Quaternion estimator algorithm
क्वाटर्नियन एस्टिमेटर एल्गोरिथ्म (क्यू. यू. ई. एस. टी.) वहबा की समस्या को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया एक एल्गोरिथ्म है, जिसमें प्रत्येक प्रणाली में नमूने के दो सेटों से क्रमशः दो समन्वय प्रणालियों के बीच एक घूर्णन मैट्रिक्स खोजना शामिल है। एल्गोरिथ्म के पीछे प्रमुख विचार वाहबा की समस्या के लिए लॉस फ़ंक्शन की एक अभिव्यक्ति को एक द्विघात रूप के रूप में खोजना है, जिसमें केली-हैमिल्टन प्रमेय और न्यूटन-रैफसन विधि का उपयोग करके आइगेनवैल्यू समस्या को कुशलतापूर्वक हल करना और समाधान के संख्यात्मक रूप से स्थिर प्रतिनिधित्व का निर्माण करना है। एल्गोरिदम को 1981 में मैल्कम डी. शस्टर द्वारा कंप्यूटर विज्ञान निगम में काम करते हुए पेश किया गया था। जबकि सिद्धांत रूप में डेवनपोर्ट की क्यू विधि या एकल मूल्य अपघटन जैसी अन्य विधियों की तुलना में कम मजबूत है, एल्गोरिथ्म व्यावहारिक अनुप्रयोगों में काफी तेज और विश्वसनीय है, और इसका उपयोग रोबोटिक्स और एवियोनिक्स जैसे क्षेत्रों में दृष्टिकोण निर्धारण समस्या के लिए किया जाता है। वाहबा की समस्या के सूत्रीकरण में एक घूर्णन मैट्रिक्स खोजना शामिल है जो हानि कार्य को कम करता है जहां संदर्भ फ्रेम में वेक्टर अवलोकन हैं, शरीर फ्रेम में वेक्टर अवलोकन हैं, दो फ्रेमों के बीच एक घूर्णन मैट्रिक्स है, और भार का एक समूह है। इसे इस तरह से परिभाषित लाभ फलन की अधिकतम समस्या के रूप में फिर से लिखना संभव है कि अधिकतम होने पर नुकसान कम से कम हो जाए। लाभ को बदले में फिर से लिखा जा सकता है जिसे दृष्टिकोण प्रोफ़ाइल मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है। चरों की संख्या को कम करने के लिए, समस्या को सदिश भाग और अदिश भाग के साथ एक इकाई चतुर्थक के रूप में घूर्णन को मानकीकृत करके फिर से परिभाषित किया जा सकता है, जो एक अक्ष के चारों ओर कोण के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी दिशा सदिश द्वारा वर्णित है, जो एकता बाधा के अधीन है। अब चतुर्धातुक पैरामीटराइजेशन के संदर्भ में व्यक्त करना संभव है क्योंकि तिरछा-सममित मैट्रिक्स कहाँ है। चतुर्थक प्रतिनिधित्व के साथ प्रतिस्थापित करते हुए और परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाते हुए, लाभ फलन को एक द्विघात रूप के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें मैट्रिक्स को मात्राओं से परिभाषित किया जाता है इस द्विघात रूप को एक लैग्रेंज गुणक जोड़कर एकता बाधा के तहत अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे एक अनियंत्रित लाभ फलन प्राप्त होता है जो अधिकतम कब प्राप्त होता है। इसका तात्पर्य यह है कि इष्टतम घूर्णन को चतुर्थक द्वारा मानकीकृत किया जाता है जो सबसे बड़े आइगेनवैल्यू से जुड़ा आइगेनवेक्टर है। विशेषता समीकरण का समाधान इष्टतम चतुर्थक को सबसे बड़े आइगेनवैल्यू के विशेषता समीकरण को हल करके और आइगेनवेक्टर का निर्माण करके निर्धारित किया जा सकता है। की परिभाषा से, दो समीकरणों की प्रणाली के रूप में फिर से लिखना संभव है जहाँ रोड्रिग्स वेक्टर है। पहले के साथ दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, विशेषता समीकरण की अभिव्यक्ति प्राप्त करना संभव है। चूंकि, यह इसका अनुसरण करता है और इसलिए एक इष्टतम समाधान के लिए (जब नुकसान कम होता है)। यह रोड्रिग्स वेक्टर में प्रतिस्थापित करके इष्टतम चतुर्थक का निर्माण करने की अनुमति देता है। हालांकि वेक्टर के लिए एकवचन है। केली-हैमिल्टन प्रमेय का उपयोग करके उस समाधान की एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति का निर्माण किया जा सकता है जिसमें रोड्रिग्स वेक्टर शामिल नहीं है। एक मैट्रिक्स का विशेषता समीकरण वह है जहाँ केले-हैमिल्टन प्रमेय बताता है कि एक कम्यूटेटिव रिंग पर कोई भी वर्ग मैट्रिक्स अपने स्वयं के विशेषता समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए यह लिखने की अनुमति देता है कि कहाँ और इसके लिए इष्टतम वेक्टर का एक नया निर्माण प्रदान करता है जो संयुग्म चतुर्थक प्रतिनिधित्व देता है। के मान को विशेषता समीकरण के संख्यात्मक समाधान के रूप में निर्धारित किया जा सकता है। पहले प्राप्त विशेषता समीकरण के अंदर प्रतिस्थापित करना। यह बताता है कि जिसके मूल को न्यूटन-रैफसन विधि के साथ कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, 1 को समाधान के प्रारंभिक अनुमान के रूप में लेते हुए उच्चतम आइगेनवैल्यू में अभिसरण करने के लिए (इस तथ्य का उपयोग करते हुए, जो ऊपर दिखाया गया है, कि जब चतुर्थक इष्टतम समाधान के करीब है)। ट्रायड विधि वाहबा की समस्या संदर्भ स्रोत भी देखें बाहरी लिंक तीन आयामों में घूर्णन अंतरिक्ष यान दृष्टिकोण नियंत्रण