Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
मिरिफी लॉगरिथमोरम कैनोनिस डिस्क्रिप्टियो (लॉगरिदम के अद्भुत कैनन का विवरण, 1614) और मिरिफी लॉगरिथमोरम कैनोनिस कंस्ट्रक्टियो (लॉगरिदम के अद्भुत कैनन का निर्माण, 1619) जॉन नेपियर द्वारा लैटिन में लिखी गई दो पुस्तकें हैं जो लॉगरिदम की विधि की व्याख्या करती हैं। जबकि अन्य लोगों ने लघुगणक के विचार से संपर्क किया था, विशेष रूप से जोस्ट बर्गी, यह नेपियर था जिसने पहली बार अपनी मिरिफी लॉगरिथमोरम कैनोनिस डिस्क्रिप्टियो में आसानी से उपयोग की जाने वाली पूर्व-संगणित तालिकाओं के साथ अवधारणा को प्रकाशित किया था। लघुगणक की शुरुआत से पहले, गुणन, विभाजन और मूल निष्कर्षण से जुड़ी उच्च सटीकता वाली संख्यात्मक गणनाएँ श्रमसाध्य और त्रुटि प्रवण थीं। लघुगणक इस तरह की गणनाओं को बहुत सरल बनाता है। जैसा कि नेपियर ने कहाः "........................................................। ये तालिकाएँ गोलाकार त्रिकोणमिति में गणनाओं को बहुत सरल बनाती हैं, जो खगोल विज्ञान और खगोलीय नौवहन के लिए केंद्रीय हैं और जिनमें आम तौर पर साइन, कोसाइन और अन्य कार्यों के उत्पाद शामिल होते हैं। नेपियर अन्य उपयोगों का भी वर्णन करता है, जैसे कि समाधान अनुपात की समस्याएं। जॉन नेपियर ने तालिकाओं की गणना करने में 20 साल बिताए। उन्होंने एक अलग खंड लिखा जिसमें बताया गया कि उन्होंने अपनी मेज का निर्माण कैसे किया, लेकिन यह देखने के लिए प्रकाशन को रोक दिया कि उनकी पहली पुस्तक कैसे प्राप्त होगी। 1617 में जॉन की मृत्यु हो गई। उनके बेटे, रॉबर्ट ने 1619 में हेनरी ब्रिग्स द्वारा परिवर्धन के साथ अपने पिता की पुस्तक, मिरिफी लॉगरिथमोरम कैनोनिस कंस्ट्रक्टियो प्रकाशित की। कन्स्ट्रक्टियो में बताया गया है कि कैसे नेपियर ने साइन फलन के लघुगणक की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति की तीन तालिकाओं का निर्माण और उपयोग किया। नेपियर के समय में, दशमलव संकेतन, जैसा कि यूरोप में उपयोग किया जाता था, केवल पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता था। दशमलव संख्या के साथ एक आंशिक भाग को शामिल करने का प्रस्ताव साइमन स्टीविन द्वारा किया गया था, लेकिन उनका संकेतन अजीब था। दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को आंशिक भाग से अलग करने के लिए एक अवधि का उपयोग करने का विचार सबसे पहले नेपियर ने अपनी कन्स्ट्रिक्टियो पुस्तक, धारा 5 में प्रस्तावित किया था, "इस प्रकार उनके बीच की अवधि से अलग की गई संख्या में, अवधि के बाद जो कुछ भी लिखा जाता है वह एक अंश है, जिसका भाजक उसके बाद के कई साइफरों के साथ एकता है क्योंकि अवधि के बाद के आंकड़े हैं।" उन्होंने तालिकाओं की अधिक सटीक गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए अवधारणा का उपयोग किया, लेकिन मुद्रित तालिकाओं में नहीं। इस प्रकार उसकी तालिका में प्रकाशित एक कोण का साइन मान एक पूर्ण संख्या है जो 10,000,000 इकाइयों के हाइपोटेंज़ के साथ एक समकोण त्रिभुज में उस कोण के विपरीत पक्ष की लंबाई का प्रतिनिधित्व करती है। हालाँकि, तालिका में लघुगणक उस साइन मान का है जिसे 10,000,000 से विभाजित किया जाता है। लघुगणक को फिर से 10,000,000 के निहित भाजक के साथ एक पूर्णांक के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। मेज में सामने वाले पृष्ठों के 45 जोड़े होते हैं। प्रत्येक जोड़ी को शीर्ष पर 0 से 44 डिग्री और नीचे 90 से 45 डिग्री के कोण के साथ चिह्नित किया जाता है। (44-45 डिग्री पेज एक तरफ है।) तालिका के प्रत्येक पृष्ठ पर पहला स्तंभ मिनटों में एक कोण वृद्धि है, जिसे पृष्ठ के शीर्ष पर डिग्री मूल्य में जोड़ा जाना है। सबसे दाएं कॉलम में प्रत्येक पृष्ठ के नीचे डिग्री मूल्य में जोड़े जाने वाले मिनट होते हैं। यह व्यवस्था ऐसी है कि एक पृष्ठ पर प्रत्येक पंक्ति के लिए, कॉलम 7 द्वारा दर्शाया गया पूर्ण कोण कॉलम 1 (90°-कॉलम 1) का सह-कोण है। अंदर की ओर बढ़ते हुए, प्रत्येक कोण स्तंभ के बगल में उस कोण का साइन होता है, जिसके बाद उस साइन का नेपियरियन लॉग का निरपेक्ष मान होता है। पूरे पृष्ठ से लेकर कॉलम 5 तक पढ़कर कॉलम 1 के लिए लॉग-कोसिन आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत भी। बीच का स्तंभ दो लॉग के बीच का अंतर दिखाता है, जो स्पर्शरेखा फलन का नेपियरियन लॉग है (यदि आप संकेतों को उलटते हैं तो कोटेनजेंट)। तालिकाओं का उपयोग एक से कम धनात्मक संख्याओं के लिए नेपियर लघुगणक की तालिका के रूप में भी किया जा सकता है, जिसमें साइन मानों (कॉलम 2 और 6) को तर्क के रूप में और लॉग साइन मानों (कॉलम 3 और 5) को परिणामी लघुगणक के रूप में उपयोग किया जाता है। प्रक्रिया को उलटने से एंटी-लॉगरिदम मिलता है। नीचे दी गई तालिका में पहली तीन पंक्तियाँ नेपियर की तालिका के बाईं ओर 19 डिग्री पृष्ठ के शीर्षकों और पहली दो डेटा पंक्तियों को पुनः प्रस्तुत करती हैं, चित्र देखें। उनके बाद समान कोणों के लिए आधुनिक एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना किए गए मान होते हैं। इन्हें 8 अंकों की सटीकता के लिए काट दिया गया है, जो नेपियर की तालिका की नाममात्र 7 अंकों की सटीकता से एक अधिक है। स्पष्टता के लिए कॉलम संख्याएँ दिखाई गई हैं। डिस्क्रिप्टियो पाठ नेपियर डिस्क्रिप्टियो को दो पुस्तकों में विभाजित किया गया है। पहला उनके आविष्कार और कुछ अनुप्रयोगों का वर्णन करता है और तालिकाओं को शामिल करता है। दूसरा त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों पर चर्चा करता है। पुस्तक I अध्याय 1 में परिभाषाओं और प्रस्तावों की एक श्रृंखला है जो नेपियर की लघुगणक की अवधारणा की व्याख्या करती है। उन्होंने गति के दो मॉडलों के संदर्भ में लघुगणक की कल्पना की। पहले में, एक कण एक बिंदु पर शुरू होता है और एक स्थिर गति से एक सीधी रेखा के साथ चलता है। दूसरे में, एक कण एक सीधी रेखा के साथ चलता है, जो उसी प्रारंभिक गति से शुरू होता है, लेकिन इसकी गति प्रारंभिक बिंदु से इसकी दूरी के अनुपात में कम हो जाती है। एक संख्या का लघुगणक, a, तब स्थिर गति मॉडल में एक कण द्वारा तय की गई दूरी है, उस समय के दौरान जब यह दूसरे, व्युत्क्रम आनुपातिक मॉडल में कण को a तक पहुंचने के लिए लेता है। वह 10,000,000 के लघुगणक को शून्य के रूप में परिभाषित करता है और उससे कम मूल्यों का लघुगणक सकारात्मक होता है, जबकि बड़ी संख्या में एक नकारात्मक लघुगणक होता है, जो आधुनिक लघुगणक से संकेत का उलट है। (इस संकेत परिवर्तन को कभी-कभी यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि नेपियर ने आधार 1/ई के साथ लघुगणक का उपयोग किया है।) उन्होंने नोट किया कि उन्हें शून्य लॉग रखने के लिए किसी भी मूल्य को चुनने की स्वतंत्रता है, आधुनिक शब्दों में आधार, लेकिन गणना की आसानी के लिए 10,000,000 चुनते हैं क्योंकि यह उनकी साइन टेबल में "कुल साइन" (हाइपोटेंज़) से मेल खाता है। नेपेरियन लघुगणक देखें। दूसरा अध्याय लघुगणक के गुणों का वर्णन करता है और अनुपात के साथ काम करने के लिए कुछ सूत्र (पाठ के रूप में) देता है। यह एक नोट के साथ समाप्त होता है जिसमें कहा गया है कि वह लघुगणक के निर्माण पर अपने काम के प्रकाशन में देरी कर रहा है जब तक कि वह यह नहीं देखता कि उसका आविष्कार कैसे प्राप्त होता है। अध्याय 3 तालिकाओं और उनके सात स्तंभों का वर्णन करता है, ऊपर देखें। चौथा अध्याय बताता है कि तालिकाओं का उपयोग कैसे किया जाए और साइन टेंजेंट और सेकेंट के लिए काम किए गए उदाहरण देता है। वह यह भी बताते हैं कि तर्क के रूप में साइन मानों और परिणाम के रूप में लॉग-साइन मानों का उपयोग करके सीधे संख्याओं के लघुगणक कैसे प्राप्त किए जाते हैं और इसके विपरीत। वे चर्चा करते हैं कि दस के विभिन्न गुणकों से कैसे निपटा जाए और एक संकेतन का परिचय देते हैं, जो आधुनिक वैज्ञानिक संकेतन के समान है, जहां वे दशकों तक सुधार की आवश्यकता को इंगित करने के लिए मात्रा के लघुगणक के बाद कई शून्य जोड़ते हैं। वे विभिन्न मामलों में जोड़ने या घटाने के लिए विशिष्ट लघुगणक मात्राएँ देते हैंः 23025842 + 0 या 46051684 + 00, या 69077527 + 000, या 92103369 + 0000, या 115129211 + 00000 ये 10,000,000 * ln (10), 10,000,000 * ln (100), आदि के अनुरूप हैं। अध्याय 5 नेपियर के लघुगणक का उपयोग करके आनुपातिकता और उनके समाधान में चार समस्याओं को प्रस्तुत करता है। उन्होंने यह पूछकर निष्कर्ष निकाला कि "इन लघुगणकों से कितना बड़ा लाभ मिलता हैः क्योंकि गुणन के लिए इन्हें जोड़ने से, विभाजन के लिए घटाव द्वारा, वर्गमूल के निष्कर्षण के लिए दो से विभाजन द्वारा, और घनमूल के लिए तीन से. गणना के सभी भारी काम से बचा जाता है।" पुस्तक II पुस्तक II "उस महान प्रकार की ज्यामिति, जिसे त्रिकोणमिति कहा जाता है" से संबंधित है। पहला अध्याय समकोण त्रिभुज के साथ समतल त्रिकोणमिति में समस्याओं को हल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करने से संबंधित है और विशेष रूप से, छोटे कोणों के साथ, जहां उनके त्रिकोणमितीय लघुगणक बड़े हो जाते हैं। अगले अध्याय में समतल तिरछे त्रिभुज शामिल हैं। शेष अध्याय गोलाकार त्रिकोणमिति को शामिल करते हैं, जो चतुर्थांश से शुरू होते हैं। उन्होंने अपने पेंटाग्राममा मिरिफिकम का भी वर्णन किया है, जो गोले पर एक पाँच-नुकीला तारा है जिसके सभी कोण 90 डिग्री हैं। मिरिफी लॉगरिथमोरम कैनोनिस कंस्ट्रक्टियो [[फ़ाइलः कंस्ट्रक्टियो के अंग्रेजी अनुवाद का अद्भुत कैनन का निर्माण Logarithms-0025.jpg |thumb |Title पृष्ठ]] नेपियर इस सिद्धांत और विवरण को प्रकाशित करने के लिए अनिच्छुक थे कि उन्होंने अपने विचारों पर गणित समुदाय से प्रतिक्रिया लंबित रहने तक लघुगणक की अपनी तालिका कैसे बनाई, और डिस्क्रिप्टियो के प्रकाशन के तुरंत बाद उनकी मृत्यु हो गई। उनके बेटे रॉबर्ट ने 1619 में कंस्ट्रक्टियो प्रकाशित किया। इस खंड में रॉबर्ट और कई परिशिष्टों की प्रस्तावना है, जिसमें गोलाकार त्रिकोणों को अधिक आसानी से हल करने के लिए जॉन नेपियर के तरीकों पर एक खंड और हेनरी बिग्स द्वारा "एक अन्य और बेहतर प्रकार के लघुगणक", अर्थात् आधार 10 या सामान्य लघुगणक पर एक खंड शामिल है। विलियम राय मैकडोनाल्ड द्वारा एक अंग्रेजी अनुवाद 1889 में एनोटेशन के साथ प्रकाशित किया गया था। नेपियर अलग-अलग गति प्रोफाइल के तहत चलने वाले दो बिंदुओं के बीच एक पत्राचार के माध्यम से लघुगणक का वर्णन करता है। पहला बिंदु, पी, एक सीमित रेखा खंड पी0 से क्यू के साथ चलता है, एक प्रारंभिक गति के साथ जो पी की दूरी क्यू के समानुपाती हो जाती है। दूसरा बिंदु, एल, एक असीम रेखा खंड के साथ चलता है जो एल0 से शुरू होता है और पी के समान समय पर और उसी प्रारंभिक गति के साथ, लेकिन बिना किसी परिवर्तन के उस गति को बनाए रखता है। पी की प्रत्येक संभावित स्थिति के लिए, जिसे क्यू से इसकी दूरी से मापा जाता है, एल की एक संगत समवर्ती स्थिति होती है। नेपियर ने पी से क्यू की दूरी के लघुगणक को एल0 से उस एल की दूरी के रूप में परिभाषित किया। संगणना दृष्टिकोण नेपियर अपनी लघुगणक तालिका की गणना करने के लिए कई अंतर्दृष्टि पर निर्भर करता है। उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए वह 10,000,000 के एक बड़े आधार के साथ शुरू करता है। लेकिन फिर वह एक संकेतन में दशमलव अंश का उपयोग करके अतिरिक्त परिशुद्धता प्राप्त करता है जिसका उन्होंने आविष्कार किया था, लेकिन अब सार्वभौमिक रूप से परिचित है, अर्थात् एक दशमलव बिंदु का उपयोग करते हुए। वह आगे बताते हैं कि उनका संकेतन कुछ उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है। उन्होंने अपनी गणना में होने वाली किसी भी त्रुटि को बांधने के लिए अंतराल अंकगणित का एक रूप भी पेश किया। एक और अब परिचित तथ्य जो वे देखते हैं वह यह है कि 10 की घात वाले भाजकों वाले अंशों की गणना दशमलव संकेतन में दशमलव बिंदु के सापेक्ष संख्या को स्थानांतरित करके आसानी से की जा सकती है। जैसा कि वे कहते हैंः "हम एक संख्या के आसान भागों को कहते हैं, किसी भी भाग को जिसके भाजक एकता से बने होते हैं और कई साइफर, ऐसे भागों को मूल संख्या के अंत में उतने ही आंकड़ों को अस्वीकार करके प्राप्त किया जाता है जितना कि विभाजक में साइफर होते हैं।" उन्होंने कहा कि अंकगणितीय प्रगति की गणना करना आसान है क्योंकि उनमें केवल जोड़ और घटाव शामिल होते हैं, लेकिन ज्यामितीय प्रगति की गणना करना, सामान्य रूप से, कठिन होता है क्योंकि उनमें गुणन, विभाजन और संभवतः मूल शामिल होते हैं। हालांकि उन्होंने देखा कि ज्यामितीय प्रगति में रूप के गुणक शामिल हैं (यानी। फॉर्म 0.99.9 के, m नाइन के साथ) की गणना केवल एक शिफ्ट और प्रति चरण एक घटाव का उपयोग करके मनमाने ढंग से की जा सकती है। इसी तरह, रूप के गुणक (अर्थात। 0.99.95) के लिए केवल एक पारी की आवश्यकता होती है, पूर्ण सटीकता के लिए प्रति चरण दो से एक विभाजन और एक घटाव की आवश्यकता होती है, जिसे वे "सहनीय रूप से आसान" कहते हैं। नेपियर ने यह भी देखा कि ज्यामितीय प्रगति के लघुगणक प्रत्येक चरण में एक स्थिर मान से भिन्न होते हैं, अर्थात् गुणक का लघुगणक। इसलिए यदि कोई ज्यामितीय प्रगति और गुणक के प्रारंभिक मूल्य का लघुगणक जानता है, तो गुणक के लघुगणक को बार-बार जोड़कर प्रगति के प्रत्येक सदस्य के लघुगणक की गणना की जा सकती है। पहले लघुगणक की गणना करते हुए अपने दो रेखा मॉडल का उपयोग करते हुए, नेपियर 0.9999999 के लघुगणक के लिए निचली और ऊपरी सीमाएँ खोजता है। उसकी निचली सीमा मानती है कि बिंदु P धीमा नहीं होता है, जिस स्थिति में L 1-0.9999999 की दूरी तय करेगा। उसकी ऊपरी सीमा मानती है कि P ने 0.9999999 की अपनी अंतिम गति से शुरुआत की थी, जिस स्थिति में L ने (1-0.9999999)/0.9999999 की दूरी बढ़ा दी होगी। 10,000,000 की उसकी त्रिज्या से ऊपर की ओर मापा गया, निचली सीमा 1 है और उसकी ऊपरी सीमा 1.0000001 है। उनका सुझाव है कि चूंकि इन मूल्यों के बीच अंतर छोटा है, इसलिए उनके बीच कोई भी मूल्य 10 मिलियन में एक भाग से कम की "असंवेदनशील त्रुटि" प्रस्तुत करेगा, लेकिन वह बिना अधिक स्पष्टीकरण के, मध्य बिंदु, 1.00000005 चुनता है। यह विकल्प उन्हें उनके अनुवादक, विलियम राय मैकडोनाल्ड के रूप में कहीं अधिक सटीकता देता है। एक परिशिष्ट में इंगित किया गया है कि. 9999999 के लघुगणक के लिए नेपियर का स्केल अप मान सही मान, 1.00000005 00000033333583 के बहुत करीब है, और यह कि लघुगणकों की उनकी सभी बाद की गणनाएँ 1.00000005 मान से प्राप्त होती हैं। मैकडोनाल्ड का सुझाव है कि नेपियर के पास मध्य बिंदु चुनने का एक बेहतर कारण रहा होगा। सहायक तालिका नेपियर तीन तालिकाओं के निर्माण के लिए इन अंतर्दृष्टि का उपयोग करता है। पहली तालिका, आधुनिक संकेतन में, 0 से 100 तक के n के लिए 10000000 * (0.9999999) n संख्याएँ होती हैं। दूसरे में 0 से 50 तक के n के लिए 100000 * (0.99999) n संख्याएँ हैं। फिर वह अपनी पहली तालिका में सभी प्रविष्टियों के लिए लघुगणक भरने के लिए. 9999999 के लॉग के लिए अपना मान लागू करता है। वह. 99999 के लॉग की गणना करने के लिए अंतिम प्रविष्टि का उपयोग कर सकता है, क्योंकि. 9999999100.99999 के बहुत करीब है। फिर वह अपनी दूसरी तालिका का उपयोग करता है, जो. 9995 के लघुगणक की गणना करने के लिए. 99999 की अनिवार्य रूप से 50 शक्तियां हैं। मैकडोनाल्ड यह भी बताते हैं कि दूसरी तालिका की नेपियर की गणना में एक त्रुटि आई; नेपियर का पचासवां मान 9995001.222927 है, लेकिन 9995001.22480 होना चाहिए। मैकडोनाल्ड ने अपने परिशिष्ट में इस त्रुटि के परिणामों पर चर्चा की है। रेडिकल टेबल नेपियर तब 69 स्तंभों और 21 पंक्तियों के साथ अनुपात की तीसरी तालिका का निर्माण करता है, जिसे वह अपनी "रेडिकल टेबल" कहता है। 1 से शुरू होने वाली शीर्ष पंक्तियों के साथ अनुपात 0.99 है। प्रत्येक कॉलम में प्रविष्टियाँ 0.9995 अनुपात में हैं। (ध्यान दें कि 0.9995 = 1-1/2000, आधा करके, स्थानांतरित करके और घटाकर "सहनीय रूप से आसान" गुणन की अनुमति देता है।) नेपियर. 99 के लघुगणक की गणना करने के लिए पहले कॉलम का उपयोग करता है, जिसमें. 9995 के लॉग का उपयोग किया जाता है, जो उसके पास पहले से है। अब वह तीसरी तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि के लघुगणक को भर सकता है क्योंकि आनुपातिकता से, प्रविष्टियों के बीच लघुगणक में अंतर स्थिर है। तीसरी तालिका अब 1,449 मानों के एक समूह के लिए लघुगणक प्रदान करती है जो मोटे तौर पर 5,000,000 से 10,000,000 तक की सीमा को कवर करती है, जो 10,000,000 की त्रिज्या मानते हुए 30 से 90 डिग्री तक साइन फ़ंक्शन के मानों से मेल खाती है। नेपियर फिर बताता है कि उस सीमा में लघुगणक के लिए एक सीमा अंतराल की गणना करने के लिए तालिकाओं का उपयोग कैसे किया जाए। प्रकाशित तालिकाओं का निर्माण करने के बाद नेपियर अपनी प्रकाशित तालिकाओं को उनके सात स्तंभों और प्रत्येक मिनट के चाप के कवरेज के साथ पुनः प्रस्तुत करने के निर्देश देता है। वह स्वयं साइन की गणना नहीं करता है, जिनके लिए मूल्यों को पहले से उपलब्ध तालिका से भरा जाना है। "रेनहोल्ड की साइन की सामान्य तालिका, या कोई अन्य अधिक सटीक, आपको इन मूल्यों की आपूर्ति करेगी।" 30 डिग्री से 90 डिग्री तक के कोणों के लिए साइन के लघुगणक की गणना तब मूल सारणी और उसके लघुगणक में निकटतम संख्या का पता लगाकर और रैखिक अंतर्वेशन द्वारा वांछित साइन के लघुगणक की गणना करके की जाती है। उन्होंने 30 डिग्री से कम कोणों के लिए लघुगणक की गणना करने के कई तरीके सुझाए हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी एक साइन को गुणा कर सकता है जो 0.50 से कम है दो या दस की कुछ शक्ति से इसे सीमा [0.5,1] में लाने के लिए। मौलिक सारणी में उस लघुगणक को खोजने के बाद, आवश्यक लघुगणक प्राप्त करने के लिए दो या दस की शक्ति का लघुगणक जोड़ा जाता है (वह एक छोटी तालिका देता है)। नेपियर यह बताते हुए समाप्त करता है कि उसकी मेज को बढ़ाने के दो तरीके छोटे अंतर के साथ परिणाम देते हैं। उनका प्रस्ताव है कि अन्य "जिनके पास बहुत सारे पुतली और कंप्यूटर हो सकते हैं" उसी तरीके से 10,000,000,000 के बड़े पैमाने के कारक के साथ एक नई मेज का निर्माण करते हैं, लेकिन केवल 35 स्तंभों के साथ एक कट्टरपंथी मेज का उपयोग करते हैं, जो 45 से 90 डिग्री तक स्वर्गदूतों को कवर करने के लिए पर्याप्त है। एक परिशिष्ट में, नेपियर "एक अन्य और बेहतर प्रकार के लघुगणक" के निर्माण पर चर्चा करता है जहाँ एक का लघुगणक शून्य है और दस का लघुगणक 10,000,000,000, सूचकांक है। यह अनिवार्य रूप से बड़े पैमाने के कारक के साथ आधार 10 लघुगणक है। उन्होंने ऐसी तालिका की गणना करने के विभिन्न तरीकों पर चर्चा की और 2 के लघुगणक को 210,000,000 में अंकों की संख्या के रूप में वर्णित करके समाप्त किया, जिसकी गणना उन्होंने 301029995 के रूप में की। परिशिष्ट के बाद हेनरी ब्रिग्स ने नेपियर की अवधारणाओं और आधार-10 लघुगणक पर टिप्पणी की है। अगला खंड नेपियर का 12 पृष्ठों का निबंध है जिसका शीर्षक है "अद्भुत आसानी से गोलाकार त्रिभुजों के समाधान के लिए कुछ बहुत ही उल्लेखनीय प्रस्ताव", जहाँ वे वर्णन करते हैं कि उन्हें दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित किए बिना कैसे हल किया जाए। इस खंड के बाद ब्रिग्स की टिप्पणी भी आती है। अनुवादक, मैकडोनाल्ड ने इस बिंदु पर कुछ टिप्पणियों को शामिल किया है, जिसमें नेपियर के नाम की वर्तनी, दूसरे खंड के प्रकाशन में देरी के संदर्भ, दशमलव अंकगणित का विकास, नेपियर की दूसरी तालिका में त्रुटि और नेपियर की विधि की सटीकता और आधार-10 लघुगणक की गणना के तरीकों पर चर्चा की गई है। अंतिम खंड सार्वजनिक पुस्तकालयों में नेपियर के कार्यों के मैकडोनाल्ड द्वारा एक सूची है, जिसमें धार्मिक कार्य, विभिन्न भाषाओं में संस्करण शामिल हैं। और जॉन नेपियर और लघुगणक के काम से संबंधित अन्य पुस्तकें। रिसेप्शन नेपियर की गणना की नई विधि ब्रिटेन और विदेशों में तेजी से फैल गई। केप्लर ने अपने 1620 के एफेरेरिस को नेपियर को समर्पित किया, एक पत्र के साथ उन्हें उनके आविष्कार और खगोल विज्ञान के लिए इसके लाभों के लिए बधाई दी। केप्लर ने छोटे कोणों पर कुछ अशुद्धियों को छोड़कर कोई आवश्यक त्रुटियाँ नहीं पाईं। आकाशीय नौपरिवहन पर एक अधिकारी एडवर्ड राइट ने अगले वर्ष 1615 में नेपियर के लैटिन डिस्क्रिप्टियो का अंग्रेजी में अनुवाद किया, हालांकि राइट की मृत्यु के कारण प्रकाशन में देरी हुई। ब्रिग्स ने अवधारणा को अधिक सुविधाजनक आधार 10, या सामान्य लघुगणक तक विस्तारित किया। उर्सिनस ने नेपियर को "बिना बराबर के एक गणितशास्त्री" कहा। तीन सौ साल बाद, 1914 में, ई. डब्ल्यू. होब्सन ने लघुगणक को "दुनिया की सबसे बड़ी वैज्ञानिक खोजों में से एक" कहा। 1620 में एडमंड गुंटर ने लघुगणक पैमाने के साथ एक शासक विकसित किया; विभाजक की एक जोड़ी के साथ इसका उपयोग गुणा और विभाजित करने के लिए किया जा सकता था। सी. 1622 में, विलियम ऑग्ट्रेड ने एक गणना उपकरण बनाने के लिए दो हाथ से पकड़े जाने वाले गुंटर नियमों को जोड़ा जो अनिवार्य रूप से पहला स्लाइड नियम था। लघुगणक फलन गणितीय विश्लेषण का एक मुख्य भाग बन गया, लेकिन लघुगणक की मुद्रित तालिकाओं का महत्व बीसवीं शताब्दी में धीरे-धीरे कम हो गया क्योंकि यांत्रिक गणकयंत्रों को गुणा करना और बाद में, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों ने उच्च सटीकता की गणना की जरूरतों को संभाल लिया। 1970 के दशक में हाथ से पकड़े जाने वाले वैज्ञानिक कैलकुलेटरों की शुरुआत ने स्लाइड नियमों के युग को समाप्त कर दिया। द अमेरिकन प्रैक्टिकल नेविगेटर (बौडिच) के वर्तमान, 2002 संस्करण में अभी भी त्रिकोणमितीय कार्यों के लघुगणक और लघुगणक की तालिकाएँ हैं। लघुगणक गुणन संकेत का इतिहास संदर्भ लघुगणक गणित का इतिहास भी देखें।