Alternating group
ગણિતમાં, વૈકલ્પિક જૂથ એ મર્યાદિત સમૂહના સમ ક્રમચયોતનું જૂથ છે. તત્વોના સમૂહ પરના વૈકલ્પિક જૂથને ડિગ્રીનું વૈકલ્પિક જૂથ અથવા અક્ષરો પર વૈકલ્પિક જૂથ કહેવામાં આવે છે અને તેને મૂળભૂત ગુણધર્મો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તે સિગ્નેચર ગ્રૂપ હોમોમોર્ફિઝમનું કર્નલ છે જે સપ્રમાણ જૂથ હેઠળ સમજાવવામાં આવ્યું છે. જૂથ એન એબેલિયન છે જો અને માત્ર જો અને સરળ જો અને માત્ર જો અથવા. A5 એ સૌથી નાનું બિન-એબેલિયન સરળ જૂથ છે, જેનો ક્રમ 60 છે, અને સૌથી નાનું બિન-ઉકેલી શકાય તેવું જૂથ છે. A4 જૂથમાં યોગ્ય સામાન્ય પેટાજૂથ તરીકે ક્લેઈન ચાર-જૂથ V છે, એટલે કે ઓળખ અને બેવડા સ્થાનાંતરણ, જે A4ના ઉપર ચડાવાનો કર્નલ છે. આપણી પાસે ચોક્કસ ક્રમ છે. ગેલોઇસ સિદ્ધાંતમાં, આ નકશો, અથવા તેના બદલે અનુરૂપ નકશો, લેગ્રેન્જ રિઝોલ્વન્ટ ક્યુબિકને ક્વાર્ટિક સાથે સાંકળવા માટે અનુરૂપ છે, જે લોડોવિકો ફેરારી દ્વારા સ્થાપિત ક્વાર્ટિક બહુપદીને રેડિકલ દ્વારા ઉકેલવાની મંજૂરી આપે છે. સંયુગ્મતા વર્ગો સમપ્રમાણ જૂથની જેમ, 'એન' ના કોઈપણ બે ઘટકો કે જે 'એન' ના તત્વ દ્વારા સંયુગ્મિત હોય તે સમાન ચક્ર આકાર ધરાવતા હોવા જોઈએ. જો કે, વિપરીત જરૂરી નથી કે સાચું હોય. જો ચક્રના આકારમાં માત્ર વિષમ લંબાઈના ચક્રોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં કોઈ બે ચક્ર સમાન લંબાઈના નથી, જ્યાં એક લંબાઈના ચક્રને ચક્રના પ્રકારમાં સામેલ કરવામાં આવે છે, તો આ ચક્રના આકાર માટે બરાબર બે સંયુગ્મતા વર્ગો છે. ઉદાહરણોઃ બે ક્રમચયો (123) અને (132) એ A3 માં સંયુગ્મ નથી, તેમ છતાં તેઓ સમાન ચક્ર આકાર ધરાવે છે, અને તેથી S3 માં સંયુગ્મ છે. ક્રમચય (123) (45678) એ A8 માં તેના વ્યસ્ત (132) (48765) સાથે સંયુગ્મિત નથી, જો કે બે ક્રમચયો સમાન ચક્ર આકાર ધરાવે છે, તેથી તેઓ S8 માં સંયુગ્મિત છે. સમપ્રમાણ જૂથ સાથેનો સંબંધ સમપ્રમાણ જૂથ જુઓ. જેમ કે મર્યાદિત સમપ્રમાણ જૂથો એ મર્યાદિત ઘટકો સાથેના સમૂહના તમામ ક્રમચયોના જૂથો છે, અને વૈકલ્પિક જૂથો સમ ક્રમચયોના જૂથો છે, વૈકલ્પિક જૂથો મર્યાદિત સમપ્રમાણ જૂથોના પેટા જૂથો છે. જનરેટર અને સંબંધો n ≤ 3 માટે, એન 3-ચક્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, કારણ કે 3-ચક્ર ટ્રાન્સપોઝિશનની જોડીના સંયોજન દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ જનરેટિંગ સેટનો ઉપયોગ ઘણીવાર એ સાબિત કરવા માટે થાય છે કે એન માટે સરળ છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ માટે, સિવાય કે, એનનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ એ આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ એન અને બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ઝેડ 2 સાથે સપ્રમાણ જૂથ એસએન છે; બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ એક વિચિત્ર ક્રમચય દ્વારા જોડાણમાંથી આવે છે. અને 2 માટે, ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ તુચ્છ છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ માટે Z2 છે, જેમાં તુચ્છ આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ અને બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ Z2 છે. એ6નું બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ક્લેઈન ચાર જૂથ છે, અને તે એસ6ના બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ સાથે સંબંધિત છે. A6 માં વધારાની બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ 3-ચક્ર (જેમ કે (123)) ને આકાર 32 (જેમ) ના તત્વો સાથે અદલાબદલી કરે છે. અપવાદરૂપ સમરૂપતા કેટલાક નાના વૈકલ્પિક જૂથો અને લાઈ પ્રકારનાં નાના જૂથો, ખાસ કરીને પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથો વચ્ચે કેટલાક અપવાદરૂપ સમરૂપતા છે. આ છેઃ એ4 એ પી. એસ. એલ. 2 (3) માટે સમરૂપ છે અને કાયરલ ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાનું સમપ્રમાણતા જૂથ છે. એ5 એ પી. એસ. એલ. 2 (4), પી. એસ. એલ. 2 (5) અને કાયરલ આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાના સમપ્રમાણતા જૂથ માટે સમરૂપ છે. (ક્રમ 60 ના સરળ જૂથોના વર્ગીકરણનો ઉપયોગ કરવાના પરોક્ષ સમરૂપતા માટે જુઓ, અને અહીં સીધા પુરાવા માટે). એ6 એ પી. એસ. એલ. 2 (9) અને પી. એસ. પી. 4 (2) 'માટે સમરૂપ છે. એ8 એ પી. એસ. એલ. 4 (2) માટે સમરૂપ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, A3 ચક્રીય જૂથ Z3 માટે આઇસોમોર્ફિક છે, અને A0, A1, અને A2 તુચ્છ જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે (જે કોઈપણ q માટે પણ છે). ઉદાહરણો S4 અને A4 ઉદાહરણ A5 એ 3-અવકાશ પરિભ્રમણના પેટાજૂથ તરીકે A5 એ 3-અવકાશમાં ડોડેકાહેડ્રોનની સમમિતિનું જૂથ છે, તેથી ત્યાં એક રજૂઆત છે. આ ચિત્રમાં પોલિહેડ્રાના શિરોબિંદુઓ જૂથના તત્વોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાં ગોળાનું કેન્દ્ર ઓળખ તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. દરેક શિરોબિંદુ કેન્દ્રથી તે શિરોબિંદુ તરફ નિર્દેશ કરતી અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, રેડિયનમાં મૂળથી અંતર સમાન ખૂણા દ્વારા. સમાન પોલિહેડ્રોનમાં શિરોબિંદુઓ સમાન સંયોગ વર્ગમાં હોય છે. A5 માટે સંયુગ્મ વર્ગનું સમીકરણ હોવાથી, આપણે ચાર અલગ (બિન-તુચ્છ) પોલિહેડ્રા મેળવીએ છીએ. દરેક પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ તેના સંયુગ્મ વર્ગના ઘટકો સાથે બાયજેક્ટિવ પત્રવ્યવહારમાં હોય છે, જેમાં (2,2)-ચક્રોના સંયુગ્મ વર્ગનો અપવાદ છે, જે બાહ્ય સપાટી પર આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન દ્વારા રજૂ થાય છે, જેમાં તેના એન્ટિપોડલ શિરોબિંદુઓ એકબીજા સાથે ઓળખાય છે. આ બિનજરૂરીતાનું કારણ એ છે કે અનુરૂપ પરિભ્રમણ રેડિયન દ્વારા થાય છે, અને તેથી તેને બેમાંથી કોઈ પણ દિશામાં લંબાઈના વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આમ (2,2)-ચક્રના વર્ગમાં 15 તત્વો હોય છે, જ્યારે આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોનમાં 30 શિરોબિંદુઓ હોય છે. A5 માં બાર 5-ચક્રના બે સંયોગ વર્ગો અનુક્રમે 2/5 અને 4/5 ત્રિજ્યાના બે આઇકોસાહેડ્રા દ્વારા રજૂ થાય છે. બિન-તુચ્છ બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ આ બે વર્ગો અને અનુરૂપ આઇકોસાહેડ્રાને એકબીજા સાથે જોડે છે. ઉદાહરણોઃ 15 પઝલ તે સાબિત કરી શકાય છે કે 15 પઝલ, સ્લાઇડિંગ પઝલનું એક પ્રખ્યાત ઉદાહરણ, વૈકલ્પિક જૂથ A15 દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, કારણ કે 15 પઝલના સંયોજનો 3-ચક્ર દ્વારા પેદા કરી શકાય છે. હકીકતમાં, સમાન કદની ચોરસ ટાઇલ્સ ધરાવતી કોઈપણ સ્લાઇડિંગ પઝલને A2k−1 દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. પેટા જૂથો A4 એ સૌથી નાનું જૂથ છે જે દર્શાવે છે કે લેગ્રાન્જના પ્રમેયની વિરુદ્ધ સામાન્ય રીતે સાચું નથીઃ મર્યાદિત જૂથ G અને ના ભાજક d આપવામાં આવે તો, ક્રમ d સાથે G નું પેટા જૂથ અસ્તિત્વમાં હોવું જરૂરી નથીઃ ક્રમ 12 નું જૂથ, ક્રમ 6 નું કોઈ પેટા જૂથ નથી. કોઈપણ વિશિષ્ટ બિન-તુચ્છ તત્વ સાથે ત્રણ તત્વોનું પેટા જૂથ (ત્રણ પદાર્થોના ચક્રીય પરિભ્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે) આખા જૂથને ઉત્પન્ન કરે છે. બધા માટે, એન પાસે કોઈ બિન-તુચ્છ (એટલે કે, યોગ્ય) સામાન્ય પેટાજૂથો નથી. આમ, એન એ બધા માટે એક સરળ જૂથ છે. A5 એ સૌથી નાનું ઉકેલાઈ ન શકાય તેવું જૂથ છે. જૂથ સમરૂપતા વૈકલ્પિક જૂથોની જૂથ સમરૂપતા સ્થિરીકરણ દર્શાવે છે, જેમ કે સ્થિર સમરૂપતા સિદ્ધાંતમાંઃ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે, તે સ્થિર છે. જો કે, કેટલાક ઓછા-પરિમાણીય અપવાદરૂપ સમરૂપતા છે. નોંધ લો કે સમપ્રમાણ જૂથની સમરૂપતા સમાન સ્થિરીકરણ દર્શાવે છે, પરંતુ ઓછા-પરિમાણીય અપવાદો (વધારાના સમરૂપતા તત્વો) વિના. H1: અબેલિયનકરણ પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ અબેલિયનકરણ સાથે સુસંગત છે, અને (કારણ કે ટાંકવામાં આવેલા અપવાદો સિવાય, એક સંપૂર્ણ છે) આમ છેઃ H1 (એક, ઝેડ) = ઝેડ1 માટે એન = 0,1,2; એચ1 (એ3, ઝેડ) = એ = એ3 = ઝેડ3; એચ1 (એ4, ઝેડ) = એ = ઝેડ3; એચ1 (એન, ઝેડ) = ઝેડ1 માટે એન ≤5. આ નીચે પ્રમાણે સરળતાથી જોઈ શકાય છે. એક 3-ચક્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે-તેથી માત્ર બિન-તુચ્છ અબેલિયનકરણ નકશા છે કારણ કે ક્રમ-3 ઘટકોએ ક્રમ-3 ઘટકો સાથે નકશો બનાવવો આવશ્યક છે-અને તમામ 3-ચક્ર સંયુગ્મિત છે, તેથી તેઓએ અબેલિયનકરણમાં સમાન તત્વ સાથે નકશો બનાવવો આવશ્યક છે, કારણ કે અબેલિયન જૂથોમાં સંયુગ્મન તુચ્છ છે. આમ (123) જેવા 3-ચક્રમાં તેના ઇન્વર્સ (321) જેવા જ તત્વનો નકશો હોવો આવશ્યક છે, પરંતુ આમ ઓળખનો નકશો હોવો આવશ્યક છે, કારણ કે તે પછી 2 અને 3 ને વિભાજીત કરવાનો ક્રમ હોવો આવશ્યક છે, તેથી અબેલિયનકરણ તુચ્છ છે. કારણ કે, એન તુચ્છ છે, અને તેથી તેમાં તુચ્છ અબેલિયનકરણ છે. A3 અને A4 માટે કોઈ પણ વ્યક્તિ એબેલિયનકરણની સીધી ગણતરી કરી શકે છે, અને નોંધે છે કે 3-ચક્ર બે સંયુગ્મ વર્ગો બનાવે છે (બધા સંયુગ્મ બનવાને બદલે) અને ત્યાં બિન-તુચ્છ નકશા છે (હકીકતમાં એક સમરૂપતા) અને. H2: શુર ગુણક વૈકલ્પિક જૂથોના શુર ગુણક એ (જ્યાં n ઓછામાં ઓછું 5 હોય તે કિસ્સામાં) ક્રમ 2 ના ચક્રીય જૂથો છે, સિવાય કે જ્યાં n ક્યાં તો 6 અથવા 7 હોય, તે કિસ્સામાં ટ્રિપલ કવર પણ હોય છે. આ કિસ્સાઓમાં, પછી, શુર ગુણક ક્રમ 6 નું (ચક્રીય જૂથ) છે. આની ગણતરી સૌપ્રથમ કરવામાં આવી હતી. n = 1,2,3 માટે H2 (an, Z) = Z1; n = 4,5 માટે H2 (an, Z) = Z2; n = 6,7 માટે H2 (an, Z) = Z6; n ≤ 8 માટે H2 (an, Z) = Z2. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ મર્યાદિત જૂથો ક્રમચય જૂથો