Van den Berg–Kesten inequality
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, વેન ડેન બર્ગ-કેસ્ટેન (બી. કે.) અસમાનતા અથવા વેન ડેન બર્ગ-કેસ્ટેન-રેઇમર (બી. કે. આર.) અસમાનતા જણાવે છે કે બે અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓ બંને થવાની સંભાવના છે, અને તે જ સમયે તે બતાવવા માટે "અસંબદ્ધ પ્રમાણપત્રો" શોધી શકાય છે કે તે બંને થાય છે, તે મોટાભાગે તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનું ઉત્પાદન છે. બે મોનોટોન ઘટનાઓ માટેનો વિશેષ કેસ (એફ. કે. જી. અસમાનતામાં ઉપયોગમાં લેવાતી કલ્પના) સૌપ્રથમ 1985માં વેન ડેન બર્ગ અને કેસ્ટેન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે એવું પણ અનુમાન લગાવ્યું હતું કે અસમાનતા સામાન્ય રીતે ધરાવે છે, જેમાં મોનોટોનિકતાની જરૂર નથી. પાછળથી આ અનુમાન સાબિત થયું. અસમાનતા ઉત્પાદન માળખા સાથેની સંભાવના જગ્યાઓ પર લાગુ થાય છે, જેમ કે પરકોલેશન સમસ્યાઓમાં. નિવેદન ચાલો સંભાવના જગ્યાઓ હોઈએ, દરેક મર્યાદિત રીતે ઘણા ઘટકોમાંથી. અસમાનતા ઉત્પાદન માપથી સજ્જ સ્વરૂપની જગ્યાઓને લાગુ પડે છે, જેથી દરેક તત્વને સંભાવના આપવામાં આવે છે બે ઘટનાઓ માટે, તેમની અસંબદ્ધ ઘટનાને એવી ઘટના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં રૂપરેખાંકનો હોય છે જેની અંદર અને અંદરની સદસ્યતા સૂચકાંકોના અસંબદ્ધ ઉપગણ પર ચકાસી શકાય છે. ઔપચારિક રીતે, જો એવા ઉપગણ અસ્તિત્વમાં હોય કે જેમ કેઃ જે બધા (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો) સાથે સંમત થાય છે, તે પણ તેમાં છે અને તે જ રીતે દરેક કે જે સંમત થાય છે તે અસમાનતા ભારપૂર્વક જણાવે છે કેઃ ઘટનાઓની દરેક જોડી માટે અને ઉદાહરણો સિક્કા ઉછાળે છે જો વાજબી સિક્કાના સમયને ઉછાળવાને અનુરૂપ હોય, તો દરેકમાં સમાન સંભાવના સાથે બે સંભવિત પરિણામો, હેડ અથવા પૂંછડીઓ હોય છે. આ ઘટનાનો વિચાર કરો કે ત્યાં સતત 3 હેડ અસ્તિત્વમાં છે, અને તે ઘટના કે જેમાં કુલ ઓછામાં ઓછા 5 હેડ છે. પછી નીચેની ઘટના હશેઃ ત્યાં સતત 3 હેડ છે, અને તેને કાઢીને ત્યાં અન્ય 5 હેડ બાકી છે. આ ઇવેન્ટમાં મહત્તમ સંભાવના છે જે કહે છે કે 10 ટોસમાં મેળવવાની અને અન્ય 10 ટોસમાં મેળવવાની સંભાવના, એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે. આંકડાકીય રીતે, અને તેમની અસંબદ્ધ ઘટના ઓછામાં ઓછા 8 હેડ સૂચવે છે, તેથી ગ્રાફના (બર્નૌલી) બોન્ડ પરકોલેશનમાં, 's ધાર દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે. દરેક ધારને કેટલીક સંભાવના સાથે (અથવા "ખુલ્લી") રાખવામાં આવે છે અથવા અન્યથા દૂર (અથવા "બંધ") કરવામાં આવે છે, જે અન્ય ધારથી સ્વતંત્ર હોય છે, અને એક બાકીના આલેખની કનેક્ટિવિટી વિશેના પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનો માર્ગ હોય અને માત્ર ખુલ્લી ધારનો ઉપયોગ કરે તેવી ઘટના. આવા સ્વરૂપની ઘટનાઓ માટે, અસંગત ઘટના એ એવી ઘટના છે કે જ્યાં બે ખુલ્લા માર્ગો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે કોઈ પણ ધારને શેર કરતા નથી (ઉપગણને અનુરૂપ અને વ્યાખ્યામાં), જેમ કે પ્રથમ એક દ્વારા જરૂરી જોડાણ પ્રદાન કરે છે અને બીજું માટે અસમાનતા માટે સબક્રિટિકલ શાસનમાં ઘાતાંકીય ક્ષયની ઘટનાનું સંસ્કરણ સાબિત કરવા માટે વાપરી શકાય છે, એટલે કે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નિર્ણાયક સંભાવના માટે પૂર્ણાંક જાળી ગ્રાફ પર, મૂળ ધરાવતા જોડાયેલા ઘટકની ત્રિજ્યા ઘાતાંકીય રીતે નાની પૂંછડીઓ સાથે વિતરણનું પાલન કરે છેઃ કેટલાક અચળાંક માટે અહીં એવા શિરોબિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે જે વિસ્તરણને સંતોષે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એવી એક ઘટના અસ્તિત્વમાં છે કે જે તેમ છતાં, કોઈ પણ ઘટનાઓની-ary બી. કે. આર. કામગીરીને રૂપરેખાંકનોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જ્યાં સૂચકાંકોના જોડી મુજબ અલગ-અલગ સબસેટ હોય છે જેમ કે સભ્યપદની સાક્ષી આ કામગીરી સંતોષ આપે છેઃ જ્યાંથી મૂળ બી. કે. અસમાનતાના વારંવાર ઉપયોગ દ્વારા. આ અસમાનતા એ એક પરિબળ હતું જેનો ઉપયોગ ફ્લોરિડા લોટરીના વિજેતા આંકડાઓનું વિશ્લેષણ કરવા અને ગણિત મેગેઝિન દ્વારા જેને "અવિશ્વસનીય રીતે નસીબદાર" વ્યક્તિઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે તેને ઓળખવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, જેને પછીથી અમલીકરણ તપાસ દ્વારા પુષ્ટિ મળી હતી કે કાયદાના ઉલ્લંઘન સામેલ હતા. મોટા કાર્ડિનાલિટીની જગ્યાઓ જ્યારે અનંત હોવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે, ત્યારે સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે. લેબસેગ્યુ માપ માટે, એવા માપી શકાય તેવા ઉપગણ છે જે માપવા યોગ્ય નથી (તેથી અસમાનતામાં વ્યાખ્યાયિત નથી), પરંતુ નીચેનો પ્રમેય હજુ પણ ધરાવે છેઃ જો લેબસેગ્યુ માપવા યોગ્ય હોય, તો ત્યાં કેટલાક બોરેલ સમૂહ છે જેમ કેઃ અને સંદર્ભો પરકોલેશન સિદ્ધાંત સંભવિત અસમાનતાઓ