Borel set
ગણિતમાં, બોરેલ સમૂહ એ ટોપોલોજિકલ અવકાશમાં કોઈપણ સમૂહ છે જે ખુલ્લા સમૂહોમાંથી (અથવા, સમકક્ષ રીતે, બંધ સમૂહોમાંથી) ગણતરીપાત્ર જોડાણ, ગણતરીપાત્ર આંતરછેદ અને સંબંધિત પૂરકની કામગીરી દ્વારા રચાય છે. બોરેલ સમૂહોના નામ એમીલ બોરેલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યા છે. ટોપોલોજિકલ અવકાશ X માટે, X પરના તમામ બોરેલ સમૂહોનો સંગ્રહ σ-બીજગણિત બનાવે છે, જેને બોરેલ બીજગણિત અથવા બોરેલ σ-બીજગણિત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. X પરનું બોરેલ બીજગણિત એ સૌથી નાનું σ-બીજગણિત છે જેમાં તમામ ખુલ્લા સમૂહો (અથવા, સમકક્ષ રીતે, તમામ બંધ સમૂહો) હોય છે. માપ સિદ્ધાંતમાં બોરેલ સમૂહો મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે જગ્યાના ખુલ્લા સમૂહો પર અથવા જગ્યાના બંધ સમૂહો પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ માપને તે જગ્યાના તમામ બોરેલ સમૂહો પર પણ વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે. બોરેલ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ માપને બોરેલ માપ કહેવામાં આવે છે. બોરેલ સમૂહો અને સંબંધિત બોરેલ પદાનુક્રમ પણ વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ભૂમિકા ભજવે છે. કેટલાક સંદર્ભોમાં, બોરેલ સમૂહોને ખુલ્લા સમૂહોને બદલે ટોપોલોજિકલ જગ્યાના સઘન સમૂહો દ્વારા પેદા કરવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બે વ્યાખ્યાઓ ઘણી સારી વર્તણૂકવાળી જગ્યાઓ માટે સમકક્ષ છે, જેમાં તમામ હૌસડોર્ફ σ-કોમ્પેક્ટ જગ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ વધુ પેથોલોજીકલ જગ્યાઓમાં અલગ હોઈ શકે છે. બોરેલ બીજગણિત ઉત્પન્ન કરવું X એ મેટ્રિક જગ્યા છે તે કિસ્સામાં, પ્રથમ અર્થમાં બોરેલ બીજગણિતને નીચે પ્રમાણે સામાન્ય રીતે વર્ણવી શકાય છે. X ના સબસેટ્સના સંગ્રહ T માટે (એટલે કે, X ના પાવર સેટ P (X) ના કોઈપણ સબસેટ માટે), ચાલો T ના તત્વોના તમામ ગણતરીપાત્ર યુનિયનો T ના તત્વોના તમામ ગણતરીપાત્ર આંતરછેદો હોઈ શકે. જો i એ મર્યાદા ક્રમિક ન હોય, તો i પાસે તરત જ પૂર્વવર્તી ક્રમિક i − 1 છે. ધારો કે જો i એ મર્યાદા ક્રમિક હોય, તો સેટ કરો દાવો એ છે કે બોરેલ બીજગણિત Gω1 છે, જ્યાં ω1 એ પ્રથમ અગણિત ક્રમિક સંખ્યા છે. એટલે કે, ઓપરેશનને પ્રથમ અગણિત ક્રમિકમાં પુનરાવર્તન કરીને ખુલ્લા સમૂહોના વર્ગમાંથી બોરેલ બીજગણિત પેદા કરી શકાય છે. આ દાવાને સાબિત કરવા માટે, મેટ્રિક જગ્યામાં કોઈપણ ખુલ્લો સમૂહ એ બંધ સમૂહના વધતા ક્રમનું જોડાણ છે. ખાસ કરીને, સમૂહોના પૂરક કોઈપણ મર્યાદા ક્રમિક m માટે પોતે જ Gm ને નકશા કરે છે; વધુમાં જો m એક અગણિત મર્યાદા ક્રમિક હોય, તો Gm ગણતરીપાત્ર સંઘો હેઠળ બંધ થાય છે. દરેક બોરેલ સમૂહ B માટે, કેટલાક ગણતરીપાત્ર ક્રમિક αB છે જેમ કે B ને αB પર કામગીરીનું પુનરાવર્તન કરીને મેળવી શકાય છે. જો કે, B તમામ બોરેલ સમૂહોમાં બદલાય છે, તેથી αB તમામ ગણતરીપાત્ર ઓર્ડિનલ્સમાં બદલાશે, અને આમ પ્રથમ ઓર્ડિનલ કે જેના પર તમામ બોરેલ સમૂહો મેળવવામાં આવે છે તે ω1 છે, જે પ્રથમ બિનગણતરી ક્રમ છે. ઉદાહરણ એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ, ખાસ કરીને સંભાવનાના સિદ્ધાંતમાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર બોરેલ બીજગણિત છે. તે બીજગણિત છે જેના પર બોરેલ માપ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક રેન્ડમ ચલને જોતાં, તેનું સંભાવના વિતરણ વ્યાખ્યા દ્વારા બોરેલ બીજગણિત પરનું માપ પણ છે. વાસ્તવિક પર બોરેલ બીજગણિત એ R પરનું સૌથી નાનું σ-બીજગણિત છે જે તમામ અંતરાલો ધરાવે છે. ટ્રાન્સફાઇનાઇટ ઇન્ડક્શન દ્વારા નિર્માણમાં, તે બતાવી શકાય છે કે, દરેક પગલામાં, સમૂહોની સંખ્યા, વધુમાં વધુ, સાતત્યની મુખ્યતા છે. હકીકતમાં, બોરેલ સમૂહોના સંગ્રહની મુખ્યતા સાતત્યની સમાન છે (અસ્તિત્વમાં રહેલા લેબસેગ્યુ માપી શકાય તેવા સમૂહોની સંખ્યાની સરખામણીમાં, જે સખત રીતે મોટા અને સમાન છે). પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યાઓ અને કુરાટોવ્સ્કી પ્રમેયો ચાલો X એ ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે. X સાથે સંકળાયેલ બોરેલ અવકાશ એ જોડી (X, B) છે, જ્યાં B એ X ના બોરેલ સમૂહોના σ-બીજગણિત છે. જ્યોર્જ મેકીએ બોરેલ અવકાશને કંઈક અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કર્યો છે, જેમાં લખ્યું છે કે તે "તેના બોરેલ સમૂહો તરીકે ઓળખાતા ઉપગ્રહોના વિશિષ્ટ σ-ક્ષેત્ર સાથેનો સમૂહ છે". જો કે, આધુનિક ઉપયોગ વિશિષ્ટ પેટા-બીજગણિતને માપી શકાય તેવા સમૂહો અને આવા જગ્યાઓને માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ કહેવાનો છે. આ તફાવતનું કારણ એ છે કે બોરેલ સમૂહો એ ખુલ્લા સમૂહો (ટોપોલોજિકલ જગ્યાના) દ્વારા પેદા થયેલ σ-બીજગણિત છે, જ્યારે મેકીની વ્યાખ્યા મનસ્વી σ-બીજગણિતથી સજ્જ સમૂહને સંદર્ભિત કરે છે. અંતર્ગત જગ્યા પર ટોપોલોજીની કોઈપણ પસંદગી માટે માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ અસ્તિત્વમાં છે જે બોરેલ જગ્યાઓ નથી. માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ એક એવી શ્રેણી બનાવે છે જેમાં મોર્ફિઝમ્સ માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ વચ્ચે માપી શકાય તેવા કાર્યો છે. એક કાર્ય માપી શકાય તેવું છે જો તે માપી શકાય તેવા સમૂહોને પાછળ ખેંચે છે, એટલે કે, Y માં તમામ માપી શકાય તેવા સમૂહો B માટે, સમૂહ X. પ્રમેયમાં માપી શકાય તેવું છે. ધારો કે X એ પોલિશ જગ્યા છે, એટલે કે, એક ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે કે જે X પર મેટ્રિક d છે જે X ની ટોપોલોજીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને જે X ને સંપૂર્ણ અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યા બનાવે છે. પછી બોરેલ જગ્યા તરીકે X એ R, Z, એક મર્યાદિત જગ્યા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. (આ પરિણામ મહારામના પ્રમેયની યાદ અપાવે છે.) બોરેલ જગ્યાઓ તરીકે ગણવામાં આવે છે, વાસ્તવિક રેખા આર, ગણતરીપાત્ર સમૂહ સાથે આરનું જોડાણ અને આરએન સમરૂપ છે. એક પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા એ પોલિશ જગ્યા સાથે સંકળાયેલ બોરેલ જગ્યા છે. પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશને તેની મુખ્યતા દ્વારા સમરૂપતા સુધી વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, અને કોઈપણ અગણિત પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશમાં સાતત્યની મુખ્યતા હોય છે. પોલિશ જગ્યાઓના સબસેટ માટે, બોરેલ સેટને તે સેટ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જે પોલિશ જગ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત સતત ઇન્જેક્ટિવ નકશાની શ્રેણી છે. જો કે, નોંધ લો કે સતત બિન-ઇન્જેક્ટીવ નકશાની શ્રેણી બોરેલ હોઈ શકે છે. વિશ્લેષણાત્મક સમૂહ જુઓ. પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા પર દરેક સંભાવના માપ તેને પ્રમાણભૂત સંભાવના જગ્યામાં ફેરવે છે. નોન-બોરેલ સમૂહો લ્યુસિનને કારણે નોન-બોરેલ હોય તેવા વાસ્તવિક સમૂહોના ઉપગણનું ઉદાહરણ નીચે વર્ણવેલ છે. તેનાથી વિપરીત, બિન-માપી શકાય તેવા સમૂહનું ઉદાહરણ પ્રદર્શિત કરી શકાતું નથી, તેમ છતાં તેનું અસ્તિત્વ સાબિત કરી શકાય છે. દરેક અતાર્કિક સંખ્યા અનંત સતત અપૂર્ણાંક દ્વારા એક અનન્ય રજૂઆત ધરાવે છે જ્યાં કેટલાક પૂર્ણાંક હોય છે અને અન્ય તમામ સંખ્યાઓ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો હોય છે. ચાલો તમામ અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોઈએ જે નીચેના ગુણધર્મો સાથેના ક્રમને અનુરૂપ હોયઃ ત્યાં એક અનંત અનુગામી અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેમ કે દરેક તત્વ આગામી તત્વનો ભાજક છે. આ સમૂહ બોરેલ નથી. હકીકતમાં, તે વિશ્લેષણાત્મક છે, અને વિશ્લેષણાત્મક સમૂહોના વર્ગમાં સંપૂર્ણ છે. વધુ વિગતો માટે વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંત અને કેક્રિસનું પુસ્તક, ખાસ કરીને પૃષ્ઠ 209 પર વ્યાયામ (27.2), પૃષ્ઠ 169 પર વ્યાખ્યા (22.9) અને પૃષ્ઠ 14 પર વ્યાયામ (3.4) (ii) જુઓ. એ નોંધવું અગત્યનું છે કે, જ્યારે ZF માં નિર્માણ કરી શકાય છે, ત્યારે તે એકલા ZF માં બિન-બોરેલ સાબિત થઈ શકતું નથી. હકીકતમાં, તે ઝેડએફ સાથે સુસંગત છે જે ગણતરીપાત્ર સમૂહોનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ છે, જેથી તેનો કોઈપણ સબસેટ બોરેલ સમૂહ હોય. અન્ય બિન-બોરેલ સમૂહ એ અનંત પેરિટી ફંક્શનની વ્યસ્ત છબી છે. જો કે, આ અસ્તિત્વનો પુરાવો છે (પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા), સ્પષ્ટ ઉદાહરણ નથી. વૈકલ્પિક બિન-સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ પોલ હેલ્મોસ અનુસાર, સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ ટોપોલોજિકલ સ્પેસના સબસેટને બોરેલ સેટ કહેવામાં આવે છે જો તે તમામ કોમ્પેક્ટ સેટ ધરાવતી સૌથી નાની σ-રિંગની હોય. નોર્બર્ગ અને વર્વાટે ટોપોલોજિકલ જગ્યાના બોરેલ બીજગણિતને તેના ખુલ્લા ઉપગણ અને તેના સઘન સંતૃપ્ત ઉપગણ દ્વારા પેદા થયેલ-બીજગણિત તરીકે પુનઃવ્યાખ્યાયિત કર્યું છે. આ વ્યાખ્યા એવા કિસ્સામાં એપ્લિકેશનો માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે જ્યાં હૌસડોર્ફ નથી. તે સામાન્ય વ્યાખ્યા સાથે સુસંગત છે જો બીજી ગણતરીપાત્ર હોય અથવા જો દરેક સઘન સંતૃપ્ત સબસેટ બંધ હોય (જે ખાસ કરીને જો હૌસડોર્ફ હોય તો કેસ છે). નોંધો સંદર્ભો વિલિયમ આર્વેસન, એન ઇન્વિટેશન ટુ સી *-આલ્જેબ્રા, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, 1981 પણ જુઓ. (પોલિશ ટોપોલોજીના ઉત્તમ પ્રદર્શન માટે પ્રકરણ 3 જુઓ) રિચાર્ડ ડુડલી, વાસ્તવિક વિશ્લેષણ અને સંભાવના. વેડ્સવર્થ, બ્રૂક્સ અને કોલ, 1989, ખાસ કરીને સેક્ટ જુઓ. 51 "બોરેલ સેટ અને બેયર સેટ". હૅલ્સી રોયડેન, રિયલ એનાલિસિસ, પ્રેન્ટિસ હોલ, 1988 એલેક્ઝાન્ડર એસ. કેક્રિસ, ક્લાસિકલ ડિસ્ક્રિપ્ટિવ સેટ થિયરી, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, 1995 (ગ્રેજ્યુએટ ટેક્સ્ટ્સ ઇન મેથ., વોલ્યુમ. 156) બાહ્ય કડીઓ મિઝાર પ્રણાલીમાં બોરેલ સમૂહોની ઔપચારિક વ્યાખ્યા અને તેના વિશે ઔપચારિક રીતે સાબિત થયેલા પ્રમેયોની સૂચિ. ટોપોલોજી વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંત