Ptolemy's theorem
યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં, ટોલેમીનો પ્રમેય એ ચક્રીય ચતુર્ભુજ (એક ચતુર્ભુજ જેની શિરોબિંદુઓ એક સામાન્ય વર્તુળ પર હોય છે) ની ચાર બાજુઓ અને બે કર્ણો વચ્ચેનો સંબંધ છે. આ પ્રમેયનું નામ ગ્રીક ખગોળશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી ટોલેમી (ક્લાઉડિયસ ટોલેમેયસ) ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ટોલેમીએ આ પ્રમેયનો ઉપયોગ તેમના તારોનું કોષ્ટક બનાવવા માટે સહાયક તરીકે કર્યો હતો, જે એક ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક હતું જેને તેમણે ખગોળશાસ્ત્ર પર લાગુ કર્યું હતું. જો ચક્રીય ચતુર્ભુજની શિરોબિંદુઓ ક્રમમાં A, B, C અને D હોય, તો પ્રમેય જણાવે છે કેઃ આ સંબંધને મૌખિક રીતે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જો ચતુર્ભુજ ચક્રીય હોય તો તેના કર્ણની લંબાઈનો ગુણાકાર વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડીની લંબાઈના ગુણાકારોના સરવાળા જેટલો થાય છે. વધુમાં, ટોલેમીના પ્રમેયની ઊલટું પણ સાચું છેઃ ચતુર્ભુજમાં, જો તેની વિરુદ્ધ બાજુઓની બે જોડીની લંબાઈના ગુણાકારોનો સરવાળો તેના કર્ણની લંબાઈના ગુણાકાર જેટલો હોય, તો ચતુર્ભુજને વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે. તે એક ચક્રીય ચતુર્ભુજ છે. અંકિત બહુકોણ સમબાહુ ત્રિકોણ પર કોરોલરી ટોલેમીની પ્રમેય એક વર્તુળમાં અંકિત સમબાહુ ત્રિકોણ સંબંધિત એક સુંદર પ્રમેય પરિણમે છે. આપેલ વર્તુળ પર એક સમબાહુ ત્રિકોણ અને વર્તુળ પર એક બિંદુ અંકિત છે. ત્રિકોણના બિંદુથી સૌથી દૂરના શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ બિંદુથી બે નજીકના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો છે. પુરાવોઃ ટોલેમીના પ્રમેયથી તરત જ અનુસરે છેઃ કોઈપણ ચોરસને વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે જેનું કેન્દ્ર ચોરસનું કેન્દ્ર છે. જો તેની ચાર બાજુઓની સામાન્ય લંબાઈ સમાન હોય તો પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર કર્ણની લંબાઈ સમાન હોય છે, અને ટોલેમીનો સંબંધ સ્પષ્ટ રીતે ધરાવે છે. લંબચોરસ વધુ સામાન્ય રીતે, જો ચતુર્ભુજ બાજુઓ a અને b અને કર્ણ d સાથેનો લંબચોરસ હોય તો ટોલેમીનો પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડો કરે છે. આ કિસ્સામાં વર્તુળનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ સાથે એકરુપ થાય છે. કર્ણનું ગુણાકાર પછી d2 છે, ટોલેમીના સંબંધની જમણી બાજુ એ a2 + b2 નો સરવાળો છે. કોપરનિકસ-જેમણે તેમના ત્રિકોણમિતીય કાર્યમાં ટોલેમીના પ્રમેયનો વ્યાપક ઉપયોગ કર્યો હતો-આ પરિણામને 'પોરિઝમ' અથવા સ્વ-સ્પષ્ટ પરિણામ તરીકે ઉલ્લેખ કરે છેઃ વધુમાં તે સ્પષ્ટ (મેનિફેસ્ટમ ઇસ્ટ) છે કે જ્યારે ચાપને સબટેન્ડ કરતી તાર આપવામાં આવી છે, ત્યારે તે તાર પણ મળી શકે છે જે બાકીના અર્ધવર્તુળને સબટેન્ડ કરે છે. પેન્ટાગોન એક વધુ રસપ્રદ ઉદાહરણ એ છે કે નિયમિત પંચકોણમાં 5 તારોની બાજુની લંબાઈ a અને (સામાન્ય) લંબાઈ b વચ્ચેનો સંબંધ છે. ચોરસ પૂર્ણ કરવાથી, સંબંધ સુવર્ણ ગુણોત્તર પ્રાપ્ત કરે છેઃ દશકોણની બાજુ જો હવે એએફ વ્યાસને ડીસીને દ્વિભાજિત કરીને દોરવામાં આવે છે જેથી ડીએફ અને સીએફ અંકિત દશકોણની બાજુઓ સી હોય, તો ટોલેમીનો પ્રમેય ફરીથી લાગુ કરી શકાય છે-આ વખતે તેના એક કર્ણ તરીકે વ્યાસ ડી સાથે ચક્રીય ચતુર્ભુજ એ. ડી. એફ. સી. માટેઃ સુવર્ણ ગુણોત્તર ક્યાં છે. જ્યાંથી અંકિત દશકોણની બાજુ વર્તુળના વ્યાસની દ્રષ્ટિએ પ્રાપ્ત થાય છે. પાયથાગોરસના પ્રમેયને જમણા ત્રિકોણ એ. એફ. ડી. પર લાગુ કરવામાં આવે છે, પછી વ્યાસની દ્રષ્ટિએ "બી" મળે છે અને ત્યારબાદ પંચકોણની બાજુની ગણતરી કરવામાં આવે છે, જેમ કે કોપરનિકસે (ટોલેમીને અનુસરીને) લખ્યું છે, "વર્તુળનો વ્યાસ આપવામાં આવે છે, ત્રિકોણની બાજુઓ, ચતુષ્કોણ, પંચકોણ, ષટ્કોણ અને દશકોણ, જે તે જ વર્તુળ ઘેરાય છે, તે પણ આપવામાં આવે છે". પુરાવો દ્રશ્ય પુરાવો એનિમેશન અહીં ડેરિક એન્ડ હર્સ્ટીન (2012) પર આધારિત ટોલેમીના પ્રમેયનું દ્રશ્ય પ્રદર્શન દર્શાવે છે. ત્રિકોણની સમાનતા દ્વારા પુરાવો ચાલો ABCD ચક્રીય ચતુર્ભુજ હોય. કોર્ડ BC પર, અંકિત ખૂણા  anth BAC =  anth BDC, અને AB પર,  anth ADB =  anth ACB. AC પર K ની રચના એવી રીતે કરો કે  anth ABK =  anth CBD; કારણ કે  anth ABK +  anth CBK =  anth ABC =  anth CBD +  anth ABD,  anth CBK =  anth ABD. હવે, સામાન્ય ખૂણાઓ દ્વારા એબીકે (ABK) એ ડીબીસી (DBC) જેવું જ છે, અને તેવી જ રીતે એબીડી (ABD) એ કેબીસી (KBC) જેવું જ છે. આમ એ. કે./એ. બી. = સી. ડી./બી. ડી., અને સી. કે./બી. સી. = ડી. એ./બી. ડી.; સમાનરૂપે, એ. કે. ⋅ બી. ડી. = એ. બી. ⋅ સી. ડી., અને સી. કે. ⋅ બી. ડી. = બી. સી. ⋅ ડી. એ. બે સમાનતાઓ ઉમેરીને આપણી પાસે AK ⋅ BD + CK ષ્ણ BD = AB ષ્ણ CD + BC ષ્ણ DA છે, અને આને ફેક્ટરાઇઝ કરવાથી (AK + CK) · BD = AB ષ્ણ CD + BC ષ્ણ DA મળે છે. પરંતુ એ. કે. + સી. કે. = એ. સી., તેથી એ. સી. ષ્ણ બી. ડી. = એ. બી. ષ્ણ સી. ડી. + બી. સી. ષ્ણ ડી. એ., ક્યુ. ઇ. ડી. લેખિત પુરાવો ફક્ત સરળ ચક્રીય ચતુર્ભુજ માટે જ માન્ય છે. જો ચતુર્ભુજ સેલ્ફ-ક્રોસિંગ હોય તો K લાઇન સેગમેન્ટ AC ની બહાર સ્થિત હશે. પરંતુ આ કિસ્સામાં, એ. કે. − સી. કે. = ± એસી, અપેક્ષિત પરિણામ આપે છે. ત્રિકોણમિતીય ઓળખ દ્વારા પુરાવો ચાલો અંકિત ખૂણાઓ અનુક્રમે, અને હોઈ શકે, અને, અને વર્તુળની ત્રિજ્યા હોઈ શકે, પછી આપણી પાસે,,, અને છે, અને સાબિત કરવાની મૂળ સમાનતા રૂપાંતરિત થાય છે જેમાંથી પરિબળ તેના દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીને અદ્રશ્ય થઈ ગયું છે. હવે સરવાળા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અને, તે બતાવવું તુચ્છ છે કે ઉપરોક્ત સમીકરણની બંને બાજુઓ Q. E. D ની બરાબર છે. અહીં પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતીનો ઉપયોગ કરીને બીજો, કદાચ વધુ પારદર્શક, પુરાવો છે. સમાન વર્તુળમાં અંકિત નવા ચતુર્ભુજને વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં તે અંદરની જેમ સમાન છે, અને, તે જ તાર પર આવેલા, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. પછી, સમાન ધારની લંબાઈ હોય છે, અને પરિણામે સમાન અંકિત ખૂણાઓ અનુરૂપ ધાર દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, જેમ કે, માત્ર એક અલગ ક્રમમાં. એટલે કે, અને, માટે, અને અનુક્રમે. પણ, અને તે જ વિસ્તાર ધરાવે છે. પછી, ક્યૂ. ઈ. ડી. વ્યુત્ક્રમ દ્વારા પુરાવો D પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યાનું સહાયક વર્તુળ પસંદ કરો, જેના સંદર્ભમાં ABCDનું પરિઘ એક રેખામાં ઊંધું હોય (આકૃતિ જુઓ). પછી અને અનુક્રમે, અને તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. દરેક શબ્દનો ગુણાકાર કરવાથી અને તેનો ઉપયોગ કરવાથી ટોલેમીની સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. ક્યૂ. ઈ. ડી. નોંધ લો કે જો ચતુર્ભુજ ચક્રીય ન હોય તો A ', B' અને C 'ત્રિકોણ બનાવે છે અને તેથી A' B '+ B' C '> A' C 'બને છે, જે આપણને ટોલેમીની અસમાનતાનો ખૂબ જ સરળ પુરાવો આપે છે જે નીચે રજૂ કરવામાં આવી છે. જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો ચાર અલગ-અલગ બિંદુઓ તરીકે ઓળખીને એ. બી. સી. ડી. દાખલ કરો. ક્રોસ-રેશિયો વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી સમાનતા સાથે જો અને માત્ર જો. આ સામાન્ય રીતે ટોલેમીની અસમાનતાને સાબિત કરે છે, કારણ કે તે માત્ર તે બતાવવા માટે રહે છે કે એક વર્તુળ પર સતત ગોઠવાયેલું છે (સંભવતઃ અનંત ત્રિજ્યાનું, એટલે કે. એક લીટી) જો અને માત્ર જો. જટિલ સંખ્યાના ધ્રુવીય સ્વરૂપમાંથી, તે છેલ્લી સમાનતા ધારણ સાથે અનુસરે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ABCD ચક્રીય હોય, કારણ કે ચતુર્ભુજ ચક્રીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો વિરુદ્ધ ખૂણાઓનો સરવાળો હોય. ક્યૂ. ઈ. ડી. નોંધ લો કે આ સાબિતી એ. બી. સી. ડી. ની ચક્રીયતા, એટલે કે અવલોકન કરીને સમાન રીતે બનાવવામાં આવે છે. પૂરકતા અને, શરતની સમકક્ષ છે; ખાસ કરીને એક પરિભ્રમણ છે જેમાં આ 0 છે (એટલે કે. ત્રણેય પેદાશો હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે), અને જેના દ્વારા ટોલેમીનો પ્રમેય પછી સીધી રીતે સરળ બીજગણિત ઓળખ કોરોલરીઝમાંથી સ્થાપિત થાય છે એકમ વ્યાસના વર્તુળના કિસ્સામાં કોઈપણ ચક્રીય ચતુર્ભુજ ABCD ની બાજુઓ આંકડાકીય રીતે ખૂણાઓના સાઇનની બરાબર હોય છે અને જેને તેઓ રજૂ કરે છે. તેવી જ રીતે વિકર્ણો તેઓ જે પણ ખૂણાઓની જોડી રજૂ કરે છે તેના સરવાળાના સાઇનની બરાબર હોય છે. પછી આપણે ટોલેમીની પ્રમેયને નીચેના ત્રિકોણમિતીય સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએઃ નીચે આપેલા ખૂણાઓ પર અમુક શરતો લાગુ કરવી અને ઉપરોક્તનો આપણા પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે ઉપયોગ કરીને સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ઉપસર્ગો મેળવવાનું શક્ય છે. આગળ શું થાય છે તે ધ્યાનમાં રાખવું અગત્યનું છે કે ખૂણાઓનો સરવાળો. કોરોલરી 1. પાયથાગોરસનું પ્રમેય ચાલો અને. પછી (કારણ કે ચક્રીય ચતુર્ભુજના વિરુદ્ધ ખૂણા પૂરક છે). પછીઃ કોરોલરી 2. કોસાઇનનો કાયદો ચાલો. ઉપસંહાર 1 નો લંબચોરસ હવે સમાન કર્ણ અને સમાન બાજુઓની જોડી સાથે સમપ્રમાણતાવાળા લંબચોરસ છે. સમાંતર બાજુઓ એકમો દ્વારા લંબાઈમાં અલગ પડે છે જ્યાંઃ આ કિસ્સામાં ટોલેમીના પ્રમેયના પ્રમાણભૂત નિવેદન પર પાછા ફરવું સરળ રહેશેઃ ત્રિકોણ ABC માટે કોસાઇન નિયમ. કોરોલરી 3. ચક્રવૃદ્ધિ ખૂણો sine (+) ચાલો પછી, તેથી, ચક્રવૃદ્ધિ ખૂણો sine (+) માટેનું સૂત્ર. કોરોલરી 4. સંયોજન કોણ sine (−) ધારો. પછી. તેથી, સંયોજન કોણ sine (−) માટેનું સૂત્ર. આ વ્યુત્પત્તિ એલ્મેજેસ્ટમાં ટોલેમી પછી કોપરનિકસ દ્વારા નોંધાયેલા ત્રીજા પ્રમેયને અનુરૂપ છે. ખાસ કરીને જો પંચકોણ (પરિઘ પર 36° નીચે) અને ષટ્કોણ (પરિઘ પર 30° નીચે) ની બાજુઓ આપવામાં આવે, તો 6° નીચેની તારની ગણતરી કરી શકાય છે. તારોના કોષ્ટકોની ગણતરી કરવાની પ્રાચીન પદ્ધતિમાં આ એક મહત્વપૂર્ણ પગલું હતું. કોરોલરી 5. કોમ્પાઉન્ડ એન્ગલ કોસાઇન (+) આ ઉપસંહાર પાંચમા પ્રમેયનો મુખ્ય ભાગ છે, જે અલ્માજેસ્ટમાં ટોલેમી પછી કોપરનિકસ દ્વારા નોંધવામાં આવ્યો છે. જવા દો. પછી. તેથી સંયોજન કોણ માટે સૂત્ર કોસાઇન (+) આપણા આધુનિક ત્રિકોણમિતિ સંકેતની નિપુણતાનો અભાવ હોવા છતાં, ઉપરોક્ત ઉપસંહારો પરથી સ્પષ્ટ થવું જોઈએ કે ટોલેમીના પ્રમેય (અથવા વધુ સરળ રીતે બીજા પ્રમેય) માં પ્રાચીન વિશ્વ પાસે એક અત્યંત લવચીક અને શક્તિશાળી ત્રિકોણમિતિ સાધન હતું જેણે તે સમયના કોગ્નોસેન્ટીને તારોના સચોટ કોષ્ટકો (સાઇનના કોષ્ટકોને અનુરૂપ) દોરવા અને બ્રહ્માંડને સમજવા અને નકશા બનાવવાના તેમના પ્રયાસોમાં તેનો ઉપયોગ કરવા સક્ષમ બનાવ્યું હતું. ટોલેમીની ત્રણ સદીઓ પહેલાં હિપ્પાર્કસ દ્વારા તારોના કોષ્ટકો તૈયાર કરવામાં આવ્યા હોવાથી, આપણે ધારવું જોઈએ કે તેઓ 'બીજા પ્રમેય' અને તેના વ્યુત્પન્ન વિશે જાણતા હતા. પ્રાચીન ખગોળશાસ્ત્રીઓના પગેરુંને અનુસરીને, ઇતિહાસ એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના ટિમોચારિસની તારાની સૂચિ નોંધે છે. જો, સંભવિત લાગે છે તેમ, આવા કેટલોગના સંકલન માટે 'બીજા પ્રમેય' ની સમજણની જરૂર હોય તો પછીની સાચી ઉત્પત્તિ પછીથી પ્રાચીનકાળના ધુમ્મસમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે પરંતુ એવું માનવું ગેરવાજબી ન હોઈ શકે કે પ્રાચીન ઇજિપ્તના ખગોળશાસ્ત્રીઓ, આર્કિટેક્ટ્સ અને બાંધકામ ઇજનેરોને તેનું થોડું જ્ઞાન હતું. ટોલેમીની અસમાનતા ટોલેમીના પ્રમેયમાં સમીકરણ બિન-ચક્રીય ચતુર્ભુજ સાથે ક્યારેય સાચું નથી હોતું. ટોલેમીની અસમાનતા એ આ હકીકતનું વિસ્તરણ છે, અને તે ટોલેમીના પ્રમેયનું વધુ સામાન્ય સ્વરૂપ છે. તે જણાવે છે કે, ચતુર્ભુજ ABCD આપવામાં આવે તો, જ્યાં સમાનતા ત્યારે જ રહે છે જ્યારે ચતુર્ભુજ ચક્રીય હોય. આ વિશેષ કેસ ટોલેમીના પ્રમેયની સમકક્ષ છે. વિકર્ણોના ગુણોત્તર વિશે સંબંધિત પ્રમેય ટોલેમીનો પ્રમેય બાજુઓને જાણીને વિકર્ણો (ચક્રીય ચતુર્ભુજની) નું ઉત્પાદન આપે છે, નીચેનો પ્રમેય વિકર્ણોના ગુણોત્તર માટે સમાન ઉપજ આપે છે. પુરાવોઃ તે જાણીતું છે કે વ્યાસના વર્તુળમાં અંકિત ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છેઃ ચતુર્ભુજના ક્ષેત્રફળને સમાન પરિઘાકાર વર્તુળને વહેંચતા બે ત્રિકોણના સરવાળા તરીકે લખીને, આપણે દરેક વિઘટન માટે બે સંબંધો મેળવીએ છીએ. સરખાવવાથી, આપણે ઘોષિત સૂત્ર મેળવીએ છીએ. પરિણામઃ વિકર્ણોના ગુણાકાર અને ગુણોત્તર બંનેને જાણીને, આપણે તેમની તાત્કાલિક અભિવ્યક્તિઓ શોધી કાઢીએ છીએઃ કેસીના સિદ્ધાંત ગ્રીક ગણિત નોંધો સંદર્ભો કોક્સેટર, એચ. એસ. એમ. અને એસ. એલ. ગ્રીટ્ઝર (1967) "ટોલેમીનો પ્રમેય અને તેના વિસ્તરણ" પણ જુઓ. § 2.6 ભૂમિતિ રીવિઝીટેડમાં, મેથેમેટિકલ એસોસિએશન ઑફ અમેરિકા pp. 42-43. કોપરનિકસ (1543) ડી રેવોલ્યુશનિબસ ઓર્બિયમ કોલેસ્ટિયમ, સ્ટીફન હોકિંગ દ્વારા સંપાદિત ઓન ધ શોલ્ડર્સ ઓફ જાયન્ટ્સ (2002) માં મળેલો અંગ્રેજી અનુવાદ, પેંગ્વિન બુક્સ અમરસિંઘે, જી. ડબલ્યુ. આઇ. એસ. (2013) ટોલેમીના પ્રમેય માટે સંક્ષિપ્ત પ્રાથમિક પુરાવો, ગ્લોબલ જર્નલ ઓફ એડવાન્સ્ડ રિસર્ચ ઓન ક્લાસિકલ એન્ડ મોડર્ન જીઓમેટ્રીઝ (જીજેએઆરસીએમજી) 2 (1): 20-25 (પીડીએફ). બાહ્ય કડીઓ ચક્રીય ચતુર્ભુજ ગણિત પૃષ્ઠો માટે ટોલેમીના પ્રમેયનો પુરાવો-ટોલેમીના પ્રમેય ટોલેમીના પ્રમેય પર કટ-ધ-ગાંઠ સંયોજન કોણ સાબિતી પર કટ-ધ-ગાંઠ ટોલેમીના પ્રમેય પર ગ્રહ પર. હાર્વર્ડ ખાતે મેથવર્લ્ડ ડી રિવોલ્યુશનિબસ ઓર્બિયમ કોલેસ્ટિયમ પર ટોલેમીની અસમાનતા. ડીપ સિક્રેટ્સઃ ધ ગ્રેટ પિરામિડ, ધ ગોલ્ડન રેશિયો એન્ડ ધ રોયલ ક્યુબિટ ટોલેમીઝ થીયરમ બાય જય વેરનડોર્ફ, ધ વોલ્ફ્રેમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટ. યુક્લિડના તત્વોનું પુસ્તક XIII ચતુર્ભુજ અને વર્તુળો વિશેના પ્રમેયો યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિના પુરાવા ધરાવતા લેખો