Degrees of freedom (physics and chemistry)
भौतिकी और रसायन विज्ञान में, स्वतंत्रता की डिग्री एक भौतिक प्रणाली की स्थिति के औपचारिक विवरण में एक स्वतंत्र भौतिक पैरामीटर है। एक प्रणाली की सभी अवस्थाओं के समूह को प्रणाली के चरण स्थान के रूप में जाना जाता है, और प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री चरण स्थान के आयाम हैं। त्रि-आयामी स्थान में एक कण के स्थान के लिए तीन स्थिति निर्देशांक की आवश्यकता होती है। इसी तरह, जिस दिशा और गति से एक कण चलता है, उसे तीन वेग घटकों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, प्रत्येक अंतरिक्ष के तीन आयामों के संदर्भ में। इसलिए, यदि प्रणाली का समय विकास निर्धारक है (जहां एक क्षण में अवस्था विशिष्ट रूप से समय के कार्य के रूप में अपनी अतीत और भविष्य की स्थिति और वेग को निर्धारित करती है), तो ऐसी प्रणाली में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है। यदि कण की गति कम संख्या में आयामों तक सीमित है-उदाहरण के लिए, कण को एक तार के साथ या एक निश्चित सतह पर चलना चाहिए-तो प्रणाली में छह डिग्री से कम स्वतंत्रता है। दूसरी ओर, एक विस्तारित वस्तु के साथ एक प्रणाली जो घूम सकती है या कंपन कर सकती है, में छह डिग्री से अधिक स्वतंत्रता हो सकती है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, किसी भी समय एक बिंदु कण की स्थिति को अक्सर लैग्रैन्जियन औपचारिकता में स्थिति और वेग निर्देशांक के साथ, या हैमिल्टनियन औपचारिकता में स्थिति और गति निर्देशांक के साथ वर्णित किया जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी में, स्वतंत्रता की डिग्री एक एकल स्केलर संख्या है जो एक प्रणाली के सूक्ष्म अवस्था का वर्णन करती है। एक प्रणाली के सभी सूक्ष्म अवस्थाओं का विनिर्देशन प्रणाली के चरण स्थान में एक बिंदु है। रसायन विज्ञान में 3डी आदर्श श्रृंखला मॉडल में, प्रत्येक मोनोमर के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए दो कोण आवश्यक हैं। यह अक्सर स्वतंत्रता की द्विघात डिग्री निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। ये स्वतंत्रता की डिग्री हैं जो प्रणाली की ऊर्जा में एक द्विघात कार्य में योगदान करती हैं। इस बात पर निर्भर करते हुए कि कोई क्या गिन रहा है, स्वतंत्रता की डिग्री को परिभाषित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक अलग मूल्य है। गैसों के लिए स्वतंत्रता की ऊष्मागतिकीय डिग्री समविभाजन प्रमेय द्वारा, गैस के प्रति मोल आंतरिक ऊर्जा बराबर होती है, जहाँ निरपेक्ष तापमान होता है और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा cv = (f) (R/2) होती है। आर = 8.314 जे/(के मोल) सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है, और "एफ" ऊष्मागतिकीय (द्विघात) स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है, जिसमें ऊर्जा उत्पन्न होने के तरीकों की संख्या गिना जा सकता है। किसी भी परमाणु या अणु में x, y और z अक्षों के संबंध में द्रव्यमान के केंद्र की परिवर्तनशील गति (गतिज ऊर्जा) से जुड़ी स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती हैं। ये एक मोनोआटोमिक प्रजाति के लिए स्वतंत्रता की एकमात्र डिग्री हैं, जैसे कि उत्कृष्ट गैस परमाणु। दो या दो से अधिक परमाणुओं से युक्त संरचना के लिए, पूरी संरचना में घूर्णन गतिज ऊर्जा भी होती है, जहां पूरी संरचना एक अक्ष के आसपास घूमती है। एक रैखिक अणु, जहाँ सभी परमाणु एक ही अक्ष के साथ स्थित होते हैं, जैसे कि कोई भी डायटोमिक अणु और कुछ अन्य अणु जैसे कार्बन डाइऑक्साइड (CO2), में स्वतंत्रता की दो घूर्णन डिग्री होती है, क्योंकि यह आणविक अक्ष के लंबवत दो अक्षों में से किसी एक को घुमा सकता है। एक अरैखिक अणु, जहाँ परमाणु एक ही अक्ष के साथ नहीं होते हैं, जैसे कि पानी (H2O), में स्वतंत्रता की तीन घूर्णन डिग्री होती है, क्योंकि यह तीन लंबवत अक्षों में से किसी के आसपास घूम सकता है। विशेष मामलों में, जैसे कि अधिशोषित बड़े अणुओं में, स्वतंत्रता की घूर्णन डिग्री केवल एक तक सीमित हो सकती है। दो या दो से अधिक परमाणुओं से युक्त संरचना में कंपन ऊर्जा भी होती है, जहां अलग-अलग परमाणु एक दूसरे के संबंध में गति करते हैं। एक द्विपरमाणुक अणु में एक आणविक कंपन मोड होता हैः दो परमाणु एक स्प्रिंग के रूप में कार्य करते हुए उनके बीच रासायनिक बंधन के साथ आगे और पीछे दोलन करते हैं। परमाणुओं वाले अणु में आणविक कंपन के अधिक जटिल तरीके होते हैं, जिसमें एक रैखिक अणु के लिए कंपन मोड और एक अरैखिक अणु के लिए मोड होते हैं। विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, रैखिक CO2 अणु में दोलन के 4 तरीके होते हैं, और अरैखिक जल अणु में दोलन के 3 तरीके होते हैं प्रत्येक कंपन मोड में दो ऊर्जा शब्द होते हैंः गतिशील परमाणुओं की गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग जैसे रासायनिक बंधन (ओं) की स्थितिज ऊर्जा। इसलिए, कंपन ऊर्जा शब्दों की संख्या एक रैखिक अणु के लिए मोड है और एक अरैखिक अणु के लिए मोड है। घूर्णन और कंपन दोनों विधियों की मात्रा निर्धारित की जाती है, जिसके लिए न्यूनतम तापमान को सक्रिय करने की आवश्यकता होती है। कई गैसों के लिए स्वतंत्रता की घूर्णन डिग्री को सक्रिय करने के लिए "घूर्णन तापमान" 100 केल्विन से कम है। पर्याप्त कंपन के लिए आवश्यक "कंपन तापमान" 103 K और 104 K, N2 के लिए 3521 K और O2 के लिए 2156 K के बीच है। विशिष्ट वायुमंडलीय तापमान एन2 और ओ2 में कंपन को सक्रिय करने के लिए पर्याप्त उच्च नहीं होते हैं, जिसमें अधिकांश वायुमंडल शामिल होते हैं। (अगला आंकड़ा देखें।) हालांकि, बहुत कम प्रचुर मात्रा में ग्रीनहाउस गैसें पृथ्वी की सतह से अवरक्त को अवशोषित करके क्षोभमंडल को गर्म रखती हैं, जो उनके कंपन मोड को उत्तेजित करती हैं। इस ऊर्जा का अधिकांश भाग "ग्रीनहाउस प्रभाव" के माध्यम से अवरक्त में सतह पर वापस विकिरणित किया जाता है। क्योंकि कमरे का तापमान (≈ 298 K) विशिष्ट घूर्णन तापमान से अधिक है लेकिन विशिष्ट कंपन तापमान से कम है, केवल स्वतंत्रता की परिवर्तनशील और घूर्णन डिग्री ही ऊष्मा क्षमता अनुपात में समान मात्रा में योगदान करती है। यही कारण है कि कमरे के तापमान पर मोनोटोमिक गैसों के लिए ≈ और डायटोमिक गैसों के लिए ≈। चूँकि हवा में डायटॉमिक गैसों का प्रभुत्व है (नाइट्रोजन और ऑक्सीजन का योगदान लगभग 99 प्रतिशत है), इसलिए इसकी मोलर आंतरिक ऊर्जा = (5/2) के करीब है, जो डायटॉमिक गैसों द्वारा प्रदर्शित 5 डिग्री ऑफ़ फ्रीडम द्वारा निर्धारित की जाती है। दाहिनी ओर ग्राफ देखें। 140 के <380 के के लिए, सी. वी. (5/2) डी से 1 प्रतिशत से कम भिन्न होता है। केवल क्षोभमंडल और समताप मंडल में तापमान से ऊपर के तापमान पर कुछ अणुओं में एन2 और ओ2 के कंपन मोड को सक्रिय करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा होती है। स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा, सी. वी., धीरे-धीरे (7/2) की ओर बढ़ती है क्योंकि तापमान टी = 400 के. से ऊपर बढ़ता है, जहाँ सी. वी. (5/2) डी = 717.5 जे/(के. कि. ग्रा.) से 1.3% ऊपर है। किसी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए निर्देशांकों की न्यूनतम संख्या की गणना करना किसी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक निर्देशांकों की न्यूनतम संख्या का उपयोग करके स्वतंत्रता की डिग्री को भी गिना जा सकता है। यह निम्नानुसार किया जाता हैः एक एकल कण के लिए हमें अपनी स्थिति निर्दिष्ट करने के लिए 2-डी तल में 2 निर्देशांक और 3-डी स्थान में 3 निर्देशांक की आवश्यकता होती है। इस प्रकार 3-डी स्थान में इसकी स्वतंत्रता की डिग्री 3 है। 2 कणों से युक्त शरीर के लिए (उदा. एक द्विपरमाणुक अणु) 3-डी स्थान में उनके बीच निरंतर दूरी के साथ (मान लीजिए डी) हम (नीचे) इसकी स्वतंत्रता की डिग्री 5 दिखा सकते हैं। मान लीजिए कि इस शरीर में एक कण का निर्देशांक है और दूसरे का अज्ञात के साथ समन्वय है। दो निर्देशांकों के बीच की दूरी के लिए सूत्र के अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप एक अज्ञात के साथ एक समीकरण होता है, जिसे हम हल कर सकते हैं। इनमें से एक,,,, या अज्ञात हो सकता है। शास्त्रीय समविभाजन प्रमेय के विपरीत, कमरे के तापमान पर, अणुओं की कंपन गति आमतौर पर ऊष्मा क्षमता में नगण्य योगदान देती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि स्वतंत्रता की ये डिग्री जमे हुए हैं क्योंकि ऊर्जा आइगेनवैल्यूज के बीच का अंतर परिवेशी तापमान () के अनुरूप ऊर्जा से अधिक है। स्वतंत्रता की स्वतंत्र डिग्री किसी प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री का सेट स्वतंत्र होता है यदि सेट से जुड़ी ऊर्जा को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता हैः जहां एकमात्र चर का एक कार्य है। उदाहरण के लिएः यदि और स्वतंत्रता की दो डिग्री हैं, और संबंधित ऊर्जा हैः यदि, तो स्वतंत्रता की दो डिग्री स्वतंत्र हैं। यदि, तब स्वतंत्रता के दो स्तर स्वतंत्र नहीं हैं। और के उत्पाद को शामिल करने वाला शब्द एक युग्मन शब्द है जो स्वतंत्रता के दो स्तरों के बीच बातचीत का वर्णन करता है। 1 से लेकर, स्वतंत्रता की th डिग्री का मान बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है। इसका संभाव्यता घनत्व कार्य निम्नलिखित हैः, इस खंड में, और पूरे लेख में कोष्ठक उनके द्वारा संलग्न मात्रा के माध्य को दर्शाते हैं। प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री से जुड़ी औसत ऊर्जाओं का योग हैः स्वतंत्रता की द्विघात डिग्री स्वतंत्रता की एक डिग्री द्विघात है यदि स्वतंत्रता की इस डिग्री से जुड़े ऊर्जा शब्दों को इस रूप में लिखा जा सकता है, जहां स्वतंत्रता की अन्य द्विघात डिग्री का एक रैखिक संयोजन है। उदाहरण के लिएः यदि और स्वतंत्रता की दो डिग्री हैं, और संबंधित ऊर्जा हैः यदि, तो स्वतंत्रता की दो डिग्री स्वतंत्र और गैर-द्विघात नहीं हैं। यदि, तब स्वतंत्रता के दो स्तर स्वतंत्र और गैर-चतुष्कोणीय हैं। यदि, तब स्वतंत्रता की दो डिग्री स्वतंत्र नहीं हैं, बल्कि द्विघात हैं। यदि, तो स्वतंत्रता की दो डिग्री स्वतंत्र और द्विघात हैं। उदाहरण के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी में, स्वतंत्रता की द्विघात डिग्री की एक प्रणाली की गतिशीलता को स्थिर गुणांक के साथ सजातीय रैखिक विभेदक समीकरणों के एक समूह द्वारा नियंत्रित किया जाता है। द्विघात और स्वतंत्र डिग्री ऑफ़ फ्रीडम द्विघात और स्वतंत्र डिग्री ऑफ़ फ्रीडम हैं यदि वे जिस प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं, उसके सूक्ष्म अवस्था से जुड़ी ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः सम विभाजन प्रमेय सांख्यिकीय यांत्रिकी की शास्त्रीय सीमा में, ऊष्मागतिकीय संतुलन पर, द्विघात और स्वतंत्र डिग्री ऑफ़ फ्रीडम की प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा हैः यहाँ, डिग्री ऑफ़ फ्रीडम से जुड़ी औसत ऊर्जा हैः चूंकि डिग्री ऑफ़ फ्रीडम स्वतंत्र हैं, इसलिए प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा प्रत्येक डिग्री ऑफ़ फ्रीडम से जुड़ी औसत ऊर्जा के योग के बराबर है, जो परिणाम को प्रदर्शित करती है। सामान्यीकरण किसी प्रणाली की अवस्था का वर्णन उसके चरण स्थान में एक बिंदु के रूप में, हालांकि गणितीय रूप से सुविधाजनक है, मौलिक रूप से गलत माना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में, गति की स्वतंत्रता की डिग्री को तरंग फलन की अवधारणा के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, और ऑपरेटर जो स्वतंत्रता की अन्य डिग्री के अनुरूप होते हैं, उनमें असतत स्पेक्ट्रा होता है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन या फोटॉन के लिए आंतरिक कोणीय संवेग प्रचालक (जो घूर्णन स्वतंत्रता से मेल खाता है) में केवल दो आईगन मान होते हैं। यह विसंगति तब स्पष्ट हो जाती है जब क्रिया में प्लैंक स्थिरांक के परिमाण का क्रम होता है, और स्वतंत्रता की व्यक्तिगत डिग्री को अलग किया जा सकता है। संदर्भ भौतिक मात्रा आयाम