Convexity in economics
કન્વેક્સિટી એ અર્થશાસ્ત્રમાં એક મહત્વપૂર્ણ વિષય છે. સામાન્ય આર્થિક સંતુલનના એરો-ડેબ્રેઉ મોડેલમાં, એજન્ટો બહિર્મુખ બજેટ સમૂહો અને બહિર્મુખ પસંદગીઓ ધરાવે છેઃ સંતુલન કિંમતો પર, બજેટ હાયપરપ્લેન શ્રેષ્ઠ પ્રાપ્ય ઉદાસીનતા વળાંકને ટેકો આપે છે. નફાનું કાર્ય એ ખર્ચ કાર્યનું બહિર્મુખ સંયોજન છે. કન્વેક્સ વિશ્લેષણ એ પાઠ્યપુસ્તક અર્થશાસ્ત્રનું વિશ્લેષણ કરવા માટેનું પ્રમાણભૂત સાધન છે. અર્થશાસ્ત્રમાં બિન-બહિર્મુખ ઘટનાઓનો અભ્યાસ બિન-સરળ વિશ્લેષણ સાથે કરવામાં આવ્યો છે, જે બહિર્મુખ વિશ્લેષણને સામાન્ય બનાવે છે. પ્રારંભિક અર્થશાસ્ત્ર નીચેની વ્યાખ્યાઓ અને બહિર્મુખ ભૂમિતિના પરિણામો પર આધારિત છે. બે પરિમાણોની વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપી શકાય છે જેમાં દરેક બિંદુને બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સૂચિ દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે, જેને "કોઓર્ડિનેટ્સ" કહેવાય છે, જે પરંપરાગત રીતે x અને y દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. કાર્ટેશિયન સમતલમાં બે બિંદુઓને સંકલન મુજબ (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ઉમેરી શકાય છે; વધુમાં, એક બિંદુને દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા λ સંકલન મુજબ λ (x, y) = (λx, λy) દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, (મર્યાદિત) પરિમાણ D ની કોઈપણ વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાને બે કામગીરીઓ સાથે મળીને D વાસ્તવિક સંખ્યાઓની તમામ સંભવિત સૂચિઓના સમૂહ તરીકે જોઈ શકાય છેઃ વેક્ટર ઉમેરો અને વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર. મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ માટે, કાર્ટેશિયન સમતલના ઉદાહરણને અનુસરીને, વેક્ટર ઉમેરા અને વાસ્તવિક-સંખ્યાના ગુણાકારની કામગીરીઓને સંકલન મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. કન્વેક્સ સમૂહો વાસ્તવિક વેક્ટર અવકાશમાં, સમૂહને બહિર્મુખ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો, તેના બિંદુઓની દરેક જોડી માટે, તેમને જોડતા રેખા ખંડ પરના દરેક બિંદુ સમૂહ દ્વારા આવરી લેવામાં આવે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘન સમઘન બહિર્મુખ છે; જો કે, જે કંઈપણ હોલો અથવા ડેંટ છે, ઉદાહરણ તરીકે, અર્ધચંદ્રાકાર આકાર, તે બિન-બહિર્મુખ છે. તુચ્છ રીતે, ખાલી સમૂહ બહિર્મુખ છે. વધુ ઔપચારિક રીતે, સમૂહ Q બહિર્મુખ હોય છે જો, Q માં તમામ બિંદુઓ v0 અને v1 માટે અને એકમ અંતરાલમાં દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા λ માટે, બિંદુ (1 − λ) v0 + λv1 એ Q નો સભ્ય હોય. ગાણિતિક પ્રેરણ દ્વારા, સમૂહ Q બહિર્મુખ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે Q ના સભ્યોનું દરેક બહિર્મુખ સંયોજન પણ Q સાથે સંબંધિત હોય. વ્યાખ્યા મુજબ, અનુક્રમિત ઉપગણ {v0, v1,... નું બહિર્મુખ સંયોજન. વેક્ટર જગ્યાનું vD} એ સમીકરણ = 1 ને સંતોષતા બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ {λd} ના કેટલાક અનુક્રમિત સમૂહ માટે કોઈપણ ભારિત સરેરાશ છે. બહિર્મુખ સમૂહની વ્યાખ્યા સૂચવે છે કે બે બહિર્મુખ સમૂહોનું આંતરછેદ બહિર્મુખ સમૂહ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, બહિર્મુખ સમૂહના પરિવારનું આંતરછેદ બહિર્મુખ સમૂહ છે. કન્વેક્સ હલ વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાના દરેક સબસેટ Q માટે, તેનો ન્યૂનતમ બહિર્મુખ સમૂહ છે જેમાં Q હોય છે. આમ કોનવી (ક્યૂ) એ ક્યૂને આવરી લેતા તમામ બહિર્મુખ સમૂહોનું આંતરછેદ છે. સમૂહના બહિર્મુખ આવરણને સમાનરૂપે પ્ર. દ્વૈતતામાં બિંદુઓના તમામ બહિર્મુખ સંયોજનોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ અર્ધ-અંતરને છેદવું સહાયક હાયપરપ્લેન એ ભૂમિતિમાં એક ખ્યાલ છે. હાયપરપ્લેન જગ્યાને બે અર્ધ-જગ્યામાં વિભાજિત કરે છે. હાયપરપ્લેન વાસ્તવિક એન-સ્પેસમાં સમૂહને ટેકો આપે છે જો તે નીચેના બંનેને પૂર્ણ કરે છેઃ હાયપરપ્લેન દ્વારા નિર્ધારિત બે બંધ અર્ધ-જગ્યાઓમાંથી એકમાં સંપૂર્ણપણે સમાયેલ હોય અને હાયપરપ્લેન પર ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ હોય. અહીં, બંધ અર્ધ-જગ્યા એ અર્ધ-જગ્યા છે જેમાં હાયપરપ્લેનનો સમાવેશ થાય છે. સપોર્ટિંગ હાયપરપ્લેન થીયરમ આ થીયરમ જણાવે છે કે જો એક બંધ બહિર્મુખ સેટ હોય અને તે સીમા પર એક બિંદુ હોય તો ત્યાં એક સપોર્ટિંગ હાયપરપ્લેન અસ્તિત્વમાં છે જેમાં પ્રમેયમાં હાયપરપ્લેન અનન્ય ન પણ હોઈ શકે, જેમ કે જમણી બાજુના બીજા ચિત્રમાં નોંધ્યું છે. જો બંધ સમૂહ બહિર્મુખ ન હોય, તો જમણી બાજુના ત્રીજા ચિત્રમાં દર્શાવ્યા મુજબની સીમા પરના તમામ બિંદુઓ પર પ્રમેયનું નિવેદન સાચું નથી. અર્થશાસ્ત્ર માલની એક શ્રેષ્ઠ ટોપલી ત્યારે થાય છે જ્યારે ગ્રાહકની બહિર્મુખ પસંદગીનો સમૂહ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બજેટની મર્યાદા દ્વારા સમર્થિત હોય છે. જો પસંદગીનો સમૂહ બહિર્મુખ હોય, તો ગ્રાહકના શ્રેષ્ઠ નિર્ણયોનો સમૂહ બહિર્મુખ સમૂહ છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક અનન્ય શ્રેષ્ઠ બાસ્કેટ (અથવા શ્રેષ્ઠ બાસ્કેટનો રેખા વિભાગ પણ). સરળતા માટે, આપણે ધારીશું કે ગ્રાહકની પસંદગીઓને ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા વર્ણવી શકાય છે જે સતત કાર્ય છે, જે સૂચવે છે કે પસંદગી સેટ બંધ છે. (ઓપ્ટિમાઇઝેશન એપ્લિકેશન્સ પરના પેટા વિભાગમાં "ક્લોઝ્ડ સેટ" નો અર્થ નીચે સમજાવવામાં આવ્યો છે.) નોન-કન્વેક્સિટી જો પસંદગીનો સમૂહ નોન-કન્વેક્સ હોય, તો પછી કેટલીક કિંમતો બે અલગ-અલગ શ્રેષ્ઠ વપરાશના નિર્ણયોને ટેકો આપતા બજેટનું ઉત્પાદન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કલ્પના કરી શકીએ છીએ કે, પ્રાણીસંગ્રહાલયો માટે, સિંહની કિંમત ગરુડ જેટલી છે, અને વધુમાં પ્રાણીસંગ્રહાલયનું બજેટ એક ગરુડ અથવા એક સિંહ માટે પૂરતું છે. આપણે એવું પણ માની શકીએ કે પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનાર કોઈપણ પ્રાણીને સમાન મૂલ્યવાન માને છે. આ કિસ્સામાં, પ્રાણી સંગ્રહાલય એક સિંહ અથવા એક ગરુડ ખરીદશે. અલબત્ત, એક સમકાલીન પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનાર અડધા ગરુડ અને (અથવા ગ્રિફિન) ખરીદવા માંગતો નથી! આમ, સમકાલીન પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનારની પસંદગીઓ બિન-બહિર્મુખ છેઃ પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનાર બંનેનું કડક બહિર્મુખ સંયોજન રાખવા કરતાં કોઈપણ પ્રાણી રાખવાનું પસંદ કરે છે. સામાન્ય આર્થિક સંતુલન, બજારની નિષ્ફળતા અને જાહેર અર્થશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોમાં બિન-બહિર્મુખ સમૂહોનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે. આ પરિણામો સૂક્ષ્મ અર્થશાસ્ત્ર, સામાન્ય સંતુલન સિદ્ધાંત, રમત સિદ્ધાંત, ગાણિતિક અર્થશાસ્ત્ર અને લાગુ ગણિત (અર્થશાસ્ત્રીઓ માટે) માં સ્નાતક-સ્તરના પાઠ્યપુસ્તકોમાં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. શેપલી-ફોકમેન લેમ્માના પરિણામો એ સ્થાપિત કરે છે કે બિન-બહિર્મુખતા ઘણા ગ્રાહકો સાથેના બજારોમાં અંદાજિત સંતુલન સાથે સુસંગત છે; આ પરિણામો ઘણી નાની કંપનીઓ સાથેના ઉત્પાદન અર્થતંત્રોને પણ લાગુ પડે છે. "અલ્પજનતંત્ર" (કેટલાક ઉત્પાદકો દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવતા બજારો) માં, ખાસ કરીને "એકાધિકાર" (એક ઉત્પાદક દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવતા બજારો) માં, બિન-બહિર્મુખતા મહત્વપૂર્ણ રહે છે. બજારની શક્તિનો ઉપયોગ કરતા મોટા ઉત્પાદકો સાથેની ચિંતાઓએ હકીકતમાં બિન-બહિર્મુખ સમૂહો પર સાહિત્યની શરૂઆત કરી હતી, જ્યારે પિએરો સ્રાફાએ 1926માં મોટા પાયે વળતર આપતી કંપનીઓ વિશે લખ્યું હતું, ત્યારબાદ હેરોલ્ડ હોટેલિંગે 1938માં સીમાંત કિંમત નિર્ધારણ વિશે લખ્યું હતું. સ્રાફા અને હોટલલિંગ બંનેએ સ્પર્ધકો વિનાના ઉત્પાદકોની બજારની શક્તિને પ્રકાશિત કરી, સ્પષ્ટપણે અર્થતંત્રના પુરવઠા-બાજુ પરના સાહિત્યને ઉત્તેજીત કર્યું. બિન-બહિર્મુખ સમૂહો પર્યાવરણીય ચીજવસ્તુઓ (અને અન્ય બાહ્યતાઓ), માહિતી અર્થશાસ્ત્ર અને શેર બજારો (અને અન્ય અપૂર્ણ બજારો) સાથે પણ ઉદભવે છે. આવા ઉપયોગોએ અર્થશાસ્ત્રીઓને બિન-બહિર્મુખ સમૂહોનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રેરિત કરવાનું ચાલુ રાખ્યું. બિનઅસરકારક વિશ્લેષણ અર્થશાસ્ત્રીઓએ બિનઅસરકારક વિશ્લેષણ સાથે બિન-બહિર્મુખ સમૂહોનો વધુને વધુ અભ્યાસ કર્યો છે, જે બહિર્મુખ વિશ્લેષણને સામાન્ય બનાવે છે. "[બંને] ઉત્પાદન અને વપરાશમાં બિન-બહિર્મુખતા. જરૂરી ગાણિતિક સાધનો કે જે બહિર્મુખતાથી આગળ વધ્યા હતા, અને વધુ વિકાસ માટે બિન-સરળ કલનની શોધની રાહ જોવી પડી હતી" (ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રાન્સિસ ક્લાર્કની સ્થાનિક રીતે લિપશિટ્ઝ કલન), જેમ કે અને દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે. તેમણે લખ્યું હતું કે "કિંમતના નિયમો સાથે પેઢીઓના સામાન્ય સંતુલન વિશ્લેષણમાં મુખ્ય પદ્ધતિસરની નવીનતા" એ "વૈશ્વિક વિશ્લેષણ (વિભેદક ટોપોલોજી) અને બહિર્મુખ વિશ્લેષણના [સંશ્લેષણ] તરીકે બિન-સરળ વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓનો પરિચય" હતો. અનુસાર, "બિન-સરળ વિશ્લેષણ સ્પર્શક સપાટીઓ દ્વારા મેનીફોલ્ડ્સના સ્થાનિક અંદાજને વિસ્તરે છે [અને] સ્પર્શક શંકુ દ્વારા બહિર્મુખ સમૂહોના અનુરૂપ અંદાજને સમૂહો સુધી વિસ્તરે છે" જે બિન-સરળ અથવા બિન-બહિર્મુખ હોઈ શકે છે. અર્થશાસ્ત્રીઓએ બીજગણિત ટોપોલોજીનો પણ ઉપયોગ કર્યો છે. કન્વેક્સ દ્વૈત નોંધો સંદર્ભો લુએનબર્ગર, ડેવિડ જી. માઇક્રોઇકોનોમિક થિયરી, મેકગ્રો-હિલ, ઇન્ક., ન્યૂ યોર્ક, 1995. પણ જુઓ. કન્વેક્સ હલ્સ કન્વેક્સ ભૂમિતિ સામાન્ય સંતુલન સિદ્ધાંત