Complete lattice
ગણિતમાં, સંપૂર્ણ જાળી એ આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે જેમાં તમામ ઉપગણમાં સર્વોચ્ચતા (જોડ) અને અનંત (મળવું) બંને હોય છે. એક જાળી જે આમાંના ઓછામાં ઓછા એક ગુણધર્મને સંતોષે છે તેને શરતી રીતે સંપૂર્ણ જાળી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સરખામણી માટે, સામાન્ય જાળીમાં, માત્ર તત્વોની જોડીમાં સર્વોચ્ચતા અને અનંત હોવું જરૂરી છે. દરેક બિન-ખાલી મર્યાદિત જાળી પૂર્ણ છે, પરંતુ અનંત જાળી અપૂર્ણ હોઈ શકે છે. ગણિત અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં ઘણી એપ્લિકેશનોમાં સંપૂર્ણ જાળી દેખાય છે. જાળીનું એક વિશેષ ઉદાહરણ હોવાથી, તેનો ક્રમ સિદ્ધાંત અને સાર્વત્રિક બીજગણિત એમ બંને રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ જાળીઓને સંપૂર્ણ આંશિક ઓર્ડર (સી. પી. ઓ. એસ.) સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે આંશિક રીતે ઓર્ડર કરેલા સમૂહોના કડક રીતે વધુ સામાન્ય વર્ગની રચના કરે છે. વધુ ચોક્કસ સંપૂર્ણ જાળીઓ સંપૂર્ણ બુલિયન આલ્જેબ્રા અને સંપૂર્ણ હેયટિંગ આલ્જેબ્રા (સ્થાનો) છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ (L, ≤) એ સંપૂર્ણ જાળી છે જો L ના દરેક સબસેટ A માં (L, ≤) સૌથી મોટી નીચલી બાઉન્ડ (અનંત, જેને મીટ પણ કહેવાય છે) અને ઓછામાં ઓછી ઉપલી બાઉન્ડ (સર્વોચ્ચ, જેને જોડ પણ કહેવાય છે) બંને હોય. મેળ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને જોડાય છે. ખાસ કિસ્સામાં જ્યાં A એ ખાલી સમૂહ છે, ત્યાં A નું મિલન L નું સૌથી મોટું તત્વ હશે. તેવી જ રીતે, ખાલી સમૂહનો જોડ સૌથી ઓછું તત્વ આપે છે. વ્યાખ્યા દ્વિસંગી ભેટો અને જોડાવાના અસ્તિત્વની ખાતરી પણ આપે છે, તેથી સંપૂર્ણ જાળી આ રીતે બંધાયેલ જાળીનો એક વિશેષ વર્ગ બનાવે છે. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાની વધુ અસરો ક્રમ સિદ્ધાંતમાં સંપૂર્ણતાના ગુણધર્મો પરના લેખમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. સંપૂર્ણ અર્ધવિરામ ક્રમ સિદ્ધાંતમાં, મનસ્વી મેળાવડાને મનસ્વી જોડાણોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે અને ઊલટું (વિગતો માટે, સંપૂર્ણતા (ક્રમ સિદ્ધાંત) જુઓ). અસરકારક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે તમામ સંપૂર્ણ જાળીનો વર્ગ મેળવવા માટે તમામ જોડાણો અથવા તમામ જોડાણો અસ્તિત્વમાં હોવા જરૂરી છે. પરિણામે, કેટલાક લેખકો સંપૂર્ણ જાળીનો સંદર્ભ આપવા માટે અન્ય એક રીત તરીકે સંપૂર્ણ મીટ-સેમિલેટિસ અથવા સંપૂર્ણ જોડ-સેમિલેટિસ શબ્દોનો ઉપયોગ કરે છે. પદાર્થો પર સમાન હોવા છતાં, આ શબ્દો હોમોમોર્ફિઝમની વિવિધ કલ્પનાઓનો સમાવેશ કરે છે, જેમ કે મોર્ફિઝમ્સ પરના નીચેના વિભાગમાં સમજાવવામાં આવશે. બીજી બાજુ, કેટલાક લેખકોને મોર્ફિઝમ્સના આ તફાવત માટે કોઈ ઉપયોગ નથી (ખાસ કરીને કારણ કે "સંપૂર્ણ સેમીલેટીસ મોર્ફિઝમ્સ" ની ઉભરતી વિભાવનાઓને સામાન્ય શબ્દોમાં પણ નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે). પરિણામે, સંપૂર્ણ મીટ-સેમિલેટિસિસને પણ તે મીટ-સેમિલેટિસિસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે જે સંપૂર્ણ આંશિક ઓર્ડર પણ છે. આ ખ્યાલ દલીલપૂર્વક મીટ-સેમિલેટિસની "સૌથી સંપૂર્ણ" કલ્પના છે જે હજુ સુધી જાળી નથી (હકીકતમાં, માત્ર ટોચનું તત્વ ખૂટે છે). આ ચર્ચા સેમિલેટિસ પરના લેખમાં પણ જોવા મળે છે. સંપૂર્ણ સબલેટિસીસ L ની સબલેટિસીસ M ને L ની સંપૂર્ણ સબલેટિસીસ કહેવામાં આવે છે જો M ના દરેક સબસેટ A માટે ઘટકો અને, L માં વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ, ખરેખર M માં હોય. જો ઉપરોક્ત જરૂરિયાતને માત્ર ખાલી ન હોય તેવી જરૂરિયાત માટે ઘટાડવામાં આવે અને M માં જોડાય, તો સબલેટિસ M ને L ની બંધ સબલેટિસ કહેવામાં આવે છે. શરતી રીતે પૂર્ણ લેટીસિસ A લેટિસિસને "શરતી રીતે પૂર્ણ" કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેનામાંથી કોઈ એક અથવા બંને ગુણધર્મોને સંતોષેઃ ઉપર બંધાયેલ કોઈપણ સબસેટમાં ઓછામાં ઓછી ઉપલી બાઉન્ડ હોય તો નીચે બંધાયેલ કોઈપણ સબસેટમાં સૌથી મોટી નીચલી બાઉન્ડ હોય છે ઉદાહરણ તરીકે કોઈપણ બિન-ખાલી મર્યાદિત લેટીસ તુચ્છ રીતે પૂર્ણ હોય છે. આપેલ સમૂહનો પાવર સમૂહ, સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ. સર્વોચ્ચતા સંઘ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને ઉપગણોના આંતરછેદ દ્વારા અનંત આપવામાં આવે છે. એકમ અંતરાલ [0,1] અને વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા, પરિચિત કુલ ક્રમ અને સામાન્ય સર્વોચ્ચ અને અનંત સાથે. ખરેખર, જો તે જાળી તરીકે સંપૂર્ણ હોય તો સંપૂર્ણપણે ક્રમબદ્ધ સમૂહ (તેની ક્રમ ટોપોલોજી સાથે) ટોપોલોજિકલ જગ્યા તરીકે સઘન હોય છે. બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો, વિભાજ્યતા દ્વારા ક્રમબદ્ધ. આ જાળીનું સૌથી નાનું તત્વ નંબર 1 છે, કારણ કે તે અન્ય કોઈપણ સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે. કદાચ આશ્ચર્યજનક રીતે, સૌથી મોટું તત્વ 0 છે, કારણ કે તેને અન્ય કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે. મર્યાદિત સમૂહોની સર્વોચ્ચતા સૌથી ઓછા સામાન્ય ગુણાંક દ્વારા અને મહત્તમ સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનંત સમૂહો માટે, સર્વોચ્ચ હંમેશા 0 હશે જ્યારે અનંત 1 કરતા વધારે હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમામ સમ સંખ્યાઓના સમૂહમાં સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક તરીકે 2 હોય છે. જો આ માળખામાંથી 0 દૂર કરવામાં આવે તો તે જાળી બની રહે છે પરંતુ પૂર્ણ થવાનું બંધ થઈ જાય છે. સમાવેશ હેઠળના કોઈપણ જૂથના પેટા જૂથો. (જ્યારે અહીં અનંત એ સામાન્ય સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક આંતરછેદ છે, ત્યારે પેટા જૂથોના સમૂહની સર્વોચ્ચતા એ પેટા જૂથોના સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક જોડાણ દ્વારા પેદા થયેલ પેટા જૂથ છે, સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક જોડાણ પોતે નહીં.) જો e એ G ની ઓળખ છે, તો તુચ્છ જૂથ {e} એ G નું લઘુતમ પેટાજૂથ છે, જ્યારે મહત્તમ પેટાજૂથ પોતે જૂથ G છે. મોડ્યુલના પેટા મોડ્યુલો, સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ. સર્વોચ્ચતા સબમોડ્યુલ્સના સરવાળા દ્વારા અને અનંત આંતરછેદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. રિંગના આદર્શો, સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ. સર્વોચ્ચતા આદર્શોના સરવાળા દ્વારા અને અનંત આંતરછેદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ટોપોલોજીકલ જગ્યાના ખુલ્લા સમૂહો, સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ. સર્વોચ્ચતા ખુલ્લા સમૂહોના જોડાણ દ્વારા અને આંતરછેદના આંતરિક ભાગ દ્વારા અનંત આપવામાં આવે છે. વાસ્તવિક અથવા જટિલ વેક્ટર જગ્યાના બહિર્મુખ ઉપગણ, સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ. અનંત બહિર્મુખ સમૂહોના આંતરછેદ દ્વારા અને સર્વોચ્ચ સંઘના બહિર્મુખ પત્થરો દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમૂહ પરની ટોપોલોજીઓ, સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ. અનંત ટોપોલોજીના આંતરછેદ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને ટોપોલોજીના જોડાણ દ્વારા પેદા થયેલ ટોપોલોજી દ્વારા સર્વોચ્ચતા આપવામાં આવે છે. સમૂહ પરના તમામ સંક્રમક સંબંધોની જાળી. મલ્ટીસેટના તમામ પેટા-મલ્ટીસેટની જાળી. સમૂહ પરના તમામ સમાનતા સંબંધોની જાળી; જો x ~ y હંમેશા x ≈ y સૂચવે તો સમાનતા સંબંધ ~ ને ≈ કરતા નાનો (અથવા "વધુ સારો") માનવામાં આવે છે. વોન ન્યુમેન બીજગણિતના સ્વ-સંલગ્ન અંદાજોની જાળી (જેને ઓર્થોગોનલ અંદાજો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે). સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત સંપૂર્ણ જાળી એક સંપૂર્ણ જાળી L ને સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ અનંત સબસેટનું સર્વોચ્ચતા 1 ની બરાબર હોય, અથવા સમકક્ષ, સમૂહ કોઈપણ માટે મર્યાદિત હોય. જાળી (N, |) સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત છે. આ જાળીમાં, સામાન્ય રીતે "0" દર્શાવતું તત્વ વાસ્તવમાં 1 છે અને તેનાથી ઊલટું છે. સંપૂર્ણ જાળીઓના આકારવિજ્ઞાન સંપૂર્ણ જાળી વચ્ચેના પરંપરાગત આકારવિજ્ઞાન એ સંપૂર્ણ હોમોમોર્ફિઝમ્સ (અથવા સંપૂર્ણ જાળી હોમોમોર્ફિઝમ્સ) છે. આને એવા કાર્યો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જે તમામ જોડાણોને જાળવી રાખે છે અને બધા મળે છે. સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે બે સંપૂર્ણ જાળીઓ L અને M વચ્ચેનું વિધેય f: L → M એ સંપૂર્ણ હોમોમોર્ફિઝમ છે જો અને, L ના તમામ ઉપગણ A માટે. આવા વિધેયો આપમેળે મોનોટોનિક હોય છે, પરંતુ સંપૂર્ણ હોમોમોર્ફિઝમ હોવાની સ્થિતિ હકીકતમાં વધુ ચોક્કસ છે. આ કારણોસર, મોર્ફિઝમ્સની નબળી કલ્પનાઓને ધ્યાનમાં લેવી ઉપયોગી થઈ શકે છે, જે ફક્ત તમામ જોડાણો (શ્રેણી સુપર આપીને) અથવા તમામ મીટ (શ્રેણી ઇન્ફ આપીને) જાળવવા માટે જરૂરી છે, જે ખરેખર અસમાન શરતો છે. આ કલ્પનાને અનુક્રમે સંપૂર્ણ મીટ-સેમિલેટિસ અથવા સંપૂર્ણ જોડ-સેમિલેટિસના હોમોમોર્ફિઝમ તરીકે ગણી શકાય. વધુમાં, મોર્ફિઝમ્સ કે જે તમામ જોડાણોને જાળવી રાખે છે તે સમાન રીતે એક અનન્ય ગેલોઇસ જોડાણના નીચલા સંલગ્ન ભાગ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. P અને Q પ્રીઓર્ડરની કોઈપણ જોડી માટે, આ f અને g મોનોટોન વિધેયોની જોડી દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમ કે જ્યાં f ને નીચલા સંલગ્ન અને g ને ઉપલા સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. એડજોઈન્ટ ફંકટર થીયરમ મુજબ, પ્રીઓર્ડરની કોઈપણ જોડી વચ્ચેનો મોનોટોન નકશો જો અને માત્ર જો તે નીચલા એડજોઈન્ટ હોય તો જ તમામ જોડાણો સાચવે છે, અને જો તે ઉપલા એડજોઈન્ટ હોય તો જ બધાને મળે છે. જેમ કે, દરેક જોડ-જાળવણી મોર્ફિઝમ વિપરીત દિશામાં એક અનન્ય ઉપલા સંલગ્ન નક્કી કરે છે જે તમામ મીટને સાચવે છે. તેથી, સંપૂર્ણ સેમીલેટીસ મોર્ફિઝમ્સ સાથે સંપૂર્ણ જાળીઓને ધ્યાનમાં લેવાથી ગેલોઇસ જોડાણોને મોર્ફિઝમ્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે. આનાથી એ પણ સમજ મળે છે કે રજૂ કરાયેલ મોર્ફિઝમ્સ મૂળભૂત રીતે સંપૂર્ણ જાળીની માત્ર બે જુદી જુદી શ્રેણીઓનું વર્ણન કરે છેઃ એક સંપૂર્ણ હોમોમોર્ફિઝમ્સ સાથે અને એક મીટ-પ્રિઝર્વિંગ ફંક્શન્સ (ઉપલા સંલગ્ન) સાથે, જોડ-પ્રિઝર્વિંગ મેપિંગ્સ (નીચલા સંલગ્ન) સાથે ડ્યુઅલ. એક ખાસ મહત્વનો વિશેષ કેસ પેટા સમૂહો P (X) અને P (Y) ના જાળીઓ માટે અને X થી Y સુધીના વિધેય માટે છે. આ કિસ્સામાં, પાવર સેટ વચ્ચેની સીધી છબી અને વ્યસ્ત છબી નકશા અનુક્રમે એકબીજાના ઉપલા અને નીચલા સંલગ્ન હોય છે. મુક્ત બાંધકામ અને પૂર્ણતા મુક્ત "સંપૂર્ણ અર્ધવિરામ" હંમેશની જેમ, મુક્ત પદાર્થોનું નિર્માણ મોર્ફિઝમના પસંદ કરેલા વર્ગ પર આધારિત છે. ચાલો પહેલા એવા કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ જે તમામ જોડાણો સાચવે છે (એટલે કે. ગેલોઇસ જોડાણોના નીચલા સંલગ્ન), કારણ કે આ કેસ સંપૂર્ણ હોમોમોર્ફિઝમ્સ માટેની પરિસ્થિતિ કરતાં સરળ છે. ઉપરોક્ત પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીને, આને મુક્ત સંપૂર્ણ જોડ-સામ્યતા કહી શકાય. સાર્વત્રિક બીજગણિતમાંથી પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, ઉત્પન્ન કરતા સમૂહ S પર મુક્ત સંપૂર્ણ જાળી એ એક સંપૂર્ણ જાળી L છે, જેમાં એક કાર્ય i: S → L છે, જેમ કે S થી કોઈ સંપૂર્ણ જાળી M ના અંતર્ગત સમૂહમાં કોઈપણ કાર્ય f ને L થી M સુધીના મોર્ફિઝમ દ્વારા અનન્ય રીતે પરિબળ બનાવી શકાય છે. અલગ રીતે દર્શાવેલ, S ના દરેક તત્વ s માટે આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે f (s) = f ° (i (s)) અને તે f ° આ ગુણધર્મ સાથેનું એકમાત્ર મોર્ફિઝમ છે. આ શરતો મૂળભૂત રીતે એમ કહેવા માટે છે કે સમૂહો અને કાર્યોની શ્રેણીમાંથી સંપૂર્ણ જાળીઓ અને જોડ-જાળવણી કાર્યોની શ્રેણીમાં એક ફંકટર છે જે સંપૂર્ણ જાળીઓથી તેમના અંતર્ગત સમૂહો સુધી ભૂલી ગયેલા ફંકટરની બાજુમાં છોડી દેવામાં આવે છે. આ અર્થમાં મુક્ત સંપૂર્ણ જાળીઓ ખૂબ જ સરળતાથી બનાવી શકાય છેઃ અમુક સમૂહ S દ્વારા પેદા થયેલ સંપૂર્ણ જાળી માત્ર પાવરસેટ 2S છે, એટલે કે. ઉપગણ સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ S ના તમામ ઉપગણોનો સમૂહ. જરૂરી એકમ i: S → 2S એ S ના કોઈપણ ઘટક s ને સિંગલટન સમૂહ {s} સાથે મેપ કરે છે. ઉપર મુજબ f નકશાને જોતાં, કાર્ય f °: 2S → M દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પછી f° સંઘોને સર્વોતમામાં પરિવર્તિત કરે છે અને આમ જોડાણો સાચવે છે. આપણી વિચારણાઓ મોર્ફિઝમ્સ માટે મુક્ત રચના પણ આપે છે જે જોડાવાને બદલે મેળવે છે (એટલે કે. ગેલોઇસ જોડાણોની ઉપરની બાજુઓ). હકીકતમાં, આપણે ફક્ત ઉપર જે કહેવામાં આવ્યું હતું તેને દ્વિગુણિત કરવું પડશેઃ ફ્રી ઓબ્જેક્ટ્સને રિવર્સ ઇન્ક્લુઝન દ્વારા ક્રમબદ્ધ પાવરસેટ તરીકે આપવામાં આવે છે, જેમ કે સેટ યુનિયન મીટ ઓપરેશન પ્રદાન કરે છે, અને ફંક્શન f° જોડાવાને બદલે મીટના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ બાંધકામના પરિણામને ફ્રી કમ્પ્લીટ મીટ-સેમિલેટિસ કહી શકાય. કોઈએ એ પણ નોંધવું જોઈએ કે કેવી રીતે આ મુક્ત બાંધકામો તે વિસ્તરે છે જેનો ઉપયોગ મફત અર્ધવિરામ મેળવવા માટે થાય છે, જ્યાં આપણે ફક્ત મર્યાદિત સમૂહોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. મુક્ત સંપૂર્ણ જાળી સંપૂર્ણ હોમોમોર્ફિઝમ્સ સાથે સંપૂર્ણ જાળી માટેની સ્થિતિ દેખીતી રીતે વધુ જટિલ છે. હકીકતમાં, મુક્ત સંપૂર્ણ જાળી સામાન્ય રીતે અસ્તિત્વમાં નથી. અલબત્ત, કોઈ પણ વ્યક્તિ જાળીના કિસ્સામાં જેવી જ શબ્દ સમસ્યા ઘડી શકે છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં તમામ સંભવિત શબ્દો (અથવા "શરતો") નો સંગ્રહ યોગ્ય વર્ગ હશે, કારણ કે મનસ્વી રીતે મળે છે અને જોડાય છે તેમાં દરેક મુખ્યતાના દલીલ-સમૂહો માટેની કામગીરીઓનો સમાવેશ થાય છે. આ ગુણધર્મ પોતે કોઈ સમસ્યા નથીઃ ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ મુક્ત સંપૂર્ણ અર્ધવિરામનો કેસ, તે સારી રીતે હોઈ શકે છે કે સમસ્યા શબ્દનો ઉકેલ માત્ર સમકક્ષતા વર્ગોનો સમૂહ છોડી દે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, શક્ય છે કે તમામ શબ્દોના વર્ગના યોગ્ય વર્ગોનો સમાન અર્થ હોય અને આમ મુક્ત રચનામાં ઓળખવામાં આવે. જો કે, સંપૂર્ણ જાળીની શબ્દ સમસ્યા માટેના સમાનતા વર્ગો "ખૂબ નાના" છે, જેમ કે મુક્ત સંપૂર્ણ જાળી હજુ પણ યોગ્ય વર્ગ હશે, જેને મંજૂરી નથી. હવે કોઈ એવી આશા રાખી શકે છે કે એવા કેટલાક ઉપયોગી કિસ્સાઓ છે કે જ્યાં મુક્ત સંપૂર્ણ જાળી અસ્તિત્વમાં રહેવા માટે જનરેટરનો સમૂહ પૂરતો નાનો છે. કમનસીબે, કદની મર્યાદા ખૂબ ઓછી છે અને આપણી પાસે નીચેનો પ્રમેય છેઃ ત્રણ જનરેટર પર મુક્ત સંપૂર્ણ જાળી અસ્તિત્વમાં નથી; તે એક યોગ્ય વર્ગ છે. આ નિવેદનનો પુરાવો જ્હોનસ્ટોન દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે; મૂળ દલીલ આલ્ફ્રેડ ડબ્લ્યુ. હેલ્સને આભારી છે; ફ્રી લેટીસ પરનો લેખ પણ જુઓ. પૂર્ણતા જો ઉપર ગણવામાં આવેલા જનરેટરના સમૂહની જગ્યાએ ઉપયોગમાં લેવાતા આપેલ પોસેટમાંથી સંપૂર્ણ જાળી મુક્તપણે ઉત્પન્ન થાય છે, તો પછી એક પોસેટ પૂર્ણ થવાની વાત કરે છે. આ ઓપરેશનના પરિણામની વ્યાખ્યા મુક્ત પદાર્થોની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા જેવી જ છે, જ્યાં "સમૂહો" અને "કાર્યો" ને "પોસેટ્સ" અને "મોનોટોન મેપિંગ્સ" દ્વારા બદલવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, પૂર્ણ થવાની પ્રક્રિયાને મોનોટોન કાર્યો સાથેના પોસેટ્સની શ્રેણીમાંથી યોગ્ય મોર્ફિઝમ્સ સાથે સંપૂર્ણ જાળીની કેટલીક શ્રેણીમાં ફંકટર તરીકે વર્ણવી શકાય છે જે વિપરીત દિશામાં ભૂલી જતા ફંકટરની બાજુમાં છોડી દેવામાં આવે છે. જ્યાં સુધી કોઈ વ્યક્તિ મીટ-અથવા જોઇન-પ્રિઝર્વેશન કાર્યોને મોર્ફિઝમ્સ તરીકે માને છે, ત્યાં સુધી આ કહેવાતા ડેડેકાઇન્ડ-મેકનીલ પૂર્ણતા દ્વારા સરળતાથી પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ પ્રક્રિયા માટે, પોસેટના તત્વોને (ડેડેકાઇન્ડ-) કટ્સમાં મેપ કરવામાં આવે છે, જે પછી ઉપરના સમૂહો અને મુક્ત સંપૂર્ણ (અર્ધ-) જાળીઓ માટે જે રીતે કરવામાં આવે છે તે જ રીતે મનસ્વી સંપૂર્ણ જાળીઓના અંતર્ગત પોસેટ્સમાં મેપ કરી શકાય છે. ઉપરોક્ત પરિણામ કે મુક્ત સંપૂર્ણ જાળીઓ અસ્તિત્વમાં નથી તેનો અર્થ એ છે કે પોસેટમાંથી મુક્ત બાંધકામ પણ શક્ય નથી. આ સરળતાથી એક અલગ ક્રમ સાથે સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈને જોવામાં આવે છે, જ્યાં દરેક તત્વ ફક્ત પોતાની સાથે સંબંધિત હોય છે. આ અંતર્ગત સમૂહ પર બરાબર મુક્ત સ્થિતિઓ છે. શું પોસેટમાંથી સંપૂર્ણ જાળીનું મુક્ત નિર્માણ થશે, તો પછી બંને રચનાઓ રચાઈ શકે છે, જે ઉપરના નકારાત્મક પરિણામથી વિરોધાભાસી છે. પ્રતિનિધિત્વ પહેલેથી જ જી. બિરખોફના લેટીસ થિયરી પુસ્તકમાં ખૂબ જ ઉપયોગી રજૂઆત પદ્ધતિ છે. તે સંબંધમાંથી ગેલોઇસ જોડાણ બનાવીને બે સમૂહો વચ્ચેના કોઈપણ દ્વિસંગી સંબંધ સાથે સંપૂર્ણ જાળીને સાંકળે છે, જે પછી બે દ્વિસંગી સમરૂપ બંધ પ્રણાલીઓ તરફ દોરી જાય છે. બંધ કરવાની પ્રણાલીઓ સમૂહના આંતરછેદ-બંધ પરિવારો છે. જ્યારે સબસેટ સંબંધ દ્વારા આદેશ આપવામાં આવે છે, ત્યારે તે સંપૂર્ણ જાળી હોય છે. બિરખોફની રચનાનું એક વિશેષ ઉદાહરણ મનસ્વી સ્થિતિ (પી, ≤) થી શરૂ થાય છે અને પી અને પોતે વચ્ચેના ક્રમ સંબંધ ≤ થી ગેલોઇસ જોડાણ બનાવે છે. પરિણામી સંપૂર્ણ જાળી એ ડેડેકાઇન્ડ-મેકનીલ પૂર્ણાહુતિ છે. જ્યારે આ પૂર્ણતાને એવા પોસેટ પર લાગુ કરવામાં આવે છે જે પહેલેથી જ સંપૂર્ણ જાળી છે, ત્યારે પરિણામ મૂળ એક માટે આઇસોમોર્ફિક હોય છે. આમ આપણે તરત જ શોધી કાઢીએ છીએ કે દરેક સંપૂર્ણ જાળી બર્ખોફની પદ્ધતિ દ્વારા રજૂ થાય છે, આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી. બાંધકામનો ઉપયોગ ઔપચારિક વિભાવના વિશ્લેષણમાં થાય છે, જ્યાં દ્વિસંગી સંબંધો (જેને ઔપચારિક સંદર્ભો કહેવાય છે) દ્વારા વાસ્તવિક-શબ્દની માહિતી રજૂ થાય છે અને માહિતી વિશ્લેષણ માટે સંકળાયેલ સંપૂર્ણ જાળી (જેને વિભાવના જાળી કહેવાય છે) નો ઉપયોગ કરે છે. તેથી ઔપચારિક વિભાવના વિશ્લેષણ પાછળનું ગણિત સંપૂર્ણ જાળીનો સિદ્ધાંત છે. અન્ય રજૂઆત નીચે પ્રમાણે મેળવવામાં આવે છેઃ સંપૂર્ણ જાળીનો સબસેટ પોતે જ એક સંપૂર્ણ જાળી છે (જ્યારે પ્રેરિત ક્રમ સાથે આદેશ આપવામાં આવે છે) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વધતા જતા અને સક્ષમ (પરંતુ જરૂરી નથી કે વ્યાપક) સ્વ-નકશાની છબી હોય. ઓળખ મેપિંગમાં દેખીતી રીતે આ બે ગુણધર્મો છે. આમ તમામ સંપૂર્ણ જાળીઓ બને છે. વધુ પરિણામો અગાઉના પ્રતિનિધિત્વ પરિણામો ઉપરાંત, કેટલાક અન્ય નિવેદનો છે જે સંપૂર્ણ જાળી વિશે કરી શકાય છે, અથવા જે આ કિસ્સામાં ખાસ કરીને સરળ સ્વરૂપ લે છે. એક ઉદાહરણ નેસ્ટર-ટાર્સ્કી પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે સંપૂર્ણ જાળી પર મોનોટોન કાર્યના નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ ફરીથી સંપૂર્ણ જાળી છે. આ સરળતાથી વધતા અને નિષ્ક્રિય કાર્યોની છબીઓ વિશે ઉપરોક્ત અવલોકનનું સામાન્યીકરણ તરીકે જોવામાં આવે છે, કારણ કે આ પ્રમેયના ઉદાહરણો છે. સંદર્ભો ક્લોઝર ઓપરેટર્સ લેટીસ થિયરી