Petr–Douglas–Neumann theorem
ज्यामिति में, पेट्र-डगलस-न्यूमैन प्रमेय (या पी. डी. एन.-प्रमेय) मनमाने समतल बहुभुज से संबंधित एक परिणाम है। प्रमेय का दावा है कि एक निश्चित प्रक्रिया जब एक मनमाने बहुभुज पर लागू होती है तो हमेशा एक नियमित बहुभुज प्राप्त होता है जिसमें प्रारंभिक बहुभुज के समान भुजाएँ होती हैं। यह प्रमेय पहली बार 1908 में प्राग के करेल पेट्र (1868-1950) द्वारा प्रकाशित किया गया था। इस प्रमेय की स्वतंत्र रूप से 1940 में जेसी डगलस (1897-1965) और 1941 में बी. एच. न्यूमैन (1909-2002) द्वारा भी खोज की गई थी। प्रमेय का नामकरण पेट्र-डगलस-न्यूमैन प्रमेय के रूप में, या संक्षेप में पी. डी. एन.-प्रमेय के रूप में, स्टीफन बी ग्रे के कारण है। इस प्रमेय को डगलस की प्रमेय, डगलस-न्यूमैन प्रमेय, नेपोलियन-डगलस-न्यूमैन प्रमेय और पेट्र की प्रमेय भी कहा जाता है। पी. डी. एन.-प्रमेय नेपोलियन के प्रमेय का एक सामान्यीकरण है जो मनमाने त्रिकोणों और वान ऑबेल के प्रमेय से संबंधित है जो मनमाने चतुर्भुज से संबंधित है। प्रमेय का कथन पेट्र-डगलस-न्यूमैन प्रमेय निम्नलिखित पर जोर देता है। यदि 2kπ/n शीर्ष कोण वाले समद्विबाहु त्रिभुज एक मनमाने n-गॉन A0 के किनारों पर खड़े किए जाते हैं, और यदि इस प्रक्रिया को त्रिभुजों के मुक्त एपिस द्वारा बनाए गए n-गॉन के साथ दोहराया जाता है, लेकिन k के एक अलग मान के साथ, और इसी तरह जब तक कि सभी मान 1 ≤ k ≤ n − 2 का उपयोग नहीं किया जाता है (मनमाने क्रम में), तब एक नियमित n-गॉन An − 2 बनता है जिसका केंद्रक A0 के केंद्रक के साथ मेल खाता है। त्रिभुजों के लिए विशेषज्ञता त्रिभुजों के मामले में, n का मान 3 है और n-2 का मान 1 है। अतः k का केवल एक ही संभावित मान है, अर्थात् 1। त्रिभुजों के लिए प्रमेय की विशेषज्ञता यह दावा करती है कि त्रिभुज A1 एक नियमित 3-गॉन है, जो एक समबाहु त्रिभुज है। A1 त्रिभुज A0 के किनारों पर खड़े शीर्ष कोण 2π/3 के साथ समद्विबाहु त्रिभुजों के कोणों से बनता है। A1 के शीर्ष त्रिभुज A0 की भुजाओं पर बनाए गए समबाहु त्रिभुजों के केंद्र हैं। इस प्रकार एक त्रिभुज के लिए पी. डी. एन. प्रमेय की विशेषज्ञता को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता हैः यदि किसी भी त्रिभुज की भुजाओं पर समबाहु त्रिभुज बनाए जाते हैं, तो तीन समबाहु त्रिभुजों के केंद्रों द्वारा बनाया गया त्रिभुज समबाहु होता है। अंतिम कथन नेपोलियन के प्रमेय का प्रतिपादन है। चतुर्भुजों के लिए विशेषज्ञता चतुर्भुजों के मामले में, n का मान 4 है और n-2 का मान 2 है। k के लिए दो संभावित मान हैं, अर्थात् 1 और 2, और इसलिए दो संभावित शीर्ष कोण, अर्थात्ः (2 × 1 × π)/4 = π/2 = 90° (k = 1 के अनुरूप) (2 × 2 × π)/4 = π = 180° (k = 2 के अनुरूप)। पी. डी. एन.-प्रमेय के अनुसार चतुर्भुज ए2 एक नियमित 4-गॉन है, अर्थात एक वर्ग। वर्ग A2 प्राप्त करने वाली दो-चरणीय प्रक्रिया को दो अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। (एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष Z, जिसका शीर्ष कोण π एक रेखा खंड XY पर खड़ा है, रेखा खंड XY का मध्य बिंदु है।) शीर्ष कोण π/2 का उपयोग करके A1 और फिर शीर्ष कोण π के साथ A2 का निर्माण करें। इस मामले में A1 के शीर्ष चतुर्भुज A0 के किनारों पर खड़े शीर्ष कोण π/2 के साथ समद्विबाहु त्रिभुजों के मुक्त कोण हैं। चतुर्भुज A2 के शीर्ष चतुर्भुज A1 की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। पी. डी. एन. प्रमेय के अनुसार, ए2 एक वर्ग है। चतुर्भुज A1 के शीर्ष चतुर्भुज A0 के किनारों पर बनाए गए वर्गों के केंद्र हैं। यह दावा कि चतुर्भुज A2 एक वर्ग है, इस दावे के बराबर है कि A1 के विकर्ण एक दूसरे के बराबर और लंबवत हैं। बाद वाला दावा वैन ऑबेल के प्रमेय की सामग्री है। इस प्रकार वान ऑबेल की प्रमेय पी. डी. एन.-प्रमेय का एक विशेष मामला है। शीर्ष कोण π का उपयोग करके A1 और फिर शीर्ष कोण π/2 के साथ A2 का निर्माण करें। इस मामले में A1 के शीर्ष चतुर्भुज A0 की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं और A2 के शीर्ष कोण A1 की भुजाओं पर बनाए गए शीर्ष कोण π/2 के साथ त्रिकोण के शीर्ष हैं। पी. डी. एन.-प्रमेय दावा करता है कि इस मामले में भी ए2 एक वर्ग है। चतुर्भुज के लिए प्रमेय के अनुप्रयोग को दर्शाने वाली छवियाँ पेंटागन के लिए विशेषज्ञता पेंटागन के मामले में, हमारे पास n = 5 और n − 2 = 3 है। तो k के लिए तीन संभावित मान हैं, अर्थात् 1,2 और 3, और इसलिए समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए तीन संभावित शीर्ष कोण हैंः (2 × 1 × π)/5 = 2π/5 = 72° (2 × 2 × π)/5 = 4π/5 = 144° (2 × 3 × π)/5 = 6π/5 = 216° PDN-प्रमेय के अनुसार, A3 एक नियमित पंचभुज है। नियमित पंचभुज ए3 के निर्माण की ओर ले जाने वाली तीन-चरणीय प्रक्रिया को छह अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, जो इस क्रम पर निर्भर करता है कि समद्विबाहु त्रिभुजों के निर्माण के लिए शीर्ष कोणों का चयन किस क्रम में किया जाता है। प्रमेय का प्रमाण प्रमेय को रैखिक बीजगणित से कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का उपयोग करके साबित किया जा सकता है। प्रमाण एन-गॉन के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करने वाली जटिल संख्याओं की सूची द्वारा एन-गॉन को कूटबद्ध करके शुरू होता है। इस सूची को एन-आयामी जटिल रैखिक स्थान सीएन में एक सदिश के रूप में सोचा जा सकता है। एक n-गॉन A लें और इसे जटिल सदिश A = (a1, a2,., an) द्वारा दर्शाया जाए। मान लीजिए कि बहुभुज बी का गठन ए के किनारों पर बने समान त्रिकोणों के मुक्त शीर्षों से होता है और इसे जटिल सदिश बी = (बी1, बी2,., बीएन) द्वारा दर्शाया जाता है। फिर हमारे पास α (ar−br) = ar + 1−br है, जहाँ α = exp (iθ) कुछ θ के लिए (यहाँ i −1 का वर्गमूल है)। इससे बी. आर. की गणना करने के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती हैः बी. आर. = (1 − α) −1 (ए. आर. + 1 − α. ए. आर.)। रैखिक प्रचालक S: Cn → Cn के संदर्भ में जो एक स्थान पर निर्देशांकों को चक्रीय रूप से क्रमबद्ध करता है, हमारे पास B = (1 − α) −1 (S − αI) A है, जहाँ I पहचान मैट्रिक्स है। इसका मतलब है कि बहुभुज An−2 जिसे हमें नियमित दिखाने की आवश्यकता है, वह निम्नलिखित प्रचालक की संरचना को लागू करके A0 से प्राप्त किया जाता हैः (1 − ωk) −1 (S − ωk I) k = 1,2,., n − 2 के लिए, जहाँ ω = exp (2πi/n)। (ये आवागमन क्योंकि वे एक ही प्रचालक एस में सभी बहुपद हैं) एक बहुभुज पी = (पी1, पी2,., पीएन) एक नियमित एन-गॉन है यदि पी के प्रत्येक पक्ष को 2π/एन के कोण से घुमाकर अगले से प्राप्त किया जाता है, यानी, यदि पीआर + 1 − पीआर = ω (पीआर + 2 − पीआर + 1)। इस स्थिति को S के संदर्भ में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता हैः (S−I) (I−ωS) P = 0। या समतुल्य रूप से (S−I) (S−ωn−1I) P = 0, क्योंकि ωn = 1 है। पेट्र-डगलस-न्यूमैन प्रमेय अब निम्नलिखित गणनाओं का अनुसरण करता है। (S−I) (S−ωn−1I) an−2 = (S−I) (S−ωn−1I) (1−ω) −1 (S−ωI) (1−ω2) −1 (S−ω2I). (1−ωn−2) −1 (S−ωn−2I) A0 = (1−ω) −1 (1−ω2) −1. (1−ωn−2) −1 (S−I) (S−ωI) (S−ωI) (S−ω2I). (S−ωn−1I) A0 = (1−ωn−1)