Adequality
સમાનતા એ પિયરે ડી ફર્મેટ દ્વારા તેમના ગ્રંથ મેથડસ એડ ડિસક્વાયરેન્ડમ મેક્સિમમ એટ મિનિમમ (ફ્રાન્સમાં સી. 1636 માં પ્રસારિત એક લેટિન ગ્રંથ) માં વિકસાવવામાં આવેલી એક તકનીક છે, જે વિધેયોના મહત્તમ અને લઘુત્તમ, વળાંક, વિસ્તાર, દળનું કેન્દ્ર, લઘુત્તમ ક્રિયા અને કલનમાં અન્ય સમસ્યાઓની ગણતરી કરવા માટે છે. આન્દ્રે વેઇલના જણાવ્યા અનુસાર, ફર્મેટ "તકનીકી શબ્દ એડેક્વાલિટીસ, એડેક્વેર, વગેરે રજૂ કરે છે, જે તેઓ કહે છે કે તેમણે ડાયોફેન્ટસ પાસેથી ઉધાર લીધું છે. ડાયોફેન્ટસ વી. 11 બતાવે છે તેમ, તેનો અર્થ અંદાજિત સમાનતા છે, અને ફર્મેટ તેના પછીના લખાણોમાં આ શબ્દને ખરેખર આ રીતે સમજાવે છે. (વેઇલ 1973). ડાયોફેન્ટસે અંદાજિત સમાનતાનો સંદર્ભ આપવા માટે παρισοτης (પેરિસોટસ) શબ્દ બનાવ્યો હતો. ક્લાઉડ ગેસ્પર્ડ બાચેટ ડી મેઝિરીયેકે ડાયોફેન્ટસના ગ્રીક શબ્દનો લેટિનમાં એડેક્વાલીટાસ તરીકે અનુવાદ કર્યો હતો. મેક્સિમા અને મિનિમા પરના ફર્મેટના લેટિન ગ્રંથોના પોલ ટેનરીના ફ્રેન્ચ અનુવાદમાં એડક્વેશન અને એડગેલર શબ્દોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. ફર્મેટની પદ્ધતિ ફર્મેટે કાર્યોની મહત્તમતા શોધવા માટે પહેલા પર્યાપ્તતાનો ઉપયોગ કર્યો, અને પછી તેને વળાંક પર સ્પર્શક રેખાઓ શોધવા માટે અનુકૂલિત કરી. ફર્માટના પોતાના ઉદાહરણ દ્વારા પદ્ધતિને સમજાવવા માટે, મહત્તમ શોધવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો (ફર્માટના શબ્દોમાં કહીએ તો, તે એક બિંદુ પર લંબાઈની રેખાને વિભાજિત કરવાની છે, જેમ કે બે પરિણામી ભાગોનું ગુણાકાર મહત્તમ હોય). સાથે પર્યાપ્ત ફર્મેટ. એટલે કે (પોલ ટેનરી દ્વારા રજૂ કરાયેલ પર્યાપ્તતાને દર્શાવવા માટે સંકેતનો ઉપયોગ કરીને): શરતોને રદ કરવી અને ફર્મેટ દ્વારા ભાગાકાર કરવાથી ફર્મેટ ધરાવતી શરતોને દૂર કરવાથી ઇચ્છિત પરિણામ મળ્યું કે જ્યારે મહત્તમ થાય ત્યારે. ફર્મેટે તેમના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ સ્નેલના રીફ્રેક્શનના નિયમોની ગાણિતિક વ્યુત્પત્તિ આપવા માટે પણ કર્યો હતો, જે પ્રકાશ સૌથી ઝડપી માર્ગ લે છે તે સિદ્ધાંતથી સીધો છે. ડેકાર્ટિસની ટીકા ફર્મેટની પદ્ધતિની તેમના સમકાલિન, ખાસ કરીને ડેકાર્ટિસ દ્વારા ખૂબ ટીકા કરવામાં આવી હતી. વિક્ટર કાટ્ઝ એવું સૂચવે છે કારણ કે ડેસકાર્ટિસે સ્વતંત્ર રીતે તે જ નવા ગણિતની શોધ કરી હતી, જે તેમની સામાન્ય પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાય છે, અને ડેસકાર્ટિસને તેમની શોધ પર ખૂબ ગર્વ હતો. કાટ્ઝ એ પણ નોંધે છે કે જ્યારે ફર્મેટની પદ્ધતિઓ કલનશાસ્ત્રમાં ભવિષ્યના વિકાસની નજીક હતી, ત્યારે ડેસકાર્ટેસની પદ્ધતિઓએ વિકાસ પર વધુ તાત્કાલિક અસર કરી હતી. વિદ્વતાપૂર્ણ વિવાદ ન્યૂટન અને લીબનીઝ બંનેએ ફર્મેટના કાર્યને અનંત કલનશાસ્ત્રના પૂર્વવર્તી તરીકે ઓળખાવ્યું હતું. તેમ છતાં, ફર્માટની પર્યાપ્તતાના ચોક્કસ અર્થ વિશે આધુનિક વિદ્વાનોમાં મતભેદ છે. સંખ્યાબંધ વિદ્વતાપૂર્ણ અભ્યાસોમાં ફર્માટની પર્યાપ્તતાનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું. 1896માં, પોલ ટેનરીએ મેક્સિમા અને મિનિમા (ફર્મેટ, યુવર્સ, વોલ્યુમ) પરના ફર્મેટના લેટિન ગ્રંથોનું ફ્રેન્ચ ભાષાંતર પ્રકાશિત કર્યું. III, pp. 121-156). ટેનરીએ ફર્મેટના શબ્દને "એડગેલર" તરીકે અનુવાદિત કર્યો અને ફર્મેટના "એડક્વેશન" ને અપનાવ્યું. ટેનરીએ ગાણિતિક સૂત્રોમાં પર્યાપ્તતા માટેનું પ્રતીક પણ રજૂ કર્યું હતું. હેઇનરિચ વીલેટનર (1929) એ લખ્યુંઃ ફર્મેટ એ ને એ + ઇ સાથે બદલે છે. પછી તે નવી અભિવ્યક્તિને જૂનીની લગભગ સમાન (એન્જેન્હર્ટ ગ્લીચ) સુયોજિત કરે છે, બંને બાજુએ સમાન શરતોને રદ કરે છે, અને E ની સૌથી વધુ શક્ય શક્તિ દ્વારા વિભાજિત કરે છે. તે પછી તે E ધરાવતા તમામ શરતોને રદ કરે છે અને જે એકબીજા સાથે સમાન રહે છે તેને સુયોજિત કરે છે. તેમાંથી [જરૂરી] એ પરિણામો. ઇ શક્ય તેટલું નાનું હોવું જોઈએ તે ક્યાંય કહેવામાં આવ્યું નથી અને શ્રેષ્ઠ રીતે "એડેક્વાલિતાસ" શબ્દ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. (વિલેઇટનર પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે.) મેક્સ મિલર (1934) એ લખ્યુંઃ તેના પછી વ્યક્તિએ બંને શબ્દો મૂકવા જોઈએ, જે ડાયોફેન્ટસ કહે છે તેમ મહત્તમ અને લઘુત્તમ, લગભગ સમાન (નહેરુંગસ્વેઇઝ ગ્લીચ) વ્યક્ત કરે છે. (મિલર પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે.) જીન ઇટાર્ડ (1948) એ લખ્યુંઃ કોઈ જાણે છે કે "એડગેલર" અભિવ્યક્તિને ડાયોફેન્ટસમાંથી ફર્મેટ દ્વારા અપનાવવામાં આવી છે, જેનો અનુવાદ ઝાયલેન્ડર અને બાચેટ દ્વારા કરવામાં આવ્યો છે. તે અંદાજિત સમાનતા (égalité આનુમાનિક) વિશે છે. (ઇટાર્ડ પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે.) જોસેફ એહરેનફ્રીડ હોફમેન (1963) એ લખ્યુંઃ ફર્માટ પૂરતા પ્રમાણમાં નાના તરીકે માનવામાં આવતા જથ્થાને પસંદ કરે છે, અને f (x + h) ને લગભગ સમાન (યુન્જેફહર ગ્લીચ) થી f (x) મૂકે છે. તેમનો તકનિકી શબ્દ એડેક્વેર છે. (હોફમેન પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે.) પીર સ્ટ્રોમહોમે (1968) લખ્યુંઃ ફર્મેટના અભિગમનો આધાર બે અભિવ્યક્તિઓની તુલના હતી, જે તેમનું સ્વરૂપ સમાન હોવા છતાં બરાબર સમાન ન હતી. પ્રક્રિયાના આ ભાગને તેમણે "તુલનાત્મક પાર એડેક્વાલિટેટેમ" અથવા "તુલનાત્મક પ્રતિ એડેક્વાલિટેટેમ" તરીકે ઓળખાવ્યો હતો, અને તે સૂચવે છે કે "સમીકરણ" ની બે બાજુઓ વચ્ચેની અન્યથા કડક ઓળખ ચલની થોડી માત્રામાં ફેરફાર દ્વારા નાશ પામી હતીઃ આ, હું માનું છું કે, તેમના ડાયોફેન્ટોસના π ἀρισον ના ઉપયોગનું વાસ્તવિક મહત્વ હતું, જે વિવિધતાની નાનીતા પર ભાર મૂકે છે. 'એડેક્વાલીટાસ' નો સામાન્ય અનુવાદ "અંદાજિત સમાનતા" હોવાનું જણાય છે, પરંતુ હું આ point.He પર ફર્મેટના વિચારને રજૂ કરવા માટે "સ્યુડો-ઇક્વાલિટી" ને વધુ પસંદ કરું છું, વધુ નોંધે છે કે "M1 (પદ્ધતિ 1) માં E ની વિવિધતાને શૂન્યની બરાબર રાખવાનો કોઈ પ્રશ્ન ક્યારેય નહોતો. ઇ ધરાવતા શબ્દોને દબાવવાની પ્રક્રિયાને વ્યક્ત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ફર્માટ શબ્દો 'એલિડો', 'ડેલિયો' અને 'એક્સપંગો' હતા, અને ફ્રેન્ચમાં 'આઈ' એફેસ 'અને' આઈ 'ઓટે' હતા. આપણે ભાગ્યે જ વિશ્વાસ કરી શકીએ કે એક સમજદાર માણસ, જે પોતાનો અર્થ વ્યક્ત કરવા અને શબ્દોની શોધ કરવા ઈચ્છે છે, તે સતત સરળ હકીકત પ્રદાન કરવાની આવી ત્રાસદાયક રીતો પર પ્રહાર કરશે કે શબ્દો અદૃશ્ય થઈ ગયા કારણ કે ઇ શૂન્ય હતા. (પૃ. 51) ક્લોઝ જેનસન (1969) એ લખ્યુંઃ વધુમાં, એડગાલિટની કલ્પનાને લાગુ કરવામાં-જે ફર્મેટની સ્પર્શક રચના કરવાની સામાન્ય પદ્ધતિનો આધાર છે, અને જેના દ્વારા બે પરિમાણોની સરખામણીનો અર્થ થાય છે જાણે કે તે સમાન હોય, જો કે તે હકીકતમાં નથી ("તમક્વામ એસેન્ટ એક્વાલિયા, લાઇસેટ રીવરા એક્વાલિયા નોન સિન્ટ")-હું આજકાલ વધુ સામાન્ય પ્રતીકનો ઉપયોગ કરીશ. લેટિન અવતરણ ટેનરીની 1891 ની આવૃત્તિ ફર્મેટ, વોલ્યુમ 1, પૃષ્ઠ 140 પરથી આવે છે. માઈકલ સીન મહોની (1971) એ લખ્યુંઃ ફર્માટની મેક્સિમા અને મિનિમાની પદ્ધતિ, જે કોઈપણ બહુપદી P (x) ને સ્પષ્ટ રીતે લાગુ પડે છે, મૂળરૂપે શુદ્ધ રીતે મર્યાદિત બીજગણિત પાયા પર આધારિત છે. તે વિએટના સમીકરણોના સિદ્ધાંત દ્વારા, તે મૂળ અને બહુપદીના એક ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરવા માટે, હકીકતમાં, બે સમાન મૂળની અસમાનતાને ધારણ કરે છે, જે સંબંધ સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હતો. આ સંબંધ પછી આત્યંતિક-મૂલ્યના ઉકેલ તરફ દોરી ગયો જ્યારે ફર્મેટે તેની વિરોધાભાસી ધારણાને દૂર કરી અને મૂળને સમાન સેટ કર્યા. ડાયોફેન્ટસ પાસેથી એક શબ્દ ઉધાર લેતા, ફર્મેટે આ વિરોધાભાસી સમાનતાને 'પર્યાપ્તતા' કહી. (મહોની પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે.) પાન. 164 પર, ફૂટનોટ 46ના અંતમાં, મહોની નોંધે છે કે પર્યાપ્તતાનો એક અર્થ મર્યાદિત કેસમાં અંદાજિત સમાનતા અથવા સમાનતા છે. ચાર્લ્સ હેનરી એડવર્ડ્સ, જુનિયર (1979) એ લખ્યુંઃ ઉદાહરણ તરીકે, લંબાઈના ભાગને બે વિભાગોમાં કેવી રીતે વિભાજિત કરવો અને જેનું ગુણાકાર મહત્તમ છે તે નક્કી કરવા માટે, એટલે કે મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પરિમિતિવાળા લંબચોરસને શોધવા માટે, તે [ફર્મેટ] નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છે. પહેલા તેમણે અજ્ઞાત x માટે અવેજી (તેમણે x, e ને બદલે A, E નો ઉપયોગ કર્યો) કર્યો, અને પછી પરિણામી અભિવ્યક્તિને મૂળ સાથે સરખાવવા માટે નીચેની "સ્યુડો-ઇક્વાલિટી" લખીઃ શરતોને રદ કર્યા પછી, તેમણે મેળવવા માટે e દ્વારા વિભાજીત કર્યું છેવટે તેમણે e ધરાવતા બાકીના શબ્દને કાઢી નાખ્યો, સ્યુડો-ઇક્વાલિટીને સાચી સમાનતામાં રૂપાંતરિત કરી જે x નું મૂલ્ય આપે છે જે મહત્તમ બનાવે છે. કમનસીબે, ફર્મેટે ક્યારેય આ પદ્ધતિ માટેના તાર્કિક આધારને પૂરતી સ્પષ્ટતા અથવા સંપૂર્ણતા સાથે સમજાવ્યો ન હતો જેથી ઐતિહાસિક વિદ્વાનો વચ્ચે તેમનો ચોક્કસ અર્થ અથવા હેતુ અંગેના મતભેદોને અટકાવી શકાય. કિર્સ્ટી એન્ડરસને (1980) લખ્યુંઃ મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમની બે અભિવ્યક્તિઓને "પર્યાપ્ત" બનાવવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે શક્ય તેટલું લગભગ સમાન. (એન્ડરસન પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે.) હર્બર્ટ બ્રેગર (1994) એ લખ્યુંઃ હું મારી પૂર્વધારણાને આગળ મૂકવા માંગુ છુંઃ ફર્મેટે "એડએક્વેર" શબ્દનો ઉપયોગ "સમાન મૂકવા" ના અર્થમાં કર્યો હતો. ગાણિતિક સંદર્ભમાં, "એક્વેર" અને "એડએક્વેર" વચ્ચેનો એકમાત્ર તફાવત એ લાગે છે કે બાદમાં સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે તે હકીકત પર વધુ ભાર મૂકે છે. (પાન 197એફ.) જ્હોન સ્ટિલવેલ (સ્ટિલવેલ 2006 પૃષ્ઠ 91) એ લખ્યુંઃ ફર્મેટે 1630ના દાયકામાં પર્યાપ્તતાનો વિચાર રજૂ કર્યો હતો પરંતુ તે પોતાના સમયથી આગળ હતો. તેમના અનુગામીઓ સામાન્ય સમીકરણોની સુવિધાનો ત્યાગ કરવા તૈયાર નહોતા, તેઓ પર્યાપ્તતાનો સચોટ ઉપયોગ કરવાને બદલે સમાનતાનો હળવાશથી ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરતા હતા. પર્યાપ્તતાના વિચારને વીસમી સદીમાં જ કહેવાતા બિન-માનક વિશ્લેષણમાં પુનર્જીવિત કરવામાં આવ્યો હતો. એનરિકો ગ્યુસ્ટી (2009) મેરિન મર્સેનને લખેલા ફર્મેટના પત્રને ટાંકે છે, જેમાં ફર્મેટે લખ્યું હતું કેઃ કેટ કોમ્પેરાઇઝન પાર એડગાલિટે પ્રોડ્યુસિટ ડ્યુક્સ ટર્મિસ ઇનગોક્સ ક્વિ એનફિન પ્રોડ્યુસન્ટ લ 'એગાલિટે (સેલોન મા મેથોડ) ક્વિ નોસ ડોને લા સોલ્યુશન દે લા પ્રશ્ન "(" પર્યાપ્તતા દ્વારા આ સરખામણી બે અસમાન શબ્દો ઉત્પન્ન કરે છે જે આખરે સમાનતા (મારી પદ્ધતિને અનુસરીને) ઉત્પન્ન કરે છે જે આપણને સમસ્યાનું સમાધાન આપે છે "). ગ્યુસ્ટી ફૂટનોટમાં નોંધે છે કે આ પત્ર બ્રેગરની નોંધમાંથી છટકી ગયો હોય તેવું લાગે છે. ક્લાઉસ બાર્નર (2011) ભારપૂર્વક જણાવે છે કે ફર્મેટ આજકાલના સામાન્ય સમાન ચિહ્નને બદલવા માટે બે અલગ-અલગ લેટિન શબ્દો (એક્વાબીટુર અને એડેક્વાબીટુર) નો ઉપયોગ કરે છે, એક્વાબીટુર જ્યારે સમીકરણ બે સ્થિરાંકો, સાર્વત્રિક રીતે માન્ય (સાબિત) સૂત્ર, અથવા શરતી સમીકરણ, એડેક્વાબીટુર વચ્ચેની માન્ય ઓળખને સંબંધિત હોય છે, જો કે, જ્યારે સમીકરણ બે ચલો વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે, જે સ્વતંત્ર નથી (અને સમીકરણ કોઈ માન્ય સૂત્ર નથી). પાન 36 પર, બાર્નર લખે છેઃ "શા માટે ફર્મેટે સ્પર્શકની પદ્ધતિ માટે તેના તમામ ઉદાહરણો માટે તેની અસંગત પ્રક્રિયાને સતત પુનરાવર્તિત કરી? શા માટે તેમણે ક્યારેય સેકન્ટનો ઉલ્લેખ કર્યો ન હતો, જેની સાથે તેઓ હકીકતમાં કામ કરતા હતા? મને ખબર નથી ". કાટ્ઝ, શેપ્સ, શ્નાઇડર (2013) દલીલ કરે છે કે સાયક્લોઇડ જેવા દિવ્ય વળાંક પર ફર્માટની તકનીકનો ઉપયોગ દર્શાવે છે કે ફર્માટની પર્યાપ્તતાની તકનીક શુદ્ધ બીજગણિત અલ્ગોરિધમથી આગળ વધે છે, અને તે, બ્રેગરના અર્થઘટનથી વિપરીત, ડાયોફેન્ટસ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા તકનીકી શબ્દો પેરિસોટ્સ અને ફર્માટ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા એડેક્વાલીટાસ બંનેનો અર્થ "અંદાજિત સમાનતા" થાય છે. તેઓ આધુનિક ગણિતમાં પર્યાપ્તતાની ફર્માટની તકનીકનું ઔપચારિકરણ પ્રમાણભૂત ભાગ કાર્ય તરીકે વિકસાવે છે જે મર્યાદિત અતિ વાસ્તવિક સંખ્યાને તેની નજીકની વાસ્તવિક સંખ્યા સાથે ગોળાકાર કરે છે. ફર્મેટનો સિદ્ધાંત સજાતીયતાનો દિવ્ય નિયમ સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ ગ્યુસ્ટી, ઇ. (2009) "લેસ મેથોડ્સ ડેસ મેક્સિમા એટ મિનિમા ડી ફર્મેટ", એન. પણ જુઓ. ફેસ. વિજ્ઞાન. તુલોઝ મઠ. (6) 18, ફેસિક્યુલ સ્પેશિયલ, 59-85. સ્ટિલવેલ, જે. (2006) અશક્ય માટે ઝંખના. ગણિતના આશ્ચર્યજનક સત્યો, પાનું 91, એ. કે. પીટર્સ, લિમિટેડ, વેલેસ્લી, એમએ. વેઇલ, એ., બુક રિવ્યૂઃ ધ મેથેમેટિકલ કારકિર્દી ઓફ પિયર ડી ફર્મેટ. બુલ. આમેર. ગણિત. સો. 79 (1973), નં. 6, 1138-1149. ગાણિતિક પરિભાષા કલનશાસ્ત્રનો ઇતિહાસ