Multivariate Pareto distribution
सांख्यिकी में, एक बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण एक अविभाज्य पारेतो वितरण का एक बहुभिन्नरूपी विस्तार है। कई अलग-अलग प्रकार के अविभाज्य पारेतो वितरण हैं जिनमें पारेतो प्रकार I−4 और फेलर-पारेतो शामिल हैं। इनमें से कई प्रकारों के लिए बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण को परिभाषित किया गया है। बाइवेरिएट पेरेटो वितरण पहली तरह के मार्डिया (1962) के बाइवेरिएट पेरेटो वितरण ने संचयी वितरण कार्य (सी. डी. एफ.) के साथ एक बाइवेरिएट वितरण को परिभाषित किया है जो संयुक्त घनत्व कार्य द्वारा दिया जाता है सीमांत वितरण घनत्व कार्यों के साथ पेरेटो प्रकार 1 हैं सीमांत वितरण के साधन और भिन्नताएं हैं और एक> 2 के लिए, एक्स 1 और एक्स 2 सकारात्मक रूप से दूसरे प्रकार के बाइवेरिएट पेरेटो वितरण के साथ सहसंबद्ध हैं अर्नोल्ड सुझाव देते हैं कि बाइवेरिएट पेरेटो प्रकार I पूरक सी. डी. एफ. का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि स्थान और पैमाने के मापदंड को भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, तो पूरक सी. डी. एफ. वह है जिसमें पेरेटो प्रकार II अविभाजित सीमांत वितरण होता है। इस वितरण को अर्नोल्ड द्वारा टाइप II का बहुभिन्नरूपी पारेटो वितरण कहा जाता है। (यह परिभाषा दूसरे प्रकार के मार्डिया के द्विभिन्नरूपी पेरेटो वितरण के बराबर नहीं है।) a> 1 के लिए, सीमांत साधन हैं जबकि a> 2 के लिए, विचलन, सहप्रसरण और सहसंबंध पहले प्रकार के बहुभिन्नरूपी पारेतो के समान हैं। बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण प्रथम प्रकार के मार्डिया के बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण के बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण में संयुक्त संभाव्यता घनत्व कार्य होता है जो प्रथम प्रकार के पारेतो वितरण में दिया जाता है। सीमांत वितरण का रूप (1) के समान होता है, और एक-आयामी सीमांत वितरण में पारेतो प्रकार I वितरण होता है। पूरक सी. डी. एफ. है सीमांत साधन और भिन्नताएँ इस प्रकार दी जाती हैं कि यदि ए> 2 सहप्रसरण और सहसंबंध दूसरे प्रकार के बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण के साथ सकारात्मक हैं तो अर्नोल्ड सुझाव देते हैं कि बहुभिन्नरूपी पारेतो प्रकार I पूरक सी. डी. एफ. का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि स्थान और पैमाने के मापदंड को भिन्न होने की अनुमति है, तो पूरक सी. डी. एफ. है जिसमें समान प्रकार (3) और पारेतो प्रकार II अविभाज्य सीमांत वितरण के सीमांत वितरण हैं। इस वितरण को अर्नोल्ड द्वारा टाइप II का बहुभिन्नरूपी पारेटो वितरण कहा जाता है। a> 1 के लिए, सीमांत साधन हैं जबकि a> 2 के लिए, विचलन, सहपरिवर्तन और सहसंबंध पहले प्रकार के बहुभिन्नरूपी पारेतो के समान हैं। चौथे प्रकार का बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण एक यादृच्छिक सदिश एक्स में चौथे प्रकार का के-आयामी बहुभिन्नरूपी पारेतो वितरण होता है यदि इसका संयुक्त उत्तरजीविता फलन के1-आयामी सीमांत वितरण (के1 <के) (4) के समान प्रकार के होते हैं, और एक-आयामी सीमांत वितरण पारेतो प्रकार IV होते हैं। बहुभिन्नरूपी फेलर-पेरेटो वितरण एक यादृच्छिक सदिश एक्स में एक के-आयामी फेलर-पेरेटो वितरण होता है यदि स्वतंत्र गामा चर कहाँ हैं। सीमांत वितरण और सशर्त वितरण एक ही प्रकार के हैं (5); यानी, वे बहुभिन्न प्रकार के फेलर-पेरेटो वितरण हैं। एक-आयामी सीमांत वितरण फेलर-पेरेटो प्रकार के होते हैं। संदर्भ बहुविध निरंतर वितरण