Narrow escape problem
संकीर्ण पलायन समस्या जीव विज्ञान, जैवभौतिकी और कोशिकीय जीव विज्ञान में एक सर्वव्यापी समस्या है। गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित हैः एक ब्राउनियन कण (आयन, अणु, या प्रोटीन) एक प्रतिबिंबित सीमा द्वारा एक बंधे हुए क्षेत्र (एक डिब्बे या एक कोशिका) तक सीमित होता है, सिवाय एक छोटी सी खिड़की के जिसके माध्यम से यह निकल सकता है। संकीर्ण पलायन समस्या औसत पलायन समय की गणना करने की है। जैसे-जैसे खिड़की सिकुड़ती है, यह समय अलग हो जाता है, इस प्रकार गणना को एक एकल गड़बड़ी समस्या प्रदान करता है। जब भागने के स्थान पर गंभीर ज्यामितीय प्रतिबंधों के कारण पलायन और भी अधिक कठोर होता है, तो संकीर्ण पलायन समस्या गंभीर जलडमरूमध्य समस्या बन जाती है। संकीर्ण पलायन समस्या को डी. होलकमैन और जेड. शूस द्वारा जीव विज्ञान और जैवभौतिकी के संदर्भ में प्रस्तावित किया गया था, और बाद में A.Singer के साथ और अनुप्रयुक्त गणित और कम्प्यूटेशनल जीव विज्ञान में संकीर्ण पलायन सिद्धांत की ओर ले गया। एक कण की गति को लैंगविन समीकरण की स्मोलुकोव्स्की सीमा द्वारा वर्णित किया जाता हैः जहाँ कण का प्रसार गुणांक है, द्रव्यमान की प्रति इकाई घर्षण गुणांक है, द्रव्यमान की प्रति इकाई बल है, और एक ब्राउनियन गति है। मीन फर्स्ट पैसेज टाइम और फोकर-प्लैंक समीकरण एक आम सवाल यह है कि अपनी सीमा में एक छोटी अवशोषित खिड़की से बचने से पहले एक बंधे हुए क्षेत्र में फैलने वाले कण के औसत प्रवास समय का अनुमान लगाना है। प्रायिकता घनत्व फलन (पी. डी. एफ.) समय पर स्थिति में कण को खोजने की प्रायिकता है। पी. डी. एफ. फोकर-प्लैंक समीकरण को संतुष्ट करता हैः प्रारंभिक स्थिति और मिश्रित डिरिचलेट-न्यूमैन सीमा स्थितियों के साथ () फलन प्रारंभिक स्थिति पर सशर्त कण के औसत प्रवास समय का प्रतिनिधित्व करता है। यह सीमा मूल्य समस्या का समाधान है समाधान क्षेत्र के आयाम पर निर्भर करता है। द्वि-आयामी डिस्क पर फैलने वाले कण के लिए डोमेन की सतह कहाँ है। असिंप्टोटिक रूप के कारण अवशोषित सीमा के पास एक छोटी सीमा परत को छोड़कर, कार्य प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। पहला क्रम शब्द आयाम 2 में मायने रखता हैः त्रिज्या की एक गोलाकार डिस्क के लिए, केंद्र में शुरू होने वाले कण का औसत पलायन समय है कण के एक समान प्रारंभिक वितरण के संबंध में औसत पलायन समय द्वारा दिया गया है छोटे उद्घाटन की ज्यामिति पलायन समय को प्रभावित कर सकती हैः यदि अवशोषित करने वाली खिड़की कोण के एक कोने में स्थित है, तोः अधिक आश्चर्यजनक, दो आयामी क्षेत्र में एक शिखर के पास, पलायन समय लघुगणक के बजाय बीजगणितीय रूप से बढ़ता हैः दो स्पर्शरेखा वृत्तों के बीच बंधे क्षेत्र में, पलायन समय हैः त्रिज्या का अनुपात कहाँ है। अंत में, जब क्षेत्र एक वलयाकार होता है, तो आंतरिक वृत्त पर स्थित एक छोटे से उद्घाटन के लिए पलायन समय में एक दूसरा पैरामीटर शामिल होता है जो आंतरिक और बाहरी त्रिज्या का अनुपात है, पलायन समय, एक समान प्रारंभिक वितरण के संबंध में औसत हैः इस समीकरण में दो स्पर्शोन्मुख विस्तार के शब्द शामिल हैं और यह अवशोषित सीमा का कोण है। 1 के करीब का मामला खुला रहता है, और सामान्य डोमेन के लिए, बचने के समय का एसिम्प्टोटिक विस्तार एक खुली समस्या बनी हुई है। त्रि-आयामी क्षेत्रों में एक शिखर बिंदु के पास पलायन समय की गणना करने की समस्या भी यही है। बल के क्षेत्र में ब्राउनियन गति के लिए स्पेक्ट्रम में अंतर आवश्यक रूप से पहले और दूसरे आइगेनवैल्यू के बीच छोटा नहीं होता है, जो छोटे छेद के सापेक्ष आकार और बल बाधाओं पर निर्भर करता है, कण को बचने के लिए पार करना पड़ता है। पलायन धारा जरूरी नहीं कि पॉइसोनियन हो। विश्लेषणात्मक परिणाम एक प्रमेय जो ब्राउनियन गति पलायन समस्या को एक (नियतात्मक) आंशिक विभेदक समीकरण समस्या से संबंधित करता है, निम्नलिखित है। इसके अलावा, विचरण के औसत की गणना सूत्र से की जा सकती है प्रमेय का पहला भाग एक शास्त्रीय परिणाम है, जबकि औसत विचरण 2011 में कैरी कैगिनाल्प और शिनफू चेन द्वारा साबित किया गया था। भागने का समय कई अध्ययनों का विषय रहा है जिसमें छोटे द्वार को एक स्पर्शोन्मुख रूप से छोटे पैरामीटर के रूप में उपयोग किया गया है। निम्नलिखित बंद रूप परिणाम एक सटीक समाधान देता है जो इन एसिम्प्टोटिक सूत्रों की पुष्टि करता है और उन्हें उन द्वारों तक विस्तारित करता है जो आवश्यक रूप से छोटे नहीं हैं। परिणामों का एक अन्य समूह निकास के स्थान के संभाव्यता घनत्व से संबंधित है। अर्थात्, किसी भी (बोरेल समुच्चय) के लिए, संभावना है कि एक कण, या तो मूल से शुरू होता है या समान रूप से वितरित होता है, ब्राउनियन गति प्रदर्शित करता है, जब यह टकराता है तो प्रतिबिंबित करता है, और एक बार टकराने के बाद भाग जाता है, जहाँ से भाग जाता है। ब्राउनियन गति पलायन के सिमुलेशन सिमुलेशन में सांख्यिकीय नमूनाकरण प्रक्रिया के कारण एक यादृच्छिक त्रुटि होती है। इस त्रुटि को केंद्रीय सीमा प्रमेय से अपील करके और बड़ी संख्या में नमूनों का उपयोग करके सीमित किया जा सकता है। ब्राउनियन गति को अनुमानित करने में चरण आकार के सीमित आकार सन्निकटन के कारण एक विवेचनात्मक त्रुटि भी है। तब कोई भी अनुभवजन्य परिणाम प्राप्त कर सकता है क्योंकि कदम का आकार और गेट का आकार भिन्न होता है। वृत्त के विशेष मामले के लिए ऊपर उद्धृत सटीक परिणाम का उपयोग करके, संख्यात्मक समाधान के साथ सटीक समाधान की सावधानीपूर्वक तुलना करना संभव है। यह सीमित चरणों और निरंतर प्रसार के बीच के अंतर को उजागर करता है। इस समस्या के लिए अनुकरण के माध्यम से निकास स्थानों का वितरण भी प्राप्त किया गया था। जैविक अनुप्रयोग माइक्रोडोमेन में यादृच्छिक रासायनिक प्रतिक्रियाएँ रासायनिक प्रतिक्रियाओं की अग्रिम दर संकीर्ण पलायन समय की पारस्परिक है, जो एक अनंत माध्यम में स्थित ब्राउनियन कणों के लिए शास्त्रीय स्मोलुचोव्स्की सूत्र को सामान्यीकृत करती है। एक मार्कोव विवरण का उपयोग कम संख्या में साइटों के लिए बंधन और अनबाइंडिंग का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। संदर्भ बाहरी लिंक एप्लाइड मैथमेटिक्स एंड कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी इन इकोले नॉर्मल सुपरियोर, पेरिस कैरी कैगिनाल्प प्रकाशन और व्याख्यान http://www.pitt.edu ~ कैरीकैग/कॉम्पटेस रेंडस पेपर http://www.pitt.edu ~ कैरीकैग/पेपर1. पी. डी. एफ. ए. आर. एम. ए. पेपर http://www.pitt.edu ~ कैरीकैग/पेपर2. पी. डी. एफ. डिफ्यूजन मैथमेटिकल एंड थ्योरिटिकल बायोलॉजी स्टोकेस्टिक प्रोसेस