Lie point symmetry
उन्नत गणित में झूठ बिंदु समरूपता एक अवधारणा है। उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में, सोफ़स लाइ ने साधारण विभेदक समीकरणों (ओडीई) के समाधानों का अध्ययन करने के लिए लाइ समूह की धारणा की शुरुआत की। उन्होंने निम्नलिखित मुख्य गुण दिखाएः एक साधारण विभेदक समीकरण के क्रम को एक से कम किया जा सकता है यदि यह बिंदु परिवर्तनों के एक-पैरामीटर लाइ समूह के तहत अपरिवर्तनीय है। इस अवलोकन ने उपलब्ध एकीकरण तकनीकों को एकीकृत और विस्तारित किया। लाइ ने अपने गणितीय जीवन का शेष भाग इन निरंतर समूहों को विकसित करने के लिए समर्पित किया जिनका अब गणितीय रूप से आधारित विज्ञान के कई क्षेत्रों पर प्रभाव पड़ता है। विभेदक प्रणालियों के लिए झूठ समूहों के अनुप्रयोग मुख्य रूप से झूठ और एमी नोथर द्वारा स्थापित किए गए थे, और फिर एली कार्टन द्वारा इसकी वकालत की गई थी। मोटे तौर पर, एक प्रणाली की एक झूठ बिंदु समरूपता परिवर्तनों का एक स्थानीय समूह है जो प्रणाली के प्रत्येक समाधान को उसी प्रणाली के दूसरे समाधान के लिए मानचित्रित करता है। दूसरे शब्दों में, यह प्रणाली के समाधान समुच्चय को स्वयं मानचित्रित करता है। लाइ समूहों के प्राथमिक उदाहरण अनुवाद, घूर्णन और माप हैं। झूठ समरूपता सिद्धांत एक प्रसिद्ध विषय है। इसमें निरंतर समरूपता पर चर्चा की गई है, उदाहरण के लिए, असतत समरूपता। इस सिद्धांत के लिए साहित्य, अन्य स्थानों के अलावा, इन टिप्पणियों में पाया जा सकता है। सारांश सममितियों के प्रकार लाइ समूह और इसलिए उनके असीम जनित्रों को स्वाभाविक रूप से स्वतंत्र चर, अवस्था चर (आश्रित चर) और किसी भी सीमित क्रम तक अवस्था चर के व्युत्पन्न के स्थान पर कार्य करने के लिए "विस्तारित" किया जा सकता है। कई अन्य प्रकार की सममितियाँ हैं। उदाहरण के लिए, संपर्क परिवर्तनों में परिवर्तनों के गुणांक असीम जनरेटर निर्देशांक के पहले व्युत्पन्न पर भी निर्भर करते हैं। लाइ-बैकलंड परिवर्तन उन्हें एक मनमाने क्रम तक व्युत्पन्न शामिल करने देते हैं। ऐसी सममितियों के अस्तित्व की संभावना को नोइथर द्वारा मान्यता दी गई थी। लाइ बिंदु सममितियों के लिए, असीम जनरेटर के गुणांक केवल निर्देशांक पर निर्भर करते हैं, जिन्हें द्वारा दर्शाया जाता है। अनुप्रयोग साधारण विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए लाइ द्वारा लाइ सममितियों की शुरुआत की गई थी। सममिति विधियों का एक अन्य अनुप्रयोग विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को कम करना, सरल रूप के विभेदक समीकरणों की समतुल्य प्रणालियों को खोजना है। इसे कमी कहा जाता है। साहित्य में, कोई भी शास्त्रीय कमी प्रक्रिया, और चलती फ्रेम-आधारित कमी प्रक्रिया पा सकता है। समाधानों के विभिन्न समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए समरूपता समूहों का भी उपयोग किया जा सकता है। ज्यामितीय ढांचा असीम दृष्टिकोण झूठ के मौलिक प्रमेय इस बात को रेखांकित करते हैं कि झूठ समूहों को अनंत जनित्रों के रूप में जाने जाने वाले तत्वों द्वारा चिह्नित किया जा सकता है। ये गणितीय वस्तुएँ असीम जनित्रों का एक लाइ बीजगणित बनाती हैं। कम की गई "असीम समरूपता स्थितियों" (समरूपता समूह के समीकरणों को परिभाषित करना) को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है ताकि समरूपता समूहों के बंद रूप का पता लगाया जा सके, और इस प्रकार संबंधित असीम जनरेटर। मान लीजिए कि निर्देशांकों का वह समूह है जिस पर एक प्रणाली को परिभाषित किया गया है जहाँ की कार्डिनलिटी है। क्षेत्र में एक असीम जनरेटर एक रैखिक प्रचालक है जो अपने कर्नेल में होता है और जो लीबनिज़ नियम को संतुष्ट करता हैः प्राथमिक व्युत्पत्तियों के विहित आधार में, इसे इस प्रकार लिखा गया हैः सभी के लिए कहाँ है। लाइ समूह और असीम जनित्रों के लाइ बीजगणित लाइ बीजगणित को असीम जनित्रों के एक उत्पादक समूह द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। प्रत्येक लाइ समूह के लिए, कोई एक लाइ बीजगणित को संबद्ध कर सकता है। मोटे तौर पर, एक लाइ बीजगणित एक वेक्टर स्पेस द्वारा गठित एक बीजगणित है जो अतिरिक्त संचालन के रूप में लाइ ब्रैकेट से सुसज्जित है। लाइ बीजगणित का आधार क्षेत्र अपरिवर्तनीय की अवधारणा पर निर्भर करता है। यहाँ केवल परिमित-आयामी लाइ अल्जेब्रा पर विचार किया जाता है। निरंतर गतिशील प्रणालियाँ एक गतिशील प्रणाली (या प्रवाह) एक-पैरामीटर समूह क्रिया है। आइए हम इस तरह की गतिशील प्रणाली द्वारा, अधिक सटीक रूप से, एक समूह की एक (बाएं-) क्रिया को कई गुना पर दर्शाते हैंः जैसे कि सभी बिंदु के लिएः जहां का तटस्थ तत्व है; सभी के लिए,। एक सतत गतिशील प्रणाली को एक समूह पर परिभाषित किया जाता है जिसे पहचाना जा सकता है अर्थात। समूह तत्व निरंतर होते हैं। एक अपरिवर्तनीय, मोटे तौर पर, एक ऐसा तत्व है जो परिवर्तन के तहत नहीं बदलता है। झूठ बिंदु सममितियों की परिभाषा इस अनुच्छेद में, हम सटीक रूप से विस्तारित झूठ बिंदु सममितियों पर विचार करते हैं अर्थात। हम एक विस्तारित स्थान में काम करते हैं जिसका अर्थ है कि स्वतंत्र चर, अवस्था चर और मापदंडों के बीच अंतर को यथासंभव टाला जाता है। एक प्रणाली का समरूपता समूह एक निरंतर गतिशील प्रणाली है जिसे एक स्थानीय लाइ समूह पर परिभाषित किया गया है जो कई गुना पर कार्य करता है। स्पष्टता के लिए, हम खुद को एन-आयामी वास्तविक मैनिफोल्ड तक सीमित रखते हैं जहां सिस्टम निर्देशांक की संख्या है। बीजगणितीय प्रणालियों की बिंदु समरूपताएँ आइए हम आगामी समरूपता परिभाषा में उपयोग की जाने वाली बीजगणितीय प्रणालियों को परिभाषित करें। बीजगणितीय प्रणालियाँ मान लीजिए कि क्षेत्र पर परिमेय कार्यों का एक सीमित समूह है जहाँ और बहुपद हैं अर्थात। में गुणांक के साथ चर में। एक बीजगणितीय प्रणाली को निम्नलिखित समानताओं और असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जाता हैः द्वारा परिभाषित एक बीजगणितीय प्रणाली नियमित (ए. के. ए.) है। चिकनी) यदि प्रणाली अधिकतम श्रेणी की है, जिसका अर्थ है कि जैकोबियन मैट्रिक्स संबंधित अर्ध-बीजगणितीय विविधता के प्रत्येक समाधान पर श्रेणी का है। लाई बिंदु सममितियों की परिभाषा निम्नलिखित प्रमेय (th देखें। 2 में 2.8) आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है ताकि एक स्थानीय लाइ समूह एक बीजगणितीय प्रणाली का एक समरूपता समूह हो। प्रमेय। मान लीजिए कि एन-आयामी स्थान में कार्य करने वाली एक निरंतर गतिशील प्रणाली का एक जुड़ा हुआ स्थानीय लाइ समूह है। आइए बीजगणितीय समीकरणों की एक नियमित प्रणाली को परिभाषित करते हैंः फिर इस बीजगणितीय प्रणाली का एक समरूपता समूह है यदि, और केवल यदि, के लाइ बीजगणित में प्रत्येक अनंत जनित्र के लिए। उदाहरण 6 चरों के स्थान पर परिभाषित बीजगणितीय प्रणाली पर विचार करें, अर्थात्ः असीम जनित्र एक-पैरामीटर समरूपता समूहों में से एक से संबंधित है। यह 4 चर पर कार्य करता है, अर्थात् और। इसे आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। इस प्रकार ऐसे किसी भी संबंध के लिए संबंध संतुष्ट होते हैं जो बीजगणितीय प्रणाली को गायब कर देता है। गतिशील प्रणालियों की लाइ बिंदु समरूपताएँ आइए हम आगामी समरूपता परिभाषा में उपयोग किए जाने वाले प्रथम-क्रम ODE की प्रणालियों को परिभाषित करें। ODEs और संबंधित असीम जनरेटरों की प्रणालियाँ मान लीजिए कि यह एक व्युत्पत्ति है। निरंतर स्वतंत्र चर। हम दो सेटों पर विचार करते हैं। संबद्ध निर्देशांक समुच्चय द्वारा परिभाषित किया जाता है और इसका कार्डिनल है। इन संकेतनों के साथ, प्रथम-क्रम ओ. डी. ई. की एक प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जहाँः और सेट डब्ल्यू. आर. टी. के ओ. डी. ई. के अवस्था चर के विकास को निर्दिष्ट करता है। स्वतंत्र चर। समुच्चय के तत्वों को अवस्था चर कहा जाता है, ये मापदंडों के होते हैं। एक निरंतर गतिशील प्रणाली को उसके समीकरणों को हल करके ओ. डी. ई. की प्रणाली से भी जोड़ा जा सकता है। एक असीम जनित्र एक व्युत्पत्ति है जो ओडीई की प्रणालियों (अधिक सटीक रूप से निरंतर गतिशील प्रणालियों) से निकटता से संबंधित है। ODEs की एक प्रणाली, संबंधित वेक्टर क्षेत्र और असीम जनरेटर के बीच की कड़ी के लिए, ODEs का खंड 1.3 देखें। ऊपर वर्णित ओ. डी. ई. की एक प्रणाली से जुड़े असीम जनित्र को निम्नानुसार समान संकेतनों के साथ परिभाषित किया गया हैः लाई बिंदु सममितियों की परिभाषा यहाँ ऐसी सममितियों की ज्यामितीय परिभाषा है। मान लीजिए कि यह एक निरंतर गतिशील प्रणाली और इसका असीम जनरेटर है। एक निरंतर गतिशील प्रणाली एक लाइ बिंदु समरूपता है यदि, और केवल तभी जब, प्रत्येक कक्षा को एक कक्षा में भेजता है। अतः, असीम जनित्र लाइ कोष्ठक के आधार पर निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता हैः जहाँ का कोई भी स्थिरांक है और अर्थात। .. ये जनरेटर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसकी सममितियों के असीम जनरेटरों की गणना करने के लिए स्पष्ट सूत्रों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण लीनियर प्रिडेशन के साथ पियरे फ्रांस्वा वेरहल्स्ट के लॉजिस्टिक विकास मॉडल पर विचार करें, जहां राज्य चर एक जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करता है। पैरामीटर वृद्धि और परभक्षण दर के बीच का अंतर है और पैरामीटर पर्यावरण की ग्रहणशील क्षमता से मेल खाता हैः ओडीई की इस प्रणाली से जुड़ी निरंतर गतिशील प्रणाली हैः स्वतंत्र चर लगातार बदलता रहता है; इस प्रकार संबंधित समूह को इसके साथ पहचाना जा सकता है। ODEs की इस प्रणाली से जुड़े असीम जनरेटर हैंः निम्नलिखित असीम जनरेटर 2-आयामी समरूपता समूह से संबंधित हैंः सॉफ्टवेयर इस क्षेत्र में कई सॉफ्टवेयर पैकेज मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, मेपल का पैकेज लाइसिमम पी. डी. ई. के लिए कुछ लाइ समरूपता विधियाँ प्रदान करता है। यह निर्धारण प्रणालियों के एकीकरण और विभेदक रूपों में भी हेरफेर करता है। छोटी प्रणालियों पर इसकी सफलता के बावजूद, निर्धारण प्रणालियों को स्वचालित रूप से हल करने के लिए इसकी एकीकरण क्षमताएं जटिलता के मुद्दों से सीमित हैं। डी. ई. टी. टूल्स पैकेज ओ. डी. ई. की लाइ सममितियों को खोजने के लिए वेक्टर क्षेत्रों के विस्तार का उपयोग करता है। ओ. डी. ई. के लिए लाइ समरूपता का पता लगाना, सामान्य मामले में, मूल प्रणाली को हल करने जितना ही जटिल हो सकता है। संदर्भ झूठ समूह सममिति