Sum of four cubes problem
चार घनों की समस्या का योग यह पूछता है कि क्या प्रत्येक पूर्णांक पूर्णांकों के चार घनों का योग है। यह अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर सकारात्मक है, लेकिन यह अनुमान न तो साबित हुआ है और न ही गलत। क्यूब्स के योग पर वारिंग की समस्या के विपरीत, कुछ क्यूब्स नकारात्मक संख्याएँ हो सकती हैं, जहाँ उन्हें सकारात्मक होना आवश्यक है। प्रतिस्थापन, और पहचान में पहचान की ओर ले जाता है जो दर्शाता है कि 6 का प्रत्येक पूर्णांक गुणक चार घनों का योग है। (अधिक आम तौर पर, एक ही प्रमाण से पता चलता है कि प्रत्येक रिंग में 6 का प्रत्येक गुणक चार क्यूब्स का योग है।) चूँकि प्रत्येक पूर्णांक अपने स्वयं के घन मापांक 6 के लिए सर्वांगसम है, इसलिए यह इस प्रकार है कि प्रत्येक परिमेय पूर्णांक पूर्णांकों के पाँच घनों का योग है। 1966 में, यह साबित किया गया कि कोई भी पूर्णांक जो न तो 4 के लिए सर्वांगसम है और न ही-4 मॉड्यूलो 9 के लिए, पूर्णांकों के चार घनों का योग है। इसके लिए, उन्होंने निम्नलिखित पहचानों का उपयोग कियाः और ये पहचान (और जो उनसे विपरीत पार करके प्राप्त की गई हैं) तुरंत दर्शाती हैं कि कोई भी पूर्णांक जो न तो 4 के लिए सर्वांगसम है और न ही-4 मॉड्यूलो 9 के लिए और न तो 2 के लिए सर्वांगसम है और न ही-2 मॉड्यूलो 18 के लिए सर्वांगसम है, परिमेय पूर्णांकों के चार घनों का योग है। अधिक सूक्ष्म तर्कों का उपयोग करते हुए, डेमजानेंको ने साबित किया कि 2 या-2 मॉडुलो 18 के लिए सर्वांगसम पूर्णांक भी पूर्णांकों के चार घनों का योग हैं। इसलिए समस्या केवल 4 या-4 मॉडुलो 9 के सर्वांगसम पूर्णांकों के लिए उत्पन्न होती है। एक उदाहरण है लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि इस तरह के प्रत्येक पूर्णांक को चार घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है या नहीं। 18x ± 2 मामला हेनरी कोहेन के डेमजानेंको के पेपर के अनुवाद के अनुसार, ये पहचान अपनी पूरक पहचान के साथ 108x ± 38 मामले को छोड़ देते हैं, जो प्रस्ताव को साबित करता है। वह अपने पेपर में 108x±38 मामले को भी साबित करता है। तीन घन टिप्पणियों और संदर्भों का योग भी देखें डायोफैंटाइन समीकरण गणित में अनसुलझी समस्याएं