Three subgroups lemma
गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, तीन उपसमूह लेम्मा कम्यूटेटरों से संबंधित एक परिणाम है। यह फिलिप हॉल और अर्न्स्ट विट की इसी नाम की पहचान का परिणाम है। निम्नलिखित में, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाएगाः यदि एच और के एक समूह जी के उपसमूह हैं, तो एच और के के कम्यूटेटर, जिसे [एच, के] द्वारा दर्शाया जाता है, को दो उपसमूहों में तत्वों के बीच कम्यूटेटर द्वारा उत्पन्न जी के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि एल एक तीसरा उपसमूह है, तो परंपरा कि [एच, के, एल] = [[एच, के], एल] का पालन किया जाएगा। यदि x और y एक समूह G के तत्व हैं, तो x का y द्वारा संयुग्म द्वारा दर्शाया जाएगा। यदि एच समूह जी का एक उपसमूह है, तो जी में एच के केंद्रीकरण को सी. जी. (एच) द्वारा दर्शाया जाएगा। कथन मान लीजिए कि X, Y और Z एक समूह G के उपसमूह हैं, और मान लीजिए और फिर। अधिक सामान्य रूप से, एक सामान्य उपसमूह के लिए, यदि और, तो। प्रमाण और हॉल-विट पहचान हॉल-विट पहचान यदि, तो तीन उपसमूहों का प्रमाण लेम्मा लेट, और। फिर, और ऊपर हॉल-विट पहचान द्वारा, यह उसका अनुसरण करता है और इसी तरह। इसलिए, सभी के लिए और। चूँकि ये तत्व उत्पन्न करते हैं, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि और इसलिए। कम्यूटेटर लोअर सेंट्रल सीरीज़ ग्रून की लेम्मा जैकोबी आइडेंटिटी नोट्स समूह सिद्धांत में संदर्भ लेम्मा प्रमाण वाले लेख भी देखें।