Countable Borel relation
વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, ખાસ કરીને અપરિવર્તનશીલ વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધો એ પ્રમાણભૂત બોરેલ અવકાશ વચ્ચેના સંબંધોનો એક વર્ગ છે જે ખાસ કરીને સારી રીતે વર્તવામાં આવે છે. આ ખ્યાલ વિવિધ વધુ ચોક્કસ વિભાવનાઓને સમાવિષ્ટ કરે છે, જેમ કે હાયપરફાઇનાઇટ સમાનતા સંબંધ, પરંતુ તેમાં અને તેમાં જ રસ છે. અભેદ્ય વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંતમાં અભ્યાસનું મુખ્ય ક્ષેત્ર સમાનતા સંબંધોની સાપેક્ષ જટિલતા છે. સમૂહ પરના સમાનતા સંબંધને સમૂહ પરના સમાનતા સંબંધ કરતાં વધુ જટિલ માનવામાં આવે છે જો કોઈ "ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકે"-ઔપચારિક રીતે, જો કોઈ કાર્ય હોય જે અમુક અર્થમાં સારી રીતે વર્તે છે (ઉદાહરણ તરીકે, ઘણીવાર તે બોરેલ માપી શકાય તેવું જરૂરી છે). આવું કાર્ય જો આ બંને દિશામાં હોય, તો તે "ઉપયોગ કરીને ગણતરી" અને "ઉપયોગ કરીને ગણતરી" બંને કરી શકે છે, પછી અને સમાન સ્તરની જટિલતા ધરાવે છે. જ્યારે કોઈ બોરેલ સમાનતા સંબંધો વિશે વાત કરે છે અને તેને બોરેલ માપી શકાય તેવું હોવું જરૂરી છે, ત્યારે તેને ઘણીવાર આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધો અને ઉપર વર્ણવેલ અર્થમાં સમાન જટિલતાના સંબંધો ગણિતમાં વિવિધ સ્થળોએ જોવા મળે છે (નીચે ઉદાહરણો જુઓ, અને વધુ માટે જુઓ). ખાસ કરીને, નીચે વર્ણવેલ ફેલ્ડમેન-મૂર પ્રમેય ચોક્કસ વોન ન્યુમેન આલ્જેબ્રાના અભ્યાસમાં ઉપયોગી સાબિત થયો (જુઓ). વ્યાખ્યા પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યાઓ થવા દો. અને વચ્ચેનો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ એ કાર્ટેશિયન પ્રોડક્ટનો સબસેટ છે જે બોરેલ સેટ છે (પ્રોડક્ટ ટોપોલોજીમાં સબસેટ તરીકે) અને સંતોષ આપે છે કે કોઈપણ માટે, સેટ ગણતરીપાત્ર છે. નોંધ લો કે આ વ્યાખ્યા અને માં સપ્રમાણ નથી, અને આમ તે શક્ય છે કે સંબંધ એ અને વચ્ચેનો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે પરંતુ વિપરીત સંબંધ એ અને વચ્ચેનો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ નથી. ઉદાહરણો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધોનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ પણ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે. કોઈપણ બોરેલ ઉપગણ સાથે ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધનું આંતરછેદ એ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે. જો પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યાઓ વચ્ચેનું વિધેય હોય, તો વિધેયનો આલેખ અને જો અને માત્ર જો બોરેલ માપી શકાય તેવું હોય (આ લુઝિન-સુસલીન પ્રમેય અને તે હકીકતનું પરિણામ છે) વચ્ચેનો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે. ગ્રાફનો વિપરિત સંબંધ, એક ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બોરેલ માપી શકાય તેવું હોય અને તેમાં ગણતરીપાત્ર તંતુઓ હોય. જો સમાનતા સંબંધ હોય, તો તે ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે બોરેલ સમૂહ હોય અને તમામ સમાનતા વર્ગો ગણતરીપાત્ર હોય. ખાસ કરીને હાયપરફાઇનાઇટ સમાનતા સંબંધો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધો છે. ગણતરીપાત્ર જૂથની સતત ક્રિયા દ્વારા પ્રેરિત સમાનતા સંબંધ એ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે. એક નક્કર ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ક્રમ 2 ના મુક્ત જૂથના પેટા જૂથોનો સમૂહ બનીએ, જેમાં ફોર્મના મૂળભૂત ખુલ્લા સમૂહો દ્વારા પેદા થયેલ ટોપોલોજી હોય અને કેટલાક માટે (આ ઉત્પાદન ટોપોલોજી છે). સમાનતા સંબંધ પછી ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે. ચાલો કુદરતી ઉપગણોનું સ્થાન હોઈએ, ફરીથી ઉત્પાદન ટોપોલોજી સાથે (મૂળભૂત ખુલ્લો સમૂહ સ્વરૂપનો હોય છે અથવા)-આ કેન્ટોર અવકાશ તરીકે ઓળખાય છે. ટ્યુરિંગ સમાનતાનો સમાનતા સંબંધ એ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધ છે. મોડેલોના વિવિધ વર્ગો વચ્ચે સમરૂપતા સમાનતા સંબંધ, ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધો ન હોવા છતાં, ઉપર વર્ણવેલ અર્થમાં બોરેલ સમાનતા સંબંધની સમાન જટિલતા ધરાવે છે. ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ ગણતરીપાત્ર આલેખનો વર્ગ જ્યાં દરેક શિરોબિંદુની ડિગ્રી મર્યાદિત હોય. તર્કસંગત પર મર્યાદિત ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રીના વર્ગ ક્ષેત્રના વિસ્તરણ. લુઝિન-નોવિકોવ પ્રમેય નિકોલાઈ લુઝિન અને તેમના ડોક્ટરલ વિદ્યાર્થી પ્યોત્ર નોવિકોવના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ આ પ્રમેય, એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે જેનો ઉપયોગ ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધો વિશેના ઘણા પુરાવા છે. પ્રમેય. ધારો કે અને પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યાઓ છે અને અને વચ્ચેનો ગણતરીપાત્ર બોરેલ સંબંધ છે. પછી સમૂહ બોરેલનો સબસેટ છે. વધુમાં, એક બોરેલ કાર્ય છે (જેને બોરેલ યુનિફોર્માઇઝેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) જેમ કે નો ગ્રાફ તેનો સબસેટ છે. છેવટે, બોરેલ અને બોરેલ વિધેયોના બોરેલ સબસેટ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે ગ્રાફનું જોડાણ છે, એટલે કે. આના કેટલાક સરળ પરિણામો છેઃ જો ગણતરીપાત્ર તંતુઓ સાથે બોરેલ માપી શકાય તેવું કાર્ય હોય, તો તેની છબી બોરેલનો સબસેટ છે (કારણ કે છબી બરાબર જ્યાં ગ્રાફનો વિપરીત સંબંધ છે). ધારો કે તે પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા પર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ છે જે ગણતરીપાત્ર સમકક્ષતા વર્ગો ધરાવે છે. ધારો કે તે બોરેલનો સબસેટ છે. પછી બોરેલનો ઉપગણ પણ છે (કારણ કે આ ચોક્કસપણે ક્યાં છે, અને બોરેલ સમૂહ છે). નીચે બે વધુ પરિણામો છે જે ગણનાપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધોને લગતા લુઝિન-નોવિકોવ નોવિકોવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છેઃ ફેલ્ડમેન-મૂર પ્રમેય જેકબ ફેલ્ડમેન અને કેલ્વિન સી. મૂરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ ફેલ્ડમેન-મૂર પ્રમેય જણાવે છેઃ પ્રમેય. ધારો કે પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા પર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ છે જે ગણતરીપાત્ર સમકક્ષતા વર્ગો ધરાવે છે. પછી ત્યાં એક ગણતરીપાત્ર જૂથ અને ક્રિયા અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે દરેક કાર્ય માટે બોરેલ માપી શકાય તેવું છે, અને કોઈપણ માટે, સમાનતાનો વર્ગ બરાબર ક્રિયા હેઠળની ભ્રમણકક્ષા છે. એટલે કે, ગણતરીપાત્ર બોરેલ સમાનતા સંબંધો બરાબર તે જ છે જે ગણતરીપાત્ર જૂથો દ્વારા બોરેલ ક્રિયાઓ દ્વારા પેદા થાય છે. માર્કર લેમ્મા આ લેમ્મા થિયોડોર સ્લામન અને જ્હોન આર. સ્ટીલને કારણે છે, અને ફેલ્ડમેન-મૂર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છેઃ લેમ્મા. ધારો કે પ્રમાણભૂત બોરેલ જગ્યા પર બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ છે જે ગણતરીપાત્ર સમકક્ષતા વર્ગો ધરાવે છે. જવા દો. પછી એક ઘટતો ક્રમ છે જેમ કે બધા માટે અને. ઓછી ઔપચારિક રીતે, લેમ્મા કહે છે કે અનંત સમાનતા વર્ગોને "મનસ્વી રીતે નાના" સમૂહ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણી પાસે લેમ્મા પર બોરેલ સંભાવના માપ હોય તો તે સૂચવે છે કે માપની સાતત્ય દ્વારા). સંદર્ભો વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંત દ્વિસંગી સંબંધો