Young symmetrizer
ગણિતમાં, યંગ સિમેટ્રીઝર એ સપ્રમાણ જૂથના જૂથ બીજગણિતનું એક તત્વ છે, જેનું નિર્માણ એવી રીતે કરવામાં આવ્યું છે કે, સમૂહ બીજગણિતથી લઈને વેક્ટર સ્પેસના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ સુધીના હોમોમોર્ફિઝમ માટે સૂચકાંકોના ક્રમચય દ્વારા મેળવવામાં આવેલી ક્રિયા દ્વારા, તે તત્વ દ્વારા નિર્ધારિત એન્ડોમોર્ફિઝમની છબી જટિલ સંખ્યાઓ પર સપ્રમાણ જૂથના ઇરેડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વને અનુરૂપ છે. સમાન બાંધકામ કોઈપણ ક્ષેત્ર પર કામ કરે છે, અને પરિણામી રજૂઆતોને સ્પેકટ મોડ્યુલો કહેવામાં આવે છે. યંગ સિમેટ્રીઝરનું નામ બ્રિટિશ ગણિતશાસ્ત્રી આલ્ફ્રેડ યંગના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા મર્યાદિત સપ્રમાણ જૂથ Sn અને n ના ક્રમાંકિત પાર્ટીશનને અનુરૂપ ચોક્કસ યંગ ટેબ્લો λ આપવામાં આવે છે, અને તેના બોક્સને ક્રમબદ્ધ કરીને આપવામાં આવેલી ક્રિયાને ધ્યાનમાં લો. બે ક્રમચય પેટા જૂથો અને Sn ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો અને આ બે પેટા જૂથોને અનુરૂપ, જૂથ બીજગણિતમાં બે વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરો અને જ્યાં g ને અનુરૂપ એકમ વેક્ટર છે, અને તે ક્રમચયની નિશાની છે. ઉત્પાદન યંગ ટેબ્લો λ ને અનુરૂપ યંગ સિમેટ્રીઝર છે. દરેક યંગ સિમેટ્રીઝર સપ્રમાણ જૂથના ઈરીડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વને અનુરૂપ છે, અને દરેક ઈરીડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વ અનુરૂપ યંગ સિમેટ્રીઝરમાંથી મેળવી શકાય છે. (જો આપણે જટિલ સંખ્યાઓને વધુ સામાન્ય ક્ષેત્રો દ્વારા બદલીશું તો અનુરૂપ રજૂઆતો સામાન્ય રીતે ઈરીડ્યુસિબલ નહીં હોય.) ચાલો V એ જટિલ સંખ્યાઓ પરની કોઈપણ વેક્ટર જગ્યા છે. પછી ટેન્સર પ્રોડક્ટ વેક્ટર સ્પેસ (n વખત) નો વિચાર કરો. ચાલો Sn સૂચકાંકોને ક્રમબદ્ધ કરીને આ ટેન્સર ઉત્પાદન જગ્યા પર કાર્ય કરે. પછી એક પર કુદરતી જૂથ બીજગણિત પ્રતિનિધિત્વ હોય છે (એટલે કે. યોગ્ય મોડ્યુલ છે). એનનું પાર્ટીશન λ આપવામાં આવ્યું છે, જેથી, પછીની છબી છે ઉદાહરણ તરીકે, જો, અને, કેનોનિકલ યંગ ટેબ્લો સાથે. પછી અનુરૂપ દ્વારા આપવામાં આવે છે કોઈપણ ઉત્પાદન વેક્ટર માટે આપણી પાસે પછી આ રીતે તમામ સ્પષ્ટ રીતે ફેલાયેલો સમૂહ છે અને ત્યારથી આપણે જે સમયગાળો મેળવીએ છીએ, જ્યાં આપણે અનૌપચારિક રીતે લખ્યું છે. આ બાંધકામને બાંધકામ માટે કેવી રીતે ઘટાડી શકાય છે તેની પણ નોંધ લો. ચાલો ઓળખ ઓપરેટર અને સ્વેપ ઓપરેટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, આમ અને. આપણી પાસે તે નકશા છે, વધુ ચોક્કસપણે પ્રોજેક્ટર પર છે. પછી પ્રોજેક્ટર કયા પર છે. ની છબી એ છે કે જ્યાં μ એ λ નું સંયુક્ત પાર્ટીશન છે. અહીં, અને તે સપ્રમાણ અને વૈકલ્પિક ટેન્સર ઉત્પાદન જગ્યાઓ છે. ઇન ની છબી એ એસ. એન. ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છે, જેને સ્પેકટ મોડ્યુલ કહેવાય છે. આપણે ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત માટે લખીએ છીએ. કેટલાક સ્કેલર ગુણાંક નિષ્ક્રિય છે, જે અમુક પરિમાણીય સંખ્યા માટે છે, ખાસ કરીને, એક શોધે છે. ખાસ કરીને, આ સૂચવે છે કે સપ્રમાણ જૂથની રજૂઆતોને તર્કસંગત સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે; એટલે કે, તર્કસંગત જૂથ બીજગણિત પર. ઉદાહરણ તરીકે, S3 અને પાર્ટીશન (2,1) નો વિચાર કરો. જો V એક જટિલ વેક્ટર જગ્યા છે, તો પછી જગ્યાઓ પરની છબીઓ અનિવાર્યપણે GL (V) ની તમામ મર્યાદિત-પરિમાણીય ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતો પ્રદાન કરે છે. સમપ્રમાણ જૂથ નોંધો સંદર્ભો વિલિયમ ફુલ્ટનનો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પણ જુઓ. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને ભૂમિતિના ઉપયોગો સાથે યુવાન ઝાંખીઓ. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1997. બ્રુસ ઇ. સાગનનું વ્યાખ્યાન 4. સમપ્રમાણ જૂથ. સ્પ્રિંગર, 2001. મર્યાદિત જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સમમિતીય કાર્યો ક્રમચયો