Abstract cell complex
गणित में, एक अमूर्त कोशिका परिसर अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ एक अमूर्त समुच्चय है जिसमें प्रत्येक बिंदु को एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक संख्या जिसे आयाम कहा जाता है, सौंपा जाता है। परिसर को "अमूर्त" कहा जाता है क्योंकि इसके बिंदु, जिन्हें "कोशिकाएं" कहा जाता है, एक हौसडॉर्फ स्थान के उपसमुच्चय नहीं हैं जैसा कि यूक्लिडियन और सीडब्ल्यू परिसरों में होता है। अमूर्त कोशिका परिसर छवि विश्लेषण और कंप्यूटर ग्राफिक्स में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। अमूर्त कोशिका परिसरों का विचार (जिसे अमूर्त कोशिकीय परिसर भी कहा जाता है) जे से संबंधित है। लिस्टिंग (1862) और ई. स्टीनित्ज़ (1908)। इसके अलावा ए. डब्ल्यू. टकर (1933), के. रीडमिस्टर (1938), पी. एस. अलेक्जेंड्रोव (1956) के साथ-साथ आर. क्लेट और ए. रोसेनफेल्ड (2004) ने अमूर्त कोशिका परिसरों का वर्णन किया है। ई. स्टेनिट्ज ने एक अमूर्त कोशिका परिसर को इस प्रकार परिभाषित किया है कि जहां ई एक अमूर्त समुच्चय है, बी एक असममित, अपरिवर्तनीय और सकर्मक द्विआधारी संबंध है जिसे ई के तत्वों के बीच सीमा संबंध कहा जाता है और डिम एक ऐसा कार्य है जो ई के प्रत्येक तत्व को इस तरह से एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक प्रदान करता है कि यदि, तो। वी. कोवलेव्स्की (1989) ने 3डी और उच्च आयामों के लिए अमूर्त कोशिका परिसरों का वर्णन किया। उन्होंने छवि विश्लेषण के लिए कई अनुप्रयोगों का भी सुझाव दिया। अपनी पुस्तक (2008) में उन्होंने स्थानीय रूप से सीमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के एक स्वयंसिद्ध सिद्धांत का सुझाव दिया है जो अमूर्त कोशिका परिसरों का सामान्यीकरण है। इस पुस्तक में अन्य बातों के अलावा मीट्रिक से स्वतंत्र स्थलवैज्ञानिक गेंदों और क्षेत्रों की नई परिभाषाएँ, संयोजनात्मक मैनिफोल्ड की एक नई परिभाषा और छवि विश्लेषण के लिए उपयोगी कई एल्गोरिदम शामिल हैं। बुनियादी परिणाम अमूर्त कोशिका परिसरों की स्थलविज्ञान इसके बिंदुओं या कोशिकाओं के समूह में आंशिक क्रम पर आधारित होती है। ई. स्टेनिट्ज द्वारा परिभाषित अमूर्त कोशिका परिसर की धारणा एक अमूर्त सरल परिसर की धारणा से संबंधित है और यह एक सरल परिसर से इस गुण से अलग है कि इसके तत्व कोई सरल नहीं हैंः एक अमूर्त परिसर के एक एन-आयामी तत्व में एन + 1 शून्य-आयामी पक्ष नहीं होने चाहिए, और कोशिका के शून्य-आयामी पक्षों के समूह का प्रत्येक उपसमुच्चय एक कोशिका नहीं है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि एक अमूर्त कोशिका परिसर की धारणा को छवि प्रसंस्करण में उपयोग किए जाने वाले दो और त्रि-आयामी ग्रिड पर लागू किया जा सकता है, जो सरल परिसरों के लिए सही नहीं है। एक गैर-सरल परिसर एक सामान्यीकरण है जो कोशिका निर्देशांकों का परिचय संभव बनाता हैः ऐसे गैर-सरल परिसर हैं जो ऐसे "रैखिक" एक-आयामी परिसरों के कार्टेशियन उत्पाद हैं जहां प्रत्येक शून्य-आयामी कोशिका, उनमें से दो के अलावा, ठीक दो एक-आयामी कोशिकाओं को घेरती है। केवल ऐसे कार्टेशियन परिसरों से ही ऐसे निर्देशांक स्थापित करना संभव हो पाता है कि प्रत्येक कोशिका में निर्देशांकों का एक समूह होता है और किसी भी दो अलग-अलग कोशिकाओं में अलग-अलग निर्देशांक समूह होते हैं। समन्वय समूह परिसर के प्रत्येक कक्ष के नाम के रूप में काम कर सकता है जो प्रसंस्करण परिसरों के लिए महत्वपूर्ण है। अमूर्त परिसर डिजिटल छवि प्रसंस्करण के आधार के रूप में ग्रिड में शास्त्रीय टोपोलॉजी (अलेक्जेंड्रोव-टोपोलॉजी) की शुरुआत की अनुमति देते हैं। यह संभावना अमूर्त कोशिका परिसरों के बड़े लाभ को परिभाषित करती हैः संपर्क और उपसमुच्चय की सीमा की धारणाओं को सटीक रूप से परिभाषित करना संभव हो जाता है। कोशिकाओं और परिसरों के आयाम की परिभाषा सामान्य मामले में सरल परिसरों से अलग है (नीचे देखें)। एक अमूर्त कोशिका परिसर की धारणा अनिवार्य रूप से एक सी. डब्ल्यू.-परिसर से अलग होती है क्योंकि एक अमूर्त कोशिका परिसर कोई हौसडॉर्फ स्थान नहीं है। यह कंप्यूटर विज्ञान के दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण है क्योंकि कंप्यूटर में एक गैर-विविक्त हौसडॉर्फ स्थान का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करना असंभव है। (इस तरह के स्थान में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में असीम रूप से कई बिंदु होने चाहिए)। वी. कोवलेव्स्की की पुस्तक में स्थानीय रूप से सीमित रिक्त स्थान के सिद्धांत का वर्णन है जो अमूर्त कोशिका परिसरों का सामान्यीकरण है। एक स्थानीय रूप से सीमित स्थान S बिंदुओं का एक समूह है जहां S के प्रत्येक बिंदु P के लिए S का एक उपसमुच्चय परिभाषित किया जाता है। इस उपसमुच्चय में सीमित संख्या में बिंदु होते हैं जिसे P का सबसे छोटा पड़ोस कहा जाता है। एक द्विआधारी पड़ोस संबंध को स्थानीय रूप से सीमित स्थान S के बिंदुओं के समूह में परिभाषित किया जाता हैः तत्व (बिंदु) b तत्व a के साथ पड़ोस संबंध में है यदि b तत्व a के सबसे छोटे पड़ोस से संबंधित है। स्थानीय रूप से सीमित स्थान के नए स्वयंसिद्धों को तैयार किया गया है, और यह साबित किया गया है कि स्थान S स्वयंसिद्धों के अनुसार केवल तभी है जब पड़ोस संबंध सममित-विरोधी और सकर्मक हो। पड़ोस संबंध व्युत्क्रम सीमा संबंध का प्रतिवर्तक पतवार है। यह दिखाया गया कि टोपोलॉजी के शास्त्रीय स्वयंसिद्धों को नए स्वयंसिद्धों से प्रमेयों के रूप में निकाला जा सकता है। इसलिए, नए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाला एक स्थानीय रूप से सीमित स्थान एक शास्त्रीय स्थलवैज्ञानिक स्थान का एक विशेष मामला है। इसकी टोपोलॉजी एक पोजेट टोपोलॉजी या अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है। एक अमूर्त कोशिका परिसर स्थानीय रूप से सीमित स्थान का एक विशेष मामला है जिसमें प्रत्येक बिंदु के लिए आयाम को परिभाषित किया जाता है। यह प्रदर्शित किया गया था कि एक अमूर्त कोशिका परिसर की कोशिका सी का आयाम परिसर की किसी भी कोशिका से कोशिका तक जाने वाले अधिकतम सीमा पथ की लंबाई (कोशिकाओं की संख्या माइनस 1) के बराबर होता है। इस पुस्तक में 2डी परिसरों में डिजिटल सीधे खंडों का सिद्धांत, 2डी और 3डी में सीमाओं का पता लगाने के लिए कई एल्गोरिदम, सीमाओं को आर्थिक रूप से एन्कोडिंग करने और इसकी सीमा के कोड से एक सबसेट का सटीक पुनर्निर्माण करने के लिए शामिल हैं। अमूर्त कोशिका परिसरों का उपयोग करते हुए, सीमाओं का पता लगाने, कोडिंग और बहुभुजकरण के साथ-साथ किनारे का पता लगाने के लिए कुशल एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं और पुस्तक में वर्णित किए गए हैं अमूर्त कोशिका परिसर डिजिटल छवि प्रतिनिधित्व एक डिजिटल छवि को 2डी अमूर्त कोशिका परिसर (एसीसी) द्वारा छवि को उसके एसीसी आयामी घटकों में विघटित करके दर्शाया जा सकता हैः बिंदु (0-कोशिका), दरारें/किनारे (1-कोशिका), और पिक्सेल/चेहरे (2-कोशिका)। छवि पिक्सेल से आयामी घटकों को स्पष्ट रूप से निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक समन्वय असाइनमेंट नियम के साथ यह अपघटन कुछ छवि विश्लेषण संचालन को सुरुचिपूर्ण एल्गोरिदम जैसे दरार सीमा अनुरेखण, डिजिटल सीधे खंड उपखंड, आदि के साथ छवि पर किए जाने की अनुमति देता है। ऐसा ही एक नियम पिक्सेल के ऊपरी बाएँ निर्देशांक में बिंदुओं, दरारों और चेहरों को मैप करता है। इन आयामी घटकों को अपनी स्वयं की डेटा संरचनाओं में स्पष्ट अनुवाद की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है और 2डी सरणी से संबंधित हो सकता है जो एक डिजिटल छवि का सामान्य डेटा संरचना प्रतिनिधित्व है। यह समन्वय असाइनमेंट नियम और इस छवि के लिए प्रत्येक कोशिका घटना का प्रतिपादन दाईं ओर की छवि में दर्शाया गया है। सरल जटिल क्यूबिकल जटिल संदर्भ टोपोलॉजी भी देखें।