Negative binomial distribution
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ એક અલગ સંભાવના વિતરણ છે જે ચોક્કસ (બિન-યાદૃચ્છિક) સફળતાઓની સંખ્યા (સૂચિત) થાય તે પહેલાં સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત બર્નૌલી પરીક્ષણોના ક્રમમાં નિષ્ફળતાની સંખ્યાનું મોડેલ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે ડાઇ પર 6 ને રોલિંગને સફળતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, અને અન્ય કોઈપણ સંખ્યાને નિષ્ફળતા તરીકે રોલિંગ કરી શકીએ છીએ, અને પૂછી શકીએ છીએ કે આપણે ત્રીજી સફળતા () જોઈએ તે પહેલાં કેટલા નિષ્ફળતા રોલ્સ થશે. આવા કિસ્સામાં, દેખાતી નિષ્ફળતાઓની સંખ્યાનું સંભાવના વિતરણ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ હશે. એક વૈકલ્પિક ફોર્મ્યુલેશન એ છે કે કુલ પરીક્ષણોની સંખ્યા (નિષ્ફળતાની સંખ્યાને બદલે) નું મોડેલ બનાવવું. હકીકતમાં, ચોક્કસ (બિન-યાદૃચ્છિક) સફળતાઓની સંખ્યા (r) માટે, નિષ્ફળતાની સંખ્યા (n − r) યાદૃચ્છિક હોય છે કારણ કે કુલ પરીક્ષણો (n) યાદૃચ્છિક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ ચોક્કસ મશીનના કામ કરતા દિવસોની સંખ્યા n (રેન્ડમ) નું મોડેલ બનાવવા માટે કરી શકીએ છીએ (r દ્વારા નિર્દિષ્ટ) તે તૂટી જાય તે પહેલાં. પાસ્કલ વિતરણ (બ્લેઇઝ પાસ્કલ પછી) અને પોલ્યા વિતરણ (જ્યોર્જ પોલ્યા માટે) એ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણના વિશેષ કિસ્સાઓ છે. ઇજનેરો, આબોહવાશાસ્ત્રીઓ અને અન્ય લોકો વચ્ચેની પરંપરા એ છે કે પૂર્ણાંક-મૂલ્યના સ્ટોપિંગ-ટાઇમ પરિમાણ () ના કિસ્સામાં "નકારાત્મક દ્વિપદી" અથવા "પાસ્કલ" નો ઉપયોગ કરવો અને વાસ્તવિક-મૂલ્યના કેસ માટે "પોલ્યા" નો ઉપયોગ કરવો. ટોર્નેડો ફાટી નીકળવા જેવી સંકળાયેલ અલગ ઘટનાઓની ઘટનાઓ માટે, પોલ્યા વિતરણનો ઉપયોગ પોઈસનથી વિપરીત સરેરાશ અને તફાવતને અલગ રાખવાની મંજૂરી આપીને પોઈસન વિતરણ કરતાં વધુ સચોટ નમૂનાઓ આપવા માટે થઈ શકે છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણમાં ભિન્નતા હોય છે, જેમાં આપેલ સરેરાશની મર્યાદામાં વિતરણ પોઈસન જેવું જ બને છે. જ્યારે નિષ્ફળતાઓ વધુને વધુ દુર્લભ હોય છે). આ વિતરણને પોઈસન વિતરણ માટે ઉપયોગી ઓવરડિસ્પર્સ વિકલ્પ બનાવી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે પોઈસન રીગ્રેસનના મજબૂત ફેરફાર માટે. રોગચાળા વિજ્ઞાનમાં, તેનો ઉપયોગ ચેપી રોગો માટે રોગના સંક્રમણનું મોડેલ બનાવવા માટે કરવામાં આવે છે જ્યાં આગળના ચેપની સંભવિત સંખ્યા વ્યક્તિથી વ્યક્તિમાં અને સેટિંગથી સેટિંગમાં નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ શકે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, તે યોગ્ય હોઈ શકે છે જ્યાં ઘટનાઓ હકારાત્મક સહસંબંધિત ઘટનાઓ ધરાવે છે જે હકારાત્મક સહપ્રસરણ શબ્દને કારણે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોય તેના કરતા મોટી ભિન્નતા પેદા કરે છે. "નકારાત્મક દ્વિપદી" શબ્દ સંભવતઃ એ હકીકતને કારણે છે કે વિતરણના સંભાવના સમૂહ કાર્ય માટેના સૂત્રમાં દેખાતો ચોક્કસ દ્વિપદી ગુણાંક નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે વધુ સરળ રીતે લખી શકાય છે. વ્યાખ્યાઓ સ્વતંત્ર બર્નૌલી પરીક્ષણોના ક્રમની કલ્પના કરોઃ દરેક પરીક્ષણમાં બે સંભવિત પરિણામો હોય છે જેને "સફળતા" અને "નિષ્ફળતા" કહેવાય છે. દરેક અજમાયશમાં સફળતાની અને નિષ્ફળતાની સંભાવના હોય છે. જ્યાં સુધી પૂર્વનિર્ધારિત સંખ્યામાં સફળતા ન મળે ત્યાં સુધી આપણે આ ક્રમનું પાલન કરીએ છીએ. પછી અવલોકન કરાયેલી નિષ્ફળતાઓની યાદૃચ્છિક સંખ્યા, નકારાત્મક દ્વિપદી (અથવા પાસ્કલ) વિતરણને અનુસરે છેઃ સંભાવના સમૂહ કાર્ય નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના સમૂહ કાર્ય છે જ્યાં r એ સફળતાની સંખ્યા છે, k એ નિષ્ફળતાની સંખ્યા છે, અને p એ દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના છે. અહીં, કૌંસમાં જથ્થો દ્વિપદી ગુણાંક છે, અને તેની બરાબર છે. k + r ને બદલે k + r − 1 પરીક્ષણોમાંથી k નિષ્ફળતાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે k + r પરીક્ષણોમાંથી છેલ્લું પરીક્ષણ વ્યાખ્યા દ્વારા સફળ છે. આ જથ્થાને વૈકલ્પિક રીતે નીચેની રીતે લખી શકાય છે, "નકારાત્મક દ્વિપદી" નામ સમજાવીનેઃ નોંધ કરો કે છેલ્લી અભિવ્યક્તિ અને દ્વિપદી શ્રેણી દ્વારા, દરેક માટે અને, તેથી સંભાવના સમૂહ કાર્યની શરતો ખરેખર નીચે મુજબ એક સુધી ઉમેરે છે. સંભાવના સમૂહ કાર્યની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાને સમજવા માટે, નોંધ લો કે r સફળતાઓ અને k નિષ્ફળતાના દરેક ચોક્કસ ક્રમની સંભાવના છે, કારણ કે k + r પરીક્ષણોના પરિણામો સ્વતંત્ર રીતે થવાના છે. છઠ્ઠી સફળતા હંમેશા છેલ્લે આવતી હોવાથી, બાકીના k + r−1 પરીક્ષણોમાંથી નિષ્ફળતાઓ સાથે k પરીક્ષણો પસંદ કરવાનું રહે છે. ઉપરોક્ત દ્વિપદી ગુણાંક, તેના સંયુક્ત અર્થઘટનને કારણે, લંબાઈ k + r − 1 ના આ તમામ ક્રમની ચોક્કસ સંખ્યા આપે છે. સંચયી વિતરણ કાર્ય સંચયી વિતરણ કાર્યને નિયમિત અપૂર્ણ બીટા કાર્યની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ (આ સૂત્ર લેખના કોષ્ટકમાં સમાન પરિમાણનો ઉપયોગ કરી રહ્યું છે, જેમાં r સફળતાઓની સંખ્યા અને સરેરાશ છે.) તેને દ્વિપદી વિતરણના સંચિત વિતરણ કાર્યના સંદર્ભમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ વૈકલ્પિક ફોર્મ્યુલેશન કેટલાક સ્રોતો નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને અહીંના પ્રાથમિક વિતરણથી થોડું અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. સૌથી સામાન્ય ભિન્નતા એ છે કે જ્યાં રેન્ડમ વેરિયેબલ X વિવિધ વસ્તુઓની ગણતરી કરી રહ્યું છે. આ વિવિધતાઓ અહીં કોષ્ટકમાં જોઈ શકાય છેઃ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણની ચાર વ્યાખ્યાઓમાંથી દરેકને થોડી અલગ પરંતુ સમકક્ષ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્રથમ વૈકલ્પિક રચના એ દ્વિપદી ગુણાંકનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે, એટલે કેઃ બીજી વૈકલ્પિક રચના એ માન્યતા આપીને અભિવ્યક્તિને કંઈક અંશે સરળ બનાવે છે કે પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા ફક્ત સફળતાઓ અને નિષ્ફળતાની સંખ્યા છે, એટલે કેઃ આ બીજી રચનાઓ સમજવા માટે વધુ સાહજિક હોઈ શકે છે, જો કે તેઓ કદાચ ઓછા વ્યવહારુ છે કારણ કે તેમની પાસે વધુ શરતો છે. વ્યાખ્યા જ્યાં X એ n પરીક્ષણોની સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યામાં r સફળતાઓ માટે થાય છે તે પ્રાથમિક વ્યાખ્યા જેવી જ છે, સિવાય કે નિષ્ફળતાની સંખ્યાને બદલે પરીક્ષણોની સંખ્યા આપવામાં આવે છે. આ રેન્ડમ વેરિયેબલના મૂલ્યમાં r ઉમેરે છે, તેના આધાર અને સરેરાશને બદલે છે. વ્યાખ્યા જ્યાં X એ k સફળતાઓ (અથવા n પરીક્ષણો) ની સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યામાં r નિષ્ફળતાઓ માટે થાય છે તે આ લેખમાં ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રાથમિક વ્યાખ્યા જેવી જ છે, સિવાય કે નિષ્ફળતાઓ અને સફળતાઓની સંખ્યા બદલવામાં આવે છે જ્યારે શું ગણવામાં આવે છે અને શું આપવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. જો કે, નોંધ લો કે પી હજુ પણ "સફળતા" ની સંભાવનાનો ઉલ્લેખ કરે છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણની વ્યાખ્યાને તે કિસ્સામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે જ્યાં પરિમાણ r હકારાત્મક વાસ્તવિક મૂલ્ય પર લઈ શકે છે. જો કે "નિષ્ફળતાઓ" ની બિન-પૂર્ણાંક સંખ્યાની કલ્પના કરવી અશક્ય છે, તેમ છતાં આપણે તેના સંભાવના સમૂહ કાર્ય દ્વારા વિતરણને ઔપચારિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. વ્યાખ્યાને વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળા (હકારાત્મક) r સુધી લંબાવવાની સમસ્યા ગામા કાર્ય પર આધારિત દ્વિપદી ગુણાંકને તેના વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળા સમકક્ષ સુધી વિસ્તારવા માટે ઉકળે છેઃ મૂળ વ્યાખ્યામાં આ અભિવ્યક્તિને સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી, આપણે કહીએ છીએ કે X પાસે નકારાત્મક દ્વિપદી (અથવા પોલ્યા) વિતરણ છે જો તેમાં સંભાવના સમૂહ કાર્ય હોયઃ અહીં r એ વાસ્તવિક, હકારાત્મક સંખ્યા છે. નકારાત્મક દ્વિપદી રીગ્રેસનમાં, વિતરણ તેના સરેરાશની દ્રષ્ટિએ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જે પછી રેખીય રીગ્રેસન અથવા અન્ય સામાન્યીકૃત રેખીય મોડેલોની જેમ વ્યાખ્યાત્મક ચલ સાથે સંબંધિત છે. સરેરાશ m માટેના અભિવ્યક્તિમાંથી, એક અને મેળવી શકે છે. પછી, જ્યારે r વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું હોય ત્યારે પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન માટે એકમાં આ સમીકરણોને બદલીને, m ની દ્રષ્ટિએ પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શનનું આ પરિમાણ પ્રાપ્ત થાય છેઃ ભિન્નતા પછી આ રીતે લખી શકાય છે. કેટલાક લેખકો સેટ કરવાનું પસંદ કરે છે, અને તફાવતને આ રીતે વ્યક્ત કરે છે. આ સંદર્ભમાં, અને લેખકના આધારે, ક્યાં તો પરિમાણ r અથવા તેના પારસ્પરિક α ને "વિક્ષેપ પરિમાણ", "આકાર પરિમાણ" અથવા "ક્લસ્ટરિંગ ગુણાંક", અથવા "વિજાતીયતા" અથવા "એકત્રીકરણ" પરિમાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. "એકત્રીકરણ" શબ્દનો ઉપયોગ ખાસ કરીને ઇકોલોજીમાં વ્યક્તિગત સજીવોની ગણતરીઓનું વર્ણન કરતી વખતે થાય છે. શૂન્ય તરફના એકત્રીકરણ પરિમાણ r નો ઘટાડો સજીવોના વધતા એકત્રીકરણને અનુરૂપ છે; અનંત તરફ r નો વધારો એકત્રીકરણની ગેરહાજરીને અનુરૂપ છે, જે પોઈસન રીગ્રેસન દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. વૈકલ્પિક પરિમાણો કેટલીકવાર વિતરણને તેના સરેરાશ μ અને ભિન્નતા σ2 ની દ્રષ્ટિએ પરિમાણિત કરવામાં આવે છેઃ ઉદાહરણો હોસ્પિટલમાં રહેવાની લંબાઈ હોસ્પિટલમાં રહેવાની લંબાઈ એ વાસ્તવિક દુનિયાના ડેટાનું ઉદાહરણ છે જે નકારાત્મક દ્વિપદી રીગ્રેસન દ્વારા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ સાથે સારી રીતે મોડેલિંગ કરી શકાય છે. કેન્ડી પેટ કોલિસ વેચવા માટે કેન્ડી બાર વેચવા જરૂરી છે જેથી છઠ્ઠા ધોરણની ફિલ્ડ ટ્રીપ માટે નાણાં એકત્ર કરી શકાય. જ્યાં સુધી પાંચ કેન્ડી બાર વેચવામાં ન આવે ત્યાં સુધી પેટ (કંઈક અંશે કઠોરતાથી) ઘરે પરત ફરશે નહીં. તેથી બાળક કેન્ડી બાર વેચીને ઘરે ઘરે જાય છે. દરેક ઘરમાં, એક કેન્ડી બાર વેચવાની 0.6 સંભાવના છે અને શૂન્ય વેચવાની 0.40 સંભાવના છે. નવમી હાઉસમાં છેલ્લી કેન્ડી બાર વેચવાની સંભાવના કેટલી છે? પૂરતી વખત કેન્ડીનું સફળતાપૂર્વક વેચાણ એ આપણા અટકાવવાના માપદંડને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (તેને વેચવામાં નિષ્ફળ રહેવાના વિરોધમાં), તેથી આ કિસ્સામાં k નિષ્ફળતાની સંખ્યાને રજૂ કરે છે અને r સફળતાની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. યાદ કરો કે નેગબિન (આર, પી) વિતરણ છેલ્લા પરીક્ષણમાં સફળતા સાથે કે + આર બર્નૌલી (પી) પરીક્ષણોમાં કે નિષ્ફળતા અને આર સફળતાની સંભાવનાનું વર્ણન કરે છે. પાંચ કેન્ડી બાર વેચવાનો અર્થ થાય છે પાંચ સફળતાઓ મેળવવી. પરીક્ષણોની સંખ્યા (એટલે કે. આપણે જે રેન્ડમ ચલમાં રસ ધરાવીએ છીએ તે ઘરોની સંખ્યા છે, તેથી આપણે k = n − 5 ને નેગબિન (5,4) માસ ફંક્શનમાં બદલીએ છીએ અને ઘરોના વિતરણનું નીચેનું માસ ફંક્શન મેળવીએ છીએ (n ≤ 5 માટે): પેટ દસમા ઘર પર સમાપ્ત થાય તેની સંભાવના કેટલી છે? પેટ આઠમા ઘર પર અથવા તે પહેલાં સમાપ્ત થાય તેની સંભાવના કેટલી છે? આઠમા ગૃહ પર અથવા તે પહેલાં સમાપ્ત કરવા માટે, પૅટે પાંચમા, છઠ્ઠા, સાતમા અથવા આઠમા ગૃહમાં સમાપ્ત કરવું આવશ્યક છે. તે સંભાવનાઓનો સરવાળોઃ પેટ પડોશમાં ઊભા રહેલા તમામ 30 ઘરોને ખાલી કરી દે તેવી શક્યતા કેટલી છે? આને એવી સંભાવના તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે કે પેટ ત્રીસમું ઘર પાર કરીને પાંચમા પર સમાપ્ત ન થાયઃ કારણ કે પેટ દરેક ઘરને (60 ટકા) વેચશે તેવી ઊંચી સંભાવનાને કારણે, તેણીની શોધ પૂર્ણ ન થવાની સંભાવના ખૂબ જ ઓછી છે. ગુણધર્મોની અપેક્ષા r સફળતા જોવા માટે જરૂરી પરીક્ષણોની અપેક્ષિત કુલ સંખ્યા છે. આમ, નિષ્ફળતાની અપેક્ષિત સંખ્યા આ મૂલ્ય હશે, બાદબાકી સફળતાઓઃ સફળતાની અપેક્ષા પરિમાણો સાથે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણમાં નિષ્ફળતાની અપેક્ષિત કુલ સંખ્યા r (1−p)/p છે. આ જોવા માટે, કલ્પના કરો કે નકારાત્મક દ્વિપદીનું અનુકરણ કરતો પ્રયોગ ઘણી વખત કરવામાં આવે છે. એટલે કે, સફળતા ન મળે ત્યાં સુધી પરીક્ષણોનો સમૂહ કરવામાં આવે છે, પછી પરીક્ષણોનો બીજો સમૂહ, અને પછી બીજું વગેરે. દરેક પ્રયોગમાં કરવામાં આવેલા પરીક્ષણોની સંખ્યા લખોઃ અને સેટ કરો. હવે આપણે કુલ સફળતાઓની અપેક્ષા રાખીશું. કહો કે પ્રયોગ વખત કરવામાં આવ્યો હતો. પછી કુલ સફળતાઓ મળે છે. તેથી આપણે અપેક્ષા રાખીશું. જુઓ કે તે પ્રયોગ દીઠ પરીક્ષણોની સરેરાશ સંખ્યા છે. "અપેક્ષા" નો આપણો અર્થ આ જ છે. પ્રયોગ દીઠ નિષ્ફળતાની સરેરાશ સંખ્યા છે. આ આ પૃષ્ઠની જમણી બાજુના બૉક્સમાં આપવામાં આવેલા સરેરાશ સાથે સંમત થાય છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને રાહ જોવાના સમયના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીને સખત વ્યુત્પત્તિ કરી શકાય છે. ચાલો પરંપરા સાથે સફળતાની સંભાવના સાથે સફળતા પહેલાં જોવા મળતી નિષ્ફળતાની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. અને ચાલો જ્યાં સફળતા જોતા પહેલા નિષ્ફળતાની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. આપણે છઠ્ઠી અને છઠ્ઠી સફળતા વચ્ચે રાહ જોવાનો સમય (નિષ્ફળતાની સંખ્યા) તરીકે વિચારી શકીએ છીએ. આમ સરેરાશ એ છે જે હકીકતમાંથી અનુસરે છે. r-th સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાઓની સંખ્યાની ગણતરી કરતી વખતે, તફાવત r (1−p)/p2 છે. ઉપરની વૈકલ્પિક રચના (3) ની જેમ, r-th નિષ્ફળતા પહેલાંની સફળતાઓની સંખ્યાની ગણતરી કરતી વખતે, તફાવત rp/(1−p) 2 છે. દ્વિપદી પ્રમેય સાથે સંબંધ ધારો કે Y એ n અને p પરિમાણો સાથે દ્વિપદી વિતરણ સાથેનું એક યાદૃચ્છિક ચલ છે. ધારો કે p + q = 1, p, q ≤ 0 સાથે, પછી ન્યૂટનના દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આને સમાન રીતે આ રીતે લખી શકાય છેઃ જેમાં સરવાળાની ઉપરની સીમા અનંત છે. આ કિસ્સામાં, દ્વિપદી ગુણાંક ત્યારે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે n એ માત્ર હકારાત્મક પૂર્ણાંકને બદલે વાસ્તવિક સંખ્યા હોય. હવે ધારો કે r> 0 અને આપણે નકારાત્મક ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ પછી બધા શબ્દો હકારાત્મક છે, અને આ શબ્દ માત્ર સંભાવના છે કે rth સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા k ની બરાબર છે, જો કે r એ પૂર્ણાંક છે. (જો r એ નકારાત્મક બિન-પૂર્ણાંક હોય, જેથી ઘાતાંક હકારાત્મક બિન-પૂર્ણાંક હોય, તો પછી ઉપરના સરવાળામાં કેટલીક શરતો નકારાત્મક હોય છે, તેથી આપણી પાસે તમામ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર સંભાવના વિતરણ નથી.) હવે આપણે r ના બિન-પૂર્ણાંક મૂલ્યોને પણ મંજૂરી આપીએ છીએ. પછી આપણી પાસે યોગ્ય નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ છે, જે પાસ્કલ વિતરણનું સામાન્યીકરણ છે, જે જ્યારે r હકારાત્મક પૂર્ણાંક બને છે ત્યારે પાસ્કલ વિતરણ સાથે મેળ ખાય છે. ઉપરથી યાદ કરો કે પરિમાણ p માટે સમાન મૂલ્ય સાથે સ્વતંત્ર નકારાત્મક-દ્વિપદી રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો r1 અને r2 નો સરવાળો નકારાત્મક-દ્વિપદી રીતે સમાન p સાથે વહેંચાયેલો છે પરંતુ r-મૂલ્ય r1 + r2 સાથે. જ્યારે વ્યાખ્યાને સામાન્ય કરવામાં આવે ત્યારે આ ગુણધર્મ ચાલુ રહે છે, અને નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ અનંત રીતે વિભાજ્ય છે તે જોવાની ઝડપી રીત પ્રદાન કરે છે. પુનરાવર્તન સંબંધો નીચેના પુનરાવર્તન સંબંધો ધરાવે છેઃ સંભાવના સમૂહ કાર્ય માટે ક્ષણો માટે સંચયો સંબંધિત વિતરણો માટે ભૌમિતિક વિતરણ ({0,1,2,3,.} પર) એ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે, જેમાં નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ સ્વતંત્ર તબક્કા-પ્રકાર વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ સ્વતંત્ર સંયોજન પોઈસન વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. પોઈસન વિતરણ નકારાત્મક દ્વિપદી રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ ધ્યાનમાં લો જ્યાં અટકાવવાનું પરિમાણ r અનંત તરફ જાય છે, જ્યારે દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના p એક તરફ જાય છે, જેથી વિતરણનો સરેરાશ જાળવી શકાય (એટલે કે. નિષ્ફળતાની અપેક્ષિત સંખ્યા) સતત. આ મીનને λ તરીકે દર્શાવતા, પેરામીટર p એ p = r/(r + λ) હશે આ પેરામીટર હેઠળ પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વૈકલ્પિક રીતે પરિમાણિત નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ પોઈસન વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે અને r પોઈસનથી વિચલનને નિયંત્રિત કરે છે. આ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને પોઈસનના મજબૂત વિકલ્પ તરીકે યોગ્ય બનાવે છે, જે મોટા r માટે પોઈસનની નજીક પહોંચે છે, પરંતુ જે નાના r માટે પોઈસન કરતા મોટો તફાવત ધરાવે છે. ગામા-પોઈસન મિશ્રણ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ પોઈસન વિતરણના સતત મિશ્રણ તરીકે પણ ઉદભવે છે (એટલે કે. એક સંયોજન સંભાવના વિતરણ) જ્યાં પોઈસન દરનું મિશ્રણ વિતરણ એ ગામા વિતરણ છે. એટલે કે, આપણે નકારાત્મક દ્વિપદીને વિતરણ તરીકે જોઈ શકીએ છીએ, જ્યાં λ પોતે એક રેન્ડમ ચલ છે, જે આકાર r અને સ્કેલ θ = અથવા અનુરૂપ દર β = સાથે ગામા વિતરણ તરીકે વહેંચાયેલું છે. આ નિવેદન પાછળના અંતઃપ્રેરણાને દર્શાવવા માટે, બે સ્વતંત્ર પોઈસન પ્રક્રિયાઓ, "સફળતા" અને "નિષ્ફળતા" ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં તીવ્રતા p અને 1-p છે. એકસાથે, સફળતા અને નિષ્ફળતા પ્રક્રિયાઓ તીવ્રતા 1 ની એક પોઈસન પ્રક્રિયા સમાન છે, જ્યાં પ્રક્રિયાની ઘટના સફળ છે જો અનુરૂપ સ્વતંત્ર સિક્કો ઉછાળો સંભાવના p સાથે આવે; અન્યથા, તે નિષ્ફળતા છે. જો r એ ગણતરીની સંખ્યા હોય, તો સિક્કો ઉછાળે છે તે દર્શાવે છે કે rમી નિષ્ફળતા પહેલાંની સફળતાઓની ગણતરી r અને p પરિમાણો સાથે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. જો કે, ગણતરી એ નિષ્ફળતા પોઈસન પ્રક્રિયામાં rમી ઘટનાના યાદૃચ્છિક સમય T પર સફળતા પોઈસન પ્રક્રિયાની ગણતરી પણ છે. સફળતાની ગણતરી સરેરાશ pT સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે, જ્યાં T એ તીવ્રતા 1 − p ની પોઈસન પ્રક્રિયામાં r ઘટનાઓનો રાહ જોવાનો સમય છે, એટલે કે, T એ આકાર પરિમાણ r અને તીવ્રતા 1 − p સાથે ગામા-વિતરણ છે. આમ, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ સરેરાશ pT સાથે પોઈસન વિતરણની સમકક્ષ છે, જ્યાં રેન્ડમ વિવિધતા T એ આકાર પરિમાણ r અને તીવ્રતા સાથે ગામા-વિતરણ છે. અગાઉનો ફકરો નીચે મુજબ છે, કારણ કે λ = pT એ આકાર પરિમાણ r અને તીવ્રતા સાથે ગામા-વિતરિત છે. નીચેની ઔપચારિક વ્યુત્પત્તિ (જે r એ ગણતરીની સંખ્યા છે તેના પર આધાર રાખતી નથી) અંતઃપ્રેરણાની પુષ્ટિ કરે છે. આ કારણે, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને ગામા-પોઈસન (મિશ્રણ) વિતરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ મૂળરૂપે ગામા-પોઈસન વિતરણના મર્યાદિત કેસ તરીકે લેવામાં આવ્યું હતું. જો Yr એ r અને p પરિમાણો સાથે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને અનુસરતો યાદૃચ્છિક ચલ હોય અને {0,1,2,.} ને ટેકો આપે, તો પછી Yr એ p પરિમાણ સાથે ભૌમિતિક વિતરણને ({0,1,2,.} પર) અનુસરતા r સ્વતંત્ર ચલોનો સરવાળો છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના પરિણામે, Yr (યોગ્ય રીતે માપવામાં આવે છે અને ખસેડવામાં આવે છે) તેથી પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા r માટે લગભગ સામાન્ય છે. વધુમાં, જો Bs + r એ s + r અને p પરિમાણો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરતો યાદૃચ્છિક ચલ છે, તો આ અર્થમાં, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ દ્વિપદી વિતરણનો "વ્યસ્ત" છે. પરિમાણ p માટે સમાન મૂલ્ય સાથે સ્વતંત્ર નકારાત્મક-દ્વિપદી રીતે વિતરિત યાદૃચ્છિક ચલ r1 અને r2 નો સરવાળો નકારાત્મક-દ્વિપદી રીતે સમાન p સાથે વહેંચવામાં આવે છે પરંતુ r-મૂલ્ય r1 + r2 સાથે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ અનંત રીતે વિભાજીત છે, એટલે કે, જો Y નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ ધરાવે છે, તો કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે, સ્વતંત્ર રીતે સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો Y1, Yn અસ્તિત્વમાં છે, જેનો સરવાળો Y જેટલું જ વિતરણ ધરાવે છે. સંયોજન પોઈસન વિતરણ તરીકે પ્રતિનિધિત્વ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એન. બી. (આર., પી.) ને સંયોજન પોઈસન વિતરણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છેઃ ચાલો સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ દર્શાવીએ, દરેકમાં લઘુગણક શ્રેણી વિતરણ લોગ (પી.) હોય છે, જેમાં સંભાવના સમૂહ કાર્ય હોય છે. પછી રેન્ડમ સરવાળો એન. બી. (આર, પી)-વિતરિત છે. આ સાબિત કરવા માટે, આપણે X ના પ્રોબેબીલીટી જનરેટિંગ ફંક્શન GX ની ગણતરી કરીએ છીએ, જે પ્રોબેબીલીટી જનરેટિંગ ફંક્શન GN અને GY1 ની રચના છે. ઉપયોગ કરીને અને આપણે એન. બી. (આર, પી) વિતરણનું પ્રોબેબીલીટી જનરેટિંગ ફંક્શન મેળવીએ છીએ. નીચેનું કોષ્ટક ડ્રોના ક્રમમાં સફળતાઓની સંખ્યા સાથે સંબંધિત ચાર વિતરણોનું વર્ણન કરે છેઃ (a, b, 0) વિતરણોનો વર્ગ નકારાત્મક દ્વિપદી, પોઈસન અને દ્વિપદી વિતરણો સાથે, વિતરણના (a, b, 0) વર્ગનો સભ્ય છે. આ ત્રણેય વિતરણો પંજેર વિતરણના વિશેષ કિસ્સાઓ છે. તેઓ કુદરતી ઘાતાંકીય પરિવારના સભ્યો પણ છે. p માટે આંકડાકીય અનુમાન પરિમાણ અંદાજ MVUE ધારો કે p અજ્ઞાત છે અને એક પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે છે જ્યાં તે સમય પહેલા નક્કી કરવામાં આવે છે કે જ્યાં સુધી r સફળતાઓ ન મળે ત્યાં સુધી નમૂના લેવાનું ચાલુ રહેશે. પ્રયોગ માટે પર્યાપ્ત આંકડા k છે, જે નિષ્ફળતાની સંખ્યા છે. p ના અંદાજમાં, લઘુતમ તફાવત નિષ્પક્ષ અંદાજકાર એ મહત્તમ સંભાવના અંદાજ છે જ્યારે r જાણીતો હોય, ત્યારે p નો મહત્તમ સંભાવના અંદાજ હોય છે પરંતુ આ એક પક્ષપાતી અંદાજ છે. જોકે, તેનો વ્યુત્ક્રમ (r + k)/r એ 1/p નો નિષ્પક્ષ અંદાજ છે. જ્યારે r અજ્ઞાત હોય, ત્યારે p અને r માટે મહત્તમ સંભાવના અંદાજકાર એકસાથે માત્ર એવા નમૂનાઓ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે નમૂનાનો તફાવત નમૂનાના સરેરાશ કરતા મોટો હોય. એન. આઈ. આઈ. ડી. અવલોકનો (કે1,., કે. એન.) માટે સંભાવના કાર્ય એ છે કે જેમાંથી આપણે લોગ-લાઇકીલીહૂડ કાર્યની ગણતરી કરીએ છીએ મહત્તમ શોધવા માટે આપણે આર અને પી ના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ અને તેમને શૂન્યની બરાબર સુયોજિત કરીએ છીએઃ અને દિગમ્મા કાર્ય ક્યાં છે. p માટે પ્રથમ સમીકરણને ઉકેલવાથી મળે છેઃ આને બીજા સમીકરણમાં બદલીને મળે છેઃ આ સમીકરણ r માટે બંધ સ્વરૂપમાં ઉકેલી શકાતું નથી. જો આંકડાકીય ઉકેલ ઇચ્છિત હોય, તો ન્યુટનની પદ્ધતિ જેવી પુનરાવર્તિત તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, અપેક્ષા-મહત્તમકરણ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. બર્નૌલી પ્રક્રિયામાં ઘટના અને ઉપયોગ રાહ જોવાનો સમય વિશેષ કેસ માટે જ્યાં r એક પૂર્ણાંક છે, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને પાસ્કલ વિતરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત બર્નૌલી પરીક્ષણોની શ્રેણીમાં ચોક્કસ સંખ્યામાં નિષ્ફળતાઓ અને સફળતાઓનું સંભાવના વિતરણ છે. સફળતા સંભાવના p સાથે k + r બર્નૌલી પરીક્ષણો માટે, નકારાત્મક દ્વિપદી છેલ્લા પરીક્ષણમાં નિષ્ફળતા સાથે k સફળતાઓ અને r નિષ્ફળતાની સંભાવના આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ બર્નૌલી પ્રક્રિયામાં છઠ્ઠી નિષ્ફળતા પહેલાં સફળતાઓની સંખ્યાની સંભાવના વિતરણ છે, જેમાં દરેક અજમાયશમાં સફળતાઓની સંભાવના p છે. બર્નૌલી પ્રક્રિયા એક અલગ સમય પ્રક્રિયા છે, અને તેથી પરીક્ષણો, નિષ્ફળતાઓ અને સફળતાઓની સંખ્યા પૂર્ણાંકો છે. નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો. ધારો કે આપણે વારંવાર ડાઈ ફેંકીએ છીએ, અને 1 ને નિષ્ફળતા માનીએ છીએ. દરેક ટ્રાયલમાં સફળતાની સંભાવના 5/6 છે. ત્રીજી નિષ્ફળતા પહેલાંની સફળતાઓની સંખ્યા અનંત સમૂહ {0,1,2,3,.} ની છે. સફળતાની તે સંખ્યા નકારાત્મક-દ્વિપદી રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે. જ્યારે r = 1 હોય ત્યારે આપણે પ્રથમ નિષ્ફળતા પહેલાંની સફળતાઓની સંખ્યાનું સંભાવના વિતરણ મેળવીએ છીએ (એટલે કે. (કે + 1) પ્રથમ ટ્રાયલ પર થતી પ્રથમ નિષ્ફળતાની સંભાવના, જે ભૌમિતિક વિતરણ છેઃ વધુ પડતું ફેલાયેલું પોઈસન નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ, ખાસ કરીને ઉપર વર્ણવેલ તેના વૈકલ્પિક પરિમાણમાં, પોઈસન વિતરણના વિકલ્પ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે. તે ખાસ કરીને અમર્યાદિત હકારાત્મક શ્રેણી પરની સ્વતંત્ર માહિતી માટે ઉપયોગી છે, જેની નમૂનાની ભિન્નતા નમૂનાના સરેરાશ કરતાં વધી જાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, અવલોકનો પોઈસન વિતરણના સંદર્ભમાં વધુ પડતા ફેલાયેલા હોય છે, જેના માટે સરેરાશ તફાવતની બરાબર હોય છે. તેથી પોઈસન વિતરણ એ યોગ્ય મોડેલ નથી. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણમાં પોઈસન કરતાં વધુ એક પરિમાણ હોવાથી, બીજા પરિમાણનો ઉપયોગ સરેરાશથી સ્વતંત્ર રીતે તફાવતને સમાયોજિત કરવા માટે કરી શકાય છે. કેટલાક અલગ સંભાવના વિતરણોના સંચયો જુઓ. આનો ઉપયોગ ઉત્તર એટલાન્ટિકમાં ઉષ્ણકટિબંધીય ચક્રવાતોની વાર્ષિક ગણતરીઓ માટે અથવા યુરોપમાં શિયાળાના સમયના ઉષ્ણકટિબંધીય ચક્રવાતોની માસિકથી 6 માસિક ગણતરીઓ માટે થાય છે, જેના માટે તફાવત સરેરાશ કરતાં વધારે છે. સામાન્ય ઓવરડિસ્પર્શનના કિસ્સામાં, આ ઓવરડિસ્પર્સ્ડ પોઈસન વિતરણ સાથે નોંધપાત્ર રીતે સમાન પરિણામો ઉત્પન્ન કરી શકે છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ઉચ્ચ-થ્રુપુટ આર. એન. એ. અને ડી. એન. એ. અનુક્રમણિકા પ્રયોગોમાંથી અલગ અનુક્રમ વાંચન ગણતરીઓના સ્વરૂપમાં ડેટાને મોડેલ કરવા માટે પણ થાય છે. બહુવિધતા અવલોકનો (ભૌતિકશાસ્ત્ર) નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ કણોની અથડામણના પ્રયોગોમાં બહુવિધતા અવલોકનોની વ્યાપક શ્રેણી માટે સૌથી અસરકારક આંકડાકીય મોડેલ રહ્યું છે, દા. ત., (ઝાંખી માટે જુઓ), અને તે દ્રવ્યનો સ્કેલ-ઇનવેરિયન્ટ ગુણધર્મ હોવાની દલીલ કરવામાં આવે છે, જે ખગોળશાસ્ત્રીય અવલોકનો માટે શ્રેષ્ઠ ફિટ પ્રદાન કરે છે, જ્યાં તે અવકાશના પ્રદેશમાં તારાવિશ્વોની સંખ્યાની આગાહી કરે છે. આ સંદર્ભોમાં નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણની અસરકારકતા માટેનું અસાધારણ સમર્થન 1973માં તેમના પ્રથમ નિરીક્ષણ પછી પચાસ વર્ષ સુધી અજ્ઞાત રહ્યું હતું. 2023 માં, પ્રથમ સિદ્ધાંતોનો પુરાવો આખરે સ્કોટ વી. તેઝલાફ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો હતો, જ્યાં તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ મિન્કોવ્સ્કી અવકાશમાં કણોના કેનોનિકલ એન્સેમ્બલના ગતિશીલ સમીકરણોમાં સમપ્રમાણતામાંથી ઉભરી આવે છે. આશરે, પરીક્ષણોની અપેક્ષિત સંખ્યા અને સફળતાઓની અપેક્ષિત સંખ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને, જ્યાં સમીકરણોના સમરૂપ સમૂહને વિશાળ કણોના કેનોનિકલ સમૂહની સાપેક્ષ વર્તમાન ઘનતાના પરિમાણો સાથે ઓળખી શકાય છે, જ્યાં બાકીના ઘનતા છે, સાપેક્ષવાદી સરેરાશ ચોરસ ઘનતા છે, તે સાપેક્ષવાદી સરેરાશ ચોરસ વર્તમાન ઘનતા છે, અને, જ્યાં કણોના સમૂહની સરેરાશ ચોરસ ઝડપ છે અને પ્રકાશની ઝડપ છે-જેથી કોઈ નીચેનો ઉદ્દેશ્ય નકશો સ્થાપિત કરી શકે છેઃ ઉપરના પત્રવ્યવહારનો સખત વૈકલ્પિક પુરાવો પણ ફેનમેન પાથ ઇંટીગ્રલ દ્વારા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ વિતરણનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ 1713માં પિયરે રેમોન્ડ ડી મોન્ટમોર્ટ દ્વારા તેમના નિબંધ ડી 'એનાલિસિસ સુર લેસ જેક્સ ડી હેઝાર્ડમાં કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાં આપેલ સંખ્યામાં સફળતાઓ મેળવવા માટે પ્રયોગમાં જરૂરી પરીક્ષણોની સંખ્યાનું વિતરણ કરવામાં આવ્યું હતું. તેનો ઉલ્લેખ અગાઉ પાસ્કલ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. કૂપન કલેક્ટરની સમસ્યા બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ વિસ્તૃત નકારાત્મક બહુપદી વિતરણ દ્વિપદી વિતરણ પોઈસન વિતરણ સંયોજન પોઈસન વિતરણ એક્સપોનેન્શલ કુટુંબ નકારાત્મક દ્વિપદી રીગ્રેસન વેક્ટર સામાન્યીકૃત રેખીય મોડેલ સંદર્ભો અલગ વિતરણ એક્સપોનેન્શલ કુટુંબ વિતરણ સંયોજન સંભાવના વિતરણ ફેક્ટોરિયલ અને દ્વિપદી વિષયો અનંત વિભાજીત સંભાવના વિતરણ