Residual time
नवीकरण प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, संभावना के गणितीय सिद्धांत का एक हिस्सा, अवशिष्ट समय या आगे की पुनरावृत्ति समय किसी भी समय और विचाराधीन नवीकरण प्रक्रिया के अगले युग के बीच का समय है। यादृच्छिक सैर के संदर्भ में, इसे ओवरशूट के रूप में भी जाना जाता है। अवशिष्ट समय को वाक्यांश देने का एक और तरीका है "इंतजार करने के लिए और कितना समय है?"। नवीकरण प्रक्रियाओं के अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में अवशिष्ट समय बहुत महत्वपूर्ण हैः कतार सिद्धांत में, यह शेष समय निर्धारित करता है, कि एक गैर-खाली कतार में एक नए आने वाले ग्राहक को सेवा दिए जाने तक इंतजार करना पड़ता है। वायरलेस नेटवर्किंग में, यह निर्धारित करता है, उदाहरण के लिए, एक नए पैकेट के आने पर एक वायरलेस लिंक का शेष जीवनकाल। निर्भरता अध्ययनों में, यह एक घटक के शेष जीवनकाल का मॉडल बनाता है। आदि। औपचारिक परिभाषा एक नवीकरण प्रक्रिया पर विचार करें, जिसमें समय और कूद समय (या नवीकरण युग) शामिल हैं, और। धारण समय गैर-नकारात्मक, स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं और नवीनीकरण प्रक्रिया को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। फिर, किसी दिए गए समय के लिए, एक विशिष्ट रूप से मेल खाता है, जैसे किः अवशिष्ट समय (या अतिरिक्त समय) अगले नवीकरण युग के समय द्वारा दिया जाता है। अवशिष्ट समय का प्रायिकता वितरण होल्डिंग समय का संचयी वितरण कार्य होने दें और याद रखें कि एक प्रक्रिया का नवीकरण कार्य है। फिर, एक दिए गए समय के लिए, के संचयी वितरण फलन की गणना इस प्रकार की जाती हैः के संबंध में अंतर करते हुए, संभाव्यता घनत्व फलन को लिखा जा सकता है जहाँ हमने प्रतिस्थापित किया है। यदि हम सीमित वितरण पर विचार करते हैं, यह मानते हुए कि हमारे पास सीमित पीडीएफ है, तो इसी तरह, अवशिष्ट समय का संचयी वितरण स्वतंत्र है, जिससे यह एक स्थिर वितरण बन जाता है। एक दिलचस्प तथ्य यह है कि आगे की पुनरावृत्ति समय (या अवशिष्ट समय) के सीमित वितरण का वही रूप है जो पीछे की पुनरावृत्ति समय (या आयु) के सीमित वितरण का है। यह वितरण हमेशा जे-आकार का होता है, जिसमें मोड शून्य होता है। इस सीमित वितरण के पहले दो क्षण हैंः और के विचलन कहाँ है और इसके दूसरे और तीसरे क्षण कहाँ हैं। प्रतीक्षा समय विरोधाभास यह तथ्य कि (के लिए) प्रतीक्षा समय विरोधाभास, निरीक्षण विरोधाभास, या नवीकरण सिद्धांत के विरोधाभास के रूप में भी जाना जाता है। विरोधाभास इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि अगले नवीकरण तक औसत प्रतीक्षा समय, यह मानते हुए कि संदर्भ समय बिंदु अंतर-नवीकरण अंतराल के भीतर यादृच्छिक रूप से चुना गया है, औसत अंतर-नवीकरण अंतराल से बड़ा है। औसत प्रतीक्षा केवल तभी होती है जब नवीनीकरण हमेशा समयबद्ध या निर्धारक होते हैं। विशेष मामलाः मार्कोवियन धारण समय जब धारण समय तेजी से वितरित किए जाते हैं, तो अवशिष्ट समय भी तेजी से वितरित किए जाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि औरः यह घातीय वितरण की एक ज्ञात विशेषता है, यानी, इसकी स्मृतिहीन संपत्ति। अंतर्ज्ञानी रूप से, इसका मतलब है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अंतिम नवीकरण युग के बाद से कितना समय हो गया है, शेष समय अभी भी संभावित रूप से होल्डिंग समय अंतराल की शुरुआत के समान है। संबंधित धारणाएँ नवीकरण सिद्धांत ग्रंथ आमतौर पर बिताए गए समय या पिछड़े पुनरावृत्ति समय (या वर्तमान जीवनकाल) को भी परिभाषित करते हैं। इसके वितरण की गणना अवशिष्ट समय के समान की जा सकती है। इसी तरह, कुल जीवन काल पश्चवर्ती पुनरावृत्ति समय और अग्रवर्ती पुनरावृत्ति समय का योग है। संदर्भ अवधि बिंदु प्रक्रियाएँ