Cartier duality
गणित में, कार्टियर द्वैतता कम्यूटेटिव समूह योजनाओं के लिए पोंट्रियागिन द्वैतता का एक अनुरूप है। इसे पेश किया गया था। वर्णों का उपयोग करके परिभाषा एस पर किसी भी सीमित सपाट कम्यूटेटिव समूह योजना जी को देखते हुए, इसका कार्टियर डुअल वर्णों का समूह है, जिसे फ़ंक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है जो किसी भी एस-योजना टी को समूह योजना समरूपता के अबेलियन समूह में आधार परिवर्तन से लेकर एस-योजनाओं के किसी भी मानचित्र को चरित्र समूहों के विहित मानचित्र में ले जाता है। यह कारक एक परिमित समतल एस-समूह योजना द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य है, और कार्टियर द्वैतता अपने आप में परिमित समतल कम्यूटेटिव एस-समूह योजनाओं की श्रेणी से एक योगात्मक अनैच्छिक प्रति-समतुल्यता बनाती है। यदि जी एक स्थिर कम्यूटेटिव समूह योजना है, तो इसका कार्टियर डुअल विकर्ण समूह डी (जी) है, और इसके विपरीत। यदि एस एफ़ाइन है, तो द्वैत फ़ंक्टर फ़ंक्शंस के होप्फ़ अल्जेब्रा की द्वैतता द्वारा दिया जाता है। होप्फ बीजगणित का उपयोग करके परिभाषा एक क्षेत्र पर एक परिमित कम्यूटेटिव समूह योजना एक परिमित आयामी कम्यूटेटिव कोकम्यूटेटिव होप्फ बीजगणित से मेल खाती है। कार्टियर द्वैतता होप्फ बीजगणित के दोहरे को लेने से मेल खाती है, जो गुणन और गुणन का आदान-प्रदान करती है। कार्टियर डुअलिटी के अधिक सामान्य मामले कार्टियर डुअल की परिभाषा बहुत अधिक सामान्य स्थितियों तक उपयोगी रूप से फैली हुई है जहां योजनाओं पर परिणामी फ़ंक्टर को अब समूह योजना के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाता है। सामान्य मामलों में एस पर कम्यूटेटिव समूहों के एफ. पी. पी. एफ. आवरण और उनके परिसर शामिल हैं। ये अधिक सामान्य ज्यामितीय वस्तुएँ तब उपयोगी हो सकती हैं जब कोई उन श्रेणियों के साथ काम करना चाहता है जिनमें अच्छा सीमा व्यवहार है। मध्यवर्ती अमूर्तता के मामले हैं, जैसे कि एक क्षेत्र पर कम्यूटेटिव बीजगणितीय समूह, जहां कार्टियर द्वैतता कम्यूटेटिव एफ़ाइन औपचारिक समूहों के साथ एक विरोधाभास देती है, इसलिए यदि जी योगात्मक समूह है, तो इसका कार्टियर डुअल गुणक औपचारिक समूह है, और यदि जी एक टोरस है, तो इसका कार्टियर डुअल एटेल और मरोड़ मुक्त है। टोरी के लूप समूहों के लिए, कार्टियर द्वैत स्थानीय ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में शांत प्रतीक को परिभाषित करता है। जेरार्ड लॉमन ने 1-प्रेरणाओं पर अर्ध-सुसंगत मॉड्यूल के लिए एक शीफ-सैद्धांतिक फूरियर परिवर्तन पेश किया जो इनमें से कई समानताओं के लिए विशेषज्ञ है। उदाहरण n क्रम के चक्रीय समूह का कार्टियर डुअल एकता का n-th मूल है। विशेषता पी के एक क्षेत्र पर समूह योजना (पी. टी. एच. शक्तियों को लेने से प्रेरित योगात्मक समूह के एंडोमोर्फिज्म का कर्नेल) इसका अपना कार्टियर डुअल है। संदर्भ बीजगणितीय समूह