Mellin inversion theorem
ગણિતમાં, મેલિન વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર (હજલમાર મેલિનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે) આપણને એવી પરિસ્થિતિઓ જણાવે છે કે જેના હેઠળ વ્યુત્ક્રમ મેલિન પરિવર્તન, અથવા સમકક્ષ રીતે વ્યુત્ક્રમ દ્વિ-બાજુવાળા લાપ્લાસ પરિવર્તન, વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને રૂપાંતરિત કાર્યને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. પદ્ધતિ જો પટ્ટીમાં વિશ્લેષણાત્મક હોય, અને જો તે a અને b વચ્ચેના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય c માટે સમાનરૂપે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, તો આવી રેખા સાથે તેનું અભિન્ન સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે, તો પછી જો આપણી પાસે તે વિપરીત હોય, તો ધારો કે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર પીસવાઇઝ કન્ટિન્યુઅસ છે, કોઈપણ જમ્પ ડિસ્કંટીન્યુટી પર મર્યાદા મૂલ્યો વચ્ચે અડધા મૂલ્ય લે છે, અને ધારો કે જ્યારે અભિન્ન સંપૂર્ણપણે એકરૂપ હોય છે. પછી તેના મેલિન ટ્રાન્સફોર્મમાંથી ઇન્વર્સ મેલિન ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ પરિણામો વેરિયેબલ્સના ફેરફાર દ્વારા મેલિન ટ્રાન્સફોર્મને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સાથે સંબંધિત કરીને અને પછી ફોરિયર ઇન્વર્ઝન થીયરમનું યોગ્ય સંસ્કરણ લાગુ કરીને મેળવી શકાય છે. બાઉન્ડનેસની સ્થિતિ જો સતત હોય તો બાઉન્ડનેસની સ્થિતિને મજબૂત કરી શકાય છે. જો પટ્ટીમાં વિશ્લેષણાત્મક છે, અને જો, જ્યાં K એ હકારાત્મક અચળાંક છે, તો પછી વ્યુત્ક્રમ અભિન્ન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ અસ્તિત્વમાં છે અને સતત છે; વધુમાં ઓછામાં ઓછું તેનું મેલિન રૂપાંતર છે. બીજી બાજુ, જો આપણે મૂળ સ્વીકારવા તૈયાર હોઈએ જે એક સામાન્યીકૃત કાર્ય છે, તો આપણે તેને ખુલ્લી પટ્ટીમાં સમાવિષ્ટ કોઈપણ બંધ પટ્ટીમાં બહુપદી વૃદ્ધિ બનાવવા માટે બાઉન્ડનેસ શરતમાં છૂટ આપી શકીએ છીએ. આપણે આ પ્રમેયના બનાચ અવકાશ સંસ્કરણને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. જો આપણે હકારાત્મક વાસ્તવિકતાઓ પર જટિલ મૂલ્યવાન વિધેયોની ભારિત Lp જગ્યા દ્વારા કૉલ કરીએ, જેમ કે જ્યાં ν અને p નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે નિશ્ચિત હોય, તો જો તે સાથે હોય, તો તે સાથે સંબંધિત છે અને અહીં કાર્યો, શૂન્ય માપના સમૂહ સિવાય દરેક જગ્યાએ સમાન છે, ઓળખવામાં આવે છે. કારણ કે દ્વિ-બાજુવાળા લાપ્લાસ પરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કારણ કે આ પ્રમેયો તેના પર પણ તરત જ લાગુ કરી શકાય છે. મેલિન ટ્રાન્સફોર્મ નચબિનના પ્રમેય સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઈક્યૂવર્લ્ડઃ ધ વર્લ્ડ ઓફ મેથેમેટિકલ ઇક્વેશન્સ ખાતે ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મ્સના કોષ્ટકો પણ જુઓ. સંકલિત જટિલ વિશ્લેષણમાં સિદ્ધાંતોને રૂપાંતરિત કરે છે લાપ્લાસ રૂપાંતર