Cayley–Klein metric
ગણિતમાં, કેલે-ક્લેન મેટ્રિક એ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં નિશ્ચિત ચતુર્ભુજના પૂરક પરનું મેટ્રિક છે જે ક્રોસ-રેશિયોનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ રચનાની શરૂઆત આર્થર કેલેના નિબંધ "અંતરના સિદ્ધાંત પર" થી થઈ છે જ્યાં તેઓ ચતુર્ભુજને નિરપેક્ષ કહે છે. 1871 અને 1873 માં કાગળોમાં ફેલિક્સ ક્લેઈન દ્વારા બાંધકામ વધુ વિગતવાર વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, અને ત્યારબાદના પુસ્તકો અને કાગળો. કેલે-ક્લેન મેટ્રિક્સ એ ભૂમિતિમાં એકીકૃત વિચાર છે કારણ કે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ, લંબગોળ ભૂમિતિ અને યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં મેટ્રિક્સ પ્રદાન કરવા માટે થાય છે. બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ક્ષેત્ર મોટાભાગે કેલે-ક્લેન મેટ્રિક્સ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલા પાયા પર આધારિત છે. કાર્લ વોન સ્ટાઉડ્ટ (1847) દ્વારા ફેંકવામાં આવેલ બીજગણિત એ ભૂમિતિ માટેનો એક અભિગમ છે જે મેટ્રિકથી સ્વતંત્ર છે. એક રેખા પરના માપ માટે મૂળભૂત તરીકે પ્રોજેક્ટિવ હાર્મોનિક કોન્જુગેટ્સ અને ક્રોસ-રેશિયોના સંબંધનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર હતો. અન્ય એક મહત્વપૂર્ણ આંતરદૃષ્ટિ એડમંડ લેગુએરે (1853) નું લેગુએરે સૂત્ર હતું, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે બે રેખાઓ વચ્ચેના યુક્લિડિયન કોણને ક્રોસ-રેશિયોના લઘુગણક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આખરે, કેલે (1859) એ પ્રક્ષેપાત્મક મેટ્રિકની દ્રષ્ટિએ અંતરને વ્યક્ત કરવા માટે સંબંધો ઘડ્યાં, અને તેમને ભૂમિતિના નિરપેક્ષ તરીકે સેવા આપતા સામાન્ય ચતુર્ભુજ અથવા શંકુ સાથે સંબંધિત કર્યા. ક્લેઈન (1871,1873) એ વોન સ્ટાઉટના કાર્યમાંથી મેટ્રિક વિભાવનાઓના છેલ્લા અવશેષોને દૂર કર્યા અને તેને કેલીના સિદ્ધાંત સાથે જોડ્યા, જેથી કેલીના નવા મેટ્રિકને લઘુગણક અને ક્રોસ-રેશિયો પર ચાર બિંદુઓની ભૌમિતિક ગોઠવણી દ્વારા પેદા થયેલ સંખ્યા તરીકે આધાર આપી શકાય. આ પ્રક્રિયા અંતરની ગોળાકાર વ્યાખ્યાને ટાળવા માટે જરૂરી છે જો ક્રોસ-રેશિયો અગાઉ નિર્ધારિત અંતરનો માત્ર બમણો ગુણોત્તર હોય. ખાસ કરીને, તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિઓ કેલે-ક્લેન મેટ્રિક પર આધારિત હોઈ શકે છે. કેલે-ક્લેન ભૂમિતિ એ ગતિઓના જૂથનો અભ્યાસ છે જે કેલે-ક્લેન મેટ્રિકને અપરિવર્તનશીલ રાખે છે. તે ચતુર્ભુજ અથવા શંકુની પસંદગી પર આધાર રાખે છે જે જગ્યાના નિરપેક્ષ બને છે. આ જૂથ સંરેખણ તરીકે મેળવવામાં આવે છે જેના માટે નિરપેક્ષ સ્થિર હોય છે. ખરેખર, ક્રોસ-રેશિયો કોઈપણ સંરેખણ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે, અને સ્થિર નિરપેક્ષ મેટ્રિક સરખામણીને સક્ષમ કરે છે, જે સમાનતા હશે. ઉદાહરણ તરીકે, એકમ વર્તુળ એ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલનું નિરપેક્ષ છે અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલ છે. તેવી જ રીતે, વાસ્તવિક રેખા પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલની નિરપેક્ષ રેખા છે. કેલી-ક્લેન ભૂમિતિના વિસ્તારનો સારાંશ હોર્સ્ટ અને રોલ્ફ સ્ટ્રુવ દ્વારા 2004માં આપવામાં આવ્યો હતોઃ વાસ્તવિક પ્રક્ષેપાત્મક રેખામાં ત્રણ નિરપેક્ષ છે, વાસ્તવિક પ્રક્ષેપાત્મક સમતલમાં સાત અને વાસ્તવિક પ્રક્ષેપાત્મક અવકાશમાં 18 છે. હાયપરબોલિક, લંબગોળ, ગેલિલીયન અને મિન્કોવ્સ્કિયન જેવી તમામ શાસ્ત્રીય બિન-યુક્લિડિયન પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ અને તેમની દ્વિગુણિત જગ્યાઓને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. કેલે-ક્લેન વોરોનોઈ આકૃતિઓ રેખીય હાયપરપ્લેન દ્વિભાજક સાથે સંલગ્ન આકૃતિઓ છે. ક્રોસ રેશિયો અને અંતર કેલે-ક્લેન મેટ્રિક પ્રથમ વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ રેખા પી (આર) અને પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સ પર સચિત્ર છે. સામાન્ય રીતે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ મેટ્રિક ભૂમિતિ સાથે સંકળાયેલી નથી, પરંતુ હોમોગ્રાફી અને કુદરતી લઘુગણક સાથેનું ઉપકરણ જોડાણ બનાવે છે. પી (આર) પર બે બિંદુઓ પી અને ક્યૂ સાથે પ્રારંભ કરો. કેનોનિકલ એમ્બેડિંગમાં તેઓ [p: 1] અને [q: 1] છે. હોમોગ્રાફિક નકશો p ને શૂન્ય અને q ને અનંત સુધી લઈ જાય છે. વધુમાં, મધ્યબિંદુ (p + q)/2 [1:1] પર જાય છે. કુદરતી લઘુગણક અંતરાલ [p, q] ની છબીને વાસ્તવિક રેખા પર લઈ જાય છે, જેમાં મધ્યબિંદુની છબીનો લોગ 0 હોય છે. અંતરાલમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટે, કેલે-ક્લેન મેટ્રિક બિંદુઓના ગુણોત્તરના લઘુગણકનો ઉપયોગ કરે છે. જ્યારે અંશ અને છેદ સમાન રીતે પુનઃપ્રમાણિત હોય ત્યારે ગુણોત્તર સાચવવામાં આવે છે, તેથી આવા ગુણોત્તરનું લઘુગણક સાચવવામાં આવે છે. ગુણોત્તરની આ લવચીકતા અંતર માટે શૂન્ય બિંદુની હિલચાલને સક્ષમ કરે છેઃ તેને a પર ખસેડવા માટે, ઉપરોક્ત સમરૂપતા લાગુ કરો, કહો કે w મેળવવું. પછી આ સમરૂપતા બનાવોઃ જે [w, 1] થી [1:1] લે છે. પ્રથમ અને બીજી સમરૂપતાની રચના a થી 1 લે છે, આમ અંતરાલમાં મનસ્વી a ને સામાન્ય બનાવે છે. રચિત સમરૂપતાઓને પી, ક્યૂ અને એ ની ક્રોસ રેશિયો સમરૂપતા કહેવામાં આવે છે. વારંવાર ક્રોસ રેશિયોને ચાર મૂલ્યોના કાર્ય તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. અહીં ત્રણ સમરૂપતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને ચોથું સમરૂપતાની દલીલ છે. 0 થી આ ચોથા બિંદુનું અંતર મૂલ્યાંકન કરેલ સમરૂપતાનું લઘુગણક છે. P (R) ધરાવતી પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યામાં, ધારો કે K પર p અને q સાથે શંકુ K આપવામાં આવે છે. મોટી જગ્યા પરની હોમોગ્રાફીમાં K એક અપરિવર્તનશીલ સમૂહ તરીકે હોઈ શકે છે કારણ કે તે જગ્યાના બિંદુઓને ક્રમબદ્ધ કરે છે. આવી સમરૂપતા પી (આર) પર એકને પ્રેરિત કરે છે, અને પી અને ક્યૂ કે પર હોવાથી, ક્રોસ રેશિયો અપરિવર્તનશીલ રહે છે. ઉચ્ચ સમરૂપતાઓ K દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશની ગતિ પૂરી પાડે છે, જેમાં ગતિ જાળવી રાખતું અંતર, એક સમપ્રમાણતા છે. ડિસ્ક કાર્યક્રમો ધારો કે નિરપેક્ષ માટે એકમ વર્તુળ પસંદ કરવામાં આવ્યું છે. બીજી બાજુ, સામાન્ય જટિલ સમતલમાં એકમ વર્તુળ જટિલ સંખ્યાના અંકગણિતનો ઉપયોગ કરે છે અને તે જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક રેખા P (C) માં જોવા મળે છે, જે વાસ્તવિક પ્રક્ષેપાત્મક સમતલ P2 (R) થી કંઈક અલગ છે. અગાઉના વિભાગમાં રજૂ કરાયેલ પી (આર) માટે અંતરની કલ્પના ઉપલબ્ધ છે કારણ કે પી (આર) એ પી2 (આર) અને પી (સી) બંનેમાં સામેલ છે. ધારો કે a અને b એ P2 (R) માં વર્તુળની અંદર છે. પછી તેઓ એક રેખા પર આવેલા હોય છે જે વર્તુળને p અને q પર છેદે છે. a થી b વચ્ચેનું અંતર એ હોમોગ્રાફીના મૂલ્યનું લઘુગણક છે, જે b પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે p, q અને a દ્વારા ઉપર પેદા થાય છે. આ કિસ્સામાં ડિસ્કમાં ભૂગણિત રેખા વિભાગો છે. બીજી બાજુ, ભૂગણિત એ જટિલ સમતલની ડિસ્કમાં સામાન્યીકૃત વર્તુળોની કમાનો છે. વળાંકના આ વર્ગને મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે, જે આ ડિસ્કની ગતિનો સ્રોત છે જે એકમ વર્તુળને અપરિવર્તનશીલ સમૂહ તરીકે છોડી દે છે. આ ડિસ્કમાં a અને b આપેલ છે, ત્યાં એક વિશિષ્ટ સામાન્યીકૃત વર્તુળ છે જે એકમ વર્તુળને જમણા ખૂણા પર મળે છે, કહો કે તેને p અને q પર છેદે છે. ફરીથી, a થી b સુધીના અંતર માટે પહેલા p, q અને a માટે હોમોગ્રાફી બનાવે છે, પછી તેને b પર મૂલ્યાંકન કરે છે, અને અંતે લઘુગણકનો ઉપયોગ કરે છે. આ રીતે મેળવેલા હાયપરબોલિક પ્લેનના બે મોડલ કેલે-ક્લેન મોડલ અને પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડલ છે. 1926માં મરણોપરાંત પ્રકાશિત થયેલા 1919/20 માંથી ગણિતના ઇતિહાસ પરના તેમના પ્રવચનોમાં, ક્લેઇને લખ્યું હતું કેઃ ચાર-પરિમાણીય વિશ્વમાં અથવા (ત્રણ પરિમાણોમાં રહેવા અને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવા) તાજેતરમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના સાપેક્ષતા સિદ્ધાંત દ્વારા વિશેષ મહત્વ મેળવ્યું છે. એટલે કે, નિરપેક્ષ અથવા હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં (ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ), અંતરાલો અથવા અવકાશ સમયને અનુરૂપ હોય છે, અને નિરપેક્ષ અપરિવર્તનને છોડીને તેનું પરિવર્તન લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. તેવી જ રીતે, હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં એકમ વર્તુળ અથવા એકમ ગોળાના સમીકરણો ભૌતિક વેગ અથવા સાપેક્ષતાને અનુરૂપ હોય છે, જે પ્રકાશની ગતિથી બંધાયેલા હોય છે, જેથી કોઈપણ ભૌતિક વેગ માટે, ગુણોત્તર એકમ ગોળાના આંતરિક ભાગ સુધી મર્યાદિત હોય અને ગોળાની સપાટી ભૂમિતિ માટે કેલે નિરપેક્ષ બનાવે છે. હાયપરબોલિક અવકાશ માટે કેલે-ક્લેન મેટ્રિક અને વિશેષ સાપેક્ષતાના મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ વચ્ચેના સંબંધ વિશેની વધારાની વિગતો 1910માં ક્લેઈન દ્વારા તેમજ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ પરના તેમના પ્રવચનોની 1928ની આવૃત્તિમાં દર્શાવવામાં આવી હતી. 2008માં હોર્સ્ટ માર્ટિની અને માર્ગારીટા સ્પિરોવાએ કેલી એબ્સોલ્યુટ સાથે સંકળાયેલી એફાઇન ભૂમિતીનો ઉપયોગ કરીને ક્લિફોર્ડના પ્રથમ વર્તુળ પ્રમેયો અને અન્ય યુક્લિડિયન ભૂમિતિને સામાન્ય બનાવીઃ જો એબ્સોલ્યુટમાં એક રેખા હોય, તો વ્યક્તિ એફાઇન કેલી-ક્લેન ભૂમિતિઓનો ઉપકુટુંબ મેળવે છે. જો નિરપેક્ષમાં રેખા f અને f પર બિંદુ F હોય, તો આપણી પાસે સમસ્થાનિક ભૂમિતિ છે. સમસ્થાનિક વર્તુળ એ એફ પર એફને સ્પર્શતું શંકુ છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y, z) નો ઉપયોગ કરો. અનંત પર રેખા f એ z = 0 છે. જો F = (0,1,0) હોય, તો y-અક્ષની સમાંતર વ્યાસ ધરાવતો પેરાબોલા એક આઇસોટ્રોપિક વર્તુળ છે. ધારો કે P = (1,0,0) અને Q = (0,1,0) નિરપેક્ષ પર છે, તેથી f ઉપર મુજબ છે. (x, y) સમતલમાં લંબચોરસ હાયપરબોલા અનંત રેખા પર પી અને ક્યૂમાંથી પસાર થતો હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ વળાંકો સ્યુડો-યુક્લિડિયન વર્તુળો છે. માર્ટિની અને સ્પિરોવા દ્વારા કરવામાં આવેલી સારવારમાં આઇસોટ્રોપિક ભૂમિતિ માટે બેવડી સંખ્યાઓ અને સ્યુડો-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ માટે વિભાજીત-જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થાય છે. સામાન્ય જટિલ સંખ્યાઓ યુક્લિડિયન ભૂમિતિ સાથે કરે છે તેમ આ સામાન્યીકૃત જટિલ સંખ્યાઓ તેમની ભૂમિતિ સાથે જોડાય છે. ઇતિહાસ કેલે આર્થર કેલે (1859) એ "નિરપેક્ષ" ની વ્યાખ્યા આપી જેના પર તેમણે તેમના પ્રોજેક્ટિવ મેટ્રિકને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ સેકન્ડ ડિગ્રીની સપાટીના સામાન્ય સમીકરણ તરીકે આધારિત કર્યુંઃ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર પછી દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્લેઈન ફેલિક્સ ક્લેઈન (1871) એ કેલેની અભિવ્યક્તિઓને નીચે પ્રમાણે સુધારીઃ તેમણે એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ નિરપેક્ષ (જેને તેઓ મૂળભૂત શંકુ વિભાગ કહે છે) લખ્યુંઃ અને નિરપેક્ષ અને બે ઘટકોની રચના કરીને, તેમણે ક્રોસ રેશિયોની દ્રષ્ટિએ તેમની વચ્ચેના પરિમાણીય અંતરને વ્યાખ્યાયિત કર્યુંઃ સમતલમાં, પરિમાણીય અંતર માટેના સમાન સંબંધો ધરાવે છે, સિવાય કે તે અને હવે દરેક ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંબંધિત છે. મૂળભૂત શંકુ વિભાગ તરીકે તેમણે વિશેષ કેસની ચર્ચા કરી, જે જ્યારે વાસ્તવિક હોય ત્યારે હાયપરબોલિક ભૂમિતિ સાથે અને જ્યારે કાલ્પનિક હોય ત્યારે લંબગોળ ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત હોય છે. આ સ્વરૂપમાં અપરિવર્તનશીલ રહેલા પરિવર્તન સંબંધિત બિન-યુક્લિડિયન અવકાશમાં ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વૈકલ્પિક રીતે, તેમણે વર્તુળના સમીકરણનો ઉપયોગ સ્વરૂપમાં કર્યો હતો, જે જ્યારે હકારાત્મક હોય ત્યારે હાયપરબોલિક ભૂમિતિ (બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલ) અથવા જ્યારે નકારાત્મક હોય ત્યારે લંબગોળ ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત હોય છે. અવકાશમાં, તેમણે સેકન્ડ ડિગ્રીની મૂળભૂત સપાટીઓની ચર્ચા કરી, જે મુજબ કાલ્પનિક સપાટીઓ લંબગોળ ભૂમિતિને સંદર્ભિત કરે છે, વાસ્તવિક અને લંબચોરસ સપાટીઓ ત્રણ મુખ્ય ભૂમિતિઓમાંથી એક સાથે કોઈ સંબંધ વિના એક-પત્રક હાયપરબોલોઇડને અનુરૂપ હોય છે, જ્યારે વાસ્તવિક અને બિન-લંબચોરસ સપાટીઓ હાયપરબોલિક જગ્યાને સંદર્ભિત કરે છે. તેમના 1873 ના પેપરમાં તેમણે કેલે મેટ્રિક અને પરિવર્તન જૂથો વચ્ચેના સંબંધ તરફ ધ્યાન દોર્યું હતું. ખાસ કરીને, સેકન્ડ ડિગ્રીની સપાટીઓને અનુરૂપ વાસ્તવિક ગુણાંકવાળા વર્ગાત્મક સમીકરણોને વર્ગના સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જેમાંથી હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંકેતોની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત સમાન રહે છે (આને હવે સિલ્વેસ્ટરનો જડતાનો નિયમ કહેવામાં આવે છે). જો તમામ ચોરસની નિશાની સમાન હોય, તો સપાટી હકારાત્મક વળાંક સાથે કાલ્પનિક હોય છે. જો એક નિશાની અન્ય કરતા અલગ હોય, તો સપાટી નકારાત્મક વળાંક સાથે લંબગોળ અથવા બે-શીટ હાયપરબોલોઇડ બની જાય છે. શિયાળુ સત્ર 1889/90 (પ્રકાશિત 1892/1893) માં બિન-યુક્લિડીયન ભૂમિતિ પરના તેમના પ્રવચનોના પ્રથમ ખંડમાં, તેમણે નિરપેક્ષ માટે આ અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને બિન-યુક્લિડીયન સમતલની ચર્ચા કરી હતીઃ અને બિન-યુક્લિડીયન જગ્યાઓમાં ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા સંરેખણ અને મોબિયસ પરિવર્તનના સંદર્ભમાં તેમની અપરિવર્તનશીલતાની ચર્ચા કરી હતી. ઉનાળુ સત્ર 1890 (1892/1893 પણ પ્રકાશિત) ના પ્રવચનો ધરાવતા બીજા ખંડમાં, ક્લિને કેલે મેટ્રિક સાથે બિન-યુક્લિડિયન અવકાશની ચર્ચા કરી હતી અને બતાવ્યું હતું કે આ ચતુર્થક દ્વિઘાત સ્વરૂપના પ્રકારોને વાસ્તવિક રેખીય પરિવર્તન દ્વારા નીચેના પાંચ સ્વરૂપોમાંથી એકમાં લાવી શકાય છે. આખરે તેમણે બિન-યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા કોલિનીશન અને મોબિયસ પરિવર્તનના સંદર્ભમાં તેમના ઇનવેરિયન્સની ચર્ચા કરી. રોબર્ટ ફ્રિક અને ક્લેઇને 1897માં ઓટોમોર્ફિક ફંક્શન્સ પરના પ્રવચનોના પ્રથમ ખંડની રજૂઆતમાં આ બધાનો સારાંશ આપ્યો હતો, જેમાં તેઓએ પ્લેન ભૂમિતિમાં અને હાયપરબોલિક સ્પેસ માટે નિરપેક્ષ તરીકે ઉપયોગ કર્યો હતો. બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ પરના ક્લેઇનના પ્રવચનો મરણોપરાંત એક ગ્રંથ તરીકે પુનઃપ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા અને 1928માં વોલ્થેર રોઝમેન દ્વારા નોંધપાત્ર રીતે સંપાદિત કરવામાં આવ્યા હતા. બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ પર ક્લેઇનના કાર્યનું ઐતિહાસિક વિશ્લેષણ એ 'કેમ્પો અને પાપાડોપોલોસ (2014) દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. હિલ્બર્ટ મેટ્રિક નોટ્સ રેફરન્સ ઐતિહાસિક (બીજી પ્રિન્ટ, 1892 માં પ્રથમ પ્રિન્ટ) (બીજી પ્રિન્ટ, 1892 માં પ્રથમ પ્રિન્ટ) ગૌણ સ્ત્રોતો બર્ટ્રાન્ડ રસેલ (1898) ભૂમિતિના પાયા પરનો એક નિબંધ, ડોવર પબ્લિકેશન્સ, ઇન્ક દ્વારા 1956 માં ફરીથી બહાર પાડવામાં આવ્યો. આલ્ફ્રેડ નોર્થ વ્હાઇટહેડ (1898) યુનિવર્સલ આલ્જેબ્રા, બુક VI પ્રકરણ 1: થિયરી ઓફ ડિસ્ટન્સ, પીપી 347-70, ખાસ કરીને સેક્શન 199 કેલેની થિયરી ઓફ ડિસ્ટન્સ. ડંકન સોમરવિલે (1910/11) "એન-ડાયમેન્શનલ સ્પેસમાં કેલે-ક્લેન મેટ્રિક્સ", એડિનબર્ગ મેથેમેટિકલ સોસાયટીની કાર્યવાહી 28:25-41. ડેવિડ ડેલફેનિચ દ્વારા અંગ્રેજી અનુવાદમાં પુનઃમુદ્રિતઃ લોરેન્ટ્ઝ જૂથના ભૌમિતિક પાયા પર; અંગ્રેજી અનુવાદઃ એમ. એકરમેન દ્વારા 19મી સદીમાં ગણિતનો વિકાસ, ગણિત વિજ્ઞાન પ્રેસ હાર્વે લિપકિન (1985) જ્યોર્જિયા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજીમાંથી મેટ્રિક ભૂમિતિ વધુ વાંચન જાન ડ્રસ્લર (1979) "કેલે-ક્લેન ભૂમિતિઓમાં બહુ-પરિમાણીય મેટ્રિક સ્કેલિંગના પાયા", બ્રિટિશ જર્નલ ઓફ મેથેમેટિકલ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિકલ સાયકોલોજી 32 (2); 185-211 પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ મેટ્રિક ભૂમિતિ