Amitsur–Levitzki theorem
બીજગણિતમાં, અમિત્સુર-લેવિટ્ઝકી પ્રમેય જણાવે છે કે પરિવર્તનીય વીંટી પર n × n મેટ્રિસીસનો બીજગણિત 2n ડિગ્રીની ચોક્કસ ઓળખને સંતોષે છે. દ્વારા તે સાબિત થયું હતું. ખાસ કરીને મેટ્રિક્સ રિંગ્સ બહુપદી ઓળખ રિંગ્સ હોય છે જેમ કે તેઓ જે સૌથી નાની ઓળખને સંતોષે છે તેની ડિગ્રી બરાબર 2n હોય છે. નિવેદન ડિગ્રી n ની પ્રમાણભૂત બહુપદી બિન-પરિવર્તનીય ચલ x1,., xn માં છે, જ્યાં સરવાળો તમામ n પર લેવામાં આવે છે! સપ્રમાણ જૂથ Sn ના ઘટકો. અમિત્સુર-લેવિટ્ઝકી પ્રમેય જણાવે છે કે n × n મેટ્રિસીસ A1,., A2n માટે જેની એન્ટ્રીઓ પરિવર્તનીય રિંગમાંથી લેવામાં આવે છે, તો પ્રૂફએ પ્રથમ પુરાવો આપ્યો હતો. લાઈ આલ્જેબ્રાના આદિમ કોહોમોલોજી વિશે કોઝુલ-સેમલ્સન થીયરમમાંથી અમિત્સુર-લેવિટ્ઝકી થીયરમનું અનુમાન કર્યું. અને નીચે પ્રમાણે એક સરળ સંયુક્ત પુરાવો આપ્યો. રેખીયતા દ્વારા તે પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે જ્યારે દરેક મેટ્રિક્સમાં માત્ર એક બિન-શૂન્ય એન્ટ્રી હોય છે, જે 1 છે. આ કિસ્સામાં દરેક મેટ્રિક્સને n શિરોબિંદુઓ સાથે આલેખની નિર્દેશિત ધાર તરીકે એન્કોડ કરી શકાય છે. તેથી તમામ મેટ્રિસીસ એકસાથે 2n નિર્દેશિત ધાર સાથે n શિરોબિંદુઓ પર આલેખ આપે છે. ઓળખ એવી છે કે આલેખના કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ A અને B માટે, A થી B સુધીના વિષમ યુલરિયન માર્ગોની સંખ્યા સમ સંખ્યા જેટલી જ છે. (અહીં પાથને ઓડ કહેવામાં આવે છે અથવા તેની ધાર ક્રમમાં લેવામાં આવે છે કે કેમ તેના આધારે 2n ધારોનું ઓડ અથવા ઇવન ક્રમચય આપે છે.) હંસ દર્શાવે છે કે ગ્રાફમાં ધારની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી 2n હોય તો આ કેસ હતો, આમ અમિત્સુર-લેવિટ્ઝકી પ્રમેય સાબિત થાય છે. તેણે કેલે-હેમિલ્ટન પ્રમેય સાથે સંબંધિત પુરાવો આપ્યો. પરિમાણ 2n ની વેક્ટર જગ્યાના બાહ્ય બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકો પુરાવો આપ્યો. તેમણે બીજો પુરાવો આપ્યો હતો, જે દર્શાવે છે કે એમિટ્સુર-લેવિટ્ઝકી પ્રમેય સામાન્ય ગ્રાસમેન મેટ્રિક્સ માટે કેલે-હેમિલ્ટન ઓળખ છે. સંદર્ભો બીજગણિતમાં રેખીય બીજગણિત પ્રમેય મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંત