Dual number
બીજગણિતમાં, દ્વિ સંખ્યાઓ એ 19મી સદીમાં સૌપ્રથમ રજૂ કરવામાં આવેલી હાયપરકોમ્પ્લેક્સ સંખ્યા પદ્ધતિ છે. તેઓ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિઓ છે, જ્યાં અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને તે સંતોષવા માટે લેવામાં આવેલું પ્રતીક છે. બેવડી સંખ્યાઓ ઘટક મુજબ ઉમેરી શકાય છે, અને સૂત્ર દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે જે ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે અને હકીકત એ છે કે ગુણાકાર એ દ્વિરેખીય કામગીરી છે. બેવડી સંખ્યાઓ વાસ્તવિક પર પરિમાણ બેનું પરિવર્તનીય બીજગણિત બનાવે છે, અને એક આર્ટીનીયન સ્થાનિક વીંટી પણ બનાવે છે. તે રિંગના સૌથી સરળ ઉદાહરણોમાંનું એક છે જેમાં બિન-શૂન્ય નિલપોટેન્ટ તત્વો હોય છે. વિલિયમ ક્લિફોર્ડ દ્વારા 1873 માં બેવડી સંખ્યાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી, અને વીસમી સદીની શરૂઆતમાં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી એડવર્ડ સ્ટડી દ્વારા તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે તેનો ઉપયોગ બેવડા ખૂણાને રજૂ કરવા માટે કર્યો હતો જે અવકાશમાં બે વક્ર રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિને માપે છે. અભ્યાસમાં દ્વિકોણને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે કે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓની દિશાઓ વચ્ચેનો કોણ ક્યાં છે અને તે તેમની વચ્ચેનું અંતર છે. - પરિમાણીય સામાન્યીકરણ, ગ્રાસમેન નંબર, 19મી સદીના અંતમાં હર્મન ગ્રાસમેન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. આધુનિક વ્યાખ્યા આધુનિક બીજગણિતમાં, દ્વિસંખ્યાના બીજગણિતને ઘણીવાર અનિશ્ચિતના વર્ગ દ્વારા પેદા થયેલ મુખ્ય આદર્શ દ્વારા વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર બહુપદી રિંગના ભાગાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે તેને એક-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાના બાહ્ય બીજગણિત તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જ્યારે છેદનો વાસ્તવિક ભાગ બિન-શૂન્ય હોય ત્યારે દ્વિ આંકડાના વિભાજનને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિભાજન પ્રક્રિયા જટિલ વિભાજનની સમાન છે જેમાં બિન-વાસ્તવિક ભાગોને રદ કરવા માટે છેદને તેના સંયુગ્મ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. તેથી, સ્વરૂપના સમીકરણને વિભાજિત કરવા માટે આપણે અંશ અને છેદને છેદના સંયુગ્મ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએઃ જે બિન-શૂન્ય હોય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો, બીજી બાજુ, શૂન્ય હોય અને ન હોય, તો જો શૂન્ય ન હોય તો સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી, અન્યથા ફોર્મની કોઈપણ બેવડી સંખ્યા દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે "ભાગાકાર" નો બિન-વાસ્તવિક ભાગ મનસ્વી છે અને તેથી વિભાજનને શુદ્ધ બિન-વાસ્તવિક બેવડી સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી. ખરેખર, તેઓ (તુચ્છ રીતે) શૂન્ય વિભાજક છે અને સ્પષ્ટપણે બેવડી સંખ્યાઓના સહયોગી બીજગણિત (અને આમ રિંગ) નો આદર્શ બનાવે છે. મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ બેવડી સંખ્યાને ચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ રજૂઆતમાં મેટ્રિક્સ શૂન્ય મેટ્રિક્સને ચોરસ કરે છે, જે બેવડી સંખ્યાને અનુરૂપ છે. બેવડી સંખ્યાઓને ચોરસ મેટ્રિસીસ તરીકે રજૂ કરવાની અન્ય રીતો છે. તેઓ ઓળખ મેટ્રિક્સ દ્વારા બેવડી સંખ્યાને રજૂ કરે છે, અને કોઈપણ મેટ્રિક્સ દ્વારા જેનો વર્ગ શૂન્ય મેટ્રિક્સ છે; એટલે કે, મેટ્રિક્સના કિસ્સામાં, તફાવત સાથે ફોર્મનો કોઈપણ બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ બેવડી સંખ્યાઓનો એક ઉપયોગ સ્વચાલિત તફાવત છે. વાસ્તવિક ગુણાંક ધરાવતી કોઈપણ બહુપદીને દ્વિ-સંખ્યા-મૂલ્યવાન દલીલના કાર્ય સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જ્યાં તે વ્યુત્પન્ન છે વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ (વિશ્લેષણાત્મક) વાસ્તવિક કાર્યને તેની ટેલર શ્રેણી દ્વારા દ્વિ સંખ્યાઓ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ કારણ કે તેની વ્યાખ્યા દ્વારા સમાવિષ્ટ અથવા વધુ શક્તિઓ ધરાવતા તમામ શબ્દો તુચ્છ રીતે હોય છે. બેવડી સંખ્યાઓ પર આ વિધેયોની રચનાઓની ગણતરી કરીને અને પરિણામના ગુણાંકની તપાસ કરીને આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે આપણે રચનાના વ્યુત્પન્નની આપમેળે ગણતરી કરી છે. સમાન પદ્ધતિ ચલની બહુપદીઓ માટે કામ કરે છે, જેમાં-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાના બાહ્ય બીજગણિતનો ઉપયોગ થાય છે. ભૂમિતિ બેવડી સંખ્યાઓના "એકમ વર્તુળ" માં તે હોય છે જેની સાથે આ ક્યાં સંતુષ્ટ થાય છે. જો કે, નોંધ લો કે-અક્ષ પર લાગુ કરાયેલ ઘાતાંકીય નકશો માત્ર અડધા "વર્તુળ" ને આવરી લે છે. જવા દો. જો અને, તો તે બેવડી સંખ્યાનું ધ્રુવીય વિઘટન છે, અને ઢોળાવ તેનો કોણીય ભાગ છે. ડ્યુઅલ નંબર પ્લેનમાં પરિભ્રમણની વિભાવના ત્યારથી ઊભી શીયર મેપિંગની સમકક્ષ છે. નિરપેક્ષ અવકાશ અને સમયમાં ગેલિલીયન પરિવર્તન જે વિશ્રામી કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમને વેગના સંદર્ભની ફરતી ફ્રેમ સાથે સંબંધિત કરે છે. એક અવકાશ પરિમાણ અને સમય સાથે ઘટનાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી બેવડી સંખ્યાઓ સાથે, સમાન પરિવર્તન દ્વારા ગુણાકાર સાથે અસર થાય છે. ચક્ર બે બેવડી સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે અને, તેઓ ઢાળોનો સમૂહ એવી રીતે નક્કી કરે છે કે રેખાઓ વચ્ચેનો તફાવત ("ગેલિલીયન ખૂણો") થી અને વચ્ચે સ્થિર રહે. આ સમૂહ બેવડી સંખ્યાના સમતલમાં એક ચક્ર છે; કારણ કે રેખાઓના ઢોળાવોમાં તફાવતને અચળાંક પર સુયોજિત કરતું સમીકરણ એ તેના વાસ્તવિક ભાગમાં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે, એક ચક્ર એક પેરાબોલા છે. દ્વિ આંકડાના સમતલનું "ચક્રીય પરિભ્રમણ" તેની પ્રક્ષેપાત્મક રેખાની ગતિ તરીકે થાય છે. ઇસાક યાગ્લોમના જણાવ્યા અનુસાર, અનુવાદ સાથે શીયરની રચના હેઠળ ચક્ર અપરિવર્તનશીલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બેવડી સંખ્યાઓ ચાર-બાર ગોળાકાર જોડાણના ઇનપુટ/આઉટપુટ સમીકરણોને ચાર-બાર અવકાશી પદ્ધતિ (રોટૉઇડ, રોટૉઇડ, રોટૉઇડ, નળાકાર) માં રૂપાંતરિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે, જેમાં માત્ર રોટૉઇડ સાંધાઓનો સમાવેશ થાય છે. દ્વિગુણિત ખૂણાઓ આદિમ ભાગ, ખૂણાઓ અને દ્વિભાગથી બનેલા હોય છે, જેમાં લંબાઈના એકમો હોય છે. વધુ માટે સ્ક્રૂ સિદ્ધાંત જુઓ. સામાન્યીકરણ આ રચના વધુ સામાન્ય રીતે કરી શકાય છેઃ પરિવર્તનીય વીંટી માટે આદર્શ દ્વારા બહુપદી વીંટીના ભાગાકાર તરીકે બેવડી સંખ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ પછીની છબી શૂન્યની બરાબર વર્ગ ધરાવે છે અને ઉપરના તત્વને અનુરૂપ હોય છે. શૂન્ય વર્ગના તત્વોનું મનસ્વી મોડ્યુલ બેવડી સંખ્યાઓની વધુ સામાન્ય રચના છે. કમ્યુટેટિવ રીંગ અને મોડ્યુલને જોતાં, બેવડી સંખ્યાઓની રીંગ તરીકે ઓળખાતી એક રીંગ હોય છે જે નીચેની રચનાઓ ધરાવે છેઃ તે માટે અને માટે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે-મોડ્યુલ છે. તેવી જ રીતે, તેઓ માત્ર એક જનરેટર સાથે સુપરનમ્બર છે; સુપરનમ્બર ખ્યાલને અલગ જનરેટરમાં સામાન્ય બનાવે છે, દરેક એન્ટિ-કોમ્યુનિટિંગ, સંભવતઃ અનંત સુધી લઈ જાય છે. સુપરસ્પેસ બહુવિધ આવનજાવન પરિમાણોને મંજૂરી આપીને સુપરનમ્બરને સહેજ સામાન્ય બનાવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બેવડી સંખ્યાઓ રજૂ કરવાની પ્રેરણા ફર્મિઓન માટે પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતને અનુસરે છે. સાથેની દિશાને "ફર્મિઓનિક" દિશા કહેવામાં આવે છે, અને વાસ્તવિક ઘટકને "બોસોનિક" દિશા કહેવામાં આવે છે. ફર્મિઓનિક દિશા આ નામ એ હકીકત પરથી મેળવે છે કે ફર્મિઓન પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છેઃ કોઓર્ડિનેટ્સના વિનિમય હેઠળ, ક્વોન્ટમ યાંત્રિક તરંગ કાર્ય સંકેત બદલે છે, અને આમ જો બે કોઓર્ડિનેટ્સને એકસાથે લાવવામાં આવે તો તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે; આ ભૌતિક વિચાર બીજગણિત સંબંધ દ્વારા પકડવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ લાઇન બેવડી સંખ્યા પર પ્રોજેક્ટિવ લાઇનનો વિચાર ગ્રુનવાલ્ડ અને કોરાડો સેગ્રે દ્વારા આગળ વધારવામાં આવ્યો હતો. જેમ રીમાન ગોળાને જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક રેખાને બંધ કરવા માટે અનંત પર ઉત્તર ધ્રુવ બિંદુની જરૂર છે, તેવી જ રીતે અનંત પરની રેખા દ્વિ સંખ્યાના સમતલને નળાકાર સાથે બંધ કરવામાં સફળ થાય છે. ધારો કે તે બેવડી સંખ્યાઓની વીંટી છે અને તેની સાથેનો ઉપગણ છે. પછી એકમોનું જૂથ છે. જવા દો. B પર સંબંધને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યારે તેમાં a હોય અને. આ સંબંધ હકીકતમાં એક સમાનતા સંબંધ છે. પ્રોજેક્ટિવ લાઇન ઓવરના બિંદુઓ આ સંબંધ હેઠળ સમાનતા વર્ગો છેઃ તેઓ પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે રજૂ થાય છે. દ્વારા એમ્બેડિંગનો વિચાર કરો. પછી બિંદુઓ, માટે, અંદર છે પરંતુ એમ્બેડિંગ હેઠળ કોઈ પણ બિંદુની છબી નથી. પ્રક્ષેપણ દ્વારા નળાકાર પર નકશો કરવામાં આવે છેઃ રેખા પરના બેવડાં આંકડાના સમતલ પર નળાકારની સ્પર્શક લો. હવે વિમાનોની પેન્સિલની ધરી માટે નળાકાર પર વિરુદ્ધ રેખા લો. ડ્યુઅલ નંબર પ્લેન અને સિલિન્ડરને છેદતા પ્લેન આ સપાટીઓ વચ્ચેના બિંદુઓનો પત્રવ્યવહાર પ્રદાન કરે છે. દ્વિ આંકડાના સમતલની સમાંતર સમતલ દ્વિ આંકડાની પ્રક્ષેપાત્મક રેખામાં બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે. સ્મૂથ ઇન્ફિનિટસીમલ એનાલિસિસ પર્ટર્બેશન થિયરી ઇન્ફિનિટસીમલ સ્ક્રૂ થિયરી ડ્યુઅલ-કોમ્પ્લેક્સ નંબર લેગ્યુરે ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ ગ્રાસમેન નંબર ઓટોમેટિક ડિફરન્શીએશન રેફરન્સ કોર્નેલ યુનિવર્સિટી ખાતે કોર્નેલ હિસ્ટોરિકલ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સમાંથી વધુ વાંચન જુઓ. રેખીય બીજગણિત હાયપરકોમ્પ્લેક્સ સંખ્યાઓ પરિવર્તનીય બીજગણિત વિભેદક બીજગણિત બિન-માનક વિશ્લેષણ