Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
भारतीय गणितविदों और खगोलविदों द्वारा शुरू किए गए तीन त्रिकोणमितीय कार्य ज्य, कोट्टी-ज्या और उत्कर्ष-ज्या हैं। इन कार्यों के संदर्भ वाला सबसे पहला ज्ञात भारतीय ग्रंथ सूर्य सिद्धांत है। ये वृत्तों के चापों के कार्य हैं न कि कोणों के कार्य। ज्या और कोटि-ज्या साइन और कोसाइन के आधुनिक त्रिकोणमितीय कार्यों से निकटता से संबंधित हैं। वास्तव में, "साइन" और "कोसाइन" के आधुनिक शब्दों की उत्पत्ति का पता संस्कृत शब्दों ज्या और कोटी-ज्या से लगाया गया है। परिभाषा मान लीजिए कि 'चाप एबी' एक ऐसे चाप को दर्शाता है जिसके दो छोर केंद्र ओ के साथ एक वृत्त के ए और बी हैं। यदि एक लंबवत बी. एम. को बी. से ओ. ए. में गिराया जाता है, तोः चाप ए. बी. का ज्या = चाप ए. बी. का बी. एम. कोटी-ज्या = चाप ए. बी. का ओ. एम. उत्कर्ष-ज्या = एम. ए. यदि वृत्त की त्रिज्या आर है और चाप ए. बी. की लंबाई एस है, तो ओ पर चाप ए. बी. द्वारा रेडियन में मापा गया कोण θ = एस/आर है। तीन भारतीय कार्य आधुनिक त्रिकोणमितीय कार्यों से निम्नानुसार संबंधित हैंः ज्या (चाप ए. बी.) = आर. सिन (एस/आर.) कोटी-ज्या (चाप ए. बी.) = आर. कॉस (एस/आर.) उत्कर्ष-ज्या (चाप ए. बी.) = आर. (1-कॉस (एस/आर.) वृत्त के चाप के दो छोरों को जोड़ने वाली सीधी रेखा धनुष के तार की तरह होती है और यह रेखा वृत्त की एक तार होती है। इस तार को ज्या कहा जाता है जिसका संस्कृत में अर्थ है "एक धनुष-तार", जो संभवतः हिप्पार्कस का उसी अर्थ के साथ अनुवाद करता है। जीवा शब्द का उपयोग ज्यामितीय साहित्य में ज्या के पर्याय के रूप में भी किया जाता है। एक समय पर, भारतीय खगोलविदों और गणितविदों ने महसूस किया कि गणना अधिक सुविधाजनक होगी यदि कोई पूर्ण तारों के बजाय तारों के आधे हिस्से का उपयोग करता है और अर्ध-तारों को चापों के आधे हिस्से से जोड़ता है। अर्ध-तारों को अर्ध-ज्या या ज्या-अर्ध कहा जाता था। इन शब्दों को फिर से योग्यता अर्ध को छोड़कर छोटा कर दिया गया, जिसका अर्थ है "आधा"। संस्कृत शब्द कोटी का अर्थ है "बिंदु, शिखर", और विशेष रूप से "धनुष का घुमावदार छोर"। त्रिकोणमिति में, यह "90° तक एक चाप के पूरक" को दर्शाने के लिए आया था। इस प्रकार कोटि-ज्या "पूरक चाप का ज्या" है। भारतीय ग्रंथों में, विशेष रूप से टिप्पणियों में, कोटि-ज्या को अक्सर कोज्या के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। कोटी शब्द "समकोण त्रिभुज की भुजा" को भी दर्शाता है। इस प्रकार कोटि-ज्या का अर्थ एक समकोण त्रिभुज का दूसरा कैथेटस भी हो सकता है, पहला कैथेटस ज्या है। उत्कर्ष का अर्थ है "उल्टा", इसलिए उत्कर्ष-ज्या का अर्थ है "उल्टा तार"। उत्क्रम-ज्या के सारणीबद्ध मान त्रिज्या से तत्वों को विपरीत क्रम में घटाकर ज्या के सारणीबद्ध मूल्यों से प्राप्त किए जाते हैं। यह वास्तव में धनुष और धनुष-तार के बीच का तीर है और इसलिए इसे बाण, इसु या शर भी कहा जाता है जिसका अर्थ है "तीर"। वृत्त का एक चाप जो केंद्र में 90° के कोण को कम करता है, उसे वृत्त-पाद (वृत्त का एक चतुर्भुज) कहा जाता है। प्रत्येक राशि चक्र 30° के चाप को परिभाषित करता है और लगातार तीन राशि चक्र एक वृतापद को परिभाषित करते हैं। वृत्त-पाद का ज्या वृत्त की त्रिज्या है। भारतीय खगोलविदों ने आधार वृत्त की त्रिज्या को दर्शाने के लिए त्रि-ज्ञान शब्द गढ़ा, त्रि-ज्ञान शब्द "तीन संकेतों के ज्ञान" का संकेत है। त्रिज्या को व्यासरधा, विश्कंभरधा, विस्तारधा आदि भी कहा जाता है, सभी का अर्थ है "अर्ध-व्यास"। एक परंपरा के अनुसार, कार्य ज्या और कोटी-ज्या को क्रमशः "रिन" और "आरकोस" द्वारा दर्शाया जाता है जिसे एकल शब्द माना जाता है। अन्य क्रमशः "सिन" और "कॉस" द्वारा ज्या और कोटी-ज्या को दर्शाते हैं (पहले अक्षर सामान्य साइन और कोसाइन कार्यों में छोटे अक्षर होने के पहले अक्षरों के विपरीत बड़े अक्षर हैं)। ज्या से साइन तक आधुनिक शब्द साइन की उत्पत्ति का पता संस्कृत शब्द, या विशेष रूप से इसके पर्यायवाची शब्द से लगाया गया है। इस शब्द को मध्ययुगीन इस्लामी गणित में अपनाया गया था, जिसे अरबी में (जिब) के रूप में लिप्यंतरण किया गया था। चूँकि अरबी बिना छोटे स्वरों के लिखी जाती है-और एक उधार के रूप में लंबे स्वर को यहाँ या के साथ दर्शाया गया है-इसकी व्याख्या होमोग्राफ, (जिब) के रूप में की गई थी, जिसका अर्थ है "छाती"। पाठ के 12वीं शताब्दी के लैटिन अनुवादक ने "छाती", साइनस के लिए लैटिन समकक्ष का उपयोग किया। जब बन गया, तो यह सुझाव दिया गया है कि सादृश्य से सह-साइनस बन गया। हालाँकि, प्रारंभिक मध्ययुगीन ग्रंथों में, कोसाइन को "पूरक का साइन" कहा जाता है, जो यह सुझाव देता है कि इसकी समानता संयोग है। छंद संदर्भ त्रिकोणमितीय कार्य त्रिकोणमिति भारतीय गणित संस्कृत शब्द और वाक्यांश हिंदू खगोल विज्ञान केरल खगोल विज्ञान और गणित स्कूल गणित का इतिहास