Categorification
ગણિતમાં, વર્ગીકરણ એ સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક પ્રમેયોને શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક એનાલોગ સાથે બદલવાની પ્રક્રિયા છે. વર્ગીકરણ, જ્યારે સફળતાપૂર્વક કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમૂહોને શ્રેણીઓ સાથે, વિધેયોને વિધેયો સાથે અને વધારાના ગુણધર્મોને સંતોષતા વિધેયોના કુદરતી સમરૂપતા સાથેના સમીકરણો સાથે બદલે છે. આ શબ્દ લુઇસ ક્રેન દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો. વર્ગીકરણની વિપરીત પ્રક્રિયા એ વર્ગીકરણની પ્રક્રિયા છે. વર્ગીકરણ એ એક વ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા છે જેના દ્વારા શ્રેણીમાં સમરૂપ પદાર્થોને સમાન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જ્યારે વર્ગીકરણ એ એક સીધી પ્રક્રિયા છે, વર્ગીકરણ સામાન્ય રીતે ઘણું ઓછું સરળ હોય છે. લાઈ આલ્જેબ્રાના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં, ચોક્કસ આલ્જેબ્રા પરના મોડ્યુલો અભ્યાસના મુખ્ય ઉદ્દેશો છે, અને આવા મોડ્યુલનું વર્ગીકરણ શું હોવું જોઈએ તે માટે ઘણા માળખા છે, દા. ત., કહેવાતા (નબળા) અબેલિયન વર્ગીકરણ. વર્ગીકરણ અને વર્ગીકરણ એ ચોક્કસ ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ નથી, પરંતુ સંભવિત એનાલોગનો વર્ગ છે. તેનો ઉપયોગ 'સામાન્યીકરણ' જેવા શબ્દોની જેમ જ થાય છે, અને 'શીફીકેશન' જેવા નહીં. ઉદાહરણો વર્ગીકરણનું એક સ્વરૂપ સમૂહની દ્રષ્ટિએ વર્ણવેલ માળખું લે છે, અને સમૂહને શ્રેણીમાં પદાર્થોના સમરૂપતા વર્ગો તરીકે અર્થઘટન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહને મર્યાદિત સમૂહોની મુખ્યતાઓના સમૂહ તરીકે જોઈ શકાય છે (અને સમાન મુખ્યતા ધરાવતા કોઈપણ બે સમૂહો સમરૂપ હોય છે). આ કિસ્સામાં, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ પરની કામગીરીઓ, જેમ કે સરવાળો અને ગુણાકાર, મર્યાદિત સમૂહોની શ્રેણીના સહઉત્પાદનો અને ઉત્પાદનો વિશેની માહિતી વહન તરીકે જોઈ શકાય છે. ઓછી અમૂર્ત રીતે, અહીં વિચાર એ છે કે વાસ્તવિક વસ્તુઓના સમૂહમાં હેરફેર કરવું, અને સહઉત્પાદનો (સંઘમાં બે સમૂહોનું સંયોજન) અથવા ઉત્પાદનો (મોટી સંખ્યામાં વસ્તુઓનો ટ્રેક રાખવા માટે વસ્તુઓની શ્રેણી બનાવવી) લેવાનું પ્રથમ આવ્યું. પાછળથી, સમૂહોની નક્કર રચનાને અમૂર્ત કરવામાં આવી હતી-અંકગણિતના અમૂર્ત સિદ્ધાંતને ઉત્પન્ન કરવા માટે "માત્ર સમરૂપતા સુધી" લેવામાં આવી હતી. આ એક "વર્ગીકરણ" છે-વર્ગીકરણ આ પગલાને ઉલટાવી દે છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં ટોપોલોજીમાં સમરૂપતા સિદ્ધાંતોનો સમાવેશ થાય છે. એમી નોએથરે બેટ્ટી નંબરની કલ્પનાને વર્ગીકૃત કરીને અમુક મુક્ત અબેલિયન જૂથોના ક્રમ તરીકે સમરૂપતાની આધુનિક રચના આપી. ગાંઠ સિદ્ધાંતમાં ગાંઠ અપરિવર્તનશીલ તરીકે ખોવાનોવ સમરૂપતા પણ જુઓ. મર્યાદિત જૂથ સિદ્ધાંતમાં એક ઉદાહરણ એ છે કે સપ્રમાણ કાર્યોની વીંટીને સપ્રમાણ જૂથની રજૂઆતની શ્રેણી દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. વર્ગીકરણ નકશો પાર્ટીશન દ્વારા અનુક્રમિત સ્પેક્ટ મોડ્યુલને સમાન પાર્ટીશન દ્વારા અનુક્રમિત શુર ફંક્શનમાં મોકલે છે, જે આવશ્યકપણે સંબંધિત ગ્રોથેન્ડીક જૂથના મનપસંદ આધારથી અક્ષર નકશાને અનુસરતા સપ્રમાણ કાર્યોની રીંગના પ્રતિનિધિત્વ-સૈદ્ધાંતિક મનપસંદ આધાર પર મોકલે છે. આ નકશો પ્રતિબિંબિત કરે છે કે માળખાં કેવી રીતે સમાન છે; ઉદાહરણ તરીકે, તેમના સંબંધિત પાયા પર સમાન વિઘટન સંખ્યાઓ હોય છે, જે બંને લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. એબેલિયન વર્ગીકરણ એક શ્રેણી માટે, ચાલો તેનું ગ્રોથેન્ડીક જૂથ હોઈએ. ધારો કે એક વીંટી જે અબેલિયન જૂથ તરીકે મુક્ત છે, અને તેનો આધાર એવો હોવો જોઈએ કે જેમાં ગુણાકાર હકારાત્મક હોય, એટલે કે. ચાલો એક-મોડ્યુલ હોઈએ. પછી (નબળા) અબેલિયન વર્ગીકરણમાં અબેલિયન શ્રેણી, આઇસોમોર્ફિઝમ અને ચોક્કસ એન્ડોફંકટરનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે ફંકટર મોડ્યુલ પરની ક્રિયાને ઉપાડે છે, એટલે કે. , અને ત્યાં સમરૂપતા છે, એટલે કે. જે રીતે ઉત્પાદન પાયાના તત્વોના રેખીય સંયોજન તરીકે વિઘટિત થાય છે તે જ રીતે રચના ફંકટરના સીધા સરવાળા તરીકે વિઘટિત થાય છે. સંયુક્ત પુરાવો પણ જુઓ, સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક એનાલોગ દ્વારા સંખ્યા સૈદ્ધાંતિક પ્રમેયોને બદલવાની પ્રક્રિયા. ઉચ્ચ શ્રેણી સિદ્ધાંત ઉચ્ચ-પરિમાણીય બીજગણિત શ્રેણીબદ્ધ રીંગ સંદર્ભો વધુ વાંચન ઉપરોક્ત લેખકોમાંના એક દ્વારા એક બ્લોગ પોસ્ટ (બૈઝ): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html. શ્રેણી સિદ્ધાંત બીજગણિત ટોપોલોજી