Feferman–Vaught theorem
मॉडल सिद्धांत में फेफरमैन-वॉट प्रमेय सोलोमन फेफरमैन और रॉबर्ट लॉसन वॉट की एक प्रमेय है जो दिखाती है कि किस तरह से, एक एल्गोरिथमिक तरीके से, प्रथम-क्रम संरचनाओं के उत्पाद के प्रथम-क्रम सिद्धांत को संरचना के तत्वों के प्रथम-क्रम सिद्धांत में कम किया जाए। प्रमेय को मॉडल सिद्धांत में मानक परिणामों में से एक माना जाता है। यह प्रमेय सिद्धांतों के प्रत्यक्ष उत्पादों पर आंद्रेज मोस्टोव्स्की के पिछले परिणाम का विस्तार करता है। यह सार्वभौमिक बीजगणित में उस गुण को सामान्यीकृत करता है जो समानताएं (पहचान) बीजगणितीय संरचनाओं के प्रत्यक्ष उत्पादों तक ले जाती हैं (जो बिरखॉफ के प्रमेय की एक दिशा का परिणाम है)। संरचनाओं के प्रत्यक्ष उत्पाद प्रथम क्रम के तर्क हस्ताक्षर एल पर विचार करें। उत्पाद संरचनाओं की परिभाषा कुछ सूचकांक सेट I के लिए एल-संरचनाओं के एक परिवार को लेती है और उत्पाद संरचना को परिभाषित करती है, जो सभी कार्यों और संबंधों के साथ एक एल-संरचना भी है। परिभाषा सार्वभौमिक बीजगणित में संबंधपरक प्रथम-क्रम संरचनाओं के लिए प्रत्यक्ष उत्पाद को सामान्यीकृत करती है, जिसमें न केवल कार्य प्रतीक होते हैं बल्कि संबंध प्रतीक भी होते हैं। यदि एल में तर्क के साथ एक संबंध प्रतीक है और कार्टेशियन उत्पाद के तत्व हैं, तो हम इन की व्याख्या को परिभाषित करते हैं जब एक कार्यात्मक संबंध है, तो यह परिभाषा सार्वभौमिक बीजगणित में प्रत्यक्ष उत्पाद की परिभाषा तक कम हो जाती है। प्रत्यक्ष उत्पादों के लिए प्रमेय का कथन मुक्त चर के साथ हस्ताक्षर एल में प्रथम क्रम के तर्क सूत्र के लिए, और चर की व्याख्या के लिए, हम सूचकांकों के समूह को परिभाषित करते हैं जिनके लिए स्वतंत्र चर के साथ प्रथम क्रम के सूत्र को देखते हुए, इसके समतुल्य खेल सामान्य रूप की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, जो पारस्परिक रूप से विरोधाभासी सूत्रों का एक परिमित विच्छेदन है। फेफरमैन-वॉट प्रमेय एक एल्गोरिथ्म देता है जो एक प्रथम-क्रम सूत्र लेता है और एक सूत्र का निर्माण करता है जो उत्पाद में धारण करने वाली स्थिति को उस स्थिति तक कम कर देता है जो सूचकांकों के सेटों की व्याख्या में होती हैः सूत्र इस प्रकार मुक्त सेट चर के साथ एक सूत्र है, उदाहरण के लिए, सेटों के बूलियन बीजगणित के प्रथम-क्रम सिद्धांत में। प्रारंभिक सूत्र की संरचना का पालन करते हुए प्रमाण विचार सूत्र का निर्माण किया जा सकता है। जब परिमापक मुक्त होता है, तो उसके ऊपर प्रत्यक्ष उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, हम समुच्चयों के बूलियन बीजगणित (समतुल्य रूप से, समुच्चयों का क्षेत्र) की भाषा में समानता ले सकते हैं। स्थिति को मात्रात्मक सूत्रों तक विस्तारित करने को परिमापक उन्मूलन के एक रूप के रूप में देखा जा सकता है, जहां उत्पाद तत्वों पर परिमाणीकरण को उपसमुच्चय पर परिमाणीकरण तक कम कर दिया जाता है। सामान्यीकृत उत्पाद प्रत्यक्ष उत्पाद संरचना की उप-संरचना पर विचार करना अक्सर दिलचस्प होता है। यदि उप-संरचना से संबंधित उत्पाद तत्वों को परिभाषित करने वाले प्रतिबंध को सूचकांक तत्वों के सेट पर एक शर्त के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक उदाहरण उत्पाद तत्वों की उप-संरचना है जो स्थिर हैं लेकिन सीमित रूप से कई सूचकांक हैं। मान लीजिए कि भाषा एल में एक स्थिर प्रतीक है और केवल उन उत्पाद तत्वों वाली उप-संरचना पर विचार करें जिनके लिए सेट सीमित है। प्रमेय तब इस तरह की उप-संरचना में सत्य मूल्य को सेटों के बूलियन बीजगणित में एक सूत्र में कम कर देता है, जहां कुछ सेट सीमित होने तक सीमित होते हैं। सामान्यीकृत उत्पादों को परिभाषित करने का एक तरीका उन उप-संरचनाओं पर विचार करना है जहां समुच्चय सूचकांकों के समुच्चय के कुछ बूलियन बीजगणित (पावरसेट समुच्चय बीजगणित का एक उपसमुच्चय) से संबंधित हैं, और जहां उत्पाद उप-संरचना ग्लूइंग को स्वीकार करती है। यहाँ ग्लुइंग को स्वीकार करना निम्नलिखित समापन स्थिति को संदर्भित करता हैः यदि दो उत्पाद तत्व हैं और बूलियन बीजगणित का तत्व है, तो तत्व को "ग्लुइंग" द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके अनुसारः परिणाम फेफरमैन-वॉट प्रमेय का तात्पर्य अंकगणित के मौलिक प्रमेय के माध्यम से, प्रेसबर्गर अंकगणितीय संरचनाओं के सामान्यीकृत उत्पाद (शक्ति) के रूप में गुणन के साथ संरचना प्राकृतिक संख्याओं को देखकर स्कोलेम अंकगणित की निर्णयशीलता है। मॉडल सिद्धांत संदर्भ