Poincaré disk model
ભૂમિતિમાં, પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ, જેને કન્ફોર્મલ ડિસ્ક મોડેલ પણ કહેવામાં આવે છે, તે 2-પરિમાણીય હાયપરબોલિક ભૂમિતિના નમૂના છે જેમાં તમામ બિંદુઓ એકમ ડિસ્કની અંદર હોય છે, અને સીધી રેખાઓ કાં તો ડિસ્કની અંદર રહેલી ગોળાકાર ચાપ હોય છે જે એકમ વર્તુળ અથવા એકમ વર્તુળના વ્યાસ માટે ઓર્થોગોનલ હોય છે. ડિસ્ક મોડેલની ઓરિએન્ટેશન પ્રિઝર્વેશન આઇસોમેટ્રીઝનું જૂથ પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ એકાત્મક જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે તેના કેન્દ્ર દ્વારા વિશેષ એકાત્મક જૂથ એસયુ (1,1) નો ભાગાકાર છે. ક્લેઈન મોડેલ અને પોઇનકેરે અર્ધ-અવકાશ મોડેલની સાથે, યુજેનિયો બેલ્ટ્રામી દ્વારા દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી, જેમણે આ મોડેલોનો ઉપયોગ કરીને બતાવ્યું હતું કે હાયપરબોલિક ભૂમિતિ યુક્લિડિયન ભૂમિતિ સાથે સુસંગત છે. તેનું નામ હેનરી પોઇનકેરેના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, કારણ કે ચૌદ વર્ષ પછી આ પ્રતિનિધિત્વની તેમની પુનઃશોધ બેલ્ટ્રામીની મૂળ કૃતિ કરતાં વધુ જાણીતી બની હતી. પોઇનકેરે બોલ મોડેલ એ 3 અથવા એન-ડાયમેન્શનલ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ માટેનું સમાન મોડેલ છે જેમાં ભૂમિતિના બિંદુઓ એન-ડાયમેન્શનલ યુનિટ બોલમાં હોય છે. ડિસ્ક મોડેલનું વર્ણન સૌપ્રથમ બર્નહાર્ડ રીમેન દ્વારા 1854ના વ્યાખ્યાન (1868માં પ્રકાશિત) માં કરવામાં આવ્યું હતું, જેણે યુજેનિયો બેલ્ટ્રામી દ્વારા 1868ના પેપરને પ્રેરિત કર્યું હતું. હેનરી પોઇનકેરે તેની 1882 ની હાયપરબોલિક, પેરાબોલિક અને લંબગોળ કાર્યોની સારવારમાં તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો, પરંતુ પોઇનકેરેના 1905 ના ફિલોસોફિકલ ગ્રંથ, સાયન્સ એન્ડ હાયપોથેસિસમાં રજૂઆત બાદ તે વ્યાપકપણે જાણીતું બન્યું હતું. ત્યાં તેઓ એક વિશ્વનું વર્ણન કરે છે, જે હવે પોઇનકેરે ડિસ્ક તરીકે ઓળખાય છે, જેમાં જગ્યા યુક્લિડિયન હતી, પરંતુ જે તેના રહેવાસીઓને હાયપરબોલિક ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષવા માટે દેખાતી હતીઃ "ધારો કે, ઉદાહરણ તરીકે, એક વિશાળ ગોળામાં ઘેરાયેલું વિશ્વ અને નીચેના નિયમોને આધીન છેઃ તાપમાન સમાન નથી; તે તેમના કેન્દ્રમાં સૌથી મોટું છે, અને ધીમે ધીમે ઘટે છે કારણ કે આપણે ગોળાના પરિઘ તરફ આગળ વધીએ છીએ, જ્યાં તે સંપૂર્ણ શૂન્ય છે. આ તાપમાનનો નિયમ નીચે મુજબ છેઃ જો ગોળાની ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રથી ગણવામાં આવતા બિંદુનું અંતર હોય, તો નિરપેક્ષ તાપમાન આનુપાતિક હશે. વધુમાં, હું ધારું છું કે આ જગતમાં તમામ પદાર્થો ફેલાવાના સમાન ગુણાંક ધરાવે છે, જેથી કોઈ પણ પદાર્થનું રેખીય વિસ્તરણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના પ્રમાણસર હોય. છેવટે, હું ધારીશ કે જુદા જુદા તાપમાનના એક બિંદુથી બીજા બિંદુ પર પરિવહન કરાયેલ પદાર્થ તેના નવા વાતાવરણ સાથે તાત્કાલિક થર્મલ સંતુલનમાં છે. . જો તેઓ ભૂમિતિ બનાવશે, તો તે આપણા જેવું નહીં હોય, જે આપણા અપરિવર્તનીય ઘન પદાર્થોની હિલચાલનો અભ્યાસ છે; તે સ્થિતિના ફેરફારોનો અભ્યાસ હશે જેને તેઓ આ રીતે અલગ પાડશે, અને 'બિન-યુક્લિડિયન વિસ્થાપન' હશે, અને આ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ હશે. જેથી આવા વિશ્વમાં શિક્ષિત આપણા જેવા માણસોની ભૂમિતિ આપણા જેવી ન હોય ". (pp.65-68) ખાસ કરીને રુડોલ્ફ કાર્નેપ અને હંસ રીચેનબેકની પ્રભાવશાળી ફિલોસોફિકલ ચર્ચાઓમાં, અવકાશી ભૂમિતિ પસંદગી વાસ્તવિકને બદલે પરંપરાગત છે તે પૂર્વધારણા માટે પોઇનકેરની ડિસ્ક એક મહત્વપૂર્ણ પુરાવો હતો. હાયપરબોલિક સીધી રેખાઓમાં ડિસ્કની અંદર રહેલા યુક્લિડિયન વર્તુળોની તમામ કમાનો હોય છે જે ડિસ્કની સીમા સાથે ઓર્થોગોનલ હોય છે, ઉપરાંત ડિસ્કના તમામ વ્યાસ હોય છે. હોકાયંત્ર અને સીધી ધારની રચના સીમા વર્તુળના વ્યાસ પર નહીં પણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અનન્ય હાયપરબોલિક રેખા આના દ્વારા બનાવી શકાય છેઃ ચાલો બિંદુના સીમા વર્તુળમાં વ્યુત્ક્રમ હોઈએ, બિંદુના સીમા વર્તુળમાં વ્યુત્ક્રમ હોઈએ, ચાલો ખંડનો મધ્યબિંદુ હોઈએ. કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ દોરો અને (અને) માંથી પસાર થાઓ. વર્તુળનો જે ભાગ ડિસ્કની અંદર છે તે હાયપરબોલિક રેખા છે. જો પી અને ક્યૂ સીમા વર્તુળના વ્યાસ પર હોય તો તે વ્યાસ હાયપરબોલિક રેખા છે. બીજી રીત છેઃ ચાલો સેગમેન્ટનું મધ્યબિંદુ હોઈએ, સેગમેન્ટને લંબરૂપ રેખા m દોરીએ, બિંદુના સીમા વર્તુળમાં વ્યુત્ક્રમ હોઈએ, ચાલો સેગમેન્ટનું મધ્યબિંદુ હોઈએ. કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ દોરો અને (અને) માંથી પસાર થાઓ. વર્તુળનો જે ભાગ ડિસ્કની અંદર છે તે હાયપરબોલિક રેખા છે. આ મોડેલમાં અંતર કેલે-ક્લેન મેટ્રિક્સ છે. ડિસ્કની અંદર બે અલગ બિંદુઓ p અને q આપવામાં આવે તો, તેમને જોડતી અનન્ય હાયપરબોલિક રેખા બે આદર્શ બિંદુઓ, a અને b પર સીમાને છેદે છે, તેમને લેબલ કરે છે જેથી બિંદુઓ ક્રમમાં, a, p, q, b અને અને હોય. પછી p અને q વચ્ચેનું હાયપરબોલિક અંતર છે ઊભી પટ્ટીઓ મોડેલમાં તેમની વચ્ચેના બિંદુઓને જોડતા રેખા ખંડની યુક્લિડિયન લંબાઈ સૂચવે છે (વર્તુળ ચાપ સાથે નહીં), ln એ કુદરતી લઘુગણક છે. બે બિંદુઓ વચ્ચેના હાયપરબોલિક અંતરની ગણતરી કરવાની બીજી રીત એ છે કે ડિસ્કના કેન્દ્રમાં p સંબંધિત q નું અંતર ક્યાં અને ક્યાં છે, p અને q વચ્ચેનું અંતર, ડિસ્કના સીમા વર્તુળની ત્રિજ્યા અને હાયપરબોલિક કોસાઇનનું વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કાર્ય છે. જ્યારે ઉપયોગમાં લેવાતી ડિસ્ક ખુલ્લી એકમ ડિસ્ક હોય અને તેમાંથી એક બિંદુ મૂળ હોય અને બિંદુઓ વચ્ચેનું યુક્લિડિયન અંતર r હોય ત્યારે હાયપરબોલિક અંતર છેઃ જ્યાં હાયપરબોલિક સ્પર્શકનું વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કાર્ય છે. જ્યારે ઉપયોગમાં લેવાતી ડિસ્ક ખુલ્લી એકમ ડિસ્ક હોય છે અને બિંદુ મૂળ અને બિંદુ (એટલે કે. બે બિંદુઓ સમાન ત્રિજ્યા પર છે, સમાન ધ્રુવીય કોણ ધરાવે છે અને), તેમનું હાયપરબોલિક અંતર છે. વર્તુળો એક વર્તુળ (સમતલમાં આપેલ બિંદુ, તેના કેન્દ્રથી આપેલ અંતરે આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ) એ એક વર્તુળ છે જે ડિસ્કની અંદર સંપૂર્ણપણે તેની સીમાને સ્પર્શતું નથી અથવા છેદતું નથી. મોડેલમાં વર્તુળનું હાયપરબોલિક કેન્દ્ર સામાન્ય રીતે વર્તુળના યુક્લિડિયન કેન્દ્રને અનુરૂપ નથી, પરંતુ તે સીમા વર્તુળની સમાન ત્રિજ્યા પર હોય છે. હાયપરસાયકલ (સપાટી પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ કે જે એક બાજુ હોય અને આપેલ રેખા, તેની અક્ષથી આપેલ અંતરે હોય) એ યુક્લિડિયન વર્તુળ ચાપ અથવા સીમા વર્તુળની તાર છે જે સીમા વર્તુળને હકારાત્મક પરંતુ બિન-જમણા ખૂણા પર છેદે છે. તેની ધરી હાયપરબોલિક રેખા છે જે સમાન બે આદર્શ બિંદુઓને વહેંચે છે. આને સમદૂરના વળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. જન્માક્ષર (એક વળાંક કે જેના સામાન્ય અથવા લંબરૂપ ભૂગણિત બધા એક જ દિશામાં એસિમ્પ્ટોટિક રીતે ભેગા થાય છે), એ ડિસ્કની અંદરનું એક વર્તુળ છે જે ડિસ્કના સીમા વર્તુળને સ્પર્શે છે. તે બિંદુ જ્યાં તે સીમા વર્તુળને સ્પર્શે છે તે કુંડળીનો ભાગ નથી. તે એક આદર્શ બિંદુ છે અને કુંડળીનું અતિસંવેદનશીલ કેન્દ્ર છે. યુક્લિડીયન સારાંશ એ યુક્લિડીયન વર્તુળઃ જે સંપૂર્ણપણે ડિસ્કની અંદર હોય છે તે હાયપરબોલિક વર્તુળ છે. (જ્યારે ડિસ્કનું કેન્દ્ર વર્તુળની અંદર ન હોય, ત્યારે યુક્લિડિયન કેન્દ્ર હંમેશા હાયપરબોલિક કેન્દ્ર કરતાં ડિસ્કના કેન્દ્રની નજીક હોય છે, એટલે કે. ધરાવે છે.) જે ડિસ્કની અંદર હોય છે અને સીમાને સ્પર્શે છે તે એક કુંડળી છે; જે સીમાને ઓર્થોગોનલી રીતે છેદે છે તે એક હાયપરબોલિક રેખા છે; અને જે સીમાને નોન-ઓર્થોગોનલી રીતે છેદે છે તે એક હાયપરસાયકલ છે. સીમા વર્તુળનો યુક્લિડિયન તારઃ જે કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે તે હાયપરબોલિક રેખા છે; અને જે કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું નથી તે હાયપરસાયકલ છે. મેટ્રિક અને વળાંક જો u અને v વાસ્તવિક n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા Rnમાં સામાન્ય યુક્લિડિયન ધોરણ સાથે બે વેક્ટર હોય, જે બંને ધોરણ 1 કરતા ઓછું હોય, તો આપણે એક સમમિતિય અપરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જ્યાં સામાન્ય યુક્લિડિયન ધોરણ સૂચવે છે. પછી અંતર કાર્ય એ છે કે આવા અંતર કાર્યને એક કરતા ઓછા ધોરણના કોઈપણ બે વેક્ટર માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આવા વેક્ટરના સમૂહને મેટ્રિક જગ્યામાં બનાવે છે જે સતત વળાંક-1 ની હાયપરબોલિક જગ્યાનું મોડેલ છે. આ મોડેલમાં અનુરૂપ ગુણધર્મ છે કે હાયપરબોલિક જગ્યામાં બે આંતરછેદના વળાંકો વચ્ચેનો કોણ મોડેલના ખૂણા જેટલો જ હોય છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલનો સંકળાયેલ મેટ્રિક ટેન્સર તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં xi એ આજુબાજુના યુક્લિડિયન અવકાશના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ડિસ્ક મોડેલના ભૂગણિતીય વર્તુળો Sn−1 સીમા ગોળાને લંબરૂપ વર્તુળો છે. બે પરિમાણોમાં, આ ફ્રેમ્સ અને લેવિ-સિવિટા જોડાણના સંદર્ભમાં, જોડાણ સ્વરૂપો 1-સ્વરૂપોના અનન્ય સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે વળાંક-મુક્ત હોય છે, એટલે કે, જે મેટ્રિક્સ સમીકરણને સંતોષે છે. જ્યાં વળાંક મેટ્રિક્સ હોય ત્યાં ઉપજ માટે આ સમીકરણને ઉકેલવું તેથી, હાયપરબોલિક ડિસ્કની વળાંક એ હાયપરબોલિક ભૂમિતિના અન્ય નમૂનાઓ સાથેનો સંબંધ છે ક્લેન ડિસ્ક મોડેલ સાથેનો સંબંધ ક્લેન ડિસ્ક મોડેલ (જેને બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) અને પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ એ બંને મોડેલ છે જે ડિસ્કમાં સમગ્ર હાયપરબોલિક પ્લેનને પ્રક્ષેપિત કરે છે. બે મોડેલો ગોળાર્ધના મોડેલ પર અથવા તેના પ્રક્ષેપણ દ્વારા સંબંધિત છે. ક્લેઈન ડિસ્ક મોડેલ ગોળાર્ધ મોડેલનું ઓર્થોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ છે જ્યારે પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ એક સ્ટીરિયોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ છે. ક્લેઇન ડિસ્ક મોડેલનો એક ફાયદો એ છે કે આ મોડેલની રેખાઓ યુક્લિડિયન સીધી તારો છે. એક ગેરલાભ એ છે કે ક્લેઈન ડિસ્ક મોડેલ અનુરૂપ નથી (વર્તુળો અને ખૂણા વિકૃત છે). એક ડિસ્ક પર બંને મોડેલોમાં સમાન રેખાઓ રજૂ કરતી વખતે બંને રેખાઓ સમાન બે આદર્શ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. (આદર્શ બિંદુઓ એક જ સ્થળ પર રહે છે) ક્લેઈન ડિસ્ક મોડેલમાં તારનો ધ્રુવ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે જે પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલમાં ચાપ ધરાવે છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલમાં એક બિંદુ (x, y) ક્લેઈન મોડેલમાં નકશા કરે છે. ક્લેઈન મોડેલમાં એક બિંદુ (x, y) પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલમાં નકશા કરે છે. આદર્શ બિંદુઓ અને સૂત્રો માટે બિંદુઓ નિશ્ચિત થાય છે. જો પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલના એક બિંદુને રજૂ કરતા એક કરતા ઓછા ધોરણનું વેક્ટર હોય, તો પછી ક્લેઈન ડિસ્ક મોડેલનું અનુરૂપ બિંદુ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ તેનાથી વિપરીત, બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલના એક બિંદુને રજૂ કરતા એક કરતા ઓછા ધોરણના વેક્ટરમાંથી, પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલનું અનુરૂપ બિંદુ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલ સાથે સંબંધ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ અને પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલ બંનેનું નામ હેનરી પોઇનકેરેના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. જો પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલના બિંદુને રજૂ કરતા ધોરણની જટિલ સંખ્યા એક કરતા ઓછી હોય, તો અર્ધ-સમતલ મોડેલનું અનુરૂપ બિંદુ કેલે ટ્રાન્સફોર્મના વ્યસ્ત દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ અર્ધ-સમતલ મોડેલના નકશામાં ડિસ્ક મોડેલમાં એક બિંદુ (x, y). અર્ધ સમતલ મોડેલમાં એક બિંદુ (x, y) ડિસ્ક મોડેલમાં નકશા કરે છે. હાયપરબોલોઇડ મોડેલ સાથેનો સંબંધ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ, તેમજ ક્લેઈન મોડેલ, હાયપરબોલોઇડ મોડેલ સાથે પ્રોજેક્ટિવ રીતે સંબંધિત છે. જો આપણી પાસે હાયપરબોલોઇડ મોડેલની હાયપરબોલોઇડની ઉપરની શીટ પર એક બિંદુ [t, x1,., xn] હોય, જે હાયપરબોલોઇડ મોડેલમાં એક બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તો આપણે તેને [−1,0,., 0] માંથી દોરેલી રેખા સાથે છેદ કરીને હાયપરપ્લેન t = 0 પર રજૂ કરી શકીએ છીએ. પરિણામ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલનું અનુરૂપ બિંદુ છે. હાયપરબોલોઇડ પર કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ (t, xi) અને પ્લેન પર (yi) માટે, રૂપાંતર સૂત્રો આ પ્રમાણે છેઃ ગોળા અને પ્લેન વચ્ચેના સ્ટીરિયોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ માટેના સૂત્રોની સરખામણી કરો. હાયપરબોલિક સમતલમાં વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ રચનાઓ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની મૂળભૂત રચના એ આપેલ બે બિંદુઓમાંથી એક રેખા શોધવાનું છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલમાં, સમતલમાં રેખાઓ વર્તુળોના ભાગો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે સ્વરૂપના સમીકરણો ધરાવે છે જે એકમ વર્તુળ માટે વર્તુળ ઓર્થોગોનલનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે, અથવા અન્યથા વ્યાસ દ્વારા. વ્યાસ પર ન હોય તેવી ડિસ્કમાં બે બિંદુઓ u = (u1, u2) અને v = (v1, v2) આપેલ હોય, તો આપણે બંને બિંદુઓમાંથી પસાર થતા આ સ્વરૂપના વર્તુળ માટે ઉકેલી શકીએ છીએ, અને મેળવી શકીએ છીએ. ક્લેઈન મોડેલ અને પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલમાં આદર્શ બિંદુઓ સમાન હોવાથી, દરેક મોડેલ માટે સૂત્રો સમાન છે. જો બંને મોડેલોની રેખાઓ વ્યાસ હોય, જેથી v = −u અને t = −s, તો આપણે ફક્ત બે એકમ વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ શોધી રહ્યા છીએ, અને કોણ θ માટેનું સૂત્ર છે જો v = −u પરંતુ t = −s નહીં, તો સૂત્ર બને છે, ફાચર ઉત્પાદન () ની દ્રષ્ટિએ, જ્યાં બંને તારો વ્યાસ ન હોય, તો સામાન્ય સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે જ્યાં બિનેટ-કાઉચી ઓળખનો ઉપયોગ કરીને અને આ એકમ વેક્ટર છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિઓને માત્ર બિંદુ ઉત્પાદનની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખી શકીએ છીએ, કારણ કે કલાત્મક અનુભૂતિઓ એમ. સી. એશરે દ્વિ-પરિમાણીય સમતલ પર અનંતને રજૂ કરવાની વિભાવનાની શોધ કરી હતી. કેનેડિયન ગણિતશાસ્ત્રી એચ. એસ. એમ. સાથે ચર્ચાઓ 1956 ની આસપાસ કોક્સેટરએ હાઇપરબોલિક ટેસેલેશનમાં એસ્ચરની રુચિને પ્રેરિત કરી, જે હાઇપરબોલિક પ્લેનની નિયમિત ઝુકાવ છે. એસ્ચરની લાકડાની કોતરણીઓ સર્કલ લિમિટ I-IV 1958 અને 1960 ની વચ્ચે આ ખ્યાલ દર્શાવે છે, જેમાં છેલ્લું 1960 માં સર્કલ લિમિટ IV: હેવન એન્ડ હેલ હતું. બ્રુનો અર્ન્સ્ટના જણાવ્યા અનુસાર, તેમાંથી શ્રેષ્ઠ સર્કલ લિમિટ III છે. હાયપરરોગ, એક રોગ્વેલ જેવી રમત, તેની વિશ્વ ભૂમિતિ માટે હાયપરબોલિક પ્લેનનો ઉપયોગ કરે છે, અને પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલનો પણ ઉપયોગ કરે છે. હાયપરબોલિક ભૂમિતિ બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલ પોઇનકેર અર્ધ-સમતલ મોડેલ પોઇનકેર મેટ્રિક સ્યુડોસ્ફિયર હાયપરબોલોઇડ મોડેલ ઇન્વર્સિવ ભૂમિતિ હાયપરબોલિક સમતલમાં સમાન ઝુકાવ સંદર્ભો વધુ વાંચન જેમ્સ ડબ્લ્યુ. એન્ડરસન, હાયપરબોલિક ભૂમિતિ, બીજી આવૃત્તિ, સ્પ્રિંગર, 2005 જુઓ. યુજેનિયો બેલ્ટ્રામી, ટિયોરિયા ફન્ડામેન્ટેલ ડેગલી સ્પાઝી દી કર્વાતુરા કોસ્ટાન્ટે, અન્નાલી. ડી મેટ., સેર II 2 (1868), 232-255. સાઉલ સ્ટાલ, ધ પોઇનકેરે હાફ-પ્લેન, જોન્સ એન્ડ બાર્ટલેટ, 1993. બાહ્ય કડીઓ બહુ-પરિમાણીય ભૂમિતિ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ ડિસ્ક