Singular boundary method
संख्यात्मक विश्लेषण में, एकल सीमा विधि (एस. बी. एम.) जाली रहित सीमा संयोजन तकनीकों के एक परिवार से संबंधित है जिसमें मौलिक समाधान की विधि (एम. एफ. एस.), सीमा गाँठ विधि (बी. के. एम.), नियमित जाली रहित विधि (आर. एम. एम.), सीमा कण विधि (बी. पी. एम.), संशोधित एम. एफ. एस. आदि शामिल हैं। मजबूत-रूप संयोजन विधियों के इस परिवार को सीमा नोड्स के साथ सीमा मूल्य समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में पारंपरिक सीमा तत्व विधि (बी. ई. एम.) में एकल संख्यात्मक एकीकरण और जाली पीढ़ी से बचने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिसमें शासी समीकरण का एक मौलिक समाधान स्पष्ट रूप से जाना जाता है। एस. बी. एम. की मुख्य विशेषता मौलिक समाधान की विधि में काल्पनिक सीमा को पार करना है, जबकि बाद के सभी गुणों को ध्यान में रखते हुए। यह विधि शास्त्रीय डोमेन या सीमा विवेचना विधियों पर कई लाभ प्रदान करती है, जिनमें से हैंः जाली रहित। विधि के लिए न तो डोमेन और न ही सीमा मेशिंग की आवश्यकता होती है, बल्कि केवल सीमा-पृथक्करण बिंदुओं की आवश्यकता होती है; एकीकरण-मुक्त। एकवचन या लगभग एकवचन गुठली का संख्यात्मक एकीकरण अन्यथा परेशान करने वाला, महंगा और जटिल हो सकता है, जैसे कि मामले में, उदाहरण के लिए, सीमा तत्व विधि; सजातीय समस्याओं के लिए केवल सीमा-विवेचना। एस. बी. एम. मौलिक समाधानों की विधि में जटिल काल्पनिक सीमा को दूर करने के लिए सीमित तत्व या सीमित अंतर विधियों जैसे डोमेन विवेचनात्मक विधियों पर बी. ई. एम. के सभी लाभों को साझा करता है (चित्र देखें। 1 और 2), मूल तीव्रता कारक की अवधारणा की शुरुआत के लिए धन्यवाद, जो मौलिक समाधानों की विलक्षणता को अलग करता है। एस. बी. एम. बी. ई. एम. और एम. एफ. एस. जैसी लोकप्रिय सीमा-प्रकार विधियों के लिए एक महत्वपूर्ण और आशाजनक विकल्प प्रदान करता है, विशेष रूप से, अनंत क्षेत्र, तरंग, पतली-दीवार वाली संरचनाओं और व्युत्क्रम समस्याओं के लिए। एकल सीमा विधि का इतिहास एस. बी. एम. की कार्यप्रणाली सबसे पहले 2009 में चेन और उनके सहयोगियों द्वारा प्रस्तावित की गई थी। मूल विचार मौलिक समाधानों की विलक्षणता को अलग करने के लिए मूल तीव्रता कारक की एक अवधारणा पेश करना है ताकि स्रोत बिंदुओं को सीधे वास्तविक सीमा पर रखा जा सके। इसकी तुलना में, मौलिक समाधान की विधि के लिए मौलिक समाधान की विलक्षणता से बचने के लिए स्रोत बिंदुओं को रखने के लिए एक काल्पनिक सीमा की आवश्यकता होती है। एस. बी. एम. को तब से विभिन्न प्रकार की भौतिक समस्याओं पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जैसे कि संभावित समस्याएं, अनंत क्षेत्र समस्या, हेल्महोल्ट्ज समस्या और समतल लोच की समस्या। मूल तीव्रता कारक का मूल्यांकन करने के लिए दो तकनीकें हैं। पहला तरीका समस्या क्षेत्र के अंदर नमूना नोड्स के एक समूह को रखना और बीजगणितीय समीकरणों की गणना करना है। रणनीति अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल लागतों की ओर ले जाती है और एम. एफ. एस. की तुलना में विधि को अपेक्षित रूप से कुशल नहीं बनाती है। दूसरा दृष्टिकोण मौलिक समाधान और उसके व्युत्पन्न की विलक्षणताओं को रद्द करने के लिए एक नियमितकरण तकनीक का उपयोग करना है। नतीजतन, मूल तीव्रता कारकों को किसी भी नमूना नोड्स का उपयोग किए बिना सीधे निर्धारित किया जा सकता है। यह योजना विधि को अधिक स्थिर, सटीक, कुशल बनाती है और इसकी प्रयोज्यता को बढ़ाती है। हाल के विकास सीमा परत प्रभाव समस्याएं अन्य सभी सीमा-प्रकार के संख्यात्मक तरीकों की तरह, यह भी देखा गया है कि एस. बी. एम. को पास के क्षेत्र में समाधान सटीकता में नाटकीय गिरावट का सामना करना पड़ता है। मूल में विलक्षणता के विपरीत, निकट-सीमा क्षेत्रों में मौलिक समाधान सीमित रहता है। हालांकि, एक सपाट फलन होने के बजाय, अंतर्वेशन फलन एक तेज शिखर विकसित करता है क्योंकि क्षेत्र बिंदु सीमा के करीब आता है। नतीजतन, गुठली "लगभग एकवचन" हो जाती है और सटीक रूप से गणना नहीं की जा सकती है। यह बी. ई. एम. आधारित विधियों में आने वाले तथाकथित सीमा परत प्रभाव के समान है। सिंह फलन पर आधारित एक अरैखिक परिवर्तन को लगभग एकवचन गुठली के तेजी से परिवर्तनों को हटाने या कम करने के लिए नियोजित किया जा सकता है। नतीजतन, एस. बी. एम. में समस्याग्रस्त सीमा परत प्रभाव को सफलतापूर्वक दूर किया गया है। इस परिवर्तन का कार्यान्वयन सीधा है और इसे आसानी से मौजूदा एस. बी. एम. कार्यक्रमों में शामिल किया जा सकता है। अध्ययन की गई परीक्षण समस्याओं के लिए, बहुत आशाजनक परिणाम तब भी प्राप्त होते हैं जब क्षेत्र बिंदु और सीमा के बीच की दूरी 1 जितनी कम हो। एम. एफ. एस. और बी. ई. एम. की तरह बड़े पैमाने पर समस्याएं, एस. बी. एम. घने गुणांक मैट्रिक्स का उत्पादन करेगा, जिनकी संचालन गणना और मैट्रिक्स समीकरण निर्माण के लिए स्मृति आवश्यकताएं ओ (एन 2) के क्रम की हैं जो बड़े पैमाने पर समस्याओं का अनुकरण करने के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत महंगी है। तेज बहुध्रुवीय विधि (एफ. एम. एम.) सी. पी. यू. समय और स्मृति आवश्यकता दोनों को ओ (एन2) से ओ (एन) या ओ (एन. एल. ओ. एन.) तक कम कर सकती है। एफ. एम. एम. की मदद से, एस. बी. एम. डेस्कटॉप पर कई मिलियन अज्ञात लोगों की बड़े पैमाने पर समस्या को हल करने में पूरी तरह से सक्षम हो सकता है। यह तेज एल्गोरिथ्म नाटकीय रूप से एस. बी. एम. के लागू क्षेत्र को पहले की तुलना में कहीं अधिक बड़ी समस्याओं तक विस्तारित करता है। मेशफ्री मेथड रेडियल बेसिस फंक्शन ट्रेफ्ट्ज मेथड भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक कर्नेल दूरी फंक्शन और रेडियल बेसिस फंक्शन एकल सीमा विधि संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक अंतर समीकरण