Kiepert conics
त्रिभुज ज्यामिति में, कीपर्ट शंकु संदर्भ त्रिभुज से जुड़े दो विशेष शंकु हैं। उनमें से एक हाइपरबोला है, जिसे कीपर्ट हाइपरबोला कहा जाता है और दूसरा एक परवलय है, जिसे कीपर्ट परवलय कहा जाता है। कीपर्ट शंकु को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः यदि तीन त्रिभुज, और, आधार के रूप में एक त्रिभुज के किनारों पर निर्मित, समान हैं, समद्विबाहु हैं और समान रूप से स्थित हैं, तो त्रिभुज और परिप्रेक्ष्य में हैं। चूंकि समद्विबाहु त्रिभुजों का आधार कोण और के बीच भिन्न होता है, इसलिए त्रिभुजों के परिप्रेक्ष्य के केंद्र का स्थान और एक हाइपरबोला है जिसे कीपर्ट हाइपरबोला कहा जाता है और उनकी परिप्रेक्ष्य के अक्ष का लिफाफा एक पैराबोला है जिसे कीपर्ट पैराबोला कहा जाता है। यह साबित किया गया है कि कीपर्ट हाइपरबोला शीर्षों से गुजरने वाला हाइपरबोला है, संदर्भ त्रिभुज का केंद्रक और ऑर्थोसेन्टर और कीपर्ट पैराबोला संदर्भ त्रिभुज में उत्कीर्ण पैराबोला है जिसमें यूलर रेखा डायरेक्ट्रिक्स के रूप में और त्रिभुज केंद्र X110 फोकस के रूप में है। आर. एच. एडी और आर. फ्रिट्श के एक शोध पत्र का निम्नलिखित उद्धरण त्रिभुज ज्यामिति के अध्ययन में कीपर्ट शंकु विज्ञान के महत्व को स्थापित करने के लिए पर्याप्त प्रमाण हैः "यदि मंगल ग्रह का कोई आगंतुक त्रिभुज की ज्यामिति सीखना चाहता है, लेकिन पृथ्वी के अपेक्षाकृत घने वातावरण में केवल एक पाठ के लिए पर्याप्त समय तक रह सकता है, तो इसमें कोई संदेह नहीं है कि पृथ्वी के गणितविदों को इस अनुरोध को पूरा करने के लिए कड़ी मेहनत करनी होगी। इस लेख में, हम मानते हैं कि हमारे पास समस्या का एक इष्टतम समाधान है। कीपर्ट शंकु. कीपर्ट हाइपरबोला कीपर्ट हाइपरबोला की खोज लुडविग कीपर्ट ने 1868 में एमिल लेमोइन द्वारा प्रस्तावित निम्नलिखित समस्या के समाधान की जांच करते हुए की थीः "पक्षों पर निर्मित समबाहु त्रिभुजों की चोटियों को देखते हुए एक त्रिभुज का निर्माण करें।" इस समस्या का एक समाधान 1869 में लुडविग कीपर्ट द्वारा प्रकाशित किया गया था और समाधान में एक टिप्पणी थी जिसमें प्रभावी रूप से कीपर्ट हाइपरबोला की लोकस परिभाषा का उल्लेख किया गया था। बुनियादी तथ्य मान लीजिए कि संदर्भ त्रिभुज की पार्श्व लंबाई और शीर्ष कोण हैं। समीकरण बेरीसेंट्रिक निर्देशांक में कीपर्ट हाइपरबोला का समीकरण केंद्र है, एसिम्प्टोट्स कीपर्ट हाइपरबोला का केंद्र त्रिभुज केंद्र X (115) है। केंद्र के बेरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं। कीपर्ट हाइपरबोला के एसिम्प्टोट्स परिधि के साथ ब्रोकार्ड अक्ष के चौराहों की सिमसन रेखाएँ हैं। कीपर्ट हाइपरबोला एक आयताकार हाइपरबोला है और इसलिए इसकी विलक्षणता है। गुण कीपर्ट हाइपरबोला का केंद्र नौ-बिंदु वृत्त पर स्थित है। केंद्र त्रिभुज के समस्थानिक केंद्रों को जोड़ने वाले रेखा खंड का मध्य बिंदु है जो त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में त्रिभुज केंद्र X (13) और X (14) हैं। आइसोगोनल परिवर्तन के तहत कीपर्ट हाइपरबोला की छवि त्रिभुज का ब्रोकार्ड अक्ष है जो सममित बिंदु और परिधि केंद्र को जोड़ने वाली रेखा है। मान लीजिए कि एक चतुष्कोणीय त्रिभुज के तल में एक बिंदु है और इसके संबंध में त्रिकोणीय ध्रुवीय है। यूलर रेखा के लंबवत बिंदुओं का स्थान कीपर्ट हाइपरबोला है। कीपर्ट पैराबोला कीपर्ट पैराबोला का अध्ययन पहली बार 1888 में एक जर्मन गणित शिक्षक ऑगस्टस आर्टज़्ट द्वारा "स्कूल कार्यक्रम" में किया गया था। बुनियादी तथ्य बेरीसेंट्रिक निर्देशांक में कीपर्ट पैराबोला का समीकरण कहाँ है। कीपर्ट परवलय का केंद्र त्रिभुज केंद्र X (110) है। फोकस के बेरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं कीपर्ट परवलय का डायरेक्ट्रिक्स त्रिभुज की यूलर रेखा है। छवियाँ भी देखें त्रिभुज शंकु आधुनिक त्रिभुज ज्यामिति बाहरी लिंक संदर्भ त्रिभुज ज्यामिति