Torsion conjecture
बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में, अबेलियन किस्मों के लिए मरोड़ बिंदुओं के लिए मरोड़ अनुमान या समान सीमा अनुमान बताता है कि एक संख्या क्षेत्र पर एक अबेलियन विविधता के मरोड़ समूह के क्रम को विविधता के आयाम और संख्या क्षेत्र के संदर्भ में सीमित किया जा सकता है। अनुमान का एक मजबूत संस्करण यह है कि मरोड़ विविधता के आयाम और संख्या क्षेत्र की डिग्री के संदर्भ में बंधी हुई है। अण्डाकार वक्रों के मामले में मरोड़ के अनुमान को पूरी तरह से हल कर लिया गया है। 1906 से 1911 तक, बेप्पो लेवी ने तर्कों पर अण्डाकार वक्रों पर बिंदुओं के संभावित सीमित क्रम की जांच करने वाले पत्रों की एक श्रृंखला प्रकाशित की। उन्होंने दिखाया कि निम्नलिखित मरोड़ समूहों के साथ तर्कसंगत पर अनंत रूप से कई दीर्घवृत्ताकार वक्र हैंः 1 ≤ n ≤ 10 के साथ Cn, जहां Cn n क्रम के चक्रीय समूह को दर्शाता है; C12; C2n × C2 1 ≤ n ≤ 4 के साथ, जहां × प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है। रोम में 1908 की अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में, लेवी ने अनुमान लगाया कि यह तर्कसंगत पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए मरोड़ समूहों की एक पूरी सूची है। तर्कसंगत पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए मरोड़ अनुमान को स्वतंत्र रूप से और बार-बार संशोधित किया गया था, इस अनुमान के साथ जिसे आमतौर पर ऑग के अनुमान के रूप में जाना जाता है। रैशनल पर अण्डाकार वक्रों के लिए मरोड़ अनुमान और शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्रों के सिद्धांत के बीच संबंध को आकर्षित किया। 1970 के दशक की शुरुआत में, जेरार्ड लिगोज़ाट, डैनियल कुबर्ट, बैरी मज़ूर और जॉन टेट के काम से पता चला कि n के कई छोटे मान तर्कसंगत पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों पर मरोड़ बिंदुओं के क्रम के रूप में नहीं होते हैं। रैशनलों पर अण्डाकार वक्रों के लिए पूर्ण मरोड़ अनुमान को साबित किया। उनकी तकनीकों को और द्वारा सामान्यीकृत किया गया था, जिन्होंने क्रमशः अधिक से अधिक 8 डिग्री के द्विघात क्षेत्रों और संख्या क्षेत्रों के लिए समान सीमा प्राप्त की। अंत में, किसी भी संख्या क्षेत्र पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए अनुमान को साबित किया। संख्या क्षेत्र की डिग्री के संदर्भ में मरोड़ समूह के आकार के लिए एक प्रभावी सीमा दी गई थी। द्विघात संख्या क्षेत्रों पर दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए संभावित मरोड़ समूहों की एक पूरी सूची भी दी गई है। क्वार्टिक और क्विंटिक संख्या क्षेत्रों के लिए पर्याप्त आंशिक परिणाम हैं। बाम्बेरी-लैंग अनुमान पूर्व-आवधिक बिंदुओं के लिए समान सीमा अनुमान तर्कसंगत बिंदुओं के लिए समान सीमा अनुमान ग्रंथ सूची एबेलियन किस्में अनुमान संख्या सिद्धांत में डायोफैंटाइन ज्यामिति प्रमेय बीजगणितीय ज्यामिति में प्रमेय