Silver's dichotomy
વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, ગણિતની એક શાખા, સિલ્વરની દ્વિભાજન (જેને સિલ્વરની પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ સમકક્ષતા સંબંધો વિશેનું નિવેદન છે, જેનું નામ જેક સિલ્વર પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. નિવેદન અને ઇતિહાસ એક સંબંધને સહવિશ્લેષક કહેવામાં આવે છે જો તેનું પૂરક વિશ્લેષણાત્મક સમૂહ હોય. સિલ્વરની દ્વિભાજનતા એ સહ-વિશ્લેષણાત્મક સમતુલ્યતા સંબંધના સમતુલ્યતા વર્ગો વિશેનું નિવેદન છે, જે જણાવે છે કે કોઈપણ સહ-વિશ્લેષણાત્મક સમતુલ્યતા સંબંધમાં ક્યાં તો સંખ્યાબંધ સમતુલ્યતા વર્ગો હોય છે, અથવા તો વાસ્તવિકતાનો એક સંપૂર્ણ સમૂહ હોય છે જે દરેક એકબીજા સાથે અજોડ હોય છે. પછીના કિસ્સામાં, સંબંધના અગણિત રીતે ઘણા સમાનતા વર્ગો હોવા જોઈએ. સિલ્વરની દ્વિભાજનનો પ્રથમ પ્રકાશિત પુરાવો જેક સિલ્વર દ્વારા હતો, જે હાર્વી ફ્રીડમેન દ્વારા પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે 1980માં દેખાયો હતો. પુનરાવર્તિત સમૂહ સિદ્ધાંતમાં દેખાતી સિલ્વરની દ્વિભાજનની એક એપ્લિકેશન એ છે કે સમૂહ સુધી મર્યાદિત સમાનતા સહ-વિશ્લેષણાત્મક હોવાથી, ત્યાં કોઈ બોરેલ સમકક્ષતા સંબંધ નથી, જ્યાં બોરેલ-ઘટાડાને સૂચવે છે. સિલ્વરની દ્વિભાજન દ્વારા પ્રેરિત કેટલાક પછીના પરિણામોએ અપરિવર્તનશીલ વર્ણનાત્મક સમૂહ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાતા નવા ક્ષેત્રની સ્થાપના કરી, જે વ્યાખ્યાયિત સમકક્ષ સંબંધોનો અભ્યાસ કરે છે. સિલ્વરની દ્વિભાજન કેટલીક નબળી પુનરાવર્તિત આવૃત્તિઓને પણ સ્વીકારે છે, જેની સરખામણી વિપરીત ગણિતમાંથી બીજા ક્રમના અંકગણિતની પેટા પ્રણાલીઓ સાથે કરવામાં આવી છે, જ્યારે સિલ્વરની દ્વિભાજન પોતે જ ઓવરની સમકક્ષ છે. સંદર્ભ સમૂહ સિદ્ધાંત