Maschke's theorem
ગણિતમાં, માસ્કેનો પ્રમેય, જેને હેઇનરિચ માસ્કેના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે જૂથ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં એક પ્રમેય છે જે મર્યાદિત જૂથની રજૂઆતોના ઇરેડ્યુસિબલ ટુકડાઓમાં વિઘટનની ચિંતા કરે છે. માસ્કેનો પ્રમેય વ્યક્તિને ખરેખર ગણતરી કર્યા વિના મર્યાદિત જૂથ G ની રજૂઆત વિશે સામાન્ય તારણો કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. તે તમામ રજૂઆતોને વર્ગીકૃત કરવાના કાર્યને ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોને વર્ગીકૃત કરવાના વધુ વ્યવસ્થિત કાર્યમાં ઘટાડે છે, કારણ કે જ્યારે પ્રમેય લાગુ પડે છે, ત્યારે કોઈપણ રજૂઆત એ ઈરીડ્યુસિબલ ટુકડાઓ (ઘટકો) નો સીધો સરવાળો છે. વધુમાં, તે જોર્ડન-હોલ્ડર પ્રમેયને અનુસરે છે કે, જ્યારે ઇરેડ્યુસિબલ પેટા રજૂઆતોના સીધા સરવાળામાં વિઘટન અનન્ય ન પણ હોઈ શકે, ત્યારે ઇરેડ્યુસિબલ ટુકડાઓ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર ધરાવે છે. ખાસ કરીને, લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત જૂથની રજૂઆત તેના પાત્ર દ્વારા સમરૂપતા સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે. રચનાઓ માસ્કેનો પ્રમેય આ પ્રશ્નને સંબોધિત કરે છેઃ સામાન્ય (મર્યાદિત-પરિમાણીય) રજૂઆત ક્યારે સીધી રકમ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને ઈરીડ્યુસિબલ પેટા રજૂઆતોમાંથી બનાવવામાં આવે છે? આ પ્રશ્ન (અને તેનો જવાબ) જૂથ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પર વિવિધ પરિપ્રેક્ષ્યો માટે અલગ રીતે ઘડવામાં આવ્યો છે. જૂથ-સૈદ્ધાંતિક માસ્કેના પ્રમેયને સામાન્ય રીતે નીચેના પરિણામના ઉપસંહાર તરીકે ઘડવામાં આવે છેઃ પછી ઉપસંહાર એ છે કે જૂથના જટિલ-મૂલ્યવાન વર્ગ કાર્યોની વેક્ટર જગ્યા કુદરતી-અપરિવર્તનશીલ આંતરિક ઉત્પાદન માળખું ધરાવે છે, જેનું વર્ણન 'શૂર ઓર્થોગોનાલિટી રિલેશન્સ' લેખમાં કરવામાં આવ્યું છે. માસ્કેનો પ્રમેય મૂળરૂપે આ આંતરિક ઉત્પાદન હેઠળની ઓર્થોગોનલ પૂરક તરીકે રચના કરીને રજૂઆતોના કેસ માટે સાબિત થયો હતો. મોડ્યુલ-સૈદ્ધાંતિક મર્યાદિત જૂથોની રજૂઆત માટેના અભિગમોમાંથી એક મોડ્યુલ સિદ્ધાંત દ્વારા છે. જૂથના પ્રતિનિધિત્વને તેના જૂથ બીજગણિત પર મોડ્યુલો દ્વારા બદલવામાં આવે છે (ચોક્કસપણે કહીએ તો, અને, ની રજૂઆતની શ્રેણી વચ્ચે શ્રેણીઓનું સમરૂપતા છે). ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતો સરળ મોડ્યુલોને અનુરૂપ છે. મોડ્યુલ-સૈદ્ધાંતિક ભાષામાં, માસ્કેનો પ્રમેય પૂછે છેઃ શું મનસ્વી મોડ્યુલ અર્ધ-સરળ છે? આ સંદર્ભમાં, પ્રમેયને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છેઃ આ પરિણામનું મહત્વ અર્ધ-સરળ રિંગ્સના સારી રીતે વિકસિત સિદ્ધાંતમાંથી ઉદ્ભવે છે, ખાસ કરીને, વેડરબર્ન-આર્ટીન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવેલ તેમનું વર્ગીકરણ. જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર ક્યારે છે, તે દર્શાવે છે કે બીજગણિત એ જટિલ મેટ્રિક્સ આલ્જેબ્રાની કેટલીક નકલોની ઉપજ છે, જે દરેક ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત માટે એક છે. જો ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતા શૂન્ય હોય, પરંતુ તે બીજગણિત રીતે બંધ ન હોય, ઉદાહરણ તરીકે જો તે વાસ્તવિક અથવા તર્કસંગત સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર હોય, તો કંઈક વધુ જટિલ નિવેદન છેઃ જૂથ બીજગણિત એ વિભાજન રિંગ્સ પર મેટ્રિક્સ આલ્જેબ્રાનું ઉત્પાદન છે. સરવાળાઓ ઓવરની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોને અનુરૂપ છે. અર્ધ-સરળ વર્ગોની ભાષામાં સુધારેલ શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક, માસ્કેનો પ્રમેય જણાવે છે કે પ્રૂફ ગ્રુપ-સૈદ્ધાંતિક ધારો કે U એ W ના V પૂરકની પેટા જગ્યા છે. ચાલો પ્રક્ષેપણ કાર્ય હોઈએ, એટલે કે, કોઈપણ માટે. વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં W અને V પર G ની રજૂઆત સાથે સંક્ષિપ્ત છે. પછી, પ્રતિનિધિત્વ હેઠળ G દ્વારા સાચવવામાં આવે છેઃ કોઈપણ માટે, તેથી તે સૂચવે છે. તેથી પરનું પ્રતિબંધ પણ એક પ્રતિનિધિત્વ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, કોઈપણ માટે, તેથી, અને કોઈપણ માટે. આમ, અને. તેથી, તા. મોડ્યુલ-સૈદ્ધાંતિક ચાલો V એ K [G]-સબમોડ્યુલ છે. આપણે સાબિત કરીશું કે V એ સીધો સરવાળો છે. નકશાનો વિચાર કરો પછી φ એ ફરીથી એક પ્રક્ષેપણ છેઃ તે સ્પષ્ટ રીતે K-રેખીય છે, K [G] ને V પર મેપ કરે છે, અને V પર ઓળખને પ્રેરિત કરે છે (તેથી, K [G] ને V પર મેપ કરે છે). વધુમાં આપણી પાસે φ હકીકતમાં K [G]-રેખીય છે. વિભાજન લેમ્મા દ્વારા,. આ સાબિત કરે છે કે દરેક પેટા મોડ્યુલ એક સીધો સરવાળો છે, એટલે કે, K [G] અર્ધ-સરળ છે. વ્યુત્ક્રમ નિવેદન ઉપરોક્ત પુરાવો એ હકીકત પર આધાર રાખે છે કે K માં #G ઉલટાવી શકાય તેવું છે. આ વ્યક્તિને પૂછવા તરફ દોરી શકે છે કે શું માસ્કેના પ્રમેયનો વ્યુત્ક્રમ પણ ધરાવે છેઃ જો K ની લાક્ષણિકતા G ના ક્રમને વિભાજિત કરે છે, તો શું તે અનુસરે છે કે K [G] અર્ધ સરળ નથી? જવાબ હા છે. પુરાવો. વ્યાખ્યા માટે. જવા દો. પછી I એ K [G]-સબમોડ્યુલ છે. આપણે સાબિત કરીશું કે K [G] ના દરેક બિન-તુચ્છ પેટા મોડ્યુલ V માટે,. ધારો કે V આપવામાં આવે, અને V નું કોઈપણ બિન-શૂન્ય તત્વ હોવું જોઈએ. જો દાવો તાત્કાલિક હોય તો. નહીં તો જવા દો. પછી તેથી અને તેથી તે I અને V બંનેનું બિન-શૂન્ય તત્વ છે. આ સાબિત કરે છે કે V એ તમામ V માટે I નું સીધું પૂરક નથી, તેથી K [G] અર્ધ સરળ નથી. બિન-ઉદાહરણો જ્યાં G અનંત હોય અથવા જ્યારે K ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતાઓ #G ને વિભાજિત કરતી હોય તેવા કિસ્સામાં પ્રમેય લાગુ થઈ શકતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અનંત જૂથ અને તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રજૂઆતને ધ્યાનમાં લો. ચાલો, દ્વારા ફેલાયેલું 1-પરિમાણીય સબસ્પેસ. પછી W પરનું પ્રતિબંધ એ એક તુચ્છ પેટા રજૂઆત છે. જો કે, એવી કોઈ U નથી કે જે W, U બંનેની પેટા રજૂઆતો હોય અનેઃ આવા કોઈપણ U એ 1-પરિમાણીય હોવું જરૂરી છે, પરંતુ તેના દ્વારા સંરક્ષિત કોઈપણ 1-પરિમાણીય પેટા જગ્યા માટે આઈગનવેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલી હોવી જોઈએ, અને તેના માટે એકમાત્ર આઈગનવેક્ટર છે. મુખ્ય p, અને જૂથ, ક્ષેત્ર અને તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રજૂઆતનો વિચાર કરો. સરળ ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે અહીં માત્ર એક જ આઈગનવેક્ટર છે, તેથી તે જ દલીલ દ્વારા, ની 1-પરિમાણીય પેટા રજૂઆત અનન્ય છે, અને તેને બે 1-પરિમાણીય પેટા રજૂઆતના સીધા સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાતી નથી. નોંધો સંદર્ભો મર્યાદિત જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત જૂથ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેય પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેય