Frobenius determinant theorem
ગણિતમાં, ફ્રોબેનિયસ નિર્ધારક પ્રમેય એ 1896માં ગણિતશાસ્ત્રી રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડ દ્વારા કરવામાં આવેલ એક અનુમાન હતું, જેમણે એફ. જી. ફ્રોબેનિયસને તેના વિશે એક પત્ર લખ્યો હતો (અંગ્રેજીમાં અનુવાદ સાથે પુનઃઉત્પાદિત). જો કોઈ મર્યાદિત જૂથ G નું ગુણાકાર કોષ્ટક લે અને દરેક પ્રવેશ g ને ચલ xg સાથે બદલે, અને ત્યારબાદ નિર્ધારક લે, તો પછી n ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદીઓના ગુણાકાર તરીકે નિર્ધારક પરિબળો, જ્યાં n એ સંયુગ્મતા વર્ગોની સંખ્યા છે. વધુમાં, દરેક બહુપદીને તેની ડિગ્રીની બરાબર શક્તિ સુધી વધારવામાં આવે છે. ફ્રોબેનિયસે આ આશ્ચર્યજનક અનુમાનને સાબિત કર્યું અને તે ફ્રોબેનિયસ નિર્ધારક પ્રમેય તરીકે જાણીતું બન્યું. ઔપચારિક નિવેદન ચાલો એક મર્યાદિત જૂથમાં તત્વો હોય, અને દરેક તત્વ સાથે સંકળાયેલ હોય. એન્ટ્રીઓ સાથે મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી જ્યાં 's એ જોડી મુજબ બિન-પ્રમાણસર ઇરેડ્યુસિબલ બહુપદીઓ છે અને તે G ના સંયુગ્મ વર્ગોની સંખ્યા છે.