Posterior predictive distribution
बायेसियन सांख्यिकी में, पश्च भविष्यसूचक वितरण अवलोकन किए गए मूल्यों पर सशर्त संभावित अवलोकन न किए गए मूल्यों का वितरण है। एन. आई. डी. का एक सेट दिया गया है। अवलोकन, एक वितरण से एक नया मान खींचा जाएगा जो एक पैरामीटर पर निर्भर करता है, जहां पैरामीटर स्थान है। यह एक सबसे अच्छा अनुमान लगाने के लिए लुभावना लग सकता है, लेकिन यह अनिश्चितता की अनदेखी करता है, और क्योंकि अनिश्चितता के स्रोत को नजरअंदाज कर दिया जाता है, भविष्यसूचक वितरण बहुत संकीर्ण होगा। एक और तरीके से कहें तो, के चरम मूल्यों की भविष्यवाणियों की संभावना कम होगी, अगर उनके पश्च वितरण द्वारा दिए गए मापदंडों में अनिश्चितता का हिसाब रखा जाए। एक पश्च भविष्यसूचक वितरण के बारे में अनिश्चितता के लिए जिम्मेदार है। संभावित मूल्यों का उत्तरवर्ती वितरण इस पर निर्भर करता हैः और दिए गए के उत्तरवर्ती भविष्यसूचक वितरण की गणना दिए गए के उत्तरवर्ती वितरण पर दिए गए वितरण को हाशिए पर रखकर की जाती हैः क्योंकि यह अनिश्चितता के लिए जिम्मेदार है, उत्तरवर्ती भविष्यसूचक वितरण सामान्य रूप से एक भविष्यसूचक वितरण की तुलना में व्यापक होगा जो एक एकल सर्वोत्तम अनुमान में प्लग करता है। पूर्व बनाम पश्च भविष्यसूचक वितरण पूर्व भविष्यसूचक वितरण, एक बायेसियन संदर्भ में, एक डेटा बिंदु का वितरण है जो इसके पूर्व वितरण पर हाशिए पर है। अर्थात्, यदि और, तो पूर्व प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन संबंधित डिस्ट्रीब्यूशन है, जहां यह पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन के समान है, सिवाय इसके कि मार्जिनलाइजेशन (या समकक्ष, अपेक्षा) को पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन के बजाय पूर्व डिस्ट्रीब्यूशन के संबंध में लिया जाता है। इसके अलावा, यदि पूर्व वितरण एक संयुग्म पूर्व है, तो पश्च भविष्यसूचक वितरण पूर्व भविष्यसूचक वितरण के रूप में वितरण के उसी परिवार से संबंधित होगा। यह आसानी से देखा जा सकता है। यदि पूर्व वितरण संयुग्म है, तो अर्थात। पश्च वितरण भी मूल पैरामीटर के बजाय एक अलग पैरामीटर के साथ संबंधित है, इसलिए, पश्च प्रेडिक्टिव वितरण पूर्व प्रेडिक्टिव वितरण के समान वितरण एच का अनुसरण करता है, लेकिन पूर्व के लिए प्रतिस्थापित हाइपरपैरामेटर्स के पश्च मूल्यों के साथ। पूर्व भविष्यसूचक वितरण एक यौगिक वितरण के रूप में होता है, और वास्तव में इसका उपयोग अक्सर एक यौगिक वितरण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि डेटा पर निर्भरता और संयुग्मता के मुद्दे जैसे किसी भी जटिल कारक की कमी होती है। उदाहरण के लिए, छात्र के टी-वितरण को ज्ञात माध्य μ लेकिन अज्ञात विचरण σx2 के साथ एक सामान्य वितरण के पूर्व भविष्यसूचक वितरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें एक संयुग्म पूर्व स्केल-व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण को σx2 पर रखा जाता है, जिसमें अतिमानक ν और σ2 होते हैं। परिणामी यौगिक वितरण वास्तव में एक गैर-मानकीकृत छात्र का टी-वितरण है, और इस वितरण के दो सबसे आम मापदंडों में से एक का पालन करता है। फिर, संबंधित पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन फिर से स्टूडेंट टी होगा, जिसमें अपडेटेड हाइपरपैरामीटर जो पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन में दिखाई देते हैं, वे भी सीधे पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन में दिखाई देते हैं। कुछ मामलों में उपयुक्त यौगिक वितरण को एक अलग मापदंड का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है जो वर्तमान समस्या में भविष्यसूचक वितरण के लिए सबसे स्वाभाविक होगा। अक्सर इसका परिणाम यह होता है कि यौगिक वितरण को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला पूर्व वितरण वर्तमान समस्या में उपयोग किए जाने वाले वितरण से अलग होता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर बताया गया है, छात्र के टी-वितरण को भिन्नता पर रखे गए स्केल-इनवर्स-ची-स्क्वायर वितरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया था। हालांकि, इस स्थिति में पहले संयुग्म के रूप में एक व्युत्क्रम गामा वितरण का उपयोग करना अधिक आम है। पैरामीटराइजेशन को छोड़कर दोनों वास्तव में समकक्ष हैं; इसलिए, छात्र के टी-वितरण का उपयोग अभी भी भविष्यसूचक वितरण के लिए किया जा सकता है, लेकिन हाइपरपैरामीटर्स को प्लग करने से पहले पुनर्निर्धारित किया जाना चाहिए। घातीय परिवारों में अधिकांश, लेकिन सभी नहीं, वितरण के सामान्य परिवार घातीय परिवार हैं। घातीय परिवारों में बड़ी संख्या में उपयोगी गुण होते हैं। इनमें से एक यह है कि सभी सदस्यों के संयुग्म पूर्व वितरण होते हैं-जबकि बहुत कम अन्य वितरणों में संयुग्म प्रायर होते हैं। घातीय परिवारों में पूर्व भविष्यसूचक वितरण एक अन्य उपयोगी गुण यह है कि संयुग्म पूर्व वितरण पर हाशिए पर एक घातीय परिवार वितरण के पूर्व भविष्यसूचक वितरण के अनुरूप यौगिक वितरण के संभाव्यता घनत्व कार्य को विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। मान लीजिए कि वह परिमापक के साथ घातीय परिवार का एक सदस्य है जिसे प्राकृतिक परिमापक के अनुसार मानकीकृत किया जाता है, और इसे पहले उपयुक्त संयुग्म के रूप में वितरित किया जाता है, फिर पूर्व भविष्यसूचक वितरण (के साथ यौगिक का परिणाम) है। अतः एकीकरण का परिणाम सामान्यीकरण फलन का पारस्परिक होगा। उपरोक्त परिणाम, जैसा कि कोई नहीं, और प्रकट होता है, के मापदंड निर्धारण के विकल्प से स्वतंत्र है। (यह पैरामीटर का एक कार्य है और इसलिए यह पैरामीटर के चयन के आधार पर विभिन्न रूप धारण करेगा।) और के मानक विकल्पों के लिए, प्राकृतिक मापदंडों के संदर्भ में फिर से लिखने के बजाय सामान्य मापदंडों के साथ सीधे काम करना अक्सर आसान होता है। समाकलन ट्रैक्टेबल होने का कारण यह है कि इसमें पूर्व वितरण और संभावना के उत्पाद द्वारा परिभाषित घनत्व के सामान्यीकरण स्थिरांक की गणना करना शामिल है। जब दोनों संयुग्मित होते हैं, तो उत्पाद एक पश्च वितरण होता है, और धारणा से, इस वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक ज्ञात होता है। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यौगिक वितरण का घनत्व फलन एक विशेष रूप का अनुसरण करता है, जिसमें उस फलन का उत्पाद होता है जो घनत्व फलन का हिस्सा बनता है, सामान्यीकरण "स्थिरांक" के दो रूपों के भागफल के साथ, एक पूर्व वितरण से प्राप्त होता है और दूसरा पश्च वितरण से। बीटा-द्विपद वितरण इस बात का एक अच्छा उदाहरण है कि यह प्रक्रिया कैसे काम करती है। इस तरह के वितरण की विश्लेषणात्मक ट्रैक्टेबिलिटी के बावजूद, वे अपने आप में आमतौर पर घातीय परिवार के सदस्य नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, तीन-पैरामीटर छात्र का टी वितरण, बीटा-द्विपद वितरण और डिरिचलेट-बहुपद वितरण सभी घातीय-परिवार वितरण (सामान्य वितरण, द्विपद वितरण और बहुपद वितरण, क्रमशः) के भविष्यसूचक वितरण हैं, लेकिन कोई भी घातीय परिवार के सदस्य नहीं हैं। यह ऊपर कार्यात्मक निर्भरता की उपस्थिति के कारण देखा जा सकता है। एक घातीय-परिवार वितरण में, पूरे घनत्व फलन को तीन प्रकार के गुणक कारकों में अलग करना संभव होना चाहिएः (1) केवल चर वाले कारक, (2) केवल मापदंड वाले कारक, और (3) ऐसे कारक जिनका लघुगणक चर और मापदंडों के बीच गुणनखंडन करता है। की उपस्थिति इसे तब तक असंभव बनाती है जब तक कि "सामान्यीकरण" कार्य या तो संबंधित तर्क को पूरी तरह से अनदेखा नहीं करता है या इसे केवल एक अभिव्यक्ति के प्रतिपादक में उपयोग नहीं करता है। घातीय परिवारों में पश्च भविष्यसूचक वितरण जब एक संयुग्म पूर्व का उपयोग किया जा रहा है, तो पश्च भविष्यसूचक वितरण पूर्व भविष्यसूचक वितरण के रूप में उसी परिवार से संबंधित है, और केवल पूर्व भविष्यसूचक वितरण के लिए सूत्र में मापदंडों के पश्च वितरण के लिए अद्यतन अतिमानकों को जोड़कर निर्धारित किया जाता है। घातीय-परिवार वितरण के लिए उत्तरवर्ती अद्यतन समीकरणों के सामान्य रूप का उपयोग करते हुए (घातीय परिवार लेख में उपयुक्त खंड देखें), हम उत्तरवर्ती भविष्यसूचक वितरण के लिए एक स्पष्ट सूत्र लिख सकते हैंः जहां यह दर्शाता है कि टिप्पणियों की एक श्रृंखला का उत्तरवर्ती भविष्यसूचक वितरण, उस मामले में जहां अवलोकन पहले उपयुक्त संयुग्म के साथ एक घातीय परिवार का अनुसरण करते हैं, में यौगिक वितरण के समान संभावना घनत्व होता है, जैसा कि ऊपर निर्दिष्ट मापदंडों के साथ होता है। प्रेक्षण स्वयं केवल इस रूप में दर्ज होते हैं इसे प्रेक्षणों का पर्याप्त आँकड़ा कहा जाता है, क्योंकि यह हमें उन प्रेक्षणों के बारे में वह सब कुछ बताता है जो हमें उनके आधार पर एक पश्च या पश्च भविष्यसूचक वितरण की गणना करने के लिए जानने की आवश्यकता है (या, उस मामले के लिए, प्रेक्षणों की संभावना के आधार पर कुछ और, जैसे कि सीमांत संभावना)। संयुक्त भविष्यसूचक वितरण, सीमांत संभावना एक साझा पैरामीटर पर पूर्व वितरण के साथ स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित नमूनों की एक निश्चित संख्या पर एक संयुक्त वितरण के यौगिक के परिणाम पर विचार करना भी संभव है। बायेसियन सेटिंग में, यह विभिन्न संदर्भों में सामने आता हैः कई नए अवलोकनों के पूर्व या पश्च भविष्यसूचक वितरण की गणना करना, और अवलोकन किए गए डेटा (बेयस के नियम में भाजक) की सीमांत संभावना की गणना करना। जब नमूनों का वितरण घातीय परिवार से होता है और पूर्व वितरण संयुग्म होता है, तो परिणामी यौगिक वितरण ट्रैक्टेबल होगा और उपरोक्त अभिव्यक्ति के समान रूप का पालन करेगा। वास्तव में, यह दिखाना आसान है कि अवलोकनों के लिए एक समूह का संयुक्त यौगिक वितरण है यह परिणाम और एकल यौगिक वितरण के लिए उपरोक्त परिणाम एक वेक्टर-मूल्यवान अवलोकन पर वितरण के मामले में तुच्छ रूप से विस्तारित होता है, जैसे कि एक बहुभिन्नरूपी गौसी वितरण। गिब्स सैंपलिंग से संबंध एक ध्वस्त गिब्स सैंपलर में एक नोड को बाहर निकालना चक्रवृद्धि के बराबर है। नतीजतन, जब स्वतंत्र का एक समूह समान रूप से वितरित (यानी) सभी नोड एक ही पूर्व नोड पर निर्भर करते हैं, और उस नोड को ध्वस्त कर दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक नोड की सशर्त संभावना दूसरों के साथ-साथ ध्वस्त नोड के माता-पिता (लेकिन किसी अन्य नोड पर कंडीशनिंग नहीं, उदाहरण के लिए। कोई भी चाइल्ड नोड्स) सभी शेष यानी डी के पोस्टीरियर प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन के समान है। नोड्स (या अधिक सही ढंग से, पूर्व में अर्थात। नोड्स, क्योंकि ढहने से नोड्स के बीच निर्भरता का परिचय होता है)। अर्थात्, नोड के सभी माता-पिता को सीधे सभी बच्चों से जोड़कर, और प्रत्येक बच्चे के साथ जुड़े पूर्व सशर्त संभाव्यता वितरण को उसके माता-पिता पर और दूसरे के लिए संबंधित पश्च भविष्यसूचक वितरण के साथ प्रतिस्थापित करके एक नोड से बाहर निकलने को लागू करना आम तौर पर संभव है। नोड्स जो हटाए गए नोड के बच्चे भी थे। उदाहरण के लिए, अधिक विशिष्ट चर्चा के लिए और कुछ जटिल मुद्दों के बारे में कुछ सावधानियों के लिए, डिरिचलेट-मल्टीनोमियल डिस्ट्रीब्यूशन लेख देखें। यह भी देखें कि विश्वसनीयता सिद्धांत यौगिक संभाव्यता वितरण पूर्वानुमान सीमांत संभाव्यता संदर्भ आगे पढ़ने के लिए संभाव्यता वितरण का सिद्धांत बायेसियन सांख्यिकी