Plateau's problem
गणित में, पठार की समस्या एक दी गई सीमा के साथ एक न्यूनतम सतह के अस्तित्व को दिखाना है, जो 1760 में जोसेफ-लुईस लैग्रेंज द्वारा उठाई गई समस्या है। हालाँकि, इसका नाम जोसेफ पठार के नाम पर रखा गया है जिन्होंने साबुन फिल्मों के साथ प्रयोग किया था। इस समस्या को भिन्नताओं की गणना का हिस्सा माना जाता है। अस्तित्व और नियमितता की समस्याएं ज्यामितीय माप सिद्धांत का हिस्सा हैं। समस्या के विभिन्न विशेष रूपों को हल किया गया था, लेकिन यह केवल 1930 में था कि जेसी डगलस और टिबोर राडो द्वारा स्वतंत्र रूप से मानचित्रण (विसर्जन) के संदर्भ में सामान्य समाधान पाए गए थे। उनके तरीके काफी अलग थे; राडो का काम रेने गार्नियर के पिछले काम पर बनाया गया था और केवल सुधार योग्य सरल बंद वक्रों के लिए आयोजित किया गया था, जबकि डगलस ने एक मनमाने ढंग से सरल बंद वक्र के लिए अपने परिणाम धारण के साथ पूरी तरह से नए विचारों का उपयोग किया। दोनों न्यूनतम समस्याओं को स्थापित करने पर निर्भर थे; डगलस ने अब नामित डगलस इंटीग्रल को न्यूनतम किया जबकि राडो ने "ऊर्जा" को न्यूनतम किया। डगलस को उनके प्रयासों के लिए 1936 में फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया। उच्च आयामों में समस्या का उच्च आयामों तक विस्तार (अर्थात, आयामी स्थान में आयामी सतहों के लिए) का अध्ययन करना अधिक कठिन हो जाता है। इसके अलावा, जबकि मूल समस्या के समाधान हमेशा नियमित होते हैं, यह पता चलता है कि विस्तारित समस्या के समाधान में विलक्षणता हो सकती है। अतिसूक्ष्म सतह के मामले में जहाँ, विलक्षणताएँ केवल के लिए होती हैं। पठार समस्या के इस तरह के एकल समाधान का एक उदाहरण साइमन्स शंकु है, जिसमें एक शंकु है जिसे पहली बार जिम साइमन्स द्वारा वर्णित किया गया था और इसे बॉम्बीरी, डी जियोर्गी और गिउस्टी द्वारा एक क्षेत्र न्यूनतमकर्ता के रूप में दिखाया गया था। कुछ विशेष मामलों में विस्तारित समस्या को हल करने के लिए, कोडिमेंशन 1 के लिए परिधि (डी जियोर्गी) का सिद्धांत और उच्च कोडिमेंशन के लिए सुधार योग्य धाराओं (फेडरर और फ्लेमिंग) का सिद्धांत विकसित किया गया है। यह सिद्धांत कोडिमेंशन 1 समाधानों के अस्तित्व की गारंटी देता है जो हौसडॉर्फ आयाम के एक बंद सेट से सुचारू रूप से दूर हैं। उच्च कोडिमेंशन के मामले में अल्मग्रेन ने अपने नियमितता प्रमेय में आयाम के एकवचन सेट के साथ समाधानों के अस्तित्व को साबित किया। अल्मग्रेन के एक छात्र एस. एक्स. चांग ने अल्मग्रेन के काम पर यह दिखाने के लिए निर्माण किया कि 2-आयामी क्षेत्र की विलक्षणताएँ जो अभिन्न धाराओं को कम करती हैं (मनमाने ढंग से कोडिमेंशन में) एक परिमित असतत समुच्चय बनाती हैं। जेनी हैरिसन और हैरिसन पघ का स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के विशेष मामलों का इलाज करता है। विशेष रूप से, वे सामान्य समरूपता, समरूपता या समस्थानिक विस्तार स्थितियों के संयोजन को संतुष्ट करने वाले सुधार योग्य समुच्चयों के किसी भी संग्रह के लिए मनमाने आयाम और संहिताकरण में अनिसोट्रोपिक पठार समस्या को हल करते हैं। हैरिसन-पुघ के परिणामों का एक अलग प्रमाण कैमिलो डी लेलिस, फ्रांसेस्को घिराल्डिन और फ्रांसेस्को मैगी द्वारा प्राप्त किया गया था। भौतिक अनुप्रयोग भौतिक साबुन फिल्मों को फ्रेडरिक अल्मग्रेन के-न्यूनतम सेटों द्वारा अधिक सटीक रूप से मॉडल किया जाता है, लेकिन एक सघनता प्रमेय की कमी से एक क्षेत्र न्यूनतम के अस्तित्व को साबित करना मुश्किल हो जाता है। इस संदर्भ में, एक लगातार खुला सवाल एक कम से कम क्षेत्र वाली साबुन फिल्म का अस्तित्व रहा है। अर्न्स्ट रॉबर्ट रीफ़ेनबर्ग ने ऐसी सीमाओं के लिए "सार्वभौमिक पठार की समस्या" को हल किया जो एकल अंतर्निहित क्षेत्रों के लिए समरूप हैं। डबल बबल अनुमान डिरिचलेट सिद्धांत पठार के नियम स्ट्रेच्ड ग्रिड विधि बर्नस्टीन की समस्या संदर्भ विविधताओं की गणना न्यूनतम सतह गणितीय समस्याएं देखें।