Complete measure
ગણિતમાં, સંપૂર્ણ માપ (અથવા, વધુ ચોક્કસપણે, સંપૂર્ણ માપ જગ્યા) એ એક માપ જગ્યા છે જેમાં દરેક નલ સમૂહનો દરેક સબસેટ માપી શકાય છે (માપ શૂન્ય હોય છે). વધુ ઔપચારિક રીતે, એક માપ જગ્યા (X, ‡, μ) પૂર્ણ થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ પ્રેરણા સંપૂર્ણતાના પ્રશ્નોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂરિયાત ઉત્પાદન જગ્યાઓની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈને સચિત્ર કરી શકાય છે. ધારો કે આપણે વાસ્તવિક રેખા પર પહેલેથી જ લેબસ્ગ્યુ માપનું નિર્માણ કર્યું છેઃ આ માપની જગ્યાને સૂચવો. નિષ્કપટ રીતે, આપણે-બીજગણિતને સૌથી નાનું-બીજગણિત તરીકે લઈશું જેમાં તમામ માપી શકાય તેવા "લંબચોરસ" હોય છે. દરેક સિંગલટન સમૂહમાં એક-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય હોય છે, જો કે, ધારો કે તે વાસ્તવિક રેખાનું બિન-માપી શકાય તેવું સબસેટ છે, જેમ કે વિટાલી સમૂહ. પછી-માપ વ્યાખ્યાયિત નથી પરંતુ અને આ મોટા સમૂહમાં-માપ શૂન્ય છે. તેથી આ "દ્વિ-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપ" જે હમણાં જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે તે પૂર્ણ નથી, અને અમુક પ્રકારની પૂર્ણ પ્રક્રિયા જરૂરી છે. સંપૂર્ણ માપની રચના એક (સંભવતઃ અપૂર્ણ) માપ જગ્યા (X, β, μ) આપવામાં આવે તો, આ માપ જગ્યાનું એક વિસ્તરણ (X, β, β) છે જે પૂર્ણ છે. આ પ્રકારનું સૌથી નાનું વિસ્તરણ (એટલે કે. સૌથી નાનું σ-બીજગણિત (બીજગણિત) ને માપન અવકાશની પૂર્ણતા કહેવામાં આવે છે. પૂર્ણતાને નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છેઃ ચાલો Z એ X ના શૂન્ય-μ-માપ ઉપગણના તમામ ઉપગણોનો સમૂહ છે (સાહજિક રીતે, Z ના તે ઘટકો કે જે પહેલેથી જ σ માં નથી, તે સંપૂર્ણતાને સાચું પકડવાથી અટકાવે છે); ચાલો σ0 એ σ અને Z દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ σ-બીજગણિત છે (એટલે કે. સૌથી નાનું σ-બીજગણિત જેમાં β અને Z નું દરેક તત્વ હોય છે; μ નું વિસ્તરણ μ0 થી β છે (જે અનન્ય છે જો μ એ β-અનંત હોય તો), જેને μ નું બાહ્ય માપ કહેવામાં આવે છે, જે અનંત દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત રચનામાં એવું દર્શાવી શકાય છે કે દરેક સભ્ય એ. બી. સ્વરૂપમાં કેટલાક એ. એસ. એસ. અને કેટલાક બી. એસ. માટે છે, અને ઉદાહરણ તરીકે બોરેલ માપ વાસ્તવિક રેખાના ખુલ્લા અંતરાલો દ્વારા પેદા થયેલ બોરેલ σ-બીજગણિત પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે તે પૂર્ણ નથી, અને તેથી ઉપરોક્ત પૂર્ણતાની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ સંપૂર્ણ લેબસ્ગ માપને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થવો જોઈએ. આ હકીકત એ હકીકત દ્વારા સચિત્ર છે કે વાસ્તવિક પર તમામ બોરેલ સેટનો સમૂહ વાસ્તવિક તરીકે સમાન કાર્ડિનાલિટી ધરાવે છે. જ્યારે કેન્ટોર સેટ બોરેલ સેટ છે, તેનું માપ શૂન્ય છે, અને તેના પાવર સેટમાં વાસ્તવિક કરતા સખત રીતે વધુ કાર્ડિનાલિટી છે. આમ કેન્ટોર સમૂહનો એક ઉપગણ છે જે બોરેલ સમૂહમાં સમાયેલ નથી. તેથી, બોરેલ માપ પૂર્ણ નથી. એન-ડાયમેન્શનલ લેબસ્ગ્યુ માપ એ પોતાની સાથે એક-ડાયમેન્શનલ લેબસ્ગ્યુ જગ્યાના એન-ફોલ્ડ પ્રોડક્ટની પૂર્ણતા છે. તે એક-પરિમાણીય કેસની જેમ બોરેલ માપની પૂર્ણતા પણ છે. ગુણધર્મો મહારામનો પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક સંપૂર્ણ માપ જગ્યા સતત માપમાં વિઘટિત થઈ શકે છે, અને મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર ગણતરી માપ છે. સંદર્ભ માપ (માપન સિદ્ધાંત) પણ જુઓ.