Curvature of Space and Time, with an Introduction to Geometric Analysis
ज्यामितीय विश्लेषण के परिचय के साथ अंतरिक्ष और समय की वक्रता, विभेदक ज्यामिति पर गणित और भौतिकी के छात्रों के लिए एक स्नातक स्तर की पाठ्यपुस्तक है, जो सामान्य सापेक्षता के अनुप्रयोगों पर ध्यान केंद्रित करती है। यह इवा स्टावरोव द्वारा लिखा गया था, जो 2013 के पार्क सिटी गणित संस्थान और बाद में लुईस एंड क्लार्क कॉलेज में पढ़ाए गए एक पाठ्यक्रम पर आधारित था, और 2020 में अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी द्वारा उनकी छात्र गणितीय पुस्तकालय पुस्तक श्रृंखला के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था। विषय स्थान और समय की वक्रता को कुल 14 खंडों के साथ पांच अध्यायों में व्यवस्थित किया गया है, जिसमें प्रत्येक खंड में एक ही व्याख्यान की सामग्री शामिल है। इसके विषयों को बर्नहार्ड रीमैन और अन्य की मूल स्रोत सामग्री के संदर्भ में गणितीय और ऐतिहासिक दोनों रूप से शामिल किया गया है। हालाँकि, यह जानबूझकर विभेदक स्थलविज्ञान के कुछ विषयों से बचाता है जिन्हें पारंपरिक रूप से विभेदक ज्यामिति पाठ्यक्रमों में शामिल किया गया है, जिसमें अमूर्त मैनिफोल्ड और स्पर्शरेखा वैक्टर शामिल हैं। इसके बजाय, यह निर्देशांक-आधारित ज्यामिति के माध्यम से विषय तक पहुँचता है, उन मात्राओं पर जोर देता है जो निर्देशांक के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। इसके लक्ष्यों में छात्रों को आइंस्टीन के गणित की समझ तक पहुंचने के लिए एक छोटा मार्ग प्रदान करना और आकार और ज्यामिति का वर्णन करने के केंद्रीय तरीके के रूप में वक्रता को बढ़ावा देना दोनों शामिल हैं। पहला अध्याय रीमानियन मैनिफोल्ड्स को अमूर्त रिक्त स्थान के बजाय यूक्लिडियन रिक्त स्थान के अंतर्निहित उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित करता है। यह क्रिस्टोफेल प्रतीकों का उपयोग विभेदक समीकरणों को तैयार करने के लिए करता है जिनके समाधान के रूप में भूगणितीय होते हैं, और कोसज़ुल सूत्र और ऊर्जा कार्यात्मक उदाहरणों में यूक्लिडियन मीट्रिक, गोलाकार ज्यामिति, प्रोजेक्टिव ज्यामिति और हाइपरबोलिक प्लेन का पोइनकेयर हाफ-प्लेन मॉडल शामिल हैं। अध्याय 2 में वेक्टर क्षेत्र, प्रवणता, विचलन, दिशात्मक व्युत्पन्न, टेंसर कलन, लाइ कोष्ठक, ग्रीन की पहचान, अधिकतम सिद्धांत और लेवी-सिविटा संबंध शामिल हैं। यह वक्रता और रीमान वक्रता टेंसर की चर्चा शुरू करता है जो अध्याय 3 में जारी है, "पुस्तक का दिल", जिसके विषयों में जैकोबी क्षेत्र, रिची वक्रता, स्केलर वक्रता, मायर्स प्रमेय, बिशप-ग्रोमोव असमानता और समानांतर परिवहन शामिल हैं। इन गणितीय प्रारंभिकताओं के बाद, अंतिम दो अध्याय अधिक भौतिक हैं, जिसमें चौथा अध्याय विशेष सापेक्षता, सामान्य सापेक्षता, श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक और क्रुस्कल-ज़ेकेरस निर्देशांक से संबंधित है। अंतिम अध्याय के विषयों में ज्यामितीय विश्लेषण, आवेश वितरण के संभावित क्षेत्रों के लिए पॉइसन का समीकरण और सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान शामिल हैं। जैसा कि एक पाठ्यपुस्तक के लिए हमेशा होता है, कर्वचर ऑफ स्पेस एंड टाइम में ऐसे अभ्यास होते हैं जो इसके विषयों के कवरेज का विस्तार करते हैं और इसे स्नातक पाठ्यक्रमों के लिए पाठ के रूप में उपयुक्त बनाते हैं। हालांकि विभेदक ज्यामिति पर कई स्नातक स्तर की पाठ्यपुस्तकें हैं, लेकिन उन्होंने आम तौर पर विषय का एक अमूर्त गणितीय दृष्टिकोण लिया है, और अंतरिक्ष और समय की वक्रता के प्रकाशन के समय, इस सामग्री पर आधारित पाठ्यक्रम कुछ हद तक फैशन से बाहर हो गए थे। यह पुस्तक विषय के उन हिस्सों के लिए अधिक सीधा दृष्टिकोण लेने में असामान्य है जो भौतिकी के लिए सबसे अधिक प्रासंगिक हैं। हालाँकि, हालाँकि यह इस सामग्री को स्व-निहित तरीके से कवर करने का प्रयास करता है, समीक्षक मार्क हुनासेक चेतावनी देते हैं कि यह विशिष्ट गणित के छात्रों के लिए बहुत उन्नत हो सकता है, और शायद सम्मानित छात्रों के साथ-साथ "गणितीय रूप से परिष्कृत भौतिकी के प्रमुख" के लिए बेहतर आरक्षित हो सकता है। उन्होंने अन्य विषयों में शोधकर्ताओं के लिए इस क्षेत्र के परिचय के रूप में पुस्तक का भी सुझाव दिया। समीक्षक हंस-बर्ट राडेमाकर इसे "उत्कृष्ट प्रेरणाओं और अंतर्दृष्टि" के साथ एक "उल्लेखनीय पुस्तक" कहते हैं, लेकिन इसे इस सामग्री को पढ़ाने के लिए मुख्य आधार के बजाय मानक ग्रंथों और पाठ्यक्रमों के पूरक के रूप में सुझाव देते हैं। और हालांकि कुछ विवरणों में त्रुटि पाते हुए, समीक्षक जस्टिन कॉर्विनो का सुझाव है कि, इन कठिन स्थानों पर संकाय के मार्गदर्शन के साथ, पुस्तक स्वतंत्र अध्ययन या एक उन्नत विषय पाठ्यक्रम दोनों के लिए उपयुक्त होगी, और आइंस्टीन के सिद्धांतों के पीछे गणित सीखने के लिए उत्साही छात्रों के लिए "आवश्यक पढ़ने" के लिए उपयुक्त होगी। संदर्भ गणित की पाठ्यपुस्तकें विभेदक ज्यामिति 2020 गैर-काल्पनिक पुस्तकें अमेरिकी गणितीय समाज के प्रकाशन