Exponential distribution
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, ઘાતાંકીય વિતરણ અથવા નકારાત્મક ઘાતાંકીય વિતરણ એ પોઈસન બિંદુ પ્રક્રિયામાં ઘટનાઓ વચ્ચેના સમયની સંભાવના વિતરણ છે, એટલે કે, એક પ્રક્રિયા જેમાં ઘટનાઓ સતત અને સ્વતંત્ર રીતે સતત સરેરાશ દરે થાય છે. તે ગામા વિતરણનો એક ખાસ કેસ છે. તે ભૌમિતિક વિતરણનું સતત એનાલોગ છે, અને તેમાં સ્મૃતિહીન હોવાનો મુખ્ય ગુણધર્મ છે. પોઈસન બિંદુ પ્રક્રિયાઓના વિશ્લેષણ માટે ઉપયોગમાં લેવા ઉપરાંત તે અન્ય વિવિધ સંદર્ભોમાં જોવા મળે છે. ઘાતાંકીય વિતરણ એ વિતરણના ઘાતાંકીય પરિવારોના વર્ગ જેવું નથી. આ સંભાવના વિતરણનો એક મોટો વર્ગ છે જેમાં તેના સભ્યોમાંના એક તરીકે ઘાતાંકીય વિતરણનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તેમાં સામાન્ય, દ્વિપદી, ગામા અને પોઈસન વિતરણ જેવા અન્ય ઘણા વિતરણોનો પણ સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યાઓ સંભાવના ઘનતા કાર્ય ઘાતાંકીય વિતરણનું સંભાવના ઘનતા કાર્ય (પી. ડી. એફ.) અહીં λ> 0 એ વિતરણનું પરિમાણ છે, જેને ઘણીવાર દર પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. વિતરણ અંતરાલ પર સમર્થિત છે. જો રેન્ડમ ચલ X પાસે આ વિતરણ હોય, તો આપણે લખીએ છીએ. ઘાતાંકીય વિતરણ અનંત વિભાજન દર્શાવે છે. સંચયી વિતરણ કાર્ય સંચયી વિતરણ કાર્ય વૈકલ્પિક પરિમાણ દ્વારા આપવામાં આવે છે ઘાતાંકીય વિતરણને કેટલીકવાર સ્કેલ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, જે સરેરાશ પણ છેઃ ગુણધર્મો સરેરાશ, ભિન્નતા, ક્ષણો અને મધ્યક દર પરિમાણ λ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ X નું સરેરાશ અથવા અપેક્ષિત મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. X નો તફાવત આના દ્વારા આપવામાં આવે છે તેથી પ્રમાણભૂત વિચલન સરેરાશ બરાબર છે. X ની ક્ષણો, માટે દ્વારા આપવામાં આવે છે X ની કેન્દ્રીય ક્ષણો, માટે દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં! n એ n ની ઉપઘટક છે. X ની મધ્યક તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં તે કુદરતી લઘુગણકને સંદર્ભિત કરે છે. આમ સરેરાશ અને સરેરાશ વચ્ચેનો સંપૂર્ણ તફાવત મધ્યમ-સરેરાશ અસમાનતા અનુસાર છે. એક્સપોનેનશીયલ રેન્ડમ વેરિયેબલનો મેમરીલેસ પ્રોપર્ટી એક એક્સપોનેનશીયલ રેન્ડમ વેરિયેબલ T સંબંધનું પાલન કરે છે આ પૂરક સંચિત વિતરણ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈને જોઈ શકાય છેઃ જ્યારે T ને કોઈ પ્રારંભિક સમયની તુલનામાં ઘટના બનવાની રાહ જોવાના સમય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ સંબંધ સૂચવે છે કે, જો T ને અમુક પ્રારંભિક સમયગાળા દરમિયાન ઘટનાનું નિરીક્ષણ કરવામાં નિષ્ફળતા પર શરતી કરવામાં આવે છે, તો બાકીની રાહ જોવાના સમયનું વિતરણ મૂળ બિનશરતી વિતરણ જેવું જ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ ઘટના 30 સેકન્ડ પછી ન બની હોય, તો શરતી સંભાવના કે જે ઘટના ઓછામાં ઓછી 10 વધુ સેકન્ડ લેશે તે પ્રારંભિક સમય પછી 10 સેકન્ડથી વધુ સમય પછી ઘટનાનું નિરીક્ષણ કરવાની બિનશરતી સંભાવના બરાબર છે. ઘાતાંકીય વિતરણ અને ભૌમિતિક વિતરણ એ એકમાત્ર સ્મૃતિહીન સંભાવના વિતરણ છે. પરિણામે ઘાતાંકીય વિતરણ એ એકમાત્ર સતત સંભાવના વિતરણ પણ છે જે સતત નિષ્ફળતા દર ધરાવે છે. ક્વોન્ટાઇલ્સ એક્સપ (λ) માટે ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન (ઇન્વર્સ ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન) છે તેથી ક્વાર્ટાઇલ્સ છેઃ પ્રથમ ક્વાર્ટાઇલઃ ln (4/3)/λ મીડીયનઃ ln (2)/λ ત્રીજો ક્વાર્ટાઇલઃ ln (4)/λ અને પરિણામે ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ ln (3)/λ છે. જોખમ પર શરતી મૂલ્ય (અપેક્ષિત અછત) જોખમ પર શરતી મૂલ્ય (સી. વી. એ. આર.) જેને અપેક્ષિત ઘટાડો અથવા એક્સ. પી. (λ) માટે સુપરક્વન્ટાઇલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે તે નીચે મુજબ મેળવવામાં આવે છેઃ બફર્ડ પ્રોબેબિલિટી ઓફ એક્ઝેડન્સ (બી. પી. ઓ. ઈ.) અતિશયતાની બફર સંભાવના એ એક બાદબાકી સંભાવના સ્તર છે જેના પર સી. વી. એ. આર. થ્રેશોલ્ડની બરાબર હોય છે. તે નીચે પ્રમાણે મેળવવામાં આવે છેઃ કુલબેક-લીબલર વિચલન ('સાચું' વિતરણ) માંથી ("અંદાજિત" વિતરણ) ના નાટમાં નિર્દેશિત કુલબેક-લીબલર વિચલન મહત્તમ એન્ટ્રોપી વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે રેન્ડમ વેરિએટ X માટે મહત્તમ એન્ટ્રોપી સંભાવના વિતરણ છે જે શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર છે અને જેના માટે E [X] નિશ્ચિત છે. લઘુત્તમ ઘાતાંકીય રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ ચાલો X1,., Xn એ દર પરિમાણો λ1,., λn સાથે સ્વતંત્ર રીતે ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ હોય. પછી પરિમાણ સાથે પણ ઘાતાંકીય રીતે વહેંચવામાં આવે છે આ પૂરક સંચિત વિતરણ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈને જોઈ શકાય છેઃ ચલની અનુક્રમણિકા જે લઘુત્તમ હાંસલ કરે છે તે વર્ગીકરણ વિતરણ અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે. પછી, નોંધ લો કે તે ઘાતાંકીય રીતે વહેંચાયેલું નથી, જો X1,., Xn બધા પાસે પરિમાણ 0 નથી. સંયુક્ત ક્ષણો એટલે કે આઇ. ડી. એક્સપોનેનશીયલ ઓર્ડર સ્ટેટિસ્ટિક્સ ચાલો રેટ પેરામીટર λ સાથે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત એક્સપોનેનશીયલ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ હોઈએ. ચાલો અનુરૂપ ક્રમના આંકડા દર્શાવીએ. કારણ કે, ક્રમના આંકડાની સંયુક્ત ક્ષણ અને તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે આ કુલ અપેક્ષા અને સ્મૃતિહીન ગુણધર્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છેઃ પ્રથમ સમીકરણ કુલ અપેક્ષાના નિયમને અનુસરે છે. બીજું સમીકરણ એ હકીકતનો ફાયદો ઉઠાવે છે કે એકવાર આપણે તેના પર શરતો મૂકીએ, તે તેનું પાલન કરવું જ જોઈએ. ત્રીજું સમીકરણ બદલવા માટે સ્મૃતિહીન ગુણધર્મ પર આધાર રાખે છે. બે સ્વતંત્ર એક્સપોનેન્શલ રેન્ડમ વેરિયેબલનો સરવાળો બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેરિયેબલના સરવાળાનું પ્રોબેબીલીટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન (પી. ડી. એફ.) એ તેમના વ્યક્તિગત પી. ડી. એફ. નું કન્વોલ્યુશન છે. આ વિતરણની એન્ટ્રોપી બંધ સ્વરૂપમાં ઉપલબ્ધ છેઃ એમ ધારીને (સામાન્યતાની ખોટ વિના), પછી યુલર-માસ્ચેરોની અચળાંક ક્યાં છે, અને તે ડિગમ્મા કાર્ય છે. સમાન દર પરિમાણોના કિસ્સામાં, પરિણામ એ આકાર 2 અને પરિમાણ સાથે એર્લાંગ વિતરણ છે જે બદલામાં ગામા વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. n સ્વતંત્ર એક્સપોનેંશિયલ રેન્ડમ વેરિયેબલનો સરવાળો ગામ (n, λ) ગામા ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ છે. સંબંધિત વિતરણો જો X ~ લાપ્લાસ (μ, β − 1) હોય, તો |X − μ | ~ એક્સપ (β). જો X ~ પેરેટો (1, λ) હોય, તો પછી લોગ (X) ~ એક્સપ (λ) કરો. જો X ~ સ્ક્યુલોજિસ્ટિક (θ) હોય, તો. જો xi ~ U (0,1) હોય તો ઘાતાંકીય વિતરણ એ માપેલા બીટા વિતરણની મર્યાદા છેઃ ઘાતાંકીય વિતરણ એ પ્રકાર 3 પીઅર્સન વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. જો X ~ એક્સપ (λ) અને X ~ એક્સપ (λ) તો પછીઃ, હકારાત્મક પરિબળ દ્વારા સ્કેલિંગ હેઠળ બંધ કરો. 1 + X ~ બેન્ક્ટેન્ડર વેઇબુલ (λ, 1), જે કાપેલા ઘાતાંકીય વિતરણમાં ઘટાડો કરે છે. કેએક્સ ~ પેરેટો (કે, λ). e − X ~ બીટા (λ, 1). e ~ પાવરલો (k, λ), રેલેહ વિતરણ, વેઇબુલ વિતરણ. , 0 પર ભૌમિતિક વિતરણ, 1,2,3,., 1,2,3,4 પર ભૌમિતિક વિતરણ. જો તે પણ Y ~ એર્લાંગ (n, λ) અથવા પછી જો λ ~ ગામા (k, θ) (આકાર, સ્કેલ પરિમાણ) હોય તો X નું સીમાંત વિતરણ લોમેક્સ (k, 1/θ), ગામા મિશ્રણ λX − λY ~ લાપ્લાસ (0,1) છે. ન્યૂનતમ {X1,., Xn} ~ એક્સપ (λ1 +. + λn). જો λ = λ પણ હોય તોઃ પૂર્ણાંક આકાર પરિમાણ k સાથે એર્લાંગ (k, λ) = ગામા (k, λ−1) = ગામા (k, λ) (અનુક્રમે (k, θ) અને (α, β) પરિમાણમાં). X − X ~ લાપ્લાસ (0, λ − 1). જો X પણ સ્વતંત્ર હોય, તો પછીઃ ~ U (0,1) સંભાવના ઘનતા કાર્ય ધરાવે છે. આનો ઉપયોગ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મેળવવા માટે થઈ શકે છે. જો λ = 1: પણ હોય, તો લોજિસ્ટિક વિતરણ μ − σ log (X) ~ GEV (μ, σ, 0). આગળ જો પછી (K-વિતરણ) જો λ = 1/2 હોય તો; એટલે કે, X પાસે 2 ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે કાઇ-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ છે. તેથીઃ જો અને ~ પોઈસન (X) તો (ભૌમિતિક વિતરણ) હોયટ વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણ અને આર્ક્સાઇન વિતરણમાંથી મેળવી શકાય છે આ કિસ્સામાં ઘાતાંકીય વિતરણ એ κ-ઘાતાંકીય વિતરણની મર્યાદા છે. ઘાતાંકીય વિતરણ એ અને કિસ્સાઓમાં κ-સામાન્યકૃત ગામા વિતરણની મર્યાદા છેઃ અન્ય સંબંધિત વિતરણોઃ અતિ-ઘાતાંકીય વિતરણ-તે વિતરણ કે જેની ઘનતા ઘાતાંકીય ઘનતાનો ભારિત સરવાળો છે. હાયપોએક્સપોનેન્શિયલ વિતરણ-એક્સપોનેન્શિયલ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના સામાન્ય સરવાળાનું વિતરણ. એક્સગૌસીયન વિતરણ-ઘાતાંકીય વિતરણ અને સામાન્ય વિતરણનો સરવાળો. નીચે આંકડાકીય અનુમાન, ધારો કે રેન્ડમ વેરિયેબલ X એ દર પરિમાણ λ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વહેંચાયેલું છે, અને નમૂના સરેરાશ સાથે X માંથી n સ્વતંત્ર નમૂનાઓ છે. પરિમાણ અંદાજ λ માટે મહત્તમ સંભાવના અંદાજકર્તાનું નિર્માણ નીચે મુજબ કરવામાં આવ્યું છે. ચલમાંથી દોરેલા સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત નમૂના x = (x1,., xn) ને આપવામાં આવેલ λ માટે સંભાવના કાર્ય છેઃ જ્યાંઃ નમૂનાનો સરેરાશ છે. સંભાવના વિધેયના લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન છેઃ પરિણામે, દર પરિમાણ માટે મહત્તમ સંભાવના અંદાજ છેઃ આ એક નિષ્પક્ષ એમ. એલ. ઇ. અંદાજક અને વિતરણ સરેરાશ હોવા છતાં એક નિષ્પક્ષ અંદાજક છે. એમ. એલ. ઇ. ના સુધારણા પરિબળ સાથે, બે કરતા વધારે નમૂનાનું કદ ધારીને, સરેરાશ વર્ગ ભૂલનું અંદાજિત લઘુતમ પરિબળ (આ પણ જુઓઃ પૂર્વગ્રહ-ભિન્નતા વિનિમય) મળી શકે છેઃ આ વ્યસ્ત-ગામા વિતરણના સરેરાશ અને ભિન્નતામાંથી મેળવવામાં આવે છે. માછીમારની માહિતી દર પરિમાણના અંદાજકાર માટે દર્શાવેલી માછીમારની માહિતી આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ વિતરણમાં પ્લગ કરવાથી અને ઉકેલવાથી મળે છેઃ આ નિર્ધારિત કરે છે કે ઘાતાંકીય વિતરણના દરેક સ્વતંત્ર નમૂનામાં અજ્ઞાત દર પરિમાણ વિશે કેટલી માહિતી હોય છે. વિશ્વાસ અંતરાલ ઘાતાંકીય વિતરણના દર પરિમાણ માટે 100 (1 − α)% વિશ્વાસ અંતરાલ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જે આની પણ બરાબર છેઃ જ્યાં v ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સાથે ચી વર્ગ વિતરણની ટકાવારી છે, n એ નમૂનામાં આંતર-આગમન સમયના અવલોકનોની સંખ્યા છે, અને x-બાર એ નમૂનાની સરેરાશ છે. ચોક્કસ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓનો સરળ અંદાજ વિતરણના સામાન્ય અંદાજનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. આ અંદાજ 95 ટકા વિશ્વાસ અંતરાલ માટે નીચેના મૂલ્યો આપે છેઃ આ અંદાજ ઓછામાં ઓછા 15 થી 20 ઘટકો ધરાવતા નમૂનાઓ માટે સ્વીકાર્ય હોઈ શકે છે. બાયેસિયન અનુમાન ઘાતાંકીય વિતરણ માટે પહેલાનું સંયુગ્મ એ ગામા વિતરણ છે (જેમાંથી ઘાતાંકીય વિતરણ એક વિશેષ કેસ છે). ગામા સંભાવના ઘનતા કાર્યનું નીચેનું પરિમાણ ઉપયોગી છેઃ પશ્ચાદવર્તી વિતરણ p પછી ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંભાવના કાર્ય અને અગાઉના ગામાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ હવે પશ્ચાદવર્તી ઘનતા p ને ગુમ થયેલ સામાન્ય સ્થિરાંક સુધી નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી છે. તે ગામા પી. ડી. એફ. નું સ્વરૂપ ધરાવતું હોવાથી, તેને સરળતાથી ભરી શકાય છે, અને પ્રાપ્ત કરી શકાય છેઃ અહીં હાયપરપેરામીટર α ને અગાઉના અવલોકનોની સંખ્યા તરીકે અને β ને અગાઉના અવલોકનોના સરવાળા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. અહીં પશ્ચાદવર્તી અર્થ છેઃ ઘટનાઓની ઘટના અને ઉપયોગો એકરૂપ પોઈસન પ્રક્રિયામાં આંતર-આગમન સમયની લંબાઈનું વર્ણન કરતી વખતે ઘાતાંકીય વિતરણ કુદરતી રીતે થાય છે. ઘાતાંકીય વિતરણને ભૌમિતિક વિતરણના સતત પ્રતિરૂપ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે, જે સ્થિતિ બદલવા માટે અલગ પ્રક્રિયા માટે જરૂરી બર્નૌલી પરીક્ષણોની સંખ્યાનું વર્ણન કરે છે. તેનાથી વિપરીત, ઘાતાંકીય વિતરણ સતત પ્રક્રિયા માટે સ્થિતિ બદલવાના સમયનું વર્ણન કરે છે. વાસ્તવિક દુનિયાના દૃશ્યોમાં, સ્થિર દર (અથવા એકમ સમય દીઠ સંભાવના) ની ધારણા ભાગ્યે જ સંતોષાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આવનારા ફોન કૉલ્સનો દર દિવસના સમય અનુસાર બદલાય છે. પરંતુ જો આપણે એવા સમય અંતરાલ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ કે જે દરમિયાન દર આશરે સ્થિર હોય, જેમ કે કામના દિવસો દરમિયાન બપોરે 2 થી 4 વાગ્યા સુધી, તો ઘાતાંકીય વિતરણનો ઉપયોગ આગામી ફોન કૉલ આવે ત્યાં સુધી સમય માટે સારા અંદાજિત મોડેલ તરીકે થઈ શકે છે. સમાન ચેતવણીઓ નીચેના ઉદાહરણોને લાગુ પડે છે જે લગભગ ઝડપથી વહેંચાયેલા ચલ પેદા કરે છેઃ કિરણોત્સર્ગી કણનો ક્ષય થાય ત્યાં સુધીનો સમય, અથવા ગીગર કાઉન્ટરની કડીઓ વચ્ચેનો સમય તમારા આગામી ટેલિફોન કોલ પહેલાં જે સમય લાગે છે તે સમય ઘટાડેલા સ્વરૂપમાં ક્રેડિટ રિસ્ક મોડેલિંગમાં ડિફોલ્ટ (કંપનીના દેવું ધારકોને ચુકવણી પર) સુધીનો સમય એક્સપોનેન્શલ વેરિયેબલ્સનો ઉપયોગ એવી પરિસ્થિતિઓને મોડેલ કરવા માટે પણ થઈ શકે છે જ્યાં ચોક્કસ ઘટનાઓ એકમ લંબાઈ દીઠ સતત સંભાવના સાથે થાય છે, જેમ કે ડીએનએ સ્ટ્રાન્ડ પર પરિવર્તન વચ્ચેનું અંતર, અથવા આપેલ રસ્તા પર રોડકિલ્સ વચ્ચેનું અંતર. કતાર સિદ્ધાંતમાં, સિસ્ટમમાં એજન્ટોના સેવા સમય (દા. ત. બેંક ટેલર વગેરે માટે કેટલો સમય લાગે છે. ગ્રાહકને સેવા આપવા માટે) ઘણીવાર ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત ચલ તરીકે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. (દાખલા તરીકે ગ્રાહકોના આગમનને પોઈસન વિતરણ દ્વારા પણ મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે જો આગમન સ્વતંત્ર હોય અને સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે.) એક પ્રક્રિયાની લંબાઈ કે જેને કેટલાક સ્વતંત્ર કાર્યોના ક્રમ તરીકે વિચારી શકાય છે તે એર્લાંગ વિતરણને અનુસરે છે (જે કેટલાક સ્વતંત્ર ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત ચલોના સરવાળાનું વિતરણ છે). વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત અને વિશ્વસનીયતા ઇજનેરી પણ ઘાતાંકીય વિતરણનો વ્યાપક ઉપયોગ કરે છે. આ વિતરણના સ્મૃતિહીન ગુણધર્મને કારણે, તે વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા બાથટબ વળાંકના સતત જોખમી દરના ભાગનું મોડેલ બનાવવા માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે. તે ખૂબ જ અનુકૂળ પણ છે કારણ કે વિશ્વસનીયતા મોડેલમાં નિષ્ફળતા દર ઉમેરવાનું ખૂબ જ સરળ છે. જોકે, આ ઘાતાંકીય વિતરણ સજીવો અથવા તકનીકી ઉપકરણોના એકંદર જીવનકાળના નમૂના માટે યોગ્ય નથી, કારણ કે અહીં "નિષ્ફળતા દર" સ્થિર નથીઃ ખૂબ જ નાની અને ખૂબ જ જૂની પ્રણાલીઓ માટે વધુ નિષ્ફળતાઓ થાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જો તમે એકસમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં નિશ્ચિત તાપમાન અને દબાણ પર વાયુનું નિરીક્ષણ કરો છો, તો વિવિધ અણુઓની ઊંચાઈ પણ અંદાજિત ઘાતાંકીય વિતરણને અનુસરે છે, જેને બેરોમેટ્રિક સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ નીચે ઉલ્લેખિત એન્ટ્રોપી પ્રોપર્ટીનું પરિણામ છે. જળવિજ્ઞાનમાં, ઘાતાંકીય વિતરણનો ઉપયોગ દૈનિક વરસાદ અને નદીના પ્રવાહના જથ્થાના માસિક અને વાર્ષિક મહત્તમ મૂલ્યો જેવા ચલ પરિબળોના આત્યંતિક મૂલ્યોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. વાદળી ચિત્ર વાર્ષિક મહત્તમ એક દિવસીય વરસાદને ક્રમાંકિત કરવા માટે ઘાતાંકીય વિતરણને ફિટ કરવાનું ઉદાહરણ દર્શાવે છે જે દ્વિપદી વિતરણના આધારે 90 ટકા વિશ્વાસ પટ્ટો પણ દર્શાવે છે. વરસાદની માહિતી સંચિત આવર્તન વિશ્લેષણના ભાગ રૂપે સ્થિતિને ગોઠવીને રજૂ કરવામાં આવે છે. ઓપરેટિંગ રૂમ મેનેજમેન્ટમાં, કોઈ લાક્ષણિક કાર્ય-સામગ્રી વગરની શસ્ત્રક્રિયાઓની શ્રેણી માટે શસ્ત્રક્રિયાના સમયગાળાની વહેંચણી (જેમ કે કટોકટીના રૂમમાં, તમામ પ્રકારની શસ્ત્રક્રિયાઓને આવરી લેતી). આગાહી અજ્ઞાત ઘાતાંકીય વિતરણમાંથી n ડેટા બિંદુઓના નમૂનાનું નિરીક્ષણ કર્યા પછી એક સામાન્ય કાર્ય એ છે કે આ નમૂનાઓનો ઉપયોગ તે જ સ્રોતમાંથી ભાવિ ડેટા વિશે આગાહી કરવા માટે કરવામાં આવે છે. ભવિષ્યના નમૂનાઓ પર એક સામાન્ય આગાહીયુક્ત વિતરણ કહેવાતા પ્લગ-ઇન વિતરણ છે, જે ઘાતાંકીય ઘનતા કાર્યમાં દર પરિમાણ λ માટે યોગ્ય અંદાજને પ્લગ કરીને રચાય છે. અંદાજની એક સામાન્ય પસંદગી એ છે કે જે મહત્તમ સંભાવનાના સિદ્ધાંત દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, અને આનો ઉપયોગ કરવાથી ભવિષ્યના નમૂના xn + 1 પર આગાહીયુક્ત ઘનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જે અવલોકન કરેલા નમૂનાઓ x = (x1,., xn) પર આધારિત છે. વ્યક્તિલક્ષી બાયેસિયન અભિગમ હેઠળ ઉદ્ભવતા પ્રાથમિક મુદ્દાઓ પસંદ કરવાના મુદ્દાઓથી મુક્ત આગાહીયુક્ત વિતરણને વારંવાર વિશ્વાસ વિતરણ તરીકે ગણી શકાય, જે મુખ્ય જથ્થાના વિતરણમાંથી મેળવવામાં આવે છે; એક રૂપરેખા આગાહીયુક્ત સંભાવના, જે મહત્તમકરણ દ્વારા xn + 1 અને λ ની સંયુક્ત સંભાવનામાંથી પરિમાણ λ ને દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે; એક ઉદ્દેશ્ય બાયેસિયન આગાહીયુક્ત પશ્ચાદવર્તી વિતરણ, જે બિન-માહિતીપ્રદ જેફ્રીઝ પહેલાંના 1/λ નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે; માહિતી સૈદ્ધાંતિક વિચારણાઓમાંથી શરતી સામાન્યીકૃત મહત્તમ સંભાવના (CNML) આગાહીયુક્ત વિતરણ. આગાહીયુક્ત વિતરણની ચોકસાઈ દર પરિમાણ, λ0 સાથે સાચા ઘાતાંકીય વિતરણ અને નમૂના x પર આધારિત આગાહીયુક્ત વિતરણ વચ્ચેના અંતર અથવા વિચલનનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે. કુલબેક-લીબલર વિચલન એ બે વિતરણો વચ્ચેના તફાવતનું સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું, પરિમાણ મુક્ત માપ છે. λ (λ0 | |p) એ દર પરિમાણ λ0 સાથેના ઘાતાંકીય અને આગાહીયુક્ત વિતરણ p વચ્ચેના કુલબેક-લીબલર વિચલનને સૂચવે છે તે દર્શાવી શકાય છે કે જ્યાં અપેક્ષા દર પરિમાણ સાથેના ઘાતાંકીય વિતરણના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે, અને તે ડિગમ્મા કાર્ય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે સી. એન. એમ. એલ. આગાહીયુક્ત વિતરણ તમામ નમૂનાના કદ માટે સરેરાશ કુલબેક-લીબલર વિચલનની દ્રષ્ટિએ મહત્તમ સંભાવના પ્લગ-ઇન વિતરણ કરતાં સખત રીતે શ્રેષ્ઠ છે. રેન્ડમ વેરીએટ જનરેશન એક્સપોનેન્શલ વેરિયેટ્સ પેદા કરવા માટેની વિભાવનાત્મક રીતે ખૂબ જ સરળ પદ્ધતિ ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ સેમ્પલિંગ પર આધારિત છેઃ એકમ અંતરાલ પર સમાન વિતરણમાંથી દોરવામાં આવેલા રેન્ડમ વેરિયેટ્સ U ને જોતાં, વેરિયેટ્સમાં એક્સપોનેન્શલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન હોય છે, જ્યાં F એ ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે નીચે પ્રમાણે ઘાતાંકીય વિવિધતાઓ પેદા કરી શકાય છેઃ ઘાતાંકીય વિવિધતાઓ પેદા કરવા માટેની અન્ય પદ્ધતિઓની ચર્ચા ક્નુથ અને દેવરોય દ્વારા કરવામાં આવી છે. સૉર્ટિંગ રૂટિનનો ઉપયોગ કર્યા વિના તૈયાર-આદેશિત ઘાતાંકીય વિવિધતાઓનો સમૂહ બનાવવા માટેની ઝડપી પદ્ધતિ પણ ઉપલબ્ધ છે. ડેડ ટાઇમ પણ જુઓ-કણ ડિટેક્ટર વિશ્લેષણ માટે ઘાતાંકીય વિતરણનો ઉપયોગ. લાપ્લાસ વિતરણ, અથવા "બેવડા ઘાતાંકીય વિતરણ". સંભાવના વિતરણો વચ્ચેના સંબંધો માર્શલ-ઓલ્કિન ઘાતાંકીય વિતરણ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઘાતાંકીય વિતરણનું ઓનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર સતત વિતરણો ઘાતાંકીય પોઈસન બિંદુ પ્રક્રિયાઓ પૂર્વ વિતરણોને સંયોજિત કરે છે ઘાતાંકીય કુટુંબ વિતરણો અનંત રીતે વિભાજીત સંભાવના વિતરણો સર્વાઇવલ વિશ્લેષણ