De Moivre's law
ડી મોઇવરનો કાયદો એ એક્ચ્યુરિયલ વિજ્ઞાનમાં લાગુ કરાયેલ સર્વાઇવલ મોડેલ છે, જેનું નામ અબ્રાહમ ડી મોઇવર પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તે રેખીય અસ્તિત્વ કાર્ય પર આધારિત મૃત્યુદરનો એક સરળ નિયમ છે. વ્યાખ્યા ડી મોઇવરના કાયદામાં એક જ પરિમાણ છે જેને અંતિમ વય કહેવાય છે. ડી મોઇવરના કાયદા હેઠળ, નવજાતને અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવેલા ઓછામાં ઓછા x વર્ષ ટકી રહેવાની સંભાવના હોય છે બીમાકૃત સંકેતલિપીમાં (x) એ સ્થિતિ અથવા જીવનને સૂચવે છે જે x વર્ષની ઉંમર સુધી ટકી રહ્યું છે, અને T (x) એ (x) નું ભાવિ જીવનકાળ છે (T (x) એ એક યાદૃચ્છિક ચલ છે). શરતી સંભાવના કે જે (x) x + t વય સુધી ટકી રહે છે તે Pr [T (0) ≤ x + t | T (0) ≤ x] = S (x + t)/S (x) છે, જેને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ડી મોઇવરના કાયદા હેઠળ, શરતી સંભાવના છે કે x વર્ષની ઉંમરનું જીવન ઓછામાં ઓછા t વધુ વર્ષો ટકી રહે છે અને ભાવિ જીવનકાળ રેન્ડમ ચલ T (x) તેથી તેના પર સમાન વિતરણને અનુસરે છે. નિષ્ફળતાની શરતી સંભાવના માટે બીમાકૃત સંકેત = Pr [0 ≤ T (x) ≤ t|T (0) ≤ x] છે. ડી મોઇવરના નિયમ હેઠળ, મૃત્યુદરનું બળ (જોખમ દર અથવા નિષ્ફળતા દર) એ છે જ્યાં f (x) એ સંભાવના ઘનતા કાર્ય છે. ડી મોઇવરના કાયદા હેઠળ, x વર્ષની વયના જીવન માટે મૃત્યુદરનું બળ એ છે કે જે ઉંમરના સંદર્ભમાં વધતા નિષ્ફળતા દરનો ગુણધર્મ ધરાવે છે. ડી મોઇવરનો નિયમ મૃત્યુદરના સરળ વિશ્લેષણાત્મક નિયમ તરીકે લાગુ કરવામાં આવે છે અને રેખીય ધારણા જીવન કોષ્ટકો જેવા અલગ અસ્તિત્વના નમૂનાઓ માટે પ્રક્ષેપણ માટેના નમૂના તરીકે પણ લાગુ કરવામાં આવે છે. હિસ્ટ્રી ડી મોઇવરનો કાયદો સૌપ્રથમ તેમના 1725 એન્યુટીઝ ઓન લાઇવ્સમાં દેખાયો હતો, જે વીમાકૃત પાઠ્યપુસ્તકનું સૌથી જૂનું જાણીતું ઉદાહરણ છે. હવે તેને નામ આપવામાં આવ્યું હોવા છતાં, ડી મોઇવરે પોતે તેમના કાયદાને (તેમણે તેને "પૂર્વધારણા" કહ્યો હતો) માનવ મૃત્યુદરની પેટર્નનું સાચું વર્ણન માન્યું ન હતું. તેના બદલે, તેમણે વાર્ષિકીની કિંમતની ગણતરી કરતી વખતે તેને ઉપયોગી અંદાજ તરીકે રજૂ કરી હતી. તેમના લખાણમાં, ડી મોઇવરે નોંધ્યું હતું કે ". જોકે જીવનના સમાન ઘટાડાની કલ્પના. કોષ્ટકો સાથે બરાબર સંમત નથી, તેમ છતાં તે કલ્પનાનો ઉપયોગ સફળતાપૂર્વક યુગ માટે વાર્ષિકીના મૂલ્યોના કોષ્ટકના નિર્માણમાં થઈ શકે છે, જે બારથી અનુમાનિત નથી". વધુમાં, તેમ છતાં તેમના લખાણમાં બીજગણિત પ્રદર્શન હતું જે સમગ્ર અપેક્ષિત ભાવિ જીવનકાળને લાગુ પડે છે, ડી મોઇવરે બીજગણિત પ્રદર્શન પણ પૂરું પાડ્યું હતું જે માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં વર્ષો માટે જ લાગુ પડે છે. તે આ પછીનું પરિણામ હતું જેનો ઉપયોગ તેમના અનુગામી આંકડાકીય ઉદાહરણોમાં કરવામાં આવ્યો હતો. આ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે ડી મોઇવરે તેમની પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ ટુકડાઓમાં કર્યો હતો, જેમાં તેમણે ધાર્યું હતું કે માનવ મૃત્યુદરની એકંદર પેટર્નને કેટલાક સીધી રેખાના વિભાગો દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે (જમણી બાજુએ તેમનું ચિત્ર જુઓ). તેમણે લખ્યું હતું કે "જીવનના ઘટાડાને કોઈપણ સમજદાર ભૂલ વિના, કોઈપણ ટૂંકા અંતરાલ માટે સમાન માનવામાં આવી શકે છે, તેથી તે અનુસરે છે કે જો જીવનના સમગ્ર વિસ્તારને કેટલાક ટૂંકા અંતરાલોમાં વહેંચવામાં આવે, તો જીવન માટે વાર્ષિકીના મૂલ્યોની ગણતરી સરળતાથી કરી શકાય છે. કોઈપણ અવલોકન કોષ્ટક અને કોઈપણ વ્યાજ દરને અનુરૂપ". બંને અવતરણો માટે, ડી મોઇવરના "કોષ્ટકો" ના સંદર્ભો વીમાકૃત જીવન કોષ્ટકો માટે હતા. આધુનિક લેખકો મૃત્યુદર કાયદાના ઇતિહાસમાં ડી મોઇવરની ભૂમિકાની તેમની સારવારમાં સુસંગત નથી. એક તરફ, ડિક લંડન ડી મોઇવરના કાયદાને માનવ અસ્તિત્વના નમૂના તરીકે ઉપયોગ કરવા માટે "સૂચવવામાં આવેલ પ્રથમ સતત સંભાવના વિતરણ" તરીકે વર્ણવે છે. રોબર્ટ બેટન સમાન દ્રષ્ટિકોણ લે છે, અને ઉમેર્યું કે "[ડી મોઇવરની] પૂર્વધારણા. અલબત્ત અવાસ્તવિક મળી આવી છે". તેનાથી વિપરીત, સ્પીગલમેન અને બેન્જામિન દ્વારા વિશ્લેષણાત્મક માનવ અસ્તિત્વના નમૂનાઓના સર્વેક્ષણમાં ડી મોઇવરનો બિલકુલ ઉલ્લેખ નથી (બંને કિસ્સાઓમાં, સર્વેક્ષણ બેન્જામિન ગોમ્પર્ટ્ઝના કાર્યથી શરૂ થાય છે). વીમાકૃત વિજ્ઞાનના ઇતિહાસ પરના તેમના નિબંધમાં, સ્ટીફન હેબરમેને ડી મોઈવરનો ઉલ્લેખ કર્યો છે, પરંતુ "જીવન વીમા ગણિત" પરના વિભાગમાં અને "જીવન કોષ્ટકો અને સર્વાઇવલ મોડલ્સ" પરના વિભાગમાં નહીં. સી. ડબલ્યુ. જોર્ડન દ્વારા તેમના જીવન આકસ્મિકતામાં એક પ્રકારનો મધ્યમ આધાર લેવામાં આવ્યો હતો, જેમાં તેમણે "મૃત્યુદરના કેટલાક પ્રખ્યાત નિયમો" પરના તેમના વિભાગમાં ડી મોઇવરનો સમાવેશ કર્યો હતો, પરંતુ ઉમેર્યું હતું કે "ડી મોઇવરે સ્વીકાર્યું હતું કે આ જીવન વાર્ષિકી મૂલ્યોની ગણતરીને સરળ બનાવવાનો એક ખૂબ જ રફ અંદાજ હતો [જેનો ઉદ્દેશ હતો], જે તે દિવસોમાં એક મુશ્કેલ કાર્ય હતું". ડી મોઇવરે પોતે તેમની "પૂર્વધારણા" ને માનવ મૃત્યુદરનું સાચું પ્રતિબિંબ માનતા ન હોવાનું અન્ય એક સંકેત એ હકીકત છે કે તેમણે 'એન્યુટીઝ ઓન લાઇવ્સ' માં બે અલગ પૂર્વધારણાઓ રજૂ કરી હતી. જ્યારે તેમણે એકથી વધુ જીવન પર ચૂકવવાપાત્ર વાર્ષિકીના મૂલ્યાંકનના પ્રશ્ન પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું, ત્યારે ડી મોઇવરે દરેક વર્ષે મૃત્યુની સમાન સંભાવનાઓની ધારણાની તરફેણમાં મૃત્યુની સમાન સંખ્યા (દર વર્ષે) ની તેમની ધારણાને છોડી દેવાનું અનુકૂળ લાગ્યું. તેમ છતાં સતત-બળ ધારણાને આજે મૃત્યુદરના સરળ વિશ્લેષણાત્મક નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે ક્યારેય "ડી મોઇવરના બીજા નિયમ" અથવા આવા અન્ય કોઈ નામ તરીકે જાણીતું નથી. નોંધો બાહ્ય લિંક્સ 1725 આવૃત્તિ વાર્ષિકી પર જીવન વીમાકૃત વિજ્ઞાન સર્વાઇવલ વિશ્લેષણ અબ્રાહમ ડી મોઈવરે