Cycle graph (algebra)
समूह सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित का एक उपक्षेत्र, एक समूह चक्र ग्राफ एक समूह के विभिन्न चक्रों को दर्शाता है और विशेष रूप से छोटे सीमित समूहों की संरचना की कल्पना करने में उपयोगी है। एक चक्र किसी दिए गए समूह तत्व a की शक्तियों का समूह है, जहाँ एक, एक तत्व a की n-th शक्ति को एक के गुणन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। तत्व ए को चक्र उत्पन्न करने के लिए कहा जाता है। एक परिमित समूह में, ए की कुछ गैर-शून्य शक्ति समूह पहचान होनी चाहिए, ई; इस तरह की सबसे कम शक्ति चक्र का क्रम है, जिसमें अलग-अलग तत्वों की संख्या है। एक चक्र ग्राफ में, चक्र को एक बहुभुज के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें शीर्ष समूह तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जोड़ने वाली रेखाएं दर्शाती हैं कि उस बहुभुज के सभी तत्व एक ही चक्र के सदस्य हैं। चक्र चक्र ओवरलैप हो सकते हैं, या उनमें पहचान के अलावा कोई समान तत्व नहीं हो सकता है। चक्र ग्राफ प्रत्येक दिलचस्प चक्र को एक बहुभुज के रूप में प्रदर्शित करता है। यदि a क्रम 6 का एक चक्र उत्पन्न करता है (या, अधिक जल्द ही, क्रम 6 है), तो a6 = e. तो a2, {a2, a4, e} की शक्तियों का सेट एक चक्र है, लेकिन यह वास्तव में कोई नई जानकारी नहीं है। इसी तरह, a5 उसी चक्र को उत्पन्न करता है जो a स्वयं करता है। इसलिए, केवल आदिम चक्रों पर विचार करने की आवश्यकता है, अर्थात् वे जो किसी अन्य चक्र के उपसमुच्चय नहीं हैं। इनमें से प्रत्येक कुछ आदिम तत्व, ए द्वारा उत्पन्न होता है। मूल समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक अंक लें। प्रत्येक आदिम तत्व के लिए, e को a से, a को a2 से,., an-1 को an, आदि से जोड़ें, जब तक कि e तक नहीं पहुंच जाता। परिणाम चक्र ग्राफ है। जब a2 = e होता है, तो a का क्रम 2 होता है (एक अंतर्वेशन है), और यह दो किनारों से e से जुड़ा होता है। जब चक्र के दो किनारों पर जोर देने का इरादा होता है, तो इसे आम तौर पर दो तत्वों के बीच एक रेखा के रूप में खींचा जाता है। गुण समूह चक्र ग्राफ के एक उदाहरण के रूप में, डायहेड्रल समूह डीएच4 पर विचार करें। इस समूह के लिए गुणन तालिका बाईं ओर दिखाई गई है, और चक्र ग्राफ दाईं ओर दिखाया गया है जिसमें ई पहचान तत्व को निर्दिष्ट करता है। गुणन तालिका में चक्र {e, a, a2, a3} पर ध्यान दें, जिसमें a4 = e है। व्युत्क्रम a − 1 = a3 भी इस चक्र का जनरेटर हैः (,, और। इसी तरह, किसी भी समूह में किसी भी चक्र में कम से कम दो जनरेटर होते हैं, और इसे किसी भी दिशा में पार किया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, एन तत्वों के साथ एक चक्र के जनरेटर की संख्या एन के यूलर φ फ़ंक्शन द्वारा दी जाती है, और इनमें से किसी भी जनरेटर को चक्र में पहले नोड के रूप में लिखा जा सकता है (पहचान ई के बगल में); या अधिक सामान्य रूप से नोड्स को अचिह्नित छोड़ दिया जाता है। दो अलग-अलग चक्र एक जनरेटर में प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं। जिन चक्रों में तत्वों की गैर-प्रमुख संख्या होती है, उनमें चक्रीय उपसमूह होते हैं जो ग्राफ में नहीं दिखाए जाते हैं। ऊपर दिए गए समूह डीएच4 के लिए, हम ए2 और ई के बीच एक रेखा खींच सकते हैं, लेकिन चूंकि ए2 एक बड़े चक्र का हिस्सा है, इसलिए यह चक्र ग्राफ का एक किनारा नहीं है। अस्पष्टता तब हो सकती है जब दो चक्र एक गैर-पहचान तत्व साझा करते हैं। उदाहरण के लिए, 8-तत्व चतुर्थक समूह में दाईं ओर दिखाया गया चक्र ग्राफ है। बीच की पंक्ति में प्रत्येक तत्व को जब स्वयं से गुणा किया जाता है तो वह-1 देता है (जहां 1 पहचान तत्व है)। इस मामले में हम चक्रों पर नज़र रखने के लिए अलग-अलग रंगों का उपयोग कर सकते हैं, हालांकि समरूपता विचार भी काम करेंगे। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, 2-तत्व चक्र के दो किनारों को आम तौर पर एक ही रेखा के रूप में दर्शाया जाता है। किसी तत्व का व्युत्क्रम उसके चक्र में उसके लिए सममित नोड है, उस प्रतिबिंब के संबंध में जो पहचान को ठीक करता है। 1950 के दशक की शुरुआत में संख्या सिद्धांतकार डैनियल शैंक्स द्वारा अवशेष वर्गों के गुणक समूहों का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण के रूप में इतिहास चक्र ग्राफ की जांच की गई थी। शैंक्स ने पहली बार इस विचार को 1962 में अपनी पुस्तक सॉल्व्ड एंड अनसोल्व्ड प्रॉब्लेम्स इन नंबर थ्योरी के पहले संस्करण में प्रकाशित किया था। पुस्तक में, शैंक्स जांच करते हैं कि किन समूहों में समरूपी चक्र ग्राफ हैं और कब एक चक्र ग्राफ समतल है। 1978 के दूसरे संस्करण में, शैंक्स वर्ग समूहों पर अपने शोध और बेबी-स्टेप जायंट-स्टेप विधि के विकास पर प्रतिबिंबित करते हैंः साइकिल ग्राफ का उपयोग नाथन कार्टर की 2009 की परिचयात्मक पाठ्यपुस्तक विजुअल ग्रुप थ्योरी में एक शैक्षणिक उपकरण के रूप में किया जाता है। विशेष समूह परिवारों की ग्राफ विशेषताएँ कुछ समूह प्रकार विशिष्ट ग्राफ देते हैंः चक्रीय समूह Zn, क्रम n, एक एकल चक्र है जिसे केवल शीर्ष पर तत्वों के साथ एक n-पक्षीय बहुभुज के रूप में ग्राफ किया जाता हैः जब n एक अभाज्य संख्या है, तो रूप (Zn) m के समूहों में n-तत्व चक्र होंगे जो पहचान तत्व को साझा करते हैंः डायहेड्रल समूह डिह्न, क्रम 2n में एक n-तत्व चक्र और n-तत्व चक्र होते हैंः डाइसाइक्लिक समूह, Dicn = Q4n, क्रम 4n: अन्य प्रत्यक्ष उत्पादः सममित समूह-सममित समूह Sn में, क्रम n के किसी भी समूह के लिए, उस समूह के लिए एक उपसमूह समरूपता होती है। इस प्रकार n क्रम के प्रत्येक समूह का चक्र ग्राफ Sn के चक्र ग्राफ में पाया जाएगा। उदाहरण के लिएः एस4 के उपसमूह उदाहरण के लिएः पूर्ण ऑक्टाहेड्रल समूह के उपसमूह पूर्ण ऑक्टाहेड्रल समूह सममित समूह एस4 और चक्रीय समूह जेड2 का प्रत्यक्ष उत्पाद है। इसका क्रम 48 है, और इसमें प्रत्येक क्रम के उपसमूह हैं जो 48 को विभाजित करते हैं। नीचे दिए गए उदाहरणों में एक-दूसरे से संबंधित नोड्स को एक-दूसरे के बगल में रखा गया है, इसलिए ये इन समूहों के लिए सबसे सरल संभव चक्र ग्राफ नहीं हैं (जैसे कि दाईं ओर)। सभी ग्राफों की तरह एक चक्र ग्राफ को विभिन्न गुणों पर जोर देने के लिए विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है। एस4 के चक्र ग्राफ के दो प्रतिनिधित्व इसका एक उदाहरण हैं। यह भी देखें छोटे समूहों की सूची केली ग्राफ बाहरी लिंक संदर्भ स्कीना, एस. (1990)। साइकिल, सितारे और पहिये। विविक्त गणित को लागू करनाः गणित के साथ संयोजन और ग्राफ सिद्धांत (पीपी। 144-147)। पेम्माराजू, एस., और स्कीना, एस. (2003)। साइकिल, सितारे और पहिये। कम्प्यूटेशनल डिस्क्रीट मैथमेटिक्सः कॉम्बिनेटोरिक्स एंड ग्राफ थ्योरी विद मैथमेटिका (पीपी। 248-249)। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। सार बीजगणित समूह सिद्धांत अनुप्रयोग-विशिष्ट ग्राफ