Tangential polygon
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक स्पर्शरेखा बहुभुज, जिसे एक परिवेष्टित बहुभुज के रूप में भी जाना जाता है, एक उत्तल बहुभुज है जिसमें एक उत्कीर्ण वृत्त होता है (जिसे अंतःवृत्त भी कहा जाता है)। यह एक वृत्त है जो बहुभुज की प्रत्येक भुजा के लिए स्पर्शरेखा है। एक स्पर्शरेखा बहुभुज का दोहरा बहुभुज एक चक्रीय बहुभुज है, जिसके प्रत्येक शीर्ष से गुजरने वाला एक परिवेष्टित वृत्त होता है। सभी त्रिभुज स्पर्शरेखा हैं, जैसा कि किसी भी संख्या में भुजाओं वाले सभी नियमित बहुभुज हैं। स्पर्शरेखा बहुभुज का एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया समूह स्पर्शरेखा चतुर्भुज है, जिसमें रोंबी और पतंग शामिल हैं। विशेषताएँ एक उत्तल बहुभुज का एक अंतःवृत्त होता है यदि और केवल तभी जब इसके सभी आंतरिक कोण द्विभाजक समवर्ती हों। यह सामान्य बिंदु प्रेरक (अंतःवृत्त का केंद्र) है। n अनुक्रमिक भुजाओं का एक स्पर्शरेखा बहुभुज मौजूद है a1,., एक यदि और केवल तभी जब समीकरणों की प्रणाली का समाधान (x1,., xn) सकारात्मक वास्तविक में हो। यदि ऐसा समाधान मौजूद है, तो x1,., xn बहुभुज की स्पर्शरेखा लंबाई है (शीर्षों से लेकर उन बिंदुओं तक की लंबाई जहां अंतःवृत्त भुजाओं के स्पर्शरेखा है)। विशिष्टता और गैर-विशिष्टता यदि n भुजाओं की संख्या विषम है, तो ऊपर दिए गए अस्तित्व मानदंड को पूरा करने वाले किसी भी पार्श्व-लंबाई के समूह के लिए केवल एक स्पर्शरेखा बहुभुज है। लेकिन अगर n सम है तो उनमें अनंतता है। उदाहरण के लिए, चतुर्भुज मामले में जहां सभी भुजाएं समान हैं, हमारे पास तीव्र कोणों के किसी भी मूल्य के साथ एक समस्थानिक हो सकता है, और सभी समस्थानिक एक अंतःवृत्त के लिए स्पर्शरेखा हैं। इनरेडियस यदि किसी स्पर्शरेखा बहुभुज की n भुजाएँ a1,., an हैं, तो इनरेडियस (अंतःवृत्त की त्रिज्या) वह जगह है जहाँ K बहुभुज का क्षेत्रफल है और s अर्धपरिमाप है। (चूँकि सभी त्रिभुज स्पर्शरेखा हैं, यह सूत्र सभी त्रिभुजों पर लागू होता है।) अन्य गुण भुजाओं की विषम संख्या वाले स्पर्शरेखा बहुभुज के लिए, सभी भुजाएँ तभी बराबर होती हैं जब सभी कोण समान हों (इसलिए बहुभुज नियमित हो)। पक्षों की सम संख्या वाले एक स्पर्शरेखा बहुभुज की सभी भुजाएँ तब और केवल तभी बराबर होती हैं जब वैकल्पिक कोण समान होते हैं (अर्थात, कोण ए, सी, ई,. समान होते हैं, और कोण बी, डी, एफ. समान होते हैं)। पक्षों की सम संख्या वाले स्पर्शरेखा बहुभुज में विषम संख्या वाली भुजाओं की लंबाई का योग सम संख्या वाली भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होता है। एक स्पर्शरेखा बहुभुज का क्षेत्रफल किसी भी अन्य बहुभुज की तुलना में बड़ा होता है जिसकी परिधि समान होती है और उसी अनुक्रम में आंतरिक कोण समान होते हैं। किसी भी स्पर्शरेखा बहुभुज का केंद्रक, इसके सीमा बिंदुओं का केंद्रक और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र समरेखीय होता है, जिसमें बहुभुज का केंद्रक दूसरों के बीच होता है और सीमा के केंद्रक से प्रोत्साहन से दोगुना दूर होता है। जहाँ सभी त्रिभुज किसी वृत्त के लिए स्पर्शरेखा हैं, एक त्रिभुज को संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज कहा जाता है यदि वृत्त के साथ स्पर्शरेखा त्रिभुज की स्पर्शरेखाएँ भी संदर्भ त्रिभुज के शीर्ष हैं। स्पर्शरेखा चतुर्भुज स्पर्शरेखा षट्कोण एक स्पर्शरेखा षट्कोण ए. बी. सी. डी. ई. एफ. में, ब्रायनचोन के प्रमेय के अनुसार मुख्य विकर्ण ए. डी., बी. ई. और सी. एफ. समवर्ती हैं। सर्कमगन संदर्भ भी देखें बहुभुज के प्रकार