Càdlàg
ગણિતમાં, કેડ્લેગ (ફ્રેન્ચઃ "કન્ટિન્યુ એ ડ્રોઇટ, લિમિટ એ ગૌચે"), આર. સી. એલ. એલ. ("ડાબી મર્યાદા સાથે જમણી સતત"), અથવા કોર્લોલ ("જમણી બાજુએ સતત, ડાબી બાજુએ મર્યાદા") કાર્ય એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (અથવા તેમના સબસેટ) પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે જે દરેક જગ્યાએ જમણી-સતત છે અને દરેક જગ્યાએ ડાબી મર્યાદા ધરાવે છે. કેડ્લેગ કાર્યો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસમાં મહત્વપૂર્ણ છે જે બ્રાઉનીયન ગતિથી વિપરીત કૂદકા સ્વીકારે છે (અથવા જરૂર પણ પડે છે), જેમાં સતત નમૂના માર્ગો હોય છે. આપેલ ડોમેન પર કેડ્લેગ કાર્યોનો સંગ્રહ સ્કોરોખોડ જગ્યા તરીકે ઓળખાય છે. બે સંબંધિત શબ્દો કેગ્લેડ છે, જે "કન્ટિન્યુ એ ગૌચે, લિમિટ એ ડ્રોઇટ" માટે વપરાય છે, કેડ્લેગનું ડાબી-જમણી બાજુ ઉલટું છે, અને "કન્ટિન્યુ એ લ 'ઉન, લિમિટ એ લ' ઔટ્રે" (એક બાજુ સતત, બીજી બાજુ મર્યાદા) માટે કેડ્લેડ છે, જે કાર્ય માટે ડોમેનના દરેક બિંદુ પર કેડ્લેગ અથવા કેગ્લેડ હોય છે. વ્યાખ્યા ચાલો મેટ્રિક જગ્યા હોઈએ, અને ચાલો. કાર્યને કેડ્લેગ કાર્ય કહેવામાં આવે છે જો, દરેક માટે, ડાબી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય; અને જમણી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય અને સમાન હોય. એટલે કે, ડાબી મર્યાદા સાથે જમણી-સતત છે. ઉદાહરણો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સબસેટ પર સતત ચાલતા તમામ વિધેયો તે સબસેટ પરના કેડ્લેગ વિધેયો છે. તેમની વ્યાખ્યાના પરિણામે, તમામ સંચિત વિતરણ કાર્યો કેડ્લેગ કાર્યો છે. દાખલા તરીકે, બિંદુ પર સંચિત એ તેના કરતા ઓછા અથવા સમાન હોવાની સંભાવનાને અનુરૂપ છે, એટલે કે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે પૂંછડીના વિતરણ માટે ચિંતાનું અર્ધ-ખુલ્લું અંતરાલ જમણી બાજુએ બંધ હોય છે. ખુલ્લા અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ બહિર્મુખ કાર્યનું જમણું વ્યુત્પન્ન એ વધતા જતા કેડ્લેગ કાર્ય છે. સ્કોરોખોડ અવકાશ થી થી સુધીના તમામ કેડ્લેગ કાર્યોનો સમૂહ ઘણીવાર (અથવા ફક્ત) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને યુક્રેનિયન ગણિતશાસ્ત્રી એનાટોલી સ્કોરોખોડ પછી તેને સ્કોરોખોડ અવકાશ કહેવામાં આવે છે. સ્કોરોખોડ જગ્યાને એક ટોપોલોજી સોંપવામાં આવી શકે છે, જે સહજ ભાવે આપણને "જગ્યા અને સમયને થોડો હલાવવાની" મંજૂરી આપે છે (જ્યારે સમાન કન્વર્જન્સની પરંપરાગત ટોપોલોજી આપણને ફક્ત "જગ્યાને થોડો હલાવવાની" મંજૂરી આપે છે). સરળતા માટે, લો અને-વધુ સામાન્ય રચના માટે બિલિંગ્સલી જુઓ. આપણે પહેલા સાતત્યના મોડ્યુલસના એનાલોગને વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ. કોઈપણ માટે, સેટ કરો અને, માટે, કેડ્લેગ મોડ્યુલસને તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં સાથે તમામ પાર્ટીશનો પર અનંત ચાલે છે. આ વ્યાખ્યા નોન-કેડ્લેગ માટે અર્થપૂર્ણ છે (જેમ સાતત્યનું સામાન્ય મોડ્યુલસ અસંગત કાર્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે) અને તે દર્શાવી શકાય છે કે કેડ્લેગ જો અને માત્ર ત્યારે જ છે. હવે ચાલો બધા સખત રીતે વધતા જતા, સતત બાયજેક્શન્સના સમૂહને સૂચવીએ (આ "સમયની ચાલ" છે). ચાલો ફંક્શન્સ પરના સમાન ધોરણને દર્શાવીએ. ઓળખ કાર્ય ક્યાં છે તેના આધારે સ્કોરોખોડ મેટ્રિકને વ્યાખ્યાયિત કરો. "વિગલ" અંતઃપ્રેરણાની દ્રષ્ટિએ, "સમયસર વિગલ" ના કદને માપે છે, અને "અવકાશમાં વિગલ" ના કદને માપે છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે સ્કોરોખોડ મેટ્રિક ખરેખર મેટ્રિક છે. તેના દ્વારા પેદા થતી ટોપોલોજીને સ્કોરોખોડ ટોપોલોજી કહેવામાં આવે છે. એક સમકક્ષ મેટ્રિક, સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને સ્વિચિંગ સિસ્ટમોના વિશ્લેષણ માટે નિયંત્રણ સિદ્ધાંતમાં તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સ્કોરોખોડ અવકાશના ગુણધર્મો સમાન ટોપોલોજીનું સામાન્યીકરણ ચાલુ રહેલા સતત કાર્યોની જગ્યા એ તેની પેટા જગ્યા છે. સ્કોરોખોડ ટોપોલોજી ત્યાં સમાન ટોપોલોજી સાથે સુસંગત છે. સંપૂર્ણતા તે દર્શાવી શકાય છે કે, સ્કોરોખોડ મેટ્રિકના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણ જગ્યા ન હોવા છતાં, એક ટોપોલોજીકલ સમકક્ષ મેટ્રિક છે જેના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણ છે. ક્યાં તો અથવા, ના સંદર્ભમાં અલગતા એ અલગ કરી શકાય તેવી જગ્યા છે. આમ, સ્કોરોખોડ જગ્યા એ પોલેન્ડની જગ્યા છે. અર્ઝેલા-એસ્કોલી પ્રમેયના ઉપયોગ દ્વારા, કોઈ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે કે સ્કોરોખોડ અવકાશ પર સંભાવના માપનો ક્રમ ચુસ્ત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો નીચેની બંને શરતો પૂર્ણ થાયઃ અને બીજગણિત અને ટોપોલોજિકલ માળખું સ્કોરોખોડ ટોપોલોજી હેઠળ અને કાર્યોના બિંદુ મુજબના ઉમેરા, એક ટોપોલોજિકલ જૂથ નથી, જે નીચેના ઉદાહરણ દ્વારા જોઈ શકાય છેઃ ચાલો અડધો ખુલ્લો અંતરાલ હોઈએ અને લાક્ષણિક કાર્યોનો ક્રમ બનીએ. એ હકીકત હોવા છતાં કે સ્કોરોખોડ ટોપોલોજીમાં, ક્રમ 0 સાથે એકરૂપ થતો નથી. આ પણ જુઓ સંદર્ભો વધુ વાંચન વાસ્તવિક વિશ્લેષણ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ