Sylvester–Gallai configuration
ज्यामिति में, एक सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास में एक प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदुओं का एक सीमित उपसमुच्चय होता है जिसमें यह गुण होता है कि उपसमुच्चय में किसी भी दो बिंदुओं के माध्यम से रेखा भी उपसमुच्चय के कम से कम एक अन्य बिंदु से गुजरती है। सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यासों को एक प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदुओं के सबसेट के रूप में परिभाषित करने के बजाय, उन्हें बिंदुओं और रेखाओं की अमूर्त आपतन संरचनाओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो उन गुणों को संतुष्ट करते हैं, जो प्रत्येक जोड़े के लिए, संरचना में जोड़े वाली बिल्कुल एक रेखा शामिल होती है और प्रत्येक पंक्ति में कम से कम तीन बिंदु होते हैं। इस अधिक सामान्य रूप में उन्हें सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइन भी कहा जाता है। एक निकटता से संबंधित अवधारणा एक सिल्वेस्टर मैट्रायड है, एक मैट्रायड जिसमें कोई दो-बिंदु रेखा नहीं होने की सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास के समान गुण है। यूक्लिडियन तल में, वास्तविक प्रोजेक्टिव तल, उच्च-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान या वास्तविक प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान, या एक क्रमबद्ध क्षेत्र में निर्देशांक वाले रिक्त स्थान, सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय से पता चलता है कि केवल संभावित सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास एक-आयामी हैंः उनमें तीन या अधिक संरेखीय बिंदु होते हैं। यह इस तथ्य से प्रेरित था और हेस्से विन्यास के उदाहरण से यह पूछने के लिए कि क्या जटिल-संख्या निर्देशांक वाले स्थानों में, प्रत्येक सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास अधिकतम द्वि-आयामी है। सवाल दोहराया। सेरे के प्रश्न का सकारात्मक उत्तर दिया; केली के प्रमाण को सरल बनाया, और समान रूप से साबित किया कि चतुर्थक निर्देशांक वाले स्थानों में, सभी सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास एक त्रि-आयामी उपक्षेत्र के भीतर होने चाहिए। प्रोजेक्टिव कॉन्फ़िगरेशन ने प्रोजेक्टिव कॉन्फ़िगरेशन का अध्ययन किया जो सिल्वेस्टर-गैलाई कॉन्फ़िगरेशन भी हैं; एक प्रोजेक्टिव कॉन्फ़िगरेशन में अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि प्रत्येक दो बिंदुओं के माध्यम से रेखाओं की संख्या समान हो और प्रत्येक दो पंक्तियों में समान संख्या में बिंदु हों। उदाहरण के लिए, सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास में सीमित क्षेत्रों पर परिभाषित किसी भी आयाम के संबंध और प्रोजेक्टिव स्थान शामिल हैं, और ये सभी प्रोजेक्टिव विन्यास भी हैं। प्रत्येक प्रोजेक्टिव विन्यास को एक संकेतन (पीएलबी) दिया जा सकता है, जहाँ पी अंकों की संख्या, एल रेखाओं की संख्या, प्रति बिंदु रेखाओं की संख्या, और बी प्रति रेखा बिंदुओं की संख्या है, जो समीकरण पीए = एलबी को संतुष्ट करता है। मोत्ज़किन ने देखा कि, इन मापदंडों के लिए सिल्वेस्टर-गैलाई डिजाइन को परिभाषित करने के लिए, यह आवश्यक है कि b> 2, वह p <l (एक प्रोजेक्टिव स्पेस में गैर-संरेखीय बिंदुओं के किसी भी सेट के लिए कम से कम उतनी ही रेखाओं को निर्धारित करता है जितनी अंक) और वे अतिरिक्त समीकरण का भी पालन करते हैं। सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइन जो प्रोजेक्टिव कॉन्फ़िगरेशन भी हैं, एसटी (2, बी, पी) मापदंडों के साथ स्टेनर सिस्टम के समान हैं। मोत्ज़किन ने इस प्रकार के छोटे विन्यासों के कई उदाहरण सूचीबद्ध किएः 7373, नैनो तल के मापदंड, दो तत्वों के क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव तल। 94123, हेस्से विन्यास के मापदंड। यह तीन-तत्व क्षेत्र पर एफाइन तल है, और एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के विक्षेपण बिंदुओं के समूह के रूप में जटिल-संख्या निर्देशांक के साथ भी महसूस किया जा सकता है। 134134, तीन-तत्व क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव प्लेन के पैरामीटर। 136263, दो 13-तत्व स्टेनर ट्रिपल सिस्टम के मापदंड। 157353, दो-तत्व क्षेत्र पर एक त्रि-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस के मापदंड और 79 अन्य स्टेनर ट्रिपल सिस्टम 165204, चार-तत्व क्षेत्र पर एफाइन प्लेन के मापदंड। 215215, एक चार-तत्व क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव प्लेन के पैरामीटर। 256305, पाँच-तत्व क्षेत्र पर एफ़ाइन तल के मापदंड। और सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइनों के वैकल्पिक ज्यामितीय प्रतिनिधित्वों का अध्ययन किया, जिसमें डिजाइन के बिंदुओं को चार-आयामी स्थान में तिरछी रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है और डिजाइन की प्रत्येक रेखा को एक हाइपरप्लेन द्वारा दर्शाया जाता है। सात-बिंदु और 13-बिंदु प्रोजेक्टिव प्लेन दोनों में इस प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं। अन्य उदाहरणों में आम तौर पर सभी गैर-समरेखीय सिल्वेस्टर-गलाई विन्यास और सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइनों को अधिकतम 14 बिंदुओं पर वर्गीकृत किया गया है। उनमें दस अंकों के साथ एक अद्वितीय डिजाइन शामिल है; इसमें, कुछ बिंदु तीन चार-बिंदु रेखाओं में निहित हैं जबकि अन्य बिंदु तीन तीन-बिंदु रेखाओं और एक चार-बिंदु रेखा से संबंधित हैं। एक अद्वितीय 11-बिंदु सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइन, दो अलग-अलग 12-बिंदु डिजाइन और चार अनियमित 13-बिंदु डिजाइन भी हैं। 14 अंकों के लिए, उन्होंने पाया कि फिर से केवल एक ही संभावित सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइन था। संदर्भ। .. .. .. .. .. विन्यास (ज्यामिति)