Projective bundle
गणित में, एक प्रोजेक्टिव बंडल एक फाइबर बंडल है जिसके फाइबर प्रोजेक्टिव स्पेस होते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक नोएथेरियन योजना एस पर एक योजना एक्स एक पीएन-बंडल है यदि यह स्थानीय रूप से एक प्रोजेक्टिव एन-स्पेस है; यानी, और संक्रमण ऑटोमोर्फिज्म रैखिक हैं। एक नियमित योजना एस जैसे कि एक चिकनी किस्म पर, प्रत्येक प्रोजेक्टिव बंडल कुछ वेक्टर बंडल (स्थानीय रूप से मुक्त आवरण) ई के रूप में होता है। एक वेक्टर बंडल का प्रोजेक्टिव बंडल विभिन्न प्रकार एक्स पर प्रत्येक वेक्टर बंडल तंतुओं के प्रोजेक्टिव स्थानों को लेकर एक प्रोजेक्टिव बंडल देता है, लेकिन सभी प्रोजेक्टिव बंडल इस तरह से उत्पन्न नहीं होते हैंः कोहोमोलॉजी समूह एच2 (एक्स, ओ *) में एक बाधा होती है। यह देखने के लिए कि क्यों, याद रखें कि एक प्रोजेक्टिव बंडल एक उपयुक्त खुले आवरण के दोहरे चौराहों पर संक्रमण कार्यों से लैस होता है। ट्रिपल ओवरलैप पर, इन संक्रमण कार्यों का कोई भी उत्थान एक व्युत्क्रमणीय कार्य तक कोसाइकल स्थिति को संतुष्ट करता है। इन कार्यों का संग्रह एक 2-चक्र बनाता है जो H2 (X, O *) में केवल तभी गायब हो जाता है जब प्रोजेक्टिव बंडल एक वेक्टर बंडल का प्रोजेक्टिवाइजेशन हो। विशेष रूप से, यदि X एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह है तो H2 (X, O *) = 0 है, और इसलिए यह बाधा गायब हो जाती है। एक वेक्टर बंडल ई का प्रोजेक्टिव बंडल ई में 1-प्लेन के ग्रासमैन बंडल के समान है। एक वेक्टर बंडल ई का प्रोजेक्टिव बंडल पी (ई) सार्वभौमिक गुण द्वारा चिह्नित किया जाता है जो कहता हैः एक आकृतिवाद एफः टी → एक्स को देखते हुए, प्रोजेक्शन मैप के माध्यम से एफ को फैक्टराइज़ करने के लिए एफ * ई की एक रेखा सबबंडल निर्दिष्ट करना है। उदाहरण के लिए, एफ को पी लेने पर, किसी को पी * ई की रेखा सबबंडल ओ (-1) मिलती है, जिसे पी (ई) पर टाउटोलॉजिकल लाइन बंडल कहा जाता है। इसके अलावा, यह O (-1) इस अर्थ में एक सार्वभौमिक बंडल है कि जब एक रेखा बंडल L एक फैक्टराइजेशन f = p.65 g देता है, तो L, g के साथ O (-1) का पुलबैक है। पी (ई) पर, एक प्राकृतिक सटीक अनुक्रम होता है (जिसे टाउटोलॉजिकल सटीक अनुक्रम कहा जाता है): जहाँ क्यू को टाउटोलॉजिकल भागफल-बंडल कहा जाता है। मान लीजिए कि एक्स और जी = एफ/ई पर ई. एफ. वेक्टर बंडल (सीमित श्रेणी के स्थानीय रूप से मुक्त आवरण) हैं। मान लीजिए कि q: P (F) → X प्रक्षेपण है। फिर प्राकृतिक मानचित्र शीफ होम का एक वैश्विक खंड है। इसके अलावा, यह प्राकृतिक मानचित्र एक ऐसे बिंदु पर गायब हो जाता है जब बिंदु ई में एक रेखा होती है; दूसरे शब्दों में, इस खंड का शून्य-स्थान पी (ई) है। इस निर्माण का एक विशेष रूप से उपयोगी उदाहरण तब होता है जब F, E का प्रत्यक्ष योग E ≈ 1 और तुच्छ रेखा बंडल (यानी, संरचना आवरण) होता है। फिर पी (ई) में एक हाइपरप्लेन है, जिसे अनंत पर हाइपरप्लेन कहा जाता है, और पी (ई) के पूरक को ई के साथ पहचाना जा सकता है। इस तरह, पी (ई) को ई के प्रोजेक्टिव कंप्लीशन (या "कॉम्पैक्टिफिकेशन") के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रोजेक्टिव बंडल पी (ई) एक लाइन बंडल द्वारा ई को घुमाने के तहत स्थिर है; सटीक रूप से, एक लाइन बंडल एल दिए जाने पर, प्राकृतिक समरूपता होती हैः जैसे कि (वास्तव में, किसी को दाईं ओर लाइन बंडल पर लागू सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा जी मिलता है।) उदाहरण प्रोजेक्टिव बंडलों के कई गैर-तुच्छ उदाहरण लेफ्टशेट्ज़ फाइब्रेशन जैसे फाइब्रेशन का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्ताकार के3 सतह एक के3 सतह है जिसमें एक तंतु होता है जैसे कि तंतु सामान्य रूप से दीर्घवृत्ताकार वक्र होते हैं। चूँकि प्रत्येक अण्डाकार वक्र एक विशिष्ट बिंदु के साथ एक जीनस 1 वक्र है, इसलिए तंतु का एक वैश्विक खंड मौजूद है। इस वैश्विक खंड के कारण, वेयरस्ट्रास समीकरण द्वारा परिभाषित प्रोजेक्टिव बंडल को एक रूपात्मकता देने का एक मॉडल मौजूद है, जहां गुणांक क्रमशः स्थानीय निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करते हैं, और गुणांक आवरण के खंड हैं। ध्यान दें कि यह समीकरण अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि वेयरस्ट्रास समीकरण में प्रत्येक पद की कुल डिग्री होती है (जिसका अर्थ है गुणांक की डिग्री और एकाक्षर की डिग्री। उदाहरण के लिए)। कोहोमोलॉजी रिंग और चाउ समूह मान लीजिए कि एक्स एक जटिल चिकनी प्रोजेक्टिव किस्म है और ई उस पर रैंक आर का एक जटिल वेक्टर बंडल है। मान लीजिए पीः पी (ई) → एक्स ई का प्रोजेक्टिव बंडल है। फिर कोहोमोलॉजी रिंग एच * (पी (ई)) पुलबैक पी * के माध्यम से एच * (एक्स) पर एक बीजगणित है। फिर पहला चेरन वर्ग ζ = c1 (O (1)) उस संबंध के साथ H * (P (E)) उत्पन्न करता है जहाँ ci (E) E का i-th चेरन वर्ग है। इस विवरण की एक दिलचस्प विशेषता यह है कि चेरन वर्गों को संबंध में गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है; यह ग्रोथेन्डिक द्वारा लिया गया दृष्टिकोण है। जटिल क्षेत्र के अलावा अन्य क्षेत्रों में, यही विवरण कोहोमोलॉजी रिंग के स्थान पर चाउ रिंग के साथ सच रहता है (अभी भी यह मानते हुए कि X चिकना है)। विशेष रूप से, चाउ समूहों के लिए, प्रत्यक्ष योग अपघटन होता है जैसा कि यह पता चला है, यह अपघटन मान्य रहता है भले ही X चिकना न हो और न ही प्रोजेक्टिव। इसके विपरीत, एके (ई) = एके-आर (एक्स), गैसिन समरूपता के माध्यम से, नैतिक रूप से क्योंकि ई के तंतु, वेक्टर रिक्त स्थान, संकुचन योग्य हैं। प्रोज निर्माण शंकु (बीजगणितीय ज्यामिति) शासित सतह (एक प्रोजेक्टिव बंडल का एक उदाहरण) भी देखें गंभीर-ब्राउर विविधता हिरज़ेब्रुक सतह संदर्भ बीजगणितीय टोपोलॉजी बीजगणितीय ज्यामिति