Root of unity modulo n
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, હકારાત્મક પૂર્ણાંકો k માટે એકતા મોડ્યુલો n નું kth મૂળ, n ≤ 2, પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો n ની રીંગમાં એકતાનું મૂળ છે; એટલે કે, સમીકરણ (અથવા એકરૂપતા) નો ઉકેલ x. જો k એ x માટે સૌથી નાનો ઘાતાંક હોય, તો x ને એકતા મોડ્યુલો n નું આદિમ kth મૂળ કહેવામાં આવે છે. સંકેતન અને પરિભાષા માટે મોડ્યુલર અંકગણિત જુઓ. યુનિટી મોડ્યુલોના મૂળ બરાબર પૂર્ણાંકો છે જે તેની સાથે સહમૌલિક છે. હકીકતમાં, આ પૂર્ણાંકો યુલરના પ્રમેય દ્વારા યુનિટી મોડ્યુલોના મૂળ છે, અને અન્ય પૂર્ણાંકો યુનિટી મોડ્યુલોના મૂળ ન હોઈ શકે, કારણ કે તેઓ શૂન્ય વિભાજક મોડ્યુલો છે. પ્રિમિટિવ રુટ મોડ્યુલો એ પૂર્ણાંકોની રીંગના એકમોના જૂથનું જનરેટર છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ આદિમ મૂળ મોડ્યુલો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો અનુક્રમે કાર્માઇકલ કાર્ય અને યુલરનું ટોશિયન્ટ કાર્ય ક્યાં અને ક્યાં હોય. યુનિટી મોડ્યુલોનું મૂળ એ કેટલાક ભાજક માટે યુનિટી મોડ્યુલોનું આદિમ મૂળ છે અને તેનાથી વિપરીત, યુનિટી મોડ્યુલોના આદિમ મૂળ હોય છે જો અને માત્ર જો તે યુનિટી ગુણધર્મોના મૂળનો ભાજક હોય જો x એ યુનિટી મોડ્યુલો n નું kમું મૂળ હોય, તો x એ એક એકમ (ઉલટાવી શકાય તેવું) છે જેનો વ્યસ્ત છે. એટલે કે, x અને n સહમૌલિક છે. જો x એ એકમ હોય, તો તે એકતા મોડ્યુલો n નું (આદિમ) kમું મૂળ છે, જ્યાં k એ x મોડ્યુલો n નો ગુણાકાર ક્રમ છે. જો x એ એકતાનું kમું મૂળ છે અને તે શૂન્ય ભાજક નથી, તો પછી, કારણ કે kth મૂળની સંખ્યા વ્યાપક રીતે સ્વીકૃત પ્રતીકના અભાવ માટે, આપણે એકતા મોડ્યુલો n ના kth મૂળની સંખ્યાને દ્વારા સૂચવીએ છીએ. તે સંખ્યાબંધ ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ જ્યાં λ એ કાર્માઇકલ કાર્યને સૂચવે છે અને યુલરનું ટોશિયેન્ટ કાર્ય સૂચવે છે તે એક ગુણાકાર કાર્ય છે જ્યાં બાર વિભાજીતતા સૂચવે છે જ્યાં લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક સૂચવે છે. થી થી ચોક્કસ નકશા જાણી શકાયા નથી. જો તે જાણીતું હોત, તો પછી અગાઉના કાયદા સાથે મળીને તે ઝડપથી મૂલ્યાંકન કરવાનો માર્ગ આપશે. ઉદાહરણો ચાલો અને. આ કિસ્સામાં, એકતાના ત્રણ સમઘન મૂળ (1,2 અને 4) છે. જો કે, જ્યારે એકતાનું માત્ર એક ઘન મૂળ હોય છે, ત્યારે એકમ 1 પોતે જ હોય છે. આ વર્તણૂક જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રથી તદ્દન અલગ છે જ્યાં દરેક બિન-શૂન્ય સંખ્યાના k kth મૂળ હોય છે. એકતાના ગુણધર્મોના આદિમ મૂળ આદિમ મૂળ મોડ્યુલો માટે મહત્તમ શક્ય મૂળો ઘાતાંક છે, જ્યાં λ એ કાર્મિકેલ કાર્યને સૂચવે છે. એકતાના આદિમ મૂળ માટેનો મૂળો ઘાતાંક એ તેનો ભાજક છે. દરેક વિભાજક એકતાનું મૂળ આપે છે. એકતાનું છઠ્ઠું આદિમ મૂળ પસંદ કરીને (જે λ ની વ્યાખ્યા દ્વારા અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ), નામ આપીને અને શક્તિની ગણતરી કરીને આવા મૂળ મેળવી શકાય છે. જો x એ એકતાનું આદિમ kમું મૂળ છે અને એકતાનું (જરૂરી નથી કે આદિમ) lમું મૂળ પણ હોય, તો k એ l નો ભાજક છે. આ સાચું છે, કારણ કે બેઝઆઉટની ઓળખ k અને l બરાબરનું પૂર્ણાંક રેખીય સંયોજન આપે છે. k ન્યૂનતમ હોવાથી, તે l નો ભાજક હોવો જોઈએ અને હોવો જોઈએ. આદિમ kth મૂળની સંખ્યા વ્યાપક રીતે સ્વીકૃત પ્રતીકના અભાવ માટે, આપણે એકતા મોડ્યુલો n દ્વારા આદિમ kth મૂળની સંખ્યાને સૂચવીએ છીએ. તે નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ પરિણામે કાર્યના મૂલ્યો શૂન્યથી અલગ હોય છે, જ્યાં વિભાજકની સંખ્યાની ગણતરી થાય છે. માટે, કારણ કે-1 હંમેશા 1 નું વર્ગમૂળ છે. માટે અને સાથે યુલરનું ટોશિયન્ટ ફંક્શન હોવા માટે અને વચ્ચેનો સંબંધ ડિરીક્લેટ કન્વોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને ભવ્ય રીતે લખી શકાય છેઃ, એટલે કે. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તિત મૂલ્યોની ગણતરી કરી શકાય છે, જે મોબિયસ વ્યુત્ક્રમ સૂત્રની સમકક્ષ છે. x એ યુનિટી મોડ્યુલો n નું પ્રિમિટિવ kth રુટ છે કે કેમ તે ઝડપી એક્સપોનેન્શિયેશન દ્વારા ચકાસી શકાય છે. જો આ સાચું હોય, તો x એ યુનિટી મોડ્યુલો n નું kth રુટ છે પરંતુ જરૂરી નથી કે તે પ્રિમિટિવ હોય. જો તે આદિમ મૂળ ન હોય, તો ત્યાં k નો અમુક વિભાજક l હશે, જેની સાથે. આ શક્યતાને બાકાત રાખવા માટે, કોઈએ માત્ર થોડા l ની બરાબર k ને અવિભાજ્ય દ્વારા વિભાજિત કરવાની તપાસ કરવી પડશે. એટલે કે, જે તપાસવાની જરૂર છે તે છેઃ એકતા મોડ્યુલો n નું આદિમ kth મૂળ શોધવું એકતાના આદિમ kth મૂળમાં, આદિમ th મૂળ સૌથી વધુ વારંવાર જોવા મળે છે. આમ કેટલાક પૂર્ણાંકોને આદિમ th રુટ હોવા માટે અજમાવવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, જે ઝડપથી સફળ થશે. આદિમ th મૂળ x માટે, સંખ્યા એ એકતાનું આદિમ th મૂળ છે. જો k વિભાજીત નહીં થાય, તો એકતાના કોઈ kth મૂળ નહીં હોય. બહુવિધ આદિમ kth મૂળ મોડ્યુલો n શોધો એકવાર એકતા x નું આદિમ kth મૂળ પ્રાપ્ત થઈ જાય, પછી દરેક શક્તિ એકતાનું th મૂળ છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી કે તે આદિમ હોય. શક્તિ એ એકતાનું આદિમ મૂળ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ અને જો તે સહમૌલિક હોય. સાબિતી નીચે મુજબ છેઃ જો તે આદિમ ન હોય, તો પછી સાથેનો વિભાજક અસ્તિત્વમાં છે, અને કારણ કે અને સહમૌલિક છે, ત્યાં મોડ્યુલોની વ્યસ્તતા અસ્તિત્વમાં છે. આ ઉપજ આપે છે, જેનો અર્થ છે કે તે એકતાનું આદિમ મૂળ નથી કારણ કે ત્યાં નાનો ઘાતાંક છે. એટલે કે, x ને ઘાતાંકિત કરીને વ્યક્તિ એકતાના વિવિધ આદિમ kth મૂળ મેળવી શકે છે, પરંતુ આ બધા એવા મૂળ ન પણ હોઈ શકે. જો કે, તે બધાને શોધવાનું એટલું સરળ નથી. એકતા મોડ્યુલો n ના આદિમ kth મૂળ સાથે n શોધવું એ કયા પૂર્ણાંક અવશેષ વર્ગની વીંટીઓમાં એકતાનું આદિમ kth મૂળ અસ્તિત્વમાં છે? તેનો ઉપયોગ-પરિમાણીય પૂર્ણાંક વેક્ટરના સ્વતંત્ર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (વધુ ચોક્કસપણે સંખ્યા સૈદ્ધાંતિક ટ્રાન્સફોર્મ) ની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ કરવા માટે, ભાગાકાર કરો; એટલે કે, k એ એક એકમ મોડ્યુલો પણ છે આવા n ને શોધવાની એક સરળ રીત એ છે કે અંકગણિત પ્રગતિમાં મોડ્યુલીના સંદર્ભમાં આદિમ kth મૂળની તપાસ કરવી. અંકગણિત પ્રગતિ પરના ડિરીક્લેટના પ્રમેય અનુસાર પ્રગતિમાં અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય છે, અને અવિભાજ્ય માટે, તે ધરાવે છે. આમ જો અવિભાજ્ય હોય, તો, અને આમ એકતાના આદિમ kth મૂળ છે. પરંતુ અવિભાજ્ય માટેનું પરીક્ષણ ખૂબ જ મજબૂત છે, અને ત્યાં અન્ય યોગ્ય મોડ્યુલી હોઈ શકે છે. યુનિટી મોડ્યુલો n ના બહુવિધ આદિમ મૂળ સાથે n શોધવું યુનિટી મોડ્યુલોના આદિમ મૂળ હોય તેવા મોડ્યુલસને શોધવા માટે, નીચેનો પ્રમેય સમસ્યાને સરળમાં ઘટાડે છેઃ જો અને માત્ર જો યુનિટી મોડ્યુલો n નું આદિમ મૂળ હોય તો જ યુનિટી મોડ્યુલોના આદિમ મૂળ હોય છે. બેકવર્ડ દિશાનો પુરાવોઃ જો યુનિટી મોડ્યુલોના આદિમ મૂળ હોય, જેને યુનિટી મોડ્યુલો કહેવાય છે, તો તે યુનિટી મોડ્યુલોના મૂળ છે. આગળની દિશાઃ જો એકતા મોડ્યુલોના આદિમ મૂળ હોય, તો બધા ઘાતાંકો તેના વિભાજક છે. આ સૂચવે છે અને આનો અર્થ એ છે કે એકતા મોડ્યુલોનું એક આદિમ મૂળ છે. સંદર્ભો મોડ્યુલર અંકગણિત