Reflected Brownian motion
संभाव्यता सिद्धांत में, प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति (या विनियमित ब्राउनियन गति, दोनों संक्षिप्त नाम आरबीएम के साथ) प्रतिबिंबित सीमाओं के साथ एक स्थान में एक वीनर प्रक्रिया है। भौतिक साहित्य में, यह प्रक्रिया एक सीमित स्थान में प्रसार का वर्णन करती है और इसे अक्सर सीमित ब्राउनियन गति कहा जाता है। उदाहरण के लिए यह दो दीवारों के बीच सीमित पानी में कठोर गोले की गति का वर्णन कर सकता है। आर. बी. एम. को भारी यातायात का अनुभव करने वाले कतार मॉडल का वर्णन करने के लिए दिखाया गया है जैसा कि पहले किंगमैन द्वारा प्रस्तावित किया गया था और इग्लेहार्ट और व्हिट द्वारा सिद्ध किया गया था। परिभाषा ए डी-आयामी परावर्तित ब्राउनियन गति जेड एक यादृच्छिक प्रक्रिया है जिसे विशिष्ट रूप से एक डी-आयामी ड्रिफ्ट वेक्टर μ ए डी × डी गैर-एकल सहप्रसरण मैट्रिक्स और एक डी × डी परावर्तन मैट्रिक्स आर द्वारा परिभाषित किया गया है. जहां एक्स (टी) एक अनियंत्रित ब्राउनियन गति है और वाई (टी) के साथ एक डी-आयामी वेक्टर है जहां वाई निरंतर है और वाई (0) = 0 के साथ गैर-घटता है। परावर्तन मैट्रिक्स सीमा व्यवहार का वर्णन करता है। प्रक्रिया के आंतरिक भाग में एक वीनर प्रक्रिया की तरह व्यवहार होता है; सीमा पर "मोटे तौर पर बोलते हुए, जब भी सीमा सतह को मारा जाता है, तो Z को Rj की दिशा में धकेल दिया जाता है, जहां Rj मैट्रिक्स R का j वां स्तंभ है। "चार और उच्चतर आयामों में एस. आर. बी. एम. के लिए पुनरावृत्ति वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है।" विशेष मामले में जहां आर एक एम-मैट्रिक्स है, तब स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं कि आर एक गैर-एकल मैट्रिक्स है और आर-1म्यू <0 है। सीमांत और स्थिर वितरण एक आयाम 0 से शुरू होने वाली एक आयामी ब्राउनियन गति का सीमांत वितरण (क्षणिक वितरण) सकारात्मक मूल्यों (0 पर एक एकल परावर्तक बाधा) तक सीमित है, जिसमें ड्रिफ्ट μ और विचरण σ2 सभी t ≤ 0 के लिए है, (सामान्य वितरण के संचयी वितरण कार्य के साथ) जो t → ≤ एक घातीय वितरण लेते समय (μ <0 के लिए) उपज देता है। विशेष रूप से, एम (टी) टी में बढ़ रहा है, जो जेड (टी) के मामले में नहीं है। परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए ऊष्मा कर्नेलः एकाधिक आयामों से ऊपर के तल के लिए कई आयामों में परावर्तित ब्राउनियन गति का स्थिर वितरण विश्लेषणात्मक रूप से तब किया जा सकता है जब कोई उत्पाद स्थिर वितरण के रूप में होता है, जो तब होता है जब प्रक्रिया स्थिर होती है और जहां D = डायग (β) होता है। इस मामले में प्रायिकता घनत्व फलन वह है जहाँ ηk = 2μkγk/βkk और γ = R − 1μ है। जिन स्थितियों में उत्पाद रूप की स्थिति नहीं होती है, उनके लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियों की गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है जैसा कि अनुकरण अनुभाग में नीचे वर्णित है। सिम्युलेशन एक आयाम एक आयाम में सिम्युलेटेड प्रक्रिया एक वीनर प्रक्रिया का पूर्ण मूल्य है। निम्नलिखित MATLAB कार्यक्रम एक नमूना पथ बनाता है। % rbm.m n = 10 4; h = 10 3; t = h। * (0: n); म्यू =-1; एक्स = शून्य (1, एन + 1); एम = एक्स; बी = एक्स; बी (1) = 3; एक्स (1) = 3; के के लिए = 2: एन + 1 वाई = स्क्वर्ट (एच) * रैंड; यू = रैंड (1); बी (के) = बी (के-1) + म्यू * एच-वाई; एम = (वाई + स्क्वर्ट (वाई ^ 2-2 * एच * लॉग (यू))/2; एक्स (के) = अधिकतम (एम-वाई, एक्स (के-1) + एच * म्यू-वाई); अंतिम उप-प्लॉट (2,1,1) प्लॉट ( कई आयामों वाला क्यू. एन. ई. टी. स्थिर अवस्था वाले आर. बी. एम. के अनुकरण की अनुमति देता है। अन्य सीमा स्थितियों में फेलर ने प्रक्रिया अवशोषण या मारे गए ब्राउनियन गति के लिए संभावित सीमा स्थिति का वर्णन किया, एक डिरिचलेट सीमा स्थिति तात्कालिक प्रतिबिंब, जैसा कि एक न्यूमैन सीमा स्थिति लोचदार प्रतिबिंब के ऊपर वर्णित है, एक रॉबिन सीमा स्थिति विलंबित प्रतिबिंब (सीमा पर बिताया गया समय संभावना एक के साथ सकारात्मक है) आंशिक प्रतिबिंब जहां प्रक्रिया या तो तुरंत परावर्तित होती है या चिपचिपी ब्राउनियन गति को अवशोषित करती है। एम. ए. टी. एल. ए. बी./ऑक्टेव कोड के उदाहरण के साथ स्कोरोखोड समस्या संदर्भ वीनर प्रक्रिया लेख भी देखें।