Extensive-form game
રમત સિદ્ધાંતમાં, વ્યાપક સ્વરૂપની રમત એ રમતનું એક સ્પષ્ટીકરણ છે જે (નામ સૂચવે છે તેમ) સંખ્યાબંધ મુખ્ય પાસાઓની સ્પષ્ટ રજૂઆત માટે પરવાનગી આપે છે, જેમ કે ખેલાડીઓની સંભવિત ચાલોનો ક્રમ, દરેક નિર્ણય બિંદુ પર તેમની પસંદગીઓ, (સંભવતઃ અપૂર્ણ) દરેક ખેલાડી પાસે જ્યારે તેઓ નિર્ણય લે છે ત્યારે અન્ય ખેલાડીની ચાલ વિશેની માહિતી અને રમતના તમામ સંભવિત પરિણામો માટે તેમની ચૂકવણી. વ્યાપક સ્વરૂપની રમતો "પ્રકૃતિ દ્વારા ચાલ" તરીકે રચાયેલ આકસ્મિક ઘટનાઓના સ્વરૂપમાં અપૂર્ણ માહિતીની રજૂઆત માટે પણ પરવાનગી આપે છે. વ્યાપક સ્વરૂપની રજૂઆતો સામાન્ય સ્વરૂપથી અલગ છે જેમાં તેઓ પ્રશ્નમાં રમતનું વધુ સંપૂર્ણ વર્ણન પ્રદાન કરે છે, જ્યારે સામાન્ય સ્વરૂપ રમતને ચૂકવણી મેટ્રિક્સમાં ઉકળે છે. કેટલાક લેખકો, ખાસ કરીને પ્રારંભિક પાઠ્યપુસ્તકોમાં, વ્યાપક સ્વરૂપની રમતને શરૂઆતમાં ચૂકવણી (કોઈ અપૂર્ણ અથવા અપૂર્ણ માહિતી નહીં) સાથે માત્ર એક રમત વૃક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને પછીના પ્રકરણોમાં અન્ય તત્વોને સુધારા તરીકે ઉમેરે છે. જ્યારે આ લેખનો બાકીનો ભાગ પ્રેરક ઉદાહરણો સાથે આ સૌમ્ય અભિગમને અનુસરે છે, ત્યારે અમે અહીં (આખરે) નિર્મિત મર્યાદિત વ્યાપક-સ્વરૂપની રમતો રજૂ કરીએ છીએ. આ સામાન્ય વ્યાખ્યા 1953માં હેરોલ્ડ ડબ્લ્યુ. કુહ્ન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી, જેમણે 1928થી વોન ન્યુમેનની અગાઉની વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરી હતી. પ્રસ્તુતિકરણ પછી, એન-પ્લેયર એક્સટેન્સિવ-ફોર્મ રમતમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ એન (તર્કસંગત) ખેલાડીઓનો મર્યાદિત સમૂહ એક મૂળ વૃક્ષ, જેને ગેમ ટ્રી કહેવાય છે રમત વૃક્ષના દરેક ટર્મિનલ (પર્ણ) નોડમાં ચૂકવણીનો એન-ટુપલ હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે દરેક સંભવિત રમતના અંતે દરેક ખેલાડી માટે એક ચૂકવણી હોય છે એન + 1 સબસેટ્સમાં ગેમ ટ્રીના નોન-ટર્મિનલ નોડ્સનું વિભાજન, દરેક (તર્કસંગત) ખેલાડી માટે એક, અને ચાન્સ (અથવા નેચર) નામના કાલ્પનિક ખેલાડી માટે વિશેષ સબસેટ સાથે. દરેક ખેલાડીના નોડ્સના સબસેટને "ખેલાડીના નોડ્સ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. (સંપૂર્ણ માહિતીની રમતમાં આમ ચાન્સ નોડ્સનો ખાલી સમૂહ હોય છે.) ચાન્સ પ્લેયરના દરેક નોડમાં તેની બહારની ધાર પર સંભાવના વિતરણ હોય છે. તર્કસંગત ખેલાડીના ગાંઠોના દરેક સમૂહને માહિતી સમૂહોમાં વધુ વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે ચાલ કરતી વખતે ખેલાડી માટે ચોક્કસ પસંદગીઓને અવિભાજ્ય બનાવે છે, તે અર્થમાં કેઃ સમાન માહિતી સમૂહના કોઈપણ બે ગાંઠોની બહારની ધાર વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય છે-આમ માહિતી સમૂહની તમામ બહારની ધારોનો સમૂહ સમકક્ષતા વર્ગોમાં વિભાજિત થાય છે, દરેક વર્ગ કોઈક સમયે ખેલાડીની ચાલ માટે સંભવિત પસંદગીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે-, અને વૃક્ષમાં દરેક (નિર્દેશિત) માર્ગ મૂળથી ટર્મિનલ નોડ સુધી દરેક માહિતી સેટને પાર કરી શકે છે એકવાર ઉપરોક્ત પરિમાણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ રમતનું સંપૂર્ણ વર્ણન ખેલાડીઓમાં સામાન્ય જ્ઞાન છે. ચાન્સ સાથે જોડાયેલા કોઈપણ નોન-ટર્મિનલ નોડ પર, સંભાવના વિતરણ અનુસાર આઉટગોઇંગ શાખા પસંદ કરવામાં આવે છે. કોઈપણ તર્કસંગત ખેલાડીના નોડ પર, ખેલાડીએ ધાર માટે સમકક્ષતા વર્ગોમાંથી એક પસંદ કરવો આવશ્યક છે, જે ચોક્કસપણે એક આઉટગોઇંગ ધાર નક્કી કરે છે સિવાય કે (સામાન્ય રીતે) ખેલાડીને ખબર નથી હોતી કે કયું અનુસરવામાં આવી રહ્યું છે. (તે બિંદુ સુધી દરેક અન્ય ખેલાડીની પસંદગીઓ જાણતો બહારનો નિરીક્ષક, અને પ્રકૃતિની ચાલની અનુભૂતિ, ચોક્કસપણે ધાર નક્કી કરી શકે છે.) આમ ખેલાડી માટે શુદ્ધ વ્યૂહરચનામાં પસંદગીનો સમાવેશ થાય છે-દરેક માહિતી સમૂહ (તેના) માટે ચોક્કસપણે એક વર્ગની આઉટગોઇંગ ધાર પસંદ કરવી. સંપૂર્ણ માહિતીની રમતમાં, માહિતી સમૂહો સિંગલટન હોય છે. ચાન્સ નોડ્સ સાથેની રમતોમાં ચૂકવણીનું અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું જોઈએ તે ઓછું સ્પષ્ટ છે. એવું માનવામાં આવે છે કે દરેક ખેલાડી પાસે દરેક રમતના પરિણામ માટે વ્યાખ્યાયિત વોન ન્યુમેન-મોર્ગનસ્ટર્ન ઉપયોગિતા કાર્ય છે; આ ધારણા એ છે કે દરેક તર્કસંગત ખેલાડી તેની અપેક્ષિત ઉપયોગિતા દ્વારા પ્રાથમિક રેન્ડમ પરિણામનું મૂલ્યાંકન કરશે. ઉપરોક્ત પ્રસ્તુતિ, જ્યારે ગણિતના માળખાને ચોક્કસપણે વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે જેના પર રમત રમવામાં આવે છે, તેમ છતાં રમત કેવી રીતે રમવામાં આવે છે તે વિશેના ઔપચારિક નિવેદનોની વધુ તકનીકી ચર્ચા જેમ કે "ખેલાડી નિર્ણય લેતી વખતે સમાન માહિતી સેટમાં ગાંઠો વચ્ચે તફાવત કરી શકતો નથી". આને જ્ઞાનાત્મક મોડલ તર્કનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ બનાવી શકાય છે; વિગતો માટે જુઓ. રમતના વૃક્ષ પર સંપૂર્ણ માહિતી ધરાવતી બે ખેલાડીઓની રમત (સંયુક્ત રમત સિદ્ધાંત અને કૃત્રિમ બુદ્ધિમાં વ્યાખ્યાયિત) ને પરિણામો સાથે વ્યાપક સ્વરૂપની રમત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. જીતવું, હારવું અથવા ડ્રો કરવું). આવી રમતોના ઉદાહરણોમાં ટિક-ટેક-ટો, ચેસ અને અનંત ચેસનો સમાવેશ થાય છે. બેકગેમનની જેમ એક્સપેક્ટ મિનિમેક્સ વૃક્ષ પરની રમતમાં કોઈ અપૂર્ણ માહિતી હોતી નથી (તમામ માહિતી સમૂહો સિંગલટન હોય છે) પરંતુ તેમાં તકની ચાલ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પોકરમાં તકની ચાલ (વ્યવહાર કરવામાં આવતા કાર્ડ્સ) અને અપૂર્ણ માહિતી (અન્ય ખેલાડીઓ દ્વારા ગુપ્ત રીતે રાખવામાં આવતા કાર્ડ્સ) બંને હોય છે. સંપૂર્ણ અને સંપૂર્ણ માહિતી એક સંપૂર્ણ વ્યાપક સ્વરૂપની રજૂઆત સ્પષ્ટ કરે છેઃ દરેક ખેલાડી માટે રમતના ખેલાડીઓએ દરેક ખેલાડી તેમની દરેક ચાલમાં શું કરી શકે છે તે ખસેડવાની દરેક તક હોય છે જે દરેક ખેલાડી જાણે છે કે દરેક ચાલ માટે દરેક ખેલાડી દ્વારા દરેક સંભવિત સંયોજન માટે મેળવેલ વળતર ચાલ જમણી બાજુની રમતમાં બે ખેલાડીઓ હોય છેઃ 1 અને 2. દરેક નોન-ટર્મિનલ નોડની સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે તે નિર્ણય નોડ કયા ખેલાડી સાથે સંબંધિત છે. દરેક ટર્મિનલ નોડ દ્વારા સંખ્યાઓ ખેલાડીઓને ચૂકવણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (દા. ત. 2, 1 એ ખેલાડી 1 ને 2 નો પગાર અને ખેલાડી 2 ને 1 નો પગાર રજૂ કરે છે. આલેખની દરેક ધાર પરના લેબલ એ ક્રિયાનું નામ છે જે ધાર રજૂ કરે છે. પ્રારંભિક નોડ ખેલાડી 1 નો છે, જે સૂચવે છે કે ખેલાડી 1 પહેલા ચાલે છે. વૃક્ષ અનુસાર રમત નીચે મુજબ છેઃ ખેલાડી 1 યુ અને ડી વચ્ચે પસંદ કરે છે; ખેલાડી 2 ખેલાડી 1 ની પસંદગીનું નિરીક્ષણ કરે છે અને પછી યુ અને ડી વચ્ચે પસંદ કરે છે. ચૂકવણી વૃક્ષમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી છે. વૃક્ષના ચાર અંતિમ ગાંઠો દ્વારા રજૂ કરાયેલા ચાર પરિણામો છેઃ (U, U '), (U, D'), (D, U ') અને (D, D'). દરેક પરિણામ સાથે સંકળાયેલ ચૂકવણી અનુક્રમે નીચે મુજબ (0,0), (2,1), (1,2) અને (3,1) છે. જો ખેલાડી 1 ડી રમે છે, તો ખેલાડી 2 તેમની ચૂકવણી વધારવા માટે યુ રમશે અને તેથી ખેલાડી 1 ને ફક્ત 1 જ મળશે. જો કે, જો ખેલાડી 1 યુ રમે છે, તો ખેલાડી 2 'ડી' રમીને તેમની ચૂકવણીને મહત્તમ કરે છે અને ખેલાડી 1 ને 2 મળે છે. ખેલાડી 1 2 થી 1 પસંદ કરે છે અને તેથી યુ રમશે અને ખેલાડી 2 ડી રમશે. આ સબગેમ સંપૂર્ણ સંતુલન છે. અપૂર્ણ માહિતી આ રીતે રમતનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાનો ફાયદો એ છે કે રમતનો ક્રમ શું છે તે સ્પષ્ટ છે. વૃક્ષ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે ખેલાડી 1 પહેલા ચાલે છે અને ખેલાડી 2 આ ચાલનું નિરીક્ષણ કરે છે. જો કે, કેટલીક રમતોમાં આ રીતે રમત થતી નથી. એક ખેલાડી હંમેશાં બીજાની પસંદગીનું નિરીક્ષણ કરતો નથી (ઉદાહરણ તરીકે, ચાલ એક સાથે હોઈ શકે છે અથવા ચાલ છુપાવી શકાય છે). માહિતી સમૂહ એ નિર્ણય નોડ્સનો સમૂહ છે જેમ કેઃ સમૂહમાં દરેક નોડ એક ખેલાડીનો છે. જ્યારે રમત માહિતી સમૂહ સુધી પહોંચે છે, ત્યારે જે ખેલાડી આગળ વધવા જઈ રહ્યો હોય તે માહિતી સમૂહમાં ગાંઠો વચ્ચે તફાવત કરી શકતો નથી; એટલે કે. જો માહિતી સમૂહમાં એકથી વધુ નોડ હોય, તો જે ખેલાડીનો તે સમૂહ છે તે જાણતો નથી કે સમૂહમાં કયા નોડ સુધી પહોંચી ગયો છે. વ્યાપક સ્વરૂપમાં, માહિતી સમૂહને તે સમૂહમાં તમામ ગાંઠોને જોડતી બિંદુવાળી રેખા દ્વારા અથવા કેટલીકવાર તે સમૂહમાં તમામ ગાંઠોની આસપાસ દોરેલા લૂપ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો કોઈ રમતમાં એકથી વધુ સભ્યો સાથે માહિતી સેટ હોય તો તે રમતમાં અપૂર્ણ માહિતી હોવાનું કહેવાય છે. સંપૂર્ણ માહિતી ધરાવતી રમત એવી છે કે રમતના કોઈપણ તબક્કે, દરેક ખેલાડી જાણે છે કે રમતમાં અગાઉ શું થયું છે; એટલે કે. દરેક માહિતી સમૂહ સિંગલટન સમૂહ છે. સંપૂર્ણ માહિતી વિનાની કોઈપણ રમતમાં અપૂર્ણ માહિતી હોય છે. જમણી બાજુની રમત ઉપરની રમત જેવી જ છે સિવાય કે તે ખેલાડી 2 ને ખબર નથી કે જ્યારે ખેલાડી 1 રમવા આવે ત્યારે શું કરે છે. વર્ણવેલ પ્રથમ રમતમાં સંપૂર્ણ માહિતી છે; જમણી બાજુની રમતમાં નથી. જો બંને ખેલાડીઓ સમજદાર હોય અને બંને જાણે કે બંને ખેલાડીઓ સમજદાર છે અને કોઈપણ ખેલાડી દ્વારા જે બધું જાણીતું છે તે દરેક ખેલાડી દ્વારા જાણીતું છે (એટલે કે. ખેલાડી 1 જાણે છે કે ખેલાડી 2 જાણે છે કે ખેલાડી 1 તર્કસંગત છે અને ખેલાડી 2 આ જાણે છે, વગેરે. અને અનંત), પ્રથમ રમતમાં રમત નીચે મુજબ હશેઃ ખેલાડી 1 જાણે છે કે જો તેઓ યુ રમશે, તો ખેલાડી 2 ડી રમશે (કારણ કે ખેલાડી 2 માટે 1 ની ચૂકવણી 0 ની ચૂકવણી કરતાં વધુ સારી છે) અને તેથી ખેલાડી 1 ને 2 પ્રાપ્ત થશે. જો કે, જો ખેલાડી 1 ડી રમે છે, તો ખેલાડી 2 યુ રમશે (કારણ કે ખેલાડી 2 માટે 2 ની ચૂકવણી 1 ની ચૂકવણી કરતાં વધુ સારી છે) અને ખેલાડી 1 ને 1 પ્રાપ્ત થશે. તેથી, પ્રથમ રમતમાં, સંતુલન (યુ, ડી ') હશે કારણ કે ખેલાડી 1 2 થી 1 મેળવવાનું પસંદ કરે છે અને તેથી યુ રમશે અને તેથી ખેલાડી 2 ડી' રમશે. બીજી રમતમાં તે ઓછું સ્પષ્ટ છેઃ ખેલાડી 2 ખેલાડી 1 ની ચાલનું નિરીક્ષણ કરી શકતો નથી. ખેલાડી 1 એ ખેલાડી 2 ને મૂર્ખ બનાવવા માંગે છે કે જ્યારે તેઓ ખરેખર ડી રમ્યા હોય ત્યારે તેઓએ યુ રમ્યો છે જેથી ખેલાડી 2 ડી રમશે અને ખેલાડી 1 ને 3 મળશે. હકીકતમાં બીજી રમતમાં એક સંપૂર્ણ બાયેસિયન સંતુલન હોય છે જ્યાં ખેલાડી 1 ડી રમે છે અને ખેલાડી 2 યુ રમે છે અને ખેલાડી 2 એવી માન્યતા ધરાવે છે કે ખેલાડી 1 ચોક્કસપણે ડી રમશે. આ સંતુલનમાં, દરેક વ્યૂહરચના માન્ય માન્યતાઓને ધ્યાનમાં રાખીને તર્કસંગત છે અને દરેક માન્યતા રમાયેલી વ્યૂહરચનાઓ સાથે સુસંગત છે. નોંધ લો કે કેવી રીતે માહિતીની અપૂર્ણતા રમતના પરિણામને બદલે છે. નેશ સંતુલન માટે આ રમતને વધુ સરળતાથી ઉકેલવા માટે, તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ એક સાથે/ક્રમિક રમત હોવાથી, ખેલાડી એક અને ખેલાડી બે દરેકની બે વ્યૂહરચનાઓ હોય છે. ખેલાડી 1 ની વ્યૂહરચનાઓઃ {U, D} ખેલાડી 2 ની વ્યૂહરચનાઓઃ {U ', D'} અમારી પાસે ચાલના દરેક સંયોજન માટે અનન્ય ચૂકવણી સાથે બે બાય બે મેટ્રિક્સ હશે. સામાન્ય સ્વરૂપની રમતનો ઉપયોગ કરીને, હવે રમતને હલ કરવી અને બંને ખેલાડીઓ માટે પ્રબળ વ્યૂહરચનાઓ ઓળખવી શક્ય છે. જો ખેલાડી 1 ઉપર (U) રમે છે, તો ખેલાડી 2 નીચે (D ') રમવાનું પસંદ કરે છે (પેઓફ 1> 0) જો ખેલાડી 1 નીચે (D) રમે છે, તો ખેલાડી 2 ઉપર (U') રમવાનું પસંદ કરે છે (પેઓફ 2> 1) જો ખેલાડી 2 ઉપર (U ') રમે છે, તો ખેલાડી 1 નીચે (D) રમવાનું પસંદ કરે છે (પેઓફ 1> 0) જો ખેલાડી 2 નીચે (D') રમે છે, તો ખેલાડી 1 નીચે (D) રમવાનું પસંદ કરે છે (3> 2) આ પસંદગીઓને મેટ્રિક્સની અંદર ચિહ્નિત કરી શકાય છે, અને કોઈપણ બૉક્સ જ્યાં બંને ખેલાડીઓની પસંદગી હોય તે નાશ સંતુલન પ્રદાન કરે છે. આ ચોક્કસ રમતમાં (1,2) ની ચૂકવણી સાથે (D, U ') નો એક જ ઉકેલ છે. અનંત ક્રિયા જગ્યાઓ અને અપૂર્ણ માહિતી ધરાવતી રમતોમાં, જો જરૂરી હોય તો, ઉપર વર્ણવેલ ચાપની પાછળના (બિન-નોડલ) અંતિમ બિંદુઓને જોડતી બિંદુવાળી રેખા દાખલ કરીને અથવા ચાપને જ ડેશ કરીને બિન-સિંગલટન માહિતી સમૂહો રજૂ કરવામાં આવે છે. ઉપર વર્ણવેલ સ્ટેકલબર્ગ સ્પર્ધામાં, જો બીજા ખેલાડીએ પ્રથમ ખેલાડીની ચાલનું અવલોકન ન કર્યું હોત તો રમત હવે સ્ટેકલબર્ગ મોડેલમાં બંધબેસતું ન હોત; તે કોર્નોટ સ્પર્ધા હશે. અપૂર્ણ માહિતી એવી સ્થિતિ હોઈ શકે છે કે ખેલાડીને રમતની ચૂકવણી શું છે અથવા તેમના વિરોધીઓ કેવા પ્રકારનાં છે તે બરાબર ખબર નથી. આ પ્રકારની રમતમાં અધૂરી માહિતી હોય છે. વ્યાપક સ્વરૂપમાં તેને કહેવાતા હર્સાન્યી પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ પરંતુ અપૂર્ણ માહિતી સાથેની રમત તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. આ પરિવર્તન રમતમાં પ્રકૃતિની પસંદગી અથવા ભગવાનની પસંદગીની કલ્પનાનો પરિચય આપે છે. નોકરીના અરજદારની ભરતી કરવી કે નહીં તે ધ્યાનમાં લેતા નોકરીદાતાની બનેલી રમતનો વિચાર કરો. નોકરીના અરજદારની ક્ષમતા બે બાબતોમાંથી એક હોઈ શકે છેઃ ઉચ્ચ કે નિમ્ન. તેમની ક્ષમતાનું સ્તર અવ્યવસ્થિત છે; તેઓ ક્યાં તો સંભાવના 1/3 સાથે ઓછી ક્ષમતા ધરાવે છે અથવા સંભાવના 2/3 સાથે ઉચ્ચ ક્ષમતા ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, તે સંભાવનાઓ અનુસાર અરજદારની ક્ષમતા પસંદ કરનાર અન્ય ખેલાડી તરીકે પ્રકૃતિનું મોડેલ બનાવવું અનુકૂળ છે. જોકે કુદરત પાસે કોઈ વળતર નથી. પ્રકૃતિની પસંદગી રમતના વૃક્ષમાં બિન-ભરેલા નોડ દ્વારા રજૂ થાય છે. પ્રકૃતિની પસંદગીના નોડમાંથી આવતી ધારને તે જે ઘટનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તેની સંભાવના સાથે લેબલ કરવામાં આવે છે. ડાબી બાજુની રમત સંપૂર્ણ માહિતીમાંની એક છે (તમામ ખેલાડીઓ અને ચૂકવણીઓ દરેકને ખબર છે) પરંતુ અપૂર્ણ માહિતીની (નોકરીદાતાને ખબર નથી કે પ્રકૃતિની ચાલ શું હતી.) પ્રારંભિક નોડ કેન્દ્રમાં છે અને તે ભરેલો નથી, તેથી પ્રકૃતિ પહેલા આગળ વધે છે. કુદરત સમાન સંભાવના સાથે ખેલાડી 1 નો પ્રકાર પસંદ કરે છે (જે આ રમતમાં રમાયેલી પેટા રમતમાં ચૂકવણી પસંદ કરવા સમાન છે), ક્યાં તો ટી 1 અથવા ટી 2. ખેલાડી 1 પાસે આ માટે અલગ માહિતી સમૂહ છે; એટલે કે. ખેલાડી 1 જાણે છે કે તેઓ કયા પ્રકારનાં છે (આ કેસ હોવો જરૂરી નથી). જોકે, ખેલાડી 2 પ્રકૃતિની પસંદગીનું પાલન કરતો નથી. તેઓ ખેલાડી 1 ના પ્રકારને જાણતા નથી; જો કે, આ રમતમાં તેઓ ખેલાડી 1 ની ક્રિયાઓનું નિરીક્ષણ કરે છે; એટલે કે. સંપૂર્ણ માહિતી છે. ખરેખર, હવે સંપૂર્ણ માહિતીની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં ફેરફાર કરવો યોગ્ય છેઃ રમતના દરેક તબક્કે, દરેક ખેલાડી જાણે છે કે અન્ય ખેલાડીઓ દ્વારા શું રમવામાં આવ્યું છે. ખાનગી માહિતીના કિસ્સામાં, દરેક ખેલાડી જાણે છે કે પ્રકૃતિ દ્વારા શું રમવામાં આવ્યું છે. માહિતી સમૂહને તૂટેલી રેખાઓ દ્વારા પહેલાની જેમ રજૂ કરવામાં આવે છે. આ રમતમાં, જો કુદરત ખેલાડી 1 ના પ્રકાર તરીકે ટી 1 પસંદ કરે છે, તો રમાયેલી રમત વર્ણવેલ પ્રથમ રમત જેવી જ હશે, સિવાય કે ખેલાડી 2 તેને જાણતો નથી (અને હકીકત એ છે કે આ તેમની માહિતીને કાપીને તેને સબગેમ સ્થિતિમાંથી ગેરલાયક ઠેરવે છે). ત્યાં એક અલગ સંપૂર્ણ બાયેસિયન સંતુલન છે; એટલે કે. એક સંતુલન જેમાં વિવિધ પ્રકારો વિવિધ વસ્તુઓ કરે છે. જો બંને પ્રકારો એક જ ક્રિયા (પૂલિંગ) કરે, તો સંતુલન ટકાવી શકાતું નથી. જો બંને ડી રમે છે, તો ખેલાડી 2 માત્ર એવી માન્યતા બનાવી શકે છે કે તેઓ સંભાવના 1/2 સાથે સેટ કરેલી માહિતીમાં કોઈપણ નોડ પર છે (કારણ કે આ કોઈપણ પ્રકાર જોવાની તક છે). ખેલાડી 2 'ડી' રમીને તેમની ચૂકવણીને મહત્તમ કરે છે. જો કે, જો તેઓ 'ડી' રમે છે, તો પ્રકાર 2 યુ રમવાનું પસંદ કરશે. આ સંતુલન ન હોઈ શકે. જો બંને પ્રકારો યુ રમે છે, તો ખેલાડી 2 ફરીથી એવી માન્યતા બનાવે છે કે તેઓ સંભાવના 1/2 સાથે કોઈપણ નોડ પર છે. આ કિસ્સામાં ખેલાડી 2 'ડી' રમે છે, પરંતુ પછી પ્રકાર 1 'ડી' રમવાનું પસંદ કરે છે. જો પ્રકાર 1 'યુ' રમે છે અને પ્રકાર 2 'ડી' રમે છે, તો ખેલાડી 2 'ડી' રમશે જે પણ ક્રિયા તેઓ જુએ છે, પરંતુ પછી પ્રકાર 1 'ડી' પસંદ કરે છે. તેથી માત્ર પ્રકાર 1 'ડી' રમવા સાથે, પ્રકાર 2 'યુ' રમવા સાથે અને ખેલાડી 2 'યુ' રમવા સાથે છે જો તેઓ 'ડી' નું નિરીક્ષણ કરે અને જો તેઓ 'યુ' નું નિરીક્ષણ કરે તો રેન્ડમાઇઝિંગ કરે છે. તેમની ક્રિયાઓ દ્વારા, ખેલાડી 1 એ ખેલાડી 2 ને તેમના પ્રકારનો સંકેત આપ્યો છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ઔપચારિક રીતે, વ્યાપક સ્વરૂપમાં મર્યાદિત રમત એ એક માળખું છે જ્યાંઃ નોડ્સના સમૂહ સાથે મર્યાદિત વૃક્ષ, એક અનન્ય પ્રારંભિક નોડ, ટર્મિનલ નોડ્સનો સમૂહ (ચાલો નિર્ણય નોડ્સનો સમૂહ હોઈએ) અને તાત્કાલિક પુરોગામી કાર્ય જેના પર રમતના નિયમોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવામાં આવે છે, તે માહિતી પાર્ટીશન તરીકે ઓળખાતું પાર્ટીશન છે, તે દરેક માહિતી સમૂહ માટે ઉપલબ્ધ ક્રિયાઓનો સમૂહ છે જે તમામ ક્રિયાઓના સમૂહ પર પાર્ટીશન બનાવે છે. એક ક્રિયા પાર્ટીશન છે જે દરેક નોડને એક જ ક્રિયા સાથે સાંકળે છે, પરિપૂર્ણ કરે છેઃ, ઓનનું પ્રતિબંધ એ બાયજેક્શન છે, જેમાં તેના અનુગામી નોડ્સનો સમૂહ છે. ખેલાડીઓનો મર્યાદિત સમૂહ છે, (એક વિશેષ ખેલાડી જેને કહેવાય છે) પ્રકૃતિ છે, અને માહિતી સમૂહનું ખેલાડી વિભાજન છે. ચાલો એક જ ખેલાડી બનો જે નોડ પર ચાલ કરે છે. તે પ્રકૃતિની ક્રિયાઓની સંભાવનાઓનું એક કુટુંબ છે, અને તે ચૂકવણી રૂપરેખા કાર્ય છે. અનંત એક્શન સ્પેસ એવું હોઈ શકે છે કે ખેલાડી પાસે ચોક્કસ નિર્ણય નોડમાંથી પસંદ કરવા માટે અનંત સંખ્યામાં સંભવિત ક્રિયાઓ હોય. આનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે વપરાયેલ ઉપકરણ એ એક ચાપ છે જે બે ધારને જોડે છે જે પ્રશ્નમાં નિર્ણય નોડમાંથી બહાર નીકળે છે. જો ક્રિયા જગ્યા બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સાતત્ય હોય, તો નીચલા અને ઉપલા સીમાંકન નંબરો અનુક્રમે ચાપના તળિયે અને ટોચ પર મૂકવામાં આવે છે, સામાન્ય રીતે ચલ સાથે જેનો ઉપયોગ ચૂકવણી વ્યક્ત કરવા માટે થાય છે. નિર્ણય ગાંઠોની અનંત સંખ્યા જે પરિણમી શકે છે તે ચાપના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવેલા એક નોડ દ્વારા રજૂ થાય છે. સમાન ઉપકરણનો ઉપયોગ ક્રિયા જગ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે થાય છે, જે અનંત ન હોવા છતાં, દરેક ક્રિયા માટે ધાર સાથે રજૂ કરવા માટે અવ્યવહારુ સાબિત કરવા માટે પૂરતા મોટા હોય છે. ડાબી બાજુનું વૃક્ષ આવી રમતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, ક્યાં તો અનંત ક્રિયા જગ્યાઓ સાથે (0 અને 5000 વચ્ચેની કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા) અથવા ખૂબ મોટી ક્રિયા જગ્યાઓ સાથે (કદાચ 0 અને 5000 વચ્ચેની કોઈપણ પૂર્ણાંક). આ અન્યત્ર સ્પષ્ટ કરવામાં આવશે. અહીં, એવું માનવામાં આવશે કે તે પહેલું છે અને, નક્કરતા માટે, એવું માનવામાં આવશે કે તે સ્ટેકેલબર્ગ સ્પર્ધામાં સંકળાયેલી બે પેઢીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પેઢીઓને ચૂકવણી ડાબી બાજુએ રજૂ કરવામાં આવે છે, તેમની વ્યૂહરચના સાથે અને તરીકે અને કેટલાક સ્થિરાંકો તરીકે (અહીં દરેક પેઢી માટે સીમાંત ખર્ચ). આ રમતનો સબગેમ સંપૂર્ણ નેશ સંતુલન અનુયાયીના (પેઢી 2) વ્યૂહરચના ચલ () ના સંદર્ભમાં દરેક ચૂકવણી કાર્યનું પ્રથમ આંશિક વ્યુત્પન્ન લઈને અને તેનું શ્રેષ્ઠ પ્રતિસાદ કાર્ય શોધીને શોધી શકાય છે. નેતા માટે આ જ પ્રક્રિયા કરી શકાય છે સિવાય કે તેના નફાની ગણતરીમાં, તે જાણે છે કે પેઢી 2 ઉપરોક્ત પ્રતિસાદ આપશે અને તેથી આને તેની મહત્તમ સમસ્યામાં બદલી શકાય છે. તે પછી પ્રથમ વ્યુત્પન્ન, ઉપજ લઈને ઉકેલ લાવી શકે છે. આને પેઢી 2 ના શ્રેષ્ઠ પ્રતિસાદ કાર્યમાં ફીડ કરવું, અને તે સબગેમ સંપૂર્ણ નેશ સંતુલન છે. સંપૂર્ણ માહિતી સંયોજન રમત સિદ્ધાંત સ્વ-પુષ્ટિ સંતુલન શ્રેણીબદ્ધ રમત સંકેત ઉકેલ ખ્યાલ સંદર્ભો ડ્રેશર એમ. (1961) પણ જુઓ. વ્યૂહરચનાની રમતોનું ગણિતઃ સિદ્ધાંત અને ઉપયોગો (Ch4: વ્યાપક સ્વરૂપમાં રમતો, pp 74-78). રેન્ડ કોર્પ. ફુડેનબર્ગ ડી અને ટીરોલ જે. (1991) રમત સિદ્ધાંત (Ch3 એક્સ્ટેન્સિવ ફોર્મ ગેમ્સ, pp 67-106). એમઆઇટી પ્રેસ. . 88 પાનાનો ગાણિતિક પરિચય; પ્રકરણ 4 અને 5 જુઓ. ઘણી યુનિવર્સિટીઓમાં મફત ઓનલાઇન. લુસ આર. ડી. અને રાઇફા એચ. (1957). રમતો અને નિર્ણયોઃ પરિચય અને નિર્ણાયક સર્વેક્ષણ. (Ch3: વ્યાપક અને સામાન્ય સ્વરૂપો, pp 39-55). વિલી ન્યૂ યોર્ક. ઓસ્બોર્ન એમજે અને રુબિનસ્ટીન એ. 1994. રમત સિદ્ધાંતમાં એક અભ્યાસક્રમ (સંપૂર્ણ માહિતી સાથે Ch6 વિસ્તૃત રમત, pp. 89-115). એમઆઇટી પ્રેસ. . ગણતરીના દ્રષ્ટિકોણથી એક વ્યાપક સંદર્ભ; પ્રકરણ 5 જુઓ. નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. વધુ વાંચન, 6.1, "ગેમ થિયરીમાં આપત્તિઓ" અને 7.2 "માપનક્ષમતા (નિર્ધારકતાનો સ્વયંસિદ્ધ)", મર્યાદિત-કેસ વ્યાખ્યાને અનંત સંખ્યામાં વિકલ્પો (અથવા ચાલ) સુધી વિસ્તારવામાં સમસ્યાઓની ચર્ચા કરે છે ઐતિહાસિક કાગળોમાં પ્રિન્સટન ખાતે 1952 થી કુહ્નના પ્રવચનો છે (સત્તાવાર રીતે અગાઉ અપ્રકાશિત, પરંતુ ફોટોકોપી તરીકે પરિભ્રમણમાં) ગેમ થિયરી ગેમ વર્ગો