Arcsine laws (Wiener process)
संभाव्यता सिद्धांत में, आर्क्साइन नियम एक आयामी यादृच्छिक चलने और ब्राउनियन गति (वीनर प्रक्रिया) के लिए परिणामों का एक संग्रह है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध का श्रेय दिया जाता है। तीनों नियम वीनर प्रक्रिया के पथ गुणों को आर्कसाइन वितरण से संबंधित करते हैं। [0,1] पर एक यादृच्छिक चर X को आर्क्साइन-वितरित किया जाता है यदि नियमों के कथन के दौरान हम मानते हैं कि (Wt) 0 ≤ t ≤ 1 ωR [0,1] पर एक आयामी वीनर प्रक्रिया है। पैमाने की अपरिवर्तनीयता यह सुनिश्चित करती है कि परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता है और इसे टी. ω [0, φ] के लिए चलने वाली वीनर प्रक्रियाओं के लिए किया जा सकता है। पहला (लेवी का) आर्कसाइन नियम पहला आर्कसाइन नियम बताता है कि एक आयामी वीनर प्रक्रिया के सकारात्मक होने के समय का अनुपात एक आर्कसाइन वितरण का अनुसरण करता है। मान लीजिए कि [0,1] में समय के सेट का माप जिस पर वीनर प्रक्रिया सकारात्मक है। फिर आर्कसिन वितरित किया जाता है। दूसरा आर्क्साइन नियम दूसरा आर्क्साइन नियम पिछली बार वीनर प्रक्रिया के संकेत बदलने के वितरण का वर्णन करता है। अंतिम शून्य का समय होने दें। फिर L आर्कसाइन वितरित है। तीसरा आर्कसाइन नियम तीसरा आर्कसाइन नियम बताता है कि जिस समय पर एक वीनर प्रक्रिया अपने अधिकतम स्तर को प्राप्त करती है वह आर्कसाइन वितरित होता है। कानून का कथन इस तथ्य पर निर्भर करता है कि वीनर प्रक्रिया में लगभग निश्चित रूप से एक अद्वितीय अधिकतम है, और इसलिए हम यादृच्छिक चर एम को परिभाषित कर सकते हैं जो वह समय है जब अधिकतम प्राप्त किया जाता है। अर्थात। अद्वितीय एम ऐसा है कि फिर एम आर्कसाइन वितरित है। दूसरे और तीसरे नियमों की समानता वीनर प्रक्रिया की चलने वाली अधिकतम प्रक्रिया Mt को परिभाषित करते हुए Xt = Mt − Wt के नियम में एक परावर्तित वीनर प्रक्रिया |Bt। (जहां Bt, Wt से स्वतंत्र एक वीनर प्रक्रिया है) के समान नियम है। चूँकि B और |B। के शून्य मेल खाते हैं, X के अंतिम शून्य का वितरण L के समान है, जो वीनर प्रक्रिया का अंतिम शून्य है। एक्स का अंतिम शून्य ठीक उसी समय होता है जब डब्ल्यू अपने अधिकतम को प्राप्त करता है। यह इस प्रकार है कि दूसरे और तीसरे नियम समान हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ वीनर प्रक्रिया सांख्यिकीय यांत्रिकी