LOBPCG
स्थानीय रूप से इष्टतम ब्लॉक पूर्व-वातानुकूलित संयुग्म प्रवणता (एल. ओ. बी. पी. सी. जी.) जटिल हर्मिशियन या वास्तविक सममित मैट्रिक्स की दी गई जोड़ी के लिए सबसे बड़े (या सबसे छोटे) आइगेनवैल्यू और सममित सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या के संबंधित आइगेनवेक्टर्स को खोजने के लिए एक मैट्रिक्स-मुक्त विधि है, जहां मैट्रिक्स को भी सकारात्मक-निश्चित माना जाता है। पृष्ठभूमि 1948 में कांटोरोविच ने एक स्केलर उत्पाद में रेले भागफल के स्केल किए गए ढाल की दिशा का उपयोग करके सबसे तीव्र अवरोहण द्वारा एक सममित मैट्रिक्स के सबसे छोटे आइगेनवैल्यू की गणना करने का प्रस्ताव रखा, जिसमें वैक्टरों की रैखिक अवधि में रेले भागफल को न्यूनतम करके चरण आकार की गणना की गई और, अर्थात। स्थानीय रूप से इष्टतम तरीके से। समोकिश ने पूर्वनिर्धारित दिशा और व्युत्पन्न एसिम्प्टोटिक उत्पन्न करने के लिए अवशिष्ट वेक्टर पर एक पूर्व शर्त लगाने का प्रस्ताव रखा, जैसा कि आइगेनवेक्टर, अभिसरण दर सीमा तक पहुंचता है। डी 'याकोनोव ने वर्णक्रमीय रूप से समतुल्य पूर्व शर्त और व्युत्पन्न गैर-लक्षणहीन अभिसरण दर सीमा का सुझाव दिया। आइगेनवैल्यू समस्याओं के लिए स्थानीय रूप से इष्टतम बहु-चरणीय अवरोहण को अवरुद्ध करें में वर्णित किया गया था। वर्तमान सन्निकटन, वर्तमान अवशिष्ट और पिछले सन्निकटन के साथ-साथ इसके ब्लॉक संस्करण द्वारा फैले उपक्षेत्र पर रेले भागफल का स्थानीय न्यूनतमकरण दिखाई दिया। पूर्वनिर्धारित संस्करण का विश्लेषण और में किया गया था। मुख्य विशेषताएँ मैट्रिक्स-मुक्त, अर्थात। गुणांक मैट्रिक्स को स्पष्ट रूप से संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पादों का मूल्यांकन करके मैट्रिक्स तक पहुंच सकते हैं। फैक्टराइजेशन-फ्री, अर्थात। सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या के लिए भी किसी मैट्रिक्स अपघटन की आवश्यकता नहीं होती है। प्रति पुनरावृत्ति लागत और स्मृति उपयोग लैंक्ज़ोस विधि के साथ प्रतिस्पर्धी हैं, जो एक सममित मैट्रिक्स के एकल चरम आइगेनपेयर की गणना करते हैं। रैखिक अभिसरण की सैद्धांतिक रूप से गारंटी है और व्यावहारिक रूप से देखा जाता है। परिवर्तनीय और गैर-सममित के साथ-साथ निश्चित और सकारात्मक निश्चित पूर्व शर्त सहित, लैंक्ज़ोस विधि के विपरीत, प्रत्यक्ष पूर्व शर्त के कारण त्वरित अभिसरण। पूर्व शर्त के माध्यम से कुशल डोमेन अपघटन और मल्टीग्रिड तकनीकों को मामूली रूप से शामिल करने की अनुमति देता है। वार्म शुरू होता है और प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आइगेनवेक्टर के लिए एक अनुमान की गणना करता है। लैंक्ज़ोस विधि की तुलना में संख्यात्मक रूप से अधिक स्थिर, और कम परिशुद्धता वाले कंप्यूटर अंकगणित में काम कर सकता है। लागू करने में आसान, कई संस्करण पहले ही दिखाई दे चुके हैं। ब्लॉकिंग अत्यधिक कुशल मैट्रिक्स-मैट्रिक्स संचालन का उपयोग करने की अनुमति देता है, जैसे, बीएलएएस 3। ब्लॉक आकार को अभिसरण गति बनाम ऑर्थोगोनलाइजेशन की कंप्यूटर लागत और प्रत्येक पुनरावृत्ति पर रेले-रिट्ज विधि को संतुलित करने के लिए ट्यून किया जा सकता है। एल्गोरिदम सिंगल-वेक्टर संस्करण प्रारंभिकः आइगेनवैल्यू समस्याओं के लिए ग्रेडिएंट डिसेंट विधि सामान्यीकृत रेले भागफल का एक पुनरावृत्ति अधिकतमकरण (या न्यूनतमकरण) करती है जिसके परिणामस्वरूप सबसे बड़ी (या सबसे छोटी) आइगेनपेयर मिलती हैं। यदि एक पूर्व कंडीशनर उपलब्ध है, तो इसे अवशिष्ट पर लागू किया जाता है और वेक्टर देता है जिसे पूर्वनिर्धारित अवशिष्ट कहा जाता है। बिना पूर्व शर्त के, हम सेट करते हैं और इसी तरह। एक पुनरावृत्ति विधि या, संक्षेप में, पूर्वनिर्धारित सबसे खड़ी चढ़ाई (या अवरोहण) के रूप में जानी जाती है, जहां स्केलर को चरण आकार कहा जाता है। इष्टतम चरण आकार को रेले भागफल को अधिकतम करके निर्धारित किया जा सकता है, यानी (या न्यूनतम करने के मामले में), जिस स्थिति में विधि को स्थानीय रूप से इष्टतम कहा जाता है। तीन-अवधि पुनरावृत्ति स्थानीय रूप से इष्टतम पूर्व-शर्तित सबसे तीव्र चढ़ाई (या अवरोहण) के अभिसरण को नाटकीय रूप से तेज करने के लिए, इसे तीन-अवधि बनाने के लिए दो-अवधि पुनरावृत्ति संबंध में एक अतिरिक्त वेक्टर जोड़ा जा सकता हैः (न्यूनतम करने के मामले में उपयोग करें)। 3-आयामी उपक्षेत्र में रेले भागफल का अधिकतमकरण/न्यूनतमकरण रेले-रिट्ज विधि द्वारा संख्यात्मक रूप से किया जा सकता है। अधिक वैक्टर जोड़ना, उदाहरण के लिए, रिचर्डसन एक्सट्रापोलेशन, के परिणामस्वरूप महत्वपूर्ण त्वरण नहीं होता है, लेकिन गणना लागत बढ़ जाती है, इसलिए आमतौर पर इसकी अनुशंसा नहीं की जाती है। संख्यात्मक स्थिरता में सुधार जैसे-जैसे पुनरावृत्तियाँ अभिसरण करती हैं, वैक्टर और लगभग रैखिक रूप से निर्भर हो जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक सटीक हानि होती है और राउंड-ऑफ त्रुटियों की उपस्थिति में रेले-रिट्ज़ विधि संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो जाती है। एक वेक्टर के साथ वेक्टर को प्रतिस्थापित करके सटीकता के नुकसान से बचा जा सकता है, जो त्रि-आयामी उप-स्थान के आधार पर आगे हो सकता है, जबकि उप-स्थान को अपरिवर्तित रखते हुए और ऑर्थोगोनलाइजेशन या किसी अन्य अतिरिक्त संचालन से बचा जा सकता है। इसके अलावा, स्थिरता और प्राप्य सटीकता में सुधार के लिए गैर-वातानुकूलित आइगेनवैल्यू समस्याओं के लिए त्रि-आयामी उपक्षेत्र के आधार को ऑर्थोगोनलाइज़ करने की आवश्यकता हो सकती है। क्रायलोव सबसपेस एनालॉग्स यह एल. ओ. बी. पी. सी. जी. विधि का एकल-सदिश संस्करण है-सममित आइगेनवैल्यू समस्याओं के मामले में पूर्व-शर्त संयुग्म प्रवणता रैखिक समाधानकों के संभावित सामान्यीकरण में से एक। यहां तक कि तुच्छ मामले में और इसके साथ परिणामी सन्निकटन लैंक्ज़ोस एल्गोरिथ्म द्वारा प्राप्त अनुमान से अलग होगा, हालांकि दोनों सन्निकटन एक ही क्रायलोव उपक्षेत्र से संबंधित होंगे। व्यावहारिक उपयोग परिदृश्य एल. ओ. बी. पी. सी. जी. के एकल-वेक्टर संस्करण की अत्यधिक सरलता और उच्च दक्षता इसे गंभीर हार्डवेयर सीमाओं के तहत आइगेनवेल्यू से संबंधित अनुप्रयोगों के लिए आकर्षक बनाती है, जिसमें एम्बेडेड ए. एस. आई. सी. या एफ. पी. जी. ए. पर ग्राफ विभाजन के माध्यम से स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग आधारित वास्तविक समय विसंगति का पता लगाने से लेकर एक्सास्केल टी. ओ. पी. 500 सुपरकंप्यूटर पर रिकॉर्ड कंप्यूटिंग जटिलता की भौतिक घटनाओं को मॉडलिंग करना शामिल है। ब्लॉक संस्करण सारांश बाद के आइगेनपेयर की गणना एक-एक करके एकल-वेक्टर एल. ओ. बी. पी. सी. जी. के माध्यम से एक ऑर्थोगोनल अपस्फीति के साथ या एक साथ एक ब्लॉक के रूप में की जा सकती है। पहले के दृष्टिकोण में, पहले से ही गणना किए गए अनुमानित आइगेनवेक्टरों में अशुद्धियाँ बाद में गणना किए गए आइगेनवेक्टरों की सटीकता को अतिरिक्त रूप से प्रभावित करती हैं, इस प्रकार प्रत्येक नई गणना के साथ त्रुटि बढ़ जाती है। एल. ओ. बी. पी. सी. जी. के ब्लॉक संस्करण में स्थानीय रूप से इष्टतम तरीके से एक ब्लॉक में कई अनुमानित आइगेनवेक्टरों को एक साथ दोहराना। यह आईगेनवेक्टरों की तेज, सटीक और मजबूत गणना की अनुमति देता है, जिसमें लगभग कई आईगेनवैल्यूज के अनुरूप भी शामिल हैं, जहां एकल-वेक्टर एल. ओ. बी. पी. सी. जी. धीमी अभिसरण से पीड़ित है। ब्लॉक आकार को संख्यात्मक स्थिरता बनाम अभिसरण गति बनाम ऑर्थोगोनलाइजेशन की कंप्यूटर लागत और प्रत्येक पुनरावृत्ति पर रेले-रिट्ज विधि को संतुलित करने के लिए ट्यून किया जा सकता है। कोर डिजाइन एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में ब्लॉक दृष्टिकोण एकल-वैक्टर और ब्लॉक-वैक्टर के साथ प्रतिस्थापित होता है, अर्थात। मैट्रिक्स और, जहाँ, उदाहरण के लिए, प्रत्येक कॉलम लगभग एक आइगेनवेक्टर का अनुमान लगाता है। सभी स्तंभों को एक साथ दोहराया जाता है, और अनुमानित आइगेनवेक्टरों का अगला मैट्रिक्स मैट्रिक्स के सभी स्तंभों द्वारा फैले सबस्पेस पर रेले-रिट्ज विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है। के प्रत्येक कॉलम की गणना केवल मैट्रिक्स के प्रत्येक कॉलम के लिए पूर्व-निर्धारित अवशिष्ट के रूप में की जाती है ताकि के और के कॉलम द्वारा फैले उप-स्थान समान हों। संख्यात्मक स्थिरता बनाम दक्षता रेले-रिट्ज विधि का परिणाम मैट्रिक्स के सभी स्तंभों द्वारा फैले उपक्षेत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है और जहां उपक्षेत्र का आधार सैद्धांतिक रूप से मनमाना हो सकता है। हालांकि, सटीक कंप्यूटर अंकगणित में रेले-रिट्ज विधि संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो जाती है यदि कुछ आधार वैक्टर लगभग रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। संख्यात्मक अस्थिरता आमतौर पर होती है, उदाहरण के लिए, यदि पुनरावृत्ति खंड में कुछ आइगेनवेक्टर पहले से ही किसी दिए गए कंप्यूटर परिशुद्धता के लिए प्राप्य सटीकता तक पहुंच जाते हैं और विशेष रूप से कम परिशुद्धता में प्रमुख होते हैं, उदाहरण के लिए, एकल परिशुद्धता। एल. ओ. बी. पी. सी. जी. के कई अलग-अलग कार्यान्वयन की कला सबस्पेस का एक अच्छा आधार चुनकर न्यूनतम कंप्यूटिंग लागत पर रेले-रिट्ज विधि की संख्यात्मक स्थिरता सुनिश्चित करना है। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा आधार वैक्टरों को ऑर्थोगोनल बनाने का यकीनन सबसे स्थिर दृष्टिकोण भी सबसे अधिक कम्प्यूटेशनल महंगा है। उदाहरण के लिए, एल. ओ. बी. पी. सी. जी. कार्यान्वयन, सामान्य मैट्रिक्स के अस्थिर लेकिन कुशल कोलेस्की अपघटन का उपयोग करते हैं, जो पूरे उपक्षेत्र के बजाय केवल व्यक्तिगत मैट्रिक्स पर किया जाता है। कंप्यूटर मेमोरी की लगातार बढ़ती मात्रा आजकल सीमा में विशिष्ट ब्लॉक आकारों की अनुमति देती है, जहां गणना समय का प्रतिशत ऑर्थोगोनलाइजेशन पर खर्च होता है और रेले-रिट्ज विधि हावी होने लगती है। पहले से परिवर्तित आइगेनवेक्टरों को बंद करना आइगेनवैल्यू समस्याओं के लिए ब्लॉक विधियां जो उपस्थानों को दोहराती हैं, आमतौर पर कुछ पुनरावृत्त आइगेनवेक्टर दूसरों की तुलना में तेजी से परिवर्तित होते हैं जो पहले से ही परिवर्तित आइगेनवेक्टरों को बंद करने के लिए प्रेरित करते हैं, यानी उन्हें पुनरावृत्त लूप से हटाते हैं, ताकि अनावश्यक गणनाओं को समाप्त किया जा सके और संख्यात्मक स्थिरता में सुधार किया जा सके। एक आइगेनवेक्टर के एक साधारण निष्कासन के परिणामस्वरूप अभी भी पुनरावृत्ति करने वाले वैक्टर में इसकी प्रतिकृति बन सकती है। यह तथ्य कि सममित आइगेनवैल्यू समस्याओं के आइगेनवेक्टर जोड़ी-वार ऑर्थोगोनल हैं, सभी पुनरावृत्ति वैक्टरों को बंद वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनल रखने का सुझाव देते हैं। गणना लागत को कम करते हुए संख्यात्मक सटीकता और स्थिरता बनाए रखते हुए लॉकिंग को अलग-अलग तरीके से लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एल. ओ. बी. पी. सी. जी. कार्यान्वयन, हार्ड लॉकिंग को अलग करना, अर्थात। प्रतिबंध द्वारा एक अपस्फीति, जहां लॉक किए गए आइगेनवेक्टर एक कोड इनपुट के रूप में काम करते हैं और बदलते नहीं हैं, सॉफ्ट लॉकिंग से, जहां लॉक किए गए वैक्टर अवशिष्ट की गणना करने के आम तौर पर सबसे महंगे पुनरावृत्ति चरण में भाग नहीं लेते हैं, हालांकि, पूरी तरह से रेले-रिट्ज विधि में भाग लेते हैं और इस प्रकार रेले-रिट्ज विधि द्वारा उन्हें बदलने की अनुमति दी जाती है। संशोधन, एल. ओ. बी. पी. सी. जी. II एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में मैट्रिक्स के सभी कॉलम और रेले-रिट्ज विधि शामिल हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक पुनरावृत्ति पर गणना करने के लिए डॉट उत्पादों तक की आवश्यकता होती है, जहां ब्लॉक आकार-कॉलम की संख्या को दर्शाया जाता है। बड़े ब्लॉक आकारों के लिए यह गणना और आई/ओ लागतों पर हावी होना शुरू कर देता है और समानांतरता को सीमित करता है, जहां कई गणना उपकरण एक साथ चल रहे हैं। मूल एल. ओ. बी. पी. सी. जी. पेपर एक संशोधन का वर्णन करता है, जिसे एल. ओ. बी. पी. सी. जी. II कहा जाता है, ताकि प्रत्येक वांछित आइगेनपेयर के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. विधि के एकल-वेक्टर संस्करण को चलाने वाली ऐसी समस्या का समाधान किया जा सके और 3-बाय-3 अनुमानित आइगेनवैल्यू समस्याओं को रेले-रिट्ज प्रक्रिया से हल किया जा सके। सभी आइगेनपेयर के लिए वैश्विक रेले-रिट्ज प्रक्रिया प्रत्येक पुनरावृत्ति पर होती है, लेकिन केवल मैट्रिक्स के स्तंभों पर होती है, इस प्रकार आवश्यक डॉट उत्पादों की संख्या और वैश्विक अनुमानित आइगेनवैल्यू समस्या के आकार को हर पुनरावृत्ति पर-से-से-तक कम कर दिया जाता है। संदर्भ प्रत्येक अनुमानित आइगेनवेक्टर के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. एल्गोरिदम को अलग से लागू करने के लिए आगे जाता है, यानी, पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए प्रत्येक वांछित आइगेनपेयर के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. विधि के अनब्लॉक किए गए संस्करण को चलाना। इन दौड़ों में रेले-रिट्ज प्रक्रियाओं को केवल 3 × 3 अनुमानित आइगेनवैल्यू समस्याओं के एक समूह को हल करने की आवश्यकता होती है। सभी वांछित आइगेनपेयर के लिए वैश्विक रेले-रिट्ज प्रक्रिया केवल समय-समय पर अनब्लॉक किए गए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के अंत में लागू की जाती है। इस तरह के संशोधन मूल एल. ओ. बी. पी. सी. जी. की तुलना में कम मजबूत हो सकते हैं। एकल-वेक्टर एल. ओ. बी. पी. सी. जी. की व्यक्तिगत रूप से चलने वाली शाखाएं इसके बजाय निरंतर पुनरावृत्ति पथ फ़्लिपिंग का पालन नहीं कर सकती हैं और उसी आइगेनवेक्टर के लिए डुप्लिकेट सन्निकटन नहीं बना सकती हैं। एकल-वेक्टर एल. ओ. बी. पी. सी. जी. क्लस्टर किए गए आइगेनवैल्यूज के लिए अनुपयुक्त हो सकता है, लेकिन अलग-अलग छोटे-ब्लॉक एल. ओ. बी. पी. सी. जी. रन के लिए पुनरावृत्ति की प्रक्रिया के दौरान स्वचालित रूप से अपने ब्लॉक के आकार का निर्धारण करने की आवश्यकता होती है क्योंकि आइगेनवैल्यूज के समूहों की संख्या और उनके आकार पहले से अज्ञात हो सकते हैं। निर्माण द्वारा अभिसरण सिद्धांत और अभ्यास एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को रेले भागफल को कम करने की गारंटी है जो ब्लॉक स्टीपेस्ट ग्रेडिएंट डिसेंट की तुलना में धीमा नहीं है, जिसमें एक व्यापक अभिसरण सिद्धांत है। प्रत्येक आइगेनवेक्टर रेले भागफल का एक स्थिर बिंदु है, जहाँ ढाल गायब हो जाता है। इस प्रकार, किसी भी आइगेनवेक्टर के आसपास के क्षेत्र में ग्रेडिएंट डिसेंट धीमा हो सकता है, हालांकि, यह या तो एक रैखिक अभिसरण दर के साथ आइगेनवेक्टर में अभिसरण करने की गारंटी है या, यदि यह आइगेनवेक्टर एक काठी बिंदु है, तो पुनरावृत्ति रेले भागफल संबंधित आइगेनवैल्यू से नीचे गिरने और नीचे दिए गए अगले आइगेनवैल्यू में रैखिक रूप से अभिसरण शुरू करने की अधिक संभावना है। रैखिक अभिसरण दर का सबसे खराब मूल्य निर्धारित किया गया है और यह आइगेनवैल्यू और शेष मैट्रिक्स स्पेक्ट्रम के बीच सापेक्ष अंतर और यदि मौजूद हो तो पूर्व-कंडीशनर की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। एक सामान्य मैट्रिक्स के लिए, स्पष्ट रूप से आइगेनवेक्टर्स की भविष्यवाणी करने का कोई तरीका नहीं है और इस प्रकार प्रारंभिक अनुमान उत्पन्न करते हैं जो हमेशा अच्छी तरह से काम करते हैं। एल. ओ. बी. पी. सी. जी. द्वारा पुनरावृत्त समाधान प्रारंभिक आइगेनवेक्टर सन्निकटन के प्रति संवेदनशील हो सकता है, उदाहरण के लिए, मध्यवर्ती आइगेनपेयर के गुजरने के रूप में धीमा होने में अधिक समय लगता है। इसके अलावा, सिद्धांत रूप में, कोई भी सबसे छोटी आइगेनपेयर के लिए आवश्यक रूप से अभिसरण की गारंटी नहीं दे सकता है, हालांकि चूक की संभावना शून्य है। शून्य माध्य के साथ एक अच्छी गुणवत्ता वाला यादृच्छिक गौसी कार्य आमतौर पर प्रारंभिक सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में डिफ़ॉल्ट होता है। प्रारंभिक अनुमानों को ठीक करने के लिए, यादृच्छिक संख्या जनरेटर के लिए एक निश्चित बीज का चयन किया जा सकता है। लैंक्ज़ोस पद्धति के विपरीत, एल. ओ. बी. पी. सी. जी. शायद ही कभी व्यवहार में एसिम्प्टोटिक सुपरलीनियर अभिसरण प्रदर्शित करता है। आंशिक प्रधान घटक विश्लेषण (पी. सी. ए.) और एकल मूल्य अपघटन (एस. वी. डी.) एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को कई सबसे बड़े एकल मूल्यों और संबंधित एकवचन वैक्टरों (आंशिक एस. वी. डी.) की गणना के लिए मामूली रूप से अनुकूलित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पी. सी. ए. की पुनरावृत्ति गणना के लिए, शून्य माध्य वाले डेटा मैट्रिक्स के लिए, स्पष्ट रूप से सहप्रसरण मैट्रिक्स की गणना किए बिना, अर्थात। मैट्रिक्स-मुक्त फैशन में। मुख्य गणना सहप्रसरण मैट्रिक्स और ब्लॉक-वेक्टर के उत्पाद के एक कार्य का मूल्यांकन है जो वांछित एकवचन वैक्टर को पुनरावृत्त रूप से अनुमानित करता है। पी. सी. ए. को सहप्रसरण मैट्रिक्स के सबसे बड़े आइगेनवैल्यू की आवश्यकता होती है, जबकि एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को आम तौर पर सबसे छोटे की गणना करने के लिए लागू किया जाता है। एक सरल कार्य यह है कि फलन को नकार दिया जाए, इसके लिए प्रतिस्थापित किया जाए और इस प्रकार आइगेनवैल्यू के क्रम को उलट दिया जाए, क्योंकि एल. ओ. बी. पी. सी. जी. इस बात की परवाह नहीं करता है कि आइगेनवैल्यू समस्या का मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है या नहीं। पी. सी. ए. और एस. वी. डी. के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को साइपाई में संशोधन 1.4.0 के बाद से लागू किया गया है। सामान्य सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन एल. ओ. बी. पी. सी. जी. के आविष्कारक, एंड्रयू क्न्याज़ेव ने पी. ई. टी. एस. सी., हाइपर और समानांतर पदानुक्रमित अनुकूली बहुस्तरीय विधि (पी. एच. ए. एम. एल.) के इंटरफेस के साथ ब्लॉक लोकली ऑप्टिमल प्री-कंडीशन्ड आइगेनवैल्यू ज़ॉल्वर्स (बी. एल. ओ. पी. ई. एक्स.) नामक एक संदर्भ कार्यान्वयन प्रकाशित किया। अन्य कार्यान्वयन में उपलब्ध हैं, जैसे, जीएनयू ऑक्टेव, मैटलैब (वितरित या टाइलिंग सरणी के लिए), जावा, अनासाज़ी (ट्रिलिनोस), एस. एल. ई. पी. सी., साइपी, जूलिया, एम. ए. जी. एम. ए., पाइटर्च, रस्ट, ओपनएम. पी. और ओपनए. सी. सी., क्यूपी (सी. यू. डी. ए. द्वारा त्वरित एक नंबर-संगत सरणी पुस्तकालय), गूगल जे. ए. एक्स. और एन. वी. आई. डी. ए. ए. ए. एम. जी. एक्स.। एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को लागू किया गया है, लेकिन टेंसरफ्लो में शामिल नहीं किया गया है। अनुप्रयोग डेटा माइनिंग सॉफ्टवेयर पैकेज स्किकिट-लर्न और मेगामैन एल. ओ. बी. पी. सी. जी. का उपयोग स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग को मापने और लैपलेसियन आइगेनमैप्स के माध्यम से बड़े डेटा सेटों में सीखने को कई गुना बढ़ाने के लिए करते हैं। एनवीडिया ने सीयूडीए 8 में शुरू की गई अपनी एनवीजीआरएपीएच लाइब्रेरी में एलओबीपीसीजी को लागू किया है। स्फिंक्स, एक संकर वितरित-और साझा-स्मृति-सक्षम समानांतर ग्राफ विभाजनकर्ता-पहला ग्राफ विभाजन उपकरण जो वितरित-स्मृति सेटिंग्स पर जी. पी. यू. पर काम करता है-ग्राफ विभाजन के लिए वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग का उपयोग करता है, अनासाज़ी पैकेज से एल. ओ. बी. पी. सी. जी. का उपयोग करके ग्राफ के लाप्लेशियन मैट्रिक्स पर आइगेनवेक्टर्स की गणना करता है। सामग्री विज्ञान एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को ए. बी. आई. एन. आई. टी. (सी. यू. डी. ए. संस्करण सहित) और ऑक्टोपस में लागू किया जाता है। इसका उपयोग जापान में अर्थ सिम्युलेटर सुपरकंप्यूटर पर गॉर्डन बेल पुरस्कार के अंतिम विजेताओं द्वारा बहु-अरब आकार के मैट्रिक्स के लिए किया गया है। सुपरकंडक्टिविटी के पीछे के तंत्र को समझने के लिए दृढ़ता से सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के लिए हब्बर्ड मॉडल के कंप्यूटर और बहु-जी. पी. यू. प्रणालियों पर हैमिल्टनियन की जमीनी स्थिति की गणना करने के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. का उपयोग करता है। समतल तरंग आधार का उपयोग करते हुए कोहन-शाम समीकरणों और घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (डी. एफ. टी.) के लिए एल. ओ. बी. पी. सी. जी. के मैटलैब और जूलिया संस्करण हैं। हाल के कार्यान्वयनों में टी. टी. पी. वाई., प्लैटिपस-क्यू. एम., एम. एफ. डी. एन., ए. सी. ई.-अणु, लैकोनिक शामिल हैं। बी. एल. ओ. पी. ई. एक्स. से यांत्रिकी और तरल पदार्थ एल. ओ. बी. पी. सी. जी. का उपयोग बाधाओं (बी. डी. डी. सी.) समाधानक पुस्तकालय बी. डी. डी. सी. एम. एल. द्वारा बहु-स्तरीय संतुलन डोमेन अपघटन में पूर्व-कंडीशनर सेटअप के लिए किया जाता है, जिसे ओपन. एफ. टी. एल. (ओपन फाइनाइट एलिमेंट टेम्पलेट लाइब्रेरी) और खंडित झरझरा मीडिया में भूमिगत जल प्रवाह, घोल और गर्मी परिवहन के फ्लो123डी सिम्युलेटर में शामिल किया जाता है। एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को एल. एस-डी. वाई. एन. ए. में लागू किया गया है। मैक्सवेल के समीकरण एल. ओ. बी. पी. सी. जी. पी. वाई. एफ. ई. एम. ए. एक्स. और उच्च प्रदर्शन मल्टीफिजिक्स परिमित तत्व सॉफ्टवेयर नेटजेन/एन. जी. सॉल्व में मुख्य आइगेनवैल्यू समाधानकर्ताओं में से एक है। हाइपर से एल. ओ. बी. पी. सी. जी. को सीमित तत्व विधियों एम. एफ. ई. एम. के लिए ओपन सोर्स लाइटवेट स्केलेबल सी + + लाइब्रेरी में शामिल किया गया है, जिसका उपयोग कई परियोजनाओं में किया जाता है, जिसमें ब्लास्ट, एक्सब्रेड, विसइट, एक्स. एस. डी. के., साइडेक में फास्टमैथ संस्थान और एक्सास्केल कंप्यूटिंग परियोजना में सह-डिजाइन सेंटर फॉर एफिशिएंट एक्सास्केल डिस्क्रिटाइजेशन (सी. ई. ई. डी.) शामिल हैं। डीनोइज़िंग इटरेटिव एल. ओ. बी. पी. सी. जी.-आधारित अनुमानित लो-पास फ़िल्टर का उपयोग डीनोइज़िंग के लिए किया जा सकता है; देखें, उदाहरण के लिए, कुल भिन्नता डीनोइज़िंग में तेजी लाने के लिए। छवि विभाजन वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग के माध्यम से छवि विभाजन पिक्सेल के बीच एक आत्मीयता मैट्रिक्स का उपयोग करके एक कम-आयाम एम्बेडिंग का प्रदर्शन करता है, इसके बाद कम आयामी स्थान में आइगेनवेक्टर्स के घटकों का क्लस्टरिंग होता है, उदाहरण के लिए, द्वि-पक्षीय फिल्टर के लिए ग्राफ लाप्लेशियन का उपयोग करते हुए। बहु ग्रिड पूर्व शर्त के साथ एल. ओ. बी. पी. सी. जी. द्वारा वर्णक्रमीय ग्राफ विभाजन के माध्यम से छवि विभाजन को पहले प्रस्तावित किया गया है और वास्तव में और में परीक्षण किया गया है। बाद के दृष्टिकोण को बाद में पायथन स्किकिट-लर्न में लागू किया गया है जो ग्राफ लाप्लेशियन के लिए आइगेनवैल्यू समस्या को हल करने के लिए बीजगणितीय मल्टीग्रिड पूर्व शर्त के साथ साइपाई से एलओबीपीसीजी का उपयोग करता है। संदर्भ बाहरी लिंक एम. ए. टी. एल. ए. बी. एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में एल. ओ. बी. पी. सी. जी. ऑक्टेव एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में साइपी एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में जावा में गूगल कोड एल. ओ. बी. पी. सी. जी. में ब्लॉक लोकली ऑप्टिमल प्री-कंडीशन्ड आइगेनवैल्यू ज़ॉल्वर्स (बी. एल. ओ. पी. ई. एक्स.) में गिटहब में और गूगल कोड संख्यात्मक रैखिक बीजगणित वैज्ञानिक सिमुलेशन सॉफ्टवेयर में संग्रहीत