Electric dipole moment
વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ એ પ્રણાલીની અંદર હકારાત્મક અને નકારાત્મક વિદ્યુત ચાર્જના વિભાજનનું માપ છે, જે પ્રણાલીની એકંદર ધ્રુવીયતાનું માપ છે. વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ માટેનો એસ. આઈ. એકમ કુલમ્બ-મીટર (C ⋅ m) છે. ડેબી (ડી) એ અણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં વપરાતો માપનો બીજો એકમ છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, વિદ્યુત દ્વિધ્રુવને બહુધ્રુવીય વિસ્તરણના પ્રથમ ક્રમના પદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; તેમાં બે સમાન અને વિરુદ્ધ ચાર્જ હોય છે જે અનંત રીતે એકબીજાની નજીક હોય છે, જો કે વાસ્તવિક દ્વિધ્રુવમાં ચાર્જ અલગ હોય છે. પ્રાથમિક વ્યાખ્યા ઘણીવાર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિશાળ પદાર્થના પરિમાણોને અવગણી શકાય છે અને તેને બિંદુ સમાન પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય, એટલે કે. એક બિંદુ કણ. વિદ્યુતભાર ધરાવતા બિંદુ કણોને બિંદુભાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બે બિંદુ ચાર્જ, એક ચાર્જ સાથે અને બીજો અંતર દ્વારા અલગ થયેલ ચાર્જ સાથે, વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ (વિદ્યુત બહુધ્રુવનો એક સરળ કેસ) બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણની તીવ્રતા હોય છે અને તે નકારાત્મક ચાર્જથી હકારાત્મક તરફ નિર્દેશિત થાય છે. કેટલાક લેખકો અડધા ભાગમાં વિભાજિત થઈ શકે છે અને તેનો ઉપયોગ કરી શકે છે કારણ કે આ જથ્થો ચાર્જ અને દ્વિધ્રુવના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે, જે વ્યાખ્યામાં બે પરિબળ તરફ દોરી જાય છે. એક મજબૂત ગાણિતિક વ્યાખ્યા વેક્ટર બીજગણિતનો ઉપયોગ કરવાની છે, કારણ કે પરિમાણ અને દિશા સાથેનો જથ્થો, જેમ કે બે બિંદુ ચાર્જની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ, વેક્ટર સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં વિસ્થાપન વેક્ટર નકારાત્મક ચાર્જથી હકારાત્મક ચાર્જ તરફ નિર્દેશ કરે છે. વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ વેક્ટર પણ નકારાત્મક ચાર્જથી હકારાત્મક ચાર્જ તરફ નિર્દેશ કરે છે. આ વ્યાખ્યા સાથે દ્વિધ્રુવ દિશા પોતાને બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરે છે (અને નોંધ લો કે દ્વિધ્રુવના ચાર્જ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિદ્યુત પ્રવાહ રેખાઓ, જે હકારાત્મક ચાર્જથી નકારાત્મક ચાર્જ તરફ નિર્દેશ કરે છે તે પછી બાહ્ય ક્ષેત્રની પ્રવાહ રેખાઓનો વિરોધ કરે છે). નોંધ લો કે આ સાઇન કન્વેન્શનનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં થાય છે, જ્યારે દ્વિધ્રુવ માટે વિપરીત સાઇન કન્વેન્શન, પોઝિટિવ ચાર્જથી નેગેટિવ ચાર્જ સુધી, રસાયણશાસ્ત્રમાં વપરાય છે. આ બે-ચાર્જ પ્રણાલીનું આદર્શીકરણ એ વિદ્યુત બિંદુ દ્વિધ્રુવ છે જેમાં બે (અનંત) ચાર્જ માત્ર અનંત રીતે અલગ પડે છે, પરંતુ મર્યાદિત હોય છે. આ જથ્થાનો ઉપયોગ ધ્રુવીકરણ ઘનતાની વ્યાખ્યામાં થાય છે. ઊર્જા અને ટોર્ક વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ p ધરાવતી વસ્તુ જ્યારે બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર E માં મૂકવામાં આવે ત્યારે ટોર્ક τ ને આધિન હોય છે. ટોર્ક દ્વિધ્રુવને ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરે છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની સમાંતર સંરેખિત દ્વિધ્રુવ તેની સાથે અમુક ખૂણો બનાવતા દ્વિધ્રુવ કરતાં ઓછી સંભવિત ઊર્જા ધરાવે છે. દ્વિધ્રુવ દ્વારા કબજા હેઠળના નાના પ્રદેશમાં અવકાશી રીતે સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે, ઊર્જા યુ અને ટોર્ક ધ સ્કેલર ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને નકારાત્મક સંકેત દર્શાવે છે કે જ્યારે દ્વિધ્રુવ ક્ષેત્ર સાથે સમાંતર હોય ત્યારે સંભવિત ઊર્જા ઓછી થાય છે અને જ્યારે સમાંતર હોય ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે લંબ હોય ત્યારે શૂન્ય હોય છે. પ્રતીક "" વેક્ટર ક્રોસ પ્રોડક્ટનો સંદર્ભ આપે છે. ઇ-ફિલ્ડ વેક્ટર અને દ્વિધ્રુવ વેક્ટર સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને જમણા હાથના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવેલી દિશા સાથે ટોર્ક તે સમતલ તરફ સામાન્ય રીતે નિર્દેશિત થાય છે. નોંધ લો કે આવા સમાન ક્ષેત્રમાં દ્વિધ્રુવ ટ્વિસ્ટ અને ઓસિલેટ કરી શકે છે પરંતુ દ્વિધ્રુવના કોઈ રેખીય પ્રવેગ વિના કોઈ એકંદર ચોખ્ખું બળ મેળવતું નથી. દ્વિધ્રુવ બાહ્ય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરવા માટે વળાંક લે છે. જો કે, બિન-સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં દ્વિધ્રુવ ખરેખર ચોખ્ખું બળ પ્રાપ્ત કરી શકે છે કારણ કે દ્વિધ્રુવના એક છેડા પરનું બળ હવે બીજા છેડા પર સંતુલન કરતું નથી. તે દર્શાવી શકાય છે કે આ ચોખ્ખું બળ સામાન્ય રીતે દ્વિધ્રુવ ક્ષણની સમાંતર હોય છે. અભિવ્યક્તિ (સામાન્ય કેસ) વધુ સામાન્ય રીતે, વોલ્યુમ V સુધી મર્યાદિત ચાર્જના સતત વિતરણ માટે, દ્વિધ્રુવ ક્ષણ માટે અનુરૂપ અભિવ્યક્તિ છેઃ જ્યાં r નિરીક્ષણના બિંદુને સ્થિત કરે છે અને d3r′ એ V માં પ્રાથમિક વોલ્યુમ સૂચવે છે. બિંદુ ચાર્જની શ્રેણી માટે, ચાર્જ ઘનતા ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યોનો સરવાળો બની જાય છેઃ જ્યાં દરેક r એ કોઈ સંદર્ભ બિંદુથી ચાર્જ qi સુધી વેક્ટર છે. ઉપરોક્ત એકીકરણ સૂત્રમાં અવેજી પૂરી પાડે છેઃ આ અભિવ્યક્તિ ચાર્જ તટસ્થતા અને N = 2 ના કિસ્સામાં અગાઉના અભિવ્યક્તિને સમકક્ષ છે. બે વિરુદ્ધ ચાર્જ માટે, જોડીના હકારાત્મક ચાર્જનું સ્થાન r + તરીકે અને નકારાત્મક ચાર્જનું સ્થાન r − તરીકે સૂચવે છેઃ દર્શાવે છે કે દ્વિધ્રુવ ક્ષણ વેક્ટર નકારાત્મક ચાર્જથી હકારાત્મક ચાર્જ તરફ નિર્દેશિત થાય છે કારણ કે એક બિંદુની સ્થિતિ વેક્ટર મૂળથી તે બિંદુ સુધી બહારની તરફ નિર્દેશિત થાય છે. દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ચાર્જની એકંદર તટસ્થ પ્રણાલીના સંદર્ભમાં ખાસ કરીને ઉપયોગી છે, ઉદાહરણ તરીકે વિરુદ્ધ ચાર્જની જોડી અથવા સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં તટસ્થ વાહક. ચાર્જની આવી પ્રણાલી માટે, જોડીદાર વિરુદ્ધ ચાર્જની શ્રેણી તરીકે કલ્પના કરવામાં આવે છે, વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ માટેનો સંબંધ છેઃ જ્યાં r એ નિરીક્ષણનું બિંદુ છે, અને ડાય = રી − રી, જે દ્વિધ્રુવ i માં નકારાત્મક ચાર્જની સ્થિતિ છે, અને હકારાત્મક ચાર્જની સ્થિતિને રી કરે છે. આ તટસ્થ ચાર્જ જોડીની વ્યક્તિગત દ્વિધ્રુવ ક્ષણોની વેક્ટર સરવાળો છે. (એકંદર ચાર્જ તટસ્થતાને કારણે, દ્વિધ્રુવ ક્ષણ નિરીક્ષકની સ્થિતિ r થી સ્વતંત્ર છે.) આમ, p નું મૂલ્ય સંદર્ભ બિંદુની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે, જો કે સિસ્ટમનો એકંદર ચાર્જ શૂન્ય હોય. બિન-તટસ્થ પ્રણાલીના દ્વિધ્રુવ ક્ષણની ચર્ચા કરતી વખતે, જેમ કે પ્રોટોનની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ, સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી પર નિર્ભરતા ઊભી થાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં સંદર્ભ બિંદુને પ્રણાલીના દળના કેન્દ્ર તરીકે પસંદ કરવાનું પરંપરાગત છે, કોઈ મનસ્વી મૂળ નહીં. આ પસંદગી માત્ર પરંપરાની બાબત નથીઃ દ્વિધ્રુવ ક્ષણની કલ્પના અનિવાર્યપણે ટોર્કની યાંત્રિક કલ્પનામાંથી લેવામાં આવી છે, અને મિકેનિક્સની જેમ, તે અવલોકન બિંદુ તરીકે દળના કેન્દ્રને પસંદ કરવા માટે ગણતરીત્મક અને સૈદ્ધાંતિક રીતે ઉપયોગી છે. ચાર્જ થયેલા પરમાણુ માટે ચાર્જનું કેન્દ્ર દળના કેન્દ્રને બદલે સંદર્ભ બિંદુ હોવું જોઈએ. તટસ્થ પ્રણાલીઓ માટે સંદર્ભ બિંદુ મહત્વપૂર્ણ નથી, અને દ્વિધ્રુવ ક્ષણ એ પ્રણાલીનો આંતરિક ગુણધર્મ છે. વિદ્યુત દ્વિધ્રુવની સંભવિતતા અને ક્ષેત્ર એક આદર્શ દ્વિધ્રુવમાં અનંત વિભાજન સાથે બે વિરુદ્ધ ચાર્જ હોય છે. આપણે આવા આદર્શ દ્વિધ્રુવની સંભવિતતા અને ક્ષેત્રની ગણતરી કરીએ છીએ, જે અલગ d> 0 પર બે વિરુદ્ધ ચાર્જથી શરૂ થાય છે, અને મર્યાદાને d → 0 તરીકે લઈએ છીએ. બે નજીકથી અંતરે આવેલા વિરોધી ચાર્જ ± q સ્વરૂપની સંભવિતતા ધરાવે છેઃ કુલમ્બના નિયમ દ્વારા ચાર્જ ઘનતાને અનુરૂપ, જ્યાં ચાર્જ વિભાજન છેઃ ચાલો R મધ્યબિંદુને સંબંધિત સ્થિતિ વેક્ટરને સૂચવે છે, અને અનુરૂપ એકમ વેક્ટરઃ ટેલર વિસ્તરણ (જુઓ બહુધ્રુવ વિસ્તરણ અને ચતુર્ભુજ) આ સંભવિતતાને શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરે છે. જ્યાં શ્રેણીમાં ઉચ્ચ ક્રમની શરતો મોટા અંતર પર અદ્રશ્ય થઈ રહી છે, R, d ની સરખામણીમાં. અહીં, વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ p, ઉપરની જેમ છેઃ દ્વિધ્રુવ પોટેન્શિયલ માટેનું પરિણામ પણ આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જે દ્વિધ્રુવ પોટેન્શિયલને બિંદુ ચાર્જ સાથે સંબંધિત કરે છે. એક મુખ્ય મુદ્દો એ છે કે દ્વિધ્રુવની ક્ષમતા બિંદુ ચાર્જ કરતાં R અંતર સાથે ઝડપથી ઘટી જાય છે. દ્વિધ્રુવનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ પોટેન્શિયલનો નકારાત્મક ઢાળ છે, જે આના તરફ દોરી જાય છેઃ આમ, જો કે બે નજીકથી અંતરે આવેલા વિરુદ્ધ ચાર્જ તદ્દન આદર્શ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ નથી (કારણ કે ટૂંકા અંતર પર તેમની પોટેન્શિયલ દ્વિધ્રુવની નથી), તેમના વિભાજન કરતા ઘણા મોટા અંતર પર, તેમની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ p તેમની પોટેન્શિયલ અને ક્ષેત્રમાં સીધી દેખાય છે. જેમ જેમ બે ચાર્જને એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે (d ને નાનું કરવામાં આવે છે), તેમ તેમ d/R ગુણોત્તરના આધારે બહુધ્રુવીય વિસ્તરણમાં દ્વિધ્રુવીય શબ્દ ક્યારેય નજીકના અંતર R પર એકમાત્ર નોંધપાત્ર શબ્દ બની જાય છે, અને અનંત અલગતાની મર્યાદામાં આ વિસ્તરણમાં દ્વિધ્રુવીય શબ્દ જ મહત્વ ધરાવે છે. જેમ કે d ને અનંત બનાવવામાં આવે છે, તેમ છતાં, p સ્થિરતાને જાળવી રાખવા માટે દ્વિધ્રુવ ચાર્જ વધારવો આવશ્યક છે. આ મર્યાદિત પ્રક્રિયા "બિંદુ દ્વિધ્રુવ" માં પરિણમે છે. દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા અને ધ્રુવીકરણ ઘનતા ચાર્જની શ્રેણીની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ, એરેની ધ્રુવીયતાની ડિગ્રી નક્કી કરે છે, પરંતુ તટસ્થ એરે માટે તે ફક્ત એરેની વેક્ટર પ્રોપર્ટી છે જેમાં એરેના સંપૂર્ણ સ્થાન વિશે કોઈ માહિતી નથી. એરે p (r) ની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા એરેનું સ્થાન અને તેની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ બંને ધરાવે છે. જ્યારે એરે ધરાવતા કેટલાક પ્રદેશમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રની ગણતરી કરવાનો સમય આવે છે, ત્યારે મેક્સવેલના સમીકરણો હલ થાય છે, અને ચાર્જ એરે વિશેની માહિતી મેક્સવેલના સમીકરણોની ધ્રુવીકરણ ઘનતા P (r) માં સમાયેલી હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્યાંકન કેટલું બારીક-દાણાદાર જરૂરી છે તેના આધારે, ચાર્જ એરે વિશેની વધુ કે ઓછી માહિતી P (r) દ્વારા વ્યક્ત કરવી પડશે. નીચે સમજાવ્યા મુજબ, કેટલીકવાર P (r) = p (r) લેવાનું પૂરતું સચોટ હોય છે. કેટલીકવાર વધુ વિગતવાર વર્ણનની જરૂર પડે છે (ઉદાહરણ તરીકે, વધારાના ચતુર્ભુજ ઘનતા સાથે દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતાને પૂરક બનાવવું) અને કેટલીકવાર P (r) ની વધુ વિસ્તૃત આવૃત્તિઓ જરૂરી હોય છે. હવે તે શોધવામાં આવે છે કે મેક્સવેલના સમીકરણોમાં પ્રવેશતી ધ્રુવીકરણ ઘનતા P (r) કઈ રીતે ચાર્જની એકંદર તટસ્થ શ્રેણીના દ્વિધ્રુવ ક્ષણ p સાથે સંબંધિત છે, અને દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા p (r) સાથે પણ સંબંધિત છે (જે માત્ર દ્વિધ્રુવ ક્ષણ જ નહીં, પણ શ્રેણી સ્થાનનું પણ વર્ણન કરે છે). નીચેની બાબતોમાં માત્ર સ્થિર પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, તેથી P (r) ની કોઈ સમય નિર્ભરતા નથી, અને ત્યાં કોઈ વિસ્થાપન પ્રવાહ નથી. પ્રથમ ધ્રુવીકરણ ઘનતા P (r) ની થોડી ચર્ચા છે. તે ચર્ચા કેટલાક ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે અનુસરવામાં આવે છે. "મુક્ત" અને "બંધાયેલા" ચાર્જ અને કરંટમાં ચાર્જ અને કરંટના વિભાજનના આધારે મેક્સવેલના સમીકરણોની રચના D-અને P-ક્ષેત્રોની રજૂઆત તરફ દોરી જાય છેઃ જ્યાં P ને ધ્રુવીકરણ ઘનતા કહેવામાં આવે છે. આ રચનામાં, આ સમીકરણનું વિચલન ઉપજ આપે છેઃ અને E માં વિચલન પદ એ કુલ ચાર્જ છે, અને ρf એ "મુક્ત ચાર્જ" છે, તેથી આપણે સંબંધ સાથે બાકી રહીએ છીએઃ ρb સાથે બંધાયેલા ચાર્જ તરીકે, જેના દ્વારા કુલ અને મુક્ત ચાર્જ ઘનતા વચ્ચેનો તફાવત થાય છે. એક બાજુએ, ચુંબકીય અસરોની ગેરહાજરીમાં, મેક્સવેલના સમીકરણો તે સ્પષ્ટ કરે છે જે સૂચવે છે કે હેલ્મહોલ્ટ્ઝ વિઘટન લાગુ કરવુંઃ કેટલાક સ્કેલર પોટેન્શિયલ φ માટે, અનેઃ ધારો કે ચાર્જ મુક્ત અને બાઉન્ડમાં વહેંચાયેલા છે, અને પોટેન્શિયલને φ પરની સીમા શરતોના સંતોષમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેને φf અને φb વચ્ચે મનસ્વી રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે કારણ કે માત્ર સરવાળા φ એ આ શરતોને સંતોષવી જોઈએ. તે અનુસરે છે કે પી એ બંધાયેલ તરીકે પસંદ કરેલા ચાર્જને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્રના પ્રમાણમાં છે, જેમાં સીમાની શરતો અનુકૂળ સાબિત થાય છે. ખાસ કરીને, જ્યારે કોઈ મુક્ત ચાર્જ હાજર ન હોય ત્યારે, એક સંભવિત પસંદગી P = ε0 E છે. આગળ ચર્ચા કરવામાં આવે છે કે કેવી રીતે માધ્યમના વિવિધ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ વર્ણનો મેક્સવેલના સમીકરણોમાં પ્રવેશતા ધ્રુવીકરણ સાથે સંબંધિત છે. ચાર્જ અને દ્વિધ્રુવ ઘનતા સાથે મધ્યમ આગળ વર્ણવ્યા મુજબ, ધ્રુવીકરણ ક્ષણ ઘનતા p (r) માટેનું એક મોડેલ સમાન મોડેલ સુધી મર્યાદિત ધ્રુવીકરણમાં પરિણમે છે. સરળતાથી બદલાતા દ્વિધ્રુવ ક્ષણ વિતરણ p (r) માટે, અનુરૂપ બાઉન્ડ ચાર્જ ઘનતા સરળ છે કારણ કે આપણે ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા ટૂંક સમયમાં સ્થાપિત કરીશું. જો કે, જો p (r) બે પ્રદેશો વચ્ચેની સીમા પર દ્વિધ્રુવ ક્ષણમાં અચાનક પગલું દર્શાવે છે, તો ρ·p (r) બાઉન્ડ ચાર્જના સપાટી ચાર્જ ઘટકમાં પરિણમે છે. નીચે આપેલા વિવિધ ઉદાહરણોમાં દર્શાવ્યા મુજબ, આ સરફેસ ચાર્જને સરફેસ ઇંટીગ્રલ દ્વારા અથવા સીમા પર વિસંગતતા પરિસ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરીને સારવાર કરી શકાય છે. દ્વિધ્રુવ ક્ષણને ધ્રુવીકરણ સાથે સંબંધિત પ્રથમ ઉદાહરણ તરીકે, સતત ચાર્જ ઘનતા ρ (r) અને સતત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ વિતરણ p (r) થી બનેલા માધ્યમને ધ્યાનમાં લો. સ્થિતિ r પર પોટેન્શિયલ છેઃ જ્યાં ρ (r) એ જોડી વગરના ચાર્જની ઘનતા છે, અને p (r) એ દ્વિધ્રુવ ક્ષણની ઘનતા છે. ઓળખનો ઉપયોગ કરીનેઃ ધ્રુવીકરણ અભિન્નને રૂપાંતરિત કરી શકાય છેઃ જ્યાં છેલ્લા પગલાંઓમાં વેક્ટર ઓળખનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ પદને એકીકરણના જથ્થાને બંધાયેલી સપાટી પરના અભિન્નમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને સપાટીના ચાર્જની ઘનતામાં ફાળો આપે છે, જેની પછી ચર્ચા કરવામાં આવી છે. આ પરિણામને સંભવિતતામાં પાછું મૂકવું, અને હમણાં માટે સપાટીના ચાર્જને અવગણવુંઃ જ્યાં વોલ્યુમ એકીકરણ માત્ર બાઉન્ડિંગ સપાટી સુધી વિસ્તરે છે, અને તેમાં આ સપાટીનો સમાવેશ થતો નથી. પોટેન્શિયલ કુલ ચાર્જ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે ઉપરોક્ત દર્શાવે છે કેઃ ટૂંકમાં, દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા p (r) આ માધ્યમ માટે ધ્રુવીકરણ ઘનતા P ની ભૂમિકા ભજવે છે. નોંધ લો કે, p (r) નો બિન-શૂન્ય વિચલન બાઉન્ડ ચાર્જ ડેન્સિટી બરાબર છે (આ અંદાજ મુજબ). એ નોંધવું જોઈએ કે આ અભિગમને તમામ બહુધ્રુવોનો સમાવેશ કરવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ દ્વિધ્રુવ, ચતુર્ભુજ, વગેરે. સંબંધનો ઉપયોગ કરીનેઃ ધ્રુવીકરણની ઘનતા આ પ્રમાણે જોવા મળે છેઃ જ્યાં ઉમેરવામાં આવેલી શરતો ઉચ્ચ ગુણાંકના યોગદાનને સૂચવવા માટે હોય છે. દેખીતી રીતે, ઉચ્ચ બહુધ્રુવોનો સમાવેશ સૂચવે છે કે ધ્રુવીકરણ ઘનતા P હવે માત્ર દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા p દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર્જ એરેમાંથી સ્કેટરિંગને ધ્યાનમાં લેતા, વિવિધ મલ્ટિપોલ્સ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગને અલગ રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે છૂટા પાડે છે, જેમાં દ્વિધ્રુવીય અંદાજથી આગળ જતા ચાર્જની રજૂઆતની જરૂર પડે છે. સપાટી ચાર્જ ઉપર, દ્વિધ્રુવોને કારણે સંભવિતતા માટે અભિવ્યક્તિમાં પ્રથમ મુદત માટે ચર્ચા મોકૂફ રાખવામાં આવી હતી. વિચલનને એકીકૃત કરવાથી સપાટી ચાર્જ થાય છે. જમણી બાજુની આકૃતિ સપાટી પર ચાર્જ શા માટે ઊભો થાય છે તેનો સાહજિક ખ્યાલ આપે છે. આ આકૃતિ બે સપાટીઓ વચ્ચેના સમાન દ્વિધ્રુવની એક સમાન શ્રેણી દર્શાવે છે. આંતરિક રીતે, દ્વિધ્રુવોના માથા અને પૂંછડીઓ અડીને હોય છે અને રદ થાય છે. બાઉન્ડિંગ સપાટીઓ પર, જોકે, કોઈ રદ થતું નથી. તેના બદલે, એક સપાટી પર દ્વિધ્રુવ હેડ હકારાત્મક સપાટી ચાર્જ બનાવે છે, જ્યારે વિરુદ્ધ સપાટી પર દ્વિધ્રુવ પૂંછડીઓ નકારાત્મક સપાટી ચાર્જ બનાવે છે. આ બે વિરુદ્ધ સપાટી ચાર્જ દ્વિધ્રુવની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર બનાવે છે. આ વિચારને ઉપરોક્ત સંભવિત અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક સ્વરૂપ આપવામાં આવ્યું છે. મુક્ત ચાર્જને અવગણીને, સંભવિત છેઃ વિચલન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, વિચલન શબ્દ સપાટીના અભિન્નમાં પરિવર્તિત થાય છેઃ કદના સપાટી વિસ્તારના એક તત્વ dA0 સાથે. જો p (r) એ અચળાંક હોય, તો માત્ર સપાટીનો શબ્દ જ ટકી રહે છેઃ dA0 એ ચાર્જને બંધાવતો સપાટીનો પ્રાથમિક વિસ્તાર છે. શબ્દોમાં કહીએ તો, સપાટીની અંદર સ્થિર p ને કારણે સંભવિતતા સપાટીના ચાર્જની સમકક્ષ હોય છે જે p ની દિશામાં ઘટક ધરાવતા સપાટીના ઘટકો માટે હકારાત્મક હોય છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશ કરેલા સપાટીના ઘટકો માટે નકારાત્મક હોય છે. (સામાન્ય રીતે સપાટીના તત્વની દિશા તત્વના સ્થાન પર સપાટીની બાહ્ય નોર્મલ તરીકે લેવામાં આવે છે.) જો બાઉન્ડિંગ સપાટી એક ગોળા હોય, અને અવલોકનનું બિંદુ આ ગોળાના કેન્દ્રમાં હોય, તો ગોળાની સપાટી પરનું એકીકરણ શૂન્ય હોય છેઃ સંભવિત રદમાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક સપાટી ચાર્જનું યોગદાન. જો અવલોકનનું બિંદુ કેન્દ્રની બહાર હોય, તો ચોખ્ખી ક્ષમતા (પરિસ્થિતિ પર આધાર રાખીને) પરિણમી શકે છે કારણ કે હકારાત્મક અને નકારાત્મક ચાર્જ નિરીક્ષણના બિંદુથી જુદા જુદા અંતરે હોય છે. સપાટીના ચાર્જને કારણે ક્ષેત્ર છેઃ જે ગોળાકાર બાઉન્ડિંગ સપાટીના કેન્દ્રમાં શૂન્ય નથી (કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર નકારાત્મક અને હકારાત્મક ચાર્જના ક્ષેત્રો ઉમેરે છે કારણ કે બંને ક્ષેત્રો સમાન રીતે નિર્દેશ કરે છે) પરંતુ તેના બદલે છેઃ જો આપણે ધારીએ કે દ્વિધ્રુવોનું ધ્રુવીકરણ બાહ્ય ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રેરિત થયું હતું, તો ધ્રુવીકરણ ક્ષેત્ર લાગુ કરેલા ક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે અને કેટલીકવાર તેને વિધ્રુવીકરણ ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે ધ્રુવીકરણ ગોળાકાર પોલાણની બહાર હોય, ત્યારે આસપાસના દ્વિધ્રુવોને કારણે પોલાણનું ક્ષેત્ર ધ્રુવીકરણની સમાન દિશામાં હોય છે. ખાસ કરીને, જો વિદ્યુત સંવેદનશીલતા અંદાજ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેઃ જ્યાં, આ કિસ્સામાં અને નીચેનામાં, બાહ્ય ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ધ્રુવીકરણને પ્રેરિત કરે છે. પછીઃ જ્યારે પણ χ (r) નો ઉપયોગ બે પ્રદેશો વચ્ચેની સીમા પર એક પગલાની વિસંગતતાનું નમૂના બનાવવા માટે થાય છે, ત્યારે પગલું સપાટી ચાર્જ સ્તર ઉત્પન્ન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોર્મલથી બાઉન્ડિંગ સપાટીને માત્ર એક આંતરિક બિંદુથી એક સપાટીથી બીજા બાહ્ય બિંદુ સુધી એકીકૃત કરવુંઃ જ્યાં An, ωn એ પ્રદેશો વચ્ચેની સરહદમાં ફેલાયેલા પ્રાથમિક ક્ષેત્રનું ક્ષેત્રફળ અને કદ અને સપાટી પર નોર્મલ એકમ સૂચવે છે. જેમ જેમ વોલ્યુમ સંકોચાય છે તેમ જમણી બાજુ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, કારણ કે ρb મર્યાદિત છે, જે E માં વિસંગતતા સૂચવે છે, અને તેથી સપાટી ચાર્જ. એટલે કે, જ્યાં પ્રતિરૂપિત માધ્યમમાં પારગમ્યતામાં એક પગલાનો સમાવેશ થાય છે, ત્યાં દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતાને અનુરૂપ ધ્રુવીકરણ ઘનતામાં આવશ્યકપણે સપાટીના ચાર્જનું યોગદાન શામેલ છે. p (r) ના ભૌતિક રીતે વધુ વાસ્તવિક મોડેલિંગમાં દ્વિધ્રુવ ક્ષણની ઘનતા ઝડપથી ઘટી જશે, પરંતુ શૂન્ય ઘનતા તરફ અચાનક પગલું ભરવાને બદલે, મર્યાદિત પ્રદેશની સીમા પર સરળતાથી શૂન્ય થઈ જશે. પછી સપાટીનો ચાર્જ અનંત પાતળી સપાટીમાં કેન્દ્રિત થશે નહીં, પરંતુ તેના બદલે, સરળતાથી બદલાતી દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતાનું વિચલન હોવાથી, તે પોતાને પાતળા, પરંતુ મર્યાદિત સંક્રમણ સ્તરમાં વિતરિત કરશે. એકસમાન બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ડાઇલેક્ટ્રિક ગોળા સપાટીના ચાર્જ વિશેની ઉપરોક્ત સામાન્ય ટિપ્પણીઓને એકસમાન વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ડાઇલેક્ટ્રિક ગોળાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈને વધુ નક્કર બનાવવામાં આવે છે. ગોળા તેના આંતરિક દ્વિધ્રુવ ક્ષણ સાથે સંબંધિત સપાટી ચાર્જ અપનાવતા જોવા મળે છે. એક સમાન બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઝેડ-દિશામાં નિર્દેશ કરતું હોવાનું માનવામાં આવે છે, અને ગોળાકાર-ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરવામાં આવે છે જેથી આ ક્ષેત્ર દ્વારા બનાવેલ પોટેન્શિયલ છેઃ ગોળાને ડાઇલેક્ટ્રિક અચળાંક κ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે તેવું માનવામાં આવે છે, એટલે કે, અને ગોળાની અંદર પોટેન્શિયલ લાપ્લાસના સમીકરણને સંતોષે છે. કેટલીક વિગતોને અવગણીને, ગોળાની અંદરનો ઉકેલ છેઃ ગોળાની બહારઃ મોટા અંતર પર, φ> → φ ν એટલે કે B = −E ν. સંભવિતતા અને વિસ્થાપન D = κε0E ના રેડિયલ ઘટકની સાતત્યતા અન્ય બે સ્થિરાંકો નક્કી કરે છે. ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા R છે, પરિણામે, સંભવિત છેઃ જે લાગુ કરેલા ક્ષેત્રને કારણે સંભવિત છે અને વધુમાં, દ્વિધ્રુવ ક્ષણના લાગુ કરેલા ક્ષેત્ર (z-દિશા) ની દિશામાં દ્વિધ્રુવઃ અથવા, એકમ કદ દીઠઃ પરિબળ (κ−1)/(κ + 2) ને ક્લોસિયસ-મોસોટ્ટી પરિબળ કહેવામાં આવે છે અને તે દર્શાવે છે કે પ્રેરિત ધ્રુવીકરણ સંકેતને પલટી દે છે જો κ <1 હોય. અલબત્ત, આ ઉદાહરણમાં આવું થઈ શકતું નથી, પરંતુ બે અલગ અલગ ડાઇલેક્ટ્રિક સાથેના ઉદાહરણમાં κ ને આંતરિક અને બાહ્ય ક્ષેત્રના ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંકોના ગુણોત્તર દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે એક કરતા વધારે અથવા નાના હોઈ શકે છે. ગોળાની અંદરની પોટેન્શિયલ છેઃ ગોળાની અંદરના ક્ષેત્ર તરફ દોરી જાય છેઃ દ્વિધ્રુવની વિધ્રુવીકરણ અસર દર્શાવે છે. નોંધ લો કે ગોળાની અંદરનું ક્ષેત્ર એકસમાન અને લાગુ કરેલા ક્ષેત્રને સમાંતર છે. દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ગોળાના સમગ્ર આંતરિક ભાગમાં સમાન હોય છે. ગોળા પર સપાટીના ચાર્જની ઘનતા એ રેડિયલ ક્ષેત્રના ઘટકો વચ્ચેનો તફાવત છેઃ આ રેખીય ડાઇલેક્ટ્રિક ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે ડાઇલેક્ટ્રિક અચળ પ્રક્રિયા સમાન દ્વિધ્રુવ ક્ષણ મોડેલની સમકક્ષ છે અને ગોળાની સીમા પર સપાટીના ચાર્જ સિવાય દરેક જગ્યાએ શૂન્ય ચાર્જ તરફ દોરી જાય છે. સામાન્ય માધ્યમ જો નિરીક્ષણ ચાર્જની પ્રણાલીથી પૂરતા પ્રમાણમાં દૂરના પ્રદેશો સુધી મર્યાદિત હોય, તો ચોક્કસ ધ્રુવીકરણ ઘનતાનું બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ કરી શકાય છે. આ વિસ્તરણને કાપીને (ઉદાહરણ તરીકે, માત્ર દ્વિધ્રુવની શરતો જાળવી રાખવી, અથવા માત્ર દ્વિધ્રુવ અને ચતુર્ભુજ શરતો, અથવા વગેરે. ), અગાઉના વિભાગના પરિણામો પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. ખાસ કરીને, દ્વિધ્રુવ પદ પર વિસ્તરણને કાપીને, પરિણામ ચાર્જ પ્રદેશ સુધી મર્યાદિત સમાન દ્વિધ્રુવ ક્ષણ દ્વારા પેદા થતી ધ્રુવીકરણ ઘનતાથી અલગ પાડી શકાય તેમ નથી. આ દ્વિધ્રુવ અંદાજની ચોકસાઈ માટે, અગાઉના વિભાગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા p (r) (જેમાં માત્ર p જ નહીં પરંતુ p નું સ્થાન પણ સામેલ છે) એ P (r) તરીકે કામ કરે છે. ચાર્જ એરેની અંદરના સ્થાનો પર, જોડીદાર ચાર્જની એરેને માત્ર દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા p (r) નો સમાવેશ કરતા અંદાજ સાથે જોડવા માટે વધારાની વિચારણાઓની જરૂર છે. સૌથી સરળ અંદાજ એ છે કે ચાર્જ એરેને આદર્શ (અનંત અંતરે) દ્વિધ્રુવોના નમૂના સાથે બદલવો. ખાસ કરીને, ઉપરના ઉદાહરણમાં જે મર્યાદિત પ્રદેશ સુધી મર્યાદિત સતત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતાનો ઉપયોગ કરે છે, તે સપાટી ચાર્જ અને વિધ્રુવીકરણ ક્ષેત્રનું પરિણામ છે. આ મોડેલનું વધુ સામાન્ય સંસ્કરણ (જે ધ્રુવીકરણને સ્થિતિ સાથે બદલવાની મંજૂરી આપે છે) એ વિદ્યુત સંવેદનશીલતા અથવા વિદ્યુત પારગમ્યતાનો ઉપયોગ કરીને રૂઢિગત અભિગમ છે. બિંદુ ચાર્જ એરેનું વધુ જટિલ મોડેલ માઇક્રોસ્કોપિક ચાર્જની સરેરાશ દ્વારા અસરકારક માધ્યમ રજૂ કરે છે; ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ એવી વ્યવસ્થા કરી શકે છે કે માત્ર દ્વિધ્રુવ ક્ષેત્રો જ ભૂમિકા ભજવે છે. એક સંબંધિત અભિગમ એ છે કે ચાર્જને નિરીક્ષણના બિંદુની નજીકના અને બહુધ્રુવીય વિસ્તરણને મંજૂરી આપવા માટે પૂરતા દૂરના ચાર્જમાં વહેંચવામાં આવે છે. નજીકના ચાર્જ પછી સ્થાનિક ક્ષેત્રની અસરોને જન્મ આપે છે. આ પ્રકારના સામાન્ય મોડેલમાં, દૂરના ચાર્જને ડાઇલેક્ટ્રિક અચળાંકનો ઉપયોગ કરીને સજાતીય માધ્યમ તરીકે ગણવામાં આવે છે, અને નજીકના ચાર્જને માત્ર દ્વિધ્રુવીય અંદાજમાં ગણવામાં આવે છે. માત્ર દ્વિધ્રુવ અને તેની સાથે સંકળાયેલ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ઘનતા દ્વારા મધ્યમ અથવા ચાર્જની શ્રેણીના અંદાજને કેટલીકવાર બિંદુ દ્વિધ્રુવ અંદાજ, સ્વતંત્ર દ્વિધ્રુવ અંદાજ અથવા ફક્ત દ્વિધ્રુવ અંદાજ કહેવામાં આવે છે. મૂળભૂત કણોની વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણોને સ્પિન સાથે ભેળસેળ ન કરવી, જે કણોની ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણોને સંદર્ભિત કરે છે, મૂળભૂત અને સંયુક્ત કણો, એટલે કે અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુટ્રોનની વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણો (ઇ. ડી. એમ.; અથવા વિસંગત વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણો) ને માપવા પર ઘણું પ્રાયોગિક કાર્ય ચાલુ છે. ઇ. ડી. એમ. સમાનતા (પી) અને સમય-વિપરીત (ટી) સમપ્રમાણતા બંનેનું ઉલ્લંઘન કરે છે, તેથી તેમના મૂલ્યો પ્રકૃતિમાં સીપી-ઉલ્લંઘનનું મોટે ભાગે મોડેલ-સ્વતંત્ર માપ આપે છે (એમ ધારીને કે સીપીટી સમપ્રમાણતા માન્ય છે). તેથી, આ ઇ. ડી. એમ. માટેના મૂલ્યો સીપી-હિંસાના પ્રમાણ પર મજબૂત અવરોધો મૂકે છે જે કણ ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રમાણભૂત મોડેલના વિસ્તરણને મંજૂરી આપી શકે છે. પ્રયોગોની વર્તમાન પેઢીઓ ઇ. ડી. એમ. ની સુપરસિમેટ્રી શ્રેણી પ્રત્યે સંવેદનશીલ બનવા માટે રચાયેલ છે, જે એલ. એચ. સી. ખાતે કરવામાં આવેલા પ્રયોગોને પૂરક પ્રયોગો પૂરા પાડે છે. ખરેખર, ઘણા સિદ્ધાંતો વર્તમાન મર્યાદાઓ સાથે અસંગત છે અને અસરકારક રીતે નકારી કાઢવામાં આવ્યા છે, અને સ્થાપિત સિદ્ધાંત આ મર્યાદાઓ કરતાં ઘણું મોટું મૂલ્ય આપે છે, જે મજબૂત CP સમસ્યા તરફ દોરી જાય છે અને અક્ષતંતુ જેવા નવા કણોની શોધ માટે પ્રેરિત કરે છે. ન્યુટ્રલ કેઓન ઓસિલેશનથી આપણે ઓછામાં ઓછા યુકાવા સેક્ટરમાં એ જાણી શકીએ છીએ કે CP તૂટી ગયું છે. ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુટ્રોન જેવા વિવિધ કણોના વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણને માપવા માટે પ્રયોગો કરવામાં આવ્યા છે. વધારાના CP-ઉલ્લંઘનકારી શબ્દો સાથે પ્રમાણભૂત મોડેલની બહારના ઘણા મોડેલો સામાન્ય રીતે બિન-શૂન્ય વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણની આગાહી કરે છે અને તેથી આવા નવા ભૌતિકશાસ્ત્ર પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે. ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં બિન-શૂન્ય θ શબ્દમાંથી ઇન્સ્ટન્ટોન સુધારાઓ ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોન માટે બિન-શૂન્ય વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણની આગાહી કરે છે, જે પ્રયોગોમાં જોવા મળ્યા નથી (જ્યાં ન્યુટ્રોનનું વિશ્લેષણ કરવાથી શ્રેષ્ઠ સીમાઓ આવે છે). આ મજબૂત CP સમસ્યા છે અને કાયરલ પર્ટર્બેશન થિયરીની આગાહી છે. અણુઓની દ્વિધ્રુવીય ક્ષણો અણુઓમાં દ્વિધ્રુવીય ક્ષણો બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રોની હાજરીમાં પદાર્થની વર્તણૂક માટે જવાબદાર છે. દ્વિધ્રુવ બાહ્ય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત હોય છે જે સતત અથવા સમય આધારિત હોઈ શકે છે. આ અસર ડાઇલેક્ટ્રિક સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી નામની આધુનિક પ્રાયોગિક તકનીકનો આધાર બનાવે છે. દ્વિધ્રુવીય ક્ષણો પાણી જેવા સામાન્ય અણુઓમાં અને પ્રોટીન જેવા જૈવ અણુઓમાં પણ મળી શકે છે. અમુક પદાર્થની કુલ દ્વિધ્રુવ ક્ષણના માધ્યમથી કોઈ પણ વ્યક્તિ પરાવૈદ્યુત અચળાંકની ગણતરી કરી શકે છે જે વાહકતાની વધુ સાહજિક વિભાવના સાથે સંબંધિત છે. જો નમૂનાની કુલ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ હોય, તો પરાવૈદ્યુત અચળાંક આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં k એ અચળાંક છે અને કુલ દ્વિધ્રુવ ક્ષણનું સમય સહસંબંધ કાર્ય છે. સામાન્ય રીતે કુલ દ્વિધ્રુવ ક્ષણમાં નમૂનામાં અણુઓના અનુવાદો અને પરિભ્રમણમાંથી યોગદાન આવે છે, તેથી, પરાવૈદ્યુત અચળાંક (અને વાહકતા) બંને શબ્દોમાંથી યોગદાન ધરાવે છે. આવર્તન આધારિત ડાઇલેક્ટ્રિક કાર્યની ગણતરી કરવા માટે આ અભિગમને સામાન્ય બનાવી શકાય છે. ઇલેક્ટ્રોનિક માળખા સિદ્ધાંતમાંથી દ્વિધ્રુવ ક્ષણોની ગણતરી કરવી શક્ય છે, કાં તો સતત વિદ્યુત ક્ષેત્રોના પ્રતિભાવ તરીકે અથવા ઘનતા મેટ્રિક્સમાંથી. જોકે પરમાણુ ક્વોન્ટમ અસરોની સંભવિત હાજરીને કારણે આવા મૂલ્યો પ્રયોગ સાથે સીધા તુલનાત્મક નથી, જે એમોનિયા પરમાણુ જેવી સરળ પ્રણાલીઓ માટે પણ નોંધપાત્ર હોઈ શકે છે. કપલ્ડ ક્લસ્ટર થિયરી (ખાસ કરીને સી. સી. એસ. ડી. (ટી.)) ખૂબ જ સચોટ દ્વિધ્રુવ ક્ષણો આપી શકે છે, જો કે ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતમાંથી વાજબી અંદાજો (લગભગ 5 ટકાની અંદર) મેળવવાનું શક્ય છે, ખાસ કરીને જો વર્ણસંકર અથવા બેવડા વર્ણસંકર કાર્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે. સમૂહ યોગદાન પદ્ધતિઓના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને અણુના દ્વિધ્રુવ ક્ષણની ગણતરી પણ પરમાણુ માળખાના આધારે કરી શકાય છે. વિસંગત ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય ક્ષણ બોન્ડ દ્વિધ્રુવીય ક્ષણ ન્યુટ્રોન વિદ્યુત દ્વિધ્રુવીય ક્ષણ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત દ્વિધ્રુવીય ક્ષણ ટોરોઇડલ દ્વિધ્રુવીય ક્ષણ બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ બહુધ્રુવીય ક્ષણો ઘન સંવાદિતા અક્ષીય બહુધ્રુવીય ક્ષણો નળાકાર બહુધ્રુવીય ક્ષણો લાપ્લાસ વિસ્તરણ દંતકથા બહુપદી નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય લિંક્સ ઇલેક્ટ્રિક દ્વિધ્રુવીય ક્ષણ-એરિક વેઇઝસ્ટીનની વર્લ્ડ ઓફ ફિઝિક્સ ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક દ્વિધ્રુવીય બહુધ્રુવીય ક્ષણમાંથી