Bernoulli umbra
अम्ब्रल कैलकुलस में, बर्नौली अम्ब्रा एक अम्ब्रा है, एक औपचारिक प्रतीक, जिसे संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ सूचकांक-कम करने वाला प्रचालक है, जिसे मूल्यांकन प्रचालक के रूप में भी जाना जाता है और बर्नौली संख्याएँ हैं, जिन्हें अम्ब्रा के क्षण कहा जाता है। एक समान अम्ब्रा, के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ अक्सर उपयोग किया जाता है और कभी-कभी इसे बर्नौली अम्ब्रा भी कहा जाता है। वे समानता से संबंधित हैं। यूलर अम्ब्रा के साथ, बर्नौली अम्ब्रा सबसे महत्वपूर्ण अम्ब्रा में से एक है। लेवी-सिविटा क्षेत्र में, बर्नौली छतरी को शक्ति श्रृंखला वाले तत्वों द्वारा दर्शाया जा सकता है और शक्ति श्रृंखला के गुणांक को लेने के अनुरूप सूचकांक प्रचालक को कम किया जा सकता है। शब्दों के अंश ओ. ई. आई. एस. ए118050 में दिए गए हैं और भाजक ओ. ई. आई. एस. ए118051 में हैं। चूँकि के गुणांक गैर-शून्य हैं, दोनों असीम रूप से बड़ी संख्याएँ हैं, जो असीम रूप से करीब (लेकिन बराबर नहीं, थोड़ा छोटा) हैं और असीम रूप से करीब (थोड़ा छोटा) हैं। हार्डी क्षेत्रों में (जो लेवी-सिविटा क्षेत्र के सामान्यीकरण हैं) अंब्रा फलन की अनंतता पर रोगाणु से मेल खाता है जबकि अनंतता पर रोगाणु से मेल खाता है, जहां व्युत्क्रम डिगैमा फलन है। चूंकि बर्नौली बहुपद बर्नौली संख्याओं का एक सामान्यीकरण है, इसलिए बर्नौली अम्ब्रा के घातांक को बर्नौली बहुपदों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता हैः जहाँ एक वास्तविक या जटिल संख्या है। इसे हर्विट्ज़ जीटा फलन का उपयोग करके आगे सामान्यीकृत किया जा सकता हैः जीटा फलन के लिए रीमान कार्यात्मक समीकरण से यह व्युत्पन्न नियम का अनुसरण करता है क्योंकि और अनुक्रमों के केवल दो सदस्य हैं और जो भिन्न हैं, किसी भी विश्लेषणात्मक फलन के लिए निम्नलिखित नियम का पालन किया जाता हैः बर्नौली अम्ब्रा के प्राथमिक कार्य एक सामान्य नियम के रूप में, निम्नलिखित सूत्र किसी भी विश्लेषणात्मक फलन के लिए धारण करता हैः यह बर्नौली अम्ब्रा के प्राथमिक कार्यों के लिए अभिव्यक्तियों को प्राप्त करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, विशेष रूप से, घातीय और लघुगणक कार्यों के बीच संबंध बर्नौली अम्ब्रा एक तरफ घातीय, त्रिकोणमितीय और अतिबोलिक कार्यों और दूसरी तरफ लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम अतिबोलिक कार्यों के बीच संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है।