Bellman pseudospectral method
बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि बेलमैन के इष्टतमता के सिद्धांत पर आधारित इष्टतम नियंत्रण के लिए एक छद्म स्पेक्ट्रल विधि है। यह छद्म स्पेक्ट्रल इष्टतम नियंत्रण के बड़े सिद्धांत का हिस्सा है, जो रॉस द्वारा गढ़ा गया शब्द है। इस विधि का नाम रिचर्ड ई. बेलमैन के नाम पर रखा गया है। इसे रॉस एट अल द्वारा पेश किया गया था। पहले बहुस्तरीय इष्टतम नियंत्रण समस्याओं को हल करने के साधन के रूप में, और बाद में सामान्य इष्टतम नियंत्रण समस्याओं के लिए उप-इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए विस्तार किया गया। सैद्धांतिक नींव बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि का बहुस्तरीय संस्करण रॉस-फहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधियों के वर्णक्रमीय अभिसरण गुण पर आधारित है। अर्थात्, क्योंकि रॉस-फहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधि तेजी से परिवर्तित होती है, समाधान के लिए बिंदुवार अभिसरण बहुत कम संख्या में नोड्स पर प्राप्त किया जाता है, तब भी जब समाधान में उच्च आवृत्ति वाले घटक होते हैं। इष्टतम नियंत्रण में इस अलियासिंग घटना की खोज सबसे पहले रॉस एट अल द्वारा की गई थी। एंटी-एलियास समाधान के लिए संकेत प्रसंस्करण तकनीकों का उपयोग करने के बजाय, रॉस एट अल। प्रस्तावित किया कि बेलमैन के इष्टतमता के सिद्धांत को नोड्स के बीच जानकारी निकालने के लिए परिवर्तित समाधान पर लागू किया जा सकता है। क्योंकि गॉस-लोबेटो नोड्स सीमा बिंदुओं पर क्लस्टर होते हैं, रॉस एट अल। सुझाव दिया कि यदि प्रारंभिक स्थितियों के आसपास नोड घनत्व निक्विस्ट-शैनन नमूना प्रमेय को संतुष्ट करता है, तो बेलमैन खंडों के रूप में जाने जाने वाले टुकड़ों पर पुनरावर्ती फैशन में इष्टतम नियंत्रण समस्या को हल करके पूर्ण समाधान को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। विधि के एक विस्तारित संस्करण में, रॉस और अन्य ने प्रस्ताव दिया कि विधि का उपयोग व्यवहार्य समाधान उत्पन्न करने के लिए भी किया जा सकता है जो आवश्यक रूप से इष्टतम नहीं थे। इस संस्करण में, कोई भी इस ज्ञान के तहत भी कम संख्या में नोड्स पर बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि लागू कर सकता है कि समाधान इष्टतम में परिवर्तित नहीं हुआ होगा। इस स्थिति में, एक व्यवहार्य समाधान प्राप्त होता है। बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि यह मूल छद्म स्पेक्ट्रल लागत और बेलमैन खंडों के योग से उत्पन्न लागत के आधार पर स्वचालित रूप से उप-इष्टतमता के कई उपायों को निर्धारित करती है। कम्प्यूटेशनल दक्षता बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि के कम्प्यूटेशनल लाभों में से एक यह है कि यह नोड बिंदुओं के वितरण में गौसी नियमों से बचने की अनुमति देता है। अर्थात्, एक मानक छद्म स्पेक्ट्रल विधि में, नोड बिंदुओं का वितरण गौसियन (आमतौर पर परिमित क्षितिज के लिए गॉस-लोबेटो और अनंत क्षितिज के लिए गॉस-राडाउ) है। गौसी बिंदु अंतराल के बीच में विरल होते हैं (मध्य को अनंत-क्षितिज समस्याओं के लिए एक स्थानांतरित अर्थ में परिभाषित किया जाता है) और सीमाओं पर घने होते हैं। सीमाओं के पास अंकों के दूसरे क्रम के संचय में नोड्स को बर्बाद करने का प्रभाव पड़ता है। बेलमैन स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि प्रारंभिक बिंदु पर नोड संचय का लाभ उठाते हुए समाधान को एंटी-एलियास करती है और शेष नोड्स को त्याग देती है। इस प्रकार नोड्स का अंतिम वितरण गैर-गौसी और घना होता है जबकि कम्प्यूटेशनल विधि एक विरल संरचना को बरकरार रखती है। बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि को सबसे पहले रॉस एट अल द्वारा लागू किया गया था। बहुत कम जोर प्रक्षेपवक्र अनुकूलन की चुनौतीपूर्ण समस्या को हल करने के लिए। इसे सफलतापूर्वक पुनः प्रवेश के लिए चंद्रमा की कक्षा से एक अंतरिक्ष कैप्सूल को एक पिन-पॉइंट पृथ्वी-इंटरफेस स्थिति में लाने की एक ट्रांस-अर्थ-इंजेक्शन समस्या के लिए बहुत उच्च सटीकता समाधान उत्पन्न करने की एक व्यावहारिक समस्या को हल करने के लिए सफलतापूर्वक लागू किया गया है। बेलमैन स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि का उपयोग आमतौर पर रॉस-फहरू स्यूडोस्पेक्ट्रल विधियों द्वारा उत्पन्न एक स्यूडोस्पेक्ट्रल समाधान की इष्टतमता पर एक अतिरिक्त जांच के रूप में किया जाता है। अर्थात्, रॉस-फहरू छद्म स्पेक्ट्रल विधियों द्वारा प्राप्त समाधानों के संयोजन में पोंट्रियागिन के न्यूनतम सिद्धांत के उपयोग के अलावा, बेलमैन छद्म स्पेक्ट्रल विधि का उपयोग संगणित समाधान की इष्टतमता पर केवल प्राथमिक परीक्षण के रूप में किया जाता है। लीजेंड्रे स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि चेबीशेव स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि स्यूडोस्पेक्ट्रल गाँठ विधि संदर्भ इष्टतम नियंत्रण संख्यात्मक विश्लेषण नियंत्रण सिद्धांत भी देखें।