Bayes' theorem
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, થોમસ બેયસના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ બેયસ સિદ્ધાંત (વૈકલ્પિક રીતે બેયસ નિયમ અથવા બેયસ નિયમ), ઘટના સાથે સંબંધિત હોઈ શકે તેવી પરિસ્થિતિઓના પૂર્વ જ્ઞાનના આધારે ઘટનાની સંભાવનાનું વર્ણન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આરોગ્ય સમસ્યાઓ વિકસાવવાનું જોખમ વય સાથે વધતું જાય છે, તો બેયસ 'થીયરમ જાણીતા વયની વ્યક્તિના જોખમને તેની ઉંમરની સરખામણીમાં વધુ સચોટ રીતે મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે, ફક્ત એમ ધારી લેવાને બદલે કે તે વ્યક્તિ સમગ્ર વસ્તીની લાક્ષણિકતા છે. બેયસના પ્રમેયની ઘણી એપ્લિકેશનોમાંથી એક બેયેશિયન અનુમાન છે, જે આંકડાકીય અનુમાન માટેનો એક ચોક્કસ અભિગમ છે. જ્યારે લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રમેયમાં સામેલ સંભાવનાઓમાં વિવિધ સંભાવના અર્થઘટનો હોઈ શકે છે. બાયેસિયન સંભાવના અર્થઘટન સાથે, પ્રમેય વ્યક્ત કરે છે કે કેવી રીતે માન્યતાની ડિગ્રી, સંભાવના તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, સંબંધિત પુરાવાઓની ઉપલબ્ધતા માટે તર્કસંગત રીતે બદલવી જોઈએ. બાયેસિયન અનુમાન બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્ર માટે મૂળભૂત છે, જેને એક સત્તા દ્વારા માનવામાં આવે છે; "શક્યતાના સિદ્ધાંત માટે પાયથાગોરસનું પ્રમેય ભૂમિતિ માટે શું છે". ઇતિહાસ બેયસના પ્રમેયનું નામ રેવરેન્ડ થોમસ બેયસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેઓ એક આંકડાશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફ પણ હતા. બેયસે શરતી સંભાવનાનો ઉપયોગ એક અલ્ગોરિધમ (તેમની દરખાસ્ત 9) પ્રદાન કરવા માટે કર્યો હતો જે અજ્ઞાત પરિમાણ પર મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે પુરાવાનો ઉપયોગ કરે છે. તેમનું કાર્ય 1763માં એન એસે ટુવર્ડ્સ અ પ્રોબ્લમ સોલ્વિંગ ઇન ધ ડૉક્ટ્રિન ઓફ ચાન્સીસ તરીકે પ્રકાશિત થયું હતું. બેયસે દ્વિપદી વિતરણ (આધુનિક પરિભાષામાં) ના સંભાવના પરિમાણ માટે વિતરણની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તેનો અભ્યાસ કર્યો. બેયસના મૃત્યુ પર તેમના પરિવારે તેમના કાગળો એક મિત્ર, મંત્રી, ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી રિચાર્ડ પ્રાઇસને ટ્રાન્સફર કર્યા હતા. બે વર્ષમાં, રિચાર્ડ પ્રાઇસે અપ્રકાશિત હસ્તપ્રતને એક મિત્રને મોકલતા પહેલા નોંધપાત્ર રીતે સંપાદિત કરી હતી, જેમણે તેને 23 ડિસેમ્બર 1763ના રોજ રોયલ સોસાયટી ખાતે મોટેથી વાંચી હતી. પ્રાઇસે બેયસના મુખ્ય કાર્ય "એન એસે ટુવર્ડ્સ સોલ્વિંગ અ પ્રોબ્લેમ ઇન ધ ડૉક્ટ્રિન ઓફ ચાન્સીસ" (1763) નું સંપાદન કર્યું હતું, જે ફિલોસોફિકલ ટ્રાન્ઝેક્શન્સમાં દેખાયું હતું અને તેમાં બેયસના પ્રમેયનો સમાવેશ થાય છે. પ્રાઇસે પેપરનો પરિચય લખ્યો હતો જે બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રનો કેટલાક દાર્શનિક આધાર પૂરો પાડે છે અને બેયસ દ્વારા રજૂ કરાયેલા બે ઉકેલોમાંથી એકને પસંદ કર્યો હતો. 1765માં, પ્રાઇસને બેયસના વારસા પરના તેમના કાર્યની માન્યતામાં રોયલ સોસાયટીના ફેલો તરીકે ચૂંટવામાં આવ્યા હતા. 27 એપ્રિલના રોજ તેમના મિત્ર બેન્જામિન ફ્રેન્કલીનને મોકલવામાં આવેલો પત્ર રોયલ સોસાયટી ખાતે વાંચવામાં આવ્યો હતો અને બાદમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાં પ્રાઈસ આ કાર્યને વસ્તી અને 'જીવન-વાર્ષિકી' ની ગણતરીમાં લાગુ કરે છે. બેયસથી સ્વતંત્ર રીતે, 1774માં પિયર-સિમોન લેપ્લેસ અને બાદમાં તેમના 1812ના થિયોરી એનાલિટીક ડેસ પ્રોબેબિલાઇટ્સમાં, પુરાવા આપવામાં આવ્યા હતા, જેમાં પૂર્વ સંભાવનાથી અદ્યતન પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાના સંબંધને ઘડવા માટે શરતી સંભાવનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે 1774માં બેયસના પરિણામોનું પુનઃઉત્પાદન અને વિસ્તરણ કર્યું હતું, જે દેખીતી રીતે બેયસના કાર્યથી અજાણ હતા. સંભાવનાનું બાયેસિયન અર્થઘટન મુખ્યત્વે લેપલેસ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. આશરે 200 વર્ષ પછી, સર હેરોલ્ડ જેફ્રીઝે બેયસના અલ્ગોરિધમ અને લાપ્લાસની રચનાને સ્વયંસિદ્ધ ધોરણે મૂકી, 1973ના એક પુસ્તકમાં લખ્યું હતું કે બેયસ 'પ્રમેય' સંભાવનાના સિદ્ધાંત માટે છે જે પાયથાગોરિયન પ્રમેય ભૂમિતિ માટે છે. સ્ટીફન સ્ટિગલરે બેયસીયન દલીલનો ઉપયોગ કરીને તારણ કાઢ્યું હતું કે બેયસના પ્રમેયની શોધ અંધ અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલસ સોન્ડરસન દ્વારા બેયસના થોડા સમય પહેલા કરવામાં આવી હતી; જો કે, તે અર્થઘટન વિવાદિત રહ્યું છે. માર્ટિન હૂપર અને શેરોન મેકગ્રેને દલીલ કરી છે કે રિચાર્ડ પ્રાઈસનું યોગદાન નોંધપાત્ર હતુંઃ બાયસના પ્રમેયના સિદ્ધાંતનું નિવેદન ગાણિતિક રીતે નીચેના સમીકરણ તરીકે વર્ણવવામાં આવ્યું છેઃ ક્યાં અને ક્યાં ઘટનાઓ અને ક્યાં છે. શરતી સંભાવના છેઃ ઘટના બનવાની સંભાવના જો કે તે સાચું છે. તેને આપવામાં આવેલી પશ્ચાદવર્તી સંભાવના પણ કહેવામાં આવે છે. શરતી સંભાવના પણ છેઃ ઘટના બનવાની સંભાવના જો કે તે સાચું છે. તેને નિશ્ચિત કારણ આપવાની સંભાવના તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. અને કોઈપણ આપેલ શરતો વિના અનુક્રમે અવલોકનની સંભાવનાઓ છે; તેઓ પૂર્વ સંભાવના અને સીમાંત સંભાવના તરીકે ઓળખાય છે. ઘટનાઓનો પુરાવો બેયસનું પ્રમેય શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા પરથી ઉતરી આવ્યું હોઈ શકે છેઃ જ્યાં A અને B બંને સાચા હોવાની સંભાવના છે. તેવી જ રીતે, ઉપજ માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિમાં બેયસ પ્રમેય માટે ઉકેલવું અને તેને બદલવુંઃ સતત રેન્ડમ ચલ માટે બે સતત રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, બેયસ પ્રમેય શરતી ઘનતાની વ્યાખ્યામાંથી સમાન રીતે મેળવી શકાય છેઃ તેથી, સામાન્ય કેસ ચાલો આપેલ શરતી વિતરણ હોઈએ અને તેનું વિતરણ થવા દો. પછી સંયુક્ત વિતરણ થાય છે. આપેલું શરતી વિતરણ પછી અસ્તિત્વ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને જરૂરી શરતી અપેક્ષાઓની વિશિષ્ટતા રેડોન-નિકોડીમ પ્રમેયનું પરિણામ છે. આ 1933 થી તેમના પ્રખ્યાત પુસ્તકમાં કોલ્મોગોરોવ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. કોલમોગોરોવ પ્રસ્તાવનામાં "હું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. અને ખાસ કરીને શરતી સંભાવનાઓ અને શરતી અપેક્ષાઓના સિદ્ધાંત" લખીને શરતી સંભાવનાના મહત્વને રેખાંકિત કરે છે. બેયસ પ્રમેય અગાઉના વિતરણમાંથી પશ્ચાદવર્તી વિતરણ નક્કી કરે છે. વાસ્તવિક રેખા પર સમાન વિતરણ જેવા અયોગ્ય પૂર્વ વિતરણોને સમાવવા માટે બેયસના પ્રમેયને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. આધુનિક માર્કોવ સાંકળ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓએ અયોગ્ય પ્રાયર સાથેના કિસ્સાઓ સહિત બેયસના પ્રમેયના મહત્વને વધાર્યું છે. મનોરંજન ગણિતના ઉદાહરણો બેયસના નિયમ અને શરતી સંભાવનાઓની ગણતરી સંખ્યાબંધ લોકપ્રિય કોયડાઓ માટે ઉકેલ પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે, જેમ કે થ્રી પ્રિઝનર્સ પ્રોબ્લેમ, મોન્ટી હોલ પ્રોબ્લેમ, ટુ ચાઇલ્ડ પ્રોબ્લેમ અને ટુ એન્વલપ્સ પ્રોબ્લેમ. ડ્રગ પરીક્ષણ ધારો કે, કોઈ વ્યક્તિ ગાંજાનો ઉપયોગ કરે છે કે કેમ તે માટે કોઈ ચોક્કસ પરીક્ષણ 90 ટકા સંવેદનશીલ હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સાચો સકારાત્મક દર (ટી. પી. આર.) = 0.90. તેથી, તે કેનાબીસ વપરાશકર્તાઓ માટે 90 ટકા સાચા હકારાત્મક પરિણામો (માદક દ્રવ્યોના ઉપયોગની યોગ્ય ઓળખ) તરફ દોરી જાય છે. પરીક્ષણ પણ 80 ટકા ચોક્કસ છે, જેનો અર્થ થાય છે સાચો નકારાત્મક દર (ટી. એન. આર.) = 0.80. તેથી, પરીક્ષણ બિન-વપરાશકર્તાઓ માટે 80 ટકા બિન-ઉપયોગને યોગ્ય રીતે ઓળખે છે, પરંતુ બિન-વપરાશકર્તાઓ માટે 20 ટકા ખોટા હકારાત્મક અથવા ખોટા હકારાત્મક દર (એફ. પી. આર.) = 0.20 પણ પેદા કરે છે. 0. 05 નો વ્યાપ ધારીએ તો, એટલે કે 5 ટકા લોકો ગાંજાનો ઉપયોગ કરે છે, એવી શક્યતા કેટલી છે કે જે વ્યક્તિ સકારાત્મક પરીક્ષણ કરે છે તે ખરેખર ગાંજાનો વપરાશ કરે છે? પરીક્ષણનું સકારાત્મક આગાહી મૂલ્ય (પી. પી. વી.) એ એવા વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ છે કે જેઓ સકારાત્મક પરીક્ષણ કરનારા તમામ લોકોમાંથી ખરેખર સકારાત્મક છે, અને તેની ગણતરી નમૂનામાંથી આ રીતે કરી શકાય છેઃ પી. પી. વી. = સાચું સકારાત્મક/પરીક્ષણ સકારાત્મક જો સંવેદનશીલતા, વિશિષ્ટતા અને વ્યાપ જાણીતો હોય, તો પી. પી. વી. ની ગણતરી બેયસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. ચાલો તેનો અર્થ "કોઈ વ્યક્તિ ગાંજાનો વપરાશ કરે તેવી સંભાવના છે કારણ કે તેઓ સકારાત્મક પરીક્ષણ કરે છે", જે પીપીવી દ્વારા થાય છે. આપણે લખી શકીએ છીએઃ હકીકત એ છે કે તે કુલ સંભાવના કાયદાના સીધા અમલીકરણ છે. આ કિસ્સામાં, તે કહે છે કે કોઈ વ્યક્તિ સકારાત્મક પરીક્ષણ કરે છે તેની સંભાવના એ છે કે વપરાશકર્તા સકારાત્મક પરીક્ષણ કરે છે, વપરાશકર્તા હોવાની સંભાવનાને ગણી કરે છે, વત્તા બિન-વપરાશકર્તા સકારાત્મક પરીક્ષણ કરે છે તેની સંભાવના, બિન-વપરાશકર્તા હોવાની સંભાવનાને ગણી કરે છે. આ સાચું છે કારણ કે વર્ગીકરણ વપરાશકર્તા અને બિન-વપરાશકર્તા સમૂહનું વિભાજન બનાવે છે, એટલે કે ડ્રગ પરીક્ષણ કરનારા લોકોનો સમૂહ. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા સાથે આ ઉપરોક્ત નિવેદનમાં પરિણમે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો કોઈ સકારાત્મક પરીક્ષણ કરે તો પણ, તેઓ કેનાબીસ વપરાશકર્તા હોવાની સંભાવના માત્ર 19 ટકા છે-આનું કારણ એ છે કે આ જૂથમાં, માત્ર 5 ટકા લોકો વપરાશકર્તાઓ છે, અને મોટાભાગના હકારાત્મક બાકીના 95 ટકાથી આવતા ખોટા હકારાત્મક છે. જો 1,000 લોકોનું પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું હોય તોઃ 950 બિન-વપરાશકર્તાઓ છે અને તેમાંથી 190 ખોટા હકારાત્મક આપે છે (0.20 × 950) તેમાંથી 50 વપરાશકર્તાઓ છે અને તેમાંથી 45 સાચા હકારાત્મક આપે છે (0.90 × 50) આમ 1,000 લોકો 235 સકારાત્મક પરીક્ષણો આપે છે, જેમાંથી માત્ર 45 સાચા ડ્રગ વપરાશકર્તાઓ છે, લગભગ 19 ટકા. ફ્રિક્વન્સી બોક્સનો ઉપયોગ કરીને ચિત્ર માટે આકૃતિ 1 જુઓ, અને નોંધો કે સાચા પોઝિટિવના ગુલાબી વિસ્તારની સરખામણી ખોટા પોઝિટિવના વાદળી વિસ્તાર સાથે કેટલી ઓછી છે. સંવેદનશીલતા અથવા વિશિષ્ટતા વિશિષ્ટતાનું મહત્વ એ દર્શાવીને જોઈ શકાય છે કે જો સંવેદનશીલતા 100% સુધી વધારવામાં આવે અને વિશિષ્ટતા 80 ટકા રહે તો પણ, સકારાત્મક પરીક્ષણ કરનાર વ્યક્તિ ખરેખર કેનાબીસ વપરાશકર્તા હોવાની સંભાવના માત્ર 19 ટકાથી વધીને 21 ટકા થાય છે, પરંતુ જો સંવેદનશીલતા 90 ટકા પર રાખવામાં આવે અને વિશિષ્ટતા 95 ટકા સુધી વધારવામાં આવે, તો સંભાવના 49 ટકા સુધી વધે છે. કેન્સરનો દર સ્વાદુપિંડના કેન્સરના દર્દીઓમાં 100% ચોક્કસ લક્ષણ હોય તો પણ, જ્યારે કોઈને સમાન લક્ષણ હોય, ત્યારે તેનો અર્થ એ નથી કે આ વ્યક્તિને સ્વાદુપિંડનું કેન્સર થવાની 100% તક છે. સ્વાદુપિંડના કેન્સરની ઘટના દર 1/100000 છે એમ ધારીએ તો, જ્યારે 10/99999 તંદુરસ્ત વ્યક્તિઓમાં વિશ્વભરમાં સમાન લક્ષણો હોય છે, ત્યારે લક્ષણોને ધ્યાનમાં રાખીને સ્વાદુપિંડનું કેન્સર થવાની સંભાવના માત્ર 9.1% છે, અને અન્ય 90.9% "ખોટા હકારાત્મક" હોઈ શકે છે (એટલે કે, ખોટી રીતે કેન્સર હોવાનું કહેવાય છે; "સકારાત્મક" એ મૂંઝવણભર્યો શબ્દ છે જ્યારે, અહીં, પરીક્ષણ ખરાબ સમાચાર આપે છે). ઘટના દરના આધારે, નીચેનું કોષ્ટક 100,000 લોકો દીઠ અનુરૂપ સંખ્યાઓ રજૂ કરે છે. જેનો ઉપયોગ પછી જ્યારે તમને લક્ષણો હોય ત્યારે કેન્સર થવાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છેઃ ખામીયુક્ત વસ્તુ દર એક ફેક્ટરી ત્રણ મશીનો-એ, બી અને સી-નો ઉપયોગ કરીને વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કરે છે-જે તેના ઉત્પાદનમાં અનુક્રમે 20 ટકા, 30 ટકા અને 50 ટકા હિસ્સો ધરાવે છે. મશીન A દ્વારા ઉત્પાદિત વસ્તુઓમાંથી 5 ટકા ખામીયુક્ત છે; તેવી જ રીતે, મશીન B ની 3 ટકા વસ્તુઓ અને મશીન C ની 1 ટકા વસ્તુઓ ખામીયુક્ત છે. જો અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય, તો તે મશીન સી દ્વારા ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના કેટલી છે? ફરી એકવાર, અનુમાનિત સંખ્યાબંધ કેસોમાં શરતો લાગુ કરીને સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વિના જવાબ સુધી પહોંચી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ફેક્ટરી 1,000 વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કરે છે, તો મશીન એ દ્વારા 200, મશીન બી દ્વારા 300 અને મશીન સી દ્વારા 500નું ઉત્પાદન કરવામાં આવશે. મશીન એ 5 ટકા × 200 = 10 ખામીયુક્ત વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કરશે, મશીન બી 3 ટકા × 300 = 9, અને મશીન સી 1 ટકા × 500 = 5, કુલ 24 માટે. આમ, મશીન સી દ્વારા અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી ખામીયુક્ત વસ્તુ ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના 5/24 (~ 20.83%) છે. આ સમસ્યાને બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પણ ઉકેલી શકાય છેઃ ચાલો ઝી એ ઘટનાને સૂચવે છે કે યાદૃચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી વસ્તુ i મી મશીન દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી (i = A, B, C માટે). ચાલો Y એ ઘટનાને સૂચવે છે કે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત છે. પછી, આપણને નીચેની માહિતી આપવામાં આવે છેઃ જો વસ્તુ પ્રથમ મશીન દ્વારા બનાવવામાં આવી હોય, તો તે ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.05 છે; એટલે કે, પી (વાય | એક્સએ) = 0.05. એકંદરે, આપણે મૂળ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે પહેલા પી (વાય) શોધીએ છીએ. તે નીચેની રીતે કરી શકાય છેઃ તેથી, કુલ ઉત્પાદનના 2.4% ખામીયુક્ત છે. આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે Y થયું છે, અને આપણે XC ની શરતી સંભાવનાની ગણતરી કરવા માંગીએ છીએ. બેયસના પ્રમેય મુજબ, વસ્તુ ખામીયુક્ત છે તે જોતાં, તે મશીન સી દ્વારા બનાવવામાં આવી હોવાની સંભાવના 5/24 છે. જો કે મશીન સી કુલ ઉત્પાદનનો અડધો ભાગ ઉત્પન્ન કરે છે, તે ખામીયુક્ત વસ્તુઓનો ઘણો નાનો ભાગ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત હતી તે જ્ઞાન આપણને અગાઉની સંભાવના P (XC) = 1/2 ને નાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના P (XC | Y) = 5/24 દ્વારા બદલવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. અર્થઘટન બેયસના શાસનનું અર્થઘટન શરતો સાથે સંકળાયેલ સંભાવનાના અર્થઘટન પર આધારિત છે. બે મુખ્ય અર્થઘટનો નીચે વર્ણવવામાં આવ્યા છે. આકૃતિ 2 ભૌમિતિક દૃશ્ય દર્શાવે છે. બાયેસિયન અર્થઘટન બાયેસિયન (અથવા જ્ઞાનશાસ્ત્રીય) અર્થઘટનમાં, સંભાવના "માન્યતાની માત્રા" ને માપે છે. બેયસનું પ્રમેય પુરાવા માટે હિસાબ કરતા પહેલા અને પછી દરખાસ્તમાં માન્યતાની માત્રાને જોડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે 50 ટકા નિશ્ચિતતા સાથે એવું માનવામાં આવે છે કે એક સિક્કો પૂંછડીઓ કરતાં માથું ઢાંકવાની શક્યતા બમણી છે. જો સિક્કાને ઘણી વખત ફેરવવામાં આવે અને પરિણામો જોવા મળે, તો માન્યતાનું તે સ્તર કદાચ વધશે અથવા ઘટશે, પરંતુ પરિણામોના આધારે તે સમાન પણ રહી શકે છે. દરખાસ્ત એ અને પુરાવા બી માટે, પી (એ), પહેલું, એ. પી. (એ | બી) માં માન્યતાની પ્રારંભિક ડિગ્રી છે, પશ્ચાદવર્તી, એ સમાચારનો સમાવેશ કર્યા પછી માન્યતાની ડિગ્રી છે કે બી સાચું છે. ભાગાકાર એ માટે બી દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ સમર્થનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સંભાવનાના બાયેસિયન અર્થઘટન હેઠળ બેયસના પ્રમેયના ઉપયોગ વિશે વધુ જાણવા માટે, બાયેસિયન અનુમાન જુઓ. વારંવાર અર્થઘટન વારંવાર અર્થઘટનમાં, સંભાવના "પરિણામોનું પ્રમાણ" માપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે એક પ્રયોગ ઘણી વખત કરવામાં આવે છે. પી (એ) એ ગુણધર્મ એ (પહેલું) સાથેના પરિણામોનું પ્રમાણ છે અને પી (બી) એ ગુણધર્મ બી સાથેનું પ્રમાણ છે. પી (બી | એ) એ ગુણધર્મ એ સાથેના પરિણામોમાં ગુણધર્મ બી સાથેના પરિણામોનું પ્રમાણ છે, અને પી (એ | બી) એ ગુણધર્મ એ સાથેના પરિણામોમાં A સાથેના પરિણામોનું પ્રમાણ છે. બેયસના પ્રમેયની ભૂમિકાને આકૃતિ 3 જેવા વૃક્ષ આકૃતિઓ સાથે શ્રેષ્ઠ રીતે જોવામાં આવે છે. બે આકૃતિઓ વિપરીત સંભાવનાઓ મેળવવા માટે એ અને બી દ્વારા સમાન પરિણામોને વિરુદ્ધ ક્રમમાં વિભાજિત કરે છે. બેયસનું પ્રમેય વિવિધ પાર્ટીશનિંગ્સને જોડે છે. ઉદાહરણ એક કીટવિજ્ઞાની તેની પીઠ પરની પેટર્નને કારણે ભમરોની એક દુર્લભ પેટાજાતિ શું હોઈ શકે છે તે શોધી કાઢે છે. દુર્લભ પેટાજાતિઓના સંપૂર્ણ 98 ટકા સભ્યોમાં પેટર્ન હોય છે, તેથી પી (પેટર્ન | દુર્લભ) = 98 ટકા. સામાન્ય પેટાજાતિના માત્ર 5 ટકા સભ્યોમાં આ પેટર્ન હોય છે. દુર્લભ પેટાજાતિઓ કુલ વસ્તીના 0.1% છે. ભમરોની પેટર્ન દુર્લભ હોવાની શક્યતા કેટલી છેઃ પી (દુર્લભ | પેટર્ન) શું છે? બેયસના પ્રમેયના વિસ્તૃત સ્વરૂપમાંથી (કારણ કે કોઈપણ ભમરો દુર્લભ અથવા સામાન્ય હોય છે), ઘટનાઓ સરળ સ્વરૂપ બનાવે છે A અને B ઘટનાઓ માટે, જો કે P (B) ષ્ણાંક 0, ઘણા ઉપયોગોમાં, ઉદાહરણ તરીકે બાયેસિયન અનુમાનમાં, ઘટના B ચર્ચામાં નિશ્ચિત છે, અને આપણે વિવિધ સંભવિત ઘટનાઓ A માં આપણી માન્યતા પર તેના અવલોકનની અસરને ધ્યાનમાં લેવા માંગીએ છીએ. આવી સ્થિતિમાં છેલ્લી અભિવ્યક્તિનો છેદ, આપેલ પુરાવા બી ની સંભાવના, નિશ્ચિત છે; આપણે જે બદલવા માંગીએ છીએ તે એ. બેયસનું પ્રમેય છે જે દર્શાવે છે કે પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓ અંશના પ્રમાણસર છે, તેથી છેલ્લું સમીકરણ બને છેઃ શબ્દોમાં કહીએ તો, પશ્ચાદવર્તી અગાઉના સમયની સંભાવનાના પ્રમાણસર છે. જો ઘટનાઓ A1, A2, પરસ્પર વિશિષ્ટ અને સંપૂર્ણ હોય, એટલે કે, તેમાંથી એક ચોક્કસપણે થાય છે પરંતુ કોઈ બે એકસાથે આવી શકતા નથી, તો આપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણસરતા અચળાંક નક્કી કરી શકીએ છીએ કે તેમની સંભાવનાઓનો એક સુધી ઉમેરો થવો જોઈએ. દાખલા તરીકે, આપેલ ઘટના A માટે, ઘટના A પોતે અને તેની પૂરકતા અનન્ય અને સંપૂર્ણ છે. બે સ્પર્ધાત્મક નિવેદનો અથવા પૂર્વધારણાઓ માટે બેયસના પ્રમેયનું બીજું સ્વરૂપ છેઃ જ્ઞાનશાસ્ત્રીય અર્થઘટન માટેઃ દરખાસ્ત A અને પુરાવા અથવા પૃષ્ઠભૂમિ B માટે, પૂર્વ સંભાવના છે, A માં માન્યતાની પ્રારંભિક ડિગ્રી એ નથી-A માં માન્યતાની અનુરૂપ પ્રારંભિક ડિગ્રી છે, કે A ખોટી છે, જ્યાં શરતી સંભાવના અથવા સંભાવના છે, B માં માન્યતાની ડિગ્રી એ દરખાસ્ત A સાચી છે. શરતી સંભાવના અથવા સંભાવના છે, બીમાં માન્યતાની માત્રા આપવામાં આવે છે કે દરખાસ્ત એ ખોટી છે. એ પશ્ચાદવર્તી સંભાવના છે, B ને ધ્યાનમાં લીધા પછી A ની સંભાવના. વિસ્તૃત સ્વરૂપ ઘણીવાર, નમૂનાની જગ્યાના અમુક પાર્ટીશન {Aj} માટે, ઘટના જગ્યા P (Aj) અને P (B | Aj) ની દ્રષ્ટિએ આપવામાં આવે છે. પછી કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને P (B) ની ગણતરી કરવી ઉપયોગી છેઃ અથવા (શરતી સંભાવના માટે ગુણાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીને), ખાસ કિસ્સામાં જ્યાં A એ દ્વિસંગી ચલ છેઃ રેન્ડમ ચલ બે રેન્ડમ ચલ X અને Y દ્વારા પેદા થયેલ નમૂનાની જગ્યાને ધ્યાનમાં લો. સૈદ્ધાંતિક રીતે, બેયસનું પ્રમેય A = {X = x} અને B = {Y = y} ઘટનાઓને લાગુ પડે છે. જો કે, શરતો એવા બિંદુઓ પર 0 બની જાય છે જ્યાં ક્યાં તો ચલ મર્યાદિત સંભાવના ઘનતા ધરાવે છે. ઉપયોગી રહેવા માટે, બેયસના પ્રમેયને સંબંધિત ઘનતાના સંદર્ભમાં ઘડવો આવશ્યક છે (વ્યુત્પત્તિ જુઓ). સરળ સ્વરૂપ જો X સતત હોય અને Y સ્વતંત્ર હોય, જ્યાં દરેક ઘનતા કાર્ય છે. જો X અલગ હોય અને Y સતત હોય, જો X અને Y બંને સતત હોય, તો વિસ્તૃત સ્વરૂપ A સતત ઘટના જગ્યા ઘણીવાર અંશની શરતોની દ્રષ્ટિએ કલ્પના કરવામાં આવે છે. તે પછી કુલ સંભાવનાના કાયદાનો ઉપયોગ કરીને છેદને દૂર કરવો ઉપયોગી છે. એફવાય (વાય) માટે, આ એક અભિન્ન અંગ બની જાય છેઃ બેયસ 'નિયમ મતભેદ સ્વરૂપમાં બેયસ' પ્રમેય મતભેદ સ્વરૂપમાં છેઃ જ્યાં તેને બેયસ પરિબળ અથવા સંભાવના ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે. બે ઘટનાઓ વચ્ચેના મતભેદ એ ફક્ત બે ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ગુણોત્તર છે. આમ, નિયમ કહે છે કે પશ્ચાદવર્તી અવરોધો પૂર્વવર્તી અવરોધો વખત બેયસ પરિબળ છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પશ્ચાદવર્તી અગાઉના સમયની સંભાવનાના પ્રમાણસર છે. ખાસ કિસ્સામાં તે અને, એક લખે છે, અને બેયસ પરિબળ માટે અને શરતી અવરોધો માટે સમાન સંક્ષેપનો ઉપયોગ કરે છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, તરફેણમાં અને વિરુદ્ધમાં અવરોધો છે. બેયસના નિયમને પછી સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે અથવા, શબ્દોમાં કહીએ તો, તેના પરની પશ્ચાદવર્તી અવરોધો આપેલ માહિતી માટે સંભાવના ગુણોત્તરના સમયે અગાઉના અવરોધોની બરાબર હોય છે. ટૂંકમાં, પશ્ચાદવર્તી અવરોધો અગાઉના અવરોધો ગુણાકાર સંભાવના ગુણોત્તર બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તબીબી પરીક્ષણમાં 90 ટકાની સંવેદનશીલતા અને 91 ટકાની વિશિષ્ટતા હોય, તો સકારાત્મક બેયસ પરિબળ છે. હવે, જો આ રોગનો વ્યાપ 9.09% છે, અને જો આપણે તેને પૂર્વ સંભાવના તરીકે લઈએ, તો અગાઉના અવરોધો લગભગ 1:10 છે. તેથી સકારાત્મક પરીક્ષણ પરિણામ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, વાસ્તવમાં રોગ થવાની પશ્ચાદવર્તી શક્યતાઓ 1:1 બની જાય છે, જેનો અર્થ છે કે રોગ થવાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના 50 ટકા છે. જો શ્રેણીબદ્ધ પરીક્ષણમાં બીજો પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે, અને તે પણ સકારાત્મક હોવાનું બહાર આવે છે, તો પછી ખરેખર રોગ થવાની પશ્ચાદવર્તી શક્યતા 10:1 બની જાય છે, જેનો અર્થ છે કે લગભગ 90.91% ની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના. નકારાત્મક બેયસ પરિબળની ગણતરી 91 ટકા/(100%-90%) = 9.1 તરીકે કરી શકાય છે, તેથી જો બીજો પરીક્ષણ નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવે, તો પછી ખરેખર રોગ થવાની પશ્ચાદવર્તી અવરોધો 1:9.1 છે, જેનો અર્થ થાય છે કે લગભગ 9.9 ટકાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના. ઉપરોક્ત ઉદાહરણને વધુ નક્કર સંખ્યાઓ સાથે પણ સમજી શકાય છેઃ ધારો કે પરીક્ષણ કરનાર દર્દી 1000 લોકોના જૂથમાંથી છે, જ્યાં તેમાંથી 91 લોકોને ખરેખર રોગ છે (9.1% નો વ્યાપ). જો આ બધા 1000 લોકો તબીબી પરીક્ષણ કરશે, તો રોગ ધરાવતા 82 લોકોને સાચું સકારાત્મક પરિણામ મળશે (90.1% ની સંવેદનશીલતા), રોગ ધરાવતા 9 લોકોને ખોટું નકારાત્મક પરિણામ મળશે (9.9% નો ખોટો નકારાત્મક દર), રોગ વિનાના 827 લોકોને સાચું નકારાત્મક પરિણામ મળશે (91.0% ની વિશિષ્ટતા), અને રોગ વિનાના 82 લોકોને ખોટું સકારાત્મક પરિણામ મળશે (9.0% નો ખોટો સકારાત્મક દર). કોઈપણ પરીક્ષણ કરતા પહેલા, દર્દીને આ રોગ થવાની શક્યતા 91:909 છે. સકારાત્મક પરિણામ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, દર્દીને રોગ થવાની સંભાવના એ હકીકત સાથે સુસંગત છે કે 1000 લોકોના જૂથમાં 82 સાચા સકારાત્મક અને 82 ખોટા સકારાત્મક છે. અન્ય ગાણિતિક માળખાઓ સાથે અનુરૂપતા પ્રપોઝિશનલ લોજિક બે વારનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ વ્યક્તિ બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ નકારાત્મકતાના સંદર્ભમાં અને વિના પણ વ્યક્ત કરવા માટે કરી શકે છેઃ, ક્યારે. આમાંથી આપણે અનુમાન વાંચી શકીએ છીએ. શબ્દોમાં કહીએ તોઃ જો ચોક્કસપણે સૂચવે છે, તો આપણે અનુમાન કરીએ છીએ કે તે ચોક્કસપણે સૂચવે છે. જ્યાં, બે અસરો ચોક્કસ હોવાથી સમકક્ષ નિવેદનો છે. સંભાવના સૂત્રોમાં, શરતી સંભાવના તાર્કિક સૂચિતાર્થને સામાન્ય બનાવે છે, જ્યાં હવે સાચું કે ખોટું સોંપવા ઉપરાંત, આપણે નિવેદનોને સંભાવના મૂલ્યો સોંપીએ છીએ. નો દાવો શરતી, ના દાવાની નિશ્ચિતતા દ્વારા પકડવામાં આવે છે. સૂચિતાર્થની દિશાઓને સંબંધિત, બેયસ 'થીયરમ વિરોધાભાસી કાયદાના સામાન્યીકરણને રજૂ કરે છે, જેને શાસ્ત્રીય પ્રસ્તાવાત્મક તર્કમાં આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ અસરો વચ્ચેના આ સંબંધમાં, રેસ્પની સ્થિતિ. વળગી રહો. સંભાવના કલનની દ્રષ્ટિએ અનુરૂપ સૂત્ર બેયસનું પ્રમેય છે, જે તેના વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં માત્ર પૂર્વ સંભાવના/આધાર દરને સંડોવતા, આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ વ્યક્તિલક્ષી તર્ક બેયસનું પ્રમેય વ્યક્તિલક્ષી તર્કમાં ઊંધી શરતી મંતવ્યો મેળવવાના એક વિશેષ કેસને રજૂ કરે છે જે આ રીતે વ્યક્ત થાય છેઃ જ્યાં શરતી મંતવ્યોને ઊંધી કરવા માટે સંચાલકને સૂચવે છે. આ દલીલ સ્રોત દ્વારા આપવામાં આવેલા દ્વિપદી શરતી મંતવ્યોની જોડી સૂચવે છે, અને દલીલ અગાઉની સંભાવના (ઉર્ફ. નો આધાર દર). વ્યુત્પન્ન ઊંધી શરતી મંતવ્યોની જોડી સૂચવવામાં આવે છે. શરતી અભિપ્રાય સંભવિત શરતી, એટલે કે સામાન્ય બનાવે છે. સંભાવના સોંપવા ઉપરાંત સ્રોત શરતી નિવેદનને કોઈપણ વ્યક્તિલક્ષી અભિપ્રાય સોંપી શકે છે. દ્વિપદી વ્યક્તિલક્ષી અભિપ્રાય એ જ્ઞાનાત્મક અનિશ્ચિતતાની માત્રા સાથે નિવેદનના સત્યમાં માન્યતા છે, જે સ્રોત દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. દરેક વ્યક્તિલક્ષી અભિપ્રાયને અનુરૂપ અનુમાનિત સંભાવના હોય છે. મંતવ્યોની અનુમાનિત સંભાવનાઓ માટે બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ એ હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેનો અર્થ છે કે બેયસના પ્રમેયને મંતવ્યોની અનુમાનિત સંભાવનાઓના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ તેથી, વ્યક્તિલક્ષી બેયસ પ્રમેય બેયસના પ્રમેયના સામાન્યીકરણને રજૂ કરે છે. 3 ઘટનાઓ માટે સામાન્યીકરણ બેયસ થીયરમ 3 ઘટનાઓ માટે બેયસ થીયરમનું એક સંસ્કરણ ત્રીજી ઘટનાના ઉમેરાથી પરિણમે છે જેના પર તમામ સંભાવનાઓ શરતી હોય છેઃ વ્યુત્પત્તિ સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને અને, બીજી તરફ ઇચ્છિત પરિણામ બંને અભિવ્યક્તિઓને ઓળખીને અને ઉકેલવા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. આનુવંશિકતામાં ઉપયોગ આનુવંશિકતામાં, બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ ચોક્કસ જીનોટાઇપ ધરાવતી વ્યક્તિની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. ઘણા લોકો આનુવંશિક રોગથી પ્રભાવિત થવાની તેમની શક્યતાઓ અથવા રસના અપ્રભાવી જનીન માટે વાહક બનવાની તેમની સંભાવનાનો અંદાજ કાઢે છે. બાયેસિયન વિશ્લેષણ કૌટુંબિક ઇતિહાસ અથવા આનુવંશિક પરીક્ષણના આધારે કરી શકાય છે, તે આગાહી કરવા માટે કે શું કોઈ વ્યક્તિ કોઈ રોગ વિકસાવશે અથવા તેના બાળકોને તે પસાર કરશે. આનુવંશિક પરીક્ષણ અને આગાહી એ યુગલોમાં એક સામાન્ય પ્રથા છે જે બાળકો પેદા કરવાની યોજના ધરાવે છે પરંતુ તેઓ ચિંતિત છે કે તેઓ બંને રોગના વાહક હોઈ શકે છે, ખાસ કરીને ઓછા આનુવંશિક તફાવત ધરાવતા સમુદાયોમાં. આનુવંશિકતા માટે બાયેસિયન વિશ્લેષણનું પ્રથમ પગલું પરસ્પર વિશિષ્ટ પૂર્વધારણાઓ રજૂ કરવાનું છેઃ ચોક્કસ એલીલ માટે, વ્યક્તિ વાહક છે અથવા નથી. આગળ, ચાર સંભાવનાઓની ગણતરી કરવામાં આવે છેઃ પૂર્વ સંભાવના (કૌટુંબિક ઇતિહાસ અથવા મેન્ડેલિયન વારસો પર આધારિત આગાહીઓ જેવી માહિતીને ધ્યાનમાં રાખીને દરેક પૂર્વધારણાની સંભાવના), શરતી સંભાવના (ચોક્કસ પરિણામની), સંયુક્ત સંભાવના (પ્રથમ બેની પેદાશ), અને પશ્ચાદવર્તી સંભાવના (દરેક પૂર્વધારણા માટે સંયુક્ત સંભાવનાને બંને સંયુક્ત સંભાવનાઓના સરવાળા દ્વારા વિભાજીત કરીને ગણતરી કરાયેલ ભારિત ઉત્પાદન). આ પ્રકારનું વિશ્લેષણ સંપૂર્ણપણે કોઈ સ્થિતિના પારિવારિક ઇતિહાસના આધારે અથવા આનુવંશિક પરીક્ષણ સાથે મળીને કરી શકાય છે. સંભાવનાઓની ગણતરી કરવા માટે વંશાવળીનો ઉપયોગ કરવો સ્ત્રી વ્યક્તિના રોગના જોખમ માટે બાયેસિયન વિશ્લેષણ કોષ્ટકનું ઉદાહરણ એ જ્ઞાન પર આધારિત છે કે આ રોગ તેના ભાઈ-બહેનોમાં હાજર છે પરંતુ તેના માતાપિતા અથવા તેના ચાર બાળકોમાંથી કોઈપણમાં નથી. ફક્ત વિષયના ભાઈ-બહેનો અને માતાપિતાની સ્થિતિના આધારે, તે બિન-વાહક તરીકે વાહક હોવાની સમાન સંભાવના છે (આ સંભાવના પૂર્વ પૂર્વધારણા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). જો કે, જો તે વાહક હોય તો વિષયના ચાર પુત્રો બધા અસરગ્રસ્ત નહીં થાય તેવી સંભાવના 1/16 (····) છે, જો તે વાહક ન હોય તો લગભગ 1 (આ શરતી સંભાવના છે). સંયુક્ત સંભાવના આ બે આગાહીઓને એકસાથે ગુણાકાર કરીને સમાધાન કરે છે. છેલ્લી પંક્તિ (પશ્ચાદવર્તી સંભાવના) ની ગણતરી દરેક પૂર્વધારણા માટે સંયુક્ત સંભાવનાને બંને સંયુક્ત સંભાવનાઓના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત કરીને કરવામાં આવે છે. આનુવંશિક પરીક્ષણ પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને પેરેંટલ આનુવંશિક પરીક્ષણ માતાપિતાઓમાં લગભગ 90 ટકા જાણીતા રોગ એલીલ્સને શોધી શકે છે જે તેમના બાળકમાં વાહક અથવા અસરગ્રસ્ત સ્થિતિ તરફ દોરી શકે છે. સિસ્ટીક ફાઇબ્રોસિસ એ વારસાગત રોગ છે જે સી. એફ. ટી. આર. જનીન પર ઓટોસોમલ અપ્રભાવી પરિવર્તનને કારણે થાય છે, જે રંગસૂત્ર 7 ના ક્યૂ હાથ પર સ્થિત છે. સિસ્ટીક ફાઇબ્રોસિસ (સી. એફ.) ના પારિવારિક ઇતિહાસ ધરાવતી સ્ત્રી દર્દીનું બાયેસિયન વિશ્લેષણ, જેણે સી. એફ. માટે નકારાત્મક પરીક્ષણ કર્યું છે, તે દર્શાવે છે કે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સી. એફ. સાથે જન્મેલા બાળકનું જોખમ નક્કી કરવા માટે કેવી રીતે કરવામાં આવ્યો હતોઃ કારણ કે દર્દી અપ્રભાવિત છે, તે જંગલી-પ્રકારનાં એલીલ માટે હોમોઝાયગસ અથવા હેટેરોઝાયગસ છે. અગાઉની સંભાવનાઓ સ્થાપિત કરવા માટે, પનેટ સ્ક્વેરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે એ જ્ઞાનના આધારે કરવામાં આવે છે કે માતા-પિતામાંથી કોઈને પણ આ રોગની અસર થઈ ન હતી, પરંતુ બંને વાહક હોઈ શકેઃ દર્દીને અસર ન થઈ હોય તે જોતાં, ત્યાં માત્ર ત્રણ શક્યતાઓ છે. આ ત્રણમાં, બે દૃશ્યો છે જેમાં દર્દી મ્યુટન્ટ એલીલ વહન કરે છે. આમ અગાઉની સંભાવનાઓ અને છે. આગળ, દર્દી આનુવંશિક પરીક્ષણમાંથી પસાર થાય છે અને સિસ્ટિક ફાઇબ્રોસિસ માટે નકારાત્મક પરીક્ષણ કરે છે. આ પરીક્ષણમાં 90 ટકા નિદાન દર છે, તેથી નકારાત્મક પરીક્ષણની શરતી સંભાવનાઓ 1/10 અને 1 છે. છેવટે, સંયુક્ત અને પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓની ગણતરી પહેલાની જેમ કરવામાં આવે છે. દર્દીના પુરુષ ભાગીદાર પર સમાન વિશ્લેષણ કર્યા પછી (નકારાત્મક પરીક્ષણ પરિણામ સાથે), તેમના બાળકને અસર થવાની સંભાવના માતા-પિતાની વાહક બનવાની સંબંધિત પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમકક્ષ હોય છે, જે બે વાહક અસરગ્રસ્ત સંતાન () પેદા કરે તેવી શક્યતાઓ કરતાં બમણી હોય છે. આનુવંશિક પરીક્ષણ અન્ય જોખમ પરિબળ ઓળખ સાથે સમાંતર કરવામાં આવે છે બાયેસિયન વિશ્લેષણ આનુવંશિક સ્થિતિ સાથે સંકળાયેલ ફેનોટાઇપિક માહિતીનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, અને જ્યારે આનુવંશિક પરીક્ષણ સાથે જોડવામાં આવે છે ત્યારે આ વિશ્લેષણ વધુ જટિલ બને છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટિક ફાઇબ્રોસિસને ગર્ભાશયમાં ઇકોજેનિક આંતરડાની શોધ કરતા અલ્ટ્રાસાઉન્ડ દ્વારા ઓળખી શકાય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તે સ્કેન પર સામાન્ય કરતાં વધુ તેજસ્વી દેખાય છે. આ એક ફૂલપ્રૂફ પરીક્ષણ નથી, કારણ કે ઇકોજેનિક આંતરડા સંપૂર્ણપણે તંદુરસ્ત ગર્ભમાં હાજર હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં પેરેંટલ આનુવંશિક પરીક્ષણ ખૂબ જ પ્રભાવશાળી છે, જ્યાં ફેનોટાઇપિક પાસું સંભાવના ગણતરીમાં વધુ પડતું પ્રભાવશાળી હોઈ શકે છે. ઇકોજેનિક આંતરડા ધરાવતા ગર્ભના કિસ્સામાં, જેની માતાનું પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું છે અને તે સી. એફ. વાહક તરીકે ઓળખાય છે, ગર્ભમાં ખરેખર આ રોગ હોવાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના ખૂબ વધારે છે (0.64). જો કે, એકવાર પિતાએ સી. એફ. માટે નકારાત્મક પરીક્ષણ કર્યું હોય, પછીની સંભાવના નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય છે (0.16 સુધી). આનુવંશિક પરામર્શ અને પ્રજનન આયોજનમાં જોખમ પરિબળની ગણતરી એ એક શક્તિશાળી સાધન છે, પરંતુ તેને ધ્યાનમાં લેવાનું એકમાત્ર મહત્વપૂર્ણ પરિબળ તરીકે ગણી શકાય નહીં. ઉપર મુજબ, અપૂર્ણ પરીક્ષણ વાહક દરજ્જાની ખોટી રીતે ઉચ્ચ સંભાવના આપી શકે છે, અને જ્યારે માતાપિતા હાજર ન હોય ત્યારે પરીક્ષણ આર્થિક રીતે અપ્રાપ્ય અથવા અશક્ય હોઈ શકે છે. બાયેસિયન જ્ઞાનમીમાંસા પણ જુઓ ઇન્ડક્ટિવ પ્રોબેબીલીટી ક્વોન્ટમ બાયેસિયાનિઝમ શા માટે સૌથી વધુ પ્રકાશિત સંશોધન તારણો ખોટા છે, 2005 માં જ્હોન આયોનિડીસ દ્વારા મેટાસિઅન્સમાં એક નિબંધ નિયમિત શરતી સંભાવના નોંધો સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ વધુ વાંચન ગેલમેન, એ, કાર્લિન, જે. બી., સ્ટર્ન, એચ. એસ., અને રુબિન, ડી. બી. (2003), "બાયેસિયન ડેટા એનાલિસિસ", બીજી આવૃત્તિ, સી. આર. સી. પ્રેસ. ગ્રિન્સ્ટેડ, સીએમ અને સ્નેલ, જેએલ (1997), "ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ પ્રોબેબિલિટી (બીજી આવૃત્તિ)", અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી (મફત પીડીએફ ઉપલબ્ધ). લી, પીટર એમ (2012), બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સઃ એન ઇન્ટ્રોડક્શન, ચોથી આવૃત્તિ. વિલી. . રોસેન્થલ, જેફરી એસ (2005), "સ્ટ્રક બાય લાઈટનિંગઃ ધ ક્યુરિયસ વર્લ્ડ ઓફ પ્રોબેબિલિટીઝ". હાર્પરકોલિન્સ. (ગ્રાન્ટા, 2008. ). સ્ટોન, જેવી (2013), "બેયસ 'રૂલઃ એ ટ્યુટોરિયલ ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ બેયસીયન એનાલિસિસ" નું પ્રકરણ 1 ડાઉનલોડ કરો, સેબટેલ પ્રેસ, ઈંગ્લેન્ડ. ઇન્ટેલિજન્ટ લોકો માટે બાયેસિયન રિઝનિંગ, આંકડાશાસ્ત્ર અને જ્ઞાનાત્મક વિજ્ઞાનમાં બેયસના પ્રમેયના ઉપયોગ માટે એક પરિચય અને ટ્યુટોરીયલ. મોરિસ, ડેન (2016), "બેયસ પ્રમેય ઉદાહરણોઃ એ વિઝ્યુઅલ ઇન્ટ્રોડક્શન ફોર બિગિનર્સ" બ્લુ વિન્ડમિલથી મુક્ત પ્રથમ 6 પ્રકરણો વાંચો. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને કેવી રીતે સમજવી અને પી (બી), પી (એ), અને પી (B|A) કેવી રીતે શોધવી તેના પર ટૂંકું ટ્યુટોરીયલ. બાહ્ય કડીઓ ગણિતના કેટલાક શબ્દોના પ્રારંભિક જાણીતા ઉપયોગો (બી). તેમાં "બાયેસિયન", "બેયસ પ્રમેય", "બેયસ અંદાજ/જોખમ/ઉકેલ", "પ્રયોગમૂલક બેયસ" અને "બેયસ પરિબળ" ની ઉત્પત્તિ સામેલ છે. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટીના મનોવિજ્ઞાનના વિદ્યાર્થીઓ માટે તૈયાર કરાયેલ સંભાવના અને બેયસના પ્રમેય પરનું ટ્યુટોરીયલ એલિએઝર એસ. યુડકોવ્સ્કી બાયેસિયન ક્લિનિકલ ડાયગ્નોસ્ટિક મોડેલ બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સ પ્રોબેબિલિટી થિયોરમ્સ થિયોરમ્સ ઇન સ્ટેટિસ્ટિક્સ દ્વારા બેયસના પ્રમેયની એક સાહજિક સમજૂતી