Cluster prime
संख्या सिद्धांत में, एक समूह अभाज्य एक ऐसी अभाज्य संख्या है कि प्रत्येक सम धनात्मक पूर्णांक k ≤ p−3 को दो अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है जो () से अधिक नहीं है। उदाहरण के लिए, संख्या 23 एक समूह अभाज्य है क्योंकि 23−3 = 20, और 2 से 20 तक प्रत्येक सम पूर्णांक, समावेशी, अभाज्य संख्याओं की कम से कम एक जोड़ी का अंतर है जो 23 से अधिक नहीं हैः 5−3 = 27−3 = 411−5 = 611−3 = 813−3 = 1017−5 = 1217−3 = 1419−3 = 1623−5 = 1823−3 = 20 दूसरी ओर, 149 एक समूह अभाज्य नहीं है क्योंकि 140 <146 है, और 140 को दो अभाज्य संख्याओं के अंतर के रूप में लिखने का कोई तरीका नहीं है जो 149 से कम या बराबर हैं। परंपरा के अनुसार, 2 को समूह अभाज्य नहीं माना जाता है। पहले 23 विषम अभाज्य संख्याएँ (89 तक) सभी समूह अभाज्य संख्याएँ हैं। पहले कुछ विषम अभाज्य संख्याएँ जो समूह अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, वे हैं 97,127,149,191,211,223,227,229। यह ज्ञात नहीं है कि अनंत रूप से कई समूह अभाज्य संख्याएँ हैं या नहीं। गुण समूह अभाज्य से पहले का अभाज्य अंतराल हमेशा छह या उससे कम होता है। किसी भी दी गई अभाज्य संख्या के लिए, n-th अभाज्य संख्या को निरूपित करें। यदि 8 है, तो-9 को दो अभाज्य संख्याओं के अंतर के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है जो अधिक नहीं हैं; इस प्रकार, एक समूह अभाज्य नहीं है। इसके विपरीत सच नहीं हैः सबसे छोटा गैर-समूह अभाज्य जो अंतराल की लंबाई छह या उससे कम की एक जोड़ी का बड़ा है, वह 227 है, जो 223 और 227 के बीच केवल चार का अंतर है। 229 पहला गैर-क्लस्टर अभाज्य है जो एक जुड़वां अभाज्य जोड़े में सबसे बड़ा है। क्लस्टर अभाज्य संख्याओं का समुच्चय एक छोटा समुच्चय है। 1999 में, रिचर्ड ब्लेक्समिथ ने साबित किया कि समूह अभाज्य संख्याओं के पारस्परिक योग सीमित है। ब्लेक्समिथ ने सी (एक्स) पर एक स्पष्ट ऊपरी सीमा भी साबित की, जो एक्स से कम या उसके बराबर समूह अभाज्य संख्याओं की संख्या है। विशेष रूप से, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिएः सभी पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए। इससे पता चलता है कि लगभग सभी अभाज्य संख्याएँ समूह अभाज्य संख्याओं के समूह से अनुपस्थित हैं। संदर्भ बाहरी लिंक अभाज्य संख्याओं के वर्ग