Fermion doubling
જાળી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ફર્મિઓન દ્વિગુણિત થાય છે જ્યારે નિષ્કપટ રીતે જાળી પર ફર્મિઓનિક ક્ષેત્રો મૂકે છે, પરિણામે અપેક્ષા કરતા વધુ ફર્મિઓનિક સ્થિતિઓ થાય છે. યુક્લિડિયન પરિમાણોમાં નિષ્કપટ રીતે વિભાજીત ડાયરેક ફર્મિઓન માટે, દરેક ફર્મિઓનિક ક્ષેત્ર સમાન ફર્મિઓન પ્રજાતિઓમાં પરિણમે છે, જેને ફર્મિઓનના વિવિધ સ્વાદ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ફર્મિઓન બમણી થવાની સમસ્યા નીલ્સન-નિનોમિયા પ્રમેય દ્વારા કાયરલ ઇનવેરિયન્સ સાથે સંકળાયેલી છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી મોટાભાગની વ્યૂહરચનાઓમાં સુધારેલા ફર્મિઓનનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડે છે જે માત્ર સાતત્ય મર્યાદામાં જ ડીરાક ફર્મિઓનમાં ઘટાડો કરે છે. નિષ્કપટ ફર્મિઓન પૃથક્કરણ સરળતા માટે આપણે મુક્ત ફર્મિઓનના ચાર-પરિમાણીય સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લઈશું, જો કે ફર્મિઓન બમણી થવાની સમસ્યા મનસ્વી પરિમાણોમાં રહે છે અને જો ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ શામેલ હોય તો પણ. જાળી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સામાન્ય રીતે યુક્લિડિયન અવકાશ સમયમાં હાથ ધરવામાં આવે છે, જે વિક પરિભ્રમણ પછી મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ સમયમાંથી આવે છે, જ્યાં સાતત્ય ડીરાક ક્રિયા સ્વરૂપ લે છે. અભિન્ન તમામ જાળી બિંદુઓ પર સરવાળો બની જાય છે, જ્યારે ફર્મિઓનિક ક્ષેત્રોને અને દ્વારા સૂચિત દરેક જાળી સ્થળ પર ચાર-ઘટક ગ્રાસમેન ચલો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. વપરાયેલ વ્યુત્પન્ન પૃથક્કરણ એ સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન પૃથક્કરણ છે, જેમાં વાહક દિશામાં એકમ વાહક હોય છે. આ પગલાંઓ નિષ્કપટ મુક્ત ફર્મિઓન ક્રિયા આપે છે આ ક્રિયા સાતત્ય મર્યાદામાં સાતત્ય ડીરાક ક્રિયા સુધી ઘટી જાય છે, તેથી તે એક જ ફર્મિઓનનો સિદ્ધાંત હોવાની અપેક્ષા છે. જો કે, તે તેના બદલે સોળ સમાન ફર્મિઓનનું વર્ણન કરે છે, જેમાં દરેક ફર્મિઓનનો સ્વાદ અલગ હોવાનું કહેવાય છે, જે કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કણોના સ્વાદમાં અલગ અલગ હોય છે. પંદર વધારાના ફર્મિઓનને ઘણીવાર ડબલર્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ વિસ્તૃત કણ સામગ્રી સમપ્રમાણતા અથવા જાળી સિદ્ધાંતના સહસંબંધ કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરીને જોઈ શકાય છે. બેવડી સમપ્રમાણતા નિષ્કપટ ફર્મિઓન ક્રિયા નવી સ્વાદ-વિનિમય સમપ્રમાણતા ધરાવે છે જે ફર્મિઓન ક્ષેત્રો પર કામ કરતા સાતત્ય સિદ્ધાંતમાં જોવા મળતી નથી કારણ કે જ્યાં વેક્ટર એ સોળ વેક્ટર છે જેની બિન-શૂન્ય એન્ટ્રીઓ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,,, અને. સમપ્રમાણતામાં ડીરાક માળખું એ જ રીતે ક્યાં અને; ઉદાહરણ તરીકે સાથે સૂચકાંકો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સોળ સમપ્રમાણતા પરિવર્તનની હાજરી માત્ર એકને બદલે સોળ સમાન ફર્મિઓન સ્થિતિઓનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. ફર્મિઓન ક્ષેત્રથી શરૂ કરીને, સમપ્રમાણતા તેને બીજા ક્ષેત્રમાં મેપ કરે છે. ફોરિયર આને પરિવર્તિત કરે છે તે દર્શાવે છે કે તેની ગતિને આ રીતે બદલવામાં આવી છે. તેથી, બ્રિલૌઇન ઝોનના કેન્દ્રની નજીક વેગ ધરાવતા ફર્મિઓનને તેના એક ખૂણામાં મેપ કરવામાં આવે છે જ્યારે ખૂણાના ફર્મિઓનમાંથી એક કેન્દ્ર ફર્મિઓનને બદલવા માટે આવે છે, જે દર્શાવે છે કે પરિવર્તન ફર્મિઓનના સ્વાદને બદલવા માટે કાર્ય કરે છે. આ ક્રિયાની સમપ્રમાણતા હોવાથી, વિવિધ સ્વાદો એકબીજાથી શારીરિક રીતે અવિભાજ્ય હોવા જોઈએ. અહીં નાના માટે બ્રિલૌઇન વેગ એ કણની ભૌતિક વેગ નથી, પરંતુ તે છે. તેના બદલે તે ફર્મિઓનના સ્વાદને સ્પષ્ટ કરતી વધારાની ક્વોન્ટમ સંખ્યા તરીકે વધુ કાર્ય કરે છે. આ શબ્દ ડબલર્સની-મેટ્રિકની રજૂઆતને બદલવા માટે જવાબદાર છે, જે મેટ્રિસીસના ચિહ્નોને બદલવાની અસર ધરાવે છે. આવા કોઈપણ સંકેત પરિવર્તનનું પરિણામ હજુ પણ ડીરાક બીજગણિતને સંતોષતા મેટ્રિસીસના સમૂહમાં પરિણમે છે, પરિણામી મેટ્રિસીસ માન્ય રજૂઆત બનાવે છે. તે એ શબ્દ પણ છે જે અને દ્વારા આપવામાં આવેલા ડબલર્સના તરંગ કાર્યમાં પ્રવેશ કરે છે, જ્યાં અને વેગ સાથે સામાન્ય ડાયરેક સમીકરણ ઉકેલો છે. પ્રસારક અને પ્રસરણ સંબંધ સાતત્ય સિદ્ધાંતમાં, ડીરાક પ્રસારક પાસે એક જ ધ્રુવ હોય છે કારણ કે સિદ્ધાંત માત્ર એક જ કણનું વર્ણન કરે છે. જો કે, નિષ્કપટ ક્રિયાથી પ્રસારકની ગણતરી કરવાથી વેગ સાથે ફર્મિઓન મળે છે. નીચા મોમેન્ટા માટે આ હજુ પણ અપેક્ષિત ધ્રુવ ધરાવે છે, પરંતુ જ્યારે ત્યાં પંદર વધારાના ધ્રુવો હોય છે. આમાંની દરેક નવી ફર્મિઓન પ્રજાતિ છે જે બમણી થાય છે કારણ કે કાર્યની શ્રેણીમાં બે ધ્રુવો હોય છે. જ્યારે વિવિધ સ્પિનના કણોને અલગ કરવામાં આવે છે ત્યારે શું થાય છે તેનાથી આ વિપરીત છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્કેલર્સ એ સિવાયના સમાન સ્વરૂપમાં પ્રચારકો પ્રાપ્ત કરે છે, જે વેગની શ્રેણી પર માત્ર એક જ ધ્રુવ ધરાવે છે અને તેથી સિદ્ધાંત બમણી થવાની સમસ્યાથી પીડાતો નથી. ફર્મિઓન બમણી કરવાની જરૂરિયાત એ હકીકત પરથી અનુમાન કરી શકાય છે કે માસલેસ ફર્મિઓન પ્રોપેગેટર મૂળની આસપાસ વિચિત્ર છે. એટલે કે, સાતત્ય મર્યાદામાં તે પ્રમાણસર હોય છે, જે હજી પણ નાની વેગ મર્યાદામાં જાળી પર હોવું જોઈએ. પરંતુ કોઈ પણ સ્થાનિક જાળી સિદ્ધાંત કે જેનું નિર્માણ કરી શકાય છે તેમાં સતત અને સામયિક પ્રસારક હોવો આવશ્યક છે, તેથી તેણે ઓછામાં ઓછી એક વાર વધુ શૂન્ય અક્ષને પાર કરવું આવશ્યક છે, જે બ્રિલૌઇન ઝોનના ખૂણાઓ પર થાય છે જ્યાં નિષ્કપટ ફર્મિઓન પ્રસારક માટે થાય છે. આ બોસોનીક પ્રોપેગેટરથી વિપરીત છે જે મૂળની આસપાસ દ્વિઘાત છે અને તેથી તેમાં આવી સમસ્યા નથી. જો અસંગત પ્રસારકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો દ્વિગુણિત થવાનું ટાળી શકાય છે, પરંતુ આ બિન-સ્થાનિક સિદ્ધાંતમાં પરિણમે છે. ડબલર્સની હાજરી ફર્મિઓન વિખેરણ સંબંધમાં પણ પ્રતિબિંબિત થાય છે. આ ફર્મિઓનની ઊર્જા અને તેના વેગ વચ્ચેનો સંબંધ હોવાથી, તેને પ્રોપેગેટરના ધ્રુવમાંથી ઉદ્ભવતા વિક્ષેપણ સંબંધ સાથે વિલોમ વિક પરિવર્તન કરવાની જરૂર છે. આ વિક્ષેપણ સંબંધના શૂન્ય સ્થાનિક ઊર્જા મિનિમા છે જેની આસપાસ ઉત્તેજના વિવિધ કણ પ્રજાતિઓને અનુરૂપ હોય છે. ઉપરોક્ત આઠ જુદી જુદી પ્રજાતિઓ છે જે ત્રણ અવકાશી દિશાઓમાં બમણી થવાને કારણે ઉદ્ભવે છે. બાકીના આઠ ડબલર્સ યુક્લિડિયન ટેમ્પોરલ દિશામાં બીજા બમણા થવાને કારણે થાય છે, જે ખોવાઈ ગયું હોય તેવું લાગે છે. પરંતુ આ ઇન્વર્સ વિક ટ્રાન્સફોર્મેશનના નિષ્કપટ ઉપયોગને કારણે છે. આ સિદ્ધાંતમાં એક અવરોધ છે જે તેને સરળ રીતે બદલવાની મંજૂરી આપતો નથી અને તેના બદલે સંપૂર્ણ સમોચ્ચ એકીકરણ કરવાની જરૂર છે. સ્થાન અવકાશ પ્રસારક માટે આમ કરવાથી બે અલગ અલગ શરતોમાં પરિણામ મળે છે, જેમાંથી દરેકમાં આઠ ફર્મિઓન પ્રજાતિઓનો સમાન પ્રસરણ સંબંધ હોય છે, જે કુલ સોળ આપે છે. મિન્કોવ્સ્કી અને યુક્લિડિયન નિષ્કપટ ફર્મિઓન જાળી સિદ્ધાંતો વચ્ચે અવરોધ થાય છે કારણ કે દ્વિગુણિત મિન્કોવ્સ્કી ટેમ્પોરલ દિશામાં થતું નથી, તેથી બંને સિદ્ધાંતો તેમની કણ સામગ્રીમાં અલગ પડે છે. ફર્મિઓન બમણો કરવાના રિઝોલ્યુશન એ નીલ્સન-નિનોમિયા પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા જાળી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં નો-ગો થીયરમનું પરિણામ છે. તે જણાવે છે કે કોઈપણ સમ પરિમાણીય સ્થાનિક, હર્મિશિયન, અનુવાદાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ, દ્વિસરેખીય ફર્મિઓનિક સિદ્ધાંતમાં હંમેશા ડાબા હાથના અને જમણા હાથના વેલ ફર્મિઓનની સંખ્યા સમાન હોય છે, જે જ્યારે અભાવ હોય ત્યારે વધારાના ફર્મિઓન ઉત્પન્ન કરે છે. આ પ્રમેય એ નથી કહેતો કે કેટલા દ્વિગુણકો ઊભી થશે, પરંતુ પ્રમેયની ધારણાઓને તોડ્યા વિના, હંમેશા ઓછામાં ઓછો એક દ્વિગુણક રહેશે, જેમાં નિષ્કપટ વિવેકીકરણમાં પંદર હશે. પ્રમેયનું પરિણામ એ છે કે કાયરલ વિસંગતતાને કાયરલ રીતે અપરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંતો સાથે અનુકરણ કરી શકાતું નથી કારણ કે તે તુચ્છ રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ફર્મિઓન ડબલિંગ સાથે જાળી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો અનુકરણ ડબલર્સને કારણે ખોટા પરિણામો તરફ દોરી જાય છે, આ સમસ્યાને દૂર કરવા માટે ઘણી વ્યૂહરચનાઓ વિકસાવવામાં આવી છે. જ્યારે દ્વિગુણકોને મુક્ત સિદ્ધાંતમાં અવગણી શકાય છે કારણ કે ત્યાં વિવિધ સ્વાદો અલગ પડે છે, તેમને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સિદ્ધાંતમાં અવગણી શકાય નહીં જ્યાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ વિવિધ સ્વાદોને મિશ્રિત કરે છે, કારણ કે વેગ માત્ર મોડ્યુલો સુધી જ સંરક્ષિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે સ્વાદના ફર્મિઓન વેગ સંરક્ષણનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના બે સ્વાદના ફર્મિઓન ઉત્પન્ન કરવા માટે અત્યંત વર્ચ્યુઅલ ગેજ બોસોનના વિનિમય દ્વારા વિખેરાઈ શકે છે. તેથી, ફર્મિઓન બમણી થવાની સમસ્યાને દૂર કરવા માટે, વ્યક્તિએ નિલ્સન-નિનોમિયા પ્રમેયની એક અથવા વધુ ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન કરવું જોઈએ, જે સૂચિત ઠરાવોની સંખ્યાને જન્મ આપે છેઃ ડોમેન દિવાલ ફર્મિઓનઃ સ્પષ્ટપણે કાયરલ સમપ્રમાણતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે, અવકાશી પરિમાણમાં વધારો કરે છે. જિન્સપર્ગ-વિલ્સન ફર્મિઓન સ્પષ્ટ રીતે કાયરલ સમપ્રમાણતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે. ઓવરલેપ ફર્મિઓન સ્પષ્ટ રીતે કાયરલ સમપ્રમાણતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે (જિન્સપર્ગ-વિલ્સન ફર્મિઓનનો પ્રકાર). સંપૂર્ણ જાળી ફર્મિઓન-બિન-સ્થાનિક રચના. એસ. એલ. એ. સી. ફર્મિઓન-બિન-સ્થાનિક રચના. સ્ટેસી ફર્મિઓન-બિન-સ્થાનિક રચના. સ્ટેગર્ડ ફર્મિઓન (કોગુટ-સસ્કાઇન્ડ ફર્મિઓન): સ્પષ્ટપણે ટ્રાન્સલેશનલ ઇનવેરિયન્સનું ઉલ્લંઘન કરે છે, ડબલર્સની સંખ્યા ઘટાડે છે. સમમિતીય દળ નિર્માણઃ આ અભિગમ ફર્મિઓન-બિલિનિયર મોડેલથી આગળ વધે છે અને બિન-વિક્ષેપકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અસરો રજૂ કરે છે. આઇક્ટન-પ્રેસ્કિલ મોડેલ પર આધારિત એક અનુભૂતિ વેક્ટર-સિમેટ્રિક ફર્મિઓન મોડેલથી શરૂ થાય છે જ્યાં બે ક્ષેત્રની દિવાલો પર કાયરલ ફર્મિઓન અને મિરર ફર્મિઓનની અનુભૂતિ થાય છે. સપ્રમાણ દળ ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને અરીસાના ફર્મિઓનને ગેપિંગ કરવાથી ઓછી ઊર્જા પર કાયરલ ફર્મિઓનમાં પરિણમે છે, જેમાં ફર્મિઓન બમણો થતો નથી. ટ્વિસ્ટેડ માસ ફર્મિઓન સ્પષ્ટ રીતે કાયરલ સમપ્રમાણતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે (વિલ્સન ફર્મિઓનનો પ્રકાર). વિલ્સન ફર્મિઓન સ્પષ્ટ રીતે કાયરલ સમપ્રમાણતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે. આ ફર્મિઓન ફોર્મ્યુલેશનના દરેકના પોતાના ફાયદા અને ગેરફાયદા છે. તેઓ જે ઝડપે અનુકરણ કરી શકાય છે, તેમના અમલીકરણની સરળતા અને અપવાદરૂપ રૂપરેખાંકનોની હાજરી અથવા ગેરહાજરીમાં અલગ પડે છે. તેમાંના કેટલાકમાં શેષ કાયરલ સમપ્રમાણતા હોય છે જે અક્ષીય વિસંગતતાઓનું અનુકરણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેઓ કેટલા ડબલર્સને દૂર કરે છે તેમાં પણ તેઓ અલગ હોઈ શકે છે, જેમાં કેટલાકમાં ડબલ્ટ અથવા ફર્મિઓનની ચોકડી હોય છે. આ કારણોસર વિવિધ સમસ્યાઓ માટે વિવિધ ફર્મિઓન ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ડેરિવેટિવ્ઝ ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન ડબલિંગ સમસ્યાનો બીજો સંભવિત જોકે અવ્યવહારુ ઉકેલ એ છે કે નિષ્કપટ ફર્મિઓન ક્રિયામાં ઉપયોગમાં લેવાતા સપ્રમાણ તફાવતથી અલગ વ્યુત્પન્ન ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન અપનાવવું. તેના બદલે આગળના તફાવત અથવા પછાત તફાવતનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. બમણી કરવા પર વ્યુત્પન્ન વિસંગતતાઓની અસર એક-પરિમાણીય રમકડાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈને જોવામાં આવે છે. સાતત્યમાં આ વિભેદક સમીકરણનો એક જ ઉકેલ છે. જો કે, સપ્રમાણ તફાવત વ્યુત્પન્નનો અમલ બે અલગ અલગ ઇગેનસોલ્યુશનની હાજરી તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે આગળ અથવા પાછળનો તફાવત વ્યુત્પન્ન એક ઇગેનસોલ્યુશન ધરાવે છે. આ અસર ફર્મિઓન ક્રિયા તરફ આગળ વધે છે જ્યાં ફર્મિઓનનું દ્વિગુણન આગળ અથવા પછાત વિચલન સાથે ગેરહાજર હોય છે. આ કણોની સામગ્રીની અસમાનતાનું કારણ એ છે કે સપ્રમાણ તફાવત વ્યુત્પન્ન સાતત્ય સંચાલકના હર્મીટીસિટી ગુણધર્મને જાળવી રાખે છે, જ્યારે આગળ અને પાછળની અસમાનતામાં નથી. આ પછીના વિવેચનો બિન-હર્મિશિયન ક્રિયાઓ તરફ દોરી જાય છે, જે નીલ્સન-નિનોમિયા પ્રમેયની ધારણાઓને તોડે છે, અને તેથી ફર્મિઓન બમણી થવાની સમસ્યાને ટાળે છે. બિન-હર્મિશિયન વ્યુત્પન્ન પૃથક્કરણ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સિદ્ધાંત વિકસાવવાથી ફર્મિઓન સ્વ-ઊર્જા અને શિરોબિંદુ કાર્યમાં બિન-સહપરિવર્તનશીલ યોગદાન સાથે સિદ્ધાંત તરફ દોરી જાય છે, જે સિદ્ધાંતને બિન-સામાન્ય અને તેની સાથે કામ કરવું મુશ્કેલ બનાવે છે. આ કારણોસર ફર્મિઓન બમણી થવાની સમસ્યાના આવા ઉકેલનો સામાન્ય રીતે અમલ કરવામાં આવતો નથી. એકોસ્ટિક અને ઓપ્ટિકલ ફોનોન પણ જુઓઃ સોલિડ સ્ટેટ સ્ફટિકોમાં સમાન ઘટના સંદર્ભો જાળી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ફર્મિઓન