Empty lattice approximation
ખાલી જાળીનો અંદાજ એ એક સૈદ્ધાંતિક ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખું મોડેલ છે જેમાં પોટેન્શિયલ સામયિક અને નબળું (સ્થિરતાની નજીક) હોય છે. એક ખાલી અનિયમિત જાળીને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, જેમાં પોટેન્શિયલ સામયિક પણ નથી. ખાલી જાળીનો અંદાજ સ્ફટિક જાળીમાંથી પસાર થતા બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનના ઊર્જા પ્રસરણ સંબંધોના સંખ્યાબંધ ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે. "ખાલી જાળી" માં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા જેટલી જ હોય છે. આ મોડેલ ઉપયોગી છે કારણ કે તે ઘન પદાર્થોમાં ઊર્જા પ્રસરણ સંબંધોની કેટલીકવાર ખૂબ જ જટિલ લાક્ષણિકતાઓને સ્પષ્ટપણે સમજાવે છે જે તમામ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખા માટે મૂળભૂત છે. સ્કેટરિંગ અને સામયિકતા આ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલમાં જાળીની સામયિક ક્ષમતા નબળી હોવી જોઈએ કારણ કે અન્યથા ઇલેક્ટ્રોન મુક્ત ન હોત. સ્કેટરિંગની તાકાત મુખ્યત્વે સિસ્ટમની ભૂમિતિ અને ટોપોલોજી પર આધારિત છે. ટોપોલોજીકલ રીતે વ્યાખ્યાયિત પરિમાણો, જેમ કે સ્કેટરિંગ ક્રોસ સેક્શન, પોટેન્શિયલની તીવ્રતા અને પોટેન્શિયલ કૂવાના કદ પર આધાર રાખે છે. 1-, 2-અને 3-પરિમાણીય જગ્યાઓ માટે સંભવિત કુવાઓ હંમેશા તરંગોને વેરવિખેર કરે છે, ભલે તેમની ક્ષમતા ગમે તેટલી નાની હોય, તેમના ચિહ્નો કેવા હોય અથવા તેમના કદ કેટલા મર્યાદિત હોય. એક-પરિમાણીય જાળીમાં કણ માટે, જેમ કે ક્રોનિગ-પેની મોડેલ, સંભવિત, જાળી અંતર અને સંભવિત કૂવાના કદ માટેના મૂલ્યોને બદલીને વિશ્લેષણાત્મક રીતે બેન્ડ માળખાની ગણતરી કરવી શક્ય છે. દ્વિ અને ત્રિ-પરિમાણીય સમસ્યાઓ માટે થોડા પરિમાણો સાથે સમાન મોડેલના આધારે બેન્ડ માળખાની ગણતરી કરવી વધુ મુશ્કેલ છે. તેમ છતાં, મોટાભાગના પ્રદેશોમાં વિક્ષેપ પદ્ધતિઓ દ્વારા બેન્ડ માળખાના ગુણધર્મોને સરળતાથી અંદાજિત કરી શકાય છે. સિદ્ધાંતમાં જાળી અનંત રીતે મોટી હોય છે, તેથી નબળી સામયિક સ્કેટરિંગ પોટેન્શિયલ આખરે તરંગને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે પૂરતી મજબૂત હશે. સ્કેટરિંગ પ્રક્રિયાના પરિણામે સ્ફટિક બંધારણની સામયિક ક્ષમતા દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનના જાણીતા બ્રેગ પ્રતિબિંબમાં પરિણમે છે. આ પ્રસરણ સંબંધની સામયિકતા અને બ્રિલોઇન ઝોનમાં કે-જગ્યાના વિભાજનનું મૂળ છે. સામયિક ઊર્જા પ્રસરણ સંબંધ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ આ પારસ્પરિક જાળી વેક્ટર છે જેમાં બેન્ડ સંબંધિત છે. જમણી બાજુની આકૃતિ a લંબાઈના જાળી કોષો સાથે એક-પરિમાણીય જાળીની પારસ્પરિક જગ્યામાં ત્રણ સમયગાળા માટેનો પ્રસરણ સંબંધ દર્શાવે છે. ઊર્જા પટ્ટાઓ અને સ્થિતિઓની ઘનતા એક-પરિમાણીય જાળીમાં જ્યારે ઊર્જા વધે છે ત્યારે ઊર્જા અંતરાલમાં પટ્ટાઓ નક્કી કરતા પારસ્પરિક જાળી વેક્ટરની સંખ્યા બે સુધી મર્યાદિત હોય છે. બે અને ત્રિ-પરિમાણીય જાળીઓમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન બેન્ડ નક્કી કરતા પારસ્પરિક જાળી વેક્ટરની સંખ્યા વધુ ઝડપથી વધે છે જ્યારે તરંગ વેક્ટરની લંબાઈ વધે છે અને ઊર્જા વધે છે. આનું કારણ એ છે કે અંતરાલમાં રહેલા પારસ્પરિક જાળી વેક્ટરની સંખ્યામાં વધારો થાય છે. ઊર્જા અંતરાલમાં સ્થિતિઓની ઘનતા પારસ્પરિક અવકાશમાં અંતરાલમાં સ્થિતિઓની સંખ્યા અને પ્રસરણ સંબંધના ઢોળાવ પર આધારિત હોય છે. જાળીના કોષો ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ ન હોવા છતાં, જો પ્રસરણ સંબંધ કેન્દ્રીય બ્રિલોઇન ઝોનની બહાર લંબાવવામાં આવે તો પ્રસરણ સંબંધ હજુ પણ પારસ્પરિક જાળીના કોષમાં નિશ્ચિત કેન્દ્રીય બિંદુના દૃષ્ટિકોણથી ગોળાકાર સપ્રમાણતા ધરાવે છે. ત્રિ-પરિમાણીય જાળીમાં સ્થિતિઓની ઘનતા જાળીની ગેરહાજરીના કિસ્સામાં જેટલી જ હશે. ત્રિ-પરિમાણીય કેસ માટે સ્થિતિઓની ઘનતા છે; ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બ્રિલૌઇન ઝોનની સીમાઓ સમતલ છે. વિખેરણ સંબંધો તમામ સંભવિત પારસ્પરિક જાળી વેક્ટર માટે મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જા વિખેરણ પેરાબોલાના શંકુ દર્શાવે છે. જ્યારે વિખેરણ સંબંધોની ગણતરી કરવામાં આવે છે ત્યારે આ વળાંકના ખૂબ જ જટિલ આંતરછેદના સમૂહમાં પરિણમે છે કારણ કે મૂલ્યાંકન માર્ગ, પ્રથમ અને ઉચ્ચ ક્રમની બ્રિલોઇન ઝોન સીમાઓ અને વિખેરણ પેરાબોલા આંતરછેદ શંકુ વચ્ચે મોટી સંખ્યામાં સંભવિત ખૂણાઓ છે. બીજા, ત્રીજા અને ઉચ્ચ બ્રિલોઇન ઝોન "મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન" કે જે પ્રથમ બ્રિલોઇન ઝોનની બહાર તરંગ વાહક સાથે ઘનની જાળીમાંથી પસાર થાય છે તે હજુ પણ પ્રથમ બ્રિલોઇન ઝોનમાં પાછા પ્રતિબિંબિત થાય છે. ઉદાહરણો અને આંકડાઓ ધરાવતી સાઇટો માટે બાહ્ય કડીઓ વિભાગ જુઓ. લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ એલ્યુમિનિયમ જેવી મોટાભાગની સરળ ધાતુઓમાં, સ્ક્રિનિંગ અસર ઘનમાં આયનોના વિદ્યુત ક્ષેત્રને મજબૂત રીતે ઘટાડે છે. ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક પોટેન્શિયલને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં Z એ અણુ નંબર છે, e એ પ્રાથમિક એકમ ચાર્જ છે, r એ એમ્બેડેડ આયનના ન્યુક્લિયસનું અંતર છે અને q એ સ્ક્રીનીંગ પરિમાણ છે જે પોટેન્શિયલની શ્રેણી નક્કી કરે છે. જ્યારે હેમિલ્ટોનિયનમાં પારસ્પરિક જાળી વેક્ટર વચ્ચેના ઓફ-ડાયાગોનલ તત્વોના મૂલ્યો લગભગ શૂન્ય પર જાય છે ત્યારે જાળીની ક્ષમતાનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વ્યક્ત થાય છે. પરિણામે, બેન્ડ ગેપની તીવ્રતા ઘટી જાય છે અને ખાલી જાળીનો અંદાજ મેળવવામાં આવે છે. સામાન્ય ધાતુના સ્ફટિકોના ઇલેક્ટ્રોન બેન્ડ થોડા વિચિત્ર અપવાદો ઉપરાંત, ધાતુઓ ત્રણ પ્રકારના સ્ફટિક માળખામાં સ્ફટિકીકરણ કરે છેઃ બી. સી. સી. અને એફ. સી. સી. ઘન સ્ફટિક માળખાં અને ષટ્કોણ બંધ-ભરેલા એચ. સી. પી. સ્ફટિક માળખું. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ બ્રિલૌઇન ઝોનની સરળ જાળી આકૃતિઓ થાયર વોટકિન્સ બ્રિલૌઇન ઝોન 3 ડી જાળી આકૃતિઓ ટેકનીયન દ્વારા. ડી. ઓ. આઈ. ટી. પી. ઓ. એમ. એસ. શિક્ષણ અને શિક્ષણ પેકેજ-"બ્રિલૌઇન ઝોન" ક્વોન્ટમ નમૂનાઓ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાં