Elliptical distribution
संभाव्यता और सांख्यिकी में, एक दीर्घवृत्तीय वितरण संभाव्यता वितरण के एक व्यापक परिवार का कोई भी सदस्य है जो बहुभिन्न सामान्य वितरण को सामान्यीकृत करता है। सहज रूप से, सरलीकृत दो और त्रि-आयामी मामले में, संयुक्त वितरण सम-घनत्व भूखंडों में क्रमशः एक दीर्घवृत्त और एक दीर्घवृत्त बनाता है। सांख्यिकी में, सामान्य वितरण का उपयोग शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में किया जाता है, जबकि दीर्घवृत्तीय वितरण का उपयोग सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में किया जाता है, भारी पूंछ के साथ सममित वितरण के अध्ययन के लिए, जैसे बहुभिन्नरूपी टी-वितरण, या प्रकाश (सामान्य वितरण की तुलना में)। कुछ सांख्यिकीय विधियाँ जो मूल रूप से सामान्य वितरण के अध्ययन से प्रेरित थीं, सामान्य अण्डाकार वितरण (सीमित भिन्नता के साथ) के लिए अच्छा प्रदर्शन करती हैं, विशेष रूप से गोलाकार वितरण (जिन्हें नीचे परिभाषित किया गया है) के लिए। प्रस्तावित बहुभिन्नरूपी-सांख्यिकीय प्रक्रियाओं का मूल्यांकन करने के लिए मजबूत आंकड़ों में अण्डाकार वितरण का भी उपयोग किया जाता है। परिभाषा अण्डाकार वितरणों को संभाव्यता सिद्धांत के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। एक यूक्लिडियन स्थान पर एक यादृच्छिक सदिश का एक दीर्घवृत्ताकार वितरण होता है यदि इसका विशेषता फलन कुछ स्थान मापदंड, कुछ गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स और कुछ स्केलर फलन के लिए निम्नलिखित कार्यात्मक समीकरण (प्रत्येक स्तंभ-सदिश के लिए) को संतुष्ट करता है। वास्तविक यादृच्छिक-सदिशों के लिए दीर्घवृत्ताकार वितरण की परिभाषा को जटिल संख्याओं के क्षेत्र में यूक्लिडियन रिक्त स्थान में यादृच्छिक सदिशों को समायोजित करने के लिए विस्तारित किया गया है, जिससे समय-श्रृंखला विश्लेषण में अनुप्रयोगों की सुविधा होती है। उदाहरण के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन में उपयोग के लिए, अण्डाकार वितरण से छद्म-यादृच्छिक वैक्टर उत्पन्न करने के लिए कम्प्यूटेशनल तरीके उपलब्ध हैं। कुछ अण्डाकार वितरणों को वैकल्पिक रूप से उनके घनत्व कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। एक घनत्व फलन f के साथ एक दीर्घवृत्ताकार वितरण का रूप हैः जहाँ सामान्यीकरण स्थिरांक है, मध्य वेक्टर के साथ एक-आयामी यादृच्छिक वेक्टर है (जो कि माध्य वेक्टर भी है यदि बाद वाला मौजूद है), और एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है जो सहप्रसरण मैट्रिक्स के समानुपाती है यदि बाद वाला मौजूद है। उदाहरणों में निम्नलिखित बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण शामिल हैंः बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण बहुभिन्नरूपी टी-वितरण सममित बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण सममित बहुभिन्नरूपी लाप्लास वितरण बहुभिन्नरूपी लॉजिस्टिक वितरण बहुभिन्नरूपी सममित सामान्य हाइपरबोलिक वितरण गुण 2-आयामी मामले में, यदि घनत्व मौजूद है, तो प्रत्येक समघनत्व लोकस (x1, x2 जोड़े का समूह जो सभी एक विशेष मूल्य देते हैं) एक दीर्घवृत्त या दीर्घवृत्त का एक संघ है (इसलिए इसका नाम दीर्घवृत्तीय वितरण है)। अधिक आम तौर पर, मनमाने n के लिए, सम-घनत्व लोकी दीर्घवृत्त के संघ हैं। इन सभी दीर्घवृत्त या दीर्घवृत्त का सामान्य केंद्र μ है और ये एक दूसरे की स्केल की गई प्रतियां (होमोथेट्स) हैं। बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण विशेष मामला है जिसमें। जबकि बहुभिन्नरूपी सामान्य असीमित है (का प्रत्येक तत्व गैर-शून्य संभावना के साथ मनमाने ढंग से बड़े सकारात्मक या नकारात्मक मूल्यों को ले सकता है, क्योंकि सभी गैर-नकारात्मक के लिए), सामान्य रूप से अण्डाकार वितरण को सीमित या असीमित किया जा सकता है-ऐसा वितरण सीमित है यदि सभी के लिए कुछ मूल्य से अधिक है। ऐसे अण्डाकार वितरण मौजूद हैं जिनका अव्याख्यायित माध्य है, जैसे कि कौची वितरण (यहां तक कि अविभाज्य मामले में भी)। क्योंकि चर x घनत्व फलन में चतुर्भुज रूप से प्रवेश करता है, सभी अण्डाकार वितरण लगभग सममित होते हैं यदि एक संयुक्त रूप से अण्डाकार यादृच्छिक सदिश के दो सबसेट असंबंधित हैं, तो यदि उनके साधन मौजूद हैं तो वे एक दूसरे से स्वतंत्र हैं (प्रत्येक उपवेक्टर का माध्य दूसरे उपवेक्टर के मूल्य पर सशर्त बिना शर्त माध्य के बराबर होता है)। यदि यादृच्छिक सदिश X को अण्डाकार रूप से वितरित किया जाता है, तो पूर्ण पंक्ति श्रेणी वाले किसी भी मैट्रिक्स D के लिए DX भी ऐसा ही है। इस प्रकार X के घटकों का कोई भी रैखिक संयोजन अण्डाकार होता है (हालांकि जरूरी नहीं कि समान अण्डाकार वितरण के साथ), और X का कोई भी उपसमुच्चय अण्डाकार होता है। अनुप्रयोग अण्डाकार वितरण का उपयोग सांख्यिकी और अर्थशास्त्र में किया जाता है। गणितीय अर्थशास्त्र में, गणितीय वित्त में पोर्टफोलियो का वर्णन करने के लिए अण्डाकार वितरण का उपयोग किया गया है। सांख्यिकीः सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण सांख्यिकी में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (गॉस का) का उपयोग शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में किया जाता है, जिसमें अनुमान और परिकल्पना-परीक्षण के अधिकांश तरीके सामान्य वितरण के लिए प्रेरित होते हैं। शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के विपरीत, सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण सामान्यता के प्रतिबंध के बिना अण्डाकार वितरण पर अनुसंधान को संदर्भित करता है। उपयुक्त अण्डाकार वितरण के लिए, कुछ शास्त्रीय विधियों में अच्छे गुण बने हुए हैं। परिमित-भिन्नता धारणाओं के तहत, कोचरान के प्रमेय (द्विघात रूपों के वितरण पर) का एक विस्तार है। गोलाकार वितरण शून्य माध्य और उस रूप में भिन्नता के साथ एक अण्डाकार वितरण जहां पहचान-मैट्रिक्स है, एक गोलाकार वितरण कहा जाता है। गोलाकार वितरण के लिए, मापदंड-आकलन और परिकल्पना-परीक्षण पकड़ पर शास्त्रीय परिणामों को बढ़ाया गया है। समान परिणाम रैखिक मॉडलों के लिए, और वास्तव में जटिल मॉडलों के लिए भी (विशेष रूप से विकास वक्र मॉडल के लिए) होते हैं। बहुभिन्नरूपी मॉडलों का विश्लेषण बहुरेखीय बीजगणित (विशेष रूप से क्रोनेकर उत्पाद और वेक्टराइजेशन) और मैट्रिक्स कलन का उपयोग करता है। मजबूत सांख्यिकीः असिंप्टोटिक्स दीर्घवृत्तीय वितरण का एक और उपयोग मजबूत सांख्यिकी में होता है, जिसमें शोधकर्ता यह जांच करते हैं कि अधिक सामान्य समस्याओं पर प्रक्रियाओं के प्रदर्शन में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए दीर्घवृत्तीय वितरण के वर्ग पर सांख्यिकीय प्रक्रियाएं कैसे प्रदर्शन करती हैं, उदाहरण के लिए सांख्यिकी के सीमित सिद्धांत ("एसिम्प्टोटिक्स") का उपयोग करके। पोर्टफोलियो सिद्धांत में अर्थशास्त्र और वित्त अण्डाकार वितरण महत्वपूर्ण हैं क्योंकि, यदि पोर्टफोलियो गठन के लिए उपलब्ध सभी परिसंपत्तियों पर रिटर्न संयुक्त रूप से अण्डाकार रूप से वितरित किए जाते हैं, तो सभी पोर्टफोलियो को पूरी तरह से उनके स्थान और पैमाने से चिह्नित किया जा सकता है-यानी, समान स्थान और पोर्टफोलियो रिटर्न के पैमाने वाले किसी भी दो पोर्टफोलियो में पोर्टफोलियो रिटर्न का समान वितरण होता है। पोर्टफोलियो विश्लेषण की विभिन्न विशेषताएं, जिनमें म्यूचुअल फंड पृथक्करण प्रमेय और पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल शामिल हैं, सभी अण्डाकार वितरणों के लिए लागू होती हैं। नोट्स संदर्भ मूल रूप से आगे पढ़ने के लिए पत्रों का एक संग्रह। संभाव्यता वितरण के प्रकार स्थान-स्तरीय पारिवारिक संभाव्यता वितरण बहुभिन्न सांख्यिकी सामान्य वितरण