Bring's curve
गणित में, ब्रिंग कर्व (जिसे ब्रिंग की सतह भी कहा जाता है और, क्लेन क्वार्टिक के साथ सादृश्य से, ब्रिंग सेक्सटिक) सजातीय समीकरणों द्वारा काटा गया वक्र है इसका नाम एरलैंड सैमुअल ब्रिंग के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1786 में लुंड विश्वविद्यालय को प्रस्तुत एक प्रोमोशनस्क्रिफ्ट में इसी तरह के निर्माण का अध्ययन किया था। ध्यान दें कि ब्रिंग क्विंटिक का मूल xi ब्रिंग के वक्र को संतुष्ट करता है क्योंकि वक्र का ऑटोमोर्फिज्म समूह 120 क्रम का सममित समूह S5 है, जो 5 निर्देशांकों के क्रमपरिवर्तन द्वारा दिया गया है। यह जीनस 4 जटिल वक्र का सबसे बड़ा संभावित ऑटोमोर्फिज्म समूह है। वक्र को 12 बिंदुओं में शाखा वाले गोले के तिहरे आवरण के रूप में महसूस किया जा सकता है, और यह छोटे स्टेलेटेड डोडेकाहेड्रॉन से जुड़ी रीमान सतह है। इसका वंश 4 है। सममितियों का पूरा समूह (प्रतिबिंबों सहित) प्रत्यक्ष उत्पाद है, जिसका क्रम 240 है। फंडामेंटल डोमेन और सिस्टोल ब्रिंग कर्व को एक हाइपरबोलिक आइकोसागन के पक्षों को जोड़कर रीमान सतह के रूप में प्राप्त किया जा सकता है (मौलिक बहुभुज देखें)। पहचान पैटर्न निकटवर्ती आरेख में दिया गया है। समकोण (क्षेत्रफल का, गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा) को 240 (2,4,5) त्रिकोणों द्वारा विभाजित किया जा सकता है। इन त्रिभुजों में से एक को दूसरे में ले जाने वाली क्रियाएँ सतह के ऑटोमोर्फिज्म का पूरा समूह (प्रतिबिंबों सहित) देती हैं। परावर्तनों पर छूट देते हुए, हम परिचय में उल्लिखित 120 ऑटोमोर्फिज्म प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि 120 252 से कम है, जो हर्विट्ज़ के ऑटोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा जीनस 4 सतह के लिए अनुमत ऑटोमोर्फिज्म को संरक्षित करने वाले अभिविन्यास की अधिकतम संख्या है। इसलिए, ब्रिंग की सतह एक हर्विट्ज़ सतह नहीं है। यह हमें यह भी बताता है कि जीनस 4 की हर्विट्ज़ सतह मौजूद नहीं है। सममितियों के पूर्ण समूह में निम्नलिखित प्रस्तुति होती हैः, जहां पहचान क्रिया है, मौलिक बहुभुज के केंद्र के बारे में क्रम 5 का एक घूर्णन है, शीर्ष पर क्रम 2 का एक घूर्णन है जहां 4 (2,4,5) त्रिकोण टेसेलेशन में मिलते हैं, और वास्तविक रेखा में प्रतिबिंब है। इस प्रस्तुति से, GAP का उपयोग करके ब्रिंग की सतह के समरूपता समूह के रैखिक प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में जानकारी की गणना की जा सकती है। विशेष रूप से, समूह में चार 1 आयामी, चार 4 आयामी, चार 5 आयामी और दो 6 आयामी इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व हैं, और हमारे पास उम्मीद के अनुसार है। सतह के सिस्टोल की लंबाई और बहुलता 20 है, उस लंबाई का एक जियोडेसिक लूप जिसमें 240 (2,4,5) त्रिकोणों में से बारह की संयुग्मित ऊंचाई शामिल है। इसी तरह क्लेन क्वार्टिक के लिए, ब्रिंग की सतह ऑटोमोर्फिज्म समूह के आकार को अधिकतम करने के बावजूद अपनी टोपोलॉजिकल श्रेणी (यानी, एक ही जीनस वाली सतहों) में कॉम्पैक्ट रीमान सतहों के बीच सिस्टोल की लंबाई को अधिकतम नहीं करती है। सिस्टोल को संभवतः एम4 इंच संदर्भित सतह द्वारा अधिकतम किया जाता है। एम4 की सिस्टोल लंबाई 36 है और इसकी बहुलता है। वर्णक्रमीय सिद्धांत ब्रिंग की सतह के वर्णक्रमीय सिद्धांत के बारे में बहुत कम ज्ञात है, हालाँकि, यह संभावित रूप से इस क्षेत्र में रुचि का विषय हो सकता है। बोल्ज़ा सतह और क्लेन क्वार्टिक में क्रमशः जेनेरा 2 और 3 में स्थिर नकारात्मक वक्रता की कॉम्पैक्ट रीमान सतहों के बीच सबसे बड़ा समरूपता समूह है, और इस प्रकार यह अनुमान लगाया गया है कि वे लाप्लास स्पेक्ट्रम में पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू को अधिकतम करते हैं। इस परिकल्पना का समर्थन करने के लिए मजबूत संख्यात्मक साक्ष्य हैं, विशेष रूप से बोल्ज़ा सतह के मामले में, हालांकि एक कठोर प्रमाण प्रदान करना अभी भी एक खुली समस्या है। इस पैटर्न का पालन करते हुए, कोई भी उचित रूप से अनुमान लगा सकता है कि ब्रिंग की सतह लैपलेसियन (इसके टोपोलॉजिकल वर्ग की सतहों के बीच) के पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू को अधिकतम करती है। बोल्ज़ा सतह क्लेन क्वार्टिक मैकबीथ सतह फर्स्ट हर्विट्ज़ ट्रिपल संदर्भ बीजगणितीय वक्र भी देखें।