Granger causality
ગ્રેન્જર કાર્યકારણ પરીક્ષણ એ નક્કી કરવા માટે આંકડાકીય પૂર્વધારણા પરીક્ષણ છે કે શું એક સમય શ્રેણી બીજાની આગાહી કરવામાં ઉપયોગી છે કે કેમ, જે સૌપ્રથમ 1969 માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. સામાન્ય રીતે, પ્રતિગમન "માત્ર" સહસંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે, પરંતુ ક્લાઇવ ગ્રેન્જરે દલીલ કરી હતી કે અર્થશાસ્ત્રમાં કાર્યકારણની ચકાસણી અન્ય સમય શ્રેણીના પૂર્વ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને સમય શ્રેણીના ભાવિ મૂલ્યોની આગાહી કરવાની ક્ષમતાને માપવા દ્વારા કરી શકાય છે. "સાચું કાર્યકારણ" નો પ્રશ્ન ઊંડાણપૂર્વક ફિલોસોફિકલ હોવાથી, અને અન્યની પહેલાની એક વસ્તુનો ઉપયોગ કાર્યકારણના પુરાવા તરીકે થઈ શકે છે એમ ધારવાની પોસ્ટ હૉક એર્ગો પ્રોપ્ટર હૉક ભ્રાંતિને કારણે, અર્થશાસ્ત્રીઓ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે ગ્રેન્જર પરીક્ષણ માત્ર "આગાહીયુક્ત કાર્યકારણ" શોધે છે. એકલા "કાર્યકારણ" શબ્દનો ઉપયોગ કરવો એ ખોટું નામ છે, કારણ કે ગ્રેન્જર-કાર્યકારણને "પ્રાધાન્યતા" તરીકે વધુ સારી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે, અથવા, જેમ કે ગ્રેન્જર પોતે પાછળથી 1977 માં દાવો કર્યો હતો, "અસ્થાયી રીતે સંબંધિત". X એ Y નું કારણ બને છે કે કેમ તે ચકાસવાને બદલે, ગ્રેન્જર કાર્યકારણ પરીક્ષણ કરે છે કે X એ Y ની આગાહી કરે છે કે કેમ. સમય શ્રેણી X ને ગ્રેન્જર-કોઝ Y કહેવામાં આવે છે જો તે દર્શાવી શકાય, સામાન્ય રીતે ટી-પરીક્ષણોની શ્રેણી દ્વારા અને X ના વિલંબિત મૂલ્યો પર એફ-પરીક્ષણો દ્વારા (અને Y ના વિલંબિત મૂલ્યો સાથે પણ શામેલ છે), કે તે X મૂલ્યો Y ના ભાવિ મૂલ્યો વિશે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર માહિતી પ્રદાન કરે છે. ગ્રેન્જર એ પણ ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે અર્થશાસ્ત્રની બહારના ક્ષેત્રોમાં "ગ્રેન્જર કાર્યકારણ" પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરતા કેટલાક અભ્યાસો "હાસ્યાસ્પદ" તારણો પર પહોંચ્યા હતા. "અલબત્ત, ઘણા હાસ્યાસ્પદ કાગળો દેખાયા", તેમણે તેમના નોબેલ વ્યાખ્યાનમાં કહ્યું હતું. જો કે, તે તેની ગણતરીની સરળતાને કારણે સમય શ્રેણીમાં કાર્યકારણ વિશ્લેષણ માટે એક લોકપ્રિય પદ્ધતિ છે. ગ્રેન્જર કાર્યકારણની મૂળ વ્યાખ્યા સુપ્ત ગૂંચવણભરી અસરો માટે જવાબદાર નથી અને તાત્કાલિક અને બિન-રેખીય કાર્યકારણ સંબંધોને કબજે કરતી નથી, જો કે આ મુદ્દાઓને ઉકેલવા માટે ઘણા વિસ્તરણની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. અંતઃપ્રેરણા આપણે કહીએ છીએ કે ચલ X જે સમય જતાં વિકસે છે તે અન્ય વિકસતા ચલ Y નું કારણ બને છે જો તેના પોતાના ભૂતકાળના મૂલ્યો અને X ના ભૂતકાળના મૂલ્યો પર આધારિત Y ના મૂલ્યની આગાહીઓ ફક્ત Y ના પોતાના ભૂતકાળના મૂલ્યો પર આધારિત Y ની આગાહીઓ કરતાં વધુ સારી હોય. અંતર્ગત સિદ્ધાંતો ગ્રેન્જર બે સિદ્ધાંતોના આધારે કાર્યકારણ સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ કારણ તેની અસર પહેલાં થાય છે. કારણ તેની અસરના ભાવિ મૂલ્યો વિશે અનન્ય માહિતી ધરાવે છે. કાર્યકારણ વિશેની આ બે ધારણાઓને ધ્યાનમાં રાખીને, ગ્રેન્જરે આના પરની કાર્યકારણ અસરની ઓળખ માટે નીચેની પૂર્વધારણાને ચકાસવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યોઃ જ્યાં સંભાવનાનો સંદર્ભ આપવામાં આવે છે, તે એક મનસ્વી બિન-ખાલી સમૂહ છે, અને તે અનુક્રમે સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં સમયની ઉપલબ્ધ માહિતીને સૂચવે છે, અને તે કે જેમાં સુધારેલ બ્રહ્માંડ બાકાત છે. જો ઉપરોક્ત પૂર્વધારણાને સ્વીકારવામાં આવે, તો આપણે કહીએ છીએ કે ગ્રેન્જર-કારણો. પદ્ધતિ જો સમય શ્રેણી એક સ્થિર પ્રક્રિયા હોય, તો પરીક્ષણ બે (અથવા વધુ) ચલોનાં સ્તર મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. જો ચલ બિન-સ્થિર હોય, તો પરીક્ષણ પ્રથમ (અથવા વધુ) તફાવતોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. સમાવિષ્ટ કરવાના વિલંબની સંખ્યા સામાન્ય રીતે માહિતીના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને પસંદ કરવામાં આવે છે, જેમ કે અકાઈકે માહિતી માપદંડ અથવા શ્વાર્ઝ માહિતી માપદંડ. જો (1) તે ટી-ટેસ્ટ અનુસાર નોંધપાત્ર હોય, અને (2) તે અને વેરિયેબલના અન્ય વિલંબિત મૂલ્યો સંયુક્ત રીતે એફ-ટેસ્ટ અનુસાર મોડેલમાં સ્પષ્ટીકરણ શક્તિ ઉમેરે તો ચલમાંથી એકનું કોઈ ચોક્કસ વિલંબિત મૂલ્ય રીગ્રેસનમાં જાળવી રાખવામાં આવે છે. પછી નો ગ્રેન્જર કાર્યકારણની નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવતી નથી જો અને માત્ર ત્યારે જ જો રીગ્રેસનમાં સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલની કોઈ વિલંબિત કિંમતો જાળવી રાખવામાં ન આવી હોય. વ્યવહારમાં એવું જોવા મળે છે કે ન તો ચલ ગ્રેન્જર-બીજાનું કારણ બને છે, અથવા બે ચલમાંથી દરેક ગ્રેન્જર-બીજાનું કારણ બને છે. ગાણિતિક નિવેદન ચાલો y અને x સ્થિર સમય શ્રેણી હોય. શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે કે x એ ગ્રેન્જર-કારણ y નથી કરતું, પ્રથમ y ના અવિભાજ્ય સ્વયંપ્રતિગમનમાં સમાવવા માટે y ના યોગ્ય વિલંબિત મૂલ્યો શોધે છેઃ આગળ, x ના વિલંબિત મૂલ્યોને સામેલ કરીને સ્વયંપ્રતિગમનમાં વધારો કરવામાં આવે છેઃ એક આ પ્રતિગમનમાં x ના તમામ વિલંબિત મૂલ્યોને જાળવી રાખે છે જે તેમના t-આંકડાશાસ્ત્ર અનુસાર વ્યક્તિગત રીતે નોંધપાત્ર છે, જો કે તેઓ સામૂહિક રીતે F-પરીક્ષણ અનુસાર પ્રતિગમનમાં વ્યાખ્યાત્મક શક્તિ ઉમેરે છે (જેની શૂન્ય પૂર્વધારણા એ x દ્વારા સંયુક્ત રીતે ઉમેરવામાં આવેલી કોઈ વ્યાખ્યાત્મક શક્તિ નથી). ઉપરોક્ત સંવર્ધિત પ્રતિગમનના સંકેતલિપીમાં, p એ સૌથી ટૂંકો છે, અને q એ સૌથી લાંબી, વિલંબ લંબાઈ છે, જેના માટે x નું વિલંબિત મૂલ્ય નોંધપાત્ર છે. શૂન્ય પૂર્વધારણા કે x એ ગ્રેન્જર-કારણ y નથી કરતી તેને નકારી કાઢવામાં આવતી નથી જો અને માત્ર ત્યારે જ જો x ના કોઈ વિલંબિત મૂલ્યો રીગ્રેસનમાં જાળવી રાખવામાં ન આવે. મલ્ટિવેરિયેટ વિશ્લેષણ મલ્ટિવેરિયેટ ગ્રેન્જર કાર્યકારણ વિશ્લેષણ સામાન્ય રીતે વેક્ટર ઓટોરેગ્રેસિવ મોડેલ (વી. એ. આર.) ને સમય શ્રેણીમાં ફીટ કરીને કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, ચાલો એક-પરિમાણીય બહુપરીમાણીય સમય શ્રેણી હોઈએ. ગ્રેન્જર કાર્યકારણતા VAR મોડેલને સમયના વિલંબ સાથે નીચે પ્રમાણે ફીટ કરીને કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં સફેદ ગૌસીયન રેન્ડમ વેક્ટર છે, અને તે દરેક માટે મેટ્રિક્સ છે. સમય શ્રેણીને અન્ય સમય શ્રેણીનું ગ્રેન્જર કારણ કહેવામાં આવે છે, જો ઓછામાં ઓછું એક તત્વ શૂન્ય (નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં) કરતા નોંધપાત્ર રીતે મોટું હોય. બિન-પેરામેટ્રિક પરીક્ષણ ઉપરોક્ત રેખીય પદ્ધતિઓ સરેરાશમાં ગ્રેન્જર કાર્યકારણના પરીક્ષણ માટે યોગ્ય છે. જો કે તેઓ ઉચ્ચ ક્ષણોમાં ગ્રેન્જર કાર્યકારણને શોધી શકતા નથી, દા. ત., ભિન્નતામાં. ગ્રેન્જર કાર્યકારણ માટે બિન-પેરામેટ્રિક પરીક્ષણો આ સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે તૈયાર કરવામાં આવ્યા છે. આ પરીક્ષણોમાં ગ્રેન્જર કાર્યકારણની વ્યાખ્યા સામાન્ય છે અને તેમાં કોઈ મોડેલિંગ ધારણાઓનો સમાવેશ થતો નથી, જેમ કે રેખીય ઓટોરેગ્રેસિવ મોડેલ. ગ્રેન્જર કાર્યકારણ માટે બિન-પેરામેટ્રિક પરીક્ષણોનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણો અને/અથવા બિન-રેખીયતા સહિત વધુ સારા પેરામેટ્રિક મોડેલો બનાવવા માટે નિદાન સાધનો તરીકે થઈ શકે છે. મર્યાદાઓ તેનું નામ સૂચવે છે તેમ, ગ્રેન્જર કાર્યકારણ એ જરૂરી નથી કે સાચું કાર્યકારણ હોય. હકીકતમાં, ગ્રેન્જર-કાર્યકારણ પરીક્ષણો કાર્યકારણની માત્ર હ્યુમન વ્યાખ્યાને પૂર્ણ કરે છે જે સતત સંયોજન સાથે કારણ-અસર સંબંધોને ઓળખે છે. જો X અને Y બંને જુદી જુદી વિલંબ સાથેની સામાન્ય ત્રીજી પ્રક્રિયા દ્વારા સંચાલિત હોય, તો પણ ગ્રેન્જર કાર્યકારણની વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે. તેમ છતાં, એક ચલની હેરફેર બીજાને બદલશે નહીં. ખરેખર, ગ્રેન્જર-કાર્યકારણ પરીક્ષણો ચલની જોડીનું સંચાલન કરવા માટે રચાયેલ છે, અને જ્યારે સાચા સંબંધમાં ત્રણ કે તેથી વધુ ચલ શામેલ હોય ત્યારે તે ભ્રામક પરિણામો ઉત્પન્ન કરી શકે છે. આમ કહીને, એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે કાર્યકારણના સંભવિત દ્રષ્ટિકોણને જોતાં, ગ્રેન્જર કાર્યકારણને તે અર્થમાં સાચું કાર્યકારણ ગણી શકાય, ખાસ કરીને જ્યારે રીચેનબેકની સંભવિત કાર્યકારણની "સ્ક્રીનીંગ ઓફ" કલ્પનાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પરીક્ષણના પરિણામોને ગેરમાર્ગે દોરવાના અન્ય સંભવિત સ્રોતો છેઃ (1) પૂરતા પ્રમાણમાં અથવા ખૂબ વારંવાર નમૂના ન લેવા, (2) બિનરેખીય કારણ સંબંધ, (3) સમય શ્રેણીની બિનસ્થિરતા અને બિનરેખીયતા અને (4) તર્કસંગત અપેક્ષાઓનું અસ્તિત્વ. વધુ ચલોનો સમાવેશ કરતી સમાન કસોટી વેક્ટર ઓટોરેગ્રેશન સાથે લાગુ કરી શકાય છે. એક્સ્ટેન્શન્સ ગ્રેન્જર કાર્યકારણ માટે એક પદ્ધતિ વિકસાવવામાં આવી છે જે ભૂલ શબ્દ સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે તેવી ધારણાથી વિચલનો પ્રત્યે સંવેદનશીલ નથી. આ પદ્ધતિ ખાસ કરીને નાણાકીય અર્થશાસ્ત્રમાં ઉપયોગી છે, કારણ કે ઘણા નાણાકીય ચલ બિન-સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલા હોય છે. તાજેતરમાં, હકારાત્મક ફેરફારોની કારણભૂત અસરને નકારાત્મક ફેરફારોથી અલગ કરવા માટે સાહિત્યમાં અસમપ્રમાણ કાર્યકારણ પરીક્ષણ સૂચવવામાં આવ્યું છે. પેનલ ડેટામાં ગ્રેન્જર (બિન-) કાર્યકારણ પરીક્ષણનું વિસ્તરણ પણ ઉપલબ્ધ છે. GARCH (સામાન્યીકૃત ઓટો-રીગ્રેસિવ શરતી હેટેરોસેડેસ્ટિસિટી) પ્રકારનાં પૂર્ણાંક-મૂલ્યવાન સમય શ્રેણી મોડેલો પર આધારિત સુધારેલ ગ્રેન્જર કાર્યકારણ પરીક્ષણ ઘણા ક્ષેત્રોમાં ઉપલબ્ધ છે. ન્યુરોસાયન્સમાં ન્યુરલ ફંક્શન વિશે લાંબા સમયથી ચાલતી માન્યતાએ જાળવી રાખ્યું હતું કે મગજના વિવિધ ક્ષેત્રો કાર્ય વિશિષ્ટ હતા; કે કોઈ ચોક્કસ ક્ષેત્ર સાથે સ્થાનિક માળખાકીય જોડાણ કોઈક રીતે તે ભાગનું કાર્ય નિર્ધારિત કરે છે. ઘણા વર્ષોથી કરવામાં આવેલ કાર્યને એકત્રિત કરીને, મગજમાં માહિતીના પ્રવાહનું વર્ણન કરવા માટે એક અલગ, નેટવર્ક-કેન્દ્રિત અભિગમ તરફ પગલું ભરવામાં આવ્યું છે. કાર્યના સ્પષ્ટીકરણમાં મગજના વિવિધ સ્તરે અને વિવિધ સ્થળોએ અસ્તિત્વમાં રહેલા નેટવર્કની વિભાવનાનો સમાવેશ થવાની શરૂઆત થઈ છે. આ નેટવર્કની વર્તણૂકને બિન-નિર્ધારિત પ્રક્રિયાઓ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે જે સમય જતાં વિકસિત થઈ રહી છે. એટલે કે સમાન ઇનપુટ ઉત્તેજના આપવામાં આવે તો તમને નેટવર્કમાંથી સમાન આઉટપુટ નહીં મળે. આ નેટવર્ક્સની ગતિશીલતા સંભાવનાઓ દ્વારા સંચાલિત થાય છે તેથી આપણે તેમને સ્ટોકેસ્ટિક (રેન્ડમ) પ્રક્રિયાઓ તરીકે ગણીએ છીએ જેથી આપણે મગજના વિવિધ ક્ષેત્રો વચ્ચે આ પ્રકારની ગતિશીલતાને પકડી શકીએ. ચેતાકોષ અને તેની આસપાસના સમૂહની ઉશ્કેરણી પ્રવૃત્તિઓમાંથી માહિતીના પ્રવાહના અમુક માપ મેળવવાની વિવિધ પદ્ધતિઓ ભૂતકાળમાં શોધવામાં આવી છે, પરંતુ તે એવા તારણોના પ્રકારોમાં મર્યાદિત છે જે દોરી શકાય છે અને માહિતીના દિશાત્મક પ્રવાહ, તેની અસરના કદ અને તે સમય સાથે કેવી રીતે બદલાઈ શકે છે તેની થોડી સમજ આપે છે. તાજેતરમાં આમાંના કેટલાક મુદ્દાઓને ઉકેલવા માટે ગ્રેન્જર કાર્યકારણ લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, ચેતાકોષના ભવિષ્યની શ્રેષ્ઠ આગાહી કેવી રીતે કરવી તેની તપાસ કરવામાં આવે છેઃ ચોક્કસ લક્ષ્ય ચેતાકોષ સિવાય સમગ્ર સમૂહ અથવા સમગ્ર સમૂહનો ઉપયોગ કરવો. જો લક્ષ્ય ચેતાકોષને બાકાત રાખીને આગાહી વધુ ખરાબ કરવામાં આવે, તો આપણે કહીએ છીએ કે તેનો વર્તમાન ચેતાકોષ સાથે "જી-કારણ" સંબંધ છે. અગાઉની ગ્રેન્જર-કાર્યકારણ પદ્ધતિઓ માત્ર સતત-મૂલ્યવાન ડેટા પર જ કામ કરી શકતી હતી, તેથી ન્યુરલ સ્પાઇક ટ્રેન રેકોર્ડિંગ્સના વિશ્લેષણમાં પરિવર્તન સામેલ હતું જેણે આખરે ડેટાના સ્ટોકેસ્ટિક ગુણધર્મોને બદલી નાખ્યા હતા, પરોક્ષ રીતે તેમાંથી મેળવી શકાય તેવા તારણોની માન્યતામાં ફેરફાર કર્યો હતો. જો કે, 2011 માં, એક નવું સામાન્ય હેતુ ગ્રેન્જર-કાર્યકારણ માળખું પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું જે ન્યુરલ-સ્પાઇક ટ્રેનો સહિત કોઈપણ પદ્ધતિ પર સીધા જ કામ કરી શકે છે. ન્યુરલ સ્પાઇક ટ્રેન ડેટાને બિંદુ પ્રક્રિયા તરીકે તૈયાર કરી શકાય છે. અસ્થાયી બિંદુ પ્રક્રિયા એ દ્વિસંગી ઘટનાઓની સ્ટોકેસ્ટિક સમય-શ્રેણી છે જે સતત સમયમાં થાય છે. તે દરેક સમયે માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે, જે સૂચવે છે કે કોઈ ઘટના ખરેખર બની છે કે નહીં. માહિતીની આ પ્રકારની દ્વિસંગી-મૂલ્યવાન રજૂઆત ચેતા વસ્તીની પ્રવૃત્તિને અનુકૂળ છે કારણ કે એક જ ચેતાકોષની ક્રિયા ક્ષમતા એક લાક્ષણિક તરંગરૂપ ધરાવે છે. આ રીતે, ચેતાકોષમાંથી જે વાસ્તવિક માહિતી બહાર આવે છે તે "સ્પાઇક" ની ઘટના તેમજ ક્રમિક સ્પાઇક્સ વચ્ચેનો સમય છે. આ અભિગમનો ઉપયોગ કરીને ન્યુરલ-નેટવર્કમાં માહિતીના પ્રવાહને અવલોકન સમયગાળા દરમિયાન દરેક ચેતાકોષ માટે માત્ર સ્પાઇકિંગ સમય તરીકે અમૂર્ત કરી શકાય છે. બિંદુ-પ્રક્રિયાને કાં તો સ્પાઇક્સના સમય, સ્પાઇક્સ વચ્ચેના રાહ જોવાના સમય, ગણતરી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે, અથવા, જો દરેક વિંડોમાં માત્ર એક જ ઘટના થવાની સંભાવના છે તેની ખાતરી કરવા માટે સમયને પૂરતો અલગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે વન ટાઇમ બિનમાં ફક્ત એક જ ઘટના હોઈ શકે છે, 1s અને 0s ના સમૂહ તરીકે, જે દ્વિસંગી સમાન છે. ન્યુરલ-સ્પાઇકિંગ મોડેલ્સના સૌથી સરળ પ્રકારોમાંથી એક પોઈસન પ્રક્રિયા છે. જો કે, આ મર્યાદિત છે કારણ કે તે સ્મૃતિહીન છે. ગોળીબારની વર્તમાન સંભાવનાની ગણતરી કરતી વખતે તે કોઈપણ સ્પાઇકિંગ ઇતિહાસ માટે જવાબદાર નથી. ન્યુરોન્સ, જોકે, તેના સંબંધિત અને સંપૂર્ણ પ્રત્યાવર્તન સમયગાળા દ્વારા મૂળભૂત (બાયોફિઝિકલ) ઇતિહાસ અવલંબન દર્શાવે છે. આને સંબોધવા માટે, શરતી તીવ્રતા કાર્યનો ઉપયોગ ચેતાકોષના સ્પિકિંગની સંભાવનાને રજૂ કરવા માટે થાય છે, જે તેના પોતાના ઇતિહાસ પર આધારિત છે. શરતી તીવ્રતા કાર્ય તાત્કાલિક ગોળીબારની સંભાવનાને વ્યક્ત કરે છે અને બિંદુ પ્રક્રિયા માટે સંપૂર્ણ સંભાવના મોડેલને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે એકમ સમય દીઠ સંભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી જો આ એકમનો સમય એટલો ઓછો લેવામાં આવે કે તે સમયની વિંડોમાં માત્ર એક જ સ્પાઇક થઈ શકે, તો આપણું શરતી તીવ્રતા કાર્ય એ સંભાવનાને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરે છે કે આપેલ ચેતાકોષ ચોક્કસ સમયમાં ફાયર કરશે. કમ્પ્યુટિંગમાં સોફ્ટવેર પેકેજો પાયથોન અને આરમાં "ગ્રેન્જર કાર્યકારણ" માપવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યા છેઃ પાયથોન પેકેજ આર પેકેજ સંદર્ભો પણ જુઓ વધુ વાંચન ક્લેનબર્ગ, એસ. અને હ્રીપસેક, જી. (2011) "બાયોમેડિકલ ઇન્ફોર્મેટિક્સ માટે કાર્યકારણ અનુમાનની સમીક્ષા" જે. બાયોમેડ ઇન્ફોર્મેટિક્સ "મલ્ટિવેરિયેટ ટાઇમ સિરીઝ ટાઇમ સિરીઝ આંકડાકીય પરીક્ષણો ડીઃ કૌસાલિટા t#Ökonometrie (ગ્રેન્જર)