Reversible cellular automaton
રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન એ સેલ્યુલર ઓટોમેટન છે જેમાં દરેક રૂપરેખાંકન એક અનન્ય પુરોગામી ધરાવે છે. એટલે કે, તે કોષોનું નિયમિત ગ્રીડ છે, જેમાં દરેકમાં સ્થિતિઓના મર્યાદિત સમૂહમાંથી દોરવામાં આવેલી સ્થિતિ હોય છે, જેમાં તેમના પડોશીઓની સ્થિતિના આધારે તમામ કોષોને એક સાથે અપડેટ કરવા માટેનો નિયમ હોય છે, જેમ કે અપડેટ પહેલાં કોઈપણ કોષની અગાઉની સ્થિતિ તમામ કોષોની અદ્યતન સ્થિતિઓમાંથી અનન્ય રીતે નક્કી કરી શકાય છે. રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનની સમય-વિપરીત ગતિશીલતાને હંમેશા અન્ય સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, સંભવતઃ ઘણા મોટા પડોશ પર. રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા નિયમોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ જાણીતી છે; તેમાં બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં દરેક અપડેટ કોષોને બ્લોકમાં વિભાજીત કરે છે અને દરેક બ્લોક પર અલગથી ઇન્વર્ટિબલ ફંક્શન લાગુ કરે છે, અને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેલ્યુલર ઓટોમેટન પદ્ધતિ, જેમાં અપડેટ નિયમ ઓટોમેટનના અગાઉના બે પગલાઓમાંથી સ્થિતિઓને જોડે છે. જ્યારે ઓટોમેટનને આમાંની કોઈ એક પદ્ધતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી, પરંતુ તેના બદલે તેને નિયમ કોષ્ટક તરીકે આપવામાં આવે છે, ત્યારે તે ઉલટાવી શકાય તેવું છે કે કેમ તે ચકાસવાની સમસ્યા બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટા અને એક-પરિમાણીય સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે ઉકેલી શકાય છે, પરંતુ અન્ય પ્રકારના સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે અનિશ્ચિત છે. રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા રિવર્સિબલ કમ્પ્યુટિંગનું કુદરતી મોડેલ બનાવે છે, જે એક એવી તકનીક છે જે અલ્ટ્રા-લો-પાવર કમ્પ્યુટિંગ ઉપકરણો તરફ દોરી શકે છે. ક્વોન્ટમ સેલ્યુલર ઓટોમેટા, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કરવાની એક રીત, ઘણીવાર ઉલટાવી શકાય તેવી હોવી જરૂરી છે. વધુમાં, ભૌતિક મોડેલિંગમાં ઘણી સમસ્યાઓ, જેમ કે આદર્શ ગેસમાં કણોની ગતિ અથવા ચુંબકીય ચાર્જના સંરેખણનું આઇસિંગ મોડેલ, કુદરતી રીતે ઉલટાવી શકાય તેવું છે અને ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટા દ્વારા તેનું અનુકરણ કરી શકાય છે. રિવર્સિબિલિટી સંબંધિત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ સેલ્યુલર ઓટોમેટાનો અભ્યાસ કરવા માટે પણ થઈ શકે છે જે તેમની સમગ્ર રૂપરેખાંકન જગ્યા પર રિવર્સિબલ નથી, પરંતુ જે એક આકર્ષક તરીકે રૂપરેખાંકન જગ્યાનો સબસેટ ધરાવે છે જે તરફ શરૂઆતમાં તમામ રેન્ડમ રૂપરેખાંકનો ભેગા થાય છે. જેમ કે સ્ટીફન વોલ્ફ્રેમ લખે છે, "એકવાર એક આકર્ષક પર, કોઈપણ સિસ્ટમ-ભલે તેમાં ઉલટાવી શકાય તેવા અંતર્ગત નિયમો ન હોય-અમુક અર્થમાં અંદાજિત ઉલટાવી શકાય તેવું દર્શાવવું આવશ્યક છે". ઉદાહરણો એક-પરિમાણીય ઓટોમેટા સેલ્યુલર ઓટોમેટનને તેના કોષો (ઘણીવાર એક-અથવા બે-પરિમાણીય શ્રેણી) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, મૂલ્યો અથવા સ્થિતિઓનો મર્યાદિત સમૂહ કે જે દરેક કોષમાં જઈ શકે છે, દરેક કોષને નજીકના કોષોના મર્યાદિત સમૂહ સાથે જોડતો પડોશ, અને એક સુધારા નિયમ કે જેના અનુસાર તમામ કોષોના મૂલ્યો તેમના પડોશી કોષોના મૂલ્યોના કાર્ય તરીકે એક સાથે અપડેટ કરવામાં આવે છે. સૌથી સરળ શક્ય સેલ્યુલર ઓટોમેટા કોષોની એક-પરિમાણીય શ્રેણી ધરાવે છે, જેમાં દરેક કોષ દ્વિસંગી મૂલ્ય (0 અથવા 1) ધરાવી શકે છે, જેમાં દરેક કોષનો પડોશ માત્ર તેનો બનેલો હોય છે અને બંને બાજુ તેના બે નજીકના કોષો હોય છે; જેને પ્રાથમિક સેલ્યુલર ઓટોમેટા કહેવામાં આવે છે. જો આવા ઓટોમેટન માટે અપડેટ નિયમ દરેક કોષને હંમેશા એક જ સ્થિતિમાં રહેવાનું કારણ બને છે, તો ઓટોમેટન ઉલટાવી શકાય તેવું છેઃ તમામ કોષોની અગાઉની સ્થિતિ તેમની વર્તમાન સ્થિતિમાંથી પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે, કારણ કે દરેક કોષ માટે અગાઉની અને વર્તમાન સ્થિતિઓ સમાન હોય છે. તેવી જ રીતે, જો અપડેટ નિયમ દરેક કોષને તેની સ્થિતિને 0 થી 1 અને તેનાથી ઊલટું બદલવાનું કારણ બને છે, અથવા જો તે કોષને નિશ્ચિત પડોશી કોષમાંથી સ્થિતિની નકલ કરવાનું કારણ બને છે, અથવા જો તે તેને સ્થિતિની નકલ કરવાનું કારણ બને છે અને પછી તેની કિંમતને ઉલટાવી દે છે, તો તે આવશ્યકપણે ઉલટાવી શકાય તેવું છે. આ પ્રકારના રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટાને કૉલ કરો, જેમાં દરેક કોષની સ્થિતિ માત્ર એક પડોશી કોષની અગાઉની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે, "તુચ્છ". તેની સરળતા હોવા છતાં, અદ્યતન નિયમ કે જે દરેક કોષને પડોશી કોષની સ્થિતિની નકલ કરવા માટેનું કારણ બને છે તે પ્રતીકાત્મક ગતિશીલતાના સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ છે, જ્યાં તેને શિફ્ટ નકશા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. થોડી ઓછી તુચ્છ રીતે, ધારો કે કોષો ફરીથી એક-પરિમાણીય શ્રેણી બનાવે છે, પરંતુ દરેક સ્થિતિ એક ક્રમબદ્ધ જોડી (l, r) છે જેમાં ડાબો ભાગ l અને જમણો ભાગ r હોય છે, દરેક સંભવિત મૂલ્યોના મર્યાદિત સમૂહમાંથી દોરવામાં આવે છે. સંક્રમણ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરો જે કોષના ડાબા ભાગને તેના ડાબા પાડોશીનો ડાબો ભાગ અને કોષનો જમણો ભાગ તેના જમણા પાડોશીનો જમણો ભાગ તરીકે સુયોજિત કરે છે. એટલે કે, જો ડાબા પાડોશીની સ્થિતિ છે અને જમણા પાડોશીની સ્થિતિ છે, તો કોષની નવી સ્થિતિ એ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત જોડી મુજબની કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને આ સ્થિતિઓના સંયોજનનું પરિણામ છે. આ રચનાનું ઉદાહરણ ચિત્રમાં આપવામાં આવ્યું છે, જેમાં ડાબો ભાગ ગ્રાફિકલી રીતે આકાર તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યો છે અને જમણો ભાગ રંગ તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યો છે; આ ઉદાહરણમાં, દરેક કોષને તેના ડાબા પાડોશીના આકાર અને તેના જમણા પાડોશીના રંગ સાથે અપડેટ કરવામાં આવ્યો છે. પછી આ ઓટોમેટન ઉલટાવી શકાય તેવું છેઃ દરેક જોડીની ડાબી બાજુના મૂલ્યો જમણી તરફ સ્થળાંતર કરે છે અને જમણી બાજુના મૂલ્યો ડાબી તરફ સ્થળાંતર કરે છે, તેથી દરેક કોષની અગાઉની સ્થિતિ પડોશી કોષોમાં આ મૂલ્યોને શોધીને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ ઓટોમેટનમાં સ્થિતિઓની જોડીને જોડવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી કામગીરી એક બીજગણિત માળખું બનાવે છે જે લંબચોરસ બેન્ડ તરીકે ઓળખાય છે. દશાંશ સંખ્યાઓનો બે અથવા પાંચ વડે ગુણાકાર એક પરિમાણીય ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટન દ્વારા કરી શકાય છે, જેમાં કોષ દીઠ દસ અવસ્થાઓ (દસ દશાંશ અંકો) હોય છે. ઉત્પાદનનો દરેક અંક માત્ર આપેલ સંખ્યામાં બે અંકોના પડોશ પર આધાર રાખે છેઃ એક જ સ્થાને અંક અને જમણી બાજુએ એક સ્થાન. વધુ સામાન્ય રીતે, ગુણક અથવા વિભાજક દ્વારા કોઈપણ મૂળાક્ષરોમાં બમણા અનંત અંક ક્રમનો ગુણાકાર અથવા વિભાજન, જેના તમામ મુખ્ય પરિબળો પણ મુખ્ય પરિબળો છે, તે એક એવી કામગીરી છે જે સેલ્યુલર ઓટોમેટન બનાવે છે કારણ કે તે ફક્ત નજીકના અંકોની મર્યાદિત સંખ્યા પર આધાર રાખે છે, અને ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમોના અસ્તિત્વને કારણે ઉલટાવી શકાય તેવું છે. અન્ય મૂલ્યો દ્વારા ગુણાકાર (દાખલા તરીકે, દશાંશ સંખ્યાઓનો ત્રણ દ્વારા ગુણાકાર) ઉલટાવી શકાય તેવું રહે છે, પરંતુ તે સેલ્યુલર ઓટોમેટનને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, કારણ કે પરિણામમાં એક અંક નક્કી કરવા માટે જરૂરી પ્રારંભિક મૂલ્યમાં અંકોની સંખ્યા પર કોઈ નિશ્ચિત બંધન નથી. ત્યાં કોઈ બિન-તુચ્છ ઉલટાવી શકાય તેવું પ્રાથમિક સેલ્યુલર ઓટોમેટા નથી. જો કે, નિયર-મિસ નિયમ 90 અને અન્ય પ્રાથમિક સેલ્યુલર ઓટોમેટા દ્વારા વિશિષ્ટ અથવા કાર્યના આધારે પ્રદાન કરવામાં આવે છે. નિયમ 90 માં, દરેક કોષની સ્થિતિ તેના બે પડોશીઓની વિશિષ્ટ અથવા અગાઉની સ્થિતિ છે. વિશિષ્ટનો આ ઉપયોગ અથવા સંક્રમણ નિયમને સ્થાનિક રીતે ઉલટાવી શકાય તેવું બનાવે છે, તે અર્થમાં કે આ નિયમ દ્વારા રાજ્યોના કોઈપણ સંલગ્ન અનુગામી પેદા કરી શકાય છે. નિયમ 90 એ રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમ નથી, કારણ કે નિયમ 90 માં કોષોની સંપૂર્ણ શ્રેણીમાં સ્થિતિઓની દરેક સોંપણીમાં બરાબર ચાર સંભવિત પુરોગામી હોય છે, જ્યારે રિવર્સિબલ નિયમોમાં દરેક રૂપરેખાંકન દીઠ બરાબર એક પુરોગામી હોવો જરૂરી છે. ક્રિટર્સના નિયમ કોનવેની ગેમ ઓફ લાઇફ, સૌથી પ્રસિદ્ધ સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમોમાંથી એક, ઉલટાવી શકાય તેવું નથીઃ દાખલા તરીકે, તેમાં ઘણી પેટર્ન છે જે સંપૂર્ણપણે મરી જાય છે, તેથી જે રૂપરેખાંકનમાં તમામ કોષો મૃત છે તેમાં ઘણા પુરોગામી છે, અને તેમાં ગાર્ડન ઓફ એડન પેટર્ન પણ છે જેમાં કોઈ પુરોગામી નથી. જો કે, તેના શોધકો, ટોમાસો ટોફોલી અને નોર્મન માર્ગોલસ દ્વારા "ક્રિટર્સ" તરીકે ઓળખાતો બીજો નિયમ ઉલટાવી શકાય તેવો છે અને તે જીવન જેવું જ ગતિશીલ વર્તન ધરાવે છે. ક્રિટર્સ નિયમ એ બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન છે, જેમાં દરેક તબક્કે, ઓટોમેટનના કોષોને 2 × 2 બ્લોકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને દરેક બ્લોકને અન્ય બ્લોકથી સ્વતંત્ર રીતે અપડેટ કરવામાં આવે છે. તેનું સંક્રમણ કાર્ય દરેક કોષની સ્થિતિને એક બ્લોકમાં ફેરવે છે જેમાં બરાબર બે જીવંત કોષો નથી, અને વધુમાં બરાબર ત્રણ જીવંત કોષો સાથે 180 ° બ્લોક દ્વારા ફરે છે. કારણ કે આ કાર્ય ઉલટાવી શકાય તેવું છે, આ નિયમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઓટોમેટન એક ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટન છે. જ્યારે મૃત કોષોના મોટા પ્રદેશમાં કેન્દ્રિત રેન્ડમ કોષોના નાના ક્ષેત્ર સાથે શરૂઆત કરવામાં આવે છે, ત્યારે લાઇફના ગ્લાઈડર જેવી ઘણી નાની પેટર્ન કેન્દ્રીય રેન્ડમ વિસ્તારમાંથી છટકી જાય છે અને એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. ક્રિટર્સનો નિયમ વિવિધ ગતિના વધુ જટિલ અવકાશયાન તેમજ અનંત વિવિધ સમયગાળા સાથેના ઓસિલેટરને પણ ટેકો આપી શકે છે. રચનાઓ સેલ્યુલર ઓટોમેટનના નિયમો બનાવવા માટે કેટલીક સામાન્ય પદ્ધતિઓ જાણીતી છે જે આપમેળે ઉલટાવી શકાય તેવા હોય છે. બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન એ એક ઓટોમેટન છે, જેના પર દરેક સમયના પગલામાં, ઓટોમેટનના કોષોને એકરૂપ ઉપગણ (જેને બ્લોક કહેવાય છે) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને તે જ પરિવર્તન દરેક બ્લોક પર સ્વતંત્ર રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે. લાક્ષણિક રીતે, આવા ઓટોમેટન બ્લોકમાં એક કરતાં વધુ પાર્ટીશનનો ઉપયોગ કરશે, અને સિસ્ટમના જુદા જુદા સમયના પગલાઓ પર આ પાર્ટીશનો વચ્ચે ફેરવશે. આ ડિઝાઇનના વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતા સ્વરૂપમાં, જેને માર્ગોલસ પડોશી કહેવાય છે, ઓટોમેટનના કોષો ચોરસ ગ્રીડ બનાવે છે અને દરેક તબક્કે મોટા 2 × 2 ચોરસ બ્લોકમાં વિભાજિત થાય છે. એક સમયના પગલા પર બ્લોકનું કેન્દ્ર આગામી સમયના પગલા પર ચાર બ્લોકનો ખૂણો બની જાય છે, અને ઊલટું; આ રીતે, દરેક 2 × 2 માં ચાર કોષો અગાઉના પાર્ટીશનના ચાર અલગ-અલગ 2 × 2 ચોરસના છે. ઉપર ચર્ચા કરાયેલ ક્રિટર્સ નિયમ આ પ્રકારના ઓટોમેટનનું ઉદાહરણ છે. બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે રિવર્સિબલ નિયમોની રચના કરવી, અને આપેલ નિયમ રિવર્સિબલ છે કે કેમ તે નક્કી કરવું સરળ છેઃ બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટનને રિવર્સિબલ બનાવવા માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ઓટોમેટનના દરેક તબક્કે વ્યક્તિગત બ્લોક પર લાગુ થયેલ પરિવર્તન પોતે જ રિવર્સિબલ હોય. જ્યારે બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન ઉલટાવી શકાય તેવું હોય છે, ત્યારે તેની ગતિશીલતાના સમય-વિપરીત સંસ્કરણને સમાન બ્લોક માળખા સાથે બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન તરીકે પણ વર્ણવી શકાય છે, જેમાં બ્લોકમાં કોષોના પાર્ટીશનોના સમય-વિપરીત ક્રમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને દરેક બ્લોક માટે સંક્રમણ કાર્ય મૂળ નિયમનું વ્યસ્ત કાર્ય છે. ઈરીવર્સિબલ ઓટોમેટાનું અનુકરણ દર્શાવે છે કે કોઈપણ ઈરીવર્સિબલ-ડાયમેન્શનલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમને ઈરીવર્સિબલ-ડાયમેન્શનલ નિયમમાં કેવી રીતે જોડવો. નવા ઉલટાવી શકાય તેવા નિયમનો દરેક-પરિમાણીય ટુકડો મૂળ નિયમના એક જ સમયના પગલાનું અનુકરણ કરે છે. આ રીતે, ટોફોલીએ દર્શાવ્યું હતું કે ઉલટાવી ન શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટાની ઘણી લાક્ષણિકતાઓ, જેમ કે મનસ્વી ટ્યુરિંગ મશીનોનું અનુકરણ કરવાની ક્ષમતા, પણ ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ટોફોલીએ અનુમાન લગાવ્યું અને સાબિત કર્યું તેમ, ટોફોલીની પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવેલા પરિમાણમાં વધારો તેની વ્યાપકતા માટે જરૂરી ચુકવણી છેઃ હળવી ધારણાઓ હેઠળ (જેમ કે એમ્બેડિંગનું અનુવાદ-ભિન્નતા), સેલ્યુલર ઓટોમેટનનું કોઈપણ એમ્બેડિંગ કે જે ગાર્ડન ઓફ એડનને રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં ધરાવે છે તેણે પરિમાણમાં વધારો કરવો જ જોઇએ. અન્ય પ્રકારના અનુકરણનું વર્ણન કરે છે જે હર્ટલિંગની ધારણાઓનું પાલન કરતું નથી અને પરિમાણમાં ફેરફાર કરતું નથી. મોરિટાની પદ્ધતિ કોઈપણ અપરિવર્તનીય ઓટોમેટનની મર્યાદિત રૂપરેખાંકનોનું અનુકરણ કરી શકે છે જેમાં "શાંત" અથવા "મૃત" સ્થિતિ હોય છે, જેમ કે જો કોઈ કોષ અને તેના તમામ પડોશીઓ શાંત હોય તો પછીના પગલામાં કોષ શાંત રહે છે. સિમ્યુલેશન મૂળ અપરિવર્તનીય ઓટોમેટન જેવા જ પરિમાણના ઉલટાવી શકાય તેવા બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટનનો ઉપયોગ કરે છે. સિમ્યુલેટેડ ઓટોમેટનના ઉલટાવી ન શકાય તેવા પગલાઓ દ્વારા જે માહિતીનો નાશ થશે તે તેના બદલે સિમ્યુલેટિંગ ઓટોમેટનના અનંત શાંત પ્રદેશમાં રૂપરેખાંકનથી દૂર મોકલવામાં આવે છે. આ સિમ્યુલેશન સિમ્યુલેટેડ ઓટોમેટનના તમામ કોષોને એક સાથે અપડેટ કરતું નથી; તેના બદલે, એક જ પગલાનું અનુકરણ કરવાનો સમય સિમ્યુલેટેડ કરવામાં આવતા રૂપરેખાંકનના કદના પ્રમાણમાં હોય છે. તેમ છતાં, સિમ્યુલેશન સિમ્યુલેટેડ ઓટોમેટનની વર્તણૂકને ચોક્કસપણે જાળવી રાખે છે, જાણે કે તેના તમામ કોષો એક સાથે અપડેટ થઈ રહ્યા હોય. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તે બતાવવું શક્ય છે કે એક-પરિમાણીય ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટા પણ સાર્વત્રિક ગણતરી માટે સક્ષમ છે. સેકન્ડ ઓર્ડર સેલ્યુલર ઓટોમેટન તકનીક એ કોઈપણ સેલ્યુલર ઓટોમેટનને રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં રૂપાંતરિત કરવાની એક પદ્ધતિ છે, જેની શોધ એડવર્ડ ફ્રેડકિન દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને 1984માં પ્રથમ વખત અન્ય કેટલાક લેખકો દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. આ તકનીકમાં, સમયે ઓટોમેટનમાં દરેક કોષની સ્થિતિ એ સમયે તેના પડોશ અને સમયે તેની પોતાની સ્થિતિ બંનેનું કાર્ય છે. ખાસ કરીને, ઓટોમેટનનું સંક્રમણ કાર્ય દરેક પડોશને સમયાંતરે સ્થિતિઓના સમૂહ પર ક્રમચય માટે નકશો બનાવે છે, અને પછી તે ક્રમચયને તે સમયે સ્થિતિ પર લાગુ કરે છે. ઓટોમેટનની રિવર્સ ડાયનેમિક્સની ગણતરી દરેક પડોશને ઇન્વર્સ ક્રમચયમાં મેપિંગ કરીને અને તે જ રીતે આગળ વધીને કરી શકાય છે. દ્વિસંગી-મૂલ્યની સ્થિતિઓ (શૂન્ય અથવા એક) સાથે ઓટોમેટાના કિસ્સામાં, સ્થિતિઓ પર માત્ર બે સંભવિત ક્રમચયો છે (ઓળખ ક્રમચયો અને ક્રમચયો કે જે બે સ્થિતિઓને અદલાબદલી કરે છે), જે પોતાને વિશિષ્ટ અથવા દ્વિસંગી મૂલ્ય ધરાવતી સ્થિતિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ રીતે, કોઈપણ પરંપરાગત બે-મૂલ્યવાન સેલ્યુલર ઓટોમેટનને તે સમયે સ્થિતિઓ પર પરંપરાગત ઓટોમેટનના સંક્રમણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને બીજા ક્રમના સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને પછી તે સમયે સ્થિતિઓ નક્કી કરવા માટે વિશિષ્ટ અથવા આ સ્થિતિઓની ગણતરી કરી શકાય છે. જો કે, આ રીતે નિર્ધારિત રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનનું વર્તન સેલ્યુલર ઓટોમેટનના વર્તન સાથે કોઈ સામ્યતા ધરાવતું નથી, જેમાંથી તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું. કોઈપણ સેકન્ડ-ઓર્ડર ઓટોમેટનને પરંપરાગત સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જેમાં સંક્રમણ કાર્ય માત્ર એક જ અગાઉના સમયના પગલા પર આધાર રાખે છે, જેમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર ઓટોમેટનના સતત સમયના પગલાઓથી પરંપરાગત સેલ્યુલર ઓટોમેટનની એક સ્થિતિમાં સ્થિતિઓની જોડીને જોડવામાં આવે છે. સંરક્ષિત લેન્ડસ્કેપ એક પરિમાણીય સેલ્યુલર ઓટોમેટન છે જે ચાર સંલગ્ન કોષો ધરાવતા પડોશનો ઉપયોગ કરે છે. આ ઓટોમેટનમાં, કોષ જ્યારે પણ "?" પર કબજો કરે છે ત્યારે તેની સ્થિતિ પલટી જાય છે. "0? 10" પેટર્નમાં સ્થિતિ. આવી કોઈ બે પેટર્ન ઓવરલેપ થઈ શકતી નથી, તેથી ફ્લીપ કરેલા કોષની આસપાસ સમાન "લેન્ડસ્કેપ" સંક્રમણ પછી પણ હાજર રહે છે. આગળના પગલામાં, કોષ એ જ "?" માં છે. સ્થિતિ ફરીથી તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા ફરશે. તેથી, આ ઓટોમેટન તેનું પોતાનું વ્યસ્ત છે, અને ઉલટાવી શકાય તેવું છે. પૅટે નાના પડોશીઓ સાથે તમામ દ્વિ-સ્થિતિ એક-પરિમાણીય સેલ્યુલર ઓટોમેટાની બ્રુટ ફોર્સ સર્ચ કરી હતી; આ શોધ આ ઓટોમેટનની શોધ તરફ દોરી ગઈ, અને દર્શાવ્યું કે તે સૌથી સરળ શક્ય બિન-તુચ્છ એક-પરિમાણીય દ્વિ-સ્થિતિ ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટન હતું. થ્રી-સેલ પડોશીઓ સાથે કોઈ બિન-તુચ્છ રિવર્સિબલ ટુ-સ્ટેટ ઓટોમેટા નથી, અને ફોર-સેલ પડોશીઓ સાથે તમામ ટુ-સ્ટેટ રિવર્સિબલ ઓટોમેટા પેટના ઓટોમેટન પર સરળ પ્રકારો છે. પેટના ઓટોમેટનને રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા ડિઝાઇન કરવા માટે "સંરક્ષિત લેન્ડસ્કેપ" તકનીકના ઉદાહરણ તરીકે ભૂતકાળમાં જોઈ શકાય છે. આ તકનીકમાં, કોષની સ્થિતિમાં ફેરફાર પડોશીઓના સમૂહ વચ્ચેની પેટર્ન દ્વારા શરૂ થાય છે જે પોતે સ્થિતિ બદલતા નથી. આ રીતે, સમાન પેટર્નના અસ્તિત્વનો ઉપયોગ ઓટોમેટનની સમય-વિપરીત ગતિશીલતામાં વ્યસ્ત ફેરફારને ટ્રિગર કરવા માટે થઈ શકે છે. પેટની ઓટોમેટન ખૂબ જ સરળ ગતિશીલતા ધરાવે છે (રૂપરેખાંકનોના તમામ ચક્રીય ક્રમની લંબાઈ બે હોય છે), પરંતુ એક કરતાં વધુ ટ્રિગર પેટર્ન સાથે સમાન સંરક્ષિત લેન્ડસ્કેપ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને ઓટોમેટા વધુ જટિલ વર્તણૂક માટે સક્ષમ છે. ખાસ કરીને તેઓ કોઈપણ સેકન્ડ ઓર્ડર સેલ્યુલર ઓટોમેટનનું અનુકરણ કરી શકે છે. એસ. એ. એલ. ટી. મોડેલ એ સંરક્ષિત લેન્ડસ્કેપ તકનીકનો એક વિશેષ કેસ છે. આ મોડેલમાં, પૂર્ણાંક ગ્રીડના કોષોને સમ અને વિષમ ઉપગણમાં વહેંચવામાં આવે છે. દરેક સમયના તબક્કામાં એક સમાનતાના કોષોની ચોક્કસ જોડીની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, જે અન્ય સમાનતાના નજીકના કોષોની ગોઠવણી પર આધારિત હોય છે. આ મોડેલનો ઉપયોગ કરતા નિયમો બિલિયર્ડ બોલ કમ્પ્યુટરનું અનુકરણ કરી શકે છે, અથવા જીવંત કોષોના લાંબા તારને ટેકો આપી શકે છે જે ઘણી જુદી જુદી ઝડપે આગળ વધી શકે છે અથવા ઘણી જુદી જુદી આવર્તન પર કંપન કરી શકે છે. એક સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં કોષોની શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંના દરેકમાં સંભવિત સ્થિતિઓની મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે, સાથે સાથે માત્ર પડોશી કોષોની સ્થિતિ પર આધારિત તમામ કોષોને એક સાથે અપડેટ કરવાના નિયમ સાથે. સેલ્યુલર ઓટોમેટનનું રૂપરેખાંકન એ ઓટોમેટનના દરેક કોષને સ્થિતિની સોંપણી છે; સેલ્યુલર ઓટોમેટનનો અપડેટ નિયમ રૂપરેખાંકનોથી માંડીને રૂપરેખાંકનો સુધી કાર્ય બનાવે છે, જેમાં કોઈ પણ કોષનું અપડેટ કરેલું મૂલ્ય માત્ર કોષના અમુક મર્યાદિત પડોશ પર આધાર રાખે છે અને ઇનપુટ એરેના અનુવાદો હેઠળ કાર્ય અપરિવર્તનશીલ છે. આ વ્યાખ્યાઓ સાથે, સેલ્યુલર ઓટોમેટન ત્યારે ઉલટાવી શકાય તેવું હોય છે જ્યારે તે નીચેની કોઈપણ શરતને સંતોષે છે, જે તમામ ગાણિતિક રીતે એકબીજાની સમકક્ષ હોય છેઃ ઓટોમેટનના દરેક રૂપરેખાંકનમાં એક અનન્ય પુરોગામી હોય છે જે તેને અપડેટ નિયમ દ્વારા મેપ કરવામાં આવે છે. ઓટોમેટનનો અપડેટ નિયમ બાયજેક્શન છે; એટલે કે, એક એવું કાર્ય જે એક-થી-એક અને બંને પર હોય છે. અપડેટ નિયમ એક ઇન્જેક્ટિવ ફંક્શન છે, એટલે કે, ત્યાં કોઈ બે રૂપરેખાંકનો નથી કે જે બંને સમાન સામાન્ય રૂપરેખાંકનમાં મેપ કરે. આ શરત દેખીતી રીતે એ ધારણા દ્વારા ગર્ભિત છે કે અપડેટ નિયમ એક બાયજેક્શન છે. બીજી દિશામાં, સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે ગાર્ડન ઓફ એડન થીયરમ સૂચવે છે કે દરેક ઇન્જેક્ટિવ અપડેટ નિયમ બાયજેક્ટિવ છે. ઓટોમેટનની સમય-વિપરીત ગતિશીલતાને અન્ય સેલ્યુલર ઓટોમેટન દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. સ્પષ્ટપણે, આ શક્ય બનવા માટે, અપડેટનો નિયમ બાયજેક્ટિવ હોવો જોઈએ. બીજી દિશામાં, જો અપડેટ નિયમ બાયજેક્ટિવ હોય, તો તે ઇન્વર્સ ફંક્શન ધરાવે છે જે બાયજેક્ટિવ પણ છે. આ ઇન્વર્સ ફંક્શન સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમ હોવો જોઈએ. આ હકીકતનો પુરાવો કર્ટિસ-હેડલન્ડ-લિન્ડન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે, જે સેલ્યુલર ઓટોમેટા નિયમોનું ટોપોલોજિકલ લાક્ષણિકતા છે જે અનુવાદ-અપરિવર્તનશીલ કાર્યો તરીકે છે જે રૂપરેખાંકનોની જગ્યા પર કેન્ટોર ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં સતત છે. ઓટોમેટનનો અદ્યતન નિયમ એ સ્થિતિ અવકાશ અને કોષોના જાળીના અનુવાદો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શિફ્ટ ડાયનેમિકલ સિસ્ટમનું ઓટોમોર્ફિઝમ છે. એટલે કે, તે એક હોમોમોર્ફિઝમ છે જે કર્ટિસ-હેડલન્ડ-લિન્ડન પ્રમેય સૂચવે છે તેમ શિફ્ટ નકશા સાથે પરિવર્તિત થાય છે. સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે રિવર્સિબિલિટીની કેટલીક વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરો. આમાંના મોટાભાગના ઇન્જેક્ટિવિટી અથવા ઓટોમેટનના સંક્રમણ કાર્યની સર્જેક્ટિવિટીની સમકક્ષ હોવાનું બહાર આવ્યું છે; જો કે, એક વધુ વિકલ્પ છે જે આ બે વ્યાખ્યાઓમાંથી કોઈપણ સાથે મેળ ખાતો નથી. તે ગેમ ઓફ લાઇફ જેવા ઓટોમેટા પર લાગુ પડે છે જે શાંત અથવા મૃત સ્થિતિ ધરાવે છે. આવા ઓટોમેટનમાં, કોઈ પણ રૂપરેખાંકનને "મર્યાદિત" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જો તેમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા બિન-શાંત કોષો હોય, અને કોઈ પણ ઓટોમેટાના વર્ગને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે જેના માટે દરેક મર્યાદિત રૂપરેખાંકનમાં ઓછામાં ઓછું એક મર્યાદિત પુરોગામી હોય છે. આ વર્ગ સર્જેક્ટિવ અને ઇન્જેક્ટિવ ઓટોમેટા બંનેથી અલગ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને કેટલાક અનુગામી સંશોધનમાં, આ ગુણધર્મ સાથેના ઓટોમેટાને ઇન્વર્ટિબલ ફાઇનાઇટ ઓટોમેટા કહેવામાં આવે છે. રિવર્સિબિલિટી પરીક્ષણ તે સૌપ્રથમ દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આપેલ એક-પરિમાણીય સેલ્યુલર ઓટોમેટનની રિવર્સિબિલિટી પરીક્ષણની સમસ્યાનો અલ્ગોરિધમિક ઉકેલ છે. ઓટોમેટા થિયરી અને ડી બ્રુઇજન ગ્રાફ પર આધારિત વૈકલ્પિક અલ્ગોરિધમ્સ અનુક્રમે અને દ્વારા આપવામાં આવ્યા હતા. કુલિક એ નિરીક્ષણ સાથે શરૂ થાય છે કે સેલ્યુલર ઓટોમેટન ઇન્જેક્ટીવ ટ્રાન્ઝીશન ફંક્શન ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ટ્રાન્ઝીશન ફંક્શન સામયિક રૂપરેખાંકનોના સબસેટ પર ઇન્જેક્ટીવ હોય (બંને દિશામાં અનંત વખત સમાન સબસ્ટ્રિંગનું પુનરાવર્તન). તે બિનનિર્ધારણીય મર્યાદિત-સ્થિતિ ટ્રાન્સડ્યુસરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે સામયિક શબ્દમાળાઓ પર ઓટોમેટનનો સંક્રમણ નિયમ કરે છે. આ ટ્રાન્સડ્યુસર સ્ટ્રિંગની શરૂઆતમાં ઓટોમેટનના પડોશને યાદ કરીને અને સ્વીકારવાની સ્થિતિમાં પ્રવેશ કરીને કામ કરે છે જ્યારે તે પડોશ ઇનપુટના અંત સુધી જોડાય છે જે તેના બિનનિર્ધારિત રીતે પસંદ કરેલા સંક્રમણોને સાચા બનાવે છે. કુલિક પછી ટ્રાન્સડ્યુસરના ઇનપુટ અને આઉટપુટને અદલાબદલી કરે છે. આ સ્વેપમાંથી પરિણમતું ટ્રાન્સડ્યુસર આપેલ ઓટોમેટનની વ્યસ્ત ગતિશીલતાનું અનુકરણ કરે છે. છેવટે, કુલિક એ ચકાસવા માટે અગાઉ જાણીતા અલ્ગોરિધમ્સ લાગુ કરે છે કે પરિણામી અદલાબદલી કરેલ ટ્રાન્સડ્યુસર દરેક ઇનપુટને એક જ આઉટપુટમાં મેપ કરે છે કે કેમ. સટનર નિર્દેશિત આલેખ (ડી બ્રુઇજન આલેખનો એક પ્રકાર) ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાં દરેક શિરોબિંદુ કોષોના સંલગ્ન ક્રમમાં કોષો માટે સ્થિતિઓની સોંપણીની જોડીને રજૂ કરે છે. આ ક્રમની લંબાઈ ઓટોમેટનના પડોશના કદ કરતાં એક ઓછી હોવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે. સટનરના આલેખમાં એક ધાર કોષોના ક્રમની જોડીને રજૂ કરે છે જે એક કોષ સિવાયના બધામાં ઓવરલેપ થાય છે, જેથી અનુક્રમોનું જોડાણ સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં સંપૂર્ણ પડોશ હોય છે. આવી દરેક ધાર ડાબી બાજુએ ઓવરલેપિંગ અનુગામીથી જમણી બાજુએ અનુગામી તરફ નિર્દેશિત થાય છે. ધારનો ગ્રાફમાં ત્યારે જ સમાવેશ થાય છે જ્યારે તેઓ તેમના કોષ ક્રમના ઓવરલેપિંગ ભાગો પર સુસંગત સ્થિતિ સોંપણીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને જ્યારે ઓટોમેટન નિયમ (સંભવિત ધાર દ્વારા નિર્ધારિત પડોશ પર લાગુ થાય છે) રાજ્યોની બંને સોંપણીઓ માટે સમાન પરિણામો આપશે. આ આલેખનું રેખીય-સમયનું મજબૂત જોડાણ વિશ્લેષણ કરીને, તે નક્કી કરવું શક્ય છે કે તેના કયા શિરોબિંદુઓ ચક્ર સાથે સંબંધિત છે. સંક્રમણ નિયમ બિન-ઇન્જેક્ટીવ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ આલેખમાં નિર્દેશિત ચક્ર હોય જેમાં ઓછામાં ઓછા એક શિરોબિંદુમાં બે અલગ સ્થિતિ સોંપણીઓ હોય. આ પદ્ધતિઓ બહુપદી સમય લે છે, જે ઇનપુટ ઓટોમેટનના સ્થિતિ સંક્રમણ કોષ્ટકના કદના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. સંબંધિત અલ્ગોરિધમ નક્કી કરે છે કે જ્યારે સામયિક સીમા શરતો સાથે કોષોના મર્યાદિત-લંબાઈના એરે પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે આપેલ નિયમ સર્જેક્ટિવ છે કે કેમ, અને જો એમ હોય તો, કઈ લંબાઈ માટે. બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન માટે, પરીક્ષણ ઉલટાવી શકાય તેવું પણ સરળ છેઃ ઓટોમેટન ત્યારે જ ઉલટાવી શકાય તેવું છે જ્યારે ઓટોમેટનના બ્લોક પરનું સંક્રમણ કાર્ય ઉલટાવી શકાય તેવું હોય, અને આ કિસ્સામાં રિવર્સ ઓટોમેટનમાં વ્યસ્ત સંક્રમણ કાર્ય સાથે સમાન બ્લોક માળખું હોય. જો કે, બે અથવા વધુ પરિમાણોમાં અન્ય પડોશીઓ સાથે સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે, પરીક્ષણની ઉલટાવી શકાય તેવી સમસ્યા અનિર્ણાયક છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ અલ્ગોરિધમ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકતું નથી જે હંમેશા સમસ્યાને અટકાવે છે અને હંમેશા યોગ્ય રીતે જવાબ આપે છે. આ હકીકતનો પુરાવો વાંગ ટાઇલ્સ દ્વારા પ્લેનને ટાઇલિંગની અગાઉ જાણીતી અનિર્ણાયકતા પર આધારિત છે, તેમની ધાર પર નિશાનો સાથે ચોરસ ટાઇલ્સના સેટ જે ટાઇલ્સની કઈ જોડી ધાર-થી-ધાર પર ફિટ થઈ શકે છે તે અવરોધે છે. કારી વાંગ ટાઇલ્સના સમૂહમાંથી સેલ્યુલર ઓટોમેટનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમ કે ઓટોમેટન ઇન્જેક્ટિવ બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આપેલ ટાઇલ સેટ સમગ્ર પ્લેનને ટાઇલ કરી શકે. તેમનું બાંધકામ વોન ન્યુમેન પડોશ અને મોટી સંખ્યામાં રાજ્યો ધરાવતા કોષોનો ઉપયોગ કરે છે. એ જ પેપરમાં, કારીએ એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે બે કે તેથી વધુ પરિમાણોનો આપેલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમ સર્જેક્ટિવ છે કે કેમ (એટલે કે, તેમાં ગાર્ડન ઓફ એડન છે કે કેમ) તે ચકાસવું અનિશ્ચિત છે. એક પરિમાણીય રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં કોષ દીઠ સ્થિતિઓ સાથે, જેમાં કોષનો પડોશ કોષોનું અંતરાલ હોય છે, રિવર્સ ડાયનેમિક્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા ઓટોમેટનમાં એવા પડોશ હોય છે જેમાં મોટાભાગના કોષો હોય છે. આ બાઉન્ડ આ માટે ચુસ્ત હોવાનું જાણીતું છેઃ બે-સેલ પડોશીઓ સાથે-સ્ટેટ રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા અસ્તિત્વમાં છે, જેની સમય-વિપરીત ગતિશીલતા ચોક્કસ પડોશી કદ સાથે સેલ્યુલર ઓટોમેટન બનાવે છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે વોન ન્યુમેન પડોશ સાથે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા દ્વિ-પરિમાણીય રિવર્સિબલ-સ્ટેટ સેલ્યુલર ઓટોમેટા હોય છે. તેથી, ત્યાં એક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે જેમ કે વોન ન્યુમેન પડોશ સાથેના-સ્ટેટ સેલ્યુલર ઓટોમેટાના તમામ રિવર્સ મહત્તમ ત્રિજ્યા સાથે પડોશનો ઉપયોગ કરે છેઃ ફક્ત ઓટોમેટનની સમય-વિપરીત ગતિશીલતાને રજૂ કરવા માટે જરૂરી પડોશના કદના તમામ મર્યાદિત રીતે ઘણા રિવર્સિબલ-સ્ટેટ સેલ્યુલર ઓટોમેટામાં મહત્તમ થવા દો. જો કે, કારીના અનિશ્ચિત પરિણામને કારણે, કમ્પ્યુટિંગ માટે કોઈ અલ્ગોરિધમ નથી અને આ કાર્યના મૂલ્યો ખૂબ જ ઝડપથી વધવા જોઈએ, કોઈપણ કોમ્પ્યુટેબલ કાર્ય કરતાં વધુ ઝડપથી. વોલ્ફ્રેમનું વર્ગીકરણ સ્ટીફન વોલ્ફ્રેમ દ્વારા સેલ્યુલર ઓટોમેટાનું જાણીતું વર્ગીકરણ અવ્યવસ્થિત પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર તેમના વર્તનનો અભ્યાસ કરે છે. રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન માટે, જો તમામ સંભવિત રૂપરેખાંકનો વચ્ચે પ્રારંભિક રૂપરેખાંકન એકસમાન રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તે જ સમાન અવ્યવસ્થિતતા પછીની તમામ સ્થિતિઓ માટે ચાલુ રહે છે. આમ એવું જણાય છે કે મોટાભાગના ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટા વોલ્ફ્રેમના ક્લાસ 3: ઓટોમેટા છે જેમાં લગભગ તમામ પ્રારંભિક રૂપરેખાંકનો છદ્મ-અવ્યવસ્થિત અથવા અવ્યવસ્થિત રીતે વિકસિત થાય છે. જો કે, ઓટોમેટનના વર્તન પર સ્થાનિક વિક્ષેપની અસરનું વિશ્લેષણ કરીને વિવિધ રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા વચ્ચે તફાવત કરવો હજુ પણ શક્ય છે. રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં ફેરફાર કરવાથી પછીની સ્થિતિમાં ફેરફારો માત્ર બંધાયેલા પ્રદેશમાં જ રહી શકે છે, અનિયમિત રીતે પરંતુ અમર્યાદિત રીતે પ્રચાર કરી શકે છે, અથવા ઝડપથી ફેલાઈ શકે છે, અને આ ત્રણેય પ્રકારના વર્તનનું પ્રદર્શન કરતા એક-પરિમાણીય રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમોની યાદી બનાવી શકે છે. વોલ્ફ્રેમના પછીના કાર્યમાં એક-પરિમાણીય નિયમ 37R ઓટોમેટનને આ સંદર્ભમાં ખાસ કરીને રસપ્રદ હોવાનું ઓળખવામાં આવ્યું છે. જ્યારે સામયિક સીમા શરતો સાથે કોષોની મર્યાદિત શ્રેણી પર ચાલે છે, ત્યારે મોટા ખાલી પડોશમાં કેન્દ્રિત રેન્ડમ કોષોના નાના બીજથી શરૂ કરીને, તે ક્રમબદ્ધ અને અસ્તવ્યસ્ત સ્થિતિઓ વચ્ચે વધઘટ કરે છે. જો કે, કોષોના અમર્યાદિત સમૂહ પર સમાન પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ સાથે તેની રચનાઓ પોતાને વિવિધ પ્રકારના સરળ ગતિશીલ કણોમાં ગોઠવવાનું વલણ ધરાવે છે. એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિત રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટાને ઔપચારિક બનાવવાની બીજી રીતમાં એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે, અને આ ઔપચારિકરણ રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમો માટે કોમ્પ્યુટરાઈઝ્ડ શોધ વિકસાવવામાં ઉપયોગી રહ્યું છે. અર્ધ-કેન્દ્રીય બિગગ્રુપોઇડને એક બીજગણિત માળખું તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાં તત્વોના સમૂહ અને બે કામગીરીઓ અને તત્વોની જોડીનો સમાવેશ થાય છે, જે બે સમતુલ્ય સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છેઃ બધા તત્વો માટે, અને, અને, અને બધા તત્વો માટે, અને, અને. દાખલા તરીકે, આ બે કામગીરીઓ માટે સાચું છે જેમાં કામગીરી તેની જમણી દલીલ આપે છે અને કામગીરી તેની ડાબી દલીલ આપે છે. બોયકેટ દલીલ કરે છે તેમ, કોઈપણ એક-પરિમાણીય ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટન લંબચોરસ સ્વરૂપમાં ઓટોમેટનની સમકક્ષ હોય છે, જેમાં કોષો દરેક સમયના પગલામાં અડધા એકમને સરભર કરે છે, અને જેમાં ઓટોમેટનની આગળ અને વિપરીત ઉત્ક્રાંતિ બંનેમાં માત્ર બે કોષો સાથે પડોશ હોય છે, કોષો દરેક દિશામાં અડધા એકમ દૂર હોય છે. જો રિવર્સિબલ ઓટોમેટનમાં બે કોષો કરતા મોટા પડોશ હોય, તો તેને નાના પડોશ અને કોષ દીઠ વધુ સ્થિતિઓ સાથે રિવર્સિબલ ઓટોમેટન દ્વારા અનુકરણ કરી શકાય છે, જેમાં સિમ્યુલેટિંગ ઓટોમેટનનો દરેક કોષ સિમ્યુલેટેડ ઓટોમેટનમાં કોષોના સંલગ્ન બ્લોકનું અનુકરણ કરે છે. અર્ધ-કેન્દ્રીય બિગગ્રુપોઇડના બે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો બરાબર એ જ શરતો છે જે આ બે-કોષ પડોશના આગળ અને પાછળના સંક્રમણ કાર્યો પર એકબીજાના વિપરીત બનવા માટે જરૂરી છે. એટલે કે, દરેક અર્ધ-કેન્દ્રીય બિગગ્રુપોઇડ લંબચોરસ સ્વરૂપમાં ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમાં ઓટોમેટનનું સંક્રમણ કાર્ય તેના પડોશના બે કોષોને જોડવા માટે કામગીરીનો ઉપયોગ કરે છે, અને જેમાં કામગીરી સમાન રીતે ઓટોમેટનની વિપરીત ગતિશીલતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. દરેક એક-પરિમાણીય ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટન આ સ્વરૂપમાં એકની સમકક્ષ છે. બોયકેટે આ બીજગણિત રચનાનો ઉપયોગ એલ્ગોરિધમ્સના આધાર તરીકે કર્યો હતો જે તમામ સંભવિત અસમાન ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટાઓની સંપૂર્ણ યાદી આપે છે. સંરક્ષણ કાયદાઓ જ્યારે સંશોધકો ભૌતિક પ્રણાલીઓનું અનુકરણ કરવા માટે રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા ડિઝાઇન કરે છે, ત્યારે તેઓ સામાન્ય રીતે પ્રણાલીના સંરક્ષણ કાયદાને ડિઝાઇનમાં સામેલ કરે છે; દાખલા તરીકે, એક સેલ્યુલર ઓટોમેટન કે જે આદર્શ ગેસનું અનુકરણ કરે છે તે ગેસના કણોની સંખ્યા અને તેમની કુલ ગતિનું સંરક્ષણ કરે છે, અન્યથા તે સચોટ અનુકરણ પ્રદાન કરશે નહીં. જો કે, સંરક્ષણ કાયદાઓ પર કેટલાક સંશોધન પણ થયા છે જે રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટા કોઈપણ ઇરાદાપૂર્વકની રચનાથી સ્વતંત્ર હોઈ શકે છે. આ અભ્યાસોમાં માપવામાં આવેલ સંરક્ષિત જથ્થાનો લાક્ષણિક પ્રકાર, ઓટોમેટનના કોષોના તમામ સંલગ્ન ઉપગણ પર, દરેક ઉપગણમાં કોષોની સ્થિતિઓના અમુક આંકડાકીય કાર્યના સરવાળાનું સ્વરૂપ લે છે. આવા જથ્થાને સંરક્ષિત કરવામાં આવે છે જો, જ્યારે પણ તે મર્યાદિત મૂલ્ય લે છે, ત્યારે તે મૂલ્ય ઓટોમેટનના દરેક સમયના પગલા દરમિયાન આપમેળે સ્થિર રહે છે, અને આ કિસ્સામાં તેને ઓટોમેટનનો th-ક્રમ અપરિવર્તનશીલ કહેવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, લંબચોરસ પટ્ટામાંથી ઉદાહરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત એક-પરિમાણીય સેલ્યુલર ઓટોમેટનને યાદ કરો, જેમાં કોષની સ્થિતિઓ સમૂહોમાંથી દોરેલા મૂલ્યો (l, r) ની જોડી હોય છે અને ડાબી કિંમતો અને જમણી કિંમતો હોય છે, દરેક કોષનું ડાબી કિંમત દરેક સમયે જમણી તરફ આગળ વધે છે અને દરેક કોષનું જમણી કિંમત ડાબી તરફ આગળ વધે છે. આ કિસ્સામાં, બેન્ડના દરેક ડાબા અથવા જમણા મૂલ્ય માટે, કોઈ સંરક્ષિત જથ્થાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, તે મૂલ્ય ધરાવતા કોષોની કુલ સંખ્યા. જો ડાબી બાજુના મૂલ્યો અને જમણી બાજુના મૂલ્યો હોય, તો પછી સ્વતંત્ર પ્રથમ ક્રમના ફેરફારો હોય છે, અને કોઈપણ પ્રથમ ક્રમના અચળાંકને આ મૂળભૂત મૂલ્યોના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ડાબી બાજુના મૂલ્યો સાથે સંકળાયેલ સંરક્ષિત જથ્થાઓ સ્થિર દરે જમણી બાજુએ સમાનરૂપે વહે છેઃ એટલે કે, જો રેખાના અમુક પ્રદેશમાં સમાન ડાબી બાજુના મૂલ્યોની સંખ્યા સમયે ચોક્કસ મૂલ્ય લે છે, તો તે સમયે સ્થાનાંતરિત પ્રદેશ માટે સમાન મૂલ્ય લેશે. તેવી જ રીતે, જમણા મૂલ્યો સાથે સંકળાયેલ સંરક્ષિત જથ્થાઓ ડાબી બાજુએ સમાનરૂપે વહે છે. કોઈપણ એક-પરિમાણીય રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનને લંબચોરસ સ્વરૂપમાં મૂકી શકાય છે, જેના પછી તેના સંક્રમણ નિયમને નિષ્ક્રિય અર્ધ-કેન્દ્રીય બિગગ્રુપોઇડ (એક રિવર્સિબલ નિયમ કે જેના માટે એક જ સ્થિતિ મૂલ્ય ધરાવતા કોષોના પ્રદેશો માત્ર તેમની સીમાઓ પર બદલાય છે) ની ક્રિયામાં પરિબળ બનાવી શકાય છે. ઓટોમેટન નિયમ (ક્રમચયોને બાદ કરીને રચાયેલ સુધારેલ નિયમ) ના આદર્શ ઉત્થાન માટેના પ્રથમ ક્રમના અચળાંક જરૂરી રીતે લંબચોરસ પટ્ટાની જેમ વર્તે છેઃ તેમની પાસે અચળાંકનો આધાર હોય છે જે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વિના સ્થિર દરે ડાબી કે જમણી તરફ વહે છે. એકંદરે ઓટોમેટન માટે પ્રથમ ક્રમના અચળાંકો પછી આદર્શ ઉત્થાન માટે બરાબર અચળાંકો હોય છે જે ક્રમચયની સમાન ભ્રમણકક્ષાની દરેક જોડીની સ્થિતિને સમાન વજન આપે છે. જો કે, નિયમમાં સ્થિતિઓનું ક્રમચય આ અચળ પરિબળોને બિન-સમાન રીતે વહેતા અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે અલગ રીતે વર્તવાનું કારણ બની શકે છે. ભૌતિક પ્રણાલીઓમાં, નોઇથરનો પ્રમેય સંરક્ષણ નિયમો અને પ્રણાલીની સમપ્રમાણતા વચ્ચે સમાનતા પ્રદાન કરે છે. જો કે, સેલ્યુલર ઓટોમેટા માટે આ પ્રમેય સીધો લાગુ પડતો નથી, કારણ કે સિસ્ટમની ઊર્જા દ્વારા સંચાલિત થવાને બદલે ઓટોમેટનની વર્તણૂક તેના નિયમોમાં એન્કોડ કરવામાં આવે છે, અને ઓટોમેટન ચોક્કસ સમપ્રમાણતા (જગ્યા અને સમય બંનેમાં અનુવાદ અપરિવર્તન) નું પાલન કરવાની ખાતરી આપે છે, પછી ભલે તે કોઈપણ સંરક્ષણ નિયમોનું પાલન કરે. તેમ છતાં, અમુક ઉલટાવી શકાય તેવી પ્રણાલીઓના સંરક્ષિત જથ્થાઓ કેટલીક બાબતોમાં ઊર્જાની જેમ જ વર્તે છે. દાખલા તરીકે, જો ઓટોમેટનના જુદા જુદા પ્રદેશોમાં અમુક સંરક્ષિત જથ્થાના અલગ સરેરાશ મૂલ્યો હોય, તો ઓટોમેટનના નિયમો આ જથ્થાને વિખેરવાનું કારણ બની શકે છે, જેથી પછીના રાજ્યોમાં જથ્થાનું વિતરણ વધુ સમાન હોય. પ્રણાલીની ઊર્જા માટે સ્ટેન્ડ-ઇન તરીકે આ સંરક્ષિત જથ્થાનો ઉપયોગ શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપી શકે છે. એપ્લિકેશન્સ લેટીસ ગેસ ઓટોમેટા એ લેટીસ ગેસ ઓટોમેટન એ સેલ્યુલર ઓટોમેટન છે જે પ્રવાહી અથવા આદર્શ ગેસમાં કણોની ગતિનું અનુકરણ કરવા માટે રચાયેલ છે. આવી પ્રણાલીમાં, જ્યાં સુધી અન્ય કણો સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ન થાય ત્યાં સુધી વાયુ કણો સતત વેગ સાથે સીધી રેખાઓ પર આગળ વધે છે. લેટીસ ગેસ ઓટોમેટા માત્ર સ્થિર સંખ્યામાં વેગ (સામાન્ય રીતે, માત્ર એક ગતિ અને ગતિની ચાર કે છ દિશાઓ) ને મંજૂરી આપીને અને શક્ય હોય તેવી અથડામણના પ્રકારોને સરળ બનાવીને આ મોડેલોને સરળ બનાવે છે. ખાસ કરીને, એચ. પી. પી. જાળી ગેસ મોડેલમાં ચાર અક્ષ-સમાંતર દિશામાં એકમ વેગથી આગળ વધતા કણોનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે બે કણો એક જ રેખા પર વિરુદ્ધ દિશામાં મળે છે, ત્યારે તેઓ ટકરાય છે અને લંબરૂપ રેખા પર અથડામણ બિંદુથી બહારની તરફ મોકલવામાં આવે છે. આ પ્રણાલી ભૌતિક વાયુઓના સંરક્ષણ નિયમોનું પાલન કરે છે અને સિમ્યુલેશન ઉત્પન્ન કરે છે જેનો દેખાવ ભૌતિક વાયુઓના વર્તન સાથે મેળ ખાય છે. જો કે, તે અવાસ્તવિક વધારાના સંરક્ષણ કાયદાઓનું પાલન કરતું હોવાનું જણાયું હતું. દાખલા તરીકે, કોઈપણ એક રેખાની અંદરની કુલ ગતિ સંરક્ષિત છે. તેમજ, આ મોડેલ (તેની અનિસોટ્રોપી) માં અક્ષ-સમાંતર અને બિન-અક્ષ-સમાંતર દિશાઓ વચ્ચેનો તફાવત અનિચ્છનીય રીતે ઊંચો છે. એફ. એચ. પી. જાળીવાળું ગેસ મોડેલ એચ. પી. પી. મોડેલને સુધારે છે, જેમાં કણો માત્ર ચાર દિશાઓને બદલે એકબીજા સાથે 60 ડિગ્રીના ખૂણા પર છ જુદી જુદી દિશામાં આગળ વધે છે. કોઈપણ સીધી અથડામણમાં, બે બહાર જતા કણો બે આવતા કણોથી 60 ડિગ્રીના ખૂણા પર વિક્ષેપિત થાય છે. એફ. એચ. પી. મોડેલમાં ત્રિકોણીય અથડામણ પણ શક્ય છે અને તેને એવી રીતે નિયંત્રિત કરવામાં આવે છે કે જે બંને કુલ વેગ જાળવી રાખે અને એચ. પી. પી. મોડેલના બિન-ભૌતિક ઉમેરાયેલા સંરક્ષણ નિયમોને ટાળે. કારણ કે આ પ્રણાલીઓમાં કણોની ગતિ ઉલટાવી શકાય તેવી હોય છે, તેઓ સામાન્ય રીતે ઉલટાવી શકાય તેવા સેલ્યુલર ઓટોમેટા સાથે લાગુ કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, એચ. પી. પી. અને એફ. એચ. પી. લેટીસ ગેસ ઓટોમેટા બંનેને માર્ગોલસ પડોશનો ઉપયોગ કરીને બે-રાજ્ય બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન સાથે અમલમાં મૂકી શકાય છે. ઇઝિંગ મોડેલ ઇઝિંગ મોડેલનો ઉપયોગ ચુંબકીય પ્રણાલીઓના વર્તનનું મોડેલ બનાવવા માટે થાય છે. તેમાં કોષોની શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી દરેકની સ્થિતિ ઉપર અથવા નીચે સ્પિનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પ્રણાલીની ઊર્જાને એક કાર્ય દ્વારા માપવામાં આવે છે જે કોશિકાઓની પડોશી જોડીઓની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે જે એકબીજા જેવી જ સ્પિન ધરાવે છે. તેથી, જો કોષની બે સ્થિતિઓમાં સમાન સંખ્યામાં પડોશીઓ હોય, તો તે કુલ ઊર્જામાં ફેરફાર કર્યા વિના તેની પોતાની સ્થિતિને ફેરવી શકે છે. જો કે, આવા વળાંક માત્ર ત્યારે જ ઊર્જા-બચત કરે છે જો કોઈ બે અડીને આવેલા કોષો એક જ સમયે પલટાતા નથી. આ પ્રણાલીના સેલ્યુલર ઓટોમેટન મોડેલો ચોરસ જાળીને બે વૈકલ્પિક ઉપગણમાં વિભાજિત કરે છે, અને એક સમયે બે ઉપગણમાંથી એક પર સુધારા કરે છે. દરેક અપડેટમાં, દરેક કોષ કે જે ફેરવી શકે છે તે આમ કરે છે. આ રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેનો ઉપયોગ ઇસિંગ મોડેલની તપાસ કરવા માટે થઈ શકે છે. બિલિયર્ડ-બોલ ગણતરી અને લો-પાવર કમ્પ્યુટિંગે રિવર્સિબલ કમ્પ્યુટિંગમાં તેમની તપાસના ભાગ રૂપે બિલિયર્ડ-બોલ કમ્પ્યુટરની દરખાસ્ત કરી હતી. બિલિયર્ડ-બોલ કોમ્પ્યુટરમાં સમન્વયિત કણો (બિલિયર્ડ બોલ) ની પ્રણાલી હોય છે જે ટ્રેકમાં આગળ વધે છે અને અવરોધોના નિશ્ચિત સમૂહ દ્વારા માર્ગદર્શન આપે છે. જ્યારે કણો એકબીજા સાથે અથવા અવરોધો સાથે અથડાય છે, ત્યારે તેઓ વાસ્તવિક બિલિયર્ડ દડાઓની જેમ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાંથી પસાર થાય છે. કમ્પ્યુટરમાં ઇનપુટ ચોક્કસ ઇનપુટ ટ્રેક પર કણોની હાજરી અથવા ગેરહાજરીનો ઉપયોગ કરીને એન્કોડ કરવામાં આવે છે, અને તેનું આઉટપુટ સમાન રીતે આઉટપુટ ટ્રેક પર કણોની હાજરી અથવા ગેરહાજરીનો ઉપયોગ કરીને એન્કોડ કરવામાં આવે છે. ટ્રેક પોતે વાયર તરીકે કલ્પના કરી શકાય છે, અને કણો બુલિયન સંકેતો તરીકે તે વાયર પર પરિવહન થાય છે. જ્યારે કોઈ કણ અવરોધને ફટકારે છે, ત્યારે તે તેમાંથી પ્રતિબિંબિત થાય છે. આ પ્રતિબિંબને તારની દિશામાં ફેરફાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જે કણ અનુસરે છે. જુદા જુદા ટ્રેક પર બે કણો ટકરાઈ શકે છે, જે તેમના અથડામણ બિંદુ પર તર્ક દ્વાર બનાવે છે. બતાવ્યા પ્રમાણે, બિલિયર્ડ-બોલ કમ્પ્યુટર્સને માર્ગોલસ પડોશ સાથે બે-સ્ટેટ રિવર્સિબલ બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટનનો ઉપયોગ કરીને સિમ્યુલેટ કરી શકાય છે. આ ઓટોમેટનના સુધારા નિયમમાં, બરાબર એક જીવંત કોષ સાથેના બ્લોક 180° ફેરવે છે, બે ત્રાંસા વિરુદ્ધ જીવંત કોષો સાથેના બ્લોક 90° ફેરવે છે, અને અન્ય તમામ બ્લોક અપરિવર્તિત રહે છે. આ નિયમો અલગ અલગ જીવંત કોષોને બિલિયર્ડ દડાઓની જેમ વર્તવાનું કારણ બને છે, જે ત્રાંસા માર્ગ પર આગળ વધે છે. એક કરતાં વધુ જીવંત કોષના જોડાયેલા જૂથો તેના બદલે બિલિયર્ડ-બોલ કમ્પ્યુટરના નિશ્ચિત અવરોધોની જેમ વર્તે છે. એપેન્ડિક્સમાં, માર્ગોલસે એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે દ્વિ-પરિમાણીય મૂરે પડોશનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ-રાજ્ય સેકન્ડ-ઓર્ડર સેલ્યુલર ઓટોમેટન બિલિયર્ડ-બોલ કમ્પ્યુટર્સનું અનુકરણ કરી શકે છે. બિલિયર્ડ-બોલ મોડેલ જેવા ગણતરીના ઉલટાવી શકાય તેવા સાર્વત્રિક નમૂનાઓનો અભ્યાસ કરવાનું એક કારણ એ છે કે તેઓ સૈદ્ધાંતિક રીતે વાસ્તવિક કમ્પ્યુટર પ્રણાલીઓ તરફ દોરી શકે છે જે ખૂબ જ ઓછી માત્રામાં ઉર્જાનો વપરાશ કરે છે. લેન્ડૌરના સિદ્ધાંત મુજબ, ઉલટાવી ન શકાય તેવા કોમ્પ્યુટેશનલ પગલાઓ માટે પગલું દીઠ ચોક્કસ ન્યૂનતમ ઊર્જાની જરૂર પડે છે, પરંતુ ઉલટાવી શકાય તેવા પગલાંઓ પગલું દીઠ ઊર્જાની માત્રા સાથે કરી શકાય છે જે મનસ્વી રીતે શૂન્યની નજીક છે. જો કે, લેન્ડૌરની બાઉન્ડ કરતાં ઓછી ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવા માટે, સેલ્યુલર ઓટોમેટન માટે વૈશ્વિક સ્તરે ઉલટાવી શકાય તેવું સંક્રમણ કાર્ય હોવું પૂરતું નથીઃ જે જરૂરી છે તે એ છે કે સંક્રમણ કાર્યની સ્થાનિક ગણતરી પણ ઉલટાવી શકાય તેવી રીતે કરવામાં આવે. દાખલા તરીકે, રિવર્સિબલ બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટા હંમેશા સ્થાનિક રીતે રિવર્સિબલ હોય છેઃ દરેક વ્યક્તિગત બ્લોકની વર્તણૂકમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા ઇનપુટ્સ અને આઉટપુટ સાથે ઇન્વર્ટિબલ ફંક્શનનો ઉપયોગ સામેલ હોય છે. દરેક રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનમાં સ્થાનિક રીતે રિવર્સિબલ અપડેટ નિયમ છે કે કેમ તે પૂછનાર સૌપ્રથમ હતા. દર્શાવ્યું હતું કે એક અને દ્વિ-પરિમાણીય ઓટોમેટા માટે જવાબ હકારાત્મક છે, અને દર્શાવ્યું હતું કે કોઈપણ ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટન (સંભવતઃ અલગ) સ્થાનિક રીતે ઉલટાવી શકાય તેવું સેલ્યુલર ઓટોમેટન દ્વારા અનુકરણ કરી શકાય છે. જો કે, દરેક ઉલટાવી શકાય તેવું સંક્રમણ કાર્ય સ્થાનિક રીતે ઉલટાવી શકાય તેવું છે કે કેમ તે પ્રશ્ન બે કરતા વધુ પરિમાણો માટે ખુલ્લો રહે છે. સિંક્રોનાઇઝેશન ટોફોલી અને માર્ગોલસનો "ટ્રોન" નિયમ એ માર્ગોલસ પડોશ સાથે ઉલટાવી શકાય તેવો બ્લોક સેલ્યુલર નિયમ છે. જ્યારે કોષોના 2 × 2 બ્લોકની સ્થિતિ સમાન હોય છે, ત્યારે બ્લોકના તમામ કોષોની સ્થિતિ બદલાય છે; અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, બ્લોકના કોષો અપરિવર્તિત રહે છે. ટોફોલી અને માર્ગોલસ દલીલ કરે છે તેમ, આ નિયમ દ્વારા પેદા થયેલ પેટર્નની ઉત્ક્રાંતિનો ઉપયોગ માર્ગોલસ પડોશમાં અન્ય કોઈપણ નિયમને સુમેળ કરવા માટે ઘડિયાળ તરીકે થઈ શકે છે. અસિંક્રોનસ સેલ્યુલર ઓટોમેટન પર ચાલતી વખતે આ રીતે સુમેળ કરાયેલ સેલ્યુલર ઓટોમેટન પ્રમાણભૂત માર્ગોલસ-પડોશી નિયમ જેવી જ ગતિશીલતાનું પાલન કરે છે. એન્ક્રિપ્શન સિસ્ટમ તરીકે બહુ-પરિમાણીય રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટાનો ઉપયોગ કરીને એન્ક્રિપ્શનની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. કારીની દરખાસ્તમાં, સેલ્યુલર ઓટોમેટન નિયમ એ એન્ક્રિપ્શન કી હશે. એન્ક્રિપ્શન નિયમને એક પગલું આગળ ચલાવીને કરવામાં આવશે, અને તેને એક પગલું પાછળ ચલાવીને ડિક્રિપ્શન કરવામાં આવશે. કારી સૂચવે છે કે આવી સિસ્ટમનો ઉપયોગ પબ્લિક-કી ક્રિપ્ટોસિસ્ટમ તરીકે થઈ શકે છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, હુમલાખોર પરીક્ષણની ઉલટાવી શકાય તેવી અનિશ્ચિતતાને કારણે આપેલ એન્ક્રિપ્શન કી (ફોરવર્ડ નિયમ) માંથી ડીક્રિપ્શન કી (રિવર્સ નિયમ) એલ્ગોરિધમિક રીતે નક્કી કરી શક્યો ન હતો, તેથી સિસ્ટમની સુરક્ષા સાથે સમાધાન કર્યા વિના ફોરવર્ડ નિયમ જાહેર કરી શકાય છે. જો કે, કારીએ સ્પષ્ટ કર્યું નથી કે આવી સિસ્ટમ માટે કયા પ્રકારનાં રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, અથવા બતાવ્યું નથી કે આ અભિગમનો ઉપયોગ કરતી ક્રિપ્ટોસિસ્ટમ એન્ક્રિપ્શન/ડિક્રિપ્શન કી જોડી કેવી રીતે પેદા કરી શકશે. વૈકલ્પિક એનક્રિપ્શન સિસ્ટમની દરખાસ્ત કરી છે. તેમની પ્રણાલીમાં, એન્ક્રિપ્શન કી એક-પરિમાણીય સેલ્યુલર ઓટોમેટનના દરેક કોષ માટે સ્થાનિક નિયમ નક્કી કરે છે. તે નિયમ પર આધારિત સેકન્ડ ઓર્ડર ઓટોમેટનને એન્ક્રિપ્ટેડ આઉટપુટમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ઇનપુટ પર ઘણા રાઉન્ડ માટે ચલાવવામાં આવે છે. ઓટોમેટનની રિવર્સિબિલિટી પ્રોપર્ટી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે કોઈપણ એન્ક્રિપ્ટેડ સંદેશને સમાન સિસ્ટમને રિવર્સમાં ચલાવીને ડિક્રિપ્ટ કરી શકાય છે. આ સિસ્ટમમાં, કીઓ ગુપ્ત રાખવી આવશ્યક છે, કારણ કે એક જ કીનો ઉપયોગ એન્ક્રિપ્શન અને ડિક્રિપ્શન બંને માટે થાય છે. ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ ક્વોન્ટમ સેલ્યુલર ઓટોમેટા એ ઓટોમેટા ના એરે છે જેની સ્થિતિ અને સ્થિતિ સંક્રમણો ક્વોન્ટમ ગતિશીલતાના નિયમોનું પાલન કરે છે. ક્વોન્ટમ સેલ્યુલર ઓટોમેટા દ્વારા ગણતરીના નમૂના તરીકે સૂચવવામાં આવ્યું હતું અને પ્રથમ દ્વારા ઔપચારિક કરવામાં આવ્યું હતું. આ ઓટોમેટા વિશેની કેટલીક સ્પર્ધાત્મક ધારણાઓ સંશોધન હેઠળ છે, જેમાંથી ઘણાને જરૂરી છે કે આ રીતે બાંધવામાં આવેલ ઓટોમેટા ઉલટાવી શકાય તેવું હોય. ભૌતિક સર્વવ્યાપકતાએ પૂછ્યું કે શું સેલ્યુલર ઓટોમેટન માટે ભૌતિક રીતે સાર્વત્રિક હોવું શક્ય છે, એટલે કે, ઓટોમેટનના કોષોના કોઈપણ બંધાયેલા પ્રદેશ માટે, તે પ્રદેશને કોષોથી ઘેરવું શક્ય હોવું જોઈએ, જેમની સ્થિતિઓ યોગ્ય આધાર સ્કેફોલ્ડિંગ બનાવે છે જે ઓટોમેટનને પ્રદેશની અંદરના રાજ્યોના સમૂહ પર કોઈપણ મનસ્વી પરિવર્તનને અમલમાં મૂકવાનું કારણ બને છે. આવા ઓટોમેટન ઉલટાવી શકાય તેવું હોવું જોઈએ, અથવા ઓછામાં ઓછું સ્થાનિક રીતે ઇન્જેક્ટિવ હોવું જોઈએ, કારણ કે આ મિલકત વિના ઓટોમેટામાં ગાર્ડન ઓફ એડન પેટર્ન હોય છે, અને ગાર્ડન ઓફ એડન બનાવે તેવા પરિવર્તનનો અમલ કરવો શક્ય નથી. રિવર્સિબલ સેલ્યુલર ઓટોમેટનનું નિર્માણ કર્યું જે આ અર્થમાં ભૌતિક રીતે સાર્વત્રિક છે. શેફરનું ઓટોમેટન એ બે રાજ્યો અને માર્ગોલિસ પડોશી સાથે બ્લોક સેલ્યુલર ઓટોમેટન છે, જે બિલિયર્ડ બોલ મોડેલ અને એચપીપી લેટીસ ગેસ માટે ઓટોમેટા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. જો કે, બિલિયર્ડ બોલ મોડેલ ભૌતિક રીતે સાર્વત્રિક નથી, કારણ કે તેનો ઉપયોગ અભેદ્ય દિવાલો બાંધવા માટે થઈ શકે છે, જે અમુક પ્રદેશની અંદર રાજ્યને વાંચતા અને રૂપાંતરિત થતા અટકાવે છે. શેફરના નમૂનામાં, દરેક પેટર્ન આખરે ચાર દિશામાં ત્રાંસા રીતે આગળ વધતા કણોમાં વિઘટિત થાય છે. આમ, તેનું ઓટોમેટન ટ્યુરિંગ સંપૂર્ણ નથી. જો કે, શેફરે દર્શાવ્યું હતું કે સ્કેફોલ્ડિંગ દ્વારા કોઈપણ મર્યાદિત રૂપરેખાંકનને ઘેરવું શક્ય છે જે તેના કરતા વધુ ધીમે ધીમે ક્ષીણ થાય છે. રૂપરેખાંકન કણોમાં વિઘટિત થયા પછી, સ્કેફોલ્ડિંગ તે કણોને અટકાવે છે, અને તેમને સ્કેફોલ્ડિંગની અંદર બાંધવામાં આવેલી બુલિયન સર્કિટની સિસ્ટમમાં ઇનપુટ તરીકે ઉપયોગ કરે છે. આ સર્કિટ્સનો ઉપયોગ પ્રારંભિક રૂપરેખાંકનના મનસ્વી કાર્યોની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. સ્કેફોલ્ડિંગ પછી સર્કિટના આઉટપુટને પાછા ફરતા કણોની પ્રણાલીમાં અનુવાદિત કરે છે, જે પ્રારંભિક પ્રદેશ પર ભેગા થાય છે અને રૂપાંતરિત સ્થિતિની નકલ બનાવવા માટે એકબીજા સાથે અથડાય છે. આ રીતે, શેફરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ સ્ટેટ સ્પેસના કોઈપણ બંધાયેલા પ્રદેશમાં કોઈપણ કાર્યને લાગુ કરવા માટે થઈ શકે છે, જે દર્શાવે છે કે આ ઓટોમેટન નિયમ ભૌતિક રીતે સાર્વત્રિક છે. નોંધો સંદર્ભો. . . . . . . . . . . . . . . પુનઃમુદ્રિત. . . . . . . . . . . . . પુનઃમુદ્રિત, અને અંદર. . . . . . . . . . પુનઃમુદ્રિત. . . જેમ અને દ્વારા ટાંકવામાં આવ્યું છે. . . . . . . . . . . . . . . . સેલ્યુલર ઓટોમેટા રિવર્સિબલ કમ્પ્યુટિંગ