Heinrich August Rothe
हेनरिक ऑगस्ट रोथे (1773-1842) एक जर्मन गणितशास्त्री थे, जो एर्लान्जेन में गणित के प्रोफेसर थे। वे कार्ल हिंडनबर्ग के छात्र थे और हिंडनबर्ग के स्कूल ऑफ कॉम्बिनेटोरिक्स के सदस्य थे। जीवनी रोथे का जन्म 1773 में ड्रेसडेन में हुआ था, और 1793 में लीपज़िग विश्वविद्यालय में एक शिक्षक बन गए। वह 1796 में लीपज़िग में एक असाधारण प्रोफेसर बन गए, और 1804 में वे एक पूर्ण प्रोफेसर के रूप में एर्लानजेन चले गए, जिन्होंने पहले कार्ल क्रिश्चियन वॉन लैंग्सडॉर्फ द्वारा आयोजित कुर्सी संभाली। 1842 में उनकी मृत्यु हो गई, और एर्लानजेन में उनका पद बदले में अधिक प्रसिद्ध गणितशास्त्री जोहान फ्रेडरिक फाफ के भाई जोहान विल्हेम फाफ ने लिया। रोथे-हेगन पहचान पर शोध, द्विपद गुणांक के लिए एक योग सूत्र, रोथे की 1793 की थीसिस में दिखाई दिया। इसका नाम उनके नाम पर और जोहान जॉर्ज हेगन के बाद के काम के लिए रखा गया है। इसी थीसिस में लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय से संबंधित कार्य के लिए टेलर श्रृंखला से एक व्युत्क्रम फलन की टेलर श्रृंखला की गणना के लिए एक सूत्र भी शामिल था। क्रमपरिवर्तन के अध्ययन में, रोथे 1800 में क्रमपरिवर्तन के व्युत्क्रम को परिभाषित करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने क्रमपरिवर्तनों को देखने के लिए एक तकनीक विकसित की जिसे अब रोथे आरेख के रूप में जाना जाता है, एक वर्ग तालिका जिसमें प्रत्येक कोशिका (i, j) में एक बिंदु होता है जिसके लिए क्रमपरिवर्तन मानचित्र स्थिति i को स्थिति j और प्रत्येक कोशिका (i, j) में एक क्रॉस के लिए मानचित्रित करता है जिसके लिए पंक्ति i में बाद में एक बिंदु होता है और कॉलम j में बाद में एक और बिंदु होता है। रोथे आरेखों का उपयोग करते हुए, उन्होंने दिखाया कि एक क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रम की संख्या उसके व्युत्क्रम के समान है, क्योंकि व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन के आरेख में मूल आरेख का स्थानान्तरण होता है, और दोनों क्रमपरिवर्तनों के व्युत्क्रम क्रॉस द्वारा चिह्नित होते हैं। रोथे ने इस तथ्य का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि एक मैट्रिक्स का निर्धारक ट्रांसपोज़ के निर्धारक के समान हैः यदि कोई एक बहुपद के रूप में एक निर्धारक का विस्तार करता है, तो प्रत्येक शब्द एक क्रमपरिवर्तन से मेल खाता है, और शब्द का संकेत इसके व्युत्क्रमों की संख्या की समानता से निर्धारित होता है। चूँकि ट्रांसपोज़ के निर्धारक का प्रत्येक पद व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन और व्युत्क्रम की समान संख्या के साथ मूल मैट्रिक्स के एक पद से मेल खाता है, इसका एक ही संकेत है, और इसलिए दोनों निर्धारक भी समान हैं। क्रमपरिवर्तन पर अपने 1800 के काम में, रोथे उन क्रमपरिवर्तनों पर भी विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे जो अंतर्वेशन हैं; यानी, वे अपने स्वयं के व्युत्क्रम हैं, या समकक्ष रूप से उनके पास सममित रोथे आरेख हैं। उन्होंने इन क्रमपरिवर्तनों को गिनने के लिए पुनरावृत्ति संबंध पाया, जो युवा झांकी की संख्या को भी गिनता है, और जिसके समाधान के रूप में टेलीफोन संख्या 1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496 हैं। रोथे क्यू-द्विपद प्रमेय तैयार करने वाले पहले व्यक्ति भी थे, जो 1811 के एक प्रकाशन में द्विपद प्रमेय का एक क्यू-एनालॉग था। चयनित प्रकाशन फॉर्मूला डी सीरियेरम रिवर्सियोन डेमोन्स्ट्रेशिओ यूनिवर्सलिस सिग्निस लोकलिबस कॉम्बिनेटोरियो-एनालिटिकोरम विकारिस एक्ज़िबिटाः डिसर्टेशिओ एकेडेमिक, लीपज़िग, 1793। "पहले क्रमपरिवर्तन में, बेज़ीहंग ऑफ द स्टेलन इहरर एलिमेंट में। उन्मूलन समस्या का समाधान करें। हिंडनबर्ग में, कार्ल, एड., सममलुंग कॉम्बिनेटोरिस्क-एनालिटिस्चर अभैंडलुंगेन, पीपी। 263-305, बे जी. फ्लेशर डेम जेंगर्न, 1800। सिस्टेमेटिक लेहरबुच डेर अरिथमेटिक, लीपज़िग, 1811 संदर्भ 1842 मृत्यु 18 वीं शताब्दी के जर्मन गणितशास्त्री संयुक्त लीपज़िग विश्वविद्यालय के पूर्व छात्र लीपज़िग विश्वविद्यालय के शैक्षणिक कर्मचारी 19 वीं शताब्दी के जर्मन गणितशास्त्री