Tangle (mathematics)
ગણિતમાં, ગૂંચવણ એ સામાન્ય રીતે બે સંબંધિત ખ્યાલોમાંથી એક છેઃ જ્હોન કોનવેની વ્યાખ્યામાં, એન-ગૂંચવણ એ 3-બોલમાં એન આર્ક્સના અસંબદ્ધ જોડાણનું યોગ્ય એમ્બેડિંગ છે; એમ્બેડિંગમાં આર્ક્સના અંતિમ બિંદુઓને બોલની સીમા પર 2એન ચિહ્નિત બિંદુઓ પર મોકલવા આવશ્યક છે. કડી સિદ્ધાંતમાં, ગૂંચવણ એ n કમાનો અને m વર્તુળોનું એક એમ્બેડિંગ છે-અગાઉની વ્યાખ્યાથી તફાવત એ છે કે તેમાં વર્તુળો તેમજ કમાનોનો સમાવેશ થાય છે, અને સીમાને બે (આઇસોમોર્ફિક) ટુકડાઓમાં વિભાજીત કરે છે, જે બીજગણિત રીતે વધુ અનુકૂળ છે-તે ઉદાહરણ તરીકે, તેમને સ્ટૅકિંગ કરીને ગૂંચવણો ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે. ('ગૂંચવણ' નો એકદમ અલગ ઉપયોગ ગ્રાફ માઇનર્સ X. ઓબ્સ્ટ્રક્શન્સ ટુ ટ્રી-ડીકમ્પોઝિશનમાં એન. રોબર્ટસન અને પી. ડી. સીમોર, જર્નલ ઓફ કોમ્બિનેટોરિયલ થિયરી બી 52 (1991) 153-190 દ્વારા જોવા મળે છે, જેમણે ગ્રાફમાં વિભાજનને વર્ણવવા માટે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ ઉપયોગ મેટ્રોઇડ્સ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે.) આ લેખના સંતુલનમાં કોનવેની ગૂંચવણોની સમજણની ચર્ચા કરવામાં આવી છે; કડી સિદ્ધાંતની સમજણ માટે, તે લેખ જુઓ. બે એન-ટેંગલને સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે જો 3-બોલની સીમા નિશ્ચિત રાખીને એક ટેંગલની આજુબાજુની આઇસોટોપી બીજી સાથે હોય. ટેંગલ થિયરીને ગાંઠ થિયરીની સમાન ગણી શકાય સિવાય કે બંધ લૂપ્સને બદલે, જે તારના છેડા નીચે લટકાવવામાં આવે છે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. વેણી સિદ્ધાંત પણ જુઓ. ગૂંચવણભર્યા આકૃતિઓ સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, 3-બોલની સીમા પરના ચિહ્નિત બિંદુઓને એક મહાન વર્તુળ પર આવેલા હોવાનું ધ્યાનમાં લો. મોટા વર્તુળ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ ડિસ્ક પર પ્રક્ષેપણના સંદર્ભમાં ગૂંચવણને સામાન્ય સ્થિતિમાં ગોઠવી શકાય છે. પ્રક્ષેપણ પછી આપણને એક ગૂંચવણભર્યો આકૃતિ આપે છે, જ્યાં આપણે ગાંઠ આકૃતિઓની જેમ ઓવર અને અંડરક્રોસિંગની નોંધ લઈએ છીએ. ગૂંચવણો ઘણીવાર ગાંઠ અથવા કડી આકૃતિઓમાં ગૂંચવણ આકૃતિઓ તરીકે દેખાય છે અને તેનો ઉપયોગ કડી આકૃતિઓ માટે બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ તરીકે થઈ શકે છે, દા. ત. પ્રેટઝેલ લિંક્સ. તર્કસંગત અને બીજગણિત ગૂંચવણો તર્કસંગત ગૂંચવણો એ 2-ગૂંચવણો છે જે 3-દડા અને બે કમાનો ધરાવતી જોડીના નકશા દ્વારા તુચ્છ 2-ગૂંચવણો માટે હોમોમોર્ફિક છે. ગૂંચવણ આકૃતિના સીમા વર્તુળ પરના ચાપના ચાર અંતિમ બિંદુઓને સામાન્ય રીતે એનઇ, એનડબલ્યુ, એસડબલ્યુ, એસઇ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેમાં હોકાયંત્રની દિશાઓનો ઉલ્લેખ કરતા પ્રતીકો હોય છે. તર્કસંગત ગૂંચવણની મનસ્વી ગૂંચવણ આકૃતિ ખૂબ જ જટિલ દેખાઈ શકે છે, પરંતુ ત્યાં હંમેશા ચોક્કસ સરળ સ્વરૂપની આકૃતિ હોય છેઃ બે આડી (ઊભી) કમાનો ધરાવતી ગૂંચવણ આકૃતિથી પ્રારંભ કરો; "ટ્વિસ્ટ" ઉમેરો, એટલે કે. એનઇ અને એસઇ એન્ડપોઇન્ટ્સ (એસડબલ્યુ અને એસઇ એન્ડપોઇન્ટ્સ) ને બદલીને સિંગલ ક્રોસિંગ; એનઇ અને એસઇ એન્ડપોઇન્ટ્સ અથવા એસડબલ્યુ અને એસઇ એન્ડપોઇન્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને વધુ ટ્વિસ્ટ ઉમેરીને ચાલુ રાખો. કોઈ એવું માની શકે છે કે દરેક વળાંક અગાઉ બનાવેલા ક્રોસિંગ ધરાવતી ડિસ્કની અંદરની આકૃતિને બદલતું નથી. આપણે સમાન અંતિમ બિંદુઓના સમૂહની આસપાસ સતત વળાંક દ્વારા આપવામાં આવેલી સંખ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈને આવી આકૃતિનું વર્ણન કરી શકીએ છીએ, દા. ત. (2,1,-3) નો અર્થ થાય છે બે આડી કમાનોથી શરૂઆત કરવી, પછી એનઇ/એસઇ અંતિમ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને 2 વળાંક, પછી એસડબલ્યુ/એસઇ અંતિમ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને 1 વળાંક, અને પછી એનઇ/એસઇ અંતિમ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને 3 વળાંક પરંતુ પહેલાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં વળાંક. જો તમે બે ઊભી કમાનોથી શરૂઆત કરો છો તો સૂચિ 0 થી શરૂ થાય છે. બે આડી કમાનો સાથેનું આકૃતિ પછી (0) હોય છે, પરંતુ આપણે ઊભી કમાનો સાથેનું આકૃતિને (0,0) સોંપીએ છીએ. "હકારાત્મક" અથવા "નકારાત્મક" વળાંકનું વર્ણન કરવા માટે એક પરંપરાની જરૂર છે. ઘણીવાર, "તર્કસંગત ગૂંચવણ" એ વર્ણવ્યા મુજબ સરળ આકૃતિને રજૂ કરતી સંખ્યાઓની સૂચિનો સંદર્ભ આપે છે. તર્કસંગત ગૂંચવણના અપૂર્ણાંકને પછી સતત અપૂર્ણાંક દ્વારા આપવામાં આવેલી સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (0,0) દ્વારા આપવામાં આવેલ અપૂર્ણાંકને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કોનવેએ સાબિત કર્યું કે અપૂર્ણાંક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે અને ગૂંચવણ સમાનતા સુધી તર્કસંગત ગૂંચવણને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. આ હકીકતનો સુલભ પુરાવો અહીં આપવામાં આવ્યો છેઃ કોનવેએ એલેક્ઝાન્ડર બહુપદીનો ઉપયોગ કરીને મનસ્વી ગૂંચવણના અપૂર્ણાંકને પણ વ્યાખ્યાયિત કર્યો. ગૂંચવણો પરની કામગીરીઓ ત્યાં ઉમેરા, ગુણાકાર અને પારસ્પરિક કામગીરીઓ સાથે ગૂંચવણોની "અંકગણિત" છે. બીજગણિત ગૂંચવણ તર્કસંગત ગૂંચવણોના ઉમેરા અને ગુણાકારમાંથી મેળવવામાં આવે છે. તર્કસંગત ગૂંચવણના અંશ બંધને "ઉત્તર" અંતિમ બિંદુઓને એકસાથે અને "દક્ષિણ" અંતિમ બિંદુઓને પણ એકસાથે જોડીને મેળવેલી કડી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિભાજક બંધને "પૂર્વ" અને "પશ્ચિમ" અંતિમ બિંદુઓને જૂથબદ્ધ કરીને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તર્કસંગત કડીઓ તર્કસંગત ગૂંચવણોના આવા બંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કોનવે નોટેશન કોનવેના ગૂંચવણોના અભ્યાસ માટે એક પ્રેરણા કોષ્ટકોમાં જોવા મળતી પરંપરાગત ગણતરી કરતાં ગાંઠો માટે વધુ વ્યવસ્થિત સંકેત પ્રદાન કરવાની હતી. ડીએનએ ટોપોલોજીના અભ્યાસમાં એપ્લિકેશન્સ ટેંગલ ઉપયોગી હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આપેલ ઉત્સેચકની ક્રિયાનું ગૂંચવણ સિદ્ધાંતની મદદથી વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. ટેંગલમેન્ટ પઝલ સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ ગાંઠ સિદ્ધાંત જ્હોન હોર્ટન કોનવે