Lipschitz continuity
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી રુડોલ્ફ લિપ્સિટ્ઝના નામ પરથી લિપશિટ્ઝ સાતત્ય નામ આપવામાં આવ્યું છે, જે કાર્યો માટે સમાન સાતત્યનું મજબૂત સ્વરૂપ છે. સહજ ભાવે, લિપ્સિટ્ઝ સતત વિધેય તે કેટલી ઝડપથી બદલાઈ શકે છે તે મર્યાદિત છેઃ ત્યાં એક વાસ્તવિક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે કે, આ વિધેયના આલેખ પરના બિંદુઓની દરેક જોડી માટે, તેમને જોડતી રેખાના ઢોળાવની નિરપેક્ષ કિંમત આ વાસ્તવિક સંખ્યા કરતા વધારે નથી; આવી સૌથી નાની મર્યાદાને વિધેયનો લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક કહેવામાં આવે છે (અને તે સમાન સાતત્યના માપાંક સાથે સંબંધિત છે). દાખલા તરીકે, દરેક કાર્ય કે જે અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને પ્રથમ વ્યુત્પન્નને બંધાયેલું છે તે લિપ્સચિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ છે. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, લિપ્સિટ્ઝ સાતત્ય એ પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેયની કેન્દ્રિય શરત છે જે પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યાના ઉકેલના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાની બાંયધરી આપે છે. એક ખાસ પ્રકારની લિપશિટ્ઝ સાતત્યતા, જેને સંકોચન કહેવાય છે, તેનો ઉપયોગ બનાચ નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયમાં થાય છે. આપણી પાસે વાસ્તવિક રેખાના બંધ અને બંધાયેલા બિન-તુચ્છ અંતરાલ પરના કાર્યો માટે કડક સમાવેશની નીચેની સાંકળ છેઃ સતત વિકલનક્ષમ લિપ્સચિટ્ઝ સતત-હોલ્ડર સતત, જ્યાં. આપણી પાસે Lipschitz કન્ટિન્યુઅસ પણ છે જે એકસરખી રીતે સંપૂર્ણપણે કન્ટિન્યુઅસ પણ છે. વ્યાખ્યાઓ બે મેટ્રિક જગ્યાઓ (X, dX) અને (Y, dY) આપવામાં આવી છે, જ્યાં dX સમૂહ X પર મેટ્રિક સૂચવે છે અને dY સમૂહ Y પર મેટ્રિક છે, એક વિધેય f: X → Y ને લિપ્સિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં વાસ્તવિક અચળાંક K ≤ 0 અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે, X માં તમામ x1 અને x2 માટે, આવા કોઈપણ K ને કાર્ય f અને f માટે લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેને K-લિપ્સિટ્ઝ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. સૌથી નાના અચળાંકને કેટલીકવાર f નો (શ્રેષ્ઠ) લિપશિટ્ઝ અચળાંક અથવા f નો ફેલાવો અથવા વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે. જો K = 1 હોય તો કાર્યને ટૂંકો નકશો કહેવામાં આવે છે, અને જો 0 ≤ K <1 હોય અને f પોતે મેટ્રિક જગ્યા દર્શાવે, તો કાર્યને સંકોચન કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય f: R → R ને લિપ્સિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં હકારાત્મક વાસ્તવિક અચળાંક K અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે, તમામ વાસ્તવિક x1 અને x2 માટે, આ કિસ્સામાં, Y એ પ્રમાણભૂત મેટ્રિક dY (y1, y2) = |y1 − y2 | સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ R નો સમૂહ છે, અને X એ R નો સબસેટ છે. સામાન્ય રીતે, જો x1 = x2 હોય તો અસમાનતા (તુચ્છ રીતે) સંતુષ્ટ થાય છે. નહિંતર, કોઈ પણ ફંક્શનને Lipschitz કન્ટિન્યુઅસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં કોઈ અચળ K ≤ 0 અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે તમામ x1 ≤ x2 માટે, કેટલાક વાસ્તવિક ચલોના વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન ફંક્શન્સ માટે, આ ત્યારે જ માન્ય રહે છે જ્યારે અને માત્ર ત્યારે જ જો તમામ સેકન્ડ રેખાઓના ઢોળાવની નિરપેક્ષ કિંમત K દ્વારા બંધાયેલ હોય. ફંક્શનને સ્થાનિક રીતે લિપ્સચિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ કહેવામાં આવે છે જો X માં દરેક x માટે x નો પડોશી U અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે U સુધી મર્યાદિત f એ લિપ્સચિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ હોય. સમાનરૂપે, જો X એ સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક સ્પેસ હોય, તો f એ સ્થાનિક રીતે લિપ્સિટ્ઝ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે X ના દરેક કોમ્પેક્ટ સબસેટ પર સતત લિપ્સિટ્ઝ હોય. જે જગ્યાઓ સ્થાનિક રીતે સઘન નથી, તેમાં આ જરૂરી છે પરંતુ પૂરતી શરત નથી. વધુ સામાન્ય રીતે, X પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ વિધેય f ને હોલ્ડર કન્ટિન્યુઅસ કહેવામાં આવે છે અથવા X પર α> 0 ક્રમની હોલ્ડર શરતને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં સતત M ≤ 0 હોય જેમ કે X માં તમામ x અને y માટે. કેટલીકવાર α ક્રમની હોલ્ડર સ્થિતિને α> 0 ક્રમની એકસમાન લિપ્સિટ્ઝ સ્થિતિ પણ કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યા K ≤ 1 માટે, જો f ને K-બિલીપશિટ્ઝ (કે-બી-લીપશિટ્ઝ પણ લખવામાં આવે છે) કહેવામાં આવે છે. આપણે કહીએ છીએ કે એફ એ બિલિપ્સચિટ્ઝ અથવા બાય-લિપ્સિટ્ઝ છે જેનો અર્થ એ છે કે આવા કે અસ્તિત્વમાં છે. એ બિલિપ્સચિટ્ઝ મેપિંગ ઇન્જેક્ટિવ છે, અને હકીકતમાં તેની છબી પર હોમોમોર્ફિઝમ છે. બિલિપ્સચિટ્ઝ કાર્ય એ ઇન્જેક્ટિવ લિપ્સિટ્ઝ કાર્ય જેવું જ છે, જેનું વ્યસ્ત કાર્ય પણ લિપ્સિટ્ઝ છે. ઉદાહરણો લિપ્સિટ્ઝ સતત વિધેયો કે જે દરેક જગ્યાએ વિભેદક હોય છે લિપ્સિટ્ઝ સતત વિધેયો કે જે દરેક જગ્યાએ વિભેદક ન હોય લિપ્સિટ્ઝ સતત વિધેયો કે જે દરેક જગ્યાએ વિભેદક ન હોય પરંતુ સતત વિભેદક ન હોય સતત વિધેયો કે જે (વૈશ્વિક સ્તરે) લિપ્સિટ્ઝ સતત વિભેદક વિધેયો ન હોય (સ્થાનિક રીતે) લિપ્સિટ્ઝ સતત વિશ્લેષણાત્મક વિધેયો કે જે (વૈશ્વિક સ્તરે) લિપ્સિટ્ઝ સતત ગુણધર્મો ન હોય. ખાસ કરીને, કોઈપણ સતત વિકલનક્ષમ વિધેય સ્થાનિક રીતે લિપશિટ્ઝ હોય છે, કારણ કે સતત વિધેયો સ્થાનિક રીતે બંધાયેલા હોય છે તેથી તેનો ઢાળ પણ સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ હોય છે. Lipschitz વિધેય g: R → R સંપૂર્ણપણે સતત છે અને તેથી તે લગભગ દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ છે, એટલે કે, લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્યના સમૂહની બહારના દરેક બિંદુ પર વિકલનક્ષમ છે. તેનું વ્યુત્પન્ન અનિવાર્યપણે લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક દ્વારા તીવ્રતામાં બંધાયેલું છે, અને a <b માટે, તફાવત g (b) −g (a) અંતરાલ [a, b] પર વ્યુત્પન્ન g′ ના અભિન્ન સમાન છે. તેનાથી વિપરીત, જો f: I → R સંપૂર્ણપણે સતત હોય અને આમ લગભગ દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ હોય, અને I માં લગભગ તમામ x માટે |f ′ (x) | ≤ K ને સંતોષે, તો પછી f એ મહત્તમ K પર લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક સાથે સતત લિપ્સિટ્ઝ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, રેડેમાકરનો પ્રમેય યુક્લિડિયન જગ્યાઓ વચ્ચેના લિપ્સિટ્ઝ મેપિંગ્સમાં વિકલનક્ષમતાના પરિણામને વિસ્તરે છેઃ એક લિપ્સિટ્ઝ નકશો f: U → Rm, જ્યાં U એ Rn માં ખુલ્લો સમૂહ છે, તે લગભગ દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ છે. વધુમાં, જો K એ f નો શ્રેષ્ઠ લિપશિટ્ઝ અચળાંક હોય, તો જ્યારે પણ કુલ વ્યુત્પન્ન Df અસ્તિત્વમાં હોય. વિભેદક લિપશિટ્ઝ નકશા માટે અસમાનતા શ્રેષ્ઠ લિપશિટ્ઝ અચળાંક માટે છે. જો ડોમેન બહિર્મુખ હોય તો હકીકતમાં. ધારો કે {fn} એ બે મેટ્રિક જગ્યાઓ વચ્ચેના લિપ્સચિટ્ઝ સતત મેપિંગ્સનો ક્રમ છે, અને તમામ fn કેટલાક K દ્વારા બંધાયેલ લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક ધરાવે છે. જો fn એકસરખી રીતે મેપિંગ f માં એકરૂપ થાય છે, તો f એ પણ લિપ્સચિટ્ઝ છે, જેમાં લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક સમાન K દ્વારા બંધાયેલ છે. ખાસ કરીને, આ સૂચવે છે કે લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક માટે ચોક્કસ બાઉન્ડ સાથે કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક જગ્યા પર વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોનો સમૂહ એ સતત કાર્યોની બનાચ જગ્યાનો બંધ અને બહિર્મુખ સબસેટ છે. જો કે, આ પરિણામ એવા ક્રમમાં નથી કે જેમાં વિધેયોમાં અમર્યાદિત લિપશિટ્ઝ અચળાંકો હોઈ શકે છે. હકીકતમાં, કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક જગ્યા પર તમામ લિપ્સિટ્ઝ વિધેયોની જગ્યા એ સતત વિધેયોની બનાચ જગ્યાનું પેટા બીજગણિત છે, અને આમ તેમાં ગાઢ છે, જે સ્ટોન-વેઇયરસ્ટ્રાસ પ્રમેય (અથવા વેઇયરસ્ટ્રાસ અંદાજ પ્રમેયના પરિણામે, કારણ કે દરેક બહુપદી સ્થાનિક રીતે લિપ્સિટ્ઝ સતત છે) નું પ્રાથમિક પરિણામ છે. દરેક લિપશિટ્ઝ સતત નકશો એકસમાન રીતે સતત છે, અને તેથી એક સતત ફોર્ટીઓરી છે. વધુ સામાન્ય રીતે, બંધાયેલા લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક સાથેના કાર્યોનો સમૂહ સમવર્તી સમૂહ બનાવે છે. આર્ઝેલા-એસ્કોલી પ્રમેય સૂચવે છે કે જો {fn} એ બંધાયેલ લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક સાથે કાર્યોનો સમાન રીતે બંધાયેલ ક્રમ છે, તો તે એક અભિસારી અનુગામી ધરાવે છે. અગાઉના ફકરાના પરિણામ મુજબ, મર્યાદા કાર્ય પણ લિપ્સિટ્ઝ છે, જે લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક માટે સમાન બંધાયેલ છે. ખાસ કરીને લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક ≤ K ધરાવતા કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક સ્પેસ X પરના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યના લિપ્સચિટ્ઝ કાર્યોનો સમૂહ બનાચ સ્પેસ C (X) નો સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ બહિર્મુખ સબસેટ છે. સામાન્ય અચળાંક સાથે લિપ્સિટ્ઝ સતત વિધેયો fα ના પરિવાર માટે, કાર્ય (અને) એ જ લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક સાથે, લિપ્સિટ્ઝ સતત પણ છે, જો કે તે ઓછામાં ઓછા એક બિંદુ પર મર્યાદિત મૂલ્ય ધારણ કરે. જો U એ મેટ્રિક સ્પેસ M નો સબસેટ હોય અને f: U → R એ લિપ્સિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન હોય, તો હંમેશા લિપ્સિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ નકશા M → R અસ્તિત્વમાં હોય છે જે f ને વિસ્તરે છે અને f જેટલો જ લિપ્સિટ્ઝ કોન્સ્ટન્ટ ધરાવે છે (કિર્ઝબ્રોન થીયરમ પણ જુઓ). જ્યાં કે એ યુ. લિપ્સચિટ્ઝ મેનીફોલ્ડ્સ પર એફ માટે લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક છે તેના દ્વારા વિસ્તરણ પૂરું પાડવામાં આવે છે ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ પરની લિપ્સિટ્ઝ રચનાને ચાર્ટ્સના એટલાસનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેના સંક્રમણ નકશા બિલિપ્સચિટ્ઝ છે; આ શક્ય છે કારણ કે બિલિપ્સચિટ્ઝ નકશા સ્યુડોગ્રુપ બનાવે છે. આવી રચના વ્યક્તિને આવા મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે સ્થાનિક રીતે લિપ્સિટ્ઝ નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, તેવી જ રીતે જે રીતે કોઈ સરળ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે સરળ નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ જો અને લિપ્સિટ્ઝ મેનીફોલ્ડ્સ હોય, તો પછી કાર્ય સ્થાનિક રીતે લિપ્સિટ્ઝ હોય છે જો અને માત્ર જો સંકલન ચાર્ટ્સની દરેક જોડી માટે અને, જ્યાં અને સંબંધિત યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં ખુલ્લા સમૂહો હોય, તો રચના સ્થાનિક રીતે લિપ્સિટ્ઝ હોય. આ વ્યાખ્યા મેટ્રિકને અથવા પર વ્યાખ્યાયિત કરવા પર આધારિત નથી. આ માળખું પીસવાઇઝ-રેખીય મેનીફોલ્ડ અને ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ વચ્ચે મધ્યવર્તી છેઃ પી. એલ. માળખું એક અનન્ય લિપશિટ્ઝ માળખાને જન્મ આપે છે. જ્યારે લિપ્સિટ્ઝ મેનીફોલ્ડ્સ ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ્સ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, ત્યારે રેડેમાકરનો પ્રમેય વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે વિવિધ ઉપયોગો આપે છે. એક તરફી લિપશિટ્ઝ ધારો કે F (x) એ x નું ઉપલા અર્ધ-સતત વિધેય છે, અને તે F (x) એ તમામ x માટે બંધ, બહિર્મુખ સમૂહ છે. પછી એફ એક તરફી લિપશિટ્ઝ છે જો કેટલાક સી માટે અને બધા x1 અને x2 માટે. શક્ય છે કે ફંક્શન Fમાં ખૂબ મોટો લિપશિટ્ઝ અચળાંક હોઈ શકે પરંતુ મધ્યમ કદનો, અથવા તો નકારાત્મક, એક તરફી લિપશિટ્ઝ અચળાંક પણ હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યમાં લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક K = 50 અને એક તરફી લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક C = 0 છે. એક ઉદાહરણ કે જે એકતરફી લિપ્સિટ્ઝ છે પરંતુ લિપ્સિટ્ઝ સતત નથી તે F (x) = e − x છે, જેમાં C = 0 છે. જોહ્ન્સન-લિન્ડેનસ્ટ્રાસ લેમ્મા-કોઈપણ પૂર્ણાંક n ≤ 0 માટે, કોઈપણ મર્યાદિત સબસેટ X ≤ Rn, અને કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા 0 <ε <1 માટે, ત્યાં એક (1 + ε)-દ્વિ-લિપ્સિટ્ઝ કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં સંદર્ભ માળખાઓ મેનીફોલ્ડ્સ પર હોય છે.