Van Cittert–Zernike theorem
ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ પીટર હેન્ડ્રિક વાન સિટર અને ફ્રિટ્સ ઝર્નિકના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય સુસંગતતા સિદ્ધાંતમાં એક સૂત્ર છે જે જણાવે છે કે અમુક પરિસ્થિતિઓમાં દૂરના, અસંગત સ્રોતની તીવ્રતા વિતરણ કાર્યનું ફોરિયર પરિવર્તન તેની જટિલ દૃશ્યતા બરાબર છે. આ સૂચવે છે કે અસંગત સ્ત્રોતમાંથી તરંગનો આગળનો ભાગ મોટા અંતર પર મોટે ભાગે સુસંગત દેખાશે. સાહજિક રીતે, આને બે અસંગત સ્રોતો દ્વારા બનાવવામાં આવેલા તરંગમુખને ધ્યાનમાં લઈને સમજી શકાય છે. જો આપણે કોઈ એક સ્રોતની સામે તરત જ તરંગમુખને માપીશું, તો આપણું માપ નજીકના સ્રોત દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવશે. જો આપણે સમાન માપને સ્રોતોથી દૂર રાખીશું, તો આપણું માપ હવે એક જ સ્રોત દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવશે નહીં; બંને સ્રોતો મોટા અંતર પર તરંગના આગળના ભાગમાં લગભગ સમાન યોગદાન આપશે. શાંત તળાવની મધ્યમાં બે પથ્થરો ફેંકીને આ તર્કને સરળતાથી જોઈ શકાય છે. તળાવના કેન્દ્રની નજીક, બે પથ્થરો દ્વારા સર્જાયેલી વિક્ષેપ ખૂબ જ જટિલ હશે. જેમ જેમ વિક્ષેપ તળાવની ધાર તરફ ફેલાય છે, તેમ તેમ, મોજાઓ સરળ થઈ જશે અને લગભગ ગોળાકાર દેખાશે. વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય રેડિયો ખગોળશાસ્ત્ર માટે મહત્વપૂર્ણ અસરો ધરાવે છે. પલ્સર અને મેસર્સ સિવાય, તમામ ખગોળીય સ્રોતો અવકાશી રીતે અસંગત છે. તેમ છતાં, કારણ કે તેઓ વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેયને સંતોષવા માટે પૂરતા મોટા અંતર પર જોવા મળે છે, આ પદાર્થો ઇમેજિંગ પ્લેનમાં વિવિધ બિંદુઓ પર બિન-શૂન્ય ડિગ્રી સુસંગતતા દર્શાવે છે. ખગોળશાસ્ત્રીય પદાર્થના ઇમેજિંગ પ્લેન (કહેવાતા "દૃશ્યતા કાર્ય") માં વિવિધ બિંદુઓ પર સુસંગતતાની માત્રાને માપવાથી, રેડિયો ખગોળશાસ્ત્રી સ્રોતના તેજ વિતરણનું પુનઃનિર્માણ કરી શકે છે અને સ્રોતના દેખાવનો દ્વિ-પરિમાણીય નકશો બનાવી શકે છે. પ્રમેયનું નિવેદન બે ખૂબ જ દૂરના સમાંતર વિમાનોને ધ્યાનમાં લો, જે બંને દૃષ્ટિની રેખાને લંબરૂપ છે, અને ચાલો તેમને સ્રોત સમતલ અને નિરીક્ષણ સમતલ કહીએ; જો નિરીક્ષણ સમતલમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું પરસ્પર સુસંગત કાર્ય હોય, તો પછી સ્રોત સમતલમાં દૂરના સ્રોત પરના બિંદુની દિશા કોસાઇન ક્યાં અને ક્યાં છે, અને તરંગલંબાઇના એકમમાં નિરીક્ષણ સમતલ પરના બે નિરીક્ષણ બિંદુઓ વચ્ચેનું અનુક્રમે x-અંતર અને y-અંતર છે અને તે સ્રોતની તીવ્રતા છે. આ પ્રમેય સૌપ્રથમ 1934માં પીટર હેન્ડ્રિક વાન સિટર દ્વારા 1938માં ફ્રિટ્સ ઝર્નિકે દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલા સરળ પુરાવા સાથે મેળવવામાં આવ્યો હતો. આ પ્રમેય કેટલાક ઇજનેરો અથવા વૈજ્ઞાનિકો માટે તેની આંકડાકીય પ્રકૃતિ અને સરળ સહસંબંધ અથવા તો સહપ્રસરણ પ્રક્રિયા પદ્ધતિઓથી તફાવતને કારણે મૂંઝવણમાં રહેશે. ગુડમેન એક સારો સંદર્ભ છે (જે હજુ પણ કેટલાક વપરાશકર્તાઓ માટે સમસ્યાને સ્પષ્ટ કરી શકતો નથી, પરંતુ પદ્ધતિને ઘરે લઈ જવા માટે એક સરસ સ્કેચ ધરાવે છે), જે પૃષ્ઠ 207 થી શરૂ થાય છે. પરસ્પર સુસંગતતા કાર્ય અવલોકનના સમતલમાં બે બિંદુઓ પર માપવામાં આવતા કેટલાક વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે પરસ્પર સુસંગતતા કાર્ય (તેમને 1 અને 2 કહો), એ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે અવલોકન બિંદુઓ 1 અને 2 પરના માપન વચ્ચેનો સમય ક્યાં સરભર થાય છે. બે બિંદુઓ પર ક્ષેત્રની પરસ્પર સુસંગતતાને સમય દ્વારા અલગ થયેલા બે બિંદુઓ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રો વચ્ચેના સમય-સરેરાશ ક્રોસ-સહસંબંધ તરીકે વિચારી શકાય છે. આમ, જો આપણે બે સંપૂર્ણપણે અસંગત સ્રોતોનું નિરીક્ષણ કરી રહ્યા હોઈએ તો આપણે અવલોકન સમતલમાં બે અવ્યવસ્થિત બિંદુઓ વચ્ચે પરસ્પર સુસંગતતા કાર્ય પ્રમાણમાં નાનું હોવાની અપેક્ષા રાખવી જોઈએ, કારણ કે સ્રોતો વિનાશક તેમજ રચનાત્મક રીતે દખલ કરશે. જો કે, સ્રોતોથી દૂર, આપણે પરસ્પર સુસંગતતા કાર્ય પ્રમાણમાં મોટું હોવાની અપેક્ષા રાખવી જોઈએ કારણ કે અવલોકન કરેલા ક્ષેત્રોનો સરવાળો કોઈપણ બે બિંદુઓ પર લગભગ સમાન હશે. બે વિદ્યુત ક્ષેત્રોની તીવ્રતાના વર્ગમૂળના ગુણાકારમાં પરસ્પર સુસંગતતા કાર્યના સામાન્યકરણથી (બીજા ક્રમ) સુસંગતતા (સહસંબંધ ગુણાંક કાર્ય) ની જટિલ ડિગ્રી પ્રાપ્ત થાય છેઃ પ્રમેયનો પુરાવો ચાલો અને અનુક્રમે સ્રોત સમતલ અને નિરીક્ષણ સમતલના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ બનો. ધારો કે સ્રોત સમતલમાં સ્ત્રોતમાંથી અમુક બિંદુને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર બે બિંદુઓ પર માપવામાં આવે છે, અને, નિરીક્ષણ સમતલમાં. સ્ત્રોતમાં બિંદુની સ્થિતિને તેની દિશા કોસાઇન દ્વારા સંદર્ભિત કરી શકાય છે. (સ્ત્રોત દૂર હોવાથી, તેની દિશા એ જ હોવી જોઈએ.) માપવામાં આવેલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર પછી ફેઝરનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છેઃ જ્યાં સ્રોતથી અંતર છે, તે પ્રકાશની કોણીય આવર્તન છે, અને તે વિદ્યુત ક્ષેત્રનું જટિલ કંપનવિસ્તાર છે. તેવી જ રીતે, માપવામાં આવેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રને આ રીતે લખી શકાય છે ચાલો હવે અને પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચેના સમય-સરેરાશ ક્રોસ-સહસંબંધની ગણતરી કરીએઃ કારણ કે ખૂણા કૌંસમાં જથ્થો સમય-સરેરાશ છે, કારણ કે કંપનવિસ્તારની અસ્થાયી મુદત માટે મનસ્વી ઓફસેટ ત્યાં સુધી ઉમેરી શકાય છે જ્યાં સુધી બંનેમાં સમાન ઓફસેટ ઉમેરવામાં આવે. ચાલો હવે બંને એમ્પ્લિટ્યુડના ટેમ્પોરલ ટર્મમાં ઉમેરીએ. બે બિંદુઓ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રનો સમય-સરેરાશ ક્રોસ-સહસંબંધ તેથી સરળ બને છે પરંતુ જો સ્રોત દૂરના ક્ષેત્રમાં હોય તો પ્રકાશના સમયની મુસાફરીના અંતરની તુલનામાં અને વચ્ચેનો તફાવત ઓછો હશે. (તે વિપરીત બેન્ડવિડ્થ જેવા જ ક્રમમાં છે.) તેથી આ નાના સુધારાની અવગણના કરી શકાય છે, જે વિદ્યુત ક્ષેત્રના અને તેના સાથે ક્રોસ-સહસંબંધ માટે આપણી અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવે છે. તેથી ક્રોસ-સહસંબંધ માટેની આપણી અભિવ્યક્તિ વધુ સરળ બનાવે છે આ અભિવ્યક્તિમાંથી પરસ્પર સુસંગતતા કાર્યની ગણતરી કરવા માટે, ફક્ત સમગ્ર સ્રોત પર સંકલન કરો. નોંધ લો કે સ્રોત અસંગત છે તેવી ધારણાને કારણે ફોર્મની ક્રોસ શરતો શામેલ નથી. તેથી સ્રોતમાંથી બે જુદા જુદા બિંદુઓ વચ્ચેનો સમય-સરેરાશ સહસંબંધ શૂન્ય હશે. આગળ અને નો ઉપયોગ કરીને શબ્દને ફરીથી લખો. આ કરવા માટે, અને દો. આ દર્શાવે છે કે અવલોકનના સમતલના કેન્દ્ર અને સ્રોતના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર ક્યાં છે. પરંતુ કારણ કે અને તે બધા તેના કરતા ઘણા ઓછા છે, વર્ગમૂળો ટેલર વિસ્તૃત થઈ શકે છે, પ્રથમ ક્રમમાં પરિણમી શકે છે, જે, કેટલાક બીજગણિત હેરફેર પછી, સરળ બને છે. તેવી જ રીતે,. વધુમાં, યાદ રાખો કે તે અને વચ્ચે-અક્ષ સાથે તરંગલંબાઇની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી. તો એ જ રીતે,-અક્ષની વચ્ચે અને તેની સાથે તરંગલંબાઇની સંખ્યા છે, તેથી કારણ કે અને તે બધા તેના કરતા ઘણા ઓછા છે. વિભેદક ક્ષેત્ર તત્વ, પછી ઘન ખૂણાના વિભેદક તત્વ તરીકે લખી શકાય છે. મ્યુચ્યુઅલ કોહેરેન્સ ફંક્શન માટે આપણી અભિવ્યક્તિ બને છે જે ઘટાડે છે પરંતુ આ બે ઇન્ટિગ્રલ્સની મર્યાદા સ્રોતની સમગ્ર સપાટીને આવરી લેવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે જ્યાં સુધી સ્રોતની તીવ્રતા કાર્ય આ પ્રદેશો પર શૂન્ય હોય. તેથી, જે તીવ્રતા વિધેયનું દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર રૂપાંતર છે. આ સાબિતીને પૂર્ણ કરે છે. પ્રમેયની ધારણાઓ વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય સંખ્યાબંધ ધારણાઓ પર આધારિત છે, જે લગભગ તમામ ખગોળશાસ્ત્રીય સ્રોતો માટે લગભગ સાચું છે. પ્રમેયની સૌથી મહત્વપૂર્ણ ધારણાઓ અને ખગોળશાસ્ત્રીય સ્રોતો સાથે તેમની સુસંગતતા અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. સ્રોતની અસંગતતા અવકાશી રીતે સુસંગત સ્રોત વેન સિટ્ટર્ટ-ઝર્નિક થીયરમનું પાલન કરતું નથી. આ શા માટે છે તે જોવા માટે, ધારો કે આપણે બે બિંદુઓ ધરાવતા સ્રોતનું અવલોકન કરીએ છીએ, અને. ચાલો આપણે અવલોકનના સમતલમાં અને વચ્ચે પરસ્પર સુસંગતતા કાર્યની ગણતરી કરીએ. સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત પરથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે અને છે તેથી પરસ્પર સુસંગતતા કાર્ય છે જે બને છે જો બિંદુઓ અને સુસંગત હોય તો ઉપરોક્ત સમીકરણમાં ક્રોસ ટર્મ્સ અદૃશ્ય થતા નથી. આ કિસ્સામાં, જ્યારે આપણે વિસ્તૃત સુસંગત સ્રોત માટે પરસ્પર સુસંગતતા કાર્યની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે સ્રોતની તીવ્રતા કાર્ય પર સરળતાથી સંકલન કરી શકીશું નહીં; બિન-શૂન્ય ક્રોસ ટર્મ્સની હાજરી પરસ્પર સુસંગતતા કાર્યને કોઈ સરળ સ્વરૂપ આપશે નહીં. આ ધારણા મોટાભાગના ખગોળીય સ્રોતો માટે લાગુ પડે છે. પલ્સર અને મેસર એકમાત્ર ખગોળીય સ્રોતો છે જે સુસંગતતા દર્શાવે છે. સ્રોતથી અંતર પ્રમેયના પુરાવોમાં આપણે ધારીએ છીએ કે અને. એટલે કે, આપણે ધારીએ છીએ કે સ્રોતનું અંતર નિરીક્ષણ ક્ષેત્રના કદ કરતાં ઘણું વધારે છે. વધુ ચોક્કસપણે, વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય માટે જરૂરી છે કે આપણે કહેવાતા દૂરના ક્ષેત્રમાં સ્રોતનું નિરીક્ષણ કરીએ. તેથી જો નિરીક્ષણ ક્ષેત્રનું લાક્ષણિક કદ હોય (દા. ત. બે-ડિશ રેડિયો ટેલિસ્કોપના કિસ્સામાં, બે ટેલિસ્કોપ વચ્ચેની બેઝલાઇનની લંબાઈ) પછી 1 સે. મી. ની તરંગલંબાઇ પર ખૂબ મોટા એરે માટે 20 કિમીની વાજબી બેઝલાઇનનો ઉપયોગ કરીને, દૂરના ક્ષેત્રનું અંતર ક્રમ m છે. જો કે, સૌરમંડળમાં પદાર્થો દૂરના ક્ષેત્રમાં હોય તે જરૂરી નથી, અને તેથી વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય તેમને લાગુ પડતો નથી. સ્રોતનું કોણીય કદ વેન સિટ્ટર્ટ-ઝર્નિક પ્રમેયની વ્યુત્પત્તિમાં આપણે દિશા કોસાઇન અને અને તરીકે લખીએ છીએ. જો કે, ત્રીજી દિશા કોસાઈન છે જે ત્યારથી અવગણવામાં આવે છે અને; આ ધારણાઓ હેઠળ તે એકતાની ખૂબ નજીક છે. પરંતુ જો સ્રોતમાં મોટી કોણીય હદ હોય, તો આપણે આ ત્રીજી દિશા કોસાઇનની અવગણના કરી શકતા નથી અને વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય હવે નથી. કારણ કે મોટાભાગના ખગોળશાસ્ત્રીય સ્રોતો આકાશમાં ખૂબ જ નાના ખૂણાઓ (સામાન્ય રીતે એક ડિગ્રી કરતા ઘણા ઓછા) રજૂ કરે છે, તેથી રેડિયો ખગોળશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં પ્રમેયની આ ધારણા સરળતાથી પૂર્ણ થાય છે. અર્ધ-મોનોક્રોમેટિક તરંગો વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય ધારે છે કે સ્રોત અર્ધ-મોનોક્રોમેટિક છે. એટલે કે, જો સ્રોત સરેરાશ આવર્તન સાથે આવર્તનની શ્રેણી પર પ્રકાશ બહાર કાઢે છે, તો તેને સંતોષ થવો જોઈએ. આ ધારણા વિના, આપણે તેની સરખામણીમાં ઉપેક્ષા કરી શકતા નથી આ જરૂરિયાત સૂચવે છે કે રેડિયો ખગોળશાસ્ત્રીએ બેન્ડપાસ ફિલ્ટર દ્વારા સંકેતોને પ્રતિબંધિત કરવા જોઈએ. કારણ કે રેડિયો ટેલીસ્કોપ લગભગ હંમેશા પ્રમાણમાં સાંકડા બેન્ડપાસ ફિલ્ટર દ્વારા સંકેત પસાર કરે છે, આ ધારણા સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં સંતુષ્ટ થાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય સ્રોત આપણે ધારીએ છીએ કે આપણો સ્રોત દ્વિ-પરિમાણીય સમતલમાં આવેલો છે. વાસ્તવમાં, ખગોળીય સ્રોતો ત્રિ-પરિમાણીય છે. જો કે, કારણ કે તેઓ દૂરના ક્ષેત્રમાં છે, તેમનું કોણીય વિતરણ અંતર સાથે બદલાતું નથી. તેથી જ્યારે આપણે ખગોળીય સ્ત્રોતને માપીએ છીએ, ત્યારે તેની ત્રિ-પરિમાણીય રચના દ્વિ-પરિમાણીય સમતલ પર પ્રક્ષેપિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય ખગોળશાસ્ત્રીય સ્રોતોના માપન પર લાગુ થઈ શકે છે, પરંતુ આપણે આવા માપન સાથે દૃષ્ટિની રેખા સાથે માળખું નક્કી કરી શકતા નથી. માધ્યમની એકરૂપતા વેન સિટ્ટર્ટ-ઝર્નિક પ્રમેય ધારે છે કે સ્રોત અને ઇમેજિંગ પ્લેન વચ્ચેનું માધ્યમ એકરૂપ છે. જો માધ્યમ સજાતીય ન હોય તો માધ્યમ દ્વારા પ્રકાશની મુસાફરીના સમયના તફાવતને કારણે સ્રોતના એક પ્રદેશમાંથી પ્રકાશ સ્રોતના અન્ય પ્રદેશોની તુલનામાં અલગ રીતે રીફ્રેક્ટ થશે. વિજાતીય માધ્યમના કિસ્સામાં વ્યક્તિએ વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેયના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરવો જ જોઇએ, જેને હોપકિન્સ સૂત્ર કહેવાય છે. કારણ કે તરંગમુખ સંપૂર્ણપણે સમાન માધ્યમમાંથી પસાર થતું નથી કારણ કે તે ઇન્ટરસ્ટેલર (અને સંભવતઃ ઇન્ટરગેલેક્ટિક) માધ્યમમાંથી અને પૃથ્વીના વાતાવરણમાં પ્રવાસ કરે છે, તેથી વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય ખગોળશાસ્ત્રીય સ્રોતો માટે બરાબર સાચું નથી. વ્યવહારમાં, જોકે, આંતરતારકીય અને આંતરગ્યાલાક્ટિક માધ્યમો અને પૃથ્વીના વાતાવરણના રીફ્રેક્ટિવ અનુક્રમણિકામાં ભિન્નતા એટલી ઓછી છે કે આ પ્રમેય કોઈપણ વાજબી પ્રાયોગિક ભૂલમાં લગભગ સાચું છે. માધ્યમના રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સમાં આવી ભિન્નતાઓ સજાતીય માધ્યમમાંથી મુસાફરી કરતા વેવફ્રન્ટના કિસ્સામાં માત્ર થોડી વિક્ષેપમાં પરિણમે છે. હોપકિન્સનું સૂત્ર ધારો કે આપણી પાસે એવી પરિસ્થિતિ છે જે વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેયની વ્યુત્પત્તિ વખતે માનવામાં આવી હતી, સિવાય કે માધ્યમ હવે વિજાતીય છે. તેથી આપણે માધ્યમના પ્રસારણ કાર્યનો પરિચય આપીએ છીએ. પહેલાની જેમ સમાન વ્યુત્પત્તિને અનુસરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે જો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો મ્યુચ્યુઅલ કોહેરેન્સ ફંક્શન બને છે જે હોપકિન્સનું વેન સિટર-ઝર્નિક થીયરમનું સામાન્યીકરણ છે. સજાતીય માધ્યમના વિશેષ કિસ્સામાં, પ્રસારણ કાર્ય બને છે જે કિસ્સામાં પરસ્પર સુસંગતતા કાર્ય સ્રોતની તેજ વિતરણના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં ઘટાડો કરે છે. હોપકિન્સના સૂત્રનો પ્રાથમિક ફાયદો એ છે કે સ્રોતની તેજ વિતરણને પરોક્ષ રીતે માપીને તેના પરસ્પર સુસંગતતા કાર્યની ગણતરી કરી શકાય છે. એપર્ચર સંશ્લેષણ થીયરમની એપ્લિકેશન્સ સ્રોતની તેજ વિતરણના માપન માટે વેન સિટર-ઝર્નિક થીયરમ નિર્ણાયક છે. બે ટેલીસ્કોપ સાથે, રેડિયો ખગોળશાસ્ત્રી (અથવા ઇન્ફ્રારેડ અથવા સબમિલીમીટર ખગોળશાસ્ત્રી) સ્રોતથી અમુક બિંદુને કારણે બે ડિશ પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચેના સહસંબંધને માપી શકે છે. સ્રોત પરના ઘણા બિંદુઓ માટે આ સહસંબંધને માપવાથી, ખગોળશાસ્ત્રી સ્રોતની દૃશ્યતા કાર્યનું પુનઃનિર્માણ કરી શકે છે. વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય લાગુ કરીને, ખગોળશાસ્ત્રી પછી સ્રોતના તેજ વિતરણને શોધવા માટે દૃશ્યતા કાર્યનું વ્યસ્ત ફોરિયર પરિવર્તન લઈ શકે છે. આ તકનીકને છિદ્ર સંશ્લેષણ અથવા સંશ્લેષણ ઇમેજિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, રેડિયો ખગોળશાસ્ત્રીઓ ભાગ્યે જ માપેલા દૃશ્યતા કાર્યનું ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સીધા લઈને સ્રોતના તેજ વિતરણને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. આવી પ્રક્રિયામાં ન્યક્વિસ્ટ સેમ્પલિંગ થીયરમને સંતોષવા માટે પૂરતી સંખ્યામાં નમૂનાઓની જરૂર પડશે; આ સ્રોતના તેજ વિતરણને આશરે પુનઃરચના કરવા માટે જરૂરી કરતાં ઘણા વધુ અવલોકનો છે. તેથી ખગોળશાસ્ત્રીઓ ખગોળશાસ્ત્રીય સ્રોતોના તેજ વિતરણ પર ભૌતિક અવરોધોનો લાભ લે છે જેથી અવલોકનોની સંખ્યા ઘટાડી શકાય. કારણ કે તેજનું વિતરણ દરેક જગ્યાએ વાસ્તવિક અને હકારાત્મક હોવું જોઈએ, દૃશ્યતા કાર્ય બિન-નમૂનારૂપ પ્રદેશોમાં મનસ્વી મૂલ્યો પર ન લઈ શકે. આમ, CLEAN અથવા મેક્સિમમ એન્ટ્રોપી જેવા બિન-રેખીય ડીકન્વોલ્યુશન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ મર્યાદિત સંખ્યામાં અવલોકનોમાંથી સ્રોતની તેજ વિતરણને આશરે પુનઃરચના કરવા માટે થઈ શકે છે. અનુકૂલનશીલ ઓપ્ટિક્સ વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય અનુકૂલનશીલ ઓપ્ટિક્સ સિસ્ટમની સંવેદનશીલતા પર પણ અવરોધો મૂકે છે. અનુકૂલનશીલ ઓપ્ટિક્સ (એઓ) પ્રણાલીમાં, વિકૃત વેવફ્રન્ટ પ્રદાન કરવામાં આવે છે અને તેને વિકૃતિ-મુક્ત વેવફ્રન્ટમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. વેવફ્રન્ટમાંથી વિકૃતિઓ દૂર કરવા માટે એઓ પ્રણાલીએ સંખ્યાબંધ વિવિધ સુધારા કરવા જોઈએ. આવા એક સુધારામાં તરંગમુખને બે સમાન તરંગમુખમાં વિભાજિત કરવાનો અને તરંગમુખના સમતલમાં અમુક ભૌતિક અંતર દ્વારા એકને ખસેડવાનો સમાવેશ થાય છે. બે વેવફ્રન્ટ પછી સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે, જે ફ્રિન્જ પેટર્ન બનાવે છે. કિનારીઓના કદ અને વિભાજનને માપવા દ્વારા, એઓ સિસ્ટમ વેવફ્રન્ટ સાથે તબક્કાના તફાવતોને નક્કી કરી શકે છે. આ તકનીકને "શીઅરિંગ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ તકનીકની સંવેદનશીલતા વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય દ્વારા મર્યાદિત છે. જો વિસ્તૃત સ્રોતની છબી લેવામાં આવે, તો કિનારીઓ વચ્ચેનો તફાવત સ્રોતની તેજ વિતરણના ફોરિયર પરિવર્તનના પ્રમાણસર પરિબળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવશે. વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેય સૂચવે છે કે એઓ સિસ્ટમ દ્વારા ચિત્રિત વિસ્તૃત સ્રોતની પરસ્પર સુસંગતતા તેના તેજ વિતરણનું ફોરિયર પરિવર્તન હશે. તેથી વિસ્તૃત સ્રોત કિનારીઓની પરસ્પર સુસંગતતામાં ફેરફાર કરશે, તેમના વિરોધાભાસને ઘટાડશે. મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન લેસર મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન લેસરમાંથી કિરણોત્સર્ગની આંશિક અવકાશી સુસંગતતાની ગણતરી કરવા માટે વેન સિટર-ઝર્નિક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ડિગ્રી ઓફ કોહેરેન્સ થિયરી વિઝિબિલિટી હેનબરી બ્રાઉન અને ટ્વિસ ઇફેક્ટ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન સહસંબંધ સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિઃ ઓપ્ટિક્સના સિદ્ધાંતો, પર્ગામન પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ, 1987, પૃષ્ઠ 510: ઓપ્ટિક્સ, જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ન્યૂ યોર્ક, 1986, બીજી આવૃત્તિ, પૃષ્ઠ 544-545 બાહ્ય કડીઓ પ્રયોગો સાથે વેન સિટર-ઝર્નિક-પ્રમેય પર વ્યાખ્યાન. યુ ટ્યુબ પર યુનિવર્સિટી ઓફ બર્કલે, પ્રો. ડેવિડ ટી. એટવુડ (AST 210/EE213 વ્યાખ્યાન 23)] ભૌતિક ઓપ્ટિક્સ રેડિયો ખગોળશાસ્ત્ર ખગોળશાસ્ત્રના સમીકરણો