Coulomb's law
कूलम्ब का व्युत्क्रम-वर्ग नियम, या बस कूलम्ब का नियम, भौतिकी का एक प्रयोगात्मक नियम है जो दो विद्युत आवेशित कणों के बीच बल की मात्रा की गणना करता है। इस विद्युत बल को पारंपरिक रूप से विद्युतस्थैतिक बल या कूलम्ब बल कहा जाता है। हालाँकि इस कानून को पहले जाना जाता था, लेकिन इसे पहली बार 1785 में फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी चार्ल्स-ऑगस्टिन डी कूलम्ब द्वारा प्रकाशित किया गया था, इसलिए इसका नाम रखा गया। कुलम्ब का नियम विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत के विकास के लिए आवश्यक था और शायद इसका प्रारंभिक बिंदु भी, क्योंकि यह एक कण में विद्युत आवेश की मात्रा की सार्थक चर्चा की अनुमति देता था। नियम में कहा गया है कि दो बिंदु आवेशों के बीच आकर्षक या प्रतिकारक विद्युतस्थैतिक बल का परिमाण, या पूर्ण मूल्य, उनके आवेशों के परिमाण के गुणनफल के सीधे आनुपातिक है और उनके बीच की वर्ग दूरी के व्युत्क्रमानुपाती है। कूलम्ब ने पाया कि समान विद्युत आवेश वाले निकाय पीछे हटते हैंः कूलम्ब ने यह भी दिखाया कि विपरीत आवेशित निकाय एक व्युत्क्रम-वर्ग नियम के अनुसार आकर्षित करते हैंः यहाँ, एक स्थिरांक है, और प्रत्येक आवेश की मात्राएँ हैं, और स्केलर r आवेशों के बीच की दूरी है। बल दोनों आवेशों को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ है। यदि आवेशों का एक ही संकेत है, तो उनके बीच विद्युतस्थैतिक बल उन्हें पीछे हटाता है; यदि उनके पास अलग-अलग संकेत हैं, तो उनके बीच का बल उन्हें आकर्षित करता है। एक व्युत्क्रम-वर्ग नियम होने के नाते, यह नियम आइजैक न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के व्युत्क्रम-वर्ग नियम के समान है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा चीजों को आकर्षित करते हैं, जबकि स्थिरविद्युत बल आवेशों को आकर्षित या पीछे हटाते हैं। इसके अलावा, गुरुत्वाकर्षण बल विद्युतस्थैतिक बलों की तुलना में बहुत कमजोर होते हैं। कूलम्ब के नियम का उपयोग गॉस के नियम को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत। विराम पर एकल बिंदु आवेश के मामले में, दोनों नियम समतुल्य हैं, जो एक ही भौतिक नियम को अलग-अलग तरीकों से व्यक्त करते हैं। कानून का व्यापक रूप से परीक्षण किया गया है, और टिप्पणियों ने 10−16 मीटर से 108 मीटर तक के पैमाने पर कानून को बरकरार रखा है। भूमध्य सागर के आसपास की प्राचीन संस्कृतियों को पता था कि एम्बर की छड़ जैसी कुछ वस्तुओं को पंखों और कागज के टुकड़ों जैसी हल्की वस्तुओं को आकर्षित करने के लिए बिल्ली के फर से रगड़ दिया जा सकता है। मिलेटस के थेल्स ने 600 ईसा पूर्व के आसपास स्थिर बिजली का पहला अभिलिखित विवरण दिया, जब उन्होंने देखा कि घर्षण एम्बर के एक टुकड़े को छोटी वस्तुओं को आकर्षित कर सकता है। 1600 में, अंग्रेजी वैज्ञानिक विलियम गिल्बर्ट ने बिजली और चुंबकत्व का सावधानीपूर्वक अध्ययन किया, जिसमें एम्बर को रगड़ने से उत्पन्न स्थिर बिजली से लोडेस्टोन प्रभाव को अलग किया गया। उन्होंने रगड़ने के बाद छोटी वस्तुओं को आकर्षित करने के गुण को संदर्भित करने के लिए नव-लैटिन शब्द इलेक्ट्रिकस ("एम्बर का" या "एम्बर की तरह", [एलेक्ट्रॉन] से, "एम्बर" के लिए यूनानी शब्द) गढ़ा। इस जुड़ाव ने अंग्रेजी शब्द "इलेक्ट्रिक" और "इलेक्ट्रिसिटी" को जन्म दिया, जो 1646 के थॉमस ब्राउन के स्यूडोडॉक्सिया एपिडेमिक में प्रिंट में पहली बार दिखाई दिया। 18वीं शताब्दी के प्रारंभिक जांचकर्ताओं को संदेह था कि गुरुत्वाकर्षण बल के रूप में दूरी के साथ विद्युत बल कम होता है (यानी, दूरी के व्युत्क्रम वर्ग के रूप में) जिसमें डैनियल बर्नौली और एलेसेंड्रो वोल्टा शामिल थे, दोनों ने एक संधारित्र की प्लेटों के बीच बल को मापा, और फ्रांज़ एपिनस जिन्होंने 1758 में व्युत्क्रम-वर्ग नियम माना। विद्युत आवेशित क्षेत्रों के साथ प्रयोगों के आधार पर, इंग्लैंड के जोसेफ प्रीस्टली उन पहले लोगों में से थे जिन्होंने यह प्रस्ताव दिया कि विद्युत बल एक व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है, जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के समान है। हालाँकि, उन्होंने इस पर सामान्यीकरण या विस्तार से नहीं बताया। 1767 में, उन्होंने अनुमान लगाया कि आवेशों के बीच बल दूरी के व्युत्क्रम वर्ग के रूप में भिन्न होता है। 1769 में, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जॉन रॉबिसन ने घोषणा की कि, उनके मापों के अनुसार, एक ही संकेत के आवेश वाले दो क्षेत्रों के बीच प्रतिकर्षण बल भिन्न-भिन्न होता है। 1770 के दशक की शुरुआत में, इंग्लैंड के हेनरी कैवेंडिश द्वारा दूरी और आवेश दोनों पर आवेशित निकायों के बीच बल की निर्भरता की खोज पहले ही की जा चुकी थी, लेकिन प्रकाशित नहीं की गई थी। कैवेंडिश ने अपनी टिप्पणियों में लिखा है, "इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विद्युत आकर्षण और प्रतिकर्षण विपरीत रूप से होना चाहिए क्योंकि यह और के बीच की दूरी की कुछ शक्ति होनी चाहिए, और यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि यह व्युत्क्रम डुप्लिकेट अनुपात से बिल्कुल अलग है।" अंत में, 1785 में, फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी चार्ल्स-ऑगस्टिन डी कूलम्ब ने बिजली और चुंबकत्व की अपनी पहली तीन रिपोर्ट प्रकाशित की, जिसमें उन्होंने अपना नियम बताया। यह प्रकाशन विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत के विकास के लिए आवश्यक था। उन्होंने आवेशित कणों के प्रतिकर्षण और आकर्षण बलों का अध्ययन करने के लिए एक मरोड़ संतुलन का उपयोग किया, और यह निर्धारित किया कि दो बिंदु आवेशों के बीच विद्युत बल का परिमाण आवेशों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के विपरीत आनुपातिक है। मरोड़ संतुलन में एक पतली फाइबर द्वारा इसके बीच से लटकाया गया एक बार होता है। फाइबर एक बहुत ही कमजोर मरोड़ वसंत के रूप में कार्य करता है। कूलम्ब के प्रयोग में, मरोड़ संतुलन एक अवरोधक छड़ थी जिसके एक छोर पर धातु-लेपित गेंद लगी होती थी, जिसे रेशम के धागे से लटकाया जाता था। गेंद को स्थिर बिजली के ज्ञात आवेश के साथ चार्ज किया गया था, और उसी ध्रुवीयता की दूसरी आवेशित गेंद को इसके पास लाया गया था। दो आवेशित गेंदें एक दूसरे को पीछे हटाती हैं, फाइबर को एक निश्चित कोण से घुमाती हैं, जिसे उपकरण पर एक पैमाने से पढ़ा जा सकता है। यह जानकर कि एक दिए गए कोण के माध्यम से फाइबर को मोड़ने में कितना बल लगता है, कूलम्ब गेंदों के बीच बल की गणना करने और अपने व्युत्क्रम-वर्ग आनुपातिकता नियम को प्राप्त करने में सक्षम था। स्केलर रूप कुलम्ब के नियम को एक सरल गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में कहा जा सकता है। स्केलर रूप दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिरविद्युत बल के सदिश का परिमाण देता है, लेकिन इसकी दिशा नहीं। यदि आवेशों के बीच की दूरी है, तो बल का परिमाण वह है जहाँ विद्युत स्थिरांक है। यदि उत्पाद धनात्मक है, तो दोनों आवेशों के बीच का बल प्रतिकारक है; यदि उत्पाद ऋणात्मक है, तो उनके बीच का बल आकर्षक है। वेक्टर के रूप में कुलम्ब के नियम में कहा गया है कि एक चार्ज द्वारा अनुभव किया जाने वाला स्थिरविद्युत बल, स्थिति में, एक अन्य चार्ज के आसपास, स्थिति में, एक निर्वात में, आवेशों के बीच की सदिश दूरी के बराबर है, एक इकाई सदिश से और विद्युत स्थिरांक की ओर इशारा करता है। यहाँ, वेक्टर संकेतन के लिए उपयोग किया जाता है। कूलम्ब के नियम का सदिश रूप केवल इकाई सदिश द्वारा दी गई दिशा के साथ नियम की अदिश परिभाषा है, जो आवेश से आवेश तक की रेखा के समानांतर है। यदि दोनों आवेशों का एक ही संकेत (आवेशों की तरह) है तो गुणनफल धनात्मक है और बल की दिशा इसके द्वारा दी जाती है; आवेश एक दूसरे को पीछे हटाते हैं। यदि आवेशों में विपरीत संकेत हैं तो गुणनफल ऋणात्मक होता है और उस पर बल की दिशा एक दूसरे को आकर्षित करती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, विद्युतस्थैतिक बल का अनुभव असतत आवेशों की प्रणाली है। सुपरपोजिशन का नियम कूलम्ब के नियम को किसी भी संख्या में बिंदु आवेशों को शामिल करने के लिए विस्तारित करने की अनुमति देता है। बिंदु आवेशों की एक प्रणाली के कारण एक बिंदु आवेश पर कार्य करने वाला बल केवल प्रत्येक आवेश के कारण उस बिंदु आवेश पर अकेले कार्य करने वाले व्यक्तिगत बलों का सदिश जोड़ है। परिणामी बल सदिश उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश के समानांतर होता है, उस बिंदु आवेश को हटा दिया जाता है। स्थिति में एक छोटे से आवेश पर बल, निर्वात में असतत आवेशों की एक प्रणाली के कारण, जहाँ और हैं क्रमशः th आवेश का परिमाण और स्थिति, की दिशा में एक इकाई सदिश है, एक सदिश जो आवेशों से की ओर इशारा करता है। निरंतर आवेश वितरण इस मामले में, रैखिक सुपरपोजिशन के सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है। एक निरंतर आवेश वितरण के लिए, आवेश वाले क्षेत्र पर एक समाकलन एक अनंत योग के बराबर होता है, जो स्थान के प्रत्येक असीम तत्व को एक बिंदु आवेश के रूप में मानता है। आवेश का वितरण आमतौर पर रैखिक, सतह या आयतनिक होता है। एक रैखिक आवेश वितरण के लिए (एक तार में आवेश के लिए एक अच्छा सन्निकटन) जहां स्थिति पर प्रति इकाई लंबाई आवेश देता है, और लंबाई का एक असीम तत्व है, एक सतह आवेश वितरण के लिए (एक समानांतर प्लेट संधारित्र में एक प्लेट पर आवेश के लिए एक अच्छा सन्निकटन) जहां स्थिति पर प्रति इकाई क्षेत्र आवेश देता है, और क्षेत्र का एक असीम तत्व है, एक आयतन आवेश वितरण के लिए (जैसे कि एक थोक धातु के भीतर आवेश) जहां स्थिति पर प्रति इकाई आयतन आवेश देता है, और आयतन का एक असीम तत्व है, निर्वात में स्थिति पर एक छोटे परीक्षण आवेश पर बल आवेश के वितरण पर अभिन्न द्वारा दिया जाता है कूलम्ब के नियम का "निरंतर आवेश" संस्करण कभी भी लागू नहीं किया जाना चाहिए। इलेक्ट्रॉन या प्रोटॉन) जो विद्युत क्षेत्र या विभव का शास्त्रीय रूप से विश्लेषण करने के लिए एक वैध स्थान नहीं है। आवेश वास्तविकता में हमेशा असतत होता है, और "निरंतर आवेश" की धारणा केवल एक अनुमान है जिसका विश्लेषण करने की अनुमति नहीं दी जानी चाहिए। कूलम्ब स्थिरांक एक आनुपातिकता कारक है जो कूलम्ब के नियम और संबंधित सूत्रों में दिखाई देता है। निरूपित, इसे विद्युत बल स्थिरांक या स्थिरविद्युत स्थिरांक भी कहा जाता है इसलिए अभिलिखित 'ई'। जब विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत को इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है, तो बल को न्यूटन में मापा जाता है, चार्ज को कुलंब में और दूरी को मीटर में मापा जाता है। कूलम्ब स्थिरांक इसके द्वारा दिया जाता है। निर्वात विद्युत पारगम्यता स्थिरांक है (जिसे विद्युत स्थिरांक भी कहा जाता है)। इसे भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो उस सामग्री की आयामहीन सापेक्ष पारगम्यता है जिसमें आवेश डूबे हुए हैं, या उनके उत्पाद के साथ, जिसे "सामग्री की पूर्ण पारगम्यता" कहा जाता है और अभी भी विद्युत इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है। एस. आई. आधार इकाइयों के 2019 के पुनर्परिभाषित होने के बाद से, कुलम्ब स्थिरांक, जैसा कि कोडाटा 2018 के अनुशंसित मूल्यों से गणना की गई है, सीमाएँ हैं कुलम्ब के व्युत्क्रम वर्ग नियम की वैधता के लिए तीन शर्तों को पूरा किया जाना चाहिएः आवेशों में गोलाकार सममित वितरण होना चाहिए (जैसे। यह बिंदु आवेश, या एक आवेशित धातु का गोला हो)। शुल्कों को ओवरलैप नहीं होना चाहिए (जैसे। वे अलग-अलग बिंदु शुल्क होने चाहिए)। गैर-त्वरित संदर्भ ढांचे के संबंध में शुल्क स्थिर होना चाहिए। इनमें से अंतिम को स्थिरविद्युत सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। जब गति होती है, तो आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत को ध्यान में रखा जाना चाहिए, और परिणामस्वरूप, एक अतिरिक्त कारक पेश किया जाता है, जो दोनों वस्तुओं पर उत्पन्न बल को बदल देता है। बल के इस अतिरिक्त भाग को चुंबकीय बल कहा जाता है, और इसे चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा वर्णित किया जाता है। धीमी गति के लिए, चुंबकीय बल न्यूनतम होता है और कूलम्ब के नियम को अभी भी लगभग सही माना जा सकता है, लेकिन जब आवेश एक दूसरे के संबंध में अधिक तेज़ी से आगे बढ़ रहे होते हैं, तो पूर्ण विद्युतगतिकी नियमों (चुंबकीय बल को शामिल करते हुए) पर विचार किया जाना चाहिए। विद्युत क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र है जो एक इकाई परीक्षण आवेश द्वारा अनुभव किए गए कुलम्ब बल को अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से जोड़ता है। एक आवेश पर कुलम्ब बल की ताकत और दिशा अन्य आवेशों द्वारा स्थापित विद्युत क्षेत्र पर निर्भर करती है जिसमें यह खुद को पाता है, जैसे कि। सबसे सरल मामले में, क्षेत्र को केवल एक स्रोत बिंदु आवेश द्वारा उत्पन्न माना जाता है। अधिक सामान्य रूप से, क्षेत्र को आवेशों के वितरण द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है जो सुपरपोजिशन के सिद्धांत द्वारा समग्र में योगदान करते हैं। यदि क्षेत्र एक सकारात्मक स्रोत बिंदु आवेश द्वारा उत्पन्न होता है, तो विद्युत क्षेत्र की दिशा रेखाओं के साथ उससे रेडियल रूप से बाहर की ओर निर्देशित होती है, अर्थात। इस दिशा में कि एक सकारात्मक बिंदु परीक्षण आवेश क्षेत्र में रखे जाने पर आगे बढ़ेगा। एक नकारात्मक बिंदु स्रोत आवेश के लिए, दिशा त्रिज्या रूप से अंदर की ओर होती है। विद्युत क्षेत्र का परिमाण कूलम्ब के नियम से प्राप्त किया जा सकता है। एक बिंदु आवेश को स्रोत के रूप में और दूसरे को परीक्षण आवेश के रूप में चुनने से, कूलम्ब के नियम से यह पता चलता है कि निर्वात में एक निश्चित दूरी पर एक एकल स्रोत बिंदु आवेश क्यू द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र का परिमाण एक प्रणाली एन द्वारा दिया जाता है जो एक विद्युत क्षेत्र का उत्पादन करता है जिसका परिमाण और दिशा, सुपरपोजिशन परमाणु बलों द्वारा कूलम्ब का नियम परमाणुओं के भीतर भी धारण करता है, जो सकारात्मक रूप से आवेशित परमाणु नाभिक और प्रत्येक नकारात्मक आवेशित इलेक्ट्रॉनों के बीच बल का सही वर्णन करता है। यह सरल नियम उन बलों के लिए भी सही है जो अणु बनाने के लिए परमाणुओं को एक साथ बांधते हैं और उन बलों के लिए भी जो ठोस और तरल बनाने के लिए परमाणुओं और अणुओं को एक साथ बांधते हैं। आम तौर पर, जैसे-जैसे आयनों के बीच की दूरी बढ़ती है, आकर्षण बल और बाध्यकारी ऊर्जा, शून्य तक पहुँचती है और आयनिक बंधन कम अनुकूल होता है। जैसे-जैसे विरोधी आवेशों का परिमाण बढ़ता है, ऊर्जा बढ़ती है और आयनिक बंधन अधिक अनुकूल होता है। गौस के नियम से संबंध कूलम्ब के नियम गौस के नियम से प्राप्त गौस के नियम को कूलम्ब के नियम और इस धारणा से प्राप्त किया जा सकता है कि विद्युत क्षेत्र सुपरपोजिशन सिद्धांत का पालन करता है, जो कहता है कि परिणामी क्षेत्र प्रत्येक कण द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का वेक्टर योग है (या अभिन्न, यदि आवेश अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में वितरित किए जाते हैं)। ध्यान दें कि चूंकि कूलम्ब का नियम केवल स्थिर आवेशों पर लागू होता है, इसलिए केवल इस व्युत्पत्ति के आधार पर गतिशील आवेशों के लिए गॉस के नियम की अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है। वास्तव में, गॉस का नियम गतिशील आवेशों के लिए लागू होता है, और इस संबंध में गॉस का नियम कूलम्ब के नियम की तुलना में अधिक सामान्य है। कुलम्ब के नियम को गौस के नियम से प्राप्त करते हुए, कुलम्ब के नियम को केवल गौस के नियम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि गौस का नियम के कर्ल के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है (हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन और फैराडे का नियम देखें)। हालांकि, कूलम्ब के नियम को गॉस के नियम से साबित किया जा सकता है यदि यह माना जाए कि एक बिंदु आवेश से विद्युत क्षेत्र गोलाकार रूप से सममित है (यह धारणा, कूलम्ब के नियम की तरह ही, बिल्कुल सच है यदि आवेश स्थिर है, और लगभग सच है यदि आवेश गति में है)। सापेक्षता में कूलम्ब के नियम का उपयोग गतिशील आवेशों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के रूप में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि विशेष सापेक्षता द्वारा, कुछ मामलों में चुंबकीय क्षेत्र को विद्युत क्षेत्र के कारण होने वाले बलों के परिवर्तन के रूप में दिखाया जा सकता है। जब किसी कण के इतिहास में कोई त्वरण शामिल नहीं होता है, तो कुलम्ब के नियम को मैक्सवेल के समीकरण को हल करने में समरूपता तर्कों द्वारा समर्थित, अपने स्वयं के जड़त्वीय ढांचे में किसी भी परीक्षण कण पर माना जा सकता है, जो ऊपर दिखाया गया है। कूलम्ब के नियम को उसी रूप के गतिशील परीक्षण कणों तक विस्तारित किया जा सकता है। इस धारणा का समर्थन लोरेंट्ज़ बल नियम द्वारा किया जाता है, जो कूलम्ब के नियम के विपरीत स्थिर परीक्षण आवेशों तक सीमित नहीं है। चार्ज को पर्यवेक्षक का अपरिवर्तनीय मानते हुए, एक समान रूप से गतिशील बिंदु चार्ज के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को कूलम्ब के नियम द्वारा दिए गए चार्ज के संदर्भ ढांचे में परीक्षण चार्ज पर चार बल के लॉरेंट्ज़ परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है और लॉरेंट्ज़ बल के रूप में दी गई उनकी परिभाषाओं द्वारा चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। अतः समान रूप से गतिशील बिंदु आवेशों के लिए पाए जाने वाले क्षेत्र इस प्रकार हैंः जहां बिंदु स्रोत का आवेश है, बिंदु स्रोत से अंतरिक्ष में बिंदु तक स्थिति सदिश है, आवेशित कण का वेग सदिश है, आवेशित कण की गति का अनुपात प्रकाश की गति से विभाजित है और और और के बीच का कोण है। समाधानों के इस रूप को न्यूटन के तीसरे नियम का पालन करने की आवश्यकता नहीं है जैसा कि विशेष सापेक्षता के ढांचे में है (फिर भी सापेक्ष-ऊर्जा संवेग संरक्षण का उल्लंघन किए बिना)। ध्यान दें कि विद्युत क्षेत्र के लिए अभिव्यक्ति बिंदु आवेश की गैर-सापेक्ष गति के लिए कूलम्ब के नियम तक कम हो जाती है और गैर-सापेक्ष सीमा (अनुमानित) में चुंबकीय क्षेत्र को बायोट-सावर्ट नियम प्राप्त करने के लिए विद्युत धाराओं पर लागू किया जा सकता है। ये समाधान, जब मंद समय में व्यक्त किए जाते हैं, तो लिनार्ड-विचर्ट क्षमता के समाधान द्वारा दिए गए मैक्सवेल के समीकरणों के सामान्य समाधान के अनुरूप भी होते हैं, क्योंकि कूलम्ब के नियम की वैधता इसके विशिष्ट अनुप्रयोग सीमा के भीतर होती है। यह भी ध्यान दें कि स्थिर आवेशों पर गॉस नियम के लिए गोलाकार समरूपता समस्या में वेग की दिशा के विनिर्देश द्वारा समरूपता के टूटने के कारण गतिशील आवेशों के लिए मान्य नहीं है। मैक्सवेल के समीकरणों के साथ समझौते को उपरोक्त दो समीकरणों के लिए हाथ से भी सत्यापित किया जा सकता है। कूलम्ब विभव क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत कूलम्ब विभव निरंतरता अवस्थाओं (E> 0 के साथ) को स्वीकार करता है, जो इलेक्ट्रॉन-प्रोटॉन प्रकीर्णन के साथ-साथ असतत बंधी अवस्थाओं का वर्णन करता है, जो हाइड्रोजन परमाणु का प्रतिनिधित्व करता है। इसे दो आवेशित कणों के बीच गैर-सापेक्ष सीमा के भीतर भी प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि निम्नानुसार हैः जन्म सन्निकटन के तहत, गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में, प्रकीर्णन आयाम हैः इसकी तुलना इस से की जानी चाहिएः जहां हम दो इलेक्ट्रॉनों के लिए (जुड़े) एस-मैट्रिक्स प्रविष्टि को देखते हैं जो एक दूसरे को बिखेरते हैं, एक को "निश्चित" गति के साथ विभव के स्रोत के रूप में मानते हैं, और दूसरा उस विभव को बिखेरता है। एस-मैट्रिक्स तत्व की गणना करने के लिए फेनमैन नियमों का उपयोग करते हुए, हम गैर-सापेक्ष सीमा में प्राप्त करते हैं क्यू. एम. प्रकीर्णन के साथ तुलना करते हुए, हमें क्यू. एम. की तुलना में क्यू. एफ. टी. में संवेग आइगेनस्टेट के अलग-अलग सामान्यीकरण के कारण उत्पन्न होने पर उन्हें त्यागना होगा और प्राप्त करना होगाः जहां फूरियर दोनों पक्षों को परिवर्तित करता है, समाकलन को हल करता है और अंत में लेता है तो कुलम्ब क्षमता के रूप में प्राप्त होगा। हालांकि, कूलम्ब समस्या के लिए शास्त्रीय जन्म व्युत्पत्तियों के समतुल्य परिणामों को कड़ाई से आकस्मिक माना जाता है। कूलम्ब विभव और इसकी व्युत्पत्ति को युकावा विभव के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है, जो वह मामला है जहां आदान-प्रदान किए गए बोसॉन-फोटॉन-का कोई विश्राम द्रव्यमान नहीं होता है। कूलम्ब के नियम को सत्यापित करने के लिए सरल प्रयोग एक सरल प्रयोग के साथ कूलम्ब के नियम को सत्यापित करना संभव है। द्रव्यमान और समान संकेत आवेश के दो छोटे क्षेत्रों पर विचार करें, जो लंबाई के नगण्य द्रव्यमान की दो रस्सियों से लटकते हैं। प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तीन हैंः भार, रस्सी का तनाव और विद्युत बल। संतुलन अवस्था मेंः और () को () से विभाजित करनाः मान लीजिए कि आवेशित क्षेत्रों के बीच की दूरी; उनके बीच प्रतिकर्षण बल, यह मानते हुए कि कूलम्ब का नियम सही है, इस प्रकार हैः यदि हम अब किसी एक क्षेत्र का निर्वहन करते हैं, और हम उसे आवेशित क्षेत्र के संपर्क में रखते हैं, तो उनमें से प्रत्येक एक आवेश प्राप्त करता है। संतुलन अवस्था में, आवेशों के बीच की दूरी होगी और उनके बीच प्रतिकर्षण बल होगाः हम जानते हैं कि औरः () को () से विभाजित करने पर, हम पाते हैंः कोणों और आवेशों के बीच की दूरी को मापना और यह सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है कि प्रायोगिक त्रुटि को ध्यान में रखते हुए समानता सही है। व्यवहार में, कोणों को मापना मुश्किल हो सकता है, इसलिए यदि रस्सियों की लंबाई पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो कोण निम्नलिखित सन्निकटन करने के लिए पर्याप्त छोटे होंगेः इस सन्निकटन का उपयोग करते हुए, संबंध () बहुत सरल अभिव्यक्ति बन जाता हैः इस तरह, सत्यापन आवेशों के बीच की दूरी को मापने और यह जांचने तक सीमित है कि विभाजन सैद्धांतिक मूल्य को अनुमानित करता है। बायोट-सावर्ट नियम भी देखें डार्विन लैग्रैन्जियन विद्युत चुम्बकीय बल गॉस की छवि शुल्क विधि आणविक मॉडलिंग न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम, जो एक समान संरचना का उपयोग करता है, लेकिन द्रव्यमान के लिए आवेश स्थैतिक बलों और आभासी-कण विनिमय के बजाय कैसिमिर प्रभाव संदर्भ संबंधित पठन बाहरी लिंक कुलॉम्ब का नियम परियोजना PHYSNET बिजली और परमाणु पर-एक ऑनलाइन पाठ्यपुस्तक से एक अध्याय कुलॉम्ब के नियम को पढ़ाने के लिए एक भूलभुलैया खेल-आणविक कार्यपीठ सॉफ्टवेयर द्वारा बनाया गया एक खेल विद्युत शुल्क, ध्रुवीकरण, विद्युत बल, कुलॉम्ब के कानून वाल्टर लेविन, 8.02 बिजली और चुंबकत्व, वसंत 2002: व्याख्यान 1 (वीडियो वीडियो) एमआईटी ओपनकोर्सवेयर। अनुज्ञप्तिः क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक-शेयर अलाइक। विद्युत चुंबकत्व इलेक्ट्रोस्टैटिक्स भौतिकी के नामित नियम बल वैज्ञानिक नियम