Wilks' theorem
આંકડામાં વિલ્ક્સનો પ્રમેય લોગ-લાઈકલિહૂડ રેશિયો આંકડાકીયનું એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ પ્રદાન કરે છે, જેનો ઉપયોગ મહત્તમ-લાઈકલિહૂડ અંદાજો માટે વિશ્વાસ અંતરાલો પેદા કરવા માટે અથવા શક્યતા-ગુણોત્તર પરીક્ષણ કરવા માટે પરીક્ષણ આંકડા તરીકે થઈ શકે છે. આંકડાકીય પરીક્ષણો (જેમ કે પૂર્વધારણા પરીક્ષણ) માટે સામાન્ય રીતે પરીક્ષણ આંકડાકીય સંભાવના વિતરણનું જ્ઞાન જરૂરી હોય છે. આ ઘણીવાર સંભાવના ગુણોત્તર માટે એક સમસ્યા છે, જ્યાં સંભાવના વિતરણ નક્કી કરવું ખૂબ જ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. સેમ્યુઅલ એસ. વિલ્ક્સ દ્વારા અનુકૂળ પરિણામ કહે છે કે જેમ જેમ નમૂનાનું કદ નજીક આવે છે, તેમ તેમ પરીક્ષણ આંકડાકીયનું વિતરણ એસિમ્ટોટિક રીતે નલ પૂર્વધારણા હેઠળ ચી-સ્ક્વેર્ડ () વિતરણ સુધી પહોંચે છે. અહીં, સંભાવના ગુણોત્તર સૂચવે છે, અને વિતરણમાં અને ની પરિમાણીયતાના તફાવતની સમાન સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી હોય છે, જ્યાં સંપૂર્ણ પરિમાણ જગ્યા છે અને તે સાથે સંકળાયેલ પરિમાણ જગ્યાનો સબસેટ છે. આ પરિણામનો અર્થ એ છે કે મોટા નમૂનાઓ અને વિવિધ પ્રકારની પૂર્વધારણાઓ માટે, વ્યવસાયી માહિતી માટે સંભાવના ગુણોત્તરની ગણતરી કરી શકે છે અને અંદાજિત આંકડાકીય પરીક્ષણ તરીકે ઇચ્છિત આંકડાકીય મહત્વને અનુરૂપ મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરી શકે છે. જ્યારે પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય પરિમાણ જગ્યાની સીમા પર હોય ત્યારે પ્રમેય હવે લાગુ પડતો નથીઃ વિલ્ક્સનો પ્રમેય ધારે છે કે 'સાચું' પરંતુ અંદાજિત પરિમાણોના અજ્ઞાત મૂલ્યો સમર્થિત પરિમાણ જગ્યાના આંતરિક ભાગમાં આવેલા છે. વ્યવહારમાં, જો અંદાજ તે સીમા પર હોય તો સમસ્યાની નોંધ લેવામાં આવશે. તે ઘટનામાં, સંભાવના પરીક્ષણ હજુ પણ એક સમજદાર પરીક્ષણ આંકડા છે અને તેમાં કેટલાક એસિમ્પ્ટોટિક ઓપ્ટિમાલિટી ગુણધર્મો પણ છે, પરંતુ વિલ્ક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવેલી ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા સાથે ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને મહત્વ (-મૂલ્ય) નો વિશ્વસનીય અંદાજ લગાવી શકાતો નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, આંકડાકીય એસિમ્પ્ટોટિક નલ-પૂર્વધારણાનું વિતરણ એ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની વિવિધ સંખ્યાઓ સાથે ચી-ચોરસ વિતરણનું મિશ્રણ છે. બે સ્પર્ધાત્મક મોડેલોમાંથી દરેકનો ઉપયોગ કરો, નલ મોડેલ અને વૈકલ્પિક મોડેલ, ડેટામાં અલગથી ફીટ કરવામાં આવે છે અને લોગ-લાઇક્લીહૂડ રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. પરીક્ષણ આંકડાકીય (ઘણીવાર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) સંભાવના ગુણોત્તરના લોગની બમણી છે, એટલે કે, તે લોગ-લાઇકીલીહૂડમાં બમણો તફાવત છેઃ વધુ પરિમાણો (અહીં વૈકલ્પિક) સાથેનું મોડેલ હંમેશા ઓછામાં ઓછું ફિટ થશે-એટલે કે, ઓછા પરિમાણો (અહીં શૂન્ય) ધરાવતા મોડેલ કરતાં સમાન અથવા વધુ લોગ-લાઇકીલીહૂડ હશે. જો ઓછા પરિમાણો સાથેનું મોડેલ સાચું હોય તો, ફિટ નોંધપાત્ર રીતે વધુ સારું છે અને તેથી તેને પસંદ કરવું જોઈએ કે કેમ તે એકલા તક દ્વારા આવા તફાવતને અવલોકન કરવાની શક્યતા (-મૂલ્ય) કેટલી છે તે તારવીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જ્યાં નલ હાયપોથેસિસ વૈકલ્પિક હાયપોથેસિસના વિશેષ કેસને રજૂ કરે છે, ત્યાં પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્રનું સંભાવના વિતરણ લગભગ એક ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ છે, જે અનુક્રમે વૈકલ્પિક અને નલ મોડેલોના મુક્ત પરિમાણોની સંખ્યાની સમાન ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ જો નલ મોડેલમાં 1 પરિમાણ અને −8024 ની લોગ-લાઇકીલીહૂડ હોય અને વૈકલ્પિક મોડેલમાં 3 પરિમાણો અને −8012 ની લોગ-લાઇકીલીહૂડ હોય, તો આ તફાવતની સંભાવના એ છે કે ચી-સ્ક્વેર્ડ મૂલ્યની ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સાથે, અને તે બરાબર છે. ચિ-સ્ક્વેર્ડ વિતરણને અનુસરવા માટે આંકડાશાસ્ત્ર માટે અમુક ધારણાઓ પૂરી થવી આવશ્યક છે, પરંતુ જો તે શરતો પૂરી ન થાય તો પ્રયોગમૂલક મૂલ્યોની ગણતરી પણ કરી શકાય છે. સિક્કા ઉછાળવાના ઉદાહરણો પીઅર્સનના પરીક્ષણનું ઉદાહરણ એ બે સિક્કાઓની સરખામણી છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે કે તેમની પાસે માથા ઉપર આવવાની સમાન સંભાવના છે કે કેમ. અવલોકનોને આકસ્મિક કોષ્ટકમાં સિક્કાને અનુરૂપ પંક્તિઓ અને માથા અથવા પૂંછડીને અનુરૂપ સ્તંભો સાથે મૂકી શકાય છે. આકસ્મિકતા કોષ્ટકના ઘટકો દરેક સિક્કાના માથા અથવા પૂંછડીઓ કેટલી વાર આવે છે તે હશે. આ કોષ્ટકની સામગ્રીઓ આપણા અવલોકનો છે. અહીં પરિમાણોના મૂલ્યોના સંભવિત સંયોજનોનો સમાવેશ થાય છે, અને, જે 1 અને 2 સિક્કાઓ માથા અથવા પૂંછડીઓ પર આવે તેવી સંભાવના છે. જે આગળ આવે છે, અને. પૂર્વધારણાની જગ્યા સંભાવના વિતરણ પરના સામાન્ય અવરોધો દ્વારા મર્યાદિત છે, અને. નલ પૂર્વધારણાની જગ્યા એ સબસ્પેસ છે જ્યાં. સંપૂર્ણ પરિમાણ જગ્યાની પરિમાણીયતા 2 છે (પૂર્વધારણા હેઠળ મુક્ત પરિમાણો તરીકે ગણવામાં આવી શકે છે), અને તેની પરિમાણીયતા 1 છે (શૂન્ય પૂર્વધારણા હેઠળ માત્ર એક જ મુક્ત પરિમાણ ગણી શકાય). પૂર્વધારણા હેઠળ શ્રેષ્ઠ અંદાજો માટે લખતા, મહત્તમ સંભાવના અંદાજ દ્વારા આપવામાં આવે છે તેવી જ રીતે, નલ પૂર્વધારણા હેઠળ મહત્તમ સંભાવના અંદાજો આપવામાં આવે છે જેના દ્વારા સિક્કા પર આધાર રાખતો નથી. પૂર્વધારણા અને નલ પૂર્વધારણાને સહેજ ફરીથી લખી શકાય છે જેથી તેઓ ઇચ્છિત વિતરણ મેળવવા માટે સંભાવના ગુણોત્તરના લઘુગણક માટેના અવરોધોને સંતોષે. અવરોધ દ્વિ-પરિમાણીયને એક-પરિમાણીયમાં ઘટાડવાનું કારણ બને છે, તેથી પરીક્ષણ માટેનું એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ, એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથેનું વિતરણ હશે. સામાન્ય આકસ્મિકતા કોષ્ટક માટે, આપણે લોગ-લાઇક્લીહૂડ રેશિયો સ્ટેટિસ્ટિક લખી શકીએ છીએ કારણ કે રેન્ડમ અથવા મિશ્ર અસરોના નમૂનાઓ માટે અમાન્યતા વિલ્ક્સના પ્રમેય ધારે છે કે અંદાજિત પરિમાણોના સાચા પરંતુ અજ્ઞાત મૂલ્યો પરિમાણ જગ્યાના આંતરિક ભાગમાં છે. આનું સામાન્ય રીતે રેન્ડમ અથવા મિશ્ર અસરોના મોડેલોમાં ઉલ્લંઘન થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ભિન્નતા ઘટકોમાંથી એક અન્યની તુલનામાં નગણ્ય હોય છે. આવા કેટલાક કિસ્સાઓમાં, એક ભિન્નતા ઘટક અન્યની તુલનામાં અસરકારક રીતે શૂન્ય હોઈ શકે છે, અથવા અન્ય કિસ્સાઓમાં મોડેલોને અયોગ્ય રીતે નેસ્ટ કરી શકાય છે. સ્પષ્ટ કરવા માટેઃ વિલ્ક્સના પ્રમેય પરની આ મર્યાદાઓ ચોક્કસ સંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણના કોઈપણ શક્તિ ગુણધર્મોને નકારતી નથી. એકમાત્ર મુદ્દો એ છે કે પરિણામના આંકડાકીય મહત્વના અંદાજ માટે વિતરણ કેટલીકવાર નબળી પસંદગી છે. ખરાબ ઉદાહરણો પિનહીરો અને બેટ્સ (2000) એ દર્શાવ્યું હતું કે આ સંભાવના ગુણોત્તર ચી-ચોરસ આંકડાકીયનું સાચું વિતરણ નિષ્કપટ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોઈ શકે છે-ઘણીવાર નાટ્યાત્મક રીતે. નિષ્કપટ ધારણાઓ મહત્વની સંભાવનાઓ (-મૂલ્યો) આપી શકે છે, જે સરેરાશ, કેટલાક કિસ્સાઓમાં ખૂબ મોટી હોય છે અને અન્યમાં ખૂબ નાની હોય છે. સામાન્ય રીતે, રેન્ડમ અસરો ચકાસવા માટે, તેઓ પ્રતિબંધિત મહત્તમ સંભાવના (આરઈએમએલ) નો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરે છે. ફિક્સ્ડ-ઇફેક્ટ્સ પરીક્ષણ માટે, તેઓ કહે છે, "આરઈએમએલ ફિટ્સ માટે સંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ શક્ય નથી", કારણ કે ફિક્સ્ડ ઇફેક્ટ્સ સ્પષ્ટીકરણને બદલવાથી મિશ્ર અસરોનો અર્થ બદલાય છે, અને તેથી પ્રતિબંધિત મોડેલને મોટા મોડેલમાં સમાવવામાં આવતું નથી. પ્રદર્શન તરીકે, તેઓ સિમ્યુલેટેડ પરીક્ષણોમાં એક કે બે રેન્ડમ અસરોના તફાવતોને શૂન્ય પર સેટ કરે છે. તે ચોક્કસ ઉદાહરણોમાં, પ્રતિબંધો સાથેના સિમ્યુલેટેડ-મૂલ્યો અને ના 50-50 મિશ્રણ સાથે સૌથી નજીકથી મેળ ખાતા હતા. (સાથે, સંભાવના 1 સાથે 0 છે. આનો અર્થ એ થયો કે એક સારો અંદાજ હતો) પિનહીરો અને બેટ્સે પણ વિવિધ નિશ્ચિત અસરોના પરીક્ષણોનું અનુકરણ કર્યું. 4 સ્તરો (ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ = 3) ધરાવતા પરિબળની એક કસોટીમાં, તેમને જાણવા મળ્યું કે 50-50 નું મિશ્રણ અને તે સિમ્યુલેશન દ્વારા મેળવેલા વાસ્તવિક મૂલ્યો સાથે સારી રીતે મેળ ખાય છે-અને નિષ્કપટનો ઉપયોગ કરવામાં ભૂલ "ખૂબ જ ભયજનક ન પણ હોઈ શકે". જો કે, 15 સ્તરો ધરાવતા પરિબળની અન્ય એક કસોટીમાં, તેમને વિલ્ક્સના પ્રમેયના નિષ્કપટ (અયોગ્ય) ઉપયોગથી જે 14 ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ મળે છે તેના કરતાં 4 વધુ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સાથે વાજબી મેળ મળે છે, અને સિમ્યુલેટેડ-મૂલ્ય ઘણી વખત નિષ્કપટ હતું. તેઓ તારણ કાઢે છે કે નિશ્ચિત અસરોના પરીક્ષણ માટે, "સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરવો સમજદારીભર્યું છે". આ પણ જુઓ બેયસ પરિબળ મોડેલ પસંદગી સુપર-એલઆર પરીક્ષણ નોંધો સંદર્ભો અન્ય સ્રોતો બાહ્ય કડીઓ આંકડાકીય ગુણોત્તર આંકડાકીય પરીક્ષણો