Unit hyperbola
ज्यामिति में, इकाई हाइपरबोला कार्टेशियन तल में बिंदुओं (x, y) का समूह है जो अंतर्निहित समीकरण को संतुष्ट करता है अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूहों के अध्ययन में, इकाई हाइपरबोला एक वैकल्पिक रेडियल लंबाई के लिए आधार बनाता है जबकि इकाई वृत्त अपने केंद्र को घेरता है, इकाई हाइपरबोला को समतल में इसके पूरक के लिए संयुग्म हाइपरबोला की आवश्यकता होती है। हाइपरबोलास की यह जोड़ी असिम्प्टोट्स y = x और y = −x को साझा करती है। जब इकाई हाइपरबोला का संयुग्म उपयोग में होता है, तो वैकल्पिक रेडियल लंबाई होती है इकाई हाइपरबोला एक विशेष अभिविन्यास, स्थान और पैमाने के साथ आयताकार हाइपरबोला का एक विशेष मामला है। जैसे, इसकी उत्केन्द्रता बराबर होती है इकाई हाइपरबोला ऐसे अनुप्रयोग ढूंढता है जहाँ विश्लेषणात्मक ज्यामिति के उद्देश्यों के लिए वृत्त को हाइपरबोला के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। एक प्रमुख उदाहरण एक छद्म-यूक्लिडियन स्थान के रूप में अंतरिक्ष काल का चित्रण है। वहाँ इकाई हाइपरबोला के एसिम्प्टोट्स एक प्रकाश शंकु बनाते हैं। इसके अलावा, ग्रेगोइर डी सेंट-विंसेंट द्वारा हाइपरबोलिक क्षेत्रों के क्षेत्रों पर ध्यान देने से लघुगणक कार्य और क्षेत्र क्षेत्रों द्वारा हाइपरबोला का आधुनिक पैरामीटराइजेशन हुआ। जब संयुग्म अतिध्रुव और अतिध्रुवीय कोणों की धारणाओं को समझा जाता है, तो शास्त्रीय जटिल संख्याएँ, जो इकाई वृत्त के चारों ओर निर्मित होती हैं, को इकाई अतिध्रुव के चारों ओर निर्मित संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। असिंप्टोट्स आम तौर पर एक वक्र के लिए एसिम्प्टोटिक रेखाओं को वक्र की ओर अभिसरण करने के लिए कहा जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय वक्रों के सिद्धांत में असिम्प्टोट्स के लिए एक अलग दृष्टिकोण है। वक्र की व्याख्या सबसे पहले प्रोजेक्टिव प्लेन में सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके की जाती है। फिर असिम्प्टोट्स ऐसी रेखाएँ हैं जो अनंत पर एक बिंदु पर प्रोजेक्टिव वक्र के लिए स्पर्शरेखा हैं, इस प्रकार एक दूरी अवधारणा और अभिसरण की किसी भी आवश्यकता को दरकिनार करती हैं। एक सामान्य ढांचे (x, y, z) में समीकरण z = 0 द्वारा निर्धारित अनंत पर रेखा के साथ सजातीय निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, सी. जी. गिब्सन ने लिखाः R2 में मानक आयताकार हाइपरबोला के लिए, संबंधित प्रोजेक्टिव वक्र वह है जो P = (1:1:0) और Q = (1: −1:0) बिंदुओं पर z = 0 से मिलता है। पी और क्यू दोनों एफ पर सरल हैं, स्पर्शरेखा x + y = 0, x − y = 0 के साथ; इस प्रकार हम प्राथमिक ज्यामिति के परिचित 'एसिम्प्टोट्स' को पुनर्प्राप्त करते हैं। मिन्कोव्स्की आरेख मिन्कोव्स्की आरेख को एक स्पेसटाइम प्लेन में खींचा गया है जहाँ स्थानिक पहलू को एक ही आयाम तक सीमित कर दिया गया है। इस तरह के तल पर दूरी और समय की इकाइयाँ 30 सेंटीमीटर लंबाई और नैनोसेकंड, या खगोलीय इकाइयाँ और 8 मिनट और 20 सेकंड, या प्रकाश वर्ष और वर्षों के अंतराल की इकाइयाँ हैं। निर्देशांक के इन तराजू में से प्रत्येक के परिणामस्वरूप ढलान प्लस या माइनस एक की विकर्ण रेखाओं के साथ घटनाओं के फोटॉन कनेक्शन होते हैं। पाँच तत्व आरेख हर्मन मिन्कोव्स्की का गठन करते हैं जिसका उपयोग सापेक्षता परिवर्तनों का वर्णन करने के लिए किया जाता हैः इकाई हाइपरबोला, इसका संयुग्म हाइपरबोला, हाइपरबोला के अक्ष, इकाई हाइपरबोला का व्यास और संयुग्म व्यास। अक्षों के साथ तल संदर्भ के एक विश्राम ढांचे को संदर्भित करता है। इकाई हाइपरबोला का व्यास गति में संदर्भ के एक ढांचे का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें तेजी a है जहाँ तनह a = y/x और (x, y) इकाई हाइपरबोला पर व्यास का अंतिम बिंदु है। संयुग्म व्यास गति a के अनुरूप समकालिकता के स्थानिक हाइपरप्लेन का प्रतिनिधित्व करता है। इस संदर्भ में इकाई हाइपरबोला एक अंशांकन हाइपरबोला है आमतौर पर सापेक्षता अध्ययन में ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ हाइपरबोला को प्राथमिक के रूप में लिया जाता हैः समय का तीर आकृति के नीचे से ऊपर तक जाता है-एक परंपरा जिसे रिचर्ड फेनमैन ने अपने प्रसिद्ध आरेखों में अपनाया है। अंतरिक्ष को समय अक्ष के लंबवत विमानों द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ और अब बीच में एक विलक्षणता है। ऊर्ध्वाधर समय अक्ष परंपरा 1908 में मिन्कोव्स्की से उपजी है, और एडिंगटन की द नेचर ऑफ द फिजिकल वर्ल्ड (1928) के पृष्ठ 48 पर भी चित्रित की गई है। परिमाणीकरण इकाई हाइपरबोला को परिमाणीकृत करने का एक सीधा तरीका घातीय फलन के साथ परिमाणीकृत हाइपरबोला xy = 1 से शुरू होता हैः इस हाइपरबोला को मैट्रिक्स वाले रैखिक मानचित्रण द्वारा इकाई हाइपरबोला में बदल दिया जाता है यह पैरामीटर t हाइपरबोलिक कोण है, जो हाइपरबोलिक कार्यों का तर्क है। डब्ल्यू. के. क्लिफोर्ड द्वारा एलिमेंट्स ऑफ डायनेमिक (1878) में पैरामीट्राइज्ड यूनिट हाइपरबोला की प्रारंभिक अभिव्यक्ति पाई जाती है। उन्होंने एक हाइपरबोला में अर्ध-हार्मोनिक गति का वर्णन इस प्रकार किया हैः गति में अण्डाकार हार्मोनिक गति के कुछ जिज्ञासु सादृश्य हैं। .. त्वरण इस प्रकार यह हमेशा केंद्र से दूरी के समानुपाती होता है, जैसा कि अण्डाकार हार्मोनिक गति में होता है, लेकिन केंद्र से दूर निर्देशित होता है। एक विशेष शंकु के रूप में, एक शंकु पर बिंदुओं को जोड़ने की प्रक्रिया द्वारा हाइपरबोला को मानकीकृत किया जा सकता है। रूसी विश्लेषकों द्वारा निम्नलिखित विवरण दिया गया थाः शंकु पर एक बिंदु ई ठीक करें। उन बिंदुओं पर विचार करें जिन पर एबी के समानांतर ई के माध्यम से खींची गई सीधी रेखा दूसरी बार शंकु को काटती है जो ए और बी बिंदुओं का योग है। निश्चित बिंदु E = (1,0) वाले हाइपरबोला के लिए बिंदुओं का योग और यह पैरामीटर के तहत बिंदु है और यह जोड़ पैरामीटर t के जोड़ के अनुरूप है। जटिल समतल बीजगणित जबकि इकाई वृत्त जटिल संख्याओं से जुड़ा हुआ है, इकाई हाइपरबोला विभाजित-जटिल संख्या तल की कुंजी है जिसमें z = x + yj होता है, जहां j2 = + 1 होता है। फिर jz = y + xj, इसलिए समतल पर j की क्रिया निर्देशांकों को स्वैप करना है। विशेष रूप से, यह क्रिया इकाई हाइपरबोला को इसके संयुग्म के साथ बदल देती है और हाइपरबोला के संयुग्म व्यास के जोड़े को बदल देती है। हाइपरबोलिक कोण पैरामीटर ए के संदर्भ में, इकाई हाइपरबोला में बिंदु होते हैं, जहाँ जे = (0,1) होता है। इकाई हाइपरबोला की दाहिनी शाखा सकारात्मक गुणांक से मेल खाती है। वास्तव में, यह शाखा जे-अक्ष पर कार्य करने वाले घातीय मानचित्र की छवि है। इस प्रकार यह शाखा वक्र है a पर वक्र का ढलान व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है किसी भी a के लिए,) हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल है। यह संबंध एक्स. पी. (ए. आई.) और आई. एक्स. पी. (ए. आई.) की लंबवतता के अनुरूप है जब आई2 =-1 होता है। चूंकि, शाखा गुणन के तहत एक समूह है। वृत्त समूह के विपरीत, यह इकाई हाइपरबोला समूह सघन नहीं है। साधारण जटिल तल के समान, विकर्णों पर नहीं एक बिंदु में इकाई हाइपरबोला और वैकल्पिक रेडियल लंबाई के पैरामीटराइजेशन का उपयोग करके एक ध्रुवीय अपघटन होता है। संदर्भ एफ. रीज़ हार्वे (1990) स्पिनर्स और अंशांकन, चित्र 4.33, पृष्ठ 70, अकादमिक प्रेस,। शंकु खंड 1 (संख्या) विश्लेषणात्मक ज्यामिति रैखिक बीजगणितीय समूह