Wallis' integrals
ગણિતમાં, અને વધુ ચોક્કસપણે વિશ્લેષણમાં, વોલિસ ઇન્ટિગ્રલ્સ જ્હોન વોલિસ દ્વારા રજૂ કરાયેલા ઇન્ટિગ્રલ્સના પરિવારની રચના કરે છે. વ્યાખ્યા, મૂળભૂત ગુણધર્મો વોલિસ ઇન્ટિગ્રલ્સ એ દ્વારા અથવા સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત ક્રમની શરતો છે, આ ક્રમની પ્રથમ કેટલીક શરતો છેઃ ક્રમ ઘટી રહ્યો છે અને તેમાં હકારાત્મક શરતો છે. હકીકતમાં, બધા માટે કારણ કે તે બિન-નકારાત્મક સતત કાર્યનું અભિન્ન અંગ છે જે સમાન રીતે શૂન્ય નથી; ફરીથી કારણ કે છેલ્લું અભિન્ન બિન-નકારાત્મક સતત કાર્યનું છે. ક્રમ ઘટતો જાય છે અને નીચે 0 દ્વારા બંધાયેલો હોવાથી, તે બિન-નકારાત્મક મર્યાદામાં પરિવર્તિત થાય છે. ખરેખર, મર્યાદા શૂન્ય છે (નીચે જુઓ). પુનરાવર્તન સંબંધ ભાગો દ્વારા એકીકરણના માધ્યમથી, ઘટાડાનું સૂત્ર મેળવી શકાય છે. ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે બધા માટે છે, બીજા ઇન્ટિગ્રલને ભાગો દ્વારા એકીકૃત કરવું, જેની સાથેઃ, જેની એન્ટિ-ડેરિવેટિવ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણી પાસે છેઃ આ પરિણામને સમીકરણ (1) માં બદલીને મળે છે અને આમ બધા માટે આ એક પુનરાવર્તન સંબંધ છે જે ની દ્રષ્ટિએ આપે છે. આ, કિંમતો સાથે મળીને અને આપણને અનુક્રમમાં શરતો માટે સૂત્રોના બે સમૂહ આપે છે, તેના આધારે તે વિચિત્ર છે કે સમઃ વોલિસના સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનો બીજો સંબંધ વોલિસના સંકલનનું મૂલ્યાંકન યુલર સંકલનનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છેઃ પ્રથમ પ્રકારનું યુલર સંકલનઃ બીટા કાર્યઃ બીજા પ્રકારના યુલર સંકલન માટેઃ ગામા કાર્યઃ માટે. જો આપણે બીટા ફંક્શનની અંદર નીચેની અવેજી કરીએઃ તો આપણે મેળવીએ છીએઃ તેથી આ આપણને વોલિસ ઇન્ટિગ્રલ્સનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે નીચેનો સંબંધ આપે છેઃ તેથી, વિચિત્ર, લેખન માટે, આપણી પાસે છેઃ જ્યારે સમ માટે, લખવા અને તે જાણીને, આપણને મળે છેઃ ઉપરના પુનરાવૃત્તિ સૂત્રમાંથી, આપણે તે (બે સિક્વન્સની સમાનતા) કાઢી શકીએ છીએ. ખરેખર, બધા માટેઃ (કારણ કે ક્રમ ઘટી રહ્યો છે) (ત્યારથી) (સમીકરણ દ્વારા). સેન્ડવિચ પ્રમેય દ્વારા, આપણે તે તારણ કાઢીએ છીએ, અને તેથી. તપાસ કરીને, વ્યક્તિ નીચેની સમાનતા મેળવે છેઃ (અને પરિણામે). ધારો કે આપણી પાસે નીચેની સમાનતા છે (જે સ્ટર્લિંગના સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છે): અમુક અચળાંક માટે જે આપણે નક્કી કરવા માંગીએ છીએ. ઉપરથી, આપણી પાસે (સમીકરણ (3)) છે ફેક્ટોરિયલ્સ માટે ઉપરના સૂત્રનું વિસ્તરણ અને ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ (3) અને (4) માંથી, આપણે ટ્રાન્ઝિટિવિટી દ્વારા મેળવીએ છીએઃ આપવા માટે ઉકેલવું બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ડબલ ફેક્ટોરિયલ રેશિયો ઘટાડીને, ઉપરથી, આપણી પાસે છેઃ ડબલ ફેક્ટોરિયલ્સ માટે ઉપરના સૂત્રનું વિસ્તરણ અને ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છેઃ સરળ બનાવવું, આપણે મેળવીએ છીએઃ અથવા ગૌસીયન ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્યાંકન કરવું. આપણે સૌપ્રથમ નીચેની અસમાનતાઓને સાબિત કરીએ છીએઃ હકીકતમાં, પ્રથમ અસમાનતા (જેમાં) સમકક્ષ છે; જ્યારે બીજી અસમાનતા ઘટી જાય છે, જે બની જાય છે. આ 2 પછીની અસમાનતાઓ ઘાતાંકીય કાર્યની બહિર્મુખતા (અથવા કાર્યના વિશ્લેષણમાંથી) થી અનુસરે છે. અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ્સના મૂળભૂત ગુણધર્મોને સ્વીકારીને અને તેનો ઉપયોગ કરીને (ઇન્ટિગ્રલ્સનું કન્વર્જન્સ સ્પષ્ટ છે), આપણે અસમાનતાઓ મેળવીએ છીએઃ સેન્ડવિચ પ્રમેય (એ. એસ.) સાથે ઉપયોગ માટે. પ્રથમ અને છેલ્લા સંકલનોનું મૂલ્યાંકન વોલિસના સંકલનનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી કરી શકાય છે. પ્રથમ માટે, ચાલો (t એ 0 થી બદલાય છે). પછી, અભિન્ન બને છે. છેલ્લા ઇન્ટિગ્રલ માટે, ચાલો (t થી બદલાય છે). પછી તે બની જાય છે. જેમ આપણે પહેલા બતાવ્યું છે. તેથી, તે તેને અનુસરે છે. ટિપ્પણીઃ ગૌસીયન સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરવાની અન્ય પદ્ધતિઓ છે. તેમાંના કેટલાક વધુ સીધા છે. નોંધ લો આ જ ગુણધર્મો વોલિસ ઉત્પાદન તરફ દોરી જાય છે, જે અનંત ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે (જુઓ). બાહ્ય જોડાણો પાસ્કલ સેબાહ અને ઝેવિયર ગૌરડન છે. ગામા કાર્યનો પરિચય. પોસ્ટસ્ક્રિપ્ટ અને એચટીએમએલ બંધારણોમાં. સંકલિત