Bounded set
ગાણિતિક વિશ્લેષણ અને ગણિતના સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં, જો સમૂહ ચોક્કસ અર્થમાં મર્યાદિત માપનો હોય તો તેને બંધાયેલ કહેવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, જે સમૂહ બંધાયેલો નથી તેને અનબાઉન્ડ કહેવામાં આવે છે. અનુરૂપ મેટ્રિક વિના સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં "બાઉન્ડેડ" શબ્દનો કોઈ અર્થ નથી. સીમા એ એક અલગ ખ્યાલ છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, અલગતામાં રહેલું વર્તુળ એ સીમા વિનાનું બંધાયેલ સમૂહ છે, જ્યારે અર્ધ સમતલ અમર્યાદિત હોવા છતાં તેની સીમા હોય છે. બંધ સમૂહ એ બંધ સમૂહ હોવો જરૂરી નથી અને તેનાથી ઊલટું પણ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત બે પેરાબોલિક વણાંકો x2 + 1 અને x2-1 દ્વારા મર્યાદિત 2-પરિમાણીય વાસ્તવિક જગ્યા R2 નો સબસેટ S વણાંકો દ્વારા બંધ કરવામાં આવે છે પરંતુ બંધાયેલ નથી (તેથી અમર્યાદિત). વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં વ્યાખ્યા વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ S ને ઉપરથી બંધાયેલ કહેવામાં આવે છે જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા k હોય (જરૂરી નથી કે S માં હોય) જેમ કે S માં તમામ s માટે k ≤ s હોય. એક સમૂહ S બંધાયેલ હોય છે જો તેની ઉપરની અને નીચેની બંને સીમાઓ હોય. તેથી, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ જો મર્યાદિત અંતરાલમાં હોય તો તે બંધાયેલો હોય છે. મેટ્રિક અવકાશમાં વ્યાખ્યા મેટ્રિક અવકાશ (M, d) નો ઉપગણ S બંધાયેલ હોય છે જો ત્યાં r> 0 હોય કે જેથી S માં તમામ s અને t માટે, આપણી પાસે d (s, t) <r હોય. મેટ્રિક અવકાશ (M, d) એ બંધાયેલ મેટ્રિક અવકાશ છે (અથવા d એ બંધાયેલ મેટ્રિક છે) જો M પોતે એક ઉપગણ તરીકે બંધાયેલ હોય. કુલ મર્યાદા એટલે મર્યાદા. આર. એન. ના ઉપગણ માટે બંને સમકક્ષ છે. મેટ્રિક જગ્યા કોમ્પેક્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સંપૂર્ણ અને સંપૂર્ણપણે બંધાયેલ હોય. યુક્લિડિયન અવકાશ આરએનનો સબસેટ કોમ્પેક્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે બંધ અને બંધાયેલ હોય. આને હેઈન-બોરેલ પ્રમેય પણ કહેવામાં આવે છે. ટોપોલોજીકલ વેક્ટર જગ્યાઓમાં બાઉન્ડનેસ ટોપોલોજીકલ વેક્ટર જગ્યાઓમાં, બાઉન્ડેડ સમૂહો માટે એક અલગ વ્યાખ્યા અસ્તિત્વમાં છે જેને કેટલીકવાર વોન ન્યુમેન બાઉન્ડનેસ કહેવામાં આવે છે. જો ટોપોલોજીકલ વેક્ટર સ્પેસની ટોપોલોજી મેટ્રિક દ્વારા પ્રેરિત થાય છે જે એકરૂપ હોય છે, જેમ કે સામાન્ય વેક્ટર સ્પેસના ધોરણ દ્વારા પ્રેરિત મેટ્રિકના કિસ્સામાં, તો પછી બે વ્યાખ્યાઓ એક સાથે આવે છે. ક્રમ સિદ્ધાંતમાં સીમા વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ બંધાયેલો હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની ઉપરની અને નીચી સીમા હોય. આ વ્યાખ્યા કોઈપણ આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહના ઉપગણ સુધી વિસ્તારી શકાય છે. નોંધ લો કે સીમાની આ વધુ સામાન્ય વિભાવના "કદ" ની કલ્પનાને અનુરૂપ નથી. આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ P ના સબસેટ S ને ઉપર બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે જો P માં કોઈ તત્વ k હોય કે જે S માં બધા s માટે k ± s હોય. તત્વ k ને S ની ઉપરની બાઉન્ડ કહેવામાં આવે છે. નીચે બાઉન્ડેડ અને નીચલા બાઉન્ડની વિભાવનાઓને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (ઉપલા અને નીચલા સીમાઓ પણ જુઓ.) આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ P ના સબસેટ S ને બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ઉપલા અને નીચલા બંને બાઉન્ડ હોય, અથવા સમકક્ષ, જો તે અંતરાલમાં સમાયેલ હોય. નોંધ લો કે આ માત્ર સમૂહ S નો ગુણધર્મ નથી પણ P ના સબસેટ તરીકે સમૂહ S માંનો એક પણ છે. નોંધ લો કે બાઉન્ડનેસની આ વિભાવનાને મર્યાદિત કદ સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી, અને તે કે બાઉન્ડેડ પોસેટ P નો સબસેટ S એ ક્રમમાં P પરના ક્રમના પ્રતિબંધ સાથે બાઉન્ડેડ પોસેટ હોવો જરૂરી નથી. આરએનનો સબસેટ એસ યુક્લિડિયન અંતરના સંદર્ભમાં બંધાયેલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ઉત્પાદન ક્રમ સાથે આરએનના સબસેટ તરીકે બંધાયેલ હોય. જો કે, S શબ્દકોષીય ક્રમ સાથે Rn ના સબસેટ તરીકે બંધાયેલ હોઈ શકે છે, પરંતુ યુક્લિડિયન અંતરના સંદર્ભમાં નહીં. ક્રમિક સંખ્યાઓના વર્ગને અનબાઉન્ડ અથવા કો-ફાઇનલ કહેવામાં આવે છે, જ્યારે કોઈ ક્રમિક આપવામાં આવે છે, ત્યારે હંમેશા તેના કરતા મોટા વર્ગનું કોઈક તત્વ હોય છે. આમ આ કિસ્સામાં "અનબાઉન્ડ" નો અર્થ પોતે અનબાઉન્ડ નથી પરંતુ તમામ ક્રમિક સંખ્યાઓના વર્ગના પેટા વર્ગ તરીકે અનબાઉન્ડ છે. બાઉન્ડેડ ડોમેન બાઉન્ડેડ ફંક્શન પણ જુઓ સ્થાનિક બાઉન્ડેડનેસ ઓર્ડર થિયરી સંપૂર્ણ બાઉન્ડેડ સંદર્ભો ગાણિતિક વિશ્લેષણ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ ઓર્ડર થિયરી