Ring (mathematics)
ગણિતમાં, રિંગ્સ એ બીજગણિત માળખાં છે જે ક્ષેત્રોને સામાન્ય બનાવે છેઃ ગુણાકાર પરિવર્તનીય હોવો જરૂરી નથી અને ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમો અસ્તિત્વમાં હોવાની જરૂર નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રિંગ એ બે દ્વિસંગી કામગીરીઓથી સજ્જ એક સમૂહ છે જે પૂર્ણાંકોના ઉમેરા અને ગુણાકારના સમાન ગુણધર્મોને સંતોષ આપે છે. રીંગ તત્વો પૂર્ણાંકો અથવા જટિલ સંખ્યાઓ જેવી સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે, પરંતુ તેઓ બહુપદીઓ, ચોરસ મેટ્રિસીસ, કાર્યો અને પાવર સિરીઝ જેવા બિન-આંકડાકીય પદાર્થો પણ હોઈ શકે છે. ઔપચારિક રીતે, રિંગ એ એક અબેલિયન જૂથ છે જેની કામગીરીને એડિશન કહેવામાં આવે છે, બીજી દ્વિસંગી કામગીરી જેને મલ્ટિપ્લિકેશન કહેવાય છે જે એસોસિએટિવ છે, એડિશન ઓપરેશન પર ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ છે, અને મલ્ટિપ્લિકેટિવ આઇડેન્ટિટી એલિમેન્ટ ધરાવે છે. (કેટલાક લેખકો આ છેલ્લી જરૂરિયાતને બાકાત રાખતી વધુ સામાન્ય રચનાનો સંદર્ભ આપવા માટે "ગુમ થયેલ" i "શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે; જુઓ.) રિંગ પરિવર્તનીય છે કે કેમ (એટલે કે, બે તત્વોનો જે ક્રમમાં ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તે પરિણામને બદલી શકે છે કે કેમ) તેની વર્તણૂક પર ઊંડી અસર પડે છે. કમ્યુટેટિવ બીજગણિત, કમ્યુટેટિવ રિંગ્સનો સિદ્ધાંત, એ રિંગ થિયરીની મુખ્ય શાખા છે. તેનો વિકાસ બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત અને બીજગણિત ભૂમિતિના સમસ્યાઓ અને વિચારોથી ઘણો પ્રભાવિત થયો છે. સૌથી સરળ પરિવર્તનીય રિંગ્સ તે છે જે બિન-શૂન્ય ઘટકો દ્વારા વિભાજનને સ્વીકારે છે; આવી રિંગ્સને ક્ષેત્રો કહેવામાં આવે છે. પરિવર્તનીય રિંગ્સના ઉદાહરણોમાં તેમના પ્રમાણભૂત ઉમેરા અને ગુણાકાર સાથે પૂર્ણાંકોનો સમૂહ, તેમના ઉમેરા અને ગુણાકાર સાથે બહુપદીઓનો સમૂહ, એફાઇન બીજગણિત વિવિધતાની સંકલન રિંગ અને સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોની રિંગનો સમાવેશ થાય છે. બિનપરિવર્તનશીલ રિંગ્સના ઉદાહરણોમાં વાસ્તવિક ચોરસ મેટ્રિક્સની રિંગ, પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં જૂથ રિંગ્સ, કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં ઓપરેટર આલ્જેબ્રા, વિભેદક ઓપરેટરોની રિંગ્સ અને ટોપોલોજીમાં કોહોમોલોજી રિંગ્સનો સમાવેશ થાય છે. રિંગ્સની વિભાવના 1870 થી 1920 સુધી ફેલાયેલી હતી, જેમાં ડેડેકિંડ, હિલ્બર્ટ, ફ્રેન્કેલ અને નોઇથરના મુખ્ય યોગદાન હતા. રિંગ્સને સૌપ્રથમ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં જોવા મળતા ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સ અને બીજગણિત ભૂમિતિ અને અપરિવર્તન સિદ્ધાંતમાં જોવા મળતા બહુપદી રિંગ્સ અને અપરિવર્તનશીલ રિંગ્સના સામાન્યીકરણ તરીકે ઔપચારિક બનાવવામાં આવ્યા હતા. પાછળથી તેઓ ગણિતની અન્ય શાખાઓ જેમ કે ભૂમિતિ અને વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી સાબિત થયા. વ્યાખ્યા રિંગ એ બે દ્વિસંગી ક્રિયાઓ + (ઉમેરો) અને ⋅ (ગુણાકાર) થી સજ્જ સમૂહ છે, જે નીચેના ત્રણ સ્વયંસિદ્ધ સમૂહોને સંતોષે છે, જેને રિંગ સ્વયંસિદ્ધ કહેવાય છે, તે એક અબેલિયન જૂથ છે, જેનો અર્થ છેઃ બધા માટે (એટલે કે, સહયોગી છે). બધા માટે (એટલે કે, પરિવર્તનીય છે). તેમાં એક તત્વ છે જે બધા માટે છે (એટલે કે, એડિટિવ આઇડેન્ટિટી). દરેક માટે ત્યાં એવી રીતે અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે (એટલે કે, તેનો ઍડિટિવ ઇન્વર્સ છે). ગુણાકાર હેઠળ એક મોનોઇડ છે, જેનો અર્થ છેઃ બધા માટે (એટલે કે, સહયોગી છે). તેમાં એક તત્વ છે જે અને બધા માટે (એટલે કે, ગુણાકાર ઓળખ છે). ગુણાકાર એ સરવાળાના સંદર્ભમાં વિતરણાત્મક છે, જેનો અર્થ છેઃ બધા માટે (ડાબી વિતરણ). બધા માટે (યોગ્ય વિતરણ). વ્યાખ્યા પરની નોંધો આ લેખની પરિભાષામાં, રિંગને ગુણાકાર ઓળખ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યારે સમાન સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા ધરાવતી પરંતુ ગુણાકાર ઓળખની જરૂરિયાત વિનાની રચનાને તેના બદલે rng (IPA:) કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય + અને ⋅ સાથે સમ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ એ rng છે, પરંતુ રિંગ નથી. નીચે સમજાવ્યા મુજબ, ઘણા લેખકો ગુણાકાર ઓળખની જરૂર વગર "રીંગ" શબ્દ લાગુ કરે છે. ગુણાકાર પ્રતીક સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, અર્થ. રીંગ એડિશન પરિવર્તનીય હોવા છતાં, રીંગ ગુણાકાર પરિવર્તનીય હોવું જરૂરી નથીઃ જરૂરી નથી કે તે સમાન હોય. જે રિંગ્સ ગુણાકાર માટે પરિવર્તનીયતાને પણ સંતોષ આપે છે (જેમ કે પૂર્ણાંકોની રિંગ) તેને પરિવર્તનીય રિંગ્સ કહેવામાં આવે છે. પરિવર્તનીય બીજગણિત અથવા બીજગણિત ભૂમિતિ પરના પુસ્તકો ઘણીવાર આ પરંપરાને અપનાવે છે કે રિંગ એટલે પરિવર્તનીય રિંગ, પરિભાષાને સરળ બનાવવા માટે. રિંગમાં, ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ અસ્તિત્વમાં હોવું જરૂરી નથી. એક બિન-શૂન્ય પરિવર્તનીય રિંગ જેમાં દરેક બિન-શૂન્ય તત્વનો ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ હોય તેને ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. રિંગનું એડિટિવ ગ્રુપ એ અંતર્ગત સમૂહ છે જે ફક્ત એડિશનની કામગીરીથી સજ્જ છે. જો કે વ્યાખ્યા માટે જરૂરી છે કે એડિટિવ જૂથ અબેલિયન હોય, આનું અનુમાન અન્ય રીંગ સ્વયંસિદ્ધ પરથી કરી શકાય છે. સાબિતી "" નો ઉપયોગ કરે છે અને rng માં કામ કરતું નથી. (આર. એન. જી. માટે, સરવાળાની વિનિમયશીલતાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને બાકાત રાખવાથી તે બાકીની આર. એન. જી. ધારણાઓથી માત્ર એવા ઘટકો માટે અનુમાનિત રહે છે જે ઉત્પાદનો છેઃ) મોટાભાગના આધુનિક લેખકો અહીં વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ "રીંગ" શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે, તેમ છતાં એવા કેટલાક લેખકો છે જેઓ આ શબ્દનો ઉપયોગ વધુ સામાન્ય રચનાઓનો સંદર્ભ આપવા માટે કરે છે જેમાં ગુણાકાર માટે સહયોગી હોવાની કોઈ જરૂર નથી. આ લેખકો માટે, દરેક બીજગણિત એક "રીંગ" છે. ઉદાહરણ રિંગનું સૌથી પરિચિત ઉદાહરણ એ સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતા તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે રિંગના સ્વયંસિદ્ધોને પૂર્ણાંકોના ઉમેરા અને ગુણાકારના પરિચિત ગુણધર્મોના સામાન્યીકરણ તરીકે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા હતા. કેટલાક ગુણધર્મો રિંગના કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મો સ્વયંસિદ્ધમાંથી તરત જ અનુસરે છેઃ એડિટિવ આઇડેન્ટિટી અનન્ય છે. દરેક તત્વનો એડિટિવ ઇન્વર્સ અનન્ય છે. ગુણાકારની ઓળખ અનન્ય છે. રિંગમાં કોઈપણ તત્વ માટે, એક પાસે (ગુણાકારના સંદર્ભમાં શૂન્ય એ શોષી લેનાર તત્વ છે) અને. જો રિંગમાં (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, એક એકમ તત્વ હોય), તો તેમાં માત્ર એક જ તત્વ હોય છે, અને તેને શૂન્ય રિંગ કહેવામાં આવે છે. જો રિંગમાં સબરીંગ તરીકે શૂન્ય રિંગ હોય, તો તે પોતે જ શૂન્ય રિંગ છે. દ્વિપદી સૂત્ર કોઈપણ અને સંતોષકારક માટે લાગુ પડે છે. ઉદાહરણોઃ પૂર્ણાંક મોડ્યુલો 4 સમૂહને નીચેની કામગીરીઓથી સજ્જ કરે છેઃ જ્યારે પૂર્ણાંકને 8 વડે વિભાજીત કરવામાં આવે ત્યારે સરવાળો એ શેષ હોય છે (જેમ કે હંમેશા 8 કરતા નાનો હોય છે, આ શેષ કાં તો અથવા હોય છે). ઉદાહરણ તરીકે, અને જ્યારે પૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે ત્યારે ગુણાકાર એ શેષ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અને પછી એક રીંગ છેઃ દરેક સ્વયંસિદ્ધ માટે અનુરૂપ સ્વયંસિદ્ધમાંથી અનુસરે છે જો તે એક પૂર્ણાંક હોય, તો જ્યારે 4 દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે બાકીના ભાગને એક તત્વ તરીકે ગણી શકાય અને આ તત્વને ઘણીવાર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અથવા જે માટે સંકેત સાથે સુસંગત છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2-બાય-2 મેટ્રિક્સ ક્ષેત્રમાં એન્ટ્રીઓ સાથે 2-બાય-2 ચોરસ મેટ્રિક્સનો સમૂહ છે મેટ્રિક્સ એડિશન અને મેટ્રિક્સ ગુણાકારની કામગીરી સાથે, ઉપરોક્ત રીંગ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે. તત્વ એ વીંટીની ગુણાકાર ઓળખ છે. જો અને પછી જ્યારે આ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે રીંગ બિનપરિવર્તનશીલ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ રિંગ માટે, પરિવર્તનીય કે નહીં, અને કોઈપણ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, રિંગની રચનામાં એન્ટ્રીઓ સાથે પરિમાણના વર્ગ મેટ્રિસીસઃ મેટ્રિક્સ રિંગ જુઓ. રિંગ્સનો અભ્યાસ બહુપદી રિંગ્સના સિદ્ધાંત અને બીજગણિત પૂર્ણાંકોના સિદ્ધાંતમાંથી ઉદ્ભવ્યો છે. 1871માં, રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડે સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોની વીંટીની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરી. આ સંદર્ભમાં, તેમણે "આદર્શ" (અર્ન્સ્ટ કુમારની આદર્શ સંખ્યાની કલ્પનાથી પ્રેરિત) અને "મોડ્યુલ" શબ્દો રજૂ કર્યા અને તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો. ડેડેકિન્ડે "રીંગ" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો અને સામાન્ય સેટિંગમાં રીંગના ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કર્યો ન હતો. હિલ્બર્ટ "ઝેલરિંગ" (નંબર રિંગ) શબ્દ ડેવિડ હિલ્બર્ટ દ્વારા 1892માં રચવામાં આવ્યો હતો અને 1897માં પ્રકાશિત થયો હતો. 19મી સદીના જર્મનમાં, "રીંગ" શબ્દનો અર્થ "સંગઠન" હોઈ શકે છે, જે આજે પણ અંગ્રેજીમાં મર્યાદિત અર્થમાં વપરાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જાસૂસ રીંગ), તેથી જો તે વ્યુત્પત્તિ હોત તો તે "જૂથ" એ "સંબંધિત વસ્તુઓના સંગ્રહ" માટે બિન-તકનીકી શબ્દ બનીને ગણિતમાં જે રીતે પ્રવેશ કર્યો તે સમાન હોત. હાર્વે કોહ્નના જણાવ્યા અનુસાર, હિલ્બર્ટે આ શબ્દનો ઉપયોગ એક વીંટી માટે કર્યો હતો જેમાં પોતાના એક તત્વ (સમાનતાના અર્થમાં) પર "સીધા પાછા ફરવાનો" ગુણધર્મ હતો. ખાસ કરીને, બીજગણિત પૂર્ણાંકોની વીંટીમાં, બીજગણિત પૂર્ણાંકની તમામ ઉચ્ચ શક્તિઓને નીચલી શક્તિઓના નિશ્ચિત સમૂહના અભિન્ન સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે, અને આમ શક્તિઓ "ચક્ર પાછા" થાય છે. દાખલા તરીકે, જો પછીઃ અને તેથી વધુ; સામાન્ય રીતે, અને નું અભિન્ન રેખીય સંયોજન બનશે. ફ્રેન્કેલ અને નોઇથર રિંગની પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા એડોલ્ફ ફ્રેન્કેલ દ્વારા 1915માં આપવામાં આવી હતી, પરંતુ તેના સ્વયંસિદ્ધ શબ્દો આધુનિક વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કડક હતા. દાખલા તરીકે, તેમણે દરેક બિન-શૂન્ય-વિભાજકનો ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ હોવો જરૂરી હતો. 1 9 21 માં, એમી નોઇથરે પરિવર્તનીય રિંગ્સ (1 સાથે અને વગર) ની આધુનિક સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા આપી અને તેના પેપર આઇડિયલથિઓરી ઇન રિંગબેરીચેનમાં પરિવર્તનીય રિંગ થિયરીનો પાયો વિકસાવ્યો. ગુણાકારની ઓળખ અને "રીંગ" માટે ફ્રેન્કેલના સ્વયંસિદ્ધ શબ્દ "રીંગ" માં ગુણાકારની ઓળખનો સમાવેશ થાય છે, જ્યારે નોઇથરમાં નથી. 1960ની આસપાસ બીજગણિત પરના મોટાભાગના અથવા તમામ પુસ્તકો "રીંગ" માટે a ની જરૂર ન હોવાની નોઇથરની પરંપરાને અનુસરે છે. 1960ના દાયકાથી શરૂ કરીને, "રીંગ" ની વ્યાખ્યામાં 1ના અસ્તિત્વ સહિતના પુસ્તકો જોવાનું વધુને વધુ સામાન્ય બન્યું, ખાસ કરીને આર્ટિન, બોરબાકી, આઈસેનબુડ અને લેંગ જેવા નોંધપાત્ર લેખકોના અદ્યતન પુસ્તકોમાં. 2022 ના અંતમાં પ્રકાશિત થયેલા પુસ્તકો પણ છે જે એક શબ્દની જરૂરિયાત વિના આ શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે. ગાર્ડનર અને વિગાન્ડ્ટ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે, રિંગ્સની શ્રેણીમાં ઘણી વસ્તુઓ સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે (નિશ્ચિત રિંગ સાથે કામ કરવાના વિરોધમાં), જો કોઈએ તમામ રિંગ્સમાં a હોવું જરૂરી હોય, તો કેટલાક પરિણામોમાં અનંત સીધી રકમના અસ્તિત્વનો અભાવ શામેલ છે. તેઓ નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે "રિંગ થિયરીની ઘણી, કદાચ મોટાભાગની શાખાઓમાં એકતા તત્વના અસ્તિત્વની જરૂરિયાત સમજદાર નથી, અને તેથી અસ્વીકાર્ય છે". પૂનેન આ દલીલનો વિરોધ કરે છે કે રિંગ્સ માટેની કુદરતી કલ્પના સીધી રકમને બદલે સીધી પેદાશ છે. તેઓ આગળ દલીલ કરે છે કે ગુણાકાર ઓળખ વિનાની રિંગ્સ સંપૂર્ણપણે સહયોગી નથી (ખાલી ક્રમ સહિત રિંગ તત્વોના કોઈપણ મર્યાદિત ક્રમનું ઉત્પાદન, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, કામગીરીના ક્રમથી સ્વતંત્ર છે) અને લખે છે કે "સહયોગીતાના કુદરતી વિસ્તરણની માંગ છે કે રિંગ્સમાં ખાલી ઉત્પાદન હોવું જોઈએ, તેથી રિંગ્સમાં 1 હોવું સ્વાભાવિક છે". જે લેખકો "રીંગ" શબ્દના ઉપયોગ માટે કાં તો પરંપરાને અનુસરે છે તેઓ અન્ય પરંપરાને સંતોષતી વસ્તુઓનો સંદર્ભ આપવા માટે નીચેના શબ્દોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરી શકે છેઃ ગુણાકાર ઓળખ માટેની જરૂરિયાતનો સમાવેશ કરવા માટેઃ "યુનિટલ રીંગ", "યુનિટરી રીંગ", "યુનિટ રીંગ", "રીંગ વિથ યુનિટી", "રીંગ વિથ આઇડેન્ટિટી", "રીંગ વિથ યુનિટ" અથવા "રીંગ વિથ 1". ગુણાકાર ઓળખ માટેની જરૂરિયાતને અવગણવા માટેઃ "આરએનજી" અથવા "સ્યુડો-રિંગ", જોકે બાદમાં મૂંઝવણભર્યું હોઈ શકે છે કારણ કે તેના અન્ય અર્થો પણ છે. મૂળભૂત ઉદાહરણો કમ્યુટેટિવ રિંગ્સ પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણ એ પૂર્ણાંકોની રિંગ છે જે ઉમેરા અને ગુણાકારની બે કામગીરીઓ સાથે છે. તર્કસંગત, વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓ એ ક્ષેત્રો તરીકે ઓળખાતા પ્રકારની પરિવર્તનીય રિંગ્સ છે. પરિવર્તનીય રીંગ પરનું એકાત્મક સહયોગી બીજગણિત પોતે એક રીંગ તેમજ-મોડ્યુલ છે. કેટલાક ઉદાહરણોઃ ગુણાંક સાથે બહુપદીઓનું બીજગણિત. ગુણાંક સાથે ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીનું બીજગણિત. વાસ્તવિક રેખા પર વ્યાખ્યાયિત તમામ સતત વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોનો સમૂહ પરિવર્તનીય-બીજગણિત બનાવે છે. કામગીરીઓ બિંદુ મુજબનો ઉમેરો અને કાર્યોનો ગુણાકાર છે. એક સમૂહ થવા દો, અને એક વીંટી બનવા દો. પછી બધા કાર્યોનો સમૂહ રિંગ બનાવે છે, જે પરિવર્તનીય હોય તો પરિવર્તનીય હોય છે. દ્વિઘાત પૂર્ણાંકોની વીંટી, તેના દ્વિઘાત વિસ્તરણમાં તેની અભિન્ન બંધ એ તમામ બીજગણિત પૂર્ણાંકોની વીંટીની પેટા વીંટી છે. અનંત પૂર્ણાંકોની વીંટી તમામ મુખ્ય સંખ્યાઓ પર-અડિક પૂર્ણાંકોની વીંટીઓના (અનંત) ગુણાકારને દર્શાવે છે. હેક રીંગ, હેક ઓપરેટરો દ્વારા પેદા થયેલ રીંગ. જો સમૂહ હોય, તો જો આપણે સરવાળાને સમપ્રમાણ તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને ગુણાકારને આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો પાવર સેટ રિંગ બની જાય છે. આ બુલિયન રિંગનું ઉદાહરણ છે. બિનપરિવર્તનશીલ વીંટીઓ કોઈપણ વીંટી અને કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે, માંથી એન્ટ્રીઓ સાથે તમામ વર્ગ-બાય-મેટ્રિસીસનો સમૂહ, મેટ્રિક્સ ઉમેરા અને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સાથે રિંગ બનાવે છે. કારણ કે, આ મેટ્રિક્સ રીંગ પોતે જ આઇસોમોર્ફિક છે. (અને શૂન્ય રીંગ નહીં) માટે, આ મેટ્રિક્સ રીંગ બિનપરિવર્તનશીલ છે. જો G એ અબેલિયન જૂથ હોય, તો G ના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ એક રિંગ બનાવે છે, જે G ની એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો રિંગ પર ડાબી બાજુનું મોડ્યુલ હોય, તો બધા-રેખીય નકશાનો સમૂહ રિંગ બનાવે છે, જેને એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ પણ કહેવાય છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. લંબગોળ વળાંકની એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ. જો લંબગોળ વળાંકને લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે એક પરિવર્તનીય વીંટી છે. જો જૂથ હોય અને રિંગ હોય, તો G ઓવરની જૂથ રિંગ એ આધાર તરીકે G હોવા પર મુક્ત મોડ્યુલ છે. ગુણાકાર એ નિયમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેમાં પરિવહનના ઘટકો ના ઘટકો સાથે ગુણાકાર કરે છે અને જેમ તેઓ જૂથમાં કરે છે તેમ એકસાથે ગુણાકાર કરે છે. વિભેદક ઓપરેટરોની રીંગ (સંદર્ભને આધારે). હકીકતમાં, વિશ્લેષણમાં દેખાતી ઘણી રિંગ્સ બિનપરિવર્તનશીલ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોટાભાગના બનાચ આલ્જેબ્રા બિનપરિવર્તનશીલ છે. બિન-વીંટીઓ સામાન્ય કામગીરીઓ સાથે કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ એક વીંટી નથી, કારણ કે તે એક જૂથ પણ નથી (બધા ઘટકો સરવાળાના સંદર્ભમાં ઉલટાવી શકાય તેવું નથી-દાખલા તરીકે, કોઈ કુદરતી સંખ્યા નથી કે જેને પરિણામે 0 મેળવવા માટે 3 માં ઉમેરી શકાય). પૂર્ણાંકોની વીંટી ઉત્પન્ન કરવા માટે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરીને તેને રિંગમાં વિસ્તૃત કરવાની એક કુદરતી રીત છે. કુદરતી સંખ્યાઓ (0 સહિત) બીજગણિત માળખું બનાવે છે જેને સેમિરિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (જેમાં એડિટિવ ઇન્વર્સ સિવાય રિંગના તમામ સ્વયંસિદ્ધ હોય છે). ચાલો વાસ્તવિક રેખા પરના તમામ સતત વિધેયોનો સમૂહ બનીએ જે બંધાયેલા અંતરાલની બહાર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, જે વિધેય પર આધાર રાખે છે, હંમેશની જેમ ઉમેરા સાથે પરંતુ ગુણાકાર સાથે કોન્વોલ્યુશન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ પછી એક rng છે, પરંતુ રિંગ નથીઃ ડાયરેક ડેલ્ટા વિધેયમાં ગુણાકાર ઓળખનો ગુણધર્મ છે, પરંતુ તે એક વિધેય નથી અને તેથી તે એક ઘટક નથી. મૂળભૂત વિભાવનાઓ ઉત્પાદનો અને શક્તિઓ દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, ઘટકોનો ક્રમ આપવામાં આવે તો, કોઈ પણ ઉત્પાદનને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છેઃ દો અને દો. એક ખાસ કેસ તરીકે, રિંગના તત્વની બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ અને માટે. પછી બધા માટે. રિંગમાં તત્વો એ રિંગનો ડાબો શૂન્ય વિભાજક એ રિંગમાં એક તત્વ છે જેમ કે તેમાં એક બિન-શૂન્ય તત્વ અસ્તિત્વમાં છે. જમણા શૂન્ય વિભાજકને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નિલપોટેન્ટ તત્વ એ એક એવું તત્વ છે જે કેટલાક લોકો માટે છે. નિલપોટેન્ટ તત્વનું એક ઉદાહરણ નિલપોટેન્ટ મેટ્રિક્સ છે. બિન-શૂન્ય રિંગમાં નિલપોટેન્ટ તત્વ એ શૂન્ય વિભાજક હોવું જરૂરી છે. આઈડેમ્પોટન્ટ એ એવું એક તત્વ છે. આઇડેમ્પોટન્ટ એલિમેન્ટનું એક ઉદાહરણ રેખીય બીજગણિતમાં પ્રક્ષેપણ છે. એકમ એ ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ ધરાવતું તત્વ છે; આ કિસ્સામાં વ્યુત્ક્રમ અનન્ય છે, અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વીંટીના એકમોનો સમૂહ એ વીંટીના ગુણાકાર હેઠળના જૂથ છે; આ જૂથને અથવા અથવા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ક્ષેત્ર પર કદના તમામ ચોરસ મેટ્રિસીસની વીંટી હોય, તો તેમાં કદના તમામ ઉલટાવી શકાય તેવા મેટ્રિસીસનો સમૂહ હોય છે, અને તેને સામાન્ય રેખીય જૂથ કહેવામાં આવે છે. જો નીચેની સમકક્ષ શરતોમાંથી કોઈ એક હોય તો એ ના સબસેટને સબરીંગ કહેવામાં આવે છેઃ સમાન ગુણાકાર ઓળખ સાથે રિંગ બનાવતી કામગીરી આપવા માટે પ્રતિબંધનો ઉમેરો અને ગુણાકાર. ; અને બધા માટે, તત્વો, અને અંદર છે. તેને રિંગ બનાવતી કામગીરીઓથી સજ્જ કરી શકાય છે જેથી સમાવેશ નકશો રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકોની રીંગ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રની સબરીંગ છે અને બહુપદીઓની રીંગની સબરીંગ પણ છે (બંને કિસ્સાઓમાં, તેમાં 1 હોય છે, જે મોટી રીંગની ગુણાકાર ઓળખ છે). બીજી બાજુ, સમ પૂર્ણાંકોના સબસેટમાં ઓળખ તત્વ હોતું નથી અને આમ તે એક સબરીંગ તરીકે લાયક નથી, જેને સબરીંગ કહી શકાય. સબરીંગનું આંતરછેદ એ સબરીંગ છે. ના સબસેટને જોતાં, સમાવતી સૌથી નાની સબરીંગ એ સમાવતી તમામ સબરીંગનું આંતરછેદ છે, અને તેને દ્વારા પેદા થયેલ સબરીંગ કહેવામાં આવે છે. રિંગ માટે, તેની સૌથી નાની સબરીંગને લાક્ષણિક સબરીંગ કહેવામાં આવે છે. તે અને ની નકલો ઉમેરીને પેદા કરી શકાય છે. તે શક્ય છે કે (સમય) શૂન્ય હોઈ શકે. જો આ સૌથી નાનો હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તો તેને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે. કેટલીક રિંગ્સમાં, કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે ક્યારેય શૂન્ય હોતું નથી, અને તે રિંગ્સમાં લાક્ષણિકતા શૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. રિંગ આપવામાં આવે તો, ચાલો તમામ તત્વોના સમૂહને સૂચવીએ કે જે દરેક તત્વ સાથે અંદર આવે છેઃ કોઈપણ માટે. પછી એક સબરીંગ છે, જેને સેન્ટર ઓફ કહેવાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, નો સબસેટ આપવામાં આવે તો, દરેક એલિમેન્ટ સાથે તે કોમ્યુટમાં તમામ એલિમેન્ટનો સમૂહ હોવો જોઈએ. પછી એક સબરીંગ છે, જેને સેન્ટ્રલાઈઝર (અથવા કોમ્યુટેન્ટ) કહેવામાં આવે છે. કેન્દ્ર એ સમગ્ર રિંગનું કેન્દ્રિય છે. કેન્દ્રના ઘટકો અથવા સબસેટ્સ કેન્દ્રિય હોવાનું કહેવાય છે; તેઓ (દરેક વ્યક્તિગત રીતે) કેન્દ્રની સબરીંગ ઉત્પન્ન કરે છે. આદર્શ ચાલો એક વીંટી બનીએ. ડાબી બાજુનો આદર્શ એ એક બિન-ખાલી ઉપગણ છે જે કોઈપણ અંદર અને અંદર, તત્વો માટે અને અંદર છે. જો-ગાળો, એટલે કે મર્યાદિત સરવાળાના સમૂહને સૂચવે છે, તો તે એક ડાબી બાજુનો આદર્શ છે જો એ જ રીતે, જમણી બાજુનો આદર્શ એ એક એવો ઉપગણ છે કે જેમાં A ઉપગણને દ્વિ-બાજુવાળો આદર્શ કહેવાય છે અથવા જો તે ડાબી બાજુનો આદર્શ અને જમણી બાજુનો આદર્શ બંને હોય તો તે સરળ રીતે આદર્શ છે. એક-બાજુનો અથવા બે-બાજુનો આદર્શ એ પછી એક એડિટિવ પેટાજૂથ છે. જો તેનો સબસેટ હોય, તો તે લેફ્ટ આઇડિયલ છે, જેને લેફ્ટ આઇડિયલ કહેવાય છે; તે સૌથી નાનો લેફ્ટ આઇડિયલ ધરાવે છે. તેવી જ રીતે, કોઈના ઉપગણ દ્વારા પેદા થયેલ સાચો આદર્શ અથવા દ્વિ-બાજુવાળા આદર્શને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. જો તેમાં હોય, તો અને અનુક્રમે ડાબી બાજુએ આદર્શો અને જમણી બાજુએ આદર્શો હોય; તેમને મુખ્ય ડાબી બાજુએ આદર્શો અને જમણી બાજુએ આદર્શો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મુખ્ય આદર્શ તરીકે લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બધા હકારાત્મક અને નકારાત્મક ગુણાંકનો સમૂહ પૂર્ણાંકોનો આદર્શ બનાવે છે, અને આ આદર્શ પૂર્ણાંક દ્વારા પેદા થાય છે. હકીકતમાં, પૂર્ણાંકોની વીંટીનો દરેક આદર્શ મુખ્ય છે. જૂથની જેમ, રિંગને સરળ કહેવામાં આવે છે જો તે બિન-શૂન્ય હોય અને તેમાં કોઈ યોગ્ય બિન-શૂન્ય દ્વિ-બાજુવાળા આદર્શો ન હોય. પરિવર્તનીય સરળ રીંગ ચોક્કસપણે એક ક્ષેત્ર છે. રિંગ્સનો અભ્યાસ ઘણીવાર તેમના આદર્શો પર નિર્ધારિત વિશેષ શરતો સાથે કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જે વીંટીમાં ડાબા આદર્શોની કડક રીતે વધતી અનંત સાંકળ ન હોય તેને ડાબી નોથેરિયન વીંટી કહેવામાં આવે છે. એક વીંટી જેમાં ડાબા આદર્શોની કડક રીતે ઘટતી અનંત સાંકળ ન હોય તેને ડાબા આર્ટીનીયન વીંટી કહેવામાં આવે છે. તે કંઈક અંશે આશ્ચર્યજનક હકીકત છે કે ડાબી આર્ટીનીયન વીંટી નોથેરિયન (હોપકિન્સ-લેવિટ્ઝકી પ્રમેય) બાકી છે. જોકે, પૂર્ણાંકો નોથેરિયન રિંગ બનાવે છે જે આર્ટિનિયન નથી. પરિવર્તનીય રિંગ્સ માટે, આદર્શો બીજગણિતમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં પૂર્ણાંકની વિભાજીતતા અને વિઘટનની શાસ્ત્રીય કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. એક યોગ્ય આદર્શને મુખ્ય આદર્શ કહેવામાં આવે છે જો આપણી પાસેના કોઈપણ ઘટકો માટે જે કાં તો અથવા સમાન રીતે સૂચવે છે, તે મુખ્ય છે જો આપણી પાસેના કોઈપણ આદર્શો માટે જે કાં તો સૂચવે છે અથવા આ પછીની રચના તત્વોના સામાન્યીકરણ તરીકે આદર્શોના વિચારને સમજાવે છે. હોમોમોર્ફિઝમ રિંગથી રિંગ સુધી હોમોમોર્ફિઝમ એ એક ફંક્શન છે જે રિંગની કામગીરીને સાચવે છે; એટલે કે, નીચેની ઓળખમાં બધા માટે આ પ્રમાણે છેઃ જો કોઈ rngs સાથે કામ કરી રહ્યું હોય, તો પછી ત્રીજી શરત છોડી દેવામાં આવે છે. રિંગ હોમોમોર્ફિઝમને આઇસોમોર્ફિઝમ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં ઇન્વર્સ હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોય (એટલે કે, રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ જે ઇન્વર્સ ફંક્શન છે). કોઈપણ બાયજેક્ટિવ રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ એ રીંગ આઇસોમોર્ફિઝમ છે. બે રિંગ્સને આઇસોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે જો તેમની વચ્ચે આઇસોમોર્ફિઝમ હોય અને તે કિસ્સામાં એક જ રિંગ વચ્ચેના રિંગ હોમોમોર્ફિઝમને એન્ડોમોર્ફિઝમ કહેવામાં આવે છે, અને સમાન રિંગ વચ્ચેના આઇસોમોર્ફિઝમને ઓટોમોર્ફિઝમ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણોઃ કાર્ય કે જે દરેક પૂર્ણાંકને તેના બાકીના મોડ્યુલો 4 (એક સંખ્યા) સાથે મેપ કરે છે તે રીંગથી ભાગાકાર રીંગ ("ભાગાકાર રીંગ" નીચે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે) સુધી હોમોમોર્ફિઝમ છે. જો રિંગમાં એકમ તત્વ હોય, તો તે રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેને રિંગનું આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ કહેવાય છે. ચાલો મુખ્ય લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનીય રીંગ બનીએ. પછી એક રીંગ એન્ડોમોર્ફિઝમ છે જેને ફ્રોબેનિયસ હોમોમોર્ફિઝમ કહેવાય છે. ક્ષેત્ર વિસ્તરણનું ગેલોઇસ જૂથ એ તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો સમૂહ છે જેના પ્રતિબંધો ઓળખ છે. કોઈપણ રિંગ માટે, એક અનન્ય રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ અને એક અનન્ય રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ હોય છે. રિંગ્સના એપિમોર્ફિઝમ (એટલે કે, જમણી બાજુથી રદ કરી શકાય તેવા મોર્ફિઝમ) સર્જેક્ટિવ હોવાની જરૂર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અનન્ય નકશો એ એપિમોર્ફિઝમ છે. બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ-બીજગણિતથી એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિત સુધી વેક્ટર સ્પેસ ઓવરને બીજગણિતની રજૂઆત કહેવામાં આવે છે. રિંગ હોમોમોર્ફિઝમને જોતાં, 0 દ્વારા મેપ કરેલા તમામ તત્વોના સમૂહને ના કર્નલ કહેવામાં આવે છે. કર્નલ એ બે બાજુનો આદર્શ છે. બીજી બાજુ, ની છબી હંમેશા આદર્શ હોતી નથી, પરંતુ તે હંમેશા ની સબરીંગ હોય છે. વિનિમયાત્મક રીંગમાંથી રીંગને કેન્દ્રમાં સમાવિષ્ટ છબી સાથેની રીંગને રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ આપવું એ બીજગણિતની રચના આપવા જેવું જ છે (જે ખાસ કરીને-મોડ્યુલનું માળખું આપે છે). ભાગાકાર વીંટી ભાગાકાર વીંટીની કલ્પના ભાગાકાર જૂથની કલ્પના જેવી જ છે. એક વીંટી અને બે બાજુવાળા આદર્શને જોતાં, તેને પેટા જૂથ તરીકે જુઓ; પછી ભાગાકાર વીંટી એ બધાની અંદરની કામગીરીઓ સાથે કોસેટનો સમૂહ છે. વીંટીને પરિબળ વીંટી પણ કહેવામાં આવે છે. ભાગાકાર જૂથની જેમ, એક કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ છે, જે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે તે સર્જેક્ટિવ છે અને નીચેના સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સંતોષે છેઃ જો રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ એવી હોય કે, તો ત્યાં એક અનન્ય હોમોમોર્ફિઝમ છે કે જે કોઈપણ રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ માટે, સાર્વત્રિક ગુણધર્મને હોમોમોર્ફિઝમ ઉત્પન્ન કરે છે જે તેની છબીમાંથી આઇસોમોર્ફિઝમ આપે છે. મોડ્યુલ રિંગ પર મોડ્યુલનો ખ્યાલ વેક્ટર સ્પેસ (ક્ષેત્ર પર) ની વિભાવનાને ક્ષેત્રના ઘટકો સાથે વેક્ટરના ગુણાકાર (સ્કેલર ગુણાકાર) થી રિંગના ઘટકો સાથે ગુણાકાર સુધી સામાન્ય બનાવે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, રિંગ આપવામાં આવે તો,-મોડ્યુલ એ એક એબેલિયન જૂથ છે જે ઓપરેશનથી સજ્જ છે (એક તત્વની દરેક જોડી અને એક તત્વ સાથે સંકળાયેલું) જે ચોક્કસ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે. આ ક્રિયાને સામાન્ય રીતે સંયોજન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે. મોડ્યુલોના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો નીચે મુજબ છેઃ બધામાં અને બધામાં, એક અબેલિયન જૂથ છે જે ઉમેરા હેઠળ છે. જ્યારે રીંગ બિનપરિવર્તનશીલ હોય ત્યારે આ સ્વયંસિદ્ધ ડાબી બાજુના મોડ્યુલો વ્યાખ્યાયિત કરે છે; જમણી બાજુના મોડ્યુલોને તેના બદલે લખીને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ માત્ર સંકેતલિપીનો ફેરફાર નથી, કારણ કે જમણા મોડ્યુલ (એટલે કે) નો છેલ્લો સ્વયંસિદ્ધ બને છે, જો જમણા મોડ્યુલ માટે ડાબા ગુણાકાર (રિંગ તત્વો દ્વારા) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે. મોડ્યુલોના મૂળભૂત ઉદાહરણો આદર્શો છે, જેમાં રીંગનો સમાવેશ થાય છે. સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત હોવા છતાં, મોડ્યુલોની થિયરી વેક્ટર સ્પેસની તુલનામાં ઘણી વધુ જટિલ છે, મુખ્યત્વે કારણ કે, વેક્ટર સ્પેસથી વિપરીત, મોડ્યુલો એક જ અપરિવર્તનશીલ (વેક્ટર સ્પેસના પરિમાણ) દ્વારા (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી) લાક્ષણિકતા ધરાવતા નથી. ખાસ કરીને, બધા મોડ્યુલોનો કોઈ આધાર હોતો નથી. મોડ્યુલોના સ્વયંસિદ્ધ સૂચવે છે કે, જ્યાં પ્રથમ માઇનસ રિંગમાં એડિટિવ ઇન્વર્સને સૂચવે છે અને બીજું માઇનસ મોડ્યુલમાં એડિટિવ ઇન્વર્સને સૂચવે છે. આનો ઉપયોગ કરીને અને હકારાત્મક પૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા પુનરાવર્તિત ઉમેરા સૂચવવાથી પૂર્ણાંકોની વીંટી પર મોડ્યુલો સાથે અબેલિયન જૂથોને ઓળખવાની મંજૂરી મળે છે. કોઈપણ રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ મોડ્યુલની રચનાને પ્રેરિત કરે છેઃ જો રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ હોય, તો તે ગુણાકાર દ્વારા ડાબી બાજુનું મોડ્યુલ છેઃ જો વિનિમયક્ષમ હોય અથવા જો કેન્દ્રમાં સમાયેલ હોય, તો રિંગને-બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, દરેક વીંટી પૂર્ણાંકો પરનું બીજગણિત છે. રચનાઓ ડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ ચાલો અને રિંગ્સ બનો. પછી ઉત્પાદનને નીચેના કુદરતી રિંગ માળખાથી સજ્જ કરી શકાય છેઃ અંદર અને અંદરના બધા માટે. સરવાળા અને ગુણાકારની ઉપરોક્ત ક્રિયાઓ અને ગુણાકાર ઓળખ ધરાવતી વીંટીને સાથેનો સીધો ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે. આ જ રચના રિંગ્સના મનસ્વી પરિવાર માટે પણ કામ કરે છેઃ જો રિંગ્સ સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત હોય, તો તે ઘટક મુજબના ઉમેરા અને ગુણાકાર સાથેની રિંગ છે. ચાલો એક પરિવર્તનીય રીંગ બનીએ અને જ્યારે પણ હોય ત્યારે આદર્શ બનીએ. પછી ચાઇનીઝ રિમેન્ડર થીયરમ કહે છે કે એક કેનોનિકલ રિંગ આઇસોમોર્ફિઝમ છેઃ એક "મર્યાદિત" ડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટને આદર્શોના સીધા સરવાળા તરીકે પણ જોઈ શકાય છે. એટલે કે, રિંગ્સ થવા દો, છબીઓ સાથેના સમાવેશ (ખાસ કરીને રિંગ્સ છે જોકે સબરિંગ્સ નથી). પછી અબેલિયન જૂથોના અને સીધા સરવાળા તરીકે આદર્શો છે (કારણ કે અબેલિયન જૂથો માટે મર્યાદિત ઉત્પાદનો સીધા સરવાળા સમાન હોય છે). સ્પષ્ટપણે આવા આદર્શોનો સીધો સરવાળો પણ રિંગ્સના ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે તેના માટે સમરૂપ છે. તેવી જ રીતે, ઉપરોક્ત કેન્દ્રીય આઇડેમ્પોટન્ટ્સ દ્વારા કરી શકાય છે. ધારો કે તેમાં ઉપરોક્ત વિઘટન છે. પછી આપણે લખી શકીએ છીએ એક પરની શરતો દ્વારા જે કેન્દ્રિય આઇડેમ્પોટન્ટ્સ છે અને, (ઓર્થોગોનલ). ફરીથી, કોઈ પણ બાંધકામને ઉલટાવી શકે છે. એટલે કે, જો કોઈને ઓર્થોગોનલ સેન્ટ્રલ આઇડેમ્પોટન્ટ્સમાં 1 નું પાર્ટીશન આપવામાં આવે, તો ચાલો જે દ્વિ-બાજુવાળા આદર્શો છે. જો દરેક ઓર્થોગોનલ કેન્દ્રીય આઇડેમ્પોટન્ટ્સનો સરવાળો ન હોય, તો તેમનો સીધો સરવાળો આઇસોમોર્ફિક છે. અનંત સીધા ઉત્પાદનનો એક મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગ એ રિંગ્સની પ્રક્ષેપાત્મક મર્યાદાનું નિર્માણ છે (નીચે જુઓ). અન્ય એપ્લિકેશન એ રિંગ્સના પરિવારનું પ્રતિબંધિત ઉત્પાદન છે (સી. એફ. એડેલે રિંગ). બહુપદી રિંગ પ્રતીક (જેને ચલ કહેવાય છે) અને પરિવર્તનીય રિંગ આપવામાં આવે તો, બહુપદીઓનો સમૂહ સામાન્ય ઉમેરા અને ગુણાકાર સાથે પરિવર્તનીય રિંગ બનાવે છે, જે સબરિંગ તરીકે હોય છે. તેને બહુપદી રિંગ ઓવર કહેવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ચલમાં તમામ બહુપદીઓનો સમૂહ પરિવર્તનીય રિંગ બનાવે છે, જેમાં સબરિંગ્સ હોય છે. જો એક અભિન્ન ડોમેન હોય, તો તે એક અભિન્ન ડોમેન પણ છે; તેના અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર તર્કસંગત કાર્યોનું ક્ષેત્ર છે. જો નોથેરિયન વીંટી હોય, તો તે નોથેરિયન વીંટી છે. જો એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન હોય, તો તે એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન છે. છેવટે, એક ક્ષેત્ર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર હોય. ચાલો પરિવર્તનીય રિંગ્સ હોઈએ. એક તત્વને જોતાં, રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ (એટલે કે, અવેજી) ને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. જો અને પછી. આ કારણે, બહુપદીને ઘણીવાર આના દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે. નકશાની છબી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે; તે અને દ્વારા પેદા થયેલ સબરીંગ જેવી જ વસ્તુ છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ હોમોમોર્ફિઝમની છબી સૂચવે છે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે અને દ્વારા પેદા થયેલું પેટા બીજગણિત છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ચાલો એક ચલમાં બહુપદી હોઈએ, એટલે કે બહુપદી રિંગમાં એક તત્વ. પછી તે રિંગમાં એક તત્વ છે અને તેનાથી વિભાજીત થાય છે. શૂન્યને અંદર બદલવાનું પરિણામ એ છે, એટ નું વ્યુત્પન્ન. અવેજી એ બહુપદી વીંટીના સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો એક વિશેષ કેસ છે. ગુણધર્મ જણાવે છેઃ રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ આપવામાં આવે છે અને તેમાં એક તત્વ એક અનન્ય રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે અને તે મર્યાદિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, આધાર પસંદ કરવાથી, સપ્રમાણ બીજગણિત સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સંતોષે છે અને તે જ રીતે બહુપદી વીંટી પણ છે. એક ઉદાહરણ આપવા માટે, ચાલો આપણે બધા વિધેયોની રીંગ હોઈએ; સરવાળો અને ગુણાકાર એ વિધેયોની રીંગ છે. ચાલો ઓળખ કાર્ય બનીએ. દરેકમાં સ્થિર કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે હોમોમોર્ફિઝમને જન્મ આપે છે. સાર્વત્રિક ગુણધર્મ કહે છે કે આ નકશો વિશિષ્ટ રીતે (નકશા સુધી) વિસ્તરે છે જ્યાં દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બહુપદી કાર્ય છે. પરિણામી નકશો ઇન્જેક્ટિવ હોય છે જો અને માત્ર જો તે અનંત હોય. બિન-સ્થિર મોનિક બહુપદીને જોતાં, ત્યાં એક રિંગ અસ્તિત્વમાં છે જેમાં રેખીય પરિબળોનું ગુણાકાર હોય છે. ચાલો બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર હોઈએ. હિલ્બર્ટનું નલસ્ટેલેન્સાટ્ઝ (શૂન્યનો પ્રમેય) જણાવે છે કે તમામ મુખ્ય આદર્શોના સમૂહ અને તેના બંધ પેટા પ્રકારોના સમૂહ વચ્ચે એક-થી-એક કુદરતી પત્રવ્યવહાર છે. ખાસ કરીને, બહુપદી રિંગમાં આદર્શના જનરેટરના અભ્યાસ દ્વારા બીજગણિત ભૂમિતિમાં ઘણી સ્થાનિક સમસ્યાઓ પર હુમલો થઈ શકે છે. (સીએફ. ગ્રોબનર આધાર.) કેટલાક અન્ય સંબંધિત બાંધકામો છે. ઔપચારિક પાવર સિરીઝ રિંગમાં ગુણાકાર અને ઉમેરા સાથે ઔપચારિક પાવર સિરીઝનો સમાવેશ થાય છે જે કન્વર્જન્ટ સિરીઝની નકલ કરે છે. તે સબરીંગ તરીકે સમાવે છે. ઔપચારિક પાવર સિરીઝ રિંગમાં બહુપદી રિંગનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ હોતો નથી; અવેજી પછી સિરીઝ કન્વર્જ ન પણ થઈ શકે. બહુપદી રિંગ પર ઔપચારિક પાવર સિરીઝ રિંગનો મહત્વનો ફાયદો એ છે કે તે સ્થાનિક છે (હકીકતમાં, સંપૂર્ણ). મેટ્રિક્સ રીંગ અને એન્ડોમોર્ફિઝમ રીંગ ચાલો એક રીંગ હોઈએ (જરૂરી નથી કે પરિવર્તનીય હોય). એન્ટ્રીઓ સાથેના કદના તમામ ચોરસ મેટ્રિસીસનો સમૂહ એન્ટ્રી મુજબના ઉમેરા અને સામાન્ય મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સાથે રિંગ બનાવે છે. તેને મેટ્રિક્સ રિંગ કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જમણા-મોડ્યુલને જોતાં, બધા-રેખીય નકશાનો સમૂહ પોતે જ એક રિંગ બનાવે છે જેમાં ફંક્શન અને ગુણાકારનો ઉમેરો થાય છે જે ફંક્શન્સની રચનાનો હોય છે; તેને એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. રેખીય બીજગણિતની જેમ, મેટ્રિક્સ રિંગને એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ તરીકે માન્ય રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છેઃ આ નીચેની હકીકતનો એક વિશેષ કેસ છેઃ જો-રેખીય નકશો હોય, તો તેને એન્ટ્રીઓ સાથે મેટ્રિક્સ તરીકે લખી શકાય છે, પરિણામે રિંગ આઇસોમોર્ફિઝમ થાય છેઃ કોઈપણ રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ પ્રેરિત કરે છે. શૂર્સ લેમ્મા કહે છે કે જો એક સરળ જમણું-મોડ્યુલ હોય, તો તે વિભાજન રિંગ છે. જો સરળ-મોડ્યુલોની-નકલો નો સીધો સરવાળો હોય તો આર્ટિન-વેડરબર્ન પ્રમેય કોઈપણ અર્ધ-સરળ રીંગ (cf. નીચે) આ સ્વરૂપનું છે. રીંગ અને તેની ઉપરની મેટ્રિક્સ રીંગ મોરિતા સમકક્ષ છેઃ જમણા મોડ્યુલોની શ્રેણી જમણા મોડ્યુલોની શ્રેણીની સમકક્ષ છે. ખાસ કરીને, બે બાજુવાળા આદર્શો એક-થી-એકથી બે બાજુવાળા આદર્શોને અનુરૂપ છે. રિંગ્સની મર્યાદાઓ અને કોલિમિટ્સ ચાલો રિંગ્સનો ક્રમ હોઈએ જે બધા માટે સબરીંગ છે. પછી યુનિયન (અથવા ફિલ્ટર કરેલ કોલિમિટ) એ રિંગને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જો અને માત્ર જો પૂરતું મોટું હોય તો જ તે સમાનતા સંબંધના તમામ મોડ્યુલોના અસંબદ્ધ યુનિયન છે. કોલિમિટ્સના ઉદાહરણોઃ અનંત ઘણા ચલમાં બહુપદી વીંટીઃ સમાન લાક્ષણિકતાના મર્યાદિત ક્ષેત્રોનું બીજગણિત બંધ ક્ષેત્ર પર ઔપચારિક લોરેન્ટ શ્રેણીનું ક્ષેત્રઃ (તે ઔપચારિક પાવર શ્રેણી રિંગના અપૂર્ણાંકોનું ક્ષેત્ર છે) ક્ષેત્ર પર બીજગણિત વિવિધતાનું કાર્ય ક્ષેત્ર એ છે કે જ્યાં મર્યાદા ખાલી ન હોય તેવા ખુલ્લા ઉપગણની તમામ સંકલન રિંગ્સ પર ચાલે છે (વધુ સંક્ષિપ્તમાં તે સામાન્ય બિંદુ પર માળખાના આવરણની દાંડી છે.) કોઈપણ પરિવર્તનીય રીંગ એ મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ સબરીંગનું કોલિમિટ છે. રિંગ્સની પ્રોજેક્ટિવ મર્યાદા (અથવા ફિલ્ટર કરેલી મર્યાદા) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે આપણને હકારાત્મક પૂર્ણાંકો, કહો કે, અને રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ્સ પર ચાલતી રિંગ્સનો પરિવાર આપવામાં આવ્યો છે, જેમ કે તે બધી ઓળખ છે અને જ્યારે પણ હોય છે. પછી એવી સબરીંગ છે જેમાં નીચે નકશો બનેલો છે,. પ્રોજેક્ટિવ મર્યાદાના ઉદાહરણ માટે, જુઓ. સ્થાનિકીકરણ એક અભિન્ન ક્ષેત્રના અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્રના નિર્માણને મનસ્વી રીંગ અને મોડ્યુલોમાં સામાન્ય બનાવે છે. (જરૂરી નથી કે પરિવર્તનીય) રીંગ અને તેના સબસેટને જોતાં, રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ સાથે એક રીંગ અસ્તિત્વમાં છે જે "ઊંધી" થાય છે; એટલે કે, હોમોમોર્ફિઝમ તત્વોને એકમ તત્વોમાં મેપ કરે છે અને વધુમાં, તે "ઊંધી" માંથી કોઈપણ રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ અનન્ય પરિબળો દ્વારા રિંગને તેના સંદર્ભમાં સ્થાનિકીકરણ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એક પરિવર્તનીય રીંગ અને એક ઘટક હોય, તો સ્થાનિકીકરણમાં સ્વરૂપના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે (ચોક્કસપણે કહીએ તો) સ્થાનિકીકરણ વારંવાર અવિભાજ્ય આદર્શ (અથવા અવિભાજ્ય આદર્શોનું જોડાણ) ના પૂરકના સંદર્ભમાં પરિવર્તનીય રીંગ પર લાગુ થાય છે. તે કિસ્સામાં જે વ્યક્તિ વારંવાર લખે છે તે પછી મહત્તમ આદર્શ સાથેની સ્થાનિક રીંગ છે આ પરિભાષા "સ્થાનિકીકરણ" નું કારણ છે. અભિન્ન ક્ષેત્રના અપૂર્ણાંકોનું ક્ષેત્ર એ મુખ્ય આદર્શ શૂન્ય પરનું સ્થાનિકીકરણ છે. જો પરિવર્તનીય રીંગનો મુખ્ય આદર્શ હોય, તો તેના અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર સ્થાનિક રીંગના અવશેષ ક્ષેત્ર જેવું જ હોય છે અને તેને આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે જો તે ડાબી બાજુનું મોડ્યુલ હોય, તો તેના સંદર્ભમાં સ્થાનિકીકરણ રિંગ્સના ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્થાનિકીકરણના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો નીચે મુજબ છેઃ જ્યારે પરિવર્તનીય રીંગ અને ગુણાકાર રૂપે બંધ સબસેટ હોય ત્યારે તે બધા અવિભાજ્ય આદર્શોના સમૂહ વચ્ચેની દ્વિભાજન હોય છે અને વિભાજ્યતા દ્વારા આપવામાં આવેલા આંશિક ક્રમ સાથે ઘટકો પર દોડવા માટેના તમામ અવિભાજ્ય આદર્શોનો સમૂહ હોય છે. સ્થાનિકીકરણ ચોક્કસ છેઃ જ્યારે પણ ચોક્કસ હોય ત્યારે તે ચોક્કસ હોય છે. તેનાથી વિપરીત, જો કોઈ મહત્તમ આદર્શ માટે ચોક્કસ હોય તો તે ચોક્કસ છે. એક ટિપ્પણીઃ વૈશ્વિક અસ્તિત્વને સાબિત કરવામાં સ્થાનિકીકરણ કોઈ મદદરૂપ નથી. આનું એક ઉદાહરણ એ છે કે જો બે મોડ્યુલો તમામ મુખ્ય આદર્શો પર આઇસોમોર્ફિક હોય, તો તે અનુસરતું નથી કે તેઓ આઇસોમોર્ફિક છે. (આને સમજાવવાની એક રીત એ છે કે સ્થાનિકીકરણ એક મોડ્યુલને મુખ્ય આદર્શો પર આવરણ તરીકે જોવાની મંજૂરી આપે છે અને આવરણ સ્વાભાવિક રીતે એક સ્થાનિક કલ્પના છે.) શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, શ્રેણીનું સ્થાનિકીકરણ કેટલાક મોર્ફિઝમ્સ આઇસોમોર્ફિઝમ્સ બનાવવા સમાન છે. પરિવર્તનીય રિંગમાં એક તત્વને કોઈપણ-મોડ્યુલના એન્ડોમોર્ફિઝમ તરીકે વિચારી શકાય છે. આમ, સ્પષ્ટ રીતે, ના ઉપગણના સંદર્ભમાં સ્થાનિકીકરણ એ-મોડ્યુલોની શ્રેણીમાંથી એક ફંકટર છે જે ઓટોમોર્ફિઝમ્સમાં એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ તરીકે જોવામાં આવતા તત્વોને મોકલે છે અને આ ગુણધર્મના સંદર્ભમાં સાર્વત્રિક છે. (અલબત્ત, પછી-મોડ્યુલો માટે નકશા અને-મોડ્યુલો માટે નકશા.) પૂર્ણાહુતિ ચાલો એક પરિવર્તનીય રીંગ બનીએ, અને તેનો આદર્શ બનીએ. એ. ટી. ની પૂર્ણતા એ પ્રોજેક્ટિવ મર્યાદા છે તે એક પરિવર્તનીય રીંગ છે. ક્વોટિએન્ટ્સમાંથી કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ્સ હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે. ક્રુલના આંતરછેદના પ્રમેય દ્વારા, જો તે નોથેરિયન ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન હોય અને તે યોગ્ય આદર્શ હોય, અથવા જો તે મહત્તમ આદર્શ સાથે નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ હોય, તો પછીનું હોમોમોર્ફિઝમ ઇન્જેક્ટિવ છે. જ્યારે મહત્તમ આદર્શ હોય ત્યારે બાંધકામ ખાસ કરીને ઉપયોગી છે. મૂળભૂત ઉદાહરણ એ મુખ્ય સંખ્યા દ્વારા પેદા થયેલ મુખ્ય આદર્શ પર પૂર્ણ થવું છે; તેને-adic પૂર્ણાંકોની રીંગ કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચવવામાં આવે છે આ કિસ્સામાં પૂર્ણતાને-adic નિરપેક્ષ મૂલ્ય પરથી પણ બનાવી શકાય છે. તે અંતર કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને તેની પૂર્ણતાને મેટ્રિક જગ્યા તરીકે સૂચવવામાં આવે છે તે ફરીથી એક ક્ષેત્ર છે કારણ કે ક્ષેત્રની કામગીરી પૂર્ણ થવા સુધી વિસ્તરે છે. એ જ રીતે, ઔપચારિક પાવર સિરીઝ રિંગ એ એટની પૂર્ણતા છે (હેન્સેલનો લેમ્મા પણ જુઓ) એક સંપૂર્ણ રિંગમાં પરિવર્તનીય રિંગની તુલનામાં ઘણી સરળ રચના હોય છે. આ કોહેન સ્ટ્રક્ચર થીયરમની માલિકી ધરાવે છે, જે આશરે કહે છે કે, સંપૂર્ણ સ્થાનિક રીંગ ઔપચારિક પાવર સિરીઝ રીંગ અથવા તેના ભાગાકાર જેવી દેખાય છે. બીજી બાજુ, ઇન્ટિગ્રલ ક્લોઝર અને કમ્પ્લીશન વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ પાસાંઓમાંનું એક છે જે આધુનિક કોમ્યુટેટિવ રિંગ થિયરીને નોઇથરની પસંદ દ્વારા વિકસિત ક્લાસિકલ થીયરીથી અલગ પાડે છે. નાગાતા દ્વારા મળેલા પેથોલોજીકલ ઉદાહરણો નોથેરિયન રિંગ્સની ભૂમિકાઓની પુનઃપરીક્ષા તરફ દોરી ગયા અને અન્ય બાબતોની સાથે, ઉત્તમ રિંગની વ્યાખ્યાને પ્રેરિત કરી. જનરેટર અને સંબંધો સાથે રિંગ્સ રિંગ બનાવવાની સૌથી સામાન્ય રીત જનરેટર અને સંબંધોને સ્પષ્ટ કરવાની છે. ચાલો પ્રતીકોના સમૂહ સાથે મુક્ત રિંગ (એટલે કે, પૂર્ણાંકો પર મુક્ત બીજગણિત) હોઈએ, એટલે કે, બિનપરિવર્તનશીલ ચલોમાં અભિન્ન ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓનો સમાવેશ થાય છે જે તેના ઘટકો છે. મુક્ત રીંગ સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સંતોષે છેઃ સમૂહથી રીંગ પરિબળો સુધીના કોઈપણ કાર્ય જેથી તે અનન્ય રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે. ગ્રુપ કેસની જેમ, દરેક રીંગને ફ્રી રીંગના ભાગાકાર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. હવે, આપણે ભાગાકાર લઈને પ્રતીકો વચ્ચે સંબંધો લાદી શકીએ છીએ. સ્પષ્ટ રીતે, જો તેનો સબસેટ હોય, તો તેના દ્વારા પેદા થયેલ આદર્શની ભાગાકાર રિંગને જનરેટર અને સંબંધો સાથેની રિંગ કહેવામાં આવે છે. જો આપણે રીંગનો ઉપયોગ કરીએ, કહો કે, તેના બદલે બેઝ રીંગ તરીકે, તો પરિણામી રીંગ સમાપ્ત થઈ જશે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પછી પરિણામી રીંગ સામાન્ય બહુપદી રીંગ હશે જેમાં ચલોમાં ગુણાંક હશે જે તેના ઘટકો છે (તે પણ પ્રતીકો સાથે સપ્રમાણ બીજગણિત જેવી જ વસ્તુ છે.) શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક શરતોમાં, રચના એ રિંગ્સની શ્રેણીમાંથી સેટ (અને તેને ઘણીવાર ફ્રી રિંગ ફંકટર કહેવામાં આવે છે) સુધીના ભૂલી ગયેલા ફંકટરની ડાબી બાજુના સંલગ્ન ફંકટર છે. ચાલો પરિવર્તનીય રિંગ પર આલ્જેબ્રા હોઈએ. પછી-મોડ્યુલનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ-બીજગણિત છે જેનો ગુણાકાર વિશેષ પ્રકારની રિંગ્સ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે ડોમેન્સ કોઈ બિન-શૂન્ય શૂન્ય-વિભાજક વિનાની બિન-શૂન્ય રિંગને ડોમેન કહેવામાં આવે છે. પરિવર્તનીય ક્ષેત્રને અભિન્ન ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. સૌથી મહત્વપૂર્ણ અભિન્ન ડોમેન્સ મુખ્ય આદર્શ ડોમેન્સ, ટૂંકા માટે PIDs અને ક્ષેત્રો છે. મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર એ એક અભિન્ન ક્ષેત્ર છે જેમાં દરેક આદર્શ મુખ્ય છે. ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન્સનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ કે જે પી. આઈ. ડી. ધરાવે છે તે એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન (યુ. એફ. ડી.) છે, એક ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન જેમાં દરેક બિન-એકમ તત્વ એ મુખ્ય તત્વોનું ઉત્પાદન છે (જો તે મુખ્ય આદર્શ ઉત્પન્ન કરે તો એક તત્વ મુખ્ય છે.) બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત પ્રશ્ન એ છે કે સંખ્યા ક્ષેત્રમાં (સામાન્યીકૃત) પૂર્ણાંકોની વીંટી, જ્યાં "આદર્શ" મુખ્ય ગુણાંકને સ્વીકારે છે, તે PID બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે. પી. આઈ. ડી. ને લગતા પ્રમેયોમાં, મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલો માટેનું માળખું પ્રમેય સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. આ પ્રમેયને રેખીય બીજગણિતમાં નીચેના ઉપયોગ દ્વારા સચિત્ર કરી શકાય છે. ચાલો ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા અને ન્યૂનતમ બહુપદી સાથેનો રેખીય નકશો હોઈએ. પછી, કારણ કે એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન છે, જે અલગ ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદીઓ (એટલે કે, મુખ્ય ઘટકો) ની શક્તિઓમાં પરિબળો બનાવે છેઃ ચાલો આપણે-મોડ્યુલ બનાવીએ. સ્ટ્રક્ચર થીયરમ પછી કહે છે કે તે ચક્રીય મોડ્યુલોનો સીધો સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક ફોર્મના મોડ્યુલ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. આમ, જો, કહો કે, બીજગણિત રીતે બંધ છે, તો પછી બધા s સ્વરૂપના છે અને ઉપરોક્ત વિઘટન જોર્ડન કેનોનિકલ સ્વરૂપને અનુરૂપ છે. બીજગણિત ભૂમિતિમાં, યુ. એફ. ડી. સરળતાને કારણે ઊભી થાય છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, વિવિધતામાં એક બિંદુ (સંપૂર્ણ ક્ષેત્ર પર) સરળ હોય છે જો બિંદુ પરની સ્થાનિક વીંટી નિયમિત સ્થાનિક વીંટી હોય. નિયમિત સ્થાનિક રિંગ એ યુએફડી છે. નીચેના વર્ગ સમાવેશની સાંકળ છે જે રિંગ્સ, ડોમેન્સ અને ક્ષેત્રો વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છેઃ ડિવિઝન રિંગ એ ડિવિઝન રિંગ એવી રિંગ છે કે દરેક બિન-શૂન્ય તત્વ એક એકમ છે. પરિવર્તનીય વિભાજન રિંગ એ એક ક્ષેત્ર છે. વિભાજન વીંટીનું એક અગ્રણી ઉદાહરણ કે જે ક્ષેત્ર નથી તે ચતુર્ભુજની વીંટી છે. ડિવિઝન રિંગમાં કોઈપણ સેન્ટ્રલાઈઝર પણ ડિવિઝન રિંગ છે. ખાસ કરીને, વિભાજન રિંગનું કેન્દ્ર એક ક્ષેત્ર છે. એવું બહાર આવ્યું છે કે દરેક મર્યાદિત ક્ષેત્ર (ખાસ કરીને મર્યાદિત વિભાજન રિંગમાં) એક ક્ષેત્ર છે; ખાસ કરીને પરિવર્તનીય (વેડરબર્નનું નાનું પ્રમેય). ડિવિઝન રીંગ પરનું દરેક મોડ્યુલ એક મુક્ત મોડ્યુલ છે (તેનો આધાર હોય છે); પરિણામે, મોટા ભાગનું રેખીય બીજગણિત ક્ષેત્રને બદલે ડિવિઝન રીંગ પર કરી શકાય છે. વિભાજન રિંગ્સના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતમાં સંયુગ્મ વર્ગોનો અભ્યાસ મુખ્યત્વે જોવા મળે છે; ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ટાન-બ્રાઉઅર-હુઆ પ્રમેય જુઓ. એલ. ઇ. ડિકસન દ્વારા રજૂ કરાયેલ ચક્રીય બીજગણિત એ ચતુર્થાંશ બીજગણિતનું સામાન્યીકરણ છે. અર્ધ-સરળ રિંગ્સ અર્ધ-સરળ મોડ્યુલ એ સરળ મોડ્યુલોનો સીધો સરવાળો છે. અર્ધ-સરળ રીંગ એ એક રીંગ છે જે ડાબી બાજુના મોડ્યુલ (અથવા જમણી બાજુના મોડ્યુલ) તરીકે અર્ધ-સરળ હોય છે. ઉદાહરણો વિભાજન રિંગ અર્ધ-સરળ (અને સરળ) હોય છે. કોઈપણ વિભાજન રિંગ અને હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, મેટ્રિક્સ રિંગ અર્ધ-સરળ (અને સરળ) હોય છે. ક્ષેત્ર અને મર્યાદિત જૂથ માટે, જૂથ રિંગ અર્ધ-સરળ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ની લાક્ષણિકતા (માસ્કેના પ્રમેય) ના ક્રમને વિભાજિત ન કરે. ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રા અર્ધ-સરળ છે. ક્ષેત્ર પરનું વેલ બીજગણિત એક સરળ વીંટી છે, પરંતુ તે અર્ધ-સરળ નથી. ઘણા ચલોમાં વિભેદક ઓપરેટરોની રીંગ માટે પણ આ જ લાગુ પડે છે. ગુણધર્મો અર્ધ-સરળ રીંગ પરનું કોઈપણ મોડ્યુલ અર્ધ-સરળ છે. (પુરાવોઃ અર્ધ-સરળ રીંગ પર મુક્ત મોડ્યુલ અર્ધ-સરળ છે અને કોઈપણ મોડ્યુલ મુક્ત મોડ્યુલનો ભાગ છે.) વીંટી માટે, નીચેના સમકક્ષ છેઃ અર્ધ-સરળ છે. તે આર્ટીનીયન અને સેમીપ્રિમિટિવ છે. એક મર્યાદિત સીધો ગુણાકાર છે જ્યાં દરેક એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને દરેક એક વિભાજન રિંગ છે (આર્ટિન-વેડરબર્ન પ્રમેય). અર્ધ-સરળતા અલગતા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. જો દરેક ક્ષેત્રના વિસ્તરણ માટે આધાર વિસ્તરણ અર્ધ-સરળ હોય તો ક્ષેત્ર પરનું એકાત્મક સહયોગી બીજગણિત અલગ પાડી શકાય તેવું કહેવાય છે. જો ક્ષેત્ર હોય, તો આ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં સામાન્ય વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે (cf. અલગ કરી શકાય તેવું વિસ્તરણ.) કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત અને બ્રાઉઅર જૂથ કોઈ ક્ષેત્ર માટે, જો તેનું કેન્દ્ર હોય તો-બીજગણિત કેન્દ્રિય હોય છે અને જો તે સરળ વીંટી હોય તો તે સરળ હોય છે. સરળ બીજગણિતનું કેન્દ્ર એક ક્ષેત્ર હોવાથી, કોઈપણ સરળ બીજગણિત તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિય સરળ બીજગણિત છે. આ વિભાગમાં, કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિતમાં મર્યાદિત પરિમાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે. ઉપરાંત, આપણે મોટે ભાગે આધાર ક્ષેત્રને ઠીક કરીએ છીએ; આમ, બીજગણિત એ-બીજગણિતનો સંદર્ભ આપે છે. રિંગ પરના કદની મેટ્રિક્સ રિંગને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. સ્કોલેમ-નોઇથર પ્રમેય જણાવે છે કે કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિતનું કોઈપણ ઓટોમોર્ફિઝમ આંતરિક છે. બે કેન્દ્રીય સરળ આલ્જેબ્રા અને જો પૂર્ણાંકો હોય તો સમાન હોવાનું કહેવાય છે અને જેમ કે સમાનતા એક સમાનતા સંબંધ છે. ગુણાકાર સાથેના સમાનતા વર્ગો એ એબેલિયન જૂથ બનાવે છે જેને બ્રાઉઅર જૂથ કહેવાય છે અને તે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આર્ટિન-વેડરબર્ન પ્રમેય અનુસાર, કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત એ વિભાજન રિંગની મેટ્રિક્સ રિંગ છે; આમ, દરેક સમાનતા વર્ગને એક અનન્ય વિભાજન રિંગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે મર્યાદિત ક્ષેત્ર હોય અથવા બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર હોય તો તે તુચ્છ છે (વધુ સામાન્ય રીતે અર્ધ-બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર; cf. ત્સેનનો પ્રમેય). તેનો ક્રમ 2 છે (ફ્રોબેનિયસના પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ). છેવટે, જો નોનઆર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્ર છે (ઉદાહરણ તરીકે, પછી અપરિવર્તનશીલ નકશા દ્વારા. હવે, જો ફિલ્ડ એક્સ્ટેંશન છે, તો બેઝ એક્સ્ટેંશન પ્રેરિત થાય છે. તેના કર્નલ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેમાં એક મેટ્રિક્સ રિંગ હોય છે (એટલે કે, તેના દ્વારા વિભાજિત થાય છે). જો વિસ્તરણ મર્યાદિત હોય અને ગેલોઇસ હોય, તો પછી એઝુમાયા આલ્જેબ્રા માટે કેનોનિકલી આઇસોમોર્ફિક છે, જે કેન્દ્રીય સરળ આલ્જેબ્રાની કલ્પનાને પરિવર્તનીય સ્થાનિક રિંગમાં સામાન્ય બનાવે છે. મૂલ્યાંકન રીંગ જો એક ક્ષેત્ર હોય, તો મૂલ્યાંકન એ ગુણાકાર જૂથમાંથી સંપૂર્ણપણે ક્રમાંકિત અબેલિયન જૂથમાં જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેમ કે, બિન-શૂન્ય સાથેના કોઈપણ માટે, મૂલ્યાંકન રીંગ એ શૂન્ય અને તમામ બિન-શૂન્યની બનેલી સબરીંગ છે. ઉદાહરણોઃ ક્ષેત્ર પર ઔપચારિક લોરેન્ટ શ્રેણીનું ક્ષેત્ર એવા મૂલ્યાંકન સાથે આવે છે કે જે બિન-શૂન્ય પદની ઓછામાં ઓછી ડિગ્રી હોય; ની મૂલ્યાંકન રીંગ એ ઔપચારિક પાવર શ્રેણી રીંગ છે વધુ સામાન્ય રીતે, ક્ષેત્ર અને સંપૂર્ણ ક્રમબદ્ધ અબેલિયન જૂથને જોતાં, ચાલો તે તમામ કાર્યોનો સમૂહ હોઈએ કે જેમના આધારો (બિંદુઓના સમૂહ કે જેના પર કાર્યો બિન-શૂન્ય હોય છે) સારી રીતે ક્રમબદ્ધ હોય. તે કોન્વોલ્યુશન દ્વારા આપવામાં આવેલ ગુણાકાર સાથેનું ક્ષેત્ર છેઃ તે મૂલ્યાંકન સાથે પણ આવે છે જે તેના સમર્થનમાં સૌથી ઓછું તત્વ છે. મર્યાદિત આધાર ધરાવતા તત્વોની બનેલી સબરીંગને ગ્રુપ રીંગ ઓફ કહેવામાં આવે છે (જે પરિવર્તનીય ન હોય તો પણ અર્થપૂર્ણ બને છે). જો પૂર્ણાંકોની વીંટી હોય, તો આપણે અગાઉના ઉદાહરણને પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ (જેની શ્રેણી સાથે ઓળખ કરીને-th ગુણાંક છે.) વધારાની રચના સાથે રિંગ્સ એ રિંગને અબેલિયન જૂથ તરીકે જોઈ શકાય છે (એડિશન ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરીને), વધારાની રચના સાથેઃ એટલે કે, રિંગ ગુણાકાર. એ જ રીતે, અન્ય ગાણિતિક પદાર્થો છે જેને વધારાની રચના સાથે રિંગ્સ તરીકે ગણી શકાય. ઉદાહરણ તરીકેઃ સહયોગી બીજગણિત એ એક રિંગ છે જે ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યા પણ છે જેમ કે સ્કેલર ગુણાકાર રિંગ ગુણાકાર સાથે સુસંગત છે. દાખલા તરીકે, વાસ્તવિક ક્ષેત્ર પર-બાય-મેટ્રિક્સનો સમૂહ વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા તરીકે પરિમાણ ધરાવે છે. રિંગ એ ટોપોલોજિકલ રિંગ છે જો તેના તત્વોના સમૂહને ટોપોલોજી આપવામાં આવે જે એડિશન મેપ () અને ગુણાકાર નકશાને ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ વચ્ચેના નકશા તરીકે સતત બનાવે છે (જ્યાં પ્રોડક્ટ ટોપોલોજી અથવા શ્રેણીમાં અન્ય કોઈપણ પ્રોડક્ટનો વારસો મળે છે). ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર-બાય-મેટ્રિક્સને યુક્લિડિયન ટોપોલોજી અથવા ઝારિસ્કી ટોપોલોજી આપી શકાય છે, અને બંને કિસ્સાઓમાં એક ટોપોલોજિકલ રિંગ મેળવશે. λ-રીંગ એ-th બાહ્ય શક્તિઓ જેવી કામગીરીઓ સાથે જોડાયેલી પરિવર્તનીય રીંગ છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિપદી ગુણાંક સાથે λ-રીંગ છે. આ કલ્પના રીમાન-રોક પ્રમેયના બીજગણિત અભિગમમાં કેન્દ્રિય નિયમ ભજવે છે. સંપૂર્ણ ક્રમાંકિત વીંટી એ કુલ ક્રમાંકિત વીંટી છે જે વીંટીની કામગીરી સાથે સુસંગત છે. વીંટીઓની સર્વવ્યાપકતાના કેટલાક ઉદાહરણો વિવિધ પ્રકારની ગાણિતિક વસ્તુઓનું કેટલાક સંકળાયેલ વીંટીની દ્રષ્ટિએ ફળદાયી વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યાની કોહોમોલોજી રીંગ કોઈપણ ટોપોલોજિકલ જગ્યા સાથે તેના અભિન્ન કોહોમોલોજી રીંગને ગ્રેડેડ રીંગ સાથે જોડી શકાય છે. જગ્યાના સમરૂપતા જૂથો પણ છે, અને ખરેખર આને પ્રથમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા, જેમ કે ગોળાઓ અને તોરી જેવી ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની ચોક્કસ જોડીઓ વચ્ચે તફાવત કરવા માટે ઉપયોગી સાધન તરીકે, જેના માટે બિંદુ-સેટ ટોપોલોજીની પદ્ધતિઓ સારી રીતે અનુકૂળ નથી. કોહોમોલોજી જૂથોને પાછળથી હોમોલોજી જૂથોની દ્રષ્ટિએ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા કે જે વેક્ટર સ્પેસના બેવડા સમાન છે. સાર્વત્રિક ગુણાંક પ્રમેયને કારણે દરેક વ્યક્તિગત અભિન્ન સમરૂપતા જૂથને જાણવું એ અનિવાર્યપણે દરેક વ્યક્તિગત અભિન્ન સમરૂપતા જૂથને જાણવા જેવું જ છે. જો કે, કોહોમોલોજી જૂથોના ફાયદા એ છે કે ત્યાં એક કુદરતી ઉત્પાદન છે, જે અવલોકનને અનુરૂપ છે કે એક ()-બહુપરીમાણીય સ્વરૂપ મેળવવા માટે એક-બહુપરીમાણીય સ્વરૂપ અને એક-બહુપરીમાણીય સ્વરૂપનો ગુણાકાર કરી શકાય છે. કોહોમોલોજીમાં રિંગ સ્ટ્રક્ચર ફાઇબર બંડલ્સના લાક્ષણિક વર્ગો, મેનીફોલ્ડ્સ અને બીજગણિત જાતો પર આંતરછેદ સિદ્ધાંત, સ્કબર્ટ કલન અને ઘણું બધું માટે પાયો પૂરો પાડે છે. જૂથની બર્નસાઇડ રીંગ કોઈપણ જૂથ સાથે તેની બર્નસાઇડ રીંગ સંકળાયેલી હોય છે જે જૂથ મર્યાદિત સમૂહ પર કેવી રીતે કાર્ય કરી શકે છે તેનું વર્ણન કરવા માટે રીંગનો ઉપયોગ કરે છે. બર્નસાઇડ રીંગનું એડિટિવ જૂથ એ મુક્ત અબેલિયન જૂથ છે જેનો આધાર જૂથની સંક્રમક ક્રિયાઓનો સમૂહ છે અને જેનો ઉમેરો ક્રિયાનું અસંબદ્ધ જોડાણ છે. પાયાના સંદર્ભમાં ક્રિયાને વ્યક્ત કરવી એ ક્રિયાને તેના સંક્રમક ઘટકોમાં વિઘટિત કરવી છે. ગુણાકાર સરળતાથી પ્રતિનિધિત્વ રિંગની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છેઃ બર્નસાઇડ રિંગમાં ગુણાકાર બે ક્રમચય મોડ્યુલના ટેન્સર પ્રોડક્ટને ક્રમચય મોડ્યુલ તરીકે લખીને રચાય છે. રીંગ માળખું એક ક્રિયાને બીજી ક્રિયામાંથી બાદ કરવાની ઔપચારિક રીતને મંજૂરી આપે છે. બર્નસાઇડ રીંગ પ્રતિનિધિત્વ રીંગની મર્યાદિત અનુક્રમણિકા સબરીંગ તરીકે સમાયેલી હોવાથી, ગુણાંકને પૂર્ણાંકોથી તર્કસંગત સંખ્યાઓ સુધી લંબાવીને એકમાંથી બીજી તરફ સરળતાથી પસાર થઈ શકે છે. જૂથ રિંગની પ્રતિનિધિત્વ રિંગ કોઈપણ જૂથ રિંગ અથવા હોપ્ફ બીજગણિત સાથે તેની પ્રતિનિધિત્વ રિંગ અથવા "ગ્રીન રિંગ" સાથે સંકળાયેલી હોય છે. રિપ્રેઝન્ટેશન રિંગનું એડિટિવ ગ્રૂપ એ ફ્રી એબેલિયન ગ્રૂપ છે જેનો આધાર ઇન્ડીકોમ્પોઝેબલ મોડ્યુલો છે અને જેનો ઉમેરો સીધા સરવાળાને અનુરૂપ છે. આધારની દ્રષ્ટિએ મોડ્યુલને વ્યક્ત કરવું એ મોડ્યુલનું બિનસંયોજિત વિઘટન શોધવું છે. ગુણાકાર એ ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે. જ્યારે બીજગણિત અર્ધ-સરળ હોય છે, ત્યારે પ્રતિનિધિત્વ રિંગ એ અક્ષર સિદ્ધાંતમાંથી માત્ર અક્ષર રિંગ છે, જે રિંગ માળખું આપવામાં આવેલ ગ્રોથેન્ડીક જૂથ છે. ઈરીડ્યુસિબલ બીજગણિત વિવિધતાનું કાર્ય ક્ષેત્ર કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ બીજગણિત વિવિધતા સાથે તેના કાર્ય ક્ષેત્રને સંકળાયેલું છે. બીજગણિત વિવિધતાના બિંદુઓ કાર્ય ક્ષેત્રમાં સમાવિષ્ટ મૂલ્યાંકન રિંગ્સને અનુરૂપ હોય છે અને સંકલન રિંગ ધરાવે છે. બીજગણિત ભૂમિતિના અભ્યાસમાં રિંગ-સૈદ્ધાંતિક ગુણધર્મોના સંદર્ભમાં ભૌમિતિક વિભાવનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે પરિવર્તનીય બીજગણિતનો ભારે ઉપયોગ થાય છે. બાયરેશનલ ભૂમિતિ કાર્ય ક્ષેત્રની સબરિંગ્સ વચ્ચેના નકશાનો અભ્યાસ કરે છે. એક સરળ સંકુલની ચહેરાની વીંટી દરેક સરળ સંકુલમાં એક સંકળાયેલ ચહેરાની વીંટી હોય છે, જેને તેની સ્ટેનલી-રેઇસનર વીંટી પણ કહેવાય છે. આ વીંટી સરળ સંકુલના ઘણા સંયુક્ત ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેથી તે બીજગણિત સંયોજનશાસ્ત્રમાં ખાસ રસ ધરાવે છે. ખાસ કરીને, સ્ટેનલી-રેઇસનર રિંગની બીજગણિત ભૂમિતિ નો ઉપયોગ સરળ પોલીટોપ્સના દરેક પરિમાણમાં ચહેરાઓની સંખ્યાને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક વર્ણન દરેક વીંટીને અબમાં મોનોઇડ તરીકે વિચારી શકાય છે, જે અબેલિયન જૂથોની શ્રેણી છે (-મોડ્યુલોના ટેન્સર પ્રોડક્ટ હેઠળ મોનોઇડલ શ્રેણી તરીકે માનવામાં આવે છે). અબેલિયન જૂથ પર વીંટીની મોનોઇડ ક્રિયા ફક્ત એક-મોડ્યુલ છે. અનિવાર્યપણે, એક-મોડ્યુલ એ વેક્ટર સ્પેસની કલ્પનાનું સામાન્યીકરણ છે-જ્યાં ક્ષેત્ર પર વેક્ટર સ્પેસને બદલે, એક "રિંગ પર વેક્ટર સ્પેસ" ધરાવે છે. ચાલો એક અબેલિયન જૂથ હોઈએ અને તેની એન્ડોમોર્ફિઝમ રીંગ હોઈએ (ઉપર જુઓ). નોંધ લો કે, અનિવાર્યપણે, જ્યાં જો અંદર છે, અને જ્યાં અંદર છે, તેના તમામ મોર્ફિઝમ્સનો સમૂહ છે, નીચે આપેલા નિયમોનો ઉપયોગ ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે અનેઃ જ્યાં જેમ તેમાં ઉમેરો થાય છે, અને કાર્ય રચના જમણેથી ડાબે સૂચવવામાં આવે છે. તેથી, કોઈપણ અબેલિયન જૂથ સાથે સંકળાયેલ, એક વીંટી છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ વીંટી આપવામાં આવે તો, તે એક અબેલિયન જૂથ છે. વધુમાં, દરેક અંદર, જમણે (અથવા ડાબે) ગુણાકાર માટે, જમણે (અથવા ડાબે) વિતરણ દ્વારા, એક આકારવાદને જન્મ આપે છે. જવા દો. તે એન્ડોમોર્ફિઝમ્સને ધ્યાનમાં લો, જે જમણી (અથવા ડાબી) ગુણાકાર દ્વારા "પરિબળ" છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચાલો તમામ મોર્ફિઝમ્સનો સમૂહ બનીએ, જેનો ગુણધર્મ છે. એવું જોવામાં આવ્યું હતું કે દરેકમાંઃ જમણા ગુણાકાર દ્વારા મોર્ફિઝમને જન્મ આપે છે. તે હકીકતમાં સાચું છે કે કોઈપણ તત્વનું, મોર્ફિઝમ સાથે, ફંક્શન તરીકે, રિંગ્સનું આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આ અર્થમાં, તેથી, કોઈપણ રિંગને કેટલાક અબેલિયન-ગ્રૂપની એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ તરીકે જોઈ શકાય છે (બાય-ગ્રૂપ, તેનો અર્થ તેના ઓપરેટરોના સમૂહ સાથે જૂથ છે). સારમાં, વીંટીનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ, કેટલાક અબેલિયન-જૂથનું એન્ડોમોર્ફિઝમ જૂથ છે. કોઈપણ વીંટીને એક જ વસ્તુ સાથે પ્રીએડિટિવ શ્રેણી તરીકે જોઈ શકાય છે. તેથી મનસ્વી પ્રીએડિટિવ વર્ગોને રિંગ્સના સામાન્યીકરણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું સ્વાભાવિક છે. અને ખરેખર, મૂળ રીતે રિંગ્સ માટે આપવામાં આવેલી ઘણી વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેયોને આ વધુ સામાન્ય સંદર્ભમાં અનુવાદિત કરી શકાય છે. પ્રીએડિટિવ વર્ગો વચ્ચેના એડિટિવ ફંક્ટર્સ રિંગ હોમોમોર્ફિઝમની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવે છે, અને એડિટિવ વર્ગોમાં આદર્શોને મનસ્વી મોર્ફિઝમ્સ સાથે ઉમેરા હેઠળ અને રચના હેઠળ બંધ મોર્ફિઝમ્સના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સામાન્યીકરણ બીજગણિતશાસ્ત્રીઓએ રિંગ્સ કરતાં વધુ સામાન્ય માળખાને કેટલાક રિંગ સ્વયંસિદ્ધોને નબળા અથવા છોડીને વ્યાખ્યાયિત કરી છે. આર. એન. જી. એ. આર. એન. જી. એ રીંગ જેવું જ છે, સિવાય કે ગુણાકાર ઓળખનું અસ્તિત્વ ધારવામાં આવતું નથી. બિન-સહયોગી રીંગ એ એક બીજગણિત માળખું છે જે સહયોગી ગુણધર્મ અને ગુણાકાર ઓળખના અસ્તિત્વ સિવાયના તમામ રીંગ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે. એક નોંધપાત્ર ઉદાહરણ લાઈ બીજગણિત છે. આવા આલ્જેબ્રા માટે કેટલાક માળખા સિદ્ધાંત અસ્તિત્વમાં છે જે લાઈ આલ્જેબ્રા અને સહયોગી આલ્જેબ્રા માટે સમાન પરિણામોને સામાન્ય બનાવે છે. સેમિરિંગ એ સેમિરિંગ (કેટલીકવાર રિગ) એ ધારણાને નબળી પાડીને મેળવવામાં આવે છે જે એક અબેલિયન જૂથ છે જે ધારણા છે કે જે એક પરિવર્તનીય મોનોઇડ છે, અને સ્વયંસિદ્ધ શબ્દને ઉમેરીને કે બધા માટે a in (કારણ કે તે હવે અન્ય સ્વયંસિદ્ધ શબ્દોથી અનુસરતું નથી). ઉદાહરણોઃ સામાન્ય ઉમેરા અને ગુણાકાર સાથે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો; ઉષ્ણકટિબંધીય અર્ધવિરામ. અન્ય રિંગ જેવી વસ્તુઓ શ્રેણીમાં રિંગ ઓબ્જેક્ટ ચાલો મર્યાદિત ઉત્પાદનો સાથેની શ્રેણી બનીએ. ચાલો pt એ (ખાલી ઉત્પાદન) ના અંતિમ પદાર્થને સૂચવે છે. રિંગ ઓબ્જેક્ટ એ સામાન્ય રિંગ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષતા મોર્ફિઝમ્સ (ઉમેરા), (ગુણાકાર), (એડિટિવ આઇડેન્ટિટી), (એડિટિવ ઇન્વર્સ) અને (મલ્ટિપ્લિકેટિવ આઇડેન્ટિટી) થી સજ્જ ઓબ્જેક્ટ છે. તેવી જ રીતે, રીંગ ઓબ્જેક્ટ એ રિંગ્સની શ્રેણી દ્વારા બિંદુઓના તેના ફંકટરના ફેક્ટરાઇઝેશનથી સજ્જ ઑબ્જેક્ટ છેઃ રીંગ સ્કીમ બીજગણિત ભૂમિતિમાં, બેઝ સ્કીમ પરની રીંગ સ્કીમ એ-સ્કીમ્સની શ્રેણીમાં રીંગ ઓબ્જેક્ટ છે. એક ઉદાહરણ રીંગ સ્કીમ ઓવર છે, જે કોઈપણ પરિવર્તનીય રીંગ માટે લંબાઇના-આઇસોટાઇપિક વિટ વેક્ટરની રીંગ પરત કરે છે. રિંગ સ્પેક્ટ્રમ બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, રિંગ સ્પેક્ટ્રમ એ ગુણાકાર સાથેનો એક વર્ણપટ છે અને ગોળાકાર વર્ણપટમાંથી એક એકમ નકશો છે, જેમ કે રિંગ સ્વયંસિદ્ધ આકૃતિઓ હોમોટોપી સુધી પરિવર્તિત થાય છે. વ્યવહારમાં, રિંગ સ્પેક્ટ્રમને વર્ણપટની સારી શ્રેણી જેમ કે સપ્રમાણ વર્ણપટની શ્રેણીમાં એક મોનોઇડ પદાર્થ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું સામાન્ય છે. આલ્જેબ્રા ઓવર અ કોમ્યુટેટિવ રીંગ પણ જુઓ શ્રેણીબદ્ધ રીંગ શ્રેણી રિંગ થિયરી નોન-એસોસીએટિવ રીંગ રિંગ ઓફ સેટ્સ ગ્લોસરી ઓફ અ રીંગ સેમરિંગ સ્પેક્ટ્રમ ઓફ અ રીંગ સરળ કોમ્યુટેટિવ રીંગ વિશિષ્ટ પ્રકારની રીંગઃ બુલિયન રીંગ ડેડેકાઇન્ડ રીંગ વિભેદક રીંગ એક્સપોનેન્શલ રીંગ ફાઈનાઈટ રીંગ લાઈ રીંગ સ્થાનિક રીંગ નોથેરિયન અને આર્ટીનીયન રીંગ ઓર્ડર રિંગ પોઈસન રીંગ રિડ્યુસ્ડ રીંગ નિયમિત રીંગ સમયગાળાની એસ. બી. આઈ. રીંગ વેલ્યુએશન રીંગ અને ડિસ્ક્રીટ વેલ્યુએશન રીંગ નોટ્સ સાઇટેશન સંદર્ભો [સુધારેલ 5મી પ્રિન્ટિંગ] સામાન્ય સંદર્ભો વિશેષ સંદર્ભો ઐતિહાસિક સંદર્ભો બ્રોન્સ્ટીન, આઈ. એન. અને સેમેન્ડયેવ, કે. એ. (2004) હેન્ડબુક ઓફ મેથેમેટિક્સ, ચોથી આવૃત્તિ. ન્યૂ યોર્કઃ સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. મેકટ્યુટર આર્કાઇવ ફેઇથ ખાતે રીંગ થિયરીનો ઇતિહાસ, કાર્લ (1999) રીંગ્સ એન્ડ થિંગ્સ અને વીસમી સદીના સહયોગી બીજગણિતની સુંદર શ્રેણી. ગાણિતિક સર્વેક્ષણો અને મોનોગ્રાફ્સ, 65. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી. ઇટો, કે. એડિટર (1986) "રિંગ્સ". § 368 ગણિતના જ્ઞાનકોશ શબ્દકોશમાં, બીજી આવૃત્તિ, વોલ્યુમ. 2. કેમ્બ્રિજ, એમએઃ એમઆઇટી પ્રેસ. બીજગણિત માળખાં રીંગ સિદ્ધાંત