Lunar arithmetic
चंद्र अंकगणित, जिसे पहले निराशाजनक अंकगणित कहा जाता था, अंकगणित का एक संस्करण है जिसमें अंकों पर जोड़ और गुणन संचालन को अधिकतम और न्यूनतम संचालन के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, चंद्र अंकगणित में, और गैर-ऋणात्मक बहु-अंकीय संख्याओं पर चंद्र अंकगणितीय संचालन सामान्य अंकगणित की तरह किए जाते हैं जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में दर्शाया गया है। चन्द्र अंकगणित की दुनिया गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समूह तक ही सीमित है। 976 + 348---- 978 (अंकों को स्तंभ-वार जोड़कर) 976 × 348---- 876 (976 के अंकों को 8 से गुणा करके) 444 (976 के अंकों को 4 से गुणा करके) 333 (976 के अंकों को 3 से गुणा करके)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ चंद्र अंकगणित की सामान्य परिभाषा में, एक मनमाना आधार में व्यक्त की गई संख्याओं पर विचार किया जाता है और चंद्र अंकगणितीय संचालन को चुने गए आधार के अनुरूप अंकों पर अधिकतम और न्यूनतम संचालन के रूप में परिभाषित किया जाता है। हालाँकि, सरलता के लिए, निम्नलिखित चर्चा में यह माना जाएगा कि संख्याओं को आधार के रूप में 10 का उपयोग करके दर्शाया गया है। चंद्र क्रियाओं के गुण चंद्र क्रियाओं के कुछ प्राथमिक गुण नीचे सूचीबद्ध हैं। चंद्र जोड़ और गुणन संचालन परिवर्तनीय और सहयोगी नियमों को संतुष्ट करते हैं। चंद्र गुणन चंद्र जोड़ पर वितरित होता है। अंक 0 चंद्र जोड़ के तहत पहचान है। किसी भी गैर-शून्य संख्या का चंद्र जोड़ के तहत व्युत्क्रम नहीं होता है। अंक 9 चंद्र गुणन के तहत पहचान है। 9 से भिन्न किसी भी संख्या का चंद्र गुणन के तहत व्युत्क्रम नहीं होता है। कुछ मानक अनुक्रम सम संख्याएँ यह ध्यान दिया जा सकता है कि, चंद्र अंकगणित में, और। सम संख्याएँ रूप की संख्याएँ हैं। चंद्र अंकगणित के तहत पहली कुछ विशिष्ट सम संख्याएँ नीचे सूचीबद्ध हैंः ये वे संख्याएँ हैं जिनके सभी अंक 2 से कम या बराबर हैं। वर्ग एक वर्ग संख्या रूप की एक संख्या है। तो चंद्र अंकगणित में, पहले कुछ वर्ग निम्नलिखित हैं। त्रिकोणीय संख्या एक त्रिकोणीय संख्या है। पहली कुछ त्रिकोणीय चंद्र संख्याएँ हैंः कारक चंद्र अंकगणित में, भाज्य के पहले कुछ मान इस प्रकार हैंः अभाज्य संख्याएँ सामान्य अंकगणित में, एक अभाज्य संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका एकमात्र संभव गुणनखंडन है। समान रूप से, चंद्र अंकगणित में, एक अभाज्य संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका एकमात्र गुणनखंडन है जहां 9 गुणक पहचान है जो सामान्य अंकगणित में 1 से मेल खाती है। तदनुसार, चंद्र अंकगणित में पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ निम्नलिखित हैंः रूप की प्रत्येक संख्या, जहाँ मनमाना है, चंद्र अंकगणित में एक अभाज्य है। चूंकि यह मनमाना है, इसलिए यह दर्शाता है कि चंद्र अंकगणित में अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं। सारांश और चंद्र गुणन गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उपसमुच्चय के योग बनाने के संचालन और द्विआधारी संख्याओं पर चंद्र गुणन के बीच एक दिलचस्प संबंध है। मान लीजिए और गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के समूह के गैर-खाली उपसमुच्चय हैं। समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि हम एक अद्वितीय द्विआधारी संख्या को निम्नानुसार संबद्ध कर सकते हैं। जाने दीजिए। क्योंकि हम परिभाषित करते हैं और फिर हम परिभाषित करते हैं यह साबित हो गया है कि जहाँ "दाईं ओर" द्विआधारी संख्याओं पर चंद्र गुणन को दर्शाता है। चंद्र अंकगणित का उपयोग करके वर्गों के जादू वर्ग वर्गों का एक जादू वर्ग संख्याओं के वर्गों द्वारा बनाया गया एक जादू वर्ग है। यह ज्ञात नहीं है कि पूर्णांकों के सामान्य जोड़ और गुणा के साथ क्रम 3 के वर्ग के जादुई वर्ग हैं या नहीं। हालाँकि, यह देखा गया है कि, यदि हम चंद्र अंकगणितीय संचालन पर विचार करते हैं, तो क्रम 3 के वर्गों के जादुई वर्गों की अनंतता होती है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया हैः उष्णकटिबंधीय अंकगणितीय संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक गुणा प्राथमिक अंकगणितीय अंकगणितीय अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक अनुक्रम