Better-quasi-ordering
क्रम सिद्धांत में एक बेहतर-अर्ध-आदेश या bqo एक अर्ध-आदेश है जो एक निश्चित प्रकार के खराब सरणी को स्वीकार नहीं करता है। प्रत्येक बेहतर-अर्ध-आदेश एक अच्छी-अर्ध-आदेश है। हालांकि अच्छी तरह से-अर्ध-आदेश एक आकर्षक धारणा है, कई महत्वपूर्ण अनंत संचालन अच्छी तरह से अर्ध-आदेश को संरक्षित नहीं करते हैं। रिचर्ड राडो के कारण एक उदाहरण इसे स्पष्ट करता है। 1965 के एक पेपर में क्रिस्पिन नैश-विलियम्स ने बेहतर-अर्ध-आदेश की मजबूत धारणा तैयार की ताकि यह साबित किया जा सके कि ऊंचाई ω के पेड़ों का वर्ग स्थलाकृतिक लघु संबंध के तहत अच्छी तरह से अर्ध-आदेशित है। तब से, कई अर्ध-क्रम उन्हें बेहतर-अर्ध-क्रम साबित करके अच्छी तरह से अर्ध-क्रम साबित हुए हैं। उदाहरण के लिए, रिचर्ड लेवर ने लेवर के प्रमेय (पहले रोलैंड फ्रेसे का एक अनुमान) की स्थापना यह साबित करके की कि बिखरे हुए रैखिक क्रम प्रकारों का वर्ग बेहतर-अर्ध-आदेशित है। हाल ही में, कार्लोस मार्टिनेज-रेनेरो ने साबित किया है कि, उचित फोर्सिंग स्वयंसिद्ध के तहत, एरोन्ज़ाज़न लाइनों का वर्ग एम्बेडेबिलिटी संबंध के तहत बेहतर-अर्ध-आदेशित है। परिभाषा बेहतर-अर्ध-आदेश सिद्धांत में पहले पद को छोड़े जाने के साथ अनुक्रम के लिए लिखना आम बात है। शब्दों के साथ परिमित, सख्ती से बढ़ते अनुक्रमों के सेट के लिए लिखें, और एक संबंध को निम्नानुसार परिभाषित करेंः यदि ऐसा है जो और का एक सख्त प्रारंभिक खंड है। यह संबंध सकर्मक नहीं है। एक खंड एक अनंत उपसमुच्चय है जिसमें प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय का एक प्रारंभिक खंड होता है। एक अर्ध-क्रम के लिए, ए-पैटर्न कुछ ब्लॉक से एक फ़ंक्शन है। ए-पैटर्न को बुरा कहा जाता है यदि प्रत्येक जोड़ी के लिए ऐसा है; अन्यथा अच्छा है। एक अर्ध-आदेश को बेहतर-अर्ध-आदेश कहा जाता है यदि कोई बुरा-पैटर्न नहीं है। इस परिभाषा के साथ काम करना आसान बनाने के लिए, नैश-विलियम्स एक बाधा को एक ब्लॉक के रूप में परिभाषित करते हैं जिसके तत्व समावेश संबंध के तहत जोड़ीदार अतुलनीय हैं। ए-ऐरे एक-पैटर्न है जिसका क्षेत्र एक बाधा है। यह देखकर कि प्रत्येक ब्लॉक में एक बाधा है, कोई यह देखता है कि यह एक बेहतर-अर्ध-आदेश है यदि और केवल तभी जब कोई खराब-सरणी न हो। सिम्पसन की वैकल्पिक परिभाषा सिम्पसन ने बोरेल कार्यों के संदर्भ में बेहतर-अर्ध-क्रम की एक वैकल्पिक परिभाषा पेश की, जहां, के अनंत सबसेट के सेट को सामान्य उत्पाद टोपोलॉजी दी जाती है। आइए एक अर्ध-आदेश दें और असतत स्थलविज्ञान के साथ संपन्न हों। A-सरणी कुछ अनंत उपसमुच्चय के लिए एक बोरेल फलन है। ए-सरणी खराब है यदि प्रत्येक के लिए; अन्यथा अच्छा है। यदि इस अर्थ में कोई बुरा क्रम नहीं है तो अर्ध-आदेश एक बेहतर-अर्ध-आदेश है। प्रमुख प्रमेय बेहतर-अर्ध-क्रम सिद्धांत में कई प्रमुख परिणाम न्यूनतम खराब सरणी लेम्मा के परिणाम हैं, जो सिम्पसन के शोध पत्र में इस प्रकार दिखाई देते हैं। लेवर का पेपर भी देखें, जहाँ न्यूनतम खराब सरणी लेम्मा को पहली बार इसके परिणामस्वरूप कहा गया था। यह तकनीक नैश-विलियम्स के 1965 के मूल शोध पत्र में मौजूद थी। मान लीजिए कि यह एक अर्ध-क्रम है। की आंशिक श्रेणी इस तरह का एक अच्छी तरह से स्थापित आंशिक क्रम है। खराब-सरणी के लिए (सिम्पसन के अर्थ में) और, परिभाषित करेंः हम कहते हैं कि एक खराब-सरणी न्यूनतम खराब है (आंशिक श्रेणी के संबंध में) यदि ऐसी कोई खराब-सरणी नहीं है। की परिभाषाएँ और की आंशिक श्रेणी पर निर्भर करती हैं। रिश्ता रिश्ते का सख्त हिस्सा नहीं है। प्रमेय (न्यूनतम खराब सरणी लेम्मा)। मान लीजिए कि यह आंशिक श्रेणी से सुसज्जित एक अर्ध-क्रम है और मान लीजिए कि यह एक खराब-सरणी है। फिर इस तरह की एक न्यूनतम खराब-सरणी होती है। यह भी देखें-अच्छी तरह से-व्यवस्थित अच्छी तरह से-व्यवस्थित संदर्भ द्विआधारी संबंध अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत