Schwarzschild coordinates
લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ્સના સિદ્ધાંતમાં, ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ અવકાશ સમય માળખાગત ગોળાકાર ગોળાઓના કુટુંબને સ્વીકારે છે. આવા અવકાશકાળમાં, ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ પ્રકારનો સંકલન ચાર્ટ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ છે, જે સ્થિર અને ગોળાકાર સમપ્રમાણ અવકાશકાળ પર એક પ્રકારનો ધ્રુવીય ગોળાકાર સંકલન ચાર્ટ છે, જે આ માળખાગત ગોળાકાર ગોળાઓ માટે અનુકૂળ છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટની વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતા એ છે કે રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ સપાટીના વિસ્તાર અને દરેક ગોળાના ગૌસીયન વળાંકની દ્રષ્ટિએ કુદરતી ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે. જો કે, ત્રિજ્યીય અંતર અને ખૂણાઓ ચોક્કસપણે રજૂ કરવામાં આવતા નથી. સામાન્ય સાપેક્ષતા જેવા ગુરુત્વાકર્ષણના મેટ્રિક સિદ્ધાંતોમાં આ ચાર્ટ્સના ઘણા ઉપયોગો છે. તેનો ઉપયોગ મોટાભાગે સ્થિર ગોળાકાર સમપ્રમાણતાવાળા અવકાશી સમયગાળામાં થાય છે. સામાન્ય સાપેક્ષતાના કિસ્સામાં, બિરખોફનો પ્રમેય જણાવે છે કે આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણનો દરેક અલગ ગોળાકાર સપ્રમાણ શૂન્યાવકાશ અથવા ઇલેક્ટ્રોવેક્યુમ ઉકેલ સ્થિર છે, પરંતુ આ ચોક્કસપણે સંપૂર્ણ પ્રવાહી માટે સાચું નથી. ગોળાકાર સમપ્રમાણતાવાળા બ્લેક હોલની ઘટના ક્ષિતિજની અંદર શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ વેક્યૂમ સોલ્યુશનના બાહ્ય ક્ષેત્રનું વિસ્તરણ ક્ષિતિજની અંદર સ્થિર નથી, અને (અવકાશી સમાન) નેસ્ટેડ ગોળાઓના કુટુંબને ક્ષિતિજની અંદર વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી, તેથી આ સોલ્યુશન માટેનો શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ ક્ષિતિજ પર જરૂરી રીતે તૂટી જાય છે. મેટ્રિક ટેન્સરનો ઉલ્લેખ કરવો એ કોઈપણ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડની વ્યાખ્યાનો એક ભાગ છે. આ ટેન્સરને વ્યાખ્યાયિત કરવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે તેને સુસંગત સ્થાનિક સંકલન ચાર્ટમાં વ્યાખ્યાયિત કરવી અને ચકાસો કે તે જ ટેન્સર ચાર્ટના ડોમેન્સના ઓવરલેપ્સ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ લેખમાં, આપણે ફક્ત એક જ ચાર્ટના ક્ષેત્રમાં મેટ્રિક ટેન્સરને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કરીશું. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટમાં (સ્થિર ગોળાકાર સમપ્રમાણ અવકાશ સમય પર), રેખા તત્વ સ્વરૂપ લે છે જ્યાં પ્રમાણભૂત ગોળાકાર સંકલન છે અને એકમ 2-ગોળા પર પ્રમાણભૂત મેટ્રિક છે. આ અભિવ્યક્તિની વધુ વિગતવાર વ્યુત્પત્તિ માટે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ઉકેલ મેળવવો જુઓ. સંદર્ભના આધારે, a અને b ને રેડિયલ કોઓર્ડિનેટના અનિશ્ચિત કાર્યો તરીકે ગણવા યોગ્ય હોઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણનો ચોક્કસ સ્થિર ગોળાકાર સમપ્રમાણ ઉકેલ મેળવવામાં). વૈકલ્પિક રીતે, આપણે ચોક્કસ લોરેન્ટ્ઝિયન અવકાશ સમય પર શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટ મેળવવા માટે ચોક્કસ કાર્યોને (સંભવતઃ કેટલાક પરિમાણો પર આધાર રાખીને) જોડી શકીએ છીએ. જો આ તણાવ-ઊર્જા ટેન્સરને સ્વીકારવા માટે બહાર આવે છે, જેમ કે પરિણામી મોડેલ આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણને સંતોષે છે (જેમ કે, યોગ્ય ઊર્જા પરિસ્થિતિઓનું પાલન કરતા સ્થિર ગોળાકાર સપ્રમાણ સંપૂર્ણ પ્રવાહી અને વાજબી સંપૂર્ણ પ્રવાહીથી અપેક્ષિત અન્ય ગુણધર્મો માટે), તો પછી, પદાર્થ અને વેગની ઘનતા જેવા ભૌતિક જથ્થાને રજૂ કરતા યોગ્ય ટેન્સર ક્ષેત્રો સાથે, આપણી પાસે સંભવતઃ મોટા અવકાશ સમયનો એક ભાગ છે; એક ભાગ જેને આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણનો સ્થાનિક ઉકેલ ગણી શકાય. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટના સંદર્ભમાં, કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રોનું લાઈ બીજગણિત ટાઈમલાઈક ઇર્રોટેશનલ કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્ર અને ત્રણ સ્પેસલાઈક કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. હકીકત એ છે કે આપણો અવકાશ સમય એક ઇર્રોટેશનલ ટાઇમલાઇક કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રને સ્વીકારે છે તે હકીકતમાં સ્થિર અવકાશ સમયની વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતા છે. એક તાત્કાલિક પરિણામ એ છે કે સતત સમય સંકલન સપાટીઓ (આઇસોમેટ્રિક) અવકાશી અતિસંવેદનશીલનું કુટુંબ બનાવે છે. (આ ઉદાહરણ તરીકે કેર વેક્યૂમના બાહ્ય પ્રદેશ માટે બોયર-લિન્ડક્વિસ્ટ ચાર્ટમાં સાચું નથી, જ્યાં ટાઇમલાઇક કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર હાયપરસર્ફેસ ઓર્થોગોનલ નથી.) નોંધ લો કે છેલ્લા બે ક્ષેત્રો સંકલન પરિવર્તન હેઠળ એક-બીજાના પરિભ્રમણ છે. વેક્ટર ક્ષેત્રોને મારવા પરનો લેખ ત્રણ અવકાશ જેવા ક્ષેત્રોની વિગતવાર વ્યુત્પત્તિ અને ચર્ચા પ્રદાન કરે છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટમાં, સપાટીઓ ગોળાકાર ગોળાઓ તરીકે દેખાય છે (જ્યારે આપણે ધ્રુવીય ગોળાકાર રીતે લોકીને ગોઠવીએ છીએ), અને તેના સ્વરૂપમાંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે આમાંની કોઈપણ સપાટી સુધી મર્યાદિત શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક હકારાત્મક ચોક્કસ છે અને એકમ ત્રિજ્યા 2-ગોળા પર પ્રમાણભૂત રીમાનિયન મેટ્રિક ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. એટલે કે, આ નેસ્ટેડ કોઓર્ડિનેટ ગોળાઓ હકીકતમાં સપાટીના ક્ષેત્રફળ ગૌસીયન વળાંક સાથે ભૌમિતિક ગોળાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વધુમાં, કોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ બરાબર સામાન્ય ધ્રુવીય ગોળાકાર કોણીય કોઓર્ડિનેટ્સ છેઃ તેને કેટલીકવાર અક્ષાંશ કહેવામાં આવે છે અને તેને સામાન્ય રીતે રેખાંશ કહેવામાં આવે છે. આ અનિવાર્યપણે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટનું વ્યાખ્યાયિત ભૌમિતિક લક્ષણ છે. તે ઉમેરવામાં મદદ કરી શકે છે કે ઉપર આપેલા ચાર કિલિંગ ક્ષેત્રો, જે આપણા લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ પર અમૂર્ત વેક્ટર ક્ષેત્રો તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે સ્થિર ગોળાકાર સપ્રમાણ અવકાશ સમયની બંને સમપ્રમાણતાની સાચી અભિવ્યક્તિ આપે છે, જ્યારે ચોક્કસ ત્રિકોણમિતીય સ્વરૂપ જે તેઓ આપણા ચાર્ટમાં લે છે તે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ શબ્દના અર્થની સાચી અભિવ્યક્તિ છે. ખાસ કરીને, ત્રણ અવકાશી કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રો E3 પર ગોળાકાર સમપ્રમાણ ચાર્ટમાં ત્રણ બિન-અનુવાદાત્મક કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રો જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે; એટલે કે, તેઓ મૂળ અથવા ગોળાકાર સમપ્રમાણતા વિશે મનસ્વી યુક્લિડિયન પરિભ્રમણની કલ્પના દર્શાવે છે. જો કે, સારી રીતે નોંધ લોઃ સામાન્ય રીતે, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ રેડિયલ અંતરને ચોક્કસપણે રજૂ કરતું નથી, એટલે કે. અવકાશી ભૌગોલિક એકરૂપતા સાથે લેવામાં આવેલા અંતર જે તેના અભિન્ન વળાંક તરીકે ઉદ્ભવે છે. તેના બદલે, આપણા બે નેસ્ટેડ ગોળાઓ વચ્ચે 'અવકાશી અંતર' ની યોગ્ય કલ્પના શોધવા માટે, આપણે મૂળમાંથી કેટલાક સંકલન કિરણો સાથે સંકલિત થવું જોઈએઃ તેવી જ રીતે, આપણે દરેક ગોળાને આદર્શ નિરીક્ષકોના ગોળાકાર વાદળના સ્થાન તરીકે ગણી શકીએ છીએ, જેમણે (સામાન્ય રીતે) તેમની સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે રેડિયલ રીતે બહારની તરફ વેગ આપવા માટે રોકેટ એન્જિનનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. આ સ્થિર નિરીક્ષકો છે, અને તેમની પાસે સ્વરૂપની વિશ્વ રેખાઓ છે, જે અલબત્ત શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટમાં ઊભી સંકલન રેખાઓનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. આ નિરીક્ષકોમાંથી એકની વિશ્વ રેખા પર બે ઘટનાઓ વચ્ચેના યોગ્ય સમય અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે, આપણે યોગ્ય સંકલન રેખા સાથે સંકલન કરવું જોઈએઃ એકત્વનું સંકલન કરો ઉપરની સંકલન શ્રેણીઓ પર પાછા જોતા, નોંધ લો કે સંકલન એકત્વ આપણા સ્થિર નેસ્ટેડ ગોળાઓમાંથી એકના ઉત્તર ધ્રુવના સ્થાનને ચિહ્નિત કરે છે, જ્યારે દક્ષિણ ધ્રુવનું સ્થાન ચિહ્નિત કરે છે. જેમ E3 પર સામાન્ય ધ્રુવીય ગોળાકાર ચાર્ટ માટે, ટોપોલોજિકલ કારણોસર આપણે સમગ્ર ગોળા પર સતત કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવી શકતા નથી; આપણે મુખ્ય મેરિડીયન તરીકે કામ કરવા માટે કેટલાક રેખાંશ (એક મહાન વર્તુળ) પસંદ કરવું જોઈએ અને તેને ચાર્ટમાંથી કાપી નાખવું જોઈએ. પરિણામ એ છે કે આપણે દરેક અવકાશી અતિસંવેદનમાંથી બંધ અર્ધ સમતલને કાપી નાંખીએ છીએ જેમાં અક્ષ અને તે અક્ષથી વિસ્તરેલ અર્ધ સમતલનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે આપણે ઉપર કહ્યું કે તે કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, ત્યારે આપણે પેડેન્ટિક પરંતુ મહત્વપૂર્ણ ક્વોલિફાયરને અવગણ્યું કે જેને આપણે ચક્રીય સંકલન તરીકે વિચારીએ છીએ, અને ખરેખર આપણા ત્રણ અવકાશ સમાન કિલિંગ વેક્ટરને ગોળ ગોળાઓ પર કામ કરતા હોવાનું વિચારીએ છીએ. કદાચ, અલબત્ત, અથવા, આ કિસ્સામાં આપણે આપણા ચાર્ટના ક્ષેત્રમાંથી કોઈ દડાની બહારના અથવા કોઈ દડાની અંદરના પ્રદેશને પણ એક્સાઇઝ કરવો જોઈએ. જ્યારે પણ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ r ના અમુક મૂલ્ય પર f અથવા g ફૂટે છે ત્યારે આવું થાય છે. સ્થિર હાયપરસ્લિક્સની કલ્પના શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ રેડિયલ કોઓર્ડિનેટના મહત્વને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, તે સપાટ યુક્લિડિયન જગ્યામાં અવકાશી હાયપરસ્લિક્સ (તેઓ અલબત્ત બધા એકબીજા માટે આઇસોમેટ્રિક છે) માંથી એકને એમ્બેડ કરવામાં મદદ કરી શકે છે. જે લોકોને ચાર-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ લાગે છે તેમને એ અવલોકન કરવામાં આનંદ થશે કે આપણે એક સંકલનને દબાવવા માટે ગોળાકાર સમપ્રમાણતાનો લાભ લઈ શકીએ છીએ. આ સેટિંગ દ્વારા સરળતાથી પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. હવે આપણી પાસે સ્થાનિક રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટ સાથે દ્વિ-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ છે, E3 માં આ સપાટીને (અથવા કુંડલાકાર રિંગ પર) એમ્બેડ કરવા માટે, આપણે E3 માં એક ફ્રેમ ક્ષેત્ર અપનાવીએ છીએ જે પરિમાણિત સપાટી પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જે એમ્બેડિંગ સ્પેસમાંથી ઇચ્છિત મેટ્રિકનો વારસો મેળવશે, આપણા રેડિયલ ચાર્ટમાં અનુકૂળ છે, એક અનિશ્ચિત કાર્ય દર્શાવે છે. સમજવા માટે, પરિમાણિત સપાટીને ધ્યાનમાં લો આ સપાટી પરના સંકલન વેક્ટર ક્ષેત્રો વારસાગત પ્રેરિત મેટ્રિક જ્યારે આપણે E3 પર યુક્લિડિયન મેટ્રિકને આપણી પરિમાણિત સપાટી પર પ્રતિબંધિત કરીએ છીએ. આ એવી સપાટીઓ માટે કામ કરે છે જેમાં બે ત્રિજ્યીય રીતે અલગ થયેલા બિંદુઓ વચ્ચેનું સાચું અંતર તેમના ત્રિજ્યીય કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના તફાવત કરતા વધારે હોય છે. જો સાચું અંતર ઓછું હોય, તો આપણે તેના બદલે E1,2 માં અવકાશ જેવી સપાટી તરીકે આપણા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડને એમ્બેડ કરવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે હોઈ શકે છે. કેટલીકવાર આપણને કુંડલાકાર રિંગ્સના બે અથવા વધુ સ્થાનિક એમ્બેડિંગની જરૂર પડી શકે છે (હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ગૌસીયન વળાંકના પ્રદેશો માટે). સામાન્ય રીતે, આપણે કોઈ પણ એક સપાટ જગ્યામાં વૈશ્વિક એમ્બેડિંગ મેળવવાની અપેક્ષા ન રાખવી જોઈએ (લુપ્ત થઈ રહેલા રીમાન ટેન્સર સાથે). મુદ્દો એ છે કે રેડિયલ કોઓર્ડિનેટના ભૌમિતિક અર્થઘટનની દ્રષ્ટિએ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટની વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતા એ જ છે જે આપણે (સિદ્ધાંતમાં) અવકાશી હાયપરસ્લિક્સના આ પ્રકારના ગોળાકાર સમપ્રમાણતાવાળા એમ્બેડિંગને હાથ ધરવાની જરૂર છે. મેટ્રિક અન્સાત્ઝ ઉપર આપવામાં આવેલ રેખા તત્વ, જેમાં f, g ને શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ r ના અનિશ્ચિત કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે, તેનો ઉપયોગ સામાન્ય સાપેક્ષતા (અથવા ગુરુત્વાકર્ષણના અન્ય મેટ્રિક સિદ્ધાંતો) માં સ્થિર ગોળાકાર સપ્રમાણ ઉકેલો મેળવવા માટે મેટ્રિક અન્સાત્ઝ તરીકે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કાર્ટાનની બાહ્ય કલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોડાણ અને વળાંકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે સૂચવીશું. પ્રથમ, આપણે લાઇન એલિમેન્ટને કોફ્રેમ ફિલ્ડ તરીકે વાંચીએ છીએ, જ્યાં આપણે માનીએ છીએ કે તે હજુ સુધી અનિશ્ચિત સરળ કાર્યો છે. (હકીકત એ છે કે આપણો અવકાશકાળ આ ચોક્કસ ત્રિકોણમિતીય સ્વરૂપ ધરાવતી ફ્રેમને સ્વીકારે છે તે સ્થિર, ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડમાં શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટની કલ્પનાની બીજી સમકક્ષ અભિવ્યક્તિ છે). બીજું, આપણે આ કોબેસ એક-સ્વરૂપોના બાહ્ય વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએઃ કાર્ટનના પ્રથમ માળખાકીય સમીકરણ (અથવા તેના બદલે તેની સંકલિતતાની સ્થિતિ) સાથે સરખામણી કરીને, આપણે જોડાણ એક-સ્વરૂપો માટે અભિવ્યક્તિઓનું અનુમાન કરીએ છીએ. (ટોપીઓ એ આપણને યાદ અપાવવા માટે માત્ર એક સાંકેતિક સાધન છે કે સૂચકાંકો આપણા કોબેસ એક-સ્વરૂપોનો સંદર્ભ આપે છે, સંકલન એક-સ્વરૂપોનો નહીં.) જો આપણે યાદ કરીએ કે સૂચકાંકોની કઈ જોડી સપ્રમાણ (અવકાશ-સમય) છે અને કઈ અસમપ્રમાણતા વિરોધી (અવકાશ-અવકાશ) છે, તો આપણે પુષ્ટિ કરી શકીએ કે છ જોડાણ એક-સ્વરૂપો છે (આ ઉદાહરણમાં, છમાંથી માત્ર ચાર બિન-લુપ્ત છે.) આપણે આ એક-સ્વરૂપોને એક-સ્વરૂપોના મેટ્રિક્સમાં એકત્રિત કરી શકીએ છીએ, અથવા તેનાથી પણ વધુ સારી રીતે SO (1,3)-મૂલ્યવાન એક-સ્વરૂપ. નોંધ લો કે એક-સ્વરૂપોનું પરિણામી મેટ્રિક્સ SO (4)-મૂલ્યવાન એક-સ્વરૂપ માટે તદ્દન અસમપ્રમાણ નહીં હોય; આપણે તેના બદલે લોરેન્ટ્ઝિયન સંલગ્નમાંથી ઉદ્ભવતા ટ્રાન્સપોઝની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ત્રીજું, આપણે જોડાણ એક-સ્વરૂપોના બાહ્ય વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ અને વળાંક બે સ્વરૂપોની ગણતરી કરવા માટે કાર્ટનના બીજા માળખાકીય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચોથું, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જ્યાં બેચ બાર સૂચવે છે કે આપણે માત્ર સૂચકાંકોની છ વધતી જોડી (i, j) નો સરવાળો કરવો જોઈએ, આપણે આપણા કોફ્રેમ અને તેના બેવડા ફ્રેમ ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં રીમાન ટેન્સરના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઘટકોને વાંચી શકીએ છીએ. આપણે મેળવીએ છીએઃ પાંચમું, આપણે સૂચકાંકોને નીચા કરી શકીએ છીએ અને ઘટકોને એક મેટ્રિક્સમાં ગોઠવી શકીએ છીએ જ્યાં E, L સમપ્રમાણ (છ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઘટકો, સામાન્ય રીતે) હોય છે અને B ટ્રેસલેસ (આઠ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઘટકો, સામાન્ય રીતે) હોય છે, જેને આપણે બે સ્વરૂપોના છ-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા (દરેક ઘટના પર) પર રેખીય સંચાલકનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા તરીકે વિચારીએ છીએ. આમાંથી આપણે ટાઈમલાઈક એકમ વેક્ટર ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં બેલ વિઘટનને વાંચી શકીએ છીએ. આ તમામ કોઈપણ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ માટે માન્ય છે, પરંતુ આપણે નોંધ્યું છે કે સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, ઇલેક્ટ્રોગ્રેવિટિક ટેન્સર નાની વસ્તુઓ પર ભરતીના તાણને નિયંત્રિત કરે છે, જેમ કે આપણી ફ્રેમને અનુરૂપ નિરીક્ષકો દ્વારા માપવામાં આવે છે, અને મેગ્નેટોગ્રેવિટિક ટેન્સર આપણી ફ્રેમને અનુરૂપ નિરીક્ષકો દ્વારા માપવામાં આવે છે તેમ, ફરતી વસ્તુઓ પર કોઈપણ સ્પિન-સ્પિન બળોને નિયંત્રિત કરે છે, જેમ કે આપણી ફ્રેમને અનુરૂપ નિરીક્ષકો દ્વારા માપવામાં આવે છે. આપણા કોફ્રેમ ક્ષેત્રનું દ્વિ ફ્રેમ ક્ષેત્ર એ હકીકત છે કે પરિબળ અહીં માત્ર ત્રણ ઓર્થોનોર્મલ સ્પેસેલાઇક વેક્ટર ક્ષેત્રોમાંથી પ્રથમનો ગુણાકાર કરે છે તેનો અર્થ એ છે કે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ અવકાશી રીતે આઇસોટ્રોપિક નથી (સ્થાનિક રીતે સપાટ અવકાશી સમયના તુચ્છ કિસ્સામાં સિવાય); તેના બદલે, પ્રકાશ શંકુ દેખાય છે (ત્રિજ્યીય રીતે સપાટ) અથવા (ત્રિજ્યીય રીતે વિસ્તરેલ). આ અલબત્ત એમ કહેવાની બીજી રીત છે કે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ્સ દરેક નેસ્ટેડ ગોળ ગોળાની અંદરના અંતરને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે, પરંતુ રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ વિશ્વાસુપણે રેડિયલ યોગ્ય અંતરને રજૂ કરતું નથી. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટને સ્વીકારતા કેટલાક ચોક્કસ ઉકેલો આ રીતે મેળવી શકાય તેવા ચોક્કસ ઉકેલોના કેટલાક ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ વેક્યૂમનો બાહ્ય વિસ્તાર, જે રીસનર-નોર્ડસ્ટ્રોમ ઇલેક્ટ્રોવેક્યુમ માટે છે, જેમાં રીસનર-નોર્ડસ્ટ્રોમ-ડી સિટર ઇલેક્ટ્રોલેમ્બડેવાક્યુમ માટે એક વિશેષ કેસ તરીકે અગાઉના ઉદાહરણનો સમાવેશ થાય છે, જે ખાસ કેસ તરીકે અગાઉના ઉદાહરણનો સમાવેશ કરે છે, જેનિસ-ન્યૂમેન-વિનકોર સોલ્યુશન (જે સ્થિર ગોળાકાર રીતે સમપ્રમાણતાવાળા પદાર્થના બાહ્ય ભાગને સમૂહહીન લઘુત્તમ જોડીદાર સ્કેલર ક્ષેત્ર સાથે મેળવે છે), સ્થિર આંતરિક પ્રદેશ સાથે મેળ ખાતા તારાકીય નમૂનાઓ જે સ્થિર ગોળાકાર રીતે સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. સામાન્યીકરણ બિનસ્થૈતિક પરંતુ ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ અવકાશ સમયને ધ્યાનમાં લેવું સ્વાભાવિક છે, જેમાં સામાન્યીકૃત શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ જેમાં મેટ્રિક બીજી દિશામાં સામાન્યકરણ સ્વરૂપ લે છે, આપણે આપણા ગોળાકાર બે-ગોળાઓ પર અન્ય સંકલન પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે સ્ટીરિયોગ્રાફિક શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ચાર્ટ જે ક્યારેક ઉપયોગી હોય છેઃ સ્થિર અવકાશ સમય, ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ અવકાશ સમય, સ્થિર ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ સંપૂર્ણ પ્રવાહી, આઇસોટ્રોપિક કોઓર્ડિનેટ્સ, સ્થિર ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ અવકાશ સમય માટે અન્ય લોકપ્રિય ચાર્ટ, ગૌસીયન ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ, સ્થિર ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ અવકાશ સમય માટે ઓછો સામાન્ય વૈકલ્પિક ચાર્ટ, ગુલસ્ટ્રાન્ડ-પેન્લેવ કોઓર્ડિનેટ્સ, એક સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ફ્રેમ ક્ષેત્રો, ફ્રેમ ક્ષેત્રો અને કોફ્રેમ ક્ષેત્રો વિશે વધુ માટે, રીમાન ટેન્સરનું બેલ વિઘટન, એકરૂપતા (સામાન્ય સાપેક્ષતા), ઉપરની જેમ એકરૂપતાઓ વિશે વધુ માટે, ક્રુસ્કલ-ઝેકેરેસ કોઓર્ડિનેટ્સ, મહત્તમ વિસ્તૃત શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ સોલ્યુશનના સમગ્ર અવકાશ સમયના મેનીફોલ્ડને આવરી લેતો ચાર્ટ અને ભૌતિક એકત્વની બહાર દરેક જગ્યાએ સારી રીતે વર્તવામાં આવે છે, એડિંગ્ટન-ફિન્કેલસ્ટીન કોઓર્ડિનેટ્સ, સ્થિર ગોળાકાર સપ્રમાણ અવકાશ સમય માટે વૈકલ્પિક ચાર્ટ, લેમૈત્રે કોઓર્ડિનેટ્સ, પ્રારંભિક ચાર્ટ જે ઘટના ક્ષિતિજ પર નિયમિત છે. નોંધો સામાન્ય સાપેક્ષતા લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ્સમાં ચાર્ટનું સંકલન કરો