Monsky's theorem
ज्यामिति में, मॉन्स्की की प्रमेय बताती है कि एक वर्ग को समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों की विषम संख्या में विच्छेदित करना संभव नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक वर्ग में विषम समविच्छेदन नहीं होता है। यह समस्या फ्रेड रिचमैन द्वारा 1965 में अमेरिकी गणितीय मासिक में प्रस्तुत की गई थी, और 1970 में पॉल मोंस्की द्वारा साबित की गई थी। प्रूफ मॉन्स्की का प्रमाण संयोजन और बीजगणितीय तकनीकों को जोड़ता है, और रूपरेखा में इस प्रकार हैः वर्ग को (0,0), (0,1), (1,0) और (1,1) पर शीर्षों के साथ इकाई वर्ग के रूप में लें। यदि समान क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में विच्छेदन होता है तो प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/n है। वर्ग में प्रत्येक बिंदु को तीन रंगों में से एक के साथ रंग दें, जो इसके निर्देशांक के 2-एडिक मूल्यांकन पर निर्भर करता है। दिखाएँ कि एक सीधी रेखा में केवल दो रंगों के बिंदु हो सकते हैं। स्पर्नर्स लेम्मा का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि वर्ग के प्रत्येक त्रिकोण में त्रिभुज के किनारे से किनारे तक कम से कम एक त्रिभुज होना चाहिए जिसके शीर्षों में तीन अलग-अलग रंग हों। सीधी रेखा के गुण से निष्कर्ष निकालें कि त्रिभुज में वर्ग के प्रत्येक विच्छेदन में एक त्रिकोणीय त्रिभुज भी मौजूद होना चाहिए, जरूरी नहीं कि यह किनारे से किनारे तक मिले। कार्टेशियन ज्यामिति का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि एक त्रिभुज के क्षेत्र का 2-एडिक मूल्यांकन, जिसके शीर्षों में तीन अलग-अलग रंग हैं, 1 से अधिक है। इसलिए त्रिभुजों में वर्ग के प्रत्येक विच्छेदन में कम से कम एक त्रिभुज होना चाहिए जिसका क्षेत्रफल 2-एडिक मूल्यांकन 1 से अधिक हो। यदि n विषम है तो 1/n का 2-क्रमिक मूल्यांकन 1 है, इसलिए वर्ग को त्रिभुजों में विच्छेदित करना असंभव है, जिनमें से सभी का क्षेत्रफल 1/n है। इष्टतम विच्छेदन मॉन्स्की के प्रमेय के अनुसार एक वर्ग को विषम संख्या में त्रिभुजों में विच्छेदित करने के लिए विभिन्न क्षेत्रों वाले त्रिभुजों का होना आवश्यक है। एक वर्ग को त्रिभुजों की विषम संख्या में विच्छेदित करने के लिए होने वाले क्षेत्र अंतर की निचली सीमा और इष्टतम विच्छेदन का अध्ययन किया गया है। सामान्यीकरण प्रमेय को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता हैः एक एन-आयामी अति घन को केवल समान आयतन के सरलीकरणों में विभाजित किया जा सकता है, यदि सरलीकरणों की संख्या एन! का गुणक हो। संदर्भ यूक्लिडियन समतल ज्यामिति पृथक ज्यामिति में प्रमेय ज्यामितीय विच्छेदन