Kobayashi metric
ગણિતમાં અને ખાસ કરીને જટિલ ભૂમિતિમાં, કોબયાશી મેટ્રિક એ કોઈ પણ જટિલ મેનીફોલ્ડ સાથે આંતરિક રીતે સંકળાયેલ સ્યુડોમેટ્રિક છે. તે 1967 માં શોશિચી કોબાયાશી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. કોબયાશી હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડ્સ એ જટિલ મેનીફોલ્ડ્સનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ છે, જે કોબયાશી સ્યુડોમેટ્રિક એ મેટ્રિક છે તે ગુણધર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જટિલ મેનીફોલ્ડ X ની કોબાયાશી હાયપરબોલિસિટી સૂચવે છે કે જટિલ રેખા C થી X સુધીનો દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો અચળ છે. વ્યાખ્યા આ ખ્યાલની ઉત્પત્તિ જટિલ વિશ્લેષણમાં શ્વાર્ઝના લેમ્મામાં છે. એટલે કે, જો f એ જટિલ સંખ્યાઓ C માં ખુલ્લી એકમ ડિસ્ક D પર હોલોમોર્ફિક વિધેય છે જેમ કે f (0) = 0 અને |f (z) | <1 D માં તમામ z માટે, તો વ્યુત્પન્ન f '(0) નું મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય 1 છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ હોલોમોર્ફિક નકશા f માટે D થી પોતે (0 થી 0 મોકલવું જરૂરી નથી), D ના કોઈપણ બિંદુ પર f ના વ્યુત્પન્ન માટે વધુ જટિલ ઉપલી સીમા હોય છે. જો કે, બાઉન્ડ પોઇનકેરે મેટ્રિકની દ્રષ્ટિએ સરળ રચના ધરાવે છે, જે વળાંક −1 (હાયપરબોલિક પ્લેન માટે આઇસોમેટ્રિક) સાથે D પર સંપૂર્ણ રીમાનિયન મેટ્રિક છે. એટલે કેઃ D થી પોતે દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો D પર પોઇનકેરે મેટ્રિકના સંદર્ભમાં અંતર-ઘટતો જાય છે. આ જટિલ વિશ્લેષણ અને નકારાત્મક વળાંકની ભૂમિતિ વચ્ચેના મજબૂત જોડાણની શરૂઆત છે. કોઈપણ જટિલ જગ્યા X માટે (ઉદાહરણ તરીકે એક જટિલ મેનીફોલ્ડ), કોબાયાશી સ્યુડોમેટ્રિક dX ને X પર સૌથી મોટા સ્યુડોમેટ્રિક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે, એકમ ડિસ્ક D થી X સુધીના તમામ હોલોમોર્ફિક નકશાઓ માટે, જ્યાં D પર પોઇનકેરે મેટ્રિકમાં અંતર સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે X એ જટિલ રેખા C હોય ત્યારે તે સમાન રીતે શૂન્ય હોય છે. (આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે C એ આપખુદ રીતે મોટી ડિસ્ક ધરાવે છે, હોલોમોર્ફિક નકશાની છબીઓ f: D → C એ આપખુદ રીતે મોટી હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે f (z) = az દ્વારા આપવામાં આવે છે.) જો કોબયાશી સ્યુડોમેટ્રિક dX મેટ્રિક હોય, તો કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસ X ને કોબયાશી હાયપરબોલિક કહેવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે X માં તમામ x ષ્ણ y માટે dX (x, y)> 0 છે. અનૌપચારિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે X માં હોલોમોર્ફિકલી મેપિંગ કરતી ડિસ્કના કદ પર એક વાસ્તવિક બંધન છે. આ શબ્દોમાં, શ્વાર્ઝની વ્યાખ્યા કહે છે કે એકમ ડિસ્ક D એ કોબાયાશી હાયપરબોલિક છે, અને વધુ ચોક્કસપણે કહીએ તો D પરનું કોબાયાશી મેટ્રિક બરાબર પોઇનકેરે મેટ્રિક છે. આ સિદ્ધાંત વધુ રસપ્રદ બને છે કારણ કે કોબાયાશી હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડ્સના વધુ ઉદાહરણો જોવા મળે છે. (કોબયાશી હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડ X માટે, કોબયાશી મેટ્રિક એ મેટ્રિક છે જે આંતરિક રીતે X ની જટિલ રચના દ્વારા નક્કી થાય છે; તે બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી કે આવું ક્યારેય થવું જોઈએ. હકારાત્મક પરિમાણના વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડમાં આ અર્થમાં આંતરિક મેટ્રિક ક્યારેય હોતું નથી, કારણ કે તેનું ડિફિયોમોર્ફિઝમ જૂથ તેને મંજૂરી આપવા માટે ખૂબ મોટું છે.) ઉદાહરણો જટિલ જગ્યાઓનો દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો f: X → Y એ X અને Y ના કોબાયાશી સ્યુડોમેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં અંતર ઘટાડે છે. તે અનુસરે છે કે જો જટિલ જગ્યા Y માં બે બિંદુઓ p અને q ને હોલોમોર્ફિક નકશા C → Y ની સાંકળ દ્વારા જોડી શકાય, તો તે dC નો ઉપયોગ કરીને dY (p, q) = 0 સમાન રીતે શૂન્ય છે. આ જટિલ મેનીફોલ્ડ્સના ઘણા ઉદાહરણો આપે છે જેના માટે કોબાયાશી સ્યુડોમેટ્રિક સમાન રીતે શૂન્ય છેઃ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ લાઇન CP1 અથવા વધુ સામાન્ય રીતે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ CPn, C− {0} (ઘાતાંકીય કાર્ય C → C− {0} નો ઉપયોગ કરીને), લંબગોળ વળાંક, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ ટોરસ. કોબયાશી હાયપરબોલિસિટી ઓપન સબસેટ્સ અથવા બંધ જટિલ સબસ્પેસીસમાં પેસેજ હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. તે અનુસરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, કે સી. એન. માં કોઈપણ બાઉન્ડેડ ડોમેન હાયપરબોલિક છે. એક જટિલ જગ્યા કોબયાશી હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની સાર્વત્રિક આવરણ જગ્યા કોબયાશી હાયપરબોલિક હોય. આ હાયપરબોલિક જટિલ વળાંકના ઘણા ઉદાહરણો આપે છે, કારણ કે એકરૂપતા પ્રમેય દર્શાવે છે કે મોટાભાગના જટિલ વળાંક (જેને રીમાન સપાટીઓ પણ કહેવાય છે) ડિસ્ક ડી માટે સાર્વત્રિક આવરણ સમરૂપતા ધરાવે છે. ખાસ કરીને, ઓછામાં ઓછું 2 જાતિનું દરેક સઘન જટિલ વળાંક હાયપરબોલિક છે, જેમ કે સીમાં 2 અથવા વધુ બિંદુઓનું પૂરક છે. મૂળભૂત પરિણામો કોબાયાશી હાયપરબોલિક અવકાશ X માટે, દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો C → X કોબાયાશી સ્યુડોમેટ્રિકના અંતર-ઘટતા ગુણધર્મ દ્વારા સ્થિર છે. આ ઘણીવાર અતિશયોક્તિનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિણામ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, C બાદબાકી 2 બિંદુઓ અતિશયોક્તિપૂર્ણ છે તે હકીકત પિકાર્ડના પ્રમેયને સૂચવે છે કે કોઈપણ બિન-સ્થિર સમગ્ર વિધેય C → C ની છબી C ના મહત્તમ એક બિંદુ પર ચૂકી જાય છે. નેવનલિના સિદ્ધાંત પિકાર્ડના પ્રમેયનો વધુ માત્રાત્મક વંશજ છે. બ્રોડીનો પ્રમેય કહે છે કે કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસ X એ કોબાયાશી હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો C → X સ્થિર હોય. એક એપ્લિકેશન એ છે કે હાયપરબોલિસિટી એ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસના પરિવારો માટે ખુલ્લી સ્થિતિ (યુક્લિડિયન ટોપોલોજીમાં) છે. માર્ક ગ્રીને બ્રોડીની દલીલનો ઉપયોગ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ ટોરસના બંધ કોમ્પ્લેક્સ સબસ્પેસ X માટે હાયપરબોલિસિટી દર્શાવવા માટે કર્યો હતોઃ X એ હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં પોઝિટિવ-ડાયમેન્શનલ સબટોરસનું કોઈ ભાષાંતર ન હોય. જો કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ X પાસે નકારાત્મક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલ હોલોમોર્ફિક વિભાગીય વળાંક સાથે હર્મિશિયન મેટ્રિક હોય, તો X એ કોબાયાશી હાયપરબોલિક છે. પરિમાણ 1 માં, આને અહલફોર્સ-શ્વાર્ઝ લેમ્મા કહેવામાં આવે છે. ગ્રીન-ગ્રિફિથ્સ-લેંગ અનુમાન ઉપરોક્ત પરિણામો જટિલ પરિમાણ 1 માં કયા જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ કોબાયાશી હાયપરબોલિક છે તેનું સંપૂર્ણ વર્ણન આપે છે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ચિત્ર ઓછું સ્પષ્ટ છે. એક કેન્દ્રીય ખુલ્લી સમસ્યા ગ્રીન-ગ્રિફિથ્સ-લેંગ અનુમાન છેઃ જો X એ સામાન્ય પ્રકારની જટિલ પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા હોય, તો ત્યાં એક બંધ બીજગણિત સબસેટ Y હોવો જોઈએ જે X ની બરાબર ન હોય, જેથી દરેક બિન-સ્થિર હોલોમોર્ફિક નકશો C → X એ Y માં નકશો બનાવે. ક્લેમેન્સ અને વોઇસિને દર્શાવ્યું કે ઓછામાં ઓછા 2 માટે, CPn + 1 ડિગ્રી d માં ઓછામાં ઓછા 2n + 1 માં ખૂબ જ સામાન્ય હાયપરસર્ફેસ X નો ગુણધર્મ છે કે X ની દરેક બંધ પેટા વિવિધતા સામાન્ય પ્રકારની છે. ("ખૂબ જ સામાન્ય" નો અર્થ એ છે કે આ ગુણધર્મ ડિગ્રી ડીના તમામ અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓના પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના નીચલા-પરિમાણીય બીજગણિત સબસેટ્સના ગણતરીપાત્ર જોડાણની બહારના તમામ અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓ માટે ધરાવે છે.) પરિણામે, ગ્રીન-ગ્રિફિથ્સ-લેંગ અનુમાન સૂચવે છે કે ઓછામાં ઓછી 2n + 1 ડિગ્રીની ખૂબ જ સામાન્ય અતિસંવેદનશીલતા કોબાયાશી અતિસંવેદનશીલતા છે. નોંધ લો કે આપેલ ડિગ્રીની તમામ સરળ અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓ અતિસંવેદનશીલ હોવાની અપેક્ષા રાખી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે કારણ કે કેટલીક અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓમાં રેખાઓ હોય છે (CP1 માટે સમરૂપ). આવા ઉદાહરણો ગ્રીન-ગ્રિફિથ્સ-લેંગ અનુમાનમાં સબસેટ Y ની જરૂરિયાત દર્શાવે છે. હાયપરબોલિસિટી પરનું અનુમાન જેટ તફાવતની તકનીકનો ઉપયોગ કરીને સિઉ, ડિમેલી અને અન્ય લોકો દ્વારા શ્રેણીબદ્ધ પ્રગતિને કારણે પૂરતી ઊંચી માત્રામાં હાયપરસર્ફેસ માટે જાણીતું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડાયવેરિયો, મર્કર અને રૂસોએ દર્શાવ્યું હતું કે ઓછામાં ઓછા 2n5 ડિગ્રીના CPn + 1 માં સામાન્ય અતિસંવેદનશીલતા ગ્રીન-ગ્રિફિથ્સ-લેંગ અનુમાનને સંતોષે છે. ("સામાન્ય" નો અર્થ એ છે કે આ તમામ હાયપરસર્ફેસની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાના નિમ્ન-પરિમાણીય બીજગણિત સબસેટ્સના મર્યાદિત જોડાણની બહાર આપેલ ડિગ્રીના તમામ હાયપરસર્ફેસ માટે લાગુ પડે છે.) 2016 માં, બ્રોટબેકે બ્રોન્સ્કિયન વિભેદક સમીકરણોના ઉપયોગના આધારે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સામાન્ય અતિસંવેદનશીલતાની અતિશયોક્તિ માટે કોબાયાશી અનુમાનનો પુરાવો આપ્યો હતો; સ્પષ્ટ ડિગ્રી સીમાઓ પછી યા ડેંગ અને ડિમેલી દ્વારા મનસ્વી પરિમાણમાં મેળવવામાં આવી છે, દા. ત. [(en) 2n + 2/3] પછીના દ્વારા. ડિગ્રી માટે વધુ સારી સીમાઓ નીચા પરિમાણોમાં જાણીતી છે. મેકક્વિલને સામાન્ય પ્રકારની દરેક જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સપાટી માટે ગ્રીન-ગ્રિફિથ-લેંગ અનુમાન સાબિત કર્યું જેની ચેરન સંખ્યાઓ c12> c2 ને સંતોષે છે. સામાન્ય પ્રકારની મનસ્વી વિવિધતા X માટે, ડિમેલીએ દર્શાવ્યું હતું કે દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો C → X કેટલાક (હકીકતમાં, ઘણા) બીજગણિત વિભેદક સમીકરણોને સંતોષે છે. વિપરીત દિશામાં, કોબયાશીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું કે કોબયાશી સ્યુડોમેટ્રિક કાલાબી-યુ મેનીફોલ્ડ્સ માટે સમાન રીતે શૂન્ય છે. આ K3 સપાટીઓના કિસ્સામાં સાચું છે, જેનો ઉપયોગ કરીને દરેક પ્રોજેક્ટિવ K3 સપાટી લંબગોળ વળાંકના પરિવાર દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કેમ્પાનાએ ચોક્કસ અનુમાન આપ્યું હતું કે કઈ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જાતો X પાસે શૂન્યની બરાબર કોબાયાશી સ્યુડોમેટ્રિક છે. એટલે કે, આ X એ અર્થમાં વિશેષ હોવાની સમકક્ષ હોવું જોઈએ કે X પાસે સામાન્ય પ્રકારના હકારાત્મક-પરિમાણીય ભ્રમણકક્ષા પર કોઈ તર્કસંગત તંતુ નથી. સંખ્યા સિદ્ધાંત સાથે સામ્યતા પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા X માટે, હોલોમોર્ફિક નકશા C → X નો અભ્યાસ X ના તર્કસંગત બિંદુઓના અભ્યાસ સાથે કેટલીક સામ્યતા ધરાવે છે, જે સંખ્યા સિદ્ધાંતનો કેન્દ્રિય વિષય છે. આ બંને વિષયો વચ્ચેના સંબંધ અંગે અનેક અટકળો છે. ખાસ કરીને, X ને સંખ્યા ક્ષેત્ર k પર પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા ગણાવો. k ને C માં એમ્બેડ કરો. પછી લેંગે અનુમાન લગાવ્યું કે જટિલ મેનીફોલ્ડ X (C) કોબાયાશી હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X પાસે k ના દરેક મર્યાદિત વિસ્તરણ ક્ષેત્ર F માટે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા F-તર્કસંગત બિંદુઓ હોય. આ તર્કસંગત બિંદુઓ પર જાણીતા પરિણામો સાથે સુસંગત છે, ખાસ કરીને અબેલિયન જાતોની પેટા વિવિધતાઓ પર ફાલ્ટિંગ્સના પ્રમેય. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, X એ સંખ્યા ક્ષેત્ર k પર સામાન્ય પ્રકારની પ્રક્ષેપાત્મક વિવિધતા છે. અપવાદરૂપ સમૂહ Y એ તમામ બિન-સ્થિર હોલોમોર્ફિક નકશા C → X ની છબીઓના જોડાણનું ઝારિસ્કી ક્લોઝર છે. ગ્રીન-ગ્રિફિથ્સ-લેંગ અનુમાન અનુસાર, Y એ X નો યોગ્ય બંધ ઉપગણ હોવો જોઈએ (અને, ખાસ કરીને, X ની બરાબર ન હોવો જોઈએ). મજબૂત લેંગ અનુમાન આગાહી કરે છે કે Y ને k પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે કે X − Y પાસે k ના દરેક મર્યાદિત વિસ્તરણ ક્ષેત્ર F માટે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા F-તર્કસંગત બિંદુઓ હોય છે. તે જ ભાવનામાં, સંખ્યા ક્ષેત્ર k પર પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા X માટે (અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, લાક્ષણિકતા શૂન્યના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર k), કેમ્પાનાએ અનુમાન લગાવ્યું હતું કે X (C) નું કોબયાશી સ્યુડોમેટ્રિક સમાન રીતે શૂન્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X સંભવિત રીતે ગાઢ તર્કસંગત બિંદુઓ ધરાવે છે, એટલે કે ત્યાં k નું મર્યાદિત વિસ્તરણ ક્ષેત્ર F છે કે જેથી F-તર્કસંગત બિંદુઓનો સમૂહ X (F) X માં ઝારિસ્કી ગાઢ છે. ચલો કારથિઓડોરી મેટ્રિક એ જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ પર અન્ય આંતરિક સ્યુડોમેટ્રિક છે. કોબાયશી અનંત સ્યુડોમેટ્રિક એ ફિન્સલર સ્યુડોમેટ્રિક છે જેનું સંકળાયેલ અંતર કાર્ય ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ કોબાયશી સ્યુડોમેટ્રિક છે. કોબયાશી-આઈઝેનમેન સ્યુડો-વોલ્યુમ સ્વરૂપ એ જટિલ એન-ફોલ્ડ પરનું આંતરિક માપ છે, જે એન-ડાયમેન્શનલ પોલીડિસ્કથી એક્સ સુધીના હોલોમોર્ફિક નકશા પર આધારિત છે. તે કોબાયાશી સ્યુડોમેટ્રિક કરતાં વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે. ખાસ કરીને, સામાન્ય પ્રકારની દરેક પ્રક્ષેપાત્મક વિવિધતા માપ-અતિસંવેદનશીલ હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે કોબયાશી-આઈઝેનમેન સ્યુડો-વોલ્યુમ સ્વરૂપ નિમ્ન-પરિમાણીય બીજગણિત સબસેટની બહાર હકારાત્મક છે. ફ્લેટ એફાઇન અને પ્રોજેક્ટિવ સ્ટ્રક્ચર્સ તેમજ વધુ સામાન્ય પ્રોજેક્ટિવ જોડાણો અને કન્ફોર્મલ જોડાણો માટે એનાલોગસ સ્યુડોમેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા છે. નોંધો સંદર્ભો બીજગણિત ભૂમિતિ જટિલ બહુવિધ