Bennett's inequality
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, બેનેટની અસમાનતા એ સંભાવના પર ઉપલી સીમા પૂરી પાડે છે કે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો તેના અપેક્ષિત મૂલ્યથી કોઈપણ ચોક્કસ રકમ કરતાં વધુ વિચલિત થાય છે. બેનેટની અસમાનતા 1962માં યુનિવર્સિટી ઓફ ન્યૂ સાઉથ વેલ્સના જ્યોર્જ બેનેટ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી. નિવેદન ચાલો મર્યાદિત ભિન્નતા સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ હોઈએ. આગળ બધા માટે લગભગ ચોક્કસપણે ધારો, અને વ્યાખ્યાયિત કરો અને પછી કોઈપણ માટે, ક્યાં અને લોગ કુદરતી લઘુગણકને સૂચવે છે. સામાન્યીકરણ માટે ફ્રીડમેન (1975) અને ફેન, ગ્રામ અને લિયુ (2012) અનુક્રમે બેનેટની અસમાનતા અને તેના સુધારણાના માર્ટીંગેલ સંસ્કરણ માટે જુઓ. હોફડિંગની અસમાનતા માત્ર એમ ધારે છે કે સરવાળાઓ લગભગ ચોક્કસપણે બંધાયેલા છે, જ્યારે બેનેટની અસમાનતા થોડી સુધારણા આપે છે જ્યારે સરવાળાઓની ભિન્નતા તેમની લગભગ ચોક્કસ મર્યાદાની તુલનામાં ઓછી હોય છે. જો કે હોફડિંગની અસમાનતામાં પેટા-ગૌસીયન પૂંછડીઓનો સમાવેશ થાય છે, જ્યારે સામાન્ય રીતે બેનેટની અસમાનતામાં પોઈસોનીયન પૂંછડીઓ હોય છે. બેનેટની અસમાનતા બર્નસ્ટીન અસમાનતાઓ જેવી જ છે, જેમાંથી પ્રથમ પણ ભિન્નતાની દ્રષ્ટિએ એકાગ્રતા આપે છે અને વ્યક્તિગત શરતો પર લગભગ નિશ્ચિત રીતે બંધાયેલ છે. બેનેટની અસમાનતા આ સીમા કરતાં વધુ મજબૂત છે, પરંતુ ગણતરી કરવી વધુ જટિલ છે. બંને અસમાનતાઓમાં, કેટલીક અન્ય અસમાનતાઓ અથવા મર્યાદા પ્રમેયોથી વિપરીત, ઘટક ચલોનું સમાન અથવા સમાન વિતરણ હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે દરેક સંભાવના સાથે સ્વતંત્ર દ્વિસંગી યાદૃચ્છિક ચલ છે. પછી બેનેટની અસમાનતા કહે છે કેઃ માટે, માટે. તેનાથી વિપરીત, હોફડિંગની અસમાનતા એક સીમા આપે છે અને પ્રથમ બર્નસ્ટીન અસમાનતા એક સીમા આપે છે. કારણ કે, હોફડિંગની અસમાનતા આપે છે, બર્નસ્ટીન આપે છે અને બેનેટ આપે છે. એકાગ્રતા અસમાનતા પણ જુઓ-રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ પર પૂંછડી-સીમાઓનો સારાંશ. સંદર્ભો સંભવિત અસમાનતાઓ