Exercise (mathematics)
एक गणितीय अभ्यास एक घोषित चुनौती के लिए बीजगणित या अन्य गणित का एक नियमित अनुप्रयोग है। गणित के शिक्षक अपने छात्रों के कौशल को विकसित करने के लिए गणितीय अभ्यास करते हैं। प्रारंभिक अभ्यास पूर्णांकों के जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन से संबंधित हैं। स्कूल में अभ्यास के व्यापक पाठ्यक्रम इस तरह के अंकगणित को परिमेय संख्याओं तक विस्तारित करते हैं। ज्यामिति के विभिन्न दृष्टिकोण कोणों, खंडों और त्रिकोणों के संबंधों पर आधारित हैं। त्रिकोणमिति का विषय अपने कई अभ्यास त्रिकोणमितीय पहचानों से प्राप्त करता है। महाविद्यालय में गणित का अभ्यास अक्सर एक वास्तविक चर के कार्यों या प्रमेयों के अनुप्रयोग पर निर्भर करता है। कलन के मानक अभ्यासों में निर्दिष्ट कार्यों के व्युत्पन्न और समाकलन का पता लगाना शामिल है। आम तौर पर प्रशिक्षक छात्रों को काम किए गए उदाहरणों के साथ तैयार करते हैंः अभ्यास बताया जाता है, फिर एक मॉडल उत्तर प्रदान किया जाता है। अक्सर छात्रों को अपने दम पर अभ्यास करने के लिए तैयार करने से पहले कई काम किए गए उदाहरणों का प्रदर्शन किया जाता है। कुछ ग्रंथ, जैसे कि शॉम की रूपरेखा में, गणितीय विषय के सैद्धांतिक उपचार के बजाय काम किए गए उदाहरणों पर ध्यान केंद्रित करते हैं। सारांश प्राथमिक विद्यालय में छात्र एकल अंकों के अंकगणितीय अभ्यास से शुरुआत करते हैं। बाद में अधिकांश अभ्यासों में कम से कम दो अंक शामिल होते हैं। प्राथमिक बीजगणित में एक सामान्य अभ्यास में बहुपदों के गुणनखंडन की आवश्यकता होती है। एक अन्य अभ्यास वर्ग को एक द्विघात बहुपद में पूरा करना है। एक कृत्रिम रूप से उत्पन्न शब्द समस्या अभ्यास की एक शैली है जिसका उद्देश्य गणित को प्रासंगिक रखना है। स्टीफन लीकॉक ने इस प्रकार का वर्णन कियाः अंकगणित का छात्र जिसने अपनी कला के पहले चार नियमों में महारत हासिल की है और योग और अंशों के साथ सफलतापूर्वक प्रयास किया है, वह खुद को समस्याओं के रूप में जाने जाने वाले प्रश्नों के एक अखंड विस्तार का सामना करता है। ये रोमांच और उद्योग की लघु कथाएँ हैं जिनके अंत को छोड़ दिया गया है और, हालांकि एक मजबूत पारिवारिक समानता को धोखा देते हुए, रोमांस के एक निश्चित तत्व के बिना नहीं हैं। एक अभ्यास और एक गणितीय समस्या के बीच एक अंतर एलन एच. स्कोनफेल्ड द्वारा किया गया थाः छात्रों को प्रासंगिक विषय वस्तु में महारत हासिल करनी चाहिए, और अभ्यास उसके लिए उपयुक्त हैं। लेकिन अगर रटने का अभ्यास ही एकमात्र ऐसी समस्या है जो छात्र अपनी कक्षाओं में देखते हैं, तो हम छात्रों का गंभीर नुकसान कर रहे हैं। उन्होंने चुनौतियों को स्थापित करने की वकालत कीः "वास्तविक समस्याओं" द्वारा। मेरा मतलब गणितीय कार्यों से है जो छात्र के लिए एक ईमानदार चुनौती पेश करते हैं और समाधान प्राप्त करने के लिए छात्र को काम करने की आवश्यकता होती है। इसी तरह की भावना मार्विन बिटिंगर द्वारा व्यक्त की गई थी जब उन्होंने अपनी पाठ्यपुस्तक का दूसरा संस्करण तैयार किया थाः उपयोगकर्ताओं की टिप्पणियों के जवाब में, लेखकों ने ऐसे अभ्यास जोड़े हैं जिनके लिए पाठ के तत्काल उद्देश्यों की समझ के अलावा छात्र की कुछ आवश्यकता होती है, फिर भी जरूरी नहीं कि वे अत्यधिक चुनौतीपूर्ण हों। प्रत्येक छात्र या छात्रों के समूह के लिए समीपस्थ विकास का क्षेत्र, कठिनाई के स्तर पर अभ्यास निर्धारित करता है जो उन्हें चुनौती देता है लेकिन उन्हें निराश नहीं करता है। एक कलन पाठ्यपुस्तक की प्रस्तावना में कुछ टिप्पणियाँ पुस्तक में अभ्यास के केंद्रीय स्थान को दर्शाती हैंः अभ्यास में पाठ का लगभग एक-चौथाई हिस्सा होता है-हमारी राय में पाठ का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा। .. प्रत्येक अध्याय के अंत में पूरक अभ्यास अन्य अभ्यास सेटों का विस्तार करते हैं और संचयी अभ्यास प्रदान करते हैं जिनके लिए पहले के अध्यायों से कौशल की आवश्यकता होती है। इस पाठ में "अनुप्रयोगों में कार्य और आलेख" (अध्याय 0.6) शामिल हैं जो शब्द समस्याओं की तैयारी के चौदह पृष्ठ हैं। सीमित क्षेत्रों पर एक पुस्तक के लेखकों ने अपने अभ्यासों को स्वतंत्र रूप से चुनाः एक पाठ्यपुस्तक के रूप में इस पुस्तक के आकर्षण को बढ़ाने के लिए, हमने पाठ में उपयुक्त बिंदुओं पर काम किए गए उदाहरणों को शामिल किया है और अध्याय 1-9 के लिए अभ्यासों की सूचियों को शामिल किया है। ये अभ्यास नियमित समस्याओं से लेकर प्रमुख प्रमेयों के वैकल्पिक प्रमाणों तक होते हैं, लेकिन इनमें पाठ में शामिल सामग्री से परे सामग्री भी होती है। जे. सी. मैक्सवेल ने समझाया कि कैसे व्यायाम गणित की भाषा तक पहुंच की सुविधा प्रदान करता हैः गणितविदों के रूप में हम संख्या या मात्रा के प्रतीकों पर कुछ मानसिक संचालन करते हैं, और चरण-दर-चरण अधिक सरल से अधिक जटिल संचालन की ओर बढ़ते हुए, हम एक ही बात को कई अलग-अलग रूपों में व्यक्त करने में सक्षम होते हैं। इन विभिन्न रूपों की समानता, हालांकि आत्म-स्पष्ट स्वयंसिद्धियों का एक आवश्यक परिणाम है, हमारे दिमाग के लिए हमेशा स्वयं-स्पष्ट नहीं होती है; लेकिन एक गणितशास्त्री, जिसने लंबे अभ्यास से इनमें से कई रूपों से परिचित हो गया है, और जो एक से दूसरे तक ले जाने वाली प्रक्रियाओं में विशेषज्ञ बन गया है, वह अक्सर एक उलझन भरी अभिव्यक्ति को दूसरे में बदल सकता है जो अधिक बोधगम्य भाषा में इसके अर्थ की व्याख्या करता है। विभिन्न महाविद्यालयों में व्यक्तिगत प्रशिक्षक अपने गणित पाठ्यक्रमों के हिस्से के रूप में अभ्यास का उपयोग करते हैं। विश्वविद्यालयों में समस्या समाधान की जाँच करते हुए, शोएनफेल्ड ने कहाः गणित के प्रमुख छात्रों के लिए उच्च विभाग की पेशकश, जहाँ अधिकांश भाग के लिए छात्रों ने उन समस्याओं के संग्रह पर काम किया जिन्हें उनके व्यक्तिगत प्रशिक्षकों द्वारा संकलित किया गया था। इस तरह के पाठ्यक्रमों में विशिष्ट शोध विज्ञान पढ़ाने के प्रयास के बिना, करके सीखने पर जोर दिया जाता थाः छात्रों ने बहुत सारी समस्याओं पर काम किया क्योंकि (ऐसे पाठ्यक्रमों के पीछे निहित निर्देशात्मक मॉडल के अनुसार) इस तरह से कोई व्यक्ति गणित में अच्छा हो जाता है। इस तरह के अभ्यास संग्रह प्रशिक्षक और उसके संस्थान के स्वामित्व में हो सकते हैं। व्यायाम सेट के मूल्य के एक उदाहरण के रूप में, तोरू कुमोन की उपलब्धि और उनकी कुमोन विधि पर विचार करें। अपने कार्यक्रम में, एक छात्र अभ्यास के प्रत्येक स्तर पर महारत हासिल करने से पहले आगे नहीं बढ़ता है। रूसी गणित विद्यालय में, छात्र पहली कक्षा से ही बहु-चरणीय समस्याएं शुरू कर देते हैं, समाधान की दिशा में प्रगति करने के लिए पिछले परिणामों पर निर्माण करना सीखते हैं। 1960 के दशक में, गणितीय अभ्यासों के संग्रह का रूसी से अनुवाद किया गया और डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनीः द यूएसएसआर ओलंपियाड प्रॉब्लम बुक (1962), प्रॉब्लेम्स इन हायर अलजेब्रा (1965), और प्रॉब्लेम्स इन डिफरेंशियल इक्वेशन (1963) द्वारा प्रकाशित किया गया। चीन में, प्राचीन काल से गिनती की छड़ का उपयोग संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता था, और अंकगणित को छड़ कलन और बाद में सुनपान के साथ पूरा किया जाता था। संख्या और गणना पर पुस्तक और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में ऐसे अभ्यास शामिल हैं जो रैखिक बीजगणित के उदाहरण हैं। लगभग 980 में अल-सिज्जी ने ज्यामितीय आंकड़ों की व्युत्पत्ति को आसान बनाने के अपने तरीके लिखे, जिसका 1996 में जान होगेंडिजक द्वारा अनुवाद और प्रकाशन किया गया था। अभ्यासों के एक अरबी भाषा के संग्रह को स्पेनिश अनुवाद के रूप में संग्रह डी बीजगणित डी अबेनबेडर दिया गया था और प्रकृति में इसकी समीक्षा की गई थी। रॉबर्ट रिकॉर्डे ने पहली बार 1543 में द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स प्रकाशित किया। यूरोप में 1900 से पहले, चित्रमय परिप्रेक्ष्य के विज्ञान ने ज्यामितीय अभ्यासों को तैयार किया। उदाहरण के लिए, 1719 में ब्रुक टेलर ने लीनियर पर्सपेक्टिव के नए सिद्धांतों में लिखा था कि [पाठक] इन सिद्धांतों को कितना व्यापक है, यह देखने में बहुत अधिक आनंद मिलेगा, उन्हें विशेष मामलों में लागू करके, जिन्हें वह स्वयं इस कला में प्रयोग करते हुए तैयार करेंगे। टेलर ने आगे कहा कि किसी भी कला को सीखने का सही और सबसे अच्छा तरीका किसी अन्य व्यक्ति द्वारा किए गए कई उदाहरणों को देखना नहीं है, बल्कि पहले स्वयं को उसके सिद्धांतों में शामिल करना है, और फिर उन्हें अभ्यास में स्वयं को प्रयोग करके परिचित कराना है। विद्यालयों में लेखन स्लेट के उपयोग ने अभ्यास के लिए एक प्रारंभिक प्रारूप प्रदान किया। लिखित परीक्षाओं और कलम और कागज पर आधारित अध्ययन की शुरुआत के बाद व्यायाम कार्यक्रमों का विकास हुआ। फेलिक्स क्लेन ने इकोल पॉलीटेक्निक की प्रवेश परीक्षा की तैयारी को "गणितीय विशेषज्ञता" के एक पाठ्यक्रम के रूप में वर्णित किया। यह गणितीय शिक्षा की एक असाधारण रूप से मजबूत एकाग्रता है-सप्ताह में 16 घंटे तक-जिसमें प्राथमिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति और यांत्रिकी, और हाल ही में असीम कलन का भी पूरी तरह से अध्ययन किया जाता है और कई अभ्यासों के माध्यम से एक सुरक्षित रूप से निपुण उपकरण बनाया जाता है। सिल्वेस्ट्रे लाक्रोइक्स एक प्रतिभाशाली शिक्षक और व्याख्याता थे। वर्णनात्मक ज्यामिति पर उनकी पुस्तक में पाठक की समझ का प्रयोग करने के लिए "समस्या" लेबल वाले खंडों का उपयोग किया गया है। 1816 में उन्होंने सामान्य रूप से शिक्षण और विशेष रूप से गणित शिक्षण पर निबंध लिखे जिसमें अभ्यास और परीक्षण की आवश्यकता पर जोर दिया गयाः परीक्षक, जो अल्पावधि में, अपने प्रश्नों को उन विषयों को शामिल करने के लिए पर्याप्त रूप से गुणा करने के लिए बाध्य है जो वह पूछता है, पढ़ाए जाने वाली सामग्री के बड़े हिस्से के लिए, कम गहन नहीं हो सकता है, क्योंकि यदि वह संक्षिप्त में, आवेदनों को अलग रखता है, तो वह छात्रों के संकाय के लिए इस तरह से कुछ भी हासिल नहीं करेगा। एंड्रयू वारविक ने अभ्यासों के ऐतिहासिक प्रश्न की ओर ध्यान आकर्षित किया हैः गणितीय भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में अध्यायों के अंत में सचित्र अभ्यासों और समस्याओं का समावेश अब इतना आम है कि असाधारण लगता है, लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह शैक्षणिक उपकरण अपेक्षाकृत हाल ही में उत्पन्न हुआ है और एक विशिष्ट ऐतिहासिक संदर्भ में पेश किया गया था। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में स्थापित गणितीय ट्राइपोस परीक्षाओं की रिपोर्टिंग में, उन्होंने नोट किया कि इस तरह की संचयी, प्रतिस्पर्धी शिक्षा को निजी शिक्षकों द्वारा व्यक्तिगत शिक्षण, विशेष रूप से तैयार पांडुलिपियों और श्रेणीबद्ध उदाहरणों और समस्याओं का उपयोग करके अधिक प्रभावी ढंग से पूरा किया गया था, जो कि कॉलेज के व्याख्याताओं द्वारा औसत गति से बड़ी कक्षाओं को पढ़ाने की तुलना में था। परीक्षा और व्यायाम के संबंध को समझाते हुए, वे लिखते हैं. 1830 के दशक तक यह पाठ्यपुस्तकों में अभ्यास के बजाय परीक्षा पत्रों की समस्याएं थीं, जो उस मानक को परिभाषित करती थीं जिसके लिए महत्वाकांक्षी छात्र आकांक्षा करते थे। [कैम्ब्रिज के छात्रों] से न केवल एक उदाहरण के उत्कृष्ट रेखाचित्र के माध्यम से अपना रास्ता खोजने की उम्मीद की जाती थी, बल्कि उन्हें इस तरह के अभ्यासों को परीक्षाओं में कठिन समस्याओं से निपटने के लिए उपयोगी तैयारी के रूप में मानना सिखाया जाता था। यह बताते हुए कि सुधार ने कैसे जड़ें जमा लीं, वारविक ने लिखाः कैम्ब्रिज में यह व्यापक रूप से माना जाता था कि नए विश्लेषणात्मक तरीकों सहित गणित पढ़ाने का सबसे अच्छा तरीका व्यावहारिक उदाहरणों और समस्याओं के माध्यम से था, और 1830 के दशक के मध्य तक, कुछ युवा कॉलेज अध्येताओं को इस तरह से उच्च विश्लेषण सिखाया गया था, दोनों ने अपना स्वयं का शोध शुरू करने और ट्राइपोस परीक्षक नियुक्त होने की शुरुआत की थी। वारविक ने बताया कि जर्मनी में, फ्रांज अर्न्स्ट न्यूमैन ने लगभग उसी समय "श्रेणीबद्ध अभ्यासों की एक सामान्य प्रणाली विकसित की जिसने छात्र को आवश्यक गणितीय कौशल और तकनीकों के पदानुक्रम से परिचित कराया, और अपने स्वयं के समस्या सेट का निर्माण करना शुरू किया जिसके माध्यम से उनके छात्र अपनी कला सीख सकते थे।" रूस में, स्टीफन टिमोशेंको ने अभ्यास के बारे में निर्देश में सुधार किया। 1913 में वे पीटर्सबर्ग स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ मीन्स ऑफ कम्युनिकेशन में सामग्री की ताकत पढ़ा रहे थे। जैसा कि उन्होंने 1968 में लिखा था, संस्थान में [व्यावहारिक] अभ्यास नहीं दिए गए थे, और परीक्षाओं में छात्रों से गोद ली गई पाठ्यपुस्तक से केवल सैद्धांतिक प्रश्न पूछे जाते थे। मुझे इस तरह की शिक्षा को जल्द से जल्द समाप्त करना पड़ा। छात्रों ने स्थिति को स्पष्ट रूप से समझा, विषय के बेहतर एकीकरण की आवश्यकता को महसूस किया, और अपने काम के बोझ में भारी वृद्धि पर आपत्ति नहीं जताई। मुख्य कठिनाई शिक्षकों के साथ थी-या अधिक सटीक रूप से, परीक्षकों के साथ, जो अपनी परीक्षाओं को पुस्तक पर आधारित करने के आदी थे। व्यावहारिक समस्याओं को परीक्षा में डालने से उनका काम जटिल हो जाता था। वे years.the में केवल युवा लोगों को शिक्षण में लाने की उम्मीद कर रहे थे। एल्गोरिथम कार्य-उदाहरण प्रभाव भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक तात्याना अफानासेवा (1931) पैसिफिक इंस्टीट्यूट फॉर मैथमेटिकल साइंसेज से प्रायोगिक ज्यामिति में अभ्यास। व्लादिमीर अर्नोल्ड (2004) इमेजिनरी प्लेटफॉर्म पर 5 से 15 वर्ष की आयु के छात्रों के लिए अभ्यास जेम्स अल्फ्रेड इविंग (1911) गणित, यांत्रिकी, नौवहन और समुद्री खगोल विज्ञान, गर्मी और भाप, बिजली में उदाहरण, इंटरनेट अभिलेखागार से जूनियर अधिकारियों के उपयोग के लिए। जिम हेफरॉन और अन्य (2004) गणित शिक्षा