Jacobi polynomials
ગણિતમાં, જેકોબી બહુપદીઓ (ક્યારેક હાયપરજિયોમેટ્રિક બહુપદીઓ તરીકે ઓળખાય છે) એ શાસ્ત્રીય ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનો વર્ગ છે. તેઓ અંતરાલ પરના વજનના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે. ગેગેનબાઉર બહુપદીઓ, અને આમ લિજેન્ડ્રે, ઝર્નિક અને ચેબીશેવ બહુપદીઓ પણ જેકોબી બહુપદીઓના વિશેષ કિસ્સાઓ છે. જેકોબી બહુપદીઓ કાર્લ ગુસ્તાવ જેકબ જેકોબી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. વ્યાખ્યાઓ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય દ્વારા જેકોબી બહુપદીઓને હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં પોચેમરનું પ્રતીક છે (વધતી જતી ફેક્ટોરિયલ માટે). આ કિસ્સામાં, હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન માટેની શ્રેણી મર્યાદિત છે, તેથી નીચેની સમકક્ષ અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છેઃ રોડ્રિગ્સ સૂત્ર સમકક્ષ વ્યાખ્યા રોડ્રિગ્સ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જો, તો તે લિજેન્ડર બહુપદીઓમાં ઘટાડો કરે છેઃ વાસ્તવિક દલીલ માટે વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિ વાસ્તવિક માટે જેકોબી બહુપદીને વૈકલ્પિક રીતે આ રીતે લખી શકાય છે અને પૂર્ણાંક માટે ગામા ફંક્શન ક્યાં છે. ખાસ કિસ્સામાં કે ચાર જથ્થાઓ,,, બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે, જેકોબી બહુપદીને આ રીતે લખી શકાય છે સરવાળો તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યો પર વિસ્તરે છે જેના માટે ફેક્ટોરિયલ્સની દલીલો બિન-નકારાત્મક છે. વિશેષ કિસ્સાઓમાં મૂળભૂત ગુણધર્મો ઓર્થોગોનાલિટી જેકોબી બહુપદીઓ ઓર્થોગોનાલિટીની સ્થિતિને સંતોષે છે જેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેમ, તેઓ વજનના સંદર્ભમાં એકમ ધોરણ ધરાવતા નથી. આને ઉપરના સમીકરણની જમણી બાજુના વર્ગમૂળ દ્વારા વિભાજીત કરીને સુધારી શકાય છે, જ્યારે. જો કે તે ઓર્થોનોર્મલ આધાર આપતું નથી, તેમ છતાં કેટલીકવાર તેની સરળતાને કારણે વૈકલ્પિક સામાન્યીકરણને પસંદ કરવામાં આવે છેઃ સમપ્રમાણતા સંબંધ બહુપદીઓમાં સમપ્રમાણતા સંબંધ હોય છે આમ અન્ય અંતિમ મૂલ્ય વ્યુત્પન્ન છે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિનું th વ્યુત્પન્ન વિભેદક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે જેકોબી બહુપદી એ બીજા ક્રમના રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ પુનરાવર્તન સંબંધોનો ઉકેલ છે. જેકોબી બહુપદીઓને હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે, તેથી હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યનું પુનરાવર્તન જેકોબી બહુપદીઓનું સમકક્ષ પુનરાવર્તન આપે છે. ખાસ કરીને, ગૌસના સંલગ્ન સંબંધો ઓળખ જનરેટિંગ ફંક્શનને અનુરૂપ છે જેકોબી બહુપદીઓનું જનરેટિંગ ફંક્શન ક્યાં અને વર્ગમૂળની શાખા પસંદ કરવામાં આવે છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જેથી. જેકોબી બહુપદીઓના એસિમ્પ્ટોટિક્સ કારણ કે આંતરિક ભાગમાં, મોટા માટે એસિમ્પ્ટોટિક્સ ડાર્બોક્સ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં અને "" શબ્દ દરેક માટે અંતરાલ પર સમાન હોય છે. બિંદુઓની નજીકની જેકોબી બહુપદીઓની અસિંપ્ટોટિક્સ મેહલર-હેઈન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં બાઉન્ડેડ ડોમેન માટે મર્યાદાઓ સમાન હોય છે. બહારના એસિમ્પ્ટોટિક્સ ઓછા સ્પષ્ટ છે. એપ્લિકેશન્સ વિગ્નર ડી-મેટ્રિક્સ અભિવ્યક્તિ () જેકોબી બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ વિગ્નર ડી-મેટ્રિક્સ (માટે) ની અભિવ્યક્તિને મંજૂરી આપે છેઃ એ પણ જુઓ કી-ગેસ્પર અસમાનતા બિગ ક્યૂ-જેકોબી બહુપદીઓ સતત ક્યૂ-જેકોબી બહુપદીઓ લિટલ ક્યૂ-જેકોબી બહુપદીઓ સ્યુડો જેકોબી બહુપદીઓ જેકોબી પ્રક્રિયા ગેગેનબાવર બહુપદીઓ રોમાનોવસ્કી બહુપદીઓ નોંધો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ વિશેષ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ