Berry connection and curvature
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બેરી જોડાણ અને બેરી વળાંક એ સંબંધિત ખ્યાલો છે જેને અનુક્રમે બેરી તબક્કા અથવા ભૌમિતિક તબક્કા સાથે સંકળાયેલા સ્થાનિક ગેજ સંભવિત અને ગેજ ક્ષેત્ર તરીકે જોઈ શકાય છે. આ ખ્યાલ સૌપ્રથમ એસ. પંચરત્નમ દ્વારા ભૌમિતિક તબક્કા તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને બાદમાં 1984 માં પ્રકાશિત થયેલા એક પેપરમાં માઇકલ બેરી દ્વારા વિસ્તૃત રીતે સમજાવવામાં આવ્યો હતો અને લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યો હતો કે કેવી રીતે ભૌમિતિક તબક્કાઓ શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રની ઘણી શાખાઓમાં શક્તિશાળી એકીકૃત ખ્યાલ પ્રદાન કરે છે. બેરી તબક્કો અને ચક્રીય એડિયાબેટિક ઉત્ક્રાંતિ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, બેરી તબક્કો ચક્રીય એડિયાબેટિક ઉત્ક્રાંતિમાં ઉદ્ભવે છે. ક્વોન્ટમ એડિયાબેટિક પ્રમેય એવી પ્રણાલીને લાગુ પડે છે કે જેના હેમિલ્ટોનિયન એ (વેક્ટર) પરિમાણ પર આધાર રાખે છે જે સમય સાથે બદલાય છે. જો 'th આઈગન વેલ્યુ માર્ગ પર દરેક જગ્યાએ બિન-ક્ષીણ રહે છે અને સમય t સાથેનો તફાવત પૂરતો ધીમો હોય, તો સામાન્યીકૃત આઈગનસ્ટેટમાં શરૂઆતમાં સિસ્ટમ હેમિલ્ટોનિયનના તાત્કાલિક આઈગનસ્ટેટમાં, એક તબક્કા સુધી, સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન રહેશે. તબક્કાના સંદર્ભમાં, સમય t પરની સ્થિતિને લખી શકાય છે જ્યાં બીજો ઘાતાંકીય શબ્દ "ગતિશીલ તબક્કો પરિબળ" છે. પ્રથમ ઘાતાંકીય શબ્દ ભૌમિતિક શબ્દ છે, જેમાં બેરી તબક્કો છે. સમય-આધારિત શ્રોડિંગર સમીકરણને સંતોષતી જરૂરિયાત પરથી, એવું દર્શાવી શકાય છે કે બેરી તબક્કો માત્ર પરિમાણ અવકાશમાં માર્ગ પર આધાર રાખે છે, જે દરે માર્ગ પસાર થાય છે તેના પર નહીં. બંધ માર્ગની આસપાસ ચક્રીય ઉત્ક્રાંતિના કિસ્સામાં, બંધ માર્ગ બેરી તબક્કો એ ભૌતિક પ્રણાલીનું એક ઉદાહરણ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન બંધ માર્ગ સાથે આગળ વધે છે તે સાયક્લોટ્રોન ગતિ છે (વિગતો બેરી તબક્કાના પૃષ્ઠમાં આપવામાં આવી છે). યોગ્ય પરિમાણની સ્થિતિ મેળવવા માટે બેરી તબક્કાને ધ્યાનમાં લેવો આવશ્યક છે. ગેજ પરિવર્તન એ સ્થિતિઓના નવા સમૂહમાં ગેજ પરિવર્તન કરી શકાય છે જે માત્ર-આધારિત તબક્કાના પરિબળ દ્વારા મૂળ સ્થિતિઓથી અલગ પડે છે. આ ઓપન-પાથ બેરી તબક્કામાં ફેરફાર કરે છે. બંધ માર્ગ માટે, સાતત્ય માટે તે (એક પૂર્ણાંક) જરૂરી છે, અને તે અનુસરે છે જે અનિયંત્રિત, મોડ્યુલો, મનસ્વી ગેજ પરિવર્તન હેઠળ છે. બેરી જોડાણ ઉપર વ્યાખ્યાયિત ક્લોઝ્ડ-પાથ બેરી તબક્કાને બેરી જોડાણ (અથવા બેરી પોટેન્શિયલ) તરીકે ઓળખાતા વેક્ટર-વેલ્યુડ ફંક્શન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. બેરી જોડાણ ગેજ-આધારિત છે, જેમ કે રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી સ્થાનિક બેરી જોડાણ ક્યારેય ભૌતિક રીતે અવલોકનક્ષમ ન હોઈ શકે. જો કે, બંધ માર્ગ સાથે તેનો અભિન્ન ભાગ, બેરી તબક્કો, તેના પૂર્ણાંક ગુણાંક સુધી ગેજ-અપરિવર્તનશીલ છે. આમ, તે સંપૂર્ણપણે ગેજ-ઇનવેરિયન્ટ છે, અને ભૌતિક અવલોકન સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. બેરી વળાંક બેરી વળાંક એ બેરી જોડાણમાંથી મેળવેલ વિરોધી-સમમિતીય બીજા ક્રમનો ટેન્સર છે ત્રિ-પરિમાણીય પરિમાણ અવકાશમાં બેરી વળાંકને સ્યુડોવેક્ટર સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે બેરી વળાંકના ટેન્સર અને સ્યુડોવેક્ટર સ્વરૂપો લેવી-સિવિટા એન્ટિસિમેટ્રિક ટેન્સર દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. બેરી જોડાણથી વિપરીત, જે બંધ માર્ગની આસપાસ એકીકૃત થયા પછી જ ભૌતિક છે, બેરી વળાંક એ પરિમાણ જગ્યામાં તરંગ કાર્યોના ભૌમિતિક ગુણધર્મોનું ગેજ-અપરિવર્તનશીલ સ્થાનિક અભિવ્યક્તિ છે, અને વિવિધ ઇલેક્ટ્રોનિક ગુણધર્મોને સમજવા માટે એક આવશ્યક ભૌતિક ઘટક સાબિત થયું છે. બંધ પાથ માટે કે જે સપાટીની સીમા બનાવે છે, બંધ પાથ બેરી તબક્કાને સ્ટોક્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય છે જેમ કે જો સપાટી બંધ મેનીફોલ્ડ હોય, તો સીમા શબ્દ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, પરંતુ સીમા શબ્દ મોડ્યુલોની અનિશ્ચિતતા પોતાને દર્શાવે છે. આ સંખ્યા કહેવાતી ચેરન સંખ્યા છે, અને વિવિધ માત્રાત્મક અસરોને સમજવા માટે જરૂરી છે. છેવટે, નોંધ લો કે બેરી વળાંકને અન્ય તમામ આઈગનસ્ટેટના સરવાળા તરીકે પણ લખી શકાય છે ઉદાહરણ તરીકેઃ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્પિનોર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્પિન-1/2 કણોના હેમિલ્ટોનિયનને આ રીતે લખી શકાય છે જ્યાં પૌલી મેટ્રિક્સને સૂચવે છે, તે ચુંબકીય ક્ષણ છે, અને B એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. ત્રણ પરિમાણોમાં, આઈગનસ્ટેટમાં ઊર્જા હોય છે અને તેમના આઈગનવેક્ટર્સ હવે સ્થિતિને ધ્યાનમાં લે છે. તેના બેરી જોડાણની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છે, અને બેરી વળાંક એ છે કે જો આપણે (અથવા અન્ય કોઈ તબક્કા દ્વારા) ગુણાકાર કરીને નવો ગેજ પસંદ કરીએ, તો બેરી જોડાણો અને છે, જ્યારે બેરી વળાંક સમાન રહે છે. આ નિષ્કર્ષ સાથે સુસંગત છે કે બેરી જોડાણ ગેજ-આધારિત છે જ્યારે બેરી વળાંક નથી. ઘન ખૂણા દીઠ બેરી વળાંક આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ચુંબકીય ક્ષેત્રની જગ્યામાં એકમ ગોળા પરના કોઈપણ પાથને અનુરૂપ બેરી તબક્કો પાથ દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા નક્કર કોણનો માત્ર અડધો ભાગ છે. તેથી સમગ્ર ગોળા પર બેરી વળાંકનું અભિન્ન અંગ બરાબર છે, જેથી ચેરન સંખ્યા એકતા છે, જે ચેરન પ્રમેય સાથે સુસંગત છે. સ્ફટિકોમાં ઉપયોગ બેરી તબક્કો સ્ફટિકીય ઘન પદાર્થોમાં ઇલેક્ટ્રોનિક ગુણધર્મોની આધુનિક તપાસમાં અને ક્વોન્ટમ હોલ અસરના સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સ્ફટિકીય ક્ષમતાની સામયિકતા બ્લોચ પ્રમેયના ઉપયોગને મંજૂરી આપે છે, જે જણાવે છે કે હેમિલ્ટોનિયન આઈગનસ્ટેટ એ સ્વરૂપ લે છે જ્યાં બેન્ડ અનુક્રમણિકા છે, તે પારસ્પરિક-અવકાશ (બ્રિલોઇન ઝોન) માં વેવવેક્ટર છે, અને તેનું સામયિક કાર્ય છે. પછી, પરિમાણની ભૂમિકા ભજવવા દો, કોઈ વ્યક્તિ પારસ્પરિક જગ્યામાં બેરી તબક્કાઓ, જોડાણો અને વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પારસ્પરિક અવકાશમાં બેરીનું જોડાણ છે કારણ કે બ્લોચ પ્રમેય એ પણ સૂચવે છે કે પારસ્પરિક અવકાશ પોતે જ બંધ છે, બ્રિલૌઇન ઝોન ત્રણ પરિમાણોમાં 3-કોરસની ટોપોલોજી ધરાવે છે, બંધ લૂપ અથવા મેનીફોલ્ડ પર સંકલન કરવાની જરૂરિયાતો સરળતાથી સંતોષી શકાય છે. આ રીતે, વિદ્યુત ધ્રુવીકરણ, કક્ષીય ચુંબકત્વ, વિસંગત હોલ વાહકતા અને કક્ષીય ચુંબકીય જોડાણ જેવા ગુણધર્મોને બેરી તબક્કાઓ, જોડાણો અને વળાંકની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ક્વોન્ટમ તબક્કો, પાંચ વર્ષ પછી. એમ. બેરી. ઇલેક્ટ્રોનિક સ્ટ્રક્ચર થિયરીમાં બેરી તબક્કાઓ અને વળાંક ડી. વેન્ડરબિલ્ટ દ્વારા એક ચર્ચા. બેરી-સાયન્સ, ઓર્બિટલ મેગ્નેટોઇલેક્ટ્રિક ઇફેક્ટ્સ, અને ટોપોલોજિકલ ઇન્સ્યુલેટર્સ-ડી. વેન્ડરબિલ્ટ દ્વારા એક ચર્ચા. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ ક્વોન્ટમ તબક્કાઓ