Manley–Rowe relations
મેનલી-રો સંબંધો એ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ છે જે મૂળ વિદ્યુત ઇજનેરો માટે બહુવિધ આવર્તન ધરાવતા તરંગમાં ઊર્જાની માત્રાની આગાહી કરવા માટે વિકસાવવામાં આવી છે. ત્યારથી તેઓ બિન-રેખીય ઓપ્ટિક્સ, પ્રવાહી મિકેનિક્સ અને બિન-રેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓના સિદ્ધાંતમાં પ્રણાલીઓનું વર્ણન કરવા માટે મળી આવ્યા છે, કારણ કે તેઓ ત્રણ-તરંગ સમીકરણ માટે અપરિવર્તનશીલ અથવા સંરક્ષિત જથ્થાની જોડી પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિન-રેખીય ઓપ્ટિક્સમાં પ્રતિધ્વનિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં, મેનલી-રો સંબંધોને એમ કહીને અર્થઘટન કરી શકાય છે કે એક ફોટોન બનાવવામાં આવે છે કારણ કે વધુ બે નાશ પામે છે (અથવા તેનાથી વિપરીત, જ્યારે એકનો નાશ થાય છે ત્યારે બે બનાવવામાં આવે છે.) ત્રણ-તરંગ સમીકરણ માટે, મેનલી-રો અપરિવર્તનશીલ મોડ્યુલર અપરિવર્તનશીલ અને વેઇઅરસ્ટ્રાસ-ફંક્શન સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. આ અનિવાર્યપણે અનુસરે છે કારણ કે ત્રિ-તરંગ ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં ચોક્કસ ઉકેલો હોય છે જે લંબગોળ કાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે. બેલ લેબ્સના બે સંશોધકો, જે. એમ. મેનલી અને એચ. ઇ. રો દ્વારા 1956 અને 1960ની વચ્ચે લખાયેલા મૂળ કાગળો બિનરેખીય કેપેસિટર્સ અને ઇન્ડક્ટર્સ ધરાવતી વિદ્યુત સર્કિટ માટે હતા. એક અથવા વધુ ઓસિલેટર, જે ચોક્કસ આવર્તન પર કાર્ય કરે છે, તે આ સર્કિટના ઇનપુટ સાથે જોડાયેલા હોય છે. મેનલી-રો સંબંધો વિવિધ આવૃત્તિઓ પર તરંગોમાં હાજર ઊર્જાની આગાહી કરે છે, જેમાં નવી આવૃત્તિઓ (જેમ કે હાર્મોનિક્સ અને સાઇડબેન્ડ્સ) નો સમાવેશ થાય છે, જે બિનરેખીયતાને કારણે સર્કિટમાં ઉદ્ભવે છે. આ સિદ્ધાંત અંશતઃ ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. તે જરૂરી છે કે સર્કિટમાં ઊર્જા સંગ્રહ એક સ્થિર પ્રક્રિયા છે જે સમય સાથે માત્ર ઓસિલેશનને કારણે બદલાય છે અને સમય સાથે કેટલાક સ્થિર વધારો અથવા ઘટાડાને કારણે નહીં. વધુ ચોક્કસપણે, આ સિદ્ધાંત વિવિધ આવૃત્તિઓ પર તરંગો વચ્ચે પ્રતિધ્વનિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને વર્ણવે છે; પ્રતિધ્વનિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વર્ણવે છે કે કઈ આવૃત્તિઓ ભળી શકે છે અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે, અને તે શક્તિઓ કે જેના દ્વારા તેઓ જોડી શકે છે. કારણ કે મેનલી-રો સંબંધો બિનરેખીય તરંગો અને ઊર્જાના સંરક્ષણ જેવા સામાન્ય ખ્યાલો પર આધારિત છે, તેમનો ઉપયોગ રેડિયો-આવર્તન વિદ્યુત સર્કિટમાં મૂળ ઉપયોગ સુધી મર્યાદિત નથી. તેનો ઉપયોગ અન્ય વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રોમાં પણ જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે બિનરેખીય ઓપ્ટિક્સ. મેનલી-રો સંબંધોના મૂળ વ્યુત્પત્તિ માટે વિદ્યુત પરિપથમાં, કેપેસિટર્સ અને ઇન્ડક્ટર્સ તરંગમાંથી ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે અને પછી તેને મુક્ત કરે છે. અન્ય ભૌતિક પ્રણાલીઓ કે જેમાં તરંગો માટે ઊર્જા સંગ્રહ અને નવા તરંગોની બિનરેખીય પેઢીનો સમાવેશ થાય છે, તે સમાન સંબંધોનો ઉપયોગ કરી શકે છે. જ્હોન મેનલી અને હેરિસન રો બેલ લેબોરેટરીઝમાં રાલ્ફ હાર્ટલીના આશ્રિત હતા. બિનરેખીય પ્રતિક્રિયાઓ (ઇન્ડક્ટર્સ અને કેપેસિટર્સ) સાથેનું કામ 1917માં જ્હોન બર્ટન અને યુજેન પીટરસન દ્વારા શરૂ કરવામાં આવ્યું હતું. જ્યારે હાર્ટલી વેસ્ટર્ન ઇલેક્ટ્રિકનો ભાગ બન્યા પછી બેલ લેબોરેટરીઝમાં જોડાયા, ત્યારે તેમણે બિનરેખીય ઓસિલેશન પર એક સંશોધન જૂથ શરૂ કર્યું. આ જૂથમાં પાછળથી પીટરસન, મેનલી અને રો જોડાયા હતા. નોંધો એપ્લાઇડ ગણિત ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ