Hessian pair
गणित में, एक हेसियन जोड़ी या हेसियन जोड़ी, ओटो हेस्से के नाम पर नामित, प्रोजेक्टिव रेखा के 3 बिंदुओं के एक सेट के साथ कैनोनिक रूप से जुड़े प्रोजेक्टिव रेखा के बिंदुओं की एक जोड़ी है। अधिक आम तौर पर, एक समूह से किसी भी तीन तत्वों की हेसियन जोड़ी को परिभाषित किया जा सकता है जिसे एक प्रोजेक्टिव रेखा के साथ पहचाना जा सकता है, जैसे कि एक परिमेय वक्र, भाजक की एक पेंसिल, रेखाओं की एक पेंसिल, और इसी तरह। परिभाषा यदि {ए, बी, सी} प्रक्षेपात्मक रेखा के 3 अलग-अलग बिंदुओं का एक समूह है, तो हेसियन जोड़ी दो बिंदुओं का एक समूह है जिसे निम्नलिखित गुणों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया जा सकता हैः पी और क्यू मूल ए, बी, सी के साथ द्विआधारी घन रूप के हेसियन के मूल हैं। पी और क्यू दो बिंदु हैं जो ए से बी, बी से सी, और सी से ए. पी और क्यू को लेने वाले अद्वितीय प्रक्षेपात्मक परिवर्तन द्वारा तय किए गए हैं। ये दो बिंदु हैं जो जब ए, बी, सी में जोड़े जाते हैं तो एक समतुल्य समरूपता समूह (1 के घन मूल के साथ 4 बिंदुओं का एक समूह) बनाते हैं। पी और क्यू, 1 के तीन घन मूल को ए, बी, सी में ले जाने वाले प्रोजेक्टिव परिवर्तन के तहत 0 और φ की छवियां हैं। उदाहरण के लिए हेस्से बिंदुओं का उपयोग घन समीकरणों को निम्नानुसार हल करने के लिए किया जा सकता है। यदि ए, बी, सी एक घन के तीन मूल हैं, तो हेस्से बिंदुओं को एक द्विघात समीकरण के मूल के रूप में पाया जा सकता है। यदि हेस्से बिंदुओं को फिर एक आंशिक रैखिक परिवर्तन द्वारा 0 और φ में परिवर्तित किया जाता है, तो घन समीकरण को x3 = D रूप में परिवर्तित किया जाता है।