Ordinal Pareto efficiency
સામાન્ય પેરેટો કાર્યક્ષમતા એ પેરેટો-કાર્યક્ષમતાના ખ્યાલના ઘણા અનુકૂલનોનો સંદર્ભ આપે છે જેમાં એજન્ટો માત્ર વસ્તુઓ પર સામાન્ય ઉપયોગિતાઓ વ્યક્ત કરે છે, પરંતુ બંડલ પર નહીં. એટલે કે, એજન્ટો વસ્તુઓને શ્રેષ્ઠથી ખરાબમાં ક્રમ આપે છે, પરંતુ તેઓ વસ્તુઓના ઉપગણને ક્રમ આપતા નથી. ખાસ કરીને, તેઓ દરેક વસ્તુ માટે આંકડાકીય મૂલ્ય નિર્દિષ્ટ કરતા નથી. આ ચોક્કસ ફાળવણીઓ પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે કે નહીં તે અંગે અસ્પષ્ટતા પેદા કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ વસ્તુઓ અને બે એજન્ટો સાથે અર્થતંત્રને ધ્યાનમાં લો, જેમાં નીચેની રેન્કિંગ છેઃ એલિસઃ x> y> z. જ્યોર્જઃ x> z> y. ફાળવણીનો વિચાર કરો [એલિસઃ x, જ્યોર્જઃ y, z]. આ ફાળવણી પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે કે નહીં તે એજન્ટોના આંકડાકીય મૂલ્યાંકન પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ શક્ય છે કે એલિસ {y, z} થી {x} ને પસંદ કરે અને જ્યોર્જ {x} થી {y, z} ને પસંદ કરે (ઉદાહરણ તરીકેઃ x, y, z માટે એલિસનું મૂલ્યાંકન 8,7,6 છે અને જ્યોર્જનું મૂલ્યાંકન 7,1,2 છે, તેથી ઉપયોગિતા રૂપરેખા 8,3 છે). પછી ફાળવણી પેરેટો-કાર્યક્ષમ નથી, કારણ કે એલિસ અને જ્યોર્જ બંને તેમના બંડલ્સનું વિનિમય કરીને વધુ સારી રહેશે (ઉપયોગિતા રૂપરેખા 13,7 હશે). તેનાથી વિપરીત, શક્ય છે કે એલિસ {x} ને {y, z} કરતા પસંદ કરે અને જ્યોર્જ {y, z} ને {x} કરતા પસંદ કરે (ઉદાહરણ તરીકેઃ એલિસનું મૂલ્યાંકન 12,4,2 અને જ્યોર્જનું મૂલ્યાંકન 6,3,4 છે). પછી ફાળવણી પેરેટો-કાર્યક્ષમ છેઃ અન્ય કોઈપણ ફાળવણીમાં, જો એલિસને હજુ પણ x મળે, તો જ્યોર્જની ઉપયોગિતા ઓછી છે; જો એલિસને x ન મળે, તો એલિસની ઉપયોગિતા ઓછી છે. વધુમાં, જો વસ્તુઓ વિભાજીત હોય તો પણ ફાળવણી પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે (એટલે કે, તે આંશિક રીતે પેરેટો કાર્યક્ષમ છે): જો એલિસ જ્યોર્જને x ની કોઈપણ રકમ આપે, તો જ્યોર્જે તેની ઉપયોગિતાને સમાન સ્તરે રાખવા માટે તેને ઓછામાં ઓછી 3r y અથવા 6r z આપવી પડશે. પરંતુ પછી જ્યોર્જની ઉપયોગિતા 6r-9r અથવા 6r-24r દ્વારા બદલાશે, જે નકારાત્મક છે. ફાળવણીની પેરેટો-કાર્યક્ષમતા બંડલ્સની રેન્કિંગ પર આધારિત હોવાથી, જ્યારે માત્ર વસ્તુઓની રેન્કિંગ આપવામાં આવે ત્યારે ફાળવણીની કાર્યક્ષમતા કેવી રીતે નક્કી કરવી તે સ્પષ્ટ નથી. વ્યાખ્યાઓ ફાળવણી X = (X1,., Xn) પેરેટો અન્ય ફાળવણી Y = (Y1,., Yn) પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે, જો દરેક એજન્ટ i બંડલ xi ને બંડલ yi કરતા નબળું પસંદ કરે છે, અને ઓછામાં ઓછું એક એજન્ટ j સખત રીતે Xj થી Yj ને પસંદ કરે છે. ફાળવણી X પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે જો કોઈ અન્ય ફાળવણી પેરેટો-પ્રભુત્વ ધરાવતી ન હોય. કેટલીકવાર, અલગ-પેરેટો-કાર્યક્ષમતા વચ્ચે તફાવત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે ફાળવણીમાં અલગ ફાળવણીનું પ્રભુત્વ નથી, અને અપૂર્ણાંક પેરેટો કાર્યક્ષમતાની મજબૂત વિભાવના, જેનો અર્થ છે કે ફાળવણીમાં અપૂર્ણાંક ફાળવણી દ્વારા પણ પ્રભુત્વ નથી. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ એજન્ટોના બંડલ (વસ્તુઓના સમૂહ) ની શ્રેણી પર આધારિત છે. અમારા સેટિંગમાં, એજન્ટો માત્ર વસ્તુઓની તેમની રેન્કિંગની જાણ કરે છે. બંડલ રેન્કિંગને આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તે સિંગલટન બંડલ્સને તે જ ક્રમમાં ક્રમ આપે છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ વસ્તુઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એલિસની રેન્કિંગ હોય, તો કોઈપણ સુસંગત બંડલ રેન્કિંગમાં {w} <{x} <{y} <{z] હોવું આવશ્યક છે. ઘણીવાર, માન્ય બંડલ રેન્કિંગના સમૂહ પર વધારાની ધારણાઓ કરવામાં આવે છે, જે સુસંગતતા પર વધારાના પ્રતિબંધો લાદે છે. ઉદાહરણની ધારણાઓ છેઃ એકવિધતાઃ બંડલમાં વસ્તુ ઉમેરવાથી હંમેશા બંડલમાં સુધારો થાય છે. આ એ ધારણાને અનુરૂપ છે કે બધી વસ્તુઓ સારી છે. આમ, એલિસની બંડલ રેન્કિંગ હોવી જોઈએ. {y} <{y, x}. જવાબદારીઃ વસ્તુને વધુ સારી વસ્તુ સાથે બદલવાથી હંમેશા બંડલમાં સુધારો થાય છે. આમ, એલિસની બંડલ રેન્કિંગ હોવી જોઈએ. {w, x} <{w, y} <{x, y} <{x, z}. આ સુસંગતતા કરતાં વધુ મજબૂત છે. ઉમેરણઃ એજન્ટ દરેક વસ્તુને મૂલ્ય સોંપે છે, અને દરેક બંડલને તેની સામગ્રીના સરવાળા પર મૂલ્ય આપે છે. આ ધારણા જવાબદારી કરતાં વધુ મજબૂત છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એલિસ ક્રમમાં {x, y} <{z} હોય તો તેણે ક્રમમાં {w, x, y} <{w, z} હોવું જોઈએ. લેક્સિકોગ્રાફિકઃ એજન્ટ હંમેશાં એક બંડલને ક્રમ આપે છે જેમાં કોઈ પણ બંડલની ઉપર કેટલીક વસ્તુ x હોય છે જેમાં ફક્ત x કરતા ઓછી ક્રમાંકિત વસ્તુઓ હોય છે. ઉપરોક્ત ઉદાહરણમાં, એલિસે {w, x, y} <{z} ક્રમ આપવો આવશ્યક છે. જરૂરી પેરેટો-કાર્યક્ષમતા બ્રામ્સ, એડલમેન અને ફિશબર્ન ફાળવણી પેરેટો-સુનિશ્ચિત કરે છે જો તે તમામ બંડલ રેન્કિંગ માટે પેરેટો-કાર્યક્ષમ હોય જે એજન્ટોની આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત હોય (તેઓ તમામ એકવિધ અને પ્રતિભાવશીલ બંડલ રેન્કિંગને મંજૂરી આપે છે). ઉદાહરણ તરીકેઃ જો એજન્ટોનું મૂલ્યાંકન હકારાત્મક માનવામાં આવે, તો પછી એક જ એજન્ટને તમામ વસ્તુઓ આપતી દરેક ફાળવણી પેરેટો-એન્સરિંગ છે. જો એલિસની રેન્કિંગ x> y હોય અને જ્યોર્જની રેન્કિંગ y> x હોય, તો ફાળવણી [એલિસઃ x, જ્યોર્જઃ y] પેરેટો-એન્સરિંગ છે. જો એલિસનું રેન્કિંગ x> y> z છે અને જ્યોર્જનું રેન્કિંગ x> z> y છે અને ફાળવણીઓ અલગ હોવી જોઈએ, તો ફાળવણી [એલિસઃ x, y; જ્યોર્જઃ z] પેરેટો-એન્સરિંગ છે. ઉપરોક્ત રેન્કિંગ સાથે, ફાળવણી [એલિસઃ x, જ્યોર્જઃ y, z] પેરેટો-સુનિશ્ચિત નથી. પ્રસ્તાવનામાં સમજાવ્યા મુજબ, તે પેરેટો-કાર્યક્ષમ નથી, દા. ત. જ્યારે x, y, z માટે એલિસનું મૂલ્યાંકન 8,7,6 હોય અને જ્યોર્જનું મૂલ્યાંકન 7,1,2 હોય. નોંધ લો કે આ બંને મૂલ્યાંકન એજન્ટોની રેન્કિંગ સાથે સુસંગત છે. બોવેરેટ, એન્ડ્રિસ અને લેંગ. સમકક્ષ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો. તેઓ કહે છે કે ફાળવણી X સંભવતઃ પેરેટો ફાળવણી Y પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે જો એજન્ટોના આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત કેટલાક બંડલ રેન્કિંગ અસ્તિત્વમાં હોય, જેના માટે X પેરેટો Y પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે. ફાળવણીને આવશ્યક-પેરેટો-કાર્યક્ષમ (એન. ઇ. સી. પી. ઇ.) કહેવામાં આવે છે જો કોઈ અન્ય ફાળવણી સંભવતઃ-પેરેટો-પ્રભુત્વ ધરાવતી ન હોય. બે વ્યાખ્યાઓ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છેઃ "X એ પેરેટો-એન્સરિંગ છે" એ "દરેક સુસંગત બંડલ રેન્કિંગ માટે, દરેક અન્ય ફાળવણી Y માટે, Y પેરેટો-પ્રભુત્વ X નથી" ની સમકક્ષ છે. "X એ NecPE છે" એ "દરેક અન્ય ફાળવણી Y માટે, દરેક સુસંગત બંડલ રેન્કિંગ માટે, Y એ X પર પેરેટો-પ્રભુત્વ ધરાવતું નથી" ની સમકક્ષ છે. "બધા માટે" પરિમાણોના ક્રમની આપ-લે કરવાથી તાર્કિક અર્થ બદલાતો નથી. NECPE શરત એ જ રહે છે કે શું આપણે બધા એડિટિવ બંડલ રેન્કિંગને મંજૂરી આપીએ છીએ, અથવા આપણે માત્ર એવા રેન્કિંગને મંજૂરી આપીએ છીએ જે ઘટતા તફાવતો સાથે એડિટિવ વેલ્યુએશન પર આધારિત હોય. અસ્તિત્વ NecPE એ ખૂબ જ મજબૂત જરૂરિયાત છે, જેને ઘણીવાર સંતોષી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે બે એજન્ટો સમાન આઇટમ રેન્કિંગ ધરાવે છે. તેમાંથી એક, એલિસ કહે છે, આવશ્યકપણે સૌથી નીચો ક્રમ ધરાવતી વસ્તુ મેળવે છે. ત્યાં સુસંગત એડિટિવ બંડલ-રેન્કિંગ છે જેમાં એલિસ આ વસ્તુને 0 પર મૂલવે છે જ્યારે જ્યોર્જ તેને 1 પર મૂલવે છે. તેથી, તેને એલિસને આપવું પેરેટો-કાર્યક્ષમ નથી. જો આપણે ઇચ્છીએ કે બધી વસ્તુઓનું સખત હકારાત્મક મૂલ્ય હોય, તો પછી બધી વસ્તુઓ એક જ એજન્ટને આપવી એ તુચ્છ રીતે NECPE છે, પરંતુ તે ખૂબ જ અયોગ્ય છે. જો આંશિક ફાળવણીની મંજૂરી આપવામાં આવે, તો પછી કોઈ NecPE ફાળવણી ન હોઈ શકે જે બંને એજન્ટોને હકારાત્મક મૂલ્ય આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે એલિસ અને જ્યોર્જ બંને પાસે x> y ક્રમ છે. જો બંનેને હકારાત્મક મૂલ્ય મળે, તો ક્યાં તો એલિસને કેટલાક x મળે છે અને જ્યોર્જને કેટલાક y મળે છે, અથવા ઊલટું. પહેલાના કિસ્સામાં, શક્ય છે કે એલિસનું મૂલ્યાંકન ઉદાહરણ તરીકે હોય. 4, 2 અને જ્યોર્જનું મૂલ્યાંકન 8,1 છે, તેથી એલિસ x ની નાની રકમને y ની નાની રકમ 3r સાથે બદલી શકે છે. એલિસ 6r-4r મેળવે છે અને જ્યોર્જ 8r-3r મેળવે છે, તેથી બંને લાભ હકારાત્મક છે. પછીના કિસ્સામાં, એક સમાન દલીલ છે. સંભવિત પેરેટો-કાર્યક્ષમતા બ્રામ્સ, એડલમેન અને ફિશબર્ન ફાળવણીને પેરેટો-સંભવિત કહે છે જો તે એજન્ટોના આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત હોય તેવા કેટલાક બંડલ રેન્કિંગ માટે પેરેટો-કાર્યક્ષમ હોય. દેખીતી રીતે, દરેક પેરેટો-સુનિશ્ચિત ફાળવણી પેરેટો-શક્ય છે. વધુમાંઃ જો એલિસની રેન્કિંગ x> y> z છે અને જ્યોર્જની રેન્કિંગ x> z> y છે, તો ફાળવણી [એલિસઃ x, જ્યોર્જઃ y, z] પેરેટો-શક્ય છે. પ્રસ્તાવનામાં સમજાવ્યા મુજબ, તે પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે. દા. ત. જ્યારે x, y, z માટે એલિસનું મૂલ્યાંકન 12,4,2 હોય અને જ્યોર્જનું મૂલ્યાંકન 6,3,4 હોય. નોંધ લો કે આ બંને મૂલ્યાંકન એજન્ટોની રેન્કિંગ સાથે સુસંગત છે. જો એલિસની રેન્કિંગ x> y હોય અને જ્યોર્જની રેન્કિંગ y> x હોય, તો ફાળવણી [એલિસઃ y, જ્યોર્જઃ x] પેરેટો-શક્ય નથી, કારણ કે તે હંમેશા ફાળવણી [એલિસઃ x, જ્યોર્જઃ y] દ્વારા પેરેટો-પ્રભુત્વ ધરાવે છે. બોવેરેટ, એન્ડ્રિસ અને લેંગ. અલગ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો. તેઓ કહે છે કે ફાળવણી X જરૂરી રીતે ફાળવણી Y પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે જો એજન્ટોના આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત તમામ બંડલ રેન્કિંગ માટે, X પેરેટો Y પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે. ફાળવણીને સંભવિત-પેરેટો-કાર્યક્ષમ (પી. ઓ. એસ. પી. ઈ.) કહેવામાં આવે છે જો કોઈ અન્ય ફાળવણી જરૂરી નથી-પેરેટો-પ્રભુત્વ ધરાવે છે. બે વ્યાખ્યાઓ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ નથીઃ "X એ પેરેટો-શક્ય છે" એ "સુસંગત બંડલ રેન્કિંગ અસ્તિત્વમાં છે, જેના માટે દરેક અન્ય ફાળવણી Y માટે, Y એ X પર પ્રભુત્વ ધરાવતું નથી" ની સમકક્ષ છે. તે અન્ય તમામ ફાળવણી Y માટે સમાન બંડલ રેન્કિંગ હોવું આવશ્યક છે. "X એ પૉસ્પી છે" એ "દરેક અન્ય ફાળવણી Y માટે, એક સુસંગત બંડલ રેન્કિંગ અસ્તિત્વમાં છે, જેના માટે Y એ X પર પ્રભુત્વ ધરાવતું નથી" ની સમકક્ષ છે. દરેક અન્ય ફાળવણી Y માટે અલગ બંડલ રેન્કિંગ હોઈ શકે છે. જો X પેરેટો-શક્ય હોય તો તે પોસ્પે છે, પરંતુ અન્ય સૂચિતાર્થ (તાર્કિક રીતે) સાચો નથી. પેરેટો-સંભવિત સ્થિતિ એ જ રહે છે કે શું આપણે તમામ એડિટિવ બંડલ રેન્કિંગને મંજૂરી આપીએ છીએ, અથવા આપણે માત્ર એવા રેન્કિંગને મંજૂરી આપીએ છીએ જે ઘટતા તફાવતો સાથે એડિટિવ વેલ્યુએશન પર આધારિત હોય. સ્ટોકેસ્ટિક-પ્રભુત્વ પેરેટો-કાર્યક્ષમતા બોગોમોલ્નિયા અને મૌલિન વાજબી રેન્ડમ સોંપણીના સેટિંગ માટે કાર્યક્ષમતાની કલ્પના રજૂ કરે છે (જ્યાં બંડલ રેન્કિંગ એડિટિવ હોય છે, ફાળવણી અપૂર્ણાંક હોય છે, અને દરેક એજન્ટને આપવામાં આવેલા અપૂર્ણાંકનો સરવાળો વધુમાં વધુ 1 હોવો જોઈએ). તે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રભુત્વની કલ્પના પર આધારિત છે. દરેક એજન્ટ i માટે, એક બંડલ xi એક બંડલ y પર નબળી રીતે પ્રભુત્વ ધરાવે છે (ડબલ્યુ. એસ. ડી.) જો દરેક વસ્તુ z માટે, xi માં z કરતા વધુ સારી વસ્તુઓનો કુલ અપૂર્ણાંક ઓછામાં ઓછો yi જેટલો મોટો હોય (જો ફાળવણી અલગ હોય, તો xi sd yi નો અર્થ એ છે કે દરેક વસ્તુ z માટે, xi માં z કરતા વધુ સારી વસ્તુઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી yi જેટલી મોટી હોય). એસ. ડી. સંબંધમાં ઘણી સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ છે; રિસ્પોન્સિવ સેટ એક્સટેન્શન જુઓ. ખાસ કરીને, શી એસ. ડી. યી જો-અને-માત્ર-જો, આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત દરેક બંડલ રેન્કિંગ માટે, શી ઓછામાં ઓછું યી જેટલું સારું છે. એક બંડલ ઝી કડક રીતે-અસ્થાયી રીતે બંડલ યી પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે (એસ. એસ. ડી.) જો શી ડબલ્યુ. એસ. ડી. યી અને શી ષ્ણ યી. તેવી જ રીતે, ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ z માટે, "ઓછામાં ઓછું Yi જેટલું મોટું" "Yi કરતાં સખત રીતે મોટું" બની જાય છે. ssd સંબંધમાં "xi>> yi" તરીકે લખવામાં આવે છે. એક ફાળવણી X = (X1,., Xn) અન્ય ફાળવણી Y = (Y1,., Yn) પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે, જો દરેક એજન્ટ માટે i: xi ડબલ્યુએસડી યી, અને y ષ્ણ X (સમકક્ષઃ ઓછામાં ઓછા એક એજન્ટ માટે i, xi ડબલ્યુએસડી યી). સ્ટોકેસ્ટિક વર્ચસ્વમાં ફાળવણી વચ્ચેના સંબંધને "X>> Y" તરીકે પણ લખવામાં આવે છે. આ જરૂરી પેરેટો-ડોમિનેશનની સમકક્ષ છે. ફાળવણીને એસ. ડી.-કાર્યક્ષમ કહેવામાં આવે છે (જેને સામાન્ય રીતે કાર્યક્ષમ અથવા ઓ-કાર્યક્ષમ પણ કહેવામાં આવે છે) જો ત્યાં કોઈ ફાળવણી ન હોય જે તેના પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે. આ પી. ઓ. એસ. પી. ઈ. જેવું જ છે, પરંતુ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે બંડલ રેન્કિંગ એડિટિવ યુટિલિટી ફંક્શન્સ પર આધારિત હોવી જોઈએ, અને ફાળવણી અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. સમીકરણો ઉપર નોંધ્યા મુજબ, પેરેટો-સંભવિત સૂચવે છે કે પી. ઓ. એસ. પી. ઈ., પરંતુ બીજી દિશા તાર્કિક રીતે સાચી નથી. મેકલેનન સાબિત કરે છે કે તેઓ વાજબી રેન્ડમ સોંપણી સમસ્યા (કડક અથવા નબળી આઇટમ રેન્કિંગ સાથે) માં સમકક્ષ છે. ખાસ કરીને, તે સાબિત કરે છે કે નીચેની બાબતો સમકક્ષ છેઃ (a) X એ sd-કાર્યક્ષમ છે (એટલે કે, X એ પૉસ્પી છે); (b) એજન્ટોના આઇટમ-રેન્કિંગ સાથે સુસંગત એડિટિવ બંડલ-રેન્કિંગ અસ્તિત્વમાં છે, જેના માટે X આંશિક રીતે-પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે (એટલે કે, X એ પેરેટો-શક્ય છે); (c) એજન્ટોના આઇટમ-રેન્કિંગ સાથે સુસંગત એડિટિવ બંડલ-રેન્કિંગ અસ્તિત્વમાં છે, જેના માટે X એજન્ટોની ઉપયોગિતાઓનો સરવાળો મહત્તમ કરે છે. અસરો (c) → (b) → (a) સરળ છે; પડકારજનક ભાગ એ સાબિત કરવાનો છે કે (a) → (c). મેકલેનન તેને હાયપરપ્લેનને અલગ કરતા પોલિહેડ્રલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરે છે. બોગોમોલેનીયા અને મૌલિન એસ. ડી.-કાર્યક્ષમતાની અન્ય ઉપયોગી લાક્ષણિકતા સાબિત કરે છે, સમાન વાજબી રેન્ડમ સોંપણી સેટિંગ માટે પરંતુ કડક આઇટમ રેન્કિંગ સાથે. આપેલ અપૂર્ણાંક ફાળવણીના વિનિમય આલેખને નિર્દેશિત આલેખ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જેમાં નોડ્સ વસ્તુઓ છે, અને ત્યાં એક ચાપ x → y iff છે જ્યાં એક એજન્ટ i અસ્તિત્વમાં છે જે x ને પસંદ કરે છે અને y નો હકારાત્મક અપૂર્ણાંક મેળવે છે. જો તેના વિનિમય આલેખમાં કોઈ નિર્દેશિત ચક્ર ન હોય તો ફાળવણીને ચક્રીય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી, ફાળવણી sd-કાર્યક્ષમ iff તે એસાયક્લિક છે. ફિશબર્ને રિસ્પોન્સિવ બંડલ રેન્કિંગ સાથે, અલગ બંડલના પ્રભુત્વ સંબંધો પર નીચેની સમાનતા સાબિત કરીઃ જો xi>> yi (એટલે કેઃ xi  ઒ત્ત યી, અને દરેક વસ્તુ z માટે, xi પાસે ઓછામાં ઓછી ઘણી વસ્તુઓ છે જે ઓછામાં ઓછી z જેટલી સારી છે), તો પછી દરેક રિસ્પોન્સિવ બંડલ-રેન્કિંગ માટે આઇટમ-રેન્કિંગ સાથે સુસંગત, xi> yi. જો ક્ઝી>> યી ન હોય, તો આઇટમ-રેન્કિંગ સાથે સુસંગત ઓછામાં ઓછું એક પ્રતિભાવશીલ બંડલ-રેન્કિંગ અસ્તિત્વમાં છે, જેના માટે ક્ઝી <યી છે. તેથી, અલગ ફાળવણીના પ્રભુત્વ સંબંધો માટે નીચેની શરતો લાગુ પડે છેઃ X>> Y જો જરૂરી હોય તો X પેરેટો-પ્રભુત્વ Y ધરાવે છે. ગુણધર્મો જો xi ડબલ્યુએસડી યી હોય, તો |Xi | ≤ |Yi |, એટલે કે xi માં પદાર્થોની કુલ માત્રા (સ્વતંત્ર અથવા અપૂર્ણાંક) ઓછામાં ઓછી xi જેટલી મોટી હોવી જોઈએ. આનું કારણ એ છે કે, જો |Xi | <|Yi |, તો પછી મૂલ્યાંકન માટે જે તમામ વસ્તુઓ માટે લગભગ સમાન મૂલ્ય સોંપે છે, v (xi) <v (yi). આનો અર્થ એ છે કે, જો X ડબલ્યુએસડી વાય અને બંને X અને Y સંપૂર્ણ ફાળવણી છે (બધી વસ્તુઓ ફાળવવામાં આવી છે), તો જરૂરી છે કે |Xi | = |Yi | બધા એજન્ટો માટે એટલે કે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંપૂર્ણ ફાળવણી X પર માત્ર ફાળવણી Y દ્વારા પ્રભુત્વ હોઈ શકે છે જે દરેક એજન્ટને X જેટલી જ રકમ સોંપે છે. આનો અર્થ એ છે કે, ખાસ કરીને, જો દરેક એજન્ટને બરાબર 1 એકમ આપતી તમામ ફાળવણીઓના સમૂહમાં X એ sd-કાર્યક્ષમ હોય, તો X સામાન્ય રીતે sd-કાર્યક્ષમ છે. લેક્સિકોગ્રાફિક-પ્રભુત્વ પેરેટો-કાર્યક્ષમતા ચો લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વના આધારે વાજબી રેન્ડમ સોંપણીના સેટિંગ માટે અન્ય બે કાર્યક્ષમતા કલ્પનાઓ રજૂ કરે છે. એક ફાળવણી X = (X1,., Xn) ડાઉનવર્ડ-લેક્સિકોગ્રાફિકલી (dl) અન્ય ફાળવણી Y = (Y1,., Yn) પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે, જો દરેક એજન્ટ i માટે, xi નબળા-dl-ડોમિનેટ્સ Yi, અને ઓછામાં ઓછા એક એજન્ટ j માટે, Xj સખત રીતે-dl-ડોમિનેટ્સ Yj. ફાળવણીને ડીએલ-કાર્યક્ષમ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કોઈ અન્ય ફાળવણી નથી જે તેને ડીએલ-પ્રભુત્વ આપે છે. તેવી જ રીતે, ઉપર તરફ-લેક્સિકોગ્રાફિક (ઉલ) વર્ચસ્વની કલ્પનાના આધારે, ફાળવણીને અલ-કાર્યક્ષમ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કોઈ અન્ય ફાળવણી ન હોય જે તેને અલ-પ્રભુત્વ આપે. સામાન્ય રીતે, એસ. ડી.-ડોમિનેશન એ ડી. એલ.-ડોમિનેશન અને ઉલ-ડોમિનેશન સૂચવે છે. તેથી, ડીએલ-કાર્યક્ષમતા અને અલ-કાર્યક્ષમતા એસડી-કાર્યક્ષમતા સૂચવે છે. સમાનતાઓ વાજબી રેન્ડમ સોંપણી સેટિંગને ધ્યાનમાં લો (બંડલ રેન્કિંગ એડિટિવ છે, ફાળવણી અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, અને દરેક એજન્ટને આપવામાં આવેલ કુલ અપૂર્ણાંક 1 હોવો જોઈએ), કડક આઇટમ રેન્કિંગ સાથે, જ્યાં એજન્ટો કરતાં વધુ વસ્તુઓ હોઈ શકે છે (જેથી કેટલીક વસ્તુઓ બિન-ફાળવેલ રહી શકે છે). ચો અને ડોગન સાબિત કરે છે કે, આ ચોક્કસ કિસ્સામાં, ડીએલ-કાર્યક્ષમતા અને અલ-કાર્યક્ષમતા એસડી-કાર્યક્ષમતાની સમકક્ષ છે. ખાસ કરીને, તેઓ સાબિત કરે છે કે જો ફાળવણી X એ sd/ld/ul કાર્યક્ષમ હોય, તો પછીઃ X નો વિનિમય આલેખ અચળ છે, અને-X બિન-નકામો છે ("નકામો" નો અર્થ એ છે કે કેટલાક એજન્ટ i, જે વસ્તુ x નો હકારાત્મક અપૂર્ણાંક મેળવે છે, તે બીજી વસ્તુ y પસંદ કરે છે જે સંપૂર્ણપણે ફાળવવામાં આવી નથી). જો વિતરણની મર્યાદાઓ હોય તો સમાનતા જાળવી શકાતી નથીઃ એવી ફાળવણીઓ છે જે એસ. ડી.-કાર્યક્ષમ છે પરંતુ ડી. એલ.-કાર્યક્ષમ નથી. વધુ વાંચન અઝીઝ, ગેસ્પર્સ, મેકેન્ઝી અને વોલ્શ સામાન્ય નિષ્પક્ષતા કલ્પનાઓ સંબંધિત ગણતરીના મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરે છે. વિભાગ 7 માં તેઓ ટૂંકમાં એસ. ડી.-પેરેટો-કાર્યક્ષમતાનો અભ્યાસ કરે છે. ડોગન, ડોગન અને યિલ્ડિઝ ફાળવણીઓ વચ્ચેના અલગ વર્ચસ્વ સંબંધનો અભ્યાસ કરે છેઃ ફાળવણી X એ ફાળવણી Y પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે જો તે આઇટમ રેન્કિંગ સાથે સુસંગત બંડલ-રેન્કિંગના મોટા સમૂહ માટે પેરેટો-કાર્યક્ષમ હોય. અબ્દુલકાદિરોઆલુ અને સોનમેઝ એસ. ડી.-કાર્યક્ષમતા અને ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પેરેટો-કાર્યક્ષમતા (રેન્ડમ સોંપણીના સંદર્ભમાં) વચ્ચેના સંબંધની તપાસ કરે છે. તેઓ સોંપણીઓના સમૂહ માટે વર્ચસ્વની નવી કલ્પના રજૂ કરે છે, અને દર્શાવે છે કે જો લોટરીના સમર્થનના દરેક ઉપગણને નામાંકિત કરવામાં ન આવે તો લોટરી એસ. ડી.-કાર્યક્ષમ છે. સંદર્ભો પેરેટો કાર્યક્ષમતા રેન્ડમ ચલ ક્રમ