List of Mersenne primes and perfect numbers
मर्सेन अभाज्य संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ संख्या सिद्धांत में दो गहराई से परस्पर जुड़ी हुई प्राकृतिक संख्याएँ हैं। मर्सेन अभाज्य संख्याएँ, जिनका नाम फ्रायर मारिन मर्सेन के नाम पर रखा गया है, वे अभाज्य संख्याएँ हैं जिन्हें कुछ सकारात्मक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक मर्सेन अभाज्य है क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या है और इस रूप में व्यक्त की जा सकती है। मर्सेन अभाज्य संख्याओं के अनुरूप संख्याएँ स्वयं अभाज्य होनी चाहिए, हालाँकि सभी अभाज्य संख्याएँ मर्सेन अभाज्य संख्याओं की ओर नहीं ले जाती हैं-उदाहरण के लिए,। इस बीच, पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो अपने धनात्मक उचित भाजकों के योग के बराबर होती हैं, जो संख्या को छोड़कर भाजक हैं। तो, यह एक पूर्ण संख्या है क्योंकि इसके उचित भाजक हैं, और, और हैं। मर्सेन अभाज्य संख्याओं और सम पूर्ण संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। यह यूक्लिड-यूलर प्रमेय के कारण है, जिसे आंशिक रूप से यूक्लिड द्वारा सिद्ध किया गया है और लियोनहार्ड यूलर द्वारा पूरा किया गया हैः सम संख्याएँ तभी परिपूर्ण होती हैं जब उन्हें उस रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ एक मर्सेन अभाज्य है। दूसरे शब्दों में, उस अभिव्यक्ति में फिट होने वाली सभी संख्याएँ पूर्ण हैं, जबकि सभी सम पूर्ण संख्याएँ उस रूप में फिट होती हैं। उदाहरण के लिए, के मामले में, अभाज्य है, और परिपूर्ण है। यह वर्तमान में एक खुली समस्या है कि क्या मर्सेन अभाज्य संख्याओं की एक अनंत संख्या और यहाँ तक कि पूर्ण संख्याएँ भी हैं। मर्सेन अभाज्य संख्याओं की आवृत्ति लेनस्ट्रा-पोमेरेंस-वागस्टाफ अनुमान का विषय है, जिसमें कहा गया है कि दिए गए कुछ की तुलना में मर्सेन अभाज्य संख्याओं की अपेक्षित संख्या कम है, जहां यूलर की संख्या है, यूलर का स्थिरांक है, और प्राकृतिक लघुगणक है। यह भी ज्ञात नहीं है कि क्या कोई विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं; संभावित विषम पूर्ण संख्याओं पर विभिन्न स्थितियाँ सिद्ध हुई हैं, जिनमें की निचली सीमा भी शामिल है। निम्नलिखित सभी वर्तमान में ज्ञात मर्सेन अभाज्य संख्याओं और पूर्ण संख्याओं की एक सूची है, उनके संबंधित घातांक के साथ। 51 ज्ञात मर्सेन अभाज्य संख्याएँ (और इसलिए पूर्ण संख्याएँ) हैं, जिनमें से सबसे बड़े 17 की खोज वितरित कंप्यूटिंग परियोजना ग्रेट इंटरनेट मर्सेन प्राइम सर्च, या जीआईएमपीएस द्वारा की गई है। नए मेर्सेन अभाज्य संख्याएँ लुकास-लेहमर परीक्षण (एल. एल. टी.) का उपयोग करके पाई जाती हैं, जो मेर्सेन अभाज्य संख्याओं के लिए एक प्राथमिक परीक्षण है जो द्विआधारी कंप्यूटरों के लिए कुशल है। प्रदर्शित रैंक वर्तमान में ज्ञात सूचकांकों में से हैं; जबकि संभावना नहीं है, अगर छोटे की खोज की जाती है तो रैंक बदल सकते हैं। जी. आई. एम. पी. एस. के अनुसार, 48वें कार्यशील घातांक से कम की सभी संभावनाओं की जांच और सत्यापन किया गया है। खोज वर्ष और खोजकर्ता मर्सेन अभाज्य के हैं, क्योंकि पूर्ण संख्या तुरंत यूक्लिड-यूलर प्रमेय का अनुसरण करती है। "जीआईएमपीएस/नाम" के रूप में चिह्नित खोजकर्ता उस व्यक्ति द्वारा उपयोग किए जाने वाले हार्डवेयर के साथ जीआईएमपीएस खोजों को संदर्भित करते हैं। बाद की प्रविष्टियाँ बहुत लंबी होती हैं, इसलिए प्रत्येक संख्या के केवल पहले और अंतिम छह अंक दिखाए जाते हैं। ऐतिहासिक रूप से, सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या अक्सर एक मर्सेन अभाज्य संख्या रही है। नोट्स संदर्भ बड़ी संख्या के पूर्ण मूल्यों के साथ जी. आई. एम. पी. एस. पर बाहरी लिंक सूची मेर्सेन संख्याओं के इतिहास पर एक तकनीकी रिपोर्ट, गाय हावर्थ गणितीय तालिकाओं द्वारा गणित से संबंधित सूचियों की सूची सूची