Discrete Chebyshev polynomials
गणित में, असतत चेबीशेव बहुपद, या ग्राम बहुपद, एक प्रकार के असतत ऑर्थोगोनल बहुपद हैं जिनका उपयोग सन्निकटन सिद्धांत में किया जाता है, जिसे पाफन्यूटी चेबीशेव द्वारा पेश किया गया और ग्राम द्वारा फिर से खोजा गया। बाद में उन्हें स्पिन कोणीय संवेग के विभिन्न बीजगणितीय गुणों पर लागू पाया गया। प्राथमिक परिभाषा असतत चेबीशेव बहुपद x में n डिग्री का एक बहुपद है, क्योंकि, इस तरह से निर्मित किया गया है कि असमान डिग्री के दो बहुपद डीराक डेल्टा फ़ंक्शन होने के साथ वजन फ़ंक्शन के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। अर्थात्, बाईं ओर समाकलन वास्तव में डेल्टा फलन के कारण एक योग है, और हमारे पास है, इस प्रकार, भले ही एक बहुपद है, केवल बिंदुओं के एक असतत सेट पर इसके मान किसी भी महत्व के हैं। फिर भी, क्योंकि इन बहुपदों को एक गैर-नकारात्मक भार फलन के संबंध में ऑर्थोगोनलिटी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, ऑर्थोगोनल बहुपदों का पूरा सिद्धांत लागू होता है। विशेष रूप से, बहुपद इस अर्थ में पूर्ण हैं कि चेबीशेव ने सामान्यीकरण को चुना ताकि यह संकेत परंपरा के साथ बहुपदों को पूरी तरह से ठीक कर सके। यदि स्वतंत्र चर को रैखिक रूप से मापा जाता है और स्थानांतरित किया जाता है ताकि अंतिम बिंदु मूल्यों को मान लें और फिर, एक स्थिरांक के रूप में, लीजेंड्रे बहुपद कहाँ है। उन्नत परिभाषा मान लीजिए कि बंद अंतराल [−1,1] पर परिभाषित एक चिकना फलन है, जिसके मान स्पष्ट रूप से केवल बिंदुओं पर ही ज्ञात होते हैं, जहाँ k और m पूर्णांक हैं और। कार्य f को n <m डिग्री के बहुपद के रूप में अनुमानित करना है। एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित द्विमितीय रूप पर विचार करें जहां और [−1,1] पर निरंतर हैं और एक असतत अर्ध-मानक होने दें। मान लीजिए कि बहुपदों का एक परिवार एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल है जब भी इसके बराबर नहीं है। मान लीजिए कि सभी बहुपदों में एक सकारात्मक अग्रणी गुणांक होता है और वे इस तरह से सामान्यीकृत होते हैं कि उन्हें असतत चेबीशेव (या ग्राम) बहुपद कहा जाता है। स्पिन बीजगणित के साथ संबंध असतत चेबीशेव बहुपदों के स्पिन के विभिन्न बीजगणितीय गुणों के साथ आश्चर्यजनक संबंध हैंः स्पिन संक्रमण संभावनाएं, आइंस्टीन-पोडोल्स्की-रोसेन प्रयोग के बोहम के स्पिन-एस संस्करण में स्पिन के अवलोकन की संभावनाएं, और विभिन्न स्पिन अवस्थाओं के लिए विग्नर कार्य। विशेष रूप से, बहुपद घूर्णन मैट्रिक्स (विग्नर डी-मैट्रिक्स) के निरपेक्ष वर्ग के आइगेनवेक्टर बन जाते हैं। संबंधित आइगेनवैल्यू लीजेंड्रे बहुपद है, जहाँ घूर्णन कोण है। दूसरे शब्दों में, यदि सामान्य कोणीय संवेग या स्पिन आइगेनस्टेट कहाँ हैं, और फिर आइगेनवेक्टर्स को चेबीशेव बहुपदों के स्केल और शिफ्ट किए गए संस्करण हैं। उन्हें स्थानांतरित किया जाता है ताकि संबंधित, और संबंधित के बजाय अंकों पर समर्थन हो। इसके अलावा, इसे बढ़ाया जा सकता है ताकि अन्य सामान्यीकरण स्थितियों का पालन किया जा सके। उदाहरण के लिए, कोई यह मांग कर सकता है कि वे संतुष्ट हों। संदर्भ ऑर्थोगोनल बहुपद सन्निकटन सिद्धांत