Schläfli double six
ज्यामिति में, श्लाफली डबल सिक्स त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में 30 बिंदुओं और 12 रेखाओं का एक विन्यास है, जिसे 1858 में लुडविग श्लाफली द्वारा पेश किया गया था। विन्यास की रेखाओं को छह रेखाओं के दो उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता हैः प्रत्येक रेखा छह रेखाओं के अपने उपसमुच्चय में रेखाओं से (तिरछी) अलग होती है, और छह रेखाओं के दूसरे उपसमुच्चय में एक रेखा को छोड़कर सभी को काटती है। विन्यास की 12 रेखाओं में से प्रत्येक में पाँच प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं, और इन 30 प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से प्रत्येक ठीक दो रेखाओं से संबंधित है, प्रत्येक सबसेट से एक, इसलिए विन्यास के संकेतन में श्लाफली डबल सिक्स को 30,2125 लिखा जाता है। निर्माण जैसा कि श्लाफली ने दिखाया, दोहरे छह का निर्माण किसी भी पाँच रेखाओं ए1, ए2, ए3, ए4, ए5 से किया जा सकता है, जो सभी एक सामान्य रेखा बी6 द्वारा प्रतिच्छेदित हैं, लेकिन अन्यथा सामान्य स्थिति में हैं (विशेष रूप से, प्रत्येक दो रेखाएँ एआई और एजे तिरछी होनी चाहिए, और कोई भी चार रेखाएँ एआई एक सामान्य शासित सतह पर नहीं होनी चाहिए)। पाँच लाइनों में से प्रत्येक के लिए, पाँच लाइनों में से चार के पूरक सेट में दो चतुर्भुज होते हैंः बी 6 और एक दूसरी लाइन बी। इस तरह से बनी पाँच रेखाएँ b1, b2, b3, b4 और b5 सभी एक अन्य रेखा, a6 द्वारा प्रतिच्छेदित हैं। बारह रेखाएँ ऐ और बी एक दोहरे छह का निर्माण करती हैंः प्रत्येक रेखा ऐ में पाँच अन्य रेखाओं के साथ एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, रेखाएँ bj जिसके लिए i ष्ण, और इसके विपरीत। एक वैकल्पिक निर्माण, चित्रण में दिखाया गया है, एक घन के छह चेहरे के केंद्रों के माध्यम से बारह रेखाओं को रखना है, प्रत्येक अपने चेहरे के तल में और सभी घन के किनारों के संबंध में समान कोण बनाते हैं। एक बार इनमें से किसी भी तरीके से निर्मित होने के बाद, दोहरे छह को समतल में प्रक्षेपित किया जा सकता है, जिससे समान आपतन पैटर्न के साथ बिंदुओं और रेखाओं की द्वि-आयामी प्रणाली बनती है। संबंधित वस्तुएँ एक सामान्य घन सतह में 27 रेखाएँ होती हैं, जिनमें से 36 दोहरे छह विन्यास पाए जा सकते हैं। इन सभी रेखाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए जटिल संख्या निर्देशांकों का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है; घन सतहों में वास्तविक संख्याओं पर 27 से कम रेखाएँ हो सकती हैं। 27 रेखाओं के ऐसे किसी भी समूह में, एक दोहरे छह के पूरक 15 रेखाएं, इन रेखाओं के तीन हिस्सों के माध्यम से 15 स्पर्शरेखा विमानों के साथ, एक अन्य विन्यास, क्रेमोना-रिचमंड विन्यास का आपतन पैटर्न है। दोहरे छह विन्यास की बारह पंक्तियों का प्रतिच्छेदन ग्राफ एक बारह-वर्टेक्स मुकुट ग्राफ है, एक द्विदलीय ग्राफ जिसमें प्रत्येक शीर्ष विपरीत रंग के छह शीर्षों में से पांच से सटा हुआ है। डबल सिक्स का लेवी ग्राफ क्राउन ग्राफ के प्रत्येक किनारे को दो-किनारे वाले पथ से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है। एक घन सतह पर 27 रेखाओं के पूरे समूह का प्रतिच्छेदन ग्राफ श्लाफली ग्राफ का पूरक है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक विन्यास (ज्यामिति)