Erdős distinct distances problem
સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં, એર્દોસની વિશિષ્ટ અંતરની સમસ્યા જણાવે છે કે સમતલમાં બિંદુઓના દરેક સમૂહમાં લગભગ-રેખીય સંખ્યામાં અલગ-અલગ અંતર હોય છે. તે 1946 માં પોલ એર્દોસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને 2015 માં લેરી ગુથ અને નેટ્સ કાટ્ઝ દ્વારા લગભગ સાબિત થયું હતું. અનુમાન નીચે પ્રમાણે સમતલમાં બિંદુઓ વચ્ચેના વિશિષ્ટ અંતરની ન્યૂનતમ સંખ્યાને સૂચવે છે, અથવા સમકક્ષ રીતે તેમના અંતર સમૂહની સૌથી નાની શક્ય મુખ્યતાને સૂચવે છે. તેમના 1946 ના પેપરમાં, એર્દોસે કેટલાક અચળાંક માટેના અંદાજો સાબિત કર્યા. નીચલી સીમા એક સરળ દલીલ દ્વારા આપવામાં આવી હતી. ઉપલી સીમા ચોરસ ગ્રીડ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આવી ગ્રીડ માટે, n ની નીચેની સંખ્યાઓ હોય છે જે બે વર્ગોનો સરવાળો હોય છે, જે મોટા O સંકેતલિપીમાં દર્શાવવામાં આવે છે; લેન્ડૌ-રામાનુજન અચળાંક જુઓ. એર્ડસે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે ઉપલી સીમા g (n) ના સાચા મૂલ્યની નજીક છે, અને ખાસ કરીને તે (મોટા Omega નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને) દરેક માટે ધરાવે છે. આંશિક પરિણામો પોલ એર્ડોસની 1946 ની નીચલી સીમા ક્રમિક રીતે સુધારી હતીઃ 1952 માં લિયો મોઝર દ્વારા, 1984 માં ફેન ચુંગ દ્વારા, ફેન ચુંગ, એન્ડ્રે સ્ઝેમેરેડી અને વિલિયમ ટી. ટ્રોટર દ્વારા 1992 માં, લેઝલો એ. સ્ઝેલી દ્વારા 1993 માં, જોઝેફ સોલિમોસી અને સસાબા ડી. ટોથ દ્વારા 2001 માં, ગેબર ટાર્ડોસ દ્વારા 2003 માં, નેટ્સ કાટ્ઝ અને ગેબર ટાર્ડોસ દ્વારા 2004 માં, લેરી ગુથ અને નેટ્સ કાટ્ઝ દ્વારા 2015 માં. ઉચ્ચ પરિમાણો એર્ડોસને સમસ્યાના ઉચ્ચ-પરિમાણીય સ્વરૂપ તરીકે પણ ગણવામાં આવે છેઃ કારણ કે ચાલો-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં બિંદુઓ વચ્ચેના અલગ અંતરની ન્યૂનતમ શક્ય સંખ્યાને સૂચવીએ. તેમણે તે સાબિત કર્યું અને અનુમાન લગાવ્યું કે ઉપરની સીમા હકીકતમાં તીક્ષ્ણ છે, એટલે કે. જોઝેફ સોલિમોસી અને વેન એચ. વુએ 2008માં નીચલી સીમા મેળવી હતી. ફાલ્કનરનું અનુમાન એર્ડોસ એકમ અંતર સમસ્યા સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ વિલિયમ ગેસાર્કનું સમસ્યા પરનું પૃષ્ઠ પોલ એર્ડોસ ડિસ્ક્રીટ ભૂમિતિના અનુમાન પણ જુઓ.