Picard–Vessiot theory
વિભેદક બીજગણિતમાં, પિકાર્ડ-વેસિયોટ સિદ્ધાંત એ ક્ષેત્ર વિસ્તરણના વિભેદક ગેલોઇસ જૂથનો ઉપયોગ કરીને રેખીય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો દ્વારા પેદા થયેલ વિભેદક ક્ષેત્ર વિસ્તરણનો અભ્યાસ છે. વિભેદક સમીકરણને વિભેદક ગેલોઇસ જૂથના ગુણધર્મોના સંદર્ભમાં ચતુર્ભુજ દ્વારા ક્યારે ઉકેલી શકાય છે તેનું વર્ણન કરવું એ મુખ્ય ધ્યેય છે. આ સિદ્ધાંતની શરૂઆત 1883 થી 1904 સુધી એમિલ પિકાર્ડ અને અર્નેસ્ટ વેસિયોટ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. અને પિકાર્ડ-વેસિયોટ સિદ્ધાંતની વિગતવાર વિગતો આપે છે. પિકાર્ડ-વેસિયોટ સિદ્ધાંતના ઇતિહાસની ચર્ચા તેમના દ્વારા કરવામાં આવે છે. પિકાર્ડ-વેસિયોટ સિદ્ધાંત 1883 અને 1898 ની વચ્ચે પિકાર્ડ દ્વારા અને 1892 થી 1904 સુધી વેસિયોટ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. તેમના સિદ્ધાંતનું મુખ્ય પરિણામ ખૂબ જ મોટા પ્રમાણમાં કહે છે કે રેખીય વિભેદક સમીકરણને ચતુર્ભુજ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું વિભેદક ગેલોઇસ જૂથ જોડાયેલું હોય અને ઉકેલી શકાય. કમનસીબે તે ચોક્કસપણે કહેવું મુશ્કેલ છે કે તેઓએ શું સાબિત કર્યું કારણ કે "ચતુર્ભુજ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવું" હોવાની વિભાવના ચોક્કસપણે વ્યાખ્યાયિત નથી અથવા તેમના કાગળોમાં સતત ઉપયોગમાં લેવાતી નથી. તેમણે જરૂરી વિભાવનાઓની ચોક્કસ વ્યાખ્યાઓ આપી અને આ પ્રમેયની સખત આવૃત્તિ સાબિત કરી. પિકાર્ડ-વેસિયોટ સિદ્ધાંતને આંશિક વિભેદક ક્ષેત્રો સુધી વિસ્તૃત કર્યો (અનેક આવનજાવન વ્યુત્પત્તિઓ સાથે). બીજા ક્રમના સજાતીય રેખીય સમીકરણોને ચતુર્ભુજ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કર્યું, જેને કોવેસિકના અલ્ગોરિધમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો બધા સ્થિરાંકો F માં હોય અને K સજાતીય રેખીય સામાન્ય વિભેદક બહુપદીના ઉકેલોને સંલગ્ન કરીને પેદા કરી શકાય, તો વિભેદક ક્ષેત્રોના F-K વિસ્તરણને પિકાર્ડ-વેસિયોટ વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે. વિભેદક ક્ષેત્ર F પરની પિકાર્ડ-વેસીયોટ રીંગ R એ F પરની વિભેદક રીંગ છે જે સરળ છે (0 અને R સિવાય કોઈ વિભેદક આદર્શો નથી) અને A અને 1/ડેટ (A) ના ગુણાંક દ્વારા k-બીજગણિત તરીકે ઉત્પન્ન થાય છે, જ્યાં A એ F પર એક ઉલટાવી શકાય તેવું મેટ્રિક્સ છે જેમ કે B =/A પાસે F માં ગુણાંક હોય છે. (તેથી A એ વિભેદક સમીકરણ = by માટે મૂળભૂત મેટ્રિક્સ છે.) લિઉવિલિયન એક્સ્ટેંશન વિભેદક ક્ષેત્રોના એક એક્સ્ટેંશન F-K ને લિઉવિલિયન કહેવામાં આવે છે જો બધા સ્થિરાંકો F માં હોય, અને K મર્યાદિત સંખ્યામાં ઇન્ટિગ્રલ્સ, ઇન્ટિગ્રલ્સના ઘાતાંકીય અને બીજગણિત વિધેયોને સંલગ્ન કરીને પેદા કરી શકાય છે. અહીં, a તત્વના ઇન્ટિગ્રલને = a ના કોઈપણ ઉકેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને a ના ઇન્ટિગ્રલના ઘાતાંકને = ay ના કોઈપણ ઉકેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પિકાર્ડ-વેસિયોટ એક્સ્ટેંશન લિઉવિલિયન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના વિભેદક ગેલોઇસ જૂથનો ઓળખ ઘટક ઉકેલવા યોગ્ય હોય (,). વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, બીજગણિત કાર્યો દ્વારા વિસ્તરણ મર્યાદિત વિભેદક ગેલોઇસ જૂથોને અનુરૂપ હોય છે, સંકલન દ્વારા વિસ્તરણ વિભેદક ગેલોઇસ જૂથના પેટા-ભાગોને અનુરૂપ હોય છે જે 1-પરિમાણીય અને એકશક હોય છે, અને સંકલનના ઘાતાંકો દ્વારા વિસ્તરણ વિભેદક ગેલોઇસ જૂથના પેટા ભાગોને અનુરૂપ હોય છે જે 1-પરિમાણીય અને રિડક્ટિવ (ટોરી) હોય છે. સ્ત્રોતો બાહ્ય કડીઓ વિભેદક બીજગણિત