Tilting theory
ગણિતમાં, ખાસ કરીને પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં, ટિલ્ટિંગ થિયરી કહેવાતા ટિલ્ટિંગ મોડ્યુલો અને સંબંધિત ટિલ્ટિંગ ફંકટરનો ઉપયોગ કરીને બે આલ્જેબ્રાના મોડ્યુલ વર્ગોને સંબંધિત કરવાની રીતનું વર્ણન કરે છે. અહીં, બીજું બીજગણિત એ પ્રથમ બીજગણિત પર ટિલ્ટિંગ મોડ્યુલનું એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિત છે. ટિલ્ટિંગ થિયરી રિફ્લેક્શન ફંક્ટર્સની રજૂઆત દ્વારા પ્રેરિત હતી; આ ફંક્ટર્સનો ઉપયોગ બે કંપારીઓની રજૂઆતને સંબંધિત કરવા માટે કરવામાં આવતો હતો. આ ફંકટરને ટિલ્ટિંગ ફંકટર રજૂ કરનારા દ્વારા સુધારવામાં આવ્યા હતા અને સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા. આના વધુ સામાન્યીકરણ તરીકે ટિલ્ટેડ આલ્જેબ્રા અને ટિલ્ટિંગ મોડ્યુલો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે. વ્યાખ્યાઓ ધારો કે A એ અમુક ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય એકાત્મક સહયોગી બીજગણિત છે. ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ રાઇટ A-મોડ્યુલ T ને ટિલ્ટિંગ મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો હોયઃ T મહત્તમ 1 પર પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ ધરાવે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તે પ્રોજેક્ટિવ સબમોડ્યુલ દ્વારા પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલનો ભાગ છે. ext (T, T) = 0. જમણું એ-મોડ્યુલ એ એ ટીના સીધા સરવાળાના મર્યાદિત સીધા સરવાળા વચ્ચેના સર્જેક્ટિવ મોર્ફિઝમનું કર્નલ છે. આવા ઝુકાવ મોડ્યુલને જોતાં, આપણે એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિત બી = એન્ડએ (ટી) ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. આ બીજું મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત છે, અને T એ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ડાબી બાજુનું B-મોડ્યુલ છે. ટિલ્ટિંગ ફંકટર HomA (T, −), Ext (T, −), −2BT અને Tor (−, T) ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ રાઇટ A-મોડ્યુલોની શ્રેણી મોડ-A ને ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ રાઇટ B-મોડ્યુલોની શ્રેણી મોડ-B સાથે સંબંધિત કરે છે. વ્યવહારમાં ઘણીવાર વારસાગત મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત A ને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે કારણ કે આવા બીજગણિત પરની મોડ્યુલ શ્રેણીઓ એકદમ સારી રીતે સમજી શકાય છે. વારસાગત મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત પર નમેલા મોડ્યુલના એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિતને નમેલું બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. હકીકતો ધારો કે A એ મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત છે, T એ A પર નમેલું મોડ્યુલ છે, અને B = એન્ડએ (T) છે. F = HomA (T, −), F′ = Ext (T, −), G = −βT, અને G′ = ટોર (−, T) લખો. F એ G ની જમણી બાજુએ છે અને F′ એ G′ ની જમણી બાજુએ છે. દર્શાવ્યું કે ટિલ્ટિંગ ફંકટર મોડ-એ અને મોડ-બીના ચોક્કસ પેટા વર્ગો વચ્ચે સમાનતા આપે છે. ખાસ કરીને, જો આપણે બે પેટા વર્ગો અને એ-મોડ, અને બે પેટા વર્ગો અને બી-મોડને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો એ-મોડ (એટલે કે. અને મિલકત સાથે મહત્તમ પેટા વર્ગો છે; આ સૂચવે છે કે એ-મોડમાં દરેક એમ યુ ઇન અને વી ઇન સાથે કુદરતી ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમને સ્વીકારે છે) અને બી-મોડમાં વળાંક જોડી છે. વધુમાં, ફંકટર F અને G ના પ્રતિબંધો અને વચ્ચે ઊલટી સમાનતા આપે છે, જ્યારે F′ અને G′ ના પ્રતિબંધો અને વચ્ચે ઊલટી સમાનતા આપે છે. (નોંધ લો કે આ સમાનતાઓ વળાંક જોડીઓના ક્રમને બદલે છે અને.) ટિલ્ટિંગ થિયરીને મોરિતા ઇક્વિવલેન્સના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે જે જો T પ્રોજેક્ટિવ જનરેટર હોય તો પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે; તે કિસ્સામાં અને. જો A મર્યાદિત વૈશ્વિક પરિમાણ ધરાવે છે, તો B પણ મર્યાદિત વૈશ્વિક પરિમાણ ધરાવે છે, અને F અને F નો તફાવત ગ્રોથેન્ડીક જૂથો K0 (A) અને K0 (B) વચ્ચે સમપ્રમાણતાને પ્રેરિત કરે છે. જો A વારસાગત હોય (એટલે કે. બી એક નમેલું બીજગણિત છે), બીનું વૈશ્વિક પરિમાણ વધુમાં વધુ 2 છે, અને વળાંક જોડી વિભાજિત થાય છે, એટલે કે. બી-મોડનો દરેક બિન-કમ્પોઝેબલ પદાર્થ ક્યાં તો અંદર અથવા અંદર હોય છે. અને દર્શાવ્યું કે સામાન્ય રીતે A અને B સમકક્ષ (એટલે કે. વ્યુત્પન્ન શ્રેણીઓ ડી. બી. (એ-મોડ) અને ડી. બી. (બી-મોડ) ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓ સમાન છે. સામાન્યીકરણ અને વિસ્તરણ મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત A પરનું સામાન્યીકૃત ઝુકાવ મોડ્યુલ એ નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો સાથેનું જમણું A-મોડ્યુલ T છેઃ T મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ ધરાવે છે. બધા i> 0 માટે ext (T, T) = 0. એક ચોક્કસ ક્રમ છે જ્યાં ટીઆઈ એ ટીના સીધા સરવાળાનો મર્યાદિત સીધો સરવાળો છે. આ સામાન્યીકૃત ઝુકાવ મોડ્યુલો એ અને બી વચ્ચે વ્યુત્પન્ન સમાનતાઓ પણ આપે છે, જ્યાં બી = એન્ડએ (ટી). બે મર્યાદિત-પરિમાણીય આલ્જેબ્રા આર અને એસ સમકક્ષ મેળવવામાં આવે છે તે સાબિત કરીને તારવેલા સમાનતા પરના પરિણામોને વિસ્તૃત કરો જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એસ આર પર "ટિલ્ટિંગ કોમ્પ્લેક્સ" નું એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિત હોય. ટિલ્ટિંગ કોમ્પ્લેક્સ સામાન્યીકૃત ટિલ્ટિંગ મોડ્યુલોના સામાન્યીકરણ છે. આ પ્રમેયની આવૃત્તિ આર્બિટરી રિંગ્સ આર અને એસ માટે માન્ય છે. વંશપરંપરાગત અબેલિયન વર્ગોમાં ટિલ્ટિંગ ઓબ્જેક્ટ્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાં તમામ હોમ-અને એક્સ્ટ-સ્પેસ કેટલાક બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર k પર મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય છે. આ ટિલ્ટિંગ ઓબ્જેક્ટ્સના એન્ડોમોર્ફિઝમ આલ્જેબ્રા અર્ધ-ટિલ્ટ્ડ આલ્જેબ્રા છે, જે ટિલ્ટ્ડ આલ્જેબ્રાનું સામાન્યીકરણ છે. k પર અર્ધ-નમેલા આલ્જેબ્રા એ વૈશ્વિક પરિમાણ ≤2 ના k પર ચોક્કસપણે મર્યાદિત-પરિમાણીય આલ્જેબ્રા છે જેમ કે દરેક બિનસંયોજિત મોડ્યુલમાં પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ ≤1 અથવા ઇન્જેક્ટિવ પરિમાણ ≤1 હોય છે. વંશપરંપરાગત અબેલિયન વર્ગોને વર્ગીકૃત કરે છે જે ઉપરોક્ત રચનામાં દેખાઈ શકે છે. મનસ્વી અબેલિયન શ્રેણી C માં ટિલ્ટિંગ ઓબ્જેક્ટ્સ T ને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; તેમની વ્યાખ્યા માટે જરૂરી છે કે C માં T ની નકલોની મનસ્વી (સંભવતઃ અનંત) સંખ્યાઓનો સીધો સરવાળો હોય, તેથી આ ઉપર ગણવામાં આવેલી મર્યાદિત-પરિમાણીય પરિસ્થિતિનું સીધું સામાન્યીકરણ નથી. એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ આર સાથે આવા ઝુકાવ પદાર્થને જોતાં, તેઓ ઝુકાવ પરિબળો સ્થાપિત કરે છે જે સીમાં વળાંક જોડી અને આર-મોડમાં વળાંક જોડી વચ્ચે સમાનતા પ્રદાન કરે છે, જે તમામ આર-મોડ્યુલોની શ્રેણી છે. ક્લસ્ટર બીજગણિતના સિદ્ધાંતમાંથી વંશપરંપરાગત બીજગણિત A સાથે સંકળાયેલ ક્લસ્ટર શ્રેણી (થી) અને ક્લસ્ટર નમેલા બીજગણિત '() ની વ્યાખ્યા આવી. ક્લસ્ટર નમેલું બીજગણિત ચોક્કસ અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે નમેલા બીજગણિતમાંથી ઉદ્ભવે છે, અને A ની ક્લસ્ટર શ્રેણી A "માંથી ઉદ્ભવતા ક્લસ્ટર નમેલા બીજગણિતની તમામ મોડ્યુલ શ્રેણીઓનો સારાંશ આપે છે. સંદર્ભ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત