Thomae's formula
गणित में, थोमा का सूत्र एक सूत्र है जो थीटा स्थिरांक को एक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र के शाखा बिंदुओं से संबंधित करके पेश किया गया है। इतिहास 1824 में एबेल-रफ़िनी प्रमेय ने स्थापित किया कि पाँच या उससे अधिक की डिग्री के बहुपद समीकरणों का रेडिकल में कोई समाधान नहीं हो सकता है। तब से गणितविदों के लिए यह स्पष्ट हो गया कि पाँचवीं और उच्चतर डिग्री के समीकरणों के समाधान को व्यक्त करने के लिए किसी को रेडिकल से परे जाने की आवश्यकता है। 1858 में, चार्ल्स हर्माइट, लियोपोल्ड क्रोनेकर और फ्रांसेस्को ब्रियोस्की ने स्वतंत्र रूप से खोज की कि क्विंटिक समीकरण को अण्डाकार पार के साथ हल किया जा सकता है। यह रेडिकल का एक सामान्यीकरण साबित हुआ, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता हैः केवल इस घातांक के प्रतिबंध के साथ, जैसा कि गैलोइस सिद्धांत द्वारा दिखाया गया है, केवल अबेलियन विस्तार की रचनाओं का निर्माण किया जा सकता है, जो केवल चौथी डिग्री और उससे नीचे के समीकरणों के लिए पर्याप्त है। उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए कुछ अधिक सामान्य की आवश्यकता होती है, इसलिए क्विंटिक, हर्माइट आदि को हल करने के लिए। एक दीर्घवृत्ताकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन द्वारा घातांक और एक दीर्घवृत्ताकार समाकलन द्वारा समाकलन (लघुगणक) को प्रतिस्थापित किया। क्रोनेकर का मानना था कि यह एक और अधिक सामान्य विधि का एक विशेष मामला था। केमिली जॉर्डन ने दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय समीकरण को मॉड्यूलर कार्यों के उपयोग से हल किया जा सकता है। यह 1870 में थोमा द्वारा पूरा किया गया था। थोमा ने अण्डाकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन को और भी अधिक सामान्य सीगल मॉड्यूलर रूपों और एक हाइपरलिप्टिक इंटीग्रल द्वारा अण्डाकार इंटीग्रल के साथ बदलकर हर्माइट के दृष्टिकोण को सामान्यीकृत किया। हिरोशी उमेमुरा ने इन मॉड्यूलर कार्यों को उच्च जीनस थीटा कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया। सूत्र यदि हमारे पास एक बहुपद फलन हैः जटिल संख्याओं के एक निश्चित उपक्षेत्र पर अपरिवर्तनीय के साथ, तो इसके मूल को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जिसमें शून्य तर्क (थीटा स्थिरांक) के थीटा फलन शामिल हैंः जहां निम्नलिखित अति-दीर्घवृत्तीय समाकलनों में से एक से व्युत्पन्न अवधि मैट्रिक्स है। यदि विषम डिग्री का है, तो, या यदि सम डिग्री का है, तो, यह सूत्र किसी भी डिग्री के किसी भी बीजगणितीय समीकरण पर लागू होता है, जिसमें समीकरण को एक विशिष्ट सामान्य रूप में लाने के लिए Tschirnhaus परिवर्तन या किसी अन्य हेरफेर की आवश्यकता नहीं होती है, जैसे कि क्विंटिक के लिए ब्रिंग-जेरार्ड रूप। हालांकि, व्यवहार में इस सूत्र का अनुप्रयोग मुश्किल है क्योंकि प्रासंगिक अति-दीर्घवृत्तीय समाकलन और उच्च जीनस थीटा कार्य बहुत जटिल हैं। संदर्भ रीमान ने प्रमेय को संख्या सिद्धांत बहुपद समीकरण मॉड्यूलर रूपों में प्रस्तुत किया