Hasse diagram
क्रम सिद्धांत में, एक हैस्से आरेख (;) एक प्रकार का गणितीय आरेख है जिसका उपयोग एक परिमित आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जो इसकी सकर्मक कमी के चित्र के रूप में होता है। ठोस रूप से, एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय के लिए एक समतल में एक शीर्ष के रूप में प्रत्येक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है और एक रेखा खंड या वक्र खींचता है जो एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष तक ऊपर की ओर जाता है जब भी कवर होता है (यानी, जब भी, और उससे और उसके साथ कोई अलग नहीं होता है)। ये वक्र एक दूसरे को पार कर सकते हैं लेकिन अपने अंतिम बिंदुओं के अलावा किसी भी शीर्ष को नहीं छूना चाहिए। इस तरह का आरेख, लेबल किए गए शीर्षों के साथ, विशिष्ट रूप से इसके आंशिक क्रम को निर्धारित करता है। हैस्से आरेखों का नाम हेल्मुट हैस्से (1898-1979) के नाम पर रखा गया है; गैरेट बिरखॉफ के अनुसार, उन्हें हैस्से के प्रभावी उपयोग के कारण ऐसा कहा जाता है। हालाँकि, हस इन आरेखों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। हस से पहले का एक उदाहरण इसमें पाया जा सकता है। हालांकि हैस्से आरेख मूल रूप से हाथ से आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेटों के चित्र बनाने के लिए एक तकनीक के रूप में तैयार किए गए थे, लेकिन उन्हें हाल ही में ग्राफ ड्राइंग तकनीकों का उपयोग करके स्वचालित रूप से बनाया गया है। वाक्यांश "हैस्से आरेख" एक अमूर्त निर्देशित चक्रीय आरेख के रूप में सकर्मक कमी को भी संदर्भित कर सकता है, स्वतंत्र रूप से उस आरेख के किसी भी चित्र से, लेकिन इस उपयोग को यहाँ छोड़ दिया गया है। हालांकि हैस्से आरेख सरल होने के साथ-साथ सहज ज्ञान युक्त भी होते हैं, लेकिन "अच्छे" आरेखों को बनाना मुश्किल हो जाता है। इसका कारण यह है कि, सामान्य रूप से, किसी दिए गए पोजेट के लिए हैस्से आरेख बनाने के कई अलग-अलग संभावित तरीके हैं। किसी क्रम के न्यूनतम तत्वों से शुरू करने और फिर अधिक से अधिक तत्वों को क्रमिक रूप से खींचने की सरल तकनीक अक्सर काफी खराब परिणाम देती हैः क्रम की समरूपता और आंतरिक संरचना आसानी से खो जाती है। निम्नलिखित उदाहरण इस मुद्दे को दर्शाता है। समावेशन द्वारा क्रमबद्ध 4-तत्व समुच्चय के शक्ति समुच्चय पर विचार करें। इस आंशिक क्रम के लिए नीचे चार अलग-अलग हस आरेख दिए गए हैं। प्रत्येक सबसेट में बाइनरी एन्कोडिंग के साथ लेबल किया गया एक नोड होता है जो दिखाता है कि कोई निश्चित तत्व सबसेट (1) में है या नहीं (0): पहला आरेख स्पष्ट करता है कि पावर सेट एक श्रेणीबद्ध स्थिति है। दूसरे आरेख में एक ही श्रेणीबद्ध संरचना है, लेकिन कुछ किनारों को दूसरों की तुलना में लंबा बनाकर, यह इस बात पर जोर देता है कि 4-आयामी घन दो 3-आयामी घनों का एक संयोजन है, और यह कि एक टेट्राहेड्रॉन (अमूर्त 3-पॉलीटोप) इसी तरह दो त्रिकोणों (अमूर्त 2-पॉलीटोप) का विलय करता है। तीसरा आरेख संरचना की कुछ आंतरिक समरूपता को दर्शाता है। चौथे आरेख में शीर्षों को 4×4 ग्रिड में व्यवस्थित किया गया है। ऊपर की ओर समतलता यदि एक आंशिक क्रम को हैस्से आरेख के रूप में खींचा जा सकता है जिसमें कोई दो किनारे पार नहीं होते हैं, तो इसके आवरण ग्राफ को ऊपर की ओर समतल कहा जाता है। ऊपर की ओर समतलता और क्रासिंग-फ्री हैस्से आरेख निर्माण पर कई परिणाम ज्ञात हैंः यदि आंशिक क्रम एक जाली है, तो इसे बिना क्रासिंग के खींचा जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसका क्रम आयाम अधिकतम दो हो। इस मामले में, क्रम आयाम को महसूस करते हुए दो रैखिक क्रम में तत्वों के लिए उनकी स्थिति से कार्टेशियन निर्देशांक प्राप्त करके, और फिर ड्राइंग को 45-डिग्री कोण से घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाकर एक गैर-क्रॉसिंग ड्राइंग पाया जा सकता है। यदि आंशिक क्रम में अधिकतम एक न्यूनतम तत्व है, या इसमें अधिकतम एक अधिकतम तत्व है, तो इसका रैखिक समय में परीक्षण किया जा सकता है कि क्या इसमें गैर-पार करने वाला हैस्से आरेख है। यह निर्धारित करने के लिए एन. पी.-पूर्ण है कि क्या कई स्रोतों और सिंक के साथ एक आंशिक क्रम को क्रॉसिंग-फ्री हैस्से आरेख के रूप में खींचा जा सकता है। हालांकि, एक पार-मुक्त हैस्से आरेख का पता लगाना निश्चित-पैरामीटर ट्रैक्टेबल होता है जब अभिव्यक्ति बिंदुओं की संख्या और आंशिक क्रम की सकर्मक कमी के त्रिकोणीय घटकों द्वारा पैरामीटर किया जाता है। यदि किसी आंशिक क्रम के तत्वों के y-निर्देशांक निर्दिष्ट किए जाते हैं, तो उन समन्वय कार्यों के संबंध में एक पार-मुक्त हास आरेख रैखिक समय में पाया जा सकता है, यदि ऐसा आरेख मौजूद है। विशेष रूप से, यदि इनपुट पोजेट एक श्रेणीबद्ध पोजेट है, तो रैखिक समय में यह निर्धारित करना संभव है कि क्या एक पार-मुक्त हैस्से आरेख है जिसमें प्रत्येक शीर्ष की ऊंचाई उसकी श्रेणी के समानुपाती है। यू. एम. एल. संकेतन सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग में, एक सॉफ्टवेयर प्रणाली के वर्गों और इन वर्गों के बीच विरासत संबंध को अक्सर एक वर्ग आरेख का उपयोग करके दर्शाया जाता है, जो हैस आरेख का एक रूप है जिसमें वर्गों को जोड़ने वाले किनारों को सुपरक्लास के अंत में एक खुले त्रिकोण के साथ ठोस रेखा खंडों के रूप में खींचा जाता है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक आरेख निर्देशित चक्रीय आरेख आरेख चित्रण समुच्चय सिद्धांत में चित्रमय अवधारणाएँ क्रम सिद्धांत