Divisor
ગણિતમાં, પૂર્ણાંકનો વિભાજક, જેને પરિબળ પણ કહેવામાં આવે છે, તે એક પૂર્ણાંક છે જે ઉત્પન્ન કરવા માટે અમુક પૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, એક એવું પણ કહે છે કે એક પૂર્ણાંક અન્ય પૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત અથવા સમાનરૂપે વિભાજીત થાય છે જો તે વિભાજક હોય; આ સૂચવે છે કે પાંદડાઓ દ્વારા વિભાજન કરવું કોઈ શેષ નથી. વ્યાખ્યા એક પૂર્ણાંક બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત થાય છે જો ત્યાં કોઈ પૂર્ણાંક હોય. આને આ રીતે લખવામાં આવે છે એક જ વસ્તુ કહેવાની અન્ય રીતો એ છે કે જે વિભાજિત કરે છે, તે એક વિભાજક છે, એક પરિબળ છે, અને તેનો ગુણાંક છે. જો વિભાજીત ન થાય, તો સંકેત છે. સામાન્ય રીતે, બિન-શૂન્ય હોવું જરૂરી છે, પરંતુ તેને શૂન્ય હોવાની મંજૂરી છે. આ પરંપરા સાથે, દરેક બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંક માટે. કેટલીક વ્યાખ્યાઓ બિન-શૂન્ય જરૂરિયાતને બાકાત રાખે છે. સામાન્ય વિભાજક નકારાત્મક તેમજ હકારાત્મક હોઈ શકે છે, જો કે ઘણીવાર આ શબ્દ હકારાત્મક વિભાજક સુધી મર્યાદિત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4 ના છ ભાજકો છે; તેઓ 1,2,4, −1, −2, અને −4 છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે માત્ર હકારાત્મક (1,2, અને 4) નો ઉલ્લેખ કરવામાં આવશે. 1 અને-1 દરેક પૂર્ણાંકને વિભાજીત કરે છે. દરેક પૂર્ણાંક (અને તેની નકારાત્મકતા) પોતે જ એક વિભાજક છે. 2 વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોને સમ કહેવામાં આવે છે, અને 2 વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા પૂર્ણાંકોને વિષમ કહેવામાં આવે છે. 1, −1, n અને −n ને n ના તુચ્છ ભાજકો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા એક બિન-તુચ્છ ભાજક ધરાવતા બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંકને સંયુક્ત સંખ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જ્યારે એકમો-1 અને 1 અને મુખ્ય સંખ્યાઓમાં કોઈ બિન-તુચ્છ ભાજક હોતા નથી. વિભાજ્યતાના એવા નિયમો છે જે સંખ્યાના અંકોમાંથી સંખ્યાના ચોક્કસ ભાજકોને ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણો 7 એ 42 નો વિભાજક છે કારણ કે, તેથી આપણે કહી શકીએ. એવું પણ કહી શકાય કે 42 એ 7 વડે વિભાજ્ય છે, 42 એ 7 નો ગુણાંક છે, 7 એ 42 ને વિભાજીત કરે છે, અથવા 7 એ 42 નો પરિબળ છે. 6 ના બિન-તુચ્છ ભાજકો 2, − 2,3, − 3 છે. 42 ના ધન વિભાજક 1,2,3,6,7,14,21,42 છે. 60 ના તમામ હકારાત્મક ભાજકોના સમૂહમાં, આંશિક રીતે વિભાજ્યતા દ્વારા ક્રમબદ્ધ, હાસ આકૃતિ છેઃ વધુ કલ્પનાઓ અને તથ્યો કેટલાક પ્રાથમિક નિયમો છેઃ જો અને, તો, એટલે કે. વિભાજીતતા એ એક સંક્રમક સંબંધ છે. જો અને પછી અથવા. જો અને, પછી ધરાવે છે, જેમ કરે છે. જો કે, જો અને, તો તે હંમેશા નથી (દા. ત. અને પરંતુ 5 એ 6 ને વિભાજિત કરતું નથી). જો, અને પછી. આને યુક્લિડનો લેમ્મા કહેવામાં આવે છે. જો એક મુખ્ય સંખ્યા છે અને પછી અથવા. તેમાંથી અલગ હોય તેવા હકારાત્મક વિભાજકને a અથવા an કહેવામાં આવે છે. જે સંખ્યા સમાનરૂપે વિભાજીત થતી નથી પરંતુ શેષને છોડી દે છે તેને કેટલીકવાર an of કહેવામાં આવે છે. એક પૂર્ણાંક કે જેનો એકમાત્ર યોગ્ય ભાજક 1 હોય તેને મુખ્ય સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. સમાનરૂપે, મુખ્ય સંખ્યા એ એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે જેમાં બરાબર બે સકારાત્મક પરિબળો હોય છેઃ 1 અને પોતે. કોઈપણ હકારાત્મક વિભાજક એ અમુક ઘાતમાં ઊભા થયેલા મુખ્ય વિભાજકનું ગુણાકાર છે. આ અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનું પરિણામ છે. એક સંખ્યાને સંપૂર્ણ કહેવામાં આવે છે જો તે તેના યોગ્ય ભાજકોના સરવાળા બરાબર હોય, જો તેના યોગ્ય ભાજકોનો સરવાળો તેના કરતા ઓછો હોય તો ખામીયુક્ત અને જો આ સરવાળો ઓળંગે તો વિપુલ હોય છે. હકારાત્મક ભાજકોની કુલ સંખ્યા એ ગુણાકાર કાર્ય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે જ્યારે બે સંખ્યાઓ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય હોય, ત્યારે. દાખલા તરીકે; 42 ના આઠ વિભાજક 1,2,3,6,7,14,21 અને 42 છે. જો કે, હકારાત્મક ભાજકોની સંખ્યા એ સંપૂર્ણપણે ગુણાકાર કાર્ય નથીઃ જો બે સંખ્યાઓ અને એક સામાન્ય ભાજક વહેંચે છે, તો તે સાચું ન પણ હોઈ શકે. હકારાત્મક વિભાજકોનો સરવાળો એ અન્ય ગુણાકાર કાર્ય છે (દા. ત. ). આ બંને કાર્યો વિભાજક કાર્યોના ઉદાહરણો છે. જો તેનું મુખ્ય ગુણાંકકરણ તેના દ્વારા આપવામાં આવે તો તેના હકારાત્મક ભાજકોની સંખ્યા છે અને દરેક વિભાજકનું સ્વરૂપ છે જ્યાં દરેક માટે દરેક પ્રાકૃતિક માટે,. ઉપરાંત, યુલર-માસ્ચેરોની અચળાંક ક્યાં છે. આ પરિણામનું એક અર્થઘટન એ છે કે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માં વિભાજકોની સરેરાશ સંખ્યા લગભગ છે. જો કે, આ "અસામાન્ય રીતે ઘણા" વિભાજક ધરાવતી સંખ્યાઓના યોગદાનનું પરિણામ છે. અમૂર્ત બીજગણિતમાં રીંગ થિયરી ડિવિઝન લેટીસ 0 નો સમાવેશ કરતી વ્યાખ્યાઓમાં, વિભાજ્યતાનો સંબંધ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના સમૂહને આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહમાં ફેરવે છે જે સંપૂર્ણ વિતરણ જાળી છે. આ જાળીનું સૌથી મોટું તત્વ 0 છે અને સૌથી નાનું 1 છે. મીટ ઓપરેશન સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા આપવામાં આવે છે અને જોઇન ઓપરેશન ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ જાળી અનંત ચક્રીય જૂથ ઝેડના પેટાજૂથોના જાળીના દ્વિ માટે સમરૂપ છે. અંકગણિત કાર્યો પણ જુઓ યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ અપૂર્ણાંક (ગણિત) પૂર્ણાંક ગુણાકાર વિભાજકનું કોષ્ટક-1-1000 મુખ્ય પરિબળોનું કોષ્ટક માટે મુખ્ય અને બિન-મુખ્ય વિભાજકનું કોષ્ટક-1-1000 એકાત્મક વિભાજક નોંધો સંદર્ભો માટે મુખ્ય પરિબળોનું કોષ્ટક રિચાર્ડ કે. ગાય, સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ (ત્રીજી આવૃત્તિ), સ્પ્રિંગર વેરલેગ, 2004; વિભાગ બી. ઓસ્ટીન ઓર, સંખ્યા સિદ્ધાંત અને તેનો ઇતિહાસ, મેકગ્રો-હિલ, એનવાય, 1944 (અને ડોવર પુનઃમુદ્રણો). પ્રાથમિક સંખ્યા સિદ્ધાંત વિભાગ (ગણિત)