Neuberg cubic
यूक्लिडियन ज्यामिति में, न्युबर्ग घन एक विशेष घन समतल वक्र है जो कई उल्लेखनीय गुणों के साथ एक संदर्भ त्रिकोण से जुड़ा हुआ है। इसका नाम जोसेफ जीन बैप्टिस्ट न्युबर्ग (30 अक्टूबर 1840-22 मार्च 1926) के नाम पर रखा गया है, जो लक्ज़मबर्ग के एक गणितशास्त्री थे, जिन्होंने पहली बार 1884 में प्रकाशित एक पेपर में वक्र को पेश किया था। बर्नार्ड गिल्बर्ट के कैटलॉग ऑफ ट्राइएंगल क्यूबिक्स में पहचान संख्या K001 के साथ वक्र पहली वस्तु के रूप में दिखाई देता है, जो 1200 से अधिक त्रिभुज क्यूबिक्स के बारे में व्यापक जानकारी का संकलन है। परिभाषाएँ न्युबर्ग घन को कई अलग-अलग तरीकों से लोकस के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक तरीका यह है कि इसे संदर्भ त्रिभुज के तल में एक बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाए, जैसे कि यदि त्रिभुज के किनारे पर के प्रतिबिंब हों, तो रेखाएँ समवर्ती हों। हालाँकि, यह साबित करने की आवश्यकता है कि इस प्रकार परिभाषित लोकस वास्तव में एक घन वक्र है। दूसरा तरीका यह है कि इसे बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाए कि यदि त्रिभुजों के परिधि केंद्र हैं, तो रेखाएं समवर्ती हैं। एक और तरीका यह है कि इसे निम्नलिखित गुण को संतुष्ट करने के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाए जिसे चतुर्भुज अनैच्छिक के रूप में जाना जाता है (यह वह तरीका था जिसमें न्युबर्ग ने वक्र की शुरुआत की थी): समीकरण मान लीजिए संदर्भ त्रिभुज की पार्श्व लंबाई है। फिर बेरीसेंट्रिक निर्देशांक में न्यूबर्ग क्यूबिक का समीकरण अन्य शब्दावली हैः 21-बिंदु वक्र, 37-बिंदु वक्र पुराने साहित्य में न्यूबर्ग वक्र को आमतौर पर 21-बिंदु वक्र के रूप में संदर्भित किया जाता है। शब्दावली स्वयं न्युबर्ग द्वारा खोजे गए वक्र के गुण को संदर्भित करती है कि यह संदर्भ त्रिभुज से जुड़े कुछ विशेष 21 बिंदुओं से गुजरती है। यह मानते हुए कि संदर्भ त्रिकोण है, 21 बिंदु नीचे सूचीबद्ध हैं। शीर्ष विपरीत दिशा में शीर्षों के परावर्तन ऑर्थोसेन्टर परिधि केंद्र तीन बिंदु जहां रेखा में ए का परावर्तन होता है और जहां के साथ लंबवत द्विभाजक का प्रतिच्छेदन होता है और जहां के साथ लंबवत द्विभाजक का प्रतिच्छेदन होता है; और इसी तरह परिभाषित किए जाते हैं समबाहु त्रिभुज के छह शीर्ष त्रिभुज के किनारों पर निर्मित होते हैं दो समभुज केंद्र (बिंदु एक्स (13) और एक्स (14) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में) दो समगतिक बिंदु (बिंदु एक्स (15) और एक्स (16) त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में) संलग्न आकृति सभी के साथ त्रिभुज के न्युबर्ग घन को दर्शाती है। 1925 में प्रकाशित एक पेपर में, बी. एच. ब्राउन ने न्यूबर्ग क्यूबिक पर 16 अतिरिक्त विशेष बिंदुओं की खोज की सूचना दी, जिससे क्यूबिक पर तत्कालीन ज्ञात विशेष बिंदुओं की कुल संख्या 37 हो गई। इस वजह से, न्युबर्ग क्यूबिक को कभी-कभी 37-बिंदु क्यूबिक के रूप में भी जाना जाता है। वर्तमान में, न्यूबर्ग क्यूबिक पर बड़ी संख्या में विशेष बिंदु स्थित हैं। गिल्बर्ट कैटलॉग में ऐसे विशेष बिंदुओं की सूची के लिए समर्पित एक विशेष पृष्ठ है जो त्रिभुज केंद्र भी हैं। वृत्ताकार घन के रूप में न्युबर्ग घन के कुछ गुण संदर्भ त्रिभुज के तल में अनंत पर रेखा के त्रिकोणीय निर्देशांक में समीकरण यह है कि इस रेखा पर दो विशेष बिंदु हैं जिन्हें अनंत पर वृत्ताकार बिंदु कहा जाता है। त्रिभुज के तल में प्रत्येक वृत्त इन दो बिंदुओं से गुजरता है और प्रत्येक शंकु जो इन बिंदुओं से गुजरता है वह एक वृत्त है। इन बिंदुओं के त्रिकोणीय निर्देशांक कहाँ हैं। कोई भी घन वक्र जो अनंत पर दो वृत्ताकार बिंदुओं से गुजरता है, उसे वृत्ताकार घन कहा जाता है। न्युबर्ग घन एक गोलाकार घन है। न्युबर्ग घन एक प्रमुख समभुज घन के रूप में एक त्रिभुज के संबंध में एक बिंदु का समभुज संयुग्म क्रमशः कोण द्विभाजक के बारे में रेखाओं के प्रतिबिंबों की सहमति का बिंदु है। के आइसोगोनल संयुग्म को कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है। का आइसोगोनल संयुग्म है। एक स्व-समभुज घन एक त्रिभुज घन है जो समभुज संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक महत्वपूर्ण समभुज घन एक घन है जिसमें घन पर स्थित बिंदु और उनके समभुज संयुग्म एक निश्चित बिंदु के साथ समरेखीय होते हैं जिसे घन के धुरी बिंदु के रूप में जाना जाता है। न्युबर्ग घन एक महत्वपूर्ण समभुज घन है जिसका धुरी यूलर रेखा के प्रतिच्छेदन पर अनंत रेखा के साथ है। किम्बर्लिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में, इस बिंदु को एक्स (30) द्वारा दर्शाया गया है। न्युबर्ग घन को एक धुरी ऑर्थोक्यूबिक के रूप में त्रिभुज के तल में एक बिंदु माना जाता है। लंबवत रेखाएँ क्रमशः पर प्रतिच्छेद करती हैं और ये बिंदु एक रेखा पर स्थित हैं। त्रिकोणीय ध्रुव को होने दें। आइसोपिवोटल क्यूबिक एक त्रिभुज क्यूबिक है जिसका गुण है कि एक निश्चित बिंदु ऐसा है कि क्यूबिक पर किसी भी बिंदु M के लिए, बिंदु समरेखीय हैं। स्थिर बिंदु को घन का ऑर्थोपीवॉट कहा जाता है। न्युबर्ग घन त्रिभुज के परिधि केंद्र पर ऑर्थोपीवोट के साथ एक ऑर्थोपीवोटल घन है। अधिक पढ़ने के लिए अब्दीकादिर अल्टिंटास, न्यूबर्ग के कुछ गुणों पर घन संदर्भ त्रिभुज ज्यामिति