Feuerbach hyperbola
ज्यामिति में, फ़ुएरबाख हाइपरबोला एक आयताकार हाइपरबोला है जो महत्वपूर्ण त्रिभुज केंद्रों जैसे कि ऑर्थोसेंटर, गेर्गोने बिंदु, नागेल बिंदु और शिफ़लर बिंदु से गुजरता है। हाइपरबोला का केंद्र फ़ुएरबाख बिंदु है, जो अंतःवृत्त और नौ-बिंदु वृत्त की स्पर्शता का बिंदु है। समीकरण इसमें त्रिकोणीय समीकरण है (यहाँ संबंधित शीर्षों पर कोण हैं और बेरीसेंट्रिक निर्देशांक है)। गुण अन्य आयताकार हाइपरबोला की तरह, वक्र पर किसी भी तीन बिंदुओं का ऑर्थोसेंटर हाइपरबोला पर स्थित होता है। तो, त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर वक्र पर स्थित है। रेखा इस हाइपरबोला के लिए स्पर्शरेखा है। ओ. आई. का आइसोगोनल संयुग्म हाइपरबोला का आइसोगोनल संयुग्म है, जो परिधि केंद्र और प्रेरक को जोड़ने वाली रेखा है। यह तथ्य कुछ दिलचस्प गुणों की ओर ले जाता है। विशेष रूप से रेखा पर पड़े सभी बिंदुओं के समभुज संयुग्म हाइपरबोला पर स्थित होते हैं। नागेल बिंदु वक्र पर स्थित है क्योंकि इसका समभुज संयुग्म शीर्षों और विपरीत मिश्रित-रेखीय अंतःवृत्त स्पर्श बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं का समवर्ती बिंदु है, साथ ही अंतःवृत्त और परिधि की समानता भी है। इसी तरह, गर्गोन बिंदु वक्र पर स्थित है क्योंकि इसका समभुज संयुग्म अंतःवृत्त और परिधि की पूर्व-समानता है। हाइपरबोला पर किसी भी बिंदु का पेडल वृत्त हाइपरबोला के केंद्र, फ़ायरबाख बिंदु से होकर गुजरता है। करिया की प्रमेय एक त्रिभुज को देखते हुए, त्रिभुज की भुजाओं के साथ अंतःवृत्त के स्पर्श बिंदु क्रमशः शीर्षों के विपरीत होने चाहिए। मान लीजिए कि रेखाओं पर ऐसे बिंदु पड़े हों। फिर, रेखाएँ फ़ुएरबाख हाइपरबोला पर स्थित एक बिंदु पर समवर्ती होती हैं। करिया के प्रमेय का एक लंबा इतिहास है। इसे ऑगस्टे बाउटिन और वी द्वारा स्वतंत्र रूप से साबित किया गया था। रिटाली., लेकिन यह करिया के पेपर के बाद ही प्रसिद्ध हुआ। उस समय के आसपास, इस परिणाम के कई सामान्यीकरण दिए गए थे। फ़ायरबाख हाइपरबोला के निर्माण के लिए करिया के प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है। लेमोइन की प्रमेय और करिया की प्रमेय दोनों जैकोबी की प्रमेय का एक विशेष मामला हैं। अन्य आयताकार हाइपरबोला कीपर्ट हाइपरबोला, अद्वितीय शंकु जो एक त्रिभुज के तीन शीर्षों, इसके केंद्रक और इसके ऑर्थोसेन्टर जेराबेक हाइपरबोला से गुजरता है, एक आयताकार हाइपरबोला जो एक त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त पर केंद्रित है और त्रिभुज के तीन शीर्षों के साथ-साथ इसके परिधि केंद्र, ऑर्थोसेन्टर और विभिन्न अन्य उल्लेखनीय केंद्रों से गुजरता है।