Analytic subgroup theorem
गणित में, विश्लेषणात्मक उपसमूह प्रमेय आधुनिक दिव्य संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। इसे लघुगणक में रैखिक रूपों पर बेकर के प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। गिसबर्ट वुस्थोल्ज़ ने 1980 के दशक में इसे साबित किया। इसने दिव्य संख्याओं के सिद्धांत में एक सफलता को चिह्नित किया। कई लंबे समय से चली आ रही खुली समस्याओं का प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में अनुमान लगाया जा सकता है। कथन यदि एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र पर परिभाषित एक कम्यूटेटिव बीजगणितीय समूह है और संख्या क्षेत्र पर परिभाषित लाइ बीजगणित के साथ एक लाइ उपसमूह है तो इसमें कोई गैर-शून्य बीजगणितीय बिंदु नहीं होता है जब तक कि इसमें एक उचित बीजगणितीय उपसमूह न हो। प्रमाण के केंद्रीय नए अवयवों में से एक डेविड मैसर और गिसबर्ट वुस्टहोल्ज़ द्वारा विशेष मामलों में विकसित समूह किस्मों के बहुलता अनुमानों का सिद्धांत था और सामान्य मामले में वुस्टहोल्ज़ द्वारा स्थापित किया गया था जो विश्लेषणात्मक उपसमूह प्रमेय के प्रमाण के लिए आवश्यक था। परिणाम विश्लेषणात्मक उपसमूह प्रमेय के शानदार परिणामों में से एक मैसर और वुस्थोल्ज़ द्वारा प्रकाशित आइसोजेनी प्रमेय था। इसका सीधा परिणाम अबेलियन किस्मों के लिए टेट अनुमान है जिसे गर्ड फाल्टिंग्स ने पूरी तरह से अलग-अलग तरीकों से साबित किया था, जिसके आधुनिक अंकगणितीय ज्यामिति में कई अनुप्रयोग हैं। समूह किस्मों के लिए बहुलता अनुमानों का उपयोग करते हुए वुस्थोल्ज़ लघुगणक में रैखिक रूपों के लिए निचली सीमा के लिए अंतिम अपेक्षित रूप प्राप्त करने में सफल रहे। इसे एलन बेकर के साथ उनके एक संयुक्त कार्य में एक प्रभावी रूप में रखा गया था जो कला की वर्तमान स्थिति को चिह्नित करता है। बहुलता अनुमानों के अलावा एक और नया घटक बहुत तेज निचली सीमा प्राप्त करने के लिए संख्याओं की ज्यामिति का एक बहुत ही परिष्कृत उपयोग था। यह भी देखें बीजगणितीय वक्र उद्धरण संदर्भ दिव्य संख्याएँ