Complete set of commuting observables
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, કોમ્યુટિંગ ઓબ્ઝર્વેબલ્સ (સી. એસ. સી. ઓ.) નો સંપૂર્ણ સમૂહ એ કોમ્યુટિંગ ઓપરેટર્સનો સમૂહ છે, જેમના સામાન્ય આઈગનવેક્ટર્સનો ઉપયોગ કોઈપણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિને વ્યક્ત કરવા માટે આધાર તરીકે થઈ શકે છે. ડિસ્ક્રીટ સ્પેક્ટ્રા ધરાવતા ઓપરેટરોના કિસ્સામાં, સી. એસ. સી. ઓ. એ અવરજવર કરતા અવલોકનક્ષમ પદાર્થોનો સમૂહ છે, જેમની એક સાથે આઇગેનસ્પેસ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં ફેલાયેલી હોય છે, જેથી આઇગેનવેક્ટર્સ વિશિષ્ટ રીતે આઇગેનવેલ્યુઝના અનુરૂપ સમૂહો દ્વારા નિર્દિષ્ટ થાય છે. સમૂહની અવરજવરમાં અવલોકનક્ષમની દરેક જોડી હોવાથી, અવલોકનક્ષમ તમામ સુસંગત હોય છે જેથી એક અવલોકનક્ષમનું માપન સમૂહમાં અવલોકનક્ષમ બીજાને માપવાના પરિણામ પર કોઈ અસર ન કરે. તેથી વિવિધ અવલોકનોને કયા ક્રમમાં માપવામાં આવે છે તે સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર નથી. અવલોકનક્ષમ પદાર્થોના સંપૂર્ણ સમૂહનું માપન એક સંપૂર્ણ માપન બનાવે છે, તે અર્થમાં કે તે પ્રણાલીની ક્વોન્ટમ સ્થિતિને ઓપરેટરોના સમૂહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત આધારે એક અનન્ય અને જાણીતા વેક્ટર પર પ્રક્ષેપિત કરે છે. એટલે કે, સંપૂર્ણપણે નિર્દિષ્ટ સ્થિતિ તૈયાર કરવા માટે, આપણે કોઈપણ સ્થિતિને મનસ્વી રીતે લેવી પડશે, અને પછી સમૂહમાં તમામ અવલોકનોને અનુરૂપ માપનો ક્રમ કરવો પડશે, જ્યાં સુધી તે હિલ્બર્ટ અવકાશમાં (એક તબક્કા સુધી) વિશિષ્ટ રીતે નિર્દિષ્ટ વેક્ટર ન બને. સુસંગતતા પ્રમેય બે અવલોકનોને ધ્યાનમાં લો, અને, ઓપરેટરો દ્વારા રજૂ થાય છે અને. પછી નીચેના નિવેદનો સમકક્ષ છેઃ અને સુસંગત અવલોકનક્ષમ છે. અને એક સામાન્ય આઈગનબેસિસ ધરાવે છે. ઓપરેટરો અને અવરજવર, એટલે કે. સાબિતી ચર્ચા આપણે ઉપરોક્ત બે અવલોકનક્ષમ અને. ધારો કે ત્યાં કીટનો એક સંપૂર્ણ સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે, જેનું દરેક તત્વ એક સાથે અને નું આઈગનકેટ છે. પછી આપણે તે કહીએ છીએ અને સુસંગત છીએ. જો આપણે અને દ્વારા અનુક્રમે અને તેને અનુરૂપ આઈગન વેલ્યુ સૂચવીએ, તો આપણે લખી શકીએ છીએ જો સિસ્ટમ આઈગનસ્ટેટમાંથી એકમાં હોય, તો કહો, પછી બંનેને એક સાથે ચોકસાઈના કોઈપણ મનસ્વી સ્તરે માપી શકાય છે, અને આપણે અનુક્રમે પરિણામો મેળવીશું. આ વિચારને બેથી વધુ અવલોકનક્ષમ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. સુસંગત અવલોકનોના ઉદાહરણો સ્થિતિ સંચાલકના કાર્ટેશિયન ઘટકો છે, અને. આ તમામ ઘટકો સુસંગત છે. તેવી જ રીતે, મોમેન્ટમ ઓપરેટરના કાર્ટેશિયન ઘટકો, એટલે કે, અને સુસંગત પણ છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા અવલોકનોના સમૂહને સી. એસ. સી. ઓ. કહેવામાં આવે છે જોઃ તમામ અવલોકનો જોડીમાં મુસાફરી કરે છે. જો આપણે સી. એસ. સી. ઓ. માં તમામ ઓપરેટરોના આઈગનવેલ્યુને સ્પષ્ટ કરીએ, તો આપણે સિસ્ટમના હિલ્બર્ટ અવકાશમાં એક અનન્ય આઈગનવેક્ટર (એક તબક્કા સુધી) ને ઓળખીએ છીએ. જો આપણને સી. એસ. સી. ઓ. આપવામાં આવે, તો આપણે અનુરૂપ ઓપરેટરોના સામાન્ય આઈગનવેક્ટર્સથી બનેલા સ્ટેટની જગ્યા માટે આધાર પસંદ કરી શકીએ છીએ. આપણે દરેક આઈગનવેક્ટરને (એક તબક્કા સુધી) તેની અનુરૂપ આઈગનવેલ્યુના સમૂહ દ્વારા અનન્ય રીતે ઓળખી શકીએ છીએ. ચર્ચા ચાલો આપણે અવલોકનક્ષમનો ઓપરેટર રાખીએ, જેમાં તમામ બિન-ડિજનરેટ આઈગનવેલ્યુ હોય. પરિણામે, દરેક આઈગન વેલ્યુને અનુરૂપ એક અનન્ય આઈગનસ્ટેટ છે, જે આપણને તેમના સંબંધિત આઈગનવેલ્યુ દ્વારા લેબલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આઈગન વેલ્યુને અનુરૂપ આઈગનસ્ટેટને આ રીતે લેબલ કરી શકાય છે. આવા અવલોકનક્ષમ પોતે એક આત્મનિર્ભર સી. એસ. સી. ઓ. છે. જો કે, જો કેટલાક આઈગન વેલ્યુઓ અધોગતિ પામે છે (જેમ કે ઊર્જાનું સ્તર અધોગતિ પામે છે), તો પછી ઉપરોક્ત પરિણામ હવે ટકી રહેતું નથી. આવા કિસ્સામાં, આપણે સમાન આઈગન વેલ્યુને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ વચ્ચે તફાવત કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, બીજી અવલોકનક્ષમ રજૂ કરવામાં આવે છે (ચાલો આપણે તેને કહીએ), જે તેની સાથે સુસંગત છે. સુસંગતતા પ્રમેય આપણને કહે છે કે અને ના આઈગનફંક્શન્સનો એક સામાન્ય આધાર મળી શકે છે. હવે જો આઈગન વેલ્યુની દરેક જોડી આ આધારના સ્ટેટ વેક્ટરને વિશિષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરે છે, તો આપણે સી. એસ. સી. ઓ.: સમૂહ રચ્યો હોવાનો દાવો કરીએ છીએ. અધોગતિ સંપૂર્ણપણે દૂર થઈ જાય છે. તેમ છતાં, એવું થઈ શકે છે કે અધોગતિ સંપૂર્ણપણે દૂર ન થાય. એટલે કે, ત્યાં ઓછામાં ઓછી એક જોડી અસ્તિત્વમાં છે જે એક આઈગનવેક્ટરને અનન્ય રીતે ઓળખતી નથી. આ કિસ્સામાં, આપણે અન્ય અવલોકનક્ષમ ઉમેરીને ઉપરોક્ત પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ, જે અને બંને સાથે સુસંગત છે. જો સામાન્ય આઈગનફંક્શન્સનો આધાર, અને અનન્ય છે, એટલે કે, આઈગનવેલ્યુના સમૂહ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, તો આપણે સી. એસ. સી. ઓ. ની રચના કરી છેઃ જો નહીં, તો આપણે વધુ સુસંગત અવલોકનક્ષમ ઉમેરીએ છીએ અને જ્યાં સુધી સી. એસ. સી. ઓ. પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીએ છીએ. સમાન વેક્ટર સ્પેસમાં આવનજાવન કરનારા ઓપરેટરોના અલગ સંપૂર્ણ સેટ હોઈ શકે છે. ધારો કે આપણને મર્યાદિત સી. એસ. સી. ઓ. આપવામાં આવે છે. પછી આપણે હિલ્બર્ટ અવકાશમાં કોઈપણ સામાન્ય સ્થિતિને વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ કારણ કે ઓપરેટરોના આઈગનકેટ્સ ક્યાં છે, અને બેસિસ સ્પેસ બનાવી શકીએ છીએ. એટલે કે, વગેરે જો આપણે સ્થિતિમાં માપીએ તો આપણે એક સાથે માપવાની સંભાવના આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આવનજાવન કરનારા સંચાલકોના સંપૂર્ણ સમૂહ માટે, આપણે એકાત્મક પરિવર્તન શોધી શકીએ છીએ જે એક સાથે તે બધાને વિકર્ણ બનાવશે. ઉદાહરણો ઇલેક્ટ્રોન અથવા પ્રોટોન સ્પિન વિનાનો હાઇડ્રોજન અણુ કોણીય મોમેન્ટમ ઓપરેટરના બે ઘટકો પરિવર્તન કરતા નથી, પરંતુ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષે છેઃ તેથી, કોઈપણ સી. એસ. સી. ઓ. માં એક કરતાં વધુ ઘટકોનો સમાવેશ થઈ શકતો નથી. તે બતાવી શકાય છે કે કોણીય મોમેન્ટમ ઓપરેટરનો ચોરસ, સાથે આવે છે. ઉપરાંત, હેમિલ્ટોનિયન એ માત્ર એક જ કાર્ય છે અને તેમાં રોટેશનલ ઇનવેરિયન્સ છે, જ્યાં સિસ્ટમનો ઘટાડો માસ છે. ના ઘટકો પરિભ્રમણના જનરેટર હોવાથી, તે બતાવી શકાય છે કે તેથી, આવનજાવન સમૂહમાં એક ઘટક (જેને લેવામાં આવે છે) અને નો સમાવેશ થાય છે. સમસ્યાનો ઉકેલ આપણને જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણને અવગણીને, સમૂહ સી. એસ. સી. ઓ. બનાવે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુના હિલ્બર્ટ અવકાશમાં કોઈપણ પાયાની સ્થિતિ હોવી જોઈએ. પછી એટલે કે, આઈગન વેલ્યુઝનો સમૂહ અથવા વધુ સરળ રીતે, હાઇડ્રોજેનિક અણુના અનન્ય આઈગનસ્ટેટને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરે છે. મુક્ત કણ મુક્ત કણ માટે, હેમિલ્ટોનિયન અનુવાદો હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. અનુવાદ હેમિલ્ટોનિયન સાથે પરિવર્તિત થાય છેઃ જો કે, જો આપણે હેમિલ્ટોનિયનને ટ્રાન્સલેશન ઓપરેટરના આધારે વ્યક્ત કરીએ, તો આપણે જોશું કે તે બમણું અધોગતિ પામે છે. તે બતાવી શકાય છે કે આ કિસ્સામાં સી. એસ. સી. ઓ. બનાવવા માટે, આપણને પેરિટી ઓપરેટર નામના અન્ય ઓપરેટરની જરૂર છે, જેમ કે. સી. એસ. સી. ઓ. બનાવે છે. ફરીથી, ચાલો અને અનુરૂપ આઈગન વેલ્યુના ડીજનરેટ આઈગનસ્ટેટ બનો, એટલે કે. મોમેન્ટમ ઓપરેટર દ્વારા અધોગતિ દૂર કરવામાં આવે છે. તેથી, સી. એસ. સી. ઓ. બનાવે છે. કોણીય મોમેન્ટમનો ઉમેરો આપણે સંબંધિત કોણીય મોમેન્ટમ ઓપરેટરો સાથે બે પ્રણાલીઓ, 1 અને 2 ના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આપણે અને તરીકે અને તરીકે આઇગનસ્ટેટ લખી શકીએ છીએ. પછી સંપૂર્ણ પ્રણાલીની પાયાની સ્થિતિઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે તેથી, સંપૂર્ણ પ્રણાલી માટે, આઈગનવેલ્યુઝનો સમૂહ સંપૂર્ણપણે એક અનન્ય પાયાની સ્થિતિને સ્પષ્ટ કરે છે, અને સી. એસ. સી. ઓ. બનાવે છે. તેવી જ રીતે, કુલ કોણીય વેગ પ્રચાલકની દ્રષ્ટિએ પ્રણાલી માટે પાયાની સ્થિતિઓનો બીજો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે. ના આઈગન વેલ્યુ એ છે કે જ્યાં મૂલ્યો લેવામાં આવે છે, અને તે ક્યાં છે. ઓપરેટરોની પાયાની સ્થિતિઓ અને છે. આમ આપણે આઇગન વેલ્યુના સમૂહ દ્વારા સંપૂર્ણ સિસ્ટમના હિલ્બર્ટ અવકાશમાં એક અનન્ય આધાર સ્થિતિ પણ નિર્દિષ્ટ કરી શકીએ છીએ, અને અનુરૂપ CSCO છે. ક્વોન્ટમ સંખ્યા પણ જુઓ સારી ક્વોન્ટમ સંખ્યા ઊર્જા સ્તરોને ઘટાડે છે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ઓપરેટરો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું ગાણિતિક માળખું કેનોનિકલ કમ્યુટેશન સંબંધ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં માપન તરંગ કાર્ય કોણીય ગતિ (ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ) સંદર્ભોનું પતન. આર. પી. ફેનમેન, આર. બી. લેઇટન અને એમ. સેન્ડ્સઃ ધ ફેનમેન લેક્ચર્સ ઓન ફિઝિક્સ, એડિસન-વેસ્લી, 1965 આર. શંકર, પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, સેકન્ડ એડિશન, સ્પ્રિંગર (1994). જે. જે. સકુરાઇ, મોડર્ન ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, રિવાઇઝ્ડ એડિશન, પિયર્સન (1994). બી. એચ. બ્રાન્સડેન અને સી. જે. જોઆચેન, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, સેકન્ડ એડિશન, પીઅર્સન એજ્યુકેશન લિમિટેડ, 2000. સુસંગતતા પ્રમેય પર ચર્ચા માટે, એડિનબર્ગ યુનિવર્સિટીના સ્કૂલ ઓફ ફિઝિક્સ એન્ડ એસ્ટ્રોનોમીના વ્યાખ્યાન નોંધો. http://www2.ph.ed.ac.uk ~ ldeldebb/docs/QM/lect2. pડિએફ. ટાટા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ફંડામેન્ટલ રિસર્ચ, મુંબઈના પ્રો. એસ. ગુપ્તાના વ્યાખ્યાન નોંધોમાં સીએસસીઓ પરની એક સ્લાઇડ. http://theory.tifr.res.in ~ sgupta/courses/qm2013/hand3. pdf એ વિભાગ પ્રો. એસ. ગુપ્તા, ટાટા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ફંડામેન્ટલ રિસર્ચ, મુંબઈના વ્યાખ્યાન નોંધોમાં મુક્ત કણ પર. http://theory.tifr.res.in ~ ગુપ્ત/અભ્યાસક્રમો/qm2013/હેન્ડ6. પી. ડી. એફ. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ