Holtsmark distribution
(એક-પરિમાણીય) હોલ્ટમાર્ક વિતરણ એ સતત સંભાવના વિતરણ છે. હોલ્ટમાર્ક વિતરણ એ સ્થિરતાના સૂચકાંક અથવા 3/2 ની બરાબર આકાર પરિમાણ અને શૂન્યના સ્ક્યુનેસ પરિમાણ સાથે સ્થિર વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. શૂન્ય બરાબર હોવાથી, વિતરણ સપ્રમાણ છે, અને આમ સપ્રમાણ આલ્ફા-સ્થિર વિતરણનું ઉદાહરણ છે. હોલ્ટમાર્ક વિતરણ એ સ્થિર વિતરણના કેટલાક ઉદાહરણોમાંનું એક છે, જેના માટે સંભાવના ઘનતા કાર્યની બંધ સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ જાણીતી છે. જો કે, તેનું સંભાવના ઘનતા કાર્ય પ્રાથમિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાતું નથી; તેના બદલે, સંભાવના ઘનતા કાર્ય હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. હોલ્ટમાર્ક વિતરણ પ્લાઝ્મા ભૌતિકશાસ્ત્ર અને એસ્ટ્રોફિઝિક્સમાં લાગુ પડે છે. 1919માં, નોર્વેના ભૌતિકશાસ્ત્રી જોહાન પીટર હોલ્ટ્સમાર્કે ચાર્જ થયેલા કણોની ગતિને કારણે પ્લાઝ્મામાં વધઘટ થતા ક્ષેત્રો માટે એક નમૂના તરીકે વિતરણની દરખાસ્ત કરી હતી. તે અન્ય પ્રકારના કુલમ્બ દળોને પણ લાગુ પડે છે, ખાસ કરીને ગુરુત્વાકર્ષણ પદાર્થોના નમૂના બનાવવા માટે, અને તેથી તે ખગોળીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં મહત્વપૂર્ણ છે. લાક્ષણિક કાર્ય સપ્રમાણ સ્થિર વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય છેઃ જ્યાં આકાર પરિમાણ અથવા સ્થિરતાનો સૂચકાંક છે, તે સ્થાન પરિમાણ છે, અને c એ સ્કેલ પરિમાણ છે. હોલ્ટમાર્ક વિતરણનું તેનું લાક્ષણિક કાર્ય હોવાથીઃ હોલ્ટમાર્ક વિતરણ સાથે સ્થિર વિતરણ હોવાથી, તે વિતરણના સરેરાશનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. કારણ કે, તે વિતરણની મધ્ય અને રીતને પણ રજૂ કરે છે. અને ત્યારથી, હોલ્ટમાર્ક વિતરણનો તફાવત અનંત છે. વિતરણની તમામ ઉચ્ચ ક્ષણો પણ અનંત છે. અન્ય સ્થિર વિતરણોની જેમ (સામાન્ય વિતરણ સિવાય), તફાવત અનંત હોવાથી વિતરણમાં વિક્ષેપ સ્કેલ પરિમાણ દ્વારા પ્રતિબિંબિત થાય છે, c. વિતરણના વિક્ષેપને વર્ણવવાનો વૈકલ્પિક અભિગમ અપૂર્ણાંક ક્ષણો દ્વારા છે. સંભાવના ઘનતા કાર્ય સામાન્ય રીતે, સતત સંભાવના વિતરણનું સંભાવના ઘનતા કાર્ય, f (x), તેના લાક્ષણિક કાર્યમાંથી આ રીતે મેળવી શકાય છેઃ મોટાભાગના સ્થિર વિતરણો તેમના સંભાવના ઘનતા કાર્યો માટે જાણીતા બંધ સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ ધરાવતા નથી. માત્ર સામાન્ય, કોચી અને લેવી વિતરણો પ્રાથમિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ બંધ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિઓ જાણે છે. હોલ્ટમાર્ક વિતરણ એ બે સપ્રમાણ સ્થિર વિતરણોમાંથી એક છે જે હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ જાણીતા બંધ સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે. જ્યારે 0 ની બરાબર હોય અને સ્કેલ પરિમાણ 1 ની બરાબર હોય, ત્યારે હોલ્ટમાર્ક વિતરણમાં સંભાવના ઘનતા કાર્ય હોય છેઃ જ્યાં ગામા કાર્ય છે અને તે હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય છે. એક પાસે બીજા પ્રકારનું એરી ફંક્શન અને તેનું વ્યુત્પન્ન પણ છે. વિધેયોની દલીલો શુદ્ધ કાલ્પનિક જટિલ સંખ્યાઓ છે, પરંતુ બે વિધેયોનો સરવાળો વાસ્તવિક છે. હકારાત્મક માટે, કાર્ય અપૂર્ણાંક ક્રમના બેસલ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે અને તેના વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક ક્રમના બેસલ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે. તેથી, કોઈ પણ વ્યક્તિ સંદર્ભો સતત વિતરણો બિન-અનંત ભિન્નતા સાથે સંભાવના વિતરણો લખી શકે છે પાવર કાયદાઓ સ્થિર વિતરણો સ્થાન-સ્કેલ કૌટુંબિક સંભાવના વિતરણો