Rayleigh–Plesset equation
द्रव यांत्रिकी में, रेले-प्लेसेट समीकरण या बेसेंट-रेले-प्लेसेट समीकरण एक अरैखिक साधारण विभेदक समीकरण है जो असंपीड़ित द्रव के अनंत शरीर में एक गोलाकार बुलबुले की गतिशीलता को नियंत्रित करता है। इसका सामान्य रूप आमतौर पर लिखा जाता है जहां आसपास के तरल का घनत्व है, माना जाता है कि बुलबुला की त्रिज्या आसपास के तरल की गतिज चिपचिपाहट है, माना जाता है कि बुलबुला-तरल इंटरफेस का सतह तनाव स्थिर है, जिसमें, बुलबुला के भीतर का दबाव है, जिसे समान माना जाता है और बाहरी दबाव बुलबुला से असीम रूप से दूर है बशर्ते कि ज्ञात हो और दिया जाए, रेले-प्लेसेट समीकरण का उपयोग समय-भिन्न बुलबुला त्रिज्या के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है। रेले-प्लेसेट समीकरण गोलाकार समरूपता की धारणा के तहत नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से लिया गया है। सतह के तनाव और चिपचिपाहट को नजरअंदाज करते हुए, समीकरण पहली बार डब्ल्यू. एच. बेसेंट द्वारा अपनी 1859 की पुस्तक में समस्या कथन के साथ व्युत्पन्न किया गया था, जिसमें कहा गया था कि किसी भी बल द्वारा कार्य किए गए सजातीय असंपीड़ित तरल पदार्थ का एक अनंत द्रव्यमान आराम में नहीं है, और तरल पदार्थ का एक गोलाकार हिस्सा अचानक नष्ट हो जाता है; द्रव्यमान के किसी भी बिंदु पर दबाव के तत्काल परिवर्तन का पता लगाने की आवश्यकता होती है, और जिस समय गुहा भरी जाएगी, अनंत दूरी पर दबाव स्थिर रहना चाहिए (वास्तव में, बेसेंट इस समस्या का श्रेय 1847 की कैम्ब्रिज सीनेट-हाउस समस्याओं को देते हैं)। बेसेंट ने प्रारंभिक त्रिज्या की एक खाली गुहा को भरने के लिए आवश्यक समय की भविष्यवाणी की कि लॉर्ड रेले ने ऊर्जा संरक्षण के आधार पर उसी परिणाम की एक सरल व्युत्पत्ति पाई। इनरशिंग द्रव की गतिज ऊर्जा वह जगह है जहाँ शून्य की समय-निर्भर त्रिज्या है, और वहाँ द्रव का रेडियल वेग है। अनन्त पर दबाव डालने वाले द्रव द्वारा किया गया कार्य है, और इन दोनों ऊर्जाओं की बराबरी करने से और के बीच एक संबंध मिलता है। फिर, यह देखते हुए कि चर का पृथक्करण बेसेंट का परिणाम देता है। रेले ने गामा कार्यों के संदर्भ में समाकलन (यूलर के बीटा कार्य) का मूल्यांकन करने में बेसेंट से आगे बढ़कर काम किया। रेले ने गैस को संपीड़ित करने के काम के लिए एक शब्द को शामिल करके एक आदर्श गैस (एक बुलबुला) से भरे गुहा के मामले में इस दृष्टिकोण को अनुकूलित किया। पूरी तरह से खाली शून्य के मामले में, रेले ने निर्धारित किया कि त्रिज्या पर द्रव में दबाव इसके द्वारा दिया जाता है। जब शून्य अपने प्रारंभिक आयतन का कम से कम एक चौथाई होता है, तो दबाव अनंत से शून्य पर नीरस रूप से कम हो जाता है। जैसे-जैसे शून्य और सिकुड़ता जाता है, दबाव अधिकतम होता जाता है, जो बहुत तेजी से बढ़ने और शून्य पर अभिसरण करने पर दिखाई देता है। समीकरण को पहली बार 1949 में मिल्टन एस. प्लेसेट द्वारा सतह तनाव के प्रभावों को शामिल करके यात्रा कैविटेशन बुलबुले पर लागू किया गया था। व्युत्पत्ति रेले-प्लेसेट समीकरण को पूरी तरह से गतिशील पैरामीटर के रूप में बुलबुला त्रिज्या का उपयोग करके पहले सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है। समय-निर्भर त्रिज्या के साथ एक गोलाकार बुलबुले पर विचार करें, जहाँ समय है। मान लीजिए कि बुलबुले में एक समान तापमान और दबाव के साथ एक समान रूप से वितरित वाष्प/गैस होती है। बुलबुले के बाहर स्थिर घनत्व और गतिशील चिपचिपाहट के साथ तरल का एक अनंत क्षेत्र होता है। तापमान और दबाव को बुलबुले से दूर और रहने दें। तापमान स्थिर माना जाता है। बुलबुला के केंद्र से एक रेडियल दूरी पर, अलग-अलग तरल गुण दबाव, तापमान और रेडियल रूप से बाहरी वेग हैं। ध्यान दें कि इन तरल गुणों को केवल बुलबुले के बाहर परिभाषित किया गया है। द्रव्यमान संरक्षण द्रव्यमान के संरक्षण द्वारा, व्युत्क्रम-वर्ग नियम के लिए आवश्यक है कि रेडियल रूप से बाहरी वेग मूल (बुलबुले के केंद्र) से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होना चाहिए। इसलिए, समय का कुछ कार्य होने दें, बुलबुले की सतह पर शून्य द्रव्यमान परिवहन के मामले में, इंटरफेस पर वेग होना चाहिए जो देता है कि उस मामले में जहां द्रव्यमान परिवहन होता है, बुलबुले के अंदर द्रव्यमान वृद्धि की दर बुलबुले की मात्रा होने के साथ दी जाती है। यदि बुलबुला के सापेक्ष तरल का वेग है, तो बुलबुला में प्रवेश करने वाला द्रव्यमान बुलबुला के सतह क्षेत्र के रूप में दिया जाता है। अब द्रव्यमान के संरक्षण द्वारा, इसलिए। इसलिए कई मामलों में, तरल घनत्व वाष्प घनत्व की तुलना में बहुत अधिक होता है, इसलिए इसे मूल शून्य द्रव्यमान हस्तांतरण रूप से अनुमानित किया जा सकता है, ताकि संवेग संरक्षण यह मानते हुए कि तरल एक न्यूटोनियन तरल पदार्थ है, रेडियल दिशा में गति के लिए गोलाकार निर्देशांक में असंपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण प्रतिस्थापन गतिज चिपचिपाहट देता है और पुनर्व्यवस्था देता है जिससे द्रव्यमान संरक्षण पैदावार से प्रतिस्थापन होता है ध्यान दें कि चिपचिपा शब्द प्रतिस्थापन के दौरान रद्द हो जाते हैं। चर को अलग करना और बुलबुले की सीमा से एकीकृत करना सीमा की स्थिति देता है आइए तरल में सामान्य तनाव हो जो बुलबुले के केंद्र से रेडियल रूप से बाहर की ओर इंगित करता है। गोलाकार निर्देशांक में, स्थिर घनत्व और निरंतर चिपचिपाहट वाले तरल पदार्थ के लिए, इसलिए बुलबुले की सतह के कुछ छोटे हिस्से पर, लैमिना पर कार्य करने वाले प्रति इकाई क्षेत्र में शुद्ध बल वह जगह है जहाँ सतह का तनाव होता है। यदि सीमा के पार कोई द्रव्यमान स्थानांतरण नहीं होता है, तो प्रति इकाई क्षेत्र में यह बल शून्य होना चाहिए, इसलिए गति संरक्षण का परिणाम तब होता है जब समय के संबंध में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए डॉट नोटेशन का उपयोग करके रेले-प्लेसेट समीकरण को रेले-प्लेसेट समीकरण देता है। हाल ही में, खाली और गैस से भरे बुलबुले दोनों के लिए रेले-प्लेसेट समीकरण के लिए विश्लेषणात्मक बंद-रूप समाधान पाए गए और एन-आयामी मामले में सामान्यीकृत किए गए। उस मामले का भी अध्ययन किया गया जब केशिका के प्रभावों के कारण सतह का तनाव मौजूद होता है। इसके अलावा, विशेष मामले के लिए जहां सतह तनाव और चिपचिपाहट की उपेक्षा की जाती है, उच्च-क्रम विश्लेषणात्मक सन्निकटन भी ज्ञात हैं। स्थैतिक मामले में, रेले-प्लेसेट समीकरण सरल हो जाता है, जिससे यंग-लाप्लास समीकरण प्राप्त होता हैः जब बुलबुला त्रिज्या और दबाव में केवल असीम आवधिक भिन्नताओं पर विचार किया जाता है, तो आरपी समीकरण भी बुलबुला दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति की अभिव्यक्ति प्रदान करता है। संदर्भ द्रव गतिकी द्रव गतिकी के समीकरण साधारण विभेदक समीकरण