Nonelementary integral
ગણિતમાં, આપેલ પ્રાથમિક કાર્યનું બિનપરંપરાગત એન્ટિડેરિવેટિવ એ એન્ટિડેરિવેટિવ (અથવા અનિશ્ચિત અભિન્ન) છે, જે પોતે પ્રાથમિક કાર્ય નથી (એટલે કે. ક્ષેત્ર કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને અચળાંક, બીજગણિત, ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ અને લઘુગણક વિધેયોની મર્યાદિત સંખ્યાના ગુણોત્તરમાંથી બનેલું વિધેય). 1835માં લિઉવિલેના એક પ્રમેયએ પ્રથમ પુરાવો આપ્યો હતો કે પૂરક એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ અસ્તિત્વમાં નથી. આ પ્રમેય (મુશ્કેલી સાથે) નક્કી કરવા માટે રીશ અલ્ગોરિધમનો આધાર પણ પૂરો પાડે છે કે કયા પ્રાથમિક કાર્યોમાં પ્રાથમિક એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે. બિનઅનુભવી એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ સાથેના કાર્યોના ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ (લંબગોળ અભિન્ન) (લઘુગણક અભિન્ન) (ભૂલ કાર્ય, ગૌસીયન અભિન્ન) અને (ફ્રેસ્નલ અભિન્ન) (સાઇન અભિન્ન, ડિરીક્લેટ અભિન્ન) (ઘાતાંકીય અભિન્ન) (ઘાતાંકીય અભિન્નની દ્રષ્ટિએ) (લઘુગણક અભિન્નની દ્રષ્ટિએ) (અપૂર્ણ ગામા કાર્ય); એન્ટિડેરિવેટિવ માટે ઘાતાંકીય અભિન્નની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે; ભૂલ કાર્યની દ્રષ્ટિએ; કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, એન્ટિડેરિવેટિવ પ્રાથમિક. કેટલાક સામાન્ય બિન-તાત્વિક એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોને નામો આપવામાં આવે છે, જે કહેવાતા વિશેષ કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને આ નવા કાર્યોને સંડોવતા સૂત્રો બિન-તાત્વિક એન્ટિડેરિવેટિવ્સના મોટા વર્ગને વ્યક્ત કરી શકે છે. ઉપરના ઉદાહરણો કૌંસમાં અનુરૂપ વિશેષ કાર્યોને નામ આપે છે. ગુણધર્મો પૂરક એન્ટિડેરિવેટિવ્સનું મૂલ્યાંકન ઘણીવાર ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. જો ફંક્શનમાં કોઈ પ્રાથમિક એન્ટિડેરિવેટિવ ન હોય તો પણ, તેની ટેલર શ્રેણીને બહુપદીની જેમ ટર્મ-બાય-ટર્મ સંકલિત કરી શકાય છે, જે કન્વર્જન્સની સમાન ત્રિજ્યા સાથે ટેલર શ્રેણી તરીકે એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન આપે છે. જો કે, જો ઇન્ટિગ્રાન્ડમાં કન્વર્જન્ટ ટેલર સિરીઝ હોય, તો પણ તેના ગુણાંકના ક્રમમાં ઘણીવાર કોઈ પ્રાથમિક સૂત્ર હોતું નથી અને ઇન્ટિગ્રલ ટેલર સિરીઝ માટે સમાન મર્યાદા સાથે તેનું મૂલ્યાંકન શબ્દ દ્વારા કરવું આવશ્યક છે. જો પ્રાથમિક દ્રષ્ટિએ અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ (એન્ટિડેરિવેટિવ) નું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય ન હોય તો પણ, કોઈ પણ વ્યક્તિ હંમેશા આંકડાકીય ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા અનુરૂપ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો અંદાજ લગાવી શકે છે. એવા કિસ્સાઓ પણ છે કે જ્યાં કોઈ પ્રાથમિક એન્ટિડેરિવેટિવ નથી, પરંતુ ચોક્કસ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ્સનું (ઘણીવાર અમર્યાદિત અંતરાલો પર અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ્સ) પ્રાથમિક દ્રષ્ટિએ મૂલ્યાંકન કરી શકાય છેઃ સૌથી પ્રખ્યાત ગૌસીયન ઇન્ટિગ્રલ પ્રાથમિક કાર્યોના સમૂહના સંકલન હેઠળ ક્લોઝર એ લિઉવિલિયન કાર્યોનો સમૂહ છે. આ પણ જુઓ રેફરન્સ ઇન્ટિગ્રેશન ઓફ નોનલિમેન્ટરી ફંક્શન્સ, એસ. ઓ. એસ. MATHematics.com; એક્સેસ કરેલ 7 ડિસેમ્બર 2012. વધુ વાંચન વિલિયમ્સ, ડાના પી., નોનલેમેન્ટરી એન્ટિડરિવિટીઝ, 1 ડિસેમ્બર 1993. 24 જાન્યુઆરી, 2014ના રોજ મેળવેલ. ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ ઇન્ટિગ્રલ્સ