Kähler identities
જટિલ ભૂમિતિમાં, કેલર ઓળખ એ ડોલ્બેલ્ટ ઓપરેટરો અને તેમના સંલગ્ન, કેલર સ્વરૂપના સંકોચન અને ફાચર ઓપરેટરો અને કેલર મેટ્રિકના લાપ્લાસીયન સાથે સંબંધિત કેલર મેનીફોલ્ડ પરના ઓપરેટરો વચ્ચેની ઓળખનો સંગ્રહ છે. કોહલરની ઓળખ હોજ સિદ્ધાંતના પરિણામો સાથે જોડાઈને ડી રામ અને ડોલ્બેલ્ટ કોહોમોલોજી ઓફ કોમ્પેક્ટ કોહલર મેનીફોલ્ડ્સ પર સંખ્યાબંધ સંબંધો ઉત્પન્ન કરે છે, જેમ કે લેફશેટ્ઝ હાયપરપ્લેન પ્રમેય, હાર્ડ લેફશેટ્ઝ પ્રમેય, હોજ-રીમેન દ્વિપાર્શ્વ સંબંધો અને હોજ અનુક્રમણિકા પ્રમેય. તેઓ ફરીથી હોજ સિદ્ધાંત સાથે જોડાયેલા છે, જે કેલર મેનીફોલ્ડ્સ પર મૂળભૂત વિશ્લેષણાત્મક પરિણામો સાબિત કરવામાં મહત્વપૂર્ણ છે, જેમ કે-લેમ્મા, નાકાનો અસમાનતાઓ અને કોડાઇરા લુપ્ત થિયરમ. કાહલરની ઓળખ સૌપ્રથમ ડબલ્યુ. વી. ડી. હોજ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી, જે 1941માં હાર્મોનિક ઇન્ટિગ્રલ્સ પરના તેમના પુસ્તકમાં જોવા મળે છે. આંદ્રે વેઇલ દ્વારા કેલર ભૂમિતિ પરના પ્રથમ પાઠ્યપુસ્તક, ઇન્ટ્રોડક્શન એ લ 'ઇટ્યુડ ડેસ વેરિયેટ્સ કેલેરીનેસમાં આધુનિક સંકેતો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ઓપરેટરો એ કેલર મેનીફોલ્ડ તેના બીજગણિત પર મોટી સંખ્યામાં ઓપરેટરોને સ્વીકારે છે, જે તેના સરળ માળખા (એસ), જટિલ માળખા (સી) અને રીમાનિયન માળખા (આર) માંથી બનેલા જટિલ વિભેદક સ્વરૂપો છે. આ ઓપરેટરોની રચના જટિલ વિભેદક ભૂમિતિ પરના સાહિત્યમાં પ્રમાણભૂત છે. નીચેના કૌંસમાં મોટા અક્ષરો સૂચવે છે કે સંચાલકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કઈ રચનાઓની જરૂર છે. વિભેદક ઓપરેટરો નીચેના ઓપરેટરો વિભેદક ઓપરેટરો છે અને બાહ્ય વ્યુત્પન્નના સરળ અને જટિલ માળખામાંથી ઉદ્ભવે છે. (એસ),-ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટર. (સી),-ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટર. (C) ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટરો સૂત્ર દ્વારા બાહ્ય વ્યુત્પન્ન સાથે સીધા સંબંધિત છે. બાહ્ય વ્યુત્પન્નનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ જે પછી સૂચવે છે અને. કેટલાક સ્રોતો કેલર ઓળખને શબ્દસમૂહ કરવા માટે નીચેના સંચાલકનો ઉપયોગ કરે છે. . (સી) આ ઓપરેટર ઉપયોગી છે કારણ કે કેલર ઓળખ માટે દ્વિધામાં સરખામણી કરીને વધુ સંક્ષિપ્ત રીતે શબ્દસમૂહ ઓળખમાંથી અનુમાન કરી શકાય છે. તે મિલકત માટે પણ ઉપયોગી છે. તેને ટેન્સોરિયલ ઓપરેટર્સના સૂત્ર દ્વારા જટિલ માળખાના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે નીચેના ઓપરેટરો પ્રકૃતિમાં ટેન્સોરિયલ છે, એટલે કે તેઓ ઓપરેટરો છે જે ફક્ત એક બિંદુ પર જટિલ વિભેદક સ્વરૂપના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને તેમને દરેક બિંદુ પર સ્વરૂપોની વેક્ટર જગ્યાઓ વચ્ચેના સંચાલકો તરીકે વ્યક્તિગત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. , કોમ્પ્લેક્સ કોન્જુગેટ ઓપરેટર. (સી), લેફશેટ્ઝ ઓપરેટર કોહલર સ્વરૂપ ક્યાં છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. (CR), હોજ સ્ટાર ઓપરેટર. (આર) જટિલ વિભેદક સ્વરૂપોનું બાયડીગ્રીન (પી, ક્યૂ) સ્વરૂપોમાં સીધું વિઘટન સંખ્યાબંધ પ્રક્ષેપણ સંચાલકોને પ્રગટ કરે છે. , ડિગ્રી k. (S) ના ભાગ પરનું પ્રક્ષેપણ, બાયડીગ્રીન (p, q) ના ભાગ પરનું પ્રક્ષેપણ. (સી), જે ગણતરી સંચાલક તરીકે ઓળખાય છે. (એસ), કોમ્પ્લેક્સ વેક્ટર સ્પેસ પર કોમ્પ્લેક્સ સ્ટ્રક્ચર ઓપરેટર. (સી) નોંધ લો કે છેલ્લો સંચાલક એ કેલર મેનીફોલ્ડની લગભગ જટિલ રચનાનું ઉચ્ચ ડિગ્રી જટિલ વિભેદક સ્વરૂપોનું વિસ્તરણ છે, જ્યાં કોઈ યાદ કરે છે કે-ફોર્મ માટે અને-ફોર્મ માટે, તેથી-ફોર્મ પર પરિબળ સાથે કાર્ય કરે છે. રીમાનિયન મેટ્રિક ચાલુ છે, તેમજ જટિલ માળખામાંથી ઉદ્ભવતા તેના કુદરતી અભિગમનો ઉપયોગ ઉપરોક્ત વિભેદક અને ટેન્સોરિયલ ઓપરેટરોના ઔપચારિક સંલગ્નને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. આ સંલગ્નતાઓને ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા અથવા હોજ સ્ટાર ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ સૂત્રો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એકીકરણ દ્વારા સંલગ્નને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, નોંધ લો કે રીમાનિયન મેટ્રિક ઓન, સૂત્ર અનુસાર-inner ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યાં રીમાનિયન મેટ્રિક દ્વારા પ્રેરિત કોટેનજેન્ટ જગ્યાના બાહ્ય ઉત્પાદનો પર આંતરિક ઉત્પાદન છે. આ-ઇનર પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને, ઉપરોક્ત કોઈપણ ઓપરેટરોની ઔપચારિક સંલગ્નતાઓને (દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યારે કેલર મેનીફોલ્ડ બિન-કોમ્પેક્ટ હોય, ત્યારે-ઇનર પ્રોડક્ટ ઔપચારિક અર્થમાં બનાવે છે જો ઓછામાં ઓછું એક કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ વિભેદક સ્વરૂપો હોય. ખાસ કરીને ઉપરોક્ત વિભેદક અને ટેન્સોરિયલ ઓપરેટરોના નીચેના ઔપચારિક સંલગ્ન ઓપરેટરો મેળવે છે. હોજ સ્ટાર ઓપરેટરની દ્રષ્ટિએ આ સંલગ્ન સ્પષ્ટ સૂત્રોનો સમાવેશ થાય છે. દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવેલ છે. (એસ. આર.) દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવેલ છે. (સી. આર.) દ્વારા સ્પષ્ટપણે આપવામાં આવેલ છે. (સી. આર.) દ્વારા સ્પષ્ટપણે આપવામાં આવેલ છે. (સી. આર.) દ્વારા સ્પષ્ટપણે આપવામાં આવેલ છે. (સી. આર.) છેલ્લો ઓપરેટર, લેફશેટ્ઝ ઓપરેટરનો સંલગ્ન, કહલર સ્વરૂપ સાથે સંકોચન ઓપરેટર તરીકે ઓળખાય છે, અને તેને સામાન્ય રીતે આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઓપરેટરો અને તેમના ઔપચારિક સંલગ્ન ભાગોમાંથી બનેલા લેપલેસિયન અનેઃ ને અનુરૂપ સંખ્યાબંધ લેપલેસ ઓપરેટરો છે, જે અન્યથા લેપલેસ-ડી રામ ઓપરેટર તરીકે ઓળખાય છે. (એસઆર). (સીઆર). (સી. આર.) ઉપરોક્ત દરેક લેપલેસિયન સ્વ-સંલગ્ન સંચાલકો છે. વાસ્તવિક અને જટિલ ઓપરેટરો જો ઉપરના ઓપરેટરોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જટિલ માળખું (સી) જરૂરી હોય, તો પણ તેઓ વાસ્તવિક વિભેદક સ્વરૂપો પર લાગુ થઈ શકે છે. જ્યારે પરિણામી સ્વરૂપમાં વાસ્તવિક ગુણાંક પણ હોય છે, ત્યારે સંચાલકને વાસ્તવિક સંચાલક કહેવામાં આવે છે. આને વધુ બે રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ જો સંચાલકનું જટિલ સંયુગ્મ પોતે જ હોય, અથવા જો સંચાલક જટિલ વિભેદક સ્વરૂપો પર કામ કરતી લગભગ જટિલ રચના સાથે મુસાફરી કરે છે. બે વાસ્તવિક ઓપરેટરોની રચના વાસ્તવિક છે. ઉપરોક્ત ઓપરેટરોની જટિલ સંયુગ્મ નીચે મુજબ છેઃ અને. અને તે જ રીતે અને માટે. અને. . . અને. . . . આમ અને બધા વાસ્તવિક સંચાલકો છે. ખાસ કરીને જો આમાંના કોઈપણ ઓપરેટરોને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી કોમ્યુટેટર જ્યાં ઉપર કોમ્પ્લેક્સ સ્ટ્રક્ચર ઓપરેટર છે. ઓળખ કોહલર ઓળખ એ ઉપરોક્ત ઓપરેટરો વચ્ચેના કોમ્યુટેટર સંબંધોની યાદી છે. સ્પષ્ટપણે આપણે ઓપરેટર દ્વારા ઉપરોક્ત ઓપરેટરોની રચના દ્વારા વિવિધ ડિગ્રીમાં મેળવેલ સૂચવીએ છીએ. કેલર ઓળખ અનિવાર્યપણે કેલર મેનીફોલ્ડ પર સ્થાનિક ઓળખ છે, અને બિન-કોમ્પેક્ટ કેસમાં પણ ધરાવે છે. ખરેખર તેઓ કેલર મેટ્રિકના નમૂના કિસ્સામાં સાબિત થઈ શકે છે અને કેલર શરત સૂચવે છે કે કેલર મેટ્રિક બીજા ક્રમ સુધી પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લે છે તે મુખ્ય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ કેલર મેનીફોલ્ડમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે. કેલર ઓળખ એ કેલર મેટ્રિકમાં પ્રથમ ક્રમની ઓળખ હોવાથી, તેના પર સંબંધિત સંચારક સંબંધો કોઈપણ કેલર મેનીફોલ્ડ પર સ્થાનિક રીતે કેલર ઓળખને સૂચવે છે. જ્યારે કેલર મેનીફોલ્ડ કોમ્પેક્ટ હોય છે ત્યારે મેનીફોલ્ડની કોહોમોલોજી વિશે ઘણા પરિણામો તારણ કાઢવા માટે ઓળખને હોજ સિદ્ધાંત સાથે જોડી શકાય છે. ઉપરોક્ત કેલર ઓળખ એવા કિસ્સામાં અપગ્રેડ કરી શકાય છે જ્યાં વિભેદક ઓપરેટરોને હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ પર ચેરન જોડાણ સાથે જોડવામાં આવે છે. જો હર્મિશિયન મેટ્રિક ચાલુ હોય અને ડોલ્બીઓલ્ટ ઓપરેટર હોય જે તેની હોલોમોર્ફિક રચનાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તો અનન્ય સુસંગત ચેરન જોડાણ અને તેનો-ભાગ સંતોષ આપે છે. ચેરન જોડાણના વળાંક સ્વરૂપને આના દ્વારા દર્શાવો. ઔપચારિક સંલગ્નને ઉપરની જેમ જ-inner ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં હર્મિશિયન મેટ્રિકને સ્વરૂપો પરના આંતરિક ઉત્પાદન સાથે જોડવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં તમામ કેલર ઓળખ, જેને કેટલીકવાર નાકાનો ઓળખ કહેવામાં આવે છે, તેમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, સિવાય કે નીચે મુજબઃ . . બોચ્નર-કોડાઇરા-નાકાનો ઓળખ તરીકે ઓળખાય છે. ખાસ નોંધ લો કે જ્યારે ચેરન જોડાણ સંકળાયેલું હોય ત્યારે તે સપાટ જોડાણ હોય છે, જેથી વળાંક, વ્યક્તિ હજુ પણ તે સંબંધ પ્રાપ્ત કરે છે. પ્રિમિટિવ કોહોમોલોજી અને એસએલ (2, સી) નું પ્રતિનિધિત્વ કેલર ઓળખમાં સમાવિષ્ટ પરિવર્તન સંબંધો ઉપરાંત, ઉપરોક્ત કેટલાક ઓપરેટરો અન્ય રસપ્રદ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષે છે. ખાસ કરીને લેફશેટ્ઝ ઓપરેટર, સંકોચન ઓપરેટર અને ઉપરના ગણતરી ઓપરેટરને યાદ કરો. પછી કોઈ નીચેના પરિવર્તન સંબંધો બતાવી શકે છેઃ . . લાઈ બીજગણિત સાથે સરખામણી કરતા, એક વ્યક્તિ જુએ છે કે તે એસ. એલ. 2-ત્રિપલ બનાવે છે, અને તેથી કેલર મેનીફોલ્ડ પર જટિલ વિભેદક સ્વરૂપોનું બીજગણિત તેનું પ્રતિનિધિત્વ બની જાય છે. કેલર ઓળખ સૂચવે છે કે ઓપરેટરો બધા સાથે મુસાફરી કરે છે અને તેથી અંદરના હાર્મોનિક સ્વરૂપોને જાળવી રાખે છે. ખાસ કરીને જ્યારે કેલર મેનીફોલ્ડ કોમ્પેક્ટ હોય છે, ત્યારે હોજ વિઘટન લાગુ કરીને ત્રણ ઓપરેટરો નીચે ઉતરીને X ના ડી રામ કોહોમોલોજી પર SL2-ટ્રિપલ આપે છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની ભાષામાં, ઓપરેટર એ રાઇઝિંગ ઓપરેટર છે અને લોઅરિંગ ઓપરેટર છે. જ્યારે કોમ્પેક્ટ હોય છે, ત્યારે તે હોજ થિયરીનું પરિણામ છે કે કોહોમોલોજી જૂથો મર્યાદિત-પરિમાણીય છે. તેથી કોહોમોલોજી ના ઇરેડ્યુસિબલ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતોમાં સીધા સરવાળા વિઘટનને સ્વીકારે છે. આવી કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત આદિમ તત્વ સાથે આવે છે, જે એક એવું તત્વ છે. ની પ્રિમિટિવ કોહોમોલોજી દ્વારા આપવામાં આવે છે પ્રિમિટિવ કોહોમોલોજી પણ સીધી રકમ વિભાજનને સ્વીકારે છે હાર્ડ લેફશેટ્ઝ વિઘટન ની રજૂઆત સિદ્ધાંત તેના પ્રિમિટિવ એલિમેન્ટની દ્રષ્ટિએ સંપૂર્ણપણે ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતનું વર્ણન કરે છે. જો તે બિન-શૂન્ય આદિમ તત્વ હોય, તો પછી વિભેદક સ્વરૂપો પરિમાણની ઉપર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તેથી સાંકળ આખરે તેની મર્યાદિત રીતે ઘણી શક્તિઓ પછી સમાપ્ત થાય છે. આ એક મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે ત્રિપલમાંથી પ્રેરિત-ક્રિયા ધરાવે છે. આ તેને અનુરૂપ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છે. દરેક આદિમ કોહોમોલોજી જૂથમાં આને એક સાથે લાગુ કરવાથી, કોહોમોલોજીનું તેની ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોમાં વિભાજન કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડના હાર્ડ લેફશેટ્ઝ વિઘટન તરીકે ઓળખાય છે. હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ સાથે જોડાયેલી કેલર ઓળખ દ્વારા, જ્યાં હોલોમોર્ફિક બંડલ સપાટ હોય તે કિસ્સામાં હોજનું વિઘટન ટ્વિસ્ટેડ ડી રામ કોહોમોલોજી જૂથો અને ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી જૂથો સુધી વિસ્તરે છે. ટ્રિપલ હજુ પણ બંડલ-વેલ્યુડ કોહોમોલોજી પર એસ. એલ. 2-ટ્રિપલ તરીકે કામ કરે છે, અને આ કિસ્સામાં હાર્ડ લેફશેટ્ઝ વિઘટનનું સંસ્કરણ ધરાવે છે. નાકાનો અસમાનતાઓ નાકાનો અસમાનતાઓ એ સુસંગત કહલર મેનીફોલ્ડ પર હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ પર ચેરન જોડાણની વળાંક સાથે હાર્મોનિક વિભેદક સ્વરૂપોના આંતરિક ઉત્પાદનો સાથે સંકળાયેલી અસમાનતાઓની જોડી છે. ખાસ કરીને ચાલો કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ પર હર્મિશિયન હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ હોઈએ, અને ચાલો સંકળાયેલ ચેરન જોડાણની વળાંક સૂચવીએ. નાકાનો અસમાનતાઓ જણાવે છે કે જો હાર્મોનિક છે, એટલે કે, પછી, અને. આ અસમાનતાઓ ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ સાથે જોડાયેલી કેલર ઓળખને લાગુ કરીને સાબિત થઈ શકે છે. જો ત્યાં એક પુષ્કળ લાઇન બંડલ હોય, તો ચેરન વળાંક પોતે એક કેલર મેટ્રિક છે. આ કિસ્સામાં નાકાનો અસમાનતાઓને લાગુ કરવાથી કોમ્પેક્ટ કહલર મેનીફોલ્ડ્સ માટે કોડાઇરા-નાકાનો લુપ્ત થિયરમ સાબિત થાય છે. નોંધો સંદર્ભ સંકુલ વિભેદક ભૂમિતિને બહુવિધ બનાવે છે