Orthogonality (mathematics)
ગણિતમાં, ઓર્થોગોનાલિટી એ દ્વિસંગી સ્વરૂપોના રેખીય બીજગણિતની લંબતાની ભૌમિતિક કલ્પનાનું સામાન્યીકરણ છે. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ B સાથે વેક્ટર જગ્યાના બે ઘટકો u અને v ઓર્થોગોનલ હોય છે. દ્વિરેખીય સ્વરૂપના આધારે, વેક્ટર સ્પેસમાં બિન-શૂન્ય સ્વ-ઓર્થોગોનલ વેક્ટર હોઈ શકે છે. કાર્ય જગ્યાઓના કિસ્સામાં, ઓર્થોગોનલ કાર્યોના પરિવારોનો ઉપયોગ આધાર બનાવવા માટે થાય છે. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ ઓર્થોગોનલ કાર્યો, ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ અને સંયોજનશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં કરવામાં આવ્યો છે. વ્યાખ્યાઓ ભૂમિતિમાં, બે યુક્લિડિયન વેક્ટર લંબ હોય તો ઓર્થોગોનલ હોય છે, એટલે કે, તેઓ સમકોણ બનાવે છે. આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા V માં બે વેક્ટર x અને y ઓર્થોગોનલ છે જો તેમનું આંતરિક ઉત્પાદન શૂન્ય હોય. આ સંબંધ સૂચવવામાં આવે છે. ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેના કોલમ વેક્ટર એકબીજા સાથે ઓર્થોનોર્મલ હોય છે. ઓર્થોનોર્મલ આધાર એ એક આધાર છે જેના વાહક ઓર્થોગોનલ અને નોર્મલાઇઝ્ડ બંને હોય છે (તેઓ એકમ વાહક છે). એક અનુરૂપ રેખીય પરિવર્તન ખૂણા અને અંતર ગુણોત્તરને સાચવે છે, જેનો અર્થ છે કે સમાન અનુરૂપ રેખીય પરિવર્તન દ્વારા ઓર્થોગોનલ વેક્ટરનું પરિવર્તન તે વેક્ટરને ઓર્થોગોનલ રાખશે. આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા V ની બે વેક્ટર પેટા જગ્યાઓ A અને B ને ઓર્થોગોનલ પેટા જગ્યાઓ કહેવામાં આવે છે જો A માં દરેક વેક્ટર B માં દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય. V નું સૌથી મોટું સબસ્પેસ જે આપેલ સબસ્પેસ માટે ઓર્થોગોનલ છે તે તેનું ઓર્થોગોનલ પૂરક છે. મોડ્યુલ M અને તેના બેવડા M * ને જોતાં, M * નું એક તત્વ m′ અને M * નું એક તત્વ m ઓર્થોગોનલ છે જો તેમની કુદરતી જોડી શૂન્ય હોય, એટલે કે. બે સમૂહો અને જો S′ નું દરેક તત્વ S ના દરેક તત્વ માટે ઓર્થોગોનલ હોય તો તે ઓર્થોગોનલ હોય છે. એક શબ્દ પુનર્લેખન પ્રણાલીને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો તે ડાબી-રેખીય હોય અને અસંદિગ્ધ હોય. ઓર્થોગોનલ શબ્દ પુનર્લેખન પ્રણાલીઓ સમૃદ્ધ છે. આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યામાં વેક્ટરના સમૂહને જોડી મુજબ ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો તેમની દરેક જોડી ઓર્થોગોનલ હોય. આવા સમૂહને ઓર્થોગોનલ સમૂહ કહેવામાં આવે છે. અમુક કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય શબ્દનો ઉપયોગ ઓર્થોગોનલ અર્થ માટે થાય છે, ખાસ કરીને ભૌમિતિક અર્થમાં જેમ કે સપાટીના સામાન્ય અર્થમાં. ઉદાહરણ તરીકે, y-અક્ષ મૂળમાં વળાંક માટે સામાન્ય છે. જો કે, નોર્મલ એ વેક્ટરની તીવ્રતાને પણ સંદર્ભિત કરી શકે છે. ખાસ કરીને, સમૂહને ઓર્થોનોર્મલ (ઓર્થોગોનલ વત્તા નોર્મલ) કહેવામાં આવે છે જો તે એકમ વેક્ટરનો ઓર્થોગોનલ સમૂહ હોય. પરિણામે, સામાન્ય શબ્દનો અર્થ "ઓર્થોગોનલ" થાય તે ઘણીવાર ટાળવામાં આવે છે. "સામાન્ય" શબ્દનો સંભાવના અને આંકડામાં પણ અલગ અર્થ છે. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ ધરાવતી વેક્ટર જગ્યા આંતરિક ઉત્પાદનના કેસને સામાન્ય બનાવે છે. જ્યારે બે વાહક પર લાગુ કરાયેલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ શૂન્યમાં પરિણમે છે, ત્યારે તે ઓર્થોગોનલ હોય છે. સ્યુડો-યુક્લિડિયન પ્લેનનો કેસ હાયપરબોલિક ઓર્થોગોનાલિટી શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે. આકૃતિમાં, અક્ષો x′ અને t′ આપેલ કોઈપણ φ માટે હાયપરબોલિક-ઓર્થોગોનલ છે. યુક્લિડિયન વેક્ટર જગ્યાઓ યુક્લિડિયન જગ્યામાં, બે વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમની ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય, એટલે કે. તેઓ 90° (π/2 રેડિયન) નો ખૂણો બનાવે છે, અથવા વેક્ટરમાંથી એક શૂન્ય છે. તેથી વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટી એ કોઈપણ પરિમાણની જગ્યાઓ પર લંબરૂપ વેક્ટરની વિભાવનાનું વિસ્તરણ છે. સબસ્પેસનો ઓર્થોગોનલ પૂરક એ તમામ વેક્ટરની જગ્યા છે જે સબસ્પેસમાં દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે. ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન વેક્ટર અવકાશમાં, મૂળમાંથી પસાર થતી રેખાનું ઓર્થોગોનલ પૂરક તેના મૂળમાંથી લંબરૂપ સમતલ છે, અને તેનાથી ઊલટું. નોંધ લો કે બે સમતલો લંબ હોવાની ભૌમિતિક વિભાવના ઓર્થોગોનલ પૂરકને અનુરૂપ નથી, કારણ કે ત્રણ પરિમાણોમાં વેક્ટરની જોડી, દરેક લંબ સમતલોમાંથી એક, કોઈપણ ખૂણા પર મળી શકે છે. ચાર-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં, રેખાનું ઓર્થોગોનલ પૂરક હાયપરપ્લેન છે અને ઊલટું, અને સમતલનું સમતલ છે. અભિન્ન કલનનો ઉપયોગ કરીને, અંતરાલમાં બિન-નકારાત્મક વજન કાર્યના સંદર્ભમાં બે કાર્યો f અને g ના આંતરિક ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે નીચેનાનો ઉપયોગ કરવો સામાન્ય છેઃ સરળ કિસ્સાઓમાં, આપણે કહીએ છીએ કે વિધેયો f અને g ઓર્થોગોનલ છે જો તેમનો આંતરિક ગુણાકાર (સમકક્ષ રીતે, આ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય) શૂન્ય હોયઃ એક આંતરિક ગુણાકારના સંદર્ભમાં બે વિધેયોની ઓર્થોગોનાલિટી અન્ય આંતરિક ગુણાકારના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનાલિટી સૂચવતી નથી. આપણે આ આંતરિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં ધોરણ લખીએ છીએ કારણ કે કાર્યોના સમૂહના સભ્યો અંતરાલ પર w ના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ હોય છે જો ક્રોનેકર ડેલ્ટા ક્યાં હોય તો આવા કાર્યોના સમૂહના સભ્યો અંતરાલ પર w ના સંદર્ભમાં ઓર્થોનોર્મલ હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેમની દરેક જોડી (પોતાની સાથે કાર્યની જોડી સિવાય) ઓર્થોગોનલ છે, અને દરેકનો ધોરણ 1 છે. ખાસ કરીને ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ જુઓ. ઉદાહરણો વેક્ટર (1,3,2) T, (3, −1,0) T, (1,3, −5) T એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ છે, કારણ કે (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (−5) = 0, અને (1) (1) + (3) (3) + (2) (−5) = 0. વેક્ટર (1,0,1,0,.) T અને (0,1,0,1,.) T એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ છે. આ વેક્ટરનું ડોટ પ્રોડક્ટ 0 છે. પછી આપણે Z2n માં વેક્ટરને ધ્યાનમાં લેવા માટે સામાન્યીકરણ કરી શકીએ છીએઃ કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક a માટે, અને આ વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓર્થોગોનલ છે. વિધેયો અને −1 થી 1 સુધીના અંતરાલ પરના એકમ વજન કાર્યના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છેઃ વિધેયો 1, sin (nx), cos (nx): n = 1,2,3,. અંતરાલો પર રીમાન એકીકરણના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે, અથવા 2π લંબાઈના અન્ય કોઈપણ બંધ અંતરાલ. આ હકીકત ફોરિયર શ્રેણીમાં કેન્દ્રિય છે. ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ ભૂતકાળના ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે નામ આપવામાં આવેલા વિવિધ બહુપદી ક્રમ એ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓના ક્રમ છે. ખાસ કરીનેઃ હર્માઇટ બહુપદીઓ શૂન્ય સરેરાશ મૂલ્ય સાથે ગૌસીયન વિતરણના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે. લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓ અંતરાલ પરના સમાન વિતરણના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે. લાગ્યુરે બહુપદીઓ ઘાતાંકીય વિતરણના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે. ગામા વિતરણના સંદર્ભમાં કેટલેક અંશે વધુ સામાન્ય લેગુએરે બહુપદી ક્રમ ઓર્થોગોનલ છે. પ્રથમ પ્રકારની ચેબીશેવ બહુપદીઓ માપના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે બીજા પ્રકારની ચેબીશેવ બહુપદીઓ વિગ્નર અર્ધવર્તુળ વિતરણના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ છે. સંયોજનશાસ્ત્ર સંયોજનશાસ્ત્રમાં, બે n × n લેટિન ચોરસને ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે જો તેમની સુપરઇમ્પોઝિશન એન્ટ્રીઓના તમામ સંભવિત n2 સંયોજનો આપે છે. કાલ્પનિક સંખ્યા આઇસોગોનલ આઇસોગોનલ પ્રક્ષેપવક્ર ઓર્થોગોનલ પૂરક ઓર્થોગોનલ જૂથ ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ ઓર્થોગોનલાઇઝેશન ગ્રામ-શ્મિટ પ્રક્રિયા ઓર્થોનોર્મલ આધાર ઓર્થોનોર્મલ ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મ પાન-ઓર્થોગોનાલિટી કોક્વાટર્નિયનોમાં થાય છે સંદર્ભો અમૂર્ત બીજગણિત રેખીય બીજગણિત ઓર્થોગોનાલિટી