Modern triangle geometry
गणित में, आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति, या नई त्रिभुज ज्यामिति, उन्नीसवीं शताब्दी की अंतिम तिमाही की शुरुआत से मोटे तौर पर खोजे गए और विकसित किए गए त्रिभुज के गुणों से संबंधित ज्ञान का निकाय है। त्रिभुज और उनके गुण कम से कम यूक्लिड के समय से जांच का विषय थे। वास्तव में, यूक्लिड के तत्वों में एक त्रिभुज से जुड़े चार विशेष बिंदुओं-केंद्रक, प्रेरक, परिधि केंद्र और ऑर्थोसेन्टर का वर्णन है। भले ही सत्रहवीं शताब्दी में पास्कल और सेवा, अठारहवीं शताब्दी में यूलर और उन्नीसवीं शताब्दी में फ़ायरबाख और कई अन्य गणितविदों ने त्रिभुज के गुणों के बारे में महत्वपूर्ण खोज की थी, यह 1873 में एमिल लेमोइन (1840-1912) द्वारा "त्रिभुज के एक उल्लेखनीय बिंदु पर" शीर्षक के साथ एक पेपर का प्रकाशन था, जिसे नाथन आल्ट्सचिलर-कोर्ट के अनुसार, "समग्र रूप से त्रिभुज की आधुनिक ज्यामिति को foundations.of रखा गया था।" अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली, जिसमें लेमोइन का अधिकांश काम प्रकाशित हुआ है, ने घोषणा की कि "इनमें से किसी भी [ज्यामिति] के लिए एमिल-मिशेल-हयासिंथे लेमोइन से अधिक आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति के इस आंदोलन को शुरू करने का सम्मान नहीं है।" इस लेख के प्रकाशन ने उन्नीसवीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और बीसवीं शताब्दी के शुरुआती वर्षों के दौरान त्रिभुज के गुणों की जांच में रुचि का एक उल्लेखनीय उछाल पैदा किया। 1914 में प्रकाशित क्लेन के एनसाइक्लोपीडिया ऑफ मैथमेटिकल साइंसेज में त्रिभुज ज्यामिति पर एक सौ पृष्ठ का लेख त्रिभुज ज्यामिति में रुचि के इस उछाल का गवाह है। शुरुआती दिनों में, अभिव्यक्ति "नई त्रिभुज ज्यामिति" केवल एक त्रिभुज से जुड़ी दिलचस्प वस्तुओं के समूह को संदर्भित करती है जैसे कि लेमोइन बिंदु, लेमोइन वृत्त, ब्रोकार्ड वृत्त और लेमोइन रेखा। बाद में पत्राचार का सिद्धांत जो ज्यामितीय परिवर्तनों के सिद्धांत की एक शाखा थी, विभिन्न पृथक परिणामों को सुसंगतता देने के लिए विकसित किया गया था। इसके विकास के साथ, "नई त्रिभुज ज्यामिति" अभिव्यक्ति ने न केवल एक त्रिभुज से जुड़ी कई उल्लेखनीय वस्तुओं को इंगित किया, बल्कि इन वस्तुओं का अध्ययन और वर्गीकरण करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों को भी इंगित किया। यहाँ 1887 से त्रिभुज ज्यामिति की एक परिभाषा दी गई हैः "त्रिभुज के तल में एक बिंदु M दिए जाने के कारण, हम हमेशा एक दूसरे बिंदु M 'को पा सकते हैं, जो एक काल्पनिक ज्यामितीय नियम के अनुसार पहले से मेल खाता है; इन दोनों बिंदुओं के बीच ज्यामितीय संबंध हैं जिनकी सादगी कमोबेश नियम के भाग्यशाली विकल्प पर निर्भर करती है जो उन्हें एकजुट करता है और प्रत्येक ज्यामितीय नियम परिवर्तन की एक विधि को जन्म देता है जो संयुग्मन की एक विधि है जिसका अध्ययन करना बाकी है।" ("उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी में एक प्राचीन आकृति के साथ नई ज्यामितीय विधियों को पढ़ानाः यूरोप और संयुक्त राज्य अमेरिका में पाठ्यपुस्तकों में नई त्रिभुज ज्यामिति (1888-1952)" शीर्षक वाला सम्मेलन पत्र देखें। हालाँकि, रुचि की यह वृद्धि जल्द ही ध्वस्त हो गई और बीसवीं शताब्दी के अंतिम वर्षों तक त्रिभुज ज्यामिति को पूरी तरह से नजरअंदाज कर दिया गया। "गणित के विकास" में, एरिक टेम्पल बेल ने 1940 में आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति की स्थिति पर अपना निर्णय इस प्रकार प्रस्तुत कियाः "20वीं शताब्दी के ज्यामितियों ने लंबे समय से इन सभी खजाने को ज्यामिति के संग्रहालय में पवित्रता से हटा दिया है जहां इतिहास की धूल ने उनकी चमक को जल्दी से कम कर दिया है।" (गणित का विकास, पृष्ठ 323) फिलिप डेविस ने त्रिभुज ज्यामिति में रुचि में गिरावट के कई कारण सुझाए हैं। इनमें शामिल हैंः यह भावना कि विषय प्राथमिक है और निम्न व्यावसायिक स्थिति का है। इसकी पद्धतिगत संभावनाओं का समाप्त होना। विषय के तथाकथित गहरे परिणामों की दृश्य जटिलता। बीजगणितीय के पक्ष में दृश्य का डाउनग्रेडिंग। अन्य क्षेत्रों से जुड़ाव की कमी। एक मजबूत दृश्य सामग्री जैसे टेसेलेशन, फ्रैक्टल, ग्राफ थ्योरी, आदि के साथ अन्य विषयों के साथ प्रतिस्पर्धा। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर के आगमन के साथ रुचि का एक और पुनरुद्धार देखा गया। त्रिभुज ज्यामिति फिर से समर्पित ज्यामिति के एक समूह द्वारा किए गए अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र बन गया है। इस पुनरुत्थान के प्रतीक के रूप में, एक "त्रिभुज केंद्र" की अवधारणा के निर्माण और क्लार्क किम्बर्लिंग द्वारा त्रिभुज केंद्रों के एक विश्वकोश के संकलन की ओर इशारा किया जा सकता है जिसमें लगभग 50,000 त्रिभुज केंद्रों और उनके गुणों की सूची है और 1200 से अधिक त्रिभुज घन के कई गुणों के विस्तृत विवरण के साथ त्रिभुज घन की एक सूची का संकलन भी है। 2001 में फ्लोरिडा अटलांटिक विश्वविद्यालय के पॉल यियू द्वारा स्थापित ओपन एक्सेस जर्नल फोरम जियोमेट्रिकम ने भी त्रिभुज ज्यामिति के लिए इस नए पाए गए उत्साह को आगे बढ़ाने में जबरदस्त प्रेरणा प्रदान की। दुर्भाग्य से, 2019 से, पत्रिका प्रस्तुतियों को स्वीकार नहीं कर रही है, हालांकि पिछले अंक अभी भी ऑनलाइन उपलब्ध हैं। लेमोइन ज्यामिति लेमोइन बिंदु केंद्रक जी के साथ दिए गए त्रिभुज एबीसी के लिए, शीर्ष के माध्यम से सममित कोण ए के द्विभाजक में रेखा एजी का प्रतिबिंब है। प्रत्येक शीर्ष से गुजरने वाले त्रिभुज के लिए तीन समरूपी होते हैं। तीन सिम्मेडियन समवर्ती होते हैं और समवर्ती बिंदु, जिसे आमतौर पर के द्वारा दर्शाया जाता है, को लेमोइन बिंदु या सिम्मेडियन बिंदु या त्रिभुज एबीसी का ग्रेब बिंदु कहा जाता है। यदि त्रिभुज ABC की पार्श्व लंबाई a, b, c है तो लेमोइन बिंदु के बैरिसेंट्रिक निर्देशांक a2: b2: c2 हैं। इसे "आधुनिक ज्यामिति के मुकुट रत्नों में से एक" के रूप में वर्णित किया गया है। गणितीय साहित्य में इस बिंदु के कई पहले के संदर्भ हैं, जिनका विवरण जॉन मैके के सिमेडियन बिंदु के इतिहास में उपलब्ध है। वास्तव में, सममितियों की समरूपता अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला हैः त्रिभुज ए. बी. सी. के तल में किसी भी बिंदु पी के लिए, रेखाओं के समभुज ए. पी., बी. पी., सी. पी. समवर्ती हैं, ए. पी. का समभुज (क्रमशः बी. पी., सी. पी.) कोण ए (क्रमशः बी. सी.) के द्विभाजक में रेखा ए. पी. का प्रतिबिंब है। समवर्ती बिंदु को पी का समभुज संयुग्म कहा जाता है। इस शब्दावली में, लेमोइन बिंदु केंद्रक का समभुज संयुग्म है। त्रिभुज की भुजाओं के समानांतर एक त्रिभुज ए. बी. सी. के लेमोइन बिंदु के माध्यम से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं जिसे त्रिभुज ए. बी. सी. का पहला लेमोइन वृत्त कहा जाता है। पहले लेमोइन वृत्त का केंद्र त्रिभुज के परिधि केंद्र और लेमोइन बिंदु के बीच में स्थित है, एक त्रिभुज ए. बी. सी. के लेमोइन बिंदु के माध्यम से त्रिभुज ए. बी. सी. के किनारों के विरोधी समानांतर के प्रतिच्छेदन बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं जिसे दूसरा लेमोइन वृत्त या त्रिभुज ए. बी. सी. का कोसाइन वृत्त कहा जाता है। "कोसाइन वृत्त" नाम दूसरे लेमोइन वृत्त के गुण के कारण है कि त्रिभुज के किनारों पर वृत्त द्वारा अवरोधित खंडों की लंबाई पक्षों के विपरीत कोणों की कोसाइनों के समानुपाती होती है। दूसरे लेमोइन वृत्त का केंद्र लेमोइन बिंदु है। लेमोइन अक्ष कोई भी त्रिभुज ए. बी. सी. और उसका स्पर्शरेखा त्रिभुज परिप्रेक्ष्य में होता है और परिप्रेक्ष्य के अक्ष को त्रिभुज ए. बी. सी. का लेमोइन अक्ष कहा जाता है। यह त्रिभुज ए. बी. सी. के सममित बिंदु का त्रिकोणीय ध्रुवीय है और त्रिभुज ए. बी. सी. की परिधि के संबंध में के का ध्रुवीय भी है। प्रारंभिक आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति की दुनिया में एक त्वरित नज़र जो कि लेमोइन के शोध पत्र के प्रकाशन के बाद त्रिभुज ज्यामिति में रुचि के चरम के दौरान मौजूद थी, नीचे प्रस्तुत की गई है। यह प्रस्तुति काफी हद तक 1910 में प्रकाशित विलियम गैलेटली की पुस्तक और 1929 में पहली बार प्रकाशित रोजर ए जॉनसन की पुस्तक में चर्चा किए गए विषयों पर आधारित है। पोरिस्टिक त्रिभुज दो त्रिभुज को पोरिस्टिक त्रिभुज कहा जाता है यदि उनका अंतःवृत्त और परिधि समान हो। केंद्र O और त्रिज्या R के साथ एक वृत्त और केंद्र I और त्रिज्या r के साथ एक अन्य वृत्त को देखते हुए, अनंत संख्या में त्रिभुज ABC हैं जिसमें वृत्त O (R) परिधि के रूप में और I (r) वृत्त के रूप में यदि और केवल यदि। ये त्रिभुज त्रिभुजों की एक पोरिस्टिक प्रणाली बनाते हैं। संदर्भ त्रिकोण के रूप में केंद्रक जैसे कुछ विशेष बिंदुओं का स्थान विभिन्न त्रिकोणों का पता लगाता है जो वृत्त और बिंदु बन जाते हैं। सिमसन रेखा त्रिभुज ए. बी. सी. की परिधि पर किसी भी बिंदु पी के लिए, पी से त्रिभुज ए. बी. सी. की भुजाओं तक लंबवत पैर समरेखीय होते हैं और समरेखीय रेखा पी. की प्रसिद्ध सिमसन रेखा होती है। पेडल और एंटीपेडल त्रिभुज एक बिंदु पी दिए जाने पर, पी से त्रिभुज ए. बी. सी. की भुजाओं तक लंबवत पैर डी, ई, एफ होने दें। त्रिभुज डी. ई. एफ. को पी. का पेडल त्रिभुज कहा जाता है। पी. का एंटीपेडल त्रिभुज क्रमशः ए, बी, सी, पी. ए., पी. बी., पी. सी. के लंबवत रेखाओं द्वारा बनाया गया त्रिभुज है। दो बिंदु पी और क्यू को काउंटर पॉइंट कहा जाता है यदि पी का पेडल त्रिभुज क्यू के एंटीपेडल त्रिभुज के लिए समरूप है और क्यू का पेडल त्रिभुज पी के एंटीपेडल त्रिभुज के लिए समरूप है। ऑर्थोपोल किसी भी रेखा को देखते हुए, पी, क्यू, आर को त्रिभुज एबीसी के शीर्ष ए, बी, सी से एल तक लंबवत पैर होने दें। पी. क्यू, आर के माध्यम से रेखाएं क्रमशः BC, CA, AB की भुजाओं के लंबवत हैं और समवर्ती बिंदु त्रिभुज एबीसी के संबंध में रेखा एल का ऑर्थोपोल है। आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति में, ऑर्थोपोल के गुणों से संबंधित साहित्य का एक बड़ा हिस्सा है। ब्रोकार्ड बिंदु वृत्तों को त्रिभुज ए. बी. सी. के BC, CA, AB भुजाओं पर वर्णित किया जाता है जिनके बाहरी खंडों में क्रमशः C, A, B और B, C, A कोणों के दो त्रिभुज होते हैं। कोणों के त्रिभुज द्वारा निर्धारित वृत्तों का प्रत्येक त्रिभुज एक सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है जिससे ऐसे दो बिंदु प्राप्त होते हैं। इन बिंदुओं को त्रिभुज ए. बी. सी. के ब्रोकार्ड बिंदु कहा जाता है और आमतौर पर इनके द्वारा दर्शाया जाता है। यदि पी पहला ब्रोकार्ड बिंदु है (जो वृत्तों के पहले त्रिभुज द्वारा निर्धारित ब्रोकार्ड बिंदु है) तो कोण पी. बी. सी., पी. सी. ए. और पी. ए. बी. एक दूसरे के बराबर हैं और सामान्य कोण को त्रिभुज ए. बी. सी. का ब्रोकार्ड कोण कहा जाता है और आमतौर पर इसे ए. बी. सी. द्वारा दर्शाया जाता है। कुछ छवियाँ समकालीन आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति त्रिभुज केंद्र बीसवीं शताब्दी के अंतिम वर्षों के दौरान त्रिभुज ज्यामिति में रुचि के पुनरुद्धार के दौरान उभरे सबसे महत्वपूर्ण विचारों में से एक त्रिभुज केंद्र की धारणा है। 1994 में क्लार्क किम्बर्लिंग द्वारा शुरू की गई इस अवधारणा ने एक त्रिभुज से जुड़े कई विशेष और उल्लेखनीय बिंदुओं को एक धारणा में एकीकृत किया। इस विचार की शुरुआत के बाद से, त्रिभुज से जुड़े किसी भी परिणाम पर लगभग कोई चर्चा इस बात पर चर्चा किए बिना पूरी नहीं होती है कि परिणाम त्रिभुज केंद्रों के साथ कैसे जुड़ता है। त्रिभुज केंद्र की परिभाषा तीन वास्तविक चर a, b, c के एक वास्तविक मूल्य वाले फलन f में निम्नलिखित गुण हो सकते हैंः समरूपताः f (ta, tb, tc) = tn f (a, b, c) कुछ स्थिरांक n के लिए और सभी t> 0 के लिए। दूसरे और तीसरे चर में द्वि-सममितिः f (a, b, c) = f (a, c, b)। यदि एक गैर-शून्य f में ये दोनों गुण हैं तो इसे त्रिभुज केंद्र फलन कहा जाता है। यदि f एक त्रिभुज केंद्र फलन है और a, b, c एक संदर्भ त्रिभुज की पार्श्व-लंबाई हैं तो वह बिंदु जिसके त्रिकोणीय निर्देशांक f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a, b) हैं, त्रिभुज केंद्र कहलाता है। क्लार्क किम्बर्लिंग त्रिभुज केंद्रों के संग्रह के लिए समर्पित एक वेबसाइट का रखरखाव कर रहे हैं। त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश नामक वेबसाइट में लगभग 50,000 त्रिभुज केंद्रों की परिभाषाएँ और विवरण हैं। केंद्रीय रेखा समकालीन आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति की एक और एकीकृत धारणा एक केंद्रीय रेखा की है। यह अवधारणा एक त्रिभुज से जुड़ी कई विशेष सीधी रेखाओं को एकीकृत करती है। एक केंद्रीय रेखा की धारणा भी एक त्रिभुज केंद्र की धारणा से संबंधित है। केंद्रीय रेखा की परिभाषा मान लीजिए कि ए. बी. सी. एक समतल त्रिभुज है और मान लीजिए कि (x: y: z) त्रिभुज ए. बी. सी. के तल में एक मनमाने बिंदु के त्रिकोणीय निर्देशांक हैं। त्रिभुज ABC के तल में एक सीधी रेखा जिसका त्रिकोणीय निर्देशांक में समीकरण f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0 है जहां त्रिकोणीय निर्देशांक (f (a, b, c): g (a, b, c): h (a, b, c) एक त्रिभुज केंद्र है, त्रिभुज ABC के सापेक्ष त्रिभुज ABC के तल में एक केंद्रीय रेखा है। केंद्रीय रेखा की ज्यामितीय संरचना मान लीजिए कि X त्रिभुज ABC का कोई भी त्रिभुज केंद्र है। AX, BX और CX रेखाओं और उनके प्रतिबिंबों को क्रमशः A, B, C शीर्षों पर कोणों के आंतरिक द्विभाजक में बनाएँ। परावर्तित रेखाएँ समवर्ती होती हैं और समवर्ती बिंदु X का समभुज संयुग्म Y होता है। मान लीजिए कि सेवियन AY, BY, CY क्रमशः A ', B', C 'पर त्रिभुज ABC के विपरीत किनारे से मिलते हैं। त्रिभुज ए 'बी' सी 'वाई का सीवियन त्रिभुज है। त्रिभुज ए. बी. सी. और सीवियन त्रिभुज ए 'बी' सी 'परिप्रेक्ष्य में हैं और डी. ई. एफ. को दो त्रिभुजों की परिप्रेक्ष्यता का अक्ष माना जाता है। रेखा DEF बिंदु Y का त्रिकोणीय ध्रुवीय है। रेखा डी. ई. एफ. त्रिभुज केंद्र एक्स. त्रिभुज शंकु से जुड़ी केंद्रीय रेखा है एक त्रिभुज शंकु संदर्भ त्रिभुज के तल में एक शंकु है और किसी तरह से इससे जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, संदर्भ त्रिभुज की परिधि और अंतःवृत्त त्रिभुज शंकु हैं। अन्य उदाहरण हैं स्टेनर दीर्घवृत्त जो शीर्षों से गुजरने वाला एक दीर्घवृत्त है और जिसका केंद्र संदर्भ त्रिभुज के केंद्रक पर है, कीपर्ट हाइपरबोला जो शीर्षों से गुजरने वाला एक शंकु है, केंद्रक और संदर्भ त्रिभुज का ऑर्थोसेन्टर और आर्टज़्ट परवलय जो त्रिभुज के शीर्षों पर संदर्भ त्रिभुज के दो किनारों को छूते हुए परवलय हैं। हाल ही में अध्ययन किए गए कुछ त्रिभुज शंकुओं में हॉफस्टैडर दीर्घवृत्त और वाईएफएफ शंकु शामिल हैं। हालाँकि, साहित्य में त्रिभुज शंकु की शब्दावली की कोई औपचारिक परिभाषा नहीं है; अर्थात, एक शंकु का संदर्भ त्रिभुज के साथ संबंध होना चाहिए ताकि इसे त्रिभुज शंकु कहा जा सके। वोल्फ्राममैथवर्ल्ड में "त्रिभुज शंकु" शीर्षक वाला एक पृष्ठ है जो त्रिभुज शंकु की परिभाषा दिए बिना 42 वस्तुओं की सूची देता है (उनमें से सभी शंकु नहीं हैं)। त्रिभुज घन घन वक्र त्रिभुजों के अध्ययन में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, संदर्भ त्रिभुज ए. बी. सी. के तल में एक बिंदु पी. का स्थान इस तरह है कि यदि त्रिभुज ए. बी. सी. के किनारे पर पी. के परावर्तन पी. ए., पी. बी., पी. सी. हैं, तो ए. पी. ए., बी. पी. बी. और सी. पी. सी. रेखाएँ समवर्ती हैं जो न्यूबर्ग क्यूबिक नामक एक घन वक्र है। यह बर्नार्ड गिल्बर्ट के कैटलॉग ऑफ ट्राइएंगल क्यूबिक्स में सूचीबद्ध पहला घन है। इस सूची में प्रत्येक वक्र पर जानकारी के साथ 1200 से अधिक त्रिभुज घनों को सूचीबद्ध किया गया है जैसे कि वक्र का बेरीसेंट्रिक समीकरण, त्रिभुज केंद्र जो वक्र पर स्थित हैं, वक्र के लोकस गुण और वक्र पर साहित्य के संदर्भ। त्रिभुज ज्यामिति में कंप्यूटर बीसवीं शताब्दी के अंतिम वर्षों और वर्तमान शताब्दी के शुरुआती वर्षों के दौरान त्रिभुज ज्यामिति में रुचि के विकास के क्रम पर कंप्यूटर के प्रवेश का निर्णायक प्रभाव पड़ा। जिन तरीकों से कंप्यूटर ने इस पाठ्यक्रम को प्रभावित किया था, उनमें से कुछ को फिलिप डेविस द्वारा चित्रित किया गया है। त्रिभुज ज्यामिति में नए परिणाम उत्पन्न करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग किया गया है। 2015 में प्रकाशित एक सर्वेक्षण लेख कंप्यूटर प्रोग्राम "डर्कवरर" द्वारा खोजे गए कुछ महत्वपूर्ण नए परिणामों का विवरण देता है। प्रमेयों का निम्नलिखित नमूना डिस्कवरर द्वारा खोजे गए नए परिणामों का स्वाद देता है। प्रमेय 6.1 मान लीजिए कि पी और क्यू बिंदु हैं, न तो त्रिभुज ए. बी. सी. के किनारे पर स्थित हैं। यदि ए. बी. सी. के संबंध में पी और क्यू समभुज संयुग्म हैं, तो उनके पूरकों का सेवा उत्पाद कीपर्ट हाइपरबोला पर स्थित है। प्रमेय 9.1। समरूपता का Yff केंद्र प्रेरक के पेडल त्रिभुज के संबंध में अंतःवृत्त और परिधि की समानता का आंतरिक केंद्र है। लेस्टर वृत्त वह वृत्त है जो परिधि केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र और बाहरी और आंतरिक फर्माट बिंदुओं से होकर गुजरता है। एक सामान्यीकृत लेस्टर वृत्त एक वृत्त है जो कम से कम चार त्रिभुज केंद्रों से गुजरता है। खोजकर्ता ने कई सामान्यीकृत लेस्टर वृत्तों की खोज की है। सावा ग्रोज़देव, हिरोशी ओकुमुरा, डेकोकोव यूक्लिडियन ज्यामिति के कंप्यूटर द्वारा खोजे गए विश्वकोश को समर्पित एक वेब पोर्टल का रखरखाव कर रहे हैं। संदर्भ अतिरिक्त पठन त्रिभुज ज्यामिति ज्यामिति का इतिहास