Lp space
ગણિતમાં, ખાલી જગ્યાઓ એ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ માટે-ધોરણના કુદરતી સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કાર્ય જગ્યાઓ છે. તેમને કેટલીકવાર લેબસ્ગ્યુ જગ્યાઓ કહેવામાં આવે છે, જેનું નામ હેનરી લેબસ્ગ્યુના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જો કે બોરબાકી જૂથ અનુસાર તેઓ સૌપ્રથમ ફ્રિગીસ રીસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં અને ટોપોલોજિકલ વેક્ટર સ્પેસમાં બનાચ સ્પેસનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે. માપ અને સંભાવના જગ્યાઓના ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં તેમની મુખ્ય ભૂમિકાને કારણે, લેબસ્ગ્યુ જગ્યાઓનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્ર, આંકડાશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, નાણા, ઇજનેરી અને અન્ય શાખાઓમાં સમસ્યાઓની સૈદ્ધાંતિક ચર્ચામાં પણ થાય છે. એપ્લિકેશન્સ સ્ટેટિસ્ટિક્સ આંકડામાં, કેન્દ્રીય વલણ અને આંકડાકીય પ્રસરણના પગલાં, જેમ કે સરેરાશ, મધ્યમ અને પ્રમાણભૂત વિચલન, મેટ્રિક્સની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને કેન્દ્રીય વલણના પગલાંને વિવિધ સમસ્યાઓના ઉકેલ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. દંડાત્મક પ્રતિગમનમાં, "L1 દંડ" અને "L2 દંડ" એ ઉકેલના પરિમાણ મૂલ્યોના વેક્ટરના ધોરણને દંડ આપવાનો સંદર્ભ આપે છે (એટલે કે. તેના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો), અથવા તેના ધોરણ (તેની યુક્લિડિયન લંબાઈ). એલ. 1 દંડનો ઉપયોગ કરતી તકનીકો, જેમ કે એલ. એ. એસ. ઓ., એવા ઉકેલોને પ્રોત્સાહિત કરે છે જ્યાં ઘણા પરિમાણો શૂન્ય હોય. એલ 2 દંડનો ઉપયોગ કરતી તકનીકો, જેમ કે રીજ રીગ્રેસન, જ્યાં મોટાભાગના પરિમાણ મૂલ્યો નાના હોય ત્યાં ઉકેલોને પ્રોત્સાહિત કરે છે. સ્થિતિસ્થાપક ચોખ્ખું નિયમિતકરણ દંડ શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે જે ધોરણ અને પરિમાણ વેક્ટરના ધોરણનું સંયોજન છે. હૌસડોર્ફ-યંગ અસમાનતા વાસ્તવિક રેખા માટે ફોરિયર પરિવર્તન (અથવા, સામયિક કાર્યો માટે, ફોરિયર શ્રેણી જુઓ), અનુક્રમે (અથવા) માટે નકશા કરે છે, જ્યાં અને આ રીઝ-થોરિન પ્રક્ષેપણ પ્રમેયનું પરિણામ છે, અને હૌસડોર્ફ-યંગ અસમાનતા સાથે ચોક્કસ બનાવવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, જો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ હિલ્બર્ટ જગ્યાઓમાં નકશો કરતું નથી, તો હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સથી માંડીને સ્ટોકેસ્ટિક કલન સુધીની ઘણી એપ્લિકેશનો માટે કેન્દ્રિય છે. જગ્યાઓ અને બંને હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ છે. હકીકતમાં, હિલ્બર્ટ આધાર એટલે કે હિલ્બર્ટ અવકાશનો મહત્તમ ઓર્થોનોર્મલ સબસેટ પસંદ કરીને, દરેક હિલ્બર્ટ અવકાશ આઇસોમેટ્રિક રીતે આઇસોમોર્ફિક છે (ઉપરની જેમ જ), એટલે કે, મર્યાદિત પરિમાણોમાં ધ-નોર્મ પ્રકારનો હિલ્બર્ટ અવકાશ-પરિમાણીય વાસ્તવિક વેક્ટર અવકાશમાં વેક્ટરની લંબાઈ સામાન્ય રીતે યુક્લિડિયન ધોરણ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું યુક્લિડિયન અંતર અને તે બે બિંદુઓ વચ્ચેની સીધી રેખાની લંબાઈ છે. ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, આપેલ જગ્યામાં વાસ્તવિક અંતર મેળવવા માટે યુક્લિડિયન અંતર અપૂરતું હોય છે. ગ્રીડ સ્ટ્રીટ પ્લાનમાં ટેક્સી ડ્રાઇવરો દ્વારા આની સામ્યતા સૂચવવામાં આવે છે, જેમણે અંતરને તેમના ગંતવ્ય સુધી સીધી રેખાની લંબાઈના સંદર્ભમાં નહીં, પરંતુ લંબચોરસ અંતરના સંદર્ભમાં માપવું જોઈએ, જે ધ્યાનમાં લે છે કે શેરીઓ કાં તો ઓર્થોગોનલ છે અથવા એકબીજા સાથે સમાંતર છે. ધોરણોનો વર્ગ આ બે ઉદાહરણોને સામાન્ય બનાવે છે અને ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનના ઘણા ભાગોમાં તેનો પુષ્કળ ઉપયોગ થાય છે. વ્યાખ્યા વાસ્તવિક સંખ્યા માટે-ધોરણ અથવા-ધોરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે નિરપેક્ષ મૂલ્યની પટ્ટીઓ ત્યારે છોડી શકાય છે જ્યારે તે તેના ઘટાડેલા સ્વરૂપમાં સમ અંશ સાથે તર્કસંગત સંખ્યા હોય, અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી અથવા તેના ઉપગણમાંથી એકમાંથી દોરવામાં આવે. ઉપરથી યુક્લિડિયન ધોરણ આ વર્ગમાં આવે છે અને તે-ધોરણ છે, અને-ધોરણ એ ધોરણ છે જે લંબચોરસ અંતરને અનુરૂપ છે. - ધોરણ અથવા મહત્તમ ધોરણ (અથવા સમાન ધોરણ) એ-ધોરણની મર્યાદા છે તે તારણ આપે છે કે આ મર્યાદા નીચેની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છેઃ જુઓ-અનંત. ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલા તમામ-ધોરણો અને મહત્તમ ધોરણો ખરેખર "લંબાઈ કાર્ય" (અથવા ધોરણ) ના ગુણધર્મોને સંતોષે છે, જે છેઃ માત્ર શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ શૂન્ય હોય છે, વેક્ટરની લંબાઈ સ્કેલર (હકારાત્મક એકરૂપતા) દ્વારા ગુણાકારના સંદર્ભમાં હકારાત્મક એકરૂપ હોય છે, અને બે વેક્ટરના સરવાળાની લંબાઈ વેક્ટરની લંબાઈના સરવાળા (ત્રિકોણ અસમાનતા) કરતા મોટી હોતી નથી. અમૂર્ત રીતે કહીએ તો, આનો અર્થ એ છે કે-નોર્મ સાથે મળીને એક નોર્મ્ડ વેક્ટર સ્પેસ છે. વધુમાં, તે તારણ આપે છે કે આ જગ્યા પૂર્ણ છે, આમ તેને બનાચ જગ્યા બનાવે છે. બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ગ્રીડ અંતર અથવા લંબચોરસ અંતર (જેને ક્યારેક "મેનહટન અંતર" કહેવામાં આવે છે) તેમની વચ્ચેના રેખા ખંડની લંબાઈ (યુક્લિડિયન અથવા "કાગડો ઉડતો હોય તેમ" અંતર) કરતાં ક્યારેય ઓછું હોતું નથી. ઔપચારિક રીતે, આનો અર્થ એ થાય છે કે કોઈપણ વેક્ટરનું યુક્લિડિયન ધોરણ તેના 1-ધોરણ દ્વારા બંધાયેલું હોય છેઃ આ હકીકત-ધોરણોને સામાન્ય બનાવે છે જેમાં કોઈપણ વેક્ટરનું-ધોરણ વધતું નથીઃ વિરુદ્ધ દિશા માટે,-ધોરણ અને-ધોરણ વચ્ચેનો નીચેનો સંબંધ જાણી શકાય છેઃ આ અસમાનતા અંતર્ગત વાહક જગ્યાના પરિમાણ પર આધાર રાખે છે અને સીધા કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતાથી અનુસરે છે. સામાન્ય રીતે, વેક્ટર માટે જ્યાં આ હોલ્ડરની અસમાનતાનું પરિણામ છે. જ્યારે In સૂત્ર માટે સંપૂર્ણપણે સજાતીય કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, ત્યારે પરિણામી કાર્ય ધોરણને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, કારણ કે તે સબએડિટિવ નથી. બીજી બાજુ, સૂત્ર સંપૂર્ણ એકરૂપતા ગુમાવવાની કિંમત પર સબએડિટિવ ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે એફ-ધોરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જોકે, જે ડિગ્રીનું સજાતીય છે તેથી, કાર્ય મેટ્રિકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો કે આ મેટ્રિકમાં મૂળની આસપાસનો-એકમ દડો "અંતર્મુખ" છે, મેટ્રિક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ટોપોલોજી એ સામાન્ય વેક્ટર સ્પેસ ટોપોલોજી છે તેથી તે સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ટોપોલોજિકલ વેક્ટર સ્પેસ છે. આ ગુણાત્મક નિવેદનથી આગળ, ની બહિર્મુખતાના અભાવને માપવાની માત્રાત્મક રીત એ છે કે સૌથી નાના અચળાંક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેમ કે-યુનિટ બોલના સ્કેલર મલ્ટિપલમાં બહિર્મુખ હલ હોય છે, જે બરાબર હોય છે. જ્યારે એક ધોરણ હોય અને બીજું કાર્ય હોય જેને "ધોરણ" કહેવાય છે (અવતરણ ચિહ્નો સાથે). ધોરણની ગાણિતિક વ્યાખ્યા બનાચના થિયરી ઓફ લિનિયર ઓપરેશન્સ દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી. ક્રમની જગ્યામાં એફ-ધોરણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ સંપૂર્ણ મેટ્રિક ટોપોલોજી છે જેની ચર્ચા સ્ટીફન રોલવિઝ દ્વારા મેટ્રિક રેખીય જગ્યામાં કરવામાં આવી છે. નોર્મ્ડ સ્પેસનો અભ્યાસ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ, સંભાવના સિદ્ધાંત અને હાર્મોનિક વિશ્લેષણમાં થાય છે. અન્ય કાર્યને ડેવિડ ડોનોહો દ્વારા "ધોરણ" કહેવામાં આવ્યું હતું-જેમના અવતરણ ચિહ્નો ચેતવણી આપે છે કે આ કાર્ય યોગ્ય ધોરણ નથી-તે વેક્ટરની બિન-શૂન્ય એન્ટ્રીઓની સંખ્યા છે ઘણા લેખકો અવતરણ ચિહ્નોને બાદ કરીને પરિભાષાનો દુરુપયોગ કરે છે. શૂન્ય "ધોરણ" ની વ્યાખ્યા બરાબર છે આ ધોરણ નથી કારણ કે તે એકરૂપ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટરને હકારાત્મક અચળાંક દ્વારા માપવાથી "ધોરણ" બદલાતું નથી. ગાણિતિક ધોરણ તરીકે આ ખામીઓ હોવા છતાં, બિન-શૂન્ય ગણતરી "ધોરણ" નો ઉપયોગ વૈજ્ઞાનિક કમ્પ્યુટિંગ, માહિતી સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં થાય છે-ખાસ કરીને સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને કોમ્પ્યુટેશનલ હાર્મોનિક વિશ્લેષણમાં કોમ્પ્રેસ્ડ સેન્સિંગમાં. ધોરણ ન હોવા છતાં, સંકળાયેલ મેટ્રિક, જેને હેમિંગ અંતર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે માન્ય અંતર છે, કારણ કે અંતર માટે એકરૂપતા જરૂરી નથી. અનંત પરિમાણો અને જગ્યાઓમાં-નોર્મ ક્રમ અવકાશ-નોર્મને એવા વેક્ટર સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે જેમાં અનંત સંખ્યામાં ઘટકો (શ્રેણીઓ) હોય છે, જે જગ્યા આપે છે આ ખાસ કિસ્સાઓ તરીકે સમાવે છેઃ શ્રેણીઓની જગ્યા જેની શ્રેણી સંપૂર્ણપણે એકરૂપ હોય છે, વર્ગ-સરવાળા શ્રેણીઓની જગ્યા, જે હિલ્બર્ટ જગ્યા છે, અને બંધાયેલ શ્રેણીઓની જગ્યા. ક્રમની જગ્યામાં સંકલન દ્વારા સરવાળા અને સ્કેલર ગુણાકાર સંકલન લાગુ કરીને કુદરતી વેક્ટર અવકાશ માળખું હોય છે. સ્પષ્ટ રીતે, વાસ્તવિક (અથવા જટિલ) સંખ્યાઓના અનંત ક્રમ માટે વેક્ટર સરવાળો અને સ્કેલર ક્રિયા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ-ધોરણને વ્યાખ્યાયિત કરો અહીં, એક ગૂંચવણ ઊભી થાય છે, એટલે કે જમણી બાજુની શ્રેણી હંમેશા અભિસારી હોતી નથી, તેથી ઉદાહરણ તરીકે, માત્ર એકથી બનેલા અનુક્રમમાં, માટે અનંત-ધોરણ હશે. કોઈ તપાસી શકે છે કે જેમ જેમ વધારો થાય છે તેમ તેમ સમૂહ મોટો થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ અંદર નથી પરંતુ તે માટે છે કારણ કે શ્રેણી (હાર્મોનિક શ્રેણી) માટે અલગ પડે છે, પરંતુ એક માટે કન્વર્જન્ટ પણ સર્વોચ્ચતાનો ઉપયોગ કરીને-નોર્મને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ અને તમામ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની અનુરૂપ જગ્યા. તે તારણ આપે છે કે જો જમણી બાજુ મર્યાદિત હોય, અથવા ડાબી બાજુ અનંત હોય. આમ, આપણે 'ધ-નોર્મ "માટે ખાલી જગ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈશું જે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે ખરેખર એક ધોરણ છે, અને આ ધોરણ સાથે મળીને બનાચ જગ્યા છે. સંપૂર્ણ સામાન્ય જગ્યા પ્રાપ્ત થાય છે-નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે-વેક્ટરને ધ્યાનમાં લઈને, માત્ર મર્યાદિત અથવા ગણનાત્મક રીતે-અનંત ઘણા ઘટકો સાથે નહીં, પરંતુ "મનસ્વી રીતે ઘણા ઘટકો" સાથે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કાર્યો. સરવાળાને બદલે ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ-નોર્મને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. સામાન્ય lp-જગ્યા અગાઉની વ્યાખ્યાની સંપૂર્ણ સામ્યતામાં કોઈ સામાન્ય અનુક્રમણિકા સમૂહ (અને) પરની જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જ્યાં જમણી બાજુના અભિસરણનો અર્થ એ છે કે માત્ર ગણતરીમાં ઘણા સરવાળા બિન-શૂન્ય છે (બિનશરતી અભિસરણ પણ જુઓ). ધોરણ સાથે જગ્યા બનાચ જગ્યા બની જાય છે. જ્યાં તત્વો સાથે મર્યાદિત હોય તેવા કિસ્સામાં, આ રચના ઉપર વ્યાખ્યાયિત-ધોરણ સાથે ઉપજ આપે છે. જો ગણતરીપૂર્વક અનંત હોય, તો આ બરાબર ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલ ક્રમ અવકાશ છે. અગણિત સમૂહો માટે આ એક બિન-વિભાજીત બનાચ જગ્યા છે જેને અનુક્રમ જગ્યાઓની સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ સીધી મર્યાદા તરીકે જોઈ શકાય છે. કારણ કે-નોર્મ એ કેનોનિકલ આંતરિક ઉત્પાદન દ્વારા પણ પ્રેરિત થાય છે જેને ધ કહેવાય છે, જેનો અર્થ છે કે તે તમામ વેક્ટર માટે ધરાવે છે આ આંતરિક ઉત્પાદન ધ્રુવીકરણ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને ધોરણની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. તેના પર માપ જગ્યા સાથે સંકળાયેલ જગ્યા માટે જ્યારે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેમાં તમામ ચોરસ-સંકલિત કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે, તે હવે કેસને ધ્યાનમાં લો જ્યાં બધા માટે વ્યાખ્યાયિત કરો અનુક્રમણિકા સમૂહને અલગ σ-બીજગણિત અને ગણતરી માપ આપીને માપ જગ્યામાં ફેરવી શકાય છે. પછી જગ્યા એ વધુ સામાન્ય-જગ્યા (નીચે વ્યાખ્યાયિત) નો માત્ર એક વિશેષ કેસ છે. એક જગ્યાને માપી શકાય તેવા વિધેયોની જગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેના માટે નિરપેક્ષ મૂલ્યની-th ઘાત લેબેસ્ગ્યુ સંકલનક્ષમ હોય છે, જ્યાં લગભગ દરેક જગ્યાએ સંમત થતા વિધેયોને ઓળખવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ચાલો એક માપ જગ્યા હોઈએ અને જ્યારે વાસ્તવિક હોય (એટલે કે,), બધા માપી શકાય તેવા વિધેયોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો અથવા જેમના નિરપેક્ષ મૂલ્યને-th ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે તે મર્યાદિત સંકલન ધરાવે છે, અથવા પ્રતીકોમાંઃ યાદ રાખવા માટે સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કે બે વિધેયો અને તેના પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, લખવામાં આવે છે, જો સમૂહ માપી શકાય તેવો હોય અને તેનું માપ શૂન્ય હોય. તેવી જ રીતે, માપી શકાય તેવું વિધેય (અને તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય) એ (અથવા) લખાયેલ વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા હોય છે, જો (જરૂરી) માપી શકાય તેવા સમૂહમાં શૂન્ય માપ હોય. અવકાશ એ તમામ માપી શકાય તેવા કાર્યોનો સમૂહ છે જે લગભગ દરેક જગ્યાએ (કેટલાક વાસ્તવિક દ્વારા) બંધાયેલ હોય છે અને તેને આ સીમાઓના અનંત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યારે તે પછી આ નિરપેક્ષ મૂલ્યના આવશ્યક સર્વોચ્ચતા સમાન હોય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, જો એક માપી શકાય તેવું કાર્ય છે જે લગભગ દરેક જગ્યાએ સમાન હોય તો દરેક માટે અને આમ બધા માટે દરેક ધન માટે માપી શકાય તેવા કાર્ય હેઠળનું મૂલ્ય અને તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા સમાન હોય છે (એટલે કે, બધા માટે) અને તેથી માપી શકાય તેવું કાર્ય જો અને માત્ર ત્યારે જ સંબંધિત હોય છે જો તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય કરે. આને કારણે,-ધોરણોને સંડોવતા ઘણા સૂત્રો માત્ર બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યો માટે જ જણાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે ધ્યાનમાં લો કે જે ઓળખ જ્યારે પણ માપી શકાય છે, તે વાસ્તવિક છે, અને (અહીં ક્યારે). બિન-નકારાત્મકતાની જરૂરિયાતને બદલીને દૂર કરી શકાય છે જેના માટે ખાસ કરીને નોંધ આપવામાં આવે છે કે જ્યારે મર્યાદિત હોય ત્યારે સૂત્ર-ધોરણને-ધોરણ સાથે સંબંધિત કરે છે. જ્યારે સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકારને બિંદુ મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ત્યારે કાર્યોનો દરેક સમૂહ વેક્ટર જગ્યા બનાવે છે. બે-th પાવર ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સનો સરવાળો અને ફરીથી-th પાવર ઇન્ટિગ્રેબલ હોવા છતાં તે મિન્કોવ્સ્કીની અસમાનતાનું પરિણામ પણ છે જે સ્થાપિત કરે છે કે ત્રિકોણની અસમાનતાને સંતોષે છે (ત્રિકોણની અસમાનતા માટે નથી). તે સ્કેલર ગુણાકાર હેઠળ બંધ છે તે સંપૂર્ણપણે સજાતીય હોવાને કારણે છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક સ્કેલર અને દરેક કાર્ય માટે સંપૂર્ણ એકરૂપતા, ત્રિકોણ અસમાનતા અને બિન-નકારાત્મકતા એ સેમિનોર્મના વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મો છે. આમ એક સેમિનોર્મ છે અને ફંક્શન સાથે-th પાવર ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સનો સમૂહ સેમિનોર્મ્ડ વેક્ટર સ્પેસને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સામાન્ય રીતે, સેમિનોર્મ એ ધોરણ નથી કારણ કે ત્યાં માપી શકાય તેવા કાર્યો અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે જે સંતુષ્ટ કરે છે પરંતુ સમાન નથી (જો અને માત્ર ત્યારે જ ધોરણ છે જો આવું અસ્તિત્વમાં ન હોય). - સેમિનોર્મ્સના શૂન્ય સમૂહો જો માપી શકાય તેવા હોય અને એ. ઇ. ની બરાબર હોય. પછી બધા હકારાત્મક માટે બીજી બાજુ, જો એક માપી શકાય તેવું કાર્ય છે જેના માટે લગભગ દરેક જગ્યાએ કેટલાક અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જ્યારે મર્યાદિત હોય ત્યારે આ કેસ અને ઉપર ઉલ્લેખિત સૂત્રમાંથી અનુસરે છે. આમ જો હકારાત્મક હોય અને કોઈ માપી શકાય તેવું કાર્ય હોય, તો પછી જો અને માત્ર જો લગભગ દરેક જગ્યાએ હોય. જમણી બાજુથી (એટલે કે) તે ઉલ્લેખ કરતું નથી કે તે અનુસરે છે કે બધામાં સમાન શૂન્ય સમૂહ છે (તે તેના પર નિર્ભર નથી). તેથી આ સામાન્ય સમૂહને આ સમૂહ દ્વારા દર્શાવો આ સમૂહ દરેક હકારાત્મક ક્વોશન્ટ વેક્ટર જગ્યા માટે વેક્ટર સબસ્પેસ છે દરેક સેમિનોર્મની જેમ, સેમિનોર્મ તેના વેક્ટર સબસ્પેસ દ્વારા કેનોનિકલ ક્વોશન્ટ વેક્ટર જગ્યા પર એક ધોરણ (ટૂંક સમયમાં વ્યાખ્યાયિત) પ્રેરિત કરે છે. આપણે ભાગાકાર વેક્ટર જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરીને શરૂઆત કરીએ છીએ. કોઈપણ કોસેટમાં તમામ માપી શકાય તેવા વિધેયો હોય છે જે લગભગ દરેક જગ્યાએ સમાન હોય છે. બધા કોસેટ્સનો સમૂહ, સામાન્ય રીતે મૂળ સાથે વેક્ટર સ્પેસ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જ્યારે વેક્ટર ઉમેરા અને સ્કેલર ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આ ચોક્કસ ભાગાકાર વેક્ટર સ્પેસ બે કોસેટ્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવશે જો અને માત્ર જો (અથવા સમકક્ષ,), જે થાય છે જો અને માત્ર જો લગભગ દરેક જગ્યાએ; જો આ કિસ્સો હોય તો અને ભાગાકાર જગ્યામાં ઓળખવામાં આવે છે. ભાગાકાર વેક્ટર જગ્યા પર-ધોરણ કોસેટ પર સેમિનોર્મનું કોઈપણ મૂલ્ય સતત અને આ અનન્ય મૂલ્યને દર્શાવવા માટે સમાન છે જેથીઃ આ સોંપણી નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે ભાગાકાર વેક્ટર જગ્યા દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવશે. કોસેટની કિંમત ચોક્કસ કાર્યથી સ્વતંત્ર છે જે કોસેટને રજૂ કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવી હતી, જેનો અર્થ છે કે જો કોઈ કોસેટ હોય તો દરેક માટે (દરેક માટે). લેબસ્ગ્યુ જગ્યા નોર્મ્ડ વેક્ટર જગ્યાને અથવા-th પાવર ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે અને તે દરેક માટે બનાચ જગ્યા છે (જેનો અર્થ છે કે તે એક સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા છે, જેનું પરિણામ જેને કેટલીકવાર [[[રીસઝ-ફિશર theorem#Completeness ઓફ Lp, 0 <p ≤ φ |Riesz-ફિશર થીયરમ]]] કહેવામાં આવે છે. જ્યારે અંતર્ગત માપની જગ્યાને સમજવામાં આવે છે ત્યારે તેને ઘણીવાર સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે અથવા તો ફક્ત લેખકના આધારે, સબ્સ્ક્રિપ્ટ નોટેશન ક્યાં તો સૂચવી શકે છે અથવા જો સેમિનોર્મ પર એક ધોરણ હોય (જે જો અને માત્ર જો થાય તો જ થાય છે) તો પછી નોર્મ્ડ સ્પેસ કેનોનિકલ નકશા (ત્યારથી) દ્વારા નોર્મ્ડ કોશન્ટ સ્પેસ માટે રેખીય રીતે આઇસોમોર્ફિક હશે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે રેખીય આઇસોમેટ્રી સુધી, સમાન નોર્મ્ડ સ્પેસ હશે અને તેથી તે બંનેને "સ્પેસ" કહી શકાય છે. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ બોચ્નર જગ્યાઓને સામાન્ય બનાવે છે. સામાન્ય રીતે, આ પ્રક્રિયાને ઉલટાવી શકાતી નથીઃ દરેક કોસેટના "કેનોનિકલ" પ્રતિનિધિને વ્યાખ્યાયિત કરવાની કોઈ સુસંગત રીત નથી. જગ્યાઓ જેવી જ ખાસ જગ્યાઓ, જગ્યાઓ વચ્ચેની એકમાત્ર હિલ્બર્ટ જગ્યા છે. જટિલ કિસ્સામાં, આંતરિક ઉત્પાદન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે વધારાના આંતરિક ઉત્પાદન માળખું સમૃદ્ધ સિદ્ધાંત માટે પરવાનગી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોરિયર શ્રેણી અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના ઉપયોગો સાથે. તેમાં કાર્યોને કેટલીકવાર સ્ક્વેર-ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સ, ક્વાડ્રેટિકલી ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સ અથવા સ્ક્વેર-સુમેબલ ફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે, પરંતુ કેટલીકવાર આ શબ્દો એવા કાર્યો માટે આરક્ષિત હોય છે જે અન્ય કોઈ અર્થમાં સ્ક્વેર-ઇન્ટિગ્રેબલ હોય, જેમ કે રીમાન ઇન્ટિગ્રલના અર્થમાં. જો આપણે કોમ્પ્લેક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શન્સનો ઉપયોગ કરીએ, તો જગ્યા એ બિંદુ મુજબ ગુણાકાર અને જોડાણ સાથે પરિવર્તનીય C *-બીજગણિત છે. તમામ સિગ્મા-ફાઈનાઈટ સહિત ઘણી માપ જગ્યાઓ માટે, તે હકીકતમાં પરિવર્તનીય વોન ન્યુમેન બીજગણિત છે. એક ઘટક ગુણાકાર દ્વારા કોઈપણ જગ્યા પર બાઉન્ડેડ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો કોઈ ગણતરીના માપ સાથે કોઈપણ સમૂહને ધ્યાનમાં લે છે, તો પરિણામી જગ્યા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જગ્યા એ પૂર્ણાંકો દ્વારા અનુક્રમિત તમામ ક્રમની જગ્યા છે, અને આવી જગ્યા પર-નોર્મ વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે, તમામ પૂર્ણાંકો પર એક સરવાળો થાય છે. જગ્યા જ્યાં ઘટકો સાથેનું સમૂહ છે, તે ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ તેના-ધોરણ સાથે છે. કોઈપણ હિલ્બર્ટ જગ્યાની જેમ, દરેક જગ્યા સુસંગત માટે રેખીય રીતે આઇસોમેટ્રિક હોય છે જ્યાં સમૂહની મુખ્યતા એ Lp જગ્યાઓના આ ચોક્કસ ગુણધર્મો માટે મનસ્વી હિલ્બર્ટિયન આધારની મુખ્યતા હોય છે. જો અને પછી અને આ અસમાનતા, જેને હોલ્ડરની અસમાનતા કહેવામાં આવે છે, તે અમુક અર્થમાં શ્રેષ્ઠ છે કારણ કે જો (તેથી) અને તે એક માપી શકાય તેવું કાર્ય છે જેમ કે જ્યાં સર્વોચ્ચતાને તે સમયના બંધ એકમ દડા પર લેવામાં આવે છે અને મિન્કોવ્સ્કી અસમાનતા મિન્કોવ્સ્કી અસમાનતા, જે જણાવે છે કે ત્રિકોણની અસમાનતાને સંતોષે છે, તેને સામાન્ય કરી શકાય છેઃ જો માપી શકાય તેવું કાર્ય બિન-નકારાત્મક હોય તો પછી તમામ અણુ વિઘટન માટે જો દરેક બિન-નકારાત્મક પાસે એક હોય, જેનો અર્થ એ થાય કે બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ અને બિન-નકારાત્મક કાર્યોનો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે, જેના આધારો જોડી મુજબના માપના સમૂહ છે જેમ કે અને દરેક પૂર્ણાંક માટે અને અને જ્યાં વધુમાં, કાર્યોનો ક્રમ ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે. આ અસમાનતાઓ બાંહેધરી આપે છે કે તમામ પૂર્ણાંકો માટે જ્યારે જોડી મુજબ વિભાજીત થવાના આધારો સૂચવે છે કે અણુ વિઘટન સ્પષ્ટપણે દરેક પૂર્ણાંક માટે પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરીને આપી શકાય છે (આ અનંત તે દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે, ધરાવે છે) અને પછી જ્યાં સમૂહના માપને સૂચવે છે અને સમૂહના સૂચક કાર્યને સૂચવે છે. તેના પૂરક સંચિત વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ નબળા-ધોરણ (નીચે આપેલ) ની વ્યાખ્યામાં પણ દેખાય છે તે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો અને તેનો ઉપયોગ-ધોરણ (માટે) ને અભિન્ન તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે થઈ શકે છે જ્યાં એકીકરણ સામાન્ય લેબ્સગ્યુ માપના સંદર્ભમાં છે. ). આ સમરૂપતા દરેક માટે વ્યાખ્યાયિત કાર્યાત્મકતા સાથે સંકળાયેલી છે જે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે તે હેલ્ડરની અસમાનતાને અનુસરે છે. એક રેખીય મેપિંગ છે જે હોલ્ડરની અસમાનતાના ચરમ કેસ દ્વારા આઇસોમેટ્રી છે. તે બતાવવું પણ શક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે રેડોન-નિકોડીમ પ્રમેય સાથે, જુઓ) કે કોઈપણને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ એટલે કે, તે ઉપર છે. કારણ કે તે અનટૂ અને આઇસોમેટ્રિક છે, તે બનાચ જગ્યાઓનું આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આ (આઇસોમેટ્રિક) આઇસોમોર્ફિઝમને ધ્યાનમાં રાખીને, તે સરળ રીતે કહેવું સામાન્ય છે કે તે સતત બેવડી જગ્યા છે કારણ કે જગ્યા પ્રતિબિંબીત છે. ચાલો ઉપરની જેમ હોઈએ અને અનુરૂપ રેખીય આઇસોમેટ્રી હોઈએ. ઇન્વર્સના ટ્રાન્સપોઝ (અથવા સંલગ્ન) સાથે રચના કરીને મેળવેલા નકશાને ધ્યાનમાં લો આ નકશો તેના દ્વિભાષીમાં કેનોનિકલ એમ્બેડિંગ સાથે મેળ ખાય છે. વધુમાં, નકશો પર છે, આઇસોમેટ્રી પર બેની રચના તરીકે, અને આ રિફ્લેક્સિવિટી સાબિત કરે છે. જો ઉપરનું માપ સિગ્મા-ફાઈનાઈટ હોય, તો તેનું ડ્યુઅલ આઇસોમેટ્રિક રીતે આઇસોમોર્ફિક છે (વધુ ચોક્કસપણે, તેને અનુરૂપ નકશો એક આઇસોમેટ્રી છે. ના તત્વોને બાઉન્ડેડ સહીવાળા ફાઈનાઈટલી એડિટિવ પગલાં સાથે ઓળખી શકાય છે, જે વધુ વિગતો માટે સી બા સ્પેસના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણપણે સતત હોય છે. જો આપણે પસંદગીના સિદ્ધાંતને ધારીએ, તો આ જગ્યા કેટલાક તુચ્છ કિસ્સાઓ સિવાય ઘણી મોટી છે. જો કે, સહરોન શેલાહે સાબિત કર્યું કે ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ સમૂહ સિદ્ધાંત (ઝેડએફ + ડીસી + "વાસ્તવિક સંખ્યાઓના દરેક સબસેટમાં બેયર પ્રોપર્ટી હોય છે") ના પ્રમાણમાં સુસંગત વિસ્તરણ છે, જેમાં જો તેમાં વધુ સ્થાનિક રીતે એકવચન હોય તેવા કાર્યો હોય, તો તેનો દ્વિગુણ બોલચાલની ભાષામાં એમ્બેડિંગ્સ હોય છે, જ્યારે તેના તત્વો વધુ ફેલાયેલા હોઈ શકે છે. અડધી રેખા પર લેબસ્ગ્યુ માપનો વિચાર કરો એક સતત કાર્ય નજીકથી ઉડી શકે છે પરંતુ અનંત તરફ પૂરતા પ્રમાણમાં ઝડપથી ક્ષીણ થવું જોઈએ. બીજી બાજુ, સતત કાર્યોમાં બિલકુલ ક્ષય થવાની જરૂર નથી પરંતુ કોઈ ફટકો પડવાની મંજૂરી નથી. ચોક્કસ તકનીકી પરિણામ નીચે મુજબ છે. ધારો કે પછીઃ જો અને માત્ર જો તેમાં મર્યાદિત પરંતુ મનસ્વી રીતે મોટા માપનો સમૂહ ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ મર્યાદિત માપ). જો અને માત્ર જો તેમાં બિન-શૂન્ય પરંતુ મનસ્વી રીતે નાના માપનો સમૂહ ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, ગણતરીનું માપ). લેબસ્ગ્યુ માપ સાથે વાસ્તવિક રેખા માટે કોઈ પણ શરત લાગુ પડતી નથી જ્યારે બંને શરતો કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહ પર ગણતરીના માપ માટે લાગુ પડે છે. બંને કિસ્સાઓમાં એમ્બેડિંગ સતત હોય છે, જેમાં આઇડેન્ટિટી ઓપરેટર એ પ્રથમ કિસ્સામાં અને બીજા કિસ્સામાં બંધાયેલ રેખીય નકશો છે. (આ બંધ આલેખ પ્રમેય અને જગ્યાઓના ગુણધર્મોનું પરિણામ છે.) ખરેખર, જો ડોમેનમાં મર્યાદિત માપ હોય, તો કોઈ વ્યક્તિ હોલ્ડરની અસમાનતા તરફ દોરી જતી અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને નીચેની સ્પષ્ટ ગણતરી કરી શકે છે. ઉપરની અસમાનતામાં દેખાતો અચળાંક શ્રેષ્ઠ છે, તે અર્થમાં કે ઓળખના સંચાલક ધોરણ ચોક્કસપણે જ્યારે-લગભગ-દરેક જગ્યાએ સમાનતા પ્રાપ્ત થાય ત્યારે જ પ્રાપ્ત થાય છે. આ સમગ્ર વિભાગમાં આપણે ધારીએ છીએ કે ચાલો એક માપ જગ્યા બનીએ. ઇન્ટિગ્રેબલ સિમ્પલ ફંક્શન ઓન એ સ્વરૂપોમાંનું એક છે જ્યાં સ્કેલર હોય છે, તેમાં મર્યાદિત માપ હોય છે અને તે માટે સમૂહનું સૂચક કાર્ય છે. ઇન્ટિગ્રલના નિર્માણ દ્વારા, ઇન્ટિગ્રેબલ સરળ કાર્યોની વેક્ટર જગ્યા સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યા અને તેના બોરેલ-બીજગણિત, એટલે કે, ખુલ્લા સમૂહો ધરાવતા સબસેટનું સૌથી નાનું-બીજગણિત ક્યારે છે તે કહી શકાય. ધારો કે તે સાથે એક ખુલ્લો સમૂહ છે તે સાબિત કરી શકાય છે કે દરેક બોરેલ સમૂહમાં અને દરેક માટે એક બંધ સમૂહ અને એક ખુલ્લો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે તે અનુસરે છે કે તેના પર સતત યુરીસોહન કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે જે ચાલુ અને ચાલુ છે. તેવી જ રીતે, ઇન્ટિગ્રેબલ સ્ટેપ ફંક્શન્સની જગ્યા આ જગ્યામાં ગાઢ હોય છે જ્યારે બાઉન્ડેડ લંબચોરસ હોય ત્યારે બાઉન્ડેડ અંતરાલોના સૂચક કાર્યોનો રેખીય ગાળો અને વધુ સામાન્ય રીતે બાઉન્ડેડ અંતરાલોના ઉત્પાદનો હોય છે. સામાન્ય વિધેયોના કેટલાક ગુણધર્મો પહેલા સતત અને સઘન રીતે સમર્થિત વિધેયો (કેટલીકવાર સ્ટેપ વિધેયો માટે) માટે સાબિત થાય છે, પછી તમામ વિધેયોમાં ઘનતા દ્વારા વિસ્તૃત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે આ રીતે સાબિત થાય છે કે અનુવાદો નીચેના અર્થમાં સતત ચાલુ રહે છેઃ જ્યાં બંધ પેટા જગ્યાઓ જો કોઈ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો તે માપી શકાય તેવી જગ્યા (જેથી) પર સંભાવના માપ છે, અને વેક્ટર પેટા જગ્યા છે, તો પછી જો અને માત્ર જો મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય (તેનાથી સ્વતંત્ર પસંદ કરવામાં આવ્યું હોય) તો તે બંધ પેટા જગ્યા છે. આ પ્રમેયમાં, જે એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકને કારણે છે, તે નિર્ણાયક છે કે વેક્ટર સ્પેસનો સબસેટ હોવો જોઈએ કારણ કે અનંત-પરિમાણીય બંધ વેક્ટર સબસેસનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે (તે પણ એક સબસેટ છે), જ્યાં એકમ વર્તુળ પર લેબસ્ગ્યુ માપ છે અને તે સંભાવના માપ છે જે તેને તેના દળ દ્વારા વિભાજીત કરવાથી પરિણમે છે. જો પછી તેને ઉપરની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાયઃ તે તે માપી શકાય તેવા વિધેયોની ભાગાકાર વેક્ટર જગ્યા છે જેમ કે પહેલાની જેમ, આપણે-ધોરણ રજૂ કરી શકીએ છીએ પરંતુ આ કિસ્સામાં ત્રિકોણની અસમાનતાને સંતોષતા નથી, અને માત્ર અર્ધ-ધોરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. માટે માન્ય અસમાનતા સૂચવે છે કે અને તેથી કાર્ય મેટ્રિક છે પરિણામી મેટ્રિક જગ્યા પૂર્ણ થાય છે; ચકાસણી પરિચિત કેસ જેવી જ હોય છે જ્યારે દડા આ ટોપોલોજીના મૂળ પર સ્થાનિક આધાર બનાવે છે, જેમ કે હકારાત્મક વાસ્તવિક પરની શ્રેણી. આ દડા બધા વાસ્તવિક માટે સંતોષ આપે છે જે ખાસ કરીને દર્શાવે છે કે મૂળનો બંધાયેલ પડોશ છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ જગ્યા સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ છે, દરેક સામાન્ય જગ્યાની જેમ, ધોરણ ન હોવા છતાં. આ સેટિંગમાં વિપરીત મિન્કોવ્સ્કી અસમાનતાને સંતોષે છે, એટલે કે આ પરિણામનો ઉપયોગ ક્લાર્કસનની અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે, જેનો ઉપયોગ બદલામાં જગ્યાઓની સમાન બહિર્મુખતા સ્થાપિત કરવા માટે થાય છે. માટે જગ્યા એ એફ-સ્પેસ છેઃ તે સંપૂર્ણ અનુવાદ-અપરિવર્તનશીલ મેટ્રિકને સ્વીકારે છે જેના સંદર્ભમાં વેક્ટર સ્પેસ કામગીરી સતત હોય છે. તે એફ-સ્પેસનું પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણ છે, જે મોટાભાગની વાજબી માપ જગ્યાઓ માટે, સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ નથીઃ અથવા કાર્ય ધરાવતો દરેક ખુલ્લો બહિર્મુખ સમૂહ-અર્ધ-ધોરણ માટે અનબાઉન્ડ છે; તેથી, વેક્ટર બહિર્મુખ પડોશીઓની મૂળભૂત પ્રણાલી ધરાવતો નથી. ખાસ કરીને, આ સાચું છે જો માપ જગ્યામાં મર્યાદિત હકારાત્મક માપના અસંબદ્ધ માપી શકાય તેવા સમૂહોનો અનંત પરિવાર હોય. એકમાત્ર નોન એમ્પ્ટી કન્વેક્સ ઓપન સેટ એ સમગ્ર જગ્યા છે. એક ચોક્કસ પરિણામ તરીકે, સતત બેવડી જગ્યા પર કોઈ બિન-શૂન્ય સતત રેખીય વિધેયો નથી. કુદરતી સંખ્યાઓ (અનુક્રમ જગ્યા ઉત્પન્ન કરતી) પર ગણતરીના માપના કિસ્સામાં, બંધાયેલ રેખીય વિધેયો બરાબર તે જ હોય છે જે અનુક્રમે આપવામાં આવેલા ક્રમાંકો દ્વારા બંધાયેલા હોય છે. જોકે તેમાં બિન-તુચ્છ બહિર્મુખ ખુલ્લા સમૂહો હોય છે, તે ટોપોલોજી માટે આધાર આપવા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં તેમાં નિષ્ફળ જાય છે. વિશ્લેષણ કરવાના હેતુઓ માટે કોઈ રેખીય વિધેયો ન હોવાની સ્થિતિ અત્યંત અનિચ્છનીય છે. લેબસ્ગ્યુ માપના કિસ્સામાં તેની સાથે કામ કરવાને બદલે જ્યારે પણ શક્ય હોય ત્યારે હાર્ડી સ્પેસ સાથે કામ કરવું સામાન્ય છે, કારણ કે તેમાં થોડા રેખીય કાર્યો છેઃ એકબીજાથી બિંદુઓને અલગ પાડવા માટે પૂરતા છે. જો કે, હાન-બનાચ પ્રમેય હજુ પણ નિષ્ફળ જાય છે. માપી શકાય તેવા વિધેયોની જગ્યા માપી શકાય તેવા વિધેયોની વેક્ટર જગ્યા (સમકક્ષતા વર્ગો) પર સૂચવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા મુજબ, તેમાં બધા સમાવિષ્ટ છે અને તે માપમાં અભિસરણની ટોપોલોજીથી સજ્જ છે. જ્યારે સંભાવના માપ (એટલે કે,) હોય છે, ત્યારે અભિસરણની આ રીતને સંભાવનામાં અભિસરણ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે વર્ણન મર્યાદિત હોય ત્યારે તે સરળ બને છે. જો કાર્ય પર મર્યાદિત માપ હોય તો તે નીચેની પડોશની મૂળભૂત પ્રણાલીના માપમાં અભિસરણને સ્વીકારે છે ટોપોલોજીને તે સ્વરૂપના કોઈપણ મેટ્રિક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં સતત અંતર્મુખ અને ક્યારે અને ક્યારે ઘટતું નથી (ઉદાહરણ તરીકે, આવા મેટ્રિકને લેવી-મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે આ મેટ્રિક હેઠળ જગ્યા પૂર્ણ થાય છે (તે ફરીથી એફ-સ્પેસ છે). જગ્યા સામાન્ય રીતે સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ નથી, અને સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ નથી. જો કેટલાક માટે માર્કોવની અસમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો એક કાર્યને નબળી જગ્યામાં કહેવામાં આવે છે, અથવા જો ત્યાં કોઈ અચળાંક હોય તો, બધા માટે આ અસમાનતા માટેનો શ્રેષ્ઠ અચળાંક-નોર્મ છે અને તેને લોરેન્ટ્ઝ જગ્યાઓ સાથે સૂચવવામાં આવે છે જેથી આ સંકેતનો ઉપયોગ તેમને દર્શાવવા માટે થાય છે. - ધોરણ એ સાચું ધોરણ નથી, કારણ કે ત્રિકોણની અસમાનતા જાળવી રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે. તેમ છતાં, માટે અને ખાસ કરીને હકીકતમાં, વ્યક્તિ પાસે છે અને સત્તામાં વધારો કરવો અને એકમાં સર્વોચ્ચતા લેવી એ પરંપરા હેઠળ છે કે જો બે કાર્યો લગભગ દરેક જગ્યાએ સમાન હોય, તો જગ્યાઓ પૂર્ણ થાય છે. કોઈપણ માટે અભિવ્યક્તિ-ધોરણ સાથે તુલનાત્મક છે. આગળ આ કિસ્સામાં આ અભિવ્યક્તિ ધોરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જો તેથી નબળી જગ્યાઓ માટે બનાચ જગ્યાઓ છે. એક મુખ્ય પરિણામ કે જે-સ્પેસનો ઉપયોગ કરે છે તે માર્સિન્કીવિઝ ઇન્ટરપોલેશન થીયરમ છે, જે હાર્મોનિક વિશ્લેષણ અને એકવચન સંકલનના અભ્યાસ માટે વ્યાપક ઉપયોગો ધરાવે છે. ભારિત જગ્યાઓ પહેલાની જેમ, માપવાની જગ્યાને ધ્યાનમાં લો ચાલો એક માપી શકાય તેવું કાર્ય હોઈએ. ભારિત જગ્યાને એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં રેડોન-નિકોડીમ વ્યુત્પન્ન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત માપનો અર્થ થાય છે અથવા, ધોરણ સ્પષ્ટ રીતે-જગ્યાઓ તરીકે છે, ભારિત જગ્યાઓમાં કંઈ ખાસ નથી, કારણ કે તે સમાન છે. પરંતુ તે હાર્મોનિક વિશ્લેષણમાં ઘણા પરિણામો માટેનું કુદરતી માળખું છે; તેઓ ઉદાહરણ તરીકે મુકેનહોપ્ટ પ્રમેયમાં દેખાય છેઃ શાસ્ત્રીય હિલ્બર્ટ પરિવર્તન માટે એકમ વર્તુળ અને લેબસેગ્યુ માપ ક્યાં સૂચવે છે તેના પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; (બિનરેખીય) હાર્ડી-લિટલવુડ મેક્સિમલ ઓપરેટર મુકેનહોપ્ટના પ્રમેય પર બંધાયેલ છે જે વજનનું વર્ણન કરે છે જેથી હિલ્બર્ટ રૂપાંતર બંધાયેલ રહે અને મેનીફોલ્ડ્સ પર જગ્યાઓ પર મહત્તમ ઓપરેટર પણ એક મેનીફોલ્ડ પર જગ્યાઓ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. વેક્ટર-મૂલ્યવાન જગ્યાઓ માપવાની જગ્યા અને સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ જગ્યા (અહીં પૂર્ણ હોવાનું માનવામાં આવે છે) જોતાં,-સંકલિત-મૂલ્યવાન કાર્યોની જગ્યાઓને ઘણી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે. એક રીત એ છે કે બોચ્નર ઇન્ટિગ્રેબલ અને પેટિસ ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સની જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવી, અને પછી તેમને સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ટીવીએસ-ટોપોલોજીઓ પ્રદાન કરવી જે (દરેક પોતાની રીતે) સામાન્ય ટોપોલોજીનું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે. બીજી રીતમાં વેક્ટર સ્પેસના એલિમેન્ટ સાથેના ટોપોલોજિકલ ટેન્સર પ્રોડક્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં સરળ ટેન્સરનો મર્યાદિત સરવાળો હોય છે, જ્યાં દરેક સરળ ટેન્સરને મોકલતા ફંક્શન સાથે ઓળખી શકાય છે. આ ટેન્સર પ્રોડક્ટ પછી સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ટોપોલોજીથી સંપન્ન થાય છે જે તેને ટોપોલોજિકલ ટેન્સર પ્રોડક્ટમાં ફેરવે છે, જેમાંથી સૌથી સામાન્ય પ્રોજેક્ટિવ ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને ઇન્જેક્ટિવ ટેન્સર પ્રોડક્ટ, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, આમાંથી કોઈ પણ જગ્યા પૂર્ણ નથી તેથી તેમની પૂર્ણતાઓ બનાવવામાં આવે છે, જે અનુક્રમે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને (આ સ્કેલર-વેલ્યુડ સરળ વિધેયોની જગ્યા કેવી રીતે સમાન છે જ્યારે કોઈ પણ દ્વારા સેમિ-નોર્મ કરવામાં આવે છે ત્યારે તે પૂર્ણ થતું નથી. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકે દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે પરમાણુ અવકાશ હોય (એક ખ્યાલ તેમણે રજૂ કર્યો હતો), ત્યારે આ બે રચનાઓ અનુક્રમે, અગાઉ ઉલ્લેખિત બોચ્નર અને પેટિસ અભિન્ન કાર્યોની જગ્યાઓ સાથે ટીવીએસ-આઇસોમોર્ફિક છે; ટૂંકમાં, તેઓ અવિભાજ્ય છે. નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . . . બાહ્ય કડીઓ Lp જગ્યાઓ સંપૂર્ણ છે તેનો પુરાવો બનાચ જગ્યાઓ કાર્ય જગ્યાઓ ગાણિતિક શ્રેણી માપન સિદ્ધાંત સામાન્ય જગ્યાઓ Lp જગ્યાઓ