Laakso space
ગાણિતિક વિશ્લેષણ અને મેટ્રિક ભૂમિતિમાં, લાક્સો જગ્યાઓ મેટ્રિક જગ્યાઓનો એક વર્ગ છે જે ફ્રેક્ટલ છે, એ અર્થમાં કે તેમની પાસે બિન-પૂર્ણાંક હૌસડોર્ફ પરિમાણ છે, પરંતુ તે વિભેદક કલનની કલ્પનાને સ્વીકારે છે. તેઓ ભાગાકાર જગ્યાઓ તરીકે બાંધવામાં આવે છે જ્યાં K એ કેન્ટોર સમૂહ છે. બેકગ્રાઉન્ડ ચીગરે મેટ્રિક માપન જગ્યાઓ પર વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યો માટે તફાવતની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરી છે જે યુક્લિડિયન જગ્યા અને રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પર સામાન્ય કલ્પનાને સામાન્ય બનાવતી પોઇનકેર અસમાનતાને બમણી અને સંતોષ આપે છે. આ શરતોને સંતોષતી જગ્યાઓમાં કાર્નોટ જૂથો અને અન્ય પેટા-રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ કોચ સ્નોફ્લેક અથવા સિયેરપિન્સ્કી ગાસ્કેટ જેવા ક્લાસિક ફ્રેક્ટલ્સનો સમાવેશ થતો નથી. તેથી પ્રશ્ન ઊભો થયો કે શું અપૂર્ણાંક હૌસડોર્ફ પરિમાણની જગ્યાઓ પોઇનકેર અસમાનતાને સંતોષી શકે છે. બૌર્ડન અને પાજોટે સૌપ્રથમ આવી જગ્યાઓનું નિર્માણ કર્યું હતું. ટોમી જે. લાક્સોએ એક અલગ રચના આપી હતી જે હૌસડોર્ફ પરિમાણ સાથેની જગ્યાઓને 1 કરતા મોટી કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા આપે છે. આ ઉદાહરણો હવે લાક્સો જગ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે. બાંધકામ આપણે હૌસડોર્ફ પરિમાણ સાથેની જગ્યાનું વર્ણન કરીએ છીએ. (પૂર્ણાંક પરિમાણો માટે, યુક્લિડિયન જગ્યાઓ ઇચ્છિત સ્થિતિને સંતોષે છે, અને અંતરાલમાં કોઈપણ હૌસડોર્ફ પરિમાણ માટે, જ્યાં પૂર્ણાંક હોય, આપણે જગ્યા લઈ શકીએ છીએ.) ચાલો એવું બનીએ કે પછી K ને અંતરાલના મધ્ય ભાગને કાપીને અને તે રચનાનું પુનરાવર્તન કરીને મેળવેલા કેન્ટોર સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, K ને 0 અને 1 ધરાવતા અને સંતોષકારક ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સંકેતો પર બચત કરવા માટે, હવે આપણે ધારીએ છીએ કે, જેથી K એ સામાન્ય મધ્ય તૃતીયાંશ કેન્ટોર સમૂહ છે. સામાન્ય બાંધકામ સમાન છે પરંતુ વધુ જટિલ છે. યાદ કરો કે મધ્ય તૃતીયાંશ કેન્ટોર સમૂહમાં તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમના ત્રિમાસિક વિસ્તરણમાં માત્ર 0 અને 2નો સમાવેશ થાય છે. 0 અને 2 ની સ્ટ્રિંગને જોતાં, ચાલો K ના બિંદુઓનો સબસેટ હોઈએ જેમાં બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે જેની ત્રિમાસિક વિસ્તરણ શરૂ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો હવે સૌથી નીચી શરતોમાં અપૂર્ણાંક હોઈએ. 0 અને 2 ની લંબાઈના દરેક સ્ટ્રિંગ માટે, અને દરેક બિંદુ માટે, આપણે બિંદુ સાથે ઓળખીએ છીએ. આપણે પરિણામી ભાગાકાર અવકાશને ભાગાકાર મેટ્રિક આપીએ છીએઃ જ્યાં દરેકને આ સ્વરૂપના તમામ મર્યાદિત ક્રમમાં ઓળખવામાં આવે છે અને અનંત લેવામાં આવે છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ b (જેને વર્મહોલ સ્તર કહેવાય છે) અને તેમના ક્રમ k ને વધુ જટિલ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી યોગ્ય હૌસડોર્ફ પરિમાણ સાથે જગ્યા મેળવી શકાય, પરંતુ મૂળભૂત વિચાર સમાન છે. ગુણધર્મો એ બમણી જગ્યા છે અને-પોઇનકેર અસમાનતાને સંતોષે છે. તેમાં કોઈ પણ યુક્લિડિયન જગ્યામાં બિલિપ્સચિટ્ઝ એમ્બેડિંગ નથી. સંદર્ભો મેટ્રિક જગ્યાઓ મેટ્રિક ભૂમિતિ