Thales's theorem
ज्यामिति में, थेल्स की प्रमेय बताती है कि यदि, और एक वृत्त पर अलग-अलग बिंदु हैं जहां रेखा एक व्यास है, तो कोण एक समकोण है। थेल्स की प्रमेय उत्कीर्ण कोण प्रमेय का एक विशेष मामला है और यूक्लिड के तत्वों की तीसरी पुस्तक में 31वें प्रस्ताव के हिस्से के रूप में उल्लेख और साबित किया गया है। इसका श्रेय आम तौर पर थेल्स ऑफ मिलेटस को दिया जाता है, लेकिन कभी-कभी इसका श्रेय पायथागोरस को दिया जाता है। यूनानी गणितविदों द्वारा इसे साबित करने से पहले बेबीलोन के गणितविदों को विशेष मामलों के लिए यह पता था। थेल्स ऑफ मिलेटस (6 वीं शताब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत) को पारंपरिक रूप से प्रमेय को साबित करने का श्रेय दिया जाता है; हालाँकि, 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व तक भी थेल्स के लेखन के बारे में कुछ भी उपलब्ध नहीं था, और आविष्कारों और विचारों का श्रेय थेल्स और पाइथागोरस जैसे बुद्धिमान लोगों को दिया गया था जो बाद के डॉक्सोग्राफरों द्वारा सुनी-सुनाई और अटकलों पर आधारित थे। थेल्स का संदर्भ प्रोक्लस (5वीं शताब्दी ईस्वी) द्वारा दिया गया था, और डायोजिनेस लार्टियस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) द्वारा पाम्फिला (पहली शताब्दी ईस्वी) के बयान का दस्तावेजीकरण करते हुए कि थेल्स "एक वृत्त में एक समकोण त्रिकोण लिखने वाले पहले व्यक्ति थे।" थेल्स के बारे में दावा किया गया था कि उन्होंने मिस्र और बेबीलोनिया की यात्रा की थी, जहाँ माना जाता है कि उन्होंने ज्यामिति और खगोल विज्ञान के बारे में सीखा था और फिर ज्यामितीय प्रमाण की अवधारणा का आविष्कार करने और विभिन्न ज्यामितीय प्रमेयों को साबित करने के साथ-साथ यूनानियों के लिए उनके ज्ञान को लाया था। हालाँकि, इनमें से किसी भी दावे के लिए कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है, और वे सबसे अधिक संभावना है कि सट्टा युक्तिकरण का आविष्कार किया गया था। आधुनिक विद्वानों का मानना है कि यूक्लिड के तत्वों में पाई जाने वाली यूनानी अनुमानात्मक ज्यामिति चौथी शताब्दी ईसा पूर्व तक विकसित नहीं हुई थी, और कोई भी ज्यामितीय ज्ञान थेल्स अवलोकन हो सकता था। यह प्रमेय यूक्लिड के तत्वों () की पुस्तक II में प्रस्ताव 31 के रूप में दिखाई देता हैः "एक वृत्त में अर्धवृत्त में कोण सही है, कि एक बड़े खंड में एक समकोण से कम है, और एक कम खंड में एक समकोण से अधिक है; आगे बड़े खंड का कोण एक समकोण से अधिक है, और कम खंड का कोण एक समकोण से कम है। दांते का पैराडिसो (canto 13, पंक्तियाँ 101-102) एक भाषण के दौरान थेल्स के प्रमेय को संदर्भित करता है। प्रमाण पहला प्रमाण निम्नलिखित तथ्यों का उपयोग किया जाता हैः एक त्रिभुज में कोणों का योग 180° के बराबर होता है और एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण समान होते हैं। चूंकि, और समद्विबाहु त्रिभुज हैं, और एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोणों की समानता से, और। चलो और। त्रिभुज के तीन आंतरिक कोण हैं, और। चूँकि एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° के बराबर है, इसलिए हमारे पास क्यू. ई. डी. है। दूसरा प्रमाण प्रमेय को त्रिकोणमिति का उपयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता हैः मान लीजिए, और। फिर इकाई वृत्त पर एक बिंदु है। हम यह साबित करके दिखाएँगे कि यह एक समकोण बनाता है और लंबवत है-यानी, उनकी ढलानों का गुणनफल-1 के बराबर है। हम और के लिए ढलानों की गणना करते हैंः फिर हम दिखाते हैं कि उनका उत्पाद-1 के बराबर हैः पायथागोरियन त्रिकोणमितीय पहचान के उपयोग पर ध्यान दें। फिर रेखा के ऊपर प्रतिबिंबित करके एक नए त्रिभुज का निर्माण करें और फिर इसे वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली लंबवत रेखा पर फिर से प्रतिबिंबित करें। चूँकि रेखाएँ और रेखाएँ समानांतर हैं, इसी तरह और के लिए, चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है। चूँकि रेखाएँ और, समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण, दोनों वृत्त के व्यास हैं और इसलिए उनकी लंबाई समान है, इसलिए समानांतर चतुर्भुज एक आयत होना चाहिए। एक आयत में सभी कोण समकोण होते हैं। व्युत्क्रम किसी भी त्रिभुज के लिए, और विशेष रूप से, किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, त्रिभुज के सभी तीन शीर्षों वाला एक वृत्त होता है। (प्रमाण का रेखाचित्र। दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी के बिंदुओं का स्थान एक सीधी रेखा है जिसे बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड का लंबवत द्विभाजक कहा जाता है। त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं के लंबवत द्विभाजक ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर होना चाहिए)। इस वृत्त को त्रिभुज का वृत्त कहा जाता है। थेल्स के प्रमेय को तैयार करने का एक तरीका हैः यदि किसी त्रिभुज के वृत्त का केंद्र त्रिभुज पर स्थित है तो त्रिभुज सही है, और इसके वृत्त का केंद्र इसके हाइपोटेन्यूज पर स्थित है। थेल्स के प्रमेय का विपरीत तब होता हैः एक समकोण त्रिभुज के परिधि वृत्त का केंद्र इसके हाइपोटेन्यूज पर स्थित होता है। (समान रूप से, एक समकोण त्रिभुज का हाइपोटेन्यूज इसकी परिधि का व्यास होता है।) ज्यामिति का उपयोग करके व्युत्क्रम का प्रमाण इस प्रमाण में एक आयत बनाने के लिए समकोण त्रिभुज को 'पूर्ण' करना और यह देखना शामिल है कि उस आयत का केंद्र शीर्षों से समान दूरी पर है और इसी तरह मूल त्रिभुज के परिवेष्टित वृत्त का केंद्र भी है, यह दो तथ्यों का उपयोग करता हैः एक समानांतर चतुर्भुज में निकटवर्ती कोण पूरक (180° में जोड़ें) होते हैं और, एक आयत के विकर्ण समान होते हैं और अपने मध्य बिंदु में एक दूसरे को पार करते हैं। मान लीजिए कि एक समकोण, गुजरने के समानांतर एक रेखा, और गुजरने के समानांतर एक रेखा हो। मान लीजिए कि रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और। (यह साबित नहीं हुआ है कि यह वृत्त पर स्थित है।) चतुर्भुज निर्माण द्वारा एक समानांतर चतुर्भुज बनाता है (क्योंकि विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं)। चूँकि एक समानांतर चतुर्भुज में आसन्न कोण पूरक होते हैं (180° में जोड़ें) और एक समकोण (90°) होता है तो कोण भी सही होते हैं (90°); परिणामस्वरूप एक आयत होता है। मान लीजिए कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु और। फिर ऊपर दिए गए दूसरे तथ्य के अनुसार बिंदु, और से समान दूरी पर है। और इसी तरह परिवेष्टित वृत्त का केंद्र है, और त्रिभुज () का हाइपोटेन्यूज वृत्त का व्यास है। ज्यामिति का उपयोग करके व्युत्क्रम का वैकल्पिक प्रमाण हाइपोटेंज़ के साथ एक समकोण त्रिभुज दिए जाने पर, एक वृत्त का निर्माण करें जिसका व्यास है। इसका केंद्र बनने दें। मान लीजिए कि यह और किरण का प्रतिच्छेदन है। थेल्स के प्रमेय के अनुसार, सही है। लेकिन फिर बराबर होना चाहिए। (यदि अंदर स्थित है, तो मोटा होगा, और यदि बाहर स्थित है, तो तीव्र होगा।) रैखिक बीजगणित का उपयोग करके व्युत्क्रम का प्रमाण यह प्रमाण दो तथ्यों का उपयोग करता हैः दो रेखाएं एक समकोण बनाती हैं यदि और केवल तभी जब उनके दिशात्मक वैक्टर का बिंदु उत्पाद शून्य हो, और एक वेक्टर की लंबाई का वर्ग वेक्टर के बिंदु उत्पाद द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए कि एक समकोण और व्यास के साथ वृत्त हो। आसान गणना के लिए, M के केंद्र को मूल पर होने दें। फिर हम जानते हैं, क्योंकि मूल पर केंद्रित वृत्त का व्यास है, और, क्योंकि यह एक समकोण है। इसका अर्थ है कि और मूल से समान दूरी पर हैं, अर्थात। केंद्र से। चूँकि यह त्रिभुज पर स्थित है, इसलिए यह वृत्त त्रिभुज की परिधि है। उपरोक्त गणनाएँ वास्तव में यह स्थापित करती हैं कि थेल्स प्रमेय की दोनों दिशाएँ किसी भी आंतरिक उत्पाद स्थान में मान्य हैं। सामान्यीकरण और संबंधित परिणाम थेल्स प्रमेय निम्नलिखित प्रमेय का एक विशेष मामला हैः तीन बिंदुओं को देखते हुए, और केंद्र के साथ एक वृत्त पर, कोण कोण से दोगुना बड़ा होता है। उत्कीर्ण कोण देखें, इस प्रमेय का प्रमाण काफी हद तक ऊपर दिए गए थेल्स प्रमेय के प्रमाण के समान है। थेल्स के प्रमेय से संबंधित एक परिणाम निम्नलिखित हैः यदि एक वृत्त का व्यास है, तोः यदि वृत्त के अंदर है, तो यदि वृत्त पर है, तो यदि वृत्त के बाहर है, तो। अनुप्रयोग थेल्स के प्रमेय का उपयोग किसी दिए गए वृत्त के स्पर्शरेखा के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो किसी दिए गए बिंदु से गुजरता है। दाहिनी ओर दी गई आकृति में, केंद्र के साथ वृत्त और बाहर का बिंदु, पर द्विभाजित करें और केंद्र के साथ त्रिज्या के वृत्त को आरेखित करें। यह इस वृत्त का व्यास है, इसलिए ओपी को बिंदुओं से जोड़ने वाले त्रिभुज और जहां वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं, दोनों समकोण त्रिभुज हैं। थेल्स के प्रमेय का उपयोग समकोण वाली वस्तु का उपयोग करके वृत्त के केंद्र को खोजने के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि वृत्त से बड़ा एक वर्ग या आयताकार कागज की चादर। कोण को इसकी परिधि पर कहीं भी रखा गया है (चित्र 1)। परिधि के साथ दोनों पक्षों के प्रतिच्छेदन एक व्यास (चित्र 2) को परिभाषित करते हैं। इसे प्रतिच्छेदनों के एक अलग समूह के साथ दोहराने से एक और व्यास प्राप्त होता है (चित्र 3)। केंद्र व्यास के प्रतिच्छेदन पर है। सिंथेटिक ज्यामिति व्युत्क्रम पायथागोरियन प्रमेय टिप्पणियाँ भी देखें बाहरी लिंक लिखित कोणों पर मंचिंग थेल्स की प्रमेय को इंटरैक्टिव एनीमेशन डेमोस ऑफ़ थेल्स की प्रमेय माइकल श्राइबर, द वोल्फ़्राम डेमोंस्ट्रेशन प्रोजेक्ट के साथ समझाया गया है। यूक्लिडियन समतल ज्यामिति प्रमाण युक्त लेख समकोण त्रिभुज के बारे में प्रमेय त्रिभुज और वृत्त के बारे में प्रमेय ईः टियोरमा डी Tales#Segundo टियोरमा हेः एम. एस. एफ. टी. ए. एल. एस. #המשפט एच. एस. एन. आई.