N = 1 supersymmetric Yang–Mills theory
સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વધુ ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને સુપરસિમેટ્રીમાં, સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ, જેને સુપર યાંગ-મિલ્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે અને સંક્ષિપ્તમાં એસવાયએમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતનું સુપરસિમેટ્રિક સામાન્યીકરણ છે, જે એક ગેજ સિદ્ધાંત છે જે કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં દળોની ગાણિતિક રચનામાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સુપર યાંગ-મિલ્સનો અભ્યાસ જુલિયસ વેસ અને બ્રુનો ઝુમિનો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો જેમાં તેમણે સિદ્ધાંતની સુપરગેજ-ભિન્નતા દર્શાવી હતી અને વેસ-ઝુમિનો મોડેલની ક્રિયા સાથે તેની ક્રિયા લખી હતી, જે અન્ય પ્રારંભિક સુપરસિમેટ્રિક ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત છે. આ લેખમાં આપવામાં આવેલ સારવાર મોટે ભાગે સુપરસિમેટ્રી અને ટોંગ પર ફિગુએરોઆ-ઓ 'ફેરિલના પ્રવચનોને અનુસરે છે. જ્યારે એન = 4 સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંત પણ એક સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંત છે, ત્યારે તે સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતથી ખૂબ જ અલગ ગુણધર્મો ધરાવે છે, જે આ લેખમાં ચર્ચા કરાયેલ સિદ્ધાંત છે. સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ સેઇબર્ગ અને વિટ્ટન દ્વારા સેઇબર્ગ-વિટ્ટન સિદ્ધાંતમાં કરવામાં આવ્યો હતો. ત્રણેય સિદ્ધાંતો સુપર મિન્કોવ્સ્કી જગ્યાઓ પર આધારિત છે. સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ ક્રિયા પ્રારંભિક સારવાર પ્રથમ સારવાર સુપરસ્પેસને વ્યાખ્યાયિત કર્યા વિના કરી શકાય છે, તેના બદલે બિન-સુપરસિમેટ્રિક ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં પરિચિત ક્ષેત્રોની દ્રષ્ટિએ સિદ્ધાંતને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. અવકાશી સમય અને દ્રવ્યની સામગ્રી મૂળભૂત અવકાશી સમય સપાટ અવકાશી સમય (મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા) છે. એસ. વાય. એમ. એ એક ગેજ સિદ્ધાંત છે, અને સિદ્ધાંત સાથે સંકળાયેલ ગેજ જૂથ છે. ગેજ જૂથ લાઈ બીજગણિત સાથે સંકળાયેલું છે. ક્ષેત્રની સામગ્રીમાં પછી-મૂલ્યવાન ગેજ ક્ષેત્ર એ-મૂલ્યવાન મજોરાના સ્પિનોર ક્ષેત્ર (એક સંલગ્ન-મૂલ્યવાન સ્પિનોર) નો સમાવેશ થાય છે, જે 'ગેજિનો' એ-મૂલ્યવાન સહાયક સ્કેલર ક્ષેત્ર તરીકે ઓળખાય છે. ગેજ-ભિન્નતા માટે, ગેજ ક્ષેત્ર આવશ્યકપણે દળહીન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો સુપરસિમેટ્રીને પકડી રાખવી હોય તો તેનો સુપરપાર્ટનર પણ માસલેસ છે. તેથી બે વેઇલ સ્પિનરોની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે જે એકબીજા સાથે સંયોજિત છેઃ, અને સિદ્ધાંતને તેના બદલે વેઇલ સ્પિનોર ક્ષેત્રની દ્રષ્ટિએ ઘડી શકાય છે. સુપરસિમેટ્રિક શુદ્ધ વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત જ્યારે, વૈચારિક મુશ્કેલીઓ કંઈક અંશે સરળ બને છે, અને આ અમુક અર્થમાં સૌથી સરળ માપ સિદ્ધાંત છે. ક્ષેત્રની સામગ્રી ફક્ત એક (સહ-) વેક્ટર ક્ષેત્ર, એક મજોરાના સ્પિનોર અને સહાયક વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્ર છે. ક્ષેત્ર શક્તિ ટેન્સરને હંમેશની જેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વેસ અને ઝુમિનો દ્વારા લખાયેલ લેગ્રેન્જિયન પછી છે આ જોડાણ અચળાંક અને થીટા શબ્દનો સમાવેશ કરવા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જ્યાં દ્વિ ક્ષેત્ર શક્તિ ટેન્સર છે અને તે વૈકલ્પિક ટેન્સર અથવા સંપૂર્ણપણે અસમપ્રમાણતા વિરોધી ટેન્સર છે. જો આપણે ક્ષેત્રને વેઇલ સ્પિનોર સાથે પણ બદલીએ, તો પછી સુપરસિમેટ્રિક ક્રિયાને આ રીતે લખી શકાય છે. સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ થિયરી (પ્રારંભિક સારવાર) સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં, આપણે ગ્લુઓન ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ ટેન્સર અને સંલગ્ન વેઇલ સ્પિનોરના સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્નને વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ, ક્રિયાને લખવા માટે, એક અપરિવર્તનશીલ આંતરિક ઉત્પાદનની જરૂર છેઃ કિલિંગ ફોર્મ એ એક આંતરિક ઉત્પાદન છે, અને સંકેતનાં લાક્ષણિક દુરૂપયોગમાં આપણે સરળ રીતે લખીએ છીએ, એ હકીકત સૂચવે છે કે અપરિવર્તનશીલ આંતરિક ઉત્પાદનની કેટલીક રજૂઆતમાં ટ્રેસ તરીકે ઉદભવે છે. સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ પછી સુપરસિમેટ્રિક મેક્સવેલ સિદ્ધાંતમાંથી સહેલાઈથી સામાન્યીકરણ કરે છે. એક સરળ સંસ્કરણ છે જ્યારે વધુ સામાન્ય સંસ્કરણ સુપરસ્પેસ ટ્રીટમેન્ટ સુપરસ્પેસ અને સુપરફિલ્ડ સામગ્રી દ્વારા આપવામાં આવે છે બેઝ સુપરસ્પેસ સુપર મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા છે. આ સિદ્ધાંતને એક જ સંલગ્ન-મૂલ્યના વાસ્તવિક સુપરફિલ્ડની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે વેસ-ઝુમિનો ગેજમાં નિશ્ચિત છે. સુપરસ્પેસ પર સુપરસિમેટ્રિક મેક્સવેલ સિદ્ધાંત આ સિદ્ધાંતને આના સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન લેવાથી ઉદ્ભવતા સુપરફિલ્ડની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ સુપરસિમેટ્રિક ક્રિયાને પછી જટિલ જોડાણ અચળાંક સાથે લખવામાં આવે છે, જ્યાં એચ. સી. અગાઉના શબ્દના હર્મિશિયન સંયુગ્મને સૂચવે છે. સુપરસ્પેસ પર સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ નોન-એબેલિયન ગેજ થિયરી માટે, તેના બદલે અને વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી ક્રિયા છે ક્રિયાના સમપ્રમાણતા સુપરસિમેટ્રી મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા (સુપરસ્પેસ પર નહીં) પર સરળીકૃત યાંગ-મિલ્સ ક્રિયા માટે, સુપરસિમેટ્રી પરિવર્તન ક્યાં છે. સુપરસ્પેસ પર યાંગ-મિલ્સ ક્રિયા માટે, કારણ કે તે કિરાલ છે, પછી તેમાંથી બનેલા ક્ષેત્રો પણ છે. પછી અડધાથી વધુ સુપરસ્પેસને એકીકૃત કરવાથી, સુપરસિમેટ્રિક ક્રિયા મળે છે. એક મહત્વપૂર્ણ અવલોકન એ છે કે વેસ-ઝુમિનો ગેજ સુપરસિમેટ્રિક ગેજ નથી, એટલે કે, તે સુપરસિમેટ્રી દ્વારા સંરક્ષિત નથી. જો કે, વેસ-ઝુમિનો ગેજ પર પાછા ફરવા માટે વળતર ગેજ પરિવર્તન કરવું શક્ય છે. પછી, સુપરસિમેટ્રી પરિવર્તન અને કોમ્પેન્સેટિંગ ગેજ પરિવર્તન પછી, સુપરફિલ્ડ્સ ગેજ સમપ્રમાણતા તરીકે પરિવર્તિત થાય છે અવકાશ સમય પર વ્યાખ્યાયિત પ્રારંભિક સિદ્ધાંત સ્પષ્ટપણે ગેજ અપરિવર્તનશીલ છે કારણ કે તે બિન-સુપરસિમેટ્રિક ગેજ સિદ્ધાંતમાં અભ્યાસ કરાયેલ શબ્દોથી બનેલો છે જે ગેજ અપરિવર્તનશીલ છે. સુપરફિલ્ડ રચનાને સામાન્યીકૃત ગેજ પરિવર્તનના સિદ્ધાંતની જરૂર છે. (સુપરગેજ પરિવર્તન નહીં, જે સ્થાનિક સુપરસિમેટ્રી સાથેના સિદ્ધાંતમાં પરિવર્તન હશે). સામાન્યીકૃત અબેલિયન ગેજ પરિવર્તન આવા પરિવર્તનને કાયરલ સુપરફિલ્ડ દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, જેના હેઠળ વાસ્તવિક સુપરફિલ્ડ ખાસ કરીને, ઘટક સુપરફિલ્ડમાં વિસ્તરણ અને યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત થાય છે, પછી તેમાં વેક્ટર સુપરફિલ્ડ હોય છે જ્યારે તેમાં સ્કેલર સુપરફિલ્ડ હોય છે, જેમ કે ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વપરાતું કાયરલ સુપરફિલ્ડ, ગેજ અપરિવર્તનશીલ હોય છે. સામાન્યીકૃત બિન-એબેલિયન ગેજ પરિવર્તન કાયરલ સુપરફિલ્ડ સંલગ્ન મૂલ્યવાન છે. તેનું પરિવર્તન આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેમાંથી બેકર-કેમ્પબેલ-હૌસડોર્ફ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરિવર્તન મેળવી શકાય છે. કાયરલ સુપરફિલ્ડ અપરિવર્તનશીલ નથી પરંતુ સંયુગ્મન દ્વારા પરિવર્તિત થાય છેઃ, જેથી ક્રિયામાં ટ્રેસિંગ પર, ક્રિયા ગેજ-અપરિવર્તનશીલ હોય. અતિરિક્ત શાસ્ત્રીય સમપ્રમાણતા સુપરકોન્ફોર્મલ સમપ્રમાણતા એક શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંત તરીકે, સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંત સુપરકોન્ફોર્મલ બીજગણિત દ્વારા બીજગણિત સ્તરે વર્ણવેલ સમપ્રમાણતાના મોટા સમૂહને સ્વીકારે છે. જેમ સુપર પોઇનકેર બીજગણિત એ પોઇનકેર બીજગણિતનું સુપરસિમેટ્રિક વિસ્તરણ છે, તેમ સુપરકોન્ફોર્મલ બીજગણિત એ કન્ફોર્મલ બીજગણિતનું સુપરસિમેટ્રિક વિસ્તરણ છે જેમાં કન્ફોર્મલ સુપરસિમેટ્રીનું સ્પિનોરિયલ જનરેટર પણ છે. ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતમાં ટ્રેસ અને કન્ફોર્મલ વિસંગતતાઓ દ્વારા કન્ફોર્મલ ઇનવેરિયન્સ તૂટી જાય છે. જ્યારે ક્વોન્ટમ સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતમાં સુપરકોન્ફોર્મલ સમપ્રમાણતા નથી, ત્યારે ક્વોન્ટમ એન = 4 સુપરસિમેટ્રિક યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંત કરે છે. સુપરસિમેટ્રી માટે આર-સમપ્રમાણતા એ શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતની સમપ્રમાણતા છે, પરંતુ વિસંગતતાને કારણે ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતની નથી. એબેલિયન ગેજ મેટરને વેસ-ઝુમિનો મોડેલ પ્રકારના સુપરફિલ્ડના સ્વરૂપમાં ઉમેરી શકાય છે. ગેજ પરિવર્તન હેઠળ, અને વેસ-ઝુમિનો મોડેલની જેમ લગ્રેન્જિયનનો ઉપયોગ કરવાને બદલે, ગેજ ઇનવેરિયન્સ માટે તેને ક્યુઇડીને સુપરસિમેટ્રિક એનાલોગ આપે છે. ક્રિયા લખી શકાય છે સ્વાદ માટે, આપણી પાસે તેના બદલે સુપરફિલ્ડ છે, અને ક્રિયા ગર્ભિત સારાંશ સાથે લખી શકાય છે. જો કે, સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત માટે, ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલા સિદ્ધાંતમાં માપ વિસંગતતા છે. અમે દરેક કાયરલ સુપરફિલ્ડમાં ભાગીદાર ઉમેરવા માટે બંધાયેલા છીએ (સુપરપાર્ટનર્સના વિચારથી અલગ, અને સંયુક્ત સુપરફિલ્ડથી અલગ), જે વિરુદ્ધ ચાર્જ ધરાવે છે. આ ક્રિયા બિન-એબેલિયન ગેજ આપે છે બિન-એબેલિયન ગેજ માટે, દ્રવ્ય કાયરલ સુપરફિલ્ડ્સનું હવે ગેજ જૂથની રજૂઆતમાં મૂલ્ય છેઃ વેસ-ઝુમિનો ગતિશીલ શબ્દને તેમાં સમાયોજિત કરવો આવશ્યક છે. પછી એક સરળ SQCD ક્રિયા મૂળભૂત રજૂઆત તરીકે લેવી, અને વેસ-ઝુમિનો શબ્દ ઉમેરવોઃ સુપર ક્યુસીડી ક્રિયાના વધુ સામાન્ય અને વિગતવાર સ્વરૂપો તે લેખમાં આપવામાં આવ્યા છે. ફાયેત-ઇલિઓપોલોસ શબ્દ જ્યારે લાઈ બીજગણિતનું કેન્દ્ર બિન-તુચ્છ હોય, ત્યારે એક વધારાનો શબ્દ હોય છે જે ફાયેત-ઇલિઓપોલોસ શબ્દ તરીકે ઓળખાતી ક્રિયામાં ઉમેરી શકાય છે. સંદર્ભ સુપરસિમેટ્રિક ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત