AKLT model
કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સમાં, એ. કે. એલ. ટી. મોડેલ, જેને એફ્લેક-કેનેડી-લિબ-તાસાકી મોડેલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ હેઇસેનબર્ગ સ્પિન મોડેલનું વિસ્તરણ છે. ઇયાન અફ્લેક, ઇલિયટ એચ. લિબ, ટોમ કેનેડી દ્વારા આ મોડેલની દરખાસ્ત અને ચોક્કસ ઉકેલ અને સ્પિન-1 હેઇસેનબર્ગ સાંકળના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નિર્ણાયક સમજ પ્રદાન કરે છે. તેણે વેલેન્સ બોન્ડ સોલિડ ઓર્ડર, સમપ્રમાણતા-સંરક્ષિત ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર અને મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ વેવફંક્શન્સ જેવી વિભાવનાઓ માટે પણ ઉપયોગી ઉદાહરણ તરીકે કામ કર્યું છે. પૃષ્ઠભૂમિ એ. કે. એલ. ટી. મોડેલ માટે મુખ્ય પ્રેરણા મજૂમદાર-ઘોષ સાંકળ હતી. કારણ કે મજૂમદાર-ઘોષ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં ત્રણ પડોશી સ્પિનના દરેક સેટમાંથી બેને સિંગલલેટ અથવા વેલેન્સ બોન્ડમાં જોડવામાં આવે છે, ત્રણેય સ્પિન એકસાથે ક્યારેય સ્પિન 3/2 સ્થિતિમાં મળી શકતા નથી. હકીકતમાં, મજૂમદાર-ઘોષ હેમિલ્ટોનિયન એ બીજું કંઈ નહીં પણ ત્રણ પડોશી સ્પિનના તમામ પ્રોજેક્ટરનો સરવાળો છે. એ. કે. એલ. ટી. પેપરની મુખ્ય સમજ એ હતી કે આ બાંધકામને અડધા સિવાયના સ્પિન કદ માટે બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય મોડેલો મેળવવા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. જેમ વેલેન્સ બોન્ડનો એક છેડો સ્પિન 1/2 હોય છે, તેવી જ રીતે બે વેલેન્સ બોન્ડ્સના છેડાઓને સ્પિન1માં જોડી શકાય છે, ત્રણને સ્પિન 3/2 વગેરેમાં જોડી શકાય છે. વ્યાખ્યા એફ્લેક એટ અલ. તેઓ દરેક જોડીની સાઇટ્સ વચ્ચે સંયોજકતા બંધ સાથે એક-પરિમાણીય સ્થિતિના નિર્માણમાં રસ ધરાવતા હતા. કારણ કે આ દરેક સાઇટ માટે બે સ્પિન 1/2s તરફ દોરી જાય છે, પરિણામ સ્પિન 1 સિસ્ટમનું વેવફંક્શન હોવું જોઈએ. સ્પિન 1s ની દરેક અડીને આવેલી જોડી માટે, ચાર ઘટક સ્પિન 1/2s માંથી બે કુલ સ્પિન શૂન્ય સ્થિતિમાં અટવાઇ જાય છે. તેથી, સ્પિન 1s ની દરેક જોડી સંયુક્ત સ્પિન 2 સ્થિતિમાં હોવા પર પ્રતિબંધ છે. આ શરતને સ્પિન 1s ની જોડીની સ્પિન 2 સ્થિતિની તરફેણ કરતા પ્રોજેક્ટરના સરવાળા તરીકે લખીને, AKLT નીચેના હેમિલ્ટોનિયન પર અચળાંક સુધી પહોંચ્યું, જ્યાં સ્પિન-1 ઓપરેટરો છે, અને સ્થાનિક 2-પોઇન્ટ પ્રોજેક્ટર જે સ્પિન 2 સ્થિતિની તરફેણ કરે છે. આ હેમિલ્ટોનિયન સ્પિન 1, એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ હેઇસેનબર્ગ સ્પિન મોડેલ જેવું જ છે પરંતુ તેમાં વધારાની "દ્વિઘાત" સ્પિન ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દ છે. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ બાંધકામ દ્વારા, એકેએલટી હેમિલ્ટોનિયનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એ દરેક પડોશી જોડીની સાઇટ્સને જોડતા એક જ વેલેન્સ બોન્ડ સાથે ઘન વેલેન્સ બોન્ડ છે. સચિત્ર રીતે, આને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે અહીં નક્કર બિંદુઓ સ્પિન 1/2 નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે એકલ સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવે છે. સ્પિન 1/2s ને જોડતી રેખાઓ વેલન્સ બોન્ડ્સ છે જે સિંગલ્સની પેટર્ન સૂચવે છે. અંડાકાર એ પ્રક્ષેપણ સંચાલકો છે જે બે સ્પિન 1/2s ને એક જ સ્પિન 1 માં "બાંધે છે", સ્પિન 0 અથવા સિંગલેટ સબસ્પેસને બહાર કાઢે છે અને માત્ર સ્પિન 1 અથવા ટ્રિપલેટ સબસ્પેસને રાખે છે. પ્રતીકો "+", "0" અને "-" પ્રમાણભૂત સ્પિન 1 બેસિસ સ્ટેટ્સ (ઓપરેટરના આઈગનસ્ટેટ) ને લેબલ કરે છે. સ્પિન 1/2 ધાર સ્થિતિઓ રિંગ (સામયિક સીમા શરતો) માં ગોઠવાયેલા સ્પિનના કિસ્સામાં એ. કે. એલ. ટી. બાંધકામ એક અનન્ય જમીન સ્થિતિ આપે છે. પરંતુ ખુલ્લી સાંકળના કિસ્સામાં, પ્રથમ અને છેલ્લા સ્પિન 1 માં માત્ર એક જ પાડોશી હોય છે, જે તેમના એક ઘટક સ્પિન 1/2s ને જોડી વગર છોડી દે છે. પરિણામે, સાંકળના છેડા મુક્ત સ્પિન 1/2 ક્ષણોની જેમ વર્તે છે, તેમ છતાં સિસ્ટમમાં માત્ર સ્પિન 1s હોય છે. એ. કે. એલ. ટી. સાંકળની સ્પિન 1/2 ધારની સ્થિતિને કેટલીક અલગ અલગ રીતે જોઈ શકાય છે. ટૂંકી સાંકળો માટે, ધારની સ્થિતિઓ એકલ અથવા ત્રિપાઇમાં ભળી જાય છે જે કાં તો એક અનન્ય જમીનની સ્થિતિ અથવા જમીનની સ્થિતિઓનો ત્રણ ગણો ગુણાકાર આપે છે. લાંબી સાંકળો માટે, ધાર દર્શાવે છે કે સાંકળની લંબાઈના કાર્ય તરીકે ઝડપથી ડિકપલ થાય છે જે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ મેનીફોલ્ડ તરફ દોરી જાય છે જે ચાર ગણી અધોગતિ પામે છે. સાંકળ સાથે સ્થાનિક ચુંબકત્વને માપવા માટે ડી. એમ. આર. જી. જેવી આંકડાકીય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ધારની સ્થિતિઓને સીધી જોવી પણ શક્ય છે અને તે બતાવવું પણ શક્ય છે કે વાસ્તવિક સ્પિનને અંતમાં અડધા મૂકીને તેને દૂર કરી શકાય છે. નાની માત્રામાં અશુદ્ધિઓ ધરાવતા અર્ધ-1D ચુંબકીય સંયોજનના માપમાં સ્પિન 1/2 ધારની સ્થિતિને શોધવાનું પણ શક્ય સાબિત થયું છે, જેની ભૂમિકા સાંકળોને મર્યાદિત વિભાગોમાં તોડવાની છે. 2021 માં, સ્પિન 1/2 ધારની સ્થિતિનું સીધું સ્પેક્ટ્રોસ્કોપિક સિગ્નેચર ત્રિકોણાકારમાંથી બનેલી અલગ ક્વોન્ટમ સ્પિન સાંકળોમાં જોવા મળ્યું હતું, જે સ્પિન 1 પોલીસાયક્લિક એરોમેટિક હાઇડ્રોકાર્બન છે. મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ પ્રતિનિધિત્વ એ. કે. એલ. ટી. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની સરળતા તેને મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ તરીકે કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ સ્વરૂપનું વેવફંક્શન છે અહીં એ. એસ. એ દ્વારા લેબલ થયેલ ત્રણ મેટ્રિસીસનો સમૂહ છે અને ટ્રેસ સામયિક સીમા શરતો ધારીને આવે છે. એ. કે. એલ. ટી. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ વેવફંક્શન પસંદગીને અનુરૂપ છેઃ પાઉલી મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. સામાન્યીકરણ અને વિસ્તરણ એ. કે. એલ. ટી. મોડેલને ઉચ્ચ પરિમાણના જાળી પર ઉકેલવામાં આવ્યું છે, અર્ધ-સ્ફટિકીયમાં પણ. આ મોડેલ એસયુ (એન), એસઓ (એન), એસપી (એન) સહિત ઉચ્ચ લાઈ આલ્જેબ્રા માટે પણ બનાવવામાં આવ્યું છે અને ક્વોન્ટમ જૂથો એસયુક્યુ (એન) સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે. સંદર્ભ સ્પિન નમૂનાઓ આંકડાકીય મિકેનિક્સ ક્વોન્ટમ ચુંબકત્વ જાળી નમૂનાઓ