Schur algebra
गणित में, इसाई शूर के नाम पर नामित शूर बीजगणित, कुछ सीमित-आयामी बीजगणित हैं जो सामान्य रैखिक और सममित समूहों के बीच शूर-वेल द्वैत के साथ निकटता से जुड़े हुए हैं। उनका उपयोग उन दो समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांतों को संबंधित करने के लिए किया जाता है। जे के प्रभावशाली मोनोग्राफ द्वारा उनके उपयोग को बढ़ावा दिया गया था। ए. ग्रीन पहली बार 1980 में प्रकाशित हुआ। "शूर बीजगणित" नाम हरे रंग के कारण है। मॉड्यूलर मामले में (सकारात्मक विशेषता के अनंत क्षेत्रों पर) शुर बीजगणित का उपयोग गॉर्डन जेम्स और करिन एर्डमैन द्वारा यह दिखाने के लिए किया गया था कि सामान्य रैखिक समूहों और सममित समूहों के लिए अपघटन संख्याओं की गणना की (अभी भी खुली) समस्याएं वास्तव में समतुल्य हैं। सीमित समूह योजनाओं के समरूपता की सीमित पीढ़ी को साबित करने के लिए फ्रीडलैंडर और सुसलिन द्वारा शूर बीजगणित का उपयोग किया गया था। निर्माण शूर बीजगणित को किसी भी परिवर्तनीय वलय और पूर्णांक के लिए परिभाषित किया जा सकता है। परिवर्तनीय चर, 1 ≤ i, j ≤ में बहुपदों (गुणांक के साथ) के बीजगणित पर विचार करें। डिग्री के सजातीय बहुपदों द्वारा निरूपित करें। के के तत्व जनरेटर के एक साथ गुणा करके (पुनरावृत्ति की अनुमति देते हुए) बनाए गए एकाक्षरों के के-रैखिक संयोजन हैं। इस प्रकार अब, गुणन के साथ एक प्राकृतिक कोल बीजगणित संरचना है और (क्रोनेकर डेल्टा) द्वारा जनरेटर पर दिए गए बीजगणित समरूपता को गणना करें। चूँकि गुणन एक बीजगणित समरूपता है, एक द्वि-बीजगणित है। यह आसानी से पता लगाया जा सकता है कि प्रत्येक r ≤ 0 के लिए बीजगणित का एक उप-बीजगणित है। परिभाषा. शूर बीजगणित (डिग्री में) बीजगणित है। अर्थात्, का रैखिक दोहरा है। यह एक सामान्य तथ्य है कि कोयले बीजगणित का रैखिक दोहरा एक प्राकृतिक तरीके से एक बीजगणित है, जहां बीजगणित में गुणन कोयले बीजगणित में गुणन को दोगुना करके प्रेरित किया जाता है। इसे देखने के लिए, आइए और, दी गई रैखिक कार्यात्मकताओं को देखते हुए, उनके उत्पाद को रैखिक कार्यात्मकता के रूप में परिभाषित करें। मुख्य गुण सबसे बुनियादी गुणों में से एक को केंद्रीकृत बीजगणित के रूप में व्यक्त किया जाता है। मान लीजिए कि रैंक कॉलम वैक्टर का स्थान ऊपर है, और टेंसर शक्ति का निर्माण करता है फिर अक्षरों पर सममित समूह स्थान क्रमपरिवर्तन द्वारा टेंसर स्थान पर स्वाभाविक रूप से कार्य करता है, और एक में एक समरूपता होती है दूसरे शब्दों में, सममित समूह की क्रिया के साथ आने वाले टेंसर स्थान के एंडोमोर्फिज्म के बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है। द्विपद गुणांक द्वारा दी गई श्रेणी से मुक्त है। के विभिन्न आधार ज्ञात हैं, जिनमें से कई आकार की अर्ध-मानक युवा झांकी के जोड़े द्वारा अनुक्रमित हैं, जैसा कि विभाजन के सेट पर भिन्न-भिन्न भागों में होता है। यदि k एक अनंत क्षेत्र है, तो उस पर कार्य करने वाले सामान्य रैखिक समूह की क्रिया के लिए आवरण बीजगणित (एच. वेल के अर्थ में) के साथ भी पहचाना जा सकता है (टेंसर पर विकर्ण क्रिया के माध्यम से, मैट्रिक्स गुणन द्वारा दी गई प्राकृतिक क्रिया से प्रेरित)। शूर अल्जेब्रा को "पूर्णांकों पर परिभाषित" किया जाता है। इसका मतलब है कि वे स्केलर गुण के निम्नलिखित परिवर्तन को संतुष्ट करते हैंः किसी भी कम्यूटेटिव रिंग के लिए। शूर बीजगणित अर्ध-वंशानुगत बीजगणित के प्राकृतिक उदाहरण प्रदान करते हैं (जैसा कि क्लाइन, पार्शल और स्कॉट द्वारा परिभाषित किया गया है), और इस प्रकार उनमें अच्छे समरूपी गुण होते हैं। विशेष रूप से, शूर बीजगणित में सीमित वैश्विक आयाम होते हैं। सामान्यीकरण सामान्यीकृत शूर बीजगणित (किसी भी अपचायक बीजगणितीय समूह से जुड़े) को 1980 के दशक में डॉन्किन द्वारा पेश किया गया था। ये अर्ध-वंशानुगत भी हैं। लगभग उसी समय, डिपर और जेम्स ने मात्रात्मक शूर बीजगणित (या संक्षिप्त में q-शूर बीजगणित) की शुरुआत की, जो ऊपर वर्णित शास्त्रीय शूर बीजगणित का एक प्रकार का q-विरूपण है, जिसमें सममित समूह को संबंधित हेक बीजगणित और सामान्य रैखिक समूह को एक उपयुक्त क्वांटम समूह द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सामान्यीकृत क्यू-शूर बीजगणित भी हैं, जो डिपर और जेम्स के काम को उसी तरह सामान्यीकृत करके प्राप्त किए जाते हैं जैसे डॉन्किन ने शास्त्रीय शूर बीजगणित को सामान्यीकृत किया था। आगे के सामान्यीकरण हैं, जैसे कि एफाइन काक-मूडी लाइ अल्जेब्रा से संबंधित एफाइन क्यू-शूर अल्जेब्रा और अन्य सामान्यीकरण, जैसे कि साइक्लोटोमिक क्यू-शूर अल्जेब्रा जो अरिकी-कोइके अल्जेब्रा से संबंधित हैं (जो कुछ जटिल प्रतिबिंब समूहों के क्यू-विरूपण हैं)। सामान्यीकरण के इन विभिन्न वर्गों का अध्ययन समकालीन अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। स्टुअर्ट मार्टिन, शूर अल्जेब्रा और प्रतिनिधित्व सिद्धांत, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय प्रेस 1993., एंड्रयू मैथस, इवाहोरी-हेके अल्जेब्रा और सममित समूह के शूर अल्जेब्रा, विश्वविद्यालय व्याख्यान श्रृंखला, vol.15, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, 1999., हर्मन वेल, द क्लासिकल ग्रुप। उनके अपरिवर्तनीय और प्रतिनिधि। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, प्रिंसटन, एन. जे., 1939. बीजगणित प्रतिनिधित्व सिद्धांत