Taylor's law
टेलर का शक्ति नियम पारिस्थितिकी में एक अनुभवजन्य नियम है जो निवास स्थान के प्रति इकाई क्षेत्र में एक प्रजाति के व्यक्तियों की संख्या के भिन्नता को एक शक्ति कानून संबंध द्वारा संबंधित माध्य से संबंधित करता है। इसका नाम पारिस्थितिकीविद् लियोनेल रॉय टेलर (1924-2007) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने पहली बार 1961 में इसका प्रस्ताव रखा था। इस रिश्ते के लिए टेलर का मूल नाम माध्य का नियम था। टेलर का नियम नाम साउथवुड द्वारा 1966 में गढ़ा गया था। परिभाषा इस नियम को मूल रूप से पारिस्थितिक प्रणालियों के लिए परिभाषित किया गया था, विशेष रूप से जीवों के स्थानिक समूह का आकलन करने के लिए। माध्य और विचरण के साथ जनसंख्या गणना के लिए, टेलर का नियम लिखा जाता है जहाँ a और b दोनों सकारात्मक स्थिरांक हैं। टेलर ने 1961 में इस संबंध का प्रस्ताव रखा, यह सुझाव देते हुए कि प्रतिपादक बी को एकत्रीकरण का एक प्रजाति विशिष्ट सूचकांक माना जाए। बाद में सैकड़ों प्रजातियों के लिए इस शक्ति कानून की पुष्टि की गई है। टेलर के नियम को जनसंख्या वितरण के समय पर निर्भर परिवर्तनों का आकलन करने के लिए भी लागू किया गया है। कई गैर-पारिस्थितिक प्रणालियों में बिजली कानूनों के अर्थ से संबंधित भिन्नता का भी प्रदर्शन किया गया हैः कैंसर मेटास्टेसिस जापान में टोनमी मैदान पर बनाए गए घरों की संख्या है। खसरा महामारी विज्ञान एच. आई. वी. महामारी विज्ञान, बचपन के ल्यूकेमिया रक्त प्रवाह की भौगोलिक क्लस्टरिंग विषमता मर्टेंस फ़ंक्शन के अनुक्रमिक मूल्यों के साथ संख्या सिद्धांत में एकल-न्यूक्लियोटाइड बहुरूपता (एस. एन. पी.) जीन संरचनाओं के जीनोमिक वितरण और यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत इतिहास के गॉसियन ऑर्थोगोनल और एकात्मक समूहों के आइगेनवैल्यू विचलन से प्रमुख संख्याओं के वितरण के साथ एक डबल लॉग-लॉग प्लॉट का पहला उपयोग 1879 में रेनॉल्ड्स द्वारा थर्मल वायुगतिकी पर किया गया था। पारेतो ने जनसंख्या के अनुपात और उनकी आय का अध्ययन करने के लिए एक समान भूखंड का उपयोग किया। भिन्नता शब्द 1918 में फिशर द्वारा गढ़ा गया था। 1921 में जीव विज्ञान पियर्सन ने 1938 में फसल की पैदावार का अध्ययन करते हुए टेलर के समान संबंध का प्रस्ताव करते हुए समीकरण (नेमैन द्वारा भी अध्ययन किया गया) स्मिथ का प्रस्ताव रखा। यह संबंध था जहाँ Vx x इकाइयों के भूखंडों के लिए उपज का विचलन है, V1 प्रति इकाई क्षेत्र में उपज का विचलन है और x भूखंडों का आकार है। ढलान (बी) विषमता का सूचकांक है। इस संबंध में b का मान 0 और 1 के बीच होता है। जहाँ उपज अत्यधिक सहसंबद्ध है, बी 0 की ओर जाता है; जब वे असंबद्ध होते हैं तो बी 1 की ओर जाता है। 1941 में ब्लिस, 1941 में फ्रैकर और ब्रिसल और 1961 में हेमन और लोव ने भी टेलर के नियम का वर्णन किया, लेकिन एकल प्रजाति के डेटा के संदर्भ में। टेलर के 1961 के शोध-पत्र में 1936 और 1960 के बीच प्रकाशित 24 शोध-पत्रों के आंकड़ों का उपयोग किया गया, जिसमें विभिन्न प्रकार की जैविक व्यवस्थाओं पर विचार किया गयाः वायरस के घाव, मैक्रो-ज़ूप्लांकटन, मिट्टी में कीड़े और सिम्फ़िलिड्स, मिट्टी में कीड़े, पौधों और हवा में, पत्तियों पर घुन, समुद्र में भेड़ और मछली पर टिक्स। बी मान 1 और 3 के बीच होता है। टेलर ने इन प्रजातियों के स्थानिक वितरण की एक सामान्य विशेषता के रूप में शक्ति कानून का प्रस्ताव रखा। उन्होंने इस नियम की व्याख्या करने के लिए एक यंत्रवादी परिकल्पना का भी प्रस्ताव रखा। जानवरों के स्थानिक वितरण की व्याख्या करने के प्रारंभिक प्रयास बार्टलेट के यादृच्छिक जनसंख्या मॉडल और नकारात्मक द्विपद वितरण जैसे दृष्टिकोणों पर आधारित थे जो जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप हो सकते हैं। टेलर की व्याख्या जानवरों के संतुलित प्रवासी और सामूहिक व्यवहार की धारणा पर आधारित थी। उनकी परिकल्पना शुरू में गुणात्मक थी, लेकिन जैसे-जैसे यह विकसित हुई यह अर्ध-मात्रात्मक हो गई और अनुकरण द्वारा समर्थित थी। शक्ति कानून के लिए कई वैकल्पिक परिकल्पनाएँ विकसित की गई हैं। हंस्की ने एक यादृच्छिक चलने के मॉडल का प्रस्ताव रखा, जो प्रजनन के अनुमानित गुणक प्रभाव द्वारा संशोधित किया गया था। हंस्की के मॉडल ने भविष्यवाणी की कि शक्ति कानून प्रतिपादक 2 के मूल्य के बारे में निकटता से सीमा तक सीमित होगा, जो कई रिपोर्ट किए गए मूल्यों के साथ असंगत लग रहा था। एंडरसन और अन्य लोगों ने एक सरल यादृच्छिक जन्म, मृत्यु, आप्रवासन और उत्प्रवास मॉडल तैयार किया जिससे एक द्विघात विचलन कार्य प्राप्त हुआ। इस मॉडल की प्रतिक्रिया के रूप में टेलर ने तर्क दिया कि इस तरह की मार्कोव प्रक्रिया भविष्यवाणी करेगी कि शक्ति कानून प्रतिपादक प्रतिकृति टिप्पणियों के बीच काफी भिन्न होगा, और इस तरह की परिवर्तनशीलता नहीं देखी गई थी। केम्प ने नकारात्मक द्विपद, नेमैन प्रकार ए और पोल्या-एप्पली वितरणों के आधार पर कई असतत यादृच्छिक मॉडलों की समीक्षा की, जो मापदंडों के उपयुक्त समायोजन के साथ शक्ति कानून का अर्थ करने के लिए एक भिन्नता पैदा कर सकते हैं। हालांकि, केम्प ने अपने मॉडलों के मापदंडों को यंत्रवत शब्दों में नहीं समझाया। टेलर के नियम के लिए अन्य अपेक्षाकृत अमूर्त मॉडल का पालन किया गया। टेलर के नियम के बारे में सांख्यिकीय चिंताएँ उठाई गईं, जो टेलर के नियम और अन्य भिन्नताओं के बीच अंतर करने में वास्तविक डेटा के साथ कठिनाई के साथ-साथ मानक प्रतिगमन विधियों की अशुद्धता पर आधारित थीं। टेलर के नियम को समय श्रृंखला डेटा पर लागू किया गया है, और पेरी ने सिमुलेशन का उपयोग करते हुए दिखाया कि अराजकता सिद्धांत टेलर के नियम को प्राप्त कर सकता है। टेलर के नियम को पौधों और जीवाणु आबादी के स्थानिक वितरण पर लागू किया गया है जैसा कि पहले उल्लिखित टोबैको नेक्रोसिस वायरस के अवलोकनों के साथ, ये अवलोकन टेलर के पशु व्यवहार मॉडल के अनुरूप नहीं थे। टेलर के नियम के तहत गैर-पारिस्थितिक प्रणालियों पर अर्थ शक्ति कार्य के लिए एक भिन्नता लागू की गई थी। शक्ति कानून की अभिव्यक्तियों की सीमा के लिए एक अधिक सामान्य व्याख्या ट्वीडी वितरण के आधार पर एक परिकल्पना प्रस्तावित की गई है, जो संभावित मॉडल का एक परिवार है जो विचलन और माध्य के बीच एक अंतर्निहित शक्ति कार्य संबंध को व्यक्त करता है। शक्ति कानून के लिए कई वैकल्पिक परिकल्पनाएँ प्रस्तावित की गई हैं। हंस्की ने एक यादृच्छिक चलने के मॉडल का प्रस्ताव रखा, जो प्रजनन के अनुमानित गुणक प्रभाव द्वारा संशोधित किया गया था। हंस्की के मॉडल ने भविष्यवाणी की कि शक्ति कानून प्रतिपादक 2 के मूल्य के बारे में निकटता से सीमा तक सीमित होगा, जो कई रिपोर्ट किए गए मूल्यों के साथ असंगत लग रहा था। एंडरसन और अन्य लोगों ने एक सरल यादृच्छिक जन्म, मृत्यु, आप्रवासन और उत्प्रवास मॉडल तैयार किया जिससे एक द्विघात विचलन कार्य प्राप्त हुआ। लेवोंटिन कोहेन विकास मॉडल। एक और प्रस्तावित व्याख्या है। यह संभावना जताई गई थी कि एक शक्ति नियम के अवलोकन एक यंत्रवादी प्रक्रिया की तुलना में अधिक गणितीय कलाकृतियों को प्रतिबिंबित कर सकते हैं। पारिस्थितिकी आबादी पर लागू टेलर के नियम के प्रतिपादकों में भिन्नता को केवल सांख्यिकीय आधारों के आधार पर समझाया या भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। शोध से पता चला है कि उत्तरी सागर मछली समुदाय के लिए टेलर के नियम प्रतिपादकों के भीतर भिन्नता बाहरी वातावरण के साथ भिन्न होती है, यह सुझाव देते हुए कि पारिस्थितिक प्रक्रियाएं कम से कम आंशिक रूप से टेलर के नियम के रूप को निर्धारित करती हैं। भौतिकी साहित्य में टेलर के नियम को उतार-चढ़ाव मापन के रूप में संदर्भित किया गया है। ईस्लर और अन्य ने, उतार-चढ़ाव मापन के लिए एक सामान्य व्याख्या खोजने के एक और प्रयास में, एक ऐसी प्रक्रिया का प्रस्ताव रखा जिसे उन्होंने प्रभाव समरूपता कहा जिसमें लगातार होने वाली घटनाएं बड़े प्रभावों से जुड़ी होती हैं। हालांकि, ईस्लर लेख के परिशिष्ट बी में, लेखकों ने उल्लेख किया कि प्रभाव समरूपता के लिए समीकरणों से वही गणितीय संबंध प्राप्त हुए जो ट्वीडी वितरण के साथ पाए जाते हैं। भौतिकविदों के एक अन्य समूह, फ्रोंकजाक और फ्रोंकजाक ने संतुलन और गैर-संतुलन सांख्यिकीय भौतिकी के सिद्धांतों से उतार-चढ़ाव मापन के लिए टेलर के शक्ति नियम को प्राप्त किया। उनकी व्युत्पत्ति मुक्त ऊर्जा और एक बाहरी क्षेत्र जैसी भौतिक मात्राओं की धारणाओं पर आधारित थी जो जैविक जीवों के समूह का कारण बनी। हालाँकि, जानवरों या पौधों के एकत्रीकरण के संबंध में इन अनुमानित भौतिक मात्राओं का प्रत्यक्ष प्रयोगात्मक प्रदर्शन अभी तक प्राप्त नहीं किया गया है। इसके तुरंत बाद, फ्रॉन्कज़ैक और फ्रॉन्कज़ैक के मॉडल का एक विश्लेषण प्रस्तुत किया गया जिसमें दिखाया गया कि उनके समीकरण सीधे ट्वीडी वितरण की ओर ले जाते हैं, एक ऐसा निष्कर्ष जिसने सुझाव दिया कि फ्रॉन्कज़ैक और फ्रॉन्कज़ैक ने संभवतः इन वितरणों की अधिकतम एन्ट्रापी व्युत्पत्ति प्रदान की थी। गणित टेलर के नियम को दी गई वास्तविक संख्या से अधिक नहीं होने वाली अभाज्य संख्याओं के लिए माना गया है। यह परिणाम पहले 11 मिलियन अभाज्य संख्याओं के लिए दिखाया गया है। यदि हार्डी-लिटिलवुड जुड़वां अभाज्य संख्याओं का अनुमान सही है तो यह नियम जुड़वां अभाज्य संख्याओं के लिए भी लागू होता है। ट्वीडी परिकल्पना उस समय के बारे में जब टेलर अपने पारिस्थितिक अवलोकनों की पुष्टि कर रहे थे, एम. सी. के. ट्वीडी, एक ब्रिटिश सांख्यिकीविद् और चिकित्सा भौतिक विज्ञानी, संभावित मॉडल के एक परिवार की जांच कर रहे थे जिन्हें अब ट्वीडी वितरण के रूप में जाना जाता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ये सभी वितरण गणितीय रूप से टेलर के नियम के समान शक्ति नियम का अर्थ करने के लिए एक भिन्नता द्वारा विशेषता है। पारिस्थितिकीय प्रेक्षणों के लिए सबसे अधिक लागू ट्वीडी वितरण यौगिक पॉइसन-गामा वितरण है, जो एक गामा वितरण के साथ एन स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग का प्रतिनिधित्व करता है जहां एन एक पॉइसन वितरण के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है। योगात्मक रूप में इसका संचयी उत्पादन फलन (सी. जी. एफ.) हैः जहाँ κb (θ) संचयी फलन है, ट्वीडी प्रतिपादक s उत्पन्न करने वाला फलन चर है, और θ और λ क्रमशः विहित और सूचकांक मापदंड हैं। ये अंतिम दो मापदंड संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले पैमाने और आकार मापदंडों के अनुरूप हैं। इस वितरण के संचयों को सी. जी. एफ. के क्रमिक विभेदों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है और फिर परिणामी समीकरणों में एस = 0 को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। पहले और दूसरे संचयी क्रमशः माध्य और विचरण हैं, और इस प्रकार यौगिक पॉइसन-गामा सी. जी. एफ. टेलर के नियम को आनुपातिकता स्थिरांक के साथ प्राप्त करता है यौगिक पॉइसन-गामा संचयी वितरण कार्य को अनुभवजन्य वितरण कार्य के साथ सैद्धांतिक वितरण कार्य की तुलना के माध्यम से सीमित पारिस्थितिक डेटा के लिए सत्यापित किया गया है। कई अन्य प्रणालियाँ, जो टेलर के नियम से संबंधित अर्थ शक्ति नियमों के लिए भिन्नता का प्रदर्शन करती हैं, यौगिक पॉइसन-गामा वितरण के लिए इसी तरह परीक्षण किया गया है। ट्वीडी परिकल्पना का मुख्य औचित्य ट्वीडी वितरण के गणितीय अभिसरण गुणों के साथ है। ट्वीडी अभिसरण प्रमेय के लिए ट्वीडी वितरण को सांख्यिकीय प्रक्रियाओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए अभिसरण के केंद्र के रूप में कार्य करने की आवश्यकता होती है। इस अभिसरण प्रमेय के परिणामस्वरूप, कई स्वतंत्र छोटे कूदों के योग पर आधारित प्रक्रियाएं टेलर के नियम को व्यक्त करती हैं और ट्वीडी वितरण का पालन करती हैं। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित चर के लिए एक सीमा प्रमेय, जैसा कि ट्वीडी अभिसरण प्रमेय के साथ, तब तदर्थ जनसंख्या मॉडल, या अनुकरण या सन्निकटन के आधार पर प्रस्तावित मॉडल के मौलिक सापेक्ष के रूप में माना जा सकता है। यह परिकल्पना विवादास्पद बनी हुई है; पर्यावरणविदों के बीच अधिक पारंपरिक जनसंख्या गतिशील दृष्टिकोण पसंद किए जाते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि ट्वीडी यौगिक पॉइसन वितरण को सीधे जनसंख्या गतिशील तंत्र पर लागू किया जा सकता है। ट्वीडी परिकल्पना के साथ एक कठिनाई यह है कि बी का मान 0 और 1 के बीच नहीं है। बी <1 के मान दुर्लभ हैं लेकिन रिपोर्ट किए गए हैं। गणितीय सूत्रीकरण उन प्रतीकों में जहां si2, ith नमूने के घनत्व का विचरण है, mi, ith नमूने का माध्य घनत्व है और a और b स्थिरांक हैं। लघुगणक रूप में स्केल अपरिवर्तनीयता टेलर के नियम में घातांक स्केल अपरिवर्तनीय हैः यदि माप की इकाई को एक स्थिर कारक द्वारा बदला जाता है, तो घातांक () अपरिवर्तित रहता है। इसे देखने के लिए मान लीजिए कि y = cx। फिर मूल चर (x) में व्यक्त टेलर का नियम है और पुनर्निर्धारित चर (y) में यह है इस प्रकार, अभी भी आनुपातिक है (भले ही आनुपातिकता स्थिरांक बदल गया हो)। यह दिखाया गया है कि टेलर का नियम माध्य और विचरण के बीच एकमात्र संबंध है जो माप अपरिवर्तनीय है। विस्तार और परिष्करण ढलान बी के अनुमान में एक परिष्करण रेनर द्वारा प्रस्तावित किया गया है। जहाँ और के बीच पीयरसन क्षण सहसंबंध गुणांक है, और में नमूना भिन्नताओं का अनुपात है और और में त्रुटियों का अनुपात है। साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन यह मानता है कि φ = φ। यह बी के मूल्य को कम करके आंकता है क्योंकि दोनों के अनुमान त्रुटि के अधीन हैं। फेरिस एट अल द्वारा टेलर के नियम का एक विस्तार प्रस्तावित किया गया है जब कई नमूने लिए जाते हैं जहां s2 और m क्रमशः विचरण और माध्य हैं, b, c और d स्थिरांक हैं और n लिए गए नमूनों की संख्या है। आज तक, इस प्रस्तावित विस्तार को टेलर के कानून के मूल संस्करण के रूप में लागू होने के लिए सत्यापित नहीं किया गया है। हंस्की ने छोटे नमूनों के लिए इस कानून के विस्तार का प्रस्ताव रखा है। छोटे नमूनों के लिए पॉइसन भिन्नता (पी)-वह भिन्नता जिसे नमूना भिन्नता के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है-महत्वपूर्ण हो सकती है। मान लीजिए कि S कुल विचरण है और V जैविक (वास्तविक) विचरण है। फिर टेलर के नियम की वैधता को मानते हुए, हमारे पास है क्योंकि पॉइसन वितरण में माध्य विचरण के बराबर है, हमारे पास यह हमें देता है यह बारलेट के मूल सुझाव से काफी मिलता-जुलता है। व्याख्या ढलान मान (बी) महत्वपूर्ण रूप से> 1 जीवों के झुंड को इंगित करता है। पॉइसन-वितरित डेटा में, b = 1। यदि जनसंख्या एक लॉग्नॉर्मल या गामा वितरण का अनुसरण करती है, तो b = 2। उन आबादी के लिए जो निरंतर प्रति व्यक्ति पर्यावरणीय परिवर्तनशीलता का अनुभव कर रहे हैं, लॉग (भिन्नता) बनाम लॉग (औसत प्रचुरता) की प्रतिगमन में बी = 2 के साथ एक रेखा होनी चाहिए। जिन आबादी का अध्ययन किया गया है, उनमें बी <2 (आमतौर पर 1.5-1.6) है, लेकिन 2 के मान बताए गए हैं। कभी-कभी बी> 2 के मामले सामने आए हैं। 1 से नीचे के बी मान असामान्य हैं लेकिन यह भी बताया गया है (बी = 0.93)। यह सुझाव दिया गया है कि नियम (बी) का प्रतिपादक अंतर्निहित वितरण की वक्रता के समानुपाती है। इस प्रस्ताव की आलोचना की गई हैः ऐसा लगता है कि तिरछे वितरण के नमूने लेने का अतिरिक्त काम टेलर के नियम का संकेत नहीं देता है (2015) प्रोक नैटल एकेड साइ यूएसए 112 (25) ई3156 नोट्स इस प्रतिगमन में ढलान (बी) की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है। इसकी व्याख्या करने के लिए दो परिकल्पनाएँ प्रस्तावित की गई हैं। एक सुझाव है कि बी प्रजाति के व्यवहार से उत्पन्न होता है और उस प्रजाति के लिए एक स्थिरांक है। विकल्प से पता चलता है कि यह नमूने की गई आबादी पर निर्भर है। इस कानून (1000 से अधिक) पर किए गए अध्ययनों की काफी संख्या के बावजूद, यह प्रश्न खुला रहता है। यह ज्ञात है कि ए और बी दोनों आयु-विशिष्ट फैलाव, मृत्यु दर और नमूना इकाई के आकार के कारण परिवर्तन के अधीन हैं। यदि मूल्य छोटे हैं तो यह कानून एक खराब फिट हो सकता है। इस कारण से हंस्की द्वारा टेलर के नियम के विस्तार का प्रस्ताव किया गया है जो कम घनत्व पर टेलर के नियम के अनुरूपता में सुधार करता है। द्विआधारी डेटा के समूह नमूने के लिए विस्तार टेलर के नियम का एक रूप है जो समूहों में द्विआधारी डेटा पर लागू होता है (जैसे, क्वाड्रैट्स)। एक द्विपद वितरण में, सैद्धांतिक विचरण वह है जहाँ (वार्बिन) द्विपद विचरण है, एन प्रति समूह नमूना आकार है, और पी एक विशेषता (जैसे रोग) वाले व्यक्तियों का अनुपात है, जो किसी व्यक्ति की उस विशेषता की संभावना का अनुमान है। द्विआधारी डेटा के साथ एक कठिनाई यह है कि औसत और भिन्नता, सामान्य रूप से, एक विशेष संबंध रखता हैः जैसे-जैसे संक्रमित व्यक्तियों का औसत अनुपात 0.5 से ऊपर बढ़ता है, भिन्नता समाप्त हो जाती है। अब यह ज्ञात हो गया है कि प्रेक्षित विचरण (वैरोब्स) (वैर्बिन) के शक्ति फलन के रूप में बदलता है। ह्यूजेस और मैडेन ने नोट किया कि यदि वितरण पॉइसन है, तो माध्य और विचरण समान हैं। चूंकि यह स्पष्ट रूप से कई देखे गए अनुपात के नमूनों में नहीं है, इसलिए उन्होंने इसके बजाय एक द्विपद वितरण ग्रहण किया। उन्होंने टेलर के नियम में माध्य को द्विपद विचरण के साथ प्रतिस्थापित किया और फिर इस सैद्धांतिक विचरण की तुलना अवलोकन किए गए विचरण के साथ की। द्विपद डेटा के लिए, उन्होंने दिखाया कि वैरोब्स = ओवरडिस्पर्शन के साथ वैर्बिन, वैरोब्स> वैर्बिन। प्रतीकों में, ह्यूजेस और मैडेन का टायलर के नियम में संशोधन लॉगरिदमिक रूप में यह संबंध है यह बाद वाला संस्करण द्विआधारी शक्ति नियम के रूप में जाना जाता है। ह्यूजेस और मैडेन द्वारा द्विआधारी शक्ति नियम की व्युत्पत्ति में एक महत्वपूर्ण कदम पाटिल और स्टिटेलर द्वारा किया गया अवलोकन था कि एक ही नमूने में असीमित गणनाओं के अति-फैलाव का आकलन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला विचरण-से-अर्थ अनुपात वास्तव में दो विचलनों का अनुपात हैः अवलोकन किया गया विचलन और यादृच्छिक वितरण के लिए सैद्धांतिक विचलन। असीम गणनाओं के लिए, यादृच्छिक वितरण पॉइसन है। इस प्रकार, नमूनों के संग्रह के लिए टेलर शक्ति नियम को देखे गए विचरण और पॉइसन विचरण के बीच के संबंध के रूप में माना जा सकता है। अधिक व्यापक रूप से, मैडेन और ह्यूजेस ने शक्ति कानून को दो विचलनों के बीच संबंध के रूप में माना, यादृच्छिक वितरण के लिए अवलोकन किया गया विचलन और सैद्धांतिक विचलन। द्विआधारी डेटा के साथ, यादृच्छिक वितरण द्विपद है (पॉइसन नहीं)। इस प्रकार टेलर शक्ति नियम और द्विआधारी शक्ति नियम विषमता के लिए सामान्य शक्ति-नियम संबंधों के दो विशेष मामले हैं। जब a और b दोनों 1 के बराबर होते हैं, तो एक छोटे पैमाने के यादृच्छिक स्थानिक पैटर्न का सुझाव दिया जाता है और इसे द्विपद वितरण द्वारा सबसे अच्छा वर्णित किया जाता है। जब b = 1 और a> 1 होता है, तो अति-फैलाव (छोटे पैमाने पर एकत्रीकरण) होता है। जब बी> 1 होता है, तो एकत्रीकरण की डिग्री पी के साथ भिन्न होती है। टुरेचेक और अन्य ने दिखाया है कि द्विआधारी शक्ति नियम पादप विकृति विज्ञान में कई डेटा सेट का वर्णन करता है। सामान्य तौर पर, बी 1 से बड़ा और 2 से छोटा होता है। इस नियम की उपयुक्तता का अनुकरण द्वारा परीक्षण किया गया है। इन परिणामों से पता चलता है कि डेटा सेट के लिए एक एकल प्रतिगमन रेखा के बजाय, एक खंडीय प्रतिगमन वास्तव में यादृच्छिक वितरण के लिए एक बेहतर मॉडल हो सकता है। हालाँकि, यह विभाजन केवल बहुत कम दूरी की फैलाव दूरी और बड़े चतुर्भुज आकारों के लिए होता है। रेखा में विराम केवल पी पर 0 के बहुत करीब होता है। इस कानून के विस्तार का प्रस्ताव किया गया है। इस नियम का मूल रूप सममित है लेकिन इसे असममित रूप तक बढ़ाया जा सकता है। सिमुलेशन का उपयोग करके सममित रूप डेटा में फिट बैठता है जब पड़ोसियों की रोग स्थिति का सकारात्मक सहसंबंध होता है। जहाँ पड़ोसियों के संक्रमित होने की संभावना के बीच एक नकारात्मक संबंध है, असममित संस्करण डेटा के लिए बेहतर है। जीव विज्ञान में टेलर के नियम की सर्वव्यापी घटना के कारण इसके विभिन्न उपयोग पाए गए हैं जिनमें से कुछ यहां सूचीबद्ध हैं। उपयोग के लिए अनुशंसाएँ एक डेटा नमूने के लिए टेलर के नियम की वैधता का परीक्षण करने वाले अनुप्रयोगों में अनुकरण अध्ययनों के आधार पर यह अनुशंसा की गई है किः (1) अध्ययन किए गए जीवों की कुल संख्या> 15 (2) अध्ययन किए गए जीवों के समूहों की न्यूनतम संख्या> 5 (3) यादृच्छिक रूप से वितरित आबादी के नमूने के भीतर जीवों का घनत्व कम से कम 2 क्रम के परिमाण से भिन्न होना चाहिए। यदि किसी जनसंख्या को यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है तो जनसंख्या का औसत (एम) और भिन्नता (एस2) बराबर होता है और कम से कम एक व्यक्ति (पी) वाले नमूनों का अनुपात होता है जब एक गुच्छेदार पैटर्न वाली प्रजाति की तुलना यादृच्छिक रूप से समान समग्र घनत्व के साथ वितरित की जाती है, तो गुच्छेदार वितरण पैटर्न वाली प्रजाति के लिए पी कम होगा। इसके विपरीत जब एक समान और यादृच्छिक रूप से वितरित प्रजातियों की तुलना की जाती है, लेकिन समान समग्र घनत्व पर, यादृच्छिक रूप से वितरित आबादी के लिए पी अधिक होगा। इसका परीक्षण चित्रात्मक रूप से एम. विल्सन के खिलाफ पी प्लॉट करके किया जा सकता है और रूम ने एक द्विपद मॉडल विकसित किया जिसमें टेलर का नियम शामिल है। मूल संबंध वह है जहाँ लॉग को आधार पर ले जाया जाता है ई. टेलर के नियम को शामिल करते हुए यह संबंध फैलाव पैरामीटर अनुमानक बन जाता है नकारात्मक द्विपद वितरण का सामान्य फैलाव पैरामीटर (के) है जहाँ नमूना माध्य है और भिन्नता है। यदि 1/के> 0 है तो जनसंख्या को एकत्रित माना जाता है; 1/के = 0 (एस 2 = एम) जनसंख्या को यादृच्छिक रूप से वितरित (पॉइसन) माना जाता है और यदि 1/के <0 है तो जनसंख्या को समान रूप से वितरित माना जाता है। यदि k = 0 है तो वितरण पर कोई टिप्पणी नहीं की जा सकती है। विल्सन और रूम ने यह मानते हुए कि टेलर का नियम जनसंख्या पर लागू होता है, k के लिए एक वैकल्पिक अनुमानक दियाः जहाँ a और b टेलर के नियम से स्थिरांक हैं। जोन्स ने विल्सन और रूम के संबंध के साथ उपरोक्त के के लिए अनुमान का उपयोग करते हुए एक नमूना खोजने की संभावना के लिए विकसित किया जिसमें कम से कम एक व्यक्ति ने प्रति नमूना इकाई x व्यक्तियों वाले नमूने की संभावना के लिए एक अनुमानक प्राप्त किया। जोन्स का सूत्र वह है जहाँ पी (एक्स) प्रति नमूना इकाई में एक्स व्यक्तियों को खोजने की संभावना है, के का अनुमान विलन और कक्ष समीकरण से लगाया गया है और एम नमूना माध्य है। शून्य व्यक्तियों पी (0) को खोजने की संभावना का अनुमान नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ लगाया जाता है जोन्स इन संभावनाओं के लिए विश्वास अंतराल भी देता है। जहाँ CI विश्वास अंतराल है, t टी वितरण से लिया गया महत्वपूर्ण मूल्य है और N कुल नमूना आकार है। वितरण के काट्ज़ परिवार ने 2 मापदंडों (डब्ल्यू1, डब्ल्यू2) के साथ वितरण के एक परिवार (काट्ज़ परिवार) का प्रस्ताव रखा। वितरण के इस परिवार में विशेष मामलों के रूप में बर्नौली, ज्यामितीय, पास्कल और पॉइसन वितरण शामिल हैं। काट्ज़ वितरण का माध्य और विचरण वे हैं जहाँ m माध्य है और s2 नमूने का विचरण है। मापदंडों का अनुमान उन क्षणों की विधि से लगाया जा सकता है जिनसे हमारे पास है एक पॉइसन वितरण के लिए डब्ल्यू 2 = 0 और डब्ल्यू 1 = λ पोजीशन वितरण का पैरामीटर है। वितरण के इस परिवार को कभी-कभी वितरण के पंजेर परिवार के रूप में भी जाना जाता है। काट्ज़ परिवार वितरण के सुंड-जेवेल परिवार से संबंधित हैः सुंड-जेवेल परिवार के एकमात्र सदस्य पॉइसन, द्विपद, ऋणात्मक द्विपद (पास्कल), विस्तारित कटे हुए ऋणात्मक द्विपद और लघुगणक श्रृंखला वितरण हैं। यदि जनसंख्या काट्ज़ वितरण का पालन करती है तो टेलर के नियम के गुणांक काट्ज़ भी एक सांख्यिकीय परीक्षण पेश करते हैं जहाँ Jn परीक्षण सांख्यिकीय है, s2 नमूने का विचलन है, m नमूने का माध्य है और n नमूना का आकार है। Jn असिम्प्टोटिक रूप से सामान्य रूप से शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ वितरित किया जाता है। यदि नमूना पॉइसन वितरित Jn = 0 है; तो Jn <0 और> 0 के मान क्रमशः फैलाव के नीचे और ऊपर इंगित करते हैं। अत्यधिक फैलाव अक्सर अव्यक्त विषमता के कारण होता है-आबादी के भीतर कई उप आबादी की उपस्थिति से नमूना लिया जाता है। यह आँकड़ा नेमैन-स्कॉट आँकड़ों से संबंधित है जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से सामान्य माना जाता है और सशर्त ची-वर्ग आँकड़ों (पॉइसन फैलाव परीक्षण) को जनसंख्या के पॉइसन वितरित होने पर एन-1 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के साथ एक एसिम्प्टोटिक ची वर्ग वितरण के लिए जाना जाता है। यदि जनसंख्या टेलर के नियम का पालन करती है तो विलुप्त होने का समय यदि टेलर के नियम को लागू माना जाता है तो स्थानीय विलुप्त होने का औसत समय निर्धारित करना संभव है। यह मॉडल समय पर एक साधारण यादृच्छिक सैर और घनत्व पर निर्भर जनसंख्या विनियमन की अनुपस्थिति को मानता है। मान लीजिए कि जहाँ एन टी + 1 और एन टी क्रमशः समय टी + 1 और टी पर जनसंख्या के आकार हैं और आर वार्षिक वृद्धि (जनसंख्या में कमी) के बराबर पैरामीटर है। फिर भिन्नता कहाँ है। मान लीजिए कि यह प्रजातियों की प्रचुरता (प्रति इकाई क्षेत्र में जीव) का एक माप है। फिर जहाँ टी. ई. स्थानीय विलुप्त होने का औसत समय है। समय टी द्वारा विलुप्त होने की संभावना विलुप्त होने से बचने के लिए आवश्यक न्यूनतम जनसंख्या का आकार है यदि एक जनसंख्या को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है तो जनसंख्या के आकार (एच) का हार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य (एम) से संबंधित है यह देखते हुए कि जनसंख्या को बनाए रखने के लिए एच> 0 होना चाहिए तो हमारे पास प्रजातियों को बनाए रखने के लिए जनसंख्या का न्यूनतम आकार है। लॉग्नॉर्मल वितरण की धारणा 544 प्रजातियों के नमूने में से लगभग आधे पर लागू होती प्रतीत होती है। यह सुझाव देते हुए कि यह कम से कम एक प्रशंसनीय धारणा है। नमूना आकार अनुमानक परिशुद्धताक डिग्री (डी) केँ एस/एम के रूपमे परिभाषित कयल गेल छैक जतऽ एस मानक विचलन छैक आ एम माध्य छैक। सटीकता की डिग्री को अन्य संदर्भों में भिन्नता के गुणांक के रूप में जाना जाता है। पारिस्थितिकी अनुसंधान में यह अनुशंसा की जाती है कि डी 10-25% की सीमा में हो। सटीक की वांछित डिग्री आवश्यक नमूना आकार का अनुमान लगाने में महत्वपूर्ण है जहां एक अन्वेषक यह परीक्षण करना चाहता है कि क्या टेलर का नियम डेटा पर लागू होता है। कई सरल वितरणों के लिए आवश्यक नमूना आकार का अनुमान लगाया गया है, लेकिन जहां जनसंख्या वितरण ज्ञात नहीं है या माना नहीं जा सकता है, वहां आवश्यक नमूना आकार निर्धारित करने के लिए अधिक जटिल सूत्रों की आवश्यकता हो सकती है। जहाँ जनसंख्या पॉइसन वितरित है वहाँ नमूना आकार (एन) की आवश्यकता होती है जहाँ टी स्वतंत्रता की डिग्री के साथ प्रकार 1 त्रुटि के लिए टी वितरण का महत्वपूर्ण स्तर है जिसके साथ औसत (एम) की गणना की गई थी। यदि जनसंख्या को नकारात्मक द्विपद वितरण के रूप में वितरित किया जाता है तो आवश्यक नमूना आकार वह है जहाँ k नकारात्मक द्विपद वितरण का पैरामीटर है। एक अधिक सामान्य नमूना आकार अनुमानक भी प्रस्तावित किया गया है जहाँ ए और बी टेलर के नियम से प्राप्त होते हैं। साउथवुड द्वारा एक विकल्प प्रस्तावित किया गया है जहाँ n आवश्यक नमूना आकार है, a और b टेलर के नियम गुणांक हैं और D सटीकता की वांछित डिग्री है। करंडिनोस ने एन के लिए दो समान अनुमानक का प्रस्ताव रखा। पहले को रुसिंक द्वारा टेलर के नियम को शामिल करने के लिए संशोधित किया गया था। जहाँ डी वांछित विश्वास अंतराल (सी. आई.) और माध्य के आधे का अनुपात है। प्रतीकों में दूसरे अनुमानक का उपयोग द्विपद (उपस्थिति-अनुपस्थिति) नमूने में किया जाता है। वांछित नमूना आकार (एन) वह है जहाँ डी. पी. व्यक्तियों के साथ नमूना इकाइयों के अनुपात में वांछित विश्वास अंतराल के आधे का अनुपात है, पी व्यक्तियों वाले नमूनों का अनुपात है और क्यू = 1-पी। प्रतीकों में द्विआधारी (उपस्थिति/अनुपस्थिति) नमूने के लिए, शुल्थेस एट अल ने कारैंडिनोस के समीकरण को संशोधित किया जहां एन आवश्यक नमूना आकार है, पी रुचि के जीवों वाली इकाइयों का अनुपात है, टी महत्व का चुना हुआ स्तर है और डिप टेलर के नियम से प्राप्त एक पैरामीटर है। अनुक्रमिक नमूनाकरण अनुक्रमिक विश्लेषण सांख्यिकीय विश्लेषण की एक विधि है जिसमें नमूने का आकार पहले से तय नहीं किया जाता है। इसके बजाय नमूने एक पूर्वनिर्धारित रोक नियम के अनुसार लिए जाते हैं। टेलर के नियम का उपयोग कई विराम नियमों को प्राप्त करने के लिए किया गया है। टेलर के नियम का परीक्षण करने के लिए क्रमिक नमूने में निश्चित परिशुद्धता के लिए एक सूत्र 1970 में ग्रीन द्वारा प्राप्त किया गया था. जहां टी संचयी नमूना कुल है, डी परिशुद्धता का स्तर है, एन नमूना आकार है और ए और बी टेलर के नियम से प्राप्त किए जाते हैं। कीट नियंत्रण के लिए एक सहायता के रूप में विल्सन और अन्य ने एक परीक्षण विकसित किया जिसमें एक सीमा स्तर शामिल किया गया जहां कार्रवाई की जानी चाहिए। आवश्यक नमूना आकार वह है जहाँ a और b टेलर गुणांक हैं,।। निरपेक्ष मान है, m नमूना माध्य है, T सीमा स्तर है और t टी वितरण का महत्वपूर्ण स्तर है। लेखकों ने द्विपद (उपस्थिति-अनुपस्थिति) नमूने के लिए भी एक समान परीक्षण प्रदान किया जहां पी मौजूद कीटों के साथ एक नमूना खोजने की संभावना है और क्यू = 1-पी। ग्रीन ने टेलर के नियम के आधार पर अनुक्रमिक नमूने के लिए एक और नमूना सूत्र प्राप्त किया जहां डी सटीकता की डिग्री है, ए और बी टेलर के नियम गुणांक हैं, एन नमूना आकार है और टी नमूने लिए गए व्यक्तियों की कुल संख्या है। सेरा और अन्य लोगों ने टेलर के नियम के आधार पर एक रोक नियम का प्रस्ताव रखा है। जहाँ ए और बी टेलर के नियम के मापदंड हैं, डी सटीकता का वांछित स्तर है और टीएन कुल नमूना आकार है। सेरा और अन्य लोगों ने इवोआ के प्रतिगमन के आधार पर एक दूसरे रोक नियम का भी प्रस्ताव रखा जहां α और β प्रतिगमन रेखा के मापदंड हैं, D सटीकता का वांछित स्तर है और Tn कुल नमूना आकार है। लेखकों ने सिफारिश की कि जनसंख्या गतिकी के अध्ययन के लिए डी को 0.1 पर और कीट नियंत्रण के लिए डी = 0.25 पर निर्धारित किया जाए। संबंधित विश्लेषण एकत्रीकरण के कम से कम एक अतिरिक्त विश्लेषण (टेलर के नियम के अलावा) का अनुमान लगाना एक अच्छा अभ्यास माना जाता है क्योंकि केवल एक सूचकांक का उपयोग भ्रामक हो सकता है। हालाँकि जैविक नमूनों में विचरण और माध्य के बीच संबंधों का पता लगाने के लिए कई अन्य विधियाँ प्रस्तावित की गई हैं, लेकिन आज तक किसी ने भी टेलर के नियम की लोकप्रियता हासिल नहीं की है। टेलर के नियम के संयोजन में उपयोग किया जाने वाला सबसे लोकप्रिय विश्लेषण शायद इवाओ का पैचिनेस रिग्रेशन टेस्ट है, लेकिन यहाँ सूचीबद्ध सभी विधियों का उपयोग साहित्य में किया गया है। 1936 में बारलेट-इवाओ मॉडल बारलेट और बाद में 1968 में स्वतंत्र रूप से इवाओ दोनों ने भिन्नता और माध्य के बीच एक वैकल्पिक संबंध का प्रस्ताव रखा। प्रतीकों में जहां s ith नमूने में भिन्नता है और mi ith नमूने का माध्य है जब जनसंख्या एक नकारात्मक द्विपद वितरण का अनुसरण करती है, a = 1 और b = k (नकारात्मक द्विपद वितरण का प्रतिपादक)। अधिकांश अध्ययनों में यह वैकल्पिक सूत्रीकरण टेलर के नियम जितना उपयुक्त नहीं पाया गया है। नचमैन मॉडल नचमैन ने औसत घनत्व और शून्य गणना वाले नमूनों के अनुपात के बीच एक संबंध का प्रस्ताव रखाः जहां p0 शून्य गणना वाले नमूने का अनुपात है, m औसत घनत्व है, a एक पैमाना पैरामीटर है और b एक फैलाव पैरामीटर है। यदि a = b = 1 है तो वितरण यादृच्छिक है। इस संबंध का परीक्षण आमतौर पर इसके लघुगणक रूप में किया जाता है, ऑलसोप ने टेलर के नियम के साथ इस संबंध का उपयोग एक नमूने में संक्रमित इकाइयों के अनुपात के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए किया जहां D2 वांछित सटीकता की डिग्री है, zα/2 सामान्य वितरण का ऊपरी α/2 है, a और b टेलर के नियम गुणांक हैं, c और d नचमैन गुणांक हैं, n नमूना आकार है और N संक्रमित इकाइयों की संख्या है। कोनो-सुगिनो समीकरण द्विआधारी नमूनाकरण पारिस्थितिकी में असामान्य रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। 1958 में कोनो और सुगिनो ने एक समीकरण निकाला जो व्यक्तियों के बिना नमूनों के अनुपात को नमूनों के औसत घनत्व से संबंधित करता है। जहाँ p0 बिना किसी व्यक्ति के नमूने का अनुपात है, m औसत नमूना घनत्व है, a और b स्थिरांक हैं। टेलर के नियम की तरह यह समीकरण विभिन्न प्रकार की आबादी में फिट पाया गया है, जिसमें वे भी शामिल हैं जो टेलर के नियम का पालन करते हैं। ऋणात्मक द्विपद वितरण के विपरीत यह मॉडल माध्य घनत्व से स्वतंत्र है। इस समीकरण की व्युत्पत्ति सीधी है। मान लीजिए कि खाली इकाइयों का अनुपात p0 है और मान लीजिए कि ये तेजी से वितरित किए गए हैं। फिर दो बार लॉग लेते हुए और पुनः व्यवस्थित करते हुए, हम उपरोक्त समीकरण प्राप्त करते हैं। यह मॉडल नचमैन द्वारा प्रस्तावित मॉडल के समान है। इस मॉडल का लाभ यह है कि इसमें व्यक्तियों की गिनती की आवश्यकता नहीं है, बल्कि उनकी उपस्थिति या अनुपस्थिति की आवश्यकता है। कई मामलों में व्यक्तियों की गिनती संभव नहीं हो सकती है, विशेष रूप से जहां कीट अध्ययन का विषय हैं। ध्यान दें कि यह समीकरण प्रभावित चावल की पहाड़ियों की एक श्रृंखला के अनुपात पी और संक्रमण की औसत गंभीरता के बीच संबंध की जांच करते हुए प्राप्त किया गया था। अध्ययन किया गया मॉडल था जहां ए और बी अनुभवजन्य स्थिरांक हैं। इस मॉडल के आधार पर स्थिरांक a और b प्राप्त किए गए थे और P और mUs के मूल्यों से संबंधित एक तालिका तैयार की गई थी। इस समीकरण से m के अनुमानित अनुमान पक्षपात के अधीन हैं और यह अनुशंसा की जाती है कि इसके बजाय समायोजित माध्य (Ma) का उपयोग किया जाए जहां वार नमूना इकाई का विचलन है जिसका अर्थ है कि mi और m समग्र माध्य है। माध्य अनुमानों के लिए एक वैकल्पिक समायोजन वह है जहाँ एम. एस. ई. प्रतिगमन की माध्य वर्ग त्रुटि है। इस मॉडल का उपयोग गणनात्मक (अनुक्रमिक) नमूने के लिए स्टॉप लाइनों का अनुमान लगाने के लिए भी किया जा सकता है। अनुमानित साधनों का विचरण वह है जहाँ MSE प्रतिगमन की औसत वर्ग त्रुटि है, α और β क्रमशः प्रतिगमन का स्थिरांक और ढलान हैं, sβ2 प्रतिगमन के ढलान का विचरण है, N प्रतिगमन में बिंदुओं की संख्या है, n नमूना इकाइयों की संख्या है और p प्रतिगमन में p0 का औसत मूल्य है। ए और बी मापदंडों का अनुमान टेलर के नियम से लगाया गया हैः ह्यूजेस-मैडेन समीकरण ह्यूजेस और मैडेन ने समूह में द्विआधारी टिप्पणियों के लिए लागू एक समान संबंध का परीक्षण करने का प्रस्ताव दिया है, जहां प्रत्येक समूह में 0 से n व्यक्ति होते हैं। जहाँ ए, बी और सी स्थिरांक हैं, वैरोब्स देखा गया विचरण है, और पी एक विशेषता (जैसे रोग) वाले व्यक्तियों का अनुपात है, जो एक विशेषता वाले व्यक्ति की संभावना का अनुमान है। लघुगणक रूप में, यह संबंध है ज्यादातर मामलों में, यह माना जाता है कि b = c, एक सरल मॉडल की ओर ले जाता है इस संबंध को टेलर के नियम की तुलना में कम व्यापक परीक्षण के अधीन किया गया है। हालाँकि, इसने 100 से अधिक डेटा सेटों का सटीक वर्णन किया है, और ऐसा कोई प्रकाशित उदाहरण नहीं है जो यह बताता हो कि यह काम नहीं करता है। इस समीकरण का एक प्रकार शियोमी और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तावित किया गया था। () जिन्होंने प्रतिगमन का परीक्षण करने का सुझाव दिया जहां वैरोब विचरण है, ए और बी प्रतिगमन के स्थिरांक हैं, एन यहाँ नमूना आकार है (प्रति समूह नमूना नहीं) और पी कम से कम एक व्यक्ति वाले नमूने की संभावना है। नकारात्मक द्विपद वितरण मॉडल एक नकारात्मक द्विपद मॉडल भी प्रस्तावित किया गया है। क्षणों की विधि का उपयोग करते हुए फैलाव पैरामीटर (के) m2/(s2-m) है और पाई गणना> 0 वाले नमूनों का अनुपात है। k की गणना में उपयोग किए जाने वाले s2 टेलर के नियम द्वारा अनुमानित मान हैं। पाई को 1 − (k (k + m) −1) k के खिलाफ प्लॉट किया गया है और डेटा के फिट का नेत्रहीन निरीक्षण किया जाता है। पेरी और टेलर ने टेलर के नियम के आधार पर k के एक वैकल्पिक अनुमानक का प्रस्ताव रखा है। फैलाव पैरामीटर का एक बेहतर अनुमान अधिकतम संभावना की विधि के साथ किया जा सकता है। ऋणात्मक द्विपद के लिए इसका अनुमान उस समीकरण से लगाया जा सकता है जहाँ Ax x से अधिक व्यक्तियों वाले नमूनों की कुल संख्या है, N व्यक्तियों की कुल संख्या है, x एक नमूने में व्यक्तियों की संख्या है, m प्रति नमूने व्यक्तियों की औसत संख्या है और k घातांक है। के के मान का अनुमान संख्यात्मक रूप से लगाया जाना चाहिए। इस मॉडल के फिट होने की अच्छाई का परीक्षण ची वर्ग परीक्षण का उपयोग करने सहित कई तरीकों से किया जा सकता है। चूँकि ये छोटे नमूनों द्वारा पक्षपाती हो सकते हैं, एक विकल्प यू सांख्यिकीय है-नकारात्मक द्विपद वितरण के तहत अपेक्षित भिन्नता और नमूने के बीच का अंतर। इस वितरण का अपेक्षित विचरण m + m2/k है और जहाँ s2 नमूना विचरण है, m नमूना माध्य है और k नकारात्मक द्विपद पैरामीटर है। यू का विचरण वह है जहाँ पी = एम/के, क्यू = 1 + पी, आर = पी/क्यू और एन नमूने में व्यक्तियों की कुल संख्या है। U का अपेक्षित मान 0 है। बड़े नमूना आकारों के लिए यू सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। नोटः ऋणात्मक द्विपद वास्तव में वितरणों का एक परिवार है जिसे माध्य और विचरण के संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ a और p स्थिरांक हैं। जब a = 0 होता है तो यह पॉइसन वितरण को परिभाषित करता है। पी = 1 और पी = 2 के साथ, वितरण को क्रमशः एन. बी. 1 और एन. बी. 2 वितरण के रूप में जाना जाता है। यह मॉडल बारलेट द्वारा पहले प्रस्तावित मॉडल का एक संस्करण है। एक सामान्य फैलाव पैरामीटर के लिए परीक्षण फैलाव पैरामीटर (के) वह जगह है जहाँ एम नमूना माध्य है और एस 2 विचरण है। यदि k−1> 0 है तो जनसंख्या को एकत्रित माना जाता है; k−1 = 0 जनसंख्या को यादृच्छिक माना जाता है; और यदि k−1 <0 है तो जनसंख्या को समान रूप से वितरित माना जाता है। साउथवुड ने एक सामान्य फैलाव पैरामीटर (के. सी.) के अस्तित्व का परीक्षण करने के लिए माध्य और एक स्थिरांक के खिलाफ के को प्रतिगमन करने की सिफारिश की है जहां की और मी क्रमशः फैलाव पैरामीटर और आई. टी. एच. नमूने के औसत हैं। एक ढलान (बी) मान महत्वपूर्ण रूप से> 0 माध्य घनत्व पर के की निर्भरता को इंगित करता है। इलियट द्वारा एक वैकल्पिक विधि प्रस्तावित की गई थी जिसने (m2−s2/n) के खिलाफ (s2−m) प्लॉट करने का सुझाव दिया था। kc इस प्रतिगमन के 1/ढलान के बराबर है। चार्लीयर गुणांक इस गुणांक (सी) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है यदि जनसंख्या को नकारात्मक द्विपद शैली में वितरित माना जा सकता है, तो सी = 100 (1/के) 0.5 जहां के वितरण का फैलाव पैरामीटर है। इस सूचकांक की सामान्य व्याख्या इस प्रकार हैः आई. सी. <1, = 1,> 1 के मानों को एक समान वितरण, एक यादृच्छिक वितरण या एक समग्र वितरण के रूप में लिया जाता है। यदि टेलर के नियम को धारण करने के लिए माना जा सकता है, तो लॉयड का औसत भीड़ सूचकांक (आई. एम. सी.) नमूना इकाई में निहित अन्य बिंदुओं की औसत संख्या है जिसमें एक यादृच्छिक रूप से चुना गया बिंदु होता है। जहाँ m नमूना माध्य है और s2 विचरण है। लॉयड का पैचिनेस सूचकांक (आई. पी.) है यह पैटर्न की तीव्रता का एक माप है जो पतले होने (अंकों को यादृच्छिक रूप से हटाने) से प्रभावित नहीं होता है। इस सूचकांक को 1988 में पिलो द्वारा भी प्रस्तावित किया गया था और कभी-कभी इसे इसी नाम से भी जाना जाता है। चूँकि सूत्र से ही आईपी के विचरण का अनुमान लगाना बेहद मुश्किल है, इसलिए एलएलयोड ने डेटा में एक नकारात्मक द्विपद वितरण को फिट करने का सुझाव दिया। यह विधि एक पैरामीटर k देती है फिर पैचिनेस के सूचकांक की मानक त्रुटि कहाँ है, पैरामीटर k का विचलन है और q नमूने में लिए गए क्वाड्रेट की संख्या है। यदि जनसंख्या टेलर के नियम का पालन करती है तो पैचिनेस रिग्रेशन टेस्ट इवाओ ने क्लंपिंग के लिए परीक्षण करने के लिए एक पैचिनेस रिग्रेशन का प्रस्ताव रखा। y के विरुद्ध mi का एक साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन करें। इस प्रतिगमन में ढलान (बी) का मान क्लम्पिंग का एक संकेतक हैः ढलान = 1 यदि डेटा पॉइसन-वितरित है। स्थिरांक (ए) उन व्यक्तियों की संख्या है जो असीम घनत्व पर आवास की एक इकाई साझा करते हैं और <0,0 या> 0 हो सकते हैं। ये मान क्रमशः स्थानिक पैटर्न में आबादी की नियमितता, यादृच्छिकता और एकत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं। <1 के मान का अर्थ यह लिया जाता है कि वितरण की मूल इकाई एक एकल व्यक्ति है। जहाँ सांख्यिकीय s2/m स्थिर नहीं है, वहाँ इसका उपयोग लॉयड के सूचकांक को am + bm2 के खिलाफ वापस करने के लिए करने की सिफारिश की गई है जहाँ a और b स्थिर हैं। इस प्रतिगमन के लिए सटीक (डी) की दी गई डिग्री के लिए नमूना आकार (एन) इस प्रकार दिया जाता है जहां ए इस प्रतिगमन में स्थिरांक है, बी ढलान है, एम माध्य है और टी वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य है। इवाओ ने इस प्रतिगमन के आधार पर एक अनुक्रमिक नमूना परीक्षण का प्रस्ताव दिया है। इस परीक्षण की ऊपरी और निचली सीमाएँ महत्वपूर्ण घनत्व एमसी पर आधारित होती हैं जहाँ कीट के नियंत्रण के लिए कार्रवाई की आवश्यकता होती है। जहाँ nu और Nl क्रमशः ऊपरी और निचली सीमाएँ हैं, a प्रतिगमन से स्थिरांक है, b ढलान है और i नमूनों की संख्या है। कुनो ने इस प्रतिगमन के आधार पर एक वैकल्पिक अनुक्रमिक रोक परीक्षण का भी प्रस्ताव दिया है। जहाँ Tn कुल नमूना आकार है, D परिशुद्धता की डिग्री है, n नमूना इकाइयों की संख्या है, a स्थिरांक है और b क्रमशः प्रतिगमन से ढलान है। कुनो का परीक्षण इस शर्त के अधीन है कि n ± (b−1)/D2 पैरेला और जोन्स ने एक वैकल्पिक लेकिन संबंधित विराम रेखा का प्रस्ताव दिया है जहां a और b प्रतिगमन के मापदंड हैं, N नमूना इकाइयों की अधिकतम संख्या है और n व्यक्तिगत नमूना आकार है। मोरिसिटा का फैलाव सूचकांक (आई. एम.) इस बात की संभावना है कि पूरी आबादी से यादृच्छिक रूप से चुने गए दो बिंदु एक ही नमूने में हैं। उच्च मान अधिक गुच्छेदार वितरण का संकेत देते हैं। एक वैकल्पिक सूत्रीकरण वह है जहाँ n कुल नमूना आकार है, m नमूना माध्य है और x पूरे नमूने पर लिए गए योग के साथ व्यक्तिगत मान हैं। यह उस जगह के बराबर भी है जहाँ आई. एम. सी. लॉयड की भीड़ का सूचकांक है। यह सूचकांक जनसंख्या घनत्व से अपेक्षाकृत स्वतंत्र है लेकिन नमूने के आकार से प्रभावित है। मान> 1 क्लम्पिंग को दर्शाता है; मान <1 वितरण की एकरूपता को दर्शाता है और 1 का मान यादृच्छिक नमूने को दर्शाता है। मोरिसिटा ने दिखाया कि सांख्यिकी को एन-1 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के साथ एक ची वर्ग चर के रूप में वितरित किया जाता है। इस सूचकांक के लिए एक वैकल्पिक महत्व परीक्षण बड़े नमूनों के लिए विकसित किया गया है। जहाँ m समग्र नमूना माध्य है, n नमूना इकाइयों की संख्या है और z सामान्य वितरण एब्सिसा है। सामान्य वितरण के मूल्यों के विरुद्ध z के मूल्य की तुलना करके महत्व का परीक्षण किया जाता है। इसकी गणना के लिए एक कार्य शाकाहारी पैकेज में सांख्यिकीय आर भाषा में उपलब्ध है। ध्यान दें, मोरिसिटा के ओवरलैप सूचकांक के साथ भ्रमित न हों। मानकीकृत मोरिसिटा के सूचकांक स्मिथ-गिल ने मोरिसिटा के सूचकांक के आधार पर एक आँकड़ा विकसित किया जो नमूने के आकार और जनसंख्या घनत्व दोनों से स्वतंत्र है और-1 और + 1 से घिरा हुआ है। इस आँकड़े की गणना निम्नानुसार की जाती है पहले सामान्य तरीके से मोरिसिटा का सूचकांक (आईडी) निर्धारित करें। फिर मान लीजिए कि k उन इकाइयों की संख्या है जिनसे जनसंख्या का नमूना लिया गया था। उन दो महत्वपूर्ण मानों की गणना करें जहाँ χ2,97.5% और 2.5% आत्मविश्वास के स्तरों पर n-1 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के लिए ची वर्ग मान है। मानकीकृत सूचकांक (आई. पी.) की गणना फिर नीचे दिए गए सूत्रों में से एक से की जाती है। जब आई. डी. ≤ मैक> 1 जब मैक> आई. डी. ≤ 1 जब 1> आई. डी. ≤ म्यू जब 1> म्यू> आई. डी. आई. पी. ≤ 0.5 के 95 प्रतिशत विश्वास अंतराल के साथ + 1 और-1 के बीच होता है। यदि पैटर्न यादृच्छिक है तो आईपी का मान 0 है; यदि पैटर्न समान है, तो आईपी <0 और यदि पैटर्न एकत्रीकरण दिखाता है, तो आईपी> 0। साउथवुड के स्थानिक एकत्रीकरण सूचकांक (के) को परिभाषित किया गया है जहां m नमूने का माध्य है और m * लॉयड का भीड़ का सूचकांक है। फिशर का फैलाव सूचकांक फिशर का फैलाव सूचकांक फिशर आर. ए. (1925) अनुसंधान कार्यकर्ताओं के लिए सांख्यिकीय तरीके। हाफनर, न्यूयॉर्क इस सूचकांक का उपयोग जनसंख्या के अत्यधिक फैलाव का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है। यह अनुशंसा की जाती है कि अनुप्रयोगों में n> 5 और नमूनों की संख्या से विभाजित नमूना कुल> 3 हो। प्रतीकों में जहाँ x एक व्यक्तिगत नमूना मूल्य है। सूचकांक की अपेक्षा n के बराबर है और जब जनसंख्या पॉइसन वितरित की जाती है तो इसे n-1 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के साथ ची-वर्ग वितरण के रूप में वितरित किया जाता है। यह पैमाने के मापदंड के बराबर होता है जब जनसंख्या गामा वितरण का पालन करती है। यह समग्र आबादी और व्यक्तिगत रूप से नमूने लिए गए व्यक्तिगत क्षेत्रों दोनों पर लागू किया जा सकता है। अलग-अलग नमूना क्षेत्रों पर इस परीक्षण के उपयोग में बोनफेरोनी सुधार कारक का उपयोग भी शामिल होना चाहिए। यदि जनसंख्या टेलर के नियम का पालन करती है तो समूह के आकार का सूचकांक डेविड और मूर द्वारा समूह के आकार का सूचकांक (आई. सी. एस.) बनाया गया था। यादृच्छिक (पॉइसन) वितरण के तहत आई. सी. एस. के 0 के बराबर होने की उम्मीद है। सकारात्मक मान एक गुच्छेदार वितरण को इंगित करते हैं; नकारात्मक मान एक समान वितरण को इंगित करते हैं। जहाँ s2 विचरण है और m माध्य है। यदि जनसंख्या टेलर के नियम का पालन करती है तो आई. सी. एस. भी काट्ज़ के परीक्षण सांख्यिकी को (एन/2) 1/2 से विभाजित करने के बराबर है जहाँ एन नमूना आकार है। यह क्लैफम के परीक्षण आँकड़ों से भी संबंधित है। इसे कभी-कभी क्लम्पिंग सूचकांक भी कहा जाता है। ग्रीन का सूचकांक ग्रीन का सूचकांक (जी. आई.) समूह के आकार के सूचकांक का एक संशोधन है जो n नमूना इकाइयों की संख्या से स्वतंत्र है। यह सूचकांक 0 के बराबर होता है यदि वितरण यादृच्छिक है, 1 यदि यह अधिकतम रूप से एकत्रित है और-1/(nm−1) यदि यह समान है। ग्रीन सूचकांक का वितरण वर्तमान में ज्ञात नहीं है इसलिए इसके लिए सांख्यिकीय परीक्षण तैयार करना मुश्किल हो गया है। यदि जनसंख्या टेलर के नियम का पालन करती है तो द्विआधारी फैलाव सूचकांक द्विआधारी नमूनाकरण (उपस्थिति/अनुपस्थिति) का अक्सर उपयोग किया जाता है जहां सटीक गणना प्राप्त करना मुश्किल होता है। फैलाव सूचकांक (डी) का उपयोग तब किया जाता है जब अध्ययन जनसंख्या को समान नमूनों की एक श्रृंखला में विभाजित किया जाता है (इकाइयों की संख्या = एनः प्रति नमूने इकाइयों की संख्या = एनः कुल जनसंख्या आकार = एन x एन)। एक द्विपद वितरण के साथ जनसंख्या से एक नमूने का सैद्धांतिक विचरण वह है जहाँ s2 विचरण है, n नमूने की गई इकाइयों की संख्या है और p कम से कम एक व्यक्ति के साथ नमूना इकाइयों का औसत अनुपात है। फैलाव सूचकांक (डी) को देखे गए विचलन और अपेक्षित विचलन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रतीकों में जहां वैरोब्स देखा गया विचरण है और वरबिन अपेक्षित विचरण है। प्रत्याशित भिन्नता की गणना जनसंख्या के समग्र औसत के साथ की जाती है। डी> 1 के मानों को एकत्रीकरण का सुझाव माना जाता है। डी (एन-1) को एन-1 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के साथ ची वर्ग चर के रूप में वितरित किया जाता है जहाँ एन नमूने की गई इकाइयों की संख्या है। एक वैकल्पिक परीक्षण सी परीक्षण है। जहाँ डी फैलाव सूचकांक है, एन प्रति नमूने इकाइयों की संख्या है और एन नमूनों की संख्या है। सी सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। सी का एक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण मूल्य इंगित करता है कि population.D का अत्यधिक फैलाव इंट्राक्लास सहसंबंध (ρ) से भी संबंधित है जिसे इस रूप में परिभाषित किया गया है जहां टी प्रति नमूने जीवों की संख्या है, पी जीव की वांछित संपत्ति (रोगग्रस्त, कीट मुक्त, आदि) होने की संभावना है, और xi इस गुण के साथ आई. टी. एच. इकाई में जीवों की संख्या है। टी सभी नमूना इकाइयों के लिए समान होना चाहिए। इस मामले में n स्थिरांक के साथ यदि डेटा को बीटा-द्विपद वितरण के साथ फिट किया जा सकता है तो जहां θ वितरण का पैरामीटर है। मा के जनसंख्या एकत्रीकरण महत्वपूर्ण घनत्व मा ने टेलर के नियम से जनसंख्या घनत्व को संबंधित करने के लिए एक पैरामीटर (m0)-जनसंख्या एकत्रीकरण महत्वपूर्ण घनत्व का प्रस्ताव दिया है। संबंधित सांख्यिकी कई सांख्यिकीय परीक्षण ज्ञात हैं जो अनुप्रयोगों में उपयोगी हो सकते हैं। डी ओलिवेरिया का सांख्यिकी डी ओलिवेरिया द्वारा सुझाए गए एक संबंधित सांख्यिकी विचरण और माध्य का अंतर है। यदि जनसंख्या पॉइसन वितरित है तो जहाँ टी पॉइसन पैरामीटर है, s2 विचरण है, m माध्य है और n नमूना आकार है। s2-m का अपेक्षित मान शून्य है। यह आँकड़ा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। यदि इस समीकरण में पॉइसन पैरामीटर का अनुमान t = m लगाकर लगाया जाता है, तो थोड़ा हेरफेर करने के बाद इस सांख्यिकीय को लिखा जा सकता है यह लगभग काट्ज़ के सांख्यिकीय के समान है जिसमें (n-1) n की जगह लेता है। फिर से ओटी को आम तौर पर माध्य 0 और बड़े n के लिए इकाई भिन्नता के साथ वितरित किया जाता है। यह सांख्यिकीय नेमैन-स्कॉट सांख्यिकीय के समान है। नोट डी ओलिवेरिया ने वास्तव में सुझाव दिया कि s2-m का विचरण (1-2t1/2 + 3t)/n था जहाँ t पॉइसन पैरामीटर है। उन्होंने सुझाव दिया कि टी को नमूने के माध्य (एम) के बराबर रखकर अनुमान लगाया जा सकता है। बोनिंग द्वारा आगे की जांच से पता चला कि भिन्नता का यह अनुमान गलत था। बोनिंग का सुधार उपरोक्त समीकरणों में दिया गया है। 1936 में क्लैफम के परीक्षण ने एक परीक्षण सांख्यिकीय (सापेक्ष विचरण) के रूप में माध्य के विचरण के अनुपात का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। प्रतीकों में अधिकार वितरण के लिए यह अनुपात 1 के बराबर होता है। इस मान से विचलन का परीक्षण करने के लिए उन्होंने ची वर्ग वितरण के खिलाफ इसके मूल्य का परीक्षण करने का प्रस्ताव किया जिसमें n स्वतंत्रता की डिग्री है जहां n नमूना इकाइयों की संख्या है। इस सांख्यिकी के वितरण का अध्ययन ब्लैकमैन द्वारा आगे किया गया था, जिन्होंने नोट किया कि यह लगभग सामान्य रूप से 1 के माध्य और 1 के विचरण (Vθ) के साथ वितरित किया गया था। यह परीक्षण बाद के काट्ज़ के Jn आँकड़ों से संबंधित है। यदि जनसंख्या टेलर के नियम का पालन करती है तो इस परीक्षण पर एक संशोधन भी प्रकाशित किया गया है इन लेखकों ने नोट किया कि मूल परीक्षण उच्च पैमाने पर अतिविक्षेपण का पता लगाने की प्रवृत्ति रखता है, तब भी जब यह डेटा में मौजूद नहीं था। उन्होंने नोट किया कि ऐसे डेटा के लिए पॉइसन वितरण के उपयोग की तुलना में बहुपद वितरण का उपयोग अधिक उपयुक्त हो सकता है। सांख्यिकी θ वितरित की जाती है जहाँ N नमूना इकाइयों की संख्या है, n जांच किए गए नमूनों की कुल संख्या है और xi व्यक्तिगत डेटा मान हैं। बड़े N के लिए, E (θ) लगभग 1 है और यदि नमूने लिए गए व्यक्तियों (n ") की संख्या बड़ी है तो भिन्नता का यह अनुमान पहले प्राप्त किए गए अनुमानों के साथ सहमत है। हालांकि, छोटे नमूनों के लिए ये बाद के अनुमान अधिक सटीक हैं और इनका उपयोग किया जाना चाहिए। मोरिसिटा का अतिव्यापी सूचकांक भी देखें अधिभोग का प्राकृतिक घातीय परिवार स्केलिंग पैटर्न स्थानिक पारिस्थितिकी वाटसन का शक्ति कानून घनत्व-द्रव्यमान एलोमेट्री भिन्नता-द्रव्यमान संदर्भ पारिस्थितिकी जीव विज्ञान कानून शक्ति कानून सांख्यिकीय विचलन और फैलाव सांख्यिकीय कानून पर्यावरण सांख्यिकी