Cavalieri's quadrature formula
કલનશાસ્ત્રમાં, 17મી સદીના ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી બોનાવંતુરા કાવાલીરી માટે નામ આપવામાં આવેલું કાવાલીરીનું ચતુર્ભુજ સૂત્ર, તેનું અભિન્ન અને સામાન્યીકરણ છે. આ ચોક્કસ અભિન્ન સ્વરૂપ છે; અનિશ્ચિત અભિન્ન સ્વરૂપ છેઃ નીચે સૂચિબદ્ધ વધારાના સ્વરૂપો છે. ઇન્ટિગ્રલની રેખીયતા સાથે, આ સૂત્ર તમામ બહુપદીઓના ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. "ચતુર્ભુજ" શબ્દ વિસ્તાર માટેનો પરંપરાગત શબ્દ છે; અભિન્નને ભૌમિતિક રીતે y = xn વળાંક હેઠળના વિસ્તાર તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. પરંપરાગત રીતે મહત્વપૂર્ણ કિસ્સાઓમાં y = x2, પેરાબોલાનું ચતુર્ભુજ, જે પ્રાચીનકાળમાં જાણીતું છે, અને y = 1/x, હાયપરબોલાનું ચતુર્ભુજ છે, જેનું મૂલ્ય લઘુગણક છે. નકારાત્મક n સ્વરૂપો n (x ની નકારાત્મક શક્તિઓ) ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે, x = 0 પર એકવચનતા હોય છે, અને આમ નિશ્ચિત સંકલન 0 ને બદલે 1 પર આધારિત હોય છે, જે ઉપજ આપે છેઃ વધુમાં, n ના નકારાત્મક અપૂર્ણાંક (બિન-પૂર્ણાંક) મૂલ્યો માટે, ઘાત xn સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી અનિશ્ચિત સંકલન માત્ર હકારાત્મક x માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જો કે, n એ નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે ઘાત xn ને તમામ બિન-શૂન્ય x માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને અનિશ્ચિત સંકલન અને ચોક્કસ સંકલનને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને સમપ્રમાણતા દલીલ દ્વારા ગણતરી કરી શકાય છે, x ને −x દ્વારા બદલીને, અને નકારાત્મક નિશ્ચિત સંકલનને −1 પર આધારિત કરી શકાય છે. જટિલ સંખ્યાઓ પર ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ (n અને x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે) ને સમોચ્ચ એકીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ તે પછી પાથની પસંદગી પર આધાર રાખે છે, ખાસ કરીને વાઇન્ડિંગ નંબર-ભૌમિતિક મુદ્દો એ છે કે કાર્ય 0 પર એકવચનતા સાથે આવરણ જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. n = −1 અપવાદરૂપ કેસ n = −1 પણ છે, જે x ની ઘાતને બદલે લઘુગણક આપે છેઃ (જ્યાં "ln" એટલે કુદરતી લઘુગણક, એટલે કે. આધાર e = 2.71828.) નો લઘુગણક. અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલને ઘણીવાર પરંપરાગત પસંદગી દ્વારા x ના નકારાત્મક મૂલ્યો સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે છેઃ અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલમાં નિરપેક્ષ મૂલ્યના ઉપયોગની નોંધ લો; આ ઇન્ટિગ્રલ માટે એકીકૃત સ્વરૂપ પ્રદાન કરવા માટે છે, અને તેનો અર્થ એ છે કે આ વિચિત્ર કાર્યનું ઇન્ટિગ્રલ એક સમ કાર્ય છે, જો કે લઘુગણક માત્ર હકારાત્મક ઇનપુટ્સ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને હકીકતમાં, C ના વિવિધ અચળ મૂલ્યોને 0 ની બંને બાજુએ પસંદ કરી શકાય છે, કારણ કે આ વ્યુત્પન્નને બદલતા નથી. વધુ સામાન્ય સ્વરૂપ આ રીતે છેઃ જટિલ સંખ્યાઓ પર 1/x માટે વૈશ્વિક એન્ટિડેરિવેટિવ નથી, કારણ કે આ કાર્ય બિન-તુચ્છ આવરણ જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; આ સ્વરૂપ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વિશેષ છે. નોંધ લો કે 1 થી શરૂ થતા નિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલને a ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી, કારણ કે તે સિંગ્યુલારીટીમાંથી પસાર થાય છે, જો કે 1/x એક વિચિત્ર વિધેય હોવાથી, કોઈ પણ −1 પર નકારાત્મક સત્તાઓ માટે ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલને આધાર આપી શકે છે. જો કોઈ અયોગ્ય સંકલનોનો ઉપયોગ કરવા અને કોચી મુખ્ય મૂલ્યની ગણતરી કરવા તૈયાર હોય, તો તે પ્રાપ્ત થાય છે જે સમપ્રમાણતા દ્વારા પણ દલીલ કરી શકાય છે (કારણ કે લઘુગણક વિચિત્ર છે), તેથી જો ચોક્કસ સંકલન 1 અથવા-1 પર આધારિત હોય તો તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. અનિશ્ચિત અવિભાજ્યની જેમ, આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વિશેષ છે, અને તે જટિલ સંખ્યાઓ પર વિસ્તરતું નથી. વૈકલ્પિક સ્વરૂપો અવિભાજ્યને અનુક્રમણિકાઓ સ્થાનાંતરિત કરીને પણ લખી શકાય છે, જે પરિણામને સરળ બનાવે છે અને એન-પરિમાણીય તફાવત અને એન-ક્યુબ સાથેના સંબંધને વધુ સ્પષ્ટ બનાવે છેઃ વધુ સામાન્ય રીતે, આ સૂત્રોને આ રીતે આપી શકાય છેઃ વધુ સામાન્ય રીતેઃ પુરાવો આધુનિક પુરાવો એ એન્ટિડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરવાનો છેઃ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે xn નું વ્યુત્પન્ન nxn−1 હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આ દ્વિપદી સૂત્ર અને વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા પરથી દર્શાવવામાં આવ્યું છે-અને આમ કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા એન્ટિડેરિવેટિવ એ અભિન્ન છે. આ પદ્ધતિ નિષ્ફળ જાય છે કારણ કે ઉમેદવાર એન્ટિડેરિવેટિવ છે, જે શૂન્ય દ્વારા વિભાજનને કારણે અવ્યાખ્યાયિત છે. લઘુગણક કાર્ય, જે 1/x નું વાસ્તવિક એન્ટિડેરિવેટિવ છે, તેને અલગથી રજૂ કરવું અને તપાસવું આવશ્યક છે. હકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે, આ સાબિતીને ભૌમિતિક કરી શકાય છેઃ જો કોઈ વ્યક્તિ xn જથ્થાને n-સમઘનનું કદ (n પરિમાણોમાં હાયપરક્યુબ) માને છે, તો પછી વ્યુત્પન્ન એ બાજુની લંબાઈમાં ફેરફાર તરીકે કદમાં ફેરફાર છે-આ xn−1 છે, જેને n મુખના વિસ્તાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, દરેક પરિમાણ n−1 (મૂળ પર એક શિરોબિંદુ નક્કી કરીને, આ n મુખ છે જે શિરોબિંદુને સ્પર્શતા નથી), જે આ મુખની દિશામાં વધીને કદમાં વધતા સમઘનને અનુરૂપ છે-ત્રિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, 3 અનંત પાતળા ચોરસ ઉમેરીને, આ દરેક મુખમાં એક. તેનાથી વિપરીત, કલનની મૂળભૂત પ્રમેયની ભૂમિતિ કરીને, આ અનંત (n−1) સમઘનનું એકત્રીકરણ કરવાથી (અતિ)-પિરામિડ મળે છે, અને આમાંથી n પિરામિડ n-સમઘન બનાવે છે, જે સૂત્ર આપે છે. વધુમાં, આ પિરામિડ (જેના માટે પિરામિડ એ મૂળભૂત ક્ષેત્ર છે) ની ફરતે વિકર્ણ ચક્રની આસપાસ એન-ક્યુબની એન-ગણો ચક્રીય સમપ્રમાણતા છે. સમઘન (3-સમઘન) ના કિસ્સામાં, આ રીતે પિરામિડની ઘનતા મૂળરૂપે સખત રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવી હતીઃ સમઘનમાં 3 ગણી સમપ્રમાણતા હોય છે, જેમાં મૂળભૂત ક્ષેત્ર પિરામિડ હોય છે, જે સમઘનને 3 પિરામિડ્સમાં વિભાજિત કરે છે, જે એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે પિરામિડની ઘનતા ઊંચાઈના આધારે એક તૃતીયાંશ હોય છે. આ ભૌમિતિક રીતે પેરાબોલાના ચતુર્ભુજ અને પિરામિડની માત્રા વચ્ચેની સમાનતાને સમજાવે છે, જેની ગણતરી વિવિધ માધ્યમો દ્વારા શાસ્ત્રીય રીતે કરવામાં આવી હતી. વૈકલ્પિક પુરાવાઓ અસ્તિત્વમાં છે-ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટે ક્ષેત્રને અસમાન લંબાઈના ચોક્કસ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવાની બીજગણિત યુક્તિ દ્વારા વિસ્તારની ગણતરી કરી; વૈકલ્પિક રીતે, કોઈ પણ વ્યક્તિ y = xn આલેખની સમપ્રમાણતાને અસમરૂપ ફેલાવા હેઠળ (x દિશામાં d દ્વારા અને y દિશામાં dn દ્વારા, y દિશામાં n પરિમાણોને બીજગણિત કરીને), અથવા n = −1 માટે પરિણામનું વિસ્તરણ કરીને અને ગુણાંકની સરખામણી કરીને તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે સૂત્ર મેળવીને આ સાબિત કરી શકે છે. મૂળ સ્રોતો સાથે ઇતિહાસની વિગતવાર ચર્ચા આપવામાં આવી છે; કલનનો ઇતિહાસ અને એકીકરણનો ઇતિહાસ પણ જુઓ. પેરાબોલાનો કેસ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી આર્કિમિડીઝ દ્વારા તેમના ધ ક્વાડ્રેચર ઓફ ધ પેરાબોલા (ઇ. સ. પૂર્વે ત્રીજી સદી) માં થાકની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રાચીનકાળમાં સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે આર્કિમિડીઝે ગ્રાફ y = x2 હેઠળના વિસ્તારને બદલે પેરાબોલા-કહેવાતા "પેરાબોલિક સેગમેન્ટ" ની અંદરના વિસ્તારની ગણતરી કરી હતી, જે તેના બદલે કાર્ટેશિયન ભૂમિતિના પરિપ્રેક્ષ્ય છે. આ સમકક્ષ ગણતરીઓ છે, પરંતુ પરિપ્રેક્ષ્યમાં તફાવતને પ્રતિબિંબિત કરે છે. પ્રાચીન ગ્રીકોએ, અન્ય લોકો વચ્ચે, પિરામિડ અથવા શંકુના કદની પણ ગણતરી કરી હતી, જે ગાણિતિક રીતે સમકક્ષ છે. 11મી સદીમાં, ઇસ્લામિક ગણિતશાસ્ત્રી ઇબ્ન અલ-હેથમ (યુરોપમાં અલહાઝેન તરીકે ઓળખાતા) એ તેમના બુક ઓફ ઓપ્ટિક્સમાં ગાણિતિક ઇન્ડક્શન દ્વારા ક્યુબિક્સ અને ક્વાર્ટિક્સ (ડિગ્રી ત્રણ અને ચાર) ના સંકલનની ગણતરી કરી હતી. ઉચ્ચ પૂર્ણાંકોના કેસની ગણતરી કેવેલેરી દ્વારા તેમની અવિભાજ્ય પદ્ધતિ (કેવેલેરીનો સિદ્ધાંત) નો ઉપયોગ કરીને n થી 9 સુધી કરવામાં આવી હતી. તેમણે આને ઉચ્ચ-પરિમાણીય વોલ્યુમોની ગણતરી તરીકે ઉચ્ચ સંકલન તરીકે અર્થઘટન કર્યું, જોકે માત્ર અનૌપચારિક રીતે, કારણ કે ઉચ્ચ-પરિમાણીય પદાર્થો હજુ સુધી અજાણ્યા હતા. ચતુર્ભુજની આ પદ્ધતિ પછી ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ઇવેન્જેલિસ્ટા ટોરિસેલી દ્વારા સાયક્લોઇડ જેવા અન્ય વળાંકો સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવી હતી, પછી આ સૂત્રને અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી જ્હોન વોલિસ દ્વારા તેમના એરિથમેટિકા ઇન્ફિનિટોરમ (1656) માં અપૂર્ણાંક અને નકારાત્મક શક્તિઓ માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું, જેણે તર્કસંગત શક્તિઓની કલ્પના અને સંકેતોને પણ પ્રમાણિત કરી હતી-જોકે વોલિસે અપવાદરૂપ કેસ n = −1 (હાયપરબોલાના ચતુર્ભુજ) નું ખોટું અર્થઘટન કર્યું હતું-આખરે અભિન્ન કલન વિકાસ સાથે સખત જમીન પર મૂકવામાં આવે તે પહેલાં. વોલિસના અપૂર્ણાંક અને નકારાત્મક શક્તિઓના ઔપચારિકરણ પહેલા, જે સ્પષ્ટ કાર્યોને મંજૂરી આપે છે, આ વળાંકને સમીકરણો અને (p અને q હંમેશા હકારાત્મક પૂર્ણાંકો) દ્વારા ગર્ભિત રીતે નિયંત્રિત કરવામાં આવતા હતા અને અનુક્રમે ઉચ્ચ પેરાબોલે અને ઉચ્ચ હાયપરબોલા (અથવા "ઉચ્ચ પેરાબોલા" અને "ઉચ્ચ હાયપરબોલા") તરીકે ઓળખવામાં આવતા હતા. પિયરે ડી ફર્મેટે પણ બીજગણિત યુક્તિ દ્વારા આ ક્ષેત્રોની ગણતરી કરી (−1ના અપવાદરૂપ કેસ સિવાય)-તેમણે રેખાને સમાન અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીને ઉચ્ચ હાયપરબોલા ના ચતુર્ભુજની ગણતરી કરી, અને પછી અસમાન અંતરાલોમાં વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ પેરાબોલા ના ચતુર્ભુજની ગણતરી કરી, સંભવતઃ તેમણે હાયપરબોલા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા વિભાગોને ઊંધી કરીને. જો કે, તેમના બાકીના કાર્યોની જેમ, ફર્મેટની તકનીકો વ્યવસ્થિત સારવાર કરતાં વધુ કામચલાઉ યુક્તિઓ હતી, અને તેમણે કલનશાસ્ત્રના અનુગામી વિકાસમાં નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવી હોવાનું માનવામાં આવતું નથી. નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે કેવેલેરીએ વિસ્તારોની સરખામણી માત્ર વિસ્તારો સાથે અને વોલ્યુમોની સરખામણી વોલ્યુમ સાથે કરી હતી-આ હંમેશા પરિમાણો ધરાવે છે, જ્યારે વિસ્તારને વિસ્તારના એકમો (પ્રમાણભૂત એકમના સંબંધમાં) તરીકે ગણવાની કલ્પના, તેથી એકમ વિનાનું હોવાથી, વોલિસ સાથે ઉદ્દભવ્યું હોવાનું જણાય છે; વોલિસે અપૂર્ણાંક અને નકારાત્મક શક્તિઓનો અભ્યાસ કર્યો હતો, અને ગણતરી કરેલ મૂલ્યોને એકમ વિનાની સંખ્યાઓ તરીકે ગણવાનો વિકલ્પ અપૂર્ણાંક અને નકારાત્મક પરિમાણોનું અર્થઘટન કરવાનો હતો. - 1 (પ્રમાણભૂત હાયપરબોલા) ના અપવાદરૂપ કેસની સૌપ્રથમ સફળતાપૂર્વક સારવાર ગ્રેગોઇર ડી સેન્ટ-વિન્સેન્ટ દ્વારા તેમના ઓપસ જીઓમેટ્રિકમ ક્વાડ્રેચર સર્ક્યુલી એટ સેક્શનમ કોની (1647) માં કરવામાં આવી હતી, જોકે ઔપચારિક સારવારને કુદરતી લઘુગણકના વિકાસ માટે રાહ જોવી પડી હતી, જે નિકોલસ મર્કેટર દ્વારા તેમના લઘુગણક (1668) માં પૂર્ણ કરવામાં આવી હતી. સંદર્ભો ઇતિહાસ (પી. બી. કે.). - વોલેસની ચર્ચા કરે છે મુખ્યત્વે પ્રૂફના અંતે પ્રિન્ટમાં દેખાય છેઃ મલિક, એમ. એ. (1984) "એ નોટ ઓન કેવેલેરી ઇન્ટિગ્રેશન", મેથેમેટિક્સ મેગેઝિન 57 (3): 154-6 V. ફ્રેડરિક રિકી (2011) ફર્મેટ્સ ઇન્ટિગ્રેશન ઓફ પાવર્સ, ઇન હિસ્ટોરિકલ નોટ્સ ફોર કેલ્ક્યુલસ ટીચર્સ એક્સટર્નલ લિંક્સ કેવેલેરી ઇન્ટિગ્રેશન ઇન્ફિનિટસીમલ કેલ્ક્યુલસ, એન્સાયક્લોપીડિયા ઓફ મેથેમેટિક્સ ઇન્ટિગ્રલ્સ પોલિનોમિયલ્સ