Yang–Mills equations
भौतिकी और गणित में, और विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति और मापक सिद्धांत में, यांग-मिल्स समीकरण एक वेक्टर बंडल या प्रमुख बंडल पर एक संबंध के लिए आंशिक विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली है। वे भौतिकी में यांग-मिल्स क्रिया कार्यात्मक के यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के रूप में उत्पन्न होते हैं। उन्हें गणित में भी महत्वपूर्ण उपयोग मिला है। समीकरणों के समाधानों को यांग-मिल्स कनेक्शन या इंस्टैंटॉन कहा जाता है। डोनाल्डसन के प्रमेय को साबित करने के लिए साइमन डोनाल्डसन द्वारा इंस्टेंटन के मॉडुली स्थान का उपयोग किया गया था। अभिप्रेरणा भौतिकी गेज सिद्धांतों के विषय पर अपने मूलभूत शोध पत्र में, रॉबर्ट मिल्स और चेन-निंग यांग ने (अनिवार्य रूप से गणितीय साहित्य से स्वतंत्र) प्रमुख बंडलों और कनेक्शनों का सिद्धांत विकसित किया ताकि गेज समरूपता और गेज अपरिवर्तनीयता की अवधारणा की व्याख्या की जा सके क्योंकि यह भौतिक सिद्धांतों पर लागू होता है। यांग और मिल्स द्वारा खोजे गए गेज सिद्धांतों, जिन्हें अब यांग-मिल्स सिद्धांत कहा जाता है, ने मैक्सवेल के समीकरणों पर जेम्स मैक्सवेल के शास्त्रीय कार्य को सामान्यीकृत किया, जिन्हें वोल्फगैंग पाउली और अन्य लोगों द्वारा गेज सिद्धांत की भाषा में प्रस्तुत किया गया था। यांग और मिल्स के काम की नवीनता लाइ समूह के मनमाने चयन के लिए गेज सिद्धांतों को परिभाषित करना था, जिसे संरचना समूह कहा जाता है (या भौतिकी में गेज समूह, अधिक विवरण के लिए गेज समूह (गणित) देखें)। यह समूह विद्युत चुंबकत्व के अनुरूप मामले के विपरीत गैर-एबेलियन हो सकता है, और ऐसी वस्तुओं पर चर्चा करने के लिए सही ढांचा प्रमुख बंडलों का सिद्धांत है। यांग और मिल्स के काम के आवश्यक बिंदु इस प्रकार हैं। एक व्यक्ति यह मानता है कि एक भौतिक मॉडल का मौलिक विवरण क्षेत्रों के उपयोग के माध्यम से होता है, और यह निष्कर्ष निकालता है कि एक स्थानीय गेज परिवर्तन (प्रमुख बंडल के स्थानीय तुच्छकरण का परिवर्तन) के तहत, इन भौतिक क्षेत्रों को ठीक उसी तरह से बदलना चाहिए जैसे एक संबंध (भौतिकी में, एक गेज क्षेत्र) एक प्रमुख बंडल पर परिवर्तित होता है। गेज क्षेत्र की ताकत कनेक्शन की वक्रता है, और गेज क्षेत्र की ऊर्जा यांग-मिल्स एक्शन फंक्शनल द्वारा (एक स्थिरांक तक) दी जाती है। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत यह निर्धारित करता है कि इस भौतिक सिद्धांत के लिए गति के सही समीकरण इस फंक्शनल के यूलर-लैग्रेंज समीकरणों द्वारा दिए जाने चाहिए, जो नीचे दिए गए यांग-मिल्स समीकरण हैंः गणित सिद्धांत की भौतिक उत्पत्ति के अलावा, यांग-मिल्स समीकरण महत्वपूर्ण ज्यामितीय रुचि के हैं। सामान्य तौर पर वेक्टर बंडल या प्रमुख बंडल पर कनेक्शन का कोई प्राकृतिक विकल्प नहीं होता है। विशेष मामले में जहां यह बंडल एक रीमानियन मैनिफोल्ड के लिए स्पर्शरेखा बंडल है, ऐसा एक प्राकृतिक विकल्प है, लेवी-सिविटा कनेक्शन, लेकिन सामान्य रूप से संभावित विकल्पों का एक अनंत-आयामी स्थान है। एक यांग-मिल्स कनेक्शन एक सामान्य फाइबर बंडल के लिए कनेक्शन का एक प्रकार का प्राकृतिक विकल्प देता है, जैसा कि हम अब वर्णन करते हैं। बंडल के लिए एक तुच्छ खुले आवरण के लिए एक कनेक्शन को उसके स्थानीय रूपों द्वारा परिभाषित किया जाता है। केनोनिकल कनेक्शन चुनने का पहला प्रयास यह मांग करना हो सकता है कि ये रूप गायब हो जाएं। हालाँकि, यह तब तक संभव नहीं है जब तक कि तुच्छता सपाट न हो, इस अर्थ में कि संक्रमण कार्य स्थिर कार्य हैं। हर बंडल सपाट नहीं होता है, इसलिए यह सामान्य रूप से संभव नहीं है। इसके बजाय कोई यह पूछ सकता है कि स्थानीय कनेक्शन फॉर्म स्वयं स्थिर हैं। एक प्रमुख बंडल पर इस स्थिति को व्यक्त करने का सही तरीका यह है कि वक्रता गायब हो जाती है। हालांकि, चेरन-वेल सिद्धांत के अनुसार यदि वक्रता गायब हो जाती है (अर्थात, एक सपाट संबंध है), तो अंतर्निहित प्रमुख बंडल में तुच्छ चेरन वर्ग होने चाहिए, जो सपाट कनेक्शन के अस्तित्व के लिए एक स्थलवैज्ञानिक बाधा हैः हर प्रमुख बंडल में एक सपाट संबंध नहीं हो सकता है। सबसे अच्छी उम्मीद यह है कि वक्रता गायब होने के बजाय, बंडल की वक्रता यथासंभव छोटी हो। ऊपर वर्णित यांग-मिल्स क्रिया कार्यात्मकता वक्रता के-मानक का सटीक (वर्ग) है, और इसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण इस कार्यात्मकता के महत्वपूर्ण बिंदुओं का वर्णन करते हैं, या तो निरपेक्ष मिनीमा या स्थानीय मिनीमा। कहने का मतलब है, यांग-मिल्स कनेक्शन ठीक वही हैं जो उनकी वक्रता को कम करते हैं। इस अर्थ में वे गणितीय दृष्टिकोण से एक प्रमुख या वेक्टर बंडल पर कई गुना पर संबंध का स्वाभाविक विकल्प हैं। परिभाषा एक कॉम्पैक्ट, उन्मुख, रीमानियन मैनिफोल्ड होने दें। यांग-मिल्स समीकरणों को कुछ कॉम्पैक्ट लाइ समूह के लिए वेक्टर बंडल या प्रिंसिपल-बंडल पर एक कनेक्शन के लिए शब्दबद्ध किया जा सकता है। यहाँ बाद का सम्मेलन प्रस्तुत किया गया है। आइए एक प्रमुख-बंडल को दर्शाते हैं। फिर एक कनेक्शन को प्रमुख बंडल के कुल स्थान पर एक लाइ बीजगणित-मूल्यवान विभेदक रूप द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस संबंध में एक वक्रता रूप होता है, जो एक दो-रूप होता है और इसके संलग्न बंडल में मान होते हैं। कनेक्शन से जुड़ा एक बाहरी सहपरिवर्तन व्युत्पन्न है, जिसे संलग्न बंडल पर परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त, चूंकि यह कॉम्पैक्ट है, इसलिए इसका संबद्ध कॉम्पैक्ट लाइ बीजगणित संलग्न प्रतिनिधित्व के तहत एक अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद को स्वीकार करता है। चूंकि रीमानियन है, इसलिए कोटेनजेंट बंडल पर एक आंतरिक उत्पाद होता है, और अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद के साथ संयुक्त होने पर-मूल्यवान दो-रूपों के बंडल पर एक आंतरिक उत्पाद होता है। चूंकि यह उन्मुख है, इसलिए इस बंडल के अनुभागों पर एक-इनर उत्पाद है। अर्थात्, जहां समाकलन के अंदर बंडल-वार आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया जा रहा है, और इसका रीमानियन आयतन रूप है। इस-इनर उत्पाद का उपयोग करते हुए, के औपचारिक सहायक प्रचालक को परिभाषित किया गया है। स्पष्ट रूप से यह इस प्रकार दिया गया है कि हॉज स्टार ऑपरेटर दो रूपों पर कहाँ काम कर रहा है। उपरोक्त व्यवस्था को मानते हुए, यांग-मिल्स समीकरण (सामान्य रूप से गैर-रैखिक) आंशिक विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली है, क्योंकि हॉज तारा एक समरूपता है, यांग-मिल्स समीकरणों के लिए स्पष्ट सूत्र द्वारा समतुल्य रूप से लिखा जा सकता है A संबंध संतोषजनक () या () को यांग-मिल्स संबंध कहा जाता है। प्रत्येक कनेक्शन स्वचालित रूप से बियांची पहचान को संतुष्ट करता है, इसलिए यांग-मिल्स कनेक्शन को हार्मोनिक अंतर रूपों के गैर-रैखिक एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है, जो संतुष्ट करते हैं। इस अर्थ में यांग-मिल्स कनेक्शन की खोज की तुलना हॉज सिद्धांत से की जा सकती है, जो एक अंतर रूप के डी राम कोहोमोलॉजी वर्ग में एक हार्मोनिक प्रतिनिधि की तलाश करता है। सादृश्य यह है कि एक यांग-मिल्स कनेक्शन एक प्रमुख बंडल पर सभी संभावित कनेक्शनों के सेट में एक हार्मोनिक प्रतिनिधि की तरह है। व्युत्पत्ति यांग-मिल्स समीकरण यांग-मिल्स कार्यात्मक के यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है। () के महत्वपूर्ण बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, गणना करें कनेक्शन यांग-मिल्स कार्यात्मक का एक महत्वपूर्ण बिंदु है यदि और केवल तभी जब यह प्रत्येक के लिए गायब हो जाता है, और यह ठीक तब होता है जब () संतुष्ट होता है। यांग-मिल्स कनेक्शनों का मॉडुली स्थान यांग-मिल्स समीकरण गेज अपरिवर्तनीय हैं। गणितीय रूप से, एक गेज परिवर्तन प्रमुख बंडल का एक ऑटोमोर्फिज्म है, और चूंकि आंतरिक उत्पाद अपरिवर्तनीय है, इसलिए यांग-मिल्स कार्यात्मक संतुष्ट करता है और इसलिए यदि संतुष्ट करता है (), तो ऐसा ही होता है। यांग-मिल्स कनेक्शन मॉड्यूलो गेज परिवर्तनों का एक मॉड्यूली स्थान है। के ऑटोमोर्फिज्म के गेज समूह द्वारा निरूपित करें। सेट सभी कनेक्शन मॉड्यूलो गेज परिवर्तनों को वर्गीकृत करता है, और यांग-मिल्स कनेक्शन का मॉड्यूली स्थान एक सबसेट है। सामान्य तौर पर न तो हौसडॉर्फ या एक चिकना मैनिफोल्ड है। हालांकि, अपरिवर्तनीय कनेक्शनों तक सीमित करके, यानी ऐसे कनेक्शन जिनके होलोनॉमी समूह सभी द्वारा दिए गए हैं, कोई भी हौसडॉर्फ रिक्त स्थान प्राप्त करता है। इरेड्यूसिबल कनेक्शन के स्थान को दर्शाया जाता है, और इसलिए मॉड्यूली रिक्त स्थान को और दर्शाया जाता है। यांग-मिल्स कनेक्शन के मॉड्यूली स्थानों का विशिष्ट परिस्थितियों में गहन अध्ययन किया गया है। माइकल अतियाह और राउल बॉट ने कॉम्पैक्ट रीमान सतहों पर बंडलों के लिए यांग-मिल्स समीकरणों का अध्ययन किया। वहाँ मॉडुली स्थान होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के मॉडुली स्थान के रूप में एक वैकल्पिक विवरण प्राप्त करता है। यह नरसिम्हन-शेषाद्री प्रमेय है, जो डोनाल्डसन द्वारा होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के लिए यांग-मिल्स कनेक्शन से संबंधित इस रूप में साबित किया गया था। इस सेटिंग में मॉडुली स्पेस में एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड की संरचना होती है। यांग-मिल्स कनेक्शन के मॉडुली का सबसे अधिक अध्ययन तब किया गया है जब आधार मैनिफोल्ड का आयाम चार होता है। यहाँ यांग-मिल्स समीकरण द्वितीय-क्रम पीडीई से प्रथम-क्रम पीडीई, स्व-द्वैत-विरोधी समीकरणों के सरलीकरण को स्वीकार करते हैं। स्व-द्वैत-विरोधी समीकरण जब आधार मैनिफोल्ड का आयाम चार होता है, तो एक संयोग होता हैः हॉज स्टार ऑपरेटर दो रूपों को दो रूपों में मानचित्रित करता है। हॉज स्टार ऑपरेटर इस मामले में पहचान के लिए वर्ग करता है, और इसलिए आइगेनवैल्यू और है। विशेष रूप से, स्व-द्वैत और स्व-द्वैत विरोधी दो रूपों के सकारात्मक और नकारात्मक आइगेनस्पेस में एक अपघटन होता है। यदि चार गुना से अधिक प्रिंसिपल-बंडल पर एक कनेक्शन या तो संतुष्ट करता है या फिर () द्वारा, कनेक्शन एक यांग-मिल्स कनेक्शन है। इन कनेक्शनों को या तो स्व-द्वंद्व कनेक्शन या स्व-द्वंद्व-विरोधी कनेक्शन कहा जाता है, और समीकरणों को स्व-द्वंद्व (एस. डी.) समीकरण और स्व-द्वंद्व-विरोधी (ए. एस. डी.) समीकरण कहा जाता है। सेल्फ-डुअल और एंटी-सेल्फ-डुअल कनेक्शन के रिक्त स्थान को और, और इसी तरह और के लिए दर्शाया जाता है। ए. एस. डी. कनेक्शन, या इंस्टेंटन के मॉडुली स्थान का डोनाल्डसन द्वारा उस मामले में सबसे अधिक गहन अध्ययन किया गया था जहां और सरलता से जुड़ा हुआ है। इस सेटिंग में, प्रमुख-बंडल को इसके दूसरे चेरन वर्ग द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। मुख्य बंडल के विभिन्न विकल्पों के लिए, दिलचस्प गुणों के साथ मॉडुली रिक्त स्थान प्राप्त किया जाता है। ये स्थान हौसडॉर्फ हैं, भले ही कम किए जा सकने वाले कनेक्शनों की अनुमति देते हों, और सामान्य रूप से चिकने होते हैं। यह डोनाल्डसन द्वारा दिखाया गया था कि चिकना हिस्सा उन्मुख है। अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय के अनुसार, कोई यह गणना कर सकता है कि एएसडी कनेक्शन के मॉड्यूली स्पेस का आयाम कब, जहाँ पहली बेट्टी संख्या है, और प्रतिच्छेदन के संबंध में के सकारात्मक-निश्चित उपक्षेत्र का आयाम है। उदाहरण के लिए, कब और, प्रतिच्छेदन रूप तुच्छ है और मॉड्यूली स्थान का आयाम है। यह बी. पी. एस. टी. इंस्टैंटन के अस्तित्व से सहमत है, जो अपने केंद्र और उसके पैमाने को परिभाषित करने वाले 5 पैरामीटर परिवार तक का अद्वितीय ए. एस. डी. इंस्टैंटन है। उलेनबेक के हटाने योग्य विलक्षणता प्रमेय का उपयोग करके इस तरह के क्षणों को अनंत बिंदु पर विस्तारित किया जा सकता है। अनुप्रयोग डोनाल्डसन की प्रमेय यांग-मिल्स समीकरणों के मॉडुली स्थान का उपयोग डोनाल्डसन द्वारा डोनाल्डसन की प्रमेय को सरलता से जुड़े चार-मैनिफोल्ड के प्रतिच्छेदन रूप के बारे में साबित करने के लिए किया गया था। क्लिफोर्ड टौब्स और करेन उह्लेनबेक के विश्लेषणात्मक परिणामों का उपयोग करते हुए, डोनाल्डसन यह दिखाने में सक्षम थे कि विशिष्ट परिस्थितियों में (जब प्रतिच्छेदन रूप निश्चित होता है) एक चिकनी, सघन, उन्मुख, सरलता से जुड़े चार-गुणा पर एएसडी इंस्टेंटन्स का मॉड्यूली स्थान कई गुना की एक प्रति और जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन की प्रतियों के एक असंगत संघ के बीच एक समन्वय प्रदान करता है। प्रतिच्छेदन रूप समरूपता तक अपरिवर्तनीय एक कोबोर्डिज़्म है, जो दर्शाता है कि इस तरह के किसी भी चिकने मैनिफोल्ड में विकर्ण प्रतिच्छेदन रूप होता है। ए. एस. डी. इंस्टेंटन के मॉडुली स्थान का उपयोग चार-मैनिफोल्ड के आगे के अपरिवर्तकों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। डोनाल्डसन ने मॉड्यूली स्पेस पर कोहोमोलॉजी वर्गों की जोड़ी से उत्पन्न होने वाली चार-मैनिफोल्ड से जुड़ी परिमेय संख्याओं को परिभाषित किया। इस काम को बाद में सीबर्ग-विटन अपरिवर्तकों द्वारा पार कर लिया गया है। आयामी कमी और अन्य मॉडुली रिक्त स्थान आयामी कमी की प्रक्रिया के माध्यम से, यांग-मिल्स समीकरणों का उपयोग विभेदक ज्यामिति और गेज सिद्धांत में अन्य महत्वपूर्ण समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। आयामी कमी यांग-मिल्स समीकरणों को चार गुना से अधिक लेने की प्रक्रिया है, आमतौर पर, और यह लागू करना कि समाधान एक समरूपता समूह के तहत अपरिवर्तनीय हों। उदाहरण के लिएः एक ही दिशा में अनुवाद के तहत स्व-द्वैत-विरोधी समीकरणों को अपरिवर्तनीय होने की आवश्यकता से, कोई बोगोमोलेनी समीकरण प्राप्त करता है जो चुंबकीय मोनोपोल का वर्णन करते हैं। दो दिशाओं में अनुवाद के तहत स्व-द्वैत समीकरणों को अपरिवर्तनीय होने की आवश्यकता से, एक व्यक्ति हिचिन के समीकरणों को प्राप्त करता है जिनकी पहली बार हिचिन द्वारा जांच की गई थी। ये समीकरण स्वाभाविक रूप से हिग्स बंडलों और हिचिन प्रणाली के अध्ययन की ओर ले जाते हैं। स्व-द्वैत-विरोधी समीकरणों को तीन दिशाओं में अपरिवर्तनीय होने की आवश्यकता से, एक अंतराल पर नाहम समीकरण प्राप्त होते हैं। आयामी रूप से कम किए गए एएसडी समीकरणों के समाधानों के बीच एक द्वंद्व है और जिसे वर्नर नाहम के बाद नाहम परिवर्तन कहा जाता है, जिन्होंने पहली बार नाहम समीकरण डेटा से मोनोपोल का निर्माण करने का वर्णन किया था। हिचिन ने इसके विपरीत दिखाया, और डोनाल्डसन ने साबित किया कि नाहम समीकरणों के समाधान को आगे जटिल प्रोजेक्टिव रेखा से तर्कसंगत मानचित्रों के मॉड्यूली रिक्त स्थान से जोड़ा जा सकता है। इन समाधानों के लिए देखी गई द्वैतता को चार गुना की सममितियों के मनमाने दोहरे समूहों के लिए धारण करने के लिए सिद्धांतित किया जाता है। वास्तव में अंदर दोहरे जाली के तहत अपरिवर्तनीय इंस्टैंटॉनों के बीच एक समान द्वैतता है, दोहरे चार-आयामी टोरी पर इंस्टैंटॉन, और ए. डी. एच. एम. निर्माण को एक ही बिंदु पर इंस्टैंटॉनों और दोहरे बीजगणितीय डेटा के बीच द्वैतता के रूप में सोचा जा सकता है। ए. एस. डी. समीकरणों की सममिति में कमी भी कई समाकलनीय प्रणालियों की ओर ले जाती है, और वार्ड का अनुमान है कि वास्तव में सभी ज्ञात समाकलनीय ओ. डी. ई. और पी. डी. ई. ए. एस. डी. वाई. एम. की सममिति में कमी से आते हैं। उदाहरण के लिए, एस. यू. (2) ए. एस. डी. वाई. एम. की कटौती से साइन-गॉर्डन और कोर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण मिलता है, ए. एस. डी. वाई. एम. का ज़िटज़ीका समीकरण मिलता है, और आयामों में एक विशेष कमी से वार्ड का एकीकृत कायरल मॉडल मिलता है। इस अर्थ में यह समाकलनीय प्रणालियों के लिए एक 'प्रमुख सिद्धांत' है, जो कई ज्ञात प्रणालियों को उचित मापदंडों को चुनकर पुनर्प्राप्त करने की अनुमति देता है, जैसे कि गेज समूह का चयन और समरूपता में कमी योजना। इस तरह के अन्य प्रमुख सिद्धांत चार-आयामी चेरन-साइमन्स सिद्धांत और एफ़ाइन गौडिन मॉडल हैं। एक सघन रीमान सतह पर यांग-मिल्स समीकरणों के मॉडुली स्थान को एक सिलेंडर पर चेरन-साइमन सिद्धांत के विन्यास स्थान के रूप में देखा जा सकता है। इस मामले में मॉडुली स्थान एक ज्यामितीय परिमाणीकरण को स्वीकार करता है, जिसे निगेल हिचिन और एक्सेलरोड-डेला पिएट्रा-विटन द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजा गया था। यह भी देखें कनेक्शन (वेक्टर बंडल) कनेक्शन (प्रमुख बंडल) डोनाल्डसन सिद्धांत हर्मिशियन यांग-मिल्स समीकरण विकृत हर्मिशियन यांग-मिल्स समीकरण यांग-मिल्स-हिग्स समीकरण नोट्स संदर्भ विभेदक ज्यामिति गणितीय भौतिकी आंशिक विभेदक समीकरण