Topological rigidity
टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक मैनिफोल्ड M को टोपोलॉजिकल रूप से कठोर कहा जाता है यदि प्रत्येक मैनिफोल्ड समस्थानिक रूप से M के समतुल्य भी M के समरूपी हो। होमोमोर्फिक या डिफियोमोर्फिक। स्पष्ट रूप से एक आकृतिवाद का निर्माण करना लगभग हमेशा अव्यावहारिक होता है। यदि हम एक या दोनों रिक्त स्थान (मैनिफोल्ड) पर आगे की शर्त रखते हैं तो हम इस अतिरिक्त संरचना का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि वांछित आकृतिवाद मौजूद होना चाहिए। कठोरता प्रमेय तब होता है जब दो मैनिफोल्ड्स (आमतौर पर एक समस्थानिक समतुल्यता) के बीच काफी कमजोर समतुल्यता का तात्पर्य मजबूत समरूपता, डिफियोमोर्फिज्म या आइसोमेट्री के अस्तित्व से होता है। परिभाषा. एक बंद टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड M को टोपोलॉजिकल रिजिड कहा जाता है यदि कोई समस्थानिक समतुल्यता f: N → M स्रोत के रूप में कुछ मैनिफोल्ड N के साथ और लक्ष्य के रूप में M एक समरूपता के लिए समस्थानिक है। उदाहरण 1. यदि बंद 2-मैनिफोल्ड M और N समरूपी रूप से समतुल्य हैं तो वे समरूपी हैं। इसके अलावा, बंद सतहों की कोई भी समस्थानिक समतुल्यता एक समरूपता के लिए विकृत हो जाती है। उदाहरण 2. यदि एक बंद मैनिफोल्ड Mn (n § 3) Sn के समस्थानिक-समतुल्य है तो Mn Sn के समरूप है। ज्यामिति परिभाषा में कठोरता प्रमेय। फ्लैट-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के एक डिफियोमोर्फिज्म को एफ़ाइन कहा जाता है यदि यह जियोडेसिक को जियोडेसिक तक ले जाता है। प्रमेय (Bieberbach) यदि f: M → N सपाट बंद जुड़े हुए रीमानियन मैनिफोल्ड्स के बीच एक समस्थानिक समतुल्यता है तो f एक एफ़ाइन समरूपता के लिए समस्थानिक है। मोस्टो की कठोरता प्रमेय प्रमेयः मान लीजिए कि एम और एन कॉम्पैक्ट हैं, स्थानीय रूप से सममित रीमानियन मैनिफोल्ड्स के साथ हर जगह गैर-सकारात्मक वक्रता है जिसमें कोई बंद एक या दो आयामी भूगणितीय उपक्षेत्र नहीं है जो स्थानीय रूप से प्रत्यक्ष कारक हैं। यदि f: M → N एक समस्थानिक समतुल्यता है तो f एक सममिति के लिए समस्थानिक है। प्रमेय (हाइपरबोलिक एन-मैनिफोल्ड्स के लिए मोस्टो की प्रमेय, एन ≤ 3): यदि एम और एन पूर्ण हाइपरबोलिक एन-मैनिफोल्ड्स हैं, तो सीमित आयतन के साथ एन ≤ 3 और एफः एम → एन एक समस्थानिक समतुल्यता है तो एफ एक समस्थानिक के लिए समस्थानिक है। इन परिणामों का नाम जॉर्ज मोस्टो के नाम पर रखा गया है। बीजगणितीय रूप मान लीजिए कि  ताइपरबोलिक एन-स्पेस एच के सममिति समूह के असतत उपसमूह हैं, जहाँ एन ω3, जिनके भागफल एच/ω और एच/ω का आयतन सीमित है। यदि अलग-अलग समूहों के रूप में समरूप हैं तो वे संयुग्म हैं। टिप्पणी (1) द्वि-आयामी मामले में कम से कम दो वंशों के किसी भी मैनिफोल्ड में एक हाइपरबोलिक संरचना होती है। इस मामले में मोस्टो की कठोरता प्रमेय लागू नहीं होती है। वास्तव में, ऐसे किसी भी मैनिफोल्ड पर कई हाइपरबोलिक संरचनाएँ होती हैं; ऐसी प्रत्येक संरचना टेचमुलर स्पेस में एक बिंदु से मेल खाती है। (2) दूसरी ओर, यदि एम और एन परिमित आयतन के 2-मैनिफोल्ड हैं, तो यह दिखाना आसान है कि वे ठीक उसी समय समरूप हैं जब उनके मौलिक समूह समान हैं। अनुप्रयोग एक परिमित-आयतन हाइपरबोलिक एन-मैनिफोल्ड एम (एन ≤ 3 के लिए) की सममितियों का समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है और π1 (एम) के समरूप होता है। संदर्भ टोपोलॉजी मैनिफोल्ड्स के नक्शे होमोटोपी सिद्धांत