Hyers–Ulam–Rassias stability
કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતાની સમસ્યા જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ્સની સ્થિરતાને લગતા 1940માં સ્ટેનિસ્લો ઉલમના પ્રશ્નમાંથી ઉદ્ભવી હતી. પછીના વર્ષે, ડોનાલ્ડ એચ. હાયર્સે એડિટિવ મેપિંગ્સના કિસ્સામાં બનાચ સ્પેસના સંદર્ભમાં ઉલમના પ્રશ્નનો આંશિક હકારાત્મક જવાબ આપ્યો, જે આ ક્ષેત્રમાં પ્રથમ નોંધપાત્ર સફળતા અને વધુ ઉકેલો તરફનું એક પગલું હતું. ત્યારથી, ઉલમની સમસ્યા અને હાયર્સના પ્રમેયના વિવિધ સામાન્યીકરણના સંબંધમાં મોટી સંખ્યામાં કાગળો પ્રકાશિત થયા છે. 1978માં, થેમિસ્ટોકલ્સ એમ. રાસીઆસ મેપિંગ પર સાતત્યની સ્થિતિને આધિન અમર્યાદિત કોચી તફાવતને ધ્યાનમાં લઈને બનાચ જગ્યાઓ વચ્ચેના મેપિંગ માટે હાયર્સના પ્રમેયને વિસ્તૃત કરવામાં સફળ રહ્યા હતા. તે રેખીય નકશાની સ્થિરતા સાબિત કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. રાસ્સિઅસના આ પરિણામએ વિશ્વભરના ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓને આકર્ષિત કર્યા જેઓ કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતા સમસ્યાઓની તપાસ કરવા માટે ઉત્તેજિત થવા લાગ્યા. એસ. એમ. ઉલામ, ડી. એચ. હાયર્સ અને ટી. એચ. ના મોટા પ્રભાવ વિશે. એમ. રાસિયસ કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતા સમસ્યાઓના અભ્યાસ પર, સ્થિરતા ઘટના Th દ્વારા સાબિત થાય છે. એમ. રાસ્સિઅસે કાર્યાત્મક સમીકરણોની હાયર્સ-ઉલમ-રાસ્સિઅસ સ્થિરતા તરીકે ઓળખાતા વિકાસનું નેતૃત્વ કર્યું. ઉલામની સમસ્યાના સંદર્ભમાં કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતાની વ્યાપક રજૂઆત માટે, રસ ધરાવતા વાચકને એસ. એમ. જંગ, એસ. સેઝર્વિક, વાય. જે. દ્વારા પુસ્તકોનો સંદર્ભ આપવામાં આવે છે. ચો, સી. પાર્ક, ટી. એમ. રસ્સિયાસ અને આર. સાદતી, વાય. જે. ચો, ટી. એમ. રસ્સિયાસ અને આર. સાદાતી, અને પ્રા. કન્નપ્પન, તેમજ નીચેના કાગળો. 1950માં, ટી. એઓકીએ અમર્યાદિત કોચી તફાવતને ધ્યાનમાં લીધો હતો, જેને પાછળથી રાસીઆસ દ્વારા રેખીય કેસમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો. આ પરિણામ એડિટિવ મેપિંગની હાયર્સ-ઉલમ-એઓકી સ્થિરતા તરીકે ઓળખાય છે. એઓકી (1950) એ નકશા પર સાતત્યને ધ્યાનમાં લીધું ન હતું, જ્યારે રાસીઆસ (1978) એ વધારાની સાતત્ય પૂર્વધારણા લાદવામાં આવી હતી, જે ઔપચારિક રીતે મજબૂત નિષ્કર્ષ પર પહોંચી હતી. સંદર્ભો પણ જુઓ ટી. એમ. રાસ્સિઅસ, કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતા અને ઉલમની સમસ્યા પર, એક્ટા એપ્લીકેન્ડે મેથેમેટિકા, 62 (1) (2000), 23-130. પી. ગાવ્રુત, એ જનરલાઈઝેશન ઓફ ધ હાયર્સ-ઉલમ-રાસીઆસ સ્ટેબિલિટી ઓફ લગભગ એડિટિવ મેપિંગ્સ, જે. ગણિત. ગુદા. એપલ. 184 (1994), 431-436. પી. ગાવ્રુત અને એલ. ગાવ્રુત, એ ન્યૂ મેથડ ફોર ધ જનરલાઈઝ્ડ હાયર્સ-ઉલમ-રસિયસ સ્ટેબિલિટી, ઇન્ટ. જે. બિનરેખીય ગુદા. એપલ. 1 (2010), નં. 2, 6 પીપી. જે. ચુંગ, શ્વાર્ટઝ વિતરણની જગ્યામાં કાઉચી સમીકરણની હાયર્સ-ઉલમ-રસિયસ સ્થિરતા, જે. ગણિત. ગુદા. એપલ. 300 (2) (2004), 343-350. ટી. મિઉરા, એસ. ઈ. તાકાહાસી, અને જી. હિરાસાવા, હાઇર્સ-ઉલમ-રસિયસ સ્ટેબિલિટી ઓફ જોર્ડન હોમોમોર્ફિઝમ્સ ઓન બનાચ આલ્જેબ્રાસ, જે. ઇનઈક્વલ. એપલ. 4 (2005), 435-441. એ. નજતી અને સી. પાર્ક, પેક્સિડરાઈઝ્ડ કોચી કાર્યાત્મક સમીકરણ સાથે સંકળાયેલા અર્ધ-બનાચ આલ્જેબ્રામાં હોમોમોર્ફિઝમ્સની હાયર્સ-ઉલમ-રાસીઆસ સ્થિરતા, જે. ગણિત. ગુદા. એપલ. 335 (2007), 763-778. ટી. એમ. રસ્સિયાસ અને જે. બ્રઝડેક (આવૃત્તિઓ. ), ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં કાર્યાત્મક સમીકરણો, સ્પ્રિંગર, ન્યૂ યોર્ક, 2012. ડી. ઝાંગ અને જે. વાંગ, જેનસનના સમીકરણની હાયર્સ-ઉલમ-રાસિયસ સ્થિરતા પર, બુલ. કોરિયન ગણિત. સો. 46 (4) (2009), 645-656. ટી. ટ્રિફ, જેનસન પ્રકારનાં કાર્યાત્મક સમીકરણની હાયર્સ-ઉલમ-રસિયસ સ્થિરતા, જે. ગણિત. ગુદા. એપલ. 250 (2000), 579-588. પ્રા. કન્નપ્પન, કાર્યાત્મક સમીકરણો અને એપ્લિકેશન્સ સાથેની અસમાનતાઓ, સ્પ્રિંગર, ન્યૂ યોર્ક, 2009. પી. કે. સાહૂ અને પી. કન્નપ્પન, ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ ફંક્શનલ ઇક્વેશન્સ, સીઆરસી પ્રેસ, ચેપમેન એન્ડ હોલ બુક, ફ્લોરિડા, 2011. ડબલ્યુ. ડબલ્યુ. બ્રેકનર અને ટી. ટ્રિફ, કન્વેક્સ ફંક્શન્સ અને સંબંધિત કાર્યાત્મક સમીકરણો. પસંદ કરેલા વિષયો, ક્લુજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ક્લુજ, 2008. ગાણિતિક વિશ્લેષણ કાર્યાત્મક સમીકરણો કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ