Arithmetic progression topologies
सामान्य स्थलविज्ञान और संख्या सिद्धांत, गणित की शाखाओं में, कोई भी पूर्णांकों के समूह या सकारात्मक पूर्णांकों के समूह पर विभिन्न स्थलविज्ञानों को परिभाषित कर सकता है, आधार के रूप में अंकगणितीय प्रगति, रूप के अनुक्रम या खुले सेट तब संग्रह में अंकगणितीय प्रगति के संघ होंगे। तीन उदाहरण हैं फ़र्स्टनबर्ग टोपोलॉजी ऑन, और गोलोम्ब टोपोलॉजी और किर्च टोपोलॉजी ऑन। सटीक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। हिलेल फुरस्टनबर्ग ने अभाज्य संख्याओं के समूह के अनंत का "स्थलवैज्ञानिक" प्रमाण प्रदान करने के लिए पहली स्थलविज्ञान की शुरुआत की। दूसरी स्थलविज्ञान का अध्ययन सोलोमन गोलोम्ब द्वारा किया गया था और यह एक गणना योग्य अनंत हौसडॉर्फ स्थान का एक उदाहरण प्रदान करता है जो जुड़ा हुआ है। तीसरी टोपोलॉजी, ए. एम. किर्च द्वारा पेश की गई, एक अनगिनत अनंत हौसडॉर्फ स्थान का एक उदाहरण है जो जुड़ा हुआ है और स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है। इन स्थलविज्ञानों में दिलचस्प पृथक्करण और एकरूपता गुण भी हैं। अंकगणितीय प्रगति टोपोलॉजी की धारणा को मनमाने तरीके से डेडेकाइंड डोमेन में सामान्यीकृत किया जा सकता है। ऐसे दो अंकगणितीय प्रगति का प्रतिच्छेदन या तो खाली है, या एक ही रूप की एक और अंकगणितीय प्रगति हैः जहां का सबसे कम सामान्य गुणक है और इसी तरह, एक तरफा अंकगणितीय प्रगति और के साथ रूप के उपसमुच्चय हैं। ऐसी दो अंकगणितीय प्रगति का प्रतिच्छेदन या तो खाली है, या एक ही रूप की एक और अंकगणितीय प्रगति हैः प्रतिच्छेदन में सबसे छोटे तत्व के बराबर है। इससे पता चलता है कि अंकगणितीय प्रगति की एक सीमित संख्या का प्रत्येक गैर-खाली प्रतिच्छेदन फिर से एक अंकगणितीय प्रगति है। फिर कोई व्यक्ति अंकगणितीय प्रगति के संग्रह को चुनकर या चुनकर, सभी तत्वों को खुले समुच्चय घोषित करके और उनके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी को लेकर एक टोपोलॉजी को परिभाषित कर सकता है। यदि दो तत्वों का कोई भी गैर-खाली प्रतिच्छेदन फिर से एक तत्व है, तो संग्रह टोपोलॉजी के लिए एक आधार होगा। सामान्य तौर पर, यह टोपोलॉजी के लिए एक उप-आधार होगा, और सभी अंकगणितीय प्रगति का सेट जो के तत्वों के गैर-खाली सीमित प्रतिच्छेदन हैं, टोपोलॉजी के लिए एक आधार होगा। इसके बाद तीन विशेष मामले आते हैं। पूर्णांकों के समूह पर फ़र्स्टनबर्ग टोपोलॉजी, या समान रूप से अंतराल वाली पूर्णांक टोपोलॉजी, सभी के संग्रह को आधार के रूप में लेकर प्राप्त की जाती है और सकारात्मक पूर्णांकों के समूह पर द गोलॉम्ब टोपोलॉजी, या अपेक्षाकृत प्रमुख पूर्णांक टोपोलॉजी, सभी के संग्रह को आधार के रूप में लेकर प्राप्त की जाती है। समान रूप से, अतिरिक्त स्थिति के साथ ऐसे सेटों का उप-संग्रह भी टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है। संबंधित स्थलवैज्ञानिक स्थान को गोलम्ब स्थान कहा जाता है। सकारात्मक पूर्णांकों के समूह पर किर्च टोपोलॉजी, या प्रमुख पूर्णांक टोपोलॉजी, सभी के संग्रह को उप-आधार के रूप में लेते हुए प्राप्त की जाती है और अभाज्य बराबर रूप से विभाजित नहीं होता है, कोई भी अभाज्य और अभाज्य के साथ सभी के संग्रह को उप-आधार के रूप में ले सकता है। टोपोलॉजी के लिए एक आधार में सभी अपेक्षाकृत अभाज्य और वर्ग मुक्त (या अतिरिक्त स्थिति के साथ समान) होते हैं। संबंधित स्थलवैज्ञानिक स्थान को किर्च स्थान कहा जाता है। तीन टोपोलॉजी इस अर्थ में संबंधित हैं कि किर्च टोपोलॉजी में प्रत्येक खुला सेट गोलोम्ब टोपोलॉजी में खुला है, और गोलोम्ब टोपोलॉजी में प्रत्येक खुला सेट फुरस्टनबर्ग टोपोलॉजी (सबस्पेस तक सीमित) में खुला है। सेट पर, किर्च टोपोलॉजी गोलॉम्ब टोपोलॉजी की तुलना में मोटे हैं, जो स्वयं फ़र्स्टनबर्ग टोपोलॉजी से मोटे हैं। गुण गोलॉम्ब टोपोलॉजी और किर्च टोपोलॉजी हौसडॉर्फ हैं, लेकिन नियमित नहीं हैं। फुरस्टनबर्ग टोपोलॉजी हौसडॉर्फ और नियमित है। यह मापने योग्य है लेकिन पूरी तरह से मापने योग्य नहीं है। वास्तव में, यह वास्तविक रेखा से विरासत में मिली उपस्थान स्थलविज्ञान के साथ परिमेय संख्याओं के लिए समरूपी है। ब्रौन ने दिखाया है कि फुरस्टनबर्ग टोपोलॉजी परिमेय संख्याओं के-adic समापन से निकटता से संबंधित है। जुड़ाव गुणों के संबंध में, फुरस्टनबर्ग टोपोलॉजी पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गई है। गोलम्ब टोपोलॉजी जुड़ी हुई है, लेकिन स्थानीय रूप से जुड़ी नहीं है। किर्च टोपोलॉजी जुड़ी हुई है और स्थानीय रूप से जुड़ी हुई है। फुरस्टनबर्ग टोपोलॉजी के साथ पूर्णांक एक सजातीय स्थान बनाते हैं, क्योंकि यह एक टोपोलॉजिकल रिंग है-कुछ अर्थों में, एकमात्र टोपोलॉजी जिसके लिए यह एक रिंग है। इसके विपरीत, गोलोम्ब स्थान और किर्च स्थान स्थलवैज्ञानिक रूप से कठोर हैं-एकमात्र आत्म-समरूपता तुच्छ है। अभाज्य संख्याओं के अनंतता से संबंध फुरस्टनबर्ग और गोलोम्ब दोनों स्थलविज्ञान इस बात का प्रमाण देते हैं कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं। प्रमाण का एक रेखाचित्र इस प्रकार हैः एक अभाज्य को ठीक करें और ध्यान दें कि (सकारात्मक, गोलॉम्ब स्थान मामले में) पूर्णांक परिमित रूप से कई अवशेष वर्गों के मॉड्यूलो का एक संघ हैं। प्रत्येक अवशेष वर्ग एक अंकगणितीय प्रगति है, और इस प्रकार बंद हो जाता है। प्रत्येक अभाज्य के गुणकों पर विचार करें। ये गुणक एक अवशिष्ट वर्ग (इतने बंद) हैं, और इकाइयों को छोड़कर इन समुच्चयों का संयोजन सभी (गोलम्बः सकारात्मक) पूर्णांक हैं। यदि परिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, तो वह संघ एक बंद समुच्चय है, और इसलिए इसका पूरक (}) खुला है। लेकिन हर गैर-खाली खुला सेट अनंत है, इसलिए} खुला नहीं है। सामान्यीकरण फुरस्टनबर्ग टोपोलॉजी एक समूह पर प्रोफाइनाइट टोपोलॉजी का एक विशेष मामला है। विस्तार से, यह समावेशन द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी है, जहां इसकी प्रोफाइनाइट टोपोलॉजी के साथ प्रोफाइनाइट पूर्णांक रिंग है। एक अंकगणितीय प्रगति की धारणा मनमाने-मॉड्यूल में समझ में आती है, लेकिन उन पर एक टोपोलॉजी का निर्माण प्रतिच्छेदन के तहत समापन पर निर्भर करता है। इसके बजाय, सही सामान्यीकरण एक डेडेकाइंड डोमेन के आदर्शों से एक टोपोलॉजी का निर्माण करता है। यह प्रक्रिया बड़ी संख्या में गणना योग्य रूप से अनंत, हौसडॉर्फ, जुड़े हुए समुच्चयों का उत्पादन करती है, लेकिन क्या विभिन्न डेडेकाइंड क्षेत्र समरूपीय स्थलाकृतिक रिक्त स्थान का उत्पादन कर सकते हैं, यह वर्तमान शोध का विषय है। टिप्पणियाँ संदर्भ। टोपोलॉजिकल स्पेस अंकगणितीय श्रृंखला