Quantum harmonic oscillator
ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ શાસ્ત્રીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક એનાલોગ છે. કારણ કે મનસ્વી સ્મૂથ પોટેન્શિયલને સામાન્ય રીતે સ્થિર સંતુલન બિંદુની નજીકમાં હાર્મોનિક પોટેન્શિયલ તરીકે અંદાજિત કરી શકાય છે, તે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ મોડેલ સિસ્ટમોમાંથી એક છે. વધુમાં, તે કેટલીક ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક પ્રણાલીઓમાંની એક છે, જેના માટે ચોક્કસ, વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ જાણીતો છે. એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર હેમિલ્ટોનિયન અને ઊર્જા આઈગનસ્ટેટ્સ કણોની હેમિલ્ટોનિયન છેઃ જ્યાં કણનું દળ છે, તે બળ અચળાંક છે, તે ઓસિલેટરની કોણીય આવર્તન છે, તે સ્થિતિ સંચાલક છે (સંકલન આધાર દ્વારા આપવામાં આવે છે), અને તે વેગ સંચાલક છે (સંકલન આધાર દ્વારા આપવામાં આવે છે). હેમિલ્ટોનિયનમાં પ્રથમ શબ્દ કણની ગતિ ઊર્જાને રજૂ કરે છે, અને બીજો શબ્દ તેની સંભવિત ઊર્જાને રજૂ કરે છે, જેમ કે હૂકના નિયમમાં. સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે, જ્યાં વાસ્તવિક સંખ્યા (જેને નિર્ધારિત કરવાની જરૂર છે) સૂચવે છે જે સમય-સ્વતંત્ર ઊર્જા સ્તર અથવા આઈગન વેલ્યુને સ્પષ્ટ કરશે, અને ઉકેલ તે સ્તરની ઊર્જા આઈગનસ્ટેટને સૂચવે છે. પછી વર્ણપટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તરંગ કાર્ય માટે, સંકલનના આધારે આ આઈગન વેલ્યુ સમસ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વિભેદક સમીકરણને હલ કરો. તે તારણ આપે છે કે ઉકેલોનો એક પરિવાર છે. આ આધાર પર, તેઓ હર્માઇટ કાર્યોને સરખાવે છે, Hn કાર્યો ભૌતિકશાસ્ત્રીઓના હર્માઇટ બહુપદીઓ છે, અનુરૂપ ઊર્જા સ્તર છે આ ઊર્જા વર્ણપટ ત્રણ કારણોસર નોંધપાત્ર છે. પ્રથમ, ઊર્જાનું પ્રમાણ નક્કી કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે માત્ર અલગ ઊર્જા મૂલ્યો (પૂર્ણાંક-વત્તા-અડધા ગુણાંક) શક્ય છે; જ્યારે કણ મર્યાદિત હોય ત્યારે ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક પ્રણાલીઓનું આ એક સામાન્ય લક્ષણ છે. બીજું, આ અલગ ઊર્જાના સ્તરો સમાન અંતરે હોય છે, જે અણુના બોહર મોડેલ અથવા બૉક્સમાંના કણથી વિપરીત હોય છે. ત્રીજું, સૌથી ઓછી પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવી ઊર્જા (રાજ્યની ઊર્જા, જેને જમીનની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે) સંભવિત કૂવાના લઘુત્તમ બરાબર નથી, પરંતુ તેની ઉપર છે; આને શૂન્ય-બિંદુ ઊર્જા કહેવામાં આવે છે. શૂન્ય-બિંદુ ઊર્જાને કારણે, જમીનની સ્થિતિમાં ઓસિલેટરની સ્થિતિ અને વેગ સ્થિર નથી (કારણ કે તે શાસ્ત્રીય ઓસિલેટરમાં હશે), પરંતુ હાઇસેનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત અનુસાર તેમાં તફાવતની એક નાની શ્રેણી હોય છે. જમીનની સ્થિતિ સંભાવના ઘનતા મૂળ પર કેન્દ્રિત છે, જેનો અર્થ છે કે કણ તેનો મોટાભાગનો સમય સંભવિત કૂવાના તળિયે વિતાવે છે, જેમ કે ઓછી ઊર્જા ધરાવતી સ્થિતિ માટે અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે. જેમ જેમ ઊર્જા વધે છે તેમ તેમ સંભાવનાની ઘનતા શાસ્ત્રીય "વળાંક બિંદુઓ" પર ટોચ પર પહોંચે છે, જ્યાં રાજ્યની ઊર્જા સંભવિત ઊર્જા સાથે મેળ ખાય છે. (અત્યંત ઉત્સાહિત રાજ્યોની નીચેની ચર્ચા જુઓ.) આ શાસ્ત્રીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર સાથે સુસંગત છે, જેમાં કણ તેનો વધુ સમય વળાંક બિંદુઓની નજીક વિતાવે છે (અને તેથી તે મળવાની શક્યતા વધુ હોય છે), જ્યાં તે સૌથી ધીમી ગતિએ આગળ વધી રહ્યો હોય. આ રીતે પત્રવ્યવહારનો સિદ્ધાંત સંતોષાય છે. વધુમાં, લઘુતમ અનિશ્ચિતતા સાથે વિશિષ્ટ નોનડિસ્પર્સિવ વેવ પેકેટો, જેને સુસંગત અવસ્થાઓ કહેવામાં આવે છે, તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શાસ્ત્રીય પદાર્થોની જેમ ખૂબ જ દોલન કરે છે; તેઓ હેમિલ્ટોનિયનના આઈગનસ્ટેટ નથી. લેડર ઓપરેટર પદ્ધતિ પોલ ડીરાક દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી "લેડર ઓપરેટર" પદ્ધતિ, વિભેદક સમીકરણને સીધા હલ કર્યા વિના ઊર્જા આઈગનવેલ્યુના નિષ્કર્ષણની મંજૂરી આપે છે. તે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે સામાન્ય છે, ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં. આ અભિગમને અનુસરીને, અમે ઓપરેટરો અને તેના સંલગ્નને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, નોંધ લો કે આ ઓપરેટરો શાસ્ત્રીય રીતે અને ના તબક્કાની જગ્યામાં સામાન્ય પરિભ્રમણના જનરેટર છે, એટલે કે તેઓ શાસ્ત્રીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સમયમાં આગળ અને પાછળની ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે. આ ઓપરેટરો અને ની ઉપયોગી રજૂઆત તરફ દોરી જાય છે, ઓપરેટર હર્મિશિયન નથી, કારણ કે પોતે અને તેના સંલગ્ન સમાન નથી. ઊર્જા આઈગનસ્ટેટ (જેને ફોક સ્ટેટ્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે), જ્યારે આ નિસરણી સંચાલકો દ્વારા સંચાલિત થાય છે, ત્યારે તે સ્પષ્ટ થાય છે કે, સારમાં, ઓસિલેટરમાં ઊર્જાના એક જ જથ્થાને જોડે છે, જ્યારે ક્વોન્ટમને દૂર કરે છે. આ કારણોસર, તેમને કેટલીકવાર "સર્જન" અને "વિનાશ" સંચાલકો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઉપરના સંબંધોમાંથી, આપણે નંબર ઓપરેટરને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જેનો નીચેનો ગુણધર્મ છેઃ કેનોનિકલ કમ્યુટેશન સંબંધને બદલીને નીચેના કોમ્યુટેટર સરળતાથી મેળવી શકાય છે, અને હેમિલ્ટન ઓપરેટરને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે જેથી ઊર્જાની આઇગેનસ્ટેટ પણ છે. પરિવર્તન મિલકત ઉપજ આપે છે અને તે જ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે તે ગુણાકાર અચળાંક સુધી ઉત્પાદન કરવા માટે કાર્ય કરે છે અને ઉત્પાદન કરવા માટે કાર્ય કરે છે. આ કારણોસર, તેને એનિહિલેશન ઓપરેટર ("લોઅરિંગ ઓપરેટર") અને ક્રિએશન ઓપરેટર ("રાઇઝિંગ ઓપરેટર") કહેવામાં આવે છે. બંને ઓપરેટરોને એકસાથે લેડર ઓપરેટર્સ કહેવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, અને વૈકલ્પિક રીતે "વિનાશ" અને "સર્જન" ઓપરેટરો તરીકે ઓળખાય છે કારણ કે તેઓ કણોને નષ્ટ કરે છે અને બનાવે છે, જે આપણા ઊર્જાના પરિમાણને અનુરૂપ હોય છે. કોઈપણ ઊર્જા આઈગનસ્ટેટને જોતાં, આપણે તેના પર ઓછી ઊર્જા સાથે અન્ય આઈગનસ્ટેટનું ઉત્પાદન કરવા માટે, ઘટાડતા ઓપરેટર સાથે કાર્ય કરી શકીએ છીએ. લોઅરિંગ ઓપરેટરનો વારંવાર ઉપયોગ કરીને, એવું લાગે છે કે આપણે નીચે સુધી ઊર્જા આઈગનસ્ટેટનું ઉત્પાદન કરી શકીએ છીએ. જો કે, સૌથી નાનો આઈગન-નંબર 0 હોવાથી, અને આ કિસ્સામાં, લોઅરિંગ ઓપરેટરની અનુગામી એપ્લિકેશનો વધારાની ઊર્જા આઈગનસ્ટેટને બદલે માત્ર શૂન્ય કીટ ઉત્પન્ન કરશે. વધુમાં, આપણે ઉપર બતાવ્યું છે કે છેવટે, રાઇઝિંગ ઓપરેટર સાથે |0  આહાત પર કામ કરીને અને યોગ્ય સામાન્યીકરણ પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરીને, આપણે ઊર્જા આઇગનસ્ટેટનો અનંત સમૂહ ઉત્પન્ન કરી શકીએ છીએ જે અગાઉના વિભાગમાં આપવામાં આવેલા ઊર્જા વર્ણપટ સાથે મેળ ખાય છે. આર્બિટ્રરી આઈગનસ્ટેટને |0  આહાત, વિશ્લેષણાત્મક પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. પહેલાનું વિશ્લેષણ બીજગણિત છે, જેમાં માત્ર વધારતા અને ઘટાડતા ઓપરેટરો વચ્ચેના પરિવર્તન સંબંધોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. એકવાર બીજગણિત વિશ્લેષણ પૂર્ણ થઈ જાય પછી, વ્યક્તિએ વિશ્લેષણાત્મક પ્રશ્નો તરફ વળવું જોઈએ. પ્રથમ, વ્યક્તિએ જમીનની સ્થિતિ, એટલે કે સમીકરણનો ઉકેલ શોધવો જોઈએ. સ્થિતિની રજૂઆતમાં, આ પ્રથમ ક્રમનું વિભેદક સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ સરળતાથી ગૌસીયન માનવામાં આવે છે, તે મહત્વનું છે કે આ સમીકરણનો માત્ર એક જ ઉકેલ હોય; જો બે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર જમીન સ્થિતિઓ હોય, તો આપણને હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે આઈગનવેક્ટર્સની બે સ્વતંત્ર સાંકળો મળશે. એકવાર ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ગણતરી થઈ જાય પછી, પોઝિશન રિપ્રેઝન્ટેશનમાં રાઇઝિંગ ઓપરેટરના સ્પષ્ટ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ પ્રેરક રીતે બતાવી શકે છે કે ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ ગૌસીયન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની હર્માઇટ બહુપદીઓ છે. કોઈ એ પણ સાબિત કરી શકે છે કે, જમીનની સ્થિતિની વિશિષ્ટતાથી અપેક્ષા મુજબ, હર્માઇટ વિધેયો નિસરણી પદ્ધતિ દ્વારા નિર્મિત ઊર્જા આઈગનસ્ટેટ કાર્યોનો સંપૂર્ણ ઓર્થોનોર્મલ સમૂહ બનાવે છે. સ્પષ્ટ રીતે અગાઉના વિભાગ સાથે જોડાઈને, સ્થિતિની રજૂઆતમાં ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ |0  આહાત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી તે, અને તેથી વધુ. કુદરતી લંબાઈ અને ઊર્જા સ્કેલ ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર લંબાઈ અને ઊર્જા માટે કુદરતી સ્કેલ ધરાવે છે, જેનો ઉપયોગ સમસ્યાને સરળ બનાવવા માટે કરી શકાય છે. આ બિન-પરિમાણીયકરણ દ્વારા શોધી શકાય છે. પરિણામ એ છે કે, જો ઊર્જાને એકમોમાં અને અંતરના એકમોમાં માપવામાં આવે છે, તો હેમિલ્ટોનિયન સરળ બને છે જ્યારે ઊર્જા આઈગનફંક્શન્સ અને આઈગનવેલ્યુઝ હર્માઇટ ફંક્શન્સમાં સરળ બને છે અને પૂર્ણાંકો અડધાથી સરભર થાય છે, જ્યાં હર્માઇટ બહુપદીઓ છે. મૂંઝવણ ટાળવા માટે, આ "કુદરતી એકમો" મોટે ભાગે આ લેખમાં અપનાવવામાં આવશે નહીં. જો કે, ક્લટરને ટાળીને ગણતરી કરતી વખતે તેઓ વારંવાર ઉપયોગી બને છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ ઓસિલેટર માટે સમય-આધારિત શ્રોડિંગર ઓપરેટરનો મૂળભૂત ઉકેલ (પ્રોપેગેટર), ફક્ત મેહલર કર્નલ સુધી ઉકળે છે, જ્યાં. આપેલ પ્રારંભિક રૂપરેખાંકન માટેનો સૌથી સામાન્ય ઉકેલ પછી ફક્ત સુસંગત સ્થિતિઓ છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સુસંગત સ્થિતિઓ (જેને ગ્લાબર સ્થિતિઓ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ ઓછામાં ઓછી અનિશ્ચિતતા સાથે વિશેષ બિનવિક્ષેપક તરંગ પેકેટો છે, જેમના અવલોકનક્ષમ અપેક્ષા મૂલ્યો શાસ્ત્રીય પ્રણાલીની જેમ વિકસિત થાય છે. તેઓ હેમિલ્ટોનિયન નહીં પણ વિનાશ ઓપરેટરના આઈગનવેક્ટર્સ છે, અને ઓવરકમ્પ્લીટ આધાર બનાવે છે જેમાં પરિણામે ઓર્થોગોનાલિટીનો અભાવ હોય છે. સુસંગત સ્થિતિઓ દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે અને તેના આધારે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કારણ કે અને કેર્મેક-મેકક્રે ઓળખ દ્વારા, છેલ્લું સ્વરૂપ જમીનની સ્થિતિ પર કામ કરતા એકાત્મક વિસ્થાપન સંચાલકની સમકક્ષ છેઃ સુસંગત સ્થિતિઓ ઊર્જા આઈગનસ્ટેટ ન હોવાથી, તેમની સમય ઉત્ક્રાંતિ એ તરંગ કાર્ય તબક્કામાં સરળ પરિવર્તન નથી. જો કે, સમય-વિકસિત સ્થિતિઓ પણ સુસંગત સ્થિતિઓ છે પરંતુ તેના બદલે તબક્કા-સ્થળાંતર પરિમાણ સાથેઃ અત્યંત ઉત્તેજિત સ્થિતિઓ જ્યારે મોટી હોય, ત્યારે આઈગનસ્ટેટને શાસ્ત્રીય માન્ય પ્રદેશમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે તે પ્રદેશ જેમાં ઊર્જા સાથેનો શાસ્ત્રીય કણ ખસેડી શકે છે. આઈગનસ્ટેટ વળાંક બિંદુઓની નજીક ટોચ પર હોય છેઃ શાસ્ત્રીય રીતે માન્ય પ્રદેશના છેડા પરના બિંદુઓ જ્યાં શાસ્ત્રીય કણ દિશા બદલે છે. આ ઘટનાને હર્માઇટ બહુપદીઓના એસિમ્પ્ટોટિક્સ દ્વારા અને ડબલ્યુ. કે. બી. અંદાજ દ્વારા પણ ચકાસી શકાય છે. ઓસિલેશનની આવર્તન ઊર્જા અને સ્થિતિના શાસ્ત્રીય કણોના વેગના પ્રમાણમાં હોય છે. વધુમાં, કંપનવિસ્તારનો વર્ગ (સંભાવનાની ઘનતા નક્કી કરતો) તેની વિરુદ્ધ પ્રમાણમાં હોય છે, જે શાસ્ત્રીય કણ નજીક વિતાવે છે તે સમયની લંબાઈને પ્રતિબિંબિત કરે છે. વળાંકના નાના પડોશમાં સિસ્ટમ વર્તણૂકમાં સરળ શાસ્ત્રીય સમજૂતી નથી, પરંતુ એરી ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને તેનું મોડેલિંગ કરી શકાય છે. એરી ફંક્શનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ શાસ્ત્રીય રીતે માન્ય પ્રદેશની બહાર કણ શોધવાની સંભાવનાનો અંદાજ લગાવી શકે છે, જે આશરે હોઈ શકે છે. આ લક્ષણવિહીન રીતે, ઇન્ટિગ્રલ ફેઝ સ્પેસ સોલ્યુશન્સ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે. આનો સૌથી વધુ ઉપયોગ વિગ્નર ક્વાસીપ્રોબેબિલિટી વિતરણ માટે થાય છે. ઊર્જા આઈગનસ્ટેટ માટે વિગ્નર ક્વાસીપ્રોબેબિલિટી વિતરણ, ઉપર વર્ણવેલ કુદરતી એકમોમાં છે, જ્યાં Ln એ લાગ્યુરે બહુપદીઓ છે. આ ઉદાહરણ સમજાવે છે કે વિગ્નર નકશા દ્વારા હર્માઇટ અને લાગ્યુરે બહુપદીઓ કેવી રીતે જોડાયેલી છે. દરમિયાન, હાર્મોનિક ઓસિલેટર આઈગનસ્ટેટનું હુસિમી ક્યૂ કાર્ય વધુ સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે. જો આપણે ઉપર વર્ણવેલ કુદરતી એકમોમાં કામ કરીએ, તો આપણી પાસે આ દાવો છે જે સેગલ-બર્ગમેન ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ચકાસી શકાય છે. ખાસ કરીને, સેગલ-બર્ગમેન રજૂઆતમાં રાઇઝિંગ ઓપરેટર ફક્ત ગુણાકાર છે અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એ અચળ કાર્ય 1 છે, આ રજૂઆતમાં સામાન્યીકૃત હાર્મોનિક ઓસિલેટર સ્થિતિઓ સરળ છે. આ તબક્કે, આપણે સેગલ-બર્ગમેન ટ્રાન્સફોર્મની દ્રષ્ટિએ હુસિમી ક્યૂ ફંક્શન માટેના સૂત્રને અપીલ કરી શકીએ છીએ. એન-ડાયમેન્શનલ આઇસોટ્રોપિક હાર્મોનિક ઓસિલેટર એક-ડાયમેન્શનલ હાર્મોનિક ઓસિલેટર પરિમાણો માટે સહેલાઈથી સામાન્ય છે, જ્યાં. એક પરિમાણમાં, કણની સ્થિતિ એક જ સંકલન દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી હતી. પરિમાણોમાં, આને સ્થિતિ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જેને આપણે લેબલ કરીએ છીએ. દરેક સ્થિતિ સંકલનને અનુરૂપ એક વેગ છે; અમે આને લેબલ કરીએ છીએ. જેમ જેમ આ હેમિલ્ટોનિયનનું સ્વરૂપ સ્પષ્ટ કરે છે તેમ,-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમાન દળ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક સાથે સ્વતંત્ર એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર સાથે બરાબર સમાન છે. આ કિસ્સામાં, જથ્થાઓ દરેક કણોની સ્થિતિનો સંદર્ભ આપશે. આ પોટેન્શિયલનો અનુકૂળ ગુણધર્મ છે, જે પોટેન્શિયલ ઊર્જાને દરેકના એક સંકલનના આધારે શરતોમાં અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ અવલોકન ઉકેલને સીધો બનાવે છે. ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓના ચોક્કસ સમૂહ માટે-પરિમાણીય ઓસિલેટર માટે ઊર્જા આઈગનફંક્શન્સને 1-પરિમાણીય આઈગનફંક્શન્સની દ્રષ્ટિએ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ લેડર ઓપરેટર પદ્ધતિમાં, આપણે લેડર ઓપરેટર્સના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, એક-પરિમાણીય કેસની સમાન પ્રક્રિયા દ્વારા, આપણે પછી બતાવી શકીએ છીએ કે દરેક અને ઓપરેટરો અનુક્રમે ઊર્જા ઘટાડે છે અને વધારે છે. હેમિલ્ટોનિયન છે આ હેમિલ્ટોનિયન ગતિશીલ સમપ્રમાણતા જૂથ (પરિમાણોમાં એકાત્મક જૂથ) હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે, જેની વ્યાખ્યા મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યાયિત રજૂઆતમાં એક તત્વ ક્યાં છે તેના દ્વારા કરવામાં આવે છે. એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં, ઊર્જાનું પ્રમાણ માપવામાં આવે છે તેમ પ્રણાલીના ઊર્જાનું સ્તર છે. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એનર્જી એ એક-પરિમાણીય ગ્રાઉન્ડ એનર્જીની ગણી છે, કારણ કે આપણે સ્વતંત્ર એક-પરિમાણીય ઓસિલેટરની સામ્યતાનો ઉપયોગ કરવાની અપેક્ષા રાખીએ છીએ. એક વધુ તફાવત છેઃ એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં, દરેક ઊર્જા સ્તર એક અનન્ય ક્વોન્ટમ સ્થિતિને અનુરૂપ છે. પરિમાણોમાં, જમીનની સ્થિતિ સિવાય, ઊર્જાનું સ્તર અધોગતિ પામે છે, એટલે કે સમાન ઊર્જા ધરાવતી ઘણી સ્થિતિઓ છે. અધોગતિ પ્રમાણમાં સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય કેસ ધ્યાનમાં લોઃ વ્યાખ્યાયિત કરો. સમાન ઊર્જા ધરાવતા તમામ રાજ્યોમાં સમાન ઊર્જા હશે. આપેલ માટે, આપણે કોઈ ચોક્કસ પસંદ કરીએ છીએ. પછી. ત્યાં સંભવિત જોડીઓ છે. મૂલ્યોને લઈ શકે છે, અને દરેક માટે મૂલ્ય નિશ્ચિત છે. તેથી અધોગતિ ની માત્રા છેઃ સામાન્ય માટેનું સૂત્ર અને [એકાત્મક જૂથની સપ્રમાણ ઇરેડ્યુસિબલ-th પાવર રજૂઆતનું પરિમાણ હોવાથી]: ઉપર આપેલો વિશેષ કેસ = 3, આ સામાન્ય સમીકરણમાંથી સીધો અનુસરે છે. જો કે, આ માત્ર અલગ પાડી શકાય તેવા કણો અથવા પરિમાણોમાં એક કણ માટે સાચું છે (કારણ કે પરિમાણો અલગ પાડી શકાય તેવા હોય છે). એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક જાળમાં બોસોનના કિસ્સામાં, ડિજનરેસી સ્કેલ એ પૂર્ણાંકો કરતાં ઓછા અથવા સમાનનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાની રીતોની સંખ્યા છે. આ ક્વાન્ટાને સ્ટેટ કેટમાં મૂકવાની અવરોધને કારણે ઉદભવે છે જ્યાં અને, જે પૂર્ણાંક પાર્ટીશનમાં સમાન અવરોધો છે. ઉદાહરણોઃ 3D આઇસોટ્રોપિક હાર્મોનિક ઓસિલેટર ગોળાકાર-સમમિતીય ત્રિ-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરમાં કણ માટેનું શ્રોડિંગર સમીકરણ ચલોને અલગ કરીને સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાય છે; વર્તમાન કેસ માટે આ લેખ જુઓ. આ પ્રક્રિયા હાઇડ્રોજન જેવી અણુ સમસ્યામાં કરવામાં આવેલા વિભાજન જેવી જ છે, પરંતુ એક અલગ ગોળાકાર સપ્રમાણ ક્ષમતા સાથે જ્યાં કણનું દળ છે. કારણ કે ચુંબકીય ક્વોન્ટમ સંખ્યા માટે નીચે ઉપયોગ કરવામાં આવશે, આ લેખમાં અગાઉની જેમ, તેના બદલે દળ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સમીકરણનો ઉકેલ છેઃ જ્યાં સામાન્યીકરણ અચળાંક છે; સામાન્યીકૃત લેગેર બહુપદીઓ છે; બહુપદીનો ક્રમ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે; તે ગોળાકાર હાર્મોનિક કાર્ય છે; ઘટાડેલો પ્લાન્ક અચળાંક છેઃ ઊર્જા આઈગન વેલ્યુ એ ઊર્જા છે જે સામાન્ય રીતે એક જ ક્વોન્ટમ સંખ્યા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે કારણ કે તે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, આપણી પાસે દરેક સમ માટે અને આપણી પાસે દરેક વિષમ માટે છે. ચુંબકીય ક્વોન્ટમ સંખ્યા એ સંતોષકારક પૂર્ણાંક છે, તેથી દરેક અને l માટે 2l + 1 વિવિધ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ છે, જે દ્વારા લેબલ થયેલ છે. આમ, સ્તર પર અધોગતિ એ છે કે જ્યાં સરવાળો 0 અથવા 1 થી શરૂ થાય છે, તે સમ કે વિચિત્ર છે તેના આધારે. આ પરિણામ ઉપરના પરિમાણ સૂત્ર અનુસાર છે, અને સંબંધિત અધોગતિ જૂથના સમપ્રમાણ પ્રતિનિધિત્વની પરિમાણતા જેટલું છે. એપ્લિકેશન્સ હાર્મોનિક ઓસિલેટર જાળીઃ ફોનોન હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સંકેતને ઘણા કણોના એક-પરિમાણીય જાળી સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. એન સમાન અણુઓની એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ યાંત્રિક હાર્મોનિક સાંકળનો વિચાર કરો. આ જાળીનું સૌથી સરળ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ છે, અને આપણે જોઈશું કે તેમાંથી ફોનોન કેવી રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. આ મોડેલ માટે આપણે જે ઔપચારિકતા વિકસાવીશું તે બે અને ત્રણ પરિમાણોમાં સહેલાઈથી સામાન્ય થઈ શકે છે. અગાઉના વિભાગની જેમ, આપણે દળોની સ્થિતિને તેમની સંતુલન સ્થિતિ (એટલે કે. જો કણ તેની સંતુલન સ્થિતિ પર હોય). બે અથવા વધુ પરિમાણોમાં, વેક્ટર જથ્થાઓ છે. આ પ્રણાલી માટે હેમિલ્ટોનિયન એ છે કે જ્યાં દરેક અણુનું (ધારેલું એકસમાન) દળ હોય છે, અને તે i મા અણુ માટે સ્થિતિ અને વેગ સંચાલનકર્તાઓ છે અને સરવાળો નજીકના પડોશીઓ (nn) પર બનાવવામાં આવે છે. જો કે, હેમિલ્ટોનિયનને કણ કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ લખવાને બદલે વેવવેક્ટરની સામાન્ય સ્થિતિઓની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખવાની પ્રથા છે જેથી કોઈ વધુ અનુકૂળ ફોરિયર જગ્યામાં કામ કરી શકે. પછી આપણે "સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ" નો સમૂહ રજૂ કરીએ છીએ, જેને s ના અલગ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને "કોન્જુગેટ મોમેન્ટા" ને s ના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જથ્થો ફોનોનની તરંગ સંખ્યા બનશે, એટલે કે. 2π ને તરંગલંબાઇ દ્વારા વિભાજીત કરો. તે માત્રાત્મક મૂલ્યો લે છે, કારણ કે અણુઓની સંખ્યા મર્યાદિત છે. આ વાસ્તવિક જગ્યા અથવા તરંગ વેક્ટર જગ્યામાં ઇચ્છિત પરિવર્તન સંબંધોને જાળવી રાખે છે સામાન્ય પરિણામમાંથી, પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ દ્વારા, તે બતાવવું સરળ છે કે સંભવિત ઊર્જા શબ્દ એ છે કે જ્યાં હેમિલ્ટોનિયનને તરંગ વેક્ટર જગ્યામાં લખી શકાય છે નોંધ કરો કે સ્થિતિ ચલો વચ્ચેના જોડાણો દૂર રૂપાંતરિત થયા છે; જો s અને s હર્મિશિયન હતા (જે તેઓ નથી), તો રૂપાંતરિત હેમિલ્ટોનિયન અનકપલ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું વર્ણન કરશે. ક્વોન્ટાઇઝેશનનું સ્વરૂપ સીમા શરતોની પસંદગી પર આધાર રાખે છે; સરળતા માટે, આપણે સામયિક સીમા શરતો લાદીએ છીએ, જેમાં-th અણુને પ્રથમ અણુની સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ભૌતિક રીતે, આ સાંકળના છેડા પર જોડાવાને અનુરૂપ છે. પરિણામી પરિમાણ એ છે કે ઉપરની સીમા લઘુત્તમ તરંગલંબાઇમાંથી આવે છે, જે ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ જાળીના અંતરથી બમણી છે. જો આપણે શૂન્ય-બિંદુ ઊર્જાને અવગણીએ તો સ્તરો સમાન અંતરે સમાન અંતરે હોય છે તેથી હાર્મોનિક ઓસિલેટર જાળીને આગામી ઊર્જા સ્તર પર ધકેલવા માટે ચોક્કસ માત્રામાં ઊર્જા પૂરી પાડવી આવશ્યક છે. ફોટોન કેસની સામ્યતામાં જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રનું પ્રમાણ નક્કી કરવામાં આવે છે, ત્યારે કંપનશીલ ઊર્જાના પ્રમાણને ફોનોન કહેવામાં આવે છે. તમામ ક્વોન્ટમ પ્રણાલીઓ તરંગ જેવા અને કણ જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે. ફોનોનના કણ જેવા ગુણધર્મોને બીજા ક્વોન્ટાઇઝેશનની પદ્ધતિઓ અને અન્યત્ર વર્ણવેલ ઓપરેટર તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને શ્રેષ્ઠ રીતે સમજી શકાય છે. સાતત્ય મર્યાદામાં,,, જ્યારે નિશ્ચિત રાખવામાં આવે છે. કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ્સ સ્કેલર ક્ષેત્રના ડીકપલ્ડ મોમેન્ટમ મોડ્સમાં વહેંચાય છે, જ્યારે સ્થાન સૂચકાંક (વિસ્થાપન ગતિશીલ ચલ નહીં) સ્કેલર ક્ષેત્રની પરિમાણ દલીલ બની જાય છે. મોલેક્યુલર કંપન ડાયટોમિક મોલેક્યુલનું કંપન એ ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના બે-બોડી વર્ઝનનું ઉદાહરણ છે. આ કિસ્સામાં, કોણીય આવર્તન એ બે અણુઓના ઘટાડેલા દળ અને દળો દ્વારા આપવામાં આવે છે. હૂકનો અણુ એ ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો ઉપયોગ કરીને હીલિયમ અણુનું એક સરળ નમૂના છે. ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ ફોનોનનું મોડેલિંગ. સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દળ સાથેનો ચાર્જ એ એક-પરિમાણીય ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું ઉદાહરણ છેઃ લાન્દાઉ ક્વોન્ટાઇઝેશન. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ લેડર ઓપરેટરોની પસંદગી માટે ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર તર્કસંગત ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર સંચાલિત અને ભીના ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના જીવંત 3D તીવ્રતા પ્લોટ્સ (અલબત્ત "ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટમાં ક્વોન્ટમ ઓપ્ટિક્સ" ની વ્યાખ્યાન નોંધો) ક્વોન્ટમ મોડેલ ઓસિલેટર