Randolph diagram
रैंडोल्फ आरेख (आर-आरेख) तार्किक अभिव्यक्तियों और समुच्चयों के संयोजन की कल्पना करने का एक सरल तरीका है। रैंडोल्फ आरेख 1965 में गणितशास्त्री जॉन एफ. रैंडोल्फ द्वारा बनाए गए थे, जब वे अर्कांसस विश्वविद्यालय में पढ़ा रहे थे। प्रत्येक पंक्ति को एक तार्किक कथन या समुच्चय से संबंधित या संबंधित के रूप में परिभाषित करके रैंडोल्फ आरेखों की व्याख्या सबसे आसानी से की जा सकती है। रेखा के ऊपर कोई भी बिंदु सच्चाई या समावेश को इंगित करता है और रेखा के नीचे झूठ या बहिष्कार को इंगित करता है। इस प्रणाली का उपयोग करके, कोई भी प्रतिच्छेदन रेखाओं का उपयोग करके सेट या तार्किक कथनों के किसी भी संयोजन का प्रतिनिधित्व कर सकता है। हालांकि वेन आरेखों का उपयोग आमतौर पर सेटों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, लेकिन रैंडोल्फ आरेखों में 3 से अधिक सेटों के संयोजन को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने में सक्षम होने का लाभ होता है। वेन आरेख के लिए या तो उच्च स्थानिक आयामों में विस्तार या अधिक जटिल आकृतियों के उपयोग की आवश्यकता होती है जबकि रैंडोल्फ आरेख प्रत्येक अतिरिक्त सेट के लिए समान रूप से उपविभाजित होते हैं। यहाँ तार्किक कथनों के 5 सेटों के लिए एक वेन आरेख और आर-आरेख के बीच तुलना की गई हैः इतिहास इस विषय पर अपने परिचयात्मक पेपर, क्रॉस-एक्ज़ामिनिंग प्रपोसिशनल कैलकुलस एंड सेट ऑपरेशंस में, रैंडोल्फ ने उल्लेख किया है कि तार्किक संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए क्रॉस और डॉट्स का पहला उपयोग डब्ल्यू. एस. मैककुलोच, एक न्यूरोफिजियोलॉजिस्ट और रैंडोल्फ के समकालीन द्वारा किया गया था। रैंडोल्फ ने मैककुलोच की प्रणाली को दो से अधिक तार्किक कथनों या समुच्चयों के संयोजन और संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के एक नए तरीके के साथ संशोधित किया, अर्थात् आर-आरेख के प्रत्येक खंड को प्रत्येक नए तत्व के लिए एक नई विकर्ण रेखा के साथ उपविभाजित किया। रैंडोल्फ के शोध पत्र से पता चलता है कि उनकी मूल धारणा तार्किक संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए आर-आरेखों का उपयोग करना था, और फिर सेट सिद्धांत पर भी लागू होने के विचार का विस्तार किया। पूरे पेपर में, आर-आरेखों का उपयोग सामान्य तार्किक और निर्धारित द्विआधारी संचालन प्रतीकों के संयोजन में किया जाता है। तर्क सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग तर्क सिद्धांत के लिए आर-आरेखों को लागू करते समय, तार्किक कथन पी, क्यू, और आर प्रत्येक एक बड़े कथन में प्रत्येक तत्व की वैधता को दृष्टि से प्रदर्शित करने के लिए एक रेखा या कई रेखाएँ बन सकते हैं। आम तौर पर, p को ऊपर की ओर ढलान वाली रेखा (/) द्वारा दर्शाया जाता है जबकि q को नीचे की ओर ढलान वाली रेखा (\) द्वारा दर्शाया जाता है। एक तिरछी रेखा के ऊपर आरेख में एक बिंदु उस कथन के लिए सच्चाई को इंगित करता है; इसी तरह, नीचे एक बिंदु असत्य को इंगित करता है। पी और क्यू के लिए आर-आरेख क्रमशः नीचे दिखाए गए हैंः दो से अधिक कथनों के लिए, पी और क्यू रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बने चार रिक्त स्थान को अधिक रेखाओं में विभाजित किया जाना चाहिए। आर के मामले में, चार स्थानों में से प्रत्येक में एक एकल ऊपर की ओर ढलान रेखा (/) जोड़ी जाती है। आर के लिए आर-आरेख नीचे दिखाया गया हैः इस विधि को किसी भी संख्या में सत्य मानों के लिए बढ़ाया जा सकता हैः, आदि। आर-आरेखों का उपयोग मुख्य रूप से तार्किक अभिव्यक्तियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। एक तार्किक प्रस्ताव को देखते हुए, आर-आरेख प्रत्येक तत्व के हर संभावित सही/गलत भिन्नता के परिणाम को प्रदर्शित करने में सक्षम हैं, जिससे एक सत्य तालिका का प्रतिनिधित्व करने का एक वैकल्पिक तरीका बनता है। सभी बुनियादी तार्किक संचालन, या संयोजकों को एक आर-आरेख का उपयोग करके एक सत्य तालिका के अधिक आसानी से पठनीय विकल्प के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया हैः तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए आर-आरेख का उपयोग चरण-दर-चरण प्रक्रिया का उपयोग करके जटिल तार्किक अभिव्यक्तियों को आसानी से सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। संचालन के क्रम का उपयोग करते हुए, तार्किक प्रचालक को उचित अनुक्रम में आर-आरेखों पर लागू किया जाता है। अंत में, परिणाम एक आर-आरेख है जिसे एक सरल तार्किक अभिव्यक्ति में वापस परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति लेंः इसे निम्नानुसार आर-आरेखों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता हैः जो इसके बराबर हैः तार्किक तर्कों को साबित करना इसी तरह, आर-आरेखों का उपयोग तार्किक तर्कों को साबित करने या गलत साबित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध तर्क मोडस पोनेंस को लें, जिसे निहितार्थ उन्मूलन के रूप में भी जाना जाता हैः इसे एक स्वतः संज्ञानात्मक तार्किक अभिव्यक्ति में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसे फिर आर-आरेख का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता हैः परिणाम एक आर-आरेख है जिसमें प्रत्येक स्थान पर एक बिंदु होता है। इसका मतलब है कि तर्क एक तानाशाही है; यह सभी मामलों में सच है। एक आर-आरेख जिसमें किसी भी स्थान पर एक बिंदु नहीं होता है, एक विरोधाभास है, एक ऐसा कथन जो कभी सच नहीं होता है। सेट सिद्धांत आर-आरेखों के अनुप्रयोग का उपयोग सेट सिद्धांत में वेन आरेखों के विकल्प के रूप में भी किया जाता है। समुच्चय सिद्धांत में, प्रत्येक रेखा एक तार्किक कथन के बजाय एक समुच्चय का प्रतिनिधित्व करती है; ए पी की जगह लेता है और बी क्यू की जगह लेता है। जब सेट के लिए उपयोग किया जाता है, तो रेखा के ऊपर एक बिंदु समावेश का प्रतिनिधित्व करता है, जहां नीचे एक बिंदु बहिष्करण का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि तर्क में, बुनियादी सेट संचालन को आर-आरेखों का उपयोग करके नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता हैः आर-आरेख सेट सैद्धांतिक और तार्किक अवधारणाओं के बीच समानता को दर्शाते हैंः सेट सिद्धांत में प्रतिच्छेदन तर्क में संयोजन के बराबर है, और सेट सिद्धांत का संघ तार्किक विच्छेदन के बराबर है। संदर्भ समुच्चय सिद्धांत आरेखमे चित्रात्मक अवधारणा सभ