Perles configuration
ज्यामिति में, पेरल्स विन्यास यूक्लिडियन तल में नौ बिंदुओं और नौ रेखाओं की एक प्रणाली है जिसके लिए प्रत्येक संयुक्त समतुल्य प्राप्ति में इसके निर्देशांकों में से एक के रूप में कम से कम एक अपरिमेय संख्या होती है। इसका निर्माण एक नियमित पंचकोण की विकर्ण और समरूपता रेखाओं से किया जा सकता है, जिसमें समरूपता रेखाओं में से एक को छोड़ दिया जाता है। बदले में, इसका उपयोग उच्च-आयामी उत्तल बहुपदों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जिन्हें तर्कसंगत निर्देशांक नहीं दिया जा सकता है, जिसमें किसी भी ज्ञात उदाहरण के सबसे कम शीर्ष होते हैं। प्रोजेक्टिव प्लेन में पेरल्स कॉन्फ़िगरेशन के सभी अनुभव प्रोजेक्टिव परिवर्तनों के तहत एक दूसरे के बराबर हैं। निर्माण पेरल्स विन्यास के निर्माण का एक तरीका नियमित पंचभुज और उसके पाँच विकर्णों से शुरू करना है। ये विकर्ण बाहरी पंचकोण के अंदर एक छोटे आंतरिक पंचकोण के किनारों का निर्माण करते हैं। बाहरी पंचकोण का प्रत्येक शीर्ष आंतरिक पंचकोण के शीर्ष के विपरीत स्थित है। विन्यास के नौ बिंदुओं में प्रत्येक पंचभुज के पाँच शीर्षों में से चार और दो पंचभुज का साझा केंद्र होता है। दो विपरीत शीर्षों को छोड़ दिया गया है, प्रत्येक पंचकोण से एक। विन्यास की नौ रेखाओं में पाँच रेखाएँ होती हैं जो बाहरी पंचकोण की विकर्ण और आंतरिक पंचकोण की भुजाएँ होती हैं, और चार रेखाएँ जो केंद्र से गुजरती हैं और दो पंचकोण से शीर्षों के विपरीत जोड़े से गुजरती हैं। प्रोजेक्टिव इनवेरियंस और अतार्किकता पेरल्स विन्यास की प्राप्ति को एक ही प्रतिच्छेदन पैटर्न के साथ किसी भी नौ बिंदुओं और नौ रेखाओं से मिलकर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब है कि एक बिंदु और रेखा प्राप्ति में एक दूसरे को काटते हैं, अगर और केवल तभी जब वे नियमित पंचभुज से निर्मित विन्यास में काटते हैं। यूक्लिडियन तल में या, अधिक सामान्य रूप से, वास्तविक प्रोजेक्टिव तल में इस विन्यास की प्रत्येक प्राप्ति, एक प्रोजेक्टिव परिवर्तन के तहत, एक नियमित पंचभुज से इस तरह से निर्मित प्राप्ति के बराबर है। क्योंकि क्रॉस-अनुपात, किसी भी चार संरेखीय बिंदुओं से परिभाषित एक संख्या, प्रोजेक्टिव परिवर्तनों के तहत नहीं बदलती है, प्रत्येक प्राप्ति में चार बिंदु होते हैं जिनका क्रॉस-अनुपात नियमित पंचभुज से प्राप्त प्राप्ति में चार संरेखीय बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात के समान होता है। लेकिन, इन चार बिंदुओं का क्रॉस-अनुपात है, जहाँ स्वर्ण अनुपात, एक अपरिमेय संख्या है। तर्कसंगत निर्देशांक वाले प्रत्येक चार समरेखीय बिंदुओं में एक तर्कसंगत क्रॉस अनुपात होता है, इसलिए पर्ल्स विन्यास को तर्कसंगत बिंदुओं द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। ब्रांको ग्रनबॉम ने अनुमान लगाया है कि प्रत्येक विन्यास जिसे अतार्किक लेकिन परिमेय संख्याओं द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है, उसके कम से कम नौ बिंदु होते हैं; यदि ऐसा है, तो पेरल्स विन्यास बिंदुओं और रेखाओं का सबसे छोटा संभव अतार्किक विन्यास होगा। पॉलीहेड्रल संयोजन विज्ञान में अनुप्रयोग पेरल्स ने बारह शीर्षों के साथ एक आठ-आयामी उत्तल पॉलीटोप के निर्माण के लिए अपने विन्यास का उपयोग किया जिसे समान रूप से वास्तविक निर्देशांक के साथ महसूस किया जा सकता है लेकिन तर्कसंगत निर्देशांक के साथ नहीं। विन्यास के बिंदु, उनमें से तीन दोगुने हो गए और प्रत्येक बिंदु से जुड़े संकेतों के साथ, पर्ल्स पॉलीटोप का गेल आरेख बनाते हैं। अर्न्स्ट स्टेनिट्ज़ के स्टेनिट्ज़ के प्रमेय के प्रमाण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक त्रि-आयामी पॉलीटोप को तर्कसंगत निर्देशांक के साथ महसूस किया जा सकता है, लेकिन अब यह ज्ञात है कि चार आयामों में तर्कहीन पॉलीटोप मौजूद हैं। हालांकि, पेरल्स पॉलीटोप में किसी भी ज्ञात अपरिमेय पॉलीटोप के सबसे कम शीर्ष हैं। इतिहास और संबंधित कार्य द पेरल्स कॉन्फ़िगरेशन को 1960 के दशक में मीका पेरल्स द्वारा पेश किया गया था। यह बिंदुओं और रेखाओं के अतार्किक विन्यास का पहला ज्ञात उदाहरण नहीं है। एक 11-बिंदु उदाहरण का वर्णन करता है, जो दो के वर्गमूल के अनुरूप विन्यास का निर्माण करने के लिए वॉन स्टॉड के थ्रो के बीजगणित को लागू करके प्राप्त किया जाता है। नियमित प्रोजेक्टिव विन्यास, बिंदुओं और रेखाओं की सीमित प्रणालियों के अध्ययन का एक लंबा इतिहास है जिसमें प्रत्येक बिंदु समान रूप से कई रेखाओं को छूता है और प्रत्येक रेखा समान रूप से कई बिंदुओं को छूती है। हालांकि, इन विन्यासों के समान नाम दिए जाने के बावजूद, पेरल्स विन्यास नियमित नहीं हैः इसके अधिकांश बिंदु तीन रेखाओं को छूते हैं और इसकी अधिकांश रेखाएं तीन बिंदुओं को छूती हैं, लेकिन चार बिंदुओं की एक रेखा और चार रेखाओं पर एक बिंदु होता है। इस संबंध में यह पप्पस विन्यास से अलग है, जिसमें नौ अंक और नौ रेखाएँ भी हैं, लेकिन प्रत्येक रेखा पर तीन अंक और प्रत्येक बिंदु के माध्यम से तीन रेखाएँ हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ विन्यास (ज्यामिति) पॉलीहेड्रल संयोजन