Catalan's triangle
संयोजी गणित में, कैटलन का त्रिभुज एक संख्या त्रिभुज है जिसकी प्रविष्टियाँ n X और k Y से युक्त तारों की संख्या इस तरह देती हैं कि तार के किसी भी प्रारंभिक खंड में X से अधिक Y नहीं होता है। यह कैटलन संख्याओं का एक सामान्यीकरण है, और इसका नाम यूजीन चार्ल्स कैटलन के नाम पर रखा गया है। बेली दिखाता है कि निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता हैः .. .. सूत्र 3 से पता चलता है कि त्रिभुज में प्रविष्टि त्रिभुज में बाईं और ऊपर की संख्याओं को जोड़कर आवर्ती रूप से प्राप्त की जाती है। पुनरावर्तन सूत्र के साथ कैटलन त्रिभुज का सबसे पहला रूप 1800 में लुई फ्रांस्वा एंटोनी अर्बोगास्ट द्वारा प्रकाशित कैलकुलस पर ग्रंथ के पृष्ठ 214 में है। शापिरो एक और त्रिभुज का परिचय देता है जिसे वह कैटलन त्रिभुज कहता है जो यहाँ चर्चा किए जा रहे त्रिभुज से अलग है। सामान्य सूत्र के लिए सामान्य सूत्र सो व्हेन द्वारा दिया गया है, विकर्ण-th कैटलन संख्या है। - th पंक्ति का पंक्ति योग-th कैटलन संख्या है, जिसमें हॉकी-स्टिक पहचान और कैटलन संख्याओं के लिए एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है। मानों की तालिका कुछ मान {। वर्ग = "विकिटेबल" शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।-! द्वारा दिए जाते हैं। ! चौड़ाई = "50"। 0! चौड़ाई = "50"। 1! चौड़ाई = "50"। 2! चौड़ाई = "50"। 3! चौड़ाई = "50"। 4! चौड़ाई = "50"। 5! चौड़ाई = "50"। 6! चौड़ाई = "50"। 7! चौड़ाई = "50"। 8।-! 0। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 1। 1।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 2। 1।। 2।। 2।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 3। 1।। 3।। 5।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 4। 1।। 4।। 9।। 14।।।।।।।।।।।।।।।।-! 5। 1।। 5।। 14।। 28।। 42।। 42।।।।।।।।।।-! 6। 1।। 6।। 20।। 48।। 90।। 132।। 132।।।।।।-! 7। 1।। 7।। 27।। 75।। 165।। 297।। 429।। 429।।।-! 8। 1।। 8।। 35।। 110।। 275।। 572।। 1001।। 1430।। 1430।} गुण सूत्र 3 का उपयोग दोनों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। यदि, तो कुछ स्तर पर एस से अधिक होना चाहिए, तो। - th मान की एक संयुक्त व्याख्या गैर-घटते विभाजनों की संख्या है जिसमें सटीक रूप से अधिकतम भाग वाले भाग होते हैं जैसे कि प्रत्येक भाग अपने सूचकांक से कम या बराबर होता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, गणना सामान्यीकरण कैटलन के ट्रैपेज़ोइड संख्या ट्रैपेज़ोइड का एक गणना योग्य समूह है जो कैटलन के त्रिभुज को सामान्यीकृत करता है। कैटलन का ट्रैपेज़ॉइड ऑफ़ ऑर्डर एक संख्या ट्रैपेज़ॉइड है जिसकी प्रविष्टियाँ X-s और Y-s से युक्त स्ट्रिंग की संख्या इस तरह देती हैं कि स्ट्रिंग के प्रत्येक प्रारंभिक खंड में Y-s की संख्या X-s की संख्या से अधिक या उससे अधिक नहीं होती है। परिभाषा के अनुसार, कैटलन का ट्रैपेज़ॉइड ऑफ़ ऑर्डर कैटलन का त्रिकोण है, अर्थात। कैटलन के ट्रैपेज़ॉइड ऑफ़ ऑर्डर के कुछ मान {। वर्ग = "विकिटेबल" शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।-! द्वारा दिए गए हैं। ! चौड़ाई = "50"। 0! चौड़ाई = "50"। 1! चौड़ाई = "50"। 2! चौड़ाई = "50"। 3! चौड़ाई = "50"। 4! चौड़ाई = "50"। 5! चौड़ाई = "50"। 6! चौड़ाई = "50"। 7! चौड़ाई = "50"। 8।-! 0। 1।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 1। 1।। 2।। 2।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 2। 1।। 3।। 5।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 3। 1।। 4।। 9।। 14।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 4। 1।। 5।। 14।। 28।। 42।। 42।।।।।।।।।।-! 5। 1।। 6।। 20।। 48।। 90।। 132।। 132।।।।।।-! 6। 1।। 7।। 27।। 75।। 165।। 297।। 429।। 429।।।-! 7। 1।। 8।। 35।। 110।। 275।। 572।। 1001।। 1430।। 1430।। कैटलन के ट्रैपेज़ॉइड क्रम के कुछ मान {। वर्ग = "विकिटेबल" शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।-! ! चौड़ाई = "50"। 0! चौड़ाई = "50"। 1! चौड़ाई = "50"। 2! चौड़ाई = "50"। 3! चौड़ाई = "50"। 4! चौड़ाई = "50"। 5! चौड़ाई = "50"। 6! चौड़ाई = "50"। 7! चौड़ाई = "50"। 8! चौड़ाई = "50"। 9।-! 0। 1।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 1। 1।। 2।। 3।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 2। 1।। 3।। 6।। 9।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 3। 1।। 4।। 10।। 19।। 28।। 28।।।।।।।।।।।।।।-! 4। 1।। 5।। 15।। 34।। 62।। 90।। 90।।।।।।।।।।-! 5। 1।। 6।। 21।। 55।। 117।। 207।। 297।।।।।।।।।-! 6। 1।। 7।। 28।। 83।। 200।। 407।। 704।। 1001।। 1001।।। 7। 1।। 8।। 36।। 119।। 319।। 726।। 1430।। 2431।। 3432।। 3432। फिर से, प्रत्येक तत्व ऊपर वाले और बाईं ओर वाले का योग है। (,,) के लिए एक सामान्य सूत्र दिया गया है। प्रमाण 1 के लिए सामान्य सूत्र के प्रमाण इस प्रमाण में आंद्रे की परावर्तन विधि का विस्तार शामिल है जैसा कि कैटलन संख्या के लिए दूसरे प्रमाण में विभिन्न विकर्णों में उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित से पता चलता है कि कैसे आरेख के नीचे बाएँ से ऊपर दाएँ तक का प्रत्येक मार्ग जो बाधा को पार करता है, उसे अंतिम बिंदु तक भी प्रतिबिंबित किया जा सकता है। हम यह निर्धारित करने के लिए तीन मामलों पर विचार करते हैं कि उन रास्तों की संख्या जो बाधा को पार नहीं करते हैंः (1) जब बाधा को पार नहीं किया जा सकता है, तो सभी रास्ते मान्य हैं, अर्थात। .. (2) जब एक ऐसा मार्ग बनाना असंभव है जो बाधा को पार नहीं करता है, अर्थात। .. (3) कब, तब 'लाल' पथों की संख्या घटाकर बाधा को पार करने वाले 'पीले' पथों की संख्या होगी, अर्थात। .. इसलिए उस तक जाने वाले मार्गों की संख्या बाधा को पार नहीं करती है जैसा कि पिछले खंड "सामान्यीकरण" के सूत्र में दर्शाया गया है। प्रमाण 2 सबसे पहले, हम दो भागों में विभाजित करके पुनरावृत्ति संबंध की वैधता की पुष्टि करते हैं, पहला X में समाप्त होने वाले XY संयोजनों के लिए और दूसरा Y में समाप्त होने वालों के लिए। इसलिए पहले समूह में वैध संयोजन हैं और दूसरे में हैं। प्रूफ 2 समाधान को सत्यापित करके पूरा किया जाता है जो पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है और और के लिए प्रारंभिक शर्तों का पालन करता है। संदर्भ संख्या के त्रिभुज