Multidimensional sampling
डिजिटल संकेत प्रसंस्करण में, बहुआयामी नमूनाकरण एक बहुआयामी चर के एक कार्य को बिंदुओं के एक असतत समूह पर मापा जाने वाले कार्य के मूल्यों के एक असतत संग्रह में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है। यह लेख पीटरसन और मिडलटन के कारण मूल परिणाम प्रस्तुत करता है जो एक तरंग संख्या-सीमित कार्य को उसके माप से बिंदुओं के एक असतत जाली पर पूरी तरह से पुनर्निर्माण करने की शर्तों पर है। यह परिणाम, जिसे पीटरसन-मिडलटन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, उच्च-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान के लिए एक-आयामी बैंड-सीमित कार्यों के नमूने के लिए न्यक्विस्ट-शैनन नमूना प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। संक्षेप में, पीटरसन-मिडलटन प्रमेय से पता चलता है कि एक तरंग संख्या-सीमित फलन को उसके मूल्यों से अनंत जाली पर पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, बशर्ते कि जाली पर्याप्त ठीक हो। प्रमेय जाली पर शर्तें प्रदान करता है जिसके तहत पूर्ण पुनर्निर्माण संभव है। निक्विस्ट-शैनन सैंपलिंग थ्योरम की तरह, यह थ्योरम भी किसी भी वास्तविक दुनिया की स्थिति का एक आदर्शीकरण मानता है, क्योंकि यह केवल उन कार्यों पर लागू होता है जो अनंत बिंदुओं पर नमूने लिए जाते हैं। आदर्श मॉडल के लिए गणितीय रूप से पूर्ण पुनर्निर्माण संभव है लेकिन केवल वास्तविक दुनिया के कार्यों और नमूना तकनीकों के लिए एक अनुमान है, हालांकि व्यवहार में अक्सर एक बहुत अच्छा है। प्रारंभिक एक आयाम में एक बैंड-सीमित कार्य की अवधारणा को उच्च आयामों में एक तरंग संख्या-सीमित कार्य की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। याद कीजिए कि एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान पर एक समाकलनीय फलन के फूरियर परिवर्तन को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहाँ x और x, एन-आयामी वैक्टर हैं, और वैक्टरों का आंतरिक उत्पाद है। यदि फ़ोरियर परिवर्तन संतुष्ट करता है तो फलन को एक सेट के लिए सीमित तरंग संख्या कहा जाता है। इसी तरह, एक-आयाम में समान रूप से अंतराल वाले नमूना बिंदुओं के विन्यास को उच्च आयामों में एक जाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। जाली उस रूप के बिंदुओं का एक संग्रह है जहाँ {v1,., vn} एक आधार है। संबंधित पारस्परिक जाली को इस बात से परिभाषित किया जाता है कि वैक्टर को कहाँ संतुष्ट करने के लिए चुना जाता है। अर्थात्, यदि वैक्टर एक मैट्रिक्स के कॉलम और एक मैट्रिक्स के कॉलम बनाते हैं, तो। दो आयामी स्थान में एक नमूना जाली का एक उदाहरण चित्र 1 में दर्शाया गया एक षट्कोणीय जाली है। संबंधित पारस्परिक जाली को चित्र 2 में दिखाया गया है। दो आयामों में एक वर्गाकार जाली का पारस्परिक जाली एक और वर्गाकार जाली है। त्रि-आयामी स्थान में एक चेहरे-केंद्रित घन (एफ. सी. सी.) जाली का पारस्परिक जाली एक शरीर केंद्रित घन (बी. सी. सी.) जाली है। प्रमेय एक जाली और संबंधित पारस्परिक जाली को दर्शाता है। पीटरसन और मिडलटन के प्रमेय में कहा गया है कि एक फ़ंक्शन जो एक सेट तक सीमित तरंग संख्या है, उसे इसके माप से ठीक से पुनर्निर्मित किया जा सकता है बशर्ते कि सेट अपने किसी भी स्थानांतरित संस्करण के साथ ओवरलैप न हो जहां शिफ्ट x पारस्परिक जाली का कोई गैर-शून्य तत्व हो। दूसरे शब्दों में, इसके माप से ठीक-ठीक पुनर्निर्मित किया जा सकता है बशर्ते कि सभी के लिए। पुननिर्माण उच्च आयामों के लिए पॉइसन योग सूत्र के सामान्यीकरण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि जाली पर फलन के नमूने, फलन का आवधिक योग बनाने के लिए पर्याप्त हैं। परिणाम यह हैः जहाँ वेक्टर {v1,., vn} द्वारा बनाए गए पैरेललपाइप के आयतन का प्रतिनिधित्व करता है। इस आवधिक फलन को अक्सर नमूना स्पेक्ट्रम के रूप में संदर्भित किया जाता है और उच्च आयामों में असतत-समय फूरियर परिवर्तन (डी. टी. एफ. टी.) के अनुरूप के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि मूल तरंग संख्या-सीमित स्पेक्ट्रम सेट पर समर्थित है तो पारस्परिक जाली पर बिंदुओं द्वारा स्थानांतरित की आवधिक पुनरावृत्तियों पर फ़ंक्शन का समर्थन किया जाता है। यदि पीटरसन-मिडलटन प्रमेय की शर्तों को पूरा किया जाता है, तो फलन सभी के लिए बराबर है, और इसलिए मूल क्षेत्र को नमूनों से ठीक से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। इस मामले में पुनर्निर्मित क्षेत्र मूल क्षेत्र से मेल खाता है और इसे नमूनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जहां सेट के विशिष्ट कार्य का व्युत्क्रम फूरियर परिवर्तन है। यह अंतर्वेशन सूत्र व्हिटेकर-शैनन अंतर्वेशन सूत्र का उच्च-आयामी समतुल्य है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि यह एक गोलाकार डिस्क है। चित्र 3 पीटरसन-मिडलटन प्रमेय की शर्तों को कब पूरा किया जाता है, इसका समर्थन करता है। हम देखते हैं कि वर्णक्रमीय पुनरावृत्तियाँ ओवरलैप नहीं होती हैं और इसलिए मूल स्पेक्ट्रम को ठीक से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। प्रभाव अलग करना प्रमेय नमूने के पूर्ण पुनर्निर्माण के लिए जाली के नमूने पर शर्तें देता है। यदि जाली पीटरसन-मिडलटन स्थिति को संतुष्ट करने के लिए पर्याप्त ठीक नहीं हैं, तो क्षेत्र को सामान्य रूप से नमूनों से ठीक से पुनर्निर्मित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में हम कहते हैं कि नमूनों को अलग किया जा सकता है। फिर से, उस उदाहरण पर विचार करें जिसमें एक गोलाकार डिस्क है। यदि पीटरसन-मिडलटन स्थितियाँ नहीं रहती हैं, तो नमूना स्पेक्ट्रम का समर्थन चित्र 4 में दिखाया गया है। इस मामले में वर्णक्रमीय पुनरावृत्तियाँ ओवरलैप होती हैं जिससे पुनर्निर्माण में अलियासिंग होता है। एलियासिंग का एक सरल चित्रण कम रिज़ॉल्यूशन वाली छवियों का अध्ययन करके प्राप्त किया जा सकता है। एक ग्रे-स्केल छवि को द्वि-आयामी स्थान में एक कार्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है। उपनाम का एक उदाहरण चित्र 5 में ईंट के पैटर्न की छवियों में दिखाया गया है। छवि अलियासिंग के प्रभावों को दर्शाती है जब नमूना प्रमेय की स्थिति संतुष्ट नहीं होती है। यदि पिक्सेल की जाली दृश्य के लिए पर्याप्त ठीक नहीं है, तो अलियासिंग होता है जैसा कि प्राप्त छवि में मोइरे पैटर्न की उपस्थिति से पता चलता है। चित्र 6 में छवि तब प्राप्त होती है जब दृश्य के एक चिकने संस्करण को उसी जाली के साथ नमूना लिया जाता है। इस मामले में प्रमेय की शर्तें पूरी हो जाती हैं और कोई उपनाम नहीं होता है। इष्टतम नमूनाकरण जाली तरंग संख्या-सीमित क्षेत्रों के लिए एक नमूनाकरण योजना तैयार करने में रुचि रखने वाली वस्तुओं में से एक उन बिंदुओं के विन्यास की पहचान करना है जो न्यूनतम नमूनाकरण घनत्व की ओर ले जाते हैं, यानी, प्रति इकाई स्थानिक आयतन में नमूनाकरण बिंदुओं का घनत्व। आम तौर पर मापों को लेने और संग्रहीत करने की लागत नियोजित नमूना घनत्व के समानुपाती होती है। अक्सर व्यवहार में, द्वि-आयामी क्षेत्रों का नमूना लेने का प्राकृतिक तरीका एक आयताकार जाली पर बिंदुओं पर इसका नमूना लेना है। हालाँकि, नमूना घनत्व के मामले में यह हमेशा आदर्श विकल्प नहीं होता है। पीटरसन और मिडलटन के प्रमेय का उपयोग नमूना क्षेत्रों के लिए इष्टतम जाली की पहचान करने के लिए किया जा सकता है जो किसी दिए गए सेट तक सीमित तरंग संख्या वाले हैं। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि बिंदुओं के न्यूनतम स्थानिक घनत्व के साथ वह जाली जो एक गोलाकार डिस्क तक सीमित तरंग संख्या वाले क्षेत्रों के सही पुनर्निर्माण को स्वीकार करती है, वह षट्कोणीय जाली है। नतीजतन, समस्थानिक क्षेत्रों के नमूने के लिए षट्कोणीय जाली को प्राथमिकता दी जाती है। इष्टतम नमूना जाली का अध्ययन उच्च आयामों में किया गया है। आम तौर पर, इष्टतम गोले की पैकिंग जाली चिकनी यादृच्छिक प्रक्रियाओं के नमूने के लिए आदर्श होती है जबकि इष्टतम गोले को कवर करने वाली जाली खुरदरी यादृच्छिक प्रक्रियाओं के नमूने के लिए आदर्श होती है। चूंकि इष्टतम जाली, सामान्य रूप से, गैर-पृथक्करण योग्य होते हैं, इसलिए प्रक्षेप और पुनर्निर्माण फिल्टर को डिजाइन करने के लिए गैर-टेंसर-उत्पाद (यानी, गैर-पृथक्करण योग्य) फिल्टर डिजाइन तंत्र की आवश्यकता होती है। बॉक्स स्प्लाइन इस तरह के गैर-पृथक्कृत पुनर्निर्माण एफ. आई. आर. फिल्टर को डिजाइन करने के लिए एक लचीला ढांचा प्रदान करते हैं जिन्हें प्रत्येक जाली के लिए ज्यामितीय रूप से तैयार किया जा सकता है। हेक्स-स्प्लाइन 2-डी षट्कोणीय जाली के लिए बी-स्प्लाइन का सामान्यीकरण है। इसी तरह, 3-डी और उच्च आयामों में, वोरोनोई स्प्लाइन बी-स्प्लाइन का एक सामान्यीकरण प्रदान करते हैं जिनका उपयोग गैर-पृथक्कृत एफ. आई. आर. फिल्टर को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है जो इष्टतम जाली सहित किसी भी जाली के लिए ज्यामितीय रूप से तैयार किए जाते हैं। इन जाली (जो ज़ोनोटोप हैं) के ब्रिलौइन क्षेत्रों (यानी, ऊपर) के ज्यामितीय गुणों का अध्ययन करके इष्टतम जाली के लिए सामान्यीकृत आदर्श लो-पास फिल्टर (यानी, सिंक फ़ंक्शन) का स्पष्ट निर्माण संभव है। यह दृष्टिकोण इष्टतम नमूना जाली सहित सामान्य जाली के लिए एक बंद-रूप स्पष्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करता है। यह निर्माण इष्टतम जाली के लिए बहुआयामी सेटिंग के लिए 1-डी में लैंक्ज़ोस फ़िल्टर का सामान्यीकरण प्रदान करता है। अनुप्रयोग पीटरसन-मिडलटन प्रमेय भूकंपीय सर्वेक्षण, पर्यावरण निगरानी और स्थानिक ऑडियो-फील्ड माप जैसे स्थानिक घटनाओं के माप से जुड़े अनुप्रयोगों में कुशल संवेदक प्लेसमेंट रणनीतियों को डिजाइन करने में उपयोगी है। संदर्भ डिजिटल संकेत प्रसंस्करण बहुआयामी संकेत प्रसंस्करण प्रमेय फूरियर विश्लेषण में