Itô calculus
ઇટો કેલ્ક્યુલસ, જેનું નામ કિયોસી ઇટો પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે કેલ્ક્યુલસની પદ્ધતિઓને બ્રાઉનિયન ગતિ જેવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ સુધી વિસ્તરે છે (જુઓ વીનર પ્રક્રિયા). તે ગાણિતિક નાણા અને સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો ધરાવે છે. કેન્દ્રિય ખ્યાલ એ ઇટો સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ છે, જે વિશ્લેષણમાં રીમાન-સ્ટીલ્ટજેસ ઇન્ટિગ્રલનું સ્ટોકેસ્ટિક સામાન્યીકરણ છે. ઇન્ટિગ્રેન્ડ્સ અને ઇન્ટિગ્રેટર હવે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ છેઃ જ્યાં H એ સ્થાનિક રીતે ચોરસ-સંકલિત પ્રક્રિયા છે જે X દ્વારા પેદા થયેલ ગાળણક્રિયા માટે અનુકૂળ છે, જે બ્રાઉનિયન ગતિ છે અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, સેમિમાર્ટિંગેલ છે. એકીકરણનું પરિણામ પછી બીજી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે. ચોક્કસપણે, 0 થી કોઈપણ ચોક્કસ t સુધીનું ઇન્ટિગ્રલ એક રેન્ડમ વેરિયેબલ છે, જેને રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ચોક્કસ ક્રમની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બ્રાઉનિયન ગતિના માર્ગો કલનની પ્રમાણભૂત તકનીકોને લાગુ કરવામાં સક્ષમ થવા માટેની જરૂરિયાતોને સંતોષવામાં નિષ્ફળ જાય છે. તેથી ઇન્ટિગ્રેન્ડ એ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા સાથે, ઇટો સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ એ ફંક્શનના સંદર્ભમાં ઇન્ટિગ્રલ જેટલું છે જે કોઈપણ સમયે ડિફરન્શીએબલ નથી અને દરેક સમય અંતરાલમાં અનંત ભિન્નતા ધરાવે છે. મુખ્ય આંતરદૃષ્ટિ એ છે કે જ્યાં સુધી ઇન્ટિગ્રાન્ડ H સ્વીકારવામાં આવે ત્યાં સુધી ઇન્ટિગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેનો ઢીલું અર્થ એ છે કે સમય t પર તેનું મૂલ્ય ફક્ત આ સમય સુધી ઉપલબ્ધ માહિતી પર આધારિત હોઈ શકે છે. આશરે કહીએ તો, કોઈ વ્યક્તિ 0 થી t સુધીના અંતરાલના પાર્ટીશનોની શ્રેણી પસંદ કરે છે અને રીમાન સમ બનાવે છે. દર વખતે જ્યારે આપણે રીમાન સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે ઇન્ટિગ્રેટરના ચોક્કસ ઇન્સ્ટન્ટેશનનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ. કાર્યના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે દરેક નાના અંતરાલોમાં કયા બિંદુનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે નિર્ણાયક છે. પછી મર્યાદાને સંભાવનામાં લેવામાં આવે છે કારણ કે પાર્ટીશનની જાળી શૂન્ય પર જઈ રહી છે. આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને પાર્ટીશનોના ચોક્કસ ક્રમથી સ્વતંત્ર છે તે બતાવવા માટે અસંખ્ય તકનીકી વિગતોની કાળજી લેવી પડશે. સામાન્ય રીતે, અંતરાલનો ડાબો છેડો વપરાય છે. ઇટો કેલ્ક્યુલસના મહત્વના પરિણામોમાં ભાગ સૂત્ર દ્વારા એકીકરણ અને ઇટોના લેમ્માનો સમાવેશ થાય છે, જે ચલ સૂત્રમાં ફેરફાર છે. આ દ્વિઘાત ભિન્નતાની શરતોને કારણે પ્રમાણભૂત કલનનાં સૂત્રોથી અલગ પડે છે. ગાણિતિક નાણામાં, અભિન્નની વર્ણવેલ મૂલ્યાંકન વ્યૂહરચનાની કલ્પના કરવામાં આવે છે કે આપણે પહેલા શું કરવું તે નક્કી કરી રહ્યા છીએ, પછી કિંમતોમાં ફેરફારનું નિરીક્ષણ કરી રહ્યા છીએ. ઇન્ટિગ્રેન્ડ એ છે કે આપણી પાસે કેટલો સ્ટોક છે, ઇન્ટિગ્રેટર કિંમતોની હિલચાલને રજૂ કરે છે, અને અભિન્ન એ છે કે કોઈ પણ ક્ષણે આપણા સ્ટોકની કિંમત સહિત આપણી પાસે કુલ કેટલા પૈસા છે. શેરો અને અન્ય વેપારી નાણાકીય અસ્કયામતોની કિંમતો બ્રાઉનિયન ગતિ અથવા વધુ વખત ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિ (બ્લેક-સ્કોલ્સ જુઓ) જેવી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ દ્વારા તૈયાર કરી શકાય છે. પછી, ઇટો સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ સતત-સમયની વેપાર વ્યૂહરચનાની ચૂકવણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેમાં સમય t પર સ્ટોકની Ht રકમ રાખવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પરિસ્થિતિમાં, H અનુકૂળ છે તે શરત જરૂરી પ્રતિબંધને અનુરૂપ છે કે વેપાર વ્યૂહરચના કોઈપણ સમયે ઉપલબ્ધ માહિતીનો જ ઉપયોગ કરી શકે છે. આ દૂરદર્શિતા દ્વારા અમર્યાદિત લાભની શક્યતાને અટકાવે છેઃ બજારમાં દરેક તેજી પહેલાં શેરની ખરીદી કરવી અને દરેક મંદી પહેલાં વેચાણ કરવું. તેવી જ રીતે, H સ્વીકારવામાં આવે છે તે શરત સૂચવે છે કે જ્યારે રીમાન રકમની મર્યાદા તરીકે ગણતરી કરવામાં આવે ત્યારે સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ અલગ નહીં થાય. સંકેત અગાઉ વ્યાખ્યાયિત પ્રક્રિયા Y પોતે સમય પરિમાણ t સાથે એક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે, જેને કેટલીકવાર Y = H·X તરીકે પણ લખવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, ઇન્ટિગ્રલને ઘણીવાર વિકલન સ્વરૂપ dY = H dX માં લખવામાં આવે છે, જે Y − Y0 = H·X ની સમકક્ષ હોય છે. આઇટો કેલ્ક્યુલસ સતત-સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ સાથે સંબંધિત હોવાથી, એવું માનવામાં આવે છે કે અંતર્ગત ફિલ્ટર કરેલ સંભાવના જગ્યા આપવામાં આવે છે. σ-બીજગણિત સમય t સુધી ઉપલબ્ધ માહિતીને રજૂ કરે છે, અને જો Xt-માપી શકાય તેવી હોય તો પ્રક્રિયા X સ્વીકારવામાં આવે છે. બ્રાઉનિયન ગતિ B ને-બ્રાઉનિયન ગતિ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જે Bt એ-માપી શકાય તેવા ગુણધર્મો સાથે માત્ર એક પ્રમાણભૂત બ્રાઉનિયન ગતિ છે અને તે Bt + s − Bt બધા s, t ≤ 0 માટે સ્વતંત્ર છે. બ્રાઉનિયન ગતિના સંદર્ભમાં એકીકરણ ઇટો ઇન્ટિગ્રલને રીમાન-સ્ટીલ્ટજેસ ઇન્ટિગ્રલ જેવી જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે રીમાન રકમની સંભાવનાની મર્યાદા તરીકે છે; આવી મર્યાદા પાથવાઇઝ અસ્તિત્વમાં હોવી જરૂરી નથી. ધારો કે બી એ વીનર પ્રક્રિયા (બ્રાઉનિયન ગતિ) છે અને એચ એ જમણી-સતત (સી. એ. ડી. એલ. એ. જી.), અનુકૂલિત અને સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ પ્રક્રિયા છે. જો [0, t] ના પાર્ટીશનોની શ્રેણી હોય અને જાળી શૂન્ય પર જાય, તો પછી સમય t સુધી B ના સંદર્ભમાં H નું It̃ ઇન્ટિગ્રલ એક રેન્ડમ વેરિયેબલ છે. કેટલીક એપ્લિકેશનો માટે, જેમ કે માર્ટિંગેલ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેયો અને સ્થાનિક સમય, અવિભાજ્ય પ્રક્રિયાઓ માટે જરૂરી છે જે સતત નથી. અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓ સૌથી નાનો વર્ગ બનાવે છે જે ક્રમની મર્યાદા હેઠળ બંધ હોય છે અને તેમાં તમામ અનુકૂળ ડાબી-સતત પ્રક્રિયાઓ હોય છે. જો H એ કોઈ અનુમાનિત પ્રક્રિયા છે કે જેમ કે દરેક t ≤ 0 માટે ingm0t H2 ds <ini પછી B ના સંદર્ભમાં H ના અભિન્ન ભાગને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને H ને B-અભિન્ન કહેવાય છે. આવી કોઈપણ પ્રક્રિયાને ડાબી-સતત, અનુકૂળ અને સ્થાનિક રીતે બંધાયેલી પ્રક્રિયાઓના અનુક્રમ Hn દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે, તે અર્થમાં કે સંભાવના છે. પછી, ઇટો ઇન્ટિગ્રલ એ છે કે જ્યાં, ફરીથી, મર્યાદાને સંભાવનામાં કન્વર્જ દર્શાવી શકાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ ઇટો આઇસોમેટ્રીને સંતોષે છે જે જ્યારે H બંધાયેલ હોય ત્યારે અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, જ્યારે જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ મર્યાદિત હોય ત્યારે ધરાવે છે. આઈ. ટી. ઓ. પ્રક્રિયા એક આઈ. ટી. ઓ. પ્રક્રિયાને એક અનુકૂલિત સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને બ્રાઉનિયન ગતિના સંદર્ભમાં એક અભિન્ન અને સમયના સંદર્ભમાં એક અભિન્નના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, અહીં, બી એ બ્રાઉનિયન ગતિ છે અને તે જરૂરી છે કે σ એ અનુમાનિત બી-સંકલિત પ્રક્રિયા છે, અને એમયુ અનુમાનિત અને (લેબસ્ગ્યુ) સંકલિત છે. એટલે કે, દરેક ટી માટે. સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલને આવી આઈ. ટી. ઓ. પ્રક્રિયાઓ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, આ તમામ સ્થાનિક રીતે બંધાયેલા અને અનુમાનિત ઇન્ટિગ્રાન્ડ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, તે જરૂરી છે કે Hσ એ B-ઇન્ટિગ્રેબલ હોય અને Hμ લેબસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રેબલ હોય, જેથી આવી અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓ H ને X-ઇન્ટિગ્રેબલ કહેવામાં આવે. ઇટો પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસ માટેનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ ઇટોઝ લેમ્મા છે. તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં, ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ વાસ્તવિક અને આઈ. ટી. ઓ. પ્રક્રિયા એક્સ પર કોઈપણ બે વાર સતત વિકલનક્ષમ વિધેય એફ માટે, તે જણાવે છે કે એફ (એક્સ) પોતે એક આઈ. ટી. ઓ. પ્રક્રિયા છે જે સૂત્ર અને સાંકળ નિયમના ચલ પરિવર્તનનું સ્ટોકેસ્ટિક કલન સંસ્કરણ છે. તે f ના બીજા વ્યુત્પન્નને સંડોવતા વધારાના શબ્દને કારણે પ્રમાણભૂત પરિણામથી અલગ પડે છે, જે એ ગુણધર્મમાંથી આવે છે કે બ્રાઉનિયન ગતિમાં બિન-શૂન્ય દ્વિઘાત ભિન્નતા હોય છે. ઈન્ટિગ્રેટર તરીકે સેમીમાર્ટીંગેલ્સ આઈ. ટી. ઓ. ઈન્ટિગ્રલને સેમીમાર્ટીંગેલ એક્સના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ એવી પ્રક્રિયાઓ છે જેને સ્થાનિક માર્ટિંગેલ એમ અને મર્યાદિત વિવિધતા પ્રક્રિયા એ માટે X = M + A તરીકે વિઘટિત કરી શકાય છે. આવી પ્રક્રિયાઓના મહત્વના ઉદાહરણોમાં બ્રાઉનિયન ગતિ, જે એક માર્ટિંગેલ છે, અને લેવી પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે. ડાબી બાજુ સતત, સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ અને અનુકૂલિત પ્રક્રિયા H માટે અભિન્ન H·X અસ્તિત્વમાં છે, અને રીમાન રકમની મર્યાદા તરીકે ગણતરી કરી શકાય છે. ધારો કે πn એ [0, t] ના પાર્ટીશનોની શ્રેણી છે, જેમાં જાળી શૂન્ય પર જાય છે, આ મર્યાદા સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે. ડાબા-સતત પ્રક્રિયાઓનું સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ મોટાભાગના સ્ટોકેસ્ટિક કલનનો અભ્યાસ કરવા માટે પૂરતું સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે ઇટોના લેમ્માના ઉપયોગો, ગિરસાનોવના પ્રમેય દ્વારા માપના ફેરફારો અને સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસ માટે પૂરતું છે. જો કે, તે અન્ય મહત્વપૂર્ણ વિષયો જેમ કે માર્ટિંગેલ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેયો અને સ્થાનિક સમય માટે અપૂરતું છે. ઇન્ટિગ્રલ તમામ અનુમાનિત અને સ્થાનિક રીતે બંધાયેલા ઇન્ટિગ્રાન્ડ્સ સુધી એક અનન્ય રીતે વિસ્તરે છે, જેમ કે પ્રભુત્વ ધરાવતું કન્વર્જન્સ થીયરમ ધરાવે છે. એટલે કે, જો સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ પ્રક્રિયા J માટે Hn →; H અને |Hn | ≤ J હોય, તો સંભાવનામાં. ડાબા-સતતથી અનુમાનિત સંકલન સુધીના વિસ્તરણની વિશિષ્ટતા એ મોનોટોન વર્ગ લેમ્માનું પરિણામ છે. સામાન્ય રીતે, સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ H·X ને એવા કિસ્સાઓમાં પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં અનુમાનિત પ્રક્રિયા H સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ નથી. જો K = 1/(1 + |H |) હોય તો K અને KH બંધાયેલા છે. સ્ટોકેસ્ટિક એકીકરણની સહયોગીતા સૂચવે છે કે H એ X-સંકલિત છે, અભિન્ન H·X = Y સાથે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો Y0 = 0 અને K·Y = (KH)·X હોય. X-સંકલિત પ્રક્રિયાઓનો સમૂહ L (X) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ગુણધર્મો નીચેના ગુણધર્મો અને જેવા કાર્યોમાં મળી શકે છેઃ સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ એ કેડ્લેગ પ્રક્રિયા છે. વધુમાં, તે એક સેમિમાર્ટીંગેલ છે. સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલની વિસંગતતાઓ ઇન્ટિગ્રેટરના કૂદકા દ્વારા ઇન્ટિગ્રાન્ડ દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમય t પર સી. એ. ડી. એલ. એ. જી. પ્રક્રિયાનો કૂદકો Xt − Xt− છે, અને તેને ઘણીવાર ΔXt દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ સંકેતલિપી સાથે, δ (H·X) = H δX. આનું એક ખાસ પરિણામ એ છે કે સતત પ્રક્રિયાના સંદર્ભમાં સંકલન હંમેશા પોતે સતત હોય છે. સહયોગીતા. ધારો કે J, K અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓ છે, અને K એ X-સંકલિત છે. પછી, J એ K·X સંકલનક્ષમ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો જેકે X સંકલનક્ષમ હોય, તો આ કિસ્સામાં પ્રભુત્વ ધરાવતું અભિસરણ. ધારો કે Hn → H અને |Hn | ≤ J, જ્યાં J એ X-સંકલિત પ્રક્રિયા છે. પછી Hn·X → H·X. દરેક સમય t પર કન્વર્જન્સ સંભાવનામાં હોય છે. હકીકતમાં, તે સંભાવનામાં કોમ્પેક્ટ સેટ પર સમાન રીતે કન્વર્જ થાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ ક્વાડ્રેટિક કોવેરિયેશન્સ લેવાની કામગીરી સાથે મુસાફરી કરે છે. જો X અને Y અર્ધ-વિનિમયક્ષમ હોય તો કોઈપણ X-સંકલનક્ષમ પ્રક્રિયા પણ [X, Y]-સંકલનક્ષમ અને [H·X, Y] = H· [X, Y] હશે. આનું પરિણામ એ છે કે સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલની ક્વાડ્રેટિક વેરિએશન પ્રક્રિયા એ ક્વાડ્રેટિક વેરિએશન પ્રક્રિયાના ઇન્ટિગ્રલની બરાબર છે, ભાગો દ્વારા ઇન્ટિગ્રેશન સામાન્ય કલનની જેમ, ભાગો દ્વારા ઇન્ટિગ્રેશન એ સ્ટોકેસ્ટિક કલનમાં એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે. ઇટો ઇન્ટિગ્રલ માટે ભાગો દ્વારા સંકલન સૂત્ર પ્રમાણભૂત પરિણામથી અલગ છે કારણ કે તેમાં વર્ગાત્મક સહપરિવર્તન શબ્દનો સમાવેશ થાય છે. આ શબ્દ એ હકીકત પરથી આવ્યો છે કે ઇટો કેલ્ક્યુલસ બિન-શૂન્ય વર્ગાત્મક વિવિધતા સાથેની પ્રક્રિયાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે, જે ફક્ત અનંત વિવિધતા પ્રક્રિયાઓ (જેમ કે બ્રાઉનિયન ગતિ) માટે જ થાય છે. જો X અને Y સેમીમાર્ટીંગેલ્સ હોય તો જ્યાં [X, Y] એ વર્ગાત્મક સહપરિવર્તન પ્રક્રિયા છે. પરિણામ રીમાન-સ્ટીલ્ટજેસ ઇન્ટિગ્રલ માટે ભાગોના પ્રમેય દ્વારા એકીકરણ જેવું જ છે પરંતુ તેમાં વધારાની દ્વિઘાત ભિન્નતા શબ્દ છે. ઇટોનો લેમ્મા ઇટોનો લેમ્મા એ સાંકળ નિયમ અથવા ચલ સૂત્રમાં ફેરફારનું સંસ્કરણ છે જે ઇટોનો અભિન્ન ભાગ લાગુ પડે છે. તે સ્ટોકેસ્ટિક કલનમાં સૌથી શક્તિશાળી અને વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રમેયોમાંનું એક છે. સતત n-પરિમાણીય અર્ધ-ગુણાંક X = (X1,., Xn) અને Rn થી R સુધી બે વાર સતત વિકલનક્ષમ વિધેય f માટે, તે જણાવે છે કે f (X) એ અર્ધ-ગુણાંક છે અને, આ વર્ગાત્મક સહપરિવર્તન [xi, xj] ને સમાવતા શબ્દને કારણે પ્રમાણભૂત ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સાંકળ નિયમથી અલગ છે. આ સૂત્રને અન્ય રીતે સ્પષ્ટ સમય-નિર્ભરતાનો સમાવેશ કરવા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે (ઇટોનો લેમ્મા જુઓ). માર્ટિંગેલ ઇન્ટિગ્રેટર સ્થાનિક માર્ટિંગેલ્સ ઇટો ઇન્ટિગ્રલનો એક મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ એ છે કે તે સ્થાનિક માર્ટિંગેલ મિલકતને સાચવે છે. જો M એ સ્થાનિક માર્ટીંગેલ છે અને H એ સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ અનુમાનિત પ્રક્રિયા છે તો H·M પણ સ્થાનિક માર્ટીંગેલ છે. સ્થાનિક રીતે બંધાયેલા ન હોય તેવા સંકલન માટે, એવા ઉદાહરણો છે કે જ્યાં H·M એ સ્થાનિક માર્ટીંગેલ નથી. જો કે, આ ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે M સતત ન હોય. જો M એ સતત સ્થાનિક માર્ટીંગેલ હોય તો અનુમાનિત પ્રક્રિયા H એ M-સંકલિત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક t માટે, અને H·M હંમેશા સ્થાનિક માર્ટીંગેલ હોય. અસંગત સ્થાનિક માર્ટીંગેલ M માટેનું સૌથી સામાન્ય નિવેદન એ છે કે જો (H2· [M]) 1/2 સ્થાનિક રીતે સંકલિત હોય તો H·M અસ્તિત્વમાં છે અને તે સ્થાનિક માર્ટીંગેલ છે. સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિન્ગલ્સ બાઉન્ડેડ ઇન્ટિગ્રેન્ડ્સ માટે, ઇટો સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિન્ગલ્સની જગ્યાને સાચવે છે, જે કેડ્લેગ માર્ટિન્ગલ્સ M નો સમૂહ છે, જેમ કે E [Mt2] બધા t માટે મર્યાદિત છે. આવા કોઈપણ સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિન્ગલ્સ M માટે, ક્વાડ્રેટિક ભિન્નતા પ્રક્રિયા [M] ઇન્ટિગ્રેબલ છે, અને ઇટો આઇસોમેટ્રી જણાવે છે કે આ સમાનતા કોઈપણ માર્ટિન્ગલ્સ M માટે વધુ સામાન્ય રીતે ધરાવે છે જેથી H2· [M] t ઇન્ટિગ્રેબલ હોય. ઇટો આઇસોમેટ્રીનો ઉપયોગ ઘણીવાર સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલના નિર્માણમાં એક મહત્વપૂર્ણ પગલા તરીકે થાય છે, જેમાં એચ. એમ. ને આ આઇસોમેટ્રીના વિશિષ્ટ વિસ્તરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સરળ ઇન્ટિગ્રાન્ડના ચોક્કસ વર્ગથી તમામ બંધાયેલ અને અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓ સુધી. પી-ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિંગેલ્સ કોઈપણ પી> 1 માટે, અને બાઉન્ડેડ પ્રિડિક્ટેબલ ઇન્ટિગ્રાન્ડ માટે, સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ પી-ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિંગેલ્સની જગ્યા સાચવે છે. આ કેડ્લેગ માર્ટિંગેલ્સ છે જેમ કે E (|Mt |p) બધા t માટે મર્યાદિત છે. જો કે, જ્યાં p = 1 હોય તેવા કિસ્સામાં આ હંમેશા સાચું નથી હોતું. માર્ટિંગેલ્સના સંદર્ભમાં બંધાયેલ અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓના સંકલનના ઉદાહરણો છે જે પોતે માર્ટિંગેલ્સ નથી. કેડલેજ પ્રક્રિયા M ની મહત્તમ પ્રક્રિયાને M * t = sups ≤ t |Ms | તરીકે લખવામાં આવે છે. કોઈપણ p ±1 અને બાઉન્ડેડ પ્રિડિક્ટેબલ ઇન્ટિગ્રાન્ડ માટે, સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ કેડ્લેગ માર્ટિન્ગલ્સ M ની જગ્યાને એવી રીતે સાચવે છે કે E [(M * t) p] બધા t માટે મર્યાદિત હોય. જો p> 1 હોય તો આ p-ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિન્ગલ્સની જગ્યાના સમાન છે, ડૂબની અસમાનતાઓ દ્વારા. બર્કહોલ્ડર-ડેવિસ-ગુંડી અસમાનતાઓ જણાવે છે કે, કોઈપણ આપેલ p ≤ 1 માટે, હકારાત્મક અચળાંકો c, C અસ્તિત્વમાં છે જે p પર આધાર રાખે છે, પરંતુ M પર નહીં અથવા t પર નહીં કે જેથી તમામ સ્થાનિક માર્ટિંગેલ્સ M માટે. આનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે થાય છે કે જો (M * t) p સંકલિત છે અને H એક બંધાયેલ અનુમાનિત પ્રક્રિયા છે અને પરિણામે, H·M એ p-સંકલિત માર્ટિંગેલ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જ્યારે પણ (H2· [M]) p/2 સંકલનક્ષમ હોય ત્યારે આ નિવેદન સાચું છે. ઇન્ટિગ્રલ પ્રૂફનું અસ્તિત્વ કે જે આઈ. ટી. ઓ. ઇન્ટિગ્રલને સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે સામાન્ય રીતે ખૂબ જ સરળ ઇન્ટિગ્રાન્ડ્સને જોઈને આગળ વધે છે, જેમ કે પીસવાઇઝ કોન્સ્ટન્ટ, લેફ્ટ કન્ટિન્યુઅસ અને અનુકૂલિત પ્રક્રિયાઓ જ્યાં ઇન્ટિગ્રલને સ્પષ્ટ રીતે લખી શકાય છે. આવી સરળ અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓ એ Ht = A1 {t> T} સ્વરૂપની શરતોના રેખીય સંયોજનો છે જે T અને FT-માપી શકાય તેવા રેન્ડમ ચલ A ને અટકાવે છે, જેના માટે અભિન્ન છે આ H માં H·X ની રેખીયતા દ્વારા તમામ સરળ અનુમાનિત પ્રક્રિયાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. બ્રાઉનિયન ગતિ B માટે, તે ગુણધર્મ કે જે શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા વાર (Bt) = t સાથે સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ ધરાવે છે તેનો ઉપયોગ સરળ અનુમાનિત સંકલન માટે ઇટો આઇસોમેટ્રીને સાબિત કરવા માટે કરી શકાય છે, સતત રેખીય વિસ્તરણ દ્વારા, અભિન્ન એવી રીતે સંતોષકારક તમામ અનુમાનિત સંકલન માટે અનન્ય રીતે વિસ્તરે છે કે જે ઇટો આઇસોમેટ્રી હજુ પણ ધરાવે છે. પછી તેને સ્થાનિકીકરણ દ્વારા તમામ બી-સંકલિત પ્રક્રિયાઓમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિ કોઈપણ ઇટો પ્રક્રિયાના સંદર્ભમાં ઇન્ટિગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. સામાન્ય સેમીમાર્ટીંગેલ X માટે, સ્થાનિક માર્ટીંગેલ M વત્તા મર્યાદિત વિવિધતા પ્રક્રિયા A માં વિઘટન X = M + A નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. પછી, ઇન્ટિગ્રલને M અને A ના સંદર્ભમાં અલગથી અસ્તિત્વમાં હોવાનું દર્શાવી શકાય છે અને X ના સંદર્ભમાં ઇન્ટિગ્રલ મેળવવા માટે રેખીયતા, H·X = H·M + H·A નો ઉપયોગ કરીને જોડી શકાય છે. પ્રમાણભૂત લેબસ્ગ્યુ-સ્ટિલ્ટજેસ ઇન્ટિગ્રલ મર્યાદિત વિવિધતા પ્રક્રિયાઓના સંદર્ભમાં એકીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, તેથી સેમીમાર્ટીંગેલ્સ માટે ઇટો ઇન્ટિગ્રલનું અસ્તિત્વ સ્થાનિક માર્ટીંગેલ્સ માટેના કોઈપણ બાંધકામથી અનુસરશે. કેડ્લેગ સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિંગેલ એમ માટે, ઇટો આઇસોમેટ્રીનું સામાન્ય સ્વરૂપ વાપરી શકાય છે. પ્રથમ, ડૂબ-મેયર વિઘટન પ્રમેયનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરવામાં આવે છે કે વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં એન એક માર્ટીંગેલ છે અને તે એક જમણી-સતત, વધતી જતી અને અનુમાનિત પ્રક્રિયા છે જે શૂન્યથી શરૂ થાય છે. આ વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેને એમ. ના અનુમાનિત ચતુર્ભુજ વિવિધતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ચોરસ સંકલિત માર્ટીંગેલ્સ માટે ઇટો આઇસોમેટ્રી પછી સરળ અનુમાનિત સંકલન માટે સીધી સાબિત કરી શકાય છે. બ્રાઉનીયન ગતિ માટે ઉપરના કેસની જેમ, સતત રેખીય વિસ્તરણનો ઉપયોગ સંતોષકારક તમામ અનુમાનિત સંકલનને અનન્ય રીતે વિસ્તારવા માટે કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિને સ્થાનિકીકરણ દ્વારા તમામ સ્થાનિક ચોરસ સંકલિત માર્ટિંગેલ્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. છેવટે, ડૂબ-મેયર વિઘટનનો ઉપયોગ કોઈપણ સ્થાનિક માર્ટિંગેલને સ્થાનિક ચોરસ સંકલિત માર્ટિંગેલ અને મર્યાદિત વિવિધતા પ્રક્રિયાના સરવાળામાં વિઘટિત કરવા માટે થઈ શકે છે, જે કોઈપણ અર્ધ-માર્ટિંગેલના સંદર્ભમાં ઇટો અભિન્નને બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. અન્ય ઘણા પુરાવાઓ અસ્તિત્વમાં છે જે સમાન પદ્ધતિઓ લાગુ કરે છે પરંતુ જે ડૂબ-મેયર વિઘટન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાતને ટાળે છે, જેમ કે ઇટો આઇસોમેટ્રીમાં દ્વિઘાત વિવિધતા [એમ] નો ઉપયોગ, સબમાર્ટીંગેલ્સ માટે ડોલિયન્સ માપનો ઉપયોગ, અથવા ઇટો આઇસોમેટ્રીને બદલે બર્કહોલ્ડર-ડેવિસ-ગુંડી અસમાનતાનો ઉપયોગ. બાદમાં સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ માર્ટિંગેલ કેસ સાથે પ્રથમ વ્યવહાર કર્યા વિના સીધા સ્થાનિક માર્ટિંગેલ્સને લાગુ પડે છે. વૈકલ્પિક પુરાવાઓ માત્ર એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે X એ કેડ્લેગ છે, અનુકૂલિત છે, અને સમૂહ {H·Xt: |H | ≤1 એ સરળ પૂર્વવર્તી છે} દરેક સમય t માટે સંભાવનામાં બંધાયેલ છે, જે X માટે સેમીમાર્ટીંગલ હોવાની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા છે. સતત રેખીય વિસ્તરણનો ઉપયોગ દરેક જગ્યાએ જમણી મર્યાદાઓ (કેગ્લેડ અથવા એલ-પ્રક્રિયાઓ) સાથે તમામ ડાબી-સતત અને અનુકૂલિત સંકલન માટે સંકલન બનાવવા માટે થઈ શકે છે. ઇટાના લેમ્મા જેવી તકનીકોને લાગુ કરવા માટે આ પૂરતું સામાન્ય છે. ઉપરાંત, ખિન્ચીન અસમાનતાનો ઉપયોગ પ્રભુત્વ ધરાવતા કન્વર્જન્સ થીયરમને સાબિત કરવા અને ઇન્ટિગ્રલને સામાન્ય અનુમાનિત ઇન્ટિગ્રાન્ડ સુધી વિસ્તારવા માટે થઈ શકે છે. આઈ. ટી. ઓ. કલનમાં તફાવત આઈ. ટી. ઓ. કલનને પ્રથમ અને અગ્રણી રીતે ઉપર દર્શાવેલ અભિન્ન કલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો કે, બ્રાઉનિયન ગતિના સંદર્ભમાં "વ્યુત્પન્ન" ની વિવિધ ધારણાઓ પણ છેઃ મલ્લિયાવિન વ્યુત્પન્ન મલ્લિયાવિન કલન વીનર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ ચલો માટે તફાવતનો સિદ્ધાંત પ્રદાન કરે છે, જેમાં ભાગોના સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો સમાવેશ થાય છે. માર્ટિંગેલ પ્રતિનિધિત્વ નીચેનું પરિણામ માર્ટિંગેલ્સને ઇટો ઇન્ટિગ્રલ્સ તરીકે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છેઃ જો M એ બ્રાઉનિયન ગતિ B દ્વારા પેદા થયેલ ગાળણના સંદર્ભમાં સમય અંતરાલ [0, T] પર ચોરસ-સંકલિત માર્ટિંગેલ છે, તો પછી [0, T] પર એક અનન્ય અનુકૂલિત ચોરસ સંકલિત પ્રક્રિયા α છે જેમ કે લગભગ ચોક્કસપણે, અને તમામ t ω [0, T] માટે. આ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેયને ઔપચારિક રીતે એમ કહીને અર્થઘટન કરી શકાય છે કે α એ બ્રાઉનિયન ગતિ B ના સંદર્ભમાં M નું "સમય વ્યુત્પન્ન" છે, કારણ કે α એ ચોક્કસપણે એવી પ્રક્રિયા છે જે નિર્ધારિત કલનની જેમ Mt − M0 મેળવવા માટે સમય t સુધી સંકલિત હોવી આવશ્યક છે. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે ઇટો કેલ્ક્યુલસ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સામાન્ય રીતે સ્ટોકેસ્ટિક ડિફરન્શિયલ સમીકરણો (એસ. ડી. ઇ.) નો ઉપયોગ થાય છે, જેમ કે લેંગ્વિન સમીકરણો, સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ્સને બદલે. અહીં ઇટો સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ (એસ. ડી. ઇ.) ઘણીવાર ગૌસીયન સફેદ ઘોંઘાટ ક્યાં છે તેના દ્વારા ઘડવામાં આવે છે અને આઈન્સ્ટાઈનના સારાંશ પરંપરાનો ઉપયોગ થાય છે. જો xk નું કાર્ય હોય, તો પછી ઇટોનો લેમ્માનો ઉપયોગ કરવો પડશેઃ ઉપરની જેમ ઇટોનો એસ. ડી. ઈ. પણ સ્ટ્રેટોનોવિચ એસ. ડી. ઈ. ને અનુરૂપ છે જે એસ. ડી. ઈ. વાંચે છે જે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સ્ટ્રેટોનોવિચ સ્વરૂપમાં વારંવાર જોવા મળે છે, કારણ કે જો ઘોંઘાટ શબ્દનો સહસંબંધ સમય શૂન્યની નજીક પહોંચે તો રંગીન ઘોંઘાટ દ્વારા સંચાલિત સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોની મર્યાદા. સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોના વિવિધ અર્થઘટનોની તાજેતરની સારવાર માટે ઉદાહરણ તરીકે જુઓ. સ્ટોકેસ્ટિક કેલ્ક્યુલસ ઇટોનું લેમ્મા સ્ટ્રેટોનોવિચ ઇન્ટિગ્રલ સેમીમાર્ટિંગેલ વીનર પ્રક્રિયા સંદર્ભો હેગન ક્લેઇનર્ટ (2004) પણ જુઓ. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, સ્ટેટિસ્ટિક્સ, પોલિમર ફિઝિક્સ અને નાણાકીય બજારોમાં પાથ ઇન્ટિગ્રલ્સ, ચોથી આવૃત્તિ, વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક (સિંગાપોર); પેપરબેક. પાંચમી આવૃત્તિ ઓનલાઇન ઉપલબ્ધ છેઃ બિન-ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓ માટે ઇટોના લેમ્માના સામાન્યીકરણ સાથે પીડીએફ-ફાઇલો. ટીઆઈ-બેઝિકમાં મેથેમેટિકલ ફાઇનાન્સ પ્રોગ્રામિંગ, જે ટીઆઈ-કેલ્ક્યુલેટર માટે ઇટો કેલ્ક્યુલસનો અમલ કરે છે. ગાણિતિક એકીકરણની વ્યાખ્યાઓ સ્ટોકેસ્ટિક કેલ્ક્યુલસ મેથેમેટિકલ ફાઇનાન્સ ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ