Unimodality
ગણિતમાં, એકરૂપતાનો અર્થ થાય છે એક અનન્ય પદ્ધતિ ધરાવવી. વધુ સામાન્ય રીતે, એકરૂપતાનો અર્થ એ છે કે કોઈ ગાણિતિક વસ્તુનું માત્ર એક જ ઉચ્ચતમ મૂલ્ય છે, જેને કોઈક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. યુનિમોડલ સંભાવના વિતરણ આંકડામાં, યુનિમોડલ સંભાવના વિતરણ અથવા યુનિમોડલ વિતરણ એ સંભાવના વિતરણ છે જે એક જ શિખર ધરાવે છે. આ સંદર્ભમાં "સ્થિતિ" શબ્દ વિતરણની કોઈપણ ટોચને સંદર્ભિત કરે છે, માત્ર સ્થિતિની કડક વ્યાખ્યાને નહીં જે આંકડામાં સામાન્ય છે. જો એક જ પદ્ધતિ હોય, તો વિતરણ કાર્યને "યુનિમોડલ" કહેવામાં આવે છે. જો તેમાં વધુ સ્થિતિઓ હોય તો તે "બાયમોડલ" (2), "ટ્રાઇમોડલ" (3), વગેરે, અથવા સામાન્ય રીતે, "મલ્ટીમોડલ" છે. આકૃતિ 1 સામાન્ય વિતરણને સમજાવે છે, જે એકરૂપ છે. એકરૂપ વિતરણના અન્ય ઉદાહરણોમાં કોચી વિતરણ, વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ, ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ અને ઘાતાંકીય વિતરણનો સમાવેશ થાય છે. અલગ વિતરણોમાં, દ્વિપદી વિતરણ અને પોઈસન વિતરણને એકરૂપ તરીકે જોઈ શકાય છે, જોકે કેટલાક પરિમાણો માટે તેઓ સમાન સંભાવના સાથે બે સંલગ્ન મૂલ્યો ધરાવી શકે છે. આકૃતિ 2 અને આકૃતિ 3 બાયમોડલ વિતરણને સમજાવે છે. અન્ય વ્યાખ્યાઓ વિતરણ કાર્યોમાં એકરૂપતાની અન્ય વ્યાખ્યાઓ પણ અસ્તિત્વમાં છે. સતત વિતરણમાં, એકરૂપતાને સંચિત વિતરણ કાર્ય (સી. ડી. એફ.) ની વર્તણૂક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો સી. ડી. એફ. x <m માટે બહિર્મુખ અને x> m માટે અંતર્મુખ હોય, તો વિતરણ એકરૂપ છે, m એ સ્થિતિ છે. નોંધ લો કે આ વ્યાખ્યા હેઠળ એકસમાન વિતરણ એકસમાન છે, તેમજ અન્ય કોઈપણ વિતરણ જેમાં મૂલ્યોની શ્રેણી માટે મહત્તમ વિતરણ પ્રાપ્ત થાય છે, દા. ત. ટ્રેપેઝોઇડલ વિતરણ. સામાન્ય રીતે આ વ્યાખ્યા સ્થિતિ પર વિસંગતતા માટે પરવાનગી આપે છે; સામાન્ય રીતે સતત વિતરણમાં કોઈપણ એક મૂલ્યની સંભાવના શૂન્ય હોય છે, જ્યારે આ વ્યાખ્યા સ્થિતિ પર બિન-શૂન્ય સંભાવના અથવા "સંભાવનાના અણુ" માટે પરવાનગી આપે છે. એકરૂપતાના માપદંડને વિતરણના લાક્ષણિક કાર્ય દ્વારા અથવા તેના લાપ્લાસ-સ્ટીલ્ટજેસ પરિવર્તન દ્વારા પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. યુનિમોડલ ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની બીજી રીત સંભાવનાઓના તફાવતોના ક્રમમાં સંકેત ફેરફારોની ઘટના દ્વારા છે. જો અનુક્રમમાં બરાબર એક સંકેત ફેરફાર હોય (જ્યારે શૂન્યની ગણતરી ન થાય) તો સંભાવના સમૂહ કાર્ય સાથે અલગ વિતરણને એકરૂપ કહેવામાં આવે છે. ઉપયોગો અને પરિણામો વિતરણની એકરૂપતાના મહત્વનું એક કારણ એ છે કે તે ઘણા મહત્વપૂર્ણ પરિણામોને મંજૂરી આપે છે. કેટલીક અસમાનતાઓ નીચે આપવામાં આવી છે જે ફક્ત એકરૂપ વિતરણ માટે જ માન્ય છે. આમ, આપેલ માહિતી સમૂહ એકસમાન વિતરણમાંથી આવે છે કે નહીં તેનું મૂલ્યાંકન કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. બહુવિધ વિતરણ પરના લેખમાં એકરૂપતા માટેના કેટલાક પરીક્ષણો આપવામાં આવ્યા છે. અસમાનતા ગૌસની અસમાનતા પ્રથમ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ ગૌસની અસમાનતા છે. ગૌસની અસમાનતા એ સંભાવના પર ઉપલી સીમા આપે છે કે મૂલ્ય તેના મોડથી આપેલ કોઈપણ અંતર કરતાં વધુ છે. આ અસમાનતા એકવિધતા પર આધારિત છે. વિસોચાન્સ્કી-પેટુનિન અસમાનતા એ વિસોચાન્સ્કી-પેટુનિન અસમાનતા છે, જે ચેબીશેવ અસમાનતાનું શુદ્ધિકરણ છે. ચેબીશેવ અસમાનતા બાંહેધરી આપે છે કે કોઈપણ સંભાવના વિતરણમાં, "લગભગ તમામ" મૂલ્યો સરેરાશ મૂલ્યની "નજીક" છે. વિસોચાન્સ્કી-પેટુનિન અસમાનતા આને વધુ નજીકના મૂલ્યો સુધી સુધારે છે, જો કે વિતરણ કાર્ય સતત અને એકરૂપ હોય. સેલ્કે અને સેલ્કે દ્વારા વધુ પરિણામો દર્શાવવામાં આવ્યા હતા. મોડ, મીડીયન અને મીન ગૌસે પણ 1823માં દર્શાવ્યું હતું કે યુનિમોડલ વિતરણ માટે અને જ્યાં મીડીયન ν છે, ત્યાં મીન એ μ છે અને ω એ મોડથી રુટ મીન સ્ક્વેર વિચલન છે. તે એકરૂપ વિતરણ માટે દર્શાવી શકાય છે કે મધ્યક ν અને સરેરાશ μ એકબીજાના પ્રમાણભૂત વિચલનો (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 ની અંદર આવેલા છે. પ્રતીકોમાં, જ્યાં |. | એ નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે. 2020 માં, બર્નાર્ડ, કાઝી અને વેન્ડફેલએ સપ્રમાણ માત્રાત્મક સરેરાશ અને સરેરાશ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર મેળવીને અગાઉની અસમાનતાને સામાન્ય બનાવી, તે નોંધવું યોગ્ય છે કે મહત્તમ અંતર ઘટાડવામાં આવે છે (એટલે કે, જ્યારે સપ્રમાણ માત્રાત્મક સરેરાશ બરાબર હોય છે), જે ખરેખર સરેરાશ માટે મજબૂત અંદાજકાર તરીકે મધ્યસ્થની સામાન્ય પસંદગીને પ્રેરિત કરે છે. તદુપરાંત, જ્યારે, બાઉન્ડ બરાબર હોય છે, જે મધ્યસ્થ અને એકરૂપ વિતરણના સરેરાશ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર છે. મધ્યસ્થ અને સ્થિતિ θ વચ્ચે સમાન સંબંધ છેઃ તેઓ એકબીજાના 31/2 ≈ 1.732 પ્રમાણભૂત વિચલનોમાં આવેલા છેઃ તે પણ દર્શાવી શકાય છે કે સરેરાશ અને સ્થિતિ એકબીજાના 31/2 ની અંદર આવેલા છેઃ સ્ક્યુનેસ અને કુર્ટોસિસ રોહતગી અને ઝેકલીએ દાવો કર્યો હતો કે યુનિમોડલ વિતરણની સ્ક્યુનેસ અને કુર્ટોસિસ અસમાનતા દ્વારા સંબંધિત છેઃ જ્યાં κ એ કુર્ટોસિસ છે અને γ એ સ્ક્યુનેસ છે. ક્લાસેન, મોક્વેલ્ડ અને વેન એસ્એ દર્શાવ્યું હતું કે આ માત્ર અમુક સેટિંગ્સમાં જ લાગુ પડે છે, જેમ કે યુનિમોડલ વિતરણોનો સમૂહ જ્યાં સ્થિતિ અને સરેરાશ એકરુપ થાય છે. તેઓએ નબળી અસમાનતા મેળવી જે તમામ એકરૂપ વિતરણોને લાગુ પડે છેઃ આ સીમા તીક્ષ્ણ છે, કારણ કે તે [0,1] પર સમાન વિતરણના સમાન-વજનના મિશ્રણ અને {0} પર અલગ વિતરણ દ્વારા પહોંચી શકાય છે. જેમ કે "મોડલ" શબ્દ ડેટા સમૂહો અને સંભાવના વિતરણને લાગુ પડે છે, અને સામાન્ય રીતે કાર્યોને નહીં, ઉપરની વ્યાખ્યાઓ લાગુ પડતી નથી. "યુનિમોડલ" ની વ્યાખ્યા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના કાર્યો સુધી પણ લંબાવવામાં આવી હતી. એક સામાન્ય વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છેઃ એક વિધેય f (x) એક એકરૂપ વિધેય છે જો અમુક મૂલ્ય m માટે, તે x ≤ m માટે એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે અને x ≤ m માટે એકવિધ રીતે ઘટી રહ્યું છે. તે કિસ્સામાં, f (x) નું મહત્તમ મૂલ્ય f (m) છે અને ત્યાં કોઈ અન્ય સ્થાનિક મહત્તમ નથી. અનિયમિતતાને સાબિત કરવી ઘણીવાર મુશ્કેલ હોય છે. એક રીત એ મિલકતની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે ફક્ત સરળ કાર્યો માટે જ યોગ્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. વ્યુત્પન્ન પર આધારિત એક સામાન્ય પદ્ધતિ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તેની સરળતા હોવા છતાં તે દરેક કાર્ય માટે સફળ થતી નથી. એકરૂપ કાર્યોના ઉદાહરણોમાં નકારાત્મક દ્વિઘાત ગુણાંક સાથેના દ્વિઘાત બહુપદી કાર્યો, તંબુ નકશા કાર્યો અને વધુ શામેલ છે. ઉપરોક્ત કેટલીકવાર એ હકીકત સાથે સંબંધિત છે કે એકવિધતા ગર્ભિત મજબૂત એકવિધતા છે. એક વિધેય f (x) એ નબળું એકરૂપ વિધેય છે જો ત્યાં એક મૂલ્ય m હોય જેના માટે તે x ≤ m માટે નબળું એકવિધ રીતે વધી રહ્યું હોય અને x ≤ m માટે નબળું એકવિધ રીતે ઘટી રહ્યું હોય. તે કિસ્સામાં, x ના મૂલ્યોની સતત શ્રેણી માટે મહત્તમ મૂલ્ય f (m) સુધી પહોંચી શકાય છે. નબળા યુનિમોડલ કાર્યનું ઉદાહરણ જે મજબૂત રીતે યુનિમોડલ નથી તે પાસ્કલના ત્રિકોણમાં દરેક અન્ય પંક્તિ છે. સંદર્ભના આધારે, યુનિમોડલ ફંક્શન એ ફંક્શનનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકે છે જેમાં મહત્તમને બદલે માત્ર એક સ્થાનિક લઘુત્તમ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થાનિક યુનિમોડલ સેમ્પલિંગ, આંકડાકીય ઓપ્ટિમાઇઝેશન કરવાની એક પદ્ધતિ, ઘણીવાર આવા કાર્ય સાથે દર્શાવવામાં આવે છે. એવું કહી શકાય કે આ વિસ્તરણ હેઠળ યુનિમોડલ કાર્ય એ એક સ્થાનિક ચરમસીમા સાથેનું કાર્ય છે. યુનિમોડલ કાર્યોનો એક મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ એ છે કે સુવર્ણ વિભાગ શોધ, ત્રિકોણીય શોધ અથવા ક્રમિક પેરાબોલિક પ્રક્ષેપણ જેવા શોધ અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને ચરમસીમા શોધી શકાય છે. અન્ય એક્સ્ટેન્શન્સ એ ફંક્શન f (x) એ "S-યુનિમોડલ" છે (જેને ઘણીવાર "S-યુનિમોડલ મેપ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) જો તેનું શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન બધા માટે નકારાત્મક હોય, તો નિર્ણાયક બિંદુ ક્યાં છે. કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં જો કોઈ કાર્ય એકરૂપ હોય તો તે કાર્યની ચરમસીમા શોધવા માટે કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ્સની રચનાને મંજૂરી આપે છે. વેક્ટર વેરિયેબલ X ના ફંક્શન f (X) ને લાગુ પડતી વધુ સામાન્ય વ્યાખ્યા એ છે કે જો એક-થી-એક ડિફરેન્શીયેબલ મેપિંગ X = G (Z) હોય, જેમ કે f (G (Z)) બહિર્મુખ હોય, તો f એકસમાન છે. સામાન્ય રીતે કોઈ વ્યક્તિ ઇચ્છે છે કે G (Z) નોન-સિંગ્યુલર જેકોબિયન મેટ્રિક્સ સાથે સતત વિકલનક્ષમ રહે. ક્વાસીકોનવેક્સ વિધેયો અને ક્વાસીકોનકેવ વિધેયો યુનિમોડાલિટીની વિભાવનાને એવા વિધેયો સુધી વિસ્તરે છે જેમની દલીલો ઉચ્ચ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાઓ સાથે સંબંધિત છે. આ પણ જુઓ બાયમોડલ વિતરણ સંદર્ભો કાર્યો અને નકશાઓ ગાણિતિક સંબંધો સંભાવના વિતરણનો સિદ્ધાંત