Reeb sphere theorem
गणित में, रीब क्षेत्र प्रमेय, जिसका नाम जॉर्जेस रीब के नाम पर रखा गया है, बताता है कि एक बंद उन्मुख जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड M n जो केवल केंद्रों वाले एकवचन फोलिएशन को स्वीकार करता है, वह गोले Sn के समरूप है और फोलिएशन में बिल्कुल दो विलक्षणताएँ हैं। मोर्स फोलिएशन एक फोलिएशन एफ की विलक्षणता मोर्स प्रकार की होती है यदि इसके छोटे से पड़ोस में फोलिएशन के सभी पत्ते एक मोर्स फ़ंक्शन के स्तरीय सेट होते हैं, क्योंकि विलक्षणता फ़ंक्शन का एक महत्वपूर्ण बिंदु होता है। विलक्षणता एक केंद्र है यदि यह कार्य का एक स्थानीय चरम है; अन्यथा, विलक्षणता एक काठी है। केंद्रों की संख्या सी और काठी की संख्या, विशेष रूप से, मैनिफोल्ड टोपोलॉजी के साथ कसकर जुड़ी हुई है। हम एक विलक्षणता के सूचकांक को दर्शाते हैं, जहाँ k एक मोर्स फलन के संबंधित महत्वपूर्ण बिंदु का सूचकांक है। विशेष रूप से, एक केंद्र में सूचकांक 0 होता है, एक काठी का सूचकांक कम से कम 1 होता है। एक मैनिफोल्ड एम पर एक मोर्स फोलिएशन एफ एक एकल अनुप्रस्थ उन्मुख कोडिमेंशन है जो अलग-अलग विलक्षणताओं के साथ वर्ग का एक फोलिएशन हैः एफ की प्रत्येक विलक्षणता मोर्स प्रकार की है, प्रत्येक एकल पत्ती एल में एक अद्वितीय विलक्षणता पी होती है; इसके अलावा, यदि तब जुड़ा नहीं है। रीब स्फीयर थ्योरम यह मामला है, बिना काठी के मामला। प्रमेयः मान लीजिए कि यह आयाम का एक बंद उन्मुख जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड है। मान लीजिए कि एकलताओं के एक गैर-खाली समूह के साथ एक-अनुप्रस्थ उन्मुख कोडिमेंशन एक फोलिएशन को स्वीकार करता है, वे सभी केंद्र हैं। फिर एकवचन समूह में दो बिंदु होते हैं और यह गोले के समरूप होता है। यह रीब स्थिरता प्रमेय का एक परिणाम है। सामान्यीकरण अधिक सामान्य मामला 1978 में, एडवर्ड वागन्यूर ने रीब क्षेत्र प्रमेय को काठी के साथ मोर्स पर्णसमूह के लिए सामान्यीकृत किया। उन्होंने दिखाया कि केंद्रों की संख्या काठी की संख्या की तुलना में बहुत अधिक नहीं हो सकती है, विशेष रूप से। अतः ठीक दो मामले हैं जबः (1) (2) उन्होंने कई गुना का वर्णन प्राप्त किया जिसमें उन्होंने एकलता के साथ एक फोलियेशन को स्वीकार किया जो (1) को संतुष्ट करता है। प्रमेयः केंद्र और काठी के साथ मोर्स फोलिएशन को स्वीकार करते हुए एक कॉम्पैक्ट जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड होने दें। फिर. यदि समरूपी है, तो सभी काठी में सूचकांक 1 होता है, प्रत्येक नियमित पत्ता भिन्न होता है। अंत में, 2008 में, सीज़र कामाचो और ब्रूनो स्कार्डुआ ने मामले (2) पर विचार किया। यह कम आयामों की एक छोटी संख्या में संभव है। प्रमेयः मान लीजिए कि एक कॉम्पैक्ट जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड और एक मोर्स फोलिएशन चालू है। अगर, तब या, एक ईल्स-कुइपर मैनिफोल्ड है। संदर्भ टोपोलॉजी में पर्णसमूह प्रमेय