Convergence of random variables
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના કન્વર્જન્સની ઘણી જુદી જુદી કલ્પનાઓ અસ્તિત્વમાં છે. રેન્ડમ વેરિયેબલના ક્રમમાં અમુક મર્યાદા રેન્ડમ વેરિયેબલનું કન્વર્જન્સ એ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ છે, અને આંકડાશાસ્ત્ર અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે તેની એપ્લિકેશનો છે. સમાન વિભાવનાઓ વધુ સામાન્ય ગણિતમાં સ્ટોકેસ્ટિક કન્વર્જન્સ તરીકે ઓળખાય છે અને તેઓ આ વિચારને ઔપચારિક બનાવે છે કે અનિવાર્યપણે રેન્ડમ અથવા અણધારી ઘટનાઓનો ક્રમ કેટલીકવાર એવા વર્તનમાં સ્થિર થવાની અપેક્ષા રાખી શકાય છે જે આવશ્યકપણે અપરિવર્તનશીલ હોય છે જ્યારે ક્રમમાં પૂરતી વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. અભિસરણની વિવિધ સંભવિત ધારણાઓ આવી વર્તણૂકને કેવી રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે તેની સાથે સંબંધિત છેઃ બે સહેલાઈથી સમજી શકાય તેવી વર્તણૂકો એ છે કે ક્રમ આખરે સતત મૂલ્ય લે છે, અને તે ક્રમમાં મૂલ્યો બદલાતા રહે છે પરંતુ અપરિવર્તનશીલ સંભાવના વિતરણ દ્વારા તેનું વર્ણન કરી શકાય છે. બેકગ્રાઉન્ડ "સ્ટોકેસ્ટિક કન્વર્જન્સ" એ વિચારને ઔપચારિક બનાવે છે કે અનિવાર્યપણે રેન્ડમ અથવા અણધારી ઘટનાઓનો ક્રમ કેટલીકવાર પેટર્નમાં સ્થાયી થવાની અપેક્ષા રાખી શકાય છે. દાખલા તરીકે, પેટર્ન શાસ્ત્રીય અર્થમાં નિશ્ચિત મૂલ્યમાં કન્વર્જન્સ હોઈ શકે છે, જે કદાચ સ્વયં એક યાદૃચ્છિક ઘટનામાંથી આવે છે જે શુદ્ધ રીતે નિર્ધારિત કાર્ય શું ઉત્પન્ન કરશે તેની સાથે પરિણામોની વધતી સમાનતા ચોક્કસ પરિણામ તરફ વધતી પસંદગી ચોક્કસ પરિણામથી દૂર ભટકવા સામે વધતી "અણગમો" કે આગામી પરિણામનું વર્ણન કરતી સંભાવના વિતરણ ચોક્કસ વિતરણની જેમ વધુને વધુ વધી શકે છે. આ અન્ય પ્રકારની પેટર્ન જે ઊભી થઈ શકે છે તે વિવિધ પ્રકારના સ્ટોકેસ્ટિક કન્વર્જન્સમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. જ્યારે ઉપરોક્ત ચર્ચા મર્યાદિત મૂલ્ય સાથે એક જ શ્રેણીના અભિસરણ સાથે સંબંધિત છે, ત્યારે એકબીજા તરફ બે શ્રેણીઓના અભિસરણની કલ્પના પણ મહત્વપૂર્ણ છે, પરંતુ આ સરળતાથી બે શ્રેણીના તફાવત અથવા ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત ક્રમનો અભ્યાસ કરીને નિયંત્રિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો n સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલની સરેરાશ Yi, i = 1,., n, બધા સમાન મર્યાદિત સરેરાશ અને ભિન્નતા ધરાવતા હોય, તો તે પછી આપવામાં આવે છે કારણ કે n અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, સંભાવનામાં (નીચે જુઓ) રેન્ડમ ચલ Yi ના સામાન્ય સરેરાશ, μ માં રૂપાંતરિત થાય છે. આ પરિણામ મોટી સંખ્યાના નબળા નિયમ તરીકે ઓળખાય છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સહિત અન્ય ઉપયોગી પ્રમેયોમાં અભિસરણના અન્ય સ્વરૂપો મહત્વપૂર્ણ છે. નીચેના દરમિયાન, આપણે ધારીએ છીએ કે (Xn) એ રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ છે, અને X એ રેન્ડમ ચલ છે, અને તે બધાને સમાન સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિતરણમાં અભિસરણ અભિસરણની આ પદ્ધતિ સાથે, આપણે વધુને વધુ રેન્ડમ પ્રયોગોના ક્રમમાં આગામી પરિણામ જોવાની અપેક્ષા રાખીએ છીએ જે આપેલ સંભાવના વિતરણ દ્વારા વધુ સારું અને વધુ સારું મોડેલ બને છે. વિતરણમાં કન્વર્જન્સ એ સામાન્ય રીતે ચર્ચા કરાયેલ કન્વર્જન્સનું સૌથી નબળું સ્વરૂપ છે, કારણ કે તે આ લેખમાં ઉલ્લેખિત અન્ય તમામ પ્રકારના કન્વર્જન્સ દ્વારા ગર્ભિત છે. જો કે, વિતરણમાં અભિસરણનો વ્યવહારમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે; મોટાભાગે તે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના ઉપયોગથી ઉદભવે છે. વ્યાખ્યા સંચિત વિતરણ કાર્યો સાથે વાસ્તવિક મૂલ્યના રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ, વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે, અથવા નબળા રીતે એકરૂપ થાય છે, અથવા કાયદામાં સંચિત વિતરણ કાર્ય સાથે રેન્ડમ ચલ સાથે એકરૂપ થાય છે જો દરેક સંખ્યા માટે જે સતત હોય. જરૂરિયાત એ છે કે માત્ર સાતત્ય બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો અંતરાલો પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે, તો આ ક્રમ ડીજનરેટ રેન્ડમ વેરિયેબલમાં વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે. ખરેખર, બધા માટે ક્યારે, અને બધા માટે ક્યારે. જો કે, આ મર્યાદિત રેન્ડમ ચલ માટે, બધા માટે હોવા છતાં. આમ જ્યાં અસંગત હોય ત્યાં સી. ડી. એફ. એસ. નું અભિસરણ નિષ્ફળ જાય છે. વિતરણમાં કન્વર્જન્સને સૂચવી શકાય છે કે જ્યાં નો કાયદો (સંભાવના વિતરણ) છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રમાણભૂત સામાન્ય હોય તો આપણે લખી શકીએ છીએ. રેન્ડમ વેક્ટર માટે વિતરણમાં કન્વર્જન્સ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપણે કહીએ છીએ કે આ ક્રમ વિતરણમાં રેન્ડમ-વેક્ટરમાં એકરૂપ થાય છે જો દરેક માટે જે સાતત્ય સમૂહ છે. વિતરણમાં અભિસરણની વ્યાખ્યા રેન્ડમ વેક્ટરથી વધુ સામાન્ય રેન્ડમ ઘટકો સુધી મનસ્વી મેટ્રિક જગ્યાઓમાં વિસ્તૃત થઈ શકે છે, અને "રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ" સુધી પણ જે માપી શકાય તેમ નથી-એક પરિસ્થિતિ જે ઉદાહરણ તરીકે પ્રયોગમૂલક પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસમાં થાય છે. આ "કાયદાની વ્યાખ્યા વિના કાયદાનું નબળું સંકલન" છે-એસિમ્પ્ટોટિકલી સિવાય. આ કિસ્સામાં નબળા કન્વર્જન્સ શબ્દ પ્રાધાન્યક્ષમ છે (માપનો નબળો કન્વર્જન્સ જુઓ), અને આપણે કહીએ છીએ કે રેન્ડમ તત્વોનો ક્રમ બધા સતત બાઉન્ડેડ ફંક્શન્સ માટે નબળો કન્વર્જ થાય છે (તરીકે સૂચવવામાં આવે છે). અહીં E * બાહ્ય અપેક્ષા સૂચવે છે, જે "પ્રભુત્વ ધરાવતા સૌથી નાના માપી શકાય તેવા કાર્ય" ની અપેક્ષા છે. કારણ કે, વિતરણમાં અભિસરણનો અર્થ એ છે કે આપેલ શ્રેણીમાં હોવાની સંભાવના લગભગ તે સંભાવના જેટલી છે કે પ્રદાન કરેલ મૂલ્ય તે શ્રેણીમાં છે, જે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી છે. સામાન્ય રીતે, વિતરણમાં કન્વર્જન્સનો અર્થ એ નથી કે અનુરૂપ સંભાવના ઘનતા કાર્યોનો ક્રમ પણ કન્વર્જ થશે. ઉદાહરણ તરીકે કોઈ વ્યક્તિ ઘનતા સાથે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. આ અવ્યવસ્થિત ચલ વિતરણમાં એકરૂપ યુ (0,1) માં એકરૂપ થાય છે, જ્યારે તેમની ઘનતા બિલકુલ એકરૂપ થતી નથી. જો કે, શેફના પ્રમેય અનુસાર, સંભાવના ઘનતા કાર્યોનું અભિસરણ વિતરણમાં અભિસરણ સૂચવે છે. પોર્ટમન્ટેઉ લેમ્મા વિતરણમાં અભિસરણની ઘણી સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ પ્રદાન કરે છે. આ વ્યાખ્યાઓ ઓછી સાહજિક હોવા છતાં, તેનો ઉપયોગ સંખ્યાબંધ આંકડાકીય પ્રમેયોને સાબિત કરવા માટે થાય છે. લેમ્મા જણાવે છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે જો નીચેના કોઈપણ નિવેદનો સાચા હોયઃ ના તમામ સાતત્ય બિંદુઓ માટે; તમામ બંધાયેલા, સતત કાર્યો માટે (જ્યાં અપેક્ષિત મૂલ્ય સંચાલક સૂચવે છે); તમામ બંધાયેલા, લિપ્સિટ્ઝ કાર્યો માટે; તમામ બિન-નકારાત્મક, સતત કાર્યો માટે; દરેક ખુલ્લા સમૂહ માટે; દરેક બંધ સમૂહ માટે; રેન્ડમ વેરિયેબલના તમામ સાતત્ય સમૂહો માટે; ઉપર બંધાયેલા દરેક ઉપલા અર્ધ-સતત કાર્યો માટે; નીચે બંધાયેલા દરેક નીચલા અર્ધ-સતત કાર્યો માટે. કન્ટિન્યુઅસ મેપિંગ થીયરમ જણાવે છે કે કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન માટે, જો ક્રમ વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે, તો વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે. જો કે નોંધ લો કે સામાન્ય રીતે ટુ અને ટુ ના વિતરણમાં કન્વર્જન્સ એ ટુ અથવા ટુ ના વિતરણમાં કન્વર્જન્સ સૂચવતું નથી. લેવીનો સાતત્ય સિદ્ધાંતઃ આ ક્રમ વિતરણમાં ત્યારે જ એકરૂપ થાય છે જ્યારે અનુરૂપ લાક્ષણિકતા કાર્યોનો ક્રમ તેના લાક્ષણિકતા કાર્યમાં બિંદુની દિશામાં એકરૂપ થાય. વિતરણમાં કન્વર્જન્સ લેવી-પ્રોખોરોવ મેટ્રિક દ્વારા માપી શકાય છે. વિતરણમાં અભિસરણની કુદરતી કડી એ સ્કોરોખોડનું પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય છે. સંભાવનામાં અભિસરણ આ પ્રકારના અભિસરણ પાછળનો મૂળભૂત વિચાર એ છે કે જેમ જેમ ક્રમ આગળ વધે છે તેમ તેમ "અસામાન્ય" પરિણામની સંભાવના ઓછી થતી જાય છે. સંભાવનામાં અભિસરણની વિભાવનાનો ઉપયોગ આંકડામાં ઘણી વાર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંદાજકર્તાને સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તે અંદાજિત જથ્થાની સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે. સંભાવનામાં અભિસરણ એ મોટી સંખ્યાના નબળા નિયમ દ્વારા સ્થાપિત અભિસરણનો પ્રકાર પણ છે. વ્યાખ્યા રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ {Xn} રેન્ડમ ચલ X તરફ સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે જો બધા ε> 0 માટે વધુ સ્પષ્ટ રીતે, Pn (ε) એ સંભાવના છે કે Xn એ X પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યાના દડાની બહાર છે. પછી કોઈ પણ અને કોઈપણ δ> 0 માટે એવી સંખ્યા N (જે ε અને δ પર આધારિત હોઈ શકે છે) અસ્તિત્વમાં હોય કે જેથી તમામ n ≤ N, Pn (ε) <δ (મર્યાદાની વ્યાખ્યા) માટે. નોંધ લો કે શરત સંતોષવા માટે, તે શક્ય નથી કે દરેક n માટે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ X અને Xn સ્વતંત્ર હોય (અને આમ સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ એ સંયુક્ત cdf પરની શરત છે, જે વિતરણમાં કન્વર્જન્સની વિરુદ્ધ છે, જે વ્યક્તિગત cdf પરની શરત છે), સિવાય કે X મોટી સંખ્યાના નબળા નિયમની જેમ નિર્ધારક હોય. તે જ સમયે, નિર્ધારક X નો કેસ, જ્યારે પણ નિર્ધારક મૂલ્ય વિસંગતતા બિંદુ (અલગ નહીં) હોય, ત્યારે વિતરણમાં અભિસરણ દ્વારા નિયંત્રિત કરી શકાતો નથી, જ્યાં વિસંગતતા બિંદુઓને સ્પષ્ટપણે બાકાત રાખવા પડે છે. સંભાવનામાં કન્વર્જન્સને કન્વર્જન્સ સૂચવતા તીર પર અક્ષર p ઉમેરીને અથવા "પ્લિમ" સંભાવના મર્યાદા સંચાલકનો ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છેઃ અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યા પર રેન્ડમ તત્વો {Xn} માટે, સંભાવનામાં કન્વર્જન્સને સમાન રીતે ગુણધર્મો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. [સાબિતી] વિપરીત દિશામાં, વિતરણમાં અભિસરણ એ સંભાવનામાં અભિસરણ સૂચવે છે જ્યારે મર્યાદિત રેન્ડમ ચલ X અચળાંક હોય. [સાબિતી] સંભાવનામાં અભિસરણ લગભગ ચોક્કસ અભિસરણ સૂચવતું નથી. [સાબિતી] સતત મેપિંગ પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક સતત કાર્ય માટે, જો, તો પછી પણ સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ નિશ્ચિત સંભાવના જગ્યા પર રેન્ડમ ચલોની જગ્યા પર ટોપોલોજીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ ટોપોલોજીને કાઇ ફેન મેટ્રિક દ્વારા માપવામાં આવે છેઃ અથવા વૈકલ્પિક રીતે આ મેટ્રિક દ્વારા લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સ આ સ્ટોકેસ્ટિક કન્વર્જન્સનો પ્રકાર છે જે પ્રાથમિક વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાંથી જાણીતા બિંદુ મુજબના કન્વર્જન્સ જેવું જ છે. વ્યાખ્યા એમ કહેવા માટે કે ક્રમ લગભગ ચોક્કસપણે અથવા લગભગ દરેક જગ્યાએ અથવા સંભાવના 1 સાથે અથવા X તરફ મજબૂત રીતે એકરૂપ થાય છે તેનો અર્થ એ છે કે X ના મૂલ્ય સુધી પહોંચવાના મૂલ્યો, તે અર્થમાં કે જે ઘટનાઓ X સાથે એકરૂપ થતી નથી તેની સંભાવના 0 હોય છે (લગભગ ચોક્કસપણે જુઓ). સંભાવના જગ્યા અને ω થી R સુધીના વિધેય તરીકે યાદૃચ્છિક ચલની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આ નિવેદનની સમકક્ષ છે સમૂહોના ક્રમની ટોચમર્યાદાની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને, લગભગ ચોક્કસ અભિસરણને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ લગભગ ચોક્કસ અભિસરણને ઘણીવાર અભિસરણ સૂચવતા તીર પર a. s. અક્ષરો ઉમેરીને સૂચવવામાં આવે છેઃ મેટ્રિક જગ્યા પર સામાન્ય યાદૃચ્છિક ઘટકો {Xn} માટે, અભિસરણને લગભગ ચોક્કસપણે એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ગુણધર્મો લગભગ ચોક્કસ અભિસરણ એ સંભાવનામાં અભિસરણ સૂચવે છે (ફાતોઉના લેમ્મા દ્વારા), અને તેથી વિતરણમાં અભિસરણ સૂચવે છે. તે મોટી સંખ્યાના મજબૂત નિયમમાં ઉપયોગમાં લેવાતા અભિસરણની કલ્પના છે. લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સનો ખ્યાલ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સની જગ્યા પરના ટોપોલોજીમાંથી આવતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સની જગ્યા પર એવી કોઈ ટોપોલોજી નથી કે લગભગ ચોક્કસપણે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ તે ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં બરાબર કન્વર્જિંગ સિક્વન્સ હોય. ખાસ કરીને, લગભગ ચોક્કસ અભિસરણનું કોઈ મેટ્રિક નથી. ચોક્કસ કન્વર્જન્સ અથવા પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ એવું કહેવા માટે કે સમાન પ્રોબેબીલીટી સ્પેસ (એટલે કે, એક રેન્ડમ પ્રક્રિયા) પર વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ (Xn) નો ક્રમ ચોક્કસપણે અથવા દરેક જગ્યાએ અથવા X તરફ પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જ થાય છે, તેનો અર્થ એ છે કે જ્યાં ω એ અંતર્ગત પ્રોબેબીલીટી સ્પેસની સેમ્પલ સ્પેસ છે જેના પર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ક્રમ સુધી વિસ્તૃત કાર્યોના ક્રમના બિંદુ મુજબના અભિસરણની કલ્પના છે. (નોંધ કરો કે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ પોતે જ કાર્યો છે). રેન્ડમ વેરિયેબલનું ચોક્કસ કન્વર્જન્સ ઉપર જણાવેલા અન્ય તમામ પ્રકારના કન્વર્જન્સને સૂચવે છે, પરંતુ લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સનો ઉપયોગ કરવાની સરખામણીમાં ચોક્કસ કન્વર્જન્સનો ઉપયોગ કરીને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં કોઈ લાભ નથી. બંને વચ્ચેનો તફાવત માત્ર સંભાવના શૂન્ય સાથે સેટ પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ જ કારણ છે કે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ચોક્કસ કન્વર્જન્સનો ખ્યાલ ખૂબ જ ભાગ્યે જ વપરાય છે. જો-th નિરપેક્ષ ક્ષણો E (|Xn |r) અને E (|X |r) અને X અસ્તિત્વમાં હોય, અને જ્યાં સંચાલક E અપેક્ષિત મૂલ્ય સૂચવે છે, તો વાસ્તવિક સંખ્યાને જોતાં, આપણે કહીએ છીએ કે ક્રમ r-th સરેરાશ (અથવા Lr-ધોરણમાં) રેન્ડમ ચલ X તરફ એકરૂપ થાય છે. - th મીનમાં કન્વર્જન્સ આપણને કહે છે કે અને વચ્ચેના તફાવતની-th પાવરની અપેક્ષા શૂન્યમાં કન્વર્જ થાય છે. આ પ્રકારના અભિસરણને ઘણીવાર અભિસરણ સૂચવતા તીર પર Lr અક્ષર ઉમેરીને સૂચવવામાં આવે છેઃ r-th સરેરાશમાં અભિસરણના સૌથી મહત્વપૂર્ણ કિસ્સાઓ છેઃ જ્યારે r = 1 માટે r-th સરેરાશથી X માં અભિસરણ થાય છે, ત્યારે આપણે કહીએ છીએ કે સરેરાશથી X માં અભિસરણ થાય છે. જ્યારે r = 2 માટે r-th સરેરાશથી X માં કન્વર્જ થાય છે, ત્યારે આપણે કહીએ છીએ કે સરેરાશ વર્ગ (અથવા દ્વિઘાત સરેરાશમાં) થી X માં કન્વર્જ થાય છે. r-th સરેરાશમાં કન્વર્જન્સ, r ≤1 માટે, સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ સૂચવે છે (માર્કોવની અસમાનતા દ્વારા). વધુમાં, જો r> s ≤ 1 હોય, તો r-th મીનમાં કન્વર્જન્સ એ s-th મીનમાં કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. તેથી, સરેરાશ વર્ગમાં અભિસરણ સરેરાશમાં અભિસરણ સૂચવે છે. તે નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે જો પછી પ્રોપર્ટીઝ પ્રોવાઇડ પ્રોબેબીલીટી સ્પેસ પૂર્ણ છેઃ જો અને, તો લગભગ ચોક્કસપણે. જો અને, પછી લગભગ ચોક્કસપણે. જો અને, પછી લગભગ ચોક્કસપણે. જો અને, પછી (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે અને) અને. જો અને, પછી (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે અને) અને. જો અને, પછી (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે અને). ઉપરોક્તમાંથી કોઈ પણ નિવેદન વિતરણમાં અભિસરણ માટે સાચું નથી. અભિસરણની વિવિધ ધારણાઓ વચ્ચેની અસરોની સાંકળ તેમના સંબંધિત વિભાગોમાં નોંધવામાં આવી છે. તેઓ તીર સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કરે છેઃ આ ગુણધર્મો, સંખ્યાબંધ અન્ય વિશેષ કિસ્સાઓ સાથે, નીચેની સૂચિમાં સારાંશિત કરવામાં આવે છેઃ લગભગ ચોક્કસ અભિસરણ એ સંભાવનામાં અભિસરણ સૂચવે છેઃ [સાબિતી] સંભાવનામાં અભિસરણ સૂચવે છે કે ત્યાં એક પેટા-ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જે લગભગ ચોક્કસપણે અભિસરણ સૂચવે છેઃ સંભાવનામાં અભિસરણ એ વિતરણમાં અભિસરણ સૂચવે છેઃ [સાબિતી] r-th ક્રમમાં અભિસરણ સરેરાશ સંભાવનામાં અભિસરણ સૂચવે છેઃ r-th ક્રમમાં અભિસરણ સરેરાશ નીચલા ક્રમમાં અભિસરણ સૂચવે છે, એમ ધારીને કે બંને ક્રમ એક કરતા વધારે અથવા સમાન છેઃ પૂરી પાડવામાં આવેલ r. જો Xn વિતરણમાં અચળાંક c સાથે એકરૂપ થાય છે, તો Xn સંભાવનામાં c સાથે એકરૂપ થાય છેઃ [સાબિતી] જો c અચળાંક હોય તો. જો વિતરણમાં X સાથે એકરૂપ થાય અને Xn અને Yn વચ્ચેનો તફાવત સંભાવનામાં શૂન્ય સાથે એકરૂપ થાય, તો પછી Yn પણ વિતરણમાં X સાથે એકરૂપ થાય છેઃ [સાબિતી] જો વિતરણમાં X સાથે એકરૂપ થાય અને Yn વિતરણમાં અચળાંક c સાથે એકરૂપ થાય, તો સંયુક્ત વેક્ટર વિતરણમાં આ રીતે એકરૂપ થાય છેઃ [સાબિતી] જો c એ અચળાંક હોય તો. નોંધ લો કે જે સ્થિતિ અચળાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે તે મહત્વપૂર્ણ છે, જો તે રેન્ડમ ચલ Yમાં રૂપાંતરિત થાય તો આપણે તે નિષ્કર્ષ પર ન આવી શકીશું કે તે અચળાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે. જો Xn સંભાવનામાં X સાથે એકરૂપ થાય અને Yn સંભાવનામાં Y સાથે એકરૂપ થાય, તો સંયુક્ત વેક્ટર સંભાવનામાં આ રીતે એકરૂપ થાય છેઃ [સાબિતી] જો સંભાવનામાં X સાથે એકરૂપ થાય, અને જો બધા n અને કેટલાક b માટે, તો બધા માટે rth સરેરાશમાં X સાથે એકરૂપ થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો X ની સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય અને તમામ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ લગભગ ચોક્કસપણે ઉપર અને નીચે બંધાયેલા હોય, તો કોઈપણ rth મીનમાં પણ X માં કન્વર્જ થાય છે. લગભગ ચોક્કસ પ્રતિનિધિત્વ. સામાન્ય રીતે, વિતરણમાં અભિસરણ લગભગ ચોક્કસપણે અભિસરણ સૂચવતું નથી. જો કે, આપેલ ક્રમ {Xn} માટે કે જે X0 માં વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે, તેના પર નવી સંભાવના જગ્યા (ω, F, P) અને રેન્ડમ ચલો (Yn, n = 0,1,.} એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે દરેક માટે વિતરણમાં Yn બરાબર હોય અને Yn લગભગ ચોક્કસપણે Y0 માં એકરૂપ થાય. જો બધા ε> 0 માટે, તો આપણે કહીએ છીએ કે તે લગભગ સંપૂર્ણપણે, અથવા લગભગ X તરફ સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે. જ્યારે તે લગભગ સંપૂર્ણપણે X તરફ એકરૂપ થાય છે ત્યારે તે પણ લગભગ ચોક્કસપણે X તરફ એકરૂપ થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો X ની સંભાવનામાં પૂરતા પ્રમાણમાં ઝડપથી એકરૂપ થાય (એટલે કે. પૂંછડીની સંભાવનાઓનો ઉપરોક્ત ક્રમ બધા માટે સરવાળો છે), પછી તે પણ લગભગ ચોક્કસપણે X માં એકરૂપ થાય છે. આ બોરેલ-કેન્ટેલી લેમ્માની સીધી અસર છે. જો તે n વાસ્તવિક સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો હોયઃ તો તે લગભગ ચોક્કસપણે ત્યારે જ એકરૂપ થાય છે જ્યારે સંભાવનામાં એકરૂપ થાય. ડોમિનેટેડ કન્વર્જન્સ થીયરમ L1-કન્વર્જન્સ સૂચવવા માટે લગભગ ચોક્કસ કન્વર્જન્સ માટે પૂરતી શરતો આપે છેઃ L1 કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત છે અને ક્રમ (Xn) સમાન રીતે સંકલિત છે. જો અલગ અને સ્વતંત્ર હોય, તો તે સૂચવે છે. આ બીજા બોરેલ-કેન્ટેલી લેમ્માનું પરિણામ છે. રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના કન્વર્જન્સના પુરાવા પણ જુઓ માપમાં કન્વર્જન્સ સતત સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઃ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની સાતત્યતાનો પ્રશ્ન અનિવાર્યપણે કન્વર્જન્સનો પ્રશ્ન છે, અને ઉપર ઉપયોગમાં લેવાતા ઘણા સમાન ખ્યાલો અને સંબંધો સાતત્ય પ્રશ્નને લાગુ પડે છે. એસિમ્પ્ટોટિક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન બિગ ઓ ઇન પ્રોબેબીલીટી નોટેશન સ્કોરોખોડ્સ રિપ્રેઝન્ટેશન થીયરમ ધ ટ્વીડી કન્વર્જન્સ થીયરમ સ્લટ્સ્કીઝ થીયરમ કન્ટિન્યુઅસ મેપિંગ થીયરમ નોંધે છે સંદર્ભો https://www.ma.utexas.edu/users/gordanz/notes/weak.pdf સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ, કન્વર્જન્સ ઓફ