Schwarz's list
विशेष कार्यों के गणितीय सिद्धांत में, श्वार्ज की सूची या श्वार्ट्ज तालिका उन 15 मामलों की सूची है जो तब पाए जाते हैं जब अति-ज्यामितीय कार्यों को बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, यह उन मामलों को निर्धारित करने वाले मापदंडों की एक सूची है जिसमें हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण में एक परिमित मोनोड्रोमी समूह है, या समकक्ष रूप से दो स्वतंत्र समाधान हैं जो बीजगणितीय कार्य हैं। यह मोनोड्रोमी समूह के समरूपता वर्ग (एक चक्रीय समूह के मामले को छोड़कर) द्वारा विभाजित 15 मामलों को सूचीबद्ध करता है, और पहली बार श्वार्ज़ द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों से प्राप्त किया गया था। तदनुसार कथन सीधे हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण को निर्दिष्ट करने वाले मापदंडों के संदर्भ में नहीं है, बल्कि कुछ गोलाकार त्रिकोणों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली मात्राओं के संदर्भ में है। जटिल तल में सामान्य द्वितीय-क्रम विभेदक समीकरणों के लिए तालिका का व्यापक महत्व, फेलिक्स क्लेन द्वारा दिखाया गया था, जिन्होंने इस प्रभाव के लिए एक परिणाम साबित किया कि ऐसे समीकरणों और नियमित विलक्षणताओं के लिए परिमित मोनोड्रोमी के मामलों को चर (रीमान क्षेत्र के जटिल विश्लेषणात्मक मानचित्रण) के परिवर्तनों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है जो समीकरण को हाइपरजियोमेट्रिक रूप में कम करते हैं। वास्तव में अधिक सच हैः श्वार्ज़ की सूची कॉम्पैक्ट रीमान सतहों पर नियमित विलक्षणताओं के साथ सभी दूसरे क्रम के समीकरणों को रेखांकित करती है, जिसमें परिमित मोनोड्रोमी होती है, समीकरण के डेटा से गणना योग्य डिग्री के एक जटिल विश्लेषणात्मक मानचित्रण द्वारा रीमान क्षेत्र पर हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण से एक पुलबैक द्वारा। संख्याएँ (क्रमपरिवर्तन, संकेत परिवर्तन और सम के साथ जोड़ तक) तीन एकवचन बिंदुओं पर अति-ज्यामितीय विभेदक समीकरण के प्रतिपादकों के अंतर हैं। वे परिमेय संख्याएँ हैं यदि और केवल यदि और हैं, एक बिंदु जो सिद्धांत के लिए ज्यामितीय दृष्टिकोण के बजाय अंकगणित में मायने रखता है। श्वार्ज़ के परिणामों का एक विस्तार टी. किमुरा द्वारा दिया गया था, जिन्होंने ऐसे मामलों पर ध्यान दिया जहां अति-ज्यामितीय समीकरण के विभेदक गैलोइस समूह का पहचान घटक एक हल करने योग्य समूह है। अंतर गैलोइस समूह जी और मोनोड्रोमी समूह को जोड़ने वाले एक सामान्य परिणाम में कहा गया है कि जी का ज़ारिस्की समापन है-इस प्रमेय का श्रेय मात्सुदा की पुस्तक में मिचिओ कुगा को दिया गया है। सामान्य विभेदक गैलोइस सिद्धांत द्वारा, परिणामी किमुरा-श्वार्ज तालिका बीजगणितीय कार्यों और चतुर्भुज द्वारा समीकरण की समाकलनशीलता के मामलों को वर्गीकृत करती है। एक अन्य प्रासंगिक सूची के. टेकुची की है, जिन्होंने (हाइपरबोलिक) त्रिभुज समूहों को वर्गीकृत किया जो अंकगणितीय समूह (85 उदाहरण) हैं। एमिल पिकार्ड ने जटिल ज्यामिति में श्वार्ज के काम का विस्तार करने की मांग की, एक सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से, समीकरणों के मामलों का निर्माण करने के लिए जहां मोनोड्रोमी प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह पी. यू. (1, एन) में एक असतत समूह था। पियरे डेलिग्ने और जॉर्ज मोस्टो ने प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह में जाली बनाने के लिए अपने विचारों का उपयोग किया। यह काम शास्त्रीय मामले में टेकुची की सूची की परिमितता को पुनर्प्राप्त करता है, और उनके द्वारा बनाए गए जाली के लक्षण वर्णन के माध्यम से जो अंकगणितीय समूह हैं, जो पी. यू. (1, एन) में गैर-अंकगणितीय जाली के नए उदाहरण प्रदान करते हैं। बलदासरी ने श्वार्ज सूची के माध्यम से लैमे समीकरण के बीजगणितीय समाधानों पर चर्चा करने के लिए क्लेन सार्वभौमिकता को लागू किया। अन्य हाइपरजियोमेट्रिक कार्य जिन्हें बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि श्वार्ज की सूची में, दो आयामी गेज सिद्धांतों के विरूपण के संदर्भ में सैद्धांतिक भौतिकी में उत्पन्न होते हैं। श्वार्ज़ त्रिभुज टिप्पणियाँ संदर्भ एक अरैखिक श्वार्ज़ की सूची की ओर बाहरी लिंक (पी. डी. एफ.) हाइपरजियोमेट्रिक कार्य भी देखें।