Hackenbush
હેકનબશ એ ગણિતશાસ્ત્રી જ્હોન હોર્ટન કોનવે દ્વારા શોધાયેલ બે ખેલાડીઓની રમત છે. તે તેમના અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા અને "ગ્રાઉન્ડ" રેખા સાથે એકબીજા સાથે જોડાયેલા રંગીન રેખા વિભાગોના કોઈપણ રૂપરેખાંકન પર રમી શકાય છે. રમતની શરૂઆત ખેલાડીઓ દ્વારા "ગ્રાઉન્ડ" રેખા દોરવાથી થાય છે (પરંપરાગત રીતે, પરંતુ જરૂરી નથી કે, કાગળના તળિયે અથવા અન્ય રમતના વિસ્તારમાં એક આડી રેખા હોય) અને કેટલાક લાઇન સેગમેન્ટ્સ જેમ કે દરેક લાઇન સેગમેન્ટ જમીન સાથે જોડાયેલ હોય, ક્યાં તો સીધા અંતિમ બિંદુ પર, અથવા પરોક્ષ રીતે, અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા જોડાયેલા અન્ય સેગમેન્ટ્સની સાંકળ દ્વારા. કોઈપણ સંખ્યામાં વિભાગો એક બિંદુ પર મળી શકે છે અને આમ જમીન પર જવા માટે બહુવિધ માર્ગો હોઈ શકે છે. તેમના વળાંક પર, ખેલાડી તેમની પસંદગીના કોઈપણ લાઇન સેગમેન્ટને કાપી નાખે છે (ભૂંસી નાખે છે). દરેક લાઇન સેગમેન્ટ હવે કોઈ પણ પાથ "ફોલ્સ" દ્વારા જમીન સાથે જોડાયેલ નથી (એટલે કે, ભૂંસી નાખવામાં આવે છે). સંયુક્ત રમત સિદ્ધાંતની સામાન્ય રમત પરંપરા અનુસાર, પ્રથમ ખેલાડી જે હલનચલન કરવામાં અસમર્થ હોય તે હારી જાય છે. હેકનબશ બોર્ડમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા ("મર્યાદિત બોર્ડ" ના કિસ્સામાં) અથવા અનંત રીતે ઘણા ("અનંત બોર્ડ" ના કિસ્સામાં) રેખા વિભાગો હોઈ શકે છે. અનંત સંખ્યામાં લાઇન સેગમેન્ટ્સનું અસ્તિત્વ રમતના સિદ્ધાંતની ધારણાનું ઉલ્લંઘન કરતું નથી કે રમતને મર્યાદિત સમયમાં સમાપ્ત કરી શકાય છે, જો કે ત્યાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા લાઇન સેગમેન્ટ્સ સીધા જમીનને "સ્પર્શ" કરે છે. અનંત બોર્ડ પર, બોર્ડના લેઆઉટના આધારે રમત કાયમ માટે ચાલુ રહી શકે છે, એમ ધારીને કે જમીનને સ્પર્શતા અનંત ઘણા બિંદુઓ છે. હેકેનબુશના મૂળ લોકકથા સંસ્કરણમાં, કોઈપણ ખેલાડીને કોઈપણ ધાર કાપવાની મંજૂરી છેઃ કારણ કે આ એક નિષ્પક્ષ રમત છે, તેથી સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ વિશ્લેષણ આપવું તુલનાત્મક રીતે સરળ છે. આમ સંયુકત રમત સિદ્ધાંતમાં રસ ધરાવતી હેકેનબુશની આવૃત્તિઓ વધુ જટિલ પક્ષપાતી રમતો છે, જેનો અર્થ છે કે એક ખેલાડી માટે ઉપલબ્ધ વિકલ્પો (ચાલ) અન્ય ખેલાડી માટે ઉપલબ્ધ હોવા જરૂરી નથી જો તે જ સ્થિતિને ધ્યાનમાં રાખીને આગળ વધવાનો તેમનો વારો હોય. આ બેમાંથી એક રીતે પ્રાપ્ત થાય છેઃ મૂળ હેકનબશઃ તમામ લાઇન સેગમેન્ટ્સ સમાન રંગના હોય છે અને કોઈપણ ખેલાડી દ્વારા કાપી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે ચૂકવણીઓ સમપ્રમાણ હોય છે અને દરેક ખેલાડીની બોર્ડ પરની સ્થિતિના આધારે સમાન કામગીરી હોય છે (આ કિસ્સામાં રેખાંકનની રચના) વાદળી-લાલ હેકનબુશઃ દરેક રેખા વિભાગ લાલ અથવા વાદળી રંગનો હોય છે. એક ખેલાડી (સામાન્ય રીતે પ્રથમ, અથવા ડાબોડી, ખેલાડી) ને માત્ર વાદળી રેખાના ભાગોને કાપવાની મંજૂરી હોય છે, જ્યારે અન્ય ખેલાડી (સામાન્ય રીતે બીજા, અથવા જમણા, ખેલાડી) ને માત્ર લાલ રેખાના ભાગોને કાપવાની મંજૂરી હોય છે. બ્લુ-રેડ-ગ્રીન હેકનબશઃ દરેક લાઇન સેગમેન્ટ લાલ, વાદળી અથવા લીલા રંગનું હોય છે. નિયમો બ્લુ-રેડ હેકનબશ માટે સમાન છે, જેમાં વધારાની શરત છે કે ગ્રીન લાઇન સેગમેન્ટ્સ કોઈપણ ખેલાડી દ્વારા કાપી શકાય છે. બ્લુ-રેડ હેકનબશ એ માત્ર બ્લુ-રેડ-ગ્રીન હેકનબશનો એક ખાસ કેસ છે, પરંતુ તે અલગથી નોંધવા યોગ્ય છે, કારણ કે તેનું વિશ્લેષણ ઘણીવાર ખૂબ સરળ હોય છે. આનું કારણ એ છે કે બ્લુ-રેડ હેકનબશ એક કહેવાતી ઠંડી રમત છે, જેનો અર્થ એ છે કે, આવશ્યકપણે, પ્રથમ ચાલ રાખવાથી ક્યારેય ફાયદો થઈ શકતો નથી. વિશ્લેષણ હેકેનબુશનો ઉપયોગ ઘણીવાર સંયુક્ત રમત સિદ્ધાંતમાં વ્યાખ્યાઓ અને વિભાવનાઓ દર્શાવવા માટે એક ઉદાહરણ રમત તરીકે કરવામાં આવે છે, જેની શરૂઆત ક્ષેત્રના કેટલાક સ્થાપકો દ્વારા ઓન નંબર્સ એન્ડ ગેમ્સ એન્ડ વિનિંગ વેઝ ફોર યોર મેથેમેટિકલ પ્લેઝ પુસ્તકોમાં કરવામાં આવી છે. ખાસ કરીને બ્લુ-રેડ હેકેનબુશનો ઉપયોગ અતિવાસ્તવિક સંખ્યાઓ બનાવવા માટે થઈ શકે છેઃ મર્યાદિત બ્લુ-રેડ હેકેનબુશ બોર્ડ ડાયડિક પરિમાણીય સંખ્યાઓ બનાવી શકે છે, જ્યારે અનંત બ્લુ-રેડ હેકેનબુશ બોર્ડના મૂલ્યો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, ક્રમિક અને ઘણા વધુ સામાન્ય મૂલ્યો માટે જવાબદાર છે જે બંનેમાંથી કોઈ નથી. બ્લુ-રેડ-ગ્રીન હેકનબશ વધારાની રમતોના નિર્માણ માટે પરવાનગી આપે છે જેમના મૂલ્યો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ નથી, જેમ કે સ્ટાર અને અન્ય તમામ નિમ્બર્સ. રમતનું વધુ વિશ્લેષણ આલેખ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને બોર્ડને શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓના સંગ્રહ તરીકે ધ્યાનમાં લઈને અને જમીન પર આવેલા દરેક શિરોબિંદુના માર્ગની તપાસ કરીને કરી શકાય છે (જેને એક વિશિષ્ટ શિરોબિંદુ તરીકે ગણવું જોઈએ-તે તમામ જમીન બિંદુઓને એક સાથે ઓળખવામાં કોઈ નુકસાન કરતું નથી-ગ્રાફ પરની રેખા તરીકે નહીં). હેકેનબુશના નિષ્પક્ષ સંસ્કરણમાં (ખેલાડી નિર્દિષ્ટ રંગો વિનાનું), રમતને ઘણા કિસ્સાઓમાં વિભાજીત કરીને નિમ ઢગલાનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારી શકાય છેઃ ઊભી, અભિસારી અને અલગ. લાઇન સેગમેન્ટ્સના વર્ટિકલ સ્ટેક્સ સાથે સંપૂર્ણપણે રમાય છે, જેને વાંસની દાંડીઓ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, આ રમત સીધી નિમ બની જાય છે અને તેનું સીધું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. જુદા જુદા ભાગો અથવા વૃક્ષો, રમતમાં વધારાની કરચલીઓ ઉમેરે છે અને કોલોન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડે છે જેમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે જ્યારે શાખાઓ શિરોબિંદુ પર એક સાથે આવે છે, ત્યારે શાખાઓને તેમના નિમ સરવાળા લંબાઈના બિન-શાખા દાંડી દ્વારા બદલી શકાય છે. આ સિદ્ધાંત રમતના પ્રતિનિધિત્વને વાંસની દાંડીઓના વધુ મૂળભૂત સંસ્કરણમાં બદલે છે. આલેખનો છેલ્લો સંભવિત સમૂહ જે બનાવી શકાય છે તે કન્વર્જન્ટ છે, જેને મનસ્વી રીતે મૂળવાળા આલેખ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ફ્યુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કહી શકીએ કે ગ્રાફના મૂલ્યમાં ફેરફાર કર્યા વિના કોઈપણ ચક્ર પરના તમામ શિરોબિંદુઓ એક સાથે જોડાઈ શકે છે. તેથી, કોઈપણ અભિસારી આલેખને સરળ વાંસની દાંડીના આલેખ તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. ત્રણેય પ્રકારના આલેખને જોડીને આપણે રમતમાં જટિલતા ઉમેરી શકીએ છીએ, રમતના નિમ સરવાળાને ક્યારેય બદલ્યા વિના, જેનાથી રમતને નિમની વ્યૂહરચનાઓ લેવાની મંજૂરી મળે છે. કોલોન સિદ્ધાંતનો પુરાવો કોલોન સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જ્યારે શાખાઓ શિરોબિંદુ પર એક સાથે આવે છે, ત્યારે શાખાઓને તેમના નિમ સરવાળા લંબાઈના બિન-શાખા દાંડી દ્વારા બદલી શકાય છે. નિશ્ચિત પરંતુ મનસ્વી આલેખ, G ને ધ્યાનમાં લો અને G માં મનસ્વી શિરોબિંદુ, x પસંદ કરો. H1 અને H2 મનસ્વી વૃક્ષો (અથવા આલેખ) હોય જે સમાન સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી મૂલ્ય ધરાવે છે. બે આલેખ G1 = Gx: H1 અને G2 = Gx: H2 નો વિચાર કરો, જ્યાં Gx: Hi ગ્રાફ G ના શિરોબિંદુ x સાથે વૃક્ષ હાયને જોડીને બનાવવામાં આવેલા આલેખને રજૂ કરે છે. કોલોન સિદ્ધાંત જણાવે છે કે બે આલેખ G1 અને G2 સમાન સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી મૂલ્ય ધરાવે છે. બે રમતોનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો. G1 અને G2નું સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી મૂલ્ય સમાન હોવાનો દાવો એ દાવાની સમકક્ષ છે કે બે રમતોનો સરવાળો સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી મૂલ્ય 0 ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે બતાવવાનું છે કે G1 + G2 નો સરવાળો એ P-સ્થિતિ છે. જો તેઓ G1 + G2 માં આગળ વધનારા બીજા ખેલાડી હોય તો ખેલાડીને જીતવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે. જો પ્રથમ ખેલાડી એક રમતમાં G ની એક ધારને કાપીને આગળ વધે છે, તો બીજો ખેલાડી બીજી રમતમાં G માં તે જ ધારને કાપી નાખે છે. (આવી ચાલની જોડી રમતોમાંથી H1 અને H2 ને કાઢી શકે છે, પરંતુ અન્યથા H1 અને H2 ખલેલ પહોંચાડે નહીં.) જો પ્રથમ ખેલાડી H1 અથવા H2 માં ધાર કાપીને આગળ વધે છે, તો પછી H1 અને H2 ના સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી મૂલ્યો હવે સમાન નથી, જેથી H1 અથવા H2 માં એક ચાલ અસ્તિત્વમાં રહે છે જે સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી મૂલ્યોને સમાન રાખે છે. આ રીતે તમારી પાસે હંમેશા તેની દરેક ચાલનો જવાબ હશે. આનો અર્થ એ છે કે તમે છેલ્લું પગલું ભરશો અને તેથી જીતશો. સંદર્ભો જ્હોન એચ. કોનવે, ઓન નંબર્સ એન્ડ ગેમ્સ, બીજી આવૃત્તિ, એ. કે. પીટર્સ, 2000. બાહ્ય કડીઓ હેકેનસ્ટ્રિંગ્સ, અને 0.999. વિ. 1 હેકેનબુશ ઓન પેન્સિલ એન્ડ પેપર ગેમ્સ મેથેમેટિકલ ગેમ્સ એબ્સ્ટ્રેક્ટ સ્ટ્રેટેજી ગેમ્સ કોમ્બિનેટોરિયલ ગેમ થિયરી પેપર-એન્ડ-પેન્સિલ ગેમ્સ જ્હોન હોર્ટન કોનવે