Sobolev mapping
गणित में, सोबोलेव मानचित्रण कई गुना के बीच एक मानचित्रण है जिसमें कुछ अर्थों में सहजता होती है। सोबोलेव मानचित्रण स्वाभाविक रूप से हार्मोनिक मानचित्रों के सिद्धांत सहित विविधताओं और आंशिक विभेदक समीकरणों के कलन में कई गुना-सीमित समस्याओं में दिखाई देते हैं। परिभाषा रीमानियन मैनिफोल्ड्स और, जिसे नैश के स्मूथ एम्बेडिंग थ्योरम द्वारा सामान्यता के नुकसान के बिना आइसोमेट्रिक रूप से प्रथम क्रम () सोबोलेव मैपिंग के रूप में एम्बेड किया गया माना जाता है, को मीट्रिक स्पेस के संदर्भ में भी परिभाषित किया जा सकता है। सन्निकटन मजबूत सन्निकटन समस्या में यह निर्धारित करना शामिल है कि मानक टोपोलॉजी के संबंध में क्या चिकनी मानचित्रण घनी हैं। जब, मोरे की असमानता का तात्पर्य है कि सोबोलेव मानचित्रण निरंतर हैं और इस प्रकार चिकने मानचित्रों द्वारा दृढ़ता से अनुमानित किया जा सकता है। जब, सोबोलेव मानचित्रण में औसत दोलन गायब हो जाता है और इस प्रकार चिकने मानचित्रों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। कब, घनत्व का प्रश्न बाधा सिद्धांत से संबंधित हैः यदि और केवल तभी घना है जब एक-आयामी त्रिभुज से एक पर प्रत्येक निरंतर मानचित्रण एक से एक निरंतर मानचित्र का प्रतिबंध है। मानचित्रों के कमजोर सन्निकटन के अनुक्रम को खोजने की समस्या एक पूर्णांक नहीं होने पर मजबूत सन्निकटन के बराबर होती है। एक पूर्णांक कब होता है, एक आवश्यक शर्त यह है कि एक-आयामी त्रिभुज से प्रत्येक निरंतर मानचित्रण के एक-आयामी त्रिभुज का प्रतिबंध एक निरंतर मानचित्र के प्रतिबंध के साथ मेल खाता है। कब, यह शर्त पर्याप्त है, यह स्थिति पर्याप्त नहीं है। होमोटॉपी होमोटॉपी समस्या में मानक टोपोलॉजी से संपन्न स्थान के पथ से जुड़े घटकों का वर्णन और वर्गीकरण करना शामिल है। कब और, तब के पथ से जुड़े घटक अनिवार्य रूप से पथ से जुड़े घटकों के समान होते हैंः दो मानचित्र एक पथ द्वारा जुड़े होते हैं यदि और केवल तभी जब वे एक पथ से जुड़े होते हैं, कोई भी पथ से जुड़े घटक और कोई भी पथ से जुड़े घटक जो गैर-तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करता है। जब, दो मानचित्र एक निरंतर पथ द्वारा जुड़े होते हैं यदि और केवल तभी जब एक सामान्य-आयामी त्रिकोण के लिए उनके प्रतिबंध समस्थानिक होते हैं। ट्रेस का विस्तार शास्त्रीय ट्रेस सिद्धांत बताता है कि किसी भी सोबोलेव मानचित्र में एक ट्रेस होता है और जब, ट्रेस ऑपरेटर पर होता है। सरजेक्टिविटी का प्रमाण एक औसत तर्क पर आधारित होने के कारण, परिणाम आसानी से सोबोलेव मानचित्रण तक नहीं फैलता है। ट्रेस प्रचालक को कब या कब, सीमित और चालू होने के लिए जाना जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की सर्जेक्टिविटी विफल हो जाती है यदि कुछ के लिए अनंत है या नहीं। एक आवरण मानचित्र को देखते हुए, उठाने की समस्या यह पूछती है कि क्या किसी भी मानचित्र को कुछ के लिए लिखा जा सकता है, क्योंकि यह निरंतर या सुचारू के लिए है और शास्त्रीय उठाने के सिद्धांत में कब सरलता से जुड़ा हुआ है। यदि डोमेन सरलता से जुड़ा हुआ है, तो किसी भी मानचित्र को कुछ के लिए लिखा जा सकता है कि कब, कब और कब कॉम्पैक्ट है, और। उठाने में एक स्थलवैज्ञानिक बाधा होती है और एक विश्लेषणात्मक बाधा होती है। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds मैनिफोल्ड्स मैप्स ऑफ़ मैनिफोल्ड्स सोबोलेव स्पेस होमोटोपी सिद्धांत