Bipolar theorem
गणित में, द्विध्रुवीय प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में एक प्रमेय है जो एक समूह के द्विध्रुवीय (यानी ध्रुवीय ध्रुवीय) की विशेषता है। उत्तल विश्लेषण में, द्विध्रुवीय प्रमेय एक शंकु के अपने द्विध्रुवीय के बराबर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों को संदर्भित करता है। द्विध्रुवीय प्रमेय को फ़ेंचेल-मोरौ प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। प्रारंभिक मान लीजिए कि यह एक निरंतर दोहरे स्थान के साथ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) है और सभी के लिए लेट है और एक सेट का उत्तल पतवार सबसे छोटा उत्तल सेट है जिसमें एक सेट का उत्तल संतुलित पतवार सबसे छोटा उत्तल संतुलित सेट है जिसमें एक सबसेट का ध्रुवीय इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जबकि एक सबसेट का पूर्वध्रुवीय हैः एक सबसेट का द्विध्रुवीय जिसे अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण में सेट स्टेटमेंट द्वारा दर्शाया जाता है, आइए कमजोर टोपोलॉजी को दर्शाते हैं (यानी, सभी रैखिक कार्यों को निरंतर बनाने पर सबसे कमजोर टीवीएस टोपोलॉजी)। द्विध्रुवीय प्रमेय-एक उपसमुच्चय का द्विध्रुवीय समूह उत्तल विश्लेषण में कथन के उत्तल संतुलित पतवार के-बंद होने के बराबर होता है द्विध्रुवीय प्रमेय-किसी रैखिक स्थान में किसी भी गैर-खाली शंकु के लिए द्विध्रुवीय समूह इस प्रकार दिया जाता हैः विशेष मामले में एक उपसमुच्चय एक गैर-खाली बंद उत्तल शंकु है यदि और केवल तभी जब एक समूह के सकारात्मक दोहरे शंकु को दर्शाता है या अधिक सामान्य रूप से, यदि एक गैर-खाली उत्तल शंकु है तो द्विध्रुवीय शंकु को फेनचेल-मोरियो प्रमेय के संबंध में दिया जाता है। संदर्भ ग्रंथ सूची कन्वेक्स विश्लेषण कार्यात्मक विश्लेषण विश्लेषण में प्रमेय रैखिक कार्यात्मक