CDF-based nonparametric confidence interval
सांख्यिकी में, संचयी वितरण कार्य (सी. डी. एफ.)-आधारित गैर-पैरामीट्रिक विश्वास अंतराल एक वितरण के सांख्यिकीय कार्यों के आसपास विश्वास अंतराल का एक सामान्य वर्ग है। इन विश्वास अंतरालों की गणना करने के लिए, वितरण से एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (आई. आई. डी.) नमूना और वितरण के समर्थन पर ज्ञात सीमा की आवश्यकता होती है। बाद की आवश्यकता का सीधा सा मतलब है कि वितरण के सभी गैर-शून्य संभाव्यता द्रव्यमान को कुछ ज्ञात अंतराल में निहित किया जाना चाहिए। अंतर्ज्ञान सी. डी. एफ.-आधारित दृष्टिकोण के पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि वितरण के सी. डी. एफ. पर सीमा को उस वितरण के सांख्यिकीय कार्यों की सीमा में अनुवादित किया जा सकता है। सी. डी. एफ. पर एक ऊपरी और निचली सीमा को देखते हुए, दृष्टिकोण में सीमा के भीतर सी. डी. एफ. को खोजना शामिल है जो ब्याज के सांख्यिकीय कार्य को अधिकतम और कम करता है। सीमा के गुण उन दृष्टिकोणों के विपरीत जो असिंप्टोटिक धारणाएँ बनाते हैं, जिनमें बूटस्ट्रैप दृष्टिकोण और केंद्रीय सीमा प्रमेय पर भरोसा करने वाले शामिल हैं, सी. डी. एफ.-आधारित सीमाएँ सीमित नमूना आकारों के लिए मान्य हैं। और होफडिंग और मैक्डियारमिड की असमानताओं जैसी असमानताओं पर आधारित सीमाओं के विपरीत, सी. डी. एफ.-आधारित सीमाएँ पूरे नमूने के गुणों का उपयोग करती हैं और इस प्रकार अक्सर काफी सख्त सीमाएँ उत्पन्न करती हैं। सी. डी. एफ. सीमाएँ सी. डी. एफ. पर सीमाएँ उत्पन्न करते समय, हमें बिंदुवार और एक साथ बैंडों के बीच अंतर करना चाहिए। पॉइंटवाइज बैंड एक पॉइंटवाइज सी. डी. एफ. बाउंड वह है जो केवल अनुभवजन्य सी. डी. एफ. के किसी भी व्यक्तिगत बिंदु पर प्रतिशत की उनकी कवरेज संभावना की गारंटी देता है। आराम की गई गारंटी के कारण, ये अंतराल बहुत छोटे हो सकते हैं। उन्हें उत्पन्न करने की एक विधि द्विपद वितरण पर आधारित है। मूल्य के एक सी. डी. एफ. के एकल बिंदु को ध्यान में रखते हुए, उस बिंदु पर अनुभवजन्य वितरण को अनुभवजन्य वितरण में नमूनों की संख्या के साथ और सेट के साथ द्विपद वितरण के समानुपाती वितरित किया जाएगा। इस प्रकार, एक द्विपद अनुपात विश्वास अंतराल उत्पन्न करने के लिए उपलब्ध किसी भी विधि का उपयोग सी. डी. एफ. बाध्य उत्पन्न करने के लिए भी किया जा सकता है। समवर्ती बैंड सी. डी. एफ.-आधारित विश्वास अंतराल के लिए उस वितरण के सी. डी. एफ. पर एक संभावित बंधन की आवश्यकता होती है जिससे नमूना उत्पन्न किया गया था। वितरण के सी. डी. एफ. के लिए विश्वास अंतराल उत्पन्न करने के लिए विभिन्न विधियाँ मौजूद हैं, जिन्हें एक आई. डी. दिया गया है। वितरण से लिया गया नमूना। ये सभी विधियाँ अनुभवजन्य वितरण कार्य (अनुभवजन्य सी. डी. एफ.) पर आधारित हैं। एक आई. आई. डी. दी गई है। आकार एन के नमूने, अनुभवजन्य सी. डी. एफ. को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि घटना ए का संकेतक कहाँ है। ड्वोरेटज़की-कीफर-वोल्फोविट्ज़ असमानता, जिसका तंग स्थिरांक मसार्ट द्वारा निर्धारित किया गया था, सी. डी. एफ. और अनुभवजन्य सी. डी. एफ. के बीच कोल्मोगोरोव-स्मिरनोव सांख्यिकीय के आसपास एक विश्वास अंतराल रखता है। एक आई. आई. डी. दी गई है। आकार एन का नमूना, बाध्य अवस्थाओं से इसे एक विश्वास लिफाफे के रूप में देखा जा सकता है जो अनुभवजन्य सी. डी. एफ. के समानांतर चलता है, और समान रूप से ऊपर और नीचे होता है। अनुभवजन्य सी. डी. एफ. के आसपास समान दूरी का विश्वास अंतराल वितरण के समर्थन में उल्लंघनों की विभिन्न दरों की अनुमति देता है। विशेष रूप से, एक सी. डी. एफ. के लिए वितरण के अंतिम बिंदुओं के पास की तुलना में वितरण के मध्यक के पास ड्वोरेटज़की-कीफर-वोल्फोविट्ज़ असमानता का उपयोग करके अनुमानित सी. डी. एफ. सीमा से बाहर होना अधिक आम है। इसके विपरीत, लर्नड-मिलर और डेस्टेफानो द्वारा शुरू की गई ऑर्डर सांख्यिकी-आधारित सीमा सभी ऑर्डर आंकड़ों में उल्लंघन की समान दर की अनुमति देती है। इसके परिणामस्वरूप एक बंधन होता है जो वितरण के समर्थन के सिरों के पास कड़ा होता है और समर्थन के बीच में ढीला होता है। आदेश सांख्यिकी के लिए उल्लंघन की दर को बदलकर अन्य प्रकार की सीमाएँ उत्पन्न की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि समर्थन के ऊपरी हिस्से पर वितरण पर एक सख्त बंधन वांछित है, तो उल्लंघन की कम दर होने की कीमत पर समर्थन के ऊपरी हिस्से में उल्लंघन की उच्च दर की अनुमति दी जा सकती है, और इस प्रकार समर्थन के निचले हिस्से के लिए एक ढीला बंधन। औसत पर एक गैर-पैरामीट्रिक बाध्य सामान्यता को खोए बिना यह मान लें कि वितरण का समर्थन इसमें निहित है इसके सी. डी. एफ. के लिए एक विश्वास लिफाफा दिए जाने पर इसके औसत के लिए एक संबंधित विश्वास अंतराल प्राप्त करना आसान है। यह दिखाया जा सकता है कि सी. डी. एफ. जो माध्य को अधिकतम करता है वह है जो कम आत्मविश्वास वाले लिफाफे के साथ चलता है, और सी. डी. एफ. जो माध्य को न्यूनतम करता है वह है जो ऊपरी लिफाफे के साथ चलता है। पहचान का उपयोग करते हुए माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना भिन्नता पर एक गैर-पैरामीट्रिक बाध्य के रूप में की जा सकती है, मान लीजिए कि व्यापकता के नुकसान के बिना ब्याज के वितरण का समर्थन निहित है। एक विश्वास लिफाफा को देखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि लिफाफे के भीतर सी. डी. एफ. जो भिन्नता को कम करता है, निचले लिफाफे पर शुरू होता है, ऊपरी लिफाफे पर एक कूद असंतुलन होता है, और फिर ऊपरी लिफाफे के साथ जारी रहता है। इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि इस भिन्नता को कम करने वाले सी. डी. एफ., एफ. ', को उस बाधा को पूरा करना चाहिए जिस पर कूदना असंतुलन होता है। सी. डी. एफ. को अधिकतम करने वाला विचरण ऊपरी लिफाफे पर शुरू होता है, क्षैतिज रूप से निचले लिफाफे में संक्रमण होता है, फिर निचले लिफाफे के साथ जारी रहता है। इन भिन्नता-अधिकतम करने और सी. डी. एफ. को कम करने की गणना के लिए स्पष्ट एल्गोरिदम रोमानो और वुल्फ द्वारा दिए गए हैं। अन्य सांख्यिकीय कार्यों पर सीमाएं विश्वास अंतराल उत्पन्न करने के लिए सी. डी. एफ. आधारित ढांचा बहुत सामान्य है और इसे विभिन्न प्रकार के अन्य सांख्यिकीय कार्यों पर लागू किया जा सकता है जिसमें एन्ट्रापी म्यूचुअल जानकारी मनमाने प्रतिशत भी शामिल हैं बूटस्ट्रैपिंग (सांख्यिकी) गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी विश्वास अंतराल संदर्भ गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी अनुमान सिद्धांत मजबूत सांख्यिकी अनुभवजन्य प्रक्रिया