Bayesian quadrature
बेयेशियन चतुर्भुज अव्यवहारिक एकीकरण समस्याओं को अनुमानित करने के लिए एक विधि है। यह संभावित संख्यात्मक विधियों के वर्ग में आता है। बायेसियन चतुर्भुज संख्यात्मक एकीकरण को एक बायेसियन अनुमान कार्य के रूप में देखता है, जहाँ कार्य मूल्यांकन का उपयोग उस कार्य के समाकलन का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इस कारण से, इसे कभी-कभी "बायेसियन संभावित संख्यात्मक एकीकरण" या "बायेसियन संख्यात्मक एकीकरण" के रूप में भी जाना जाता है। "बायेसियन क्यूबेचर" नाम का उपयोग कभी-कभी तब भी किया जाता है जब समाकलन बहु-आयामी होता है। इस दृष्टिकोण का एक संभावित लाभ यह है कि यह समाकल के मूल्य के लिए संभावित अनिश्चितता परिमाणीकरण प्रदान करता है। बायेसियन क्वाड्रेचर संख्यात्मक समाकलन मान लीजिए कि यह एक कार्य है जिसे किसी क्षेत्र (जहां आम तौर पर) पर परिभाषित किया गया है। संख्यात्मक एकीकरण में, अलग-अलग स्थानों पर कार्य मूल्यांकन का उपयोग किसी माप के विरुद्ध समाकलन का अनुमान लगाने के लिए किया जाता हैः वज़न को देखते हुए, एक चतुर्भुज नियम बायेसियन चतुर्भुज के रूप का एक अनुमानक है जिसमें एक पूर्व वितरण को निर्दिष्ट करना, एक पश्च वितरण प्राप्त करने के लिए इसे पहले कंडीशनिंग करना, फिर निहित पश्च वितरण की गणना करना शामिल है। "क्वाड्रेचर" नाम इस तथ्य से आया है कि पोस्टीरियर मीन ऑन कभी-कभी एक क्वाड्रेचर नियम का रूप लेता है जिसका भार पूर्व की पसंद से निर्धारित किया जाता है। गॉसियन प्रक्रियाओं के साथ बायेसियन चतुर्भुज के लिए पूर्व वितरण का सबसे आम विकल्प एक गॉसियन प्रक्रिया है क्योंकि यह संयुग्म अनुमान को एक बंद-रूप पश्च वितरण प्राप्त करने की अनुमति देता है। मान लीजिए कि हमारे पास पूर्व माध्य फलन और सहप्रसरण फलन (या कर्नेल फलन) के साथ एक गौसी प्रक्रिया है। फिर, पीछे का वितरण एक गौसी प्रक्रिया है जिसमें माध्य और कर्नेल दिया गया हैः जहाँ, और। इसके अलावा, पीछे का वितरण माध्य और विचरण के साथ एक अविभाज्य गौसी वितरण है जो फलन द्वारा दिया गया है जो कर्नेल माध्य एम्बेडिंग है और दोनों निवेशों के संबंध में समाकलन को दर्शाता है। विशेष रूप से, ध्यान दें कि पश्च माध्य भार के साथ एक चतुर्भुज नियम है और पश्च प्रसरण के मूल्य पर उपयोगकर्ता की अनिश्चितता की मात्रा प्रदान करता है। अधिक चुनौतीपूर्ण एकीकरण समस्याओं में, जहां पूर्व वितरण पर महामारी अनिश्चितता के सार्थक प्रतिनिधित्व के रूप में भरोसा नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अधिकतम संभावना अनुमान का उपयोग करके कर्नेल हाइपरपैरामेटर्स को सेट करने के लिए डेटा का उपयोग करना आवश्यक है। कर्नेल हाइपरपैरामीटर्स का अनुमान बायेसियन चतुर्भुज में अनुकूलनशीलता का परिचय देता है। उदाहरण चिकनीपन और सहसंबंध लंबाई के मैटरन सहप्रसरण फलन से पहले एक शून्य-अर्थ गौसियन प्रक्रिया पर आधारित बायेसियन चतुर्भुज नियम का उपयोग करके समाकलन के अनुमान पर विचार करें। यह सहप्रसरण फलन है यह गणना करना सीधा (हालांकि थकाऊ) है कि बायेसियन चतुर्भुज बिंदु अनुमान और पश्च द्रव्यमान की सांद्रता का अभिसरण, जैसा कि वास्तविक समाकलन के आसपास परिमाणित किया जाता है, जैसा कि अधिक से अधिक बिंदुओं पर मूल्यांकन किया जाता है, साथ के एनीमेशन में प्रदर्शित किया जाता है। लाभ और नुकसान चूंकि बायेसियन चतुर्भुज संभावित संख्यात्मक का एक उदाहरण है, इसलिए यह पारंपरिक संख्यात्मक एकीकरण विधियों की तुलना में कुछ लाभ विरासत में प्राप्त करता हैः यह संख्यात्मक त्रुटि के प्रभाव को स्पष्ट रूप से मॉडल करने के लिए सभी बाद की गणनाओं के माध्यम से अनिश्चितता की मात्रा निर्धारित करने और प्रसारित करने की अनुमति देता है। यह पूर्व वितरण के विवेकपूर्ण विकल्प का उपयोग करके पूर्व ज्ञान को शामिल करने का एक सैद्धांतिक तरीका प्रदान करता है, जो अभी वर्णित मानक गौसी प्रक्रिया की तुलना में अधिक परिष्कृत हो सकता है। यह जानकारी के अधिक कुशल उपयोग की अनुमति देता है, जैसे। संयुक्त रूप से ब्याज की कई संबंधित मात्राओं का अनुमान लगाना या अंकों की आवश्यक संख्या को कम करने के लिए सक्रिय शिक्षा का उपयोग करना। इन गुणों के बावजूद, बायेसियन चतुर्भुज विधियों में निम्नलिखित सीमाएँ हैंः हालाँकि बायेसियन प्रतिमान अनिश्चितता के परिमाणीकरण के एक सैद्धांतिक उपचार की अनुमति देता है, लेकिन बाद का अनुमान हमेशा ट्रैक्टेबल नहीं होता है, इस प्रकार दूसरे स्तर के अनुमान की आवश्यकता होती है। ई. जी. गॉसियन प्रक्रियाओं के साथ बायेसियन चतुर्भुज के लिए, कर्नेल मीन एम्बेडिंग में सामान्य कर्नेल और माप के लिए कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है। गॉसियन प्रक्रियाओं पर आधारित बायेसियन चतुर्भुज विधियों की कम्प्यूटेशनल लागत सामान्य रूप से इनवर्टिंग मैट्रिक्स की लागत के कारण होती है, जो बड़े पैमाने पर समस्याओं के लिए उनके अनुप्रयोगों को चुनौती दे सकती है। एल्गोरिथम डिजाइन पूर्व वितरण सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला पूर्व एक गौसी प्रक्रिया है। यह मुख्य रूप से गौसी संयुग्मता द्वारा प्रदान किए गए लाभ और इस तथ्य के कारण है कि गौसी प्रक्रियाएं पूर्व सहप्रसरण के सावधानीपूर्वक चयन के माध्यम से सुगमता, आवधिकता और विरलता सहित पूर्व ज्ञान की एक विस्तृत श्रृंखला को कूटबद्ध कर सकती हैं। हालाँकि, कई अन्य पूर्व वितरण भी प्रस्तावित किए गए हैं। इसमें बहु-उत्पादन गौसी प्रक्रियाएं शामिल हैं, जो विशेष रूप से कई संबंधित संख्यात्मक एकीकरण कार्यों को एक साथ या क्रमिक रूप से निपटाते समय उपयोगी होती हैं, और वृक्ष-आधारित प्राथमिकताएं जैसे कि बायेसियन योगात्मक प्रतिगमन पेड़, जो निरंतरता के लिए अच्छी तरह से अनुकूल हैं। इसके अतिरिक्त, एकीकरण उपाय के लिए डिरिचलेट प्रक्रियाओं की प्राथमिकताओं का भी प्रस्ताव किया गया है। अंक चयन अंक या तो दिए गए माने जाते हैं, या उनका चयन किया जा सकता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि पीछे की ओर तेजी से ध्यान केंद्रित हो। एक दृष्टिकोण में अन्य चतुर्भुज नियमों से बिंदु सेट का उपयोग करना शामिल है। उदाहरण के लिए, मोंटे कार्लो के लिए एक बायेसियन दृष्टिकोण से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित प्राप्ति लेना, जबकि कुछ निर्धारक बिंदु सेट जैसे कि कम-विसंगति अनुक्रम या जाली का उपयोग करना अर्ध-मोंटे कार्लो के लिए एक बायेसियन विकल्प को पुनर्प्राप्त करता है। निश्चित रूप से बायेसियन चतुर्भुज के लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए बिंदु समुच्चय का उपयोग करना भी संभव है; उदाहरण के लिए देखें कि मापनीय बायेसियन चतुर्भुज अनुमानक प्राप्त करने के लिए बिंदु समुच्चय में समरूपता का उपयोग किसने किया। वैकल्पिक रूप से, सक्रिय शिक्षा और बायेसियन प्रयोगात्मक डिजाइन के सिद्धांतों का पालन करते हुए अंकों का चयन भी किया जा सकता है ताकि बहु-उत्पादन गौसियन प्रक्रियाओं सहित बाद की अनिश्चितता को सीधे कम किया जा सके। कर्नेल मीन और प्रारंभिक त्रुटि बायेसियन क्वाड्रेचर को लागू करते समय चुनौतियों में से एक फ़ंक्शन और स्थिरांक का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है। पूर्व को आमतौर पर कर्नेल माध्य कहा जाता है, और यह एक ऐसी मात्रा है जो कर्नेल-आधारित दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण है जैसे कि अधिकतम औसत विसंगति। उत्तरार्द्ध को आमतौर पर प्रारंभिक त्रुटि कहा जाता है क्योंकि यह किसी भी कार्य मूल्यों को देखने से पहले एकीकरण त्रुटि पर एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है। दुर्भाग्य से, कर्नेल माध्य और प्रारंभिक त्रुटि की गणना केवल जोड़ों की एक छोटी संख्या के लिए की जा सकती है; उदाहरण के लिए तालिका 1 देखें। बायेसियन चतुर्भुज के लिए कई सैद्धांतिक गारंटी प्राप्त की गई हैं। इन्हें आमतौर पर समाकलन के सोबोलेव चिकनेपन के गुणों की आवश्यकता होती है, हालांकि हाल के काम गौसियन कर्नेल के पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्थान में समाकलन तक भी फैले हुए हैं। अधिकांश परिणाम मोंटे कार्लो या नियतात्मक ग्रिड बिंदु सेट के मामले में लागू होते हैं, लेकिन कुछ परिणाम अनुकूली डिजाइनों तक भी विस्तारित होते हैं। सॉफ्टवेयर प्रोबनमः पायथन में संभावित संख्यात्मक विधियाँ, जिसमें एक बायेसियन चतुर्भुज कार्यान्वयन भी शामिल है। इमुकिटः पायथन में अनिश्चितता के तहत अनुकरण और निर्णय लेना। क्यू. एम. सी. पी.: पायथन में क्यू. एम. सी. बिंदु सेट के साथ बायेसियन चतुर्भुज। संदर्भ संख्यात्मक एकीकरण (चतुर्भुज) बायेसियन अनुमान