Breather
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બ્રીથર એ બિનરેખીય તરંગ છે જેમાં ઊર્જા સ્થાનિક અને દોલનશીલ રીતે કેન્દ્રિત થાય છે. આ અનંત કંપનવિસ્તાર માટે અનુરૂપ રેખીય પ્રણાલીમાંથી મેળવેલી અપેક્ષાઓ સાથે વિરોધાભાસી છે, જે શરૂઆતમાં સ્થાનિક ઊર્જાના સમાન વિતરણ તરફ વલણ ધરાવે છે. એક અલગ શ્વાસ લેનાર એ બિનરેખીય જાળી પર શ્વાસ લેનાર દ્રાવણ છે. બ્રીધર શબ્દ એ લાક્ષણિકતા પરથી ઉદ્દભવે છે કે મોટાભાગના શ્વાસોચ્છ્વાસ અવકાશમાં સ્થાનિક હોય છે અને સમયસર દોલન (શ્વાસ) કરે છે. પણ વિપરીત પરિસ્થિતિઃ અવકાશમાં ઓસિલેશન અને સમયસર સ્થાનિકકરણ, શ્વાસ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. બ્રીધર એ સતત માધ્યમ સમીકરણો અથવા સ્વતંત્ર જાળી સમીકરણોના સ્થાનિક સામયિક ઉકેલ છે. બરાબર ઉકેલી શકાય તેવું સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણ અને કેન્દ્રિત બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ એ એક-પરિમાણીય આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણો છે જે શ્વાસના ઉકેલો ધરાવે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં અલગ બિનરેખીય હેમિલ્ટોનિયન જાળી શ્વાસના ઉકેલોને ટેકો આપે છે. શ્વાસોચ્છવાસ એ સોલિટોનિક રચનાઓ છે. શ્વાસ લેવાના બે પ્રકાર છેઃ ઊભા રહેવું અથવા મુસાફરી કરવી. સ્થાયી શ્વાસોચ્છ્વાસ સ્થાનિક ઉકેલોને અનુરૂપ હોય છે જેનું કંપનવિસ્તાર સમય પ્રમાણે બદલાય છે (તેમને કેટલીકવાર ઓસિલોન કહેવામાં આવે છે). અલગ જાળીમાં શ્વાસોચ્છવાસના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરત એ છે કે શ્વાસોચ્છવાસની મુખ્ય આવર્તન અને તેના તમામ ગુણક જાળીના ફોનોન વર્ણપટની બહાર સ્થિત છે. સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણ માટે બ્રેથર સોલ્યુશનનું ઉદાહરણ સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણ એ બિનરેખીય વિખેરણશીલ આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે જે ક્ષેત્ર u સાથે અવકાશી સંકલન x અને સમય t નું વિધેય છે. ઇન્વર્સ સ્કેટરિંગ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને એક ચોક્કસ ઉકેલ મળે છેઃ જે, ω <1 માટે, સમય t માં સામયિક છે અને જ્યારે x = 0 થી દૂર જાય છે ત્યારે ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે. બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે બ્રેથર સોલ્યુશનનું ઉદાહરણ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરતું બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ એ પ્રસરણશીલ આંશિક વિભેદક સમીકરણ છેઃ જેમાં u એ x અને t ના વિધેય તરીકે જટિલ ક્ષેત્ર છે. વધુમાં i કાલ્પનિક એકમને સૂચવે છે. શ્વાસોચ્છવાસના ઉકેલોમાંનો એક એ છે કે જેની સાથે અવકાશ x માં સામયિક શ્વાસોચ્છવાસ આપે છે અને જ્યારે ધ્યાન કેન્દ્રિત સમય t = 0 થી દૂર જાય છે ત્યારે સમાન મૂલ્ય a ની નજીક પહોંચે છે. આ બ્રીધર્સ મોડ્યુલેશન પરિમાણ b કરતાં ઓછા મૂલ્યો માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. નોંધ લો કે બ્રેથર સોલ્યુશનનો મર્યાદિત કેસ પેરેગ્રીન સોલિટોન છે. બ્રીધર સરફેસ સોલિટોન સંદર્ભો અને નોંધો તરંગો પણ જુઓ.