Great circle
ગણિતમાં, એક મહાન વર્તુળ અથવા ઓર્થોડ્રોમ એ ગોળાનું ગોળાકાર આંતરછેદ છે અને ગોળાના કેન્દ્ર બિંદુમાંથી પસાર થતું સમતલ છે. મોટા વર્તુળની કોઈપણ ચાપ ગોળાની ભૌગોલિક હોય છે, જેથી ગોળાકાર ભૂમિતિમાં મોટા વર્તુળો યુક્લિડિયન અવકાશમાં સીધી રેખાઓનું કુદરતી એનાલોગ હોય છે. ગોળા પરના અલગ બિન-વિરોધી બિંદુઓની કોઈપણ જોડી માટે, બંનેમાંથી પસાર થતું એક અનોખું મોટું વર્તુળ છે. (કોઈપણ બિંદુ પરથી પસાર થતું દરેક મહાન વર્તુળ તેના વિરોધી બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે, તેથી બે વિરોધી બિંદુઓમાંથી અનંત રીતે ઘણા મહાન વર્તુળો હોય છે.) ગોળા પરના બે અલગ-અલગ બિંદુઓ વચ્ચેના બે મહાન-વર્તુળ ચાપમાંથી ટૂંકીને નાની ચાપ કહેવામાં આવે છે, અને તે તેમની વચ્ચેનો સૌથી ટૂંકો સપાટી-માર્ગ છે. તેની ચાપ લંબાઈ એ બિંદુઓ (ગોળા પરનું આંતરિક અંતર) વચ્ચેનું મહાન-વર્તુળ અંતર છે, અને તે બે બિંદુઓ અને ગોળાના કેન્દ્ર દ્વારા રચાયેલા કેન્દ્રીય ખૂણાના માપને પ્રમાણસર છે. એક મોટું વર્તુળ એ સૌથી મોટું વર્તુળ છે જે કોઈપણ ગોળા પર દોરી શકાય છે. કોઈપણ મહાન વર્તુળનો કોઈપણ વ્યાસ ગોળાના વ્યાસ સાથે મેળ ખાય છે, અને તેથી દરેક મહાન વર્તુળ ગોળા સાથે કેન્દ્રિત હોય છે અને સમાન ત્રિજ્યા વહેંચે છે. ગોળાના અન્ય કોઈપણ વર્તુળને નાનું વર્તુળ કહેવામાં આવે છે, અને તે ગોળાનું તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર ન થતું સમતલ સાથેનું આંતરછેદ છે. નાના વર્તુળો એ યુક્લિડિયન અવકાશમાં વર્તુળોનું ગોળાકાર-ભૂમિતિ એનાલોગ છે. યુક્લિડિયન 3-સ્પેસમાં દરેક વર્તુળ બરાબર એક ગોળાનું એક મહાન વર્તુળ છે. એક મહાન વર્તુળથી ઘેરાયેલી ડિસ્કને ગ્રેટ ડિસ્ક કહેવામાં આવે છેઃ તે એક દડો અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા સમતલનું આંતરછેદ છે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, એન-ગોળા પરના મહાન વર્તુળો એ એન-ગોળાનું 2-સમતલ સાથેનું આંતરછેદ છે જે યુક્લિડિયન અવકાશમાં મૂળમાંથી પસાર થાય છે. ટૂંકા માર્ગોની વ્યુત્પત્તિ એ સાબિત કરવા માટે કે મોટા વર્તુળની નાની ચાપ એ ગોળાની સપાટી પરના બે બિંદુઓને જોડતો ટૂંકો માર્ગ છે, તેના પર વિવિધતાની ગણતરી લાગુ કરી શકાય છે. એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીના તમામ નિયમિત માર્ગોના વર્ગનો વિચાર કરો. ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરો જેથી તે ઉત્તર ધ્રુવ સાથે મેળ ખાય. ગોળા પરનો કોઈપણ વળાંક કે જે કોઈ પણ ધ્રુવને છેદતો નથી, સંભવતઃ અંતિમ બિંદુઓ સિવાય, જો આપણે મનસ્વી વાસ્તવિક મૂલ્યો લેવાની મંજૂરી આપીએ તો તેના દ્વારા પરિમાણિત કરી શકાય છે. આ કોઓર્ડિનેટ્સમાં અનંત ચાપની લંબાઈ છે તેથી યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણ અનુસાર, જો અને માત્ર ત્યારે જ, જ્યાં એક-સ્વતંત્ર અચળાંક હોય, અને આ બંનેના પ્રથમ સમીકરણમાંથી, તે મેળવી શકાય, તો તે દ્વારા આપવામાં આવેલ વળાંકની લંબાઈ એ વળાંકની કાર્યાત્મક લંબાઈ છે. બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીને અને સીમાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા, નો વાસ્તવિક ઉકેલ શૂન્ય છે. આમ, અને 0 અને વચ્ચે કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે, જે સૂચવે છે કે વળાંક ગોળાના મેરિડીયન પર હોવો જોઈએ. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આ તે છે જે મૂળમાંથી પસાર થતું સમતલ છે, એટલે કે ગોળાનું કેન્દ્ર. આકાશી ગોળા પરના મહાન વર્તુળોના કેટલાક ઉદાહરણોમાં આકાશી ક્ષિતિજ, આકાશી વિષુવવૃત્ત અને ગ્રહણનો સમાવેશ થાય છે. મોટા વર્તુળોનો ઉપયોગ હવા અથવા દરિયાઈ નેવિગેશન માટે પૃથ્વીની સપાટી પર ભૂગણિતના ચોક્કસ અંદાજો તરીકે પણ થાય છે (જોકે તે એક સંપૂર્ણ ગોળા નથી), તેમજ ગોળાકાર આકાશી પદાર્થો પર પણ થાય છે. આદર્શ પૃથ્વીનો વિષુવવૃત્ત એક મહાન વર્તુળ છે અને કોઈપણ મેરિડીયન અને તેની વિરુદ્ધ મેરિડીયન એક મહાન વર્તુળ બનાવે છે. અન્ય એક મહાન વર્તુળ તે છે જે જમીન અને પાણીના ગોળાર્ધને વિભાજિત કરે છે. એક મોટું વર્તુળ પૃથ્વીને બે ગોળાર્ધમાં વિભાજિત કરે છે અને જો એક મોટું વર્તુળ એક બિંદુમાંથી પસાર થાય તો તેને તેના વિરોધી બિંદુમાંથી પસાર થવું પડે છે. ફંક ટ્રાન્સફોર્મ ગોળાના તમામ મહાન વર્તુળો સાથે કાર્યને એકીકૃત કરે છે. મેથવર્લ્ડ ગ્રેટ સર્કલના વર્ણન, આકૃતિઓ અને સમીકરણોમાંથી-ગ્રેટ એલિપ્સ રમ્બ લાઇન સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ ગ્રેટ સર્કલ પણ જુઓ. મેથવર્લ્ડ, વોલ્ફ્રેમ રિસર્ચ, ઇન્ક. c1999 ગ્રેટ સર્કલ્સ ઓન મર્કેટર ચાર્ટ જ્હોન સ્નાઇડર દ્વારા જેફ બ્રાયન્ટ, પ્રતીક દેસાઈ અને કાર્લ વોલ, વોલ્ફ્રેમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટ દ્વારા વધારાના યોગદાન સાથે. પ્રાથમિક ભૂમિતિ ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ રીમાનિયન ભૂમિતિ વર્તુળો ગોળાકાર વળાંક