Carathéodory function
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, કારાથિઓડોરી કાર્ય (અથવા કારાથિઓડોરી ઇન્ટિગ્રાન્ડ) એ એક બહુવિધ કાર્ય છે જે આપણને નીચેની સમસ્યાને અસરકારક રીતે હલ કરવાની મંજૂરી આપે છેઃ બે લેબસેગ્યુ-માપી શકાય તેવા કાર્યોની રચના લેબસેગ્યુ-માપી શકાય તેવી પણ હોવી જરૂરી નથી. તેમ છતાં, સતત કાર્ય સાથે માપી શકાય તેવા કાર્યની રચના ખરેખર લેબસ્ગ્યુ-માપી શકાય તેવું છે, પરંતુ ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, સાતત્ય એ ખૂબ પ્રતિબંધિત ધારણા છે. કેરાથિઓડોરી કાર્યો સતત કાર્યો કરતાં વધુ સામાન્ય છે, પરંતુ તેમ છતાં લેબસેગ્યુ-માપી શકાય તેવા કાર્યો સાથેની રચનાને માપી શકાય તેવું બનાવે છે. કેરેથિઓડોરી કાર્યો વિવિધતાના કલનમાં નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે, અને તેનું નામ ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી કોન્સ્ટેન્ટિન કેરેથિઓડોરીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા, લેબસ્ગ્યુ માપથી સંપન્ન માટે, એક કૈરાથિઓડોરી કાર્ય છે જોઃ 1. મેપિંગ દરેક માટે લેબસ્ગ્યુ-માપી શકાય તેવું છે. 2. મેપિંગ લગભગ દરેક માટે સતત હોય છે. કેરાથિઓડોરી કાર્યની મુખ્ય ગુણવત્તા નીચે મુજબ છેઃ જો કેરાથિઓડોરી કાર્ય છે અને તે લેબસેગ્યુ-માપી શકાય તેવું છે, તો રચના લેબસેગ્યુ-માપી શકાય તેવું છે. ઉદાહરણ વિવિધતાના કલનમાં ઘણી સમસ્યાઓ નીચેની રીતે ઘડવામાં આવે છેઃ કાર્યાત્મક લઘુતમ શોધો જ્યાં સોબોલેવ જગ્યા છે, તે જગ્યા જેમાં તમામ કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે જે નબળા રીતે વિકલનક્ષમ છે અને તે કાર્ય પોતે અને તેના તમામ પ્રથમ ક્રમના વ્યુત્પન્નમાં છે; અને જ્યાં કેટલાક માટે, એક કેરાથિઓડોરી કાર્ય. હકીકત એ છે કે કેરાથિઓડોરી કાર્ય આપણને ખાતરી આપે છે કે તે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. પી-વૃદ્ધિ જો કેરાથિઓડોરી છે અને કેટલાકને સંતોષ આપે છે (આ સ્થિતિને "પી-વૃદ્ધિ" કહેવામાં આવે છે), તો પછી જ્યાં મર્યાદિત છે, અને મજબૂત ટોપોલોજીમાં સતત છે (એટલે કે. ધોરણમાં) ના. સંદર્ભો વિવિધતાની ગણતરી