Trapezoidal rule (differential equations)
संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक संगणना में, समाकलन की गणना के लिए समाकलन नियम से प्राप्त सामान्य विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम एक संख्यात्मक विधि है। ट्रैपेज़ॉइडल नियम एक अंतर्निहित द्वितीय-क्रम विधि है, जिसे रुंग-कुट्टा विधि और एक रैखिक बहु-चरण विधि दोनों के रूप में माना जा सकता है। विधि मान लीजिए कि हम विभेदक समीकरण को हल करना चाहते हैं ट्रैपेज़ॉइडल नियम सूत्र द्वारा दिया गया है जहां चरण का आकार है। यह एक अंतर्निहित विधि हैः मान समीकरण के दोनों तरफ दिखाई देता है, और वास्तव में इसकी गणना करने के लिए, हमें एक समीकरण हल करना होगा जो आमतौर पर अरैखिक होगा। इस समीकरण को हल करने की एक संभावित विधि न्यूटन की विधि है। हम समाधान के लिए काफी अच्छा अनुमान प्राप्त करने के लिए यूलर विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसका उपयोग न्यूटन की विधि के प्रारंभिक अनुमान के रूप में किया जा सकता है। केवल यूलर विधि से अनुमान का उपयोग करना ह्यून की विधि का प्रदर्शन करने के बराबर है। अभिप्रेरणा से अंतर समीकरण को एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं कि ट्रैपेज़ॉइडल नियम बताता है कि दाहिने हाथ की ओर के समाकलन को अनुमानित किया जा सकता है अब दोनों सूत्रों को मिलाएं और उनका उपयोग करें और साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम प्राप्त करें। त्रुटि विश्लेषण चतुर्भुज के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम के त्रुटि विश्लेषण से यह पता चलता है कि विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम की स्थानीय कटाई त्रुटि को इस प्रकार सीमित किया जा सकता हैः इस प्रकार, ट्रेपेज़ॉइडल नियम एक द्वितीय-क्रम विधि है। इस परिणाम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि वैश्विक त्रुटि तब होती है जब चरण का आकार शून्य हो जाता है (इसके अर्थ के लिए बड़ा ओ संकेतन देखें)। स्थिरता ट्रैपेज़ॉइडल नियम के लिए पूर्ण स्थिरता का क्षेत्र है इसमें बाएं-आधे तल शामिल है, इसलिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम ए-स्थिर है। दूसरा डहलक्विस्ट अवरोध बताता है कि ए-स्थिर रैखिक बहु-चरण विधियों में ट्रैपेज़ॉइडल नियम सबसे सटीक है। अधिक सटीक रूप से, एक रैखिक बहु-चरण विधि जो ए-स्थिर है, में अधिक से अधिक क्रम दो होता है, और द्वितीय-क्रम ए-स्थिर रैखिक बहु-चरण विधि का त्रुटि स्थिरांक ट्रैपेज़ॉइडल नियम के त्रुटि स्थिरांक से बेहतर नहीं हो सकता है। वास्तव में, ट्रैपेज़ॉइडल नियम के लिए पूर्ण स्थिरता का क्षेत्र सटीक रूप से बाएँ-आधे तल है। इसका मतलब है कि यदि ट्रैपेज़ॉइडल नियम रैखिक परीक्षण समीकरण y "'= λy" पर लागू किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान शून्य हो जाता है यदि और केवल तभी जब सटीक समाधान करता है। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. क्रैंक-निकोलसन विधि रुंग-कुट्टा विधियाँ भी देखें।