Moser's worm problem
મોઝરની કૃમિની સમસ્યા (જેને મધર વોર્મની બ્લેન્કેટ સમસ્યા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ 1966માં ઑસ્ટ્રિયન-કેનેડિયન ગણિતશાસ્ત્રી લીઓ મોઝર દ્વારા ઘડવામાં આવેલી ભૂમિતિમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યા છે. સમસ્યા સૌથી નાના વિસ્તારનો વિસ્તાર પૂછે છે જે લંબાઈ 1 ના દરેક સમતલ વળાંકને સમાવી શકે છે. અહીં "એડજસ્ટ" નો અર્થ એ છે કે વળાંકને ફેરવી શકાય છે અને પ્રદેશની અંદર ફિટ થવા માટે અનુવાદિત કરી શકાય છે. સમસ્યાના કેટલાક ફેરફારોમાં, પ્રદેશ બહિર્મુખ હોવા માટે પ્રતિબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1/2 ત્રિજ્યાની ગોળાકાર ડિસ્ક ડિસ્કના કેન્દ્રમાં વળાંકના મધ્યબિંદુને મૂકીને લંબાઈ 1 ના કોઈપણ સમતલ વળાંકને સમાવી શકે છે. અન્ય સંભવિત ઉકેલમાં 60° અને 120°ના શિરોબિંદુ ખૂણાઓ સાથે અને એકમ લંબાઈના લાંબા કર્ણ સાથે સમભુજનો આકાર હોય છે. જો કે, આ શ્રેષ્ઠ ઉકેલો નથી; અન્ય આકારો જાણીતા છે જે નાના વિસ્તારો સાથે સમસ્યાનું સમાધાન કરે છે. ઉકેલના ગુણધર્મો લઘુતમ વિસ્તારનું આવરણ અસ્તિત્વમાં છે તે સંપૂર્ણપણે તુચ્છ નથી. એક વૈકલ્પિક શક્યતા એ હશે કે ત્યાં અમુક ન્યૂનતમ વિસ્તાર છે જેનો સંપર્ક કરી શકાય છે પરંતુ વાસ્તવમાં પ્રાપ્ત કરી શકાતો નથી. જો કે, ત્યાં એક સૌથી નાનું બહિર્મુખ આવરણ અસ્તિત્વમાં છે. તેનું અસ્તિત્વ બ્લાસ્કે પસંદગી પ્રમેય પરથી અનુસરે છે. આપેલ આકાર આવરણ બનાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવું પણ તુચ્છ નથી. અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું કે આકાર દરેક એકમ-લંબાઈના વળાંકને સમાવી લે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે દરેક એકમ-લંબાઈની બહુકોણીય સાંકળને ત્રણ સેગમેન્ટ્સ સાથે સમાવી લે, વધુ સરળતાથી ચકાસાયેલ સ્થિતિ, પરંતુ દર્શાવે છે કે પોલીચેનમાં સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા પર કોઈ મર્યાદિત બંધન આ પરીક્ષણ માટે પૂરતું નથી. જાણીતી સીમાઓ સમસ્યા ખુલ્લી રહે છે, પરંતુ કાગળોની શ્રેણીમાં સંશોધકોએ જાણીતા નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ વચ્ચેનું અંતર કડક કર્યું છે. ખાસ કરીને, એક (નોન-કન્વેક્સ) સાર્વત્રિક આવરણનું નિર્માણ કર્યું અને દર્શાવ્યું કે લઘુત્તમ આકાર મહત્તમ 0.260437 વિસ્તાર ધરાવે છે; અને નબળા ઉપલા સીમાઓ આપે છે. બહિર્મુખ કિસ્સામાં, 0.270911861 માટે સુધારેલ ઉપલી બાઉન્ડ. બહિર્મુખ આવરણ માટે 0.232239 ની નીચલી બાઉન્ડ બતાવવા માટે સેગમેન્ટ, ત્રિકોણ અને લંબચોરસ ધરાવતા બહિર્મુખ સમૂહના વિસ્તાર માટે લઘુતમ-મહત્તમ વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ કરે છે. 1970ના દાયકામાં, જ્હોન વેટઝેલે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે એકમ ત્રિજ્યાનું 30° ગોળાકાર ક્ષેત્ર વિસ્તાર સાથેનું આવરણ છે. અનુમાનના બે પુરાવાઓ સ્વતંત્ર રીતે અને દ્વારા દાવો કરવામાં આવ્યા હતા. જો પુષ્ટિ થાય, તો તેનાથી બહિર્મુખ આવરણની ઉપરની સીમા લગભગ 3 ટકા ઘટી જશે. મૂવિંગ સોફા પ્રોબ્લેમ પણ જુઓ, એલ-આકારના કોરિડોર દ્વારા ફેરવી શકાય તેવા અને અનુવાદિત કરી શકાય તેવા મહત્તમ-વિસ્તારનો આકાર શોધવાની સમસ્યા કાકિયા સમૂહ, ન્યૂનતમ વિસ્તારનો સમૂહ જે દરેક એકમ-લંબાઈના રેખા વિભાગને સમાવી શકે છે (અનુવાદની મંજૂરી સાથે, પરંતુ પરિભ્રમણ નહીં) લેબસ્ગ્યુની સાર્વત્રિક આવરણ સમસ્યા, સૌથી નાનો બહિર્મુખ વિસ્તાર શોધો જે જંગલની સમસ્યામાં ખોવાયેલા એકમ વ્યાસના બેલમેનના કોઈપણ સમતલીય સમૂહને આવરી શકે, જાણીતા કદ અને આકારના જંગલમાંથી છટકી જવાનો ટૂંકો માર્ગ શોધો. નોંધો સંદર્ભો. . . . . . . . અલગ ભૂમિતિ ભૂમિતિમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ મનોરંજન ગણિત