Semidirect product
ગણિતમાં, ખાસ કરીને જૂથ સિદ્ધાંતમાં, અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનનો ખ્યાલ એ પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદનનું સામાન્યીકરણ છે. અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનની બે નજીકથી સંબંધિત વિભાવનાઓ છેઃ આંતરિક અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એ એક ચોક્કસ રીત છે જેમાં જૂથ બે પેટાજૂથોથી બનેલું હોઈ શકે છે, જેમાંથી એક સામાન્ય પેટાજૂથ છે. બાહ્ય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એ કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનનો સમૂહ અને ચોક્કસ ગુણાકાર કામગીરી તરીકે ઉપયોગ કરીને આપેલ બે જૂથોમાંથી નવું જૂથ બનાવવાની રીત છે. પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદનોની જેમ, આંતરિક અને બાહ્ય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનો વચ્ચે કુદરતી સમાનતા છે, અને બંનેને સામાન્ય રીતે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મર્યાદિત જૂથો માટે, શુર-ઝાસેનહૌસ પ્રમેય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન (વિભાજન વિસ્તરણ તરીકે પણ ઓળખાય છે) તરીકે વિઘટનના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરત પૂરી પાડે છે. આંતરિક અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન વ્યાખ્યાઓ ઓળખ તત્વ, પેટા જૂથ અને સામાન્ય પેટા જૂથ સાથેના જૂથને જોતાં, નીચેના નિવેદનો સમકક્ષ છેઃ પેટા જૂથોનું ઉત્પાદન છે, અને આ પેટા જૂથોમાં તુચ્છ આંતરછેદ છેઃ દરેક માટે, અનન્ય અને આવા છે. દરેક માટે, અનન્ય અને આવા છે. નેચરલ પ્રોજેક્શન સાથે નેચરલ એમ્બેડિંગની રચના એ ભાગાકાર જૂથ અને ભાગાકાર જૂથ વચ્ચેની સમરૂપતા છે. ત્યાં એક હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે જે ઓળખ છે અને જેની કર્નલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જૂથોની ચોક્કસ શ્રેણી વિભાજિત થાય છે (જેને બાયના જૂથ વિસ્તરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે). જો આમાંના કોઈપણ નિવેદનો ધરાવે છે (અને તેથી તે બધા તેમની સમાનતા દ્વારા ધરાવે છે), તો આપણે કહીએ છીએ કે તે અને, લેખિત અથવા અથવા જે વિભાજિત થાય છે તેનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે; એક એમ પણ કહે છે કે તે તેના પર કાર્ય કરવાની અર્ધ-પરોક્ષ પ્રોડક્ટ છે, અથવા તો અને નું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન પણ છે. અસ્પષ્ટતા ટાળવા માટે, સામાન્ય પેટા જૂથ કયું છે તે સ્પષ્ટ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. જો, તો પછી એક જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને માટે, આપણી પાસે છે. આંતરિક અને બાહ્ય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનો ચાલો આપણે પહેલા આંતરિક અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનને ધ્યાનમાં લઈએ. આ કિસ્સામાં, જૂથ માટે, તેના સામાન્ય પેટાજૂથ અને પેટાજૂથ (સામાન્ય હોવું જરૂરી નથી) ને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે ઉપરની સૂચિ પરની શરતો માન્ય છે. ચાલો તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથને સૂચવીએ, જે રચના હેઠળનું જૂથ છે. અંદર અને અંદરના બધા માટે, સંયોજન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત જૂથ હોમોમોર્ફિઝમનું નિર્માણ કરો. આ રીતે આપણે અંદર અને અંદર તરીકે વ્યાખ્યાયિત જૂથ કામગીરી સાથે જૂથ બનાવી શકીએ છીએ. પેટા જૂથો અને આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી નક્કી કરો, જેમ આપણે પછીથી બતાવીશું. આ રીતે આપણે તેના પેટા જૂથોમાંથી જૂથ બનાવી શકીએ છીએ. આ પ્રકારની રચનાને આંતરિક અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન (આંતરિક અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે પણ ઓળખાય છે) કહેવામાં આવે છે. ચાલો હવે બાહ્ય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનને ધ્યાનમાં લઈએ. કોઈપણ બે જૂથો અને જૂથ હોમોમોર્ફિઝમને જોતાં, આપણે એક નવું જૂથ બનાવી શકીએ છીએ, જેને બાહ્ય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન કહેવામાં આવે છે અને તેના સંદર્ભમાં, નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આ એક જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાં ઓળખ તત્વ છે અને તત્વનું વ્યસ્ત છે. જોડી સામાન્ય પેટા જૂથ આઇસોમોર્ફિક બનાવે છે, જ્યારે જોડી પેટા જૂથ આઇસોમોર્ફિક બનાવે છે. સંપૂર્ણ જૂથ એ અગાઉ આપેલા અર્થમાં તે બે પેટાજૂથોનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. તેનાથી વિપરીત, ધારો કે આપણને સામાન્ય પેટાજૂથ અને પેટાજૂથ સાથેનું એક જૂથ આપવામાં આવ્યું છે, જેમ કે દરેક તત્વને તે સ્વરૂપમાં અનન્ય રીતે લખી શકાય છે જ્યાં તે આવેલું છે અને આવેલું છે. ચાલો બધા માટે હોમોમોર્ફિઝમ (લેખિત) આપવામાં આવે. પછી અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે આઇસોમોર્ફિક છે. વિઘટનની વિશિષ્ટતાને કારણે સમરૂપતાને સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેમાં, આપણી પાસે આમ છે, માટે અને આપણે મેળવીએ છીએ જે સાબિત કરે છે કે તે હોમોમોર્ફિઝમ છે. દેખીતી રીતે તે એક એપિમોર્ફિઝમ અને મોનોમોર્ફિઝમ હોવાથી, તે ખરેખર એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આ ગુણાકાર નિયમની વ્યાખ્યાને પણ સમજાવે છે. પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદન એ અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનનો એક વિશેષ કેસ છે. આ જોવા માટે, ચાલો તુચ્છ હોમોમોર્ફિઝમ (એટલે કે, દરેક તત્વને ઓળખ ઓટોમોર્ફિઝમ પર મોકલવું) પછી સીધું ઉત્પાદન છે. જૂથો માટે વિભાજીત લેમ્માનું એક સંસ્કરણ જણાવે છે કે જૂથ બે જૂથોના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે સમરૂપ છે અને જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ અને જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે ઓળખ નકશો. આ કિસ્સામાં, દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં ઉદાહરણો ડાયહેડ્રલ જૂથ તત્વો સાથેનું ડાયહેડ્રલ જૂથ ચક્રીય જૂથોના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે આઇસોમોર્ફિક છે અને. અહીં, તત્વોને ઊંધી કરીને બિન-ઓળખ તત્વ કાર્ય કરે છે; આ એક ઓટોમોર્ફિઝમ છે કારણ કે તે અબેલિયન છે. આ જૂથ માટેની પ્રસ્તુતિ છેઃ ચક્રીય જૂથો વધુ સામાન્ય રીતે, જનરેટર અને જનરેટર સાથેના કોઈપણ બે ચક્રીય જૂથોનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એક વધારાના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે, સાથે અને સહમૌલિક, અને; એટલે કે, પ્રસ્તુતિઃ જો અને સહમૌલિક હોય, તો તે જનરેટર છે અને, તેથી પ્રસ્તુતિઃ અગાઉના જૂથને સમરૂપ જૂથ આપે છે. જૂથના હોલોમોર્ફ અર્ધ-સીધા ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરાયેલા જૂથનું એક પ્રમાણભૂત ઉદાહરણ એ જૂથનું હોલોમોર્ફ છે. આને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જૂથનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ક્યાં છે અને માળખાનો નકશો ઓનની યોગ્ય ક્રિયાથી આવે છે. ગુણાકાર તત્વોના સંદર્ભમાં, આ જૂથ માળખું આપે છે ક્લેઈન બોટલનું મૂળભૂત જૂથ ક્લેઈન બોટલનું મૂળભૂત જૂથ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે અને તેથી તે પૂર્ણાંકોના જૂથનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. અનુરૂપ હોમોમોર્ફિઝમ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસ બિન-શૂન્ય નિર્ધારક સાથે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસનો સમૂહ, જે કર્ણ પર બિન-શૂન્ય એન્ટ્રીઓ સાથે હોય છે, તે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનમાં વિઘટન ધરાવે છે જ્યાં કર્ણ પર માત્ર 's' સાથે મેટ્રિસીસનો પેટાજૂથ હોય છે, જેને ઉપલા એકકોણીય મેટ્રિક્સ જૂથ કહેવામાં આવે છે, અને તે કર્ણ મેટ્રિસીસનો પેટાજૂથ છે. ઓનની જૂથ ક્રિયા મેટ્રિક્સ ગુણાકાર દ્વારા પ્રેરિત થાય છે. જો આપણે સેટ કરીએ અને પછી તેમનું મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન આ પ્રેરિત જૂથ ક્રિયા આપે છે A મેટ્રિક્સને અને મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. એટલે. સમતલ પરના સમમિતિનું જૂથ સમતલની તમામ કઠોર ગતિઓ (સમમિતિનું) નું યુક્લિડિયન જૂથ (એવા નકશા કે જે યુક્લિડિયન અંતર અને અને અને બધા માટે અને વચ્ચેના અંતરની બરાબર હોય) એ અબેલિયન જૂથ (જે અનુવાદોનું વર્ણન કરે છે) અને ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સના જૂથ (જે પરિભ્રમણ અને પ્રતિબિંબનનું વર્ણન કરે છે જે મૂળને સ્થિર રાખે છે) ના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે સમરૂપ છે. અનુવાદ અને પછી પરિભ્રમણ અથવા પ્રતિબિંબને લાગુ કરવાથી તે જ અસર થાય છે જે પહેલા પરિભ્રમણ અથવા પ્રતિબિંબને લાગુ કરવા અને પછી ફેરવાયેલા અથવા પ્રતિબિંબિત અનુવાદ વેક્ટર (એટલે કે. મૂળ અનુવાદના સંયોજનને લાગુ કરવું). આ દર્શાવે છે કે અનુવાદોનું જૂથ એ યુક્લિડિયન જૂથનું સામાન્ય પેટાજૂથ છે, કે યુક્લિડિયન જૂથ એ અનુવાદ જૂથનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે અને, અને અનુરૂપ હોમોમોર્ફિઝમ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ઓર્થોગોનલ જૂથ ઓ (એન) તમામ ઓર્થોગોનલ વાસ્તવિક મેટ્રિસીસનો ઓર્થોગોનલ જૂથ (સહજ ભાવે તમામ પરિભ્રમણ અને-પરિમાણીય જગ્યાના પ્રતિબિંબનો સમૂહ જે મૂળને સ્થિર રાખે છે) જૂથના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે આઇસોમોર્ફિક છે (જેમાં નિર્ધારક સાથે તમામ ઓર્થોગોનલ મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે, સહજ ભાવે-પરિમાણીય જગ્યાના પરિભ્રમણ) અને. જો આપણે મેટ્રિસીસના ગુણાકાર જૂથ તરીકે રજૂ કરીએ, તો જ્યાં-પરિમાણીય જગ્યાનું પ્રતિબિંબ છે જે મૂળને નિશ્ચિત રાખે છે (એટલે કે, ઇન્વોલ્યુશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નિર્ધારક સાથેનો એક ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ), તો પછી અંદર અને અંદરના તમામ H માટે આપવામાં આવે છે. બિન-તુચ્છ કિસ્સામાં (ઓળખ નથી) આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિબિંબ દ્વારા કામગીરીનું જોડાણ (3-પરિમાણીય અવકાશમાં પરિભ્રમણ અક્ષ અને પરિભ્રમણની દિશા તેમની "મિરર ઇમેજ" દ્વારા બદલવામાં આવે છે). અર્ધ-રેખીય પરિવર્તન ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યા પર અર્ધરેખીય પરિવર્તનોનું જૂથ, જે ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે, તે રેખીય જૂથ (એક સામાન્ય પેટાજૂથ) ના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે આઇસોમોર્ફિક છે, અને તેના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ. સ્ફટિકશાસ્ત્રીય જૂથો સ્ફટિકશાસ્ત્રમાં, સ્ફટિકનું અવકાશ જૂથ બિંદુ જૂથ અને અનુવાદ જૂથના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે વિભાજિત થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અવકાશ જૂથ સમરૂપ હોય. બિન-સમરૂપ અવકાશ જૂથોમાં બિંદુ જૂથો હોય છે જે અવકાશ જૂથના સબસેટ તરીકે પણ સમાવિષ્ટ નથી, જે તેમના વિશ્લેષણમાં મોટાભાગની ગૂંચવણ માટે જવાબદાર છે. બિન-ઉદાહરણો અલબત્ત, કોઈ પણ સરળ જૂથને અર્ધ-સીધા ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતું નથી (કારણ કે તેમાં બિન-તુચ્છ સામાન્ય પેટાજૂથો નથી), પરંતુ બિન-તુચ્છ સામાન્ય પેટાજૂથો ધરાવતા જૂથોના કેટલાક સામાન્ય પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો છે જે તેમ છતાં અર્ધ-સીધા ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતા નથી. નોંધ લો કે જો કે દરેક જૂથને દ્વારા વિભાજિત વિસ્તરણ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતું નથી, તે તારણ આપે છે કે આવા જૂથને સાર્વત્રિક એમ્બેડિંગ પ્રમેય દ્વારા માળા ઉત્પાદનમાં જડિત કરી શકાય છે. Z4 ચક્રીય જૂથ એક સરળ જૂથ નથી કારણ કે તેમાં ક્રમ 2 નું પેટાજૂથ છે, એટલે કે તે એક પેટાજૂથ છે અને તેમનો ભાગાકાર છે, તેથી એક વિસ્તરણ છે. જો વિસ્તરણ વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હોય, તો પછી જૂથ તેના માટે સમરૂપ હશે. પ્ર. 8 આઠ ચતુર્થાંશોનું જૂથ જ્યાં અને, એ જૂથનું બીજું ઉદાહરણ છે જે બિન-તુચ્છ સામાન્ય પેટાજૂથો ધરાવે છે જે હજુ પણ વિભાજિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, તેના દ્વારા પેદા થયેલું પેટાજૂથ સમરૂપ છે અને સામાન્ય છે. તેમાં દ્વારા પેદા થયેલ ક્રમનો પેટા સમૂહ પણ છે. આનો અર્થ એ થશે કે જૂથોના નીચેના કાલ્પનિક ચોક્કસ ક્રમમાં વિભાજન વિસ્તરણ હોવું જોઈએઃ, પરંતુ આવો ચોક્કસ ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી. આ ગુણાંક સાથેના પ્રથમ જૂથ કોહોમોલોજી જૂથની ગણતરી કરીને દર્શાવી શકાય છે, તેથી અને આ એક્સ્ટેન્શન્સમાં બે જૂથોની નોંધ અને ડાયહેડ્રલ જૂથ છે. પરંતુ, આમાંથી કોઈ પણ જૂથ આઇસોમોર્ફિક ન હોવાથી, ક્વાટર્નિયન જૂથ વિભાજિત નથી. આઇસોમોર્ફિઝમ્સના આ બિન-અસ્તિત્વને તુચ્છ વિસ્તરણ એબેલિયન છે જ્યારે બિન-એબેલિયન છે તેની નોંધ લઈને ચકાસી શકાય છે, અને નોંધ્યું છે કે માત્ર સામાન્ય પેટાજૂથો અને છે, પરંતુ તેમાં ત્રણ પેટાજૂથો આઇસોમોર્ફિક છે. ગુણધર્મો જો સામાન્ય પેટા જૂથ અને પેટા જૂથનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન હોય, અને બંને અને મર્યાદિત હોય, તો ક્રમ અને અને ના ક્રમના ગુણાકારની બરાબર હોય છે. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે તે અને ના બાહ્ય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનના સમાન ક્રમમાં છે, જેનો અંતર્ગત સમૂહ કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન છે. પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદનો સાથેનો સંબંધ ધારો કે તે સામાન્ય પેટાજૂથ અને પેટાજૂથનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. જો તે પણ સામાન્ય હોય, અથવા સમકક્ષ હોય, જો ત્યાં હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોય જે કર્નલ સાથે ઓળખ છે, તો તે અને નું સીધું ઉત્પાદન છે. બે જૂથોનું પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદન અને તેને બધા માટે અને તેના સંદર્ભમાં અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે વિચારી શકાય છે. નોંધ લો કે સીધા ઉત્પાદનમાં, પરિબળોનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ નથી, કારણ કે તે આઇસોમોર્ફિક છે. અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનો માટે આ સ્થિતિ નથી, કારણ કે બે પરિબળો જુદી જુદી ભૂમિકા ભજવે છે. વધુમાં, બિન-તુચ્છ હોમોમોર્ફિઝમના માધ્યમથી (યોગ્ય) અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનનું પરિણામ ક્યારેય અબેલિયન જૂથ હોતું નથી, ભલે પરિબળ જૂથો અબેલિયન હોય. અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનોની બિન-વિશિષ્ટતા (અને વધુ ઉદાહરણો) સીધા ઉત્પાદનના કિસ્સામાં વિપરીત, બે જૂથોનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન, સામાન્ય રીતે, અનન્ય નથી; જો અને તે બે જૂથો છે જેમાં બંને સામાન્ય પેટાજૂથ તરીકે અને પેટાજૂથ તરીકેની સમરૂપ નકલો ધરાવે છે, અને બંને અનેનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે, તો તે અનુસરતું નથી અને સમરૂપ છે કારણ કે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન પણ ઓનની ક્રિયાના વિકલ્પ પર આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ 16 ના ચાર બિન-આઇસોમોર્ફિક જૂથો છે જે અને ના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનો છે; આ કિસ્સામાં, આવશ્યકપણે એક સામાન્ય પેટાજૂથ છે કારણ કે તેમાં અનુક્રમણિકા 2 છે. આ ચાર અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનોમાંથી એક પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદન છે, જ્યારે અન્ય ત્રણ બિન-એબેલિયન જૂથો છેઃ ક્રમ 16 નું ડાયહેડ્રલ જૂથ, ક્રમ 16 નું ક્વાસિડિહેડ્રલ જૂથ, ક્રમ 16 નું ઇવાસાવા જૂથ જો આપેલ જૂથ અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન હોય, તો આ વિઘટન અનન્ય છે તેની કોઈ ગેરંટી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ 24 નું એક જૂથ છે (ક્રમ 4 ના છ ઘટકો અને ક્રમ 6 ના છ ઘટકો ધરાવતું એકમાત્ર) જેને નીચેની રીતે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ અસ્તિત્વ સામાન્ય રીતે, જૂથોમાં અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનોના અસ્તિત્વ માટે કોઈ જાણીતી લાક્ષણિકતા (એટલે કે, જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત) નથી. જો કે, કેટલીક પર્યાપ્ત શરતો જાણીતી છે, જે અમુક કિસ્સાઓમાં અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. મર્યાદિત જૂથો માટે, શુર-ઝાસેનહૌસ પ્રમેય અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે જ્યારે સામાન્ય પેટાજૂથનો ક્રમ ભાગાકાર જૂથના ક્રમ સાથે સુસંગત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, શુર-ઝાસેનહૌસ પ્રમેય ક્રમ 6 ના જૂથો વચ્ચે અર્ધ-સીધા ઉત્પાદનનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે; આવા બે ઉત્પાદનો છે, જેમાંથી એક સીધું ઉત્પાદન છે, અને બીજું ડાયહેડ્રલ જૂથ છે. તેનાથી વિપરીત, શુર-ઝાસેનહૌસ પ્રમેય ક્રમ 4 ના જૂથો અથવા ક્રમ 8 ના જૂથો વિશે કંઇ કહેતો નથી. સામાન્યીકરણ જૂથ સિદ્ધાંતની અંદર, અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનોના નિર્માણને ઘણું આગળ ધપાવી શકાય છે. જૂથોનું ઝપ્પા-સેપ ઉત્પાદન એ એક સામાન્યીકરણ છે જે, તેના આંતરિક સંસ્કરણમાં, એવું માનતું નથી કે કોઈ પણ પેટા જૂથ સામાન્ય છે. રીંગ થિયરીમાં પણ એક રચના છે, જે રીંગનું ક્રોસ કરેલું ઉત્પાદન છે. આ જૂથોના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે જૂથની વીંટીમાંથી કુદરતી રીતે બનાવવામાં આવે છે. રીંગ-સૈદ્ધાંતિક અભિગમને લાઈ આલ્જેબ્રાના અર્ધ-પરોક્ષ સરવાળામાં વધુ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ભૂમિતિ માટે, ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર જૂથ ક્રિયાઓ માટે ક્રોસ કરેલ ઉત્પાદન પણ છે; કમનસીબે, જૂથ અબેલિયન હોય તો પણ તે સામાન્ય રીતે બિન-પરિવર્તનીય હોય છે. આ સંદર્ભમાં, અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એ જૂથ ક્રિયાના ભ્રમણકક્ષાની જગ્યા છે. પછીના અભિગમને પરંપરાગત ટોપોલોજિકલ તકનીકો દ્વારા અભિગમોના વિકલ્પ તરીકે એલેન કોનેસ દ્વારા સમર્થન આપવામાં આવ્યું છે; સી. એફ. બિનપરિવર્તનશીલ ભૂમિતિ. અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એ શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં ગ્રોથેન્ડીક રચનાનો એક વિશેષ કેસ છે. ખાસ કરીને, ઓન (જૂથને માન આપવું, અથવા તો માત્ર મોનોઈડ માળખું) ની ક્રિયા એ એચ (એક જ પદાર્થ * ધરાવતી, જેની એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ એચ છે) સાથે સંકળાયેલ ગ્રૂપોઇડમાંથી શ્રેણીઓની શ્રેણીમાં ફંકટર જેવી જ વસ્તુ છે, જેમ કે અનન્ય ઑબ્જેક્ટને મેપ કરવામાં આવે છે. આ ફંકટરની ગ્રોથેન્ડીક રચના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન (ગ્રુપોઇડ સાથે સંકળાયેલ) ની સમકક્ષ છે. ગ્રુપોઇડ્સ અન્ય સામાન્યીકરણ ગ્રુપોઇડ્સ માટે છે. આ ટોપોલોજીમાં થાય છે કારણ કે જો કોઈ જૂથ જગ્યા પર કાર્ય કરે છે તો તે જગ્યાના મૂળભૂત જૂથ પર પણ કાર્ય કરે છે. અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન પછી ભ્રમણકક્ષાની જગ્યાના મૂળભૂત જૂથને શોધવા માટે સુસંગત છે. સંપૂર્ણ વિગતો માટે નીચે ઉલ્લેખિત પુસ્તકનું પ્રકરણ 11 જુઓ, અને એન. સી. એ. ટી. લેબમાં અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનની કેટલીક વિગતો પણ જુઓ. અબેલિયન વર્ગો બિન-તુચ્છ અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનો અબેલિયન વર્ગોમાં ઉદ્ભવતા નથી, જેમ કે મોડ્યુલોની શ્રેણી. આ કિસ્સામાં, વિભાજન લેમ્મા દર્શાવે છે કે દરેક અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એ સીધું ઉત્પાદન છે. આમ અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનોનું અસ્તિત્વ એબેલિયન હોવાની શ્રેણીની નિષ્ફળતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સંકેત સામાન્ય રીતે જૂથ પર કામ કરતા જૂથનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન (મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં સામાન્ય જૂથના પેટા જૂથો તરીકે જોડાણ દ્વારા) અથવા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો કે, કેટલાક સ્રોતો આ પ્રતીકનો ઉપયોગ વિપરીત અર્થ સાથે કરી શકે છે. જો કાર્યવાહી સ્પષ્ટ થવી જોઈએ, તો તે પણ લખે છે. પ્રતીક વિશે વિચારવાની એક રીત સામાન્ય પેટાજૂથ () માટેના પ્રતીક અને ઉત્પાદન () માટેના પ્રતીકના સંયોજન તરીકે છે. બેરી સિમોન, જૂથ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પરના તેમના પુસ્તકમાં, અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન માટે અસામાન્ય સંકેતનો ઉપયોગ કરે છે. યુનિકોડ ચાર પ્રકારોની યાદી આપે છેઃ {| વર્ગ = "વિકિટેબલ"! ! ! મૂલ્ય! ! ગણિત એમ. એલ.! ! યુનિકોડ વર્ણન |-| | | યુ + 22સી9 | | એલટાઇમ્સ | | લેફ્ટ નોર્મલ ફેક્ટર સેમિડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ |-| યુ + 22સીએ | | આરટાઇમ્સ | | રાઇટ નોર્મલ ફેક્ટર સેમિડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ |-| યુ + 22સીબી | | એલથ્રી | | લેફ્ટ સેમિડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ |-| યુ + 22સીસી | | આરથ્રી | રાઇટ સેમિડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ |} અહીં યુ. એન. LaTeX માં, આદેશો 'સમય અને સમય' અનુરૂપ અક્ષરો ઉત્પન્ન કરે છે. એ. એમ. એસ. સિમ્બોલ્સ પેકેજ સાથે લોડ થયેલ, \leftthriettymes ઉત્પન્ન કરે છે અને \reftthriettymes ઉત્પન્ન કરે છે. એફાઇન લાઈ બીજગણિત ગ્રોથેન્ડીક બાંધકામ પણ જુઓ, જે એક સ્પષ્ટ રચના છે જે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન હોલોમોર્ફ લાઈ બીજગણિત અર્ધ-પરોક્ષ રકમ સબડાયરેક્ટ ઉત્પાદન માળા ઉત્પાદન ઝપ્પા-ઝેપ ઉત્પાદન ક્રોસ કરેલ ઉત્પાદન નોંધો સંદર્ભો જૂથ ઉત્પાદનોને સામાન્ય બનાવે છે.