Darboux's theorem
વિભેદક ભૂમિતિમાં, ગણિતના એક ક્ષેત્રમાં, ડાર્બોક્સનો પ્રમેય એ એક પ્રમેય છે જે વિભેદક 1-સ્વરૂપોના વિશેષ વર્ગો માટે સામાન્ય સ્વરૂપ પ્રદાન કરે છે, જે આંશિક રીતે ફ્રોબેનિયસ એકીકરણ પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે. તેનું નામ જીન ગેસ્ટન ડાર્બોક્સના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને ફાફ સમસ્યાના ઉકેલ તરીકે સ્થાપિત કર્યું હતું. તે ઘણા ક્ષેત્રોમાં પાયાનું પરિણામ છે, તેમાંની મુખ્ય સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિ છે. ખરેખર, તેના ઘણા પરિણામોમાંનું એક એ છે કે સમાન પરિમાણના કોઈપણ બે સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ્સ એક બીજા માટે સ્થાનિક રીતે સિમપ્લેક્ટોમોર્ફિક છે. એટલે કે, દરેક-પરિમાણીય સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડને તેના કેનોનિકલ સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ સાથે સ્થાનિક રીતે રેખીય સિમપ્લેક્ટિક સ્પેસની જેમ દેખાડી શકાય છે. સંપર્ક ભૂમિતિ પર લાગુ કરવામાં આવેલા પ્રમેયનું સમાન પરિણામ પણ છે. નિવેદન ધારો કે તે એક-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ પર વિભેદક 1-સ્વરૂપ છે, જેમ કે સતત ક્રમ ધરાવે છે. પછી જો દરેક જગ્યાએ હોય, તો કોઓર્ડિનેટ્સની એક સ્થાનિક પ્રણાલી હોય છે જેમાં જો દરેક જગ્યાએ હોય, તો કોઓર્ડિનેટ્સની એક સ્થાનિક પ્રણાલી હોય છે જેમાં ડાર્બોક્સના મૂળ સાબિતીએ ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને તેને વિતરણ અથવા વિભેદક આદર્શોની દ્રષ્ટિએ સમકક્ષ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. માટે ફ્રોબેનિયસના પ્રમેય ડાર્બોક્સના પ્રમેય કોઈપણ 1-સ્વરૂપની ખાતરી કરે છે જે અમુક સંકલન પ્રણાલીમાં લખી શકાય છે. આ વિભેદક સ્વરૂપોની દ્રષ્ટિએ ફ્રોબેનિયસ પ્રમેયની રચનામાંથી એકને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છેઃ જો તેનાથી ઉત્પન્ન થયેલ વિભેદક આદર્શ હોય, તો તે એક સંકલન પ્રણાલીનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે જ્યાં તે વાસ્તવમાં તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ્સ માટે ડાર્બોક્સનો પ્રમેય ધારો કે તે એક-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ પર સિમપ્લેક્ટિક 2-સ્વરૂપ છે. દરેક બિંદુના પડોશમાં, પોઇનકેરે લેમ્મા દ્વારા, સાથે 1-સ્વરૂપ છે. તદુપરાંત, ડાર્બોક્સના પ્રમેયમાં પૂર્વધારણાઓના પ્રથમ સમૂહને સંતોષે છે, અને તેથી સ્થાનિક રીતે નજીકમાં એક સંકલન ચાર્ટ છે જેમાં બાહ્ય વ્યુત્પન્ન લેવાથી હવે બતાવે છે કે આ ચાર્ટ આસપાસ ડાર્બોક્સ ચાર્ટ હોવાનું કહેવાય છે. મેનીફોલ્ડને આવા ચાર્ટ્સ દ્વારા આવરી શકાય છે. આને અલગ રીતે જણાવવા માટે, ભાડે આપીને ઓળખો. જો તે ડાર્બોક્સ ચાર્ટ હોય, તો તેને પ્રમાણભૂત સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપના પુલબેક તરીકે લખી શકાય છેઃ આ પરિણામનો આધુનિક પુરાવો, 1-સ્વરૂપો પર ડાર્બોક્સના સામાન્ય નિવેદનનો ઉપયોગ કર્યા વિના, મોઝરની યુક્તિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ્સ માટે રીમાનિયન ભૂમિતિ ડાર્બોક્સના પ્રમેય સાથે સરખામણી સૂચવે છે કે સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિમાં કોઈ સ્થાનિક અપરિવર્તનશીલ નથીઃ ડાર્બોક્સ આધાર હંમેશા લઈ શકાય છે, જે કોઈપણ બિંદુની નજીક માન્ય છે. આ રીમાનિયન ભૂમિતિમાં પરિસ્થિતિથી સ્પષ્ટ રીતે વિપરીત છે જ્યાં વળાંક એ સ્થાનિક અપરિવર્તનશીલ છે, મેટ્રિકમાં અવરોધ એ સ્થાનિક રીતે સંકલન તફાવતોના વર્ગોનો સરવાળો છે. તફાવત એ છે કે ડાર્બોક્સનો પ્રમેય જણાવે છે કે આસપાસના સમગ્ર પડોશમાં પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લઈ શકાય છે. રીમાનિયન ભૂમિતિમાં, મેટ્રિક હંમેશા કોઈપણ બિંદુ પર પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લેવા માટે બનાવી શકાય છે, પરંતુ હંમેશા તે બિંદુની આસપાસના પડોશમાં નહીં. સંપર્ક મેનીફોલ્ડ્સ માટે ડાર્બોક્સનો પ્રમેય અન્ય ચોક્કસ કેસ ત્યારે પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે; જો દરેક જગ્યાએ, તો તે સંપર્ક સ્વરૂપ છે. મોઝરની યુક્તિનો ઉપયોગ કરીને, સિંપ્લેક્ટિક માળખાઓની જેમ, એક સરળ પુરાવો આપી શકાય છે. ડાર્બૌક્સ-વેઇન્સ્ટાઈન પ્રમેય એલન વેઇન્સ્ટાઈને દર્શાવ્યું હતું કે સિમપ્લેટિક મેનીફોલ્ડ્સ માટેના ડાર્બૌક્સના પ્રમેયને સબમેનિફોલ્ડના પડોશમાં રાખવા માટે મજબૂત કરી શકાય છેઃ ચાલો બે સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપોથી સંપન્ન એક સરળ મેનીફોલ્ડ બનીએ અને, અને બંધ સબમેનિફોલ્ડ બનીએ. જો, તો પછી ત્યાં એક નેબરહૂડ અને ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. પ્રમાણભૂત ડાર્બૌક્સ પ્રમેય ત્યારે પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે તે એક બિંદુ હોય અને સંકલન ચાર્ટ પર પ્રમાણભૂત સિમપ્લેક્ટિક માળખું હોય. આ પ્રમેય અનંત-પરિમાણીય બનાચ મેનીફોલ્ડ્સ માટે પણ માન્ય છે. કારાથિઓડોરી-જેકોબી-લી થીયરમ પણ જુઓ, જે આ થીયરમનું સામાન્યીકરણ છે. મોઝરની યુક્તિ સિમ્પલેક્ટિક આધાર સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ જી. ડાર્બૌક્સ, "ઑન ધ ફાફ પ્રોબ્લેમ", અનુવાદ. ડી. એચ. ડેલ્ફેનિચ જી. ડાર્બોક્સ દ્વારા, "ઑન ધ ફાફ પ્રોબ્લેમ (કોંટ. ), "અનુવાદ. ડી. એચ. ડેલ્ફેનિચ દ્વારા વિભેદક પ્રણાલીઓ લાક્ષણિક ભૂમિતિ વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રણાલીઓનું સંકલન વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રમેય ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર