Generalized distributive law
सामान्यीकृत वितरण कानून (जी. डी. एल.) वितरण गुण का एक सामान्यीकरण है जो एक सामान्य संदेश पारित करने वाले एल्गोरिदम को जन्म देता है। यह सूचना सिद्धांत, डिजिटल संचार, संकेत प्रसंस्करण, सांख्यिकी और कृत्रिम बुद्धिमत्ता समुदायों में कई लेखकों के काम का एक संश्लेषण है। कानून और एल्गोरिदम को श्रीनिवास एम. अजी और रॉबर्ट जे. मैकलिस द्वारा एक ही शीर्षक के साथ एक अर्ध-शिक्षण में पेश किया गया था। परिचय "गणित में वितरण नियम वह नियम है जो गुणन और योग के संचालन से संबंधित है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से कहा गया है, अर्थात, एकाधिकार कारक को वितरित किया जाता है, या अलग से लागू किया जाता है, द्विपद कारक के प्रत्येक पद पर, जिसके परिणामस्वरूप उत्पाद होता है"-ब्रिटानिका जैसा कि परिभाषा से देखा जा सकता है, एक अंकगणितीय अभिव्यक्ति में वितरण नियम का अनुप्रयोग इसमें संचालन की संख्या को कम कर देता है। पिछले उदाहरण में संचालन की कुल संख्या तीन (दो गुणन और एक जोड़) से घटकर दो (एक गुणन और एक जोड़) हो गई। वितरण कानून के सामान्यीकरण से तेज़ एल्गोरिदम का एक बड़ा परिवार बनता है। इसमें एफ. एफ. टी. और विटरबी एल्गोरिदम शामिल हैं। इसे नीचे दिए गए उदाहरण में अधिक औपचारिक तरीके से समझाया गया हैः कहाँ और वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं, और (कहें) यहाँ हम परिणाम प्राप्त करने के लिए स्वतंत्र चर (,, और) को "हाशिए पर डाल रहे हैं"। जब हम कम्प्यूटेशनल जटिलता की गणना कर रहे होते हैं, तो हम देख सकते हैं कि प्रत्येक जोड़े के लिए, ट्रिपल के कारण शब्द होते हैं जिन्हें प्रत्येक चरण के मूल्यांकन में भाग लेने की आवश्यकता होती है जिसमें एक जोड़ और एक गुणन होता है। इसलिए, आवश्यक गणनाओं की कुल संख्या है। अतः उपरोक्त फलन की असिम्प्टोटिक जटिलता है। यदि हम समीकरण के आर. एच. एस. पर वितरण नियम लागू करते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता हैः इसका तात्पर्य है कि इसे एक उत्पाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है जहां और अब, जब हम कम्प्यूटेशनल जटिलता की गणना कर रहे हैं, तो हम देख सकते हैं कि जब हम मूल्यांकन करने के लिए उत्पाद का उपयोग कर रहे होते हैं तो इसमें और प्रत्येक में जोड़ होते हैं और गुणन होते हैं। इसलिए, आवश्यक गणनाओं की कुल संख्या है। इसलिए गणना की असिम्प्टोटिक जटिलता कम हो जाती है। यह एक उदाहरण से पता चलता है कि वितरण कानून को लागू करने से कम्प्यूटेशनल जटिलता कम हो जाती है जो "तेज एल्गोरिथ्म" की अच्छी विशेषताओं में से एक है। इतिहास कुछ समस्याएं जिन्हें हल करने के लिए वितरण कानून का उपयोग किया जाता है, उन्हें निम्नानुसार समूहीकृत किया जा सकता है। डिकोडिंग एल्गोरिदम एक जी. डी. एल. जैसे एल्गोरिदम का उपयोग गैलागर्स द्वारा कम घनत्व समानता-जांच कोड को डिकोड करने के लिए किया गया था। गैलैगर के काम के आधार पर टैनर ने टैनर ग्राफ पेश किया और गैलैजर के काम को संदेश भेजने के रूप में व्यक्त किया। टैनर ग्राफ ने विटरबी एल्गोरिदम की व्याख्या करने में भी मदद की। फ़ोर्नी द्वारा यह देखा गया है कि विटेरबी की कन्वोलुशनल कोड की अधिकतम संभावना डिकोडिंग में भी जी. डी. एल. जैसी व्यापकता के एल्गोरिदम का उपयोग किया गया है। 2. फॉरवर्ड-बैकवर्ड एल्गोरिथ्म फॉरवर्ड-बैकवर्ड एल्गोरिथ्म ने मार्कोव श्रृंखला में स्थितियों पर नज़र रखने के लिए एक एल्गोरिथ्म के रूप में मदद की। और यह भी सामान्यता 3 की तरह जी. डी. एल. के एल्गोरिदम का उपयोग किया गया था। आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस ए. आई. में कई समस्याओं को हल करने के लिए जंक्शन ट्री की धारणा का उपयोग किया गया है। बाल्टी उन्मूलन की अवधारणा ने भी कई अवधारणाओं का उपयोग किया। एम. पी. एफ. समस्या एम. पी. एफ. या उत्पाद फलन को हाशिए पर डालना एक सामान्य कम्प्यूटेशनल समस्या है जिसमें विशेष मामले के रूप में असतत हैडमर्ड परिवर्तन की गणना, स्मृति-रहित चैनल पर एक रैखिक कोड की अधिकतम संभावना डिकोडिंग और मैट्रिक्स श्रृंखला गुणन जैसी कई शास्त्रीय समस्याएं शामिल हैं। जी. डी. एल. की शक्ति इस तथ्य में निहित है कि यह उन स्थितियों पर लागू होती है जिनमें परिवर्धन और गुणा को सामान्यीकृत किया जाता है। इस व्यवहार को समझाने के लिए एक कम्यूटेटिव सेमिरिंग एक अच्छी रूपरेखा है। इसे प्रचालक "" और "" के साथ एक समूह पर परिभाषित किया गया है जहां और एक कम्यूटेटिव मोनॉइड हैं और वितरण कानून धारण करता है। मान लीजिए कि चर ऐसे हों कि एक परिमित समुच्चय कहाँ है और। यहाँ। अगर और, जाने दो,,, और जाने दो। मान लीजिए कि एक फलन को इस रूप में परिभाषित किया गया है, जहां एक कम्यूटेटिव सेमिरिंग है। इसके अलावा, स्थानीय डोमेन और स्थानीय कर्नेल के रूप में नामित किए जाते हैं। अब वैश्विक कर्नेल को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः एम. पी. एफ. समस्या की परिभाषाः एक या अधिक सूचकांकों के लिए, वैश्विक कर्नेल के-मार्जिनलाइजेशन के मूल्यों की एक तालिका की गणना करें, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। यह देखा जा सकता है कि स्पष्ट रूप से वस्तुनिष्ठ फलन की गणना के लिए संचालन की आवश्यकता होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वस्तुनिष्ठ फलन की गणना में परिवर्धन और गुणा की आवश्यकता होती है। जी. डी. एल. एल्गोरिदम, जिसे अगले खंड में समझाया गया है, इस कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम कर सकता है। निम्नलिखित एम. पी. एफ. समस्या का एक उदाहरण है। चलो और इस तरह के चर हो कि और। यहाँ और। इन चरों का उपयोग करते हुए दिए गए कार्य हैं और हमें गणना और परिभाषित करने की आवश्यकता हैः यहाँ स्थानीय डोमेन और स्थानीय कर्नेल को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः जहां उद्देश्य कार्य है और उद्देश्य कार्य है। एक अन्य उदाहरण पर विचार करें जहां और एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है। अब, हम एम. पी. एफ. समस्या पर विचार करेंगे जहां कम्यूटेटिव सेमिरिंग को साधारण जोड़ और गुणन के साथ वास्तविक संख्याओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है और स्थानीय डोमेन और स्थानीय कर्नेल को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः अब जब से वैश्विक कर्नेल को स्थानीय कर्नेल के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है, यह है और स्थानीय डोमेन में वस्तुनिष्ठ कार्य है। इसलिए हम देख सकते हैं कि हैडमर्ड परिवर्तन की गणना एम. पी. एफ. समस्या का एक विशेष मामला है। यह साबित करने के लिए और अधिक उदाहरणों का प्रदर्शन किया जा सकता है कि एम. पी. एफ. समस्या कई शास्त्रीय समस्याओं के विशेष मामले बनाती है जैसा कि ऊपर समझाया गया है जिनका विवरण जी. डी. एल.: एम. पी. एफ. समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म में पाया जा सकता है। आवश्यक संबंध यह है कि स्थानीय डोमेन के दिए गए सेट को एक जंक्शन ट्री में व्यवस्थित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, हम वृक्ष के शीर्षों के तत्वों के साथ एक ग्राफ सैद्धांतिक वृक्ष बनाते हैं, जैसे कि किसी भी दो मनमाने शीर्षों के लिए कहें और कहाँ और वहाँ इन दो शीर्षों के बीच एक किनारा मौजूद है, फिर संबंधित लेबल का प्रतिच्छेदन, अर्थात, प्रत्येक शीर्ष पर लेबल का एक उपसमुच्चय है। उदाहरण के लिए, उदाहरण 1: निम्नलिखित नौ स्थानीय डोमेन पर विचार करेंः उपरोक्त दिए गए स्थानीय डोमेन के सेट के लिए, कोई भी उन्हें नीचे दिखाए गए अनुसार एक जंक्शन ट्री में व्यवस्थित कर सकता हैः इसी तरह यदि निम्नलिखित जैसे एक और सेट दिया गया है उदाहरण 2: निम्नलिखित चार स्थानीय डोमेन पर विचार करेंः तो केवल इन स्थानीय डोमेन के साथ ट्री का निर्माण संभव नहीं है क्योंकि मूल्यों के इस सेट में कोई सामान्य डोमेन नहीं है जिसे उपरोक्त सेट के किसी भी दो मूल्यों के बीच रखा जा सकता है। लेकिन हालाँकि, यदि नीचे दिखाए गए दो नकली डोमेन को जोड़ा जाए तो एक जंक्शन ट्री में अद्यतन सेट को व्यवस्थित करना संभव और आसान भी होगा। 5., 6. इसी तरह डोमेन के इन सेट के लिए, जंक्शन ट्री नीचे दिखाए गए जैसा दिखता हैः सामान्यीकृत वितरण कानून (जी. डी. एल.) एल्गोरिदम इनपुटः स्थानीय डोमेन का एक सेट। आउटपुटः डोमेन के दिए गए सेट के लिए, समस्या को हल करने के लिए आवश्यक संचालन की संभावित न्यूनतम संख्या की गणना की जाती है। इसलिए, यदि और जंक्शन ट्री में एक किनारे से जुड़े हुए हैं, तो से एक संदेश एक फ़ंक्शन द्वारा दिए गए मूल्यों का एक सेट/तालिका हैः। सभी कार्यों से शुरू करने के लिए अर्थात। दिए गए वृक्ष के सभी संयोजनों के लिए, समान रूप से परिभाषित किया गया है और जब किसी विशेष संदेश को अद्यतन किया जाता है, तो यह नीचे दिए गए समीकरण का अनुसरण करता है। = जहाँ का अर्थ है कि यह पेड़ के निकटवर्ती शीर्ष है। इसी तरह प्रत्येक शीर्ष में एक अवस्था होती है जिसे एक तालिका के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें फ़ंक्शन से मान होते हैं, जैसे कि संदेश 1 को समान रूप से कैसे आरंभ करते हैं, स्थिति को स्थानीय कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन जब भी अद्यतन किया जाता है, तो यह निम्नलिखित समीकरण का पालन करता हैः एल्गोरिथ्म का मूल कार्य इनपुट के रूप में स्थानीय डोमेन के दिए गए सेट के लिए, हम यह पता लगा सकते हैं कि क्या हम एक जंक्शन ट्री बना सकते हैं, या तो सीधे सेट का उपयोग करके या पहले सेट में डमी डोमेन जोड़कर और फिर जंक्शन ट्री बनाकर, यदि निर्माण जंक्शन संभव नहीं है तो एल्गोरिथ्म आउटपुट कि दिए गए समीकरण समस्या की गणना करने के लिए चरणों की संख्या को कम करने का कोई तरीका नहीं है, लेकिन एक बार जब हमारे पास जंक्शन ट्री होता है, तो एल्गोरिथ्म को संदेशों को शेड्यूल करना होगा और स्थितियों की गणना करनी होगी, ऐसा करके हम जान सकते हैं कि कहां कदम हैं। दो विशेष मामले हैं जिनके बारे में हम यहां बात करने जा रहे हैं अर्थात् एकल वर्टेक्स समस्या जिसमें वस्तुनिष्ठ फलन की गणना केवल एक शीर्ष पर की जाती है और दूसरा ऑल वर्टीस समस्या है जहां लक्ष्य सभी शीर्षों पर वस्तुनिष्ठ फलन की गणना करना है। आइए एकल-वर्टेक्स समस्या से शुरू करें, जी. डी. एल. प्रत्येक किनारे को लक्षित शीर्ष की ओर निर्देशित करके शुरू करेगा। यहाँ संदेश केवल लक्षित शीर्ष की दिशा में भेजे जाते हैं। ध्यान दें कि सभी निर्देशित संदेश केवल एक बार भेजे जाते हैं। संदेश लीफ नोड्स (जहां डिग्री 1 है) से शुरू होते हैं और लक्ष्य शीर्ष की ओर जाते हैं। संदेश पत्तियों से अपने माता-पिता तक जाता है और फिर वहाँ से अपने माता-पिता तक जाता है और तब तक जब तक कि यह लक्ष्य शीर्ष तक नहीं पहुँच जाता। लक्ष्य शीर्ष अपनी स्थिति की गणना तभी करेगा जब वह अपने सभी पड़ोसियों से सभी संदेश प्राप्त करेगा। एक बार जब हमारे पास स्थिति हो जाती है, तो हमें जवाब मिल जाता है और इसलिए एल्गोरिथ्म समाप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, आइए हम ऊपर दिए गए स्थानीय डोमेन के सेट से निर्मित एक जंक्शन ट्री पर विचार करें। उदाहरण 1 से सेट, अब इन डोमेन के लिए शेड्यूलिंग टेबल है (जहाँ लक्ष्य शीर्ष है)। इस प्रकार एकल वर्टेक्स जी. डी. एल. के लिए जटिलता को अंकगणितीय संचालन के रूप में दिखाया जा सकता है जहां (नोटः उपरोक्त समीकरण के लिए स्पष्टीकरण लेख में बाद में समझाया गया है) का लेबल है। की डिग्री है (अर्थात। v) से सटे शीर्षों की संख्या। ऑल-वर्टीस समस्या को हल करने के लिए, हम कई तरीकों से जी. डी. एल. को निर्धारित कर सकते हैं, उनमें से कुछ समानांतर कार्यान्वयन हैं जहां प्रत्येक दौर में, प्रत्येक राज्य को अद्यतन किया जाता है और प्रत्येक संदेश की गणना और प्रसारण एक ही समय में किया जाता है। इस प्रकार के कार्यान्वयन में अवस्थाएँ और संदेश चक्रों की संख्या के बाद स्थिर हो जाएंगे जो पेड़ के व्यास के बराबर है। इस बिंदु पर शीर्षों की सभी अवस्थाएँ वांछित वस्तुनिष्ठ फलन के बराबर होंगी। इस समस्या के लिए जी. डी. एल. को निर्धारित करने का एक और तरीका क्रमिक कार्यान्वयन है जहां यह एकल शीर्ष समस्या के समान है सिवाय इसके कि हम एल्गोरिथ्म को तब तक नहीं रोकते जब तक कि एक आवश्यक सेट के सभी शीर्षों को उनके सभी पड़ोसियों से सभी संदेश नहीं मिल जाते हैं और उनकी स्थिति की गणना नहीं कर लेते हैं। इस प्रकार इस कार्यान्वयन के लिए आवश्यक अंकगणित की संख्या अधिक से अधिक अंकगणितीय संचालन है। एक जंक्शन ट्री का निर्माण एक जंक्शन ट्री के निर्माण की कुंजी स्थानीय डोमेन ग्राफ में निहित है, जो शीर्षों के साथ एक भारित पूर्ण ग्राफ है। प्रत्येक स्थानीय क्षेत्र के लिए एक, जिसके द्वारा परिभाषित किनारे का वजन होता है। अगर, तो हम कहते हैं कि इसमें निहित है। द्वारा निरूपित (एक अधिकतम वजन वाले फैले हुए पेड़ का वजन), जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ n उस समूह में तत्वों की संख्या है। अधिक स्पष्टता और विवरण के लिए, कृपया इन्हें देखें। अनुसूचना प्रमेय मान लीजिए कि यह वर्टेक्स सेट और एज सेट के साथ एक जंक्शन ट्री है। इस एल्गोरिथ्म में, संदेशों को किसी भी किनारे पर दोनों दिशाओं में भेजा जाता है, इसलिए हम किनारे के सेट E को शीर्षों के क्रमबद्ध जोड़े के सेट के रूप में कह सकते हैं/मान सकते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 1 से निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जा सकता है नोटः उपरोक्त आपको सभी संभावित दिशाएँ देता है कि एक संदेश पेड़ में यात्रा कर सकता है। जी. डी. एल. के लिए अनुसूची को उपसमुच्चय के एक सीमित अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। जिसे आम तौर पर {} द्वारा दर्शाया जाता है, एल्गोरिथ्म चलाने के दौर के दौरान अद्यतन किए गए संदेशों का सेट कहाँ है। कुछ संकेतनों को परिभाषित/देखे जाने के बाद, हम देखेंगे कि प्रमेय क्या कहता है, जब हमें एक अनुसूची दी जाती है, तो संबंधित संदेश ट्रेलिस एक परिमित निर्देशित ग्राफ के रूप में वर्टेक्स सेट के साथ होता है, जिसमें एक विशिष्ट तत्व के लिए दर्शाया जाता है, फिर संदेश के गुजरने के पूरा होने के बाद, वर्टेक्स में स्थिति को परिभाषित किया जाएगा और यदि कम्प्यूटेशनल जटिलता से एक रास्ता है। अर्थात। हम सामान्य विधि का उपयोग करके गणना करते समय आवश्यक संचालन की संख्या की तुलना करते हैं (यहाँ सामान्य विधि से हमारा मतलब उन तरीकों से है जो संक्षिप्त तरीकों में संदेश पासिंग या जंक्शन ट्री का उपयोग नहीं करते हैं जो जी. डी. एल. की अवधारणाओं का उपयोग नहीं करते हैं) और सामान्यीकृत वितरण कानून का उपयोग करके संचालन की संख्या। उदाहरण-सबसे सरल मामले पर विचार करें जहाँ हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है। इस अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने के लिए दो गुणन और एक जोड़ की आवश्यकता होती है। जब वितरण नियम का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है तो अभिव्यक्ति को एक सरल अनुकूलन के रूप में लिखा जा सकता है जो संचालन की संख्या को एक जोड़ और एक गुणन तक कम कर देता है। उपरोक्त वर्णित उदाहरण के समान हम जी. डी. एल. को लागू करके जितना संभव हो उतना कम संचालन करने के लिए समीकरणों को विभिन्न रूपों में व्यक्त करेंगे। जैसा कि पिछले खंडों में समझाया गया है कि हम जंक्शन ट्री की अवधारणा का उपयोग करके समस्या का समाधान करते हैं। इन पेड़ों के उपयोग से प्राप्त अनुकूलन की तुलना पेड़ों पर एक अर्ध समूह समस्या को हल करके प्राप्त अनुकूलन से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, संख्याओं के समूह का न्यूनतम पता लगाने के लिए हम देख सकते हैं कि यदि हमारे पास एक वृक्ष है और सभी तत्व वृक्ष के नीचे हैं, तो हम न्यूनतम दो वस्तुओं की समानांतर तुलना कर सकते हैं और परिणामी न्यूनतम मूल को लिखा जाएगा। जब इस प्रक्रिया को पेड़ के ऊपर फैलाया जाता है तो तत्वों के समूह का न्यूनतम मूल में पाया जाएगा। संदेश पासिंग का उपयोग करके जंक्शन ट्री को हल करने की जटिलता निम्नलिखित है हम पहले उपयोग किए गए सूत्र को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं। इसी तरह हम शीर्ष v की स्थिति की गणना के लिए समीकरण को फिर से लिखते हैं हम पहले एकल-अक्षीय समस्या के लिए विश्लेषण करेंगे और मान लेंगे कि लक्ष्य शीर्ष है और इसलिए हमारे पास से एक किनारा है। मान लीजिए कि हमारे पास एक किनारा है, हम संदेश समीकरण का उपयोग करके संदेश की गणना करते हैं। गणना के लिए परिवर्धन और गुणन की आवश्यकता होती है। (हम का प्रतिनिधित्व करते हैं।) लेकिन इसके लिए कई संभावनाएं होंगी। इस प्रकार पूरे संदेश को जोड़ने और गुणा करने की आवश्यकता होगी वृक्ष के किनारों के साथ एक संदेश भेजने के लिए आवश्यक अंकगणितीय संचालन की कुल संख्या जोड़ और गुणा होगी। एक बार जब सभी संदेशों को प्रेषित कर दिया जाता है तो एल्गोरिथ्म अवस्था की गणना के साथ समाप्त हो जाता है। इस प्रकार अवस्था की गणना करने के लिए आवश्यक गणनाओं की संख्या नीचे दिए गए परिवर्धन और गुणन के रूप में दी गई है इस प्रकार गणनाओं की संख्या का कुल योग है---- जहाँ एक किनारा है और इसका आकार द्वारा परिभाषित किया गया है उपरोक्त सूत्र हमें ऊपरी सीमा देता है। यदि हम किनारे की जटिलता को परिभाषित करते हैं तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है कि अब हम चित्र 1 में परिभाषित समस्या के लिए किनारे की जटिलता की गणना इस प्रकार करते हैं। (यहाँ प्रत्यक्ष विधि से हमारा मतलब उन तरीकों से है जो संदेश पारित करने का उपयोग नहीं करते हैं। प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करने में लगने वाला समय प्रत्येक नोड पर संदेश की गणना करने और प्रत्येक नोड की स्थिति की गणना करने के लिए समय के बराबर होगा।) अब हम पूर्ण-अक्षतंतु समस्या पर विचार करते हैं जहाँ संदेश को दोनों दिशाओं में भेजना होगा और दोनों शीर्षों पर स्थिति की गणना की जानी चाहिए। इसमें समय लगेगा लेकिन पूर्व संगणना से हम गुणा की संख्या को कम कर सकते हैं। यहाँ शीर्ष की डिग्री है। उदाः यदि संख्याओं के साथ एक समुच्चय है। के सभी डी उत्पादों की गणना स्पष्ट के बजाय अधिक से अधिक गुणा के साथ करना संभव है। हम मात्राओं की पूर्व संगणना करके ऐसा करते हैं और इसमें गुणा लगता है। जब जंक्शन ट्री के निर्माण की बात आती है तो हम बहुत कुछ नहीं कर सकते हैं सिवाय इसके कि हमारे पास कई अधिकतम वजन वाले फैले हुए ट्री हो सकते हैं और हमें कम से कम फैले हुए ट्री का चयन करना चाहिए और कभी-कभी इसका मतलब जंक्शन ट्री की जटिलता को कम करने के लिए एक स्थानीय डोमेन जोड़ना हो सकता है। ऐसा लग सकता है कि जी. डी. एल. केवल तभी सही है जब स्थानीय डोमेन को जंक्शन ट्री के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लेकिन उन मामलों में भी जहां चक्र और कई पुनरावृत्तियाँ होती हैं, संदेश लगभग वस्तुनिष्ठ कार्य के बराबर होंगे। कम घनत्व समानता-जांच कोड के लिए गैलेजर-टैनर-विबर्ग एल्गोरिदम पर प्रयोग इस दावे का समर्थन कर रहे थे। संदर्भ सूचना सिद्धांत एल्गोरिदम चित्रमय मॉडल डिजिटल संकेत प्रसंस्करण