Tube domain
ગણિતમાં, ટ્યુબ ડોમેન એ જટિલ સમતલમાં ઊભી પટ્ટી (અથવા અર્ધ-સમતલ) ની કલ્પનાનું કેટલાક જટિલ ચલોનું સામાન્યીકરણ છે. પટ્ટીને જટિલ સંખ્યાઓના સંગ્રહ તરીકે વિચારી શકાય છે જેનો વાસ્તવિક ભાગ વાસ્તવિક રેખાના આપેલ સબસેટમાં આવેલો હોય છે અને જેનો કાલ્પનિક ભાગ અનિયંત્રિત હોય છે; તેવી જ રીતે, ટ્યુબ એ જટિલ વેક્ટરોનો સમૂહ છે જેનો વાસ્તવિક ભાગ વાસ્તવિક વેક્ટરના કેટલાક આપેલ સંગ્રહમાં હોય છે, અને જેનો કાલ્પનિક ભાગ અનિયંત્રિત હોય છે. ટ્યુબ ડોમેન્સ એ કેટલાક વાસ્તવિક ચલોના કાર્યના લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મના ડોમેન્સ છે (જુઓ બહુ-પરિમાણીય લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ). ટ્યુબ પરની હાર્ડી જગ્યાઓને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે જેમાં એક ચલમાંથી પેલે-વીનર પ્રમેયની આવૃત્તિ ચાલુ રહે છે, અને હાર્ડી જગ્યાઓના તત્વોને યોગ્ય સંકલન ગુણધર્મો સાથે કાર્યોના લાપ્લાસ પરિવર્તન તરીકે વર્ગીકૃત કરે છે. બહિર્મુખ સમૂહો પરની નળીઓ હોલોમોર્ફીના ક્ષેત્રો છે. બહિર્મુખ શંકુ પરની નળીઓ પરની હાર્ડી જગ્યાઓ ખાસ કરીને સમૃદ્ધ માળખું ધરાવે છે, જેથી એચપી કાર્યોના સીમા મૂલ્યો વિશે ચોક્કસ પરિણામો જાણી શકાય. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ભવિષ્યની નળી એ મિન્કોવ્સ્કી અવકાશમાં ભૂતકાળના નલ શંકુના આંતરિક ભાગ સાથે સંકળાયેલ નળી ક્ષેત્ર છે, અને સાપેક્ષતા સિદ્ધાંત અને ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે. શંકુ પરની કેટલીક નળીઓ બર્ગમેન મેટ્રિકને ટેકો આપે છે, જેના સંદર્ભમાં તેઓ બાઉન્ડેડ સિમેટ્રિક ડોમેન્સ બની જાય છે. આમાંથી એક સીગલ અર્ધ-અવકાશ છે જે અંકગણિતમાં મૂળભૂત છે. વ્યાખ્યા ચાલો Rn પરિમાણ n ની વાસ્તવિક સંકલન જગ્યા સૂચવે છે અને Cn જટિલ સંકલન જગ્યા સૂચવે છે. પછી Cn ના કોઈપણ તત્વને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોમાં વિઘટિત કરી શકાય છેઃ ધારો કે A એ Rn નો ખુલ્લો સબસેટ છે. એ ઉપરની ટ્યુબ, જેને ટી. એ. તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તે સી. એન. નો સબસેટ છે, જેમાં તમામ તત્વોનો સમાવેશ થાય છે, જેમના વાસ્તવિક ભાગો હોલોમોર્ફીના ડોમેન્સ તરીકે એઃ ટ્યુબ્સમાં આવેલા છે. પછી ટ્યુબ ટી. એ. માં હોલોમોર્ફિક હોય તેવા કોઈપણ જટિલ-મૂલ્યના કાર્યને ટ્યુબના બહિર્મુખ હલ પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય માટે અનન્ય રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે એક ટ્યુબ પણ છે, અને હકીકતમાં કોઈપણ બહિર્મુખ ખુલ્લો સમૂહ હોલોમોર્ફી (હોલોમોર્ફિકલી બહિર્મુખ) નું ક્ષેત્ર હોવાથી, બહિર્મુખ ટ્યુબ પણ હોલોમોર્ફીનું ક્ષેત્ર છે. તેથી કોઈપણ નળીનું હોલોમોર્ફિક પરબિડીયું તેના બહિર્મુખ આવરણની બરાબર હોય છે. હાર્ડી જગ્યાઓ ચાલો A એ Rn માં એક ખુલ્લો સમૂહ છે. હાર્ડી અવકાશ એચ. પી. (ટી. એ.) એ ટી. એ. માં તમામ હોલોમોર્ફિક વિધેયો એફનો સમૂહ છે જેમ કે એ. માં તમામ x માટે. પી = 2 ના વિશેષ કિસ્સામાં, એચ 2 (ટી. એ.) માં કાર્યોને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ધારો કે f એ Rn સંતોષવા પર કોમ્પ્લેક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શન છે f નું ફોરિયર-લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે પછી F સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને H2 (TA) સાથે સંબંધિત છે. તેનાથી વિપરીત, એચ2 (ટીએ) ના દરેક તત્વનું આ સ્વરૂપ હોય છે. આ લાક્ષણિકતાનું પરિણામ એ છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો A માં કોઈ સીધી રેખા ન હોય તો H2 (TA) બિન-શૂન્ય કાર્ય ધરાવે છે. શંકુ પરની નળીઓ ધારો કે A એ Rn માં ખુલ્લો બહિર્મુખ શંકુ છે. આનો અર્થ એ છે કે A એ એક ખુલ્લો બહિર્મુખ સમૂહ છે કે, જ્યારે પણ x એ માં હોય છે, ત્યારે તે જ રીતે મૂળથી x સુધીના સમગ્ર કિરણો પણ હોય છે. પ્રતીકાત્મક રીતે, જો A એ શંકુ હોય, તો H2 (TA) ના તત્વોની L2 સીમા મર્યાદા હોય છે, જે L2 (B) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. એચપી (ટીએ) માટે સમાન પરિણામ છે, પરંતુ તેને શંકુની વધારાની નિયમિતતાની જરૂર છે (ખાસ કરીને, બેવડા શંકુ એ * ને ખાલી આંતરિક હોવું જરૂરી છે). રેઇનહાર્ટ ડોમેન સીગલ ડોમેન નોટ્સ સાઇટેશન સોર્સ પણ જુઓ. . . . . ફોરિયર વિશ્લેષણ હાર્મોનિક વિશ્લેષણ કેટલાક જટિલ ચલ