Belinski–Zakharov transform
बेलिंस्की-जाखारोव (व्युत्क्रम) परिवर्तन एक अरैखिक परिवर्तन है जो निर्वात आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण के नए सटीक समाधान उत्पन्न करता है। इसे 1978 में व्लादिमीर बेलिंस्की और व्लादिमीर जाखारोव द्वारा विकसित किया गया था। बेलिंस्की-जाखारोव परिवर्तन व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन का एक सामान्यीकरण है। इस परिवर्तन से उत्पन्न समाधानों को गुरुत्वाकर्षण सॉलिटॉन (ग्रेविसोलिटॉन) कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण सॉलिटन का वर्णन करने के लिए 'सॉलिटन' शब्द का उपयोग किए जाने के बावजूद, उनका व्यवहार अन्य (शास्त्रीय) सॉलिटन से बहुत अलग है। विशेष रूप से, गुरुत्वाकर्षण सॉलिटॉन समय पर अपने आयाम और आकार को संरक्षित नहीं करते हैं, और जून 2012 तक उनकी सामान्य व्याख्या अज्ञात बनी हुई है। हालाँकि, जो ज्ञात है, वह यह है कि अधिकांश ब्लैक होल (और विशेष रूप से श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक और केर मीट्रिक) गुरुत्वाकर्षण सॉलिटॉन के विशेष मामले हैं। परिचय बेलिंस्की-जाखारोव परिवर्तन उस रूप के स्थान-काल अंतराल के लिए काम करता है जिसके लिए हम आइंस्टीन के योग सम्मेलन का उपयोग करते हैं। यह माना जाता है कि फलन और मैट्रिक्स दोनों निर्देशांक पर निर्भर करते हैं और केवल। स्पेसटाइम अंतराल का एक विशिष्ट रूप होने के बावजूद जो केवल दो चर पर निर्भर करता है, इसमें विशेष मामलों के रूप में बड़ी संख्या में दिलचस्प समाधान शामिल हैं, जैसे कि श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक, केर मीट्रिक, आइंस्टीन-रोसेन मीट्रिक और कई अन्य। इस मामले में, आइंस्टीन का निर्वात समीकरण मैट्रिक्स और फलन के लिए समीकरणों के दो सेटों में विघटित हो जाता है। प्रकाश-शंकु निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स के लिए पहला समीकरण यह है कि जहां के निर्धारक का वर्गमूल है, अर्थात् समीकरणों का दूसरा सेट मैट्रिक्स समीकरण का पता लगा रहा है कि वास्तव में तरंग समीकरण को संतुष्ट करता है। एक सरल गणना से पता चलता है कि चूंकि यह तरंग समीकरण को संतुष्ट करता है। ऑपरेटरों की यह जोड़ी आवागमन करती है, यह लक्ष्मी जोड़ी है। व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन के पीछे का सार एक नए मैट्रिक्स फलन के लिए समीकरण की एक अतिनिर्धारित रैखिक प्रणाली के रूप में अरैखिक आइंस्टीन समीकरण को फिर से लिखना है। बेलिंस्की-जाखारोव समीकरणों पर विचार कीजिएः पहले समीकरण के बाईं ओर दूसरे समीकरण के साथ और बाईं ओर काम करने और परिणामों को घटाने से, और की कम्यूटेटिविटी के परिणामस्वरूप बाईं ओर गायब हो जाता है। जहां तक दाहिने हाथ की बात है, एक छोटी गणना से पता चलता है कि वास्तव में यह तब भी गायब हो जाता है जब यह अरैखिक मैट्रिक्स आइंस्टीन समीकरण को संतुष्ट करता है। इसका मतलब है कि अतिनिर्धारित रैखिक बेलिंस्की-जाखारोव समीकरण एक साथ ठीक उसी समय हल किए जा सकते हैं जब गैर-रैखिक मैट्रिक्स समीकरण को हल किया जाता है। वास्तव में, एक सरल सीमित प्रक्रिया द्वारा मैट्रिक्स-मूल्यवान कार्य से आसानी से पुनर्स्थापित किया जा सकता है। बेलिंस्की-जाखारोव समीकरणों में सीमा लेने और दाएँ से गुणा करने से मिलता है इस प्रकार अरैखिक समीकरण का समाधान रैखिक बेलिंस्की-जाखारोव समीकरण के समाधान से एक सरल मूल्यांकन द्वारा प्राप्त किया जाता है।