Auslander–Reiten theory
બીજગણિતમાં, ઑસલેન્ડર-રેઇટન સિદ્ધાંત ઑસલેન્ડર-રેઇટન સિક્વન્સ (જેને લગભગ સ્પ્લિટ સિક્વન્સ પણ કહેવાય છે) અને ઑસલેન્ડર-રેઇટન ક્વિવર્સ જેવી તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને આર્ટીનિયન રિંગ્સના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરે છે. ઑસલેન્ડર-રેઇટન સિદ્ધાંત તેમના દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેમના દ્વારા અનુગામી કેટલાક કાગળોમાં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. ઑસલેન્ડર-રેઇટન સિદ્ધાંત પરના સર્વેક્ષણ લેખો માટે જુઓ, અને પુસ્તક. ઑસલેન્ડર-રેઇટન સિદ્ધાંત પરના ઘણા મૂળ કાગળો ઑસલેન્ડર-રેઇટન સિદ્ધાંતમાં ફરીથી છાપવામાં આવ્યા છે. લગભગ વિભાજીત અનુક્રમ ધારો કે R એ આર્ટિન બીજગણિત છે. આર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ડાબી બાજુના મોડ્યુલોના ક્રમ 0 → A → B → C → 0 ને લગભગ-વિભાજન ક્રમ (અથવા ઑસલેન્ડર-રેઇટન ક્રમ) કહેવામાં આવે છે જો તેમાં નીચેના ગુણધર્મો હોયઃ ક્રમ વિભાજિત C નથી તો તે બિનસંયોજનક્ષમ છે અને બિનસંયોજનક્ષમ મોડ્યુલમાંથી C સુધી કોઈપણ હોમોમોર્ફિઝમ કે જે B દ્વારા સમરૂપતા પરિબળો નથી. A એ બિનસંયોજનક્ષમ છે અને A થી બિનસંયોજનક્ષમ મોડ્યુલમાં કોઈપણ હોમોમોર્ફિઝમ કે જે B દ્વારા સમરૂપતા પરિબળો નથી. કોઈપણ ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ લેફ્ટ મોડ્યુલ C માટે જે અયોગ્ય છે પરંતુ પ્રોજેક્ટિવ નથી, ત્યાં ઉપરની જેમ લગભગ-વિભાજન ક્રમ છે, જે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે. તેવી જ રીતે કોઈપણ ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ લેફ્ટ મોડ્યુલ A માટે કે જે ઇન્ડીકોમ્પોઝેબલ છે પરંતુ ઇન્જેક્ટિવ નથી, ત્યાં ઉપરની જેમ લગભગ-સ્પ્લિટ ક્રમ છે, જે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે. લગભગ વિભાજીત અનુક્રમમાં મોડ્યુલ A એ D Tr C માટે સમરૂપ છે, જે C ના ટ્રાન્સપોઝનું દ્વિગુણ છે. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે R એ k ક્ષેત્ર માટે રિંગ k [x]/(xn) છે અને પૂર્ણાંક n ≤ 1 છે. બિનસંયોજનક્ષમ મોડ્યુલો 1 ≤ m ≤ n માટે k [x]/(xm) માંથી એક માટે આઇસોમોર્ફિક છે, અને એકમાત્ર પ્રોજેક્ટિવમાં m = n છે. લગભગ વિભાજિત સિક્વન્સ 1 ≤ m <n માટે આઇસોમોર્ફિક છે. પ્રથમ મોર્ફિઝમ a થી (xa, a) લે છે અને બીજું (b, c) થી b − xc લે છે. આર્ટિન બીજગણિતની ઑસલેન્ડર-રેઇટન કંપારી દરેક બિનસંયોજિત મોડ્યુલ માટે શિરોબિંદુ ધરાવે છે અને જો અનુરૂપ મોડ્યુલો વચ્ચે ઇરેડ્યુસિબલ મોર્ફિઝમ હોય તો શિરોબિંદુઓ વચ્ચે એક તીર હોય છે. તેમાં એક નકશો τ = D Tr છે જેને બિન-પ્રોજેક્ટિવ શિરોબિંદુઓથી બિન-ઇન્જેક્ટિવ શિરોબિંદુઓમાં અનુવાદ કહેવાય છે, જ્યાં D એ દ્વિ અને Tr એ ટ્રાન્સપોઝ છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત