Illumination problem
પ્રકાશની સમસ્યાઓ એ ગાણિતિક સમસ્યાઓનો એક વર્ગ છે જે બિંદુ પ્રકાશ સ્રોતો દ્વારા પ્રતિબિંબિત દિવાલોવાળા ઓરડાઓના પ્રકાશનો અભ્યાસ કરે છે. મૂળ રચના મૂળ રચના 1950ના દાયકામાં અર્ન્સ્ટ સ્ટ્રોસને આભારી હતી અને તેનું સમાધાન કરવામાં આવ્યું છે. સ્ટ્રોસે પૂછ્યું કે શું પ્રતિબિંબિત દિવાલો ધરાવતો ઓરડો હંમેશા એક બિંદુ પ્રકાશ સ્રોત દ્વારા પ્રકાશિત કરી શકાય છે, જે પ્રતિબિંબિત દિવાલોમાંથી પ્રકાશના પુનરાવર્તિત પ્રતિબિંબ માટે પરવાનગી આપે છે. વૈકલ્પિક રીતે, પ્રશ્ન એ પૂછવા તરીકે કહી શકાય કે જો બિલિયર્ડ ટેબલને કોઈ જરૂરી આકારમાં બનાવી શકાય, તો શું એવી કોઈ આકૃતિ શક્ય છે કે જ્યાં કોઈ અન્ય બિંદુ પર બિલિયર્ડ બોલને ફટકારવું અશક્ય હોય, એમ ધારીને કે બોલ બિંદુ જેવો છે અને ઘર્ષણને કારણે રોકાવાને બદલે અનંત રીતે ચાલુ રહે છે. પેનરોઝ અનિલ્યુમિનેબલ રૂમ મૂળ સમસ્યાનું સમાધાન સૌપ્રથમ 1958માં રોજર પેનરોઝ દ્વારા પેનરોઝ અનિલ્યુમિનેબલ રૂમ બનાવવા માટે લંબગોળનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે વક્ર દિવાલો સાથેનો એક ઓરડો અસ્તિત્વમાં છે જેમાં હંમેશા શ્યામ પ્રદેશો હોવા જોઈએ જો તે માત્ર એક જ બિંદુ સ્રોત દ્વારા પ્રકાશિત થાય. બહુકોણીય ઓરડાઓ આ સમસ્યાને 1995માં જ્યોર્જ ટોકર્સ્કી દ્વારા 2 અને 3 પરિમાણો માટે બહુકોણીય ઓરડાઓ માટે પણ હલ કરવામાં આવી હતી, જે દર્શાવે છે કે ત્યાં "ડાર્ક સ્પોટ" સાથે એક અજવાળું બહુભુજ 26-બાજુનો ઓરડો અસ્તિત્વમાં છે જે ઓરડાના અન્ય બિંદુથી પ્રકાશિત થતો નથી, જે પુનરાવર્તિત પ્રતિબિંબને પણ મંજૂરી આપે છે. આ દુર્લભ કિસ્સાઓ હતા, જ્યારે મર્યાદિત સંખ્યામાં શ્યામ બિંદુઓ (પ્રદેશોને બદલે) માત્ર બિંદુ સ્ત્રોતની નિશ્ચિત સ્થિતિથી જ અજવાળતા ન હોય. 1997 માં, જ્યોર્જ ટોકર્સ્કી અને ડેવિડ કાસ્ટ્રો દ્વારા સમાન મિલકતોવાળા બે અલગ-અલગ 24-બાજુવાળા ઓરડાઓ અલગથી મૂકવામાં આવ્યા હતા. 1995 માં, ટોકર્સ્કીએ પ્રથમ બહુકોણીય બિન-પ્રકાશિત ખંડ શોધી કાઢ્યો જેમાં 4 બાજુઓ અને બે નિશ્ચિત સીમા બિંદુઓ હતા. 2016 માં, સેમ્યુઅલ લેલિવ્રે, થિએરી મોન્ટેલ અને બરાક વેઇસે દર્શાવ્યું હતું કે બહુકોણીય ખંડમાં પ્રકાશ સ્રોત કે જેના ખૂણા (ડિગ્રીમાં) બધા પરિમાણીય સંખ્યાઓ છે તે મર્યાદિત સંખ્યામાં બિંદુઓના સંભવિત અપવાદ સાથે સમગ્ર બહુકોણને પ્રકાશિત કરશે. 2019 માં અમિત વોલેકી દ્વારા આને મજબૂત બનાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે આવા દરેક બહુકોણ માટે, એક બીજાને પ્રકાશિત ન કરતા બિંદુઓની જોડીની સંખ્યા મર્યાદિત છે. આ પણ જુઓ હેડવિગર અનુમાન (પ્રકાશ સાથે વૈકલ્પિક રચના) સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ "ધ ઇલ્યુમિનેશન પ્રોબ્લેમ-નંબરફાઇલ", યુ ટ્યુબ પર નંબરફાઇલ દ્વારા, ફેબ્રુઆરી 28,2017 "પેનરોઝ અનિલ્યુમિનેબલ રૂમ ઇઝ ઇમ્પોસિબલ ટુ લાઇટ", યુ ટ્યુબ પર સ્ટીવ મોલ્ડ દ્વારા, મે 19,2022 "પેનરોઝના અનિલ્યુમિનેબલ રૂમમાં મશરૂમનો આકાર વાંધો નથી", યુ ટ્યુબ પર નિલ્સ બર્ગલુન્ડ દ્વારા, ઓગસ્ટ 13,2022 "24 બાજુઓ સાથે ટોકર્સ્કી મૂળ અનિલ્યુમિનેબલ રૂમ", યુ ટ્યુબ પર જ્યોર્જ ટોકર્સ્કી દ્વારા, જૂન 16,2022 "ઇજિપ્તની ચિત્રલિપિઓઃ જ્યોર્જ ટોકર્સ દ્વારા યુ ટ્યુબ પર એક ઓડ ટોકર્સ્કી અનિલ્યુમિનેબલ રૂમ" જ્યોર્જ ટોકર્સ્કી દ્વારા યુ ટ્યુબ પર પ્રથમ બહુકોણીય અનઇલ્યુમિનેબલ રૂમ, 29 જુલાઈ, 2022 વોલ્ફ્રમ પ્રદર્શન પર એક ઇન્ટરેક્ટિવ પ્રદર્શન, ગાણિતિક સમસ્યાઓ ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ પ્રોજેક્ટ કરે છે.