Distortion problem
કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં, ગણિતની એક શાખા, વિકૃતિ સમસ્યા એ નક્કી કરવાની છે કે કોઈ વ્યક્તિ સમકક્ષ ધોરણનો ઉપયોગ કરીને આપેલ બનાચ જગ્યામાં એકમ ગોળાને કેટલી વિકૃત કરી શકે છે. ખાસ કરીને, બનાચ જગ્યા X ને λ-વિકૃત કહેવાય છે જો X પર સમકક્ષ ધોરણ |x | અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે, X માં તમામ અનંત-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓ Y માટે, (વિકૃતિ (ગણિત) જુઓ). નોંધ લો કે દરેક બનાચ જગ્યા તુચ્છ રીતે 1-વિકૃત છે. બનાચ જગ્યાને વિકૃત કરી શકાય તેવી કહેવામાં આવે છે જો તે અમુક λ> 1 માટે λ-વિકૃત હોય અને જો તે કોઈપણ λ માટે λ-વિકૃત હોય તો તેને મનસ્વી રીતે વિકૃત કરી શકાય તેવી કહેવામાં આવે છે. વિકૃતિ સૌપ્રથમ 1960 ના દાયકામાં બનાચ જગ્યાઓના મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ તરીકે ઉભરી આવી હતી, જ્યાં તેનો અભ્યાસ અને દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. જેમ્સે સાબિત કર્યું કે c0 અને l1 વિકૃત નથી. મિલ્મેને દર્શાવ્યું હતું કે જો X એ બનાચ જગ્યા છે જેમાં કેટલાક માટે c0 અથવા lp ની આઇસોમોર્ફિક નકલ નથી (અનુક્રમ જગ્યા જુઓ), તો X ની કેટલીક અનંત-પરિમાણીય પેટા જગ્યા વિકૃત છે. તેથી વિકૃતિ સમસ્યા હવે મુખ્યત્વે જગ્યાઓ lp પર રસ ધરાવે છે, જે તમામ અલગ કરી શકાય તેવા અને સમાન બહિર્મુખ છે. અલગ કરી શકાય તેવી અને એકસમાન બહિર્મુખ જગ્યાઓમાં, વિકૃતતા સરળતાથી દેખીતી રીતે વધુ સામાન્ય પ્રશ્નની સમકક્ષ જોવા મળે છે કે શું X માં ગોળા પર વ્યાખ્યાયિત દરેક વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન લિપ્સિટ્ઝ કાર્ય f અનંત પરિમાણીય પેટા જગ્યાના ગોળા પર સ્થિર થાય છે કે નહીં, એટલે કે, ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે કેમ કે જેથી દરેક δ> 0 માટે X ની અનંત પરિમાણીય પેટા જગ્યા Y હોય, જેથી |a −f (y) | <δ, બધા y ω Y માટે, | |y | = 1 સાથે. પરંતુ તે તેના પરિણામને અનુસરે છે કે l1 પર લિપ્સિટ્ઝ વિધેયો છે જે સ્થિર થતા નથી, જો કે આ જગ્યા દ્વારા વિકૃત નથી. વિભાજીત હિલ્બર્ટ અવકાશમાં, વિકૃતિ સમસ્યા એ પ્રશ્નની સમકક્ષ છે કે શું એકમ ગોળાના ઉપગણ અસ્તિત્વમાં છે કે જે હકારાત્મક અંતર દ્વારા અલગ પડે છે અને તેમ છતાં દરેક અનંત-પરિમાણીય બંધ ઉપક્ષેત્રને છેદે છે. બનાચ જગ્યાઓના ઘણા ગુણધર્મોથી વિપરીત, હિલબર્ટ જગ્યાઓ પર વિકૃતિ સમસ્યા અન્ય બનાચ જગ્યાઓની જેમ જ મુશ્કેલ લાગે છે. અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા પર, અને અન્ય lp-જગ્યાઓ માટે, 1 <p <≤, વિકૃતિ સમસ્યાને હકારાત્મક રીતે હલ કરવામાં આવી હતી, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે l2 મનસ્વી રીતે વિકૃત છે, પ્રથમ જાણીતા મનસ્વી રીતે વિકૃત જગ્યાનો ઉપયોગ કરીને. સિરેલસન સ્પેસ બનાચ સ્પેસ રેફરન્સ પણ જુઓ. . . . . . કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ