Gottlob Frege
ફ્રેડરિક લુડવિગ ગોટલોબ ફ્રેજ (; 8 નવેમ્બર 1848-26 જુલાઈ 1925) એક જર્મન ફિલસૂફ, તર્કશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી હતા. તેઓ જેના યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રોફેસર હતા, અને ઘણા લોકો તેમને વિશ્લેષણાત્મક ફિલસૂફીના પિતા તરીકે સમજે છે, જેઓ ભાષા, તર્ક અને ગણિતના ફિલસૂફી પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. તેમના જીવનકાળ દરમિયાન તેમની મોટાભાગે અવગણના કરવામાં આવી હોવા છતાં, જિયુસેપ પીનો (1858-1932), બર્ટ્રાન્ડ રસેલ (1872-1970), અને અમુક અંશે, લુડવિગ વિટ્જેનસ્ટીન (1889-1951) એ તેમના કાર્યને પછીની પેઢીઓના તત્વજ્ઞાનીઓ સમક્ષ રજૂ કર્યું હતું. ફ્રેજને વ્યાપક રીતે એરિસ્ટોટલ પછીના સૌથી મહાન તર્કશાસ્ત્રી અને ગણિતના અત્યાર સુધીના સૌથી ગહન ફિલસૂફોમાંના એક માનવામાં આવે છે. તેમના યોગદાનમાં બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટમાં આધુનિક તર્કશાસ્ત્રનો વિકાસ અને ગણિતના પાયામાં કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. તેમનું પુસ્તક ધ ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ એરિથમેટિક એ તર્કશાસ્ત્રી પ્રોજેક્ટનું મૂળ લખાણ છે, અને માઈકલ ડુમેટ્ટ દ્વારા ભાષાકીય વળાંકને ક્યાં નિર્ધારિત કરવો તે તરીકે ટાંકવામાં આવ્યું છે. તેમના ફિલોસોફિકલ લેખો "ઑન સેન્સ એન્ડ રેફરન્સ" અને "ધ થોટ" પણ વ્યાપકપણે ટાંકવામાં આવ્યા છે. પહેલું બે અલગ અલગ પ્રકારના અર્થ અને વર્ણનાત્મકતા માટે દલીલ કરે છે. ફાઉન્ડેશન્સ અને "ધ થોટ" માં, ફ્રેજ અનુક્રમે સંખ્યાઓ અને દરખાસ્તોને લગતા મનોવિજ્ઞાન અથવા ઔપચારિકતા સામે પ્લેટોનિઝમ માટે દલીલ કરે છે. રસેલના વિરોધાભાસે ફાઉન્ડેશન્સમાં ફ્રેજના મૂળભૂત નિયમ V ને ખોટો બતાવીને તર્કવાદી પ્રોજેક્ટને નબળી પાડી દીધો. જીવન બાળપણ (1848-69) ફ્રેજનો જન્મ 1848માં વિસ્મર, મેક્લેનબર્ગ-શ્વેરિન (આજે મેક્લેનબર્ગ-વોર્પોમેર્નનો ભાગ) માં થયો હતો. તેમના પિતા કાર્લ (કાર્લ) એલેક્ઝાન્ડર ફ્રેજ (1809-1866) તેમના મૃત્યુ સુધી કન્યાઓની ઉચ્ચ શાળાના સહ-સ્થાપક અને મુખ્ય શિક્ષક હતા. કાર્લના મૃત્યુ પછી, શાળાનું નેતૃત્વ ફ્રેજની માતા ઑગસ્ટે વિલ્હેલ્માઇન સોફી ફ્રેજ (જન્મ બિયાલોબ્લોત્ઝકી, 12 જાન્યુઆરી 1815-14 ઓક્ટોબર 1898) દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું; તેણીની માતા ઑગસ્ટે અમાલિયા મારિયા બોલહોર્ન હતી, જે ફિલિપ મેલાનચથોનના વંશજ હતા અને તેમના પિતા જોહાન હેઇનરિચ સિગફ્રાઇડ બિયાલોબ્લોત્ઝકી હતા, જેઓ 17મી સદીમાં પોલેન્ડ છોડનારા પોલેન્ડના ઉમદા પરિવારના વંશજ હતા. ફ્રેજ એક લ્યુથેરન હતા. બાળપણમાં, ફ્રેજને ફિલસૂફીઓનો સામનો કરવો પડ્યો હતો જે તેમની ભાવિ વૈજ્ઞાનિક કારકિર્દીને માર્ગદર્શન આપશે. ઉદાહરણ તરીકે, તેમના પિતાએ 9-13 વયના બાળકો માટે જર્મન ભાષા પર એક પાઠ્યપુસ્તક લખ્યું હતું, જેનું શીર્ષક હતું Hülfsbuch zum Unterichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jharren (બીજી આવૃત્તિ, વિસ્મર 1850; ત્રીજી આવૃત્તિ, વિસ્મર અને લુડવિગ્સ્લસ્ટઃ હિંસ્ટોર્ફ, 1862) (9 થી 13 વર્ષના બાળકોને જર્મન શીખવવા માટે સહાય પુસ્તક), જેનો પ્રથમ વિભાગ ભાષાના માળખા અને તર્ક સાથે વ્યવહાર કરતો હતો. ફ્રેજે 1869માં અભ્યાસ કર્યો અને સ્નાતક થયા. તેમના શિક્ષક ગુસ્તાવ એડોલ્ફ લિયો સાશે (5 નવેમ્બર 1843-1 સપ્ટેમ્બર 1909), જે કવિ હતા, તેમણે ફ્રેજની ભાવિ વૈજ્ઞાનિક કારકિર્દી નક્કી કરવામાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી હતી, અને તેમને જેના યુનિવર્સિટીમાં અભ્યાસ ચાલુ રાખવા માટે પ્રોત્સાહિત કર્યા હતા. યુનિવર્સિટી ખાતે અભ્યાસ (1869-74) ફ્રેગે 1869ની વસંતઋતુમાં ઉત્તર જર્મન સંઘના નાગરિક તરીકે જેના યુનિવર્સિટીમાં મેટ્રિકની પરીક્ષા પાસ કરી હતી. તેમના અભ્યાસના ચાર સેમેસ્ટરમાં તેમણે વ્યાખ્યાનના આશરે વીસ અભ્યાસક્રમોમાં હાજરી આપી હતી, જેમાંથી મોટાભાગના ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર પર હતા. તેમના સૌથી મહત્વપૂર્ણ શિક્ષક અર્ન્સ્ટ કાર્લ અબે (1840-1905; ભૌતિકશાસ્ત્રી, ગણિતશાસ્ત્રી અને શોધક) હતા. આબેએ ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંત, ગેલ્વેનિઝમ અને ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ, જટિલ ચલનાં કાર્યોનું જટિલ વિશ્લેષણ સિદ્ધાંત, ભૌતિકશાસ્ત્રના ઉપયોગો, મિકેનિક્સના પસંદ કરેલા વિભાગો અને ઘન પદાર્થોના મિકેનિક્સ પર પ્રવચનો આપ્યા હતા. અબે ફ્રેજ માટે શિક્ષક કરતાં વધુ હતાઃ તેઓ એક વિશ્વાસપાત્ર મિત્ર હતા, અને ઓપ્ટિકલ ઉત્પાદક કાર્લ ઝીસ એ. જી. ના નિર્દેશક તરીકે, તેઓ ફ્રેજની કારકિર્દીને આગળ વધારવાની સ્થિતિમાં હતા. ફ્રેજના સ્નાતક થયા પછી, તેઓ નજીકના પત્રવ્યવહારમાં આવ્યા. તેમના અન્ય નોંધપાત્ર યુનિવર્સિટીના શિક્ષકો ક્રિશ્ચિયન ફિલિપ કાર્લ સ્નેલ (1806-86; વિષયોઃ ભૂમિતિમાં અનંત વિશ્લેષણનો ઉપયોગ, વિમાનોની વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, વિશ્લેષણાત્મક મિકેનિક્સ, ઓપ્ટિક્સ, મિકેનિક્સના ભૌતિક પાયા); હર્મન કાર્લ જુલિયસ ટ્રુગોટ શેફર (1824-1900; ટેલિગ્રાફ અને અન્ય ઇલેક્ટ્રોનિક મશીનો પર વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, લાગુ ભૌતિકશાસ્ત્ર, બીજગણિત વિશ્લેષણ); અને ફિલસૂફ કુનો ફિશર (1824-1907; કેન્ટિયન અને નિર્ણાયક ફિલસૂફી) હતા. 1871 માં શરૂ કરીને, ફ્રેગે જર્મન બોલતા પ્રદેશોમાં ગણિતની અગ્રણી યુનિવર્સિટી ગોટિન્જેનમાં તેમનો અભ્યાસ ચાલુ રાખ્યો, જ્યાં તેમણે રુડોલ્ફ ફ્રેડરિક આલ્ફ્રેડ ક્લેબશ (1833-72; વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ), અર્ન્સ્ટ ક્રિશ્ચિયન જુલિયસ શેરિંગ (1824-97; કાર્ય સિદ્ધાંત), વિલ્હેલ્મ એડવર્ડ વેબર (1804-91; શારીરિક અભ્યાસ, લાગુ ભૌતિકશાસ્ત્ર), એડવર્ડ રીક (1845-1915; વીજળીનો સિદ્ધાંત), અને હર્મન લોત્ઝ (1817-81; ધર્મની ફિલસૂફી) ના પ્રવચનોમાં હાજરી આપી હતી. પરિપક્વ ફ્રેજના ઘણા દાર્શનિક સિદ્ધાંતો લોત્ઝમાં સમાનતા ધરાવે છે; તે વિદ્વતાપૂર્ણ ચર્ચાનો વિષય રહ્યો છે કે લોત્ઝના પ્રવચનોમાં ભાગ લેવાથી ફ્રેજના મંતવ્યો પર સીધો પ્રભાવ પડ્યો હતો કે નહીં. 1873 માં, ફ્રેજે અર્ન્સ્ટ ક્રિશ્ચિયન જુલિયસ શેરિંગ હેઠળ તેમની ડોક્ટરેટની પદવી પ્રાપ્ત કરી, "ઉબેર એઈન જીઓમેટ્રીશ ડાર્સ્ટેલુંગ ડેર ઇમેજિનરેન ગેબિલ્ડે ઇન ડેર ઇબેન" ("પ્લેનમાં કાલ્પનિક સ્વરૂપોની ભૌમિતિક રજૂઆત પર") શીર્ષક હેઠળ એક મહાનિબંધ સાથે, જેમાં તેમણે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના અનંત દૂરના (કાલ્પનિક) બિંદુઓના ગાણિતિક અર્થઘટન તરીકે ભૂમિતિમાં આવી મૂળભૂત સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવાનું લક્ષ્ય રાખ્યું હતું. ફ્રેજે 14 માર્ચ 1887ના રોજ માર્ગારેટ કેથરીના સોફિયા અન્ના લિસેબર્ગ (15 ફેબ્રુઆરી 1856-25 જૂન 1904) સાથે લગ્ન કર્યા હતા. આ દંપતીને ઓછામાં ઓછા બે બાળકો હતા, જેઓ કમનસીબે નાનપણમાં મૃત્યુ પામ્યા હતા. વર્ષો પછી તેઓએ એક પુત્ર, આલ્ફ્રેડને દત્તક લીધો. જોકે, ફ્રેજના પારિવારિક જીવન વિશે બહુ ઓછી માહિતી છે. તેમ છતાં તેમનું શિક્ષણ અને પ્રારંભિક ગાણિતિક કાર્ય મુખ્યત્વે ભૂમિતિ પર કેન્દ્રિત હતું, ફ્રીજનું કાર્ય ટૂંક સમયમાં તર્ક તરફ વળ્યું. તેમણે તર્કના ઇતિહાસમાં એક વળાંક દર્શાવ્યો હતો. બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટે નવી જમીન તોડી, જેમાં કાર્યો અને ચલોના વિચારોની સખત સારવારનો સમાવેશ થાય છે. ફ્રેજનું લક્ષ્ય એ બતાવવાનું હતું કે ગણિત તર્કમાંથી વિકસે છે, અને આમ કરવાથી, તેમણે એવી તકનીકો વિકસાવી કે જે તેમને એરિસ્ટોટેલિયન સિલોજિસ્ટિકથી અલગ પાડે પરંતુ તેમને સ્ટોઇક પ્રપોઝિશનલ તર્કની નજીક લઈ ગઈ. અસરકારક રીતે, ફ્રેજે સ્વયંસિદ્ધ વિધેયાત્મક તર્કની શોધ કરી, મોટા ભાગે તેમના માત્રાત્મક ચલની શોધને આભારી છે, જે આખરે ગણિત અને તર્કશાસ્ત્રમાં સર્વવ્યાપક બની હતી અને જેણે બહુવિધ સામાન્યતાની સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું હતું. અગાઉના તર્કમાં તાર્કિક સ્થિરાંકો અને, અથવા, જો. તો., નહીં, અને કેટલાક અને બધા સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ આ કામગીરીના પુનરાવર્તનો, ખાસ કરીને "કેટલાક" અને "બધા", બહુ ઓછા સમજી શકાયા હતાઃ "દરેક છોકરો કોઈ છોકરીને પ્રેમ કરે છે" અને "કોઈ છોકરી દરેક છોકરા દ્વારા પ્રેમ કરે છે" જેવા વાક્ય વચ્ચેના તફાવતને પણ માત્ર ખૂબ જ કૃત્રિમ રીતે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યારે ફ્રેજની ઔપચારિકતાને "દરેક છોકરો કોઈ છોકરીને પ્રેમ કરે છે જે કોઈ છોકરીને પ્રેમ કરે છે" અને સમાન વાક્યોના વિવિધ વાંચનને વ્યક્ત કરવામાં કોઈ મુશ્કેલી નહોતી, તેની સારવારની સંપૂર્ણ સમાંતર, કહો, "દરેક છોકરો મૂર્ખ છે". વારંવાર નોંધાતું ઉદાહરણ એ છે કે એરિસ્ટોટલનો તર્ક યુક્લિડના પ્રમેય જેવા ગાણિતિક નિવેદનોને રજૂ કરવામાં અસમર્થ છે, જે સંખ્યા સિદ્ધાંતનું મૂળભૂત નિવેદન છે કે ત્યાં અનંત સંખ્યામાં મુખ્ય સંખ્યાઓ છે. જોકે, ફ્રેજનું "વૈચારિક સંકેત" આવા તારણો રજૂ કરી શકે છે. બર્ટ્રાન્ડ રસેલ, 1872-1970, અને આલ્ફ્રેડ નોર્થ વ્હાઇટહેડ, 1861-1947 દ્વારા પ્રિન્સિપિયા મેથેમેટિકા (3 વોલ્યુમો., 1910-13) માટે જરૂરી તાર્કિક ખ્યાલો અને ઔપચારિકરણની મશીનરીનું વિશ્લેષણ, રસેલના વર્ણનના સિદ્ધાંત, કર્ટ ગોડેલના (1906-78) અપૂર્ણતા સિદ્ધાંતો અને આલ્ફ્રેડ ટાર્સ્કીના (1901-83) સત્યના સિદ્ધાંત માટે, આખરે ફ્રેજને કારણે છે. ફ્રેજના જણાવેલા હેતુઓમાંથી એક અનુમાનના સાચા અર્થમાં તાર્કિક સિદ્ધાંતોને અલગ પાડવાનો હતો, જેથી ગાણિતિક સાબિતીની યોગ્ય રજૂઆતમાં, કોઈ પણ સમયે "અંતર્જ્ઞાન" ને અપીલ ન કરી શકે. જો કોઈ સાહજિક તત્વ હોય, તો તેને અલગ પાડવાનું હતું અને સ્વયંસિદ્ધ તરીકે અલગથી રજૂ કરવાનું હતુંઃ ત્યાંથી, સાબિતી સંપૂર્ણપણે તાર્કિક અને અંતર વગરની હોવી જોઈએ. આ સંભાવનાને પ્રદર્શિત કર્યા પછી, ફ્રેજનો મોટો હેતુ એ દ્રષ્ટિકોણનો બચાવ કરવાનો હતો કે અંકગણિત એ તર્કની એક શાખા છે, જે તર્કવાદ તરીકે ઓળખાય છેઃ ભૂમિતિથી વિપરીત, અંકગણિતને "અંતર્જ્ઞાન" માં કોઈ આધાર નથી અને બિન-તાર્કિક સ્વયંસિદ્ધોની જરૂર નથી. પહેલેથી જ 1879ના બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટ મહત્વપૂર્ણ પ્રારંભિક સિદ્ધાંતોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રાઇકોટમીના કાયદાનું સામાન્ય સ્વરૂપ, જે ફ્રીજે શુદ્ધ તર્ક તરીકે સમજ્યું હતું તેની અંદર મેળવવામાં આવ્યું હતું. આ વિચાર તેમના ધ ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ એરિથમેટિક (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884) માં બિન-પ્રતીકાત્મક શબ્દોમાં ઘડવામાં આવ્યો હતો. પાછળથી, તેમના અંકગણિતના મૂળભૂત નિયમોમાં (ગ્રુન્ડગેસેટ્ઝ ડેર એરિથમેટિક, વોલ્યુમ. 1, 1893; વોલ્યુમ. 2, 1903; વોલ્યુમ. 2 તેમના પોતાના ખર્ચે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું), ફ્રેજે તેમના પ્રતીકવાદનો ઉપયોગ કરીને, તેમણે તાર્કિક તરીકે ભારપૂર્વક જણાવેલા સ્વયંસિદ્ધ શબ્દોમાંથી અંકગણિતના તમામ નિયમો મેળવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. આમાંના મોટાભાગના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો તેમના બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટમાંથી લેવામાં આવ્યા હતા, જોકે કેટલાક નોંધપાત્ર ફેરફારો વિના નહીં. એક સાચો નવો સિદ્ધાંત હતો જેને તેમણે આ રીતે ઓળખાવ્યો હતોઃ f (x) વિધેયની "મૂલ્ય-શ્રેણી" એ g (x) વિધેયની "મૂલ્ય-શ્રેણી" જેવી જ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો [f (x) = g (x)] હોય. કાયદાના નિર્ણાયક કેસને આધુનિક સંકેતલિપીમાં નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી શકે છે. ચાલો {x|Fx} વિધેય Fx ના વિસ્તરણને સૂચવે છે, એટલે કે, બધા Fs નો સમૂહ, અને તે જ રીતે Gx માટે. પછી મૂળભૂત નિયમ V કહે છે કે જો અને માત્ર જો βx [Fx] Gx હોય તો જ આગાહીઓ Fx અને Gx સમાન વિસ્તરણ ધરાવે છે. Fs નો સમૂહ એ Gs ના સમૂહ જેવો જ હોય છે, જો દરેક F એ G હોય અને દરેક G એ F હોય. (આ કિસ્સો વિશેષ છે કારણ કે જેને અહીં વિધેય અથવા સમૂહનું વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે, તે કાર્યની માત્ર એક પ્રકારની "મૂલ્ય-શ્રેણી" છે.) એક પ્રખ્યાત એપિસોડમાં, બર્ટ્રાન્ડ રસેલે ફ્રીજને વોલ્યુમની જેમ જ લખ્યું હતું. ગ્રુન્ડગેસેટ્ઝનો 2 1903માં પ્રેસમાં આવવાનો હતો, જે દર્શાવે છે કે રસેલનો વિરોધાભાસ ફ્રેજના મૂળભૂત નિયમ V પરથી મેળવી શકાય છે. ફ્રેજની પ્રણાલીમાં સમૂહ અથવા વિસ્તરણના સભ્યપદના સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરવું સરળ છે; રસેલ પછી "x વસ્તુઓના સમૂહ કે જે x એ x નો સભ્ય નથી" તરફ ધ્યાન દોર્યું. ગ્રુન્ડજેસેટ્ઝની પ્રણાલીમાં એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે આ રીતે લાક્ષણિકતા ધરાવતો સમૂહ પોતે જ સભ્ય છે અને નથી, અને આમ તે અસંગત છે. ફ્રેજે વોલ્યુમ માટે ઉતાવળમાં, છેલ્લી ઘડીએ પરિશિષ્ટ લખ્યું હતું. 2, વિરોધાભાસને દૂર કરીને અને મૂળભૂત કાયદો વી. માં ફેરફાર કરીને તેને દૂર કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકીને ફ્રેગે અપવાદરૂપે પ્રામાણિક ટિપ્પણી સાથે પરિશિષ્ટની શરૂઆત કરીઃ "કામ પૂરું થયા પછી તેની ઈમારતના પાયાને હચમચાવી દેવા કરતાં વધુ કમનસીબ કંઈપણ વૈજ્ઞાનિક લેખક પર આવી શકે નહીં. શ્રી બર્ટ્રાન્ડ રસેલના પત્ર દ્વારા મને આ સ્થિતિ આપવામાં આવી હતી, જ્યારે આ ગ્રંથની છાપકામ પૂર્ણ થવાની નજીક હતું. (આ પત્ર અને ફ્રેજના જવાબનો અનુવાદ જીન વાન હેઇજેનોર્ટ 1967 માં કરવામાં આવ્યો છે.) ફ્રેજના સૂચિત ઉપાયને પછીથી એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે પ્રવચનના બ્રહ્માંડમાં માત્ર એક જ વસ્તુ છે, અને તેથી તે નકામું છે (ખરેખર, આ ફ્રેજની પ્રણાલીમાં વિરોધાભાસ માટે બનાવશે જો તેમણે આ વિચારને સ્વયંસિદ્ધ કર્યો હોત, તેમની ચર્ચા માટે મૂળભૂત, કે સાચું અને ખોટું અલગ અલગ પદાર્થો છે; જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, ડુમેટ્ટ 1973), પરંતુ તાજેતરના કાર્યોએ દર્શાવ્યું છે કે ગ્રુન્ડગેસેટ્ઝના મોટાભાગના કાર્યક્રમને અન્ય રીતે બચાવી શકાય છેઃ મૂળભૂત કાયદો V ને અન્ય રીતે નબળી પાડી શકાય છે. સૌથી વધુ જાણીતી રીત ફિલસૂફ અને ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રી જ્યોર્જ બુલોસ (1940-1996) ને કારણે છે, જેઓ ફ્રેજના કાર્યમાં નિષ્ણાત હતા. એક "ખ્યાલ" F એ "નાનો" છે જો F હેઠળ આવતી વસ્તુઓને પ્રવચનના બ્રહ્માંડ સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં મૂકી શકાતી નથી, એટલે કે, જ્યાં સુધીઃ HR [R એ 1-થી-1 અને XRy અને Fy છે]. હવે V ને V * માં નબળા પાડોઃ એક "ખ્યાલ" F અને એક "ખ્યાલ" G સમાન "વિસ્તરણ" ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ન તો F કે ન તો G નાનું હોય અથવા βx (Fx) નાનું હોય. જો બીજા ક્રમનું અંકગણિત હોય અને બીજા ક્રમના અંકગણિતના સિદ્ધાંતોને સાબિત કરવા માટે પૂરતું હોય તો V * સુસંગત છે. મૂળભૂત નિયમ V ને ફક્ત હ્યુમના સિદ્ધાંત સાથે બદલી શકાય છે, જે કહે છે કે Fs ની સંખ્યા Gs ની સંખ્યા જેટલી જ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો Fs ને Gs સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં મૂકી શકાય. આ સિદ્ધાંત પણ સુસંગત છે જો બીજા ક્રમનું અંકગણિત હોય, અને બીજા ક્રમના અંકગણિતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધ કરવા માટે પૂરતો હોય. આ પરિણામને ફ્રેજના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તે નોંધવામાં આવ્યું હતું કે અંકગણિતના વિકાસમાં, ફ્રેજનો મૂળભૂત નિયમ V નો ઉપયોગ હ્યુમના સિદ્ધાંતના પુરાવા સુધી મર્યાદિત છે; તેમાંથી જ, અંકગણિત સિદ્ધાંતો મેળવવામાં આવે છે. હ્યુમના સિદ્ધાંત અને ફ્રેજના પ્રમેય પર, "ફ્રેજના તર્ક, પ્રમેય અને અંકગણિત માટેના પાયા" જુઓ. ફ્રેજનો તર્ક, જે હવે સેકન્ડ ઓર્ડર તર્ક તરીકે ઓળખાય છે, તેને કહેવાતા પ્રેડિકેટિવ સેકન્ડ ઓર્ડર તર્કમાં નબળી પાડી શકાય છે. અનુમાનિત બીજા ક્રમના તર્ક અને મૂળભૂત નિયમ V એ મર્યાદિત અથવા રચનાત્મક પદ્ધતિઓ દ્વારા સાબિત સુસંગત છે, પરંતુ તે માત્ર અંકગણિતના ખૂબ જ નબળા ટુકડાઓનું અર્થઘટન કરી શકે છે. 1903 સુધી તર્કશાસ્ત્રમાં ફ્રેજના કાર્ય પર બહુ ઓછું આંતરરાષ્ટ્રીય ધ્યાન આપવામાં આવ્યું હતું, જ્યારે રસેલે ફ્રેજ સાથેના તેમના મતભેદો દર્શાવતા ગણિતના સિદ્ધાંતો માટે એક પરિશિષ્ટ લખ્યું હતું. ફ્રેજે જે આકૃતિગત સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કર્યો હતો તેનો કોઈ પૂર્વવર્તી નથી (અને ત્યારથી તેનું કોઈ અનુકરણ કરનાર નથી). વધુમાં, રસેલ અને વ્હાઇટહેડના પ્રિન્સિપિયા મેથેમેટિકા સુધી (3 વોલ્યુમો.) 1910-13 માં દેખાયો, ગણિતીય તર્કનો પ્રબળ અભિગમ હજુ પણ જ્યોર્જ બૂલ (1815-64) અને તેમના બૌદ્ધિક વંશજો, ખાસ કરીને અર્ન્સ્ટ શ્રોડર (1841-1902) નો હતો. તેમ છતાં ફ્રેજના તાર્કિક વિચારો તેમના વિદ્યાર્થી રુડોલ્ફ કાર્નેપ (1891-1970) અને અન્ય પ્રશંસકો, ખાસ કરીને બર્ટ્રાન્ડ રસેલ અને લુડવિગ વિટ્જેનસ્ટીન (1889-1951) ના લખાણોમાં ફેલાયા હતા. ફિલોસોફર ફ્રેજ વિશ્લેષણાત્મક ફિલસૂફીના સ્થાપકોમાંના એક છે, જેમના તર્ક અને ભાષા પરના કાર્યોએ ફિલસૂફીમાં ભાષાકીય વળાંકને જન્મ આપ્યો હતો. ભાષાની ફિલસૂફીમાં તેમના યોગદાનમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ દરખાસ્તનું કાર્ય અને દલીલ વિશ્લેષણ; ખ્યાલ અને હેતુ વચ્ચેનો તફાવત (બેગ્રિફ અને ગેગેનસ્ટેન્ડ); રચનાનો સિદ્ધાંત; સંદર્ભ સિદ્ધાંત; અને નામો અને અન્ય અભિવ્યક્તિઓના અર્થ અને સંદર્ભ (સિન અને બેડેઉતુંગ) વચ્ચેનો તફાવત, જેને કેટલીકવાર મધ્યસ્થી સંદર્ભ સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થતો હોવાનું કહેવાય છે. ગણિતના ફિલસૂફ તરીકે, ફ્રેગે વાક્યોના અર્થના ચુકાદાની સામગ્રીની માનસિક સ્પષ્ટતા માટે મનોવૈજ્ઞાનિક અપીલ પર હુમલો કર્યો. તેમનો મૂળ હેતુ અર્થ વિશેના સામાન્ય પ્રશ્નોના જવાબ આપવાથી ઘણો દૂર હતો; તેના બદલે, તેમણે અંકગણિતના પાયાને શોધવા માટે તેમના તર્કની રચના કરી, જેમ કે "સંખ્યા શું છે?" અથવા "કઈ વસ્તુઓ સંખ્યા-શબ્દો ('એક', 'બે', વગેરે) કરે છે? નો સંદર્ભ લો? " પરંતુ આ બાબતોને આગળ વધારવામાં, તેમણે આખરે પોતાને વિશ્લેષણ અને અર્થ શું છે તે સમજાવતા જોયા, અને આ રીતે ઘણા તારણો પર આવ્યા જે વિશ્લેષણાત્મક ફિલસૂફી અને ભાષાના ફિલસૂફીના અનુગામી અભ્યાસક્રમ માટે અત્યંત પરિણામી સાબિત થયા. સેન્સ એન્ડ રેફરન્સ ફ્રેજના 1892 ના પેપર, "ઓન સેન્સ એન્ડ રેફરન્સ" ("über sinn und Bedeutung") માં સેન્સ ("sinn") અને રેફરન્સ ("Bedeutung") વચ્ચેના તેમના પ્રભાવશાળી તફાવતની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી, જેનો અનુવાદ "અર્થ" અથવા "સંકેત" તરીકે પણ કરવામાં આવ્યો છે. જ્યારે અર્થના પરંપરાગત અહેવાલોમાં અભિવ્યક્તિઓ માત્ર એક જ લક્ષણ (સંદર્ભ) ધરાવે છે, ત્યારે ફ્રેગે એવો મત રજૂ કર્યો હતો કે અભિવ્યક્તિઓ મહત્વના બે જુદા જુદા પાસાઓ ધરાવે છેઃ તેમની ભાવના અને તેમનો સંદર્ભ. સંદર્ભ (અથવા "બેડેઉતુંગ") યોગ્ય નામો પર લાગુ થાય છે, જ્યાં આપેલ અભિવ્યક્તિ (જેમ કે "ટોમ" અભિવ્યક્તિ) ફક્ત નામ ધરાવતા અસ્તિત્વ (ટોમ નામની વ્યક્તિ) નો સંદર્ભ આપે છે. ફ્રેગે એવું પણ માન્યું હતું કે દરખાસ્તો તેમના સત્ય-મૂલ્ય સાથે સંદર્ભિત સંબંધ ધરાવે છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક નિવેદન તે લે છે તે સત્ય-મૂલ્યનો "સંદર્ભ" આપે છે). તેનાથી વિપરીત, સંપૂર્ણ વાક્ય સાથે સંકળાયેલ અર્થ (અથવા "સિન") તે વ્યક્ત કરે છે તે વિચાર છે. અભિવ્યક્તિનો અર્થ ઉલ્લેખિત વસ્તુનો "પ્રસ્તુતિનો પ્રકાર" હોવાનું કહેવાય છે, અને એક જ સંદર્ભ માટે રજૂઆતના બહુવિધ પ્રકારો હોઈ શકે છે. આ તફાવતને આ રીતે સચિત્ર કરી શકાય છેઃ તેમના સામાન્ય ઉપયોગોમાં, "ચાર્લ્સ ફિલિપ આર્થર જ્યોર્જ માઉન્ટબેટન-વિન્ડસર" નામ, જે તાર્કિક હેતુઓ માટે એક વિશ્લેષણ ન કરી શકાય તેવું સંપૂર્ણ છે, અને કાર્યાત્મક અભિવ્યક્તિ "યુનાઇટેડ કિંગડમના રાજા", જેમાં નોંધપાત્ર ભાગો "ધ કિંગ ઓફ સ્પીન" અને "યુનાઇટેડ કિંગડમ" નો સમાવેશ થાય છે, તે સમાન સંદર્ભ ધરાવે છે, એટલે કે, કિંગ ચાર્લ્સ III તરીકે ઓળખાતી વ્યક્તિ. પરંતુ "યુનાઇટેડ કિંગડમ" શબ્દનો અર્થ એ પછીની અભિવ્યક્તિના અર્થનો એક ભાગ છે, પરંતુ રાજા ચાર્લ્સના "સંપૂર્ણ નામ" ના અર્થનો કોઈ ભાગ નથી. આ ભિન્નતાઓને બર્ટ્રાન્ડ રસેલ દ્વારા વિવાદિત કરવામાં આવી હતી, ખાસ કરીને તેમના પેપર "ઓન ડીનોટિંગ" માં; આ વિવાદ વર્તમાનમાં ચાલુ રહ્યો છે, ખાસ કરીને સાઉલ ક્રિપ્કેના પ્રખ્યાત પ્રવચનો "નામકરણ અને આવશ્યકતા" દ્વારા તેને ઉત્તેજન મળ્યું છે. 1924ની ડાયરીમાં ફ્રેજના પ્રકાશિત થયેલા ફિલોસોફિકલ લખાણો ખૂબ જ તકનીકી પ્રકૃતિના હતા અને વ્યવહારુ મુદ્દાઓથી છૂટાછેડા લીધા હતા, એટલા માટે કે ફ્રેજ વિદ્વાન ડુમેટે "ફ્રેજની ડાયરી વાંચતી વખતે એ જાણીને આઘાત વ્યક્ત કર્યો કે તેનો નાયક સેમિટી વિરોધી હતો". 1918-19 ની જર્મન ક્રાંતિ પછી તેમના રાજકીય મંતવ્યો વધુ ક્રાંતિકારી બન્યા હતા. તેમના જીવનના છેલ્લા વર્ષમાં, 76 વર્ષની ઉંમરે, તેમની ડાયરીમાં સંસદીય પ્રણાલી, લોકશાહીવાદીઓ, ઉદારવાદીઓ, કેથોલિકો, ફ્રેન્ચ અને યહૂદીઓનો વિરોધ કરતા રાજકીય મંતવ્યો હતા, જેમને તેઓ માનતા હતા કે રાજકીય અધિકારોથી વંચિત રાખવા જોઈએ અને પ્રાધાન્યમાં જર્મનીમાંથી હાંકી કાઢવા જોઈએ. ફ્રેજે વિશ્વાસ વ્યક્ત કર્યો હતો કે "તેઓ એક સમયે પોતાને ઉદારવાદી માનતા હતા અને બિસ્માર્કના પ્રશંસક હતા", પરંતુ પછી જનરલ લ્યુડેન્ડોર્ફ સાથે સહાનુભૂતિ દર્શાવી હતી. 5 મે, 1924ના રોજની એન્ટ્રીમાં ફ્રેજે હ્યુસ્ટન સ્ટુઅર્ટ ચેમ્બરલેનની ડ્યુશલેન્ડ્સ એર્ન્યુએરૂંગમાં પ્રકાશિત થયેલા એક લેખ સાથે સંમતિ વ્યક્ત કરી હતી, જેમાં એડોલ્ફ હિટલરની પ્રશંસા કરવામાં આવી હતી. ફ્રેજે એવી માન્યતા નોંધી હતી કે જો જર્મનીના યહૂદીઓ "ખોવાઈ જશે, અથવા જર્મનીમાંથી ગાયબ થવા માંગશે તો તે વધુ સારું રહેશે". તે સમય વિશે કેટલાક અર્થઘટનો લખવામાં આવ્યા છે. ડાયરીમાં સાર્વત્રિક મતાધિકાર અને સમાજવાદની ટીકા છે. ફ્રેજના વાસ્તવિક જીવનમાં યહૂદીઓ સાથે મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો હતાઃ તેમના વિદ્યાર્થીઓમાં ગેર્શોમ સ્કોલેમ હતા, જેઓ તેમના શિક્ષણને ખૂબ મહત્વ આપતા હતા, અને તે જ હતા જેમણે લુડવિગ વિટ્જેનસ્ટીનને બર્ટ્રાન્ડ રસેલ સાથે અભ્યાસ કરવા માટે ઇંગ્લેન્ડ જવા માટે પ્રોત્સાહિત કર્યા હતા. 1924ની ડાયરી 1994માં મરણોપરાંત પ્રકાશિત થઈ હતી. ફ્રેજે દેખીતી રીતે ક્યારેય જાહેરમાં તેમના રાજકીય દ્રષ્ટિકોણ વિશે વાત કરી ન હતી. વ્યક્તિત્વ ફ્રીજને તેમના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા અત્યંત અંતર્મુખી વ્યક્તિ તરીકે વર્ણવવામાં આવ્યા હતા, જે ભાગ્યે જ અન્ય લોકો સાથે સંવાદમાં પ્રવેશ કરે છે અને મોટે ભાગે વ્યાખ્યાન આપતી વખતે બ્લેકબોર્ડનો સામનો કરે છે. જો કે, તેઓ તેમના વર્ગો દરમિયાન પ્રસંગોપાત બુદ્ધિ અને કડવો કટાક્ષ કરવા માટે પણ જાણીતા હતા. મહત્વપૂર્ણ તારીખો 8 નવેમ્બર 1848ના રોજ વિસ્મર, મેક્લેનબર્ગ-શ્વેરિનમાં જન્મ્યા હતા. 1869-જેના યુનિવર્સિટીમાં હાજરી આપે છે. 1871-ગોટિન્જેન યુનિવર્સિટીમાં હાજરી આપે છે. 1873-પીએચડી, ગણિત (ભૂમિતિ) માં ડૉક્ટર, ગોટિન્જેન ખાતે પ્રાપ્ત થયા. 1874-જેના ખાતે આવાસ; ખાનગી શિક્ષક. 1879-જેના ખાતે ઓસ્સેરોર્ડન્ટલિચર પ્રોફેસર. 1896-જેના ખાતે ઓર્ડન્ટલિચર માનદ પ્રોફેસર. 1918-નિવૃત્ત. 26 જુલાઈ 1925ના રોજ બેડ ક્લાઇનન (હવે મેક્લેનબર્ગ-વોર્પોમેર્નનો ભાગ) માં તેમનું અવસાન થયું. મહત્વની કૃતિઓ લોજિક, અંકગણિતનો પાયો બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટઃ એઈન ડેર એરિથમેટિસ્ચેન નાચગેબિલ્ડેટ ફોર્મેલસ્પ્રેચ ડેસ રેઇન ડેન્કેન્સ (1879), હેલ એન ડેર સાલેઃ વેરલાગ વોન લુઇસ નેબર્ટ (ઓનલાઇન સંસ્કરણ). અંગ્રેજીમાંઃ બેગ્રીફસ્ક્રિફ્ટ, એક ફોર્મ્યુલા લેંગ્વેજ, શુદ્ધ વિચાર માટે, અંકગણિત પર આધારિત, ઇનઃ જે. વાન હેઇજેનોર્ટ (એડ. ), ફ્રોમ ફ્રેજ ટુ ગોડેલઃ એ સોર્સ બુક ઇન મેથેમેટિકલ લોજિક, 1879-1931, હાર્વર્ડ, MA: હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1967, pp. 5-82. અંગ્રેજીમાં (આધુનિક ઔપચારિક સંકેતલિપીમાં સુધારેલા પસંદ કરેલા વિભાગો): આર. એલ. મેન્ડલસોહન, ધ ફિલોસોફી ઓફ ગોટલોબ ફ્રેજ, કેમ્બ્રિજઃ કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2005: "આધુનિક સંકેતલિપીમાં પરિશિષ્ટ એ. બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટઃ (1) થી (51)" અને "આધુનિક સંકેતલિપીમાં પરિશિષ્ટ બી. બેગ્રિફસ્ક્રિફ્ટઃ (52) થી (68)". ધ ગ્રુન્ડલેગન ડેર એરિથમેટિકઃ આઈન લોજિસ્ક-મેથેમેટિસ્ચે અનટર્સુચુંગ ઉબેર ડેન બેગ્રિફ ડેર ઝહલ (1884), બ્રેસ્લોઃ વેરલાગ વોન વિલ્હેલ્મ કોએબ્નર (ઓનલાઇન સંસ્કરણ). અંગ્રેજીમાંઃ ધ ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ એરિથમેટિકઃ એ લોજિકો-મેથેમેટિકલ એન્ક્વાયરી ઇનટુ ધ કન્સેપ્ટ ઓફ નંબર, જે. એલ. ઓસ્ટિન દ્વારા અનુવાદિત, ઓક્સફર્ડઃ બેસિલ બ્લેકવેલ, 1950. ગ્રુન્ડગેસેત્ઝે ડેર એરિથમેટિક, બેન્ડ I (1893); બેન્ડ II (1903), જેનાઃ વેરલાગ હર્મન પોહલે (ઓનલાઇન સંસ્કરણ). અંગ્રેજીમાં (પસંદ કરેલા વિભાગોનું ભાષાંતર), "ટ્રાન્સલેશન ઓફ પાર્ટ ઓફ ફ્રેજ 'સ ગ્રુન્ડગેસેટ્ઝ ડેર એરિથમેટિક", પીટર ગીચ અને મેક્સ બ્લેકનું અનુવાદ અને સંપાદન ફિલોસોફિકલ રાઇટિંગ્સ ઓફ ગોટલોબ ફ્રેજ, ન્યૂ યોર્ક, એનવાયઃ ફિલોસોફિકલ લાઇબ્રેરી, 1952, પૃષ્ઠ. 137-158. જર્મનમાં (આધુનિક ઔપચારિક સંકેતલિપીમાં સુધારેલ): ગ્રુન્ડેજેઝે ડેર એરિથમેટિક, કોરપોરા (ડ્યુસબર્ગ-એસેન યુનિવર્સિટીનું પોર્ટલ), 2006: બેન્ડ I અને બેન્ડ II. જર્મનમાં (આધુનિક ઔપચારિક સંકેતલિપીમાં સુધારેલ): Grundgesetze der Arithmetik-Begriffsschriftlich abgeleitet. બેન્ડ I અને II: ઇન મોડર્ન ફોર્મેલનોટેશન ટ્રાન્સક્રિબિયર્ટ અંડ મિટ એઈનેમ ઑસફુર્લિચેન સચ્રેગિસ્ટર શ્લોક, ટી. મુલર, બી. શ્રોડર અને આર. સ્ટુલમેન-લેઇઝ, પેડરબોર્નઃ મેન્ટિસ, 2009 દ્વારા સંપાદિત. અંગ્રેજીમાંઃ અંકગણિતના મૂળભૂત નિયમો, ફિલિપ એ. એબર્ટ અને માર્કસ રોસબર્ગ દ્વારા પરિચય સાથે અનુવાદિત અને સંપાદિત. ઓક્સફર્ડઃ ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2013. ફિલોસોફિકલ સ્ટડીઝ "ફંક્શન એન્ડ કન્સેપ્ટ" (1891) ઓરિજિનલઃ "ફંકશન અંડ બેગ્રિફ", જેનેઇશે ગેસેલશાફ્ટ ફર મેડિઝિન અંડ નેચર્વિસેનશાફ્ટ, જેના, 9 જાન્યુઆરી 1891 નું સરનામું. અંગ્રેજીમાંઃ "કાર્ય અને ખ્યાલ". "સેન્સ એન્ડ રેફરન્સ પર" (1892) ઓરિજિનલઃ "über sinn und Bedeutung", in Zeatschrift für Philosophie und Philosophische Kritik C (1892): 25-50. અંગ્રેજીમાંઃ "સેન્સ એન્ડ રેફરન્સ", વૈકલ્પિક રીતે (પછીની આવૃત્તિમાં) "સેન્સ એન્ડ મીનિંગ" તરીકે અનુવાદિત. "કન્સેપ્ટ એન્ડ ઓબ્જેક્ટ" (1892) ઓરિજિનલઃ "ઉબેર બેગ્રિફ અંડ ગેજેનસ્ટેન્ડ", વિએર્ટેલજાહ્રેસક્રિફ્ટ ફર વિસેન્શાફ્ટલિચે ફિલોસોફી સોળમા (1892): 192-205. અંગ્રેજીમાંઃ "કન્સેપ્ટ એન્ડ ઓબ્જેક્ટ". "કાર્ય શું છે?" (1904) ઓરિજિનલઃ "શું તે એક ફંકશન ન હતું? ", ફેસ્ટસ્ક્રિફ્ટમાં લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન ગેવિડમેટ ઝુમ સેક્ઝિગ્સ્ટન ગેબર્ટસ્ટેજ, 20 ફેબ્રુઆરી 1904, એસ. મેયર (આવૃત્તિ. ), લેઇપઝિગ, 1904, પૃષ્ઠ. 656-666. અંગ્રેજીમાંઃ "કાર્ય શું છે?". તાર્કિક તપાસ (1918-1923). ફ્રેજનો ઈરાદો હતો કે નીચેના ત્રણ કાગળો લોજિસ્ચે અનટર્સુચેંજેન (લોજિકલ ઇન્વેસ્ટિગેશન્સ) નામના પુસ્તકમાં એકસાથે પ્રકાશિત કરવામાં આવે. જો કે જર્મન પુસ્તક ક્યારેય દેખાયું ન હતું, તેમ છતાં આ કાગળો લોજિસ્ચે અનટર્સુચુનગેન, એડ. માં એકસાથે પ્રકાશિત થયા હતા. જી. પેટઝિગ, વેન્ડેનહોક અને રુપ્રેક્ટ, 1966, અને અંગ્રેજી અનુવાદો લોજિકલ ઇન્વેસ્ટિગેશન્સ, એડમાં એકસાથે દેખાયા હતા. પીટર ગીચ, બ્લેકવેલ, 1975. 1918-19. "Der Gedanke: Eine logische Untersuchung" ("ધ થોટઃ એ લોજિકલ ઇન્ક્વાયરી"), બેઇટ્રેજ જુર ફિલોસોફી ડેસ ડ્યુશેન આઇડિયાલિઝમ I: 58-77 માં. 1918-19. બેઇટ્રેજ જુર ફિલોસોફી ડેસ ડ્યુશેન આઇડિયાલિઝમસ I: 143-157 માં "ડાઈ વર્નીનુંગ" ("નકારાત્મકતા"). 1923 માં. "ગેડનકેન્જેફ્યુજ" ("ચક્રવૃદ્ધિ વિચાર"), બેત્રાગે જુર ફિલોસોફી ડેસ ડ્યુત્શેન આદર્શવાદ III: 36-51 માં. ભૂમિતિ પરના લેખો 1903: "યુબર ડાઈ ગ્રુન્ડલેગન ડેર જીઓમેટ્રી". II. ગણિતશાસ્ત્રી-વેરિનિગંગ XII (1903), 368-375. અંગ્રેજીમાંઃ "ભૂમિતિના પાયા પર". 1967: ક્લાઇન શ્રીફ્ટેન. (આઇ. એન્જેલી, એડ.). ડાર્મસ્ટેટઃ વિસેન્સચાફ્ટલિચે બુચેસેલશાફ્ટ, 1967 અને હિલ્ડેશેઇમ, જી. ઓલ્મ્સ, 1967. "સ્મોલ રાઇટિંગ્સ", તેમના મોટાભાગના લખાણોનો સંગ્રહ (દા. ત., અગાઉનો), મરણોપરાંત પ્રકાશિત થયો. ફ્રેજ સિસ્ટમ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં અગ્રણીઓની યાદી નિયો-ફ્રેજનીઝમ નોંધો સંદર્ભો સ્ત્રોતો ફ્રેજની કૃતિઓ અને તેમના અંગ્રેજી અનુવાદોની પ્રાથમિક ઓનલાઇન ગ્રંથસૂચિ (એડવર્ડ એન. ઝાલ્ટા, સ્ટેનફોર્ડ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફી દ્વારા સંકલિત) પણ જુઓ. 1879. અંકગણિત અને ગણિતના અભ્યાસની શરૂઆત કરો. હેલ એ. એસ.: લુઇસ નેબર્ટ. અનુવાદઃ કોન્સેપ્ટ સ્ક્રિપ્ટ, અંકગણિતના નમૂના પર આધારિત શુદ્ધ વિચારની ઔપચારિક ભાષા, એસ. બાઉર-મેંગલબર્ગ દ્વારા જીન વાન હેઇજેનોર્ટ, આવૃત્તિ, 1967 માં. ફ્રેજથી ગોડેલ સુધીઃ એ સોર્સ બુક ઇન મેથેમેટિકલ લોજિક, 1879-1931. હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. 1884 માં. અંકગણિતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો આ પ્રમાણે છે. બ્રેસ્લોઃ ડબલ્યુ. કોએબનર. અનુવાદઃ જે. એલ. ઓસ્ટિન, 1974. ધ ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ એરિથમેટિકઃ એ લોજિકો-મેથેમેટિકલ એન્ક્વાયરી ઇનટુ ધ કન્સેપ્ટ ઓફ નંબર, 2જી આવૃત્તિ. બ્લેકવેલ. 1891 માં. "ફંકશન એન્ડ બેગ્રિફ". અનુવાદઃ ગીચ એન્ડ બ્લેક (1980) માં "કાર્ય અને ખ્યાલ". 1892 એ. ફિલસૂફી અને ફિલસૂફી ક્રિટિક 100:25-50 માં "über sinn und Bedeutung". અનુવાદઃ ગીચ એન્ડ બ્લેક (1980) માં "સેન્સ એન્ડ રેફરન્સ પર". 1892 બી. ફિલોસોફી 16:192-205 માં "ઉબેર બેગ્રિફ અને ગેજેનસ્ટેન્ડ". અનુવાદઃ ગીચ એન્ડ બ્લેક (1980) માં "કન્સેપ્ટ એન્ડ ઓબ્જેક્ટ". 1893 માં. ગ્રાન્ડગેસેત્ઝે ડેર એરિથમેટિક, બેન્ડ I. જેનાઃ વેરલાગ હર્મન પોહલે. બેન્ડ II, 1903. બેન્ડ I + II ઓનલાઇન. વોલ્યુમ 1 નો આંશિક અનુવાદઃ મોન્ટગોમેરી ફર્થ, 1964. અંકગણિતના મૂળભૂત નિયમો. યુનિ. કેલિફોર્નિયા પ્રેસ. ગીચ એન્ડ બ્લેક (1980) માં ખંડ 2 માંથી પસંદ કરેલા વિભાગોનું ભાષાંતર. બંને ગ્રંથોનું સંપૂર્ણ ભાષાંતરઃ ફિલિપ એ. એબર્ટ અને માર્કસ રોસબર્ગ, 2013, અંકગણિતના મૂળભૂત નિયમો. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. 1904. "શું આ એક ફંકશન હતું? મેયર, એસ., આવૃત્તિ, 1904. ફેસ્ટસ્ક્રિફ્ટ લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન ગેવિડમેટ ઝુમ સેક્ઝિગ્સ્ટન ગેબર્ટસ્ટેજ, 20. ફેબ્રુઆરી 1904. લેઇપઝિગઃ બાર્થઃ 656-666. અનુવાદઃ "કાર્ય શું છે?" ગીચ એન્ડ બ્લેક (1980). 1918-1923. પીટર ગીચ (સંપાદક): લોજિકલ ઇન્વેસ્ટિગેશન્સ, બ્લેકવેલ, 1975. 1924. ગોટફ્રીડ ગેબ્રિએલ, વોલ્ફગેંગ કીન્ઝલર (સંપાદકો): ગોટલોબ ફ્રીજેસે ટેગબુચની રાજનીતિ કરી. માંઃ ડોઇશ ઝીટ્સક્રિફ્ટ ફર ફિલોસોફી, વોલ્યુમ. 42, 1994, પૃ. 1057-98. pp. 1057-66 પર સંપાદકો દ્વારા પરિચય. આ લેખ અંગ્રેજીમાં અનુવાદિત કરવામાં આવ્યો છેઃ ઇન્ક્વાયરી, વોલ્યુમ. 39, 1996, pp. 303-342. પીટર ગીચ અને મેક્સ બ્લેક, આવૃત્તિઓ. અને ટ્રાન્સ., 1980. ગોટલોબ ફ્રેજના ફિલોસોફિકલ રાઇટિંગ્સમાંથી અનુવાદો, ત્રીજી આવૃત્તિ. બ્લેકવેલ (1લી આવૃત્તિ. 1952). માધ્યમિક તત્વજ્ઞાન બડીઉ, એલેન. "ઓન એ કન્ટેમ્પરરી યુઝ ઓફ ફ્રીજ", ટ્રાન્સ. જસ્ટિન ક્લેમેન્સ અને સેમ ગિલેસ્પી. યુ. એમ. બી. આર. (એ), નં. 1, 2000, pp. 99-115. બેકર, ગોર્ડન અને પી. એમ. એસ. હેકર, 1984. ફ્રેજઃ તાર્કિક ખોદકામ. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. - જોરદાર, જો વિવાદાસ્પદ હોય તો, ફ્રેજની ફિલસૂફી અને ડુમેટ્સ જેવા પ્રભાવશાળી સમકાલીન અર્થઘટનો બંનેની ટીકા. કરી, ગ્રેગરી, 1982. ફ્રેજઃ તેમના તત્વજ્ઞાનનો પરિચય. હાર્વેસ્ટર પ્રેસ. ડુમેટ્ટ, માઈકલ, 1973. ફ્રેજઃ ભાષાનું તત્વજ્ઞાન. હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. ------, 1981. ફ્રેજની ફિલસૂફીનું અર્થઘટન. હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. હિલ, ક્લેર ઓર્ટિઝ, 1991. હસ્સેલ, ફ્રેજ અને રસેલમાં શબ્દ અને ઓબ્જેક્ટઃ વીસમી સદીના તત્વજ્ઞાનના મૂળ. એથેન્સ OH: ઓહિયો યુનિવર્સિટી પ્રેસ. ------, અને રોસાડો હેડોક, જી. ઇ., 2000. હસ્સેરલ અથવા ફ્રેજઃ અર્થ, ઉદ્દેશ્ય અને ગણિત. ઓપન કોર્ટ. - ફ્રેજ-હ્યુસરલ-કેન્ટોર ત્રિકોણ પર. કેની, એન્થની, 1995. ફ્રેજ-આધુનિક વિશ્લેષણાત્મક ફિલસૂફીના સ્થાપકનો પરિચય. પેંગ્વિન પુસ્તકો. - ફ્રેજની ફિલસૂફીનો ઉત્તમ બિન-તકનીકી પરિચય અને ઝાંખી. ક્લેમ્કે, ઇ. ડી., આવૃત્તિ, 1968. ફ્રીજ પર નિબંધો. યુનિવર્સિટી ઓફ ઇલિનોઇસ પ્રેસ. - ફિલસૂફો દ્વારા 31 નિબંધો, ત્રણ શીર્ષકો હેઠળ જૂથબદ્ધઃ ઓન્ટોલોજી; 2. શબ્દાર્થ; અને 3. ગણિતનું તર્કશાસ્ત્ર અને તત્વજ્ઞાન. રોસાડો હેડોક, ગિલેર્મો ઇ., 2006. ગોટલોબ ફ્રેજની ફિલસૂફીનો વિવેચનાત્મક પરિચય. એશગેટ પ્રકાશન. સિસ્ટી, નિકોલા, 2005. તર્કશાસ્ત્ર અને વ્યાખ્યાઓ પર આધારિત આ કાર્યક્રમ છે. ફ્રેંકો એન્જેલી. - ફ્રેજના વ્યાખ્યાઓના સિદ્ધાંત પર. સ્લુગા, હંસ, 1980. ગોટલોબ ફ્રેજ. રૂટલેજ. નિકલા વાસાલો, 2014, ફ્રેજ ઓન થિંકિંગ એન્ડ ઇટ્સ એપિસ્ટેમિક સિગ્નિફિકન્સ વિથ પિયરાના ગારાવાસો, લેક્સિંગ્ટન બુક્સ-રોમેન એન્ડ લિટલફિલ્ડ, લાનહામ, એમ. ડી., યુ. એસ. એ. વેઇનર, જોન, 1990. ફ્રેજ ઇન પર્સ્પેક્ટિવ, કોર્નેલ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. તર્ક અને ગણિત એન્ડરસન, ડી. જે., અને એડવર્ડ ઝાલ્ટા, 2004, "ફ્રેજ, બુલોસ, અને લોજિકલ ઓબ્જેક્ટ્સ", જર્નલ ઓફ ફિલોસોફિકલ લોજિક 33:1-26. બ્લેન્ચેટ, પેટ્રિશિયા, 2012, ફ્રેજની કન્સેપ્શન ઓફ લોજિક. ઓક્સફર્ડઃ ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2012 બર્ગેસ, જ્હોન, 2005. ફ્રીજને ઠીક કરી રહ્યા છીએ. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી. પ્રેસ કરો. - ફ્રેજના તર્કવાદના ચાલુ પુનર્વસવાટનો એક વિવેચનાત્મક સર્વે. બુલોસ, જ્યોર્જ, 1998. તર્ક, તર્ક અને તર્ક. એમઆઇટી પ્રેસ. - ફ્રેજના પ્રમેય અને અંકગણિતના પાયા માટે તર્કશાસ્ત્રી અભિગમ પર 12 કાગળો. ડુમેટ્ટ, માઈકલ, 1991. ફ્રેજઃ ગણિતનું તત્વજ્ઞાન. હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. ડેમોપોલોસ, વિલિયમ, આવૃત્તિ., 1995. ફ્રેજની ગણિતની ફિલસૂફી. હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ કરો. - ફ્રેજના પ્રમેય અને ફ્રેજની ગાણિતિક અને બૌદ્ધિક પૃષ્ઠભૂમિની શોધ કરતા કાગળો. ફેરેરા, એફ. અને વેહમિયર, કે., 2002, "ઓન ધ કન્સિસ્ટન્સી ઓફ ધ ડેલ્ટા-1-સીએ ફ્રેગન્સ ગ્રુન્ડેજેસેત્ઝ", જર્નલ ઓફ ફિલોસોફિક લોજિક 31:301-11. ગ્રેટન-ગિનીઝ, આઇવર, 2000. ગાણિતિક મૂળની શોધ 1870-1940. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ. - ગણિતશાસ્ત્રી માટે ન્યાયી, તત્વજ્ઞાની માટે ઓછું. ગિલીઝ, ડોનાલ્ડ એ., 1982. અંકગણિતના પાયા પર ફ્રેજ, ડેડેકિંડ અને પીનો. પદ્ધતિ અને વિજ્ઞાન ફાઉન્ડેશન, 2. વેન ગોર્કમ એન્ડ કંપની, એસેન, 1982. ગિલીઝ, ડોનાલ્ડઃ તર્કમાં ફ્રીજન ક્રાંતિ. ગણિતમાં ક્રાંતિ, 265-305, ઓક્સફર્ડ સાયન્સ. પ્રકાશક, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ, ન્યૂયોર્ક, 1992. ઇર્વિન, એન્ડ્રુ ડેવિડ, 2010, "ફ્રીજ ઓન નંબર પ્રોપર્ટીઝ", સ્ટડીયા લોજિકા, 96 (2): 239-60. ચાર્લ્સ પાર્સન્સ, 1965, "ફ્રીજ થિયરી ઓફ નંબર". ડેમોપોલોસ (1965) માં પોસ્ટસ્ક્રિપ્ટ સાથે પુનઃમુદ્રિતઃ 182-210. ફ્રેજના તર્કવાદની ચાલી રહેલી સહાનુભૂતિપૂર્ણ પુનઃપરીક્ષાનો પ્રારંભિક મુદ્દો. ગિલીઝ, ડોનાલ્ડઃ તર્કમાં ફ્રીજન ક્રાંતિ. ગણિતમાં ક્રાંતિ, 265-305, ઓક્સફર્ડ સાયન્સ. પ્રકાશક, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ, ન્યૂયોર્ક, 1992. હેક, રિચાર્ડ કિમ્બર્લીઃ ફ્રીજની પ્રમેય. ઓક્સફર્ડઃ ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2011 હેક, રિચાર્ડ કિમ્બર્લીઃ રીડીંગ ફ્રીજ ગ્રુન્ડગેસેટ્ઝ. ઓક્સફર્ડઃ ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2013 રાઈટ, ક્રિસ્પીન, 1983. ફ્રેજની ઓબ્જેક્ટ્સ તરીકે સંખ્યાઓની વિભાવના. એબરડીન યુનિવર્સિટી પ્રેસ. - ફ્રેજની સંખ્યાઓની ગ્રુન્ડલેગન કલ્પનાનું એક વ્યવસ્થિત પ્રદર્શન અને અવકાશ-પ્રતિબંધિત સંરક્ષણ. ઐતિહાસિક સંદર્ભ બાહ્ય કડીઓ વંશાવળી પ્રોજેક્ટ પર ફ્રીજ બ્રાયન કાર્વર દ્વારા વેબ પર ઉપલબ્ધ ફ્રીજન સામગ્રી માટે એક વ્યાપક માર્ગદર્શિકા. સ્ટેનફોર્ડ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફીઃ "ગોટલોબ ફ્રેજ"-એડવર્ડ ઝાલ્ટા દ્વારા. "ફ્રેજનો તર્ક, પ્રમેય અને અંકગણિત માટેના પાયા"-એડવર્ડ ઝાલ્ટા દ્વારા. ઈન્ટરનેટ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફીઃ ગોટલોબ ફ્રેજ-કેવિન સી. ક્લેમેન્ટ દ્વારા. ફ્રેજ એન્ડ લેંગ્વેજ-ડોરોથિયા લોટર દ્વારા મેટાફિઝિક્સ રિસર્ચ લેબઃ ગોટલોબ ફ્રેજ. અસ્તિત્વ, અસ્તિત્વ અને સત્ય પર ફ્રીજ કરો. બેગ્રિફ, ફ્રીજના લોજિક નોટેશનને ટાઇપસેટ કરવા માટેનું લેટેક્સ પેકેજ, પહેલાનું વર્ઝન. ફ્રેજના તર્ક સંકેતનને ટાઇપસેટ કરવા માટેનું એક લેટેક્સ પેકેજ, ગ્રુન્ડેજેસેટ્ઝ, પુખ્ત સંસ્કરણ ફ્રેજના અંકગણિતના મૂળભૂત નિયમો, વેબસાઇટ, સહિત. કોરીજેન્ડા અને લેટેક્સ ટાઇપસેટિંગ ટૂલ-પી. એ. એબર્ટ અને એમ. રોસબર્ગ દ્વારા. ગોટલોબ ફ્રેજ 1848 જન્મ 1925 મૃત્યુ 19મી સદીના જર્મન પુરુષ લેખકો 19મી સદીના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ 19મી સદીના જર્મન તત્વજ્ઞાનીઓ 20મી સદીના જર્મન પુરુષ લેખકો 20મી સદીના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ 20મી સદીના જર્મન તત્વજ્ઞાનીઓ 20મી સદીના જર્મન લેખકો 20મી સદીના પુરુષ લેખકો વિશ્લેષણાત્મક તત્વજ્ઞાનીઓ જ્ઞાનમીમાંસાશાસ્ત્રીઓ જર્મન તર્કશાસ્ત્રીઓ જર્મન પુરુષ બિન-સાહિત્ય લેખકો ભાષાકીય વળાંક તત્ત્વશાસ્ત્રીઓ લોકો મેક્લેનબર્ગ-શ્વેરિનના ગ્રાન્ડ ડચીના લોકો શિક્ષણના તત્વજ્ઞાનીઓ ભાષાના તત્વજ્ઞાનીઓ તર્કશાસ્ત્રના તત્વજ્ઞાનીઓ ગણિતના તત્વજ્ઞાનીઓ મનના તત્વજ્ઞાનીઓ વિજ્ઞાન પ્લેટોનિસ્ટ્સ સેટ થિયરીસ્ટ્સ યુનિવર્સિટી ઓફ જેના