Trace (linear algebra)
રેખીય બીજગણિતમાં, દર્શાવેલ ચોરસ મેટ્રિક્સનું ચિહ્ન, તેના મુખ્ય કર્ણ (ઉપર ડાબેથી નીચલા જમણે) પરના તત્વોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ટ્રેસ માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ () માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ તેના (જટિલ) આઈગન વેલ્યુ (ગુણાકાર સાથે ગણવામાં આવે છે) નો સરવાળો છે. તે પણ સાબિત કરી શકાય છે કે કોઈપણ બે મેટ્રિસીસ અને યોગ્ય કદ માટે. આ સૂચવે છે કે સમાન મેટ્રિસીસ સમાન ટ્રેસ ધરાવે છે. પરિણામે કોઈ પણ વ્યક્તિ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાને પોતાનામાં મેપિંગ કરતા રેખીય ઓપરેટરના ટ્રેસને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, કારણ કે પાયાના સંદર્ભમાં આવા ઓપરેટરનું વર્ણન કરતા તમામ મેટ્રિસીસ સમાન હોય છે. ટ્રેસ નિર્ધારકના વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત છે (જુઓ જેકોબીનું સૂત્ર). વ્યાખ્યા ચોરસ મેટ્રિક્સના નિશાનને એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં તેની છઠ્ઠી પંક્તિ અને છઠ્ઠી સ્તંભ પરની એન્ટ્રી સૂચવે છે. પ્રવેશો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જટિલ સંખ્યાઓ અથવા વધુ સામાન્ય રીતે ક્ષેત્ર એફ ના ઘટકો હોઈ શકે છે. ટ્રેસ બિન-ચોરસ મેટ્રિસીસ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. ઉદાહરણ ચાલો એક મેટ્રિક્સ હોઈએ, પછી ગુણધર્મો મૂળભૂત ગુણધર્મો ટ્રેસ એક રેખીય મેપિંગ છે. એટલે કે, તમામ ચોરસ મેટ્રિસીસ અને, અને તમામ સ્કેલર માટે. મેટ્રિક્સ અને તેના ટ્રાન્સપોઝનું ટ્રેસ સમાન હોય છેઃ આ એ હકીકત પરથી તરત જ અનુસરે છે કે ચોરસ મેટ્રિક્સને ટ્રાન્સપોઝ કરવાથી મુખ્ય કર્ણ સાથેના તત્વોને અસર થતી નથી. ઉત્પાદનનું ટ્રેસ ચોરસ મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ જે બે વાસ્તવિક મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન છે તેને તેમના તત્વોના પ્રવેશ મુજબના ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે, એટલે કે. તેમના હેડમર્ડ ઉત્પાદનના તમામ તત્વોના સરવાળા તરીકે. સીધા શબ્દોમાં, જો અને બે વાસ્તવિક મેટ્રિસીસ છે, તો પછીઃ જો કોઈ વાસ્તવિક મેટ્રિક્સને લંબાઈના વેક્ટર (વેક્ટરાઇઝેશન તરીકે ઓળખાતી કામગીરી) તરીકે જુએ છે, તો પછી ઉપરોક્ત કામગીરી પ્રમાણભૂત ડોટ પ્રોડક્ટ સાથે ચાલુ થાય છે અને એકરુપ થાય છે. ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ અનુસાર, તે વર્ગોનો સરવાળો છે અને તેથી તે બિન-નકારાત્મક છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ શૂન્યની બરાબર હોય જો તે શૂન્ય હોય. વધુમાં, ઉપરના સૂત્રમાં નોંધ્યા મુજબ, આ આંતરિક ઉત્પાદન માટે જરૂરી હકારાત્મક-નિશ્ચિતતા અને સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે; ફ્રોબેનિયસને અનેનું આંતરિક ઉત્પાદન કહેવાનું સામાન્ય છે. નિશ્ચિત પરિમાણોના તમામ વાસ્તવિક મેટ્રિસીસની વેક્ટર જગ્યા પર આ એક કુદરતી આંતરિક ઉત્પાદન છે. આ આંતરિક ઉત્પાદનમાંથી મેળવેલા ધોરણને ફ્રોબેનિયસ ધોરણ કહેવામાં આવે છે, અને તે સબમલ્ટિપ્લિકેટિવ ગુણધર્મને સંતોષે છે, જેમ કે કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતા સાથે સાબિત કરી શકાય છેઃ જો અને તે સમાન કદના વાસ્તવિક હકારાત્મક અર્ધ-નિશ્ચિત મેટ્રિસીસ છે. ફ્રોબેનિયસનું આંતરિક ઉત્પાદન અને ધોરણ મેટ્રિક્સ કલન અને આંકડાશાસ્ત્રમાં વારંવાર જોવા મળે છે. ફ્રોબેનિયસ આંતરિક ઉત્પાદનને તેના જટિલ સંયુગ્મ દ્વારા બદલીને, નિશ્ચિત કદના તમામ જટિલ મેટ્રિસીસની જટિલ વેક્ટર જગ્યા પર હર્મિશિયન આંતરિક ઉત્પાદન સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ફ્રોબેનિયસ આંતરિક ઉત્પાદનની સમપ્રમાણતાને નીચે પ્રમાણે વધુ સીધી રીતે રજૂ કરી શકાય છેઃ ઉત્પાદનના નિશાનમાં મેટ્રિસીસને પરિણામમાં ફેરફાર કર્યા વિના બદલી શકાય છે. જો અને છે અને વાસ્તવિક અથવા જટિલ મેટ્રિસીસ, અનુક્રમે, તો આ એ હકીકત માટે નોંધપાત્ર છે કે જે સામાન્ય રીતે સમાન નથી, અને તે પણ કારણ કે બંનેમાંથી એકનું ટ્રેસ સામાન્ય રીતે સમાન નથી. ટ્રેસની સમાનતા-ભિન્નતા, એટલે કે કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ અને સમાન પરિમાણોના કોઈપણ ઉલટાવી શકાય તેવા મેટ્રિક્સ માટે, એક મૂળભૂત પરિણામ છે. આ સમાનતા દ્વારા સાબિત થાય છે કે નીચે પ્રમાણે રેખીય પરિવર્તનના નિશાનની ચર્ચા કરવા માટે ઇનવેરિયન્સ એ ટ્રેસની નિર્ણાયક મિલકત છે. વધુમાં, વાસ્તવિક કોલમ વેક્ટર માટે અને, બાહ્ય ઉત્પાદનનું ટ્રેસ આંતરિક ઉત્પાદનની સમકક્ષ હોય છેઃ ચક્રીય ગુણધર્મ વધુ સામાન્ય રીતે, ટ્રેસ ગોળાકાર પાળી હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે, એટલે કે, આ ચક્રીય ગુણધર્મ તરીકે ઓળખાય છે. મનસ્વી ક્રમચયોને મંજૂરી નથીઃ સામાન્ય રીતે, જો કે, જો ત્રણ સપ્રમાણ મેટ્રિસીસના ગુણાકારોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો કોઈપણ ક્રમચયોને મંજૂરી છે, કારણ કેઃ જ્યાં પ્રથમ સમાનતા એ છે કારણ કે મેટ્રિક્સના નિશાન અને તેના ટ્રાન્સપોઝ સમાન છે. નોંધ લો કે આ સામાન્ય રીતે ત્રણથી વધુ પરિબળો માટે સાચું નથી. ક્રોનેકર પ્રોડક્ટનું ટ્રેસ બે મેટ્રિસીસના ક્રોનેકર પ્રોડક્ટનું ટ્રેસ એ તેમના ટ્રેસનું પ્રોડક્ટ છેઃ ટ્રેસની લાક્ષણિકતા નીચેના ત્રણ ગુણધર્મોઃ નીચેના અર્થમાં સ્કેલર મલ્ટિપલ સુધી ટ્રેસને લાક્ષણિકતા આપોઃ જો ચોરસ મેટ્રિસીસની જગ્યા પર રેખીય કાર્યાત્મક હોય જે પછી સંતુષ્ટ થાય અને પ્રમાણસર હોય. મેટ્રિસીસ માટે, નોર્મલાઇઝેશન લાદવાથી ટ્રેસ બરાબર બને છે. કોઈ પણ વાસ્તવિક અથવા જટિલ મેટ્રિક્સને જોતાં, ત્યાં ગુણાકાર સાથે ગણવામાં આવતા આઈગનવેલ્યુ છે. જો તે વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ હોય અને કેટલાક (અથવા બધા) આઈગનવેલ્યુ જટિલ સંખ્યાઓ હોય તો પણ આ સાચું છે. આને જોર્ડન કેનોનિકલ સ્વરૂપના અસ્તિત્વના પરિણામ તરીકે ગણી શકાય, સાથે સાથે ઉપર ચર્ચા કરાયેલા ટ્રેસની સમાનતા-ભિન્નતા સાથે. કોમ્યુટેટરનું ટ્રેસ જ્યારે બંને અને મેટ્રિસીસ હોય, ત્યારે (રિંગ-થિયોરેટિક) કોમ્યુટેટરનું ટ્રેસ અને અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ, કારણ કે અને રેખીય હોય છે. કોઈ આને "ટ્રેસ એ ઓપરેટરોથી સ્કેલર સુધીના લાઈ આલ્જેબ્રાનો નકશો છે" તરીકે કહી શકે છે, કારણ કે સ્કેલરનું કોમ્યુટેટર તુચ્છ છે (તે એબેલિયન લાઈ બીજગણિત છે). ખાસ કરીને, સમાનતા ઇનવેરિયન્સનો ઉપયોગ કરીને, તે અનુસરે છે કે ઓળખ મેટ્રિક્સ ક્યારેય મેટ્રિસીસની કોઈપણ જોડીના કોમ્યુટેટર જેવું નથી હોતું. તેનાથી વિપરીત, શૂન્ય ટ્રેસ સાથેનું કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સની જોડીના કોમ્યુટેટર્સનું રેખીય સંયોજન છે. વધુમાં, શૂન્ય ટ્રેસ સાથેનું કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ એકાત્મક રીતે તમામ શૂન્ય ધરાવતા કર્ણ સાથેના ચોરસ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ હોય છે. વિશેષ પ્રકારના મેટ્રિસીસના નિશાન ઓળખ મેટ્રિક્સનું નિશાન એ જગ્યાનું પરિમાણ છે, એટલે કે. આ ટ્રેસનો ઉપયોગ કરીને પરિમાણના સામાન્યીકરણ તરફ દોરી જાય છે. હર્મિશિયન મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ વાસ્તવિક છે, કારણ કે કર્ણ પરના તત્વો વાસ્તવિક છે. ક્રમચય મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ એ અનુરૂપ ક્રમચયના નિશ્ચિત બિંદુઓની સંખ્યા છે, કારણ કે જો મી બિંદુ નિશ્ચિત હોય તો વિકર્ણ પદ 1 છે અને અન્યથા 0 છે. પ્રક્ષેપણ મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ એ લક્ષ્ય જગ્યાનું પરિમાણ છે. મેટ્રિક્સ સક્ષમ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ આઇડેમ્પોટન્ટ મેટ્રિક્સનું નિશાન, એટલે કે. એક સાથે, તેના પોતાના ક્રમ બરાબર છે. નિલપોટેન્ટ મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ શૂન્ય છે. જ્યારે આધાર ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતા શૂન્ય હોય છે, ત્યારે વિપરીત પણ ધરાવે છેઃ જો બધા માટે, તો તે નિલપોટેન્ટ છે. જ્યારે લાક્ષણિકતા હકારાત્મક હોય છે, ત્યારે પરિમાણોમાં ઓળખ એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ છે, જેમ કે, પરંતુ ઓળખ નિલપોટેન્ટ નથી. જો તે વાસ્તવિક અથવા જટિલ એન્ટ્રીઓ સાથે ચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરાયેલ રેખીય ઓપરેટર હોય અને જો તેના આઈગનવેલ્યુ (તેમના બીજગણિત ગુણાકાર અનુસાર સૂચિબદ્ધ) હોય, તો આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે તે હંમેશા તેના જોર્ડન સ્વરૂપ જેવું જ હોય છે, જે મુખ્ય કર્ણ પર ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ હોય છે. તેનાથી વિપરીત, તેનો નિર્ધારક તેના આઈગનવેલ્યુઝનું ગુણાકાર છે; એટલે કે, વ્યુત્પન્ન સંબંધો જો નાની એન્ટ્રીઓ સાથેનું ચોરસ મેટ્રિક્સ હોય અને ઓળખ મેટ્રિક્સને સૂચવે છે, તો આપણી પાસે લગભગ ચોક્કસપણે આનો અર્થ એ છે કે ટ્રેસ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ પર નિર્ધારક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે. જેકોબીનું સૂત્ર વધુ સામાન્ય છે અને મેટ્રિક્સના ટ્રેસ અને એડજુગેટની દ્રષ્ટિએ મનસ્વી ચોરસ મેટ્રિક્સ પર નિર્ધારકના વિભેદકનું વર્ણન કરે છે. આમાંથી (અથવા ટ્રેસ અને આઈગનવેલ્યુ વચ્ચેના જોડાણમાંથી), ટ્રેસ ફંક્શન, મેટ્રિક્સ એક્સ્પોનેન્શલ ફંક્શન અને નિર્ધારક વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકાય છેઃ ટ્રેસનું સંબંધિત લાક્ષણિકતા રેખીય વેક્ટર ક્ષેત્રોને લાગુ પડે છે. મેટ્રિક્સને જોતાં, વેક્ટર ક્ષેત્રને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. આ વેક્ટર ક્ષેત્રના ઘટકો રેખીય કાર્યો છે (ની પંક્તિઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે). તેનું વિચલન એ એક અચળ કાર્ય છે, જેનું મૂલ્ય સમાન છે. વિચલન પ્રમેય દ્વારા, પ્રવાહની દ્રષ્ટિએ આનું અર્થઘટન કરી શકાય છેઃ જો તે સ્થાન પર પ્રવાહીના વેગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને તે એક પ્રદેશ છે, તો તેમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો ચોખ્ખો પ્રવાહ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં તેનું કદ છે. ટ્રેસ એક રેખીય ઓપરેટર છે, તેથી તે વ્યુત્પન્ન સાથે પરિવર્તિત થાય છેઃ રેખીય ઓપરેટરનું ટ્રેસ સામાન્ય રીતે, કેટલાક રેખીય નકશાને આપવામાં આવે છે (જ્યાં મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા છે), આપણે મેટ્રિક્સની રજૂઆતના ટ્રેસને ધ્યાનમાં લઈને આ નકશાના ટ્રેસને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, આ આધારને સંબંધિત મેટ્રિક્સ તરીકે આધાર પસંદ કરીને અને તેનું વર્ણન કરીને, અને આ ચોરસ મેટ્રિક્સનું ટ્રેસ લઈને. પરિણામ પસંદ કરેલા આધાર પર નિર્ભર રહેશે નહીં, કારણ કે વિવિધ પાયા સમાન મેટ્રિસીસને જન્મ આપશે, જે રેખીય નકશાના નિશાન માટે આધાર-સ્વતંત્ર વ્યાખ્યાની સંભાવનાને મંજૂરી આપે છે. આવી વ્યાખ્યા અને પર રેખીય નકશાની જગ્યા વચ્ચે કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમનો ઉપયોગ કરીને આપી શકાય છે, જ્યાં ની બેવડી જગ્યા છે. અંદર આવવા દો અને અંદર આવવા દો. પછી બિનસંયોજિત તત્વનું નિશાન આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; સામાન્ય તત્વનું નિશાન રેખીયતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. માટે સ્પષ્ટ આધાર અને અનુરૂપ બેવડા આધારનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ બતાવી શકે છે કે આ ઉપર આપેલી ટ્રેસની સમાન વ્યાખ્યા આપે છે. આંકડાકીય અલ્ગોરિધમ્સ સ્ટોકેસ્ટિક એસ્ટિમેટર ટ્રેસ "હચિન્સનની યુક્તિ" દ્વારા નિષ્પક્ષપણે અંદાજ લગાવી શકાય છેઃ કોઈપણ મેટ્રિક્સને જોતાં, અને કોઈપણ રેન્ડમ સાથે, આપણી પાસે છે. (પુરાવોઃ અપેક્ષા સીધી વિસ્તૃત કરો. ) સામાન્ય રીતે, રેન્ડમ વેક્ટર (સામાન્ય વિતરણ) અથવા (રેડેમાકર વિતરણ) માંથી નમૂના લેવામાં આવે છે. ટ્રેસના વધુ વ્યવહારદક્ષ સ્ટોકેસ્ટિક અંદાજકો વિકસાવવામાં આવ્યા છે. જો 2 x 2 વાસ્તવિક મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય ટ્રેસ હોય, તો તેનો ચોરસ એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે. 2 × 2 જટિલ મેટ્રિક્સના ટ્રેસનો ઉપયોગ મોબિયસ પરિવર્તનોનું વર્ગીકરણ કરવા માટે થાય છે. પ્રથમ, મેટ્રિક્સને તેના નિર્ધારકને એકની બરાબર બનાવવા માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે. પછી, જો ટ્રેસનો વર્ગ 4 હોય, તો અનુરૂપ પરિવર્તન પેરાબોલિક છે. જો ચોરસ અંતરાલમાં હોય, તો તે લંબગોળ છે. છેવટે, જો ચોરસ 4 કરતા મોટો હોય, તો પરિવર્તન લોક્સોડ્રોમિક છે. મોબિયસ પરિવર્તનોનું વર્ગીકરણ જુઓ. ટ્રેસનો ઉપયોગ જૂથ રજૂઆતોના અક્ષરોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. જો બધા માટે હોય તો જૂથની બે રજૂઆતો સમકક્ષ (આધારે ફેરફાર સુધી) હોય છે. ચતુષ્કોણ સ્વરૂપોના વિતરણમાં પણ ટ્રેસ કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવે છે. લાઈ બીજગણિત ટ્રેસ એ લાઈ બીજગણિતનો એક નકશો છે, જે રેખીય ઓપરેટરોના લાઈ બીજગણિતમાંથી એક-પરિમાણીય જગ્યા (એન્ટ્રીઓ સાથે મેટ્રિક્સ) થી સ્કેલરના લાઈ બીજગણિત સુધી છે; જેમ કે એબેલિયન (લાઈ કૌંસ અદૃશ્ય થઈ જાય છે), હકીકત એ છે કે આ લાઈ બીજગણિતનો નકશો છે તે બરાબર નિવેદન છે કે કૌંસની ટ્રેસ અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ આ નકશાનું કર્નલ, એક મેટ્રિક્સ જેનું ટ્રેસ શૂન્ય છે, તેને ઘણીવાર અથવા કહેવામાં આવે છે, અને આ મેટ્રિક્સ સરળ લાઈ બીજગણિત બનાવે છે, જે નિર્ધારક 1 સાથે મેટ્રિક્સના વિશેષ રેખીય જૂથનું લાઈ બીજગણિત છે. વિશેષ રેખીય જૂથમાં મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે જે કદમાં ફેરફાર કરતા નથી, જ્યારે વિશેષ રેખીય લાઈ બીજગણિત એ મેટ્રિસીસ છે જે અનંત સમૂહોના કદમાં ફેરફાર કરતા નથી. હકીકતમાં, ઓપરેટરો/મેટ્રિક્સનું ટ્રેસલેસ ઓપરેટરો/મેટ્રિક્સ અને સ્કેલર ઓપરેટરો/મેટ્રિક્સમાં આંતરિક સીધું વિઘટન થાય છે. સ્કેલર ઓપરેટરો પર પ્રક્ષેપણ નકશાને ટ્રેસના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે, ચોક્કસપણે આ રીતેઃ ઔપચારિક રીતે, કોઈ વ્યક્તિ સ્કેલર પર નકશાનું મેપિંગ મેળવવા માટે "સ્કેલરનો સમાવેશ" ના એકમ નકશા સાથે ટ્રેસ (કાઉન્ટી નકશો) બનાવી શકે છે, અને ગુણાકાર કરી શકે છે. દ્વારા વિભાજીત કરવાથી આ એક પ્રક્ષેપણ બને છે, જે ઉપરનું સૂત્ર આપે છે. ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમની દ્રષ્ટિએ, એક હોય છે જે લાઈ જૂથો માટે (જ્યાં) સમાન હોય છે. જો કે, ટ્રેસ કુદરતી રીતે વિભાજિત થાય છે (વખત સ્કેલર્સ દ્વારા) તેથી, પરંતુ નિર્ધારકનું વિભાજન th રુટ વખત સ્કેલર્સ તરીકે હશે, અને આ સામાન્ય રીતે કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, તેથી નિર્ધારક વિભાજિત થતું નથી અને સામાન્ય રેખીય જૂથ વિઘટિત થતું નથીઃ બિલિનિયર સ્વરૂપો બાયલિનિયર સ્વરૂપ (જ્યાં, ચોરસ મેટ્રિક્સ છે) ને કિલિંગ ફોર્મ કહેવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ લાઈ આલ્જેબ્રાના વર્ગીકરણ માટે થાય છે. ટ્રેસ દ્વિરેખીય સ્વરૂપને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ આ સ્વરૂપ સપ્રમાણ, બિન-વિકૃત અને સહયોગી એ અર્થમાં છે કેઃ જટિલ સરળ લાઈ બીજગણિત (જેમ કે) માટે, આવા દરેક દ્વિરેખીય સ્વરૂપ એકબીજાના પ્રમાણસર હોય છે; ખાસ કરીને, હત્યાના સ્વરૂપ માટે. બે મેટ્રિક્સ અને જો લાઈ બીજગણિતની સામાન્ય રજૂઆત માટે સામાન્યીકરણ હોય તો તેને ટ્રેસ ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે, જેમ કે લાઈ આલ્જેબ્રાનું હોમોમોર્ફિઝમ. ચક્રીયતાને કારણે દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સપ્રમાણ અને અપરિવર્તનશીલ છે. સામાન્યીકરણ મેટ્રિક્સના ટ્રેસની વિભાવનાને હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ પર કોમ્પેક્ટ ઓપરેટરોના ટ્રેસ વર્ગમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, અને ફ્રોબેનિયસ ધોરણના એનાલોગને હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ધોરણ કહેવામાં આવે છે. જો ટ્રેસ-ક્લાસ ઓપરેટર હોય, તો કોઈપણ ઓર્થોનોર્મલ આધાર માટે, ટ્રેસ ઓર્થોનોર્મલ આધાર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તે મર્યાદિત અને સ્વતંત્ર હોય છે. આંશિક ટ્રેસ એ ટ્રેસનું બીજું સામાન્યીકરણ છે જે ઓપરેટર-મૂલ્યવાન છે. પ્રોડક્ટ સ્પેસ પર રહેતા રેખીય ઓપરેટરનું ટ્રેસ ઉપરના આંશિક ટ્રેસ જેટલું હોય છે અનેઃ વધુ ગુણધર્મો અને આંશિક ટ્રેસના સામાન્યીકરણ માટે, ટ્રેસ કરેલા મોનોઈડલ વર્ગો જુઓ. જો કોઈ ક્ષેત્ર પર સામાન્ય સહયોગી બીજગણિત હોય, તો પછી ટ્રેસને ઘણીવાર કોઈપણ નકશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કોમ્યુટેટર પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે; બધા માટે. આવા ટ્રેસને અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી; તેને હંમેશા ઓછામાં ઓછા બિન-શૂન્ય સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા સુધારી શકાય છે. સુપરટ્રેસ એ સુપરએલજેબ્રાના સેટિંગમાં ટ્રેસનું સામાન્યીકરણ છે. ટેન્સર સંકોચનની કામગીરી ટ્રેસને મનસ્વી ટેન્સરમાં સામાન્ય બનાવે છે. ટેન્સર ઉત્પાદનોની ભાષામાં નિશાન વેક્ટરની જગ્યા આપવામાં આવે તો, સ્કેલર પર મોકલીને કુદરતી દ્વિરેખીય નકશો આપવામાં આવે છે. ટેન્સર પ્રોડક્ટનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ આપમેળે સૂચવે છે કે આ દ્વિરેખીય નકશો લીનિયર ફંક્શનલ દ્વારા પ્રેરિત છે. તેવી જ રીતે, રેખીય નકશા પર મોકલીને એક કુદરતી દ્વિરેખીય નકશો આપવામાં આવ્યો છે. ટેન્સર પ્રોડક્ટનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ, અગાઉ વપરાયો હતો તે જ રીતે, કહે છે કે આ દ્વિરેખીય નકશો રેખીય નકશા દ્વારા પ્રેરિત છે. જો મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય, તો આ રેખીય નકશો એક રેખીય સમરૂપતા છે. આ મૂળભૂત હકીકત એ (મર્યાદિત) આધારના અસ્તિત્વનું સીધું પરિણામ છે, અને એમ પણ કહી શકાય કે કોઈપણ રેખીય નકશાને (મર્યાદિત રીતે ઘણા) ક્રમ-એક રેખીય નકશાના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે. આઇસોમોર્ફિઝમના ઇન્વર્સને ઉપર મેળવેલા રેખીય વિધેય સાથે કંપોઝ કરવાથી તેના પર રેખીય વિધેયાત્મક પરિણામ મળે છે. આ રેખીય કાર્ય બરાબર ટ્રેસ જેવું જ છે. કર્ણ તત્વોના સરવાળા તરીકે ટ્રેસની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, મેટ્રિક્સ સૂત્ર સાબિત કરવા માટે સરળ છે, અને ઉપર આપવામાં આવ્યું હતું. વર્તમાન પરિપ્રેક્ષ્યમાં, એક રેખીય નકશાને ધ્યાનમાં લઈ રહ્યું છે અને, અને તેમને ક્રમ-એક નકશાના સરવાળા તરીકે જોઈ રહ્યું છે, જેથી ત્યાં રેખીય વિધેયો અને બિન-શૂન્ય વેક્ટર હોય અને જેમ કે અને કોઈપણ માટે. પછી કોઈપણ માટે. રેન્ક-વન રેખીય નકશામાં ટ્રેસ છે અને તેથી તે જ પ્રક્રિયાને અનુસરીને અને ઉલટાવીને, વ્યક્તિને બરાબર એ જ સૂત્ર મળે છે, જે સાબિત કરે છે કે તે સમાન છે. ઉપરોક્ત સાબિતીને ટેન્સર ઉત્પાદનો પર આધારિત હોવાનું ગણી શકાય, કારણ કે તેની મૂળભૂત ઓળખ કોઈપણ રેખીય નકશાની અભિવ્યક્તિને રેન્ક-વન રેખીય નકશાના સરવાળા તરીકે સમકક્ષ છે. જેમ કે, પુરાવા ટેન્સર ઉત્પાદનોના સંકેતલિપીમાં લખી શકાય છે. પછી કોઈ વ્યક્તિ મોકલીને આપેલા બહુરેખીય નકશાને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. ટ્રેસ નકશા સાથે વધુ રચના પછી પરિણમે છે, અને જો કોઈએ તેના બદલે શરૂઆત કરી હોય તો આ બદલાતું નથી. રચના પર મોકલીને આપવામાં આવેલા દ્વિસ્તરીય નકશાને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, જે પછી રેખીય નકશા દ્વારા પ્રેરિત થાય છે. તે જોઈ શકાય છે કે આ રેખીય નકશા સાથે મેળ ખાય છે. ટ્રેસ નકશા સાથે રચના પર સ્થાપિત સમપ્રમાણતા પછી બે નિશાનની સમાનતા સ્થાપિત કરે છે. કોઈપણ મર્યાદિત પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા માટે, એક કુદરતી રેખીય નકશો હોય છે; રેખીય નકશાની ભાષામાં, તે સ્કેલરને રેખીય નકશો સોંપે છે. કેટલીકવાર આને સહમૂલ્યાંકન નકશો કહેવામાં આવે છે, અને ટ્રેસને મૂલ્યાંકન નકશો કહેવામાં આવે છે. આ માળખાઓને શ્રેણી સિદ્ધાંતના અમૂર્ત સેટિંગમાં શ્રેણીબદ્ધ નિશાનોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સ્વયંસિદ્ધ કરી શકાય છે. મેટ્રિક ટેન્સર લાક્ષણિકતા કાર્યના સંદર્ભમાં ટેન્સરનું ટ્રેસ પણ જુઓ ફિલ્ડ ટ્રેસ ગોલ્ડન-થોમ્પસન અસમાનતા સિંગલ ટ્રેસ સ્પેચ્ટના પ્રમેય ટ્રેસ વર્ગ ઓળખ ટ્રેસ અસમાનતાઓ વોન ન્યુમેનની ટ્રેસ અસમાનતા નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ રેખીય બીજગણિત મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંત ટ્રેસ સિદ્ધાંત