Klein–Kramers equation
भौतिकी और गणित में, क्लेन-क्रैमर समीकरण या कभी-कभी क्रैमर-चंद्रशेखर समीकरण के रूप में संदर्भित एक आंशिक विभेदक समीकरण है जो चरण स्थान में ब्राउनियन कण के प्रायिकता घनत्व फलन का वर्णन करता है। यह फोकर-प्लैंक समीकरण का एक विशेष मामला है। एक स्थानिक आयाम में, तीन स्वतंत्र चरों का एक कार्य हैः स्केलर, और। इस मामले में, क्लेन-क्रैमर्स समीकरण वह है जहाँ बाहरी क्षमता है, कण द्रव्यमान है, घर्षण (खिंचाव) गुणांक है, तापमान है, और बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। स्थानिक आयामों में, समीकरण यहाँ है और और के संबंध में ढाल प्रचालक हैं, और के संबंध में लाप्लेशियन है। भिन्नात्मक क्लेन-क्रैमर्स समीकरण एक सामान्यीकरण है जो भिन्नात्मक कलन के माध्यम से विसंगत प्रसार को शामिल करता है। भौतिक आधार क्लेन-क्रैमर्स समीकरण में अंतर्निहित भौतिक मॉडल एक कम नमी वाले ब्राउनियन कण का है। मानक ब्राउनियन गति के विपरीत, जो ओवरडैम्प्ड है, अंडरडैम्प्ड ब्राउनियन गति घर्षण को सीमित मानती है, जिस स्थिति में संवेग स्वतंत्रता की एक स्वतंत्र डिग्री बनी रहती है। गणितीय रूप से, एक कण की स्थिति को उसकी स्थिति और गति से वर्णित किया जाता है, जो लैंगविन समीकरणों के अनुसार समय के साथ विकसित होती है। ये समीकरण न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुरूप हैं, लेकिन शोर शब्द के कारण निर्धारक के बजाय यादृच्छिक ("यादृच्छिक") हैं। गतिशीलता को संभाव्यता घनत्व फलन के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है, जो स्थिति में और गति के साथ एक कण को खोजने की संभावना देता है। लैंगविन समीकरणों से यादृच्छिक प्रक्षेपवक्रों पर औसत से, क्लेन-क्रैमर्स समीकरण का पालन करते हुए दिखाया जा सकता है। मुक्त स्थान में समाधान-आयामी मुक्त-स्थान समस्या बल को शून्य के बराबर निर्धारित करती है, और उस क्षय पर समाधान को अनंत पर 0 पर मानती है, अर्थात। बिंदु-स्रोत प्रारंभिक स्थिति के साथ 1डी मुक्त-स्थान समस्या के लिए, समाधान जो एक द्विभिन्न गौसीयन है और जिसे सुब्रमण्यन चंद्रशेखर (जिन्होंने एक क्षमता की उपस्थिति में समस्याओं को हल करने के लिए एक सामान्य पद्धति भी तैयार की) द्वारा 1943 में हल किया गया थाः जहां इस विशेष समाधान को ग्रीन के कार्य के रूप में भी जाना जाता है, और इसका उपयोग सामान्य समाधान बनाने के लिए किया जा सकता है, यानी, सामान्य प्रारंभिक स्थितियों के लिए समाधानः इसी तरह, बिंदु-स्रोत प्रारंभिक स्थिति के साथ 3डी मुक्त-स्थान समस्या का समाधान, के साथ है, और 1डी समाधान में परिभाषित किया गया है। असिंप्टोटिक व्यवहार कुछ स्थितियों में, फ्री-स्पेस क्लेन-क्रैमर्स समीकरण का समाधान एक प्रसार प्रक्रिया की तरह एसिम्प्टोटिक रूप से व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, यदि घनत्व संतुष्ट करता है कि प्रसार समीकरण के लिए फ्री-स्पेस ग्रीन का फलन कहाँ है। सीमा के निकट समाधान क्लेन-क्रैमर्स समीकरण के 1डी, समय-स्वतंत्र, बल-मुक्त () संस्करण को चरों के पृथक्करण द्वारा अर्ध-अनंत या सीमित क्षेत्र पर हल किया जा सकता है। समाधान आम तौर पर एक सीमा परत विकसित करता है जो अंतरिक्ष में तेजी से बदलती है और सीमा पर ही गैर-विश्लेषणात्मक होती है। एक अच्छी तरह से रखी गई समस्या डोमेन के केवल आधे हिस्से पर सीमा डेटा निर्धारित करती हैः बाईं सीमा पर सकारात्मक आधा () और दाईं ओर नकारात्मक आधा ()। पर परिभाषित एक अर्ध-अनंत समस्या के लिए, सीमा शर्तों को इस प्रकार दिया जा सकता हैः कुछ कार्य के लिए। एक बिंदु-स्रोत सीमा स्थिति के लिए, समाधान में अनंत योग और उत्पादों के संदर्भ में एक सटीक अभिव्यक्ति होती हैः यहाँ, क्लेन-क्रैमर्स समीकरण के गैर-आयामी संस्करण के लिए परिणाम कहा गया हैः इस प्रतिनिधित्व में, लंबाई और समय को और की इकाइयों में मापा जाता है, जैसे कि और दोनों आयामहीन हैं। यदि सीमा स्थिति है, कहाँ, तो समाधान वह है जहाँ यह परिणाम वीनर-हॉफ विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, अभिव्यक्ति का व्यावहारिक उपयोग श्रृंखला के धीमे अभिसरण से सीमित है, विशेष रूप से 0 के करीब के मूल्यों के लिए। फोकर-प्लैंक समीकरण ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया रैखिक परिवहन सिद्धांत न्यूट्रॉन परिवहन संदर्भ आंशिक विभेदक समीकरण भी देखें।