O-minimal theory
ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં, અને ખાસ કરીને નમૂના સિદ્ધાંતમાં, એક અનંત માળખું (એમ, <,.) કે જે સંપૂર્ણપણે <દ્વારા ક્રમબદ્ધ હોય તેને ઓ-મિનિમલ માળખું કહેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક વ્યાખ્યાયિત સબસેટ X′M (એમ માંથી લેવામાં આવેલા પરિમાણો સાથે) અંતરાલો અને બિંદુઓનું મર્યાદિત જોડાણ હોય. ઓ-મિનિમાલિટીને માત્રાત્મક નાબૂદીના નબળા સ્વરૂપ તરીકે ગણી શકાય. માળખું M એ ઓ-મિનિમલ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે M માં એક મુક્ત ચલ અને પરિમાણો સાથેનું દરેક સૂત્ર માત્ર ક્રમને સમાવતા પરિમાણ-મુક્ત સૂત્રની સમકક્ષ હોય, એમ માં પરિમાણો સાથે પણ. આ ન્યૂનતમ માળખાઓ સાથે સમાન હોય છે, જે બરાબર સમાનતાના સમાન ગુણધર્મ છે. જો ટીનું દરેક મોડેલ ઓ-મિનિમલ હોય તો સિદ્ધાંત ટી એ ઓ-મિનિમલ સિદ્ધાંત છે. તે જાણીતું છે કે ઓ-મિનિમલ સ્ટ્રક્ચરનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત ટી એ ઓ-મિનિમલ સિદ્ધાંત છે. આ પરિણામ નોંધપાત્ર છે કારણ કે, તેનાથી વિપરીત, ન્યૂનતમ રચનાનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત મજબૂત ન્યૂનતમ સિદ્ધાંત હોવો જરૂરી નથી, એટલે કે, મૂળભૂત રીતે સમકક્ષ માળખું હોઈ શકે છે જે ન્યૂનતમ નથી. સેટ-સૈદ્ધાંતિક વ્યાખ્યા ઓ-મિનિમલ સ્ટ્રક્ચર્સને મોડેલ થિયરીનો આશ્રય લીધા વિના વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. અહીં આપણે બિન-ખાલી સમૂહ M પર માળખાને સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, ક્રમ S = (Sn), n = 0,1,2, જેમ કે Sn એ Mn ના ઉપગણોનું બુલિયન બીજગણિત છે જો A bul Sn તો M × A અને A × M Sn + 1 માં છે સમૂહ {(x1,., xn) bul Mn: x1 = xn} Sn માં છે જો A bul Sn + 1 અને π: Mn + 1 → Mn એ પ્રથમ n કોઓર્ડિનેટ્સ પર પ્રક્ષેપણ નકશો છે, તો પછી π (A) bul Sn. જો M તેના પર અંતિમ બિંદુઓ વિના ગાઢ રેખીય ક્રમ ધરાવે છે, તો કહો કે <, તો પછી M પરની રચના S ને ઓ-મિનિમલ કહેવામાં આવે છે જો તે વધારાના સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે <Li> સમૂહ <(= {(x, y) bul M2: x <y}) S2 <Li> માં છે S1 માંના સમૂહો ચોક્કસપણે અંતરાલો અને બિંદુઓના મર્યાદિત સંઘ છે. "ઓ" નો અર્થ "ક્રમ" થાય છે, કારણ કે કોઈપણ ઓ-લઘુત્તમ માળખાને અંતર્ગત સમૂહ પર ક્રમની જરૂર હોય છે. આદર્શ સૈદ્ધાંતિક વ્યાખ્યા ઓ-મિનિમલ માળખાઓ આદર્શ સિદ્ધાંતમાં ઉદ્ભવ્યા છે અને તેથી આદર્શ સિદ્ધાંતની ભાષાનો ઉપયોગ કરીને સરળ-પરંતુ સમકક્ષ-વ્યાખ્યા ધરાવે છે. ખાસ કરીને જો L એ દ્વિસંગી સંબંધ <, અને (M, <,.) એક L-માળખું છે જ્યાં <ને ગાઢ રેખીય ક્રમના સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષવા માટે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, તો (M, <,.) ને ઓ-લઘુતમ માળખું કહેવામાં આવે છે જો કોઈ વ્યાખ્યાયિત સમૂહ X માટે મર્યાદિત રીતે ઘણા ખુલ્લા અંતરાલો I1,., M માં IR અને મર્યાદિત સમૂહ X0 હોય કે જે ઓ-લઘુતમ સિદ્ધાંતોના ઉદાહરણો છેઃ માત્ર ક્રમ સાથે ભાષામાં ગાઢ રેખીય ક્રમનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત. આર. સી. એફ., વાસ્તવિક બંધ ક્ષેત્રોનો સિદ્ધાંત. પ્રતિબંધિત વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો સાથે વાસ્તવિક ક્ષેત્રનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત ઉમેરવામાં આવ્યો (એટલે કે. [0,1] n ના પડોશ પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો, જે [0,1] n સુધી મર્યાદિત છે; નોંધ લો કે અનિયંત્રિત સાઇન કાર્યમાં અનંત રીતે ઘણા મૂળ છે, અને તેથી તેને ઓ-મિનિમલ માળખામાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી. વિલ્કીના પ્રમેય દ્વારા ઘાતાંકીય વિધેય માટેના પ્રતીક સાથે વાસ્તવિક ક્ષેત્રનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત. વધુ સામાન્ય રીતે, ફાફિયન વિધેયો સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત ઉમેરવામાં આવ્યો. છેલ્લા બે ઉદાહરણોને જોડી શકાય છેઃ વાસ્તવિક ક્ષેત્રના કોઈપણ ઓ-મિનિમલ વિસ્તરણને જોતાં (જેમ કે પ્રતિબંધિત વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો સાથેનું વાસ્તવિક ક્ષેત્ર), કોઈ તેના ફાફિયન ક્લોઝરને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, જે ફરીથી ઓ-મિનિમલ માળખું છે. (માળખાનું ફાફિયન બંધ કરવું, ખાસ કરીને, ફાફિયન સાંકળો હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે જ્યાં બહુપદીઓના સ્થાને મનસ્વી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા કાર્યોનો ઉપયોગ થાય છે.) આર. સી. એફ. ના કિસ્સામાં, નિર્ધારિત સમૂહો અર્ધ બીજગણિત સમૂહો છે. આમ ઓ-ન્યુનત્તમ રચનાઓ અને સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ વાસ્તવિક બીજગણિત ભૂમિતિને સામાન્ય બનાવે છે. વર્તમાન સંશોધનની મુખ્ય લાઇન વાસ્તવિક ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્રના વિસ્તરણની શોધ પર આધારિત છે જે ઓ-મિનિમલ છે. ઉપયોગની વ્યાપકતા હોવા છતાં, ઓ-મિનિમલ માળખામાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા સમૂહની ભૂમિતિ વિશે ઘણું બધું દર્શાવી શકાય છે. કોષ વિઘટન પ્રમેય, વ્હિટની અને વર્ડીયર સ્તરીકરણ પ્રમેયો અને પરિમાણ અને યુલર લાક્ષણિકતાની સારી કલ્પના છે. તદુપરાંત, ઓ-મિનિમલ માળખામાં સતત વિભેદક વ્યાખ્યાયિત કાર્યો લોજાસીવિઝ અસમાનતાના સામાન્યીકરણને સંતોષે છે, એક ગુણધર્મ જેનો ઉપયોગ કેટલીક બિન-સરળ ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓના અભિસરણની બાંયધરી આપવા માટે કરવામાં આવે છે, જેમ કે સ્ટોકેસ્ટિક સબગ્રેડિએન્ટ પદ્ધતિ (કેટલીક હળવી ધારણાઓ હેઠળ). આ પણ જુઓ અર્ધ બીજગણિત સમૂહ વાસ્તવિક બીજગણિત ભૂમિતિ મજબૂત રીતે ન્યૂનતમ સિદ્ધાંત નબળું ઓ-લઘુત્તમ માળખું સી-લઘુત્તમ સિદ્ધાંત શાંત ટોપોલોજી નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ મોડેલ સિદ્ધાંત પ્રીપ્રિન્ટ સર્વર વાસ્તવિક બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પ્રીપ્રિન્ટ સર્વર ગાણિતિક તર્ક સિદ્ધાંત વાસ્તવિક બીજગણિત ભૂમિતિ ટોપોલોજી