Homeomorphism group
ગણિતમાં, ખાસ કરીને ટોપોલોજીમાં, ટોપોલોજિકલ જગ્યાનું હોમોમોર્ફિઝમ જૂથ એ જૂથ કામગીરી તરીકે કાર્ય રચના સાથે અવકાશથી પોતાને સુધીના તમામ હોમોમોર્ફિઝમ્સનું બનેલું જૂથ છે. હોમ્યોમોર્ફિઝમ જૂથો ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સિદ્ધાંતમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે અને સામાન્ય રીતે ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથોના ઉદાહરણો છે. હોમોમોર્ફિઝમ જૂથો એ અર્થમાં ટોપોલોજિકલ અપરિવર્તનશીલ છે કે હોમોમોર્ફિક ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના હોમોમોર્ફિઝમ જૂથો જૂથો તરીકે આઇસોમોર્ફિક છે. ગુણધર્મો અને ઉદાહરણો તે જગ્યા પરના જગ્યાના હોમોમોર્ફિઝમ જૂથની કુદરતી જૂથ ક્રિયા છે. ચાલો એક ટોપોલોજિકલ જગ્યા હોઈએ અને બાયના હોમોમોર્ફિઝમ જૂથને સૂચવીએ. ક્રિયાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આ એક જૂથ ક્રિયા છે કારણ કે બધા માટે, જ્યાં જૂથ ક્રિયાને સૂચવે છે, અને ઓળખ તત્વ (જે ઓળખ કાર્ય છે) પોતાને પોઈન્ટ મોકલે છે. જો આ ક્રિયા સંક્રમક હોય, તો જગ્યા સજાતીય કહેવાય છે. ટોપોલોજી ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ વચ્ચેના નકશાના અન્ય સમૂહોની જેમ, હોમોમોર્ફિઝમ જૂથને કોમ્પેક્ટ-ઓપન ટોપોલોજી જેવી ટોપોલોજી આપી શકાય છે. નિયમિત, સ્થાનિક રીતે સઘન જગ્યાઓના કિસ્સામાં જૂથ ગુણાકાર પછી સતત હોય છે. જો જગ્યા સઘન અને હૌસડોર્ફ હોય, તો વ્યુત્ક્રમ પણ સતત હોય છે અને તે એક ટોપોલોજિકલ જૂથ બની જાય છે. જો હૌસડોર્ફ હોય, તો સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ અને સ્થાનિક રીતે જોડાયેલ આ પણ ધરાવે છે. જો કે ત્યાં સ્થાનિક રીતે સઘન અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યાઓ છે જેના માટે વ્યુત્ક્રમ નકશો સતત નથી અને તેથી ટોપોલોજિકલ જૂથ નથી. હોમોમોર્ફિઝમ સાથેની ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણીમાં, જૂથ પદાર્થો બરાબર હોમોમોર્ફિઝમ જૂથો છે. વર્ગ જૂથનું મેપિંગ ખાસ કરીને ભૌમિતિક ટોપોલોજીમાં, આઇસોટોપી દ્વારા ભાગાકાર દ્વારા મેળવેલા ભાગાકાર જૂથને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જેને મેપિંગ વર્ગ જૂથ કહેવાય છેઃ એમસીજીને 0મા હોમોટોપી જૂથ તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ આપે છેઃ કેટલીક એપ્લિકેશનોમાં, ખાસ કરીને સપાટીઓમાં, હોમોમોર્ફિઝમ જૂથનો અભ્યાસ આ ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ દ્વારા કરવામાં આવે છે, અને પહેલા મેપિંગ વર્ગ જૂથ અને આઇસોટોપિક રીતે તુચ્છ હોમોમોર્ફિઝમ્સના જૂથનો અભ્યાસ કરીને, અને પછી (અમુક સમયે) વિસ્તરણ. મેપિંગ વર્ગ જૂથ સંદર્ભો જૂથ સિદ્ધાંત ટોપોલોજી ટોપોલોજિકલ જૂથો પણ જુઓ.