Hilbert–Mumford criterion
गणित में, डेविड हिल्बर्ट और डेविड ममफोर्ड द्वारा प्रस्तुत हिल्बर्ट-ममफोर्ड मानदंड, 1-पैरामीटर उपसमूहों के आईगन मानों के संदर्भ में एक वेक्टर स्थान पर एक समूह कार्रवाई के अर्धस्थायी और स्थिर बिंदुओं को दर्शाता है। स्थिरता की परिभाषा मान लीजिए कि G एक अपवर्तक समूह है जो एक सदिश स्थान V पर रैखिक रूप से कार्य करता है, V के एक गैर-शून्य बिंदु को अर्ध-स्थिर कहा जाता है यदि 0 इसकी कक्षा के बंद होने में निहित नहीं है, और अन्यथा अस्थिर है; स्थिर है यदि इसकी कक्षा बंद है, और इसका स्थिरीकारक सीमित है। एक स्थिर बिंदु एक फोर्टियोरी अर्ध-स्थिर है। एक अर्ध-स्थिर लेकिन स्थिर नहीं होने वाले बिंदु को सख्ती से अर्ध-स्थिर कहा जाता है। जब G गुणक समूह है, जैसे। सी * जटिल सेटिंग में, क्रिया एक सीमित आयामी प्रतिनिधित्व के बराबर होती है। हम V को एक प्रत्यक्ष योग में विघटित कर सकते हैं, जहाँ प्रत्येक घटक Vi पर क्रिया इस प्रकार दी गई है। पूर्णांक i को भार कहा जाता है। फिर प्रत्येक बिंदु x के लिए, हम भार के सेट को देखते हैं जिसमें इसका एक गैर-शून्य घटक होता है। यदि सभी भार कड़ाई से धनात्मक हैं, तो, इसलिए 0 x की कक्षा के बंद होने में है, अर्थात। x अस्थिर है; यदि सभी भार गैर-नकारात्मक हैं, जिसमें 0 एक वजन है, तो या तो 0 एकमात्र वजन है, जिस स्थिति में x को C * द्वारा स्थिर किया जाता है; या 0 के बगल में कुछ सकारात्मक भार हैं, तो सीमा x के वजन-0 घटक के बराबर है, जो x की कक्षा में नहीं है। अतः दोनों मामले एक स्थिर बिंदु की परिभाषा में दोनों स्थितियों की संबंधित विफलता के बिल्कुल अनुरूप हैं, अर्थात। हमने दिखाया है कि x सख्ती से अर्ध-स्थिर है। कथन हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड अनिवार्य रूप से कहता है कि गुणक समूह मामला विशिष्ट स्थिति है। सटीक रूप से, एक वेक्टर स्पेस V पर रैखिक रूप से कार्य करने वाले एक सामान्य अपचायक समूह G के लिए, एक बिंदु x की स्थिरता को G के 1-पैरामीटर उपसमूहों के अध्ययन के माध्यम से चिह्नित किया जा सकता है, जो गैर-तुच्छ आकृतिवाद हैं। ध्यान दें कि व्युत्क्रम के लिए भार ठीक से माइनस के हैं, इसलिए बयानों को सममित बनाया जा सकता है। एक बिंदु x अस्थिर है यदि और केवल तभी जब G का एक-पैरामीटर उपसमूह है जिसके लिए x केवल सकारात्मक भार या केवल नकारात्मक भार स्वीकार करता है; समकक्ष रूप से, x अर्ध-स्थिर है यदि और केवल तभी जब ऐसा कोई 1-पैरामीटर उपसमूह नहीं है, अर्थात। प्रत्येक 1-पैरामीटर उपसमूह के लिए गैर-सकारात्मक और गैर-नकारात्मक दोनों भार होते हैं; एक बिंदु x सख्ती से अर्ध-स्थिर होता है यदि और केवल तभी जब G का एक-पैरामीटर उपसमूह होता है जिसके लिए x 0 को वजन के रूप में स्वीकार करता है, जिसमें सभी भार गैर-नकारात्मक (या गैर-सकारात्मक) होते हैं; एक बिंदु x स्थिर होता है यदि और केवल तभी जब G का कोई 1-पैरामीटर उपसमूह नहीं होता है जिसके लिए x केवल गैर-नकारात्मक भार या केवल गैर-सकारात्मक भार स्वीकार करता है, अर्थात। प्रत्येक 1-पैरामीटर उपसमूह के लिए सकारात्मक और नकारात्मक दोनों भार होते हैं। उदाहरण और अनुप्रयोग समतल पर C * की क्रिया मानक उदाहरण समतल C2 पर C * की क्रिया है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है। स्पष्ट रूप से x-दिशा में वजन 1 है और y-दिशा में वजन-1 है। इस प्रकार हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड के अनुसार, x-अक्ष पर एक गैर-शून्य बिंदु 1 को अपने एकमात्र वजन के रूप में स्वीकार करता है, और y-अक्ष पर एक गैर-शून्य बिंदु-1 को अपने एकमात्र वजन के रूप में स्वीकार करता है, इसलिए वे दोनों अस्थिर हैं; समतल में एक सामान्य बिंदु 1 और-1 दोनों को भार के रूप में स्वीकार करता है, इसलिए यह स्थिर है। पी1 में बिंदु मॉडुली समस्याओं में कई उदाहरण उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, परिमेय वक्र P1 पर n बिंदुओं के एक समूह पर विचार करें (अधिक सटीक रूप से, P1 की लंबाई-n उपसमुच्चय)। पी1, पी. एस. एल. (2, सी) का ऑटोमोर्फिज्म समूह ऐसे सेटों (उपशीर्षक) पर कार्य करता है, और हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड हमें इस कार्रवाई के तहत स्थिरता निर्धारित करने की अनुमति देता है। हम दो चरों में एक डिग्री-एन सजातीय बहुपद के साथ एन बिंदुओं के एक समूह की पहचान करके समस्या को रैखिक बना सकते हैं। इसलिए हम ऐसे सजातीय बहुपदों के सदिश स्थान पर एस. एल. (2, सी) की क्रिया पर विचार करते हैं। 1-पैरामीटर उपसमूह को देखते हुए, हम निर्देशांक x और y का चयन कर सकते हैं ताकि P1 पर कार्रवाई इस प्रकार दी जाए। अतः बहुपद सकारात्मक और नकारात्मक दोनों को स्वीकार करता है। गैर-सकारात्मक और गैर-नकारात्मक) भार यदि और केवल तभी जब i> n/2 और i <n/2 (रेसप) के साथ शब्द हों। i ≤ n/2 और i ≤ n/2)। विशेष रूप से x या y की बहुलता <n/2 (प्रतिनिधि. ≤ n/2) होनी चाहिए। यदि हम सभी 1-पैरामीटर उपसमूहों पर दोहराते हैं, तो हम पी1 में सभी बिंदुओं के लिए बहुलता की समान स्थिति प्राप्त कर सकते हैं। हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड के अनुसार, बहुपद (और इस प्रकार n बिंदुओं का समुच्चय) स्थिर है। अर्ध-स्थिर) यदि और केवल तभी जब किसी भी बिंदु पर इसकी बहुलता <n/2 (रेसप) हो। ≤ n/2)। प्लेन क्यूबिक्स प्लेन क्यूबिक्स की स्थिरता निर्धारित करने के लिए सजातीय बहुपद का उपयोग करके एक समान विश्लेषण किया जा सकता है। हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड से पता चलता है कि एक समतल घन स्थिर है यदि और केवल तभी जब यह चिकना हो; यह अर्ध-स्थिर है यदि और केवल तभी जब यह सबसे खराब साधारण दोहरे बिंदुओं पर विलक्षणता के रूप में स्वीकार करता है; बदतर विलक्षणता के साथ एक घन (जैसे। एक पुच्छ) अस्थिर है। ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत GIT भागफल संदर्भ अपरिवर्तनीय सिद्धांत भी देखें।