De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)
आपतन ज्यामिति में, डी ब्रुइजन-एर्डोस प्रमेय, मूल रूप से द्वारा प्रकाशित, एक प्रोजेक्टिव तल में n बिंदुओं द्वारा निर्धारित रेखाओं की संख्या पर एक निचली सीमा बताता है। द्वैत द्वारा, यह रेखाओं के विन्यास द्वारा निर्धारित प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या पर भी एक सीमा है। हालांकि डी ब्रुइजन और एर्दोस द्वारा दिया गया प्रमाण संयोजनात्मक है, डी ब्रुइजन और एर्दोस ने अपने शोध पत्र में उल्लेख किया कि अनुरूप (यूक्लिडियन) परिणाम सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय का एक परिणाम है, जो अंकों की संख्या पर एक प्रेरण द्वारा है। प्रमेय का कथन मान लीजिए कि पी एक प्रोजेक्टिव तल में n बिंदुओं का विन्यास है, न कि सभी एक रेखा पर। मान लीजिए कि टी, पी द्वारा निर्धारित रेखाओं की संख्या है। फिर, टी ≤ एन, और यदि टी = एन है, तो किसी भी दो रेखाओं में पी का एक बिंदु समान होता है। इस मामले में, पी या तो एक प्रक्षेप्य तल है या पी एक निकट पेंसिल है, जिसका अर्थ है कि ठीक n-1 बिंदु समरेखीय हैं। यूक्लिडियन प्रमाण तीन गैर-समरेखीय बिंदुओं के लिए प्रमेय स्पष्ट रूप से सही है। हम प्रेरण द्वारा आगे बढ़ते हैं। मान लीजिए कि n> 3 और प्रमेय n-1 के लिए सही है। मान लीजिए कि P, सभी समरेखीय नहीं, बल्कि n अंकों का एक समुच्चय है। सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय में कहा गया है कि एक रेखा है जिसमें पी के ठीक दो बिंदु हैं। ऐसी दो बिंदु रेखाओं को साधारण रेखाएं कहा जाता है। मान लीजिए कि a और b एक साधारण रेखा पर P के दो बिंदु हैं। यदि बिंदु a को हटाने से संरेखीय बिंदुओं का एक समूह उत्पन्न होता है तो P n रेखाओं की एक निकट पेंसिल उत्पन्न करता है (n-1 साधारण रेखाएँ a के माध्यम से और एक रेखा जिसमें अन्य n-1 बिंदु होते हैं)। अन्यथा, a को हटाने से n-1 बिंदुओं का एक समुच्चय, P 'उत्पन्न होता है जो सभी समरेखीय नहीं होते हैं। प्रेरण परिकल्पना द्वारा, पी 'कम से कम एन-1 रेखाओं को निर्धारित करता है। a और b द्वारा निर्धारित साधारण रेखा इनमें से नहीं है, इसलिए P कम से कम n रेखाओं को निर्धारित करता है। जे. एच. कॉनवे के प्रमाण जॉन हॉर्टन कॉनवे के पास विशुद्ध रूप से संयुक्त प्रमाण है जो परिणामस्वरूप जटिल संख्याओं, चतुर्थक और अष्टक पर अंकों और रेखाओं के लिए भी है। संदर्भ स्रोत। प्रोजेक्टिव ज्यामिति में प्रमेय यूक्लिडियन समतल ज्यामिति पृथक ज्यामिति में प्रमेय घटना ज्यामिति पॉल एर्डोस