Campbell's theorem (probability)
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, कैम्पबेल की प्रमेय या कैम्पबेल-हार्डी प्रमेय या तो एक विशेष समीकरण या परिणामों का समूह है जो एक बिंदु प्रक्रिया पर एक फलन की अपेक्षा से संबंधित है, जो बिंदु प्रक्रिया के औसत माप को शामिल करते हुए एक समाकलन के लिए है, जो यादृच्छिक राशि के अपेक्षित मूल्य और भिन्नता की गणना करने की अनुमति देता है। प्रमेय का एक संस्करण, जिसे कैम्पबेल के सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया पर उपरोक्त योग के लिए एक अभिन्न समीकरण प्रदान करता है, और जरूरी नहीं कि एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया हो। क्षण माप और भाज्य क्षण माप से जुड़े समीकरण भी मौजूद हैं जिन्हें कैम्पबेल के सूत्र का संस्करण माना जाता है। इन सभी परिणामों को बिंदु प्रक्रियाओं और कतार सिद्धांत के सिद्धांत के साथ-साथ संबंधित क्षेत्रों यादृच्छिक ज्यामिति, निरंतरता परावर्तन सिद्धांत और स्थानिक सांख्यिकी में एक विशेष महत्व के साथ संभावना और सांख्यिकी में नियोजित किया जाता है। कैम्पबेल के प्रमेय के नाम से एक और परिणाम विशेष रूप से पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए है और क्षणों की गणना के साथ-साथ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लाप्लास कार्यात्मक के लिए एक विधि देता है। दोनों प्रमेयों का नाम नॉर्मन आर. कैम्पबेल द्वारा थर्मियोनिक शोर पर किए गए काम से निकला है, जिसे वैक्यूम ट्यूबों में शॉट शोर के रूप में भी जाना जाता है, जो आंशिक रूप से अल्फा कण का पता लगाने पर अर्नेस्ट रदरफोर्ड और हंस गीगर के काम से प्रेरित था, जहां हैरी बेटमैन द्वारा अंतर समीकरणों के एक परिवार के समाधान के रूप में पॉइसन बिंदु प्रक्रिया उत्पन्न हुई थी। कैम्पबेल के काम में, वह वास्तविक रेखा पर एक पॉइसन प्रक्रिया के यादृच्छिक योग के क्षणों और उत्पन्न करने वाले कार्यों को प्रस्तुत करते हैं, लेकिन टिप्पणी करते हैं कि मुख्य गणितीय तर्क जी. एच. हार्डी के कारण था, जिसने परिणाम को कभी-कभी कैम्पबेल-हार्डी प्रमेय कहने के लिए प्रेरित किया है। पृष्ठभूमि डी-आयामी यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित एक बिंदु प्रक्रिया के लिए, कैम्पबेल की प्रमेय एक वास्तविक-मूल्य वाले फलन की अपेक्षाओं की गणना करने का एक तरीका प्रदान करती है, जिस पर भी परिभाषित किया गया है और सारांशित किया गया है, अर्थात्ः जहां अपेक्षा को दर्शाता है और सेट संकेतन का उपयोग इस तरह किया जाता है जिसे यादृच्छिक सेट के रूप में माना जाता है (बिंदु प्रक्रिया संकेतन देखें)। एक बिंदु प्रक्रिया के लिए, कैम्पबेल की प्रमेय उपरोक्त अपेक्षा को तीव्रता माप के साथ संबंधित करती है। बोरेल समुच्चय बी के संबंध में तीव्रता माप को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहां माप संकेतन का उपयोग इस तरह किया जाता है जिसे यादृच्छिक गणना माप माना जाता है। मात्रा की व्याख्या सेट बी में स्थित बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की औसत संख्या के रूप में की जा सकती है। पहली परिभाषाः सामान्य बिंदु प्रक्रिया कैम्पबेल के प्रमेय का एक संस्करण तीव्रता माप के साथ एक सामान्य (आवश्यक रूप से सरल नहीं) बिंदु प्रक्रिया के लिए हैः इसे कैम्पबेल के सूत्र या कैम्पबेल के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो वास्तविक रेखा पर श्रेणियों के साथ मापने योग्य कार्यों के योग की अपेक्षाओं की गणना करने के लिए एक विधि देता है। अधिक विशेष रूप से, एक बिंदु प्रक्रिया और एक मापने योग्य फलन के लिए, बिंदु प्रक्रिया पर का योग समीकरण द्वारा दिया जाता हैः जहां समीकरण का एक पक्ष परिमित है, तो दूसरा पक्ष भी ऐसा ही है। यह समीकरण अनिवार्य रूप से फुबिनी के प्रमेय का एक अनुप्रयोग है और यह बिंदु प्रक्रियाओं के एक विस्तृत वर्ग के लिए है, सरल या नहीं। समाकलन संकेतन के आधार पर, इस समाकलन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता हैः यदि किसी बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता माप में घनत्व है, तो कैम्पबेल का सूत्र बन जाता हैः स्थिर बिंदु प्रक्रिया स्थिर घनत्व के साथ एक स्थिर बिंदु प्रक्रिया के लिए, कैम्पबेल का प्रमेय या सूत्र एक आयतन समाकलन में कम हो जाता हैः यह समीकरण स्वाभाविक रूप से सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं के लिए है, जो एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया का एक उदाहरण है। अनुप्रयोगः सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए यादृच्छिक योग कैम्पबेल का प्रमेय बिंदु प्रक्रिया में सभी बिंदुओं पर संक्षेपित एक बिंदु (एक बिंदु प्रक्रिया के) के फलन की अपेक्षा की गणना करने के लिए एक विधि देता है। बिंदु प्रक्रियाओं पर इन यादृच्छिक योगों के कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं जहां उनका उपयोग गणितीय मॉडल के रूप में किया जाता है। शॉट शोर कैम्पबेल ने मूल रूप से वाल्व में थर्मियोनिक शोर को समझने से प्रेरित यादृच्छिक राशियों की एक समस्या का अध्ययन किया, जिसे शॉट-शोर के रूप में भी जाना जाता है। नतीजतन, बिंदु प्रक्रियाओं पर कार्यों के यादृच्छिक योग के अध्ययन को संभावना में शॉट शोर और विशेष रूप से, बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। वायरलेस नेटवर्क में हस्तक्षेप वायरलेस नेटवर्क संचार में, जब एक ट्रांसमीटर एक रिसीवर को संकेत भेजने का प्रयास कर रहा होता है, तो नेटवर्क में अन्य सभी ट्रांसमीटरों को हस्तक्षेप माना जा सकता है, जो सूचना सिद्धांत के आधार पर डेटा भेजने की क्षमता के संदर्भ में पारंपरिक वायर्ड दूरसंचार नेटवर्क में शोर के समान समस्या पैदा करता है। यदि हस्तक्षेप करने वाले ट्रांसमीटरों की स्थिति को कुछ बिंदु प्रक्रिया माना जाता है, तो शॉट शोर का उपयोग उनके हस्तक्षेप करने वाले संकेतों के योग को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, जिससे वायरलेस नेटवर्क के यादृच्छिक ज्यामिति मॉडल बने हैं। सामान्यीकरण सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कैम्पबेल के प्रमेय के अन्य अधिक सामान्य संस्करण यादृच्छिक योग की प्रकृति और विशेष रूप से बिंदु प्रक्रिया पर योग किए जा रहे कार्य के आधार पर मौजूद हैं। एकाधिक बिंदुओं के कार्य यदि फलन बिंदु प्रक्रिया के एक से अधिक बिंदुओं का कार्य है, तो बिंदु प्रक्रिया के क्षण माप या भाज्य क्षण माप की आवश्यकता होती है, जिसकी तुलना यादृच्छिक चर के क्षण और भाज्य से की जा सकती है। आवश्यक माप का प्रकार इस बात पर निर्भर करता है कि यादृच्छिक योग में बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को अलग करने की आवश्यकता है या दोहराया जा सकता है। जब अंकों को दोहराने की अनुमति दी जाती है तो दोहराने वाले अंकों का उपयोग किया जाता है। विशिष्ट बिंदु कारक क्षण माप का उपयोग तब किया जाता है जब अंकों को दोहराने की अनुमति नहीं होती है, इसलिए बिंदु अलग होते हैं। बिंदुओं के कार्य और बिंदु प्रक्रिया सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कैम्पबेल की प्रमेय केवल बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु के कार्यों के योग के लिए है। एकल बिंदु के साथ-साथ संपूर्ण बिंदु प्रक्रिया के फलन के योग की गणना करने के लिए, बिंदु प्रक्रिया के ताड़ वितरण का उपयोग करके सामान्यीकृत कैम्पबेल के प्रमेयों की आवश्यकता होती है, जो ताड़ सिद्धांत या ताड़ कलन के रूप में जानी जाने वाली संभावना की शाखा पर आधारित है। दूसरी परिभाषाः पॉइसन बिंदु प्रक्रिया कैम्पबेल के प्रमेय का एक अन्य संस्करण कहता है कि तीव्रता माप और एक मापने योग्य फलन के साथ एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, यादृच्छिक योग संभावना एक के साथ पूरी तरह से अभिसारी है यदि और केवल तभी जब समाकलन प्रदान किया जाता है कि यह समाकलन परिमित है, तो प्रमेय आगे दावा करता है कि किसी भी जटिल मूल्य के लिए समीकरण तब होता है जब दाहिने हाथ की ओर का समाकलन अभिसारी होता है, जो विशुद्ध रूप से काल्पनिक के लिए मामला है। इसके अलावा, और यदि यह समाकलन अभिसरण करता है, तो यादृच्छिक योग के विचरण को कहाँ दर्शाता है। इस प्रमेय से पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए कुछ अपेक्षा परिणाम आते हैं, जिसमें इसका लाप्लास कार्यात्मक भी शामिल है। अनुप्रयोगः लाप्लास कार्यात्मक तीव्रता माप के साथ एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, लाप्लास कार्यात्मक कैम्पबेल के प्रमेय के उपरोक्त संस्करण का एक परिणाम है और इसके द्वारा दिया जाता हैः जो सजातीय मामले के लिए हैः टिप्पणियाँ संदर्भ संभाव्यता प्रमेय