Probability measure
ગણિતમાં, સંભાવના માપ એ વાસ્તવિક મૂલ્યનું કાર્ય છે જે સંભાવના જગ્યામાં ઘટનાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે ગણતરીપાત્ર ઉમેરણ જેવા માપ ગુણધર્મોને સંતોષે છે. સંભાવના માપ અને માપની વધુ સામાન્ય કલ્પના (જેમાં વિસ્તાર અથવા કદ જેવી વિભાવનાઓનો સમાવેશ થાય છે) વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે સંભાવના માપને સમગ્ર સંભાવના જગ્યાને મૂલ્ય 1 સોંપવું આવશ્યક છે. સાહજિક રીતે, એડિટિવિટી પ્રોપર્ટી કહે છે કે માપ દ્વારા બે અસંબદ્ધ (પરસ્પર વિશિષ્ટ) ઘટનાઓના જોડાણને સોંપવામાં આવેલી સંભાવના ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો હોવો જોઈએ; ઉદાહરણ તરીકે, પાસા ફેંકવામાં પરિણામ "1 અથવા 2" ને સોંપવામાં આવેલું મૂલ્ય પરિણામો "1" અને "2" ને સોંપવામાં આવેલા મૂલ્યોનો સરવાળો હોવો જોઈએ. ભૌતિકશાસ્ત્રથી માંડીને નાણા અને જીવવિજ્ઞાન સુધીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સંભાવના પગલાંનો ઉપયોગ થાય છે. વ્યાખ્યા સંભાવના જગ્યા પર સંભાવના માપ તરીકે સમૂહ કાર્ય માટેની જરૂરિયાતો એ છે કેઃ ખાલી સમૂહ માટે અને સમગ્ર જગ્યા માટે પાછા આવતા એકમ અંતરાલમાં પરિણામો પરત કરવા આવશ્યક છે. ગણતરીપાત્ર ઉમેરણ ગુણધર્મને સંતોષવો આવશ્યક છે કે જે જોડી મુજબના અસંબદ્ધ સમૂહોના તમામ ગણતરીપાત્ર સંગ્રહો માટે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવનાઓ સાથે 1,2 અને 3 ના ત્રણ ઘટકો આપવામાં આવ્યા છે અને જમણી બાજુના આકૃતિમાં જે મૂલ્ય સોંપવામાં આવ્યું છે તે છે. ઘટનાઓના આંતરછેદ પર આધારિત શરતી સંભાવના આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં સુધી શૂન્ય ન હોય ત્યાં સુધી સંભાવના માપનની જરૂરિયાતોને સંતોષે છે. સંભાવના પગલાં અસ્પષ્ટ પગલાંની વધુ સામાન્ય કલ્પનાથી અલગ છે જેમાં અસ્પષ્ટ મૂલ્યોનો સરવાળો કરવાની જરૂર નથી અને એડિટિવ પ્રોપર્ટીને સેટ સમાવેશના આધારે ઓર્ડર સંબંધ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ઉદાહરણ એપ્લિકેશન્સ બજારના પગલાં કે જે વાસ્તવિક બજારની હિલચાલના આધારે નાણાકીય બજારની જગ્યાઓને સંભાવનાઓ સોંપે છે તે સંભાવના પગલાંના ઉદાહરણો છે જે ગાણિતિક નાણામાં રસ ધરાવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, નાણાકીય વ્યુત્પન્નની કિંમતમાં. દાખલા તરીકે, જોખમ-તટસ્થ માપ એ સંભાવના માપ છે જે ધારે છે કે અસ્કયામતોની વર્તમાન કિંમત એ જ જોખમ-તટસ્થ માપના સંદર્ભમાં લેવામાં આવેલી ભાવિ ચૂકવણીનું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે (એટલે કે. અનુરૂપ જોખમ તટસ્થ ઘનતા કાર્યનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે), અને જોખમ મુક્ત દરે ડિસ્કાઉન્ટ આપવામાં આવે છે. જો કોઈ અનન્ય સંભાવના માપ હોય જેનો ઉપયોગ બજારમાં અસ્કયામતોની કિંમત નક્કી કરવા માટે થવો જોઈએ, તો બજારને સંપૂર્ણ બજાર કહેવામાં આવે છે. બધા પગલાં કે જે સહજ ભાવે તક અથવા સંભાવનાને રજૂ કરે છે તે સંભાવનાના પગલાં નથી. દાખલા તરીકે, આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં સિસ્ટમનો મૂળભૂત ખ્યાલ એક માપ જગ્યા હોવા છતાં, આવા પગલાં હંમેશા સંભાવનાના પગલાં નથી હોતા. સામાન્ય રીતે, આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જો આપણે "સિસ્ટમની સંભાવના" સ્વરૂપના વાક્યોને ધ્યાનમાં લઈએ તો સિસ્ટમની ભૂમિતિ હંમેશા સુસંગતતા હેઠળ સંભાવના માપનની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જતી નથી, જો કે તે માત્ર એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા ધરાવતી સિસ્ટમોના કિસ્સામાં આવું કરી શકે છે. સંભવિતતા માપનો ઉપયોગ ગાણિતિક જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે. દાખલા તરીકે, તુલનાત્મક અનુક્રમ વિશ્લેષણમાં સંભાવના માપને એ સંભાવના માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે અનુક્રમમાં એમિનો એસિડ માટે એક પ્રકાર સ્વીકાર્ય હોઈ શકે છે. અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સને-મૂલ્યવાન સંભાવના પગલાં તરીકે સમજી શકાય છે, જે પગલાં પર આધારિત ઘણા સાહજિક પુરાવાઓ માટે પરવાનગી આપે છે. દાખલા તરીકે, હિંદમાનનો પ્રમેય આ પગલાંની વધુ તપાસ અને ખાસ કરીને તેમના કન્વોલ્યુશનથી સાબિત થઈ શકે છે. આ પણ જુઓ સંભાવના વિતરણ સંદર્ભો વધુ વાંચન સંભાવના માપ, કાર્ય અને વિતરણને અલગ પાડવું, ગણિત માળખું વિનિમય બાહ્ય કડીઓ પ્રયોગ (સંભાવના સિદ્ધાંત) પગલાં (માપ સિદ્ધાંત) pl: મિયારા સંભાવના સિદ્ધાંત