Eigenform
ગણિતમાં, આઈગનફોર્મ (જેનો અર્થ થાય છે મોડ્યુલર જૂથ SL (2, Z) સાથે એક સાથે હેક આઈગનફોર્મ) એ એક મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે જે તમામ હેક ઓપરેટરો Tm, m = 1,2,3, માટે આઈગનવેક્ટર છે. આઈગનફોર્મ સંખ્યા સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં આવે છે, પરંતુ ગણિત અને વિજ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રો જેમ કે વિશ્લેષણ, સંયોજનશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં મળી શકે છે. આઈગન સ્વરૂપનું એક સામાન્ય ઉદાહરણ, અને એકમાત્ર બિન-કસ્પીડલ આઈગન સ્વરૂપો, આઈસેનસ્ટીન શ્રેણી છે. અન્ય એક ઉદાહરણ δ ફંક્શન છે. સામાન્યીકરણ આઈગનફોર્મ (અથવા સામાન્ય રીતે મોડ્યુલર સ્વરૂપ માટે) માટે બે અલગ અલગ સામાન્યીકરણ છે. બીજગણિત સામાન્યીકરણ એક આઈગનફોર્મને જ્યારે માપવામાં આવે ત્યારે સામાન્ય કરવામાં આવે છે જેથી તેની ફોરિયર શ્રેણીમાં q-ગુણાંક એક હોયઃ જ્યાં q = e2πiz. કારણ કે ફંક્શન f એ દરેક હેક ઓપરેટર Ti હેઠળ એક આઈગનવેક્ટર પણ છે, તેનું અનુરૂપ આઈગન વેલ્યુ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, i ≤ 1 એ હેક ઓપરેટર Ti ને અનુરૂપ f નું આઈગન વેલ્યુ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે f એ કસ્પ સ્વરૂપ નથી, ત્યારે આઈગનવેલ્યુ સ્પષ્ટપણે આપી શકાય છે. વિશ્લેષણાત્મક સામાન્યીકરણ એક આઈગનફોર્મ જે કસ્પીડલ છે તેને તેના આંતરિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં સામાન્ય કરી શકાય છેઃ અસ્તિત્વ આઈગનફોર્મ્સનું અસ્તિત્વ એક બિન-તુચ્છ પરિણામ છે, પરંતુ તે સીધા એ હકીકત પરથી આવે છે કે હેક બીજગણિત પરિવર્તનીય છે. ઉચ્ચ સ્તર મોડ્યુલર જૂથ સંપૂર્ણ SL (2, Z) ન હોય તેવા કિસ્સામાં, દરેક n bul Z માટે કોઈ હેક ઓપરેટર નથી, અને તેથી આઈગનફોર્મની વ્યાખ્યા તે મુજબ બદલવામાં આવે છેઃ આઈગનફોર્મ એ એક મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે જે જગ્યા પર કાર્ય કરતા તમામ હેક ઓપરેટરો માટે એક સાથે આઈગનવેક્ટર છે. સાયબરનેટિક્સમાં સાયબરનેટિક્સમાં, આઈગનફોર્મની કલ્પનાને રિફ્લેક્સિવ સિસ્ટમના ઉદાહરણ તરીકે સમજવામાં આવે છે. તે હેઇન્ઝ વોન ફોસ્ટરના કાર્યમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, અને "સેકન્ડ ઓર્ડર સાયબરનેટિક્સ સાથે અવિભાજ્ય રીતે જોડાયેલું છે". સંદર્ભો મોડ્યુલર સ્વરૂપો સાયબરનેટિક્સ