Random sequence
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં યાદૃચ્છિક ક્રમની વિભાવના આવશ્યક છે. આ ખ્યાલ સામાન્ય રીતે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ક્રમની કલ્પના પર આધાર રાખે છે અને ઘણી આંકડાકીય ચર્ચાઓ "ચાલો X1,., Xn સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ" શબ્દોથી શરૂ થાય છે. તેમ છતાં ડી. એચ. લેહમરે 1951માં કહ્યું હતું કેઃ "એક અવ્યવસ્થિત ક્રમ એ એક અસ્પષ્ટ કલ્પના છે. જેમાં દરેક શબ્દ અનિર્ણિત લોકો માટે અણધારી હોય છે અને જેમના અંકો આંકડાશાસ્ત્રીઓ સાથે પરંપરાગત પરીક્ષણોની ચોક્કસ સંખ્યામાં પાસ થાય છે". સ્વયંસિદ્ધ સંભાવના સિદ્ધાંત ઇરાદાપૂર્વક રેન્ડમ ક્રમની વ્યાખ્યાને ટાળે છે. પરંપરાગત સંભાવના સિદ્ધાંત એ નથી જણાવતો કે કોઈ ચોક્કસ ક્રમ અવ્યવસ્થિત છે કે નહીં, પરંતુ સામાન્ય રીતે અવ્યવસ્થિતતાની કેટલીક વ્યાખ્યા ધારીને અવ્યવસ્થિત ચલ અને અવ્યવસ્થિત ક્રમના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરવા આગળ વધે છે. બોરબાકી શાળાએ આ નિવેદનને "ચાલો આપણે રેન્ડમ ક્રમને ધ્યાનમાં લઈએ" ભાષાનો દુરુપયોગ ગણાવ્યો હતો. પ્રારંભિક ઇતિહાસ એમિલ બોરેલ 1909 માં ઔપચારિક રીતે અવ્યવસ્થિતતાને સંબોધતા પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક હતા. 1919માં રિચાર્ડ વોન મિસેસે એલ્ગોરિધમિક રેન્ડમનેસની પ્રથમ વ્યાખ્યા આપી હતી, જે મોટી સંખ્યાના નિયમથી પ્રેરિત હતી, જોકે તેમણે રેન્ડમ ક્રમને બદલે સામૂહિક શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો. જુગાર પ્રણાલીની અશક્યતાની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, વોન મિસેસે શૂન્ય અને એકના અનંત ક્રમને રેન્ડમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યો જો તે આવર્તન સ્થિરતા ગુણધર્મ એટલે કે પક્ષપાતી ન હોય. શૂન્યની આવર્તન 1/2 સુધી જાય છે અને પસંદગીની "યોગ્ય" પદ્ધતિ દ્વારા આપણે તેમાંથી પસંદ કરી શકીએ તે દરેક પેટા-ક્રમ પણ પક્ષપાતી નથી. વોન મિસેસ દ્વારા લાદવામાં આવેલ પેટા-અનુક્રમ પસંદગી માપદંડ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે ભલે 0101010101. પક્ષપાતી ન હોય, પરંતુ વિચિત્ર સ્થાનો પસંદ કરવાથી આપણને 000000 મળે છે. જે અવ્યવસ્થિત નથી. વોન મિસેસે ક્યારેય પેટા-ક્રમ માટે યોગ્ય પસંદગીના નિયમની તેમની વ્યાખ્યાને સંપૂર્ણપણે ઔપચારિક બનાવી નથી, પરંતુ 1940માં એલોન્ઝો ચર્ચે તેને કોઈપણ પુનરાવર્તિત કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું જે ક્રમના પ્રથમ એન તત્વોને વાંચીને નક્કી કરે છે કે તે તત્વ સંખ્યા એન + 1 પસંદ કરવા માંગે છે કે નહીં. ચર્ચ ગણતરીપાત્ર કાર્યોના ક્ષેત્રમાં અગ્રણી હતું, અને તેમણે જે વ્યાખ્યા કરી હતી તે ગણતરીક્ષમતા માટે ચર્ચ ટ્યુરિંગ થીસીસ પર આધારિત હતી. આ વ્યાખ્યાને ઘણીવાર મિસેસ-ચર્ચ રેન્ડમનેસ કહેવામાં આવે છે. 20મી સદી દરમિયાન રેન્ડમ સિક્વન્સને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વિવિધ તકનીકી અભિગમો વિકસાવવામાં આવ્યા હતા અને હવે ત્રણ અલગ-અલગ દાખલાઓ ઓળખી શકાય છે. 1960ના દાયકાના મધ્યમાં, એ. એન. કોલ્મોગોરોવ અને ડી. ડબલ્યુ. લવલેન્ડે સ્વતંત્ર રીતે વધુ અનુકૂળ પસંદગીના નિયમની દરખાસ્ત કરી હતી. તેમના મતે ચર્ચની પુનરાવર્તિત કાર્ય વ્યાખ્યા ખૂબ પ્રતિબંધિત હતી કારણ કે તે ક્રમમાં તત્વોને વાંચે છે. તેના બદલે તેઓએ આંશિક રીતે ગણતરી કરી શકાય તેવી પ્રક્રિયા પર આધારિત એક નિયમની દરખાસ્ત કરી જે ક્રમના કોઈપણ એન તત્વોને વાંચીને નક્કી કરે છે કે તે અન્ય તત્વ પસંદ કરવા માંગે છે કે નહીં જે હજુ સુધી વાંચવામાં આવ્યું નથી. આ વ્યાખ્યાને ઘણીવાર કોલ્મોગોરોવ-લવલેન્ડ સ્ટોકેસ્ટિસિટી કહેવામાં આવે છે. પરંતુ આ પદ્ધતિને એલેક્ઝાન્ડર શેન દ્વારા ખૂબ નબળી માનવામાં આવી હતી, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે કોલ્મોગોરોવ-લવલેન્ડ સ્ટોકેસ્ટિક ક્રમ છે જે અવ્યવસ્થિતતાની સામાન્ય કલ્પનાને અનુરૂપ નથી. 1966માં પર માર્ટિન-લોફે એક નવી કલ્પના રજૂ કરી જે હવે સામાન્ય રીતે એલ્ગોરિધમિક રેન્ડમની સૌથી સંતોષકારક કલ્પના માનવામાં આવે છે. તેમની મૂળ વ્યાખ્યામાં માપન સિદ્ધાંત સામેલ હતો, પરંતુ પાછળથી એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે તેને કોલ્મોગોરોવ જટિલતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. કોલ્મોગોરોવની રેન્ડમ સ્ટ્રિંગની વ્યાખ્યા એ હતી કે જો સાર્વત્રિક ટ્યુરિંગ મશીન દ્વારા તેના કરતા નાનું કોઈ વર્ણન ન હોય તો તે રેન્ડમ છે. રેન્ડમ સિક્વન્સ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે ત્રણ મૂળભૂત દાખલાઓ હવે ઉભરી આવ્યા છેઃ આવર્તન/માપ-સૈદ્ધાંતિક અભિગમ. આ અભિગમ રિચાર્ડ વોન મિસેસ અને અલોન્ઝો ચર્ચના કાર્યથી શરૂ થયો હતો. 1960ના દાયકામાં પર માર્ટિન-લોફે નોંધ્યું હતું કે આવા આવર્તન-આધારિત સ્ટોકેસ્ટિક ગુણધર્મોને કોડિંગ કરતા સમૂહો એક ખાસ પ્રકારના માપ શૂન્ય સમૂહો છે, અને તમામ અસરકારક રીતે માપેલા શૂન્ય સમૂહોને ધ્યાનમાં લઈને વધુ સામાન્ય અને સરળ વ્યાખ્યા મેળવી શકાય છે. જટિલતા/સંકોચનક્ષમતા અભિગમ. લિયોનીદ લેવિન અને ગ્રેગરી ચૈટિનના યોગદાન સાથે એ. એન. કોલ્મોગોરોવ દ્વારા આ નમૂનાનું સમર્થન કરવામાં આવ્યું હતું. મર્યાદિત સિક્વન્સ માટે, કોલ્મોગોરોવ n લંબાઈની દ્વિસંગી સ્ટ્રિંગની અવ્યવસ્થિતતાને n લંબાઈ દ્વારા સામાન્યીકૃત એન્ટ્રોપી (અથવા કોલ્મોગોરોવ જટિલતા) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સ્ટ્રિંગની કોલ્મોગોરોવ જટિલતા n ની નજીક હોય, તો તે ખૂબ જ અવ્યવસ્થિત છે; જો જટિલતા n ની ઘણી નીચે હોય, તો તે એટલી અવ્યવસ્થિત નથી. અવ્યવસ્થિતતાની બેવડી વિભાવના સંકોચનક્ષમતા છે-એક ક્રમ જેટલો વધુ અવ્યવસ્થિત હોય છે, તેટલો ઓછો સંકોચનક્ષમ હોય છે, અને તેનાથી ઊલટું. આગાહી અભિગમ. આ દાખલો ક્લોઝ પી. શ્નોરને કારણે છે અને પરંપરાગત સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા માર્ટિંગેલ્સ કરતાં રચનાત્મક માર્ટિંગેલ્સની થોડી અલગ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે. શ્નોરે દર્શાવ્યું હતું કે કેવી રીતે પસંદગીયુક્ત સટ્ટાબાજીની વ્યૂહરચનાનું અસ્તિત્વ પક્ષપાતી પેટા-ક્રમ માટે પસંદગીના નિયમનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. જો ક્રમમાં રચનાત્મક રીતે સફળ થવાને બદલે ક્રમમાં સફળ થવા માટે માત્ર પુનરાવર્તિત માર્ટીંગેલની જરૂર હોય, તો પછી વ્યક્તિને પુનરાવર્તિત અવ્યવસ્થિતતાનો ખ્યાલ મળે છે. યોંગગે વાંગે દર્શાવ્યું હતું કે રિકર્સિવ રેન્ડમનેસ ખ્યાલ શ્નોરના રેન્ડમનેસ ખ્યાલથી અલગ છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, ત્રણ દાખલાઓ (ઘણીવાર સમાનતા) ને લગતા સિદ્ધાંતો સાબિત થયા છે. આ પણ જુઓ રેન્ડમનેસનો ઇતિહાસ રેન્ડમ નંબર જનરેટર રેન્ડમનેસની સાત સ્થિતિઓ આંકડાકીય રેન્ડમનેસ સંદર્ભો સેર્ગીયો બી. વોલ્ચન રેન્ડમ ક્રમ શું છે? અમેરિકન મેથેમેટિકલ મંથલી, વોલ્યુમ. 109, 2002, પૃ. 46-63 નોંધો બાહ્ય કડીઓ આવૃત્તિ સ્થિરતા પર વીડિયો. શા માટે મનુષ્યો ટેરી રિટર સિક્વન્સ અને સિરીઝ સ્ટેટિસ્ટિકલ રેન્ડમનેસ દ્વારા રેન્ડમલી રેન્ડમનેસ પરીક્ષણો "અનુમાન" કરી શકતા નથી