Subdivision (simplicial complex)
સરળ સંકુલનું પેટાવિભાગ (શુદ્ધિકરણ પણ કહેવાય છે) એ અન્ય સરળ સંકુલ છે, જેમાં સહજ ભાવે, મૂળ સંકુલની એક અથવા વધુ સરળતાઓને નાના સરળતામાં વિભાજિત કરવામાં આવી છે. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતો પેટાવિભાગ બેરિસેન્ટ્રીક પેટાવિભાગ છે, પરંતુ આ શબ્દ વધુ સામાન્ય છે. પેટાવિભાગને વિવિધ સંદર્ભોમાં થોડી અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ભૌમિતિક સરળ સંકુલમાં ચાલો K એ ભૌમિતિક સરળ સંકુલ (GSC) છે. K નો પેટા વિભાગ એ GSC L છે જેમ કેઃ |K | = |L |, એટલે કે, K માં સરળતાઓનું જોડાણ L માં સરળતાના જોડાણ બરાબર છે (તેઓ અવકાશમાં સમાન પ્રદેશને આવરી લે છે). ઉદાહરણ તરીકે, K એ એક ત્રિકોણ {A, B, C} (તેના તમામ ચહેરાઓ અને શિરોબિંદુઓ સાથે) ધરાવતો GSC હોવો જોઈએ. ધારો કે D એ AB ચહેરા પર એક બિંદુ છે. ધારો કે L એ બે ત્રિકોણ {A, D, C} અને {B, D, C} (તેમના તમામ મુખ અને શિરોબિંદુઓ સાથે) ધરાવતું સંકુલ છે. પછી L એ K નો પેટા વિભાગ છે, કારણ કે બે ત્રિકોણ {A, D, C} અને {B, D, C} બંને {A, B, C} માં સમાયેલ છે, અને તે જ રીતે ચહેરા {A, D}, {D, B} ચહેરા {A, B} માં સમાયેલ છે, અને ચહેરો {D, C} {A, B, C} માં સમાયેલ છે. K નો પેટા વિભાગ મેળવવાની એક રીત એ છે કે |K | માં મનસ્વી બિંદુ x પસંદ કરવો, K માં દરેક સિમ્પ્લેક્સ s ને દૂર કરો જેમાં x હોય છે, અને તેને નીચેના સરળ સમૂહના બંધ સાથે બદલોઃ જ્યાં બિંદુ x અને ચહેરો t નો જોડ છે. આ પ્રક્રિયાને x પર સ્ટારર કહેવામાં આવે છે. તારાકીય પેટાવિભાગ એ એક પેટાવિભાગ છે જે ક્રમિક રીતે વિવિધ બિંદુઓ પર તારાંકિત કરીને મેળવવામાં આવે છે. વ્યુત્પન્ન પેટાવિભાગ એ નીચેની પ્રેરક પ્રક્રિયા દ્વારા મેળવેલ પેટાવિભાગ છે. દરેક 1-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ (એક વિભાગ) ને અમુક આંતરિક બિંદુ પર તારાંકિત કરો; દરેક 2-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સને અમુક આંતરિક બિંદુ પર, 1-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સના પેટાવિભાગ પર તારાંકિત કરો; દરેક કે-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સને અમુક આંતરિક બિંદુ પર, (કે-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સના પેટાવિભાગ પર તારાંકિત કરો. બેરિસેન્ટ્રીક પેટાવિભાગ એ એક વ્યુત્પન્ન પેટાવિભાગ છે જ્યાં તારાંકિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા બિંદુઓ હંમેશા સરળતાના બેરિસેન્ટર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો D, E, F, G એ અનુક્રમે {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} ના બેરિસેન્ટર છે, તો પછી {A, B, C} નો પ્રથમ બેરિસેન્ટ્રિક પેટાવિભાગ એ {A, D, G}, {B, D, G}, {A, E, G}, {C, E, G}, {B, F, G}, {C, F, G} નો બંધ છે. પુનરાવર્તિત પેટાવિભાગોનો ઉપયોગ આપેલ પોલિહેડ્રોનના આપખુદ રીતે સૂક્ષ્મ ત્રિકોણને પ્રાપ્ત કરવા માટે થઈ શકે છે. અમૂર્ત સરળ સંકુલમાં ચાલો K એ અમૂર્ત સરળ સંકુલ (ASC) છે. K નો ફેસ પોસેટ એ K ના તમામ બિન-ખાલી સરળતાઓથી બનેલો પોસેટ છે, જે સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ છે (જે આંશિક ક્રમ છે). ઉદાહરણ તરીકે, {A, B, C} ને બંધ કરવાની ફેસ-પોસેટ એ નીચેની સાંકળો સાથેનું પોસેટ છેઃ {A} <{A, B, B} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} {B} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C, C} પોસેટ P નું ક્રમ સંકુલ એ ASC છે જેની શિરોબિંદુઓ P ના તત્વો છે અને જેની સરળ સાંકળો છે. ઉપરોક્ત સ્થિતિનું ક્રમ સંકુલ નીચેની સરળતાઓનું સમાપન છેઃ {{A}, {A, B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{B}, {A, B, C}, {{B, C}, {{A, B, C}, {{C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{C}, {B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {A, B, C}, {A, B, C, C}} નોંધ લો કે આ ASC એ ASC {A, D, G}, {B, D. K ના પેટાવિભાગની ભૌમિતિક અનુભૂતિ હંમેશા K ની ભૌમિતિક અનુભૂતિ માટે હોમોમોર્ફિક હોય છે.