Landweber iteration
लैंडवेबर पुनरावृत्ति या लैंडवेबर एल्गोरिथ्म खराब स्थिति वाली रैखिक व्युत्क्रम समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, और इसे गैर-रैखिक समस्याओं को हल करने के लिए विस्तारित किया गया है जिसमें बाधाएं शामिल हैं। इस विधि को पहली बार 1950 के दशक में लुई लैंडवेबर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और अब इसे कई अन्य सामान्य विधियों के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। मूल एल्गोरिथ्म मूल लैंडवेबर एल्गोरिथ्म (शोर) माप y से एक संकेत x को पुनर्प्राप्त करने का प्रयास करता है। रैखिक संस्करण यह मानता है कि एक रैखिक प्रचालक ए के लिए। जब समस्या परिमित आयामों में होती है, तो ए सिर्फ एक मैट्रिक्स होता है। जब ए नॉन-सिंगुलर होता है, तो एक स्पष्ट समाधान होता है। हालाँकि, यदि ए खराब स्थिति में है, तो स्पष्ट समाधान एक खराब विकल्प है क्योंकि यह डेटा वाई में किसी भी शोर के प्रति संवेदनशील है। यदि ए एकवचन है, तो यह स्पष्ट समाधान मौजूद भी नहीं है। लैंडवेबर एल्गोरिथ्म समस्या को नियमित करने का एक प्रयास है, और टिखोनोव नियमितकरण के विकल्पों में से एक है। हम लैंडवेबर एल्गोरिथ्म को हल करने के रूप में देख सकते हैंः एक पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करना। एल्गोरिथ्म अद्यतन द्वारा दिया जाता है जहाँ विश्राम कारक संतुष्ट होता है। यहाँ का सबसे बड़ा एकवचन मान है। यदि हम लिखते हैं, तो अद्यतन को ढाल के संदर्भ में लिखा जा सकता है और इसलिए एल्गोरिथ्म ढाल वंश का एक विशेष मामला है। गलत स्थिति वाली समस्याओं के लिए, पुनरावृत्ति विधि को एक उपयुक्त पुनरावृत्ति सूचकांक पर रोकने की आवश्यकता है, क्योंकि यह अर्ध-अभिसरण करती है। इसका मतलब है कि पुनरावृत्तियाँ पहले पुनरावृत्तियों के दौरान एक नियमित समाधान तक पहुँचती हैं, लेकिन आगे के पुनरावृत्तियों में अस्थिर हो जाती हैं। पुनरावृत्ति सूचकांक का पारस्परिक नियमितीकरण मापदंड के रूप में कार्य करता है। एक उपयुक्त पैरामीटर पाया जाता है, जब बेमेल शोर स्तर तक पहुंचता है। साहित्य में लैंडवेबर पुनरावृत्ति को एक नियमित एल्गोरिथ्म के रूप में उपयोग करने पर चर्चा की गई है। गैर-रेखीय विस्तार सामान्य तौर पर, द्वारा उत्पन्न किए गए अद्यतन एक अनुक्रम उत्पन्न करेंगे जो f के मिनिमाइज़र में परिवर्तित हो जाता है जब भी f उत्तल होता है और स्टेपसाइज़ को इस तरह चुना जाता है कि वर्णक्रमीय मानक कहाँ है। चूंकि यह विशेष प्रकार का ढाल वंश है, इसलिए वर्तमान में गैर-रैखिक लैंडवेबर के रूप में इसका विश्लेषण करने से बहुत अधिक लाभ नहीं है, लेकिन इस तरह का विश्लेषण ऐतिहासिक रूप से कई समुदायों द्वारा किया गया था जो एकीकृत ढांचे से अवगत नहीं थे। गैर-रेखीय लैंडवेबर समस्या का अध्ययन कई समुदायों में कई पत्रों में किया गया है; उदाहरण के लिए, देखें। यदि f एक उत्तल फलन है और C एक उत्तल समुच्चय है, तो समस्या को सीमित, अरैखिक लैंडवेबर पुनरावृत्ति द्वारा हल किया जा सकता है, जिसके द्वारा दिया गया हैः समुच्चय C पर प्रक्षेपण कहाँ है। यह फिर से अनुमानित ढाल वंश का एक विशेष मामला है (जो आगे-पीछे एल्गोरिदम का एक विशेष मामला है) जैसा कि चर्चा की गई है। अनुप्रयोग चूंकि यह विधि 1950 के दशक से चली आ रही है, इसलिए इसे कई वैज्ञानिक समुदायों, विशेष रूप से खराब समस्याओं का अध्ययन करने वालों द्वारा अपनाया और फिर से खोजा गया है। एक्स-रे कम्प्यूटेड टोमोग्राफी में इसे एस. आई. आर. टी. कहा जाता है-एक साथ पुनरावृत्ति पुनर्निर्माण तकनीक। इसका उपयोग कंप्यूटर दृष्टि समुदाय और संकेत पुनर्स्थापना समुदाय में भी किया गया है। इसका उपयोग छवि प्रसंस्करण में भी किया जाता है, क्योंकि कई छवि समस्याएं, जैसे कि विकलन, खराब स्थिति में हैं। इस विधि के रूपों का उपयोग विरल सन्निकटन समस्याओं और संपीड़ित संवेदन सेटिंग्स में भी किया गया है। संदर्भ छवि प्रसंस्करण व्युत्क्रम समस्याएं प्रवणता विधियाँ