Differential calculus
ગણિતમાં, વિભેદક કલન એ કલનનું પેટાક્ષેત્ર છે જે જથ્થામાં ફેરફારના દરનો અભ્યાસ કરે છે. તે કલનશાસ્ત્રના બે પરંપરાગત વિભાગોમાંથી એક છે, બીજો અભિન્ન કલનશાસ્ત્ર છે-વળાંકની નીચેના વિસ્તારનો અભ્યાસ. વિભેદક કલનમાં અભ્યાસના પ્રાથમિક ઉદ્દેશ્યો એ કાર્યના વ્યુત્પન્ન, વિભેદક જેવી સંબંધિત ધારણાઓ અને તેમના ઉપયોગો છે. પસંદ કરેલ ઇનપુટ મૂલ્ય પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન તે ઇનપુટ મૂલ્યની નજીકના કાર્યના પરિવર્તનના દરનું વર્ણન કરે છે. વ્યુત્પન્ન શોધવાની પ્રક્રિયાને વિભેદન કહેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક રીતે, એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન એ તે બિંદુ પર કાર્યના આલેખમાં સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ છે, જો કે વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને તે બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. એક વાસ્તવિક ચલના વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય માટે, એક બિંદુ પર વિધેયનું વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે તે બિંદુ પર વિધેય માટે શ્રેષ્ઠ રેખીય અંદાજ નક્કી કરે છે. વિભેદક કલન અને અભિન્ન કલન કલનની મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા જોડાયેલા છે, જે જણાવે છે કે વિભેદન એ એકીકરણની વિપરીત પ્રક્રિયા છે. તફાવતનો ઉપયોગ લગભગ તમામ માત્રાત્મક શાખાઓમાં થાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સમયના સંદર્ભમાં ગતિશીલ પદાર્થના વિસ્થાપનનું વ્યુત્પન્ન એ પદાર્થનો વેગ છે, અને સમયના સંદર્ભમાં વેગનું વ્યુત્પન્ન પ્રવેગ છે. સમયના સંદર્ભમાં પદાર્થની ગતિનું વ્યુત્પન્ન પદાર્થ પર લાગુ બળ બરાબર છે; આ વ્યુત્પન્ન વિધાનને ફરીથી ગોઠવવાથી ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ સાથે સંકળાયેલ પ્રસિદ્ધ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે. રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાનો પ્રતિક્રિયા દર એક વ્યુત્પન્ન છે. ઓપરેશન્સ રિસર્ચમાં, ડેરિવેટિવ્ઝ સામગ્રીના પરિવહન અને ડિઝાઇન ફેક્ટરીઓની સૌથી કાર્યક્ષમ રીતો નક્કી કરે છે. વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ શોધવા માટે વારંવાર થાય છે. વ્યુત્પન્નોનો સમાવેશ કરતા સમીકરણોને વિભેદક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે અને તે કુદરતી ઘટનાઓનું વર્ણન કરવામાં મૂળભૂત છે. વ્યુત્પન્ન અને તેમના સામાન્યીકરણ ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રોમાં જોવા મળે છે, જેમ કે જટિલ વિશ્લેષણ, કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ, વિભેદક ભૂમિતિ, માપન સિદ્ધાંત અને અમૂર્ત બીજગણિત. વ્યુત્પન્ન બિંદુ પરનું વ્યુત્પન્ન એ સ્પર્શિકાનો ઢોળાવ છે. આ માટે અંતઃપ્રેરણા મેળવવા માટે, વ્યક્તિએ પહેલા આ સ્વરૂપમાં લખાયેલા રેખીય સમીકરણના ઢોળાવને શોધવા સાથે પરિચિત હોવું જોઈએ. સમીકરણનો ઢોળાવ તેની સ્થિરતા છે. તે કોઈપણ બે બિંદુઓ પસંદ કરીને અને ફેરફારને ફેરફાર દ્વારા વિભાજીત કરીને શોધી શકાય છે, જેનો અર્થ છે કે. કારણ કે, નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ગ્રાફનો ઢાળ છેઃ ટૂંકાણ માટે, ઘણીવાર ગ્રીક અક્ષર ડેલ્ટા તરીકે લખવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે 'ફેરફાર'. રેખીય સમીકરણનો ઢોળાવ અચળ હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સ્થિરતા દરેક જગ્યાએ સમાન હોય છે. જો કે, ઘણા આલેખ જેમ કે તેમની તીવ્રતામાં બદલાય છે. આનો અર્થ એ છે કે તમે હવે કોઈપણ બે મનસ્વી બિંદુઓ પસંદ કરી શકતા નથી અને ઢોળાવની ગણતરી કરી શકો છો. તેના બદલે, આલેખના ઢોળાવની ગણતરી સ્પર્શક રેખાને ધ્યાનમાં લઈને કરી શકાય છે-એક રેખા જે કોઈ ચોક્કસ બિંદુને 'માત્ર સ્પર્શે છે'. કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર વળાંકનો ઢોળાવ તે બિંદુ પરના સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એટનો ઢોળાવ છે કારણ કે તે બિંદુ પર સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ સમાન છેઃ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન પછી ફક્ત આ સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ છે. જો કે સ્પર્શરેખા સ્પર્શતાના બિંદુ પર માત્ર એક જ બિંદુને સ્પર્શે છે, તેમ છતાં તેને બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. આને સેકન્ટ રેખા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો સિકન્ટ રેખા જે બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તે એકબીજાની નજીક હોય, તો સિકન્ટ રેખા નજીકથી સ્પર્શક રેખા જેવી લાગે છે, અને પરિણામે, તેનો ઢોળાવ પણ ખૂબ સમાન છેઃ સિકન્ટ રેખાનો ઉપયોગ કરવાનો ફાયદો એ છે કે તેના ઢોળાવની સીધી ગણતરી કરી શકાય છે. આલેખ પરના બે બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો અને જ્યાં એક નાની સંખ્યા છે. પહેલાની જેમ, આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના ઢોળાવની ગણતરી સૂત્ર સાથે કરી શકાય છે. આ આપે છે જેમ જેમ નજીક અને નજીક આવે છે તેમ, સેકન્ટ લાઇનનો ઢોળાવ સ્પર્શક લાઇનના ઢોળાવની નજીક અને નજીક આવે છે. આ ઔપચારિક રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે 'જેમ જેમ 0 ની નજીક અને નજીક જાય છે, તેમ તેમ સેકન્ટ લાઇનનો ઢોળાવ ચોક્કસ મૂલ્યની નજીક અને નજીક જાય છે'. જે મૂલ્યનો સંપર્ક કરવામાં આવી રહ્યો છે તે વ્યુત્પન્ન છે; આને આ રીતે લખી શકાય છે. જો, વ્યુત્પન્નને અનંત ફેરફારને રજૂ કરતી રીતે પણ લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, x માં અનંત ફેરફાર રજૂ કરે છે. સારાંશમાં, જો, તો પછી વ્યુત્પન્ન આપવામાં આવે છે આવી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે. આ રીતે આપણે કાર્યના વ્યુત્પન્નને યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં સફળ થયા છીએ, જેનો અર્થ છે કે 'સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ' હવે ચોક્કસ ગાણિતિક અર્થ ધરાવે છે. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને કાર્યને અલગ પાડવું એ પ્રથમ સિદ્ધાંતોથી તફાવત તરીકે ઓળખાય છે. અહીં એક પુરાવો છે, પ્રથમ સિદ્ધાંતોથી તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, કે જેનું વ્યુત્પન્ન છેઃ જેમ જેમ નજીક આવે છે, તેમ તેમ નજીક આવે છે. તેથી, તા. આ સાબિતીને સામાન્ય બનાવી શકાય છે જે દર્શાવે છે કે તે સ્થિર છે અને છે. આ સત્તાના નિયમ તરીકે ઓળખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,. જો કે, અન્ય ઘણા કાર્યોને બહુપદી કાર્યોની જેમ સરળતાથી અલગ કરી શકાતા નથી, એટલે કે કાર્યના વ્યુત્પન્નને શોધવા માટે કેટલીકવાર વધુ તકનીકોની જરૂર પડે છે. આ તકનીકોમાં સાંકળ નિયમ, ઉત્પાદન નિયમ અને ભાગાકાર નિયમનો સમાવેશ થાય છે. અન્ય કાર્યોને બિલકુલ અલગ કરી શકાતા નથી, જે તફાવતની વિભાવનાને જન્મ આપે છે. કાર્યના વ્યુત્પન્ન સાથે નજીકથી સંબંધિત ખ્યાલ તેના વિભેદક છે. જ્યારે અને વાસ્તવિક ચલ હોય, ત્યારે 'એટ' નું વ્યુત્પન્ન 'એટ' ના આલેખમાં સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ છે. કારણ કે સ્રોત અને લક્ષ્ય એક-પરિમાણીય છે, તેનું વ્યુત્પન્ન એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. જો અને વેક્ટર હોય, તો ગ્રાફનો શ્રેષ્ઠ રેખીય અંદાજ એક જ સમયે ઘણી દિશાઓમાં કેવી રીતે બદલાય છે તેના પર આધાર રાખે છે. એક જ દિશામાં શ્રેષ્ઠ રેખીય અંદાજ લેવાથી આંશિક વ્યુત્પન્ન નક્કી થાય છે, જે સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે. એક જ સમયે બધી દિશાઓમાં રેખીયકરણને કુલ વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે. વિભેદનનો ઇતિહાસ સ્પર્શક રેખાના અર્થમાં વ્યુત્પન્નની વિભાવના ખૂબ જ જૂની છે, જે યુક્લિડ (ઇ. સ. પૂ. 300), આર્કિમિડીઝ (ઇ. સ. પૂ. 287-212) અને પર્ગાના અપોલોનીયસ (ઇ. સ. પૂ. 262-190) જેવા પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓથી પરિચિત છે. આર્કિમિડીઝે અવિભાજ્યનો પણ ઉપયોગ કર્યો હતો, જોકે તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે વ્યુત્પન્ન અને સ્પર્શકને બદલે ક્ષેત્રો અને વોલ્યુમોનો અભ્યાસ કરવા માટે થતો હતો (જુઓ યાંત્રિક પ્રમેયની પદ્ધતિ). પરિવર્તનના દરની ગણતરી કરવા માટે અનંત સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ ભાસ્કર II (1114-1185) દ્વારા નોંધપાત્ર રીતે વિકસાવવામાં આવ્યો હતો; ખરેખર, એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે વિભેદક કલનની ઘણી મુખ્ય કલ્પનાઓ તેમના કાર્યમાં મળી શકે છે, જેમ કે "રોલ્સ થીયરમ". ગણિતશાસ્ત્રી, શરાફ અલ-દીન અલ-તુસી (1135-1213), સમીકરણો પરના તેમના ગ્રંથમાં, યોગ્ય ઘન બહુપદીઓની મહત્તમતા શોધીને, કેટલાક ઘન સમીકરણોના ઉકેલો માટે શરતો સ્થાપિત કરી. ઉદાહરણ તરીકે, તેમણે મેળવ્યું કે ક્યુબિકનો મહત્તમ (હકારાત્મક માટે) ત્યારે થાય છે જ્યારે, અને તેમાંથી નિષ્કર્ષ કાઢ્યો કે સમીકરણનો બરાબર એક સકારાત્મક ઉકેલ હોય છે જ્યારે, અને જ્યારે પણ બે સકારાત્મક ઉકેલો હોય છે. વિજ્ઞાનના ઇતિહાસકાર, રોશદી રાશેદે દલીલ કરી છે કે અલ-તૂસીએ આ પરિણામ મેળવવા માટે ઘનના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કર્યો હોવો જોઈએ. રાશેદના નિષ્કર્ષનો અન્ય વિદ્વાનો દ્વારા વિરોધ કરવામાં આવ્યો છે, જો કે, જેઓ દલીલ કરે છે કે તેઓ અન્ય પદ્ધતિઓ દ્વારા પરિણામ મેળવી શક્યા હોત, જેમાં કાર્યના વ્યુત્પન્નને જાણવાની જરૂર નથી. કલનશાસ્ત્રના આધુનિક વિકાસનું શ્રેય સામાન્ય રીતે આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનીઝ (1646-1716) ને આપવામાં આવે છે, જેમણે ભિન્નતા અને વ્યુત્પન્ન માટે સ્વતંત્ર અને એકીકૃત અભિગમો પૂરા પાડ્યા હતા. જો કે, મુખ્ય આંતરદૃષ્ટિ કે જેણે તેમને આ શ્રેય અપાવ્યો, તે તફાવત અને એકીકરણને લગતા કલનનું મૂળભૂત પ્રમેય હતુંઃ આ ક્ષેત્રો અને વોલ્યુમોની ગણતરી માટે અગાઉની મોટાભાગની પદ્ધતિઓને અપ્રચલિત બનાવે છે. વ્યુત્પન્ન પરના તેમના વિચારો માટે, ન્યૂટન અને લીબનીઝ બંનેએ પિયરે ડી ફર્મેટ (1607-1665), આઇઝેક બેરો (1630-1677), રેને ડેસકાર્ટેસ (1596-1650), ક્રિસ્ટિયન હ્યુજેન્સ (1629-1695), બ્લેઝ પાસ્કલ (1623-1662) અને જ્હોન વોલિસ (1616-1703) જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા નોંધપાત્ર અગાઉના કાર્ય પર નિર્માણ કર્યું હતું. ફર્માટના પ્રભાવ વિશે, ન્યૂટને એક વખત એક પત્રમાં લખ્યું હતું કે "મને આ પદ્ધતિનો સંકેત ફર્માટની સ્પર્શરેખાઓ દોરવાની રીતમાંથી મળ્યો હતો, અને તેને અમૂર્ત સમીકરણો પર સીધા અને ઊંધી રીતે લાગુ કરીને, મેં તેને સામાન્ય બનાવ્યું હતું". આઇઝેક બેરોને સામાન્ય રીતે વ્યુત્પન્નના પ્રારંભિક વિકાસ માટે શ્રેય આપવામાં આવે છે. તેમ છતાં, ન્યુટન અને લીબનીઝ તફાવતના ઇતિહાસમાં મુખ્ય વ્યક્તિઓ છે, ઓછામાં ઓછું એટલા માટે નહીં કે ન્યુટન સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તફાવત લાગુ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા, જ્યારે લીબનીઝે વ્યવસ્થિત રીતે આજે પણ ઉપયોગમાં લેવાતા મોટાભાગના સંકેતો વિકસાવ્યા હતા. 17મી સદીથી ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ભિન્નતાના સિદ્ધાંતમાં યોગદાન આપ્યું છે. 19મી સદીમાં, ઓગસ્ટિન લુઇસ કોચી (1789-1857), બર્નહાર્ડ રીમેન (1826-1866) અને કાર્લ વેઇઅરસ્ટ્રાસ (1815-1897) જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કલનશાસ્ત્રને વધુ સખત પાયા પર મૂકવામાં આવ્યું હતું. આ સમયગાળા દરમિયાન જ તફાવતને યુક્લિડિયન અવકાશ અને જટિલ સમતલમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો. 20મી સદી આપણી વર્તમાન સમજણ અને વ્યુત્પત્તિ પ્રથા તરફ બે મુખ્ય પગલાં લાવીઃ લેબસ્ગ્યુ એકીકરણ, ઘણા વધુ કાર્યો માટે અભિન્ન કલન વિસ્તારવા ઉપરાંત, સંપૂર્ણ સાતત્યની કલ્પના સાથે વ્યુત્પત્તિ અને એકીકરણ વચ્ચેના સંબંધને સ્પષ્ટ કરે છે. પાછળથી વિતરણના સિદ્ધાંતે (લોરેન્ટ શ્વાર્ટઝ પછી) સામાન્યીકૃત કાર્યો (દા. ત., અગાઉ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં રજૂ કરાયેલ ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય) માટે વ્યુત્પત્તિને વિસ્તૃત કરી અને આજકાલ ખાસ કરીને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના નબળા ઉકેલોના ઉપયોગ દ્વારા લાગુ વિશ્લેષણ માટે મૂળભૂત બની ગયું. ડેરિવેટિવ્ઝ ઓપ્ટિમાઇઝેશનની એપ્લિકેશનો જો (અથવા ઓપન ઇન્ટરવલ) પર ડિફરન્શીયેબલ ફંક્શન હોય અને તે સ્થાનિક મહત્તમ અથવા સ્થાનિક લઘુત્તમ હોય, તો at નું ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય છે. જ્યાં બિંદુઓને નિર્ણાયક બિંદુઓ અથવા સ્થિર બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે (અને એટના મૂલ્યને નિર્ણાયક મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે). જો દરેક જગ્યાએ ડિફરન્શીયેબલ હોવાનું માનવામાં ન આવે, તો જે બિંદુઓ પર તે ડિફરન્શીયેબલ બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે તેને પણ નિર્ણાયક બિંદુઓ તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. જો બે વાર વિકલનક્ષમ હોય, તો તેનાથી વિપરીત, એક નિર્ણાયક બિંદુનું બીજા વ્યુત્પન્નને ધ્યાનમાં લઈને વિશ્લેષણ કરી શકાય છેઃ જો તે હકારાત્મક હોય, તો તે સ્થાનિક લઘુત્તમ છે; જો તે નકારાત્મક હોય, તો સ્થાનિક મહત્તમ છે; જો તે શૂન્ય હોય, તો તે સ્થાનિક લઘુત્તમ, સ્થાનિક મહત્તમ અથવા ન તો હોઈ શકે છે. (ઉદાહરણ તરીકે, એક નિર્ણાયક બિંદુ હોય છે, પરંતુ તેમાં ન તો મહત્તમ હોય છે અને ન તો લઘુત્તમ, જ્યારે ત્યાં અનુક્રમે અને લઘુત્તમ અને મહત્તમ નિર્ણાયક બિંદુ હોય છે.) આને બીજી વ્યુત્પન્ન કસોટી કહેવામાં આવે છે. એક વૈકલ્પિક અભિગમ, જેને પ્રથમ વ્યુત્પન્ન પરીક્ષણ કહેવામાં આવે છે, તેમાં નિર્ણાયક બિંદુની દરેક બાજુના ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેવાનો સમાવેશ થાય છે. તેથી ડેરિવેટિવ્ઝ લેવા અને નિર્ણાયક મુદ્દાઓ માટે ઉકેલ લાવવો એ ઘણીવાર સ્થાનિક મિનિમા અથવા મેક્સિમા શોધવાની એક સરળ રીત છે, જે ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે. આત્યંતિક મૂલ્ય પ્રમેય અનુસાર, બંધ અંતરાલ પર સતત વિધેય તેના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો ઓછામાં ઓછા એક વાર પ્રાપ્ત કરવું આવશ્યક છે. જો વિધેય વિકલનક્ષમ હોય, તો લઘુત્તમ અને મહત્તમ માત્ર નિર્ણાયક બિંદુઓ અથવા અંતિમ બિંદુઓ પર જ થઈ શકે છે. ગ્રાફ સ્કેચિંગમાં પણ આનો ઉપયોગ થાય છેઃ એકવાર સ્થાનિક લઘુતમ અને વિભેદક વિધેયનો મહત્તમ ભાગ મળી ગયા પછી, ગ્રાફનો રફ પ્લોટ નિરીક્ષણ પરથી મેળવી શકાય છે કે તે નિર્ણાયક બિંદુઓ વચ્ચે ક્યાં તો વધશે અથવા ઘટશે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, સ્કેલર વેલ્યુડ ફંક્શનનું નિર્ણાયક બિંદુ એ બિંદુ છે કે જેના પર ગ્રેડિયન્ટ શૂન્ય હોય છે. બીજા વ્યુત્પન્ન પરીક્ષણનો ઉપયોગ હજુ પણ નિર્ણાયક બિંદુ પર કાર્યના બીજા આંશિક વ્યુત્પન્નના હેસિયન મેટ્રિક્સના આઈગનવેલ્યુને ધ્યાનમાં લઈને નિર્ણાયક બિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થઈ શકે છે. જો તમામ આઈગન મૂલ્યો હકારાત્મક હોય, તો બિંદુ સ્થાનિક લઘુત્તમ છે; જો બધા નકારાત્મક હોય, તો તે સ્થાનિક મહત્તમ છે. જો કેટલાક હકારાત્મક અને કેટલાક નકારાત્મક આઈગન મૂલ્યો હોય, તો નિર્ણાયક બિંદુને "સેડલ પોઇન્ટ" કહેવામાં આવે છે, અને જો આમાંથી કોઈ પણ કેસ ન હોય (એટલે કે, કેટલાક આઈગન મૂલ્યો શૂન્ય હોય) તો પરીક્ષણ અનિર્ણિત માનવામાં આવે છે. વિવિધતાઓની ગણતરી ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનું એક ઉદાહરણ છેઃ સપાટી પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સૌથી ટૂંકો વળાંક શોધો, એમ ધારીને કે વળાંક પણ સપાટી પર હોવો જોઈએ. જો સપાટી સમતલ હોય, તો સૌથી ટૂંકો વળાંક એક રેખા છે. પરંતુ જો સપાટી, ઉદાહરણ તરીકે, ઇંડા આકારની હોય, તો પછી ટૂંકો માર્ગ તરત જ સ્પષ્ટ નથી. આ માર્ગોને ભૂગણિત કહેવામાં આવે છે, અને વિવિધતાઓની ગણતરીમાં સૌથી મૂળભૂત સમસ્યાઓમાંની એક ભૂગણિત શોધવાની છે. બીજું ઉદાહરણ છેઃ અવકાશમાં બંધ વળાંકમાં ભરેલી સૌથી નાની વિસ્તારની સપાટી શોધો. આ સપાટીને ન્યૂનતમ સપાટી કહેવામાં આવે છે અને તે પણ વિવિધતાના કલનનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ભૌતિકશાસ્ત્રની ગણતરીનું મહત્વપૂર્ણ મહત્વ છેઃ ઘણી ભૌતિક પ્રક્રિયાઓને વ્યુત્પન્નને સમાવતા સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેને વિભેદક સમીકરણો કહેવાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર ખાસ કરીને સમય જતાં જથ્થામાં ફેરફાર અને વિકાસની રીત સાથે સંબંધિત છે, અને "સમય વ્યુત્પન્ન" ની વિભાવના-સમય જતાં પરિવર્તનનો દર-કેટલીક મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓની ચોક્કસ વ્યાખ્યા માટે જરૂરી છે. ખાસ કરીને, પદાર્થની સ્થિતિના સમય વ્યુત્પન્ન ન્યૂટોનિયન ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોંધપાત્ર છેઃ વેગ એ પદાર્થના વિસ્થાપન (મૂળ સ્થિતિથી અંતર) નું વ્યુત્પન્ન (સમયના સંદર્ભમાં) છે પ્રવેગક એ પદાર્થના વેગનું વ્યુત્પન્ન (સમયના સંદર્ભમાં) છે, એટલે કે, પદાર્થની સ્થિતિનું બીજું વ્યુત્પન્ન (સમયના સંદર્ભમાં). ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ રેખા પર કોઈ પદાર્થની સ્થિતિ તેના દ્વારા આપવામાં આવે તો પદાર્થનો વેગ છે અને પદાર્થનો પ્રવેગ છે જે સ્થિર છે. વિભેદક સમીકરણો એક વિભેદક સમીકરણ એ કાર્યોના સંગ્રહ અને તેમના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો સંબંધ છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ એ એક વિભેદક સમીકરણ છે જે એક ચલનાં કાર્યોને તે ચલનાં સંદર્ભમાં તેમના વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત કરે છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણ એ એક વિભેદક સમીકરણ છે જે એક કરતાં વધુ ચલનાં કાર્યોને તેમના આંશિક વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત કરે છે. વિભેદક સમીકરણો કુદરતી રીતે ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં, ગાણિતિક મોડેલિંગમાં અને ગણિતમાં જ ઉદ્ભવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ન્યૂટનનો બીજો નિયમ, જે પ્રવેગ અને બળ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે, તેને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ તરીકે વર્ણવી શકાય છે એક અવકાશ ચલમાં ઉષ્મા સમીકરણ, જે વર્ણવે છે કે કેવી રીતે ઉષ્મા સીધી લાકડી દ્વારા પ્રસરે છે, તે આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો અને મૂળ કાર્યના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ આપે છે. જો વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોય અને અને તેની સાથે સંખ્યાઓ હોય, તો સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય કહે છે કે હળવી પૂર્વધારણાઓ હેઠળ, બે બિંદુઓ વચ્ચેનો ઢોળાવ અને અને વચ્ચે કોઈક બિંદુ પર સ્પર્શક રેખાના ઢોળાવ જેટલો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યવહારમાં, સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય શું કરે છે તે તેના વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ કાર્યને નિયંત્રિત કરે છે. દાખલા તરીકે, ધારો કે તે દરેક બિંદુ પર શૂન્ય સમાન વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે તેની સ્પર્શક રેખા દરેક બિંદુ પર આડી હોય છે, તેથી કાર્ય પણ આડી હોવું જોઈએ. મીન વેલ્યુ થીયરમ સાબિત કરે છે કે આ સાચું હોવું જ જોઈએઃ ગ્રાફ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો ઢોળાવ તેની સ્પર્શક રેખાઓમાંથી એકના ઢોળાવની બરાબર હોવો જોઈએ. તે તમામ ઢોળાવ શૂન્ય છે, તેથી આલેખ પરના એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીની કોઈપણ રેખામાં પણ ઢોળાવ શૂન્ય હશે. પરંતુ તે કહે છે કે કાર્ય ઉપર કે નીચે જતું નથી, તેથી તે આડી રેખા હોવી જોઈએ. વ્યુત્પન્ન પર વધુ જટિલ પરિસ્થિતિઓ મૂળ કાર્ય વિશે ઓછી ચોક્કસ પરંતુ હજુ પણ અત્યંત ઉપયોગી માહિતી તરફ દોરી જાય છે. ટેલર બહુપદીઓ અને ટેલર શ્રેણી વ્યુત્પન્ન આપેલ બિંદુ પર વિધેયનો શ્રેષ્ઠ શક્ય રેખીય અંદાજ આપે છે, પરંતુ આ મૂળ વિધેયથી ખૂબ જ અલગ હોઈ શકે છે. અંદાજમાં સુધારો કરવાની એક રીત એ છે કે વર્ગાત્મક અંદાજ લેવો. એટલે કે, બિંદુ પર વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેયનું રેખીયકરણ એ રેખીય બહુપદી છે, અને દ્વિઘાત બહુપદીને ધ્યાનમાં લઈને વધુ સારો અંદાજ મેળવવો શક્ય બની શકે છે. હજી વધુ સારું ક્યુબિક બહુપદી હોઈ શકે છે, અને આ વિચારને મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ડિગ્રી બહુપદીઓ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ દરેક બહુપદી માટે, ગુણાંક,, ની શ્રેષ્ઠ શક્ય પસંદગી હોવી જોઈએ અને તે અંદાજને શક્ય તેટલું સારું બનાવે છે. ના પડોશમાં, શ્રેષ્ઠ શક્ય પસંદગી હંમેશા હોય છે, અને શ્રેષ્ઠ શક્ય પસંદગી હંમેશા હોય છે. માટે, અને ઉચ્ચ-ડિગ્રી ગુણાંક, આ ગુણાંક ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તે હંમેશા હોવો જોઈએ અને હંમેશા હોવો જોઈએ. આ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવાથી ટેલર બહુપદી મળે છે. ડિગ્રીની ટેલર બહુપદી એ ડિગ્રીની બહુપદી છે જે શ્રેષ્ઠ અંદાજ આપે છે, અને તેના ગુણાંક ઉપરના સૂત્રોના સામાન્યીકરણ દ્વારા શોધી શકાય છે. ટેલરનો પ્રમેય અંદાજ કેટલો સારો છે તેની ચોક્કસ મર્યાદા આપે છે. જો ડિગ્રીની બહુપદી તેના કરતા ઓછી અથવા તેની બરાબર હોય, તો ડિગ્રીની ટેલર બહુપદી સમાન હોય છે. ટેલર બહુપદીઓની મર્યાદા એક અનંત શ્રેણી છે જેને ટેલર શ્રેણી કહેવાય છે. ટેલર શ્રેણી ઘણીવાર મૂળ કાર્ય માટે ખૂબ જ સારો અંદાજ છે. જે કાર્યો તેમની ટેલર શ્રેણીની બરાબર હોય તેમને વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો કહેવામાં આવે છે. વિસંગતતા અથવા તીક્ષ્ણ ખૂણાઓવાળા કાર્યો માટે વિશ્લેષણાત્મક હોવું અશક્ય છે; વધુમાં, એવા સરળ કાર્યો અસ્તિત્વમાં છે જે વિશ્લેષણાત્મક પણ નથી. ગર્ભિત કાર્ય પ્રમેય કેટલાક કુદરતી ભૌમિતિક આકારો, જેમ કે વર્તુળો, કાર્યના આલેખ તરીકે દોરી શકાતા નથી. દાખલા તરીકે, જો, તો પછી વર્તુળ એ તમામ જોડીનો સમૂહ છે. આ સમૂહને શૂન્ય સમૂહ કહેવામાં આવે છે, અને તે ગ્રાફ જેવો નથી, જે પેરાબોલોઇડ છે. ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન થીયરમ જેવા સંબંધોને કાર્યોમાં રૂપાંતરિત કરે છે. તે જણાવે છે કે જો સતત વિકલનક્ષમ હોય, તો મોટાભાગના બિંદુઓની આસપાસ, શૂન્ય સમૂહ એકસાથે ચોંટેલા કાર્યોના આલેખ જેવો દેખાય છે. જ્યાં આ સાચું નથી તેવા બિંદુઓ ના વ્યુત્પન્ન પરની શરત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, વર્તુળને બે કાર્યોના આલેખમાંથી એકસાથે પેસ્ટ કરી શકાય છે. અને સિવાય વર્તુળ પરના દરેક બિંદુના પડોશમાં, આ બે કાર્યોમાંથી એકમાં આલેખ હોય છે જે વર્તુળ જેવો દેખાય છે. (આ બે વિધેયો પણ મળે છે અને, પરંતુ આ ગર્ભિત વિધેય પ્રમેય દ્વારા બાંયધરી નથી આપતું.) ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન થીયરમ ઇન્વર્સ ફંક્શન થીયરમ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જે જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ ફંક્શન એકસાથે પેસ્ટ કરેલા ઇન્વર્ટિબલ ફંક્શન્સના આલેખ જેવું દેખાય છે. વિભેદક (કલન) આંકડાકીય વિભેદન તકનીકો પણ જુઓ કલન વિષયોની સૂચિ વિભેદન માટે નોટેશન નોંધો સંદર્ભો સાઇટેશન વર્ક્સ ટાંકવામાં આવેલા અન્ય સ્રોતો બોમન, યુજીન અને રોબર્ટ રોજર્સ. વિભેદક ગણતરીઃ અભ્યાસથી સિદ્ધાંત સુધી. 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf. ગણતરી