Telephone number (mathematics)
गणित में, टेलीफोन संख्याएँ या अंतर्वेशन संख्याएँ पूर्णांकों का एक क्रम बनाती हैं जो लोगों को व्यक्ति-से-व्यक्ति टेलीफोन कॉल द्वारा जोड़े जाने के तरीकों की गिनती करती हैं। ये संख्याएँ शीर्षों पर एक पूर्ण ग्राफ के मिलान की संख्या (होसोया सूचकांक), उन तत्वों पर क्रमपरिवर्तन की संख्या जो अंतर्वर्तन हैं, हर्माइट बहुपदों के गुणांक के पूर्ण मूल्यों का योग, कोशिकाओं के साथ मानक युवा झांकी की संख्या और सममित समूह के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों की डिग्री के योग का भी वर्णन करती हैं। इनवोलुशन नंबरों का अध्ययन पहली बार 1800 में हेनरिक अगस्त रोथे द्वारा किया गया था, जिन्होंने एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया था जिसके द्वारा उनकी गणना की जा सकती है, मूल्यों को देते हुए (से शुरू करते हुए) अनुप्रयोग जॉन रियोर्डन इन नंबरों के लिए निम्नलिखित स्पष्टीकरण प्रदान करते हैंः मान लीजिए कि लोग एक टेलीफोन सेवा की सदस्यता लेते हैं जो उनमें से किसी भी दो को कॉल द्वारा जोड़ सकती है, लेकिन दो से अधिक लोगों को जोड़ते हुए एक भी कॉल नहीं कर सकती है। कनेक्शन के कितने अलग-अलग पैटर्न संभव हैं? उदाहरण के लिए, तीन ग्राहकों के साथ, एक एकल टेलीफोन कॉल बनाने के तीन तरीके हैं, और एक अतिरिक्त पैटर्न जिसमें कोई कॉल नहीं किया जा रहा है, कुल चार पैटर्न के लिए। इस कारण से, कितने पैटर्न संभव हैं, यह गिनने वाली संख्याओं को कभी-कभी टेलीफोन नंबर कहा जाता है। लोगों के बीच जोड़ीदार संबंधों का प्रत्येक पैटर्न एक अंतर्वेशन को परिभाषित करता है, जो लोगों का एक क्रमपरिवर्तन है जो इसका अपना व्युत्क्रम है। इस क्रमपरिवर्तन में, एक-दूसरे को कॉल करने वाले प्रत्येक दो लोगों की अदला-बदली की जाती है, और कॉल में शामिल नहीं होने वाले लोग अपनी जगह पर स्थिर रहते हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक संभावित अंतर्वेशन में इस प्रकार के जोड़ीदार अदला-बदली के एक समूह का रूप होता है। इसलिए, टेलीफोन नंबर भी अंतर्वेशन को गिनते हैं। 1800 में रोथे द्वारा अध्ययन की गई मूल संयोजन गणना समस्या अंतर्वेशनों की गिनती की समस्या थी और इन संख्याओं को अंतर्वेशन संख्या भी कहा जाता है। ग्राफ सिद्धांत में, एक ग्राफ के किनारों का एक उपसमुच्चय जो प्रत्येक शीर्ष को अधिक से अधिक एक बार छूता है, उसे मिलान कहा जाता है। रासायनिक ग्राफ सिद्धांत में दिए गए ग्राफ के मिलान की गिनती करना महत्वपूर्ण है, जहां ग्राफ मॉडल अणु और मिलान की संख्या होसोया सूचकांक है। एक-वर्टेक्स ग्राफ का सबसे बड़ा संभव होसोया सूचकांक पूर्ण ग्राफ द्वारा दिया जाता है, जिसके लिए जोड़ीदार कनेक्शन का कोई भी पैटर्न संभव है; इस प्रकार, शीर्षों पर एक पूर्ण ग्राफ का होसोया सूचकांक th टेलीफोन नंबर के समान है। फेरर्स आरेख एक ज्यामितीय आकृति है जो समतल में वर्गों के एक संग्रह द्वारा बनाई गई है, जिसे एक क्षैतिज शीर्ष किनारे, एक ऊर्ध्वाधर बाएँ किनारे और ऊपर दाएँ से नीचे बाएँ किनारों की एकल एकरस श्रृंखला के साथ एक बहुपद में समूहीकृत किया गया है। इन वर्गों में 1 से लेकर 1 तक की संख्या को इस तरह से रखकर एक मानक युवा झांकी बनाई जाती है कि पूरी झांकी में संख्याएँ बाएँ से दाएँ और ऊपर से नीचे तक बढ़ें। रॉबिन्सन-शेन्स्टेड पत्राचार के अनुसार, क्रमपरिवर्तन मानक युवा झांकी के क्रमबद्ध जोड़े के साथ एक के लिए एक के अनुरूप हैं। एक क्रमपरिवर्तन को उलटना दो झांकी की अदला-बदली से मेल खाता है, और इसलिए स्व-व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन एकल झांकी के अनुरूप होते हैं, जो स्वयं के साथ युग्मित होते हैं। इस प्रकार, टेलीफोन नंबर भी वर्गों के साथ युवा झांकी की संख्या को गिनते हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, फेरर्स आरेख क्रमपरिवर्तन के सममित समूह के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं, और दिए गए आकार के साथ युवा झांकी उस आकार के साथ अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का आधार बनती है। इसलिए, टेलीफोन नंबर अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन की डिग्री का योग देते हैं। शतरंज के गणित में, टेलीफोन नंबर एक शतरंज की बिसात पर रुकों को रखने के तरीकों की संख्या को इस तरह से गिनते हैं कि कोई भी दो रुक एक-दूसरे पर हमला न करें (तथाकथित आठ रुक पहेली), और इस तरह से कि रुकों का विन्यास बोर्ड के विकर्ण प्रतिबिंब के तहत सममित हो। पोल्या गणना प्रमेय के माध्यम से, ये संख्याएँ पारस्परिक रूप से गैर-हमला करने वाले रूक्स के "अनिवार्य रूप से अलग" विन्यासों की समग्र संख्या के लिए एक सूत्र के प्रमुख घटकों में से एक हैं, जहाँ दो विन्यासों को अनिवार्य रूप से अलग के रूप में गिना जाता है यदि बोर्ड की कोई समरूपता नहीं है जो एक को दूसरे में ले जाती है। गणितीय गुण पुनरावृत्ति टेलीफोन संख्याएँ 1800 में हेनरिक अगस्त रोथे द्वारा पहली बार प्रकाशित पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं, जिसके द्वारा उनकी गणना आसानी से की जा सकती है। इस पुनरावृत्ति को समझाने का एक तरीका यह है कि टेलीफोन प्रणाली में ग्राहकों के कनेक्शन पैटर्न को उन पैटर्न में विभाजित किया जाए जिसमें पहला व्यक्ति किसी और को कॉल नहीं कर रहा है, और जिस पैटर्न में पहला व्यक्ति कॉल कर रहा है। ऐसे कनेक्शन पैटर्न हैं जिनमें पहला व्यक्ति डिस्कनेक्ट हो जाता है, जो पुनरावृत्ति के पहले कार्यकाल की व्याख्या करता है। यदि पहला व्यक्ति किसी से जुड़ा हुआ है, तो उस व्यक्ति के लिए विकल्प हैं, और शेष लोगों के लिए कनेक्शन के पैटर्न हैं, जो पुनरावृत्ति के दूसरे कार्यकाल की व्याख्या करते हैं। सारांश सूत्र और सन्निकटन टेलीफोन संख्या को ठीक एक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है पहले योग के प्रत्येक पद में, मिलान किए गए जोड़े की संख्या देता है, द्विपद गुणांक मिलान किए जाने वाले तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या की गणना करता है, और दोहरा भाज्य अपने तर्क तक विषम पूर्णांकों का उत्पाद है और चयनित तत्वों से पूरी तरह से मेल खाने के तरीकों की संख्या की गणना करता है। यह योग सूत्र और स्टर्लिंग के सन्निकटन से पता चलता है कि, स्पर्शोन्मुख रूप से, कार्य उत्पन्न करना टेलीफोन नंबरों का घातीय उत्पादन कार्य है दूसरे शब्दों में, टेलीफोन नंबरों को टेलर श्रृंखला के गुणांक के रूप में पढ़ा जा सकता है, और th टेलीफोन नंबर इस कार्य के th व्युत्पन्न के शून्य पर मान है। यह फलन हर्माइट बहुपदों के घातीय उत्पन्न करने वाले फलन से निकटता से संबंधित है, जो पूर्ण ग्राफ के मिलान करने वाले बहुपद हैं। th (प्रोबेबिलिस्ट) हर्माइट बहुपद के गुणांकों के निरपेक्ष मानों का योग th टेलीफोन नंबर है, और टेलीफोन नंबरों को हर्माइट बहुपदों के कुछ विशेष मानों के रूप में भी महसूस किया जा सकता हैः प्रमुख कारक के बड़े मानों के लिए, th टेलीफोन नंबर दो की बड़ी शक्ति से विभाज्य है। अधिक सटीक रूप से, के और के 2-एडिक क्रम (अभाज्य गुणनखंडन में दो के कारकों की संख्या) है; इसके लिए है, और इसके लिए है। किसी भी अभाज्य संख्या के लिए, कोई भी परीक्षण कर सकता है कि क्या कोई टेलीफोन संख्या मौजूद है जो टेलीफोन संख्या, मॉड्यूलो के अनुक्रम के लिए पुनरावृत्ति की गणना करके, शून्य तक पहुंचने या एक चक्र का पता लगाने तक विभाज्य है। कम से कम एक टेलीफोन संख्या को विभाजित करने वाले अभाज्य संख्याएँ हैं इस अनुक्रम में विषम अभाज्य संख्याएँ अक्षम कहल जाती हैं। उनमें से प्रत्येक असीम रूप से कई टेलीफोन नंबरों को विभाजित करता है। संदर्भ पूर्णांक अनुक्रम संख्यात्मक संयोजन कारक और द्विपद विषय मिलान (ग्राफ सिद्धांत) क्रमपरिवर्तन