Quantization of the electromagnetic field
विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के परिमाणीकरण का अर्थ है कि एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में फोटॉन नामक असतत ऊर्जा भाग होते हैं। फोटॉन निश्चित ऊर्जा, निश्चित गति और निश्चित घूर्णन के द्रव्यमान रहित कण होते हैं। प्रकाश विद्युत प्रभाव की व्याख्या करने के लिए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने 1905 में अनुमान लगाया कि एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में hν मात्रा के ऊर्जा के कण होते हैं, जहाँ h प्लैंक का स्थिरांक है और ν तरंग आवृत्ति है। 1927 में पॉल ए. एम. डीराक फोटॉन अवधारणा को नए क्वांटम यांत्रिकी के कपड़े में बुनने और पदार्थ के साथ फोटॉन की बातचीत का वर्णन करने में सक्षम थे। उन्होंने एक तकनीक लागू की जिसे अब आम तौर पर दूसरा परिमाणीकरण कहा जाता है, हालांकि यह शब्द विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए कुछ हद तक गलत नाम है, क्योंकि वे शास्त्रीय मैक्सवेल समीकरणों के समाधान हैं। डीराक के सिद्धांत में पहली बार क्षेत्रों की मात्रा निर्धारित की गई है और यह भी पहली बार है जब प्लैंक का स्थिरांक अभिव्यक्तियों में प्रवेश करता है। अपने मूल कार्य में, डीराक ने विभिन्न विद्युत चुम्बकीय मोड (क्षेत्र के फूरियर घटक) और मोड ऊर्जाओं के चरणों को मात्रा निर्धारित करने के लिए गतिशील चर के रूप में लिया (यानी, उन्होंने उन्हें प्रचालक के रूप में फिर से व्याख्या की और उनके बीच अभिनिर्धारित संचरण संबंध)। वर्तमान में वेक्टर क्षमता के फूरियर घटकों की मात्रा निर्धारित करना अधिक सामान्य है। यह वही है जो नीचे किया गया है। मोड से संबंधित एक क्वांटम मैकेनिकल फोटॉन अवस्था को नीचे प्रस्तुत किया गया है, और यह दिखाया गया है कि इसके निम्नलिखित गुण हैंः ये समीकरण क्रमशः कहते हैंः एक फोटॉन में शून्य विश्राम द्रव्यमान होता है; फोटॉन ऊर्जा hν = hc|k। (k तरंग सदिश है, c प्रकाश की गति है); इसकी विद्युत चुम्बकीय संवेग ꯘꯥk [ꯘꯥ = h/(2π)] है; ध्रुवीकरण μ = ±1 फोटॉन स्पिन के z-घटक का आइगेन वैल्यू है। दूसरा परिमाणीकरण दूसरा परिमाणीकरण एक आधार में एक स्केलर या वेक्टर क्षेत्र (या तरंग कार्यों) के विस्तार के साथ शुरू होता है जिसमें कार्यों का एक पूरा सेट होता है। ये विस्तार कार्य एक कण के निर्देशांक पर निर्भर करते हैं। आधार कार्यों को गुणा करने वाले गुणांक की व्याख्या प्रचालक के रूप में की जाती है और इन नए प्रचालक के बीच (विरोधी) संचरण संबंध लगाए जाते हैं, बोसॉन के लिए संचरण संबंध और फर्मियन के लिए संचरण विरोधी संबंध (आधार कार्यों को कुछ भी नहीं होता है)। ऐसा करने से, विस्तारित क्षेत्र को एक फर्मियन या बोसॉन प्रचालक क्षेत्र में परिवर्तित किया जाता है। विस्तार गुणांक को साधारण संख्या से प्रचालक, सृजन और विनाश प्रचालक के रूप में बढ़ावा दिया गया है। एक सृजन प्रचालक संबंधित आधार फलन में एक कण बनाता है और एक विनाश प्रचालक इस फलन में एक कण को नष्ट कर देता है। ई. एम. क्षेत्रों के मामले में क्षेत्र का आवश्यक विस्तार फूरियर विस्तार है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और सदिश क्षमता जैसा कि शब्द से पता चलता है, एक ई. एम. क्षेत्र में दो सदिश क्षेत्र होते हैं, एक विद्युत क्षेत्र और एक चुंबकीय क्षेत्र। दोनों समय-निर्भर सदिश क्षेत्र हैं जो निर्वात में एक तीसरे सदिश क्षेत्र (सदिश क्षमता) पर निर्भर करते हैं, साथ ही एक अदिश क्षेत्र भी जहां ए का कर्ल एआरयू × ए है। कूलम्ब गेज का चयन करना, जिसके लिए ए = 0, ए को एक अनुप्रस्थ क्षेत्र में बनाता है। आयतन V = L3 के एक परिमित घन डिब्बे में संलग्न सदिश विभव का फूरियर विस्तार तब होता है जहां के जटिल संयुग्म को दर्शाता है। तरंग सदिश k ए (आर, टी) के संबंधित फूरियर घटक (एक ध्रुवीकृत एकवर्णी तरंग) की प्रसार दिशा देता है; तरंग सदिश की लंबाई ν मोड की आवृत्ति के साथ होती है। इस योग में k सभी पूर्णांकों पर चलता है, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। (फूरियर आधार का घटक वास्तविक के रूप में घटक का जटिल संयुग्म है।) वेक्टर k के घटकों के असतत मान होते हैं (इस सीमा स्थिति का परिणाम है कि A का मान बॉक्स की विपरीत दीवारों पर समान होता है): दो e (μ) ("ध्रुवीकरण वैक्टर") बाएं और दाएं हाथ के लिए पारंपरिक इकाई वैक्टर हैं गोलाकार ध्रुवीकृत (एलसीपी और आरसीपी) ई. एम. तरंगें (जोन्स कैलकुलस या जोन्स वेक्टर, जोन्स कैलकुलस देखें) और k के लंबवत। वे एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से ऑर्थोनॉर्मल कार्टेशियन वैक्टर ex और i से संबंधित हैं, A का k-th फूरियर घटक k के लंबवत एक वेक्टर है और इसलिए यह e (1) और e (−1) का एक रैखिक संयोजन है। सुपरस्क्रिप्ट एम. यू. ई (एम. यू.) के साथ एक घटक को इंगित करता है। स्पष्ट रूप से, फूरियर गुणांक का (असतत अनंत) समूह और वेक्टर क्षमता को परिभाषित करने वाले चर हैं। निम्नलिखित में उन्हें प्रचालक के रूप में पदोन्नत किया जाएगा। उपरोक्त के और संदर्भ में क्षेत्र समीकरणों का उपयोग करके, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र पहचान (और वैक्टर हैं) का उपयोग करके हैं और क्योंकि प्रत्येक मोड में एकल आवृत्ति निर्भरता होती है। ई. एम. क्षेत्र का परिमाणीकरण परिमाणीकरण का सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण नियम द्वारा एक कण के समय-निर्भर रैखिक संवेग का प्रतिस्थापन है ध्यान दें कि प्लैंक का स्थिरांक यहां पेश किया गया है और शास्त्रीय अभिव्यक्ति की समय-निर्भरता को क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर में नहीं लिया गया है (यह तथाकथित श्रोडिंगर चित्र में सच है)। ई. एम. क्षेत्र के लिए हम कुछ ऐसा ही करते हैं। मात्रा विद्युत स्थिरांक है, जो विद्युत चुम्बकीय एस. आई. इकाइयों के उपयोग के कारण यहाँ दिखाई देता है। परिमाणीकरण के नियम हैंः बोसॉन कम्यूटेशन संबंधों के अधीन वर्ग कोष्ठक एक कम्यूटेटर को इंगित करते हैं, जिसे किसी भी दो क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर ए और बी के लिए परिभाषित किया गया है। प्लैंक के स्थिरांक का परिचय एक शास्त्रीय से क्वांटम सिद्धांत में संक्रमण में आवश्यक है। कारक को हैमिल्टनियन (ऊर्जा प्रचालक) को एक सरल रूप देने के लिए पेश किया गया है, नीचे देखें। मात्रात्मक क्षेत्र (प्रचालक क्षेत्र) निम्नलिखित हैं जहाँ ω = c |k। = ck। क्षेत्र का हैमिल्टनियन शास्त्रीय हैमिल्टनियन का रूप है दाहिने हाथ की ओर आसानी से पहले उपयोग करके प्राप्त किया जाता है (यूलर समीकरण और त्रिकोणमितीय ऑर्थोगोनलिटी से प्राप्त किया जा सकता है) जहां k ऊपर वर्णित V = L × L × L के बॉक्स के भीतर सीमित तरंग के लिए तरंग संख्या है और दूसरा, ω = kc का उपयोग करके। शास्त्रीय हैमिल्टनियन में फील्ड ऑपरेटरों का प्रतिस्थापन ई. एम. क्षेत्र के हैमिल्टन ऑपरेटर को देता है, दूसरी समानता ऊपर से k′ = k और μ′ = μ के साथ बोसॉन कम्यूटेशन संबंधों के तीसरे के उपयोग से होती है। फिर से ध्यान दें कि γω = hν = γ c|k। और याद रखें कि ω k पर निर्भर करता है, भले ही यह संकेतन में स्पष्ट न हो। संकेतन ω (k) को पेश किया जा सकता था, लेकिन यह आम नहीं है क्योंकि यह समीकरणों को अव्यवस्थित करता है। एक आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का दूसरा मात्रात्मक उपचार क्वांटम मैकेनिकल पाठ्यक्रमों में एक प्रसिद्ध विषय है। हम इसके बारे में कुछ शब्द कहते हैं। हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन का वह रूप है जहाँ ω ष्ण2πν ऑसिलेटर की मौलिक आवृत्ति है। ऑसिलेटर की ग्राउंड स्टेट को; द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और इसे "वैक्यूम स्टेट" के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि यह एक उत्तेजना प्रचालक है, यह एक n गुना उत्तेजित अवस्था से एक n + 1 गुना उत्तेजित अवस्था में उत्तेजित होता हैः विशेष रूप सेः और चूंकि हार्मोनिक ऑसिलेटर ऊर्जाएँ समान दूरी पर होती हैं, इसलिए n गुना उत्तेजित अवस्था को एक एकल अवस्था के रूप में देखा जा सकता है जिसमें n कण (कभी-कभी वाइब्रॉन कहा जाता है) सभी ऊर्जा hν होते हैं। ये कण बोसॉन हैं। स्पष्ट कारण से उत्तेजना प्रचालक को सृजन प्रचालक कहा जाता है। कम्यूटेशन संबंध से यह पता चलता है कि हर्मिशियन संलग्न डी-एक्साइट्स करता हैः विशेष रूप से ताकि स्पष्ट कारण के लिए डी-एक्साइटेशन ऑपरेटर को एक विनाश ऑपरेटर कहा जाता है। गणितीय प्रेरण द्वारा निम्नलिखित "विभेदन नियम", जिसकी बाद में आवश्यकता होगी, आसानी से साबित हो जाता है, मान लीजिए कि अब हमारे पास कई गैर-परस्पर क्रिया करने वाले (स्वतंत्र) एक-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी मौलिक आवृत्ति ωi है। चूँकि ऑसिलेटर स्वतंत्र हैं, हैमिल्टनियन एक सरल योग हैः इसे प्रतिस्थापित करने से हम देखते हैं कि ई. एम. क्षेत्र के हैमिल्टनियन को ऊर्जा के स्वतंत्र ऑसिलेटरों का हैमिल्टनियन माना जा सकता है ω = |k |c जो e (μ) की दिशा में μ = ±1 के साथ दोलन कर रहा है। फोटॉन संख्या बताती है (फॉक बताती है) मात्रात्मक ई. एम. क्षेत्र में निर्वात (कोई फोटॉन नहीं) अवस्था होती है। इसका अनुप्रयोग, मान लीजिए, मोड (k, μ) में m फोटॉन और मोड (k′, μ′) में n फोटॉन की क्वांटम स्थिति देता है। आनुपातिकता प्रतीक का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि बाएं हाथ की अवस्था को एकता के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जाता है, जबकि दाहिने हाथ की स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है। प्रचालक संख्या प्रचालक होता है। क्वांटम मैकेनिकल फोटॉन संख्या अवस्था पर कार्य करते समय, यह मोड (k, μ) में फोटॉनों की संख्या बताता है। यह तब भी होता है जब इस मोड में फोटॉनों की संख्या शून्य होती है, तो संख्या प्रचालक शून्य लौटाता है। एक-फोटोन केट पर संख्या प्रचालक की क्रिया को दिखाने के लिए, हम मानते हैं कि मोड (के, एम. यू.) का एक संख्या प्रचालक शून्य देता है यदि मोड खाली है और यदि मोड एकल रूप से भरा हुआ है तो एकता देता है। एक ही मोड के एन-फोटॉन केट पर मोड (के, एम. यू.) के संख्या प्रचालक की कार्रवाई पर विचार करने के लिए, हम सूचकांकों के और एम. यू. को छोड़ देते हैं और विचार करते हैं कि पहले पेश किए गए "विभेदन नियम" का उपयोग करें और यह इस प्रकार है कि ए फोटॉन संख्या स्थिति (या एक फॉक स्थिति) संख्या प्रचालक की एक आइगेनस्टेट है। यही कारण है कि यहाँ वर्णित औपचारिकता को अक्सर व्यवसाय संख्या प्रतिनिधित्व के रूप में संदर्भित किया जाता है। फोटॉन ऊर्जा इससे पहले हैमिल्टनियन को पेश किया गया था। ऊर्जा के शून्य को स्थानांतरित किया जा सकता है, जो संख्या प्रचालक के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है, एकल-फोटॉन अवस्था पर H का प्रभाव स्पष्ट रूप से है, एकल-फोटॉन अवस्था H की एक आइगेन स्टेट है और γω = hν संबंधित ऊर्जा है। इसी तरह उदाहरण फोटॉन घनत्व 100 किलोवाट रेडियो संचारण केंद्र द्वारा निर्मित विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा घनत्व की गणना विद्युत चुम्बकीय तरंग (कहाँ?) पर लेख में की गई है। स्टेशन से 5 कि. मी. पर ऊर्जा घनत्व का अनुमान 2.1x10−10जे/एम3 था। क्या स्टेशन के प्रसारण का वर्णन करने के लिए क्वांटम यांत्रिकी की आवश्यकता है? ई. एम. विकिरण के लिए शास्त्रीय सन्निकटन तब अच्छा होता है जब फोटॉनों की संख्या आयतन में एकता की तुलना में बहुत अधिक होती है जहां λ रेडियो तरंगों की लंबाई है। उस स्थिति में क्वांटम में उतार-चढ़ाव नगण्य होते हैं और उन्हें सुना नहीं जा सकता है। मान लीजिए कि रेडियो स्टेशन ν = 100 MHz पर प्रसारण करता है, तो यह νh = 1 × 108 × 6.6 × 10−34 = 6.6 × 10−26 J की ऊर्जा सामग्री के साथ फोटॉन भेज रहा है, जहां h प्लैंक का स्थिरांक है। स्टेशन की तरंग दैर्ध्य λ = c/ν = 3 मीटर है, इसलिए λ/(2π) = 48 सेमी और आयतन 0.109 m3 है। इस आयतन तत्व की ऊर्जा सामग्री 2,1 × 10−10 × 0.109 = 2.3 × 10−11 J है, जो 3,4 × 1014 फोटॉन प्रति राशि है जाहिर है, 3,4 × 1014> 1 और इसलिए क्वांटम प्रभाव कोई भूमिका नहीं निभाते हैं; इस स्टेशन द्वारा उत्सर्जित तरंगें शास्त्रीय सीमा द्वारा अच्छी तरह से वर्णित हैं और क्वांटम यांत्रिकी की आवश्यकता नहीं है। फोटॉन संवेग विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के फूरियर विस्तार को शास्त्रीय रूप में पेश करने से मात्रा प्राप्त होती है 1/2 शब्द को हटाया जा सकता है, क्योंकि जब कोई अनुमत k पर योग करता है, तो k − k के साथ रद्द हो जाता है। एकल-फोटॉन अवस्था पर पी. ई. एम. का प्रभाव स्पष्ट रूप से है, एकल-फोटॉन अवस्था संवेग प्रचालक की एक आइगेनस्टेट है, और γk आइगेनवेल्यू (एकल फोटॉन की संवेग) है। फोटॉन द्रव्यमान गैर-शून्य रैखिक संवेग वाले फोटॉन की कल्पना की जा सकती है कि इसका द्रव्यमान m0 है जो कि शून्य गति पर इसका द्रव्यमान है। हालाँकि, अब हम दिखाएँगे कि यह मामला नहीं हैः m0 = 0। चूँकि फोटॉन प्रकाश की गति के साथ फैलता है, इसलिए विशेष सापेक्षता की आवश्यकता होती है। ऊर्जा और संवेग वर्ग के लिए सापेक्ष अभिव्यक्तियाँ हैं, p2/E2 से, उपयोग करें और यह इस प्रकार है कि m0 = 0। फोटॉन स्पिन फोटॉन को स्पिन क्वांटम संख्या S = 1 के साथ एक ट्रिपल स्पिन सौंपा जा सकता है। यह 14N आइसोटोप के परमाणु स्पिन के समान है, लेकिन इस महत्वपूर्ण अंतर के साथ कि MS = 0 के साथ अवस्था शून्य है, केवल MS = ±1 के साथ अवस्थाएँ गैर-शून्य हैं। स्पिन प्रचालक को परिभाषित कीजिएः दो ऑर्थोगोनल इकाई वैक्टरों के बीच दो प्रचालक डायडिक उत्पाद हैं। इकाई वैक्टर प्रसार दिशा k (z अक्ष की दिशा, जो स्पिन परिमाणीकरण अक्ष है) के लंबवत होते हैं। स्पिन प्रचालक सामान्य कोणीय संवेग संचरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं वास्तव में, डायडिक उत्पाद गुण का उपयोग करते हैं क्योंकि ez इकाई लंबाई का होता है। इस तरह, निरीक्षण द्वारा यह इस प्रकार होता है और इसलिए माइक्रोन फोटॉन स्पिन को लेबल करता है, क्योंकि वेक्टर क्षमता ए एक अनुप्रस्थ क्षेत्र है, फोटॉन में कोई आगे (माइक्रोन = 0) स्पिन घटक नहीं है। मनमाने स्पिन क्षेत्रों के क्यू. ई. डी. वैक्यूम सामान्यीकृत ध्रुवीकरण वेक्टर को भी देखें। संदर्भ गेज सिद्धांत गणितीय परिमाणीकरण