Stochastic process
સંભાવના સિદ્ધાંત અને સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં, સ્ટોકેસ્ટિક () અથવા રેન્ડમ પ્રક્રિયા એ એક ગાણિતિક પદાર્થ છે જેને સામાન્ય રીતે રેન્ડમ ચલોના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં ક્રમની અનુક્રમણિકામાં સમયનું અર્થઘટન હોય છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો વ્યાપકપણે પ્રણાલીઓ અને ઘટનાઓના ગાણિતિક નમૂનાઓ તરીકે ઉપયોગ થાય છે જે અવ્યવસ્થિત રીતે બદલાય છે. ઉદાહરણોમાં બેક્ટેરિયાની વસ્તીમાં વૃદ્ધિ, થર્મલ અવાજને કારણે વધઘટ થતો વિદ્યુત પ્રવાહ અથવા વાયુ અણુની હિલચાલનો સમાવેશ થાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ જીવવિજ્ઞાન, રસાયણશાસ્ત્ર, ઇકોલોજી, ન્યુરોસાયન્સ, ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇમેજ પ્રોસેસિંગ, સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ, કંટ્રોલ થિયરી, ઇન્ફર્મેશન થિયરી, કોમ્પ્યુટર સાયન્સ અને ટેલિકમ્યુનિકેશન્સ જેવી ઘણી શાખાઓમાં લાગુ પડે છે. વધુમાં, નાણાકીય બજારોમાં દેખીતી રીતે અવ્યવસ્થિત ફેરફારોએ નાણામાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના વ્યાપક ઉપયોગને પ્રેરિત કર્યો છે. એપ્લિકેશન્સ અને ઘટનાના અભ્યાસે બદલામાં નવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓની દરખાસ્તને પ્રેરિત કરી છે. આવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણોમાં વીનર પ્રક્રિયા અથવા બ્રાઉનીયન ગતિ પ્રક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે, જેનો ઉપયોગ લુઇસ બેચેલિયર દ્વારા પેરિસ બોર્સ પર કિંમતના ફેરફારોનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવે છે, અને પોઈસન પ્રક્રિયા, જેનો ઉપયોગ એ. કે. એર્લાંગ દ્વારા ચોક્કસ સમયગાળામાં થતા ફોન કૉલ્સની સંખ્યાનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવે છે. આ બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને કેન્દ્રિય માનવામાં આવે છે, અને વિવિધ સેટિંગ્સ અને દેશોમાં બેચેલિયર અને એર્લાંગ પહેલાં અને પછી બંનેમાં વારંવાર અને સ્વતંત્ર રીતે શોધ કરવામાં આવી હતી. રેન્ડમ ફંક્શન શબ્દનો ઉપયોગ સ્ટોકેસ્ટિક અથવા રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સંદર્ભિત કરવા માટે પણ થાય છે, કારણ કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને ફંક્શન સ્પેસમાં રેન્ડમ તત્વ તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અને રેન્ડમ પ્રક્રિયા શબ્દોનો ઉપયોગ એકબીજાના બદલે થાય છે, ઘણીવાર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સને અનુક્રમિત કરતા સમૂહ માટે કોઈ ચોક્કસ ગાણિતિક જગ્યા હોતી નથી. પરંતુ ઘણીવાર આ બે શબ્દોનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે રેન્ડમ ચલ પૂર્ણાંકો અથવા વાસ્તવિક રેખાના અંતરાલ દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે. જો રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ કાર્ટેશિયન પ્લેન અથવા અમુક ઉચ્ચ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે, તો રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના સંગ્રહને સામાન્ય રીતે તેના બદલે રેન્ડમ ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના મૂલ્યો હંમેશા સંખ્યાઓ હોતા નથી અને તે વેક્ટર અથવા અન્ય ગાણિતિક પદાર્થો હોઈ શકે છે. તેમના ગાણિતિક ગુણધર્મોના આધારે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓને વિવિધ વર્ગોમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જેમાં રેન્ડમ વોક, માર્ટિંગેલ્સ, માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ, લેવી પ્રક્રિયાઓ, ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ, રેન્ડમ ક્ષેત્રો, નવીકરણ પ્રક્રિયાઓ અને શાખા પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ ગાણિતિક જ્ઞાન અને સંભાવના, કલન, રેખીય બીજગણિત, સમૂહ સિદ્ધાંત અને ટોપોલોજીની તકનીકો તેમજ વાસ્તવિક વિશ્લેષણ, માપન સિદ્ધાંત, ફોરિયર વિશ્લેષણ અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ જેવી ગાણિતિક વિશ્લેષણની શાખાઓનો ઉપયોગ કરે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતને ગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ યોગદાન માનવામાં આવે છે અને તે સૈદ્ધાંતિક કારણો અને ઉપયોગો બંને માટે સંશોધનનો સક્રિય વિષય બની રહ્યો છે. પરિચય સ્ટોકેસ્ટિક અથવા રેન્ડમ પ્રક્રિયાને રેન્ડમ ચલોના સંગ્રહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે અમુક ગાણિતિક સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના દરેક રેન્ડમ ચલ સમૂહમાં એક તત્વ સાથે અનન્ય રીતે સંકળાયેલ છે. રેન્ડમ ચલને અનુક્રમિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સમૂહને અનુક્રમણિકા સમૂહ કહેવામાં આવે છે. ઐતિહાસિક રીતે, અનુક્રમણિકા સમૂહ વાસ્તવિક રેખાનો અમુક સબસેટ હતો, જેમ કે કુદરતી સંખ્યાઓ, જે અનુક્રમણિકા સમૂહને સમયનું અર્થઘટન આપે છે. સંગ્રહમાં દરેક રેન્ડમ ચલ એ જ ગાણિતિક અવકાશમાંથી મૂલ્યો લે છે જે સ્થિતિ અવકાશ તરીકે ઓળખાય છે. આ સ્થિતિ જગ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકો, વાસ્તવિક રેખા અથવા-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા હોઈ શકે છે. વૃદ્ધિ એ રકમ છે જે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા બે અનુક્રમણિકા મૂલ્યો વચ્ચે બદલાય છે, જેને ઘણીવાર સમયના બે બિંદુઓ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં તેની અવ્યવસ્થિતતાને કારણે ઘણા પરિણામો આવી શકે છે, અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના એક જ પરિણામને અન્ય નામોની સાથે, નમૂનાનું કાર્ય અથવા અનુભૂતિ કહેવામાં આવે છે. વર્ગીકરણ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને વિવિધ રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેની સ્થિતિ જગ્યા, તેના અનુક્રમણિકા સમૂહ અથવા રેન્ડમ ચલો વચ્ચેની નિર્ભરતા દ્વારા. વર્ગીકરણની એક સામાન્ય રીત અનુક્રમણિકા સમૂહ અને રાજ્ય જગ્યાની મુખ્યતા દ્વારા છે. જ્યારે સમય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, જો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના અનુક્રમણિકા સમૂહમાં તત્વોની મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર સંખ્યા હોય, જેમ કે સંખ્યાઓનો મર્યાદિત સમૂહ, પૂર્ણાંકોનો સમૂહ અથવા કુદરતી સંખ્યાઓ, તો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને અલગ સમયમાં હોવાનું કહેવાય છે. જો અનુક્રમણિકા સમૂહ વાસ્તવિક રેખાનું અમુક અંતરાલ હોય, તો સમય સતત હોવાનું કહેવાય છે. બે પ્રકારની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓને અનુક્રમે ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ અને કન્ટિન્યુઅસ-ટાઇમ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવો સરળ માનવામાં આવે છે કારણ કે સતત-સમયની પ્રક્રિયાઓને વધુ અદ્યતન ગાણિતિક તકનીકો અને જ્ઞાનની જરૂર પડે છે, ખાસ કરીને અનુક્રમણિકા સમૂહ અગણિત હોવાને કારણે. જો અનુક્રમણિકા સમૂહ પૂર્ણાંકો અથવા તેમનો અમુક સબસેટ હોય, તો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને રેન્ડમ ક્રમ પણ કહી શકાય. જો સ્ટેટ સ્પેસ પૂર્ણાંકો અથવા પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય, તો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને સ્વતંત્ર અથવા પૂર્ણાંક-મૂલ્યવાળી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. જો સ્ટેટ સ્પેસ વાસ્તવિક રેખા હોય, તો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને વાસ્તવિક મૂલ્યની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અથવા સતત સ્ટેટ સ્પેસ સાથેની પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો સ્થિતિ અવકાશ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ હોય, તો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને-પરિમાણીય વેક્ટર પ્રક્રિયા અથવા-વેક્ટર પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. અંગ્રેજીમાં સ્ટોકેસ્ટિક શબ્દનો મૂળ ઉપયોગ "અનુમાન સંબંધિત" વ્યાખ્યા સાથે વિશેષણ તરીકે થતો હતો, અને તે ગ્રીક શબ્દ પરથી આવ્યો છે જેનો અર્થ થાય છે "નિશાન, અનુમાન લગાવવું", અને ઓક્સફર્ડ અંગ્રેજી શબ્દકોશ વર્ષ 1662ને તેની પ્રારંભિક ઘટના તરીકે આપે છે. મૂળરૂપે 1713 માં લેટિનમાં પ્રકાશિત સંભાવના આર્સ કોન્જેક્ટેન્ડી પરના તેમના કાર્યમાં, જેકબ બર્નૌલીએ "આર્સ કોન્જેક્ટેન્ડી સિવ સ્ટોકેસ્ટિસ" શબ્દસમૂહનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જેનો અનુવાદ "અનુમાન લગાવવાની કળા અથવા સ્ટોકેસ્ટીક" માં કરવામાં આવ્યો છે. આ શબ્દસમૂહનો ઉપયોગ બર્નૌલીના સંદર્ભમાં લેડિસ્લોસ બોર્ટકીવિઝ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે 1917માં જર્મનમાં સ્ટોકેસ્ટિક શબ્દ રેન્ડમ અર્થ સાથે લખ્યો હતો. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા શબ્દ સૌપ્રથમ 1934માં જોસેફ ડૂબના પેપરમાં અંગ્રેજીમાં દેખાયો હતો. શબ્દ અને ચોક્કસ ગાણિતિક વ્યાખ્યા માટે, ડૂબે 1934ના અન્ય એક પેપરનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો, જેમાં જર્મનમાં સ્ટોકેસ્ટિશર પ્રોજેઝ શબ્દનો ઉપયોગ એલેક્ઝાન્ડર ખિંચિન દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જોકે જર્મન શબ્દનો ઉપયોગ અગાઉ કરવામાં આવ્યો હતો, ઉદાહરણ તરીકે, 1931માં એન્ડ્રેઈ કોલ્મોગોરોવ દ્વારા. ઓક્સફર્ડ ઇંગ્લિશ ડિક્શનરી અનુસાર, તેના વર્તમાન અર્થ સાથે અંગ્રેજીમાં રેન્ડમ શબ્દની પ્રારંભિક ઘટનાઓ, જે તક અથવા નસીબ સાથે સંબંધિત છે, તે 16મી સદીની છે, જ્યારે અગાઉ નોંધાયેલા ઉપયોગો 14મી સદીમાં એક સંજ્ઞા તરીકે શરૂ થયા હતા જેનો અર્થ થાય છે "આવેગ, મહાન ગતિ, બળ અથવા હિંસા (સવારી, દોડ, પ્રહાર વગેરેમાં)". આ શબ્દ પોતે મધ્ય ફ્રેન્ચ શબ્દ પરથી આવ્યો છે જેનો અર્થ થાય છે "ઝડપ, ઉતાવળ", અને તે કદાચ ફ્રેન્ચ ક્રિયાપદ પરથી આવ્યો છે જેનો અર્થ થાય છે "દોડવું" અથવા "ઉતાવળ કરવી". રેન્ડમ પ્રોસેસ શબ્દનો પ્રથમ લેખિત દેખાવ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની પૂર્વ-તારીખ ધરાવે છે, જેને ઓક્સફર્ડ ઇંગ્લિશ ડિક્શનરી પણ સમાનાર્થી તરીકે આપે છે, અને તેનો ઉપયોગ 1888 માં પ્રકાશિત થયેલા ફ્રાન્સિસ એજવર્થના એક લેખમાં કરવામાં આવ્યો હતો. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની વ્યાખ્યા અલગ અલગ હોય છે, પરંતુ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને પરંપરાગત રીતે અમુક સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત રેન્ડમ ચલોના સંગ્રહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયા અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા શબ્દોને સમાનાર્થી ગણવામાં આવે છે અને અનુક્રમણિકા સમૂહને ચોક્કસપણે નિર્દિષ્ટ કર્યા વિના, એકબીજાના બદલે ઉપયોગમાં લેવાય છે. "સંગ્રહ" અથવા "કુટુંબ" બંનેનો ઉપયોગ થાય છે જ્યારે "અનુક્રમણિકા સમૂહ" ને બદલે, કેટલીકવાર "પરિમાણ સમૂહ" અથવા "પરિમાણ જગ્યા" શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે. રેન્ડમ ફંક્શન શબ્દનો ઉપયોગ સ્ટોકેસ્ટિક અથવા રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સંદર્ભિત કરવા માટે પણ થાય છે, જોકે કેટલીકવાર તેનો ઉપયોગ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે. આ શબ્દનો ઉપયોગ ત્યારે પણ થાય છે જ્યારે અનુક્રમણિકા સમૂહો વાસ્તવિક રેખા સિવાયની ગાણિતિક જગ્યાઓ હોય, જ્યારે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અને રેન્ડમ પ્રક્રિયા શબ્દોનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ત્યારે થાય છે જ્યારે અનુક્રમણિકા સમૂહને સમય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, અને અન્ય શબ્દોનો ઉપયોગ રેન્ડમ ક્ષેત્ર જેવા થાય છે જ્યારે અનુક્રમણિકા સમૂહ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા અથવા મેનીફોલ્ડ હોય. સંકેતલિપી એ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને અન્ય રીતોની સાથે, દ્વારા, અથવા ફક્ત અથવા તરીકે સૂચવી શકાય છે, જો કે તેને કાર્ય સંકેતલિપીના દુરુપયોગ તરીકે ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અથવા અનુક્રમણિકા સાથે રેન્ડમ ચલનો સંદર્ભ આપવા માટે વપરાય છે, અને સમગ્ર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને નહીં. જો અનુક્રમણિકા સમૂહ હોય, તો પછી કોઈ લખી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને દર્શાવવા માટે. ઉદાહરણો બર્નૌલી પ્રક્રિયા સૌથી સરળ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓમાંની એક બર્નૌલી પ્રક્રિયા છે, જે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત (આઈ. આઈ. ડી.) રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ છે, જ્યાં દરેક રેન્ડમ ચલ એક અથવા શૂન્ય મૂલ્ય લે છે, જેમ કે સંભાવના સાથે એક અને સંભાવના સાથે શૂન્ય. આ પ્રક્રિયાને સિક્કાને વારંવાર ફેરવવા સાથે જોડી શકાય છે, જ્યાં હેડ મેળવવાની સંભાવના છે અને તેનું મૂલ્ય એક છે, જ્યારે પૂંછડીનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બર્નૌલી પ્રક્રિયા એ આઈ. આઈ. ડી. બર્નૌલી રેન્ડમ વેરિયેબલ્સનો ક્રમ છે, જ્યાં દરેક સિક્કાની ફેરબદલી બર્નૌલી ટ્રાયલનું ઉદાહરણ છે. રેન્ડમ વોક એ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ છે જેને સામાન્ય રીતે યુક્લિડિયન અવકાશમાં આઇ. આઇ. ડી. રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ અથવા રેન્ડમ વેક્ટર્સના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી તે એવી પ્રક્રિયાઓ છે જે અલગ સમયમાં બદલાય છે. પરંતુ કેટલાક લોકો આ શબ્દનો ઉપયોગ સતત બદલાતી પ્રક્રિયાઓને સંદર્ભિત કરવા માટે પણ કરે છે, ખાસ કરીને નાણામાં ઉપયોગમાં લેવાતી વીનર પ્રક્રિયા, જે થોડી મૂંઝવણ તરફ દોરી ગઈ છે, જેના પરિણામે તેની ટીકા થઈ છે. અન્ય વિવિધ પ્રકારનાં રેન્ડમ વોક છે, જેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી તેમની સ્થિતિ જગ્યાઓ અન્ય ગાણિતિક પદાર્થો હોઈ શકે, જેમ કે જાળી અને જૂથો, અને સામાન્ય રીતે તેઓનો ખૂબ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને વિવિધ શાખાઓમાં તેમની ઘણી એપ્લિકેશનો હોય છે. રેન્ડમ વોકનું ઉત્તમ ઉદાહરણ સરળ રેન્ડમ વોક તરીકે ઓળખાય છે, જે સ્ટેટ સ્પેસ તરીકે પૂર્ણાંકો સાથે સ્વતંત્ર સમયમાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે, અને તે બર્નૌલી પ્રક્રિયા પર આધારિત છે, જ્યાં દરેક બર્નૌલી ચલ ક્યાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક મૂલ્ય લે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સરળ રેન્ડમ વોક પૂર્ણાંકો પર થાય છે, અને તેનું મૂલ્ય સંભાવના સાથે એક વધે છે, કહો, અથવા સંભાવના સાથે એક ઘટે છે, તેથી આ રેન્ડમ વોકનો અનુક્રમણિકા સમૂહ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, જ્યારે તેની સ્થિતિ જગ્યા પૂર્ણાંકો છે. જો, આ રેન્ડમ વોકને સિમેટ્રિક રેન્ડમ વોક કહેવામાં આવે છે. વીનર પ્રક્રિયા વીનર પ્રક્રિયા એ સ્થિર અને સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ સાથેની એક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે જે સામાન્ય રીતે વૃદ્ધિના કદના આધારે વહેંચવામાં આવે છે. વીનર પ્રક્રિયાને નોર્બર્ટ વીનરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેના ગાણિતિક અસ્તિત્વને સાબિત કર્યું હતું, પરંતુ પ્રવાહીમાં બ્રાઉનિયન હિલચાલના નમૂના તરીકે તેના ઐતિહાસિક જોડાણને કારણે આ પ્રક્રિયાને બ્રાઉનિયન ગતિ પ્રક્રિયા અથવા માત્ર બ્રાઉનિયન ગતિ પણ કહેવામાં આવે છે. સંભાવનાના સિદ્ધાંતમાં કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવતી, વીનર પ્રક્રિયાને ઘણીવાર અન્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ સાથે જોડાણો સાથે સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને અભ્યાસ કરાયેલ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માનવામાં આવે છે. તેનો અનુક્રમણિકા સમૂહ અને સ્થિતિ અવકાશ અનુક્રમે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમાં સતત અનુક્રમણિકા સમૂહ અને સ્થિતિ અવકાશ બંને છે. પરંતુ પ્રક્રિયાને વધુ સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેથી તેની સ્થિતિ જગ્યા-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા હોઈ શકે. જો કોઈપણ વૃદ્ધિનો સરેરાશ શૂન્ય હોય, તો પરિણામી વીનર અથવા બ્રાઉનિયન ગતિ પ્રક્રિયામાં શૂન્ય પ્રવાહ હોવાનું કહેવાય છે. જો સમયના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે વૃદ્ધિનો સરેરાશ સમયના તફાવતને અમુક અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા બરાબર હોય, જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, તો પરિણામી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને ડ્રિફ્ટ કહેવાય છે. લગભગ ચોક્કસપણે, વીનર પ્રક્રિયાનો નમૂના માર્ગ દરેક જગ્યાએ સતત હોય છે પરંતુ ક્યાંય પણ તફાવત કરી શકાય તેમ નથી. તેને સરળ રેન્ડમ વોકનું સતત સંસ્કરણ ગણી શકાય. આ પ્રક્રિયા અન્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓની ગાણિતિક મર્યાદા તરીકે ઉદભવે છે જેમ કે અમુક રેન્ડમ વોકને ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, જે ડોન્સ્કરના પ્રમેય અથવા ઇનવેરિયન્સ સિદ્ધાંતનો વિષય છે, જેને કાર્યાત્મક કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. વીનર પ્રક્રિયા સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના કેટલાક મહત્વપૂર્ણ પરિવારોના સભ્ય છે, જેમાં માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ, લેવી પ્રક્રિયાઓ અને ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રક્રિયામાં ઘણા ઉપયોગો પણ છે અને તે સ્ટોકેસ્ટિક કલનમાં ઉપયોગમાં લેવાતી મુખ્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે. તે માત્રાત્મક નાણામાં કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવે છે, જ્યાં તેનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, બ્લેક-સ્કોલ્સ-મર્ટન મોડેલમાં. આ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ વિવિધ ક્ષેત્રોમાં પણ થાય છે, જેમાં મોટાભાગના કુદરતી વિજ્ઞાન તેમજ સામાજિક વિજ્ઞાનની કેટલીક શાખાઓનો સમાવેશ થાય છે, જે વિવિધ અવ્યવસ્થિત ઘટના માટે ગાણિતિક નમૂના છે. પોઈસન પ્રક્રિયા પોઈસન પ્રક્રિયા એક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે જે વિવિધ સ્વરૂપો અને વ્યાખ્યાઓ ધરાવે છે. તેને ગણતરીની પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે એક અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા છે જે અમુક સમય સુધી બિંદુઓ અથવા ઘટનાઓની અનિયમિત સંખ્યાને રજૂ કરે છે. પ્રક્રિયાના બિંદુઓની સંખ્યા કે જે શૂન્યથી અમુક આપેલ સમય સુધીના અંતરાલમાં સ્થિત છે તે પોઈસન રેન્ડમ ચલ છે જે તે સમય અને કેટલાક પરિમાણો પર આધારિત છે. આ પ્રક્રિયામાં તેની સ્થિતિ જગ્યા તરીકે કુદરતી સંખ્યાઓ અને તેના અનુક્રમણિકા સમૂહ તરીકે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોય છે. આ પ્રક્રિયાને પોઈસન ગણતરી પ્રક્રિયા પણ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેને ગણતરી પ્રક્રિયાના ઉદાહરણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. જો પોઈસન પ્રક્રિયાને એક જ હકારાત્મક અચળાંક સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો આ પ્રક્રિયાને સજાતીય પોઈસન પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. સજાતીય પોઈસન પ્રક્રિયા એ માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને લેવી પ્રક્રિયાઓ જેવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના મહત્વપૂર્ણ વર્ગોનું સભ્ય છે. સજાતીય પોઈસન પ્રક્રિયાને અલગ અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત અને સામાન્ય કરી શકાય છે. તેને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે તેનો અનુક્રમણિકા સમૂહ વાસ્તવિક રેખા છે, અને આ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને સ્થિર પોઈસન પ્રક્રિયા પણ કહેવામાં આવે છે. જો પોઈસન પ્રક્રિયાના પરિમાણ અચળાંકને કેટલાક બિન-નકારાત્મક સંકલિત કાર્ય સાથે બદલવામાં આવે, તો પરિણામી પ્રક્રિયાને અસમરૂપ અથવા અસમરૂપ પોઈસન પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રક્રિયાના બિંદુઓની સરેરાશ ઘનતા હવે સ્થિર નથી. કતાર સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત પ્રક્રિયા તરીકે સેવા આપતા, પોઈસન પ્રક્રિયા એ ગાણિતિક નમૂનાઓ માટે એક મહત્વપૂર્ણ પ્રક્રિયા છે, જ્યાં તે ચોક્કસ સમયની બારીઓમાં અવ્યવસ્થિત રીતે બનતી ઘટનાઓના નમૂનાઓ માટે કાર્યક્રમો શોધે છે. વાસ્તવિક રેખા પર વ્યાખ્યાયિત, પોઈસન પ્રક્રિયાને અન્ય અવ્યવસ્થિત પદાર્થો વચ્ચે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. પરંતુ પછી તેને-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા અથવા અન્ય ગાણિતિક જગ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં તેને ઘણીવાર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને બદલે રેન્ડમ સેટ અથવા રેન્ડમ ગણતરી માપ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. આ સેટિંગમાં, પોઈસન પ્રક્રિયા, જેને પોઈસન બિંદુ પ્રક્રિયા પણ કહેવામાં આવે છે, તે એપ્લિકેશન્સ અને સૈદ્ધાંતિક કારણો બંને માટે સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ પદાર્થોમાંનું એક છે. પરંતુ એવું નોંધવામાં આવ્યું છે કે પોઈસન પ્રક્રિયાને એટલું ધ્યાન મળતું નથી જેટલું તેને મળવું જોઈએ, અંશતઃ કારણ કે તેને ઘણીવાર માત્ર વાસ્તવિક રેખા પર ગણવામાં આવે છે, અને અન્ય ગાણિતિક જગ્યાઓ પર નહીં. વ્યાખ્યાઓ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને સામાન્ય સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના સંગ્રહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં એક નમૂનાની જગ્યા છે, એક-બીજગણિત છે, અને સંભાવના માપ છે; અને કેટલાક સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત રેન્ડમ ચલો, બધા સમાન ગાણિતિક જગ્યામાં મૂલ્યો લે છે, જે કેટલાક-બીજગણિતના સંદર્ભમાં માપી શકાય તેવા હોવા જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપેલ સંભાવના જગ્યા અને માપી શકાય તેવી જગ્યા માટે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા એ-મૂલ્યવાન રેન્ડમ ચલોનો સંગ્રહ છે, જેને આ રીતે લખી શકાય છેઃ ઐતિહાસિક રીતે, કુદરતી વિજ્ઞાનની ઘણી સમસ્યાઓમાં એક બિંદુ સમયનો અર્થ ધરાવતો હતો, તેથી તે સમયે અવલોકન કરેલા મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો રેન્ડમ ચલ છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને એ પ્રતિબિંબિત કરવા માટે પણ લખી શકાય છે કે તે વાસ્તવમાં બે ચલોનું કાર્ય છે, અને. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લેવાની અન્ય રીતો છે, જેમાં ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાને પરંપરાગત ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને-વેલ્યુડ રેન્ડમ વેરિયેબલ તરીકે અર્થઘટન અથવા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં સેટમાંથી અવકાશમાં તમામ સંભવિત કાર્યોની જગ્યા છે. જો કે સામાન્ય રીતે "ફંક્શન-વેલ્યુડ રેન્ડમ વેરિયેબલ" તરીકેની આ વૈકલ્પિક વ્યાખ્યામાં વધારાની નિયમિત ધારણાઓને સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. અનુક્રમણિકા સમૂહ આ સમૂહને અનુક્રમણિકા સમૂહ અથવા સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનો પરિમાણ સમૂહ કહેવામાં આવે છે. ઘણીવાર આ સમૂહ વાસ્તવિક રેખાનો અમુક સબસેટ હોય છે, જેમ કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અથવા અંતરાલ, જે સમૂહને સમયનું અર્થઘટન આપે છે. આ સમૂહો ઉપરાંત, અનુક્રમણિકા સમૂહ કુલ ક્રમ અથવા વધુ સામાન્ય સમૂહ સાથેનો અન્ય સમૂહ હોઈ શકે છે, જેમ કે કાર્ટેશિયન સમતલ અથવા-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ, જ્યાં એક તત્વ અવકાશમાં બિંદુને રજૂ કરી શકે છે. તેણે કહ્યું હતું કે, ઘણા પરિણામો અને પ્રમેયો માત્ર સંપૂર્ણ ક્રમબદ્ધ અનુક્રમણિકા સમૂહ સાથે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે જ શક્ય છે. સ્ટેટ સ્પેસ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની ગાણિતિક જગ્યાને તેની સ્ટેટ સ્પેસ કહેવામાં આવે છે. આ ગાણિતિક અવકાશને પૂર્ણાંકો, વાસ્તવિક રેખાઓ,-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાઓ, જટિલ સપાટીઓ અથવા વધુ અમૂર્ત ગાણિતિક જગ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સ્ટેટ સ્પેસ એ તત્વોનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા લઈ શકે તેવા વિવિધ મૂલ્યોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. નમૂનાનું કાર્ય એક નમૂનાનું કાર્ય એ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનું એક જ પરિણામ છે, તેથી તે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના દરેક રેન્ડમ ચલનું એક શક્ય મૂલ્ય લઈને રચાય છે. વધુ ચોક્કસપણે, જો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા હોય, તો કોઈપણ બિંદુ માટે, મેપિંગને નમૂનાનું કાર્ય, અનુભૂતિ અથવા, ખાસ કરીને જ્યારે સમય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનો નમૂનાનો માર્ગ કહેવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે નિશ્ચિત માટે, એક નમૂનાનું કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે જે અનુક્રમણિકા સમૂહને સ્થિતિ અવકાશમાં મેપ કરે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના નમૂનાના કાર્ય માટેના અન્ય નામોમાં માર્ગ, પાથ ફંક્શન અથવા પાથનો સમાવેશ થાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં વધારો એ સમાન સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના બે અવ્યવસ્થિત ચલ વચ્ચેનો તફાવત છે. અનુક્રમણિકા સમૂહ સાથેની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે કે જેને સમય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, વૃદ્ધિ એ છે કે ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા કેટલી બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સ્ટેટ સ્પેસ અને ઇન્ડેક્સ સેટ સાથેની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા હોય, તો પછી કોઈપણ બે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે અને જેમ કે, તફાવત એ-વેલ્યુડ રેન્ડમ વેરિયેબલ છે જે વૃદ્ધિ તરીકે ઓળખાય છે. જ્યારે વૃદ્ધિમાં રસ હોય ત્યારે, ઘણીવાર સ્થિતિ જગ્યા એ વાસ્તવિક રેખા અથવા કુદરતી સંખ્યાઓ હોય છે, પરંતુ તે-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા અથવા બનાચ જગ્યાઓ જેવી વધુ અમૂર્ત જગ્યાઓ હોઈ શકે છે. વધુ વ્યાખ્યાઓ કાયદો સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના કાયદાને છબી માપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં સંભાવના માપ છે, પ્રતીક કાર્ય રચનાને સૂચવે છે અને માપી શકાય તેવા કાર્યની પૂર્વ-છબી છે અથવા, સમકક્ષ રીતે,-મૂલ્યવાન રેન્ડમ ચલ, જ્યાં તમામ સંભવિત-મૂલ્યવાન કાર્યોની જગ્યા છે, તેથી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનો કાયદો સંભાવના માપ છે. ના માપી શકાય તેવા સબસેટ માટે, ની પૂર્વ-છબી આપે છે જેથી a નો નિયમ આ રીતે લખી શકાયઃ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અથવા રેન્ડમ વેરિયેબલનો નિયમ પણ સંભાવના કાયદો, સંભાવના વિતરણ અથવા વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે. મર્યાદિત-પરિમાણીય સંભાવના વિતરણ કાયદા સાથેની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે, તેના મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આ માપ રેન્ડમ વેક્ટરનું સંયુક્ત વિતરણ છે; તેને કાયદાના મર્યાદિત સબસેટ પરના "પ્રક્ષેપણ" તરીકે જોઈ શકાય છે. - ગણો કાર્ટેશિયન શક્તિના કોઈપણ માપી શકાય તેવા સબસેટ માટે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણોને આ રીતે લખી શકાય છેઃ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો સુસંગતતા શરતો તરીકે ઓળખાતી બે ગાણિતિક શરતોને સંતોષે છે. સ્થિરતા એ એક ગાણિતિક ગુણધર્મ છે જે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં હોય છે જ્યારે તે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના તમામ રેન્ડમ ચલો સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સ્થિર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા હોય, તો કોઈપણ રેન્ડમ વેરિયેબલ માટે સમાન વિતરણ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે અનુક્રમણિકા સમૂહ મૂલ્યોના કોઈપણ સમૂહ માટે, અનુરૂપ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ બધામાં સમાન સંભાવના વિતરણ હોય છે. સ્થિર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના અનુક્રમણિકા સમૂહને સામાન્ય રીતે સમય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, તેથી તે પૂર્ણાંકો અથવા વાસ્તવિક રેખા હોઈ શકે છે. પરંતુ સ્થિરતાનો ખ્યાલ બિંદુ પ્રક્રિયાઓ અને અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્રો માટે પણ અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં અનુક્રમણિકા સમૂહને સમય તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવતું નથી. જ્યારે અનુક્રમણિકા સમૂહને સમય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, ત્યારે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો તેના મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો સમયના અનુવાદ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય. આ પ્રકારની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ ભૌતિક પ્રણાલીનું વર્ણન કરવા માટે થઈ શકે છે જે સ્થિર સ્થિતિમાં હોય છે, પરંતુ હજુ પણ અનિયમિત વધઘટનો અનુભવ કરે છે. સ્થિરતા પાછળનો અંતઃપ્રેરણા એ છે કે જેમ જેમ સમય પસાર થાય છે તેમ તેમ સ્થિર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનું વિતરણ સમાન રહે છે. રેન્ડમ વેરિયેબલ્સનો ક્રમ સ્થિર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા ત્યારે જ બનાવે છે જ્યારે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે. સ્થિરતાની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા સાથેની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને કેટલીકવાર સખત રીતે સ્થિર હોવાનું કહેવાય છે, પરંતુ સ્થિરતાના અન્ય સ્વરૂપો પણ છે. એક ઉદાહરણ એ છે કે જ્યારે ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ અથવા કન્ટિન્યુઅસ-ટાઇમ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર કહેવામાં આવે છે, ત્યારે આ પ્રક્રિયામાં બધા માટે મર્યાદિત બીજી ક્ષણ હોય છે અને બે રેન્ડમ ચલોનું સહપ્રસરણ હોય છે અને તે ફક્ત બધા માટે સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. ખિંચિને વ્યાપક અર્થમાં સ્થિરતાની સંબંધિત વિભાવના રજૂ કરી, જેમાં વ્યાપક અર્થમાં સહપ્રસરણ સ્થિરતા અથવા સ્થિરતા સહિત અન્ય નામો છે. ગાળણ એ કેટલીક સંભાવના જગ્યા અને અનુક્રમણિકા સમૂહના સંબંધમાં વ્યાખ્યાયિત સિગ્મા-આલ્જેબ્રાનો વધતો ક્રમ છે જે અમુક કુલ ક્રમ સંબંધ ધરાવે છે, જેમ કે અનુક્રમણિકા સમૂહ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અમુક સબસેટ હોવાના કિસ્સામાં. વધુ ઔપચારિક રીતે, જો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં કુલ ક્રમ સાથે અનુક્રમણિકા સમૂહ હોય, તો સંભાવના જગ્યા પર ગાળણ એ સિગ્મા-આલ્જેબ્રાનો પરિવાર છે જેમ કે બધા માટે, જ્યાં અને અનુક્રમણિકા સમૂહના કુલ ક્રમને સૂચવે છે. ગાળણની વિભાવના સાથે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં સમાવિષ્ટ માહિતીની માત્રાનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે, જેને સમય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ગાળણ પાછળની અંતઃપ્રેરણા એ છે કે જેમ જેમ સમય પસાર થાય છે તેમ તેમ તેના વિશે વધુને વધુ માહિતી જાણીતી અથવા ઉપલબ્ધ હોય છે, જે તેમાં કેદ થાય છે, પરિણામે તેના વધુ સારા અને વધુ સારા પાર્ટીશનો થાય છે. ફેરફાર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં ફેરફાર એ અન્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે, જે મૂળ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, એક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા કે જે સમાન અનુક્રમણિકા સમૂહ, સ્થિતિ જગ્યા અને અન્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા તરીકે સંભાવના જગ્યા ધરાવે છે તે નીચે આપેલા તમામ ધારણો માટે જો નો ફેરફાર હોવાનું કહેવાય છે. બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ કે જે એકબીજાના ફેરફારો છે તે સમાન મર્યાદિત-પરિમાણીય કાયદો ધરાવે છે અને તેઓ સ્ટોકેસ્ટિકલી સમકક્ષ અથવા સમકક્ષ હોવાનું કહેવાય છે. ફેરફારને બદલે, સંસ્કરણ શબ્દનો પણ ઉપયોગ થાય છે, જો કે કેટલાક લેખકો સંસ્કરણ શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે જ્યારે બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓમાં સમાન મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણ હોય છે, પરંતુ તેમને વિવિધ સંભાવના જગ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, તેથી બે પ્રક્રિયાઓ કે જે એકબીજાના ફેરફારો છે, તે પણ એકબીજાની આવૃત્તિઓ છે, પછીના અર્થમાં, પરંતુ વિપરીત નહીં. જો સતત-સમયની વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા તેની વૃદ્ધિ પર ચોક્કસ ક્ષણની શરતોને પૂર્ણ કરે છે, તો કોલ્મોગોરોવ સાતત્ય પ્રમેય કહે છે કે આ પ્રક્રિયામાં ફેરફાર અસ્તિત્વમાં છે જે સંભાવના એક સાથે સતત નમૂનાના માર્ગો ધરાવે છે, તેથી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં સતત ફેરફાર અથવા સંસ્કરણ હોય છે. આ પ્રમેયને રેન્ડમ ક્ષેત્રોમાં પણ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે જેથી અનુક્રમણિકા સમૂહ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા તેમજ મેટ્રિક જગ્યાઓ સાથેની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે તેમની સ્થિતિ જગ્યાઓ તરીકે હોય. અવિભાજ્ય બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ અને સમાન ઇન્ડેક્સ સેટ અને સેટ સ્પેસ સાથે સમાન સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તેને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે. જો બે અને એકબીજાના ફેરફારો છે અને લગભગ ચોક્કસપણે સતત છે, તો પછી અને અવિભાજ્ય છે. અલગતા એ સંભાવના માપના સંબંધમાં તેના અનુક્રમણિકા સમૂહના આધારે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનો ગુણધર્મ છે. ગુણધર્મ ધારવામાં આવે છે જેથી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના વિધેયો અથવા અગણિત અનુક્રમણિકા સમૂહો સાથે રેન્ડમ ક્ષેત્રો રેન્ડમ ચલ બનાવી શકે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને અલગ કરી શકાય તે માટે, અન્ય શરતો ઉપરાંત, તેનો અનુક્રમણિકા સમૂહ અલગ કરી શકાય તેવી જગ્યા હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે અનુક્રમણિકા સમૂહમાં ગાઢ ગણતરીપાત્ર સબસેટ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, સંભાવના જગ્યા સાથે વાસ્તવિક મૂલ્યની સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અલગ કરી શકાય છે જો તેના અનુક્રમણિકા સમૂહમાં ગાઢ ગણતરીપાત્ર સબસેટ હોય અને સંભાવના શૂન્યનો સમૂહ હોય, જેથી, દરેક ખુલ્લા સમૂહ અને દરેક બંધ સમૂહ માટે, બે ઘટનાઓ અને તેના સબસેટ પર એકબીજાથી અલગ હોય. વિભાજનક્ષમતાની વ્યાખ્યા અન્ય અનુક્રમણિકા સમૂહો અને સ્થિતિ જગ્યાઓ માટે પણ કહી શકાય, જેમ કે રેન્ડમ ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં, જ્યાં અનુક્રમણિકા સમૂહ તેમજ સ્થિતિ જગ્યા-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા હોઈ શકે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની અલગ પાડવાની વિભાવના જોસેફ ડૂબ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. વિભાજનશીલતાનો અંતર્ગત વિચાર એ છે કે અનુક્રમણિકા સમૂહના બિંદુઓનો ગણતરીપાત્ર સમૂહ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના ગુણધર્મો નક્કી કરે. ગણતરીપાત્ર અનુક્રમણિકા સમૂહ સાથેની કોઈપણ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા પહેલેથી જ અલગ કરવાની શરતોને પૂર્ણ કરે છે, તેથી અલગ-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ હંમેશા અલગ કરી શકાય તેવી હોય છે. ડૂબ દ્વારા એક પ્રમેય, જેને કેટલીકવાર ડૂબના વિભાજન સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે કહે છે કે કોઈપણ વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં અલગ કરી શકાય તેવો ફેરફાર હોય છે. આ પ્રમેયની આવૃત્તિઓ વાસ્તવિક રેખા સિવાયના અનુક્રમણિકા સમૂહો અને સ્થિતિ જગ્યાઓ સાથે વધુ સામાન્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સ્વતંત્રતા બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ અને સમાન અનુક્રમણિકા સમૂહ સાથે સમાન સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જો બધા માટે અને યુગની દરેક પસંદગી માટે, રેન્ડમ વેક્ટર અને સ્વતંત્ર હોય તો તે સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે. અસંબદ્ધતા બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ અને જો તેમની ક્રોસ-કોવેરિયન્સ બધા સમય માટે શૂન્ય હોય તો તેને અસંબદ્ધ કહેવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતેઃ સ્વતંત્રતા એ અસંબંધિતતા સૂચવે છે જો બે અસંસ્કારી પ્રક્રિયાઓ અને સ્વતંત્ર હોય, તો તે પણ અસંબંધિત હોય છે. ઓર્થોગોનાલિટી બે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ અને જો તેમનો આંતરસંબંધ બધા સમય માટે શૂન્ય હોય તો તેને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતેઃ સ્કોરોખોડ અવકાશ, જેને સ્કોરોહોડ અવકાશ તરીકે પણ લખવામાં આવે છે, તે તમામ વિધેયોની ગાણિતિક જગ્યા છે જે ડાબી મર્યાદા સાથે જમણી-સતત હોય છે, જે વાસ્તવિક રેખાના અમુક અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થાય છે જેમ કે અથવા, અને વાસ્તવિક રેખા પર અથવા અમુક મેટ્રિક જગ્યા પર મૂલ્યો લે છે. આવા વિધેયોને કેડ્લેગ અથવા કેડ્લેગ વિધેયો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે ફ્રેન્ચ શબ્દસમૂહ કન્ટિન્યુ એ ડ્રોઇટ, લિમીટ એ ગૌચેના ટૂંકાક્ષર પર આધારિત છે. એનાટોલી સ્કોરોખોડ દ્વારા રજૂ કરાયેલ સ્કોરોખોડ ફંક્શન સ્પેસને ઘણીવાર અક્ષર સાથે દર્શાવવામાં આવે છે, તેથી ફંક્શન સ્પેસને સ્પેસ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. આ ફંક્શન જગ્યાના સંકેતલિપીમાં તે અંતરાલનો પણ સમાવેશ થઈ શકે છે જેના પર તમામ સી. એ. ડી. એલ. એ. જી. કાર્યો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, એકમ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત સી. એ. ડી. એલ. એ. જી. કાર્યોની જગ્યાને સૂચવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં સ્કોરોખોડ ફંક્શન સ્પેસનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે ઘણીવાર ધારવામાં આવે છે કે સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના નમૂના કાર્યો સ્કોરોખોડ સ્પેસના છે. આવી જગ્યાઓ સતત કાર્યો ધરાવે છે, જે વીનર પ્રક્રિયાના નમૂના કાર્યોને અનુરૂપ હોય છે. પરંતુ અવકાશમાં વિસંગતતાઓ સાથેના કાર્યો પણ છે, જેનો અર્થ છે કે કૂદકા સાથે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના નમૂના કાર્યો, જેમ કે પોઈસન પ્રક્રિયા (વાસ્તવિક રેખા પર), પણ આ અવકાશના સભ્યો છે. નિયમિતતા સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક નિર્માણના સંદર્ભમાં, નિયમિતતા શબ્દનો ઉપયોગ સંભવિત બાંધકામના મુદ્દાઓને ઉકેલવા માટે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે ચોક્કસ શરતોની ચર્ચા કરતી વખતે અને ધારણ કરતી વખતે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અગણિત અનુક્રમણિકા સમૂહો સાથે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અમુક પ્રકારની નિયમિતતાનું પાલન કરે છે જેમ કે નમૂનાના કાર્યો સતત હોય છે. વધુ ઉદાહરણો માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને સાંકળો માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ છે, પરંપરાગત રીતે અલગ અથવા સતત સમયમાં, જેમાં માર્કોવ ગુણધર્મ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે માર્કોવ પ્રક્રિયાનું આગલું મૂલ્ય વર્તમાન મૂલ્ય પર આધારિત છે, પરંતુ તે શરતી રીતે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના અગાઉના મૂલ્યોથી સ્વતંત્ર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રક્રિયાની વર્તમાન સ્થિતિને ધ્યાનમાં રાખીને, ભવિષ્યમાં પ્રક્રિયાની વર્તણૂક ભૂતકાળમાં તેની વર્તણૂકથી સ્વતંત્ર છે. બ્રાઉનિયન ગતિ પ્રક્રિયા અને પોઈસન પ્રક્રિયા (એક પરિમાણમાં) બંને સતત સમયમાં માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણો છે, જ્યારે પૂર્ણાંકો પર રેન્ડમ વોક અને જુગારીની વિનાશ સમસ્યા એ અલગ સમયમાં માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણો છે. માર્કોવ સાંકળ એ માર્કોવ પ્રક્રિયાનો એક પ્રકાર છે જેમાં કાં તો અલગ સ્થિતિ અવકાશ અથવા અલગ અનુક્રમણિકા સમૂહ (ઘણીવાર સમયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે) હોય છે, પરંતુ માર્કોવ સાંકળની ચોક્કસ વ્યાખ્યા બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, માર્કોવ સાંકળને ગણતરીપાત્ર સ્થિતિ અવકાશ સાથે (આમ સમયની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના) અલગ અથવા સતત સમયમાં માર્કોવ પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવી સામાન્ય છે, પરંતુ માર્કોવ સાંકળને ગણતરીપાત્ર અથવા સતત સ્થિતિ અવકાશમાં અલગ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવી પણ સામાન્ય છે (આમ સ્થિતિ અવકાશને ધ્યાનમાં લીધા વિના). એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે જોસેફ ડુબ અને કાઈ લાઈ ચુંગ જેવા સંશોધકો દ્વારા બીજી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હોવા છતાં, માર્કોવ સાંકળની પ્રથમ વ્યાખ્યા, જ્યાં તેનો અલગ સમય હોય છે, હવે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે અને ઘણા ક્ષેત્રોમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ માર્કોવ સાંકળ મોન્ટે કાર્લો તરીકે ઓળખાતી સામાન્ય સ્ટોકેસ્ટિક સિમ્યુલેશન પદ્ધતિનો આધાર છે, જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ સંભાવના વિતરણ સાથે રેન્ડમ ઓબ્જેક્ટ્સનું અનુકરણ કરવા માટે થાય છે, અને તેનો ઉપયોગ બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રમાં જોવા મળે છે. માર્કોવ મિલકતની વિભાવના મૂળરૂપે સતત અને સ્વતંત્ર સમયમાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે હતી, પરંતુ મિલકતને-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા જેવા અન્ય અનુક્રમણિકા સમૂહો માટે સ્વીકારવામાં આવી છે, જે માર્કોવ રેન્ડમ ક્ષેત્રો તરીકે ઓળખાતા રેન્ડમ ચલોના સંગ્રહમાં પરિણમે છે. માર્ટિંગેલ એ એક અલગ-સમય અથવા સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે, જેમાં દરેક ક્ષણે, વર્તમાન મૂલ્ય અને પ્રક્રિયાના તમામ ભૂતકાળના મૂલ્યોને જોતાં, દરેક ભાવિ મૂલ્યની શરતી અપેક્ષા વર્તમાન મૂલ્યની બરાબર હોય છે. સ્વતંત્ર સમયમાં, જો આ ગુણધર્મ આગામી મૂલ્ય માટે ધરાવે છે, તો તે ભવિષ્યના તમામ મૂલ્યો માટે ધરાવે છે. માર્ટિંગેલની ચોક્કસ ગાણિતિક વ્યાખ્યામાં ગાળણની ગાણિતિક વિભાવના સાથે જોડાયેલી અન્ય બે શરતોની જરૂર પડે છે, જે સમય જતાં ઉપલબ્ધ માહિતીને વધારવાની અંતઃપ્રેરણા સાથે સંબંધિત છે. માર્ટિંગેલ્સને સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેઓ જટિલ-મૂલ્યવાન અથવા વધુ સામાન્ય પણ હોઈ શકે છે. સપ્રમાણ રેન્ડમ વોક અને વીનર પ્રક્રિયા (શૂન્ય પ્રવાહ સાથે) બંને અનુક્રમે, સ્વતંત્ર અને સતત સમયમાં માર્ટીંગેલ્સના ઉદાહરણો છે. શૂન્ય સરેરાશ સાથે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ક્રમ માટે, ક્રમિક આંશિક રકમમાંથી રચાયેલી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા એક અલગ-સમય માર્ટીંગેલ છે. આ પાસામાં, ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ માર્ટિન્ગલ્સ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના આંશિક સરવાળાના વિચારને સામાન્ય બનાવે છે. માર્ટિંગેલ્સને કેટલાક યોગ્ય પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓમાંથી પણ બનાવી શકાય છે, જે સજાતીય પોઈસન પ્રક્રિયા (વાસ્તવિક રેખા પર) માટે છે, જે વળતર પોઈસન પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખાતી માર્ટિંગેલમાં પરિણમે છે. માર્ટિંગેલ્સ અન્ય માર્ટિંગેલ્સમાંથી પણ બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, માર્ટિંગેલ-વીનર પ્રક્રિયા પર આધારિત માર્ટિંગેલ્સ છે, જે સતત-સમયના માર્ટિંગેલ્સ બનાવે છે. માર્ટિંગેલ્સ ગાણિતિક રીતે વાજબી રમતના વિચારને ઔપચારિક બનાવે છે, અને તે મૂળરૂપે તે બતાવવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યા હતા કે વાજબી રમત જીતવી શક્ય નથી. પરંતુ હવે તેઓ સંભાવનાના ઘણા ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે, જે તેમના અભ્યાસના મુખ્ય કારણોમાંનું એક છે. સંભવિતતામાં ઘણી સમસ્યાઓ સમસ્યામાં માર્ટીંગેલ શોધીને અને તેનો અભ્યાસ કરીને હલ કરવામાં આવી છે. માર્ટિંગેલ્સ તેમની ક્ષણો પર કેટલીક શરતોને ધ્યાનમાં રાખીને કન્વર્જ થશે, તેથી મોટે ભાગે માર્ટિંગેલ કન્વર્જન્સ થીયરમ્સને કારણે તેનો ઉપયોગ કન્વર્જન્સ પરિણામો મેળવવા માટે થાય છે. માર્ટિંગેલ્સના આંકડાશાસ્ત્રમાં ઘણા ઉપયોગો છે, પરંતુ એવું નોંધવામાં આવ્યું છે કે તેનો ઉપયોગ અને ઉપયોગ એટલો વ્યાપક નથી જેટલો તે આંકડાશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં હોઈ શકે, ખાસ કરીને આંકડાકીય અનુમાનમાં. તેમને સંભાવના સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રો જેમ કે કતાર સિદ્ધાંત અને પામ કલન અને અર્થશાસ્ત્ર અને નાણા જેવા અન્ય ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગો મળ્યા છે. લેવી પ્રક્રિયા લેવી પ્રક્રિયાઓ એ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના પ્રકારો છે જેને સતત સમયમાં રેન્ડમ વોકના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણી શકાય. આ પ્રક્રિયાઓ ફાઇનાન્સ, ફ્લુઇડ મિકેનિક્સ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાન જેવા ક્ષેત્રોમાં ઘણી ઉપયોગીતા ધરાવે છે. આ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતાઓ તેમની સ્થિરતા અને સ્વતંત્ર ગુણધર્મો છે, તેથી તેઓ સ્થિર અને સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ સાથેની પ્રક્રિયાઓ તરીકે ઓળખાતા હતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા એ લેવી પ્રક્રિયા છે જો બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે, અનુરૂપ વૃદ્ધિઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોય અને દરેક વૃદ્ધિનું વિતરણ માત્ર સમયના તફાવત પર આધારિત હોય. લેવી પ્રક્રિયાને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે તેની સ્થિતિ જગ્યા એ અમુક અમૂર્ત ગાણિતિક જગ્યા છે, જેમ કે બનાચ જગ્યા, પરંતુ પ્રક્રિયાઓને ઘણીવાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી તેઓ યુક્લિડિયન જગ્યામાં મૂલ્યો લે. અનુક્રમણિકા સમૂહ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, તેથી, જે સમયનું અર્થઘટન આપે છે. મહત્વપૂર્ણ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ જેમ કે વીનર પ્રક્રિયા, સજાતીય પોઈસન પ્રક્રિયા (એક પરિમાણમાં) અને ગૌણ પ્રક્રિયાઓ એ તમામ લેવી પ્રક્રિયાઓ છે. રેન્ડમ ફિલ્ડ એ-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન સ્પેસ અથવા અમુક મેનીફોલ્ડ દ્વારા અનુક્રમિત રેન્ડમ વેરિયેબલનો સંગ્રહ છે. સામાન્ય રીતે, રેન્ડમ ક્ષેત્રને સ્ટોકેસ્ટિક અથવા રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ ગણી શકાય, જ્યાં અનુક્રમણિકા સમૂહ વાસ્તવિક રેખાનો સબસેટ હોવો જરૂરી નથી. પરંતુ એક પરંપરા છે કે જ્યારે અનુક્રમણિકામાં બે અથવા વધુ પરિમાણો હોય ત્યારે રેન્ડમ વેરિયેબલના અનુક્રમિત સંગ્રહને રેન્ડમ ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. જો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની ચોક્કસ વ્યાખ્યામાં અનુક્રમણિકા સમૂહને વાસ્તવિક રેખાના સબસેટની જરૂર હોય, તો પછી રેન્ડમ ક્ષેત્રને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણી શકાય. બિંદુ પ્રક્રિયા એ વાસ્તવિક રેખા,-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા અથવા વધુ અમૂર્ત જગ્યાઓ જેવી અમુક ગાણિતિક જગ્યા પર અવ્યવસ્થિત રીતે સ્થિત બિંદુઓનો સંગ્રહ છે. કેટલીકવાર બિંદુ પ્રક્રિયા શબ્દને પસંદ કરવામાં આવતો નથી, કારણ કે ઐતિહાસિક રીતે શબ્દ પ્રક્રિયા સમયની કેટલીક પ્રણાલીની ઉત્ક્રાંતિને સૂચવે છે, તેથી બિંદુ પ્રક્રિયાને રેન્ડમ બિંદુ ક્ષેત્ર પણ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ પ્રક્રિયાના વિવિધ અર્થઘટનો છે, જેમ કે રેન્ડમ ગણતરી માપ અથવા રેન્ડમ સેટ. કેટલાક લેખકો બિંદુ પ્રક્રિયા અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાને બે અલગ અલગ પદાર્થો તરીકે માને છે જેમ કે બિંદુ પ્રક્રિયા એ એક અવ્યવસ્થિત પદાર્થ છે જે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાંથી ઉદ્ભવે છે અથવા તેની સાથે સંકળાયેલ છે, જોકે એવું નોંધવામાં આવ્યું છે કે બિંદુ પ્રક્રિયાઓ અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ નથી. અન્ય લેખકો બિંદુ પ્રક્રિયાને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માને છે, જ્યાં પ્રક્રિયાને અંતર્ગત જગ્યાના સમૂહો દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે, જેના પર તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે વાસ્તવિક રેખા અથવા-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા. બિંદુ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં નવીનીકરણ અને ગણતરી પ્રક્રિયાઓ જેવી અન્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પ્રારંભિક સંભાવના સિદ્ધાંત સંભાવના સિદ્ધાંતની ઉત્પત્તિ તકની રમતોમાં છે, જેનો લાંબો ઇતિહાસ છે, કેટલીક રમતો હજારો વર્ષો પહેલા રમવામાં આવી હતી, પરંતુ સંભાવનાના સંદર્ભમાં તેમના પર બહુ ઓછું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું. વર્ષ 1654ને ઘણીવાર સંભાવના સિદ્ધાંતનો જન્મ માનવામાં આવે છે જ્યારે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ પિયર ફર્મેટ અને બ્લેઝ પાસ્કલે સંભાવના પર લેખિત પત્રવ્યવહાર કર્યો હતો, જે જુગારની સમસ્યાથી પ્રેરિત હતો. પરંતુ 16મી સદીમાં લખાયેલી પરંતુ 1663માં મરણોપરાંત પ્રકાશિત ગેરોલામો કાર્ડાનો દ્વારા લખાયેલી લિબર દ લુડો અલી જેવી જુગારની રમતોની સંભાવના પર અગાઉ ગાણિતિક કાર્ય કરવામાં આવ્યું હતું. કાર્ડાનો પછી, જેકબ બર્નૌલીએ આર્સ કોન્જેક્ટેન્ડી લખ્યું, જેને સંભાવના સિદ્ધાંતના ઇતિહાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ ઘટના માનવામાં આવે છે. બર્નૌલીનું પુસ્તક 1713માં મરણોપરાંત પણ પ્રકાશિત થયું હતું અને ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓને સંભાવનાનો અભ્યાસ કરવા પ્રેરણા આપી હતી. પરંતુ પિયરે-સિમોન લેપલેસ, અબ્રાહમ ડી મોઇવરે, કાર્લ ગૌસ, સિમોન પોઈસન અને પાફન્યુટી ચેબીશેવ જેવા કેટલાક પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં યોગદાન આપ્યું હોવા છતાં, મોટાભાગના ગાણિતિક સમુદાયે 20મી સદી સુધી સંભાવના સિદ્ધાંતને ગણિતનો ભાગ માન્યો ન હતો. ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં, વૈજ્ઞાનિકોએ 19મી સદીમાં આંકડાકીય મિકેનિક્સની શાખા વિકસાવી હતી, જેમાં વાયુઓથી ભરેલા કન્ટેનર જેવી ભૌતિક પ્રણાલીઓને ઘણા ગતિશીલ કણોના સંગ્રહ તરીકે ગણી શકાય અથવા ગાણિતિક રીતે ગણી શકાય. રુડોલ્ફ ક્લોસિયસ જેવા કેટલાક વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અવ્યવસ્થિતતાનો સમાવેશ કરવાના પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા હોવા છતાં, મોટાભાગના કાર્યોમાં અવ્યવસ્થિતતા ઓછી હતી અથવા ન હતી. આ 1859 માં બદલાયું જ્યારે જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલે ક્ષેત્રમાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું, ખાસ કરીને, વાયુઓના ગતિ સિદ્ધાંતમાં, કાર્ય રજૂ કરીને જ્યાં તેમણે ધાર્યું હતું કે વાયુના કણો અનિયમિત વેગ પર અવ્યવસ્થિત દિશામાં આગળ વધે છે. વાયુઓ અને આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રનો ગતિશીલ સિદ્ધાંત 19મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં વિકસાવવાનું ચાલુ રાખ્યું હતું, જેમાં મુખ્યત્વે ક્લોસિયસ, લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન અને જોસિયાહ ગિબ્સ દ્વારા કામ કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પાછળથી આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈનના બ્રાઉનિયન ચળવળ માટેના ગાણિતિક નમૂના પર પ્રભાવ પડ્યો હતો. 1900માં પેરિસમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓની આંતરરાષ્ટ્રીય કોંગ્રેસમાં, ડેવિડ હિલ્બર્ટે ગાણિતિક સમસ્યાઓની યાદી રજૂ કરી હતી, જેમાં તેમની છઠ્ઠી સમસ્યામાં ભૌતિકશાસ્ત્ર અને સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સમાવતી સંભાવનાની ગાણિતિક સારવાર માટે પૂછવામાં આવ્યું હતું. 20મી સદીની શરૂઆતની આસપાસ, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ માપન સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો, જે ગાણિતિક કાર્યોના સંકલનનો અભ્યાસ કરવા માટે ગણિતની એક શાખા હતી, જેમાં બે સ્થાપકો ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ હેનરી લેબસ્ગ્યુ અને એમિલ બોરેલ હતા. 1925માં અન્ય એક ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી પોલ લેવીએ પ્રથમ સંભાવના પુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું જેમાં માપન સિદ્ધાંતના વિચારોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. 1920ના દાયકામાં સોવિયેત સંઘમાં સર્ગેઈ બર્નસ્ટીન, એલેક્ઝાન્ડર ખિંચિન અને આન્દ્રેઈ કોલ્મોગોરોવ જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત યોગદાન આપવામાં આવ્યું હતું. કોલ્મોગોરોવએ સંભાવના સિદ્ધાંત માટે માપન સિદ્ધાંત પર આધારિત ગાણિતિક પાયો રજૂ કરવાનો તેમનો પ્રથમ પ્રયાસ 1929માં પ્રકાશિત કર્યો હતો. 1930ના દાયકાની શરૂઆતમાં ખિનચિન અને કોલ્મોગોરોવએ સંભાવના પરિસંવાદોની સ્થાપના કરી હતી, જેમાં યુજેન સ્લટ્સ્કી અને નિકોલાઈ સ્મિરનોવ જેવા સંશોધકોએ હાજરી આપી હતી અને ખિનચિને વાસ્તવિક રેખા દ્વારા અનુક્રમિત યાદૃચ્છિક ચલોના સમૂહ તરીકે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની પ્રથમ ગાણિતિક વ્યાખ્યા આપી હતી. આધુનિક સંભાવના સિદ્ધાંતનો જન્મ 1933 માં એન્ડ્રેઈ કોલ્મોગોરોવ જર્મનમાં પ્રકાશિત થયું, સંભાવના સિદ્ધાંતના પાયા પરનું તેમનું પુસ્તક ગ્રુન્ડબેગ્રિફ ડેર વાહરશેઇનલિચકીટ્સરેકનુંગ શીર્ષક ધરાવતું હતું, જ્યાં કોલ્મોગોરોવએ સંભાવના સિદ્ધાંત માટે સ્વયંસિદ્ધ માળખું વિકસાવવા માટે માપ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ પુસ્તકના પ્રકાશનને હવે વ્યાપકપણે આધુનિક સંભાવના સિદ્ધાંતનો જન્મ માનવામાં આવે છે, જ્યારે સંભાવના અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતો ગણિતના ભાગો બની ગયા હતા. કોલ્મોગોરોવના પુસ્તકના પ્રકાશન પછી, સંભાવના સિદ્ધાંત અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ પર વધુ મૂળભૂત કાર્ય ખિંચિન અને કોલ્મોગોરોવ તેમજ જોસેફ ડૂબ, વિલિયમ ફેલર, મૌરિસ ફ્રેચેટ, પોલ લેવી, વોલ્ફગેંગ ડોબ્લિન અને હેરાલ્ડ ક્રેમર જેવા અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. દાયકાઓ પછી ક્રેમરે 1930ના દાયકાને "ગાણિતિક સંભાવના સિદ્ધાંતના પરાક્રમી સમયગાળા" તરીકે ઓળખાવ્યો હતો. બીજા વિશ્વયુદ્ધે સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં ભારે વિક્ષેપ પાડ્યો હતો, જેના કારણે, ઉદાહરણ તરીકે, ફેલરનું સ્વીડનથી યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ ઓફ અમેરિકામાં સ્થળાંતર થયું હતું અને ડોબ્લિનનું મૃત્યુ થયું હતું, જેને હવે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓમાં અગ્રણી માનવામાં આવે છે. બીજા વિશ્વયુદ્ધ પછી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ બીજા વિશ્વયુદ્ધ પછી સંભાવના સિદ્ધાંત અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તરફથી વધુ ધ્યાન ખેંચ્યું હતું, જેમાં સંભાવના અને ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રોમાં તેમજ નવા ક્ષેત્રોની રચનામાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપવામાં આવ્યું હતું. 1940ના દાયકાથી શરૂ કરીને, કિયોસી ઇતોએ સ્ટોકેસ્ટિક કલનનું ક્ષેત્ર વિકસાવતા કાગળો પ્રકાશિત કર્યા, જેમાં વીનર અથવા બ્રાઉનિયન ગતિ પ્રક્રિયા પર આધારિત સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ્સ અને સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે. 1940ના દાયકાથી શરૂ કરીને, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ, ખાસ કરીને માર્ટિંગેલ્સ અને સંભવિત સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્ર વચ્ચે જોડાણ કરવામાં આવ્યું હતું, જેમાં શિઝુઓ કાકુતાનીના પ્રારંભિક વિચારો અને પછી જોસેફ ડૂબ દ્વારા કામ કરવામાં આવ્યું હતું. 1950ના દાયકામાં ગિલ્બર્ટ હંટ દ્વારા માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને સંભવિત સિદ્ધાંતને જોડતા વધુ કામ કરવામાં આવ્યું હતું, જેણે લેવી પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંત પર નોંધપાત્ર અસર કરી હતી અને ઇટો દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી પદ્ધતિઓ સાથે માર્કોવ પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવામાં વધુ રસ દાખવ્યો હતો. 1953માં ડૂબે તેમનું પુસ્તક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ પ્રકાશિત કર્યું, જેનો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંત પર મજબૂત પ્રભાવ હતો અને સંભાવનામાં માપન સિદ્ધાંતના મહત્વ પર ભાર મૂક્યો હતો. ડૂબે મુખ્યત્વે માર્ટિન્ગલ્સનો સિદ્ધાંત પણ વિકસાવ્યો હતો, જેમાં પાછળથી પોલ-આન્દ્રે મેયરનું નોંધપાત્ર યોગદાન હતું. અગાઉનું કામ સર્ગેઇ બર્નસ્ટીન, પોલ લેવી અને જીન વિલે દ્વારા હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, બાદમાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે માર્ટિંગેલ શબ્દ અપનાવ્યો હતો. વિવિધ સંભાવના સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે માર્ટિંગેલ્સના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ લોકપ્રિય બની હતી. માર્કોવ પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે તકનીકો અને સિદ્ધાંત વિકસાવવામાં આવ્યા હતા અને પછી તેને માર્ટિંગેલ્સ પર લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. તેનાથી વિપરીત, માર્કોવ પ્રક્રિયાઓની સારવાર માટે માર્ટિંગેલ્સના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી. સંભાવનાના અન્ય ક્ષેત્રો વિકસાવવામાં આવ્યા હતા અને તેનો ઉપયોગ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાં એક મુખ્ય અભિગમ મોટા વિચલનોનો સિદ્ધાંત છે. આ સિદ્ધાંતની અન્ય ક્ષેત્રોની સાથે આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પણ ઘણી ઉપયોગિતાઓ છે અને તેના મુખ્ય વિચારો ઓછામાં ઓછા 1930ના દાયકાના છે. પાછળથી 1960 અને 1970 ના દાયકામાં સોવિયેત યુનિયનમાં એલેક્ઝાન્ડર વેન્ટ્ઝેલ અને યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ ઓફ અમેરિકામાં મોનરો ડી. ડોન્સ્કર અને શ્રીનિવાસ વરધન દ્વારા મૂળભૂત કાર્ય કરવામાં આવ્યું હતું, જેના પરિણામે વરધનને 2007 નો એબેલ પુરસ્કાર મળ્યો હતો. 1990 અને 2000 ના દાયકામાં સ્ક્રમ-લોવેનર ઉત્ક્રાંતિ અને રફ પાથના સિદ્ધાંતો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ અને અન્ય ગાણિતિક પદાર્થોનો અભ્યાસ કરવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યા હતા, જેના પરિણામે અનુક્રમે 2008 માં વેન્ડેલિન વર્નર અને 2014 માં માર્ટિન હેરરને ફીલ્ડ્સ મેડલ એનાયત કરવામાં આવ્યા હતા. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના વિષય પર વાર્ષિક આંતરરાષ્ટ્રીય પરિષદો સાથે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંત હજુ પણ સંશોધનનું કેન્દ્ર છે. ચોક્કસ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓની શોધ જોકે ખિન્ચિને 1930ના દાયકામાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓની ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓ આપી હતી, પરંતુ ચોક્કસ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ વિવિધ સેટિંગ્સમાં પહેલેથી જ મળી આવી હતી, જેમ કે બ્રાઉનિયન ગતિ પ્રક્રિયા અને પોઈસન પ્રક્રિયા. બિંદુ પ્રક્રિયાઓ અથવા નવીકરણ પ્રક્રિયાઓ જેવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના કેટલાક પરિવારો લાંબા અને જટિલ ઇતિહાસ ધરાવે છે, જે સદીઓ સુધી લંબાય છે. બર્નૌલી પ્રક્રિયા, જે પક્ષપાતી સિક્કાને ફેરવવા માટે ગાણિતિક નમૂના તરીકે કામ કરી શકે છે, તે સંભવતઃ અભ્યાસ કરવામાં આવેલી પ્રથમ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે. આ પ્રક્રિયા સ્વતંત્ર બર્નૌલી પરીક્ષણોનો ક્રમ છે, જેનું નામ જેકબ બર્નૌલીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેનો ઉપયોગ તકની રમતોનો અભ્યાસ કરવા માટે કર્યો હતો, જેમાં ક્રિસ્ટિયન હ્યુજેન્સ દ્વારા અગાઉ પ્રસ્તાવિત અને અભ્યાસ કરાયેલી સંભાવના સમસ્યાઓ સામેલ છે. બર્નૌલી પ્રક્રિયા સહિત બર્નૌલીનું કાર્ય 1713માં તેમના પુસ્તક આર્સ કોન્જેક્ટેન્ડીમાં પ્રકાશિત થયું હતું. 1905માં કાર્લ પિયરસને વિમાનમાં રેન્ડમ વોકનું વર્ણન કરતી વખતે રેન્ડમ વોક શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જે જીવવિજ્ઞાનમાં એક એપ્લિકેશન દ્વારા પ્રેરિત હતો, પરંતુ રેન્ડમ વોકને લગતી આવી સમસ્યાઓનો અન્ય ક્ષેત્રોમાં પહેલેથી જ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. જુગારની કેટલીક સમસ્યાઓ કે જેનો સદીઓ પહેલા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો તેને અવ્યવસ્થિત ચાલ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ તરીકે ગણી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, જુગારના વિનાશ તરીકે ઓળખાતી સમસ્યા સરળ રેન્ડમ વોક પર આધારિત છે, અને શોષી લેતાં અવરોધો સાથે રેન્ડમ વોકનું ઉદાહરણ છે. પાસ્કલ, ફર્માટ અને હ્યુયેન્સ બધાએ તેમની પદ્ધતિઓની વિગત આપ્યા વિના આ સમસ્યાના આંકડાકીય ઉકેલો આપ્યા હતા, અને પછી જેકબ બર્નૌલી અને અબ્રાહમ ડી મોઇવરે દ્વારા વધુ વિગતવાર ઉકેલો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ડાયમેન્શનલ ઇન્ટિજર લેટીસમાં રેન્ડમ વોક માટે, જ્યોર્જ પોલ્યાએ 1919 અને 1921માં પ્રકાશિત કર્યું હતું, જેમાં તેમણે લેટીસમાં અગાઉની સ્થિતિ પર પાછા ફરતી સપ્રમાણ રેન્ડમ વોકની સંભાવનાનો અભ્યાસ કર્યો હતો. પોલ્યાએ દર્શાવ્યું હતું કે સમપ્રમાણિત રેન્ડમ વોક, જે જાળીમાં કોઈપણ દિશામાં આગળ વધવાની સમાન સંભાવના ધરાવે છે, તે એક અને બે પરિમાણોમાં એક સંભાવના સાથે અનંત સંખ્યામાં જાળીમાં અગાઉની સ્થિતિ પર પાછા ફરશે, પરંતુ ત્રણ અથવા વધુ પરિમાણોમાં શૂન્ય સંભાવના સાથે. વીનર પ્રક્રિયા વીનર પ્રક્રિયા અથવા બ્રાઉનિયન ગતિ પ્રક્રિયાની ઉત્પત્તિ આંકડાશાસ્ત્ર, નાણા અને ભૌતિકશાસ્ત્ર સહિત વિવિધ ક્ષેત્રોમાં છે. 1880 માં, ડેનિશ ખગોળશાસ્ત્રી થોર્વાલ્ડ થિએલે લઘુત્તમ ચોરસની પદ્ધતિ પર એક પેપર લખ્યું હતું, જ્યાં તેમણે સમય-શ્રેણી વિશ્લેષણમાં મોડેલની ભૂલોનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ કાર્યને હવે કાલમન ફિલ્ટરિંગ તરીકે ઓળખાતી આંકડાકીય પદ્ધતિની પ્રારંભિક શોધ તરીકે ગણવામાં આવે છે, પરંતુ આ કાર્યને મોટાભાગે અવગણવામાં આવ્યું હતું. એવું માનવામાં આવે છે કે થિએલના પેપરમાંના વિચારો એટલા અદ્યતન હતા કે તે સમયે વ્યાપક ગાણિતિક અને આંકડાકીય સમુદાય દ્વારા સમજી શકાયા ન હતા. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી લુઇસ બેચેલિયરે તેમના 1900 ના થીસીસમાં વીનર પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જેથી થિએલના કાર્યને જાણ્યા વિના, પેરિસ બોર્સ, એક સ્ટોક એક્સચેન્જ પર ભાવમાં ફેરફારનું મોડેલ બનાવી શકાય. એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે બેચેલિયરે જુલ્સ રેગ્નોલ્ટના રેન્ડમ વોક મોડેલમાંથી વિચારો દોર્યા હતા, પરંતુ બેચેલિયરે તેનો ઉલ્લેખ કર્યો ન હતો અને બેચેલિયરના થીસીસને હવે નાણાકીય ગણિતના ક્ષેત્રમાં અગ્રણી માનવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે બેચેલિયરના કાર્યને બહુ ઓછું ધ્યાન મળ્યું હતું અને 1950ના દાયકામાં લિયોનાર્ડ સેવેજ દ્વારા તેની પુનઃ શોધ થઈ ત્યાં સુધી દાયકાઓ સુધી તેને ભૂલી જવામાં આવ્યું હતું, અને પછી 1964માં બેચેલિયરના થીસીસનું અંગ્રેજીમાં ભાષાંતર થયા પછી તે વધુ લોકપ્રિય બન્યું હતું. પરંતુ ગાણિતિક સમુદાયમાં આ કાર્ય ક્યારેય ભૂલી શકાયું ન હતું, કારણ કે બેચેલિયરે 1912 માં તેમના વિચારોની વિગતવાર એક પુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું હતું, જે ડૂબ, ફેલર અને કોલ્મોગોરોવ સહિતના ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ટાંકવામાં આવ્યું હતું. આ પુસ્તકનો ઉલ્લેખ થતો રહ્યો, પરંતુ 1960ના દાયકાની શરૂઆતમાં જ્યારે અર્થશાસ્ત્રીઓએ બેચેલિયરના કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાનું શરૂ કર્યું ત્યારે બેચેલિયરના મૂળ થીસીસને તેમના પુસ્તક કરતાં વધુ ટાંકવાનું શરૂ થયું. 1905માં આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું હતું જેમાં તેમણે વાયુઓના ગતિ સિદ્ધાંતના વિચારોનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહીમાં કણોની દેખીતી રીતે અવ્યવસ્થિત હિલચાલને સમજાવવા માટે બ્રાઉનિયન ગતિ અથવા હિલચાલના ભૌતિક નિરીક્ષણનો અભ્યાસ કર્યો હતો. આઈન્સ્ટાઈને અવકાશના ચોક્કસ પ્રદેશમાં કણ શોધવાની સંભાવનાનું વર્ણન કરવા માટે વિભેદક સમીકરણ મેળવ્યું હતું, જેને પ્રસરણ સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બ્રાઉનિયન ચળવળ પર આઈન્સ્ટાઈનના પ્રથમ પેપરના થોડા સમય પછી, મેરિયન સ્મોલુકોવ્સ્કીએ કાર્ય પ્રકાશિત કર્યું જેમાં તેમણે આઈન્સ્ટાઈનનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો, પરંતુ લખ્યું હતું કે તેમણે સ્વતંત્ર રીતે એક અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ પરિણામો મેળવ્યા હતા. આઈન્સ્ટાઈનનું કાર્ય, તેમજ જીન પેરિન દ્વારા મેળવેલા પ્રાયોગિક પરિણામોએ પાછળથી 1920ના દાયકામાં નોર્બર્ટ વીનરને પર્સી ડેનિયલ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલા માપ સિદ્ધાંતના પ્રકારનો ઉપયોગ કરવા અને ગણિતીય પદાર્થ તરીકે વીનર પ્રક્રિયાના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે ફોરિયર વિશ્લેષણ માટે પ્રેરિત કર્યા હતા. પોઈસન પ્રક્રિયા પોઈસન વિતરણ સાથે સંકળાયેલી તેની વ્યાખ્યાને કારણે પોઈસન પ્રક્રિયાને સિમોન પોઈસનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, પરંતુ પોઈસને ક્યારેય પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કર્યો નથી. પોઈસન પ્રક્રિયાના પ્રારંભિક ઉપયોગો અથવા શોધો માટે સંખ્યાબંધ દાવાઓ છે. 20મી સદીની શરૂઆતમાં પોઈસન પ્રક્રિયા જુદી જુદી પરિસ્થિતિઓમાં સ્વતંત્ર રીતે ઊભી થશે. 1903 માં સ્વીડનમાં, ફિલિપ લંડબર્ગે એક થીસીસ પ્રકાશિત કર્યો હતો, જેમાં કામ હતું, જે હવે મૂળભૂત અને અગ્રણી માનવામાં આવે છે, જ્યાં તેમણે સમાન પોઈસન પ્રક્રિયા સાથે વીમા દાવાઓનું મોડેલ બનાવવાની દરખાસ્ત કરી હતી. બીજી શોધ ડેનમાર્કમાં 1909માં થઈ હતી જ્યારે એ. કે. મર્યાદિત સમય અંતરાલમાં આવતા ફોન કૉલ્સની સંખ્યા માટે ગાણિતિક મોડેલ વિકસાવતી વખતે એર્લાંગે પોઈસન વિતરણ મેળવ્યું હતું. એર્લાંગ તે સમયે પોઈસનના અગાઉના કામથી વાકેફ ન હતા અને ધાર્યું હતું કે દરેક સમયાંતરે આવતા ફોન કૉલ્સ એકબીજાથી સ્વતંત્ર હતા. ત્યારબાદ તેમણે મર્યાદિત કેસ શોધી કાઢ્યો, જે દ્વિપદી વિતરણની મર્યાદા તરીકે પોઈસન વિતરણને અસરકારક રીતે ફરીથી ગોઠવી રહ્યું છે. 1910માં અર્નેસ્ટ રધરફર્ડ અને હંસ ગીગરે આલ્ફા કણોની ગણતરી પર પ્રાયોગિક પરિણામો પ્રકાશિત કર્યા હતા. તેમના કાર્યથી પ્રેરિત થઈને, હેરી બેટમેને ગણતરીની સમસ્યાનો અભ્યાસ કર્યો અને વિભેદક સમીકરણોના પરિવારના ઉકેલ તરીકે પોઈસન સંભાવનાઓ મેળવી, જેના પરિણામે પોઈસન પ્રક્રિયાની સ્વતંત્ર શોધ થઈ. આ સમય પછી પોઈસન પ્રક્રિયાના ઘણા અભ્યાસો અને ઉપયોગો થયા હતા, પરંતુ તેનો પ્રારંભિક ઇતિહાસ જટિલ છે, જેને જીવવિજ્ઞાનીઓ, પર્યાવરણશાસ્ત્રીઓ, ઇજનેરો અને વિવિધ ભૌતિક વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા અસંખ્ય ક્ષેત્રોમાં પ્રક્રિયાના વિવિધ ઉપયોગો દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે. માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને માર્કોવ સાંકળોનું નામ આન્દ્રે માર્કોવના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે જેમણે 20મી સદીની શરૂઆતમાં માર્કોવ સાંકળોનો અભ્યાસ કર્યો હતો. માર્કોવ સ્વતંત્ર રેન્ડમ સિક્વન્સના વિસ્તરણનો અભ્યાસ કરવામાં રસ ધરાવતા હતા. 1906 માં પ્રકાશિત માર્કોવ સાંકળો પરના તેમના પ્રથમ પેપરમાં, માર્કોવે દર્શાવ્યું હતું કે અમુક પરિસ્થિતિઓમાં માર્કોવ સાંકળના સરેરાશ પરિણામો મૂલ્યોના નિશ્ચિત વેક્ટરમાં રૂપાંતરિત થશે, તેથી સ્વતંત્ર ધારણા વિના મોટી સંખ્યાના નબળા નિયમને સાબિત કરે છે, જેને સામાન્ય રીતે આવા ગાણિતિક નિયમોને જાળવી રાખવાની જરૂરિયાત તરીકે ગણવામાં આવતા હતા. માર્કોવે પાછળથી એલેક્ઝાન્ડર પુશ્કિન દ્વારા લખાયેલા યુજીન ઓનેગિનમાં સ્વરોના વિતરણનો અભ્યાસ કરવા માટે માર્કોવ સાંકળોનો ઉપયોગ કર્યો અને આવી સાંકળો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય સાબિત કર્યો. 1912માં પોઇનકેરે કાર્ડ શફલિંગનો અભ્યાસ કરવાના હેતુ સાથે મર્યાદિત જૂથો પર માર્કોવ સાંકળોનો અભ્યાસ કર્યો હતો. માર્કોવ સાંકળોના અન્ય પ્રારંભિક ઉપયોગોમાં 1907 માં પોલ અને તાત્યાના એહરેનફેસ્ટ દ્વારા રજૂ કરાયેલ પ્રસરણ મોડેલ અને 1873 માં ફ્રાન્સિસ ગેલ્ટન અને હેનરી વિલિયમ વોટસન દ્વારા રજૂ કરાયેલ શાખાની પ્રક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે, જે માર્કોવના કાર્યની પહેલાની છે. ગેલ્ટન અને વોટસનના કાર્ય પછી, પાછળથી એવું બહાર આવ્યું હતું કે તેમની શાખાની પ્રક્રિયાની સ્વતંત્ર રીતે શોધ કરવામાં આવી હતી અને લગભગ ત્રણ દાયકા અગાઉ ઈરેની-જ્યુલ્સ બિનેયમે દ્વારા તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. 1928 માં શરૂ કરીને, મૌરિસ ફ્રેચેટને માર્કોવ સાંકળોમાં રસ પડ્યો, આખરે તેમણે 1938 માં માર્કોવ સાંકળો પર વિગતવાર અભ્યાસ પ્રકાશિત કર્યો. આન્દ્રેઈ કોલ્મોગોરોવે 1931ના એક પેપરમાં સતત-સમયની માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના પ્રારંભિક સિદ્ધાંતનો મોટો ભાગ વિકસાવ્યો હતો. કોલ્મોગોરોવ અંશતઃ શેર બજારમાં વધઘટ પર લુઇસ બેચેલિયરના 1900ના કાર્ય તેમજ આઈન્સ્ટાઈનના બ્રાઉનિયન ચળવળના નમૂના પર નોર્બર્ટ વીનરના કાર્યથી પ્રેરિત હતા. તેમણે પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓ તરીકે ઓળખાતી માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના ચોક્કસ સમૂહની રજૂઆત અને અભ્યાસ કર્યો, જ્યાં તેમણે પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરતા વિભેદક સમીકરણોનો સમૂહ મેળવ્યો. કોલ્મોગોરોવના કાર્યથી સ્વતંત્ર, સિડની ચેપમેને 1928ના પેપરમાં એક સમીકરણ મેળવ્યું હતું, જેને હવે ચેપમેન-કોલ્મોગોરોવ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, જે કોલ્મોગોરોવ કરતાં ઓછી ગાણિતિક રીતે સખત રીતે બ્રાઉનીયન હિલચાલનો અભ્યાસ કરતી વખતે મેળવ્યું હતું. વિભેદક સમીકરણોને હવે કોલ્મોગોરોવ સમીકરણો અથવા કોલ્મોગોરોવ-ચેપમેન સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના પાયામાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપનારા અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં 1930ના દાયકામાં શરૂ થયેલા વિલિયમ ફેલર અને પછી 1950ના દાયકામાં શરૂ થયેલા યુજેન ડાયનકિનનો સમાવેશ થાય છે. લેવી પ્રક્રિયાઓ લેવી પ્રક્રિયાઓ જેવી કે વીનર પ્રક્રિયા અને પોઈસન પ્રક્રિયા (વાસ્તવિક રેખા પર) નું નામ પોલ લેવીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1930ના દાયકામાં તેનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું હતું, પરંતુ તેઓ 1920ના દાયકાથી અનંત વિભાજીત વિતરણો સાથે જોડાયેલા છે. 1932ના પેપરમાં કોલ્મોગોરોવે લેવી પ્રક્રિયાઓ સાથે સંકળાયેલા રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ માટે લાક્ષણિકતા કાર્ય મેળવ્યું હતું. આ પરિણામ પાછળથી 1934માં લેવી દ્વારા વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં મેળવવામાં આવ્યું હતું, અને પછી 1937માં ખિંચિને સ્વતંત્ર રીતે આ લાક્ષણિકતા કાર્ય માટે વૈકલ્પિક સ્વરૂપ આપ્યું હતું. લેવી, ખિનચિન અને કોલોમોગ્રોવ ઉપરાંત, લેવી પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં પ્રારંભિક મૂળભૂત યોગદાન બ્રુનો ડી ફિનેટ્ટી અને કિયોસી ઇતો દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. ગાણિતિક રચના ગણિતમાં, ગાણિતિક પદાર્થોની રચના જરૂરી છે, જે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે પણ છે, તે સાબિત કરવા માટે કે તેઓ ગાણિતિક રીતે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના નિર્માણ માટે બે મુખ્ય અભિગમો છે. એક અભિગમમાં કાર્યોની માપી શકાય તેવી જગ્યાને ધ્યાનમાં લેવી, શક્યતા જગ્યામાંથી કાર્યોની આ માપી શકાય તેવી જગ્યામાં યોગ્ય માપી શકાય તેવું મેપિંગ વ્યાખ્યાયિત કરવું અને પછી અનુરૂપ મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો મેળવવાનો સમાવેશ થાય છે. અન્ય અભિગમમાં ચોક્કસ મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો માટે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના સંગ્રહને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો અને પછી અનુરૂપ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અસ્તિત્વમાં છે તે સાબિત કરવા માટે કોલ્મોગોરોવના અસ્તિત્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રમેય, જે અનંત ઉત્પાદન જગ્યાઓ પરના પગલાં માટે અસ્તિત્વ પ્રમેય છે, તે કહે છે કે જો કોઈ મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણ બે શરતોને સંતોષે છે, જેને સુસંગતતા શરતો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તો તે મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો સાથે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અસ્તિત્વમાં છે. બાંધકામના મુદ્દાઓ સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓનું નિર્માણ કરતી વખતે અમુક ગાણિતિક મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે, અગણિત અનુક્રમણિકા સમૂહોને કારણે, જે અલગ-સમયની પ્રક્રિયાઓ સાથે થતી નથી. એક સમસ્યા એ છે કે સમાન મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણો સાથે એક કરતાં વધુ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા હોવી શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડાબી-સતત ફેરફાર અને પોઈસન પ્રક્રિયાના જમણી-સતત ફેરફાર બંનેમાં સમાન મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનું વિતરણ, આવશ્યકપણે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના નમૂના કાર્યોના ગુણધર્મોને વિશિષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરતું નથી. બીજી સમસ્યા એ છે કે સતત-સમયની પ્રક્રિયાના કાર્યો કે જે અનુક્રમણિકા સમૂહના અગણિત બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે તે માપી શકાય તેમ નથી, તેથી ચોક્કસ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ન પણ હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અથવા રેન્ડમ ફિલ્ડની સર્વોચ્ચતા એ જરૂરી નથી કે તે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ ચલ હોય. સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે, અન્ય લાક્ષણિકતાઓ કે જે અનુક્રમણિકા સમૂહના અસંખ્ય બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે તેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનું નમૂના કાર્ય એ તેનું સતત કાર્ય છે; સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનું નમૂના કાર્ય એ તેનું બંધાયેલ કાર્ય છે; અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનું નમૂના કાર્ય એ તેનું વધતું કાર્ય છે. આ બે મુશ્કેલીઓને દૂર કરવા માટે, વિવિધ ધારણાઓ અને અભિગમો શક્ય છે. જોસેફ ડૂબ દ્વારા પ્રસ્તાવિત સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક બાંધકામના મુદ્દાઓને ટાળવા માટેનો એક અભિગમ એ છે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અલગ પાડી શકાય તેવી છે. અલગતા એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે અનંત-પરિમાણીય વિતરણો નમૂના કાર્યોના ગુણધર્મો નક્કી કરે છે, જેના માટે જરૂરી છે કે નમૂના કાર્યો અનિવાર્યપણે અનુક્રમણિકા સમૂહમાં બિંદુઓના ગાઢ ગણતરીપાત્ર સમૂહ પર તેમના મૂલ્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુમાં, જો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા અલગ કરી શકાય તેવી હોય, તો અનુક્રમણિકા સમૂહના અગણિત સંખ્યાના બિંદુઓના કાર્યો માપી શકાય તેવા હોય છે અને તેમની સંભાવનાઓનો અભ્યાસ કરી શકાય છે. અન્ય અભિગમ શક્ય છે, જે મૂળ રીતે એનાટોલી સ્કોરોખોડ અને આન્દ્રેઈ કોલ્મોગોરોવ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જે તેના સ્ટેટ સ્પેસ તરીકે કોઈપણ મેટ્રિક સ્પેસ સાથે સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા માટે છે. આવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના નિર્માણ માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના નમૂના કાર્યો અમુક યોગ્ય કાર્ય જગ્યાના છે, જે સામાન્ય રીતે ડાબી મર્યાદા સાથેના તમામ જમણા-સતત કાર્યોનો સમાવેશ કરતી સ્કોરોખોડ જગ્યા છે. આ અભિગમ હવે અલગ કરવાની ધારણા કરતાં વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે, પરંતુ આ અભિગમ પર આધારિત આવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા આપમેળે અલગ થઈ જશે. ઓછો ઉપયોગ થતો હોવા છતાં, અલગ પાડવાની ધારણાને વધુ સામાન્ય માનવામાં આવે છે કારણ કે દરેક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયામાં અલગ પાડી શકાય તેવું સંસ્કરણ હોય છે. તેનો ઉપયોગ ત્યારે પણ થાય છે જ્યારે સ્કોરોખોડ જગ્યામાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા બનાવવી શક્ય ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્રોનું નિર્માણ અને અભ્યાસ કરતી વખતે વિભાજનક્ષમતા ધારવામાં આવે છે, જ્યાં અવ્યવસ્થિત ચલોનો સંગ્રહ હવે-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ જેવી વાસ્તવિક રેખા સિવાયના સમૂહો દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે. નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન લેખો પુસ્તકો બાહ્ય કડીઓ સ્ટોકેસ્ટિક નમૂનાઓ આંકડાકીય માહિતીના પ્રકારો