Liouville field theory
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, લિઉવિલે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત (અથવા ફક્ત લિઉવિલે સિદ્ધાંત) એ દ્વિ-પરિમાણીય અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત છે, જેનું ગતિનું શાસ્ત્રીય સમીકરણ લિઉવિલેના સમીકરણનું સામાન્યીકરણ છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંતને તેના વિરાસોરો સમપ્રમાણતા બીજગણિતના કેન્દ્રીય ચાર્જના તમામ જટિલ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે માત્ર ત્યારે જ એકાત્મક હોય છે જો તેની શાસ્ત્રીય મર્યાદા હોય. તેમ છતાં તે સતત વર્ણપટ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સિદ્ધાંત છે, લિઉવિલે સિદ્ધાંત હલ કરવામાં આવ્યો છે. ખાસ કરીને, ગોળા પર તેનું ત્રણ-બિંદુ કાર્ય વિશ્લેષણાત્મક રીતે નક્કી કરવામાં આવ્યું છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંત લિઉવિલે ક્ષેત્ર તરીકે ઓળખાતા ક્ષેત્રની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરે છે, જે દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ ક્ષેત્ર ઘાતાંકીય ક્ષમતાની હાજરીને કારણે મુક્ત ક્ષેત્ર નથી જ્યાં પરિમાણને જોડાણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે. મુક્ત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ઊર્જા આઈગનવેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય છે, અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓમાં વેગ જાળવી રાખવામાં આવે છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંતમાં, વેગ સંરક્ષિત નથી. વધુમાં, પોટેન્શિયલ ઊર્જા આઈગનવેક્ટર્સને તેઓ પહોંચે તે પહેલાં પ્રતિબિંબિત કરે છે, અને બે આઈગનવેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર હોય છે જો તેમની મોમેન્ટા પ્રતિબિંબ દ્વારા સંબંધિત હોય જ્યાં બેકગ્રાઉન્ડ ચાર્જ હોય છે. જ્યારે ઘાતાંકીય પોટેન્શિયલ વેગ સંરક્ષણને તોડે છે, તે કન્ફોર્મલ સમપ્રમાણતાને તોડે નહીં, અને લિઉવિલે સિદ્ધાંત એ કેન્દ્રીય ચાર્જ સાથે કન્ફોર્મલ ફિલ્ડ થિયરી છે. કન્ફોર્મલ પરિવર્તન હેઠળ, મોમેન્ટમ સાથેનો ઊર્જા આઈગનવેક્ટર કન્ફોર્મલ પરિમાણ સાથે પ્રાથમિક ક્ષેત્ર તરીકે રૂપાંતરિત થાય છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંતની આ ક્વોન્ટમ સમપ્રમાણતા જોકે લગ્રેન્જિયન રચનામાં પ્રગટ થતી નથી, ખાસ કરીને દ્વૈતતા હેઠળ ઘાતાંકીય સંભવિતતા અપરિવર્તનશીલ નથી. સ્પેક્ટ્રમ અને સહસંબંધ કાર્યો સ્પેક્ટ્રમ લિઉવિલે સિદ્ધાંતનું સ્પેક્ટ્રમ એ વિરાસોરો બીજગણિતના વર્મા મોડ્યુલનું વિકર્ણ સંયોજન છે, જ્યાં અને તે જ વર્મા મોડ્યુલને સૂચવે છે, જેને અનુક્રમે ડાબી અને જમણી બાજુએ ચાલતા વિરાસોરો બીજગણિતની રજૂઆત તરીકે જોવામાં આવે છે. મોમેન્ટાની દ્રષ્ટિએ, તેને અનુરૂપ છે. મુક્ત સિદ્ધાંત માટે સંપૂર્ણ રેખાને બદલે, અર્ધ-રેખા પર મૂલ્યો લેતા વેગ માટે પ્રતિબિંબ સંબંધ જવાબદાર છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંત એકાત્મક છે જો અને માત્ર જો. લિઉવિલે સિદ્ધાંતના વર્ણપટમાં શૂન્યાવકાશ સ્થિતિનો સમાવેશ થતો નથી. શૂન્યાવકાશની સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ તે સંચાલક ઉત્પાદનના વિસ્તરણમાં ફાળો આપતું નથી. ક્ષેત્રો અને પ્રતિબિંબ સંબંધ લિઉવિલે સિદ્ધાંતમાં, પ્રાથમિક ક્ષેત્રોને સામાન્ય રીતે તેમના અનુરૂપ પરિમાણને બદલે તેમના વેગ દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, અને સૂચવવામાં આવે છે. બંને ક્ષેત્રો અને પ્રતિનિધિત્વની પ્રાથમિક સ્થિતિને અનુરૂપ છે, અને પ્રતિબિંબ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે જ્યાં પ્રતિબિંબ ગુણાંક છે (નિશાની જો અને અન્યથા છે, અને સામાન્યીકરણ પરિમાણ મનસ્વી છે.) સહસંબંધ કાર્યો અને ડી. ઓ. ઝેડ. ઝેડ સૂત્ર માટે, ત્રણ-બિંદુ માળખું અચળાંક ડી. ઓ. ઝેડ. ઝેડ સૂત્ર (ડોર્ન-ઓટો અને ઝામોલોડચિકોવ-ઝામોલોડચિકોવ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં વિશેષ કાર્ય એક પ્રકારનું બહુવિધ ગામા કાર્ય છે. કારણ કે, ત્રણ-બિંદુ માળખું અચળાંક એ છે કે જ્યાં ગોળા પરના-બિંદુ કાર્યોને ત્રણ-બિંદુ માળખાના અચળાંકો અને અનુરૂપ બ્લોકની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. એક-બિંદુ કાર્યમાં ઘણી જુદી જુદી અભિવ્યક્તિઓ હોઈ શકે છેઃ કે તેઓ સંમત થાય છે તે ચાર-બિંદુ કાર્યની સમપ્રમાણતાને પાર કરવા સમાન છે, જે આંકડાકીય રીતે ચકાસવામાં આવ્યું છે અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સાબિત થયું છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંત માત્ર ગોળા પર જ નહીં, પરંતુ જીનસની કોઈપણ રીમાન સપાટી પર પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તકનીકી રીતે, આ ટોરસ વન-પોઇન્ટ ફંક્શનના મોડ્યુલર ઇનવેરિયન્સની સમકક્ષ છે. કન્ફોર્મલ બ્લોક્સ અને સ્ટ્રક્ચર સ્થિરાંકોની નોંધપાત્ર ઓળખને કારણે, આ મોડ્યુલર ઇનવેરિયન્સ પ્રોપર્ટીને ગોળાના ચાર-બિંદુ કાર્યની સમપ્રમાણતાને પાર કરીને તારવી શકાય છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંતની વિશિષ્ટતા કન્ફોર્મલ બૂટસ્ટ્રેપ અભિગમનો ઉપયોગ કરીને, લિઉવિલે સિદ્ધાંતને અનન્ય કન્ફોર્મલ ફિલ્ડ થિયરી તરીકે દર્શાવી શકાય છે, જેમ કે સ્પેક્ટ્રમ એક સાતત્ય છે, જેમાં એક કરતા વધુ ગુણાકાર નથી, સહસંબંધ કાર્યો વિશ્લેષણાત્મક રીતે તેના પર આધાર રાખે છે અને મોમેન્ટા, ડીજનરેટ ક્ષેત્રો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. લેગ્રેન્જિયન રચના ક્રિયા અને ગતિનું સમીકરણ લિઉવિલે સિદ્ધાંતને સ્થાનિક ક્રિયા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાનું મેટ્રિક છે જેના પર સિદ્ધાંત ઘડવામાં આવે છે, તે જગ્યાનું રિક્કી સ્કેલર છે, અને તે લિઉવિલે ક્ષેત્ર છે. પરિમાણ, જેને કેટલીકવાર બ્રહ્માંડ સંબંધી અચળાંક કહેવામાં આવે છે, તે પરિમાણ સાથે સંબંધિત છે જે સહસંબંધ કાર્યોમાં દેખાય છે. આ ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ ગતિનું સમીકરણ એ છે કે જ્યાં લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર છે. જો યુક્લિડિયન મેટ્રિક હોય, તો આ સમીકરણ ઘટે છે જે લિઉવિલેના સમીકરણની સમકક્ષ છે. એકવાર નળાકાર પર સંક્ષિપ્ત થયા પછી, લિઉવિલે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતને સમાનરૂપે વિશ્વરેખા સિદ્ધાંત તરીકે ઘડવામાં આવી શકે છે. એક જટિલ સંકલન પ્રણાલી અને યુક્લિડિયન મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને, ઊર્જા-ગતિ ટેન્સરના ઘટકો તેનું પાલન કરે છે. આ બંને વીરાસોરો બીજગણિત માટે, ક્ષેત્ર એ અનુરૂપ પરિમાણ સાથેનું પ્રાથમિક ક્ષેત્ર છે. સિદ્ધાંતમાં કન્ફોર્મલ ઇનવેરિયન્સ હોવા માટે, ક્રિયામાં જે ક્ષેત્ર દેખાય છે તે સીમાંત હોવું જોઈએ, એટલે કે. અનુરૂપ પરિમાણ ધરાવે છે. આ બેકગ્રાઉન્ડ ચાર્જ અને કપલિંગ કોન્સ્ટન્ટ વચ્ચેના સંબંધ તરફ દોરી જાય છે. જો આ સંબંધનું પાલન કરવામાં આવે, તો તે વાસ્તવમાં બરાબર સીમાંત છે, અને સિદ્ધાંત અનુરૂપ રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. પાથ ઇન્ટિગ્રલ પ્રાથમિક ક્ષેત્રોના-બિંદુ સહસંબંધ કાર્યની પાથ ઇન્ટિગ્રલ રજૂઆત એ છે કે આ પાથ ઇન્ટિગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરવું અને ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે. પાથ ઇન્ટિગ્રલ રિપ્રેઝન્ટેશનમાં, તે સ્પષ્ટ નથી કે લિઉવિલે સિદ્ધાંત ચોક્કસ કન્ફોર્મલ ઇનવેરિયન્સ ધરાવે છે, અને તે સ્પષ્ટ નથી કે સહસંબંધ કાર્યો અંતર્ગત અપરિવર્તનશીલ છે અને પ્રતિબિંબ સંબંધનું પાલન કરે છે. તેમ છતાં, પાથ ઇન્ટિગ્રલ રિપ્રેઝન્ટેશનનો ઉપયોગ તેમના કેટલાક ધ્રુવો પર કોરિલેશન ફંક્શન્સના અવશેષોની ગણતરી કરવા માટે કરી શકાય છે કારણ કે કુલમ્બ ગેસ ફોર્માલિઝમમાં ડોત્સેન્કો-ફાતેવ ઇન્ટિગ્રલ્સ છે, અને આ રીતે 1990ના દાયકામાં પ્રથમ વખત ડીઓઝેડ સૂત્રનું અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું. તે માત્ર 2010 ના દાયકામાં જ પાથ ઇન્ટિગ્રલની સખત સંભવિત રચના મળી આવી હતી, જે ડીઓઝેડ સૂત્ર અને કન્ફોર્મલ બૂટસ્ટ્રેપના પુરાવા તરફ દોરી ગઈ હતી. અન્ય અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો સાથેના સંબંધો લિઉવિલે સિદ્ધાંતની કેટલીક મર્યાદાઓ જ્યારે કેન્દ્રીય ચાર્જ અને અનુરૂપ પરિમાણોને સંબંધિત સ્વતંત્ર મૂલ્યો પર મોકલવામાં આવે છે, ત્યારે લિઉવિલે સિદ્ધાંતના સહસંબંધ કાર્યો કર્ણ (એ-શ્રેણી) વિરાસોરો ન્યૂનતમ મોડેલોના સહસંબંધ કાર્યોમાં ઘટાડો કરે છે. બીજી બાજુ, જ્યારે કેન્દ્રીય ચાર્જને એક તરફ મોકલવામાં આવે છે જ્યારે અનુરૂપ પરિમાણો સતત રહે છે, ત્યારે લિઉવિલે સિદ્ધાંત રંકેલ-વોટ્સ સિદ્ધાંત તરફ વળે છે, જે સતત વર્ણપટ સાથે બિન-તુચ્છ અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત (સી. એફ. ટી.) છે, જેનું ત્રણ-બિંદુ કાર્ય મોમેન્ટાના કાર્ય તરીકે વિશ્લેષણાત્મક નથી. રંકેલ-વોટ્સ સિદ્ધાંતના સામાન્યીકરણ લિઉવિલે સિદ્ધાંતમાંથી પ્રકારની મર્યાદાઓ લઈને મેળવવામાં આવે છે. તેથી, સમાન વર્ણપટ સાથે બે અલગ સી. એફ. ટી. જાણીતા છેઃ લિઉવિલે સિદ્ધાંત, જેનું ત્રણ-બિંદુ કાર્ય વિશ્લેષણાત્મક છે, અને બિન-વિશ્લેષણાત્મક ત્રણ-બિંદુ કાર્ય સાથેનું બીજું સી. એફ. ટી.. ડબલ્યુઝેડડબલ્યુ મોડેલો લિઉવિલે સિદ્ધાંત વેસ-ઝુમિનો-વિટ્ટન મોડેલમાંથી ક્વોન્ટમ ડ્રિન્ફેલ્ડ-સોકોલોવ ઘટાડો દ્વારા મેળવી શકાય છે. વધુમાં, મોડેલના સહસંબંધ કાર્યો (ડબલ્યુઝેડડબલ્યુ મોડેલનું યુક્લિડિયન સંસ્કરણ) લિઉવિલે સિદ્ધાંતના સહસંબંધ કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ 2 ડી બ્લેક હોલ કોસેટ મોડેલના સહસંબંધ કાર્યોમાં પણ સાચું છે. વધુમાં, એવા સિદ્ધાંતો અસ્તિત્વમાં છે જે લિઉવિલે સિદ્ધાંત અને મોડેલ વચ્ચે સતત અંતર્વેશન કરે છે. અનૌપચારિક ટોડા સિદ્ધાંત લિઉવિલે સિદ્ધાંત એ ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે, જે કાર્ટન મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલું છે. વધુ સામાન્ય અનુરૂપ ટોડા સિદ્ધાંતોને લિઉવિલે સિદ્ધાંતના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે, જેમના લગ્રેન્જિયનમાં એક બોસોનને બદલે ઘણા બોસોનોનો સમાવેશ થાય છે, અને જેમના સમપ્રમાણતા બીજગણિત વિરાસોરો બીજગણિતને બદલે ડબલ્યુ-બીજગણિત છે. સુપરસિમેટ્રિક લિઉવિલે થિયરી લિઉવિલે થિયરી બે અલગ અલગ સુપરસિમેટ્રિક એક્સ્ટેન્શન્સને સ્વીકારે છે જેને સુપરસિમેટ્રિક લિઉવિલે થિયરી અને સુપરસિમેટ્રિક લિઉવિલે થિયરી કહેવાય છે. એકીકૃત મોડેલો સાથેના સંબંધો સિંહ-ગોર્ડન મોડેલ સપાટ જગ્યામાં, સિંહ-ગોર્ડન મોડેલને સ્થાનિક ક્રિયા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ગતિનું અનુરૂપ શાસ્ત્રીય સમીકરણ સિંહ-ગોર્ડન સમીકરણ છે. આ મોડેલને લિઉવિલે સિદ્ધાંતના વિક્ષેપ તરીકે જોઈ શકાય છે. મોડેલનું ચોક્કસ એસ-મેટ્રિક્સ નબળા જોડાણ શાસનમાં જાણીતું છે, અને તે નીચે ઔપચારિક રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. જો કે, એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે મોડેલ પોતે અપરિવર્તનશીલ નથી. એપ્લિકેશન્સ લિઉવિલે ગુરુત્વાકર્ષણ બે પરિમાણોમાં, આઈન્સ્ટાઈન સમીકરણો લિઉવિલેના સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે, તેથી લિઉવિલે સિદ્ધાંત ગુરુત્વાકર્ષણનો ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત પ્રદાન કરે છે જેને લિઉવિલે ગુરુત્વાકર્ષણ કહેવાય છે. તેને CGHS મોડેલ અથવા જેકીવ-ટીટેલબોઇમ ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ. પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલેશનમાં થિયરીના બિન-નિર્ણાયક સંસ્કરણને ઘડવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે સ્ટ્રિંગ થિયરી લિઉવિલે થિયરી સ્ટ્રિંગ થિયરીના સંદર્ભમાં દેખાય છે. આ સિદ્ધાંત રેખીય ડાયલેટોન અને ટેકિયોન પૃષ્ઠભૂમિ સાથે બે અવકાશ સમય પરિમાણોમાં બોસોનિક સ્ટ્રિંગ થિયરીના વર્ણન તરીકે પણ દેખાય છે. રેખીય ડાયલેટોન પૃષ્ઠભૂમિમાં ગતિના ટેકિયોન ક્ષેત્ર સમીકરણ માટે તેને ઘાતાંકીય ઉકેલ લેવાની જરૂર છે. આ પૃષ્ઠભૂમિમાં પોલિયાકોવની ક્રિયા પછી લિઉવિલે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત જેવી જ હોય છે, જેમાં રેખીય ડાયલેટોન પૃષ્ઠભૂમિ ચાર્જ શબ્દ માટે જવાબદાર હોય છે જ્યારે ટેચિયોન ઘાતાંકીય ક્ષમતામાં ફાળો આપે છે. રેન્ડમ ઊર્જા મોડેલો લિઉવિલે સિદ્ધાંત અને ચોક્કસ લોગ-સહસંબંધિત રેન્ડમ ઊર્જા મોડેલો વચ્ચે ચોક્કસ મેપિંગ છે. આ નમૂનાઓ રેન્ડમ પોટેન્શિયલમાં થર્મલ કણનું વર્ણન કરે છે જે લઘુગણકીય રીતે સહસંબંધિત છે. બે પરિમાણોમાં, આવા પોટેન્શિયલ ગૌસીયન મુક્ત ક્ષેત્ર સાથે મેળ ખાય છે. તે કિસ્સામાં, લિઉવિલે સિદ્ધાંતમાં પ્રાથમિક ક્ષેત્રો વચ્ચેના ચોક્કસ સહસંબંધ કાર્યોને કણના ગિબ્સ માપના સહસંબંધ કાર્યોમાં મેપ કરવામાં આવે છે. આ દ્વિ-પરિમાણીય ગૌસીયન મુક્ત ક્ષેત્રના આત્યંતિક મૂલ્યના આંકડાઓ માટે ઉપયોગો ધરાવે છે, અને લોગ-સહસંબંધિત રેન્ડમ ઊર્જા નમૂનાઓ (બે પરિમાણો અને તેનાથી આગળ) ના ચોક્કસ સાર્વત્રિક ગુણધર્મોની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે. અન્ય ઉપયોગો લિઉવિલે સિદ્ધાંત ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના અન્ય વિષયો સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે નકારાત્મક વક્ર જગ્યાઓમાં ત્રિ-પરિમાણીય સામાન્ય સાપેક્ષતા, રીમાન સપાટીઓની એકરૂપતા સમસ્યા અને અનુરૂપ નકશામાં અન્ય સમસ્યાઓ. તે એ. જી. ટી. પત્રવ્યવહાર દ્વારા ચોક્કસ ચાર-પરિમાણીય સુપરકોન્ફોર્મલ ગેજ સિદ્ધાંતોમાં ઇન્સ્ટન્ટોન પાર્ટીશન કાર્યો સાથે પણ સંબંધિત છે. લિઉવિલે સિદ્ધાંત માટે નામ આપવાની મૂંઝવણ પ્રથમ વખત ટાઇમલાઇક લિઉવિલે સિદ્ધાંત નામ હેઠળ સમય-આધારિત શબ્દમાળા સિદ્ધાંતના નમૂના તરીકે દેખાઇ હતી. તેને સામાન્યીકૃત ન્યૂનતમ મોડેલ પણ કહેવામાં આવે છે. તેને સૌપ્રથમ લિઉવિલે સિદ્ધાંત કહેવામાં આવ્યો હતો જ્યારે તે વાસ્તવમાં અસ્તિત્વમાં હોવાનું જાણવા મળ્યું હતું, અને તે સમય સમાન હોવાને બદલે અવકાશ સમાન હોવાનું જાણવા મળ્યું હતું. 2022 સુધીમાં, આ ત્રણ નામોમાંથી એક પણ સાર્વત્રિક રીતે સ્વીકારવામાં આવ્યું નથી. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ક્વોન્ટમ ગ્રેવિટીની 2D આવૃત્તિ સાબિત કરે છે ખરેખર કામ કરે છે, ચાર્લી વુડ દ્વારા ક્વોન્ટા મેગેઝિન લેખ, જૂન 2021. લિઉવિલે થિયરીનો પરિચય, ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર એડવાન્સ્ડ સ્ટડી ખાતે ચર્ચા એન્ટિ કુપીનેન દ્વારા, મે 2018. અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત શબ્દમાળા સિદ્ધાંત વિભેદક ભૂમિતિ