Napoleon points
ज्यामिति में, नेपोलियन बिंदु एक समतल त्रिभुज से जुड़े विशेष बिंदुओं की एक जोड़ी है। आम तौर पर यह माना जाता है कि इन बिंदुओं के अस्तित्व की खोज 1804 से 1815 तक फ्रांसीसी सम्राट नेपोलियन बोनापार्ट ने की थी, लेकिन कई लोगों ने इस विश्वास पर सवाल उठाया है। नेपोलियन बिंदु त्रिभुज केंद्र हैं और उन्हें क्लार्क किम्बर्लिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (17) और X (18) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है। "नेपोलियन बिंदु" नाम त्रिभुज केंद्रों की एक अलग जोड़ी पर भी लागू किया गया है, जिसे समगतिकीय बिंदु के रूप में जाना जाता है। बिंदुओं की परिभाषा पहला नेपोलियन बिंदु किसी भी दिए गए समतल त्रिकोण को माना जाता है। त्रिभुज के किनारों पर, क्रमशः बाहर की ओर खींचे गए समबाहु त्रिभुज बनाएँ। मान लीजिए कि इन त्रिकोणों के केंद्रक क्रमशः हैं। फिर रेखाएँ समवर्ती होती हैं। सहमति का बिंदु त्रिभुज का पहला नेपोलियन बिंदु या बाहरी नेपोलियन बिंदु है। त्रिभुज को नेपोलियन का बाहरी त्रिभुज कहा जाता है। नेपोलियन के प्रमेय का दावा है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है। क्लार्क किम्बर्लिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में, पहले नेपोलियन बिंदु को एक्स (17) द्वारा दर्शाया गया है। के त्रिकोणीय निर्देशांकः द्वितीय नेपोलियन बिंदु के द्विकेंद्रित निर्देशांक किसी भी दिए गए समतल त्रिभुज होने चाहिए। त्रिभुज के किनारों पर, क्रमशः अंदर की ओर खींचे गए समबाहु त्रिभुज बनाएँ। मान लीजिए कि इन त्रिकोणों के केंद्रक क्रमशः हैं। फिर रेखाएँ समवर्ती होती हैं। सहमति का बिंदु दूसरा नेपोलियन बिंदु, या आंतरिक नेपोलियन बिंदु है। त्रिभुज को आंतरिक नेपोलियन त्रिभुज कहा जाता है। नेपोलियन के प्रमेय का दावा है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है। क्लार्क किम्बर्लिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में, दूसरे नेपोलियन बिंदु को एक्स (18) द्वारा दर्शाया गया है। के त्रिकोणीय निर्देशांकः नेपोलियन बिंदुओं से निकटता से संबंधित दो बिंदु फर्माट-टॉरिसेली बिंदु (ईटीसी के एक्स (13) और एक्स (14)) हैं। यदि समबाहु त्रिभुज के केंद्रक को संबंधित शीर्षों से जोड़ने वाली रेखाओं का निर्माण करने के बजाय अब कोई त्रिभुज के संबंधित शीर्षों पर समबाहु त्रिभुज के शिखरों को जोड़ने वाली रेखाओं का निर्माण करता है, तो इस प्रकार निर्मित तीन रेखाएं फिर से समवर्ती हैं। सहमति के बिंदुओं को फर्माट-टॉरिसेली बिंदु कहा जाता है, जिन्हें कभी-कभी और कहा जाता है। फर्माट रेखा (यानी, दो फर्माट-टॉरिसेली बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा) और नेपोलियन रेखा (यानी, दो नेपोलियन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा) का प्रतिच्छेदन त्रिभुज का सममित बिंदु (ईटीसी का एक्स (6)) है। सामान्यीकरण नेपोलियन बिंदुओं के अस्तित्व के बारे में परिणामों को विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। नेपोलियन बिंदुओं को परिभाषित करने में हम उनके किनारों पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों से शुरू करते हैं और फिर इन त्रिभुजों के केंद्रों पर विचार करते हैं। इन केंद्रों को त्रिभुज ए. बी. सी. के किनारों पर/6 (30 डिग्री) के बराबर आधार कोणों के साथ बनाए गए समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष के रूप में सोचा जा सकता है। सामान्यीकरण अन्य त्रिकोणों को निर्धारित करने का प्रयास करते हैं, जिनके किनारों पर खड़े होने पर, उनके बाहरी शीर्षों और शीर्षों को जोड़ने वाली समवर्ती रेखाएँ होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज यह सामान्यीकरण निम्नलिखित पर जोर देता हैः यदि दिए गए त्रिभुज की भुजाओं पर आधार के रूप में निर्मित तीन त्रिभुज समान, समद्विबाहु और समान रूप से स्थित हैं, तो रेखाएं एक बिंदु पर सहमत होती हैं। यदि सामान्य आधार कोण है, तो तीन त्रिभुजों के शीर्षों में निम्नलिखित त्रिकोणीय निर्देशांक होते हैं। के त्रिकोणीय निर्देशांक कुछ विशेष मामले दिलचस्प हैं। {। वर्ग = "विकिटेबल"।-! 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