Cauchy–Rassias stability
કાર્યાત્મક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં સ્ટેનિસ્લાવ ઉલામની શાસ્ત્રીય સમસ્યા નીચે મુજબ છેઃ તે ક્યારે સાચું છે કે જે વિધેય કાર્યાત્મક સમીકરણ E ને લગભગ સંતોષે છે તે E ના ચોક્કસ ઉકેલની નજીક હોવું જોઈએ? 1941માં, ડોનાલ્ડ એચ. હાયર્સે બનાચ જગ્યાઓના સંદર્ભમાં આ પ્રશ્નનો આંશિક હકારાત્મક જવાબ આપ્યો હતો. આ પ્રથમ નોંધપાત્ર સફળતા હતી અને સંશોધનના આ ક્ષેત્રમાં વધુ અભ્યાસ તરફનું પગલું હતું. ત્યારથી, ઉલમની સમસ્યા અને હાયર્સના પ્રમેયના વિવિધ સામાન્યીકરણના સંબંધમાં મોટી સંખ્યામાં કાગળો પ્રકાશિત થયા છે. 1978માં, થેમિસ્ટોકલ્સ એમ. રાસીઆસ એક અમર્યાદિત કોચી તફાવતને ધ્યાનમાં લઈને હાયર્સના પ્રમેયને વિસ્તૃત કરવામાં સફળ રહ્યા હતા. બનાચ જગ્યાઓમાં રેખીય નકશાની સ્થિરતા સાબિત કરનાર તેઓ પ્રથમ હતા. 1950 માં, ટી. એઓકીએ જ્યારે આપેલ કાર્ય એડિટિવ હોય ત્યારે રસ્સિયાના પરિણામના વિશેષ કેસનો પુરાવો આપ્યો હતો. ઉલામની સમસ્યાના સંદર્ભમાં કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતાની વ્યાપક રજૂઆત માટે, રસ ધરાવતા વાચકને સ્પ્રિંગર, ન્યૂયોર્ક, 2011 દ્વારા પ્રકાશિત એસ. એમ. જંગના તાજેતરના પુસ્તકનો સંદર્ભ આપવામાં આવે છે (નીચે સંદર્ભો જુઓ). ટી. એમ. રસ્સિયસના પ્રમેયએ સંખ્યાબંધ ગણિતશાસ્ત્રીઓને આકર્ષ્યા, જેઓ કાર્યાત્મક સમીકરણોના સ્થિરતા સિદ્ધાંતમાં સંશોધન કરવા માટે પ્રોત્સાહિત થવા લાગ્યા. એસ. એમ. ઉલામ, ડી. એચ. હાયર્સ અને ટી. એચ. ના મોટા પ્રભાવ વિશે. એમ. રાસિયસ કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતા સમસ્યાઓના અભ્યાસ પર, આ ખ્યાલને હાયર્સ-ઉલમ-રાસિયસ સ્થિરતા કહેવામાં આવે છે. ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે ઉલામની સમસ્યા કૌચીના કાર્યાત્મક સમીકરણ f (x + y) = f (x) + f (y) માટે ઉકેલ સ્વીકારે છે, ત્યારે સમીકરણ E એ કૌચી-રાસીઆસની સ્થિરતાને સંતોષતું હોવાનું કહેવાય છે. આ નામ ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચી અને થેમિસ્ટોકલ્સ એમ. રસ્સિયાસ તરીકે ઓળખાય છે. સંદર્ભો પી. એમ. પારદાલોસ, પી. જી. જ્યોર્જિયેવ અને એચ. એમ. શ્રીવાસ્તવ (આવૃત્તિઓ. ), બિનરેખીય વિશ્લેષણ. સ્થિરતા, અંદાજ અને અસમાનતા. તેમના 60મા જન્મદિવસના પ્રસંગે થેમિસ્ટોકલ્સ એમ. રસ્સિયસના સન્માનમાં, સ્પ્રિંગર, ન્યૂ યોર્ક, 2012. ડી. એચ. હાયર્સ, રેખીય કાર્યાત્મક સમીકરણની સ્થિરતા પર, પ્રોસી. નતાલિયા. એકે. વિજ્ઞાન. યુએસએ, 27 (1941), 222-224. ટી. એમ. રાસ્સિઅસ, બનાચ જગ્યાઓમાં રેખીય મેપિંગની સ્થિરતા પર, પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી 72 (1978), 297-300. [ચાઇનીઝમાં અનુવાદિત અને મેથેમેટિકલ એડવાન્સ ઇન ટ્રાન્સલેશન, ચાઇનીઝ એકેડેમી ઓફ સાયન્સિસ 4 (2009), 382-384 માં પ્રકાશિત.] ટી. એમ. રાસ્સિઅસ, કાર્યાત્મક સમીકરણોની સ્થિરતા અને ઉલમની સમસ્યા પર, એક્ટા એપ્લીકેન્ડે મેથેમેટિકા, 62 (1) (2000), 23-130. એસ. એમ. જંગ, હાયર્સ-ઉલમ-રસ્સિયસ સ્ટેબિલિટી ઓફ ફંક્શનલ ઇક્વેશન્સ ઇન નોનલિનીયર એનાલિસિસ, સ્પ્રિંગર, ન્યૂયોર્ક, 2011. ટી. એઓકી, બનાચ જગ્યાઓમાં રેખીય પરિવર્તનની સ્થિરતા પર, જે. ગણિત. સો. , 2 (1950), 64-66. સી. જી. પાર્ક, વિવિધ ચલમાં સામાન્યીકૃત દ્વિઘાત મેપિંગ્સ, નોનલિનીયર એનલ., 57 (2004), 713-722. જે. આર. લી અને ડી. વાય શિન, સામાન્યીકૃત એડિટિવ ફંક્શનલ સમીકરણની કોચી-રાસીઆસની સ્થિરતા પર, જે. ગણિત. ગુદા. એપલ. 339 (1) (2008), 372-383. સી. બાક, કોચી-બનાચ જગ્યાઓ, એક્ટા મઠમાં કોચી-જેનસન એડિટિવ મેપિંગ્સની રસ્સિયાની સ્થિરતા. સિનિકા (અંગ્રેજી શ્રેણી), 15 (1) (1999), 1-11. સી. જી. પાર્ક, લાઈ જેસી *-આલ્જેબ્રા અને કોચી વચ્ચે હોમોમોર્ફિઝમ્સ-લાઈ જેસી *-આલ્જેબ્રા વ્યુત્પત્તિઓની રાસીઆસ સ્થિરતા, જે. લાઈ થિયરી, 15 (2005), 393-414. જે. આર. લી, ડી. વાય. શિન, C *-આલ્જેબ્રામાં ટ્રિફ કાર્યાત્મક સમીકરણની કોચી-રાસિયસ સ્થિરતા પર. જે. ગણિત. ગુદા. એપલ. 296 (1) (2004), 351-363. સી. બાક, એચ. વાય. ચુ અને એમ. એસ. મોસ્લેહિયાન, ઓન ધ કોચી-રાસીઆસ અસમાનતા અને રેખીય એન-ઇન્નર પ્રોડક્ટ પ્રિઝર્વેશન મેપિંગ્સ, મઠ. અસમાન. એપલ. 9 (3) (2006), 453-464. સી. જી. પાર્ક, એમ. એશાઘી ગોર્ડજી અને એચ. ખોદાઈ, એ ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ એપ્રોચ ટુ ધ કોચી-રાસીઆસ સ્ટેબિલિટી ઓફ જનરલ જેનસન ટાઇપ ક્વાડ્રેટિક-ક્વાડ્રેટિક મેપિંગ્સ, બુલ. કોરિયન ગણિત. સો. 47 (2010), નં. 5, 987-996 A. નઝાતી, પેક્સિડરાઈઝ્ડ કોચી-જેનસન પ્રકારનાં કાર્યાત્મક સમીકરણ સાથે સંકળાયેલ હોમોમોર્ફિઝમ્સની કોચી-રસ્સિયસ સ્થિરતા, J. ગણિત. અસમાન. 3 (2) (2009), 257-265. સી. જી. પાર્ક અને એસ. વાય. જાંગ, બનાચ મોડ્યુલોમાં સેસ્ક્વિલિનિયર એન-સ્ક્વેડ્રેટિક મેપિંગ્સની કોચી-રસ્સિયાની સ્થિરતા, રોકી માઉન્ટેન જે. ગણિત. 39 (6) (2009), 2015-2027. પી. એલ. કન્નપ્પન, કાર્યાત્મક સમીકરણો અને એપ્લિકેશન્સ સાથેની અસમાનતાઓ, સ્પ્રિંગર, ન્યૂ યોર્ક, 2009. પી. કે. સાહૂ અને પી. કન્નપ્પન, ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ ફંક્શનલ ઇક્વેશન્સ, સીઆરસી પ્રેસ, ચેપમેન એન્ડ હોલ બુક, ફ્લોરિડા, 2011. ટી. એમ. રસ્સિયાસ અને જે. બ્રઝડેક (આવૃત્તિઓ. ), ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં કાર્યાત્મક સમીકરણો, સ્પ્રિંગર, ન્યૂ યોર્ક, 2012. ગાણિતિક વિશ્લેષણ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ કાર્યાત્મક સમીકરણો