Fréchet inequalities
संभावित तर्क में, फ्रेचेट असमानताएँ, जिन्हें बूल-फ्रेचेट असमानताओं के रूप में भी जाना जाता है, जॉर्ज बूल के काम में निहित नियम हैं और स्पष्ट रूप से मौरिस फ्रेचेट द्वारा व्युत्पन्न हैं जो तार्किक प्रस्तावों या घटनाओं के बारे में संभावनाओं के संयोजन को नियंत्रित करते हैं जो तार्किक रूप से संयोजन (ए. एन. डी. संचालन) या विच्छेदन (ओ. आर. संचालन) में एक साथ जुड़े होते हैं जैसा कि बूलियन अभिव्यक्तियों या जोखिम मूल्यांकन, इंजीनियरिंग डिजाइन और कृत्रिम बुद्धिमत्ता में सामान्य गलती या घटना वृक्षों में होता है। इन असमानताओं को इस बारे में नियम माना जा सकता है कि स्वतंत्रता ग्रहण किए बिना या वास्तव में, कोई भी निर्भरता धारणा बनाए बिना संभावनाओं से जुड़ी गणनाओं को कैसे बाध्य किया जाए। फ्रेचेट असमानताएँ बूले-बोनफेरोनी-फ्रेचेट असमानताओं और फ्रेचेट सीमाओं से निकटता से संबंधित हैं। यदि तार्किक प्रस्ताव या घटनाएँ हैं, तो फ्रेचेट असमानताएँ एक तार्किक संयोजन की प्रायिकता () एक तार्किक विच्छेदन की प्रायिकता () हैं जहाँ पी () एक घटना या प्रस्ताव की प्रायिकता को दर्शाता है। ऐसे मामले में जहां केवल दो घटनाएं होती हैं, जैसे कि ए और बी, असमानताएं एक तार्किक संयोजन की संभावना तक कम हो जाती हैं () एक तार्किक विच्छेद की संभावना () असमानताएं व्यक्तिगत घटनाओं की संभावनाओं को देखते हुए दो प्रकार की संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं को बाध्य करती हैं। उदाहरण के लिए, यदि ए को "फेफड़ों का कैंसर है", और बी को "मेसोथेलियोमा है", तो ए और बी को "फेफड़ों का कैंसर और मेसोथेलियोमा दोनों है", और ए बी को "फेफड़ों का कैंसर या मेसोथेलियोमा या दोनों बीमारियाँ हैं", और असमानताएँ इन घटनाओं के जोखिमों से संबंधित हैं। ध्यान दें कि तार्किक संयोजनों को विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न तरीकों से दर्शाया जाता है, जिसमें AND, &, & और ग्राफिकल AND-गेट शामिल हैं। लॉजिकल डिसजंक्शन को भी इसी तरह से विभिन्न तरीकों से दर्शाया जाता है, जिसमें OR,।,।, और ग्राफिकल OR-गेट शामिल हैं। यदि किसी घटना की संभावना पी (ए) = ए = 0.7 है, और घटना बी की संभावना पी (बी) = बी = 0.8 है, तो संयोजन की संभावना, यानी संयुक्त घटना ए और बी, निश्चित रूप से अंतराल में होती है। जब सीमांत संभावनाएं बहुत छोटी (या बड़ी) होती हैं, तो स्वतंत्रता के तहत अनुरूप परिणामों के बारे में फ्रेचेट अंतराल दृढ़ता से असममित होते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि पी (ए) = 0.000002 = और पी (बी) = 0.000003 =। फिर फ्रेचेट असमानताएँ कहती हैं कि पी (ए और बी) अंतराल [0,] में है, और पी (ए. बी.) अंतराल [,] में है। यदि ए और बी स्वतंत्र हैं, तो ए और बी की संभावना तुलनात्मक रूप से फ्रेचेट अंतराल की निचली सीमा (शून्य) के बहुत करीब है। इसी तरह, ए. बी. की संभावना है, जो फ्रेचेट अंतराल की ऊपरी सीमा के बहुत करीब है। यही वह है जो विश्वसनीयता सिद्धांत में अक्सर उपयोग किए जाने वाले दुर्लभ-घटना सन्निकटन को उचित ठहराता है। प्रमाण प्रमाण प्राथमिक होते हैं। याद कीजिए कि पी (ए) बी) = पी (ए) + पी (बी) − पी (ए और बी), जिसका तात्पर्य है पी (ए) + पी (बी) − पी (ए) बी) = पी (ए और बी)। क्योंकि सभी संभाव्यताएँ 1 से बड़ी नहीं हैं, हम पी (ए) बी) ≤ 1 जानते हैं, जिसका तात्पर्य है कि पी (ए) + पी (बी) −1 ≤ पी (ए और बी)। क्योंकि सभी संभावनाएं भी सकारात्मक हैं, हम इसी तरह 0 ≤ पी (ए और बी) कह सकते हैं, इसलिए अधिकतम (0, पी (ए) + पी (बी) −1) ≤ पी (ए और बी)। यह संयोजन पर निचली सीमा देता है। ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए, याद रखें कि पी (ए और बी) = पी (A|B) पी (बी) = पी (B|A) पी (ए)। क्योंकि पी (A|B) ≤1 और पी (B|A) ≤1, हम पी (ए और बी) ≤ पी (ए) और पी (ए और बी) ≤ पी (बी) जानते हैं। इसलिए, पी (ए और बी) ≤ मिनट (पी (ए), पी (बी)), जो ऊपरी सीमा है। इन सीमाओं की सर्वोत्तम-संभावित प्रकृति यह देखने से मिलती है कि वे घटनाओं ए और बी के बीच कुछ निर्भरता द्वारा महसूस की जाती हैं। विच्छेदन पर तुलनात्मक सीमाएँ समान रूप से प्राप्त की जाती हैं। विस्तार जब इनपुट संभावनाएँ स्वयं अंतराल सीमाएँ होती हैं, तो फ्रेचेट सूत्र अभी भी संभावना सीमा विश्लेषण के रूप में काम करते हैं। हेलपेरिन ने जटिल संयोजनों और विच्छेदनों में कई घटनाओं को शामिल करते हुए संभावित बूलियन अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने की समस्या पर विचार किया। कुछ लोगों ने कृत्रिम बुद्धिमत्ता के विभिन्न अनुप्रयोगों में असमानताओं का उपयोग करने का सुझाव दिया है और घटनाओं के बीच निर्भरता के बारे में विभिन्न धारणाओं के लिए नियमों का विस्तार किया है। असमानताओं को अन्य तार्किक कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें मोडस पोनेंस भी शामिल हैं। (2004)। मोडस टोलेंस संभावित। ब्रिटिश जर्नल फॉर द फिलॉसफी ऑफ साइंस 55:747-753. जब इनपुट संभावनाओं को संभाव्यता वितरण द्वारा चिह्नित किया जाता है, तो समरूप संचालन जो इनपुट के बीच निर्भरता के बारे में धारणाओं के बिना तार्किक और अंकगणितीय संकर्षणों को सामान्यीकृत करते हैं, उन्हें फ्रेचेट bounds.Weisstein, एरिक डब्ल्यू. फ्रेचेट सीमा की संबंधित धारणा के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है। मैथवर्ल्ड-- एक वोल्फ़्राम वेब संसाधन। क्वांटम फ्रेचेट सीमाएँ अलग करने योग्य क्वांटम प्रणालियों के मामले में क्वांटम यांत्रिकी में भी इसी तरह की सीमाएँ होती हैं और उलझी हुई अवस्थाएँ इन सीमाओं का उल्लंघन करती हैं। एक समग्र क्वांटम प्रणाली पर विचार करें। विशेष रूप से, हम ए और बी के रूप में चिह्नित दो परिमित उप प्रणालियों द्वारा बनाई गई एक समग्र क्वांटम प्रणाली एबी पर ध्यान केंद्रित करते हैं। मान लीजिए कि हम उप-प्रणाली ए के घनत्व मैट्रिक्स को जानते हैं, अर्थात, (आयाम के हर्मिशियन मैट्रिक्स का स्थान) में एक ट्रेस-वन सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, और उप-प्रणाली बी के घनत्व मैट्रिक्स को दर्शाया गया है जैसा कि हम सोच सकते हैं और उप-प्रणाली ए और बी के सीमांत के रूप में। इन सीमांतों के ज्ञान से, हम जोड़ के बारे में कुछ अनुमान लगाना चाहते हैं हम अपना ध्यान उन जोड़ों पर सीमित करते हैं जो अलग हो सकते हैं। एक समग्र प्रणाली पर एक घनत्व मैट्रिक्स अलग किया जा सकता है यदि वहाँ मौजूद हैं और जो संबंधित उप-प्रणालियों की मिश्रित अवस्थाएँ हैं जैसे कि अन्यथा एक उलझी हुई अवस्था कहा जाता है। निम्नलिखित फ्रेचेट जैसी सीमाओं में पृथक्कृत घनत्व मैट्रिक्स के लिएः असमानताएं मैट्रिक्स असमानताएं हैं, जो टेंसर उत्पाद और आयाम के पहचान मैट्रिक्स को दर्शाती हैं। यह स्पष्ट है कि संरचनात्मक रूप से उपरोक्त असमानताएं तार्किक संयोजन के लिए शास्त्रीय फ्रेचेट सीमाओं के अनुरूप हैं। यह भी ध्यान देने योग्य है कि जब मैट्रिक्स और विकर्ण होने के लिए प्रतिबंधित होते हैं, तो हम शास्त्रीय फ्रेचेट सीमा प्राप्त करते हैं। ऊपरी सीमा को क्वांटम यांत्रिकी में घनत्व मैट्रिक्स के लिए कमी मानदंड के रूप में जाना जाता है; इसे पहली बार प्रमाणित किया गया था और स्वतंत्र रूप से द्वारा तैयार किया गया था। निचली सीमा प्राप्त की गई है जो इन सीमाओं की एक बायेसियन व्याख्या प्रदान करती है। संख्यात्मक उदाहरण हमने देखा है कि जब मैट्रिक्स और सभी विकर्ण होते हैं, तो हम शास्त्रीय फ्रेचेट सीमा प्राप्त करते हैं। यह दिखाने के लिए, पिछले संख्यात्मक उदाहरण पर फिर से विचार करेंः फिर हमारे पास हैः जिसका अर्थ हैः यह इंगित करने योग्य है कि उलझी हुई अवस्थाएं उपरोक्त फ्रेचेट सीमाओं का उल्लंघन करती हैं। उदाहरण के लिए उलझे हुए घनत्व मैट्रिक्स पर विचार करें (जो अलग करने योग्य नहीं है): जिसमें सीमांत उलझे हुए अवस्थाएँ अलग करने योग्य नहीं हैं और यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि चूंकि परिणामी मैट्रिक्स में एक नकारात्मक आइगेनवैल्यू होता है। संभावित सीमाओं के उल्लंघन का एक और उदाहरण प्रसिद्ध बेल की असमानता द्वारा प्रदान किया गया हैः उलझे हुए राज्य सबसे मजबूत शास्त्रीय निर्भरता की तुलना में अधिक मजबूत यादृच्छिक निर्भरता का एक रूप प्रदर्शित करते हैंः और वास्तव में वे फ्रेचेट जैसी सीमाओं का उल्लंघन करते हैं। संभावित तर्क तार्किक संयोजन फ्रेचेट बाउंड्स बूल की असमानता बोनफेरोनी असमानताएँ संभावना सीमा विश्लेषण जोड़ीदार स्वतंत्र घटनाओं के संघ की संभावना संदर्भ 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