Quasitoric manifold
ગણિતમાં, ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ એ બીજગણિત ભૂમિતિના નોનસિંગ્યુલર પ્રોજેક્ટિવ ટોરિક વિવિધતાનું ટોપોલોજિકલ એનાલોગ છે. એક સરળ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ એ અર્ધ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ છે જો તે ભ્રમણકક્ષાની જગ્યા અને એક-પરિમાણીય સરળ બહિર્મુખ પોલીટોપ સાથે, એક-પરિમાણીય ટોરસની સરળ, સ્થાનિક પ્રમાણભૂત ક્રિયાને સ્વીકારે છે. ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ 1991માં એમ. ડેવિસ અને ટી. જાનુસ્ઝકીવિઝ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, જેમણે તેમને "ટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ" તરીકે ઓળખાવ્યા હતા. જો કે, "ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ" શબ્દ આખરે કોમ્પેક્ટ સ્મૂથ ટોરિક જાતોના વર્ગ સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે અપનાવવામાં આવ્યો હતો, જે બીજગણિત ભૂમિતિઓ માટે ટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ તરીકે ઓળખાય છે. ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ બીજગણિત ટોપોલોજીમાં વિવિધ સંદર્ભોમાં કરવામાં આવે છે, જેમ કે જટિલ કોબોર્ડિઝમ સિદ્ધાંત અને અન્ય લક્ષી કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો. વ્યાખ્યાઓ-ટોરસના-th ઉપ વર્તુળને આ રીતે સૂચવે છે. પછી સમન્વય મુજબ ગુણાકારને પ્રમાણભૂત રજૂઆત કહેવામાં આવે છે. અંદર અને અંદર ખુલ્લા સમૂહો આપવામાં આવે છે, જે ક્રિયા હેઠળ બંધ હોય છે, a-ક્રિયા પ્રમાણભૂત રજૂઆત માટે સ્થાનિક રીતે આઇસોમોર્ફિક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો, બધા માટે, અંદર, જ્યાં હોમોમોર્ફિઝમ છે, અને તેનું ઓટોમોર્ફિઝમ છે. પાસાઓ સાથે એક સરળ બહિર્મુખ પોલીટોપને જોતાં, a-મેનીફોલ્ડ એ એક ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ છે જો,-ક્રિયા પ્રમાણભૂત રજૂઆત માટે સ્થાનિક રીતે આઇસોમોર્ફિક હોય, તો એક પ્રક્ષેપણ હોય છે જે દરેક-પરિમાણીય ભ્રમણકક્ષાને એક-પરિમાણીય ચહેરાના આંતરિક બિંદુ પર મેપ કરે છે. વ્યાખ્યા સૂચવે છે કે-ક્રિયા હેઠળના નિશ્ચિત બિંદુઓને બાયના શિરોબિંદુઓ પર મેપ કરવામાં આવે છે, જ્યારે બિંદુઓ જ્યાં ક્રિયા મુક્ત હોય છે તે પોલીટોપનાં આંતરિક ભાગમાં પ્રોજેક્ટ કરે છે. દ્વિગુણાત્મક કાર્ય એ ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડને દ્વિગુણાત્મક કાર્ય અને સંકળાયેલ દ્વિગુણાત્મક મેટ્રિક્સની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે. આ સેટિંગમાં એવું ધારવું ઉપયોગી છે કે ના પાસાઓ ક્રમમાં છે જેથી આંતરછેદ એક શિરોબિંદુ છે, જેને પ્રારંભિક શિરોબિંદુ કહેવાય છે. દ્વિરૂપાત્મક કાર્ય એ હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેમ કે જો કોડીમેન્શન-ફેસ છે, તો તે સબટોરસ પર પ્રતિબંધ પર મોનોમોર્ફિઝમ છે. પ્રારંભિક શિરોબિંદુને અનુરૂપ સબટોરસ માટે λ નું પ્રતિબંધ એ આઇસોમોર્ફિઝમ છે, અને તેથી તેના લાઈ બીજગણિત માટે આધાર તરીકે લઈ શકાય છે. λ સાથે સંકળાયેલ લાઈ આલ્જેબ્રાના એપિમોર્ફિઝમને રેખીય પરિવર્તન તરીકે વર્ણવી શકાય છે, જે દ્વારા આપવામાં આવેલ દ્વિગુણાત્મક મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ થાય છે. દરેક ફેસેટ વેક્ટર આદિમ હોવાથી, જ્યારે પણ ફેસેટ્સ શિરોબિંદુમાં મળે છે, ત્યારે અનુરૂપ સ્તંભો એક આધાર બનાવે છે, જેમાં નિર્ધારક સમાન હોય છે. દરેક પાસા સાથે સંકળાયેલ આઇસોટ્રોપી પેટાજૂથ કેટલાક દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સની તેમની મૂળ સારવારમાં, ડેવિસ અને જાનુસ્કીવિઝે એક લાક્ષણિક કાર્યની કલ્પના રજૂ કરી હતી જેણે પોલીટોપનાં દરેક પાસાંને પાસાંનાં આઇસોટ્રોપી પેટાજૂથને નિર્ધારિત કરતા વેક્ટર સાથે મેપ કર્યું હતું, પરંતુ આને માત્ર સંકેત આપવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સના વધુ તાજેતરના અભ્યાસોમાં, આ અસ્પષ્ટતાને દ્વિગુણાત્મક કાર્યની રજૂઆત અને તેના આગ્રહ દ્વારા દૂર કરવામાં આવી છે કે દરેક વર્તુળ લક્ષી હોય, જે દરેક વેક્ટર માટે સંકેતની પસંદગીને દબાણ કરે છે. જટિલ કોબોર્ડિઝમ સિદ્ધાંતમાં ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સના અભ્યાસને સક્ષમ કરવા માટે દ્વિરૂપાત્મક કાર્યની કલ્પના મૂળરૂપે વી. બુકસ્ટેબર અને એન. રે દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. પ્રારંભિક શિરોબિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પોલીટોપનાં પાસાઓનાં ક્રમની રજૂઆત કરીને આને વધુ શુદ્ધ કરવામાં આવ્યું હતું, જે આખરે દ્વિરૂપાત્મક મેટ્રિક્સની ઉપરોક્ત સુઘડ રજૂઆત તરફ દોરી જાય છે, જ્યાં ઓળખ મેટ્રિક્સ છે અને તે સબમેટ્રિક્સ છે. મોમેન્ટ-એંગલ કોમ્પ્લેક્સ સાથેનો સંબંધ દ્વિરૂપાત્મક કાર્યનો કર્નલ મોમેન્ટ એંગલ કોમ્પ્લેક્સ પર મુક્તપણે કાર્ય કરે છે, અને તેથી પરિણામી ભાગાકાર જગ્યા પર મુખ્ય-બંડલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ ભાગાકાર જગ્યાને એ રીતે જોઈ શકાય છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ જોડીની ઓળખ કરવામાં આવે અને જો તે કેટલાક લોકો માટે, બિંદુને સમાવવાના અનન્ય ચહેરાને અનુરૂપ હોય તેવા સબટોરસના પ્રતિબંધની છબીમાં હોય. તે દર્શાવી શકાય છે કે કોઈપણ ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ ઉપરની ભાગાકાર જગ્યાના સ્વરૂપના ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ માટે સમાન રીતે ભિન્ન છે. ઉદાહરણો-ડાયમેન્શનલ કોમ્પ્લેક્સ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ એ-સિમ્પ્લેક્સ પર ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ છે. જો મૂળ એ પ્રારંભિક શિરોબિંદુ હોય તે રીતે તેમાં જડિત કરવામાં આવે, તો એક દ્વિગુણાત્મક કાર્ય પસંદ કરી શકાય છે જેથી સંકળાયેલ દ્વિગુણાત્મક મેટ્રિક્સ હોય. બોટ્ટ મેનીફોલ્ડ્સ કે જે બોટ્ટ ટાવરમાં તબક્કાઓ બનાવે છે તે-ક્યુબ્સ પર ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ છે. - સમઘનને તેમાં જડિત કરવામાં આવે છે જેથી મૂળ એ પ્રારંભિક શિરોબિંદુ હોય, અને એક દ્વિરૂપાત્મક કાર્ય પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી સંકળાયેલ દ્વિરૂપાત્મક મેટ્રિક્સ પૂર્ણાંકો માટે આપવામાં આવે. મોમેન્ટ એંગલ કોમ્પ્લેક્સ એ 3-ગોળાની નકલોની પેદાશ છે, જેમાં કર્નલ આપવામાં આવે છે, જેથી ની ક્રિયા હેઠળનો ભાગાકાર બોટ્ટ ટાવરનો-th તબક્કો હોય. પૂર્ણાંક મૂલ્યો એ રેખા બંડલની ટેન્સર શક્તિઓ છે, જેના ઉત્પાદનનો ઉપયોગ બોટ્ટ ટાવરના પુનરાવર્તિત ગોળા-બંડલ બાંધકામમાં થાય છે. ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ કેનોનિકલ કોમ્પ્લેક્સ લાઇન બંડલ્સની કોહોમોલોજી રિંગ, દ્વારા આપવામાં આવે છે, દરેક પાસા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, માટે, જ્યાં કાર્ય કરે છે, એમ્બેડેડના-th પેટા વર્તુળના પ્રતિબંધ દ્વારા. આ બંડલને ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ સાથે સંકળાયેલા ચહેરાના બંડલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ની વ્યાખ્યા મુજબ, ફેસેટની પ્રિમેજ એ-ડાયમેન્શનલ ક્વાસિટોરિક ફેસિયલ સબમેનિફોલ્ડ ઓવર છે, જેનું આઇસોટ્રોપી પેટાજૂથ એ ફેસેટના પેટા વર્તુળ પરનું પ્રતિબંધ છે. 'to' નું પ્રતિબંધ 'in' ના એમ્બેડિંગનું સામાન્ય 2-પ્લેન બંડલ આપે છે. ચાલો પ્રથમ ચેરન વર્ગને સૂચવીએ. ઇન્ટિગ્રલ કોહોમોલોજી રિંગ સંબંધોના બે સમૂહોને આધિન, માટે દ્વારા પેદા થાય છે. પ્રથમ સ્ટેનલી-રેઇસનર આદર્શ દ્વારા પેદા થયેલા સંબંધો છે; દ્વિસંગી કાર્ય દ્વારા નિર્ધારિત રેખીય સંબંધોમાં બીજા સમૂહનો સમાવેશ થાય છેઃ તેથી માત્ર ગુણાકાર ઉત્પન્ન કરવાની જરૂર છે. ટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ સાથે સરખામણી કોઈપણ પ્રોજેક્ટિવ ટોરિક મેનીફોલ્ડ એક ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ છે, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં નોન-પ્રોજેક્ટિવ ટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ પણ ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ છે. તમામ ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ ટોરિક મેનીફોલ્ડ્સ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જોડાયેલ રકમને ક્વાસીટોરિક મેનીફોલ્ડ તરીકે બનાવી શકાય છે, પરંતુ તે ટોરિક મેનીફોલ્ડ નથી. નોંધો સંદર્ભો બીજગણિત ટોપોલોજી ટોપોલોજી મેનિફોલ્ડ્સ