Welch bounds
गणित में, वेल्च सीमाएँ असमानताओं का एक परिवार है जो एक सदिश स्थान में इकाई सदिशों के एक समूह को समान रूप से फैलाने की समस्या से संबंधित है। दूरसंचार इंजीनियरिंग में कुछ तरीकों के डिजाइन और विश्लेषण में सीमाएं महत्वपूर्ण उपकरण हैं, विशेष रूप से कोडिंग सिद्धांत में। सीमाएँ मूल रूप से एल. आर. वेल्च द्वारा 1974 के एक पेपर में प्रकाशित की गई थीं। गणितीय कथन यदि इकाई वैक्टर हैं, तो परिभाषित करें कि सामान्य आंतरिक उत्पाद कहाँ है। फिर निम्नलिखित असमानताएँ हैंः वेल्च सीमाएँ कभी-कभी वैक्टरों के समूह के बीच औसत वर्ग ओवरलैप के संदर्भ में भी बताई जाती हैं। इस मामले में, किसी के पास असमानता प्रयोज्यता है यदि, तो वैक्टर एक ऑर्थोनॉर्मल सेट बना सकते हैं। इस मामले में, और सीमाएँ खाली हैं। नतीजतन, सीमाओं की व्याख्या केवल तभी सार्थक होती है जब। यह इस लेख के शेष भाग में माना जाएगा। k = 1 के लिए प्रमाण "पहला वेल्च बाउंड", जिसके अनुरूप, अब तक अनुप्रयोगों में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इसका प्रमाण दो चरणों में आगे बढ़ता है, जिनमें से प्रत्येक अधिक बुनियादी गणितीय असमानता पर निर्भर करता है। पहला कदम कौची-श्वार्ज असमानता का आह्वान करता है और वैक्टरों के ग्राम मैट्रिक्स पर विचार करके शुरू होता है; यानी, का निशान इसके आइगेनवैल्यूज के योग के बराबर है। क्योंकि की श्रेणी अधिक से अधिक है, और यह एक सकारात्मक अर्ध-परिमित मैट्रिक्स है, इसमें अधिकांश सकारात्मक आइगेनवैल्यू होते हैं और इसके शेष आइगेनवैल्यू शून्य के बराबर होते हैं। गैर-शून्य आइगेनवैल्यू के साथ के रूप में लिखना और कॉची-श्वार्ज असमानता को एक वेक्टर के साथ एक-वेक्टर के आंतरिक उत्पाद पर लागू करना, जिसके घटक ये आइगेनवैल्यू हैं, संतोषजनक के फ्रोबेनियस मानक (हिल्बर्ट-श्मिट मानक) का वर्ग इसे पूर्ववर्ती असमानता के साथ लेने से मिलता है क्योंकि प्रत्येक की इकाई लंबाई होती है, मुख्य विकर्ण पर तत्व एक होते हैं, और इसलिए इसका निशान है। तो, या प्रमाण का दूसरा भाग एक असमानता का उपयोग करता है जिसमें सरल अवलोकन शामिल है कि गैर-नकारात्मक संख्याओं के एक सेट का औसत सेट में सबसे बड़ी संख्या से अधिक नहीं हो सकता है। गणितीय संकेतन में, यदि के लिए, तो पिछली अभिव्यक्ति में योग में गैर-नकारात्मक शब्द हैं, जिनमें से सबसे बड़ा है। तो, या जो ठीक उसी मामले में वेल्च द्वारा दी गई असमानता है। वेल्च सीमा प्राप्त करना कुछ दूरसंचार अनुप्रयोगों में, वैक्टरों के सेट का निर्माण करना वांछनीय है जो समान रूप से वेल्च सीमा को पूरा करते हैं। बाउंड के लिए वैक्टर के तथाकथित वेल्च बाउंड इक्वेलिटी (डब्ल्यू. बी. ई.) सेट प्राप्त करने के लिए कई तकनीकों को पेश किया गया है। ऊपर दिए गए प्रमाण से पता चलता है कि दो अलग-अलग गणितीय असमानताओं को वेल्च बाउंड में शामिल किया जाता है। कौची-श्वार्ज़ असमानता का सामना तब समानता के साथ किया जाता है जब इसमें शामिल दो वैक्टर समरेखीय होते हैं। जिस तरह से उपरोक्त प्रमाण में इसका उपयोग किया जाता है, यह तब होता है जब ग्राम मैट्रिक्स के सभी गैर-शून्य आइगेनवैल्यू बराबर होते हैं, जो ठीक तब होता है जब वैक्टर एक तंग फ्रेम का गठन करते हैं। प्रमाण में अन्य असमानता समानता से संतुष्ट होती है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक विकल्प के लिए समान हो। इस मामले में, वैक्टर समकोणीय होते हैं। तो इस वेल्च बाउंड को समानता के साथ पूरा किया जाता है अगर और केवल तभी जब वैक्टर का सेट एक समकोणीय तंग फ्रेम हो। इसी तरह, औसत वर्ग ओवरलैप के संदर्भ में बताई गई वेल्च सीमाएँ सभी के लिए संतृप्त होती हैं यदि और केवल तभी जब जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस में वैक्टरों का सेट एक-डिज़ाइन हो। गोलाकार डिज़ाइन क्वांटम टी-डिज़ाइन समभुज रेखाएँ भी देखें संदर्भ असमानताएँ