Jet (mathematics)
ગણિતમાં, જેટ એ એક એવી ક્રિયા છે જે વિભેદક વિધેય f લે છે અને તેના કાર્યક્ષેત્રના દરેક બિંદુ પર બહુપદી, f ની કાપેલી ટેલર બહુપદી ઉત્પન્ન કરે છે. આ જેટની વ્યાખ્યા હોવા છતાં, જેટનો સિદ્ધાંત આ બહુપદીઓને બહુપદી કાર્યોને બદલે અમૂર્ત બહુપદીઓ માને છે. આ લેખ પ્રથમ એક વાસ્તવિક ચલમાં વાસ્તવિક મૂલ્યવાન કાર્યના જેટની કલ્પનાની શોધ કરે છે, ત્યારબાદ કેટલાક વાસ્તવિક ચલ માટે સામાન્યીકરણની ચર્ચા થાય છે. તે પછી યુક્લિડિયન જગ્યાઓ વચ્ચે જેટ અને જેટ જગ્યાઓનું સખત બાંધકામ આપે છે. તે મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના જેટ વિમાનોના વર્ણન અને આ જેટ વિમાનોને આંતરિક રીતે કેવી રીતે બનાવી શકાય તેના વર્ણન સાથે સમાપ્ત થાય છે. આ વધુ સામાન્ય સંદર્ભમાં, તે વિભેદક ભૂમિતિ અને વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંત માટે જેટના કેટલાક ઉપયોગોનો સારાંશ આપે છે. યુક્લિડિયન જગ્યાઓ વચ્ચેના કાર્યોના જેટ જેટની સખત વ્યાખ્યા આપતા પહેલા, કેટલાક વિશેષ કેસોની તપાસ કરવી ઉપયોગી છે. એક-પરિમાણીય કેસ ધારો કે તે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે જે બિંદુના પડોશ U માં ઓછામાં ઓછા k + 1 વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે. પછી ટેલરના પ્રમેય દ્વારા, જ્યાં પછી બિંદુ પર f ના k-જેટને બહુપદી જેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેને સામાન્ય રીતે ચલ z માં અમૂર્ત બહુપદી તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે ચલમાં વાસ્તવિક બહુપદી કાર્યો તરીકે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, z એ એક અનિશ્ચિત ચલ છે જે જેટ વચ્ચે વિવિધ બીજગણિત કામગીરીઓ કરવા માટે પરવાનગી આપે છે. હકીકતમાં તે આધાર-બિંદુ છે જ્યાંથી વિમાનો તેમની કાર્યાત્મક નિર્ભરતા મેળવે છે. આમ, આધાર-બિંદુને બદલીને, જેટ દરેક બિંદુ પર મહત્તમ k પર ક્રમની બહુપદી આપે છે. આ જેટ અને કાપેલી ટેલર શ્રેણી વચ્ચેનો એક મહત્વપૂર્ણ વૈચારિક તફાવત દર્શાવે છેઃ સામાન્ય રીતે ટેલર શ્રેણીને તેના આધાર-બિંદુને બદલે તેના ચલ પર કાર્યાત્મક રીતે આધારિત ગણવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, જેટ્સ, ટેલર શ્રેણીના બીજગણિત ગુણધર્મોને તેમના કાર્યાત્મક ગુણધર્મોથી અલગ કરે છે. અમે લેખમાં પછીથી આ અલગતાના કારણો અને ઉપયોગો સાથે વ્યવહાર કરીશું. એક યુક્લિડિયન અવકાશમાંથી બીજા યુક્લિડિયન અવકાશમાં નકશા ધારો કે તે ઓછામાં ઓછા (k + 1) વ્યુત્પન્ન ધરાવતું એક યુક્લિડિયન અવકાશમાંથી બીજા યુક્લિડિયન અવકાશમાં કાર્ય છે. આ કિસ્સામાં, ટેલરનો પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે f નો k-જેટ પછી બહુપદી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં. જેટ વિમાનોના બીજગણિત ગુણધર્મો જેટ વિમાન વહન કરી શકે તેવી બે મૂળભૂત બીજગણિત રચનાઓ છે. પ્રથમ ઉત્પાદન માળખું છે, જોકે આખરે આ સૌથી ઓછું મહત્વનું હોવાનું બહાર આવ્યું છે. બીજું જેટની રચનાનું માળખું છે. જો વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેયોની જોડી હોય, તો આપણે તેમના જેટના ગુણાકારને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ અહીં આપણે અનિશ્ચિત z ને દબાવી દીધું છે, કારણ કે તે સમજી શકાય છે કે જેટ ઔપચારિક બહુપદી છે. આ ગુણાકાર માત્ર z, મોડ્યુલોમાં સામાન્ય બહુપદીઓનું ગુણાકાર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે રિંગમાં ગુણાકાર છે, જ્યાં બહુપદીઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ ક્રમ k + 1 ની સજાતીય છે. હવે આપણે જેટની રચના તરફ આગળ વધીએ છીએ. બિનજરૂરી તકનીકીઓને ટાળવા માટે, અમે એવા કાર્યોના જેટને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે મૂળના મૂળનો નકશો બનાવે છે. જો અને f (0) = 0 અને g (0) = 0 સાથે, તો. જેટની રચનાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે સરળતાથી ચકાસવામાં આવે છે, સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, કે આ મૂળમાં જેટની જગ્યા પર સહયોગી બિનપરિવર્તનશીલ કામગીરીની રચના કરે છે. હકીકતમાં, કે-જેટ્સની રચના એ બહુપદી મોડ્યુલોની રચના સિવાય બીજું કંઈ નથી, જે ક્રમની એકરૂપ બહુપદીઓનો આદર્શ છે. ઉદાહરણોઃ એક પરિમાણમાં, ચાલો અને. પછી અને યુક્લિડિયન અવકાશમાં એક બિંદુ પર જેટઃ સખત વ્યાખ્યાઓ વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા નીચેની વ્યાખ્યા જેટ અને જેટ જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ગાણિતિક વિશ્લેષણના વિચારોનો ઉપયોગ કરે છે. બનાચ જગ્યાઓ, વાસ્તવિક અથવા જટિલ ક્ષેત્રો વચ્ચેના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો, પી-એડિક વિશ્લેષણ અને વિશ્લેષણના અન્ય ક્ષેત્રો વચ્ચેના કાર્યોને સરળ બનાવવા માટે તેને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ચાલો સ્મૂથ ફંક્શન્સની વેક્ટર જગ્યા હોઈએ. ધારો કે k એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને p એ એક બિંદુ છે. આપણે આ જગ્યા પર સમાનતા સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરીને જાહેર કરીએ છીએ કે બે વિધેયો f અને g એ ક્રમ k ની સમકક્ષ છે જો f અને g નું મૂલ્ય p પર સમાન હોય, અને તેમના તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ તેમના k-th-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ સુધી (અને સહિત) p પર સહમત થાય છે. ટૂંકમાં, iff થી k-th ક્રમ. p પરની k-th-ક્રમની જેટ જગ્યાને સમકક્ષતા વર્ગોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સ્મૂથ ફંક્શનના p પર k-th-ઓર્ડર જેટને f ઇનના સમકક્ષ વર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આલ્જેબ્રો-ભૌમિતિક વ્યાખ્યા નીચેની વ્યાખ્યા જેટ અને જેટ સ્પેસની કલ્પનાને સ્થાપિત કરવા માટે બીજગણિત ભૂમિતિ અને પરિવર્તનીય બીજગણિતના વિચારોનો ઉપયોગ કરે છે. જો કે આ વ્યાખ્યા બીજગણિત ભૂમિતિમાં ઉપયોગ માટે ખાસ અનુકૂળ નથી, કારણ કે તે સરળ શ્રેણીમાં નાખવામાં આવે છે, તે સરળતાથી આવા ઉપયોગોને અનુરૂપ કરી શકાય છે. ચાલો એક બિંદુ p પર સરળ કાર્યોના જંતુઓનું વેક્ટર સ્પેસ હોઈએ. કાર્યોના જંતુઓનો સમાવેશ કરતો આદર્શ હોવો જોઈએ જે પી પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. (સ્થાનિક વીંટી માટે આ મહત્તમ આદર્શ છે.) પછી આદર્શમાં બધા કાર્ય જંતુઓનો સમાવેશ થાય છે જે p પર k ક્રમમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે. હવે આપણે p દ્વારા જેટ જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. જો એક સરળ કાર્ય હોય, તો આપણે p પર f ના k-જેટને સુયોજન દ્વારા તત્વ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. એક-જગ્યા માટે, માળખાના આવરણનો દાંડો હોવો જોઈએ અને સ્થાનિક વીંટીનો મહત્તમ આદર્શ હોવો જોઈએ. kth જેટ સ્પેસને રિંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (આદર્શોનું ગુણાકાર છે). વ્યાખ્યાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ટેલરનો પ્રમેય અને વચ્ચે વેક્ટર જગ્યાઓનું કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમ સ્થાપિત કરે છે. તેથી યુક્લિડિયન સંદર્ભમાં, જેટને સામાન્ય રીતે આ સમરૂપતા હેઠળ તેમના બહુપદી પ્રતિનિધિઓ સાથે ઓળખવામાં આવે છે. એક બિંદુથી એક બિંદુ સુધી જેટ જગ્યાઓ આપણે એક બિંદુ પર જેટની જગ્યા વ્યાખ્યાયિત કરી છે. જો એમ અને એન બે સરળ મેનીફોલ્ડ હોય, તો આપણે કાર્યના જેટને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ? આપણે કદાચ એમ અને એન પર સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને આવા જેટને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ. આનો ગેરલાભ એ છે કે જેટને આમ અપરિવર્તનશીલ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતા નથી. જેટ ટેન્સર તરીકે રૂપાંતરિત થતા નથી. તેના બદલે, બે મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના કાર્યોના જેટ જેટ બંડલના છે. ધારો કે M એ બિંદુ p ધરાવતો એક સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ છે. આપણે p દ્વારા વળાંકના જેટને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, જેના દ્વારા હવેથી આપણે સ્મૂથ ફંક્શન્સનો અર્થ કરીએ છીએ જેમ કે f (0) = p. નીચે પ્રમાણે સમકક્ષ સંબંધ વ્યાખ્યાયિત કરો. ચાલો f અને g ને p દ્વારા વળાંકની જોડી માનીએ. પછી આપણે કહીશું કે f અને g એ p પર ક્રમ k ની સમકક્ષ છે જો ત્યાં p નો કોઈ પડોશી U હોય, જેમ કે, દરેક સરળ કાર્ય માટે,. નોંધ લો કે આ જેટ સંયુક્ત કાર્યોથી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે અને વાસ્તવિક રેખાથી માત્ર મેપિંગ છે. આ સમાનતા સંબંધને કેટલીકવાર p પરના વળાંકો વચ્ચેના k-th-ક્રમના સંપર્ક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. હવે આપણે f થી p સુધીના વળાંકના k-જેટને f હેઠળ, સૂચિત અથવા સમકક્ષ વર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. k-th-ક્રમની જેટ જગ્યા પછી p પર k-જેટનો સમૂહ હોય છે. કારણ કે p એ M પર બદલાય છે, M પર ફાઇબર બંડલ બનાવે છેઃ k-th-ક્રમની સ્પર્શક બંડલ, જે ઘણીવાર Tkm દ્વારા સાહિત્યમાં સૂચવવામાં આવે છે (જોકે આ સંકેત ક્યારેક ક્યારેક મૂંઝવણ તરફ દોરી શકે છે). કિસ્સામાં k = 1, પછી પ્રથમ ક્રમની સ્પર્શક બંડલ સામાન્ય સ્પર્શક બંડલ છેઃ T1M = TM. TKM હકીકતમાં ફાઇબરનું બંડલ છે તે સાબિત કરવા માટે, સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સના ગુણધર્મોની તપાસ કરવી ઉપદેશક છે. ધારો કે (xi) = (x1,., xn) એ m માટે સ્થાનિક સંકલન પ્રણાલી છે, જે p ના પડોશ U માં છે. સંકેતનો થોડો દુરુપયોગ કરીને, આપણે (xi) ને સ્થાનિક ડિફિયોમોર્ફિઝમ તરીકે ગણી શકીએ છીએ. દાવો કરે છે. બે વળાંકો f અને g થી p સમકક્ષ મોડ્યુલો છે જો અને માત્ર જો. ખરેખર, માત્ર ત્યારે જ જો ભાગ સ્પષ્ટ હોય, કારણ કે દરેક n વિધેય x1,., xn એ M થી એક સરળ વિધેય છે. તેથી સમાનતા સંબંધની વ્યાખ્યા અનુસાર, બે સમકક્ષ વળાંક હોવા જોઈએ. તેનાથી વિપરીત, ધારો કે; એ p ના પડોશમાં M પર એક સરળ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે. કારણ કે દરેક સરળ વિધેયમાં સ્થાનિક સંકલન અભિવ્યક્તિ હોય છે, તેથી આપણે નિર્દેશાંકોમાં વિધેય તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. ખાસ કરીને, જો q એ p ની નજીક M નો બિંદુ હોય, તો પછી n વાસ્તવિક ચલોના કેટલાક સરળ વાસ્તવિક-મૂલ્યના વિધેય માટે. તેથી, બે વળાંક f અને g થી p માટે, આપણી પાસે છે સાંકળ નિયમ હવે દાવાના જો ભાગને સ્થાપિત કરે છે. દાખલા તરીકે, જો f અને g એ વાસ્તવિક ચલ t ના વિધેયો હોય, તો જે f ને બદલે g સામે મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે ત્યારે સમાન અભિવ્યક્તિ બરાબર હોય છે, તે યાદ કરીને કે f (0) = g (0) = p અને f અને g કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (xi) માં k-th-ક્રમના સંપર્કમાં છે. તેથી દેખીતા ફાઇબર બંડલ TKM દરેક સંકલન પડોશમાં સ્થાનિક તુચ્છતાને સ્વીકારે છે. આ તબક્કે, આ દેખીતા ફાઇબર બંડલ હકીકતમાં ફાઇબર બંડલ છે તે સાબિત કરવા માટે, તે સ્થાપિત કરવા માટે પૂરતું છે કે તે કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફાર હેઠળ નોન-સિંગ્યુલર સંક્રમણ કાર્યો ધરાવે છે. ચાલો એક અલગ કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમ બનીએ અને યુક્લિડિયન સ્પેસના કોઓર્ડિનેટ્સ ડિફિયોમોર્ફિઝમનું સંકળાયેલ પરિવર્તન હોઈએ. ના એફાઇન પરિવર્તન દ્વારા, આપણે સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના ધારી શકીએ કે ρ (0) = 0. આ ધારણા સાથે, તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે જેટ રચના હેઠળ ઉલટાવી શકાય તેવું પરિવર્તન છે. (જેટ જૂથો પણ જુઓ.) પરંતુ ρ એ ડિફિયોમોર્ફિઝમ હોવાથી, તે એક સરળ મેપિંગ પણ છે. તેથી, જે સાબિત કરે છે કે તે નોન-સિંગ્યુલર છે. વધુમાં, તે સરળ છે, જો કે આપણે અહીં તે હકીકત સાબિત કરતા નથી. સહજ ભાવે, આનો અર્થ એ છે કે આપણે વળાંકના જેટને p દ્વારા તેની ટેલર શ્રેણીની દ્રષ્ટિએ M પરના સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઉદાહરણોઃ અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, p દ્વારા વળાંકનો 1-જેટ એક સ્પર્શક વેક્ટર છે. p પર સ્પર્શક વેક્ટર એ પ્રથમ ક્રમનો વિભેદક ઓપરેટર છે જે p પર સરળ વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યો પર કાર્ય કરે છે. સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં, દરેક સ્પર્શક વેક્ટરનું સ્વરૂપ હોય છે. જો φ એ p ના પડોશમાં φ (p) = 0 સાથેનું સરળ વિધેય હોય, તો તે એક ચલનું સરળ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે, જેના દ્વારા 1-જેટ આપવામાં આવે છે, જે સાબિત કરે છે કે કોઈ વ્યક્તિ કુદરતી રીતે તે બિંદુ પરથી વળાંકના 1-જેટ સાથે એક બિંદુ પર સ્પર્શક વેક્ટરને ઓળખી શકે છે. એક બિંદુ દ્વારા વળાંકના 2-જેટની જગ્યા. સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xi માં બિંદુ p પર કેન્દ્રિત, આપણે વળાંક f (t) થી p દ્વારા બીજા ક્રમની ટેલર બહુપદીને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. એક બિંદુ પર સ્પર્શક વેક્ટર (વળાંકના 1-જેટ્સ) ની જેમ, વળાંકના 2-જેટ્સ સંકલન સંક્રમણ કાર્યોના ઉપયોગ પર પરિવર્તન કાયદાનું પાલન કરે છે. ચાલો (yi) બીજી સંકલન પ્રણાલી બનીએ. સાંકળ નિયમ દ્વારા, તેથી, પરિવર્તન નિયમ t = 0 પર આ બે અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરીને આપવામાં આવે છે. નોંધ લો કે 2-જેટ માટેનો પરિવર્તન કાયદો સંકલન સંક્રમણ કાર્યોમાં બીજા ક્રમનો છે. મેનીફોલ્ડથી મેનીફોલ્ડ સુધી કાર્યોના જેટ આપણે હવે કાર્યના જેટને મેનીફોલ્ડથી મેનીફોલ્ડ સુધી વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે તૈયાર છીએ. ધારો કે M અને N બે સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ્સ છે. ધારો કે p એ M નો બિંદુ છે. p ના કેટલાક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત સરળ નકશા ધરાવતી જગ્યાને ધ્યાનમાં લો. આપણે નીચે પ્રમાણે સમાનતા સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. બે નકશા f અને g ને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો, દરેક વળાંક γ થી p માટે (યાદ રાખો કે અમારા સંમેલનો દ્વારા આ એક મેપિંગ છે), આપણી પાસે 0 ના કેટલાક પડોશ પર છે. જેટ સ્પેસ પછી સમકક્ષતા સંબંધના મોડ્યુલોના સમકક્ષતા વર્ગોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નોંધ લો કે લક્ષ્ય જગ્યા N પાસે કોઈ બીજગણિત માળખું હોવું જરૂરી નથી, તેથી પણ આવી રચના હોવી જરૂરી નથી. હકીકતમાં, યુક્લિડિયન જગ્યાઓના કિસ્સામાં આ એક તીવ્ર વિરોધાભાસ છે. જો p ની નજીક વ્યાખ્યાયિત થયેલ સરળ વિધેય હોય, તો આપણે p પર f ના k-જેટને f મોડ્યુલોના સમકક્ષ વર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. મલ્ટીજેટ જ્હોન માથેરે મલ્ટીજેટની કલ્પના રજૂ કરી હતી. ઢીલી રીતે કહીએ તો, મલ્ટીજેટ એ વિવિધ આધાર-બિંદુઓ પર જેટ વિમાનોની મર્યાદિત સૂચિ છે. માથેરે મલ્ટીજેટ ટ્રાન્સવર્સાલિટી થીયરમ સાબિત કર્યું, જેનો ઉપયોગ તેમણે સ્થિર મેપિંગના તેમના અભ્યાસમાં કર્યો હતો. વિભાગોના જેટ ધારો કે E એ પ્રક્ષેપણ સાથે મેનીફોલ્ડ M પર મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ વેક્ટર બંડલ છે. પછી E ના વિભાગો સરળ કાર્યો છે જેમ કે M નું ઓળખ ઓટોમોર્ફિઝમ. બિંદુ p ના પડોશ પર વિભાગ s નું જેટ એ p પર M થી E સુધીના આ સરળ કાર્યનું જેટ છે. જો કે આ સંકેત બે મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના કાર્યોની વધુ સામાન્ય જેટ જગ્યાઓ સાથે મૂંઝવણ તરફ દોરી શકે છે, સંદર્ભ સામાન્ય રીતે આવી કોઈપણ અસ્પષ્ટતાને દૂર કરે છે. મેનીફોલ્ડથી બીજા મેનીફોલ્ડ સુધીના કાર્યોના જેટથી વિપરીત, p પર વિભાગોના જેટની જગ્યા વેક્ટર સ્પેસ સ્ટ્રક્ચરમાંથી વારસામાં મળેલી વેક્ટર સ્પેસનું માળખું વિભાગો પર વહન કરે છે. જેમ જેમ p એ M પર બદલાય છે, જેટ જગ્યાઓ M પર વેક્ટર બંડલ બનાવે છે, જે E નું k-th-ઓર્ડર જેટ બંડલ છે, જે Jk (E) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણોઃ સ્પર્શક બંડલનું પ્રથમ ક્રમનું જેટ બંડલ. આપણે એક બિંદુ પર સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં કામ કરીએ છીએ અને આઈન્સ્ટાઈન નોટેશનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. એમ માં પી ની પડોશમાં વેક્ટર ક્ષેત્રનો વિચાર કરો. વી નો 1-જેટ વેક્ટર ક્ષેત્રના ગુણાંકના પ્રથમ ક્રમ ટેલર બહુપદીને લઈને મેળવવામાં આવે છેઃ x કોઓર્ડિનેટ્સમાં, એક બિંદુ પર 1-જેટને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સૂચિ સાથે ઓળખી શકાય છે. જે રીતે એક બિંદુ પર સ્પર્શક વેક્ટરને સૂચિ (vi) સાથે ઓળખી શકાય છે, તે જ રીતે સંકલન સંક્રમણો હેઠળ ચોક્કસ પરિવર્તન કાયદાને આધિન, આપણે જાણવું પડશે કે સૂચિ સંક્રમણથી કેવી રીતે પ્રભાવિત થાય છે. તેથી અન્ય સંકલન પ્રણાલીને પસાર કરવામાં પરિવર્તન કાયદાને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે wk એ y કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ફિલ્ડ v ના ગુણાંક છે. પછી y કોઓર્ડિનેટ્સમાં, v નું 1-જેટ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની નવી સૂચિ છે. તેથી ટેલર શ્રેણી દ્વારા વિસ્તરણ, આપણી પાસે નોંધ છે કે સંકલન સંક્રમણ કાર્યોમાં પરિવર્તન કાયદો બીજા ક્રમનો છે. વેક્ટર બંડલ વચ્ચેના વિભેદક ઓપરેટરો જેટ જૂથ જેટ બંડલ લાગ્રેન્જિયન સિસ્ટમ સંદર્ભો ક્રેસિલ 'શ્ચિક, આઈ. એસ., વિનોગ્રાદોવ, એ. એમ., [એટ અલ] પણ જુઓ. ], ગણિતીય ભૌતિકશાસ્ત્રના વિભેદક સમીકરણો માટે સમપ્રમાણતા અને સંરક્ષણ કાયદાઓ, અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, પ્રોવિડન્સ, આર. આઈ., 1999. કોલર, આઈ., મિકોર, પી., સ્લોવાક, જે., વિભેદક ભૂમિતિમાં કુદરતી કામગીરી. સ્પ્રિંગર-વેરલેગઃ બર્લિન હીડલબર્ગ, 1993. સોન્ડર્સ, ડી. જે., ધ જીઓમેટ્રી ઓફ જેટ બંડલ્સ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1989, ઓલ્વર, પી. જે., ઇક્વિવેલન્સ, ઇન્વેરિઅન્ટ્સ એન્ડ સિમેટ્રી, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1995, સરદાનાશ્વિલી, જી., એડવાન્સ્ડ ડિફરન્શિયલ જીઓમેટ્રી ફોર થિયોરેટિસિયન્સઃ ફાઇબર બંડલ્સ, જેટ મેનીફોલ્ડ્સ એન્ડ લાગ્રેન્જિયન થિયરી, લેમ્બર્ટ એકેડેમિક પબ્લિશિંગ, 2013,; ડિફરન્શિયલ ભૂમિતિ સ્મૂથ ફંક્શન્સ સિંગ્યુલારિટી થિયરી