Binet equation
जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा व्युत्पन्न बिनेट समीकरण, समतल ध्रुवीय निर्देशांक में कक्षीय गति के आकार को देखते हुए एक केंद्रीय बल का रूप प्रदान करता है। समीकरण का उपयोग किसी दिए गए बल नियम के लिए कक्षा के आकार को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, लेकिन इसमें आमतौर पर दूसरे क्रम के अरैखिक साधारण विभेदक समीकरण का समाधान शामिल होता है। बल के केंद्र के आसपास गोलाकार गति के मामले में एक अनूठा समाधान असंभव है। समीकरण एक कक्षा के आकार को अक्सर कोण के फलन के रूप में सापेक्ष दूरी के संदर्भ में आसानी से वर्णित किया जाता है। बिनेट समीकरण के लिए, कक्षीय आकार को इसके बजाय पारस्परिक द्वारा एक फलन के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से वर्णित किया जाता है। विशिष्ट कोणीय संवेग को परिभाषित करें कि कोणीय संवेग कहाँ है और द्रव्यमान कहाँ है। अगले खंड में व्युत्पन्न बिनेट समीकरण, फलन के संदर्भ में बल देता हैः विशुद्ध रूप से केंद्रीय बल के लिए न्यूटन का दूसरा नियम व्युत्पन्न है कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए आवश्यक है कि समय के संबंध में व्युत्पन्न को कोण के संबंध में व्युत्पन्न के रूप में फिर से लिखा जा सकता हैः उपरोक्त सभी को मिलाकर, हम इस पर पहुंचते हैं। उदाहरण केप्लर समस्या शास्त्रीय एक व्युत्क्रम वर्ग नियम की कक्षा की गणना करने की पारंपरिक केप्लर समस्या को विभेदक समीकरण के समाधान के रूप में बिनेट समीकरण से पढ़ा जा सकता है यदि कोण को पेरियाप्सिस से मापा जाता है, तो (पारस्परिक) ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त कक्षा के लिए सामान्य समाधान है उपरोक्त ध्रुवीय समीकरण शंकु वर्गों का वर्णन करता है, जिसमें अर्ध-लैटस मलाशय (बराबर) और कक्षीय उत्केन्द्रता होती है। सापेक्षतावादी श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक के लिए व्युत्पन्न सापेक्षतावादी समीकरण वह है जहाँ प्रकाश की गति है और श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या है। और रीसनर-नॉर्डस्ट्रॉम मीट्रिक के लिए हम प्राप्त करेंगे कि विद्युत आवेश कहाँ है और निर्वात पारगम्यता कहाँ है। व्युत्क्रम केपलर समस्या व्युत्क्रम केपलर समस्या पर विचार करें। किस प्रकार का बल नियम दीर्घवृत्त के केंद्र के चारों ओर एक गैर-वृत्ताकार अण्डाकार कक्षा (या अधिक सामान्य रूप से एक गैर-वृत्ताकार शंकु खंड) उत्पन्न करता है? एक दीर्घवृत्त के लिए उपरोक्त ध्रुवीय समीकरण को दो बार अलग करने से बल नियम मिलता है जो कि प्रत्याशित व्युत्क्रम वर्ग नियम है। कक्षीय को भौतिक मूल्यों जैसे कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम या कुलम्ब के नियम से मिलान करना या पुनः प्रस्तुत करना, क्रमशः। श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांकों के लिए प्रभावी बल वह है जहां दूसरा पद चतुर्भुज प्रभावों के अनुरूप एक व्युत्क्रम-चतुर्थक बल है जैसे कि पेरियाप्सिस का कोणीय परिवर्तन (इसे मंद क्षमताओं के माध्यम से भी प्राप्त किया जा सकता है)। न्यूटोनियन औपचारिकता के बाद हम सामान्य सापेक्षता के लिए और शास्त्रीय मामले में प्राप्त करेंगे। कोट्स सर्पिल एक व्युत्क्रम घन बल नियम का रूप है एक व्युत्क्रम घन नियम की कक्षाओं की आकृतियों को कोट्स सर्पिल के रूप में जाना जाता है। बिनेट समीकरण से पता चलता है कि कक्षाओं को समीकरण का समाधान होना चाहिए विभेदक समीकरण में तीन प्रकार के समाधान हैं, जो केपलर समस्या के विभिन्न शंकु वर्गों के अनुरूप हैं। कब, समाधान एपिसोड है, जिसमें एक सीधी रेखा का पैथोलॉजिकल मामला भी शामिल है। जब, समाधान हाइपरबोलिक सर्पिल है। जब समाधान पॉइंसॉट का सर्पिल होता है। यद्यपि बाइनेट समीकरण बल के केंद्र के बारे में गोलाकार गति के लिए एक अद्वितीय बल नियम देने में विफल रहता है, लेकिन जब वृत्त का केंद्र और बल का केंद्र मेल नहीं खाते हैं तो समीकरण एक बल नियम प्रदान कर सकता है। उदाहरण के लिए एक गोलाकार कक्षा पर विचार करें जो सीधे बल के केंद्र से गुजरती है। व्यास की ऐसी गोलाकार कक्षा के लिए एक (पारस्परिक) ध्रुवीय समीकरण दो बार विभेदन करता है और पाइथागोरियन पहचान का उपयोग करने से बल नियम मिलता है। एक आकर्षक बल नियम की कक्षाओं का निर्माण, काफी अधिक कठिन समस्या है क्योंकि यह दूसरे क्रम के अरैखिक विभेदक समीकरण को हल करने के बराबर है। शास्त्रीय केंद्रीय-बल समस्या भी देखें सामान्य सापेक्षता में सामान्य सापेक्षता दो-शरीर समस्या बर्ट्रैंड की प्रमेय संदर्भ शास्त्रीय यांत्रिकी भौतिकी के नामित नियम