Parity of a permutation
ગણિતમાં, જ્યારે X એ ઓછામાં ઓછા બે ઘટકો સાથેનો મર્યાદિત સમૂહ હોય, ત્યારે X ના ક્રમચયો (એટલે કે. X થી X) સુધીના બાયજેક્ટિવ ફંક્શન્સ સમાન કદના બે વર્ગોમાં આવે છેઃ સમ ક્રમચયો અને વિષમ ક્રમચયો. જો X નો કોઈપણ કુલ ક્રમ નિશ્ચિત હોય, તો X ના ક્રમચયની સમાનતા (વિષમતા અથવા સમતા) ને σ માટે વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યાની સમાનતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, એટલે કે, X ના x, y તત્વોની જોડી જેમ કે અને. ક્રમચય σ ની નિશાની, સહી અથવા સંકેતને sgn (σ) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે અને જો σ સમ હોય તો + 1 અને જો σ વિષમ હોય તો −1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સહી સપ્રમાણ જૂથ Sn ના વૈકલ્પિક પાત્રને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ક્રમચયની નિશાની માટે અન્ય સંકેત વધુ સામાન્ય લેવી-સિવિટા પ્રતીક (εσ) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે X થી X સુધીના તમામ નકશાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને બિન-ઉદ્દેશ્ય નકશાઓ માટે તેનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે. ક્રમચયની નિશાની સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં N (σ) એ σ માં વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યા છે. વૈકલ્પિક રીતે, ક્રમચયની નિશાની σ ને તેના વિઘટનથી સ્થાનાંતરણના ગુણાકારમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં m એ વિઘટનમાં સ્થાનાંતરણની સંખ્યા છે. જો કે આવા વિઘટન અનન્ય નથી, તેમ છતાં તમામ વિઘટનમાં સ્થાનાંતરણની સંખ્યાની સમાનતા સમાન છે, જે સૂચવે છે કે ક્રમચયની નિશાની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. ઉદાહરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમૂહના ક્રમચયને ધ્યાનમાં લો અને એક-લીટી સંકેતલિપીમાં, આ ક્રમચયને 34521 તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તે ઓળખ ક્રમચય 12345 પરથી ત્રણ સ્થાનાંતરણો દ્વારા મેળવી શકાય છેઃ પહેલા સંખ્યા 2 અને 4 ની અદલાબદલી કરો, પછી 3 અને 5 ની અદલાબદલી કરો અને અંતે 1 અને 3 ની અદલાબદલી કરો. આ દર્શાવે છે કે આપેલ ક્રમચય σ વિચિત્ર છે. ચક્ર સંકેત લેખની પદ્ધતિને અનુસરીને, આ લખી શકાય છે, જમણેથી ડાબેથી કંપોઝ કરી શકાય છે, કારણ કે ટ્રાન્સપોઝિશનની રચના તરીકે σ લખવાની અન્ય ઘણી રીતો છે, ઉદાહરણ તરીકે, પરંતુ તેને સમ સંખ્યાના ટ્રાન્સપોઝિશનના ઉત્પાદન તરીકે લખવું અશક્ય છે. ગુણધર્મો ઓળખ ક્રમચય એ સમ ક્રમચય છે. સમ ક્રમચયને સમ સંખ્યાની રચના તરીકે મેળવી શકાય છે અને માત્ર બે તત્વોના સમ સંખ્યાના વિનિમય (જેને સ્થાનાંતરણ કહેવાય છે) તરીકે મેળવી શકાય છે, જ્યારે વિષમ ક્રમચયને (માત્ર) વિષમ સંખ્યાના સ્થાનાંતરણ દ્વારા મેળવી શકાય છે. નીચેના નિયમો પૂર્ણાંકોના ઉમેરા વિશેના અનુરૂપ નિયમોમાંથી સીધા જ અનુસરે છેઃ બે સમ ક્રમચયોની રચના એ બે વિષમ ક્રમચયોની રચના પણ છે જે વિષમની રચના પણ છે અને સમ ક્રમચયો વિચિત્ર છે. વધુમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે સમ ક્રમચયો Sn નું પેટા જૂથ બનાવે છે. આ એન અક્ષરો પર વૈકલ્પિક જૂથ છે, જે એન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તે હોમોમોર્ફિઝમ એસ. જી. એન. નું કર્નલ છે. વિષમ ક્રમચયો પેટા જૂથ બનાવી શકતા નથી, કારણ કે બે વિષમ ક્રમચયોના સંયોજન સરખા હોય છે, પરંતુ તેઓ એ. એન. (એસ. એન. માં) નો સમૂહ બનાવે છે. જો, તો પછી Sn માં જેટલા વિષમ ક્રમચયો છે તેટલા જ સમ ક્રમચયો છે; પરિણામે, An માં n!/2 ક્રમચયો છે. (કારણ એ છે કે જો σ સમ હોય તો તે વિષમ છે, અને જો σ વિષમ હોય તો તે સમ છે, અને આ બંને નકશા એકબીજાથી વિપરીત છે.) એક ચક્ર ભલે અને માત્ર ત્યારે જ હોય જ્યારે તેની લંબાઈ વિચિત્ર હોય. વ્યવહારમાં, આપેલ ક્રમચય સમ અથવા વિષમ છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે, વ્યક્તિ ક્રમચયને અસંબદ્ધ ચક્રના ગુણાકાર તરીકે લખે છે. ક્રમચય વિચિત્ર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ ગુણાંકમાં સમ-લંબાઈના ચક્રની વિષમ સંખ્યા હોય. આપેલ ક્રમચય સમ અથવા વિષમ છે કે કેમ તે નક્કી કરવાની બીજી પદ્ધતિ એ છે કે અનુરૂપ ક્રમચય મેટ્રિક્સની રચના કરવી અને તેના નિર્ધારકની ગણતરી કરવી. નિર્ધારકનું મૂલ્ય ક્રમચયની સમાનતા જેટલું જ છે. વિષમ ક્રમનું દરેક ક્રમચય સમ હોવું જોઈએ. A4 માં ક્રમચય દર્શાવે છે કે વિપરીત સામાન્ય રીતે સાચું નથી. બે વ્યાખ્યાઓની સમાનતા આ વિભાગ પુરાવા રજૂ કરે છે કે ક્રમચય σ ની સમાનતાને બે સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ σ માં વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યાની સમાનતા તરીકે (કોઈપણ ક્રમ હેઠળ); અથવા સ્થાનાંતરણની સંખ્યાની સમાનતા તરીકે કે જેમાં σ નું વિઘટન કરી શકાય છે (જો કે આપણે તેને વિઘટિત કરવાનું પસંદ કરીએ છીએ). અન્ય વ્યાખ્યાઓ અને પુરાવાઓ બિંદુઓના ક્રમચયની સમાનતા પણ તેના ચક્ર માળખામાં એન્કોડ કરવામાં આવે છે. ધારો કે σ = (i1 i2. ir + 1) (j1 j2. js + 1). (l1 l2. mu + 1) એ σ નું અસંબદ્ધ ચક્રમાં અનન્ય વિઘટન છે, જે કોઈપણ ક્રમમાં રચના કરી શકાય છે કારણ કે તેઓ પરિવહન કરે છે. બિંદુઓને સમાવતું ચક્ર હંમેશા k સ્થાનાંતરણ (2-ચક્ર) ની રચના કરીને મેળવી શકાય છેઃ તેથી k ને ચક્રનું કદ કહો, અને અવલોકન કરો કે, આ વ્યાખ્યા હેઠળ, સ્થાનાંતરણ કદ 1 ના ચક્ર છે. એમ ડિસજોઈન્ટ ચક્રમાં વિઘટનથી આપણે σ નું રૂપાંતરણમાં વિઘટન મેળવી શકીએ છીએ, જ્યાં કી એ ith ચક્રનું કદ છે. આ સંખ્યાને σ નો ડિસ્ક્રિમિનન્ટ કહેવામાં આવે છે, અને તેની ગણતરી એવી રીતે પણ કરી શકાય છે કે જાણે આપણે σ ના નિશ્ચિત બિંદુઓને 1-ચક્ર તરીકે સામેલ કરવાની કાળજી લઈએ. ધારો કે σ ક્રમચય પછી સ્થાનાંતર (a b) લાગુ કરવામાં આવે છે. જ્યારે a અને b એ σ ના જુદા જુદા ચક્રમાં હોય, અને જો a અને b એ σ ના સમાન ચક્રમાં હોય તો. કોઈપણ કિસ્સામાં, તે જોઈ શકાય છે કે, તેથી N ((a b) σ) ની સમાનતા N (σ) ની સમાનતાથી અલગ હશે. જો ક્રમચય σ નું સ્થાનાંતરમાં મનસ્વી વિઘટન હોય, તો ઓળખ પછી t2 પછી r સ્થાનાંતર લાગુ કરીને. પછી tr પછી (જેનો N શૂન્ય છે) અવલોકન કરો કે N (σ) અને r સમાન સમાનતા ધરાવે છે. σ ની સમાનતાને N (σ) ની સમાનતાને વ્યાખ્યાયિત કરીને, સમ લંબાઈનું વિઘટન ધરાવતું ક્રમચય એક સમ ક્રમચય છે અને એક વિષમ લંબાઈનું વિઘટન ધરાવતું ક્રમચય એક વિષમ ક્રમચય છે. ટિપ્પણીઓ ઉપરોક્ત દલીલની કાળજીપૂર્વક તપાસ દર્શાવે છે કે, અને ચક્રમાં σ નું કોઈપણ વિઘટન કે જેના કદનો સરવાળો r થાય છે તેને r સ્થાનાંતરણની રચના તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, તેથી સંખ્યા N (σ) એ σ ના વિઘટનમાં ચક્રના કદનો ઓછામાં ઓછો શક્ય સરવાળો છે, જેમાં તમામ ચક્ર સ્થાનાંતરણ હોય તેવા કિસ્સાઓનો સમાવેશ થાય છે. આ પુરાવો બિંદુઓના સમૂહમાં (સંભવતઃ મનસ્વી) ક્રમ રજૂ કરતું નથી જેના પર σ કાર્ય કરે છે. સામાન્યીકરણ સમાનતા કોક્સેટર જૂથો માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ એક લંબાઈ કાર્ય l (v) ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે જનરેટરની પસંદગી પર આધારિત છે (સમપ્રમાણ જૂથ, અડીને આવેલા સ્થાનાંતરણો માટે), અને પછી કાર્ય સામાન્યીકૃત સંકેત નકશો આપે છે. આ પણ જુઓ પંદર પઝલ એ ઝોલોટારેવની લેમ્મા નોટ્સ રેફરન્સ ગ્રુપ થિયરી ક્રમચયો સમાનતા (ગણિત) સાબિતીઓ ધરાવતા લેખોની ક્લાસિક એપ્લિકેશન છે સાઇન (ગણિત) રુઃ περεστανοvκα #Связанные πρεδελενενία