U-rank
मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क की एक शाखा, यू-रैंक स्थिर सिद्धांतों के संदर्भ में एक (पूर्ण) प्रकार की जटिलता का एक माप है। हमेशा की तरह, उच्च यू-रैंक कम प्रतिबंध को इंगित करता है, और सभी सेटों पर सभी प्रकार के लिए यू-रैंक का अस्तित्व एक महत्वपूर्ण मॉडल-सैद्धांतिक स्थिति के बराबर हैः इस मामले में, उत्कृष्टता। परिभाषा यू-रैंक को किसी भी समूह ए पर किसी भी (पूर्ण) एन-प्रकार पी के लिए प्रेरक रूप से परिभाषित किया गया हैः यू (पी) ≤ 0 यदि δ एक सीमा क्रमिक है, तो यू (पी) ≤ δ सटीक रूप से जब यू (पी) ≤ α सभी α के लिए δ से कम है किसी भी α = β + 1 के लिए, यू (पी) ≤ α सटीक रूप से जब यू (क्यू) ≤ β के साथ पी का एक फोर्किंग एक्सटेंशन क्यू होता है तो हम कहते हैं कि यू (पी) = α जब यू (पी) ≤ α होता है लेकिन यू (पी) ≤ α + 1 नहीं होता है। यदि सभी क्रमिक α के लिए U (p) ≤ α है, तो हम कहते हैं कि U-श्रेणी असीमित है, या U (p) = ≤ है। नोटः यू-रैंक को औपचारिक रूप से दर्शाया जाता है, जहाँ पी वास्तव में पी (एक्स) है, और एक्स लंबाई एन के चर का एक टुपल है। इस सदस्यता को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है जब कोई भ्रम नहीं हो सकता है। रैंकिंग सिद्धांत यू-रैंक अपने क्षेत्र में मोनोटोन है। अर्थात्, मान लीजिए कि पी ए पर एक पूर्ण प्रकार है और बी ए का एक उपसमुच्चय है। फिर q के लिए p से B का प्रतिबंध, U (q) ≤ U (p)। यदि हम बी (ऊपर) को खाली मानते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता हैः यदि एन-प्रकार का पी है, मापदंडों के कुछ सेट पर, कम से कम α रैंक के साथ, तो कम से कम α रैंक के खाली सेट पर एक प्रकार है। इस प्रकार, हम एक पूर्ण (स्थिर) सिद्धांत टी के लिए परिभाषित कर सकते हैं। इसके बाद हम अतिमान्यता का एक संक्षिप्त लक्षण वर्णन प्राप्त करते हैं; एक स्थिर सिद्धांत टी अतिमान्यता योग्य है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक एन. गुणों के लिए, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यू-रैंक अपने क्षेत्र में एकरस है। यदि पी में यू-रैंक α है, तो किसी भी β <α के लिए, यू-रैंक β के साथ पी का एक फोर्किंग एक्सटेंशन q है। यदि पी ए पर बी का प्रकार है, तो कुछ सेट बी ए का विस्तार कर रहा है, जिसमें क्यू बी पर बी का प्रकार है। यदि p क्रमहीन है (अर्थात, p में U-श्रेणी φ है), तो p का एक फोर्किंग एक्सटेंशन q है जो क्रमहीन भी है। यहां तक कि उत्कृष्टता की अनुपस्थिति में भी, एक क्रमिक β है जो सभी श्रेणीबद्ध प्रकारों की अधिकतम श्रेणी है, और किसी भी α <β के लिए, श्रेणी α का एक प्रकार p है, और यदि p की श्रेणी β से अधिक है, तो यह होना चाहिए। उदाहरण यू (पी)> 0 ठीक है जब पी गैर-बीजगणितीय है। यदि टी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों (किसी भी निश्चित विशेषता के) का सिद्धांत है। इसके अलावा, यदि ए मापदंडों का कोई समूह है और के ए द्वारा उत्पन्न क्षेत्र है, तो ए पर 1-प्रकार के पी की श्रेणी 1 है यदि (सभी प्राप्ति) पी के ऊपर दिव्य हैं, और अन्यथा 0 है। अधिक आम तौर पर, ए पर एक एन-प्रकार पी में यू-रैंक के होता है, जो इसकी किसी भी प्राप्ति की उत्कृष्टता डिग्री (के पर) होती है। संदर्भ मॉडल सिद्धांत