Scallop theorem
भौतिकी में, स्कैलप प्रमेय बताता है कि एक तैराक जो पारस्परिक गति करता है, वह कम रेनॉल्ड्स संख्या वाले न्यूटनियन द्रव वातावरण में शुद्ध विस्थापन प्राप्त नहीं कर सकता है, अर्थात। एक तरल पदार्थ जो अत्यधिक चिपचिपा होता है। इस तरह का तैराक गतियों के एक क्रम के माध्यम से अपने शरीर को एक विशेष आकार में विकृत कर देता है और फिर विपरीत अनुक्रम से गुजरकर मूल आकार में वापस आ जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि तैराक कितनी तेजी से या धीमी गति से अनुक्रम को निष्पादित करता है। कम रेनॉल्ड्स संख्या पर, समय या जड़ता खेल में नहीं आती है, और तैराकी की गति विशुद्ध रूप से आकारों के अनुक्रम से निर्धारित होती है जो तैराक मानता है। एडवर्ड मिल्स पर्सेल ने अपने 1977 के पेपर लाइफ एट लो रेनॉल्ड्स नंबर में जलीय गति के भौतिक सिद्धांतों की व्याख्या करते हुए इस प्रमेय को बताया। इस प्रमेय का नाम एक स्कैलप की गति के लिए रखा गया है जो एक अवधि के दौरान एक साधारण काज को खोलती और बंद करती है। इस तरह की गति कम रेनॉल्ड्स संख्या पर प्रवास पैदा करने के लिए पर्याप्त नहीं है। स्कैलप गति के लिए उपयोग करने के लिए एक डिग्री स्वतंत्रता के साथ एक निकाय का एक उदाहरण है। एकल डिग्री स्वतंत्रता वाले निकाय पारस्परिक तरीके से विकृत हो जाते हैं और बाद में, एक डिग्री स्वतंत्रता वाले निकाय अत्यधिक चिपचिपे वातावरण में गति प्राप्त नहीं करते हैं। पृष्ठभूमि स्कैलप प्रमेय जीव पर लागू होने वाले बाद के बलों का एक परिणाम है क्योंकि यह आसपास के तरल पदार्थ से तैरता है। घनत्व और गतिशील चिपचिपाहट के साथ एक असंपीड़ित न्यूटोनियन द्रव के लिए, प्रवाह नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को संतुष्ट करता हैः, जहां द्रव के वेग को दर्शाता है। हालांकि, कम रेनॉल्ड्स संख्या सीमा पर, बाईं ओर नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की जड़त्वीय शर्तें शून्य होती हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के गैर-आयामीकरण से यह अधिक स्पष्ट हो जाता है। एक विशिष्ट वेग और लंबाई को परिभाषित करके, और, हम अपने चर को आयामहीन रूप में डाल सकते हैंः जहाँ महत्वपूर्ण चिपचिपा प्रभावों के साथ प्रवाह के लिए आयामहीन दबाव को उचित रूप से मापा जाता है। इन मात्राओं को नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में जोड़ने से हमें पता चलता हैः और शब्दों को फिर से व्यवस्थित करके, हम एक आयामहीन रूप में पहुँचते हैंः, रेनॉल्ड्स संख्या कहाँ है। कम रेनॉल्ड्स संख्या सीमा (ए. एस.) में, एल. एच. एस. शून्य हो जाता है और हम स्टोक्स समीकरणों के आयामहीन रूप में पहुँचते हैं। पैदावार को पुनः आयामी बनानाः कथन कम रेनॉल्ड्स संख्या पर कोई जड़त्वीय शब्द नहीं होने के परिणाम इस प्रकार हैंः एक परिणाम का अर्थ है कि तैराक वस्तुतः कोई शुद्ध बल या टोक़ का अनुभव नहीं करता है। दूसरा परिणाम हमें बताता है कि वेग बल के रैखिक रूप से आनुपातिक है (कोणीय वेग और टोक़ के बारे में भी यही कहा जा सकता है)। स्टोक्स के समीकरण रैखिक और समय से स्वतंत्र हो जाते हैं। विशेष रूप से, कम रेनॉल्ड्स संख्या व्यवस्था में चलने वाले एक तैराक के लिए, इसकी गति संतुष्ट होती हैः समय के स्वतंत्रः एक ही गति को तेज किया जा सकता है या धीमा किया जा सकता है, और यह अभी भी स्टोक्स समीकरणों को संतुष्ट करेगा। अधिक ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि कम रेनॉल्ड्स संख्या व्यवस्था में एक तैराक की गति विशुद्ध रूप से विन्यास स्थान में उसके प्रक्षेपवक्र के आकार से निर्धारित होती है। काइनेमेटिक रिवर्सिबिलिटीः एक ही गति को उलट दिया जा सकता है। शरीर पर कार्य करने वाले बलों का कोई भी तत्काल उलटना उसके चारों ओर तरल प्रवाह की प्रकृति को नहीं बदलेगा, बस प्रवाह की दिशा को बदलेगा। ये बल गति उत्पन्न करने के लिए जिम्मेदार हैं। जब किसी वस्तु में केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, तो बलों के उलटने से शरीर पारस्परिक रूप से विकृत हो जाएगा। उदाहरण के लिए, अपने काज को खोलने वाला एक स्कैलप प्रणोदन प्राप्त करने की कोशिश करने के लिए इसे बंद कर देगा। चूँकि बलों का उलटना प्रवाह की प्रकृति को नहीं बदलता है, इसलिए पिंड ठीक उसी तरह से विपरीत दिशा में आगे बढ़ेगा, जिससे कोई शुद्ध विस्थापन नहीं होगा। इस तरह हम स्कैलप प्रमेय के परिणामों पर पहुँचते हैं। मापन द्वारा प्रमाण यह पर्सेल द्वारा दिए गए प्रमाण रेखाचित्र के करीब है। मुख्य परिणाम यह दिखाना है कि स्टोक्स द्रव में एक तैराक समय पर निर्भर नहीं करता है। यानी, कोई यह पता नहीं लगा सकता कि तैराक की गति की फिल्म धीमी हो गई है, तेज हो गई है या उलट गई है। अन्य परिणाम तब सरल परिणाम होते हैं। द्रव का तनाव टेंसर है। मान लीजिए कि यह एक गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक है। मान लीजिए कि हमारे पास एक तैराकी गति है, तो हम निम्नलिखित स्केलिंग कर सकते हैंः और स्टोक्स समीकरण का एक और समाधान प्राप्त कर सकते हैं। अर्थात्, यदि हम हाइड्रोस्टैटिक दबाव, प्रवाह-वेग और तनाव टेंसर को सभी द्वारा मापते हैं, तो भी हम स्टोक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं। चूँकि गति कम रेनॉल्ड्स संख्या व्यवस्था में होती है, जड़त्वीय बल नगण्य होते हैं, और तैराक पर तात्कालिक कुल बल और टोक़ दोनों को शून्य पर संतुलित होना चाहिए। चूँकि तैराक पर तात्कालिक कुल बल और टोक़ की गणना उसकी सतह पर तनाव टेंसर को एकीकृत करके की जाती है, इसलिए तात्कालिक कुल बल और टोक़ भी बढ़ जाते हैं, जो अभी भी शून्य हैं। इस प्रकार, तैराक की गति और आसपास के द्रव तराजू की गति दोनों को एक ही कारक से मापने पर, हम अभी भी एक ऐसी गति प्राप्त करते हैं जो स्टोक्स समीकरण का सम्मान करती है। वेक्टर कलन द्वारा प्रमाण स्कैलप प्रमेय के प्रमाण को गणितीय रूप से सुरुचिपूर्ण तरीके से दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हमें पहले स्टोक्स समीकरणों की रैखिकता के गणितीय परिणामों को समझना होगा। संक्षेप में, स्टोक्स समीकरणों की रैखिकता हमें तैराक के तैराकी वेग को उसकी सतह के चारों ओर तरल पदार्थ के वेग क्षेत्र (जिसे तैराकी चाल के रूप में जाना जाता है) से संबंधित करने के लिए पारस्परिक प्रमेय का उपयोग करने की अनुमति देती है, जो इसके द्वारा प्रदर्शित आवधिक गति के अनुसार बदलता है। यह संबंध हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि गति तैराकी दर से स्वतंत्र है। इसके बाद, यह इस खोज की ओर ले जाता है कि आवधिक गति का उलटना समरूपता के कारण आगे की गति के समान है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोई शुद्ध विस्थापन नहीं हो सकता है। दर-स्वतंत्रता पारस्परिक प्रमेय एक ही ज्यामिति में दो स्टोक्स प्रवाहों के बीच संबंध का वर्णन करता है जहां चिपचिपा प्रभावों की तुलना में जड़त्वीय प्रभाव महत्वहीन होते हैं। एक द्रव से भरे क्षेत्र पर विचार करें जो एक इकाई सामान्य के साथ सतह से घिरा हुआ है। मान लीजिए कि हमारे पास वेग क्षेत्रों के रूप वाले क्षेत्र में स्टोक्स समीकरणों का समाधान है। वेग क्षेत्र क्रमशः संबंधित तनाव क्षेत्रों को आश्रय देते हैं। फिर निम्नलिखित समानता होती हैः पारस्परिक प्रमेय हमें दूसरे प्रवाह से जानकारी का उपयोग करके एक निश्चित प्रवाह के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह स्टोक्स समीकरणों को हल करने के लिए बेहतर है, जो एक ज्ञात सीमा स्थिति नहीं होने के कारण मुश्किल है। यह विशेष रूप से उपयोगी है यदि कोई एक ही ज्यामिति में एक सरल समस्या के प्रवाह का अध्ययन करके एक जटिल समस्या से प्रवाह को समझना चाहता है। एक तैराक के तैराकी वेग को उसकी तैराकी चाल के लिए एक बल के अधीन करने के लिए पारस्परिक प्रमेय का उपयोग किया जा सकता हैः अब जब हमने यह स्थापित कर लिया है कि शरीर पर कार्य करने वाले बल की दिशा में तात्कालिक तैराकी वेग और उसकी तैराकी चाल के बीच का संबंध सामान्य रूप का अनुसरण करता है, जहां और तैराक की सतह पर बिंदुओं की स्थिति को दर्शाता है, तो हम यह स्थापित कर सकते हैं कि गति गति दर से स्वतंत्र है। एक तैराक पर विचार करें जो समय और समय के बीच गतियों के अनुक्रम के माध्यम से आवधिक रूप से विकृत हो जाता है। तैराकक शुद्ध विस्थापन अछि। अब तैराक के उसी तरीके से लेकिन एक अलग दर से विकृत होने पर विचार करें। हम मानचित्रण के साथ इसका वर्णन करते हैं। इस मानचित्रण का उपयोग करते हुए, हम इसे देखते हैं। इस परिणाम का मतलब है कि तैराक द्वारा तय की गई कुल दूरी उस दर पर निर्भर नहीं करती है जिस पर वह विकृत हो रहा है, बल्कि केवल आकार के ज्यामितीय अनुक्रम पर निर्भर करती है। यह पहला प्रमुख परिणाम है। आगे और पीछे की गति की सममिति यदि कोई तैराक आवधिक रूप से चल रहा है जो समय अपरिवर्तनीय है, तो हम जानते हैं कि एक अवधि के दौरान औसत विस्थापन शून्य होना चाहिए। प्रमाण को स्पष्ट करने के लिए, आइए हम एक तैराक के एक अवधि के दौरान विकृत होने पर विचार करें जो कभी-कभी शुरू होता है और कभी-कभी समाप्त होता है। इसका मतलब है कि शुरुआत और अंत में इसका आकार समान है, यानी। .. इसके बाद, हम पहली गति की समय-व्युत्क्रम समरूपता द्वारा प्राप्त गति पर विचार करते हैं जो समय और समय पर शुरू होने और समाप्त होने की अवधि के दौरान होती है। पिछले खंड की तरह एक समान मानचित्रण का उपयोग करते हुए, हम आगे की गति में आकार के समान होने के लिए विपरीत गति में आकार को परिभाषित और परिभाषित करते हैं। अब हम इन दो मामलों में शुद्ध विस्थापन के बीच संबंध पाते हैंः यह दूसरा प्रमुख परिणाम है। पिछले खंड से हमारे पहले प्रमुख परिणाम के साथ संयोजन करते हुए, हम इसे देखते हैं। हम देखते हैं कि एक तैराक जो आकार परिवर्तनों के अपने अनुक्रम को उलटकर अपनी गति को उलट देता है, वह यात्रा की गई विपरीत दूरी की ओर ले जाता है। इसके अलावा, चूंकि तैराक पारस्परिक शरीर विरूपण प्रदर्शित करता है, इसलिए गति का क्रम और और और के बीच समान होता है। इस प्रकार, तय की गई दूरी समय की दिशा से स्वतंत्र रूप से समान होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि कम रेनॉल्ड्स संख्या वातावरण में शुद्ध गति के लिए पारस्परिक गति का उपयोग नहीं किया जा सकता है। अपवाद स्कैलप प्रमेय तब लागू होता है जब हम मानते हैं कि एक तैराक जड़ता और बाहरी शरीर बलों की अनुपस्थिति में एक अनंत शांत न्यूटनियन तरल पदार्थ में पारस्परिक गति से गुजरता है। हालांकि, ऐसे उदाहरण हैं जहां स्कैलप प्रमेय के लिए धारणाओं का उल्लंघन किया जाता है। एक मामले में, चिपचिपे वातावरण में सफल तैराकों को गैर-पारस्परिक शरीर गतिविज्ञान प्रदर्शित करना चाहिए। एक अन्य मामले में, यदि कोई तैराक गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ में है, तो गति भी प्राप्त की जा सकती है। गैर-पारस्परिक गति के प्रकार अपने मूल पेपर में, पर्सेल ने गैर-पारस्परिक शरीर विरूपण का एक सरल उदाहरण प्रस्तावित किया, जिसे अब आमतौर पर पर्सेल तैराक के रूप में जाना जाता है। इस साधारण तैराक के पास गति के लिए दो डिग्री की स्वतंत्रता होती हैः एक दो-पैर वाला शरीर जो तीन कठोर लिंक से बना होता है जो एक दूसरे के साथ चरण से बाहर घूमते हैं। हालांकि, गति की स्वतंत्रता की एक से अधिक डिग्री वाला कोई भी निकाय गति को भी प्राप्त कर सकता है। सामान्य तौर पर, बैक्टीरिया जैसे सूक्ष्म जीवों ने गैर-पारस्परिक गति करने के लिए विभिन्न तंत्र विकसित किए हैंः एक फ्लैजेलम का उपयोग, जो घूमता है, माध्यम को पीछे की ओर धकेलता है-और कोशिका को आगे-उसी तरह जैसे एक जहाज का पेंच एक जहाज को स्थानांतरित करता है। इस तरह कुछ बैक्टीरिया चलते हैं; फ्लैजेलम एक छोर पर एक जटिल घूर्णन मोटर से जुड़ा होता है जो बैक्टीरिया कोशिका सतह में सख्ती से आयोजित होता है। एक लचीली भुजा का उपयोगः यह कई अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्तनधारी शुक्राणु में एक फ्लैजेलम होता है जो, चाबुक की तरह, कोशिका के अंत में घूमता है, कोशिका को आगे धकेलता है। सिलिया स्तनधारी फ्लैजेला के समान संरचनाएँ हैं; वे एक जटिल गति से पैरामेसियम जैसी कोशिका को आगे बढ़ा सकते हैं जो स्तन आघात से भिन्न नहीं है। ज्यामितीय रूप से, घूर्णन फ्लैजेलम एक आयामी तैराक है, और यह काम करता है क्योंकि इसकी गति एक वृत्त के आकार के विन्यास स्थान के चारों ओर जा रही है, और एक वृत्त एक पारस्परिक गति नहीं है। लचीला हाथ एक बहु-आयामी तैराक है, और यह काम करता है क्योंकि इसकी गति एक वर्गाकार आकार के विन्यास स्थान में एक वृत्त के चारों ओर जा रही है। ध्यान दें कि पहले प्रकार की गति में गैर-तुच्छ समरूपता होती है, लेकिन दूसरे प्रकार में तुच्छ समरूपता होती है। गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ एक न्यूटोनियन तरल पदार्थ की धारणा आवश्यक है क्योंकि स्टोक्स समीकरण जटिल यांत्रिक और रियोलॉजिकल गुणों वाले वातावरण में रैखिक और समय-स्वतंत्र नहीं रहेंगे। यह भी सामान्य ज्ञान है कि कई जीवित सूक्ष्मजीव जटिल गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थों में रहते हैं, जो जैविक रूप से प्रासंगिक वातावरण में आम हैं। उदाहरण के लिए, रेंगने वाली कोशिकाएं अक्सर लोचदार पॉलीमेरिक तरल पदार्थों में स्थानांतरित होती हैं। गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थों में कई गुण होते हैं जिन्हें छोटे पैमाने पर गति उत्पन्न करने के लिए हेरफेर किया जा सकता है। सबसे पहले, इस तरह का एक शोषण योग्य गुण सामान्य तनाव अंतर है। ये अंतर तैराक के प्रवाह द्वारा तरल पदार्थ के खिंचाव से उत्पन्न होंगे। एक अन्य दोहन योग्य गुण तनाव से राहत है। इस तरह के तनावों के इस तरह के समय विकास में एक स्मृति शब्द होता है, हालांकि इसका उपयोग किस हद तक किया जा सकता है, यह काफी हद तक अज्ञात है। अंत में, गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थों में चिपचिपाहट होती है जो कतरनी दर पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, एक तैराक अपनी गति की दर को बदलकर एक अलग रेनॉल्ड्स संख्या वातावरण का अनुभव करेगा। कई जैविक रूप से प्रासंगिक तरल पदार्थ कतरनी-पतली प्रदर्शित करते हैं, जिसका अर्थ है कि कतरनी दर के साथ चिपचिपाहट कम हो जाती है। ऐसे वातावरण में, जिस दर पर एक तैराक पारस्परिक गति प्रदर्शित करता है, वह महत्वपूर्ण होगी क्योंकि यह अब समय अपरिवर्तनीय नहीं रहेगा। यह हमने जो स्थापित किया है उसके बिल्कुल विपरीत है जहां एक तैराक जिस दर से चलता है वह गति स्थापित करने के लिए अप्रासंगिक है। इस प्रकार, एक पारस्परिक तैराक को गैर-न्यूटोनियन द्रव में डिजाइन किया जा सकता है। क्यू एट अल। (2014) एक गैर-न्यूटोनियन द्रव में एक सूक्ष्म स्कैलप डिजाइन करने में सक्षम थे। बैक्टीरियल गतिशीलता माइक्रोस्विमर प्रोटिस्ट लोकोमोशन संदर्भ बाहरी लिंक ई. एम. पर्सेल भी देखें। लाइफ एट लो रेनॉल्ड्स नंबर, अमेरिकन जर्नल ऑफ फिजिक्स वॉल्यूम 45, पी. 3-11 (1977) काइनेमेटिक रिवर्सिबिलिटी एंड द स्कैलप थ्योरम वीडियो ऑफ एक स्विमिंग रोबोट स्कैलप थ्योरम फिजिक्स थ्योरम फ्लूइड डायनामिक्स गणितीय और सैद्धांतिक जीव विज्ञान के कारण चिपचिपे तरल पदार्थ में आगे बढ़ने में असमर्थ है।