Bayesian inference
બાયેસિયન અનુમાન (અથવા) એ આંકડાકીય અનુમાનની એક પદ્ધતિ છે જેમાં વધુ પુરાવા અથવા માહિતી ઉપલબ્ધ થતાં પૂર્વધારણાની સંભાવનાને અપડેટ કરવા માટે બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. બાયેસિયન અનુમાન એ આંકડામાં અને ખાસ કરીને ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્રમાં એક મહત્વપૂર્ણ તકનીક છે. માહિતીના ક્રમના ગતિશીલ વિશ્લેષણમાં બાયેસિયન અપડેટ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. બાયેસિયન અનુમાનને વિજ્ઞાન, ઇજનેરી, ફિલસૂફી, દવા, રમતગમત અને કાયદા સહિતની પ્રવૃત્તિઓની વિશાળ શ્રેણીમાં ઉપયોગ જોવા મળ્યો છે. નિર્ણય સિદ્ધાંતની ફિલસૂફીમાં, બાયેસિયન અનુમાન વ્યક્તિલક્ષી સંભાવના સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જેને ઘણીવાર "બાયેસિયન સંભાવના" કહેવામાં આવે છે. બેયસના નિયમનો પરિચય ઔપચારિક સમજૂતી બેયેશિયન અનુમાન બે પૂર્વજોના પરિણામે પશ્ચાદવર્તી સંભાવના મેળવે છેઃ પૂર્વ સંભાવના અને અવલોકન કરેલ માહિતી માટે આંકડાકીય નમૂનામાંથી મેળવેલ "સંભાવના કાર્ય". બાયેસિયન અનુમાન બાયસના પ્રમેય અનુસાર પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાની ગણતરી કરે છેઃ જ્યાં કોઈ પણ પૂર્વધારણાનો અર્થ થાય છે જેની સંભાવના માહિતી દ્વારા પ્રભાવિત થઈ શકે છે (જેને નીચે પુરાવા કહેવાય છે). ઘણીવાર સ્પર્ધાત્મક પૂર્વધારણાઓ હોય છે, અને કાર્ય એ નક્કી કરવાનું હોય છે કે કઈ સૌથી વધુ સંભવિત છે. પૂર્વ સંભાવના એ માહિતી, વર્તમાન પુરાવા, અવલોકન કરવામાં આવે તે પહેલાં પૂર્વધારણાની સંભાવનાનો અંદાજ છે. પુરાવા, નવા ડેટાને અનુરૂપ છે જેનો ઉપયોગ અગાઉની સંભાવનાની ગણતરીમાં કરવામાં આવ્યો ન હતો. , પશ્ચાદવર્તી સંભાવના, આપેલ સંભાવના છે, એટલે કે, અવલોકન પછી. આ તે છે જે આપણે જાણવા માંગીએ છીએઃ અવલોકન કરેલા પુરાવાને જોતાં પૂર્વધારણાની સંભાવના. અવલોકનની સંભાવના આપવામાં આવી છે અને તેને સંભાવના કહેવામાં આવે છે. નિશ્ચિત સાથે કાર્ય તરીકે, તે આપેલ પૂર્વધારણા સાથે પુરાવાની સુસંગતતા સૂચવે છે. સંભાવના કાર્ય એ પુરાવાનું કાર્ય છે, જ્યારે પશ્ચાદવર્તી સંભાવના એ પૂર્વધારણાનું કાર્ય છે. કેટલીકવાર તેને સીમાંત સંભાવના અથવા "નમૂના પુરાવા" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પરિબળ તમામ સંભવિત પૂર્વધારણાઓ માટે સમાન છે (જે હકીકત પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પૂર્વધારણા પ્રતીકમાં ક્યાંય દેખાતી નથી, અન્ય તમામ પરિબળોથી વિપરીત) અને તેથી વિવિધ પૂર્વધારણાઓની સંબંધિત સંભાવનાઓ નક્કી કરવામાં પરિબળ નથી. વિવિધ મૂલ્યો માટે, માત્ર પરિબળો અને અંશમાં બંને, પૂર્વધારણાની પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાના મૂલ્યને અસર કરે છે જે તેની પૂર્વ સંભાવના (તેની અંતર્ગત સમાનતા) અને નવી હસ્તગત સંભાવના (નવા અવલોકન કરેલા પુરાવા સાથે તેની સુસંગતતા) ના પ્રમાણસર હોય છે. બેયસના નિયમને નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છેઃ કારણ કે અને જ્યાં "નથી", તેનો તાર્કિક નિષેધ છે. સમીકરણને યાદ રાખવાની એક ઝડપી અને સરળ રીત એ છે કે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરવોઃ બાયેસિયન અપડેટ કરવાના વૈકલ્પિક બાયેસિયન અપડેટ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે અને ગણતરીની રીતે અનુકૂળ છે. જો કે, તે એકમાત્ર સુધારો નિયમ નથી કે જેને તર્કસંગત ગણી શકાય. ઇયાન હેકિંગે નોંધ્યું હતું કે પરંપરાગત "ડચ પુસ્તક" દલીલો બાયેસિયન અપડેટનો ઉલ્લેખ કરતી નથીઃ તેઓએ એવી શક્યતા ખુલ્લી રાખી હતી કે બિન-બાયેસિયન અપડેટ નિયમો ડચ પુસ્તકોને ટાળી શકે છે. હેકિંગે લખ્યુંઃ "અને ન તો ડચ પુસ્તકની દલીલ કે ન તો સંભાવનાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના વ્યક્તિગત શસ્ત્રાગારમાં અન્ય કોઈ પણ ગતિશીલ ધારણાનો સમાવેશ કરે છે. એકમાં પણ બાયેસિયનવાદનો સમાવેશ થતો નથી. તેથી વ્યક્તિગતવાદીને ગતિશીલ ધારણા બાયેસિયન હોવી જરૂરી છે. તે સાચું છે કે સુસંગતતામાં એક વ્યક્તિગતવાદી અનુભવમાંથી શીખવાના બાયેસિયન મોડેલને છોડી શકે છે. મીઠું તેનો સ્વાદ ગુમાવી શકે છે. ખરેખર, એવા બિન-બાયેસિયન સુધારા નિયમો છે જે રિચાર્ડ સી. જેફરીના નિયમના પ્રકાશનને અનુસરીને ડચ પુસ્તકો (જેમ કે "સંભાવના ગતિશાસ્ત્ર" પરના સાહિત્યમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે) ને પણ ટાળે છે, જે બેયસના નિયમને તે કેસમાં લાગુ કરે છે જ્યાં પુરાવાને જ સંભાવના સોંપવામાં આવે છે. વિશિષ્ટ રીતે બાયેસિયન અપડેટિંગની જરૂર પડે તે માટે જરૂરી વધારાની પૂર્વધારણાઓ નોંધપાત્ર, જટિલ અને અસંતોષકારક માનવામાં આવી છે. વિશિષ્ટ અને સંપૂર્ણ શક્યતાઓ પર અનુમાન જો પુરાવાનો ઉપયોગ એક સાથે વિશિષ્ટ અને સંપૂર્ણ દરખાસ્તોના સમૂહ પરની માન્યતાને અપડેટ કરવા માટે કરવામાં આવે, તો બાયેસિયન અનુમાનને સમગ્ર રીતે આ માન્યતા વિતરણ પર કામ કરવા તરીકે માનવામાં આવી શકે છે. સામાન્ય રચના ધારો કે કોઈ પ્રક્રિયા સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વહેંચાયેલી ઘટનાઓ પેદા કરી રહી છે, પરંતુ સંભાવના વિતરણ અજ્ઞાત છે. ચાલો ઇવેન્ટ સ્પેસ આ પ્રક્રિયા માટે માન્યતાની વર્તમાન સ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે. દરેક મોડેલ ઘટના દ્વારા રજૂ થાય છે. શરતી સંભાવનાઓ મોડેલોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. તે વિશ્વાસની માત્રા છે. પ્રથમ અનુમાન પગલું પહેલાં, પ્રારંભિક પૂર્વ સંભાવનાઓનો સમૂહ છે. આનો સરવાળો 1 હોવો જોઈએ, પરંતુ અન્યથા મનસ્વી છે. ધારો કે પ્રક્રિયા ઉત્પન્ન કરવા માટે અવલોકન કરવામાં આવે છે. દરેક માટે, પહેલાનું પાછળના ભાગમાં અપડેટ કરવામાં આવે છે. બેયસના પ્રમેયમાંથીઃ વધુ પુરાવાના નિરીક્ષણ પર, આ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે. બહુવિધ અવલોકનો સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત અવલોકનોના ક્રમ માટે, તે ઇન્ડક્શન દ્વારા બતાવી શકાય છે કે ઉપરોક્તનો વારંવાર ઉપયોગ એ પેરામેટ્રિક રચનાની સમકક્ષ છેઃ ઔપચારિક વર્ણનને પ્રેરિત કરવું મોડેલોની જગ્યાને પરિમાણિત કરીને, તમામ મોડેલોમાં વિશ્વાસને એક જ પગલામાં અપડેટ કરી શકાય છે. મોડેલ જગ્યા પર માન્યતાની વહેંચણીને પછી પરિમાણ જગ્યા પર માન્યતાની વહેંચણી તરીકે વિચારી શકાય છે. આ વિભાગમાં વિતરણ સતત તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જે સંભાવના ઘનતા દ્વારા રજૂ થાય છે, કારણ કે આ સામાન્ય પરિસ્થિતિ છે. જોકે, આ તકનીક અલગ વિતરણ માટે સમાન રીતે લાગુ પડે છે. વેક્ટરને પરિમાણની જગ્યાને વિસ્તારવા દો. ચાલો પ્રારંભિક પૂર્વ વિતરણ ઉપર, જ્યાં પહેલાંના પરિમાણોનો સમૂહ છે, અથવા હાયપરપેરામીટર્સ છે. ચાલો સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત ઘટના નિરીક્ષણોનો ક્રમ બનીએ, જ્યાં કેટલાક માટે બધાને વહેંચવામાં આવે છે. બેયસના પ્રમેયને પશ્ચાદવર્તી વિતરણ શોધવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં બાયેસિયન અનુમાન વ્યાખ્યાઓનું ઔપચારિક વર્ણન, સામાન્ય રીતે માહિતી બિંદુ છે. આ વાસ્તવમાં મૂલ્યોનું વેક્ટર હોઈ શકે છે. , ડેટા પોઇન્ટના વિતરણનું પરિમાણ, એટલે કે, આ પરિમાણોનું વેક્ટર હોઈ શકે છે. , પરિમાણ વિતરણનું હાયપરપેરામીટર, એટલે કે, આ હાયપરપેરામીટરનું વેક્ટર હોઈ શકે છે. તે નમૂનો છે, અવલોકન કરેલ ડેટા બિંદુઓનો સમૂહ છે, એટલે કે. , એક નવો ડેટા પોઇન્ટ જેની વહેંચણીની આગાહી કરવાની છે. બાયેસિયન અનુમાન પૂર્વ વિતરણ એ કોઈપણ માહિતીનું અવલોકન કરવામાં આવે તે પહેલાં પરિમાણો (ઓ) નું વિતરણ છે, એટલે કે. . પૂર્વ વિતરણ સરળતાથી નક્કી ન થઈ શકે; આવા કિસ્સામાં, નવા અવલોકનો સાથે તેને અપડેટ કરતા પહેલા પૂર્વ વિતરણ મેળવતા પહેલા જેફ્રીઝનો ઉપયોગ કરવાની એક શક્યતા હોઈ શકે છે. નમૂનાનું વિતરણ એ તેના પરિમાણો પર શરતી અવલોકન કરેલ માહિતીનું વિતરણ છે, એટલે કે. આને સંભાવના પણ કહેવામાં આવે છે, ખાસ કરીને જ્યારે પરિમાણો (ઓ) ના કાર્ય તરીકે જોવામાં આવે છે, કેટલીકવાર લખવામાં આવે છે. સીમાંત સંભાવના (કેટલીકવાર પુરાવા તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ પરિમાણો (ઓ) પર હાંસિયામાં ધકેલાયેલા અવલોકન કરેલા ડેટાનું વિતરણ છે, એટલે કે. તે ભૌમિતિક અર્થમાં માહિતી અને નિષ્ણાતના અભિપ્રાય વચ્ચેના કરારનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે, જેને ચોક્કસ બનાવી શકાય છે. પશ્ચાદવર્તી વિતરણ એ અવલોકન કરેલ માહિતીને ધ્યાનમાં લીધા પછી પરિમાણો (ઓ) નું વિતરણ છે. આ બેયસના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે બેયેશિયન અનુમાનનું હૃદય બનાવે છેઃ આને શબ્દોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે "પશ્ચાદવર્તી અગાઉના સંભાવના સમયના પ્રમાણસર હોય છે", અથવા કેટલીકવાર "પુરાવા કરતાં પશ્ચાદવર્તી = અગાઉના સંભાવના સમય" તરીકે. વ્યવહારમાં, મશીન લર્નિંગમાં ઉપયોગમાં લેવાતા લગભગ તમામ જટિલ બાયેસિયન મોડેલો માટે, પશ્ચાદવર્તી વિતરણ બંધ સ્વરૂપ વિતરણમાં મેળવવામાં આવતું નથી, મુખ્યત્વે કારણ કે માટે પરિમાણની જગ્યા ખૂબ વધારે હોઈ શકે છે, અથવા બાયેસિયન મોડેલ અવલોકનો અને પરિમાણોમાંથી ઘડવામાં આવેલી ચોક્કસ અધિક્રમિક રચનાને જાળવી રાખે છે. આવી પરિસ્થિતિઓમાં, આપણે અંદાજ તકનીકોનો આશરો લેવાની જરૂર છે. બાયેસિયન આગાહી પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ એ નવા ડેટા પોઇન્ટનું વિતરણ છે, જે પશ્ચાદવર્તી પર હાંસિયામાં ધકેલાય છેઃ પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ એ નવા ડેટા પોઇન્ટનું વિતરણ છે, જે અગાઉની સરખામણીમાં હાંસિયામાં ધકેલાય છેઃ બાયેસિયન સિદ્ધાંત આગાહીયુક્ત અનુમાન કરવા માટે પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણનો ઉપયોગ કરવા માટે કહે છે, એટલે કે, નવા, અવલોકન વિનાના ડેટા પોઇન્ટના વિતરણની આગાહી કરવા માટે. એટલે કે, આગાહી તરીકે નિશ્ચિત બિંદુને બદલે, સંભવિત બિંદુઓ પરનું વિતરણ પરત કરવામાં આવે છે. માત્ર આ રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા પરિમાણો (ઓ) નું સંપૂર્ણ પશ્ચાદવર્તી વિતરણ છે. તુલનાત્મક રીતે, વારંવારના આંકડાશાસ્ત્રમાં આગાહીમાં ઘણીવાર પરિમાણો (ઓ) નો મહત્તમ બિંદુ અંદાજ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે-દા. ત., મહત્તમ સંભાવના અથવા મહત્તમ પશ્ચાદવર્તી અંદાજ (એમએપી) દ્વારા-અને પછી આ અંદાજને ડેટા પોઇન્ટના વિતરણ માટેના સૂત્રમાં જોડવામાં આવે છે. આનો ગેરલાભ એ છે કે તે પરિમાણના મૂલ્યમાં કોઈ અનિશ્ચિતતા માટે જવાબદાર નથી, અને તેથી આગાહીયુક્ત વિતરણના તફાવતને ઓછો અંદાજ આપશે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વારંવારના આંકડા આ સમસ્યાની આસપાસ કામ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અજ્ઞાત સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણમાંથી નિર્માણ કરવામાં આવે છે ત્યારે વારંવારના આંકડાશાસ્ત્રમાં આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અને આગાહી અંતરાલ વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. આ તફાવતનો યોગ્ય અંદાજ કાઢે છે, કારણ કે (1) સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સની સરેરાશ પણ સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલી હોય છે, અને (2) અજ્ઞાત સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે સામાન્ય રીતે વિતરિત ડેટા પોઇન્ટનું અનુમાનિત વિતરણ, સંયુક્ત અથવા બિન-માહિતીપ્રદ પ્રાયર્સનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ ધરાવે છે. જોકે, બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રમાં, પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ હંમેશા બરાબર નક્કી કરી શકાય છે-અથવા જ્યારે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે ઓછામાં ઓછું ચોકસાઈના મનસ્વી સ્તર સુધી. બંને પ્રકારના આગાહીયુક્ત વિતરણમાં સંયોજન સંભાવના વિતરણનું સ્વરૂપ હોય છે (જેમ કે સીમાંત સંભાવના). હકીકતમાં, જો પહેલાનું વિતરણ અગાઉના સંયુગ્મ હોય, જેમ કે પહેલાનું અને પાછળના વિતરણો એક જ પરિવારમાંથી આવે છે, તો તે જોઈ શકાય છે કે પહેલાનું અને પાછળના આગાહીયુક્ત વિતરણો પણ સંયોજન વિતરણોના એક જ પરિવારમાંથી આવે છે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ હાયપરપેરામીટર્સના અદ્યતન મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરે છે (સંયુક્ત અગાઉના લેખમાં આપવામાં આવેલા બાયેસિયન અપડેટ નિયમો લાગુ કરે છે), જ્યારે પૂર્વ આગાહીયુક્ત વિતરણ અગાઉના વિતરણમાં દેખાતા હાયપરપેરામીટર્સના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરે છે. ગાણિતિક ગુણધર્મો પરિબળનું અર્થઘટન. એટલે કે, જો મોડેલ સાચું હોત, તો માન્યતાઓની વર્તમાન સ્થિતિ દ્વારા આગાહી કરવામાં આવે તે કરતાં પુરાવા વધુ સંભવિત હોત. વિપરીત માન્યતા ઘટાડા માટે લાગુ પડે છે. જો માન્યતા બદલાતી નથી,. એટલે કે, પુરાવા મોડેલથી સ્વતંત્ર છે. જો મોડેલ સાચું હોત, તો માન્યતાઓની વર્તમાન સ્થિતિ દ્વારા આગાહી કરવામાં આવી હોય તેટલી જ શક્યતા પુરાવાઓ હશે. ક્રોમવેલનો નિયમ જો તો. જો એમ હોય તો. આનો અર્થ એ થઈ શકે છે કે સખત માન્યતાઓ પ્રતિ-પુરાવા પ્રત્યે અસંવેદનશીલ છે. પહેલું સીધા બેયસના પ્રમેયને અનુસરે છે. પછીનું ઘટના પર પ્રથમ નિયમ લાગુ કરીને મેળવી શકાય છે "ના" ની જગ્યાએ, "ઉપજ" જો, તો ", જેમાંથી પરિણામ તરત જ અનુસરે છે. પશ્ચાદવર્તીની એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક માન્યતા વિતરણની વર્તણૂકને ધ્યાનમાં લો કારણ કે તે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત પરીક્ષણો સાથે મોટી સંખ્યામાં અપડેટ થાય છે. પૂરતી સારી પૂર્વ સંભાવનાઓ માટે, બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ થીયરમ આપે છે કે અનંત પરીક્ષણોની મર્યાદામાં, પશ્ચાદવર્તી 1948માં જોસેફ એલ. ડૂબ દ્વારા પ્રથમ દર્શાવેલ અને સખત રીતે સાબિત થયેલી કેટલીક શરતો હેઠળ પ્રારંભિક પૂર્વથી સ્વતંત્ર ગૌસીયન વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે, એટલે કે જો વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલમાં મર્યાદિત સંભાવના જગ્યા હોય. વધુ સામાન્ય પરિણામો પછીથી આંકડાશાસ્ત્રી ડેવિડ એ. ફ્રીડમેન દ્વારા મેળવવામાં આવ્યા હતા, જેમણે 1963 અને 1965માં બે મૂળભૂત સંશોધન પત્રોમાં પ્રકાશિત કર્યા હતા કે ક્યારે અને કયા સંજોગોમાં પશ્ચાદવર્તીની એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકની ખાતરી આપવામાં આવે છે. તેમના 1963 ના પેપરમાં 'ડુબ' (1949) જેવા મર્યાદિત કેસની ચર્ચા કરવામાં આવી છે અને તે સંતોષકારક નિષ્કર્ષ પર આવે છે. જો કે, જો રેન્ડમ વેરિયેબલમાં અનંત પરંતુ ગણતરીપાત્ર સંભાવના જગ્યા હોય (એટલે કે, અનંત ઘણા ચહેરાઓ સાથે ડાઇને અનુરૂપ) તો 1965નું પેપર દર્શાવે છે કે પ્રાયર્સના ગાઢ સબસેટ માટે બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ થીયરમ લાગુ પડતું નથી. આ કિસ્સામાં લગભગ ચોક્કસપણે કોઈ એસિમ્પ્ટોટિક કન્વર્જન્સ નથી. બાદમાં 1980 અને 1990ના દાયકામાં ફ્રીડમેન અને પર્સી ડાયકોનિસે અનંત ગણતરીપાત્ર સંભાવના જગ્યાઓ પર કામ કરવાનું ચાલુ રાખ્યું હતું. ટૂંકમાં કહીએ તો, પ્રારંભિક પસંદગીની અસરોને દબાવવા માટે અપૂરતા પરીક્ષણો હોઈ શકે છે, અને ખાસ કરીને મોટી (પરંતુ મર્યાદિત) પ્રણાલીઓ માટે અભિસરણ ખૂબ જ ધીમું હોઈ શકે છે. કોન્જ્યુગેટ પ્રાયર્સ પરિમાણિત સ્વરૂપમાં, પૂર્વ વિતરણ ઘણીવાર કોન્જ્યુગેટ પ્રાયર્સ તરીકે ઓળખાતા વિતરણોના પરિવારમાંથી આવે છે તેવું માનવામાં આવે છે. અગાઉના સંયુગ્મની ઉપયોગિતા એ છે કે અનુરૂપ પશ્ચાદવર્તી વિતરણ એક જ પરિવારમાં હશે, અને ગણતરી બંધ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. પરિમાણો અને આગાહીઓના અંદાજો ઘણીવાર પરિમાણ અથવા ચલનો અંદાજ કાઢવા માટે પશ્ચાદવર્તી વિતરણનો ઉપયોગ કરવાની ઇચ્છા હોય છે. બાયેસિયન અંદાજની કેટલીક પદ્ધતિઓ પશ્ચાદવર્તી વિતરણમાંથી કેન્દ્રીય વલણના માપનને પસંદ કરે છે. એક-પરિમાણીય સમસ્યાઓ માટે, વ્યવહારુ સતત સમસ્યાઓ માટે એક અનન્ય માધ્યમ અસ્તિત્વમાં છે. પશ્ચાદવર્તી મધ્યક એક મજબૂત અંદાજકાર તરીકે આકર્ષક છે. જો પશ્ચાદવર્તી વિતરણ માટે મર્યાદિત સરેરાશ અસ્તિત્વમાં હોય, તો પશ્ચાદવર્તી સરેરાશ એ અંદાજની એક પદ્ધતિ છે. સૌથી વધુ સંભાવના સાથે મૂલ્ય લેવાથી મહત્તમ પશ્ચાદવર્તી (એમએપી) અંદાજો વ્યાખ્યાયિત થાય છેઃ એવા ઉદાહરણો છે કે જ્યાં કોઈ મહત્તમ પ્રાપ્ત થતું નથી, આ કિસ્સામાં એમએપી અંદાજોનો સમૂહ ખાલી છે. અંદાજની અન્ય પદ્ધતિઓ છે જે નુકસાન કાર્યના સંદર્ભમાં પશ્ચાદવર્તી જોખમ (અપેક્ષિત-પશ્ચાદવર્તી નુકસાન) ને ઘટાડે છે, અને આ નમૂના વિતરણ ("વારંવાર આંકડાશાસ્ત્ર") નો ઉપયોગ કરીને આંકડાકીય નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં રસ ધરાવે છે. નવા અવલોકનનું પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ (જે અગાઉના અવલોકનોથી સ્વતંત્ર છે) પૂર્વધારણાના ઉદાહરણો સંભાવના દ્વારા નક્કી થાય છે. બાઉલ #1 માં 10 ચોકલેટ ચિપ અને 30 સાદી કૂકીઝ હોય છે, જ્યારે બાઉલ #2 માં દરેકમાં 20 હોય છે. અમારો મિત્ર ફ્રેડ યાદૃચ્છિક રીતે બાઉલ પસંદ કરે છે, અને પછી યાદૃચ્છિક રીતે કૂકી પસંદ કરે છે. આપણે ધારી શકીએ કે એવું માનવાનું કોઈ કારણ નથી કે ફ્રેડ એક બાઉલને બીજાથી અલગ રીતે વર્તે છે, તેવી જ રીતે કૂકીઝ માટે. કૂકી સાદી હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તે કેટલું સંભવિત છે કે ફ્રેડે તેને બાઉલ #1 માંથી બહાર કાઢ્યું? સાહજિક રીતે, તે સ્પષ્ટ લાગે છે કે જવાબ અડધાથી વધુ હોવો જોઈએ, કારણ કે બાઉલ #1 માં વધુ સાદા કૂકીઝ છે. ચોક્કસ જવાબ બેયસના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. ચાલો બોલ #1 અને બોલ #2 ને અનુરૂપ કરીએ. એવું આપવામાં આવે છે કે ફ્રેડના દૃષ્ટિકોણથી બાઉલ સમાન છે, આમ, અને બંનેનો સરવાળો 1 સુધી થવો જોઈએ, તેથી બંને 0.5 ની બરાબર છે. આ ઘટના સાદા કૂકીનું નિરીક્ષણ છે. આપણે કૂકીનું નિરીક્ષણ કરીએ તે પહેલાં, આપણે ફ્રેડ માટે બાઉલ #1 પસંદ કરવાની જે સંભાવના આપી હતી તે અગાઉની સંભાવના હતી, જે 0.5 હતી. કૂકીનું નિરીક્ષણ કર્યા પછી, આપણે સંભાવનામાં સુધારો કરવો જોઈએ, જે 0.6 છે. એક પુરાતત્વવિદ્ 11મી સદીથી 16મી સદી વચ્ચેના મધ્યયુગીન સમયગાળાના હોવાનું માનવામાં આવતા સ્થળ પર કામ કરી રહ્યા છે. જો કે, તે ચોક્કસ નથી કે આ સમયગાળામાં આ સ્થળ ક્યારે વસવાટ કરતું હતું. માટીના વાસણોના ટુકડાઓ જોવા મળે છે, જેમાંથી કેટલાક ચમકદાર હોય છે અને કેટલાક સુશોભિત હોય છે. એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે કે જો આ સ્થળ પ્રારંભિક મધ્યયુગીન સમયગાળા દરમિયાન વસવાટ કરતું હોત, તો 1 ટકા માટીકામ ચમકદાર હોત અને તેના 50 ટકા વિસ્તારને શણગારવામાં આવતો, જ્યારે કે જો તે મધ્યયુગીન સમયગાળાના અંતમાં વસવાટ કરતો હોત તો 81 ટકા ચમકદાર હોત અને તેના 5 ટકા વિસ્તારને શણગારવામાં આવતો. અવશેષો મળી આવતા પુરાતત્વવિદ્ વસવાટની તારીખે કેટલો વિશ્વાસ રાખી શકે છે? સતત ચલ (સદી) માં માન્યતાની માત્રાની ગણતરી પુરાવા તરીકે ઘટનાઓના અલગ સમૂહ સાથે કરવાની છે. સમયની સાથે ગ્લેઝ અને શણગારની રેખીય વિવિધતા અને આ ચલ સ્વતંત્ર છે એમ ધારીને, એક સમાન પહેલું ધારો, અને તે પરીક્ષણો સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વહેંચાયેલા છે. જ્યારે પ્રકારનો નવો ટુકડો શોધાય છે, ત્યારે બેયસના પ્રમેયને દરેક માટે માન્યતાની માત્રાને અપડેટ કરવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છેઃ બદલાતી માન્યતાનું કમ્પ્યુટર સિમ્યુલેશન જેમ કે 50 ટુકડાઓ મળી આવ્યા છે તે ગ્રાફ પર દર્શાવવામાં આવ્યું છે. અનુકરણમાં, આ સ્થળ 1420 ની આસપાસ વસવાટ કરતું હતું, અથવા. 50 પરીક્ષણો માટે આલેખના સંબંધિત ભાગ હેઠળના વિસ્તારની ગણતરી કરીને, પુરાતત્વવિદ્ કહી શકે છે કે 11મી અને 12મી સદીમાં આ સ્થળ વસવાટ કરતું હોવાની વ્યવહારીક રીતે કોઈ શક્યતા નથી, લગભગ 1 ટકા શક્યતા છે કે તે 13મી સદી દરમિયાન વસવાટ કરતું હતું, 14મી સદી દરમિયાન 63 ટકા શક્યતા અને 15મી સદી દરમિયાન 36 ટકા શક્યતા છે. બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ થીયરમ અહીં "સાચા" વિતરણમાં એસિમ્પ્ટોટિક કન્વર્જન્સ પર ભાર મૂકે છે કારણ કે ઘટનાઓના અલગ સમૂહને અનુરૂપ સંભાવના જગ્યા મર્યાદિત છે (પશ્ચાદવર્તીના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન પર ઉપરનો વિભાગ જુઓ). વારંવાર આંકડાશાસ્ત્ર અને નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં બાયેસિયન અનુમાનના ઉપયોગનું નિર્ણય-સૈદ્ધાંતિક સમર્થન અબ્રાહમ વાલ્ડ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું, જેમણે સાબિત કર્યું હતું કે દરેક અનન્ય બાયેસિયન પ્રક્રિયા સ્વીકાર્ય છે. તેનાથી વિપરીત, દરેક સ્વીકાર્ય આંકડાકીય પ્રક્રિયા કાં તો બાયેસિયન પ્રક્રિયા અથવા બાયેસિયન પ્રક્રિયાઓની મર્યાદા છે. વાલ્ડે સ્વીકાર્ય પ્રક્રિયાઓને બાયેસિયન પ્રક્રિયાઓ (અને બાયેસિયન પ્રક્રિયાઓની મર્યાદાઓ) તરીકે વર્ણવી હતી, જે બાયેસિયન ઔપચારિકતાને પરિમાણ અંદાજ, પૂર્વધારણા પરીક્ષણ અને વિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી જેવા વારંવારના અનુમાનના ક્ષેત્રોમાં કેન્દ્રિય તકનીક બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ "કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં, તમામ સ્વીકાર્ય પ્રક્રિયાઓ ક્યાં તો બેયસ પ્રક્રિયાઓ અથવા બેયસ પ્રક્રિયાઓની મર્યાદાઓ (વિવિધ અર્થમાં) હોય છે. આ નોંધપાત્ર પરિણામો, ઓછામાં ઓછા તેમના મૂળ સ્વરૂપમાં, અનિવાર્યપણે વાલ્ડને કારણે છે. તેઓ ઉપયોગી છે કારણ કે બેયસ હોવાના ગુણધર્મનું વિશ્લેષણ કરવું સ્વીકાર્યતા કરતાં વધુ સરળ છે. "નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં, સ્વીકાર્યતા સાબિત કરવા માટેની એકદમ સામાન્ય પદ્ધતિમાં એક અનન્ય બેયસ ઉકેલ તરીકે પ્રક્રિયાને પ્રદર્શિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે". "આ કાર્યના પ્રથમ પ્રકરણોમાં, પ્રયોગોની સરખામણીને લગતા કેટલાક મુખ્ય સિદ્ધાંતો સ્થાપિત કરવા માટે મર્યાદિત સમર્થન સાથેના પૂર્વ વિતરણો અને અનુરૂપ બેયસ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. વધુ સામાન્ય પૂર્વ વિતરણોના સંદર્ભમાં બેયની પ્રક્રિયાઓએ તેના એસિમ્પ્ટોટિક સિદ્ધાંત સહિત આંકડાશાસ્ત્રના વિકાસમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી છે. "એવી ઘણી સમસ્યાઓ છે જ્યાં પાછળના વિતરણો પર એક નજર, યોગ્ય પ્રાથમિકતાઓ માટે, તરત જ રસપ્રદ માહિતી આપે છે. ઉપરાંત, ક્રમિક વિશ્લેષણમાં આ તકનીકને ભાગ્યે જ ટાળી શકાય છે. "એક ઉપયોગી હકીકત એ છે કે સમગ્ર પરિમાણ જગ્યા પર યોગ્ય અગાઉથી લઈને મેળવેલ કોઈપણ બેયસ નિર્ણય નિયમ સ્વીકાર્ય હોવો જોઈએ" "સ્વીકાર્યતા વિચારોના વિકાસમાં તપાસનું એક મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્ર પરંપરાગત નમૂના-સિદ્ધાંત પ્રક્રિયાઓનું રહ્યું છે, અને ઘણા રસપ્રદ પરિણામો મેળવવામાં આવ્યા છે". મોડેલની પસંદગી બાયેસિયન પદ્ધતિ પણ મોડેલની પસંદગીમાં ભૂમિકા ભજવે છે જ્યાં તેનો ઉદ્દેશ સ્પર્ધાત્મક મોડેલોના સમૂહમાંથી એક મોડેલ પસંદ કરવાનો છે જે અવલોકન કરેલ માહિતી પેદા કરતી અંતર્ગત પ્રક્રિયાને સૌથી નજીકથી રજૂ કરે છે. બાયેસિયન મોડેલની સરખામણીમાં, ડેટાને ધ્યાનમાં રાખીને સૌથી વધુ પશ્ચાદવર્તી સંભાવના ધરાવતું મોડેલ પસંદ કરવામાં આવે છે. મોડેલની પશ્ચાદવર્તી સંભાવના પુરાવા અથવા સીમાંત સંભાવના પર આધાર રાખે છે, જે મોડેલ દ્વારા ડેટા પેદા થવાની સંભાવના અને મોડેલની પૂર્વ માન્યતા પર પ્રતિબિંબિત કરે છે. જ્યારે બે સ્પર્ધાત્મક મોડેલોને સમાન ગણવામાં આવે છે, ત્યારે તેમની પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાઓનો ગુણોત્તર બેયસ પરિબળને અનુરૂપ હોય છે. બાયેસિયન મોડેલની સરખામણીનો હેતુ સૌથી વધુ પશ્ચાદવર્તી સંભાવના સાથે મોડેલની પસંદગી કરવાનો હોવાથી, આ પદ્ધતિને મહત્તમ પશ્ચાદવર્તી (એમએપી) પસંદગી નિયમ અથવા એમએપી સંભાવના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. સંભવિત પ્રોગ્રામિંગ કલ્પનાત્મક રીતે સરળ હોવા છતાં, બાયેસિયન પદ્ધતિઓ ગાણિતિક અને આંકડાકીય રીતે પડકારજનક હોઈ શકે છે. સંભવિત પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ (પી. પી. એલ.) કાર્યક્ષમ સ્વચાલિત અનુમાન પદ્ધતિઓ સાથે સરળતાથી બાયેસિયન મોડેલો બનાવવા માટે કાર્યોનો અમલ કરે છે. આ મોડેલ બિલ્ડિંગને અનુમાનથી અલગ કરવામાં મદદ કરે છે, પ્રેક્ટિશનરોને તેમની ચોક્કસ સમસ્યાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાની મંજૂરી આપે છે અને પી. પી. એલ. ને તેમના માટે કોમ્પ્યુટેશનલ વિગતો સંભાળવા માટે છોડી દે છે. એપ્લિકેશન્સ આંકડાકીય માહિતી વિશ્લેષણ બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સ પર અલગ વિકિપીડિયા એન્ટ્રી જુઓ, ખાસ કરીને તે પૃષ્ઠમાં આંકડાકીય મોડેલિંગ વિભાગ. કમ્પ્યુટર એપ્લિકેશન્સ બાયેસિયન અનુમાન કૃત્રિમ બુદ્ધિ અને નિષ્ણાત પ્રણાલીઓમાં એપ્લિકેશન્સ ધરાવે છે. બાયેસિયન અનુમાન તકનીકો 1950 ના દાયકાના અંતથી કોમ્પ્યુટરાઈઝ્ડ પેટર્ન માન્યતા તકનીકોનો મૂળભૂત ભાગ રહી છે. બેયેશિયન પદ્ધતિઓ અને સિમ્યુલેશન-આધારિત મોન્ટે કાર્લો તકનીકો વચ્ચે પણ સતત જોડાણ વધી રહ્યું છે કારણ કે જટિલ મોડેલો પર બેયેશિયન વિશ્લેષણ દ્વારા બંધ સ્વરૂપમાં પ્રક્રિયા કરી શકાતી નથી, જ્યારે ગ્રાફિકલ મોડેલ માળખું ગિબ્સ સેમ્પલિંગ અને અન્ય મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ અલ્ગોરિધમ યોજનાઓ જેવા કાર્યક્ષમ સિમ્યુલેશન અલ્ગોરિધમ્સને મંજૂરી આપી શકે છે. તાજેતરમાં બાયેસિયન અનુમાન આ કારણોસર ફિલોજેનેટિક્સ સમુદાયમાં લોકપ્રિયતા મેળવી છે; સંખ્યાબંધ એપ્લિકેશનો ઘણા વસ્તી વિષયક અને ઉત્ક્રાંતિના પરિમાણોને એક સાથે અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. આંકડાકીય વર્ગીકરણને લાગુ પડે છે તેમ, બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ ઈ-મેલ સ્પામને ઓળખવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવા માટે કરવામાં આવ્યો છે. સ્પામ ફિલ્ટરિંગ માટે બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ કરતી એપ્લિકેશનોમાં CRM114, DSPAM, Bogofilter, SpamAssassin, SpamBayes, Motzilla, XEAMS અને અન્યનો સમાવેશ થાય છે. સ્પામ વર્ગીકરણને નિષ્કપટ બેયસ વર્ગીકરણ પરના લેખમાં વધુ વિગતવાર ગણવામાં આવે છે. સોલોમનઓફનું પ્રેરક અનુમાન એ અવલોકનો પર આધારિત આગાહીનો સિદ્ધાંત છે; ઉદાહરણ તરીકે, પ્રતીકોની આપેલ શ્રેણીના આધારે આગામી પ્રતીકની આગાહી કરવી. એકમાત્ર ધારણા એ છે કે પર્યાવરણ કેટલાક અજ્ઞાત પરંતુ ગણતરીપાત્ર સંભાવના વિતરણને અનુસરે છે. તે એક ઔપચારિક પ્રેરક માળખું છે જે પ્રેરક અનુમાનના બે સારી રીતે અભ્યાસ કરાયેલા સિદ્ધાંતોને જોડે છેઃ બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્ર અને ઓકામનું રેઝર. સોલોમનઓફની ગણતરીપાત્ર ક્રમ x ના કોઈપણ ઉપસર્ગ p ની સાર્વત્રિક પૂર્વ સંભાવના એ તમામ પ્રોગ્રામ્સ (સાર્વત્રિક કમ્પ્યુટર માટે) ની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે જે p થી શરૂ થતી વસ્તુની ગણતરી કરે છે. કેટલાક p અને કોઈપણ ગણતરીપાત્ર પરંતુ અજ્ઞાત સંભાવના વિતરણ કે જેમાંથી x નું નમૂના લેવામાં આવે છે, સાર્વત્રિક પૂર્વ અને બેયસ 'પ્રમેયનો ઉપયોગ x ના હજુ સુધી અદ્રશ્ય ભાગોની શ્રેષ્ઠ રીતે આગાહી કરવા માટે કરી શકાય છે. બાયોઇન્ફોર્મેટિક્સ અને હેલ્થકેર એપ્લિકેશન્સ બાયેસિયન અનુમાન વિવિધ બાયોઇન્ફોર્મેટિક્સ એપ્લિકેશન્સમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું છે, જેમાં વિભેદક જનીન અભિવ્યક્તિ વિશ્લેષણનો સમાવેશ થાય છે. બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ સામાન્ય કેન્સર જોખમ મોડેલમાં પણ થાય છે, જેને સી. આઈ. આર. આઈ. (સતત વ્યક્તિગત જોખમ સૂચકાંક) કહેવાય છે, જ્યાં બાયેસિયન મોડેલને અપડેટ કરવા માટે શ્રેણીબદ્ધ માપનો સમાવેશ કરવામાં આવે છે જે મુખ્યત્વે અગાઉના જ્ઞાનમાંથી બનાવવામાં આવે છે. કોર્ટરૂમમાં બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ ન્યાયાધીશો દ્વારા પ્રતિવાદીની તરફેણમાં અને વિરુદ્ધના પુરાવાને સુસંગત રીતે એકઠા કરવા માટે કરી શકાય છે, અને તે જોવા માટે કે, એકંદરે, તે 'વાજબી શંકાની બહાર' માટે તેમની વ્યક્તિગત મર્યાદાને પૂર્ણ કરે છે કે કેમ. બેયસના પ્રમેયને રજૂ કરાયેલા તમામ પુરાવાઓ પર ક્રમિક રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે, જેમાં એક તબક્કાથી પશ્ચાદવર્તી આગામી તબક્કા માટે પહેલું બને છે. બાયેસિયન અભિગમનો ફાયદો એ છે કે તે જુઆરને પુરાવાના સંયોજન માટે એક નિષ્પક્ષ, તર્કસંગત પદ્ધતિ આપે છે. બેયસના પ્રમેયને મતભેદ સ્વરૂપમાં ન્યાયાધીશોને સમજાવવું યોગ્ય હોઈ શકે છે, કારણ કે સંભાવનાઓ કરતાં સટ્ટાબાજીની અવરોધો વધુ વ્યાપક રીતે સમજી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, લઘુગણક અભિગમ, ગુણાકારને ઉમેરા સાથે બદલીને, જ્યુરી માટે સંભાળવાનું સરળ હોઈ શકે છે. જો ગુનાનું અસ્તિત્વ શંકાસ્પદ ન હોય, તો માત્ર ગુનેગારની ઓળખ, એવું સૂચન કરવામાં આવ્યું છે કે લાયકાત ધરાવતી વસ્તી પર પહેલું એકસમાન હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો 1,000 લોકોએ ગુનો કર્યો હોત, તો અપરાધની અગાઉની સંભાવના 1/1000 હશે. ન્યાયાધીશો દ્વારા બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ વિવાદાસ્પદ છે. યુનાઇટેડ કિંગડમમાં, સંરક્ષણ નિષ્ણાત સાક્ષીએ આર વી એડમ્સમાં જ્યુરી સમક્ષ બેયસના પ્રમેયને સમજાવ્યું હતું. જ્યુરીએ દોષિત ઠેરવ્યો હતો, પરંતુ કેસ એ આધારે અપીલ કરવા ગયો હતો કે જે જ્યુરીઓ બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવા માંગતા ન હતા તેમને પુરાવા એકઠા કરવા માટે કોઈ સાધન પૂરું પાડવામાં આવ્યું ન હતું. અપીલ અદાલતે દોષિત ઠેરવવાને સમર્થન આપ્યું હતું, પરંતુ તેણે એવો અભિપ્રાય પણ આપ્યો હતો કે "બાયસ પ્રમેય, અથવા કોઈ પણ સમાન પદ્ધતિને ફોજદારી સુનાવણીમાં રજૂ કરવી, જ્યુરીને સિદ્ધાંત અને જટિલતાના અયોગ્ય અને બિનજરૂરી ક્ષેત્રોમાં ડૂબી જાય છે, જે તેમને તેમના યોગ્ય કાર્યથી વિચલિત કરે છે". ગાર્ડનર-મેડવિન દલીલ કરે છે કે ફોજદારી સુનાવણીમાં ચુકાદો જે માપદંડ પર આધારિત હોવો જોઈએ તે અપરાધની સંભાવના નથી, પરંતુ પુરાવાની સંભાવના છે, જો કે પ્રતિવાદી નિર્દોષ છે (વારંવાર પી-મૂલ્ય જેવું). તેઓ દલીલ કરે છે કે જો અપરાધની પશ્ચાદવર્તી સંભાવનાની ગણતરી બેયસના પ્રમેય દ્વારા કરવી હોય, તો અપરાધની પૂર્વ સંભાવના જાણવી આવશ્યક છે. આ ગુનાની ઘટનાઓ પર આધાર રાખે છે, જે ફોજદારી સુનાવણીમાં ધ્યાનમાં લેવા માટે એક અસામાન્ય પુરાવા છે. નીચેની ત્રણ દરખાસ્તોને ધ્યાનમાં લોઃ એ જો પ્રતિવાદી દોષિત હોય તો જાણીતા તથ્યો અને જુબાની ઊભી થઈ શકે છે બી જો પ્રતિવાદી નિર્દોષ હોય તો જાણીતા તથ્યો અને જુબાની ઊભી થઈ શકે છે સી પ્રતિવાદી દોષિત છે. ગાર્ડનર-મેડવિન દલીલ કરે છે કે જ્યુરીએ દોષિત ઠેરવવા માટે એ અને નોટ-બી બંને પર વિશ્વાસ કરવો જોઈએ. એ અને નોટ-બી સીનું સત્ય સૂચવે છે, પરંતુ વિપરીત સાચું નથી. શક્ય છે કે બી અને સી બંને સાચા હોય, પરંતુ આ કિસ્સામાં તેઓ દલીલ કરે છે કે જ્યુરીએ નિર્દોષ જાહેર થવું જોઈએ, તેમ છતાં તેઓ જાણે છે કે તેઓ કેટલાક દોષિત લોકોને મુક્ત કરશે. લિન્ડલીનો વિરોધાભાસ પણ જુઓ. બાયેસિયન જ્ઞાનમીમાંસા એ એક ચળવળ છે જે પ્રેરક તર્કના નિયમોને ન્યાયી ઠેરવવાના સાધન તરીકે બાયેસિયન અનુમાનની હિમાયત કરે છે. કાર્લ પોપર અને ડેવિડ મિલરે બાયેસિયન બુદ્ધિવાદ એટલે કે બુદ્ધિવાદને નકારી કાઢ્યો છે. જ્ઞાનમીમાંસાના તારણો બનાવવા માટે બેયસના નિયમનો ઉપયોગ કરવોઃ તે અન્ય કોઈપણ ન્યાયવાદી જ્ઞાનમીમાંસા જેવું જ દુષ્ટ વર્તુળ ધરાવે છે, કારણ કે તે જેને ન્યાયી ઠેરવવાનો પ્રયાસ કરે છે તેની ધારણા કરે છે. આ દ્રષ્ટિકોણ અનુસાર, બાયેસિયન અનુમાનનું તર્કસંગત અર્થઘટન તેને માત્ર ખોટી માન્યતાઓના સંભવિત સંસ્કરણ તરીકે જોશે, સામાન્ય રીતે બાયેસિયન લોકો દ્વારા રાખવામાં આવતી માન્યતાને નકારી કાઢે છે, કે બાયેસિયન સુધારાઓની શ્રેણી દ્વારા પ્રાપ્ત ઉચ્ચ સંભાવના પૂર્વધારણાને કોઈપણ વાજબી શંકાની બહાર સાબિત કરશે, અથવા તો 0 કરતા વધુ સંભાવના સાથે પણ. અન્ય વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિને કેટલીકવાર બાયેસિયન અનુમાનના ઉપયોગ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. આ દ્રષ્ટિકોણમાં, બેયસના નિયમો નવા અવલોકનો અથવા પ્રયોગો પર શરતી પૂર્વધારણાઓ વિશેની સંભાવનાઓને અપડેટ કરવા માટે માર્ગદર્શન આપે છે (અથવા માર્ગદર્શન આપવું જોઈએ). કાઈ એટ અલ દ્વારા અપૂર્ણ માહિતી સાથે સ્ટોકેસ્ટિક સુનિશ્ચિત સમસ્યાઓની સારવાર માટે પણ બાયેસિયન અનુમાન લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. (2009). બાયેસિયન શોધ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ખોવાયેલી વસ્તુઓની શોધ માટે થાય છે. મિથાઇલેશન વિશ્લેષણ માટે બાયેસિયન ટૂલમાં બાયેસિયન અનુમાન મગજના કાર્ય માટે બાયેસિયન અભિગમો મગજને બાયેસિયન પદ્ધતિ તરીકે તપાસ કરે છે. ઇકોલોજીકલ અભ્યાસોમાં બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ સ્ટોકાસ્ટિક રાસાયણિક ગતિશાસ્ત્રના નમૂનાઓમાં પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે અથવા શેરબજારની આગાહી માટે ઇકોનોફિઝિક્સમાં બાયેસિયન અનુમાન મોટર લર્નિંગમાં બાયેસિયન અનુમાનનો ઉપયોગ સંભવિત સંખ્યાશાસ્ત્રમાં આંકડાકીય સમસ્યાઓ બેયસ અને બાયેસિયન અનુમાનને ઉકેલવા માટે થાય છે. ઇતિહાસ બાયેસિયન શબ્દ થોમસ બેયસ (1701-1761) નો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમણે સાબિત કર્યું કે સંભવિત મર્યાદાઓ અજ્ઞાત ઘટના પર મૂકી શકાય છે. જો કે, તે પિયર-સિમોન લેપલેસ (1749-1827) હતા જેમણે (સિદ્ધાંત VI તરીકે) રજૂ કર્યું હતું જેને હવે બેયસ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ આકાશી મિકેનિક્સ, તબીબી આંકડાશાસ્ત્ર, વિશ્વસનીયતા અને ન્યાયશાસ્ત્રમાં સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવા માટે કર્યો હતો. પ્રારંભિક બાયેસિયન અનુમાન, જેમાં લાપ્લાસના અપૂરતા કારણના સિદ્ધાંતને અનુસરીને સમાન પ્રાયોરનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, તેને "ઇન્વર્સ પ્રોબેબિલિટી" કહેવામાં આવતું હતું (કારણ કે તે અવલોકનોથી પરિમાણો સુધી, અથવા અસરોથી કારણો સુધી પાછળની તરફ અનુમાન કરે છે). 1920ના દાયકા પછી, "ઊલટું સંભાવના" મોટાભાગે પદ્ધતિઓના સંગ્રહ દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવી હતી જેને વારંવાર આંકડાશાસ્ત્ર કહેવામાં આવી હતી. 20મી સદીમાં, લાપ્લાસના વિચારોને વધુ બે જુદી જુદી દિશામાં વિકસાવવામાં આવ્યા હતા, જેણે બાયેસિયન વ્યવહારમાં ઉદ્દેશ્ય અને વ્યક્તિલક્ષી પ્રવાહોને જન્મ આપ્યો હતો. ઉદ્દેશ્ય અથવા "બિન-માહિતીપ્રદ" પ્રવાહમાં, આંકડાકીય વિશ્લેષણ માત્ર ધારેલા નમૂના, વિશ્લેષણ કરાયેલ માહિતી અને પહેલાંની સોંપણી કરવાની પદ્ધતિ પર આધાર રાખે છે, જે એક ઉદ્દેશ્ય બાયેસિયન વ્યવસાયીથી બીજામાં અલગ પડે છે. વ્યક્તિલક્ષી અથવા "માહિતીપ્રદ" વર્તમાનમાં, પહેલાનું સ્પષ્ટીકરણ માન્યતા (એટલે કે, દરખાસ્તો કે જેના પર વિશ્લેષણ કાર્ય કરવા માટે તૈયાર કરવામાં આવે છે) પર આધાર રાખે છે, જે નિષ્ણાતોની માહિતી, અગાઉના અભ્યાસો વગેરેનો સારાંશ આપી શકે છે. 1980 ના દાયકામાં, બાયેસિયન પદ્ધતિઓના સંશોધન અને ઉપયોગમાં નાટ્યાત્મક વૃદ્ધિ થઈ હતી, જે મોટે ભાગે માર્કોવ સાંકળ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓની શોધને આભારી હતી, જેણે ઘણી કોમ્પ્યુટેશનલ સમસ્યાઓ દૂર કરી હતી અને બિન-માનક, જટિલ એપ્લિકેશનોમાં રસ વધાર્યો હતો. બાયેસિયન સંશોધનની વૃદ્ધિ હોવા છતાં, મોટાભાગના સ્નાતક શિક્ષણ હજુ પણ વારંવારના આંકડાઓ પર આધારિત છે. તેમ છતાં, બાયેસિયન પદ્ધતિઓ વ્યાપકપણે સ્વીકારવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે, જેમ કે મશીન લર્નિંગના ક્ષેત્રમાં. સંદર્ભો સાઇટેશન સોર્સ એસ્ટર, રિચાર્ડ; બોર્ચર્સ, બ્રાયન, અને થર્બર, ક્લિફોર્ડ (2012) પણ જુઓ. પરિમાણ અંદાજ અને વિપરીત સમસ્યાઓ, બીજી આવૃત્તિ, એલ્સેવિયર. , બોક્સ, જી. ઈ. પી. અને ટીઆઓ, જી. સી. (1973) આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં બાયેસિયન અનુમાન, વિલી, જેન્સ ઈ. ટી. (2003) સંભાવના સિદ્ધાંતઃ વિજ્ઞાનનો તર્ક, સીયુપી. (માર્ચ 1996ની ફ્રેગમેન્ટરી એડિશનની લિંક). વધુ વાંચન બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રના ઇતિહાસ અને વારંવારના અભિગમ સાથેની ચર્ચાઓ પરના સંપૂર્ણ અહેવાલ માટે, પ્રાથમિક વાંચો નીચેના પુસ્તકો સંભવિત અભિજાત્યપણાના ચડતા ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ છેઃ સ્ટોન, જેવી (2013), "બેયસ 'રૂલઃ એ ટ્યુટોરિયલ ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ બાયેસિયન એનાલિસિસ", અહીં પ્રથમ પ્રકરણ ડાઉનલોડ કરો, સેબટેલ પ્રેસ, ઇંગ્લેન્ડ. બોલ્સ્ટેડ, વિલિયમ એમ. (2007) ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સઃ સેકન્ડ એડિશન, જ્હોન વિલી અપડેટેડ ક્લાસિક પાઠ્યપુસ્તક. બાયેસિયન સિદ્ધાંત સ્પષ્ટપણે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. લી, પીટર એમ. બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સઃ એક પરિચય. ચોથી આવૃત્તિ (2012), જ્હોન વિલી ઇન્ટરમીડિયેટ અથવા એડવાન્સ ડીગ્રૂટ, મોરિસ એચ., ઓપ્ટિમલ સ્ટેટિસ્ટિકલ ડિસિઝન્સ. વિલી ક્લાસિક્સ લાઇબ્રેરી. 2004 માં. (મૂળરૂપે મેકગ્રો-હિલ દ્વારા પ્રકાશિત (1970).) . જેન્સ, ઇ. ટી. (1998) સંભાવના સિદ્ધાંતઃ વિજ્ઞાનનો તર્ક. ઓ 'હેગન, એ. અને ફોર્સ્ટર, જે. (2003) કેન્ડલ્સ એડવાન્સ્ડ થિયરી ઓફ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, વોલ્યુમ 2 બીઃ બાયેસિયન અનુમાન. આર્નોલ્ડ, ન્યૂયોર્ક. . ગ્લેન શેફર અને પર્લ, જુડિયા, આવૃત્તિઓ. (1988) પ્રોબેબિલિસ્ટિક રિઝનિંગ ઇન ઇન્ટેલિજન્ટ સિસ્ટમ્સ, સેન માટેઓ, સીએઃ મોર્ગન કૌફમેન. પિયર બેસીયર એટ અલ. (2013), "બાયેસિયન પ્રોગ્રામિંગ", સીઆરસી પ્રેસ. ફ્રાન્સિસ્કો જે. સામનીગો (2010), "એ કમ્પેરીઝન ઓફ ધ બાયેસિયન એન્ડ ફ્રિક્વેન્ટિસ્ટ એપ્રોચ્સ ટુ એસ્ટિમેશન" સ્પ્રિંગર, ન્યૂ યોર્ક, બાહ્ય લિંક્સ સ્કૉલરપેડિયાથી બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સ. લંડનની ક્વીન મેરી યુનિવર્સિટીમાંથી બાયેસિયન સંભાવનાનો પરિચય બાયેસિયન સ્ટેટિસ્ટિક્સ પરની ગાણિતિક નોંધો અને માર્કોવ ચેઇન મોન્ટે કાર્લો બાયેસિયન વાંચન સૂચિ, ટોમ ગ્રિફિથ્સ એ. હાજેક અને એસ. હાર્ટમેન દ્વારા વર્ગીકૃત અને ટિપ્પણી કરાયેલઃ બાયેસિયન એપિસ્ટેમોલોજી, ઇનઃ જે. ડેન્સી એટ અલ. (એડીએસ. ), એ કમ્પેનિયન ટુ એપિસ્ટેમોલોજી. ઓક્સફર્ડઃ બ્લેકવેલ 2010,93-106. એસ. હાર્ટમેન અને જે. સ્પ્રેન્ગરઃ બાયેસિયન એપિસ્ટેમોલોજી, ઇનઃ એસ. બર્નેકર અને ડી. પ્રિચર્ડ (આવૃત્તિઓ. ), રૂટલેજ કમ્પેનિયન ટુ એપિસ્ટેમોલોજી. લંડનઃ રૂટલેજ 2010,609-620. સ્ટેનફોર્ડ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફીઃ "ઇન્ડક્ટિવ લોજિક" બાયેસિયન કન્ફર્મેશન થિયરી (પીડીએફ) બાયેસિયન લર્નિંગ શું છે? માહિતી, અનિશ્ચિતતા અને અનુમાન-ઘણા ઉદાહરણો સાથે અનૌપચારિક પરિચય, ઈબુક (પી. ડી. એફ.) કૌસા સાયન્ટિયા લોજિક અને આંકડાકીય આગાહી સંભવિત દલીલો પર મુક્તપણે ઉપલબ્ધ છે.