Multivariate stable distribution
મલ્ટીવેરિયેટ સ્થિર વિતરણ એ મલ્ટીવેરિયેટ સંભાવના વિતરણ છે જે યુનિવેરિયેટ સ્થિર વિતરણનું મલ્ટીવેરિયેટ સામાન્યીકરણ છે. બહુપરીમાણીય સ્થિર વિતરણ સ્થિર વિતરણ સીમાઓ વચ્ચેના રેખીય સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. અવિભાજ્ય કેસની જેમ જ, વિતરણને તેના લાક્ષણિક કાર્યની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મલ્ટિવેરિયેટ સ્થિર વિતરણને મલ્ટિવેરિયેટ સામાન્ય વિતરણના વિસ્તરણ તરીકે પણ વિચારી શકાય છે. તેમાં પરિમાણ, α છે, જે 0 <α ≤ 2 શ્રેણી પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને જ્યાં કેસ α = 2 એ મલ્ટિવેરિયેટ નોર્મલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની સમકક્ષ છે. તેમાં એક વધારાનું વક્ર પરિમાણ છે જે બિન-સમમિતીય વિતરણ માટે પરવાનગી આપે છે, જ્યાં બહુપરીમાણીય સામાન્ય વિતરણ સમમિતીય હોય છે. વ્યાખ્યા ચાલો એકમ ગોળા હોઈએ. રેન્ડમ વેક્ટર, મલ્ટીવેરિયેટ સ્થિર વિતરણ ધરાવે છે-જેને-તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, જો તેનું સંયુક્ત લાક્ષણિકતા કાર્ય 0 <α <2 હોય, અને આ માટે અનિવાર્યપણે ફેલ્ડહેમનું પરિણામ છે, કે કોઈપણ સ્થિર રેન્ડમ વેક્ટરને સ્પેક્ટ્રલ માપ (પર મર્યાદિત માપ) અને શિફ્ટ વેક્ટર દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. સ્થિર રેન્ડમ વેક્ટરનું વર્ણન કરવાની બીજી રીત અંદાજોની દ્રષ્ટિએ છે. કોઈપણ વેક્ટર માટે, પ્રક્ષેપણ કેટલાક વક્રતા, સ્કેલ અને કેટલાક શિફ્ટ સાથે અવિભાજ્ય સ્થિર હોય છે. જો X દરેક માટે સ્થિર હોય તો સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે. આને પ્રક્ષેપણ પરિમાણકરણ કહેવામાં આવે છે. સ્પેક્ટ્રલ માપ પ્રક્ષેપણ પરિમાણ કાર્યોને આ રીતે નક્કી કરે છેઃ વિશેષ કિસ્સાઓમાં એવા વિશેષ કિસ્સાઓ છે જ્યાં મલ્ટિવેરિયેટ લાક્ષણિકતા કાર્ય સરળ સ્વરૂપ લે છે. સ્થિર સીમાંતના લાક્ષણિક કાર્યને આઇસોટ્રોપિક મલ્ટીવેરિયેટ સ્થિર વિતરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો લાક્ષણિક કાર્ય એ વર્ણપટ માપ સતત અને સમાન છે, જે રેડિયલ/આઇસોટ્રોપિક સમપ્રમાણતા તરફ દોરી જાય છે. બહુપરીમાણીય કેસ માટે, આ સ્વતંત્ર ઘટકોને અનુરૂપ છે, પરંતુ જ્યારે તે કેસ નથી. આઇસોટ્રોપી એ લંબગોળનો એક વિશેષ કેસ છે (આગળનો ફકરો જુઓ)-ફક્ત ઓળખ મેટ્રિક્સનો ગુણાંક લો. લંબગોળ સમોચ્ચ બહુપરીમાણીય સ્થિર વિતરણ લંબગોળ સમોચ્ચ બહુપરીમાણીય સ્થિર વિતરણ એ બહુપરીમાણીય સ્થિર વિતરણનો એક વિશેષ સપ્રમાણ કેસ છે. જો X એ α-સ્થિર અને લંબગોળ સમોચ્ચ હોય, તો તે કેટલાક શિફ્ટ વેક્ટર (જ્યારે તે અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે સરેરાશની બરાબર) અને કેટલાક હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ (સહસંબંધ મેટ્રિક્સની સમાન, જોકે સહસંબંધની સામાન્ય વ્યાખ્યા અર્થપૂર્ણ બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે) માટે સંયુક્ત લાક્ષણિકતા કાર્ય ધરાવે છે. બહુવિધ સામાન્ય વિતરણના લાક્ષણિક કાર્ય સાથેના સંબંધની નોંધ લોઃ જ્યારે α = 2 હોય ત્યારે મેળવવામાં આવે છે. સ્વતંત્ર ઘટકો માર્જિનલ્સ સાથે સ્વતંત્ર હોય છે, પછી લાક્ષણિકતા કાર્ય એ છે કે જ્યારે α = 2 આ ફરીથી મલ્ટિવેરિયેટ નોર્મલમાં ઘટાડો કરે છે; નોંધ લો કે જ્યારે α <2 હોય ત્યારે iid કેસ અને આઇસોટ્રોપિક કેસ એકરુપ થતા નથી. સ્વતંત્ર ઘટકો એ સ્વતંત્ર વર્ણપટ માપનો એક વિશેષ કેસ છે (આગળનો ફકરો જુઓ), જેમાં પ્રમાણભૂત એકમ વેક્ટર દ્વારા સમર્થિત વર્ણપટ માપ છે. જો વર્ણપટ માપ લાક્ષણિકતા કાર્ય પર દળ સાથે અલગ હોય તો તે રેખીય ગુણધર્મો છે જો d-પરિમાણીય હોય, તો A એ m x d મેટ્રિક્સ છે, અને પછી AX + b એ m-પરિમાણીય-સ્કેલ ફંક્શન સ્ક્યુનેસ ફંક્શન અને સ્થાન કાર્ય સાથે સ્થિર છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ચાલો આઇ. આઇ. ડી. નો સમૂહ બનીએ. સ્થિર વિતરણમાંથી જોવામાં આવેલ અવિભાજ્ય. કદના જાણીતા રેખીય સંબંધ મેટ્રિક્સ A ને જોતાં, નિરીક્ષણ છુપાયેલા પરિબળોના કોન્વોલ્યુશન તરીકે વહેંચાયેલું હોવાનું માનવામાં આવે છે. . રેખીય સંબંધ મેટ્રિક્સ A અને અવલોકનોને ધ્યાનમાં રાખીને, અનુમાન કાર્ય સૌથી સંભવિતની ગણતરી કરવાનું છે. આ કાર્યની ગણતરી બંધ સ્વરૂપમાં O (n3) માં કરી શકાય છે. આ બાંધકામ માટેની એક એપ્લિકેશન સ્થિર, બિન-ગૌસીયન ઘોંઘાટ સાથે બહુ-વપરાશકર્તા શોધ છે. આ પણ જુઓ મલ્ટિવેરિયેટ કોચી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન મલ્ટિવેરિયેટ નોર્મલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન રિસોર્સિસ માર્ક વેઇલેટનું સ્ટેબલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન મેટલેબ પેકેજ http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514 આ પૃષ્ઠમાંના પ્લોટ જ્યાં રેખીય-સ્થિર મોડેલ મેટલેબ પેકેજમાં ડેની બિકસનના અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને આલેખન કરવામાં આવ્યું છેઃ https://www.cs.cmu.edu ~ બિકસન/સ્ટેબલ નોટ્સ મલ્ટિવેરિયેટ સતત વિતરણો બિન-અનંત ભિન્નતા સાથે સંભાવના વિતરણો