Conway polynomial (finite fields)
ગણિતમાં, મર્યાદિત ક્ષેત્ર Fpn માટે કોનવે બહુપદી Cp, n એ Fp પર ડિગ્રી n ની ચોક્કસ ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદી છે જેનો ઉપયોગ Cp, n ના વિભાજન ક્ષેત્ર તરીકે Fpn ની પ્રમાણભૂત રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. કોનવે બહુપદીઓનું નામ રિચાર્ડ એ. પાર્કર દ્વારા જ્હોન એચ. કોનવેના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું હતું, જેઓ તેમને વ્યાખ્યાયિત કરનારા અને ઉદાહરણોની ગણતરી કરનારા પ્રથમ હતા. કોનવે બહુપદીઓ ચોક્કસ સુસંગતતાની શરતને સંતોષે છે જે કોનવે દ્વારા ક્ષેત્રની રજૂઆત અને તેના પેટા ક્ષેત્રોની રજૂઆત વચ્ચે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. તેઓ કોમ્પ્યુટર બીજગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ છે જ્યાં તેઓ વિવિધ ગાણિતિક ડેટાબેઝ અને કોમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીઓ વચ્ચે પોર્ટેબિલિટી પ્રદાન કરે છે. કોનવે બહુપદીઓની ગણતરી કરવી મોંઘી હોવાથી, વ્યવહારમાં તેનો ઉપયોગ કરવા માટે તેને સંગ્રહિત કરવી આવશ્યક છે. કોનવે બહુપદીઓના ડેટાબેઝ કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીઓ જીએપી, મેકાલે 2, મેગ્મા, સેજમેથ અને ફ્રેન્ક લ્યુબેકની વેબ સાઇટ પર ઉપલબ્ધ છે. એફ. પી. એન. ના પૃષ્ઠભૂમિ તત્વોને −1βn −1 +. + a1β + a0 સ્વરૂપના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જ્યાં β એ એફ. પી. પર ડિગ્રી એનની ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદીનું મૂળ છે અને એ. જે. એ એફ. પી. ના તત્વો છે. આ રજૂઆતમાં ક્ષેત્ર તત્વોનો ઉમેરો એ ફક્ત વેક્ટર ઉમેરો છે. જ્યારે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી ક્રમ pn નું એક અનન્ય મર્યાદિત ક્ષેત્ર છે, ત્યારે ક્ષેત્ર તત્વોની રજૂઆત ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદીની પસંદગી પર આધારિત છે. કોનવે બહુપદી એ આ પસંદગીને પ્રમાણિત કરવાની એક રીત છે. મર્યાદિત ક્ષેત્રના બિન-શૂન્ય ઘટકો ગુણાકાર હેઠળ ચક્રીય જૂથ બનાવે છે. એફ. પી. એન. નું આદિમ તત્વ, α, એ એક તત્વ છે જે આ જૂથ બનાવે છે. બિન-શૂન્ય ક્ષેત્ર તત્વોને α ની ઘાત તરીકે રજૂ કરવાથી ક્ષેત્રમાં ગુણાકાર અસરકારક રીતે કરવામાં આવે છે. α માટે આદિમ બહુપદી એ Fp માં ગુણાંક સાથે સૌથી નાની શક્ય ડિગ્રીની મોનિક બહુપદી છે જે α ને Fpn (α માટે ન્યૂનતમ બહુપદી) માં મૂળ તરીકે ધરાવે છે. તે અનિવાર્યપણે ઈરીડ્યુસિબલ છે. કોનવે બહુપદીને આદિમ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, જેથી તેના દરેક મૂળ સંકળાયેલ મર્યાદિત ક્ષેત્રનું ગુણાકાર જૂથ પેદા કરે. એફ. પી. એન. ના પેટાક્ષેત્રો એ એફ. પી. એમ. ક્ષેત્રો છે જેમાં m એ n ને વિભાજિત કરે છે. એફ. પી. એમ. ના બિન-શૂન્ય ઘટકોમાંથી રચાયેલ ચક્રીય જૂથ એ એફ. પી. એન. ના ચક્રીય જૂથનું પેટા જૂથ છે. જો α પછીનું ઉત્પન્ન કરે છે, તો પછી α ની સૌથી નાની શક્તિ જે પહેલાનું ઉત્પન્ન કરે છે તે αr છે જ્યાં r = (pn−1)/(pm−1). જો fn એ મૂળ α સાથે Fpn માટે આદિમ બહુપદી છે, અને જો fm એ FPM માટે આદિમ બહુપદી છે, તો કોનવેની વ્યાખ્યા અનુસાર, જો αr એ fm નું મૂળ હોય તો fm અને fn સુસંગત છે. આ માટે જરૂરી છે કે fm (x) એ fn (xr) ને વિભાજિત કરે. સુસંગતતાની આ કલ્પનાને કેટલાક લેખકો દ્વારા ધોરણ-સુસંગતતા કહેવામાં આવે છે. મર્યાદિત ક્ષેત્ર માટે કોનવે બહુપદી પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી તે તેના દરેક પેટા ક્ષેત્રોની કોનવે બહુપદીઓ સાથે સુસંગત હોય. આ રીતે પસંદગી કરવી શક્ય છે તે વર્નર નિકલ દ્વારા સાબિત થયું હતું. વ્યાખ્યા કોનવે બહુપદી Cp, n ને Fp પર ડિગ્રી n ની લેક્સિકોગ્રાફિકલી મિનિમલ મોનિક પ્રિમિટિવ બહુપદી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે Cp સાથે સુસંગત છે, n ને વિભાજીત કરતા તમામ m માટે m. આ n પરની એક ઇન્ડક્ટિવ વ્યાખ્યા છેઃ બેઝ કેસ Cp, 1 (x) = x − α છે જ્યાં α એ Fp નું લેક્સિકોગ્રાફિકલી મિનિમલ પ્રિમિટિવ એલિમેન્ટ છે. વપરાયેલ લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમની કલ્પના નીચે મુજબ છેઃ Fp ના તત્વોને 0 <1 <2 <. <p − 1 ક્રમ આપવામાં આવે છે. Fp [x] માં ડિગ્રી d ની બહુપદીને adxd − ad − 1xd − 1 +. + (−1) ga0 લખવામાં આવે છે અને પછી તેને adad − 1. a0 શબ્દ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ડિગ્રી d ની બે બહુપદીઓને તેમના અનુરૂપ શબ્દોના લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમ અનુસાર ક્રમ આપવામાં આવે છે. કોઈ કુદરતી ગાણિતિક માપદંડ દેખાતો નથી જે એક મોનિક આદિમ બહુપદીને અન્ય તમામ પર સુસંગતતાની શરતોને સંતોષે છે, તેથી કોનવે બહુપદીની વ્યાખ્યામાં લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમ લાદવાને એક પરંપરા તરીકે ગણવા જોઈએ. બ્રુટ-ફોર્સ સર્ચ કરતાં વધુ કાર્યક્ષમ હોય તેવી કોનવે બહુપદીઓની ગણતરી માટે ગણતરી અલ્ગોરિધમ્સ હીથ અને લોહર દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યા છે. લ્યુબેક સૂચવે છે કે તેમનું અલ્ગોરિધમ પાર્કરની પદ્ધતિની પુનઃશોધ છે. નોંધો સંદર્ભો મર્યાદિત ક્ષેત્રો કોમ્પ્યુટર બીજગણિત જ્હોન હોર્ટન કોનવે