Coxeter complex
गणित में, कॉक्सेटर परिसर, जिसका नाम एच. एस. एम. कॉक्सेटर के नाम पर रखा गया है, एक कॉक्सेटर समूह से जुड़ी एक ज्यामितीय संरचना (एक सरल परिसर) है। कॉक्सेटर परिसर बुनियादी वस्तुएँ हैं जो इमारतों के निर्माण की अनुमति देती हैं; वे एक इमारत के अपार्टमेंट बनाते हैं। कैनॉनिकल रैखिक प्रतिनिधित्व एक कॉक्सेटर प्रणाली से जुड़े कॉक्सेटर परिसर के निर्माण में पहला घटक एक निश्चित प्रतिनिधित्व है, जिसे कैनॉनिकल प्रतिनिधित्व कहा जाता है। मान लीजिए कि कॉक्सेटर मैट्रिक्स के साथ एक कॉक्सेटर प्रणाली है। विहित प्रतिनिधित्व औपचारिक प्रतीकों के आधार के साथ एक सदिश स्थान द्वारा दिया जाता है, जो सममित द्विरेखीय रूप से सुसज्जित होता है। विशेष रूप से,। ऑन की कार्रवाई तब द्वारा दी जाती है। कॉक्सेटर समूहों के सिद्धांत में इस प्रतिनिधित्व के कई मूलभूत गुण हैं; उदाहरण के लिए, सकारात्मक निश्चित है अगर और केवल अगर सीमित है। यह एक वफादार प्रतिनिधित्व है। चैम्बर्स और टिट्स शंकु यह प्रतिनिधित्व एक प्रतिबिंब समूह के रूप में वर्णित है, जिसमें चेतावनी सकारात्मक निश्चित नहीं हो सकती है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि प्रतिनिधित्व को उसके दोहरे से अलग किया जाए। वैक्टर स्थित होते हैं और उनके अनुरूप दोहरे वैक्टर होते हैं जहां कोण वाले कोष्ठक और के बीच प्राकृतिक जोड़ी को इंगित करते हैं। अब कार्रवाई जारी है और कार्रवाई के लिए और किसी भी द्वारा दी जाती है। फिर हाइपरप्लेन में एक परावर्तन होता है। एक में मौलिक कक्ष है; इसमें तथाकथित दीवारों का सामना करना पड़ता है। अन्य कक्षों को अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता हैः वे इसके लिए हैं। टिट्स कोन है। यह सब कुछ नहीं होना चाहिए। प्रमुख महत्व का तथ्य यह है कि यह उत्तल है। ऑन की कार्रवाई के लिए बंद करना एक मौलिक क्षेत्र है। कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स के संबंध में कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स है, जहां सकारात्मक वास्तविक का गुणक समूह है। परिमित डायहेड्रल समूहों के उदाहरण डायहेड्रल समूह (2n क्रम के) कॉक्सेटर समूह हैं, जो इसी प्रकार के हैं। इनके पास प्रस्तुति है। के कैनोनिकल रैखिक प्रतिनिधित्व डायहेड्रल समूह का सामान्य प्रतिबिंब प्रतिनिधित्व है, जैसा कि तल में एक-गॉन पर कार्य करता है (इसलिए इस मामले में)। उदाहरण के लिए, इस मामले में हम समतल में एक समबाहु त्रिभुज पर कार्य करते हुए कॉक्सेटर प्रकार का समूह प्राप्त करते हैं। प्रत्येक परावर्तन में दोहरे सदिश स्थान में एक संबद्ध हाइपरप्लेन होता है (जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके स्वयं सदिश स्थान के साथ पहचाना जा सकता है, जो इस मामले में एक आंतरिक उत्पाद है जैसा कि ऊपर टिप्पणी की गई है); ये दीवारें हैं। उन्होंने कक्षों को काट दिया, जैसा कि नीचे देखा गया हैः कॉक्सेटर परिसर तब संबंधित-गोन है, जैसा कि ऊपर की छवि में है। यह आयाम 1 का एक सरल परिसर है, और इसे प्रकार द्वारा रंगीन किया जा सकता है। अनंत डायहेड्रल समूह एक अन्य प्रेरक उदाहरण अनंत डायहेड्रल समूह है। इसे वास्तविक रेखा की सममितियों के समूह के रूप में देखा जा सकता है जो पूर्णांक निर्देशांक के साथ बिंदुओं के समूह को संरक्षित करता है; यह और में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह में कॉक्सेटर प्रस्तुति है। इस मामले में, अब इसके दोहरे स्थान के साथ पहचान करना संभव नहीं है, जैसा कि अपक्षयी है। तब केवल उसी के साथ काम करना बेहतर होता है, जहाँ हाइपरप्लेन को परिभाषित किया जाता है। यह फिर निम्नलिखित चित्र देता हैः इस मामले में, टिट्स शंकु पूरे तल नहीं है, बल्कि केवल ऊपरी आधा तल है। धनात्मक वास्तविक द्वारा भागफल लेने से पूर्णांक पर चिह्नित बिंदुओं के साथ वास्तविक रेखा की एक और प्रति प्राप्त होती है। यह अनंत डायहेड्रल समूह का कॉक्सेटर परिसर है। कॉक्सेटर परिसर का वैकल्पिक निर्माण कॉक्सेटर परिसर का एक अन्य विवरण कॉक्सेटर समूह के मानक कोसेट का उपयोग करता है। एक मानक कोसेट रूप का एक कोसेट है, जहां के कुछ उचित सबसेट के लिए। उदाहरण के लिए, और। कॉक्सेटर परिसर तब मानक कोसेट का स्थान होता है, जिसे विपरीत समावेशन द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। इसमें एक सरल परिसर की विहित संरचना होती है, जैसा कि सभी स्थिति जो संतुष्ट करते हैंः किसी भी दो तत्वों की सबसे बड़ी निचली सीमा होती है। किसी दिए गए तत्व से कम या उसके बराबर तत्वों की स्थिति कुछ पूर्णांक n के लिए उपसमुच्चय की स्थिति के समरूपी होती है। यह एक-गोले के लिए समरूप है यदि W परिमित है और यदि W अनंत है तो सिकुड़ सकता है। एक गोलाकार स्तनों की इमारत का प्रत्येक अपार्टमेंट एक कॉक्सेटर परिसर है। यह भी देखें कि इमारतें वेल समूह जड़ प्रणाली संदर्भ स्रोत पीटर अब्रामेंको और केनेथ एस. ब्राउन, इमारतें, सिद्धांत और अनुप्रयोग। स्प्रिंगर, 2008। समूह सिद्धांत बीजगणितीय संयोजन ज्यामितीय समूह सिद्धांत गणितीय संरचनाएँ