Beta-model
મોડલ થિયરીમાં, ગાણિતિક શિસ્ત, β-મોડલ (ફ્રેન્ચ "બોન ઓર્ડ્રે", વેલ-ઓર્ડરિંગમાંથી) એ એક મોડેલ છે જે "X સારી રીતે ઓર્ડર્ડ છે" સ્વરૂપના નિવેદનો વિશે સાચું છે. આ શબ્દ મોસ્ટોવ્સ્કી (1959) દ્વારા ω-મોડલની કલ્પનાને મજબૂત કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. ઓર્ડિનલ્સ દ્વારા નામ આપવામાં આવેલા સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક ગુણધર્મો માટેના સંકેતોથી વિપરીત, જેમ કે-વર્ણનાત્મકતા, અહીં β અક્ષર માત્ર સૂચક છે. સમૂહ સિદ્ધાંતમાં તે શોએનફિલ્ડના નિરપેક્ષતા સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે કે રચનાત્મક બ્રહ્માંડ L એ β-મોડલ છે. વિશ્લેષણમાં β-નમૂનાઓ બીજા ક્રમના અંકગણિતની પેટા પ્રણાલીઓના વિપરીત ગણિતના અભ્યાસમાં દેખાય છે. આ સંદર્ભમાં, બીજા ક્રમના અંકગણિતની સબસિસ્ટમનું β-મોડલ એ એક મોડેલ M છે જ્યાં M, iff. p. 243 ના પરિમાણો સાથે કોઈપણ σ11 સૂત્ર માટે બીજા ક્રમના અંકગણિતનું દરેક β-મોડલ પણ એક ω-મોડલ છે, કારણ કે મોડેલમાં કામ કરવાથી આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે <એ સારી રીતે ક્રમબદ્ધ છે, તેથી <ખરેખર મોડેલની કુદરતી સંખ્યાઓનું સારી રીતે ક્રમબદ્ધ છે. β-નમૂનાઓ માટે અપૂર્ણતા પ્રમેય છે, જો T એ બીજા ક્રમના અંકગણિતની ભાષામાં પુનરાવર્તિત રીતે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત છે, તો T + નું મોડેલ કેવી રીતે છે તેની સમાન રીતે "T નું કોઈ મોડેલ નથી" જો T નું મોડેલ હોય, તો T + નું β-મોડેલ છે "જો T નું β-મોડેલ હોય તો T ના કોઈ ગણતરીપાત્ર કોડેડ β-મોડેલ નથી. કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે βn-નમૂનાઓ માટે સમાન પ્રમેય ધરાવે છે. β-નમૂનાઓ પર આધારિત સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો બીજા ક્રમના અંકગણિતની પેટા પ્રણાલીઓની શક્તિનું કુદરતી સૂક્ષ્મ વિભાજન પ્રદાન કરે છે, અને પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતો ઘડવાનો માર્ગ પણ પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઓવર એ નિવેદનની સમકક્ષ છે "બધા [સેકન્ડ ઓર્ડર સૉર્ટના] માટે, એક ગણતરીપાત્ર β-મોડેલ M અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે. p. 253 (ગણતરીપાત્ર ω-મોડેલો તેમના પૂર્ણાંકોના સમૂહો દ્વારા રજૂ થાય છે, અને તેમનો સંતોષ વિશ્લેષણની ભાષામાં પ્રેરક વ્યાખ્યા દ્વારા ઔપચારિક છે.) ઉપરાંત, પુનરાવર્તિત માહલો બ્રહ્માંડ (જેને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે) માટે કેનોનિકલ સ્વયંસિદ્ધ યોજના સાથે કેપીનું વિસ્તરણ કરતી થિયરી તાર્કિક રીતે α-CA + BI + સિદ્ધાંતની સમકક્ષ છે (દરેક સાચું Π-સૂત્ર α-CA ના β-મોડલ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે). વધુમાં, β-નમૂનાઓ અને હાયપરજમ્પ વચ્ચે જોડાણ છે, જેમાં સાબિત થાય છેઃ પૂર્ણાંકોના તમામ સમૂહો માટે, એક હાયપરજમ્પ છે જો ત્યાં ગણતરીપાત્ર β-મોડેલ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે. p. 251 સંદર્ભો ગાણિતિક તર્ક