Cremona–Richmond configuration
गणित में, क्रेमोना-रिचमंड विन्यास 15 रेखाओं और 15 बिंदुओं का एक विन्यास है, जिसमें प्रत्येक रेखा पर 3 बिंदु और प्रत्येक बिंदु के माध्यम से 3 रेखाएँ होती हैं, और इसमें कोई त्रिकोण नहीं होता है। इसका अध्ययन और द्वारा किया गया था। यह मापदंडों (2,2) के साथ एक सामान्यीकृत चतुर्भुज है। इसका लेवी ग्राफ टुटे-कोक्सेटर ग्राफ है। सममिति क्रेमोना-रिचमंड विन्यास के बिंदुओं को छह-तत्व समूह के तत्वों के अनियमित जोड़े के साथ पहचाना जा सकता है; इन जोड़े को डुएड कहा जाता है। इसी तरह, विन्यास की रेखाओं को उन्हीं छह तत्वों को तीन जोड़े में विभाजित करने के 15 तरीकों से पहचाना जा सकता है; इन विभाजनों को सिंथेम कहा जाता है। इस तरह से पहचाने जाने पर, विन्यास का एक बिंदु विन्यास की एक रेखा के लिए आपतित होता है यदि और केवल तभी जब बिंदु के अनुरूप युगल रेखा के अनुरूप सिंथेम में तीन जोड़ों में से एक हो। डुएड और सिंथेम की इस प्रणाली में अंतर्निहित छह तत्वों के सभी क्रमपरिवर्तनों का सममित समूह क्रेमोना-रिचमंड विन्यास के समरूपता समूह के रूप में कार्य करता है, और विन्यास का ऑटोमोर्फिज्म समूह देता है। विन्यास के प्रत्येक ध्वज (एक घटना बिंदु-रेखा जोड़ी) को इस समूह में समरूपता द्वारा प्रत्येक अन्य ध्वज पर ले जाया जा सकता है। क्रेमोना-रिचमंड विन्यास स्व-द्वैत हैः विन्यास की सभी घटनाओं को संरक्षित करते हुए रेखाओं के लिए अंकों का आदान-प्रदान करना संभव है। यह द्वैतता टुटे-कोक्सेटर ग्राफ को क्रेमोना-रिचमंड विन्यास से परे अतिरिक्त समरूपता देती है, जो इसके द्विदलीय विभाजन के दोनों पक्षों को बदल देती है। ये सममितियाँ छह तत्वों पर सममित समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के अनुरूप हैं। चार आयामी स्थान में सामान्य स्थिति में कोई भी छह बिंदु 15 बिंदुओं को निर्धारित करते हैं जहां दो बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा अन्य चार बिंदुओं के माध्यम से हाइपरप्लेन को काटती है; इस प्रकार, छह बिंदुओं के डुएड इन 15 व्युत्पन्न बिंदुओं के साथ एक के लिए एक के अनुरूप होते हैं। कोई भी तीन युगल जो एक साथ एक सिंथेम बनाते हैं, एक रेखा निर्धारित करते हैं, तीन हाइपरप्लेन की प्रतिच्छेदन रेखा जिसमें सिंथेम में तीन युगल में से दो होते हैं, और इस रेखा में इसके तीन युगल से प्राप्त प्रत्येक बिंदु होते हैं। इस प्रकार, अमूर्त विन्यास के युगल और सिंथेम मूल छह बिंदुओं से प्राप्त इन 15 बिंदुओं और 15 पंक्तियों के साथ, एक घटना-संरक्षण तरीके से, एक-के-लिए-एक के अनुरूप होते हैं, जो विन्यास की प्राप्ति करते हैं। इसी अनुभूति को यूक्लिडियन अंतरिक्ष या यूक्लिडियन तल में प्रक्षेपित किया जा सकता है। क्रेमोना-रिचमंड विन्यास में क्रम-पाँच चक्रीय समरूपता के साथ तल में प्राप्ति का एक-पैरामीटर परिवार भी है। इतिहास ने क्यूबिक सतहों को पाया जिसमें 15 वास्तविक रेखाओं के सेट (एक क्यूबिक पर सभी 27 रेखाओं के सेट में एक श्लाफली डबल सिक्स के पूरक) और 15 स्पर्शरेखा विमान थे, जिसमें प्रत्येक तल में तीन रेखाएँ और प्रत्येक रेखा के माध्यम से तीन तल थे। इन रेखाओं और विमानों को दूसरे समतल द्वारा विच्छेदित करने के परिणामस्वरूप 153153 विन्यास होता है। श्लाफली की रेखाओं और विमानों का विशिष्ट आपतन पैटर्न बाद में श्लाफली द्वारा प्रकाशित किया गया था। यह अवलोकन कि परिणामी विन्यास में कोई त्रिभुज नहीं है, द्वारा बनाया गया था, और उसी विन्यास के कार्य में भी दिखाई देता है। एक स्व-लिखित बहुभुज के रूप में विन्यास का विवरण मिला। एच. एफ. बेकर ने अपनी 1922-1925 पाठ्यपुस्तक, प्रिंसिपल्स ऑफ ज्योमेट्री के दो खंडों के लिए इस विन्यास की चार-आयामी प्राप्ति का उपयोग किया। उसी विन्यास की फिर से खोज की, और क्रम-पाँच चक्रीय समरूपता के साथ इसका अहसास पाया। विन्यास का नाम और द्वारा इसके अध्ययन से आता है; शायद उनके काम में कुछ गलतियों के कारण, मार्टिनेटी का समकालीन योगदान अस्पष्टता में पड़ गया। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. .. जैसा कि उद्धृत किया गया है। .. .. .. .. .. जैसा कि उद्धृत किया गया है। .. बाहरी लिंक क्रेमोना-रिचमंड विन्यास की छवि क्रेमोना-रिचमंड विन्यास विन्यास की छवि (ज्यामिति)