Kodaira–Spencer map
गणित में, कुनिहिको कोडाइरा और डोनाल्ड सी. स्पेंसर द्वारा प्रस्तुत कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र, एक योजना या जटिल मैनिफोल्ड एक्स के विरूपण से जुड़ा एक मानचित्र है, जो विरूपण स्थान के एक बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान को एक्स पर वेक्टर क्षेत्रों के आवरण के पहले समरूपता समूह में ले जाता है। परिभाषा ऐतिहासिक प्रेरणा कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र का निर्माण मूल रूप से जटिल मैनिफोल्ड की सेटिंग में किया गया था। चार्ट और बायोहोलोमोर्फिक मानचित्रों के साथ एक जटिल विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड को देखते हुए चार्ट को एक साथ चिपकाने के लिए, विरूपण सिद्धांत का विचार इन संक्रमण मानचित्रों को कुछ आधार (जो एक वास्तविक मैनिफोल्ड हो सकता है) पर निर्देशांक के साथ मानकीकृत संक्रमण मानचित्रों द्वारा प्रतिस्थापित करना है, जैसे कि। इसका मतलब है कि पैरामीटर मूल कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड की जटिल संरचना को विकृत करते हैं। फिर, इन कार्यों को एक कोसाइकिल स्थिति को भी संतुष्ट करना चाहिए, जो अपने स्पर्शरेखा बंडल में मानों के साथ एक 1-चक्र देता है। चूँकि आधार को एक पॉलीडिस्क माना जा सकता है, यह प्रक्रिया आधार के स्पर्शरेखा स्थान के बीच एक मानचित्र देती है जिसे कोडायरा-स्पेंसर मानचित्र कहा जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र वह है जहां जटिल स्थानों के बीच एक चिकना उचित मानचित्र है (यानी, विशेष फाइबर का विरूपण।) यह एक जुड़ाव समरूपता है जो उस सर्जेक्शन का एक लंबा सटीक समरूपता अनुक्रम लेकर प्राप्त की जाती है जिसका कर्नेल स्पर्शरेखा बंडल है। यदि यह अंदर है, तो इसकी छवि को कोडायरा-स्पेंसर वर्ग कहा जाता है। टिप्पणी क्योंकि विरूपण सिद्धांत को कई अन्य संदर्भों में विस्तारित किया गया है, जैसे कि योजना सिद्धांत में विरूपण, या रिंग्ड टोपोई, इन संदर्भों के लिए कोडायरा-स्पेंसर मानचित्र के निर्माण हैं। विशेषता के आधार क्षेत्र पर योजना सिद्धांत में, और के समरूपता वर्गों के बीच एक प्राकृतिक द्विभाजन है। विरूपण के लिए असीम कोशिकीय स्थिति का उपयोग करते हुए कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र का निर्माण कोशिकीय स्थिति की एक असीम व्याख्या का उपयोग करके किया जा सकता है। यदि हमारे पास निर्देशांक और संक्रमण कार्यों के साथ परिमित रूप से कई चार्टों द्वारा कवर किया गया एक जटिल मैनिफोल्ड है जहां याद रखें कि एक विरूपण एक कम्यूटेटिव आरेख द्वारा दिया गया है जहां दोहरी संख्याओं का वलय है और ऊर्ध्वाधर मानचित्र सपाट हैं, विरूपण में को-साइकिल के रूप में कोहोमोलॉजिकल व्याख्या है जहां को-साइकिल की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो वे विरूपण से चिपक जाते हैं। इसे दोहरे अंकों के गुणों का उपयोग करते हुए पढ़ा जा सकता है, अर्थात्, हमारे पास कोसाइकिल की स्थिति निम्नलिखित दो नियम हैं वेक्टर क्षेत्रों के कोसाइकिल में परिवर्तन विरूपण के कोसाइकिल को आसानी से वेक्टर क्षेत्रों के कोसाइकिल में परिवर्तित किया जा सकता हैः कोसाइकिल को देखते हुए हम वेक्टर क्षेत्र बना सकते हैं जो कि 1-कोचेन है। फिर के संक्रमण मानचित्रों के लिए नियम इस 1-कोचेन को 1-चक्र के रूप में देता है, इसलिए एक वर्ग। वेक्टर क्षेत्रों का उपयोग करना इस मानचित्र के मूल निर्माणों में से एक ने विभेदक ज्यामिति और जटिल विश्लेषण की सेटिंग्स में वेक्टर क्षेत्रों का उपयोग किया। उपरोक्त संकेतन को देखते हुए, एक विरूपण से कोसाइकल स्थिति में संक्रमण आयाम एक के एक छोटे से आधार पर पारदर्शी है, इसलिए केवल एक पैरामीटर है। फिर, कोसाइकिल स्थिति को इस रूप में पढ़ा जा सकता है, के संबंध में व्युत्पन्न की गणना पिछले समीकरण से नोट के रूप में की जा सकती है क्योंकि और, फिर व्युत्पन्न इस प्रकार पढ़ता है पिछले होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्र के भाग के निर्देशांक में परिवर्तन के साथ इन आंशिक व्युत्पन्न को गुणांक के रूप में रखते हुए, हम लिख सकते हैं, इसलिए हम उपरोक्त समीकरण को वेक्टर क्षेत्रों के निम्नलिखित समीकरण के रूप में लिख सकते हैं इसे वेक्टर क्षेत्र के रूप में फिर से लिखने से कोसाइकिल स्थिति प्राप्त होती है। इसलिए मूल विरूपण से एक संबद्ध वर्ग है। योजना सिद्धांत में एक चिकनी किस्म की विकृतियों में एक कोडाइरा-स्पेंसर वर्ग का निर्माण समरूपी रूप से किया गया है। इस विरूपण से जुड़ा संक्षिप्त सटीक अनुक्रम (जहाँ) है जो जब-मॉड्यूल द्वारा टेंसर किया जाता है तो व्युत्पन्न श्रेणियों का उपयोग करते हुए संक्षिप्त सटीक अनुक्रम देता है, यह कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र को सामान्य बनाने वाले एक तत्व को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि इसे कोटैंजेंट अनुक्रम का उपयोग करने में किसी भी चिकने नक्शे के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें एक तत्व दिया जाता है। रिंग्ड टोपोई का कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्रों के सबसे अमूर्त निर्माणों में से एक रिंग्ड टोपोई के मानचित्रों की संरचना से जुड़े कोटैंजेंट परिसरों से आता है, फिर इस संरचना से जुड़ा एक विशिष्ट त्रिकोण है और यह सीमा मानचित्र कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र (या कोहोमोलॉजी वर्ग, निरूपित) बनाता है। यदि रचना में दो मानचित्र योजनाओं के चिकने मानचित्र हैं, तो यह वर्ग वर्ग के साथ मेल खाता है। विश्लेषणात्मक कीटाणुओं के उदाहरण कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र जब विश्लेषणात्मक कीटाणुओं पर विचार किया जाता है तो विरूपण सिद्धांत में स्पर्शरेखा समरूपता और इसके विपरीत विकृतियों का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक बहुपद के रोगाणु को देखते हुए, इसके विरूपण का स्थान मॉड्यूल द्वारा दिया जा सकता है. उदाहरण के लिए, यदि इसके विपरीत विरूपण दिए जाते हैं तो एक मनमाना विरूपण इसके द्वारा दिया जाता है। फिर एक वेक्टर के लिए, जिसमें आधार होता है, एक बहुपद द्वारा परिभाषित क्षेत्र पर एक अफाइन हाइपरसर्फेस के लिए, संबंधित मौलिक त्रिभुज होता है. फिर, आवेदन करने से लंबा सटीक अनुक्रम मिलता है. याद रखें कि व्युत्पन्न श्रेणियों के सामान्य सिद्धांत से समरूपता है, और ext समूह प्रथम-क्रम विकृतियों को वर्गीकृत करता है। फिर, कटौती की एक श्रृंखला के माध्यम से, इस समूह की गणना की जा सकती है। सबसे पहले, चूंकि यह एक मुक्त मॉड्यूल है। इसके अलावा, क्योंकि आइसोमोर्फिज्म हैं अंतिम आइसोमोर्फिज्म आइसोमोर्फिज्म से आता है, और भेजने में एक मॉर्फिज्म वांछित आइसोमोर्फिज्म देता है। कोटेनजेंट अनुक्रम (जो मौलिक त्रिभुज का एक कटा हुआ संस्करण है) से लंबे सटीक अनुक्रम का जोड़ने वाला मानचित्र डुअल है, जो समरूपता देता है नोट यह गणना कोटेनजेंट अनुक्रम और कंप्यूटिंग का उपयोग करके की जा सकती है। फिर, कोडाइरा-स्पेंसर मानचित्र तत्व को एक विरूपण भेजता है। विरूपण सिद्धांत भी देखें कोटेनजेंट कॉम्प्लेक्स श्लेसिंगर की प्रमेय वक्रों के एक बीजगणितीय परिवार की विशेषता रैखिक प्रणाली गॉस-मैनिन संबंध व्युत्पन्न श्रेणी एक्स्ट फ़ंक्टर संदर्भ जैकोबियन रिंग से विकृतियों से संबंधित मैथोवरफ़्लो पोस्ट। बीजगणितीय ज्यामिति