Hesse pencil
गणित में, सिज़ाइजेटिक पेंसिल या हेस्से पेंसिल, ओटो हेस्से के नाम से नामित, जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन में क्यूबिक प्लेन एलिप्टिक वक्रों की एक पेंसिल (एक-आयामी परिवार) है, जिसे समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है परिवार में प्रत्येक वक्र पैरामीटर मानों () (दोनों शून्य नहीं) की एक जोड़ी द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसमें प्लेन में वे बिंदु होते हैं जिनके सजातीय निर्देशांक उन मापदंडों के लिए समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दोनों को और एक ही स्केलर से गुणा करने से वक्र नहीं बदलता है, इसलिए पेंसिल से वक्र का चयन करने में केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, लेकिन ऊपर दिया गया दो-पैरामीटर रूप या तो (लेकिन दोनों नहीं) को शून्य पर सेट करने की अनुमति देता है। पेंसिल में प्रत्येक वक्र जटिल प्रोजेक्टिव तल के नौ बिंदुओं से गुजरता है जिनके सजातीय निर्देशांक 0,-1 के कुछ क्रमपरिवर्तन और एकता के घन मूल होते हैं। एकता के तीन मूल हैं, और प्रति मूल छह क्रमपरिवर्तन हैं, जो प्रत्येक बिंदु के सजातीय निर्देशांक के लिए 18 विकल्प देते हैं, लेकिन वे केवल नौ अंक देने वाले जोड़े में बराबर हैं। इन नौ बिंदुओं के माध्यम से क्यूबिक्स का परिवार हेस्से पेंसिल बनाता है। अधिक आम तौर पर, कोई भी जटिल संख्याओं को किसी भी क्षेत्र द्वारा प्रतिस्थापित कर सकता है जिसमें एकता का घनमूल होता है और इन नौ बिंदुओं के माध्यम से इस क्षेत्र पर हेस्से पेंसिल को घनों के परिवार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हेस्से पेंसिल के नौ सामान्य बिंदु पेंसिल में प्रत्येक क्यूबिक के विक्षेपण बिंदु हैं। कोई भी रेखा जो इन नौ बिंदुओं में से कम से कम दो से गुजरती है, उनमें से ठीक तीन से गुजरती है; नौ बिंदु और बारह रेखाएं तीन अंकों के माध्यम से हेस्से विन्यास बनाती हैं। प्रत्येक दीर्घवृत्ताकार वक्र द्विवार्षिक रूप से हेस्से पेंसिल के वक्र के बराबर होता है; यह एक दीर्घवृत्ताकार वक्र का हेसियन रूप है। हालांकि, हेसियन रूप के मापदंड () मूल वक्र की परिभाषा के क्षेत्र के एक विस्तार क्षेत्र से संबंधित हो सकते हैं। संदर्भ अण्डाकार वक्र