Mason–Stothers theorem
મેસન-સ્ટોથર્સ પ્રમેય, અથવા ફક્ત મેસનનો પ્રમેય, બહુપદીઓ વિશેનો એક ગાણિતિક પ્રમેય છે, જે પૂર્ણાંકો માટેના એબીસી અનુમાનને અનુરૂપ છે. તેનું નામ વોલ્ટર વિલ્સન સ્ટોથર્સ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1981માં પ્રકાશિત કર્યું હતું અને આર. સી. મેસન, જેમણે ત્યારબાદ ટૂંક સમયમાં તેની પુનઃ શોધ કરી હતી. આ પ્રમેય જણાવે છેઃ ચાલો, અને ક્ષેત્ર પર પ્રમાણમાં મુખ્ય બહુપદીઓ એવી હોય કે અને એવી હોય કે તે બધામાં લુપ્ત થઈ રહેલા વ્યુત્પન્ન ન હોય. પછી અહીં ના વિશિષ્ટ ઈરીડ્યુસિબલ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે. બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો માટે તે લઘુત્તમ ડિગ્રીની બહુપદી છે જે સમાન મૂળ ધરાવે છે; આ કિસ્સામાં તેના અલગ મૂળની સંખ્યા આપે છે. લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્રો પર ઉદાહરણો એ શરત કે, અને બધામાં અદ્રશ્ય થઈ રહેલું વ્યુત્પન્ન ન હોય તે શરત એ શરતની સમકક્ષ છે કે તે બધા અચળ નથી. લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્રો પર એવું માનવું પૂરતું નથી કે તે બધા સ્થિર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, લાક્ષણિકતા p ના કેટલાક ક્ષેત્ર પર બહુપદી તરીકે ગણવામાં આવે છે, ઓળખ એક ઉદાહરણ આપે છે જ્યાં ત્રણ બહુપદીઓની મહત્તમ ડિગ્રી (અને ડાબી બાજુએ સારાંશ તરીકે, અને જમણી બાજુ તરીકે) છે, પરંતુ રેડિકલની ડિગ્રી માત્ર છે. મેસન-સ્ટોથર્સ પ્રમેયમાં સમાનતા ક્યાં છે તેનું ઉદાહરણ લેવું અને આપવું, જે દર્શાવે છે કે અસમાનતા અમુક અર્થમાં શ્રેષ્ઠ શક્ય છે. મેસન-સ્ટોથર્સ પ્રમેયનો ઉપસંહાર એ કાર્ય ક્ષેત્રો માટે ફર્માટના છેલ્લા પ્રમેયનો એનાલોગ છેઃ જો, માટે, લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્ર પર પ્રમાણમાં મુખ્ય બહુપદીઓ વિભાજીત ન થાય અને પછી ઓછામાં ઓછી એક, અથવા 0 હોય અથવા તે બધા અચળ હોય. પુરાવોએ મેસન-સ્ટોથર્સ પ્રમેયનો નીચેનો પ્રાથમિક પુરાવો આપ્યો હતો. પગલું 1. આ સ્થિતિ સૂચવે છે કે બ્રોન્સ્કિયનો, અને બધા સમાન છે. તેમના સામાન્ય મૂલ્ય માટે લખો. પગલું 2. એવી શરત કે ડેરિવેટિવ્ઝમાંથી ઓછામાં ઓછું એક, અથવા નોનઝીરો છે અને તે, અને કોપ્રાઇમ છે તે બતાવવા માટે વપરાય છે કે તે નોનઝીરો છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પછી તે વિભાજિત થાય (જેમ અને સહમૌલિક છે) તો (જ્યાં સુધી તે અચળ ન હોય). પગલું 3. દરેક સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકો દ્વારા વિભાજીત થાય છે, અને. આ કોપ્રાઇમ હોવાથી તે તેમના ગુણાકાર દ્વારા વિભાજીત થાય છે, અને બિન-શૂન્ય હોવાથી આપણને પગલું 4 મળે છે. અસમાનતામાં અવેજી-(અલગ મૂળની સંખ્યા)-(અલગ મૂળની સંખ્યા)-(અલગ મૂળની સંખ્યા) (જ્યાં મૂળ કેટલાક બીજગણિત બંધમાં લેવામાં આવે છે) અને આપણે તે શોધી કાઢીએ છીએ જે આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે. સામાન્યીકરણ એક કુદરતી સામાન્યીકરણ છે જેમાં બહુપદીઓની વીંટીને એક-પરિમાણીય કાર્ય ક્ષેત્ર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ચાલો લાક્ષણિકતા 0 નું બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર હોઈએ, ચાલો જીનસનું સરળ પ્રોજેક્ટિવ વળાંક હોઈએ, સંતોષ પર તર્કસંગત કાર્યો હોઈએ, અને અને ના તમામ શૂન્ય અને ધ્રુવોને સમાવતા બિંદુઓનો સમૂહ હોઈએ. પછી અહીં ફંક્શનની ડિગ્રી એ નકશાની ડિગ્રી છે જે તે P1 થી પ્રેરિત કરે છે. જે. એચ. સિલ્વરમેન દ્વારા તે જ વર્ષે પ્રકાશિત વૈકલ્પિક ટૂંકા પુરાવા સાથે મેસન દ્વારા આ સાબિત થયું હતું. જે. એફ. વોલોચ અને ડબલ્યુ. ડી. બ્રાઉનવેલ અને ડી. ડબલ્યુ. મેસરને સ્વતંત્ર રીતે કારણે વધુ સામાન્યીકરણ છે, જે-ચલ-એકમ સમીકરણો માટે ઉપલી સીમા આપે છે, જો કે તેનો કોઈ સબસેટ-રેખીય રીતે નિર્ભર નથી. આ ધારણા હેઠળ, તેઓ સાબિત કરે છે કે સંદર્ભો બાહ્ય મેસન-સ્ટોથર્સ પ્રમેય અને એબીસી અનુમાન, વિશાલ લામાને જોડે છે. લેંગના પુસ્તકમાંથી સાબિતીનું સાફ કરેલું સંસ્કરણ. બહુપદીઓ વિશેના પ્રમેયો