Cyclic polytope
गणित में, एक चक्रीय पॉलीटोप, जिसे सी (एन, डी) दर्शाया जाता है, एक उत्तल पॉलीटोप है जो आरडी में एक परिमेय सामान्य वक्र पर एन अलग-अलग बिंदुओं के उत्तल पतवार के रूप में बनता है, जहां एन डी से अधिक है। इन पॉलीटोप का अध्ययन कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी, डेविड गेल, थियोडोर मोत्ज़किन, विक्टर क्ली और अन्य लोगों द्वारा किया गया था। वे पॉलीहेड्रल संयोजन विज्ञान में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैंः ऊपरी सीमा प्रमेय के अनुसार, जो पीटर मैकमुलन और रिचर्ड स्टेनली द्वारा सिद्ध किया गया है, चक्रीय पॉलीटोप सी (एन, डी) की सीमा n शीर्षों के साथ आयाम डी-1 के सभी सरल क्षेत्रों के बीच i-आयामी चेहरों की संख्या फाई को अधिकतम करती है। परिभाषा क्षण वक्र को परिभाषित किया गया है। शीर्षों के साथ-आयामी चक्रीय पॉलीटोप क्षण वक्र के साथ अलग-अलग बिंदुओं का उत्तल पतवार है। इस पॉलीटोप की संयोजन संरचना चुने गए बिंदुओं से स्वतंत्र है, और परिणामी पॉलीटोप का आयाम d और n शीर्ष हैं। इसकी सीमा एक (डी-1)-आयामी सरल पॉलीटोप है जिसे Δ (एन, डी) दर्शाया जाता है। तूफानी समत्व की स्थिति तूफानी समत्व की स्थिति एक चक्रीय पॉलीटोप पर एक पहलू निर्धारित करने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति प्रदान करती है। जाने दीजिए। फिर, ए-सबसेट आई. एफ. एफ. का एक पहलू बनाता है जिसमें किन्हीं दो तत्वों को अनुक्रम में तत्वों की एक सम संख्या द्वारा अलग किया जाता है। पड़ोसी चक्रीय पॉलीटोप पड़ोसी पॉलीटोप के उदाहरण हैं, जिसमें अधिकतम डी/2 शीर्षों का प्रत्येक समूह एक चेहरा बनाता है। वे पहले ज्ञात पड़ोसी पॉलीटोप थे, और थियोडोर मोत्ज़किन ने अनुमान लगाया कि सभी पड़ोसी पॉलीटोप संयुक्त रूप से चक्रीय पॉलीटोप के बराबर हैं, लेकिन अब यह गलत माना जाता है। चेहरों की संख्या चक्रीय पॉलीटोप के i-आयामी चेहरों की संख्या Δ (n, d) सूत्र द्वारा दी जाती है और पूरी तरह से डेहन-सोमरविले समीकरणों के माध्यम से निर्धारित की जाती है। अपर बाउंड थ्योरम अपर बाउंड थ्योरम में कहा गया है कि किसी दिए गए आयाम और शीर्षों की संख्या के लिए चक्रीय पॉलीटोप में चेहरों की अधिकतम संभव संख्या होती हैः यदि n शीर्षों के साथ आयाम d−1 का एक सरल क्षेत्र है, तो सरल पॉलीटोप के लिए ऊपरी बाउंड अनुमान 1957 में थियोडोर मोत्ज़किन द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1970 में पीटर मैकमुलन द्वारा साबित किया गया था। विक्टर क्ली ने सुझाव दिया कि एक ही कथन सभी सरल क्षेत्रों के लिए होना चाहिए और यह वास्तव में 1975 में रिचर्ड पी. स्टेनली द्वारा स्टेनली-रेज़नर रिंग और होमोलॉजिकल तरीकों की धारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया था। कॉम्बिनेटोरियल कम्यूटेटिव बीजगणित संदर्भ पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटोरिक्स भी देखें।