Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
अंकगणितीय प्रगति की शक्तियों के योग की गणना करने वाले बहुपद एक चर में बहुपद हैं जो विशेष अंकगणितीय प्रगति पर निर्भर करते हैं जो योग शक्तियों के आधार का गठन करते हैं और निरंतर प्रतिपादक, गैर-नकारात्मक पूर्णांक, दोनों पर निर्भर करते हैं। उनकी डिग्री हमेशा एक इकाई द्वारा स्थिर घातांक से अधिक होती है और इसका गुण है कि जब बहुपद चर योग की संख्या के साथ मेल खाता है, तो बहुपद फलन का परिणाम भी योग के साथ मेल खाता है। इसलिए समस्या खोजने में है अर्थात। जोड़ों के योग की गणना करने के एक कार्य के रूप में बहुपदः सकारात्मक के साथ और पूर्णांक, एक अंकगणितीय प्रगति का पहला पद और सामान्य अंतर। ये दोनों मापदंड न केवल पूर्णांक हो सकते हैं, बल्कि तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल भी हो सकते हैं। इतिहास प्राचीन काल समस्या का इतिहास प्राचीन काल से शुरू होता है और इसके कुछ विशेष मामलों के साथ मेल खाता है। यह मामला अंकगणितीय श्रृंखला की गणना के साथ मेल खाता है, जो एक अंकगणितीय प्रगति के पहले मूल्यों का योग है। यह समस्या काफी सरल है लेकिन पाइथागोरस स्कूल द्वारा त्रिकोणीय संख्याओं के साथ इसके संबंध के लिए पहले से ही जाना जाने वाला मामला ऐतिहासिक रूप से दिलचस्प हैः पहली प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करने वाला बहुपद। गणित के इतिहास में सबसे पहले जिन मामलों का सामना करना पड़ा वे हैंः एक वर्ग बनाने वाली पहली क्रमिक बाधाओं के योग की गणना करने वाली बहुपद। एक ऐसी संपत्ति जिसे शायद पायथागोरियन स्वयं अच्छी तरह से जानते थे, जिन्हें अपनी आकृति संख्या के निर्माण में, अगले पूर्ण वर्ग को प्राप्त करने के लिए हर बार एक नॉमोन जोड़ना पड़ता था जिसमें विषम संख्या में अंक होते थे। क्रमिक पूर्णांकों के वर्गों के योग की गणना करने वाली बहुपद। गुण जो हम सर्पिल में प्रदर्शित पाते हैं, आर्किमिडीज़ का एक काम; क्रमिक पूर्णांकों के घनों के योग की गणना करने वाला बहुपद। गेरासा के निकोमाकस के एक प्रमेय का कोरोलरी. उन मामलों का सारांश, जिनसे दो पूर्ववर्ती बहुपद संबंधित हैं, क्रमिक पूर्णांकों की शक्तियों की शास्त्रीय समस्या का गठन करता है। मध्य काल के साथ, कई अन्य गणितविदों ने इस समस्या में रुचि दिखाई और इसके समाधान में विभिन्न योगदान दिए। इनमें आर्यभट्ट, अल-कराजी, इब्न अल-हेथम, थॉमस हैरियट, जोहान फौलहाबर, पियरे डी फर्माट और ब्लेज़ पास्कल शामिल हैं जिन्होंने एक पहचान पर विचार करके क्रमिक पूर्णांकों की शक्तियों के योग की समस्या को पुनरावर्ती रूप से हल किया जो पहले से ही पिछले को जानते हुए डिग्री की बहुपद प्राप्त करने की अनुमति देता था। 1713 में जैकब बर्नौली के परिवार ने मरणोपरांत अपनी "आर्टिस कॉन्जेक्टेन्डी" प्रकाशित की, जिसमें इस अनंत श्रृंखला के पहले 10 बहुपद एक सामान्य सूत्र के साथ दिखाई देते हैं जो विशेष संख्याओं पर निर्भर करता है जो जल्द ही उनके नाम पर रखे गए थे। इसके बजाय सूत्र का श्रेय जोहान फौलहेबर को उनके योग्य योगदान के लिए दिया गया था जिसे स्वयं बर्नौली ने मान्यता दी थी। यह भी तुरंत स्पष्ट हो गया था कि शून्य से शुरू होने वाले क्रमिक पूर्णांकों की शक्तियों के योग की गणना करने वाले बहुपद एक से शुरू होने वाले बहुपदों के समान थे। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह स्पष्ट है कि और इसलिए रूप की डिग्री के बहुपदों ने एकरस अंतर को घटाया जो वे बन जाते हैं। हालांकि, फौलहाबर के सूत्र का एक प्रमाण गायब था, जिसे एक सदी से भी अधिक समय बाद कार्ल जी. जैकोबी द्वारा दिया गया था, जिन्होंने बर्नौली संख्याओं को उत्पन्न करने वाले एक घातीय फलन की अनंत श्रृंखला में विकास का उपयोग करके गणितीय विश्लेषण की प्रगति से लाभ उठाया था। आधुनिक काल 1982 ए. डब्ल्यू. एफ. एडवर्ड्स एक लेख प्रकाशित करते हैं जिसमें वे बताते हैं कि पास्कल की पहचान को त्रिकोणीय मैट्रिक्स के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है जिसमें पास्कल का त्रिभुज प्रत्येक पंक्ति के अंतिम तत्व से वंचित हैः उदाहरण पांचवें क्रम के मैट्रिक्स के विकल्प से सीमित है लेकिन आसानी से उच्च क्रम तक विस्तारित किया जा सकता है। समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः और समीकरण की दोनों भुजाओं को बाईं ओर मैट्रिक्स ए के व्युत्क्रम से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं जो सीधे बर्नौली संख्याओं का उपयोग किए बिना बहुपद गुणांक पर सीधे पहुंचने की अनुमति देता है। एडवर्ड्स के बाद पावर सम समस्या के विभिन्न पहलुओं से निपटने वाले अन्य लेखक मैट्रिक्स पथ लेते हैं और अपने लेखों में समस्या के पहलुओं का अध्ययन करते हैं जैसे कि वेंडरमोंडे वेक्टर। अन्य शोधकर्ता पारंपरिक विश्लेषणात्मक मार्ग के माध्यम से खोज करना जारी रखते हैं और किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए क्रमिक पूर्णांकों के योग की समस्या का सामान्यीकरण करते हैं बहुपदों के गुणांक पुनरावर्ती सूत्रों के माध्यम से पाए जाते हैं और अन्य तरीकों से जो बर्नौली बहुपदों के एक फलन के रूप में योग के परिणाम की अभिव्यक्ति के रूप में संख्या सिद्धांत के लिए दिलचस्प हैं या स्टर्लिंग संख्याओं और पहले और दूसरे प्रकार के आर-व्हिटनी संख्याओं को शामिल करने वाले सूत्र अंत में, एडवर्ड्स के मैट्रिक्स दृष्टिकोण को किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए भी सामान्यीकृत किया गया था। यह दिखाया गया है कि, मापदंडों को चुनने के बाद और जो अंकगणितीय प्रगति और एक सकारात्मक पूर्णांक को निर्धारित करते हैं, हम निम्नलिखित शक्तियों के योग के अनुरूप बहुपद पाते हैंः क्रम के त्रिकोणीय मैट्रिक्स की पंक्ति के बहुपद गुणांक तत्वों के साथ। यहाँ विशेष मामले में हल करने का सूत्र है जो 0 से 3 तक के घातांकों के साथ दिए गए अंकगणितीय प्रगति के बहुपदों को देता हैः वह समीकरण जिसे आसानी से m (गैर-नकारात्मक पूर्णांक) के विभिन्न मूल्यों तक बढ़ाया जा सकता है, उसे संक्षेपित और सामान्यीकृत किया जाता है जैसा कि निम्नानुसार हैः या इसके साथ रखते हुए भी मैट्रिक्स और वेंडरमोंडे वेक्टर की कठोर परिभाषा हैः इसलिए इसके परिणाम मैट्रिक्स ए एडवर्ड्स की है जो पहले से ही देखा गया है, एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स जो पुनः उत्पन्न करता है, गैर-शून्य तत्वों में, प्रत्येक पंक्ति के अंतिम तत्व से वंचित पास्कल का त्रिकोण। दूसरी ओर के तत्व शक्ति विकास के एकाधिकार हैं। यह स्तंभ उत्पाद द्वारा पंक्ति का तटस्थ तत्व है ताकि इस मामले में सामान्य समीकरण बन जाएः यही वह है जो एडवर्ड्स द्वारा खोजा गया है इस विशेष मामले से आने के लिए सामान्य को साबित करने के लिए, निम्नलिखित पहचान का पता लगाने के बाद समीकरण के दो सदस्यों को मैट्रिक्स द्वारा बाईं ओर गुणा करने के लिए पर्याप्त है क्रमिक विषम संख्याओं की शक्तियों का योग हम क्रमिक विषम शक्तियों को जोड़ने की समस्या को हल करने के लिए पिछले सूत्र का उपयोग करते हैंः ऑड्स पहले तत्व के साथ अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप हैं और कारण के रूप में हम विषम की शक्तियों के योग की गणना करने वाले पहले पांच बहुपदों को खोजने के लिए m = 4 निर्धारित करते हैं। गणना हम प्राप्त करते हैंः इसलिए हमारे पास उत्पाद के लिए और नुकसान के लिए सामान्य समीकरण हैः अंतिम पंक्ति () का उपयोग करके हम तब प्राप्त करते हैं और अन्य पंक्तियों का उपयोग करते हैंः 1 से शुरू होने वाले क्रमिक पूर्णांकों का योग चुना और गणना की जाती है और T (1,1) जो पास्कल के त्रिकोण से मेल खाता हैः 0 से शुरू होने वाले क्रमिक पूर्णांकों का योग चुना और गणना की जाती है और T (0,1) इकाई मैट्रिक्सः प्रगति-1,3,7,11,15। फिर से चुना गया, गणना की गई, पिछले पैराग्राफ और सहयोगी गुण के परिणाम का दोहन किया गयाः फौलहाबर के सूत्र का सामान्यीकरण मैट्रिक्स को बर्नौली बहुपदों के एक कार्य के रूप में निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जा सकता है जिससे सामान्यीकृत फौलहाबर सूत्र प्राप्त होता हैः और प्रसिद्ध विशेष मामले भीः जहां 0 में गणना की गई बर्नौली बहुपद बर्नौली संख्याएँ हैं और 1 में गणना की गई संकेत के परिवर्तन के साथ इसका संस्करण है। बर्नौली के बहुपदों के अनुवाद के गुण होने के कारण, सामान्यीकृत फौलहाबर सूत्र साहित्य में दूसरे के विपरीत बहुत व्यापक हो सकता है। इसलिए दो विशेष मामले भीः संदर्भ अंकगणितीय प्रगति भी देखें फौलहाबर का सूत्र पास्कल का त्रिभुज द्विपद प्रमेय बर्नौली बहुपद बहुपद