Method of fundamental solutions
वैज्ञानिक गणना और अनुकरण में, मौलिक समाधान की विधि (एम. एफ. एस.) एक आधार कार्य के रूप में मौलिक समाधान का उपयोग करने के आधार पर आंशिक विभेदक समीकरणों को हल करने की एक तकनीक है। एम. एफ. एस. को सीमा तत्व विधि (बी. ई. एम.) में प्रमुख कमियों को दूर करने के लिए विकसित किया गया था जो शासी समीकरण को संतुष्ट करने के लिए मौलिक समाधान का भी उपयोग करता है। नतीजतन, एम. एफ. एस. और बी. ई. एम. दोनों एक सीमा पृथक्करण संख्यात्मक तकनीक के हैं और एक आयामीता द्वारा कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करते हैं और डोमेन-प्रकार की संख्यात्मक तकनीकों जैसे कि अनंत डोमेन, पतली-दीवार वाली संरचनाओं और व्युत्क्रम समस्याओं के समाधान पर सीमित तत्व और सीमित आयतन विधियों पर विशेष बढ़त रखते हैं। बी. ई. एम. के विपरीत, एम. एफ. एस. एकल मौलिक समाधान के संख्यात्मक एकीकरण से बचाता है और एक अंतर्निहित जाली मुक्त विधि है। हालाँकि, मौलिक समाधान की विलक्षणता को दरकिनार करने के लिए भौतिक क्षेत्र के बाहर एक विवादास्पद काल्पनिक सीमा की आवश्यकता के कारण विधि से समझौता किया जाता है, जिसने वास्तविक दुनिया की समस्याओं के लिए इसकी प्रयोज्यता को गंभीर रूप से सीमित कर दिया है। लेकिन फिर भी एम. एफ. एस. को कुछ अनुप्रयोग क्षेत्रों जैसे कि अनंत क्षेत्र समस्याओं के लिए बहुत प्रतिस्पर्धी पाया गया है। एम. एफ. एस. को साहित्य में विभिन्न नामों से भी जाना जाता है, जिसमें चार्ज सिमुलेशन विधि, सुपरपोजिशन विधि, डिसिंगुलराइज्ड विधि, अप्रत्यक्ष सीमा तत्व विधि और आभासी सीमा तत्व विधि शामिल हैं। एम. एफ. एस. सूत्रीकरण कुछ प्रकार की समस्याओं को नियंत्रित करने वाले आंशिक विभेदक समीकरण पर विचार करें जहां विभेदक आंशिक प्रचालक कम्प्यूटेशनल डोमेन का प्रतिनिधित्व करता है, और क्रमशः डिरिचलेट और न्यूमैन सीमा को दर्शाता है, और। एम. एफ. एस. अज्ञात फलन यू के सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रचालक के मौलिक समाधान को अपने आधार कार्य के रूप में नियोजित करता है, जहां टकराव बिंदुओं और स्रोत बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी को दर्शाता है, वह मौलिक समाधान है जो संतुष्ट करता है जहां डीराक डेल्टा कार्य को दर्शाता है, और अज्ञात गुणांक हैं। भौतिक क्षेत्र के बाहर स्थित स्रोत बिंदुओं के साथ, एम. एफ. एस. मौलिक समाधान विलक्षणता से बचते हैं। सन्निकटन को सीमा स्थिति में प्रतिस्थापित करने से निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण प्राप्त होता है जहां और डिरिचलेट और न्यूमैन सीमाओं पर क्रमशः टकराव बिंदुओं को दर्शाता है। अज्ञात गुणांक को उपरोक्त बीजगणितीय समीकरण द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। और फिर हम भौतिक क्षेत्र में किसी भी स्थान पर संख्यात्मक समाधान का मूल्यांकन कर सकते हैं। इतिहास और हाल के विकास एम. एफ. एस. के पीछे के विचारों को मुख्य रूप से 1950 के दशक के अंत और 1960 के दशक की शुरुआत में वी. डी. कुप्राडेज़ और एम. ए. अलेक्सिडेज़ द्वारा विकसित किया गया था। हालाँकि, इस विधि को पहली बार 1970 के दशक के अंत में आर. मैथन और आर. एल. जॉनसन द्वारा एक कम्प्यूटेशनल तकनीक के रूप में प्रस्तावित किया गया था, इसके बाद मैथन, जॉनसन और ग्रीम फेयरवेदर द्वारा अनुप्रयोगों के साथ कई शोध पत्र प्रस्तुत किए गए। एम. एफ. एस. धीरे-धीरे विभिन्न प्रकार की भौतिक और इंजीनियरिंग समस्याओं के समाधान के लिए एक उपयोगी उपकरण बन गया। 1990 के दशक में, एम. ए. गोलबर्ग और सी. एस. चेन ने असंगत समीकरणों और समय-निर्भर समस्याओं से निपटने के लिए एम. एफ. एस. का विस्तार किया, जिससे इसकी प्रयोज्यता का बहुत विस्तार हुआ। बाद के विकास ने संकेत दिया कि एम. एफ. एस. का उपयोग परिवर्तनीय गुणांक के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। एम. एफ. एस. कुछ वर्गों की समस्याओं जैसे व्युत्क्रम, असीमित क्षेत्र और मुक्त-सीमा समस्याओं के लिए विशेष रूप से प्रभावी साबित हुआ है। एम. एफ. एस. में काल्पनिक सीमा समस्या को ठीक करने के लिए कुछ तकनीकों का विकास किया गया है, जैसे कि सीमा गाँठ विधि, एकवचन सीमा विधि और नियमित जाली रहित विधि। रेडियल बेसिस फंक्शन बाउंड्री एलिमेंट मेथड बाउंड्री नॉट मेथड बाउंड्री पार्टिकल मेथड सिंगुलर बाउंड्री मेथड रेगुलराइज्ड मेशलेस मेथड संदर्भ बाहरी लिंक इंजीनियरिंग और विज्ञान में संख्यात्मक अनुकरण सॉफ्टवेयर के लिए अंतर्राष्ट्रीय केंद्र संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विभेदक समीकरण