Cubic equations of state
अवस्था के घन समीकरण तापमान और घनत्व के एक कार्य के रूप में गैस के दबाव को मॉडलिंग करने के लिए ऊष्मागतिकीय मॉडल का एक विशिष्ट वर्ग है और जिसे दाढ़ आयतन के घन कार्य के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। अवस्था समीकरणों को आम तौर पर भौतिक रसायन विज्ञान और रासायनिक इंजीनियरिंग के क्षेत्रों में लागू किया जाता है, विशेष रूप से वाष्प-तरल संतुलन और रासायनिक इंजीनियरिंग प्रक्रिया डिजाइन के प्रतिरूपण में। वान डेर वाल्स अवस्था का समीकरण वान डेर वाल्स अवस्था के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि निरपेक्ष तापमान कहाँ है, दबाव कहाँ है, मोलर आयतन कहाँ है और सार्वभौमिक गैस स्थिरांक कहाँ है। ध्यान दें कि, आयतन कहाँ है, और, मोल की संख्या कहाँ है, कणों की संख्या है, और एवोगाड्रो स्थिरांक है। ये परिभाषाएँ नीचे दिए गए अवस्था के सभी समीकरणों पर भी लागू होती हैं। पदार्थ-विशिष्ट स्थिरांक और की गणना महत्वपूर्ण गुणों से की जा सकती है और (यह देखते हुए कि महत्वपूर्ण बिंदु पर दाढ़ आयतन है और महत्वपूर्ण दबाव है) इस प्रकारः के कार्यों के रूप में लिखे जाने के लिए अभिव्यक्तियाँ भी प्राप्त की जा सकती हैं और अक्सर समीकरण को मानकीकृत करने के लिए उपयोग की जाती हैं क्योंकि महत्वपूर्ण तापमान और दबाव प्रयोग के लिए आसानी से सुलभ होते हैं। वे 1873 में प्रस्तावित हैं, अवस्था का वैन डेर वाल्स समीकरण आदर्श गैस नियम की तुलना में स्पष्ट रूप से बेहतर प्रदर्शन करने वाले पहले लोगों में से एक था। इस ऐतिहासिक समीकरण में आकर्षण पैरामीटर और प्रतिकर्षण पैरामीटर या प्रभावी आणविक आयतन कहा जाता है। जबकि समीकरण निश्चित रूप से आदर्श गैस नियम से बेहतर है और एक तरल चरण के गठन की भविष्यवाणी करता है, प्रयोगात्मक डेटा के साथ समझौता उन स्थितियों के लिए सीमित है जहां तरल बनता है। जबकि वैन डेर वाल्स समीकरण को आमतौर पर ऐतिहासिक कारणों से पाठ्यपुस्तकों और पत्रों में संदर्भित किया जाता है, यह अब अप्रचलित है। केवल थोड़ी अधिक जटिलता के अन्य आधुनिक समीकरण बहुत अधिक सटीक हैं। वैन डेर वाल्स समीकरण को आदर्श गैस नियम माना जा सकता है, जो समीकरण में दो गैर-आदर्श योगदानों को शामिल करने के कारण "बेहतर" हुआ है। आदर्श गैस समीकरण की तुलना में वैन डेर वाल्स समीकरण पर विचार करें वैन डेर वाल्स समीकरण के रूप को निम्नानुसार प्रेरित किया जा सकता हैः अणुओं को ऐसे कणों के रूप में माना जाता है जो एक सीमित आयतन पर कब्जा करते हैं। इस प्रकार भौतिक आयतन किसी भी समय सभी अणुओं के लिए सुलभ नहीं है, जिससे बिंदु कणों के लिए अपेक्षित दबाव की तुलना में दबाव थोड़ा बढ़ जाता है। इस प्रकार (), एक "प्रभावी" दाढ़ आयतन, पहली अवधि के बजाय उपयोग किया जाता है। जबकि आदर्श गैस अणु परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, वास्तविक अणु आकर्षक वैन डेर वाल्स बलों को प्रदर्शित करेंगे यदि वे पर्याप्त रूप से एक दूसरे के करीब हैं। आकर्षक बल, जो घनत्व के समानुपाती होते हैं, पात्र की दीवारों के साथ अणुओं की टक्कर को धीमा कर देते हैं और दबाव को कम करते हैं। इस तरह से प्रभावित होने वाली टक्करों की संख्या भी घनत्व के समानुपाती होती है। इस प्रकार, दबाव को वर्गित दाढ़ आयतन के समानुपाती या व्युत्क्रमानुपाती मात्रा से कम किया जाता है। कम अवस्था चर के साथ, अर्थात। , और, वैन डेर वाल्स समीकरण के कम किए गए रूप को तैयार किया जा सकता हैः इस रूप का लाभ यह है कि दिए गए और तरल और गैस के कम किए गए आयतन की गणना सीधे कम किए गए घन रूप के लिए कार्डानो की विधि का उपयोग करके की जा सकती हैः के लिए और, प्रणाली वाष्प-तरल संतुलन की स्थिति में है। उस स्थिति में, अवस्था के घटते घन समीकरण से 3 समाधान मिलते हैं। सबसे बड़ा और सबसे कम समाधान गैस और तरल कम मात्रा है। इस स्थिति में, मैक्सवेल निर्माण का उपयोग कभी-कभी दाढ़ आयतन के एक कार्य के रूप में दबाव को मॉडल करने के लिए किया जाता है। संपीड़नशीलता कारक का उपयोग अक्सर गैर-आदर्श व्यवहार को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। कम किए गए रूप में वैन डेर वाल्स समीकरण के लिए, यह महत्वपूर्ण बिंदु पर बन जाता है। 1949 में शुरू किया गया, अवस्था के रेडलिच-क्वोंग समीकरण को वैन डेर वाल्स समीकरण में एक उल्लेखनीय सुधार माना गया था। यह अभी भी मुख्य रूप से अपने अपेक्षाकृत सरल रूप के कारण दिलचस्प है। जबकि कुछ मामलों में वैन डेर वाल्स समीकरण से बेहतर है, यह तरल चरण के संबंध में खराब प्रदर्शन करता है और इस प्रकार इसका उपयोग वाष्प-तरल संतुलन की सटीक गणना के लिए नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, इसका उपयोग इस उद्देश्य के लिए अलग-अलग तरल-चरण सहसंबंधों के साथ किया जा सकता है। समीकरण नीचे दिया गया है, जैसा कि इसके मापदंडों और महत्वपूर्ण स्थिरांकों के बीच संबंध हैंः रेडलिच-क्वोंग समीकरण का एक और, समकक्ष रूप मॉडल के संपीड़नशीलता कारक की अभिव्यक्ति हैः रेडलिच-क्वोंग समीकरण गैस चरण गुणों की गणना के लिए पर्याप्त है जब कम दबाव (पिछले खंड में परिभाषित) कम तापमान के तापमान के अनुपात के लगभग आधे से कम है, रेडलिच-क्वोंग समीकरण संबंधित अवस्थाओं के प्रमेय के अनुरूप है। जब समीकरण को कम किए गए रूप में व्यक्त किया जाता है, तो सभी गैसों के लिए एक समान समीकरण प्राप्त होता हैः जहां हैः इसके अलावा, महत्वपूर्ण बिंदु पर संपीड़नशीलता कारक प्रत्येक पदार्थ के लिए समान होता हैः यह महत्वपूर्ण संपीड़नशीलता कारक की वैन डेर वाल्स समीकरण भविष्यवाणी पर एक सुधार है, जो है। विशिष्ट प्रयोगात्मक मान (कार्बन डाइऑक्साइड), (जल) और (नाइट्रोजन) हैं। रेडलिच-क्वोंग समीकरण का एक संशोधित रूप रेडलिच-क्वोंग का सोवे संशोधन सोवे द्वारा प्रस्तावित किया गया था। यह वह रूप लेता है जहाँ ω प्रजातियों के लिए केंद्रित कारक है। उपरोक्त के लिए सूत्रीकरण वास्तव में ग्राबोस्की और डॉबर्ट के कारण है। सोवे से मूल सूत्रीकरण हैः हाइड्रोजन के लिएः कम किए गए रूप में चर को प्रतिस्थापित करने और महत्वपूर्ण बिंदु पर संपीड़नशीलता कारक को प्राप्त करने से हम इस प्रकार प्राप्त करते हैं इस प्रकार, कम किए गए रूप में सोवे-रेडलिच-क्वोंग समीकरण केवल ω और पदार्थ पर निर्भर करता है, दोनों VdW और RK समीकरण के विपरीत जो संबंधित अवस्थाओं के प्रमेय के अनुरूप हैं और कम किया गया रूप सभी पदार्थों के लिए एक हैः हम इसे बहुपद रूप में भी लिख सकते हैं, जिसके साथः संपीड़नशीलता कारक के संदर्भ में, हमारे पास हैः इस समीकरण के तीन मूल हो सकते हैं। घन समीकरण का अधिकतम मूल आम तौर पर वाष्प अवस्था से मेल खाता है, जबकि न्यूनतम मूल तरल अवस्था के लिए होता है। गणना में घन समीकरणों का उपयोग करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, वाष्प-तरल संतुलन। 1972 में जी. सोवे ने रेडलिच-क्वोंग समीकरण के शब्द को एक फलन α (T, ω) के साथ प्रतिस्थापित किया जिसमें तापमान और केंद्रित कारक शामिल थे (परिणामी समीकरण को अवस्था के सोवे-रेडलिच-क्वोंग समीकरण के रूप में भी जाना जाता है; एसआरके ईओएस)। α फलन को हाइड्रोकार्बन के वाष्प दबाव डेटा को फिट करने के लिए तैयार किया गया था और समीकरण इन सामग्रियों के लिए काफी अच्छा करता है। विशेष रूप से ध्यान दें कि यह प्रतिस्थापन एक की परिभाषा को थोड़ा बदल देता है, क्योंकि अब यह दूसरी शक्ति है। पेनेलोक्स एट अल का वॉल्यूम अनुवाद। (1982) एस. आर. के. ई. ओ. एस. को एस. आर. के. ई. ओ. एस. अनुभाग में कहाँ और एस. आर. के. ई. ओ. एस. के अन्य भागों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एस. आर. के. ई. ओ. एस. और अन्य घन ई. ओ. एस. का एक नकारात्मक पक्ष यह है कि तरल दाढ़ की मात्रा गैस दाढ़ की मात्रा की तुलना में काफी कम सटीक होती है। पेनेलोक्स एट एलियोस (1982) ने एक आयतन अनुवाद पेश करके इसके लिए एक सरल सुधार का प्रस्ताव रखा, जहां एक अतिरिक्त द्रव घटक पैरामीटर है जो दाढ़ आयतन का थोड़ा अनुवाद करता है। ई. ओ. एस. की तरल शाखा पर, दाढ़ की मात्रा में एक छोटा सा परिवर्तन दबाव में एक बड़े परिवर्तन से मेल खाता है। ई. ओ. एस. की गैस शाखा पर, मोलर आयतन में एक छोटा सा परिवर्तन तरल शाखा की तुलना में दबाव में बहुत कम परिवर्तन से मेल खाता है। इस प्रकार, दाढ़ गैस की मात्रा में गड़बड़ी कम होती है। दुर्भाग्य से, विज्ञान और उद्योग में दो संस्करण होते हैं। पहले संस्करण में केवल अनुवाद किया जाता है, और ई. ओ. एस. दूसरे संस्करण में बन जाता है और दोनों का अनुवाद किया जाता है, या अनुवाद के बाद समग्र पैरामीटर का नाम बदला जाता है। एक पेट्रोलियम गैस और तेल में अलग-अलग द्रव घटकों के सी-पैरामीटर का अनुमान उस सहसंबंध से लगाया जा सकता है जहां रैकेट संपीड़नशीलता कारक का अनुमान पेनेलोक्स एट अल की आयतन अनुवाद विधि के साथ एक अच्छी विशेषता द्वारा लगाया जा सकता है। (1982) यह है कि यह वाष्प-तरल संतुलन गणना को प्रभावित नहीं करता है। आयतन अनुवाद की इस विधि को अन्य घन ई. ओ. एस. पर भी लागू किया जा सकता है यदि सी-पैरामीटर सहसंबंध को चयनित ई. ओ. एस. से मेल खाने के लिए समायोजित किया जाता है। राज्य का पेंग-रॉबिन्सन समीकरण राज्य का पेंग-रॉबिन्सन समीकरण (पी. आर. ई. ओ. एस.) 1976 में अल्बर्टा विश्वविद्यालय में डिंग-यू पेंग और डोनाल्ड रॉबिन्सन द्वारा निम्नलिखित लक्ष्यों को पूरा करने के लिए विकसित किया गया थाः मापदंडों को महत्वपूर्ण गुणों और केंद्रित कारक के संदर्भ में व्यक्त किया जाना चाहिए। मॉडल को महत्वपूर्ण बिंदु के पास उचित सटीकता प्रदान करनी चाहिए, विशेष रूप से संपीड़नशीलता कारक और तरल घनत्व की गणना के लिए। मिश्रण नियमों को एक से अधिक द्विआधारी अंतःक्रिया मापदंड का उपयोग नहीं करना चाहिए, जो तापमान, दबाव और संरचना से स्वतंत्र होना चाहिए। यह समीकरण प्राकृतिक गैस प्रक्रियाओं में सभी द्रव गुणों की सभी गणनाओं पर लागू होना चाहिए। समीकरण इस प्रकार दिया गया हैः बहुपद रूप मेंः अधिकांश भाग के लिए पेंग-रॉबिन्सन समीकरण सोवे समीकरण के समान प्रदर्शन प्रदर्शित करता है, हालांकि यह आम तौर पर कई सामग्रियों, विशेष रूप से गैर-ध्रुवीय पदार्थों के तरल घनत्व की भविष्यवाणी करने में बेहतर होता है। पेंग-रॉबिन्सन समीकरण के प्रस्थान कार्य एक अलग लेख पर दिए गए हैं। इसके विशिष्ट स्थिरांकों के विश्लेषणात्मक मूल्य हैंः अवस्था पी. आर. एस. वी. 1 के पेंग-रॉबिन्सन-स्ट्रीजेक-वेरा समीकरण 1986 में स्ट्रीजेक और वेरा द्वारा प्रकाशित अवस्था के पेंग-रॉबिन्सन समीकरण में आकर्षण शब्द में एक संशोधन (पी. आर. एस. वी.) ने एक समायोज्य शुद्ध घटक पैरामीटर पेश करके और एसेंट्रिक कारक के बहुपद फिट को संशोधित करके मॉडल की सटीकता में काफी सुधार किया। संशोधन यह हैः जहाँ एक समायोज्य शुद्ध घटक पैरामीटर है। स्ट्रीजेक और वेरा ने अपने मूल पत्रिका लेख में औद्योगिक रुचि के कई यौगिकों के लिए शुद्ध घटक मापदंड प्रकाशित किए। 0. 7 से ऊपर के कम तापमान पर, वे सेट करने और बस उपयोग करने की सलाह देते हैं। अल्कोहल और पानी के लिए के मान का उपयोग महत्वपूर्ण तापमान तक किया जा सकता है और उच्च तापमान पर शून्य पर सेट किया जा सकता है। पी. आर. एस. वी. 2 1986 में प्रकाशित एक बाद के संशोधन (पी. आर. एस. वी. 2) ने पिछले आकर्षण शब्द संशोधन के लिए दो अतिरिक्त शुद्ध घटक मापदंडों को पेश करके मॉडल की सटीकता में और सुधार किया। संशोधन हैः कहाँ, और समायोज्य शुद्ध घटक मापदंड हैं। पी. आर. एस. वी. 2 विशेष रूप से वी. एल. ई. गणनाओं के लिए फायदेमंद है। जबकि पी. आर. एस. वी. 1 ऊष्मागतिकीय व्यवहार का वर्णन करने के लिए पेंग-रॉबिन्सन मॉडल पर एक लाभ प्रदान करता है, यह अभी भी सामान्य रूप से, चरण संतुलन गणना के लिए पर्याप्त सटीक नहीं है। चरण-संतुलन गणना विधियों का अत्यधिक गैर-रैखिक व्यवहार उन त्रुटियों को बढ़ाता है जो अन्यथा स्वीकार्य रूप से छोटी त्रुटियां होंगी। इसलिए यह अनुशंसा की जाती है कि पी. आर. एस. वी. 2 का उपयोग संतुलन गणना के लिए किया जाए जब इन मॉडलों को एक डिजाइन पर लागू किया जाए। हालांकि, एक बार संतुलन स्थिति निर्धारित हो जाने के बाद, संतुलन में चरण विशिष्ट ऊष्मागतिकीय मूल्यों को उचित मात्रा में सटीकता के साथ कई सरल मॉडलों में से एक द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। एक बात ध्यान देने योग्य है कि पी. आर. एस. वी. समीकरण में, पैरामीटर फिट एक विशेष तापमान सीमा में किया जाता है जो आमतौर पर महत्वपूर्ण तापमान से नीचे होता है। महत्वपूर्ण तापमान से ऊपर, पी. आर. एस. वी. अल्फा फलन अलग हो जाता है और 0 की ओर झुकने के बजाय मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है। इस वजह से, अल्फा के लिए वैकल्पिक समीकरणों को महत्वपूर्ण बिंदु से ऊपर नियोजित किया जाना चाहिए। यह हाइड्रोजन युक्त प्रणालियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जो अक्सर अपने महत्वपूर्ण बिंदु से बहुत अधिक तापमान पर पाया जाता है। कई वैकल्पिक सूत्रीकरण प्रस्तावित किए गए हैं। कुछ प्रसिद्ध ट्वू एट अल द्वारा हैं। और माथियास और कॉपमैन द्वारा। स्थिति के पेंग-रॉबिन्सन-बाबलोला समीकरण (पी. आर. बी.) बाबलोला ने स्थिति के पेंग-रॉबिन्सन समीकरण को इस प्रकार संशोधित कियाः आकर्षक बल पैरामीटर 'ए' को स्थिति के पेंग-रॉबिन्सन समीकरण में दबाव के संबंध में एक स्थिरांक माना जाता था। संशोधन, जिसमें बहु-घटक बहु-चरण उच्च घनत्व जलाशय प्रणालियों के लिए दबाव के संबंध में पैरामीटर 'ए' को एक चर के रूप में माना गया था, पी. वी. टी. मॉडलिंग के लिए जटिल जलाशय तरल पदार्थों के गुणों की भविष्यवाणी में सटीकता में सुधार करना था। भिन्नता को एक रैखिक समीकरण के साथ दर्शाया गया था जहां a1 और a2 दबाव के खिलाफ पैरामीटर 'a' के मानों को प्लॉट करने पर प्राप्त सीधी रेखा के क्रमशः ढलान और अवरोधन का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह संशोधन विशेष रूप से उच्च दबाव सीमा (> 30एम. पी. ए.) पर भारी तरल पदार्थों के लिए स्थिति के पेंग-रॉबिन्सन समीकरण की सटीकता को बढ़ाता है और स्थिति के मूल पेंग-रॉबिन्सन समीकरण को ट्यून करने की आवश्यकता को समाप्त करता है। इलियट-सुरेश-डोनोह्यू अवस्था का समीकरण इलियट-सुरेश-डोनोह्यू (ईएसडी) अवस्था का समीकरण 1990 में प्रस्तावित किया गया था। समीकरण पेंग-रॉबिन्सन ई. ओ. एस. में एक कमी को ठीक करने का प्रयास करता है जिसमें वैन डेर वाल्स प्रतिकारक शब्द में एक अशुद्धि थी। ई. ओ. एस. किसी भी अणु के आकार के प्रभाव के लिए जिम्मेदार होता है और महत्वपूर्ण गुणों (जैसा कि यहां दिखाया गया है) का उपयोग करने के बजाय घुलनशीलता पैरामीटर और तरल मात्रा के संदर्भ में आणविक मापदंडों वाले पॉलिमर तक सीधे विस्तारित किया जा सकता है। ई. ओ. एस. को स्वयं कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ तुलना के माध्यम से विकसित किया गया था और इसे आकार, आकार और हाइड्रोजन बंधन के आवश्यक भौतिकी को पकड़ना चाहिए। कहाँः और गोलाकार अणुओं के लिए एक "आकार कारक" है। गैर-गोलाकार अणुओं के लिए, आकार कारक और केंद्रित कारक के बीच निम्नलिखित संबंध का सुझाव दिया जाता हैः कम संख्या घनत्व को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, जहाँ विशेषता आकार पैरामीटर [cm3/mol] है, और दाढ़ घनत्व [mol/cm3] है। विशेषता आकार पैरामीटर से संबंधित है जहां आकार पैरामीटर आकर्षण शब्द में दिखाई देता है और शब्द द्वारा दिया जाता है (और इसलिए गोलाकार अणुओं के लिए 1 के बराबर भी है)। जहाँ वर्ग-कूप विभव की गहराई है और द्वारा दी जाती है, और अवस्था के समीकरण में स्थिरांक हैंः गोलाकार अणुओं के लिए (c = 1) गोलाकार अणुओं के लिए (c = 1) गोलाकार अणुओं के लिए (c = 1) मॉडल को घटकों और मिश्रणों को गैर-संबद्ध घटकों के साथ जोड़ने के लिए बढ़ाया जा सकता है। विवरण जे. आर. इलियट, जूनियर और अन्य द्वारा पेपर में हैं। (1990)। यह देखते हुए कि = 1.900, को SAFT रूप में फिर से लिखा जा सकता हैः यदि पसंद किया जाए, तो "q" को SAFT संकेतन में "m" से प्रतिस्थापित किया जा सकता है और ESD EOS लिखा जा सकता हैः इस रूप में, SAFT का खंडीय परिप्रेक्ष्य स्पष्ट है और माइकल वर्टहेम के सभी परिणाम सीधे लागू और अपेक्षाकृत संक्षिप्त हैं। एस. ए. एफ. टी. के खंडीय परिप्रेक्ष्य में, प्रत्येक अणु की कल्पना अपने स्वयं के गोलाकार अंतःक्रियाओं के साथ अंतरिक्ष में तैरते एम गोलाकार खंडों के रूप में की जाती है, लेकिन फिर (एम-1) शब्द द्वारा एक स्पर्शरेखा क्षेत्र श्रृंखला में बंधन के लिए सही किया जाता है। जब m एक पूर्णांक नहीं होता है, तो इसे केवल स्पर्शरेखा क्षेत्र खंडों की एक "प्रभावी" संख्या माना जाता है। वर्टहेम के सिद्धांत में समीकरणों को हल करना जटिल हो सकता है, लेकिन सरलीकरण उनके कार्यान्वयन को कम चुनौतीपूर्ण बना सकते हैं। संक्षेप में, दिए गए घनत्व और तापमान की गणना करने के लिए कुछ अतिरिक्त चरणों की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, जब हाइड्रोजन बंधन दाताओं की संख्या स्वीकारकर्ताओं की संख्या के बराबर होती है, तो ई. एस. डी. समीकरण बन जाता हैः जहाँः एवोगाड्रो स्थिरांक है, और हाइड्रोजन बंधन की मात्रा और ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने वाले संग्रहीत इनपुट पैरामीटर हैं। आम तौर पर, और संग्रहीत किए जाते हैं। स्वीकारकर्ताओं की संख्या है (इस उदाहरण के लिए दाताओं की संख्या के बराबर)। उदाहरण के लिए, मेथनॉल और इथेनॉल जैसे अल्कोहल के लिए = 1। = पानी के लिए 2। = पॉलीविनाइलफेनॉल के लिए पोलीमराइजेशन की डिग्री। तो आप गणना करने के लिए घनत्व और तापमान का उपयोग करते हैं फिर अन्य मात्राओं की गणना करने के लिए उपयोग करते हैं। तकनीकी रूप से, ई. एस. डी. समीकरण अब घन नहीं है जब संघ शब्द को शामिल किया जाता है, लेकिन कोई कलाकृतियाँ पेश नहीं की जाती हैं इसलिए घनत्व में केवल तीन जड़ें होती हैं। क्यूबिक-प्लस-एसोसिएशन अवस्था का क्यूबिक-प्लस-एसोसिएशन (सी. पी. ए.) समीकरण सॉव-रेडलिच-क्वोंग समीकरण को एस. ए. एफ. टी. से एसोसिएशन शब्द के साथ जोड़ता है जो चैपमैन के विस्तार और माइकल वर्टहेम के कारण अणुओं को जोड़ने के सिद्धांत के सरलीकरण पर आधारित है। समीकरण का विकास 1995 में एक शोध परियोजना के रूप में शुरू हुआ जिसे शेल द्वारा वित्त पोषित किया गया था और 1996 में प्रकाशित किया गया था। संघ शब्द में अणुओं का मोल अंश है जो साइट ए पर बंधे नहीं हैं। अवस्था का क्यूबिक-प्लस-चेन समीकरण अवस्था का क्यूबिक-प्लस-चेन (सी. पी. सी.) समीकरण एस. ए. एफ. टी. श्रृंखला शब्द के साथ अवस्था के शास्त्रीय क्यूबिक समीकरण को संकरित करता है। श्रृंखला शब्द को जोड़ने से मॉडल अल्प-श्रृंखला और लंबी-श्रृंखला गैर-संबद्ध घटकों दोनों के भौतिकी को पकड़ने में सक्षम हो जाता है जो एल्केन से लेकर पॉलिमर तक होते हैं। सी. पी. सी. मोनोमर शब्द एक शास्त्रीय घन ई. ओ. एस. रूप तक सीमित नहीं है, इसके बजाय एक ही ढांचे के भीतर कई रूपों का उपयोग किया जा सकता है। अवस्था के घन-योग-श्रृंखला (सी. पी. सी.) समीकरण को कम अवशिष्ट हेल्महोल्ट्ज ऊर्जा (एफ. सी. पी. सी.) के संदर्भ में लिखा जाता हैः जहाँ ए. आर. अवशिष्ट हेल्महोल्ट्ज ऊर्जा है, m श्रृंखला की लंबाई है, प्रतिनिधि और ए. टी. क्रमशः अवस्था के घन समीकरण के मोनोमर प्रतिकारक और आकर्षक योगदान हैं। श्रृंखला शब्द अवस्था के एसएएफटी समीकरण से मोनोमर मोतियों के बंधन योगदान के लिए जिम्मेदार है। मोनोमर शब्द के लिए रेडलिच-क्वोंग (आर. के.) का उपयोग करते हुए, सी. पी. सी. को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः जहां ए आणविक अंतःक्रिया ऊर्जा पैरामीटर है, बी सह-मात्रा पैरामीटर है, मोल-औसत श्रृंखला की लंबाई है, जी (β) संपर्क में मूल्यांकन किया गया रेडियल वितरण कार्य (आर. डी. एफ.) है, और β कम मात्रा है। सी. पी. सी. मॉडल पॉलिमर मॉडल के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य जटिल मॉडल की तुलना में सरलता और गति को जोड़ता है। सिस्को एट अल। विभिन्न अच्छी तरह से परिभाषित और बहुलक मिश्रणों को मॉडल करने के लिए अवस्था के सी. पी. सी. समीकरण को लागू किया। उन्होंने उच्च दबाव, तापमान, विलायक के प्रकार, पॉलीडिस्पर्सिटी आदि सहित विभिन्न कारकों का विश्लेषण किया। सी. पी. सी. मॉडल प्रयोगात्मक डेटा के साथ परिणामों का परीक्षण करके विभिन्न प्रणालियों को मॉडलिंग करने में सक्षम साबित हुआ। अलज्मी एट अल। वाष्प दबाव और तरल घनत्व पूर्वानुमानों को बढ़ाने के लिए सी. पी. सी. ढांचे में छोटी दूरी के नरम प्रतिकर्षण को शामिल करें। उन्होंने विभिन्न रासायनिक परिवारों के 50 से अधिक घटकों के लिए एक डेटाबेस प्रदान किया, जिसमें एन-एल्केन, एल्कीन, शाखा वाले एल्केन, साइक्लोएल्केन, बेंजीन व्युत्पन्न, गैस आदि शामिल हैं। यह सी. पी. सी. संस्करण अणुओं के बीच कम दूरी के नरम प्रतिकर्षण का वर्णन करने के लिए विक्षोभ सिद्धांत पर आधारित एक तापमान-निर्भर सह-मात्रा पैरामीटर का उपयोग करता है। राज्य के संदर्भ समीकरण