Weierstrass factorization theorem
ગણિતમાં, અને ખાસ કરીને જટિલ વિશ્લેષણના ક્ષેત્રમાં, વેઇઅરસ્ટ્રાસ ફેક્ટરાઇઝેશન થીયરમ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે દરેક સમગ્ર કાર્યને તેના શૂન્યને સમાવતા (સંભવતઃ અનંત) ગુણાકાર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ પ્રમેયને બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયના વિસ્તરણ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે, જે ભારપૂર્વક જણાવે છે કે દરેક બહુપદીને દરેક મૂળ માટે એક, રેખીય પરિબળોમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે. આ પ્રમેય, જેને કાર્લ વેઇઅરસ્ટ્રાસ માટે નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે બીજા પરિણામ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે કે અનંત તરફ વલણ ધરાવતો દરેક ક્રમ તે ક્રમના ચોક્કસ બિંદુઓ પર શૂન્ય સાથે સંકળાયેલ સંપૂર્ણ કાર્ય ધરાવે છે. પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ તેને મેરોમોર્ફિક કાર્યો સુધી વિસ્તરે છે અને આપેલ મેરોમોર્ફિક કાર્યને ત્રણ પરિબળોના ગુણાકાર તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છેઃ કાર્યના શૂન્ય અને ધ્રુવો પર આધારિત શરતો, અને સંકળાયેલ બિન-શૂન્ય હોલોમોર્ફિક કાર્ય. પ્રેરણા તે સ્પષ્ટ છે કે જટિલ સમતલમાં બિંદુઓના કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહમાં સંકળાયેલ બહુપદી હોય છે જેના શૂન્ય ચોક્કસપણે તે સમૂહના બિંદુઓ પર હોય છે. વિપરીત એ બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનું પરિણામ છેઃ જટિલ સમતલમાં કોઈપણ બહુપદી કાર્યમાં એક ગુણાંક હોય છે જ્યાં તે બિન-શૂન્ય અચળાંક હોય છે અને તે શૂન્યનો સમૂહ હોય છે. વેઇઅરસ્ટ્રાસ ફેક્ટરાઇઝેશન થીયરમના બે સ્વરૂપોને ઉપરોક્ત સંપૂર્ણ કાર્યોના વિસ્તરણ તરીકે વિચારી શકાય છે. ઉત્પાદનમાં વધારાની શરતોની જરૂરિયાત ત્યારે દર્શાવવામાં આવે છે જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ધ્યાનમાં લે છે કે ક્રમ ક્યાં મર્યાદિત નથી. તે ક્યારેય સંપૂર્ણ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકતું નથી, કારણ કે અનંત ઉત્પાદન એકરૂપ થતું નથી. આમ, સામાન્ય રીતે, કોઈ વ્યક્તિ નિર્ધારિત શૂન્યના ક્રમમાંથી સમગ્ર કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકતી નથી અથવા બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા પ્રાપ્ત અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને તેના શૂન્ય દ્વારા સમગ્ર કાર્યને રજૂ કરી શકતી નથી. પ્રશ્નમાં અનંત ઉત્પાદનના અભિસરણ માટે જરૂરી શરત એ છે કે દરેક z માટે, પરિબળોએ 1 ની નજીક આવવું જોઈએ. તેથી તે વાજબી છે કે કોઈએ એવા કાર્યની શોધ કરવી જોઈએ જે નિર્ધારિત બિંદુ પર 0 હોઈ શકે, છતાં તે બિંદુ પર ન હોય ત્યારે 1 ની નજીક રહેવું જોઈએ અને વધુમાં નિર્ધારિત કરતા વધુ શૂન્ય રજૂ ન કરવું જોઈએ. વેઇઅરસ્ટ્રાસના પ્રાથમિક પરિબળોમાં આ ગુણધર્મો હોય છે અને તે ઉપરના પરિબળો જેવા જ હેતુને પૂર્ણ કરે છે. પ્રાથમિક પરિબળો માટે ફોર્મના કાર્યોને ધ્યાનમાં લો. પર, તેઓ મૂલ્યાંકન કરે છે અને ક્રમમાં સપાટ ઢોળાવ ધરાવે છે. તરત જ, તેઓ ઝડપથી કેટલાક નાના હકારાત્મક મૂલ્ય પર આવી જાય છે. તેનાથી વિપરીત, એવા કાર્યને ધ્યાનમાં લો કે જેમાં કોઈ સપાટ ઢોળાવ નથી પરંતુ, at, બરાબર શૂન્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે. એ પણ નોંધ લો કે, [ફાઇલઃ First_5_Weierstrass_factors_on_the_unit_interval.svg |thumb |right |alt = એકમ અંતરાલ પરના પ્રથમ 5 વેઇઅરસ્ટ્રાસ પરિબળો. |Plot નો n = 0,., 4 અને x માટે અંતરાલમાં [-1,1]]] પ્રાથમિક પરિબળો, જેને પ્રાથમિક પરિબળો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે એવા કાર્યો છે જે શૂન્ય ઢોળાવ અને શૂન્ય મૂલ્યના ગુણધર્મોને જોડે છે (ગ્રાફિક જુઓ): અને માટે, કોઈ તેને વ્યક્ત કરી શકે છે અને તે ગુણધર્મો કેવી રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે તે વાંચી શકે છે. પ્રાથમિક પરિબળોની ઉપયોગિતા નીચેના લેમ્મામાં રહેલી છેઃ લેમ્મા (15.8, રુડિન) માટે, પ્રમેયના બે સ્વરૂપો ચોક્કસ શૂન્ય સાથે સમગ્ર વિધેયનું અસ્તિત્વ ચાલો બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓનો ક્રમ બનીએ. જો બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો કોઈ ક્રમ એવો હોય કે બધા માટે, તો કાર્ય માત્ર બિંદુઓ પર શૂન્ય સાથે સંપૂર્ણ હોય છે. જો કોઈ સંખ્યા અનુક્રમમાં બરાબર વખત આવે, તો કાર્યમાં ગુણાકાર શૂન્ય હોય છે. પ્રમેયના નિવેદનમાં ક્રમ હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે હંમેશા કન્વર્જન્સ લઈ શકીએ છીએ અને રાખી શકીએ છીએ. આવો ક્રમ અનન્ય નથીઃ તેને મર્યાદિત સંખ્યામાં સ્થાનો પર બદલવાથી, અથવા બીજો ક્રમ લેવાથી, અભિસરણ તૂટશે નહીં. આ પ્રમેય નીચેની બાબતોને સામાન્ય બનાવે છેઃ રીમાન ગોળાના ખુલ્લા ઉપગણ (અને તેથી પ્રદેશો) માં અનુક્રમ એવા વિધેયો ધરાવે છે જે તે ઉપગણમાં હોલોમોર્ફિક હોય છે અને અનુક્રમના બિંદુઓ પર શૂન્ય હોય છે. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવેલ કેસ પણ અહીં સામેલ કરવામાં આવ્યો છે. જો ક્રમ મર્યાદિત હોય તો આપણે લઈ શકીએ અને મેળવી શકીએઃ વીયરસ્ટ્રાસ ફેક્ટરાઇઝેશન થીયરમ ચાલો એક સંપૂર્ણ કાર્ય હોઈએ, અને ગુણાકાર અનુસાર પુનરાવર્તિત બિન-શૂન્ય શૂન્ય હોઈએ; ધારો કે તે પણ ક્રમમાં શૂન્ય છે. પછી ત્યાં એક સંપૂર્ણ કાર્ય અને પૂર્ણાંકોનો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે ફેક્ટરાઇઝેશનના ઉદાહરણો ત્રિકોણમિતીય કાર્યો સાઇન અને કોસાઇનમાં ફેક્ટરાઇઝેશન હોય છે જ્યારે ગામા કાર્યમાં ફેક્ટરાઇઝેશન હોય છે જ્યાં યુલર-માસ્ચેરોની અચળાંક હોય છે. કોસાઇન ઓળખ માટે વિશેષ કેસ તરીકે જોઈ શકાય છે. હેડમર્ડ ફેક્ટરાઇઝેશન થીયરમ હેડમર્ડ કેનોનિકલ પરિબળોને વ્યાખ્યાયિત કરો મર્યાદિત ક્રમના સમગ્ર કાર્યો હેડમર્ડની કેનોનિકલ રજૂઆત ધરાવે છેઃ જ્યાં તે મૂળ શૂન્ય () નથી, તે શૂન્યનો ક્રમ છે (કેસનો અર્થ લેવામાં આવી રહ્યો છે), બહુપદી (જેની ડિગ્રી આપણે કહીશું), અને તે સૌથી નાનો બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે જેમ કે શ્રેણી એકરૂપ થાય છે. બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકને સમગ્ર કાર્યની જાતિ કહેવામાં આવે છે. આ સંકેતલિપીમાં, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ જો ક્રમ પૂર્ણાંક નથી, તો તે પૂર્ણાંકનો ભાગ છે. જો ક્રમ હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તો બે શક્યતાઓ છેઃ અથવા. ઉદાહરણ તરીકે, અને એ જીનસના સંપૂર્ણ કાર્યો છે. મિટ્ટાગ-લેફલરનો થીયરમ વોલિસ પ્રોડક્ટ પણ જુઓ, જે સાઇન ફંક્શન પર લાગુ કરવામાં આવેલા આ થીયરમમાંથી મેળવી શકાય છે.