Zone theorem
ज्यामिति में, क्षेत्र प्रमेय एक ऐसा परिणाम है जो रेखाओं की व्यवस्था में एक रेखा के क्षेत्र की जटिलता को स्थापित करता है। परिभाषा एक रेखा व्यवस्था, जिसे के रूप में दर्शाया जाता है, समतल का एक उपखंड है, जो रेखाओं के एक समूह द्वारा कोशिकाओं (-आयामी चेहरे), किनारों (-आयामी चेहरे) और शीर्षों (-आयामी चेहरे) में प्रेरित होता है। रेखाओं के एक समूह, रेखा व्यवस्था, और एक रेखा (जो इससे संबंधित नहीं है) को देखते हुए, के क्षेत्र से प्रतिच्छेदित चेहरों का समूह है। एक क्षेत्र की जटिलता इसकी सीमा में किनारों की कुल संख्या है, जिसे एक कार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है। क्षेत्र प्रमेय बताता है कि कहा गया जटिलता है। इतिहास यह परिणाम पहली बार 1985 में प्रकाशित किया गया था; Chazelle et al। एक व्यवस्था में एक रेखा के क्षेत्र की जटिलता के लिए की ऊपरी सीमा दी। 1991 में, इस सीमा में सुधार किया गया था, और यह भी दिखाया गया था कि यह एक छोटे योगात्मक कारक तक की सबसे अच्छी संभव ऊपरी सीमा है। फिर, 2011 में, रोम पिंचासी ने साबित किया कि एक व्यवस्था में एक रेखा के क्षेत्र की जटिलता अधिक से अधिक है, और यह एक तंग सीमा है। प्रमेय के विभिन्न प्रमाणों में उपयोग किए जाने वाले कुछ प्रतिमान प्रेरण, स्वीप तकनीक, वृक्ष निर्माण और डेवनपोर्ट-श्चिन्ज़ेल अनुक्रम हैं। सामान्यीकरण हालांकि सबसे लोकप्रिय संस्करण तल में रेखाओं की व्यवस्था के लिए है, लेकिन क्षेत्र प्रमेय के कुछ सामान्यीकरण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, आयाम में, हाइपरप्लेन की व्यवस्था को देखते हुए, एक हाइपरप्लेन के क्षेत्र की जटिलता कोशिकाओं के समूह (-आयामी चेहरों) द्वारा प्रतिच्छेदित पहलुओं (-आयामी चेहरों) की संख्या है। समान रूप से,-आयामी क्षेत्र प्रमेय बताता है कि एक हाइपरप्लेन के क्षेत्र की जटिलता है। आयाम के लिए प्रमेय के लिए काफी कम प्रमाण हैं। आयामी मामले के लिए, स्वीप तकनीकों पर आधारित प्रमाण हैं और उच्च आयामों के लिए यूलर के संबंध का उपयोग किया जाता हैः एक अन्य सामान्यीकरण रेखाओं (और हाइपरप्लेन) के बजाय सूडोलिन्स (और आयाम में सूडोहाइपरप्लेन) की व्यवस्था पर विचार कर रहा है। प्रमेय के लिए कुछ प्रमाण इस मामले में अच्छी तरह से काम करते हैं क्योंकि वे अपने तर्कों के माध्यम से रेखाओं की सीधीता का पर्याप्त रूप से उपयोग नहीं करते हैं। व्यवस्थाओं में क्षेत्र की जटिलता का अध्ययन करने के लिए प्राथमिक प्रेरणा व्यवस्थाओं के निर्माण के लिए कुशल एल्गोरिदम की तलाश से उत्पन्न होती है। एक शास्त्रीय एल्गोरिथ्म वृद्धिशील निर्माण है, जिसे मोटे तौर पर एक के बाद एक रेखाओं को जोड़ने और प्रत्येक द्वारा उत्पन्न सभी चेहरों को एक उपयुक्त डेटा संरचना में संग्रहीत करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है (व्यवस्था के लिए सामान्य संरचना दोहरी जुड़ी धार सूची (डीसीईएल) है)। यहाँ, क्षेत्र प्रमेय का परिणाम यह है कि रेखाओं की किसी भी व्यवस्था का पूरा निर्माण समय पर किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक रेखा को डालने में समय लगता है। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. .. .. .. .. .. .. .. समतल ज्यामिति में यूक्लिडियन समतल ज्यामिति प्रमेय