Pompeiu derivative
गणितीय विश्लेषण में, एक पोम्पेयू व्युत्पन्न एक वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो हर जगह अवकलनीय फलन का व्युत्पन्न है और जो एक घने समुच्चय में गायब हो जाता है। विशेष रूप से, एक पॉम्पेयू व्युत्पन्न हर उस बिंदु पर असंतत है जहां यह 0 नहीं है। क्या गैर-समान रूप से शून्य ऐसे कार्य मौजूद हो सकते हैं, यह एक समस्या थी जो 1900 के दशक की शुरुआत में कार्यात्मक भिन्नता और एकीकरण पर शोध के संदर्भ में उत्पन्न हुई थी। इस प्रश्न का सकारात्मक उत्तर दिमित्री पोम्पेयू ने एक स्पष्ट उदाहरण का निर्माण करके दिया था; इसलिए इन कार्यों का नाम उनके नाम पर रखा गया है। पोम्पेयू के निर्माण का वर्णन यहाँ किया गया है। आइए वास्तविक संख्या के वास्तविक घन मूल को निरूपित करें। आइए इकाई अंतराल में परिमेय संख्याओं की गणना करें। मान लीजिए कि वे सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। प्रत्येक के लिए, श्रृंखला का प्रत्येक पद निरपेक्ष मूल्य से कम या बराबर होता है, इसलिए श्रृंखला समान रूप से एक निरंतर, सख्ती से बढ़ते हुए फलन में परिवर्तित हो जाती है, वीयरस्ट्रास-परीक्षण द्वारा। इसके अलावा, यह पता चला है कि फलन अवकलनीय है, हर उस बिंदु पर जहां योग परिमित है; साथ ही, अन्य सभी बिंदुओं पर, विशेष रूप से, प्रत्येक पर, एक है। चूँकि की छवि एक बंद बंधी हुई अंतराल है जिसमें पसंद करने के लिए बाएं अंतिम बिंदु के साथ, हम मान सकते हैं और एक गुणक कारक के चयन तक हम मान सकते हैं कि अंतराल को स्वयं पर मैप करता है। चूंकि यह सख्ती से बढ़ रहा है, यह इंजेक्टिव है, और इसलिए एक समरूपता है; और व्युत्क्रम फलन के विभेदन की प्रमेय के अनुसार, इसके व्युत्क्रम का प्रत्येक बिंदु पर एक परिमित व्युत्पन्न होता है, जो कम से कम बिंदुओं पर गायब हो जाता है। गुण यह ज्ञात है कि किसी भी सर्वत्र अवकलनीय फलन (और अधिक सामान्य रूप से, किसी भी बेयरे वर्ग एक फलन का) के व्युत्पन्न का शून्य-समुच्चय वास्तविक रेखा का एक उपसमुच्चय है। परिभाषा के अनुसार, किसी भी पॉम्पेयू फलन के लिए, यह समुच्चय एक घना समुच्चय है; इसलिए यह एक अवशिष्ट समुच्चय है। विशेष रूप से, इसमें अनगिनत अंक हैं। पॉम्पेयू फलन का एक रैखिक संयोजन एक व्युत्पन्न है, और सेट पर गायब हो जाता है, जो कि बेयर श्रेणी प्रमेय द्वारा एक घना सेट है। इस प्रकार, पॉम्पेयू फलन कार्यों का एक सदिश स्थान बनाते हैं। पॉम्पेयू व्युत्पन्न के समान रूप से अभिसारी अनुक्रम का एक सीमा कार्य एक पॉम्पेयू व्युत्पन्न है। वास्तव में, यह व्युत्पन्न के संकेत के तहत सीमा के प्रमेय के कारण एक व्युत्पन्न है। इसके अलावा, यह अनुक्रम के कार्यों के शून्य समुच्चय के प्रतिच्छेदन में गायब हो जाता हैः चूंकि ये घने समुच्चय हैं, इसलिए सीमा फलन का शून्य समुच्चय भी घना होता है। नतीजतन, एक अंतराल पर सभी बंधे हुए पोम्पेयू व्युत्पन्नों का वर्ग समान दूरी के तहत सभी बंधे हुए कार्यों के बनाच स्थान का एक बंद रैखिक उपक्षेत्र है (इसलिए, यह एक बनाच स्थान है)। पॉम्पेयू का एक सकारात्मक फलन का उपरोक्त निर्माण पॉम्पेयू के फलन का एक विशिष्ट उदाहरण हैः वेइल का एक प्रमेय बताता है कि सामान्य रूप से एक पॉम्पेयू व्युत्पन्न घने समुच्चय में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मानों को मानता है, सटीक अर्थ में कि ऐसे फलन बनाच स्थान के अवशिष्ट समुच्चय का गठन करते हैं। संदर्भ एंड्रयू एम. ब्रुकनर, "वास्तविक कार्यों का विभेदन"; सीआरएम मोनोग्राफ श्रृंखला, मॉन्ट्रियल (1994)। वास्तविक विश्लेषण