Monotonic function
ગણિતમાં, એકવિધ કાર્ય (અથવા એકવિધ કાર્ય) એ ક્રમબદ્ધ સમૂહો વચ્ચેનું કાર્ય છે જે આપેલ ક્રમને સાચવે છે અથવા ઉલટાવે છે. આ ખ્યાલ સૌપ્રથમ કલનમાં ઉદભવ્યો હતો અને બાદમાં તેને ક્રમ સિદ્ધાંતના વધુ અમૂર્ત સેટિંગમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો. કલન અને વિશ્લેષણમાં કલનમાં, વાસ્તવિક મૂલ્યો સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સંપૂર્ણપણે વધતું નથી, અથવા સંપૂર્ણપણે ઘટતું નથી. એટલે કે, આકૃતિ મુજબ. 1, એક કાર્ય જે એકવિધ રીતે વધે છે તે ફક્ત વધવાની જરૂર નથી, તે ફક્ત ઘટવું જોઈએ નહીં. એક કાર્યને એકવિધ રીતે વધતું (વધતું અથવા ઘટતું નહીં) કહેવામાં આવે છે જો બધા માટે અને જેમ કે એક હોય, તો ક્રમ જાળવી રાખે છે (આકૃતિ 1 જુઓ). તેવી જ રીતે, કાર્યને એકવિધ રીતે ઘટતું (ઘટતું અથવા ન વધતું) કહેવામાં આવે છે જો, જ્યારે પણ, પછી, તેથી તે ક્રમને ઉલટાવી દે છે (આકૃતિ 2 જુઓ). જો એકવિધતાની વ્યાખ્યામાં ક્રમને કડક ક્રમ દ્વારા બદલવામાં આવે, તો એક મજબૂત જરૂરિયાત પ્રાપ્ત થાય છે. આ ગુણધર્મ સાથેના કાર્યને સખત રીતે વધવું (પણ વધવું) કહેવામાં આવે છે. ફરીથી, ક્રમ પ્રતીકને ઊંધું કરીને, એક અનુરૂપ ખ્યાલ મળે છે જેને સખત રીતે ઘટવું (પણ ઘટવું) કહેવાય છે. કોઈપણ ગુણધર્મ સાથેના કાર્યને સખત રીતે મોનોટોન કહેવામાં આવે છે. જે કાર્યો સખત રીતે એકવિધ હોય છે તે એક-થી-એક હોય છે (કારણ કે એકવિધતા દ્વારા, ક્યાં તો અથવા અને તેથી સમાન નથી, ક્યાં તો અથવા, આમ.) અસ્પષ્ટતા ટાળવા માટે, નબળા મોનોટોન, નબળા વધતા અને નબળા ઘટતા શબ્દોનો ઉપયોગ ઘણીવાર બિન-કડક મોનોટોનિકતાનો સંદર્ભ આપવા માટે થાય છે. "બિન-ઘટતી" અને "બિન-વધતી" શબ્દોને (ખૂબ નબળી) નકારાત્મક લાયકાતો "ઘટતી નથી" અને "વધતી નથી" સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 3 માં દર્શાવેલ બિન-એકવિધ કાર્ય પહેલા પડે છે, પછી વધે છે, પછી ફરીથી પડે છે. તેથી તે ઘટી રહ્યું નથી અને વધી રહ્યું નથી, પરંતુ તે ન તો ઘટતું નથી અને ન તો વધતું નથી. એક કાર્યને અંતરાલ પર સંપૂર્ણપણે એકવિધ કહેવામાં આવે છે જો અંતરાલ પરના તમામ બિંદુઓ પર તમામ ક્રમના વ્યુત્પન્ન બિન-નકારાત્મક અથવા તમામ બિન-સકારાત્મક હોય. કાર્યનો વ્યુત્ક્રમ તમામ સખત રીતે મોનોટોનિક કાર્યો ઉલટાવી શકાય તેવા છે કારણ કે તેઓ તેમની શ્રેણીથી તેમના ડોમેન સુધી એક-થી-એક મેપિંગની ખાતરી આપે છે. જો કે, જે વિધેયો માત્ર નબળા મોનોટોન હોય છે તે ઉલટાવી શકાય તેવા નથી કારણ કે તેઓ અમુક અંતરાલ પર સ્થિર હોય છે (અને તેથી એક-થી-એક નથી). એક વિધેય મૂલ્યોની મર્યાદિત શ્રેણી પર સખત રીતે એકવિધ હોઈ શકે છે અને તેથી તે દરેક જગ્યાએ સખત રીતે એકવિધ ન હોવા છતાં તે શ્રેણી પર વ્યસ્ત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો શ્રેણી પર સખત રીતે વધારો થઈ રહ્યો હોય, તો તે શ્રેણી પર વ્યસ્ત હોય છે. મોનોટોનિક શબ્દનો ઉપયોગ કેટલીકવાર સખત મોનોટોનિકની જગ્યાએ થાય છે, તેથી એક સ્રોત જણાવે છે કે તમામ મોનોટોનિક કાર્યો ઉલટાવી શકાય તેવા હોય છે જ્યારે તેનો ખરેખર અર્થ એ થાય છે કે તમામ સખત મોનોટોનિક કાર્યો ઉલટાવી શકાય તેવા હોય છે. મોનોટોનિક પરિવર્તન શબ્દ મોનોટોનિક પરિવર્તન (અથવા મોનોટોન પરિવર્તન) પણ મૂંઝવણનું કારણ બની શકે છે કારણ કે તે સખત રીતે વધતા કાર્ય દ્વારા પરિવર્તનનો સંદર્ભ આપે છે. મોનોટોનિક પરિવર્તનમાં સાચવવામાં આવતા ઉપયોગિતા કાર્યના ક્રમિક ગુણધર્મોના સંદર્ભમાં અર્થશાસ્ત્રમાં આ સ્થિતિ છે (મોનોટોન પસંદગીઓ પણ જુઓ). આ સંદર્ભમાં, "મોનોટોનિક ટ્રાન્સફોર્મેશન" શબ્દ હકારાત્મક મોનોટોનિક ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉલ્લેખ કરે છે અને તેનો હેતુ તેને "નકારાત્મક મોનોટોનિક ટ્રાન્સફોર્મેશન" થી અલગ પાડવાનો છે, જે સંખ્યાઓના ક્રમને ઉલટાવે છે. કેટલાક મૂળભૂત ઉપયોગો અને પરિણામો એકવિધ કાર્ય માટે નીચેના ગુણધર્મો સાચા છેઃ તેના કાર્યક્ષેત્રના દરેક બિંદુ પર જમણી બાજુથી અને ડાબી બાજુથી મર્યાદાઓ હોય છે; વાસ્તવિક સંખ્યાના હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક અનંત () પર મર્યાદા હોય છે, અથવા. માત્ર જમ્પ વિસંગતતાઓ હોઈ શકે છે; તેના ક્ષેત્રમાં માત્ર સંખ્યાબંધ વિસંગતતાઓ હોઈ શકે છે. જોકે, વિસંગતતાઓમાં અનિવાર્યપણે અલગ-અલગ બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી અને અંતરાલ (a, b) માં ગાઢ પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકારાત્મક સંખ્યાઓના કોઈપણ સરવાળો ક્રમ અને તર્કસંગત સંખ્યાઓની કોઈપણ ગણતરી માટે, એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય દરેક અતાર્કિક સંખ્યા (cf. ચિત્ર). તે પરિમેય સંખ્યાઓ પર સ્વતંત્ર માપનું સંચિત વિતરણ કાર્ય છે, જ્યાં તેનું વજન છે. આ ગુણધર્મો એ કારણ છે કે વિશ્લેષણમાં તકનીકી કાર્યમાં મોનોટોનિક કાર્યો ઉપયોગી છે. આ વિધેયોના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ જો એકવિધ વિધેયને અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો તે લગભગ દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ છે; એટલે કે. એવી સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેમાં તફાવત કરી શકાય તેમ નથી, તેમાં લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય છે. વધુમાં, આ પરિણામને ગણતરીપાત્રમાં સુધારી શકાતું નથીઃ કેન્ટોર કાર્ય જુઓ. જો આ સમૂહ ગણતરીપાત્ર હોય, તો તે સંપૂર્ણપણે સતત હોય છે જો અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત એકવિધ વિધેય હોય, તો તે રીમાન સંકલનક્ષમ છે. મોનોટોનિક કાર્યોનો એક મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં છે. જો રેન્ડમ વેરિયેબલ હોય, તો તેનું સંચિત વિતરણ કાર્ય એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે. કાર્ય એકવિધ હોય છે જો તે એકવિધ રીતે અમુક બિંદુ (સ્થિતિ) સુધી વધી રહ્યું હોય અને પછી એકવિધ રીતે ઘટી રહ્યું હોય. જ્યારે કડક રીતે મોનોટોનિક કાર્ય હોય, ત્યારે તે તેના ડોમેન પર ઇન્જેક્ટિવ હોય છે, અને જો તેની શ્રેણી હોય, તો તેના માટે ઇન્વર્સ કાર્ય હોય છે. તેનાથી વિપરીત, દરેક અચળ કાર્ય એકવિધ હોય છે, પરંતુ ઇન્જેક્ટિવ નથી, અને તેથી તેનો વ્યુત્ક્રમ હોઈ શકતો નથી. ગ્રાફિક છ એકવિધ કાર્યો દર્શાવે છે. તેમના સૌથી સરળ સ્વરૂપો પ્લોટ વિસ્તારમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે અને તેમને બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સમીકરણો વાય-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ટોપોલોજીમાં નકશાને મોનોટોન કહેવામાં આવે છે જો તેના દરેક તંતુઓ જોડાયેલા હોય; એટલે કે, દરેક તત્વ માટે (સંભવતઃ ખાલી) સમૂહ એ ક્રિયાત્મક વિશ્લેષણમાં, ટોપોલોજિકલ વેક્ટર સ્પેસ પરના કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં, જો કાચુરોવ્સ્કીનો પ્રમેય દર્શાવે છે કે બનાચ જગ્યાઓ પરના બહિર્મુખ કાર્યો તેમના વ્યુત્પન્ન તરીકે મોનોટોનિક ઓપરેટરો ધરાવે છે, તો (સંભવતઃ બિન-રેખીય) ઓપરેટરને મોનોટોન ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. જો દરેક જોડી અને અંદર માટે, જો તે સમૂહ સમાવેશના અર્થમાં તમામ એક સ્વર સમૂહમાં મહત્તમ હોય તો તેને મહત્તમ એક સ્વર સમૂહ કહેવામાં આવે છે. મોનોટોન સંચાલકનો આલેખ એ મોનોટોન સમૂહ છે. એક મોનોટોન સંચાલકને મહત્તમ મોનોટોન કહેવામાં આવે છે જો તેનો આલેખ મહત્તમ મોનોટોન સમૂહ હોય. ક્રમ સિદ્ધાંતમાં ક્રમ સિદ્ધાંત વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સામાન્યીકરણ તરીકે મનસ્વી રીતે આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહો અને પૂર્વ ક્રમાંકિત સમૂહો સાથે વ્યવહાર કરે છે. એકવિધતાની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા આ કિસ્સાઓમાં પણ સુસંગત છે. જો કે, "વધતા" અને "ઘટતા" શબ્દો ટાળવામાં આવે છે, કારણ કે તેમની પરંપરાગત સચિત્ર રજૂઆત કુલ ન હોય તેવા ઓર્ડરને લાગુ પડતી નથી. વધુમાં, કડક સંબંધો અને ઘણા બિન-કુલ ક્રમમાં બહુ ઓછા ઉપયોગી છે અને તેથી તેમના માટે કોઈ વધારાની પરિભાષા રજૂ કરવામાં આવી નથી. લેટિંગ કોઈપણ આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહના આંશિક ક્રમ સંબંધને સૂચવે છે, એક મોનોટોન કાર્ય, જેને આઇસોટોન પણ કહેવાય છે, અથવા, બધા માટે અને તેના ક્ષેત્રમાં ગુણધર્મને સંતોષે છે. બે મોનોટોન મેપિંગનું સંયોજન પણ મોનોટોન છે. બેવડી કલ્પનાને ઘણીવાર એન્ટિટોન, એન્ટિ-મોનોટોન અથવા ઓર્ડર-રિવર્સિંગ કહેવામાં આવે છે. તેથી, એન્ટીટોન કાર્ય બધા માટે અને તેના ક્ષેત્રમાં મિલકતને સંતોષે છે. એક અચળ કાર્ય એ મોનોટોન અને એન્ટિટોન બંને છે; તેનાથી વિપરીત, જો મોનોટોન અને એન્ટિટોન બંને હોય, અને જો તેનું ક્ષેત્ર જાળી હોય, તો તે અચળ હોવું જોઈએ. ક્રમ સિદ્ધાંતમાં મોનોટોન કાર્યો કેન્દ્રિય છે. તેઓ આ વિષય પરના મોટાભાગના લેખોમાં દેખાય છે અને વિશેષ એપ્લિકેશનોના ઉદાહરણો આ સ્થળોએ જોવા મળે છે. કેટલાક નોંધપાત્ર વિશેષ મોનોટોન કાર્યો ઓર્ડર એમ્બેડિંગ્સ છે (જે કાર્યો માટે જો અને માત્ર જો અને ઓર્ડર આઇસોમોર્ફિઝમ્સ (સર્જેક્ટિવ ઓર્ડર એમ્બેડિંગ્સ). શોધ અલ્ગોરિધમ્સના સંદર્ભમાં શોધ અલ્ગોરિધમ્સના સંદર્ભમાં એકવિધતા (જેને સુસંગતતા પણ કહેવાય છે) એ સંશોધનાત્મક કાર્યો પર લાગુ થતી શરત છે. હ્યુરિસ્ટિક એ મોનોટોનિક છે જો, દરેક નોડ અને કોઈપણ ક્રિયા દ્વારા પેદા થયેલા દરેક અનુગામી માટે, લક્ષ્ય સુધી પહોંચવાનો અંદાજિત ખર્ચ, લક્ષ્ય સુધી પહોંચવાનો અંદાજિત ખર્ચ વત્તા કરતાં વધારે નથી, આ ત્રિકોણ અસમાનતાનું એક સ્વરૂપ છે, અને જેની સૌથી નજીકનું લક્ષ્ય છે. કારણ કે દરેક એકવિધ હ્યુરિસ્ટિક પણ સ્વીકાર્ય છે, એકવિધતા એ સ્વીકાર્યતા કરતાં વધુ કડક જરૂરિયાત છે. કેટલાક હ્યુરિસ્ટિક અલ્ગોરિધમ્સ જેમ કે A * શ્રેષ્ઠ સાબિત થઈ શકે છે જો કે તેઓ જે હ્યુરિસ્ટિકનો ઉપયોગ કરે છે તે મોનોટોનિક છે. બુલિયન કાર્યોમાં બુલિયન બીજગણિતમાં, એકવિધ કાર્ય એ એવું છે કે બધા માટે અને અંદર, જો, તો, (એટલે કે. કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનને સંકલન મુજબ ક્રમ આપવામાં આવે છે), પછી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બુલિયન કાર્ય એકવિધ હોય છે, જો ઇનપુટ્સના દરેક સંયોજન માટે, એક ઇનપુટ્સને ફોલ્સમાંથી ટ્રુમાં બદલવાથી માત્ર આઉટપુટ ફોલ્સમાંથી ટ્રુમાં ફેરવાઈ શકે છે અને ટ્રુથી ફોલ્સમાં નહીં. ચિત્રાત્મક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સત્ય મૂલ્યો સાથે લેબલ થયેલ-ક્યુબ તરીકેની તેની રજૂઆતમાં સાચુંથી ખોટું સુધી કોઈ ઉપરની ધાર હોતી નથી ત્યારે-એરી બુલિયન કાર્ય એકવિધ હોય છે. (આ લેબલ થયેલ હાસ આકૃતિ એ કાર્યના લેબલ થયેલ વેન આકૃતિની બેવડી છે, જે આના માટે વધુ સામાન્ય રજૂઆત છે.) મોનોટોનિક બુલિયન ફંક્શન્સ ચોક્કસપણે તે છે જે ફક્ત ઓપરેટર્સ અને અથવા (ખાસ કરીને પ્રતિબંધિત નથી) નો ઉપયોગ કરીને ઇનપુટ્સ (જે એકથી વધુ વખત દેખાઈ શકે છે) ના સંયોજન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. દાખલા તરીકે "ઓછામાં ઓછા બે,, હોલ્ડ" એ, નું એકવિધ કાર્ય છે, કારણ કે તેને દાખલા તરીકે (અને) અથવા (અને) અથવા (અને) તરીકે લખી શકાય છે. ચલ પર આવા વિધેયોની સંખ્યાને ડિડેકાઇન્ડ નંબર ઓફ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મોનોટોન ક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન સ્યુડો-મોનોટોન ઓપરેટર સ્પીયરમેનનો ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક-ડેટાના સમૂહમાં મોનોટોનિકતાનું માપ કુલ મોનોટોનિસિટી ચક્રીય મોનોટોનિસિટી ઓપરેટર મોનોટોન કાર્ય મોનોટોન સમૂહ કાર્ય નોંધો ગ્રંથસૂચિ (વ્યાખ્યા 9.31) બાહ્ય કડીઓ અનિક દેબનાથ અને થોમસ રોક્સલો (ધ હાર્કર સ્કૂલ) દ્વારા મોનોટોનિક અનુક્રમનું કન્વર્જન્સ, વોલ્ફ્રેમ પ્રદર્શન પ્રોજેક્ટ. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ ક્રમ સિદ્ધાંત વાસ્તવિક વિશ્લેષણ કાર્યોના પ્રકારો