Median mechanism
एक माध्यक तंत्र एक मतदान नियम है जो लोगों को एक आयामी क्षेत्र में एक मूल्य पर निर्णय लेने की अनुमति देता है। प्रत्येक व्यक्ति अपना आदर्श मूल्य लिख कर मतदान करता है, और नियम एक एकल मूल्य का चयन करता है जो (मूल तंत्र में) सभी मतों का माध्यिका है। मध्यम तंत्र का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, देश के बजट के आकार पर निर्णय लेने के लिएः प्रत्येक व्यक्ति कहता है कि आदर्श बजट का आकार क्या होना चाहिए, और चुना गया आकार घोषित मूल्यों का मध्यम है। एक अन्य संभावित अनुप्रयोग यह तय करना है कि वार्षिक स्कूल की छुट्टी कितनी लंबी होनी चाहिएः प्रत्येक व्यक्ति दिनों में आदर्श लंबाई बताता है, और माध्यिका का चयन किया जाता है। तीसरा उदाहरण हैः यह तय करना कि कार्यालय में एयर-कंडीशनर को किस तापमान पर सेट किया जाना चाहिए। एक चौथा उदाहरण एक आयाम में सुविधा स्थान की समस्या है। मध्यम तंत्र की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह सच हैः यदि प्रत्येक मतदाता की उपयोगिता अधिक है जब भी चुना गया मूल्य उसके आदर्श मूल्य के करीब है, तो प्रत्येक मतदाता के लिए एक इष्टतम रणनीति अपने वास्तविक आदर्श मूल्य की घोषणा करना है, चाहे अन्य मतदाता कुछ भी कहें। यह अन्य प्राकृतिक तंत्रों के विपरीत है, जैसे कि औसत तंत्र। औसत तंत्र के साथ, यदि वर्तमान औसत एक मतदाता के आदर्श मूल्य से कम है, तो मतदाता के लिए एक उच्च मूल्य (और इसके विपरीत) घोषित करना इष्टतम हो सकता है, ताकि चुने गए मूल्य को उसके आदर्श मूल्य की ओर "खींचा" जा सके। माध्यिका तंत्र इस तरह के जोड़-तोड़ से सुरक्षित है। इसके अलावा, प्रत्येक तंत्र जो सच्चा और अनाम है, एक सामान्यीकृत मध्यक तंत्र है-एक ऐसा तंत्र जो कुछ निश्चित "समाज के वोटों" को सम्मिलित करता है और फिर मध्यक का चयन करता है (नीचे देखें)। अनुमान समाज एक आयामी समुच्चय में से एक मूल्य चुनना चाहता है, जिसे वास्तविक रेखा के सबसेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जैसे। वास्तविक अंतराल [0,1]। कुछ एन मतदाता हैं। प्रत्येक मतदाता का एक आदर्श मूल्य पाई होता है, जिसे आई का शिखर भी कहा जाता है। मतदाता I की उपयोगिता चुने गए मूल्य पर निर्भर करती हैः यदि चुना गया मूल्य पाई के करीब है तो मतदाता अधिक खुश होता है। औपचारिक रूप से, उपयोगिताएँ प्रत्येक दो विकल्पों x, y के लिए एकल-चोटी की स्थिति को पूरा करती हैंः यदि x> y ± पाई, या यदि x <y ≤ पाई, तो एजेंट y से x को पसंद करता है। एक उपयोगिता फलन जो इस स्थिति को संतुष्ट करता है वह हैः यूआई (एक्स) =-|x-पीआई।; इसलिए शिखर की उपयोगिता 0 है, और अन्य विकल्पों की उपयोगिता नकारात्मक है, और हम शिखर से जितना दूर हैं उतना अधिक नकारात्मक हो जाता है। प्रक्रिया 1,., n में प्रत्येक अभिकर्ता i को पाई के मूल्य की रिपोर्ट करने के लिए कहा जाता है। मानों को आरोही क्रम p1 ≤. ≤ pn में क्रमबद्ध किया जाता है। मूल तंत्र में, चुना गया मान जब n विषम होता है तो p (n + 1)/2 होता है, जो मानों के मध्यक के बराबर होता है (जब n सम होता है, तो चुना गया मान pn/2 होता है): विकल्प = मध्यक (p1,., pn)। एक सामान्यीकृत माध्यिका तंत्र (जी. एम. एम.) में, कुछ के पूर्व-निर्धारित समाज वोट (जिन्हें फैंटम वोट भी कहा जाता है), एस1,., एस. के. होते हैं। चयनित मान हैः विकल्प = माध्यिका (पी1,., पीएन, एस1,., एसके)। गुण समाज के प्रत्येक चयन के लिए एस1, एस. के., एस. के., जी. एम. एम. गुमनाम, रणनीति-रोधक और समूह-रणनीति-रोधक है। इसके अलावा, यदि समाज के मतों की संख्या अधिकतम एन-1 है, तो जी. एम. एम. भी पेरेटो-कुशल है। विशेष रूप से, जी. एम. एम. सर्वसम्मति गुण को संतुष्ट करता हैः यदि सभी एन मतदाता किसी मूल्य पर सहमत हैं, तो इस मूल्य को चुना जाता है। विशेषताएँ प्रत्येक अनाम और रणनीति-रहित तंत्र के लिए, कुछ एन + 1 समाज के वोट ऐसे होते हैं कि तंत्र इन समाज के वोटों के साथ जी. एम. एम. के बराबर होता है। ध्यान दें कि इसमें एन-1 समाज के मतों के साथ सभी जी. एम. एम.-एस. शामिल हैंः कुछ एन-1 समाज के मतों को देखते हुए, कोई भी एक समाज के मत को-φ (या सबसे छोटा संभव मूल्य) पर जोड़ सकता है और एक समाज के मत को + φ (या सबसे बड़ा संभव मूल्य) पर जोड़ सकता है; इन एन + 1 समाज के मतों के साथ माध्यिका मूल एन-1 समाज के मतों के साथ माध्यिका के समान है। इसी तरह, इस वर्ग में एन-3 समाज के वोट, एन-5 समाज के वोट आदि वाले सभी जी. एम. एम. शामिल हैं। प्रत्येक अनाम, रणनीति-रोधक और कुशल तंत्र को एन-1 समाज के वोटों के साथ एक सामान्यीकृत मध्यम तंत्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। विशेष मामले यदि सभी एन-1 समाज के वोट-φ (या सबसे छोटा संभव मूल्य) हैं, तो जी. एम. एम. न्यूनतम (पी1,., पी. एन.) = पी1 का चयन करता है। इसी तरह, यदि सभी एन-1 समाज के वोट + φ (या सबसे बड़ा संभव मूल्य) हैं, तो जी. एम. एम. अधिकतम (पी1,., पी. एन.) = पी. एन. का चयन करता है। सामान्य तौर पर, यदि k समाज के वोट + ≤ हैं और n-1-k-≤ हैं, तो GMM pk + 1-(k + 1)-th उच्चतम मूल्य का चयन करता है। ये सभी तंत्र सत्य हैं। बजट एकत्रीकरण के लिए अनुप्रयोग बजट प्रस्तावों के सच्चे एकत्रीकरण के लिए एक तंत्र के निर्माण के लिए सामान्यीकृत मध्यम तंत्र का उपयोग किया गया है। संबंधित अवधारणाएँ चिंग द्वारा एक समान लक्षण वर्णन दिया गया है। एक मध्यक तंत्र में, प्रत्येक अभिकर्ता अपने आदर्श मूल्य ("शिखर") की रिपोर्ट करता है। औसत मतदाता प्रमेय श्रेणीबद्ध मतदान तंत्र से संबंधित है, जिसमें प्रत्येक प्रतिनिधि विकल्पों पर अपनी पूरी श्रेणी की रिपोर्ट करता है। प्रमेय में कहा गया है कि, यदि एजेंटों की प्राथमिकताएं एकल-चोटी हैं, तो प्रत्येक कोंडोरसेट विधि हमेशा औसत मतदाता द्वारा पसंद किए गए उम्मीदवार का चयन करती है। संदर्भ एकल-विजेता चुनावी प्रणाली तंत्र डिजाइन