Spectral submanifold
गतिशील प्रणालियों में, एक वर्णक्रमीय सबमैनिफोल्ड (एस. एस. एम.) अद्वितीय सबसे चिकना अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड है जो गैर-रैखिकताओं के जोड़ के तहत एक रैखिक गतिशील प्रणाली के वर्णक्रमीय उपक्षेत्र के गैर-रैखिक विस्तार के रूप में कार्य करता है। एस. एस. एम. सिद्धांत उन स्थितियों के लिए शर्त प्रदान करता है जब एक रैखिक गतिशील प्रणाली के आइगेनस्पेस के अपरिवर्तनीय गुणों को एक अरैखिक प्रणाली तक बढ़ाया जा सकता है, और इसलिए अरैखिक आयामी कमी में एस. एस. एम. के उपयोग को प्रेरित करता है। परिभाषा स्थिर मैट्रिक्स के साथ रूप के एक अरैखिक साधारण विभेदक समीकरण और चिकने फलन में निहित अरैखिकताओं पर विचार करें। मान लीजिए कि सभी आइगेनवैल्यूज के लिए, अर्थात, उत्पत्ति एक एसिम्प्टोटिक रूप से स्थिर निश्चित बिंदु है। अब के आइगेनवेक्टर्स की अवधि का चयन करें। फिर, आइगेनस्पेस रैखिक प्रणाली का एक अपरिवर्तनीय उपक्षेत्र है। रैखिक प्रणाली में गैर-रैखिकता को जोड़ते हुए, आम तौर पर अनंत रूप से कई अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड में परिवर्तित हो जाता है। इन अपरिवर्तनीय मैनिफोल्डों में, सबसे अद्वितीय चिकने को वर्णक्रमीय सबमैनिफोल्ड कहा जाता है। अस्थिर एस. एस. एम. के लिए एक समकक्ष परिणाम होता है। अस्तित्व मूल में वर्णक्रमीय सबमैनिफोल्ड स्पर्शरेखा के अस्तित्व की गारंटी है बशर्ते कि कुछ गैर-अनुनाद स्थितियां के स्पेक्ट्रम में आइगेनवैल्यू द्वारा संतुष्ट हों। विशेष रूप से, वर्णक्रमीय उपक्षेत्र के बाहर के आईगन मानों में से एक के बराबर का कोई रैखिक संयोजन नहीं हो सकता है। यदि ऐसा कोई बाहरी अनुनाद है, तो कोई अनुनाद मोड को विस्तारित वर्णक्रमीय उपक्षेत्र से संबंधित उच्च-आयामी एस. एस. एम. में शामिल कर सकता है और विश्लेषण का विस्तार कर सकता है। गैर-स्वायत्त विस्तार वर्णक्रमीय सबमैनिफोल्ड्स पर सिद्धांत एक अर्ध-आवधिक बल शब्द के साथ रूप की गैर-रैखिक गैर-स्वायत्त प्रणालियों तक फैला हुआ है। महत्व स्पेक्ट्रल सबमैनिफोल्ड गतिशील प्रणालियों में कठोर अरैखिक आयामी कमी के लिए उपयोगी हैं। एक उच्च-आयामी चरण स्थान को निम्न-आयामी मैनिफोल्ड तक कम करने से प्रणाली के मुख्य एसिम्प्टोटिक व्यवहार का सटीक विवरण देकर प्रमुख सरलीकरण हो सकते हैं। एक ज्ञात गतिशील प्रणाली के लिए, एस. एस. एम. की गणना इनवेरियंस समीकरणों को हल करके विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है, और एस. एस. एम. पर कम किए गए मॉडल को फोर्सिंग की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी के लिए नियोजित किया जा सकता है। इसके अलावा इन मैनिफोल्ड्स को मशीन लर्निंग एल्गोरिदम के उपयोग के साथ एक गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपवक्र डेटा से सीधे निकाला जा सकता है। इनवेरिएंट मैनिफोल्ड नॉनलीनियर डायमेंशनलिटी रिडक्शन लैग्रैन्जियन कोहेरेंट स्ट्रक्चर संदर्भ स्वचालित एस. एस. एम. गणना के लिए बाहरी लिंक उपकरण गतिशील प्रणालियाँ भी देखें।