Limit (mathematics)
गणित में, एक सीमा वह मूल्य है जो एक फ़ंक्शन (या अनुक्रम) इनपुट (या सूचकांक) के रूप में कुछ मूल्य तक पहुँचता है। गणना और गणितीय विश्लेषण के लिए सीमाएँ आवश्यक हैं, और इनका उपयोग निरंतरता, व्युत्पन्न और समाकलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा को आगे एक टोपोलॉजिकल नेट की सीमा की अवधारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और यह श्रेणी सिद्धांत में सीमा और प्रत्यक्ष सीमा से निकटता से संबंधित है। सूत्रों में, एक फलन की सीमा को आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है (हालांकि कुछ लेखक "लिम" के बजाय "लेफ्ट" का उपयोग करते हैं) और इसे "दृष्टिकोण की सीमा के बराबर" के रूप में पढ़ा जाता है। तथ्य यह है कि एक फ़ंक्शन सीमा तक पहुँचता है क्योंकि दृष्टिकोण कभी-कभी एक दाहिने तीर (→ या) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें लिखा होता है "की प्रवृत्ति के रूप में होती है"। इतिहास ग्रेगोइर डी सेंट-विंसेंट ने अपनी कृति ओपस जियोमेट्रिकम (1647) में ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (समाप्ति) की पहली परिभाषा दीः "एक प्रगति का अंत श्रृंखला का अंत है, जिस तक कोई भी प्रगति नहीं पहुंच सकती है, भले ही वह अनंत में जारी रहे, लेकिन जिसे वह किसी दिए गए खंड से अधिक निकट तक पहुँच सकती है।" सीमा की आधुनिक परिभाषा बर्नार्ड बोलजानो से मिलती है, जिन्होंने 1817 में निरंतर कार्यों को परिभाषित करने के लिए एप्सिलॉन-डेल्टा तकनीक की मूल बातें विकसित कीं। हालाँकि, उनकी मृत्यु के तीस साल बाद तक उनका काम अन्य गणितविदों के लिए अज्ञात रहा। 1821 में ऑगस्टिन-लुई कॉची ने, कार्ल वेयरस्ट्रास के बाद, एक फलन की सीमा की परिभाषा को औपचारिक रूप दिया, जिसे (ε, δ)-सीमा की परिभाषा के रूप में जाना जाने लगा। तीर को सीमा प्रतीक से नीचे रखने का आधुनिक संकेतन जी. एच. हार्डी के कारण है, जिन्होंने इसे 1908 में अपनी पुस्तक ए कोर्स ऑफ प्योर मैथमेटिक्स में पेश किया था। अनुक्रमों में सीमाओं के प्रकार वास्तविक संख्याएं अभिव्यक्ति 0.999. की व्याख्या अनुक्रम 0.9,0.99,0.999, आदि की सीमा के रूप में की जानी चाहिए। इस अनुक्रम को सख्ती से सीमा 1 के रूप में दिखाया जा सकता है, और इसलिए इस अभिव्यक्ति को सार्थक रूप से मान 1 के रूप में व्याख्या की जाती है। औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि यह वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है। जब अनुक्रम की सीमा मौजूद होती है, तो वास्तविक संख्या इस अनुक्रम की सीमा होती है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए, एक प्राकृतिक संख्या मौजूद हो जो सभी के लिए, हमारे पास हो। सामान्य संकेतन को इस प्रकार पढ़ा जाता हैः "n की अनंत तक पहुँचने की सीमा L के बराबर होती है" या "n की अनंत तक पहुँचने की सीमा L के बराबर होती है"। औपचारिक परिभाषा का सहज अर्थ है कि अंततः, अनुक्रम के सभी तत्व मनमाने ढंग से सीमा के करीब हो जाते हैं, क्योंकि निरपेक्ष मूल्य और के बीच की दूरी है। हर अनुक्रम की कोई सीमा नहीं होती है। एक सीमा वाले अनुक्रम को अभिसारी कहा जाता है; अन्यथा इसे विचलन कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि एक अभिसारी अनुक्रम की केवल एक सीमा होती है। एक अनुक्रम की सीमा और एक फलन की सीमा निकटता से संबंधित हैं। एक ओर, किसी अनुक्रम की अनंतता तक पहुँचने की सीमा केवल एक फलन की अनंतता की सीमा है-जिसे प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित किया गया है। दूसरी ओर, यदि X किसी फलन का क्षेत्र है और यदि X-x0 में बिंदुओं के प्रत्येक मनमाने अनुक्रम के लिए सीमा अनंत तक पहुँचती है, जो अभिसरण करती है, तो दृष्टिकोण के रूप में फलन की सीमा इसके बराबर होती है। ऐसा ही एक क्रम होगा। एक सीमा के रूप में अनंत एक सीमित मूल्य के बजाय एक सीमा "अनंत की ओर प्रवृत्त" होने की धारणा भी है। एक अनुक्रम को "अनंत की ओर प्रवृत्त" कहा जाता है, यदि प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए, जिसे बाउंड के रूप में जाना जाता है, एक पूर्णांक मौजूद है कि प्रत्येक के लिए, यानी प्रत्येक संभावित बाउंड के लिए, अनुक्रम अंततः बाउंड से अधिक हो जाता है। यह अक्सर लिखा जाता है या सरलता से लिखा जाता है। एक अनुक्रम के लिए अलग होना संभव है, लेकिन अनंत की ओर नहीं जाता है। इस तरह के अनुक्रमों को दोलन कहा जाता है। दोलन अनुक्रम का एक उदाहरण है। नकारात्मक अनंत की ओर झुकाव की एक संबंधित धारणा है, जिसे उपरोक्त परिभाषा में असमानता को बदलकर ए अनुक्रम के साथ परिभाषित किया गया है जिसे असीमित कहा जाता है, एक परिभाषा जो जटिल संख्याओं में अनुक्रमों के लिए या किसी भी मीट्रिक स्थान में समान रूप से मान्य है। जिन अनुक्रमों में अनंत की प्रवृत्ति नहीं होती है, उन्हें बद्ध कहा जाता है। जो अनुक्रम सकारात्मक अनंत की ओर प्रवृत्त नहीं होते हैं, उन्हें ऊपर से बद्ध कहा जाता है, जबकि जो नकारात्मक अनंत की ओर प्रवृत्त नहीं होते हैं, वे नीचे से बद्ध होते हैं। मीट्रिक स्थान उपरोक्त अनुक्रमों की चर्चा वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए है। सीमा की धारणा को अधिक अमूर्त स्थानों में मूल्यवान अनुक्रमों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि मीट्रिक स्थान। यदि दूरी फलन के साथ एक मीट्रिक स्थान है, और एक अनुक्रम है, तो अनुक्रम की सीमा (जब यह मौजूद है) एक ऐसा तत्व है कि, दिया गया है, कि प्रत्येक के लिए एक ऐसा मौजूद है, हमारे पास एक समतुल्य कथन है कि यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम है। उदाहरण-आर. एन. एक महत्वपूर्ण उदाहरण-आयामी वास्तविक सदिशों का स्थान है, जिसमें प्रत्येक तत्व वास्तविक है, एक उपयुक्त दूरी फलन का एक उदाहरण यूक्लिडियन दूरी है, जिसे परिभाषित किया गया है। कुछ अर्थों में सबसे अमूर्त स्थान जिसमें सीमाओं को परिभाषित किया जा सकता है, वे स्थलवैज्ञानिक स्थान हैं। यदि टोपोलॉजी के साथ एक टोपोलॉजिकल स्थान है, और एक अनुक्रम है, तो अनुक्रम की सीमा (जब यह मौजूद है) एक ऐसा बिंदु है कि, एक (खुले) पड़ोस को देखते हुए, ऐसा मौजूद है कि प्रत्येक के लिए, संतुष्ट है। इस मामले में, सीमा (यदि यह मौजूद है) अद्वितीय नहीं हो सकती है। हालाँकि यह अद्वितीय होना चाहिए यदि एक हौसडॉर्फ स्थान है। फंक्शन स्पेस यह खंड कार्यों के अनुक्रमों की सीमाओं के विचार से संबंधित है, नीचे चर्चा की गई कार्यों की सीमाओं के विचार के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। कार्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र आंशिक रूप से कार्य स्थानों पर अभिसरण की उपयोगी धारणाओं की पहचान करना चाहता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य समूह से कार्यों के स्थान पर विचार करें। फलन के एक अनुक्रम को देखते हुए कि प्रत्येक एक फलन है, मान लीजिए कि एक ऐसा फलन मौजूद है कि प्रत्येक के लिए, तो अनुक्रम को बिंदु की दिशा में अभिसरण कहा जाता है। हालांकि, इस तरह के अनुक्रम अप्रत्याशित व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, निरंतर कार्यों के एक अनुक्रम का निर्माण करना संभव है जिसमें एक असंतत बिंदु सीमा हो। अभिसरण की एक अन्य धारणा एकसमान अभिसरण है। दो कार्यों के बीच एक समान दूरी दोनों कार्यों के बीच अधिकतम अंतर है क्योंकि तर्क भिन्न है। अर्थात्, तब कहा जाता है कि अनुक्रम समान रूप से अभिसरण करता है या इस दूरी के संबंध में इसकी एक समान सीमा है। समान सीमा में बिंदु-वार सीमा की तुलना में "बेहतर" गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, निरंतर कार्यों के अनुक्रम की एक समान सीमा निरंतर है। अभिसरण की कई अलग-अलग धारणाओं को फंक्शन स्पेस पर परिभाषित किया जा सकता है। यह कभी-कभी स्थान की नियमितता पर निर्भर करता है। अभिसरण की कुछ धारणा के साथ फंक्शन स्पेस के प्रमुख उदाहरण एलपी स्पेस और सोबोलेव स्पेस हैं। फलन में मान लीजिए कि यह एक वास्तविक मूल्य वाला फलन है और एक वास्तविक संख्या है। सहज रूप से कहने पर, अभिव्यक्ति का अर्थ है कि पर्याप्त रूप से करीब बनाकर, जितना वांछित हो उतना करीब बनाया जा सकता है। उस स्थिति में, उपरोक्त समीकरण को "की सीमा, जैसा कि दृष्टिकोण है, है" के रूप में पढ़ा जा सकता है। औपचारिक रूप से, "दृष्टिकोण की सीमा" की परिभाषा निम्नानुसार दी गई है। सीमा एक वास्तविक संख्या है ताकि, एक मनमाना वास्तविक संख्या (जिसे "त्रुटि" माना जाता है) को देखते हुए, एक ऐसी संख्या है जो किसी भी संतोषजनक के लिए, इसे धारण करती है। इसे (ε, δ)-सीमा की परिभाषा के रूप में जाना जाता है। असमानता का उपयोग विचाराधीन बिंदुओं के समूह से बाहर करने के लिए किया जाता है, लेकिन कुछ लेखक इसे अपनी सीमाओं की परिभाषा में शामिल नहीं करते हैं, बस के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। यह प्रतिस्थापन अतिरिक्त रूप से निरंतर होने की आवश्यकता के बराबर है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक समतुल्य परिभाषा है जो अनुक्रमों की सीमाओं और कार्यों की सीमाओं के बीच संबंध को प्रकट करती है। समतुल्य परिभाषा निम्नानुसार दी गई है। सबसे पहले देखें कि के क्षेत्र में प्रत्येक अनुक्रम के लिए, एक संबंधित अनुक्रम है, जो नीचे दिए गए अनुक्रम की छवि है। सीमा एक वास्तविक संख्या है ताकि, सभी अनुक्रमों के लिए, संबंधित अनुक्रम। एकतरफा सीमा "बाएं हाथ की" सीमा ("नीचे से") होने की धारणा और "दाएं हाथ की" सीमा ("ऊपर से") की धारणा को परिभाषित करना संभव है। इन्हें सहमत होने की आवश्यकता नहीं है। एक उदाहरण सकारात्मक संकेतक फलन द्वारा दिया गया है, जिसे इस तरह परिभाषित किया गया है कि यदि, और यदि। पर, फलन की "बाएं हाथ की सीमा" 0 है, "दाएं हाथ की सीमा" 1 है, और इसकी सीमा मौजूद नहीं है। प्रतीकात्मक रूप से, इसे इस उदाहरण के लिए कहा जा सकता है, और, और इससे यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह मौजूद नहीं है, क्योंकि। कार्यों की सीमाओं में अनंत के क्षेत्र में "अनंत की ओर झुकाव" की धारणा को परिभाषित करना संभव है, इस अभिव्यक्ति में, अनंत को हस्ताक्षरित माना जाता हैः या तो या। "एफ की सीमा के रूप में एक्स सकारात्मक अनंत की ओर जाता है" को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। यह एक वास्तविक संख्या है कि, किसी भी वास्तविक को देखते हुए, एक मौजूद है ताकि यदि,। समान रूप से, किसी भी अनुक्रम के लिए, हमारे पास है। के मान में "अनंत की ओर झुकाव" की धारणा को परिभाषित करना भी संभव है, परिभाषा निम्नानुसार दी गई है। किसी भी वास्तविक संख्या को देखते हुए, फलन का निरपेक्ष मान एक है। समान रूप से, किसी भी अनुक्रम के लिए, अनुक्रम। गैर-मानक विश्लेषण गैर-मानक विश्लेषण में (जिसमें संख्या प्रणाली का अतियथार्थिक विस्तार शामिल है), एक अनुक्रम की सीमा को एक अनंत अतियथार्थिक सूचकांक n = H पर अनुक्रम के प्राकृतिक विस्तार के मूल्य के मानक भाग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, यहाँ, मानक भाग फलन "एस. टी". प्रत्येक परिमित अतियथार्थिक संख्या को निकटतम वास्तविक संख्या में बदल देता है (उनके बीच का अंतर असीम है)। यह इस स्वाभाविक अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देता है कि सूचकांक के "बहुत बड़े" मूल्यों के लिए, अनुक्रम में शब्द अनुक्रम के सीमा मूल्य के "बहुत करीब" हैं। इसके विपरीत, एक कौची अनुक्रम द्वारा अल्ट्रापावर निर्माण में दर्शाए गए हाइपररियल का मानक भाग केवल उस अनुक्रम की सीमा हैः इस अर्थ में, सीमा लेना और मानक भाग लेना समतुल्य प्रक्रियाएं हैं। सीमा समुच्चय एक अनुक्रम का सीमा समुच्चय एक स्थलवैज्ञानिक स्थान में एक अनुक्रम होने दें। ठोसता के लिए, के रूप में सोचा जा सकता है, लेकिन परिभाषाएं अधिक सामान्य रूप से होती हैं। सीमा सेट अंकों का समूह है जैसे कि यदि इसके साथ एक अभिसरण अनुक्रम है, तो यह सीमा सेट से संबंधित है। इस संदर्भ में, इस तरह के एक को कभी-कभी एक सीमा बिंदु कहा जाता है। इस धारणा का उपयोग दोलन अनुक्रमों के "दीर्घकालिक व्यवहार" की विशेषता के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें। एन = 1 से शुरू करते हुए, इस अनुक्रम के पहले कुछ पद हैं। यह जांचा जा सकता है कि यह दोलनशील है, इसलिए इसकी कोई सीमा नहीं है, लेकिन इसके सीमा अंक हैं। प्रक्षेपवक्र की सीमा समूह इस धारणा का उपयोग गतिशील प्रणालियों में प्रक्षेपवक्र की सीमाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। एक कार्य के रूप में प्रक्षेपवक्र को परिभाषित करते हुए, बिंदु को "समय" पर प्रक्षेपवक्र की "स्थिति" के रूप में माना जाता है। एक प्रक्षेपवक्र की सीमा सेट को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। बढ़ते समय के किसी भी क्रम के लिए, स्थितियों का एक संबंधित क्रम होता है। यदि बढ़ते समय के किसी भी अनुक्रम के लिए अनुक्रम की सीमा सेट है, तो प्रक्षेपवक्र का एक सीमा सेट है। तकनीकी रूप से, यह-सीमा सेट है। घटते समय के अनुक्रमों के लिए निर्धारित संबंधित सीमा को-सीमा सेट कहा जाता है। एक सचित्र उदाहरण वृत्त प्रक्षेपवक्र हैः इसकी कोई विशिष्ट सीमा नहीं है, लेकिन प्रत्येक के लिए, बिंदु एक सीमा बिंदु है, जो समय के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है। लेकिन प्रक्षेपवक्र पर सीमा बिंदुओं को प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है। प्रक्षेपवक्र में इसकी सीमा निर्धारित के रूप में इकाई वृत्त भी है। उपयोग सीमा का उपयोग विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। श्रृंखला रुचि की एक विशेष अभिव्यक्ति जिसे एक अनुक्रम की सीमा के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, अनंत श्रृंखलाओं का योग है। ये वास्तविक संख्याओं के "अनंत योग" हैं, जिन्हें आम तौर पर इस रूप में लिखा जाता है इसे सीमाओं के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया जाता हैः वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम को देखते हुए, आंशिक योगों के अनुक्रम को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है यदि अनुक्रम की सीमा मौजूद है, तो अभिव्यक्ति के मूल्य को सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है। अन्यथा, श्रृंखला को भिन्न कहा जाता है। एक उत्कृष्ट उदाहरण बेसल समस्या है, जहाँ। फिर हालांकि, जबकि अनुक्रमों के लिए अनिवार्य रूप से अभिसरण की एक अनूठी धारणा है, श्रृंखला के लिए अभिसरण की अलग-अलग धारणाएँ हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि अभिव्यक्ति अनुक्रम के विभिन्न क्रम के बीच भेदभाव नहीं करती है, जबकि आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण गुण अनुक्रम के क्रम पर निर्भर कर सकते हैं। एक श्रृंखला जो सभी क्रम के लिए अभिसरण करती है, उसे बिना शर्त अभिसारी कहा जाता है। इसे निरपेक्ष अभिसरण के समतुल्य साबित किया जा सकता है। इसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया है। यदि अच्छी तरह से परिभाषित किया जाए तो एक श्रृंखला पूरी तरह से अभिसारी होती है। इसके अलावा, सभी संभावित क्रम एक ही मूल्य देते हैं। अन्यथा, श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसारी है। सशर्त अभिसारी श्रृंखला के लिए एक आश्चर्यजनक परिणाम रीमान श्रृंखला प्रमेय हैः क्रम के आधार पर, आंशिक योग को किसी भी वास्तविक संख्या में अभिसारी किया जा सकता है, साथ ही साथ। शक्ति श्रृंखला श्रृंखला के योग के सिद्धांत का एक उपयोगी अनुप्रयोग शक्ति श्रृंखला के लिए है। ये रूप की श्रृंखलाओं के योग हैं जिन्हें अक्सर एक जटिल संख्या के रूप में माना जाता है, और जटिल अनुक्रमों के अभिसरण की एक उपयुक्त धारणा की आवश्यकता होती है। मानों का वह समुच्चय जिसके लिए श्रृंखला योग अभिसरण करता है, एक वृत्त है, जिसकी त्रिज्या को अभिसरण की त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। एक बिंदु पर फलन की निरंतरता एक बिंदु पर निरंतरता की परिभाषा सीमाओं के माध्यम से दी जाती है। सीमा की उपरोक्त परिभाषा सही है, भले ही हो। वास्तव में, फलन को परिभाषित करने की भी आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि परिभाषित किया गया है और इसके बराबर है, तो फलन को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है। समान रूप से, फलन निरंतर है यदि के रूप में, या अनुक्रमों के संदर्भ में, जब भी, तब। एक सीमा का उदाहरण जहां पर परिभाषित नहीं किया गया है, नीचे दिया गया है। मान लीजिए कि फलन को तब परिभाषित नहीं किया गया है (अनिश्चित रूप देखें), फिर भी जैसे-जैसे चालें मनमाने ढंग से 1 के करीब आती हैं, तदनुसार 2 तक पहुंचती हैंः इस प्रकार, मनमाने ढंग से 2 की सीमा के करीब बनाया जा सकता है-केवल पर्याप्त रूप से करीब करके। दूसरे शब्दों में, इसकी गणना सभी वास्तविक संख्याओं के लिए बीजगणितीय रूप से भी की जा सकती है। अब, चूंकि 1 पर निरंतर है, इसलिए अब हम 1 के लिए जोड़ सकते हैं, जिससे समीकरण की ओर ले जाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उस कार्य पर विचार करें जहांः जब यह बहुत बड़ा हो जाता है, तो दृष्टिकोण का मूल्य और इसका मूल्य पर्याप्त रूप से बड़ा करके जितना हो सके उतना किया जा सकता है। तो इस मामले में, अनंत तक पहुँचने की सीमा है, या गणितीय संकेतन में, निरंतर कार्य जब सीमाओं पर विचार किया जाता है तो कार्यों का एक महत्वपूर्ण वर्ग निरंतर कार्य होते हैं। ये सटीक रूप से वे कार्य हैं जो सीमाओं को संरक्षित करते हैं, इस अर्थ में कि यदि एक निरंतर कार्य है, तो जब भी के क्षेत्र में, तो सीमा मौजूद है और इसके अलावा है। टोपोलॉजिकल स्पेस की सबसे सामान्य सेटिंग में, एक संक्षिप्त प्रमाण नीचे दिया गया हैः मान लीजिए कि टोपोलॉजिकल स्पेस और के बीच एक निरंतर कार्य है। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक ओपन सेट के लिए, प्रीमेज ओपन इन है। अब मान लीजिए कि यह एक अनुक्रम है जिसमें सीमा है। फिर एक अनुक्रम है, और कुछ बिंदु है। एक पड़ोस चुनें। फिर एक खुला समूह (की निरंतरता द्वारा) है जो विशेष रूप से शामिल है, और इसलिए इसका एक पड़ोस है। के अभिसरण से, एक ऐसा मौजूद है जिसके लिए, हमारे पास है। फिर दोनों पक्षों को आवेदन करने से पता चलता है कि, उसी के लिए, प्रत्येक के लिए हमारे पास है। मूल रूप से एक मनमाना पड़ोस था, इसलिए। यह सबूत को समाप्त करता है। वास्तविक विश्लेषण में, एक उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के अधिक ठोस मामले के लिए, अर्थात, एक निरंतर कार्य को एक ऐसे कार्य के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो अपने क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है। सीमा बिंदु टोपोलॉजी में, सीमाओं का उपयोग एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के सीमा बिंदुओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बदले में बंद सेटों का एक उपयोगी लक्षण वर्णन देते हैं। एक स्थलवैज्ञानिक स्थान में, एक उपसमुच्चय पर विचार करें। एक बिंदु को सीमा बिंदु कहा जाता है यदि उस में कोई अनुक्रम होता है। न्यायपूर्ण होने के बजाय इसे परिभाषित करने का कारण निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट किया गया है। लें और। फिर, और इसलिए स्थिर अनुक्रम की सीमा है। लेकिन यह कोई सीमा नहीं है। एक बंद समुच्चय, जिसे एक खुले समुच्चय के पूरक के रूप में परिभाषित किया गया है, समकक्ष रूप से कोई भी समुच्चय है जिसमें इसके सभी सीमा बिंदु होते हैं। व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। वास्तविक विश्लेषण के दायरे में, व्युत्पन्न को पहले एक उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक कार्यों के लिए परिभाषित किया जाता है। व्युत्पन्न को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। यदि सीमा मौजूद है, तो व्युत्पन्न पर यह सीमा है। समान रूप से, यह सीमा है यदि व्युत्पन्न मौजूद है, तो इसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। गुण वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए, कई गुणों को सिद्ध किया जा सकता है। मान लीजिए और दो अनुक्रम हैं जो क्रमशः और में अभिसरण कर रहे हैं। सीमा का योग राशि की सीमा के बराबर होता है सीमा का उत्पाद उत्पाद की सीमा के बराबर होता है सीमा का व्युत्क्रम व्युत्क्रम की सीमा के बराबर होता है (जब तक) समान रूप से, फलन गैर-शून्य के बारे में निरंतर होता है। कौची अनुक्रम वास्तविक संख्याओं के अभिसारी अनुक्रमों का एक गुण यह है कि वे कौची अनुक्रम हैं। एक कौची अनुक्रम की परिभाषा यह है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए, एक ऐसी संख्या होती है कि जब भी, अनौपचारिक रूप से, किसी भी मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि के लिए, व्यास का एक अंतराल इस तरह से खोजना संभव है कि अंततः अनुक्रम अंतराल के भीतर निहित हो। कौची अनुक्रम अभिसारी अनुक्रमों से निकटता से संबंधित हैं। वास्तव में, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के लिए वे समतुल्य हैंः कोई भी कौची अनुक्रम अभिसारी होता है। सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान में, यह माना जाता है कि अभिसारी अनुक्रम भी कौची हैं। लेकिन इसका उल्टा सच नहीं हैः प्रत्येक कौची अनुक्रम एक सामान्य मीट्रिक स्थान में अभिसारी नहीं होता है। एक उत्कृष्ट प्रति-उदाहरण सामान्य दूरी के साथ परिमेय संख्याएँ हैं। दशमलव सन्निकटन का अनुक्रम, जिसे छठे दशमलव स्थान पर काटा जाता है, एक कौची अनुक्रम है, लेकिन इसमें अभिसरण नहीं होता है। एक मीट्रिक स्थान जिसमें प्रत्येक कॉची अनुक्रम भी अभिसारी होता है, यानी, कॉची अनुक्रम अभिसारी अनुक्रमों के बराबर होते हैं, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान के रूप में जाना जाता है। अभिसारी अनुक्रमों की तुलना में कॉची अनुक्रमों के साथ काम करना आसान होने का एक कारण यह है कि वे अकेले अनुक्रम का एक गुण हैं, जबकि अभिसारी अनुक्रमों के लिए न केवल अनुक्रम की आवश्यकता होती है, बल्कि अनुक्रम की सीमा भी होती है। अभिसरण का क्रम एक अनुक्रम एक सीमा में अभिसरण करता है या नहीं, इसके अलावा, यह वर्णन करना संभव है कि एक अनुक्रम कितनी तेजी से एक सीमा में अभिसरण करता है। इसकी मात्रा निर्धारित करने का एक तरीका अनुक्रम के अभिसरण के क्रम का उपयोग करना है। अभिसरण के क्रम की एक औपचारिक परिभाषा निम्नानुसार बताई जा सकती है। मान लीजिए कि यह वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो सीमा के साथ अभिसारी है। इसके अलावा, सभी के लिए। यदि सकारात्मक स्थिरांक और ऐसे मौजूद हैं जो तब अभिसरण के क्रम के साथ अभिसरण के लिए कहा जाता है। स्थिरांक को असिम्प्टोटिक त्रुटि स्थिरांक के रूप में जाना जाता है। अभिसरण के क्रम का उपयोग उदाहरण के लिए त्रुटि विश्लेषण में संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में किया जाता है। संगणनीयता सीमाओं की गणना करना मुश्किल हो सकता है। ऐसी सीमा अभिव्यक्तियाँ मौजूद हैं जिनका अभिसरण का माप अनिर्णायक है। पुनरावृत्ति सिद्धांत में, सीमा लेम्मा साबित करता है कि सीमाओं का उपयोग करके अनिर्णायक समस्याओं को कूटबद्ध करना संभव है। कई प्रमेय या परीक्षण हैं जो इंगित करते हैं कि सीमा मौजूद है या नहीं। इन्हें अभिसरण परीक्षण के रूप में जाना जाता है। उदाहरणों में अनुपात परीक्षण और निचोड़ प्रमेय शामिल हैं। हालाँकि वे यह नहीं बता सकते हैं कि सीमा की गणना कैसे की जाए। एसिम्प्टोटिक एनालिसिसः सीमित व्यवहार बिग ओ संकेतन का वर्णन करने की एक विधिः एक फ़ंक्शन के सीमित व्यवहार का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है जब तर्क एक विशेष मूल्य या अनंत बनाच सीमा की ओर जाता है जो बनाच स्थान पर परिभाषित होता है जो सामान्य सीमाओं को बढ़ाता है। यादृच्छिक चरों का अभिसरण श्रेणी सिद्धांत में अभिसरण मैट्रिक्स सीमा प्रत्यक्ष सीमा एक फलन की व्युत्क्रम सीमा एक तरफा सीमाः एक वास्तविक चर x के कार्यों की दो सीमाओं में से कोई भी सीमा, जैसे ही x ऊपर या नीचे से एक बिंदु तक पहुंचता है सीमाओं की सूचीः सामान्य कार्यों के लिए सीमाओं की सूची सिद्धांत को दबाएंः दो अन्य कार्यों के साथ तुलना के माध्यम से एक फलन की सीमा का पता लगाएं अभिसरण के उच्च और निम्न मोड को सीमित करें एक एनोटेटेड इंडेक्स नोट्स संदर्भ बाहरी लिंक अभिसरण (गणित) वास्तविक विश्लेषण लक्षणहीन विश्लेषण विभेदक कलन सामान्य टोपोलॉजी