Complex hyperbolic space
गणित में, हाइपरबोलिक कॉम्प्लेक्स स्पेस एक हर्मिशियन मैनिफोल्ड है जो कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के संदर्भ में वास्तविक हाइपरबोलिक स्पेस के बराबर है। जटिल हाइपरबोलिक स्थान एक कहलर मैनिफोल्ड है, और इसकी विशेषता यह है कि यह केवल सहज रूप से जुड़ा हुआ कहलर मैनिफोल्ड है जिसका होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता-1 के बराबर स्थिर है। इसके अंतर्निहित रीमानियन मैनिफोल्ड में गैर-स्थिर नकारात्मक वक्रता होती है, जो-1 और-1/4 (या-4 और-1, मीट्रिक के सामान्यीकरण के विकल्प के अनुसार) के बीच होती हैः विशेष रूप से, यह एक कैट (-1/4) स्थान है। जटिल हाइपरबोलिक रिक्त स्थान भी लाइ समूहों से जुड़े सममित रिक्त स्थान हैं। वे गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के श्रेणी एक सममित रिक्त स्थान के तीन परिवारों में से एक का गठन करते हैं, साथ में वास्तविक और चतुर्थक हाइपरबोलिक रिक्त स्थान, वर्गीकरण जिसमें एक असाधारण स्थान जोड़ा जाना चाहिए, केले तल। जटिल हाइपरबोलिक स्पेस प्रोजेक्टिव मॉडल का निर्माण जटिल वेक्टर स्पेस में हस्ताक्षर का एक छद्म-हर्मिशियाई रूप माना जाता है। जटिल हाइपरबोलिक स्पेस का प्रोजेक्टिव मॉडल इस रूप के लिए सभी नकारात्मक वैक्टरों का प्रोजेक्टिव स्पेस हैः जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस के एक खुले सेट के रूप में, यह स्पेस एक जटिल मैनिफोल्ड की संरचना से संपन्न है। यह इकाई गेंद के लिए बायहोलोमोर्फिक है, जैसा कि कोई यह नोट करके देख सकता है कि एक नकारात्मक वेक्टर में गैर शून्य पहला निर्देशांक होना चाहिए, और प्रोजेक्टिव स्पेस में 1 के बराबर पहले निर्देशांक के साथ एक अद्वितीय प्रतिनिधि होना चाहिए। स्थिति जब के बराबर है। इकाई गेंद के बिंदु को प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदु पर भेजने वाला मानचित्र इस प्रकार आवश्यक बायहोलोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है। यह मॉडल पोइनकेयर डिस्क मॉडल के बराबर है। वास्तविक हाइपरबोलिक स्पेस के विपरीत, जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस को हाइपरबोलॉइड की एक शीट के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्रोजेक्टिव मॉडल पर इस हाइपरबोलॉइड के प्रक्षेपण ने फाइबर को जोड़ा है (फाइबर वास्तविक मामले में है)। एक हर्मिशियन मीट्रिक को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया हैः यदि शंकु से संबंधित है, तो ऑर्थोगोनल स्थान का प्रतिबंध इस स्थान पर एक निश्चित सकारात्मक हर्मिशियन उत्पाद को परिभाषित करता है, और क्योंकि बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है, यह एक हर्मिशियन आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है। जैसा कि गणना से देखा जा सकता है, यह आंतरिक उत्पाद प्रतिनिधि की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता को-1 के बराबर रखने के लिए और-4 के बराबर नहीं होने के लिए, इस मीट्रिक को एक कारक द्वारा पुनः सामान्यीकृत करने की आवश्यकता है। यह मीट्रिक एक कहलर मीट्रिक है। सीगल मॉडल जटिल हाइपरबोलिक स्पेस का सीगल मॉडल इस तरह का सबसेट है कि यह अनंत पर केली ट्रांसफॉर्म बाउंड्री के माध्यम से यूनिट बॉल के लिए बायहोलोमोर्फिक है प्रोजेक्टिव मॉडल में, जटिल हाइपरबोलिक स्पेस आयाम की जटिल यूनिट बॉल के साथ पहचान करता है, और इसकी सीमा को गेंद की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो वास्तविक आयाम के गोले के लिए डिफियोमोर्फिक है। यह परिभाषित करने के बराबर हैः एक कैट (0) स्थान के रूप में, जटिल हाइपरबोलिक स्थान की भी अनंत पर एक सीमा होती है। यह सीमा अभी परिभाषित सीमा के साथ मेल खाती है। जटिल हाइपरबोलिक स्थान की सीमा स्वाभाविक रूप से एक सी. आर. संरचना धारण करती है। यह संरचना (विषम आयामी) गोले पर मानक संपर्क संरचना भी है। होलोमोर्फिक सममितियों और सममित स्थान का समूह जटिल हाइपरबोलिक स्थान के होलोमोर्फिक सममितियों का समूह लाइ समूह है। यह समूह जटिल हाइपरबोलिक स्थान पर पारगमन रूप से कार्य करता है, और एक बिंदु का स्टेबलाइज़र एकात्मक समूह के लिए समरूप है। इस प्रकार जटिल हाइपरबोलिक स्थान सजातीय स्थान के लिए समरूप है। स्टेबलाइज़र का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है। परिणामस्वरूप, जटिल हाइपरबोलिक स्थान रीमानियन सममित स्थान है, जहाँ छद्म-एकात्मक समूह है। जटिल हाइपरबोलिक स्पेस की होलोमोर्फिक सममितियों का समूह भी इस स्थान की सीमा पर कार्य करता है, और इस प्रकार बंद डिस्क पर समरूपता द्वारा कार्य करता है। ब्रोवर के निश्चित बिंदु प्रमेय के अनुसार, जटिल अतिपरवलय स्थान के किसी भी समरूपी सममिति को कम से कम एक बिंदु को निश्चित करना चाहिए। सममितियों का वर्गीकरण तीन प्रकारों में किया जाता हैः एक सममितियों को दीर्घवृत्ताकार कहा जाता है यदि वे जटिल अतिसंवेदनशील स्थान में एक बिंदु को स्थिर करती हैं। एक आइसोमेट्री को परवलयिक कहा जाता है यदि यह जटिल हाइपरबोलिक स्थान में एक बिंदु को ठीक नहीं करता है और सीमा में एक अद्वितीय बिंदु को ठीक करता है। एक आइसोमेट्री को हाइपरबोलिक (या लॉक्सोड्रोमिक) कहा जाता है यदि यह जटिल हाइपरबोलिक स्थान में एक बिंदु को ठीक नहीं करता है और सीमा में ठीक दो बिंदुओं को ठीक करता है। इवासावा अपघटन अपघटन है, जहाँ एकात्मक समूह है, वास्तविक संख्याओं का योगात्मक समूह है और वास्तविक आयाम का हाइजेनबर्ग समूह है। इस तरह का अपघटन इन विकल्पों पर निर्भर करता हैः जटिल अतिध्रुवीय स्थान की सीमा में एक बिंदु (तब फिक्सिंग के एक-शक्तिशाली परवलयिक तत्वों का समूह) एक उन्मुख भूगणितीय रेखा जो अनंत पर जा रही है (तब इस भूगणितीय के साथ एक अनुवाद के रूप में कार्य करने वाले अतिध्रुवीय तत्वों का समूह है और इसके चारों ओर कोई घूर्णन भाग नहीं है) के लिए एक मूल का चयन, अर्थात। एक इकाई गति पैरामीटराइजेशन जिसकी छवि (तब फिक्सिंग के दीर्घवृत्ताकार तत्वों का समूह है) के किसी भी ऐसे अपघटन के लिए, उपसमूह की क्रिया मुक्त और सकर्मक होती है, इसलिए एक डिफियोमोर्फिज्म को प्रेरित करती है। इस डिफियोमोर्फिज्म को सीगल मॉडल के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। वक्रता होलोमोर्फिक सममितियों का समूह हाइपरबोलिक कॉम्प्लेक्स स्पेस की स्पर्शरेखा जटिल रेखाओं पर पारगमन रूप से कार्य करता है। यही कारण है कि इस स्थान में स्थिर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता है, जिसकी गणना-4 (मीट्रिक के उपरोक्त सामान्यीकरण के साथ) के बराबर की जा सकती है। यह गुण हाइपरबोलिक कॉम्प्लेक्स स्पेस की विशेषता हैः आइसोमेट्रिक बायहोलोमोर्फिज्म तक, दिए गए स्थिर होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता का केवल एक बस जुड़ा हुआ पूर्ण कहलर मैनिफोल्ड है। इसके अलावा, जब एक हर्मिशियन मैनिफोल्ड में स्थिर समरूपी अनुभागीय वक्रता के बराबर होती है, तो प्रत्येक वास्तविक स्पर्शरेखा तल की अनुभागीय वक्रता पूरी तरह से सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती हैः जहां और के बीच का कोण है, यानी एक वेक्टर और एक वेक्टर के बीच के कोणों का अनंत है। यह कोण 0 के बराबर होता है यदि और केवल तभी जब एक जटिल रेखा हो, और तभी बराबर होता है जब पूरी तरह से वास्तविक हो। इस प्रकार जटिल हाइपरबोलिक स्थान की अनुभागीय वक्रता-4 (जटिल रेखाओं के लिए) से-1 (पूरी तरह से वास्तविक विमानों के लिए) तक भिन्न होती है। जटिल आयाम 1 में, स्पर्शरेखा अंतरिक्ष में प्रत्येक वास्तविक तल एक जटिल रेखा हैः इस प्रकार आयाम 1 के हाइपरबोलिक जटिल स्थान में-1 के बराबर निरंतर वक्रता होती है, और एकरूपता प्रमेय द्वारा, यह वास्तविक हाइपरबोलिक तल के लिए सममित है। इस प्रकार हाइपरबोलिक जटिल रिक्त स्थान को हाइपरबोलिक तल के एक अन्य उच्च-आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जो वास्तविक हाइपरबोलिक रिक्त स्थान की तुलना में कम मानक है। एक तीसरा संभावित सामान्यीकरण सजातीय स्थान है, जो फिर से हाइपरबोलिक तल के साथ मेल खाता है, लेकिन जब 1 से अधिक रैंक का सममित स्थान बन जाता है। पूर्णतया भूगणितीय उपक्षेत्र आयाम n के जटिल हाइपरबोलिक स्थान का प्रत्येक पूर्णतया भूगणितीय उपमैनिफोल्ड निम्नलिखित में से एक हैः छोटे आयाम के एक जटिल हाइपरबोलिक स्थान की एक प्रति, वास्तविक आयाम के वास्तविक हाइपरबोलिक स्थान की एक प्रति, विशेष रूप से, जटिल हाइपरबोलिक स्थान का कोई पूरी तरह से भूगणितीय उपक्षेत्र नहीं है। गेंद पर अन्य मेट्रिक्स के साथ लिंक इकाई गेंद पर, जटिल हाइपरबोलिक मीट्रिक बर्गमैन मीट्रिक के साथ कुछ स्केलर रीनोर्मलाइजेशन तक मेल खाता है। इसका तात्पर्य यह है कि गेंद का प्रत्येक बायहोलोमोर्फिज्म वास्तव में जटिल हाइपरबोलिक मीट्रिक का एक आइसोमेट्री है। जटिल हाइपरबोलिक मीट्रिक भी कोबायाशी मीट्रिक के साथ मेल खाता है। पुनर्नवीकरण तक, जटिल हाइपरबोलिक मीट्रिक कहलर-आइंस्टीन है, जिसका अर्थ है कि इसकी रिक्की वक्रता मीट्रिक का एक गुणक है। हाइपरबोलिक स्पेस क्वाटर्नियोनिक हाइपरबोलिक स्पेस संदर्भ विभेदक ज्यामिति रीमानियन ज्यामिति लाइ समूह सजातीय स्थान भी देखें।