Guderley–Landau–Stanyukovich problem
गुडर्ले-लैंडौ-स्टेन्युकोविच समस्या शॉक तरंगों के अभिसरण के समय विकास का वर्णन करती है। इस समस्या पर 1942 में जी. गुडर्ले द्वारा और 1944 में स्वतंत्र रूप से लेव लैंडौ और के. पी. स्टेन्युकोविच द्वारा चर्चा की गई थी, जहां बाद के लेखकों का विश्लेषण 1955 में प्रकाशित हुआ था। गणितीय विवरण एक गोलाकार अभिसारी आघात तरंग पर विचार करें जो किसी रेडियल स्थान पर किसी माध्यम से शुरू की गई थी और केंद्र की ओर निर्देशित थी। जैसे-जैसे शॉक वेव मूल की ओर बढ़ती है, इसकी ताकत बढ़ती है क्योंकि शॉक वेव कम से कम मात्रा में द्रव्यमान को संपीड़ित करती है जैसे-जैसे यह फैलती है। इस प्रकार शॉक वेव का स्थान समय के साथ बदलता रहता है। वर्णित किया जाने वाला स्व-समान समाधान उस क्षेत्र से मेल खाता है, अर्थात, शॉक वेव ने प्रारंभिक स्थिति को भूलने के लिए पर्याप्त यात्रा की है। चूँकि स्व-समान क्षेत्र में आघात तरंग प्रबल होती है, इसलिए लहर के आगे के दबाव की तुलना में लहर के पीछे का दबाव बहुत अधिक होता है। रैंकिन-ह्यूगोनियट स्थितियों के अनुसार, मजबूत तरंगों के लिए, हालांकि, जहां गैस घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है; दूसरे शब्दों में, शॉक वेव के पार घनत्व उछाल सीमित है। विश्लेषण के लिए, इस प्रकार कोई और मान सकता है, जो बदले में वेग पैमाने को तब से निर्धारित करके हटा देता है। इस बिंदु पर, यह ध्यान देने योग्य है कि एक समान समस्या जिसमें एक मजबूत शॉक वेव बाहर की ओर फैलती है, उसे टेलर-वॉन न्यूमैन-सेडोव ब्लास्ट वेव द्वारा वर्णित किया गया है। टेलर-वॉन न्यूमैन-सेडोव विस्फोट तरंग के लिए विवरण एक स्व-समान समाधान विकसित करने के लिए प्रवाह की कुल ऊर्जा सामग्री का उपयोग करता है। इस समस्या के विपरीत, प्रस्फुटित शॉक वेव पूरे क्षेत्र में स्व-समान नहीं है (निकट प्रवाह क्षेत्र उस तरीके पर निर्भर करता है जिसमें शॉक वेव उत्पन्न होती है) और इस प्रकार गुडर्ले-लैंडौ-स्टेन्युकोविच समस्या स्व-समान तरीके से वर्णन करने का प्रयास करती है, प्रवाह क्षेत्र केवल के लिए; इस स्व-समान क्षेत्र में, ऊर्जा स्थिर नहीं है और वास्तव में, समय के साथ घटती हुई दिखाई देगी (पूरे क्षेत्र की कुल ऊर्जा अभी भी स्थिर है)। चूँकि आघात तरंग क्षेत्र के प्रारंभिक आकार की तुलना में स्व-समान क्षेत्र छोटा है, इसलिए कुल ऊर्जा का केवल एक छोटा सा अंश स्व-समान क्षेत्र में जमा होता है। इस प्रकार समस्या में स्व-समान विवरण का पता लगाने के लिए आयामी तर्कों का उपयोग करने के लिए कोई लंबाई का पैमाना नहीं है अर्थात, पर निर्भरता को केवल आयामी तर्कों द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इस तरह की समस्याओं का वर्णन दूसरे प्रकार के स्वयं-समान समाधान द्वारा किया जाता है। सुविधा के लिए, समय को इस तरह से मापें कि अभिसारी आघात तरंग समय पर मूल तक पहुँच जाए। क्योंकि, अभिसारी आघात मूल के पास पहुँचता है और इसके लिए, परावर्तित आघात तरंग मूल से निकलती है। अभिघात तरंग का स्थान उस फलन द्वारा वर्णित माना जाता है जहाँ समानता सूचकांक है और एक स्थिरांक है। परावर्तित आघात समान समानता सूचकांक के साथ उभरता है। का मान इस शर्त से निर्धारित किया जाता है कि एक स्व-समान समाधान मौजूद है, जबकि स्थिरांक को स्व-समान विश्लेषण से वर्णित नहीं किया जा सकता है; स्थिरांक में क्षेत्र से जानकारी होती है और इसलिए इसका निर्धारण केवल तभी किया जा सकता है जब प्रवाह का पूरा क्षेत्र हल हो जाए। का आयाम केवल हल करने के बाद ही पाया जाएगा। टेलर-वॉन न्यूमैन-सेडोव विस्फोट तरंग के लिए, आयामी तर्कों का उपयोग प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है शॉक-वेव वेग द्वारा दिया जाता है रैंकिन-ह्यूगोनियट स्थितियों के अनुसार गैस वेग, दबाव और घनत्व तुरंत मजबूत शॉक फ्रंट के पीछे, एक आदर्श गैस के लिए दिए जाते हैं ये शॉक फ्रंट के पीछे प्रवाह के लिए सीमा शर्तों के रूप में काम करेंगे। स्व-समान समाधान शासी समीकरण हैं जहाँ घनत्व है, दबाव है, एन्ट्रापी है और रेडियल वेग है। दबाव के स्थान पर, हम संबंध का उपयोग करके ध्वनि की गति का उपयोग कर सकते हैं। स्व-समान समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम नोट का परिचय देते हैं कि चूंकि दोनों और नकारात्मक हैं। औपचारिक रूप से सीमा के लिए समाधान खोजना होगा। सीमा शर्तों द्वारा दी गई सीमा शर्तों को पतन के समय अवलोकन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें अनंत हो जाता है। पतन के समय, मूल से किसी भी दूरी पर प्रवाह चर सीमित होना चाहिए, अर्थात, और इसके लिए सीमित होना चाहिए। यह तभी संभव है जब स्व-समान चर को शासी समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से हम आसानी से दो समीकरणों के लिए हल कर सकते हैं (या,)। एक तीसरे समीकरण के रूप में, हम चर को समाप्त करके दो समीकरण कर सकते हैं। परिणामी समीकरण कहाँ और हैं। इसे आसानी से देखा जा सकता है एक बार जब तीसरा समीकरण हल हो जाता है, तो पहले दो समीकरणों को सरल चतुर्भुज का उपयोग करके एकीकृत किया जा सकता है। तीसरा समीकरण शॉक फ्रंट के पीछे की स्थिति से संबंधित सीमा स्थिति के साथ फ़ंक्शन के लिए प्रथम-क्रम अंतर समीकरण है। लेकिन एक और सीमा शर्त है जिसे पूरा करने की आवश्यकता है, यानी, पर पाई जाने वाली स्थिति से संबंधित है। इस अतिरिक्त शर्त को किसी भी मनमाने मूल्य के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है, लेकिन केवल एक ही मूल्य मौजूद है जिसके लिए दूसरी शर्त को संतुष्ट किया जा सकता है। इस प्रकार एक आइगेनवैल्यू के रूप में प्राप्त किया जाता है। यह आइगेनवैल्यू संख्यात्मक रूप से प्राप्त किया जा सकता है। निर्धारित करने वाली स्थिति को अभिन्न वक्र को प्लॉट करके समझाया जा सकता है जैसा कि चित्र में एक ठोस वक्र के रूप में दिखाया गया है। विभेदक समीकरण के लिए बिंदु प्रारंभिक स्थिति है, अर्थात। समाकलन वक्र को बिंदु पर समाप्त होना चाहिए। उसी आकृति में, स्थिति के अनुरूप परवलय को भी एक बिंदीदार वक्र के रूप में चित्रित किया गया है। इसे आसानी से दिखाया जा सकता है क्योंकि बिंदु हमेशा इस परवलय के ऊपर होता है। इसका मतलब है कि अभिन्न वक्र को बिंदु तक पहुंचने के लिए परवलय को काटना होगा। तीनों विभेदक समीकरणों में, अनुपात का अर्थ यह प्रतीत होता है कि यह अनुपात उस बिंदु पर गायब हो जाता है जहां समाकलन वक्र परवलय को काटता है। कार्यों के लिए भौतिक आवश्यकता यह है कि वे एक अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के लिए एकल-मूल्यवान कार्य होने चाहिए। इसका मतलब है कि कार्य और क्षेत्र के अंदर कहीं भी चरम सीमा नहीं हो सकती है। लेकिन इस बिंदु पर, गायब हो सकता है, यह दर्शाता है कि उपरोक्त कार्यों में चरम सीमा है। इस स्थिति से बचने का एकमात्र तरीका यह है कि अनुपात को सीमित किया जाए। कहने का मतलब है, जैसे-जैसे शून्य होता जाता है, हमें प्राप्त करने के लिए इस तरह से शून्य होने की भी आवश्यकता होती है। पर, तीसरे समीकरण के संख्यात्मक एकीकरण के लिए और के लिए प्रदान करते हैं। इन मूल्यों की तुलना एक अनुमानित सूत्र के साथ की जा सकती है, जिसे लैंडाउ और स्टैन्युकोविच द्वारा प्राप्त किया गया है। यह स्थापित किया जा सकता है कि, सामान्य तौर पर, समानता सूचकांक एक अपरिमेय संख्या है। यह भी देखें कि टेलर-वॉन न्यूमैन-सेडोव विस्फोट तरंग ज़ेल्डोविच-टेलर प्रवाह संदर्भ प्रवाह शासन द्रव गतिकी दहन लेव लैंडाउ