Principle of permanence
ગણિતના ઇતિહાસમાં, સ્થિરતાનો સિદ્ધાંત, અથવા સમકક્ષ સ્વરૂપોની સ્થિરતાનો નિયમ, એ વિચાર હતો કે ઉમેરો અને ગુણાકાર જેવી બીજગણિત કામગીરીઓ દરેક સંખ્યા પ્રણાલીમાં સુસંગત રીતે વર્તવી જોઈએ, ખાસ કરીને જ્યારે સ્થાપિત સંખ્યા પ્રણાલીઓમાં વિસ્તરણ વિકસાવવામાં આવે. આધુનિક ગણિતના આગમન અને સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ પર તેના ભાર પહેલાં, સ્થાયીતાના સિદ્ધાંતને ગાણિતિક દલીલોમાં એક મહત્વપૂર્ણ સાધન માનવામાં આવતું હતું. આધુનિક ગણિતમાં, તેના બદલે દલીલોને સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પર બાંધવામાં આવેલા સખત પુરાવાઓ દ્વારા બદલવામાં આવી છે, અને તેના બદલે સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ નવી બીજગણિત રચનાઓ શોધવા માટે સંશોધનાત્મક તરીકે થાય છે. વધુમાં, સિદ્ધાંતને સ્થાનાંતરણ સિદ્ધાંતો તરીકે ઓળખાતા પ્રમેયોના વર્ગમાં ઔપચારિક બનાવવામાં આવ્યો છે, જે જણાવે છે કે અમુક ભાષાના તમામ નિવેદનો કે જે અમુક માળખા માટે સાચા છે તે અન્ય માળખા માટે સાચા છે. આ સિદ્ધાંતનું વર્ણન જ્યોર્જ પીકોક દ્વારા તેમના પુસ્તક એ ટ્રીટાઇઝ ઓફ આલ્જેબ્રા (મૂળમાં ભાર): 132 માં કરવામાં આવ્યું હતું. ચાલો આપણે ફરીથી આ સિદ્ધાંત અથવા સમકક્ષ સ્વરૂપોના કાયમીપણાના કાયદા પર પુનરાવર્તન કરીએ, અને જ્યારે તેને સીધા અને વિપરીત પ્રમાણના સ્વરૂપમાં વર્ણવવામાં આવે ત્યારે તેને ધ્યાનમાં લઈએ. "જે પણ સ્વરૂપ બીજગણિત રીતે બીજાની સમકક્ષ હોય, જ્યારે સામાન્ય પ્રતીકોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે, ત્યારે તે સાચું હોવું જોઈએ, તે પ્રતીકો ગમે તે સૂચવે". તેનાથી વિપરીત, જો આપણે અંકગણિત બીજગણિત અથવા અન્ય કોઈ ગૌણ વિજ્ઞાનમાં સમકક્ષ સ્વરૂપ શોધી કાઢીએ, જ્યારે પ્રતીકો સ્વરૂપમાં સામાન્ય હોવા છતાં તેમના સ્વભાવમાં વિશિષ્ટ હોય, ત્યારે તે સમાન સ્વરૂપ હોવું જોઈએ, જ્યારે પ્રતીકો તેમના સ્વભાવમાં તેમજ તેમના સ્વરૂપમાં સામાન્ય હોય. આ સિદ્ધાંતને પાછળથી હર્મન હેન્કેલ દ્વારા સુધારવામાં આવ્યો હતો અને જિયુસેપ પીનો, અર્ન્સ્ટ મેક, હર્મન શુબર્ટ, આલ્ફ્રેડ પ્રિંગશેમ અને અન્ય લોકો દ્વારા અપનાવવામાં આવ્યો હતો. એ ટ્રીટાઇઝ ઓફ આલ્જેબ્રા જેવા જ સમયગાળાની આસપાસ, ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચીએ કોર્સ ડી 'એનાલિસિસ પ્રકાશિત કર્યું હતું, જેમાં 18મી સદીના યુલર અને લાગ્રાન્જ જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતી દલીલની પદ્ધતિને વર્ણવવા (અને તેની ટીકા કરવા) માટે "બીજગણિતની વ્યાપકતા" શબ્દનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જે કાયમી સિદ્ધાંત જેવી જ હતી. શાશ્વતતાના સિદ્ધાંતનો એક મુખ્ય ઉપયોગ એ બતાવવાનો છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે ધરાવતું કાર્યાત્મક સમીકરણ જટિલ સંખ્યાઓ માટે પણ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે s, t ધરાવે છે. બે ચલોનાં વિધેયો માટે કાયમીપણાના સિદ્ધાંત દ્વારા, આ સૂચવે છે કે તે તમામ જટિલ સંખ્યાઓ માટે પણ ધરાવે છે. પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ માટે, સરવાળાની નીચેની વિનિમયશીલતાના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લોઃ બધા માટે, સરવાળાનો ડાબો-રદ્દ કરવાનો ગુણધર્મઃ જો, તો પછી, બધા માટે. બંને ગુણધર્મો તમામ પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક, પરિમેય, વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓ માટે છે. જો કે, જ્યારે જ્યોર્જ કેન્ટોરને અનુસરીને, કુદરતી સંખ્યાઓ અનંતથી આગળ વિસ્તૃત થાય છે, ત્યારે એવી કોઈ પ્રણાલીઓ જાણીતી નથી કે જે એક સાથે બંને ગુણધર્મોને સંતોષે. ક્રમિક અંકગણિતમાં, સરવાળો ડાબી બાજુથી રદ થતો હોય છે, પરંતુ હવે પરિવર્તનીય નથી. ઉદાહરણ તરીકે,. મુખ્ય અંકગણિતમાં, સરવાળો પરિવર્તનીય છે, પરંતુ હવે ડાબી બાજુથી રદ થતો નથી, કારણ કે જ્યારે પણ અથવા અનંત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરંતુ. તેથી બંને પ્રણાલીઓ કાયમીપણાના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે. સંદર્ભો ગણિતનો ઇતિહાસ