Skolem–Mahler–Lech theorem
એડિટિવ અને બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, સ્કોલેમ-માહલર-લેચ પ્રમેય જણાવે છે કે જો સંખ્યાઓનો ક્રમ રેખીય તફાવત સમીકરણને સંતોષે છે, તો મર્યાદિત રીતે ઘણા અપવાદો સાથે જે સ્થાનો પર ક્રમ શૂન્ય છે તે નિયમિત પુનરાવર્તિત પેટર્ન બનાવે છે. આ પરિણામનું નામ થોરાલ્ફ સ્કોલેમ (જેમણે પરિમેય સંખ્યાઓના ક્રમ માટે પ્રમેય સાબિત કર્યું), કર્ટ માહલર (જેમણે તેને બીજગણિત સંખ્યાઓના ક્રમ માટે સાબિત કર્યું) અને ક્રિસ્ટર લેચ (જેમણે તેને એવા ક્રમ માટે સાબિત કર્યું કે જેમના તત્વો લાક્ષણિકતા 0 ના કોઈપણ ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે) ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તેના જાણીતા પુરાવા પી-એડિક વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરે છે અને બિન-રચનાત્મક છે. પ્રમેય નિવેદન ચાલો બધા માટે સંતોષકારક જટિલ સંખ્યાઓનો ક્રમ હોઈએ, જ્યાં જટિલ સંખ્યા અચળાંકો હોય (એટલે કે, ક્રમનો સતત-પુનરાવર્તિત ક્રમ). પછી શૂન્યોનો સમૂહ મર્યાદિત સમૂહ અને મર્યાદિત રીતે ઘણા અંકગણિત પ્રગતિઓના જોડાણની બરાબર હોય છે. જો આપણી પાસે (1,0,0,0,. જેવા ક્રમને બાદ કરતાં) હોય, તો શૂન્યોનો સમૂહ હકીકતમાં મર્યાદિત સમૂહના જોડાણ અને મર્યાદિત રીતે ઘણા પૂર્ણ અંકગણિત પ્રગતિઓની બરાબર હોય છે, જ્યાં અનંત અંકગણિત પ્રગતિ પૂર્ણ હોય છે જો પૂર્ણાંકો a અને b અસ્તિત્વમાં હોય તો પ્રગતિમાં b મોડ્યુલો a સમાન તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ શૂન્ય અને ફિબોનાકી સંખ્યાઓ વચ્ચે બદલાતા ક્રમને ધ્યાનમાં લો. આ ક્રમ રેખીય પુનરાવૃત્તિ સંબંધ (ફિબોનાકી પુનરાવર્તનનું સુધારેલું સ્વરૂપ) દ્વારા પેદા કરી શકાય છે, જે આધાર કિસ્સાઓમાં F (1) = F (2) = F (4) = 0 અને F (3) = 1 થી શરૂ થાય છે. આ ક્રમ માટે, F (i) = 0 જો અને માત્ર ત્યારે જ જો i એક અથવા સમ હોય. આમ, જે સ્થાનો પર ક્રમ શૂન્ય હોય તેને મર્યાદિત સમૂહ (સિંગલટન સમૂહ {1}) અને સંપૂર્ણ અંકગણિત પ્રગતિ (હકારાત્મક સમ સંખ્યાઓ) માં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ ઉદાહરણમાં, માત્ર એક અંકગણિત પ્રગતિની જરૂર હતી, પરંતુ અન્ય પુનરાવર્તન ક્રમમાં બહુવિધ અંકગણિત પ્રગતિઓ બનાવતી સ્થિતિ પર શૂન્ય હોઈ શકે છે. સંબંધિત પરિણામો સ્કોલેમ સમસ્યા એ નક્કી કરવાની સમસ્યા છે કે આપેલ પુનરાવૃત્તિ ક્રમમાં શૂન્ય છે કે કેમ. અનંત સંખ્યાબંધ શૂન્ય છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે એક અલ્ગોરિધમ અસ્તિત્વમાં છે, અને જો એમ હોય તો સ્કોલેમ-માહલર-લેક પ્રમેય દ્વારા અસ્તિત્વમાં હોવાની બાંયધરી આપવામાં આવેલા સામયિક સમૂહોમાં આ શૂન્યોનું વિઘટન શોધવા માટે. જો કે, તે અજ્ઞાત છે કે પુનરાવર્તન અનુક્રમમાં કોઈ બિન-સામયિક શૂન્ય છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે કોઈ અલ્ગોરિધમ અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ. લેચ 1953માં ટાંકવામાં આવેલા સંદર્ભો, લેચ 1953માં ટાંકવામાં આવ્યા છે. . . બાહ્ય કડીઓ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત યોગાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત પુનરાવર્તન સંબંધો