Quantum Hall effect
ક્વોન્ટમ હોલ અસર (અથવા પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર) એ હોલ અસરનું પરિમાણિત સંસ્કરણ છે જે નીચા તાપમાન અને મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્રોને આધિન દ્વિ-પરિમાણીય ઇલેક્ટ્રોન પ્રણાલીઓમાં જોવા મળે છે, જેમાં હોલ પ્રતિકાર એવા પગલાં દર્શાવે છે જે પરિમાણિત મૂલ્યો પર લે છે જ્યાં હોલ વોલ્ટેજ છે, ચેનલ કરંટ છે, પ્રાથમિક ચાર્જ છે અને પ્લાન્ક અચળાંક છે. વિભાજક ક્યાં તો પૂર્ણાંક () અથવા અપૂર્ણાંક () મૂલ્યો લઈ શકે છે. અહીં, તે લગભગ લેન્ડૌ સ્તરોના ભરણ પરિબળ જેટલું જ છે પરંતુ બરાબર નથી. ક્વોન્ટમ હોલ અસરને અનુક્રમે પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક છે તેના આધારે પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસરનું નોંધપાત્ર લક્ષણ એ ક્વોન્ટાઇઝેશનની દ્રઢતા છે (એટલે કે. હોલ પ્લેટુ) કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા વૈવિધ્યસભર છે. જ્યારે ફર્મી સ્તર સ્વચ્છ વર્ણપટ અંતરમાં હોય ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા સ્થિર રહે છે, આ સ્થિતિ તે સ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યાં ફર્મી સ્તર એ સ્થિતિઓની મર્યાદિત ઘનતા ધરાવતી ઊર્જા છે, જો કે આ સ્થિતિઓ સ્થાનિક છે (એન્ડરસન સ્થાનિકીકરણ જુઓ). અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર વધુ જટિલ છે અને હજુ પણ એક ખુલ્લી સંશોધન સમસ્યા માનવામાં આવે છે. તેનું અસ્તિત્વ મૂળભૂત રીતે ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ પર આધારિત છે. 1988 માં, એવી દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી કે લાન્દાઉ સ્તરો વિના ક્વોન્ટમ હોલ અસર હતી. આ ક્વોન્ટમ હોલ અસરને ક્વોન્ટમ વિસંગત હોલ (ક્યુએએચ) અસર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ સ્પિન હોલ ઇફેક્ટનો એક નવો ખ્યાલ પણ છે જે ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટનું એનાલોગ છે, જ્યાં ચાર્જ કરંટને બદલે સ્પિન કરંટ વહે છે. એપ્લિકેશન્સ હોલ કંડક્ટન્સ () નું ક્વોન્ટાઇઝેશન અત્યંત ચોક્કસ હોવાનો મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ ધરાવે છે. હોલ કંડક્ટન્સના વાસ્તવિક માપ એક અબજમાં લગભગ એક ભાગના પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક ગુણાંક હોવાનું જાણવા મળ્યું છે. તેણે વોન ક્લિટ્ઝિંગ અચળાંક દ્વારા આપવામાં આવેલા પ્રતિકાર પરિમાણના આધારે વિદ્યુત પ્રતિકાર માટે નવા વ્યવહારુ ધોરણની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપી છે. ચોક્કસ પરિમાણની શોધ કરનાર ક્લાઉસ વોન ક્લિટ્ઝિંગના નામ પરથી તેનું નામ રાખવામાં આવ્યું છે. ક્વોન્ટમ હોલ અસર ફાઇન-સ્ટ્રક્ચર કોન્સ્ટન્ટનું અત્યંત ચોક્કસ સ્વતંત્ર નિર્ધારણ પણ પ્રદાન કરે છે, જે ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં મૂળભૂત મહત્વનું પ્રમાણ છે. 1990 માં, વિશ્વભરમાં પ્રતિકાર કેલિબ્રેશનમાં ઉપયોગ માટે એક નિશ્ચિત પરંપરાગત મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું. 16 નવેમ્બર 2018ના રોજ, વજન અને માપ પરની સામાન્ય પરિષદની 26મી બેઠકમાં (પ્લાન્ક અચળાંક) અને (પ્રાથમિક ચાર્જ) ના ચોક્કસ મૂલ્યો નક્કી કરવાનો નિર્ણય લેવામાં આવ્યો હતો, જે ચોક્કસ કાયમી મૂલ્ય સાથે 1990ના મૂલ્યનું સ્થાન લે છે. સંશોધનની સ્થિતિ પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલને ચોક્કસ ક્વોન્ટાઇઝેશનનો ભાગ માનવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં ચોક્કસ ક્વોન્ટાઇઝેશન સંપૂર્ણપણે સમજી શકાયું નથી પરંતુ તેને અન્ય સમપ્રમાણતા સાથે ગેજ ઇનવેરિયન્સના સિદ્ધાંતના સંયોજનના ખૂબ જ સૂક્ષ્મ અભિવ્યક્તિ તરીકે સમજાવવામાં આવ્યું છે (વિસંગતતાઓ જુઓ). તેના બદલે પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલને એક ઉકેલાયેલી સંશોધન સમસ્યા માનવામાં આવે છે અને તેને ટીકેએનએન સૂત્ર અને ચેરન-સિમોન્સ લેગ્રેન્જિયન્સના અવકાશમાં સમજવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસરને હજુ પણ એક ખુલ્લી સંશોધન સમસ્યા માનવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસરને પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર તરીકે પણ સમજી શકાય છે, જો કે ઇલેક્ટ્રોનની નહીં પરંતુ સંયુક્ત ફર્મિઓન તરીકે ઓળખાતા ચાર્જ-ફ્લક્સ સંયોજનોની. ફ્રેક્શનલ ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટને સમજાવવા માટે અન્ય નમૂનાઓ પણ અસ્તિત્વમાં છે. હાલમાં તેને એક ખુલ્લી સંશોધન સમસ્યા માનવામાં આવે છે કારણ કે અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓની કોઈ એક, પુષ્ટિ અને સંમત સૂચિ અસ્તિત્વમાં નથી, ન તો તે બધાને સમજાવવા માટે એક પણ સંમત મોડેલ છે, જો કે સંયુક્ત ફર્મિઓન અને નોન એબેલિયન ચેરન-સિમોન્સ લેગ્રેન્જિયન્સના અવકાશમાં આવા દાવાઓ છે. 1959માં બેલ લેબ્સ ખાતે મોહમ્મદ અટાલા અને દાવોન કાહંગ દ્વારા શોધાયેલ MOSFET (મેટલ-ઓક્સાઇડ-સેમિકન્ડક્ટર ફિલ્ડ-ઇફેક્ટ ટ્રાન્ઝિસ્ટર) એ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને લગભગ આદર્શ દ્વિ-પરિમાણીય ગેસમાં ઇલેક્ટ્રોન વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરવા સક્ષમ બનાવ્યા હતા. એમ. ઓ. એસ. એફ. ઇ. ટી. માં, વહન ઇલેક્ટ્રોન પાતળા સપાટીના સ્તરમાં મુસાફરી કરે છે, અને "દ્વાર" વોલ્ટેજ આ સ્તરમાં ચાર્જ વાહકોની સંખ્યાને નિયંત્રિત કરે છે. આ સંશોધકોને પ્રવાહી હિલીયમ તાપમાન પર ઉચ્ચ-શુદ્ધતા એમ. ઓ. એસ. એફ. ઇ. ટી. નું સંચાલન કરીને ક્વોન્ટમ અસરો શોધવાની મંજૂરી આપે છે. હોલ કંડક્ટન્સના પૂર્ણાંક પરિમાણની આગાહી મૂળરૂપે યુનિવર્સિટી ઓફ ટોક્યોના સંશોધકો સુનેયા એન્ડો, યુકિયો માત્સુમોટો અને યાસુતાદા ઉએમુરા દ્વારા 1975માં કરવામાં આવી હતી, જે અંદાજિત ગણતરીના આધારે કરવામાં આવી હતી જેને તેઓ પોતે સાચું માનતા ન હતા. 1978માં, ગાકુશુઇન યુનિવર્સિટીના સંશોધકો જુન-ઇચી વાકાબાયાશી અને શિન્જી કાવાજીએ ત્યારબાદ એમ. ઓ. એસ. એફ. ઇ. ટી. ના વ્યુત્ક્રમ સ્તર પર કરવામાં આવેલા પ્રયોગોમાં અસરનું નિરીક્ષણ કર્યું હતું. 1980માં, માઈકલ પેપર અને ગેરહાર્ડ ડોર્ડા દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલા સિલિકોન આધારિત MOSFET નમૂનાઓ સાથે ગ્રેનોબલમાં ઉચ્ચ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રયોગશાળામાં કામ કરતા ક્લાઉસ વોન ક્લિટ્ઝિંગે અનપેક્ષિત શોધ કરી હતી કે હોલ પ્રતિકાર બરાબર માપવામાં આવ્યો હતો. આ શોધ માટે, વોન ક્લિટ્ઝિંગને 1985માં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. ચોક્કસ ક્વોન્ટાઇઝેશન અને ગેજ ઇનવેરિયન્સ વચ્ચેની કડી પાછળથી રોબર્ટ લાફલિન દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, જેમણે થોલેસ ચાર્જ પંપમાં ક્વોન્ટાઇઝ્ડ ચાર્જ પરિવહન સાથે ક્વોન્ટાઇઝ્ડ વાહકતાને જોડી હતી. મોટાભાગના પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ પ્રયોગો હવે ગેલિયમ આર્સેનાઇડ હેટેરોસ્ટ્રક્ચર્સ પર કરવામાં આવે છે, જો કે અન્ય ઘણી સેમિકન્ડક્ટર સામગ્રીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. 2007માં, ગ્રેફીનમાં ઓરડાના તાપમાન જેટલા ઊંચા તાપમાને અને મેગ્નેશિયમ ઝિંક ઓક્સાઇડ ZnO-MgxZn1−xOમાં પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર નોંધવામાં આવી હતી. પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર લાન્દાઉ સ્તરો બે પરિમાણોમાં, જ્યારે શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને આધિન હોય છે ત્યારે તેઓ ગોળાકાર સાયક્લોટ્રોન ભ્રમણકક્ષાને અનુસરે છે. જ્યારે સિસ્ટમને ક્વોન્ટમ યાંત્રિક રીતે ગણવામાં આવે છે, ત્યારે આ ભ્રમણકક્ષાઓનું પ્રમાણ નક્કી કરવામાં આવે છે. ઊર્જાના સ્તરોના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે શ્રોડિંગર સમીકરણને ઉકેલવું આવશ્યક છે. સિસ્ટમ ચુંબકીય ક્ષેત્રને આધિન હોવાથી, તેને શ્રોડિંગર સમીકરણમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક વેક્ટર પોટેન્શિયલ તરીકે રજૂ કરવી પડશે. માનવામાં આવતી પ્રણાલી એ એક ઇલેક્ટ્રોન ગેસ છે જે x અને y દિશામાં ખસેડવા માટે મુક્ત છે, પરંતુ ઝેડ દિશામાં ચુસ્ત રીતે મર્યાદિત છે. પછી, ઝેડ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે અને લેન્ડૌ ગેજ અનુસાર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક વેક્ટર પોટેન્શિયલ છે અને સ્કેલર પોટેન્શિયલ છે. આમ આ પ્રણાલીમાં ચાર્જ અને અસરકારક દળના કણ માટે શ્રોડિંગર સમીકરણ છેઃ જ્યાં કેનોનિકલ મોમેન્ટમ છે, જે ઓપરેટર દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને તે કુલ ઊર્જા છે. આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે તેને બે સમીકરણોમાં અલગ કરવું શક્ય છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર x અને y અક્ષો સાથેની હિલચાલને અસર કરે છે. કુલ ઊર્જા પછી બને છે, બે યોગદાનનો સરવાળો. ઝેડ અક્ષમાં અનુરૂપ સમીકરણો છેઃ વસ્તુઓને સરળ બનાવવા માટે, ઉકેલને અનંત કૂવો માનવામાં આવે છે. આમ ઝેડ દિશા માટેના ઉકેલો ઊર્જા છે, અને તરંગ કાર્યો સિનુસોઇડલ છે. અને દિશાઓ માટે, શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલને કેટલાક અજ્ઞાત કાર્ય સાથે-દિશામાં સમતલ તરંગના ગુણાકાર તરીકે પસંદ કરી શકાય છે, એટલે કે,. આનું કારણ એ છે કે વેક્ટર પોટેન્શિયલ તેના પર નિર્ભર નથી અને તેથી મોમેન્ટમ ઓપરેટર હેમિલ્ટોનિયન સાથે મુસાફરી કરે છે. આ અન્સાત્ઝને શ્રોડિંગર સમીકરણમાં બદલીને એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમીકરણ કેન્દ્રમાં આવે છે. જ્યાં તેને સાયક્લોટ્રોન આવર્તન અને ચુંબકીય લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઊર્જાઓ છેઃ, અને સમતલમાં ગતિ માટે તરંગ કાર્યો સમતલ તરંગના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને હર્માઇટ બહુપદીઓ ગૌસીયન કાર્ય દ્વારા ક્ષીણ થાય છે, જે હાર્મોનિક ઓસિલેટરના તરંગ કાર્યો છે. લાન્દાઉ સ્તરોની અભિવ્યક્તિ પરથી જોવામાં આવે છે કે ઊર્જા માત્ર તેના પર જ આધાર રાખે છે, તેના પર નહીં. સમાન પરંતુ અલગ રાજ્યો અધોગતિ પામે છે. સ્થિતિઓની ઘનતા શૂન્ય ક્ષેત્ર પર, દ્વિ-પરિમાણીય ઇલેક્ટ્રોન ગેસ માટે પરિભ્રમણને કારણે અધોગતિને ધ્યાનમાં રાખીને એકમ સપાટી દીઠ સ્થિતિઓની ઘનતા ઊર્જાથી સ્વતંત્ર છે. જેમ જેમ ક્ષેત્ર ચાલુ થાય છે તેમ, સ્થિતિઓની ઘનતા અચળાંકથી ડીરાક કાંસકો સુધી તૂટી જાય છે, જે ડીરાક કાર્યોની શ્રેણી છે, જે અલગ કરાયેલ લાન્દાઉ સ્તરને અનુરૂપ છે. મર્યાદિત તાપમાન પર, જોકે, લાન્દાઉ સ્તર વિખેરાઈની ઘટનાઓ વચ્ચેના સમય તરીકે પહોળાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે લાન્દાઉ સ્તરોનો ચોક્કસ આકાર ગૌસીયન અથવા લોરેન્ટ્ઝિયન રૂપરેખા છે. બીજું લક્ષણ એ છે કે તરંગ કાર્યો-દિશામાં સમાંતર પટ્ટીઓ બનાવે છે, જે-અક્ષની સાથે સમાન અંતરે હોય છે. જો વેક્ટર પોટેન્શિયલ અલગ રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું હોય તો-પ્લેનમાં કોઈપણ દિશા વિશે ખાસ કંઈ નથી, તેથી વ્યક્તિએ ગોળાકાર સમપ્રમાણતા શોધવી જોઈએ. પરિમાણોના નમૂનાને જોતાં અને-દિશામાં સામયિક સીમા શરતોને પૂર્ણાંક તરીકે લાગુ કરવાથી, દરેક પેરાબોલિક પોટેન્શિયલને મૂલ્ય પર મૂકવામાં આવે છે. દરેક લાન્દાઉ સ્તર માટે સ્થિતિઓની સંખ્યા અને નમૂનામાંથી પસાર થતા કુલ ચુંબકીય પ્રવાહ અને સ્થિતિને અનુરૂપ ચુંબકીય પ્રવાહ વચ્ચેના ગુણોત્તરમાંથી ગણતરી કરી શકાય છે. આમ એકમ સપાટી દીઠ સ્થિતિઓની ઘનતા છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથેની સ્થિતિઓની ઘનતાની નિર્ભરતાની નોંધ લો. ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું મોટું હોય છે, તેટલી વધુ અવસ્થાઓ દરેક લાન્દાઉ સ્તરમાં હોય છે. પરિણામે, સિસ્ટમમાં વધુ બંધન છે કારણ કે ઉર્જાનું સ્તર ઓછું છે. છેલ્લી અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખવી કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક લાન્દાઉ સ્તરમાં a માં 2DEG જેટલા રાજ્યો છે. ઇલેક્ટ્રોન એ ફર્મિઓન છે તે હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને, લાન્દાઉ સ્તરોમાં ઉપલબ્ધ દરેક સ્થિતિ માટે તે બે ઇલેક્ટ્રોનને અનુરૂપ છે, સ્પિન માટે દરેક મૂલ્ય સાથે એક ઇલેક્ટ્રોન. જો કે, જો મોટું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સ્પિનની ગોઠવણી સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષણને કારણે ઊર્જા બે સ્તરોમાં વિભાજિત થાય છે. ઊર્જામાં તફાવત એ એક પરિબળ છે જે સામગ્રી (મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન માટે) અને બોહર મેગ્નેટોન પર આધાર રાખે છે. આ નિશાની ત્યારે લેવામાં આવે છે જ્યારે સ્પિન ક્ષેત્રની સમાંતર હોય અને જ્યારે તે વિરોધી સમાંતર હોય. સ્પિન વિભાજન તરીકે ઓળખાતી આ હકીકત સૂચવે છે કે દરેક સ્તર માટે સ્થિતિઓની ઘનતા અડધી થઈ જાય છે. નોંધ લો કે તે ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રમાણસર છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું મોટું છે, વિભાજન તેટલું વધુ સુસંગત છે. કબજે કરેલા લાન્દાઉ સ્તરોની સંખ્યા મેળવવા માટે, કહેવાતા ભરણ પરિબળને 2DEGમાં સ્થિતિઓની ઘનતા અને લાન્દાઉ સ્તરોમાં સ્થિતિઓની ઘનતા વચ્ચેના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે ભરણ પરિબળ એ પૂર્ણાંક નથી. જ્યારે ભરેલા લાન્દાઉ સ્તરોની ચોક્કસ સંખ્યા હોય ત્યારે તે પૂર્ણાંક બને છે. તેના બદલે, જ્યારે ટોચનું સ્તર સંપૂર્ણ રીતે ભરેલું ન હોય ત્યારે તે બિન-પૂર્ણાંક બની જાય છે. વાસ્તવિક પ્રયોગોમાં, વ્યક્તિ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર કરે છે અને ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતાને સુધારે છે (અને ફર્મી ઊર્જાને નહીં!) અથવા ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતામાં ફેરફાર કરે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને સુધારે છે. બંને કિસ્સાઓ ભરણ પરિબળની સતત વિવિધતાને અનુરૂપ છે અને કોઈ પણ પૂર્ણાંક હોવાની અપેક્ષા રાખી શકતું નથી. કારણ કે, ચુંબકીય ક્ષેત્રને વધારીને, લાન્દાઉનું સ્તર ઊર્જામાં વધે છે અને દરેક સ્તરમાં સ્થિતિઓની સંખ્યા વધે છે, તેથી જ્યાં સુધી તે ખાલી ન થાય ત્યાં સુધી ઓછા ઇલેક્ટ્રોન ટોચના સ્તર પર કબજો કરે છે. જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધતું રહેશે, તો આખરે, બધા ઇલેક્ટ્રોન સૌથી નીચા લાન્દાઉ સ્તર () માં હશે અને તેને ચુંબકીય ક્વોન્ટમ મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. અનુદૈર્ધ્ય પ્રતિરોધકતા ભરણ પરિબળને પ્રતિરોધકતા સાથે અને તેથી, પ્રણાલીની વાહકતા સાથે સંબંધિત કરવું શક્ય છે. જ્યારે પૂર્ણાંક હોય, ત્યારે ફર્મિ ઊર્જા લાન્દાઉ સ્તરો વચ્ચે હોય છે જ્યાં વાહકો માટે કોઈ સ્થિતિ ઉપલબ્ધ નથી, તેથી વાહકતા શૂન્ય બની જાય છે (એવું માનવામાં આવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એટલું મોટું છે કે જેથી લાન્દાઉ સ્તરો વચ્ચે કોઈ ઓવરલેપ ન થાય, અન્યથા ત્યાં થોડા ઇલેક્ટ્રોન હશે અને વાહકતા આશરે હશે). પરિણામે, પ્રતિકારકતા પણ શૂન્ય થઈ જાય છે (ખૂબ ઊંચા ચુંબકીય ક્ષેત્રો પર તે સાબિત થાય છે કે સમાંતર વાહકતા અને પ્રતિરોધકતા પ્રમાણસર છે). વાહકતા સાથે કોઈ વ્યક્તિ શોધે છે કે જો રેખાંશ પ્રતિકારકતા શૂન્ય હોય અને પારગમન મર્યાદિત હોય, તો. આમ, સમાંતર વાહકતા અને પ્રતિરોધકતા બંને શૂન્ય બની જાય છે. તેના બદલે, જ્યારે અર્ધ-પૂર્ણાંક હોય, ત્યારે ફર્મિ ઊર્જા અમુક લાન્દાઉ સ્તરના ઘનતા વિતરણની ટોચ પર સ્થિત હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે વાહકતા મહત્તમ હશે. લઘુત્તમ અને મહત્તમનું આ વિતરણ 'ક્વોન્ટમ ઓસિલેશન' ને અનુરૂપ છે જેને શુબનિકોવ-ડી હાસ ઓસિલેશન કહેવાય છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધવાની સાથે વધુ સુસંગત બને છે. દેખીતી રીતે, જેમ જેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે તેમ તેમ શિખરોની ઊંચાઈ મોટી હોય છે કારણ કે ક્ષેત્ર સાથે સ્થિતિઓની ઘનતા વધે છે, તેથી ત્યાં વધુ વાહકો છે જે પ્રતિકારકતામાં ફાળો આપે છે. તે નોંધવું રસપ્રદ છે કે જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર ખૂબ નાનું હોય, તો સમાંતર પ્રતિકારકતા સતત હોય છે, જેનો અર્થ છે કે શાસ્ત્રીય પરિણામ પ્રાપ્ત થઈ ગયું છે. ત્રાંસા પ્રતિરોધકતા ત્રાંસા પ્રતિરોધકતા અને અવેજીના શાસ્ત્રીય સંબંધમાંથી વ્યક્તિ ત્રાંસા પ્રતિરોધકતા અને વાહકતાની માત્રાત્મકતા શોધી કાઢે છેઃ એક પછી નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે, જો ભરણ પરિબળ એક પૂર્ણાંક હોય તો ત્રાંસા પ્રતિરોધકતા કહેવાતા વાહકતા ક્વોન્ટમના વ્યુત્ક્રમનો ગુણાંક છે. જોકે, પ્રયોગોમાં, ભરવાના મૂલ્યોના આખા ઉચ્ચપ્રદેશો માટે પઠારો જોવા મળે છે, જે સૂચવે છે કે હકીકતમાં લાન્દાઉ સ્તરો વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ છે. આ સ્થિતિઓ સ્થાનિક છે, ઉદાહરણ તરીકે, પદાર્થની અશુદ્ધિઓ જ્યાં તેઓ ભ્રમણકક્ષામાં ફસાયેલા હોય છે જેથી તેઓ વાહકતામાં ફાળો આપી શકતા નથી. તેથી જ લાન્દાઉ સ્તરો વચ્ચે પ્રતિકારકતા સ્થિર રહે છે. ફરીથી જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે, તો વ્યક્તિને શાસ્ત્રીય પરિણામ મળે છે જેમાં પ્રતિકારકતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રમાણમાં હોય છે. ફોટોનિક ક્વોન્ટમ હોલ અસર ક્વોન્ટમ હોલ અસર, દ્વિ-પરિમાણીય ઇલેક્ટ્રોન પ્રણાલીઓમાં જોવા ઉપરાંત, ફોટોનમાં જોઇ શકાય છે. ફોટોન અંતર્ગત વિદ્યુત ચાર્જ ધરાવતા નથી, પરંતુ અલગ ઓપ્ટિકલ રેઝોનેટર અને કપલિંગ તબક્કાઓ અથવા સ્થળ પરના તબક્કાઓના હેરફેર દ્વારા, કૃત્રિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવી શકાય છે. આ પ્રક્રિયાને બહુવિધ અરીસાઓ વચ્ચે ઉછળતા ફોટોનના રૂપક દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. બહુવિધ અરીસાઓ પર પ્રકાશને શૂટ કરીને, ફોટોનને રૂટ કરવામાં આવે છે અને તેમના કોણીય વેગના પ્રમાણમાં વધારાના તબક્કા મેળવે છે. આ એક અસર પેદા કરે છે જેમ કે તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં છે. હોલ અસરમાં દેખાતા પૂર્ણાંકો ટોપોલોજીકલ ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે. તેઓ ગણિતમાં પ્રથમ ચેરન સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે અને બેરીના તબક્કા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આ સંદર્ભમાં ખૂબ જ રસ ધરાવતું એક નોંધપાત્ર મોડેલ એઝબેલ-હાર્પર-હોફસ્ટેડટર મોડેલ છે, જેની ક્વોન્ટમ તબક્કાની આકૃતિ આકૃતિમાં બતાવેલ હોફસ્ટેડટર બટરફ્લાય છે. ઊભી અક્ષ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત છે અને આડી અક્ષ એ રાસાયણિક સંભવિતતા છે, જે ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતાને સુધારે છે. રંગો પૂર્ણાંક હોલ કંડક્ટન્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ગરમ રંગો હકારાત્મક પૂર્ણાંકો અને ઠંડા રંગો નકારાત્મક પૂર્ણાંકો દર્શાવે છે. જો કે, નોંધ લો કે ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોલ કંડક્ટન્સના આ પ્રદેશોમાં સ્થિતિઓની ઘનતા શૂન્ય છે; તેથી, તેઓ પ્રયોગોમાં જોવા મળતા પઠારો ઉત્પન્ન કરી શકતા નથી. તબક્કાની આકૃતિ ફ્રેક્ટલ છે અને તમામ સ્કેલ પર માળખું ધરાવે છે. આકૃતિમાં એક સ્પષ્ટ સ્વ-સમાનતા છે. અવ્યવસ્થાની હાજરીમાં, જે પ્રયોગોમાં જોવા મળતા પઠારોના સ્ત્રોત છે, આ આકૃતિ ખૂબ જ અલગ છે અને અસ્થિભંગ માળખું મોટે ભાગે ધોવાઇ જાય છે. ઉપરાંત, પ્રયોગો ફર્મિ ઊર્જાને બદલે ભરણ પરિબળને નિયંત્રિત કરે છે. જો આ આકૃતિને ભરણ પરિબળના કાર્ય તરીકે આલેખિત કરવામાં આવે, તો તમામ સુવિધાઓ સંપૂર્ણપણે દૂર થઈ જાય છે, તેથી, તેનો વાસ્તવિક હોલ ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે બહુ ઓછો સંબંધ છે. ભૌતિક પદ્ધતિઓ, અશુદ્ધિઓ અને/અથવા ચોક્કસ સ્થિતિઓ (દા. ત., ધાર પ્રવાહો) 'પૂર્ણાંક' અને 'અપૂર્ણાંક' અસરો બંને માટે મહત્વપૂર્ણ છે. વધુમાં, અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસરમાં કૂલમ્બ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પણ જરૂરી છે. પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસરો વચ્ચેની અવલોકન કરાયેલી મજબૂત સમાનતાને ઇલેક્ટ્રોનની સમ સંખ્યામાં ચુંબકીય પ્રવાહ ક્વોન્ટા સાથે બંધાયેલ સ્થિતિઓ બનાવવાની વૃત્તિ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, જેને સંયુક્ત ફર્મિઓન કહેવાય છે. વોન ક્લિટ્ઝિંગ અચળાંકનું બોહર અણુ અર્થઘટન વોન ક્લિટ્ઝિંગ અચળાંકનું મૂલ્ય બોહર નમૂનાની અંદર એક અણુના સ્તર પર પહેલેથી જ મેળવી શકાય છે જ્યારે તેને એક-ઇલેક્ટ્રોન હોલ અસર તરીકે જોવામાં આવે છે. જ્યારે ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા પર સાયક્લોટ્રોન ગતિ દરમિયાન કેન્દ્રત્યાગી બળને અનુપ્રસ્થ પ્રેરિત વોલ્ટેજ અને હોલ અસર માટે જવાબદાર લોરેન્ટ્ઝ બળ દ્વારા સંતુલિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈ બોહર અણુમાં કુલમ્બ સંભવિત તફાવતને પ્રેરિત એક અણુ હોલ વોલ્ટેજ તરીકે અને વર્તુળ પર સામયિક ઇલેક્ટ્રોન ગતિને હોલ પ્રવાહ તરીકે જોઈ શકે છે. એકલ અણુ હોલ પ્રવાહને એક જ ઇલેક્ટ્રોન ચાર્જના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાથી કેપ્લરમાં કોણીય આવર્તન અને પ્રેરિત હોલ વોલ્ટેજ સાથે પરિભ્રમણ થાય છે, જે ઇલેક્ટ્રોન ભ્રમણકક્ષાના બિંદુ પર અને અનંત પર હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ કુલમ્બ પોટેન્શિયલ વચ્ચેના તફાવત તરીકે છેઃ વોન ક્લિટ્ઝિંગ અચળાંકના પગલાંઓમાં વ્યાખ્યાયિત બોહર ઓર્બિટ હોલ પ્રતિકારનું પરિમાણ પ્રાપ્ત થાય છે, જે બોહર અણુ માટે રેખીય હોય છે પરંતુ પૂર્ણાંક n માં વ્યસ્ત નથી. સાપેક્ષ એનાલોગ પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર અને ક્વોન્ટમ સ્પિન હોલ અસરના સાપેક્ષ ઉદાહરણો લેટીસ ગેજ સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં ઉદ્ભવે છે. આ પણ જુઓ ક્વોન્ટમ હોલ સંક્રમણો અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ અસર ક્વોન્ટમ વિસંગત હોલ અસર ક્વોન્ટમ સેલ્યુલર ઓટોમેટા સંયુક્ત ફર્મિઓન્સ કંડક્ટન્સ ક્વોન્ટમ હોલ અસર હોલ પ્રોબ ગ્રેફીન ક્વોન્ટમ સ્પિન હોલ અસર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં જડિત બે વર્તમાન લૂપ્સ વચ્ચે કુલમ્બ પોટેન્શિયલ સંદર્ભો ક્વોન્ટમ હોલ અસરના 25 વર્ષ, કે. વોન ક્લિટ્ઝિંગ, પોઇનકેરે સેમિનાર (પેરિસ-2004). પોસ્ટસ્ક્રિપ્ટ. પીડીએફ. મેગ્નેટ લેબ પ્રેસ રીલીઝ ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ ઓરડાના તાપમાન પર અવલોકન ઝ્યુન એફ. એઝાવાઃ ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ્સ-ક્ષેત્ર સૈદ્ધાંતિક અભિગમ અને સંબંધિત વિષયો. વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક, સિંગાપોર 2008, શંકર ડી. સરમા, એરોન પિનઝુકઃ પર્સ્પેક્ટિવ્સ ઇન ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ્સ. વિલી-વી. સી. એચ., વેઇનહેમ 2004, ઇ. આઇ. રશ્બા અને વી. બી. ટિમોફીવ, ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ, સોવ. ફિઝ. - સેમિકન્ડક્ટર્સ વિ. 20, પીપી. 617-647 (1986). હોલ ઇફેક્ટ કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સ ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોનિક્સ સ્પિન્ટ્રોનિક્સ ક્વોન્ટમ ફેઝ મેસોસ્કોપિક ફિઝિક્સ વીડિયો ક્લિપ્સ ધરાવતા લેખો 1980 માં વિજ્ઞાનમાં