Pochhammer contour
गणित में, और द्वारा प्रस्तुत पोचैमर समोच्च, जटिल तल में एक समोच्च है जिसमें दो बिंदु हटा दिए गए हैं, जिसका उपयोग समोच्च एकीकरण के लिए किया जाता है। यदि ए और बी दो बिंदुओं के आसपास लूप हैं, दोनों किसी निश्चित बिंदु पी से शुरू होते हैं, तो पोचामर समोच्च कम्यूटेटर एबीए-1बी-1 है, जहां सुपरस्क्रिप्ट-1 विपरीत दिशा में लिए गए पथ को दर्शाता है। 0 और 1 के रूप में लिए गए दो बिंदुओं के साथ, निश्चित आधार बिंदु P उनके बीच वास्तविक अक्ष पर होने के कारण, एक उदाहरण वह मार्ग है जो P से शुरू होता है, घड़ी की विपरीत दिशा में बिंदु 1 को घेरता है और P पर लौटता है, फिर 0 घड़ी की विपरीत दिशा में घूमता है और P पर लौटता है, उसके बाद 1 और फिर 0 घड़ी की दिशा में घूमता है, P पर वापस आने से पहले। समोच्च का वर्ग एक वास्तविक कम्यूटेटर है जब इसे दो बिंदुओं के जटिल तल (या रीमान क्षेत्र) में पूरक के आधार बिंदु P के साथ मौलिक समूह में माना जाता है। जब समोच्च समाकलन लेने की बात आती है, तो आधार बिंदु को पी से दूसरे विकल्प क्यू पर ले जाने से परिणाम पर कोई फर्क नहीं पड़ता है, क्योंकि पी से क्यू और पीछे के समाकलन रद्द हो जाएंगे। शून्य के लिए समरूप लेकिन शून्य के लिए समस्थानिक नहीं दोगुने पंचर वाले तल के भीतर यह वक्र शून्य के लिए समरूप है लेकिन शून्य के लिए समस्थानिक नहीं है। किसी भी बिंदु के बारे में इसकी घुमावदार संख्या 0 है, इस तथ्य के बावजूद कि दोगुने पंचर वाले तल के भीतर इसे एक भी बिंदु तक संकुचित नहीं किया जा सकता है। अनुप्रयोग बीटा फलन यूलर के समाकलन द्वारा दिया जाता है बशर्ते कि α और β के वास्तविक भाग सकारात्मक हों, जिन्हें पोचमेर समोच्च C पर एक समाकलन में परिवर्तित किया जा सकता है क्योंकि समोच्च समाकलन α और β के सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करता है और इसलिए बीटा फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता देता है। इसी तरह की विधि को हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के लिए यूलर के इंटीग्रल पर लागू किया जा सकता है ताकि इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता दी जा सके। टिप्पणियाँ संदर्भ विशेष कार्य