Quasisymmetric map
ગણિતમાં, મેટ્રિક જગ્યાઓ વચ્ચેનું ક્વાસીસિમેટ્રિક હોમોમોર્ફિઝમ એ એક નકશો છે જે દ્વિ-લિપ્સિટ્ઝ નકશાને સામાન્ય બનાવે છે. જ્યારે દ્વિ-લિપશિટ્ઝ નકશા સમૂહના વ્યાસને ગુણાકાર પરિબળ કરતાં વધુ નહીં ઘટાડે અથવા વિસ્તૃત કરે છે, ત્યારે અર્ધસમમિતીય નકશા નબળા ભૌમિતિક ગુણધર્મને સંતોષે છે કે તેઓ સમૂહના સંબંધિત કદને જાળવી રાખે છેઃ જો બે સમૂહ A અને B નો વ્યાસ t હોય અને અંતર t કરતાં વધુ ન હોય, તો તેમના કદનો ગુણોત્તર ગુણાકાર અચળાંક કરતાં વધુ નહીં બદલાય. આ નકશા અર્ધ-ઔપચારિક નકશા સાથે પણ સંબંધિત છે, કારણ કે ઘણા સંજોગોમાં તેઓ હકીકતમાં સમકક્ષ છે. વ્યાખ્યા દો (X, dX) અને (Y, dY) બે મેટ્રિક જગ્યાઓ છે. એક હોમોમોર્ફિઝમ f: X → Y ને η-ક્વાસીસમેટ્રિક કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કોઈ વધતું કાર્ય હોય η: [0, ≤) → [0, ≤) જેમ કે X માં અલગ બિંદુઓના કોઈપણ ટ્રિપલ x, y, z માટે, આપણી પાસે મૂળભૂત ગુણધર્મો છે વ્યુત્ક્રમ ક્વાસીસમેટ્રિક છે જો f: X → Y ઉપરની જેમ એક ઇન્વર્ટિબલ η-ક્વાસીસમેટ્રિક નકશો હોય, તો તેનો વ્યુત્ક્રમ નકશો-ક્વાસીસમેટ્રિક છે, જ્યાં ક્વાસીસમેટ્રિક નકશા સમૂહના સંબંધિત કદને જાળવી રાખે છે જો અને તે ઉપગણ હોય અને તેનો સબસેટ હોય, તો ઉદાહરણો નબળા ક્વાસીસમેટ્રિક નકશા એક નકશો f: X → Y કહેવામાં આવે છે. જો કે, જો જોડાયેલા હોય અને બમણા થઈ રહ્યા હોય, તો પછી તમામ નબળા અર્ધસમમિત નકશા અર્ધસમમિત હોય છે. આ પરિણામની અપીલ એ છે કે નબળા-ક્વાસીસમેટ્રીને સાબિત કરવી એ ક્વાસીસમેટ્રીને સીધી સાબિત કરવા કરતાં ઘણું સરળ છે, અને ઘણી કુદરતી સેટિંગ્સમાં બે કલ્પનાઓ સમકક્ષ છે. δ-મોનોટોન નકશા હિલ્બર્ટ જગ્યા પર એક મોનોટોન નકશો f: H → H એ δ-મોનોટોન છે જો H માં તમામ x અને y માટે, આ સ્થિતિનો ભૌમિતિક અર્થ શું છે તે સમજવા માટે, ધારો કે f (0) = 0 અને જ્યારે y = 0 હોય ત્યારે ઉપરોક્ત અંદાજને ધ્યાનમાં લો. પછી તે સૂચવે છે કે વેક્ટર x અને તેની છબી f (x) વચ્ચેનો કોણ 0 અને આર્કોસ δ <π/2 વચ્ચે રહે છે. આ નકશા અર્ધસમમિતીય છે, જો કે તે અર્ધસમમિતીય નકશાનો ઘણો સાંકડો પેટા વર્ગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે જટિલ સમતલમાં સામાન્ય અર્ધસમમિતીય નકશો વાસ્તવિક રેખાને હૌસડોર્ફ પરિમાણના સમૂહમાં નકશો બનાવી શકે છે, જે એક કરતા સખત રીતે મોટો હોય છે, ત્યારે δ-મોનોટોન હંમેશા વાસ્તવિક રેખાને લિપશિટ્ઝ વિધેય L: R → R ના ફરતા આલેખમાં નકશો બનાવશે. દ્વિગુણિત પગલાં વાસ્તવિક રેખાના ક્વાસીસીમેટ્રિક હોમોમોર્ફિઝમ્સને તેમના વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. વધતા હોમોમોર્ફિઝમ f: R → R એ અર્ધસમમિતીય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં અચળાંક C> 0 હોય અને વાસ્તવિક રેખા પર દ્વિગુણિત માપ μ હોય જેમ કે યુક્લિડિયન અવકાશ એક સમાન પરિણામ યુક્લિડિયન અવકાશમાં ધરાવે છે. ધારો કે C = 0 અને આપણે ઉપરના સમીકરણને f માટે ફરીથી લખીએ છીએ તેને આ રીતે લખીને, આપણે આ જ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ તેના બદલે Rn પર ઇન્ટીગ્રલ (જે હવે વેક્ટર વેલ્યુડ ઇન્ટીગ્રાન્ડ છે) ને ઇન્ટીગ્રલ કરી શકીએ છીએઃ જો μ એ Rn પર ડબલિંગ માપ છે અને પછી નકશો ક્વાસીસિમેટ્રિક છે (હકીકતમાં, તે માપના આધારે કેટલાક δ માટે δ-મોનોટોન છે). યુક્લિડિયન અવકાશમાં ક્વાસીસીમેટ્રી અને ક્વાસીકોનફોર્માલિટી ચાલો Rn ના ખુલ્લા ઉપગણ હોઈએ. જો f: ω → ω 'એ η-ક્વાસીસિમેટ્રિક હોય, તો તે K-ક્વાસીકોનફોર્મલ પણ છે, જ્યાં તેના આધારે અચળાંક છે. તેનાથી વિપરીત, જો f: ω → ω 'એ K-ક્વાસીકોનફોર્મલ છે અને તેમાં સમાયેલ છે, તો તે η-ક્વાસીસિમેટ્રિક છે, જ્યાં તે ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે. અર્ધ-મોબિયસ નકશા એ સંબંધિત પરંતુ નબળી સ્થિતિ એ અર્ધ-મોબિયસ નકશાની કલ્પના છે જ્યાં ગુણોત્તરને બદલે માત્ર ક્રોસ-રેશિયોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છેઃ વ્યાખ્યા ચાલો (X, dX) અને (Y, dY) બે મેટ્રિક જગ્યાઓ હોઈએ અને η: [0, ν) → [0, ν) એ વધતા કાર્ય છે. એક η-અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ f: X → Y એ એક હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેના માટે X માં અલગ-અલગ બિંદુઓના દરેક ચતુર્ભુજ x, y, z, t માટે, આપણી પાસે છે.