Girsanov theorem
संभाव्यता सिद्धांत में, गिरसानोव प्रमेय बताता है कि माप में परिवर्तन के तहत यादृच्छिक प्रक्रियाएं कैसे बदलती हैं। यह प्रमेय वित्तीय गणित के सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बताता है कि भौतिक माप से कैसे परिवर्तित किया जाए, जो इस संभावना का वर्णन करता है कि एक अंतर्निहित साधन (जैसे शेयर मूल्य या ब्याज दर) एक विशेष मूल्य या मूल्यों को जोखिम-तटस्थ माप में ले जाएगा, जो अंतर्निहित पर व्युत्पन्न के मूल्य का मूल्यांकन करने के लिए एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है। इस प्रकार के इतिहास के परिणाम पहली बार 1940 के दशक में कैमरून-मार्टिन और 1960 में इगोर गिरसानोव द्वारा साबित किए गए थे। बाद में उन्हें प्रक्रिया के अधिक सामान्य वर्गों तक विस्तारित किया गया है जो लेंग्लार्ट (1977) के सामान्य रूप में समाप्त हुआ। महत्व गिरसानोव की प्रमेय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सामान्य सिद्धांत में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रमुख परिणाम को सक्षम बनाता है कि यदि क्यू एक माप है जो पी के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है तो प्रत्येक पी-सेमीमार्टिंगेल एक क्यू-सेमीमार्टिंगेल है। प्रमेय का कथन हम विशेष मामले के लिए पहले प्रमेय बताते हैं जब अंतर्निहित यादृच्छिक प्रक्रिया एक वीनर प्रक्रिया होती है। यह विशेष मामला ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में जोखिम-तटस्थ मूल्य निर्धारण के लिए पर्याप्त है। वीनर संभाव्यता स्थान पर एक वीनर प्रक्रिया होने दें। वीनर प्रक्रिया के प्राकृतिक निस्पंदन के लिए अनुकूलित एक मापने योग्य प्रक्रिया होने दें; हम मानते हैं कि सामान्य स्थितियां संतुष्ट हो गई हैं। एक अनुकूलित प्रक्रिया को देखते हुए परिभाषित करें कि W के संबंध में X का यादृच्छिक घातांक कहाँ है, अर्थात। और प्रक्रिया X की द्विघात भिन्नता को दर्शाता है। यदि एक मार्टिंगेल है तो एक प्रायिकता माप क्यू को इस तरह से परिभाषित किया जा सकता है कि रेडॉन-निकोडियम व्युत्पन्न फिर प्रत्येक टी के लिए अपरिवर्तित सिग्मा क्षेत्रों तक सीमित माप क्यू पी के लिए प्रतिबंधित के बराबर है। यदि एक्स एक निरंतर प्रक्रिया है और डब्ल्यू माप पी के तहत ब्राउनियन गति है तो क्यू के तहत ब्राउनियन गति है। तथ्य जो निरंतर है वह तुच्छ है; गिरसानोव के प्रमेय के अनुसार यह एक क्यू स्थानीय मार्टिन्गेल है, और इसकी गणना करने से लेवी के ब्राउनियन गति के लक्षण वर्णन से पता चलता है कि यह एक क्यू ब्राउनियन गति है। टिप्पणियाँ कई सामान्य अनुप्रयोगों में, प्रक्रिया X को इस रूप के X के लिए परिभाषित किया गया है, तो X के लिए एक मार्टिंगेल होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त नोविकोव की स्थिति है जिसके लिए आवश्यक है कि स्टोकेस्टिक एक्सपोनेंशियल प्रक्रिया Z है जो स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण को हल करती है। ऊपर बनाया गया माप Q, P के बराबर नहीं है क्योंकि यह केवल तभी होगा जब रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एक समान रूप से एकीकृत मार्टिंगेल हो, जो ऊपर वर्णित एक्सपोनेंशियल मार्टिंगेल नहीं है। दूसरी ओर जब तक नोविकोव की शर्त पूरी होती है तब तक उपाय समान होते हैं। इसके अतिरिक्त, फिर इस मामले में उपरोक्त अवलोकन को मिलाकर, हम देखते हैं कि के लिए प्रक्रिया एक क्यू ब्राउनियन गति है। यह उपरोक्त प्रमेय का इगोर गिरसानोव का मूल सूत्रीकरण था। वित्त के लिए अनुप्रयोग इस प्रमेय का उपयोग ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में अद्वितीय जोखिम-तटस्थ माप को दिखाने के लिए किया जा सकता है। वह माप जिसमें एक व्युत्पन्न का उचित मूल्य रियायती अपेक्षित मूल्य, क्यू है, लैंगविन समीकरणों के अनुप्रयोग द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, इस प्रमेय का एक और अनुप्रयोग, जो इगोर गिरसानोव के मूल पेपर में भी दिया गया है, यादृच्छिक विभेदक समीकरणों के लिए है। विशेष रूप से, आइए हम उस समीकरण पर विचार करें जहां ब्राउनियन गति को दर्शाया गया है। यहाँ और निश्चित नियतात्मक कार्य हैं। हम मानते हैं कि इस समीकरण का एक अद्वितीय मजबूत समाधान है। इस मामले में गिरसानोव के प्रमेय का उपयोग ब्राउनियन गति के लिए एक संबंधित कार्यात्मक के संदर्भ में सीधे कार्यात्मक गणना करने के लिए किया जा सकता है। अधिक विशेष रूप से, हमारे पास निरंतर कार्यों पर किसी भी बाउंडेड फंक्शनल के लिए है जो कि मार्टिंगेल प्रक्रिया के लिए गिरसानोव के प्रमेय और उपरोक्त अवलोकन को लागू करने के बाद होता है। विशेष रूप से, हम ध्यान देते हैं कि उपरोक्त संकेतन के साथ, प्रक्रिया एक क्यू ब्राउनियन गति है। इसे विभेदक रूप में फिर से लिखना जैसा कि हम देखते हैं कि क्यू के तहत का नियम परिभाषित समीकरण को हल करता है, जैसा कि एक क्यू ब्राउनियन गति है। विशेष रूप से, हम देखते हैं कि दाहिने हाथ की ओर को इस रूप में लिखा जा सकता है, जहां Q प्रक्रिया Y के संबंध में लिया गया माप है, इसलिए परिणाम अब केवल गिरसानोव के प्रमेय का कथन है। इस अनुप्रयोग का एक अधिक सामान्य रूप यह है कि यदि दोनों पर अद्वितीय मजबूत समाधान स्वीकार करते हैं, तो किसी भी बाउंडेड फंक्शनल के लिए, हमारे पास यह भी है कि संदर्भ देखें स्टोकेस्टिक कैलकुलस पर बाहरी लिंक नोट्स जिसमें गिरसानोव के प्रमेय का एक सरल रूपरेखा प्रमाण है। यादृच्छिक प्रक्रियाएँ गणितीय प्रमेय गणितीय वित्त