Alhazen's problem
अल्हाज़ेन की समस्या, जिसे अल्हाज़ेन की बिलियर्ड समस्या के रूप में भी जाना जाता है, ज्यामितीय प्रकाशिकी में एक गणितीय समस्या है जिसे पहली बार 150 ईस्वी में टॉलेमी द्वारा तैयार किया गया था। इसका नाम 11वीं शताब्दी के अरब गणितशास्त्री अलहाज़ेन (इब्न अल-हेथम) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अपनी पुस्तक प्रकाशिकी में एक ज्यामितीय समाधान प्रस्तुत किया था। बीजगणितीय समाधान में चतुर्थक समीकरण शामिल हैं और इसे 1965 में पाया गया था। ज्यामितीय सूत्रीकरण समस्या में दो बिंदुओं से रेखाएँ खींचना शामिल है, जो एक वृत्त की परिधि पर तीसरे बिंदु पर मिलती हैं और उस बिंदु (स्पेकुलर रिफ्लेक्शन) पर सामान्य के साथ समान कोण बनाती हैं। इस प्रकार, प्रकाशिकी में इसका मुख्य अनुप्रयोग समस्या को हल करना है, "एक गोलाकार उत्तल दर्पण पर उस बिंदु को ढूंढें जिस पर किसी दिए गए बिंदु से आने वाली प्रकाश की किरण को दूसरे बिंदु पर परावर्तित होने के लिए प्रहार करना चाहिए।" यह चौथी डिग्री के समीकरण की ओर ले जाता है। (अलहाज़ेन ने खुद कभी भी समस्या के इस बीजगणितीय पुनर्लेखन का उपयोग नहीं किया) अलहाज़ेन के समाधान इब्न अल-हेथम ने शंकु खंडों और ज्यामितीय प्रमाण का उपयोग करके समस्या का समाधान किया। बीजगणितीय समाधान बाद के गणितविदों जैसे कि क्रिस्टियन ह्यूजेन्स, जेम्स ग्रेगरी, गुइलौम डी एल 'हॉपिटाल, आइज़ैक बैरो और कई अन्य लोगों ने ज्यामिति की विश्लेषणात्मक विधियों और जटिल संख्याओं द्वारा व्युत्पत्ति सहित विभिन्न विधियों का उपयोग करके समस्या का एक बीजगणितीय समाधान खोजने का प्रयास किया। समस्या का एक बीजगणितीय समाधान अंततः पहली बार 1965 में जैक एम. एल्किन (एक एक्चुएरीयन) द्वारा एक चतुर्थक बहुपद के माध्यम से पाया गया था। अन्य समाधान बाद में फिर से खोजे गएः 1989 में, हेराल्ड रीडे द्वारा; 1990 में (1988 में प्रस्तुत), मिलर और वेग द्वारा; और 1992 में, जॉन डी स्मिथ और जोर्ग वाल्डवोगेल द्वारा भी। 1997 में, ऑक्सफोर्ड के गणितशास्त्री पीटर एम. न्यूमैन ने साबित किया कि अलहाज़ेन की समस्या के सामान्य समाधान के लिए कोई शासक-और-समग्र निर्माण नहीं है (हालांकि 1965 में एल्किन ने पहले ही यूक्लिडियन निर्माण के लिए एक प्रति-उदाहरण प्रदान किया था)। सामान्यीकरण हाल ही में, मित्सुबिशी इलेक्ट्रिक रिसर्च लैब्स के शोधकर्ताओं ने अलहाज़ेन की समस्या के विस्तार को हाइपरबोलिक, परवलयिक और अण्डाकार दर्पणों सहित सामान्य घूर्णन सममित चतुर्भुज दर्पणों तक हल किया। उन्होंने दिखाया कि दर्पण परावर्तन बिंदु की गणना सबसे सामान्य मामले में आठवीं डिग्री के समीकरण को हल करके की जा सकती है। यदि कैमरा (आंख) को दर्पण की धुरी पर रखा जाता है, तो समीकरण की डिग्री घटकर छह हो जाती है। अल्हाज़ेन की समस्या को एक गोलाकार गेंद से कई अपवर्तन तक भी बढ़ाया जा सकता है। एक प्रकाश स्रोत और कुछ अपवर्तक सूचकांक की एक गोलाकार गेंद को देखते हुए, गोलाकार गेंद पर निकटतम बिंदु जहां प्रकाश पर्यवेक्षक की आंख के लिए अपवर्तित होता है, दसवें डिग्री समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है। मध्यकालीन इस्लामी दुनिया में गणितीय समस्याएं गणित ज्यामितीय प्रकाशिकी इब्न अल-हेथम