Bochner's theorem (Riemannian geometry)
गणित में, सालोमोन बोच्नर ने 1946 में साबित किया कि नकारात्मक रिक्की वक्रता के साथ एक कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड का कोई भी किलिंग वेक्टर क्षेत्र शून्य होना चाहिए। नतीजतन मैनिफोल्ड का आइसोमेट्री समूह परिमित होना चाहिए। चर्चा यह प्रमेय बोच्नर के अधिक मौलिक परिणाम का एक परिणाम है जो कहता है कि नकारात्मक रिक्की वक्रता के किसी भी जुड़े हुए रीमानियन मैनिफोल्ड पर, एक गैर-शून्य हत्या वेक्टर क्षेत्र की लंबाई का स्थानीय अधिकतम नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, नकारात्मक रिक्की वक्रता के एक बंद रीमानियन मैनिफोल्ड पर, प्रत्येक किलिंग वेक्टर क्षेत्र समान रूप से शून्य होता है। चूँकि एक पूर्ण रीमानियन मैनिफोल्ड का आइसोमेट्री समूह एक लाइ समूह है जिसका लाइ बीजगणित स्वाभाविक रूप से किलिंग वेक्टर क्षेत्रों के वेक्टर स्थान के साथ पहचाना जाता है, इसलिए यह इस प्रकार है कि आइसोमेट्री समूह शून्य-आयामी है। बोच्नर की प्रमेय तब इस तथ्य का अनुसरण करती है कि एक बंद रीमानियन मैनिफोल्ड का सममिति समूह सघन है। किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स पर बोच्नर का परिणाम निम्नानुसार अधिकतम सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है। रिक्की कम्यूटेशन आइडेंटिटी के एक अनुप्रयोग के रूप में, सूत्र एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर किसी भी वेक्टर क्षेत्र के लिए होता है। एक रीमानियन मीट्रिक के मामले में, बाएं हाथ का पक्ष किसी भी स्थानीय अधिकतम लंबाई पर गैर-सकारात्मक होता है। हालांकि, नकारात्मक रिक्की वक्रता के एक रीमानियन मीट्रिक पर, जहां भी शून्य नहीं है, दाहिने हाथ की ओर सख्ती से सकारात्मक है। इसलिए यदि स्थानीय अधिकतम है, तो यह पड़ोस में समान रूप से शून्य होना चाहिए। चूँकि जुड़े हुए मैनिफोल्ड्स पर किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स को विशिष्ट रूप से उनके मूल्य और एक ही बिंदु पर व्युत्पन्न से निर्धारित किया जाता है, इसलिए यह समान रूप से शून्य होना चाहिए। टिप्पणियाँ विभेदक ज्यामिति में संदर्भ प्रमेय