Šindel sequence
योगात्मक संयोजन में, एक सिंडेल अनुक्रम पूर्णांकों का एक आवधिक अनुक्रम है जिसमें यह गुण होता है कि इसके आंशिक योग में सभी त्रिकोणीय संख्याएँ शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए, जो अनुक्रम 1,2,3,4,3,2 से शुरू होता है, वह एक सिंडेल अनुक्रम है, जिसमें त्रिकोणीय आंशिक योग आदि होते हैं। इस तरह के अनुक्रम का वर्णन करने का एक और तरीका यह है कि इसे सन्निहित अनुक्रमों में विभाजित किया जा सकता है जिनके योग लगातार पूर्णांक हैंः इस विशेष उदाहरण का उपयोग प्राग खगोलीय घड़ी की गियरिंग में किया जाता है, जो घड़ी की घंटी को प्रत्येक घंटे में सही संख्या में बजाने के लिए एक तंत्र के हिस्से के रूप में है। सिंडेल अनुक्रमों का नाम 14वीं और 15वीं शताब्दी के एक चेक वैज्ञानिक जान सिंडेल के नाम पर रखा गया है, जिनकी गणना का उपयोग प्राग घड़ी के डिजाइन में किया गया था। इन अनुक्रमों की परिभाषा और नाम माइकल क्रिजेक, एलेना सोलकोवा और लॉरेंस सोमर द्वारा प्राग घड़ी के गणित का विश्लेषण करने वाले अपने काम में दिए गए थे। यदि आवधिक अनुक्रम की एकल अवधि के भीतर संख्याओं के योग को दर्शाता है, और विषम है, तो केवल त्रिकोणीय संख्याओं की जाँच करने की आवश्यकता है, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह एक सिंडेल अनुक्रम है। यदि ये सभी त्रिकोणीय संख्याएँ अनुक्रम का आंशिक योग हैं, तो सभी बड़ी त्रिकोणीय संख्याएँ भी होंगी। सम मानों के लिए, त्रिकोणीय संख्याओं के एक बड़े समूह की जाँच करने की आवश्यकता है। प्राग घड़ी में, 1,2,3,4,3 और 2 इकाइयों के अंतराल पर स्लॉट के साथ एक सहायक गियर (इसके प्रत्येक घूर्णन में उदाहरण सिंडेल अनुक्रम में दोहराया जाता है) को एक अन्य बड़े गियर की गति के साथ सिंक्रनाइज़ किया जाता है और नियंत्रित किया जाता है, जिसके स्लॉट 1,2,3,4,5,24 इकाइयों के अंतराल पर होते हैं, जो दिन में एक बार घूमते हैं और इसकी दूरी प्रत्येक घंटे पर झंकार की संख्या को नियंत्रित करती है। इन दोनों गियर को समक्रमित रखने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि बड़े गियर के प्रत्येक चक्कर के लिए, छोटा गियर भी एक पूर्णांक संख्या में घूमता है। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि सिंडेल अनुक्रम की अवधि का योग समान रूप से विभाजित होना चाहिए, बड़े गियर के अंतराल अंतराल का योग। इस कारण से एक निश्चित अवधि राशि के साथ सिंडेल अनुक्रमों को खोजना दिलचस्प है। इस समस्या के संबंध में, एक आदिम सिंडेल अनुक्रम, एक सिंडेल अनुक्रम है जिसमें से दो संख्याओं को उनके योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिससे एक छोटा सिंडेल अनुक्रम बनता है। प्रत्येक के लिए एक अद्वितीय आदिम सिंडेल अनुक्रम मौजूद है जिसकी अवधि राशि के बराबर है। हालाँकि, ध्यान दें कि यह अनुक्रम एक से अधिक बार एक छोटे सिंडेल अनुक्रम को दोहराकर बनाया जा सकता है। एक अनुक्रम जो किसी भी अवधि के साथ केवल संख्या 1 को दोहराता है, एक सिंडेल अनुक्रम है, और इसे तुच्छ सिंडेल अनुक्रम कहा जाता है। यदि दो की शक्ति है, तो अवधि के साथ तुच्छ सिंडेल अनुक्रम आदिम है, और अवधि योग के साथ अद्वितीय आदिम सिंडेल अनुक्रम है। किसी भी अन्य विकल्प के लिए, अवधि योग के साथ अद्वितीय आदिम सिंडेल अनुक्रम तुच्छ नहीं है। स्पार्स रूलर नोट्स संदर्भ योगात्मक संयोजन भी देखें।