Multiplication and repeated addition
गणित शिक्षा में, इस मुद्दे पर बहस हुई कि क्या गुणन के संचालन को बार-बार जोड़ के रूप में पढ़ाया जाना चाहिए। बहस में प्रतिभागियों ने कई दृष्टिकोण सामने लाए, जिनमें अंकगणित, शिक्षाशास्त्र, सीखने और निर्देशात्मक डिजाइन, गणित का इतिहास, गणित का दर्शन और कंप्यूटर आधारित गणित शामिल हैं। बहस की पृष्ठभूमि 1990 के दशक की शुरुआत में लेस्ली स्टेफ ने गणना योजना का प्रस्ताव रखा जिसका उपयोग बच्चे अपने गणितीय ज्ञान में गुणन को आत्मसात करने के लिए करते हैं। जेरे कॉन्फ्रे ने विभाजन अनुमान के साथ गणना योजना की तुलना की। कन्फ्रे ने सुझाव दिया कि गिनती और विभाजन दो अलग-अलग, स्वतंत्र संज्ञानात्मक आदिम हैं। इसने सम्मेलन प्रस्तुतियों, लेखों और पुस्तक अध्यायों के रूप में अकादमिक चर्चाओं को जन्म दिया। इस बहस की शुरुआत पाठ्यक्रम के व्यापक प्रसार के साथ हुई जिसमें प्रारंभिक वर्षों में स्केलिंग, ज़ूम, फोल्डिंग और गणितीय कार्यों को मापने पर जोर दिया गया था। इस तरह के कार्यों के लिए गुणन के मॉडल की आवश्यकता होती है और जो गणना या दोहराए गए जोड़ पर आधारित नहीं होते हैं। इस सवाल पर बहस होती है, "क्या गुणन वास्तव में दोहराया गया जोड़ है?" 1990 के दशक के मध्य में अभिभावक और शिक्षक चर्चा मंचों पर दिखाई दिया। कीथ डेवलिन ने "इट इज नॉट नो रिपीटेड एडिशन" शीर्षक से मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका का एक कॉलम लिखा, जो शिक्षकों के साथ उनके ईमेल आदान-प्रदान के बाद आया, जब उन्होंने पहले के एक लेख में इस विषय का संक्षेप में उल्लेख किया था। कॉलम ने अकादमिक बहसों को अभ्यासी बहसों से जोड़ा। इसने अनुसंधान और व्यवसायी ब्लॉगों और मंचों में कई चर्चाओं को जन्म दिया। कीथ डेवलिन ने इस विषय पर लिखना जारी रखा है। गणना से लेकर गुणन तक का शैक्षणिक दृष्टिकोण विशिष्ट गणित पाठ्यक्रम और मानकों में, जैसे कि सामान्य मूल राज्य मानक पहल, वास्तविक संख्याओं के उत्पाद का अर्थ आम तौर पर बार-बार जोड़ के साथ शुरू होने वाली धारणाओं की एक श्रृंखला के माध्यम से कदम उठाता है और अंततः स्केलिंग में रहता है। एक बार जब प्राकृतिक (या पूर्ण) संख्याओं को परिभाषित किया जाता है और गिनती के साधन के रूप में समझा जाता है, तो एक बच्चे को इस क्रम में अंकगणित के बुनियादी संचालन से परिचित कराया जाता हैः जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन। हालाँकि इन कार्यों को बच्चे की गणित शिक्षा के बहुत शुरुआती चरण में शुरू किया गया था, लेकिन छात्रों में उन्नत संख्यात्मक क्षमताओं के रूप में संख्या बोध के विकास पर स्थायी प्रभाव पड़ता है। इन पाठ्यक्रमों में, बार-बार जोड़ने से संबंधित प्रश्न पूछने के तुरंत बाद गुणन शुरू किया जाता है, जैसे किः "प्रत्येक में 8 सेब के 3 थैले होते हैं। कुल कितने सेब हैं? एक छात्र कर सकता हैः या विकल्प चुन सकता है यह दृष्टिकोण कई वर्षों के शिक्षण और सीखने के लिए समर्थित है, और इस धारणा को स्थापित करता है कि गुणन जोड़ने का एक अधिक कुशल तरीका है। एक बार जब 0 लाया जाता है, तो यह कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि जो कि 0 है, और कम्यूटेटिव गुण हमें परिभाषित करने के लिए भी प्रेरित करेगा। इस विश्वास के लिए पहली चुनौती कि गुणन बार-बार जोड़ है, तब प्रकट होती है जब छात्र अंशों के साथ काम करना शुरू करते हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, बार-बार जोड़ के रूप में गुणन को भिन्नों में बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, शाब्दिक रूप से "पाँच-छठे में से एक और तीन-चौथाई" के लिए कहा जाता है। यह बाद में महत्वपूर्ण है क्योंकि छात्रों को सिखाया जाता है कि, शब्द समस्याओं में, "का" शब्द आमतौर पर एक गुणन को इंगित करता है। हालाँकि, यह विस्तार कई छात्रों के लिए समस्याग्रस्त है, जो भिन्नों को पेश किए जाने पर गणित के साथ संघर्ष करना शुरू कर देते हैं। इसके अलावा, अपरिमेय संख्याओं को लागू करने पर दोहराए गए जोड़ मॉडल को काफी हद तक संशोधित किया जाना चाहिए। इन मुद्दों के संबंध में, गणित के शिक्षकों ने इस बात पर बहस की है कि क्या भिन्नों और अपरिमेय संख्याओं के साथ छात्रों की कठिनाइयों को इन संख्याओं को पेश करने से पहले लंबे समय तक गुणा को बार-बार जोड़ के रूप में देखने से बढ़ाया जाता है, और संबंधित रूप से क्या प्राथमिक शिक्षा के लिए कठोर गणित को महत्वपूर्ण रूप से संशोधित करना स्वीकार्य है, जिससे बच्चे उन बयानों पर विश्वास करते हैं जो बाद में गलत साबित होते हैं। स्केलिंग से गुणा तक सीखने के गुणन का एक सिद्धांत वायगोत्स्की सर्कल में रूसी गणित शिक्षकों के काम से निकला है जो विश्व युद्धों के बीच सोवियत संघ में सक्रिय था। उनके योगदान को विभाजन अनुमान के रूप में जाना जाता है। सीखने के गुणन का एक अन्य सिद्धांत मूर्त अनुभूति का अध्ययन करने वालों से निकला है, जिन्होंने गुणन के लिए अंतर्निहित रूपकों की जांच की। इन जांचों ने मिलकर छोटे बच्चों के लिए "स्वाभाविक रूप से गुणक" कार्यों के साथ पाठ्यक्रम को प्रेरित किया है। इन कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैंः लोचदार खिंचाव, ज़ूम, तह, छाया को प्रक्षेपित करना, या छाया को छोड़ना। ये कार्य गिनती पर निर्भर नहीं करते हैं, और बार-बार जोड़ने के संदर्भ में आसानी से अवधारणा नहीं की जा सकती है। इन पाठ्यक्रमों से संबंधित बहस के मुद्दों में शामिल हैंः किसे कई गुना किया जा सकता है? गुणन को अक्सर प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाता है, फिर पूर्ण संख्या, अंश और अपरिमेय संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है। हालाँकि, अमूर्त बीजगणित में कुछ वस्तुओं पर द्विआधारी क्रिया के रूप में गुणन की अधिक सामान्य परिभाषा है जो संख्याएँ हो भी सकती हैं और नहीं भी। विशेष रूप से, कोई भी जटिल संख्याओं, वैक्टरों, मैट्रिक्स और चतुर्थक को गुणा कर सकता है। कुछ शिक्षकों का मानना है कि प्राथमिक शिक्षा के दौरान गुणन को विशेष रूप से बार-बार जोड़ के रूप में देखना गुणन के इन पहलुओं की बाद की समझ में हस्तक्षेप कर सकता है। मॉडल और रूपक जो आधार गुणन गणित शिक्षा के संदर्भ में, मॉडल अमूर्त गणितीय विचारों के ठोस प्रतिनिधित्व हैं जो विचार के कुछ, या सभी, आवश्यक गुणों को दर्शाते हैं। मॉडल को अक्सर भौतिक या आभासी जोड़-तोड़ और उनके साथ आने वाली पाठ्य सामग्री के रूप में विकसित किया जाता है। गुणा और बार-बार जोड़ के बारे में बहस का एक हिस्सा विभिन्न मॉडलों और उनकी पाठ्यक्रम सामग्री की तुलना है। अलग-अलग मॉडल विभिन्न प्रकार की संख्याओं के गुणन का समर्थन कर सकते हैं या नहीं भी कर सकते हैं; उदाहरण के लिए सेट मॉडल जिसमें संख्याओं को वस्तुओं के संग्रह के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और प्रत्येक में समान संख्या में वस्तुओं के साथ कई सेटों के संघ के रूप में गुणन, को भिन्नात्मक या वास्तविक संख्याओं के गुणन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। विभिन्न मॉडल अंकगणित के विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए भी प्रासंगिक हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, संभावना और जीव विज्ञान में संयोजन मॉडल सामने आते हैं। संदर्भ गणित शिक्षा