Bounded type (mathematics)
ગણિતમાં, જટિલ સમતલના પ્રદેશ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને બંધાયેલા પ્રકારનું કહેવામાં આવે છે જો તે તે પ્રદેશમાં બંધાયેલા બે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના ગુણોત્તરની બરાબર હોય. પરંતુ વધુ સામાન્ય રીતે, કાર્ય એ પ્રદેશમાં બાઉન્ડેડ પ્રકારનું હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વિશ્લેષણાત્મક હોય અને ક્યાં છે તેના પર હાર્મોનિક મેજરન્ટ હોય. બે બંધાયેલ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોનો ગુણોત્તર હોવું એ બંધાયેલ પ્રકારનાં કાર્ય માટે પૂરતી શરત છે (હાર્મોનિક મેજરન્ટની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત), અને જો ફક્ત જોડાયેલ હોય તો શરત પણ જરૂરી છે. આવા તમામ વર્ગને સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે અને કેટલીકવાર તેને નેવનલિન્ના વર્ગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. નેવનલિન્ના વર્ગમાં તમામ હાર્ડી વર્ગોનો સમાવેશ થાય છે. બંધાયેલા પ્રકારનાં કાર્યો બંધાયેલા હોય તે જરૂરી નથી, ન તો તેમની પાસે "પ્રકાર" નામની મિલકત હોય છે જે બંધાયેલ હોય છે. આ નામનું કારણ કદાચ એ છે કે જ્યારે ડિસ્ક પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે નેવનલિન્ના લાક્ષણિકતા (ડિસ્કના કેન્દ્રથી અંતરનું કાર્ય) બંધાયેલ હોય છે. સ્પષ્ટપણે, જો કોઈ વિધેય બે બંધાયેલા વિધેયોના ગુણોત્તર હોય, તો તેને બે વિધેયોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જે 1 દ્વારા બંધાયેલા હોયઃ પ્રદેશમાં અને ના લઘુગણક બિન-નકારાત્મક હોય છે, તેથી બાદમાં વિશ્લેષણાત્મક વિધેયનો વાસ્તવિક ભાગ છે અને તેથી તે હાર્મોનિક છે, જે દર્શાવે છે કે ω પર હાર્મોનિક મેજરન્ટ છે. આપેલ પ્રદેશ માટે, બંધાયેલા પ્રકારનાં વિધેયોના સરવાળા, તફાવતો અને ઉત્પાદનો બંધાયેલા પ્રકારનાં હોય છે, જેમ કે આવા બે વિધેયોના ભાગાકાર જ્યાં સુધી છેદ સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય. ઉદાહરણો બહુપદીઓ કોઈપણ બંધાયેલા પ્રદેશમાં બંધાયેલા પ્રકારનાં હોય છે. તેઓ ઉપલા અર્ધ-સમતલ (યુએચપી) માં પણ બંધાયેલા પ્રકારનાં હોય છે, કારણ કે ડિગ્રી એનની બહુપદીને યુએચપીમાં બંધાયેલા બે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ સાથે બહુપદીનો વ્યસ્ત પણ પ્રદેશમાં બંધાયેલા પ્રકારનો હોય છે, જેમ કે કોઈપણ તર્કસંગત કાર્ય છે. યુએચપીમાં વિધેય બાઉન્ડેડ પ્રકારનું હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો a વાસ્તવિક હોય. જો a પોઝિટિવ હોય તો ફંક્શન પોતે જ UHPમાં બંધાયેલું હોય છે (જેથી આપણે ઉપયોગ કરી શકીએ), અને જો a નેગેટિવ હોય તો ફંક્શન 1/Q (z) ની બરાબર હોય છે. યુએચપીમાં સાઇન અને કોસાઇન બાઉન્ડેડ પ્રકારના હોય છે. ખરેખર, જે બંને યુએચપીમાં બંધાયેલા છે. ઉપરોક્ત તમામ ઉદાહરણો નીચલા અર્ધ-સમતલમાં પણ વિવિધ પી અને ક્યૂ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને બંધાયેલા પ્રકારનાં છે. પરંતુ "બંધાયેલ પ્રકાર" શબ્દની વ્યાખ્યામાં ઉલ્લેખિત પ્રદેશ સંપૂર્ણ જટિલ સમતલ ન હોઈ શકે સિવાય કે કાર્ય સ્થિર હોય કારણ કે વ્યક્તિએ સમગ્ર પ્રદેશ પર સમાન P અને Q નો ઉપયોગ કરવો જ જોઇએ, અને માત્ર સમગ્ર કાર્યો (એટલે કે, સમગ્ર જટિલ સમતલમાં વિશ્લેષણાત્મક) જે લિઉવિલેના પ્રમેય દ્વારા બંધાયેલ છે તે સ્થિરાંકો છે. ઉપલા અર્ધ-સ્તરનું બીજું ઉદાહરણ "નેવનલિન્ના કાર્ય" છે, જે એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે જે યુએચપીને બંધ યુએચપી સાથે મેપ કરે છે. જો f (z) આ પ્રકારના હોય, તો જ્યાં P અને Q એ બંધાયેલા વિધેયો છેઃ (આ દેખીતી રીતે એવા વિધેયને પણ લાગુ પડે છે, એટલે કે, જેનો વાસ્તવિક ભાગ UHPમાં બિન-નકારાત્મક હોય.) ગુણધર્મો આપેલ પ્રદેશ માટે, બાઉન્ડેડ પ્રકારના બે (નોન-નલ) વિધેયોનો સરવાળો, ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર પણ બાઉન્ડેડ પ્રકારનો હોય છે. બંધાયેલા પ્રકારનાં કાર્યોનો સમૂહ એ જટિલ સંખ્યાઓ પરનું બીજગણિત છે અને હકીકતમાં તે એક ક્ષેત્ર છે. ઉપલા અર્ધ-સમતલમાં બંધાયેલ પ્રકારના કોઈપણ કાર્યને (0 ના કેટલાક પડોશમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂળ સાથે) બ્લેશ્કે પ્રોડક્ટ (એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય, જે પ્રદેશમાં બંધાયેલ છે, જે શૂન્યને પરિબળ બનાવે છે) તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે ભાગાકારને ગુણાકાર કરે છે જ્યાં અને 1 દ્વારા બંધાયેલ છે અને યુએચપીમાં કોઈ શૂન્ય નથી. પછી આ ભાગાકારને વ્યક્ત કરી શકાય છે કે યુએચપીમાં બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ ધરાવતા વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો ક્યાં અને ક્યાં છે. આમાંના દરેકને પોઇસન રજૂઆત દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે (નેવનલિન્ના વિધેયો જુઓ): જ્યાં c અને d કાલ્પનિક અચળાંકો છે, p અને q બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક અચળાંકો છે, અને μ અને ν વાસ્તવિક ચલનાં બિન-ઘટતાં કાર્યો છે (સારી રીતે વર્તવામાં આવે છે જેથી સંકલન એકરૂપ થાય). લુઇસ ડી બ્રાન્જેસ દ્વારા q−p તફાવતને "સરેરાશ પ્રકાર" નામ આપવામાં આવ્યું છે અને કાલ્પનિક અક્ષ સાથે કાર્યની વૃદ્ધિ અથવા ક્ષયનું વર્ણન કરે છેઃ ઉપલા અર્ધ-સ્તરમાં સરેરાશ પ્રકાર એ કાર્યના નિરપેક્ષ મૂલ્યના લઘુગણકની ભારિત સરેરાશની મર્યાદા છે જે શૂન્યથી અંતર દ્વારા વિભાજિત થાય છે, જે એવી રીતે સામાન્યીકૃત થાય છે કે તેનું મૂલ્ય 1 હોયઃ જો સમગ્ર કાર્ય ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-સ્તર બંનેમાં બંધાયેલ પ્રકારનું હોય તો તે બે સંબંધિત "સરેરાશ પ્રકારો" (અને ઉચ્ચ એક બિન-નકારાત્મક હશે) ની ઉપરની સમાન ઘાતાંકીય પ્રકારનું હોય છે. 1 કરતા મોટા ક્રમનું સંપૂર્ણ કાર્ય (જેનો અર્થ છે કે કોઈ દિશામાં તે ઘાતાંકીય પ્રકારનાં કાર્ય કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે) કોઈપણ અર્ધ-સમતલમાં બંધાયેલ પ્રકારનું ન હોઈ શકે. આ રીતે આપણે z ના યોગ્ય ઘાતાંકીય અને મનસ્વી નેવનલિન્ના વિધેયોના ઘાતાંકીયને i વડે ગુણાકાર કરીને બાઉન્ડેડ પ્રકારનું વિધેય ઉત્પન્ન કરી શકીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકેઃ ઉપર આપેલા ઉદાહરણોના સંદર્ભમાં, બહુપદીઓનો સરેરાશ પ્રકાર અથવા તેમનો વ્યુત્ક્રમ શૂન્ય છે. ઉપલા અર્ધ-સમતલમાં સરેરાશ પ્રકાર − a છે, જ્યારે નીચલા અર્ધ-સમતલમાં તે a છે. બંને અર્ધ-સમતલમાં સરેરાશ પ્રકાર 1 છે. બિન-સકારાત્મક સરેરાશ પ્રકાર સાથે ઉપલા અર્ધ-સમતલમાં બંધાયેલા પ્રકારનાં કાર્યો અને વાસ્તવિક અક્ષ પર સતત, ચોરસ-સંકલિત વિસ્તરણ ધરાવતા કાર્યોમાં રસપ્રદ ગુણધર્મ હોય છે (ઉપયોગોમાં ઉપયોગી) કે અભિન્ન (વાસ્તવિક અક્ષ સાથે) સમાન હોય છે જો z ઉપલા અર્ધ-સમતલમાં હોય અને શૂન્ય જો z નીચલા અર્ધ-સમતલમાં હોય. આને ઉપલા અર્ધ-સમતલ માટેનું કોચી સૂત્ર કહી શકાય. આ પણ જુઓ ડી બ્રાન્જેસ જગ્યા રોલ્ફ નેવનલિન્ના સંદર્ભો સંકુલ વિશ્લેષણ વિશેષ કાર્યો કાર્યોના પ્રકારો