Dynamical mean-field theory
ડાયનેમિકલ મીન-ફિલ્ડ થિયરી (ડીએમએફટી) એ મજબૂત સહસંબંધિત સામગ્રીની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના નક્કી કરવાની એક પદ્ધતિ છે. આવી સામગ્રીઓમાં, સ્વતંત્ર ઇલેક્ટ્રોનનો અંદાજ, જેનો ઉપયોગ ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંત અને સામાન્ય બેન્ડ માળખાની ગણતરીમાં થાય છે, તે તૂટી જાય છે. ગતિશીલ સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત, ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેની સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓની બિન-વિક્ષેપકારક સારવાર, લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ગેસ મર્યાદા અને કન્ડેન્સ્ડ-મેટર ભૌતિકશાસ્ત્રની અણુ મર્યાદા વચ્ચેના અંતરને દૂર કરે છે. ડી. એમ. એફ. ટી. માં બહુવિધ-શરીરની જાળીની સમસ્યાને બહુવિધ-શરીરની સ્થાનિક સમસ્યાનું મેપિંગ કરવામાં આવે છે, જેને અશુદ્ધિ મોડેલ કહેવાય છે. જ્યારે જાળીની સમસ્યા સામાન્ય રીતે વણઉકેલાયેલી હોય છે, ત્યારે અશુદ્ધિ મોડેલ સામાન્ય રીતે વિવિધ યોજનાઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. મેપિંગ પોતે અંદાજની રચના કરતું નથી. સામાન્ય ડી. એમ. એફ. ટી. યોજનાઓમાં એકમાત્ર અંદાજ એ છે કે જાળી સ્વ-ઊર્જાને વેગ-સ્વતંત્ર (સ્થાનિક) જથ્થો માનવામાં આવે છે. આ અંદાજ અનંત સંકલન સાથે જાળીની મર્યાદામાં ચોક્કસ બને છે. ડીએમએફટીની મુખ્ય સફળતાઓમાંની એક ધાતુ અને મોટ અવાહક વચ્ચેના તબક્કાના સંક્રમણનું વર્ણન કરવાનું છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનિક સહસંબંધોની તાકાત વધે છે. તે ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતના સ્થાનિક ઘનતાના અંદાજ સાથે સંયોજનમાં વાસ્તવિક સામગ્રી પર સફળતાપૂર્વક લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સાથે સંબંધ જાળી ક્વોન્ટમ મોડેલોની ડીએમએફટી સારવાર ઇઝિંગ મોડેલ જેવા શાસ્ત્રીય મોડેલોની સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત (એમએફટી) સારવાર જેવી જ છે. ઇઝિંગ મોડેલમાં, જાળીની સમસ્યાને અસરકારક સિંગલ સાઇટ સમસ્યા પર મેપ કરવામાં આવે છે, જેનું ચુંબકીયકરણ અસરકારક "મીન-ફિલ્ડ" દ્વારા જાળીના ચુંબકીયકરણનું પુનઃઉત્પાદન કરવાનું છે. આ સ્થિતિને સ્વ-સુસંગતતા સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. તે નક્કી કરે છે કે સિંગલ-સાઇટ ઓબ્ઝર્વેબલ્સે અસરકારક ક્ષેત્રના માધ્યમથી જાળી "સ્થાનિક" ઓબ્ઝર્વેબલ્સનું પુનઃઉત્પાદન કરવું જોઈએ. જ્યારે એન-સાઇટ ઇઝિંગ હેમિલ્ટોનિયનને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવું મુશ્કેલ છે (આજની તારીખે, વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો ફક્ત 1D અને 2D કેસ માટે અસ્તિત્વમાં છે), ત્યારે સિંગલ-સાઇટ સમસ્યા સરળતાથી હલ થાય છે. તેવી જ રીતે, ડી. એમ. એફ. ટી. જાળીની સમસ્યાનો નકશો બનાવે છે (દા. ત. હૂબાર્ડ મોડેલ) સિંગલ-સાઇટ સમસ્યા પર. ડી. એમ. એફ. ટી. માં, સ્થાનિક અવલોકનક્ષમ એ સ્થાનિક ગ્રીનનું કાર્ય છે. આમ, ડી. એમ. એફ. ટી. માટે સ્વ-સુસંગતતા શરત અશુદ્ધિ ગ્રીનના કાર્ય માટે અસરકારક સરેરાશ-ક્ષેત્ર દ્વારા જાળી સ્થાનિક ગ્રીનના કાર્યને પુનઃઉત્પાદિત કરવા માટે છે, જે ડી. એમ. એફ. ટી. માં અશુદ્ધિ મોડેલનું સંકરણ કાર્ય છે. ડી. એમ. એફ. ટી. એ તેનું નામ એ હકીકતને આભારી છે કે સરેરાશ-ક્ષેત્ર સમય-આધારિત અથવા ગતિશીલ છે. આ ઇઝિંગ એમ. એફ. ટી. અને ડી. એમ. એફ. ટી. વચ્ચેના મુખ્ય તફાવત તરફ પણ ધ્યાન દોરે છેઃ ઇઝિંગ એમ. એફ. ટી. એન-સ્પિન સમસ્યાને સિંગલ-સાઇટ, સિંગલ-સ્પિન સમસ્યામાં મેપ કરે છે. ડીએમએફટી જાળીની સમસ્યાને સિંગલ-સાઇટ સમસ્યા પર મેપ કરે છે, પરંતુ બાદમાં મૂળભૂત રીતે એન-બોડી સમસ્યા રહે છે જે ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન સહસંબંધોને કારણે અસ્થાયી વધઘટને મેળવે છે. હૂબાર્ડ મોડેલ માટે ડી. એમ. એફ. ટી. નું વર્ણન સિંગલ-ઓર્બિટલ હૂબાર્ડ મોડેલનું ડી. એમ. એફ. ટી. મેપિંગ હૂબાર્ડ મોડેલ એક પરિમાણ દ્વારા વિરુદ્ધ સ્પિનના ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેની સ્થળ પરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને વર્ણવે છે. હૂબાર્ડ હેમિલ્ટોનિયન નીચેનું સ્વરૂપ લઈ શકે છેઃ જ્યાં, સ્પિન 1/2 સૂચકાંકોને દબાવવા પર, સ્થળ પર સ્થાનિક કક્ષીય પર ઇલેક્ટ્રોનની રચના અને વિનાશ સંચાલકોને સૂચવે છે, અને. નીચેની ધારણાઓ કરવામાં આવી છેઃ માત્ર એક ભ્રમણકક્ષા ઇલેક્ટ્રોનિક ગુણધર્મોમાં ફાળો આપે છે (જેમ કે સુપરકન્ડક્ટિંગ ક્યુપ્રેટ્સમાં તાંબાના અણુઓના કિસ્સામાં હોઈ શકે છે, જેમના-બેન્ડ બિન-ઉત્પન્ન થાય છે), ભ્રમણકક્ષાઓ એટલી સ્થાનિક હોય છે કે માત્ર નજીકના-પડોશી હોપિંગને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ડીએમએફટી આ જાળી મોડેલને કહેવાતા એન્ડરસન અશુદ્ધિ મોડેલ (એઆઈએમ) પર મેપ કરે છે. આ મોડેલ સંકરણ કાર્ય દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનિક સ્તરોના "સ્નાન" (વિનાશ અને સર્જન સંચાલકો દ્વારા વર્ણવેલ અને) સાથે એક સ્થળ (અશુદ્ધિ) ની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને વર્ણવે છે. અમારા સિંગલ-સાઇટ મોડેલને અનુરૂપ એન્ડરસન મોડેલ એ સિંગલ-ઓર્બિટલ એન્ડરસન અશુદ્ધિ મોડેલ છે, જેની હેમિલ્ટોનિયન રચના, કેટલાક સ્પિન 1/2 સૂચકાંકોને દબાવવા પર, છેઃ જ્યાં સ્નાનના બિન-સહસંબંધિત ઇલેક્ટ્રોનિક સ્તરોનું વર્ણન કરે છે તે અશુદ્ધિનું વર્ણન કરે છે, જ્યાં બે ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જાસભર કિંમત સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે તે અશુદ્ધિ અને સ્નાન વચ્ચેના સંકરણ (અથવા જોડાણ) ને સંકરણ શબ્દો દ્વારા વર્ણવે છે. આ સંકરણ કાર્ય સ્નાનની અંદર અને બહાર આવતા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરે છે. તેણે જાળીની ગતિશીલતાને એવી રીતે પુનઃઉત્પાદિત કરવી જોઈએ કે અશુદ્ધિ ગ્રીનનું કાર્ય સ્થાનિક જાળી ગ્રીનના કાર્ય જેવું જ હોય. તે સંબંધ દ્વારા બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ગ્રીનના કાર્ય સાથે સંબંધિત છેઃ (1) એન્ડરસન અશુદ્ધિ મોડેલને ઉકેલવામાં આપેલ સંકરણ કાર્ય માટે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ગ્રીનના કાર્ય જેવા અવલોકનની ગણતરીમાં સમાવેશ થાય છે અને. તે એક મુશ્કેલ સમસ્યા છે પરંતુ ઉકેલવા યોગ્ય નથી. AIM ને ઉકેલવા માટે સંખ્યાબંધ રીતો અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે આંકડાકીય પુનર્રચના જૂથ ચોક્કસ વિકર્ણકરણ પુનરાવર્તિત વિક્ષેપ સિદ્ધાંત બિન-પાર અંદાજ સતત-સમય ક્વોન્ટમ મોન્ટે કાર્લો અલ્ગોરિધમ્સ સ્વ-સુસંગતતા સમીકરણો સ્વ-સુસંગતતાની સ્થિતિ માટે અશુદ્ધ ગ્રીનનું કાર્ય સ્થાનિક જાળી ગ્રીનના કાર્ય સાથે સુસંગત હોવું જરૂરી છેઃ જ્યાં જાળી સ્વ-ઊર્જાને સૂચવે છે. ડી. એમ. એફ. ટી. અંદાજઃ જાળી સ્વ-ઊર્જાનું સ્થાન એકમાત્ર ડી. એમ. એફ. ટી. અંદાજો (એન્ડરસન મોડેલને ઉકેલવા માટે કરી શકાય તેવા અંદાજ સિવાય) જાળી સ્વ-ઊર્જાના અવકાશી વધઘટની અવગણના કરવામાં આવે છે, તેને અશુદ્ધ સ્વ-ઊર્જા સાથે સરખાવીનેઃ આ અંદાજ અનંત સંકલન સાથે જાળીની મર્યાદામાં ચોક્કસ બને છે, એટલે કે જ્યારે દરેક સાઇટના પડોશીઓની સંખ્યા અનંત હોય છે. ખરેખર, કોઈ બતાવી શકે છે કે જાળી સ્વ-ઊર્જાના આકૃતિગત વિસ્તરણમાં, જ્યારે કોઈ અનંત સંકલન મર્યાદામાં જાય છે ત્યારે માત્ર સ્થાનિક આકૃતિઓ જ ટકી રહે છે. આમ, શાસ્ત્રીય સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોની જેમ, જેમ જેમ પરિમાણ (અને આમ પડોશીઓની સંખ્યા) વધે છે તેમ તેમ ડીએમએફટી વધુ સચોટ બનવાનું માનવામાં આવે છે. અલગ રીતે કહીએ તો, નીચા પરિમાણો માટે, અવકાશી વધઘટ ડીએમએફટીના અંદાજને ઓછો વિશ્વસનીય બનાવશે. તબક્કાના સંક્રમણોની નજીકમાં અવકાશી વધઘટ પણ સુસંગત બને છે. અહીં, ડી. એમ. એફ. ટી. અને શાસ્ત્રીય સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો સરેરાશ-ક્ષેત્ર નિર્ણાયક ઘટકોમાં પરિણમે છે, તબક્કા સંક્રમણ પહેલાંના સ્પષ્ટ ફેરફારો ડી. એમ. એફ. ટી. સ્વ-ઊર્જામાં પ્રતિબિંબિત થતા નથી. ડી. એમ. એફ. ટી. લૂપ સ્થાનિક જાળી ગ્રીનનું કાર્ય શોધવા માટે, વ્યક્તિએ સંકરણ કાર્ય નક્કી કરવું પડશે જેથી અનુરૂપ અશુદ્ધિ ગ્રીનનું કાર્ય ઇચ્છિત સ્થાનિક જાળી ગ્રીનના કાર્ય સાથે મેળ ખાય. આ સમસ્યાનું સમાધાન કરવાની સૌથી વ્યાપક રીત એ છે કે આપેલ અને તાપમાન માટે આગળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવોઃ (સામાન્ય રીતે,) માટે અનુમાન સાથે પ્રારંભ કરો (સામાન્ય રીતે,) ડીએમએફટી અંદાજ બનાવોઃ સ્થાનિક ગ્રીનના કાર્યની ગણતરી કરો ગતિશીલ સરેરાશ ક્ષેત્રની ગણતરી કરો નવી અશુદ્ધિ ગ્રીનના કાર્ય માટે એઆઈએમને હલ કરો, તેની સ્વ-ઊર્જાને બહાર કાઢોઃ અભિસરણ સુધી પગલું 2 પર પાછા જાઓ, એટલે કે ક્યારે. એપ્લિકેશન્સ સ્થાનિક જાળી ગ્રીનનું કાર્ય અને અન્ય અશુદ્ધિ અવલોકનક્ષમ પદાર્થોનો ઉપયોગ સહસંબંધ, બેન્ડવિડ્થ, ભરણ (રાસાયણિક ક્ષમતા) અને તાપમાનના કાર્ય તરીકે સંખ્યાબંધ ભૌતિક જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છેઃ વર્ણપટ કાર્ય (જે બેન્ડ માળખું આપે છે) ગતિ ઊર્જા સાઇટ પ્રતિસાદ કાર્યોની બેવડી ઓક્યુપન્સી (સંકોચનક્ષમતા, ઓપ્ટિકલ વાહકતા, ચોક્કસ ગરમી) ખાસ કરીને, વધારો તરીકે ડબલ-ઓક્યુપન્સીનો ઘટાડો એ મોટ સંક્રમણની નિશાની છે. ડી. એમ. એફ. ટી. ડી. એમ. એફ. ટી. ના વિસ્તરણમાં ઘણા વિસ્તરણ છે, જે ઉપરોક્ત ઔપચારિકતાને બહુ-કક્ષીય, બહુ-સ્થળ સમસ્યાઓ, લાંબા અંતરના સહસંબંધો અને બિન-સંતુલન સુધી વિસ્તરે છે. મલ્ટી-ઓર્બિટલ એક્સ્ટેંશન ડીએમએફટીને બહુવિધ ઓર્બિટલ્સ સાથે હૂબાર્ડ મોડેલ્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એટલે કે વિવિધ ઓર્બિટલ્સના સ્વરૂપની ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે. ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંત (ડી. એફ. ટી. + ડી. એમ. એફ. ટી.) સાથે સંયોજન પછી સહસંબંધિત સામગ્રીની વાસ્તવિક ગણતરી માટે પરવાનગી આપે છે. વિસ્તૃત ડી. એમ. એફ. ટી. વિસ્તૃત ડી. એમ. એફ. ટી. બિન-સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ માટે સ્થાનિક અશુદ્ધ સ્વ-ઊર્જા ઉત્પન્ન કરે છે અને તેથી આપણને ટી-જે મોડેલ જેવા વધુ સામાન્ય મોડેલો માટે ડી. એમ. એફ. ટી. લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ક્લસ્ટર ડીએમએફટી ડીએમએફટીના અંદાજમાં સુધારો કરવા માટે, હૂબાર્ડ મોડેલને મલ્ટી-સાઇટ અશુદ્ધિ (ક્લસ્ટર) સમસ્યા પર મેપ કરી શકાય છે, જે અશુદ્ધિ સ્વ-ઊર્જામાં થોડી અવકાશી અવલંબન ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે. ક્લસ્ટરમાં નીચા તાપમાને 4 થી 8 સ્થળો અને ઊંચા તાપમાને 100 સ્થળો હોય છે. ડાયાગ્રામેટિક એક્સ્ટેન્શન્સ ડીએમએફટીની બહાર સ્વ-ઊર્જાની અવકાશી અવલંબન, જેમાં તબક્કાના સંક્રમણની નજીકમાં લાંબા અંતરના સહસંબંધોનો સમાવેશ થાય છે, તે વિશ્લેષણાત્મક અને આંકડાકીય તકનીકોના સંયોજનનો ઉપયોગ કરીને ડીએમએફટીના ડાયાગ્રામેટિક એક્સ્ટેન્શન્સ દ્વારા પણ મેળવી શકાય છે. ગતિશીલ શિરોબિંદુ અંદાજ અને દ્વિ ફર્મિઓન અભિગમનો પ્રારંભિક બિંદુ સ્થાનિક દ્વિ-કણો શિરોબિંદુ છે. બિન-સંતુલન ડી. એમ. એફ. ટી. નો ઉપયોગ બિન-સંતુલન પરિવહન અને ઓપ્ટિકલ ઉત્તેજનાનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો છે. અહીં, સંતુલનની બહાર AIM ના ગ્રીન ફંક્શનની વિશ્વસનીય ગણતરી એક મોટો પડકાર છે. સંદર્ભો અને નોંધો પણ જુઓ મજબૂત રીતે સહસંબંધિત સામગ્રી બાહ્ય કડીઓ મજબૂત રીતે સહસંબંધિત સામગ્રીઃ ગતિશીલ સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાંથી આંતરદૃષ્ટિ જી. કોટલિયર અને ડી. વોલહાર્ટ વ્યાખ્યાન મજબૂત રીતે સહસંબંધિત સામગ્રી માટે એલડીએ + ડીએમએફટી અભિગમ પર નોંધે છે ઇવા પાવારિની, એરિક કોચ, ડાયટર વોલહાર્ટ અને એલેક્ઝાન્ડર લિક્ટનસ્ટીન (આવૃત્તિઓ.) વ્યાખ્યાન નોંધે છે કે ડી. એમ. એફ. ટી. 25: અનંત પરિમાણો ઇવા પાવારિની, એરિક કોચ, ડાયટર વોલહાર્ટ અને એલેક્ઝાન્ડર લિકટેનસ્ટીન (આવૃત્તિઓ.) વ્યાખ્યાન નોંધે છે ડી. એમ. એફ. ટી.-અનંત પરિમાણોથી વાસ્તવિક સામગ્રીઓ સુધી ઇવા પાવારિની, એરિક કોચ, ડાયટર વોલહાર્ટ અને એલેક્ઝાન્ડર લિકટેનસ્ટીન (આવૃત્તિઓ.) વ્યાખ્યાન નોંધે છે કે સહસંબંધિત ઇલેક્ટ્રોનનો ગતિશીલ સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ઇવા પાવારિની, એરિક કોચ, ડાયટર વોલહાર્ટ અને એલેક્ઝાન્ડર લિકટેનસ્ટીન (આવૃત્તિઓ.) બે-સાઇટ હૂબાર્ડ ડાયમર માટે ડીએમએફટીઃ ડાયનેમિકલ મીન-ફિલ્ડ થિયરી ફોર મટિરિયલ્સમાં, ઇવા પાવારિની https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf બે-સાઇટ હૂબાર્ડ ડાયમર માટે ડીએમએફટીઃ સામગ્રીમાં મજબૂત-સહસંબંધ સમસ્યાનું સમાધાન કરવામાં, ઇવા પાવારિની https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8 સહસંબંધિત ઇલેક્ટ્રોન મટિરિયલ્સ સાયન્સ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ ઇલેક્ટ્રોનિક સ્ટ્રક્ચર પદ્ધતિઓ