Dyadic transformation
ડાયડિક પરિવર્તન (ડાયડિક નકશો, બીટ શિફ્ટ નકશો, 2x મોડ 1 નકશો, બર્નૌલી નકશો, ડબલિંગ નકશો અથવા સોટૂથ નકશો તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ નિયમ દ્વારા ઉત્પાદિત મેપિંગ (એટલે કે, પુનરાવૃત્તિ સંબંધ) (જ્યાંથી ક્રમનો સમૂહ છે) છે. સમાનરૂપે, ડાયડિક પરિવર્તનને પીસવાઇઝ રેખીય કાર્યના પુનરાવર્તિત કાર્ય નકશા તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે બીટ શિફ્ટ નામ નકશો ઊભો થાય છે કારણ કે, જો પુનરાવર્તનનું મૂલ્ય દ્વિસંગી સંકેતલિપીમાં લખવામાં આવે છે, તો આગામી પુનરાવર્તન દ્વિસંગી બિંદુને એક બીટ જમણી તરફ ખસેડીને મેળવવામાં આવે છે, અને જો નવા દ્વિસંગી બિંદુની ડાબી બાજુનો બીટ "એક" હોય, તો તેને શૂન્ય સાથે બદલી શકાય છે. ડાયડિક પરિવર્તન એક સરળ 1-પરિમાણીય નકશો કેવી રીતે અંધાધૂંધીને જન્મ આપી શકે છે તેનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે. આ નકશો સહેલાઈથી અન્ય કેટલાકને સામાન્ય બનાવે છે. એક મહત્વપૂર્ણ બીટા પરિવર્તન છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ નકશાનો ઘણા લેખકો દ્વારા વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. તે 1957 માં આલ્ફ્રેડ રેની દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, અને તેના માટે એક અપરિવર્તનશીલ માપ 1959 માં એલેક્ઝાન્ડર ગેલફોન્ડ દ્વારા અને ફરીથી 1960 માં બિલ પેરી દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે આપવામાં આવ્યું હતું. બર્નૌલી પ્રક્રિયા સાથે સંબંધ બર્નૌલી પ્રક્રિયા પર હોમોમોર્ફિઝમ તરીકે નકશો મેળવી શકાય છે. ચાલો અક્ષરો અને તમામ અર્ધ-અનંત શબ્દમાળાઓનો સમૂહ બનીએ. આને સિક્કાની પલટીઓ તરીકે સમજી શકાય છે, જે માથા અથવા પૂંછડીઓ ઉપર આવે છે. સમાનરૂપે, દ્વિસંગી બિટ્સના તમામ (અર્ધ-) અનંત શબ્દમાળાઓની જગ્યા લખી શકાય છે. "અનંત" શબ્દ "અર્ધ-" સાથે યોગ્ય છે, કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિ એક અલગ જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જેમાં તમામ બમણાં-અનંત (બેવડાં અંતવાળા) શબ્દમાળાઓનો સમાવેશ થાય છે; આ બેકરના નકશા તરફ દોરી જશે. લાયકાત "સેમી-" નીચે મુકવામાં આવી છે. આ જગ્યા કુદરતી શિફ્ટ કામગીરી ધરાવે છે, જે દ્વિસંગી અંકોની અનંત સ્ટ્રિંગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આવી સ્ટ્રિંગને જોતાં, લખો કે પરિણામી એકમ અંતરાલમાં એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે શિફ્ટ એકમ અંતરાલ પર હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે, જેને હોમોમોર્ફિઝમ પણ કહેવાય છે. કારણ કે કોઈ સરળતાથી જોઈ શકે છે કે બિટ્સના બમણા-અનંત ક્રમ માટે પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ એ બેકરનો નકશો છે. ડાયડિક ક્રમ પછી માત્ર ક્રમ છે એટલે કે, કેન્ટોર સમૂહ નોંધ લો કે સરવાળો પરંપરાગત રીતે વ્યાખ્યાયિત કેન્ટોર કાર્ય આપે છે. આ એક કારણ છે કે સેટને કેટલીકવાર કેન્ટોર સેટ કહેવામાં આવે છે. માહિતી ગુમાવવાનો દર અને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર સંવેદનશીલ નિર્ભરતા અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલતાની એક ઓળખ એ છે કે જેમ જેમ સિમ્યુલેશન થાય છે તેમ તેમ માહિતી ગુમાવવી. જો આપણે પ્રારંભિક પુનરાવર્તનના પ્રથમ s બિટ્સ પરની માહિતીથી શરૂઆત કરીએ, તો પછી m સિમ્યુલેટેડ પુનરાવર્તનો (m <s) પછી આપણી પાસે માત્ર s − m બિટ્સની માહિતી બાકી છે. આમ આપણે પુનરાવર્તન દીઠ એક બીટના ઘાતાંકીય દરે માહિતી ગુમાવીએ છીએ. s પુનરાવર્તનો પછી, આપણું સિમ્યુલેશન નિશ્ચિત બિંદુ શૂન્ય સુધી પહોંચી ગયું છે, સાચા પુનરાવર્તિત મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વિના; આમ આપણે માહિતીની સંપૂર્ણ ખોટ સહન કરી છે. આ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પરની સંવેદનશીલ નિર્ભરતાને સમજાવે છે-કાપેલી પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી મેપિંગ સાચી પ્રારંભિક સ્થિતિથી મેપિંગથી ઝડપથી વિચલિત થઈ ગયું છે. અને આપણું સિમ્યુલેશન એક નિશ્ચિત બિંદુ પર પહોંચી ગયું હોવાથી, લગભગ તમામ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ માટે તે ગતિશીલતાને ગુણાત્મક રીતે યોગ્ય રીતે અસ્તવ્યસ્ત તરીકે વર્ણવશે નહીં. માહિતી ગુમાવવાની વિભાવનાની સમકક્ષ માહિતી મેળવવાની વિભાવના છે. વ્યવહારમાં કેટલીક વાસ્તવિક દુનિયાની પ્રક્રિયાઓ સમય જતાં મૂલ્યો (xn) નો ક્રમ પેદા કરી શકે છે, પરંતુ આપણે આ મૂલ્યોને ફક્ત કાપેલા સ્વરૂપમાં જ અવલોકન કરી શકીશું. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે x0 = 0.1001 101, પરંતુ આપણે ફક્ત કાપેલી કિંમત 0.1001 નું અવલોકન કરીએ છીએ. x1 માટે આપણી આગાહી 0.001 છે. જો આપણે વાસ્તવિક દુનિયાની પ્રક્રિયા દ્વારા સાચું x1 મૂલ્ય 0.0011 01 ઉત્પન્ન થાય ત્યાં સુધી રાહ જોઈશું, તો આપણે કાપેલા મૂલ્ય 0.0011 નું અવલોકન કરી શકીશું, જે આપણા અનુમાનિત મૂલ્ય 0.001 કરતાં વધુ સચોટ છે. તેથી આપણને એક બીટનો માહિતી લાભ મળ્યો છે. તંબુના નકશા અને લોજિસ્ટિક નકશા સાથેનો સંબંધ ડાયડિક પરિવર્તન ટોપોલોજીકલ રીતે એકમ-ઊંચાઈના તંબુના નકશામાં અર્ધ-સંયુગ્મિત છે. યાદ કરો કે એકમ-ઊંચાઈ તંબુનો નકશો દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે સંયુગ્મતા સ્પષ્ટપણે આ રીતે આપવામાં આવે છે કે, આ પુનરાવર્તન હેઠળ સ્થિર છે, કારણ કે તે લોજિસ્ટિક નકશાના અસ્તવ્યસ્ત r = 4 કેસ સાથે પણ સંયુગ્મ છે. લોજિસ્ટિક નકશાનો r = 4 કેસ છે; આ ચલ x માં બીટ શિફ્ટ નકશા સાથે સંબંધિત છે. અહીં, નકશો વળાંકમાં માપવામાં આવેલા ખૂણાઓને બમણા કરે છે. એટલે કે, નકશો સામયિકતા અને બિન-સામયિકતા દ્વારા આપવામાં આવે છે કારણ કે જ્યારે પુનરાવર્તનોને દ્વિસંગી સંકેતલિપીમાં જોવામાં આવે છે ત્યારે ગતિશીલતાની સરળ પ્રકૃતિને કારણે, પ્રારંભિક સ્થિતિના આધારે ગતિશીલતાને વર્ગીકૃત કરવી સરળ છેઃ જો પ્રારંભિક સ્થિતિ અતાર્કિક હોય (એકમ અંતરાલમાં લગભગ તમામ બિંદુઓ છે), તો ગતિશીલતા બિન-સામયિક હોય છે-આ બિન-પુનરાવર્તિત દ્વિસંગી વિસ્તરણ સાથે એક તરીકે અતાર્કિક સંખ્યાની વ્યાખ્યાથી સીધા જ અનુસરે છે. આ અસ્તવ્યસ્ત કેસ છે. જો x0 તર્કસંગત હોય તો x0 ની છબીમાં [0,1] ની અંદર મર્યાદિત સંખ્યામાં વિશિષ્ટ મૂલ્યો હોય છે અને x0 ની આગળની ભ્રમણકક્ષા આખરે સામયિક હોય છે, જેનો સમયગાળો x0 ના દ્વિસંગી વિસ્તરણના સમયગાળા જેટલો હોય છે. ખાસ કરીને, જો પ્રારંભિક સ્થિતિ k બિટ્સના મર્યાદિત દ્વિસંગી વિસ્તરણ સાથે તર્કસંગત સંખ્યા હોય, તો પછી k પુનરાવર્તનો પછી પુનરાવર્તનો નિશ્ચિત બિંદુ 0 સુધી પહોંચે છે; જો પ્રારંભિક સ્થિતિ k-બીટ ક્ષણિક (k ≤ 0) સાથે તર્કસંગત સંખ્યા હોય અને ત્યારબાદ q-બીટ ક્રમ (q> 1) હોય જે પોતાને અનંત પુનરાવર્તન કરે છે, તો પછી k પુનરાવર્તનો પછી પુનરાવર્તનો લંબાઈ q ના ચક્ર સુધી પહોંચે છે. આમ તમામ લંબાઈના ચક્ર શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 11/24 ની આગળની ભ્રમણકક્ષા છેઃ જે સમયગાળો 2 ના ચક્ર સુધી પહોંચી ગઈ છે. [0,1] ના કોઈપણ પેટા અંતરાલમાં, ભલે ગમે તેટલું નાનું હોય, તેથી અનંત સંખ્યામાં બિંદુઓ હોય છે જેમની ભ્રમણકક્ષાઓ આખરે સામયિક હોય છે, અને અનંત સંખ્યામાં બિંદુઓ હોય છે જેમની ભ્રમણકક્ષાઓ ક્યારેય સામયિક હોતી નથી. પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પરની આ સંવેદનશીલ નિર્ભરતા અસ્તવ્યસ્ત નકશાની લાક્ષણિકતા છે. સામયિક અને બિન-સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓને સીધા નકશા સાથે કામ કરીને નહીં, પરંતુ કેન્ટોર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત બીટ શિફ્ટ નકશા સાથે વધુ સરળતાથી સમજી શકાય છે. એટલે કે, હોમોમોર્ફિઝમ મૂળભૂત રીતે એક નિવેદન છે કે કેન્ટોર સમૂહને વાસ્તવિકમાં મેપ કરી શકાય છે. તે એક અનુમાન છેઃ કેન્ટોર સમૂહમાં દરેક ડાયડિક તર્કસંગતને એક નહીં, પરંતુ બે અલગ અલગ રજૂઆતો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ માત્ર પ્રખ્યાત 0.999. = 1 સમસ્યાનું દ્વિસંગી-સ્ટ્રિંગ સંસ્કરણ છે. બમણી રજૂઆતો સામાન્ય રીતે ધરાવે છેઃ લંબાઈના કોઈપણ આપેલ મર્યાદિત-લંબાઈના પ્રારંભિક ક્રમ માટે, એક હોય છે પ્રારંભિક ક્રમ ભ્રમણકક્ષાના બિન-સામયિક ભાગને અનુરૂપ હોય છે, જે પછી પુનરાવર્તન બધા શૂન્ય (સમકક્ષ, બધા-એક) સુધી સ્થિર થાય છે. બીટ સ્ટ્રિંગ્સ તરીકે અભિવ્યક્ત, નકશાની સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓ તર્કસંગત રીતે જોઈ શકાય છે. એટલે કે, પ્રારંભિક "અસ્તવ્યસ્ત" ક્રમ પછી, સામયિક ભ્રમણકક્ષા લંબાઈના પુનરાવર્તિત તારમાં સ્થિર થાય છે. તે જોવું મુશ્કેલ નથી કે આવા પુનરાવર્તિત ક્રમ તર્કસંગત સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે. એક પછી સ્પષ્ટપણે લખવામાં આવે છે પ્રારંભિક બિન-પુનરાવર્તિત ક્રમ પર ટેકિંગ, એક સ્પષ્ટ રીતે તર્કસંગત સંખ્યા ધરાવે છે. હકીકતમાં, દરેક પરિમેય સંખ્યાને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ પ્રારંભિક "રેન્ડમ" ક્રમ, ત્યારબાદ ચક્રનું પુનરાવર્તન થાય છે. એટલે કે, નકશાની સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓ તર્કસંગત સાથે એક-થી-એક અનુરૂપ હોય છે. આ ઘટના નોંધવા યોગ્ય છે, કારણ કે ઘણી અસ્તવ્યસ્ત પ્રણાલીઓમાં કંઈક આવું જ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ પરના ભૂગણિતમાં સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓ હોઈ શકે છે જે આ રીતે વર્તે છે. જો કે, ધ્યાનમાં રાખો કે તર્કસંગત એ વાસ્તવિકમાં શૂન્ય માપનો સમૂહ છે. લગભગ તમામ ભ્રમણકક્ષાઓ સામયિક નથી હોતી! અપેરિયોડિક ભ્રમણકક્ષાઓ અતાર્કિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે. આ ગુણધર્મ વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં પણ સાચું છે. એક ખુલ્લો પ્રશ્ન એ છે કે સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓનું વર્તન સમગ્ર પ્રણાલીના વર્તનને કેટલી હદ સુધી અવરોધે છે. આર્નોલ્ડ પ્રસરણ જેવી ઘટનાઓ સૂચવે છે કે સામાન્ય જવાબ "બહુ નથી". ઘનતા રચના નકશાની ક્રિયા હેઠળ વ્યક્તિગત બિંદુઓની ભ્રમણકક્ષાઓને જોવાને બદલે, નકશો એકમ અંતરાલ પર ઘનતાને કેવી રીતે અસર કરે છે તે શોધવું પણ એટલું જ યોગ્ય છે. એટલે કે, એકમ અંતરાલ પર થોડી ધૂળ છાંટવાની કલ્પના કરો; તે અન્ય સ્થળોની સરખામણીમાં કેટલીક જગ્યાએ વધુ ગાઢ હોય છે. જેમ જેમ પુનરાવર્તન થાય છે તેમ તેમ આ ઘનતાનું શું થાય છે? આ ઘનતા તરીકે લખો, જેથી. આ ઘનતા પરની ક્રિયા મેળવવા માટે, વ્યક્તિએ તમામ બિંદુઓ શોધવાની અને લખવાની જરૂર છે ઉપરોક્ત છેદ એ પરિવર્તનનો જેકોબિયન નિર્ધારક છે, અહીં તે માત્ર અને તેથી વ્યુત્પન્ન છે. ઉપરાંત, દેખીતી રીતે પ્રિમેજમાં માત્ર બે બિંદુઓ છે, આ છે અને તે બધાને એકસાથે મૂકીને, એકને મળે છે પરંપરા દ્વારા, આવા નકશાને આ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જેથી આ કિસ્સામાં, લખો નકશો એક રેખીય સંચાલક છે, કારણ કે કોઈ સરળતાથી તે જુએ છે અને એકમ અંતરાલ પરના તમામ કાર્યો માટે, અને તમામ અચળાંકો. રેખીય સંચાલક તરીકે જોવામાં આવે તો, સૌથી સ્પષ્ટ અને દબાવી દેનાર પ્રશ્ન છેઃ તેનું વર્ણપટ શું છે? એક આઈગન વેલ્યુ સ્પષ્ટ છેઃ જો બધા માટે તો દેખીતી રીતે એક હોય છે તેથી પરિવર્તન હેઠળ સમાન ઘનતા અપરિવર્તનશીલ છે. હકીકતમાં આ ઓપરેટરનું સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ છે, તે ફ્રોબેનિયસ-પેરોન આઈગન વેલ્યુ છે. એકસમાન ઘનતા, હકીકતમાં, ડાયડિક પરિવર્તનના અપરિવર્તનશીલ માપ સિવાય બીજું કંઈ નથી. સ્પેક્ટ્રમનું વધુ વિગતવાર અન્વેષણ કરવા માટે, વ્યક્તિએ પહેલા પોતાની સાથે કામ કરવા માટે કાર્યોની યોગ્ય જગ્યા (એકમ અંતરાલ પર) સુધી મર્યાદિત રહેવું જોઈએ. આ લેબસ્ગ્યુ માપી શકાય તેવા વિધેયોની જગ્યા હોઈ શકે છે, અથવા કદાચ ચોરસ સંકલનક્ષમ વિધેયોની જગ્યા હોઈ શકે છે, અથવા કદાચ માત્ર બહુપદીઓ પણ હોઈ શકે છે. આમાંની કોઈપણ જગ્યા સાથે કામ કરવું આશ્ચર્યજનક રીતે મુશ્કેલ છે, જો કે સ્પેક્ટ્રમ મેળવી શકાય છે. બોરેલ જગ્યા જો કોઈ તેના બદલે કેન્ટોર જગ્યા અને કાર્યો સાથે કામ કરે તો મોટા પ્રમાણમાં સરળીકરણનું પરિણામ મળે છે કેટલીક સાવચેતીની સલાહ આપવામાં આવે છે, કારણ કે નકશાને વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાના એકમ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, વાસ્તવિક પર કુદરતી ટોપોલોજી ધારીને. તેનાથી વિપરીત, નકશાને કેન્ટોર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને પરંપરા દ્વારા ખૂબ જ અલગ ટોપોલોજી, પ્રોડક્ટ ટોપોલોજી આપવામાં આવે છે. ત્યાં ટોપોલોજીનો સંભવિત સંઘર્ષ છે; થોડી કાળજી લેવી આવશ્યક છે. જો કે, ઉપર પ્રસ્તુત કર્યા મુજબ, કેન્ટોરમાંથી એક હોમોમોર્ફિઝમ વાસ્તવિકમાં સેટ છે; સદભાગ્યે, તે ખુલ્લા સમૂહોને ખુલ્લા સમૂહોમાં મેપ કરે છે, અને આમ સાતત્યની કલ્પનાઓને જાળવી રાખે છે. કેન્ટોર સમૂહ સાથે કામ કરવા માટે, વ્યક્તિએ તેના માટે ટોપોલોજી પ્રદાન કરવી આવશ્યક છે; પરંપરા મુજબ, આ ઉત્પાદન ટોપોલોજી છે. સેટ-કોમ્પ્લીમેન્ટ્સને સંલગ્ન કરીને, તેને બોરેલ સ્પેસ, એટલે કે સિગ્મા બીજગણિત સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ટોપોલોજી એ સિલિન્ડર સેટની છે. સિલિન્ડર સમૂહમાં સામાન્ય સ્વરૂપ હોય છે જ્યાં મનસ્વી બીટ મૂલ્યો હોય છે (જરૂરી નથી કે બધા સમાન હોય), અને અનંત બીટ-સ્ટ્રિંગમાં વિખેરાયેલા ચોક્કસ બીટ-મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે. આ ટોપોલોજીના ખુલ્લા સમૂહો છે. આ જગ્યા પર પ્રમાણભૂત માપ વાજબી સિક્કા ફેંકવા માટેનું બર્નૌલી માપ છે. જો મનસ્વી સ્થિતિઓની સ્ટ્રિંગમાં માત્ર એક બીટ નિર્દિષ્ટ હોય, તો માપ 1/2 છે. જો બે બિટ્સ નિર્દિષ્ટ હોય, તો માપ 1/4, અને તેથી વધુ છે. જો ક્રમમાં માથા અને પૂંછડીઓ હોય તો વાસ્તવિક સંખ્યા આપવામાં આવે તો તે માપને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. સાથે માપ પસંદ કરવામાં આવે છે, કારણ કે તે નકશા દ્વારા સાચવવામાં આવે છે તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ માટે નકશા અને અંતરાલ માટે નકશા અને આ બંને અંતરાલોનું માપ 1/2 છે. એ જ રીતે, અંતરાલનો નકશો જે હજુ પણ 1/2 માપ ધરાવે છે. એટલે કે, ઉપરનું એમ્બેડિંગ માપને સાચવે છે. એક વિકલ્પ એ લખવાનો છે કે જે માપને સાચવે છે એટલે કે, તે એવો નકશો બનાવે છે કે એકમ અંતરાલ પરનું માપ ફરીથી લેબસ્ગ્યુ માપ છે. ફ્રોબેનિયસ-પેરોન ઓપરેટર કેન્ટોર પર સેટ કરેલા તમામ ખુલ્લા સમૂહોના સંગ્રહને સૂચવે છે અને તમામ મનસ્વી વિધેયોના સમૂહને ધ્યાનમાં લે છે. સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ એ ફ્રોબેનિયસ-પેરોન આઈગન વેલ્યુ છે, અને આ કિસ્સામાં, તે 1 છે. સંકળાયેલ આઈગનવેક્ટર એ અપરિવર્તનશીલ માપ છેઃ આ કિસ્સામાં, તે બર્નૌલી માપ છે. ફરીથી, જ્યારે સ્પેક્ટ્રમ સ્પેક્ટ્રમ મેળવવા માટે, વ્યક્તિએ જગ્યા માટે આધાર કાર્યોનો યોગ્ય સમૂહ પ્રદાન કરવો આવશ્યક છે આવી એક પસંદગી તમામ બહુપદીઓના સમૂહ સુધી મર્યાદિત છે. આ કિસ્સામાં, સંચાલક પાસે એક અલગ વર્ણપટ હોય છે, અને આઈગનફંક્શન્સ (વિચિત્ર રીતે) બર્નૌલી બહુપદીઓ છે! (નામકરણનો આ સંયોગ કદાચ બર્નૌલીને ખબર ન હતી.) ખરેખર, બર્નૌલી બહુપદીઓ ક્યાં છે તે સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. આનું કારણ એ છે કે બર્નૌલી બહુપદીઓ ઓળખનું પાલન કરે છે નોંધ કરો કે બીજો આધાર હાર આધાર દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, અને અવકાશમાં ફેલાયેલા કાર્યો હાર તરંગો છે. આ કિસ્સામાં, એક સતત વર્ણપટ મળે છે, જેમાં જટિલ સમતલ પર એકમ ડિસ્કનો સમાવેશ થાય છે. યુનિટ ડિસ્કમાં આપેલ છે, જેથી, વિધેયો તેનું પાલન કરે આ એક સંપૂર્ણ આધાર છે, જેમાં દરેક પૂર્ણાંકને આ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે બર્નૌલી બહુપદીઓ સેટિંગ દ્વારા પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે અને એક સંપૂર્ણ આધાર અન્ય રીતે પણ આપી શકાય છે; તેઓ હર્વિટ્ઝ ઝેટા કાર્યની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે. અન્ય સંપૂર્ણ આધાર તાકાગી કાર્ય દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. આ એક ફ્રેક્ટલ, ડિફરન્શીયેબલ-નોવેર ફંક્શન છે. આઈગનફંક્શન્સ સ્પષ્ટ રીતે ત્રિકોણ તરંગનું સ્વરૂપ છે. એક પાસે, ફરીથી, આ તમામ વિવિધ પાયાને એક-બીજાના રેખીય સંયોજનો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ અર્થમાં, તેઓ સમાન છે. ફ્રેક્ટલ આઈગનફંક્શન્સ મોડ્યુલર ગ્રૂપના ફ્રેક્ટલ ગ્રૂપોઇડ હેઠળ સ્પષ્ટ સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે; આ તાકાગી ફંક્શન (બ્લેન્કમેન્જ કર્વ) પરના લેખમાં વધુ વિગતવાર વિકસાવવામાં આવ્યું છે. કદાચ આશ્ચર્યજનક નથી; કેન્ટોર સમૂહમાં સમપ્રમાણતાનો બરાબર એ જ સમૂહ છે (જેમ સતત અપૂર્ણાંકો કરે છે.) આ પછી લંબગોળ સમીકરણો અને મોડ્યુલર સ્વરૂપોના સિદ્ધાંતમાં સુંદર રીતે દોરી જાય છે. ઇઝિંગ મોડેલ સાથે સંબંધ સામયિક સીમા શરતો સાથે સ્પિનના શૂન્ય-ક્ષેત્ર એક-પરિમાણીય ઇઝિંગ મોડેલના હેમિલ્ટોનિયનને લેટિંગ તરીકે લખી શકાય છે જે યોગ્ય રીતે પસંદ કરેલ સામાન્યકરણ અચળાંક છે અને સિસ્ટમ માટે વ્યસ્ત તાપમાન છે, આ મોડેલ માટેનું પાર્ટીશન કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ કરવાથી, કોઈ એવું શોધી કાઢે છે કે તેને પરંતુ સ્પિન સાથે નાની સિસ્ટમ માટે પાર્ટીશન ફંક્શન સાથે પણ સરખાવી શકાય છે, જો કે આપણે તેને બદલીએ અને પુનરાવર્તિત મૂલ્યો સાથે અને સમીકરણોને સંતોષ આપીએ તો ધારો કે હવે આપણે જટિલ બનવાની મંજૂરી આપીએ છીએ અને તે કેટલાક માટે. તે કિસ્સામાં આપણે સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત પરિમાણ રજૂ કરી શકીએ છીએ અને પરિણામે પુનર્રચના જૂથ પરિવર્તન ચોક્કસપણે ડાયડિક નકશો હશેઃ બર્નૌલી પ્રક્રિયા બર્નૌલી યોજના ગિલ્બર્ટ-શૅનન-રીડ્સ મોડેલ પણ જુઓ, એકમ અંતરાલ પર n સમાન રીતે રેન્ડમ બિંદુઓના સમૂહ પર દ્વિગુણિત નકશાને લાગુ કરીને આપવામાં આવેલ ક્રમચયોતનું રેન્ડમ વિતરણ નોંધો ડીન જે. ડ્રીબે, સંપૂર્ણ અવ્યવસ્થિત નકશા અને તૂટેલા સમયની સમપ્રમાણતા, (1999) ક્લૂવર એકેડેમિક પબ્લિશર્સ, ડોર્ડ્રેક્ટ નેધરલેન્ડ્સ લિનાસ વેપસ્ટાસ, ધ બર્નૌલી મેપ, ગૌસ-કુઝમિન-વિર્સિંગ ઓપરેટર અને રીમેન ઝેટા, (2004) અવ્યવસ્થિત નકશા