Poynting vector
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, પોઇન્ટિંગ વેક્ટર (અથવા ઉમોવ-પોઇન્ટિંગ વેક્ટર) વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રના દિશાત્મક ઊર્જા પ્રવાહ (એકમ વિસ્તાર દીઠ ઊર્જા સ્થાનાંતરણ, એકમ સમય દીઠ) અથવા શક્તિ પ્રવાહનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પોઇન્ટિંગ વેક્ટરનો એસ. આઈ. એકમ વોટ પ્રતિ ચોરસ મીટર (ડબલ્યુ/એમ 2) છે; આધાર એસ. આઈ. એકમોમાં કેજી/એસ 3 છે. તેનું નામ તેના શોધક જ્હોન હેનરી પોઇન્ટિંગના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને સૌપ્રથમ 1884માં શોધ્યું હતું. નિકોલે ઉમોવને પણ આ ખ્યાલ ઘડવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે. ઓલિવર હેવિસાઇડે પણ તેને વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં સ્વતંત્ર રીતે શોધ્યું જે વ્યાખ્યામાં મનસ્વી વેક્ટર ક્ષેત્રના વળાંકને ઉમેરવાની સ્વતંત્રતાને માન્યતા આપે છે. પોઇન્ટિંગ વેક્ટરનો ઉપયોગ સમગ્ર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સમાં પોઇન્ટિંગના પ્રમેય સાથે થાય છે, જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રોમાં પાવર ફ્લોની ગણતરી કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઉર્જાના સંરક્ષણને વ્યક્ત કરતું સાતત્ય સમીકરણ છે. વ્યાખ્યા પોઇન્ટિંગના મૂળ પેપરમાં અને મોટાભાગના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, પોઇન્ટિંગ વેક્ટરને ક્રોસ પ્રોડક્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં બોલ્ડ અક્ષરો વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને E એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર વેક્ટર છે; H એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સહાયક ક્ષેત્ર વેક્ટર અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. આ અભિવ્યક્તિને ઘણીવાર અબ્રાહમ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે અને તેનો સૌથી વધુ ઉપયોગ થાય છે. પોઇન્ટિંગ વેક્ટરને સામાન્ય રીતે એસ અથવા એન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સરળ શબ્દોમાં, પોઇન્ટિંગ વેક્ટર એસ એ ઊર્જાના સ્થાનાંતરણની દિશા અને દર દર્શાવે છે, જે શક્તિ છે, જે જગ્યાના પ્રદેશમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રોને કારણે ખાલી હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. વધુ સખત રીતે, તે જથ્થો છે જેનો ઉપયોગ પોઇન્ટિંગના પ્રમેયને માન્ય બનાવવા માટે થવો જોઈએ. પોઇન્ટિંગનો સિદ્ધાંત અનિવાર્યપણે કહે છે કે પ્રદેશમાં પ્રવેશતી વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા અને પ્રદેશમાંથી બહાર નીકળતી વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત તે પ્રદેશમાં રૂપાંતરિત અથવા વિખેરાયેલી ઊર્જા બરાબર હોવો જોઈએ, એટલે કે, ઊર્જાના એક અલગ સ્વરૂપ (ઘણીવાર ગરમી) માં ફેરવાય છે. તેથી જો કોઈ વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા સ્થાનાંતરણના પોઇન્ટિંગ વેક્ટર વર્ણનની માન્યતાને સ્વીકારે છે, તો પોઇન્ટિંગનો પ્રમેય ફક્ત ઊર્જા સંરક્ષણનું નિવેદન છે. જો વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા અમુક પ્રદેશમાં ઊર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાંથી પ્રાપ્ત થતી નથી અથવા ગુમાવાતી નથી (દા. ત., યાંત્રિક ઊર્જા અથવા ગરમી), તો પછી વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા તે પ્રદેશમાં સ્થાનિક રીતે સંરક્ષિત થાય છે, જે પોઇન્ટિંગના પ્રમેયના વિશેષ કેસ તરીકે સાતત્ય સમીકરણ આપે છેઃ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રની ઊર્જા ઘનતા ક્યાં છે. આ વારંવારની સ્થિતિ નીચેના સરળ ઉદાહરણમાં છે જેમાં પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને તે વિદ્યુત પરિપથમાં શક્તિની સામાન્ય ગણતરી સાથે સુસંગત હોવાનું જોવા મળે છે. ઉદાહરણોઃ કોએક્સિયલ કેબલમાં પાવરનો પ્રવાહ મનસ્વી ભૂમિતિઓ સાથે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સમાં સમસ્યાઓ હલ કરવી કુખ્યાત રીતે મુશ્કેલ હોવા છતાં, આપણે સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં વિશ્લેષણ કરાયેલ કોએક્સિયલ કેબલના વિભાગ દ્વારા પાવર ટ્રાન્સમિશનના કિસ્સામાં પ્રમાણમાં સરળ ઉકેલ શોધી શકીએ છીએ. આપણે મોડેલની સમપ્રમાણતાનો લાભ લઈ શકીએ છીએઃ θ (ગોળાકાર સમપ્રમાણતા) કે Z (કેબલની સાથે સ્થિતિ) પર કોઈ નિર્ભરતા નથી. મોડેલ (અને સોલ્યુશન) ને કોઈ સમય અવલંબન વિના ફક્ત ડીસી સર્કિટ તરીકે ગણી શકાય, પરંતુ નીચેનો ઉકેલ રેડિયો ફ્રિક્વન્સી પાવરના પ્રસારણને સમાન રીતે લાગુ પડે છે, જ્યાં સુધી આપણે તાત્કાલિક સમય (જે દરમિયાન વોલ્ટેજ અને કરંટ બદલાતો નથી), અને કેબલના પૂરતા ટૂંકા સેગમેન્ટ પર (તરંગલંબાઇ કરતા ઘણો નાનો છે, જેથી આ જથ્થા ઝેડ પર નિર્ભર ન હોય). સમાક્ષીય કેબલને ત્રિજ્યા R1નું આંતરિક વાહક અને બાહ્ય વાહક તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેની આંતરિક ત્રિજ્યા R2 હોય છે (R2ની બહારની તેની જાડાઈ નીચેના વિશ્લેષણને અસર કરતી નથી). R1 અને R2 ની વચ્ચે કેબલમાં સાપેક્ષ પારગમ્યતા εr ની આદર્શ ડાઇલેક્ટ્રિક સામગ્રી હોય છે અને આપણે એવા વાહક માનીએ છીએ જે બિન-ચુંબકીય (તેથી μ = μ0) અને લોસલેસ (સંપૂર્ણ વાહક) હોય છે, જે તમામ લાક્ષણિક પરિસ્થિતિઓમાં વાસ્તવિક દુનિયાના સમાક્ષીય કેબલ માટે સારા અંદાજો છે. કેન્દ્ર વાહક વોલ્ટેજ V પર રાખવામાં આવે છે અને જમણી તરફ કરંટ I ખેંચે છે, તેથી આપણે વીજળીના મૂળભૂત નિયમો અનુસાર P = V·I ના કુલ પાવર પ્રવાહની અપેક્ષા રાખીએ છીએ. જો કે, પોઇન્ટિંગ વેક્ટરનું મૂલ્યાંકન કરીને, આપણે સમાક્ષીય કેબલની અંદર વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દ્રષ્ટિએ વીજ પ્રવાહની રૂપરેખા ઓળખી શકીએ છીએ. દરેક વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્રો અલબત્ત શૂન્ય હોય છે, પરંતુ વાહક () વચ્ચેની સમપ્રમાણતા સૂચવે છે કે તેઓ સખત રીતે ત્રિજ્યા દિશામાં હોય છે અને તે (ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને) દર્શાવી શકાય છે કે તેઓએ નીચેના સ્વરૂપનું પાલન કરવું જોઈએઃ W નું મૂલ્યાંકન વિદ્યુત ક્ષેત્રને એકીકૃત કરીને કરી શકાય છે જેમાંથી વોલ્ટેજ V નકારાત્મક હોવું જોઈએઃ જેથીઃ ચુંબકીય ક્ષેત્ર, ફરીથી સમપ્રમાણતા દ્વારા, માત્ર θ દિશામાં બિન-શૂન્ય હોઈ શકે છે, એટલે કે, R1 અને R2 વચ્ચેની દરેક ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર વાહકની આસપાસ લૂપિંગ વેક્ટર ક્ષેત્ર. વાહકની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે, પરંતુ આ ચિંતાનો વિષય નથી કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાને કારણે આ પ્રદેશોમાં પોઇન્ટિંગ વેક્ટર શૂન્ય છે. સમગ્ર કોએક્સિયલ કેબલની બહાર, ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન રીતે શૂન્ય છે કારણ કે આ પ્રદેશમાં પાથ શૂન્યના ચોખ્ખા પ્રવાહને ઘેરી લે છે (કેન્દ્ર વાહકમાં + I અને બાહ્ય વાહકમાં-I), અને ફરીથી ત્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર કોઈપણ રીતે શૂન્ય છે. R1 થી R2 સુધીના પ્રદેશમાં એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે કેન્દ્ર વાહકમાં પ્રવાહ + I ને ઘેરી લે છે, પરંતુ બાહ્ય વાહકમાં પ્રવાહના કોઈ યોગદાન સાથે, આપણે ત્રિજ્યા r પર શોધીએ છીએઃ હવે, ત્રિજ્યીય દિશામાં વિદ્યુત ક્ષેત્રમાંથી, અને સ્પર્શક ચુંબકીય ક્ષેત્ર, આની ક્રોસ-પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલ પોઇન્ટિંગ વેક્ટર, ઝેડ દિશામાં, આપણે અપેક્ષા રાખીએ તેમ, કોએક્સિયલ કેબલની દિશામાં જ, માત્ર બિન-શૂન્ય છે. ફરીથી માત્ર r નું કાર્ય, આપણે S (r) નું મૂલ્યાંકન કરી શકીએ છીએઃ જ્યાં W કેન્દ્ર વાહક વોલ્ટેજ V ની દ્રષ્ટિએ ઉપર આપવામાં આવ્યું છે. સમાક્ષીય કેબલની નીચે વહેતી કુલ શક્તિની ગણતરી કેબલના સમગ્ર ક્રોસ સેક્શન A પર વાહક વચ્ચે એકીકૃત કરીને કરી શકાય છેઃ સ્થિરાંક W માટે અગાઉના ઉકેલને બદલીને આપણે શોધી કાઢીએ છીએઃ એટલે કે, સમાક્ષીય કેબલના ક્રોસ સેક્શન પર પોઇન્ટિંગ વેક્ટરને એકીકૃત કરીને આપવામાં આવેલી શક્તિ વોલ્ટેજ અને કરંટના ગુણાકારની બરાબર છે કારણ કે કોઈએ વીજળીના મૂળભૂત નિયમોનો ઉપયોગ કરીને વિતરિત શક્તિ માટે ગણતરી કરી હશે. અન્ય સ્વરૂપો મેક્સવેલના સમીકરણોના "સૂક્ષ્મ" સંસ્કરણમાં, આ વ્યાખ્યાને વિદ્યુત ક્ષેત્ર E અને ચુંબકીય પ્રવાહ ઘનતા B (લેખમાં પછીથી વર્ણવેલ) ની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યા દ્વારા બદલવી આવશ્યક છે. પોઇન્ટિંગ વેક્ટરનું મિન્કોવ્સ્કી સ્વરૂપ મેળવવા માટે વિદ્યુત વિસ્થાપન ક્ષેત્ર D ને ચુંબકીય પ્રવાહ B સાથે જોડવું પણ શક્ય છે, અથવા અન્ય સંસ્કરણ બનાવવા માટે D અને H નો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. પસંદગી વિવાદાસ્પદ રહી છેઃ ફીફર એટ અલ. અબ્રાહમ અને મિન્કોવ્સ્કી સ્વરૂપોના સમર્થકો વચ્ચેના સદી લાંબા વિવાદનો સારાંશ આપો અને અમુક હદ સુધી ઉકેલ લાવો (અબ્રાહમ-મિન્કોવ્સ્કી વિવાદ જુઓ). પોઇન્ટિંગ વેક્ટર વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા માટે ઊર્જા પ્રવાહ વેક્ટરના ચોક્કસ કેસને રજૂ કરે છે. જો કે, કોઈપણ પ્રકારની ઊર્જાની અવકાશમાં ગતિની દિશા તેમજ તેની ઘનતા હોય છે, તેથી ઊર્જા પ્રવાહ વેક્ટરને અન્ય પ્રકારની ઊર્જા માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, દા. ત., યાંત્રિક ઊર્જા માટે. 1874માં નિકોલે ઉમોવ દ્વારા શોધાયેલ ઉમોવ-પોઇન્ટિંગ વેક્ટર પ્રવાહી અને સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમોમાં ઊર્જા પ્રવાહને સંપૂર્ણપણે સામાન્ય દૃષ્ટિકોણથી વર્ણવે છે. અર્થઘટન પોઇન્ટિંગ વેક્ટર પોઇન્ટિંગના પ્રમેયમાં દેખાય છે (જુઓ તે વ્યુત્પત્તિ માટેનો લેખ), ઊર્જા-સંરક્ષણ નિયમઃ જ્યાં Jf એ મુક્ત ચાર્જની વર્તમાન ઘનતા છે અને u એ રેખીય, બિન-વિભાજક સામગ્રી માટે વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જા ઘનતા છે, જ્યાં E એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે; D એ વિદ્યુત વિસ્થાપન ક્ષેત્ર છે; B એ ચુંબકીય પ્રવાહ ઘનતા છે; H એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. જમણી બાજુનો પ્રથમ શબ્દ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જાના પ્રવાહને નાના જથ્થામાં રજૂ કરે છે, જ્યારે બીજો શબ્દ મુક્ત વિદ્યુત પ્રવાહો પર ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યને બાદ કરે છે, જે વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જામાંથી વિસર્જન, ગરમી વગેરે તરીકે બહાર નીકળે છે. આ વ્યાખ્યામાં, બંધાયેલા વિદ્યુત પ્રવાહો આ શબ્દમાં સમાવિષ્ટ નથી અને તેના બદલે S અને u માં ફાળો આપે છે. રેખીય, નોનડિસ્પર્સિવ અને આઇસોટ્રોપિક (સરળતા માટે) સામગ્રીઓ માટે, બંધારણીય સંબંધોને આ રીતે લખી શકાય છે જ્યાં ε એ સામગ્રીની પારગમ્યતા છે; μ એ સામગ્રીની પારગમ્યતા છે. અહીં ε અને μ સ્કેલર છે, જે સ્થિતિ, દિશા અને આવર્તનથી સ્વતંત્ર વાસ્તવિક મૂલ્યના અચળાંકો છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ પોઇન્ટિંગના પ્રમેયને આ સ્વરૂપમાં શૂન્યાવકાશ અને બિન-વિભાજક રેખીય પદાર્થોના ક્ષેત્રો સુધી મર્યાદિત કરે છે. વિખેરાઈ જતી સામગ્રીનું સામાન્યીકરણ અમુક સંજોગોમાં વધારાની શરતોના ખર્ચે શક્ય છે. પોઇન્ટિંગ સૂત્રનું એક પરિણામ એ છે કે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર કામ કરવા માટે, ચુંબકીય અને વિદ્યુત બંને ક્ષેત્રો હાજર હોવા જોઈએ. એકલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર અથવા એકલા વિદ્યુત ક્ષેત્ર કોઈ કામ કરી શકતા નથી. પ્લેન તરંગો આઇસોટ્રોપિક લોસલેસ માધ્યમમાં ફેલાતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક પ્લેન તરંગમાં, ત્વરિત પોઇન્ટિંગ વેક્ટર હંમેશા પ્રસારની દિશામાં નિર્દેશ કરે છે જ્યારે તીવ્રતામાં ઝડપથી દોલન કરે છે. આ સરળ રીતે જોઈ શકાય છે કે સમતલ તરંગમાં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર H (r, t) ની તીવ્રતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર વેક્ટર E (r, t) ની તીવ્રતા દ્વારા η દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે પ્રસારણ માધ્યમની આંતરિક અવરોધ છેઃ જ્યાં |A | એ ના વેક્ટર ધોરણને રજૂ કરે છે. E અને H એકબીજાના જમણા ખૂણા પર હોવાથી, તેમના ક્રોસ પ્રોડક્ટની તીવ્રતા તેમના પરિમાણોનું ગુણાકાર છે. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના ચાલો આપણે X ને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા અને Y ને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા તરીકે લઈએ. E અને H ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલ તાત્કાલિક પોઇન્ટિંગ વેક્ટર પછી હકારાત્મક Z દિશામાં હશેઃ સમતલ તરંગમાં સમય-સરેરાશ શક્તિ શોધવા માટે તરંગ સમયગાળા (તરંગની વ્યસ્ત આવર્તન) પર સરેરાશની જરૂર પડે છેઃ જ્યાં એ. આર. એમ. એ મૂળ સરેરાશ વર્ગ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું કંપનવિસ્તાર છે. મહત્વપૂર્ણ કિસ્સામાં કે E (t) શિખર કંપનવિસ્તાર Epeak સાથે અમુક આવર્તન પર સિનુસોઇડલી રીતે બદલાય છે, તેનો rms વોલ્ટેજ સરેરાશ પોઇન્ટિંગ વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવે છે, પછી આ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સમતલ તરંગના ઊર્જા પ્રવાહ માટેનું આ સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ છે, કારણ કે સિનુસોઇડલ ક્ષેત્ર કંપનવિસ્તાર મોટે ભાગે તેમના શિખર મૂલ્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અને જટિલ સમસ્યાઓ સામાન્ય રીતે એક સમયે માત્ર એક આવર્તનને ધ્યાનમાં રાખીને હલ કરવામાં આવે છે. જો કે, એ. આર. એમ. એસ. નો ઉપયોગ કરતી અભિવ્યક્તિ સંપૂર્ણપણે સામાન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અવાજના કિસ્સામાં લાગુ પડે છે, જેનું આર. એમ. એસ. કંપનવિસ્તાર માપી શકાય છે પરંતુ જ્યાં "ટોચ" કંપનવિસ્તાર અર્થહીન છે. મુક્ત જગ્યામાં આંતરિક અવરોધ η ખાલી જગ્યાના અવરોધ η0 ≈ 377 ω દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિન-ચુંબકીય ડાઇલેક્ટ્રિક્સમાં (જેમ કે ઓપ્ટિકલ ફ્રીક્વન્સીઝ પરની તમામ પારદર્શક સામગ્રી) ચોક્કસ ડાઇલેક્ટ્રિક અચળાંક εr સાથે, અથવા એવા પદાર્થ સાથેના ઓપ્ટિક્સમાં કે જેનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ હોય, આંતરિક અવરોધ આ રીતે જોવા મળે છેઃ ઓપ્ટિક્સમાં, સપાટીને પાર કરતા વિકિરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય, આમ તે સપાટીની સામાન્ય દિશામાં સરેરાશ પોઇન્ટિંગ વેક્ટર ઘટક, તકનીકી રીતે વિકિરણ તરીકે ઓળખાય છે, જેને વધુ વખત ફક્ત તીવ્રતા (કંઈક અંશે અસ્પષ્ટ શબ્દ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. માઇક્રોસ્કોપિક ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં રચના મેક્સવેલના સમીકરણોની "માઇક્રોસ્કોપિક" (વિભેદક) આવૃત્તિ સામગ્રી માધ્યમોના બિલ્ટ-ઇન મોડેલ વિના માત્ર મૂળભૂત ક્ષેત્રો E અને B ને સ્વીકારે છે. માત્ર વેક્યૂમ પારગમ્યતા અને પારગમ્યતાનો ઉપયોગ થાય છે, અને ત્યાં કોઈ D અથવા H નથી. જ્યારે આ મોડેલનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પોઇન્ટિંગ વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં μ0 એ વેક્યૂમ પારગમ્યતા છે; E એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર વેક્ટર છે; B એ ચુંબકીય પ્રવાહ છે. આ વાસ્તવમાં પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની સામાન્ય અભિવ્યક્તિ છે. પોઇન્ટિંગના પ્રમેયનું અનુરૂપ સ્વરૂપ એ છે કે જ્યાં J એ કુલ વર્તમાન ઘનતા છે અને ઊર્જા ઘનતા u તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં ε0 એ શૂન્યાવકાશ પારગમ્યતા છે. તે કુલ ચાર્જ અને કરંટની દ્રષ્ટિએ મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી સીધા જ મેળવી શકાય છે અને માત્ર લોરેન્ટ્ઝ બળ નિયમ. પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની બે વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓ શૂન્યાવકાશમાં અથવા બિન-ચુંબકીય સામગ્રીમાં સમાન છે, જ્યાં. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, તેઓ તેમાં અલગ પડે છે અને અનુરૂપ u સંપૂર્ણપણે કિરણોત્સર્ગી છે, કારણ કે અપવ્યય શબ્દ કુલ પ્રવાહને આવરી લે છે, જ્યારે E × H વ્યાખ્યામાં બંધાયેલા પ્રવાહોનું યોગદાન હોય છે જેને પછી અપવ્યય શબ્દમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે. માત્ર સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રો E અને B ઊર્જા ઘનતાના વ્યુત્પત્તિમાં જોવા મળે છે, તેથી હાજર કોઈપણ સામગ્રી વિશેની ધારણાઓ ટાળવામાં આવે છે. ઊર્જા ઘનતા માટે પોઇન્ટિંગ વેક્ટર અને પ્રમેય અને અભિવ્યક્તિ શૂન્યાવકાશ અને તમામ સામગ્રીમાં સાર્વત્રિક રીતે માન્ય છે. સમય-સરેરાશ પોઇન્ટિંગ વેક્ટર પોઇન્ટિંગ વેક્ટર માટેનું ઉપરોક્ત સ્વરૂપ તાત્કાલિક વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોને કારણે તાત્કાલિક શક્તિ પ્રવાહને રજૂ કરે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સમાં સમસ્યાઓ ચોક્કસ આવર્તન પર સિનુસોઇડલી વિવિધ ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં હલ કરવામાં આવે છે. પછી પરિણામોને વધુ સામાન્ય રીતે લાગુ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અસંગત કિરણોત્સર્ગને વિવિધ આવર્તન પર અને વધઘટ થતા કંપનવિસ્તાર સાથે આવા તરંગોના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરીને. આમ આપણે ઉપર ઉપયોગમાં લેવાતા તાત્કાલિકને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં, પરંતુ દરેક માટે એક જટિલ (વેક્ટર) કંપનવિસ્તારને ધ્યાનમાં લઈશું જે ફેઝર નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને સુસંગત તરંગના તબક્કા (તેમજ કંપનવિસ્તાર) નું વર્ણન કરે છે. આ જટિલ કંપનવિસ્તાર વેક્ટર સમયના કાર્યો નથી, કારણ કે તેઓ બધા સમયના ઓસિલેશનનો સંદર્ભ આપે છે. જેમ કે ફેઝર એ સિનુસોઇડલી રીતે બદલાતા ક્ષેત્રને સૂચવે છે, જેનું તાત્કાલિક કંપનવિસ્તાર એ વાસ્તવિક ભાગને અનુસરે છે કે જ્યાં સિનુસોઇડલ તરંગની (રેડિયન) આવર્તન ગણવામાં આવે છે. ટાઇમ ડોમેનમાં, તે જોવામાં આવશે કે તાત્કાલિક પાવર ફ્લો 2ω ની આવર્તન પર વધઘટ થશે. પરંતુ સામાન્ય રીતે જે રસ હોય છે તે સરેરાશ વીજ પ્રવાહ છે જેમાં તે વધઘટને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી. નીચેના ગણિતમાં, આ એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં સંકલિત કરીને પરિપૂર્ણ થાય છે. નીચેનો જથ્થો, જેને હજુ પણ "પોઇન્ટિંગ વેક્ટર" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેને સીધા ફેઝરની દ્રષ્ટિએ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં ઱્઱ં જટિલ સંયુગ્મને સૂચવે છે. સમય-સરેરાશ પાવર ફ્લો (ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ ચક્રમાં સરેરાશ ત્વરિત પોઇન્ટિંગ વેક્ટર અનુસાર) પછી તેના વાસ્તવિક ભાગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાલ્પનિક ભાગને સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે, જો કે, તે "પ્રતિક્રિયાશીલ શક્તિ" સૂચવે છે જેમ કે સ્થાયી તરંગ અથવા એન્ટેનાના નજીકના ક્ષેત્રને કારણે દખલગીરી. એક વિદ્યુતચુંબકીય સમતલ તરંગમાં (સ્થાયી તરંગને બદલે જેને વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરતા આવા બે તરંગો તરીકે વર્ણવી શકાય છે), અને બરાબર તબક્કામાં હોય છે, તેથી ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા અનુસાર તે માત્ર એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તાત્કાલિક પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની સમય-સરેરાશની સમાનતા નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે. સમય જતાં તાત્કાલિક પોઇન્ટિંગ વેક્ટર S ની સરેરાશ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બીજી ટર્મ એ શૂન્યની સરેરાશ કિંમત ધરાવતો ડબલ-ફ્રિક્વન્સી ઘટક છે, તેથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએઃ કેટલાક સંમેલનો અનુસાર, ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં 1/2 નું પરિબળ બાકાત રહી શકે છે. કંપનશીલ જથ્થાના મહત્તમ ક્ષેત્રોના પરિમાણો અને સંદર્ભમાંથી વીજપ્રવાહને યોગ્ય રીતે વર્ણવવા માટે 1/2 દ્વારા ગુણાકાર જરૂરી છે. જો તેના બદલે ક્ષેત્રોને તેમના મૂળ સરેરાશ વર્ગ (આર. એમ. એસ.) મૂલ્યોની દ્રષ્ટિએ વર્ણવવામાં આવે (જે દરેક પરિબળ દ્વારા નાના હોય છે), તો સાચો સરેરાશ શક્તિ પ્રવાહ 1/2 દ્વારા ગુણાકાર કર્યા વિના મેળવવામાં આવે છે. પ્રતિકારક વિસર્જન જો વાહક નોંધપાત્ર પ્રતિકાર ધરાવે છે, તો પછી, તે વાહકની સપાટીની નજીક, પોઇન્ટિંગ વેક્ટર વાહક તરફ નમેલું હશે અને તેના પર અસર કરશે. એકવાર પોઇન્ટિંગ વેક્ટર વાહકમાં પ્રવેશ કરે છે, તે સપાટી પર લગભગ લંબરૂપ દિશામાં વળેલું હોય છે. આ સ્નેલના નિયમ અને વાહકની અંદર પ્રકાશની ખૂબ જ ધીમી ગતિનું પરિણામ છે. વાહકમાં પ્રકાશની ગતિની વ્યાખ્યા અને ગણતરી આપી શકાય છે. વાહકની અંદર, પોઇન્ટિંગ વેક્ટર વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી વાયરમાં ઊર્જાના પ્રવાહને રજૂ કરે છે, જે વાયરમાં પ્રતિરોધક જુલ ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે. સ્નેલના નિયમથી શરૂ થતી વ્યુત્પત્તિ માટે રીટ્ઝ પાનું 454 જુઓ. વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રની રેખીય ગતિની ઘનતા S/c2 છે જ્યાં S એ પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની તીવ્રતા છે અને c એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. લક્ષ્યની સપાટી પર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ દ્વારા લાદવામાં આવેલ કિરણોત્સર્ગનું દબાણ પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની વિશિષ્ટતા દ્વારા આપવામાં આવે છે પોઇન્ટિંગ વેક્ટર પોઇન્ટિંગના પ્રમેયમાં તેના વિચલન દ્વારા જ જોવા મળે છે, એટલે કે, તે માત્ર જરૂરી છે કે બંધ સપાટીની આસપાસ પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની સપાટીનું અભિન્ન અંગ બંધ કદમાં અથવા બહાર વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જાના ચોખ્ખા પ્રવાહનું વર્ણન કરે. આનો અર્થ એ છે કે S માં સોલેનોઇડલ વેક્ટર ક્ષેત્ર (શૂન્ય વિચલન સાથેનું એક) ઉમેરવાથી બીજું ક્ષેત્ર બનશે જે પોઇન્ટિંગના પ્રમેય અનુસાર પોઇન્ટિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રના આ જરૂરી ગુણધર્મને સંતોષે છે. કોઈપણ વળાંકનું વિચલન શૂન્ય હોવાથી, કોઈ પણ વેક્ટર ક્ષેત્રના વળાંકને પોઇન્ટિંગ વેક્ટરમાં ઉમેરી શકે છે અને પરિણામી વેક્ટર ક્ષેત્ર S′ હજુ પણ પોઇન્ટિંગના પ્રમેયને સંતોષશે. જો કે પોઇન્ટિંગ વેક્ટર મૂળરૂપે માત્ર પોઇન્ટિંગના પ્રમેય માટે ઘડવામાં આવ્યો હતો જેમાં માત્ર તેનું વિચલન દેખાય છે, તે તારણ આપે છે કે તેના સ્વરૂપની ઉપરોક્ત પસંદગી અનન્ય છે. નીચેનો વિભાગ એક ઉદાહરણ આપે છે જે સમજાવે છે કે શા માટે ઇ × એચ સ્થિર ક્ષેત્રોમાં મનસ્વી સોલેનોઇડલ ક્ષેત્ર ઉમેરવું સ્વીકાર્ય નથી સ્થિર ક્ષેત્રોમાં પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની વિચારણા મેક્સવેલ સમીકરણોની સાપેક્ષ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે અને લોરેન્ટ્ઝ બળના ચુંબકીય ઘટકની વધુ સારી સમજણ આપે છે. સમજાવવા માટે, સાથેનું ચિત્ર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જે નળાકાર કેપેસિટરમાં પોઇન્ટિંગ વેક્ટરનું વર્ણન કરે છે, જે કાયમી ચુંબક દ્વારા પેદા થયેલ એચ ક્ષેત્ર (પૃષ્ઠ તરફ નિર્દેશ કરતા) માં સ્થિત છે. માત્ર સ્થિર વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોવા છતાં, પોઇન્ટિંગ વેક્ટરની ગણતરી વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જાનો ઘડિયાળની દિશામાં ગોળાકાર પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે, જેમાં કોઈ શરૂઆત કે અંત નથી. જ્યારે પરિભ્રમણ કરતી ઊર્જાનો પ્રવાહ બિન-ભૌતિક લાગે છે, ત્યારે કોણીય ગતિનું સંરક્ષણ જાળવવા માટે તેનું અસ્તિત્વ જરૂરી છે. મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ગતિ તેની શક્તિને c વડે ભાગ્યા બરાબર હોય છે, જે પ્રકાશની ગતિ છે. તેથી વિદ્યુતચુંબકીય ઊર્જાનો ગોળાકાર પ્રવાહ કોણીય વેગ સૂચવે છે. જો કોઈ ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરની બે પ્લેટ વચ્ચે વાયરને જોડશે, તો તે વાયર પર લોરેન્ટ્ઝ બળ હશે જ્યારે કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ કરંટ અને ક્રોસ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ડિસ્ચાર્જ થઈ રહ્યું છે; તે બળ કેન્દ્રિય અક્ષને સ્પર્શક હશે અને આમ સિસ્ટમમાં કોણીય વેગ ઉમેરશે. તે કોણીય વેગ "છુપાયેલા" કોણીય વેગ સાથે મેળ ખાશે, જે પોઇન્ટિંગ વેક્ટર દ્વારા જાહેર કરવામાં આવ્યો હતો, જે કેપેસિટર વિસર્જિત થાય તે પહેલાં ફરતો હતો. વેવ વેક્ટર સંદર્ભો પણ જુઓ વધુ વાંચન ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશન ઓપ્ટિકલ ક્વોન્ટિટી વેક્ટર (ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર)