्रत्येक प्रकार के चेहरे के साथ विभिन्न आकार के गोले को परिभाषित करते हैं। मापदंड क्षेत्र उस चेहरे के अंतःवृत्त के केंद्र में नियमित पॉलीएड्रॉन के चेहरे को छूता है। यदि परिक्षेत्र त्रिज्या को दर्शाया जाता है, तो इस अंतःवृत्त की त्रिज्या और चेहरे के बीच का त्रिभुज कोण और निकटवर्ती चेहरे का विस्तार, परिक्षेत्र का केंद्र त्रिभुज कोण को द्विभाजित करके चेहरे के एक किनारे के बीच में दृश्य बिंदु से स्थित होता है। इसलिए यह आंतरिक आमने-सामने के कोण का 180-डिग्री पूरक है। टेट्राहेड्रॉन किनारे की लंबाई के टेट्राहेड्रॉन की ज्यामिति पर लागू होता है, हमारे पास एक अंतःवृत्त त्रिज्या (परिधि के माध्यम से चेहरे के क्षेत्र को दो बार विभाजित करके प्राप्त), एक द्विध्रुवीय कोण, और परिणामस्वरूप होता है। क्यूब क्यूब के 6 चेहरों के बाहरी क्षेत्रों की त्रिज्या उत्कीर्ण गोले की त्रिज्या के समान है, क्योंकि और इसका पूरक 90 डिग्री समान है। इकोसाहेड्रन इकोसाहेड्रन पर लागू द्विध्रुवीय कोण एक सामान्य किनारे के साथ दो त्रिकोणों के निर्देशांक पर विचार करके प्राप्त किया जाता है, उदाहरण के लिए एक चेहरा दूसरे पर शीर्ष के साथ जहाँ सुनहरा अनुपात है। शीर्ष निर्देशांक को घटाना पहले चेहरे और दूसरे के किनारे वैक्टर को परिभाषित करता है। पहले चेहरे और दूसरे चेहरे की उपज (सामान्यीकृत नहीं) के किनारों के क्रॉस उत्पादों का उपयोग करके पहले और दूसरे चेहरे के सामान्य वैक्टर का सामना करें। इन दो चेहरे के नॉर्मल के बीच बिंदु उत्पाद से डायहेड्रल कोण की कोसाइन प्राप्त होती है, किनारे की लंबाई के एक आइकोसाहेड्रॉन के लिए, त्रिकोणीय चेहरों की अंतःवृत्त त्रिज्या है, और अंत में 20 क्षेत्रों की त्रिज्या है।