Jordan curve theorem
टोपोलॉजी में, जॉर्डन वक्र प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक जॉर्डन वक्र (एक समतल सरल बंद वक्र) समतल को वक्र से घिरे एक "आंतरिक" क्षेत्र में विभाजित करता है और एक "बाहरी" क्षेत्र जिसमें पास के और दूर के सभी बाहरी बिंदु होते हैं। एक क्षेत्र के एक बिंदु को दूसरे के एक बिंदु से जोड़ने वाला प्रत्येक निरंतर मार्ग कहीं न कहीं वक्र के साथ प्रतिच्छेद करता है। जबकि प्रमेय सहज ज्ञान से स्पष्ट प्रतीत होता है, इसे प्राथमिक तरीकों से साबित करने के लिए कुछ सरलता की आवश्यकता होती है। "हालांकि जे. सी. टी. सबसे प्रसिद्ध स्थलवैज्ञानिक प्रमेयों में से एक है, लेकिन कई ऐसे हैं, यहां तक कि पेशेवर गणितविदों के बीच भी, जिन्होंने इसका कोई प्रमाण कभी नहीं पढ़ा है।" ()। अधिक पारदर्शी प्रमाण बीजगणितीय टोपोलॉजी की गणितीय मशीनरी पर निर्भर करते हैं, और ये उच्च-आयामी स्थानों में सामान्यीकरण की ओर ले जाते हैं। जॉर्डन वक्र प्रमेय का नाम गणितशास्त्री कैमिली जॉर्डन (1838-1922) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसका पहला प्रमाण पाया था। दशकों तक, गणितविदों ने आम तौर पर सोचा कि यह प्रमाण त्रुटिपूर्ण था और पहला कठोर प्रमाण ओस्वाल्ड वेब्लेन द्वारा किया गया था। हालाँकि, थॉमस सी. हेल्स और अन्य लोगों ने इस धारणा को उलट दिया है। परिभाषाएँ और जॉर्डन प्रमेय का कथन एक जॉर्डन वक्र या समतल R2 में एक सरल बंद वक्र समतल में एक वृत्त के एक इंजेक्टिव निरंतर मानचित्र की छवि C है, φ: S1 → R2। समतल में एक जॉर्डन चाप समतल में एक बंद और बंधे अंतराल के एक इंजेक्टिव निरंतर मानचित्र की छवि है। यह एक समतल वक्र है जो आवश्यक रूप से चिकना या बीजगणितीय नहीं है। वैकल्पिक रूप से, जॉर्डन वक्र एक निरंतर मानचित्र φ: [0,1] → R2 की छवि है जैसे कि φ (0) = φ (1) और φ से [0,1) का प्रतिबंध इंजेक्टिव है। पहली दो शर्तों का कहना है कि सी एक निरंतर लूप है, जबकि अंतिम शर्त यह निर्धारित करती है कि सी का कोई स्व-छेदन बिंदु नहीं है। इन परिभाषाओं के साथ, जॉर्डन वक्र प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता हैः इसके विपरीत, समतल में जॉर्डन चाप का पूरक जुड़ा हुआ है। प्रमाण और सामान्यीकरण जॉर्डन वक्र प्रमेय को 1911 में एच. लेबस्ग्यू और एल. ई. जे. ब्रोवर द्वारा स्वतंत्र रूप से उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप जॉर्डन-ब्रोवर पृथक्करण प्रमेय बना। प्रमाण समरूपता सिद्धांत का उपयोग करता है। सबसे पहले यह स्थापित किया गया है कि, अधिक सामान्य रूप से, यदि X, k-क्षेत्र के समरूप है, तो Y = Rn + 1\X के घटते समाकलन समूह इस प्रकार हैंः यह मेयर-विटोरिस अनुक्रम का उपयोग करके k में प्रेरण द्वारा साबित होता है। जब n = k, Y के शून्य कम समरूपता की श्रेणी 1 होती है, जिसका अर्थ है कि Y के 2 जुड़े हुए घटक हैं (जो इसके अलावा, पथ से जुड़े हुए हैं), और थोड़ा अतिरिक्त काम के साथ, एक यह दर्शाता है कि उनकी सामान्य सीमा X है। जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर द्वारा एक और सामान्यीकरण पाया गया, जिन्होंने आरएन + 1 के एक कॉम्पैक्ट सबसेट एक्स के कम समरूपता और इसके पूरक के कम समरूपता के बीच अलेक्जेंडर द्वंद्व स्थापित किया। यदि एक्स बिना सीमा के आरएन + 1 (या एसएन + 1) का एक एन-आयामी कॉम्पैक्ट जुड़ा हुआ सबमैनिफोल्ड है, तो इसके पूरक में 2 जुड़े हुए घटक हैं। जॉर्डन वक्र प्रमेय को मजबूत किया गया है, जिसे जॉर्डन-शॉनफ्लाइज प्रमेय कहा जाता है, जिसमें कहा गया है कि R2 में जॉर्डन वक्र द्वारा निर्धारित आंतरिक और बाहरी समतलीय क्षेत्र इकाई डिस्क के आंतरिक और बाहरी हिस्से के समरूप हैं। विशेष रूप से, आंतरिक क्षेत्र में किसी भी बिंदु पी और जॉर्डन वक्र पर एक बिंदु ए के लिए, पी को ए के साथ जोड़ने वाला एक जॉर्डन चाप मौजूद है और अंतिम बिंदु ए के अपवाद के साथ, पूरी तरह से आंतरिक क्षेत्र में स्थित है। जॉर्डन-शॉनफ्लाइज प्रमेय का एक वैकल्पिक और समतुल्य सूत्रीकरण यह दावा करता है कि किसी भी जॉर्डन वक्र φ: S1 → R2, जहां S1 को तल में इकाई वृत्त के रूप में देखा जाता है, को तल के समरूपता ±: R2 → R2 तक बढ़ाया जा सकता है। लेब्सग्यू और ब्रोवर के जॉर्डन वक्र प्रमेय के सामान्यीकरण के विपरीत, यह कथन उच्च आयामों में गलत हो जाता हैः जबकि R3 में इकाई गेंद का बाहरी भाग बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि यह इकाई क्षेत्र पर वापस आ जाता है, अलेक्जेंडर सींग वाला क्षेत्र एक गोले के लिए R3 समरूप का एक उपसमुच्चय है, लेकिन अंतरिक्ष में इतना मुड़ जाता है कि R3 में इसके पूरक का असीमित घटक केवल जुड़ा हुआ नहीं है, और इसलिए इकाई गेंद के बाहरी भाग के लिए समरूप नहीं है। जॉर्डन वक्र प्रमेय को ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय (2 आयामों में) से साबित किया जा सकता है, और ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय को हेक्स प्रमेय से साबित किया जा सकता हैः "हेक्स के प्रत्येक खेल में कम से कम एक विजेता होता है", जिससे हम एक तार्किक निहितार्थ प्राप्त करते हैंः हेक्स प्रमेय का तात्पर्य ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय से है, जो जॉर्डन वक्र प्रमेय का तात्पर्य है। यह स्पष्ट है कि जॉर्डन वक्र प्रमेय का तात्पर्य "मजबूत हेक्स प्रमेय" से हैः "हेक्स का प्रत्येक खेल बिल्कुल एक विजेता के साथ समाप्त होता है, जिसमें दोनों पक्षों के हारने या दोनों पक्षों के जीतने की कोई संभावना नहीं होती है", इस प्रकार जॉर्डन वक्र प्रमेय मजबूत हेक्स प्रमेय के बराबर है, जो एक विशुद्ध रूप से असतत प्रमेय है। ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय, दो समतुल्य प्रमेयों के बीच स्थित होने के कारण, दोनों के बराबर है। विपरीत गणित और कंप्यूटर-औपचारिक गणित में, जॉर्डन वक्र प्रमेय को आमतौर पर पहले मजबूत हेक्स प्रमेय के समान एक समतुल्य असतत संस्करण में परिवर्तित करके, फिर असतत संस्करण को साबित करके साबित किया जाता है। छवि प्रसंस्करण के लिए अनुप्रयोग छवि प्रसंस्करण में, एक द्विआधारी चित्र 0 और 1 का एक असतत वर्ग ग्रिड है, या समकक्ष रूप से, का एक कॉम्पैक्ट सबसेट है। यदि एक उचित रूप से परिभाषित ग्राफ संरचना नहीं है, तो घटकों की संख्या जैसे स्थलाकृतिक अपरिवर्तक अच्छी तरह से परिभाषित होने में विफल हो सकते हैं। दो स्पष्ट ग्राफ संरचनाएँ हैंः "4-पड़ोसी वर्ग ग्रिड", जहाँ प्रत्येक शीर्ष जुड़ा हुआ है। "8-पड़ोसी वर्ग ग्रिड", जहाँ प्रत्येक शीर्ष आई. एफ. एफ. से जुड़ा होता है, और। दोनों ग्राफ संरचनाएँ मजबूत हेक्स प्रमेय को संतुष्ट करने में विफल रहती हैं। 4-पड़ोसी वर्ग ग्रिड एक गैर-विजेता स्थिति की अनुमति देता है, और 8-पड़ोसी वर्ग ग्रिड दो-विजेता स्थिति की अनुमति देता है। नतीजतन, जॉर्डन वक्र प्रमेय जैसे जुड़ाव गुण, किसी भी ग्राफ संरचना के तहत सामान्यीकृत नहीं होते हैं। यदि "6-पड़ोसी वर्ग ग्रिड" संरचना को लागू किया जाता है, तो यह षट्कोणीय ग्रिड है, और इस प्रकार मजबूत हेक्स प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिससे जॉर्डन वक्र प्रमेय को सामान्यीकृत करने की अनुमति मिलती है। इस कारण से, द्विआधारी छवि में जुड़े घटकों की गणना करते समय, आम तौर पर 6-पड़ोसी वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है। स्टाइनहॉस शतरंजपट प्रमेय कुछ अर्थों में स्टाइनहॉस शतरंजपट प्रमेय से पता चलता है कि 4-पड़ोसी ग्रिड और 8-पड़ोसी ग्रिड "एक साथ" जॉर्डन वक्र प्रमेय का तात्पर्य है, और 6-पड़ोसी ग्रिड उनके बीच एक सटीक अंतर्वेशन है। प्रमेय में कहा गया है किः मान लीजिए कि आप एक शतरंज की बिसात पर कुछ चौराहों पर बम लगाते हैं, ताकि एक राजा बम पर कदम रखे बिना नीचे की ओर से ऊपर की ओर न जा सके, तो एक हाथी केवल बम पर कदम रखते हुए बाईं ओर से दाईं ओर जा सकता है। इतिहास और आगे के प्रमाण जॉर्डन वक्र प्रमेय का कथन शुरू में स्पष्ट लग सकता है, लेकिन इसे साबित करना एक कठिन प्रमेय है। बर्नार्ड बोलजानो एक सटीक अनुमान तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे, यह देखते हुए कि यह एक स्व-स्पष्ट कथन नहीं था, बल्कि इसके लिए एक प्रमाण की आवश्यकता थी। बहुभुज के लिए इस परिणाम को स्थापित करना आसान है, लेकिन समस्या यह आई कि इसे सभी प्रकार के खराब व्यवहार वाले वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया गया, जिसमें कहीं भी विभेदक वक्र शामिल नहीं हैं, जैसे कि कोच स्नोफ्लेक और अन्य फ्रैक्टल वक्र, या यहां तक कि सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र भी शामिल है। इस प्रमेय का पहला प्रमाण कैमिली जॉर्डन ने वास्तविक विश्लेषण पर अपने व्याख्यानों में दिया था, और उनकी पुस्तक कोर्स डी 'एनालिसिस डी एल' इकोले पॉलीटेक्निक में प्रकाशित किया गया था। इस बारे में कुछ विवाद है कि क्या जॉर्डन का प्रमाण पूर्ण थाः इस पर अधिकांश टिप्पणीकारों ने दावा किया है कि पहला पूर्ण प्रमाण बाद में ओस्वाल्ड वेब्लेन द्वारा दिया गया था, जिन्होंने जॉर्डन के प्रमाण के बारे में निम्नलिखित कहाः उनका प्रमाण, हालांकि, कई गणितविदों के लिए असंतोषजनक है। यह एक साधारण बहुभुज के महत्वपूर्ण विशेष मामले में बिना प्रमाण के प्रमेय को मानता है, और उस बिंदु से तर्क के लिए, कम से कम यह स्वीकार करना चाहिए कि सभी विवरण नहीं दिए गए हैं। हालांकि, थॉमस सी. हेल्स ने लिखाः लगभग हर आधुनिक उद्धरण जो मुझे मिला है, वह इस बात से सहमत है कि पहला सही प्रमाण वेब्लेन के कारण है। जॉर्डन के सबूत की भारी आलोचना को देखते हुए, मुझे आश्चर्य हुआ जब मैं उनके सबूत को पढ़ने के लिए बैठा तो मुझे इसके बारे में कुछ भी आपत्तिजनक नहीं लगा। तब से, मैंने जॉर्डन की आलोचना करने वाले कई लेखकों से संपर्क किया है, और प्रत्येक मामले में लेखक ने जॉर्डन के प्रमाण में त्रुटि की कोई प्रत्यक्ष जानकारी नहीं होने की बात स्वीकार की है। हेल्स ने यह भी बताया कि साधारण बहुभुज का विशेष मामला न केवल एक आसान अभ्यास है, बल्कि वास्तव में जॉर्डन द्वारा वैसे भी इसका उपयोग नहीं किया गया था, और माइकल रीकेन को यह कहते हुए उद्धृत कियाः जॉर्डन का प्रमाण अनिवार्य रूप से सही है। जॉर्डन का प्रमाण विवरण को संतोषजनक तरीके से प्रस्तुत नहीं करता है। लेकिन विचार सही है, और कुछ चमकाने के साथ सबूत त्रुटिहीन होगा। इससे पहले, जॉर्डन के प्रमाण और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली पॉसिन द्वारा एक और प्रारंभिक प्रमाण का पहले ही स्कोनफ्लाइज (1924) द्वारा आलोचनात्मक विश्लेषण और पूरा किया जा चुका था। निम्न-आयामी स्थलविज्ञान और जटिल विश्लेषण में जॉर्डन वक्र प्रमेय के महत्व के कारण, इसे 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के प्रमुख गणितविदों से बहुत ध्यान मिला। प्रमेय और इसके सामान्यीकरण के विभिन्न प्रमाणों का निर्माण जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर, लुई एंटोनी, लुडविग बीबरबैक, लुत्ज़न ब्रोवर, अरनॉड डेनजॉय, फ्रेडरिक हार्टोग्स, बेला केरेक्जार्टो, अल्फ्रेड प्रिंगशेम और आर्थर मॉरिट्ज़ स्कोनफ्लाइस द्वारा किया गया था। जॉर्डन वक्र प्रमेय के नए प्राथमिक प्रमाणों के साथ-साथ पहले के प्रमाणों के सरलीकरण जारी हैं। प्राथमिक प्रमाण और द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। द्वारा गैर-मानक विश्लेषण का उपयोग करने वाला प्रमाण। द्वारा रचनात्मक गणित का उपयोग करते हुए एक प्रमाण। द्वारा ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय का उपयोग करते हुए एक प्रमाण। पूर्ण द्विदलीय ग्राफ K3,3 की गैर-स्पष्टता का उपयोग करते हुए एक प्रमाण उनके द्वारा दिया गया था। कठिनाई की जड़ को इस प्रकार समझाया गया है। यह साबित करना अपेक्षाकृत सरल है कि जॉर्डन वक्र प्रमेय प्रत्येक जॉर्डन बहुभुज (लेम्मा 1) के लिए है, और प्रत्येक जॉर्डन वक्र को एक जॉर्डन बहुभुज (लेम्मा 2) द्वारा मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है। जॉर्डन बहुभुज एक बहुभुज श्रृंखला है, जो एक बंधे हुए जुड़े खुले समूह की सीमा है, इसे खुला बहुभुज कहते हैं, और इसके बंद होने पर, बंद बहुभुज कहते हैं। बंद बहुभुज में निहित सबसे बड़ी डिस्क के व्यास पर विचार करें। जाहिर है, यह सकारात्मक है। जॉर्डन बहुभुज के अनुक्रम का उपयोग करते हुए (जो दिए गए जॉर्डन वक्र में अभिसरण करते हैं) हमारे पास एक अनुक्रम है जो संभवतः एक सकारात्मक संख्या में परिवर्तित होता है, जो जॉर्डन वक्र से घिरे बंद क्षेत्र में निहित सबसे बड़ी डिस्क का व्यास है। हालाँकि, हमें यह साबित करना होगा कि अनुक्रम शून्य में अभिसरण नहीं करता है, केवल दिए गए जॉर्डन वक्र का उपयोग करते हुए, न कि संभवतः वक्र से घिरा क्षेत्र। यह ट्वेरबर्ग के लेम्मा 3 का बिंदु है। मोटे तौर पर, बंद बहुभुज हर जगह पतले से शून्य नहीं होने चाहिए। इसके अलावा, उन्हें कहीं भी शून्य से पतला नहीं होना चाहिए, जो कि ट्वेरबर्ग के लेम्मा 4 का बिंदु है। जॉर्डन वक्र प्रमेय का पहला औपचारिक प्रमाण जनवरी 2005 में एच. ओ. एल. प्रकाश प्रणाली में बनाया गया था और इसमें लगभग 60,000 रेखाएँ थीं। 2005 में मिजार प्रणाली का उपयोग करने वाले गणितविदों की एक अंतर्राष्ट्रीय टीम द्वारा एक और कठोर 6,500-पंक्ति का औपचारिक प्रमाण तैयार किया गया था। मिजार और एच. ओ. एल. लाइट प्रूफ दोनों पहले से सिद्ध प्रमेयों के पुस्तकालयों पर निर्भर करते हैं, इसलिए ये दोनों आकार तुलनीय नहीं हैं। यह दिखाया कि विपरीत गणित में जॉर्डन वक्र प्रमेय प्रणाली पर कमजोर कोनिग के लेम्मा के बराबर है। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, जॉर्डन वक्र प्रमेय का उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है कि क्या कोई बिंदु एक साधारण बहुभुज के अंदर या बाहर स्थित है। किसी दिए गए बिंदु से, एक ऐसी किरण का पता लगाएं जो बहुभुज के किसी भी शीर्ष से नहीं गुजरती है (सभी किरणें लेकिन एक सीमित संख्या सुविधाजनक है)। फिर, बहुभुज के किनारे के साथ किरण के प्रतिच्छेदन की संख्या की गणना करें। जॉर्डन वक्र प्रमेय प्रमाण का तात्पर्य है कि बिंदु बहुभुज के अंदर है यदि और केवल विषम है। कम्प्यूटेशनल पहलू एडलर, डस्कलाकिस और डेमाइन साबित करते हैं कि जॉर्डन के प्रमेय का एक कम्प्यूटेशनल संस्करण पीपीएडी-पूर्ण है। एक उपसंहार के रूप में, वे दिखाते हैं कि जॉर्डन की प्रमेय का तात्पर्य ब्रोवर निश्चित-बिंदु प्रमेय से है। यह माहारा के पहले के परिणाम का पूरक है, कि ब्रोवर की निश्चित बिंदु प्रमेय जॉर्डन की प्रमेय का तात्पर्य है। डेन्जोय-रीज़ प्रमेय भी देखें, जो समतल में बिंदुओं के कुछ सेटों का वर्णन है जो जॉर्डन वक्रों के उपसमुच्चय हो सकते हैं वाडा अर्ध-फ़ुशियन समूह की झीलें, एक गणितीय समूह जो जॉर्डन वक्र नोट्स संदर्भों को संरक्षित करता है। लेखक की साइट बाहरी लिंक मिजार में जॉर्डन के वक्र प्रमेय का पूर्ण 6,500 पंक्ति औपचारिक प्रमाण है। एंड्रयू रानिकी के मुख पृष्ठ पर जॉर्डन वक्र प्रमेय के प्रमाणों का संग्रह डेविड बी. गॉल्ड द्वारा जॉर्डन वक्र प्रमेय (पीडीएफ) का एक सरल प्रमाण