Multivariate random variable
સંભાવના અને આંકડામાં, બહુપરીમાણીય રેન્ડમ ચલ અથવા રેન્ડમ વેક્ટર એ ગાણિતિક ચલની સૂચિ અથવા વેક્ટર છે, જેનું દરેક મૂલ્ય અજ્ઞાત છે, કારણ કે મૂલ્ય હજુ સુધી આવ્યું નથી અથવા કારણ કે તેના મૂલ્યનું અપૂર્ણ જ્ઞાન છે. રેન્ડમ વેક્ટરમાં વ્યક્તિગત ચલોને એકસાથે જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે બધા એક જ ગાણિતિક પ્રણાલીનો ભાગ છે-ઘણીવાર તેઓ વ્યક્તિગત આંકડાકીય એકમના વિવિધ ગુણધર્મોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આપેલ વ્યક્તિની ચોક્કસ ઉંમર, ઊંચાઈ અને વજન હોય છે, ત્યારે જૂથમાંથી અચોક્કસ વ્યક્તિની આ લાક્ષણિકતાઓનું પ્રતિનિધિત્વ રેન્ડમ વેક્ટર હશે. સામાન્ય રીતે રેન્ડમ વેક્ટરનું દરેક તત્વ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય છે. રેન્ડમ વેક્ટરનો ઉપયોગ ઘણીવાર વિવિધ પ્રકારના એકંદર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના અંતર્ગત અમલીકરણ તરીકે થાય છે, દા. ત. રેન્ડમ મેટ્રિક્સ, રેન્ડમ ટ્રી, રેન્ડમ સિક્વન્સ, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા, વગેરે. વધુ ઔપચારિક રીતે, મલ્ટિવેરિયેટ રેન્ડમ વેરિયેબલ એ કૉલમ વેક્ટર (અથવા તેનું ટ્રાન્સપોઝ, જે એક પંક્તિ વેક્ટર છે) છે, જેના ઘટકો એકબીજાની સમાન સંભાવના જગ્યા પર સ્કેલર-વેલ્યુડ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ છે, જ્યાં નમૂનાની જગ્યા છે, તે સિગ્મા-બીજગણિત (તમામ ઘટનાઓનો સંગ્રહ) છે, અને તે સંભાવના માપ છે (દરેક ઘટનાની સંભાવના પરત કરતું કાર્ય). સંભાવના વિતરણ દરેક રેન્ડમ વેક્ટર અંતર્ગત સિગ્મા-બીજગણિત તરીકે બોરેલ બીજગણિત સાથે સંભાવના માપને જન્મ આપે છે. આ માપ સંયુક્ત સંભાવના વિતરણ, સંયુક્ત વિતરણ અથવા રેન્ડમ વેક્ટરના બહુવિધ વિતરણ તરીકે પણ ઓળખાય છે. દરેક ઘટક રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના વિતરણને સીમાંત વિતરણ કહેવામાં આવે છે. આપેલ શરતી સંભાવના વિતરણ એ જ્યારે કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય તરીકે ઓળખાય છે ત્યારે સંભાવના વિતરણ છે. રેન્ડમ વેક્ટરના સંચિત વિતરણ કાર્યને ક્યાં તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ વેક્ટર પરની કામગીરીઓ બિન-રેન્ડમ વેક્ટર જેવી જ પ્રકારની બીજગણિત કામગીરીઓને આધિન હોઈ શકે છેઃ સરવાળો, બાદબાકી, સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર અને આંતરિક ઉત્પાદનો લેવાનું. એ જ રીતે, નવા રેન્ડમ વેક્ટરને રેન્ડમ વેક્ટરમાં એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન લાગુ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ, જ્યાં મેટ્રિક્સ છે અને તે કોલમ વેક્ટર છે. જો ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ હોય અને તેની સંભાવના ઘનતા કાર્ય હોય, તો તેની સંભાવના ઘનતા છે. ઇન્વર્ટિબલ મેપિંગ્સ વધુ સામાન્ય રીતે આપણે રેન્ડમ વેક્ટરના ઇન્વર્ટિબલ મેપિંગ્સનો અભ્યાસ કરી શકીએ છીએ. ચાલો એક ખુલ્લા સબસેટમાંથી એક-થી-એકનું મેપિંગ કરીએ, ચાલો સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ રાખીએ અને જેકોબિયન નિર્ધારકને કોઈ પણ સમયે શૂન્ય ન થવા દો. ધારો કે વાસ્તવિક રેન્ડમ વેક્ટર સંભાવના ઘનતા કાર્ય ધરાવે છે અને સંતોષ આપે છે. પછી રેન્ડમ વેક્ટર સંભાવના ઘનતાનો હોય છે જ્યાં સૂચક કાર્યને સૂચવે છે અને સમૂહનો આધાર સૂચવે છે. અપેક્ષિત મૂલ્ય રેન્ડમ વેક્ટરનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અથવા સરેરાશ એ એક નિશ્ચિત વેક્ટર છે જેના ઘટકો સંબંધિત રેન્ડમ ચલોના અપેક્ષિત મૂલ્યો છે. કોવેરિયન્સ અને ક્રોસ-કોવેરિયન્સ વ્યાખ્યાઓ રેન્ડમ વેક્ટરનું કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ (જેને સેકન્ડ સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ અથવા વેરિયન્સ-કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ પણ કહેવાય છે) એ એક મેટ્રિક્સ છે જેનું (i, j) th તત્વ એ i th અને j th રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ વચ્ચેનું કોવેરિયન્સ છે. કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સનું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે, એલિમેન્ટ બાય એલિમેન્ટ, જેની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે, જ્યાં સુપરસ્ક્રિપ્ટ T સૂચવેલા વેક્ટરના ટ્રાન્સપોઝને સંદર્ભિત કરે છેઃ વિસ્તરણ દ્વારા, બે રેન્ડમ વેક્ટર અને (એલિમેન્ટ ધરાવતા અને એલિમેન્ટ ધરાવતા) વચ્ચે ક્રોસ-કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે જ્યાં ફરીથી મેટ્રિક્સની અપેક્ષા મેટ્રિક્સમાં એલિમેન્ટ બાય એલિમેન્ટ લેવામાં આવે છે. અહીં (i, j) મો તત્વ એ ના i મા તત્વ અને ના j મા તત્વ વચ્ચેનું સહપ્રસરણ છે. ગુણધર્મો સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ એ એક સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે. . સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ એ હકારાત્મક અર્ધ-અનંત મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે. . ક્રોસ-કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ એ ફક્ત મેટ્રિક્સનું ટ્રાન્સપોઝ છે, એટલે કે. . અસંબદ્ધતા બે રેન્ડમ વેક્ટર અને તેને અસંબદ્ધ કહેવામાં આવે છે. જો તેમનો ક્રોસ-કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ શૂન્ય હોય તો જ તેઓ અસંબંધિત હોય છે. સહસંબંધ અને આંતર-સહસંબંધ વ્યાખ્યાઓ રેન્ડમ વેક્ટરનું સહસંબંધ મેટ્રિક્સ (જેને સેકન્ડ મોમેન્ટ પણ કહેવાય છે) એ એક મેટ્રિક્સ છે જેનું (i, j) th તત્વ એ i th અને j th રેન્ડમ ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ છે. સહસંબંધ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સનું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે, તત્વ દ્વારા તત્વ, જેની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે, જ્યાં સુપરસ્ક્રિપ્ટ T સૂચવેલા વેક્ટરના ટ્રાન્સપોઝને સંદર્ભિત કરે છેઃ વિસ્તરણ દ્વારા, બે રેન્ડમ વેક્ટર અને (તત્વો ધરાવતા અને તત્વો ધરાવતા) વચ્ચેનો ક્રોસ-સહસંબંધ મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ ગુણધર્મો છે. એ જ રીતે ક્રોસ-સહસંબંધ મેટ્રિક્સ અને ક્રોસ-કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ માટેઃ ઓર્થોગોનાલિટી સમાન કદના બે રેન્ડમ વેક્ટર અને જો તેને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે. સ્વતંત્રતા બે રેન્ડમ વેક્ટર અને તેમને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો બધા માટે અને ક્યાં અને અને અને ના સંચિત વિતરણ કાર્યોને સૂચવે છે અને તેમના સંયુક્ત સંચિત વિતરણ કાર્યને સૂચવે છે. અને ની સ્વતંત્રતા ઘણીવાર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. લેખિત ઘટક મુજબ, અને જો બધા માટે સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિક કાર્ય ઘટકો સાથે રેન્ડમ વેક્ટરનું લાક્ષણિક કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે દરેક વેક્ટરને જટિલ સંખ્યામાં મેપ કરે છે. તે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ ગુણધર્મો દ્વિઘાત સ્વરૂપની અપેક્ષા રેન્ડમ વેક્ટરમાં દ્વિઘાત સ્વરૂપની અપેક્ષા નીચે મુજબ લઈ શકાય છેઃ જ્યાં સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ છે અને મેટ્રિક્સના ટ્રેસને સંદર્ભિત કરે છે-એટલે કે, તેના મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના સરવાળા (ઉપર ડાબેથી નીચે જમણે). દ્વિઘાત સ્વરૂપ સ્કેલર હોવાથી, તેની અપેક્ષા પણ એવી જ છે. પુરાવોઃ ચાલો અને સાથે રેન્ડમ વેક્ટર હોઈએ અને નોન-સ્ટોકેસ્ટિક મેટ્રિક્સ હોઈએ. પછી સહપ્રસરણ માટેના સૂત્રના આધારે, જો આપણે સૂચવીએ અને, તો આપણે જોઈએ છીએ કેઃ તેથી જે આપણને બતાવવા માટે છોડી દે છે કે આ એ હકીકત પર આધારિત છે કે કોઈ વ્યક્તિ અંતિમ પરિણામને બદલ્યા વિના ટ્રેસ લેતી વખતે ચક્રીય રીતે મેટ્રિસીસને ક્રમબદ્ધ કરી શકે છે (દા. ત. :). આપણે જોઈએ છીએ કે અને ત્યારથી એક સ્કેલર છે, પછી તુચ્છ રીતે. ક્રમચયનો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છેઃ અને આને મૂળ સૂત્રમાં જોડવાથી આપણને મળે છેઃ બે અલગ અલગ વર્ગાત્મક સ્વરૂપોના ગુણાકારની અપેક્ષા શૂન્ય-અર્થ ગૌસીયન રેન્ડમ વેક્ટરમાં બે અલગ અલગ વર્ગાત્મક સ્વરૂપોના ગુણાકારની અપેક્ષા નીચે મુજબ લઈ શકાય છેઃ જ્યાં ફરીથી સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ છે. ફરીથી, કારણ કે બંને વર્ગાત્મક સ્વરૂપો સ્કેલર છે અને તેથી તેમનું ઉત્પાદન સ્કેલર છે, તેમના ઉત્પાદનની અપેક્ષા પણ સ્કેલર છે. એપ્લિકેશન્સ પોર્ટફોલિયો થિયરી ફાઇનાન્સમાં પોર્ટફોલિયો થિયરીમાં, એક ઉદ્દેશ ઘણીવાર જોખમી અસ્કયામતોના પોર્ટફોલિયોને પસંદ કરવાનો હોય છે જેમ કે રેન્ડમ પોર્ટફોલિયો રિટર્નનું વિતરણ ઇચ્છનીય ગુણધર્મો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ વ્યક્તિ આપેલ અપેક્ષિત મૂલ્ય માટે સૌથી ઓછા તફાવત સાથે પોર્ટફોલિયો વળતર પસંદ કરવા માંગે છે. અહીં રેન્ડમ વેક્ટર એ વ્યક્તિગત અસ્કયામતો પર રેન્ડમ વળતરનું વેક્ટર છે, અને પોર્ટફોલિયો વળતર પી (એક રેન્ડમ સ્કેલર) એ પોર્ટફોલિયો વજનના વેક્ટર ડબલ્યુ સાથે રેન્ડમ વળતરના વેક્ટરનું આંતરિક ઉત્પાદન છે-સંબંધિત અસ્કયામતોમાં મૂકવામાં આવેલા પોર્ટફોલિયોના અપૂર્ણાંકો. પી = ડબલ્યુટી હોવાથી, પોર્ટફોલિયો વળતરનું અપેક્ષિત મૂલ્ય ડબલ્યુટીઇ () છે અને પોર્ટફોલિયો વળતરનું તફાવત ડબલ્યુટીસીડબલ્યુ તરીકે દર્શાવી શકાય છે, જ્યાં સી એ ડબલ્યુટીઇનું સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ છે. રીગ્રેસન થિયરી રેખીય રીગ્રેસન થિયરીમાં, આપણી પાસે દરેક k સ્વતંત્ર ચલ xj પર આશ્રિત ચલ y અને n અવલોકનો પર n અવલોકનો પર ડેટા છે. આશ્રિત ચલ પરના અવલોકનો સ્તંભ વેક્ટર y માં ગોઠવાયેલા હોય છે; દરેક સ્વતંત્ર ચલ પરના અવલોકનો પણ સ્તંભ વેક્ટરમાં ગોઠવાયેલા હોય છે, અને આ પછીના સ્તંભ વેક્ટરને સ્વતંત્ર ચલ પરના અવલોકનોના ડિઝાઇન મેટ્રિક્સ X (આ સંદર્ભમાં રેન્ડમ વેક્ટરને દર્શાવતા નથી) માં જોડવામાં આવે છે. પછી નીચેના પ્રતિગમન સમીકરણને માહિતી પેદા કરતી પ્રક્રિયાના વર્ણન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં β એ k પ્રતિભાવ ગુણાંકનું અનુમાનિત નિશ્ચિત પરંતુ અજ્ઞાત વેક્ટર છે, અને e એ આશ્રિત ચલ પર યાદૃચ્છિક પ્રભાવોને પ્રતિબિંબિત કરતું અજ્ઞાત રેન્ડમ વેક્ટર છે. સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ જેવી કેટલીક પસંદ કરેલી તકનીક દ્વારા, વેક્ટરને β ના અંદાજ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને વેક્ટર e નો અંદાજ, સૂચવવામાં આવે છે, તેની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે. વેક્ટર સમય શ્રેણી સમય દ્વારા k × 1 રેન્ડમ વેક્ટરની ઉત્ક્રાંતિને વેક્ટર ઓટોરેગ્રેસન (VAR) તરીકે નીચે પ્રમાણે મોડેલિંગ કરી શકાય છેઃ જ્યાં i-સમયગાળો-પાછળ વેક્ટર નિરીક્ષણને i-th લેગ કહેવામાં આવે છે, c એ સ્થિરાંકો (અવરોધો) નો k × 1 વેક્ટર છે, AI એ સમય-અપરિવર્તનશીલ k × k મેટ્રિક્સ છે અને તે ભૂલ શરતોના k × 1 રેન્ડમ વેક્ટર છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન બહુવિધ આંકડાકીય રેન્ડમ ચલોનું બીજગણિત ડીઃ Zufallsvariable#Mehrdimensionale ઝુફાલ્સવેરિયેબલ પીએલઃ ઝ્મીએન્ના losowa#Uogólnienia