Bernstein's problem
વિભેદક ભૂમિતિમાં, બર્નસ્ટીનની સમસ્યા નીચે મુજબ છેઃ જો Rn−1 પરના વિધેયનો આલેખ Rnમાં ન્યૂનતમ સપાટી હોય, તો શું આ સૂચવે છે કે વિધેય રેખીય છે? આ n માટે વધુમાં વધુ 8 માટે સાચું છે, પરંતુ ઓછામાં ઓછું 9 માટે ખોટું છે. આ સમસ્યાનું નામ સર્ગેઈ નાતાનોવિચ બર્નસ્ટીન માટે રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1914માં n = 3 કેસ હલ કર્યો હતો. વિધાન ધારો કે f એ n − 1 વાસ્તવિક ચલોનું વિધેય છે. f નો આલેખ એ Rn માં એક સપાટી છે, અને શરત એ છે કે આ એક ન્યૂનતમ સપાટી છે કે f ન્યૂનતમ સપાટી સમીકરણને સંતોષે છે બર્નસ્ટીનની સમસ્યા પૂછે છે કે શું આ સમીકરણને હલ કરતું સંપૂર્ણ કાર્ય (Rn−1 માં વ્યાખ્યાયિત કાર્ય) ડિગ્રી-1 બહુપદી જરૂરી છે. ઇતિહાસએ બર્નસ્ટીનના પ્રમેયને સાબિત કર્યો છે કે R2 પર વાસ્તવિક વિધેયનો આલેખ જે R3માં પણ ન્યૂનતમ સપાટી છે તે સમતલ હોવો જોઈએ. R3 માં કોઈ બિન-સમતલીય વિસ્તાર-લઘુતમ શંકુ નથી તે હકીકત પરથી અનુમાન કરીને બર્નસ્ટીનના પ્રમેયનો નવો પુરાવો આપ્યો. દર્શાવ્યું કે જો Rn−1 માં કોઈ બિન-સમતલીય વિસ્તાર-લઘુતમ શંકુ ન હોય તો બર્નસ્ટીનના પ્રમેયનો એનાલોગ Rn માં આલેખ માટે સાચો છે, જે ખાસ કરીને સૂચવે છે કે તે R4 માં સાચો છે. દર્શાવ્યું કે R4 માં કોઈ બિન-સમતલીય લઘુતમ શંકુ નથી, આમ બર્નસ્ટીનના પ્રમેયને R5 સુધી વિસ્તરે છે. દર્શાવ્યું કે R7 માં કોઈ બિન-સમતલીય લઘુતમ શંકુ નથી, આમ બર્નસ્ટીનના પ્રમેયને R8 સુધી વિસ્તરે છે. તેમણે એ પણ બતાવ્યું કે R8 માં વ્યાખ્યાયિત સપાટી સ્થાનિક રીતે સ્થિર શંકુ છે, અને પૂછ્યું કે શું તે વૈશ્વિક સ્તરે વિસ્તાર-લઘુતમ છે. દર્શાવ્યું હતું કે સિમોન્સના શંકુ ખરેખર વૈશ્વિક સ્તરે લઘુત્તમ છે, અને આરએનમાં એન ≤ 9 માટે એવા આલેખ છે જે ન્યૂનતમ છે, પરંતુ હાયપરપ્લેન નથી. સિમોન્સના પરિણામ સાથે જોડાઈને, આ દર્શાવે છે કે બર્નસ્ટીનના પ્રમેયનો એનાલોગ આરએનમાં એન ≤ 8 માટે સાચો છે, અને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ખોટો છે. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સમાં જર્મન અનુવાદ બર્નસ્ટીન પ્રમેય પર ગણિતના જ્ઞાનકોશનો લેખ લઘુતમ સપાટીઓ વિભેદક ભૂમિતિમાં કાર્યો અને મેપિંગ પરિમાણો