Algebraic interior
કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં, ગણિતની એક શાખા, વેક્ટર સ્પેસના સબસેટના બીજગણિત આંતરિક અથવા રેડિયલ કર્નલ એ આંતરિક ખ્યાલનું શુદ્ધિકરણ છે. વ્યાખ્યા ધારો કે તે વેક્ટર સ્પેસનો સબસેટ છે તેના સંદર્ભમાં બીજગણિત આંતરિક (અથવા રેડિયલ કર્નલ) એ તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના પર રેડિયલ સમૂહ છે. આ છેલ્લી શરત એ પણ લખી શકાય છે કે જ્યાં સમૂહ એ રેખા ખંડ (અથવા બંધ અંતરાલ) છે જે આ રેખા ખંડથી શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે, તે એક ઉપગણ છે જે (એટલે કે, સમાંતર/અનુવાદ) ની દિશામાંથી બહાર આવે છે. આમ ભૌમિતિક રીતે, ઉપગણનું આંતરિક બિંદુ એ ગુણધર્મ સાથેનું એક બિંદુ છે કે જેમાં દરેક સંભવિત દિશામાં (વેક્ટર) તે દિશામાં શરૂ થતું અને આગળ વધતું (એટલે કે બિન-વિકૃત) રેખા ખંડ હોય છે. કિરણનો સબસેટ). બીજગણિત આંતરિક (સંદર્ભમાં) એ આવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે. એટલે કે, તે આપેલ સમૂહમાં સમાવિષ્ટ બિંદુઓનો સબસેટ છે, જેના સંદર્ભમાં તે સમૂહના રેડિયલ બિંદુઓ છે. જો તે રેખીય સબસ્પેસ છે અને પછી આ વ્યાખ્યાને બીજગણિત આંતરિક સંદર્ભમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ જ્યાં હંમેશા ધરાવે છે અને જો તો પછી જ્યાં (જે બરાબર છે) નું એફાઇન હલ છે. બીજગણિત બંધ એક બિંદુને ઉપગણમાંથી કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કેટલાક એવા અસ્તિત્વમાં હોય કે જેમાં રેખાખંડ 'ધ' માં સમાયેલ હોય, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેમાંના તમામ બિંદુઓ બીજગણિત આંતરિક (કોર) માંથી રેખીય રીતે સુલભ હોય છે. ખાસ કિસ્સામાં જ્યાં સમૂહને 'અથવા' કહેવામાં આવે છે અને તેને 'અથવા' દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અથવા ઔપચારિક રીતે, જો વેક્ટર જગ્યા હોય તો બીજગણિત આંતરિક હોય છે. જો ખાલી ન હોય, તો આ વધારાના ઉપગણ બહિર્મુખ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં ઘણા પ્રમેયોના નિવેદનો માટે પણ ઉપયોગી છે (જેમ કે ઉર્સેસ્કુ પ્રમેય): જો ફ્રેચેટ જગ્યા હોય, તો બહિર્મુખ છે, અને તે પછી બંધ હોય છે પરંતુ સામાન્ય રીતે ખાલી હોય ત્યારે તે શક્ય છે. ઉદાહરણો જો પછી પરંતુ અને કોરના ગુણધર્મો ધારો કે સામાન્ય રીતે, પરંતુ જો બહિર્મુખ સમૂહ હોય તોઃ અને બધા માટે તે વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાનો શોષક સબસેટ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બહિર્મુખ સમૂહનો કોર અને બીજગણિત બંધ બંને ફરીથી બહિર્મુખ હોય. જો બહિર્મુખ હોય, અને પછી રેખા ખંડ ટોપોલોજિકલ આંતરિક સંબંધમાં સમાયેલ હોય તો ચાલો એક ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યા હોઈએ, આંતરિક સંચાલકને દર્શાવો, અને પછીઃ જો બિન-ખાલી બહિર્મુખ હોય અને મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય, તો પછી જો બિન-ખાલી આંતરિક સાથે બહિર્મુખ હોય, તો પછી સંબંધિત બીજગણિત આંતરિક જો બંધ બહિર્મુખ સમૂહ હોય અને સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા હોય, તો સંબંધિત બીજગણિત આંતરિક જો પછી સમૂહ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને સંબંધિત બીજગણિત આંતરિક કહેવાય છે. સાપેક્ષ આંતરિક જો તે ટોપોલોજિકલ વેક્ટર સ્પેસનો સબસેટ હોય તો સાપેક્ષ આંતરિક સમૂહ એ છે, એટલે કે તે Aનું ટોપોલોજિકલ આંતરિક સમૂહ છે જેમાં સમાવવાનું સૌથી નાનું એફાઇન રેખીય સબસ્પેસ છે. નીચેનો સમૂહ પણ ઉપયોગી છેઃ અર્ધ સંબંધિત આંતરિક સમૂહ જો ટોપોલોજિકલ વેક્ટર સ્પેસનો સબસેટ હોય તો અર્ધ સંબંધિત આંતરિક સમૂહ એ સમૂહ છે.