Theta vacuum
ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, થીટા વેક્યૂમ એ વેક્યૂમ કોણ θ દ્વારા નિર્દિષ્ટ બિન-એબેલિયન યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતોની અર્ધ-શાસ્ત્રીય વેક્યૂમ સ્થિતિ છે જે ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે સ્થિતિને ટોપોલોજીકલ રીતે અલગ વેક્યૂમ સ્થિતિઓના અનંત સમૂહના સુપરપોઝિશન તરીકે લખવામાં આવે છે. શૂન્યાવકાશની ગતિશીલ અસરો θ-પદની હાજરી દ્વારા લગ્રેન્જિયન ઔપચારિકતામાં પકડવામાં આવે છે જે ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં મજબૂત CP સમસ્યા તરીકે ઓળખાતી ફાઇન ટ્યુનિંગ સમસ્યા તરફ દોરી જાય છે. તેની શોધ 1976માં કર્ટિસ કેલન, રોજર ડેશેન અને ડેવિડ ગ્રોસ દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે રોમન જેકીવ અને ક્લાઉડિયો રેબી દ્વારા કરવામાં આવી હતી. યાંગ-મિલ્સ વેક્યૂમ ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ નોન-એબેલિયન યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતોના અર્ધ-શાસ્ત્રીય વેક્યૂમ માળખાની ઘણીવાર યુક્લિડિયન સ્પેસટાઇમમાં ટેમ્પોરલ ગેજ જેવા કેટલાક ફિક્સ્ડ ગેજમાં તપાસ કરવામાં આવે છે. આ સિદ્ધાંતની શાસ્ત્રીય જમીનની સ્થિતિઓમાં લુપ્ત થતી ક્ષેત્ર શક્તિ ટેન્સર હોય છે જે શુદ્ધ ગેજ રૂપરેખાંકનોને અનુરૂપ હોય છે, જ્યાં અવકાશ સમયના દરેક બિંદુ પર બિન-એબેલિયન ગેજ જૂથ સાથે સંબંધિત કેટલાક ગેજ પરિવર્તન હોય છે. ક્રિયા મર્યાદિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમુક નિશ્ચિત મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. અવકાશી અનંત પરના તમામ બિંદુઓ હવે એક નવા બિંદુ તરીકે વર્તે છે, તેથી અવકાશી મેનીફોલ્ડ 3-ગોળા તરીકે વર્તે છે જેથી ગેજ ક્ષેત્ર માટેની દરેક શુદ્ધ ગેજ પસંદગીને મેપિંગ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે. જ્યારે દરેક ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ રૂપરેખાંકનને સરળ ગેજ પરિવર્તન દ્વારા દરેક અન્ય ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ રૂપરેખાંકનમાં સરળતાથી રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, ત્યારે સિદ્ધાંતમાં એક જ શૂન્યાવકાશ સ્થિતિ હોય છે, પરંતુ જો ત્યાં ટોપોલોજીકલ રીતે અલગ રૂપરેખાંકનો હોય તો તેમાં બહુવિધ શૂન્યાવકાશ હોય છે. આનું કારણ એ છે કે જો ત્યાં બે અલગ અલગ રૂપરેખાંકનો છે જે સરળતાથી જોડાયેલા નથી, તો પછી એકને બીજામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે બિન-લુપ્ત ક્ષેત્ર શક્તિ ટેન્સર સાથેના રૂપરેખાંકનમાંથી પસાર થવું આવશ્યક છે, જેમાં બિન-શૂન્ય ઊર્જા હશે. આનો અર્થ એ છે કે બે શૂન્યાવકાશ વચ્ચે ઊર્જા અવરોધ છે, જે તેમને અલગ બનાવે છે. બે ગેજ રૂપરેખાંકનોને એકબીજામાં સરળતાથી વિકૃત કરી શકાય છે કે કેમ તે પ્રશ્ન ઔપચારિક રીતે મેપિંગના હોમોટૉપી જૂથ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગેજ જૂથમાં એક અંતર્ગત મેનીફોલ્ડ છે જેથી મેપિંગ છે, જેનું હોમોટૉપી જૂથ છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે દરેક નકશામાં તેની સાથે સંકળાયેલ અમુક પૂર્ણાંક હોય છે જેને તેની વળાંક સંખ્યા કહેવાય છે, જેને તેની પોન્ટ્રીગિન અનુક્રમણિકા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જેમાં તે આશરે વર્ણવે છે કે અવકાશીને જૂથ પર કેટલી વાર મેપ કરવામાં આવે છે, જેમાં નકારાત્મક વળાંક પલટી ગયેલી દિશાને કારણે થાય છે. માત્ર સમાન વાઇન્ડિંગ નંબરવાળા મેપિંગ્સ સરળતાથી એકબીજામાં વિકૃત થઈ શકે છે અને તે સમાન હોમોટૉપી વર્ગના હોવાનું કહેવાય છે. ગેજ પરિવર્તન કે જે વાઇન્ડિંગ નંબરને જાળવી રાખે છે તેને સ્મોલ ગેજ પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે જ્યારે જે વાઇન્ડિંગ નંબરને બદલે છે તેને લાર્જ ગેજ પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. અન્ય બિન-એબેલિયન ગેજ જૂથો માટે તેમના પેટા જૂથોમાંથી એક પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું પૂરતું છે, તેની ખાતરી કરવી. આનું કારણ એ છે કે દરેક મેપિંગને સતત પેટા જૂથ પર મેપિંગમાં વિકૃત કરી શકાય છે, જે પરિણામ બોટ્સ થીયરમને અનુસરે છે. આ એબેલિયન ગેજ જૂથોથી વિપરીત છે જ્યાં દરેક નકશાને સતત નકશામાં વિકૃત કરી શકાય છે અને તેથી ત્યાં એક જ જોડાયેલ વેક્યૂમ સ્થિતિ છે. ગેજ ફિલ્ડ રૂપરેખાંકન માટે, કોઈ પણ વ્યક્તિ હંમેશા વોલ્યુમ ઇન્ટિગ્રલમાંથી તેના વાઇન્ડિંગ નંબરની ગણતરી કરી શકે છે, જે ટેમ્પોરલ ગેજમાં કપલિંગ કોન્સ્ટન્ટ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિવિધ વળાંક સંખ્યાઓ સાથે શૂન્યાવકાશ સ્થિતિઓના વિવિધ વર્ગોને ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. થીટા વેક્યુઆ ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ એ યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતોની ઉમેદવાર વેક્યૂમ સ્થિતિઓ નથી કારણ કે તે મોટા ગેજ પરિવર્તનના આઈગનસ્ટેટ નથી અને તેથી ગેજ અપરિવર્તનશીલ નથી. તેના બદલે વાઇન્ડિંગ નંબર સાથે મોટા ગેજ પરિવર્તન સાથે રાજ્ય પર કામ કરવું તેને એક અલગ ટોપોલોજિકલ શૂન્યાવકાશમાં મેપ કરશે. સાચું શૂન્યાવકાશ નાના અને મોટા બંને ગેજ પરિવર્તનોનું આઈગનસ્ટેટ હોવું જોઈએ. તેવી જ રીતે બ્લોચના પ્રમેય અનુસાર આઇગનસ્ટેટ સામયિક પોટેન્શિયલમાં જે સ્વરૂપ લે છે, તે જ રીતે વેક્યૂમ સ્થિતિ એ ટોપોલોજિકલ વેકુઆનો સુસંગત સરવાળો છે. કોણીય ચલ દ્વારા અનુક્રમિત સ્થિતિઓનો આ સમૂહ θ-વેકુઆ તરીકે ઓળખાય છે. તેઓ હવેથી બંને પ્રકારના ગેજ પરિવર્તનના આઈગનસ્ટેટ છે. શુદ્ધ યાંગ-મિલ્સમાં, દરેક મૂલ્ય એક અલગ જમીન સ્થિતિ આપશે જેના પર ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ બનાવવામાં આવે છે, જે વિવિધ ભૌતિકશાસ્ત્ર તરફ દોરી જાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, હિલ્બર્ટ જગ્યા સુપરસેલેક્શન ક્ષેત્રોમાં વિઘટિત થાય છે કારણ કે જો બે અલગ-અલગ θ-વેકુઆ વચ્ચેના ગેજ અપરિવર્તનશીલ ઓપરેટરોના અપેક્ષા મૂલ્યો અદૃશ્ય થઈ જાય છે. યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતો તેમના ગતિના સમીકરણો માટે મર્યાદિત ક્રિયા ઉકેલો દર્શાવે છે જેને ઇન્સ્ટન્ટોન કહેવાય છે. તેઓ વિવિધ ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ વચ્ચે ટનેલિંગ માટે જવાબદાર છે, જેમાં વાઇન્ડિંગ નંબર સાથે ઇન્સ્ટન્ટોન ટોપોલોજિકલ વેક્યૂમથી ટનેલિંગ માટે જવાબદાર છે. સાથે ઇન્સ્ટન્ટોન બી. પી. એસ. ટી. ઇન્સ્ટન્ટોન તરીકે ઓળખાય છે. કોઈપણ ટનલિંગ વિના વિવિધ θ-વેકુઆ અધોગતિ પામશે, જો કે તાત્કાલિક અધોગતિને દૂર કરે છે, જે વિવિધ θ-વેકુઆને એકબીજાથી શારીરિક રીતે અલગ બનાવે છે. વિવિધ શૂન્યાવકાશની જમીનની સ્થિતિ ઊર્જાને સ્વરૂપ લેવા માટે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રમાણસરતાનો અચળાંક ઇન્સ્ટેંટન ટનલિંગ કેટલું મજબૂત છે તેના પર આધાર રાખે છે. θ-વેક્યુમની જટિલ રચનાને પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્માલિઝમમાં વેક્યૂમ-વેક્યૂમ સંક્રમણોને ધ્યાનમાં લઈને સીધા યાંગ-મિલ્સ લાગ્રેન્જિયનમાં સમાવી શકાય છે અહીં હેમિલ્ટોનિયન, યાંગ-મિલ્સ ક્રિયા છે, અને તે એક નવું CP છે જે θ-ટર્મ તરીકે ઓળખાતા લાગ્રેન્જિયનમાં યોગદાનનું ઉલ્લંઘન કરે છે જ્યાં ડ્યુઅલ ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ ટેન્સર છે અને ટ્રેસ ગ્રુપ જનરેટર પર છે. આ શબ્દ કુલ વ્યુત્પન્ન અર્થ છે કે તે સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. લગ્રેન્જિયનમાં ઉમેરી શકાય તેવા અન્ય કુલ વ્યુત્પન્નથી વિપરીત, આ બિન-વિક્ષેપક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ભૌતિક પરિણામો ધરાવે છે કારણ કે તે માપ અપરિવર્તનશીલ નથી. ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં આ શબ્દની હાજરી મજબૂત CP સમસ્યા તરફ દોરી જાય છે કારણ કે તે ન્યુટ્રોન વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણને જન્મ આપે છે જે હજુ સુધી અવલોકન કરવામાં આવ્યું નથી, જેના માટે સૂક્ષ્મ ટ્યુનિંગ ખૂબ નાનું હોવું જરૂરી છે. ફર્મિઓનને કારણે ફેરફાર જો સિદ્ધાંતમાં દળહીન ફર્મિઓન હાજર હોય તો વેક્યૂમ કોણ અવલોકનક્ષમ નથી કારણ કે ફર્મિઓન ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ વચ્ચેના ઇન્સ્ટન્ટોન ટનલિંગને દબાવી દે છે. આ એક જ દળહીન ફર્મિઓન સાથે યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લઈને જોઈ શકાય છે. પાથ ઇંટીગ્રલ ફોર્માલિઝમમાં બે ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ વચ્ચે ઇન્સ્ટન્ટોન દ્વારા ટનલિંગ સ્વરૂપ લે છે આ ફર્મિયોનિક ક્ષેત્રો પર એકીકરણ કર્યા પછી હસ્તગત કરેલા ફર્મિયોન નિર્ધારક દ્વારા શુદ્ધ યાંગ-મિલ્સ પરિણામથી અલગ છે. નિર્ધારક અદૃશ્ય થઈ જાય છે કારણ કે દળહીન ફર્મિઓન સાથે ડીરાક ઓપરેટર કોઈપણ ઇન્સ્ટન્ટોન રૂપરેખાંકન માટે ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય આઈગન વેલ્યુ ધરાવે છે. જ્યારે ઇન્સ્ટન્ટોન હવે ટોપોલોજિકલ વેક્યુઆ વચ્ચે ટનલિંગમાં ફાળો આપતા નથી, ત્યારે તેઓ તેના બદલે અક્ષીય ચાર્જનું ઉલ્લંઘન કરવામાં ભૂમિકા ભજવે છે અને આમ કાયરલ કન્ડેન્સેટને જન્મ આપે છે. જો તેના બદલે સિદ્ધાંતમાં ખૂબ જ હળવા ફર્મિઓન હોય તો θ-પદ હજુ પણ હાજર છે, પરંતુ તેની અસરો ભારે દબાવી દેવામાં આવે છે કારણ કે તે ફર્મિઓન દળોના પ્રમાણસર હોવી જોઈએ. ઇન્સ્ટેંટન સ્ટ્રોંગ CP સમસ્યા સંદર્ભો ગેજ સિદ્ધાંતો ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સ પણ જુઓ.