Generalized function
ગણિતમાં, સામાન્યીકૃત કાર્યો એ કાર્યોની કલ્પનાને વિસ્તૃત કરતી વસ્તુઓ છે. એક કરતાં વધુ માન્ય સિદ્ધાંત છે, ઉદાહરણ તરીકે વિતરણનો સિદ્ધાંત. સામાન્યીકૃત કાર્યો ખાસ કરીને અવિરત કાર્યોને વધુ સરળ કાર્યો જેવા બનાવવા અને બિંદુ ચાર્જ જેવી સ્વતંત્ર ભૌતિક ઘટનાઓનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગી છે. તેઓ વ્યાપકપણે લાગુ કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરીમાં. કેટલાક અભિગમોનું એક સામાન્ય લક્ષણ એ છે કે તેઓ રોજિંદા, આંકડાકીય કાર્યોના સંચાલક પાસાઓ પર નિર્માણ કરે છે. પ્રારંભિક ઇતિહાસ ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસ પરના કેટલાક વિચારો સાથે જોડાયેલો છે, અને ચોક્કસ દિશાઓમાં વધુ સમકાલીન વિકાસ મિકો સાટોના વિચારો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જેને તેઓ બીજગણિત વિશ્લેષણ કહે છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતો અને જૂથ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની તકનીકી જરૂરિયાતો આ વિષય પર મહત્વપૂર્ણ પ્રભાવ ધરાવે છે. કેટલાક પ્રારંભિક ઇતિહાસ ઓગણીસમી સદીના ગણિતમાં, સામાન્યીકૃત કાર્ય સિદ્ધાંતના પાસાઓ દેખાતા હતા, ઉદાહરણ તરીકે ગ્રીન્સ ફંક્શનની વ્યાખ્યામાં, લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મમાં અને રીમેનના ત્રિકોણમિતીય શ્રેણીના સિદ્ધાંતમાં, જે જરૂરી ન હતું કે એક સંકલિત કાર્યની ફોરિયર શ્રેણી હોય. તે સમયે ગાણિતિક વિશ્લેષણના આ અસંબદ્ધ પાસાઓ હતા. ઇજનેરીમાં લાપ્લાસ પરિવર્તનનો સઘન ઉપયોગ પ્રતીકાત્મક પદ્ધતિઓના સંશોધનાત્મક ઉપયોગ તરફ દોરી ગયો, જેને ઓપરેશનલ કલન કહેવાય છે. અલગ શ્રેણીઓનો ઉપયોગ કરતા સમર્થન આપવામાં આવ્યાં હોવાથી, આ પદ્ધતિઓ શુદ્ધ ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી ખરાબ પ્રતિષ્ઠા ધરાવતી હતી. તેઓ સામાન્યીકૃત કાર્ય પદ્ધતિઓના પછીના ઉપયોગની લાક્ષણિકતા છે. ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસ પરનું એક પ્રભાવશાળી પુસ્તક ઓલિવર હેવિસાઇડનું 1899નું ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક થિયરી હતું. જ્યારે લેબસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, ત્યારે પ્રથમ વખત ગણિતના કેન્દ્રમાં સામાન્યીકૃત કાર્યની કલ્પના હતી. લેબસ્ગ્યુના સિદ્ધાંતમાં એક સંકલિત કાર્ય એ અન્ય કોઈપણ કાર્યની સમકક્ષ છે જે લગભગ દરેક જગ્યાએ સમાન છે. તેનો અર્થ એ કે આપેલ બિંદુ પર તેનું મૂલ્ય (એક અર્થમાં) તેનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ લક્ષણ નથી. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં સંકલિત કાર્યના આવશ્યક લક્ષણની સ્પષ્ટ રચના આપવામાં આવે છે, એટલે કે તે અન્ય કાર્યો પર રેખીય કાર્યને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ નબળા વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છે. 1920 ના દાયકાના અંતમાં અને 1930 ના દાયકા દરમિયાન ભવિષ્યના કામ માટે વધુ પગલાં લેવામાં આવ્યા હતા. ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યને પોલ ડીરાક (તેમના વૈજ્ઞાનિક ઔપચારિકતાનું એક પાસું) દ્વારા હિંમતભેર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું; આ વાસ્તવિક કાર્યોની જેમ ઘનતા (જેમ કે ચાર્જ ઘનતા) તરીકે માનવામાં આવતા પગલાંની સારવાર માટે હતું. સર્ગેઇ સોબોલેવે, આંશિક વિભેદક સમીકરણ સિદ્ધાંતમાં કામ કરતા, આંશિક વિભેદક સમીકરણોના નબળા ઉકેલો સાથે કામ કરવા માટે, ગાણિતિક દ્રષ્ટિકોણથી, સામાન્યીકૃત કાર્યોના પ્રથમ પર્યાપ્ત સિદ્ધાંતને વ્યાખ્યાયિત કર્યો. તે સમયે સંબંધિત સિદ્ધાંતો રજૂ કરનારા અન્ય લોકો સાલોમોન બોચ્નર અને કર્ટ ફ્રેડરિક હતા. સોબોલેવનું કાર્ય લોરેન્ટ શ્વાર્ટઝ દ્વારા વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. આવા ખ્યાલની અનુભૂતિ જે ઘણા હેતુઓ માટે નિર્ણાયક તરીકે સ્વીકારવામાં આવવાની હતી, તે વિતરણનો સિદ્ધાંત હતો, જે લોરેન્ટ શ્વાર્ટઝ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. તેને સૈદ્ધાંતિક સિદ્ધાંત કહી શકાય, જે ટોપોલોજીકલ વેક્ટર જગ્યાઓ માટે દ્વૈત સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તેનો મુખ્ય હરીફ, લાગુ ગણિતમાં, સરળ અંદાજોના ક્રમ ('જેમ્સ લાઇટહિલ' સમજૂતી) નો ઉપયોગ કરવાનો છે, જે વધુ કામચલાઉ છે. આ હવે મોલિફાયર થિયરી તરીકે સિદ્ધાંતમાં પ્રવેશ કરે છે. આ સિદ્ધાંત ખૂબ જ સફળ રહ્યો હતો અને હજુ પણ તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ તે મુખ્ય ખામીથી પીડાય છે કે તે માત્ર રેખીય કામગીરીને મંજૂરી આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિતરણોનો ગુણાકાર કરી શકાતો નથી (ખૂબ જ ખાસ કિસ્સાઓ સિવાય): મોટાભાગની શાસ્ત્રીય કાર્ય જગ્યાઓથી વિપરીત, તે બીજગણિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શનનો વર્ગ કરવો અર્થપૂર્ણ નથી. 1954ની આસપાસ શ્વાર્ટઝનું કામ દર્શાવે છે કે તે એક આંતરિક મુશ્કેલી હતી. ગુણાકાર સમસ્યાના કેટલાક ઉકેલો સૂચવવામાં આવ્યા છે. એક ખૂબ જ સરળ અને સાહજિક વ્યાખ્યા પર આધારિત છે, જે યુ દ્વારા આપવામાં આવેલ સામાન્ય કાર્ય છે. વી. એગોરોવ (નીચેની પુસ્તક સૂચિમાં ડેમિડોવના પુસ્તકમાં તેમનો લેખ પણ જુઓ) જે સામાન્ય કાર્યો પર અને તેમની વચ્ચે મનસ્વી કામગીરીને મંજૂરી આપે છે. ગુણાકાર સમસ્યાનો બીજો ઉકેલ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલેશન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કારણ કે આ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના શ્રોડિંગર સિદ્ધાંતની સમકક્ષ હોવું જરૂરી છે, જે સંકલન પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે, આ ગુણધર્મ પાથ ઇન્ટિગ્રલ્સ દ્વારા વહેંચાયેલો હોવો જોઈએ. આ એચ. ક્લિનેર્ટ અને એ. ચેરવિયાકોવ દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે સામાન્યીકૃત કાર્યોના તમામ ઉત્પાદનોને સુધારે છે. પરિણામ એ પરિમાણીય નિયમિતકરણમાંથી જે મેળવી શકાય છે તેની સમકક્ષ છે. સામાન્યીકૃત કાર્યોના બીજગણિત સામાન્યીકૃત કાર્યોના બીજગણિતની કેટલીક રચનાઓ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, જેમાં યુ દ્વારા અન્ય રચનાઓનો સમાવેશ થાય છે. એમ. શિરોકોવ અને ઇ. રોઝિંગર, વાય. એગોરોવ અને આર. રોબિન્સન દ્વારા. પ્રથમ કિસ્સામાં, ગુણાકાર સામાન્યીકૃત કાર્યના કેટલાક નિયમિતકરણ સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે. બીજા કિસ્સામાં, બીજગણિતનું નિર્માણ વિતરણના ગુણાકાર તરીકે થાય છે. બંને કિસ્સાઓમાં નીચે ચર્ચા કરવામાં આવે છે. સામાન્યીકૃત વિધેયોના બિન-પરિવર્તનીય બીજગણિત સામાન્યીકૃત વિધેયોના બીજગણિતને તેના સરળ અને તેના એકવચન ભાગોમાં વિધેયના પ્રક્ષેપણની યોગ્ય પ્રક્રિયા સાથે બનાવી શકાય છે. સામાન્યીકૃત કાર્યોનું ઉત્પાદન અને આવા નિયમ તરીકે દેખાય છે તે મુખ્ય કાર્યોની જગ્યા અને મુખ્ય કાર્યોની જગ્યા પર કાર્ય કરતા ઓપરેટરોની જગ્યા બંનેને લાગુ પડે છે. ગુણાકારની સહયોગીતા પ્રાપ્ત થાય છે; અને કાર્ય સંકેતને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે તેનો વર્ગ દરેક જગ્યાએ એકતા છે (કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સહિત). નોંધ લો કે એકવચન ભાગોનું ગુણાકાર () ની જમણી બાજુએ દેખાતું નથી; ખાસ કરીને, આવી ઔપચારિકતામાં સામાન્યીકૃત કાર્યો (તેમના ઉત્પાદન વિના) ના પરંપરાગત સિદ્ધાંતનો વિશેષ કેસ તરીકે સમાવેશ થાય છે. જો કે, પરિણામી બીજગણિત બિન-પરિવર્તનીય છેઃ સામાન્યીકૃત કાર્યો સંકેત અને ડેલ્ટા એન્ટિકોમ્યુટ. બીજગણિતના થોડા ઉપયોગો સૂચવવામાં આવ્યા હતા. વિતરણનો ગુણાકાર વિતરણના ગુણાકારની સમસ્યા, શ્વાર્ટઝ વિતરણ સિદ્ધાંતની મર્યાદા, બિન-રેખીય સમસ્યાઓ માટે ગંભીર બની જાય છે. આજે વિવિધ અભિગમોનો ઉપયોગ થાય છે. સૌથી સરળ યુ દ્વારા આપવામાં આવેલી સામાન્યકૃત કાર્યની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે. વી. એગોરોવ. સહયોગી વિભેદક બીજગણિત રચવાનો બીજો અભિગમ જે. એફ. કોલોમ્બેઉની રચના પર આધારિત છેઃ જુઓ કોલોમ્બેઉ બીજગણિત. આ કાર્યોની "મધ્યમ" મોડ્યુલો "" નજીવી "જાળીની પરિબળ જગ્યાઓ છે, જ્યાં" મધ્યસ્થતા "અને" નજીવીયતા "એ પરિવારના સૂચકાંકના સંદર્ભમાં વૃદ્ધિનો સંદર્ભ આપે છે. ઉદાહરણોઃ કોલોમ્બ્યુ બીજગણિત એક સરળ ઉદાહરણ એન, પર બહુપદી સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. પછી કોઈપણ અર્ધ માનક બીજગણિત (E, P) માટે, પરિબળ જગ્યા હશે. ખાસ કરીને, (E, P) = (C, |. |) માટે વ્યક્તિને (કોલોમ્બેઉની) સામાન્યીકૃત જટિલ સંખ્યાઓ મળે છે (જે "અનંત મોટી" અને "અનંત રીતે નાની" હોઈ શકે છે અને હજુ પણ બિન-માનક સંખ્યાઓ જેવી જ સખત અંકગણિત માટે પરવાનગી આપે છે). (E, P) = (C ≤ (R), {pk}) માટે (જ્યાં pk એ ત્રિજ્યા k ના દડા પર k કરતા ઓછા અથવા સમાન ક્રમના તમામ વ્યુત્પન્નોનું સર્વોચ્ચ છે) કોલોમ્બેઉનું સરળીકૃત બીજગણિત મળે છે. શ્વાર્ટઝ વિતરણોનું ઇન્જેક્શન આ બીજગણિતમાં "ઇન્જેક્શન j (T) = (φn ≤ T) n + N દ્વારા D 'ના તમામ વિતરણો T" છે, જ્યાં ≤ એ કન્વોલ્યુશન ઓપરેશન છે, અને φn (x) = n φ (nx) છે. આ ઈન્જેક્શન એ અર્થમાં નોન-કેનોનિકલ છે કે તે મોલિફાયર φ ની પસંદગી પર આધાર રાખે છે, જે ઇન્ટિગ્રલ એકનું C φ હોવું જોઈએ અને તેના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ 0 પર અદૃશ્ય થઈ જશે. કેનોનિકલ ઈન્જેક્શન મેળવવા માટે, અનુક્રમણિકા સમૂહને એન × ડી (આર) તરીકે સુધારી શકાય છે, જેમાં ડી (આર) પર અનુકૂળ ફિલ્ટર બેઝ (ઓર્ડર ક્યૂ સુધી અદ્રશ્ય થઈ રહેલી ક્ષણોના કાર્યો) હોય છે. શીફ માળખું જો (E, P) એ અમુક ટોપોલોજિકલ જગ્યા X પર અર્ધ માનક આલ્જેબ્રાનું (પૂર્વ-) શીફ હોય, તો Gs (E, P) પાસે પણ આ ગુણધર્મ હશે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિબંધની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે, જે સામાન્યીકૃત કાર્યના સમર્થનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. સબશીફ, ખાસ કરીનેઃ સબશીફ {0} માટે, વ્યક્તિને સામાન્ય આધાર મળે છે (સૌથી મોટા ખુલ્લા સબસેટનું પૂરક જ્યાં કાર્ય શૂન્ય હોય છે). સબશીફ E માટે (કેનોનિકલ (કોન્સ્ટન્ટ) ઈન્જેક્શનનો ઉપયોગ કરીને એમ્બેડ કરેલું), જેને સિંગ્યુલર સપોર્ટ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, આશરે કહીએ તો, જ્યાં સામાન્યીકૃત કાર્ય સરળ કાર્ય નથી (E = C ≤ માટે) તે સમૂહને બંધ કરે છે. માઇક્રોલોકલ વિશ્લેષણ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન (સારી રીતે) કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ જનરલાઈઝ્ડ ફંક્શન્સ (ઘટક મુજબ) માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કોઈ પણ વિતરણ માટે સમાન રચના લાગુ કરી શકે છે, અને લાર્સ હોર્મેન્ડરના વેવ ફ્રન્ટ સેટને પણ જનરલાઈઝ્ડ ફંક્શન્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. એકલતાના પ્રસારના વિશ્લેષણમાં આનો ખાસ મહત્વનો ઉપયોગ થાય છે. અન્ય સિદ્ધાંતોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ જાન મિકુસિન્સ્કીનો કોન્વોલ્યુશન ક્વોશન્ટ થિયરી, જે ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન્સ એવા કન્વોલ્યુશન આલ્જેબ્રાના અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્ર પર આધારિત છે; અને હાયપરફંક્શન્સના સિદ્ધાંતો, વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના સીમા મૂલ્યો પર આધારિત (તેમની પ્રારંભિક વિભાવનામાં), અને હવે શીફ થિયરીનો ઉપયોગ કરે છે. ટોપોલોજિકલ જૂથો બ્રુહાટે પરીક્ષણ કાર્યોનો એક વર્ગ રજૂ કર્યો, શ્વાર્ટઝ-બ્રુહાટ કાર્યો જેમ કે તેઓ હવે જાણીતા છે, સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથોના વર્ગ પર જે લાક્ષણિક કાર્ય ક્ષેત્રો છે તે મેનીફોલ્ડ્સથી આગળ વધે છે. એપ્લિકેશન્સ મોટે ભાગે સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં છે, ખાસ કરીને એડલિક બીજગણિત જૂથો માટે. આન્દ્રે વેઇલે આ ભાષામાં ટેટનો થીસીસ ફરીથી લખ્યો હતો, જેમાં આદર્શ જૂથ પર ઝીટા વિતરણની લાક્ષણિકતા દર્શાવવામાં આવી હતી; અને તેને એલ-ફંક્શનના સ્પષ્ટ સૂત્ર પર પણ લાગુ કર્યું છે. સામાન્યીકૃત વિભાગ એક વધુ રીત જેમાં સિદ્ધાંતને વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે તે સરળ વેક્ટર બંડલના સામાન્યીકૃત વિભાગો છે. આ શ્વાર્ટઝ પેટર્ન પર છે, જે પરીક્ષણ પદાર્થો સાથે બેવડી વસ્તુઓનું નિર્માણ કરે છે, બંડલના સરળ વિભાગો કે જે સઘન આધાર ધરાવે છે. સૌથી વધુ વિકસિત સિદ્ધાંત ડી રામ પ્રવાહોનો છે, જે બેવડાથી વિભેદક સ્વરૂપો છે. આ પ્રકૃતિમાં સમરૂપ છે, જે રીતે વિભેદક સ્વરૂપો ડી રામ કોહોમોલોજીને જન્મ આપે છે. તેનો ઉપયોગ ખૂબ જ સામાન્ય સ્ટોક્સ પ્રમેય ઘડવા માટે થઈ શકે છે. બેપ્પો-લેવી સ્પેસ ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શન જનરલાઈઝ્ડ આઈગનફંક્શન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન (ગણિત) હાયપરફંક્શન લેપલેસિયન ઓફ ધ ઇન્ડિકેટર રિગ્ડ હિલ્બર્ટ સ્પેસ લિમિટ ઓફ એ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન બુક્સ વોલ્યુમ પણ જુઓ. 2. એચ. કોમાત્સુ, વિતરણના સિદ્ધાંતનો પરિચય, બીજી આવૃત્તિ, ઇવાનામી શોટેન, ટોક્યો, 1983. (ઓનલાઇન અહીં). સામાન્યીકૃત કાર્યોના ઉત્પાદનો માટે પ્રકરણ 11 જુઓ. સંદર્ભો