Hesse configuration
ज्यामिति में, हेस्से विन्यास 9 अंकों और 12 रेखाओं का एक विन्यास है जिसमें प्रति रेखा तीन बिंदु और प्रत्येक बिंदु के माध्यम से चार रेखाएँ होती हैं। इसे जटिल प्रोजेक्टिव तल में एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के विक्षेपण बिंदुओं के समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है, लेकिन यूक्लिडियन तल में इसका कोई अहसास नहीं है। यह कॉलिन मैकलौरिन द्वारा पेश किया गया था और द्वारा अध्ययन किया गया था, और इसे यंग की ज्यामिति के रूप में भी जाना जाता है, जिसका नाम सीमित ज्यामिति पर जॉन वेस्ले यंग के बाद के काम के नाम पर रखा गया है। विवरण हेस्से विन्यास में 3 तत्वों के क्षेत्र पर एफाइन तल की रेखाओं और बिंदुओं के समान आपतन संबंध हैं। अर्थात्, हेस्से विन्यास के बिंदुओं को संख्या मॉडुलो 3 के क्रमबद्ध जोड़े के साथ पहचाना जा सकता है, और विन्यास की रेखाओं को एक रैखिक समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के तिगुना के साथ पहचाना जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, विन्यास के बिंदुओं को टिक-टैक-पैर के बोर्ड के वर्गों द्वारा पहचाना जा सकता है, और रेखाओं को बोर्ड की रेखाओं और टूटे हुए विकर्णों से पहचाना जा सकता है। प्रत्येक बिंदु चार रेखाओं से संबंधित हैः विन्यास की टिक टैक टो व्याख्या में, एक रेखा क्षैतिज है, एक ऊर्ध्वाधर है, और दो विकर्ण या टूटे हुए विकर्ण हैं। प्रत्येक पंक्ति में तीन अंक होते हैं। विन्यास की भाषा में हेस्से विन्यास में संकेतन 94123 है, जिसका अर्थ है कि प्रति पंक्ति 9 अंक, 4 रेखाएँ, 12 रेखाएँ और 3 बिंदु हैं। हेस्से विन्यास में 216 समरूपताएँ हैं (इसके ऑटोमोर्फिज्म समूह का क्रम 216 है)। इसकी सममितियों के समूह को हेसियन समूह के रूप में जाना जाता है। संबंधित विन्यास हेस्से विन्यास से किसी भी एक बिंदु और इसकी चार आपतित रेखाओं को हटाने से प्रकार 8383 का एक और विन्यास, मोबियस-कैंटर विन्यास उत्पन्न होता है। हेस्से विन्यास में, 12 रेखाओं को समानांतर (गैर-छेदक) रेखाओं के चार ट्रिपल में समूहीकृत किया जा सकता है। हेस्से विन्यास से हटाकर एकल ट्रिपल से संबंधित तीन पंक्तियाँ 9393 प्रकार का विन्यास, पैपस विन्यास उत्पन्न करती हैं। हेस्से विन्यास को चार अंकों को जोड़कर बढ़ाया जा सकता है, गैर-छेदक रेखाओं के प्रत्येक तीन गुना के लिए एक, और चार नए बिंदुओं वाली एक रेखा, 134134 प्रकार का विन्यास बनाने के लिए, तीन-तत्व क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव प्लेन के बिंदुओं और रेखाओं का सेट। बोधगम्यता हेस्से विन्यास को जटिल प्रक्षेपात्मक तल में एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के 9 विक्षेपण बिंदुओं और 12 रेखाओं के तीन विक्षेपण बिंदुओं के माध्यम से महसूस किया जा सकता है। यदि जटिल तल में नौ बिंदुओं का दिया गया समुच्चय एक दीर्घवृत्ताकार वक्र सी के विक्षेपणों का समुच्चय है, तो यह सी द्वारा उत्पन्न वक्रों की एक पेंसिल में प्रत्येक वक्र के विक्षेपणों का समुच्चय भी है और सी के हेसियन वक्र, हेस्से पेंसिल द्वारा उत्पन्न होता है। हेसियन पॉलीहेड्रॉन जटिल तल में हेस विन्यास का एक प्रतिनिधित्व है। हेस्से विन्यास मोबियस-कांटोर विन्यास के साथ एक जटिल अनुभूति होने का गुण साझा करता है लेकिन यूक्लिडियन तल में बिंदुओं और सीधी रेखाओं द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हेस्से विन्यास में, प्रत्येक दो बिंदु विन्यास की एक रेखा (सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास का परिभाषित गुण) द्वारा जुड़े होते हैं और इसलिए इसके दो बिंदुओं के माध्यम से प्रत्येक रेखा में एक तीसरा बिंदु होता है। लेकिन यूक्लिडियन तल में, बिंदुओं का प्रत्येक परिमित सेट या तो समरेखीय होता है, या इसमें बिंदुओं का एक जोड़ा शामिल होता है जिसकी रेखा में सेट के कोई अन्य बिंदु नहीं होते हैं; यह सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय है। चूँकि हेस्से विन्यास सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय की अवज्ञा करता है, इसलिए इसका कोई यूक्लिडियन बोध नहीं है। इस उदाहरण से यह भी पता चलता है कि सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय को जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, जटिल स्थानों में, हेस्से विन्यास और सभी सिल्वेस्टर-गैलाई विन्यास एक द्वि-आयामी सपाट उपक्षेत्र के भीतर होने चाहिए। संदर्भ विन्यास (ज्यामिति) अण्डाकार वक्र