Probability space
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, સંભાવના જગ્યા અથવા સંભાવના ત્રણ ગણી એ એક ગાણિતિક રચના છે જે અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા અથવા "પ્રયોગ" નું ઔપચારિક મોડેલ પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ સંભાવના જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જે a ના ફેંકવાનું મોડેલ બનાવે છે. સંભાવના અવકાશમાં ત્રણ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છેઃ એક નમૂનાની જગ્યા, જે તમામ સંભવિત પરિણામોનો સમૂહ છે. ઇવેન્ટ સ્પેસ, જે ઇવેન્ટ્સનો સમૂહ છે, એક ઇવેન્ટ જે નમૂનાની જગ્યામાં પરિણામોનો સમૂહ છે. સંભાવના કાર્ય, જે ઘટના અવકાશમાં દરેક ઘટનાને સંભાવના સોંપે છે, જે 0 અને 1 વચ્ચેની સંખ્યા છે. સંભાવનાનું સમજદાર મોડેલ પ્રદાન કરવા માટે, આ તત્વોએ આ લેખમાં વિગતવાર સંખ્યાબંધ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષવા જોઈએ. પ્રમાણભૂત ડાઇના ફેંકવાના ઉદાહરણમાં, આપણે નમૂનાની જગ્યા લઈશું. ઇવેન્ટ સ્પેસ માટે, આપણે ફક્ત નમૂનાની જગ્યાના તમામ સબસેટ્સના સમૂહનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જેમાં પછી ("5 પર ડાઇ લેન્ડ્સ") જેવી સરળ ઘટનાઓ, તેમજ ("સમ સંખ્યા પર ડાઇ લેન્ડ્સ") જેવી જટિલ ઘટનાઓ હશે. છેવટે, સંભાવના કાર્ય માટે, આપણે દરેક ઘટનાને તે ઘટનાના પરિણામોની સંખ્યાને 6 દ્વારા વિભાજિત કરીને નકશો બનાવીશું-તેથી ઉદાહરણ તરીકે, તેને નકશો કરવામાં આવશે, અને તેને નકશો કરવામાં આવશે. જ્યારે કોઈ પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે કલ્પના કરીએ છીએ કે "પ્રકૃતિ" નમૂનાની જગ્યામાંથી એક જ પરિણામ પસંદ કરે છે. ઇવેન્ટ જગ્યામાં પસંદ કરેલ પરિણામ ધરાવતી તમામ ઘટનાઓ "આવી છે" એમ કહેવાય છે. આ "પસંદગી" એવી રીતે થાય છે કે જો પ્રયોગને ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે, તો દરેક ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા, પ્રયોગોની કુલ સંખ્યાના અપૂર્ણાંક તરીકે, સંભાવના કાર્ય દ્વારા તે ઘટનાને સોંપવામાં આવેલી સંભાવના તરફ વલણ ધરાવે છે. સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રી એન્ડ્રી કોલ્મોગોરોવે 1930ના દાયકામાં સંભાવનાના અન્ય સિદ્ધાંતો સાથે સંભાવના અવકાશની કલ્પના રજૂ કરી હતી. આધુનિક સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સ્વયંસિદ્ધિકરણ માટે સંખ્યાબંધ વૈકલ્પિક અભિગમો છે-ઉદાહરણ તરીકે, યાદૃચ્છિક ચલોનું બીજગણિત. સંભાવના જગ્યા એ એક ગાણિતિક ત્રિપુટી છે જે વાસ્તવિક દુનિયાની પરિસ્થિતિઓના ચોક્કસ વર્ગ માટે એક મોડેલ રજૂ કરે છે. અન્ય મોડેલોની જેમ, તેના લેખક આખરે વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે કયા ઘટકો, અને તેમાં હશે. નમૂનાની જગ્યા એ તમામ સંભવિત પરિણામોનો સમૂહ છે. પરિણામ એ મોડેલના એક જ અમલનું પરિણામ છે. પરિણામો પ્રકૃતિની સ્થિતિઓ, શક્યતાઓ, પ્રાયોગિક પરિણામો અને તેના જેવા હોઈ શકે છે. વાસ્તવિક દુનિયાની પરિસ્થિતિના દરેક ઉદાહરણ (અથવા પ્રયોગની દોડ) એ બરાબર એક જ પરિણામ આપવું જોઈએ. જો પ્રયોગના જુદા જુદા ભાગોના પરિણામો કોઈ પણ રીતે અલગ હોય, તો તે અલગ પરિણામો છે. કયા તફાવતો મહત્ત્વના છે તે આપણે કયા પ્રકારનું વિશ્લેષણ કરવા માંગીએ છીએ તેના પર આધાર રાખે છે. આ નમૂનાની જગ્યાની વિવિધ પસંદગીઓ તરફ દોરી જાય છે. σ-બીજગણિત એ તમામ ઘટનાઓનો સંગ્રહ છે જે આપણે ધ્યાનમાં લેવા માંગીએ છીએ. આ સંગ્રહમાં દરેક પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમાવેશ થઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. અહીં, "ઘટના" એ શૂન્ય અથવા વધુ પરિણામોનો સમૂહ છે; એટલે કે, નમૂનાની જગ્યાનો સબસેટ. એક પ્રયોગ દરમિયાન એક ઘટના "બની" હોવાનું માનવામાં આવે છે જ્યારે પછીનું પરિણામ ઘટનાનું એક તત્વ હોય છે. એક જ પરિણામ ઘણી ઘટનાઓનું સભ્ય હોઈ શકે છે, તેથી એક જ પરિણામને ધ્યાનમાં રાખીને ઘણી ઘટનાઓ બની હોવાનું શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અજમાયશમાં બે પાસા ફેંકવાનો સમાવેશ થાય છે, ત્યારે 7 પીપ્સના સરવાળા સાથેના તમામ પરિણામોનો સમૂહ એક ઇવેન્ટની રચના કરી શકે છે, જ્યારે વિચિત્ર સંખ્યામાં પીપ્સ સાથેના પરિણામો અન્ય ઇવેન્ટની રચના કરી શકે છે. જો પરિણામ પ્રથમ ડાઈ પર બે પીપ્સ અને બીજા પર પાંચ પીપ્સની પ્રાથમિક ઘટનાનું તત્વ હોય, તો પછી બંને ઘટનાઓ, "7 પીપ્સ" અને "વિચિત્ર સંખ્યામાં પીપ્સ" થઈ હોવાનું કહેવાય છે. સંભાવનાનું માપ એ ઘટનાની સંભાવનાને પરત કરતું સમૂહ કાર્ય છે. સંભાવના એ શૂન્ય (અશક્ય ઘટનાઓની સંભાવના શૂન્ય હોય છે, જોકે સંભાવના-શૂન્ય ઘટનાઓ અનિવાર્યપણે અશક્ય નથી) અને એક (ઘટના લગભગ ચોક્કસપણે થાય છે, લગભગ સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે) વચ્ચેની વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આમ એક કાર્ય છે સંભાવના માપન કાર્યએ બે સરળ જરૂરિયાતોને સંતોષવી જોઈએઃ પ્રથમ, પરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓના ગણતરીપાત્ર જોડાણની સંભાવના આ દરેક ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગણતરીપાત્ર સરવાળા જેટલી હોવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, પરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓના જોડાણની સંભાવના અને એક સિક્કા ઉછાળવાના અવ્યવસ્થિત પ્રયોગમાં, માટે સંભાવના અને માટે સંભાવનાનો સરવાળો છે. બીજું, નમૂનાની જગ્યાની સંભાવના 1 ની બરાબર હોવી જોઈએ (જે એ હકીકત માટે જવાબદાર છે કે, મોડેલના અમલને જોતાં, કેટલાક પરિણામ આવવું આવશ્યક છે). અગાઉના ઉદાહરણમાં પરિણામોના સમૂહની સંભાવના એકની બરાબર હોવી જોઈએ, કારણ કે તે સંપૂર્ણપણે ચોક્કસ છે કે પરિણામ કાં તો હશે અથવા (મોડેલ અન્ય કોઈ સંભાવનાની અવગણના કરે છે) એક સિક્કા ઉછાળવામાં. નમૂનાની જગ્યાના દરેક સબસેટને એક ઘટના ગણવી જરૂરી નથીઃ કેટલાક સબસેટ્સ ફક્ત રસ ધરાવતા નથી, અન્યને "માપી શકાતા નથી". સિક્કા ફેંકવા જેવા કિસ્સામાં આ એટલું સ્પષ્ટ નથી. એક અલગ ઉદાહરણમાં, ભાલા ફેંકવાની લંબાઈને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, જ્યાં ઘટનાઓ સામાન્ય રીતે "60 અને 65 મીટર વચ્ચે" જેવા અંતરાલો અને આવા અંતરાલોના સંયોજનો હોય છે, પરંતુ "60 અને 65 મીટર વચ્ચેની અતાર્કિક સંખ્યાઓ" જેવા સમૂહો નથી. વ્યાખ્યા ટૂંકમાં, સંભાવના જગ્યા એ એક માપ જગ્યા છે જેમ કે સમગ્ર જગ્યાનું માપ એક બરાબર હોય છે. વિસ્તૃત વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છેઃ સંભાવના અવકાશ એ ત્રણ ગણો બનેલો છેઃ નમૂનાની જગ્યા-એક મનસ્વી બિન-ખાલી સમૂહ, σ-બીજગણિત (જેને σ-ક્ષેત્ર પણ કહેવાય છે)-ઘટનાઓના ઉપગણોનો સમૂહ, જેમ કેઃ નમૂનાની જગ્યા ધરાવે છેઃ, પૂરક હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છેઃ જો, તો પછી પણ, ગણતરીપાત્ર જોડાણ હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છેઃ જો માટે, તો પછી પણ અગાઉના બે ગુણધર્મો અને ડી મોર્ગનના નિયમમાંથી ઉપસંહાર એ છે કે તે પણ ગણતરીપાત્ર આંતરછેદો હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છેઃ જો માટે, તો સંભાવના માપ પણ-એક કાર્ય કે જેના પરઃ P એ ગણતરીપાત્ર ઉમેરણ છે (જેને σ-ઉમેરણ પણ કહેવાય છે): જો જોડી મુજબ વિભાજીત સમૂહોનો ગણતરીપાત્ર સંગ્રહ છે, તો પછી ડિસ્ક્રીટ કેસ ડિસ્ક્રીટ પ્રોબેબીલીટી થિયરીને માત્ર મોટાભાગની ગણતરીપાત્ર નમૂનાની જગ્યાઓ પર જ જરૂર છે. સંભાવનાઓને પ્રોબેબિલિટી માસ ફંક્શન દ્વારા બિંદુઓ સાથે જોડી શકાય છે. ના તમામ ઉપગણને ઘટનાઓ તરીકે ગણી શકાય (આમ, પાવર સેટ છે). સંભાવના માપ સરળ સ્વરૂપ લે છે સૌથી મોટું σ-બીજગણિત સંપૂર્ણ માહિતીનું વર્ણન કરે છે. સામાન્ય રીતે, σ-બીજગણિત મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર પાર્ટીશનને અનુરૂપ હોય છે, જે ઘટનાનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે. ઉદાહરણો પણ જુઓ. કેસને વ્યાખ્યા દ્વારા મંજૂરી આપવામાં આવી છે, પરંતુ ભાગ્યે જ તેનો ઉપયોગ થાય છે, કારણ કે આવા કેસને નમૂનાની જગ્યામાંથી સુરક્ષિત રીતે બાકાત રાખી શકાય છે. સામાન્ય કેસ જો અગણિત હોય, તો પણ, એવું થઈ શકે છે કે કેટલાક લોકો માટે; આવા અણુઓ કહેવાય છે. તેઓ સૌથી વધુ ગણતરીપાત્ર (કદાચ ખાલી) સમૂહ છે, જેની સંભાવના એ તમામ અણુઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે. જો આ સરવાળો 1 ની બરાબર હોય તો અન્ય તમામ બિંદુઓને નમૂનાની જગ્યામાંથી સુરક્ષિત રીતે બાકાત રાખી શકાય છે, જે આપણને અલગ કેસમાં પરત કરે છે. નહિંતર, જો તમામ અણુઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 0 અને 1 ની વચ્ચે હોય, તો સંભાવના જગ્યા એક અલગ (અણુ) ભાગ (કદાચ ખાલી) અને બિન-અણુ ભાગમાં વિઘટિત થાય છે. જો બધા માટે (આ કિસ્સામાં, ω અગણિત હોવું જોઈએ, કારણ કે અન્યથા સંતુષ્ટ કરી શકાતું નથી), તો સમીકરણ () નિષ્ફળ જાય છેઃ સમૂહની સંભાવના એ તેના તત્વોની સંભાવનાઓ પરનો સરવાળો જરૂરી નથી, કારણ કે સરવાળો માત્ર તત્વોની ગણતરીપાત્ર સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સંભાવના અવકાશ સિદ્ધાંતને વધુ તકનીકી બનાવે છે. સરવાળા કરતાં વધુ મજબૂત રચના, માપ સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે. શરૂઆતમાં સંભાવનાઓ કેટલાક "જનરેટર" સમૂહોને આભારી છે (ઉદાહરણો જુઓ). પછી મર્યાદિત પ્રક્રિયા એવા સમૂહોને સંભાવનાઓ સોંપવાની મંજૂરી આપે છે જે જનરેટર સમૂહોના ક્રમની મર્યાદાઓ અથવા મર્યાદાની મર્યાદાઓ વગેરે હોય. આ બધા સમૂહો σ-બીજગણિત છે. તકનીકી વિગતો માટે કારાથિઓડોરીનું વિસ્તરણ પ્રમેય જુઓ. સાથે જોડાયેલા સમૂહોને માપી શકાય તેવા કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે તેઓ જનરેટર સમૂહો કરતાં વધુ જટિલ હોય છે, પરંતુ બિન-માપી શકાય તેવા સમૂહો કરતાં વધુ સારા હોય છે. સંપૂર્ણ સંભાવના જગ્યા સંભાવના જગ્યા એ સંપૂર્ણ સંભાવના જગ્યા કહેવાય છે જો બધા માટે અને બધા માટે હોય. મોટેભાગે, સંભાવના જગ્યાઓનો અભ્યાસ પૂર્ણ સંભાવના જગ્યાઓ સુધી મર્યાદિત હોય છે. ઉદાહરણો અલગ ઉદાહરણો ઉદાહરણ 1 જો પ્રયોગમાં વાજબી સિક્કાની માત્ર એક ફેર હોય, તો પરિણામ કાં તો હેડ અથવા પૂંછડી હોય છેઃ σ-બીજગણિતમાં ઘટનાઓ હોય છે, એટલે કેઃ ("હેડ"), ("પૂંછડીઓ"), ("હેડ કે ટેલ્સ નહીં"), અને ("હેડ કે ટેલ્સ"); બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,. માથા ઉછાળવાની પચાસ ટકા તક છે અને પૂંછડીઓ માટે પચાસ ટકા તક છે, તેથી આ ઉદાહરણમાં સંભાવનાનું માપ છે,,,. ઉદાહરણ 2 વાજબી સિક્કો ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે. ત્યાં 8 સંભવિત પરિણામો છેઃ (ઉદાહરણ તરીકે અહીં "HTH" નો અર્થ એ છે કે પ્રથમ વખત સિક્કો માથા પર પડ્યો, બીજી વખત પૂંછડી, અને છેલ્લી વખત ફરીથી માથા પર). સંપૂર્ણ માહિતી ઘટનાઓના σ-બીજગણિત દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જ્યાં દરેક ઘટના ω નો સબસેટ હોય છે. એલિસ માત્ર બીજી ટોસનું પરિણામ જાણે છે. આમ તેની અપૂર્ણ માહિતી પાર્ટીશન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જ્યાં ′ એ ડિસજોઈન્ટ યુનિયન છે, અને અનુરૂપ σ-બીજગણિત છે. બ્રાયન માત્ર પૂંછડીઓની કુલ સંખ્યા જાણે છે. તેમના વિભાજનમાં ચાર ભાગો છેઃ તે મુજબ, તેમના σ-બીજગણિતમાં 24 = 16 ઘટનાઓ છે. બે σ-આલ્જેબ્રાઓ અજોડ છેઃ ન તો ન તો; બંને 2 ઓહ્મના પેટા-σ-આલ્જેબ્રા છે. ઉદાહરણ 3 જો કેલિફોર્નિયાના તમામ મતદારોમાંથી 100 મતદારોને અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવે અને પૂછવામાં આવે કે તેઓ ગવર્નરને કોને મત આપશે, તો પછી 100 કેલિફોર્નિયાના મતદારોના તમામ ક્રમોનો સમૂહ નમૂના જગ્યા હશે. અમે ધારીએ છીએ કે રિપ્લેસમેન્ટ વિના સેમ્પલિંગનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છેઃ માત્ર 100 જુદા જુદા મતદારોના ક્રમની મંજૂરી છે. સરળતા માટે ક્રમબદ્ધ નમૂનાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, એટલે કે એક ક્રમ (એલિસ, બ્રાયન) (બ્રાયન, એલિસ) થી અલગ છે. અમે એ પણ સ્વીકારીએ છીએ કે દરેક સંભવિત મતદાર તેની/તેણીની ભવિષ્યની પસંદગી બરાબર જાણે છે, એટલે કે તે/તેણી અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ નથી કરતા. એલિસ માત્ર એટલું જ જાણે છે કે આર્નોલ્ડ શ્વાર્ઝેનેગરને ઓછામાં ઓછા 60 મત મળ્યા છે કે નહીં. તેણીની અપૂર્ણ માહિતીને σ-બીજગણિત દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ (1) ω માં તમામ ક્રમોનો સમૂહ જ્યાં ઓછામાં ઓછા 60 લોકો શ્વાર્ઝેનેગરને મત આપે છે; (2) તમામ ક્રમોનો સમૂહ જ્યાં 60 થી ઓછા લોકો શ્વાર્ઝેનેગરને મત આપે છે; (3) સંપૂર્ણ નમૂનાની જગ્યા ω; અને (4) ખાલી સમૂહ યુ. બ્રાયન જાણે છે કે કેટલા મતદારો શ્વાર્ઝેનેગરને મત આપવા જઈ રહ્યા છે. તેની અપૂર્ણ માહિતી અનુરૂપ પાર્ટીશન દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે અને σ-બીજગણિતમાં 2101 ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે. આ કિસ્સામાં એલિસનું σ-બીજગણિત બ્રાયનનું પેટા સમૂહ છેઃ બ્રાયનનું σ-બીજગણિત બદલામાં ઘણી મોટી "સંપૂર્ણ માહિતી" σ-બીજગણિતનો ઉપગણ છે, જેમાં ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં n એ કેલિફોર્નિયામાં તમામ સંભવિત મતદારોની સંખ્યા છે. બિન-પરમાણુ ઉદાહરણો ઉદાહરણ 4 0 અને 1 વચ્ચેની સંખ્યા એકસરખી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. અહીં ω = [0,1], એ ω પર બોરેલ સમૂહોનું σ-બીજગણિત છે, અને P એ [0,1] પર લેબસ્ગ્યુ માપ છે. આ કિસ્સામાં ફોર્મના ખુલ્લા અંતરાલો, જ્યાં, જનરેટર સેટ તરીકે લઈ શકાય છે. આવા દરેક સમૂહની સંભાવના ગણી શકાય, જે [0,1] પર લેબસ્ગ્યુ માપ અને ω પર બોરેલ σ-બીજગણિત પેદા કરે છે. ઉદાહરણ 5 એક વાજબી સિક્કો અવિરત ફેંકવામાં આવે છે. અહીં કોઈ પણ વ્યક્તિ 0 અને 1 સંખ્યાઓના તમામ અનંત ક્રમોનો સમૂહ ω = {0,1} φ લઈ શકે છે. સિલિન્ડર સેટનો ઉપયોગ જનરેટર સેટ તરીકે થઈ શકે છે. આવા દરેક સમૂહ એ ઘટનાનું વર્ણન કરે છે જેમાં પ્રથમ એન ટૉસ એક નિશ્ચિત અનુક્રમમાં પરિણમે છે, અને બાકીનો ક્રમ મનસ્વી હોઈ શકે છે. આવી દરેક ઘટનાને સ્વાભાવિક રીતે 2 − n ની સંભાવના આપી શકાય છે. આ બે બિન-પરમાણુ ઉદાહરણો નજીકથી સંબંધિત છેઃ એક ક્રમ સંખ્યા તરફ દોરી જાય છે. આ {0,1} φ અને [0,1] વચ્ચેનો એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર નથી, જો કેઃ તે એક સમરૂપતા મોડ્યુલો શૂન્ય છે, જે બે સંભાવના જગ્યાઓને સમાન સંભાવના જગ્યાના બે સ્વરૂપો તરીકે ગણવાની મંજૂરી આપે છે. હકીકતમાં, આ અર્થમાં તમામ બિન-પેથોલોજીકલ બિન-અણુ સંભાવના જગ્યાઓ સમાન છે. તેઓ કહેવાતી પ્રમાણભૂત સંભાવના જગ્યાઓ છે. સંભાવના જગ્યાઓના મૂળભૂત ઉપયોગો પ્રમાણભૂતતા પ્રત્યે અસંવેદનશીલ છે. જો કે, પ્રમાણભૂત સંભાવના જગ્યાઓ પર બિન-સ્વતંત્ર અનુકૂલન સરળ અને કુદરતી છે, અન્યથા તે અસ્પષ્ટ બની જાય છે. સંબંધિત વિભાવનાઓ સંભાવના વિતરણ કોઈપણ સંભાવના વિતરણ સંભાવના માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ એ રેન્ડમ વેરિયેબલ X એ માપી શકાય તેવું વિધેય X: ω → S છે જે નમૂનાની જગ્યા ω થી અન્ય માપી શકાય તેવી જગ્યા S સુધી જાય છે જેને સ્ટેટ સ્પેસ કહેવાય છે. જો એ. વાય. એસ. હોય, તો નોટેશન પી. આર. (એક્સ. એ.) એ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતો લઘુલિપિ છે. નમૂનાની જગ્યાના સંદર્ભમાં ઘટનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવી જો ω ગણતરીપાત્ર હોય તો આપણે લગભગ હંમેશા ω ના પાવર સેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, એટલે કે. જે તુચ્છ રીતે σ-બીજગણિત છે અને સૌથી મોટું જે આપણે ω નો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકીએ છીએ. તેથી આપણે સંભાવના જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે (ω, P) ને અવગણી અને લખી શકીએ છીએ. બીજી બાજુ, જો ω અગણિત હોય અને આપણે તેનો ઉપયોગ કરીએ તો આપણે આપણા સંભાવના માપ P ને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં મુશ્કેલીમાં મુકાઈ જઈએ છીએ કારણ કે તે ખૂબ "મોટું" છે, એટલે કે. ઘણીવાર એવા સમૂહો હશે કે જેને અનન્ય માપ સોંપવું અશક્ય હશે. આ કિસ્સામાં, આપણે નાના σ-બીજગણિતનો ઉપયોગ કરવો પડશે, ઉદાહરણ તરીકે ω નું બોરેલ બીજગણિત, જે સૌથી નાનું σ-બીજગણિત છે જે તમામ ખુલ્લા સમૂહોને માપી શકાય તેવું બનાવે છે. શરતી સંભાવના કોલ્મોગોરોવની સંભાવના જગ્યાઓની વ્યાખ્યા શરતી સંભાવનાના કુદરતી ખ્યાલને જન્મ આપે છે. બિન-શૂન્ય સંભાવના (એટલે કે,) સાથેનો દરેક સમૂહ જગ્યા પર અન્ય સંભાવના માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આને સામાન્ય રીતે "A આપવામાં આવેલ B ની સંભાવના" તરીકે ઉચ્ચારવામાં આવે છે. કોઈપણ ઘટના માટે, જેમ કે, તમામ ઘટનાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય પોતે એક સંભાવના માપ છે. સ્વતંત્રતા બે ઘટનાઓ, એ અને બી સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે. બે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ, અને, સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે જો સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ ઘટના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ ઘટનાથી સ્વતંત્ર હોય. ઔપચારિક રીતે, તેઓ સ્વતંત્ર σ-આલ્જેબ્રા ઉત્પન્ન કરે છે, જ્યાં બે σ-આલ્જેબ્રા અને, જે તેના ઉપગણ છે, જો તેનું કોઈપણ તત્વ તેના કોઈપણ તત્વથી સ્વતંત્ર હોય તો તે સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે. પરસ્પર વિશિષ્ટતા બે ઘટનાઓ, અને જો એકની ઘટના બીજાની બિન-ઘટના સૂચવે છે, એટલે કે, તેમનું આંતરછેદ ખાલી છે, તો તેને પરસ્પર વિશિષ્ટ અથવા અસંબદ્ધ કહેવામાં આવે છે. આ તેમના આંતરછેદના શૂન્ય હોવાની સંભાવના કરતાં વધુ મજબૂત સ્થિતિ છે. જો અને અસંબદ્ધ ઘટનાઓ છે, તો પછી. આ ઘટનાઓના (મર્યાદિત અથવા ગણનાત્મક રીતે અનંત) ક્રમ સુધી વિસ્તરે છે. જો કે, ઘટનાઓના અગણિત સમૂહના જોડાણની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ હોય, તો કોઈપણ માટે 0 છે, પરંતુ. આ ઘટનાને "એ અને બી" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને ઘટનાને "એ અથવા બી" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ અવકાશ (ગણિત) માપન અવકાશ અસ્પષ્ટ માપન સિદ્ધાંત ફિલ્ટર કરેલ સંભાવના અવકાશ તાલાગ્રાન્ડની સાંદ્રતા અસમાનતા સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ પિયર સિમોન ડી લેપલેસ (1812) સંભાવનાનો વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત સંભાવના સિદ્ધાંત સાથે કલનનું મિશ્રણ કરતો પ્રથમ મુખ્ય ગ્રંથ, મૂળ ફ્રેન્ચમાંઃ થિયોરી એનાલિટીક ડેસ પ્રોબેબિલિટિસ. આન્દ્રેઈ નિકોલાજેવિચ કોલ્મોગોરોવ (1950) સંભાવના સિદ્ધાંતના પાયા સંભાવના સિદ્ધાંતનો આધુનિક માપ-સૈદ્ધાંતિક પાયો; મૂળ જર્મન સંસ્કરણ (ગ્રુન્ડબેગ્રિફ ડેર વાહરશેઇનલિચકીટ્રેચનંગ) 1933માં દેખાયું હતું. હેરોલ્ડ જેફ્રીસ (1939) સંભાવના સિદ્ધાંત એક અનુભવવાદી, સંભાવના સિદ્ધાંતના પાયા માટે બાયેસિયન અભિગમ. એડવર્ડ નેલ્સન (1987) ધરમૂળથી પ્રાથમિક સંભાવના સિદ્ધાંત બિન-માનક વિશ્લેષણ પર આધારિત સંભાવના સિદ્ધાંતના પાયા. ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. http://www.math.princeton.edu ~ નેલ્સન/પુસ્તકો. એચટીએમએલ પેટ્રિક બિલિંગ્સલીઃ સંભાવના અને માપ, જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ન્યૂ યોર્ક, ટોરોન્ટો, લંડન, 1979. હેન્ક ટિજ્મ્સ (2004) સંભાવના સમજવી શિખાઉ માણસ માટે સંભાવના સિદ્ધાંતનો જીવંત પરિચય, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ કરો. ડેવિડ વિલિયમ્સ (1991) માર્ટિંગેલ્સ સાથે સંભાવના માપ-સૈદ્ધાંતિક સંભાવના માટે એક સ્નાતક પરિચય, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ કરો. બાહ્ય કડીઓ પાસાઓની સંભાવના જગ્યાનું પ્રદર્શન કરતી એનિમેશન વર્ચ્યુઅલ લેબોરેટરીઝ ઇન પ્રોબેબિલિટી એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ (મુખ્ય લેખક કાઇલ સિગ્રિસ્ટ), ખાસ કરીને, પ્રોબેબિલિટી સ્પેસ સિટિઝેન્ડિયમ કમ્પ્લીટ પ્રોબેબિલિટી સ્પેસ એક્સપેરિમેન્ટ (પ્રોબેબિલિટી થિયરી) સ્પેસ (ગણિત)