List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
समान पॉलीहेड्रा के बीच कई संबंध हैं। विथोफ का निर्माण तीव्र और तिरछे श्वार्ज त्रिकोणों से लगभग सभी समान बहुफलक का निर्माण करने में सक्षम है। जिन संख्याओं का उपयोग एक गैर-डायहेड्रल तीव्र या अप्रचलित श्वार्ज त्रिभुज की भुजाओं के लिए किया जा सकता है, जो आवश्यक रूप से केवल पतित समान पॉलीहेड्रा की ओर नहीं ले जाते हैं, वे हैं 2,3,3/2,4/3,5/2,5/3, और 5/4 (लेकिन अंश 4 और अंश 5 वाली संख्याएँ एक साथ नहीं हो सकती हैं)। (4/2 का उपयोग भी किया जा सकता है, लेकिन केवल एक समान पॉलीहेड्रा को विकृत करने की ओर ले जाता है क्योंकि 4 और 2 का एक सामान्य कारक होता है।) 44 ऐसे श्वार्ज त्रिकोण हैं (5 टेट्राहेड्रल समरूपता के साथ, 7 ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ और 32 आइकोसाहेड्रल समरूपता के साथ), जो डायहेड्रल श्वार्ज त्रिकोणों के अनंत परिवार के साथ मिलकर लगभग सभी गैर-अपक्षयी समान पॉलीहेड्रा बना सकते हैं। पूरी तरह से संयोग वाले शीर्षों, किनारों या चेहरों के साथ कई विकृत समान पॉलीहेड्रा भी विथोफ निर्माण से उत्पन्न हो सकते हैं, और जो श्वार्ज त्रिकोणों से उत्पन्न होते हैं जो 4/2 का उपयोग नहीं करते हैं, उन्हें भी उनके गैर-अपक्षयी समकक्षों के साथ नीचे दी गई तालिकाओं में दिया गया है। रिफ्लेक्स श्वार्ज त्रिभुज को शामिल नहीं किया गया है, क्योंकि वे केवल डुप्लिकेट या अपक्षय बनाते हैं; हालाँकि, कुछ का उल्लेख टेबल के बाहर किया गया है क्योंकि वे तीन स्नब पॉलीहेड्रा पर लागू होते हैं। कुछ गैर-विथोफ़ियन एकसमान पॉलीहेड्रा हैं, जिन्हें कोई भी श्वार्ज़ त्रिकोण उत्पन्न नहीं कर सकता है; हालाँकि, उनमें से अधिकांश को विथोफ़ निर्माण का उपयोग करके दोहरे आवरण के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है (गैर-विथोफ़ियन पॉलीहेड्रा को एक बार के बजाय दो बार कवर किया जाता है) या कई अतिरिक्त संयोग वाले चेहरों के साथ जिन्हें प्रत्येक किनारे पर दो से अधिक चेहरे नहीं छोड़ने के लिए त्याग दिया जाना चाहिए (देखें ऑम्निट्रंकेटेड polyhedron#Other सम-पक्षीय नॉन-कन्वेक्स पॉलीहेड्रा)। इस तरह के पॉलीहेड्रा को इस सूची में एक तारांकन चिह्न द्वारा चिह्नित किया गया है। एकमात्र समान पॉलीहेड्रा जो अभी भी विथोफ निर्माण द्वारा उत्पन्न होने में विफल है, वे हैं ग्रेट डायरहॉम्बिकोसिडोडेकाहेड्रॉन और ग्रेट डिसनब डायरहॉम्बिडोडेकाहेड्रॉन। एक गोले पर श्वार्ज त्रिकोण की प्रत्येक टाइलिंग केवल एक बार गोले को कवर कर सकती है, या यह इस प्रक्रिया में खुद को पार करते हुए गोले के चारों ओर पूरी संख्या में हवा चला सकती है। गोले के चारों ओर टाइलिंग हवाओं की संख्या टाइलिंग का घनत्व है, और इसे चिह्नित किया जाता है। पॉलीहेड्रा के लिए जोनाथन बोवर्स के छोटे नाम, जिन्हें बोवर्स संक्षिप्त नाम के रूप में जाना जाता है, का उपयोग स्थान बचाने के लिए पॉलीहेड्रा के पूर्ण नामों के बजाय किया जाता है। मेडर सूचकांक भी दिया गया है। डायहेड्रल श्वार्ज त्रिकोणों को छोड़कर, श्वार्ज त्रिकोणों को उनके घनत्व के आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है। यूक्लिडियन झुकाव के अनुरूप मामलों को भी सूचीबद्ध किया गया है, और हाइपरबोलिक झुकाव के मामलों पर संक्षेप में और अपूर्ण रूप से चर्चा की गई है। मोबियस और श्वार्ज त्रिकोण कोण π/p, π/q, π/r के साथ 4 गोलाकार त्रिकोण हैं, जहां (pqr) पूर्णांक हैंः (कॉक्सेटर, "यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा", 1954) (2 2 r)-डायहेड्रल (2,33)-टेट्राहेड्रल (2,34)-ऑक्टाहेड्रल (2,35)-इकोसाहेड्रल इन्हें मोबियस त्रिकोण कहा जाता है। इसके अलावा श्वार्ज त्रिभुज (पी क्यू आर) को परिमेय संख्या मानते हैं। इनमें से प्रत्येक को उपरोक्त 4 समूहों में से एक में वर्गीकृत किया जा सकता है। हालांकि एक पॉलीहेड्रॉन में आमतौर पर श्वार्ज त्रिभुज के समान घनत्व होता है जिससे यह उत्पन्न होता है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। सबसे पहले, पॉलीहेड्रा जिसमें मॉडल के केंद्र से गुजरने वाले चेहरे होते हैं (जिसमें हेमिपोलीहेड्रा, ग्रेट डायरहोम्बिकोसिडोडेकाहेड्रॉन और ग्रेट डिसनब डायरहोम्बिडोडेकाहेड्रॉन शामिल हैं) में अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व नहीं होता है। दूसरा, एक गोलाकार पॉलीहेड्रॉन को उसके समतल समकक्ष में बदलते समय एकरूपता को पुनर्प्राप्त करने के लिए आवश्यक विरूपण पॉलीहेड्रॉन के केंद्र के माध्यम से चेहरों को धक्का दे सकता है और घनत्व को बदलकर दूसरी तरफ वापस जा सकता है। यह निम्नलिखित मामलों में होता हैः महान कटा हुआ क्यूबोक्टेहेड्रॉन, 2,3,4/3।।। जबकि श्वार्ज़ त्रिभुज (2,34/3) का घनत्व 7 है, एकरूपता प्राप्त करने से आठ षट्कोण केंद्र के माध्यम से धक्का देते हैं, जिससे घनत्व |7 −8। = 1 प्राप्त होता है, जो समान बृहदाकार श्वार्ज़ त्रिभुज (2,34) के समान है जो समान महान वृत्तों को साझा करता है। कटा हुआ डोडेकाडेकाहेड्रोन, 2,5/3।। जबकि श्वार्ज़ त्रिभुज (2,5/35) में घनत्व 9 है, एकरूपता प्राप्त करने से बारह विकर्णों को केंद्र के माध्यम से धकेल दिया जाता है, जिससे घनत्व |9 −12। = 3 प्राप्त होता है, जो समान बृहदाकार श्वार्ज़ त्रिभुज (2,5/25) के समान है जो समान महान वृत्तों को साझा करता है। थ्री स्नब पॉलीहेड्राः ग्रेट आइकोसाहेड्रॉन। 2,3/2 3/2, स्मॉल रेट्रोस्नब आइकोसिकोसिडोडेकाहेड्रॉन। 3/23/2 5/2, और ग्रेट रेट्रोस्नब आइकोसिडोडेकाहेड्रॉन। 2,3/2 5/3। यहाँ शीर्ष आकृतियों को पेंटागन या षट्कोण के बजाय पेंटाग्राम या षट्कोण में विकृत किया गया है, जो सभी स्नब त्रिकोणों को केंद्र के माध्यम से धकेलते हैं और क्रमशः |5 −12। = 7, |22 −60। = 38, और |23 −60। = 37 की घनत्व प्राप्त करते हैं। ये घनत्व कोलुनार रिफ्लेक्स-एंगल्ड श्वार्ज त्रिकोणों के समान हैं जो ऊपर शामिल नहीं हैं। इस प्रकार महान आइकोसाहेड्रॉन को (2/33) या (2,3/4), छोटे रेट्रोस्नब आइकोसिकोसिडोडेकाहेड्रॉन को (3 3 5/8) या (3 3/4 5/3), और महान रेट्रोस्नब आइकोसिडोडेकाहेड्रॉन को (2/3 3 5/2), (2,3/4 5/3), या (2,3 5/7) से माना जा सकता है। (कॉक्सेटर, "यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा", 1954) सारांश तालिका पी, क्यू, आर (और कुछ विशेष रूपों) के प्रत्येक सेट के साथ सात जनरेटर बिंदु हैंः चार विशेष मामले हैंः पी क्यू-यह पी क्यू आर और पी क्यू एस का मिश्रण है। दोनों प्रतीक पी क्यू आर और पी क्यू एस कुछ अतिरिक्त चेहरों के साथ एक सामान्य आधार पॉलीहेड्रॉन उत्पन्न करते हैं। संकेत p q तब आधार पॉलीहेड्रॉन का प्रतिनिधित्व करता है, जो p q r और p q s दोनों के लिए सामान्य चेहरों से बना है। पी क्यू आर-स्नब रूपों (वैकल्पिक) को यह अन्यथा अप्रयुक्त प्रतीक दिया जाता है। पी क्यू आर एस-यू75 के लिए एक अद्वितीय स्नब रूप जो त्रिकोणीय मौलिक डोमेन का उपयोग करके विथोफ-निर्माण योग्य नहीं है। इस विथोफ प्रतीक में चार संख्याएँ शामिल हैं क्योंकि इस बहुफलक में एक चतुष्कोणीय गोलाकार मौलिक क्षेत्र है। (पी) क्यू (आर) एस-स्किलिंग की आकृति के लिए एक अद्वितीय स्नब रूप जो विथोफ-निर्माण योग्य नहीं है। विथोफ प्रतीक से शीर्ष विन्यास में यह रूपांतरण तालिका ऊपर सूचीबद्ध असाधारण पाँच बहुफलक के लिए विफल हो जाती है जिनकी घनत्व उनके उत्पन्न करने वाले श्वार्ज त्रिभुज टेसेलेशन के घनत्व से मेल नहीं खाती है। इन मामलों में शीर्ष आकृति को सपाट चेहरों के साथ एकरूपता प्राप्त करने के लिए अत्यधिक विकृत किया जाता हैः पहले दो मामलों में यह एक तीव्र त्रिभुज के बजाय एक तिरछा त्रिभुज है, और अंतिम तीन में यह एक पंचभुज या षट्कोण के बजाय एक पंचभुज या षट्कोण है, जो केंद्र के चारों ओर दो बार घूमता है। इसके परिणामस्वरूप कुछ चेहरे पॉलीहेड्रॉन के माध्यम से सीधे धकेल दिए जाते हैं जब शीर्ष आकृति विरूपण के बिना स्थलाकृतिक रूप से समकक्ष रूपों की तुलना की जाती है और दूसरी तरफ प्रतिगामी निकलते हैं। नीचे दी गई तालिकाओं में, लाल पृष्ठभूमि विकृत पॉलीहेड्रा को चिह्नित करती है। हरी पृष्ठभूमि उत्तल एकसमान पॉलीहेड्रा को चिह्नित करती है। डायहेड्रल (प्रिज्मेटिक) डायहेड्रल श्वार्ज त्रिकोणों में, दो संख्याएँ 2 हैं, और तीसरी कोई भी परिमेय संख्या हो सकती है जो 1 से सख्ती से बड़ी हो। (2 2 एन/डी)-यदि जी. सी. डी. (एन, डी)> 1 है तो अपक्षय होता है। डायहेड्रल समरूपता वाले कई पॉलीहेड्रा में डिगन चेहरे होते हैं जो उन्हें पतित पॉलीहेड्रा बनाते हैं (जैसे। डिहेड्रा और होसोहेड्रा)। मेज के स्तंभ जो केवल अपक्षयी समान पॉलीहेड्रा देते हैं, शामिल नहीं हैंः विशेष अपक्षयी मामले (केवल (2,22) श्वार्ज त्रिभुज में) एक बड़े क्रॉस के साथ चिह्नित किए जाते हैं। एक आधार {p} के साथ एक समान पार एंटीप्रिज़्म जहां पी <3/2 मौजूद नहीं हो सकता है क्योंकि उनके शीर्ष आंकड़े त्रिकोणीय असमानता का उल्लंघन करेंगे; इन्हें एक बड़े क्रॉस के साथ भी चिह्नित किया जाता है। 3/2 क्रॉस एंटीप्रिज्म (ट्रिर्प) अपक्षयी है, यूक्लिडियन स्थान में सपाट होने के कारण, और एक बड़े क्रॉस के साथ भी चिह्नित है। श्वार्ज़ त्रिभुज (2 2 n/d) यहाँ केवल तभी सूचीबद्ध किए जाते हैं जब gcd (n, d) = 1 होता है, क्योंकि अन्यथा वे केवल पतित समान बहुफलक में परिणाम देते हैं। नीचे दी गई सूची में सभी संभावित मामले दिए गए हैं जहाँ n ≤ 6 है। चतुष्फलकीय श्वार्ज त्रिभुजों में अधिकतम अनुमेय अंश 3 है। ऑक्टाहेड्रल ऑक्टाहेड्रल श्वार्ज त्रिकोणों में, अधिकतम अंश 4 की अनुमति है। ऑक्टाहेड्रल श्वार्ज त्रिकोण भी मौजूद हैं जो एक संख्या के रूप में 4/2 का उपयोग करते हैं, लेकिन ये केवल एक समान पॉलीहेड्रा को विकृत करते हैं क्योंकि 4 और 2 का एक सामान्य कारक होता है। आइकोसाहेड्रल श्वार्ज त्रिकोणों में, अधिकतम अंश 5 की अनुमति है। इसके अतिरिक्त, अंश 4 का उपयोग आइकोसाहेड्रल श्वार्ज त्रिभुजों में बिल्कुल नहीं किया जा सकता है, हालांकि अंश 2 और 3 की अनुमति है। (यदि 4 और 5 किसी श्वार्ज त्रिभुज में एक साथ हो सकते हैं, तो उन्हें कुछ मोबियस त्रिभुज में भी ऐसा करना होगा; लेकिन यह असंभव है क्योंकि (2 4 5) एक हाइपरबोलिक त्रिभुज है, गोलाकार नहीं है।) गैर-विथोफ़ियन हेमी रूप ऑक्टाहेमिओक्टेहेड्रॉन के अलावा, हेमीपोलीहेड्रा विथोफ़ निर्माण द्वारा दोहरे आवरण के रूप में उत्पन्न होते हैं। कम रूप ये पॉलीहेड्रा विथोफ निर्माण द्वारा अतिरिक्त चेहरों के साथ उत्पन्न होते हैं। टेट्राहेमिहेक्साहेड्रन (टीएचए, यू4) भी {3/2}-कुपोला (प्रतिगामी त्रिकोणीय कुपोला, रैट्रिकु) का {6/2} द्वारा कम किया गया संस्करण है। इस प्रकार इसे पार त्रिकोणीय कप्लोइड भी कहा जा सकता है। उपरोक्त कई मामले अपक्षयी सर्वव्यापी पॉलीहेड्रा पी. क्यू. आर. से प्राप्त होते हैं। इन मामलों में, दो अलग-अलग अपक्षयी मामले p q r और p q s एक ही p और q से उत्पन्न किए जा सकते हैं; परिणाम के चेहरे {2p} 's, {2q}' s हैं, और क्रमशः {2r} 's या {2s}' s के साथ मेल खाते हैं। ये दोनों एक ही गैर-अपक्षयी समान पॉलीहेड्रा उत्पन्न करते हैं जब संयोग वाले चेहरों को त्याग दिया जाता है, जो कॉक्सेटर पी क्यू का प्रतीक है। इन मामलों को नीचे सूचीबद्ध किया गया हैः छोटे और बड़े रोंबिहेक्साहेड्रा में, 4/2 अंश का उपयोग सबसे कम शब्दों में नहीं होने के बावजूद किया जाता है। जबकि 2 4 2 और 2 4/3 2 क्रमशः एक एकल अष्टकोणीय या अष्टकोणीय प्रिज्म का प्रतिनिधित्व करते हैं, 2 4 4/2 और 2 4/3 4/2 ऐसे तीन प्रिज्म का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो अपने कुछ वर्गाकार चेहरों को साझा करते हैं (ठीक वही जो {8/2} के उत्पादन के लिए दोगुने हो जाते हैं)। ये {8/2} दो गुना नहीं बल्कि चार गुना घूर्णन समरूपता के साथ दिखाई देते हैं, जो 2 के बजाय 4/2 के उपयोग को उचित ठहराते हैं। अन्य रूप ये दो समान पॉलीहेड्रा विथोफ निर्माण द्वारा बिल्कुल भी उत्पन्न नहीं किए जा सकते हैं। यह एक समान पॉलीहेड्रा का समूह है जिसे आमतौर पर "गैर-विथोफियन" के रूप में वर्णित किया जाता है। विथोफियन समान पॉलीहेड्रा के त्रिकोणीय मौलिक डोमेन के बजाय, इन दो पॉलीहेड्रा में टेट्रागोनल मौलिक डोमेन हैं। स्किलिंग की आकृति को मेडर की सूची में एक सूचकांक नहीं दिया गया है क्योंकि यह एक विदेशी समान पॉलीहेड्रॉन है, जिसमें कटक (3डी मामले में किनारे) पूरी तरह से संयोग हैं। यह उपरोक्त सूची में शामिल कुछ अपक्षयी पॉलीहेड्रॉन के बारे में भी सच है, जैसे कि छोटे जटिल आइकोसिडोडेकाहेड्रॉन। किनारों के संयोग होने की यह व्याख्या इन आंकड़ों को प्रति किनारे दो चेहरे रखने की अनुमति देती हैः किनारों को दोगुना नहीं करने से उन्हें 4,6,8,10 या 12 चेहरे मिलेंगे जो एक किनारे पर मिलते हैं, जो आंकड़े आमतौर पर एक समान पॉलीहेड्रा के रूप में बाहर रखे जाते हैं। स्किलिंग की आकृति में कुछ किनारों पर मिलने वाले 4 चेहरे हैं। ये दोनों विशेष पॉलीहेड्रा महान स्नब डोडेसिकोसिडोडेकाहेड्रॉन, 3 5/3 5/2 (यू64) से प्राप्त किए जा सकते हैं। यह एक कायरल स्नब पॉलीहेड्रॉन है, लेकिन इसके पेंटाग्राम कोप्लानर जोड़े में दिखाई देते हैं। इस पॉलीहेड्रॉन की एक प्रति को इसके एनांटिओमोर्फ के साथ जोड़कर, पेंटाग्राम मेल खाते हैं और उन्हें हटाया जा सकता है। चूंकि इस पॉलीहेड्रॉन के शीर्ष आकृति के किनारों में एक वर्ग के तीन किनारे शामिल हैं, चौथी तरफ इसके एनेंटिओमोर्फ द्वारा योगदान दिया जा रहा है, हम देखते हैं कि परिणामी पॉलीहेड्रॉन वास्तव में बीस ऑक्टाहेड्रा का यौगिक है। इनमें से प्रत्येक ऑक्टाहेड्रा में समानांतर चेहरों की एक जोड़ी होती है जो 3 5/3 5/2 के पूरी तरह से सममित त्रिभुज से उत्पन्न होती है, जबकि अन्य तीन मूल 3 5/3 5/2 के स्नब त्रिभुज से आती हैं। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक ऑक्टाहेड्रॉन को समान किनारों और शीर्षों के साथ टेट्राहेमिहेक्साहेड्रॉन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ऑक्टाहेड्रा में पूरी तरह से सममित त्रिकोणों को लेते हुए, महान स्नब डोडेसिकोसिडोडेकाहेड्रा में मूल मेल खाने वाले पेंटाग्राम, और टेट्राहेमिहेक्साहेड्रा के भूमध्यरेखीय वर्ग एक साथ महान डिरोम्बिकोसिडोडेकाहेड्रॉन (मिलर का राक्षस) उत्पन्न करते हैं। इसके बजाय ऑक्टाहेड्रा के स्नब त्रिकोणों को लेने से महान डिसनब डिरोम्बिडोडेकाहेड्रॉन (स्किलिंग की आकृति) प्राप्त होती है। यूक्लिडियन झुकाव समतल को एक बार टाइल करने वाले एकमात्र समतल त्रिकोण (3 3 3), (4 2 4), और (3 2 6) हैंः वे क्रमशः समबाहु त्रिभुज, 45-45-90 समद्विबाहु त्रिभुज, और 30-60-90 समद्विबाहु त्रिभुज हैं। यह इस प्रकार है कि तल को कई बार टाइल करने वाले किसी भी समतल त्रिभुज को इनमें से किसी एक की कई प्रतियों से बनाया जाना चाहिए। एकमात्र संभावना यह है कि 30-30-120 तिरछा समद्विबाहु त्रिभुज (3/266) = (623) + (2,63) समतल को दो बार टाइल करता है। प्रत्येक त्रिभुज 120° शीर्ष पर एक शाखा बिंदु के साथ विपरीत दिशाओं के साथ दो बार गिना जाता है। दो एपिरोगन से बनी टाइलिंग {ini, 2} स्वीकार नहीं की जाती है, क्योंकि इसके चेहरे एक से अधिक किनारों पर मिलते हैं। यहाँ '' प्रतिगामी समकक्ष 'को दर्शाता है। अपक्षयी नामित रूप हैंः चैटिटः 3 षट्कोणीय झुकाव का यौगिक + त्रिकोणीय टाइलिंग चाटाः 3 षट्कोणीय झुकाव का यौगिक + त्रिकोणीय टाइलिंग + सभी किनारे अनुक्रमों के साथ एपिरोगॉन के दोहरे आवरणः 3 षट्कोणीय झुकाव का यौगिक + सभी किनारे अनुक्रमों के साथ एपिरोगॉन के दोहरे आवरण कोसाः वर्गाकार टाइलिंग + सभी किनारे अनुक्रमों के साथ एपिरोगॉन के दोहरे आवरण टाइलिंग 6 6/5। ≤ को विथोफ के निर्माण द्वारा दोहरे आवरण के रूप में उत्पन्न किया जाता हैः इसके अलावा मिश्रित प्रतीक p q। के साथ कुछ झुकाव भी होते हैंः कुछ गैर-विथोफियन झुकाव भी होते हैंः समतल के समान झुकाव का सेट पूर्ण साबित नहीं होता है, इसके विपरीत। उपरोक्त झुकाव कॉक्सेटर, लोंगुएट-हिगिंस और मिलर द्वारा समान पॉलीहेड्रा पर अपने 1954 के पेपर में पाए गए सभी का प्रतिनिधित्व करते हैं। उन्होंने अनुमान लगाया कि सूचियाँ पूरी हो गई थींः यह 1970 में सोपोव द्वारा समान पॉलीहेड्रा के लिए साबित किया गया था, लेकिन समान झुकाव के लिए साबित नहीं हुआ है। वास्तव में ब्रांको ग्रनबॉम, जे. सी. पी. मिलर और जी. सी. शेफर्ड ने खोखली टाइलों (1981) के साथ समान टिलिंग में पंद्रह और गैर-विथोफ़ियन समान झुकावों को सूचीबद्ध किया हैः शीर्ष आकृतियों के लिए दो-दो झुकाव हैं। इन दो शीर्ष आकृतियों में से प्रत्येक के लिए एक तीसरी टाइलिंग भी मौजूद है जो केवल छद्म-समान है (सभी शीर्ष एक जैसे दिखते हैं, लेकिन वे दो समरूपता कक्षाओं में आते हैं)। इसलिए, यूक्लिडियन झुकाव के लिए, शीर्ष विन्यास विशिष्ट रूप से टाइलिंग का निर्धारण नहीं करता है। नीचे दिए गए चित्रों में, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर किनारों वाले शामिल वर्गों को एक केंद्रीय बिंदु के साथ चिह्नित किया गया है। एक एकल वर्ग में किनारों को हाइलाइट किया गया है। ग्रनबॉम, मिलर और शेफर्ड भी ज़िगज़ैग (तिरछे एपिरोगॉन) का उपयोग करके 33 समान झुकावों को चेहरे के रूप में सूचीबद्ध करते हैं, जिनमें से दस ऐसे परिवार हैं जिनमें एक मुक्त पैरामीटर (ज़िगज़ैग का कोण) होता है। आठ मामलों में यह पैरामीटर निरंतर है; दो में, यह असतत है। हाइपरबोलिक झुकाव हाइपरबोलिक तल को टाइल करने वाले त्रिकोणों का समूह अनंत है। इसके अलावा हाइपरबोलिक स्पेस में फंडामेंटल डोमेन को सिम्प्लेक्स नहीं होना चाहिए। नतीजतन हाइपरबोलिक तल के समान झुकाव की पूरी सूची नहीं दी जा सकती है। यहां तक कि जब उत्तल टाइलों तक ही सीमित हो, तब भी एक ही शीर्ष विन्यास के साथ कई झुकाव ढूंढना संभव हैः उदाहरण के लिए स्नब ऑर्डर-6 वर्ग tiling#Related पॉलीहेड्रा और टाइलिंग देखें। कुछ छोटे उत्तल मामले (आदर्श चेहरे या शीर्षों को शामिल नहीं करते हुए) नीचे दिए गए हैंः संदर्भ रिचर्ड क्लिट्ज़िंगः बिंदु-समूह समरूपता जटिलता द्वारा पॉलीहेड्रा श्वार्ज त्रिकोण भाग 1, भाग 2 यूक्लिडियन टेसेलेशन और मधुकोश हाइपरबॉलिक टेसेलेशन और मधुकोश तालिकाएँ क्लिट्ज़िंग द्वारा उनके स्थान पर प्रस्तुत किए गए तालिकाओं पर आधारित हैं। बाहरी लिंक जिम मैकनीलः प्लेन ज़्वी हार 'एल का टेसेलेशनः यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा हिरोनोरी सकामोटो के लिए यूनिफॉर्म सॉल्यूशनः यूक्लिड प्लेन पर यूनिफॉर्म टेसेलेशन यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा यूनिफॉर्म टिलिंग्स