Orthodiagonal quadrilateral
યુક્લિડીયન ભૂમિતિમાં, લંબચોરસ ચતુર્ભુજ એ ચતુર્ભુજ છે જેમાં કર્ણ સમકોણ પર પાર થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે ચાર બાજુની આકૃતિ છે જેમાં બિન-અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના રેખાખંડો એકબીજા સાથે લંબ (લંબ) હોય છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં પતંગ એક લંબચોરસ ચતુર્ભુજ છે જેમાં એક કર્ણ સમપ્રમાણતાની રેખા છે. પતંગો બરાબર ઓર્થોડિયાગોનલ ચતુર્ભુજ છે જે તેમની ચારેય બાજુઓ માટે વર્તુળ સ્પર્શક ધરાવે છે; એટલે કે, પતંગો સ્પર્શક ઓર્થોડિયાગોનલ ચતુર્ભુજ છે. સમભુજ એક લંબચોરસ ચતુર્ભુજ છે જેમાં સમાંતર બાજુઓની બે જોડી હોય છે (એટલે કે, એક લંબચોરસ ચતુર્ભુજ જે એક સમાંતર ચતુર્ભુજ પણ છે). ચોરસ એ પતંગ અને લંબગોળ બન્નેનો મર્યાદિત કેસ છે. ઓર્થોડિયાગોનલ ઇક્વિડિયાગોનલ ચતુર્ભુજ જેમાં કર્ણો ઓછામાં ઓછા એટલા લાંબા હોય છે જેટલા બધા ચતુર્ભુજની બાજુઓ તમામ ચતુર્ભુજ વચ્ચે તેમના વ્યાસ માટે મહત્તમ વિસ્તાર ધરાવે છે, જે સૌથી મોટી નાની બહુકોણ સમસ્યાના n = 4 કેસને હલ કરે છે. ચોરસ એ એક એવો ચતુર્ભુજ છે, પરંતુ અન્ય ઘણા અનંત છે. એક લંબચોરસ ચતુર્ભુજ જે સમકોણ પણ હોય છે તે મધ્ય ચોરસ ચતુર્ભુજ છે કારણ કે તેનો વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજ એક ચોરસ છે. તેનો વિસ્તાર સંપૂર્ણપણે તેની બાજુઓની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. લાક્ષણિકતાઓ કોઈપણ લંબચોરસ ચતુર્ભુજ માટે, બે વિરુદ્ધ બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો અન્ય બે વિરુદ્ધ બાજુઓની સરવાળો બરાબર છેઃ ક્રમિક બાજુઓ માટે a, b, c અને d, આપણી પાસે છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ ચતુર્ભુજ જેમાં a2 + c2 = b2 + d2 ઓર્થોડિયાગોનલ હોવો જોઈએ. આને ઘણી રીતે સાબિત કરી શકાય છે, જેમાં કોસાઇનના નિયમ, વેક્ટર, પરોક્ષ સાબિતી અને જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ સામેલ છે. બહિર્મુખ ચતુર્ભુજના વિકર્ણો લંબરૂપ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બે દ્વિધામાં સમાન લંબાઈ હોય. અન્ય લાક્ષણિકતા અનુસાર, બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ ABCD ના વિકર્ણો લંબરૂપ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યાં P વિકર્ણોના આંતરછેદનું બિંદુ હોય. આ સમીકરણ પરથી તે લગભગ તરત જ અનુસરે છે કે બહિર્મુખ ચતુર્ભુજના કર્ણ લંબ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે ચતુર્ભુજની બાજુઓ પરના કર્ણ આંતરછેદના અંદાજો ચક્રીય ચતુર્ભુજના શિરોબિંદુ હોય. બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ ઓર્થોડિયાગોનલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો વેરિગ્નન સમાંતર ચતુર્ભુજ (જેની શિરોબિંદુઓ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ હોય) એક લંબચોરસ હોય. સંબંધિત લાક્ષણિકતા જણાવે છે કે બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ ઓર્થોડાયાગોનલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ અને ચાર અક્ષાંશોના પગ આઠ સમચક્રિક બિંદુઓ હોય; આઠ બિંદુ વર્તુળ. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર ચતુર્ભુજનું કેન્દ્ર છે. અક્ષાંશોના પગ દ્વારા રચાયેલા ચતુર્ભુજને મુખ્ય ઓર્થિક ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. જો કર્ણ આંતરછેદ દ્વારા બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ ABCD ની બાજુઓ પરના નોર્મલ R, S, T, U અને K, L, M, N માં વિરુદ્ધ બાજુઓને છેદે છે, તો આ નોર્મલના પગ છે, તો પછી ABCD ઓર્થોડિયાગોનલ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આઠ બિંદુઓ K, L, M, N, R, S, T અને U સુસંગત હોય; બીજા આઠ બિંદુ વર્તુળ. સંબંધિત લાક્ષણિકતા જણાવે છે કે બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ ઓર્થોડાયાગોનલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો RSTU એક લંબચોરસ હોય જેની બાજુઓ ABCD ના કર્ણની સમાંતર હોય. વિકર્ણ આંતરછેદ P અને બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ ABCD ના શિરોબિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા ચાર ત્રિકોણને લગતા ઘણા મેટ્રિક લાક્ષણિકતાઓ છે. ત્રિકોણમાં એબીપી, બીસીપી, સીડીપી, ડીએપીના માધ્યમોને અનુક્રમે પીથી બાજુઓ એબી, બીસી, સીડી, ડીએ સુધી એમ1, એમ2, એમ3, એમ4 દ્વારા દર્શાવો. જો R1, R2, R3, R4 અને h1, h2, h3, h4 અનુક્રમે આ ત્રિકોણની પરિઘ વર્તુળોની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈને સૂચવે છે, તો ચતુર્ભુજ ABCD લંબચોરસ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો નીચેની કોઈપણ સમાનતાઓ હોયઃ વધુમાં, વિકર્ણોના આંતરછેદ P સાથે ચતુર્ભુજ ABCD લંબચોરસ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્રિકોણના પરિઘ કેન્દ્રો ABP, BCP, CDP અને DAP ચતુર્ભુજ બાજુઓના મધ્યબિંદુ હોય. સ્પર્શક ચતુર્ભુજ સાથે સરખામણી સ્પર્શક ચતુર્ભુજ અને લંબચોરસ ચતુર્ભુજની કેટલીક મેટ્રિક લાક્ષણિકતાઓ દેખાવમાં ખૂબ સમાન છે, જે આ કોષ્ટકમાં જોઈ શકાય છે. બંને પ્રકારના ચતુર્ભુજમાં બાજુઓ a, b, c, d, પરિઘ R1, R2, R3, R4 અને ઊંચાઈ h1, h2, h3, h4 પરના સંકેતો ઉપરની જેમ જ છે. ક્ષેત્રફળ ઓર્થોડાયાગોનલ ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ K એ વિકર્ણ p અને q ની લંબાઈના ગુણાકારના અડધા બરાબર છેઃ તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ જ્યાં આ સૂત્ર સાથે ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકાય છે તે ઓર્થોડાયાગોનલ હોવું જોઈએ. ઓર્થોડાયાગોનલ ચતુર્ભુજ આપેલ કર્ણ સાથે તમામ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજનો સૌથી મોટો વિસ્તાર ધરાવે છે. અન્ય ગુણધર્મો ઓર્થોડિયાગોનલ ચતુર્ભુજ એ એકમાત્ર ચતુર્ભુજ છે જેના માટે બાજુઓ અને વિકર્ણો દ્વારા રચાયેલ કોણ વિશિષ્ટ રીતે વિસ્તાર નક્કી કરતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, બે લંબચોરસ બંનેની સામાન્ય બાજુ a છે (અને, બધા લંબચોરસ માટે, બંને વિકર્ણો વચ્ચે જમણો ખૂણો ધરાવે છે), પરંતુ એક અન્ય કરતા નાનો તીવ્ર ખૂણો ધરાવે છે, તેનો વિસ્તાર અલગ અલગ હોય છે (જેમ જેમ તીવ્ર ખૂણો શૂન્યની નજીક પહોંચે છે તેમ પહેલાનું ક્ષેત્રફળ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે). જો ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ ચોરસ. આને વેન ઔબેલનો પ્રમેય કહેવામાં આવે છે. લંબચોરસ ચતુર્ભુજની દરેક બાજુ પાસ્કલ બિંદુ વર્તુળ સાથે ઓછામાં ઓછો એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. ઓર્થોડાયાગોનલ ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો કે જે ચક્રીય સર્કુમ્રેડિયસ અને વિસ્તાર પણ છે ચક્રીય ઓર્થોડાયાગોનલ ચતુર્ભુજ માટે (જે એક વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે), ધારો કે કર્ણોનું આંતરછેદ એક કર્ણને લંબાઈ p1 અને p2 ના વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે અને અન્ય કર્ણને લંબાઈ q1 અને q2 ના વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. પછી (પ્રથમ સમાનતા આર્કિમિડીઝના બુક ઓફ લેમ્માસમાં પ્રપોઝિશન 11 છે) જ્યાં ડી એ પરિઘવૃત્તનો વ્યાસ છે. આવું એટલા માટે છે કારણ કે કર્ણ વર્તુળના લંબરૂપ તારો છે. આમ, યુલરના ચતુર્ભુજ પ્રમેય અનુસાર, પરિઘને વિકર્ણ p અને q ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર x ચાર બાજુઓની દ્રષ્ટિએ ચક્રીય લંબચોરસ ચતુર્ભુજ ક્ષેત્ર K માટે સૂત્ર તરીકે ટોલેમીના પ્રમેય અને લંબચોરસ ચતુર્ભુજ ક્ષેત્ર માટેના સૂત્રને જોડતી વખતે સીધા જ મેળવવામાં આવે છે. પરિણામ એ છે અન્ય ગુણધર્મો ચક્રીય ઓર્થોડિયાગોનલ ચતુર્ભુજમાં, એન્ટિસેન્ટર તે બિંદુ સાથે એકરુપ થાય છે જ્યાં વિકર્ણો છેદે છે. બ્રહ્મગુપ્તનો પ્રમેય જણાવે છે કે ચક્રીય લંબચોરસ ચતુર્ભુજ માટે, કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા કોઈપણ બાજુથી લંબ બાજુ વિરુદ્ધ બાજુને દ્વિભાજિત કરે છે. જો લંબચોરસ ચતુર્ભુજ પણ ચક્રીય હોય, તો પરિઘ કેન્દ્ર (પરિવેષ્ટિત વર્તુળનું કેન્દ્ર) થી કોઈપણ બાજુનું અંતર વિરુદ્ધ બાજુની અડધી લંબાઈ જેટલું હોય છે. ચક્રીય લંબચોરસ ચતુર્ભુજમાં, કર્ણના મધ્યબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર પરિઘ કેન્દ્ર અને તે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર બરાબર હોય છે જ્યાં વિકર્ણો છેદે છે. અંકિત લંબચોરસના અનંત સમૂહો દરેક લંબચોરસ ચતુર્ભુજ માટે, આપણે લંબચોરસના બે અનંત સમૂહો લખી શકીએ છીએઃ (i) લંબચોરસનો સમૂહ જેની બાજુઓ ચતુર્ભુજ કર્ણની સમાંતર હોય (ii) પાસ્કલ-બિંદુ વર્તુળો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસનો સમૂહ. સંદર્ભો ચતુર્ભુજોનાં પ્રકારો