Discrete logarithm records
ડિસ્ક્રીટ લઘુગણક રેકોર્ડ એ ડિસ્ક્રીટ લઘુગણક સમસ્યાને ઉકેલવામાં અત્યાર સુધીમાં પ્રાપ્ત થયેલ શ્રેષ્ઠ પરિણામો છે, જે મર્યાદિત ચક્રીય જૂથ G ના આપેલ ઘટકો g અને h ના સમીકરણના ઉકેલો x શોધવાની સમસ્યા છે. આ સમસ્યાની મુશ્કેલી એ ડિફી-હેલમેન કી એગ્રીમેન્ટ, એલગેમલ એન્ક્રિપ્શન, એલગેમલ સિગ્નેચર સ્કીમ, ડિજિટલ સિગ્નેચર અલ્ગોરિધમ અને તેના લંબગોળ વક્ર સંકેતલિપી એનાલોગ સહિત અનેક સંકેતલિપી પ્રણાલીઓની સુરક્ષા માટેનો આધાર છે. આ અલ્ગોરિધમ્સમાં G માટે ઉપયોગમાં લેવાતી સામાન્ય પસંદગીઓમાં પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો p નું ગુણાકાર જૂથ, મર્યાદિત ક્ષેત્રનું ગુણાકાર જૂથ અને મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર લંબગોળ વળાંક પરના બિંદુઓનું જૂથ સામેલ છે. પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો મુખ્ય સંખ્યાઓ માટેનો વર્તમાન વિક્રમ, ડિસેમ્બર 2019 માં સેટ કરવામાં આવ્યો છે, જે 240 અંકો સાથે અવિભાજ્ય એક અલગ લઘુગણક ગણતરી મોડ્યુલો છે. લાક્ષણિકતા 2 માટે, જુલાઈ 2019 માં સેટ કરેલ મર્યાદિત ક્ષેત્રો માટેનો વર્તમાન રેકોર્ડ, એક અલગ લઘુગણક છે. જ્યારે મુખ્ય ઘાતાંકો સુધી મર્યાદિત હોય, ત્યારે ઓક્ટોબર 2014માં સ્થાપિત વર્તમાન વિક્રમ સમાપ્ત થઈ ગયો છે. લાક્ષણિકતા 3 માટે, જુલાઈ 2016માં સ્થાપિત વર્તમાન વિક્રમ સમાપ્ત થઈ ગયો છે. "મધ્યમ" લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્રો માટે, જાન્યુઆરી 2013માં સ્થાપિત વર્તમાન વિક્રમ સમાપ્ત થઈ ગયો છે. ઇન્ટિજર્સ મોડ્યુલો પી 2 ડિસેમ્બર 2019 ના રોજ, ફેબ્રિસ બૌડોટ, પિયરિક ગૌડ્રી, ઓરોરે ગિલેવિક, નાદિયા હેનિંગર, એમેન્યુઅલ થોમ અને પોલ ઝિમરમેને 240-અંક (795 બીટ) પ્રાઇમ આરએસએ-240 + 49204 (આરએસએ-240 ઉપરનો પ્રથમ સલામત પ્રાઇમ) ના અલગ લઘુગણક મોડ્યુલોની ગણતરીની જાહેરાત કરી હતી. આ ગણતરી નંબર ફિલ્ડ ચાળણી અલ્ગોરિધમ અને ઓપન-સોર્સ સી. એ. ડી. ઓ.-એન. એફ. એસ. સોફ્ટવેરનો ઉપયોગ કરીને આર. એસ. એ.-240ના ફેક્ટરાઇઝેશન સાથે એક સાથે કરવામાં આવી હતી. ગણતરીના અલગ લઘુગણક ભાગમાં આશરે 3100 કોર-વર્ષ લાગ્યા હતા, જેમાં ઇન્ટેલ ઝીઓન ગોલ્ડ 6130 સીપીયુનો સંદર્ભ તરીકે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સંશોધકોનો અંદાજ છે કે એલ્ગોરિધમ્સ અને સોફ્ટવેરમાં સુધારાઓએ હાર્ડવેરમાં સુધારા માટે હિસાબ કર્યા પછી અગાઉના રેકોર્ડ્સની અપેક્ષા કરતાં આ ગણતરીને ત્રણ ગણી ઝડપી બનાવી છે. પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો પી માટેના અગાઉના રેકોર્ડમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ 16 જૂન 2016ના રોજ, થોર્સ્ટન ક્લેઇનજુંગ, ક્લોઝ ડાયમ, આર્જેન કે. લેન્સ્ટ્રા, ક્રિસ્ટીન પ્રિપ્લાટા અને કોલિન સ્ટાલ્કેએ નંબર ફિલ્ડ ચાળણીનો ઉપયોગ કરીને 232-અંક (768-બીટ) સલામત અવિભાજ્યના અલગ લઘુગણક મોડ્યુલોની ગણતરીની જાહેરાત કરી હતી. ગણતરી ફેબ્રુઆરી 2015 માં શરૂ કરવામાં આવી હતી અને 2 જીએચઝેડ પર ઇન્ટેલ ઝીઓન ઇ <આઇડી 1> સુધી માપવામાં લગભગ 6600 કોર વર્ષ લાગ્યા હતા. 18 જૂન 2005ના રોજ, એન્ટોઇન જોક્સ અને રેનાલ્ડ લર્સિયરે 1.15 ગીગાહર્ટ્ઝ 16-પ્રોસેસર એચ. પી. આલ્ફા સર્વર જી. એસ. 1280 કમ્પ્યુટર અને નંબર ફિલ્ડ ચાળણી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અઠવાડિયામાં 130-અંક (431-બીટ) મજબૂત અવિભાજ્યના અલગ લઘુગણક મોડ્યુલોની ગણતરીની જાહેરાત કરી હતી. 5 ફેબ્રુઆરી 2007ના રોજ થોર્સ્ટન ક્લેઇનજુંગ દ્વારા 160-અંક (530-બીટ) સલામત અવિભાજ્યના સ્વતંત્ર લઘુગણક મોડ્યુલોની ગણતરીની જાહેરાત દ્વારા તેનું સ્થાન લીધું હતું, જેમાં ફરીથી સંખ્યા ક્ષેત્રની ચાળણીનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. મોટાભાગની ગણતરી વિવિધ પીસી પર અને સમાંતર કમ્પ્યુટિંગ ક્લસ્ટર પર નિષ્ક્રિય સમયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી હતી. 11 જૂન 2014ના રોજ, સિરિલ બોવીયર, પિયરિક ગૌડ્રી, લોરેન્ટ ઇમ્બર્ટ, હમઝા જેલજેલી અને એમેન્યુઅલ થોમે સંખ્યા ક્ષેત્ર ચાળણી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને 180 અંક (596-બીટ) સુરક્ષિત અવિભાજ્યના અલગ લઘુગણક મોડ્યુલોની ગણતરીની જાહેરાત કરી હતી. જુલાઈ 2016 માં, જોશુઆ ફ્રીડ, પિયરિક ગૌડ્રી, નાદિયા હેનિંગર, એમેન્યુઅલ થોમે 1024-બીટ પ્રાઇમ પર તેમની અલગ લઘુગણક ગણતરી પ્રકાશિત કરી હતી. તેઓએ તુલનાત્મક રીતે નાના પેટાજૂથ (160-બિટ્સ) પર વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને વિશેષ સંખ્યા ક્ષેત્ર ચાળણી માટે સંવેદનશીલ પ્રાઇમ ઉત્પન્ન કર્યું. જ્યારે આ એક નાનું પેટાજૂથ છે, તે 1024-બીટ ડિજિટલ સિગ્નેચર અલ્ગોરિધમ (ડી. એસ. એ.) સાથે ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રમાણિત પેટાજૂથનું કદ હતું. મર્યાદિત ક્ષેત્રો લાક્ષણિકતા 2 ના મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં વર્તમાન વિક્રમ () ની જાહેરાત 10 જુલાઈ 2019 ના રોજ રોબર્ટ ગ્રેન્જર, થોર્સ્ટન ક્લેઇનજુંગ, આર્જેન લેન્સ્ટ્રા, બેન્જામિન વેસોલોવ્સ્કી અને જેન્સ ઝુમ્બ્રાગેલ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. આ ટીમ ઇન્ટેલ ઝીઓન આર્કિટેક્ચર પર આધારિત ક્લસ્ટરો પર 25,481,219 કોર કલાકોનો ઉપયોગ કરીને GF (230750) માં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ હતી. અર્ધ-બહુપદી અલ્ગોરિધમનો નાબૂદી પગલાનો ઉપયોગ કરીને આ ગણતરી પ્રથમ મોટા પાયે ઉદાહરણ હતું. લાક્ષણિકતા 2 ના મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં અગાઉના રેકોર્ડની જાહેરાત 31 જાન્યુઆરી 2014 ના રોજ રોબર્ટ ગ્રેન્જર, થોર્સ્ટન ક્લેઇનજુંગ અને જેન્સ ઝુમ્બ્રાગેલ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. આ ટીમ લગભગ 400,000 કોર કલાકોનો ઉપયોગ કરીને GF (29234) માં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ હતી. આ ગણતરીની નવી વિશેષતાઓમાં ડિગ્રી બે તત્વોના લઘુગણક મેળવવા માટેની સુધારેલી પદ્ધતિ અને વ્યવસ્થિત રીતે ઓપ્ટિમાઇઝ્ડ ડિસેન્ટ વ્યૂહરચનાનો સમાવેશ થાય છે. એન્ટોની જોક્સ 21 મે 2013ના રોજ. તેમની ટીમ 550 CPU-કલાકથી ઓછા સમયનો ઉપયોગ કરીને 26168 = (2257) 24 ઘટકો સાથે ક્ષેત્રમાં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ હતી. આ ગણતરી 24080 ઘટકો સાથે ક્ષેત્રમાં તાજેતરની ગણતરીમાં સમાન અનુક્રમણિકા કલન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી હતી. 11 એપ્રિલ 2013ના રોજ રોબર્ટ ગ્રેન્જર, ફારુક ગોલોલુ, ગેરી મેકગ્યુઅર અને જેન્સ ઝુમ્બ્રાગેલ. નવી ગણતરી 26120 ઘટકો સાથે સંબંધિત હતી અને તેમાં 749.5 કોર-કલાક લાગ્યા હતા. એન્ટોની જોક્સ 22 માર્ચ, 2013 ના રોજ. આમાં નાના લાક્ષણિકતા ક્ષેત્રો માટે સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જે 21778 તત્વો સાથે ક્ષેત્રમાં અગાઉની ગણતરી હતી. નવી ગણતરી 24080 ઘટકો સાથેના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે, જે 216 ઘટકો સાથે ક્ષેત્રના ડિગ્રી 255 વિસ્તરણ તરીકે રજૂ થાય છે. ગણતરીમાં 1400 કોર કલાકથી ઓછો સમય લાગ્યો હતો. 19 ફેબ્રુઆરી 2013ના રોજ રોબર્ટ ગ્રેન્જર, ફારુક ગોલોલુ, ગેરી મેકગ્યુઅર અને જેન્સ ઝુમ્બ્રાગેલ. તેમણે 21971 તત્વોના ક્ષેત્રમાં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે દ્વિસંગી ક્ષેત્રો માટે મધ્યમ કદના આધાર ક્ષેત્ર કાર્ય ક્ષેત્ર ચાળણીના નવા પ્રકારનો ઉપયોગ કર્યો હતો. મધ્યમ કદના આધાર ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેઓએ ક્ષેત્રને 227 તત્વોના ક્ષેત્રના ડિગ્રી 73 વિસ્તરણ તરીકે રજૂ કર્યું. ઇન્ટેલ (વેસ્ટમિયર) ઝીઓન E5650 હેક્સ-કોર પ્રોસેસર્સનો ઉપયોગ કરીને SGI Altix ICE 8200EX ક્લસ્ટર પર ગણતરીમાં 3132 કોર કલાકનો સમય લાગ્યો હતો. 11 ફેબ્રુઆરી 2013ના રોજ એન્ટોની જોક્સ. આ નાના લાક્ષણિકતા ક્ષેત્રો માટે નવા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરે છે. ગણતરી 21778 તત્વોના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે, જે 214 તત્વો સાથે ક્ષેત્રના ડિગ્રી 127 વિસ્તરણ તરીકે રજૂ થાય છે. ગણતરીમાં 220 કોર કલાકથી ઓછો સમય લાગ્યો હતો. મુખ્ય ડિગ્રીની લાક્ષણિકતા 2ના મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં વર્તમાન વિક્રમ () ની જાહેરાત થોર્સ્ટન ક્લેઇનજુંગ દ્વારા 17 ઓક્ટોબર 2014ના રોજ કરવામાં આવી હતી. ગણતરી 21279 તત્વોના ક્ષેત્રમાં કરવામાં આવી હતી અને રેખીય બીજગણિત ગણતરી અને ઉતરતા તબક્કામાં બે મુખ્ય અપવાદો સાથે અનિવાર્યપણે સ્કેચ કરેલા માર્ગને અનુસર્યો હતો. કુલ ચાલી રહેલો સમય ચાર મુખ્ય વર્ષો કરતાં ઓછો હતો. પ્રાઇમ ડિગ્રીની લાક્ષણિકતા 2 ના મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં અગાઉનો વિક્રમ 6 એપ્રિલ, 2013 ના રોજ CARAMEL જૂથ દ્વારા જાહેર કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે 2809 તત્વોના ક્ષેત્રમાં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે કાર્ય ક્ષેત્ર ચાળણીનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 18 જુલાઈ 2016ના રોજ ગોરા એડજ, આઇઝેક કેનાલેસ-માર્ટિનેઝ, નરેલી ક્રુઝ-કોર્ટેસ, આલ્ફ્રેડ મેનેઝિસ, થોમાઝ ઓલિવેરા, ફ્રાન્સિસ્કો રોડ્રિગ્ઝ-હેનરિકેઝ અને લુઇસ રિવેરા-ઝામારિપા દ્વારા લાક્ષણિકતા 3ના ક્ષેત્ર માટે વર્તમાન વિક્રમ () ની જાહેરાત કરવામાં આવી હતી. ગણતરી 36·509 ઘટકો સાથે 4841-બીટ મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં કરવામાં આવી હતી અને CINVESTAV અને વોટરલૂ યુનિવર્સિટી ખાતેના કેટલાક કમ્પ્યુટર્સ પર કરવામાં આવી હતી. કુલ મળીને, ગણતરી પર લગભગ 200 મુખ્ય વર્ષોનો ગણતરી સમય ખર્ચવામાં આવ્યો હતો. લાક્ષણિકતા 3 ના મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં અગાઉના રેકોર્ડ્સની જાહેરાત કરવામાં આવી હતીઃ જોક્સ અને પિયરોટ (ડિસેમ્બર 2014) ના એશિયાક્રીપ્ટ 2014 પેપરના સંપૂર્ણ સંસ્કરણમાં. DLP ને GF (35·479) ક્ષેત્રમાં ઉકેલવામાં આવે છે, જે 3796-બીટ ક્ષેત્ર છે. આ કાર્યમાં કુમેર અથવા ટ્વિસ્ટેડ-કુમેર ગુણધર્મો જેવા ક્ષેત્રના કોઈ "વિશેષ" પાસાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો ન હતો. કુલ ગણતરીમાં 8600 સીપીયુ-કલાકથી ઓછો સમય લાગ્યો હતો. 26 ફેબ્રુઆરી 2014ના રોજ ગોરા એડજ, આલ્ફ્રેડ મેનેઝિસ, થોમાઝ ઓલિવેરા અને ફ્રાન્સિસ્કો રોડ્રિગ્ઝ-હેનરિક્ઝ દ્વારા 27 જાન્યુઆરી 2014ના રોજ અગાઉની જાહેરાતને અપડેટ કરવામાં આવી હતી. ગણતરી 1551-બીટ ક્ષેત્ર GF (36·163) માં DLPને હલ કરે છે, જેમાં 1201 CPU કલાક લાગે છે. 2012 માં સંયુક્ત ફુજીત્સુ, એન. આઈ. સી. ટી. અને ક્યુશુ યુનિવર્સિટી ટીમ દ્વારા, જેણે 36·97 તત્વો અને 923 બિટ્સના કદના ક્ષેત્રમાં એક અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરી, કાર્ય ક્ષેત્ર ચાળણી પર વિવિધતાનો ઉપયોગ કરીને અને 36·71 તત્વો અને 676 બિટ્સના કદના ક્ષેત્રમાં અગાઉના રેકોર્ડને વિશાળ માર્જિનથી હરાવ્યો. "મધ્યમ"-કદની લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્રોમાં, 2005 સુધીમાં નોંધપાત્ર ગણતરીઓમાં 24 ઓક્ટોબર 2005ના રોજ જાહેર કરાયેલા 6553725 ઘટકો (401 બિટ્સ) નું ક્ષેત્ર અને 9 નવેમ્બર 2005ના રોજ જાહેર કરાયેલા 37080130 ઘટકો (556 બિટ્સ) નું ક્ષેત્ર સામેલ હતું. "મધ્યમ" લાક્ષણિકતાના મર્યાદિત ક્ષેત્ર માટેનો વર્તમાન વિક્રમ (2013 મુજબ) 6 જાન્યુઆરી 2013ના રોજ જાહેર કરવામાં આવ્યો હતો. ટીમે 3334135357 તત્વો (1425-બીટ મર્યાદિત ક્ષેત્ર) ના ક્ષેત્રમાં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે મધ્યમ મુખ્ય કેસ માટે કાર્ય ક્ષેત્ર ચાળણીની નવી વિવિધતાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. 3355377147 તત્વો (એક 1175-બીટ મર્યાદિત ક્ષેત્ર) ના ક્ષેત્રમાં અલગ લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે થોડા અઠવાડિયા પહેલા આ જ તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. 25 જૂન 2014ના રોજ, રઝવાન બાર્બુલેસ્કુ, પિયરિક ગૌડ્રી, ઓરોરે ગિલેવિક અને ફ્રાન્કોઇસ મોરેને મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં સ્વતંત્ર લઘુગણકની નવી ગણતરીની જાહેરાત કરી હતી, જેના ક્રમમાં 160 અંકો છે અને તે મુખ્ય ક્ષેત્રનું ડિગ્રી 2 વિસ્તરણ છે. ઉપયોગમાં લેવાતા અલ્ગોરિધમનો વિવિધ ફેરફારો સાથે નંબર ફિલ્ડ ચાળણી (એન. એફ. એસ.) હતા. કમ્પ્યુટિંગનો કુલ સમય સી. પી. યુ. (સીવિંગ) ના એક કોર પર 68 દિવસ અને જી. પી. યુ. (રેખીય બીજગણિત) પર 30 કલાક જેટલો હતો. એલિપ્ટિક કર્વ્સ સર્ટીકોમ કોર્પોરેશને એલિપ્ટિક કર્વ ક્રિપ્ટોગ્રાફી પડકારોની શ્રેણી બહાર પાડી છે. સ્તર I માં 109-બીટ અને 131-બીટ કદના ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે. સ્તર II માં 163,191,239,359-બીટ કદનો સમાવેશ થાય છે. સ્તર II ના તમામ પડકારો હાલમાં ગણતરીની દૃષ્ટિએ અશક્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે. સ્તર I ના જે પડકારોનો સામનો કરવામાં આવ્યો છે તે છેઃ ECC2K-108, જેમાં 2108 તત્વોના ક્ષેત્ર પર કોબ્લિટ્ઝ વળાંક પર અલગ લઘુગણક લેવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પુરસ્કાર 4 એપ્રિલ 2000ના રોજ રોબર્ટ હાર્લી દ્વારા રજૂ કરાયેલા આશરે 1300 લોકોના જૂથને એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. તેઓએ સ્પીડઅપ સાથે સમાંતર પોલાર્ડ રો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ECC 2-109, જેમાં 2109 તત્વોના ક્ષેત્ર પર વળાંક પર અલગ લઘુગણક લેવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પુરસ્કાર 8 એપ્રિલ 2004ના રોજ ક્રિસ મોનિકો દ્વારા રજૂ કરાયેલા લગભગ 2600 લોકોના જૂથને એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે સમાંતર પોલાર્ડ રો પદ્ધતિની એક આવૃત્તિનો પણ ઉપયોગ કર્યો હતો, જેમાં 17 મહિનાનો કેલેન્ડર સમય લાગ્યો હતો. ECCp-109, જેમાં 109-બીટ પ્રાઇમના વળાંક મોડ્યુલો પર અલગ લઘુગણક લેવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પુરસ્કાર 15 એપ્રિલ 2002ના રોજ ક્રિસ મોનિકો દ્વારા રજૂ કરાયેલા લગભગ 10308 લોકોના જૂથને એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. ફરી એકવાર, તેઓએ સમાંતર પોલાર્ડ રો પદ્ધતિની એક આવૃત્તિનો ઉપયોગ કર્યો, જેમાં 549 દિવસનો કેલેન્ડર સમય લાગ્યો. 131-બીટ (અથવા મોટા) પડકારોમાંથી કોઈ પણ પડકારોનો સામનો કરવામાં આવ્યો નથી. જુલાઈ 2009માં, જોપ્પે ડબલ્યુ. બોસ, માર્સેલો ઇ. કૈહારા, થોર્સ્ટન ક્લેઇનજુંગ, આર્જેન કે. લેન્સ્ટ્રા અને પીટર એલ. મોન્ટગોમેરીએ જાહેરાત કરી હતી કે તેઓએ લંબગોળ વળાંક (સેકપ112આર1 તરીકે ઓળખાય છે) પર 112-બીટ પ્રાઇમ મોડ્યુલો પર એક અલગ લઘુગણક ગણતરી હાથ ધરી છે. ગણતરી લગભગ 6 મહિનામાં 200 થી વધુ પ્લેસ્ટેશન 3 ગેમ કન્સોલના સમૂહ પર કરવામાં આવી હતી. તેઓએ પોલાર્ડ રો પદ્ધતિની સામાન્ય સમાંતર સંસ્કરણનો ઉપયોગ કર્યો. એપ્રિલ 2014 માં, ગ્રેઝ યુનિવર્સિટી ઓફ ટેક્નોલોજીના એરિક વેન્ગર અને પોલ વોલ્ફગરે 18-કોર વિર્ટેક્સ-6 એફ. પી. જી. એ. ક્લસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રાપોલેટેડ 24 દિવસમાં 113-બીટ કોબ્લિટ્ઝ વળાંકના અલગ લઘુગણકને હલ કર્યું. જાન્યુઆરી 2015 માં, તે જ સંશોધકોએ 113-બીટ દ્વિસંગી ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ વળાંકના અલગ લઘુગણકને હલ કર્યું. 10-કોર કિન્ટેક્સ-7 એફ. પી. જી. એ. ક્લસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ રનટાઇમ લગભગ 82 દિવસનો છે. 2 ડિસેમ્બર 2016ના રોજ, ડેનિયલ જે. બર્નસ્ટીન, સુઝેન એન્જલ્સ, તંજા લેંગ, રુબેન નિડેરહેગન, ક્રિસ્ટોફ પાર, પીટર શ્વાબે અને રાલ્ફ ઝિમરમેને પોલાર્ડના રો અલ્ગોરિધમના સમાંતર સંસ્કરણના ઓપ્ટિમાઇઝ્ડ એફ. પી. જી. એ. અમલીકરણનો ઉપયોગ કરીને દ્વિસંગી વળાંક પર સામાન્ય <આઇ. ડી. 1> લંબગોળ વક્ર અલગ લઘુગણક સમસ્યાના ઉકેલની જાહેરાત કરી હતી. આ હુમલો સમાંતર 64 થી 576 એફ. પી. જી. એ. પર લગભગ છ મહિના સુધી ચાલ્યો હતો. 23 ઓગસ્ટ 2017 ના રોજ, તાકુયા કુસાકા, શો જોઇચી, કેન ઇકુટા, મોહમ્મદ. અલ-અમીન ખાંડેકર, યાસુયુકી નોગામી, સતોશી ઉએહારા, નરીયોશી યામાઇ અને સિલ્વેન ડુક્વેસને જાહેરાત કરી હતી કે તેમણે પોલાર્ડની રો પદ્ધતિની રેન્ડમ વોકને અસરકારક રીતે હાથ ધરવા માટે બી. એન. વળાંકના વિશેષ સેક્સટિક ટ્વિસ્ટ પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરીને 114-બીટ "પેરિંગ-ફ્રેન્ડલી" બેરેટો-નાહરિગ (બી. એન.) વળાંક પર એક અલગ લઘુગણક સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું છે. અમલીકરણમાં 2000 CPU કોરનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો અને સમસ્યાનું સમાધાન કરવામાં લગભગ 6 મહિનાનો સમય લાગ્યો હતો. 16 જૂન 2020ના રોજ, એલેક્ઝાન્ડર ઝીનીવિઝ (ઝીલર) અને જીન લ્યુક પોન્સ (જીન લ્યુકપોન્સ) એ બિટકોઇન પઝલ ટ્રાન્ઝેક્શન્સ ચેલેન્જમાં 114-બીટની ખાનગી કીને હલ કરીને સેકન્ડ 256k1 વળાંક પર 114-બીટ અંતરાલ લંબગોળ વળાંકની અસતત લઘુગણક સમસ્યાના ઉકેલની જાહેરાત કરી. નવો વિક્રમ સ્થાપિત કરવા માટે, તેઓએ 256x એનવીડિયા ટેસ્લા વી 100 જી. પી. યુ. પ્રોસેસર પર પોલાર્ડ કાંગારૂ પર આધારિત તેમના પોતાના સોફ્ટવેરનો ઉપયોગ કર્યો અને તેમાં તેમને 13 દિવસનો સમય લાગ્યો. બે અઠવાડિયા અગાઉ-તેઓએ 109-બીટ અંતરાલ ઇ. સી. ડી. એલ. પી. ને માત્ર 3 દિવસમાં ઉકેલવા માટે સમાન સંખ્યામાં ગ્રાફિક્સ કાર્ડનો ઉપયોગ કર્યો હતો. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ તારીખ દ્વારા સૉર્ટ કરેલ અલગ લઘુગણકની ગણતરીઓ અસમપ્રમાણ-કી અલ્ગોરિધમ્સ મોડ્યુલર અંકગણિત લઘુગણક ગણતરીત્મક કઠિનતા ધારણાઓ વિશ્વ રેકોર્ડ