Permutoassociahedron
गणित में, परम्यूटोएसोसिएहेड्रॉन एक आयामी पॉलीटोप है जिसके शीर्ष शब्दों के क्रमपरिवर्तन के कोष्ठकों के अनुरूप होते हैं और जिनके किनारे दो कोष्ठकों को जोड़ते हैं जिन्हें या तो साहचर्य का उपयोग करके कोष्ठकों की एक जोड़ी को स्थानांतरित करके या दो लगातार शब्दों को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है जो एक कोष्ठक द्वारा अलग नहीं होते हैं। पर्मूटोएसोसिएहेड्रॉन को पहली बार मिखाइल कप्रानोव द्वारा सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के रूप में परिभाषित किया गया था, जिन्होंने नोट किया कि यह संरचना मैक लेन के सममित और ब्रैडेड श्रेणियों के लिए सुसंगतता प्रमेय के साथ-साथ निज़्निक-ज़मोलोडचिकोव समीकरणों पर व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड के काम में निहित रूप से दिखाई देती है। इसका निर्माण विक्टर रेनर और गुंटर एम. ज़िगलर द्वारा उत्तल पॉलीटोप के रूप में किया गया था। उदाहरण कब, पर्म्यूटोएसोसिएहेड्रॉन के शीर्षों को तीन शब्दों के सभी क्रमपरिवर्तनों को कोष्ठक बनाकर दर्शाया जा सकता है, और। ऐसे छह क्रमपरिवर्तन हैं,,,,, और, और उनमें से प्रत्येक दो कोष्ठकों को स्वीकार करता है (एक दूसरे से साहचर्य द्वारा प्राप्त)। उदाहरण के लिए, के रूप में या के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। इसलिए,-आयामी परम्यूटोएसोसिएहेड्रॉन शीर्षों,,,,,,,,, और के साथ डोडेकागन है। जब, शीर्ष पर्म्यूटोआसोसिएहेड्रॉन के ठीक तीन अन्य शीर्षों से सटा होता हैः,, और। पहले दो शीर्षों पर साहचर्य के माध्यम से और तीसरे पर स्थानांतरण के माध्यम से पहुँचा जाता है। शीर्ष चार शीर्षों से सटा हुआ है। उनमें से दो, और, साहचर्य के माध्यम से पहुँचते हैं, और अन्य दो, और, एक स्थानांतरण के माध्यम से। यह दर्शाता है कि, आयाम और उससे ऊपर, पर्मूटोएसोसिएहेड्रॉन एक साधारण पॉलीटोप नहीं है। गुण-आयामी पर्म्यूटोएसोसिएहेड्रॉन में शीर्ष होते हैं। यह शब्दों के क्रमपरिवर्तन की संख्या और ऐसे किसी भी क्रमपरिवर्तन के सभी संभावित कोष्ठकों की संख्या के बीच का उत्पाद है। पहली संख्या भाज्य के बराबर है और बाद वाली कैटलन संख्या है। ब्रैकेटेड क्रमपरिवर्तन के संदर्भ में इसके विवरण के अनुसार, पर्म्यूटोएसोसिएहेड्रॉन का 1-कंकाल दो अलग-अलग प्रकार के फ़्लिप (एसोसिएटिविटी और ट्रांसपोजिशन) के साथ एक फ़्लिप ग्राफ है। पर्मूटोहेड्रोन एसोसियाहेड्रोन साइक्लोहेड्रोन संदर्भ क्रमपरिवर्तन पॉलीटोप भी देखें।