Constant-mean-curvature surface
विभेदक ज्यामिति में, स्थिर-माध्य-वक्रता (सी. एम. सी.) सतहें स्थिर माध्य वक्रता वाली सतह होती हैं। इसमें सबसेट के रूप में न्यूनतम सतह शामिल हैं, लेकिन आमतौर पर उन्हें विशेष मामले के रूप में माना जाता है। ध्यान दें कि ये सतह आम तौर पर गोले के महत्वपूर्ण अपवाद के साथ स्थिर गौसी वक्रता सतहों से अलग होती हैं। 1841 में इतिहास डेलाउने ने साबित किया कि स्थिर औसत वक्रता के साथ क्रांति की एकमात्र सतह शंकु के रूलेट्स को घुमाकर प्राप्त की गई सतहें थीं। ये प्लेन, सिलेंडर, स्फीयर, कैटेनोइड, अंडुलॉइड और नोडॉइड हैं। 1853 में जे. एच. जेलेट ने दिखाया कि यदि स्थिर औसत वक्रता के साथ एक कॉम्पैक्ट स्टार के आकार की सतह है, तो यह मानक क्षेत्र है। इसके बाद, ए. डी. अलेक्जेंड्रोव ने साबित किया कि स्थिर औसत वक्रता के साथ एक कॉम्पैक्ट एम्बेडेड सतह एक गोला होना चाहिए। इसके आधार पर एच. होफ ने 1956 में अनुमान लगाया कि कोई भी डूबा हुआ कॉम्पैक्ट उन्मुख स्थिरांक औसत वक्रता अति सतह एक मानक अंतर्निहित क्षेत्र होना चाहिए। इस अनुमान को 1982 में वू-यी ह्सियांग ने एक प्रति-उदाहरण का उपयोग करके गलत साबित किया था। 1984 में हेनरी सी. वेंटे ने वेंटे टोरस का निर्माण किया, जो निरंतर औसत वक्रता के साथ एक टोरस का विसर्जन था। इस बिंदु तक ऐसा लगता था कि सी. एम. सी. सतह दुर्लभ थीं; नई तकनीकों ने बहुत सारे उदाहरण दिए। विशेष रूप से ग्लूइंग विधियाँ सी. एम. सी. सतहों को काफी मनमाने ढंग से संयोजित करने की अनुमति देती हैं। विलम्बित सतहों को उनके सी. एम. सी. गुणों को बनाए रखते हुए डूबे हुए "बुलबुले" के साथ भी जोड़ा जा सकता है। मीक्स ने दिखाया कि केवल एक छोर के साथ कोई एम्बेडेड सी. एम. सी. सतह नहीं हैं। कोरेवार, कुस्नर और सोलोमन ने साबित किया कि एक पूर्ण एम्बेडेड सी. एम. सी. सतह के छोर अंडुलॉइड्स के लिए एसिम्प्टोटिक होंगे। प्रत्येक छोर अंडुलॉइड के स्पर्शोन्मुख अक्ष के साथ एक "बल" वहन करता है (जहाँ n गर्दन की परिधि है), जिसका योग सतह के अस्तित्व के लिए संतुलित होना चाहिए। वर्तमान कार्य में एम्बेडेड सी. एम. सी. सतहों के परिवारों का उनके मॉड्यूली रिक्त स्थान के संदर्भ में वर्गीकरण शामिल है। विशेष रूप से, जीनस 0 के कोप्लानर के-अंडुलॉइड्स विषम के के लिए संतुष्ट करते हैं, और सम के के लिए। अधिक से अधिक के-2 छोर बेलनाकार हो सकते हैं। उत्पादन विधियाँ प्रतिनिधित्व सूत्र न्यूनतम सतहों की तरह, हार्मोनिक कार्यों के लिए एक करीबी संबंध मौजूद है। एक उन्मुख सतह में निरंतर औसत वक्रता होती है यदि और केवल तभी जब इसका गॉस मानचित्र एक हार्मोनिक मानचित्र हो। केनमोत्सु का प्रतिनिधित्व सूत्र न्यूनतम सतहों के वेयरस्ट्रास-एनेपर पैरामीटराइजेशन का समकक्ष हैः मान लीजिए कि यह एक खुला सरल रूप से जुड़ा हुआ उपसमुच्चय है और एक मनमाना गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक है। मान लीजिए कि रीमान गोले में एक हार्मोनिक फलन है। यदि फिर के साथ परिभाषित किया जाता है तो एक नियमित सतह है जो गॉस मानचित्र और माध्य वक्रता के रूप में है। के लिए और यह गोले का उत्पादन करता है। और एक सिलेंडर देता है जहाँ। संयुग्म चचेरे भाई विधि लॉसन ने 1970 में दिखाया कि प्रत्येक सी. एम. सी. सतह में एक सममितीय "चचेरे भाई" न्यूनतम सतह होती है। यह भूगणितीय बहुभुज से शुरू होने वाले निर्माणों की अनुमति देता है, जो एक न्यूनतम पैच द्वारा फैले होते हैं जिन्हें प्रतिबिंब द्वारा एक पूरी सतह में बढ़ाया जा सकता है, और फिर एक सीएमसी सतह में बदल दिया जाता है। सी. एम. सी. टोरी हिचिन, पिंकॉल, स्टर्लिंग और बोबेनको ने दिखाया कि अंतरिक्ष रूपों में 2-कोरस के सभी स्थिर औसत वक्रता विसर्जन और विशुद्ध रूप से बीजगणितीय-ज्यामितीय डेटा में वर्णित किया जा सकता है। इसे समतल के सी. एम. सी. विसर्जन के एक उपसमुच्चय तक बढ़ाया जा सकता है जो सीमित प्रकार के होते हैं। अधिक सटीक रूप से और के सीएमसी निमज्जन के बीच एक स्पष्ट बाइजेक्शन है, और उस रूप के वर्णक्रमीय डेटा जहां एक हाइपरलिप्टिक वक्र है जिसे वर्णक्रमीय वक्र कहा जाता है, एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और बिंदु हैं, एक एंटीहोलोमोर्फिक इनवोलुशन है और कुछ शर्तों का पालन करने पर एक रेखा बंडल है। असतत संख्यात्मक विधियाँ असतत विभेदक ज्यामिति का उपयोग सी. एम. सी. सतहों (या असतत समकक्षों) के सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है, आमतौर पर एक उपयुक्त ऊर्जा कार्यात्मक को कम करके। अनुप्रयोग सी. एम. सी. सतह साबुन के बुलबुले के प्रतिनिधित्व के लिए प्राकृतिक हैं, क्योंकि उनमें एक गैर-शून्य दबाव अंतर के अनुरूप वक्रता होती है। मैक्रोस्कोपिक बुलबुला सतहों के अलावा सी. एम. सी. सतह एक सुपरहाइड्रोफोबिक सतह पर गैस-तरल इंटरफेस के आकार के लिए प्रासंगिक हैं। तीन आवधिक न्यूनतम सतहों की तरह ब्लॉक कॉपोलिमर के लिए मॉडल के रूप में आवधिक सी. एम. सी. सतहों में रुचि रही है जहां विभिन्न घटकों में एक गैर-शून्य अंतरफलक ऊर्जा या तनाव होता है। आवधिक न्यूनतम सतहों के लिए सी. एम. सी. अनुरूपों का निर्माण किया गया है, जो स्थान के असमान विभाजन का उत्पादन करते हैं। ए. बी. सी. ट्राइबलॉक कॉपोलिमर में सी. एम. सी. संरचनाओं को देखा गया है। वास्तुकला में सी. एम. सी. सतह हवा-समर्थित संरचनाओं जैसे कि हवा वाले गुंबदों और घेरों के साथ-साथ बहने वाले कार्बनिक आकारों के स्रोत के लिए प्रासंगिक हैं। डबल बबल अनुमान भी देखें मुक्त सतह न्यूनतम सतह संदर्भ बाहरी लिंक सी. एम. सी. वैज्ञानिक ग्राफिक्स परियोजना में सी. एम. सी. सतहों पर ज्यामिति वर्कस्टैट सतह गैलरी सी. एम. सी. सतहों की जी. ए. एन. जी. गैलरी नॉइड, एन-नॉइड सी. एम. सी. सतहों की गणना के लिए सॉफ्टवेयर सतहों की विभेदक ज्यामिति