Coefficient of determination
આંકડામાં, નિર્ધારણનો ગુણાંક, જેને R2 અથવા r2 તરીકે સૂચવવામાં આવે છે અને "R સ્ક્વેર્ડ" ઉચ્ચારવામાં આવે છે, તે આશ્રિત ચલમાં ભિન્નતાનું પ્રમાણ છે જે સ્વતંત્ર ચલ (ઓ) માંથી અનુમાનિત છે. તે આંકડાકીય નમૂનાઓના સંદર્ભમાં ઉપયોગમાં લેવાતા આંકડા છે, જેનો મુખ્ય હેતુ અન્ય સંબંધિત માહિતીના આધારે ભવિષ્યના પરિણામોની આગાહી અથવા પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ છે. તે મોડેલ દ્વારા સમજાવવામાં આવેલા પરિણામોની કુલ વિવિધતાના પ્રમાણના આધારે, મોડેલ દ્વારા કેટલી સારી રીતે અવલોકન કરાયેલા પરિણામોની નકલ કરવામાં આવે છે તેનું માપ પ્રદાન કરે છે. R2 ની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે જે ફક્ત કેટલીકવાર સમકક્ષ હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાંના એક વર્ગમાં સરળ રેખીય પ્રતિગમનનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં R2 ને બદલે r2 નો ઉપયોગ થાય છે. જ્યારે માત્ર એક અવરોધનું સમાવેશ થાય છે, ત્યારે r2 એ અવલોકન કરેલા પરિણામો અને અવલોકન કરેલ આગાહી મૂલ્ય વચ્ચેના નમૂનાના સહસંબંધ ગુણાંક (એટલે કે, r) નો વર્ગ છે. જો વધારાના રીગ્રેસરનો સમાવેશ કરવામાં આવે, તો R2 એ બહુવિધ સહસંબંધના ગુણાંકનો વર્ગ છે. આવા બંને કિસ્સાઓમાં, નિર્ધારણનો ગુણાંક સામાન્ય રીતે 0 થી 1 સુધીનો હોય છે. એવા કિસ્સાઓ છે કે જ્યાં R2 નકારાત્મક મૂલ્યો આપી શકે છે. આ ત્યારે ઊભી થઈ શકે છે જ્યારે અનુરૂપ પરિણામો સાથે સરખાવવામાં આવતી આગાહીઓ તે ડેટાનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ-ફિટિંગ પ્રક્રિયામાંથી મેળવવામાં આવી નથી. જો મોડેલ-ફિટિંગ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હોય તો પણ, R2 હજુ પણ નકારાત્મક હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે રેખીય રીગ્રેસન ઇન્ટરસેપ્ટનો સમાવેશ કર્યા વિના હાથ ધરવામાં આવે છે, અથવા જ્યારે બિન-રેખીય કાર્યનો ઉપયોગ ડેટાને ફિટ કરવા માટે થાય છે. એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં નકારાત્મક મૂલ્યો ઉદ્ભવે છે, ડેટાનો સરેરાશ આ ચોક્કસ માપદંડ અનુસાર ફીટ કરેલા કાર્ય મૂલ્યો કરતાં પરિણામોને વધુ યોગ્ય બનાવે છે. પ્રતિગમન વિશ્લેષણ મૂલ્યાંકનમાં નિર્ધારણનો ગુણાંક એમ. એ. ઈ., એમ. એ. પી. ઈ., એમ. એસ. ઈ. અને આર. એમ. એસ. ઈ. કરતાં વધુ (સહજ ભાવે) માહિતીપ્રદ હોઈ શકે છે, કારણ કે પહેલાને ટકાવારી તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યારે પછીના પગલાંઓમાં મનસ્વી શ્રેણી હોય છે. તે લેખમાં પરીક્ષણ ડેટાસેટ્સ પર SMAPE ની સરખામણીમાં નબળા ફિટ્સ માટે વધુ મજબૂત સાબિત થયું. સિમ્યુલેટેડ (Ypred) વિરુદ્ધ માપેલા (Yobs) મૂલ્યોની યોગ્યતાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, તેને રેખીય રીગ્રેસન (એટલે કે, Yobs = m·Ypred + b) ના R2 પર આધારિત કરવું યોગ્ય નથી. R2 એ યોબ્સ અને યપ્રેડ વચ્ચેના કોઈપણ રેખીય સહસંબંધની માત્રાને માપે છે, જ્યારે ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ મૂલ્યાંકન માટે માત્ર એક ચોક્કસ રેખીય સહસંબંધને ધ્યાનમાં લેવો જોઈએઃ યોબ્સ = 1 · યપ્રેડ + 0 (એટલે કે, 1:1 રેખા). વ્યાખ્યાઓ ડેટા સેટમાં y1,., yn (સામૂહિક રીતે yi તરીકે અથવા વેક્ટર y = [y1,., yn] T તરીકે ઓળખાય છે) તરીકે ચિહ્નિત થયેલ n મૂલ્યો હોય છે, દરેક ફીટ (અથવા મોડેલિંગ, અથવા અનુમાનિત) મૂલ્ય f1,., fn (ફાઈ તરીકે ઓળખાય છે, અથવા કેટલીકવાર વેક્ટર f તરીકે ઓળખાય છે) સાથે સંકળાયેલા હોય છે. અવશેષોને એઇ = યી − ફાઈ (વેક્ટર ઇ બનાવે છે) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. જો અવલોકન કરેલ માહિતીનો સરેરાશ હોય તોઃ પછી માહિતી સમૂહની પરિવર્તનશીલતાને બે વર્ગ સૂત્રોના સરવાળા સાથે માપી શકાય છેઃ અવશેષોના વર્ગોનો સરવાળો, જેને વર્ગોનો શેષ સરવાળો પણ કહેવાય છેઃ વર્ગોનો કુલ સરવાળો (માહિતીના ભિન્નતાના પ્રમાણમાં): નિર્ધારણના ગુણાંકની સૌથી સામાન્ય વ્યાખ્યા એ છે કે શ્રેષ્ઠ કિસ્સામાં, પ્રતિરૂપિત મૂલ્યો અવલોકન કરેલા મૂલ્યો સાથે બરાબર મેળ ખાય છે, જે અને માં પરિણમે છે. એક બેઝલાઇન મોડેલ, જે હંમેશા આગાહી કરે છે, તેની પાસે હશે. આ આધારરેખા કરતાં વધુ ખરાબ આગાહીઓ ધરાવતા નમૂનાઓમાં નકારાત્મક હશે. સમજાવી ન શકાય તેવી ભિન્નતા સાથેનો સંબંધ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, R2 એ સમજાવી ન શકાય તેવી ભિન્નતા (FVU) ના અપૂર્ણાંક સાથે સંબંધિત હોવાનું જોઈ શકાય છે, કારણ કે બીજી મુદત સમજાવી ન શકાય તેવી ભિન્નતા (મોડેલની ભૂલોની ભિન્નતા) ને કુલ ભિન્નતા (ડેટાની) સાથે સરખાવે છેઃ સમજાવ્યા મુજબ ભિન્નતા ધારો કે R2 = 0.49 છે. આ સૂચવે છે કે ડેટા સેટમાં આશ્રિત ચલની પરિવર્તનશીલતાના 49 ટકા માટે જવાબદાર છે, અને બાકીની 51 ટકા પરિવર્તનશીલતા હજુ પણ બિનહિસાબી છે. રીગ્રેસન મોડેલો માટે, વર્ગોનો રીગ્રેસન સરવાળો, જેને વર્ગોનો સમજાવેલ સરવાળો પણ કહેવામાં આવે છે, તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સરળ રેખીય રીગ્રેસનની જેમ, વર્ગોનો કુલ સરવાળો ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલા વર્ગના અન્ય બે સરવાળાના સરવાળાની બરાબર હોય છેઃ આ પરિણામની વ્યુત્પત્તિ માટે સામાન્ય OLS મોડેલમાં પાર્ટીશનિંગ જુઓ. જ્યારે આ સંબંધ ટકી રહે છે, ત્યારે R2 ની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા એ ચલ પર અવલોકનોની સંખ્યા (કિસ્સાઓ) ની સમકક્ષ છે. આ સ્વરૂપમાં R2 ને સમજાવેલ ભિન્નતા (મોડેલની આગાહીઓનું ભિન્નતા, જે એસએસઆરઇજી/એન છે) અને કુલ ભિન્નતા (આશ્રિત ચલનું નમૂના ભિન્નતા, જે એસએસટીઓટી/એન છે) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ચોરસના સરવાળાનું આ વિભાજન ઉદાહરણ તરીકે ત્યારે થાય છે જ્યારે મોડેલ મૂલ્યો ફાઈ રેખીય રીગ્રેસન દ્વારા મેળવવામાં આવ્યા હોય. એક હળવી પર્યાપ્ત શરત નીચે મુજબ વાંચે છેઃ મોડેલમાં એવું સ્વરૂપ હોય છે જ્યાં qi એ મનસ્વી મૂલ્યો હોય છે જે i અથવા અન્ય મુક્ત પરિમાણો પર આધારિત હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે (સામાન્ય પસંદગી qi = xi એ માત્ર એક વિશેષ કેસ છે), અને ગુણાંક અંદાજો અને બાકી રહેલા વર્ગના સરવાળાને ઘટાડીને મેળવવામાં આવે છે. શરતોનો આ સમૂહ મહત્વપૂર્ણ છે અને તેમાં ફીટ કરેલા અવશેષો અને મોડેલ કરેલા મૂલ્યોના ગુણધર્મો માટે સંખ્યાબંધ અસરો છે. ખાસ કરીને, આ શરતો હેઠળઃ ચોરસ સહસંબંધ ગુણાંક તરીકે રેખીય લઘુત્તમ ચોરસમાં અંદાજિત અવરોધન શબ્દ સાથે બહુવિધ પ્રતિગમનમાં, R2 એ આશ્રિત ચલનાં અવલોકન અને પ્રતિરૂપિત (અનુમાનિત) ડેટા મૂલ્યો વચ્ચેના પીઅર્સન સહસંબંધ ગુણાંકના વર્ગની બરાબર છે. એક જ સ્પષ્ટીકરણકર્તા સાથે રેખીય લઘુત્તમ ચોરસ પ્રતિગમનમાં, પરંતુ અવરોધન શબ્દ વિના, આ આશ્રિત ચલ અને વ્યાખ્યાત્મક ચલના ચોરસ પીઅર્સન સહસંબંધ ગુણાંકની બરાબર પણ છે. તેને બે વ્યાખ્યાત્મક ચલ વચ્ચેના સહસંબંધ ગુણાંક સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જ્યાં બે ગુણાંક અંદાજો વચ્ચેનું સહપ્રસરણ, તેમજ તેમના પ્રમાણભૂત વિચલનો, ગુણાંક અંદાજોના સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય મોડેલિંગ શરતો હેઠળ, જ્યાં અનુમાનિત મૂલ્યો રેખીય લઘુત્તમ ચોરસ રીગ્રેસનથી અલગ મોડેલમાંથી પેદા થઈ શકે છે, ત્યાં R2 મૂલ્યની ગણતરી મૂળ અને મોડેલ કરેલા ડેટા મૂલ્યો વચ્ચેના સહસંબંધ ગુણાંકના વર્ગ તરીકે કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, મૂલ્ય એ મોડેલ કરેલા મૂલ્યો કેટલા સારા છે તેનું સીધું માપ નથી, પરંતુ મોડેલ કરેલા મૂલ્યોમાંથી આગાહી કરનારનું નિર્માણ કેટલું સારું થઈ શકે છે તેનું માપ છે (α + βfi સ્વરૂપનું સુધારેલું આગાહીકાર બનાવીને). એવરિટ અનુસાર, આ ઉપયોગ ખાસ કરીને "નિર્ધારણના ગુણાંક" શબ્દની વ્યાખ્યા છેઃ બે (સામાન્ય) ચલ વચ્ચેના સહસંબંધનો વર્ગ. અર્થઘટન R2 એ મોડેલની યોગ્યતાની સારીતાનું માપ છે. રીગ્રેસનમાં, નિર્ધારણનો R2 ગુણાંક એ રીગ્રેસન આગાહીઓ વાસ્તવિક ડેટા બિંદુઓને કેટલી સારી રીતે અંદાજ આપે છે તેનું આંકડાકીય માપ છે. 1 નો R2 સૂચવે છે કે રીગ્રેસન આગાહીઓ ડેટાને સંપૂર્ણપણે બંધબેસે છે. 0 થી 1 ની શ્રેણીની બહાર R2 ના મૂલ્યો ત્યારે થાય છે જ્યારે મોડેલ ડેટાને સૌથી ખરાબ શક્ય લઘુત્તમ-ચોરસ આગાહીકાર (અવલોકન કરેલ ડેટાના સરેરાશ જેટલી ઊંચાઈ પર આડી હાયપરપ્લેનની સમકક્ષ) કરતાં વધુ ખરાબ રીતે બંધબેસે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખોટું મોડેલ પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું, અથવા ભૂલથી નિરર્થક મર્યાદાઓ લાગુ કરવામાં આવી હતી. જો ક્વાલ્સેથના સમીકરણ 1 નો ઉપયોગ કરવામાં આવે (આ સૌથી વધુ વારંવાર વપરાતું સમીકરણ છે), તો R2 શૂન્ય કરતા ઓછું હોઈ શકે છે. જો ક્વાલ્સેથના સમીકરણ 2 નો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો R2 એક કરતા વધારે હોઈ શકે છે. બધા કિસ્સાઓમાં જ્યાં R2 નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, આગાહીકારોની ગણતરી સામાન્ય લઘુત્તમ-ચોરસ રીગ્રેસન દ્વારા કરવામાં આવે છેઃ એટલે કે, SSR ને ઘટાડીને. આ કિસ્સામાં, જેમ જેમ મોડેલમાં ચલની સંખ્યા વધે છે તેમ તેમ R2 વધે છે (R2 એ ચલની સંખ્યા સાથે વધતો મોનોટોન છે-તે ક્યારેય ઘટશે નહીં). આ R2 ના એક સંભવિત ઉપયોગની ખામીને સમજાવે છે, જ્યાં કોઈ વ્યક્તિ R2 મૂલ્ય વધારવા માટે ચલ (કિચન સિંક રીગ્રેસન) ઉમેરવાનું ચાલુ રાખી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ કારના ગેસ માઇલેજ, કિંમત અને એન્જિનની શક્તિ પરથી કારના મોડેલના વેચાણની આગાહી કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યું હોય, તો તેમાં મોડેલના નામના પ્રથમ અક્ષર અથવા કારની રચના કરનાર મુખ્ય ઇજનેરની ઊંચાઈ જેવા અપ્રસ્તુત પરિબળોનો સમાવેશ કરી શકાય છે કારણ કે ચલ ઉમેરવામાં આવે તેમ R2 ક્યારેય ઘટશે નહીં અને સંભવતઃ માત્ર તકને કારણે તેમાં વધારો થશે. આ એડજસ્ટેડ R2ને જોવાના વૈકલ્પિક અભિગમ તરફ દોરી જાય છે. આ આંકડાનું સમજૂતી લગભગ R2 જેવી જ છે પરંતુ તે આંકડાને દંડ આપે છે કારણ કે મોડેલમાં વધારાના ચલોનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ દ્વારા ફિટિંગ સિવાયના કિસ્સાઓ માટે, R2 આંકડાની ગણતરી ઉપર મુજબ કરી શકાય છે અને તે હજુ પણ એક ઉપયોગી માપ હોઈ શકે છે. જો ફિટિંગ ભારિત લઘુત્તમ ચોરસ અથવા સામાન્યીકૃત લઘુત્તમ ચોરસ દ્વારા હોય, તો R2 ની વૈકલ્પિક આવૃત્તિઓ તે આંકડાકીય માળખા માટે યોગ્ય ગણી શકાય, જ્યારે "કાચા" R2 હજુ પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે જો તેનું વધુ સરળતાથી અર્થઘટન કરવામાં આવે. R2 માટેના મૂલ્યોની ગણતરી કોઈપણ પ્રકારના આગાહીયુક્ત નમૂના માટે કરી શકાય છે, જેનો આંકડાકીય આધાર હોવો જરૂરી નથી. બહુવિધ રેખીય મોડેલમાં એક કરતાં વધુ સ્પષ્ટીકરણ ચલ સાથે રેખીય મોડેલનો વિચાર કરો, જ્યાં, ith કેસ માટે, પ્રતિસાદ ચલ છે, p રીગ્રેસર છે, અને સરેરાશ શૂન્ય ભૂલ શબ્દ છે. જથ્થાઓ અજ્ઞાત ગુણાંક છે, જેમના મૂલ્યોનો અંદાજ લઘુત્તમ ચોરસ દ્વારા કરવામાં આવે છે. નિર્ધારણ R2 નો ગુણાંક એ મોડેલની વૈશ્વિક યોગ્યતાનું માપ છે. ખાસ કરીને, R2 એ [0,1] નું એક તત્વ છે અને Yi માં પરિવર્તનશીલતાના પ્રમાણને રજૂ કરે છે જે X. R2 માં રીગ્રેસર (સ્પષ્ટીકરણ ચલ) ના કેટલાક રેખીય સંયોજનને આભારી હોઈ શકે છે. આમ, R2 = 1 સૂચવે છે કે ફીટ કરેલ મોડેલ તમામ પરિવર્તનશીલતાને સમજાવે છે, જ્યારે R2 = 0 કોઈ 'રેખીય' સંબંધ સૂચવે છે (સીધી રેખા રીગ્રેસન માટે, આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા મોડેલ એ સતત રેખા છે (ઢોળાવ = 0, અવરોધન =) પ્રતિભાવ ચલ અને રીગ્રેસર વચ્ચે). R2 = 0.7 જેવા આંતરિક મૂલ્યનું અર્થઘટન નીચે પ્રમાણે થઈ શકે છેઃ "પ્રતિક્રિયા ચલમાં 70 ટકા તફાવતને વ્યાખ્યાત્મક ચલ દ્વારા સમજાવી શકાય છે. બાકીના ત્રીસ ટકા અજ્ઞાત, છૂપાયેલા ચલ અથવા અંતર્ગત પરિવર્તનશીલતાને આભારી હોઈ શકે છે. સહસંબંધ અને જોડાણના અન્ય આંકડાકીય વર્ણનોની જેમ R2 ને લાગુ પડતી સાવચેતી એ છે કે "સહસંબંધ કારણ સૂચવતો નથી". બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે સહસંબંધો કેટલીકવાર ચલ વચ્ચેના કારણભૂત સંબંધોને ઉજાગર કરવામાં મૂલ્યવાન સંકેતો પ્રદાન કરી શકે છે, ત્યારે બે ચલ વચ્ચેનો બિન-શૂન્ય અંદાજિત સહસંબંધ, તેના પોતાના પર, એવો પુરાવો નથી કે એક ચલનું મૂલ્ય બદલવાથી અન્ય ચલનાં મૂલ્યોમાં ફેરફાર થશે. ઉદાહરણ તરીકે, મેચો (અથવા હળવા) વહન કરવાની પ્રથા ફેફસાના કેન્સરની ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલી છે, પરંતુ મેચો વહન કરવાથી કેન્સર થતું નથી ("કારણ" ના પ્રમાણભૂત અર્થમાં). એક જ રીગ્રેસરના કિસ્સામાં, ઓછામાં ઓછા ચોરસ દ્વારા ફીટ કરવામાં આવે છે, R2 એ રીગ્રેસર અને રિસ્પોન્સ વેરિયેબલને લગતા પીઅર્સન પ્રોડક્ટ-મોમેન્ટ સહસંબંધ ગુણાંકનો વર્ગ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, R2 એ કન્સ્ટ્રક્ટ પ્રિડિક્ટર અને રિસ્પોન્સ વેરિયેબલ વચ્ચેના સહસંબંધનો વર્ગ છે. એક કરતાં વધુ રીગ્રેસર સાથે, R2 ને બહુવિધ નિર્ધારણના ગુણાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. R2 નો ફુગાવો લાક્ષણિક માહિતીનો ઉપયોગ કરીને ઓછામાં ઓછા ચોરસ રીગ્રેસનમાં, મોડેલમાં રીગ્રેસરની સંખ્યામાં વધારો થવાની સાથે R2 ઓછામાં ઓછું નબળું વધી રહ્યું છે. કારણ કે રીગ્રેસરની સંખ્યામાં વધારો R2 ના મૂલ્યમાં વધારો કરે છે, એકલા R2 નો ઉપયોગ સ્વતંત્ર ચલની ખૂબ જ અલગ સંખ્યા ધરાવતા મોડેલોની અર્થપૂર્ણ સરખામણી તરીકે કરી શકાતો નથી. બે મોડેલો વચ્ચેની અર્થપૂર્ણ સરખામણી માટે, ગ્રેન્જર કાર્યકારણમાં એફ-પરીક્ષણોની જેમ જ ચોરસના શેષ સરવાળા પર એફ-પરીક્ષણ કરી શકાય છે, જોકે આ હંમેશા યોગ્ય નથી હોતું. આની યાદ અપાવવા માટે, કેટલાક લેખકો R2 ને Rq2 દ્વારા સૂચવે છે, જ્યાં q એ X માં સ્તંભોની સંખ્યા છે (અચળાંક સહિત વ્યાખ્યાતાઓની સંખ્યા). આ ગુણધર્મને દર્શાવવા માટે, પહેલા યાદ કરો કે લઘુત્તમ ચોરસ રેખીય રીગ્રેસનનો ઉદ્દેશ એ છે કે જ્યાં xi એ કેસ i અને b માટે સમજૂતી ચલોના મૂલ્યોની પંક્તિ વેક્ટર છે જે xi ના સંબંધિત તત્વોના ગુણાંકનો સ્તંભ વેક્ટર છે. ઉદ્દેશનું શ્રેષ્ઠતમ મૂલ્ય નબળું છે કારણ કે વધુ સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલ ઉમેરવામાં આવે છે અને તેથી (સ્પષ્ટીકરણાત્મક ડેટા મેટ્રિક્સ જેની ith પંક્તિ xi છે) ના વધારાના સ્તંભો ઉમેરવામાં આવે છે, એ હકીકત દ્વારા કે ઓછા મર્યાદિત લઘુતમકરણ શ્રેષ્ઠ ખર્ચ તરફ દોરી જાય છે જે વધુ મર્યાદિત લઘુતમકરણ કરતા નબળું છે. અગાઉના નિષ્કર્ષને જોતાં અને નોંધે છે કે તે ફક્ત y પર આધાર રાખે છે, R2 નો બિન-ઘટતો ગુણધર્મ ઉપરની વ્યાખ્યાથી સીધો અનુસરે છે. વધારાના વ્યાખ્યાત્મક ચલનો ઉપયોગ કરીને R2 ને ઓછું કરી શકાતું નથી તેનું સાહજિક કારણ આ છેઃ ન્યૂનતમ કરવું એ R2 ને મહત્તમ કરવા સમાન છે. જ્યારે વધારાના ચલનો સમાવેશ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ડેટા પાસે હંમેશા તેને શૂન્યનો અંદાજિત ગુણાંક આપવાનો વિકલ્પ હોય છે, જે અનુમાનિત મૂલ્યો અને R2 ને યથાવત રાખે છે. ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા બિન-શૂન્ય ગુણાંક આપશે તે એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે જો આમ કરવાથી R2 માં સુધારો થાય. કેવેટ્સ R2 સૂચવતું નથી કે શુંઃ સ્વતંત્ર ચલ એ આશ્રિત ચલમાં ફેરફારોનું કારણ છે; અવગણાયેલ-ચલ પૂર્વગ્રહ અસ્તિત્વમાં છે; સાચો પ્રતિગમનનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો; સ્વતંત્ર ચલોનો સૌથી યોગ્ય સમૂહ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે; સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલ પરના ડેટામાં કોલીનિયરિટી હાજર છે; સ્વતંત્ર ચલોના હાલના સમૂહના રૂપાંતરિત સંસ્કરણોનો ઉપયોગ કરીને મોડેલમાં સુધારો થઈ શકે છે; નક્કર નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે પૂરતા ડેટા પોઇન્ટ છે. એક્સ્ટેન્શન્સ એડજસ્ટેડ R2 એડજસ્ટેડ R2 નો ઉપયોગ (એક સામાન્ય નોટેશન છે, જેને "R બાર સ્ક્વેર્ડ" ઉચ્ચારવામાં આવે છે; બીજું છે અથવા) એ R2 ની ઘટનાને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયાસ છે જે જ્યારે મોડેલમાં વધારાના સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલો ઉમેરવામાં આવે ત્યારે આપમેળે વધે છે. () ને એડજસ્ટ કરવાની ઘણી જુદી જુદી રીતો છે. અત્યાર સુધીમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતો સુધારો એ છે કે તેને સામાન્ય રીતે ફક્ત એડજસ્ટેડ આર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે મોર્દકૈ એઝેકીલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરેક્શન છે. સમાયોજિત R2 ને એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં dfres એ મોડેલની આસપાસની વસ્તીના ભિન્નતાના અંદાજની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી છે, અને dftot એ સરેરાશની આસપાસની વસ્તીના ભિન્નતાના અંદાજની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી છે. dfres નમૂનાના કદ n અને મોડેલમાં ચલ p ની સંખ્યાના સંદર્ભમાં આપવામાં આવે છે, dfres = n − p. dftot એ જ રીતે આપવામાં આવે છે, પરંતુ p એ સરેરાશ માટે એકતા છે, એટલે કે. dftot = n − 1. ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ દાખલ કરીને અને R2 ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, તેને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છેઃ જ્યાં p એ મોડેલમાં વ્યાખ્યાત્મક ચલની કુલ સંખ્યા છે, અને n એ નમૂનાનું કદ છે. સમાયોજિત R2 નકારાત્મક હોઈ શકે છે, અને તેનું મૂલ્ય હંમેશા R2 કરતા ઓછું અથવા બરાબર રહેશે. R2 થી વિપરીત, એડજસ્ટેડ R2 ત્યારે જ વધે છે જ્યારે R2 માં વધારો (નવા સ્પષ્ટીકરણ ચલનો સમાવેશ કરવાને કારણે) એક કરતાં વધુ તક દ્વારા જોવાની અપેક્ષા રાખે છે. જો મહત્વના પૂર્વનિર્ધારિત પદાનુક્રમ સાથે સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલોનો સમૂહ એક સમયે રીગ્રેસનમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, જેમાં દરેક વખતે એડજસ્ટેડ R2ની ગણતરી કરવામાં આવે છે, તો જે સ્તર પર એડજસ્ટેડ R2 મહત્તમ સુધી પહોંચે છે અને પછીથી ઘટે છે, તે વધુ/બિનજરૂરી શરતો વિના શ્રેષ્ઠ ફિટ હોવાના આદર્શ સંયોજન સાથે રીગ્રેસન હશે. સમાયોજિત R2 ને વસ્તી R2 ના ઓછા પક્ષપાતી અંદાજકાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જ્યારે અવલોકન કરેલ નમૂના R2 એ વસ્તી મૂલ્યનો હકારાત્મક પક્ષપાતી અંદાજ છે. મોડેલની યોગ્યતાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે (સ્વતંત્ર ચલ દ્વારા જવાબદાર આશ્રિત ચલમાં તફાવત) અને મોડેલ નિર્માણના સુવિધા પસંદગીના તબક્કામાં વૈકલ્પિક મોડેલોની સરખામણી કરતી વખતે સમાયોજિત R2 વધુ યોગ્ય છે. સમાયોજિત R2 આંકડાકીય પાછળના સિદ્ધાંતને સામાન્ય R2 ને અનુક્રમે અંદાજિત અવશેષો અને આશ્રિત ચલની નમૂનાની ભિન્નતા તરીકે ફરીથી લખીને જોઈ શકાય છે, જેને ભૂલો અને આશ્રિત ચલની વસ્તીની ભિન્નતાના પક્ષપાતી અંદાજો તરીકે જોઈ શકાય છે. આ અંદાજોને આંકડાકીય રીતે નિષ્પક્ષ આવૃત્તિઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છેઃ અને. ભૂલ અને આશ્રિત ચલની વસ્તીના તફાવતો માટે નિષ્પક્ષ અંદાજકારોનો ઉપયોગ કરવા છતાં, સમાયોજિત R2 એ વસ્તી R2 નો નિષ્પક્ષ અંદાજકાર નથી, જે ભૂલો અને આશ્રિત ચલની વસ્તીના તફાવતનો અંદાજ કાઢવાને બદલે તેનો ઉપયોગ કરીને પરિણમે છે. ઇન્ગ્રામ ઓલ્કિન અને જ્હોન ડબલ્યુ. પ્રેટએ વસ્તી R2 માટે લઘુતમ-ભિન્નતા નિષ્પક્ષ અંદાજ કાઢ્યો, જેને ઓલ્કિન-પ્રેટ અંદાજકાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. R2 ને સમાયોજિત કરવા માટેના વિવિધ અભિગમોની સરખામણીએ તારણ કાઢ્યું હતું કે મોટાભાગની પરિસ્થિતિઓમાં (એઝેકીલ) સમાયોજિત R2 કરતાં કાં તો ઓલ્કિન-પ્રેટ અંદાજકર્તાનું અંદાજિત સંસ્કરણ અથવા ચોક્કસ ઓલ્કિન-પ્રેટ અંદાજકર્તાને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ. આંશિક નિર્ધારણનો ગુણાંક આંશિક નિર્ધારણના ગુણાંકને વિવિધતાના પ્રમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેને ઘટાડેલા મોડેલમાં સમજાવી શકાતું નથી, પરંતુ સંપૂર્ણ (ઇ. આર.) મોડેલમાં નિર્દિષ્ટ આગાહીકારો દ્વારા સમજાવી શકાય છે. આ ગુણાંકનો ઉપયોગ વધુ સંપૂર્ણ રીતે નિર્દિષ્ટ રીગ્રેસન મોડેલમાં એક અથવા વધુ વધારાના આગાહીકારો ઉપયોગી હોઈ શકે છે કે નહીં તેની સમજ આપવા માટે થાય છે. બે મોડેલોનો અંદાજ કાઢ્યા પછી અને તેમના માટે એ. એન. ઓ. વી. એ. કોષ્ટકો તૈયાર કર્યા પછી આંશિક આર2 માટેની ગણતરી પ્રમાણમાં સીધી છે. આંશિક R2 માટેની ગણતરી એ છે કે જે નિર્ધારણના સામાન્ય ગુણાંકની સમાન છેઃ R2 નું સામાન્યીકરણ અને વિઘટન ઉપર સમજાવ્યા મુજબ, સમાયોજિત માપદંડ અને F-પરીક્ષણ જેવા મોડેલ પસંદગી હ્યુરિસ્ટિક્સ તપાસ કરે છે કે શું કુલ એ નક્કી કરવા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં વધે છે કે કેમ કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે કે શું નવા રીગ્રેસરને મોડેલમાં ઉમેરવું જોઈએ. જો મોડેલમાં રીગ્રેસર ઉમેરવામાં આવે છે જે પહેલેથી જ સમાવવામાં આવેલા અન્ય રીગ્રેસર સાથે ખૂબ સહસંબંધિત છે, તો પછી કુલ ભાગ્યે જ વધશે, પછી ભલે નવો રીગ્રેસર સુસંગત હોય. પરિણામે, જ્યારે ક્રોસ-સહસંબંધો વધારે હોય ત્યારે ઉપરોક્ત સંશોધનો સંબંધિત રીગ્રેસરની અવગણના કરશે. વૈકલ્પિક રીતે, પૂર્વધારણામાંથી વિચલનની સુસંગતતાને માપવા માટે સામાન્યીકૃત સંસ્કરણને વિઘટિત કરી શકાય છે. હોર્નવેગ (2018) દર્શાવે છે તેમ, કેટલાક સંકોચન અંદાજકર્તાઓ-જેમ કે બાયેસિયન રેખીય રીગ્રેસન, રીજ રીગ્રેસન અને (અનુકૂલનશીલ) લાસો-જ્યારે તેઓ અનિયંત્રિત OLS ઉકેલોમાંથી પૂર્વધારણા મૂલ્યો તરફ પરિમાણોને ધીમે ધીમે સંકોચાય છે ત્યારે આ વિઘટનનો ઉપયોગ કરે છે. ચાલો પહેલા રેખીય રીગ્રેસન મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરીએ કારણ કે એવું માનવામાં આવે છે કે મેટ્રિક્સ ઝેડ-સ્કોર્સ સાથે પ્રમાણિત છે અને કૉલમ વેક્ટર શૂન્યના સરેરાશ માટે કેન્દ્રિત છે. સ્તંભ વેક્ટરને પૂર્વધારણા રીગ્રેસન પરિમાણોનો સંદર્ભ આપવા દો અને સ્તંભ વેક્ટરને અંદાજિત પરિમાણો દર્શાવવા દો. પછી આપણે 75 ટકાના એનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ એટલે કે જો પૂર્વધારણા મૂલ્યોને બદલે ડેટા-ઑપ્ટિમાઇઝ કરેલા ઉકેલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો નમૂનામાં ચોકસાઈમાં 75 ટકાનો સુધારો થાય છે. વિશેષ કિસ્સામાં જે શૂન્યનો વેક્ટર છે, આપણે ફરીથી પરંપરાગત મેળવીએ છીએ. પૂર્વધારણામાંથી વિચલનની વ્યક્તિગત અસરની ગણતરી ('આર-આઉટર') સાથે કરી શકાય છે. આ વખત મેટ્રિક્સ ક્યાં દ્વારા આપવામાં આવે છે. કર્ણ તત્વો બરાબર સુધી ઉમેરે છે. જો રીગ્રેસર અસંબદ્ધ હોય અને શૂન્યનો વેક્ટર હોય, તો તેનો કર્ણ ઘટક ફક્ત અને વચ્ચેના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય છે. જ્યારે રીગ્રેસર અને સહસંબંધિત હોય, ત્યારે તેમાં ઘટાડાની કિંમતમાં વધારો થઈ શકે છે. પરિણામે, ના કર્ણ તત્વો 0 કરતા નાના હોઈ શકે છે અને વધુ અપવાદરૂપ કિસ્સાઓમાં, 1 કરતા મોટા હોઈ શકે છે. આવી અનિશ્ચિતતાઓને પહોંચી વળવા માટે, કેટલાક સંકોચન અંદાજકર્તાઓ પૂર્વધારણા મૂલ્યથી વિચલનની સુસંગતતાને માપવા માટે પરોક્ષ રીતે વિકર્ણ તત્વોની ભારિત સરેરાશ લે છે. ઉદાહરણ માટે લાસો પર ક્લિક કરો. લોજિસ્ટિક રીગ્રેસનમાં R2 લોજિસ્ટિક રીગ્રેસનના કિસ્સામાં, સામાન્ય રીતે મહત્તમ સંભાવના દ્વારા બંધબેસે છે, સ્યુડો-R2 ની ઘણી પસંદગીઓ છે. એક સામાન્યીકૃત R2 છે જે મૂળરૂપે કોક્સ એન્ડ સ્નેલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત છે, અને સ્વતંત્ર રીતે મેગી દ્વારાઃ જ્યાં માત્ર અવરોધન સાથે મોડેલની સંભાવના છે, તે અંદાજિત મોડેલની સંભાવના છે (એટલે કે, પરિમાણ અંદાજોના આપેલ સમૂહ સાથેનું મોડેલ) અને n એ નમૂનાનું કદ છે. તેને સરળતાથી આ રીતે ફરીથી લખવામાં આવે છેઃ જ્યાં D એ સંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણનું પરીક્ષણ આંકડા છે. નિકો નાગેલકર્કે નોંધ્યું હતું કે તેમાં નીચેના ગુણધર્મો છેઃ જ્યારે બંનેની ગણતરી કરી શકાય ત્યારે તે નિર્ધારણના શાસ્ત્રીય ગુણાંક સાથે સુસંગત હોય છે; તેનું મૂલ્ય મોડેલના મહત્તમ સંભાવના અંદાજ દ્વારા મહત્તમ કરવામાં આવે છે; તે નમૂનાના કદથી એસિમ્પ્ટોટિકલી સ્વતંત્ર છે; અર્થઘટન એ મોડેલ દ્વારા સમજાવવામાં આવેલી વિવિધતાનું પ્રમાણ છે; મૂલ્યો 0 અને 1 ની વચ્ચે છે, જેમાં 0 સૂચવે છે કે મોડેલ કોઈપણ વિવિધતાને સમજાવતું નથી અને 1 સૂચવે છે કે તે અવલોકન કરેલ વિવિધતાને સંપૂર્ણ રીતે સમજાવે છે; તેમાં કોઈ એકમ નથી. જો કે, લોજિસ્ટિક મોડેલના કિસ્સામાં, જ્યાં 1 કરતા વધારે ન હોઈ શકે, R2 એ 0 અને વચ્ચે છેઃ આમ, નાગેલર્કેએ સ્કેલ કરેલ R2 ને R2/R2max તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાની શક્યતા સૂચવી હતી. અવશેષોના ધોરણ સાથે સરખામણી પ્રસંગોપાત, અવશેષોના ધોરણનો ઉપયોગ યોગ્યતાની ભલાઈ સૂચવવા માટે થાય છે. આ શબ્દની ગણતરી અવશેષોના વર્ગના સરવાળાના વર્ગમૂળ તરીકે કરવામાં આવે છેઃ R2 અને અવશેષોના ધોરણ બંને તેમના સંબંધિત ગુણ ધરાવે છે. લઘુત્તમ વર્ગ વિશ્લેષણ માટે R2 0 અને 1 ની વચ્ચે બદલાય છે, જેમાં મોટી સંખ્યાઓ વધુ સારી રીતે બંધબેસે છે અને 1 સંપૂર્ણ રીતે બંધબેસે છે. અવશેષોનું ધોરણ 0 થી અનંત સુધી બદલાય છે, જેમાં નાની સંખ્યાઓ વધુ સારી રીતે બંધબેસે છે અને શૂન્ય સંપૂર્ણ રીતે બંધબેસે છે. R2 નો એક ફાયદો અને ગેરલાભ એ છે કે આ શબ્દ મૂલ્યને સામાન્ય બનાવવાનું કામ કરે છે. જો તમામ yi મૂલ્યોને અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અવશેષોનું ધોરણ પણ તે અચળાંક દ્વારા બદલાશે પરંતુ R2 તે જ રહેશે. મૂળભૂત ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય લઘુત્તમ ચોરસ માટે માહિતીના સમૂહ સાથે બંધબેસે છેઃ R2 = 0.998, અને અવશેષોનું ધોરણ = 0.302. જો y ના તમામ મૂલ્યોને 1000 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે (ઉદાહરણ તરીકે, એસ. આઈ. ઉપસર્ગ પરિવર્તનમાં), તો R2 સમાન રહે છે, પરંતુ અવશેષોનું ધોરણ = 302 છે. યોગ્યતાનું અન્ય એક-પરિમાણ સૂચક અવશેષોનું આર. એમ. એસ. ઈ. અથવા અવશેષોનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે. ઉપરના ઉદાહરણ માટે આનું મૂલ્ય 0.135 હશે કારણ કે ફિટ અનફોર્સ્ડ ઇન્ટરસેપ્ટ સાથે રેખીય હતું. નિર્ધારણના ગુણાંકની રચનાનું શ્રેય આનુવંશિકશાસ્ત્રી સેવાલ રાઈટને આપવામાં આવ્યું છે અને તે સૌપ્રથમ 1921માં પ્રકાશિત થયું હતું. એન્સકોમ્બની ચોકડી અપૂર્ણાંકની ભિન્નતાનો સમજાવી ન શકાય તેવો ગુણદોષ નાશ-સટક્લિફ મોડેલ કાર્યક્ષમતા ગુણાંક (જળશાસ્ત્રીય ઉપયોગો) પીઅર્સન ઉત્પાદન-ક્ષણ સહસંબંધ ગુણાંક નુકસાનમાં પ્રમાણસર ઘટાડો રીગ્રેસન મોડેલ માન્યતા રુટ મીન સ્ક્વેર ડેવિએશન સ્ટેપવાઇઝ રીગ્રેસન નોંધો વધુ વાંચન રીગ્રેસન ડાયગ્નોસ્ટિક્સ આંકડાકીય ગુણોત્તર ઓછામાં ઓછા સ્ક્વેર