Topographic Rossby waves
स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें भूभौतिकीय तरंगें हैं जो तल की अनियमितताओं के कारण बनती हैं। महासागरीय गतिकी के लिए, नीचे की अनियमितताएँ समुद्र तल पर होती हैं जैसे कि मध्य-महासागर कटक। वायुमंडलीय गतिकी के लिए, भूभौतिकीय द्रव गतिकी की अन्य प्राथमिक शाखा, नीचे की अनियमितताएं भूमि पर पाई जाती हैं, उदाहरण के लिए पहाड़ों के रूप में। स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें दो प्रकार की भूभौतिकीय तरंगों में से एक हैं जिनका नाम मौसम विज्ञानी कार्ल-गुस्ताफ रॉस्बी के नाम पर रखा गया है। अन्य प्रकार की रॉस्बी तरंगों को ग्रहों की रॉस्बी तरंगें कहा जाता है और उनकी एक अलग भौतिक उत्पत्ति होती है। ग्रहों की रॉस्बी तरंगें पृथ्वी पर बदलते कोरिओलिस मापदंड के कारण बनती हैं। रॉस्बी तरंगें अर्ध-भूस्थैतिक, फैलाव तरंगें होती हैं। इसका मतलब है कि न केवल कोरिओलिस बल और दबाव-प्रवणता बल प्रवाह को प्रभावित करते हैं, जैसा कि भूस्थैतिक प्रवाह में होता है, बल्कि जड़ता भी। भौतिक व्युत्पत्ति यह खंड गणितीय रूप से सबसे सरल स्थिति का वर्णन करता है जहां स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें बनती हैंः एक समान तल ढलान। उथले जल समीकरण एक निर्देशांक प्रणाली को पूर्व दिशा में x, उत्तर दिशा में y और पृथ्वी की सतह से दूरी के रूप में z के साथ परिभाषित किया गया है। निर्देशांकों को पृथ्वी की सतह पर एक निश्चित संदर्भ निर्देशांक से एक संदर्भ अक्षांश और एक औसत संदर्भ परत मोटाई के साथ मापा जाता है। व्युत्पत्ति उथले जल समीकरणों से शुरू होती हैः जहाँ उपरोक्त समीकरण में, घर्षण (चिपचिपा खिंचाव और गतिज चिपचिपाहट) की उपेक्षा की जाती है। इसके अलावा, एक स्थिर कोरिओलिस पैरामीटर ("एफ-प्लेन सन्निकटन") माना जाता है। उथले जल समीकरणों के पहले और दूसरे समीकरण को क्रमशः क्षेत्रीय और मेरिडियनल संवेग समीकरण कहा जाता है, और तीसरा समीकरण निरंतरता समीकरण है। उथले जल समीकरण एक सजातीय और बैरोट्रॉपिक द्रव मानते हैं। सरलता के लिए, प्रणाली एक कमजोर और समान तल ढलान के माध्यम से सीमित है जो y-अक्ष के साथ संरेखित है, जो बदले में ग्रहों की रॉस्बी तरंगों के साथ परिणामों की बेहतर तुलना करने में सक्षम बनाता है। एक अबाधित द्रव के लिए औसत परत की मोटाई को तब परिभाषित किया जाता है कि नीचे की ढलान, स्थलाकृतिक पैरामीटर और गति की क्षैतिज लंबाई का पैमाना कहाँ है। स्थलाकृतिक मापदंड पर प्रतिबंध इस बात की गारंटी देता है कि नीचे की ओर एक कमजोर अनियमितता है। स्थानीय और तात्कालिक द्रव की मोटाई को उथले जल समीकरणों के निरंतरता समीकरण में इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके लिखा जा सकता है। समीकरणों के सेट को समीकरणों का एक सेट प्राप्त करने के लिए रैखिक बनाया जाता है जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल करना आसान होता है। यह एक रॉस्बी संख्या आरओ (= एडवेक्शन/कोरियोलिस बल) को मानकर किया जाता है, जो अस्थायी रॉस्बी संख्या आरओटी (= जड़ता/कोरियोलिस बल) से बहुत छोटा है। इसके अलावा, लंबाई का पैमाना तरल पदार्थ की मोटाई से बहुत छोटा माना जाता है। अंत में, स्थलाकृतिक मापदंड पर स्थिति का उपयोग किया जाता है और रैखिक समीकरणों का निम्नलिखित सेट प्राप्त किया जाता हैः अर्ध-भू-उष्णकटिबंधीय सन्निकटन इसके बाद, अर्ध-भू-उष्णकटिबंधीय सन्निकटन आरओ, आरओटी 1 बनाया जाता है, जैसे कि भू-उष्णकटिबंधीय प्रवाह घटक कहाँ और कहाँ हैं और और और और के साथ आयु-उष्णकटिबंधीय प्रवाह घटक हैं। इन अभिव्यक्तियों को समीकरणों के पहले अर्जित समूह के लिए और उसमें प्रतिस्थापित करने पर, उपजः उन शब्दों को नजरअंदाज करना जहां छोटे घटक शब्दों (और) को गुणा किया जाता है, प्राप्त अभिव्यक्तियां इस प्रकार हैंः निरंतरता समीकरण में आयुजनित वेग के घटकों को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता हैः जिसमें R, विरूपण की रॉस्बी त्रिज्या को विक्षेपण संबंध के रूप में परिभाषित किया जाता है। यही कारण है कि इन तरंगों को स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंग कहा जाता है। स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगों की अधिकतम आवृत्ति है जो और के लिए प्राप्त की जाती है। यदि बल इस सीमा से ऊपर की आवृत्तियों के साथ तरंगें बनाता है, तो कोई रॉस्बी तरंगें उत्पन्न नहीं होती हैं। यह स्थिति शायद ही कभी होती है, जब तक कि बहुत छोटी न हो। अन्य सभी मामलों में यह अधिक हो जाता है और सिद्धांत टूट जाता है। इसका कारण यह है कि कल्पित शर्तेंः और आरओटी अब मान्य नहीं हैं। एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में उपयोग किए जाने वाले उथले जल समीकरण अन्य प्रकार की तरंगों जैसे केल्विन तरंगों और जड़ता-गुरुत्वाकर्षण तरंगों (पोइनकेयर तरंगों) के लिए भी अनुमति देते हैं। हालाँकि, ये प्राप्त परिणामों में अर्ध-भूस्थैतिक धारणा के कारण दिखाई नहीं देते हैं जिसका उपयोग इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। तरंग गतिकी में इसे फ़िल्टरिंग कहा जाता है। आइसोबाथ (समान गहराई की रेखाएँ, यहाँ x-दिशा) के साथ तरंगों की चरण गति का अर्थ है कि उत्तरी गोलार्ध में तरंगें अपने दाहिने और दक्षिणी गोलार्ध में उथले पक्ष के साथ उथले पक्ष के साथ फैलती हैं। के समीकरण से पता चलता है कि चरण की गति तरंग संख्या के साथ बदलती है इसलिए तरंगें फैलती हैं। इसकी अधिकतम गति बहुत लंबी तरंगों () की गति है। y-दिशा में चरण की गति है जिसका अर्थ है कि इसका कोई भी संकेत हो सकता है। चरण गति दी गई है जिससे इसे देखा जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि का अधिकतम अधिकतम है। स्थलाकृतिक और ग्रह संबंधी रॉस्बी तरंगों के बीच समानता ग्रह और स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें इस अर्थ में समान हैं कि, यदि उपरोक्त अभिव्यक्तियों में इस शब्द का आदान-प्रदान किया जाता है, तो बीटा-पैरामीटर या रॉस्बी पैरामीटर कहाँ है, ग्रह संबंधी रॉस्बी तरंगों की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। इस समानता का कारण यह है कि घर्षण रहित, सजातीय प्रवाह के लिए अरैखिक उथले जल समीकरणों के लिए संभावित वर्टिसिटी q संरक्षित हैः सापेक्ष वर्टिसिटी होने के साथ, जो कि z-अक्ष के बारे में द्रव तत्वों की घूर्णन गति का दोगुना है, और गणितीय रूप से इसे z-अक्ष के बारे में घड़ी की विपरीत दिशा में घूर्णन के रूप में परिभाषित किया गया है। एक बीटा-तल पर और मेरिडियनल दिशा में एक रैखिक रूप से ढलान वाले तल के लिए, संभावित वर्टिसिटी बन जाती है। उपरोक्त व्युत्पत्तियों में यह माना गया था कि जहां भाजक पर एक टेलर विस्तार का उपयोग किया गया था और बिंदु उच्च क्रम के शब्दों को इंगित करते हैं। केवल सबसे बड़ी शर्तों को ध्यान में रखते हुए और बाकी की उपेक्षा करते हुए, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैंः नतीजतन, संभावित वर्टिसिटी में जो समानता दिखाई देती है वह यह है और संभावित वर्टिसिटी समीकरण में समान भूमिका निभाती है। इन शब्दों को थोड़ा अलग तरीके से लिखते हुए, यह पहले देखे गए और ग्रहों और स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगों के बीच समानता को दर्शाता है। संभावित वर्टिसिटी के समीकरण से पता चलता है कि संभावित वर्टिसिटी में पृष्ठभूमि ढाल के कारण ग्रहों और स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें मौजूद हैं। ग्रहों और स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगों के बीच समानता का उपयोग प्रयोगशाला प्रयोगों में किया जाता है जो बीटा प्रभाव को शामिल करने के लिए भूभौतिकीय प्रवाह का अध्ययन करते हैं जो पृथ्वी पर कोरिओलिस पैरामीटर का परिवर्तन है। उन प्रयोगों में उपयोग की जाने वाली जल वाहिकाएं कोरियोलिस पैरामीटर के लिए बहुत छोटी हैं जो महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हैं। इन प्रयोगों में एक ढलान वाले तल के साथ एक टैंक का उपयोग करके बीटा प्रभाव की एक निश्चित सीमा तक नकल की जा सकती है। एक ढलान वाले तल द्वारा बीटा प्रभाव का प्रतिस्थापन केवल एक कोमल ढलान, धीमी तरल गति और स्तरीकरण के अभाव में मान्य है। अवधारणात्मक व्याख्या जैसा कि अंतिम खंड में दिखाया गया है, रॉस्बी तरंगें बनती हैं क्योंकि संभावित वर्टिसिटी को संरक्षित किया जाना चाहिए। जब सतह पर ढलान होती है, तो द्रव परत की मोटाई स्थिर नहीं होती है। संभावित वर्टिसिटी का संरक्षण सापेक्ष वर्टिसिटी या कोरिओलिस पैरामीटर को बदलने के लिए मजबूर करता है। चूँकि कोरिओलिस पैरामीटर किसी दिए गए अक्षांश पर स्थिर है, इसलिए सापेक्ष वर्टिसिटी को बदलना होगा। आकृति में एक तरल पदार्थ एक उथले वातावरण में चला जाता है, जहां यह छोटा होता है, जिससे तरल पदार्थ एक शिखर बनाता है। जब ऊँचाई कम होती है, तो सापेक्ष वर्टिसिटी भी कम होनी चाहिए। आकृति में, यह गोल तीरों के साथ दिखाई गई एक नकारात्मक सापेक्ष वर्टिसिटी (उत्तरी गोलार्ध पर एक घड़ी की दिशा में घूमना) बन जाती है। दक्षिणी गोलार्ध में यह एक घड़ी की विपरीत दिशा में घूमता है, क्योंकि कोरिओलिस पैरामीटर दक्षिणी गोलार्ध में नकारात्मक है। यदि कोई तरल पदार्थ गहरे वातावरण में चला जाता है, तो इसके विपरीत सच है। मूल गहराई पर द्रव पार्सल को दो द्रव पार्सलों के बीच सैंडविच किया जाता है जिसमें से एक में सकारात्मक सापेक्ष वर्टिसिटी होती है और दूसरे में नकारात्मक सापेक्ष वर्टिसिटी होती है। यह आकृति में बाईं ओर द्रव पार्सल की गति का कारण बनता है। सामान्य तौर पर, विस्थापन एक तरंग पैटर्न का कारण बनता है जो उत्तरी गोलार्ध में दाईं ओर और दक्षिणी गोलार्ध में बाईं ओर उथले पक्ष के साथ फैलता है। पृथ्वी पर स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगों का मापन 1 जनवरी 1965 से 1 जनवरी 1968 तक, वुड्स होल ओशनोग्राफिक इंस्टीट्यूशन में द बुवॉय प्रोजेक्ट ने वेग को मापने के लिए उत्तरी अटलांटिक के पश्चिमी हिस्से में नावों को गिराया। डेटा में कई अंतराल हैं क्योंकि कुछ ब्वाए गायब हो गए थे। फिर भी वे 500 मीटर की गहराई पर स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगों को मापने में कामयाब रहे। कई अन्य शोध परियोजनाओं ने पुष्टि की है कि उत्तरी अटलांटिक में वास्तव में स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें हैं। 1988 में, उत्तर पश्चिमी प्रशांत बेसिन में बैरोट्रॉपिक ग्रहों की रॉस्बी तरंगें पाई गईं। 2017 में किए गए आगे के शोध ने निष्कर्ष निकाला कि रॉस्बी तरंगें कोई ग्रहों की रॉस्बी तरंगें नहीं हैं, बल्कि स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें हैं। 2021 में, दक्षिण चीन सागर में शोध ने पुष्टि की कि स्थलाकृतिक रॉस्बी लहरें मौजूद हैं। 2016 में, पूर्वी भूमध्यसागरीय में शोध से पता चला कि 4000 मीटर (https://doi.org/10.1016/j.dsr2.2019.07.008) पर ढलान वाले तल पर एक मेसोस्केल परिसंचरण संरचना के पार्श्व परिवर्तन के कारण क्रेते के दक्षिण में स्थलाकृतिक रॉस्बी तरंगें उत्पन्न होती हैं। संदर्भ भूभौतिकी महासागर