Loewy ring
ગણિતમાં, લોવી રીંગ અથવા અર્ધ-આર્ટીનિયન રીંગ એ એક રીંગ છે જેમાં દરેક બિન-શૂન્ય મોડ્યુલમાં બિન-શૂન્ય સોક્લ હોય છે, અથવા જો દરેક મોડ્યુલની લોવી લંબાઈ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો સમકક્ષ હોય છે. આ વિભાવનાઓનું નામ આલ્ફ્રેડ લોવીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. લોવી લંબાઈ લોવી લંબાઈ અને લોવી શ્રેણી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. જો M એક મોડ્યુલ હોય, તો પછી α દ્વારા ક્રમિક માટે લોવી શ્રેણી Mα ને M0 = 0, Mα + 1/Mα = સોક્લ (M/Mα), અને Mα = ≤ λ <α Mλ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો જો α એક મર્યાદા ક્રમિક હોય. M ની લોવી લંબાઈને M = Mα સાથે સૌથી નાની α તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય. સેમીઆર્ટીનીયન મોડ્યુલો એ સેમીઆર્ટીનીયન મોડ્યુલ છે જો, તમામ એપીમોર્ફિઝમ્સ માટે, જ્યાં, નોંધ કરો કે જો આર્ટીનીયન મોડ્યુલ હોય તો તે સેમીઆર્ટીનીયન મોડ્યુલ છે. સ્પષ્ટ રીતે 0 અર્ધ-આર્ટીનીયન છે. જો ચોક્કસ હોય તો અને જો અર્ધ-આર્ટીનીયન હોય તો જ અર્ધ-આર્ટીનીયન હોય છે. જો-મોડ્યુલ્સનો પરિવાર હોય, તો સેમીઆર્ટિનિયન ત્યારે જ છે જ્યારે તમામ સેમીઆર્ટિનિયન રિંગ્સ માટે સેમીઆર્ટિનિયન હોય તો તેને લેફ્ટ સેમીઆર્ટિનિયન કહેવામાં આવે છે જો સેમીઆર્ટિનિયન હોય, એટલે કે, સેમીઆર્ટિનિયન છોડી દેવામાં આવે છે જો કોઈપણ લેફ્ટ આઇડિયલ માટે, તેમાં સરળ સબમોડ્યુલ હોય. નોંધ લો કે ડાબા અર્ધ-આર્ટીનિયનનો અર્થ એ નથી કે તે ડાબા આર્ટીનિયન છે. સંદર્ભ રિંગ સિદ્ધાંત