Zilber–Pink conjecture
गणित में, जिल्बर-गुलाबी अनुमान कई प्रसिद्ध डायोफैंटाइन अनुमानों और बयानों का एक दूरगामी सामान्यीकरण है, जैसे कि आंद्रे-ओर्ट, मैनिन-ममफोर्ड और मोर्डेल-लैंग। बीजगणितीय तोरी और सेमीबेलियन किस्मों के लिए इसे 2000 के दशक की शुरुआत में बोरिस जिल्बर और स्वतंत्र रूप से एनरिको बॉम्बीरी, डेविड मैसर, अम्बर्टो ज़ैनियर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। सेमीबेलियन किस्मों के लिए अनुमान मोर्डेल-लैंग और मैनिन-मफोर्ड अनुमानों का तात्पर्य है। रिचर्ड पिंक ने शिमुरा किस्मों के लिए (फिर से स्वतंत्र रूप से) एक अधिक सामान्य अनुमान प्रस्तावित किया जो आंद्रे-ओर्ट अनुमान का भी तात्पर्य है। बीजगणितीय तोरी के मामले में, जिल्बर ने इसे तोरी (सी. आई. टी.) के साथ छेदन पर अनुमान कहा। सामान्य संस्करण को अब जिल्बर-गुलाबी अनुमान के रूप में जाना जाता है। यह मोटे तौर पर बताता है कि कुछ विशेष किस्मों के साथ एक बीजगणितीय किस्म के असामान्य या असंभव प्रतिच्छेदन को सीमित रूप से कई विशेष किस्मों द्वारा गिना जाता है। कथन विषम और असंभव प्रतिच्छेदन दो बीजगणितीय किस्मों के प्रतिच्छेदन को असामान्य कहा जाता है यदि इसका आयाम अपेक्षा से बड़ा है। अधिक सटीक रूप से, तीन किस्मों को देखते हुए, प्रतिच्छेदन के एक घटक को यदि में असामान्य कहा जाता है। चूंकि इसका अपेक्षित आयाम है, इसलिए असामान्य प्रतिच्छेदन "असामान्य रूप से बड़े" होते हैं और इनके होने की उम्मीद नहीं होती है। जब, किस्में और उनके आपस में टकराने की बिल्कुल भी उम्मीद नहीं है, तो जब वे ऐसा करते हैं, तो प्रतिच्छेदन की संभावना नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रि-आयामी स्थान में दो रेखाएँ प्रतिच्छेदन करती हैं, तो यह एक असंभव प्रतिच्छेदन है, क्योंकि दो यादृच्छिक रूप से चुनी गई रेखाएँ लगभग कभी भी प्रतिच्छेदन नहीं करेंगी। विशेष किस्में शिमुरा किस्म की विशेष किस्में कुछ अंकगणितीय रूप से परिभाषित उप-किस्में हैं। वे विशेष बिंदुओं के उच्च आयामी संस्करण हैं। उदाहरण के लिए, सेमीबेलियन किस्मों में विशेष बिंदु मरोड़ बिंदु होते हैं और विशेष किस्में मरोड़ बिंदु द्वारा अपरिवर्तनीय बीजगणितीय उपसमूहों का अनुवाद होती हैं। मॉड्यूलर सेटिंग में विशेष बिंदु एकवचन मॉड्यूली होते हैं और विशेष किस्में मॉड्यूलर समीकरणों द्वारा परिभाषित किस्मों के अपरिवर्तनीय घटक होते हैं। एक मिश्रित शिमुरा किस्म और एक उप-विविधता को देखते हुए, एक असामान्य उप-विविधता एक प्रतिच्छेदन का एक असामान्य घटक है जहां एक विशेष उप-विविधता है। ज़िलबर-गुलाबी का अनुमान एक मिश्रित शिमुरा किस्म या एक सेमीबेलियन किस्म पर परिभाषित किया गया है, और एक उप-विविधता माना जाता है। फिर इसमें केवल सीमित रूप से कई अधिकतम असामान्य उप-प्रकार होते हैं। जिल्बर-गुलाबी अनुमान के अबेलियन और मॉड्यूलर संस्करण शिमुरा किस्मों के लिए अनुमान के विशेष मामले हैं, जबकि सामान्य रूप से सेमीबेलियन मामला नहीं है। हालांकि, सेमीबेलियन और शिमुरा किस्मों की विशेष उप-किस्में कई औपचारिक गुणों को साझा करती हैं जो दोनों सेटिंग्स में एक ही सूत्रीकरण को मान्य बनाती हैं। आंशिक परिणाम और विशेष मामले जबकि जिल्बर-गुलाबी अनुमान व्यापक रूप से खुला है, कई विशेष मामले और कमजोर संस्करण साबित हुए हैं। यदि एक किस्म में एक विशेष किस्म होती है तो परिभाषा के अनुसार एक असामान्य उप-विविधता होती है। इसलिए, जिल्बर-गुलाबी अनुमान का तात्पर्य है कि इसमें केवल सीमित रूप से कई अधिकतम विशेष उपप्रकार शामिल हैं। यह सेमीबेलियन सेटिंग में मैनिन-मम्फोर्ड अनुमान है और शिमुरा सेटिंग में आंद्रे-ओर्ट अनुमान है। दोनों अब प्रमेय हैं; पहले वाले को कई दशकों से जाना जाता है, जबकि बाद वाले को हाल ही में पूरी तरह से साबित किया गया था। जिल्बर-गुलाबी अनुमान पर कई आंशिक परिणाम सिद्ध हुए हैं। मॉड्यूलर सेटिंग में एक उदाहरण यह है कि किसी भी किस्म में केवल सीमित रूप से कई अधिकतम दृढ़ता से असामान्य उप-विविधताएं होती हैं, जहां एक दृढ़ता से असामान्य उप-विविधता एक असामान्य उप-विविधता है जिसमें कोई स्थिर निर्देशांक नहीं होता है। आगे पढ़ने के लिए संदर्भ डायोफैंटाइन ज्यामिति अनुमान