Union (set theory)
સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, સમૂહના સંગ્રહનું જોડાણ (≤ દ્વારા સૂચિત) એ સંગ્રહમાંના તમામ તત્વોનો સમૂહ છે. તે મૂળભૂત કામગીરીઓમાંની એક છે જેના દ્વારા સમૂહોને જોડી શકાય છે અને એકબીજા સાથે સંબંધિત કરી શકાય છે. A એ શૂન્ય () સમૂહોના જોડાણનો સંદર્ભ આપે છે અને તે વ્યાખ્યા દ્વારા ખાલી સમૂહની બરાબર છે. આ લેખમાં વપરાયેલા પ્રતીકોની સમજૂતી માટે, ગાણિતિક પ્રતીકોના કોષ્ટકનો સંદર્ભ લો. બે સમૂહોનું જોડાણ એ અને બી બે સમૂહોનું જોડાણ એ તત્વોનો સમૂહ છે જે એ, બી અથવા એ અને બી બંનેમાં હોય છે. સેટ-બિલ્ડર નોટેશનમાં,. ઉદાહરણ તરીકે, જો A = {1,3,5,7} અને B = {1,2,3,6,7} તો A ≤ B = {1,2,3,4,5,6,7}. વધુ વિસ્તૃત ઉદાહરણ (બે અનંત સમૂહોને સમાવતું) છેઃ A = {x એ 1 કરતા મોટો સમ પૂર્ણાંક છે} B = {x એ 1 કરતા મોટો વિષમ પૂર્ણાંક છે} અન્ય એક ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 9 એ મુખ્ય સંખ્યાઓના સમૂહ {2,3,5,7,11,.} અને સમ સંખ્યાઓના સમૂહ {2,4,6,8,10,.} ના જોડાણમાં સમાવિષ્ટ નથી, કારણ કે 9 ન તો મુખ્ય છે અને ન તો સમ છે. સમૂહોમાં ડુપ્લિકેટ ઘટકો ન હોઈ શકે, તેથી સમૂહો {1,2,3} અને {2,3,4} નું જોડાણ {1,2,3,4} છે. સમાન તત્વોની બહુવિધ ઘટનાઓની સમૂહની મુખ્યતા અથવા તેની સામગ્રી પર કોઈ અસર થતી નથી. બીજગણિત ગુણધર્મો દ્વિસંગી જોડાણ એ એક સહયોગી કામગીરી છે; એટલે કે, કોઈપણ સમૂહો માટે આમ, કૌંસને અસ્પષ્ટતા વિના અવગણવામાં આવી શકે છેઃ ઉપરોક્તમાંથી કોઈપણને આ રીતે લખી શકાય છે. ખાલી સમૂહ એ સંઘની કામગીરી માટેનું એક ઓળખ તત્વ છે. એટલે કે, કોઈપણ સમૂહ માટે પણ, સંઘની કામગીરી સક્ષમ છેઃ આ તમામ ગુણધર્મો તાર્કિક વિચ્છેદ વિશેના સમાન તથ્યોને અનુસરે છે. આંતરછેદ સંઘ પર વિતરણ કરે છે અને સંઘ આંતરછેદ પર વિતરણ કરે છે સંઘ, આંતરછેદ અને પૂરકતા દ્વારા આપવામાં આવતી કામગીરીઓ સાથે સમૂહનો પાવર સેટ બુલિયન બીજગણિત છે. આ બુલિયન બીજગણિતમાં, જોડાણને આંતરછેદ અને પૂરકતાના સંદર્ભમાં સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં સુપરસ્ક્રિપ્ટ સાર્વત્રિક સમૂહમાં પૂરક સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ સમૂહો A, B અને C ના જોડાણમાં A ના તમામ ઘટકો, B ના તમામ ઘટકો અને C ના તમામ ઘટકો હોય છે, અને બીજું કંઈ નહીં. આમ, x એ A ≤ B ≤ C નું એક તત્વ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો x એ A, B અને C માંથી ઓછામાં ઓછા એકમાં હોય. મનસ્વી સંઘ સૌથી સામાન્ય કલ્પના સમૂહના મનસ્વી સંગ્રહનું જોડાણ છે, જેને કેટલીકવાર અનંત સંઘ કહેવામાં આવે છે. જો M એ સમૂહ અથવા વર્ગ છે જેના ઘટકો સમૂહ છે, તો x એ M ના જોડાણનું તત્વ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો M નું ઓછામાં ઓછું એક તત્વ A એવું હોય કે x એ A નું તત્વ હોય. પ્રતીકોમાંઃ આ વિચાર અગાઉના વિભાગોને સમાવિષ્ટ કરે છે-ઉદાહરણ તરીકે, A ≤ B ≤ C એ સંગ્રહ {A, B, C} નું જોડાણ છે. ઉપરાંત, જો M એ ખાલી સંગ્રહ છે, તો M નું જોડાણ એ ખાલી સમૂહ છે. સંકેતો સામાન્ય ખ્યાલ માટેના સંકેતો નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ શકે છે. સમૂહોના મર્યાદિત જોડાણ માટે ઘણીવાર અથવા લખે છે. મનસ્વી સંઘો માટેના વિવિધ સામાન્ય સંકેતોમાં, અને નો સમાવેશ થાય છે. આ સંકેતોમાંથી છેલ્લો સંગ્રહના જોડાણનો સંદર્ભ આપે છે, જ્યાં I એ અનુક્રમણિકા સમૂહ છે અને દરેક માટે સમૂહ છે. અનુક્રમણિકા સમૂહ I એ કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય તેવા કિસ્સામાં, એક સંકેતનો ઉપયોગ કરે છે, જે શ્રેણીમાં અનંત રકમની સમાન હોય છે. જ્યારે પ્રતીક "¥" અન્ય પ્રતીકો (તેમની વચ્ચેના બદલે) પહેલાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેને સામાન્ય રીતે મોટા કદ તરીકે પ્રસ્તુત કરવામાં આવે છે. નોટેશન એન્કોડિંગ યુનિકોડમાં, યુનિયન અક્ષર દ્વારા રજૂ થાય છે. ટેક્સમાં, કપમાંથી રેન્ડર કરવામાં આવે છે અને બિગકપમાંથી રેન્ડર કરવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ-તારના સમૂહોનું જોડાણ નોંધો બાહ્ય કડીઓ પ્રોવેનમેથ ડી મોર્ગનના નિયમો પર અનંત સંઘ અને આંતરછેદન ઔપચારિક રીતે સમૂહ સિદ્ધાંતના સિદ્ધાંતોમાંથી સાબિત થાય છે. સમૂહ સિદ્ધાંતમાં બુલિયન બીજગણિત મૂળભૂત વિભાવનાઓ સમૂહ સિદ્ધાંત પર કામગીરી સમૂહ સિદ્ધાંત