Orbit modeling
ऑर्बिट मॉडलिंग एक विशाल पिंड की गति का अनुकरण करने के लिए गणितीय मॉडल बनाने की प्रक्रिया है क्योंकि यह गुरुत्वाकर्षण के कारण किसी अन्य विशाल पिंड के चारों ओर कक्षा में घूमता है। अन्य बल जैसे कि तृतीयक निकायों से गुरुत्वाकर्षण आकर्षण, वायु प्रतिरोध, सौर दबाव, या प्रणोदन प्रणाली से दबाव को आम तौर पर द्वितीयक प्रभाव के रूप में मॉडल किया जाता है। प्रत्यक्ष रूप से एक कक्षा का प्रतिरूपण मशीन की सटीकता की सीमाओं को बहुत बड़ी कक्षाओं में छोटे विक्षोभों को प्रतिरूपण करने की आवश्यकता के कारण बढ़ा सकता है। इस वजह से, बेहतर सटीकता प्राप्त करने के लिए कक्षा को मॉडल करने के लिए अक्सर विक्षोभ विधियों का उपयोग किया जाता है। पृष्ठभूमि कक्षीय गति और कक्षाओं के गणितीय प्रतिरूपण का अध्ययन आकाश में ग्रहों की गति की भविष्यवाणी करने के पहले प्रयासों के साथ शुरू हुआ, हालांकि प्राचीन काल में कारण एक रहस्य बने रहे। न्यूटन, जिस समय उन्होंने गति और गुरुत्वाकर्षण के अपने नियमों को तैयार किया था, उन्हें गड़बड़ी के पहले विश्लेषण में लागू किया, उनकी गणना की जटिल कठिनाइयों को पहचानते हुए। तब से कई महान गणितविदों ने इसमें शामिल विभिन्न समस्याओं पर ध्यान दिया है; 18वीं और 19वीं शताब्दी के दौरान समुद्र में नौवहन के उद्देश्यों के लिए चंद्रमा और ग्रहों की स्थिति की सटीक तालिकाओं की मांग थी। कक्षाओं की जटिल गतियों को तोड़ा जा सकता है। केवल एक अन्य पिंड के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के तहत शरीर जो काल्पनिक गति का अनुसरण करता है, वह आम तौर पर एक शंकु खंड होता है, और इसे ज्यामिति के तरीकों के साथ आसानी से मॉडल किया जा सकता है। इसे दो-पिंड समस्या, या एक अबाधित केप्लेरियन कक्षा कहा जाता है। केप्लेरियन कक्षा और शरीर की वास्तविक गति के बीच अंतर गड़बड़ी के कारण होते हैं। ये विक्षोभ प्राथमिक और द्वितीयक पिंड के बीच गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के अलावा अन्य बलों के कारण होते हैं और एक सटीक कक्षा अनुकरण बनाने के लिए मॉडल किया जाना चाहिए। अधिकांश ऑर्बिट मॉडलिंग दृष्टिकोण दो-शरीर समस्या का मॉडल बनाते हैं और फिर इन विचलित करने वाले बलों के मॉडल जोड़ते हैं और समय के साथ इन मॉडलों का अनुकरण करते हैं। विचलित करने वाले बलों में प्राथमिक, सौर पवन, खिंचाव, चुंबकीय क्षेत्र और प्रणोदक बलों के अलावा अन्य निकायों से गुरुत्वाकर्षण आकर्षण शामिल हो सकते हैं। सरल दो-शरीर और तीन-शरीर समस्याओं के लिए विश्लेषणात्मक समाधान (किसी भी भविष्य के समय स्थितियों और गतियों की भविष्यवाणी करने के लिए गणितीय अभिव्यक्तियाँ) मौजूद हैं; कुछ विशेष मामलों को छोड़कर एन-शरीर समस्या के लिए कोई भी नहीं पाया गया है। यहां तक कि दो-शरीर की समस्या भी अघुलनशील हो जाती है यदि शरीर में से एक आकार में अनियमित हो। रुचि की अधिकांश समस्याओं के विश्लेषणात्मक समाधान खोजने में कठिनाई के कारण, कंप्यूटर मॉडलिंग और सिमुलेशन का उपयोग आमतौर पर कक्षीय गति का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। अंतरिक्ष यान की कक्षाओं और प्रक्षेपवक्रों का अनुकरण करने के लिए विभिन्न प्रकार के सॉफ्टवेयर उपलब्ध हैं। केप्लेरियन ऑर्बिट मॉडल अपने सबसे सरल रूप में, एक ऑर्बिट मॉडल यह मानते हुए बनाया जा सकता है कि केवल दो पिंड शामिल हैं, दोनों गोलाकार बिंदु-द्रव्यमान के रूप में व्यवहार करते हैं, और यह कि कोई अन्य बल पिंडों पर कार्य नहीं करता है। इस मामले के लिए मॉडल को केपलर कक्षा में सरल बनाया गया है। केप्लेरियन कक्षाएं शंकु वर्गों का अनुसरण करती हैं। कक्षा का गणितीय मॉडल जो एक केंद्रीय पिंड और एक परिक्रमा करने वाले पिंड के बीच की दूरी देता है, उसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता हैः जहाँः क्या दूरी अर्ध-प्रमुख अक्ष है, जो कक्षा के आकार को विकेन्द्रता के रूप में परिभाषित करता है, जो कक्षा के आकार को वास्तविक विसंगति के रूप में परिभाषित करता है, जो परिक्रमा करने वाली वस्तु की वर्तमान स्थिति और उस पर कक्षा में स्थान के बीच का कोण है जो केंद्रीय पिंड के सबसे करीब है (जिसे पेरियाप्सिस कहा जाता है) वैकल्पिक रूप से, समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता हैः जहाँ वक्र का अर्ध-अक्षांश मलाशय कहा जाता है। समीकरण का यह रूप विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब परवलयिक प्रक्षेपवक्र से निपटा जाता है, जिसके लिए अर्ध-प्रमुख अक्ष अनंत होता है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण आइजैक न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का उपयोग करता है जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया हैः जहांः दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, पहले बिंदु द्रव्यमान का द्रव्यमान है, दूसरे बिंदु द्रव्यमान का द्रव्यमान दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच की दूरी है। व्यवहार में, केप्लेरियन कक्षाएं आम तौर पर केवल प्रथम-क्रम सन्निकटन, विशेष मामलों, या एक अशांत कक्षा के लिए आधार मॉडल के रूप में उपयोगी होती हैं। ऑर्बिट सिमुलेशन विधियाँ ऑर्बिट मॉडल आमतौर पर विशेष गड़बड़ी विधियों का उपयोग करके समय और स्थान में प्रचारित किए जाते हैं। यह पहले केप्लेरियन कक्षा के रूप में कक्षा का प्रतिरूपण करके किया जाता है। फिर कक्षा को प्रभावित करने वाले विभिन्न विक्षोभों के लिए मॉडल में विक्षोभ जोड़े जाते हैं। खगोलीय यांत्रिकी में किसी भी समस्या पर विशेष विक्षोभ लागू किया जा सकता है, क्योंकि यह उन मामलों तक सीमित नहीं है जहां विक्षोभ बल छोटे होते हैं। विशेष विक्षोभ विधियाँ सबसे सटीक मशीन-जनित ग्रहों के इफिमेराइड्स का आधार हैं। उदाहरण के लिए, जेट प्रणोदन प्रयोगशाला विकास एफ़ेमेरिस कोवेल की विधि कोवेल की विधि एक विशेष विक्षोभ विधि है; गणितीय रूप से, पारस्परिक रूप से परस्पर क्रिया करने वाले निकायों के लिए, अन्य निकायों से शरीर पर न्यूटनियन बलों को बस इस प्रकार संक्षेपित किया जाता है, जहां शरीर का त्वरण सदिश गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है जो शरीर का द्रव्यमान है और वस्तुओं के स्थिति सदिश हैं और यह वस्तु से वस्तु की दूरी है जिसमें सभी सदिशों को प्रणाली के बेरिसेन्टर को संदर्भित किया जाता है। इस समीकरण को घटकों में हल किया जाता है, और इन्हें नए वेग और स्थिति वैक्टर बनाने के लिए संख्यात्मक रूप से एकीकृत किया जाता है क्योंकि अनुकरण समय के साथ आगे बढ़ता है। कोवेल की विधि का लाभ अनुप्रयोग और प्रोग्रामिंग में आसानी है। एक नुकसान यह है कि जब गड़बड़ी परिमाण में बड़ी हो जाती है (जैसे कि जब कोई वस्तु दूसरे के करीब जाती है) तो विधि की त्रुटियां भी बड़ी हो जाती हैं। एक अन्य नुकसान यह है कि एक प्रमुख केंद्रीय निकाय वाली प्रणालियों में, जैसे कि सूर्य, केंद्रीय निकाय और विचलित निकायों के बलों में बड़े अंतर के कारण अंकगणित में कई महत्वपूर्ण अंकों को ले जाना आवश्यक है। एन्के की विधि एन्के की विधि एक संदर्भ के रूप में ऑस्कुलेटिंग ऑर्बिट से शुरू होती है और समय के फलन के रूप में संदर्भ से भिन्नता को हल करने के लिए संख्यात्मक रूप से एकीकृत होती है। इसके फायदे यह हैं कि गड़बड़ी आम तौर पर परिमाण में छोटी होती है, इसलिए एकीकरण बड़े चरणों में आगे बढ़ सकता है (जिसके परिणामस्वरूप कम त्रुटियां होती हैं), और विधि कॉवेल की विधि की तुलना में अत्यधिक गड़बड़ी से बहुत कम प्रभावित होती है। इसका नुकसान जटिलता है; इसका उपयोग कभी-कभी ऑस्कुलेटिंग कक्षा को अद्यतन किए बिना और वहां से जारी रखे बिना अनिश्चित काल तक नहीं किया जा सकता है, एक प्रक्रिया जिसे सुधार के रूप में जाना जाता है। मान लीजिए कि ऑस्कुलेटिंग कक्षा का त्रिज्या सदिश, विक्षिप्त कक्षा का त्रिज्या सदिश, और विक्षिप्त कक्षा से भिन्नता, और केवल और की गति के समीकरण हैं, जहां गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है और केंद्रीय निकाय और विक्षिप्त निकाय के द्रव्यमान, विक्षिप्त त्वरण है, और और और के परिमाण हैं। समीकरण () और () से समीकरण () में प्रतिस्थापित करना, जिसे, सिद्धांत रूप में, खोजने के लिए दो बार एकीकृत किया जा सकता है। चूँकि ऑस्कुलेटिंग ऑर्बिट की गणना आसानी से दो-शरीर विधियों द्वारा की जाती है, और इनका हिसाब रखा जाता है और इन्हें हल किया जा सकता है। व्यवहार में, कोष्ठक में मात्रा, दो लगभग समान वैक्टरों का अंतर है, और अतिरिक्त महत्वपूर्ण अंकों की आवश्यकता से बचने के लिए आगे हेरफेर आवश्यक है। स्पर्लिंग-बर्डेट विधि 1991 में विक्टर आर. बॉन्ड और माइकल एफ. फ्रेइटा ने दो-शरीर परेशान समस्या को हल करने के लिए एक कुशल और अत्यधिक सटीक विधि बनाई। यह विधि हंस स्पर्लिंग द्वारा प्राप्त गति के रैखिक और नियमित विभेदक समीकरणों और सी. ए. द्वारा विकसित इन समीकरणों पर आधारित एक विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करती है। वर्ष 1864 में बर्डेट। 1973 में, बॉन्ड और हैंसेन ने दो-शरीर ऊर्जा के बजाय एक पैरामीटर के रूप में अशांत प्रणाली की कुल ऊर्जा का उपयोग करके और तत्वों की संख्या को घटाकर 13 करके बर्डेट के विभेदक समीकरणों के सेट में सुधार किया। 1989 में बॉन्ड और गॉटलीब ने जैकोबियन समाकलन को अंतर्निहित किया, जो एक स्थिरांक है जब स्थितिज फलन स्पष्ट रूप से समय के साथ-साथ न्यूटनियन समीकरणों में स्थिति पर भी निर्भर होता है। गति के विभेदक समीकरणों के सुधार में कुल ऊर्जा को बदलने के लिए जैकोबियन स्थिरांक का उपयोग एक तत्व के रूप में किया गया था। इस प्रक्रिया में, एक अन्य तत्व पेश किया जाता है जो कोणीय संवेग के एक घटक के समानुपाती होता है। इससे तत्वों की कुल संख्या 14 हो गई। 1991 में, बॉन्ड और फ्रेइटा ने लाप्लास वेक्टर को एक अन्य वेक्टर इंटीग्रल के साथ-साथ एक अन्य स्केलर इंटीग्रल के साथ बदलकर आगे के संशोधन किए, जिसने कुछ तत्वों के लिए अंतर समीकरणों में दिखाई देने वाले छोटे धर्मनिरपेक्ष शब्दों को हटा दिया। स्पर्लिंग-बर्डेट विधि को निम्नलिखित 5 चरणों की प्रक्रिया में निष्पादित किया जाता हैः चरण 1: आरंभीकरण एक प्रारंभिक स्थिति, एक प्रारंभिक वेग और एक प्रारंभिक समय को देखते हुए, निम्नलिखित चरों को आरंभ किया जाता हैः विचलित करने वाले द्रव्यमानों के कारण विक्षोभ, और के रूप में परिभाषित, अन्य त्वरणों के कारण विक्षोभ का मूल्यांकन किया जाता है, जिन्हें इस रूप में परिभाषित किया जाता है, चरण 2: तत्वों को निर्देशांक में परिवर्तित करें जहां स्टंपफ कार्य हैं चरण 3: तत्वों के लिए विभेदक समीकरणों का मूल्यांकन करें चरण 4: एकीकरण यहां विभेदक समीकरणों को चरण 5 पर तत्व मूल्य प्राप्त करने के लिए एक अवधि में एकीकृत किया जाता हैः अग्रिम सेट और चरण 2 पर लौटें जब तक कि अनुकरण रोकने की शर्तों को पूरा नहीं किया जाता है। विक्षोभ विक्षोभ बल के कारण कक्षाएँ एक पूर्ण केप्लेरियन कक्षा से विक्षोभित हो जाती हैं। इनमें से प्रत्येक बल के लिए मॉडल कक्षा अनुकरण के दौरान बनाए और निष्पादित किए जाते हैं ताकि कक्षा पर उनके प्रभावों को निर्धारित किया जा सके। गैर-गोलाकार गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी एक पूर्ण क्षेत्र नहीं है और न ही पृथ्वी के भीतर द्रव्यमान समान रूप से वितरित है। इसके परिणामस्वरूप बिंदु-द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण मॉडल पृथ्वी के चारों ओर की कक्षाओं, विशेष रूप से पृथ्वी की निचली कक्षाओं के लिए गलत है। पृथ्वी की सतह के चारों ओर गुरुत्वाकर्षण क्षमता में भिन्नताओं के लिए, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को गोलाकार हार्मोनिक्स के साथ मॉडल किया गया है जो समीकरण के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैंः जहां गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर को जी, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक और प्राथमिक पिंड के द्रव्यमान के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है। प्राथमिक और द्वितीयक निकायों के बीच की दूरी को परिभाषित करने वाला इकाई सदिश है, जो दूरी का परिमाण है। डिग्री एन और ऑर्डर एम के गोलाकार हार्मोनिक के योगदान का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहाँः प्राथमिक पिंड की औसत भूमध्यरेखीय त्रिज्या है। यह प्राथमिक पिंड के केंद्र से माध्यमिक पिंड के केंद्र तक स्थिति सदिश का परिमाण है। और डिग्री एन और ऑर्डर एम के गुरुत्वाकर्षण गुणांक हैं। ये आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण माप के माध्यम से पाए जाते हैं। इकाई वैक्टर प्राथमिक शरीर पर तय एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित करते हैं। पृथ्वी के लिए, पृथ्वी के ज्यामितीय केंद्र और ग्रीनविच मेरिडियन को काटते हुए एक रेखा के समानांतर भूमध्यरेखीय तल में स्थित है, जो उत्तरी ध्रुवीय अक्ष की दिशा में इंगित करता है, और इसे डिग्री एन और ऑर्डर एम के व्युत्पन्न लीजेंड्रे बहुपद के रूप में संदर्भित किया जाता है। उन्हें पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से हल किया जाता हैः माध्यमिक पिंड के भौगोलिक अक्षांश का साइन है, जो है। इन्हें निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध और प्रारंभिक स्थितियों के साथ परिभाषित किया गया हैः जब किसी प्राथमिक पिंड के चारों ओर एक कक्षा के विक्षोभ का प्रतिरूपण किया जाता है तो केवल शब्दों के योग को विक्षोभ में शामिल करने की आवश्यकता होती है क्योंकि बिंदु-द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण मॉडल को तृतीय-पिंड विक्षोभ शब्द में गिना जाता है। उदाहरण के लिए, सूर्य और चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर कक्षाओं में गड़बड़ी पैदा करते हैं। इन बलों को उसी तरह से मॉडल किया गया है जैसे गुरुत्वाकर्षण को प्रत्यक्ष गुरुत्वाकर्षण एन-बॉडी सिमुलेशन के माध्यम से प्राथमिक शरीर के लिए मॉडल किया गया है। आमतौर पर, इन तीसरे निकायों से मॉडलिंग प्रभावों के लिए केवल एक गोलाकार बिंदु-द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण मॉडल का उपयोग किया जाता है। तीसरे शरीर की गड़बड़ी के कुछ विशेष मामलों में अनुमानित विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, आरोही नोड के सही आरोहण के लिए गड़बड़ी और एक गोलाकार पृथ्वी की कक्षा के लिए पेरिजी के तर्क हैंः जहाँः प्रति दिन डिग्री में आरोही नोड के सही आरोहण में परिवर्तन है। प्रति दिन डिग्री में पेरिजी के तर्क में परिवर्तन है। कक्षीय झुकाव है। प्रति दिन कक्षीय क्रांतियों की संख्या है। सौर विकिरण सौर विकिरण का दबाव कक्षाओं में गड़बड़ी का कारण बनता है। यह पृथ्वी की कक्षा में एक अंतरिक्ष यान को जो त्वरण प्रदान करता है, उसे नीचे दिए गए समीकरण का उपयोग करके मॉडल किया गया हैः जहांः मीटर प्रति सेकंड वर्ग में त्वरण का परिमाण है। मीटर वर्ग में सूर्य के संपर्क में क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है। अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान किलोग्राम में है। परावर्तन कारक है जो भौतिक गुणों पर निर्भर करता है। अवशोषण के लिए, स्पेकुलर परावर्तन के लिए, और फैला हुआ परावर्तन के लिए। पृथ्वी के चारों ओर की कक्षाओं के लिए, सौर विकिरण का दबाव 800 किमी की ऊंचाई से ऊपर खींचने की तुलना में एक मजबूत बल बन जाता है। प्रणोदन अंतरिक्ष यान प्रणोदन के कई अलग-अलग प्रकार हैं। रॉकेट इंजन सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले इंजनों में से एक हैं। एक रॉकेट इंजन के बल को समीकरण द्वारा प्रतिरूपित किया जाता हैः {। बॉर्डर = "0" सेलपैडिंग = "2"।-|align = right|where:।-! संरेखित करें = दाएँ। |align = बाएँ। = निकास गैस द्रव्यमान प्रवाह।-! संरेखित करें = दाएँ। |align = बाएँ। = प्रभावी निकास वेग।-! संरेखित करें = दाएँ। |align = बाएँ। = नोजल निकास तल पर वास्तविक जेट वेग।-! संरेखित करें = दाएँ। |align = बाएँ। = बाएँ। = नोजल निकास तल पर प्रवाह क्षेत्र (या वह तल जहाँ जेट अलग प्रवाह होने पर नोजल छोड़ता है)।-! संरेखित करें = दाएँ। |align = बाएँ। सौर पाल एक वांछित प्रणोदक बल प्राप्त करने के लिए विकिरण दबाव का उपयोग करते हैं। सौर पवन के कारण विक्षोभ मॉडल का उपयोग सौर पाल से प्रणोदक बल के मॉडल के रूप में किया जा सकता है। पृथ्वी की निचली कक्षा में उपग्रहों पर कार्य करने वाला प्राथमिक गैर-गुरुत्वाकर्षण बल वायुमंडलीय खिंचाव है। ड्रैग वेग की दिशा के विरोध में कार्य करेगा और एक कक्षा से ऊर्जा को हटा देगा। खिंचाव के कारण होने वाले बल को निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिरूपित किया जाता हैः जहाँ खिंचाव का बल है, द्रव का घनत्व है, द्रव के सापेक्ष वस्तु का वेग है, खिंचाव गुणांक है (एक आयामहीन पैरामीटर, उदाहरण के लिए। अधिकांश उपग्रहों के लिए 2 से 4) संदर्भ क्षेत्र है। 120 कि. मी. से कम की ऊँचाई वाली कक्षाओं में आम तौर पर इतना अधिक खिंचाव होता है कि कक्षाएं इतनी तेजी से क्षय हो जाती हैं कि किसी भी व्यावहारिक मिशन को पूरा करने के लिए उपग्रह को पर्याप्त जीवनकाल नहीं मिल पाता है। दूसरी ओर, 600 कि. मी. से अधिक की ऊँचाई वाली कक्षाओं में अपेक्षाकृत छोटा खिंचाव होता है ताकि कक्षा इतनी धीमी हो जाए कि उपग्रह पर इसके उपयोगी जीवन पर इसका कोई वास्तविक प्रभाव न पड़े। थर्मॉस्फियर में हवा का घनत्व काफी भिन्न हो सकता है जहाँ पृथ्वी की परिक्रमा करने वाले अधिकांश निम्न उपग्रह रहते हैं। भिन्नता मुख्य रूप से सौर गतिविधि के कारण होती है, और इस प्रकार सौर गतिविधि एक अंतरिक्ष यान पर खिंचाव के बल को बहुत प्रभावित कर सकती है और दीर्घकालिक कक्षा अनुकरण को जटिल बना सकती है। चुंबकीय क्षेत्र चुंबकीय क्षेत्र कक्षा में गड़बड़ी के स्रोत के रूप में महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकते हैं जैसा कि लंबी अवधि की एक्सपोजर सुविधा में देखा गया था। गुरुत्वाकर्षण की तरह, पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र को गोलाकार सामंजस्य के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया हैः पृथ्वी की सतह के ऊपर एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश कहाँ है। यह डिग्री एन और ऑर्डर एम के गोलाकार हार्मोनिक के योगदान का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहाँः प्राथमिक पिंड की औसत भूमध्यरेखीय त्रिज्या है। यह प्राथमिक पिंड के केंद्र से माध्यमिक पिंड के केंद्र तक स्थिति सदिश का परिमाण है। द्वितीयक पिण्ड की दिशा में एक इकाई सदिश है जिसकी उत्पत्ति प्राथमिक पिण्ड के केंद्र में होती है। और डिग्री एन और ऑर्डर एम के गॉस गुणांक हैं। ये आमतौर पर चुंबकीय क्षेत्र माप के माध्यम से पाए जाते हैं। इकाई वैक्टर प्राथमिक शरीर पर तय एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित करते हैं। पृथ्वी के लिए, पृथ्वी के ज्यामितीय केंद्र और ग्रीनविच मेरिडियन को काटते हुए एक रेखा के समानांतर भूमध्यरेखीय तल में स्थित है, जो उत्तरी ध्रुवीय अक्ष की दिशा में इंगित करता है, और इसे डिग्री n और क्रम m के व्युत्पन्न लीजेंड्रे बहुपद के रूप में संदर्भित किया जाता है। उन्हें पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से हल किया जाता हैः 1 यदि m = 0, के लिए और के लिए और माध्यमिक पिंड के भौगोलिक अक्षांश का साइन है, जो है। इन्हें निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध और प्रारंभिक स्थितियों के साथ परिभाषित किया गया हैः एन-बॉडी समस्या ऑर्बिटल रेज़ोनेन्स ऑस्कुलेटिंग ऑर्बिट पर्टर्बेशन (एस्ट्रोनॉमी) प्रभाव क्षेत्र (एस्ट्रोडायनामिक्स) दो-बॉडी समस्या नोट्स और संदर्भ बाहरी लिंक पृथ्वी ऑर्बिटल पर्टर्बेशन के गुरुत्वाकर्षण मानचित्र सौर मंडल की गतिशील प्रणालियाँ