Quasirandom group
गणित में, एक क्वासिरैंडम समूह एक ऐसा समूह है जिसमें एक बड़ा उत्पाद-मुक्त उपसमुच्चय नहीं होता है। ऐसे समूह सटीक रूप से वे हैं जिनके पास एक छोटा सा गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व नहीं है। इन समूहों के नाम ग्राफ सिद्धांत के साथ उनके संबंध से उपजे हैंः एक क्वासिरैंडम समूह के किसी भी उपसमुच्चय पर द्विदलीय केली ग्राफ हमेशा द्विदलीय क्वासिरैंडम ग्राफ होते हैं। अभिप्रेरणा क्वासिरैंडम समूहों की धारणा तब उत्पन्न होती है जब समूहों के उपसमुच्चय पर विचार किया जाता है जिनके लिए उपसमुच्चय में किसी भी दो तत्वों का उपसमुच्चय में कोई उत्पाद नहीं होता है; ऐसे उपसमुच्चय को उत्पाद-मुक्त कहा जाता है। लास्लो बाबाई और वेरा सोस ने एक स्थिरांक के अस्तित्व के बारे में पूछा जिसके लिए क्रम के साथ प्रत्येक परिमित समूह में कम से कम आकार के साथ एक उत्पाद-मुक्त उपसमुच्चय होता है। पूर्णांकों के योग-मुक्त सेटों के बारे में पॉल एर्दोस के एक प्रसिद्ध परिणाम का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि अबेलियन समूहों के लिए पर्याप्त है, लेकिन यह पता चला है कि गैर-अबेलियन समूहों के लिए ऐसा स्थिरांक मौजूद नहीं है। दोनों गैर-तुच्छ निचली और ऊपरी सीमाएँ अब ऑर्डर के साथ समूह के सबसे बड़े उत्पाद-मुक्त उपसमुच्चय के आकार के लिए जानी जाती हैं। एक निचली सीमा को पर्याप्त रूप से कई कोसेटों के संघ के एक बड़े उपसमुच्चय को लेकर साबित किया जा सकता है, और किसी भी अभाज्य के लिए प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूह पर विचार करके एक ऊपरी सीमा दी जाती है। ऊपरी सीमा को साबित करने की प्रक्रिया में, टिमोथी गोवर्स ने उत्पाद-मुक्त स्थिति को समाहित करने के लिए एक क्वासिरैंडम समूह की धारणा को परिभाषित किया और ग्राफ सिद्धांत में क्वासिरैंडमनेस से जुड़े समानताओं को साबित किया। ग्राफ़ क्वासिरैंडमनेस औपचारिक रूप से, इस बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है कि एक भी समूह क्वासिरैंडम है या नहीं। क्वासिरैंडमनेस की सख्त परिभाषा समूहों के अनुक्रमों पर लागू होगी, लेकिन पहले द्विदलीय ग्राफ क्वासिरैंडमनेस को परिभाषित किया जाना चाहिए। समूहों के अनुक्रमों पर विचार करने की प्रेरणा ग्राफ़न के साथ इसके संबंधों से उत्पन्न होती है, जिन्हें एक निश्चित अर्थ में ग्राफ़ की सीमाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वास्तविक संख्या ठीक करें द्विदलीय ग्राफों का एक क्रम (यहाँ अनंत तक पूर्णांकों को छोड़ने की अनुमति है) जिसमें शीर्ष, शीर्ष भाग और किनारे क्वासिरैंडम हैं यदि निम्नलिखित में से कोई भी समतुल्य शर्तें हैंः शीर्ष भागों के साथ प्रत्येक द्विदलीय ग्राफ के लिए और इसमें एम्बेडेड और एम्बेडेड की लेबल की गई प्रतियों की संख्या यहाँ है, फ़ंक्शन को इस पर निर्भर करने की अनुमति है। इस तरह के ग्राफ को क्वासिरैंडम कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक शर्त यह दावा करती है कि जिस मात्रा पर विचार किया जा रहा है वह लगभग वही है जो कोई उम्मीद करेगा यदि द्विदलीय ग्राफ एर्दोस-रेनी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल के अनुसार उत्पन्न किया गया था; यानी, प्रत्येक संभावित किनारे को शामिल करके और स्वतंत्र रूप से संभावना के साथ उत्पन्न किया गया है। विशिष्ट होने के लिए, क्वासिरैंडमनेस की किसी भी समकक्ष परिभाषा को देखते हुए, इस शब्द को एक छोटे स्थिरांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और उस विशेष संशोधित स्थिति को संतुष्ट करने वाले किसी भी ग्राफ को-क्वासिरैंडम कहा जा सकता है। यह पता चलता है कि किसी भी स्थिति में-क्वासिरांडोमनेस कुछ निरपेक्ष स्थिरांक के लिए किसी भी अन्य स्थिति में-क्वासिरांडोमनेस के बराबर है। द्विदलीय केले ग्राफ ग्राफ-सैद्धांतिक सेटिंग में क्वासिरैंडमनेस को समूह-सैद्धांतिक सेटिंग में अनुवाद करने का एक तरीका देते हैं। एक सीमित समूह और एक उपसमुच्चय को देखते हुए, द्विदलीय केले ग्राफ शीर्ष समुच्चय के साथ द्विदलीय ग्राफ है और प्रत्येक के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है, जिसके किनारे शीर्षों के बीच हैं जिनका अनुपात परिभाषा का एक तत्व है ऊपर परिभाषित उपकरणों के साथ, अब कोई भी समूह क्वासिरैंडमनेस को परिभाषित कर सकता है। (फिर से, पूर्णांकों को छोड़ने की अनुमति है) के साथ समूहों का एक अनुक्रम क्वासिरैंडम है यदि प्रत्येक वास्तविक संख्या और उपसमुच्चय के चयन के लिए, ग्राफ का अनुक्रम क्वासिरैंडम है। यद्यपि क्वासिरैंडमनेस को केवल समूहों के अनुक्रमों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, विशिष्ट समूहों के लिए-क्वासिरैंडमनेस की अवधारणा को विशिष्ट ग्राफ के लिए-क्वासिरैंडमनेस की परिभाषा का उपयोग करके समूहों तक बढ़ाया जा सकता है। गुण जैसा कि गोवर्स द्वारा साबित किया गया है, समूह क्वासिरैंडमनेस कई अलग-अलग स्थितियों के बराबर साबित होता है। सटीक होने के लिए, समूहों के एक अनुक्रम को देखते हुए, निम्नलिखित समतुल्य हैंः क्वासिरैंडम है; यानी, द्वारा परिभाषित केले ग्राफ के सभी अनुक्रम क्वासिरैंडम हैं। सबसे छोटे गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व का आयाम असीमित है। सबसे बड़े उत्पाद-मुक्त उपसमुच्चय का आकार सबसे छोटे गैर-तुच्छ भागफल का आकार असीमित है। छद्म रैंडम समूहों से उत्पन्न केले ग्राफ में मजबूत मिश्रण गुण होते हैं; यानी, कुछ के लिए एक द्विदलीय-ग्राफ है जो शून्य की ओर झुकता है और जो अनंत की ओर जाता है। (याद रखें कि एक ग्राफ शीर्षों के साथ एक ग्राफ है, प्रत्येक डिग्री के साथ, जिसकी निकटता मैट्रिक्स में अधिक से अधिक दूसरा सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू होता है) वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी-क्वासिरैंडम समूह के लिए, समाधानों की संख्या के साथ, और लगभग बराबर है जो कोई उम्मीद कर सकता है अगर यादृच्छिक रूप से चुना गया था; यानी, लगभग बराबर यह परिणाम विस्तारक मिश्रण लेम्मा के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से होता है। उदाहरण क्वासिरैंडम समूहों के कई उल्लेखनीय परिवार हैं। प्रत्येक मामले में, क्वासिरैंडमनेस गुणों को इसके सबसे छोटे गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व के आयाम की जांच करके सबसे आसानी से सत्यापित किया जाता है। अभाज्य के लिए प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूह क्वासिरैंडम समूहों का एक अनुक्रम बनाते हैं, क्योंकि फ्रोबेनियस के एक उत्कृष्ट परिणाम में कहा गया है कि इसके सबसे छोटे गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व का आयाम कम से कम है। वास्तव में, ये समूह समूह क्रम के एक कार्य के रूप में सबसे बड़े ज्ञात न्यूनतम गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व वाले समूह हैं। वैकल्पिक समूह क्वासिरैंडम हैं, क्योंकि इसके सबसे छोटे गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व में आयाम होता है, बढ़ते क्रम के साथ गैर-चक्रीय सरल समूहों का कोई भी अनुक्रम क्वासिरैंडम है, क्योंकि इसके सबसे छोटे गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व में कम से कम आयाम होता है, जहां समूह का क्रम है। संदर्भ ग्राफ सिद्धांत समूह सिद्धांत