Taylor's theorem
કલનશાસ્ત્રમાં, ટેલરનો પ્રમેય ડિગ્રીની બહુપદી દ્વારા આપેલ બિંદુની આસપાસ-ગુણ્યા વિકલનક્ષમ વિધેયનો અંદાજ આપે છે, જેને-th-ક્રમ ટેલર બહુપદી કહેવાય છે. સરળ કાર્ય માટે, ટેલર બહુપદી એ કાર્યની ટેલર શ્રેણીના ક્રમમાં કાપણી છે. પ્રથમ ક્રમની ટેલર બહુપદી એ કાર્યનું રેખીય અંદાજ છે, અને બીજા ક્રમની ટેલર બહુપદીને ઘણીવાર દ્વિઘાત અંદાજ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ટેલરના પ્રમેયની ઘણી આવૃત્તિઓ છે, જેમાંથી કેટલીક તેના ટેલર બહુપદી દ્વારા કાર્યની અંદાજિત ભૂલનો સ્પષ્ટ અંદાજ આપે છે. ટેલરના પ્રમેયને ગણિતશાસ્ત્રી બ્રુક ટેલરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1715માં તેનું એક સંસ્કરણ રજૂ કર્યું હતું, જોકે પરિણામની અગાઉની આવૃત્તિ જેમ્સ ગ્રેગરી દ્વારા 1671માં પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત કરવામાં આવી હતી. ટેલરનો પ્રમેય પ્રારંભિક-સ્તરના કલન અભ્યાસક્રમોમાં શીખવવામાં આવે છે અને તે ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં કેન્દ્રિય પ્રાથમિક સાધનોમાંનું એક છે. તે ઘાતાંકીય કાર્ય અને ત્રિકોણમિતીય કાર્યો જેવા ઘણા દિવ્ય કાર્યોના મૂલ્યોની સચોટ ગણતરી કરવા માટે સરળ અંકગણિત સૂત્રો આપે છે. તે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના અભ્યાસનું પ્રારંભિક બિંદુ છે, અને ગણિતના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં તેમજ સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં મૂળભૂત છે. ટેલરનો પ્રમેય મલ્ટિવેરિયેટ અને વેક્ટર વેલ્યુડ ફંક્શન્સને પણ સામાન્ય બનાવે છે. પ્રેરણા જો વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય બિંદુ પર વિકલનક્ષમ હોય, તો તે આ બિંદુની નજીક રેખીય અંદાજ ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એક કાર્ય h1 (x) અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે અહીં બિંદુ a ની નજીક x માટે રેખીય અંદાજ છે, જેનો આલેખ ગ્રાફની સ્પર્શક રેખા છે. અંદાજમાં ભૂલ છેઃ જેમ કે x એ તરફ વલણ ધરાવે છે, આ ભૂલ શૂન્ય પર ઘણી ઝડપથી જાય છે, જે ઉપયોગી અંદાજ બનાવે છે. વધુ સારા અંદાજ માટે, આપણે રેખીય વિધેયને બદલે દ્વિઘાત બહુપદીને ફિટ કરી શકીએ છીએઃ ફક્ત એક વ્યુત્પન્ન સાથે મેળ ખાવાને બદલે, આ બહુપદીમાં સમાન પ્રથમ અને બીજા વ્યુત્પન્ન હોય છે, જે તફાવત પર સ્પષ્ટ થાય છે. ટેલરનો પ્રમેય એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે પર્યાપ્ત નાના પડોશમાં વર્ગાત્મક અંદાજ, રેખીય અંદાજ કરતાં વધુ સચોટ છે. ખાસ કરીને, અહીં અંદાજમાં ભૂલ એ છે કે, જેની મર્યાદિત વર્તણૂકને જોતાં, x એ a તરફ વલણ ધરાવે છે તેના કરતા વધુ ઝડપથી શૂન્ય પર જાય છે. તેવી જ રીતે, જો આપણે ઉચ્ચ ડિગ્રીની બહુપદીઓનો ઉપયોગ કરીએ તો આપણે f માટે વધુ સારા અંદાજો મેળવી શકીએ છીએ, ત્યારથી આપણે પસંદ કરેલા આધાર બિંદુ પર f સાથે વધુ ડેરિવેટિવ્ઝનો મેળ કરી શકીએ છીએ. સામાન્ય રીતે, ડિગ્રી k ની બહુપદી દ્વારા કાર્યને અંદાજિત કરવામાં ભૂલ x એ a તરફ વલણ ધરાવે છે તેના કરતા ઘણી ઝડપથી શૂન્ય પર જશે. જો કે, એવા વિધેયો પણ છે, જે અનંત રીતે વિભેદક પણ છે, જેના માટે અંદાજિત બહુપદીની માત્રામાં વધારો કરવાથી અંદાજની ચોકસાઈમાં વધારો થતો નથીઃ આપણે કહીએ છીએ કે આવા વિધેય x = a પર વિશ્લેષણાત્મક બનવામાં નિષ્ફળ જાય છેઃ તે (સ્થાનિક રીતે) આ બિંદુએ તેના વ્યુત્પન્ન દ્વારા નિર્ધારિત થતું નથી. ટેલરનો પ્રમેય એસિમ્પ્ટોટિક પ્રકૃતિનો છેઃ તે ફક્ત આપણને કહે છે કે a-th ક્રમ ટેલર બહુપદી Pk દ્વારા અંદાજમાં ભૂલ કોઈપણ બિન-શૂન્ય-th ડિગ્રી બહુપદી કરતાં વધુ ઝડપથી શૂન્ય તરફ વળે છે. તે આપણને વિસ્તરણના કેન્દ્રના કોઈ પણ નક્કર પડોશમાં ભૂલ કેટલી મોટી છે તે કહેતું નથી, પરંતુ આ હેતુ માટે બાકીની મુદત (નીચે આપેલ) માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો છે જે f પર કેટલીક વધારાની નિયમિત ધારણાઓ હેઠળ માન્ય છે. ટેલરના પ્રમેયની આ ઉન્નત આવૃત્તિઓ સામાન્ય રીતે વિસ્તરણના કેન્દ્રના નાના પડોશમાં અંદાજિત ભૂલ માટે સમાન અંદાજ તરફ દોરી જાય છે, પરંતુ અંદાજો ખૂબ મોટા પડોશ માટે જરૂરી નથી, ભલે કાર્ય f વિશ્લેષણાત્મક હોય. તે પરિસ્થિતિમાં મૂળ કાર્યની વિશ્વસનીય ટેલર-નિકટતા મેળવવા માટે વિસ્તરણના વિવિધ કેન્દ્રો સાથે કેટલીક ટેલર બહુપદીઓ પસંદ કરવી પડી શકે છે (જમણી બાજુએ એનિમેશન જુઓ.) આપણે બાકીની મુદતનો ઉપયોગ કરવાની ઘણી રીતો છેઃ આપેલ અંતરાલ (a-r, a + r) પર અંદાજ લગાવતા ડિગ્રી k ના બહુપદી Pk (x) માટે ભૂલનો અંદાજ કાઢો. (અંતરાલ અને ડિગ્રી જોતાં, આપણે ભૂલ શોધીએ છીએ.) સૌથી નાની ડિગ્રી k શોધો કે જેના માટે બહુપદી Pk (x) આપેલ અંતરાલ (a − r, a + r) પર આપેલ ભૂલ સહનશીલતાની અંદર અંદાજિત થાય છે. (અંતરાલ અને ભૂલ સહનશીલતાને જોતાં, આપણે ડિગ્રી શોધીએ છીએ.) સૌથી મોટો અંતરાલ (a − r, a + r) શોધો કે જેના પર Pk (x) આપેલ ભૂલ સહનશીલતાની અંદર અંદાજિત થાય છે. (ડિગ્રી અને ભૂલ સહનશીલતાને જોતાં, આપણે અંતરાલ શોધીએ છીએ.) ટેલરના પ્રમેયના સૌથી મૂળભૂત સંસ્કરણનું ચોક્કસ નિવેદન નીચે મુજબ છેઃ ટેલરના પ્રમેયમાં દેખાતી બહુપદી એ a બિંદુ પર f વિધેયની-th ક્રમની ટેલર બહુપદી છે. ટેલર બહુપદી એ એ અર્થમાં અનન્ય "એસિમ્પ્ટોટિક બેસ્ટ ફિટ" બહુપદી છે કે જો ત્યાં કોઈ વિધેય અને a-th ક્રમ બહુપદી p અસ્તિત્વમાં હોય તો p = Pk. ટેલરનો પ્રમેય બાકીની મુદતની એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે જે તેની ટેલર બહુપદી સાથે f નો અંદાજ કાઢતી વખતે અંદાજિત ભૂલ છે. લિટલ-ઓ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, ટેલરના પ્રમેયમાં નિવેદન બાકીના માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો તરીકે વાંચે છે f પર મજબૂત નિયમિતતા ધારણાઓ હેઠળ ટેલર બહુપદીના બાકીના પદ Rk માટે ઘણા ચોક્કસ સૂત્રો છે, જેમાં સૌથી સામાન્ય નીચેના છે. ટેલરના પ્રમેયની આ સુધારાઓ સામાન્ય રીતે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત થાય છે, જ્યાંથી નામ આવ્યું છે. વધુમાં, નોંધ લો કે જ્યારે આ ચોક્કસપણે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય છે. અન્ય સમાન અભિવ્યક્તિઓ પણ મળી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો G (t) બંધ અંતરાલ પર સતત હોય અને અને વચ્ચેના ખુલ્લા અંતરાલ પર બિન-લુપ્ત વ્યુત્પન્ન સાથે વિકલનક્ષમ હોય, તો પછી અને વચ્ચેની કેટલીક સંખ્યા માટે. આ સંસ્કરણ બાકીના લેગ્રેન્જ અને કોચી સ્વરૂપોને વિશેષ કિસ્સાઓ તરીકે આવરી લે છે, અને કોચીના સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને નીચે સાબિત થાય છે. લેગ્રેન્જ સ્વરૂપ લઈને મેળવવામાં આવે છે અને કોચી સ્વરૂપ લઈને મેળવવામાં આવે છે. બાકીના અભિન્ન સ્વરૂપ માટેનું નિવેદન અગાઉના કરતાં વધુ અદ્યતન છે, અને સંપૂર્ણ વ્યાપકતા માટે લેબસ્ગ્યુ એકીકરણ સિદ્ધાંતની સમજણ જરૂરી છે. જો કે, તે રીમાન ઇન્ટિગ્રલના અર્થમાં પણ ધરાવે છે, જો કે બંધ અંતરાલ [a, x] પર f નું (k + 1) મી વ્યુત્પન્ન સતત હોય. અને વચ્ચેના બંધ અંતરાલ પર f ની સંપૂર્ણ સાતત્યતાને કારણે, તેનું વ્યુત્પન્ન f એ L-વિધેય તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને પરિણામને કલન અને ભાગો દ્વારા એકીકરણના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક ગણતરી દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. બાકીના માટેના અંદાજો તે માટે ચોક્કસ સૂત્ર રાખવાને બદલે ટેલર અંદાજમાં દેખાતા બાકીના શબ્દનો અંદાજ કાઢવા માટે વ્યવહારમાં ઘણીવાર ઉપયોગી છે. ધારો કે f એ a ધરાવતા અંતરાલ I માં-વખત સતત વિકલનક્ષમ છે. ધારો કે ત્યાં વાસ્તવિક અચળાંકો q અને Q છે જેમ કે સમગ્ર I માં. પછી બાકીની મુદત અસમાનતાને સંતોષે છે જો, અને સમાન અંદાજ જો. બાકીના લેગ્રેન્જ સ્વરૂપનું આ એક સરળ પરિણામ છે. બીજી અસમાનતાને એક સમાન અંદાજ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે અંતરાલ પરના તમામ x માટે સમાન રીતે ધરાવે છે ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે આપણે અંતરાલ પર વિધેયનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે ખાતરી કરીએ કે અંદાજમાં ભૂલ 10−5 થી વધુ નથી. આ ઉદાહરણમાં આપણે ઢોંગ કરીએ છીએ કે આપણે ફક્ત ઘાતાંકીય વિધેયના નીચેના ગુણધર્મો જ જાણી શકીએ છીએઃ આ ગુણધર્મોમાંથી તે બધા માટે, અને ખાસ કરીને, તેને અનુસરે છે. તેથી એટની-th ક્રમની ટેલર બહુપદી અને લેગ્રેન્જ સ્વરૂપમાં તેની બાકીની મુદત 0 અને x વચ્ચેની કોઈ સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે ex એ () દ્વારા વધી રહ્યું છે, આપણે ફક્ત પેટા અંતરાલ પર બાકીનો અંદાજ કાઢવા માટે વાપરી શકીએ છીએ. બાકીની ઉપરની સીમા મેળવવા માટે, આપણે બીજા ક્રમના ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ લગાવવા માટે મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પછી આપણે ફક્ત અંશને મહત્તમ કરીને અને છેદને ન્યૂનતમ કરીને તે તારણ કાઢવા માટે ex માટે હલ કરીએ છીએ. એક્સ માટે આ અંદાજોને જોડીને આપણે જોઈએ છીએ કે તેથી જરૂરી ચોકસાઇ ચોક્કસપણે પહોંચી જાય છે, જ્યારે (ફેક્ટોરિયલ જુઓ અથવા હાથથી મૂલ્યોની ગણતરી કરો અને.) એક નિષ્કર્ષ તરીકે, ટેલરનો પ્રમેય અંદાજ તરફ દોરી જાય છે. દાખલા તરીકે, આ અંદાજ દશાંશ અભિવ્યક્તિ પ્રદાન કરે છે, જે પાંચ દશાંશ સ્થાનો સુધી સાચું છે. વિશ્લેષણાત્મકતા સાથેનો સંબંધ વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના ટેલર વિસ્તરણ ચાલો IR એ એક ખુલ્લું અંતરાલ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, જો તે સ્થાનિક રીતે કન્વર્જન્ટ પાવર સિરીઝ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો ફંક્શન f: I → R વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક a ω I માટે કેટલાક r> 0 અને ગુણાંક ck ω R નો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે અને સામાન્ય રીતે, શક્તિ શ્રેણીના અભિસરણની ત્રિજ્યાની ગણતરી કૌચી-હેડમર્ડ સૂત્રમાંથી કરી શકાય છે આ પરિણામ ભૌમિતિક શ્રેણી સાથે સરખામણી પર આધારિત છે, અને તે જ પદ્ધતિ દર્શાવે છે કે જો શક્તિ શ્રેણી અમુક b ω R માટે અભિસરણ પર આધારિત હોય, તો તે બંધ અંતરાલ પર સમાન રીતે એકરૂપ થવી જોઈએ, જ્યાં. અહીં માત્ર પાવર સિરીઝના કન્વર્જન્સને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અને તે સારી રીતે તે હોઈ શકે છે કે જે f ના ડોમેન I ની બહાર વિસ્તરે છે. a પર વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય f ની ટેલર બહુપદીઓ ફક્ત તેની સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત પાવર સિરીઝના મર્યાદિત કાપ છે, અને અનુરૂપ બાકીની શરતો સ્થાનિક રીતે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે I અને r <R, આ બધી શ્રેણીઓ એકસરખી રીતે જોડાય છે. સ્વાભાવિક રીતે, વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના કિસ્સામાં વિસ્તરણના કેન્દ્રમાં વ્યુત્પન્ન f′ (a) ના ક્રમની પૂંછડી દ્વારા બાકીની મુદતનો અંદાજ લગાવી શકાય છે, પરંતુ જટિલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને પણ બીજી શક્યતા ઊભી થાય છે, જે નીચે વર્ણવેલ છે. ટેલરનો પ્રમેય અને ટેલર શ્રેણીનું અભિસરણ f ની ટેલર શ્રેણી અમુક અંતરાલમાં એકરૂપ થશે જેમાં તેના તમામ વ્યુત્પન્ન બંધાયેલા હોય છે અને જેમ જેમ k અનંત તરફ જાય છે તેમ તેમ તે ખૂબ ઝડપથી વૃદ્ધિ પામતી નથી. (જો કે, ટેલર શ્રેણી એકરૂપ થાય તો પણ, તે નીચે વર્ણવ્યા મુજબ એફમાં એકરૂપ ન થઈ શકે; એફ પછી બિન-વિશ્લેષણાત્મક હોવાનું કહેવાય છે.) કોઈ વ્યક્તિ ટેલર શ્રેણીને અનંત રીતે ઘણી વખત વિકલનક્ષમ વિધેય f: R → R તરીકે તેના "અનંત ક્રમ ટેલર બહુપદી" તરીકે a પર વિચારી શકે છે. હવે શેષ માટેના અંદાજો સૂચવે છે કે જો, કોઈપણ r માટે, f ના વ્યુત્પન્ન (a − r, a + r) પર બંધાયેલા હોવાનું જાણીતું હોય, તો કોઈપણ ક્રમ k માટે અને કોઈપણ r> 0 માટે એક અચળાંક અસ્તિત્વમાં છે જે દરેક x ω (a − r, a + r) માટે હોય છે. કેટલીકવાર સ્થિરાંકોને એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે જે નિશ્ચિત r અને બધા k માટે ઉપર બંધાયેલ હોય. પછી f ની ટેલર શ્રેણી કોઈ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યમાં સમાન રીતે એકરૂપ થાય છે (જ્યાં સુધી તે ધીમે ધીમે વધે ત્યાં સુધી ઉપર બંધાયેલ ન હોય તો પણ એકને અભિસરણ મળે છે.) મર્યાદા કાર્ય વ્યાખ્યા દ્વારા હંમેશા વિશ્લેષણાત્મક હોય છે, પરંતુ તે મૂળ કાર્ય f ની બરાબર હોવું જરૂરી નથી, ભલે f અનંત રીતે વિકલનક્ષમ હોય. આ કિસ્સામાં, આપણે કહીએ છીએ કે f એ બિન-વિશ્લેષણાત્મક સરળ કાર્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે એક સપાટ કાર્યઃ ગાણિતિક પ્રેરણ દ્વારા વારંવાર સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ ક્રમ k માટે, ડિગ્રી 2 (k−1) ના કેટલાક બહુપદી pk માટે દર્શાવે છે. ફંક્શન કોઈપણ બહુપદી કરતાં વધુ ઝડપથી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, તેથી f અનંત રીતે ઘણી વખત વિકલનક્ષમ છે અને દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક k માટે. ઉપરોક્ત તમામ પરિણામો આ કિસ્સામાં ધરાવે છેઃ f ની ટેલર શ્રેણી શૂન્ય ફંક્શન Tf (x) = 0 માં સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે, જે શૂન્ય સમાન તમામ ગુણાંક સાથે વિશ્લેષણાત્મક છે. કાર્ય f આ ટેલર શ્રેણી માટે અસમાન છે, અને તેથી બિન-વિશ્લેષણાત્મક છે. કોઈપણ ક્રમ k ω N અને ત્રિજ્યા r> 0 માટે Mk અસ્તિત્વમાં છે, r> 0 ઉપરની બાકીની બાઉન્ડ () ને સંતોષે છે. જો કે, જેમ જેમ નિશ્ચિત r માટે k વધે છે, Mk, r નું મૂલ્ય rk કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે, અને ભૂલ શૂન્ય પર જતી નથી. જટિલ વિશ્લેષણમાં ટેલરના પ્રમેયમાં ટેલરના પ્રમેયને f: C → C વિધેયોમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, જે જટિલ સમતલના ખુલ્લા ઉપગણમાં જટિલ વિકલનક્ષમ હોય છે. જો કે, તેની ઉપયોગીતા જટિલ વિશ્લેષણમાં અન્ય સામાન્ય પ્રમેયો દ્વારા ઓછી કરવામાં આવે છે. એટલે કે, કૌચીના અભિન્ન સૂત્રનો નીચે પ્રમાણે ઉપયોગ કરીને જટિલ વિભેદક વિધેયો f: U → C માટે સંબંધિત પરિણામોની મજબૂત આવૃત્તિઓ શોધી શકાય છે. ધારો કે r> 0 એ રીતે કે બંધ ડિસ્ક B (z, r) ≤S (z, r) U માં સમાયેલી હોય. પછી વર્તુળ S (z, r) ના હકારાત્મક પરિમાણ સાથે કૌચીનું અભિન્ન સૂત્ર આપે છે અહીં બધા સંકલન વર્તુળ S (z, r) પર સતત છે, જે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવતને ન્યાયી ઠેરવે છે. ખાસ કરીને, જો f એકવાર ઓપન સેટ U પર કોમ્પ્લેક્સ ડિફરન્શીયેબલ હોય, તો તે વાસ્તવમાં U પર અનંત રીતે ઘણી વખત કોમ્પ્લેક્સ ડિફરન્શીયેબલ છે. કોઈ પણ ઝેડ યુ અને આર> 0 માટે કોચીના અંદાજો પણ મેળવે છે જેમ કે બી (ઝેડ, આર) ≤ એસ (સી, આર) ≤ યુ. આ અંદાજો સૂચવે છે કે f ની જટિલ ટેલર શ્રેણી કોઈપણ ખુલ્લી ડિસ્ક પર કોઈક કાર્ય Tf સાથે સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. વધુમાં, વ્યુત્પન્ન f (c) માટે સમોચ્ચ અભિન્ન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તેથી ખુલ્લા સમૂહ U ઱્સીમાં કોઈપણ જટિલ વિકલનક્ષમ વિધેય f હકીકતમાં જટિલ વિશ્લેષણાત્મક છે. અહીં વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો માટે જે કહેવામાં આવે છે તે જટિલ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો માટે પણ લાગુ પડે છે જેમાં ખુલ્લા અંતરાલ I ને ખુલ્લા ઉપગણ U ωC દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને a-કેન્દ્રિત અંતરાલો (a − r, a + r) ને c-કેન્દ્રિત ડિસ્ક B (c, r) દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, ટેલર વિસ્તરણ એ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં બાકીનો શબ્દ આર. કે. જટિલ વિશ્લેષણાત્મક છે. જટિલ વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ ટેલર વિસ્તરણ સંબંધિત કેટલાક શક્તિશાળી પરિણામો પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ પણ હકારાત્મક લક્ષી જોર્ડન વળાંક માટે કાઉચીના અભિન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, જે કોઈ પ્રદેશની સીમાને પરિમાણ આપે છે, તે ઉપરોક્ત ડેરિવેટિવ્ઝ માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવે છે, અને ગણતરીમાં થોડો ફેરફાર કરીને, તે ચોક્કસ સૂત્ર પર પહોંચે છે. તેવી જ રીતે, કાઉચીના અંદાજોને બાકીના માટે શ્રેણી અભિવ્યક્તિ પર લાગુ કરવાથી, એક સમાન અંદાજ મળે છે ઉદાહરણ કાર્ય વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક છે, એટલે કે, સ્થાનિક રીતે તેની ટેલર શ્રેણી દ્વારા નક્કી થાય છે. આ કાર્ય એ હકીકતને સમજાવવા માટે ઉપર આલેખિત કરવામાં આવ્યું હતું કે વિસ્તરણના કેન્દ્રના પડોશમાં ટેલર બહુપદીઓ દ્વારા કેટલાક પ્રાથમિક કાર્યોનો અંદાજ લગાવી શકાતો નથી જે ખૂબ મોટા હોય છે. આ પ્રકારનું વર્તન જટિલ વિશ્લેષણના માળખામાં સરળતાથી સમજી શકાય છે. એટલે કે, ફંક્શન f કોમ્પેક્ટિફાઇડ કોમ્પ્લેક્સ પ્લેન પર મેરોમોર્ફિક ફંક્શનમાં વિસ્તરે છે. તેમાં અને પર સરળ ધ્રુવો છે, અને તે અન્યત્ર વિશ્લેષણાત્મક છે. હવે z0 પર કેન્દ્રિત તેની ટેલર શ્રેણી કોઈપણ ડિસ્ક B (z0, r) પર r <|z −z0 | સાથે એકરૂપ થાય છે, જ્યાં સમાન ટેલર શ્રેણી z ωC પર એકરૂપ થાય છે. આ જ કારણસર 1 પર કેન્દ્રિત f ની ટેલર શ્રેણી ચાલુ રહે છે અને કોઈપણ z ωC માટે તેની સાથે એકરૂપ થતી નથી. ટેલરના પ્રમેયની સામાન્યીકરણ ઉચ્ચ-ક્રમની વિભેદકતા એક વિધેય f: Rn → R એ ωRn પર વિભેદક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં એક રેખીય વિધેય L: Rn → R અને એક વિધેય h: Rn → R અસ્તિત્વમાં હોય કે જેથી જો આ કિસ્સો હોય, તો તે બિંદુ a પર f નો (અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત) વિભેદક છે. વધુમાં, પછી f ના પાર્શિયલ ડેરિવેટિવ્ઝ a પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને a પર f નો વિભેદક એ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો બધા-th ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ એટ પર સતત હોય, તો ક્લેરોટના પ્રમેય દ્વારા, a પર મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝના ક્રમમાં ફેરફાર કરી શકાય છે, તેથી આ પરિસ્થિતિમાં ઉચ્ચ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સંકેતો વાજબી છે. એ જ સાચું છે જો f ના તમામ (k−1)-th ક્રમના આંશિક વ્યુત્પન્ન a ના કેટલાક પડોશમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને a પર વિકલનક્ષમ હોય. પછી આપણે કહીએ છીએ કે f એ a બિંદુ પર k વખત વિકલનક્ષમ છે. મલ્ટિવેરિયેટ ફંક્શન્સ માટે ટેલરનો પ્રમેય અગાઉના વિભાગના સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને, એક પાસે નીચેનો પ્રમેય છે. જો કેટલાક માટે બંધ દડામાં વિધેય k + 1 વખત સતત વિકલનક્ષમ હોય, તો પછી આ પડોશમાં f ના ક્રમના આંશિક વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ બાકીના માટે ચોક્કસ સૂત્ર મેળવી શકાય છે. એટલે કે, આ કિસ્સામાં, કોમ્પેક્ટ સમૂહ B માં (k + 1)-th ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની સાતત્યતાને કારણે, વ્યક્તિ તરત જ સમાન અંદાજ મેળવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્મૂથ ફંક્શનની ત્રીજી ક્રમની ટેલર બહુપદી, એક વાસ્તવિક ચલમાં ટેલરના પ્રમેય માટે પુરાવો સૂચવે છે. નોંધ લો કે, દરેક માટે. તેથી અંશના પ્રથમ વ્યુત્પન્નમાંથી દરેક પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને છેદ માટે પણ આ જ સાચું છે. ઉપરાંત, કારણ કે શરત એ છે કે કાર્ય એક બિંદુ પર વખતમાં વિકલનક્ષમ હોય તે માટે કહેવાતા બિંદુના પડોશમાં ક્રમમાં વિકલનક્ષમતા જરૂરી છે (આ સાચું છે, કારણ કે વિકલનક્ષમતાને એક બિંદુના આખા પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે), અંશ અને તેના વ્યુત્પન્ન તેના પડોશમાં વિકલનક્ષમ છે. સ્પષ્ટપણે, છેદ પણ કહેવાતી શરતને સંતોષે છે, અને વધુમાં, જ્યાં સુધી એલ 'હોપિટાલના નિયમ માટે જરૂરી તમામ શરતો પૂર્ણ ન થાય ત્યાં સુધી તે અદૃશ્ય થઈ જતું નથી, અને તેનો ઉપયોગ વાજબી છે. તેથી જ્યાં બીજી-થી-છેલ્લી સમાનતા વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા દ્વારા અનુસરે છે. એક વાસ્તવિક ચલમાં ટેલરના પ્રમેય માટે વૈકલ્પિક પુરાવો ચાલો ટેલર બહુપદી દ્વારા અંદાજિત કોઈપણ વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન સતત વિધેય હોઈએ. પગલું 1: ચાલો અને કાર્યો બનો. પગલું 2: ગુણધર્મો અનેઃ એ જ રીતે, પગલું 3: કૌચી મીન વેલ્યુ થીયરમનો ઉપયોગ કરો ચાલો અને તેના પર કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન્સ બનો. ત્યારથી આપણે અંતરાલ સાથે કામ કરી શકીએ છીએ. ચાલો અને તેના પર વિભેદક બનો. બધા માટે ધારો. પછી એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે નોંધઃ અંદર અને તેથી કેટલાક માટે. આ કેટલાક માટે પણ કરી શકાય છેઃ આ ચાલુ રાખી શકાય છે. આ એક પાર્ટીશન આપે છેઃ સેટ સાથેઃ પગલું 4: પાવર રૂલ દ્વારા પાછું બદલો, પુનરાવર્તિત ડેરિવેટિવ્ઝ, તેથીઃ આ તરફ દોરી જાય છેઃ ફરીથી ગોઠવણી દ્વારા, આપણને મળે છેઃ અથવા કારણ કે આખરેઃ બાકીના સરેરાશ મૂલ્ય સ્વરૂપો માટે વ્યુત્પત્તિ G કોઈપણ વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્ય છે, જે અને વચ્ચેના બંધ અંતરાલ પર સતત અને અને અને વચ્ચેના ખુલ્લા અંતરાલ પર બિન-લુપ્ત વ્યુત્પન્ન સાથે અવકલનીય છે, અને માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પછી, કોચીના સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય દ્વારા, કેટલાક માટે અને વચ્ચેના ખુલ્લા અંતરાલ પર. નોંધ લો કે અહીં અંશ બરાબર ટેલર બહુપદીનો બાકીનો ભાગ છે. તેને () માં ગણતરી કરો અને તે શોધવા માટે શરતોને ફરીથી ગોઠવો કે આ ટેલરના પ્રમેયના વાસ્તવિક નિવેદન પછી ઉલ્લેખિત બાકીની મુદતનું સ્વરૂપ છે અને બાકીનું સરેરાશ મૂલ્ય સ્વરૂપમાં છે. બાકીનું લેગ્રેન્જ સ્વરૂપ પસંદ કરીને અને કોચી સ્વરૂપ પસંદ કરીને જોવા મળે છે. ટિપ્પણી કરો. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ વ્યક્તિ બાકીના અભિન્ન સ્વરૂપને પસંદ કરીને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકે છે પરંતુ સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયના ઉપયોગ માટે જરૂરી f માટેની આવશ્યકતાઓ ખૂબ જ મજબૂત છે, જો કોઈ વ્યક્તિ દાવો સાબિત કરવાનું લક્ષ્ય રાખે કે f માત્ર એકદમ સતત છે. જો કે, જો કોઈ લેબસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલને બદલે રીમાન ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરે છે, તો ધારણાઓને નબળી પાડી શકાતી નથી. બાકીના અભિન્ન સ્વરૂપ માટે વ્યુત્પત્તિ અને તેના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેના બંધ અંતરાલ પર સંપૂર્ણ સાતત્યને કારણે એક-કાર્ય તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને આપણે ભાગો દ્વારા કલન અને એકીકરણના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ જ પુરાવો રીમાન ઇન્ટિગ્રલ માટે લાગુ પડે છે, એમ ધારીને કે તે બંધ અંતરાલ પર સતત હોય છે અને અને વચ્ચેના ખુલ્લા અંતરાલ પર વિકલનક્ષમ હોય છે, અને આ સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે. કલનની મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે હવે આપણે ભાગો દ્વારા સંકલિત કરી શકીએ છીએ અને કલનની મૂળભૂત પ્રમેયનો ફરીથી ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ તે જોવા માટે કે જે કેસમાં અભિન્ન સ્વરૂપમાં શેષ સાથે બરાબર ટેલરની પ્રમેય છે. સામાન્ય નિવેદન ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીને સાબિત થાય છે. ધારો કે બાકીના પદને ભાગો દ્વારા સંકલિત કરીને આપણે આને સૂત્રમાં બદલવા પર પહોંચીએ છીએ તે દર્શાવે છે કે જો તે મૂલ્ય માટે ધરાવે છે, તો તે મૂલ્ય માટે પણ હોવું જોઈએ. તેથી, કારણ કે તે ધરાવે છે, તે દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે ધરાવે છે. બાકીની મલ્ટિવેરિયેટ ટેલર બહુપદીઓ માટે વ્યુત્પત્તિ આપણે વિશેષ કેસ સાબિત કરીએ છીએ, જ્યાં કેન્દ્ર સાથે કેટલાક બંધ બોલમાં ક્રમ સુધી સતત આંશિક વ્યુત્પત્તિ હોય છે. સાબિતીની વ્યૂહરચના એ છે કે ટેલરના પ્રમેયના એક-ચલ કેસને અને તેની નજીકના રેખા ખંડના પ્રતિબંધ પર લાગુ કરવો. આપણે કાર્ય માટે ટેલરના પ્રમેયના એક-ચલ સંસ્કરણને લાગુ કરીએ છીએઃ કેટલાક ચલ માટે સાંકળ નિયમ લાગુ કરવાથી મલ્ટીનોમિયલ ગુણાંક ક્યાં છે તે મળે છે. ત્યારથી, આપણને મળે છેઃ ફૂટનોટ્સ સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . . . . . . . . બાહ્ય કડીઓ ટેલર સિરીઝ એપ્રોક્સીમેશન ટુ કોસાઈન એટ કટ-ધ-ગાંઠ ટ્રિગોનોમેટ્રિક ટેલર એક્સપેંશન ઇન્ટરેક્ટિવ ડેમોનસ્ટ્રેટિવ એપ્લેટ ટેલર સિરીઝ રિવિઝીટેડ એટ હોલિસ્ટિક ન્યુમેરિકલ મેથડ્સ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ વાસ્તવિક વિશ્લેષણ એપ્રોક્સીમેશન્સમાં કલન પ્રમેયમાં સિદ્ધાંતો ધરાવતા લેખો