Ptolemy's table of chords
ઈસવીસનની બીજી સદી દરમિયાન ઇજિપ્તમાં ગ્રીક ખગોળશાસ્ત્રી, ભૂમાપક અને ભૂગોળવેત્તા ટોલેમી દ્વારા બનાવવામાં આવેલું તારોનું કોષ્ટક, ટોલેમીના અલ્માજેસ્ટના પુસ્તક I, પ્રકરણ 11માં ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક છે, જે ગાણિતિક ખગોળશાસ્ત્ર પરનો ગ્રંથ છે. તે અનિવાર્યપણે સાઇન ફંક્શનના મૂલ્યોના કોષ્ટકની સમકક્ષ છે. તે ખગોળશાસ્ત્ર સહિત ઘણા વ્યવહારુ હેતુઓ માટે પૂરતું વ્યાપક સૌથી પહેલું ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક હતું (હિપ્પાર્કસ દ્વારા અગાઉના તારોના કોષ્ટકમાં માત્ર ચાપ માટે તારો આપવામાં આવ્યા હતા જે ગુણાંક હતા). 8મી અને 9મી સદીથી, સાઇન કોષ્ટકોના ઉત્પાદનમાં સુધારો કરીને, ઇસ્લામિક ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રમાં સાઇન અને અન્ય ત્રિકોણમિતીય કાર્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ખ્વારિઝમી અને હબાશ અલ-હસીબે પાછળથી ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટકોનો સમૂહ તૈયાર કર્યો હતો. તાર કાર્ય અને કોષ્ટક વર્તુળનો તાર એ એક રેખાખંડ છે જેના અંતિમ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોય છે. ટોલેમીએ એક વર્તુળનો ઉપયોગ કર્યો હતો જેનો વ્યાસ 120 ભાગો છે. તેમણે તારની લંબાઈને કોષ્ટકબદ્ધ કરી હતી, જેના અંતિમ બિંદુઓ n ડિગ્રીની ચાપ દ્વારા અલગ પડે છે, n માટે 180 ની વૃદ્ધિ દ્વારા. આધુનિક સંકેતલિપીમાં, θ ડિગ્રીની ચાપને અનુરૂપ તારની લંબાઈ θ 0 થી 180 સુધી જાય છે, θ ° ચાપની તાર 0 થી 120 સુધી જાય છે. નાની કમાનો માટે, તાર 3 જેટલી ડિગ્રીમાં ચાપના ખૂણા પર હોય છે, અથવા વધુ ચોક્કસપણે, ગુણોત્તરને θ ને પૂરતું નાનું બનાવીને ≈ ની ઇચ્છિત તેટલી નજીક બનાવી શકાય છે. આમ, ની ચાપ માટે, તારની લંબાઈ ડિગ્રીમાં ચાપના ખૂણા કરતાં થોડી વધારે હોય છે. જેમ જેમ ચાપ વધે છે તેમ તેમ તાર અને ચાપનો ગુણોત્તર ઘટે છે. જ્યારે ચાપ પહોંચે છે, ત્યારે તારની લંબાઈ બરાબર ચાપમાં ડિગ્રીની સંખ્યા જેટલી હોય છે, એટલે કે. તાર 60° = 60. 60° થી વધુની કમાનો માટે, તાર ચાપ કરતાં ઓછી હોય છે, જ્યાં સુધી 180° ની ચાપ સુધી પહોંચી ન જાય, જ્યારે તાર માત્ર 120 હોય. તારની લંબાઈના અપૂર્ણાંક ભાગો સેક્સાજેસિમલ (આધાર 60) અંકોમાં દર્શાવવામાં આવ્યા હતા. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં 112° ચાપ દ્વારા સબટેન્ડેડ તારની લંબાઈ 99.29.5 હોવાનું નોંધવામાં આવે છે, ત્યાં તેની લંબાઈ ગોળાકારથી નજીકના સુધી હોય છે. ચાપ અને તાર માટેના સ્તંભો પછી, ત્રીજા સ્તંભને "સાઠમા" તરીકે લેબલ કરવામાં આવે છે. θ° ની ચાપ માટે, "સાઠમા" સ્તંભમાં પ્રવેશ છે આ એકમની સાઠમા ભાગની સરેરાશ સંખ્યા છે જે θ° અને (θ +) ° માટે પ્રવેશ વચ્ચે, જ્યારે પણ કોણ એક મિનિટની ચાપ દ્વારા વધે છે ત્યારે તાર (θ°) માં ઉમેરવી આવશ્યક છે. આમ, તેનો ઉપયોગ રેખીય પ્રક્ષેપણ માટે થાય છે. ગ્લોવાત્ઝકી અને ગોટ્શેએ દર્શાવ્યું હતું કે ટોલેમીએ "સાઠમા" સ્તંભમાં જોવા મળતી ચોકસાઈની માત્રા પ્રાપ્ત કરવા માટે પાંચ લૈંગિક સ્થાનો પર તારોની ગણતરી કરી હોવી જોઈએ. ટોલેમીએ કોર્ડની ગણતરી કેવી રીતે કરી આલ્માજેસ્ટના પુસ્તક I ના પ્રકરણ 10 માં કોર્ડની ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ભૌમિતિક પ્રમેયો રજૂ કરે છે. ટોલેમીએ 72° અને 36° ના તાર શોધવા માટે યુક્લિડના તત્વોના પુસ્તક XIII ના પ્રસ્તાવ 10 પર આધારિત ભૌમિતિક તર્કનો ઉપયોગ કર્યો હતો. તે દરખાસ્ત જણાવે છે કે જો એક સમબાહુ પંચકોણ વર્તુળમાં અંકિત હોય, તો પંચકોણની બાજુના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ ષટ્કોણની બાજુઓ પરના ચોરસના વિસ્તારો અને તે જ વર્તુળમાં અંકિત દશકોણનો સરવાળો થાય છે. તેમણે અર્ધ-કમાનની તાર, બે કમાનોના સરવાળાની તાર અને બે કમાનોના તફાવતની તાર માટે સૂત્રો મેળવવા માટે વર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજ પર ટોલેમીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ પ્રમેય જણાવે છે કે વર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજ માટે, કર્ણની લંબાઈનો ગુણાકાર વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈના બે જોડીઓના ગુણાકારોનો સરવાળો બરાબર છે. ત્રિકોણમિતીય ઓળખની વ્યુત્પત્તિઓ ચક્રીય ચતુર્ભુજ પર આધાર રાખે છે જેમાં એક બાજુ વર્તુળનો વ્યાસ હોય છે. 1° અને ° ની કમાનોના તાર શોધવા માટે તેમણે એરિસ્ટાર્કસની અસમાનતા પર આધારિત અંદાજોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અસમાનતા જણાવે છે કે ચાપ α અને β માટે, જો 0 <β <α <90° હોય, તો ટોલેમીએ દર્શાવ્યું હતું કે 1° અને ° ની ચાપ માટે, અંદાજો યોગ્ય રીતે પૂર્ણાંક ભાગ પછી પ્રથમ બે લૈંગિક સ્થાન આપે છે. આંકડાકીય પ્રણાલી અને અનુવાદિત કોષ્ટકનો દેખાવ વર્તુળની ચાપની લંબાઈ, ડિગ્રીમાં, અને તારની લંબાઈના પૂર્ણાંક ભાગો, આધાર 10 આંકડાકીય પ્રણાલીમાં વ્યક્ત કરવામાં આવ્યા હતા, જેમાં ગ્રીક મૂળાક્ષરના 21 અક્ષરોનો ઉપયોગ નીચેના કોષ્ટકમાં આપવામાં આવેલા અર્થો સાથે કરવામાં આવ્યો હતો, અને એક પ્રતીક, "ά", જેનો અર્થ થાય છે અને એક ઊભું વર્તુળ "′" જે ખાલી જગ્યાને ભરે છે (અસરકારક રીતે શૂન્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે). નીચેના કોષ્ટકમાં "પ્રાચીન" લેબલવાળા ત્રણ અક્ષરો, અલ્માજેસ્ટ લખાયા પહેલા કેટલીક સદીઓથી ગ્રીક ભાષામાં ઉપયોગમાં નહોતા, પરંતુ હજુ પણ અંકો અને સંગીતની નોંધો તરીકે ઉપયોગમાં હતા. આમ, ઉદાહરણ તરીકે, ° ની ચાપને ρμγ anth′ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. (કોષ્ટક માત્ર 180° સુધી પહોંચે છે, તેથી 200 અને તેનાથી ઉપરના ગ્રીક આંકડાઓનો ઉપયોગ થતો નથી.) તારની લંબાઈના અપૂર્ણાંક ભાગોને ખૂબ ચોકસાઈની જરૂર હતી, અને કોષ્ટકમાં બે સ્તંભોમાં આપવામાં આવ્યા હતાઃ પ્રથમ સ્તંભ 0-59 ની શ્રેણીમાં એક પૂર્ણાંક ગુણાંક આપે છે, બીજો = નો પૂર્ણાંક ગુણાંક, પણ 0-59 ની શ્રેણીમાં. આમ હેઈબર્ગની આલ્માજેસ્ટની આવૃત્તિમાં પૃષ્ઠો 48-63 પર કોર્ડના કોષ્ટક સાથે, કોષ્ટકની શરૂઆત, ચાપને અનુરૂપ આ રીતે દેખાય છેઃ પછીથી કોષ્ટકમાં, ચાપના પૂર્ણાંક ભાગો અને તારની લંબાઈને વ્યક્ત કરતા અંકોની આધાર-10 પ્રકૃતિ જોઈ શકાય છે. આમ 85° ની ચાપને πε (80 માટે π અને 5 માટે ε) તરીકે લખવામાં આવે છે અને તેને 60 + 25 માં વિભાજિત કરવામાં આવતી નથી. અનુરૂપ તારની લંબાઈ 81 વત્તા અપૂર્ણાંક ભાગ છે. પૂર્ણાંક ભાગ πα થી શરૂ થાય છે, તેવી જ રીતે 60 + 21 માં વિભાજિત નથી. પરંતુ અપૂર્ણાંક ભાગ, +, સ્તંભમાં 4 માટે δ તરીકે લખવામાં આવે છે, ત્યારબાદ સ્તંભમાં 15 માટે ιε લખવામાં આવે છે. કોષ્ટકમાં કુલ 360 પંક્તિઓ માટે આઠ પાનાની દરેક પર 45 પંક્તિઓ છે. આર્યભટ્ટનું સાઇન ટેબલ એક્સસેન્ટ ફંડામેન્ટમ એસ્ટ્રોનોમિયા પણ જુઓ, જે 1500 ના દાયકાના અંતમાં ગ્રીક ગણિત માધવના સાઇન ટેબલ ટોલેમી સ્કેલ ઓફ કોર્ડ વર્સીન રેફરન્સ ઓલાફ પેડરસન (1974) એ સર્વે ઓફ ધ અલ્માજેસ્ટ, ઓડેન્સ યુનિવર્સિટી પ્રેસ એક્સટર્નલ લિંક્સ જે. એલ. હેઇબર્ગ અલ્માજેસ્ટ, પૃષ્ઠો પર કોર્ડનું ટેબલ 48-63 માં પ્રકાશિત થયેલ પુસ્તક છે. ગ્લેન એલર્ટ ટોલેમીનું ટેબલ ઓફ કોર્ડ્સઃ ગ્રીક અને ફ્રેન્ચમાં બીજી સદીમાં ત્રિકોણમિતિ, ઇન્ટરનેટ આર્કાઇવ પર. ત્રિકોણમિતિ ત્રિકોણમિતિ ખગોળશાસ્ત્રનો ઇતિહાસ પ્રાથમિક વિશેષ કાર્યો ટોલેમી ગાણિતિક કોષ્ટકો