Tensors in curvilinear coordinates
वक्ररेखीय निर्देशांकों को टेंसर कलन में तैयार किया जा सकता है, भौतिकी और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों के साथ, विशेष रूप से भौतिक मात्राओं के परिवहन और द्रव यांत्रिकी और निरंतरता यांत्रिकी में पदार्थ के विरूपण का वर्णन करने के लिए। त्रि-आयामी वक्ररेखीय निर्देशांक में वेक्टर और टेंसर बीजगणित वक्ररेखीय निर्देशांक में प्राथमिक वेक्टर और टेंसर बीजगणित का उपयोग यांत्रिकी और भौतिकी में कुछ पुराने वैज्ञानिक साहित्य में किया जाता है और 1900 के दशक की शुरुआत और मध्य से काम को समझने के लिए अपरिहार्य हो सकता है, उदाहरण के लिए ग्रीन और ज़र्ना का पाठ। इस खंड में वक्ररेखीय निर्देशांकों में वैक्टर और द्वितीय क्रम के टेंसरों के बीजगणित में कुछ उपयोगी संबंध दिए गए हैं। संकेतन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन, नागदी, सिमंड्स, ग्रीन और ज़र्ना, बसर और वेइचेर्ट और सियारलेट से हैं। समन्वय परिवर्तन समन्वय चर के साथ दो समन्वय प्रणालियों पर विचार करें और, जिन्हें हम संक्षेप में क्रमशः न्यायसंगत के रूप में प्रस्तुत करेंगे और हमेशा मान लेंगे कि हमारा सूचकांक 1 से 3 तक चलता है। हम मान लेंगे कि ये निर्देशांक प्रणालियाँ त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में अंतर्निहित हैं। निर्देशांक और एक दूसरे को समझाने के लिए उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि जैसे-जैसे हम एक समन्वय प्रणाली में समन्वय रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं, हम अपनी स्थिति का वर्णन करने के लिए दूसरे का उपयोग कर सकते हैं। इस तरह निर्देशांक और एक दूसरे के कार्य हैं जिनके लिए लिखा जा सकता है इन तीन समीकरणों को एक साथ एक समन्वय परिवर्तन भी कहा जाता है। आइए हम इस परिवर्तन को दर्शाते हैं। इसलिए हम निर्देशांक के साथ समन्वय चर के साथ समन्वय प्रणाली से निर्देशांक प्रणाली में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करेंगेः इसी तरह हम निम्न के एक कार्य के रूप में प्रतिनिधित्व कर सकते हैंः इसी तरह हम मुक्त समीकरणों को अधिक सघन रूप से लिख सकते हैं क्योंकि इन तीनों समीकरणों को एक साथ एक समन्वय परिवर्तन भी कहा जाता है। आइए हम इस परिवर्तन को दर्शाते हैं। हम समन्वय चर के साथ समन्वय प्रणाली से निर्देशांक के साथ समन्वय प्रणाली में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करेंगेः यदि परिवर्तन बाइजेक्टिव है तो हम परिवर्तन की छवि को कहते हैं, अर्थात्, स्वीकार्य निर्देशांक का एक सेट। यदि रैखिक है तो निर्देशांक प्रणाली को एक एफ़ाइन निर्देशांक प्रणाली कहा जाएगा, अन्यथा इसे एक वक्ररेखीय निर्देशांक प्रणाली कहा जाता है जैकोबियन जैसा कि अब हम देखते हैं कि निर्देशांक और एक दूसरे के कार्य हैं, हम समन्वय चर के संबंध में निर्देशांक चर के व्युत्पन्न को ले सकते हैं, इन व्युत्पन्न को एक मैट्रिक्स में व्यवस्थित किया जा सकता है, मान लीजिए, जिसमें-th पंक्ति और-th कॉलम में तत्व है परिणामी मैट्रिक्स को जैकोबियन मैट्रिक्स कहा जाता है। वक्ररेखीय निर्देशांक में वेक्टर मान लीजिए (b1, b2, b3) त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान के लिए एक मनमाना आधार है। सामान्य तौर पर, आधार वैक्टर न तो इकाई वैक्टर होते हैं और न ही पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल। हालाँकि, उन्हें रैखिक रूप से स्वतंत्र होना आवश्यक है। तब एक सदिश v को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि घटक vk सदिश v के विपरीत घटक हैं। पारस्परिक आधार (b1, b2, b3) को उस संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां δij क्रोनेकर डेल्टा है। वेक्टर v को पारस्परिक आधार के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता हैः घटक vk वेक्टर के सहपरिवर्तक घटक हैं। वक्ररेखीय निर्देशांक में द्वितीय-क्रम के टेंसर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि घटक सिज़ को विपरीत घटक, सि जे को मिश्रित दक्षिण-सहपरिवर्तन घटक, सि जे को मिश्रित वाम-सहपरिवर्तन घटक और सि जे को द्वितीय-क्रम के टेंसर के सहपरिवर्तन घटक कहा जाता है। मीट्रिक टेंसर और घटकों के बीच संबंध उपरोक्त समीकरणों से हमारे पास मात्राएँ गिज, गिज परिभाषित की गई हैं एक वेक्टर के घटक इस प्रकार संबंधित हैं इसके अलावा, दूसरे क्रम के टेंसर के घटक वैकल्पिक टेंसर द्वारा संबंधित हैं एक ऑर्थोनॉर्मल दाएँ हाथ के आधार पर, तीसरे क्रम के वैकल्पिक टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है एक सामान्य वक्ररेखीय आधार पर एक ही टेंसर को व्यक्त किया जा सकता है अब, इसलिए, इसी तरह, हम दिखा सकते हैं कि वेक्टर संचालन पहचान मानचित्र मैं द्वारा परिभाषित पहचान मानचित्र को इस प्रकार दिखाया जा सकता हैः स्केलर (डॉट) उत्पाद वक्ररेखीय निर्देशांक में दो वैक्टरों का स्केलर उत्पाद वेक्टर (क्रॉस) उत्पाद है दो का क्रॉस उत्पाद वक्ररेखीय निर्देशांकों में, समतुल्य अभिव्यक्ति हैः जहाँ तीसरा क्रम प्रत्यावर्ती टेंसर है। दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद इस प्रकार दिया जाता हैः जहाँ εijk क्रमपरिवर्तन प्रतीक है और एक कार्टेशियन आधार वेक्टर है। इसलिए, और इसलिए, वेक्टर उत्पाद पर लौटना और संबंधों का उपयोग करनाः हमें देता हैः टेंसर संचालन पहचान मानचित्र द्वारा परिभाषित पहचान मानचित्र को एक वेक्टर पर दूसरे क्रम के टेंसर की क्रिया के रूप में दिखाया जा सकता है कार्रवाई को दो दूसरे क्रम के टेंसरों के आंतरिक उत्पाद के रूप में वक्ररेखीय निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है दो दूसरे क्रम के टेंसरों के आंतरिक उत्पाद को वक्ररेखीय निर्देशांक में वैकल्पिक रूप से, दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फिर, इस संबंध से हम दिखा सकते हैं कि चलो परिवर्तन के जैकोबियन बनें। फिर, निर्धारक की परिभाषा से, चूंकि हमारे पास उपरोक्त संबंधों का उपयोग करके कई दिलचस्प परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। इसी तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हुए दिखा सकते हैं कि, एक और दिलचस्प संबंध नीचे दिया गया है। याद रखें कि जहाँ A एक, फिर भी अनिर्धारित, स्थिरांक है। फिर यह अवलोकन सूचकांक संकेतन में संबंधों की ओर ले जाता है, जहाँ सामान्य क्रमपरिवर्तन प्रतीक होता है। हमने परिवर्तन टेंसर एफ के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति की पहचान नहीं की है क्योंकि वक्ररेखीय और कार्टेशियन आधारों के बीच मानचित्रण का एक वैकल्पिक रूप अधिक उपयोगी है। इसी तरह, इन परिणामों से हमारे पास त्रि-आयामी वक्ररेखीय निर्देशांक में वेक्टर और टेंसर कलन है, सिममंड्स, टेंसर विश्लेषण पर अपनी पुस्तक में, अल्बर्ट आइंस्टीन को उद्धृत करते हुए कहते हैं कि सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक में वेक्टर और टेंसर कलन का उपयोग सामान्य सापेक्षता में चार-आयामी वक्ररेखीय मैनिफोल्ड पर टेंसर विश्लेषण में, घुमावदार कोशों के यांत्रिकी में, मैक्सवेल के समीकरणों के अपरिवर्तनीय गुणों की जांच में किया जाता है जो मेटामेट्रियल्स और कई अन्य क्षेत्रों में रुचि रखते हैं। इस खंड में वक्ररेखीय निर्देशांकों में वैक्टर और द्वितीय क्रम के टेंसरों के कलन में कुछ उपयोगी संबंध दिए गए हैं। संकेतन और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन, सिमंड्स, ग्रीन और ज़र्ना, बसर और वेइचेर्ट और सियारलेट से हैं। बुनियादी परिभाषाएँ मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को तीन समन्वय चर द्वारा चिह्नित किया जाता है। निर्देशांक वक्र q1 एक वक्र का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर q2, q3 स्थिर हैं। मान लीजिए कि x किसी मूल के सापेक्ष बिंदु का स्थिति सदिश है। फिर, यह मानते हुए कि इस तरह का मानचित्रण और इसका व्युत्क्रम मौजूद है और निरंतर है, हम लिख सकते हैं। qi निर्देशांक वक्रों को qj, qk स्थिर के साथ दिए गए कार्यों के एक-पैरामीटर परिवार द्वारा परिभाषित किया जाता है। वक्रों के समन्वय के लिए स्पर्शरेखा सदिश बिंदु xi (α) पर वक्र xi के लिए स्पर्शरेखा सदिश (या बिंदु x पर निर्देशांक वक्र qi के लिए) प्रवणता स्केलर क्षेत्र है मान लीजिए कि f (x) अंतरिक्ष में एक स्केलर क्षेत्र है। फिर क्षेत्र f के प्रवणता को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ c एक मनमाना स्थिर सदिश है। यदि हम सी के घटकों को परिभाषित करते हैं तो ऐसे हैं कि यदि हम सेट करते हैं, तो हमारे पास वेक्टर सी के विपरीत घटक को निकालने का एक साधन प्रदान करता है। यदि बी एक बिंदु पर सहपरिवर्तन (या प्राकृतिक) आधार है, और यदि बी उस बिंदु पर विपरीत (या पारस्परिक) आधार है, तो आधार के इस विकल्प के लिए एक संक्षिप्त तर्क अगले खंड में दिया गया है। सदिश क्षेत्र एक समान प्रक्रिया का उपयोग सदिश क्षेत्र f (x) के ढाल पर पहुंचने के लिए किया जा सकता है। यदि हम स्थिति सदिश क्षेत्र r (x) = x के प्रवणता पर विचार करते हैं, तो हम दिखा सकते हैं कि सदिश क्षेत्र b, qi निर्देशांक वक्र के लिए स्पर्शरेखा है और वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर एक प्राकृतिक आधार बनाता है। इस आधार को, जैसा कि इस लेख की शुरुआत में चर्चा की गई है, सहपरिवर्तन वक्ररेखीय आधार भी कहा जाता है। हम एक पारस्परिक आधार, या विपरीत वक्रता आधार, द्वि को भी परिभाषित कर सकते हैं। आधार सदिशों के बीच सभी बीजगणितीय संबंध, जैसा कि टेंसर बीजगणित पर खंड में चर्चा की गई है, प्राकृतिक आधार और प्रत्येक बिंदु x पर इसके पारस्परिक के लिए लागू होते हैं। चूँकि c मनमाना है, इसलिए हम लिख सकते हैं ध्यान दें कि विपरीत आधार सदिश b स्थिरांक की सतह के लंबवत है और पहली तरह के क्रिस्टोफेल प्रतीकों द्वारा दिया गया है। पहली तरह के क्रिस्टोफेल प्रतीकों को परिभाषित किया गया है। उपरोक्त संबंधों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए इनका उपयोग करने से दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफेल प्रतीक मिलते हैं दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफेल प्रतीकों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है जिसमें इसका तात्पर्य है कि अन्य संबंध जो अनुसरण करते हैं वे हैं एक अन्य विशेष रूप से उपयोगी संबंध, जो दर्शाता है कि क्रिस्टोफेल प्रतीक केवल मीट्रिक टेंसर और उसके व्युत्पन्न पर निर्भर करता है, एक वेक्टर क्षेत्र के ढाल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति है वक्ररेखीय निर्देशांक में एक वेक्टर क्षेत्र के ढाल के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ काफी उपयोगी हैं। एक भौतिक सदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व सदिश क्षेत्र v को इस रूप में दर्शाया जा सकता है कि क्षेत्र के सहपरिवर्तन घटक कहाँ हैं, भौतिक घटक हैं, और (कोई योग नहीं) सामान्यीकृत विपरीत आधार सदिश है। यदि हम एक विपरीत आधार के संदर्भ में टेंसर के लिए अभिव्यक्ति पर विचार करते हैं, तो हम एक भौतिक दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व भी लिख सकते हैं दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र के भौतिक घटकों को एक सामान्यीकृत विपरीत आधार का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, यानी, जहां हैटेड आधार वैक्टर को सामान्य किया गया है। इसका तात्पर्य यह है कि (फिर से कोई योग नहीं) विचलन वेक्टर क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र () के विचलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है एक वक्ररेखीय आधार के संबंध में घटकों के संदर्भ में एक सदिश क्षेत्र के विचलन के लिए एक वैकल्पिक समीकरण का अक्सर उपयोग किया जाता है। इस संबंध को प्राप्त करने के लिए याद रखें कि अब, यह देखते हुए कि, की समरूपता के कारण, हमारे पास याद है कि यदि [gij] वह मैट्रिक्स है जिसके घटक gij हैं, तो मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है। मैट्रिक्स का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है जहाँ ऐज घटकों के कोफैक्टर मैट्रिक्स हैं। मैट्रिक्स बीजगणित से हमारे पास है इसलिए, इस संबंध को विचलन के लिए अभिव्यक्ति में जोड़ने से थोड़ा हेरफेर अधिक कॉम्पैक्ट रूप द्वितीय-क्रम टेंसर क्षेत्र की ओर ले जाता है द्वितीय-क्रम टेंसर क्षेत्र के विचलन को परिभाषित किया जाता है जहां a एक मनमाना स्थिर सदिश है। वक्ररेखीय निर्देशांकों में, लाप्लासियन स्केलर क्षेत्र एक स्केलर क्षेत्र φ (x) के लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि वेक्टर क्षेत्र के विचलन के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति का उपयोग करना हमें अब देता है इसलिए, एक वेक्टर क्षेत्र का कर्ल सहपरिवर्तन वक्ररेखीय निर्देशांकों में एक वेक्टर क्षेत्र v के कर्ल को इस रूप में लिखा जा सकता है जहां ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक इस खंड के उद्देश्यों के लिए मान लें कि वक्ररेखीय निर्देशांक प्रणाली ऑर्थोगोनल है, यानी, या समतुल्य है, जहां। पहले की तरह, सहपरिवर्तन आधार वैक्टर हैं और द्वि, बिजे विपरीत आधार वैक्टर हैं। इसके अलावा, (ई1, ई2, ई3) को एक पृष्ठभूमि, निश्चित, कार्टेशियन आधार होने दें। ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांकों की एक सूची नीचे दी गई है। ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक में मीट्रिक टेंसर मान लीजिए कि r (x) निर्देशांक प्रणाली की उत्पत्ति के संबंध में बिंदु x का स्थिति सदिश है। संकेतन को यह नोट करके सरल बनाया जा सकता है कि x = r (x)। प्रत्येक बिंदु पर हम एक छोटे रेखा तत्व dx का निर्माण कर सकते हैं। रेखा तत्व की लंबाई का वर्ग अदिश उत्पाद dx • dx है और इसे स्थान का मीट्रिक कहा जाता है। याद रखें कि जब हम वक्ररेखीय निर्देशांक की बात करते हैं तो रुचि का स्थान यूक्लिडियन माना जाता है। आइए हम स्थिति सदिश को पृष्ठभूमि, निश्चित, कार्टेशियन आधार के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, यानी, श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम फिर त्रि-आयामी ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक (q1, q2, q3) के संदर्भ में dx को व्यक्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि जहाँ हिज़ लैमे गुणांक हैं। यदि हम पैमाने के कारकों को परिभाषित करते हैं, तो इसका उपयोग करके हम मौलिक टेंसर और लैमे गुणांक के बीच एक संबंध प्राप्त करते हैं। उदाहरण-ध्रुवीय निर्देशांक यदि हम R2 के लिए ध्रुवीय निर्देशांकों पर विचार करते हैं, तो ध्यान दें कि (r, θ) वक्ररेखीय निर्देशांक हैं, और परिवर्तन का जैकोबियन निर्धारक (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) r है। सामान्यीकृत आधार वैक्टर हैं er = (cos θ, sin θ), eθ = (− sin θ, cos θ) और पैमाने के कारक hr = 1 और hθ = r हैं। मौलिक टेंसर g11 = 1, g22 = r2, g12 = g21 = 0 है। रेखा और सतह समाकलन यदि हम सदिश कलन गणना के लिए वक्ररेखीय निर्देशांक का उपयोग करना चाहते हैं, तो रेखा, सतह और आयतन समाकलन की गणना में समायोजन करने की आवश्यकता है। सरलता के लिए, हम फिर से चर्चा को तीन आयामों और ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक तक सीमित करते हैं। हालाँकि, वही तर्क-आयामी समस्याओं के लिए लागू होते हैं, हालाँकि अभिव्यक्तियों में कुछ अतिरिक्त शब्द होते हैं जब समन्वय प्रणाली ऑर्थोगोनल नहीं होती है। रेखा समाकलन आम तौर पर रेखा समाकलन की गणना में हम गणना करने में रुचि रखते हैं जहां x (t) कार्टेशियन निर्देशांक में C को मानकीकृत करता है। वक्ररेखीय निर्देशांक में, श्रृंखला नियम द्वारा शब्द। और लैमे गुणांक की परिभाषा से, और इस प्रकार अब, कब से, हमारे पास है और हम सामान्य रूप से आगे बढ़ सकते हैं। इसी तरह, यदि हम एक सतह समाकलन में रुचि रखते हैं, तो प्रासंगिक गणना, कार्टेशियन निर्देशांक में सतह के पैरामीटराइजेशन के साथ हैः फिर से, वक्ररेखीय निर्देशांक में, हमारे पास है और हम वक्ररेखीय निर्देशांक की परिभाषा का उपयोग फिर से प्राप्त करने के लिए करते हैं। निर्धारक रूप में, वक्ररेखीय निर्देशांकों के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद होगाः ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन 3 आयामों के ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक में, जहां कोई भी एक स्केलर या वेक्टर क्षेत्र के ढाल को व्यक्त कर सकता है। एक सदिश क्षेत्र का कर्ल इस प्रकार दिया जाता है जहाँ εijk लेवी-सिविटा प्रतीक है। उदाहरण के लिएः बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक बेलनाकार निर्देशांक के लिए हमारे पास है और जहां फिर सहपरिवर्तन और विपरीत आधार वैक्टर हैं जहां दिशाओं में इकाई वैक्टर हैं। ध्यान दें कि मीट्रिक टेंसर के घटक ऐसे हैं जो दर्शाते हैं कि आधार ऑर्थोगोनल है। दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफेल प्रतीक के गैर-शून्य घटक एक भौतिक वेक्टर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में सामान्यीकृत विपरीत आधार वैक्टर हैं और एक वेक्टर v के भौतिक घटक एक अदिश क्षेत्र के प्रवणता हैं एक अदिश क्षेत्र के प्रवणता, f (x), बेलनाकार निर्देशांक में अब वक्ररेखीय निर्देशांक में सामान्य अभिव्यक्ति से गणना की जा सकती है और एक वेक्टर क्षेत्र के प्रवणता का रूप है इसी तरह, एक वेक्टर क्षेत्र के प्रवणता, v (x), बेलनाकार निर्देशांक में एक वेक्टर क्षेत्र के विचलन के लिए समीकरण का उपयोग करते हुए, वक्ररेखीय निर्देशांक में एक वेक्टर क्षेत्र के विचलन के लिए, बेलनाकार में विचलन के लिए देखा जा सकता है। बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में इसलिए, एक भौतिक द्वितीय-क्रम टेंसर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना द्वितीय-क्रम टेंसर क्षेत्र के भौतिक घटक वे होते हैं जो तब प्राप्त होते हैं जब टेंसर को सामान्यीकृत विपरीत आधार के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में ये घटक हैंः दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का प्रवणता उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग करके हम दिखा सकते हैं कि बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र के प्रवणता को दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र के विचलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र के विचलन को प्रवणता के लिए अभिव्यक्ति से उन शब्दों को एकत्र करके प्राप्त किया जा सकता है जहां डायडिक उत्पादों में दो बाहरी वैक्टरों का स्केलर उत्पाद गैर-शून्य है। इसलिए, सहप्रसरण और विपरीतता भी देखें घुमावदार स्थान-काल ऑर्थोगोनल निर्देशांक के गणित का बुनियादी परिचय फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कोवेरियंट व्युत्पन्न टेंसर व्युत्पन्न (निरंतरता यांत्रिकी) बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में वक्ररेखीय परिप्रेक्ष्य डेल संदर्भ टिप्पणियाँ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक वक्ररेखीय निर्देशांक में इकाई वेक्टरों की व्युत्पत्ति गणित वक्ररेखीय निर्देशांक पर विश्व का पृष्ठ प्रो. आर. ब्रैनन की वक्ररेखीय निर्देशांक समन्वय प्रणालियों पर ई-पुस्तक 3