Generalized Clifford algebra
गणित में, एक सामान्यीकृत क्लिफोर्ड बीजगणित (जी. सी. ए.) एक एकात्मक सहयोगी बीजगणित है जो क्लिफोर्ड बीजगणित का सामान्यीकरण करता है, और हर्मन वेल के काम पर वापस जाता है, जिन्होंने जे. जे. सिल्वेस्टर (1882) द्वारा शुरू किए गए इन घड़ी-और-शिफ्ट ऑपरेटरों का उपयोग किया और उन्हें औपचारिक रूप दिया, और कार्टन (1898) और श्विंगर द्वारा आयोजित किया गया। घड़ी और शिफ्ट मैट्रिक्स गणितीय भौतिकी के कई क्षेत्रों में नियमित अनुप्रयोग पाते हैं, जो परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में क्वांटम यांत्रिक गतिकी की आधारशिला प्रदान करते हैं। एक स्पिनोर की अवधारणा को आगे इन बीजगणितों से जोड़ा जा सकता है। सामान्यीकृत क्लिफोर्ड अल्जेब्रा शब्द उन सहयोगी अल्जेब्रा को भी संदर्भित कर सकता है जिनका निर्माण द्विघात रूपों के बजाय उच्च डिग्री के रूपों का उपयोग करके किया जाता है। परिभाषा और गुण अमूर्त परिभाषा-आयामी सामान्यीकृत क्लिफोर्ड बीजगणित को एक क्षेत्र पर एक सहयोगी बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, जो और द्वारा उत्पन्न होता है। इसके अलावा, भौतिक अनुप्रयोगों के लिए प्रासंगिक किसी भी इरेड्यूसिबल मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, यह आवश्यक है कि, और जीसीडी। अधिक विशिष्ट परिभाषा जी. सी. ए. के अधिक सामान्य मामलों में, क्रम के-आयामी सामान्यीकृत क्लिफोर्ड बीजगणित में सभी जे, के और के लिए गुण है। यह इस प्रकार है और सभी के लिए जे, के, एल = 1,., एन, और 1 का th मूल है। साहित्य में सामान्यीकृत क्लिफोर्ड बीजगणित की कई परिभाषाएँ मौजूद हैं। क्लिफोर्ड बीजगणित (ऑर्थोगोनल) क्लिफोर्ड बीजगणित में, तत्व एक कम्यूटेशन विरोधी नियम का पालन करते हैं। मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व घड़ी और शिफ्ट मैट्रिक्स को श्विंगर के विहित संकेतन में मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। विशेष रूप से, (वेल ब्रैडिंग संबंध), और (असतत फूरियर परिवर्तन)। एक के साथ, तीन आधार तत्व होते हैं जो सामान्यीकृत क्लिफोर्ड बीजगणित (जी. सी. ए.) की उपरोक्त शर्तों को पूरा करते हैं। ये मैट्रिक्स, और, जिन्हें आम तौर पर "शिफ्ट और क्लॉक मैट्रिक्स" के रूप में जाना जाता है, 1880 के दशक में जे. जे. सिल्वेस्टर द्वारा पेश किए गए थे। (ध्यान दें कि मैट्रिक्स चक्रीय क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स हैं जो एक गोलाकार बदलाव करते हैं; उन्हें ऊपरी और निचले शिफ्ट मैट्रिक्स के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिनमें क्रमशः केवल विकर्ण के ऊपर या नीचे होते हैं)। विशिष्ट उदाहरण इस मामले में, हमारे पास = −1 है, और इस प्रकार, जो पाउली मैट्रिक्स का गठन करते हैं। इस मामले में हमारे पास = है, और तदनुसार निर्धारित किया जा सकता है। क्लिफोर्ड बीजगणित पाउली मैट्रिक्स के सामान्यीकरण डी. एफ. टी. मैट्रिक्स सर्कुलेंट मैट्रिक्स संदर्भ आगे पढ़ें (गणितीय विज्ञान में अल्लादी रामकृष्णन की विरासत में (पीपी. 465-489)। स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, न्यूयॉर्क।) अल्जेब्रास क्लिफोर्ड अल्जेब्रास रिंग सिद्धांत गणितीय भौतिकी का चतुर्भुज रूप है।