Euler substitution
यूलर प्रतिस्थापन उस रूप के समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए एक विधि है जहाँ और का एक परिमेय कार्य है। ऐसे मामलों में, यूलर के प्रतिस्थापन का उपयोग करके समाकलन को एक तर्कसंगत कार्य में बदला जा सकता है। यूलर का पहला प्रतिस्थापन यूलर के पहले प्रतिस्थापन का उपयोग कब किया जाता है। हम इसके लिए परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित और हल करते हैं। हमारे पास वह है और यह शब्द तर्कसंगत रूप से व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रतिस्थापन में, या तो सकारात्मक संकेत या नकारात्मक संकेत चुना जा सकता है। यूलर का दूसरा प्रतिस्थापन यदि, हम लेते हैं हम ऊपर की तरह ही हल करते हैं और फिर से पाते हैं, तो सकारात्मक या नकारात्मक संकेत चुना जा सकता है। यूलर का तीसरा प्रतिस्थापन यदि बहुपद में वास्तविक मूल हैं और, तो हम चुन सकते हैं। यह उपज देता है और जैसा कि पिछले मामलों में, हम पूरे समाकलन को तर्कसंगत रूप से व्यक्त कर सकते हैं। यूलर के पहले प्रतिस्थापन के लिए काम किए गए उदाहरण एक समाकलन में हम पहले प्रतिस्थापन और समुच्चय का उपयोग कर सकते हैं, इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैंः मामले सूत्र दो देते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करने से हमें पता चलता है कि कौन सी शर्तें रद्द हो जाएंगी। पैदावार के लिए हल करते हुए, हम पाते हैं कि अंतर और इससे संबंधित हैं इसलिए, यूलर के दूसरे प्रतिस्थापन के लिए उदाहरण समाकलन में हम दूसरे प्रतिस्थापन और सेट का उपयोग कर सकते हैं। इस प्रकार और तदनुसार, हम प्राप्त करते हैंः यूलर के तीसरे प्रतिस्थापन के लिए उदाहरण मूल्यांकन करने के लिए हम तीसरे प्रतिस्थापन और सेट का उपयोग कर सकते हैं। इस प्रकार और अगला, जैसा कि हम देख सकते हैं कि यह एक परिमेय फलन है जिसे आंशिक अंशों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। सामान्यीकरण यूलर के प्रतिस्थापन को काल्पनिक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समाकलन में, प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है। जटिल संख्याओं के विस्तार से हम द्विघात पर गुणांक की परवाह किए बिना हर प्रकार के यूलर प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं। यूलर के प्रतिस्थापन को कार्यों के एक बड़े वर्ग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उस रूप के समाकलन पर विचार करें जहाँ और और के परिमेय कार्य हैं। इस समाकलन को प्रतिस्थापन द्वारा एक अन्य समाकलन में परिवर्तित किया जा सकता है जहां और अब केवल तर्कसंगत कार्य हैं। सिद्धांत रूप में, गुणनखंडन और आंशिक अंश अपघटन को समाकलन को सरल शब्दों में विभाजित करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, जिसे द्विगुणित फलन के उपयोग के माध्यम से विश्लेषणात्मक रूप से एकीकृत किया जा सकता है। प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन वीयरस्ट्रास प्रतिस्थापन संदर्भ समाकलन कलन भी देखें।