Derivation of the Schwarzschild solution
શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ સોલ્યુશન વિશાળ, બિન-ફરતી, ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ પદાર્થના પ્રભાવ હેઠળ અવકાશ સમયનું વર્ણન કરે છે. કેટલાક લોકો તેને આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણોના સૌથી સરળ અને સૌથી ઉપયોગી ઉકેલોમાંથી એક માને છે. ધારણાઓ અને સંકેતો અનુક્રમે 1 થી 4 લેબલવાળા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંકલન ચાર્ટમાં કામ કરતા, આપણે તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં મેટ્રિકથી શરૂઆત કરીએ છીએ (10 સ્વતંત્ર ઘટકો, જેમાંથી દરેક 4 ચલોનું સરળ કાર્ય છે). ઉકેલ ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ, સ્થિર અને શૂન્યાવકાશ હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ લેખના હેતુઓ માટે, આ ધારણાઓ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે (ચોક્કસ વ્યાખ્યાઓ માટે સંબંધિત કડીઓ જુઓ): ગોળાકાર સપ્રમાણ અવકાશ સમય એ છે જે પરિભ્રમણ હેઠળ અને અરીસાની છબી લેવા માટે અપરિવર્તનશીલ હોય છે. સ્થિર અવકાશ સમય એ છે કે જેમાં તમામ મેટ્રિક ઘટકો સમય સંકલન (જેથી) થી સ્વતંત્ર હોય છે અને સમય-વ્યુત્ક્રમ હેઠળ અવકાશ સમયની ભૂમિતિ બદલાતી નથી. શૂન્યાવકાશ ઉકેલ એ છે જે સમીકરણને સંતોષે છે. આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણોમાંથી (શૂન્ય બ્રહ્માંડ સંબંધી અચળાંક સાથે), આ સૂચવે છે કે ઉપજ સંકોચાય છે. અહીં વપરાયેલ મેટ્રિક સહી (+, +, +, −) છે. મેટ્રિકને વિકર્ણ બનાવવું પ્રથમ સરળીકરણ મેટ્રિકને વિકર્ણ બનાવવાનું છે. સંકલન પરિવર્તન હેઠળ, તમામ મેટ્રિક ઘટકો સમાન રહેવા જોઈએ. મેટ્રિક ઘટકો () આ પરિવર્તન હેઠળ આ રીતે બદલાય છેઃ () પરંતુ, જેમ આપણે અપેક્ષા રાખીએ છીએ (મેટ્રિક ઘટકો સમાન રહે છે), આનો અર્થ એ છે કેઃ () એ જ રીતે, સંકલન પરિવર્તન અને અનુક્રમે આપે છેઃ () () આ બધાને એકસાથે મૂકવાથી મળે છેઃ () અને તેથી મેટ્રિક એ સ્વરૂપનું હોવું જોઈએઃ જ્યાં ચાર મેટ્રિક ઘટકો સમય સંકલન (સ્થિર ધારણા દ્વારા) થી સ્વતંત્ર હોય. ઘટકોને સરળ બનાવવું અચલ, અચલ અને અચલ (એટલે કે, દરેક ત્રિજ્યીય રેખા પર) દરેક અતિ સપાટી પર, માત્ર (ગોળાકાર સમપ્રમાણતા દ્વારા) તેના પર આધાર રાખવો જોઈએ. તેથી તે એક જ ચલનું કાર્ય છેઃ એક સમાન દલીલ એ બતાવવા માટે લાગુ કરવામાં આવે છે કેઃ અચળ અને અચળની અતિ સપાટીઓ પર, તે જરૂરી છે કે મેટ્રિક 2-ગોળાનું હોયઃ આ અતિ સપાટીઓમાંથી એકને પસંદ કરીને (ત્રિજ્યા સાથે, કહો), આ અતિ સપાટી (જેને આપણે અને દ્વારા સૂચવીએ છીએ) સુધી મર્યાદિત મેટ્રિક ઘટકો અને (ફરીથી, ગોળાકાર સમપ્રમાણતા દ્વારા) દ્વારા પરિભ્રમણ હેઠળ અપરિવર્તિત હોવા જોઈએ. આ અતિસંવેદનશીલ સપાટી પરના મેટ્રિકના સ્વરૂપોની સરખામણી કરવાથી મળે છેઃ જે તરત જ ઉપજ આપે છેઃ અને પરંતુ આ દરેક અતિસંવેદનશીલ સપાટીને પકડી રાખવાની જરૂર છે; તેથી, અને તે જોવાની વૈકલ્પિક સાહજિક રીત એ છે કે અને તે સપાટ અવકાશ સમય માટે સમાન હોવી જોઈએ, તે એ છે કે સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થને ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ રીતે (ત્રિજ્યા) ખેંચવાથી અથવા સંકુચિત કરવાથી બે બિંદુઓ વચ્ચેનું કોણીય અંતર બદલાશે નહીં. આમ, મેટ્રિકને આ સ્વરૂપમાં મૂકી શકાય છેઃ ના અને હજુ સુધી અનિશ્ચિત કાર્યો સાથે. નોંધ લો કે જો કોઈ સમયે શૂન્યની બરાબર હોય અથવા હોય, તો તે સમયે મેટ્રિક એકવચન હશે. ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકોની ગણતરી ઉપરના મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને, આપણને ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો મળે છે, જ્યાં સૂચકાંકો છે. આ નિશાની કાર્યના કુલ વ્યુત્પન્નને સૂચવે છે. A (r) અને B (r) શોધવા માટે ક્ષેત્ર સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવો અને તે નક્કી કરવા માટે, શૂન્યાવકાશ ક્ષેત્ર સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છેઃ તેથીઃ જ્યાં અલ્પવિરામનો ઉપયોગ વ્યુત્પન્ન માટે ઉપયોગમાં લેવાતી અનુક્રમણિકાને બંધ કરવા માટે થાય છે. રિક્કી વળાંક આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં વિકર્ણ છેઃ જ્યાં મુખ્યનો અર્થ એ છે કે કાર્યોનું r વ્યુત્પન્ન. ક્ષેત્ર સમીકરણોમાંથી માત્ર ત્રણ જ બિન-તુચ્છ છે અને સરળીકરણ પછી અનુક્રમે બની જાય છેઃ (ચોથું સમીકરણ ત્રીજા સમીકરણની માત્ર ગણી છે). પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોને બાદ કરવાથી ઉત્પન્ન થાય છેઃ જ્યાં બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક અચળાંક છે. બીજા સમીકરણમાં બદલીને અને સાફ કરવાથી મળે છેઃ જેનો સામાન્ય ઉકેલ છેઃ કેટલાક બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક અચળાંક માટે. તેથી, સ્થિર, ગોળાકાર સપ્રમાણ શૂન્યાવકાશ ઉકેલ માટેનું મેટ્રિક હવે આ સ્વરૂપનું છેઃ નોંધ લો કે ઉપરોક્ત મેટ્રિક દ્વારા રજૂ થયેલ અવકાશ સમય એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સપાટ છે, એટલે કે. જેમ, મેટ્રિક મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિકની નજીક પહોંચે છે અને સ્પેસટાઇમ મેનીફોલ્ડ મિન્કોવ્સ્કી સ્પેસ જેવું લાગે છે. K અને S શોધવા માટે નબળા-ક્ષેત્રના અંદાજનો ઉપયોગ મેટ્રિકના ભૂગણિત (જ્યાં પ્રાપ્ત થાય છે તે ચરમસીમાએ છે), અમુક મર્યાદામાં (દા. ત., પ્રકાશની અનંત ગતિ તરફ), ન્યુટોનિયન ગતિના ઉકેલો સાથે સહમત હોવા જોઈએ (દા. ત., લેગ્રેન્જ સમીકરણો દ્વારા મેળવેલ). (મેટ્રિક મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા સુધી મર્યાદિત હોવું જોઈએ જ્યારે તે રજૂ કરે છે તે દળ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.) (જ્યાં ગતિ ઊર્જા છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સંભવિત ઊર્જા છે) સ્થિરાંકો અને આ અભિગમના કેટલાક પ્રકારો દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે; નબળા-ક્ષેત્રના અંદાજમાંથી એક પરિણામ પર પહોંચે છેઃ જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક છે, તે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્રોતનું દળ છે અને તે પ્રકાશની ગતિ છે. એવું જોવા મળે છે કેઃ અને તેથીઃ અને તેથી, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક આખરે આ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ નોંધ લો કેઃ તે દળના પદાર્થ માટે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યાની વ્યાખ્યા છે, તેથી શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકને વૈકલ્પિક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છેઃ જે દર્શાવે છે કે મેટ્રિક ઘટના ક્ષિતિજ (એટલે કે,) ની નજીક એકવચન બની જાય છે. મેટ્રિક સિંગ્યુલારીટી એ ભૌતિક નથી (જોકે ત્યાં વાસ્તવિક ભૌતિક સિંગ્યુલારીટી છે), જે યોગ્ય સંકલન પરિવર્તન (દા. ત. મેટ્રિક સિંગ્યુલારીટી) નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે. ક્રુસ્કલ-ઝેકેરેસ સંકલન પ્રણાલી). વિશેષ કિસ્સાઓમાં જાણીતા ભૌતિકશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને વૈકલ્પિક વ્યુત્પત્તિ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક પણ ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા અને અસ્થાયી સ્થિર બિંદુ સમૂહ માટે જાણીતા ભૌતિકશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. મેટ્રિક સાથે એવા ગુણાંક સાથે પ્રારંભ કરો કે જે આના અજ્ઞાત ગુણાંક હોયઃ હવે ચાપ લંબાઈના સંકલન માટે યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણ લાગુ કરો કારણ કે તે અચળ છે, સંકલનને બદલી શકાય છે કારણ કે જો સંકલનને કોઈપણ અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો E-L સમીકરણ બરાબર સમાન હોય છે. ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં તેથી ઉપરનું પ્રથમ E-L સમીકરણ કેપ્લરના ગતિના ત્રીજા નિયમની સમકક્ષ છે ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં, સમયગાળો સૂચવે છે કારણ કે કેન્દ્રીય પદાર્થના દળની સરખામણીમાં બિંદુ દળ નગણ્ય છે. મૂળ મેટ્રિક સમીકરણ બને છે અને ઉપરનું પ્રથમ E-L સમીકરણ બને છે જ્યારે બિંદુ દળ અસ્થાયી રૂપે સ્થિર હોય છે, ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણનું પ્રવેગક હોય છે, તેથી આઇસોટ્રોપિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં વૈકલ્પિક સ્વરૂપ મેટ્રિકની મૂળ રચના એ અનિસોટ્રોપિક કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં રેડિયલ અને ત્રાંસી દિશામાં પ્રકાશનો વેગ સમાન હોતો નથી. આર્થર એડિંગ્ટને આઇસોટ્રોપિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં વૈકલ્પિક સ્વરૂપો આપ્યા હતા. આઇસોટ્રોપિક ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ માટે,, કોઓર્ડિનેટ્સ અને અપરિવર્તિત છે, અને પછી (પ્રદાન કરેલ), અને પછી આઇસોટ્રોપિક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે,, મેટ્રિક પછી આઇસોટ્રોપિક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં બને છેઃ સ્થિર ધારણા સાથે વિતરણ-બર્ખોફનું પ્રમેય શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક મેળવવામાં, એવું માનવામાં આવતું હતું કે મેટ્રિક શૂન્યાવકાશ, ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ અને સ્થિર હતું. સ્થિર ધારણા બિનજરૂરી છે, કારણ કે બિરખોફનો પ્રમેય જણાવે છે કે આઈન્સ્ટાઈનના ક્ષેત્ર સમીકરણોના કોઈપણ ગોળાકાર સપ્રમાણ શૂન્યાવકાશ ઉકેલ સ્થિર છે; આમ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ઉકેલ અનુસરે છે. બિરખોફના સિદ્ધાંતનું પરિણામ એ છે કે કોઈપણ ધબકતો તારો જે ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ રહે છે તે ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગો ઉત્પન્ન કરતો નથી, કારણ કે તારાની બહારનો પ્રદેશ સ્થિર રહે છે. કાર્લ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કેર મેટ્રિક રેઇસનર-નોર્ડસ્ટ્રોમ મેટ્રિક સંદર્ભો પણ જુઓ સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ચોક્કસ ઉકેલો