Energy distance
ઊર્જા અંતર એ સંભાવના વિતરણ વચ્ચેનું આંકડાકીય અંતર છે. જો X અને Y અનુક્રમે સંચિત વિતરણ કાર્યો (cdf) F અને G સાથે Rd માં સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેક્ટર હોય, તો પછી F અને G વિતરણો વચ્ચેનું ઊર્જા અંતર જ્યાં (X, X ', Y, Y') સ્વતંત્ર છે તેના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, X અને X 'નું cdf એ F છે, Y અને Y' નું cdf એ G છે, તે અપેક્ષિત મૂલ્ય છે, અને | |. | વેક્ટરની લંબાઈ સૂચવે છે. ઊર્જા અંતર મેટ્રિકના તમામ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે આમ ઊર્જા અંતર વિતરણની સમાનતાને લાક્ષણિકતા આપે છેઃ D (F, G) = 0 જો અને માત્ર ત્યારે જ જો F = G. આંકડાકીય ઉપયોગો માટે ઊર્જા અંતર 1985 માં ગેબર જે. ઝેકલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે સાબિત કર્યું હતું કે વાસ્તવિક મૂલ્યના રેન્ડમ ચલો માટે હેરાલ્ડ ક્રેમરનું અંતર બરાબર બમણું છેઃ આ સમાનતાના સરળ પુરાવા માટે, ઝેકલી (2002) જુઓ. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, જોકે, બે અંતર અલગ છે કારણ કે ઊર્જાનું અંતર પરિભ્રમણ અપરિવર્તનશીલ છે જ્યારે ક્રેમરનું અંતર નથી. (નોંધ લો કે ક્રેમરનું અંતર વિતરણ-મુક્ત ક્રેમર-વોન મિસેસ માપદંડ જેવું નથી.) મેટ્રિક જગ્યાઓ પર સામાન્યીકરણ મેટ્રિક જગ્યાઓ પર સંભાવના વિતરણ માટે ઊર્જા અંતરની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવી શકાય છે. ચાલો તેના બોરેલ સિગ્મા બીજગણિત સાથે મેટ્રિક જગ્યા હોઈએ. ચાલો માપી શકાય તેવી જગ્યા પરના તમામ સંભાવના પગલાંનો સંગ્રહ દર્શાવીએ. જો μ અને ν સંભાવના માપ હોય, તો પછી μ અને ν ના ઊર્જા-અંતરને તેના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો મજબૂત નકારાત્મક ચોક્કસ કર્નલ હોય, તો તે મેટ્રિક છે, અને તેનાથી વિપરીત. આ સ્થિતિ નકારાત્મક પ્રકાર ધરાવે છે એમ કહીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. નકારાત્મક પ્રકાર મેટ્રિક બનવા માટે પૂરતો નથી; પછીની સ્થિતિ મજબૂત નકારાત્મક પ્રકાર ધરાવે છે એમ કહીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, ઊર્જાનું અંતર શૂન્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે X અને Y સમાન રીતે વહેંચાયેલા હોય. નકારાત્મક પ્રકારનાં મેટ્રિકનું ઉદાહરણ, પરંતુ મજબૂત નકારાત્મક પ્રકારનું નહીં, તે ટેક્સીકેબ મેટ્રિક સાથેનું સમતલ છે. તમામ યુક્લિડિયન જગ્યાઓ અને અલગ કરી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ પણ મજબૂત નકારાત્મક પ્રકાર ધરાવે છે. મશીન લર્નિંગ માટે કર્નલ પદ્ધતિઓ પરના સાહિત્યમાં, ઊર્જા અંતરની આ સામાન્યીકૃત કલ્પનાઓનો અભ્યાસ મહત્તમ સરેરાશ વિસંગતિના નામ હેઠળ કરવામાં આવે છે. પૂર્વધારણા પરીક્ષણ માટે અંતર આધારિત અને કર્નલ પદ્ધતિઓની સમાનતા ઘણા લેખકો દ્વારા આવરી લેવામાં આવી છે. ઊર્જા આંકડાશાસ્ત્ર એક સંબંધિત આંકડાકીય ખ્યાલ, ઇ-આંકડાકીય અથવા ઊર્જા-આંકડાકીયની કલ્પના 1980ના દાયકામાં ગેબર જે. ઝેકલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી જ્યારે તેઓ બુડાપેસ્ટ, હંગેરી અને એમઆઇટી, યેલ અને કોલંબિયામાં બોલચાલની ભાષણો આપી રહ્યા હતા. આ ખ્યાલ ન્યૂટનની સંભવિત ઊર્જાની કલ્પના પર આધારિત છે. આ વિચાર આંકડાકીય અવલોકનોને આંકડાકીય સંભવિત ઊર્જા દ્વારા સંચાલિત સ્વર્ગીય પદાર્થો તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનો છે, જે ત્યારે જ શૂન્ય હોય છે જ્યારે અંતર્ગત આંકડાકીય નલ પૂર્વધારણા સાચી હોય. ઊર્જા આંકડાશાસ્ત્ર એ આંકડાકીય અવલોકનો વચ્ચેના અંતરના કાર્યો છે. જિંજર એ. એ., કાકોસ્યાન એ. વી., ક્લેબાનોવ એલ. બી. માં ઊર્જા અંતર અને ઇ-આંકડાઓને એન-અંતર અને એન-આંકડા તરીકે ગણવામાં આવ્યા હતા. કેટલાક સંભાવના મેટ્રિક્સના સંબંધમાં કેટલાક આંકડાઓના સરેરાશ મૂલ્યો દ્વારા વિતરણની લાક્ષણિકતા, સ્ટોકેસ્ટિક નમૂનાઓ માટે સ્થિરતા સમસ્યાઓ. મોસ્કો, VNIISI, 1989,47-55. (રશિયનમાં), અંગ્રેજી અનુવાદઃ આંકડાશાસ્ત્રના સરેરાશ મૂલ્યો અને ચોક્કસ સંભવિત મેટ્રિક્સ A દ્વારા વિતરણની લાક્ષણિકતા. એ. ઝિંગર, એ. વી. કાકોસ્યાન, એલ. બી. ક્લેબાનોવ જર્નલ ઓફ સોવિયેત મેથેમેટિક્સ (1992) માં. એ જ પેપરમાં મજબૂત નકારાત્મક ચોક્કસ કર્નલની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી હતી, અને મેટ્રિક જગ્યાઓ પર સામાન્યીકરણ પૂરું પાડવામાં આવ્યું હતું, જેની ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. આ પુસ્તક આ પરિણામો અને આંકડાકીય પરીક્ષણ માટે તેમની અરજીઓ પણ આપે છે. આ પુસ્તકમાં તેની ક્ષમતામાંથી માપને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે કેટલીક એપ્લિકેશનો પણ છે. સમાન વિતરણ માટે પરીક્ષણ શૂન્ય પૂર્વધારણાને ધ્યાનમાં લો કે બે રેન્ડમ ચલ, X અને Y, સમાન સંભાવના વિતરણ ધરાવે છેઃ X અને Y માંથી આંકડાકીય નમૂનાઓ માટેઃ અને, X અને Y નમૂનાઓ વચ્ચે અંતરની નીચેની અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છેઃ અંતર્ગત નલ પૂર્વધારણાના ઇ-આંકડાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ કોઈ વ્યક્તિ તે સાબિત કરી શકે છે અને તે અનુરૂપ વસ્તી મૂલ્ય શૂન્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X અને Y નું સમાન વિતરણ () હોય. આ નલ પૂર્વધારણા હેઠળ પરીક્ષણ આંકડાકીય સ્વતંત્ર પ્રમાણભૂત સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા હેઠળ T અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આનાથી સુસંગત આંકડાકીય પરીક્ષણ, સમાન વિતરણ માટે ઊર્જા પરીક્ષણનું નિર્માણ શક્ય બને છે. અસમરૂપતાનો ઇ-ગુણાંક પણ રજૂ કરી શકાય છે. આ હંમેશા 0 અને 1 ની વચ્ચે હોય છે અને જ્યાં અપેક્ષિત મૂલ્ય સૂચવે છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. H = 0 બરાબર ત્યારે જ્યારે X અને Yનું વિતરણ સમાન હોય. ભલાઈ-ઓફ-ફિટ બહુપરીમાણીય ભલાઈ-ઓફ-ફિટ માપને મનસ્વી પરિમાણમાં વિતરણ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (નમૂનાના કદ દ્વારા પ્રતિબંધિત નથી). એનર્જી ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ સ્ટેટિસ્ટિક એ છે કે જ્યાં X અને X 'સ્વતંત્ર છે અને પૂર્વધારણા વિતરણ અનુસાર સમાન રીતે વહેંચાયેલા છે, અને. એકમાત્ર જરૂરી શરત એ છે કે નલ પૂર્વધારણા હેઠળ X પાસે મર્યાદિત ક્ષણ હોય છે. નલ પૂર્વધારણા હેઠળ, અને ક્યુએનનું એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ એ કેન્દ્રિત ગૌસીયન રેન્ડમ ચલોનું દ્વિઘાત સ્વરૂપ છે. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા હેઠળ, ક્યુએન અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આમ આંકડાકીય રીતે સુસંગત પરીક્ષણ નક્કી કરે છે. મોટાભાગના ઉપયોગો માટે ઘાતાંક 1 (યુક્લિડિયન અંતર) લાગુ કરી શકાય છે. બહુપરીમાણીય સામાન્યતાના પરીક્ષણનો મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ આર માટે ઊર્જા પેકેજમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. પરીક્ષણો ભારે પૂંછડીના વિતરણ માટે પણ વિકસાવવામાં આવે છે જેમ કે પેરેટો (પાવર કાયદો), અથવા (0,1) માં ઘાતાંકોના ઉપયોગ દ્વારા સ્થિર વિતરણ. એપ્લિકેશન્સ એપ્લિકેશન્સમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ શ્રેણીબદ્ધ ક્લસ્ટરિંગ (વોર્ડની પદ્ધતિનું સામાન્યીકરણ) બહુપરીમાણીય સામાન્યતાનું પરીક્ષણ સમાન વિતરણની બહુ-નમૂનાની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ, ચેન્જ પોઇન્ટ ડિટેક્શન મલ્ટિવેરિયેટ ઇન્ડિપેન્ડન્સઃ ડિસ્ટન્સ કોરિલેશન, બ્રાઉનિયન કોવેરિયન્સ. સ્કોરિંગ નિયમોઃ સંભવિત આગાહીઓ માટે નવા અને ખૂબ જ સામાન્ય પ્રકારનો યોગ્ય સ્કોરિંગ નિયમ, ઊર્જા સ્કોર વિકસાવવા માટે નીટિંગ અને રાફ્ટરી ઊર્જા અંતર લાગુ કરે છે. મજબૂત આંકડા પરિદૃશ્ય ઘટાડો જનીન પસંદગી માઇક્રોએરે ડેટા વિશ્લેષણ સામગ્રી માળખું વિશ્લેષણ મોર્ફોમેટ્રિક અને કેમોમેટ્રિક ડેટા ઊર્જા આંકડાઓની અરજીઓ આર માટે ઓપન સોર્સ ઊર્જા પેકેજમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. સંદર્ભો આંકડાકીય અંતર આંકડાકીય પૂર્વધારણા પરીક્ષણ સંભાવના વિતરણનો સિદ્ધાંત