Invariant decomposition
अपरिवर्तनीय अपघटन समूहों के तत्वों का ऑर्थोगोनल कम्यूटिंग तत्वों में अपघटन है। यह उनके उपसमूहों में भी मान्य है, जैसे। ऑर्थोगोनल, छद्म-यूक्लिडियन, अनुरूप और शास्त्रीय समूह। चूँकि पिन समूहों के तत्व उन्मुख प्रतिबिंबों की संरचना हैं, इसलिए अपरिवर्तनीय अपघटन प्रमेय पढ़ता है-प्रत्येक-प्रतिबिंब को कम्यूटिंग कारकों में विघटित किया जा सकता है। इसे अपरिवर्तनीय अपघटन कहा जाता है क्योंकि ये कारक-प्रतिबिंब के अपरिवर्तनीय हैं। एक प्रसिद्ध विशेष मामला चैसल्स प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी कठोर शरीर की गति को एक ही रेखा के चारों ओर, उसके बाद या उससे पहले एक घूर्णन में विघटित किया जा सकता है। घूर्णन और अनुवाद दोनों दो रेखाओं को अपरिवर्तनीय छोड़ते हैंः घूर्णन का अक्ष और अनुवाद का ऑर्थोगोनल अक्ष। चूँकि दोनों घूर्णन और अनुवाद द्वि-प्रतिबिंब हैं, इसलिए प्रमेय का एक अधिक अमूर्त कथन पढ़ता है "प्रत्येक चतुर्भुज को संचारित द्वि-प्रतिबिंबों में विघटित किया जा सकता है"। इस रूप में कथन उदाहरण के लिए भी मान्य है। स्पेसटाइम बीजगणित, जहाँ किसी भी लॉरेंट्ज़ परिवर्तन को एक कम्यूटिंग रोटेशन और बूस्ट में विघटित किया जा सकता है। बाइवेक्टर अपघटन कुल आयाम के ज्यामितीय बीजगणित में किसी भी बाइवेक्टर को ऑर्थोगोनल कम्यूटिंग सरल बाइवेक्टर्स में विघटित किया जा सकता है जो संतुष्ट करते हैं। इसके बाद विशिष्ट बहुपद परिभाषा के समाधान के रूप में पाए जाते हैं और, समाधान द्वारा दिए जाते हैं। के मान बाद में इस अभिव्यक्ति को वर्ग करके और पुनर्व्यवस्थित करके पाए जाते हैं, जो बहुपद उत्पन्न करते हैं। के लिए जटिल मूल्यों की अनुमति देने से, मार्सेल रीज़ के विपरीत उदाहरण को वास्तव में हल किया जा सकता है। अपरिवर्तनीय अपघटन के लिए यह बंद रूप समाधान केवल 1 के बीजगणितीय गुणन के साथ आइगेनवैल्यू के लिए मान्य है। अपक्षय के लिए अपरिवर्तनीय अपघटन अभी भी मौजूद है, लेकिन बंद रूप समाधान का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है। घातीय मानचित्र ए-प्रतिबिंब को इस रूप में लिखा जा सकता है कि एक द्विभाजक कहाँ है, और इस प्रकार एक गुणनखंडन की अनुमति देता है अपरिवर्तनीय अपघटन इसलिए घातांक के लिए एक बंद रूप सूत्र देता है, क्योंकि प्रत्येक वर्ग एक स्केलर के लिए होता है और इस प्रकार यूलर के सूत्र का पालन करता हैः सावधानीपूर्वक सीमा का मूल्यांकन करना देता है और इस प्रकार अनुवाद भी शामिल किए जाते हैं। रोटर फैक्टराइजेशन एक-प्रतिबिंब को देखते हुए हम फैक्टराइजेशन का पता लगाना चाहेंगे। सरल बाइवेक्टर को परिभाषित करना। इन बाइवेक्टर्स को सीधे बाइवेक्टर्स के लिए उपरोक्त समाधान का उपयोग करके पाया जा सकता है जहां ग्रेड भाग का चयन किया जाता है। इनटू के अपघटन के बाद, प्रत्येक सरल रोटर का प्रमुख लघुगणक इसके द्वारा दिया जाता है और इस प्रकार का लघुगणक सामान्य पिन समूह के तत्वों द्वारा दिया जाता है। अपरिवर्तनीय अपघटन को a-परावर्तन तक बढ़ाने के लिए, हम उपयोग करते हैं कि सदिश भाग एक परावर्तन है जो पहले से ही-परावर्तन के साथ कम्यूट करता है, और-परावर्तन के लिए ऑर्थोगोनल है। समस्या तब ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करने के अपघटन को खोजने के लिए कम हो जाती है। इनवेरिएंट बाइवेक्टर्स बाइवेक्टर्स संबंधित के अपरिवर्तनीय हैं क्योंकि वे इसके साथ कम्यूट करते हैं, और इस प्रकार समूह संयुग्मन के तहत जैसा कि परिचय में दिया गया है, चेज़ल्स प्रमेय के उदाहरण पर वापस जाते हुए, 3डी में पेंच गति दो रेखाओं को अपरिवर्तनीय छोड़ देती है और, जो घूर्णन की धुरी और क्षितिज पर अनुवाद के ऑर्थोगोनल अक्ष के अनुरूप होती है। जबकि पूरा स्थान एक पेंच गति से गुजरता है, ये दो अक्ष इसके द्वारा अपरिवर्तित रहते हैं। इतिहास अपरिवर्तनीय अपघटन की जड़ें मार्सेल रीज़ द्वारा बाइवेक्टर्स के बारे में दिए गए एक कथन में मिलती हैंः क्या किसी भी बाइवेक्टर को पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल सरल बाइवेक्टर्स के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है? गणितीय रूप से, इसका मतलब यह होगा कि एक आयामी ज्यामितीय बीजगणित में दिए गए बाइवेक्टर्स के लिए, अधिकतम बाइवेक्टर्स का पता लगाना संभव होना चाहिए, जैसे कि, जहां संतुष्ट होता है और एक स्केलर के लिए वर्ग होना चाहिए। मार्सेल रीज़ ने कुछ उदाहरण दिए जो इस अनुमान की ओर ले जाते हैं, लेकिन एक (प्रतीत होने वाला) विपरीत उदाहरण भी दिया। ज्यामितीय बीजगणित में अनुमान का पहला और अधिक सामान्य समाधान डेविड हेस्टेन्स और गैरेट सोब्ज़ीक द्वारा दिया गया था। हालाँकि, यह समाधान विशुद्ध रूप से यूक्लिडियन स्थानों तक सीमित था। 2011 में (3डीसीजीए) में समाधान लियो डोर्स्ट और रॉबर्ट जान वाल्केनबर्ग द्वारा प्रकाशित किया गया था, और लॉरेंट्ज़ियन हस्ताक्षर में पहला समाधान था। इसके अलावा 2011 में, चार्ल्स गन अपक्षयी मीट्रिक में समाधान देने वाले पहले व्यक्ति थे। इसने पहली झलक पेश की कि सिद्धांत मीट्रिक स्वतंत्र हो सकता है। फिर, 2021 में, पूर्ण मीट्रिक और आयाम स्वतंत्र बंद रूप समाधान मार्टिन रोल्फ्स द्वारा अपने पीएचडी थीसिस में दिया गया था। और क्योंकि एक ज्यामितीय बीजगणित में बाइवेक्टर लाइ बीजगणित का निर्माण करते हैं, थीसिस का उपयोग समूहों के तत्वों को ऑर्थोगोनल कम्यूटिंग कारकों में विघटित करने के लिए भी किया गया था जो प्रत्येक यूलर के सूत्र का पालन करते हैं, और इन समूहों के लिए बंद रूप घातीय और लघुगणक कार्यों को प्रस्तुत करने के लिए। इसके बाद मार्टिन रोल्फ्स और स्टीवन डी केनिक के एक पेपर में अपरिवर्तनीय अपघटन को केवल तत्वों को शामिल करने के लिए नहीं बढ़ाया गया था, और बिना गुजरने के तत्वों का प्रत्यक्ष अपघटन पाया गया था। संदर्भ समूह सिद्धांत