Kardar–Parisi–Zhang equation
ગણિતમાં, કારદાર-પારિસી-ઝાંગ (કેપીઝેડ) સમીકરણ એ બિન-રેખીય સ્ટોકેસ્ટિક આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે, જે મેહરાન કારદાર, જ્યોર્જિયો પારિસી અને યી-ચેંગ ઝાંગ દ્વારા 1986માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તે અવકાશી સંકલન અને સમય સંકલન સાથે ઊંચાઈ ક્ષેત્રના અસ્થાયી પરિવર્તનનું વર્ણન કરે છેઃ અહીં, સરેરાશ અને બીજી ક્ષણ સાથે સફેદ ગૌસીયન અવાજ છે, અને તે મોડેલના પરિમાણો છે, અને તે પરિમાણ છે. એક અવકાશી પરિમાણમાં, કેપીઝેડ સમીકરણ અવેજી દ્વારા ક્ષેત્ર સાથેના બર્ગરના સમીકરણના સ્ટોકેસ્ટિક સંસ્કરણને અનુરૂપ છે. પુનર્રચના જૂથ દ્વારા, કેપીઝેડ સમીકરણને ઘણા સપાટી વૃદ્ધિ મોડેલોના ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત તરીકે અનુમાન કરવામાં આવે છે, જેમ કે એડન મોડેલ, બેલિસ્ટિક ડિપોઝિશન અને સોલિડ પ્રોસેસ (એસ. ઓ. એસ.) મોડેલ પર નબળા અસમપ્રમાણતાવાળા સિંગલ સ્ટેપ સોલિડ. એસ. ઓ. એસ. મોડેલના કિસ્સામાં બર્ટિની અને ગિયાકોમિન દ્વારા સખત પુરાવા આપવામાં આવ્યા છે. કેપીઝેડ સાર્વત્રિકતા વર્ગ ઘણી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી કણ પ્રણાલીઓ, જેમ કે સંપૂર્ણપણે અસમપ્રમાણ સરળ બાકાત પ્રક્રિયા, કેપીઝેડ સાર્વત્રિકતા વર્ગમાં આવેલી છે. આ વર્ગ એક અવકાશી પરિમાણ (1 + 1 પરિમાણ) માં નીચેના નિર્ણાયક ઘટકો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છેઃ રફનેસ એક્સપોનેન્ટ, ગ્રોથ એક્સપોનેન્ટ અને ડાયનેમિક એક્સપોનેન્ટ. વૃદ્ધિ મોડેલ કેપીઝેડ વર્ગમાં છે કે કેમ તે તપાસવા માટે, સપાટીની પહોળાઈની ગણતરી કરી શકાય છેઃ તે સમયે સરેરાશ સપાટીની ઊંચાઈ ક્યાં છે અને સિસ્ટમનું કદ ક્યાં છે. કેપીઝેડ વર્ગના નમૂનાઓ માટે, સપાટીના મુખ્ય ગુણધર્મોને સ્કેલિંગ કાર્યને સંતોષતા રફનેસના કૌટુંબિક-વિસેક સ્કેલિંગ સંબંધ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે 2014 માં, હેરર અને ક્વાસ્ટેલે દર્શાવ્યું હતું કે વધુ સામાન્ય રીતે, નીચેના કેપીઝેડ જેવા સમીકરણો કેપીઝેડ સાર્વત્રિકતા વર્ગમાં આવેલા છેઃ જ્યાં કોઈપણ સમ-ડિગ્રી બહુપદી છે. (1 + 1) કેપીઝેડ સર્વવ્યાપકતા વર્ગમાં સાર્વત્રિક મર્યાદા હોવાનું અનુમાન કરવામાં આવે છે અને લાંબા સમયના વધઘટને નિયંત્રિત કરે છે તે પ્રક્રિયાઓનો પરિવાર એરી પ્રક્રિયાઓ છે. કેપીઝેડ સમીકરણને ઉકેલવું સમીકરણમાં બિનરેખીતા અને અવકાશ-સમયના સફેદ ઘોંઘાટની હાજરીને કારણે, કેપીઝેડ સમીકરણના ઉકેલો સરળ અથવા નિયમિત નથી, પરંતુ 'ફ્રેક્ટલ' અથવા 'રફ' હોવાનું જાણીતું છે. બિનરેખીય શબ્દ વિના પણ, સમીકરણ સ્ટોકેસ્ટિક ઉષ્મા સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે, જેનો ઉકેલ અવકાશ ચલમાં વિકલનક્ષમ નથી પરંતુ 1/2 કરતા ઓછા ઘાતાંક સાથે હોલ્ડર સ્થિતિને સંતોષે છે. આમ, બિનરેખીય શબ્દ શાસ્ત્રીય અર્થમાં અસ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. 2013 માં, માર્ટિન હેરરે કોલ-હોપ્ફ પરિવર્તનના વિસ્તરણ અને ફેનમેન આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને અંદાજો બનાવીને કેપીઝેડ સમીકરણને ઉકેલવામાં સફળતા મેળવી હતી. 2014 માં, તેમને રફ પાથ થિયરી અને નિયમિતતા માળખાઓ સાથે કેપીઝેડ સમીકરણ પર આ કામ માટે ફીલ્ડ્સ મેડલ એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. ભૌતિક વ્યુત્પત્તિ આ વ્યુત્પત્તિ અને માંથી છે. ધારો કે આપણે કેટલાક આંશિક વિભેદક સમીકરણ દ્વારા સપાટીની વૃદ્ધિને વર્ણવવા માંગીએ છીએ. ચાલો સ્થિતિ અને સમય પર સપાટીની ઊંચાઈનું પ્રતિનિધિત્વ કરીએ. તેમના મૂલ્યો સતત છે. અમે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે ત્યાં એક પ્રકારની સ્મૂથિંગ મિકેનિઝમ હશે. પછી સપાટીની વૃદ્ધિ માટેનું સૌથી સરળ સમીકરણ પ્રસરણ સમીકરણ તરીકે લઈ શકાય છે, પરંતુ આ એક નિર્ધારક સમીકરણ છે, જે સૂચવે છે કે સપાટીમાં કોઈ અનિયમિત વધઘટ નથી. વધઘટનો સમાવેશ કરવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે ઘોંઘાટ શબ્દ ઉમેરવો. પછી આપણે સરેરાશ શૂન્ય અને સહપ્રસરણ સાથે ગૌસીયન સફેદ ઘોંઘાટ તરીકે લેવામાં આવેલા સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આને એડવર્ડ્સ-વિલ્કિન્સન (EW) સમીકરણ અથવા એડિટિવ નોઇઝ (SHE) સાથે સ્ટોકેસ્ટિક હીટ સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ એક રેખીય સમીકરણ હોવાથી, તેને ફોરિયર વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને બરાબર ઉકેલી શકાય છે. પરંતુ ઘોંઘાટ ગૌસીયન હોવાથી અને સમીકરણ રેખીય હોવાથી, આ સમીકરણ માટે જોવા મળતા વધઘટ હજુ પણ ગૌસીયન છે. આનો અર્થ એ છે કે EW સમીકરણ વ્યાજની સપાટીની વૃદ્ધિને વર્ણવવા માટે પૂરતું નથી, તેથી આપણે વૃદ્ધિ માટે બિનરેખીય કાર્ય ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી, સમયની સાથે સપાટીની વૃદ્ધિમાં ફેરફારમાં ત્રણ યોગદાન છે. પ્રથમ મોડેલ સ્વરૂપના બિનરેખીય કાર્ય તરીકે બાજુની વૃદ્ધિ કરે છે. બીજું પ્રસરણ શબ્દ દ્વારા છૂટછાટ અથવા નિયમિતકરણ છે, અને ત્રીજું સફેદ ઘોંઘાટ દબાણ છે. તેથી, મુખ્ય શબ્દ, વૃદ્ધિનો નિર્ધારક ભાગ, માત્ર ઢાળનું કાર્ય અને સપ્રમાણ કાર્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે. કારદાર, પારિસી અને ઝાંગ (કેપીઝેડ) નું એક મહાન નિરીક્ષણ એ હતું કે જ્યારે સપાટી સામાન્ય દિશામાં (સપાટી પર) વધે છે, ત્યારે આપણે ઊંચાઈ અક્ષ પર ઊંચાઈને માપી રહ્યા છીએ, જે અવકાશ અક્ષને લંબરૂપ છે, અને તેથી આ સરળ ભૌમિતિક અસરમાંથી એક બિનરેખીયતા આવવી જોઈએ. જ્યારે સપાટીનો ઢોળાવ નાનો હોય છે, ત્યારે અસર સ્વરૂપ લે છે, પરંતુ આ દેખીતી રીતે અવ્યવસ્થિત સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે. આ મુશ્કેલીને અવગણવા માટે, એક સામાન્ય શબ્દ લઈ શકાય છે અને તેને ટેલર શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, પ્રથમ પદને સમય પાળી દ્વારા સમીકરણમાંથી દૂર કરી શકાય છે, કારણ કે જો કેપીઝેડ સમીકરણને ઉકેલે છે, તો પછી ઉકેલે છે. આપણે કેપીઝેડ સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ તે પણ જુઓ ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ ફ્રેક્ટલ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત રીનોર્મલાઇઝેશન જૂથ રફ પાથ સ્ટોકેસ્ટિક આંશિક વિભેદક સમીકરણ સપાટીની વૃદ્ધિ ટ્રેસી-વિડોમ વિતરણ સાર્વત્રિકતા (ગતિશીલ પ્રણાલીઓ) સ્ત્રોતો નોંધો આંકડાકીય મિકેનિક્સ સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો આંશિક વિભેદક સમીકરણો