Gaudin model
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ગૌડિન મોડેલ, જેને કેટલીકવાર ક્વોન્ટમ ગૌડિન મોડેલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે એક મોડેલ અથવા મોડેલોનો મોટો વર્ગ છે, જે આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં સૌપ્રથમ મિશેલ ગૌડિન દ્વારા તેના સરળ કિસ્સામાં વર્ણવવામાં આવ્યું હતું. તેઓ બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય નમૂનાઓ છે, અને ક્વોન્ટમ સ્પિન ચેઇનના ઉદાહરણો પણ છે. સૌથી સરળ કેસ સૌપ્રથમ 1976 માં મિશેલ ગૌડિન દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યો હતો, જેમાં સંકળાયેલ લાઈ બીજગણિત, દ્વિ-પરિમાણીય વિશેષ રેખીય જૂથ તરીકે લેવામાં આવ્યું હતું. ગાણિતિક રચના ચાલો મર્યાદિત પરિમાણનું અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત હોઈએ. ચાલો એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોઈએ. જટિલ સમતલ પર, વિવિધ બિંદુઓ પસંદ કરો. પ્રબળ અભિન્ન તત્વને અનુરૂપ મર્યાદિત-પરિમાણીય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત દ્વારા દર્શાવો. ચાલો પ્રભાવશાળી અભિન્ન વજનનો સમૂહ બનીએ. ટેન્સર ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરો. આ મોડેલ પછી કામ કરતા ઓપરેટરોના સમૂહ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જેને ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયન્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેમનું વર્ણન નીચે મુજબ કરવામાં આવ્યું છે. અપરિવર્તનશીલ સ્કેલર ઉત્પાદન દ્વારા દર્શાવો (આને ઘણીવાર હત્યાનું સ્વરૂપ માનવામાં આવે છે). ચાલો સ્કેલર પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલ આધાર અને બેવડા આધાર બનીએ. તત્વ માટે, ઓપરેટર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જે અન્ય પરિબળોના th પરિબળ અને ઓળખ તરીકે કાર્ય કરે છે. પછી આ ઓપરેટરો પરસ્પર અવરજવર કરે છે. ગૌડિન મોડેલોના સિદ્ધાંતમાં રસ ધરાવતી એક સમસ્યા આ ઓપરેટરોના એક સાથે આઈગનવેક્ટર્સ અને આઈગનવેલ્યુઝ શોધવાની છે. બહુવિધ ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનો સાથે કામ કરવાને બદલે, અન્ય એક સંચાલક છે, જેને કેટલીકવાર ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે એક જટિલ પરિમાણ પર આધાર રાખે છે, અને ચતુર્ભુજ કાસીમીર પર પણ આધાર રાખે છે, જે સાર્વત્રિક આવરણ બીજગણિતનું એક તત્વ છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આને કેટલીકવાર પ્રતિનિધિત્વના સૂચકાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનને પછી નીચે આપેલા વિવિધ મૂલ્યો માટે કમ્યુટેટિવિટી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનો જ્યારે 1 કરતા વધારે ક્રમ ધરાવે છે, ત્યારે ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનો દ્વારા ફેલાયેલ આવનજાવન બીજગણિત અને ઓળખને ગૌડિન બીજગણિત તરીકે ઓળખાતા મોટા આવનજાવન બીજગણિતમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. એ જ રીતે હરીશ-ચંદ્ર સમરૂપતા સાથે, આ આવનજાવન તત્વો સંબંધિત ડિગ્રી ધરાવે છે, અને ખાસ કરીને ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયન બીજગણિતનો ડિગ્રી 2 ભાગ બનાવે છે. કારણ કે, ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયન અને ઓળખ ગૌડિન બીજગણિતમાં ફેલાયેલી છે. અન્ય એક આવનજાવન બીજગણિત છે જે 'સાર્વત્રિક' છે, જે સ્થાનો અને વજનની કોઈપણ પસંદગી માટે ગૌડિન બીજગણિતમાં અંતર્ગત છે, જેને ફીગિન-ફ્રેન્કેલ કેન્દ્ર કહેવાય છે. અહીં જુઓ. પછી ગૌડિન બીજગણિતના આઈગનવેક્ટર્સ બીજગણિત પર રેખીય વિધેયોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો તે ગૌડિન બીજગણિતનું એક તત્વ છે, અને ગૌડિન બીજગણિતનું આઈગનવેક્ટર છે, તો વ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખીય વિધેય મેળવે છે. વર્ણપટ સમસ્યા, એટલે કે, ગૌડિન બીજગણિતના આઈગન મૂલ્યો અને એક સાથે આઈગનવેક્ટર્સ નક્કી કરવા, પછી ગૌડિન બીજગણિત પરના અક્ષરો નક્કી કરવાની બાબત બની જાય છે. ઉકેલો ગૌડિન મોડેલના ઉકેલનો અર્થ ઘણીવાર ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયન અથવા ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનના વર્ણપટને નિર્ધારિત કરવાનો થાય છે. ઉકેલની ઘણી પદ્ધતિઓ છે, જેમાં બીજગણિત બેથે અન્સાત્ઝનો સમાવેશ થાય છે, જેનો ઉપયોગ ગૌડિન વેરિયેબલ્સના વિભાજન દ્વારા થાય છે, જેનો ઉપયોગ સ્ક્લેનિન સહસંબંધ કાર્યો/ઓપર્સ દ્વારા થાય છે, જેમાં ફીગિન, ફ્રેન્કેલ અને રેશેતિખિન દ્વારા વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. બીજગણિત બેથે અન્સાત્ઝ સ્લ 2 માટે, ચાલો પ્રમાણભૂત આધાર બનીએ. કોઈપણ માટે, કોઈ પણ ઓપરેટર-વેલ્યુડ મેરોમોર્ફિક ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે તેના અવશેષ પર છે, જ્યારે 'પૂર્ણ' ટેન્સર રજૂઆત. અને ઘણા ઉપયોગી ગુણધર્મોને સંતોષે છે પરંતુ પ્રતિનિધિત્વ બનાવતા નથીઃ ત્રીજો ગુણધર્મ ઉપયોગી છે કારણ કે તે આપણને તેના સંદર્ભમાં વિકર્ણ બનાવવાની પણ મંજૂરી આપે છે, જેના માટે વિકર્ણ (પરંતુ અધોગતિ) આધાર જાણીતો છે. સાઇટ્સ અને વજન દ્વારા નિર્દિષ્ટ ગૌડિન મોડેલ માટે, વેક્યૂમ વેક્ટરને દરેક રજૂઆતમાંથી સૌથી વધુ વજનની સ્થિતિઓના ટેન્સર પ્રોડક્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. બેથ વેક્ટર (સ્પિન વિચલનનું) એ તેના સ્વરૂપનું વેક્ટર છે. બેથ વેક્ટરના સ્વરૂપના આઈગનવેક્ટરનો અંદાજ લગાવવો એ બેથ અન્સાત્ઝ છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે બેથ વેક્ટર ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનોના આઈગનવેક્ટર છે જો સમીકરણોનો સમૂહ 1 અને 1 વચ્ચે દરેક માટે હોય. સ્પિન વિચલન માટે આ બેથે અન્સાત્ઝ સમીકરણો છે. સિદ્ધાંતમાં, બેથ અન્સાત્ઝ સમીકરણોને ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયનના આઈગનવેક્ટર્સ અને આઈગનવેલ્યુઝ આપવા માટે ઉકેલી શકાય છે. વ્યવહારમાં, જો સમીકરણોએ વર્ણપટની સમસ્યાને સંપૂર્ણપણે હલ કરવી હોય, તો બેથ સમીકરણો દ્વારા આગાહી કરાયેલા ઉકેલોની સંખ્યા પણ તપાસવી આવશ્યક છે ઉકેલોની બહુમતી જો, સાઇટ્સ અને વજનના ચોક્કસ રૂપરેખાંકન માટે, બેથ અન્સાત્ઝ તમામ આઈગનવેક્ટર્સ ઉત્પન્ન કરે છે, તો તે ગૌડિન મોડેલના તે રૂપરેખાંકન માટે સંપૂર્ણ હોવાનું કહેવાય છે. ગૌડિન નમૂનાઓના ઉદાહરણો બનાવવાનું શક્ય છે જે અપૂર્ણ છે. ગૌડિન મોડેલ્સના સિદ્ધાંતમાં એક સમસ્યા એ છે કે આપેલ રૂપરેખાંકન ક્યારે પૂર્ણ થાય છે કે નહીં તે નક્કી કરવું, અથવા ઓછામાં ઓછું 'મોડેલ્સની જગ્યા' ની લાક્ષણિકતા દર્શાવવી કે જેના માટે બેથ અન્સાત્ઝ પૂર્ણ છે. સામાન્ય જટિલ સરળ જી માટે બેથ અન્સાત્ઝ સમીકરણના એનાલોગ ઉચ્ચ ક્રમના લાઈ આલ્જેબ્રા માટે મેળવી શકાય છે. જો કે, કેસ કરતાં આ તારવવું અને ઉકેલવું વધુ મુશ્કેલ છે. વધુમાં, 1 કરતા મોટા ક્રમ માટે, એટલે કે, અન્ય તમામ ઉપરાંત, ત્યાં ઉચ્ચ ગૌડિન હેમિલ્ટોનિયન છે, જેના માટે બેથે અન્સાત્ઝને સામાન્ય કેવી રીતે બનાવવું તે અજ્ઞાત છે. ODE/IM આઇસોમોર્ફિઝમ ગૌડિન બીજગણિત (અથવા સાર્વત્રિક ફીગિન-ફ્રેન્કેલ કેન્દ્ર) વચ્ચે ODE/IM આઇસોમોર્ફિઝમ છે, જે સિદ્ધાંત માટે 'ગતિના સંકલન' છે, અને ઓપર્સ, જે સામાન્ય વિભેદક સંચાલકો છે, આ કિસ્સામાં. સામાન્યીકરણ કડક રીતે અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત હોવાના પ્રતિબંધને નબળા પાડવાથી ઉદ્ભવતા સામાન્યીકરણ અસ્તિત્વમાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે એફાઇન લાઈ બીજગણિત હોવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે, ત્યારે મોડેલને એફાઇન ગૌડિન મોડેલ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય બનાવવાની એક અલગ રીત એ છે કે ચોક્કસ લાઈ બીજગણિતની પસંદગીની ઓટોમોર્ફિઝમ પસંદ કરવી. પછી હેમિલ્ટોનિયનોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે ઓટોમોર્ફિઝમની ક્રિયા હેઠળ સરસ રીતે પરિવર્તિત થાય છે. આવા નમૂનાઓનો એક વર્ગ સાયક્લોટોમિક ગૌડિન નમૂનાઓ છે. શાસ્ત્રીય ગૌડિન મોડેલની પણ કલ્પના છે. ઐતિહાસિક રીતે, ક્વોન્ટમ ગૌડિન મોડેલને મોટાભાગની ભૌતિક પ્રણાલીઓથી વિપરીત, પ્રથમ વ્યાખ્યાયિત અને અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. અમુક શાસ્ત્રીય સંકલિત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોને શાસ્ત્રીય ડાયહેડ્રલ એફાઇન ગૌડિન નમૂનાઓ તરીકે જોઈ શકાય છે. તેથી, ક્વોન્ટમ એફાઇન ગૌડિન મોડેલોને સમજવાથી ક્વોન્ટમ સંકલિત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના સંકલિત માળખાને સમજવામાં મદદ મળી શકે છે. આવા શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોમાં મુખ્ય કાયરલ મોડેલ, કોસેટ સિગ્મા મોડેલ અને એફાઇન ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ એન. એલ. એ. બી. માં ગૌડિન સંકલિત મોડેલ (વિડિયોમાં 8:40 થી 15:14 જુઓ.) સ્પિન મોડેલો ક્વોન્ટમ જાળી મોડેલો ક્વોન્ટમ ચુંબકત્વ