Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative
अलग-अलग सीमा शर्तों के साथ दूसरे व्युत्पन्न के आइगेनवैक्टर और आइगेनवैल्यू के लिए स्पष्ट सूत्र निरंतर और असतत दोनों मामलों के लिए प्रदान किए जाते हैं। असतत मामले में, दूसरे व्युत्पन्न के मानक केंद्रीय अंतर सन्निकटन का उपयोग एक समान ग्रिड पर किया जाता है। इन सूत्रों का उपयोग चर के पृथक्करण के मामले में लाप्लासियन के आइगेनफ़ंक्शंस के लिए अभिव्यक्तियों को प्राप्त करने के साथ-साथ एक नियमित ग्रिड पर बहुआयामी असतत लाप्लासियन के आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर्स को खोजने के लिए किया जाता है, जिसे एक-आयाम में असतत लाप्लासियन के क्रोनेकर योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। निरंतर स्थिति सूचकांक जे, जे. टी. एच. आइगेनवैल्यू या आइगेनवेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है और 1 से लेकर 1 तक चलता है। मान लीजिए कि समीकरण को डोमेन पर परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित आइगेनवैल्यू और सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर हैं। आइगेनवैल्यूज को अवरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। शुद्ध डिरिचलेट सीमा स्थितियाँ शुद्ध न्यूमैन सीमा स्थितियाँ आवधिक सीमा स्थितियाँ (अर्थात्ः एक सरल आइगेनवैल्यू है और आगे के सभी आइगेनवैल्यू, प्रत्येक गुणन 2 के साथ दिए जाते हैं)। मिश्रित डिरिचलेट-न्यूमैन सीमा स्थितियाँ मिश्रित न्यूमैन-डिरिचलेट सीमा स्थितियाँ असतत स्थिति संकेतः सूचकांक जे जे. टी. एच. आइगेनवैल्यू या आइगेनवेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है। सूचकांक i एक आइगेनवेक्टर के ith घटक का प्रतिनिधित्व करता है। i और j दोनों 1 से n तक जाते हैं, जहाँ मैट्रिक्स का आकार n x n है। आइगेनवैल्यूज को अवरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। शुद्ध डिरिचलेट सीमा स्थितियाँ शुद्ध न्यूमैन सीमा स्थितियाँ आवधिक सीमा स्थितियाँ (ध्यान दें कि 0 को छोड़कर आइगेनवैल्यू को दोहराया जाता है और यदि n सम है तो सबसे बड़ा।) मिश्रित डिरिचलेट-न्यूमैन सीमा स्थितियाँ मिश्रित न्यूमैन-डिरिचलेट सीमा स्थितियाँ डिस्क्रीट केस डिरिचलेट मामले में आइगेनवैल्यूज़ और आइगेनवेक्टर्स की व्युत्पत्ति 1 डी डिस्क्रीट मामले में डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ, हम पुनर्व्यवस्थित शर्तों को हल कर रहे हैं, अब हमें मिलता है। इसके अलावा, यह मानते हुए कि हम किसी भी गैर-शून्य स्केलर द्वारा आइगेनवेक्टर्स को स्केल कर सकते हैं, इसलिए स्केल करें ताकि। फिर हम पुनरावृत्ति को एक अनिश्चित के रूप में देखते हुए पाते हैं, जहां दूसरे प्रकार का kth चेबीशेव बहुपद है। चूंकि, हम इसे प्राप्त करते हैं। यह स्पष्ट है कि हमारी समस्या के आईगन मान संबंध के साथ दूसरे प्रकार के nवें चेबीशेव बहुपद के शून्य होंगे। ये शून्य अच्छी तरह से ज्ञात हैं और हैंः इन्हें सूत्र में जोड़ना, और सरल बनाने के लिए एक ट्रिग सूत्र का उपयोग करते हुए, हम न्यूमैन मामले को पाते हैं। आंतरिक ग्रिड बिंदु और ग्रिड अंतराल के साथ यह सटीक रूप से डिरिचलेट सूत्र है। जैसा कि हमने उपरोक्त में देखा, यह मानते हुए कि हम प्राप्त करते हैं यह हमें आइगेनवैल्यू देता है और वहाँ हैं। यदि हम इस धारणा को छोड़ देते हैं कि, हम पाते हैं कि इसके साथ एक समाधान भी है और यह आइगेनवैल्यू से मेल खाता है। उपरोक्त सूत्र में सूचकांकों को फिर से लेबल करते हुए और शून्य आइगेनवैल्यू के साथ संयोजन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, डिरिचलेट-न्यूमैन केस डिरिचलेट-न्यूमैन मामले के लिए, हम हल कर रहे हैं, जहां हमें सहायक चर पेश करने की आवश्यकता है पुनरावृत्ति पर विचार करें। इसके अलावा, हम जानते हैं और मानते हैं, हम माप कर सकते हैं ताकि हम भी लिख सकें इन तीन समीकरणों के सही संयोजन को लेते हुए, हम प्राप्त कर सकते हैं और इस प्रकार हमारी नई पुनरावृत्ति हमारी आइगेनवैल्यू समस्या को हल कर देगी जब हल करने पर हमें मिलता है। और हमारी न्यूमैन सीमा स्थिति के साथ संयोजन करते हुए, हमारे पास एक प्रसिद्ध सूत्र है जो पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों को दूसरी तरह के बहुपदों से संबंधित करता है। (एन + 1) वां मान हमें शून्य सदिश देता है एक आइगेनवेक्टर के रूप में आइगेनवैल्यू 0 के साथ, जो तुच्छ है। इसे मूल पुनरावृत्ति पर लौटकर देखा जा सकता है। इसलिए हम इन मूल्यों में से केवल पहले n को डिरिचलेट-न्यूमैन समस्या का n आइगेनवैल्यू मानते हैं। संदर्भ प्रचालक सिद्धांत मैट्रिक्स सिद्धांत संख्यात्मक विभेदक समीकरण सीमित अंतर