Combinatorial principles
સંયોજનમાં પરિણામો સાબિત કરવા માટે કેટલાક ઉપયોગી સંયોજન નિયમો અથવા સંયોજન સિદ્ધાંતોને સામાન્ય રીતે ઓળખવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સરવાળાનો નિયમ, ઉત્પાદનનો નિયમ અને સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ઘણીવાર ગણતરીના હેતુઓ માટે થાય છે. બે સમૂહોમાં સમાન સંખ્યામાં ઘટકો હોય છે તે દર્શાવવા માટે ઉદ્દેશ્ય પુરાવાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કબૂતર છિદ્ર સિદ્ધાંત ઘણીવાર કોઈ વસ્તુનું અસ્તિત્વ નક્કી કરે છે અથવા તેનો ઉપયોગ અલગ સંદર્ભમાં કોઈ વસ્તુનું લઘુતમ અથવા મહત્તમ સંખ્યા નક્કી કરવા માટે થાય છે. ઘણી સંયુક્ત ઓળખ બેવડી ગણતરી પદ્ધતિઓ અથવા વિશિષ્ટ તત્વની પદ્ધતિમાંથી ઉદ્ભવે છે. જનરેટિંગ ફંક્શન્સ અને રિકરેન્સ રિલેશન્સ એ શક્તિશાળી સાધનો છે જેનો ઉપયોગ સિક્વન્સને ચાલાકીથી ચલાવવા માટે થઈ શકે છે, અને જો ઘણી સંયુક્ત પરિસ્થિતિઓને હલ ન કરી શકાય તો તેનું વર્ણન કરી શકે છે. સરવાળાનો નિયમ એ એક સાહજિક સિદ્ધાંત છે જે જણાવે છે કે જો કોઈ ઘટના માટે સંભવિત પરિણામો (અથવા કંઈક કરવાની રીતો) હોય અને બીજી ઘટના માટે સંભવિત પરિણામો (અથવા બીજી વસ્તુ કરવાની રીતો) હોય, અને બે ઘટનાઓ બંને થઈ શકતી નથી (અથવા બે વસ્તુઓ બંને કરી શકાતી નથી), તો પછી ઘટનાઓ માટે કુલ સંભવિત પરિણામો (અથવા વસ્તુઓમાંથી એક કરવાની કુલ સંભવિત રીતો) એ + બી હોય છે. વધુ ઔપચારિક રીતે, બે અસંબદ્ધ સમૂહોના કદનો સરવાળો તેમના જોડાણના કદ જેટલો હોય છે. ઉત્પાદનનો નિયમ ઉત્પાદનનો નિયમ એ એક અન્ય સાહજિક સિદ્ધાંત છે જે જણાવે છે કે જો કંઈક કરવાની રીતો હોય અને બી બીજી વસ્તુ કરવાની રીતો હોય, તો પછી બંને વસ્તુઓ કરવાની રીતો છે. સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત બહુવિધ સમૂહોના જોડાણનું કદ, દરેક સમૂહનું કદ અને સમૂહોના દરેક સંભવિત આંતરછેદના કદને સંબંધિત છે. સૌથી નાનું ઉદાહરણ એ છે કે જ્યારે બે સમૂહો હોયઃ એ અને બીના જોડાણમાં તત્વોની સંખ્યા એ અને બીમાં તત્વોની સંખ્યાના સરવાળા જેટલી હોય છે, જે તેમના આંતરછેદમાં તત્વોની સંખ્યાને બાદ કરે છે. સામાન્ય રીતે, આ સિદ્ધાંત અનુસાર, જો A1,., an એ મર્યાદિત સમૂહો હોય, તો વિભાજનનો નિયમ વિભાગનો નિયમ જણાવે છે કે કાર્ય કરવા માટે n/d રીતો હોય છે, જો તે એવી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય કે જે n રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે, અને દરેક રીતે w માટે, n રીતોમાંથી બરાબર d એ રીતે w ને અનુરૂપ હોય. ઉદ્દેશ્ય પુરાવો ઉદ્દેશ્ય પુરાવો સાબિત કરે છે કે બે સમૂહોમાં એક સમૂહથી બીજા સમૂહમાં ઉદ્દેશ્ય કાર્ય (એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર) શોધીને સમાન સંખ્યામાં ઘટકો હોય છે. બેવડી ગણતરી એ એક એવી તકનીક છે જે બે સમીકરણોની બરાબરી કરે છે જે બે રીતે સમૂહના કદની ગણતરી કરે છે. કબૂતર છિદ્ર સિદ્ધાંત કબૂતર છિદ્ર સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો દરેક વસ્તુને બી બૉક્સમાંથી એકમાં મૂકવામાં આવે, જ્યાં એ> બી હોય, તો એક બૉક્સમાં એકથી વધુ વસ્તુ હોય છે. આનો ઉપયોગ કરીને, ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક ચોક્કસ ગુણધર્મો સાથે સમૂહમાં કેટલાક તત્વનું અસ્તિત્વ દર્શાવી શકાય છે. વિશિષ્ટ તત્વની પદ્ધતિ વિશિષ્ટ તત્વની પદ્ધતિ કેટલાક પરિણામ સાબિત કરવા માટે સમૂહના "વિશિષ્ટ તત્વ" ને બહાર કાઢે છે. જનરેટિંગ ફંક્શન જનરેટિંગ ફંક્શન્સને અનંત સંખ્યાબંધ શબ્દો ધરાવતી બહુપદીઓ તરીકે વિચારી શકાય છે, જેમના ગુણાંક ક્રમની શરતોને અનુરૂપ હોય છે. શ્રેણીની આ નવી રજૂઆત ચોક્કસ શ્રેણીઓને લગતી ઓળખ અને બંધ સ્વરૂપો શોધવા માટેની નવી પદ્ધતિઓ ખોલે છે. અનુક્રમનું (સામાન્ય) જનરેટિંગ ફંક્શન એ પુનરાવર્તન સંબંધ છે પુનરાવર્તન સંબંધ અગાઉના શબ્દોની દ્રષ્ટિએ અનુક્રમના દરેક પદને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પુનરાવર્તન સંબંધો ક્રમના અગાઉ અજ્ઞાત ગુણધર્મો તરફ દોરી શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે ક્રમની શરતો માટે બંધ-સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિઓ વધુ ઇચ્છિત હોય છે. સંદર્ભો ગાણિતિક સિદ્ધાંતો