Uniform 4-polytope
ભૂમિતિમાં, એકસમાન 4-બહુપદી (અથવા એકસમાન પોલીકોરોન) એ 4-પરિમાણીય પોલીટોપ છે જે શિરોબિંદુ-સંક્રમક હોય છે અને જેના કોષો એકસમાન પોલીહેડ્રા હોય છે, અને ચહેરાઓ નિયમિત બહુકોણ હોય છે. ત્યાં 47 બિન-પ્રિઝમેટિક બહિર્મુખ એકસમાન 4-બહુપદી છે. બહિર્મુખ પ્રિઝમેટિક સ્વરૂપોના બે અનંત સમૂહો છે, જેમાં બહિર્મુખ સમાન પોલિહેડ્રાના પ્રિઝમ તરીકે ઉદ્ભવતા 17 કિસ્સાઓ છે. બિન-બહિર્મુખ તારા સ્વરૂપોની પણ અજ્ઞાત સંખ્યા છે. શોધનો ઇતિહાસ કન્વેક્સ રેગ્યુલર પોલીટોપ્સઃ 1852: લુડવિગ શ્લાફલીએ તેમની હસ્તપ્રત થિયોરી ડેર વીલ્ફાચેન કોન્ટિન્યુઇટમાં સાબિત કર્યું કે 4 પરિમાણોમાં બરાબર 6 નિયમિત પોલીટોપ્સ છે અને 5 અથવા વધુ પરિમાણોમાં માત્ર 3 છે. નિયમિત તારા 4-બહુપદી (તારા બહુપદી કોષો અને/અથવા શિરોબિંદુ આકૃતિઓ) 1852: લુડવિગ શ્લાફલીએ 10 નિયમિત તારા 4-બહુપદીમાંથી 4 પણ શોધી કાઢ્યા હતા, જેમાં 6ને કોષો અથવા શિરોબિંદુ આકૃતિઓ {5/2,5} અને {5,5/2} સાથે છૂટ આપવામાં આવી હતી. 1883: એડમન્ડ હેસે તેમના પુસ્તક (જર્મનમાં) આઈનલેઇટુંગ ઇન ડાઈ લેહરે વોન ડેર કુગેલ્ટીલુંગ મિટ બેસેન્ડરર બેરુક્સિચ્ટિગંગ ઇહરર એનવેન્ડંગ ઔફ ડાઈ થિયોરી ડેર ગ્લીચફ્લેચિગેન ઉંડ ડેર ગ્લીચેકીજેન પોલિએડરમાં નોન-કન્વેક્સ નિયમિત 4-પોલીટોપમાંથી 10ની યાદી પૂર્ણ કરી. કન્વેક્સ સેમીરેગ્યુલર પોલીટોપ્સઃ (કોક્સેટરની સમાન શ્રેણી પહેલાં વિવિધ વ્યાખ્યાઓ) 1900: થોરોલ્ડ ગોસેટે તેમના પ્રકાશન ઓન ધ રેગ્યુલર એન્ડ સેમી-રેગ્યુલર ફિગર્સ ઇન સ્પેસ ઓફ એન ડાયમેન્શન્સમાં નિયમિત કોષો (પ્લેટોનિક ઘન) સાથે બિન-પ્રિઝમેટિક સેમીરેગ્યુલર કન્વેક્સ પોલીટોપ્સની યાદી ગણાવી. ચાર પરિમાણોમાં, આ સુધારેલ 5-કોષ, સુધારેલ 600-કોષ અને સ્નબ 24-કોષ આપે છે. 1910: એલિસિયા બૂલ સ્ટોટ, તેમના પ્રકાશન જિયોમેટ્રિક ડિડક્શન ઓફ સેમીરેગ્યુલર ફ્રોમ રેગ્યુલર પોલીટોપ અને સ્પેસ ફિલિંગ્સે, આર્કિમિડીયન સોલિડ અને પ્રિઝમ કોષોને પણ મંજૂરી આપીને વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરી. આ રચનામાં 45 અર્ધરેખીય 4-બહુપદીઓની ગણતરી કરવામાં આવી હતી, જે નીચે સૂચિબદ્ધ બિન-પ્રિઝમેટિક સ્વરૂપોને અનુરૂપ છે. સ્નબ 24-સેલ અને ગ્રાન્ડ એન્ટીપ્રિઝમ તેની સૂચિમાંથી ખૂટે છે. 1911: પીટર હેન્ડ્રિક શૌટે નિયમિત પોલીટોપ્સમાંથી મેળવેલા પોલીટોપ્સની વિશ્લેષણાત્મક સારવાર પ્રકાશિત કરી, બૂલ-સ્ટોટના સંકેતોને અનુસરીને, 5-કોષ, 8-કોષ/16-કોષ અને 24-કોષ પર આધારિત સમપ્રમાણતા દ્વારા બહિર્મુખ સમાન પોલીટોપ્સની ગણતરી કરી. 1912: ઇ. એલ. એલ્ટેએ સ્વતંત્ર રીતે ગોસેટની યાદીમાં ધ સેમિરેગ્યુલર પોલીટોપ્સ ઓફ ધ હાયપરસ્પેસીસ, એક કે બે પ્રકારના સેમિરેગ્યુલર પાસાઓ સાથે પોલીટોપ્સના પ્રકાશન સાથે વિસ્તરણ કર્યું. કન્વેક્સ યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સઃ 1940: એચ. એસ. એમ. દ્વારા શોધને વ્યવસ્થિત રીતે વિસ્તૃત કરવામાં આવી હતી. કોક્સેટર તેમના પ્રકાશન રેગ્યુલર એન્ડ સેમી-રેગ્યુલર પોલીટોપ્સમાં. બહિર્મુખ એકસમાન 4-બહુપદીઃ 1965: બહિર્મુખ સ્વરૂપોની સંપૂર્ણ સૂચિ આખરે જ્હોન હોર્ટન કોનવે અને માઇકલ ગાય દ્વારા તેમના પ્રકાશન ફોર-ડાયમેન્શનલ આર્કિમિડિયન પોલીટોપ્સમાં ગણવામાં આવી હતી, જે કમ્પ્યુટર વિશ્લેષણ દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી, જેમાં માત્ર એક બિન-વિથોફિયન બહિર્મુખ 4-બહુપદી, ગ્રાન્ડ એન્ટિપ્રિઝમ ઉમેરવામાં આવી હતી. 1966 નોર્મન જોહ્ન્સન તેમના પીએચ. ડી. નિબંધ યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ અને હનીકોમ્બ્સનો સિદ્ધાંત સલાહકાર કોક્સેટર હેઠળ પૂર્ણ કરે છે, 4 અને તેનાથી વધુ પરિમાણો માટે યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત પૂર્ણ કરે છે. 1986માં કોક્સેટરએ રેગ્યુલર અને સેમી-રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ II પેપર પ્રકાશિત કર્યું હતું જેમાં અનન્ય સ્નબ 24-સેલ સ્ટ્રક્ચરનું વિશ્લેષણ અને વિસંગત ગ્રાન્ડ એન્ટીપ્રિઝમની સમપ્રમાણતાનો સમાવેશ થાય છે. 1998-2000:4-બહુપદીઓને વ્યવસ્થિત રીતે નોર્મન જ્હોનસન દ્વારા નામ આપવામાં આવ્યું હતું, અને જ્યોર્જ ઓલ્શેવ્સ્કીની ઓનલાઇન અનુક્રમિત ગણતરી દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું (આ સૂચિ માટે આધાર તરીકે વપરાય છે). જ્હોન્સને 4-બહુપદીને પોલિકોરા તરીકે નામ આપ્યું, જેમ કે 3-બહુપદી માટે પોલિહેડ્રા, ગ્રીક મૂળના પોલી ("ઘણા") અને કોરોસ ("રૂમ" અથવા "જગ્યા") માંથી. યુનિફોર્મ પોલિકોરાના નામો કોક્સેટર આકૃતિઓમાં રિંગ્સ પર આધારિત ઉપસર્ગો સાથે 6 નિયમિત પોલિકોરા સાથે શરૂ થયા હતા; કાપણી t0,1, કેન્ટેલેશન, t0,2, રનસિનેશન t0,3, રેક્ટિફાઇડ તરીકે ઓળખાતા એક રિંગવાળા સ્વરૂપો સાથે, અને જ્યારે પ્રથમ રિંગ બીજા કે ત્રીજા નોડ્સ પર હોય ત્યારે દ્વિ, ત્રિ-ઉપસર્ગ ઉમેરવામાં આવે છે. 2004: કોનવે-ગાય સેટ પૂર્ણ થયાનો પુરાવો માર્કો મોલર દ્વારા તેમના મહાનિબંધ, વિએર્ડાઇમેન્શનલ આર્કિમિડિસ્ચે પોલીટોપમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. મોલ્લરે તેમની યાદીમાં જ્હોનસનની નામકરણ પદ્ધતિનું પુનઃઉત્પાદન કર્યું હતું. 2008: ધ સિમેટ્રીઝ ઓફ થિંગ્સ જ્હોન એચ. કોનવે દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી અને તેમાં કોક્સેટર જૂથ પરિવાર દ્વારા બહિર્મુખ ગણવેશ 4-બહુપદીઓ અને ઉચ્ચ પરિમાણીય બહુપદીઓની પ્રથમ પ્રિન્ટ-પ્રકાશિત સૂચિ છે, જેમાં દરેક વીંટીવાળા કોક્સેટર આકૃતિ ક્રમચય માટે સામાન્ય શિરોબિંદુ આકૃતિઓ છે-સ્નબ, ગ્રાન્ડ એન્ટિપ્રિઝમ અને ડ્યુપ્રિઝમ-જેને તેમણે ઉત્પાદન પ્રિઝમ માટે પ્રોપ્રિઝમ કહે છે. તેમણે કાપણી અને કટકાથી આગળ અનુક્રમિત રીંગ ક્રમચયો માટે પોતાની આઇજેકે-એમ્બો નામકરણ યોજનાનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને જ્હોનસનના તમામ નામ પુસ્તક અનુક્રમણિકામાં સામેલ કરવામાં આવ્યા હતા. અનિયમિત એકસમાન તારો 4-બહુપદીઃ (નોન-કન્વેક્સ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા જેવું જ) 1966: જ્હોનસન તેમના નિબંધમાં 4-જગ્યામાં ત્રણ નોન-કન્વેક્સ યુનિફોર્મ એન્ટિપ્રિઝમ્સનું વર્ણન કરે છે. 1990-2006: એક સહયોગી શોધમાં, 2005 સુધી જોનાથન બોવર્સ અને જ્યોર્જ ઓલ્શેવ્સ્કી દ્વારા કુલ 1845 એકસમાન 4-બહુપદી (બહિર્મુખ અને બિન-બહિર્મુખ) ની ઓળખ કરવામાં આવી હતી, જેમાં 2006માં કુલ 1849 માટે વધારાના ચારની શોધ થઈ હતી. આ ગણતરીમાં 75 બિન-પ્રિઝમેટિક યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રાના 74 પ્રિઝમ્સનો સમાવેશ થાય છે (કારણ કે તે એક મર્યાદિત સમૂહ છે-ક્યુબિક પ્રિઝમને બાકાત રાખવામાં આવે છે કારણ કે તે ટેસેરેક્ટની નકલ કરે છે), પરંતુ ડ્યુપ્રિઝમ્સ અથવા એન્ટિપ્રિઝમ્સના પ્રિઝમ્સની અનંત શ્રેણીઓનો સમાવેશ થતો નથી. 2020-2023:342 નવા પોલિકોરા મળી આવ્યા હતા, જેનાથી જાણીતા ગણવેશ 4-બહુપદીઓની કુલ સંખ્યા વધીને 2191 થઈ ગઈ હતી. આ યાદી સંપૂર્ણ સાબિત થઈ નથી. નિયમિત 4-બહુપદી નિયમિત 4-બહુપદી એ સમાન 4-બહુપદીનો સબસેટ છે, જે વધારાની જરૂરિયાતોને સંતોષે છે. નિયમિત 4-બહુપદીઓને શ્લાફલી પ્રતીક {p, q, r} સાથે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જેમાં {p, q} પ્રકારનાં કોષો, {p} પ્રકારનાં મુખ, ધાર આકૃતિઓ {r} અને શિરોબિંદુ આકૃતિઓ {q, r} હોય છે. નિયમિત 4-બહુપદી {p, q, r} નું અસ્તિત્વ નિયમિત બહુપદી {p, q} ના અસ્તિત્વ દ્વારા મર્યાદિત છે જે કોષો બને છે, અને {q, r} જે શિરોબિંદુ આકૃતિ બને છે. મર્યાદિત 4-બહુપદી તરીકેનું અસ્તિત્વ અસમાનતા પર નિર્ભર છેઃ 16 નિયમિત 4-બહુપદી, જે ગુણધર્મ સાથે તમામ કોષો, ચહેરાઓ, ધાર અને શિરોબિંદુઓ એકરૂપ છેઃ 6 નિયમિત બહિર્મુખ 4-બહુપદીઃ 5-કોષ {3,3,3}, 8-કોષ {4,3,3}, 16-કોષ {3,3,4}, 24-કોષ {3,4,3}, 120-કોષ {5,3,3}, અને 600-કોષ {3,3,5}. 10 નિયમિત તારા 4-બહુપદીઃ આઇકોસાહેડ્રલ 120-કોષ (3,5,5 2), નાના સ્ટેલેટેડ 120-કોષ (5/2,5,3), મહાન 120-કોષ (5,5/2,5), ગ્રાન્ડ 120-કોષ (5,3,5 2), મહાન સ્ટેલેટેડ 120-કોષ (5/2,3,5), ગ્રાન્ડ સ્ટેલેટેડ 120-કોષ (5/2,5,5/2), મહાન ગ્રાન્ડ 120-કોષ (5,5/2,3), મહાન આઇકોસાહેડ્રલ 120-કોષ (3,5/2,5), ગ્રાન્ડ 600-કોષ (3,3,5/2), અને મહાન ગ્રાન્ડ સ્ટેલેટેડ 120-કોષ (5/2,3,3) કન્વેક્સ એકસમાન 4-બહુપદી ચાર પરિમાણોમાં એકસમાન 4-બહુપદીની સમપ્રમાણતા 4 પરિમાણોમાં 5 મૂળભૂત દર્પણ સમપ્રમાણતા બિંદુ જૂથ પરિવારો છેઃ A4 =, B4 =, D4 =, F4 =, H4 =. ત્યાં 3 પ્રિઝમેટિક જૂથો પણ છે A3A1 =, B3A1 =, H3A1 =, અને ડ્યુઓપ્રિઝમેટિક જૂથોઃ I2 (p) × I2 (q) =. દરેક જૂથને મિરર પ્લેન દ્વારા ઘેરાયેલા ગોરસેટ ટેટ્રાહેડ્રોન મૂળભૂત ક્ષેત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દરેક પ્રતિબિંબીત એકસમાન 4-બહુપદીને એક અથવા વધુ પ્રતિબિંબીત બિંદુ જૂથમાં 4 પરિમાણોમાં વાયથોફ બાંધકામ દ્વારા બનાવી શકાય છે, જે કોક્સેટર આકૃતિમાં ગાંઠોના ક્રમચયોની આસપાસની વીંટીઓ દ્વારા રજૂ થાય છે. મિરર હાયપરપ્લેનને જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે, જેમ કે રંગીન ગાંઠો દ્વારા જોવામાં આવે છે, સમ-શાખાઓ દ્વારા અલગ પડે છે. [a, b, a] સ્વરૂપના સમપ્રમાણતા જૂથો વિસ્તૃત સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, [a, b, a], જે સમપ્રમાણતા ક્રમને બમણો કરે છે. આમાં [3,3,3], [3,4,3] અને [p, 2, p] નો સમાવેશ થાય છે. સમપ્રમાણતાવાળી વીંટીઓ ધરાવતા આ જૂથમાં એકસમાન બહુપદીઓમાં આ વિસ્તૃત સમપ્રમાણતા હોય છે. જો આપેલ રંગના તમામ અરીસાઓ આપેલ સમાન પોલીટોપમાં અનરિંગ (નિષ્ક્રિય) હોય, તો તેમાં તમામ નિષ્ક્રિય અરીસાઓને દૂર કરીને ઓછી સમપ્રમાણતા રચના હશે. જો આપેલ રંગના તમામ ગાંઠો વળાંકવાળા (સક્રિય) હોય, તો વૈકલ્પિક કામગીરી કાયરલ સમપ્રમાણતા સાથે નવી 4-બહુપદી પેદા કરી શકે છે, જેને "ખાલી" ગોળાકાર ગાંઠો "તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, પરંતુ ભૂમિતિ સામાન્ય રીતે સમાન ઉકેલો બનાવવા માટે એડજસ્ટેબલ નથી. ગણતરી 64 બહિર્મુખ એકસમાન 4-બહુપદી છે, જેમાં 6 નિયમિત બહિર્મુખ 4-બહુપદીનો સમાવેશ થાય છે, અને ડ્યુપ્રિઝમના અનંત સમૂહો અને એન્ટીપ્રિઝમેટિક પ્રિઝમ્સને બાકાત રાખવામાં આવે છે. 5 પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો પર આધારિત પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમ છે (1 ઘન હાયપરપ્રિઝમ એક ટેસરાક્ટ હોવાથી નિયમિત સાથે ઓવરલેપ થાય છે) 13 આર્કિમિડીયન ઘન પદાર્થો પર આધારિત પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમ છે 9 સ્વ-દ્વૈત નિયમિત A4 [3,3,3] જૂથ (5-કોષ) પરિવારમાં છે. 9 સ્વ-દ્વૈત નિયમિત F4 [3,4,3] જૂથ (24-કોષ) પરિવારમાં છે. (સ્નબ 24-કોષને બાદ કરતાં) 15 નિયમિત B4 [3,3,4] જૂથ (ટેસેરેક્ટ/16-કોષ) પરિવારમાં છે (3 24-કોષ પરિવાર સાથે ઓવરલેપ થાય છે) 15 નિયમિત H4 [3,3,5] જૂથ (120-કોષ/600-કોષ) પરિવારમાં છે. [3,4,3] જૂથ (24-કોષ) પરિવારમાં 1 વિશેષ સ્નબ સ્વરૂપ. 1 ખાસ નોન-વિથોફિયન 4-પોલીટોપ, ગ્રાન્ડ એન્ટીપ્રિઝમ. કુલઃ 68−4 = 64 આ 64 એકસમાન 4-બહુપદીઓ જ્યોર્જ ઓલ્શેવ્સ્કી દ્વારા નીચે અનુક્રમિત કરવામાં આવી છે. પુનરાવર્તિત સમપ્રમાણતા સ્વરૂપો કૌંસમાં અનુક્રમિત થાય છે. ઉપરોક્ત 64 ઉપરાંત, 2 અનંત પ્રિઝમેટિક સમૂહો છે જે બાકીના તમામ બહિર્મુખ સ્વરૂપો ઉત્પન્ન કરે છેઃ એકસમાન એન્ટિપ્રિઝમેટિક પ્રિઝમ્સનો સમૂહ-sr {p, 2} × {}-બે એન્ટિપ્રિઝમ્સના પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમ્સ. એકસમાન દ્વિરૂપતાઓનો સમૂહ-{p} × {q}-બે બહુકોણોનું કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન. A4 પરિવાર 5-કોષમાં 120 ક્રમની દ્વિગુણિત પેન્ટાકોરિક [3,3,3] સમપ્રમાણતા હોય છે, જે પાંચ તત્વોના ક્રમચયો માટે સમરૂપ હોય છે, કારણ કે શિરોબિંદુઓની તમામ જોડીઓ સમાન રીતે સંબંધિત હોય છે. પાસાઓ (કોષો) આપવામાં આવે છે, જે ચોક્કસ ગાંઠોને દૂર કરીને તેમના કોક્સેટર આકૃતિ સ્થાનોમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. ફૂદડી સાથે ચિહ્નિત થયેલ ત્રણ સમાન 4-બહુપદી સ્વરૂપો, *, 240 ક્રમની ઉચ્ચ વિસ્તૃત પેન્ટાકોરિક સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, કારણ કે અંતર્ગત 5-કોષના કોઈપણ તત્વને અનુરૂપ તત્વને તેના દ્વિ તત્વને અનુરૂપ તેમાંથી એક સાથે બદલી શકાય છે. એક નાનું અનુક્રમણિકા પેટાજૂથ [3,3,3] +, ક્રમ 60, અથવા તેનો બમણો ક્રમ +, ક્રમ 120 છે, જે ઓમ્નિસ્નબ 5-કોષને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે સંપૂર્ણતા માટે સૂચિબદ્ધ છે, પરંતુ એકસમાન નથી. આ કુટુંબમાં દ્વિગુણિત હેક્સાડેકાકોરિક સમપ્રમાણતા છે, [4,3,3], જે ક્રમમાં 24 × 16 = 384:4! = ચાર અક્ષોના 24 ક્રમચયો, દરેક અક્ષમાં પ્રતિબિંબ માટે 24 = 16 છે. ત્યાં 3 નાના અનુક્રમણિકા પેટા જૂથો છે, જેમાં પ્રથમ બે એકસમાન 4-બહુપદી ઉત્પન્ન કરે છે જે અન્ય પરિવારોમાં પણ પુનરાવર્તિત થાય છે, [1 +, 4,3,3], [4, (3,3) +], અને [4,3,3] +, બધા ક્રમમાં 192. ટેસેરેક્ટ કાપણી 16-કોષ કાપણી (*) જેમ ટેટ્રાહેડ્રોનને સુધારવાથી ઓક્ટાહેડ્રોન ઉત્પન્ન થાય છે, તેમ 16-કોષને સુધારવાથી 24-કોષ ઉત્પન્ન થાય છે, જે નીચેના પરિવારના નિયમિત સભ્ય છે. સંપૂર્ણતા માટે આ પરિવારમાં સ્નબ 24-સેલનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. તે અર્ધ સમપ્રમાણતા જૂથ [(3,3) +, 4] સાથે કેન્ટિટ્રન્કેટેડ 16-કોષ અથવા કપાયેલા 24-કોષનું પરિવર્તન છે. કાપેલા ઓક્ટાહેડ્રલ કોષો આઇકોસાહેડ્રા બની જાય છે. સમઘન ટેટ્રાહેડ્રા બની જાય છે, અને દૂર કરેલા શિરોબિંદુઓના અંતરાયોમાં 96 નવા ટેટ્રાહેડ્રા બનાવવામાં આવે છે. એફ4 પરિવાર આ પરિવાર 24 × 48 = 1152 ક્રમની ડિપ્લોઇડ આઇકોસિટેટ્રાકોરિક સમપ્રમાણતા ધરાવે છેઃ 24 કોષોમાંથી દરેક માટે ઓક્ટાહેડ્રોનની 48 સમપ્રમાણતા. ત્યાં 3 નાના અનુક્રમણિકા પેટા જૂથો છે, જેમાં પ્રથમ બે આઇસોમોર્ફિક જોડીઓ સમાન 4-બહુપદી ઉત્પન્ન કરે છે, જે અન્ય પરિવારોમાં પણ પુનરાવર્તિત થાય છે, [3 +, 4,3], [3,4,3 +], અને [3,4,3] +, બધા ક્રમ 576. (†) અહીં સ્નબ 24-કોષ, તેના સામાન્ય નામ હોવા છતાં, સ્નબ ક્યુબ જેવું નથી; તેના બદલે, તે કાપેલા 24-કોષના પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેની સમપ્રમાણતા સંખ્યા માત્ર 576 છે, (આયનીય ઘટેલું આઇકોસિટેટ્રાકોરિક જૂથ, [3 +, 4,3]). 5-કોષની જેમ, 24-કોષ સ્વ-દ્વૈત છે, અને તેથી નીચેના ત્રણ સ્વરૂપોમાં બમણી સમપ્રમાણતા હોય છે, જે તેમની કુલ સંખ્યા 2304 (વિસ્તૃત આઇકોસિટેટ્રાકોરિક સમપ્રમાણતા) સુધી લાવે છે. આ કુટુંબમાં 120 ડોડેકાહેડ્રામાંથી દરેક માટે 120 × 120 = 24 × 600 = 14400:120 ક્રમની દ્વિગુણિત હેક્સાકોસિકોરિક સમપ્રમાણતા, [5,3,3] અથવા 600 ટેટ્રાહેડ્રામાંથી દરેક માટે 24 છે. એક નાના અનુક્રમણિકા પેટાજૂથો [5,3,3] + છે, બધા ક્રમ 7200 છે. 120-કોષ કાપણીઓ 600-કોષ કાપણીઓ D4 કુટુંબ આ ડેમિટેસેરેક્ટ કુટુંબ, [31,1,1], કોઈ નવા સમાન 4-બહુપદી રજૂ કરતું નથી, પરંતુ આ વૈકલ્પિક રચનાઓનું પુનરાવર્તન કરવું યોગ્ય છે. આ પરિવાર પાસે ચાર અક્ષોના ક્રમ 12 × 16 = 192:4!/2 = 12 ક્રમચયો છે, અડધા વૈકલ્પિક તરીકે, દરેક અક્ષમાં પ્રતિબિંબ માટે 24 = 16. એક નાના અનુક્રમણિકા પેટાજૂથો છે જે સમાન 4-બહુપદી, [31,1,1] +, ક્રમ 96 ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે 3 દ્વિભાજિત શાખા ગાંઠો સમાન રીતે વીંટળાયેલા હોય, ત્યારે સમપ્રમાણતામાં 6 નો વધારો કરી શકાય છે, જેમ કે [3 [31,1,1] = [3,4,3], અને આમ આ પોલીટોપ્સને 24-કોષ પરિવારમાંથી પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે. અહીં ફરીથી સ્નબ 24-કોષ, આ વખતે સમપ્રમાણતા જૂથ [31,1,1] + સાથે, કાઢી નાખેલા શિરોબિંદુઓની સ્થિતિ પર 96 નવા ટેટ્રાહેડ્રાની રચના કરતા કપાયેલા 24-કોષના વૈકલ્પિક કાપણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. અગાઉના જૂથોમાં અંશતઃ સ્નબ્ડ 4-પોલીટોપ તરીકે તેના દેખાવથી વિપરીત, માત્ર આ સમપ્રમાણતા જૂથમાં તે કેપ્લર સ્નબ સાથે સંપૂર્ણ સામ્યતા ધરાવે છે, એટલે કે. સ્નબ ક્યુબ અને સ્નબ ડોડેકાહેડ્રોન. ગ્રાન્ડ એન્ટિપ્રિઝમ એક બિન-વિથોફિયન ગણવેશ બહિર્મુખ 4-બહુપદી છે, જેને ગ્રાન્ડ એન્ટિપ્રિઝમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેમાં 20 પંચકોણીય એન્ટિપ્રિઝમ્સનો સમાવેશ થાય છે, જે 300 ટેટ્રાહેડ્રા દ્વારા જોડાયેલા બે લંબરૂપ રિંગ્સ બનાવે છે. તે ત્રિ-પરિમાણીય એન્ટીપ્રિઝમ્સ જેવું જ છે, જેમાં ત્રિકોણના બેન્ડ દ્વારા જોડાયેલા બે સમાંતર બહુકોણનો સમાવેશ થાય છે. તેમનાથી વિપરીત, જો કે, ગ્રાન્ડ એન્ટીપ્રિઝમ એકસમાન પોલીટોપ્સના અનંત પરિવારનો સભ્ય નથી. તેની સમપ્રમાણતા આયનીય ઘટેલું કોક્સેટર જૂથ છે, [10,2 +, 10], ક્રમ 400. પ્રિઝમેટિક યુનિફોર્મ 4-પોલીટોપ એ પ્રિઝમેટિક પોલીટોપ એ નીચલા પરિમાણના બે પોલીટોપનું કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન છે; પરિચિત ઉદાહરણો 3-પરિમાણીય પ્રિઝમ છે, જે બહુકોણ અને રેખા ખંડના ઉત્પાદનો છે. પ્રિઝમેટિક યુનિફોર્મ 4-પોલીટોપમાં બે અનંત પરિવારોનો સમાવેશ થાય છેઃ પોલીહેડ્રલ પ્રિઝમઃ લાઇન સેગમેન્ટના ઉત્પાદનો અને યુનિફોર્મ પોલીહેડ્રોન. આ પરિવાર અનંત છે કારણ કે તેમાં ત્રિ-પરિમાણીય પ્રિઝમ અને એન્ટિપ્રિઝમ પર બનેલા પ્રિઝમનો સમાવેશ થાય છે. ડુઓપ્રિઝમ્સઃ બે બહુકોણની પેદાશો. કન્વેક્સ પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમ પ્રિઝમેટિક 4-પોલિટોપનું સૌથી સ્પષ્ટ કુટુંબ પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમ છે, એટલે કે. લાઇન સેગમેન્ટ સાથે પોલિહેડ્રોનના ઉત્પાદનો. આવા 4-બહુપદીના કોષો બે સમાન સમાન બહુપદી છે જે સમાંતર હાયપરપ્લેન (આધાર કોષો) માં આવેલા હોય છે અને તેમને જોડતા પ્રિઝમનું એક સ્તર (પાર્શ્વીય કોષો) હોય છે. આ કુટુંબમાં 75 બિન-પ્રિઝમેટિક યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા માટે પ્રિઝમનો સમાવેશ થાય છે (જેમાંથી 18 બહિર્મુખ છે; તેમાંથી એક, ક્યુબ-પ્રિઝમ, ઉપર ટેસેરેક્ટ તરીકે સૂચિબદ્ધ છે). 5 પ્લેટોનિક ઘન અને 13 આર્કિમિડીયન ઘન તેમજ ત્રિ-પરિમાણીય પ્રિઝમ અને એન્ટિપ્રિઝમના અનંત પરિવારોમાંથી 18 બહિર્મુખ પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમ બનાવવામાં આવ્યા છે. પોલિહેડ્રલ પ્રિઝમની સમપ્રમાણતા સંખ્યા બેઝ પોલિહેડ્રોન કરતા બમણી હોય છે. ટેટ્રાહેડ્રલ પ્રિઝમઃ A3 × A1 આ પ્રિઝમેટિક ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા [3,3,2], ક્રમ 48 છે. બે અનુક્રમણિકા 2 પેટા જૂથો છે, [(3,3) +, 2] અને [3,3,2] +, પરંતુ બીજો એક સમાન 4-બહુપદી ઉત્પન્ન કરતો નથી. ઓક્ટાહેડ્રલ પ્રિઝમઃ B3 × A1 આ પ્રિઝમેટિક ઓક્ટાહેડ્રલ કુટુંબ સમપ્રમાણતા [4,3,2], ક્રમ 96 છે. અનુક્રમણિકા 2, ક્રમ 48 ના 6 પેટા જૂથો છે જે નીચે વૈકલ્પિક 4-બહુપદીમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે. સમપ્રમાણતાઓ [(4,3) +, 2], [1 +, 4,3,2], [4,3,2 +], [4,3 +, 2], [4, (3,2) +], અને [4,3,2] + છે. આઇકોસાહેડ્રલ પ્રિઝમઃ H3 × A1 આ પ્રિઝમેટિક આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા [5,3,2], ક્રમ 240 છે. બે અનુક્રમણિકા 2 પેટાજૂથો છે, [(5,3) +, 2] અને [5,3,2] +, પરંતુ બીજો એક સમાન પોલિકોરોન ઉત્પન્ન કરતો નથી. ડુઓપ્રિઝમ્સઃ [p] × [q] બીજો એકસમાન ડુઓપ્રિઝમ્સનો અનંત પરિવાર છે, જે બે નિયમિત બહુકોણના ઉત્પાદનો છે. ડ્યૂઓપ્રિઝમનું કોક્સેટર-ડિંકિન આકૃતિ છે. તેની શિરોબિંદુ આકૃતિ ડિસ્પેનોઇડ ટેટ્રાહેડ્રોન છે. આ કુટુંબ પ્રથમ સાથે ઓવરલેપ થાય છેઃ જ્યારે બે "પરિબળ" બહુકોણમાંથી એક ચોરસ હોય, ત્યારે ઉત્પાદન હાયપરપ્રિઝમની સમકક્ષ હોય છે, જેનો આધાર ત્રિ-પરિમાણીય પ્રિઝમ હોય છે. ડુઓપ્રિઝમની સમપ્રમાણતા સંખ્યા કે જેના પરિબળો p-ગોન અને q-ગોન (a "p, q-ડુઓપ્રિઝમ") છે તે 4pq છે જો p ષ્ણાંક q હોય; જો પરિબળો બંને p-ગોન હોય, તો સમપ્રમાણતા સંખ્યા 8p2 છે. ટેસરાક્ટને 4,4-ડ્યુપ્રિઝમ પણ ગણી શકાય. {p} × {q} નો વિસ્તૃત f-વેક્ટર (p, p, 1) * (q, q, 1) = (pq, 2pq, pq + p + q, p + q) છે. કોષોઃ p q-ગોનલ પ્રિઝમ, q p-ગોનલ પ્રિઝમ ચહેરાઓઃ pq ચોરસ, p q-ગોન, q p-ગોન ધારઃ 2pq શિરોબિંદુઓઃ pq ત્રિ-પરિમાણીય એન્ટિપ્રિઝમના અનંત કુટુંબના ચાર પરિમાણોમાં કોઈ સમાન એનાલોગ નથી. પી-ક્યૂ ડ્યુપ્રિઝમનો અનંત સમૂહ-પી-ક્યૂ-ગોનલ પ્રિઝમ, ક્યૂ પી-ગોનલ પ્રિઝમઃ વિકલ્પો શક્ય છે. = ડુઆન્ટિપ્રિઝમના કુટુંબને આપે છે, પરંતુ તેમને સામાન્ય રીતે એકસમાન બનાવી શકાતા નથી. પી = ક્યૂ = 2 એ એકમાત્ર બહિર્મુખ કેસ છે જેને એકસમાન બનાવી શકાય છે, જે નિયમિત 16-કોષ આપે છે. પી = 5, ક્યૂ = 5/3 એ એકમાત્ર નોન-કન્વેક્સ કેસ છે જેને એકસમાન બનાવી શકાય છે, જે કહેવાતા મહાન દ્વૈતવાદ આપે છે. તે પી-2ક્યૂ-ગોનલ પ્રિઝમન્ટિપ્રિસ્મોઇડ (2પી-4ક્યૂ ડ્યુપ્રિઝમનું ધાર-પરિવર્તન) આપે છે, પરંતુ આને કોઈ પણ સંજોગોમાં એકસમાન બનાવી શકાતું નથી. બહુકોણીય પ્રિઝ્મઃ [પી] × [] × [] સમાન પ્રિઝ્મનો અનંત સમૂહ 4-પી ડ્યુપ્રિઝમ્સ સાથે ઓવરલેપ થાય છેઃ (પી ≤ 3)-- પી ક્યુબ્સ અને 4 પી-ગોનલ પ્રિઝમ્સ-(બધા 4-પી ડ્યુપ્રિઝમ જેવા જ છે) શ્રેણીમાં બીજો પોલીટોપ નિયમિત ટેસેરેક્ટની નીચી સમપ્રમાણતા છે, {4} × {4}. બહુકોણીય વિરોધી પ્રિઝમઃ [પી] × [] × [] સમાન વિરોધી પ્રિઝમના અનંત સમૂહો બે સમાંતર સમાન વિરોધી પ્રિઝમ્સમાંથી બનાવવામાં આવે છેઃ (પી ≤ 2)-- 2 પી-ગોનલ વિરોધી પ્રિઝમ્સ, જે 2 પી-ગોનલ પ્રિઝમ્સ અને 2 પી ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ્સ દ્વારા જોડાયેલા છે. પી-ગોનલ એન્ટીપ્રિઝમેટિક પ્રિઝમમાં 4 પી ત્રિકોણ, 4 પી ચોરસ અને 4 પી-ગોન ચહેરાઓ હોય છે. તેમાં 10p ધાર અને 4p શિરોબિંદુઓ છે. બિન-સમાન વિકલ્પો કોક્સેટરએ ક્રમ 4 કોક્સેટર જૂથો માટે માત્ર બે સમાન ઉકેલો દર્શાવ્યા હતા, જેમાં તમામ રિંગ્સ વૈકલ્પિક હતી (ખાલી વર્તુળ ગાંઠો સાથે દર્શાવવામાં આવી હતી). પ્રથમ છે, s {21,1,1} જે અનુક્રમણિકા 24 પેટાજૂથ (સમપ્રમાણતા [2,2,2] +, ક્રમ 8) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે ડેમિટેસેરેક્ટનું સ્વરૂપ છે, h {4,3,3} (સમપ્રમાણતા [1 +, 4,3,3] = [31,1,1], ક્રમ 192). બીજું છે, s {31,1,1}, જે સ્નબ 24-સેલનું અનુક્રમણિકા 6 પેટાજૂથ (સમપ્રમાણતા [31,1,1] +, ક્રમ 96) સ્વરૂપ છે, s {3,4,3}, (સમપ્રમાણતા [3 +, 4,3], ક્રમ 576). અન્ય વિકલ્પો, જેમ કે, સર્વવ્યાપી ટેસરાક્ટમાંથી વૈકલ્પિક તરીકે, સમાન કરી શકાતા નથી કારણ કે સમાન ધારની લંબાઈ માટે ઉકેલ સામાન્ય રીતે વધુ પડતો નિર્ધારિત હોય છે (ત્યાં છ સમીકરણો છે પરંતુ માત્ર ચાર ચલ છે). આવી બિન-સમાન વૈકલ્પિક આકૃતિઓને સંપૂર્ણ વીંટીવાળા આકૃતિના શિરોબિંદુઓના બે અર્ધ સમૂહોમાંથી એકને દૂર કરીને શિરોબિંદુ-સંક્રમક 4-બહુપદી તરીકે બનાવી શકાય છે, પરંતુ તેની ધારની લંબાઈ અસમાન હશે. સમાન વિકલ્પોની જેમ, તેમની પાસે સમાન આંકડાની સમપ્રમાણતાનો અડધો ભાગ હશે, જેમ કે [4,3,3] +, ક્રમ 192, વૈકલ્પિક સર્વવ્યાપી ટેસરાક્ટની સમપ્રમાણતા છે. વારાફરતી સાથે વાયથોફની રચનાઓ શિરોબિંદુ-સંક્રમક આકૃતિઓ ઉત્પન્ન કરે છે જેને સમબાહુ બનાવી શકાય છે, પરંતુ એકસમાન નથી કારણ કે વૈકલ્પિક અંતરાયો (દૂર કરેલા શિરોબિંદુઓની આસપાસ) એવા કોષો બનાવે છે જે નિયમિત અથવા અર્ધરેગ્યુલર નથી. આવી આકૃતિઓનું સૂચિત નામ સ્કેલિફોર્મ પોલીટોપ છે. આ શ્રેણી કોષો તરીકે જ્હોનસન ઘન પદાર્થોના સબસેટને મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે ત્રિકોણાકાર ગુંબજ. જ્હોનસન ઘનની અંદર દરેક શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકન શિરોબિંદુ આકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ પિરામિડની બે શિરોબિંદુ રચનાઓ હોય છેઃ આધારની આસપાસ 3.3.4 અને ટોચ પર 3.3.3.3. દરેક શિરોબિંદુની આસપાસના કોષોની યાદી સાથે ચાર બહિર્મુખ સમબાહુ કેસોની જાળી અને શિરોબિંદુની આકૃતિઓ નીચે આપવામાં આવી છે. 46 બિનપ્રિસ્મેટિક વાયથોફિયન ગણવેશ પોલિકોરા માટે ભૌમિતિક વ્યુત્પત્તિઓ 46 વાયથોફિયન 4-બહુપદીઓમાં છ બહિર્મુખ નિયમિત 4-બહુપદીઓનો સમાવેશ થાય છે. અન્ય ચાલીસ નિયમિત પોલિકોરામાંથી ભૌમિતિક કામગીરી દ્વારા મેળવી શકાય છે જે તેમની મોટાભાગની અથવા બધી સમપ્રમાણતા જાળવી રાખે છે, અને તેથી તેમને સમાનતાવાળા સમપ્રમાણતા જૂથો દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ભૌમિતિક કામગીરીઓ કે જે નિયમિત 4-બહુપદીમાંથી 40 સમાન 4-બહુપદીઓ મેળવે છે તે કાપવાની કામગીરી છે. 4-બહુપદીને શિરોબિંદુઓ, ધાર અથવા ચહેરાઓ પર કાપવામાં આવી શકે છે, જે નીચેના કોષ્ટકોના સ્તંભોમાં બતાવ્યા પ્રમાણે તે તત્વોને અનુરૂપ કોષો ઉમેરવા તરફ દોરી જાય છે. કોક્સેટર-ડાઇન્કિન આકૃતિ વિથોફિયન કેલિડોસ્કોપના ચાર અરીસાઓને ગાંઠો તરીકે દર્શાવે છે, અને ગાંઠો વચ્ચેની ધારને પૂર્ણાંક દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે જે અરીસાઓ (π/n રેડિયન અથવા 180/n ડિગ્રી) વચ્ચેનો કોણ દર્શાવે છે. વર્તુળાકાર ગાંઠો દર્શાવે છે કે દરેક સ્વરૂપ માટે કયા અરીસાઓ સક્રિય છે; અરીસો તેના પર ન હોય તેવા શિરોબિંદુના સંદર્ભમાં સક્રિય છે. બહિર્મુખ એકસમાન હનીકોમ્બ પણ જુઓ, જેમાંથી કેટલાક નિયમિત ઘન હનીકોમ્બ પર લાગુ થતી આ કામગીરીને સમજાવે છે. જો બે પોલીટોપ એકબીજાના દ્વિગુણિત હોય (જેમ કે ટેસેરેક્ટ અને 16-કોષ, અથવા 120-કોષ અને 600-કોષ), તો પછી બિટ્રન્કેટિંગ, રનસિનેટિંગ અથવા ઓમ્નિટ્રન્કેટિંગ કાં તો બીજા માટે સમાન કામગીરી સમાન આંકડો ઉત્પન્ન કરે છે. આમ જ્યાં કોષ્ટકમાં માત્ર સહભાગી દેખાય છે ત્યાં તે કોઈપણ પિતૃને લાગુ પડે છે તે સમજવું જોઈએ. વિસ્તૃત સમપ્રમાણતા દ્વારા રચનાઓનો સારાંશ A4, B4, F4, H4 સમપ્રમાણતાથી બનેલા 46 સમાન પોલિકોરા આ કોષ્ટકમાં તેમની સંપૂર્ણ વિસ્તૃત સમપ્રમાણતા અને કોક્સેટર આકૃતિઓ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. D4 સમપ્રમાણતાનો પણ સમાવેશ થાય છે, જો કે તે માત્ર ડુપ્લિકેટ બનાવે છે. વિકલ્પોને તેમની કાયરલ સમપ્રમાણતા દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. તમામ વિકલ્પો આપવામાં આવે છે, જો કે સ્નબ 24-કોષ, વિવિધ પરિવારોમાંથી તેની 3 રચનાઓ સાથે એકમાત્ર એવું છે જે એકસમાન છે. કૌંસમાં ગણતરીઓ કાં તો પુનરાવર્તિત અથવા બિન-સમાન હોય છે. કોક્સેટર આકૃતિઓ સબસ્ક્રિપ્ટ સૂચકાંકો 1 થી 46 સાથે આપવામાં આવી છે. 3-3 અને 4-4 દ્વિપ્રિસમેટિક પરિવારનો સમાવેશ થાય છે, બી 4 પરિવાર સાથેના તેના સંબંધ માટે બીજો. યુનિફોર્મ સ્ટાર પોલીકોરા ઉપરોક્ત અનંત ડ્યુપ્રિઝમ અને એન્ટિપ્રિઝમ પ્રિઝમ પરિવારો સિવાય, જેમાં અનંત સંખ્યાબંધ નોન-કન્વેક્સ સભ્યો છે, ઘણા યુનિફોર્મ સ્ટાર પોલીકોરાની શોધ કરવામાં આવી છે. 1852માં, લુડવિગ શ્લાફલીએ ચાર નિયમિત તારા પોલિકોરાની શોધ કરીઃ {5,3,5 2}, {5/2,3,5}, {3,3,5 2}, અને {5/2,3,3}. 1883માં, એડમન્ડ હેસને અન્ય છ મળી આવ્યાઃ {3,5,5 2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, અને {3,5/2,5}. નોર્મન જ્હોન્સને 1966ના તેમના ડોક્ટરલ નિબંધમાં ત્રણ સમાન એન્ટીપ્રિઝમ જેવા સ્ટાર પોલિકોરાનું વર્ણન કર્યું હતુંઃ તેઓ નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોનની ધાર અને શિરોબિંદુઓને વહેંચતા ત્રણ ડિટ્રિગોનલ પોલિહેડ્રા પર આધારિત છે. ત્યારથી જોનાથન બોવર્સ અને જ્યોર્જ ઓલ્શેવ્સ્કી સહિતના અન્ય સંશોધકો દ્વારા ઘણા વધુ શોધાયા છે, જેણે હાલમાં કુલ 2125 જાણીતા એકસમાન તારા પોલિકોરાની ગણતરી કરી છે (તારા બહુકોણ પર આધારિત દ્વિધ્રુવોના અનંત સમૂહની ગણતરી નહીં). હાલમાં સેટની સંપૂર્ણતાનો કોઈ પુરાવો નથી. યુક્લિડિયન 3-સ્પેસમાં 4-સ્પેસ કન્વેક્સ યુનિફોર્મ હનીકોમ્બ-સંબંધિત અનંત 4-પોલીટોપનું મર્યાદિત નિયમિત સ્ક્યુ પોલીહેડ્રા પણ જુઓ. હાયપરબોલિક સ્પેસમાં કન્વેક્સ યુનિફોર્મ હનીકોમ્બ્સ-હાયપરબોલિક 3-સ્પેસમાં અનંત 4-બહુપદી સંબંધિત. પેરાકૉમ્પેક્ટ યુનિફોર્મ હનીકોમ્બ્સ સંદર્ભો એ. બૂલ સ્ટોટઃ નિયમિત પોલીટોપ્સ અને સ્પેસ ફિલિંગ્સમાંથી સેમીરેગ્યુલરની ભૌમિતિક કપાત, કોનિન્ક્લિજકે એકેડેમીના વેરહેન્ડલિંગેન વેન વેટન્સચેપ્પેન પહોળાઈ એકમ એમ્સ્ટરડેમ, એર્સ્ટે સેક્ટી 11,1, એમ્સ્ટરડેમ, 1910 બી. ગ્રુનબામ કન્વેક્સ પોલીટોપ્સ, ન્યૂ યોર્ક; લંડનઃ સ્પ્રિંગર, c2003. . વોલ્કર કૈબેલ, વિક્ટર ક્લી અને ગુંટર એમ. ઝિગલર દ્વારા તૈયાર કરાયેલી બીજી આવૃત્તિ. એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરઃ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, એમ. એસ. હિગિન્સ અને જે. સી. પી. મિલરઃ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા, ફિલોસોફિકલ ટ્રાન્ઝેક્શન્સ ઓફ ધ રોયલ સોસાયટી ઓફ લંડન, લંડન, 1954 એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, ડોવર ન્યૂયોર્ક, 1973 કેલિડોસ્કોપઃ સિલેક્ટેડ રાઇટિંગ્સ ઓફ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન દ્વારા સંપાદિત, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, (પેપર 22) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ નિયમિત પોલીટોપ I, [ગણિત. ઝીરો. 46 (1940) 380-407, એમઆર 2,10] (પેપર 23) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ II, [ગણિત. ઝીરો. 188 (1985) 559-591 [પેપર 24] એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ III, [ગણિત. ઝીરો. 200 (1988) 3-45 એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર અને ડબલ્યુ. ઓ. જે. મોઝર. જનરેટર્સ એન્ડ રિલેશન્સ ફોર ડિસ્ક્રીટ ગ્રૂપ્સ ચોથી આવૃત્તિ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. ન્યૂયોર્ક. 1980 પૃષ્ઠ 92, પૃષ્ઠ 122. જ્હોન એચ. કોનવે, હેઇડી બર્ગીલ, ચેઇમ ગુડમેન-સ્ટ્રોસ, ધ સિમેટ્રીઝ ઓફ થિંગ્સ 2008, (પ્રકરણ 26) જ્હોન એચ. કોનવે અને એમ. જે. ટી. ગાયઃ ફોર-ડાયમેન્શનલ આર્કિમિડીયન પોલીટોપ્સ, પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ કોલોક્વિયમ ઓન કન્વેક્સિટી એટ કોપનહેગન, પાનું 38 અને 39,1965 એન. ડબલ્યુ. જ્હોનસનઃ ધ થિયરી ઓફ યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ એન્ડ હનીકોમ્બ્સ, પીએચ. ડી. ડિસર્ટેશન, યુનિવર્સિટી ઓફ ટોરોન્ટો, 1966 એન. ડબલ્યુ. જ્હોનસનઃ ભૂમિતિ અને પરિવર્તન, (2015) પ્રકરણ 11: મર્યાદિત સમપ્રમાણતા જૂથો રિચાર્ડ ક્લિટ્ઝિંગ, સ્નબ્સ, વૈકલ્પિક પાસાઓ, અને સ્ટોટ-કોક્ઝેટર-ડાયકિન આકૃતિઓ, સમપ્રમાણતાઃ સંસ્કૃતિ અને વિજ્ઞાન, વોલ્યુમ. 21, નંબર 4,329-344, (2010) ગૂગલબુક, 370-381 બાહ્ય કડીઓ કન્વેક્સ યુનિફોર્મ 4-પોલીટોપ યુનિફોર્મ, ચાર પરિમાણોમાં કન્વેક્સ પોલીટોપ, માર્કો મોલર. આ આંકડાઓ માટે વૈકલ્પિક નામોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં જોનાથન બોવર્સ, જ્યોર્જ ઓલ્શેવ્સ્કી અને નોર્મન જોહ્ન્સનનો સમાવેશ થાય છે. નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત બહિર્મુખ પોલીટોપ્સ એક ટૂંકી ઐતિહાસિક ઝાંખી જાવા3ડી એપલટ્સ સ્ત્રોતો સાથે નોન-કન્વેક્સ યુનિફોર્મ 4-પોલીટોપ્સ યુનિફોર્મ પોલીચોરા બાય જોનાથન બોવર્સ સ્ટેલા4ડી સ્ટેલા (સોફ્ટવેર) 64 બહિર્મુખ સ્વરૂપો અને અનંત પ્રિઝમેટિક પરિવારો સહિત જાણીતા યુનિફોર્મ પોલીચોરાના ઇન્ટરેક્ટિવ દૃશ્યો ઉત્પન્ન કરે છે. ક્વાટર્નિયન્સ ઇન્ટરનેશનલ જર્નલ ઓફ જીઓમેટ્રિક મેથડ્સ ઇન મોડર્ન ફિઝિક્સ, વોલ્યુમ દ્વારા રજૂ કરાયેલ કોક્સેટર ગ્રુપ W (A4) ના 4D-પોલીટોપ્સ અને તેમના ડ્યુઅલ પોલીટોપ્સ. 9, નં. 4 (2012) મેહમેટ કોકા, નાઝીફ ઓઝદેસ કોકા, મુધાહિર અલ-આજમી (2012) 4-પોલીટોપ