Lemoine's problem
ज्यामिति में, लेमोइन की समस्या 1868 में फ्रांसीसी गणितशास्त्री एमिल लेमोइन द्वारा प्रस्तुत एक सीधी धार और कम्पास निर्माण समस्या हैः एक त्रिभुज के किनारों पर रखे गए प्रत्येक समबाहु त्रिभुज के एक शीर्ष को देखते हुए, मूल त्रिभुज का निर्माण करें। इस समस्या को प्रश्न 864 के रूप में प्रकाशित किया गया था (श्रृंखला 2, खंड 7 (1868), पृष्ठ 191)। समस्या में मुख्य रुचि यह है कि (श्रृंखला 2, खंड 8 (1869), पीपी 40-42) में प्रकाशित लुडविग कीपर्ट द्वारा समस्या के समाधान की चर्चा में एक हाइपरबोला का वर्णन था जिसे अब कीपर्ट हाइपरबोला के रूप में जाना जाता है। लुडविग कीपर्ट का समाधान कीपर्ट कुछ व्याख्याओं को साबित करके उनके निर्माण की वैधता को स्थापित करता है। समस्या दी गई संरचना में त्रिभुज के किनारों पर रखे गए समबाहु त्रिभुजों के शीर्ष माने जाते हैं। लेम्मा 1 यदि एक मनमाने त्रिभुज की तीन भुजाओं पर कोई समबाहु त्रिभुज का वर्णन करता है तो रेखा खंड बराबर होते हैं, वे एक बिंदु पर सहमत होते हैं, और वे एक दूसरे को बनाने वाले कोण 60° के बराबर होते हैं। लेम्मा 2 यदि एक पर वही निर्माण होता है जिस पर तीन समबाहु त्रिभुज होंगे तो तीन समान रेखा खंड होंगे जो बिंदु पर भी सहमत होंगे। लेम्मा 3 क्रमशः समाधान के मध्य बिंदु हैं जो खंडों पर क्रमशः समबाहु त्रिभुज का वर्णन करते हैं। के मध्य बिंदु, क्रमशः, आवश्यक त्रिभुज के शीर्ष हैं। अन्य समाधान कीपर्ट के अलावा कई अन्य लोगों ने 1868-9 के दौरान अपने समाधान प्रस्तुत किए, जिनमें मेसर्स विलियर (अर्लन में), ब्रोकार्ड, क्लेवरी (लिसी डी क्लेरमोंट), जोफ्रे (लिसी शारलेमेन), रेसीन (लिसी डी पोइटियर्स), ऑगियर (लिसी डी केन), वी. नीबिलोव्स्की और एल. हेनरी लॉरेज़ शामिल हैं। कीपर्ट का समाधान दूसरों की तुलना में अधिक पूर्ण था। संदर्भ त्रिकोण समस्याएं