Budan's theorem
गणित में, बुडन की प्रमेय एक अंतराल में एक बहुपद के वास्तविक मूल की संख्या को बांधने और इस संख्या की समता की गणना करने के लिए एक प्रमेय है। यह 1807 में फ्रांस्वा बुडन डी बोइस्लॉरेन्ट द्वारा प्रकाशित किया गया था। इसी तरह की एक प्रमेय 1820 में जोसेफ फूरियर द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रकाशित की गई थी। इनमें से प्रत्येक प्रमेय दूसरे का परिणाम है। फ़ोरियर का कथन 19वीं शताब्दी के साहित्य में अधिक बार दिखाई देता है और इसे फ़ोरियर, बुडन-फ़ोरियर, फ़ोरियर-बुडन के रूप में संदर्भित किया गया है, और यहां तक कि बुडन के प्रमेय बुडन के मूल सूत्रीकरण का उपयोग बहुपदों के वास्तविक-मूल अलगाव के लिए तेज़ आधुनिक एल्गोरिदम में किया जाता है। संकेत भिन्नता वास्तविक संख्याओं का एक परिमित अनुक्रम माना जाता है। अनुक्रम में एक संकेत भिन्नता या संकेत परिवर्तन सूचकांकों की एक जोड़ी है जैसे कि या तो या ऐसे सभी के लिए। दूसरे शब्दों में, शून्य को नजरअंदाज करते समय प्रत्येक स्थान पर अनुक्रम में एक संकेत भिन्नता होती है जहां संकेत बदलते हैं। एक बहुपद के वास्तविक मूल का अध्ययन करने के लिए, कई अनुक्रमों के संकेत भिन्नताओं की संख्या का उपयोग किया जा सकता है। बुडन के प्रमेय के लिए, यह गुणांक का अनुक्रम है। फ़ोरियर के प्रमेय के लिए, यह एक बिंदु पर क्रमिक व्युत्पन्न के मूल्यों का अनुक्रम है। स्टर्म की प्रमेय के लिए यह स्टर्म अनुक्रम के एक बिंदु पर मूल्यों का अनुक्रम है। डेसकार्टेस के संकेतों के नियम इस लेख में वर्णित सभी परिणाम डेसकार्टेस के संकेतों के नियम पर आधारित हैं। यदि वास्तविक गुणांकों के साथ एक अविभाज्य बहुपद है, तो आइए हम इसके धनात्मक वास्तविक मूल की संख्या, उनकी बहुलता के साथ गिने जाने और इसके गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या से निरूपित करें। डेसकार्टेस के संकेतों के नियम का दावा है कि यह एक गैर-नकारात्मक सम पूर्णांक है। विशेष रूप से, यदि, तो एक है। बुडन का कथन वास्तविक गुणांक के साथ एक अविभाज्य बहुपद को देखते हुए, आइए हम वास्तविक मूल की संख्या को, उनकी गुणा के साथ गिने जाने पर, आधे खुले अंतराल (वास्तविक संख्याओं के साथ) में दर्शाते हैं। आइए हम बहुपद के गुणांकों के अनुक्रम में संकेत भिन्नताओं की संख्या से भी निरूपित करते हैं। विशेष रूप से, एक पूर्ववर्ती खंड के संकेतन के साथ है। बुडन की प्रमेय निम्नलिखित हैः एक गैर-ऋणात्मक सम पूर्णांक है। जैसा कि गैर नकारात्मक है, इसका तात्पर्य है कि यह डेसकार्टेस के संकेतों के नियम का एक सामान्यीकरण है, जैसे कि, यदि कोई पर्याप्त रूप से बड़ा चुनता है, तो यह सभी वास्तविक जड़ों से बड़ा है, और इसके सभी गुणांक सकारात्मक हैं, जो इस प्रकार है और जो डेसकार्टेस के संकेतों के नियम को बुडन के प्रमेय का एक विशेष मामला बनाता है। जहां तक डेसकार्टेस के संकेतों के नियम की बात है, अगर किसी के पास है तो इसका मतलब है कि अगर किसी के पास "शून्य-मूल परीक्षण" और "एक-मूल परीक्षण" है। उदाहरण 1. बहुपद और खुले अंतराल को देखते हुए, एक के पास इस प्रकार है, और बुडन की प्रमेय का दावा है कि बहुपद के खुले अंतराल 2 में या तो दो या शून्य वास्तविक मूल हैं। उसी बहुपद के साथ एक में इस प्रकार है, और बुडन की प्रमेय का दावा है कि खुले अंतराल में बहुपद का कोई वास्तविक मूल नहीं है यह शून्य-मूल परीक्षण के रूप में बुडन की प्रमेय के उपयोग का एक उदाहरण है। बहुपद वास्तविक मूल पर फ़ोरियर का कथन फ़ोरियर का प्रमेय, जिसे फ़ोरियर-बुडन प्रमेय या बुडन-फ़ोरियर प्रमेय भी कहा जाता है (कभी-कभी केवल बुडन का प्रमेय) बिल्कुल बुडन के प्रमेय के समान है, सिवाय इसके कि, के लिए और के गुणांक के अनुक्रम को एट के व्युत्पन्न के अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। प्रत्येक प्रमेय दूसरे का एक उपसिद्धांत है। यह बहुपद के टेलर विस्तार का परिणाम है, जिसका तात्पर्य है कि इन का गुणांक एक धनात्मक संख्या का भागफल है। इस प्रकार फ़ोरियर के प्रमेय और बुडन के प्रमेय में माने गए अनुक्रमों में संकेत भिन्नताओं की संख्या समान है। दोनों प्रमेयों के बीच यह मजबूत संबंध 19वीं शताब्दी में हुए प्राथमिकता विवाद और एक ही प्रमेय के लिए कई नामों के उपयोग की व्याख्या कर सकता है। आधुनिक उपयोग में, कंप्यूटर गणना के लिए, बुडन की प्रमेय को आम तौर पर पसंद किया जाता है क्योंकि अनुक्रमों में बुडन की तुलना में फ़ोरियर की प्रमेय में बहुत बड़े गुणांक होते हैं, क्योंकि भाज्य कारक होता है। सबूत चूंकि प्रत्येक प्रमेय दूसरे का एक उपसिद्धांत है, इसलिए यह फ़ोरियर के प्रमेय को साबित करने के लिए पर्याप्त है। प्रमाणः मान लीजिए कि डिग्री, जो कि गैर-स्थिर बहुपद हैं, एक गैर-शून्य स्थिरांक है, और सभी समान रूप से शून्य हैं। चूंकि संकेत भिन्नता का एक कार्य केवल कम से कम एक के मूल पर भिन्न हो सकता है यदि पर भिन्न होता है, तो कुछ के लिए, एक मूल होता है, और प्रत्येक का कोई मूल नहीं होता है। यदि, तो कुछ और कुछ बहुपदों के लिए जो संतुष्ट करता है। एक छोटे पर और उसके लिए स्पष्ट रूप से गणना करके, हमारे पास है इस समीकरण में, यह शब्द एक से दूसरे में बदलने के संकेतों के कारण है। यह शब्द उच्च व्युत्पन्न संकेतों के संभवतः शून्य होने के कारण है। यदि, तब चूंकि कुछ व्युत्पन्न शून्य होते हैं, लेकिन दोनों शून्य नहीं रहते हैं, तो हम केवल संकेत परिवर्तनों की एक सम संख्या खो देते हैंः यदि भिन्न होते हैं, तो समान रूप से बहस करते हुए, हम पाते हैं कि दोनों मामलों के लिए, हम एक छोटा सा ऐसा ले सकते हैं। एक बहुपद की वास्तविक जड़ों को गिनने और पता लगाने की समस्या का व्यवस्थित रूप से अध्ययन 19वीं शताब्दी की शुरुआत में ही शुरू हुआ। 1807 में, फ्रांस्वा बुडन डी बोइस्लॉरेन्ट ने डेसकार्टेस के संकेतों के नियम को किसी भी अंतराल तक बढ़ाने के लिए एक विधि की खोज की। जोसेफ फूरियर ने 1820 में एक समान प्रमेय प्रकाशित किया, जिस पर उन्होंने बीस से अधिक वर्षों तक काम किया। दोनों प्रमेयों के बीच समानता के कारण, एक प्राथमिकता विवाद था, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों प्रमेयों की स्वतंत्र रूप से खोज की गई थी। यह आम तौर पर फ़ोरियर का सूत्रीकरण और प्रमाण था जिसका उपयोग 19वीं शताब्दी के दौरान समीकरणों के सिद्धांत पर पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। 19वीं शताब्दी में बुडन और फूरियर के प्रमेयों का उपयोग जल्द ही बहुत महत्वपूर्ण माना गया, हालांकि वे एक अंतराल में एक बहुपद के वास्तविक मूल की संख्या की गिनती की समस्या को पूरी तरह से हल नहीं करते हैं। इस समस्या को 1827 में स्टर्म द्वारा पूरी तरह से हल किया गया था। हालांकि स्टर्म की प्रमेय डेसकार्टेस के संकेतों के नियम पर आधारित नहीं है, स्टर्म और फूरियर की प्रमेय न केवल संख्याओं के अनुक्रम के संकेत भिन्नताओं की संख्या के उपयोग से संबंधित हैं, बल्कि समस्या के समान दृष्टिकोण से भी संबंधित हैं। स्टर्म ने स्वयं स्वीकार किया कि वह फ़ोरियर के तरीकों से प्रेरित थेः "यह एक स्थिति है, और इस तरह के उपदेशों का अनुकरण करता है, जो कुछ भी हो सकता है। "जिसका अनुवाद है" यह उनके द्वारा निर्धारित सिद्धांतों पर भरोसा करके और उनके प्रमाणों का अनुकरण करके है कि मुझे नए प्रमेय मिले हैं जिन्हें मैं प्रस्तुत करने वाला हूं। "इस वजह से, 19वीं शताब्दी के दौरान, फ़ोरियर और स्टर्म के प्रमेय समीकरणों के सिद्धांत पर लगभग सभी पुस्तकों में एक साथ दिखाई दिए। फूरियर और बुडन ने उन अंतरालों के आकार को कम करने की समस्या को खुला छोड़ दिया जिसमें जड़ों को इस तरह से खोजा जाता है कि अंततः, संकेत भिन्नताओं की संख्या के बीच का अंतर अधिक से अधिक एक हो, जिससे यह प्रमाणित किया जा सके कि अंतिम अंतराल में प्रत्येक में अधिक से अधिक एक मूल हो। इस समस्या का समाधान 1834 में अलेक्जेंडर जोसेफ हिडुल्फ विंसेंट द्वारा किया गया था। मोटे तौर पर, विन्सेन्ट के प्रमेय में मोबियस परिवर्तनों द्वारा चर के बुडन के रैखिक परिवर्तनों को बदलने के लिए निरंतर अंशों का उपयोग करना शामिल है। 19वीं शताब्दी के अंत में बुडन, फूरियर और विंसेंट प्रमेय गुमनामी में डूब गए। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से पहले इन प्रमेयों का उल्लेख करने वाले अंतिम लेखक जोसेफ अल्फ्रेड सेरेट हैं। उन्हें 1976 में कॉलिन्स और अक्रितास द्वारा कंप्यूटर बीजगणित में, कंप्यूटर पर वास्तविक मूल अलगाव के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म प्रदान करने के लिए फिर से पेश किया गया था। बहुपद जड़ों के गुण भी देखें रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम संदर्भ बाहरी लिंक गणितीय प्रमेय रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति