Bohemian matrices
एक बोहेमियन मैट्रिक्स परिवार मैट्रिक्स का एक समूह है जिसकी मुक्त प्रविष्टियाँ एकल असतत, आमतौर पर सीमित आबादी से आती हैं, जिसे मैट्रिक्स सूची द्वारा दर्शाया जाता है। इस विशेष बोहेमियन मैट्रिक्स परिवार से किसी भी मैट्रिक्स का प्रत्येक इनपुट सेट का एक तत्व होना आवश्यक है। इन गुणों वाले ऐसे मैट्रिक्स को बोहेमियन मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है। बोहेमियन मैट्रिक्स में अन्य संरचनाएं भी हो सकती हैं, जैसे कि टोइप्लिट्ज़ मैट्रिक्स या ऊपरी हेसेनबर्ग मैट्रिक्स। आम तौर पर, एक समय में एक निश्चित आबादी के साथ केवल एक बोहेमियन मैट्रिक्स परिवार का अध्ययन किया जाता है, और इसलिए कोई भी किसी भी मैट्रिक्स को बोहेमियन के रूप में वर्गीकृत कर सकता है या महत्वपूर्ण अस्पष्टता के बिना नहीं। अनुप्रयोग सॉफ्टवेयर परीक्षण बोहेमियन मैट्रिक्स का एक सामान्य अनुप्रयोग रैखिक बीजगणित में लागू सॉफ्टवेयर का परीक्षण करना है। बोहेमियन मैट्रिक्स (आमतौर पर) एक कंप्यूटर पर स्पष्ट रूप से दर्शाए जाते हैं, और कोई भी या तो विस्तृत खोज (छोटे आयामों के लिए), यादृच्छिक नमूनाकरण, या अनुकूलन तकनीकों द्वारा चरम व्यवहार के लिए पहचान कर सकता है। एक प्रमुख उदाहरण स्टीवन ई. थॉर्नटन हैं, जिन्होंने दो खरब से अधिक आइगेनवैल्यू समस्याओं का समाधान किया था। ऐसा करते हुए, उन्होंने कुछ लोकप्रिय सॉफ्टवेयर प्रणालियों में अभिसरण विफलता के उदाहरणों का खुलासा किया। एनीमैट्रिक्स एक विस्तार योग्य मैटलैब मैट्रिक्स संग्रह है जो बोहेमियन मैट्रिक्स के इष्टतम वर्गों के एक समूह को पकड़ता है। मैटलैब गैलरी में बोहेमियन मैट्रिक पर क्लीव मोलर का ब्लॉग पोस्ट भी देखें। 2018 बोहेमियन मैट्रिकस एंड एप्लीकेशन वर्कशॉप में दिए गए एक भाषण में, निक हिगम ने बताया कि कैसे उन्होंने जनसंख्या के साथ बोहेमियन मैट्रिकस पर आनुवंशिक एल्गोरिदम का उपयोग रुक पिवोटिंग के लिए अधिकतम विकास कारक पर निचली सीमा को तेज करने के लिए किया। अन्य क्षेत्रों से जुड़ाव यादृच्छिक मैट्रिक्स बोहेमियन मैट्रिक्स का अध्ययन यादृच्छिक नमूने के माध्यम से किया जा सकता है; जबकि, ऐसे अध्ययनों को यादृच्छिक मैट्रिक्स के क्षेत्र का हिस्सा माना जा सकता है। हालाँकि, आज तक यादृच्छिक मैट्रिक्स के अध्ययन का अधिकांश ध्यान वास्तविक सममित या हर्मिशियन मैट्रिक्स पर रहा है, या मैट्रिक्स के अध्ययन पर है जिनकी प्रविष्टियाँ निरंतर वितरण से खींची जाती हैं, जैसे कि गौसियन समूह। उल्लेखनीय अपवादों में टेरेंस ताओ और वान वु का काम शामिल है। बर्नौली और हैडमर्ड मैट्रिक्स केवल से प्रविष्टियों वाले मैट्रिक्स को कभी-कभी बर्नौली मैट्रिक्स कहा जाता है, जो इसलिए बोहेमियन मैट्रिक्स के उदाहरण हैं। एक हैडमर्ड मैट्रिक्स एक बर्नौली मैट्रिक्स है जो एक और गुण को संतुष्ट करता है, अर्थात् इसका निर्धारक अधिकतम है। इसलिए, हदामर्ड मैट्रिक्स भी बोहेमियन हैं। हदामर्ड मैट्रिक्स (और वास्तव में बर्नौली मैट्रिक्स) का अध्ययन "बोहेमियन मैट्रिक्स" नाम की तुलना में बहुत लंबे समय तक किया गया है। लेकिन हदामर्ड मैट्रिक्स के बारे में पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रकार (मूल प्रश्न यह था कि किन मैट्रिक्स में अधिकतम निर्धारक होता है) अन्य बोहेमियन मैट्रिक्स के बारे में भी पूछे जा सकते हैं। हदामर्ड मैट्रिक्स के पहले सामान्यीकरणों में से एक वह था जिसे अब कभी-कभी बुटसन-प्रकार हदामर्ड मैट्रिक्स कहा जाता है, जिनकी प्रविष्टियाँ एकता के मूल हैं। इन्हें प्रोटोटाइपिकल बोहेमियन मैट्रिक्स भी माना जा सकता है। अलग प्रविष्टियों के साथ ग्राफ सिद्धांत मैट्रिक, विशेष रूप से आपतन मैट्रिक, ग्राफ सिद्धांत की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं। ग्राफ सिद्धांत के परिणामों का उपयोग बोहेमियन मैट्रिक्स प्रयोगों में सामने आई कुछ घटनाओं की व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है। इसके विपरीत, बोहेमियन मैट्रिक्स श्रमिकों द्वारा समर्थित शैली में किए गए कुछ प्रयोग ग्राफ के लिए जानकारीपूर्ण हो सकते हैं। बोहेमियन मैट्रिक्स के तहत पूर्णांक अनुक्रमों के विश्वकोश में सूचीबद्ध खुली समस्याओं की एक महत्वपूर्ण संख्या प्रकृति में संयोजी है। उदाहरण के लिए, ए306782 बर्नौली मैट्रिक्स (यानी, जनसंख्या के साथ बोहेमियन मैट्रिक्स) के लिए आयाम 5 तक और उसके साथ विशिष्ट न्यूनतम बहुपदों की संख्या की एक तालिका सूचीबद्ध करता है। उच्च आयामों के लिए संख्याएँ ज्ञात नहीं हैं। आयाम 6 के बर्नौली मैट्रिक्स की संख्या है; जबकि इस सेट को पूरी तरह से खोजा जा सकता है (यह खुशी से समानांतर है), मैट्रिक्स की संख्या की अधिक से अधिक घातीय वृद्धि जल्द ही क्रूर बल को हरा देती है। ऐसी सममितियाँ हैं जिनका लाभ उठाया जा सकता है, जैसा कि शून्य-एक मैट्रिक्स के लिए किया जाता है, लेकिन इन्हें परिष्कृत संयोजन ज्ञान की आवश्यकता होती है। संख्या सिद्धांतकारों ने बहुत लंबे समय तक सीमित गुणांक वाले बहुपदों पर काम किया है। उदाहरण के लिए, लिटिलवुड बहुपदों में गुणांक होते हैं जब इन्हें एकाधिकार आधार में व्यक्त किया जाता है। कर्ट माहलर इस समस्या से चिंतित थे, जैसा कि एंड्रयू ओडलीज़्को, ब्योर्न पूनेन और पीटर बोरवीन थे। साथी मैट्रिक्स का उपयोग करके, इन प्रतिबंधित-गुणांक बहुपद समस्याओं में से प्रत्येक को बोहेमियन मैट्रिक्स समस्या माना जा सकता है। हालांकि, एक बोहेमियन मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद में गुणांक हो सकते हैं जो आयाम में तेजी से बड़े होते हैं, इसलिए विपरीत सच नहीं है और अध्ययन के ये क्षेत्र समतुल्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए मैजिक स्क्वेयर्स के लिए अन्य कनेक्शन हैं। डी. ब्री के साथ कैथलीन ओलेरेनशॉ की पुस्तक देखें। निम्नलिखित पेपर स्पष्ट रूप से बोहेमियन मैट्रिक्स को द्विघात रूपों से जोड़ता है। बहुपद समीकरणों का समाधान बहुपद मूलों को खोजने के लिए एक आम तौर पर उपयोग की जाने वाली तकनीक है इसके लिए एक साथी मैट्रिक्स का निर्माण करना और आईगन मानों को खोजने के लिए संख्यात्मक आईगन मान समाधानकों का उपयोग करना, जो तब मूल बहुपद के मूल होते हैं। ऐसा करना विरोधाभासी और व्यर्थ लगता है, लेकिन यह काफी व्यावहारिक हो सकता है। यह NumPy के बहुपद पैकेज की डिफ़ॉल्ट विधि है। विधि अक्सर संख्यात्मक रूप से स्थिर होती है, लेकिन कभी-कभी अच्छी तरह से काम नहीं करती है यदि बहुपद गुणांक बड़े होते हैं या बहुपद अन्यथा खराब स्थिति में होता है। कभी-कभी बोहेमियन मैट्रिक्स परिवार में बहुपद के लिए न्यूनतम ऊंचाई सहचर मैट्रिक्स ढूंढकर स्थिति में सुधार किया जा सकता है। हालाँकि, इसके लिए कोई कुशल सामान्य-उद्देश्य तकनीक ज्ञात नहीं है। "बोहेमियन मैट्रिक्स" नाम, इस विचार के साथ कि यह इस तरह से समस्याओं को वर्गीकृत करने के लिए उपयोगी हो सकता है, आई. एस. एस. ए. सी. 2016 द्वारा प्रिंट में दिखाई दिया। इस वर्गीकरण को बनाने के विचार की व्यापकता और उपयोगिता तेजी से स्पष्ट होती जा रही हैः पहला महत्वपूर्ण पत्रिका प्रकाशन था, हालांकि उससे पहले छोटे प्रकाशन प्रकाशित हुए थे। मार्च 2022 तक, इस लेख में कहीं और उद्धृत लोगों के अलावा, स्पष्ट रूप से नाम का उपयोग करने वाले प्रकाशनों में शामिल हैं इस विषय पर पहली कार्यशाला 2018 में मैनचेस्टर विश्वविद्यालय में आयोजित की गई थी और इसका शीर्षक बोहेमियन मैट्रिक और अनुप्रयोग था। इस विचार को जॉर्ज पोल्या के अर्थ में एक विशेषज्ञता माना जा सकता है, जिसमें बोहेमियन मैट्रिक्स परिवार कुछ प्रविष्टियों तक ही सीमित हैं और इस प्रकार विशेष मैट्रिक्स हैं। इस विचार को एक सामान्यीकरण भी माना जा सकता है, क्योंकि केवल एक ग्राफ के आपतन मैट्रिक्स में 0 या 1 या लिटिलवुड बहुपद के साथी मैट्रिक्स में-1 और 1 प्रविष्टियों के बजाय, बोहेमियन परिवार में ऐसी प्रविष्टियां हो सकती हैं जो अन्यथा बंधी हुई, असतत, या (आमतौर पर) दोनों होती हैं। यह विचार कुछ हद तक संकेत पैटर्न मैट्रिक्स के समान है, जिसमें वास्तविक प्रविष्टियों के साथ दो मैट्रिक्स को समकक्ष माना जाता है यदि संबंधित प्रविष्टियों में एक ही संकेत होता है, और यह सिद्धांत सामान्य गुणों की तलाश करता है। जनसंख्या के साथ एक बोहेमियन मैट्रिक्स एक संकेत पैटर्न मैट्रिक्स का एक उदाहरण है, और इसलिए इसमें ऐसे मैट्रिक्स के सभी गुण हैं, लेकिन इसकी बोहेमियन प्रकृति के कारण इसमें विशेष गुण भी हो सकते हैं। संदर्भ मैट्रिक्स