Extreme value theory
એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ થિયરી અથવા એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ એનાલિસિસ (ઇ. વી. એ.) એ આંકડાની એક શાખા છે જે સંભાવના વિતરણની મધ્યથી આત્યંતિક વિચલનો સાથે કામ કરે છે. તે આપેલ રેન્ડમ વેરિયેબલના આપેલ ક્રમબદ્ધ નમૂનામાંથી, અગાઉ અવલોકન કરાયેલ કોઈપણ કરતાં વધુ આત્યંતિક ઘટનાઓની સંભાવનાનું મૂલ્યાંકન કરવા માંગે છે. આત્યંતિક મૂલ્ય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ માળખાકીય ઇજનેરી, નાણા, અર્થશાસ્ત્ર, પૃથ્વી વિજ્ઞાન, ટ્રાફિક આગાહી અને ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય ઇજનેરી જેવી ઘણી શાખાઓમાં વ્યાપકપણે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 100 વર્ષના પૂર જેવી અસામાન્ય રીતે મોટી પૂરની ઘટનાની સંભાવનાનો અંદાજ કાઢવા માટે જળવિજ્ઞાનના ક્ષેત્રમાં ઇ. વી. એ. નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તેવી જ રીતે, બ્રેકવોટરની રચના માટે, દરિયાકાંઠાના ઇજનેર 50 વર્ષના તરંગનો અંદાજ કાઢશે અને તે મુજબ માળખાની રચના કરશે. ડેટા વિશ્લેષણ વ્યવહારુ આત્યંતિક મૂલ્ય વિશ્લેષણ માટે બે મુખ્ય અભિગમો અસ્તિત્વમાં છે. પ્રથમ પદ્ધતિ પ્રારંભિક પગલા તરીકે બ્લોક મેક્સિમા (મિનિમા) શ્રેણી મેળવવા પર આધાર રાખે છે. ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં વાર્ષિક મેક્સિમા (મિનિમા) કાઢવાનું રૂઢિગત અને અનુકૂળ છે, જે "વાર્ષિક મેક્સિમા શ્રેણી" (એ. એમ. એસ.) પેદા કરે છે. બીજી પદ્ધતિ સતત રેકોર્ડમાંથી બહાર કાઢવા પર આધાર રાખે છે, કોઈપણ સમયગાળા માટે પહોંચેલા ટોચના મૂલ્યો જે દરમિયાન મૂલ્યો ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડ કરતાં વધી જાય છે (ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડથી નીચે આવે છે). આ પદ્ધતિને સામાન્ય રીતે "પીક ઓવર થ્રેશોલ્ડ" પદ્ધતિ (પી. ઓ. ટી.) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. એ. એમ. એસ. માહિતી માટે, વિશ્લેષણ અંશતઃ ફિશર-ટિપેટ-ગેનેડેન્કો પ્રમેયના પરિણામો પર આધાર રાખે છે, જે ફિટિંગ માટે સામાન્યીકૃત આત્યંતિક મૂલ્ય વિતરણની પસંદગી તરફ દોરી જાય છે. જો કે, વ્યવહારમાં, વિતરણની વિશાળ શ્રેણી વચ્ચે પસંદગી કરવા માટે વિવિધ પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરવામાં આવે છે. અહીંનો પ્રમેય સમાન વિતરણમાંથી સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ખૂબ મોટા સંગ્રહના લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ માટે મર્યાદિત વિતરણ સાથે સંબંધિત છે. આપેલ છે કે એક વર્ષની અંદર સંબંધિત રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સની સંખ્યા મર્યાદિત હોઈ શકે છે, તે આશ્ચર્યજનક નથી કે અવલોકન કરાયેલ એ. એમ. એસ. ડેટાનું વિશ્લેષણ ઘણીવાર સામાન્યીકૃત આત્યંતિક મૂલ્ય વિતરણ (જી. ઇ. વી. ડી.) સિવાયના વિતરણ તરફ દોરી જાય છે. પી. ઓ. ટી. માહિતી માટે, વિશ્લેષણમાં બે વિતરણોનો સમાવેશ થઈ શકે છેઃ એક ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા સમયગાળામાં ઘટનાઓની સંખ્યા માટે અને બીજું અતિરેકના કદ માટે. પ્રથમ માટે એક સામાન્ય ધારણા પોઈસન વિતરણ છે, જેમાં સામાન્યીકૃત પેરેટો વિતરણનો ઉપયોગ અતિરેક માટે કરવામાં આવે છે. પૂંછડી-ફિટિંગ પિકન્ડ્સ-બાલ્કેમા-ડી હાન પ્રમેય પર આધારિત હોઈ શકે છે. નોવાક "પી. ઓ. ટી. પદ્ધતિ" શબ્દને એવા કિસ્સામાં અનામત રાખે છે જ્યાં થ્રેશોલ્ડ બિન-યાદૃચ્છિક હોય, અને તેને એવા કેસથી અલગ પાડે છે જ્યાં કોઈ વ્યક્તિ રેન્ડમ થ્રેશોલ્ડના અતિરેક સાથે વ્યવહાર કરે છે. આત્યંતિક મૂલ્ય સિદ્ધાંતની એપ્લિકેશનોમાં સંભવિત વિતરણની આગાહીનો સમાવેશ થાય છેઃ ભારે પૂર; વિચિત્ર તરંગોનું કદ ટોર્નેડો ફાટી નીકળે છે પર્યાવરણીય વસ્તીના મહત્તમ કદ દવાઓની આડઅસરો (દા. ત., ximelagatran) મોટા વીમા નુકસાનના પરિમાણો ઇક્વિટી જોખમો; ઉત્ક્રાંતિ દરમિયાન રોજિંદા બજાર જોખમ મ્યુટેશનલ ઇવેન્ટ્સ મોટા જંગલની આગ માળખા પર પર્યાવરણીય ભાર સૌથી ઝડપી સમય મનુષ્ય 100 મીટર સ્પ્રિન્ટ ચલાવવા અને અન્ય રમતગમતની શાખાઓમાં પ્રદર્શન કરવા માટે સક્ષમ છે કાટ લાગવાને કારણે પાઇપલાઇન નિષ્ફળતાઓ વિસંગત આઇટી નેટવર્ક ટ્રાફિક, હુમલાખોરોને મહત્વપૂર્ણ ડેટા સુધી પહોંચતા અટકાવે છે માર્ગ સલામતી વાયરલેસ સંચાર રોગચાળો ન્યુરોબાયોલોજી ઇતિહાસ આત્યંતિક મૂલ્ય સિદ્ધાંતનું ક્ષેત્ર લિયોનાર્ડ ટિપેટ (1902-1985) દ્વારા અગ્રણી હતું. ટિપેટને બ્રિટિશ કપાસ ઉદ્યોગ સંશોધન સંગઠન દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા હતા, જ્યાં તેમણે કપાસના દાણાને મજબૂત બનાવવા માટે કામ કર્યું હતું. તેમના અભ્યાસમાં, તેમને સમજાયું કે દોરીની તાકાત તેના સૌથી નબળા રેસાની તાકાત દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે. આર. એ. ફિશરની મદદથી, ટિપ્પેટે સ્વતંત્ર ચલ ધારણ કરીને ચરમસીમાઓના વિતરણનું વર્ણન કરતી ત્રણ એસિમ્પ્ટોટિક મર્યાદાઓ મેળવી હતી. એમિલ જુલિયસ ગુંબેલે તેમના 1958 ના પુસ્તક સ્ટેટિસ્ટિક્સ ઓફ એક્સ્ટ્રીમ્સમાં આ સિદ્ધાંતને સંહિતાબદ્ધ કર્યો હતો, જેમાં તેમના નામ ધરાવતા ગુંબેલ વિતરણનો સમાવેશ થાય છે. આ પરિણામોને ચલ વચ્ચે સહેજ સહસંબંધની મંજૂરી આપવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, પરંતુ શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંત ભિન્નતાના ક્રમના મજબૂત સહસંબંધ સુધી વિસ્તર્યો નથી. ખાસ રસ ધરાવતો એક સાર્વત્રિક વર્ગ લોગ-સહસંબંધિત ક્ષેત્રોનો છે, જ્યાં સહસંબંધો અંતર સાથે લઘુગણકીય રીતે ક્ષીણ થાય છે. અવિભાજ્ય સિદ્ધાંત ચાલો સંચિત વિતરણ કાર્ય F સાથે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ બનીએ અને ચાલો મહત્તમ સૂચવીએ. સિદ્ધાંતમાં, મહત્તમની ચોક્કસ વહેંચણી મેળવી શકાય છેઃ સંકળાયેલ સૂચક કાર્ય એ સફળતાની સંભાવના ધરાવતી બર્નૌલી પ્રક્રિયા છે જે આત્યંતિક ઘટનાની તીવ્રતા પર આધારિત છે. પરીક્ષણોમાં આત્યંતિક ઘટનાઓની સંખ્યા આમ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે અને જ્યાં સુધી કોઈ ઘટના ન બને ત્યાં સુધી પરીક્ષણોની સંખ્યા અપેક્ષિત મૂલ્ય અને સમાન ક્રમના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે. વ્યવહારમાં, આપણી પાસે વિતરણ કાર્ય ન પણ હોઈ શકે પરંતુ ફિશર-ટિપેટ-ગેનેડેન્કો પ્રમેય એસિમ્પ્ટોટિક પરિણામ પ્રદાન કરે છે. જો ત્યાં સ્થિરાંતોના ક્રમ અસ્તિત્વમાં હોય અને જેમ કે તે પછી વિતરણની પૂંછડીના આકાર પર આધાર રાખે છે. જ્યારે સામાન્યીકૃત થાય છે, ત્યારે G નીચેના બિન-અપક્ષયી વિતરણ પરિવારોમાંથી એકનો સમાવેશ કરે છેઃ વેઇબુલ કાયદોઃ જ્યારે વિતરણની મર્યાદિત ઉપલી સીમા સાથે હળવી પૂંછડી હોય છે. તેને પ્રકાર 3 તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ગુંબેલ નિયમઃ જ્યારે વિતરણની ઘાતાંકીય પૂંછડી હોય છે. તેને પ્રકાર 1 તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ફ્રેચેટ કાયદોઃ જ્યારે તેના વિતરણમાં ભારે પૂંછડી હોય (બહુપદી ક્ષય સહિત). તેને પ્રકાર 2 તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. વેઇબુલ અને ફ્રેચેટ કાયદાઓ માટે, મલ્ટિવેરિયેટ થિયરી એક કરતાં વધુ ચલમાં એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ થિયરી વધારાના મુદ્દાઓ રજૂ કરે છે જેને સંબોધિત કરવા પડે છે. એક સમસ્યા જે ઊભી થાય છે તે એ છે કે વ્યક્તિએ સ્પષ્ટ કરવું જોઈએ કે આત્યંતિક ઘટના શું છે. યુનિવેરિયેટ કેસમાં આ સીધું હોવા છતાં, મલ્ટીવેરિયેટ કેસમાં આવું કરવાની કોઈ સ્પષ્ટ રીત નથી. મૂળભૂત સમસ્યા એ છે કે વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન સંખ્યાઓના સમૂહને ઓર્ડર કરવો શક્ય હોવા છતાં, વેક્ટરના સમૂહને ઓર્ડર કરવાની કોઈ કુદરતી રીત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અવિભાજ્ય કિસ્સામાં, અવલોકનોના સમૂહને જોતાં, ફક્ત અવલોકનોની મહત્તમ (અથવા લઘુત્તમ) લઈને સૌથી આત્યંતિક ઘટના શોધવાનું સરળ છે. જો કે, બાયવેરિયેટ કેસમાં, અવલોકનોના સમૂહને જોતાં, સૌથી આત્યંતિક ઘટનાને કેવી રીતે શોધવી તે તરત જ સ્પષ્ટ થતું નથી. ધારો કે કોઈએ ચોક્કસ સમયે મૂલ્યો અને પછીના સમયે મૂલ્યોને માપ્યા છે. આમાંથી કઈ ઘટનાને વધુ આત્યંતિક ગણવામાં આવશે? આ પ્રશ્નનો કોઈ સાર્વત્રિક જવાબ નથી. મલ્ટીવેરિયેટ કેસમાં બીજો મુદ્દો એ છે કે મર્યાદિત મોડેલ યુનિવેરિયેટ કેસની જેમ સંપૂર્ણ રીતે નિર્ધારિત નથી. અવિભાજ્ય કિસ્સામાં, મોડેલ (જીઇવી વિતરણ) માં ત્રણ પરિમાણો હોય છે જેમના મૂલ્યો સિદ્ધાંત દ્વારા આગાહી કરવામાં આવતા નથી અને ડેટામાં વિતરણને ફિટ કરીને મેળવવું આવશ્યક છે. બહુપરીમાણીય કિસ્સામાં, મોડેલમાં માત્ર અજ્ઞાત પરિમાણો જ નથી, પરંતુ એક કાર્ય પણ છે જેનું ચોક્કસ સ્વરૂપ સિદ્ધાંત દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું નથી. જો કે, આ કાર્યમાં અમુક મર્યાદાઓનું પાલન કરવું આવશ્યક છે. કેટલાક તાજેતરમાં બાંધવામાં આવ્યા હોવા છતાં આવા પ્રતિબંધોનું પાલન કરતા અંદાજકારોની રચના કરવી સરળ નથી. એપ્લિકેશનના ઉદાહરણ તરીકે, બાયવેરિયેટ આત્યંતિક મૂલ્ય સિદ્ધાંત સમુદ્ર સંશોધન પર લાગુ કરવામાં આવ્યો છે. બિન-સ્થિર સમય શ્રેણી માટે બિન-સ્થિર ચરમસીમાઓ આંકડાકીય મોડેલિંગ 1990 ના દાયકામાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. બિનસ્થિર બહુપરીમાણીય ચરમસીમાઓ માટેની પદ્ધતિઓ તાજેતરમાં રજૂ કરવામાં આવી છે. બાદમાંનો ઉપયોગ આત્યંતિક મૂલ્યો વચ્ચેની નિર્ભરતા સમય જતાં અથવા અન્ય કોવેરિયેટ પર કેવી રીતે બદલાય છે તેના પર નજર રાખવા માટે થઈ શકે છે. આ પણ જુઓ એક્સ્ટ્રીમ રિસ્ક એક્સ્ટ્રીમ વેધર ફિશર-ટિપેટ-ગેનેડેન્કો થીયરમ જનરલાઈઝ્ડ એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન મોટા વિચલન સિદ્ધાંત આઉટલિયર પેરેટો ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પિકન્ડ્સ-બાલ્કેમા-ડી હાન થીયરમ દુર્લભ ઘટનાઓ વેઇબુલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન રિડન્ડન્સી સિદ્ધાંત નોંધો સંદર્ભો બરી કે. વી. 1975). એપ્લાઇડ સાયન્સમાં આંકડાકીય પદ્ધતિઓ. જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ. કેસ્ટિલો ઇ. (1988) ઇજનેરીમાં એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ થિયરી. એકેડેમિક પ્રેસ, ઇન્ક. ન્યૂયોર્ક. . કેસ્ટિલો, ઇ., હાદી, એ. એસ., બાલકૃષ્ણન, એન. અને સારાબિયા, જે. એમ. (2005) એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ એન્ડ રિલેટેડ મોડલ્સ વિથ એપ્લિકેશન્સ ઇન એન્જિનિયરિંગ એન્ડ સાયન્સ, વિલી સિરીઝ ઇન પ્રોબેબિલિટી એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ વિલી, હોબોકેન, ન્યૂ જર્સી. . કોલ્સ એસ. (2001) એન ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ સ્ટેટિસ્ટિકલ મોડેલિંગ ઓફ એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુઝ. સ્પ્રિંગર, લંડન. એમ્બ્રેક્ટ્સ પી., ક્લુપેલબર્ગ સી. અને મિકોશ ટી. (1997) વીમા અને નાણા માટે ચરમ ઘટનાઓનું મોડેલિંગ. બર્લિનઃ સ્પ્રિંગ વેરલેગ લીડબેટર એમ. આર., લિન્ડગ્રેન જી. અને રૂટઝેન એચ. (1982) એક્સ્ટ્રીમ્સ અને રેન્ડમ સિક્વન્સ અને પ્રક્રિયાઓના સંબંધિત ગુણધર્મો. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, ન્યૂયોર્ક. નોવાક એસ. વાય. (2011) એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ મેથડ્સ વિથ એપ્લિકેશન્સ ટુ ફાઇનાન્સ. ચેપમેન એન્ડ હોલ/સીઆરસી પ્રેસ, લંડન. R માં સોફ્ટવેર એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ સ્ટેટિસ્ટિક્સ-R ExtremeStats.jl અને Extremes.jl માં એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ સ્ટેટિસ્ટિક્સ માટેના પેકેજો-જુલિયામાં એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ સ્ટેટિસ્ટિક્સ બાહ્ય કડીઓ એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ થિયરી તમારી ગરદન બચાવી શકે છે સરળ બિન-ગાણિતિક પરિચય (પીડીએફ) કેલિફોર્નિયા યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા માટે સ્રોત કોડ, ઇર્વિન ફાઇનાન્સમાં એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ થિયરીને લાગુ કરવાના પગલાંઃ એક સમીક્ષા લેસ વેલ્યુર્સ એક્સ્ટ્રેમ્સ ડેસ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સ્ટેટિસ્ટિક્સ E. J. ગુંબેલ દ્વારા 1933-34 માં, ફ્રેન્ચમાં (પીડીએફ) એક્ચ્યુરિયલ સાયન્સ થિયરી એક્સ્ટ્રીમ વેલ્યુ સ્ટેટિસ્ટિકલ ડેટા સંભાવના વિતરણની પૂંછડીઓ નાણાકીય જોખમ મોડેલિંગ