Quasi-geostrophic equations
जबकि भूस्थैतिक गति उस हवा को संदर्भित करती है जो कोरिओलिस बल और क्षैतिज दबाव-ढाल बलों के बीच एक सटीक संतुलन के परिणामस्वरूप होगी, अर्ध-भूस्थैतिक (क्यूजी) गति उन प्रवाहों को संदर्भित करती है जहां कोरिओलिस बल और दबाव ढाल बल लगभग संतुलन में होते हैं, लेकिन जड़ता के साथ भी एक प्रभाव पड़ता है। वायुमंडलीय और समुद्र विज्ञान प्रवाह क्षैतिज लंबाई पैमाने पर होते हैं जो उनके ऊर्ध्वाधर लंबाई पैमाने की तुलना में बहुत बड़े होते हैं, और इसलिए उन्हें उथले जल समीकरणों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। रॉस्बी संख्या एक आयामहीन संख्या है जो कोरिओलिस बल की ताकत की तुलना में जड़ता की ताकत को दर्शाती है। अर्ध-भूस्थैतिक समीकरण छोटी रॉस्बी संख्या की सीमा में उथले जल समीकरणों के सन्निकटन हैं, ताकि जड़त्वीय बल कोरिओलिस और दबाव बलों की तुलना में छोटे परिमाण का क्रम हो। यदि रॉस्बी संख्या शून्य के बराबर है तो हम भूस्थैतिक प्रवाह को पुनर्प्राप्त करते हैं। अर्ध-भूस्थैतिक समीकरण सबसे पहले जुले चार्नी द्वारा तैयार किए गए थे। एकल-परत क्यू. जी. समीकरणों की व्युत्पत्ति कार्टेशियन निर्देशांक में, भू-उष्णकटिबंधीय पवन के घटक (1ए) (1बी) हैं जहां भू-क्षमता है। इसलिए भूस्थैतिक वर्टिसिटी को भू-क्षमता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि (2) समीकरण (2) का उपयोग किसी ज्ञात क्षेत्र से खोजने के लिए किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, इसका उपयोग लाप्लेशियन प्रचालक को उल्टा करके के ज्ञात वितरण से निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है। अर्ध-भूस्थैतिक वर्टिसिटी समीकरण को अर्ध-भूस्थैतिक संवेग समीकरण के घटकों से प्राप्त किया जा सकता है जो तब क्षैतिज संवेग समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है (3) (3) में सामग्री व्युत्पन्न को (4) द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां गति के बाद दबाव परिवर्तन होता है। क्षैतिज वेग को भूस्थैतिक और आयुस्थैतिक भाग में विभाजित किया जा सकता है (5) अर्ध-भूस्थैतिक सन्निकटन की दो महत्वपूर्ण धारणाएँ हैं 1. या, अधिक सटीक रूप से। 2. बीटा-प्लेन सन्निकटन के साथ बीटा-प्लेन सन्निकटन दूसरी धारणा कोरियोलिस पैरामीटर को भूस्थैतिक सन्निकटन में एक स्थिर मूल्य देने और कोरियोलिस बल शब्द में इसकी भिन्नता को अनुमानित करने को उचित ठहराती है। हालाँकि, क्योंकि गति के बाद त्वरण, जो कोरिओलिस बल और दबाव प्रवणता बल के बीच के अंतर के रूप में (1) में दिया गया है, भू-उष्णकटिबंधीय हवा से वास्तविक हवा के प्रस्थान पर निर्भर करता है, कोरिओलिस शब्द में वेग को उसके भू-उष्णकटिबंधीय वेग से प्रतिस्थापित करने की अनुमति नहीं है। (3) में त्वरण को फिर से लिखा जा सकता है (6) इस प्रकार अनुमानित क्षैतिज संवेग समीकरण का रूप है (7) अपने घटकों के संदर्भ में समीकरण (7) को व्यक्त करते हुए, (8ए) (8बी) यह ध्यान में रखते हुए कि भू-उष्णकटिबंधीय हवा गैर-विचलन (यानी,) है, वर्टिसिटी समीकरण (9) है क्योंकि यह केवल (यानी,) पर निर्भर करता है और कि आयु-उष्णकटिबंधीय हवा के विचलन को निरंतरता समीकरण के आधार पर लिखा जा सकता है (9) इसलिए (10) भू-विभवात्मक प्रवृत्ति को परिभाषित करते हुए और यह देखते हुए कि आंशिक विभेदन को उलट किया जा सकता है, उसी पहचान को (10) के रूप में लिखा जा सकता है। इन दो चरों पर निर्भर एक अनुरूप समीकरण को ऊष्मागतिकीय ऊर्जा समीकरण (12) से प्राप्त किया जा सकता है जहां और मूल अवस्था तापमान के अनुरूप संभावित तापमान है। मध्य क्षोभमंडल में, ≈। पैदावार की परिभाषा के संबंध में (12) से गुणा और अंतर करना (13) यदि सरलता के लिए 0 पर सेट किया गया है, तो समीकरणों (11) और (13) पैदावार (14) समीकरण (14) को अक्सर भू-क्षमता प्रवृत्ति समीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह स्थानीय भू-क्षमता प्रवृत्ति (शब्द ए) को वर्टिसिटी एडवेक्शन वितरण (शब्द बी) और मोटाई एडवेक्शन (शब्द सी) से संबंधित करता है। अर्ध-भूस्थैतिक संभावित वर्टिसिटी का उपयोग करते हुए एक ही पहचान विभेदन के श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, शब्द सी को (15) के रूप में लिखा जा सकता है लेकिन तापीय पवन संबंध के आधार पर,। दूसरे शब्दों में, के लंबवत है और समीकरण (15) में दूसरा पद गायब हो जाता है। पहले पद को समीकरण (14) में बी शब्द के साथ जोड़ा जा सकता है, जिसे विभाजित करने पर एक संरक्षण समीकरण (16) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां (17) द्वारा परिभाषित अर्ध-भूस्थैतिक संभावित वर्टिसिटी है समीकरण (17) के तीन शब्द हैं, बाएं से दाएं, भूस्थैतिक सापेक्ष वर्टिसिटी, ग्रहों की वर्टिसिटी और स्ट्रेचिंग वर्टिसिटी। प्रभाव जैसे-जैसे एक वायु अंश वायुमंडल में घूमता है, उसके सापेक्ष, ग्रहों और फैले हुए वर्टिसिटी बदल सकते हैं लेकिन समीकरण (17) से पता चलता है कि भूस्थैतिक गति के बाद तीनों के योग को संरक्षित किया जाना चाहिए। समीकरण (17) का उपयोग किसी ज्ञात क्षेत्र से खोजने के लिए किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, इसका उपयोग एक व्युत्क्रम प्रक्रिया का उपयोग करके प्रारंभिक वितरण और उपयुक्त सीमा स्थितियों को देखते हुए भू-क्षमता क्षेत्र के विकास की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि अर्ध-भूस्थैतिक प्रणाली पाँच-चर आदिम समीकरणों को एक-समीकरण प्रणाली में कम कर देती है जहाँ सभी चर जैसे, और को ऊंचाई से प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, क्योंकि और दोनों के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं, वर्टिसिटी समीकरण का उपयोग ऊर्ध्वाधर गति का निदान करने के लिए किया जा सकता है बशर्ते कि दोनों और दोनों के क्षेत्र ज्ञात हों। संदर्भ द्रव यांत्रिकी सारांश मौसम विज्ञान और मौसम