Field (physics)
भौतिकी में, एक क्षेत्र एक भौतिक मात्रा है, जिसे एक स्केलर, वेक्टर या टेंसर द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका स्थान और समय में प्रत्येक बिंदु के लिए एक मान होता है। उदाहरण के लिए, एक मौसम मानचित्र पर, मानचित्र पर प्रत्येक बिंदु को एक संख्या निर्धारित करके सतह के तापमान का वर्णन किया जाता है; तापमान परिवर्तन की गतिशीलता का अध्ययन करने के लिए समय में एक निश्चित बिंदु पर या कुछ समय के अंतराल पर तापमान पर विचार किया जा सकता है। एक सतह पवन मानचित्र, एक मानचित्र पर प्रत्येक बिंदु को एक तीर निर्दिष्ट करता है जो उस बिंदु पर हवा की गति और दिशा का वर्णन करता है, एक सदिश क्षेत्र का एक उदाहरण है, अर्थात। एक आयामी (श्रेणी-1) टेंसर क्षेत्र। क्षेत्र सिद्धांत, गणितीय विवरण कि अंतरिक्ष और समय में क्षेत्र मूल्य कैसे बदलते हैं, भौतिकी में सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, विद्युत क्षेत्र एक और श्रेणी-1 टेंसर क्षेत्र है, जबकि इलेक्ट्रोडायनामिक्स को अंतरिक्ष काल में प्रत्येक बिंदु पर दो अंतःक्रियाशील वेक्टर क्षेत्रों के संदर्भ में या एकल श्रेणी 2-टेंसर क्षेत्र के रूप में तैयार किया जा सकता है। क्षेत्रों के क्वांटम सिद्धांत के आधुनिक ढांचे में, एक परीक्षण कण का उल्लेख किए बिना भी, एक क्षेत्र स्थान पर कब्जा कर लेता है, ऊर्जा धारण करता है, और इसकी उपस्थिति एक शास्त्रीय "सच्चे निर्वात" को रोकती है। इसने भौतिकविदों को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को एक भौतिक इकाई मानने के लिए प्रेरित किया है, जिससे क्षेत्र अवधारणा आधुनिक भौतिकी की इमारत का एक सहायक प्रतिमान बन गई है। "यह तथ्य कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में गति और ऊर्जा हो सकती है, इसे बहुत वास्तविक बनाता है. एक कण एक क्षेत्र बनाता है, और एक क्षेत्र दूसरे कण पर कार्य करता है, और क्षेत्र में ऊर्जा की मात्रा और गति जैसे परिचित गुण होते हैं, जैसे कणों में हो सकते हैं।" व्यवहार में, अधिकांश क्षेत्रों की ताकत दूरी के साथ कम हो जाती है, अंततः अज्ञात हो जाती है। उदाहरण के लिए कई प्रासंगिक शास्त्रीय क्षेत्रों की ताकत, जैसे कि न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र या शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में विद्युतस्थैतिक क्षेत्र, स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है (यानी, वे गॉस के नियम का पालन करते हैं)। एक क्षेत्र को एक स्केलर क्षेत्र, एक वेक्टर क्षेत्र, एक स्पिनोर क्षेत्र या एक टेंसर क्षेत्र के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, इस आधार पर कि प्रदर्शित भौतिक मात्रा क्रमशः एक स्केलर, एक वेक्टर, एक स्पिनोर या एक टेंसर है। जहाँ भी इसे परिभाषित किया जाता है, एक क्षेत्र में एक सुसंगत टेन्सोरियल वर्ण होता हैः अर्थात। एक क्षेत्र कहीं स्केलर क्षेत्र और कहीं और वेक्टर क्षेत्र नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र हैः अंतरिक्ष काल में एक बिंदु पर इसके मान को निर्दिष्ट करने के लिए तीन संख्याओं की आवश्यकता होती है, जो उस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र सदिश के घटक हैं। इसके अलावा, प्रत्येक श्रेणी (स्केलर, वेक्टर, टेंसर) के भीतर, एक क्षेत्र या तो एक शास्त्रीय क्षेत्र या एक क्वांटम क्षेत्र हो सकता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि यह क्रमशः संख्याओं या क्वांटम ऑपरेटरों द्वारा विशेषता है या नहीं। इस सिद्धांत में क्षेत्र का एक समतुल्य प्रतिनिधित्व एक क्षेत्र कण है, उदाहरण के लिए एक बोसॉन। आइज़ैक न्यूटन के लिए, उनके सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम ने केवल उस गुरुत्वाकर्षण बल को व्यक्त किया जो विशाल वस्तुओं की किसी भी जोड़ी के बीच कार्य करता है। जब सौर मंडल में ग्रहों जैसे एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले कई पिंडों की गति को देखते हैं, तो प्रत्येक जोड़ी पिंडों के बीच बल से अलग-अलग तेजी से निपटना कम्प्यूटेशनल रूप से असुविधाजनक हो जाता है। अठारहवीं शताब्दी में, इन सभी गुरुत्वाकर्षण बलों के बहीखाता को सरल बनाने के लिए एक नई मात्रा तैयार की गई थी। यह मात्रा, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर कुल गुरुत्वाकर्षण त्वरण देता है जो उस बिंदु पर एक छोटी सी वस्तु द्वारा महसूस किया जाएगा। इसने भौतिकी को किसी भी तरह से नहीं बदलाः इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किसी वस्तु पर सभी गुरुत्वाकर्षण बलों की गणना व्यक्तिगत रूप से की गई थी और फिर उन्हें एक साथ जोड़ा गया था, या यदि सभी योगदानों को पहले गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के रूप में जोड़ा गया था और फिर किसी वस्तु पर लागू किया गया था। एक क्षेत्र की स्वतंत्र अवधारणा का विकास वास्तव में उन्नीसवीं शताब्दी में विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत के विकास के साथ शुरू हुआ। प्रारंभिक चरणों में, आंद्रे-मैरी एम्पीयर और चार्ल्स-ऑगस्टिन डी कूलम्ब न्यूटन-शैली के नियमों के साथ प्रबंधन कर सकते थे जो विद्युत आवेशों या विद्युत धाराओं के जोड़े के बीच बलों को व्यक्त करते थे। हालाँकि, क्षेत्र दृष्टिकोण अपनाना और विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के संदर्भ में इन नियमों को व्यक्त करना बहुत अधिक स्वाभाविक हो गया; 1849 में माइकल फैराडे "क्षेत्र" शब्द बनाने वाले पहले व्यक्ति बने। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल की खोज के साथ क्षेत्र की स्वतंत्र प्रकृति अधिक स्पष्ट हो गई कि इन क्षेत्रों में तरंगें एक सीमित गति से फैलती हैं। नतीजतन, आवेशों और धाराओं पर बल अब केवल एक ही समय में अन्य आवेशों और धाराओं की स्थिति और वेगों पर निर्भर नहीं थे, बल्कि अतीत में उनकी स्थिति और वेगों पर भी निर्भर थे। मैक्सवेल, शुरू में, एक क्षेत्र की आधुनिक अवधारणा को एक मौलिक मात्रा के रूप में नहीं अपनाया जो स्वतंत्र रूप से मौजूद हो सकती है। इसके बजाय, उन्होंने माना कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र कुछ अंतर्निहित माध्यम-चमकदार ईथर-के विरूपण को रबर की झिल्ली में तनाव की तरह व्यक्त करता है। यदि ऐसा था, तो विद्युत चुम्बकीय तरंगों का प्रेक्षित वेग ईथर के संबंध में पर्यवेक्षक के वेग पर निर्भर होना चाहिए। बहुत प्रयास के बावजूद, इस तरह के प्रभाव का कोई प्रयोगात्मक प्रमाण कभी नहीं मिला; 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा सापेक्षता के विशेष सिद्धांत की शुरुआत से स्थिति का समाधान किया गया था। इस सिद्धांत ने गतिशील पर्यवेक्षकों के दृष्टिकोण एक दूसरे से संबंधित होने के तरीके को बदल दिया। वे एक दूसरे से इस तरह से संबंधित हो गए कि मैक्सवेल के सिद्धांत में विद्युत चुम्बकीय तरंगों का वेग सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान होगा। पृष्ठभूमि माध्यम की आवश्यकता को समाप्त करके, इस विकास ने भौतिकविदों के लिए क्षेत्रों के बारे में वास्तव में स्वतंत्र संस्थाओं के रूप में सोचना शुरू करने का मार्ग खोल दिया। 1920 के दशक के अंत में, क्वांटम यांत्रिकी के नए नियमों को पहली बार विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र पर लागू किया गया था। 1927 में, पॉल डीराक ने क्वांटम क्षेत्रों का उपयोग सफलतापूर्वक यह समझाने के लिए किया कि कैसे एक परमाणु के कम क्वांटम अवस्था में क्षय होने से एक फोटॉन का सहज उत्सर्जन हुआ, जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का क्वांटम है। इसके बाद जल्द ही यह एहसास हुआ (पास्कल जॉर्डन, यूजीन विग्नर, वर्नर हाइजेनबर्ग और वोल्फगैंग पाउली के काम के बाद) कि इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉनों सहित सभी कणों को कुछ क्वांटम क्षेत्र के क्वांटा के रूप में समझा जा सकता है, जो क्षेत्रों को प्रकृति में सबसे मौलिक वस्तुओं की स्थिति में ले जाता है। जॉन व्हीलर और रिचर्ड फेनमैन ने न्यूटन की दूरी पर कार्रवाई की पूर्व-क्षेत्र अवधारणा पर गंभीरता से विचार किया (हालांकि उन्होंने सामान्य सापेक्षता और क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अनुसंधान के लिए क्षेत्र अवधारणा की चल रही उपयोगिता के कारण इसे अलग कर दिया)। शास्त्रीय क्षेत्रों के कई उदाहरण हैं। शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत उपयोगी रहते हैं जहाँ भी क्वांटम गुण उत्पन्न नहीं होते हैं, और अनुसंधान के सक्रिय क्षेत्र हो सकते हैं। सामग्री की लोच, द्रव गतिकी और मैक्सवेल के समीकरण बिंदु में मामले हैं। कुछ सबसे सरल भौतिक क्षेत्र वेक्टर बल क्षेत्र हैं। ऐतिहासिक रूप से, पहली बार जब क्षेत्रों को गंभीरता से लिया गया था, वह विद्युत क्षेत्र का वर्णन करते समय फैराडे की बल रेखाओं के साथ था। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन भी इसी तरह किया गया था। न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने वाला एक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण है, जो गुरुत्वाकर्षण बल को दो द्रव्यमानों के बीच पारस्परिक बातचीत के रूप में वर्णित करता है। द्रव्यमान M वाला कोई भी पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र g से जुड़ा होता है जो द्रव्यमान वाले अन्य पिंडों पर इसके प्रभाव का वर्णन करता है। अंतरिक्ष में एक बिंदु r पर M का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बल F के बीच के अनुपात से मेल खाता है जो M, r पर स्थित एक छोटे या नगण्य परीक्षण द्रव्यमान m पर लगाता है और परीक्षण द्रव्यमान स्वयंः यह निर्धारित करना कि m, M की तुलना में बहुत छोटा है, यह सुनिश्चित करता है कि m की उपस्थिति M के व्यवहार पर नगण्य प्रभाव डालती है। न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, F (r) इस बात से दिया जाता है कि M और m को जोड़ने वाली रेखा के साथ एक इकाई सदिश कहाँ स्थित है और M से m की ओर इशारा करता है। इसलिए, M का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र प्रयोगात्मक अवलोकन है कि जड़त्वीय द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान सटीकता के एक अभूतपूर्व स्तर के बराबर हैं जो इस पहचान की ओर ले जाता है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति एक कण द्वारा अनुभव किए गए त्वरण के समान है। यह समतुल्यता सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है, जो सामान्य सापेक्षता की ओर ले जाता है। चूँकि गुरुत्वाकर्षण बल F रूढ़िवादी है, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र g को एक स्केलर फ़ंक्शन के ढाल के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है, गुरुत्वाकर्षण क्षमता φ (r): विद्युत चुंबकत्व माइकल फैराडे ने पहली बार चुंबकत्व में अपनी जांच के दौरान एक भौतिक मात्रा के रूप में एक क्षेत्र के महत्व को महसूस किया। उन्होंने महसूस किया कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र न केवल बल के क्षेत्र हैं जो कणों की गति को निर्धारित करते हैं, बल्कि एक स्वतंत्र भौतिक वास्तविकता भी है क्योंकि वे ऊर्जा ले जाते हैं। इन विचारों ने अंततः जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए समीकरणों की शुरुआत के साथ भौतिकी में पहले एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण किया। इन समीकरणों के आधुनिक संस्करण को मैक्सवेल के समीकरण कहा जाता है। विद्युतस्थैतिकता आवेश q के साथ एक आवेशित परीक्षण कण पूरी तरह से अपने आवेश के आधार पर एक बल F का अनुभव करता है। हम इसी तरह विद्युत क्षेत्र E का वर्णन कर सकते हैं ताकि। इसका उपयोग करते हुए और कूलम्ब के नियम से हमें पता चलता है कि एक एकल आवेशित कण के कारण विद्युत क्षेत्र है विद्युत क्षेत्र रूढ़िवादी है, और इसलिए इसे एक अदिश क्षमता द्वारा वर्णित किया जा सकता है, V (r): मैग्नेटॉस्टैटिक्स एक पथ l के साथ बहने वाली एक स्थिर धारा I एक क्षेत्र B बनाएगी, जो पास के गतिशील आवेशित कणों पर एक बल लगाती है जो ऊपर वर्णित विद्युत क्षेत्र बल से मात्रात्मक रूप से अलग है। वेग v के साथ पास के आवेश q पर I द्वारा लगाया गया बल वह जगह है जहाँ B (r) चुंबकीय क्षेत्र है, जो बायोट-सावर्ट नियम द्वारा I से निर्धारित किया जाता हैः चुंबकीय क्षेत्र सामान्य रूप से रूढ़िवादी नहीं है, और इसलिए आमतौर पर एक स्केलर क्षमता के संदर्भ में नहीं लिखा जा सकता है। हालांकि, इसे एक सदिश क्षमता के संदर्भ में लिखा जा सकता है, A (r): विद्युतगतिविज्ञान सामान्य रूप से, एक आवेश घनत्व ρ (r, t) और वर्तमान घनत्व J (r, t) दोनों की उपस्थिति में, एक विद्युत और एक चुंबकीय क्षेत्र दोनों होंगे, और दोनों समय के साथ भिन्न होंगे। वे मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, जो अंतर समीकरणों का एक समूह है जो सीधे E और B को ρ और J से संबंधित करता है। मंद विभव के रूप में जाने जाने वाले समाकलन समीकरणों का एक समूह ρ और J से V और A की गणना करने की अनुमति देता है, और वहाँ से विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को संबंधों के माध्यम से निर्धारित किया जाता है 19 वीं शताब्दी के अंत में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को अंतरिक्ष में दो सदिश क्षेत्रों के संग्रह के रूप में समझा गया था। आजकल, इसे स्पेसटाइम में एकल एंटीसिमेट्रिक द्वितीय श्रेणी के टेंसर क्षेत्र के रूप में पहचाना जाता है। सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण, आइंस्टीन का गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत, जिसे सामान्य सापेक्षता कहा जाता है, एक क्षेत्र सिद्धांत का एक और उदाहरण है। यहाँ प्रमुख क्षेत्र मीट्रिक टेंसर है, जो स्पेसटाइम में एक सममित दूसरी श्रेणी का टेंसर क्षेत्र है। यह न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को प्रतिस्थापित करता है। तरंगों को भौतिक क्षेत्रों के रूप में बनाया जा सकता है, उनकी सीमित प्रसार गति और कारण प्रकृति के कारण जब एक पृथक बंद प्रणाली का एक सरलीकृत भौतिक मॉडल सेट किया जाता है। वे व्युत्क्रम-वर्ग नियम के अधीन भी हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए, ऑप्टिकल क्षेत्र हैं, और विवर्तन के लिए निकट और दूर क्षेत्र सीमा जैसे शब्द हैं। हालांकि व्यवहार में, प्रकाशिकी के क्षेत्र सिद्धांतों को मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। क्वांटम क्षेत्र अब यह माना जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी को सभी भौतिक घटनाओं को रेखांकित करना चाहिए, ताकि एक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत, कम से कम सिद्धांत रूप में, क्वांटम यांत्रिक शब्दों में एक पुनर्कथन की अनुमति दे; सफलता संबंधित क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत प्राप्त करती है। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स की मात्रा निर्धारित करने से क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स मिलता है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स यकीनन सबसे सफल वैज्ञानिक सिद्धांत है; प्रयोगात्मक डेटा किसी भी अन्य सिद्धांत की तुलना में इसकी भविष्यवाणियों की उच्च परिशुद्धता (अधिक महत्वपूर्ण अंकों तक) की पुष्टि करता है। दो अन्य मौलिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स और इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत हैं। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, रंग क्षेत्र रेखाओं को कम दूरी पर ग्लूऑन द्वारा जोड़ा जाता है, जो क्षेत्र द्वारा ध्रुवीकृत होते हैं और इसके साथ पंक्तिबद्ध होते हैं। यह प्रभाव कम दूरी के भीतर बढ़ता है (क्वार्क के आसपास के क्षेत्र से लगभग 1 एफ. एम.) जिससे रंग बल कम दूरी के भीतर बढ़ता है, जिससे क्वार्क हैड्रॉन के भीतर सीमित हो जाते हैं। चूंकि क्षेत्र रेखाओं को ग्लूऑन द्वारा कसकर एक साथ खींचा जाता है, इसलिए वे विद्युत आवेशों के बीच एक विद्युत क्षेत्र के रूप में बाहर की ओर "झुकते" नहीं हैं। इन तीनों क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों को कण भौतिकी के तथाकथित मानक मॉडल के विशेष मामलों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। सामान्य सापेक्षता, गुरुत्वाकर्षण के आइंस्टीन क्षेत्र सिद्धांत, को अभी तक सफलतापूर्वक निर्धारित नहीं किया गया है। हालांकि एक विस्तार, तापीय क्षेत्र सिद्धांत, सीमित तापमान पर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से संबंधित है, जिसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में शायद ही कभी माना जाता है। बी. आर. एस. टी. सिद्धांत में एक विषम क्षेत्रों से संबंधित है, जैसे। फद्दीव-पोपोव भूत। श्रेणीबद्ध मैनिफोल्ड और सुपरमैनिफोल्ड दोनों पर विषम शास्त्रीय क्षेत्रों के अलग-अलग विवरण हैं। शास्त्रीय क्षेत्रों के साथ ऊपर की तरह, पहले की तरह समान तकनीकों का उपयोग करके विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से उनके क्वांटम समकक्षों से संपर्क करना संभव है। क्वांटम क्षेत्रों को नियंत्रित करने वाले समीकरण वास्तव में पी. डी. ई. (विशेष रूप से, सापेक्ष तरंग समीकरण (आर. डब्ल्यू. ई.)) हैं। इस प्रकार यांग-मिल्स, डीराक, क्लेन-गॉर्डन और श्रोडिंगर क्षेत्रों को उनके संबंधित समीकरणों के समाधान के रूप में देखा जा सकता है। एक संभावित समस्या यह है कि ये आर. डब्ल्यू. ई. जटिल गणितीय वस्तुओं के साथ विदेशी बीजगणितीय गुणों (जैसे. स्पिनर्स टेंसर नहीं हैं, इसलिए स्पिनर्स क्षेत्रों के लिए कलन की आवश्यकता हो सकती है), लेकिन सिद्धांत रूप में इन्हें अभी भी उचित गणितीय सामान्यीकरण दिए जाने पर विश्लेषणात्मक तरीकों के अधीन किया जा सकता है। क्षेत्र सिद्धांत आमतौर पर एक क्षेत्र की गतिशीलता के निर्माण को संदर्भित करता है, अर्थात, एक विनिर्देश कि समय के साथ एक क्षेत्र कैसे बदलता है या अन्य स्वतंत्र भौतिक चर के संबंध में जिस पर क्षेत्र निर्भर करता है। आम तौर पर यह क्षेत्र के लैग्रैन्जियन या हैमिल्टनियन को लिखकर किया जाता है, और इसे अनंत संख्या में डिग्री ऑफ फ्रीडम के साथ एक शास्त्रीय या क्वांटम मैकेनिकल प्रणाली के रूप में माना जाता है। परिणामी क्षेत्र सिद्धांतों को शास्त्रीय या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक शास्त्रीय क्षेत्र की गतिशीलता आमतौर पर क्षेत्र घटकों के संदर्भ में लैग्रैन्जियन घनत्व द्वारा निर्दिष्ट की जाती है; गतिशीलता को क्रिया सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। बहुविध कलन, संभावित सिद्धांत और आंशिक विभेदक समीकरणों (पी. डी. ई.) से केवल गणित का उपयोग करके भौतिकी के किसी भी पूर्व ज्ञान के बिना सरल क्षेत्रों का निर्माण करना संभव है। उदाहरण के लिए, स्केलर पीडीई तरंग समीकरण और द्रव गतिकी के लिए आयाम, घनत्व और दबाव क्षेत्रों जैसी मात्राओं पर विचार कर सकते हैं; गर्मी/प्रसार समीकरणों के लिए तापमान/एकाग्रता क्षेत्र। भौतिक विज्ञान के बाहर (जैसे, रेडियोमेट्री और कंप्यूटर ग्राफिक्स), प्रकाश क्षेत्र भी हैं। ये सभी पिछले उदाहरण स्केलर क्षेत्र हैं। इसी तरह सदिशों के लिए, (अनुप्रयुक्त गणितीय) द्रव गतिकी में विस्थापन, वेग और वर्टिसिटी क्षेत्रों के लिए सदिश पीडीई हैं, लेकिन सदिश क्षेत्रों के लिए कलन होने के कारण सदिश कलन की अब आवश्यकता हो सकती है (जैसा कि ये तीन मात्राएं हैं, और सामान्य रूप से सदिश पीडीई के लिए)। निरंतरता यांत्रिकी में अधिक आम समस्याओं में उदाहरण के लिए, दिशात्मक लोच (जिससे टेंसर शब्द आता है, जो खिंचाव के लिए लैटिन शब्द से लिया गया है), जटिल द्रव प्रवाह या अनिसोट्रोपिक प्रसार, जिन्हें मैट्रिक्स-टेंसर पीडीई के रूप में तैयार किया जाता है, और फिर मैट्रिक्स या टेंसर क्षेत्रों की आवश्यकता होती है, इसलिए मैट्रिक्स या टेंसर कलन। स्केलर (और इसलिए वैक्टर, मैट्रिक्स और टेंसर) वास्तविक या जटिल हो सकते हैं क्योंकि दोनों अमूर्त-बीजगणितीय/रिंग-सैद्धांतिक अर्थ में क्षेत्र हैं। एक सामान्य सेटिंग में, शास्त्रीय क्षेत्रों को फाइबर बंडलों के वर्गों द्वारा वर्णित किया जाता है और उनकी गतिशीलता को जेट मैनिफोल्ड्स (सहपरिवर्तन शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत) के संदर्भ में तैयार किया जाता है। आधुनिक भौतिकी में, सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले क्षेत्र वे हैं जो चार मौलिक बलों का मॉडल बनाते हैं जो एक दिन एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत की ओर ले जा सकते हैं। किसी क्षेत्र (शास्त्रीय या क्वांटम) को वर्गीकृत करने का एक सुविधाजनक तरीका उसके पास मौजूद सममितियों द्वारा है। भौतिक सममितियाँ आमतौर पर दो प्रकार की होती हैंः स्थान-काल सममितियाँ क्षेत्रों को अक्सर स्थान-काल के परिवर्तनों के तहत उनके व्यवहार द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। इस वर्गीकरण में उपयोग किए जाने वाले शब्द हैंः अदिश क्षेत्र (जैसे तापमान) जिनके मान स्थान के प्रत्येक बिंदु पर एक चर द्वारा दिए जाते हैं। यह मान स्थान के परिवर्तनों के तहत नहीं बदलता है। सदिश क्षेत्र (जैसे चुंबकीय क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर बल का परिमाण और दिशा) जो स्थान के प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश को जोड़कर निर्दिष्ट किए जाते हैं। इस वेक्टर के घटक अंतरिक्ष में घूर्णन के तहत विपरीत रूप से अपने बीच परिवर्तित हो जाते हैं। इसी तरह, एक दोहरे (या सह-) सदिश क्षेत्र अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक दोहरे सदिश को जोड़ता है, और प्रत्येक दोहरे सदिश के घटक सहवर्ती रूप से बदल जाते हैं। तन्यता क्षेत्र, (जैसे कि एक क्रिस्टल का तनाव तन्यता) अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक तन्यता द्वारा निर्दिष्ट। अंतरिक्ष में घूर्णन के तहत, टेंसर के घटक अधिक सामान्य तरीके से परिवर्तित हो जाते हैं जो सहपरिवर्तन सूचकांकों और विपरीत सूचकांकों की संख्या पर निर्भर करता है। स्पिन क्षेत्र (जैसे डीराक स्पिनोर) क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में स्पिन वाले कणों का वर्णन करने के लिए उत्पन्न होते हैं जो अपने घटकों में से एक को छोड़कर वैक्टर की तरह बदल जाते हैं; दूसरे शब्दों में, जब कोई एक वेक्टर क्षेत्र को एक विशिष्ट अक्ष के चारों ओर 360 डिग्री घुमाता है, तो वेक्टर क्षेत्र खुद की ओर मुड़ता है; हालाँकि, स्पिनर्स उसी मामले में अपने नकारात्मक की ओर मुड़ेंगे। आंतरिक सममितियाँ क्षेत्रों में स्थान-काल सममितियों के अलावा आंतरिक सममितियाँ भी हो सकती हैं। कई स्थितियों में, किसी को ऐसे क्षेत्रों की आवश्यकता होती है जो स्पेसटाइम स्केलर की सूची हैंः (φ1, φ2,. φN)। उदाहरण के लिए, मौसम की भविष्यवाणी में ये तापमान, दबाव, आर्द्रता आदि हो सकते हैं। कण भौतिकी में, क्वार्क की अंतःक्रिया की रंग समरूपता एक आंतरिक समरूपता का एक उदाहरण है, जो कि मजबूत अंतःक्रिया का है। अन्य उदाहरण हैं आइसोस्पिन, कमजोर आइसोस्पिन, विचित्रता और कोई अन्य स्वाद समरूपता। यदि समस्या की कोई समरूपता है, जिसमें स्थानकाल शामिल नहीं है, जिसके तहत ये घटक एक दूसरे में बदल जाते हैं, तो समरूपता के इस समूह को आंतरिक समरूपता कहा जाता है। आंतरिक सममितियों के तहत क्षेत्रों के आवेशों का वर्गीकरण भी किया जा सकता है। सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत कई-शरीर प्रणालियों और सांख्यिकीय यांत्रिकी की ओर क्षेत्र-सैद्धांतिक प्रतिमान का विस्तार करने का प्रयास करता है। ऊपर के रूप में, इसे स्वतंत्रता तर्क की डिग्री की सामान्य अनंत संख्या द्वारा संपर्क किया जा सकता है। जैसे सांख्यिकीय यांत्रिकी में क्वांटम और शास्त्रीय यांत्रिकी के बीच कुछ ओवरलैप होता है, वैसे ही सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम और शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों दोनों के साथ संबंध हैं, विशेष रूप से पूर्व के साथ जिसके साथ यह कई विधियों को साझा करता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण माध्य क्षेत्र सिद्धांत है। निरंतर यादृच्छिक क्षेत्र उपरोक्त के रूप में शास्त्रीय क्षेत्र, जैसे कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, आमतौर पर अनंत अवकलनीय कार्य होते हैं, लेकिन वे किसी भी मामले में लगभग हमेशा दो बार अवकलनीय होते हैं। इसके विपरीत, सामान्यीकृत कार्य निरंतर नहीं होते हैं। परिमित तापमान पर शास्त्रीय क्षेत्रों के साथ सावधानीपूर्वक व्यवहार करते समय, निरंतर यादृच्छिक क्षेत्रों की गणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि तापीय रूप से उतार-चढ़ाव वाले शास्त्रीय क्षेत्र कहीं भी अवकलनीय नहीं होते हैं। यादृच्छिक क्षेत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रमित समूह हैं; एक निरंतर यादृच्छिक क्षेत्र एक यादृच्छिक क्षेत्र है जिसमें अपने सूचकांक सेट के रूप में कार्यों का एक सेट होता है। विशेष रूप से, यह अक्सर गणितीय रूप से सुविधाजनक होता है कि एक निरंतर यादृच्छिक क्षेत्र को अपने सूचकांक सेट के रूप में कार्यों के श्वार्ट्ज स्थान के लिए लिया जाए, इस मामले में निरंतर यादृच्छिक क्षेत्र एक समशीतोष्ण वितरण है। हम एक निरंतर यादृच्छिक क्षेत्र के बारे में सोच सकते हैं, एक (बहुत) मोटे तरीके से, एक साधारण फलन के रूप में जो लगभग हर जगह है, लेकिन ऐसा है कि जब हम किसी भी सीमित क्षेत्र पर सभी अनंतताओं का भारित औसत लेते हैं, तो हमें एक सीमित परिणाम मिलता है। अनंतताएँ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हैं; लेकिन परिमित मूल्यों को सीमित मूल्यों को प्राप्त करने के लिए भार कार्यों के रूप में उपयोग किए जाने वाले कार्यों के साथ जोड़ा जा सकता है, और जिन्हें अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। हम एक निरंतर यादृच्छिक क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं में कार्यों के स्थान से एक रैखिक मानचित्र के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी कोवेरियंट हैमिल्टनियन फील्ड थ्योरी फील्ड स्ट्रेंथ हिस्ट्री ऑफ द फिलॉसफी ऑफ फील्ड थ्योरी लैग्रैन्जियन एंड यूलरियन स्पेसिफिकेशंस ऑफ ए फील्ड स्केलर फील्ड थ्योरी वेलोसिटी फील्ड नोट्स संदर्भ आगे पढ़ने के लिए लैंडौ, लेव डी. और लाइफशिट्ज़, एवगेनी एम. (1971) देखें। फील्ड्स का शास्त्रीय सिद्धांत (तीसरा संस्करण)। लंदनः पर्गामन। .. खण्ड. 2 सैद्धांतिक भौतिकी के पाठ्यक्रम। बाहरी लिंक कण और पॉलिमर क्षेत्र सिद्धांत गणितीय भौतिकी सैद्धांतिक भौतिकी भौतिक मात्राएँ