Stufe (algebra)
क्षेत्र सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, किसी क्षेत्र F का स्टूफ (/ʃtuːfə/; जर्मनः स्तर) s (F) वर्गों की सबसे कम संख्या है जिसका योग-1 है। यदि-1 को वर्गों के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, तो s (F) =। इस मामले में, F एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है। अल्ब्रेक्ट फिस्टर ने साबित किया कि स्टफ, यदि परिमित है, तो हमेशा 2 की शक्ति होती है, और इसके विपरीत 2 की प्रत्येक शक्ति होती है। 2 की घात यदि तब किसी प्राकृतिक संख्या के लिए। प्रमाणः इसे इस तरह से चुना जाए। जाने दीजिए। फिर ऐसे तत्व हैं जो दोनों और वर्गों के योग हैं, और अन्यथा, पर धारणा के विपरीत हैं। फिस्टर रूपों के सिद्धांत के अनुसार, उत्पाद अपने आप में वर्गों का योग है, यानी कुछ के लिए। लेकिन चूंकि, हमारे पास भी है, और इसलिए और इस प्रकार। सकारात्मक विशेषता वाले किसी भी क्षेत्र में सकारात्मक विशेषता होती है। प्रमाणः चलो। दावे को साबित करने के लिए यह पर्याप्त है। अगर ऐसा है तो। यदि वर्गों के समूह पर विचार करें। तत्वों के साथ चक्रीय समूह में सूचकांक का एक उपसमूह है। इस प्रकार इसमें ठीक-ठीक तत्व होते हैं, और ऐसा ही होता है। चूँकि केवल तत्वों में कुल तत्व होते हैं, और उन्हें अलग नहीं किया जा सकता है, यानी, उनके साथ और इस प्रकार होते हैं। गुण स्टफ एस (एफ) पाइथागोरस संख्या पी (एफ) से पी (एफ) ≤ एस (एफ) + 1 से संबंधित है। यदि एफ औपचारिक रूप से वास्तविक नहीं है तो एस (एफ) ≤ पी (एफ) ≤ एस (एफ) + 1। रूप (1) का योगात्मक क्रम, और इसलिए F के विट समूह का प्रतिपादक 2s (F) के बराबर है। उदाहरण एक चतुर्भुज रूप से बंद क्षेत्र का स्टफ 1 है। एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का स्टफ φ, 1,2 या 4 (सीगल का प्रमेय) है। उदाहरण हैं क्यू, क्यू (ρ−1), क्यू (ρ−2) और क्यू (ρ−7)। एक परिमित क्षेत्र GF (q) का स्टूफ 1 है यदि q ष्ण 1 मॉड 4 और 2 यदि q ष्ण 3 मॉड 4 है। विषम अवशेष विशेषता वाले स्थानीय क्षेत्र का स्टफ इसके अवशेष क्षेत्र के बराबर होता है। 2-एडिक क्षेत्र Q2 का स्टफ 4 है। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ने का क्षेत्र (गणित)