Tate curve
गणित में, टेट वक्र पूर्णांक गुणांक के साथ औपचारिक शक्ति श्रृंखला के वलय पर परिभाषित एक वक्र है। खुले उपशीर्षक के ऊपर जहाँ q व्युत्क्रमणीय है, टेट वक्र एक दीर्घवृत्ताकार वक्र है। टेट वक्र को q के लिए 1 से कम मानक के पूर्ण क्षेत्र के एक तत्व के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिस स्थिति में औपचारिक शक्ति श्रृंखला अभिसरण करती है। टेट वक्र को 1959 की एक पांडुलिपि में पेश किया गया था जिसका मूल शीर्षक था "पूर्ण क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों पर तर्कसंगत बिंदु"; उन्होंने कई वर्षों बाद तक अपने परिणाम प्रकाशित नहीं किए, और उनका काम पहली बार 1959 में दिखाई दिया। परिभाषा टेट वक्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला के वलय Z पर प्रोजेक्टिव प्लेन वक्र है जिसमें समीकरण द्वारा दिए गए पूर्णांक गुणांक (प्रोजेक्टिव प्लेन के एक एफ़ाइन ओपन सबसेट में) हैं जहां पूर्णांक गुणांक के साथ शक्ति श्रृंखला हैं। एक पूर्ण क्षेत्र पर टेट वक्र मान लीजिए कि क्षेत्र k कुछ निरपेक्ष मान।। के संबंध में पूर्ण है, और q |q। <1 के साथ क्षेत्र k का एक गैर-शून्य तत्व है। फिर सभी से ऊपर की श्रृंखला अभिसरण करती है, और k पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र को परिभाषित करती है। यदि इसके अलावा q गैर-शून्य है तो k */qZ से इस दीर्घवृत्ताकार वक्र तक समूहों का एक समरूपता है, जो q की घात नहीं होने पर, जहां q की शक्तियों को दीर्घवृत्ताकार वक्र की अनंतता पर बिंदु तक ले जाते हैं। श्रृंखला x (डब्ल्यू) और y (डब्ल्यू) डब्ल्यू में औपचारिक शक्ति श्रृंखला नहीं हैं। सहज ज्ञान युक्त उदाहरण पूर्ण क्षेत्र पर वक्र के मामले में, कल्पना करने के लिए सबसे आसान मामला है, जहां एक गुणक अवधि द्वारा उत्पन्न असतत उपसमूह है, जहां अवधि है। ध्यान दें कि समरूप है, जहाँ योग के तहत जटिल संख्याएँ हैं। यह देखने के लिए कि टेट वक्र नैतिक रूप से एक टोरस से क्यों मेल खाता है, जब क्षेत्र सामान्य मानक के साथ सी है, तो पहले से ही एकल रूप से आवधिक है; q की अभिन्न शक्तियों से आप बाहर निकल रहे हैं, जो कि एक टोरस है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास एक वलयाकार है, और हम आंतरिक और बाहरी किनारों को चिपकाते हैं। लेकिन वलयाकार वृत्त के शून्य से एक बिंदु के अनुरूप नहीं हैः वलयाकार q की दो लगातार शक्तियों के बीच जटिल संख्याओं का समूह है; मान लीजिए कि 1 और q के बीच परिमाण वाली सभी जटिल संख्याएँ। यह हमें दो वृत्त देता है, अर्थात, एक वलयाकार के आंतरिक और बाहरी किनारे। यहाँ दी गई टोरस की छवि जड़ित वृत्तों का एक समूह है जो मूल स्थान के करीब पहुँचते-पहुँचते संकीर्ण और संकीर्ण होता जा रहा है। यह सामान्य विधि से थोड़ा अलग है जो कागज की एक सपाट चादर से शुरू होती है, और एक सिलेंडर बनाने के लिए किनारों को एक साथ चिपकाती है, और फिर एक टोरस बनाने के लिए सिलेंडर के किनारों को एक साथ चिपकाती है। यह थोड़ा अधिक सरल है। टेट वक्र वास्तव में सी पर एक वक्र के बजाय एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला रिंग पर एक वक्र है। सहज रूप से, यह एक औपचारिक पैरामीटर के आधार पर वक्रों का एक परिवार है। जब वह औपचारिक पैरामीटर शून्य होता है तो यह एक चुटकीदार टोरस में पतित हो जाता है, और जब यह गैर-शून्य होता है तो यह एक टोरस होता है)। गुण टेट वक्र का जे-अपरिवर्तनीय q में एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जाता है जिसमें प्रमुख शब्द q−1 होता है। एक पी-एडिक स्थानीय क्षेत्र पर, इसलिए, जे गैर-अभिन्न है और टेट वक्र में गुणक प्रकार की अर्धस्थायी कमी है। इसके विपरीत, एक स्थानीय क्षेत्र पर प्रत्येक अर्धस्थायी दीर्घवृत्ताकार वक्र एक टेट वक्र (द्विघात मोड़ तक) के लिए समरूप है। संदर्भ अण्डाकार वक्र