Triangulated category
गणित में, एक त्रिकोणीय श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें "अनुवाद कारक" की अतिरिक्त संरचना और "सटीक त्रिकोण" का एक वर्ग होता है। प्रमुख उदाहरण एक अबेलियन श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी के साथ-साथ स्थिर समस्थानिक श्रेणी भी हैं। सटीक त्रिभुज एक अबेलियन श्रेणी में छोटे सटीक अनुक्रमों के साथ-साथ टोपोलॉजी में फाइबर अनुक्रमों और कॉफ़ाइबर अनुक्रमों को सामान्यीकृत करते हैं। अधिकांश समरूपी बीजगणित को त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा द्वारा स्पष्ट और विस्तारित किया जाता है, जिसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण शीफ कोहोमोलॉजी का सिद्धांत है। 1960 के दशक में, त्रिकोणीय श्रेणियों का एक विशिष्ट उपयोग एक स्थान X पर शीव के गुणों को शीव के परिसरों तक विस्तारित करना था, जिसे X पर शीव की व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुओं के रूप में देखा जाता था। हाल ही में, त्रिकोणीय श्रेणियाँ अपने आप में रुचि की वस्तु बन गई हैं। विभिन्न उत्पत्ति की त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच कई समानताएं साबित या अनुमानित की गई हैं। उदाहरण के लिए, समरूप दर्पण समरूपता अनुमान भविष्यवाणी करता है कि कैलाबी-यू मैनिफोल्ड की व्युत्पन्न श्रेणी इसके "दर्पण" सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड की फुकाया श्रेणी के बराबर है। शिफ्ट प्रचालक त्रिकोणीय श्रेणी का एक अवर्गीकृत अनुरूप है। इतिहास त्रिभुज श्रेणियों को डायटर पप्पे (1962) और जीन-लुईस वर्डियर (1963) द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था, हालांकि पप्पे के स्वयंसिद्ध कम पूर्ण थे (ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध (टीआर 4) का अभाव)। पप्पे स्थिर होमोटॉपी श्रेणी से प्रेरित था। वर्डियर का प्रमुख उदाहरण एक अबेलियन श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी थी, जिसे उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक के विचारों को विकसित करते हुए भी परिभाषित किया था। व्युत्पन्न श्रेणियों के प्रारंभिक अनुप्रयोगों में सुसंगत द्वैत और वर्डीयर द्वैत शामिल थे, जो एकवचन रिक्त स्थान तक पोइनकेयर द्वैत का विस्तार करते हैं। परिभाषा डी श्रेणी पर एक शिफ्ट या अनुवाद फ़ंक्टर डी से डी तक एक योगात्मक स्वरूपता (या कुछ लेखकों के लिए, एक स्व-समतुल्यता) है। पूर्णांक एन के लिए लिखना आम बात है। एक त्रिभुज (एक्स, वाई, जेड, यू, वी, डब्ल्यू) में तीन वस्तुएं एक्स, वाई और जेड होती हैं, साथ में आकृतिवाद और। त्रिभुज आम तौर पर अप्रकाशित रूप में लिखे जाते हैंः या संक्षेप में। एक त्रिभुज श्रेणी एक योगात्मक श्रेणी डी है जिसमें एक अनुवाद कारक और त्रिभुजों का एक वर्ग होता है, जिसे सटीक त्रिभुज (या विशिष्ट त्रिभुज) कहा जाता है, जो निम्नलिखित गुणों (टीआर 1), (टीआर 2), (टीआर 3) और (टीआर 4) को संतुष्ट करता है। (ये स्वयंसिद्ध सिद्धांत पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि (टीआर 3) दूसरों से प्राप्त किए जा सकते हैं।) टी. आर. 1 प्रत्येक वस्तु एक्स के लिए, निम्नलिखित त्रिकोण सटीक हैः प्रत्येक आकृतिवाद के लिए, एक वस्तु जेड (जिसे शंकु या आकृतिवाद यू का कॉफ़ाइबर कहा जाता है) एक सटीक त्रिकोण में फिट होती है। यह अन्य स्वयंसिद्धियों से पता चलता है कि एक सटीक त्रिभुज (और विशेष रूप से वस्तु Z) का निर्धारण रूपात्मकता द्वारा समरूपता तक किया जाता है, हालांकि हमेशा एक अद्वितीय समरूपता तक नहीं। एक सटीक त्रिभुज के लिए प्रत्येक समरूपी त्रिभुज सटीक होता है। इसका मतलब है कि यदि एक सटीक त्रिभुज है, और,, और समरूपता है, तो यह भी एक सटीक त्रिभुज है। TR2 यदि एक सटीक त्रिभुज है, तो दो घूर्णित त्रिभुज भी हैं और अंतिम त्रिभुज को देखते हुए, वस्तु Z [−1] को आकृतिवाद का फाइबर कहा जाता है। दूसरे घूर्णित त्रिभुज का एक अधिक जटिल रूप होता है जब और वे समरूपता नहीं होते हैं, बल्कि केवल श्रेणियों के पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम समतुल्य होते हैं, क्योंकि यह से एक रूपात्मकता है, और किसी के लिए एक रूपात्मकता प्राप्त करने के लिए प्राकृतिक परिवर्तन के साथ रचना करनी चाहिए। यह संभावित स्वयंसिद्धियों के बारे में जटिल प्रश्नों की ओर ले जाता है जो किसी को प्राकृतिक परिवर्तनों को बनाने और व्युत्क्रम समानताओं की एक जोड़ी में लागू करना पड़ता है। इस मुद्दे के कारण, यह धारणा कि और पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम समरूपता हैं, एक त्रिकोणीय श्रेणी की परिभाषा में सामान्य विकल्प है। टी. आर. 3. दो सटीक त्रिकोणों और प्रत्येक त्रिकोण में पहले रूपात्मकताओं के बीच एक मानचित्र को देखते हुए, दो त्रिकोणों में से प्रत्येक में तीसरी वस्तुओं के बीच एक रूपात्मकता मौजूद है जो सब कुछ संचारित करती है। अर्थात्, निम्नलिखित आरेख में (जहां दो पंक्तियाँ सटीक त्रिकोण हैं और f और g ऐसे आकृतिवाद हैं जैसे कि gu = u′f), एक मानचित्र h मौजूद है (जरूरी नहीं कि अद्वितीय हो) जो सभी वर्गों को कम्यूट करता हैः TR 4: ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध रूप चलो और आकृतिवाद बनें, और रचित आकृतिवाद पर विचार करें। टी. आर. 1 के अनुसार इन तीन रूपात्मकताओं में से प्रत्येक के लिए सटीक त्रिकोण बनाएँ। ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध में (मोटे तौर पर) कहा गया है कि तीन मानचित्रण शंकुओं को एक सटीक त्रिभुज के शीर्षों में बनाया जा सकता है ताकि "सब कुछ कम्यूट हो"। अधिक औपचारिक रूप से, सटीक त्रिकोणों को देखते हुए, एक सटीक त्रिकोण मौजूद है जैसे कि इस स्वयंसिद्ध को "ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध" कहा जाता है क्योंकि सभी वस्तुओं और आकृतिवादों को खींचने से एक ऑक्टाहेड्रॉन का कंकाल मिलता है, जिसके चार चेहरे सटीक त्रिकोण होते हैं। यहाँ प्रस्तुति वर्डियर की अपनी है, और ऑक्टाहेड्रल आरेख के साथ पूर्ण दिखाई देती है। निम्नलिखित आरेख में, यू और वी दिए गए आकृतिवाद हैं, और मूल अक्षर विभिन्न मानचित्रों के शंकु हैं (इसलिए चुने गए हैं ताकि प्रत्येक सटीक त्रिभुज में एक एक्स, एक वाई और एक जेड अक्षर हो)। विभिन्न तीरों को यह इंगित करने के लिए [1] के साथ चिह्नित किया गया है कि वे "डिग्री 1" के हैं; जैसे। Z′ से X तक का नक्शा वास्तव में Z′ से X [1] तक है। ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध तब एक सटीक त्रिभुज बनाने वाले मानचित्र f और g के अस्तित्व पर जोर देता है, और ताकि f और g अन्य चेहरों में परिवर्तनीय त्रिभुज बनाते हैं जिनमें वे होते हैंः दो अलग-अलग चित्र दिखाई देते हैं (पहले वाले को भी प्रस्तुत करते हैं)। पहला उपरोक्त ऑक्टाहेड्रॉन के ऊपरी और निचले पिरामिड को प्रस्तुत करता है और दावा करता है कि एक निचले पिरामिड को देखते हुए, कोई भी एक ऊपरी पिरामिड को भर सकता है ताकि Y से Y′ और Y′ से Y′ तक के दो रास्ते बराबर हों (इस स्थिति को हार्टशोर्न की प्रस्तुति से शायद गलत तरीके से हटा दिया गया है)। + चिह्नित त्रिभुज परिवर्तनीय हैं और जिन्हें "d" चिह्नित किया गया है वे सटीक हैंः दूसरा आरेख एक अधिक नवीन प्रस्तुति है। सटीक त्रिभुज को रैखिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है, और आरेख इस तथ्य पर जोर देता है कि "ऑक्टाहेड्रॉन" में चार त्रिभुज त्रिभुजों के मानचित्रों की एक श्रृंखला द्वारा जुड़े हुए हैं, जहां तीन त्रिभुज (अर्थात्, जो X से Y, Y से Z, और X से Z तक आकृति को पूरा करते हैं) दिए गए हैं और चौथे के अस्तित्व का दावा किया जाता है। एक पहले दो के बीच X के बारे में "धुरी" करके, तीसरे को Z के बारे में धुरी करके, और चौथे को X′ के बारे में धुरी करके गुजरता है। इस आरेख में सभी परिवेशक परिवर्तनीय हैं (दोनों त्रिभुज और वर्ग) लेकिन दूसरा परिवर्तनीय वर्ग, जो Y′ से Y तक दो रास्तों की समानता को व्यक्त करता है, स्पष्ट नहीं है। "किनारे से बाहर" की ओर इशारा करने वाले सभी तीर डिग्री 1 हैंः यह अंतिम आरेख ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध की एक उपयोगी सहज ज्ञान युक्त व्याख्या को भी दर्शाता है। त्रिकोणीय श्रेणियों में, त्रिभुज सटीक अनुक्रमों की भूमिका निभाते हैं, और इसलिए इन वस्तुओं को "भागफल" के रूप में सोचना सूचक है। उन शब्दों में, अंतिम त्रिभुज का अस्तित्व एक तरफ (त्रिभुज को देखते हुए), और (त्रिभुज को देखते हुए) व्यक्त होता है। इन्हें एक साथ रखते हुए, ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध "तीसरी समरूपता प्रमेय" का दावा करता हैः यदि त्रिकोणीय श्रेणी एक अबेलियन श्रेणी ए की व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) है, और एक्स, वाई, जेड ए की वस्तुएं हैं जिन्हें डिग्री 0 में केंद्रित परिसरों के रूप में देखा जाता है, और नक्शे और ए में समरूपता हैं, तो डी (ए) में इन रूपात्मकताओं के शंकु वास्तव में ए में ऊपर दिए गए भागों के समरूप हैं। अंत में, 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों के साथ एक द्वि-आयामी कम्यूटेटिव आरेख का उपयोग करके ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध को तैयार करता है। ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध के सामान्यीकरण भी देते हैं। गुण यहाँ एक त्रिभुज श्रेणी डी के लिए स्वयंसिद्धों के कुछ सरल परिणाम दिए गए हैं। डी में एक सटीक त्रिभुज को देखते हुए, किसी भी दो क्रमिक रूपात्मकताओं की संरचना शून्य है। अर्थात्, vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0, और इसी तरह। एक आकृतिवाद को देखते हुए, टीआर 1 एक सटीक त्रिभुज को पूरा करने वाले शंकु जेड के अस्तित्व की गारंटी देता है। यू के कोई भी दो शंकु समरूप हैं, लेकिन समरूपता हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है। डी में प्रत्येक समरूपता एक प्रत्यक्ष योग का समावेश है, और प्रत्येक उपरूपता एक प्रक्षेपण है। एक संबंधित बिंदु यह है कि किसी को त्रिकोणीय श्रेणी में रूपात्मकता के लिए "इंजेक्टिविटी" या "सर्जेक्टिविटी" के बारे में बात नहीं करनी चाहिए। प्रत्येक आकृतिवाद जो समरूपता नहीं है, उसमें एक गैर-शून्य "कोकर्नल" Z होता है (जिसका अर्थ है कि एक सटीक त्रिकोण है) और एक गैर-शून्य "कर्नेल" भी होता है, जिसका नाम Z [−1] है। शंकु निर्माण की गैर-कार्यात्मकता त्रिकोणीय श्रेणियों के साथ तकनीकी जटिलताओं में से एक यह तथ्य है कि शंकु निर्माण कार्यात्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, एक वलय और विशिष्ट त्रिभुज के आंशिक मानचित्र को देखते हुए, दो मानचित्र हैं जो इस आरेख को पूरा करते हैं। यह पहचान मानचित्र हो सकता है, या शून्य मानचित्र दोनों परिवर्तनीय हैं। यह तथ्य कि दो मानचित्र मौजूद हैं, इस तथ्य की छाया है कि एक त्रिकोणीय श्रेणी एक ऐसा उपकरण है जो समस्थानिक सीमा और कोलिमाइट को कूटबद्ध करता है। इस समस्या का एक समाधान ग्रोथेन्डिक द्वारा प्रस्तावित किया गया था जिसमें न केवल व्युत्पन्न श्रेणी पर विचार किया जाता है, बल्कि इस श्रेणी पर आरेखों की व्युत्पन्न श्रेणी पर भी विचार किया जाता है। ऐसी वस्तु को व्युत्पन्नक कहा जाता है। उदाहरण क्या इससे बेहतर स्वयंसिद्ध सिद्धांत हैं? कुछ विशेषज्ञों को संदेह है कि पी. जी. 190 (उदाहरण के लिए देखें) कि त्रिकोणीय श्रेणियां वास्तव में "सही" अवधारणा नहीं हैं। आवश्यक कारण यह है कि एक आकृतिवाद का शंकु केवल एक गैर-अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है। विशेष रूप से, एक आकृतिवाद का शंकु सामान्य रूप से आकृतिवाद पर कार्यात्मक रूप से निर्भर नहीं करता है (उदाहरण के लिए, स्वयंसिद्ध (टीआर 3) में गैर-विशिष्टता पर ध्यान दें)। यह गैर-विशिष्टता त्रुटियों का एक संभावित स्रोत है। हालाँकि, स्वयंसिद्ध सिद्धांत व्यवहार में पर्याप्त रूप से काम करते हैं, और उनके अध्ययन के लिए बहुत सारा साहित्य समर्पित है। व्युत्पन्न एक वैकल्पिक प्रस्ताव 80 एस. पी. जी. 191 में ग्रोथेन्डिक द्वारा पर्सुइंग स्टैक में प्रस्तावित व्युत्पन्न का सिद्धांत है, और बाद में 90 के दशक में इस विषय पर अपनी पांडुलिपि में विकसित किया गया। अनिवार्य रूप से, ये कमजोर समतुल्यताओं के वर्ग के लिए आरेख श्रेणियों द्वारा दी गई समरूपता श्रेणियों की एक प्रणाली है। इन श्रेणियों को तब आरेखों के आकृतिवाद द्वारा संबंधित किया जाता है। इस औपचारिकता में समस्थानिक सीमा और कोलिमिट्स को पुनर्प्राप्त करने में सक्षम होने का लाभ है, जो शंकु निर्माण को प्रतिस्थापित करता है। एक अन्य निर्मित विकल्प स्थिर ν-श्रेणियों का सिद्धांत है। एक स्थिर φ-श्रेणी की समस्थानिक श्रेणी विहित रूप से त्रिकोणीय होती है, और इसके अलावा मानचित्रण शंकु अनिवार्य रूप से अद्वितीय हो जाते हैं (एक सटीक समस्थानिक अर्थ में)। इसके अलावा, एक स्थिर φ-श्रेणी स्वाभाविक रूप से अपनी समरूपता श्रेणी के लिए अनुकूलताओं के एक पूरे पदानुक्रम को कूटबद्ध करती है, जिसके नीचे ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध होता है। इस प्रकार, इसकी समरूपता श्रेणी के त्रिकोण का डेटा देने की तुलना में एक स्थिर φ-श्रेणी का डेटा देना सख्ती से मजबूत है। व्यवहार में उत्पन्न होने वाली लगभग सभी त्रिकोणीय श्रेणियां स्थिर φ-श्रेणियों से आती हैं। त्रिभुज श्रेणियों का एक समान (लेकिन अधिक विशेष) संवर्धन एक डी. जी.-श्रेणी की धारणा है। कुछ मायनों में, स्थिर φ-श्रेणियाँ या dg-श्रेणियाँ त्रिकोणीय श्रेणियों की तुलना में बेहतर काम करती हैं। एक उदाहरण त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच एक सटीक कारक की धारणा है, जिसकी चर्चा नीचे की गई है। एक क्षेत्र k पर एक चिकनी प्रोजेक्टिव किस्म X के लिए, सुसंगत आवरणों की बंधी हुई व्युत्पन्न श्रेणी प्राकृतिक तरीके से एक dg-श्रेणी से आती है। एक्स और वाई किस्मों के लिए, एक्स की डी. जी.-श्रेणी से लेकर वाई तक का प्रत्येक कारक फूरियर-मुकाई परिवर्तन द्वारा आवरणों के एक परिसर से आता है। इसके विपरीत, एक सटीक फंक्टर का एक उदाहरण है जो शीव्स के एक परिसर से नहीं आता है। इस उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच एक रूपात्मकता की "सही" धारणा वह प्रतीत होती है जो अंतर्निहित डी. जी.-श्रेणियों (या स्थिर-श्रेणियों) के रूपात्मकता से आती है। त्रिकोणीय श्रेणियों की तुलना में स्थिर φ-श्रेणियों या dg-श्रेणियों का एक और लाभ बीजगणितीय के-सिद्धांत में दिखाई देता है। पूर्णांक i के लिए अबेलियन समूहों का एक क्रम देते हुए, एक स्थिर φ-श्रेणी या dg-श्रेणी C के बीजगणितीय K-सिद्धांत को परिभाषित किया जा सकता है। समूह में सी से जुड़े त्रिकोणीय श्रेणी के संदर्भ में एक सरल विवरण है लेकिन एक उदाहरण से पता चलता है कि एक डी. जी.-श्रेणी के उच्च के-समूह हमेशा संबंधित त्रिकोणीय श्रेणी द्वारा निर्धारित नहीं किए जाते हैं। इस प्रकार एक त्रिकोणीय श्रेणी में एक अच्छी तरह से परिभाषित समूह होता है, लेकिन सामान्य रूप से उच्च के-समूह नहीं होते हैं। दूसरी ओर, त्रिकोणीय श्रेणियों का सिद्धांत स्थिर φ-श्रेणियों या dg-श्रेणियों के सिद्धांत की तुलना में सरल है, और कई अनुप्रयोगों में त्रिकोणीय संरचना पर्याप्त है। एक उदाहरण ब्लॉच-काटो अनुमान का प्रमाण है, जहाँ कई गणनाएँ त्रिकोणीय श्रेणियों के स्तर पर की गई थीं, और φ-श्रेणियों या dg-श्रेणियों की अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं थी। त्रिकोणीय श्रेणियों में समरूपता समरूपता की एक धारणा को स्वीकार करती है, और प्रत्येक त्रिकोणीय श्रेणी में समरूपता संबंधी कारकों की एक बड़ी आपूर्ति होती है। एक त्रिकोणीय श्रेणी डी से एक अबेलियन श्रेणी ए तक एक कोहोमोलॉजिकल फंक्टर एफ एक ऐसा फंक्टर है कि प्रत्येक सटीक त्रिभुज के लिए ए में अनुक्रम सटीक है। चूँकि एक सटीक त्रिभुज दोनों दिशाओं में सटीक त्रिभुजों का एक अनंत अनुक्रम निर्धारित करता है, एक समरूपता संबंधी फंक्टर F वास्तव में अबेलियन श्रेणी A में एक लंबा सटीक अनुक्रम देता हैः एक प्रमुख उदाहरण हैः एक त्रिकोणीय श्रेणी D में प्रत्येक वस्तु B के लिए, अबेलियन समूहों की श्रेणी में मूल्यों के साथ, फंक्टर और समरूपता हैं। (सटीक होने के लिए, उत्तरार्द्ध एक विपरीत फंक्टर है, जिसे डी की विपरीत श्रेणी पर एक फंक्टर के रूप में माना जा सकता है।) अर्थात, एक सटीक त्रिकोण अबेलियन समूहों के दो लंबे सटीक अनुक्रमों को निर्धारित करता हैः और विशेष त्रिभुज श्रेणियों के लिए, ये सटीक अनुक्रम शीफ कोहोमोलॉजी, समूह कोहोमोलॉजी और गणित के अन्य क्षेत्रों में कई महत्वपूर्ण सटीक अनुक्रम प्रदान करते हैं। पूर्णांक i के लिए संकेतन का भी उपयोग किया जा सकता है, जो एक अबेलियन श्रेणी में एक्स्ट फ़ंक्टर को सामान्यीकृत करता है। इस संकेतन में, उपरोक्त पहला सटीक अनुक्रम लिखा जाएगाः एक अबेलियन श्रेणी ए के लिए, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) पर एक कोहोमोलॉजिकल फंक्टर का एक और बुनियादी उदाहरण ए में वस्तु को एक जटिल एक्स भेजता है। अर्थात्, डी (ए) में एक सटीक त्रिभुज ए में एक लंबा सटीक अनुक्रम निर्धारित करता हैः उसका उपयोग करते हुए। एक सटीक फंक्टर (जिसे त्रिकोणीय फंक्टर भी कहा जाता है) एक त्रिकोणीय श्रेणी डी से एक त्रिकोणीय श्रेणी ई तक एक योगात्मक फंक्टर है जो, शिथिल रूप से बोलते हुए, अनुवाद के साथ संचार करता है और सटीक त्रिकोणों को सटीक त्रिकोणों को भेजता है। अधिक विस्तार से, एक सटीक फ़ंक्टर एक प्राकृतिक समरूपता के साथ आता है (जहां पहला डी के अनुवाद फ़ंक्टर को दर्शाता है और दूसरा ई के अनुवाद फ़ंक्टर को दर्शाता है), जैसे कि जब भी डी में एक सटीक त्रिकोण होता है, तो ई में एक सटीक त्रिकोण होता है। इस मामले में, एक सटीक फ़ंक्टर ऐसा है कि एफजी और जीएफ स्वाभाविक रूप से संबंधित पहचान फ़ंक्टरों के लिए समरूप हैं। संक्षेप में उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणियाँ मान लीजिए कि डी एक त्रिकोणीय श्रेणी है जैसे कि एक मनमाने समुच्चय द्वारा अनुक्रमित प्रत्यक्ष योग (आवश्यक रूप से सीमित नहीं) डी में मौजूद है। डी में एक वस्तु एक्स को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि फंक्टर प्रत्यक्ष योग के साथ आवागमन करता है। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि डी में वस्तुओं के प्रत्येक परिवार के लिए एक सेट एस द्वारा अनुक्रमित, अबेलियन समूहों का प्राकृतिक समरूपता एक समरूपता है। यह श्रेणी सिद्धांत में एक कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट की सामान्य धारणा से अलग है, जिसमें केवल सह-उत्पाद के बजाय सभी कोलिमिट्स शामिल हैं। उदाहरण के लिए, स्थिर समस्थानिक श्रेणी में एक सघन वस्तु एक परिमित वर्णक्रम है। एक वलय की व्युत्पन्न श्रेणी में या एक योजना की अर्ध-सुसंगत व्युत्पन्न श्रेणी में एक कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट एक परिपूर्ण कॉम्प्लेक्स है। एक क्षेत्र पर एक चिकनी प्रोजेक्टिव किस्म एक्स के मामले में, पूर्ण परिसरों की श्रेणी पर्फ (एक्स) को सुसंगत आवरणों की बंधी हुई व्युत्पन्न श्रेणी के रूप में भी देखा जा सकता है। एक त्रिभुज श्रेणी डी को सघन रूप से उत्पन्न किया जाता है यदि डी में मनमाना (आवश्यक रूप से सीमित नहीं) प्रत्यक्ष योग होता है; डी में सघन वस्तुओं का एक समूह एस होता है जैसे कि डी में प्रत्येक गैर-शून्य वस्तु एक्स के लिए, एस में एक वस्तु वाई होती है जिसमें कुछ पूर्णांक एन के लिए एक गैर-शून्य मानचित्र होता है। कई स्वाभाविक रूप से होने वाली "बड़ी" त्रिभुज श्रेणियां सघन रूप से उत्पन्न होती हैंः एक रिंग आर पर मॉड्यूल की व्युत्पन्न श्रेणी एक वस्तु, आर-मॉड्यूल आर द्वारा सघन रूप से उत्पन्न होती है। एक अर्ध-संक्षिप्त अर्ध-विभाजित योजना की अर्ध-सुसंगत व्युत्पन्न श्रेणी एक वस्तु द्वारा सघन रूप से उत्पन्न होती है। स्थिर होमोटॉपी श्रेणी एक वस्तु, स्फीयर स्पेक्ट्रम द्वारा सघन रूप से उत्पन्न की जाती है। अम्नोन नीमैन ने ब्राउन रिप्रेजेंटेबिलिटी थ्योरम को किसी भी सघन रूप से उत्पन्न त्रिभुज श्रेणी के लिए सामान्यीकृत किया। माना डी एक सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी है, एक समरूपी कारक जो सह-उत्पादों को उत्पादों तक ले जाता है। तब एच प्रतिनिधित्व योग्य है। (अर्थात, डी की एक वस्तु डब्ल्यू ऐसी है कि सभी एक्स के लिए।) एक अन्य संस्करण के लिए, मान लीजिए कि डी एक सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी है, टी कोई भी त्रिकोणीय श्रेणी है। यदि एक सटीक फ़ंक्टर सह-उत्पादों को सह-उत्पाद भेजता है, तो F का एक सही संयोजन होता है। ब्राउन रिप्रेजेंटेबिलिटी थ्योरम का उपयोग त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच विभिन्न फंक्टरों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, नीमैन ने इसका उपयोग योजनाओं के रूपात्मकता f के लिए असाधारण व्युत्क्रम छवि कारक के निर्माण को सरल और सामान्य बनाने के लिए किया, जो सुसंगत द्वैत सिद्धांत की केंद्रीय विशेषता है। टी-संरचना प्रत्येक अबेलियन श्रेणी ए के लिए, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) एक त्रिकोणीय श्रेणी है, जिसमें ए एक पूर्ण उपश्रेणी (शून्य डिग्री में केंद्रित परिसर) के रूप में होता है। विभिन्न अबेलियन श्रेणियों में समतुल्य व्युत्पन्न श्रेणियां हो सकती हैं, ताकि त्रिकोणीय श्रेणी के रूप में डी (ए) से ए का पुनर्निर्माण करना हमेशा संभव न हो। अलेक्जेंडर बेइलिन्सन, जोसेफ बर्नस्टीन और पियरे डेलिग्ने ने एक त्रिकोणीय श्रेणी डी पर एक टी-संरचना की धारणा द्वारा इस स्थिति का वर्णन किया। डी पर ए टी-संरचना डी के अंदर एक अबेलियन श्रेणी निर्धारित करती है, और डी पर विभिन्न टी-संरचनाएं विभिन्न अबेलियन श्रेणियां प्राप्त कर सकती हैं। स्थानीयकरण और मोटी उपश्रेणियाँ मान लीजिए कि डी मनमाने ढंग से प्रत्यक्ष योग के साथ एक त्रिकोणीय श्रेणी है। डी की एक स्थानीय उपश्रेणी एक पूरी तरह से पूर्ण त्रिकोणीय उपश्रेणी है जो मनमाने ढंग से प्रत्यक्ष राशियों के तहत बंद होती है। नाम की व्याख्या करने के लिएः यदि एक सघन रूप से उत्पन्न त्रिभुज श्रेणी डी की एक स्थानीय उपश्रेणी एस वस्तुओं के एक समूह द्वारा उत्पन्न की जाती है, तो कर्नेल एस के साथ एक बोसफील्ड स्थानीयकरण फ़ंक्टर होता है। (यानी, डी में प्रत्येक वस्तु एक्स के लिए एस में वाई और दाएँ ऑर्थोगोनल में एलएक्स के साथ एक सटीक त्रिकोण होता है।) उदाहरण के लिए, इस निर्माण में एक अभाज्य संख्या पर एक वर्णक्रम का स्थानीयकरण, या एक स्थान पर आवरणों के एक परिसर से एक खुले उपसमुच्चय तक का प्रतिबंध शामिल है। एक समानांतर धारणा "छोटी" त्रिकोणीय श्रेणियों के लिए अधिक प्रासंगिक हैः एक त्रिकोणीय श्रेणी सी की एक मोटी उपश्रेणी एक पूरी तरह से पूर्ण त्रिकोणीय उपश्रेणी है जो प्रत्यक्ष योग के तहत बंद होती है। (यदि सी इडेम्पोटेंट-पूर्ण है, तो एक उपश्रेणी मोटी होती है यदि और केवल तभी जब यह इडेम्पोटेंट-पूर्ण भी हो।) एक स्थानीयकरण उपश्रेणी मोटी है। इसलिए यदि एस एक त्रिकोणीय श्रेणी डी की एक स्थानीय उपश्रेणी है, तो कॉम्पैक्ट वस्तुओं की उपश्रेणी के साथ एस का प्रतिच्छेदन एक मोटी उपश्रेणी है। उदाहरण के लिए, डेविनाट्ज़-हॉपकिन्स-स्मिथ ने मोरावा के-सिद्धांत के संदर्भ में परिमित स्पेक्ट्रा की त्रिकोणीय श्रेणी की सभी मोटी उपश्रेणियों का वर्णन किया। संपूर्ण स्थिर होमोटॉपी श्रेणी की स्थानीय उपश्रेणियों को वर्गीकृत नहीं किया गया है। फ़ोरियर-मुकाई ट्रांसफॉर्म सिक्स ऑपरेशन्स परवर्स शीफ़ डी-मॉड्यूल बेइलिन्सन-बर्नस्टीन लोकलाइज़ेशन मॉड्यूल स्पेक्ट्रम सेमीऑर्थोगोनल अपघटन ब्रिजलैंड स्टेबिलिटी कंडीशन नोट्स संदर्भ त्रिभुज श्रेणियों के लिए कुछ पाठ्यपुस्तक परिचय हैंः अनुप्रयोगों के साथ एक संक्षिप्त सारांश हैः कुछ और उन्नत संदर्भ हैंः बाहरी लिंक जे. पीटर मे, त्रिभुज श्रेणियों के लिए स्वयंसिद्ध होमोलॉजिकल बीजगणित