Smooth scheme
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक क्षेत्र पर एक चिकनी योजना एक ऐसी योजना है जो किसी भी बिंदु के पास एफ़ाइन स्थान द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित होती है। सुगमता बिना किसी एकल बिंदु के एक योजना की धारणा को सटीक बनाने का एक तरीका है। एक विशेष मामला एक खेत पर एक चिकनी किस्म की धारणा है। स्मूथ स्कीम्स टोपोलॉजी में मैनिफोल्ड्स की बीजगणितीय ज्यामिति में भूमिका निभाती हैं। परिभाषा सबसे पहले, मान लीजिए कि X एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक एफ़ाइन योजना है। समान रूप से, X का एफ़ाइन स्थान में एक बंद विसर्जन होता है कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए K पर एक। फिर X कुछ समीकरणों g1 = 0,., gr = 0 द्वारा परिभाषित बंद उपसमुच्चय है, जहां प्रत्येक gy बहुपद वलय k [x1,., xn] में है। यदि X का आयाम प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में कम से कम m है, और व्युत्पन्नों के मैट्रिक्स (ष्णुव/ष्णुव xj) का X पर हर जगह कम से कम n-m रैंक है, तो संबंध योजना X, k पर आयाम m का चिकना है। (यह इस प्रकार है कि प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में X का आयाम m के बराबर है।) सुगमता एफ़ाइन स्थान में एक्स के विसर्जन के विकल्प से स्वतंत्र है। व्युत्पन्न के मैट्रिक्स पर शर्त का अर्थ यह समझा जाता है कि X का बंद उपसमुच्चय जहां व्युत्पन्न के मैट्रिक्स के सभी (n−m) × (n−m) माइनर शून्य हैं, वह खाली समुच्चय है। समान रूप से, सभी जी. आई. और उन सभी माइनरों द्वारा उत्पन्न बहुपद वलय में आदर्श संपूर्ण बहुपद वलय है। ज्यामितीय शब्दों में, X में एक बिंदु p पर व्युत्पन्नों का मैट्रिक्स एक रैखिक मानचित्र Fn → Fr देता है, जहाँ F, p का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के कर्नेल को p पर X का ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है। X की चिकनीपन का अर्थ है कि ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के पास X के आयाम के बराबर है; एकवचन बिंदु पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा। अधिक आम तौर पर, एक क्षेत्र k पर एक योजना X, k पर चिकनी होती है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक खुला पड़ोस होता है जो k पर कुछ आयाम की एक चिकनी संबंध योजना होती है। विशेष रूप से, k पर एक चिकनी योजना स्थानीय रूप से सीमित प्रकार की होती है। योजनाओं के एक चिकनी आकृतिवाद की एक अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर चिकनी तंतुओं के साथ एक आकृतिवाद है। विशेष रूप से, एक योजना X एक क्षेत्र k पर चिकनी होती है यदि और केवल तभी जब आकृतिवाद X → Spec k चिकनी हो। गुण एक खेत पर एक चिकनी योजना नियमित होती है और इसलिए सामान्य होती है। विशेष रूप से, एक खेत पर एक चिकनी योजना कम हो जाती है। एक क्षेत्र k पर एक किस्म को परिभाषित करें कि यह k पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न अलग योजना है। फिर k पर सीमित प्रकार की कोई भी चिकनी अलग योजना k पर चिकनी किस्मों का एक सीमित असंबद्ध संघ है। जटिल संख्याओं पर एक चिकनी विविधता X के लिए, X के जटिल बिंदुओं का स्थान X (C) एक जटिल मैनिफोल्ड है, जो शास्त्रीय (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करता है। इसी तरह, वास्तविक संख्याओं पर एक चिकनी संख्या X के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान X (R) एक वास्तविक कई गुना है, संभवतः खाली है। किसी भी योजना X के लिए जो एक क्षेत्र k पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की है, X पर विभेदों का एक सुसंगत आवरण ω1 है। योजना X, k पर तब और केवल तभी चिकनी होती है जब ω1 प्रत्येक बिंदु के पास X के आयाम के बराबर श्रेणी का एक सदिश बंडल हो। उस स्थिति में, ω1 को X का कोटेनजेंट बंडल कहा जाता है। k के ऊपर एक चिकनी योजना के स्पर्शरेखा बंडल को दोहरे बंडल, TX = (ω1) * के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चिकनापन एक ज्यामितीय गुण है, जिसका अर्थ है कि k के किसी भी क्षेत्र विस्तार E के लिए, एक योजना X, k पर तब तक चिकनी होती है जब तक कि योजना XE: = X × Spec k Spec E, E पर चिकनी हो। सामान्य चिकनाई एक योजना X को सामान्य रूप से k पर आयाम n का चिकना कहा जाता है यदि X में एक खुला घना उपसमुच्चय होता है जो k पर आयाम n का चिकना होता है। एक पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से चिकनी होती है। एफाइन स्पेस और प्रोजेक्टिव स्पेस के उदाहरण एक क्षेत्र k पर चिकनी योजनाएँ हैं। प्रोजेक्टिव स्पेस Pn में एक चिकनी हाइपरसर्फेस का एक उदाहरण फर्मेट हाइपरसर्फेस x0d + है। + xnd = 0, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक d के लिए जो k में व्युत्क्रमणीय है। एक क्षेत्र k पर एकवचन (गैर-चिकनी) योजना का एक उदाहरण एफ़ाइन रेखा A1 पर k में बंद उपशीर्षक x2 = 0 है। k पर एकवचन (गैर-चिकनी) विविधता का एक उदाहरण एफ़ाइन तल A2 में कस्पिडल घन वक्र x2 = y3 है, जो मूल (x, y) = (0,0) के बाहर चिकनी है। एक क्षेत्र k पर एक 0-आयामी विविधता X, X = Spec E के रूप में होती है, जहां E, k का एक सीमित विस्तार क्षेत्र है। X की विविधता k पर तब चिकनी होती है जब E, k का एक अलग करने योग्य विस्तार हो। इस प्रकार, यदि E, k पर अलग करने योग्य नहीं है, तो X एक नियमित योजना है लेकिन k पर चिकनी नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि k एक अभाज्य संख्या p के लिए परिमेय फलन Fp (t) का क्षेत्र है, और मान लीजिए कि E = Fp (t1/p) है, तो Spec E, k पर विभिन्न प्रकार के आयाम 0 है, जो एक नियमित योजना है, लेकिन k पर चिकनी नहीं है। शुबर्ट किस्में सामान्य रूप से चिकनी नहीं होती हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ डी. गैट्सगोरी की सपाटता और चिकनीपन पर टिप्पणियाँ http://www.math.harvard.edu ~ गैट्सगडे/स्कीम्स _ 2009/बी. आर./स्मूथमैप्स. पी. डी. एफ. भी देखें एक बीजगणितीय विविधता का एटेल मॉर्फिज्म आयाम योजना सिद्धांत की शब्दावली चिकनी पूर्णता