Kummer configuration
ज्यामिति में, कुमेर विन्यास, जिसे अर्न्स्ट कुमेर के नाम से जाना जाता है, 16 बिंदुओं और 16 विमानों का एक ज्यामितीय विन्यास है जिसमें प्रत्येक बिंदु 6 विमानों पर स्थित होता है और प्रत्येक विमान में 6 बिंदु होते हैं। इसके अलावा, अंकों की प्रत्येक जोड़ी ठीक दो विमानों के साथ आपतित होती है, और हर दो विमान ठीक दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए विन्यास एक बाइप्लेन है, विशेष रूप से, एक 2-(16,6,2) डिज़ाइन। कुमेर सतह के 16 नोड्स और 16 ट्रॉप्स एक कुमेर विन्यास बनाते हैं। उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाले 16 तत्वों में से 16 अलग-अलग 6-समुच्चयों का चयन करने के लिए तीन अलग-अलग गैर-समरूपी तरीके हैं, यानी एक द्वि-तल बनाना। इन तीनों में से सबसे अधिक सममित कुमेर विन्यास है, जिसे 16 बिंदुओं पर "सबसे अच्छा बाइप्लेन" भी कहा जाता है। निर्माण जॉर्डन (1869) की विधि का पालन करते हुए, लेकिन एस्मस और सार्डी (1981) भी देखें, 4x4 ग्रिड में 16 बिंदुओं (जैसे संख्या 1 से 16) की व्यवस्था करें। प्रत्येक तत्व के लिए, एक ही पंक्ति में 3 अन्य बिंदुओं और एक ही कॉलम में 3 अन्य बिंदुओं को लें, और उन्हें 6-सेट में जोड़ें। यह प्रत्येक बिंदु के लिए एक 6-तत्व ब्लॉक बनाता है। एक ही पंक्ति या स्तंभ पर दो बिंदुओं पर विचार करें। उस पंक्ति या स्तंभ में दो अन्य बिंदु हैं जो दोनों प्रारंभिक बिंदुओं के लिए खंडों में दिखाई देते हैं, इसलिए वे खंड दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करते हैं। अब दो बिंदुओं पर विचार करें जो एक ही पंक्ति या स्तंभ में नहीं हैं। उनके संबंधित खंड दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करते हैं जो दो प्रारंभिक बिंदुओं के साथ एक आयत बनाते हैं। इस प्रकार सभी खंड दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करते हैं। उन प्रतिच्छेदन बिंदुओं के अनुरूप ब्लॉकों की जांच करने पर पता चलता है कि कोई भी दो प्रारंभिक बिंदु दो ब्लॉकों में मौजूद हैं। 16 बिंदुओं के ठीक 11520 क्रमपरिवर्तन हैं जो समान खंडों को वापस देते हैं। इसके अतिरिक्त, बिंदु लेबल के साथ ब्लॉक लेबल का आदान-प्रदान करने से आकार 2 का एक और ऑटोमोर्फिज्म प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 23040 ऑटोमोर्फिज्म होते हैं। क्लेन विन्यास संदर्भ विन्यास (ज्यामिति) बीजगणितीय ज्यामिति भी देखें।