Half-integer
ગણિતમાં, અર્ધ-પૂર્ણાંક એ સ્વરૂપની સંખ્યા છે જ્યાં સંપૂર્ણ સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, બધા અર્ધ-પૂર્ણાંકો છે. "અર્ધ-પૂર્ણાંક" નામ કદાચ ગેરમાર્ગે દોરનારું છે, કારણ કે સમૂહને 1 (પૂર્ણાંક 2 નો અડધો ભાગ) જેવી સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરવા માટે ગેરસમજ થઈ શકે છે. "પૂર્ણાંક-વત્તા-અર્ધ" જેવું નામ વધુ સચોટ હોઈ શકે છે, પરંતુ શાબ્દિક રીતે સાચું ન હોવા છતાં, "અર્ધ પૂર્ણાંક" એ પરંપરાગત શબ્દ છે. અર્ધ-પૂર્ણાંકો ગણિતમાં અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં વારંવાર પૂરતા પ્રમાણમાં જોવા મળે છે કે એક અલગ શબ્દ અનુકૂળ છે. નોંધ લો કે પૂર્ણાંકને અડધો કરવાથી હંમેશા અર્ધ-પૂર્ણાંક ઉત્પન્ન થતું નથી; આ માત્ર વિષમ પૂર્ણાંકો માટે જ સાચું છે. આ કારણોસર, અર્ધ-પૂર્ણાંકોને કેટલીકવાર અર્ધ-વિચિત્ર-પૂર્ણાંકો પણ કહેવામાં આવે છે. અર્ધ-પૂર્ણાંકો એ ડાયડિક રેશનલનો સબસેટ છે (એક પૂર્ણાંકને બેની ઘાત વડે વિભાજીત કરીને પેદા થતી સંખ્યાઓ). નોટેશન અને બીજગણિત માળખું તમામ અર્ધ-પૂર્ણાંકોના સમૂહને ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે પૂર્ણાંકો અને અર્ધ-પૂર્ણાંકો એકસાથે એડિશન ઓપરેશન હેઠળ એક જૂથ બનાવે છે, જેને સૂચવી શકાય છે જો કે, આ સંખ્યાઓ રિંગ બનાવતી નથી કારણ કે બે અર્ધ-પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર અર્ધ-પૂર્ણાંક નથી; દા. ત. તેમને સમાવતી સૌથી નાની રીંગ છે, ડાયડિક રેશનલની રીંગ. ગુણધર્મો અર્ધ-પૂર્ણાંકોનો સરવાળો અર્ધ-પૂર્ણાંક હોય છે જો અને માત્ર જો તે વિચિત્ર હોય. આમાં સમાવેશ થાય છે કારણ કે ખાલી સરવાળો 0 અર્ધ-પૂર્ણાંક નથી. અર્ધ-પૂર્ણાંકનો નકારાત્મક અર્ધ-પૂર્ણાંક છે. અર્ધ-પૂર્ણાંકોના સમૂહની મુખ્યતા પૂર્ણાંકોની સમાન હોય છે. આ પૂર્ણાંકોથી અર્ધ-પૂર્ણાંકો સુધીના દ્વિભાજનના અસ્તિત્વને કારણે છેઃ, જ્યાં એક પૂર્ણાંક ઉપયોગ ક્ષેત્ર પેકિંગ છે ચાર પરિમાણોમાં એકમ ગોળાઓનું સૌથી ગીચ જાળી પેકિંગ (જેને D4 જાળી કહેવાય છે) દરેક બિંદુ પર એક ગોળા મૂકે છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ બધા પૂર્ણાંકો અથવા બધા અર્ધ-પૂર્ણાંકો હોય છે. આ પેકિંગ હર્વિટ્ઝ પૂર્ણાંકો સાથે નજીકથી સંબંધિત છેઃ એવા ચતુર્થાંશ કે જેમના વાસ્તવિક ગુણાંક કાં તો બધા પૂર્ણાંકો અથવા બધા અર્ધ-પૂર્ણાંકો હોય છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, પૌલી બાકાત સિદ્ધાંત ફર્મિઓનની અર્ધ-પૂર્ણાંકો ધરાવતા કણો તરીકેની વ્યાખ્યામાંથી પરિણમે છે. ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું ઊર્જા સ્તર અર્ધ-પૂર્ણાંકો પર થાય છે અને આમ તેની સૌથી ઓછી ઊર્જા શૂન્ય નથી. જો કે ફેક્ટોરિયલ ફંક્શન માત્ર પૂર્ણાંક દલીલો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે ગામા ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક દલીલો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. અર્ધ-પૂર્ણાંકો માટેનું ગામા કાર્ય ત્રિજ્યાના-પરિમાણીય દડાના કદ માટેના સૂત્રનો એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે, અર્ધ-પૂર્ણાંકો પરના ગામા કાર્યના મૂલ્યો પાઇના વર્ગમૂળના પૂર્ણાંક ગુણાંક છેઃ જ્યાં ડબલ ફેક્ટોરિયલ સૂચવે છે. રેશનલ સંખ્યાઓ પ્રાથમિક સંખ્યા સિદ્ધાંત સમાનતા (ગણિત)