Open set condition
फ्रैक्टल ज्यामिति में, ओपन सेट कंडीशन (ओ. एस. सी.) आमतौर पर स्व-समान फ्रैक्टल पर लगाई जाने वाली स्थिति है। कुछ अर्थों में, स्थिति एक फ्रैक्टल निर्माण में ओवरलैप पर प्रतिबंध लगाती है। विशेष रूप से, संविदात्मक मानचित्रण की एक पुनरावृत्त कार्य प्रणाली को देखते हुए, खुले सेट की स्थिति के लिए आवश्यक है कि एक गैर-खाली, खुला सेट V मौजूद हो जो दो शर्तों को पूरा करता हैः सेट जोड़ीदार असंगत हैं। पी. ए. पी. मोरन द्वारा 1946 में पेश की गई, ओपन सेट स्थिति का उपयोग कुछ स्व-समान फ्रैक्टल, विशेष रूप से सियर्पिंस्की गैस्केट के आयामों की गणना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग पैकिंग माप की गणना को सरल बनाने के लिए भी किया जाता है। ओपन सेट स्थिति का एक समतुल्य कथन यह आवश्यक है कि सेट का एस-आयामी हौसडॉर्फ माप शून्य से अधिक हो। कम्प्यूटिंग हौसडॉर्फ आयाम जब खुला समुच्चय स्थिति धारण करता है और प्रत्येक एक समानता है (यानी, एक सममिति की संरचना और किसी बिंदु के आसपास एक फैलाव), तो का अद्वितीय निश्चित बिंदु एक ऐसा समुच्चय है जिसका हौसडॉर्फ आयाम निम्नलिखित के s के लिए अद्वितीय समाधान हैः जहां ri समानता के फैलाव का परिमाण है। इस प्रमेय के साथ, सियर्पिंस्की गैस्केट के हौसडॉर्फ आयाम की गणना की जा सकती है। समतल R2 में तीन गैर-समरेखीय बिंदुओं a1, a2, a3 पर विचार करें और एआई के आसपास अनुपात 1/2 का फैलाव होने दें। संबंधित मानचित्रण का अद्वितीय गैर-खाली निश्चित बिंदु एक सियर्पिंस्की गैस्केट है, और आयाम s का अद्वितीय समाधान है उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों के प्राकृतिक लघुगणक को लेते हुए, हम s के लिए हल कर सकते हैं, अर्थात्ः s = ln (3)/ln (2)। सियर्पिंस्की गैस्केट स्वयं समान है और ओ. एस. सी. को संतुष्ट करता है। स्ट्रॉन्ग ओपन सेट कंडीशन (एस. ओ. एस. सी.) ओपन सेट कंडीशन का एक विस्तार है। एक फ्रैक्टल एफ एस. ओ. एस. सी. को संतुष्ट करता है यदि, ओ. एस. सी. को संतुष्ट करने के अलावा, एफ और खुले सेट वी के बीच का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है। दोनों स्थितियाँ स्व-समान और स्व-अनुरूप समुच्चयों के लिए समतुल्य हैं, लेकिन अन्य समुच्चयों के कुछ वर्गों के लिए नहीं, जैसे कि अनंत मानचित्रण के साथ कार्य प्रणाली और गैर-यूक्लिडियन मीट्रिक रिक्त स्थान में। इन मामलों में, एस. ओ. सी. एस. वास्तव में एक मजबूत स्थिति है। यह भी देखें कि कैंटर सेट हाउसडॉर्फ आयाम द्वारा फ्रैक्टल की सूची मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम पैकिंग आयाम संदर्भ फ्रैक्टल पुनरावृत्त कार्य प्रणाली फ्रैक्टल