Hydrostatic equilibrium
પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં, હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન (હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન, હાઇડ્રોસ્ટસી) એ પ્રવાહી અથવા પ્લાસ્ટિકની સ્થિર સ્થિતિની સ્થિતિ છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ જેવા બાહ્ય બળો દબાણ-ઢાળ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. પૃથ્વીના ગ્રહોની ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, દબાણ-ઢાળ બળ ગુરુત્વાકર્ષણને ગ્રહોના વાતાવરણને પાતળા, ગાઢ કવચમાં તૂટી જવાથી અટકાવે છે, જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દબાણ-ઢાળ બળને વાતાવરણને બાહ્ય અવકાશમાં ફેલાતા અટકાવે છે. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન એ દ્વાર્ફ ગ્રહો અને નાના સૌરમંડળના પદાર્થો વચ્ચેનો તફાવત માપદંડ છે, અને એસ્ટ્રોફિઝિક્સ અને ગ્રહોની ભૂસ્તરશાસ્ત્રમાં લક્ષણો છે. સંતુલનની કહેવાતી લાયકાત સૂચવે છે કે પદાર્થનો આકાર સમપ્રમાણ રીતે ગોળાકાર હોય છે, મોટે ભાગે પરિભ્રમણને કારણે, લંબગોળમાં, જ્યાં કોઈપણ અનિયમિત સપાટીની લાક્ષણિકતાઓ પ્રમાણમાં પાતળા નક્કર પોપડાના પરિણામે હોય છે. સૂર્ય ઉપરાંત, સૌરમંડળમાં એક ડઝન કે તેથી વધુ સંતુલન પદાર્થો અસ્તિત્વમાં હોવાની પુષ્ટિ થઈ છે. પૃથ્વી પરના જળસ્થૈતિક પ્રવાહી માટે ગાણિતિક વિચારણાઃ ન્યૂટનના ગતિના નિયમોના બળના સરવાળા પરથી વ્યુત્પત્તિ જણાવે છે કે જે પ્રવાહી ગતિમાં નથી અથવા જે સ્થિર વેગની સ્થિતિમાં છે તેના પર શૂન્ય ચોખ્ખું બળ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે આપેલ દિશામાં બળોના સરવાળાનો વિરોધ વિરુદ્ધ દિશામાં બળોના સમાન સરવાળા દ્વારા થવો જોઈએ. આ બળ સંતુલનને હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન કહેવામાં આવે છે. પ્રવાહીને મોટી સંખ્યામાં ઘન કદના તત્વોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે; એક તત્વને ધ્યાનમાં લઈને, પ્રવાહીની ક્રિયા મેળવી શકાય છે. ત્યાં ત્રણ બળો છેઃ દબાણની વ્યાખ્યા મુજબ, ઉપરના પ્રવાહીના દબાણમાંથી સમઘનની ટોચ પર નીચે તરફનું બળ, P, એ જ રીતે, ઉપર તરફ દબાણ કરતા પ્રવાહીના દબાણમાંથી વોલ્યુમ તત્વ પરનું બળ છે. જો ઘનતા ρ હોય, તો કદ V છે અને g પ્રમાણભૂત ગુરુત્વાકર્ષણ છે, તો પછીઃ આ સમઘનનું કદ ઉપર અથવા નીચેના વિસ્તારના બરાબર છે, ઊંચાઈની ગણી-સમઘનનું કદ શોધવા માટેનું સૂત્ર. આ બળોને સંતુલિત કરીને, પ્રવાહી પરનું કુલ બળ છે જો પ્રવાહીનો વેગ સ્થિર હોય તો આ સરવાળો શૂન્ય બરાબર થાય છે. A, અથવા, Ptop − Pbotom દ્વારા વિભાજીત કરવું એ દબાણમાં ફેરફાર છે, અને h એ વોલ્યુમ તત્વની ઊંચાઈ છે-જમીનની ઉપરના અંતરમાં ફેરફાર. આ ફેરફારો અનંત રીતે નાના છે એમ કહીને સમીકરણને વિભેદક સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. દબાણ સાથે ઘનતા બદલાય છે, અને ઊંચાઈ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ બદલાય છે, તેથી સમીકરણ હશેઃ નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોમાંથી વ્યુત્પત્તિ નોંધ લો કે આ છેલ્લું સમીકરણ સંતુલન પરિસ્થિતિ માટે ત્રિ-પરિમાણીય નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોને હલ કરીને મેળવી શકાય છે જ્યાં પછી એકમાત્ર બિન-તુચ્છ સમીકરણ-સમીકરણ છે, જે હવે વાંચે છે. સામાન્ય સાપેક્ષતાથી વ્યુત્પત્તિ આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણોમાં સંપૂર્ણ પ્રવાહી માટે ઊર્જા-વેગ ટેન્સરને જોડવાથી અને સંરક્ષણ સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ વ્યક્તિ સમસ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં સ્થિર, ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ સાપેક્ષ તારાની રચના માટે ટોલમેન-ઓપનહેઇમર-વોલ્કોફ સમીકરણ મેળવી શકે છેઃ વ્યવહારમાં, ρ અને ρ એ f (ρ, ρ) = 0 સ્વરૂપની સ્થિતિના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે, જેમાં તારાની રચના માટે f વિશિષ્ટ છે. M (r) એ દળ ઘનતા ρ (r) દ્વારા ભારિત ગોળાઓનું ફોલિયેશન છે, જેમાં સૌથી મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા r છેઃ બિન-સાપેક્ષવાદી મર્યાદા લેવાની પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયા દીઠ, આપણે c → ν ને આપીએ છીએ, જેથી પરિબળ બિન-સાપેક્ષવાદી મર્યાદામાં ટોલમેન-ઓપનહેઇમર-વોલ્કોફ સમીકરણ ન્યુટનના હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનમાં ઘટાડો કરે છેઃ (આપણે તુચ્છ સંકેતોમાં ફેરફાર h = r કર્યો છે અને P ની દ્રષ્ટિએ ρ ને વ્યક્ત કરવા માટે f (ρ, ρ) = 0 નો ઉપયોગ કર્યો છે). સમાન સમીકરણની ગણતરી ફરતા, અક્ષીય રીતે સપ્રમાણ તારાઓ માટે કરી શકાય છે, જે તેના ગેજ સ્વતંત્ર સ્વરૂપમાં વાંચે છેઃ ટી. ઓ. વી. સંતુલન સમીકરણથી વિપરીત, આ બે સમીકરણો છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો તારાઓની સારવાર કરતી વખતે હંમેશની જેમ, કોઈ ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સને આધાર કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે પસંદ કરે છે, તો અનુક્રમણિકા i કોઓર્ડિનેટ્સ r અને માટે ચાલે છે). ઉપયોગો પ્રવાહી હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન હાઇડ્રોસ્ટેટિક અને પ્રવાહીના સંતુલનના સિદ્ધાંતો સાથે સંબંધિત છે. જળસ્થૈતિક સંતુલન એ પાણીમાં પદાર્થોનું વજન કરવા માટેનું ચોક્કસ સંતુલન છે. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન તેમની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણની શોધને મંજૂરી આપે છે. આ સંતુલન ત્યારે સખત રીતે લાગુ પડે છે જ્યારે આદર્શ પ્રવાહી સ્થિર આડા લેમિનાર પ્રવાહમાં હોય અને જ્યારે કોઈ પ્રવાહી સ્થિર ગતિએ સ્થિર હોય અથવા ઊભી ગતિમાં હોય. તે સંતોષકારક અંદાજ પણ હોઈ શકે છે જ્યારે પ્રવાહની ઝડપ એટલી ઓછી હોય કે પ્રવેગક નગણ્ય હોય. એસ્ટ્રોફિઝિક્સ તારાના કોઈપણ સ્તરમાં, નીચેથી બહારના થર્મલ દબાણ અને અંદરની તરફ દબાવીને ઉપરની સામગ્રીના વજન વચ્ચે હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન હોય છે. આઇસોટ્રોપિક ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર તારાને શક્ય તેટલા સઘન આકારમાં સંકુચિત કરે છે. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનમાં ફરતો તારો ચોક્કસ (નિર્ણાયક) કોણીય વેગ સુધીનો ઓબ્લેટ ગોળાકાર છે. આ ઘટનાનું એક આત્યંતિક ઉદાહરણ વેગા તારો છે, જેનો પરિભ્રમણ સમયગાળો 12.5 કલાકનો છે. પરિણામે, વેગા ધ્રુવો કરતાં વિષુવવૃત્ત પર લગભગ 20 ટકા મોટો છે. નિર્ણાયક કોણીય વેગથી ઉપર કોણીય વેગ ધરાવતો તારો જેકોબી (સ્કેલિન) લંબગોળ બની જાય છે, અને હજુ પણ ઝડપી પરિભ્રમણ પર તે હવે લંબગોળ નથી પરંતુ પિરીફોર્મ અથવા અંડાકાર છે, તેનાથી આગળ અન્ય આકારો સાથે, જોકે સ્કેલિનની બહારના આકારો સ્થિર નથી. જો તારાની નજીકમાં એક વિશાળ સાથી પદાર્થ હોય તો ભરતી દળો પણ અમલમાં આવે છે, જે તારાને સ્કેલિન આકારમાં વિકૃત કરે છે જ્યારે એકલા પરિભ્રમણ તેને ગોળાકાર બનાવે છે. આનું એક ઉદાહરણ બીટા લાયરા છે. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન ઇન્ટ્રાક્લસ્ટર માધ્યમ માટે પણ મહત્વપૂર્ણ છે, જ્યાં તે તારાવિશ્વોના સમૂહના કેન્દ્રમાં હાજર પ્રવાહીની માત્રાને પ્રતિબંધિત કરે છે. આપણે તારાવિશ્વોના સમૂહમાં શ્યામ દ્રવ્યના વેગ પ્રસરણનો અંદાજ કાઢવા માટે હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનના સિદ્ધાંતનો પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. માત્ર બેરિયોનિક દ્રવ્ય (અથવા, તેના બદલે, તેની અથડામણ) એક્સ-રે કિરણોત્સર્ગ બહાર કાઢે છે. એકમ વોલ્યુમ દીઠ સંપૂર્ણ એક્સ-રેની તેજસ્વીતા બેરિયોનિક દ્રવ્યનું તાપમાન અને ઘનતા ક્યાં અને ક્યાં છે તે સ્વરૂપ લે છે, અને તે તાપમાન અને મૂળભૂત સ્થિરાંકોનું અમુક કાર્ય છે. બેરિયોનિક ઘનતા ઉપરોક્ત સમીકરણને સંતોષે છે અભિન્ન એ સમૂહના કેન્દ્રથી યોગ્ય અંતર સાથે સમૂહના કુલ દળનું માપ છે. આદર્શ વાયુ નિયમ (બોલ્ટઝમેનનો અચળાંક છે અને તે બેરિયોનિક વાયુ કણોનું લાક્ષણિક દળ છે) નો ઉપયોગ કરીને અને ફરીથી ગોઠવણી કરીને, આપણે ઉપજના સંદર્ભમાં ગુણાકાર અને તફાવત પર પહોંચીએ છીએ. જો આપણે એવી ધારણા કરીએ કે ઠંડા શ્યામ દ્રવ્યના કણો આઇસોટ્રોપિક વેગ વિતરણ ધરાવે છે, તો તે જ વ્યુત્પત્તિ આ કણોને લાગુ પડે છે, અને તેમની ઘનતા બિન-રેખીય વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. સંપૂર્ણ એક્સ-રે અને અંતરની માહિતી સાથે, આપણે સમૂહના દરેક બિંદુ પર બેરિયોન ઘનતા અને આમ શ્યામ દ્રવ્યની ઘનતાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. કેન્દ્રીય ઘનતા ગુણોત્તર ક્લસ્ટરની રેડશિફ્ટ પર આધારિત છે અને ક્લસ્ટરની કોણીય પહોળાઈ અને ક્લસ્ટરનું યોગ્ય અંતર ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુણોત્તર માટેના મૂલ્યો વિવિધ સર્વેક્ષણો માટે. 11 થી. 14 સુધીની શ્રેણી ધરાવે છે. ગ્રહોની ભૂસ્તરશાસ્ત્ર હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનની વિભાવના એ નક્કી કરવા માટે પણ મહત્વપૂર્ણ બની ગઈ છે કે શું ખગોળશાસ્ત્રીય પદાર્થ એક ગ્રહ, દ્વાર્ફ ગ્રહ અથવા નાના સૌર મંડળનો પદાર્થ છે. 2006 માં ઇન્ટરનેશનલ એસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિયન દ્વારા અપનાવવામાં આવેલી ગ્રહની વ્યાખ્યા અનુસાર, ગ્રહો અને દ્વાર્ફ ગ્રહોની એક વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતા એ છે કે તેઓ એવી વસ્તુઓ છે જે તેમની પોતાની કઠોરતાને દૂર કરવા અને હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન ધારણ કરવા માટે પૂરતા ગુરુત્વાકર્ષણ ધરાવે છે. આવા પદાર્થમાં ઘણીવાર વિશ્વના અલગ આંતરિક અને ભૂસ્તરશાસ્ત્ર (એક પ્લેનેમો) હશે, જો કે પ્રોટો-પ્લેનેટ 4 વેસ્ટા જેવા નજીકના હાઇડ્રોસ્ટેટિક અથવા અગાઉના હાઇડ્રોસ્ટેટિક પદાર્થો પણ અલગ હોઈ શકે છે અને કેટલાક હાઇડ્રોસ્ટેટિક પદાર્થો (ખાસ કરીને કેલિસ્ટો) તેમની રચના પછીથી સંપૂર્ણપણે અલગ નથી થયા. ઘણીવાર સંતુલન આકાર ઓબ્લેટ સ્ફેરોઇડ હોય છે, જેમ કે પૃથ્વીની બાબતમાં થાય છે. જો કે, સમક્રમિત ભ્રમણકક્ષામાં ચંદ્રના કિસ્સામાં, લગભગ એકદિશાત્મક ભરતી દળો સ્કેલિન લંબગોળ બનાવે છે. ઉપરાંત, કથિત દ્વાર્ફ ગ્રહ તેના ઝડપી પરિભ્રમણને કારણે સ્કેલિન છે, જો કે તે હાલમાં સંતુલનમાં ન પણ હોય. બરફીલા પદાર્થોને અગાઉ ખડકાળ પદાર્થોની સરખામણીમાં હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન પ્રાપ્ત કરવા માટે ઓછા દળની જરૂર હોવાનું માનવામાં આવતું હતું. સંતુલન આકાર ધરાવતો સૌથી નાનો પદાર્થ 396 કિ. મી. પરનો બરફીલો ચંદ્ર મીમાસ છે, જ્યારે દેખીતી રીતે બિન-સંતુલન આકાર ધરાવતો સૌથી મોટો બરફીલો પદાર્થ 420 કિ. મી. પરનો બરફીલો ચંદ્ર પ્રોટીયસ છે, અને દેખીતી રીતે બિન-સંતુલન આકારમાં સૌથી મોટા ખડકાળ પદાર્થો આશરે 520 કિ. મી. પર આવેલા એસ્ટરોઇડ પલ્લાસ અને વેસ્તા છે. જો કે, મિમાસ તેના વર્તમાન પરિભ્રમણ માટે વાસ્તવમાં હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનમાં નથી. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનમાં હોવાની પુષ્ટિ કરાયેલ સૌથી નાનો પદાર્થ દ્વાર્ફ ગ્રહ સેરેસ છે, જે 945 કિમી પર બરફીલો છે, જ્યારે હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનથી નોંધપાત્ર વિચલન ધરાવતો સૌથી મોટો જાણીતો પદાર્થ આઈપેટસ છે જે મોટે ભાગે પારગમ્ય બરફથી બનેલો છે અને લગભગ કોઈ ખડક નથી. 1, 469 કિ. મી. પર આયપેટસ ન તો ગોળાકાર હોય છે અને ન તો લંબગોળ. તેના બદલે, તે તેના અનન્ય વિષુવવૃત્તીય પર્વતમાળાને કારણે એક વિચિત્ર અખરોટના આકારમાં છે. કેટલાક બરફીલા પદાર્થો ઓછામાં ઓછા આંશિક રીતે ઉપ-સપાટીના સમુદ્રને કારણે સંતુલનમાં હોઈ શકે છે, જે IAU (આંતરિક કઠોર-શરીર દળો પર કાબુ મેળવતા ગુરુત્વાકર્ષણ) દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા સંતુલનની વ્યાખ્યા નથી. મોટા પદાર્થો પણ જળસ્થૈતિક સંતુલનથી વિચલિત થાય છે, જો કે તે લંબગોળ હોય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે પૃથ્વીનો ચંદ્ર 3,474 કિમી (મોટે ભાગે ખડક) પર અને બુધ ગ્રહ 4,880 કિમી (મોટે ભાગે ધાતુ) પર છે. ઘન પદાર્થોમાં અનિયમિત સપાટીઓ હોય છે, પરંતુ સ્થાનિક અનિયમિતતાઓ વૈશ્વિક સંતુલન સાથે સુસંગત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વી પરના સૌથી ઊંચા પર્વત, મૌના કેઆના વિશાળ પાયાએ આસપાસના પોપડાના સ્તરને વિકૃત અને હતાશ કર્યું છે, જેથી દળનું એકંદર વિતરણ સંતુલન સુધી પહોંચે છે. વાતાવરણીય પ્રતિરૂપણ વાતાવરણમાં, ઉંચાઈ વધવાની સાથે હવાનું દબાણ ઘટે છે. આ દબાણ તફાવત દબાણ-ઢાળ બળ તરીકે ઓળખાતા ઉપર તરફના બળનું કારણ બને છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આને સંતુલિત કરે છે, વાતાવરણને પૃથ્વી સાથે બંધાયેલ રાખે છે અને ઊંચાઈ સાથે દબાણના તફાવતોને જાળવી રાખે છે. જેમોલોજી જેમોલોજિસ્ટ્સ રત્નોની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ નક્કી કરવા માટે હાઇડ્રોસ્ટેટિક બેલેન્સનો ઉપયોગ કરે છે. રત્નશાસ્ત્રી તેઓ જે ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણનું નિરીક્ષણ કરે છે તેની સરખામણી હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન સાથે રત્નો માટેની માહિતીની પ્રમાણિત સૂચિ સાથે કરી શકે છે, જે તેમને તપાસ હેઠળ રત્નોની ઓળખ અથવા પ્રકારને સાંકડી કરવામાં મદદ કરે છે. આ પણ જુઓ સૌરમંડળના ગુરુત્વાકર્ષણીય ગોળાકાર પદાર્થોની સૂચિ; એવા પદાર્થોની સૂચિ કે જે તેમના પોતાના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ગોળાકાર, લંબગોળ આકાર ધરાવે છે (પરંતુ તે હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનમાં જરૂરી નથી) સ્ટેટિક્સ બે-બલૂન પ્રયોગ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ સ્ટ્રોબેલ, નિક. (મે, 2001). નિક સ્ટ્રોબેલની ખગોળશાસ્ત્ર નોંધો. રિચાર્ડ પોગ, ઓહિયો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ એસ્ટ્રોનોમી ફ્લુઇડ મિકેનિક્સ એસ્ટ્રોફિઝિક્સ હાઇડ્રોસ્ટેટિક્સ દ્વારા ખગોળશાસ્ત્રમાં ગ્રહની વિભાવનાઓની વ્યાખ્યા