Non-convexity (economics)
અર્થશાસ્ત્રમાં, નોન-કન્વેક્સિટી એ પ્રાથમિક અર્થશાસ્ત્રની કન્વેક્સિટી ધારણાઓના ઉલ્લંઘનને દર્શાવે છે. મૂળભૂત અર્થશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકો બહિર્મુખ પસંદગીઓ ધરાવતા ગ્રાહકો (જે મૂલ્યો વચ્ચેની ચરમસીમાઓને પસંદ કરતા નથી) અને બહિર્મુખ અંદાજપત્ર સમૂહો અને બહિર્મુખ ઉત્પાદન સમૂહો ધરાવતા ઉત્પાદકો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે; બહિર્મુખ નમૂનાઓ માટે, અનુમાનિત આર્થિક વર્તણૂક સારી રીતે સમજી શકાય છે. જ્યારે બહિર્મુખ ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન થાય છે, ત્યારે સ્પર્ધાત્મક બજારોના ઘણા સારા ગુણધર્મોને જાળવી રાખવાની જરૂર નથીઃ આમ, બિન-બહિર્મુખતા બજારની નિષ્ફળતા સાથે સંકળાયેલી છે, જ્યાં પુરવઠો અને માંગ અલગ પડે છે અથવા જ્યાં બજારનું સંતુલન બિનકાર્યક્ષમ હોઈ શકે છે. બિન-બહિર્મુખ અર્થતંત્રોની અભ્યાસ બિન-સરળ વિશ્લેષણ સાથે કરવામાં આવે છે, જે બહિર્મુખ વિશ્લેષણનું સામાન્યીકરણ છે. ઘણા ગ્રાહકો સાથે માંગ જો પસંદગી સમૂહ બિન-બહિર્મુખ હોય, તો પછી કેટલીક કિંમતો બજેટ-રેખા નક્કી કરે છે જે બે અલગ-અલગ શ્રેષ્ઠ-બાસ્કેટને ટેકો આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કલ્પના કરી શકીએ છીએ કે, પ્રાણીસંગ્રહાલયો માટે, સિંહની કિંમત ગરુડ જેટલી છે, અને વધુમાં પ્રાણીસંગ્રહાલયનું બજેટ એક ગરુડ અથવા એક સિંહ માટે પૂરતું છે. આપણે એવું પણ માની શકીએ કે પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનાર કોઈપણ પ્રાણીને સમાન મૂલ્યવાન માને છે. આ કિસ્સામાં, પ્રાણી સંગ્રહાલય એક સિંહ અથવા એક ગરુડ ખરીદશે. અલબત્ત, એક સમકાલીન પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનાર અડધા ગરુડ અને અડધા સિંહ ખરીદવા માંગતો નથી. આમ, પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનારની પસંદગીઓ બિન-બહિર્મુખ છેઃ પ્રાણીસંગ્રહાલયની સંભાળ રાખનાર બંનેનું કડક બહિર્મુખ સંયોજન રાખવા કરતાં કોઈપણ પ્રાણી રાખવાનું પસંદ કરે છે. જ્યારે ગ્રાહકની પસંદગીનો સેટ બિન-બહિર્મુખ હોય, ત્યારે (કેટલીક કિંમતો માટે) ગ્રાહકની માંગ જોડાયેલી હોતી નથી; ડિસ્કનેક્ટ કરેલી માંગ ગ્રાહક દ્વારા કેટલીક અસંગત વર્તણૂક સૂચવે છે, જેમ કે હેરોલ્ડ હોટેલિંગ દ્વારા ચર્ચા કરવામાં આવી છેઃ જો ખરીદી માટે ઉદાસીનતા વળાંકને ઊંચુંનીચું થતું પાત્ર ધરાવતું માનવામાં આવે, તો કેટલાક પ્રદેશોમાં મૂળ તરફ બહિર્મુખ અને અન્યમાં અંતર્મુખ, તો આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર જવા માટે મજબૂર થઈએ છીએ કે તે માત્ર મૂળ તરફના બહિર્મુખ ભાગો છે જેને કોઈ મહત્વ ધરાવતો હોવાનું ગણી શકાય, કારણ કે અન્ય અનિવાર્યપણે અવલોકનક્ષમ નથી. તેઓ માત્ર અસંગતતાઓ દ્વારા શોધી શકાય છે જે કિંમત-ગુણોત્તરમાં વિવિધતા સાથે માંગમાં આવી શકે છે, જે સીધી રેખા ફેરવવામાં આવે ત્યારે ખીણમાં સ્પર્શકતાના બિંદુની અચાનક કૂદકો તરફ દોરી જાય છે. પરંતુ, જ્યારે આવી વિસંગતતાઓ ખાઈના અસ્તિત્વને જાહેર કરી શકે છે, ત્યારે તેઓ ક્યારેય તેમની ઊંડાઈને માપી શકતા નથી. ઉદાસીનતા વળાંકના અંતર્મુખ ભાગો અને તેમના બહુ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ, જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય, તો કાયમ માટે અપરિમિત અસ્પષ્ટતામાં રહેવું જોઈએ. નોન-કન્વેક્સ પસંદગીઓનો અભ્યાસ કરવાની મુશ્કેલીઓ પર હર્મન વોલ્ડ અને ફરીથી પોલ સેમ્યુઅલ્સન દ્વારા ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો, જેમણે લખ્યું હતું કે નોન-કન્વેક્સિટીઝ "ડાયવર્ટ અનુસાર શાશ્વત રીતે ઢંકાયેલી છે. જ્યારે બહિર્મુખ ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન થાય છે, ત્યારે સ્પર્ધાત્મક બજારોના ઘણા સારા ગુણધર્મોને જાળવી રાખવાની જરૂર નથીઃ આમ, બિન-બહિર્મુખતા બજારની નિષ્ફળતા સાથે સંકળાયેલી છે, જ્યાં પુરવઠો અને માંગ અલગ પડે છે અથવા જ્યાં બજારનું સંતુલન બિનકાર્યક્ષમ હોઈ શકે છે. ધ જર્નલ ઓફ પોલિટિકલ ઇકોનોમી (જેપીઈ) માં કાગળોની શ્રેણી દ્વારા 1959 થી 1961 સુધી બિન-બહિર્મુખ પસંદગીઓ પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. મુખ્ય યોગદાન આપનારાઓમાં માઈકલ ફેરેલ, ફ્રાન્સિસ બેટોર, ત્જાલિંગ કૂપમેન્સ અને જેરોમ રોથેનબર્ગ હતા. ખાસ કરીને, રોથેનબર્ગના પેપરમાં બિન-બહિર્મુખ સમૂહોના સરવાળાની અંદાજિત બહિર્મુખતાની ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. આ જેપીઇ-કાગળોએ લોયડ શેપલી અને માર્ટિન શુબિક દ્વારા એક પેપરને ઉત્તેજિત કર્યું, જેમાં બહિર્મુખ ગ્રાહક-પસંદગીઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી અને "અંદાજિત સંતુલન" ની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી. જેપીઇ-કાગળો અને શેપલી-શુબિક કાગળે રોબર્ટ ઓમેનને કારણે "અર્ધ-સંતુલન" ની અન્ય કલ્પનાને પ્રભાવિત કરી હતી. બિન-બહિર્મુખ પસંદગીઓના બહિર્મુખ માળખાને લેવાની ચર્ચા અગાઉ અને પછીથી કરવામાં આવી હતી. સામાન્ય આર્થિક સંતુલનના સિદ્ધાંતોમાં બિન-બહિર્મુખ સમૂહો સામેલ કરવામાં આવ્યા છે. પૃષ્ઠો 392-399 અને પૃષ્ઠ 188:145-146,152-153, અને 274-275: પૃષ્ઠ 37 પર પ્રમેય C (6) અને પૃષ્ઠો 115-116,122, અને પૃષ્ઠો પરની અરજીઓ. શેપલી-ફોકમેન લેમ્મા એ સ્થાપિત કરે છે કે બિન-સંવહન ઘણા ગ્રાહકો સાથેના બજારોમાં અંદાજિત સંતુલન સાથે સુસંગત છે; આ પરિણામો ઘણી નાની કંપનીઓ સાથેના ઉત્પાદન અર્થતંત્રોને પણ લાગુ પડે છે. અલ્પજનતંત્ર અને ખાસ કરીને એકાધિકાર હેઠળ થોડા ઉત્પાદકો સાથે પુરવઠો બિન-સંવહન મહત્વપૂર્ણ છે. બજારની શક્તિનો ઉપયોગ કરતા મોટા ઉત્પાદકો સાથેની ચિંતાઓએ નોન-કન્વેક્સ સેટ પર સાહિત્યની શરૂઆત કરી હતી, જ્યારે પિએરો સ્રાફાએ 1926માં મોટા પ્રમાણમાં વળતર આપતી કંપનીઓ વિશે લખ્યું હતું, ત્યારબાદ હેરોલ્ડ હોટેલિંગે 1938માં સીમાંત કિંમત નિર્ધારણ વિશે લખ્યું હતું. સ્રાફા અને હોટલલિંગ બંનેએ સ્પર્ધકો વિનાના ઉત્પાદકોની બજારની શક્તિને પ્રકાશિત કરી, સ્પષ્ટપણે અર્થતંત્રના પુરવઠા-બાજુ પરના સાહિત્યને ઉત્તેજીત કર્યું. સમકાલીન અર્થશાસ્ત્ર અર્થશાસ્ત્રમાં તાજેતરના સંશોધનોએ અર્થશાસ્ત્રના નવા ક્ષેત્રોમાં બિન-સંવાદિતાને માન્યતા આપી છે. આ ક્ષેત્રોમાં, બિન-સંવહન બજારની નિષ્ફળતા સાથે સંકળાયેલું છે, જ્યાં સંતુલન કાર્યક્ષમ હોવું જરૂરી નથી અથવા જ્યાં પુરવઠો અને માંગ અલગ હોવાને કારણે કોઈ સ્પર્ધાત્મક સંતુલન અસ્તિત્વમાં નથી. બિન-બહિર્મુખ સમૂહો પર્યાવરણીય ચીજવસ્તુઓ (અને અન્ય બાહ્યતાઓ), અને બજારની નિષ્ફળતાઓ અને જાહેર અર્થશાસ્ત્ર સાથે પણ ઉદભવે છે. બિન-આદાનપ્રદાન માહિતી અર્થશાસ્ત્ર અને શેર બજારો (અને અન્ય અપૂર્ણ બજારો) સાથે પણ થાય છે. આવા ઉપયોગોએ અર્થશાસ્ત્રીઓને બિન-બહિર્મુખ સમૂહોનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રેરિત કરવાનું ચાલુ રાખ્યું. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, બિન-રેખીય કિંમત નિર્ધારણ અથવા સોદાબાજી સ્પર્ધાત્મક કિંમત નિર્ધારણ સાથે બજારોની નિષ્ફળતાઓને દૂર કરી શકે છે; અન્ય કિસ્સાઓમાં, નિયમન વાજબી હોઈ શકે છે. સમય જતાં ઓપ્ટિમાઇઝેશન અગાઉ ઉલ્લેખિત એપ્લિકેશનો મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓમાં બિન-સંવહન સાથે સંબંધિત છે, જ્યાં બિંદુઓ કોમોડિટી બંડલ્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો કે, અર્થશાસ્ત્રીઓ વિભેદક સમીકરણો, ગતિશીલ પ્રણાલીઓ, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને સમય જતાં ઓપ્ટિમાઇઝેશનની ગતિશીલ સમસ્યાઓને પણ ધ્યાનમાં લે છેઃ અર્થશાસ્ત્રીઓ નીચેની ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છેઃ ફ્રેન્ક પી. રેમ્સે અને હેરોલ્ડ હોટલિંગને અનુસરીને વિવિધતાની ગણતરી; રિચાર્ડ બેલમેન અને રોનાલ્ડ હોવર્ડને અનુસરીને ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગ; અને નિયંત્રણ સિદ્ધાંત. આ સિદ્ધાંતોમાં, નિયમિત સમસ્યાઓમાં બહિર્મુખ ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યાયિત બહિર્મુખ કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે, અને આ બહિર્મુખતા તકનીકોના સરળીકરણ અને પરિણામોના આર્થિક અર્થપૂર્ણ અર્થઘટનને મંજૂરી આપે છે. અર્થશાસ્ત્રમાં, માર્ટિન બેકમેન અને રિચાર્ડ એફ. મુથ દ્વારા ઇન્વેન્ટરી થિયરી અને વપરાશ થિયરી પર કામ કરવા માટે ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. રોબર્ટ સી. મર્ટને તેમના 1973ના ઇન્ટરટેમ્પોરલ કેપિટલ એસેટ પ્રાઇસિંગ મોડલ પરના લેખમાં ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કર્યો હતો. (મર્ટનની પોર્ટફોલિયો સમસ્યા પણ જુઓ). મર્ટન મોડેલમાં, રોકાણકારોએ આજની આવક અને ભવિષ્યની આવક અથવા મૂડી લાભ વચ્ચે પસંદગી કરી છે, અને તેમનો ઉકેલ ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગ દ્વારા મળે છે. સ્ટોકી, લુકાસ અને પ્રેસ્કોટ આર્થિક સિદ્ધાંતમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કરે છે, જે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ છે. ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ શ્રેષ્ઠ આર્થિક વૃદ્ધિ, સંસાધન નિષ્કર્ષણ, મુખ્ય-એજન્ટ સમસ્યાઓ, જાહેર નાણાં, વ્યવસાય રોકાણ, સંપત્તિ કિંમત, પરિબળ પુરવઠો અને ઔદ્યોગિક સંગઠનમાં કરવામાં આવે છે. લ્યુંગક્વિસ્ટ અને સાર્જન્ટ નાણાકીય નીતિ, રાજકોષીય નીતિ, કરવેરા, આર્થિક વૃદ્ધિ, શોધ સિદ્ધાંત અને શ્રમ અર્થશાસ્ત્રમાં વિવિધ સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરવા માટે ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગ લાગુ કરે છે. દીક્ષિત અને પિંડીકે મૂડી અંદાજપત્ર માટે ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ગતિશીલ સમસ્યાઓ માટે, બિન-પરિવહન પણ બજારની નિષ્ફળતાઓ સાથે સંકળાયેલા છે, જેમ કે તે નિશ્ચિત-સમયની સમસ્યાઓ માટે છે. અર્થતંત્રોએ નોન-કન્વેક્સ સમૂહોનો નોન-કન્વેક્સ વિશ્લેષણ સાથે વધુને વધુ અભ્યાસ કર્યો છે, જે કન્વેક્સ વિશ્લેષણને સામાન્ય બનાવે છે. બહિર્મુખ વિશ્લેષણ બહિર્મુખ સમૂહો અને બહિર્મુખ કાર્યો પર કેન્દ્રિત છે, જેના માટે તે શક્તિશાળી વિચારો અને સ્પષ્ટ પરિણામો પ્રદાન કરે છે, પરંતુ તે બિન-બહિર્મુખતાના વિશ્લેષણ માટે પૂરતું નથી, જેમ કે સ્કેલ પર વળતર વધારવું. "[બંને] ઉત્પાદન અને વપરાશમાં બિન-સંવહન. જરૂરી ગાણિતિક સાધનો કે જે બહિર્વાહની બહાર ગયા, અને વધુ વિકાસ માટે બિન-સરળ કલનની શોધની રાહ જોવી પડી": ઉદાહરણ તરીકે, લિપ્સિટ્ઝ સતત કાર્યો માટે ક્લાર્કનું વિભેદક કલન, જે રેડેમાકરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે અને જે અને દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. તેમણે લખ્યું હતું કે "કિંમતના નિયમો સાથે પેઢીઓના સામાન્ય સંતુલન વિશ્લેષણમાં મુખ્ય પદ્ધતિસરની નવીનતા" એ "વૈશ્વિક વિશ્લેષણ (વિભેદક ટોપોલોજી) અને બહિર્મુખ વિશ્લેષણના [સંશ્લેષણ] તરીકે બિન-સરળ વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓનો પરિચય" હતો. અનુસાર, "બિન-સરળ વિશ્લેષણ સ્પર્શક સપાટીઓ દ્વારા મેનીફોલ્ડ્સના સ્થાનિક અંદાજને વિસ્તરે છે [અને] સ્પર્શક શંકુ દ્વારા બહિર્મુખ સમૂહોના અનુરૂપ અંદાજને સમૂહો સુધી વિસ્તરે છે" જે બિન-સરળ અથવા બિન-બહિર્મુખ હોઈ શકે છે. અર્થશાસ્ત્રમાં કન્વેક્સિટી શેપલી-ફોકમેન લેમ્મા નોટ્સ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ કન્વેક્સ હલ કન્વેક્સ ભૂમિતિ સામાન્ય સંતુલન સિદ્ધાંત કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન