Mumford–Shah functional
ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक एक कार्यात्मक है जिसका उपयोग किसी छवि को उप-क्षेत्रों में विभाजित करने के लिए एक इष्टतम मानदंड स्थापित करने के लिए किया जाता है। एक छवि को पीसवाइज-स्मूथ फ़ंक्शन के रूप में मॉडल किया जाता है। कार्यात्मक मॉडल और इनपुट छवि के बीच की दूरी, उप-क्षेत्रों के भीतर मॉडल की चिकनीपन की कमी और उप-क्षेत्रों की सीमाओं की लंबाई को दंडित करता है। कार्यात्मक को न्यूनतम करके सबसे अच्छी छवि विभाजन की गणना की जा सकती है। इस कार्य को 1989 में गणितशास्त्री डेविड ममफोर्ड और जयंत शाह द्वारा प्रस्तावित किया गया था। ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक की परिभाषा परिभाषा डी के डोमेन के साथ एक छवि I पर विचार करें, जे को छवि का मॉडल कहें, और बी को मॉडल से जुड़ी सीमाएँ कहेंः ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक ई [जे, बी] को परिभाषित किया गया है कि कार्यात्मक का अनुकूलन इसे किसी अन्य कार्यात्मक के साथ अनुमानित करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि एम्ब्रोसियो और टोर्टोरेली द्वारा प्रस्तावित किया गया है। कार्यात्मक एम्ब्रोसियो-टॉर्टोरेली सीमा एम्ब्रोसियो और टॉर्टोरेली के न्यूनतमकरण से पता चला है कि ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक ई [जे, बी] को ऊर्जा कार्यात्मक ई [जे, जेड, ε] के एक परिवार की सीमा के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जहां सीमा बी को निरंतर फलन जेड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसका परिमाण एक सीमा की उपस्थिति को इंगित करता है। उनके विश्लेषण से पता चलता है कि ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक में एक अच्छी तरह से परिभाषित न्यूनतम है। यह न्यूनतम अनुमान लगाने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी प्रदान करता है। वे जिन कार्यों को परिभाषित करते हैं, उनका निम्नलिखित रूप होता हैः जहाँ ε> 0 एक (छोटा) पैरामीटर है और φ (z) एक संभावित फलन है। φ (z) के लिए दो विशिष्ट विकल्प हैं यह विकल्प किनारे के समुच्चय B को बिंदुओं के समुच्चय z के साथ इस तरह से जोड़ता है कि φ1 (z) ≈ 0 यह विकल्प किनारे के समुच्चय B को बिंदुओं के समुच्चय z के साथ इस तरह जोड़ता है कि φ2 (z) ≈ 1/4 उनकी कटौती में गैर-तुच्छ चरण इस बात का प्रमाण है कि, ऊर्जा फलन के अंतिम दो पदों के रूप में (अर्थात। ऊर्जा कार्यात्मक का अंतिम समाकलन पद) किनारे के समाकलन समाकलन (एड्ज सेट इंटीग्रल) में अभिसरण करता है। ऊर्जा कार्यात्मक E [J, z, ε] को प्रवणता अवरोहण विधियों द्वारा न्यूनतम किया जा सकता है, जिससे स्थानीय न्यूनतम तक अभिसरण सुनिश्चित होता है। एम्ब्रोसियो, फुस्को और हचिंसन ने ममफोर्ड-शाह ऊर्जा के लघुकारक के एकल समूह के हौसडॉर्फ आयाम का एक इष्टतम अनुमान देने के लिए एक परिणाम स्थापित किया। एक-आयामी समस्याओं में विभाजित करके न्यूनतमकरण ममफोर्ड-शाह कार्यात्मक को युग्मित एक-आयामी उप-समस्याओं में विभाजित किया जा सकता है। उप-समस्याओं को ठीक गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा हल किया जाता है। बाउंडेड वेरिएशन कैसियोपोली सेट डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग लुइगी एम्ब्रोसियो नोट्स संदर्भ छवि विभाजन भी देखें।