Osgood curve
गणितीय विश्लेषण में, एक ओस्गुड वक्र एक गैर-स्व-छेदक वक्र है जिसका सकारात्मक क्षेत्र होता है। अपने क्षेत्र के बावजूद, इस तरह के वक्र के लिए किसी भी द्वि-आयामी क्षेत्र को कवर करना संभव नहीं है, जो उन्हें अंतरिक्ष-भरने वाले वक्रों से अलग करता है। ओस्गुड वक्रों का नाम विलियम फॉग ओस्गुड के नाम पर रखा गया है। परिभाषा और गुण यूक्लिडियन तल में एक वक्र को एक ओस्गूड वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जब यह गैर-स्व-छेदक होता है (यानी, यह या तो एक जॉर्डन वक्र या एक जॉर्डन चाप होता है) और इसका सकारात्मक क्षेत्र होता है। अधिक औपचारिक रूप से, इसमें सकारात्मक दो-आयामी लेबस्ग्यू माप होना चाहिए। ओस्गुड वक्रों में स्थान-भरने वाले वक्रों की तरह हौसडॉर्फ आयाम दो होता है। हालाँकि, वे स्थान-भरने वाले वक्र नहीं हो सकते हैंः नेटो के प्रमेय के अनुसार, तल के सभी बिंदुओं को, या तल के किसी भी द्वि-आयामी क्षेत्र को शामिल करने से, आत्म-विच्छेदन होगा। ओस्गुड वक्रों के पहले उदाहरण और द्वारा पाए गए थे। दोनों उदाहरणों में वक्र के कुछ हिस्सों में सकारात्मक क्षेत्र है, लेकिन अन्य हिस्सों में शून्य क्षेत्र है; इस दोष को ठीक किया गया था, जिन्होंने एक वक्र पाया जिसमें प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक पड़ोस में सकारात्मक क्षेत्र है, जो वाक्लाव सिएरपिंस्की के पहले के निर्माण पर आधारित है। नॉप के उदाहरण का अतिरिक्त लाभ यह है कि इसके क्षेत्र को मनमाने ढंग से इसके उत्तल पतवार के क्षेत्र के करीब बनाया जा सकता है। निर्माण एक ओस्गुड वक्र प्राप्त करने के लिए कुछ फ्रैक्टल और स्थान भरने वाले वक्रों के पुनरावर्ती निर्माण को संशोधित करना संभव है। उदाहरण के लिए, नॉप के निर्माण में त्रिकोणों को छोटे त्रिकोणों के जोड़े में बार-बार विभाजित करना शामिल है, जो त्रिकोणीय वेजों को हटाकर एक साझा शीर्ष पर मिलते हैं। जब इस निर्माण का प्रत्येक स्तर अपने त्रिभुजों के क्षेत्र के समान अंश को हटा देता है, तो परिणाम कोच स्नोफ्लेक जैसे सेसेरो फ्रैक्टल होता है। इसके बजाय, प्रति स्तर हटाए गए क्षेत्र के अंश को कम करना, क्षेत्र के एक स्थिर अंश को बिना हटाए छोड़ने के लिए पर्याप्त तेजी से, एक ओस्गुड वक्र उत्पन्न करता है। ओस्गुड वक्र के निर्माण का एक अन्य तरीका स्मिथ-वोल्टेरा-कैंटर समुच्चय का एक द्वि-आयामी संस्करण बनाना है, जो गैर-शून्य क्षेत्र के साथ एक पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड बिंदु सेट है, और फिर डेनजॉय-रीज़ प्रमेय को लागू करता है जिसके अनुसार समतल का प्रत्येक बंधा हुआ और पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड सबसेट जॉर्डन वक्र का एक सबसेट है। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. .. .. .. .. बाहरी लिंक विमान वक्र क्षेत्र