Mixtilinear incircles of a triangle
समतल ज्यामिति में, एक त्रिभुज का एक मिश्रित-रेखीय अंतःवृत्त एक वृत्त है जो इसकी दो भुजाओं के लिए स्पर्शरेखा है और आंतरिक रूप से इसकी परिधि के लिए स्पर्शरेखा है। शीर्ष वाले दोनों पक्षों के लिए एक त्रिभुज स्पर्शरेखा के मिश्रित-रैखिक अंतःवृत्त को-मिश्र-रैखिक अंतःवृत्त कहा जाता है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन अद्वितीय मिश्रित-रेखीय अंतःवृत्त होते हैं, जिनमें से एक प्रत्येक शीर्ष के अनुरूप होता है। अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमाण त्रिभुज का-वृत्त अद्वितीय है। मान लीजिए कि त्रिज्या के साथ केंद्रित एक व्युत्क्रम की संरचना और कोण द्विभाजक के संबंध में एक परावर्तन द्वारा परिभाषित एक परिवर्तन है। चूँकि व्युत्क्रम और परावर्तन बाइजेक्टिव होते हैं और स्पर्श करने वाले बिंदुओं को संरक्षित करते हैं, तो यह भी करता है। फिर, नीचे के-वृत्त की छवि आंतरिक रूप से भुजाओं के लिए स्पर्शरेखा वृत्त है और इसकी परिधि, यानी-मिश्रित अंतःवृत्त है। इसलिए,-मिश्ररेखीय अंतःवृत्त मौजूद है और अद्वितीय है, और एक समान तर्क और के अनुरूप मिश्ररेखीय अंतःवृत्त के लिए समान साबित हो सकता है। निर्माण-मिश्रित अंतःवृत्त का निर्माण निम्नलिखित चरणों के क्रम के साथ किया जा सकता है। द्विभाजक कोण को काटकर प्रेरक को आरेखित करें। रेखा के लंबवत, रेखाओं को छूते हुए और क्रमशः बिंदुओं पर एक रेखा खींचें। ये मिश्ररेखीय वृत्त के स्पर्श बिन्दु हैं। बिन्दुओं पर और उनके माध्यम से और क्रमशः लंबवत बनाएँ, और उन्हें प्रतिच्छेद करें। वृत्त का केंद्र है, इसलिए केंद्र और त्रिज्या वाला एक वृत्त मिश्ररेखीय अंतःवृत्त है यह निर्माण निम्नलिखित तथ्य के कारण संभव हैः लेम्मा प्रेरक दोनों पक्षों के साथ मिश्ररेखीय अंतःवृत्त के स्पर्श बिंदुओं का मध्य बिंदु है। प्रमाण मान लीजिए कि यह त्रिभुज का परिधि वृत्त है और यह-मिश्रित अंतःवृत्त का स्पर्श बिन्दु है। मान लीजिए कि यह रेखा का प्रतिच्छेदन है और रेखा का प्रतिच्छेदन है। बीच में केंद्र के साथ समरूपता का अर्थ है कि वे क्रमशः चापों के मध्य बिंदु हैं। उत्कीर्ण कोण प्रमेय का तात्पर्य है कि और ये संरेखीय बिंदुओं के तीन गुना हैं। षट्कोण पर पास्कल के प्रमेय का तात्पर्य है कि वे संरेखीय हैं। चूँकि कोण और कोण बराबर हैं, इसलिए यह खंड का मध्य बिंदु है। त्रिज्या के अन्य गुण निम्नलिखित सूत्र एक त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या और-मिश्रित अंतः वृत्त की त्रिज्या से संबंधित हैः जहाँ कोण का परिमाण है। वृत्त के बिंदुओं के साथ संबंध चाप का मध्य बिंदु जिसमें बिंदु होता है वह रेखा पर होता है। चतुर्भुज हार्मोनिक है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज पर एक समरूपी है। वृत्त के साथ स्पर्शता बिंदु से संबंधित वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज हैं। सर्पिल समानता एक सर्पिल समानता का केंद्र है जो क्रमशः मानचित्रित होती है। तीन मिश्रित-रेखीय अंतःवृत्तों के बीच संबंध शीर्षों और मिश्रित-रेखीय स्पर्शता बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं एक शीर्ष को संबंधित मिश्रित-रेखीय अंतःवृत्त के साथ परिधि के संपर्क बिंदु तक जोड़ने वाली तीन रेखाएं अंतःवृत्त और परिधि के समानता के बाहरी केंद्र में मिलती हैं। त्रिभुज केंद्रों का ऑनलाइन विश्वकोश इस बिंदु को एक्स (56) के रूप में सूचीबद्ध करता है। यह त्रिकोणीय निर्देशांक और बेरीसेंट्रिक निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया गया है जो मूल केंद्र है तीन मिश्रित-रेखीय अंतःवृत्त का मूल केंद्र वह बिंदु है जो इस अनुपात में विभाजित होता है जहां क्रमशः प्रेरक, त्रिज्या, परिधि और परिधि होते हैं। संदर्भ यूक्लिडियन समतल ज्यामिति