Synthetic geometry
सिंथेटिक ज्यामिति (कभी-कभी स्वयंसिद्ध ज्यामिति या यहां तक कि शुद्ध ज्यामिति के रूप में संदर्भित) निर्देशांक के उपयोग के बिना ज्यामिति है। यह कुछ बुनियादी गुणों से सभी परिणामों को साबित करने के लिए स्वयंसिद्ध विधि पर निर्भर करता है जिन्हें शुरू में अभिधारणा कहा जाता है, और वर्तमान में इसे स्वयंसिद्ध कहा जाता है। "सिंथेटिक ज्यामिति" शब्द 17वीं शताब्दी के बाद ही गढ़ा गया था, और रेने डेसकार्टेस द्वारा समन्वय विधि की शुरुआत, जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहा जाता था। इसलिए "सिंथेटिक ज्यामिति" शब्द को उन पुरानी विधियों को संदर्भित करने के लिए पेश किया गया था जो डेसकार्टेस से पहले केवल ज्ञात थीं। फेलिक्स क्लेन के अनुसार सिंथेटिक ज्यामिति वह है जो सूत्रों का सहारा लिए बिना आंकड़ों का अध्ययन करती है, जबकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति लगातार ऐसे सूत्रों का उपयोग करती है जिन्हें निर्देशांकों की एक उपयुक्त प्रणाली को अपनाने के बाद लिखा जा सकता है। सिंथेटिक ज्यामिति के लिए पहला व्यवस्थित दृष्टिकोण यूक्लिड के तत्व हैं। हालाँकि, 19वीं शताब्दी के अंत में यह प्रतीत हुआ कि यूक्लिड के अभिधारणाएँ ज्यामिति की विशेषता के लिए पर्याप्त नहीं थीं। ज्यामिति के लिए पहली पूर्ण स्वयंसिद्ध प्रणाली केवल 19वीं शताब्दी के अंत में डेविड हिल्बर्ट द्वारा दी गई थी। साथ ही, ऐसा प्रतीत हुआ कि ज्यामिति के निर्माण के लिए कृत्रिम विधियों और विश्लेषणात्मक विधियों दोनों का उपयोग किया जा सकता है। यह तथ्य कि दोनों अनुमोदन समतुल्य हैं, एमिल आर्टिन द्वारा अपनी पुस्तक ज्यामितीय बीजगणित में साबित किया गया है। इस समानता के कारण, कृत्रिम और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच का अंतर अब उपयोग में नहीं है, सिवाय प्राथमिक स्तर पर, या ज्यामिति के लिए जो किसी भी प्रकार की संख्या से संबंधित नहीं हैं, जैसे कि कुछ सीमित ज्यामिति और गैर-डेजारगेशियन ज्यामिति। तार्किक संश्लेषण की प्रक्रिया कुछ मनमाने लेकिन निश्चित प्रारंभिक बिंदु से शुरू होती है। यह प्रारंभिक बिंदु इन आदिम के बारे में आदिम धारणाओं या आदिम और स्वयंसिद्धियों का परिचय हैः आदिम सबसे बुनियादी विचार हैं। आम तौर पर इनमें वस्तुएँ और संबंध दोनों शामिल होते हैं। ज्यामिति में, वस्तुएँ बिंदु, रेखाएँ और तल जैसी चीजें होती हैं, जबकि एक मौलिक संबंध आपतन का होता है-एक वस्तु का दूसरे के साथ मिलना या जुड़ना। शब्द स्वयं परिभाषित नहीं हैं। हिल्बर्ट ने एक बार टिप्पणी की थी कि अंक, रेखाओं और विमानों के बजाय कोई भी टेबल, कुर्सियों और बीयर के मग की बात कर सकता है, मुद्दा यह है कि आदिम शब्द सिर्फ खाली प्लेसहोल्डर हैं और इनमें कोई आंतरिक गुण नहीं हैं। स्वयंसिद्ध इन आदिम के बारे में कथन हैं; उदाहरण के लिए, कोई भी दो बिंदु एक साथ केवल एक पंक्ति (यानी। कि किसी भी दो अंकों के लिए, केवल एक रेखा है जो उन दोनों से गुजरती है)। स्वयंसिद्धों को सच माना जाता है, और सिद्ध नहीं किया जाता है। वे ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण खंड हैं, क्योंकि वे उन गुणों को निर्दिष्ट करते हैं जो आदिम के पास हैं। स्वयंसिद्धियों के दिए गए समूह से, संश्लेषण एक सावधानीपूर्वक निर्मित तार्किक तर्क के रूप में आगे बढ़ता है। जब कोई महत्वपूर्ण परिणाम सख्ती से साबित होता है, तो यह एक प्रमेय बन जाता है। स्वयंसिद्ध समुच्चय के गुण ज्यामिति के लिए कोई निश्चित स्वयंसिद्ध समुच्चय नहीं है, क्योंकि एक से अधिक सुसंगत समुच्चय चुने जा सकते हैं। इस तरह के प्रत्येक सेट से एक अलग ज्यामिति हो सकती है, जबकि एक ही ज्यामिति देने वाले विभिन्न सेटों के उदाहरण भी हैं। संभावनाओं के इस ढेर के साथ, एकवचन में "ज्यामिति" की बात करना अब उचित नहीं है। ऐतिहासिक रूप से, यूक्लिड का समानांतर अभिधारणा अन्य स्वयंसिद्धियों से स्वतंत्र साबित हुआ है। केवल इसे त्यागने से पूर्ण ज्यामिति मिलती है, जबकि इसे नकारने से अतिमानव ज्यामिति प्राप्त होती है। अन्य सुसंगत स्वयंसिद्ध समुच्चय अन्य ज्यामितियाँ प्राप्त कर सकते हैं, जैसे कि प्रोजेक्टिव, एलिप्टिक, गोलाकार या एफ़ाइन ज्यामिति। निरंतरता और "बीच" के स्वयंसिद्ध भी वैकल्पिक हैं, उदाहरण के लिए, असतत ज्यामितियों को त्यागकर या संशोधित करके बनाया जा सकता है। क्लेन के एर्लान्जेन कार्यक्रम के बाद, किसी भी दी गई ज्यामिति की प्रकृति को विकास की शैली के बजाय समरूपता और प्रस्तावों की सामग्री के बीच संबंध के रूप में देखा जा सकता है। 19वीं शताब्दी में गॉस, बोल्याई, लोबाचेव्स्की और रीमान द्वारा गैर-यूक्लिडियन ज्यामितियों की एक साथ खोजों ने गणितविदों को यूक्लिड की अंतर्निहित धारणाओं पर सवाल उठाने के लिए प्रेरित किया। प्रारंभिक फ्रांसीसी विश्लेषकों में से एक ने सिंथेटिक ज्यामिति का सारांश इस तरह दियाः यूक्लिड के तत्वों को सिंथेटिक विधि द्वारा माना जाता है। इस लेखक ने स्वयंसिद्धियों को प्रस्तुत करने और आवश्यकताओं को तैयार करने के बाद, उन प्रस्तावों को स्थापित किया जिन्हें वह क्रमिक रूप से पहले वाले द्वारा समर्थित साबित करते हैं, जो हमेशा सरल से यौगिक की ओर बढ़ते हैं, जो संश्लेषण का आवश्यक चरित्र है। सिंथेटिक ज्यामिति की पराकाष्ठा को 19वीं शताब्दी माना जा सकता है, जब निर्देशांक और कलन पर आधारित विश्लेषणात्मक तरीकों को जैकब स्टेनर जैसे कुछ ज्यामिति द्वारा प्रोजेक्ट ज्यामिति के विशुद्ध रूप से सिंथेटिक विकास के पक्ष में नजरअंदाज कर दिया गया था। उदाहरण के लिए, घटना के स्वयंसिद्धों से शुरू होने वाले प्रोजेक्टिव प्लेन का उपचार वास्तव में एक व्यापक सिद्धांत (अधिक मॉडलों के साथ) है जो आयाम तीन के वेक्टर स्थान से शुरू होने पर पाया जाता है। प्रोजेक्टिव ज्यामिति में वास्तव में किसी भी ज्यामिति की सबसे सरल और सबसे सुरुचिपूर्ण सिंथेटिक अभिव्यक्ति होती है। अपने एर्लान्जेन कार्यक्रम में, फेलिक्स क्लेन ने सिंथेटिक और विश्लेषणात्मक विधियों के बीच तनाव को कम कियाः आधुनिक ज्यामिति में सिंथेटिक और विश्लेषणात्मक विधि के बीच विरोधाभासः आधुनिक संश्लेषण और आधुनिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच के अंतर को अब आवश्यक नहीं माना जाना चाहिए, क्योंकि विषय-वस्तु और तर्क के दोनों तरीकों ने धीरे-धीरे दोनों में एक समान रूप ले लिया है। इसलिए हम पाठ में उन दोनों के सामान्य पदनाम के रूप में प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री शब्द चुनते हैं। यद्यपि कृत्रिम विधि का अंतरिक्ष-बोध से अधिक संबंध है और इस प्रकार यह अपने पहले सरल विकास को एक दुर्लभ आकर्षण प्रदान करता है, फिर भी अंतरिक्ष-बोध का क्षेत्र विश्लेषणात्मक विधि के लिए बंद नहीं है, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सूत्रों को ज्यामितीय संबंधों के एक सटीक और विशिष्ट कथन के रूप में देखा जा सकता है। दूसरी ओर, एक अच्छी तरह से तैयार किए गए विश्लेषण के मूल शोध के लाभ को कम करके नहीं आंका जाना चाहिए, यह विचार के आगे बढ़ने के कारण एक लाभ है। लेकिन इस बात पर हमेशा जोर दिया जाना चाहिए कि एक गणितीय विषय को तब तक समाप्त नहीं माना जाना चाहिए जब तक कि यह सहज रूप से स्पष्ट नहीं हो जाता है, और विश्लेषण की सहायता से की गई प्रगति केवल एक पहला कदम है, हालांकि एक बहुत ही महत्वपूर्ण कदम है। यूक्लिडियन ज्यामिति के निकट स्वयंसिद्ध अध्ययन ने लैम्बर्ट चतुर्भुज और सचेरी चतुर्भुज का निर्माण किया। इन संरचनाओं ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के क्षेत्र की शुरुआत की जहां यूक्लिड के समानांतर स्वयंसिद्ध को अस्वीकार कर दिया गया है। गॉस, बोल्यई और लोबाचेव्स्की ने स्वतंत्र रूप से हाइपरबोलिक ज्यामिति का निर्माण किया, जहां समानांतर रेखाओं में समानांतरता का एक कोण होता है जो उनके पृथक्करण पर निर्भर करता है। यह अध्ययन पोइनकेयर डिस्क मॉडल के माध्यम से व्यापक रूप से सुलभ हो गया जहां मोबियस परिवर्तनों द्वारा गतियाँ दी जाती हैं। इसी तरह, गॉस के एक छात्र, रीमैन ने रीमैनियन ज्यामिति का निर्माण किया, जिसमें से अण्डाकार ज्यामिति एक विशेष मामला है। एक अन्य उदाहरण लुडविग इमैनुएल मैग्नस द्वारा विकसित व्युत्क्रम ज्यामिति से संबंधित है, जिसे आत्मा में कृत्रिम माना जा सकता है। पारस्परिकता का निकटता से संबंधित संचालन तल के विश्लेषण को व्यक्त करता है। कार्ल वॉन स्टॉड्ट ने दिखाया कि बीजगणितीय स्वयंसिद्ध, जैसे कि कम्यूटेटिविटी और जोड़ और गुणन की एसोसिएटिविटी, वास्तव में ज्यामितीय विन्यास में रेखाओं की घटनाओं के परिणाम थे। डेविड हिल्बर्ट ने दिखाया कि डेसारग्यूज विन्यास ने एक विशेष भूमिका निभाई। आगे का काम रूथ मौफांग और उनके छात्रों द्वारा किया गया था। अवधारणाएँ आपतन ज्यामिति के प्रेरक रही हैं। जब समानांतर रेखाओं को प्राथमिक के रूप में लिया जाता है, तो संश्लेषण एफ़ाइन ज्यामिति उत्पन्न करता है। हालांकि यूक्लिडियन ज्यामिति एक एफ़ाइन और मीट्रिक ज्यामिति दोनों है, सामान्य रूप से एफ़ाइन रिक्त स्थान में एक मीट्रिक की कमी हो सकती है। इस प्रकार अतिरिक्त लचीलापन एफ़ाइन ज्यामिति को स्पेसटाइम के अध्ययन के लिए उपयुक्त बनाता है, जैसा कि एफ़ाइन ज्यामिति के इतिहास में चर्चा की गई है। 1955 में हर्बर्ट बुसमैन और पॉल जे. केली ने सिंथेटिक ज्यामिति के लिए एक उदासीन टिप्पणी कीः हालांकि अनिच्छा से, ज्यामितियों को यह स्वीकार करना चाहिए कि सिंथेटिक ज्यामिति की सुंदरता ने नई पीढ़ी के लिए अपनी अपील खो दी है। कारण स्पष्ट हैंः बहुत पहले सिंथेटिक ज्यामिति एकमात्र ऐसा क्षेत्र था जिसमें तर्क स्वयंसिद्ध से सख्ती से आगे बढ़ा, जबकि यह अपील-कई गणितीय रूप से रुचि रखने वाले लोगों के लिए इतनी मौलिक-अब कई अन्य क्षेत्रों द्वारा बनाई गई है। उदाहरण के लिए, कॉलेज के अध्ययन में अब रैखिक बीजगणित, टोपोलॉजी और ग्राफ सिद्धांत शामिल हैं जहां विषय को पहले सिद्धांतों से विकसित किया जाता है, और प्रस्तावों को प्राथमिक प्रमाणों द्वारा निकाला जाता है। सिंथेटिक को विश्लेषणात्मक ज्यामिति से बदलने की उम्मीद करने से ज्यामितीय सामग्री का नुकसान होता है। ज्यामिति के आज के छात्र के पास यूक्लिड के अलावा अन्य स्वयंसिद्ध सिद्धांत उपलब्ध हैंः हिल्बर्ट के स्वयंसिद्ध और टार्स्की के स्वयंसिद्ध देखें। अर्न्स्ट कोटर ने 1901 में "मोंगे से स्टाउड (1847) तक सिंथेटिक ज्यामिति के विकास" पर एक (जर्मन) रिपोर्ट प्रकाशित की; ज्यामितीय प्रमेयों के सिंथेटिक ज्यामिति सिंथेटिक प्रमाणों का उपयोग करने वाले प्रमाण सहायक निर्माण (जैसे सहायक रेखाएं) और अवधारणाओं जैसे पक्षों या कोणों की समानता और त्रिकोणों की समानता और एकरूपता का उपयोग करते हैं। इस तरह के प्रमाणों के उदाहरण बटरफ्लाई थ्योरम, एंगल बाइसेक्टर थ्योरम, अपोलोनिअस थ्योरम, ब्रिटिश फ्लैग थ्योरम, सेवा थ्योरम, इक्वल इनसर्कल्स थ्योरम, जियोमेट्रिक मीन थ्योरम, हेरॉन का सूत्र, आइसोसेलेस ट्राइएंगल थ्योरम, लॉ ऑफ कोसाइन और अन्य लेखों में पाए जा सकते हैं जो यहां से जुड़े हैं। कम्प्यूटेशनल सिंथेटिक ज्यामिति कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के संयोजन में, एक कम्प्यूटेशनल सिंथेटिक ज्यामिति की स्थापना की गई है, जिसका निकट संबंध है, उदाहरण के लिए, मैट्रायड सिद्धांत के साथ। सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति विभेदक कई गुना सिद्धांत की नींव के लिए टोपोस सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है। ज्यामिति की नींव घटना ज्यामिति सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति नोट्स संदर्भ हालस्टेड, जी. बी. भी देखें। (1896) एलिमेंट्री सिंथेटिक ज्योमेट्री वाया इंटरनेट आर्काइव हालस्टेड, जॉर्ज ब्रूस (1906) सिंथेटिक प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री, वाया इंटरनेट आर्काइव। हिल्बर्ट और कोहन-वोसेन, ज्यामिति और कल्पना। ज्यामिति के क्षेत्र