Ricci calculus
गणित में, रिक्की कलन एक मीट्रिक टेंसर या कनेक्शन के साथ या उसके बिना, एक अवकलनीय मैनिफोल्ड पर टेंसर और टेंसर क्षेत्रों के लिए सूचकांक संकेतन और हेरफेर के नियमों का गठन करता है। यह संपूर्ण विभेदक कलन (टेंसर कलन की नींव) के लिए आधुनिक नाम भी है, जिसे ग्रेगोरियो रिक्की-कुर्बास्ट्रो द्वारा 1887-1896 में विकसित किया गया था, और बाद में 1900 में अपने शिष्य टुलियो लेवी-सिविटा के साथ लिखे गए एक पेपर में लोकप्रिय किया गया था। जान अर्नोल्डस शौटेन ने इस गणितीय ढांचे के लिए आधुनिक संकेतन और औपचारिकता विकसित की, और बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में सामान्य सापेक्षता और विभेदक ज्यामिति में इसके अनुप्रयोगों के दौरान सिद्धांत में योगदान दिया। एक टेंसर का एक घटक एक वास्तविक संख्या है जिसका उपयोग टेंसर स्थान के लिए एक आधार तत्व के गुणांक के रूप में किया जाता है। टेंसर इसके घटकों का उनके संबंधित आधार तत्वों द्वारा गुणा किया गया योग है। टेंसर और टेंसर क्षेत्रों को उनके घटकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, और टेंसर और टेंसर क्षेत्रों पर संचालन को उनके घटकों पर संचालन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। टेंसर क्षेत्रों का विवरण और उनके घटकों के संदर्भ में उन पर संचालन रिची कलन का केंद्र है। यह संकेतन ऐसे टेंसर क्षेत्रों और संचालन की एक कुशल अभिव्यक्ति की अनुमति देता है। जबकि अधिकांश संकेतन को किसी भी टेंसर के साथ लागू किया जा सकता है, एक अंतर संरचना से संबंधित संचालन केवल टेंसर क्षेत्रों पर लागू होते हैं। जहाँ आवश्यक हो, संकेतन गैर-टेंसर के घटकों, विशेष रूप से बहुआयामी सरणियों तक फैला हुआ है। एक टेंसर को वेक्टर और कोवेक्टर आधार तत्वों के टेंसर उत्पाद के रैखिक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिणामी टेंसर घटकों को आधार के सूचकांकों द्वारा लेबल किया जाता है। प्रत्येक सूचकांक में अंतर्निहित सदिश स्थान के प्रति आयाम का एक संभावित मूल्य होता है। सूचकांकों की संख्या टेंसर की डिग्री (या क्रम) के बराबर होती है। सघनता और सुविधा के लिए, रिची कलन में आइंस्टीन संकेतन शामिल है, जिसका अर्थ है एक अवधि के भीतर दोहराए गए सूचकांकों पर योग और मुक्त सूचकांकों पर सार्वभौमिक मात्रात्मकता। रिची कलन के संकेतन में अभिव्यक्तियों की व्याख्या आम तौर पर घटकों से संबंधित समवर्ती समीकरणों के एक समूह के रूप में की जा सकती है जो कई गुना से अधिक कार्य करते हैं, आमतौर पर विशेष रूप से कई गुना पर निर्देशांक के कार्य के रूप में। यह केवल नियमों के एक सीमित समूह की परिचितता के साथ अभिव्यक्तियों के सहज हेरफेर की अनुमति देता है। जहां शास्त्रीय भौतिकी के चार आयामी अंतरिक्ष काल में स्थान जैसे आधार तत्वों और समय जैसे तत्व के बीच अंतर किया जाना है, यह पारंपरिक रूप से सूचकांकों के माध्यम से किया जाता है निम्नानुसारः छोटे अक्षर वाले लैटिन वर्णमाला का उपयोग त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान पर प्रतिबंध को इंगित करने के लिए किया जाता है, जो स्थानिक घटकों के लिए 1,2,3 मान लेते हैं; और 0 द्वारा इंगित समय जैसे तत्व को अलग से दिखाया जाता है। लोअरकेस ग्रीक वर्णमाला का उपयोग 4-आयामी स्पेसटाइम के लिए किया जाता है, जो आम तौर पर समय घटकों के लिए 0 और स्थानिक घटकों के लिए 1,2,3 मान लेते हैं। कुछ स्रोत समय के अनुरूप सूचकांक मूल्य के रूप में 0 के बजाय 4 का उपयोग करते हैं; इस लेख में, 0 का उपयोग किया गया है। अन्यथा, सामान्य गणितीय संदर्भों में, किसी भी प्रतीक का उपयोग सूचकांकों के लिए किया जा सकता है, जो आम तौर पर सदिश स्थान के सभी आयामों पर चलते हैं। समन्वय और अनुक्रमणिका संकेतन लेखक (ओं) आमतौर पर यह स्पष्ट कर देंगे कि क्या एक अभिलिखना एक अनुक्रमणिका के रूप में या एक लेबल के रूप में अभिप्रेत है। उदाहरण के लिए, 3-डी यूक्लिडियन स्थान में और कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करते हुए; निर्देशांक वेक्टर अभिलिखित 1,2,3 और लेबल,, के बीच एक सीधा पत्राचार दिखाता है। अभिव्यक्ति में, 1,2,3 मानों पर एक सूचकांक के रूप में व्याख्या की जाती है, जबकि,, अभिदान केवल लेबल हैं, चर नहीं। स्पेसटाइम के संदर्भ में, सूचकांक मान 0 पारंपरिक रूप से लेबल से मेल खाता है। आधार सूचकांकों का संदर्भ स्वयं को डायक्रिटिक जैसे प्रतीकों का उपयोग करके लेबल किया जा सकता है, जैसे कि टोपी (̃), बार (̃), टिल्डे (̃), या प्राइम (′) जैसा किः उस सूचकांक के लिए संभवतः अलग आधार को दर्शाने के लिए। एक उदाहरण लॉरेंट्ज़ परिवर्तनों में संदर्भ के एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में है, जहां एक फ्रेम को अनप्राइम किया जा सकता है और दूसरे को प्राइम्ड किया जा सकता है, जैसा किः इसे स्पिनर्स के लिए वैन डेर वेर्डेन संकेतन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो एक स्पिनर्स की कायरलिटी को प्रतिबिंबित करने के लिए सूचकांकों पर टोपी और ओवरडॉट का उपयोग करता है। ऊपरी और निचले सूचकांक रिची कलन, और सूचकांक संकेतन अधिक सामान्य रूप से, निचले सूचकांकों (अभिलिखित) और ऊपरी सूचकांकों (अधिलिखित) के बीच अंतर करते हैं; बाद वाले प्रतिपादक नहीं हैं, भले ही वे पाठकों को केवल गणित के अन्य हिस्सों से परिचित दिखें। विशेष मामले में कि मीट्रिक टेंसर हर जगह पहचान मैट्रिक्स के बराबर है, ऊपरी और निचले सूचकांकों के बीच अंतर को छोड़ना संभव है, और फिर सभी सूचकांकों को निचली स्थिति में लिखा जा सकता है। रैखिक बीजगणित में समन्वय सूत्र जैसे मैट्रिक्स के उत्पाद इसके उदाहरण हो सकते हैं। लेकिन सामान्य तौर पर, ऊपरी और निचले सूचकांकों के बीच अंतर बनाए रखा जाना चाहिए। कोवेरियंट टेंसर घटक एक निचला सूचकांक उस सूचकांक के संबंध में घटकों के सहप्रसरण को इंगित करता हैः कॉन्ट्रावेरिएंट टेंसर घटक एक ऊपरी सूचकांक (सुपरस्क्रिप्ट) उस सूचकांक के संबंध में घटकों के सहप्रसरण को इंगित करता हैः मिश्रित-भिन्नता टेंसर घटक एक टेंसर में ऊपरी और निचले दोनों सूचकांक हो सकते हैंः सूचकांकों का क्रम महत्वपूर्ण है, भले ही भिन्न भिन्नता हो। हालांकि, जब यह समझा जाता है कि आधार प्रतीक को बनाए रखते हुए किसी भी सूचकांक को ऊपर या नीचे नहीं किया जाएगा, तो सहपरिवर्तन सूचकांकों को कभी-कभी सांकेतिक सुविधा के लिए विपरीत सूचकांकों के नीचे रखा जाता है (जैसे। सामान्यीकृत क्रोनेकर डेल्टा के साथ)। टेंसर का प्रकार और डिग्री एक टेंसर के प्रत्येक ऊपरी और निचले सूचकांकों की संख्या अपना प्रकार देती हैः ऊपरी और निचले सूचकांकों वाले टेंसर को प्रकार का या एक प्रकार का टेंसर कहा जाता है। एक टेंसर के सूचकांकों की संख्या, भिन्नता की परवाह किए बिना, टेंसर की डिग्री कहा जाता है (वैकल्पिक रूप से, इसकी संयोजकता, क्रम या श्रेणी, हालांकि श्रेणी अस्पष्ट है)। इस प्रकार, एक प्रकार के टेंसर की डिग्री होती है। सारांश परंपरा एक शब्द के भीतर दो बार (एक ऊपरी और एक निचला) होने वाला एक ही प्रतीक सूचकांकों की एक जोड़ी को इंगित करता है जिसका योग किया जाता हैः इस तरह के योग द्वारा निहित संचालन को टेंसर संकुचन कहा जाता हैः यह योग एक शब्द के भीतर एक से अधिक बार प्रति जोड़ी सूचकांकों के एक अलग प्रतीक के साथ हो सकता है, उदाहरण के लिएः एक शब्द के भीतर दोहराए गए सूचकांकों के अन्य संयोजनों को खराब माना जाता है, जैसे कि {।-।।।।। (दोनों घटनाएं कम हैं; ठीक होंगे)।-।।। (कम सूचकांक के रूप में दो बार होता है; या ठीक होगा)। ।} इस तरह के सूत्रों को बाहर करने का कारण यह है कि हालांकि इन मात्राओं की गणना संख्याओं की सरणी के रूप में की जा सकती है, लेकिन वे आधार परिवर्तन के तहत सामान्य रूप से टेंसर के रूप में परिवर्तित नहीं होंगे। बहु-सूचकांक संकेतन यदि एक टेंसर में सभी ऊपरी या निचले सूचकांकों की सूची होती है, तो एक आशुलिपि सूची के लिए एक बड़े अक्षर का उपयोग करना हैः कहाँ और कहाँ। अनुक्रमिक योग सभी-उच्च सूचकांकों या सभी-निम्न सूचकांकों (लेकिन दोनों नहीं) के एक सेट के आसपास ऊर्ध्वाधर पट्टियों की एक जोड़ी, सूचकांकों के एक अन्य सेट के साथ संकुचन से जुड़ी होती है जब अभिव्यक्तियाँ सूचकांकों के दो सेटों में से प्रत्येक में पूरी तरह से प्रतिसमितीय होती हैंः सूचकांक मूल्यों पर एक प्रतिबंधित योग का अर्थ है, जहां प्रत्येक सूचकांक अगले से सख्ती से कम होने के लिए विवश होता है। एक से अधिक समूहों को इस तरह से जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिएः बहु-सूचकांक संकेतन का उपयोग करते समय, सूचकांकों के ब्लॉक के नीचे एक अंडरएरो रखा जाता हैः जहां सूचकांकों को ऊपर और नीचे करना एक गैर-एकल मीट्रिक टेंसर के साथ एक सूचकांक को संकुचित करने से, एक टेंसर के प्रकार को बदला जा सकता है, एक निचले सूचकांक को ऊपरी सूचकांक में परिवर्तित किया जा सकता है या इसके विपरीत कई मामलों में आधार प्रतीक को बनाए रखा जाता है (जैसे। जहाँ यहाँ दिखाई देता है) का उपयोग करते हुए, और जब कोई अस्पष्टता नहीं होती है, तो इस ऑपरेशन को इंगित करने के लिए एक सूचकांक को पुनर्स्थापित किया जा सकता है। सूचकांक स्थितियों और अपरिवर्तनीयता के बीच सहसंबंध यह तालिका संक्षेप में बताती है कि आधारों के बीच एक निष्क्रिय परिवर्तन के तहत सहपरिवर्तन और विपरीत सूचकांक का हेरफेर कैसे अपरिवर्तनीयता के साथ फिट बैठता है, जिसमें प्रत्येक आधार के घटक दूसरे के संदर्भ में पहले कॉलम में प्रतिबिंबित होते हैं। वर्जित सूचकांक परिवर्तन के बाद अंतिम समन्वय प्रणाली को संदर्भित करते हैं। क्रोनेकर डेल्टा का उपयोग किया जाता है, नीचे भी देखें। {। वर्ग = "विकिटेबल"।-! ! परिवर्तन का आधार! घटक परिवर्तन! इनवेरियंस।-! कोवेक्टर, कोवेरियंट वेक्टर, 1-रूप।।।।-! वेक्टर, कंट्रावेरिएंट वेक्टर।।। सूचकांक संकेतन और संचालन के लिए सामान्य रूपरेखा टेंसर समान होते हैं यदि और केवल तभी जब प्रत्येक संबंधित घटक समान हो; उदाहरण के लिए, टेंसर टेंसर के बराबर होता है यदि और केवल यदि सभी के लिए। नतीजतन, संकेतन के ऐसे पहलू हैं जो यह जांचने में उपयोगी हैं कि एक समीकरण समझ में आता है (आयामी विश्लेषण के लिए एक अनुरूप प्रक्रिया)। मुक्त और नकली सूचकांक जो संकुचन में शामिल नहीं हैं, उन्हें मुक्त सूचकांक कहा जाता है। संकुचन में उपयोग किए जाने वाले सूचकांकों को डमी सूचकांक या योग सूचकांक कहा जाता है। एक टेंसर समीकरण कई साधारण (वास्तविक-मूल्यवान) समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है टेंसर के घटक (जैसे, आदि)। ये केवल वास्तविक संख्याएँ हैं। चूँकि सूचकांक टेंसर के विशिष्ट घटकों का चयन करने के लिए विभिन्न पूर्णांक मान लेते हैं, एक एकल टेंसर समीकरण कई साधारण समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है। यदि एक टेंसर समानता में मुक्त सूचकांक हैं, और यदि अंतर्निहित वेक्टर स्थान की आयामीता है, तो समानता समीकरणों का प्रतिनिधित्व करती हैः प्रत्येक सूचकांक मूल्यों के एक विशिष्ट सेट के प्रत्येक मूल्य को लेता है। उदाहरण के लिए, यदि चार आयामों में है (अर्थात, प्रत्येक सूचकांक 0 से 3 या 1 से 4 तक चलता है), तो क्योंकि तीन मुक्त सूचकांक () हैं, 43 = 64 समीकरण हैं। इनमें से तीन हैंः यह सूचकांक संकेतन का उपयोग करने की सघनता और दक्षता को दर्शाता हैः कई समीकरण जो सभी एक समान संरचना साझा करते हैं, उन्हें एक सरल टेंसर समीकरण में एकत्र किया जा सकता है। सूचकांक प्रतिस्थापन योग्य लेबल हैं जो किसी भी सूचकांक प्रतीक को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित करते हुए टेंसर समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं (बशर्ते कि पहले से उपयोग किए गए अन्य प्रतीकों के साथ कोई संघर्ष न हो)। यह सूचकांकों में हेरफेर करते समय उपयोगी हो सकता है, जैसे कि वेक्टर कलन पहचान या क्रोनेकर डेल्टा और लेवी-सिविटा प्रतीक की पहचान को सत्यापित करने के लिए सूचकांक संकेतन का उपयोग करना (नीचे भी देखें)। एक सही परिवर्तन का एक उदाहरण हैः जबकि एक गलत परिवर्तन हैः पहले प्रतिस्थापन में, हर जगह प्रतिस्थापित और प्रतिस्थापित किया जाता है, इसलिए अभिव्यक्ति का अभी भी एक ही अर्थ है। दूसरे में, पूरी तरह से प्रतिस्थापित नहीं हुआ, और पूरी तरह से प्रतिस्थापित नहीं हुआ (संयोग से, सूचकांक पर संकुचन एक टेंसर उत्पाद बन गया), जो आगे दिखाए गए कारणों के लिए पूरी तरह से असंगत है। प्रत्येक पद में सूचकांक समान होते हैं एक टेंसर अभिव्यक्ति में मुक्त सूचकांक हमेशा प्रत्येक पद के दौरान समान (ऊपरी या निचले) स्थिति में दिखाई देते हैं, और एक टेंसर समीकरण में मुक्त सूचकांक प्रत्येक पक्ष पर समान होते हैं। डमी सूचकांक (जो उस सूचकांक पर एक योग का तात्पर्य है) समान होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिएः एक गलत अभिव्यक्ति के लिएः दूसरे शब्दों में, समीकरण के प्रत्येक पद में गैर-दोहराए गए सूचकांक एक ही प्रकार के होने चाहिए। उपरोक्त पहचान में, एक संकुचन (एक बार ऊपरी सूचकांक के रूप में और एक बार निचले सूचकांक के रूप में) के कारण एक अवधि में दो बार होता है और इस प्रकार यह एक वैध अभिव्यक्ति है। अमान्य अभिव्यक्ति में, जबकि पंक्तिबद्ध होता है, और नहीं, और एक पद (संकुचन) में दो बार और दूसरे पद में एक बार दिखाई देता है, जो असंगत है। ब्रैकेट और विराम चिह्न एक बार उपयोग किए जाते हैं जहां निहित होता है जब कई सूचकांकों पर एक नियम लागू किया जाता है (विभेदन, समरूपता आदि, आगे दिखाया गया है), नियमों को दर्शाने वाले ब्रैकेट या विराम चिह्न केवल सूचकांकों के एक समूह पर दिखाए जाते हैं जिन पर वे लागू होते हैं। यदि कोष्ठक सहपरिवर्तन सूचकांकों को संलग्न करते हैं-तो नियम केवल कोष्ठक में संलग्न सभी सहपरिवर्तन सूचकांकों पर लागू होता है, न कि किसी भी विपरीत सूचकांकों पर जो कोष्ठक के बीच तुरंत रखे जाते हैं। इसी तरह यदि कोष्ठक विपरीत सूचकांकों को घेरते हैं-तो नियम केवल सभी संलग्न विपरीत सूचकांकों पर लागू होता है, न कि बीच-बीच में रखे गए सहपरिवर्तन सूचकांकों पर। सममित और प्रतिसममित भाग टेंसर कोष्ठक का सममित भाग, (), कई सूचकांकों के आसपास टेंसर के सममित भाग को दर्शाता है। जब सूचकांकों को 1 से लेकर 1 तक की संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की सीमा के लिए सममित किया जाता है, तो उन सूचकांकों के क्रमपरिवर्तन का योग लिया जाता है, और फिर क्रमपरिवर्तन की संख्या से विभाजित किया जाता हैः उदाहरण के लिए, दो सममित करने वाले सूचकांकों का अर्थ है कि क्रमबद्ध करने और योग करने के लिए दो सूचकांक हैंः जबकि तीन सममित करने वाले सूचकांकों के लिए, योग और क्रमबद्ध करने के लिए तीन सूचकांक हैंः सममितता जोड़ पर वितरण है; सूचकांक सममितता का हिस्सा नहीं हैं जब वे हैंः समान स्तर पर नहीं, उदाहरण के लिए; कोष्ठक के भीतर और ऊर्ध्वाधर पट्टियों के बीच (यानी ऊर्ध्वाधर पट्टियों के बीच)। । ष्ण ष्ण ष्ण ष्ण।), पिछले उदाहरण को संशोधित करते हुए; यहाँ और सूचकांक सममित हैं, नहीं हैं। टेंसर वर्ग कोष्ठक का प्रतिसममित या वैकल्पिक भाग, [], कई सूचकांकों के आसपास टेंसर के प्रतिसममित भाग को दर्शाता है। प्रतिसमितीकरण सूचकांकों के लिए-उन सूचकांकों के क्रमपरिवर्तन पर योग को क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर से गुणा किया जाता है, फिर क्रमपरिवर्तन की संख्या से विभाजित किया जाता हैः डिग्री का सामान्यीकृत क्रोनेकर डेल्टा कहाँ है, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, दो एंटीसिमेट्रिज़िंग सूचकांक इंगित करते हैंः जबकि तीन एंटीसिमेट्रिज़िंग सूचकांक इंगित करते हैंः एक अधिक विशिष्ट उदाहरण के लिए, यदि विद्युत चुम्बकीय टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, तो समीकरण चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम और फैराडे के प्रेरण के नियम का प्रतिनिधित्व करता है। पहले की तरह, एंटीसिमेट्रिजेशन जोड़ पर वितरणात्मक है; जैसा कि समरूपता के साथ होता है, सूचकांक एंटीसिमेट्रिज़्ड नहीं होते हैं जब वे होते हैंः समान स्तर पर नहीं, उदाहरण के लिए; वर्ग कोष्ठक के भीतर और ऊर्ध्वाधर सलाखों के बीच (यानी। । ष्ण ष्ण ष्ण ष्ण ष्ण।), पिछले उदाहरण को संशोधित करते हुए; यहाँ और सूचकांक प्रतिसममित हैं, नहीं हैं। सममित और प्रतिसममित भागों का योग किसी भी टेंसर को दो सूचकांकों पर इसके सममित और प्रतिसममित भागों के योग के रूप में लिखा जा सकता हैः जैसा कि और के लिए उपरोक्त अभिव्यक्तियों को जोड़कर देखा जा सकता है। यह दो सूचकांकों के अलावा अन्य सूचकांकों के लिए नहीं है। विभेदन सघनता के लिए, व्युत्पन्न को अल्पविराम या अर्धविराम के बाद सूचकांकों को जोड़कर इंगित किया जा सकता है। आंशिक व्युत्पन्न जबकि रिची कलन की अधिकांश अभिव्यक्तियाँ मनमाने आधारों के लिए मान्य हैं, निर्देशांक के संबंध में टेंसर घटकों के आंशिक व्युत्पन्न वाली अभिव्यक्तियाँ केवल एक समन्वय आधार के साथ लागू होती हैंः एक आधार जिसे निर्देशांक के संबंध में विभेदन के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। निर्देशांकों को आम तौर पर वेक्टर के घटकों द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन सामान्य रूप से वेक्टर के घटकों को नहीं बनाते हैं। रैखिक समन्वय के साथ सपाट स्थानकाल में, निर्देशांकों में अंतर के एक टुपल को एक विपरीत सदिश के रूप में माना जा सकता है। स्थान पर और समन्वय प्रणाली के चयन पर समान बाधाओं के साथ, निर्देशांक के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न एक परिणाम देते हैं जो प्रभावी रूप से सहपरिवर्तनशील होता है। इस विशेष मामले में उपयोग के अलावा, टेंसर के घटकों के आंशिक व्युत्पन्न सामान्य रूप से सह-परिवर्तनशील रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं, लेकिन सह-परिवर्तनशील अभिव्यक्तियों के निर्माण में उपयोगी होते हैं, हालांकि अभी भी एक समन्वय आधार के साथ यदि आंशिक व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से उपयोग किए जाते हैं, जैसा कि नीचे सह-परिवर्तनशील, बाहरी और लाइ व्युत्पन्न के साथ होता है। एक निर्देशांक चर के संबंध में एक टेंसर क्षेत्र के घटकों के आंशिक विभेदन को इंगित करने के लिए, एक अल्पविराम को निर्देशांक चर के एक संलग्न निचले सूचकांक के सामने रखा जाता है। इसे दोहराया जा सकता है (आगे अल्पविराम जोड़े बिना): ये घटक सहपरिवर्तनशील रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं, जब तक कि विभेदीकृत अभिव्यक्ति एक स्केलर न हो। इस व्युत्पन्न की विशेषता उत्पाद नियम और निर्देशांक के व्युत्पन्न हैं जहां क्रोनेकर डेल्टा है। सहपरिवर्तन व्युत्पन्न को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब एक संबंध को परिभाषित किया जाता है। किसी भी टेंसर क्षेत्र के लिए, एक अर्धविराम () को एक संलग्न निचले (सहपरिवर्तन) सूचकांक के सामने रखा जाता है जो सहपरिवर्तन विभेदन को इंगित करता है। अर्धविराम के कम सामान्य विकल्पों में एक फॉरवर्ड स्लैश () या त्रि-आयामी घुमावदार स्थान में एक एकल ऊर्ध्वाधर पट्टी () शामिल है। एक स्केलर फलन, एक कंट्रावेरिएंट वेक्टर और एक कोवेरिएंट वेक्टर के सहपरिवर्तन व्युत्पन्न हैंः जहां संबंध गुणांक हैं। एक मनमाने टेंसर के लिएः किसी भी टेंसर के सहपरिवर्तन व्युत्पन्न के लिए एक वैकल्पिक संकेतन अभिलिखित नाबला प्रतीक है। एक वेक्टर क्षेत्र के मामले के लिएः एक वेक्टर के साथ किसी भी टेंसर क्षेत्र के दिशात्मक व्युत्पन्न के सहपरिवर्तक सूत्रीकरण को सहपरिवर्तक व्युत्पन्न के साथ इसके संकुचन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे। : एक टेंसर क्षेत्र के इस व्युत्पन्न के घटक सहपरिवर्तनशील रूप से परिवर्तित होते हैं, और इसलिए उप-अभिव्यक्तियों (आंशिक व्युत्पन्न और कनेक्शन गुणांक) के अलग-अलग सहपरिवर्तनशील रूप से परिवर्तित नहीं होने के बावजूद एक और टेंसर क्षेत्र बनाते हैं। इस व्युत्पन्न की विशेषता उत्पाद नियम हैः कनेक्शन प्रकार एक विभेदक मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल पर एक कोसजुल कनेक्शन को एफ़ाइन कनेक्शन कहा जाता है। एक कनेक्शन एक मीट्रिक कनेक्शन है जब मीट्रिक टेंसर का सहपरिवर्तन व्युत्पन्न गायब हो जाता हैः एक एफ़ाइन कनेक्शन जो एक मीट्रिक कनेक्शन भी है, उसे रीमानियन कनेक्शन कहा जाता है। एक रीमानियन कनेक्शन जो मरोड़-मुक्त है (यानी, जिसके लिए मरोड़ टेंसर गायब हो जाता हैः) एक लेवी-सिविटा कनेक्शन है। एक समन्वित आधार पर लेवी-सिविटा संबंध के लिए दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है। घटकों के साथ पूरी तरह से प्रतिसमितीय प्रकार के टेंसर क्षेत्र का बाहरी व्युत्पन्न (जिसे विभेदक रूप भी कहा जाता है) एक व्युत्पन्न है जो आधार परिवर्तनों के तहत सहपरिवर्तनशील है। यह एक मीट्रिक टेंसर या एक कनेक्शन पर निर्भर नहीं करता हैः इसके लिए केवल एक अवकलनीय मैनिफोल्ड की संरचना की आवश्यकता होती है। एक समन्वय आधार पर, इसे टेंसर घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के प्रतिसमितीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः इस व्युत्पन्न को किसी भी टेंसर क्षेत्र पर विपरीत सूचकांक के साथ परिभाषित नहीं किया गया है या जो पूरी तरह से प्रतिसमितीय नहीं है। यह एक श्रेणीबद्ध उत्पाद नियम द्वारा विशेषता है। लाइ व्युत्पन्न एक अन्य व्युत्पन्न है जो आधार परिवर्तनों के तहत सहपरिवर्तनशील है। बाहरी व्युत्पन्न की तरह, यह एक मीट्रिक टेंसर या एक कनेक्शन पर निर्भर नहीं करता है। एक विपरीत वेक्टर क्षेत्र के साथ (के प्रवाह) एक प्रकार के टेंसर क्षेत्र के लाइ व्युत्पन्न को एक समन्वय आधार का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है इस व्युत्पन्न को उत्पाद नियम और इस तथ्य से चिह्नित किया जाता है कि एक विपरीत वेक्टर क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न अपने आप में शून्य हैः उल्लेखनीय टेंसर क्रोनेकर डेल्टा जब गुणा और संकुचन होता है तो क्रोनेकर डेल्टा पहचान मैट्रिक्स की तरह होता हैः घटक किसी भी आधार पर समान होते हैं और प्रकार का एक अपरिवर्तनीय टेंसर बनाते हैं, अर्थात। आधार मैनिफोल्ड के पहचान मानचित्रण पर स्पर्शरेखा बंडल की पहचान, और इसलिए इसका निशान एक अपरिवर्तनीय है। इसका निशान अंतरिक्ष की आयामीता है; उदाहरण के लिए, चार आयामी अंतरिक्ष काल में, क्रोनेकर डेल्टा सामान्यीकृत क्रोनेकर डेल्टा के परिवार में से एक है। डिग्री के सामान्यीकृत क्रोनेकर डेल्टा को क्रोनेकर डेल्टा के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (एक सामान्य परिभाषा में दाईं ओर का एक अतिरिक्त गुणक शामिल है): और सूचकांकों पर एक एंटीसिमेट्राइज़र के रूप में कार्य करता हैः टॉरशन टेंसर एक एफ़ाइन कनेक्शन में एक टॉरशन टेंसर होता हैः जहां स्थानीय आधार के लाइ ब्रैकेट के घटकों द्वारा दिया जाता है, जो एक समन्वय आधार होने पर गायब हो जाते हैं। एक लेवी-सिविटा संबंध के लिए इस टेंसर को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जो एक समन्वय आधार के लिए समीकरण रीमान वक्रता टेंसर देता है यदि इस टेंसर को इस रूप में परिभाषित किया गया है तो यह स्वयं के साथ सहपरिवर्तन व्युत्पन्न का कम्यूटेटर हैः क्योंकि संबंध मरोड़ रहित है, जिसका अर्थ है कि मरोड़ टेंसर गायब हो जाता है। इसे एक मनमाने टेंसर के दो सहपरिवर्तन व्युत्पन्न के लिए कम्यूटेटर प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता हैः जिन्हें अक्सर रिक्की पहचान के रूप में संदर्भित किया जाता है। मीट्रिक टेंसर मीट्रिक टेंसर का उपयोग सूचकांकों को कम करने के लिए किया जाता है और किसी भी स्थान जैसे वक्र की लंबाई देता है जहां पथ का कोई भी चिकना सख्ती से मोनोटोन पैरामीटराइजेशन होता है। यह किसी भी समय जैसे वक्र की अवधि भी देता है जहां प्रक्षेपवक्र का कोई भी चिकना सख्ती से मोनोटोन पैरामीटराइजेशन होता है। रेखा तत्व भी देखें। मीट्रिक टेंसर का व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक अन्य महत्वपूर्ण टेंसर है, जिसका उपयोग सूचकांकों को बढ़ाने के लिए किया जाता हैः एब्स्ट्रैक्ट इंडेक्स नोटेशन कनेक्शन बाहरी बीजगणित विभेदक रूप हॉज स्टार ऑपरेटर होलोनोमिक आधार मीट्रिक टेंसर पेनरोज़ ग्राफिकल नोटेशन रेग कैलकुलस रिक्की अपघटन टेंसर (आंतरिक परिभाषा) टेंसर कैलकुलस टेंसर फील्ड नोट्स संदर्भ स्रोत कैलकुलस विभेदक ज्यामिति टेंसर