Eilenberg–Ganea theorem
गणित में, विशेष रूप से समरूपी बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, आइलेनबर्ग-गनेया प्रमेय बताता है कि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न समूह जी के लिए इसके समरूपी आयाम (अर्थात्) पर कुछ शर्तों के साथ, कोई भी आयाम एन के एक एसफेरिकल सी. डब्ल्यू. कॉम्प्लेक्स एक्स का निर्माण कर सकता है जिसका मौलिक समूह जी है। यह प्रमेय पहली बार 1957 में एनल्स ऑफ मैथेमैटिक्स में एक छोटे से पेपर में प्रकाशित हुआ था। परिभाषा समूह समरूपताः मान लीजिए कि यह एक समूह है और इसी के अनुरूप आइलेनबर्ग-मैक्लेन स्थान है। फिर हमारे पास निम्नलिखित एकवचन श्रृंखला परिसर है जो समूह वलय पर एक मुक्त संकल्प है (जहां एक तुच्छ-मॉड्यूल है): जहाँ का सार्वभौमिक आवरण है और एकवचन-श्रृंखला द्वारा उत्पन्न मुक्त अबेलियन समूह है। एक-मॉड्यूल में गुणांक के साथ समूह की समूह समरूपता गुणांक के साथ इस श्रृंखला परिसर की समरूपता है, और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है। कोहोमोलॉजिकल आयामः एक समूह में गुणांक के साथ कोहोमोलॉजिकल आयाम होता है (द्वारा निरूपित) यदि तथ्यः यदि अधिक से अधिक लंबाई का प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन है, यानी, तुच्छ मॉड्यूल के रूप में लंबाई का प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन अधिक से अधिक होता है यदि और केवल यदि सभी-मॉड्यूल और सभी के लिए। इसलिए, हमारे पास कोहोमोलॉजिकल आयाम की एक वैकल्पिक परिभाषा इस प्रकार है, गुणांक के साथ G का कोहोमोलॉजिकल आयाम सबसे छोटा n (संभवतः अनंत) है जैसे कि G का लंबाई n का प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन है, यानी, एक तुच्छ मॉड्यूल के रूप में लंबाई n का प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन है। आइलेनबर्ग-गेनिया प्रमेय मान लीजिए कि यह एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह है और एक पूर्णांक है। मान लीजिए कि गुणांक के साथ का कोहोमोलॉजिकल आयाम अधिक से अधिक है, अर्थात। फिर एक आयामी एसफेरिकल सी. डब्ल्यू. कॉम्प्लेक्स मौजूद है जिसका मौलिक समूह है, अर्थात। इस प्रमेय का कनवर्स कनवर्स सेलुलर होमोलॉजी का एक परिणाम है, और यह तथ्य कि प्रत्येक मुक्त मॉड्यूल प्रोजेक्टिव है। प्रमेयः मान लीजिए कि X एक एसफेरिकल n-आयामी CW कॉम्प्लेक्स है जिसमें π1 (X) = G है, फिर cdZ (G) ≤ n. संबंधित परिणाम और अनुमान n = 1 के लिए परिणाम समूहों के छोर के बारे में स्टैलिंग्स प्रमेय के परिणामों में से एक है। प्रमेयः कोहोमोलॉजिकल आयाम का प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न समूह मुक्त है। इस कथन को आइलेनबर्ग-गेनिया अनुमान के रूप में जाना जाता है। आइलेनबर्ग-गनेया अनुमानः यदि किसी समूह जी में समरूपी आयाम 2 है तो इसके साथ एक 2-आयामी एसफेरिकल सी. डब्ल्यू. कॉम्प्लेक्स एक्स है। यह ज्ञात है कि एक समूह जी के साथ, एक 3-आयामी एसफेरिकल सी. डब्ल्यू. कॉम्प्लेक्स एक्स के साथ मौजूद है। आइलेनबर्ग-गेनिया अनुमान समूह समरूपता समरूपता आयाम स्टैलिंग्स प्रमेय समूहों के अंत के बारे में भी देखें। केनेथ एस. ब्राउन, कोहोमोलॉजी ऑफ ग्रुप्स, 1982 के मूल, ग्रेजुएट टेक्स्ट्स इन मैथमेटिक्स, 87, स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क, 1994 का संशोधित पुनर्मुद्रण। बीजगणितीय टोपोलॉजी में समरूपीय बीजगणित प्रमेय