Chapman–Kolmogorov equation
गणित में, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में मार्कोवियन यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण (सी. के. ई.) एक यादृच्छिक प्रक्रिया पर निर्देशांक के विभिन्न सेटों के संयुक्त संभाव्यता वितरण से संबंधित एक पहचान है। यह समीकरण ब्रिटिश गणितशास्त्री सिडनी चैपमैन और रूसी गणितशास्त्री आंद्रेई कोल्मोगोरोव दोनों द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था। सी. के. ई. का उपयोग हाल के वैरिएशनल बायेसियन तरीकों में प्रमुखता से किया जाता है। गणितीय विवरण मान लीजिए कि {fi} यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रमित संग्रह है, यानी एक यादृच्छिक प्रक्रिया। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर f1 से fn के मूल्यों का संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन है। फिर, चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण है अर्थात। उपद्रव चर पर एक सीधा हाशिए पर। (ध्यान दें कि यादृच्छिक चर के अस्थायी (या किसी अन्य) क्रम के बारे में अभी तक कुछ भी नहीं माना गया है-उपरोक्त समीकरण उनमें से किसी के भी हाशिए पर समान रूप से लागू होता है।) समय-विस्तारित मार्कोव श्रृंखलाओं पर अनुप्रयोग जब विचाराधीन यादृच्छिक प्रक्रिया मार्कोवियन होती है, तो चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण संक्रमण घनत्वों पर एक पहचान के बराबर होता है। मार्कोव चेन सेटिंग में, यह माना जाता है कि i1 <. <in। फिर, मार्कोव गुण के कारण, जहां सशर्त संभावना समय के बीच संक्रमण संभावना है। तो, चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण अनौपचारिक रूप से रूप लेता है, यह कहता है कि अवस्था 1 से अवस्था 3 तक जाने की संभावना 1 से मध्यवर्ती अवस्था 2 और फिर 2 से 3 तक जाने की संभावनाओं से सभी संभावित मध्यवर्ती अवस्थाओं 2 को जोड़कर पाई जा सकती है। जब एक मार्कोव श्रृंखला के अवस्था स्थान पर संभाव्यता वितरण असतत होता है और मार्कोव श्रृंखला सजातीय होती है, तो चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरणों को (संभवतः अनंत-आयामी) मैट्रिक्स गुणन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, इस प्रकारः जहां पी (टी) जंप टी का संक्रमण मैट्रिक्स है, यानी, पी (टी) मैट्रिक्स ऐसा है कि प्रविष्टि (आई, जे) में श्रृंखला की अवस्था आई से अवस्था जे में जाने की संभावना होती है। एक परिणाम के रूप में, यह इस प्रकार है कि जंप टी के संक्रमण मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, यह जंप वन के संक्रमण मैट्रिक्स को टी की शक्ति तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है, जो कि चैपमैन-कोल्मोगोरोव समीकरण के अंतर रूप को एक मास्टर समीकरण के रूप में जाना जाता है। फोकर-प्लैंक समीकरण (जिसे कोल्मोगोरोव फॉरवर्ड समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) कोल्मोगोरोव बैकवर्ड समीकरण मार्कोव श्रृंखलाओं के उदाहरण आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक समीकरण मार्कोव प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक कलन