Weak stability boundary
નબળી સ્થિરતા સીમા (ડબલ્યુએસબી), જેમાં ઓછી ઊર્જા ટ્રાન્સફરનો સમાવેશ થાય છે, તે 1987માં એડવર્ડ બેલબ્રુનો દ્વારા રજૂ કરાયેલ એક ખ્યાલ છે. આ વિભાવના સમજાવે છે કે કેવી રીતે અવકાશયાન ખૂબ ઓછા બળતણનો ઉપયોગ કરીને ભ્રમણકક્ષાને બદલી શકે છે. ત્રણ શરીરની સમસ્યા માટે નબળી સ્થિરતા સીમા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સમસ્યા બે મોટા પદાર્થો, P1, P2, ના સંદર્ભમાં ચાલતા નગણ્ય દળના કણ P ની ગતિને ધ્યાનમાં લે છે, જે બિંદુ દળ તરીકે રચાયેલ છે, જ્યાં આ પદાર્થો એકબીજાના સંદર્ભમાં ગોળાકાર અથવા લંબગોળ ભ્રમણકક્ષામાં ફરે છે, અને P2 એ P1 કરતા નાનું છે. ત્રણેય પદાર્થો વચ્ચેનું બળ એ શાસ્ત્રીય ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, P1 એ પૃથ્વી છે, P2 એ ચંદ્ર છે અને P એ અવકાશયાન છે; અથવા P1 એ સૂર્ય છે, P2 એ ગુરુ છે અને P એ ધૂમકેતુ છે, વગેરે. આ મોડેલને પ્રતિબંધિત ત્રણ-શરીરની સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. નબળી સ્થિરતા સીમા P2 વિશેના પ્રદેશને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યાં P અસ્થાયી રૂપે કબજે કરવામાં આવે છે. આ પ્રદેશ સ્થિતિ-વેગ અવકાશમાં છે. કેપ્ચરનો અર્થ એ છે કે પી અને પી 2 વચ્ચેની કેપ્લર ઊર્જા નકારાત્મક છે. આને નબળું કેપ્ચર પણ કહેવામાં આવે છે. પૃષ્ઠભૂમિ આ સરહદની વ્યાખ્યા પ્રથમ વખત 1987માં પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટીના એડવર્ડ બેલબ્રુનો દ્વારા કરવામાં આવી હતી. તેમણે ઓછી ઊર્જાના સ્થાનાંતરણનું વર્ણન કર્યું જે અવકાશયાનને ખૂબ જ ઓછા બળતણનો ઉપયોગ કરીને ભ્રમણકક્ષાઓ બદલવાની મંજૂરી આપશે. તે P1 = પૃથ્વી સાથે ચંદ્ર (P2) ની આસપાસની ગતિ માટે હતું. ચંદ્રની આસપાસ પી ની ચક્ર ગતિ પર દેખરેખ રાખીને અને એક ચક્ર પછી સ્થિર અને અસ્થિર વચ્ચે ચક્ર ગતિ સંક્રમણ થાય છે તે પ્રદેશને શોધીને તેને એલ્ગોરિધમિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્થિર ગતિનો અર્થ એ છે કે પી સંદર્ભ વિભાગ સાથે સંબંધિત એક ચક્ર માટે ચંદ્રની આસપાસ સંપૂર્ણપણે ચક્ર કરી શકે છે, જે નબળા કેપ્ચરથી શરૂ થાય છે. પી ને નકારાત્મક કેપ્લર ઊર્જા સાથે સંદર્ભ વિભાગમાં પાછા ફરવાની જરૂર છે. નહિંતર, ગતિને અસ્થિર કહેવામાં આવે છે, જ્યાં પી એક ચક્રની અંદર સંદર્ભ વિભાગમાં પાછો આવતો નથી અથવા જો તે પાછો આવે છે, તો તેમાં બિન-નકારાત્મક કેપ્લર ઊર્જા હોય છે. ચંદ્ર વિશેના તમામ સંક્રમણ બિંદુઓના સમૂહમાં નબળી સ્થિરતા સીમાનો સમાવેશ થાય છે. ની ગતિ સંવેદનશીલ અથવા અસ્તવ્યસ્ત હોય છે કારણ કે તે ચંદ્રની અંદર ફરે છે. એક ગાણિતિક પુરાવો કે અંદરની ગતિ અસ્તવ્યસ્ત છે તે 2004 માં આપવામાં આવ્યો હતો. આ દર્શાવીને પરિપૂર્ણ કરવામાં આવે છે કે પ્રતિબંધિત થ્રી-બોડી સમસ્યામાં મનસ્વી બોડી P2 વિશેનો સમૂહ અપૂર્ણાંક પરિમાણનો હાયપરબોલિક અપરિવર્તનશીલ સમૂહ ધરાવે છે જેમાં અનંત ઘણા આંતરછેદો હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડ્સનો સમાવેશ થાય છે. નબળી સ્થિરતા સરહદને મૂળરૂપે અસ્પષ્ટ સરહદ તરીકે ઓળખવામાં આવતી હતી. આ શબ્દનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો કારણ કે અલ્ગોરિધમમાં વ્યાખ્યાયિત કેપ્ચર અને એસ્કેપ વચ્ચેનું સંક્રમણ સંખ્યાત્મક ચોકસાઈ દ્વારા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અને મર્યાદિત નથી. આ સંક્રમણ બિંદુઓ માટે "અસ્પષ્ટ" સ્થાનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે સંક્રમણ બિંદુઓની નજીક P ની ગતિમાં અંતર્ગત અંધાધૂંધીને કારણે પણ છે. તેને અસ્પષ્ટ અંધાધૂંધી વિસ્તાર તરીકે વિચારી શકાય છે. ડિસ્કવર મેગેઝિનના એક લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ, ડબલ્યુ. એસ. બી. ને આશરે એક પદાર્થ (ચંદ્ર) વિશે ગુરુત્વાકર્ષણ કૂવા તરીકે ઓળખાતા પ્રદેશની અસ્પષ્ટ ધાર તરીકે જોઈ શકાય છે, જ્યાં તેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એટલું નાનું થઈ જાય છે કે તે બીજા પદાર્થ (પૃથ્વી) ના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે અને ત્યાંની ગતિ અસ્તવ્યસ્ત હોય છે. 2007માં વધુ સામાન્ય અલ્ગોરિધમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું. તે સાપેક્ષ-ચક્રને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યાં = 1,2,3,., ક્રમ n ની સીમાઓ આપે છે. આ ક્રમ n ની તમામ નબળી સ્થિરતા સીમાઓના જોડાણનો સમાવેશ કરતો વધુ જટિલ પ્રદેશ આપે છે. આ વ્યાખ્યાને 2010 માં વધુ શોધવામાં આવી હતી. પરિણામો સૂચવે છે કે W માં, અંશતઃ, P2 નજીક L1, L2 લેગ્રેન્જ બિંદુઓ વિશે લિયાપુનોવની ભ્રમણકક્ષાઓ સાથે સંકળાયેલા અપરિવર્તનશીલ મેનીફોલ્ડ્સના હાયપરબોલિક નેટવર્કનો સમાવેશ થાય છે. P2 = ગુરુ વિશેના સમૂહના સ્પષ્ટ નિર્ધારણ, જ્યાં P1 એ સૂર્ય છે, તેનું વર્ણન "નબળી સ્થિરતા સીમાઓની ગણતરીઃ સૂર્ય-જ્યુપિટર કેસ" માં કરવામાં આવ્યું છે. તે તારણ આપે છે કે નબળા સ્થિરતા ક્ષેત્રને મોટા દળ બિંદુ, પી 1 ની તુલનામાં પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પી1 વિશેની નબળી સ્થિરતા સીમાના અસ્તિત્વનો પુરાવો 2012માં આપવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ એક અલગ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. ગતિની અંધાધૂંધી વિશ્લેષણાત્મક રીતે "નબળી સ્થિરતા સીમાઓની ભૂમિતિ" માં સાબિત થાય છે. સીમાનો અભ્યાસ "પ્રભાવના ચંદ્ર ક્ષેત્રમાં અલ્ગોરિધમિક નબળી સ્થિરતા સીમાની સંકળાયેલ સેટ્સની લાગુ પડતી અને ગતિશીલ લાક્ષણિકતા" માં કરવામાં આવે છે. કમજોર સ્થિરતા સીમા (ડબલ્યુ. એસ. બી.) માટે સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો છે. ડબ્લ્યુએસબી કામચલાઉ કેપ્ચરના પ્રદેશને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તેથી તેનો ઉપયોગ, ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીથી ચંદ્ર પર ટ્રાન્સફર ટ્રેજેક્ટરીઝ શોધવા માટે થઈ શકે છે, જે નબળા કેપ્ચરમાં ડબ્લ્યુએસબી પ્રદેશમાં ચંદ્ર પર પહોંચે છે, જેને અવકાશયાન માટે બેલિસ્ટિક કેપ્ચર કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં પકડવા માટે કોઈ બળતણની જરૂર નથી. આ 1987માં આંકડાકીય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. અવકાશયાન માટે બેલિસ્ટિક કેપ્ચર અને નબળી સ્થિરતા સીમાની વ્યાખ્યા માટેનો આ પ્રથમ સંદર્ભ છે. 1991 માં જ્યારે તેનો ઉપયોગ જાપાનના હિતેન અવકાશયાન માટે ચંદ્ર પર બેલિસ્ટિક કેપ્ચર ટ્રાન્સફર શોધવા માટે કરવામાં આવ્યો ત્યારે આ સરહદ કાર્યરત રીતે અસ્તિત્વમાં હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. અન્ય અભિયાનોએ હિતેન જેવા જ સ્થાનાંતરણ પ્રકારનો ઉપયોગ કર્યો છે, જેમાં ગ્રેઇલ, કેપસ્ટોન, દાનુરી, હકુટો-આર મિશન 1 અને એસ. એલ. આઈ. એમ. નો સમાવેશ થાય છે. મંગળ માટે WSB નો અભ્યાસ "બેલિસ્ટિક કેપ્ચર સાથે પૃથ્વી-મંગળ સ્થાનાંતરણ" માં કરવામાં આવે છે અને મંગળ પર બેલિસ્ટિક કેપ્ચર સ્થાનાંતરણની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ઇ. એસ. એ. નું બેપીકોલોમ્બો મિશન 2025માં ડબલ્યુ. એસ. બી. ઓફ મર્ક્યુરી ખાતે બેલિસ્ટિક કેપ્ચર હાંસલ કરશે. ડબલ્યુ. એસ. બી. પ્રદેશનો ઉપયોગ એસ્ટ્રોફિઝિક્સના ક્ષેત્રમાં થઈ શકે છે. તેને ખુલ્લા તારા સમૂહોની અંદરના તારાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ લિથોપાન્સ્પર્મિયા પૂર્વધારણાની માન્યતાનો અભ્યાસ કરવા માટે સૌરમંડળની ઉંમરની શરૂઆતમાં પૃથ્વી પર આવી હોય તેવી નક્કર સામગ્રીને પકડવાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે "ગ્રહોની પ્રણાલીઓ વચ્ચે નક્કર સામગ્રીનું અવ્યવસ્થિત આદાનપ્રદાનઃ લિથોપાન્સ્પર્મિયા પૂર્વધારણા માટે અસરો" માં કરવામાં આવે છે. P2 વિશે WSB પ્રદેશમાં શરૂ થતા P માટેના માર્ગના આંકડાકીય સંશોધન દર્શાવે છે કે નબળા કેપ્ચરના અંતે P કણ P2માંથી બહાર નીકળ્યા પછી, તે પ્રાથમિક પદાર્થ, P1ની આસપાસ નજીકની પ્રતિધ્વનિત ભ્રમણકક્ષામાં, P2 સાથે પ્રતિધ્વનિત થઈને P1ની આસપાસ ફરે છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ધૂમકેતુઓનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો જે ગુરુ સાથે ભ્રમણકક્ષાના પડઘો માં સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણકક્ષામાં ફરે છે, જે ગુરુ દ્વારા નબળા રીતે કબજે કરીને પડઘો ભ્રમણકક્ષાઓ બદલે છે. આવા ધૂમકેતુનું ઉદાહરણ 39P/Oterma છે. P1 ની ભ્રમણકક્ષાના પ્રતિધ્વનિના પરિવર્તનનો આ ગુણધર્મ જ્યારે P ને P2 ના WSB દ્વારા નબળા રીતે પકડવામાં આવે છે ત્યારે હાઇડ્રોજન અણુમાં પ્રોટોનની આસપાસ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ માટે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના ક્ષેત્રમાં એક રસપ્રદ એપ્લિકેશન છે. શ્રોડિંગર સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ વિવિધ ઊર્જા અવસ્થાઓ વચ્ચેના પ્રોટોન વિશે ઇલેક્ટ્રોનની સંક્રમણ ગતિ, સંક્રમણશીલ પ્રતિધ્વનિ ભ્રમણકક્ષાઓના પરિવાર માટે P2 દ્વારા નબળા કેપ્ચર દ્વારા P1 વિશે P ના પ્રતિધ્વનિના પરિવર્તનની સમકક્ષ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ માટે ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલતાનો ઉપયોગ કરીને શાસ્ત્રીય મોડેલ આપે છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન બેલબ્રુનો, ઇ.; ગ્રીન, જે. (2022). રોયલ એસ્ટ્રોનોમિકલ સોસાયટીની માસિક સૂચનાઓ, V510,5154, "જ્યારે સૂર્યમંડળ છોડવુંઃ શ્યામ દ્રવ્ય એક તફાવત બનાવે છે". બેલબ્રુનો, એડવર્ડ (2007) ફ્લાય મી ટુ ધ મૂન. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ. ISBN 9780691128221 એડલર, રોબર્ટ (નવેમ્બર 30,2000) "ટુ ધ પ્લેનેટ્સ ઓન એ શૂ સ્ટ્રિંગ", નેચર, V408, નં. 6812, 510-512 ઓસેરમેન, જે. (એપ્રિલ 2005) "સ્વર્ગનું ગણિત", અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટીની સૂચનાઓ, વી52, નં. 4 રોસ, શેન (એપ્રિલ 2008) પુસ્તક સમીક્ષા ફ્લાય મી ટુ ધ મૂન, નોટિસીસ ઓફ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, વોલ્યુમ 55, નં. 4, 478-430 કેસેલમેન, આર (એપ્રિલ 2008). "કેઓસ ઇન ધ વીક સ્ટેબિલિટી બાઉન્ડ્રી", અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટીની સૂચનાઓનું કવર, p549 મેથેમેટિક્સ ઓફ પ્લેનેટ અર્થ "લો ફ્યુઅલ સ્પેસક્રાફ્ટ ટ્રેજેક્ટરીઝ ટુ ધ મૂન" ફિઝિક્સ થીયરમ્સ એલ્ગોરિધમ્સ