Courant–Snyder parameters
त्वरक भौतिकी में, कोरेंट-स्नाइडर मापदंड (अक्सर ट्विस मापदंड या सीएस मापदंड के रूप में संदर्भित) एक किरण में कणों की स्थिति और वेग के वितरण का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली मात्राओं का एक समूह है। जब एक किरण में प्रत्येक कण के उस आयाम के साथ एकल आयाम और वेग (या मोमेंटा) के साथ स्थितियों को एक चरण अंतरिक्ष आरेख पर प्लॉट किया जाता है, तो कणों को घेरने वाला एक दीर्घवृत्त समीकरण द्वारा दिया जा सकता हैः स्थिति अक्ष कहाँ है और वेग अक्ष है। इस सूत्रीकरण में,, और दिए गए अक्ष के साथ बीम के लिए कोरेंट-स्नाइडर पैरामीटर हैं, और उत्सर्जन है। एक बीम के लिए मापदंडों के तीन सेट की गणना की जा सकती है, प्रत्येक ऑर्थोगोनल दिशा के लिए एक, x, y और z। कण किरणों के चरण अंतरिक्ष गुणों का वर्णन करने के लिए इन मापदंडों का उपयोग त्वरक भौतिकी समुदाय में अर्नेस्ट कौरेंट और हार्टलैंड स्नाइडर द्वारा उनके 1953 के पेपर, "वैकल्पिक-ग्रेडिएंट सिंक्रोट्रॉन के सिद्धांत" में लोकप्रिय किया गया था। ब्रिटिश खगोलशास्त्री रिचर्ड क्यू. ट्विस के नाम पर उन्हें त्वरक भौतिकी साहित्य में "ट्विस मापदंड" के रूप में भी व्यापक रूप से संदर्भित किया जाता है, हालांकि यह स्पष्ट नहीं है कि उनका नाम सूत्रीकरण से कैसे जुड़ा। चरण अंतरिक्ष क्षेत्र विवरण एक त्वरक या किरण परिवहन रेखा के माध्यम से कणों की गति का अनुकरण करते समय, प्रत्येक कण की गति को व्यक्तिगत रूप से ट्रैक करने के बजाय, कणों के समूह के समग्र गुणों का वर्णन करना अक्सर वांछनीय होता है। लिउविल के प्रमेय से यह दिखाया जा सकता है कि किसी स्थिति और संवेग चरण अंतरिक्ष भूखंड पर कब्जा किया गया घनत्व तब स्थिर रहता है जब किरण केवल रूढ़िवादी बलों से प्रभावित होती है। इस भूखंड पर बीम द्वारा कब्जा किए गए क्षेत्र को बीम उत्सर्जन के रूप में जाना जाता है, हालांकि इस गुण की सटीक गणितीय परिभाषा के लिए कई प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ हैं। निर्देशांक त्वरक भौतिकी में, समन्वय स्थितियों को आमतौर पर एक आदर्श संदर्भ कण के संबंध में परिभाषित किया जाता है, जो त्वरक के लिए आदर्श डिजाइन प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है। इस प्रक्षेपवक्र के साथ संरेखित दिशा को "z", (कभी-कभी "s") नामित किया जाता है और इसे अनुदैर्ध्य निर्देशांक के रूप में भी जाना जाता है। दो अनुप्रस्थ निर्देशांक अक्ष, x और y, को z अक्ष और एक दूसरे के लंबवत परिभाषित किया गया है। x, y और z अक्षों के साथ संदर्भ कण के सापेक्ष प्रत्येक कण की स्थिति का वर्णन करने के अलावा, इनमें से प्रत्येक मूल्य के परिवर्तन की दर पर विचार करना भी आवश्यक है। यह आम तौर पर समय के संबंध में नहीं बल्कि अनुदैर्ध्य निर्देशांक (x '= dx/dz) के संबंध में परिवर्तन की दर के रूप में दिया जाता है। ज्यादातर मामलों में, x 'और y' दोनों 1 से बहुत कम हैं, क्योंकि कण बीम पथ के साथ इसके अनुप्रस्थ की तुलना में बहुत तेजी से आगे बढ़ेंगे। इस धारणा को देखते हुए, सरल अनुपात के बजाय कोण के रूप में x 'और y' को व्यक्त करने के लिए छोटे कोण सन्निकटन का उपयोग करना संभव है। जैसे, x 'और y' को आम तौर पर मिलीरेडियन में व्यक्त किया जाता है। दीर्घवृत्त समीकरण जब एक दीर्घवृत्त को चरण स्थान में कण वितरण के चारों ओर खींचा जाता है, तो दीर्घवृत्त के लिए समीकरण इस प्रकार दिया जाता हैः "क्षेत्र" यहाँ चरण स्थान में एक क्षेत्र है, और इसकी लंबाई * कोण की इकाइयाँ हैं। कुछ स्रोत इस क्षेत्र को बीम उत्सर्जन के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य इसका उपयोग करते हैं। 2 आयामी गौसी वितरण के साथ एक किरण में कणों के एक विशिष्ट अंश के रूप में क्षेत्र को परिभाषित करना भी संभव है। अन्य तीन गुणांक,,, और, सीएस मापदंड हैं। चूँकि यह दीर्घवृत्त त्वरक में एक बिंदु पर कणों की स्थिति और वेग का एक तात्कालिक प्लॉट है, ये मान समय के साथ बदलेंगे। चूँकि केवल दो स्वतंत्र चर हैं, x और x ', और उत्सर्जन स्थिर है, इसलिए CS मापदंडों में से केवल दो स्वतंत्र हैं। तीन मापदंडों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया हैः आवधिक प्रणालियों के लिए व्युत्पत्ति सीएस मापदंडों को चरण स्थान में कणों के संग्रह के अनुभवजन्य विवरण के रूप में मानने के अलावा, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में कणों की गति के समीकरणों के आधार पर उन्हें प्राप्त करना संभव है। गति का समीकरण एक मजबूत केंद्रित त्वरक में, अनुप्रस्थ केंद्रित मुख्य रूप से चतुर्भुज चुंबक द्वारा प्रदान किया जाता है। चुंबक के एक अक्ष के समानांतर अनुप्रस्थ गति के लिए गति का रैखिक समीकरण हैः जहाँ केंद्रित गुणांक है, जिसकी लंबाई-2 की इकाइयाँ हैं, और एक चतुर्भुज क्षेत्र में केवल गैर-शून्य है। (ध्यान दें कि इस पूरी व्याख्या में x का उपयोग किया जाता है, लेकिन y का उपयोग k के लिए संकेत परिवर्तन के साथ किया जा सकता है। अनुदैर्ध्य निर्देशांक, z, के लिए कुछ अलग व्युत्पत्ति की आवश्यकता होती है।) मान लीजिए कि यह आवधिक है, उदाहरण के लिए, जैसा कि एक गोलाकार त्वरक में है, यह एक अवकल समीकरण है जिसका रूप पहाड़ी अवकल समीकरण के समान है। इस समीकरण का समाधान एक छद्म हार्मोनिक ऑसिलेटर हैः जहाँ A (z) दोलन का आयाम है, "बीटाट्रॉन चरण" है जो के मूल्य पर निर्भर है, और प्रारंभिक चरण है। आयाम को एक स्थिति निर्भर भाग और एक प्रारंभिक मूल्य में विघटित किया जाता है, जैसे किः (यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि 'यात्रा की दिशा के साथ स्थिति के संबंध में एक व्युत्पन्न को इंगित करना जारी रखता है, न कि समय।) कण वितरण गति के इन समीकरणों को देखते हुए, एक किरण उपज में कणों के लिए औसत मान लेते हुएः इन्हें निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ सरल बनाया जा सकता हैः देनाः ये एक अन्य रूप में सीएस मापदंड और उत्सर्जन हैं। मापदंडों के बीच संबंध के साथ, यह एक मनमाने (जरूरी नहीं कि गौसी) कण वितरण के लिए उत्सर्जन की परिभाषा की ओर भी ले जाता हैः गुण सीएस मापदंडों का उपयोग करके एक कण वितरण को पैरामीट्रिक रूप से वर्णित करने का लाभ यह है कि समग्र वितरण के विकास की गणना प्रत्येक व्यक्तिगत कण पर नज़र रखने और फिर त्वरक पथ के साथ कई बिंदुओं पर स्थानों को संयोजित करने की तुलना में मैट्रिक्स प्रकाशिकी का उपयोग करके अधिक आसानी से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि मापदंडों के साथ एक कण वितरण, और लंबाई L के एक खाली स्थान से गुजरता है, तो मान, और उस स्थान के अंत में दिए जाते हैंः बीम उत्सर्जन बीटा फ़ंक्शन (त्वरक भौतिकी) रे स्थानांतरण मैट्रिक्स विश्लेषण भी देखें।