Arnold conjecture
આર્નોલ્ડ અનુમાન, ગણિતશાસ્ત્રી વ્લાદિમીર આર્નોલ્ડના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જે વિભેદક ભૂમિતિના એક શાખા, સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં એક ગાણિતિક અનુમાન છે. નિવેદન ચાલો કોમ્પેક્ટ સિમ્પ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ હોઈએ. કોઈપણ સરળ કાર્ય માટે, સિંપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્રને પ્રેરિત કરે છે, જે ઓળખ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ કાર્યને હેમિલ્ટોનિયન કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ધારો કે હેમિલ્ટોનિયન વિધેયોનું 1-પરિમાણ કુટુંબ છે, જે હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્રોના 1-પરિમાણ કુટુંબને પ્રેરિત કરે છે. વેક્ટર ક્ષેત્રોનું કુટુંબ ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સના 1-પરિમાણ કુટુંબમાં એકીકૃત થાય છે. દરેક વ્યક્તિ હેમિલ્ટોનિયન ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. આર્નોલ્ડ અનુમાન કહે છે કે દરેક હેમિલ્ટોનિયન ડિફિયોમોર્ફિઝમ માટે, તે ઓછામાં ઓછા તેટલા નિશ્ચિત બિંદુઓ ધરાવે છે જેટલા નિર્ણાયક બિંદુઓ ધરાવે છે. નોનડિજનરેટ હેમિલ્ટોનિયન અને નબળા આર્નોલ્ડ અનુમાન એ હેમિલ્ટોનિયન ડિફિયોમોર્ફિઝમને નોનડિજનરેટ કહેવામાં આવે છે જો તેનો આલેખ ત્રાંસા કર્ણને છેદે છે. નોનડિજનરેટ હેમિલ્ટોનિયન ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સ માટે, આર્નોલ્ડ અનુમાનનો એક પ્રકાર કહે છે કે નિશ્ચિત બિંદુઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી મોર્સ ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે, જેને મોર્સ નંબર ઓફ કહેવાય છે. મોર્સ અસમાનતાને ધ્યાનમાં રાખીને, મોર્સ સંખ્યા પણ એક સમાનતાવાદી અપરિવર્તન કરતાં મોટી અથવા સમાન છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્ષેત્ર પર બેટ્ટી સંખ્યાઓનો સરવાળોઃ નબળા આર્નોલ્ડ અનુમાન કહે છે કે ઉપરના પૂર્ણાંક પર બિન-આનુવંશિક હેમિલ્ટોનિયન ડિફિયોમોર્ફિઝમ માટે તેના નિશ્ચિત બિંદુઓની સંખ્યાની નીચી સીમા છે. આર્નોલ્ડ-ગિવેંટલ અનુમાન સંદર્ભો લાક્ષણિક ભૂમિતિ અનુમાન પણ જુઓ.