Theodore Frankel
थियोडोर फ्रैंकल (17 जून, 1929-5 अगस्त, 2017) एक गणितशास्त्री थे जिन्होंने आंद्रेओटी-फ्रैंकल प्रमेय और फ्रैंकल अनुमान की शुरुआत की। फ्रेंकल ने 1955 में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले से पी. एच. डी. प्राप्त की। उनके डॉक्टरेट सलाहकार हार्ले फ़्लैंडर्स थे। कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सैन डिएगो में गणित के एक एमेरिटस प्रोफेसर, फ्रैंकल लंबे समय तक प्रिंसटन, न्यू जर्सी में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी के सदस्य थे। उन्हें वैश्विक विभेदक ज्यामिति, मोर्स सिद्धांत और सापेक्षता सिद्धांत में उनके काम के लिए जाना जाता है। स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय और ब्राउन विश्वविद्यालय में संकायों में सेवा देने के बाद वे 1965 में यू. सी. सैन डिएगो गणित विभाग में शामिल हुए। 1930 के दशक में, जॉन सिंगे ने एक न्यूनतम लूप पर आर्क्लेन्थ के लिए दूसरे भिन्नता सूत्र को लागू करके, जिसे अब सिंगे के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, की स्थापना की। फ्रेंकल ने सिंज की विधि को उच्च-आयामी वस्तुओं के लिए अनुकूलित किया। नतीजतन, वह यह साबित करने में सक्षम था कि, जब एक बंद मैनिफोल्ड पर एक सकारात्मक घुमावदार रीमानियन मीट्रिक दिया जाता है, तो किसी भी दो पूरी तरह से जियोडेसिक कॉम्पैक्ट सबमैनिफोल्ड को काटना चाहिए यदि उनके आयाम काफी बड़े हैं। विचार यह है कि दो सबमैनिफोल्ड्स के बीच न्यूनतम भूगणितीय के लिए सिंज की विधि को लागू किया जाए। उसी दृष्टिकोण से, फ्रैंकल ने साबित किया कि सकारात्मक रूप से घुमावदार कहलर मैनिफोल्ड के जटिल सबमैनिफोल्ड को काटना चाहिए यदि उनके आयाम पर्याप्त रूप से बड़े हैं। इन परिणामों को बाद में सैमुअल गोल्डबर्ग और शोशिची कोबायाशी द्वारा बढ़ाया गया ताकि होलोमोर्फिक बाइसेक्शनल वक्रता की सकारात्मकता की अनुमति दी जा सके। रेने थॉम के काम से प्रेरित होकर, फ्रैंकल और एल्डो एंड्रोटी ने मोर्स सिद्धांत का उपयोग करते हुए लेफशेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय का एक नया प्रमाण दिया। तर्क का सार बीजगणितीय तथ्य है कि एक जटिल द्विघात रूप के वास्तविक भाग के आईगन मान रूप के जोड़े में होने चाहिए। यह एक निश्चित बिंदु की दूरी द्वारा दिए गए मोर्स फलन पर विचार करके, लेफशेट्ज़ के प्रमेय के संदर्भ में प्रासंगिक हो जाता है। महत्वपूर्ण बिंदुओं पर दूसरे क्रम के विश्लेषण को उपरोक्त बीजगणितीय विश्लेषण से तुरंत सहायता मिलती है, और समरूपता गायब होने वाली घटना मोर्स असमानताओं के माध्यम से होती है। एक किलिंग वेक्टर क्षेत्र को देखते हुए जिसके लिए सममितियों का संबंधित एक-पैरामीटर समूह होलोमोर्फिक मानचित्रण द्वारा कार्य करता है, फ्रेंकल ने यह दिखाने के लिए कार्टन सूत्र का उपयोग किया कि कहलर रूप के साथ वेक्टर क्षेत्र का आंतरिक उत्पाद बंद है। यह मानते हुए कि पहली बेट्टी संख्या शून्य है, डी राम प्रमेय एक ऐसे फलन के निर्माण के लिए लागू होता है जिसके महत्वपूर्ण बिंदु सदिश क्षेत्र के शून्यों के साथ मेल खाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुओं पर एक दूसरे क्रम के विश्लेषण से पता चलता है कि वेक्टर क्षेत्र के शून्यों का सेट फ़ंक्शन के लिए एक गैर-उत्पन्न महत्वपूर्ण मैनिफोल्ड है। राउल बॉट के क्रिटिकल मैनिफोल्ड्स के लिए मोर्स सिद्धांत के विकास के बाद, फ्रैंकल यह स्थापित करने में सक्षम थे कि मैनिफोल्ड की बेट्टी संख्याएँ पूरी तरह से क्रिटिकल मैनिफोल्ड्स की बेट्टी संख्याओं द्वारा एन्कोड की गई हैं, इन मैनिफोल्ड्स के साथ उनके मोर्स फ़ंक्शन के सूचकांक के साथ। फ्रेंकेल के ये विचार बाद में माइकल अतिया और निगेल हिचिन के कार्यों के लिए महत्वपूर्ण थे। प्रमुख प्रकाशन लेख पाठ्यपुस्तक संदर्भ 20वीं सदी के अमेरिकी गणितशास्त्री 21वीं सदी के अमेरिकी गणितशास्त्री कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सैन डिएगो संकाय 1929 जन्म 2017 मृत्यु कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले पूर्व छात्र उन्नत अध्ययन लोगों के लिए संस्थान ब्राउन विश्वविद्यालय संकाय स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय संकाय