Zwanzig projection operator
ઝવાનઝિગ પ્રોજેક્શન ઓપરેટર એ આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં વપરાતું ગાણિતિક ઉપકરણ છે. તે "સ્લો" ફેઝ સ્પેસ ફંક્શન્સના રેખીય સબસ્પેસ પર ફેઝ સ્પેસ ફંક્શન્સ અને પ્રોજેક્ટ્સની રેખીય જગ્યામાં કાર્ય કરે છે. તે રોબર્ટ ઝવાનઝિગ દ્વારા સામાન્ય મુખ્ય સમીકરણ મેળવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તેનો ઉપયોગ મોટાભાગે આ અથવા સમાન સંદર્ભમાં ઔપચારિક રીતે કેટલાક "ધીમા" સામૂહિક ચલ માટે ગતિના સમીકરણો મેળવવા માટે થાય છે. ધીમા ચલ અને સ્કેલર ઉત્પાદન ઝવાનઝિગ પ્રક્ષેપણ સંચાલક બિંદુ કણોના-પરિમાણીય તબક્કાની જગ્યામાં કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટા સાથે કાર્યો પર કામ કરે છે. આ કાર્યોનો એક વિશેષ ઉપગણ એ "ધીમા ચલ" નો એક ગણનાપાત્ર સમૂહ છે. આમાંના કેટલાક ચલ માટે ઉમેદવાર સામૂહિક ઘનતાના લાંબા-તરંગલંબાઇના ફોરિયર ઘટકો અને તરંગ વેક્ટર સાથે વેગમાત્રાની ઘનતાના લાંબા-તરંગલંબાઇના ફોરિયર ઘટકો હોઈ શકે છે. ઝવાનઝિગ પ્રક્ષેપણ સંચાલક આ કાર્યો પર આધાર રાખે છે પરંતુ આપેલ હેમિલ્ટોનિયનના ધીમા ચલને કેવી રીતે શોધવું તે કહેતો નથી. બે આર્બિટરી ફેઝ સ્પેસ ફંક્શન્સ વચ્ચેનું સ્કેલર પ્રોડક્ટ અને તેને સંતુલન સહસંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં માઇક્રોકેનોનિકલ સંતુલન વિતરણ સૂચવે છે. "ઝડપી" ચલ, વ્યાખ્યા મુજબ, આ સ્કેલર પ્રોડક્ટ હેઠળના તમામ કાર્યો માટે ઓર્થોગોનલ છે. આ વ્યાખ્યા જણાવે છે કે ઝડપી અને ધીમા ચલની વધઘટ અસંબદ્ધ છે, અને એર્ગોડિક પૂર્વધારણા અનુસાર આ સમય સરેરાશ માટે પણ સાચું છે. જો સામાન્ય કાર્ય કેટલાક ધીમા ચલ સાથે સહસંબંધિત હોય, તો કોઈ વ્યક્તિ ધીમા ચલનાં કાર્યોને ત્યાં સુધી બાદ કરી શકે છે જ્યાં સુધી તેનો અસંબદ્ધ ઝડપી ભાગ ન રહે. ધીમા અને ઝડપી ચલનું ગુણાકાર એ ઝડપી ચલ છે. પ્રક્ષેપણ સંચાલક અચળાંક સાથે કાર્યોના સતત સમૂહને ધ્યાનમાં લે છે. કોઈપણ ફેઝ સ્પેસ ફંક્શન જે ફક્ત થ્રુ પર આધાર રાખે છે તે તેનું ફંક્શન છે, એટલે કે એક સામાન્ય ફેઝ સ્પેસ ફંક્શન જ્યાં ઝડપી ભાગ છે તેના આધારે વિઘટિત થાય છે. ધીમા કાર્ય સાથે સ્કેલર ઉત્પાદન લેવાના ધીમા ભાગ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે, આ એક અભિવ્યક્તિ આપે છે, અને આમ ઓપરેટર તેના "ધીમા" ભાગ પર મનસ્વી કાર્યને રજૂ કરે છે, જે ફક્ત તેના દ્વારા આધાર રાખે છે, આ અભિવ્યક્તિ ઝવાનઝિગ દ્વારા આપવામાં આવેલી અભિવ્યક્તિ સાથે સંમત થાય છે, સિવાય કે ઝવાનઝિગ ધીમા ચલમાં સમાવિષ્ટ થાય છે. ઝવાનઝિગ પ્રક્ષેપણ સંચાલક અને પૂર્ણ કરે છે. તેનો ઝડપી ભાગ છે. ધીમા ચલોનાં કાર્યો અને ખાસ કરીને ધીમા ચલોનાં ઉત્પાદનોમાં ધીમા ચલ હોય છે. આમ ધીમા ચલોનું સ્થાન બીજગણિત છે. સામાન્ય રીતે બીજગણિત પોઇસન કૌંસ હેઠળ બંધ થતું નથી, જેમાં હેમિલ્ટોનિયન સાથે પોઈસન કૌંસનો સમાવેશ થાય છે. લિઉવિલે અને માસ્ટર સમીકરણ સાથે જોડાણ ઉપર આપેલી વ્યાખ્યા માટેનું અંતિમ સમર્થન એ છે કે તે ધીમા ચલ (અથવા ધીમા ચલ માટે પોતે લેંગ્વિન સમીકરણો) ના સમય આધારિત સંભાવના વિતરણ માટે મુખ્ય સમીકરણ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. લાક્ષણિક પગલાંઓને સ્કેચ કરવા માટે, ચાલો તબક્કાની જગ્યામાં સમય-આધારિત સંભાવના વિતરણને દર્શાવીએ. તબક્કા અવકાશ ઘનતા (તેમજ) એ લિઉવિલે સમીકરણનો ઉકેલ છે પછી નિર્ણાયક પગલું એ લખવાનું છે, અને લિઉવિલે સમીકરણને ધીમી અને ઝડપી પેટા જગ્યા પર રજૂ કરવા માટે, બીજા સમીકરણને ઉકેલવા અને પ્રથમ સમીકરણમાં દાખલ કરવાથી (નાકાજિમા-ઝવાનઝિગ સમીકરણ જુઓ) માટે બંધ સમીકરણ મળે છે. પછીનું સમીકરણ આખરે એક સમીકરણ આપે છે જ્યાં ધીમા ચલોનું સંતુલન વિતરણ સૂચવે છે. બિનરેખીય લેંગ્વિન સમીકરણો લેંગ્વિન સમીકરણના પ્રમાણભૂત વ્યુત્પત્તિ માટેનું પ્રારંભિક બિંદુ એ ઓળખ છે, જ્યાં ઝડપી સબસ્પેસ પર પ્રોજેક્ટ થાય છે. ઇવોલ્યુશન ઓપરેટર સાથે અલગ નાના સમયના પગલાઓનો વિચાર કરો, જ્યાં લિઉવિલે ઓપરેટર છે. ધ્યેય અને ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવાનો છે. પ્રેરણા એ છે કે તે ધીમા ચલોનું કાર્યાત્મક છે અને તે અભિવ્યક્તિઓ ઉત્પન્ન કરે છે જે દરેક સમયે ઝડપી ચલ હોય છે. અપેક્ષા એ છે કે આ રીતે અલગ કરવામાં આવેલા ઝડપી ચલોને કેટલાક મોડેલ ડેટા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે ગૌસીયન સફેદ અવાજ દ્વારા. વિઘટન ડાબી બાજુથી ગુણાકાર કરીને પ્રાપ્ત થાય છે, સિવાય કે છેલ્લી મુદત, જેનો ગુણાકાર થાય છે. પુનરાવર્તન આપે છે છેલ્લી પંક્તિને ઇન્ડક્શન દ્વારા પણ સાબિત કરી શકાય છે. ધારવું અને સીધું પ્રદર્શન કરવું એ કાવાસાકીની સંચાલક ઓળખ તરફ દોરી જાય છે એક સામાન્ય લેંગવિન સમીકરણ આ સમીકરણને ધીમા ચલના સમય વ્યુત્પન્ન પર લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે, અહીં વધઘટ બળ છે (તે ફક્ત ઝડપી ચલ પર આધાર રાખે છે). મોડ કપલિંગ ટર્મ અને ડેમ્પિંગ ટર્મ એ અને ના વિધેય છે અને તેને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકાય છે. વિધેયોના અલગ સમૂહ, મોરી પ્રોજેક્શન ઓપરેટરના સંબંધમાં વિધેયોના સતત સમૂહમાં ધીમા ભાગને વિસ્તૃત કરવાને બદલે કેટલાક ગણનાપાત્ર વિધેયોના સમૂહનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે. જો આ ફંક્શન્સ સંપૂર્ણ ઓર્થોનોર્મલ ફંક્શન સેટ બનાવે છે, તો પ્રોજેક્શન ઓપરેટર સ્લો વેરિયેબલ્સના ઓર્થોનોર્મલાઇઝ્ડ રેખીય સંયોજનો માટે ફક્ત એક વિશેષ પસંદગી વાંચે છે. આ મોરી પ્રક્ષેપણ સંચાલક તરફ દોરી જાય છે. જો કે, રેખીય કાર્યોનો સમૂહ પૂર્ણ નથી, અને જો બિનરેખીયતા અમલમાં આવે તો ઓર્થોગોનલ ચલ ઝડપી અથવા અવ્યવસ્થિત નથી. આ પણ જુઓ મોરી-ઝવાનઝિગ ઔપચારિકતા સંદર્ભો આંકડાકીય મિકેનિક્સ