Real hyperelliptic curve
બે પ્રકારના લંબવર્તુળાકાર વળાંક હોય છે, બીજગણિત વળાંકનો એક વર્ગઃ વાસ્તવિક લંબવર્તુળાકાર વળાંક અને કાલ્પનિક લંબવર્તુળાકાર વળાંક જે અનંત પર બિંદુઓની સંખ્યા દ્વારા અલગ પડે છે. દરેક જાતિ માટે લંબગોળ વળાંક અસ્તિત્વ ધરાવે છે. મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર હાયપરલિપ્ટિક વળાંકનું સામાન્ય સૂત્ર જ્યાં અમુક શરતોને સંતોષે છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પૃષ્ઠમાં, અમે વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંક વિશે વધુ વર્ણન કરીએ છીએ, આ અનંત પર બે બિંદુઓ ધરાવતા વળાંક છે જ્યારે કાલ્પનિક લંબગોળ વળાંક અનંત પર એક બિંદુ ધરાવે છે. વ્યાખ્યા K પર જીનસ g નો વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંક એ સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં ડિગ્રી g + 1 કરતા મોટી ન હોય જ્યારે ડિગ્રી 2g + 1 અથવા 2g + 2 હોવી આવશ્યક છે. આ વળાંક એક બિન-એકવચન વળાંક છે જ્યાં બીજગણિત બંધમાં કોઈ બિંદુ વળાંક સમીકરણ અને બંને આંશિક વ્યુત્પન્ન સમીકરણોને સંતુષ્ટ કરતું નથીઃ અને. સી પર (મર્યાદિત)-તર્કસંગત બિંદુઓનો સમૂહ અનંત પર બિંદુઓનો સમૂહ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંક માટે, અનંત પર બે બિંદુઓ છે, અને. કોઈપણ બિંદુ માટે, વિરુદ્ધ બિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે; તે x-સંકલન a સાથેનું અન્ય બિંદુ છે જે વળાંક પર પણ આવેલું છે. ઉદાહરણ ક્યાં જવા દો. ત્યારથી અને તેની ડિગ્રી 6 છે, આમ તે જીનસ g = 2 નો વળાંક છે. વળાંક સમીકરણનું સજાતીય સંસ્કરણ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે તે (0:1:0) દ્વારા આપવામાં આવેલ અનંત પર એક જ બિંદુ ધરાવે છે પરંતુ આ બિંદુ એકવચન છે. ના વિસ્ફોટમાં અનંત પર 2 જુદા જુદા બિંદુઓ છે, જેને આપણે સૂચવીએ છીએ અને. તેથી આ વળાંક વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંકનું ઉદાહરણ છે. સામાન્ય રીતે, જ્યાં f ની સમ ડિગ્રી હોય તેવા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ દરેક વળાંક અનંત પર બે બિંદુઓ ધરાવે છે અને તે એક વાસ્તવિક અતિ-લંબગોળ વળાંક છે, જ્યારે જ્યાં f ની વિષમ ડિગ્રી હોય તેવા વળાંકમાં (0:1:0) માત્ર એક જ બિંદુ હોય છે અને આમ કાલ્પનિક અતિ-લંબગોળ વળાંક હોય છે. બંને કિસ્સાઓમાં આ ધારે છે કે વળાંકનો સંલગ્ન ભાગ બિન-એકકોણીય છે (ઉપરના વ્યુત્પન્ન પરની શરતો જુઓ) વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંકમાં અંકગણિત વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંકમાં, ઉમેરાને હવે લંબગોળ વળાંકની જેમ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો નથી પરંતુ વિભાજક અને જેકોબિયન પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે તે મર્યાદિત ક્ષેત્ર K પર જીનસ G નો લંબગોળ વળાંક છે. A વિભાજક પર બિંદુઓનો ઔપચારિક મર્યાદિત સરવાળો છે. આપણે ક્યાં અને લગભગ બધા માટે લખીએ છીએ. ની ડિગ્રી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ σ ઓવર માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉપર વ્યાખ્યાયિત વિભાજકોનો સમૂહ સરવાળા નિયમ હેઠળ એક એડિટિવ અબેલિયન જૂથ બનાવે છે ઉપર વ્યાખ્યાયિત તમામ ડિગ્રી શૂન્ય વિભાજકોનો સમૂહ એ તેનું પેટા જૂથ છે. આપણે એક ઉદાહરણ લઈએઃ ચાલો અને. જો આપણે તેમને પછી ઉમેરીએ. ની ડિગ્રી અને ની ડિગ્રી છે. પછી, બહુપદીઓ માટે, ના વિભાજકને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો કાર્યમાં એક બિંદુ પર ધ્રુવ હોય તો તે એટના લુપ્ત થવાનો ક્રમ છે. ધારો કે તેમાં બહુપદીઓ છે; તર્કસંગત કાર્યના વિભાજકને મુખ્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે અને તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપણે મુખ્ય વિભાજકોના જૂથને, એટલે કે, દ્વારા સૂચવીએ છીએ. ઓવરના જેકોબિયનની વ્યાખ્યા આના દ્વારા કરવામાં આવે છે. પરિબળ જૂથને વિભાજક વર્ગ જૂથ પણ કહેવામાં આવે છે. જે તત્વો પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે જૂથ બનાવે છે. આપણે વર્ગ દ્વારા સૂચવીએ છીએ. બે બિંદુઓ અનંત ધરાવતા વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંક માટે વિભાજક વર્ગોને રજૂ કરવાની બે પ્રમાણભૂત રીતો છે. પ્રથમ એક ડિગ્રી શૂન્ય વિભાજકને એવી રીતે રજૂ કરવાનું છે કે, જ્યાં, અને જો ના પ્રતિનિધિને અર્ધ ઘટાડવામાં આવે. જો વધારાની શરત સંતોષાય તો પ્રતિનિધિને ઘટાડેલા કહેવામાં આવે છે. નોંધ લો કે જે કેટલાક i માટે માન્ય છે. તે અનુસરે છે કે દરેક ડિગ્રી 0 વિભાજક વર્ગ એક અનન્ય પ્રતિનિધિ ધરાવે છે જેમાં વિભાજક ક્યાં છે જે અને, અને બંને સાથે સહમૌલિક છે. અન્ય પ્રતિનિધિત્વ અનંત પર સંતુલિત છે. ચાલો, નોંધ લઈએ કે આ વિભાજક-તર્કસંગત છે, ભલે તે બિંદુઓ હોય અને સ્વતંત્ર રીતે ન હોય. વર્ગના પ્રતિનિધિને આ રીતે લખો, જ્યાં તેને એફાઇન ભાગ કહેવામાં આવે છે અને તેમાં અને નથી, અને દો. ઉદાહરણ તરીકે, બે વિભાજકના સંલગ્ન ભાગો દ્વારા અને પછી સંતુલિત વિભાજક દ્વારા આપવામાં આવે છે અને વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંકમાંથી કાલ્પનિક લંબગોળ વળાંકમાં પરિવર્તન. જો ત્યાં ડિગ્રી 1 નો વિસ્તૃત મુખ્ય વિભાજક અસ્તિત્વમાં હોય તો આપણે કાલ્પનિક દ્વિઘાત વળાંકમાં દ્વિસાંતીય પરિવર્તન કરી શકીએ છીએ. એ (મર્યાદિત અથવા અનંત) બિંદુ જો તેની પોતાની વિરુદ્ધ સમાન હોય તો તેને વિસ્તૃત કહેવામાં આવે છે. તેનો અર્થ એ કે, એટલે કે. તે. જો રેમિફાઇડ હોય તો તે રેમિફાઇડ પ્રાઇમ ડિવાઇઝર છે. વિસ્તૃત-તર્કસંગત મર્યાદિત બિંદુ સાથે જીનસનું વાસ્તવિક લંબગોળ વળાંક દ્વિવાર્ષિક રીતે જીનસના કાલ્પનિક મોડેલની સમકક્ષ છે, એટલે કે. અને કાર્ય ક્ષેત્રો સમાન છે. અહીંઃ આપણા ઉદાહરણમાં જ્યાં, h (x) એ 0 ની બરાબર છે. કોઈપણ બિંદુ માટે, તે 0 ની બરાબર હોય છે અને તેથી P ને વિસ્તૃત કરવાની જરૂરિયાત બને છે. અવેજી અને, આપણે મેળવીએ છીએ, ક્યાં, એટલે કે,. () માંથી, આપણે અને મેળવીએ છીએ. g = 2 માટે, આપણી પાસે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પછી અને, આપણે મેળવીએ છેદને દૂર કરવા માટે આ અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પછીઃ જ્યાં એક કાલ્પનિક ચતુર્ભુજ વળાંક હોય ત્યાં વળાંક આપવાથી તેની ડિગ્રી હોય છે. સંદર્ભો બીજગણિત વળાંકો