Plane-based Geometric Algebra
પ્લેન-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત એ પ્લેન, રેખાઓ, બિંદુઓ અને કઠોર પરિવર્તનોનું મોડેલિંગ કરવા માટે ક્લિફોર્ડ બીજગણિતનો ઉપયોગ છે. સામાન્ય રીતે આ 3D અવકાશમાં આ ઘટકો અને તેમના આંતરછેદો, અંદાજો અને એકબીજાથી તેમના ખૂણાને સંડોવતા ઇજનેરી સમસ્યાઓને ઉકેલવાના લક્ષ્ય સાથે છે. મૂળરૂપે સ્પિન જૂથો પરના સંશોધનમાંથી વિકસતા, તે રોબોટિક્સને ધ્યાનમાં રાખીને એપ્લિકેશનો સાથે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. ત્યારથી તે મશીન લર્નિંગ, કઠોર શારીરિક ગતિશીલતા અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, ખાસ કરીને કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ પર લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. તે સામાન્ય રીતે "પ્રોજેક્ટિવ ભૌમિતિક બીજગણિત" તરીકે ઓળખાતી પ્રણાલીમાં દ્વૈત કામગીરી સાથે જોડાય છે, નીચે જુઓ. પ્લેન-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત સમતલીય પ્રતિબિંબને મૂળભૂત તત્વો તરીકે લે છે, અને તેમાંથી અન્ય તમામ પરિવર્તન અને ભૌમિતિક પદાર્થોનું નિર્માણ કરે છે. તકનીકી ભાષામાંઃ તે ક્લિફોર્ડ બીજગણિતના ગ્રેડ-1 ઘટકો સાથે સમતલીય પ્રતિબિંબને ઓળખે છે, એટલે કે, એવા ઘટકો કે જે એક જ સબસ્ક્રિપ્ટ સાથે લખવામાં આવે છે જેમ કે ". નીચે વર્ણવેલ કેટલાક દુર્લભ અપવાદો સાથે, બીજગણિત લગભગ હંમેશા હોય છે, એટલે કે તેમાં ત્રણ આધાર ગ્રેડ-1 તત્વો હોય છે જેનો વર્ગ હોય છે અને એક આધાર તત્વ હોય છે જેનો વર્ગ હોય છે. પ્લેન-આધારિત GA એન્જિનિયરિંગમાં લાગુ કરવામાં આવેલી મોટી સંખ્યામાં બીજગણિત રચનાઓનો સમાવેશ કરે છે, જેમાં પરિભ્રમણની અક્ષ-કોણ રજૂઆત, પરિભ્રમણ અને અનુવાદોની ચતુર્થાંશ અને દ્વિ ચતુર્થાંશ રજૂઆત, રેખાઓની પ્લકર રજૂઆત, વિમાનોની બિંદુ સામાન્ય રજૂઆત અને બિંદુઓની એકરૂપ રજૂઆતનો સમાવેશ થાય છે. ડ્યુઅલ ક્વાટર્નિયનો પછી શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના સ્ક્રૂ, ટ્વિસ્ટ અને રેન્ચ મોડેલને બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. ભૂમિતિ માટે સમતલ-આધારિત અભિગમ ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા અભિગમ સાથે વિરોધાભાસી હોઈ શકે છે, જેમાં બિંદુઓ, અનુવાદો, પરિભ્રમણ અક્ષો અને સમતલ નોર્મલ બધા "વેક્ટર" તરીકે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. જો કે, અદ્યતન ઇજનેરી સમસ્યાઓમાં વેક્ટરના ઉપયોગ માટે ઘણીવાર ગિબ્સ વેક્ટર, સ્યુડોવેક્ટર અને વિરોધાભાસી વેક્ટર સહિત વિવિધ પ્રકારના વેક્ટર વચ્ચે સૂક્ષ્મ તફાવતની જરૂર પડે છે. આ બેમાંથી બાદમાં, સમતલ-આધારિત GA માં, "પરિભ્રમણ અક્ષ" અને "બિંદુ" ની વિભાવનાઓનો નકશો બનાવે છે, જેમાં તેમની વચ્ચેનો તફાવત સંકેત દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છેઃ (બે નીચલા સૂચકાંકો) જેવા પરિભ્રમણ અક્ષો હંમેશા (ત્રણ નીચલા સૂચકાંકો) જેવા બિંદુઓ કરતાં અલગ રીતે નોંધવામાં આવે છે. નીચે ગણવામાં આવેલી તમામ વસ્તુઓ હજુ પણ તકનીકી અર્થમાં "વેક્ટર" છે કે તેઓ વેક્ટર સ્પેસના તત્વો છે; જો કે તેઓ (સામાન્ય રીતે) વેક્ટર નથી કે જે અર્થમાં છે કે કોઈ તેમની ક્રોસ પ્રોડક્ટને અર્થપૂર્ણ રીતે લઈ શકે છે-તેથી તેમને તીર તરીકે કલ્પના કરવી માહિતીપ્રદ નથી. 'વેક્ટર' શબ્દમાંથી આવતા વિવિધ બીજગણિત અને દ્રશ્ય સૂચિતાર્થો પર સંઘર્ષ ટાળવા માટે, આ લેખ શબ્દનો ઉપયોગ ટાળશે. પ્લેન-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત પ્લેનથી શરૂ થાય છે અને પછી પ્લેનના આંતરછેદો લઈને રેખાઓ અને બિંદુઓનું નિર્માણ કરે છે. તેના કેનોનિકલ આધારમાં સમતલનો સમાવેશ થાય છે, જે લેબલ થયેલ છે, જે લેબલ થયેલ છે, અને સમતલ,. અન્ય વિમાનો આધાર વિમાનોના ભારિત સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વાય-અને ઝેડ-પ્લેન વચ્ચેનું પ્લેન મિડવે હશે. સામાન્ય રીતે, સમતલ-આધારિત જી. એ. માં બે ભૌમિતિક પદાર્થોનું સંયોજન હંમેશા તેમની ભારિત સરેરાશ તરીકે રહેશે-બિંદુઓનું સંયોજન તેમની વચ્ચે એક બિંદુ આપશે, જેમ કે રેખાઓનું સંયોજન અને ખરેખર પરિભ્રમણ. તત્વોની કોઈપણ જોડી માટે અને, તેમનું ભૌમિતિક ઉત્પાદન એ પરિવર્તન પછીનું પરિવર્તન છે. આનું પરિણામ સામાન્ય રીતે અને-જેવી વસ્તુ નહીં હોય, પરંતુ તે હજી પણ સમતલ-આધારિત GA અંદરની વસ્તુ હશે. ઉદાહરણ તરીકેઃ આ સમીકરણને ભૌમિતિક રીતે એમ કહીને અર્થઘટન કરી શકાય છે કે જો આપણે લઈએ (જે સમતલમાં સમતલીય પ્રતિબિંબ છે) અને (જે x-અક્ષની આસપાસ 180-ડિગ્રી પરિભ્રમણ છે), અને તેમનું ભૌમિતિક ઉત્પાદન લઈએ, તો આપણે મેળવીએ છીએ, જે મૂળમાં એક બિંદુ પ્રતિબિંબ છે. ટ્રાન્સફોર્મ કમ્પોઝિશન-ભૌમિતિક ઉત્પાદન-ને ટ્રાન્સફોર્મ એપ્લિકેશન સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે સેન્ડવિચ ઉત્પાદન સાથે લાગુ કરવામાં આવે છે, નીચે જુઓ. આ ભૌમિતિક અર્થઘટનને સામાન્ય રીતે નીચેના દાવા સાથે જોડવામાં આવે છેઃ પ્રથમ ત્રણ વ્યાખ્યાયિત સમીકરણોની ભૌમિતિક અર્થઘટન એ છે કે જો આપણે એક જ સમતલીય પ્રતિબિંબ બે વાર કરીએ તો આપણે જ્યાંથી શરૂઆત કરી હતી ત્યાં પાછા આવીએ છીએ; દા. ત. ગ્રેડ-1 તત્વ (સમતલ) ને પોતે ગુણાકાર કરવાથી ઓળખ કાર્યમાં પરિણમે છે, ". નિવેદન જે વધુ સૂક્ષ્મ છે. અનંત પરના તત્વો બીજગણિત તત્વ અનંત પરના સમતલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે અન્ય કોઈપણ સ્તરથી અલગ રીતે વર્તે છે-સહજ ભાવે, તેને "સંપર્ક કરી શકાય છે પરંતુ ક્યારેય પહોંચી શકાતું નથી". 3 પરિમાણોમાં, તેને આકાશ તરીકે જોઈ શકાય છે. તેમાં આવેલા બિંદુઓને "લુપ્ત થતા બિંદુઓ" અથવા વૈકલ્પિક રીતે "આદર્શ બિંદુઓ" અથવા "અનંત પરના બિંદુઓ" કહેવામાં આવે છે. આવા બિંદુઓ પર સમાંતર રેખાઓ એકબીજાને મળે છે. અનંત રેખાઓ પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે; ક્ષિતિજ રેખા એ આવી રેખાનું ઉદાહરણ છે. પ્લેન પર ઊભેલા નિરીક્ષક માટે, તેઓ જે પ્લેન પર ઊભા છે તેની સમાંતર તમામ પ્લેન ક્ષિતિજ રેખા પર એકબીજાને મળે છે. બીજગણિત રીતે, જો આપણે જમીન તરીકે લઈએ, તો તે જમીનની સમાંતર સમતલ હશે. આ બે સમાંતર વિમાનો અનંત રેખા પર એકબીજાને મળે છે. મોટાભાગની રેખાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, પરિભ્રમણ માટે અક્ષ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે; હકીકતમાં તેમને કાલ્પનિક ચતુર્થાંશ તરીકે ગણી શકાય. પરંતુ સમતલ-પર-અનંતમાં આવેલી રેખાઓ, જેમ કે રેખા, "પરિભ્રમણ" માટે અક્ષો તરીકે કાર્ય કરી શકતી નથી. તેના બદલે, આ અનુવાદો માટે અક્ષો છે, અને જટિલ સંખ્યાઓ અથવા ચતુર્થાંશ જેવા બીજગણિતને બદલે, તેમની બીજગણિત વર્તણૂક બેવડી સંખ્યાઓ જેવી જ છે, કારણ કે તેઓ 0 થી વર્ગ કરે છે. ત્રણ પાયાની રેખાઓ-થી-ધ-ઓરિજિનનું સંયોજન, જે અનંત પર ત્રણ પાયાની રેખાઓ સાથે ચોરસ છે, તે દ્વિ ચતુર્થાંશ માટે જરૂરી તત્વો આપે છે. ભૌમિતિક ઉત્પાદનમાંથી અન્ય કામગીરીઓનું વ્યુત્પત્તિ એવા ઘણા ઉપયોગી ઉત્પાદનો છે જે ભૌમિતિક ઉત્પાદનમાંથી કાઢી શકાય છે, જે ચતુર્થાંશ ઉત્પાદનમાંથી ડોટ પ્રોડક્ટ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટ કેવી રીતે કાઢવામાં આવ્યા તે સમાન છે. આમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ બિંદુઓ, રેખાઓ અથવા સપાટીઓ સાથે અને ફરીથી તરફનું પરિવર્તન છે; અહીં, વિપરીત છે (અનિવાર્યપણે વ્યસ્ત). જો ચોક્કસ અંતર અથવા ખૂણા દ્વારા પરિવર્તન જરૂરી હોય, તો તે દ્વિ ચતુર્થાંશ ઘાતાંકીય અને લઘુગણક સાથે મેળવી શકાય છે. મીટ (અથવા "ફાચર ઉત્પાદન"), જે પદાર્થોના આંતરછેદો લેવા માટે ઉપયોગી છે; ઉદાહરણ તરીકે, રેખા સાથે સમતલનું આંતરછેદ એ બિંદુ છે. આંતરિક ઉત્પાદન, જે અન્ય પદાર્થો પર પદાર્થોના અંદાજો લેવા માટે ઉપયોગી છે; આનું પ્રક્ષેપણ છે-આ સૂત્ર ધરાવે છે કે શું પદાર્થો બિંદુઓ, રેખાઓ અથવા સમતલ છે. તે ડોટ પ્રોડક્ટનું સામાન્યીકરણ છે. નોર્મ છે અને સૂચવવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ મોટાભાગની વસ્તુઓ વચ્ચેનો ખૂણો લેવા માટે થઈ શકે છેઃ અને વચ્ચેનો ખૂણો, પછી ભલે તે રેખાઓ હોય કે સમતલ, છે. આ ધારે છે કે અને બંનેમાં ધોરણ છે, દા. ત. બિંદુઓ, રેખાઓ, સમતલ અને ખરેખર અન્ય કઠોર પરિવર્તન સહિત કોઈપણ પદાર્થમાં કોઈપણ કઠોર પરિવર્તન (દ્વિ ચતુર્થાંશ) અથવા પ્રતિબિંબનો ઉપયોગ, જ્યાં રૂપાંતરિત થવાનો પદાર્થ છે; આ "સેન્ડવિચ ઉત્પાદન" છે. કોમ્યુટેટર પ્રોડક્ટ, જેને રેખાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે અનન્ય રેખા આપશે જે બંનેને ઓર્થોગોનલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, યાદ રાખો કે તે એક પ્લેન છે, જેમ કે છે. તેમનું ભૌમિતિક ઉત્પાદન તેમની "પ્રતિબિંબ રચના" છે-જેમાં પ્રતિબિંબ પછી પ્રતિબિંબ આવે છે, જે બેવડા ચતુર્થાંશમાં પરિણમે છે. પરંતુ આ ઇચ્છિત કરતાં વધુ હોઈ શકે છે; જો આપણે ફક્ત બે વિમાનોની આંતરછેદ રેખા લેવા માંગતા હોઈએ, તો આપણે ફક્ત આ પરિણામના "ગ્રેડ-2 ભાગ" ને જોવાની જરૂર છે, દા. ત. બે નીચલા સૂચકાંકો સાથેનો ભાગ. આંતરછેદ રેખા બે વિમાનોની રૂપાંતર રચનાની અંદર સમાયેલી છે તે સ્પષ્ટ કરવા માટે જરૂરી માહિતી, કારણ કે વિમાનોની જોડીમાં પ્રતિબિંબ તેમના આંતરછેદ રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણમાં પરિણમશે. પ્રતિબિંબના બીજગણિત તરીકે અર્થઘટન 3D માં તમામ અંતર-સંરક્ષિત પરિવર્તન (અનિવાર્યપણે, કઠોર પરિવર્તન અને પ્રતિબિંબ) ના બીજગણિતને યુક્લિડિયન જૂથ કહેવામાં આવે છે. કાર્ટન-ડ્યુડોન પ્રમેય દ્વારા, તેના કોઈપણ તત્વને સમતલમાં પ્રતિબિંબની શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે. સમતલ-આધારિત જીએમાં, અનિવાર્યપણે તમામ ભૌમિતિક પદાર્થોને પરિવર્તન તરીકે વિચારી શકાય છે. પ્લેન જેમ કે સમતલીય પ્રતિબિંબ, બિંદુ પ્રતિબિંબ જેવા બિંદુઓ અને રેખા પ્રતિબિંબ જેવી રેખાઓ-જે 3Dમાં 180-ડિગ્રી પરિભ્રમણ જેવી જ હોય છે. ઓળખ પરિવર્તન એ અનન્ય પદાર્થ છે જે શૂન્ય પ્રતિબિંબમાંથી બનેલો છે. આ તમામ ઘટકો છે. કેટલાક ઘટકો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ ખૂણા દ્વારા પરિભ્રમણ જે 180 ડિગ્રી નથી, તેમાં એક પણ ચોક્કસ ભૌમિતિક પદાર્થ નથી જેનો ઉપયોગ તેમને કલ્પના કરવા માટે થાય છે; તેમ છતાં, તેઓ હંમેશા પ્રતિબિંબોથી બનેલા હોવાનું વિચારી શકાય છે, અને હંમેશા સમતલ-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિતમાં પદાર્થોના કેટલાક તત્વોના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અક્ષની આસપાસ થોડું પરિભ્રમણ છે, અને તેને અને ના ભૌમિતિક ગુણાકાર (પરિવર્તન રચના) તરીકે લખી શકાય છે, જે બંને રેખા પર છેદતા સમતલીય પ્રતિબિંબ છે. હકીકતમાં, કોઈપણ પરિભ્રમણને તેના અક્ષમાંથી પસાર થતા બે સમતલીય પ્રતિબિંબની રચના તરીકે લખી શકાય છે; આમ તેને 2-પ્રતિબિંબ કહી શકાય. રોટરફ્રેક્શન્સ, ગ્લાઇડ રિફ્લેક્શન્સ અને પોઇન્ટ રિફ્લેક્શન્સને હંમેશા 3 પ્લેનર રિફ્લેક્શન્સની રચના તરીકે લખી શકાય છે અને તેથી તેને 3-રિફ્લેક્શન્સ કહેવામાં આવે છે. 3D માટે આની ઉપલી મર્યાદા સ્ક્રૂ ગતિ છે, જે 4-પ્રતિબિંબ છે. આ કારણોસર, સ્ક્રૂ ગતિને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, 3D પ્લેન-આધારિત GA ના ગ્રેડ-4 તત્વનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, જે ઉચ્ચતમ-ગ્રેડ તત્વ છે. ભૌમિતિક ઉત્પાદનનું ભૌમિતિક અર્થઘટન "રદ કરવું" પ્રતિબિંબ સમતલમાં પ્રતિબિંબ પછી સમાન સમતલમાં પ્રતિબિંબ કોઈ ફેરફારમાં પરિણમે નહીં. આ ભૂમિતિ માટેનું બીજગણિત અર્થઘટન એ છે કે વર્ગ થી વર્ગ જેવા ગ્રેડ-1 તત્વો. આ સરળ હકીકતનો ઉપયોગ ભૌમિતિક ઉત્પાદનના સામાન્ય વર્તન માટે ભૌમિતિક અર્થઘટન આપવા માટે એક ઉપકરણ તરીકે થઈ શકે છે જે "અરીસાઓને રદ કરીને" ભૌમિતિક સમસ્યાઓનું સમાધાન કરે છે. આની ઉપયોગિતાનું ઉદાહરણ આપવા માટે, ધારો કે આપણે 3D માં ચોક્કસ રેખા માટે સમતલ ઓર્થોગોનલ શોધવા માંગીએ છીએ અને ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થવા માંગીએ છીએ. તે 2-પ્રતિબિંબ છે અને 3-પ્રતિબિંબ છે, તેથી તેમના ભૌમિતિક ઉત્પાદનને અમુક અર્થમાં લેવાથી 5-પ્રતિબિંબ ઉત્પન્ન થાય છે; જો કે, નીચે આપેલા ચિત્રની જેમ, આમાંથી બે પ્રતિબિંબ રદ થાય છે, 3-પ્રતિબિંબ છોડી દે છે (કેટલીકવાર રોટોરેફ્લેક્શન તરીકે ઓળખાય છે). સમતલ-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત સંકેતલિપીમાં, આ પરિભ્રમણને બિંદુ પ્રતિબિંબમાં "ઉમેરાયેલ" સમતલીય પ્રતિબિંબ તરીકે વિચારી શકાય છે. આ પરિભ્રમણનો સમતલ ભાગ એ સમતલ છે જે રેખા અને મૂળ બિંદુ સાથે ઓર્થોગોનલ છે. સમાન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ સમતલની ઓર્થોગોનલ રેખા શોધવા માટે અને બિંદુમાંથી પસાર થવા માટે, અથવા રેખા અને સમતલનું આંતરછેદ, અથવા અન્ય સમતલ સાથે સમતલની આંતરછેદ રેખા શોધવા માટે થઈ શકે છે. પરિભ્રમણ અને અનુવાદો જેમ કે ઉપ-બીજગણિત પરિભ્રમણ અને અનુવાદો એ એવા પરિવર્તન છે જે અંતર અને હસ્તકલા (કાયરાલીટી) જાળવી રાખે છે, દા. ત. જ્યારે તેઓ પદાર્થોના સમૂહ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે પદાર્થો વચ્ચેનું સંબંધિત અંતર બદલાતું નથી; ન તો તેમના હાથની ક્ષમતા, એટલે કે જમણા હાથના હાથમોજાં ડાબા હાથના હાથમોજામાં ફેરવાશે નહીં. 3ડી યુક્લિડિયન સમતલ-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિતમાં તમામ પરિવર્તન અંતર જાળવી રાખે છે, પરંતુ પ્રતિબિંબ, પરિભ્રમણ અને રૂપાંતરણ હાથની ક્ષમતાને જાળવી રાખતા નથી. પરિભ્રમણ અને અનુવાદ હાથને જાળવી રાખે છે, જે 3D પ્લેન-આધારિત GA માં સૂચવે છે કે તેમને સમાન સંખ્યામાં પ્રતિબિંબની રચના તરીકે લખી શકાય છે. પરિભ્રમણને સમતલમાં પ્રતિબિંબ તરીકે વિચારી શકાય છે અને ત્યારબાદ બીજા સમતલમાં પ્રતિબિંબ તરીકે વિચારી શકાય છે જે પ્રથમની સમાંતર નથી (ચતુર્થાંશ, જે ઉપર પીજીએના સંદર્ભમાં સુયોજિત છે). જો વિમાનો સમાંતર હોત, તો તેમના પ્રતિબિંબની રચના અનુવાદ આપશે. પરિભ્રમણ અને અનુવાદ બંને સ્ક્રૂ ગતિના વિશેષ કિસ્સાઓ છે, દા. ત. અવકાશમાં એક રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ અને ત્યારબાદ તે જ રેખા સાથે નિર્દેશિત અનુવાદ. આ જૂથને સામાન્ય રીતે એસઇ (3) કહેવામાં આવે છે, જે 3 પરિમાણોમાં વિશેષ (હેન્ડનેસ-જાળવણી) યુક્લિડિયન (અંતર-જાળવણી) પરિવર્તનોનું જૂથ છે. આ જૂથમાં બે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી રજૂઆતો છે જે તેમને બીજગણિત અને ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે, એક વાસ્તવિક સંખ્યાઓના 4 × 4 મેટ્રિસીસ છે, અને અન્ય દ્વિ ચતુર્થાંશ છે. દ્વિ ચતુર્થાંશ પ્રતિનિધિત્વ (સામાન્ય ચતુર્થાંશની જેમ) વાસ્તવમાં એસઇ (3) નું બેવડું આવરણ છે. દ્વિ ચતુર્થાંશ બીજગણિત રીતે બંધ હોવાથી અને તેમાં બેસિસ તત્વોની સમ સંખ્યાથી બનેલા હોવાથી, તેમને 3D યુક્લિડિયન પ્લેન-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિતનું સમ ઉપ-બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. 'સ્પિનોર' શબ્દનો ઉપયોગ કેટલીકવાર આ ઉપ-બીજગણિતનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. વિમાનોનો ઉપયોગ કરીને કઠોર પરિવર્તનોનું વર્ણન કરવું કેમિલી જોર્ડનના કાર્યમાં મુખ્ય ધ્યેય હતું. અને મિશેલ ચેસલ્સ કારણ કે તે સારવારને પરિમાણ-સ્વતંત્ર બનવાની મંજૂરી આપે છે. સામાન્યીકરણ વ્યુત્ક્રમાત્મક ભૂમિતિ વ્યુત્ક્રમાત્મક ભૂમિતિ એ વર્તુળો અને ગોળાઓમાં વ્યુત્ક્રમ દ્વારા પેદા થતી ભૌમિતિક વસ્તુઓ અને વર્તણૂકોનો અભ્યાસ છે. સમતલમાં પ્રતિબિંબ એ ગોળાઓમાં વ્યુત્ક્રમનો એક વિશેષ કેસ છે, કારણ કે સમતલ એ અનંત ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળા છે. સમતલ-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત પ્રતિબિંબની રચના દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, તેથી તે વ્યુત્ક્રમાત્મક ભૂમિતિના એક વિશેષ કેસ છે. વ્યુત્ક્રમાત્મક ભૂમિતિ પોતે કન્ફોર્મલ જીઓમેટ્રિક આલ્જેબ્રા (સીજીએ) તરીકે ઓળખાતી મોટી પ્રણાલી સાથે કરી શકાય છે, જેમાંથી પ્લેન-આધારિત જીએ એક ઉપ-બીજગણિત છે. સીજીએ સામાન્ય રીતે 3ડી જગ્યા પર પણ લાગુ કરવામાં આવે છે, અને તે સામાન્ય ગોળાઓ, વર્તુળો અને અનુરૂપ (કોણ-જાળવણી) પરિવર્તનોનું મોડેલ બનાવવામાં સક્ષમ છે, જેમાં પોઇનકેર ડિસ્ક પર જોવા મળતા પરિવર્તનોનો સમાવેશ થાય છે. પીજીએ અને સીજીએ વચ્ચેનું જોડાણ જોવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, કારણ કે સીજીએ ઘણીવાર "બિંદુ આધારિત" હોય છે, જો કે કેટલાક લેખકો સીજીએ માટે પ્લેન-આધારિત અભિગમ અપનાવે છે જે પ્લેન-આધારિત જીએ અને સીજીએ માટેના સંકેતોને સમાન બનાવે છે. પ્રોજેક્ટિવ ભૌમિતિક બીજગણિત પ્લેન-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત તમામ યુક્લિડિયન પરિવર્તનોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવામાં સક્ષમ છે, પરંતુ વ્યવહારમાં તે લગભગ હંમેશા "પ્રોજેક્ટિવ ભૌમિતિક બીજગણિત", પીજીએ તરીકે ઓળખાતી મોટી પ્રણાલી બનાવવા માટે અમુક પ્રકારની બેવડી કામગીરી સાથે જોડાય છે. અન્ય ક્લિફોર્ડ અને ગ્રાસમેન આલ્જેબ્રાની જેમ દ્વૈતતા, પ્રતિગામી ઉત્પાદનની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છે. આ ઇજનેરી કાર્યક્રમો માટે અત્યંત ઉપયોગી છે-સમતલ-આધારિત જી. એ. માં, પ્રતિગામી ઉત્પાદન રેખા મેળવવા માટે એક બિંદુને બીજા બિંદુ સાથે જોડી શકે છે, અને સમતલ મેળવવા માટે એક બિંદુ અને એક રેખાને જોડી શકે છે. તેમાં વધુ સગવડ છે કે જો કોઈપણ બે ઘટકો (બિંદુઓ, રેખાઓ અથવા સમતલ) નો ધોરણ (ઉપર જુઓ) સમાન હોય, તો તેમના પ્રતિગામી ઉત્પાદનનું ધોરણ તેમની વચ્ચેના અંતર જેટલું હોય છે. કેટલાક બિંદુઓના જોડાણને તેમના એફાઇન હલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. દ્વૈત અને પરિભાષાના પ્રકારો પીજીએમાં પ્રતિગામી ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી દ્વિ માટે આપવામાં આવેલી ચોક્કસ વ્યાખ્યા વિશે લેખકોમાં ભિન્નતા છે. ગમે તે વ્યાખ્યા આપવામાં આવે, રીગ્રેસિવ પ્રોડક્ટ સંપૂર્ણપણે સમાન આઉટપુટ આપવા માટે કાર્ય કરે છે; આ કારણોસર, દ્વિગુણની ચોક્કસ ચર્ચા સામાન્ય રીતે પ્રોજેક્ટિવ ભૌમિતિક બીજગણિત પર પ્રારંભિક સામગ્રીમાં શામેલ નથી. ત્યાં નોંધપાત્ર વૈચારિક અને દાર્શનિક તફાવતો છેઃ હોજ ડ્યુઅલ સમતલ-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિતના તત્વોને સમતલ આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિતના અન્ય તત્વો સાથે સંબંધિત કરે છે (દા. ત., અન્ય યુક્લિડિયન પરિવર્તન); ઉદાહરણ તરીકે, સમતલીય પ્રતિબિંબની હોજ ડ્યુઅલ એ એક બિંદુ પ્રતિબિંબ છે. પીજીએને મૂળ રીતે હોજ ડ્યુઅલનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું. પ્રોજેક્ટિવ ડ્યુઅલ પણ બિંદુઓ પર પ્લેનને મેપ કરે છે, પરંતુ એવું નથી કે બંને પ્રતિબિંબ છે; તેના બદલે, પ્લેન-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિત જે જગ્યામાં કાર્ય કરે છે અને એક અલગ, બિન-યુક્લિડિયન જગ્યા વચ્ચે પ્રોજેક્ટિવ ડ્યુઅલ સ્વિચ, ડ્યુઅલ સ્પેસ જુઓ. ઉદાહરણ તરીકે, સમતલ-આધારિત ભૌમિતિક બીજગણિતમાં સમતલ, જે સમતલીય પ્રતિબિંબ કરે છે, તેને દ્વિ અવકાશમાં બિંદુઓ સાથે મેપ કરવામાં આવે છે જે સંરેખણમાં સામેલ હોય છે. વિવિધ લેખકોએ પી. જી. એ. ના પ્લેન-આધારિત જી. એ. ભાગને "યુક્લિડિયન સ્પેસ" અને "એન્ટિસપેસ" તરીકે ઓળખાવ્યો છે. દ્વૈતતાનું આ સ્વરૂપ, એ હકીકત સાથે જોડાયેલું છે કે ભૌમિતિક પદાર્થોને એકરૂપ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે (એટલે કે સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર તેમને બદલતો નથી), તે જ કારણ છે કે સિસ્ટમને "પ્રોજેક્ટિવ" ભૌમિતિક બીજગણિત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (તેમ છતાં તે સંપૂર્ણ પ્રોજેક્ટિવ જૂથ ધરાવતું નથી, જે કોન્ફોર્મલ ભૌમિતિક બીજગણિતથી વિપરીત છે, જેમાં સંપૂર્ણ અનુરૂપ જૂથ હોય છે). વૈકલ્પિક રીતે, અનુરૂપ ભૌમિતિક બીજગણિતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે (કારણ કે સમતલ-આધારિત જીએ એ સીજીએનું ઉપ-બીજગણિત છે), પરંતુ તેની અંદર પીજીએ પ્રતિગામી ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરવું એ હકીકત દ્વારા જટિલ છે કે સીજીએનું પોતાનું પ્રતિગામી ઉત્પાદન છે, જે એક અલગ ઉત્પાદન છે, અનૌપચારિક રીતે કારણ કે સીજીએમાં ત્રણ બિંદુઓનું જોડાણ એક વર્તુળ છે, જ્યારે પીજીએમાં તે સમતલ છે. બીજી સમસ્યા એ છે કે પી. જી. એ. "બિંદુઓ" સી. જી. એ. બિંદુઓ કરતાં મૂળભૂત રીતે અલગ બીજગણિત પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે; બે બીજગણિતની તુલના કરવા માટે, પી. જી. એ. બિંદુઓને સી. જી. એ. બિંદુ જોડીઓ તરીકે ઓળખવા જોઈએ, જ્યાં બિંદુ જોડી અનંત પર બિંદુ ધરાવે છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, કેટલાક લેખકો સી. જી. એ. માં પ્રોજેક્ટિવ ડ્યુઅલને તેની અંદર બે અલગ અલગ પી. જી. એ.-આઇસોમોર્ફિક સબએલજેબ્રાના વિનિમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે; સી. જી. એ. ની અંદર હોજ ડ્યુઅલને વ્યાખ્યાયિત કરવું પણ શક્ય છે, પરંતુ સી. જી. એ. તત્વનો ઉપયોગ કરીને, જે પી. જી. એ. સ્યુડોસ્કેલર છે. બિન-યુક્લિડીયન ભૂમિતિઓ અને 3 પરિમાણોમાં શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથોનું પ્રોજેક્ટિવ ભૌમિતિક બીજગણિત પ્રથમ અંદાજ મુજબ, ભૌતિક વિશ્વ યુક્લિડીયન છે, એટલે કે. મોટાભાગના પરિવર્તન કઠોર હોય છે; તેથી પ્રોજેક્ટિવ ભૌમિતિક બીજગણિત સામાન્ય રીતે તેના પર આધારિત હોય છે, કારણ કે આ બીજગણિતમાં કઠોર પરિવર્તનોનું પ્રતિરૂપ બનાવી શકાય છે. જો કે, બીજગણિતમાં થોડો ફેરફાર કરીને અન્ય જગ્યાઓનું મોડેલ બનાવવું શક્ય છે. આ પ્રણાલીઓમાં, બિંદુઓ, સમતલ અને રેખાઓ સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે તેઓ સમતલ-આધારિત GAમાં ધરાવે છે. પરંતુ પરિભ્રમણ અને પ્રતિબિંબ જેવા પરિવર્તનની ભૂમિતિ પર ખૂબ જ અલગ અસરો પડશે. નીચેના તમામ કિસ્સાઓમાં, બીજગણિત એ જગ્યામાં પ્રતિબિંબ, પરિભ્રમણ અને પરિભ્રમણના જૂથનું બેવડું આવરણ છે. યુક્લિડિયન કેસમાંથી તમામ ફોર્મ્યુલાઓ આ અન્ય ભૂમિતિઓ પર વહન કરે છે-મીટ હજી પણ પદાર્થોના આંતરછેદને લેવાની રીત તરીકે કાર્ય કરે છે; ભૌમિતિક ઉત્પાદન હજી પણ પરિવર્તન રચવાની રીત તરીકે કાર્ય કરે છે; અને હાયપરબોલિક કેસમાં આંતરિક ઉત્પાદન હાયપરબોલિક કોણને માપવા માટે સક્ષમ બને છે. ત્રણેય સમ સબઅલ્જેબ્રા એ શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથો છે (સ્કેલર દ્વારા ભાગાકાર લીધા પછી). દરેક જૂથ માટે સંકળાયેલ લાઈ બીજગણિત એ ક્લિફોર્ડ બીજગણિતના દ્વિભાજક છે, જે સ્કેલર દ્વારા ભાગાકાર લેતા નથી. સંદર્ભો ભૌમિતિક બીજગણિત