Schur's theorem
સ્વતંત્ર ગણિતમાં, શુરનો પ્રમેય એ ગણિતશાસ્ત્રી ઇસાઈ શૂરના કેટલાક સિદ્ધાંતોમાંથી કોઈપણ છે. વિભેદક ભૂમિતિમાં, શુરનો પ્રમેય એ એક્સેલ શૂરનો પ્રમેય છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં, શુરના પ્રમેયને ઘણીવાર શુરનો ગુણધર્મ કહેવામાં આવે છે, જે ઇસાઈ શુરને કારણે પણ છે. રેમ્સે સિદ્ધાંતમાં, શુરનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના મર્યાદિત સંખ્યામાં ભાગોના કોઈપણ વિભાજન માટે, એક ભાગમાં ત્રણ પૂર્ણાંકો x, y, z હોય છે. શુરનો પ્રમેય એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે S (c) દરેક ધન પૂર્ણાંક c માટે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. S (c) સ્વરૂપની સંખ્યાઓને શૂરની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. ફોકમેનનો પ્રમેય શુરના પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે અને કહે છે કે પૂર્ણાંકોના મનસ્વી રીતે મોટા સમૂહો અસ્તિત્વમાં છે, જેમના તમામ બિન-ખાલી સરવાળા એક જ ભાગના છે. આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, એકમાત્ર જાણીતી શુર સંખ્યાઓ એસ (એન) 2,5,14,45 અને 161 () છે જે 2017 માં જાહેર કરવામાં આવી હતી અને 2 પેટાબાઇટ્સ જગ્યા લીધી હતી. સંયોજનશાસ્ત્ર સંયોજનશાસ્ત્રમાં, શુરનો પ્રમેય આપેલ સંખ્યાને પ્રમાણમાં મુખ્ય સંખ્યાઓના નિશ્ચિત સમૂહના (બિન-નકારાત્મક, પૂર્ણાંક) રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરવાની રીતોની સંખ્યા કહે છે. ખાસ કરીને, જો પૂર્ણાંકોનો સમૂહ એવો હોય કે, બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વિવિધ ટપલ્સની સંખ્યા જેમ કે જ્યારે અનંત પર જાય ત્યારેઃ પરિણામે, પ્રમાણમાં મુખ્ય સંખ્યાઓના દરેક સમૂહ માટે એવું મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં છે કે દરેક મોટી સંખ્યા ઓછામાં ઓછી એક રીતે રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. સિક્કાના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને રકમ બદલવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને પ્રમેયના આ પરિણામને પરિચિત સંદર્ભમાં પુનઃરચના કરી શકાય છે. જો સિક્કાઓના મૂલ્યવર્ગ પ્રમાણમાં મુખ્ય સંખ્યાઓ (જેમ કે 2 અને 5) હોય તો માત્ર આ સિક્કાઓનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ પૂરતી મોટી રકમ બદલી શકાય છે. (સિક્કાની સમસ્યા જુઓ.) વિભેદક ભૂમિતિ વિભેદક ભૂમિતિમાં, શુરનો પ્રમેય અવકાશ વળાંકના અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરની સરખામણી ઓછા વળાંકના અનુરૂપ સમતલ વળાંકના અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર સાથે કરે છે. ધારો કે તે વળાંક સાથેનો સમતલ વળાંક છે જે તેના અંતિમ બિંદુઓને જોડતા તાર દ્વારા બંધ કરવામાં આવે ત્યારે બહિર્મુખ વળાંક બનાવે છે, અને તે વળાંક સાથે સમાન લંબાઈનો વળાંક છે. ચાલો ના અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સૂચવીએ અને ના અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સૂચવીએ. તો પછી. શુરનો પ્રમેય સામાન્ય રીતે વળાંક માટે જણાવવામાં આવે છે, પરંતુ જ્હોન એમ. સુલિવાનએ અવલોકન કર્યું છે કે શૂરનો પ્રમેય મર્યાદિત કુલ વળાંકના વળાંકને લાગુ પડે છે (નિવેદન થોડું અલગ છે). રેખીય બીજગણિતમાં, શુરના પ્રમેયને કાં તો જટિલ એન્ટ્રીઓ સાથે ચોરસ મેટ્રિક્સના ત્રિકોણાકાર તરીકે અથવા વાસ્તવિક એન્ટ્રીઓ અને વાસ્તવિક આઈગન વેલ્યુઓ સાથે ચોરસ મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ અને બનાચ જગ્યાઓના અભ્યાસમાં, આઈ. શૂરને કારણે શુરનો પ્રમેય ઘણીવાર શૂરના ગુણધર્મનો ઉલ્લેખ કરે છે, કે અમુક જગ્યાઓ માટે, નબળું અભિસરણ ધોરણમાં અભિસરણ સૂચવે છે. સંખ્યા સિદ્ધાંત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, ઇસાઈ શૂરે 1912માં દર્શાવ્યું હતું કે પૂર્ણાંક ગુણાંક ધરાવતી દરેક બિન-સ્થિર બહુપદી p (x) માટે, જો S એ તમામ બિન-શૂન્ય મૂલ્યોનો સમૂહ હોય, તો Sના અમુક સભ્યોને વિભાજિત કરતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત છે. શૂર્સ લેમ્મા (રીમાનિયન ભૂમિતિમાંથી) સંદર્ભો હર્બર્ટ એસ. વિલ્ફ (1994) પણ જુઓ. જનરેટિંગ ફંક્શનલોજી. એકેડેમિક પ્રેસ. શિંગ-શેન ચેરન (1967). યુક્લિડિયન અવકાશમાં વળાંક અને સપાટીઓ. વૈશ્વિક ભૂમિતિ અને વિશ્લેષણમાં અભ્યાસ. પ્રેન્ટિસ-હોલ. ઇસાઈ શુર (1912). બર્લિનર મઠના પ્રથમ વર્ગમાં ગણિતના વિકાસની શરૂઆત થઈ છે. ડેની બ્રેસ્લોઅર અને દેવદત્ત પી. દુભાશી (1995). કોમ્પિનટોરિક્સ ફોર કમ્પ્યુટર સાયન્ટિસ્ટ્સ જ્હોન એમ. સુલિવાન (2006). મર્યાદિત કુલ વળાંકના વળાંકો. arXiv. વિવિક્ત ગણિતમાં પ્રમેયો રામસે સિદ્ધાંત સંયોજનીય સંયોજનમાં પ્રમેયો વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રમેયો રેખીય બીજગણિતમાં પ્રમેયો કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો કમ્પ્યુટર-સહાયિત પુરાવાઓ