Unit interval
ગણિતમાં, એકમ અંતરાલ એ બંધ અંતરાલ છે, એટલે કે, તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જે 0 કરતા મોટી અથવા સમાન હોય અને 1 કરતા ઓછી અથવા સમાન હોય. તે ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે (કેપિટલ અક્ષર). વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં તેની ભૂમિકા ઉપરાંત, એકમ અંતરાલનો ઉપયોગ ટોપોલોજીના ક્ષેત્રમાં હોમોટૉપી સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. સાહિત્યમાં, "એકમ અંતરાલ" શબ્દ કેટલીકવાર અન્ય આકારો પર લાગુ થાય છે જે 0 થી 1 સુધીનો અંતરાલ લઈ શકે છેઃ,, અને. જો કે, સંકેતલિપી સામાન્ય રીતે બંધ અંતરાલ માટે આરક્ષિત હોય છે. ગુણધર્મો એકમ અંતરાલ એ સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા છે, જે વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા માટે હોમોમોર્ફિક છે. એક ટોપોલોજિકલ જગ્યા તરીકે, તે સઘન, સંકુચિત, પાથ સાથે જોડાયેલ અને સ્થાનિક રીતે પાથ સાથે જોડાયેલ છે. હિલ્બર્ટ ક્યુબ એકમ અંતરાલની સંખ્યાબંધ નકલોની ટોપોલોજિકલ પ્રોડક્ટ લઈને મેળવવામાં આવે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, એકમ અંતરાલ એ એક-પરિમાણીય વિશ્લેષણાત્મક મેનીફોલ્ડ છે જેની સીમા બે બિંદુઓ 0 અને 1 ધરાવે છે. તેની પ્રમાણભૂત દિશા 0 થી 1 સુધી જાય છે. એકમ અંતરાલ એ સંપૂર્ણપણે ક્રમબદ્ધ સમૂહ અને સંપૂર્ણ જાળી છે (એકમ અંતરાલના દરેક સબસેટમાં સર્વોચ્ચતા અને અનંત હોય છે). કાર્ડિનાલિટી સમૂહનું કદ અથવા કાર્ડિનાલિટી એ તેમાં સમાવિષ્ટ તત્વોની સંખ્યા છે. એકમ અંતરાલ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સબસેટ છે. જો કે, તે સમગ્ર સમૂહ જેટલું જ કદ ધરાવે છેઃ સાતત્યની મુખ્યતા. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ અનંત લાંબી રેખા સાથેના બિંદુઓને રજૂ કરવા માટે થઈ શકે છે, તેથી આ સૂચવે છે કે લંબાઈ 1 નો રેખા ખંડ, જે તે રેખાનો એક ભાગ છે, તે સમગ્ર રેખા જેટલા જ બિંદુઓ ધરાવે છે. વધુમાં, તે વિસ્તાર 1 ના વર્ગ જેટલા જ બિંદુઓ ધરાવે છે, કદ 1 ના સમઘન જેટલા, અને અમર્યાદિત n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ જેટલા પણ (જુઓ અવકાશ ભરણ વળાંક). ઉપરોક્ત તમામ સમૂહોમાં તત્વોની સંખ્યા (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા બિંદુઓ) અગણિત છે, કારણ કે તે કુદરતી સંખ્યાઓની સંખ્યા કરતાં સખત રીતે વધારે છે. દિશા એકમ અંતરાલ એક વળાંક છે. ખુલ્લો અંતરાલ (0,1) એ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સબસેટ છે અને તેમાંથી દિશા મેળવે છે. જ્યારે અંતરાલ 1 થી દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે દિશા ઉલટાવી દેવામાં આવે છે, જેમ કે અંતરાલમાં x માટે કુદરતી લઘુગણકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા અભિન્નમાં, આમ આવા x ના લઘુગણક માટે નકારાત્મક મૂલ્યો મળે છે. હકીકતમાં, આ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્યાંકન ત્યાં રિવર્સ ઓરિએન્ટેશનને કારણે એકમ અંતરાલ પર નકારાત્મક ક્ષેત્ર આપતા હસ્તાક્ષરિત ક્ષેત્ર તરીકે કરવામાં આવે છે. સામાન્યીકરણ બે લંબાઈ સાથેનું અંતરાલ, હકારાત્મક અને નકારાત્મક એકમો દ્વારા સીમાંકિત, વારંવાર થાય છે, જેમ કે ત્રિકોણમિતીય વિધેયો sine અને cosine અને હાયપરબોલિક વિધેય tanh ની શ્રેણીમાં. આ અંતરાલનો ઉપયોગ ઇન્વર્સ ફંક્શન્સના ડોમેન માટે થઈ શકે છે. દાખલા તરીકે, જ્યારે પ્રતિબંધિત હોય ત્યારે તે આ અંતરાલમાં હોય છે અને ત્યાં આર્ક્સાઇન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કેટલીકવાર, "એકમ અંતરાલ" શબ્દનો ઉપયોગ એવા પદાર્થોના સંદર્ભમાં થાય છે જે ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં ભૂમિકા ભજવે છે જે હોમોટૉપી સિદ્ધાંતમાં ભજવતી ભૂમિકા સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્વિવર્સના સિદ્ધાંતમાં, (એનાલોગ) એકમ અંતરાલ એ આલેખ છે જેનો શિરોબિંદુ સમૂહ છે અને જેમાં એક જ ધાર e છે જેનો સ્રોત 0 છે અને જેનું લક્ષ્ય 1 છે. પછી કોઈ વ્યક્તિ સતત નકશાઓ વચ્ચે હોમોટોપીની કલ્પનાને અનુરૂપ ક્વિવર હોમોમોર્ફિઝમ્સ વચ્ચે હોમોટોપીની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. તર્કશાસ્ત્રમાં, એકમ અંતરાલને બુલિયન ડોમેન {0,1} ના સામાન્યીકરણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, આ કિસ્સામાં માત્ર 0 અથવા 1 મૂલ્યો લેવાને બદલે, 0 અને 1 વચ્ચેની કોઈપણ કિંમત ધારી શકાય છે. બીજગણિત રીતે, નિષેધ (NOT) ને બદલવામાં આવે છે; સંયોજન (AND) ને ગુણાકાર () સાથે બદલવામાં આવે છે; અને ડી મોર્ગનના નિયમો અનુસાર વિચ્છેદન (OR) ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ મૂલ્યોનું તાર્કિક સત્ય મૂલ્યો તરીકે અર્થઘટન કરવાથી બહુ-મૂલ્યવાન તર્ક મળે છે, જે અસ્પષ્ટ તર્ક અને સંભવિત તર્ક માટેનો આધાર બનાવે છે. આ અર્થઘટનોમાં, મૂલ્યને સત્યની "ડિગ્રી" તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે-દરખાસ્ત કેટલી હદે સાચી છે, અથવા દરખાસ્ત સાચી હોવાની સંભાવના. અંતરાલ સંકેત એકમ વર્ગ, સમઘન, વર્તુળ, હાયપરબોલા અને ગોળા એકમ આવેગ એકમ વેક્ટર સંદર્ભો રોબર્ટ જી. બાર્ટલે, 1964, ધ એલિમેન્ટ્સ ઓફ રિયલ એનાલિસિસ, જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ પણ જુઓ. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ 1 (સંખ્યા) ટોપોલોજી