Stochastic logarithm
स्टोकेस्टिक कैलकुलस में, एक सेमीमार्टींगेल का स्टोकेस्टिक लघुगणक ऐसा होता है कि और सामान्य व्यक्ति के शब्दों में, माप का स्टोकेस्टिक लघुगणक संचयी प्रतिशत में परिवर्तन करता है। संकेतन और शब्दावली ऊपर प्राप्त प्रक्रिया को आमतौर पर दर्शाया जाता है। यादृच्छिक लघुगणक की शब्दावली प्राकृतिक लघुगणक की समानता से उत्पन्न होती हैः यदि समय के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है और, तो हल करता है, पथ-दर-पथ, अंतर समीकरण जिसका समाधान है। सामान्य सूत्र और विशेष मामले सेमीमार्टींगेल (इसके अलावा) पर किसी भी धारणा के बिना, एक है जहाँ की द्विघात भिन्नता का निरंतर भाग है और योग समय के (गणना योग्य रूप से कई) कूद पर फैला हुआ है। यदि निरंतर है, तो विशेष रूप से, यदि एक ज्यामितीय ब्राउनियन गति है, तो एक स्थिर बहाव दर के साथ एक ब्राउनियन गति है। यदि निरंतर और सीमित भिन्नता है, तो समय के संबंध में अवकलनीय होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, 1 प्लस कैंटर फ़ंक्शन के बराबर हो सकता है। गुण यादृच्छिक लघुगणक यादृच्छिक घातांक के लिए एक व्युत्क्रम संचालन हैः यदि, तो। इसके विपरीत, यदि और, तो। प्राकृतिक लघुगणक के विपरीत, जो केवल समय के मान पर निर्भर करता है, यादृच्छिक लघुगणक न केवल समय अंतराल के पूरे इतिहास पर निर्भर करता है। इस कारण से किसी को लिखना चाहिए और नहीं। एक स्थानीय मार्टिंगेल का यादृच्छिक लघुगणक जो अपनी बाईं सीमा के साथ गायब नहीं होता है, फिर से एक स्थानीय मार्टिंगेल है। उपरोक्त सभी सूत्र और गुण एक जटिल-मूल्य के यादृच्छिक लघुगणक पर भी लागू होते हैं। यादृच्छिक लघुगणक को उन प्रक्रियाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जो शून्य पर कूदने के बाद शून्य में अवशोषित हो जाती हैं। इस तरह की परिभाषा पहली बार तक सार्थक है जो लगातार पहुंचती है। उपयोगी पहचान योर सूत्र का व्युत्क्रमः यदि अपनी बाईं सीमाओं के साथ एक साथ गायब नहीं होते हैं, तो स्टोकेस्टिक लघुगणकः यदि, तो अनुप्रयोगों गिरसानोव के प्रमेय को निम्नानुसार व्याख्या की जा सकती हैः आइए एक अन्य संभाव्यता माप के बराबर एक संभाव्यता माप हों। द्वारा बंद किए गए समान रूप से एकीकृत मार्टिंगेल द्वारा निरूपित करें। सेमीमार्टींगल के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैंः प्रक्रिया इसके तहत विशेष है। प्रक्रिया के तहत विशेष है। + यदि इनमें से कोई भी स्थिति बनी रहती है, तो-का बहाव-का बहाव के बराबर होता है। संदर्भ = = यह भी देखें = = यादृच्छिक घातीय यादृच्छिक कलन