Parabolic geometry (differential geometry)
વિભેદક ભૂમિતિ અને લાઈ જૂથોના અભ્યાસમાં, પેરાબોલિક ભૂમિતિ એ એક સજાતીય જગ્યા G/P છે જે પેરાબોલિક પેટાજૂથ P દ્વારા અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથ G નો ભાગાકાર છે. વધુ સામાન્ય રીતે, આ અર્થમાં પેરાબોલિક ભૂમિતિના વક્ર એનાલોગને પેરાબોલિક ભૂમિતિ પણ કહેવામાં આવે છેઃ કોઈપણ ભૂમિતિ જે કાર્ટન જોડાણ દ્વારા આવી જગ્યા પર તૈયાર કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણો પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ Pn એક ઉદાહરણ છે. તે સજાતીય જગ્યા પીજીએલ (એન + 1)/એચ છે જ્યાં એચ એ રેખાનું આઇસોટ્રોપી જૂથ છે. આ ભૌમિતિક અવકાશમાં, સીધી રેખાની કલ્પના અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ રેખાઓ સાથે કોઈ પસંદગીનું ("સંલગ્ન") પરિમાણ નથી. પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનું વક્ર એનાલોગ એ એક મેનીફોલ્ડ છે જેમાં જીઓડેસિકની કલ્પના અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ જેના માટે તે જીઓડેસિક પર કોઈ પસંદગીના પરિમાણો નથી. પ્રોજેક્ટિવ જોડાણ એ સંબંધિત કાર્ટન જોડાણ છે જે પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાની નકલોને બેઝ મેનીફોલ્ડની સ્પર્શક જગ્યાઓ પર ચોંટાડીને પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિને વર્ણવવાનું સાધન આપે છે. મોટે ભાગે કહીએ તો, પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ આ પ્રકારના જોડાણ સાથે મેનીફોલ્ડ્સના અભ્યાસનો સંદર્ભ આપે છે. બીજું ઉદાહરણ કન્ફોર્મલ ગોળા છે. ટોપોલોજીકલ રીતે, તે એન-ગોળા છે, પરંતુ તેના પર વ્યાખ્યાયિત લંબાઈની કોઈ કલ્પના નથી, માત્ર વળાંક વચ્ચેના કોણની. સમાનરૂપે, આ ભૂમિતિને ગોળા પર રીમાનિયન મેટ્રિક્સના સમકક્ષ વર્ગ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે (જેને કન્ફોર્મલ ક્લાસ કહેવાય છે). ગોળાના ખૂણાઓને જાળવી રાખનારા પરિવર્તનોનું જૂથ લોરેન્ટ્ઝ જૂથ O (n + 1,1) છે, અને તેથી Sn = O (n + 1,1)/P. કોન્ફોર્મલ ભૂમિતિ, વધુ વ્યાપક રીતે, રીમાનિયન મેટ્રિક્સના કન્ફોર્મલ સમકક્ષ વર્ગ સાથે મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ છે, એટલે કે, કન્ફોર્મલ ગોળા પર મોડેલિંગ કરેલ મેનીફોલ્ડ્સ. અહીં સંકળાયેલ કાર્ટાન જોડાણ એ કન્ફોર્મલ જોડાણ છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સી. આર. ભૂમિતિ, વાસ્તવિક હાયપરક્વેડ્રિક પર રચાયેલ મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ, જ્યાં આઇસોટ્રોપિક રેખાનું સ્ટેબિલાઇઝર છે (જુઓ સી. આર. મેનીફોલ્ડ) સંપર્ક પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ, મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ જ્યાં તેના પર રચાયેલ છે, સંદર્ભો સ્લોવાક, જે. પેરાબોલિક ભૂમિતિ, સંશોધન વ્યાખ્યાન નોંધો, ડૉ. એસ. સી.-વિસર્જનનો ભાગ, મસારિક યુનિવર્સિટી, 1997,70પી. પી., આઇ. જી. એ. પ્રીપ્રિન્ટ (એડિલેડ યુનિવર્સિટી) વિભેદક ભૂમિતિ સજાતીય જગ્યાઓ