Kansa method
कंस विधि एक कंप्यूटर विधि है जिसका उपयोग आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसका मुख्य लाभ यह है कि इसे कंप्यूटर पर समझना और प्रोग्राम करना बहुत आसान है। यह परिमित तत्व विधि की तुलना में बहुत कम जटिल है। एक अन्य लाभ यह है कि यह बहु-चर समस्याओं पर अच्छी तरह से काम करता है। 3 से अधिक स्थान चर और समय के साथ काम करते समय परिमित तत्व विधि जटिल होती है। कंस विधि को बास्केटबॉल कोर्ट के एक सादृश्य से समझाया जा सकता है जिसमें कई प्रकाश बल्ब छत पर लटकते हैं। आप प्रत्येक बल्ब की चमक के लिए हल करते हैं ताकि प्रत्येक बल्ब के नीचे सीधे बास्केटबॉल कोर्ट के फर्श पर वांछित प्रकाश की तीव्रता उस बिंदु पर अंतर समीकरण को हल कर सके। इसलिए यदि बास्केटबॉल कोर्ट में 100 बल्ब लटकते हैं, तो बास्केटबॉल कोर्ट के फर्श पर किसी भी बिंदु पर प्रकाश की तीव्रता एक हल्की तीव्रता तक पहुंच जाती है जो बास्केटबॉल कोर्ट के फर्श पर किसी भी स्थान पर अंतर समीकरण को लगभग हल करती है। एक साधारण कंप्यूटर प्रोग्राम प्रत्येक बल्ब की चमक के लिए पुनरावृत्ति द्वारा हल कर सकता है, जिससे इस विधि को प्रोग्राम करना आसान हो जाता है। इस विधि के लिए भारित अवशिष्ट (गैलरकिन), एकीकरण या उन्नत गणित की आवश्यकता नहीं है। ई. जे. कंस ने 1990 के दशक की शुरुआत में रेडियल बेसिस फंक्शन (आर. बी. एफ.) का विस्तार करने का पहला प्रयास किया, जो तब बिखरे हुए डेटा प्रोसेसिंग और फंक्शन सन्निकटन में काफी लोकप्रिय था, मजबूत-रूप कोलोकेशन फॉर्मूलेशन में आंशिक विभेदक समीकरणों के समाधान के लिए। उनका आरबीएफ कोलोकेशन दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से जाली रहित, प्रोग्राम में आसान और गणितीय रूप से सीखने में बहुत सरल है। जल्द ही, यह विधि शैक्षणिक समुदाय में कंस विधि के रूप में जानी जाने लगी। क्योंकि आरबीएफ आयामीता की परवाह किए बिना एक आयामी यूक्लिडियन दूरी चर का उपयोग करता है, कंस विधि आयामीता और रुचि की समस्याओं की ज्यामितीय जटिलता से स्वतंत्र है। विधि इस अर्थ में एक डोमेन-प्रकार की संख्यात्मक तकनीक है कि समस्या को न केवल सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए सीमा पर बल्कि शासी समीकरण को पूरा करने के लिए डोमेन के अंदर भी अलग किया जाता है। इसके विपरीत, एक अन्य प्रकार की आरबीएफ संख्यात्मक विधियाँ हैं, जिन्हें सीमा-प्रकार आरबीएफ कोलोकेशन विधि कहा जाता है, जैसे कि मौलिक समाधान की विधि, सीमा गाँठ विधि, एकवचन सीमा विधि, सीमा कण विधि और नियमित जाली रहित विधि, जिसमें आधार कार्य, जिन्हें कर्नेल फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है, शासी समीकरण को संतुष्ट करते हैं और अक्सर शासी समीकरण का मौलिक समाधान या सामान्य समाधान होते हैं। नतीजतन, केवल सीमा विवेचना की आवश्यकता है। चूँकि कंस विधि में आरबीएफ आवश्यक रूप से शासी समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए किसी को आरबीएफ चुनने की अधिक स्वतंत्रता है। कंस विधि में सबसे लोकप्रिय आरबीएफ मल्टीक्वाड्रिक (एमक्यू) है, जो आमतौर पर वर्णक्रमीय सटीकता दिखाता है यदि एक उपयुक्त आकार पैरामीटर चुना जाता है। विवरण कंस विधि, जिसे संशोधित एमक्यू योजना या एमक्यू कोलोकेशन विधि भी कहा जाता है, प्रसिद्ध एमक्यू अंतर्वेशन से उत्पन्न हुई है। इस पद्धति की दक्षता और प्रयोज्यता को समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला में सत्यापित किया गया है। सीमा-प्रकार आर. बी. एफ. संयोजन विधियों की तुलना में, कंस विधि में उन समस्याओं के लिए व्यापक प्रयोज्यता है जिनके मौलिक और सामान्य समाधान उपलब्ध नहीं हैं, उदाहरण के लिए, अलग-अलग गुणांक और अरैखिक समस्याएं। सूत्रीकरण डी-आयामी भौतिक डोमेन दें और निम्नलिखित सीमा मूल्य समस्या (बीवीपी) पर विचार करें जहां एल एक विभेदक प्रचालक का प्रतिनिधित्व करता है और डी समस्या की आयामीता है, क्रमशः डिरिचलेट और न्यूमैन सीमाओं को दर्शाता है, और। कंस विधि आर. बी. एफ. के रैखिक संयोजन द्वारा वांछित फलन को इस रूप में अनुमानित करती हैः जहां गुणांक निर्धारित किए जाने हैं, आर. बी. एफ. को दर्शाता है जैसे कि एम. क्यू.। समाधान की विशिष्टता की गारंटी देने के लिए, एक बहुपद शब्द निम्नानुसार जोड़ा जा सकता हैः बहुपद कहाँ है। आरबीएफ अंतर्वेशन (4) और (5) दोनों का उपयोग अक्सर व्यवहार में किया जाता है। गणितशास्त्री उत्तरार्द्ध को इसकी कठोर और ठोस सैद्धांतिक नींव के लिए पसंद करते हैं, जबकि इंजीनियरिंग उपयोगकर्ता अक्सर पूर्ववर्ती को नियोजित करते हैं क्योंकि यह आसान और सरल है और अधिकांश मामलों में ध्वनि परिणाम उत्पन्न करता है। Eq को प्रतिस्थापित कर रहे हैं। (4) या (5) Eqs में। (1-3) परिणामी बीजगणितीय समीकरण प्रणाली उत्पन्न करता हैः जहाँ विस्तार गुणांकों का मूल्यांकन करने के बाद, वांछित फलन की गणना Eq से की जा सकती है। (4) या (5)। इतिहास और हाल के विकास पी. डी. ई. के संख्यात्मक समाधान आमतौर पर परिमित अंतर विधि (एफ. डी. एम.), परिमित तत्व विधि (एफ. ई. एम.) या सीमा तत्व विधि (बी. ई. एम.) के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं। यह ज्ञात है कि एफ. डी. एम. को एक अनियमित डोमेन का मॉडल बनाना मुश्किल है क्योंकि इसके लिए आमतौर पर एक आयताकार ग्रिड प्रणाली की आवश्यकता होती है। हालांकि एफ. ई. एम. एक अधिक लचीले ढांचे को समायोजित कर सकता है, जाली और रीमेशिंग तुच्छ नहीं हैं। बी. ई. एम. कुछ इंजीनियरिंग समस्याओं में एक वैकल्पिक विधि है, जैसे कि व्युत्क्रम, असीमित क्षेत्र और पतली-दीवार वाली संरचना समस्याएं। हालाँकि, इसके अनुप्रयोग काफी हद तक शासी समीकरण के मौलिक समाधान की उपलब्धता से सीमित हैं। हाल के कई दशकों में, "जाली रहित" या "तत्व-मुक्त" तरीके बहुत ध्यान आकर्षित करते हैं। दृश्य के पीछे प्रेरक शक्ति यह है कि मानक एफ. ई. एम. और बी. ई. एम. जैसे जाली-आधारित तरीकों को उच्च-आयामी, गतिशील और जटिल आकार की सीमा समस्याओं को संभालने में निषेधात्मक रूप से कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है। कंस विधि जाली या तत्वों की आवश्यकता के बिना नोड्स पर सीधे आरबीएफ, विशेष रूप से एमक्यू को जोड़ती है और इसलिए यह स्वाभाविक रूप से वास्तव में जाली रहित विधि है। बहुत प्रयास के बावजूद, कंस विधि की समाधानशीलता का कठोर गणितीय प्रमाण अभी भी गायब है। इसके अलावा, मिश्रित सीमा स्थितियां इसके अंतर्वेशन मैट्रिक्स की समरूपता को भी नष्ट कर देती हैं। रेफरी। सॉल्वेबिलिटी के ध्वनि गणितीय विश्लेषण के साथ सममित हर्माइट आरबीएफ कोलोकेशन योजना का प्रस्ताव करें। कंस विधि और सममित हर्माइट विधि में एक आम मुद्दा यह है कि सीमा से सटे नोड्स पर संख्यात्मक समाधान मध्य क्षेत्र की तुलना में परिमाण के एक से दो क्रम तक बिगड़ जाते हैं। सीमा पर पी. डी. ई. टकराव (पी. डी. ई. सी. बी.) प्रभावी रूप से इस कमी को दूर करता है। हालाँकि, इस रणनीति के लिए सीमा से सटे क्षेत्र के अंदर या बाहर नोड्स के एक अतिरिक्त समूह की आवश्यकता होती है। इन अतिरिक्त नोड्स को मनमाने ढंग से रखने से जटिल और बहु-जुड़े डोमेन समस्याओं के अनुकरण में परेशानी पैदा होती है। पी. डी. ई. सी. बी. में भी स्पष्ट सैद्धांतिक समर्थन का अभाव है। वास्तव में, एक समान रणनीति भी प्रस्तावित की गई है, जो एक ही सीमा नोड्स पर शासी और सीमा समीकरण दोनों को जोड़ती है। हालाँकि, विधि असममित है और अभी भी स्पष्ट सैद्धांतिक आधार का अभाव है। हरित द्वितीय पहचान का उपयोग करके, उपरोक्त सभी कमजोरियों को दूर करने के लिए संशोधित कंस विधि तैयार की गई है। एम. क्यू. के लिए, इसका आकार पैरामीटर काफी हद तक इसकी अंतर्वेशन त्रुटि निर्धारित करता है। मल्टीक्वाड्रिक रेडियल आधार कार्यों के परिवार से संबंधित कई गणितीय सिद्धांत मौजूद हैं और आकार पैरामीटर के चयन पर कुछ सुझाव प्रदान करते हैं। कंस विधि को कम्प्यूटेशनल विज्ञानों में व्यापक रूप से लागू किया गया है। में, कंस विधि का उपयोग परवलयिक, अतिबोलिक और अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों को संबोधित करने के लिए किया जाता है। कंस विधि को हाल ही में विभिन्न साधारण और पी. डी. ई. में विस्तारित किया गया है जिसमें ऊतक इंजीनियरिंग समस्याओं के द्वि-जोर और त्रि-जोर मिश्रण मॉडल, शॉक वेव के साथ 1 डी गैर-रैखिक बर्गर का समीकरण, ज्वार और वर्तमान अनुकरण के लिए उथले जल समीकरण, गर्मी हस्तांतरण समस्याएं, मुक्त सीमा समस्याएं और आंशिक प्रसार समीकरण शामिल हैं। रेडियल बेसिस फंक्शन मेथड ऑफ फंडामेंटल सॉल्यूशंस बाउंड्री नॉट मेथड बाउंड्री पार्टिकल मेथड सिंगुलर बाउंड्री मेथड एक्सटर्नल लिंक्स मॉडिफाइड कंस मेथड संदर्भ आंशिक विभेदक समीकरण