Geometric distribution
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, ભૌમિતિક વિતરણ એ બે અલગ સંભાવના વિતરણોમાંથી એક છેઃ એક સફળતા મેળવવા માટે જરૂરી બર્નૌલી પરીક્ષણોની સંખ્યાનું સંભાવના વિતરણ, સમૂહ પર સમર્થિત; પ્રથમ સફળતા પહેલાં નિષ્ફળતાની સંખ્યાનું સંભાવના વિતરણ, સમૂહ પર સમર્થિત. આમાંથી કોને ભૌમિતિક વિતરણ કહેવામાં આવે છે તે પરંપરા અને સગવડની બાબત છે. આ બે અલગ-અલગ ભૌમિતિક વિતરણો એકબીજા સાથે મૂંઝવણમાં ન હોવા જોઈએ. ઘણીવાર, સ્થાનાંતરિત ભૌમિતિક વિતરણ નામ પહેલાના (વિતરણ) માટે અપનાવવામાં આવે છે; જો કે, અસ્પષ્ટતા ટાળવા માટે, સમર્થનનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કરીને, જેનો હેતુ છે તે સૂચવવું સમજદાર માનવામાં આવે છે. ભૌમિતિક વિતરણ એ સંભાવના આપે છે કે સફળતાની પ્રથમ ઘટનાને સ્વતંત્ર પરીક્ષણોની જરૂર છે, દરેક સફળતાની સંભાવના સાથે. જો દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના હોય, તો પછી-th અજમાયશ પ્રથમ સફળતા હોવાની સંભાવના ભૌમિતિક વિતરણના ઉપરોક્ત સ્વરૂપનો ઉપયોગ પ્રથમ સફળતા સુધીના અને તેના સહિત અજમાયશોની સંખ્યાને મોડેલિંગ કરવા માટે થાય છે. તેનાથી વિપરીત, ભૌમિતિક વિતરણના નીચેના સ્વરૂપનો ઉપયોગ પ્રથમ સફળતા સુધી નિષ્ફળતાની સંખ્યાને મોડેલિંગ કરવા માટે થાય છેઃ કારણ કે બંને કિસ્સાઓમાં, સંભાવનાઓનો ક્રમ ભૌમિતિક ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે જ્યાં સુધી પ્રથમ વખત "1" દેખાય નહીં ત્યાં સુધી એક સામાન્ય ડાઈ વારંવાર ફેંકવામાં આવે છે. તેને કેટલી વાર ફેંકવામાં આવે છે તેની સંભાવનાનું વિતરણ અનંત સમૂહ પર આધારભૂત છે અને તેની સાથે ભૌમિતિક વિતરણ છે. ભૌમિતિક વિતરણને જીઓ (પી) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જ્યાં. વ્યાખ્યાઓ પરીક્ષણોના ક્રમને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં દરેક પરીક્ષણમાં માત્ર બે સંભવિત પરિણામો (નિયુક્ત નિષ્ફળતા અને સફળતા) હોય છે. દરેક ટ્રાયલ માટે સફળતાની સંભાવના સમાન હોવાનું માનવામાં આવે છે. પરીક્ષણોના આવા ક્રમમાં, ભૌમિતિક વિતરણ પ્રથમ સફળતા પહેલાં નિષ્ફળતાઓની સંખ્યાને નમૂના બનાવવા માટે ઉપયોગી છે કારણ કે પ્રયોગમાં સફળતા સુધી અનિશ્ચિત સંખ્યામાં પરીક્ષણો હોઈ શકે છે, દ્વિપદી વિતરણથી વિપરીત જેમાં પરીક્ષણોની સંખ્યા હોય છે. વિતરણ એ સંભાવના આપે છે કે પ્રથમ સફળતા પહેલાં શૂન્ય નિષ્ફળતા, પ્રથમ સફળતા પહેલાં એક નિષ્ફળતા, પ્રથમ સફળતા પહેલાં બે નિષ્ફળતા વગેરે હોય છે. ધારણાઓઃ ભૌમિતિક વિતરણ ક્યારે યોગ્ય મોડેલ છે? જો નીચેની ધારણાઓ સાચી હોય તો ભૌમિતિક વિતરણ એક યોગ્ય મોડેલ છે. આ ઘટનાનું મોડેલિંગ કરવામાં આવી રહ્યું છે તે સ્વતંત્ર પરીક્ષણોનો ક્રમ છે. દરેક ટ્રાયલ માટે માત્ર બે સંભવિત પરિણામો હોય છે, જેને ઘણીવાર સફળતા અથવા નિષ્ફળતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સફળતાની સંભાવના, પી, દરેક અજમાયશ માટે સમાન છે. જો આ શરતો સાચી હોય, તો ભૌમિતિક યાદૃચ્છિક ચલ Y એ પ્રથમ સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાની સંખ્યાની ગણતરી છે. પ્રથમ સફળતા પહેલાં નિષ્ફળતાની સંભવિત સંખ્યા 0,1,2,3 વગેરે છે. ઉપરના આલેખમાં, આ રચના જમણી બાજુએ દર્શાવવામાં આવી છે. એક વૈકલ્પિક રચના એ છે કે ભૌમિતિક રેન્ડમ ચલ X એ પ્રથમ સફળતા સુધીના અને તેના સહિત પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા છે, અને નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા X−1 છે. ઉપરના આલેખમાં, આ રચના ડાબી બાજુએ દર્શાવવામાં આવી છે. સંભાવના પરિણામોના ઉદાહરણો પ્રથમ સફળતા પહેલાં k નિષ્ફળતાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર, જ્યાં સફળતાની સંભાવના p છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના q = 1 − p છે, તે k = 0,1,2,3, માટે છે. ધારો કે, ઉપલબ્ધ એન્ટી-ડિપ્રેસન્ટ દવાઓમાંથી, કોઈ ચોક્કસ દર્દી માટે કોઈ ચોક્કસ દવા અસરકારક રહેવાની સંભાવના p = 0.6 છે. આ દર્દી માટે અસરકારક હોવાનું જણાતી પ્રથમ દવા એ પ્રથમ દવાનો પ્રયાસ, બીજી દવાનો પ્રયાસ અને તેથી વધુ હોવાની સંભાવના કેટલી છે? એવી કેટલી દવાઓ છે જે અસરકારક છે તે શોધવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવશે? પ્રથમ દવા કામ કરે તેવી સંભાવના. પ્રથમ સફળતા પહેલાં શૂન્ય નિષ્ફળતાઓ હોય છે. Y = 0 નિષ્ફળતાઓ. સંભાવના પીઆર (પ્રથમ સફળતા પહેલાં શૂન્ય નિષ્ફળતા) એ ફક્ત સંભાવના છે કે પ્રથમ દવા કામ કરે છે. પ્રથમ દવા નિષ્ફળ જાય તેવી સંભાવના છે, પરંતુ બીજી દવા કામ કરે છે. પહેલી સફળતા પહેલાં એક નિષ્ફળતા હોય છે. વાય = 1 નિષ્ફળતા. ઘટનાઓના આ ક્રમની સંભાવના પીઆર (પ્રથમ દવા નિષ્ફળ જાય છે) પી (બીજી દવા સફળ થાય છે) છે, જે સંભાવના દ્વારા આપવામાં આવે છે કે પ્રથમ દવા નિષ્ફળ જાય છે, બીજી દવા નિષ્ફળ જાય છે, પરંતુ ત્રીજી દવા કામ કરે છે. પ્રથમ સફળતા પહેલાં બે નિષ્ફળતાઓ હોય છે. Y = 2 નિષ્ફળતાઓ. ઘટનાઓના આ ક્રમની સંભાવના પીઆર (પ્રથમ દવા નિષ્ફળ) પી (બીજી દવા નિષ્ફળ) પીઆર (ત્રીજી દવા સફળ) ઇ 2) એક નવવિવાહિત દંપતી બાળકો પેદા કરવાની યોજના ધરાવે છે અને પ્રથમ છોકરી સુધી ચાલુ રહેશે. પ્રથમ છોકરી પહેલાં શૂન્ય છોકરાઓ, પ્રથમ છોકરી પહેલાં એક છોકરો, પ્રથમ છોકરી પહેલાં બે છોકરાઓ વગેરે હોવાની સંભાવના કેટલી છે? છોકરી (સફળતા) હોવાની સંભાવના p = 0.5 છે અને છોકરો (નિષ્ફળતા) થવાની સંભાવના q = 1 − p = 0.5 છે. પ્રથમ છોકરી પહેલાં કોઈ છોકરા ન હોવાની સંભાવના છે પ્રથમ છોકરી પહેલાં એક છોકરાની સંભાવના છે પ્રથમ છોકરી પહેલાં બે છોકરાઓની સંભાવના છે અને તેથી વધુ. ગુણધર્મો ક્ષણો અને સંચયો પ્રથમ સફળતા મેળવવા માટે સ્વતંત્ર પરીક્ષણોની સંખ્યા માટે અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભૌમિતિક રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ X નું ભિન્નતા છેઃ તેવી જ રીતે, ભૌમિતિક રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ Y = X-1 નું અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા (વિતરણની વ્યાખ્યા જુઓ) છેઃ X નું અપેક્ષિત મૂલ્ય ઉપર મુજબ X નું અપેક્ષિત મૂલ્ય ધ્યાનમાં લો, એટલે કે. સફળતા સુધી પરીક્ષણોની સરેરાશ સંખ્યા. પ્રથમ અજમાયશમાં આપણે કાં તો સંભાવના સાથે સફળ થઈએ છીએ, અથવા આપણે સંભાવના સાથે નિષ્ફળ થઈએ છીએ. જો આપણે નિષ્ફળ જઈએ તો જ્યાં સુધી સફળતા મૂળ સરેરાશ સમાન ન હોય ત્યાં સુધી બાકીની સરેરાશ સંખ્યામાં પરીક્ષણો. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે તમામ પરીક્ષણો સ્વતંત્ર છે. આમાંથી આપણને સૂત્ર મળે છેઃ જે જો માટે ઉકેલવામાં આવે તો મળે છેઃ Y નું અપેક્ષિત મૂલ્ય કે જે ઉપર મુજબ Y નું અપેક્ષિત મૂલ્ય (1 − p)/p છે તે નીચેની રીતે દર્શાવી શકાય છેઃ સરવાળો અને તફાવતની અદલાબદલી એ હકીકત દ્વારા ન્યાયી ઠેરવવામાં આવે છે કે કન્વર્જન્ટ પાવર સિરીઝ બિંદુઓના સમૂહના કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સ પર સમાનરૂપે ભેગા થાય છે જ્યાં તેઓ ભેગા થાય છે. ધારો કે μ = (1 − p)/p એ Y નું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે. પછી Y ના સંભાવના વિતરણના સંચયો પુનરાવર્તન અપેક્ષિત મૂલ્યના ઉદાહરણોને સંતોષે છે E3) દર્દી પ્રત્યારોપણ માટે યોગ્ય મેળ ખાતા કિડની દાતાની રાહ જોઈ રહ્યો છે. જો અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલ દાતા યોગ્ય મેળ ખાય તેવી સંભાવના p = 0.1 હોય, તો મેળ ખાતા દાતા મળી આવે તે પહેલાં પરીક્ષણ કરાયેલા દાતાઓની અપેક્ષિત સંખ્યા કેટલી હશે? પી = 0.1 સાથે, પ્રથમ સફળતા પહેલાં નિષ્ફળતાની સરેરાશ સંખ્યા ઇ (વાય) = (1 − પી)/પી = (1 − 0.1)/0.1 = 9 છે. વૈકલ્પિક રચના માટે, જ્યાં X એ પ્રથમ સફળતા સુધીના અને તેના સહિત પરીક્ષણોની સંખ્યા છે, ત્યાં અપેક્ષિત મૂલ્ય E (X) = 1/p = 1/0.1 = 10 છે. ઉદાહરણ તરીકે ઉપરના 1માં, p = 0.6 સાથે, પ્રથમ સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાઓની સરેરાશ સંખ્યા E (Y) = (1−p)/p = (1−0.6)/0.6 = 0.7 છે. ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણો પ્રથમ સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા માટેની ક્ષણો પોલિલોગેરિધમ ફંક્શન ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. સામાન્ય ગુણધર્મો X અને Y ના સંભાવના-નિર્માણ કાર્યો અનુક્રમે છે, તેના સતત એનાલોગ (ઘાતાંકીય વિતરણ) ની જેમ, ભૌમિતિક વિતરણ સ્મૃતિહીન છે. એટલે કે, દરેક m અને n માટે નીચે મુજબ છે. {1,2,3,.} પર આધારભૂત ભૌમિતિક વિતરણ એ એકમાત્ર સ્મૃતિહીન અલગ વિતરણ છે. નોંધ લો કે {0,1,2,.} પર આધારભૂત ભૌમિતિક વિતરણ સ્મૃતિહીન નથી. આપેલ અપેક્ષિત મૂલ્ય સાથે {1,2,3,.} પર સમર્થિત તમામ સ્વતંત્ર સંભાવના વિતરણોમાં, પરિમાણ p = 1/μ સાથેનું ભૌમિતિક વિતરણ X એ સૌથી મોટી એન્ટ્રોપી ધરાવતું છે. પ્રથમ સફળતા પહેલાં નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા Y નું ભૌમિતિક વિતરણ અનંત રીતે વિભાજ્ય છે, એટલે કે, કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે, સ્વતંત્ર રીતે સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ Y1, Yn અસ્તિત્વમાં છે, જેનો સરવાળો Y જેટલું જ વિતરણ ધરાવે છે. જ્યાં સુધી n = 1 ન હોય ત્યાં સુધી આ ભૌમિતિક રીતે વહેંચવામાં આવશે નહીં; તેઓ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. ભૌમિતિક રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ Y ના દશાંશ અંકો સ્વતંત્ર (અને સમાન રીતે વિતરિત નહીં) રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સેંકડો અંક D માં આ સંભાવના વિતરણ છેઃ જ્યાં q = 1 − p, અને તે જ રીતે અન્ય અંકો માટે, અને, વધુ સામાન્ય રીતે, 10 કરતાં અન્ય પાયા સાથેની આંકડાકીય પ્રણાલીઓ માટે. જ્યારે આધાર 2 હોય, ત્યારે આ દર્શાવે છે કે ભૌમિતિક રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે, જેમની સંભાવના વિતરણ બિનસંયોજનક્ષમ હોય છે. ગોલમ્બ કોડિંગ એ ભૌમિતિક સ્વતંત્ર વિતરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉપસર્ગ કોડ છે. બે સ્વતંત્ર જીઓ (પી) વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો ભૌમિતિક વિતરણ નથી. સંબંધિત વિતરણો ભૌમિતિક વિતરણ Y એ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે, જેમાં r = 1 છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો Y1,., Yr પરિમાણ p સાથે સ્વતંત્ર ભૌમિતિક રીતે વિતરિત ચલ હોય, તો સરવાળો r અને p પરિમાણો સાથે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. ભૌમિતિક વિતરણ એ અલગ સંયોજન પોઈસન વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. જો Y1,., Yr સ્વતંત્ર ભૌમિતિક રીતે વિતરિત ચલ છે (સંભવતઃ વિવિધ સફળતા પરિમાણો પી. એમ. સાથે), તો તેમનું લઘુત્તમ પણ ભૌમિતિક રીતે વહેંચાયેલું છે, પરિમાણ સાથે ધારો કે 0 <r <1, અને k = 1,2,3, માટે. રેન્ડમ ચલ Xk અપેક્ષિત મૂલ્ય r k/k સાથે પોઈસન વિતરણ ધરાવે છે. પછી અપેક્ષિત મૂલ્ય r/(1−r) સાથે સમૂહ {0,1,2,.} માં મૂલ્યો લેતી ભૌમિતિક વહેંચણી છે. ઘાતાંકીય વિતરણ એ ભૌમિતિક વિતરણનું સતત એનાલોગ છે. જો X એ પરિમાણ λ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ હોય, તો ફ્લોર (અથવા સૌથી મોટું પૂર્ણાંક) કાર્ય ક્યાં છે, તે p = 1 − e − λ (આમ λ = −ln (1 − p)) પરિમાણ સાથે ભૌમિતિક રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે અને સમૂહમાં મૂલ્યો લે છે. આનો ઉપયોગ ભૌમિતિક રીતે વિતરિત સ્યુડોરાન્ડમ સંખ્યાઓ પેદા કરવા માટે થઈ શકે છે, પ્રથમ એક સમાન સ્યુડોરાન્ડમ નંબર જનરેટરમાંથી ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત સ્યુડોરાન્ડમ સંખ્યાઓ ઉત્પન્ન કરીનેઃ પછી ભૌમિતિક રીતે પરિમાણ સાથે વહેંચવામાં આવે છે, જો તે સમાનરૂપે [0,1] માં વહેંચાયેલ હોય. જો p = 1/n અને X ભૌમિતિક રીતે પરિમાણ p સાથે વહેંચાયેલું હોય, તો X/n નું વિતરણ અપેક્ષિત મૂલ્ય 1 સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ સુધી પહોંચે છે, કારણ કે વધુ સામાન્ય રીતે, જો p = λ/n, જ્યાં λ એક પરિમાણ છે, તો પછી n → φ તરીકે X/n નું વિતરણ દર λ સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ સુધી પહોંચે છેઃ તેથી X/n નું વિતરણ કાર્ય તેમાં એકરૂપ થાય છે, જે એક ઘાતાંકીય યાદૃચ્છિક ચલ છે. આંકડાકીય અનુમાન પરિમાણ અંદાજ ભૌમિતિક વિતરણના બંને પ્રકારો માટે, પરિમાણ p નો અંદાજ અપેક્ષિત મૂલ્યને નમૂનાના સરેરાશ સાથે સરખાવીને કરી શકાય છે. આ ક્ષણોની પદ્ધતિ છે, જે આ કિસ્સામાં p નો મહત્તમ સંભાવના અંદાજ આપે છે. ખાસ કરીને, પ્રથમ પ્રકાર માટે k = k1,., kn એ એક નમૂનો છે જ્યાં i = 1,., n માટે કી ≤ 1 છે. પછી p નો અંદાજ કરી શકાય છે. બાયેસિયન અનુમાનમાં, બીટા વિતરણ એ પરિમાણ p માટે સંયુક્ત પૂર્વ વિતરણ છે. જો આ પરિમાણને બીટા (α, β) અગાઉ આપવામાં આવે, તો પશ્ચાદવર્તી વિતરણ એ છે. પશ્ચાદવર્તી સરેરાશ E [p] મહત્તમ સંભાવના અંદાજને α અને β શૂન્ય તરફ પહોંચે છે. વૈકલ્પિક કિસ્સામાં, k1,., kn એ એક નમૂનો હોવો જોઈએ જ્યાં i = 1,., n માટે k ≤ 0. પછી p નો અંદાજ આ રીતે લગાવી શકાય છે. મહત્તમ શક્યતાનો ઉપયોગ કરવાના કોઈપણ અંદાજ માટે, પૂર્વગ્રહ બરાબર છે જે પૂર્વગ્રહ-સુધારેલ મહત્તમ સંભાવના અંદાજકર્તાની ગણતરીની પદ્ધતિઓ આપે છે R નો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક વિતરણ R ફંક્શન ડિજિયમ (k, પ્રોબ) પ્રથમ સફળતા પહેલાં k નિષ્ફળતા હોવાની સંભાવનાની ગણતરી કરે છે, જ્યાં દલીલ "પ્રોબ" એ દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડીજીઓમ (0,0.6) = 0.6 ડીજીઓમ (1,0.6) = 0.24 R એ પરંપરાનો ઉપયોગ કરે છે કે k એ નિષ્ફળતાની સંખ્યા છે, જેથી પ્રથમ સફળતા સુધીના અને તેના સહિત પરીક્ષણોની સંખ્યા k + 1 છે. નીચેનો R કોડ Y = 0 થી 10 સુધીના ભૌમિતિક વિતરણનો આલેખ બનાવે છે, જેમાં p = 0.6 છે. Y = 0:10 પ્લોટ (Y, ડિજિયમ (Y, 0.6), પ્રકાર = "h", ylim = c (0,1), મુખ્ય = "p માટે ભૌમિતિક વિતરણ = 0.6", ylab = "Pr (Y = Y)", xlab = "Y = પ્રથમ સફળતા પહેલાં નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા") એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક વિતરણ પ્રથમ સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા માટે ભૌમિતિક વિતરણ એ નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે, જે s ની સફળતા પહેલાંની નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા માટે છે. એક્સેલ કાર્ય NEGBINOMDIST (સંખ્યા _ f, સંખ્યા _ s, સંભાવના _ s) s = સંખ્યા _ s સફળતાઓ પહેલાં k = સંખ્યા _ f નિષ્ફળતાની સંભાવનાની ગણતરી કરે છે જ્યાં p = સંભાવના _ s એ દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના છે. ભૌમિતિક વિતરણ માટે, ચાલો સંખ્યા _ s = 1 સફળ થાય. ઉદાહરણ તરીકે, = NEGBINOMDIST (0,1,0.6) = 0.6 = NEGBINOMDIST (1,1,0.6) = 0.24 R ની જેમ, એક્સેલ પરંપરાનો ઉપયોગ કરે છે કે k એ નિષ્ફળતાની સંખ્યા છે, જેથી પ્રથમ સફળતા સુધીના અને તેના સહિત પરીક્ષણોની સંખ્યા k + 1 છે. હાયપરજિયોમેટ્રિક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કૂપન કલેક્ટરની સમસ્યા કમ્પાઉન્ડ પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ સંદર્ભો મેથવર્લ્ડ પર બાહ્ય લિંક્સ ભૌમિતિક વિતરણ પણ જુઓ. વિવિક્ત વિતરણો ઘાતાંકીય કુટુંબ વિતરણો અનંત રીતે વિભાજીત સંભાવના વિતરણો ઉદાહરણ આર કોડ સાથેના લેખો