Complex vector bundle
ગણિતમાં, જટિલ વેક્ટર બંડલ એ વેક્ટર બંડલ છે જેના તંતુઓ જટિલ વેક્ટર જગ્યાઓ છે. સ્કેલર્સના પ્રતિબંધ દ્વારા કોઈપણ જટિલ વેક્ટર બંડલને વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ તરીકે જોઈ શકાય છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ E ને જટિલ વેક્ટર બંડલમાં બઢતી આપી શકાય છે, જે જટિલતા છે જેના તંતુઓ ExRC છે. પેરાકોમ્પેક્ટ જગ્યા પરનું કોઈપણ જટિલ વેક્ટર બંડલ હર્મિશિયન મેટ્રિક સ્વીકારે છે. જટિલ વેક્ટર બંડલનો મૂળભૂત અપરિવર્તનશીલ ચેરન વર્ગ છે. એક જટિલ વેક્ટર બંડલ પ્રમાણભૂત રીતે લક્ષી હોય છે; ખાસ કરીને, કોઈ તેનો યુલર વર્ગ લઈ શકે છે. એક જટિલ વેક્ટર બંડલ એ હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ છે જો X એક જટિલ મેનીફોલ્ડ હોય અને જો સ્થાનિક તુચ્છતાઓ બાયહોલોમોર્ફિક હોય. જટિલ માળખું એક જટિલ વેક્ટર બંડલને વધારાની રચના, જટિલ માળખા સાથે વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ તરીકે વિચારી શકાય છે. વ્યાખ્યા મુજબ, જટિલ માળખું એ વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ E અને પોતાની વચ્ચેનો બંડલ નકશો છેઃ જેમ કે J ફાઇબર પર −1 ના વર્ગમૂળ i તરીકે કાર્ય કરે છેઃ જો ફાઇબર-સ્તર પરનો નકશો હોય, તો રેખીય નકશા તરીકે. જો E એ કોમ્પ્લેક્સ વેક્ટર બંડલ હોય, તો કોમ્પ્લેક્સ સ્ટ્રક્ચર J ને સ્કેલર ગુણાકાર તરીકે સેટ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. તેનાથી વિપરીત, જો E એ જટિલ માળખું J સાથેનું વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ હોય, તો E ને સેટિંગ દ્વારા જટિલ વેક્ટર બંડલમાં ફેરવી શકાય છેઃ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે a, b અને ફાઇબરમાં વાસ્તવિક વેક્ટર v, ઉદાહરણ તરીકેઃ વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડ M ના સ્પર્શક બંડલ પરની જટિલ રચનાને સામાન્ય રીતે લગભગ જટિલ માળખું કહેવામાં આવે છે. ન્યૂલેન્ડર અને નિરેનબર્ગનો એક પ્રમેય કહે છે કે લગભગ જટિલ માળખું J એ અર્થમાં "સંકલિત" છે કે તે જટિલ મેનીફોલ્ડની રચના દ્વારા પ્રેરિત થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો J નો સમાવેશ કરતો ચોક્કસ ટેન્સર અદૃશ્ય થઈ જાય. જો E એક જટિલ વેક્ટર બંડલ હોય, તો E નું સંયુગ્મ બંડલ સંખ્યાઓના જટિલ સંયોજનો દ્વારા કાર્યરત જટિલ સંખ્યાઓ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. આમ, અંતર્ગત વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ્સનો ઓળખ નકશોઃ સંયુગ્મ-રેખીય છે, અને E અને તેના સંયુગ્મ વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ્સ તરીકે સમરૂપ છે. K-th ચેર્નો વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, E અને સામાન્ય રીતે આઇસોમોર્ફિક નથી. જો E પાસે હર્મિશિયન મેટ્રિક હોય, તો પછી સંયુગ્મ બંડલ મેટ્રિક દ્વારા બેવડા બંડલ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જ્યાં આપણે તુચ્છ જટિલ રેખા બંડલ માટે લખ્યું છે. જો E એ વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ હોય, તો E ની જટિલતાનું અંતર્ગત વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ એ E ની બે નકલોનો સીધો સરવાળો છેઃ (કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા V માટે V′RC = V′iV.) જો જટિલ વેક્ટર બંડલ E એ વાસ્તવિક વેક્ટર બંડલ E નું જટિલકરણ હોય, તો E ને E નું વાસ્તવિક સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે (એક કરતાં વધુ વાસ્તવિક સ્વરૂપ હોઈ શકે છે) અને E ને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો E વાસ્તવિક સ્વરૂપ ધરાવે છે, તો E તેના સંયુગ્મ માટે સમરૂપ છે (કારણ કે તે બંને વાસ્તવિક સ્વરૂપની બે નકલોનો સરવાળો છે), અને પરિણામે E ના વિચિત્ર ચેરન વર્ગો ક્રમ 2 ધરાવે છે. હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ કે-થિયરી રેફરન્સ વેક્ટર બંડલ પણ જુઓ.