Vincent's theorem
गणित में, विन्सेन्ट की प्रमेय-जिसका नाम अलेक्जेंडर जोसेफ हिडुल्फ विन्सेन्ट के नाम पर रखा गया है-एक ऐसी प्रमेय है जो परिमेय गुणांक के साथ बहुपदों के वास्तविक मूल को अलग करती है। भले ही विन्सेन्ट की प्रमेय बहुपदों की वास्तविक जड़ों के पृथक्करण के लिए सबसे तेज़ विधि का आधार है, लेकिन इसे लगभग पूरी तरह से भुला दिया गया था, स्टर्म की प्रमेय द्वारा छाया कर दिया गया था; परिणामस्वरूप, यह समीकरणों के सिद्धांत (20 वीं शताब्दी की) पर किसी भी शास्त्रीय पुस्तक में दिखाई नहीं देता है, सिवाय उसपेन्स्की की पुस्तक के। इस प्रमेय के दो रूप प्रस्तुत किए गए हैं, साथ ही कई (निरंतर अंश और द्विभाजन) वास्तविक मूल अलगाव विधियाँ उनसे प्राप्त की गई हैं। संकेत भिन्नता मान लीजिए कि c0, c1, c2. वास्तविक संख्याओं का एक परिमित या अनंत अनुक्रम है। मान लीजिए कि l <r और निम्नलिखित शर्तें मानती हैंः यदि r = l + 1 है तो संख्याओं cl और cr में विपरीत संकेत हैं। यदि r ≤ l + 2 है तो सभी संख्याएँ cl + 1,., cr-1 शून्य हैं और संख्याएँ cl और cr विपरीत संकेत हैं। इसे संकेत भिन्नता या सी. एल. और सी. आर. संख्याओं के बीच संकेत परिवर्तन कहा जाता है। एक चर में बहुपद पी (एक्स) के साथ व्यवहार करते समय, पी (एक्स) के संकेत भिन्नताओं की संख्या को इसके गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रमेय के दो संस्करण प्रस्तुत किए गए हैंः विन्सेंट के कारण निरंतर अंश संस्करण, और एलेसिना और गैलुज़ी के कारण द्विभाजन संस्करण। विंसेंट की प्रमेय-निरंतर अंश संस्करण (1834 और 1836) यदि परिमेय गुणांक वाले और कई मूलों के बिना एक बहुपद समीकरण में, कोई उस रूप का क्रमिक परिवर्तन करता है जहां कोई भी धनात्मक संख्या एक से अधिक या उसके बराबर होती है, तो ऐसे कई परिवर्तनों के बाद, परिणामी परिवर्तित समीकरण में या तो शून्य संकेत भिन्नता होती है या इसमें एक एकल संकेत भिन्नता होती है। पहले मामले में कोई मूल नहीं है, जबकि दूसरे मामले में एक एकल सकारात्मक वास्तविक मूल है। इसके अलावा, प्रस्तावित समीकरण के संबंधित मूल को परिमित निरंतर अंश द्वारा अनुमानित किया जाता हैः इसके अलावा, यदि इस गुण को संतुष्ट करने वाली अनंत संख्याएँ पाई जा सकती हैं, तो मूल को (अनंत) संबंधित निरंतर अंश द्वारा दर्शाया जाता है। उपरोक्त कथन विन्सेंट के मूल पत्रों में पाए जाने वाले प्रमेय का एक सटीक अनुवाद है; हालाँकि, एक स्पष्ट समझ के लिए निम्नलिखित टिप्पणियों की आवश्यकता हैः यदि n प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त बहुपद को दर्शाता है (और भाजक को हटाने के बाद), तो N ऐसा मौजूद है कि सभी के लिए या तो कोई संकेत भिन्नता नहीं है या इसमें एक संकेत भिन्नता है। बाद के मामले में सभी के लिए एक ही सकारात्मक वास्तविक मूल है। निरंतर अंश मूल समीकरण के एक सकारात्मक मूल का प्रतिनिधित्व करता है, और मूल समीकरण में एक से अधिक सकारात्मक मूल हो सकते हैं। इसके अलावा, यह मानते हुए कि हम केवल मूल समीकरण का मूल प्राप्त कर सकते हैं जो कि> 1 है। एक मनमाना सकारात्मक मूल प्राप्त करने के लिए हमें यह मान लेना होगा। नकारात्मक मूल x को −x से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं, जिस स्थिति में नकारात्मक मूल सकारात्मक हो जाते हैं। विन्सेन्ट की प्रमेय द्विभाजन संस्करण (एलेसिना और गैलुज़ी 2000) मान लीजिए कि पी (एक्स) डिग्री डीग (पी) का एक वास्तविक बहुपद है जिसमें केवल सरल मूल हैं। एक सकारात्मक मात्रा δ का निर्धारण करना संभव है ताकि सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े के लिए a, b के साथ, रूप के प्रत्येक परिवर्तित बहुपद में बिल्कुल 0 या 1 संकेत भिन्नता हो। दूसरा मामला तभी संभव है जब पी (एक्स) का (ए, बी) के भीतर एक ही मूल हो। समीकरण () से निम्नलिखित मानदंड प्राप्त किया जाता है कि क्या एक बहुपद का अंतराल (ए, बी) में कोई मूल है या नहींः पी (एक्स) पर प्रतिस्थापन करें और परिवर्तित बहुपद के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या की गणना करें; यह संख्या खुले अंतराल (ए, बी) के अंदर वास्तविक मूल पी (एक्स) की संख्या पर एक ऊपरी सीमा देती है। अधिक सटीक रूप से, R [x] में बहुपद p (x) के खुले अंतराल (a, b) में वास्तविक जड़ों की संख्या ρab (p)-गुणा की गणना-डिग्री डिग (p) की, ऊपर संकेत भिन्नताओं की संख्या वराब (p) से घिरी हुई है, जहां जैसा कि डेसकार्टेस के संकेतों के नियम के मामले में यदि वराब (p) = 0 है तो यह ρab (p) = 0 का अनुसरण करता है और यदि वराब (p) = 1 है तो यह ρab (p) = 1 का अनुसरण करता है। एलेसिना-गलूज़ी "ए _ बी मूल परीक्षण" का एक विशेष मामला बुडन का "0 _ 1 मूल परीक्षण" है। विन्सेन्ट के प्रमेय की विस्तृत चर्चा, इसके विस्तार, शामिल परिवर्तनों की ज्यामितीय व्याख्या और तीन अलग-अलग प्रमाण एलेसिना और गलुज़ी के काम में पाए जा सकते हैं। चौथा प्रमाण ओस्ट्रोव्स्की के कारण है जिन्होंने ओब्रेश्कॉफ, पृष्ठ 81, द्वारा 1920-1923 में बताए गए प्रमेय के एक विशेष मामले की फिर से खोज की। विन्सेन्ट की प्रमेय एलेसिना और गैलुज़ी के दोनों संस्करणों को साबित करने के लिए यह दर्शाते हैं कि प्रमेय में उल्लिखित परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद, एक सकारात्मक मूल के साथ एक बहुपद में अंततः एक संकेत भिन्नता होती है। इसे दिखाने के लिए, वे पहले उल्लिखित 1920-1923 के ओब्रेश्कॉफ द्वारा प्रमेय के लिए निम्नलिखित उपसंहार का उपयोग करते हैं; अर्थात, निम्नलिखित उपसंहार आवश्यक शर्तें देता है जिसके तहत एक सकारात्मक मूल के साथ एक बहुपद के गुणांक के अनुक्रम में बिल्कुल एक संकेत भिन्नता होती है; संबंधित आंकड़ा भी देखें। कोरोलरी। (ओब्रेश्कॉफ की शंकु या क्षेत्र प्रमेय, 1920-1923 p. 81): यदि एक वास्तविक बहुपद का एक सरल मूल है, और अन्य सभी (संभवतः कई) मूल इस क्षेत्र में स्थित हैं, तो इसके गुणांकों के अनुक्रम में बिल्कुल एक संकेत भिन्नता है। अब मोबियस परिवर्तन और संबंधित आकृति में दिखाए गए तीन वृत्तों पर विचार करें; मान लें कि (पीला) वृत्त जिसका व्यास वास्तविक अक्ष पर अंतिम बिंदुओं के साथ स्थित है और काल्पनिक अक्ष पर व्युत्क्रम मोबियस परिवर्तन द्वारा मैप किया गया है। उदाहरण के लिए बिंदु को बिंदु पर मैप किया जाता है बाहरी बिंदुओं को अर्ध-तल पर मैप किया जाता है। केंद्र और त्रिज्या के साथ दो वृत्त (केवल उनके नीले अर्धचंद्र दिखाई देते हैं) को रेखाओं पर व्युत्क्रम मोबियस परिवर्तन द्वारा मैप किया जाता है। उदाहरण के लिए बिंदु को इस बिंदु पर मैप किया जाता है बाहरी बिंदु (जो आठ आकार की आकृति के बाहर हैं) क्षेत्र पर मैप किए जाते हैं। उपरोक्त से यह स्पष्ट हो जाता है कि यदि किसी बहुपद का आठ आकार की आकृति के अंदर एक ही धनात्मक मूल है और अन्य सभी मूल उसके बाहर हैं, तो यह अपने गुणांकों के अनुक्रम में एक संकेत भिन्नता प्रस्तुत करता है। यह प्रक्रिया की समाप्ति की भी गारंटी देता है। ऐतिहासिक पृष्ठभूमि विन्सेंट के प्रमेय के प्रारंभिक अनुप्रयोग अपने मौलिक पत्रों में, विन्सेंट ने ऐसे उदाहरण प्रस्तुत किए जो स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि निरंतर अंशों के साथ बहुपदों के वास्तविक मूल को अलग करने के लिए अपने प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाए। हालाँकि परिणामी विधि में घातीय कंप्यूटिंग समय था, एक तथ्य यह है कि गणितविदों को तब एहसास हुआ होगा, जैसा कि एक सदी बाद उसपेन्स्की पी. 136 द्वारा महसूस किया गया था। विन्सेंट के एल्गोरिथ्म की घातीय प्रकृति आंशिक भागफल एआई (विन्सेंट के प्रमेय में) की गणना के तरीके के कारण है। अर्थात्, प्रत्येक आंशिक भागफल एइ की गणना करने के लिए (अर्थात, यह पता लगाने के लिए कि एक्स-अक्ष पर जड़ें कहाँ स्थित हैं) विन्सेंट बुडन के प्रमेय का उपयोग "कोई मूल परीक्षण नहीं" के रूप में करता है; दूसरे शब्दों में, एक मूल के पूर्णांक भाग को खोजने के लिए विन्सेंट एक्स-एक्स + 1 रूप के क्रमिक प्रतिस्थापन करता है और केवल तभी रुकता है जब बहुपद पी (एक्स) और पी (एक्स + 1) अपने गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या में भिन्न होते हैं। जब पी (x + 1) के संकेत भिन्नताओं की संख्या कम हो जाती है। संबंधित आरेख देखें जहाँ मूल अंतराल (5,6) में स्थित है। यह आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है कि, यदि मूल मूल से बहुत दूर है, तो अपने पूर्णांक भाग को इस तरह से खोजने में बहुत समय लगता है, इसलिए विन्सेंट की विधि की घातीय प्रकृति है। नीचे इस बात की व्याख्या की गई है कि इस कमी को कैसे दूर किया जाता है। विन्सेन्ट के प्रमेय का गायब होना विन्सेन्ट 19वीं शताब्दी में अंतिम लेखक थे जिन्होंने एक बहुपद के वास्तविक मूल के अलगाव के लिए अपने प्रमेय का उपयोग किया था। इसका कारण 1827 में स्टर्म की प्रमेय की उपस्थिति थी, जिसने बहुपद समय में वास्तविक मूल अलगाव समस्या को हल किया, एक बहुपद के वास्तविक मूल की सटीक संख्या को वास्तविक खुले अंतराल (ए, बी) में परिभाषित करके। बहुपदों की वास्तविक जड़ों की गणना के लिए परिणामी (स्टर्म की) विधि व्यापक रूप से ज्ञात और उपयोग की जाने वाली एकमात्र विधि रही है-लगभग 1980 तक, जब इसे विन्सेंट के प्रमेय से प्राप्त विधियों द्वारा (लगभग सभी कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में) प्रतिस्थापित किया गया था, सबसे तेज़ विन्सेंट-प्राकृतस-स्ट्रज़ेबोन्स्की (वी. ए. एस.) विधि है। सेरेट ने अपने बीजगणित, पीपी 363-368, विन्सेंट के प्रमेय को इसके प्रमाण के साथ शामिल किया और सभी इच्छुक पाठकों को विन्सेंट के शोध पत्रों के उदाहरणों के लिए निर्देशित किया कि इसका उपयोग कैसे किया जाता है। सेरेट 19वीं शताब्दी में विन्सेंट के प्रमेय का उल्लेख करने वाले अंतिम लेखक थे। 20वीं शताब्दी में विन्सेंट के प्रमेय को समीकरण पुस्तकों के किसी भी सिद्धांत में नहीं पाया जा सकता है; केवल अपवाद उस्पेन्स्की और ओब्रेश्कॉफ की पुस्तकें हैं, जहां दूसरे में केवल प्रमेय का कथन है। यह उसपेन्स्की की पुस्तक में था कि अक्रितास ने विन्सेंट की प्रमेय की खोज की और इसे अपने पीएचडी थीसिस "विन्सेंट की प्रमेय बीजगणितीय हेरफेर में", नॉर्थ कैरोलिना स्टेट यूनिवर्सिटी, यूएसए, 1978 का विषय बनाया। उस समय एक बड़ी उपलब्धि 1836 के विन्सेंट के मूल पेपर को पकड़ना था, कुछ ऐसा जो उसपेन्स्की से बच गया था-जिसके परिणामस्वरूप एक बड़ी गलतफहमी हुई थी। 1836 का विन्सेंट का मूल शोध-पत्र संयुक्त राज्य अमेरिका के विस्कॉन्सिन-मैडिसन विश्वविद्यालय के पुस्तकालय में एक लाइब्रेरियन के सराहनीय प्रयासों (अंतर-पुस्तकालय ऋण) के माध्यम से अक्रितास को उपलब्ध कराया गया था। विन्सेन्ट के प्रमेय से प्राप्त वास्तविक मूल पृथक्करण विधियाँ एक बहुपद के वास्तविक मूलों का पृथक्करण खुले असंबद्ध अंतरालों को खोजने की प्रक्रिया है जैसे कि प्रत्येक में बिल्कुल एक वास्तविक मूल होता है और प्रत्येक वास्तविक मूल कुछ अंतराल में निहित होता है। 19वीं शताब्दी के गणित के फ्रांसीसी स्कूल के अनुसार, यह वास्तविक जड़ों की गणना करने का पहला कदम है, दूसरा किसी भी हद तक सटीकता के लिए उनका अनुमान है; इसके अलावा, सकारात्मक जड़ों पर ध्यान केंद्रित किया जाता है, क्योंकि बहुपद p (x) के नकारात्मक मूल को अलग करने के लिए x को −x (x) से प्रतिस्थापित करें और प्रक्रिया को दोहराएं। विन्सेन्ट के प्रमेय के निरंतर अंश संस्करण का उपयोग डिग्री डीग (पी) के दिए गए बहुपद पी (एक्स) के सकारात्मक मूल को अलग करने के लिए किया जा सकता है। इसे देखने के लिए, मोबियस परिवर्तन द्वारा निरंतर अंश का प्रतिनिधित्व करें जो अपने गुणांक के अनुक्रम में एक संकेत भिन्नता के साथ एक परिवर्तित बहुपद की ओर ले जाता है। फिर, f (x) का एकल धनात्मक मूल (अंतराल (0, φ) में) p (x) के उस धनात्मक मूल से मेल खाता है जो अंतिम बिंदुओं और के साथ खुले अंतराल में है। ये अंतिम बिंदु क्रमबद्ध नहीं हैं और क्रमशः एम (0) और एम (φ) के अनुरूप हैं। इसलिए, एक बहुपद के धनात्मक मूल को अलग करने के लिए, जो कुछ भी किया जाना चाहिए वह है-प्रत्येक मूल के लिए-संबंधित मोबियस परिवर्तन के चर a, b, c, d की गणना करना जो समीकरण () में एक परिवर्तित बहुपद की ओर ले जाता है, जिसमें इसके गुणांक के अनुक्रम में एक संकेत भिन्नता होती है। महत्वपूर्ण अवलोकनः एक मोबियस परिवर्तन के चर ए, बी, सी, डी (विंसेंट के प्रमेय में) एक परिवर्तित बहुपद की ओर ले जाते हैं-जैसा कि समीकरण () में-इसके गुणांकों के अनुक्रम में एक संकेत भिन्नता के साथ गणना की जा सकती हैः या तो निरंतर अंशों द्वारा, जो विन्सेंट-प्राकृत-स्ट्रज़ेबोन्स्की (वी. ए. एस.) निरंतर अंश विधि की ओर ले जाता है, या द्विभाजन द्वारा, (दूसरों के बीच) विन्सेंट-कॉलिन्स-प्राकृत (वी. सी. ए.) द्विभाजन विधि की ओर ले जाता है। इस सभी महत्वपूर्ण अवलोकन का "द्विभाजन भाग" एलेसिना और गलुज़ी के शोध पत्रों में एक विशेष प्रमेय के रूप में दिखाई दिया। नीचे वर्णित सभी विधियों (उनकी ऐतिहासिक पृष्ठभूमि के लिए बुडन के प्रमेय पर लेख देखें) को विचाराधीन बहुपद के सकारात्मक मूल के मूल्यों पर (एक बार) एक ऊपरी सीमा, यू. बी. की गणना करने की आवश्यकता है। अपवाद वी. ए. एस. विधि है जहाँ अतिरिक्त रूप से निचली सीमा, एल. बी., की गणना मुख्य लूप के लगभग हर चक्र पर की जानी चाहिए। बहुपद p (x) के निचले बाउंड lb की गणना करने के लिए बहुपद के ऊपरी बाउंड ub की गणना करें और सेट करें। डोरू स्टेफनेस्कू के पिछले काम के आधार पर अक्रितास, स्ट्रेज़ेबोन्स्की और विगक्लास द्वारा बहुपदों की केवल सकारात्मक जड़ों के मूल्यों पर उत्कृष्ट (ऊपरी और निचले) सीमाएँ विकसित की गई हैं। इनका वर्णन पी. एस. विगक्लास के पी. एच. डी. थीसिस और अन्य जगहों पर किया गया है। ये सीमाएँ पहले से ही कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों मैथेमेटिका, सेजमैथ, सिम्पाई, एक्सकैस आदि में लागू की जा चुकी हैं। नीचे वर्णित तीनों विधियाँ फ्रांस्वा बोलियर, पृष्ठ 24 की उत्कृष्ट प्रस्तुति का अनुसरण करती हैं। निरंतर अंश विधि केवल एक निरंतर अंश विधि विन्सेंट के प्रमेय से प्राप्त होती है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह 1830 के दशक में शुरू हुआ जब विन्सेंट ने पत्रों में कई उदाहरण प्रस्तुत किए जो बताते हैं कि निरंतर अंशों के साथ बहुपदों के वास्तविक मूल को अलग करने के लिए उनके प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाए। हालाँकि परिणामी विधि में घातीय गणना समय था। यह विधि कैसे विकसित हुई, इसका विवरण नीचे दिया गया है। विन्सेन्ट-अक्रितास-स्ट्रज़ेबोन्स्की (वी. ए. एस., 2005) विन्सेन्ट की विधि के घातीय व्यवहार को संभालने के लिए विकसित यह दूसरी विधि (वी. सी. ए. के बाद) है। वी. ए. एस. निरंतर अंश विधि विन्सेन्ट के प्रमेय का प्रत्यक्ष कार्यान्वयन है। यह मूल रूप से विन्सेंट द्वारा 1834 से 1938 तक पत्रों में एक घातीय रूप में प्रस्तुत किया गया था; अर्थात्, विन्सेंट ने प्रत्येक आंशिक भागफल की गणना इकाई वृद्धि की एक श्रृंखला द्वारा की थी, जो x-x + 1 रूप के प्रतिस्थापन के बराबर हैं। विन्सेन्ट की विधि को अक्रितास द्वारा इसके बहुपद जटिलता रूप में परिवर्तित किया गया था, जिन्होंने अपने 1978 के पीएच. डी. थीसिस (विन्सेन्ट की बीजगणितीय हेरफेर में प्रमेय, नॉर्थ कैरोलिना स्टेट यूनिवर्सिटी, यू. एस. ए.) में प्रत्येक आंशिक भागफल की गणना एक बहुपद के सकारात्मक मूल के मूल्यों पर निचली सीमा, एल. बी. के रूप में की थी। इसे आदर्श धनात्मक निम्न मूल सीमा कहा जाता है जो सबसे छोटे धनात्मक मूल के पूर्णांक भाग की गणना करता है (संबंधित आंकड़ा देखें)। समझ में आने के लिए, अब एआई-एलबी सेट करें या, समकक्ष रूप से, प्रतिस्थापन एक्स-एक्स + एलबी करें, जो प्रतिस्थापन एक्स-एक्स + 1 के समान समय लेता है। अंत में, चूंकि आदर्श धनात्मक निचली जड़ सीमा मौजूद नहीं है, इसलिए स्ट्रेज़ेबोन्स्की ने 2005 में प्रतिस्थापन की शुरुआत की, जब भी; सामान्य रूप से और मान 16 को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया गया था। इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि वी. ए. एस. (निरंतर अंश) विधि वी. सी. ए. (द्विभाजन) विधि के सबसे तेज़ कार्यान्वयन की तुलना में तेज़ है, एक तथ्य जिसकी स्वतंत्र रूप से पुष्टि की गई थी; अधिक सटीक रूप से, उच्च डिग्री वी. ए. एस. के मिग्नोटे बहुपदों के लिए वी. सी. ए. के सबसे तेज़ कार्यान्वयन की तुलना में लगभग 50,000 गुना तेज़ है। 2007 में, शर्मा ने आदर्श धनात्मक निचली सीमा की परिकल्पना को हटा दिया और साबित किया कि वी. ए. एस. अभी भी समय में बहुपद है। वी. ए. एस. मैथेमेटिका, सेजमैथ, सिम्पाई, एक्सकैस में मूल अलगाव के लिए डिफ़ॉल्ट एल्गोरिथ्म है। स्टर्म की विधि और वी. ए. एस. के बीच तुलना के लिए एक्सकैस के कार्य रियलरूट (पॉली) और समय (रियलरूट (पॉली)) का उपयोग करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, पॉली रियलरूट की वास्तविक जड़ों को अलग करने के लिए वी. ए. एस. विधि का उपयोग किया जाता है; स्टर्म की विधि का उपयोग करने के लिए रियलरूट (स्टर्म, पॉली) लिखें। एंड्रॉइड उपकरणों के लिए ए. बर्काकिस द्वारा एक एप्लिकेशन के लिए बाहरी लिंक भी देखें जो एक ही काम करता है। यहाँ बताया गया है कि वी. ए. एस. (पी, एम) कैसे काम करता है, जहाँ सरलता के लिए स्ट्रेज़ेबोन्स्की का योगदान शामिल नहीं हैः मान लीजिए कि पी (एक्स) डिग्री डीग (पी) का एक बहुपद है जैसे कि पी (0)  ऒत्त 0। इसके सकारात्मक मूल को अलग करने के लिए, p (x) को मोबियस परिवर्तन M (x) = x के साथ संबद्ध करें और निम्नलिखित चरणों को दोहराएं जबकि जोड़े {p (x), M (x)} को संसाधित किया जाना है। यदि संभव हो तो पी (एक्स) पर संकेतों के डेसकार्टेस के नियम का उपयोग करें, (इसके गुणांक के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या वार का उपयोग करके) अंतराल (0, φ) के अंदर इसके मूल की संख्या। यदि कोई मूल नहीं है तो खाली समुच्चय को लौटाता है, जबकि यदि एक मूल है तो अंतराल (a, b) को लौटाता है, जहाँ a = न्यूनतम (M (0), M (≤)), और b = अधिकतम (M (0), M (≤)); यदि b = ≤ समुच्चय b = ub है, जहाँ ub, p (x) के धनात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा है। यदि दो या दो से अधिक संकेत भिन्नताएँ हैं तो डेसकार्टेस के संकेतों के नियम का तात्पर्य है कि अंतराल (0, φ) के अंदर शून्य, एक या अधिक वास्तविक मूल हो सकते हैं; इस मामले में अंतराल (0,1) के अंदर स्थित p (x) के मूल को अंतराल (1, φ) के अंदर के मूल से अलग से विचार करें। 1 के लिए एक विशेष परीक्षण किया जाना चाहिए। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंतराल (0,1) आदर्श निचली सीमा के अंदर मूल हैं, lb का उपयोग किया जाता है; यानी सबसे छोटे सकारात्मक मूल के पूर्णांक भाग की गणना निचली सीमा की मदद से, p (x) के सकारात्मक मूल के मूल्यों पर की जाती है। यदि, प्रतिस्थापन को पी (एक्स) और एम (एक्स) के लिए किया जाता है, जबकि यदि मूल (एस) के पूर्णांक भाग को खोजने के लिए प्रतिस्थापन (एस) का उपयोग करें। अंतराल (0,1) के भीतर जड़ों की गणना करने के लिए p (x) और M (x) के प्रतिस्थापन को निष्पादित करें और जोड़े को संसाधित करें जबकि अंतराल (1, φ) में जड़ों की गणना करने के लिए x → x + 1 से p (x) और M (x) को प्रतिस्थापित करें और जोड़ी {p (1 + x), M (1 + x)} को संसाधित करें। यह अच्छी तरह से पता चल सकता है कि 1, p (x) का मूल है, इस मामले में, M (1) मूल बहुपद का मूल है और अलगाव अंतराल एक बिंदु तक कम हो जाता है। नीचे वी. ए. एस. (पी, एम) की एक पुनरावर्ती प्रस्तुति दी गई है। वीएएस (पी, एम): इनपुटः एक अविभाज्य, वर्ग-मुक्त बहुपद, डिग्री डीग (पी) का, और मोबियस परिवर्तन आउटपुटः पी (एक्स) के सकारात्मक मूल के पृथक अंतराल की एक सूची। p (x)// डेसकार्टेस के संकेतों के नियम के संकेत भिन्नताओं की संख्या; 2 यदि वार = 0 है तो वापसी; 3 यदि वार = 1 है तो वापसी {(a, b)}// a = न्यूनतम (M (0), M (≤)), b = अधिकतम (M (0), M (≤)), लेकिन यदि b = ≤ सेट b = ub है, जहां ub, p (x) के सकारात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा है; 4 lb-p (x) के सकारात्मक मूल पर आदर्श निचली सीमा; 5 यदि lb ≤ 1 तो p (x + lb) 8 p1 ≤ p (x + 1), M1 ≤ M (x + 1)// (1, ≤) में वास्तविक जड़ों की तलाश करें; 9 यदि p (1) ≤ 0 तो 10 RETURN VAS (p01, M01) ≤ VAS (p1 ≤, M1 ≤) 11 अन्य 12 RETURN VAS (p01, M01) ≤ {[[m, m]} ≤ VAS (p1 ≤, M1 ≤) 13 अंत टिप्पणियाँ सरलता के लिए Strzebonski का योगदान शामिल नहीं है। उपरोक्त एल्गोरिथ्म में प्रत्येक बहुपद के साथ एक मोबियस परिवर्तन M (x) जुड़ा हुआ है। पंक्ति 1 में डेसकार्टेस का संकेत नियम लागू किया गया है। यदि रेखा 4 और 5 को वी. ए. एस. (पी, एम) से हटा दिया जाता है तो परिणामी एल्गोरिथ्म विन्सेंट का घातीय है। बहुपद p (x) पर किया गया कोई भी प्रतिस्थापन संबंधित मोबियस परिवर्तन M (x) (रेखा 56 और 8) पर भी किया जाता है। पृथक अंतराल की गणना पंक्ति 3 में मोबियस परिवर्तन से की जाती है, केवल पंक्ति 7 (12 भी) में गणना किए गए पूर्णांक मूल को छोड़कर। वी. ए. एस. (पी, एम) का उदाहरण हम वी. ए. एस. विधि को लागू करते हैं (ध्यान दें किः)। पुनरावृत्ति 1 वी. ए. एस. (x3−7x + 7, x) 1 वार2// पी. (x) = x3−7x + 74 एल. बी. के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या// आदर्श निचली सीमा-एल. बी. संगणित और प्रतिस्थापन (एस) x. का उपयोग करके पाया जाता है। पुनरावृत्ति 2 वी. ए. एस. (x3 − x2 − 2x + 1,) 1 वार ≤ 2// पी (एक्स) = x3 − x2 − 2x + 1 4 एल. बी. ≤ 0// के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या आदर्श निचली सीमा-एल. बी. संगणित और प्रतिस्थापन (एस) x ≤ x + 1 6 पी01 ≤ x3 + x2 − 2x − 1, एम01 ≤ 7 एम. ≤ 8 पी1 ≤ x3 + 2x2 − x − 1, एम1 ≤ ≤ 10 रीटर्न वी. ए. एस. (x3 + x2 − 2x − 1,) का उपयोग करके पाया जाता है। पुनरावृत्ति 3 वी. ए. एस. (x3 + x2−2x−1,) 1 वार 1// पी (x) = x3 + x2−23 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या अलगाव अंतरालों की सूचीः संसाधित किए जाने वाले जोड़े की सूचीः पहले को निकालें और इसे संसाधित करें। पुनरावृत्ति 4 वी. ए. एस. (x3 + 2x2 − x−1,) 1 वार 1// पी (x) = x3 + 2x2 − x−13 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या वापसी {(1,)} अलगाव अंतरालों की सूचीः संसाधित किए जाने वाले जोड़े की सूचीः पहले को निकालें और इसे संसाधित करें। पुनरावृत्ति 5 वी. ए. एस. (x3 + 6x2 + 5x + 1, x + 2) 1 वार. पी. (x) = x3 + 6x2 + 5x + 1 2 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या। समाप्त हो गया। निष्कर्ष इसलिए, बहुपद के दो सकारात्मक मूल अलगाव अंतराल और} के भीतर स्थित हैं। प्रत्येक जड़ को (उदाहरण के लिए) अलगाव अंतराल को द्विभाजित करके अनुमानित किया जा सकता है जब तक कि अंतिम बिंदुओं का अंतर उससे छोटा न हो; इस दृष्टिकोण का पालन करते हुए, जड़ें और निकलती हैं। विन्सेन्ट के प्रमेय से प्राप्त विभिन्न द्विभाजन विधियाँ हैं; उन सभी को कहीं और प्रस्तुत और तुलना की जाती है। यहाँ उनमें से दो सबसे महत्वपूर्ण का वर्णन किया गया है, अर्थात्, विन्सेंट-कॉलिन्स-प्राकृत (वी. सी. ए.) विधि और विन्सेंट-अलेसिना-गलूज़ी (वी. ए. जी.) विधि। विन्सेन्ट-अलेसिना-गलूज़ी (वी. ए. जी.) विधि विन्सेन्ट के प्रमेय से प्राप्त सभी विधियों में सबसे सरल है, लेकिन यह निर्धारित करने के लिए सबसे अधिक समय लेने वाला परीक्षण (पंक्ति 1 में) है कि क्या एक बहुपद की जड़ें ब्याज के अंतराल में हैं; यह इसे इस लेख में प्रस्तुत विधियों में सबसे धीमी बनाता है। इसके विपरीत, विंसेंट-कॉलिन्स-प्राकृत (वी. सी. ए.) विधि अधिक जटिल है लेकिन वी. ए. जी. की तुलना में एक सरल परीक्षण (पंक्ति 1 में) का उपयोग करती है। इसने कुछ सुधारों के साथ वी. सी. ए. को सबसे तेज़ द्विभाजन विधि बना दिया है। विन्सेंट-कॉलिन्स-प्राकृतस (वी. सी. ए., 1976) विन्सेंट के मूल दृष्टिकोण की घातीय प्रकृति को दूर करने के लिए विकसित की गई यह पहली विधि थी, और जहां तक इसके नाम का संबंध है, इसका काफी दिलचस्प इतिहास रहा है। यह विधि, जो डेसकार्टेस के संकेतों के नियम और विंसेंट के प्रमेय का उपयोग करके वास्तविक जड़ों को अलग करती है, को मूल रूप से इसके आविष्कारक कॉलिन्स और अक्रितास द्वारा संशोधित उस्पेन्स्की का एल्गोरिथ्म कहा गया था। "कॉलिन्स-प्राकृत विधि" और "डेसकार्टेस विधि" जैसे नामों को देखने के बाद (अगर कोई फ़ोरियर के लेख पर विचार करता है तो बहुत भ्रमित करने वाला), यह अंत में लिली विश्वविद्यालय के फ्रांस्वा बोलियर थे, जिन्होंने इसे विंसेंट-कॉलिन्स-प्राकृत (वीसीए) विधि, पृष्ठ 24 नाम दिया, इस तथ्य के आधार पर कि "उस्पेन्स्की की विधि" मौजूद नहीं है और न ही "डेसकार्टेस विधि" मौजूद है। इस विधि का सबसे अच्छा कार्यान्वयन राउलियर और ज़िमरमैन के कारण है, और आज तक, यह सबसे तेज़ द्विभाजन विधि है। इसमें स्टर्म के एल्गोरिथ्म के समान ही सबसे खराब स्थिति जटिलता है, लेकिन लगभग हमेशा बहुत तेज होती है। इसे मेपल के रूटफाइंडिंग पैकेज में लागू किया गया है। यहाँ बताया गया है कि वी. सी. ए. (पी., (ए., बी.)) कैसे काम करता हैः डिग्री डीग (पी.) के बहुपद मूल (एक्स.) को देखते हुए, जैसे कि मूल (0) 0, जिसके धनात्मक मूल को अलग किया जाना चाहिए, पहले इन धनात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा की गणना करें, यू. बी. और पी. (एक्स.) = मूल (यू. बी. * एक्स.) और (ए., बी.) = (0, यू. बी.) निर्धारित करें। पी (एक्स) के सभी सकारात्मक मूल अंतराल (0,1) में होते हैं और उनके और मूल (एक्स) के बीच एक द्विभाजन होता है, जो सभी अंतराल (ए, बी) = (0, यूबी) में होते हैं (संबंधित आंकड़ा देखें); इस द्विभाजन को α (ए, बी) = ए + α (0,1) (बी-ए) द्वारा व्यक्त किया जाता है। इसी तरह, अंतराल (0,1) और (0, यू. बी.) के बीच एक द्विभाजन है। जब जोड़े {p (x), (a, b)} को संसाधित किया जाना हो तो निम्नलिखित चरणों को दोहराएं। पी (एक्स) पर बुडन के "0 _ 1 मूल परीक्षण" का उपयोग अंतराल (0,1) के भीतर इसके मूल की संख्या की गणना करने के लिए (इसके गुणांक के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या वार का उपयोग करके) करें। यदि कोई रूट नहीं है तो खाली सेट लौटाता है, और यदि एक रूट है तो अंतराल (ए, बी) लौटाता है। यदि दो या दो से अधिक संकेत भिन्नताएँ हैं तो बुडन के "0 _ 1 मूल परीक्षण" का तात्पर्य है कि अंतराल (0,1) के भीतर शून्य, एक, दो या अधिक वास्तविक मूल हो सकते हैं। इस मामले में इसे आधे में काटें और अंतराल (0,) के भीतर पी (एक्स) की जड़ों पर अलग से विचार करें-और जो अंतराल (ए, (ए + बी) के अंदर ओरिजिन (एक्स) की जड़ों के अनुरूप हैं और अंतराल (ए + बी), बी) के अंदर ओरिजिन (एक्स) की जड़ों के अनुरूप हैं; यानी, क्रमशः प्रक्रिया, जोड़े (संबंधित आंकड़ा देखें)। यह अच्छी तरह से पता चल सकता है कि यह p (x) का मूल है, जिस स्थिति में (a + b) मूल (x) का मूल है और अलगाव अंतराल एक बिंदु तक कम हो जाता है। नीचे मूल एल्गोरिथ्म वीसीए (पी, (ए, बी)) की एक पुनरावर्ती प्रस्तुति दी गई है। वी. सी. ए. (पी., (ए., बी.)) इनपुटः एक अविभाज्य, वर्ग-मुक्त बहुपद पी. (यू. बी. * एक्स.), पी. (0), डिग्री डीग (पी.) का 0, और खुला अंतराल (ए., बी.) = (0, यू. बी.), जहां यू. बी. पी. (एक्स.) के धनात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा है। (पी (यूबी * एक्स) के सकारात्मक मूल सभी खुले अंतराल (0,1) में हैं)। आउटपुटः पी (एक्स) 1 वार के सकारात्मक जड़ों के अलग-अलग अंतरालों की सूची-(एक्स + 1) डीग (पी) पी ()// बुडन के "0 _ 1 मूल परीक्षण" के संकेत भिन्नताओं की संख्या; 2 यदि वार = 0 है तो वापस करें; 3 यदि वार = 1 है तो वापस करें {(ए, बी)}; 4 पी 0-2डीग (पी) पी ()// में वास्तविक मूल देखें; 5 एम-(ए + बी)/क्या एक मूल है? (, 1) में वास्तविक मूल देखें; 7 यदि p ()  ऒत्त 0 है तो 8 RETURN VCA (p0, (a, m)) ≤ VCA (p1, (m, b)) 9 और 10 RETURN VCA (p0, (a, m)) ≤ {[m, m]} ≤ VCA (p1, (m, b)) 11 अंत टिप्पणी उपरोक्त एल्गोरिथ्म में प्रत्येक बहुपद के साथ एक अंतराल (a, b) जुड़ा हुआ है। जैसा कि कहीं और दिखाया गया है, पी. 11, एक मोबियस परिवर्तन को प्रत्येक बहुपद के साथ भी जोड़ा जा सकता है, जिस स्थिति में वी. सी. ए. अधिक वी. ए. एस. जैसा दिखता है। पंक्ति 1 में बुडन का "0 _ 1 मूल परीक्षण" लागू किया जाता है। वी. सी. ए. (पी, (ए, बी)) का उदाहरण बहुपद को देखते हुए और सकारात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा के रूप में विचार करते हुए वी. सी. ए. विधि के तर्क हैंः और। (x + 1) 3p () = 7x3−7x2−35x + 434 p0·64x3−112x + 565 m·26 p1·64x3 + 192x2 + 80x + 8 7 p () = 1 8 RETURN VCA (64x3−112x + 56, (0,2)) ≤ VCA (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) अलगाव अंतरालों की सूचीः संसाधित किए जाने वाले जोड़े की सूचीः पहले को हटाएं और इसे संसाधित करें। पुनरावृत्ति 2 वी. सी. ए. (64x3 −112x + 56, (0,2)) 1 वार/2// (x + 1) 3p () = 56x3 + 56x2 − 56x + 8 4 p0 = 64x3 − 448x + 448 5 m = 8 RETURN वी. सी. ए. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) ≤ वी. सी. ए. (64x3 + 192x2 − 256x + 64, (1,2)) पुनरावृत्ति 3 वी. सी. ए. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) 1 वार (x + 1) 3p () = 448x3 + 896x2 + 448x + 642 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या। पुनरावृत्ति 4 वी. सी. ए. (64x3 + 192x2 −256x + 64, (1,2)) 1 वार 2// (x + 1) 3p () = 64x3 −64x2 −128x + 64 4 p0 → 64x3 + 384x2 − 1024x + 5125 m → 6 p1 → 64x3 + 576x2 − 64x + 64 7 p () = − 8 रीटर्न वी. सी. ए. (64x3 + 384x2 − 1024x + 512, (1,)) ¥ वी. सी. ए. (64x3 + 57) के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या। पुनरावृत्ति 5 वी. सी. ए. (64x3 + 384x2 −1024x + 512, (1,)) 1 वार 1// (x + 1) 3p () = 512x3 + 512x2 − 128x − 64 3 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या अलगाव अंतरालों की सूचीः संसाधित किए जाने वाले जोड़े की सूचीः पहले को निकालें और इसे संसाधित करें। पुनरावृत्ति 6 वी. सी. ए. (64x3 + 576x2 − 64x−64, (, 2)) 1 वार 1// गुणांक के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या (x + 1) 3p () = −64x3 − 256x2 + 256x + 5123 RETURN {(, 2)} अलगाव अंतरालों की सूचीः संसाधित किए जाने वाले जोड़े की सूचीः पहले को हटाएं और इसे संसाधित करें। पुनरावृत्ति 7 वी. सी. ए. (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) (x + 1) 3p () = 8x3 + 104x2 + 376x + 344 2 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या अलगाव अंतरालों की सूचीः संसाधित किए जाने वाले जोड़े की सूचीः समाप्त हो गया। निष्कर्ष इसलिए, बहुपद के दो सकारात्मक मूल अलगाव अंतराल और} के भीतर स्थित हैं। प्रत्येक जड़ को (उदाहरण के लिए) अलगाव अंतराल को द्विभाजित करके अनुमानित किया जा सकता है जब तक कि अंतिम बिंदुओं का अंतर उससे छोटा न हो; इस दृष्टिकोण का पालन करते हुए, जड़ें और निकलती हैं। विन्सेन्ट-अलेसिना-गलूज़ी (वी. ए. जी., 2000) इसे अंतिम बार विकसित किया गया था और विन्सेन्ट के प्रमेय से प्राप्त सबसे सरल वास्तविक मूल अलगाव विधि है। यहाँ बताया गया है कि वीएजी (पी, (ए, बी)) कैसे काम करता हैः डिग्री डिग (पी) के एक बहुपद पी (एक्स) को देखते हुए, जैसे कि पी (0) 0, जिसके सकारात्मक मूल को अलग किया जाना चाहिए, पहले इन सकारात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा की गणना करें, यूबी और सेट करें (ए, बी) = (0, यूबी)। पी (एक्स) के सभी सकारात्मक मूल अंतराल (ए, बी) में स्थित हैं। निम्नलिखित चरणों को दोहराएं जब तक कि अंतराल (ए, बी) को संसाधित किया जाना है; इस मामले में बहुपद पी (एक्स) समान रहता है। अंतराल (ए, बी) के भीतर इसकी जड़ों की संख्या की गणना करने के लिए (इसके गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या वार का उपयोग करके) पी (एक्स) पर एलेसिना-गलूज़ी "ए _ बी मूल परीक्षण" का उपयोग करें। यदि कोई रूट नहीं है तो खाली सेट लौटाता है, और यदि एक रूट है तो अंतराल (ए, बी) लौटाता है। यदि दो या दो से अधिक संकेत भिन्नताएँ हैं तो एलेसिना-गलूज़ी "ए _ बी मूल परीक्षण" का तात्पर्य है कि अंतराल (ए, बी) के अंदर शून्य, एक, दो या अधिक वास्तविक मूल हो सकते हैं। इस मामले में इसे आधे में काटें और अंतराल (a, (a + b)) के भीतर p (x) के मूल को अंतराल (a + b), b) के अंदर के मूल से अलग से विचार करें; अर्थात, प्रक्रिया, क्रमशः, अंतराल (a, (a + b)) और (a + b), b)। यह अच्छी तरह से पता चल सकता है कि (a + b) p (x) का मूल है, जिस स्थिति में अलगाव अंतराल एक बिंदु तक कम हो जाता है। नीचे वी. ए. जी. (पी, (ए, बी)) की एक पुनरावर्ती प्रस्तुति दी गई है। वी. ए. जी. (पी., (ए., बी.)) इनपुटः एक अविभाज्य, वर्ग-मुक्त बहुपद पी. (एक्स.), पी. (0), डिग्री डीग (पी.) का 0 और खुला अंतराल (ए., बी.) = (0, यू. बी.), जहां यू. बी. पी. (एक्स.) के धनात्मक मूल के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा है। आउटपुटः पी (एक्स) के सकारात्मक मूल के पृथक अंतराल की एक सूची। (x + 1) डीग (p) p ()// एलेसिना-गलूज़ी "a _ b मूल परीक्षण" के संकेत भिन्नताओं की संख्या; 2 यदि वार = 0 तो वापसी; 3 यदि वार = 1 तो वापसी {(a, b)}; 4 m → (a + b)// अंतराल (a, b) को दो बराबर भागों में विभाजित करें; 5 यदि p (m) ≤ 0 तो 6 वापसी VAG (p, (a, m)) ≤ VAG (p, (p, (m, b)) 7 और 8 वापसी VAG (p, (p, (a, m)) ≤ जैसा कि अलेसिना और गैलुज़ी बताते हैं, पृष्ठ 189, डोनाटो सैली के कारण इस एल्गोरिथ्म का एक प्रकार है। सेली ने सुझाव दिया कि अंतिम बिंदुओं के मध्यस्थ का उपयोग उनके मध्य बिंदु के बजाय किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि अंतिम बिंदुओं के मध्यस्थ का उपयोग करना सामान्य रूप से "मध्य-बिंदु" संस्करण की तुलना में बहुत धीमा है। VAG (p, (a, b)) का उदाहरण बहुपद p (x) = x3 − 7x + 7 को देखते हुए और धनात्मक मूल ub = 4 के मूल्यों पर एक ऊपरी सीमा के रूप में विचार करते हुए VAG के तर्क हैंः p (x) = x3 − 7x + 7 और (a, b) = (0,4)। पुनरावृत्ति (x + 1) 3p () = 43x3 −35x2 −7x + 7 4 m (0 + 4) = 2,5 p (m) = 1 8 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या (x3 −7x + 7, (0,2)) ≤ VAG (x3 −7x + 7, (2,4) अलगाव अंतरालों की सूचीः {} संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः {(0,2), (2,4)}। पहले को हटा दें और इसे प्रोसेस करें। पुनरावृत्ति 2 वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (0,2)) 1 वार-2// (x + 1) 3 पी. () = x3−7x2 + 7x + 7 4 एम. (0 + 2) = 1 5 पी. (एम.) = 1 8 रीटर्न वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (0,1)) ≤ वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (1,2) अलगाव अंतरालों की सूचीः {} के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या। संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः {(0,1), (1,2), (2,4)}। पहले को हटा दें और इसे प्रोसेस करें। पुनरावृत्ति 3 वी. ए. जी. (x3 − 7x + 7, (0,1)) (x + 1) 3p () = x3 + 7x2 + 14x + 72 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या अलगाव अंतरालों की सूचीः {}। संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः {(1,2), (2,4)}। पहले को हटा दें और इसे प्रोसेस करें। पुनरावृत्ति 4 वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (1,2)) 1 वार-2// (x + 1) 3 पी. () = x3−2x2−x + 1 4 एम.-(1 + 2) = 5 पी. (एम.) = −8 रीटर्न वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (1,)) ≤ वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (, 2)) अलगाव अंतरालों की सूचीः {} के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या। संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः {(1,), (, 2), (2,4)}। पहले को हटा दें और इसे प्रोसेस करें। पुनरावृत्ति 5 वी. ए. जी. (x3 − 7x + 7, (1,)) 1 वार 1// 23 (x + 1) 3p () = x3 + 2x2 − 8x − 8 3 वापसी (1,) के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या अलगाव अंतराल की सूचीः {(1,)}। संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः {(, 2), (2,4)}। पहले को हटा दें और इसे प्रोसेस करें। पुनरावृत्ति 6 वी. ए. जी. (x3−7x + 7, (, 2)) 1 वार 1// 23 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या (x + 1) 3p () = 8x3 + 4x2 − 4x−13 वापसी (, 2) अलगाव अंतरालों की सूचीः {(1,), (, 2)}। संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः {(2,4)} पहले को हटा दें और इसे प्रोसेस करें। पुनरावृत्ति 7 वी. ए. जी. (x3 − 7x + 7, (2,4)) (x + 1) 3p () = 344x3 + 376x2 + 104x + 8 2 के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या अलगाव अंतरालों की सूचीः {(1,), (, 2)}। संसाधित किए जाने वाले अंतरालों की सूचीः यु। समाप्त हो गया। निष्कर्ष इसलिए, बहुपद के दो सकारात्मक मूल अलगाव अंतराल और} के भीतर स्थित हैं। प्रत्येक जड़ को (उदाहरण के लिए) अलगाव अंतराल को द्विभाजित करके अनुमानित किया जा सकता है जब तक कि अंतिम बिंदुओं का अंतर उससे छोटा न हो; इस दृष्टिकोण का पालन करते हुए, जड़ें और निकलती हैं। बहुपद जड़ों के गुण भी देखें रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम विटा के सूत्र न्यूटन की विधि संदर्भ बाहरी लिंक बर्काकिस, एंटोनिसः रियलरूट्स, एंड्रॉइड उपकरणों के लिए स्टर्म की विधि और वीएएस https://play.google.com/store/apps/details?id=org.kde.necessitas.berkakis.realroots गणितीय प्रमेयों की तुलना करने के लिए एक मुफ्त ऐप है।