Liouville number
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, લિઉવિલે સંખ્યા એ ગુણધર્મ સાથેની વાસ્તવિક સંખ્યા છે, જેમાં દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, પૂર્ણાંકોની એક જોડી અસ્તિત્વમાં હોય છે, જેમ કે લિઉવિલે સંખ્યાઓ "લગભગ તર્કસંગત" હોય છે, અને આમ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્રમ દ્વારા "ખૂબ નજીકથી" અંદાજિત કરી શકાય છે. ચોક્કસપણે, આ દિવ્ય સંખ્યાઓ છે જે કોઈપણ બીજગણિત અતાર્કિક સંખ્યા કરતાં પરિમેય સંખ્યાઓ દ્વારા વધુ નજીકથી અંદાજિત કરી શકાય છે. 1844માં, જોસેફ લિઉવિલે દર્શાવ્યું હતું કે તમામ લિઉવિલે સંખ્યાઓ દિવ્ય છે, આમ પ્રથમ વખત દિવ્ય સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ સ્થાપિત થયું હતું. તે જાણીતું છે અને તે લિઉવિલે સંખ્યાઓ નથી. લિઉવિલે સંખ્યાઓ (લિઉવિલેનો અચળાંક) નું અસ્તિત્વ એક સ્પષ્ટ રચના દ્વારા અસ્તિત્વમાં હોવાનું દર્શાવી શકાય છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક અને પૂર્ણાંકોના કોઈપણ ક્રમ માટે જેમ કે બધા માટે અને અનંત ઘણા માટે, સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરો ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે, અને બધા માટે, પરિણામી સંખ્યાને લિઉવિલેનો અચળાંક કહેવામાં આવે છેઃ L = 0.11000100000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. તે તેની વ્યાખ્યા પરથી અનુસરે છે કે તેની આધાર-રજૂઆત એ છે કે જ્યાં th શબ્દ th સ્થાને છે. આ આધાર-રજૂઆત પુનરાવર્તિત ન હોવાથી તે અનુસરે છે કે તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી. તેથી, કોઈપણ પરિમેય સંખ્યા માટે,. હવે, કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે, અને તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ પછી, તેથી, આવી કોઈપણ સંખ્યા લિઉવિલે સંખ્યા છે. પુરાવા પર નોંધો અસમાનતા બધા k માટે ak bul {0,1,2,., b − 1} થી અનુસરે છે, તેથી વધુમાં વધુ ak = b − 1. જો પૂર્ણાંકોનો ક્રમ (a1, a2,.) (b−1, b−1,.), એટલે કે હોય તો સૌથી મોટો સંભવિત સરવાળો થશે. ak = b − 1, બધા k માટે. આમ આ સૌથી મોટા સંભવિત સરવાળા કરતા ઓછો અથવા બરાબર હશે. મજબૂત અસમાનતા શ્રેણીને એક શ્રેણીમાં ઘટાડીને તેને દૂર કરવાની પ્રેરણાથી અનુસરે છે, જેના માટે સૂત્ર જાણીતું છે. અત્યાર સુધીના પુરાવાઓમાં, #1 માં અસમાનતાને રજૂ કરવાનો હેતુ અંતર્જ્ઞાનમાંથી આવે છે કે (ભૌમિતિક શ્રેણી સૂત્ર); તેથી, જો તેમાંથી કોઈ અસમાનતા મળી શકે છે જે અંશમાં (b−1) સાથે શ્રેણી રજૂ કરે છે, અને જો છેદ શબ્દને વધુ ઘટાડી શકાય છે, તેમજ શ્રેણી સૂચકાંકોને 0 થી ખસેડી શકાય છે, તો પછી બંને શ્રેણી અને (b−1) શબ્દો દૂર કરવામાં આવશે, જે સ્વરૂપના અપૂર્ણાંકની નજીક જશે, જે સાબિતીનો અંતિમ ધ્યેય છે. આ પ્રેરણા અહીં રકમમાંથી હવે આંશિક રકમ પસંદ કરીને વધારવામાં આવે છે. અવલોકન કરો કે, કોઈપણ પદ માટે, b ≤ 2 થી, પછી, બધા k માટે (જ્યારે n = 1 હોય ત્યારે સિવાય). તેથી, (કારણ કે, જો n = 1 હોય તો પણ, પછીના તમામ શબ્દો નાના હોય છે). સૂચકાંકોમાં હેરફેર કરવા માટે કે જેથી k એ 0 થી શરૂ થાય, આંશિક સરવાળો અંદરથી પસંદ કરવામાં આવશે (કુલ મૂલ્ય કરતાં પણ ઓછો છે કારણ કે તે શ્રેણીમાંથી આંશિક સરવાળો છે જેની શરતો બધી હકારાત્મક છે). k = (n + 1) થી શરૂ કરીને રચાયેલી આંશિક રકમ પસંદ કરો! જે k = 0 સાથે નવી શ્રેણી લખવાની પ્રેરણાથી અનુસરે છે, એટલે કે તેની નોંધ લઈને. અંતિમ અસમાનતા માટે, આ ચોક્કસ અસમાનતાને પસંદ કરવામાં આવી છે (સાચું છે કારણ કે b ≤ 2, જ્યાં સમાનતા અનુસરે છે જો અને માત્ર જો n = 1 હોય તો) કારણ કે સ્વરૂપની કોઈ વસ્તુમાં હેરફેર કરવાની ઇચ્છા છે. આ ચોક્કસ અસમાનતા (n + 1) ને દૂર કરવાની મંજૂરી આપે છે! અને અંશ, ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને કે (n + 1)! - એન! = (એન! ) n, આમ છેદને અવેજી માટે આદર્શ સ્વરૂપમાં મૂકે છે. અતાર્કિકતા અહીં પુરાવો બતાવશે કે સંખ્યા જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે અને તે અસમાનતાઓને સંતોષી શકતી નથી જે લિઉવિલે સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. દરેક પરિમાણીય સંખ્યાને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે, તેથી પુરાવો બતાવશે કે કોઈ લિઉવિલે સંખ્યા પરિમાણીય ન હોઈ શકે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, આ પુરાવો દર્શાવે છે કે [સમકક્ષ, કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે] એટલા મોટા કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, પૂર્ણાંકોની કોઈ જોડી અસ્તિત્વમાં નથી કે જે એક સાથે કૌંસની અસમાનતાની જોડીને સંતોષે. ચાલો અને પછી સાથે કોઈપણ પૂર્ણાંકો બનો, જો તો તેનો અર્થ એ છે કે પૂર્ણાંકોની આવી જોડી લિઉવિલે સંખ્યાની વ્યાખ્યામાં પ્રથમ અસમાનતાનું ઉલ્લંઘન કરશે, પછી ભલે તે કોઈપણ પસંદગીની હોય. જો, બીજી બાજુ, ત્યારથી, એક પૂર્ણાંક હોવાથી, આપણે તીવ્ર અસમાનતાનો દાવો કરી શકીએ છીએ તેમાંથી તે અનુસરે છે કે હવે કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે ઉપરની છેલ્લી અસમાનતા સૂચવે છે. તેથી, તારણ કાઢવા માટે, ત્યાં પૂર્ણાંકોની કોઈ જોડી નથી કે જે લિઉવિલે નંબર તરીકે લાયક ઠરે. તેથી લિઉવિલે સંખ્યા, જો અસ્તિત્વમાં હોય, તો તે તર્કસંગત ન હોઈ શકે. (લિઉવિલેના અચળાંક પરનો વિભાગ એકની રચનાનું પ્રદર્શન કરીને સાબિત કરે છે કે લિઉવિલે સંખ્યાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ વિભાગમાં આપવામાં આવેલ પુરાવો સૂચવે છે કે આ સંખ્યા અતાર્કિક હોવી જોઈએ.) ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 3.1400010000000000000000050000.3.14 (3 શૂન્ય) 1 (17 શૂન્ય) 5 (95 શૂન્ય) 9 (599 શૂન્ય) 2 (4319 શૂન્ય) 6 નો વિચાર કરો. જ્યાં n સ્થાનો સિવાયના અંકો શૂન્ય છે! જ્યાં અંક દશાંશ વિસ્તરણમાં દશાંશ બિંદુને અનુસરીને nમા અંકની બરાબર હોય છે. લિઉવિલે સંખ્યાઓના અસ્તિત્વ પરના વિભાગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, આ સંખ્યા, તેમજ તેના બિન-શૂન્ય અંકો સાથે સમાન રીતે સ્થિત અન્ય કોઈપણ બિન-સમાપ્તિ દશાંશ, લિઉવિલે સંખ્યાની વ્યાખ્યાને સંતોષે છે. નોન-નલ અંકોના તમામ ક્રમના સમૂહમાં સાતત્યની મુખ્યતા હોવાથી, તમામ લિઉવિલે સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે પણ આવું જ થાય છે. વધુમાં, લિઉવિલે સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહનો ગાઢ સબસેટ બનાવે છે. લિઉવિલે સંખ્યાઓ અને માપ માપન સિદ્ધાંતના દૃષ્ટિકોણથી, તમામ લિઉવિલે સંખ્યાઓનો સમૂહ નાનો છે. વધુ ચોક્કસપણે, તેનું લેબસ્ગ્યુ માપ, શૂન્ય છે. આપવામાં આવેલ પુરાવો જ્હોન સી. ઓક્સટોબીના કેટલાક વિચારોને અનુસરે છે. ધન પૂર્ણાંકો અને સમૂહ માટેઃ પછી અવલોકન કરો કે દરેક ધન પૂર્ણાંક માટે અને પછી ત્યારથી અને પછી હવે અને તે અનુસરે છે કે દરેક ધન પૂર્ણાંક માટે, લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય છે. પરિણામે, તે છે. તેનાથી વિપરીત, તમામ વાસ્તવિક દિવ્ય સંખ્યાઓના સમૂહનું લેબસ્ગ્યુ માપ અનંત છે (કારણ કે બીજગણિત સંખ્યાઓનો સમૂહ એક શૂન્ય સમૂહ છે). દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, સમૂહ તમામ લિઉવિલે સંખ્યાઓનો સમૂહ આમ લખી શકાય છે કે દરેક એક ખુલ્લો સમૂહ છે; કારણ કે તેના બંધમાં તમામ તર્કસંગત (દરેક પંચર અંતરાલમાંથી) હોય છે, તે વાસ્તવિક રેખાનો ગાઢ સબસેટ પણ છે. તે સંખ્યાબંધ આવા ઘણા ખુલ્લા ગાઢ સમૂહોનું આંતરછેદ હોવાથી, તે સામાન્ય છે, એટલે કે, તે ગાઢ Gδ સમૂહ છે. અતાર્કિકતા માપ વાસ્તવિક સંખ્યાનું લિઉવિલે-રોથ અતાર્કિકતા માપ (અતાર્કિકતા ઘાતાંક, અંદાજિત ઘાતાંક, અથવા લિઉવિલે-રોથ અચળાંક) એ એક માપ છે કે તેને તર્કસંગત દ્વારા કેટલી નજીકથી અંદાજિત કરી શકાય છે. લિઉવિલે સંખ્યાઓની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવતા, કોઈપણની ઘાતમાં મંજૂરી આપવાને બદલે, આપણે એવા માટે સૌથી મોટું સંભવિત મૂલ્ય શોધીએ છીએ જે અનંત સંખ્યામાં સહમૌલિક પૂર્ણાંક જોડીઓ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. આ મહત્તમ મૂલ્યને અતાર્કિકતા માપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ ઉપલી સીમા કરતાં ઓછી કોઈપણ કિંમત માટે, ઉપરોક્ત અસમાનતાને સંતોષતા તમામ તર્કસંગતોનો અનંત સમૂહ અંદાજ આપે છે. તેનાથી વિપરીત, જો તે ઉપલી સીમા કરતાં મોટી હોય, તો ત્યાં અસમાનતાને સંતોષતા મોટા ભાગના મર્યાદિત રીતે ઘણા છે; આમ, વિરુદ્ધ અસમાનતા તમામ મોટા મૂલ્યો માટે લાગુ પડે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વાસ્તવિક સંખ્યાના અતાર્કિક માપને જોતાં, જ્યારે પણ તર્કસંગત અંદાજ, ચોક્કસ દશાંશ અંકો આપે છે, પછી કોઈપણ માટે, મહત્તમ "નસીબદાર" જોડીઓની મર્યાદિત સંખ્યા સિવાય. ડિરીક્લેટના અંદાજિત સિદ્ધાંતના પરિણામે દરેક અતાર્કિક સંખ્યાનું અતાર્કિકતા માપ ઓછામાં ઓછું 2 હોય છે. બીજી બાજુ, બોરેલ-કેન્ટેલી લેમ્માની અરજી દર્શાવે છે કે લગભગ તમામ સંખ્યાઓ 2 ની બરાબર અતાર્કિકતા માપ ધરાવે છે. નીચે અમુક સંખ્યાઓના અતાર્કિક માપ માટે જાણીતા ઉપલા અને નીચલા સીમાઓનું કોષ્ટક છે. અતાર્કિકતાનો આધાર અતાર્કિકતાનો આધાર એ જે. સોન્ડો દ્વારા લિઉવિલે સંખ્યાઓ માટે અતાર્કિકતાના માપ તરીકે રજૂ કરાયેલ અતાર્કિકતાનું માપ છે. તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ધારો કે તે એક અતાર્કિક સંખ્યા છે. જો ગુણધર્મ સાથે કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં હોય કે જે કોઈપણ માટે, ત્યાં એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તો તેને અતાર્કિકતા આધાર કહેવામાં આવે છે અને તેને રજૂ કરવામાં આવે છે જો એવું કોઈ અસ્તિત્વમાં નથી, તો તેને સુપર લિઉવિલે સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ આ શ્રેણી સુપર લિઉવિલે સંખ્યા છે, જ્યારે શ્રેણી અતાર્કિકતા આધાર 2 સાથે લિઉવિલે સંખ્યા છે. (ટેટ્રેશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.) લીઓવિલે સંખ્યાઓ અને ઉત્કૃષ્ટતા આપેલ સંખ્યા એ લીઓવિલે સંખ્યા છે તેની સ્થાપના આપેલ સંખ્યા દિવ્ય છે તે સાબિત કરવા માટે ઉપયોગી સાધન પૂરું પાડે છે. જો કે, દરેક દિવ્ય સંખ્યા લિઉવિલે સંખ્યા નથી. દરેક લિઉવિલે સંખ્યાના સતત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણની શરતો અમર્યાદિત છે; ગણતરીની દલીલનો ઉપયોગ કરીને, પછી કોઈ બતાવી શકે છે કે અસંખ્ય દિવ્ય સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ જે લિઉવિલે નથી. ઇ ના સ્પષ્ટ સતત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ બતાવી શકે છે કે ઇ એ દિવ્ય સંખ્યાનું ઉદાહરણ છે જે લિઉવિલે નથી. માહલરે 1953માં સાબિત કર્યું કે તે આવું જ એક બીજું ઉદાહરણ છે. સાબિતી પહેલા અતાર્કિક બીજગણિત સંખ્યાઓના ગુણધર્મને સ્થાપિત કરીને આગળ વધે છે. આ ગુણધર્મ અનિવાર્યપણે કહે છે કે અતાર્કિક બીજગણિત સંખ્યાઓને અતાર્કિક સંખ્યાઓ દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાતી નથી, જ્યાં મોટા છેદ માટે "સારી રીતે અંદાજિત" માટેની શરત વધુ કડક બને છે. લિઉવિલે સંખ્યા અતાર્કિક છે પરંતુ તેમાં આ ગુણધર્મ નથી, તેથી તે બીજગણિત ન હોઈ શકે અને દિવ્ય હોવી જોઈએ. નીચેના લેમ્માને સામાન્ય રીતે લિઉવિલેના પ્રમેય (ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજ પર) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેમાં લિઉવિલેના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા ઘણા પરિણામો છે. નીચે, પુરાવો બતાવશે કે કોઈ લિઉવિલે સંખ્યા બીજગણિત હોઈ શકે નહીં. લેમ્માઃ જો α એક અતાર્કિક સંખ્યા છે જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે n> 0 ડિગ્રીના ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદી f નું મૂળ છે, તો ત્યાં એક વાસ્તવિક સંખ્યા A> 0 અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે, તમામ પૂર્ણાંકો p, q માટે, q> 0 સાથે, લેમ્માનો પુરાવોઃ ધારો કે M એ અંતરાલ [α−1, α + 1] પર |f ′ (x) | (f ના વ્યુત્પન્નનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય) નું મહત્તમ મૂલ્ય છે. ધારો કે α1, α2,., αm એ f ના અલગ મૂળ છે જે α થી અલગ છે. કેટલાક મૂલ્ય A> 0 સંતોષકારક પસંદ કરો હવે ધારો કે કેટલાક પૂર્ણાંકો p, q અસ્તિત્વમાં છે જે લેમ્માને વિરોધાભાસી છે. પછી p/q અંતરાલ [α−1, α + 1] માં છે; અને p/q એ {α1, α2,., αm} માં નથી, તેથી p/q એ f નું મૂળ નથી; અને α અને p/q વચ્ચે f નું કોઈ મૂળ નથી. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ, p/q અને α વચ્ચે x0 એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે α એ f નું મૂળ છે પરંતુ p/q નથી, તેથી તે |f ′ (x0) |> 0 ને અનુસરે છે અને ફરીથી ગોઠવી શકે છેઃ હવે, f એ ci xi સ્વરૂપનું છે જ્યાં દરેક ci એક પૂર્ણાંક છે; તેથી |f (p/q) | ને N. B. તરીકે વ્યક્ત કરે છે. છેલ્લી અસમાનતા ધરાવે છે કારણ કે p/q એ f નું મૂળ નથી અને ci પૂર્ણાંકો છે. આમ, |f (p/q) | ≤1/qn. M ની વ્યાખ્યા દ્વારા |f ′ (x0) | ≤ M અને A ની વ્યાખ્યા દ્વારા 1/M> A હોવાથી, જે એક વિરોધાભાસ છે; તેથી, આવા કોઈ p, q અસ્તિત્વમાં નથી; લેમ્માને સાબિત કરે છે. દાવાનો પુરાવોઃ આ લેમ્માના પરિણામે, x એ લિઉવિલે નંબર હોવો જોઈએ; જેમ કે લેખના લખાણમાં નોંધ્યું છે, x પછી અતાર્કિક છે. જો x બીજગણિત હોય, તો લેમ્મા દ્વારા, કેટલાક પૂર્ણાંક n અને કેટલાક હકારાત્મક વાસ્તવિક A અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે બધા p, q માટે r એ હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે જેમ કે 1/(2r) ≤ A. જો m = r + n, અને x એ લિઉવિલે સંખ્યા હોવાથી, ત્યાં a, b એવા પૂર્ણાંકો અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં b> 1 એવું છે જે લેમ્માને વિરોધાભાસી બનાવે છે. તેથી લિઉવિલે સંખ્યા બીજગણિત ન હોઈ શકે, અને તેથી તે દિવ્ય હોવી જોઈએ. આ પણ જુઓ બ્ર્જુનો નંબર ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ દિવ્ય સંખ્યાઓની શરૂઆત ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજ ગાણિતિક અચળાંકો પુરાવા ધરાવતા લેખો વાસ્તવિક દિવ્ય સંખ્યાઓ અતાર્કિક સંખ્યાઓ