K-stability of Fano varieties
गणित में, और विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, के-स्थिरता प्रोजेक्टिव बीजगणितीय किस्मों और जटिल मैनिफोल्ड के लिए एक बीजगणितीय-ज्यामितीय स्थिरता स्थिति है। के-स्थिरता का फ़ानो किस्मों के मामले में विशेष महत्व है, जहां यह मॉड्यूली रिक्त स्थान के गठन की अनुमति देने के लिए सही स्थिरता स्थिति है, और जहां यह केलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व को सटीक रूप से दर्शाता है। के-स्थिरता को पहली बार 1997 में गैंग टियान द्वारा 1993 से शिंग-तुंग याउ के एक अनुमान के जवाब में नैनो मैनिफोल्ड्स के लिए परिभाषित किया गया था कि एक स्थिरता स्थिति मौजूद होनी चाहिए जो एक नैनो मैनिफोल्ड पर कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के अस्तित्व की विशेषता है। इसे तोशिकी माबुची द्वारा पहले पेश किए गए के-ऊर्जा कार्यात्मक के संदर्भ में परिभाषित किया गया था। के-स्थिरता की टियान की परिभाषा को 2001 में साइमन डोनाल्डसन द्वारा विशुद्ध रूप से बीजगणितीय-ज्यामितीय तरीके से संशोधित किया गया था। के-स्थिरता नैनो किस्मों के अध्ययन और वर्गीकरण में एक महत्वपूर्ण धारणा बन गई है। 2012 में शियुक्सियोंग चेन, डोनाल्डसन, और सॉन्ग सन और स्वतंत्र रूप से गैंग टियान ने साबित किया कि एक चिकना नैनो मैनिफोल्ड के-पॉलीस्टेबल है अगर और केवल तभी जब यह एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक को स्वीकार करता है। बर्मन-बुकसोम-जॉनसन और अन्य लोगों के काम के कारण इसे बाद में एकवचन के-पॉलीस्टेबल नैनो किस्मों में सामान्यीकृत कर दिया गया। के-स्थिरता नैनो किस्मों के मॉड्यूली रिक्त स्थान के निर्माण में महत्वपूर्ण है, जहां ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत के मूल विकास पर वापस जाने वाले अवलोकन बताते हैं कि अच्छे मॉड्यूली बनाने के लिए स्थिर वस्तुओं के एक वर्ग तक सीमित रहना आवश्यक है। यह अब चेनयांग जू और अन्य लोगों के काम के माध्यम से ज्ञात है कि सीमित प्रकार की के-पॉलीस्टेबल नैनो किस्मों का एक प्रोजेक्टिव मोटे मॉड्यूली स्थान मौजूद है। यह काम कॉचर बिरकर के नैनो किस्मों की सीमा के प्रमाण पर निर्भर करता है, जिसके लिए उन्हें 2018 फील्ड्स पदक से सम्मानित किया गया था। फुजिता-ली और ओडाका द्वारा के-स्थिरता स्थिति के सुधार के कारण, फ़ानो किस्मों की के-स्थिरता की गणना व्यवहार में स्पष्ट रूप से की जा सकती है। नैनो की कौन सी किस्में के-स्थिर हैं, यह आयाम एक, दो और तीन में अच्छी तरह से समझा जाता है। परिभाषा और लक्षण वर्णन नैनो मैनिफोल्ड्स के लिए के-स्थिरता की धारणा को मूल रूप से टियान द्वारा विभेदक ज्यामिति का उपयोग करके निर्दिष्ट किया गया था, जिन्होंने एक वेक्टर क्षेत्र के फुटाकी अपरिवर्तनीय की विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक धारणा को कक्षीय विलक्षणताओं के साथ कुछ सामान्य किस्मों के मामले में विस्तारित किया। इसे बाद में डोनाल्डसन द्वारा विशुद्ध रूप से बीजगणितीय-ज्यामितीय रूप में पुनर्निर्मित किया गया था, लेकिन इस सामान्य परिभाषा ने सभी प्रोजेक्टिव किस्मों के व्यापक वर्ग के लिए समझ बनाने के बजाय, नैनो किस्मों की ज्यामिति के लिए एक सीधा संबंध खो दिया। टियान के काम से पता चलता है कि एक परीक्षण विन्यास के केंद्रीय फाइबर पर-क्रिया के वजन को निर्दिष्ट करने वाले डोनाल्डसन-फुटाकी अपरिवर्तनीय की गणना कुछ प्रतिच्छेदन संख्याओं (तथाकथित सीएम लाइन बंडल पर एक क्रिया के वजन के अनुरूप) के संदर्भ में की जा सकती है। फानो के मामले में इन प्रतिच्छेदन संख्याओं, जिसमें विविधता का एंटीकैनोनिकल भाजक और इसका परीक्षण विन्यास शामिल है, को फानो विविधता की बीजगणितीय और द्विवार्षिक ज्यामिति के संदर्भ में शक्तिशाली वैकल्पिक लक्षण वर्णन दिए जा सकते हैं। इस प्रकार नैनो किस्मों के मामले में, के-स्थिरता के कई अलग-अलग लेकिन समकक्ष लक्षण वर्णन हैं, और इनमें से कुछ लक्षण वर्णन स्पष्ट गणना या परिणामों के आसान प्रमाण के लिए खुद को उधार देते हैं। इस खंड में सभी परिभाषाओं को एक-नैनो किस्म की व्यापकता में बताया गया है, जो पर्याप्त-कार्टियर एंटीकैनोनिकल भाजक और सबसे खराब कवामाता लॉग टर्मिनल (के. एल. टी.) विलक्षणताओं के साथ एक नैनो किस्म है। के-स्थिरता की परिभाषाएँ किसी भी-गोरेंस्टीन नैनो किस्म के लिए बनाई जा सकती हैं (यानी, कोई भी नैनो किस्म जहाँ एंटीकैनोनिकल भाजक-कार्टियर है), हालाँकि ओडाका द्वारा यह साबित किया गया था कि प्रत्येक के-सेमिस्टेबल नैनो किस्म में सबसे खराब के. एल. टी. विलक्षणताएँ होती हैं, इसलिए के-स्थिरता का अध्ययन करने के उद्देश्य से यह सबसे खराब के. एल. टी. विलक्षणताओं को मानने के लिए पर्याप्त है। प्रत्येक परिभाषा को एक सीधे तरीके से फैनो जोड़े को लॉग करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, एक के. एल. टी. किस्म एक्स और के. एल. टी. भाजक की एक जोड़ी जो पर्याप्त और-कार्टियर है। पारंपरिक परिभाषा एक नैनो मैनिफोल्ड, या आम तौर पर एक-नैनो किस्म के लिए के-स्थिरता की परिभाषा कई रूपों में दी जा सकती है। परीक्षण विन्यास के संदर्भ में के-स्थिरता की सामान्य परिभाषा (अधिक विवरण के लिए के-स्थिरता देखें) को सरल बनाया जा सकता है यदि परीक्षण विन्यास के प्रकार को सरल बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, टॉरिक किस्मों के मामले में, कोई भी हमेशा परीक्षण विन्यास ले सकता है जो टॉरिक भी होते हैं, और इससे टॉरिक किस्म के पल पॉलीटोप पर उत्तल कार्यों के संदर्भ में के-स्थिरता का पुनर्वर्गीकरण होता है, जैसा कि डोनाल्डसन ने के-स्थिरता पर अपने पहले पेपर में देखा था। नैनो मैनिफोल्ड्स के मामले में, यह पहले से ही टियान के काम में निहित था कि कोई भी एक सरलीकृत केंद्रीय फाइबर के साथ विन्यास का परीक्षण करने तक सीमित हो सकता है, उस मामले में जहां केंद्रीय फाइबर एक सामान्य प्रकार है। इस मामले में एक सामान्य परीक्षण विन्यास के डोनाल्डसन-फुटाकी अपरिवर्तनीय के लिए एक प्रतिच्छेदन-सैद्धांतिक सूत्र मौजूद है। स्पष्ट रूप से, एक बिंदु पर जटिल प्रोजेक्टिव रेखा पर एक परीक्षण विन्यास के लिए परीक्षण विन्यास का विस्तार करता है, एक का एक सूत्र होता है इस अपरिवर्तनीय के संबंध में, यदि एक-नैनो किस्म है, तो हम कहते हैं कि किसी भी सामान्य परीक्षण विन्यास के लिए के-समरूप है। के-स्थिर यदि किसी भी सामान्य परीक्षण विन्यास के लिए जो कोडीमेंशन 2 के एक सेट के बाहर तुच्छ परीक्षण विन्यास के लिए समरूप नहीं है। समान रूप से के-स्थिर यदि किसी भी सामान्य परीक्षण विन्यास के लिए, जहां परीक्षण विन्यास का न्यूनतम मानक है और केवल के आधार पर एक समान स्थिरांक है। के-अस्थिर यदि के-समरूप नहीं है। उपरोक्त परिभाषाओं के अनुसार, समान रूप से के-स्थिर के-स्थिर के-समान निहितार्थ हैं उपरोक्त परिभाषाएं उस स्थिति के लिए अच्छी तरह से अनुकूल नहीं हैं जहां नैनो किस्म में ऑटोमोर्फिज्म हैं। जब ऑटोमोर्फिज्म का स्थान सकारात्मक-आयामी होता है, तो अकिटो फुटाकी द्वारा यह देखा गया कि ऑटोमोर्फिज्म से निर्मित कुछ परीक्षण विन्यास हैं जिनमें से के-स्थिरता के परीक्षण के परिप्रेक्ष्य के लिए "तुच्छ" हैं। इस मामले में किसी को उन परीक्षण विन्यासों तक सीमित रहना चाहिए जो एक अधिकतम टोरस की क्रिया के संबंध में समतुल्य हैं, और यह के-पॉलीस्टेबिलिटी या कम के-स्थिरता की धारणा की ओर ले जाता है। हम कहते हैं कि के-पॉलीस्टेबल है यदि किसी भी परीक्षण विन्यास के लिए और समानता ठीक तब होती है जब कोडीमेंशन 2 के सेट के बाहर समरूपता होती है। समान रूप से के-स्थिर को कम किया जाता है यदि परीक्षण विन्यास का कम मानक कहाँ है। जहां तक उस मामले का संबंध है जहां ऑटोमोर्फिज्म समूह सकारात्मक-आयामी नहीं है, हमारे निहितार्थ हैं समान रूप से के-स्थिर के-पॉलीस्टेबल के-समान। समान स्थिरता की स्थिति स्थिरता की तुलना में एक प्राथमिकता अधिक मजबूत है, क्योंकि यह परीक्षण विन्यास के डोनाल्डसन-फुटाकी अपरिवर्तनीय के लिए शून्य से ऊपर एक समान बाध्य मानती है। हालांकि यह पता चला है कि-नैनो किस्मों के मामले में एक समान स्थिरता वास्तव में स्थिरता के बराबर है। समान के-स्थिरता के लिए कई परिणाम अधिक आसानी से साबित किए जा सकते हैं क्योंकि एक समान बंधन गैर-समान बंधन की तुलना में अधिक मजबूत होता है, इसलिए अक्सर पारंपरिक के-(पॉली) स्थिरता के विपरीत इस परिभाषा के साथ काम करता है। के-स्थिरता पर लेख में विचार की गई ध्रुवीकृत किस्म के अधिक सामान्य मामले में यह अभी भी एक खुली और महत्वपूर्ण समस्या है कि कैसे (कम) समान के-स्थिरता के-(पॉली) स्थिरता से संबंधित है। विशेष परीक्षण विन्यास जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कभी-कभी विचार किए जाने वाले परीक्षण विन्यास के प्रकार को सरल बनाया जा सकता है। फानो किस्मों के मामले में, एक विशेष परीक्षण विन्यास एक परीक्षण विन्यास है जैसे कि हमारे पास कुछ के लिए भाजकों की तर्कसंगत समतुल्यता है, और केंद्रीय फाइबर भी एक-फानो किस्म है। यह साबित किया जा सकता है कि किसी भी परीक्षण विन्यास को देखते हुए, एक विशेष परीक्षण विन्यास मौजूद है जैसे कि इसका तात्पर्य है कि के-स्थिरता का परीक्षण करने के उद्देश्यों के लिए, यह केवल विशेष परीक्षण विन्यास के लिए के-स्थिरता की उपरोक्त परिभाषाओं को देखने तक सीमित है। तथ्य यह है कि कोई यह मान सकता है कि परीक्षण विन्यास का केंद्रीय फाइबर भी फ़ानो है, जो द्विवार्षिक ज्यामिति और न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम के साथ मजबूत संबंधों की ओर ले जाता है, जो निम्नलिखित वर्गों में वर्णित के-स्थिरता के कई वैकल्पिक लक्षण वर्णन प्रदान करता है। मुख्य वैकल्पिक लक्षण वर्णन डिंग स्थिरता की एक अलग धारणा के संदर्भ में है, जो डिंग अपरिवर्तनीय के लिए के-स्थिरता स्थिति का एक परिवर्तन है जहां कोई परीक्षण विन्यास के लॉग विहित सीमा पर जोड़ता है। डिंग अपरिवर्तनीय को केवल फ़ानो किस्मों की सेटिंग में परिभाषित किया जा सकता है। इसके बजाय इस नए अपरिवर्तनीय का उपयोग करके, कोई भी डिंग स्थिरता की हर धारणा को ठीक ऊपर की तरह परिभाषित कर सकता है, जिससे डिंग (अर्ध/पॉली) स्थिरता और समान संस्करण सामने आते हैं। डिंग अपरिवर्तनीय में डोनाल्डसन-फुटाकी अपरिवर्तनीय की तुलना में बीजगणितीय ज्यामिति के संबंध में बेहतर औपचारिक गुण हैं। यह ज्ञात है कि जब एक परीक्षण विन्यास विशेष होता है, तो डिंग अपरिवर्तनीय एक स्थिर कारक तक डोनाल्डसन-फुटाकी अपरिवर्तनीय के साथ सहमत होता है, और इसलिए फानो किस्मों के लिए डिंग स्थिरता के-स्थिरता के बराबर होती है। अल्फा अपरिवर्तनीय के-स्थिरता के लिए परीक्षण करने के लिए पहला ज्ञात प्रभावी मानदंड टियान द्वारा विकसित किया गया था। मूल रूप से टियान के काम को एक नैनो मैनिफोल्ड पर एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के अस्तित्व के लिए सीधे एक मानदंड प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, और बाद के काम से यह ज्ञात होता है कि प्रत्येक कहलर-आइंस्टीन नैनो मैनिफोल्ड के-पॉलीस्टेबल है। टियान की अल्फा अपरिवर्तनीय की मूल परिभाषा प्रकृति में विश्लेषणात्मक थी, लेकिन इसका उपयोग व्यवहार में कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के अस्तित्व को सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है। टियान के अल्फा अपरिवर्तनीय को ऑटोमोर्फिज्म के एक समूह के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है, और अल्फा अपरिवर्तनीय उपरोक्त कम के-स्थिरता या के-पॉलीस्टेबिलिटी की अवधारणा से मेल खाता है। एक नैनो मैनिफोल्ड पर एक-अपरिवर्तनीय कहलर मीट्रिक को ठीक करें। इस अपरिवर्तनीय का महत्व इस प्रकार हैः बाद में ओडाका-सनो द्वारा यह देखा गया कि अल्फा अपरिवर्तनीय को अंदर निहित सभी-अपरिवर्तनीय रैखिक प्रणालियों पर लॉग कैनॉनिकल सीमा के अनंत के संदर्भ में विशुद्ध रूप से अल्जेब्रो-ज्यामितीय परिभाषा दी जा सकती है। सटीक रूप से, डिमैली ने दिखाया कि यह कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व के विशुद्ध रूप से अल्जेब्रो-ज्यामितीय प्रमाणों की अनुमति देता है। बीटा अपरिवर्तनीय बीटा अपरिवर्तनीय द्विवार्षिक ज्यामिति के साथ निकट संपर्क बनाता है। इस अपरिवर्तनीय को फ़ुजीता और ली द्वारा फ़ानो किस्म के भाजक या मूल्यांकन के संदर्भ में के-स्थिरता के लक्षण वर्णन की खोज करने के प्रयास में विकसित किया गया था। यह काम रॉस-थॉमस के पहले के विचारों से प्रेरित था, जिन्होंने विविधता के उपगणों से निकलने वाले बीजगणितीय अपरिवर्तकों के संदर्भ में के-स्थिरता का वर्णन करने का प्रयास किया था। हालांकि यह दिखाना संभव नहीं है कि यह "ढलान" के-स्थिरता के-स्थिरता के बराबर है, न केवल अंदर के भाजकों को बल्कि किसी भी जन्मात्मक मॉडल के अंदर भाजकों को पारित करके, कोई भी के-स्थिरता के लिए सटीक परीक्षण करने के लिए "पर्याप्त" वस्तुओं को प्राप्त करता है। विशेष रूप से फुजिता ने महसूस किया कि रॉस-थॉमस की ढलान के-स्थिरता की धारणा केवल उपशीर्षक के शेषाद्री स्थिरांक तक एकीकृत करके सीमित थी, जहां ब्लो-अप पर प्राकृतिक भाजक पर्याप्त हो जाता है। अनुबंध द्वारा-इनवेरिएंट छद्म प्रभावी सीमा तक एकीकृत होता है जहां प्राकृतिक भाजक का धनात्मक आयतन होता है (क्योंकि प्रत्येक पर्याप्त भाजक का धनात्मक आयतन होता है, छद्म प्रभावी सीमा शेषाद्री स्थिरांक से परे जाती है)। यह अतिरिक्त जानकारी फुजीता और ली के मूल्यांकन मानदंड को के-स्थिरता को पूरी तरह से चिह्नित करने के लिए पर्याप्त जानकारी देती है। मान लीजिए कि यह-कार्टियर कैनोनिकल भाजक के साथ एक सामान्य किस्म है। एक कहता है कि एक भाजक है यदि एक भाजक कुछ सामान्य विविधता के अंदर निहित है जैसे कि एक उचित द्विवार्षिक आकृतिवाद मौजूद है (उदाहरण के लिए एक ब्लो अप द्वारा दिया गया है)। एक भाजक की लॉग विसंगति को परिभाषित करता है कि द्विवार्षिक ज्यामिति के अर्थ में भाजक की विसंगति कहाँ है (विहित विलक्षणता देखें)। भाजक की विसंगति को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। द्विवार्षिक आकृतिवाद के असाधारण स्थान से दूर, विहित भाजक और सहमत हैं। इसलिए, उनका अंतर के असाधारण स्थान में निहित अभाज्य भाजकों के कुछ योग द्वारा दिया जाता है। वह है, कहाँ। परिभाषा के अनुसार और कब असाधारण स्थान में अभाज्य भाजकों में से एक नहीं है। लॉग विसंगति नैनो किस्म की विलक्षणता को मापती है। विशेष रूप से X कवामाता लॉग टर्मिनल है यदि और केवल किसी भी ओवर के लिए। बीटा अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने के लिए, एक आयतन शब्द की भी आवश्यकता होती है। यहाँ एक भाजक का आयतन उस दर को मापता है जिस पर अपेक्षित आयाम की तुलना में उसके खंडों का स्थान बढ़ता है। अर्थात्, कहाँ। अंत में, बीटा अपरिवर्तनीय को फुजीता और ली द्वारा परिभाषित किया गया था जटिल परिभाषा के बावजूद, द्विवार्षिक ज्यामिति के शक्तिशाली उपकरणों के कारण, इस अपरिवर्तनीय को स्पष्ट रूप से नैनो किस्मों के कई वर्गों के लिए व्यवहार में गणना की जा सकती है जहां उनके द्विवार्षिक मॉडल में भाजकों की संरचना ज्ञात है। यह अक्सर कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति या हाथ से गणना के उपयोग से प्राप्त किया जा सकता है। इनवेरिएंट की प्रासंगिकता फुजिता और ली द्वारा स्वतंत्र रूप से पहली बार (एक दिशा में) देखी गई के-स्थिरता के निम्नलिखित लक्षण वर्णन में है। डेल्टा अपरिवर्तनीय डेल्टा अपरिवर्तनीय को "योगात्मक" बीटा अपरिवर्तनीय के "गुणक" संस्करण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक भाजक के डेल्टा अपरिवर्तनीय को इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है डेल्टा अपरिवर्तनीय तब सभी भाजकों के डेल्टा अपरिवर्तनीय के एक समान माप द्वारा दिया जाता है। एक भाजक का डेल्टा अपरिवर्तनीय वैचारिक रूप से बीटा अपरिवर्तनीय के समान है, हालांकि यह फुजिता-ओडाका द्वारा देखा गया था कि कोई भी डेल्टा अपरिवर्तनीय की गणना "मात्रात्मक" डेल्टा अपरिवर्तनीय की सीमा के रूप में कर सकता है। मात्रात्मक डेल्टा अपरिवर्तनों की गणना m-आधार प्रकार भाजकों के संदर्भ में की जा सकती है जो निश्चित परिमित-आयामी सदिश स्थान में आधारों के विकल्पों द्वारा दिए जाते हैं। इस प्रकार डेल्टा अपरिवर्तनीय आम तौर पर अपने पूर्ववर्तियों की तुलना में अधिक संगणनीय और सैद्धांतिक रूप से अधिक शक्तिशाली है, और नैनो किस्मों के लिए के-स्थिरता की स्पष्ट गणना पर बहुत प्रगति हुई है, और नैनो किस्मों के मॉड्यूली के सिद्धांत में इसकी शुरुआत के बाद से हुआ है। के-स्थिरता के सिद्धांत के लिए इसका प्रारंभिक महत्व निम्नलिखित लक्षण वर्णन में दर्ज किया गया है। बीजगणितीय-अपरिवर्तनीय कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के स्पष्ट विश्लेषणात्मक गुणों के साथ संपर्क कर सकता है। विशेष रूप से, कोई भी सबसे बड़ी रिची निचली सीमा को सभी की सर्वोच्चता के रूप में परिभाषित कर सकता है जैसे कि एक कहलर मीट्रिक मौजूद है। यह इस बात की सीमा है कि कोई व्यक्ति कहलर-आइंस्टीन समीकरण को हल करने के लिए प्राकृतिक निरंतरता विधि को कितनी दूर तक पार कर सकता है। यदि सबसे बड़ी रिक्की निचली सीमा मान लेती है तो कोई व्यक्ति कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए निरंतरता विधि को पूरा कर सकता है। यह पता चला है कि आप इस निरंतरता विधि के साथ कितनी दूर जा सकते हैं, सबसे बड़ी रिक्की निचली सीमा, बिल्कुल-इनवेरिएंट द्वारा दी गई है। अर्थात्, टोरिक नैनो मैनिफोल्ड्स के मामले में डेल्टा अपरिवर्तनीय की और भी अधिक ज्यामितीय व्याख्या ली द्वारा प्राप्त की गई थी। इस तरह के टॉरिक फैनो के लिए, उत्पत्ति हमेशा पल पॉलीटोप के आंतरिक भाग में निहित होती है। यदि पॉलीटोप के बेरिसेन्टर को दर्शाता है और किरण को काटते हुए पॉलीटोप की सीमा पर बिंदु को दर्शाता है, तो ली ने दिखाया कि सबसे बड़ी रिची निचली सीमा अनुपात द्वारा दी जाती है। विशेष रूप से टोरिक फ़ानो में अगर और केवल तभी होता है जब इसका बेरिसेन्टर मूल होता है। डेल्टा अपरिवर्तनीय का उपयोग करके व्याख्या की गई (और वास्तव में पहले के परिणामों का उपयोग करते हुए), एक निष्कर्ष निकाला जाता है कि एक टॉरिक नैनो मैनिफोल्ड के-स्थिर है यदि और केवल तभी जब इसके पॉलीटोप का बेरिसेन्टर मूल हो। कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स का अस्तित्व इसके प्रारंभिक परिचय से, के-स्थिरता की धारणा को नैनो मैनिफोल्ड्स पर कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व से घनिष्ठ रूप से जोड़ा गया है। अब कई प्रमेय हैं जो कुछ के-स्थिरता धारणाओं को समाधानों के अस्तित्व से संबंधित करते हैं। ये अनुमान मोटे तौर पर यौ-टियान-डोनाल्डसन अनुमान के शीर्षक के तहत आते हैं। फानो किस्मों के मामले में यह अनुमान दावा करता हैः फानो मैनिफोल्ड्स के लिए यह अनुमान मूल रूप से याउ और टियान द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और एक अधिक सामान्य रूप डोनाल्डसन द्वारा कहा गया था जो केवल फानो मैनिफोल्ड्स के मामले से परे है। फिर भी, फैनोस के मामले में भी इस अनुमान को यौ-टियान-डोनाल्डसन अनुमान के रूप में जाना जाने लगा है। सामान्य अनुमान की अधिक चर्चा के लिए के-स्थिरता देखें। नैनो मैनिफोल्ड्स के मामले में, वाई. टी. डी. अनुमान स्वीकार करता है कि चिकनी किस्मों के मामले से परे सामान्यीकरण और अनुमान के रूप अब एकवचन फैनोस और लॉग फैनोस के लिए जाने जाते हैं। चिकनी नैनो किस्में अनुमान की आगे की दिशा, कि कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के साथ एक नैनो मैनिफोल्ड के-पॉलीस्टेबल है, टियान द्वारा अपने मूल पेपर में साबित किया गया था जब नैनो मैनिफोल्ड में एक असतत ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है, अर्थात। इस दिशा को पूरी तरह से साबित किया गया था, इस धारणा को हटाते हुए कि ऑटोमोर्फिज्म समूह असतत था, बर्मन द्वारा। याउ-तियान-डोनाल्डसन अनुमान की विपरीत दिशा को पहले सुचारू मामले में हल किया गया था जैसा कि ऊपर चेन-डोनाल्डसन-सन द्वारा कहा गया है, और साथ ही साथ तियान द्वारा भी। चेन, डोनाल्डसन और सन ने आरोप लगाया है कि तियान का सबूत के लिए समान प्राथमिकता का दावा गलत है, और उन्होंने उस पर अकादमिक कदाचार का आरोप लगाया है। टियान ने उनके दावों का खंडन किया है। चेन, डोनाल्डसन और सन को अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी के प्रतिष्ठित 2019 वेब्लेन पुरस्कार द्वारा मान्यता दी गई थी क्योंकि उन्होंने अनुमान को हल किया था। ब्रेकथ्रू पुरस्कार ने डोनाल्डसन को गणित में ब्रेकथ्रू पुरस्कार और सन को न्यू होराइजन्स ब्रेकथ्रू पुरस्कार से सम्मानित किया है, जो कुछ हद तक चेन-डोनाल्डसन-सन और टियान के सबूतों पर चेन के साथ उनके काम पर आधारित है, जो रिक्की वक्रता सीमाओं के साथ नैनो मैनिफोल्ड्स की ग्रोमोव-हौसडॉर्फ सीमाओं के नाजुक अध्ययन पर आधारित थे। हाल ही में, "शास्त्रीय" निरंतरता विधि पर आधारित एक प्रमाण वेद दातार और गैबर स्ज़ेकेलिहिदी द्वारा प्रदान किया गया था, इसके बाद चेन, सन और बिंग वांग द्वारा कहलर-रिची प्रवाह का उपयोग करके एक प्रमाण दिया गया था। रॉबर्ट बर्मन, सेबेस्टियन बूकसम और मैटियास जॉनसन ने भी एक नए परिवर्तनशील दृष्टिकोण से एक प्रमाण प्रदान किया, जो गैर-आर्किमिडियन ज्यामिति के संदर्भ में के-स्थिरता की व्याख्या करता है। विशेष रुचि की बात यह है कि बर्मन-बुकसोम-जॉनसन का प्रमाण एक चिकनी लॉग नैनो जोड़ी के मामले में भी लागू होता है, और के-पॉलीस्टेबिलिटी की धारणा का उपयोग नहीं करता है, बल्कि समान के-स्थिरता का उपयोग करता है जैसा कि डर्वन और बुकसोम-हिसामोटो-जॉनसन द्वारा पेश किया गया था। अब यह ज्ञात हो गया है कि समान के-स्थिरता के-स्थिरता के बराबर है और इसलिए बी. बी. जे. का प्रमाण पूर्ण वाई. टी. डी. अनुमान का एक नया प्रमाण प्रदान करता है। परिवर्तनकारी तकनीकों बर्मन-बुकसोम-जॉनसन और फ़ुजीता-ओडाका के तथाकथित मात्रात्मक डेल्टा अपरिवर्तकों के आधार पर, झांग ने चिकने फ़ानो मैनिफोल्ड्स के लिए वाई. टी. डी. अनुमान का एक छोटा मात्रा-आधारित प्रमाण प्रस्तुत किया। पूरी तरह से अन्य तकनीकों का उपयोग करते हुए, बर्मन ने एक समान गिब्स स्थिरता नामक थर्मोडायनामिक दृष्टिकोण का उपयोग करके एक वाईटीडी-प्रकार के अनुमान का प्रमाण भी तैयार किया है, जहां एक यादृच्छिक बिंदु प्रक्रिया के माध्यम से एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक का निर्माण किया जाता है। एकल नैनो किस्में और कमजोर कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स परिवर्तनशील तकनीकों का उपयोग करके बर्मन-बुकसोम-जॉनसन द्वारा यौ-टियान-डोनाल्डसन अनुमान के नए प्रमाण ने एकल नैनो किस्मों के लिए के-स्थिरता और कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के संभावित अध्ययन को खोला। उपयोग की जाने वाली परिवर्तनशील तकनीकें समान के-स्थिरता पर निर्भर करती हैं जैसा कि ऊपर वर्णित है। बर्मन का यह परिणाम कि एक फ़ानो मैनिफोल्ड जो एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक को स्वीकार करता है, के-पॉलीस्टेबल है, एक-लॉग फ़ानो जोड़ी की पूर्ण व्यापकता में साबित हुआ, जो एक कमजोर कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक को स्वीकार करता है। एक-नैनो किस्म पर एक कमजोर कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक एक सकारात्मक-धारा है जो एक चिकनी लोकस पर एक चिकनी कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक देने के लिए प्रतिबंधित है। एक भाजक के साथ एक संगतता की आवश्यकता से, इस परिभाषा को एक जोड़ी पर एक कमजोर कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक तक बढ़ाया जा सकता है। इस व्यापकता में, वाई. टी. डी. अनुमान की विपरीत दिशा को ली-तियान-वांग द्वारा उस मामले में साबित किया गया था जहां ऑटोमोर्फिज्म समूह असतत है, और पूरी व्यापकता में Li.By द्वारा लियू-ज़ू-ज़ुआंग द्वारा सीमित पीढ़ी के अनुमान के संकल्प से यह ज्ञात होता है कि कम हुई समान के-स्थिरता के-बहुलता के बराबर है, इसलिए बर्मन के परिणाम के साथ संयुक्त रूप से यौ-तियान-डोनाल्डसन अनुमान एकवचन फ़ानो किस्मों के लिए पूरी व्यापकता में सच है। के-स्थिर नैनो किस्मों के मॉडुली रिक्त स्थान बीजगणितीय ज्यामिति में मॉडुली रिक्त स्थान का निर्माण एक केंद्रीय समस्या है। बीजगणितीय वक्रों के मॉडुली के निर्माण ने ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत, ढेर के विकास को बढ़ावा दिया और बीजगणितीय सतहों के वर्गीकरण ने पूरे बीजगणितीय ज्यामिति में परिणामों को प्रेरित किया है। केनोनिक रूप से ध्रुवीकृत किस्मों के मॉडुली रिक्त स्थान के मामले को कोल्लर-शेफर्ड-बैरन द्वारा न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम से उत्पन्न तकनीकों का उपयोग करके सामान्य प्रकार की किस्मों के तथाकथित केएसबी मॉडुली रिक्त स्थान की ओर ले जाया गया था। सामान्य प्रकार की किस्मों का एक प्रमुख गुण जो मॉडुली के निर्माण की अनुमति देता है, ऐसी किस्मों के ऑटोमोर्फिज्म की कमी है। यह फ़ानो किस्मों के लिए लागू नहीं होता है, जिनमें अक्सर बहुत बड़े ऑटोमोर्फिज्म समूह हो सकते हैं, इसलिए न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम को फ़ानो किस्मों के मॉड्यूली के निर्माण के लिए सीधे अनुप्रयोग नहीं मिले, और यह स्पष्ट हो गया कि के-स्थिरता इस मामले में मॉड्यूली के गठन की अनुमति देने के लिए सही बीजगणितीय-ज्यामितीय धारणा थी। के-स्थिर किस्मों के मॉडुली रिक्त स्थान को के-मॉडुली के रूप में जाना जाता है। स्मूथ केस स्मूथ नैनो मैनिफोल्ड्स के मामले में, विश्लेषणात्मक रूप से मॉड्यूली स्पेस का निर्माण करने के लिए यौ-टियान-डोनाल्डसन अनुमान से उत्पन्न तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है। YTD अनुमान के प्रमाण में उपयोग किए गए कहलर-आइंस्टीन फैनोस के ग्रोमोव कॉम्पैक्टनेस के विचारों पर ओडाका और डोनाल्डसन के निर्माण के विशेष काम में असतत ऑटोमोर्फिज्म समूहों के साथ चिकने नैनो कहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड के मॉड्यूली रिक्त स्थान का अस्तित्व निहित है। ये मॉड्यूली रिक्त स्थान हौसडॉर्फ हैं और इनमें सबसे खराब भागफल विलक्षणताएँ हैं। वाई. टी. डी. अनुमान के अनुसार ये अलग-अलग ऑटोमोर्फिज्म समूहों के साथ चिकनी के-पॉलीस्टेबल नैनो किस्मों के वैकल्पिक रूप से मॉड्यूली स्पेस हैं। हालांकि, चिकनी नैनो कहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स की एक ग्रोमोव-हौसडॉर्फ सीमा एक एकल-नैनो विविधता का कारण बन सकती है, इसलिए ओडाका और डोनाल्डसन द्वारा वर्णित मॉड्यूली स्पेस कॉम्पैक्ट नहीं है, एक मानदंड जो अक्सर मॉड्यूली स्पेस के गठन में वांछनीय है। चिकनी के-पॉलीस्टेबल फैनोस के मॉड्यूली स्पेस को कॉम्पैक्ट करने की एक विधि है एकवचन के-पॉलीस्टेबल फैनोस के मॉड्यूली स्पेस को पास करना, और इसकी प्रोजेक्टिविटी को साबित करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करना। एकवचन फ़ानो किस्मों के लिए याउ-टियान-डोनाल्डसन अनुमान इस संक्षेपण को एक वैकल्पिक दृष्टिकोण देगा जिसमें कमजोर कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के साथ एकवचन फ़ानो किस्में शामिल हैं। सामान्य मामला मॉडुली रिक्त स्थान के निर्माण के लिए मानक बीजगणितीय तकनीक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत का उपयोग करती है। आम तौर पर मॉड्यूली के निर्माण के लिए ममफोर्ड के ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत को लागू करने के लिए, किसी को एक निश्चित सीमित-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस के अंदर किस्मों के एक परिवार को एम्बेड करना चाहिए। ऐसा परिवार तब प्रोजेक्टिव स्पेस की संबंधित हिल्बर्ट योजना में बिंदुओं के एक स्थान को परिभाषित करता है, जो एक प्रोजेक्टिव योजना है जिस पर प्रोजेक्टिव ऑटोमोर्फिज्म का समूह कार्य करता है। इस रैखिककरण के संबंध में जी. आई. टी. स्थिरता को हिल्बर्ट स्थिरता कहा जाता है। यदि यह लोकस एक खुला समूह बनाता है, तो जी. आई. टी. का उपयोग एक भागफल के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो इन वस्तुओं को मानकीकृत करता है। अच्छी परिस्थितियों में यह भागफल उचित और प्रोजेक्टिव हो सकता है। एक निश्चित प्रोजेक्टिव स्पेस के अंदर किस्मों के एक परिवार को एम्बेड करना हमेशा संभव नहीं होता है और इसलिए ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत के साथ उनके मॉड्यूली का वर्णन करें, और इस विशेष गुण को सीमा कहा जाता है। फ़ानो किस्मों का एक मौलिक गुण यह है कि वे बंधे होने में विफल रहते हैं, और इस प्रकार उनकी स्थिरता को किसी भी सीमित-आयामी ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत द्वारा उचित रूप से नहीं पकड़ा जा सकता है। यह बताता है कि क्यों के-स्थिरता के लिए किसी को परीक्षण विन्यास पर विचार करने की आवश्यकता होती है जिसके लिए अपेक्षाकृत पर्याप्त लाइन बंडल मनमाने ढंग से बड़े के लिए कुछ शक्ति के अनुरूप हो सकता है। हालांकि, कौचर बिरकर के परिणामों से पता चला है कि नैनो किस्मों के कुछ परिवार जिनकी मात्रा कम है, वे सीमित परिवार बनाते हैं, जिससे पता चलता है कि नैनो किस्मों के आयतन-सीमित परिवारों की स्थिरता का अध्ययन करना संभव हो सकता है ताकि मॉड्यूली स्पेस बनाए जा सकें। इस काम के लिए बिरकर को 2018 में फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था। जियांग द्वारा यह सिद्ध किया गया था कि के-सेमिस्टेबल-नैनो किस्में जिनकी मात्रा नीचे की ओर होती है, एक बंधी हुई प्रजाति बनाती हैं। इस प्रकार किसी दिए गए आयतन के लिए एक समान पूर्णांक मौजूद होता है जैसे कि प्रत्येक के-सिमिस्टेबल-नैनो जिसमें एंटीकैनोनिकल आयतन निश्चित प्रोजेक्टिव स्पेस के अंदर एक एम्बेडिंग को स्वीकार करने के बराबर या उससे बड़ा होता है। के-सेमिस्टेबल फैनोस के इस स्थान का खुलापन ब्लम-लिउ-ज़ू और ज़ू द्वारा साबित किया गया था। इसका तात्पर्य है कि सीमित प्रकार के एक आर्टिन ढेर का अस्तित्व है जो नीचे से बंधी मात्रा के साथ के-सेमिस्टेबल-नैनो किस्मों को दर्शाता है। प्रोजेक्टिव वैरायटी या स्कीम के रूप में एक वास्तविक मॉडुली स्पेस खोजने के लिए, किसी को स्टैक के अंदर के-सेमिस्टेबल फैनोस की एस-पूर्णता और-रिडक्टिविटी के बारे में कुछ गुणों को साबित करना होगा। के-पॉलीस्टेबिलिटी के गुणों का उपयोग करते हुए, मॉड्यूली स्टैक के ये गुण सही हैं और स्टैक के लिए एक मोटा मॉड्यूली स्थान मौजूद है जो के-पॉलीस्टेबल-नैनो किस्मों को नीचे की ओर से सीमित मात्रा के साथ मानकीकृत करता है। यह साबित हुआ कि यह उचित है और सीएम-लाइन बंडल पर्याप्त है, जिसका अर्थ है कि मोटे मॉड्यूली स्थान भी प्रोजेक्टिव है। के-मॉड्यूली के अस्तित्व के परिणाम को के-पॉलीस्टेबल फैनोस के मॉड्यूली स्थान के निम्नलिखित theorem.The निर्माण में संक्षेपित किया जा सकता है जिसे लॉग फैनो किस्मों की सेटिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एकवचन-नैनो किस्मों का मामला जो चिकनी हैं (यानी वे चिकनी के-पॉलीस्टेबल नैनो मैनिफोल्ड्स के बीजगणितीय परिवारों की सीमाएं हैं) को पहले ली-वांग-जू द्वारा विश्लेषणात्मक तकनीकों के संयोजन का उपयोग करके हल किया गया था, जो ओडाका, डोनाल्डसन और कोडोगनी-पटाकफाल्वी के पहले के काम पर भी निर्भर था। वहाँ मोटे मॉडुली स्थान को एक योजना के रूप में दिखाया गया है, लेकिन सामान्य रूप से के-मॉडुली के लिए अस्तित्व परिणाम केवल एक बीजगणितीय स्थान के अस्तित्व की गारंटी देते हैं। नैनो किस्मों की स्पष्ट के-स्थिरता के-स्थिर नैनो किस्मों का स्पष्ट अध्ययन के-स्थिरता की बीजगणितीय धारणा से पहले होता है, और कम आयामों में विशुद्ध रूप से कहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड के अध्ययन के कारण रुचि थी। उदाहरण के लिए, या तो स्पष्ट निर्माण या टियान के अल्फा अपरिवर्तनीय के उपयोग से, के-स्थिरता की परिभाषा पेश किए जाने से पहले आयाम 1 और 2 के सभी चिकने कहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड ज्ञात थे। आयाम 3 में और कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के उच्च स्पष्ट निर्माण अधिक कठिन हो जाते हैं, लेकिन के-स्थिरता के बीजगणितीय अध्ययन से उत्पन्न होने वाली प्रगति ने के-पॉलीस्टेबल नैनो थ्रीफोल्ड्स और उच्च आयामी किस्मों के कुछ परिवारों की स्पष्ट गणना को सक्षम किया है, और बाद में नए कहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स की खोज हुई है। आयाम 1 आयाम एक में एक अद्वितीय चिकनी नैनो किस्म है, जो जटिल प्रोजेक्टिव लाइन है। इस किस्म को फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक के अस्तित्व के कारण आसानी से के-स्थिर माना जाता है, जो कि एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक है, जो की के-पॉलीस्टेबिलिटी को दर्शाता है। चिकनी रीमान सतहों की के-स्थिरता का एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय-ज्यामितीय प्रमाण ढलान के-स्थिरता पर रॉस-थॉमस के काम से मिलता है, जो आयाम एक में के-स्थिरता के बराबर है। इस मामले में कोई भी वक्र पर बिंदुओं के संग्रह से परीक्षण विन्यास का निर्माण कर सकता है, और जब वक्र चिकना होता है तो कोई भी बिंदु अस्थिर नहीं होता है। आयाम 2 आयाम दो में जो रिक्त स्थान कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स को स्वीकार करते हैं, उन्हें टियान द्वारा वर्गीकृत किया गया था। दो आयामों में चिकनी नैनो किस्मों के 10 विरूपण परिवार हैं, डेल पेज़ो सतह। अल्फा अपरिवर्तनीय का उपयोग करते हुए, टियान ने दिखाया कि एक चिकनी नैनो सतह एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक को स्वीकार करती है और केवल तभी के-पॉलीस्टेबल होती है जब यह एक या दो बिंदुओं में जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन का विस्फोट नहीं होता है। इस प्रकार इन 10 वर्गों में से 8 में के-पॉलीस्टेबल नैनो सतह शामिल हैं। फ़ानो सतहों के के-मॉड्यूली का अध्ययन तियान और माबुची-मुकाई द्वारा स्पष्ट उदाहरणों में किया गया था। केलर-आइंस्टीन नैनो सतहों के कॉम्पैक्ट मॉड्यूली रिक्त स्थान के स्पष्ट निर्माण ओडाका-स्पॉटी-सन द्वारा प्राप्त किए गए थे। इन स्थानों का निर्माण ग्रोमोव-हौसडॉर्फ संकुचन के रूप में किया गया था, लेकिन लॉग फैनो सतहों के स्पष्ट बीजगणितीय स्थानों के साथ उनकी पहचान की गई थी। उदाहरण के लिए, ओडाका-स्पॉटी-सन द्वारा यह साबित किया गया है कि डिग्री चार की चिकनी कहलर-आइंस्टीन सतहों का कॉम्पैक्ट मॉड्यूली स्पेस भारित प्रोजेक्टिव स्पेस द्वारा दिया जाता है, जिसमें लोकस के अनुरूप डिग्री चार की चिकनी कहलर-आइंस्टीन सतह होती है, जहां एक पर्याप्त भाजक होता है जिसमें वे बिंदु होते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आयाम 3 में विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग के-स्थिर नैनो किस्मों के उदाहरण खोजने के लिए किया जा सकता है जो कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स को स्वीकार करने के लिए जानी जाने वाली प्राथमिकता नहीं हैं। स्मूथ फ़ानो थ्रीफ़ोल्ड्स का इस्कोव्स्किख-मोरी-मुकाई वर्गीकरण के-स्टेबल फ़ानो थ्रीफ़ोल्ड्स को इसके घटकों में अध्ययन करने की समस्या को तोड़ने का एक प्राकृतिक तरीका प्रदान करता है। यह ज्ञात है कि चिकने नैनो तीन गुना के 105 विरूपण परिवार हैं, और फुजीता-ली के बीटा अपरिवर्तनीय और फुजीता-ओडाका के डेल्टा अपरिवर्तनीय का उपयोग करके स्पष्ट गणनाओं का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किन विरूपण परिवारों में के-स्थिर प्रतिनिधि हैं। प्रत्येक विरूपण परिवार के लिए यह ज्ञात है कि परिवार का सामान्य तत्व के-(पॉली) स्थिर है या नहीं। विशेष रूप से यह ज्ञात है कि 105 परिवारों में से 78 में उनके विरूपण वर्ग में एक के-पॉलीस्टेबल प्रतिनिधि होता है। 105 परिवारों में से 71 के लिए, यह विरूपण वर्ग के प्रत्येक सदस्य के लिए जाना जाता है चाहे वह के-पॉलीस्टेबल हो या नहीं। 105 विरूपण परिवारों के कई उदाहरणों के लिए, प्रतिनिधि तीन गुना की के-स्थिरता की व्याख्या एक प्राकृतिक जी. आई. टी. समस्या के संदर्भ में की जा सकती है जो उस परिवार का वर्णन करती है, और इसलिए नैनो तीन गुना के-मॉडुली के स्पष्ट उदाहरण भी जी. आई. टी. अंश के रूप में पाए जा सकते हैं। फानो थ्रीफोल्ड्स के कुछ वर्गों के लिए वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि विरूपण वर्ग में मुकाई-उमेमुरा तीन गुना एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक को स्वीकार करता है और इसलिए डोनाल्डसन के काम से के-पॉलीस्टेबल है, जिन्होंने स्पष्ट रूप से उपरोक्त मानदंड का उपयोग करके टियान के अल्फा अपरिवर्तनीय की गणना की। इस मैनिफोल्ड में गैर-विविक्त ऑटोमोर्फिज्म समूह है और किन आस-पास की विकृतियाँ भी के-पॉलीस्टेबल हैं, यह ज्ञात नहीं है। यह अनुमान लगाया जाता है कि के वर्सल विरूपण स्थान के भीतर जी. आई. टी.-पॉलीस्टेबल बिंदुओं के अनुरूप विकृतियाँ पास की के-पॉलीस्टेबल किस्मों के अनुरूप होनी चाहिए। किसी भी आयाम में के-पॉलीस्टेबल नैनो मैनिफोल्ड का पहला और सबसे सरल उदाहरण जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस है, जो हमेशा फुबिनी-स्टडी मीट्रिक को स्वीकार करता है जो किसी भी आयाम में कहलर-आइंस्टीन है और इसलिए सभी प्रोजेक्टिव स्पेस के-पॉलीस्टेबल हैं। सामान्य तौर पर उच्च आयामों में ऐसे कई "स्पष्ट" कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स नहीं हैं, और उदाहरण खोजने के लिए स्थिरता की हाल की तकनीकों का उपयोग करना चाहिए। नैनो किस्मों के कुछ परिवारों के लिए, के-स्थिरता को बीटा या डेल्टा अपरिवर्तकों के साथ अल्फा अपरिवर्तनीय या विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तकनीकों के माध्यम से विश्लेषणात्मक तकनीकों का उपयोग करके उच्च आयामों में साबित किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में, एक फर्माट हाइपरसर्फेस विभिन्न प्रकार के रूप हैं ये हाइपरसर्फेस अलग ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ चिकने नैनो मैनिफोल्ड हैं, और यह टियान द्वारा अल्फा अपरिवर्तनीय का उपयोग करके साबित किया गया था जो एक कहलर-आइंस्टीन को स्वीकार करता है, और अधिक विस्तृत तर्कों का उपयोग करके टियान ने कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक के अस्तित्व को साबित किया जब। दूसरी ओर, डेल्टा अपरिवर्तनीय झुआंग का उपयोग करते हुए एक पूरी तरह से बीजगणितीय प्रमाण दिया जो के-स्थिर है और इसलिए इन मामलों में एक कहलर-आइंस्टीन मीट्रिक को स्वीकार करता है। समान के-स्थिरता और के-समरूपता के लिए खुलेपन के परिणामों का उपयोग करते हुए, कोई भी इससे निष्कर्ष निकाल सकता है कि अंदर की डिग्री का सामान्य चिकनी अति सतह के-स्थिर है। कुछ मामलों में यह वास्तव में ज्ञात है कि सभी डिग्री हाइपरसर्फेस के-स्थिर हैं, जैसे कि सभी चिकनी हाइपरसर्फेस। विशेष नैनो किस्मों के अध्ययन के अलावा, कुछ सेटिंग्स में के-मॉड्यूली को स्पष्ट रूप से उच्च आयामों में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब के-मॉडुली एक "स्पष्ट" जी. आई. टी. व्याख्या को स्वीकार करता है, तो बीटा या डेल्टा अपरिवर्तकों के बीजगणितीय उपकरणों का उपयोग यह सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है कि जी. आई. टी. स्थिरता उस विशेष समस्या के लिए के-स्थिरता के बराबर है। उदाहरण के लिए, लियू ने दिखाया कि क्यूबिक फोरफोल्ड हाइपरसर्फेस के लिए, (संभवतः एकवचन) क्यूबिक फोरफोल्ड्स का जी. आई. टी. मॉड्यूली स्पेस के-मॉड्यूली स्पेस के लिए समरूप है, और इस प्रकार कोई भी जी. आई. टी. स्थिरता और विलक्षणता संरचना के संदर्भ में के-स्टेबल, के-पॉलीस्टेबल और के-सेमिस्टेबल क्यूबिक फोरफोल्ड्स का स्पष्ट विवरण प्राप्त करता है। विशेष रूप से प्रत्येक चिकना घन चार गुना के-स्थिर होता है। संदर्भ नोट्स बीजगणितीय ज्यामिति