Stone–Čech compactification
સામાન્ય ટોપોલોજીની ગાણિતિક શાખામાં, સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન (અથવા ચીક-સ્ટોન કોમ્પેક્ટિફિકેશન) એ ટોપોલોજિકલ સ્પેસ X થી કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ βX સુધી સાર્વત્રિક નકશો બનાવવાની તકનીક છે. ટોપોલોજિકલ સ્પેસ X નું સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન βX એ સૌથી મોટું, સૌથી સામાન્ય કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ છે જે X દ્વારા "જનરેટ" થાય છે, તે અર્થમાં કે X થી કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ ફેક્ટર્સ સુધી કોઈપણ સતત નકશો βX દ્વારા (એક અનન્ય રીતે). જો X એ ટાયકોનોફ જગ્યા હોય તો X થી તેની છબી પર βX નો નકશો હોમોમોર્ફિઝમ છે, તેથી X ને βX ની (ગાઢ) પેટા જગ્યા તરીકે વિચારી શકાય છે; દરેક અન્ય સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યા કે જેમાં X ગીચતા ધરાવે છે તે βX નો ભાગાકાર છે. સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ X માટે, X થી βX સુધીનો નકશો ઇન્જેક્ટિવ હોવો જરૂરી નથી. દરેક ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન હોય છે તે સાબિત કરવા માટે પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સ્વરૂપની જરૂર પડે છે. એકદમ સરળ જગ્યાઓ X માટે પણ, βX નું સુલભ નક્કર વર્ણન ઘણીવાર પ્રપંચી રહે છે. ખાસ કરીને, βX\ X ખાલી નથી તેવા પુરાવાઓ βX\ X માં કોઈ ચોક્કસ બિંદુનું સ્પષ્ટ વર્ણન આપતા નથી. સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન એક કાગળમાં ગર્ભિત રીતે થાય છે અને અને દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવ્યું હતું. ઇતિહાસ એન્ડ્રી નિકોલાયેવિચ તિખોનોવે 1930માં હૌસડોર્ફ જગ્યાઓની રોગવિજ્ઞાનની સ્થિતિને ટાળવા માટે સંપૂર્ણપણે નિયમિત જગ્યાઓ રજૂ કરી હતી, જેમના એકમાત્ર સતત વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યો સતત નકશા છે. તે જ 1930ના લેખમાં જ્યાં ટાયકોનોફે સંપૂર્ણપણે નિયમિત જગ્યાઓની વ્યાખ્યા આપી હતી, તેમણે એ પણ સાબિત કર્યું કે દરેક ટાયકોનોફ જગ્યા (એટલે કે. હૌસડોર્ફ સંપૂર્ણપણે નિયમિત જગ્યા) પાસે હૌસડોર્ફ કોમ્પેક્ટિફિકેશન છે (આ જ લેખમાં, તેમણે ટાયકોનોફના પ્રમેયને પણ સાબિત કર્યું). 1937 માં, ચેચે ટાયચોનોફની તકનીકને વિસ્તૃત કરી અને આ કોમ્પેક્ટિફિકેશન માટે નોટેશન βX રજૂ કર્યું. સ્ટોને 1937ના એક લેખમાં પણ βXનું નિર્માણ કર્યું હતું, જોકે તેમાં ખૂબ જ અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ટાયકોનોફનો લેખ સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશનના વિષય પરનું પ્રથમ કાર્ય હોવા છતાં અને ટાયકોનોફના લેખને સ્ટોન અને ચીક બંને દ્વારા સંદર્ભિત કરવામાં આવ્યો હોવા છતાં, ટાયકોનોફનું નામ ભાગ્યે જ βX સાથે સંકળાયેલું છે. સાર્વત્રિક મિલકત અને કાર્યાત્મકતા ટોપોલોજિકલ જગ્યા X નું સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન એ સતત નકશા iX: X → βX સાથે મળીને કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યા βX છે જે નીચેની સાર્વત્રિક મિલકત ધરાવે છેઃ કોઈપણ સતત નકશો f: X → K, જ્યાં K એક કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યા છે, તે અનન્ય રીતે સતત નકશા βf: βX → K, એટલે કે વિસ્તરે છે. (βf) iX = f. સાર્વત્રિક ગુણધર્મો માટે હંમેશની જેમ, આ સાર્વત્રિક ગુણધર્મ βX ને હોમોમોર્ફિઝમ સુધી લાક્ષણિકતા આપે છે. નીચે દર્શાવ્યા મુજબ, કોઈ વ્યક્તિ (પસંદગીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને) સાબિત કરી શકે છે કે દરેક ટોપોલોજિકલ સ્પેસ X માટે આવા સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન iX: X → βX અસ્તિત્વમાં છે. વધુમાં, છબી iX (X) βX માં ગાઢ છે. કેટલાક લેખકો એવી ધારણા ઉમેરે છે કે પ્રારંભિક જગ્યા X ટાઇકોનોફ (અથવા તો સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ) છે, નીચેના કારણોસરઃ X થી તેની છબીનો βX માં નકશો હોમોમોર્ફિઝમ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X ટાઇકોનોફ હોય. βX માં X થી તેની છબીનો નકશો ખુલ્લી સબસ્પેસ માટે હોમોમોર્ફિઝમ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોય. સ્ટોન-ચીકનું બાંધકામ વધુ સામાન્ય જગ્યાઓ X માટે કરી શકાય છે, પરંતુ તે કિસ્સામાં નકશો X → βX એ X ની છબી માટે હોમોમોર્ફિઝમ હોવું જરૂરી નથી (અને કેટલીકવાર તે ઇન્જેક્ટિવ પણ નથી). આ પ્રકારની સાર્વત્રિક રચનાઓ માટે હંમેશની જેમ, વિસ્તરણ ગુણધર્મ β ને ટોપ (ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણી) થી ચૌસ (કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓની શ્રેણી) સુધી ફંકટર બનાવે છે. વધુમાં, જો આપણે યુ ને ચૌસ ઇનટુ ટોપનો સમાવેશ કરનાર તરીકે રાખીએ, તો βX થી K સુધીના નકશા (ચૌસમાં K માટે) X થી UK સુધીના નકશાને નિરપેક્ષપણે અનુરૂપ છે (તેમના X પરના પ્રતિબંધને ધ્યાનમાં લઈને અને βX ના સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને). એટલે કે. હોમ (βX, K) હોમ (X, UK), જેનો અર્થ છે કે β એ U ની બાજુમાં રહે છે. આ સૂચવે છે કે ચૌસ એ પરાવર્તક β સાથે ટોચની પ્રતિબિંબીત પેટા શ્રેણી છે. ઉદાહરણો જો X એ કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ છે, તો તે તેના સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન સાથે મેળ ખાય છે. મોટા ભાગના અન્ય સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશનમાં નક્કર વર્ણનોનો અભાવ છે અને તે અત્યંત વિશાળ નથી. અપવાદોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ ક્રમ ટોપોલોજી સાથે પ્રથમ અગણિત ક્રમિકનું સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન એ ક્રમિક છે. કાઢી નાખેલા ટાયચોનોફ પાટિયાનું સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન ટાયચોનોફ પાટિયું છે. બાંધકામો ઉત્પાદનોનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ X ના સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશનનું નિર્માણ કરવાનો એક પ્રયાસ એ છે કે X ની છબીને બંધ કરવાનો છે જ્યાં ઉત્પાદન X થી કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ K સુધીના તમામ નકશાઓ પર હોય (અથવા, સમકક્ષ રીતે, X ની છબી જમણી બાજુએ કાન દ્વારા શ્રેણીના ઓળખ ફંકટરનું વિસ્તરણ કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓના ચૌસના સમાવેશ ફંકટર સાથે સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણીમાં ટોચ). ટાયકોનોફના પ્રમેય અનુસાર કોમ્પેક્ટ સ્પેસનો આ ગુણાકાર કોમ્પેક્ટ છે, અને તેથી આ સ્પેસમાં X નો ક્લોઝર પણ કોમ્પેક્ટ છે. આ સહજ ભાવે કામ કરે છે પરંતુ તકનીકી કારણોસર નિષ્ફળ જાય છે કે આવા તમામ નકશાનો સંગ્રહ સમૂહને બદલે યોગ્ય વર્ગ છે. આ વિચારને કામ કરવા માટે તેમાં ફેરફાર કરવાની ઘણી રીતો છે; ઉદાહરણ તરીકે, કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ K ને અંતર્ગત સમૂહ P (P (X)) (X ના પાવર સેટનો પાવર સેટ) માટે પ્રતિબંધિત કરી શકાય છે, જે એટલો મોટો છે કે તેમાં ઓછામાં ઓછી દરેક કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસની સમાન કાર્ડિનાલિટી છે, જેમાં X ને ગાઢ છબી સાથે મેપ કરી શકાય છે. એકમ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ βX બનાવવાની એક રીત એ છે કે C ને X થી [0,1] સુધીના તમામ સતત કાર્યોનો સમૂહ બનાવવો અને નકશાને ધ્યાનમાં લેવો જ્યાં તેને તેની છબી પર સતત નકશો તરીકે જોવામાં આવી શકે, જો [0,1] C ને ઉત્પાદન ટોપોલોજી આપવામાં આવે. ટાયકોનોફના પ્રમેય અનુસાર આપણી પાસે છે કે [0,1] C કોમ્પેક્ટ છે કારણ કે [0,1] છે. પરિણામે, [0,1] સીમાં X નું બંધ થવું એ X નું સઘનકરણ છે. હકીકતમાં, આ ક્લોઝર એ સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન છે. આને ચકાસવા માટે, આપણે ફક્ત તે ચકાસવાની જરૂર છે કે બંધ યોગ્ય સાર્વત્રિક મિલકતને સંતોષે છે. આપણે આ પહેલા K = [0,1] માટે કરીએ છીએ, જ્યાં f: X → [0,1] નું ઇચ્છિત એક્સ્ટેંશન એ [0,1] C માં f કોઓર્ડિનેટ પરનું પ્રક્ષેપણ છે. પછી સામાન્ય કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ K માટે આ મેળવવા માટે આપણે ઉપરોક્તનો ઉપયોગ એ નોંધવા માટે કરીએ છીએ કે K ને અમુક ક્યુબમાં એમ્બેડ કરી શકાય છે, દરેક કોઓર્ડિનેટ ફંક્શન્સને વિસ્તૃત કરી શકાય છે અને પછી આ એક્સ્ટેંશનનું ઉત્પાદન લઈ શકાય છે. આ બાંધકામને કામ કરવા માટે જરૂરી એકમ અંતરાલનો વિશેષ ગુણધર્મ એ છે કે તે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓની શ્રેણીનો સહઉત્પાદક છેઃ આનો અર્થ એ છે કે જો A અને B કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ છે, અને f અને g એ A થી B સુધીના અલગ નકશા છે, તો ત્યાં એક નકશો h: B → [0,1] છે જેમ કે hf અને hg અલગ છે. આ બાંધકામમાં અન્ય કોઈપણ સહઉત્પાદક (અથવા સહઉત્પાદક સમૂહ) નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ વૈકલ્પિક રીતે, જો તે અલગ હોય, તો પછી મુખ્ય અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સને અનુરૂપ તત્વો સાથે તમામ અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના સમૂહ તરીકે નિર્માણ કરવું શક્ય છે. ફરીથી આપણે સાર્વત્રિક ગુણધર્મને ચકાસીએ છીએઃ કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ અને તેના પર અલ્ટ્રાફિલ્ટર સાથે આપણી પાસે તેના પુશફોર્વર્ડ પર અલ્ટ્રાફિલ્ટર આધાર છે આની એક અનન્ય મર્યાદા છે કારણ કે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ છે, કહો અને આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. આ ખરેખર એ જ રચના છે, કારણ કે આ બુલિયન બીજગણિતની પથ્થરની જગ્યા બુલિયન બીજગણિતના અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સ (અથવા સમકક્ષ મુખ્ય આદર્શો, અથવા 2 તત્વ બુલિયન બીજગણિતના હોમોમોર્ફિઝમ્સ) નો સમૂહ છે, જે અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના સમૂહ સમાન છે. (જો જગ્યા સામાન્ય હોય તો બંધ સેટના ફિલ્ટર પૂરતા છે.) C *-આલ્જેબ્રાનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન કુદરતી રીતે Cb (X) ના સ્પેક્ટ્રમ માટે હોમોમોર્ફિક છે. અહીં Cb (X) એ સુપર-નોર્મ સાથે X પરના તમામ સતત બંધાયેલા જટિલ-મૂલ્યના વિધેયોના C *-બીજગણિતને સૂચવે છે. નોંધ લો કે Cb (X) એ C0 (X) ના ગુણક બીજગણિત માટે પ્રમાણભૂત રીતે સમરૂપ છે. કુદરતી સંખ્યાઓનું સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન એવા કિસ્સામાં જ્યાં X સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોય, દા. ત. N અથવા R, X ની છબી βX નો ખુલ્લો સબસેટ બનાવે છે, અથવા ખરેખર કોઈપણ કોમ્પેક્ટિફિકેશનની, (આ પણ એક જરૂરી શરત છે, કારણ કે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસનો ખુલ્લો સબસેટ સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ છે). આ કિસ્સામાં ઘણીવાર બાકીની જગ્યાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, βX\X. આ βX નો બંધ સબસેટ છે, અને તેથી કોમ્પેક્ટ છે. આપણે N ને તેની અલગ ટોપોલોજી સાથે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અને βN\N = N * લખીએ છીએ (પરંતુ આ સામાન્ય X માટે પ્રમાણભૂત સંકેત નથી લાગતો). ઉપર સમજાવ્યા મુજબ, કોઈ વ્યક્તિ βN ને N પર અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના સમૂહ તરીકે જોઈ શકે છે, જેમાં ટોપોલોજી U માટે સ્વરૂપના સમૂહ દ્વારા પેદા થાય છે, N નો સબસેટ. સમૂહ N મુખ્ય અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના સમૂહને અનુરૂપ છે, અને સમૂહ N * મુક્ત અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના સમૂહને અનુરૂપ છે. βN અને ખાસ કરીને N * નો અભ્યાસ એ આધુનિક સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક ટોપોલોજીનું મુખ્ય ક્ષેત્ર છે. આને પ્રેરિત કરનારા મુખ્ય પરિણામો પેરોવિચેન્કોના પ્રમેયો છે, જે અનિવાર્યપણે સાતત્ય પૂર્વધારણાની ધારણા હેઠળ તેના વર્તનને દર્શાવે છે. આ સ્થિતિઃ વજનની દરેક સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યા (આલેફ નંબર જુઓ) એ N * ની સતત છબી છે (આને સાતત્ય પૂર્વધારણાની જરૂર નથી, પરંતુ તેની ગેરહાજરીમાં ઓછી રસપ્રદ છે). જો સાતત્ય પૂર્વધારણા હોય તો N * એ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય પેરોવિચેન્કો જગ્યા છે. આ મૂળરૂપે બુલિયન બીજગણિતને ધ્યાનમાં લઈને અને પથ્થરની દ્વૈતતાને લાગુ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યા હતા. જાન વેન મિલે βNને "ત્રણ માથાવાળા રાક્ષસ" તરીકે વર્ણવ્યું છે-ત્રણ માથા હસતાં અને મૈત્રીપૂર્ણ માથા છે (સાતત્ય પૂર્વધારણાની ધારણા હેઠળ વર્તન), સ્વતંત્રતાનું કદરૂપું માથું જે સતત તમને મૂંઝવણમાં મૂકવાનો પ્રયાસ કરે છે (સમૂહ સિદ્ધાંતના વિવિધ નમૂનાઓમાં શું વર્તન શક્ય છે તે નિર્ધારિત કરે છે), અને ત્રીજું માથું સૌથી નાનું છે (તમે તેના વિશે ZFC માં શું સાબિત કરી શકો છો). પ્રમાણમાં તાજેતરમાં એવું જોવા મળ્યું છે કે આ લાક્ષણિકતા તદ્દન યોગ્ય નથી-હકીકતમાં βNનું ચોથું મથાળું છે, જેમાં બળજબરીથી સ્વયંસિદ્ધ અને રામસે પ્રકારનાં સ્વયંસિદ્ધ βNના ગુણધર્મો આપે છે, જે સાતત્ય પૂર્વધારણા હેઠળના ગુણધર્મોના લગભગ સંપૂર્ણ વિરોધમાં હોય છે, જે ખરેખર N * માંથી બહુ ઓછા નકશા આપે છે. આ સ્વયંસિદ્ધાંતોના ઉદાહરણોમાં માર્ટિનના સ્વયંસિદ્ધાંતો અને ખુલ્લા રંગના સ્વયંસિદ્ધાંતોના સંયોજનનો સમાવેશ થાય છે, જે, ઉદાહરણ તરીકે, સાબિત કરે છે કે (એન *) 2 ≤ એન *, જ્યારે સાતત્ય પૂર્વધારણા વિપરીત સૂચવે છે. એક એપ્લિકેશનઃ વાસ્તવિકની બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની જગ્યાની બેવડી જગ્યા સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશન βN નો ઉપયોગ (સ્કેલર ક્ષેત્ર R અથવા C માં તમામ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની બનાચ જગ્યા, સર્વોચ્ચ ધોરણ સાથે) અને તેની બેવડી જગ્યાને લાક્ષણિકતા આપવા માટે કરી શકાય છે. બંધાયેલ ક્રમને જોતાં, સ્કેલર ક્ષેત્રમાં એક બંધ દડો B અસ્તિત્વમાં છે જેમાં a ની છબી હોય છે. a એ પછી N થી B સુધીનું વિધેય છે. કારણ કે N અલગ છે અને B કોમ્પેક્ટ છે અને હૌસડોર્ફ, a કન્ટિન્યુઅસ છે. સાર્વત્રિક ગુણધર્મ અનુસાર, એક અનન્ય વિસ્તરણ અસ્તિત્વમાં છે βa: βN → B. આ વિસ્તરણ આપણે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ તે બોલ બી પર આધારિત નથી. આપણે બાઉન્ડેડ સ્કેલર વેલ્યુડ સિક્વન્સની જગ્યામાંથી βN પર કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન્સની જગ્યામાં વિસ્તરણ નકશાને વ્યાખ્યાયિત કર્યો છે. આ નકશો બાયજેક્ટિવ છે કારણ કે C (βN) માં દરેક કાર્ય બંધાયેલ હોવું જોઈએ અને પછી તેને બંધાયેલ સ્કેલર ક્રમ સુધી મર્યાદિત કરી શકાય છે. જો આપણે બંને જગ્યાઓને સુપર ધોરણ સાથે ધ્યાનમાં લઈએ તો વિસ્તરણ નકશો આઇસોમેટ્રી બની જાય છે. ખરેખર, જો ઉપરની રચનામાં આપણે શક્ય તેટલો નાનો દડો B લઈએ, તો આપણે જોઈએ છીએ કે વિસ્તૃત ક્રમનું સુપર ધોરણ વધતું નથી (જો કે વિસ્તૃત વિધેયની છબી મોટી હોઈ શકે છે). આમ, તેને સી (βN) સાથે ઓળખી શકાય છે. આ આપણને રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને શોધી કાઢે છે કે ની બેવડી જગ્યાને βN પર મર્યાદિત બોરેલ માપની જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. છેવટે, એ નોંધવું જોઈએ કે આ તકનીક મનસ્વી માપ જગ્યા X ની L φ જગ્યાને સામાન્ય બનાવે છે. જો કે, X પર અલ્ટ્રાફિલ્ટરોની જગ્યા βX ને ધ્યાનમાં લેવાને બદલે, આ રચનાને સામાન્ય બનાવવાની યોગ્ય રીત એ છે કે X ના માપ બીજગણિતની પથ્થરની જગ્યા Y ને ધ્યાનમાં લેવીઃ જ્યાં સુધી X વાજબી મર્યાદિતતાની સ્થિતિને સંતોષે છે (કે હકારાત્મક માપના કોઈપણ સમૂહમાં મર્યાદિત હકારાત્મક માપનો સબસેટ હોય છે) ત્યાં સુધી જગ્યાઓ C (Y) અને L (X) C *-આલ્જેબ્રા તરીકે આઇસોમોર્ફિક છે. કુદરતી સંખ્યાઓના સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન પર એક મોનોઇડ ઓપરેશન પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ઉમેરા હેઠળ એક મોનોઇડ બનાવે છે. તે તારણ આપે છે કે આ કામગીરીને βN સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે (સામાન્ય રીતે એકથી વધુ રીતે, પરંતુ વિશિષ્ટ રીતે વધુ શરત હેઠળ), આ જગ્યાને પણ એક મોનોઇડમાં ફેરવી શકાય છે, જોકે આશ્ચર્યજનક રીતે તે બિન-પરિવર્તનીય છે. કોઈપણ સબસેટ માટે, N ના A અને N માં હકારાત્મક પૂર્ણાંક n, અમે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. N પર બે અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સ F અને G આપેલ છે, અમે તેમના સરવાળાને તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કે આ ફરીથી એક અલ્ટ્રાફિલ્ટર છે, અને ઓપરેશન + એ βN પર સહયોગી (પરંતુ પરિવર્તનીય નથી) છે અને N પર ઉમેરા વિસ્તરે છે; 0 βN પર ઓપરેશન + માટે તટસ્થ તત્વ તરીકે કામ કરે છે. ઓપરેશન પણ યોગ્ય-સતત છે, એ અર્થમાં કે દરેક અલ્ટ્રાફિલ્ટર એફ માટે, નકશો સતત છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો S એ અલગ ટોપોલોજી સાથેનું અર્ધસમૂહ હોય, તો S ની કામગીરીને βS સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે જમણી-સતત સહયોગી કામગીરી મેળવે છે. એક જગ્યાનો કોરોના સમૂહ પણ જુઓ, જે સ્ટોન-ચીક કોમ્પેક્ટિફિકેશનમાં તેની છબીનું પૂરક છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્લેનેટ મેથ ડ્રોઅર બાર-નટાન, અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સ, કોમ્પેક્ટનેસ અને સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન જનરલ ટોપોલોજી કોમ્પેક્ટિફિકેશન (ગણિત) ખાતે સ્ટોન-ચેક કોમ્પેક્ટિફિકેશન