Bernstein–Sato polynomial
ગણિતમાં, બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદી એ વિભેદક સંચાલકો સાથે સંબંધિત બહુપદી છે, જે અને દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે. તેને બી-ફંક્શન, બી-બહુપદી અને બર્નસ્ટીન બહુપદી તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જોકે તે અંદાજ સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતી બર્નસ્ટીન બહુપદી સાથે સંબંધિત નથી. તેનો ઉપયોગ સિંગ્યુલારીટી થિયરી, મોનોડ્રોમી થિયરી અને ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીમાં થાય છે. તે પ્રાથમિક પરિચય આપે છે, અને વધુ અદ્યતન હિસાબ આપે છે. વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો જો બહુવિધ ચલમાં બહુપદી હોય, તો ત્યાં બિન-શૂન્ય બહુપદી અને બહુપદી ગુણાંક સાથે વિભેદક સંચાલક હોય છે જેમ કે બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદી એ આવી બહુપદીઓમાં સૌથી નાની ડિગ્રીની મોનિક બહુપદી છે. તેનું અસ્તિત્વ હોલોનોમિક ડી-મોડ્યુલોની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે. સાબિત કર્યું કે બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીના તમામ મૂળ નકારાત્મક પરિમાણીય સંખ્યાઓ છે. બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીને કેટલીક બહુપદીઓની ઘાતોના ગુણાકાર માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં તે તર્કસંગત ગુણાંક સાથેના રેખીય પરિબળોનું ઉત્પાદન છે. બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીને મનસ્વી જાતોમાં સામાન્યીકૃત કરી. નોંધ લો કે, બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીની ગણતરી અલ્ગોરિધમથી કરી શકાય છે. જો કે, આવી ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે મુશ્કેલ હોય છે. કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીઓ આરઆઇએસએ/અસીર, મેકૉલે 2 અને સિંગુલરમાં સંબંધિત અલ્ગોરિધમ્સના અમલીકરણ છે. કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલી સિંગુલરમાં અમલીકરણ સાથે એફીન વિવિધતાના બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીની ગણતરી કરવા માટે એલ્ગોરિધમ્સ રજૂ કર્યા. કમ્પ્યુટર દ્વારા બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીઓની ગણતરી માટેના કેટલાક અલ્ગોરિધમ્સનું વર્ણન કર્યું. ઉદાહરણો જો એમ હોય તો બર્નસ્ટીન-સાટો બહુપદી છે જો એમ હોય તો x2 + y3 ની બર્નસ્ટીન-સાટો બહુપદી એ છે કે જો tij એ n2 ચલ છે, તો પછી ડેટ (tij) ની બર્નસ્ટીન-સાટો બહુપદી જેના દ્વારા આપવામાં આવે છે તે નીચે મુજબ છે જ્યાંથી ω એ કેલેની ઓમેગા પ્રક્રિયા છે, જે બદલામાં કેપેલી ઓળખમાંથી અનુસરે છે. એપ્લિકેશન્સ જો બિન-નકારાત્મક બહુપદી હોય તો, શરૂઆતમાં બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ સાથે s માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, વિશ્લેષણાત્મક રીતે કાર્યાત્મક સમીકરણનો વારંવાર ઉપયોગ કરીને s ના મેરોમોર્ફિક વિતરણ-મૂલ્ય કાર્યમાં ચાલુ રાખી શકાય છે. જ્યારે પણ b (s + n) બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે શૂન્ય હોય ત્યારે તેમાં ધ્રુવો હોઈ શકે છે. જો f (x) બહુપદી હોય, સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય, તો તેમાં વ્યસ્ત g હોય છે જે વિતરણ છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, fg = 1 વિતરણ તરીકે. જો f (x) બિન-નકારાત્મક હોય તો s = −1 પર f (x) s ના લોરેન્ટ વિસ્તરણની અચળ મુદત લઈને બર્નસ્ટીન-સેટો બહુપદીનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત રચના કરી શકાય છે. મનસ્વી f (x) માટે માલગ્રેન્જ-એહરેનપ્રીસ થીયરમ જણાવે છે કે અચળ ગુણાંક ધરાવતા દરેક વિભેદક ઓપરેટરનું કાર્ય ગ્રીન હોય છે. ફોરિયર રૂપાંતરણો લેવાથી આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે દરેક બહુપદીમાં વિતરણનું વ્યસ્ત હોય છે, જે ઉપરના ફકરામાં સાબિત થાય છે. વિશાળ યુક્લિડિયન કેસમાં, ડાયમેન્શનલ રેગ્યુલરાઇઝેશનને સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે બર્નસ્ટીન બહુપદીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે દર્શાવ્યું. બર્નસ્ટીન-સેટો કાર્યાત્મક સમીકરણનો ઉપયોગ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં બનતા કેટલાક વધુ જટિલ પ્રકારના એકવચન સંકલનની ગણતરીમાં થાય છે. પ્રાથમિક કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ચોકસાઇ માપન માટે આવી ગણતરીઓ જરૂરી છે, જેમ કે CERN ખાતે પ્રેક્ટિસ કરવામાં આવે છે (ટાંકતા કાગળો જુઓ). જો કે, સૌથી વધુ રસપ્રદ કિસ્સાઓમાં બે બહુપદીઓના ગુણાકાર માટે બર્નસ્ટીન-સેટો કાર્યાત્મક સમીકરણના સરળ સામાન્યીકરણની જરૂર પડે છે, જેમાં x પાસે 2-6 સ્કેલર ઘટકો હોય છે, અને બહુપદીની જોડી 2 અને 3 ક્રમ ધરાવે છે. કમનસીબે, અનુરૂપ વિભેદક સંચાલકો અને આવા કિસ્સાઓમાં બ્રુટ ફોર્સ નિર્ધારણ અત્યાર સુધી નિષેધાત્મક રીતે બોજારૂપ સાબિત થયું છે. બ્રુટ ફોર્સ અલ્ગોરિધમનો સંયુક્ત વિસ્ફોટને બાયપાસ કરવાની રીતો વિકસાવવી એ આવા ઉપયોગોમાં ખૂબ મૂલ્યવાન રહેશે. નોંધો સંદર્ભો (પ્રિન્સટન, એનજે, 1996/1997) બહુપદી વિભેદક ઓપરેટરો