Transport theorem
परिवहन प्रमेय (या परिवहन समीकरण, परिवर्तन परिवहन प्रमेय की दर या मूल गतिज समीकरण) एक वेक्टर समीकरण है जो एक यूक्लिडियन वेक्टर के समय व्युत्पन्न को एक गैर-घूर्णन निर्देशांक प्रणाली में मूल्यांकन के रूप में एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में इसके समय व्युत्पन्न से संबंधित करता है। शास्त्रीय यांत्रिकी और विश्लेषणात्मक गतिकी और अभियांत्रिकी के विविध क्षेत्रों में इसके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। एक यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष में एक निश्चित परिमाण और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जो उस निर्देशांक प्रणाली से स्वतंत्र है जिसमें इसे मापा जाता है। हालाँकि, जब इस तरह के वेक्टर का समय व्युत्पन्न लिया जाता है तो वह वास्तव में दो अलग-अलग समय t और t + dt पर मापे गए दो वैक्टरों के बीच के अंतर को लेता है। एक घूर्णन निर्देशांक प्रणाली में, निर्देशांक अक्षों की इन दो समय पर अलग-अलग दिशाएँ हो सकती हैं, जैसे कि एक स्थिर सदिश में भी एक गैर-शून्य समय व्युत्पन्न हो सकता है। नतीजतन, एक घूर्णन निर्देशांक प्रणाली में मापा गया वेक्टर का समय व्युत्पन्न एक गैर-घूर्णन संदर्भ प्रणाली में एक ही वेक्टर के समय व्युत्पन्न से अलग हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक विमान के वेग सदिश का मूल्यांकन एक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके किया जाता है जो पृथ्वी पर स्थिर होती है (एक घूर्णन संदर्भ प्रणाली) जो अंतरिक्ष में निर्धारित एक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके मूल्यांकन किए गए इसके वेग से अलग होती है। परिवहन प्रमेय एक घूर्णन और गैर-घूर्णन निर्देशांक प्रणाली के बीच वैक्टर के समय व्युत्पन्न को संबंधित करने का एक तरीका प्रदान करता है, इसे घूर्णन संदर्भ फ्रेम में अधिक विस्तार से प्राप्त और समझाया जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता हैः यहाँ f वह वेक्टर है जिसके समय व्युत्पन्न का मूल्यांकन गैर-घूर्णन और घूर्णन निर्देशांक प्रणाली दोनों में किया जाता है। सबस्क्रिप्ट r घूर्णन निर्देशांक प्रणाली में अपने समय व्युत्पन्न को निर्दिष्ट करता है और सदिश ω घूर्णन निर्देशांक प्रणाली का कोणीय वेग है। परिवहन प्रमेय विशेष रूप से घूर्णन और गैर-घूर्णन समन्वय प्रणालियों के बीच वेग और त्वरण वैक्टर को संबंधित करने के लिए उपयोगी है। संदर्भ में कहा गया हैः "शास्त्रीय यांत्रिकी में इसके महत्व और इंजीनियरिंग में इसके सर्वव्यापी अनुप्रयोग के बावजूद, यूलर व्युत्पन्न परिवर्तन सूत्र के लिए कोई सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत नाम नहीं है [.] कई शब्दावली का उपयोग किया जाता हैः गतिज प्रमेय, परिवहन प्रमेय और परिवहन समीकरण। ये शब्द, हालांकि शब्दावली रूप से सही हैं, पूरी तरह से अलग भौतिकी अवधारणाओं को संदर्भित करने के लिए द्रव यांत्रिकी के विषय में अधिक प्रचलित हैं। इस तरह की एक अलग भौतिकी अवधारणा का एक उदाहरण रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय है। व्युत्पत्ति मान लीजिए, जैसा कि संदर्भ फ्रेम से देखा गया है, के आधार वैक्टर हैं, और वेक्टर के घटकों को केवल द्वारा निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि इस समन्वय परिवर्तन को समय के अनुसार उत्पन्न किया जाए। लाइ समूह सिद्धांत में प्रक्षेपवक्र के लिए इस तरह का जनरेटर विभेदक समीकरण महत्वपूर्ण है। अंतर्निहित योग परंपरा के साथ उत्पाद नियम को लागू करना, घूर्णन समूहों के लिए, एक है। तीन आयामों में, जनरेटर तब बाईं ओर से क्रॉस उत्पाद संचालन के बराबर होता है, किसी भी वेक्टर के लिए एक तिरछा-सममित रैखिक मानचित्र। एक मैट्रिक्स के रूप में, यह वेक्टर से भी संबंधित है जैसा कि संदर्भ गणितीय प्रमेयों के माध्यम से देखा जाता है।