Beta negative binomial distribution
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ એ સ્વતંત્ર બર્નૌલી પરીક્ષણોના ક્રમમાં સફળતા મેળવવા માટે જરૂરી નિષ્ફળતાઓની સંખ્યાની બરાબર અલગ યાદૃચ્છિક ચલનું સંભાવના વિતરણ છે. દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના કોઈપણ પ્રયોગમાં સ્થિર રહે છે પરંતુ બીટા વિતરણ પછી વિવિધ પ્રયોગોમાં બદલાય છે. આમ વિતરણ એ સંયોજન સંભાવના વિતરણ છે. આ વિતરણને ઇન્વર્સ માર્કોવ-પોલ્યા વિતરણ અને સામાન્યીકૃત વારિંગ વિતરણ અથવા ફક્ત સંક્ષિપ્તમાં બી. એન. બી. વિતરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. વિતરણના સ્થાનાંતરિત સ્વરૂપને બીટા-પાસ્કલ વિતરણ કહેવામાં આવે છે. જો બીટા વિતરણના પરિમાણો છે અને, અને જો ક્યાં તો તેનું સીમાંત વિતરણ બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ છેઃ ઉપરોક્તમાં, નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ છે અને બીટા વિતરણ છે. વ્યાખ્યા અને વ્યુત્પત્તિ અનુક્રમે નકારાત્મક દ્વિપદી અને બીટા વિતરણની ગીચતાને સૂચવતા, આપણે સીમાંતરણ દ્વારા બી. એન. બી. વિતરણનું પી. એમ. એફ. મેળવીએ છીએઃ નોંધવું કે અભિન્ન મૂલ્યાંકન આ પ્રમાણે છેઃ આપણે પ્રમાણમાં સરળ હેરફેર દ્વારા નીચેના સૂત્રો પર પહોંચી શકીએ છીએ. જો પૂર્ણાંક હોય, તો પી. એમ. એફ. ને બીટા કાર્યની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છેઃ વધુ સામાન્ય રીતે, પી. એમ. એફ. લખી શકાય છે. પી. એમ. એફ. ને ગામા સાથે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે બીટા કાર્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, પૂર્ણાંક સાથે પી. એમ. એફ. ને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છેઃ વધુ સામાન્ય રીતે, પીએમએફને આ રીતે લખી શકાય છે. પી. એમ. એફ. ને વધતા જતા પોચેમર પ્રતીક સાથે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. પી. એમ. એફ. ને ઘણીવાર પૂર્ણાંક ગુણધર્મો ફેક્ટોરિયલ મોમેન્ટ્સ માટે પોચેમર પ્રતીકની દ્રષ્ટિએ પણ રજૂ કરવામાં આવે છે. બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી રેન્ડમ ચલની-th ફેક્ટોરિયલ ક્ષણ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આ કિસ્સામાં તે બિન-ઓળખી શકાય તેવું છે. બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી બિન-ઓળખી શકાય તેવું છે જે સરળતાથી અદલાબદલી કરીને અને ઉપરની ઘનતા અથવા લાક્ષણિકતા કાર્યમાં જોઈ શકાય છે અને નોંધે છે કે તે અપરિવર્તિત છે. આમ અંદાજ માંગ કરે છે કે અવરોધ મૂકવામાં આવે, અથવા બંને. અન્ય વિતરણો સાથે સંબંધ બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણમાં બીટા ભૌમિતિક વિતરણ એક વિશેષ કેસ તરીકે હોય છે જ્યારે ક્યાં તો અથવા. તેથી તે આપખુદ રીતે ભૌમિતિક વિતરણનો અંદાજ લગાવી શકે છે. તે મોટા માટે નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણને મનસ્વી રીતે પણ અંદાજિત કરે છે. તેથી તે મોટા, અને માટે મનસ્વી રીતે પોઈસન વિતરણનો અંદાજ લગાવી શકે છે. બીટા કાર્ય માટે સ્ટર્લિંગના અંદાજ દ્વારા, તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે મોટા માટે જે સૂચવે છે કે બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ ભારે પૂંછડીવાળું છે અને તે ક્ષણો અસ્તિત્વમાં નથી. બીટા ભૌમિતિક વિતરણ બીટા ભૌમિતિક વિતરણ એ બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણનો એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ છે. આ કિસ્સામાં પી. એમ. એફ. સરળ બને છે. આ વિતરણનો ઉપયોગ કેટલાક બાય ટિલ યુ ડાઇ (બીટીવાયડી) મોડેલોમાં થાય છે. વધુમાં, જ્યારે બીટા ભૌમિતિક યુલે-સિમોન વિતરણમાં ઘટાડો થાય છે. જો કે, બીટા ભૌમિતિકના સ્થાનાંતરિત સંસ્કરણની દ્રષ્ટિએ યુલે-સિમોન વિતરણને વ્યાખ્યાયિત કરવું વધુ સામાન્ય છે. ખાસ કરીને જો. પોલ્યા કલશ મોડેલ તરીકે બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી એવા કિસ્સામાં જ્યારે 3 પરિમાણો અને હકારાત્મક પૂર્ણાંકો હોય, ત્યારે બીટા નકારાત્મક દ્વિપદી પણ કલશ મોડેલ દ્વારા પ્રેરિત થઈ શકે છે-અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે મૂળભૂત પોલ્યા કલશ મોડેલ. શરૂઆતમાં લાલ દડા (અટકતો રંગ) અને વાદળી દડા ધરાવતા કળશને ધ્યાનમાં લો. મોડેલના દરેક તબક્કે, કળશમાંથી એક બોલ રેન્ડમ રીતે દોરવામાં આવે છે અને તેને સમાન રંગના એક વધારાના બોલ સાથે બદલવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા વારંવાર પુનરાવર્તિત થાય છે, જ્યાં સુધી લાલ રંગના દડા દોરવામાં ન આવે. વાદળી દડાઓના અવલોકન કરાયેલા ડ્રોના રેન્ડમ ચલને a અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે. નોંધ લો, પ્રયોગના અંતે, કળશમાં હંમેશા નિશ્ચિત સંખ્યામાં લાલ દડા હોય છે જ્યારે તેમાં અનિયમિત સંખ્યામાં વાદળી દડા હોય છે. બિન-ઓળખના ગુણધર્મ દ્વારા, શરૂઆતમાં લાલ દડા (અટકાવવાનો રંગ) અને વાદળી દડા ધરાવતા કલશ સાથે સમાન રીતે ઉત્પન્ન કરી શકાય છે અને જ્યારે લાલ દડા જોવા મળે ત્યારે બંધ કરી શકાય છે. નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ ડિરીક્લેટ નકારાત્મક બહુપદી વિતરણ નોંધો સંદર્ભો જોહ્ન્સન, એન. એલ. ; કોટ્ઝ, એસ.; કેમ્પ, એ. ડબલ્યુ. (1993) યુનિવેરિયેટ ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન, બીજી આવૃત્તિ, વિલી (વિભાગ 6.2.3) કેમ્પ, સી. ડી. કેમ્પ, એ. ડબલ્યુ. (1956) "જનરલાઈઝ્ડ હાયપરજિયોમેટ્રિક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન, જર્નલ ઓફ ધ રોયલ સ્ટેટિસ્ટિકલ સોસાયટી, સિરીઝ બી, 18, <આઇ. ડી. 1> વાંગ, ઝાઓલિયાંગ (2011)" એપ્લિકેશન સાથે એક મિશ્ર નકારાત્મક દ્વિપદી વિતરણ ", જર્નલ ઓફ સ્ટેટિસ્ટિકલ પ્લાનિંગ એન્ડ ઇન્ફરન્સ", 141 (3), <આઇ. ડી. 2> બાહ્ય કડીઓ ઇન્ટરેક્ટિવ ગ્રાફિકઃ યુનિવેરિયેટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન રિલેશન્સ ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કોમ્પાઉન્ડ પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફેક્ટોરિયલ અને દ્વિપદી વિષયો