Symbolic integration
કલનશાસ્ત્રમાં, સાંકેતિક એકીકરણ એ આપેલ કાર્ય f (x) ના એન્ટિડેરિવેટિવ અથવા અનિશ્ચિત અભિન્ન માટે સૂત્ર શોધવાની સમસ્યા છે, એટલે કે. આ શબ્દ પ્રતીકાત્મક શબ્દનો ઉપયોગ આ સમસ્યાને આંકડાકીય એકીકરણથી અલગ પાડવા માટે થાય છે, જ્યાં એફ માટે સામાન્ય સૂત્રને બદલે ચોક્કસ ઇનપુટ અથવા ઇનપુટ્સના સમૂહ પર એફનું મૂલ્ય માંગવામાં આવે છે. બંને સમસ્યાઓ ડિજિટલ કમ્પ્યુટરના સમયના ઘણા સમય પહેલા વ્યવહારુ અને સૈદ્ધાંતિક મહત્વની હોવાનું માનવામાં આવતું હતું, પરંતુ હવે તેમને સામાન્ય રીતે કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનનું ક્ષેત્ર માનવામાં આવે છે, કારણ કે હાલમાં કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ મોટાભાગે વ્યક્તિગત ઉદાહરણોને હલ કરવા માટે થાય છે. અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન શોધવું એ એક સીધી પ્રક્રિયા છે જેના માટે અલ્ગોરિધમ બનાવવું સરળ છે. ઇન્ટિગ્રલ શોધવાનો વિપરીત પ્રશ્ન વધુ મુશ્કેલ છે. ઘણી સમીકરણો કે જે પ્રમાણમાં સરળ હોય છે તેમાં સંકલન નથી જે બંધ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય. વધુ વિગતો માટે એન્ટિડેરિવેટિવ અને નોનલિમેન્ટરી ઇન્ટિગ્રલ જુઓ. રીશ અલ્ગોરિધમ નામની પ્રક્રિયા અસ્તિત્વમાં છે જે એ નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે પ્રાથમિક કાર્યનું અભિન્ન (ચાર પ્રાથમિક કામગીરીઓનો ઉપયોગ કરીને રચના અને સંયોજનો દ્વારા ઘાતાંકો, લઘુગણક, અચળાંકો અને nમા મૂળની મર્યાદિત સંખ્યાથી બનેલું કાર્ય) પ્રાથમિક છે અને જો હોય તો તેને પરત કરે છે. તેના મૂળ સ્વરૂપમાં, રીશ અલ્ગોરિધમ સીધા અમલીકરણ માટે યોગ્ય ન હતું, અને તેના સંપૂર્ણ અમલીકરણમાં લાંબો સમય લાગ્યો. તે સૌપ્રથમ શુદ્ધ દિવ્ય કાર્યોના કિસ્સામાં રિડ્યુસમાં અમલમાં મૂકવામાં આવ્યું હતું; શુદ્ધ બીજગણિત કાર્યોનો કેસ જેમ્સ એચ. ડેવનપોર્ટ દ્વારા રિડ્યુસમાં ઉકેલવામાં આવ્યો હતો અને અમલમાં મૂકવામાં આવ્યો હતો; સામાન્ય કેસ મેન્યુઅલ બ્રોન્સ્ટીન દ્વારા હલ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે લગભગ તમામને સ્વયંસિદ્ધમાં અમલમાં મૂક્યો હતો, જોકે આજની તારીખે રીશ અલ્ગોરિધમનો કોઈ અમલ કરવામાં આવ્યો નથી જે તેમાંના તમામ વિશેષ કેસો અને શાખાઓ સાથે વ્યવહાર કરી શકે. જો કે, રીશ અલ્ગોરિધમ માત્ર અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ્સને જ લાગુ પડે છે, જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, સૈદ્ધાંતિક રસાયણશાસ્ત્રીઓ અને ઇજનેરો માટે રસ ધરાવતા મોટાભાગના ઇન્ટિગ્રલ્સ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ્સ છે જે ઘણીવાર લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને મેલિન ટ્રાન્સફોર્મ સાથે સંબંધિત હોય છે. સામાન્ય અલ્ગોરિધમનો અભાવ હોવાથી, કોમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીઓના વિકાસકર્તાઓએ પેટર્ન-મેચિંગ અને ખાસ કાર્યોના ઉપયોગ, ખાસ કરીને અપૂર્ણ ગામા કાર્યના આધારે હ્યુરિસ્ટિક્સનો અમલ કર્યો છે. જો કે આ અભિગમ એલ્ગોરિધમિકને બદલે સંશોધનાત્મક છે, તેમ છતાં તે વ્યવહારુ ઇજનેરી કાર્યક્રમો દ્વારા સામનો કરવામાં આવતા ઘણા ચોક્કસ સંકલનને ઉકેલવા માટે એક અસરકારક પદ્ધતિ છે. મેકસીમા જેવી અગાઉની પ્રણાલીઓમાં લુક-અપ કોષ્ટકમાં વિશેષ કાર્યો સાથે સંબંધિત કેટલાક ચોક્કસ સંકલન હતા. જો કે આ ચોક્કસ પદ્ધતિ, જેમાં તેના પરિમાણો, ચલ પરિવર્તન, પેટર્ન મેચિંગ અને અન્ય મેનિપ્યુલેશન્સના સંદર્ભમાં વિશેષ કાર્યોના તફાવતનો સમાવેશ થાય છે, તે મેપલ સિસ્ટમના વિકાસકર્તાઓ દ્વારા પહેલ કરવામાં આવી હતી અને પછીથી મેથેમેટિકા, એક્સિઓમ, મુપેડ અને અન્ય સિસ્ટમો દ્વારા તેનું અનુકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. તાજેતરની પ્રગતિ સાંકેતિક એકીકરણના શાસ્ત્રીય અભિગમમાં મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે, જો કોઈ કાર્યને બંધ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે, તો સામાન્ય રીતે, તેના એન્ટિડેરિવેટિવનું સમાન પ્રતિનિધિત્વ હોતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બંધ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય તેવા કાર્યોનો વર્ગ એન્ટિડેરિવેશન હેઠળ બંધ નથી. હોલોનોમિક ફંક્શન્સ એ કાર્યોનો એક મોટો વર્ગ છે, જે એન્ટિડેરિવેશન હેઠળ બંધ છે અને સંકલનના કમ્પ્યુટર્સમાં અને કલનની અન્ય ઘણી કામગીરીઓમાં અલ્ગોરિધમિક અમલીકરણને મંજૂરી આપે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, હોલોનોમિક ફંક્શન એ બહુપદી ગુણાંક સાથેના સજાતીય રેખીય વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે. હોલોનોમિક ફંક્શન્સ એડિશન અને મલ્ટિપ્લિકેશન, ડેરિવેશન અને એન્ટિડેરિવેશન હેઠળ બંધ થાય છે. તેમાં બીજગણિત કાર્યો, ઘાતાંકીય કાર્યો, લઘુગણક, સાઇન, કોસાઇન, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતીય કાર્યો, વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. તેમાં એરી ફંક્શન, એરર ફંક્શન, બેસલ ફંક્શન અને તમામ હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન જેવા સૌથી સામાન્ય વિશેષ ફંક્શનનો પણ સમાવેશ થાય છે. હોલોનોમિક ફંક્શન્સનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે કોઈપણ સમયે તેમની ટેલર શ્રેણીના ગુણાંક બહુપદી ગુણાંક સાથે રેખીય પુનરાવર્તન સંબંધને સંતોષે છે, અને આ પુનરાવર્તન સંબંધની ગણતરી કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા વિભેદક સમીકરણમાંથી કરી શકાય છે. તેનાથી વિપરીત પાવર શ્રેણીના ગુણાંક વચ્ચેના આવા પુનરાવર્તન સંબંધને જોતાં, આ પાવર શ્રેણી એક હોલોનોમિક કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેના વિભેદક સમીકરણની ગણતરી એલ્ગોરિધમિક રીતે કરી શકાય છે. આ પુનરાવર્તન સંબંધ ટેલર શ્રેણીની ઝડપી ગણતરીને મંજૂરી આપે છે, અને આમ કોઈ પણ સમયે કાર્યના મૂલ્યની, મનસ્વી નાની પ્રમાણિત ભૂલ સાથે. આ કેલ્ક્યુલસની મોટાભાગની કામગીરીને એલ્ગોરિધમિક બનાવે છે, જ્યારે તે હોલોનોમિક કાર્યો સુધી મર્યાદિત હોય છે, જે તેમના વિભેદક સમીકરણ અને પ્રારંભિક શરતો દ્વારા રજૂ થાય છે. આમાં એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે (આ સંકલનના અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર એન્ટિડેરિવેટિવ્સનું મૂલ્યાંકન કરવા સમાન છે). આમાં અનંત પર કાર્યની એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકની ગણતરીનો પણ સમાવેશ થાય છે, અને આમ અમર્યાદિત અંતરાલો પર ચોક્કસ સંકલન. આ તમામ કામગીરીઓ મેપલ માટે આલ્ગોલિબ પુસ્તકાલયમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. ડાયનેમિક ડિક્શનરી ઓફ મેથેમેટિકલ ફંક્શન્સ પણ જુઓ. ઉદાહરણ તરીકેઃ અનિશ્ચિત અભિન્ન માટે પ્રતીકાત્મક પરિણામ છે (અહીં C એ સંકલનનો અચળાંક છે), તે ચોક્કસ અભિન્ન માટે પ્રતીકાત્મક પરિણામ છે, અને તે જ ચોક્કસ અભિન્ન માટે આંકડાકીય પરિણામ છે. આ પણ જુઓ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ વોલ્ફ્રમ ઇન્ટિગ્રેટર-ગણિત કોમ્પ્યુટર બીજગણિત વિભેદક બીજગણિત સાથે મફત ઓનલાઇન પ્રતીકાત્મક એકીકરણ