Cyclotomic field
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્ર એ એકતાના જટિલ મૂળને તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર સાથે જોડીને મેળવેલ સંખ્યા ક્ષેત્ર છે. સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોએ ફર્માટના છેલ્લા પ્રમેય સાથેના સંબંધને કારણે આધુનિક બીજગણિત અને સંખ્યા સિદ્ધાંતના વિકાસમાં નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવી હતી. આ ક્ષેત્રોના અંકગણિતની તેમની ઊંડી તપાસની પ્રક્રિયામાં (મુખ્ય માટે)-અને વધુ ચોક્કસપણે, તેમના પૂર્ણાંકોની વીંટીઓમાં અનન્ય ગુણાંકકરણની નિષ્ફળતાને કારણે-અર્ન્સ્ટ કુમરે સૌપ્રથમ આદર્શ સંખ્યાની વિભાવના રજૂ કરી અને તેમની પ્રખ્યાત એકરૂપતાને સાબિત કરી. વ્યાખ્યા માટે, ચાલો; આ એકતાનું મૂળ છે. પછી th સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્ર એ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલું વિસ્તરણ છે. ગુણધર્મો th સાયક્લોટોમિક બહુપદી ઈરીડ્યુસિબલ છે, તેથી તે ઓવરની ન્યૂનતમ બહુપદી છે. તેથી અંદરના સંયોજનો એકતાના અન્ય આદિમ મૂળ છેઃ સાથે. તેથી ડિગ્રી છે, જ્યાં યુલરનું ટોશિયન્ટ ફંક્શન છે. ના મૂળ ની શક્તિઓ છે, તેથી (અથવા) નું વિભાજન ક્ષેત્ર પણ છે. તેથી તે એક ગેલોઇસ વિસ્તરણ છે. ગેલોઇસ જૂથ ગુણાકાર જૂથ માટે કુદરતી રીતે સમરૂપ છે, જેમાં ઇન્વર્ટિબલ અવશેષો મોડ્યુલો હોય છે, જે અને સાથે અવશેષો હોય છે. આઇસોમોર્ફિઝમ દરેકને મોકલે છે, જ્યાં એક પૂર્ણાંક છે. પૂર્ણાંકોની વીંટી છે. કારણ કે, એક્સ્ટેંશનનો ડિસ્ક્રિમિનન્ટ ખાસ કરીને, વિભાજીત ન થતા દરેક પ્રાઇમની ઉપર અનરેમિફાઇડ છે. જો કોઈ અવિભાજ્યની ઘાત હોય, તો તેને સંપૂર્ણપણે ઉપર વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. જો અવિભાજ્ય ભાગ્યા વિના હોય, તો ફ્રોબેનિયસ તત્વ અંદરના અવશેષને અનુરૂપ હોય છે. એકતાના મૂળોનું જૂથ ક્રમમાં હોય છે અથવા, સમ અથવા વિચિત્ર હોય તે મુજબ હોય છે. એકમ જૂથ એ ડિરીક્લેટ એકમ પ્રમેય દ્વારા, કોઈપણ માટે, ક્રમનો મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ અબેલિયન જૂથ છે. ખાસ કરીને, ફક્ત} માટે મર્યાદિત છે. ટોર્સિયન પેટાજૂથ એ એકતાના મૂળનું જૂથ છે, જે અગાઉની વસ્તુમાં વર્ણવવામાં આવ્યું હતું. સાયક્લોટોમિક એકમો એક સ્પષ્ટ મર્યાદિત-અનુક્રમણિકા પેટા જૂથ બનાવે છે. ક્રોનેકર-વેબર પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક મર્યાદિત અબેલિયન વિસ્તરણ કેટલાક માટે સમાયેલ છે. સમાનરૂપે, તમામ સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોનું જોડાણ એ મહત્તમ અબેલિયન વિસ્તરણ છે. હોકાયંત્ર અને સીધી ધાર સાથે નિયમિત-ગોનના નિર્માણની સમસ્યાના સંબંધમાં, નિયમિત બહુકોણ સાથેના સંબંધે ગૌસે સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોના સિદ્ધાંતમાં પ્રારંભિક પ્રવેશ કર્યો હતો. તેમના પુરોગામીઓથી બચી ગયેલા તેમના આશ્ચર્યજનક પરિણામ એ હતું કે નિયમિત 17-ગોનનું નિર્માણ આ રીતે થઈ શક્યું હતું. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે, નીચેની બાબતો સમકક્ષ હોય છેઃ નિયમિત-ગોન રચનાત્મક હોય છે; ત્યાં ક્ષેત્રોનો એક ક્રમ હોય છે, જેનો પ્રારંભ અને અંત હોય છે, જેમ કે દરેક અગાઉના ક્ષેત્રનું દ્વિઘાત વિસ્તરણ હોય છે; કેટલાક પૂર્ણાંકો અને ફર્મેટ અવિભાજ્ય માટે 2 ની ઘાત હોય છે. (ફર્માટ પ્રાઈમ એ એક વિષમ પ્રાઈમ છે જે 2 ની ઘાત છે. જાણીતા ફર્મેટ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 3,5,17,257,65537 છે, અને સંભવ છે કે ત્યાં અન્ય કોઈ નથી.) નાના ઉદાહરણો અનેઃ સમીકરણો અને તે દર્શાવે છે, જે તેનું વર્ગાત્મક વિસ્તરણ છે. તદનુસાર, નિયમિત 3-ગોન અને નિયમિત 6-ગોન રચનાત્મક છે. : એ જ રીતે, તેથી, અને નિયમિત 4-ગોન રચનાત્મક છે. : આ ક્ષેત્ર તેનું વર્ગાત્મક વિસ્તરણ નથી, પરંતુ તે વર્ગાત્મક વિસ્તરણનું વર્ગાત્મક વિસ્તરણ છે, તેથી નિયમિત 5-ગોન રચનાત્મક છે. ફર્માટના છેલ્લા પ્રમેય સાથે સંબંધ ફર્માટના છેલ્લા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટેનો એક કુદરતી અભિગમ દ્વિપદીને પરિબળ બનાવવાનો છે, જ્યાં એક વિચિત્ર અવિભાજ્ય છે, જે ફર્માટના સમીકરણની એક બાજુ નીચે પ્રમાણે દેખાય છેઃ અહીં અને તે સામાન્ય પૂર્ણાંકો છે, જ્યારે પરિબળો સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રમાં બીજગણિત પૂર્ણાંકો છે. જો સાયક્લોટોમિક પૂર્ણાંકોમાં અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન હોય, તો તેનો ઉપયોગ ફર્મેટના સમીકરણના બિન-તુચ્છ ઉકેલોના અસ્તિત્વને નકારી કાઢવા માટે થઈ શકે છે. ફર્મેટના છેલ્લા પ્રમેયને હલ કરવાના ઘણા પ્રયાસો આ રીતે આગળ વધ્યા, અને ફર્મેટના પુરાવા અને યુલરના પુરાવા બંનેને આ શરતોમાં પુનઃરચના કરી શકાય છે. જેની સંપૂર્ણ સૂચિ 1 થી 22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90 છે. કુમરે અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશનની નિષ્ફળતાનો સામનો કરવાનો માર્ગ શોધી કાઢ્યો. તેમણે સાયક્લોટોમિક પૂર્ણાંકોમાં મુખ્ય સંખ્યાઓ માટે બદલીની રજૂઆત કરી, વર્ગ સંખ્યા દ્વારા અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશનની નિષ્ફળતાને માપી અને સાબિત કર્યું કે જો તે મુખ્ય દ્વારા વિભાજીત ન થાય (જેમ કે નિયમિત અવિભાજ્ય કહેવાય છે) તો ફેરમેટનો પ્રમેય ઘાતાંક માટે સાચો છે. વધુમાં, તેમણે કયા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નિયમિત છે તે નક્કી કરવા માટે એક માપદંડ આપ્યો, અને અનિયમિત અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 37,59 અને 67 સિવાય, 100 કરતા ઓછા તમામ અવિભાજ્ય ઘટકો માટે ફર્માટના પ્રમેયની સ્થાપના કરી. સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોની વર્ગ સંખ્યાઓ માટે એકરૂપતા પર કુમેરના કાર્યને વીસમી સદીમાં ઇવાસાવા સિદ્ધાંતમાં ઇવાસાવા દ્વારા અને કુબોટા અને લિયોપોલ્ટ દ્વારા તેમના પી-એડિક ઝેટા કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોની વર્ગ સંખ્યાઓની યાદી, અથવા-ભાગ માટે (મુખ્ય n માટે) જે. ડબલ્યુ. એસ. માં ક્રોનેકર-વેબર પ્રમેય સાયક્લોટોમિક બહુપદી સંદર્ભો સ્ત્રોતો બ્રાયન બિર્ચ, "સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રો અને કુમ્મર વિસ્તરણ" પણ જુઓ. કેસેલ્સ અને એ. ફ્રોહ્લિચ (એડીડી), બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત, એકેડેમિક પ્રેસ, 1973. Chap.III, pp. 45-93. ડેનિયલ એ. માર્કસ, નંબર ફીલ્ડ્સ, પ્રથમ આવૃત્તિ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, 1977 સર્જ લેંગ, સાયક્લોટોમિક ફીલ્ડ્સ I અને II, સંયુક્ત બીજી આવૃત્તિ. કાર્લ રુબિન દ્વારા એપેન્ડિક્સ સાથે. ગણિતમાં સ્નાતક પાઠો, 121. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, ન્યૂયોર્ક, 1990. વાસ્તવિક સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોના પૂર્ણાંકોની વીંટી પર વધુ વાંચન. કોજી યામાગાતા અને મસાકાઝુ યામાગિશીઃ પ્રોસી, જાપાન એકેડેમી, 92. Ser a (2016) બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત