Classical capacity
क्वांटम सूचना सिद्धांत में, एक क्वांटम चैनल की शास्त्रीय क्षमता वह अधिकतम दर है जिस पर चैनल के कई उपयोगों की सीमा में त्रुटि-मुक्त शास्त्रीय डेटा भेजा जा सकता है। होलेवो, शूमाकर और वेस्टमोरलैंड ने किसी भी क्वांटम चैनल की शास्त्रीय क्षमता पर निम्नलिखित न्यूनतम ऊपरी सीमा साबित कीः जहां निम्नलिखित रूप की एक शास्त्रीय-मात्रा अवस्था हैः एक संभाव्यता वितरण है, और प्रत्येक एक घनत्व प्रचालक है जो चैनल के लिए इनपुट हो सकता है। हम एचएसडब्ल्यू कोडिंग प्रमेय (क्वांटम चैनल पर शास्त्रीय डेटा संचारित करने के लिए होलेवो सूचना दर की प्राप्ति का कथन) की संक्षिप्त समीक्षा करते हैं। हम पहले प्रमेय के लिए आवश्यक क्वांटम यांत्रिकी की न्यूनतम मात्रा की समीक्षा करते हैं। हम फिर क्वांटम विशिष्टता को कवर करते हैं, और अंत में हम हाल ही में अनुक्रमिक डिकोडिंग तकनीक का उपयोग करके प्रमेय को साबित करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी की समीक्षा एच. एस. डब्ल्यू. कोडिंग प्रमेय को साबित करने के लिए, हमें वास्तव में क्वांटम यांत्रिकी से कुछ बुनियादी चीजों की आवश्यकता है। सबसे पहले, एक क्वांटम अवस्था एक इकाई अनुरेखण, सकारात्मक प्रचालक है जिसे घनत्व प्रचालक के रूप में जाना जाता है। आम तौर पर, हम इसे,,, आदि द्वारा दर्शाते हैं। क्वांटम चैनल के लिए सबसे सरल मॉडल को क्लासिकल-क्वांटम चैनल के रूप में जाना जाता हैः उपरोक्त संकेतन का अर्थ यह है कि संचारण के अंत में क्लासिकल अक्षर को डालने से प्राप्त करने के अंत में क्वांटम अवस्था हो जाती है। प्रेषक के निवेश को निर्धारित करने के लिए एक माप करना प्राप्तकर्ता का कार्य है। यदि यह सच है कि अवस्थाएँ एक दूसरे से पूरी तरह से अलग हैं (यानी, यदि उनके पास ऑर्थोगोनल समर्थन हैं जैसे कि के लिए), तो चैनल एक शोर रहित चैनल है। हम उन स्थितियों में रुचि रखते हैं जिनके लिए ऐसा नहीं है। यदि यह सच है कि सभी राज्य एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, तो यह प्रभावी रूप से एक शास्त्रीय चैनल की स्थिति के समान है, इसलिए हम भी इन स्थितियों में रुचि नहीं रखते हैं। इसलिए, जिस स्थिति में हम रुचि रखते हैं वह वह है जिसमें राज्यों के पास अतिव्यापी समर्थन है और गैर-परिवर्तनीय हैं। एक क्वांटम माप का वर्णन करने का सबसे सामान्य तरीका एक सकारात्मक प्रचालक-मूल्यवान माप (पी. ओ. वी. एम.) के साथ है। हम आमतौर पर एक पी. ओ. वी. एम. के तत्वों को इस रूप में दर्शाते हैं। इन प्रचालकों को एक वैध पी. ओ. वी. एम. बनाने के लिए सकारात्मक और पूर्णता को संतुष्ट करना चाहिएः क्वांटम यांत्रिकी की संभावित व्याख्या में कहा गया है कि यदि कोई पी. ओ. वी. एम. के अनुरूप एक माप उपकरण का उपयोग करके एक क्वांटम स्थिति को मापता है, तो परिणाम प्राप्त करने की संभावना बराबर होती है और मापन के बाद की स्थिति तब होती है जब मापने वाला व्यक्ति परिणाम प्राप्त करता है। सी. क्यू. चैनलों पर शास्त्रीय संचार योजनाओं पर विचार करने के लिए ये नियम हमारे लिए पर्याप्त हैं। मात्रात्मक विशिष्टता पाठक विशिष्ट उपक्षेत्र के बारे में लेख में इस विषय की एक अच्छी समीक्षा पा सकते हैं। कोमल प्रचालक लेम्मा निम्नलिखित लेम्मा हमारे प्रमाणों के लिए महत्वपूर्ण है। यह दर्शाता है कि एक माप जो औसतन उच्च संभावना के साथ सफल होता है, वह राज्य को औसतन बहुत अधिक परेशान नहीं करता हैः लेम्माः [शीतकालीन] अपेक्षित घनत्व प्रचालक के साथ एक समूह को देखते हुए, मान लीजिए कि एक प्रचालक जो राज्य पर उच्च संभावना के साथ सफल होता हैः तब उप-सामान्यीकृत अवस्था मूल अवस्था के अपेक्षित निशान दूरी के करीब होती हैः (ध्यान दें कि प्रचालक का परमाणु मानक है ताकि TR।) निम्नलिखित असमानता हमारे लिए भी उपयोगी है। यह किसी भी प्रचालक के लिए लागू होता है, इस प्रकार किः उपरोक्त असमानता की क्वांटम सूचना-सैद्धांतिक व्याख्या यह है कि अवस्था पर कार्य करने वाले क्वांटम माप से परिणाम प्राप्त करने की संभावना दो अवस्थाओं की अंतरता के साथ संक्षेप में अवस्था पर परिणाम प्राप्त करने की संभावना से अधिक होती है और। गैर-परिवर्तनीय संघ बाध्य लेम्माः [सेन की सीमा] निम्नलिखित सीमा एक उप-सामान्यीकृत अवस्था के लिए लागू होती है जैसे कि और प्रोजेक्टर होने के साथः हम सेन की सीमा को "गैर-परिवर्तनीय संघ बाध्य" के रूप में सोच सकते हैं क्योंकि यह संभाव्यता सिद्धांत से बंधे निम्नलिखित संघ के अनुरूप हैः जहां घटनाएं होती हैं। यदि हम उपस्थानों के प्रतिच्छेदन पर एक प्रोजेक्टर के रूप में सोचते हैं तो प्रोजेक्टर तर्क के लिए अनुरूप सीमा होगी। हालांकि, उपरोक्त सीमा केवल तभी लागू होती है जब प्रोजेक्टर,., आवागमन कर रहे हों (चुनते हुए, और एक विपरीत उदाहरण देते हुए)। यदि प्रोजेक्टर गैर-आवागमन कर रहे हैं, तो सेन की सीमा अगली सबसे अच्छी बात है और यहाँ हमारे उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है। अब हम सेन के गैर-परिवर्तनीय संघ बाध्य के साथ एचएसडब्ल्यू प्रमेय को साबित करते हैं। हम प्रमाण को कुछ भागों में विभाजित करते हैंः कोडबुक निर्माण, पी. ओ. वी. एम. निर्माण और त्रुटि विश्लेषण। कोडबुक पीढ़ी। हम पहले वर्णन करते हैं कि कैसे एलिस और बॉब कोड के यादृच्छिक चयन पर सहमत हैं। उनके पास चैनल और वितरण है। वे आई. आई. डी. वितरण के अनुसार शास्त्रीय अनुक्रमों का चयन करते हैं। उन्हें चुनने के बाद, वे उन्हें सूचकांकों के साथ लेबल करते हैं। यह निम्नलिखित क्वांटम कूटशब्दों की ओर ले जाता हैः क्वांटम कूटपुस्तिका तब है। कोडबुक की औसत स्थिति तब कहाँ होती है। पीओवीएम निर्माण। उपरोक्त लेम्मा से बंधे 'सेंस' ने बॉब को एलिस द्वारा संचारित स्थिति को डिकोड करने के लिए एक विधि का सुझाव दिया है। बॉब को पहले पूछना चाहिए "क्या प्राप्त अवस्था औसत विशिष्ट उपक्षेत्र में है?" वह इसके अनुरूप एक विशिष्ट उप-स्थान माप करके इसे परिचालन रूप से कर सकता है। इसके बाद, वह क्रमिक क्रम में पूछता है, "क्या प्राप्त कूटशब्द सशर्त रूप से विशिष्ट उपक्षेत्र में है?" यह कुछ अर्थों में इस प्रश्न के बराबर है, "क्या प्राप्त कूटशब्द संचरित कूटशब्द है?" वह सशर्त रूप से विशिष्ट प्रोजेक्टरों के अनुरूप माप करके इन प्रश्नों को परिचालन रूप से पूछ सकता है। इस क्रमिक डिकोडिंग योजना को अच्छी तरह से काम क्यों करना चाहिए? इसका कारण यह है कि संचारित कूटशब्द औसतन विशिष्ट उपक्षेत्र में निहित हैः जहां असमानता (\ref {eq: 1st-type-प्रप}) से होती है। इसके अलावा, प्रोजेक्टर अवस्थाओं के लिए (औसतन) "अच्छे डिटेक्टर" हैं क्योंकि निम्नलिखित स्थिति सशर्त क्वांटम विशिष्टता से होती हैः त्रुटि विश्लेषण। हमारी अनुक्रमिक डिकोडिंग योजना के तहत कूटशब्द का सही ढंग से पता लगाने की संभावना उस जगह के बराबर है जहाँ हम संक्षिप्त नाम बनाते हैं। (ध्यान दें कि हम औसत विशिष्ट उपक्षेत्र में केवल एक बार प्रक्षेपित करते हैं।) इस प्रकार, कूटशब्द के लिए गलत पहचान की संभावना द्वारा दी जाती है और इस योजना की औसत त्रुटि संभावना के बराबर है औसत त्रुटि संभावना का विश्लेषण करने के बजाय, हम औसत त्रुटि संभावना की अपेक्षा का विश्लेषण करते हैं, जहां अपेक्षा कोड के यादृच्छिक चयन के संबंध में हैः हमारा पहला कदम उपरोक्त मात्रा के लिए सेन की सीमा को लागू करना है। लेकिन ऐसा करने से पहले, हमें उपरोक्त अभिव्यक्ति को थोड़ा सा फिर से लिखना चाहिए, यह देखते हुए कि () में प्रतिस्थापित करने से (और अभी के लिए छोटे शब्द के बारे में भूल जाना) हम की एक ऊपरी सीमा देता है फिर सेन के इस अभिव्यक्ति के साथ और अनुक्रमिक प्रोजेक्टर को, के रूप में लागू करते हैं। यह ऊपरी सीमा देता है वर्गमूल की अवतलता के कारण, हम इस अभिव्यक्ति को ऊपर से बांध सकते हैं जहां दूसरी सीमा उन सभी कूटशब्दों का योग करके होती है जो कूटशब्द के बराबर नहीं हैं (यह योग केवल बड़ा हो सकता है)। अब हम विशेष रूप से यह दिखाने पर ध्यान केंद्रित करते हैं कि वर्गमूल के अंदर के शब्द को छोटा किया जा सकता है। पहले पद पर विचार कीजिएः जहां पहली असमानता () से होती है और दूसरी असमानता सौम्य संचालक लेम्मा और बिना शर्त और सशर्त विशिष्टता के गुणों से होती है। अब दूसरे कार्यकाल और असमानताओं की निम्नलिखित श्रृंखला पर विचार कीजिएः पहली समानता इस प्रकार है क्योंकि कूटशब्द और स्वतंत्र हैं क्योंकि वे अलग हैं। दूसरी समानता () से आती है। पहली असमानता (\ref {eq: 3rd-टाइप-प्रोप}) से आती है। जारी रखते हुए, हमारे पास पहली असमानता आती है और उम्मीद के साथ निशान का आदान-प्रदान होता है। दूसरी असमानता (\ref {eq: 2nd-cond-type}) से आती है। अगले दो सीधे हैं। सब कुछ एक साथ रखते हुए, हम औसत त्रुटि संभावना की अपेक्षा पर अपनी अंतिम सीमा प्राप्त करते हैंः इस प्रकार, जब तक हम चुनते हैं, तब तक गायब होने वाली त्रुटि संभावना के साथ एक कोड मौजूद होता है। संलिप्तता-सहायता प्राप्त शास्त्रीय क्षमता क्वांटम क्षमता क्वांटम सूचना सिद्धांत विशिष्ट उपक्षेत्र संदर्भ भी देखें। .. .. .. क्वांटम सूचना सिद्धांत गणना की सीमाएँ