Plancherel measure
ગણિતમાં, પ્લાનચેરલ માપ એ સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથની ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆતના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત માપ છે, જે વર્ણવે છે કે નિયમિત રજૂઆત કેવી રીતે ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆતમાં વિભાજિત થાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં પ્લાનચેરલ માપ શબ્દ ખાસ કરીને મર્યાદિત સમપ્રમાણ જૂથ હોવાના સંદર્ભમાં લાગુ કરવામાં આવે છે-નીચે જુઓ. તેનું નામ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં તેમના કાર્ય માટે સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી મિશેલ પ્લાનચેરેલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. મર્યાદિત જૂથો માટેની વ્યાખ્યા ચાલો એક મર્યાદિત જૂથ હોઈએ, આપણે તેની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોના સમૂહને આના દ્વારા સૂચવીએ છીએ. સમૂહ પર અનુરૂપ પ્લાનચેરલ માપ ક્યાં દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતના પરિમાણને સૂચવે છે. સપ્રમાણ જૂથ પર વ્યાખ્યા એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ એ મર્યાદિત સપ્રમાણ જૂથનો કેસ છે, જ્યાં હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. આ જૂથ માટે, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોનો સમૂહ તેના પૂર્ણાંક પાર્ટીશનોના સમૂહ સાથે કુદરતી બાયજેક્શનમાં છે. પૂર્ણાંક પાર્ટીશન સાથે સંકળાયેલ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત માટે, તેનું પરિમાણ, આકારની પ્રમાણભૂત યંગ ટેબ્લોની સંખ્યાની બરાબર હોવાનું જાણીતું છે, તેથી આ કિસ્સામાં પ્લાનચેરલ માપને ઘણીવાર આપેલ ક્રમ n ના પૂર્ણાંક પાર્ટીશનોના સમૂહ પરના માપ તરીકે માનવામાં આવે છે. એપ્લિકેશન પ્લાનચેરલ માપ સંયોજન અને સંભવિત સમસ્યાઓમાં કુદરતી રીતે દેખાય છે, ખાસ કરીને અવ્યવસ્થિત ક્રમચયના સૌથી લાંબા વધતા અનુગામીના અભ્યાસમાં. તે ક્ષેત્રમાં તેના મહત્વના પરિણામે, ઘણા વર્તમાન સંશોધન પત્રોમાં પ્લાનચેરેલ માપ શબ્દ લગભગ સંપૂર્ણપણે સમપ્રમાણ જૂથના કેસનો સંદર્ભ આપે છે. સૌથી લાંબા સમય સુધી વધતા અનુગામી સાથે જોડાણ ચાલો એકસમાન વિતરણ અનુસાર પસંદ કરેલા રેન્ડમ ક્રમચયના સૌથી લાંબા સમય સુધી વધતા અનુગામીની લંબાઈને સૂચવીએ. ચાલો રોબિન્સન-શેન્સ્ટેડ પત્રવ્યવહાર દ્વારા સંબંધિત યંગ ટેબ્લોના આકારને દર્શાવીએ. પછી નીચેની ઓળખ ધરાવે છેઃ જ્યાં પ્રથમ હરોળની લંબાઈ સૂચવે છે. વધુમાં, હકીકત એ છે કે રોબિન્સન-શેન્સ્ટેડ પત્રવ્યવહાર બાયજેક્ટિવ છે તે અનુસરે છે કે તેનું વિતરણ બરાબર પ્લાનચેરેલ માપ છે. તેથી, તેના વર્તનને સમજવા માટે, પ્લાનચેરેલ માપ અનુસાર પસંદ કરેલ સાથે જોવું સ્વાભાવિક છે, કારણ કે આ બે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ સમાન સંભાવના વિતરણ ધરાવે છે. પોઈસોનાઇઝ્ડ પ્લાનચેરલ માપ પ્લાનચેરલ માપ દરેક પૂર્ણાંક માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. એ. એસ. ના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનના વિવિધ અભ્યાસોમાં, તમામ પૂર્ણાંક પાર્ટીશનોના સમૂહ પર, પોઈસોનાઇઝ્ડ પ્લાનચેરલ માપ તરીકે ઓળખાતા માપને વિસ્તારવા માટે તે ઉપયોગી સાબિત થયું છે. કોઈપણ માટે, સમૂહ પરના પરિમાણ સાથે પોઇસોનાઇઝ્ડ પ્લાનચેરલ માપ બધા માટે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્લાનચેરલ વૃદ્ધિ પ્રક્રિયા પ્લાનચેરલ વૃદ્ધિ પ્રક્રિયા એ યુવાન આકૃતિઓનો એક અવ્યવસ્થિત ક્રમ છે જેમ કે દરેક એ ક્રમની અવ્યવસ્થિત યુવાન આકૃતિ છે જેની સંભાવના વિતરણ n મી પ્લાનચેરલ માપ છે, અને દરેક ક્રમિક તેના પુરોગામી પાસેથી એક જ બૉક્સના ઉમેરા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, કોઈપણ આપેલ યુવાન આકૃતિઓ અને કદ n − 1 અને n માટે સંક્રમણ સંભાવના અનુસાર, અનુક્રમે. તેથી, પ્લાનચેરલ વૃદ્ધિ પ્રક્રિયાને તમામ સપ્રમાણ જૂથોના વિવિધ પ્લાનચેરલ માપના કુદરતી જોડાણ તરીકે અથવા વૈકલ્પિક રીતે યંગની જાળી પર રેન્ડમ વોક તરીકે જોઈ શકાય છે. તે બતાવવું મુશ્કેલ નથી કે આ ચાલમાં સંભાવના વિતરણ પ્લાનચેરેલ માપ સાથે એકરુપ છે. કોમ્પેક્ટ જૂથો કોમ્પેક્ટ જૂથો માટેનું પ્લાનચેરલ માપ મર્યાદિત જૂથો માટે સમાન છે, સિવાય કે માપ મર્યાદિત હોવું જરૂરી નથી. એકાત્મક દ્વિ એ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતોનો એક અલગ સમૂહ છે, અને ઈરીડ્યુસિબલ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતનું પ્લાનચેરલ માપ તેના પરિમાણને પ્રમાણસર છે. અબેલિયન જૂથો સ્થાનિક રીતે સઘન અબેલિયન જૂથનું એકાત્મક દ્વૈત અન્ય સ્થાનિક રીતે સઘન અબેલિયન જૂથ છે, અને પ્લાનચેરેલ માપ દ્વિ જૂથના હાર માપના પ્રમાણસર છે. સેમીસિમ્પલ લાઈ જૂથો માટે પ્લાનચેરેલ માપ હરીશ-ચંદ્ર દ્વારા શોધવામાં આવ્યું હતું. આધાર એ સૌમ્ય રજૂઆતોનો સમૂહ છે, અને ખાસ કરીને સમર્થનમાં તમામ એકાત્મક રજૂઆતની જરૂર નથી. સંદર્ભ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત