Eta invariant
गणित में, एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर एक सेल्फ-एडजॉइंट एलिप्टिक डिफरेंशियल ऑपरेटर का एटा अपरिवर्तनीय औपचारिक रूप से सकारात्मक आइगेनवैल्यूज की संख्या माइनस नकारात्मक आइगेनवैल्यूज की संख्या है। व्यवहार में दोनों संख्याएँ अक्सर अनंत होती हैं इसलिए जीटा फ़ंक्शन नियमितकरण का उपयोग करके परिभाषित की जाती हैं। इसे पेश किया गया था जिन्होंने इसका उपयोग हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय को सीमा के साथ कई गुना बढ़ाने के लिए किया था। यह नाम इस तथ्य से आया है कि यह डिरिचलेट एटा फलन का सामान्यीकरण है। बाद में उन्होंने एक कॉम्पैक्ट विषम-आयामी चिकनी मैनिफोल्ड के एटा अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने के लिए एक स्व-संयुक्त प्रचालक के एटा अपरिवर्तनीय का भी उपयोग किया। एक मैनिफोल्ड की सीमा के हस्ताक्षर दोष को एटा अपरिवर्तनीय के रूप में परिभाषित किया गया, और इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया कि हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह के शिखर के हिरज़ेब्रुक के हस्ताक्षर दोष को शिमिज़ु एल-फ़ंक्शन के एस = 0 या 1 पर मूल्य के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। परिभाषा स्व-संयुक्त प्रचालक ए का एटा अपरिवर्तनीय ηA (0) द्वारा दिया जाता है, जहाँ η की विश्लेषणात्मक निरंतरता है और योग ए के गैर-शून्य आइगेनवैल्यूज λ पर है। संदर्भ विभेदक प्रचालक