Patterns in nature
प्रकृति में प्रतिरूप प्राकृतिक दुनिया में पाए जाने वाले रूप की दृश्यमान नियमितताएं हैं। ये प्रतिरूप विभिन्न संदर्भों में दोहराये जाते हैं और कभी-कभी गणितीय रूप से भी बनाए जा सकते हैं। प्राकृतिक पैटर्न में समरूपता, पेड़, सर्पिल, घुमावदार, लहरें, फोम, टेसेलेशन, दरारें और धारियां शामिल हैं। प्रारंभिक यूनानी दार्शनिकों ने स्वरूप का अध्ययन किया, जिसमें प्लेटो, पाइथागोरस और एम्पेडोकल्स ने प्रकृति में क्रम की व्याख्या करने का प्रयास किया। दृश्य प्रतिरूपों की आधुनिक समझ समय के साथ धीरे-धीरे विकसित हुई। 19वीं शताब्दी में, बेल्जियम के भौतिक विज्ञानी जोसेफ पठार ने साबुन फिल्मों की जांच की, जिससे उन्हें न्यूनतम सतह की अवधारणा तैयार करने में मदद मिली। जर्मन जीवविज्ञानी और कलाकार अर्न्स्ट हेकेल ने सैकड़ों समुद्री जीवों को उनकी समरूपता पर जोर देने के लिए चित्रित किया। स्कॉटिश जीवविज्ञानी डी 'आर्सी थॉम्पसन ने पौधों और जानवरों दोनों में विकास पैटर्न के अध्ययन का बीड़ा उठाया, जिससे पता चलता है कि सरल समीकरण सर्पिल विकास की व्याख्या कर सकते हैं। 20वीं शताब्दी में, ब्रिटिश गणितशास्त्री एलन ट्यूरिंग ने मॉर्फोजेनेसिस के तंत्र की भविष्यवाणी की जो धब्बे और धारियों के पैटर्न को जन्म देते हैं। हंगरी के जीवविज्ञानी अरिस्टिड लिंडेनमेयर और फ्रांसीसी अमेरिकी गणितशास्त्री बेनोइट मंडेलब्रोट ने दिखाया कि कैसे अस्थिभंग का गणित पौधों के विकास के पैटर्न का निर्माण कर सकता है। गणित, भौतिकी और रसायन विज्ञान विभिन्न स्तरों और पैमानों पर प्रकृति में प्रतिरूपों की व्याख्या कर सकते हैं। जीवित चीजों में पैटर्न को प्राकृतिक चयन और यौन चयन की जैविक प्रक्रियाओं द्वारा समझाया जाता है। पैटर्न निर्माण के अध्ययन पैटर्न की एक विस्तृत श्रृंखला का अनुकरण करने के लिए कंप्यूटर मॉडल का उपयोग करते हैं। प्रारंभिक यूनानी दार्शनिकों ने आधुनिक अवधारणाओं का अनुमान लगाते हुए प्रकृति में क्रम की व्याख्या करने का प्रयास किया। पाइथागोरस (सी. 570-सी। 495 ईसा पूर्व) ने प्रकृति में प्रतिरूपों की व्याख्या की जैसे कि संगीत के सामंजस्य संख्या से उत्पन्न होते हैं, जिसे उन्होंने अस्तित्व का मूल घटक माना। एम्पेडोकल्स (लगभग 494-सी। 434 ईसा पूर्व) ने कुछ हद तक जीवों की संरचनाओं के लिए डार्विन की विकासवादी व्याख्या का अनुमान लगाया। प्लेटो (लगभग 427-सी। 347 ईसा पूर्व) ने प्राकृतिक सार्वभौमिकता के अस्तित्व के लिए तर्क दिया। उन्होंने माना कि इनमें आदर्श रूप (ईडोसः "रूप") शामिल हैं जिनमें से भौतिक वस्तुएं कभी भी अपूर्ण प्रतियों से अधिक नहीं होती हैं। इस प्रकार, एक फूल मोटे तौर पर गोलाकार हो सकता है, लेकिन यह कभी भी एक पूर्ण वृत्त नहीं होता है। थियोफ्रास्टस (लगभग 372-सी। 287 ईसा पूर्व) ने नोट किया कि "जिन पौधों में चपटे पत्ते होते हैं, वे एक नियमित श्रृंखला में होते हैं"; प्लिनी द एल्डर (23-79 AD) ने उनकी पैटर्न वाली गोलाकार व्यवस्था को नोट किया। सदियों बाद, लियोनार्डो दा विंची (1452-1519) ने पत्ते के पैटर्न की सर्पिल व्यवस्था का उल्लेख किया, कि पेड़ की चड्डी उम्र बढ़ने के साथ क्रमिक वलय प्राप्त करती हैं, और एक नियम का प्रस्ताव रखा जो कथित तौर पर पेड़-शाखाओं के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रों से संतुष्ट होता है। 1202 में, लियोनार्डो फिबोनाची ने अपनी पुस्तक के साथ पश्चिमी दुनिया में फिबोनाची अनुक्रम की शुरुआत की। फिबोनाची ने एक आदर्श खरगोश आबादी के विकास पर एक विचार प्रयोग प्रस्तुत किया। जोहान्स केपलर (1571-1630) ने प्रकृति में फिबोनाची अनुक्रम की उपस्थिति की ओर इशारा किया, जिसका उपयोग कुछ फूलों के पंचकोणीय रूप की व्याख्या करने के लिए किया गया। 1658 में, अंग्रेजी चिकित्सक और दार्शनिक सर थॉमस ब्राउन ने द गार्डन ऑफ साइरस में "प्रकृति ज्यामिति कैसे" पर चर्चा की, जिसमें पायथागोरियन अंकशास्त्र जिसमें संख्या 5 शामिल है, और क्विनकुंक्स पैटर्न के प्लेटोनिक रूप का हवाला दिया गया है। प्रवचन के केंद्रीय अध्याय में वनस्पति विज्ञान में क्विनकुंक्स के उदाहरण और अवलोकन दिए गए हैं। 1754 में, चार्ल्स बोनेट ने देखा कि पौधों के सर्पिल फाइलोटैक्सिस को अक्सर घड़ी की दिशा में और घड़ी की विपरीत दिशा में स्वर्ण अनुपात श्रृंखला में व्यक्त किया जाता था। फाइलोटैक्सिस की गणितीय टिप्पणियों के बाद कार्ल फ्रेडरिक शिम्पर और उनके दोस्त अलेक्जेंडर ब्रौन के क्रमशः 1830 और 1830 के काम हुए; ऑगस्टे ब्रैविस और उनके भाई लुई ने 1837 में फाइलोटैक्सिस अनुपात को फाइबोनैचि अनुक्रम से जोड़ा, साथ ही पाइनकोन्स और अनानास में इसकी उपस्थिति को भी नोट किया। अपनी 1854 की पुस्तक में, जर्मन मनोवैज्ञानिक एडॉल्फ ज़िज़िंग ने पौधों के अंगों की व्यवस्था, जानवरों के कंकाल और उनकी नसों और नसों के शाखा पैटर्न के साथ-साथ क्रिस्टल में व्यक्त किए गए सुनहरे अनुपात की खोज की। 19वीं शताब्दी में, बेल्जियम के भौतिक विज्ञानी जोसेफ पठार (1801-1883) ने एक दी गई सीमा के साथ एक न्यूनतम सतह के अस्तित्व की गणितीय समस्या तैयार की, जिसका नाम अब उनके नाम पर रखा गया है। उन्होंने साबुन फिल्मों का गहन अध्ययन किया, पठार के नियमों को तैयार किया जो फोम में फिल्मों द्वारा बनाई गई संरचनाओं का वर्णन करते हैं। लॉर्ड केल्विन ने 1887 में एक फोम के रूप में समान मात्रा की कोशिकाओं को पैक करने के सबसे कुशल तरीके की समस्या की पहचान की; उनके समाधान में पठार के नियमों को पूरा करने के लिए केवल एक ठोस, बहुत थोड़े घुमावदार चेहरों के साथ बिट्रन्केटेड क्यूबिक हनीकोम्ब का उपयोग किया जाता है। 1993 तक कोई बेहतर समाधान नहीं मिला जब डेनिस वेयर और रॉबर्ट फेलन ने वेयर-फेलन संरचना का प्रस्ताव रखा; बीजिंग नेशनल एक्वेटिक्स सेंटर ने 2008 के ग्रीष्मकालीन ओलंपिक में अपनी बाहरी दीवार के लिए संरचना को अनुकूलित किया। अर्न्स्ट हेकेल (1834-1919) ने समुद्री जीवों, विशेष रूप से रेडियोलेरिया के सुंदर चित्र बनाए, जो विकास के अपने नकली-डार्विनियन सिद्धांतों का समर्थन करने के लिए उनकी समरूपता पर जोर देते हैं। अमेरिकी फोटोग्राफर विल्सन बेंटले ने 1885 में एक बर्फ के टुकड़े का पहला माइक्रोग्राफ लिया। 20वीं शताब्दी में, ए. एच. चर्च ने अपनी 1904 की पुस्तक में फाइलोटैक्सिस के पैटर्न का अध्ययन किया। 1917 में, डी 'आर्सी वेंटवर्थ थॉम्पसन ने ऑन ग्रोथ एंड फॉर्म प्रकाशित किया; फाइलोटैक्सिस और फिबोनाची अनुक्रम का उनका विवरण, पौधों के सर्पिल विकास पैटर्न में गणितीय संबंधों से पता चला कि सरल समीकरण जानवरों के सींगों और मोलस्क कोशों के सर्पिल विकास पैटर्न का वर्णन कर सकते हैं। 1952 में, कंप्यूटर वैज्ञानिक एलन ट्यूरिंग (1912-1954) ने द केमिकल बेसिस ऑफ मॉर्फोजेनेसिस लिखा, जो मॉर्फोजेनेसिस नामक प्रक्रिया में जीवित जीवों में पैटर्न बनाने के लिए आवश्यक तंत्र का विश्लेषण है। उन्होंने दोलन करने वाली रासायनिक प्रतिक्रियाओं, विशेष रूप से बेलोसोव-झाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी की। ट्यूरिंग ने सुझाव दिया कि ये सक्रियक-अवरोधक तंत्र जानवरों में धारियों और धब्बों के पैटर्न (जिसे "ट्यूरिंग पैटर्न" कहा जाता है) उत्पन्न कर सकते हैं, और पादप फाइलोटैक्सिस में देखे जाने वाले सर्पिल पैटर्न में योगदान कर सकते हैं। 1968 में, हंगरी के सैद्धांतिक जीवविज्ञानी अरिस्टिड लिंडेनमेयर (1925-1989) ने एल-प्रणाली विकसित की, एक औपचारिक व्याकरण जिसका उपयोग अस्थिभंग की शैली में पौधे के विकास के पैटर्न को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। एल-प्रणालियों में प्रतीकों की एक वर्णमाला होती है जिसे प्रतीकों के बड़े तार बनाने के लिए उत्पादन नियमों का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, और उत्पन्न तारों को ज्यामितीय संरचनाओं में अनुवाद करने के लिए एक तंत्र होता है। 1975 में, गॉटफ्राइड लीबनिज़, जॉर्ज कैंटर, हेलगे वॉन कोच, वाक्लाव सियेरपिंस्की और अन्य लोगों द्वारा पैटर्न के गणित के सदियों के धीमे विकास के बाद, बेनोइट मंडेलब्रोट ने एक प्रसिद्ध पेपर लिखा, ब्रिटेन का तट कितना लंबा है? सांख्यिकीय आत्म-समानता और भिन्न आयाम, गणितीय विचार को फ्रैक्टल की अवधारणा में क्रिस्टलाइज़ करना। ऑर्किड, हमिंगबर्ड और मोर की पूंछ जैसी जीवित चीजों में रूप, पैटर्न और रंग की सुंदरता के साथ अमूर्त डिजाइन होते हैं जिनका मिलान करने के लिए कलाकारों को संघर्ष करना पड़ता है। लोग प्रकृति में जो सुंदरता महसूस करते हैं, उसके कारण विभिन्न स्तरों पर होते हैं, विशेष रूप से गणित में जो यह नियंत्रित करता है कि कौन से प्रतिरूप भौतिक रूप से बन सकते हैं, और प्राकृतिक चयन के प्रभावों में जीवित चीजों के बीच, जो यह नियंत्रित करते हैं कि प्रतिरूप कैसे विकसित होते हैं। गणित सभी प्रकार के अमूर्त पैटर्न या नियमितताओं की खोज और व्याख्या करना चाहता है। प्रकृति में दृश्य पैटर्न अराजकता सिद्धांत, अस्थिभंग, लघुगणक सर्पिल, टोपोलॉजी और अन्य गणितीय पैटर्न में स्पष्टीकरण पाते हैं। उदाहरण के लिए, एल-सिस्टम पेड़ के विकास के विभिन्न पैटर्न के विश्वसनीय मॉडल बनाते हैं। भौतिकी के नियम गणित के अमूर्तता को वास्तविक दुनिया में लागू करते हैं, अक्सर जैसे कि यह परिपूर्ण हो। उदाहरण के लिए, एक क्रिस्टल सही होता है जब इसमें विस्थापन जैसे कोई संरचनात्मक दोष नहीं होते हैं और पूरी तरह से सममित होता है। सटीक गणितीय पूर्णता केवल वास्तविक वस्तुओं का अनुमान लगा सकती है। प्रकृति में दृश्य पैटर्न भौतिक नियमों द्वारा नियंत्रित होते हैं; उदाहरण के लिए, तरल गतिकी का उपयोग करके घुमावदार को समझाया जा सकता है। जीव विज्ञान में, प्राकृतिक चयन कई कारणों से जीवित चीजों में पैटर्न के विकास का कारण बन सकता है, जिसमें छलावरण, यौन चयन और विभिन्न प्रकार के संकेत शामिल हैं, जिसमें नकल और सफाई सहजीवन शामिल हैं। पौधों में, लिली जैसे कीट-परागण वाले फूलों के आकार, रंग और प्रतिरूप मधुमक्खियों जैसे कीड़ों को आकर्षित करने के लिए विकसित हुए हैं। रंगों और धारियों के रेडियल पैटर्न, जिनमें से कुछ केवल पराबैंगनी प्रकाश में दिखाई देते हैं, अमृत मार्गदर्शक के रूप में काम करते हैं जिन्हें दूर से देखा जा सकता है। प्रतिरूप के प्रकार सममिति जीवित चीजों में व्यापक है। जानवरों में मुख्य रूप से द्वि-पक्षीय या दर्पण समरूपता होती है, जैसा कि पौधों की पत्तियों और ऑर्किड जैसे कुछ फूलों में होता है। पौधों में अक्सर रेडियल या घूर्णन समरूपता होती है, जैसा कि कई फूल और जानवरों के कुछ समूह जैसे समुद्री एनीमोन में होता है। पंचगुण समरूपता इचिनोडर्म्स में पाई जाती है, वह समूह जिसमें स्टारफिश, समुद्री अर्चिन और समुद्री लिली शामिल हैं। निर्जीव वस्तुओं में, बर्फ के गुच्छे में छह गुना समरूपता होती है; प्रत्येक गुच्छे की संरचना अपने क्रिस्टलीकरण के दौरान अलग-अलग स्थितियों का रिकॉर्ड बनाती है, जिसमें इसकी छह भुजाओं में से प्रत्येक पर विकास का लगभग एक ही पैटर्न होता है। आम तौर पर क्रिस्टल में विभिन्न प्रकार की समरूपताएँ और क्रिस्टल की आदतें होती हैं; वे घन या ऑक्टाहेड्रल हो सकते हैं, लेकिन सच्चे क्रिस्टल में पाँच गुना समरूपता नहीं हो सकती है (क्वासिक्रिस्टल के विपरीत)। घूर्णन समरूपता निर्जीव वस्तुओं के बीच विभिन्न पैमानों पर पाई जाती है, जिसमें एक बूंद के तालाब में गिरने पर बने मुकुट के आकार के स्पलैश पैटर्न और शनि जैसे ग्रह के गोलाकार आकार और वलय दोनों शामिल हैं। सममिति के कई कारण होते हैं। रेडियल समरूपता समुद्री एनीमोन जैसे जीवों के लिए उपयुक्त है जिनके वयस्क आगे नहीं बढ़ते हैंः भोजन और खतरे किसी भी दिशा से आ सकते हैं। लेकिन जो जानवर एक दिशा में चलते हैं, उनके ऊपरी और निचले हिस्से, सिर और पूंछ के छोर होते हैं, और इसलिए उनके बाएं और दाएं हिस्से होते हैं। सिर मुँह और इन्द्रिय अंगों (सेफलाइजेशन) के साथ विशिष्ट हो जाता है, और शरीर द्वैपाक्षिक रूप से सममित हो जाता है (हालांकि आंतरिक अंगों की आवश्यकता नहीं होती है)। इचिनोडर्म्स की पाँच गुना (पेंटारेडिएट) समरूपता का कारण अधिक उलझन भरा है। प्रारंभिक इचिनोडर्म द्वैपाक्षिक रूप से सममित थे, जैसा कि उनके लार्वा अभी भी हैं। समरल और रे का तर्क है कि पुरानी समरूपता के नुकसान के विकासात्मक और पारिस्थितिक दोनों कारण थे। पेड़, फ्रैक्टल पेड़ों की शाखाओं के पैटर्न का वर्णन लियोनार्डो दा विंची द्वारा इतालवी पुनर्जागरण में किया गया था। ए ट्रीटीज ऑन पेंटिंग में उन्होंने कहा हैः एक पेड़ की सभी शाखाओं को जब इसकी ऊंचाई के हर चरण में एक साथ रखा जाता है तो उनकी मोटाई [उनके नीचे] तने के बराबर होती है। एक अधिक सामान्य संस्करण में कहा गया है कि जब एक मूल शाखा दो या अधिक बाल शाखाओं में विभाजित होती है, तो बाल शाखाओं के सतह क्षेत्र मूल शाखा तक जुड़ जाते हैं। एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है कि यदि एक मूल शाखा दो बाल शाखाओं में विभाजित हो जाती है, तो माता-पिता और दो बाल शाखाओं का अनुप्रस्थ-अनुभागीय व्यास एक समकोण त्रिभुज बनाता है। एक व्याख्या यह है कि यह पेड़ों को तेज हवाओं का बेहतर ढंग से सामना करने की अनुमति देता है। बायोमैकेनिकल मॉडल के अनुकरण नियम से सहमत हैं। फ्रैक्टल असीम रूप से स्व-समान होते हैं, जो फ्रैक्टल आयाम वाले गणितीय संरचनाओं को दोहराते हैं। प्रकृति में अनंत पुनरावृत्ति संभव नहीं है इसलिए सभी 'फ्रैक्टल' पैटर्न केवल अनुमानित हैं। उदाहरण के लिए, फर्न और अम्बेलिफर्स (एपियासी) की पत्तियां 2,3 या 4 स्तरों तक केवल स्व-समान (पिनेट) होती हैं। फर्न जैसे विकास पैटर्न पौधों और जानवरों में होते हैं जिनमें ब्रायोजोआ, प्रवाल, हाइड्रोजोआ जैसे एयर फर्न, सर्टुलेरिया अर्जेंटीना और निर्जीव चीजों में, विशेष रूप से विद्युत निर्वहन शामिल हैं। लिंडेनमेयर प्रणाली फ्रैक्टल शाखा कोण, नोड्स या शाखा बिंदुओं के बीच की दूरी (इंटरनोड लंबाई), और प्रति शाखा बिंदु शाखाओं की संख्या सहित कुछ मापदंडों को बदलकर पेड़ के विकास के विभिन्न पैटर्न का मॉडल बना सकते हैं। फ्रैक्टल जैसे पैटर्न प्रकृति में व्यापक रूप से बादलों, नदी नेटवर्क, भूगर्भीय फॉल्ट लाइनों, पहाड़ों, तटरेखाओं, जानवरों के रंग, बर्फ के गुच्छे, क्रिस्टल, रक्त वाहिका शाखाओं, पुर्किंजे कोशिकाओं, एक्टिन साइटोस्केलेटन और समुद्री लहरों जैसी विविध घटनाओं में पाए जाते हैं। सर्पिल सर्पिल पौधों और कुछ जानवरों, विशेष रूप से मोलस्क में आम हैं। उदाहरण के लिए, नॉटिलस में, एक सेफलोपोड मोलस्क, इसके खोल का प्रत्येक कक्ष अगले की एक अनुमानित प्रति है, जिसे एक स्थिर कारक द्वारा मापा जाता है और एक लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित किया जाता है। अस्थिभंग की आधुनिक समझ को देखते हुए, एक वृद्धि सर्पिल को आत्म-समानता के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। पादप सर्पिल को फाइलोटैक्सिस में देखा जा सकता है, एक तने पर पत्तियों की व्यवस्था, और अन्य भागों की व्यवस्था (पैरास्टिची) में जैसे कि मिश्रित फूलों के सिर और बीज के सिर जैसे सूरजमुखी या अनानास और सांप के फल जैसी फलों की संरचनाओं में, साथ ही पाइन शंकु में तराजू के पैटर्न में, जहां कई सर्पिल घड़ी की दिशा में और घड़ी की विपरीत दिशा में चलते हैं। इन व्यवस्थाओं में विभिन्न स्तरों पर स्पष्टीकरण हैं-गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान-प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से सही है, लेकिन सभी एक साथ आवश्यक हैं। फाइलोटैक्सिस सर्पिल फिबोनाची अनुपात से उत्पन्न किए जा सकते हैंः फिबोनाची अनुक्रम 1,1,2,3,5,8,13. (प्रत्येक बाद की संख्या दो पूर्ववर्ती संख्याओं का योग है)। उदाहरण के लिए, जब पत्ते एक तने के ऊपर बारी-बारी से आते हैं, तो सर्पिल का एक चक्कर दो पत्तियों को छूता है, इसलिए पैटर्न या अनुपात 1/2 होता है। हेज़ल में अनुपात 1/3 है; खुबानी में यह 2/5 है; नाशपाती में यह 3/8 है; बादाम में यह 5/13 है। सूर्यमुखी और डेज़ी की तरह डिस्क फाइलोटैक्सिस में, फूलों को फर्माट के सर्पिल के साथ व्यवस्थित किया जाता है, लेकिन यह प्रच्छन्न है क्योंकि क्रमिक फूलों को सुनहरे कोण, 137.508 ° (वृत्त को सुनहरे अनुपात में विभाजित करते हुए) द्वारा बहुत दूर रखा जाता है; जब फूल का सिर परिपक्व हो जाता है तो सभी तत्व समान आकार के होते हैं, यह अंतराल अधिक स्पष्ट सर्पिल की एक फिबोनाची संख्या बनाता है। भौतिकी के दृष्टिकोण से, सर्पिल निम्नतम-ऊर्जा विन्यास हैं जो गतिशील प्रणालियों में स्व-संगठित प्रक्रियाओं के माध्यम से अनायास ही उभरते हैं। रसायन विज्ञान के दृष्टिकोण से, एक सर्पिल को प्रतिक्रिया-प्रसार प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, जिसमें सक्रियण और अवरोध दोनों शामिल हैं। फाइलोटैक्सिस प्रोटीन द्वारा नियंत्रित होता है जो पौधे के हार्मोन ऑक्सिन की सांद्रता में हेरफेर करता है, जो स्टेम के चारों ओर कलियों के सापेक्ष कोण को नियंत्रित करने के लिए अन्य तंत्रों के साथ-साथ मेरिस्टेम विकास को सक्रिय करता है। जैविक दृष्टिकोण से, किसी भी स्थान में पत्तियों को यथासंभव दूर व्यवस्थित करना प्राकृतिक चयन द्वारा पसंद किया जाता है क्योंकि यह संसाधनों, विशेष रूप से प्रकाश संश्लेषण के लिए सूर्य के प्रकाश तक पहुंच को अधिकतम करता है। गणित में, एक गतिशील प्रणाली अराजक होती है यदि यह प्रारंभिक स्थितियों (तथाकथित "तितली प्रभाव") के प्रति (अत्यधिक) संवेदनशील होती है, जिसके लिए स्थलाकृतिक मिश्रण और घने आवधिक कक्षाओं के गणितीय गुणों की आवश्यकता होती है। फ्रैक्टल के साथ-साथ, अराजकता सिद्धांत प्रकृति में पैटर्न पर अनिवार्य रूप से सार्वभौमिक प्रभाव के रूप में रैंक करता है। अराजकता और अस्थिभंग के बीच एक संबंध है-अराजक प्रणालियों में अजीब आकर्षण का एक अस्थिभंग आयाम होता है। कुछ सेलुलर ऑटोमेटा, गणितीय नियमों के सरल सेट जो पैटर्न उत्पन्न करते हैं, में अराजक व्यवहार होता है, विशेष रूप से स्टीफन वोल्फ्राम का नियम 30। भंवर सड़कें घूमने वाले भंवरों के घुमावदार पैटर्न हैं जो एक तरल पदार्थ के प्रवाह के अस्थिर अलगाव से उत्पन्न होते हैं, जो अक्सर हवा या पानी, बाधा डालने वाली वस्तुओं पर होता है। चिकना (लैमिनार) प्रवाह तब टूटना शुरू हो जाता है जब अवरोध का आकार या प्रवाह का वेग तरल पदार्थ की चिपचिपाहट की तुलना में काफी बड़ा हो जाता है। मीन्डर्स नदियों या अन्य चैनलों में पापपूर्ण मोड़ हैं, जो एक तरल पदार्थ के रूप में बनते हैं, अक्सर पानी, मोड़ के चारों ओर बहता है। जैसे ही रास्ता थोड़ा घुमावदार होता है, प्रत्येक लूप का आकार और वक्रता बढ़ जाती है क्योंकि पेचदार प्रवाह रेत और बजरी जैसी सामग्री को नदी के पार मोड़ के अंदर तक खींचता है। लूप के बाहरी हिस्से को साफ और असुरक्षित छोड़ दिया जाता है, इसलिए कटाव तेज हो जाता है, जिससे एक शक्तिशाली सकारात्मक प्रतिक्रिया लूप में घुमावदार वृद्धि होती है। लहरें, टीले लहरें वे विक्षोभ हैं जो गति करते समय ऊर्जा ले जाती हैं। यांत्रिक तरंगें एक मध्यम हवा या पानी के माध्यम से फैलती हैं, जिससे वे गुजरते हुए दोलन करती हैं। पवन तरंगें समुद्र की सतह की तरंगें हैं जो पानी के किसी भी बड़े निकाय की विशेषता अराजक पैटर्न बनाती हैं, हालांकि उनके सांख्यिकीय व्यवहार की भविष्यवाणी पवन तरंग मॉडल के साथ की जा सकती है। जैसे ही पानी या हवा में लहरें रेत के ऊपर से गुजरती हैं, वे लहरों के प्रतिरूप बनाती हैं। जब हवाएँ रेत के बड़े निकायों पर बहती हैं, तो वे टीलों का निर्माण करती हैं, कभी-कभी व्यापक टीले के खेतों में जैसे कि तकलामकन रेगिस्तान में। ड्यून्स अर्धचंद्र, बहुत लंबी सीधी रेखाएँ, तारे, गुंबद, परवलय और अनुदैर्ध्य या सीफ ('तलवार') आकृतियों सहित कई प्रकार के पैटर्न बना सकते हैं। बार्चन या अर्धचंद्र टीले रेगिस्तानी रेत पर काम करने वाली हवा से उत्पन्न होते हैं; अर्धचंद्र के दो सींग और पर्ची का चेहरा हवा को नीचे की ओर इंगित करते हैं। ऊपर की ओर हवा के चेहरे पर रेत बहती है, जो क्षैतिज से लगभग 15 डिग्री पर खड़ी होती है, और पर्ची के चेहरे पर गिरती है, जहां यह रेत के आराम के कोण तक जमा होती है, जो लगभग 35 डिग्री है। जब पर्ची का चेहरा आराम के कोण से अधिक हो जाता है, तो रेत का हिमस्खलन होता है, जो एक अरैखिक व्यवहार हैः कई छोटी मात्रा में रेत के जुड़ने से कुछ भी नहीं होता है, लेकिन फिर और छोटी मात्रा में जुड़ने से अचानक बड़ी मात्रा में हिमस्खलन हो जाता है। इस अरैखिकता के अलावा, बारचान एकांत तरंगों की तरह व्यवहार करते हैं। बुलबुले, फोम एक साबुन का बुलबुला एक गोला बनाता है, न्यूनतम क्षेत्र (न्यूनतम सतह) के साथ एक सतह-संलग्न आयतन के लिए सबसे छोटा संभव सतह क्षेत्र। दो बुलबुले एक साथ एक अधिक जटिल आकार बनाते हैंः दोनों बुलबुले की बाहरी सतह गोलाकार होती हैं; ये सतह एक तीसरी गोलाकार सतह से जुड़ जाती हैं क्योंकि छोटा बुलबुला थोड़ा बड़ा होता है। फोम बुलबुले का एक द्रव्यमान है; विभिन्न सामग्रियों के फोम प्रकृति में पाए जाते हैं। साबुन फिल्म से बने फोम पठार के नियमों का पालन करते हैं, जिसके लिए प्रत्येक किनारे पर 120° पर तीन साबुन फिल्म और लगभग 109.5 ° के चतुष्फलकीय कोण पर प्रत्येक शीर्ष पर मिलने के लिए चार साबुन किनारों की आवश्यकता होती है। पठार के नियमों में आगे फिल्मों को चिकनी और निरंतर होने की आवश्यकता होती है, और हर बिंदु पर एक स्थिर औसत वक्रता होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, एक फिल्म औसतन एक दिशा में ऊपर की ओर (जैसे, बाएं से दाएं) और दूसरी दिशा में नीचे की ओर (जैसे, आगे से पीछे) घुमावदार होकर लगभग सपाट रह सकती है। न्यूनतम सतहों वाली संरचनाओं का उपयोग तंबू के रूप में किया जा सकता है। जीवित कोशिकाओं के पैमाने पर, फोम पैटर्न आम हैं; रेडियोलेरियन, स्पंज स्पिक्यूल, सिलिकोफ्लागेलेट एक्सोस्केलेटन और समुद्री अर्चिन, सिडारिस रुगोसा का कैल्साइट कंकाल, सभी पठार फोम सीमाओं के खनिज कास्ट से मिलते-जुलते हैं। रेडियोलेरियन का कंकाल, ऑलोनिया हेक्सागोना, अर्न्स्ट हेकेल द्वारा खींचा गया एक सुंदर समुद्री रूप, ऐसा लगता है जैसे कि यह पूरी तरह से हेक्सागॉन से बना एक गोला है, लेकिन यह गणितीय रूप से असंभव है। यूलर विशेषता बताती है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, चेहरों की संख्या और शीर्षों (कोनों) की संख्या किनारों की संख्या और दो के बराबर होती है। इस सूत्र का परिणाम यह है कि षट्कोण के किसी भी बंद बहुफलक में ठीक 12 पेंटागन शामिल होते हैं, जैसे कि एक सॉकर बॉल, बकमिंस्टर फुलर जियोडेसिक गुंबद, या फुलरीन अणु। इसे यह देखते हुए देखा जा सकता है कि षट्कोण का एक जाल चिकन तार की चादर की तरह सपाट होता है, लेकिन प्रत्येक पंचभुज जो जोड़ा जाता है वह जाल को झुकने के लिए मजबूर करता है (कम कोने होते हैं, इसलिए जाल को अंदर खींचा जाता है)। टेसेलेशन टेसेलेशन एक सपाट सतह पर टाइलों को दोहराकर बनाए गए पैटर्न हैं। टिलिंग के 17 वालपेपर समूह हैं। जबकि कला और डिजाइन में आम है, जीवित चीजों में सटीक रूप से दोहराया जाने वाला झुकाव कम आसान है। सामाजिक ततैया के कागज के घोंसलों में कोशिकाएं, और मधूमक्खियों द्वारा निर्मित मधुकोश में मोम कोशिकाएं प्रसिद्ध उदाहरण हैं। जानवरों में, हड्डी वाली मछली, सरीसृप या पैंगोलिन, या सलाक जैसे फल अतिव्यापी तराजू या ऑस्टियोडर्म द्वारा संरक्षित होते हैं, ये अधिक या कम सटीक रूप से दोहराने वाली इकाइयाँ बनाते हैं, हालांकि अक्सर तराजू वास्तव में आकार में लगातार भिन्न होते हैं। फूलों में, सांप के सिर के फ्रिटिलरी, फ्रिटिलेरिया मेलियाग्रिस की पंखुड़ियों पर एक टेसेलेटेड चेकबोर्ड पैटर्न होता है। खनिजों की संरचनाएँ नियमित रूप से त्रि-आयामी सरणियों को दोहराने के अच्छे उदाहरण प्रदान करती हैं। सैकड़ों हजारों ज्ञात खनिजों के बावजूद, एक क्रिस्टल में परमाणुओं की व्यवस्था के कुछ संभावित प्रकार हैं, जिन्हें क्रिस्टल संरचना, क्रिस्टल प्रणाली और बिंदु समूह द्वारा परिभाषित किया गया है; उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी स्थान में 7 जाली प्रणालियों के लिए ठीक 14 ब्रैविस जाली हैं। दरारें रैखिक उद्घाटन हैं जो तनाव को दूर करने के लिए सामग्री में बनती हैं। जब एक लोचदार पदार्थ समान रूप से फैलता या सिकुड़ता है, तो यह अंततः अपनी टूटने की ताकत तक पहुंच जाता है और फिर सभी दिशाओं में अचानक विफल हो जाता है, जिससे 120 डिग्री जोड़ों के साथ दरारें पैदा होती हैं, इसलिए तीन दरारें एक नोड पर मिलती हैं। इसके विपरीत, जब एक अस्थिर सामग्री विफल हो जाती है, तो तनाव को दूर करने के लिए सीधी दरारें बन जाती हैं। उसी दिशा में आगे का तनाव तब बस मौजूदा दरारों को खोल देगा; समकोण पर तनाव पुरानी दरारों के 90 डिग्री पर नई दरारें पैदा कर सकता है। इस प्रकार दरारों का स्वरूप इंगित करता है कि सामग्री लोचदार है या नहीं। ओक के पेड़ की छाल जैसी कठोर रेशेदार सामग्री में, हमेशा की तरह तनाव को दूर करने के लिए दरारें बनती हैं, लेकिन वे लंबे समय तक नहीं बढ़ती हैं क्योंकि उनका विकास मजबूत लोचदार तंतुओं के बंडलों से बाधित होता है। चूँकि पेड़ की प्रत्येक प्रजाति की कोशिका और अणुओं के स्तर पर अपनी संरचना होती है, इसलिए प्रत्येक की छाल में विभाजन का अपना पैटर्न होता है। धब्बे, धारीदार तेंदुए और लेडीबर्ड देखे जाते हैं; एंजेलफिश और ज़ेबरा धारीदार होते हैं। इन प्रतिरूपों की एक विकासवादी व्याख्या हैः उनके पास ऐसे कार्य हैं जो इस संभावना को बढ़ाते हैं कि प्रतिरूपित जानवर की संतान प्रजनन के लिए जीवित रहेगी। जानवरों के प्रतिरूपों का एक कार्य छलावरण है; उदाहरण के लिए, एक तेंदुआ जिसे देखना कठिन है, अधिक शिकार पकड़ता है। एक अन्य कार्य संकेत देना है-उदाहरण के लिए, एक लेडीबर्ड पर उन शिकारी पक्षियों द्वारा हमला किए जाने की संभावना कम होती है जो देखते ही शिकार करते हैं, यदि इसमें बोल्ड चेतावनी रंग होते हैं, और यह अप्रिय रूप से कड़वा या जहरीला भी होता है, या अन्य अरुचिकर कीड़ों की नकल करता है। एक युवा पक्षी लेडीबर्ड की तरह एक चेतावनी पैटर्न वाले कीट को देख सकता है और उसे खाने की कोशिश कर सकता है, लेकिन यह केवल एक बार ऐसा करेगा; बहुत जल्द यह कड़वे कीट को थूक देगा; क्षेत्र के अन्य लेडीबर्ड अबाधित रहेंगे। युवा तेंदुए और मादा पक्षी, वंशानुगत जीन जो किसी तरह धब्बे पैदा करते हैं, जीवित रहते हैं। लेकिन जबकि ये विकासवादी और कार्यात्मक तर्क बताते हैं कि इन जानवरों को उनके पैटर्न की आवश्यकता क्यों है, वे यह नहीं बताते हैं कि पैटर्न कैसे बनते हैं। पैटर्न गठन एलन ट्यूरिंग और बाद में गणितीय जीवविज्ञानी जेम्स मरे ने एक ऐसे तंत्र का वर्णन किया जो स्वचालित रूप से धब्बेदार या धारीदार पैटर्न बनाता हैः एक प्रतिक्रिया-प्रसार प्रणाली। एक युवा जीव की कोशिकाओं में जीन होते हैं जिन्हें एक रासायनिक संकेत, एक मॉर्फोजेन द्वारा चालू किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक निश्चित प्रकार की संरचना का विकास होता है, त्वचा का एक गहरा वर्णक पैच कहते हैं। यदि मॉर्फोजेन हर जगह मौजूद है, तो परिणाम एक काला तेंदुए की तरह एक समान रंगद्रव्य है। लेकिन अगर यह असमान रूप से वितरित है, तो धब्बे या धारियाँ हो सकती हैं। ट्यूरिंग ने सुझाव दिया कि मॉर्फोजेन के उत्पादन पर प्रतिक्रिया नियंत्रण हो सकता है। यह मॉर्फोजेन की मात्रा में निरंतर उतार-चढ़ाव का कारण बन सकता है क्योंकि यह शरीर के चारों ओर फैलता है। स्थायी तरंग पैटर्न बनाने के लिए एक दूसरे तंत्र की आवश्यकता होती है (धब्बे या धारियों के परिणामस्वरूप): एक अवरोधक रसायन जो मॉर्फोजेन के उत्पादन को बंद कर देता है, और जो स्वयं मॉर्फोजेन की तुलना में शरीर में अधिक तेज़ी से फैलता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सक्रियक-अवरोधक योजना होती है। बेलोसोव-झाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया इस तरह की योजना का एक गैर-जैविक उदाहरण है, एक रासायनिक ऑसिलेटर। बाद के शोध ने ज़ेबरा धारियों, जिराफ धब्बों, जगुआर धब्बों (गहरे टूटे हुए छल्लों से घिरे मध्यम-काले धब्बों) और लेडीबर्ड खोल पैटर्न (धब्बों और धारियों के विभिन्न ज्यामितीय लेआउट, चित्र देखें) के रूप में विविध पैटर्न के विश्वसनीय मॉडल बनाने में कामयाबी हासिल की है। ट्यूरिंग के काम से विकसित रिचर्ड प्रुम के सक्रियण-निषेध मॉडल, नौ बुनियादी पंखों के भीतर वर्णक पैटर्न की देखी गई सीमा के लिए छह चर का उपयोग करते हैं, सबसे सरल, एक केंद्रीय वर्णक पैच, संकेंद्रित पैच, बार, शेवरॉन, नेत्र स्थान, केंद्रीय धब्बों की जोड़ी, जोड़ीदार धब्बों की पंक्तियाँ और बिंदुओं की एक श्रृंखला के माध्यम से। अधिक विस्तृत मॉडल गिनीफौल न्यूमिडा मेलियाग्रिस में जटिल पंखों के पैटर्न का अनुकरण करते हैं जिसमें अलग-अलग पंखों में आधार पर सलाखों से दूर (दूरस्थ) छोर पर बिंदुओं की एक श्रृंखला में संक्रमण होता है। इनके लिए दो अवरोधक संकेतों द्वारा बनाए गए दोलन की आवश्यकता होती है, जिसमें स्थान और समय दोनों में परस्पर क्रिया होती है। बाघ की झाड़ी और देवदार की लहरों के वनस्पति वाले परिदृश्य में अन्य कारणों से पैटर्न बन सकते हैं। बाघ की झाड़ी की धारियाँ शुष्क ढलानों पर होती हैं जहाँ पौधों की वृद्धि वर्षा से सीमित होती है। वनस्पति की प्रत्येक मोटे तौर पर क्षैतिज पट्टी प्रभावी रूप से अपने ऊपर के खाली क्षेत्र से वर्षा जल को एकत्र करती है। पुनरूत्पादन के दौरान हवा के व्यवधान के बाद पहाड़ी ढलानों पर जंगलों में फर लहरें आती हैं। जब पेड़ गिरते हैं, तो जिन पेड़ों को उन्होंने आश्रय दिया था, वे उजागर हो जाते हैं और बदले में क्षतिग्रस्त होने की संभावना अधिक होती है, इसलिए अंतराल हवा के नीचे फैलते हैं। इस बीच, हवा की ओर, युवा पेड़ उगते हैं, जो शेष लंबे पेड़ों की हवा की छाया से संरक्षित होते हैं। प्राकृतिक प्रतिरूप कभी-कभी जानवरों द्वारा बनाए जाते हैं, जैसे कि उत्तर-पश्चिमी संयुक्त राज्य अमेरिका के मीमा टीलों और कुछ अन्य क्षेत्रों में, जो पॉकेट गोफर्स की खुदाई गतिविधियों द्वारा कई वर्षों में बनाए गए प्रतीत होते हैं, जबकि नामीबिया के तथाकथित परी मंडल रेत दीमक के प्रतिस्पर्धी समूहों की बातचीत के साथ-साथ रेगिस्तानी पौधों के बीच पानी के लिए प्रतिस्पर्धा से बनाए गए प्रतीत होते हैं। पर्माफ्रॉस्ट मिट्टी में एक सक्रिय ऊपरी परत के साथ वार्षिक फ्रीज और पिघलने के अधीन, पैटर्न वाली जमीन बन सकती है, जिससे वृत्त, जाल, बर्फ की वेज बहुभुज, कदम और धारियाँ बन सकती हैं। तापीय संकुचन के कारण सिकुड़न दरारें बनती हैं; पिघलने में, पानी दरारों को भर देता है, अगले जमने पर बर्फ बनाने के लिए फैलता है, और दरारों को दरारों में चौड़ा करता है। ये दरारें मिलकर बहुभुज और अन्य आकार बना सकती हैं। कशेरुकी मस्तिष्क पर विकसित होने वाला विखंडित पैटर्न दो ज्यामितीय मापदंडों पर निर्भर सीमित विस्तार की एक भौतिक प्रक्रिया के कारण होता हैः सापेक्ष स्पर्शरेखा कॉर्टिकल विस्तार और प्रांतस्था की सापेक्ष मोटाई। चिकनी, परतदार जेल से शुरू होने वाले मस्तिष्क के मॉडल में जाइरी (चोटियों) और सल्की (गर्त) के समान पैटर्न का प्रदर्शन किया गया है, जिसमें एक विलायक के जुड़ने के बाद बाहरी परत (प्रांतस्था का प्रतिनिधित्व करने वाली) के विस्तार के परिणामस्वरूप संपीड़ित यांत्रिक बलों के कारण होने वाले पैटर्न हैं। कंप्यूटर सिमुलेशन में संख्यात्मक मॉडल प्राकृतिक और प्रयोगात्मक टिप्पणियों का समर्थन करते हैं कि बड़े मस्तिष्क में सतह के तह पैटर्न में वृद्धि होती है। विकासात्मक जीवविज्ञान पौधों का उद्भव विकासवादी इतिहास गणित और कला मॉर्फोजेनेसिस पैटर्न गठन विडमैनस्टेटन पैटर्न संदर्भ फुटनोट्स उद्धरण ग्रंथ सूची अग्रगामी लेखक फिबोनाची, लियोनार्डो भी देखें। लिबर अबासी, 1202। सिगलर, लॉरेंस ई. फिबोनाची की लिबर अबासी द्वारा अनुवादित। स्प्रिंगर, 2002। हेकेल, अर्न्स्ट। कुन्स्टफॉर्मेन डेर नेचर (प्रकृति में कला रूप), 1899-1904। थॉम्पसन, डी 'आर्सी वेंटवर्थ। वृद्धि और रूप पर। कैम्ब्रिज, 1917। सामान्य पुस्तकें एडम, जॉन ए। प्रकृति में गणितः प्राकृतिक दुनिया में प्रतिरूपण पैटर्न। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2006। बॉल, फिलिप। प्रकृति में प्रतिरूप। शिकागो, 2016। मर्फी, पैट और नील, विलियम। प्रकृति की रचना से। क्रॉनिकल बुक्स, 1993। प्रकृति के प्रतिमान (कला के रूप में) एडमेयर, बर्नार्ड। पृथ्वी के प्रतिरूप। फाइडन प्रेस, 2007। मैकनाब, मैगी। प्रकृति द्वारा डिजाइनः डिजाइन में सार्वभौमिक रूपों और सिद्धांतों का उपयोग करना। न्यू राइडर्स, 2012। नाकामुरा, शिगेकी। पैटर्न सोर्सबुकः प्रकृति से प्रेरित 250 पैटर्न। किताबें 1 और 2। रॉकपोर्ट, 2009। ओ 'नील, पोली। सतह और बनावटः एक दृश्य स्रोत पुस्तक। ब्लैक, 2008। पोर्टर, एलियट और ग्लीक, जेम्स। प्रकृति की अराजकता। वाइकिंग पेंगुइन, 1990। बाहरी लिंक फिबोनाची नंबर और गोल्डन सेक्शन फाइलोटैक्सिसः प्लांट पैटर्न फॉर्मेशन के गणितीय अध्ययन के लिए एक इंटरैक्टिव साइट अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान का इतिहास प्रकृति पैटर्न फॉर्मेशन पैटर्न रिक्रिएशनल गणित