Functional renormalization group
सैद्धांतिक भौतिकी में, कार्यात्मक पुनर्भरण समूह (एफ. आर. जी.) पुनर्भरण समूह (आर. जी.) अवधारणा का एक कार्यान्वयन है जिसका उपयोग क्वांटम और सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में किया जाता है, विशेष रूप से जब दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाली प्रणालियों के साथ व्यवहार किया जाता है। यह विधि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की कार्यात्मक विधियों को केनेथ जी. विल्सन के सहज ज्ञान युक्त पुनः सामान्यीकरण समूह विचार के साथ जोड़ती है। यह तकनीक ज्ञात सूक्ष्म नियमों और भौतिक प्रणालियों में जटिल मैक्रोस्कोपिक घटनाओं के बीच सुचारू रूप से अंतर्वेशन करने की अनुमति देती है। इस अर्थ में, यह सूक्ष्म भौतिकी की सरलता से मैक्रोफिजिक्स की जटिलता में परिवर्तन को पाटता है। आलंकारिक रूप से, एफ. आर. जी. एक परिवर्तनीय संकल्प के साथ एक सूक्ष्मदर्शी के रूप में कार्य करता है। एक ज्ञात सूक्ष्म-भौतिक नियमों की उच्च-रिज़ॉल्यूशन तस्वीर के साथ शुरू होता है और बाद में मैक्रोस्कोपिक सामूहिक घटनाओं की एक मोटे-दाने वाली तस्वीर प्राप्त करने के लिए रिज़ॉल्यूशन को कम कर देता है। विधि गैर-विक्षिप्त है, जिसका अर्थ है कि यह एक छोटे युग्मन स्थिरांक में विस्तार पर निर्भर नहीं करती है। गणितीय रूप से, एफ. आर. जी. एक पैमाने पर निर्भर प्रभावी कार्रवाई के लिए एक सटीक कार्यात्मक विभेदक समीकरण पर आधारित है। प्रभावी क्रिया के लिए प्रवाह समीकरण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, प्रभावी क्रिया शास्त्रीय क्रिया कार्यात्मक का एक अनुरूप है और किसी दिए गए सिद्धांत के क्षेत्रों पर निर्भर करता है। इसमें सभी मात्रा और तापीय उतार-चढ़ाव शामिल हैं। उपज में भिन्नता सटीक क्वांटम क्षेत्र समीकरण, उदाहरण के लिए ब्रह्मांड विज्ञान या सुपरकंडक्टर्स के इलेक्ट्रोडायनामिक्स के लिए। गणितीय रूप से, एक-कण इरेड्यूसिबल फेनमैन आरेखों का उत्पन्न करने वाला कार्यात्मक है। दिलचस्प भौतिकी, प्रसारकों और अंतःक्रियाओं के लिए प्रभावी संयोजन के रूप में, इससे सीधे निकाला जा सकता है। हालांकि, एक सामान्य अंतःक्रियाशील क्षेत्र सिद्धांत में प्रभावी कार्रवाई प्राप्त करना मुश्किल है। एफ. आर. जी. पुनर्रचना समूह अवधारणा को नियोजित करते हुए गणना करने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण प्रदान करता है। एफ. आर. जी. में केंद्रीय उद्देश्य एक पैमाने पर निर्भर प्रभावी कार्यात्मक क्रिया है जिसे अक्सर औसत क्रिया या प्रवाह क्रिया कहा जाता है। आरजी स्लाइडिंग स्केल पर निर्भरता को पूर्ण व्युत्क्रम प्रसारक में एक नियामक (अवरक्त कटऑफ) जोड़कर पेश किया जाता है। मोटे तौर पर, नियामक उन्हें एक बड़ा द्रव्यमान देकर मोमेंटा के साथ धीमे मोड को अलग करता है, जबकि उच्च गति मोड प्रभावित नहीं होते हैं। इस प्रकार, मोमेंटा के साथ सभी मात्रा और सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव शामिल हैं। बहती हुई क्रिया 1993 में क्रिस्टोफ वेटेरिच और टिम आर. मॉरिस द्वारा प्राप्त सटीक कार्यात्मक प्रवाह समीकरण का पालन करती है। यहाँ क्षेत्रों के निश्चित मूल्यों पर आरजी पैमाने के संबंध में एक व्युत्पन्न को दर्शाया गया है। इसके अलावा, समीकरण की टेंसर संरचना के कारण क्रमशः बाएं-हाथ-तरफ और दाएं-हाथ-तरफ के कार्यात्मक व्युत्पन्न को दर्शाता है। इस विशेषता को अक्सर प्रभावी क्रिया के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा सरलीकृत दिखाया जाता है। के लिए कार्यात्मक विभेदक समीकरण को प्रारंभिक स्थिति के साथ पूरक किया जाना चाहिए, जहां "शास्त्रीय कार्रवाई" सूक्ष्म पराबैंगनी पैमाने पर भौतिकी का वर्णन करती है। महत्वपूर्ण रूप से, अवरक्त सीमा में पूर्ण प्रभावी कार्रवाई प्राप्त की जाती है। वेटेरिच समीकरण में एक सुपरट्रेस को दर्शाया गया है जो मोमेंटा, आवृत्तियों, आंतरिक सूचकांकों और क्षेत्रों (एक प्लस के साथ बोसॉन और एक माइनस चिह्न के साथ फर्मियन लेना) पर योग करता है। के लिए सटीक प्रवाह समीकरण में एक-लूप संरचना है। विक्षोभ सिद्धांत की तुलना में यह एक महत्वपूर्ण सरलीकरण है, जहां बहु-लूप आरेखों को शामिल किया जाना चाहिए। दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न पूर्ण व्युत्क्रम क्षेत्र प्रसारक है जिसे नियामक की उपस्थिति द्वारा संशोधित किया जाता है। के पुनर्रचना समूह के विकास को सिद्धांत स्थान में चित्रित किया जा सकता है, जो समस्या की समरूपता द्वारा अनुमत सभी संभावित चलने वाले युग्मों का एक बहु-आयामी स्थान है। जैसा कि आकृति में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है, सूक्ष्म पराबैंगनी पैमाने पर एक प्रारंभिक स्थिति के साथ शुरू होता है। जैसे-जैसे स्लाइडिंग स्केल को कम किया जाता है, प्रवाह क्रिया कार्यात्मक प्रवाह समीकरण के अनुसार सिद्धांत स्थान में विकसित होती है। नियामक का चुनाव अद्वितीय नहीं है, जो पुनर्रचना समूह प्रवाह में कुछ योजना निर्भरता का परिचय देता है। इस कारण से, नियामक के अलग-अलग विकल्प आकृति में अलग-अलग रास्तों के अनुरूप हैं। इन्फ्रारेड पैमाने पर, हालांकि, कट-ऑफ के प्रत्येक विकल्प के लिए पूर्ण प्रभावी कार्रवाई को पुनर्प्राप्त किया जाता है, और सभी प्रक्षेपवक्र सिद्धांत स्थान में एक ही बिंदु पर मिलते हैं। रुचि के अधिकांश मामलों में वेटेरिच समीकरण को केवल लगभग हल किया जा सकता है। आम तौर पर किसी प्रकार का विस्तार किया जाता है, जिसे फिर सीमित क्रम में काट दिया जाता है जिससे साधारण विभेदक समीकरणों की एक सीमित प्रणाली होती है। विभिन्न व्यवस्थित विस्तार योजनाएं (जैसे व्युत्पन्न विस्तार, शीर्ष विस्तार, आदि) विकसित किए गए। उपयुक्त योजना का चुनाव शारीरिक रूप से प्रेरित होना चाहिए और किसी समस्या पर निर्भर करता है। विस्तार में आवश्यक रूप से एक छोटा पैरामीटर शामिल नहीं होता है (जैसे एक अंतःक्रिया युग्मन स्थिरांक) और इस प्रकार वे सामान्य रूप से गैर-विक्षोभ प्रकृति के होते हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि (पूर्व कारक-) परंपराओं और प्रभावी कार्रवाई की ठोस परिभाषा के संबंध में कई विकल्पों के कारण, साहित्य में वेटेरिच समीकरण के अन्य (समकक्ष) संस्करण पाए जा सकते हैं। कार्यात्मक पुनर्संतुलन के पहलू वेटेरिच प्रवाह समीकरण एक सटीक समीकरण है। हालांकि, व्यवहार में, कार्यात्मक विभेदक समीकरण को छोटा किया जाना चाहिए, अर्थात। इसे कुछ चरों के कार्यों के लिए या यहां तक कि कुछ परिमित-आयामी उप-सिद्धांत स्थान पर भी प्रक्षेपित किया जाना चाहिए। प्रत्येक गैर-अव्यवस्थित विधि की तरह, कार्यात्मक पुनर्संचयन में त्रुटि अनुमान का प्रश्न गैर-तुच्छ है। एफ. आर. जी. में त्रुटि का अनुमान लगाने का एक तरीका है क्रमिक चरणों में छंटाई में सुधार करना, अर्थात। अधिक से अधिक चलने वाले कपलिंग को शामिल करके उप-सिद्धांत स्थान को बड़ा करना। विभिन्न छंटनी के लिए प्रवाह में अंतर त्रुटि का एक अच्छा अनुमान देता है। वैकल्पिक रूप से, किसी दिए गए (निश्चित) छंटाई में विभिन्न नियामक कार्यों का उपयोग किया जा सकता है और संबंधित नियामक विकल्पों के लिए अवरक्त में आरजी प्रवाह के अंतर को निर्धारित किया जा सकता है। यदि बोसोनाइजेशन का उपयोग किया जाता है, तो विभिन्न बोसोनाइजेशन प्रक्रियाओं के संबंध में अंतिम परिणामों की असंवेदनशीलता की जांच की जा सकती है। एफ. आर. जी. में, सभी आर. जी. विधियों की तरह, आर. जी. प्रवाह की स्थलविज्ञान से एक भौतिक प्रणाली के बारे में बहुत सारी अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती है। विशेष रूप से, पुनर्गठन समूह के विकास के निश्चित बिंदुओं की पहचान बहुत महत्वपूर्ण है। निश्चित बिंदुओं के पास चलने वाले युग्मन का प्रवाह प्रभावी रूप से रुक जाता है और आरजी-कार्य शून्य तक पहुंच जाते हैं। (आंशिक रूप से) स्थिर अवरक्त निश्चित बिंदुओं की उपस्थिति सार्वभौमिकता की अवधारणा से निकटता से जुड़ी हुई है। सार्वभौमिकता इस अवलोकन में खुद को प्रकट करती है कि कुछ बहुत अलग भौतिक प्रणालियों में समान महत्वपूर्ण व्यवहार होता है। उदाहरण के लिए, अच्छी सटीकता के लिए, पानी में तरल-गैस चरण संक्रमण और चुंबक में लौह चुम्बकीय चरण संक्रमण के महत्वपूर्ण प्रतिपादक समान हैं। पुनर्नवीकरण समूह भाषा में, एक ही सार्वभौमिकता वर्ग से अलग-अलग प्रणालियाँ एक ही (आंशिक रूप से) स्थिर अवरक्त निश्चित बिंदु पर प्रवाहित होती हैं। इस तरह मैक्रोफिजिक्स विशेष भौतिक मॉडल के सूक्ष्म विवरणों से स्वतंत्र हो जाता है। विक्षोभ सिद्धांत की तुलना में, कार्यात्मक पुनर्भरण पुनर्भरण योग्य और गैर-पुनर्भरण योग्य युग्मों के बीच एक सख्त अंतर नहीं करता है। समस्या की समरूपता द्वारा अनुमत सभी चलने वाले युग्मन एफ. आर. जी. प्रवाह के दौरान उत्पन्न होते हैं। हालांकि, गैर-सामान्य युग्मन अवरक्त की ओर विकास के दौरान बहुत जल्दी आंशिक निश्चित बिंदुओं तक पहुंच जाते हैं, और इस प्रकार प्रवाह प्रभावी रूप से पुनः सामान्य युग्मन की संख्या द्वारा दिए गए आयाम के अति सतह पर गिर जाता है। गैर-सामान्य युग्मन को ध्यान में रखने से गैर-सार्वभौमिक विशेषताओं का अध्ययन करने की अनुमति मिलती है जो सूक्ष्म क्रिया और परिमित पराबैंगनी कटऑफ के ठोस विकल्प के प्रति संवेदनशील हैं। वेटेरिच समीकरण 1984 में जोसेफ पोल्चिन्स्की द्वारा व्युत्पन्न पोल्चिन्स्की कार्यात्मक समीकरण के लीजेंड्रे परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है। एफ. आर. जी. में उपयोग की जाने वाली प्रभावी औसत क्रिया की अवधारणा, हालांकि, पोलचिंस्की समीकरण में बहने वाली नंगी क्रिया की तुलना में अधिक सहज है। इसके अलावा, एफ. आर. जी. विधि व्यावहारिक गणना के लिए अधिक उपयुक्त साबित हुई। आमतौर पर, दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाली प्रणालियों की निम्न-ऊर्जा भौतिकी को मैक्रोस्कोपिक डिग्री ऑफ फ्रीडम (यानी। कण उत्तेजनाएँ) जो माइक्रोस्कोपिक उच्च-ऊर्जा डिग्री ऑफ़ फ्रीडम से बहुत अलग हैं। उदाहरण के लिए, क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स परस्पर क्रिया करने वाले क्वार्क और ग्लूऑन का एक क्षेत्र सिद्धांत है। कम ऊर्जा पर, हालांकि, स्वतंत्रता की उचित डिग्री बेरियन और मेसन हैं। एक अन्य उदाहरण संघनित पदार्थ भौतिकी में बी. ई. सी./बी. सी. एस. क्रॉसओवर समस्या है। जबकि सूक्ष्मदर्शी सिद्धांत को दो-घटक गैर-सापेक्षता फर्मियन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, कम ऊर्जा पर एक समग्र (कण-कण) डाइमर स्वतंत्रता की एक अतिरिक्त डिग्री बन जाता है, और इसे मॉडल में स्पष्ट रूप से शामिल करने की सलाह दी जाती है। आंशिक बोसोनाइजेशन (हब्बार्ड-स्ट्रैटोनोविच परिवर्तन) की विधि द्वारा विवरण में स्वतंत्रता की कम-ऊर्जा मिश्रित डिग्री को पेश किया जा सकता है। हालाँकि, यह परिवर्तन यूवी पैमाने पर एक बार और हमेशा के लिए किया जाता है। एफ. आर. जी. में स्वतंत्रता की मैक्रोस्कोपिक डिग्री को शामिल करने का एक अधिक कुशल तरीका पेश किया गया था, जिसे फ्लोइंग बोसोनाइजेशन या रीबोसोनाइजेशन के रूप में जाना जाता है। पैमाने पर निर्भर क्षेत्र परिवर्तन की मदद से, यह सभी आरजी पैमाने पर लगातार हब्बर्ड-स्ट्रैटोनोविच परिवर्तन करने की अनुमति देता है। प्रभावी क्रिया के लिए प्रवाह समीकरण के विपरीत, इस योजना को प्रभावी क्रिया के लिए तैयार किया गया है जो एन-कण अंतःक्रिया शीर्ष उत्पन्न करता है, जिसे खाली प्रसारकों द्वारा काट दिया जाता है; एन-कण हरित कार्यों के लिए कार्यात्मक उत्पन्न करने वाला "मानक" है। हरित फलन के संबंध में प्रभावी अंतःक्रिया के विक क्रम को इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। फील्ड स्पेस में लाप्लेशियन कहाँ है। यह क्रिया सामान्य क्रम के समान है और संबंधित हरित फलन डी के साथ स्रोत क्षेत्रों के अभिसरण द्वारा गठित सभी संभावित शब्दों को अंतःक्रिया से बाहर करती है। कुछ कटऑफ का परिचय देते हुए पोलचिंस्की समीकरण विक-ऑर्डर समीकरण का रूप लेता है जहां अनुप्रयोग विधि को भौतिकी में कई समस्याओं पर लागू किया गया था, जैसे। : सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में, एफ. आर. जी. ने विभिन्न आयामों में शास्त्रीय रैखिक-सममित स्केलर सिद्धांतों में चरण संक्रमणों की एक एकीकृत तस्वीर प्रदान की, जिसमें बेरेज़िंस्की-कोस्टरलिट्ज़-थौलेस चरण संक्रमण के लिए महत्वपूर्ण प्रतिपादक शामिल हैं। गेज क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एफ. आर. जी. का उपयोग, उदाहरण के लिए, क्यू. सी. डी. और इसके बड़े स्वाद वाले विस्तार के कायरल चरण संक्रमण और अवरक्त गुणों की जांच करने के लिए किया गया था। संघनित पदार्थ भौतिकी में, विधि जाली मॉडल का इलाज करने में सफल साबित हुई (जैसे। हूबार्ड मॉडल या हताश चुंबकीय प्रणालियाँ), प्रतिकारक बोस गैस, दो-घटक फर्मी गैस के लिए बी. ई. सी./बी. सी. एस. क्रॉसओवर, कोंडो प्रभाव, अव्यवस्थित प्रणालियाँ और असंतुलित घटनाएँ। गुरुत्वाकर्षण के लिए एफ. आर. जी. के अनुप्रयोग ने चार स्थान-काल आयामों में क्वांटम गुरुत्वाकर्षण की गैर-विक्षेपक पुनरावर्तनशीलता के पक्ष में तर्क प्रदान किए, जिन्हें एसिम्प्टोटिक सुरक्षा परिदृश्य के रूप में जाना जाता है। गणितीय भौतिकी में एफ. आर. जी. का उपयोग विभिन्न क्षेत्र सिद्धांतों की पुनरावर्ती क्षमता को साबित करने के लिए किया गया था। पुनर्भरण समूह पुनर्भरण महत्वपूर्ण घटना पैमाने पर अपरिवर्तनीयता क्वांटम गुरुत्वाकर्षण में लक्षणहीन सुरक्षा संदर्भ पत्र शैक्षणिक समीक्षा सांख्यिकीय यांत्रिकी पुनर्भरण समूह स्केलिंग समरूपता निश्चित बिंदु (गणित)