Tangent half-angle substitution
ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં, સ્પર્શક અર્ધ-કોણ અવેજી એ ઇન્ટિગ્રલ્સનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ચલોનો ફેરફાર છે, જે ત્રિકોણમિતિક કાર્યોના તર્કસંગત કાર્યને સેટિંગ દ્વારા સામાન્ય તર્કસંગત કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરે છે. આ વાસ્તવિક રેખા પર કોણ માપ દ્વારા પરિમાણિત એકમ વર્તુળનું એક-પરિમાણીય સ્ટીરિયોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ છે. સામાન્ય પરિવર્તન સૂત્ર છેઃ ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિમાં અર્ધ કોણની સ્પર્શક મહત્વપૂર્ણ છે અને કેટલીકવાર 17મી સદીમાં અર્ધ સ્પર્શક અથવા અર્ધ-સ્પર્શક તરીકે જાણીતી હતી. લિયોનહાર્ડ યુલરએ તેના 1768 ના અભિન્ન કલન પાઠ્યપુસ્તકમાં અભિન્નનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને એડ્રિયન-મેરી લિજેન્ડરે 1817 માં સામાન્ય પદ્ધતિનું વર્ણન કર્યું હતું. 19મી સદીના અંતથી મોટાભાગના અભિન્ન કલન પાઠ્યપુસ્તકોમાં અવેજીનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, સામાન્ય રીતે કોઈ વિશેષ નામ વિના. તે રશિયામાં સાર્વત્રિક ત્રિકોણમિતિ અવેજી તરીકે ઓળખાય છે, અને અર્ધ-સ્પર્શ અવેજી અથવા અર્ધ-કોણ અવેજી જેવા વિવિધ નામો દ્વારા પણ ઓળખાય છે. તેને કેટલીકવાર વેઇઅરસ્ટ્રાસ અવેજી તરીકે ખોટી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે. માઈકલ સ્પિવાકે તેને "વિશ્વનો સૌથી ગુપ્ત વિકલ્પ" ગણાવ્યો હતો. અવેજીમાં નવા ચલ સાઇનો અને કોસાઇનોની રજૂઆતને તર્કસંગત કાર્યો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે અને તેને ગુણાકાર અને નીચે મુજબના તર્કસંગત કાર્યો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ વ્યુત્પત્તિ દ્વિ-કોણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો આભાર માનીને એકની બરાબર છેદ રજૂ કરીને, અને પછી અંકો અને છેદને એકથી વિભાજીત કરીને આખરે, કારણ કે, તફાવત નિયમો સૂચવે છે અને આમ કોસેકેન્ટના એન્ટિડેરિવેટીવ ઉદાહરણો આપણે કોસેકેન્ટ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્યાંકન કરવાની પ્રમાણભૂત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉપરના પરિણામની પુષ્ટિ કરી શકીએ છીએ. આ બંને જવાબો સમાન છે કારણ કે સેકન્ટ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્યાંકન સમાન રીતે થઈ શકે છે. એક નિશ્ચિત સંકલન પ્રથમ પંક્તિમાં, કોઈ પણ સંકલનની બંને મર્યાદાઓને સરળતાથી બદલી શકતું નથી. એટની એકલતા (આ કિસ્સામાં, ઊભી એસિમ્પ્ટોટ) ને ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. વૈકલ્પિક રીતે, પહેલા અનિશ્ચિત સમાકલનનું મૂલ્યાંકન કરો, પછી સીમા મૂલ્યો લાગુ કરો. સમપ્રમાણતા દ્વારા, જે અગાઉના જવાબ જેવું જ છે. ત્રીજું ઉદાહરણ-જો ભૂમિતિ x બદલાય છે, તો બિંદુ (cos x, sin x) (0,0) પર કેન્દ્રિત એકમ વર્તુળની આસપાસ વારંવાર પવન કરે છે. બિંદુ વર્તુળની આસપાસ માત્ર એક જ વાર જાય છે કારણ કે t − ini થી + ini સુધી જાય છે, અને ક્યારેય બિંદુ (−1,0) સુધી પહોંચતું નથી, જે t ની નજીક પહોંચતા મર્યાદા તરીકે સંપર્ક કરવામાં આવે છે. જેમ જેમ t એ − ini થી −1 સુધી જાય છે, તેમ t દ્વારા નિર્ધારિત બિંદુ ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં વર્તુળના ભાગમાંથી (−1,0) થી (0, −1) સુધી જાય છે. જેમ જેમ t −1 થી 0 સુધી જાય છે, તેમ બિંદુ ચોથા ચતુર્થાંશમાં વર્તુળના ભાગને (0, −1) થી (1,0) સુધી અનુસરે છે. જેમ જેમ ટી 0 થી 1 સુધી જાય છે, તેમ બિંદુ (1,0) થી (0,1) સુધીના પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં વર્તુળના ભાગને અનુસરે છે. છેવટે, જેમ જેમ t એ 1 થી + ini સુધી જાય છે, તે બિંદુ બીજા ચતુર્થાંશમાં વર્તુળના ભાગને (0,1) થી (−1,0) સુધી અનુસરે છે. અહીં એક અન્ય ભૌમિતિક દ્રષ્ટિકોણ છે. એકમ વર્તુળ દોરો, અને P ને બિંદુ બનવા દો. પી (ઊભી રેખા સિવાય) માંથી પસાર થતી રેખા તેના ઢોળાવ દ્વારા નક્કી થાય છે. વધુમાં, દરેક રેખાઓ (ઊભી રેખા સિવાય) એકમ વર્તુળને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે, જેમાંથી એક પી છે. આ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓથી ઢોળાવ સુધીના કાર્યને નિર્ધારિત કરે છે. ત્રિકોણમિતિ વિધેયો એકમ વર્તુળ પર ખૂણાથી બિંદુઓ સુધી કાર્ય નક્કી કરે છે, અને આ બે વિધેયોને જોડીને આપણી પાસે ખૂણાથી ઢોળાવ સુધી કાર્ય છે. ગેલેરી હાયપરબોલિક કાર્યો ત્રિકોણમિતીય કાર્યો અને હાયપરબોલિક કાર્યો વચ્ચે વહેંચાયેલા અન્ય ગુણધર્મોની જેમ, અવેજીનું સમાન સ્વરૂપ બનાવવા માટે હાયપરબોલિક ઓળખોનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, ભૌમિતિક રીતે, ચલોનો આ ફેરફાર પોઇનકેરે ડિસ્ક પ્રક્ષેપણનું એક-પરિમાણીય એનાલોગ છે. તર્કસંગત વળાંક સ્ટીરિયોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ ટેંજન્ટ અર્ધ-કોણ સૂત્ર ત્રિકોણમિતીય અવેજી યુલર અવેજી વધુ વાંચન બીજી આવૃત્તિ 1916, pp. 52-62 નોંધો અને સંદર્ભો પ્લેનેટમેથ ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ પર બાહ્ય કડીઓ વેઇઅરસ્ટ્રાસ અવેજી સૂત્રો