Convergence proof techniques
કન્વર્જન્સ પ્રૂફ તકનીકો એ ગાણિતિક પુરાવાઓના કેનોનિકલ ઘટકો છે કે જ્યારે દલીલ અનંત તરફ વળે છે ત્યારે ક્રમ અથવા કાર્યો મર્યાદિત મર્યાદામાં ભેગા થાય છે. વિવિધ તકનીકોની જરૂર હોય તેવી શ્રેણીઓ અને અભિસરણની રીતોના ઘણા પ્રકારો છે. નીચે કેટલાક વધુ સામાન્ય ઉદાહરણો છે. આ લેખ પ્રેક્ટિશનરોને યોગ્ય તકનીકો શોધવામાં મદદ કરવાના હેતુથી પરિચય તરીકે બનાવાયેલ છે. નીચેની કડીઓ વધુ અમૂર્ત સેટિંગ્સ માટે જરૂરી શરતો અને સામાન્યીકરણની વિગતો આપે છે. શ્રેણીનું અભિસરણ પહેલેથી જ અભિસરણ પરીક્ષણો પરના લેખમાં આવરી લેવામાં આવ્યું છે. આરએનમાં કન્વર્જન્સ કોઈ ક્રમ અથવા વિધેયનું કન્વર્જન્સ સાબિત કરવું સામાન્ય બાબત છે, જ્યાં અને કુદરતી સંખ્યાઓ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંદર્ભ લો, અને કન્વર્જન્સ યુક્લિડિયન ધોરણના સંદર્ભમાં છે. આ માટે ઉપયોગી અભિગમો નીચે મુજબ છે. પ્રથમ સિદ્ધાંતો મર્યાદાના અભિસરણની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા એ છે કે બધા માટે આવા બધા માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સૌથી મૂળભૂત સાબિતી તકનીક એ છે કે આવી એક શોધવી અને જરૂરી અસમાનતાને સાબિત કરવી. જો તેનું મૂલ્ય અગાઉથી જાણીતું ન હોય, તો નીચેની તકનીકો ઉપયોગી થઈ શકે છે. સંકોચન મેપિંગ્સ ઘણા કિસ્સાઓમાં, જે કાર્યનું અભિસરણ રસ ધરાવતું હોય તે કેટલાક પરિવર્તન માટેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક અનુકૂળ મેટ્રિક્સ માટે નકશો બનાવી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, તત્વ મુજબની કામગીરી હોઈ શકે છે, જેમ કે દરેક તત્વને તેની તીવ્રતાના વર્ગમૂળ દ્વારા બદલવું. આવા કિસ્સાઓમાં, જો સમસ્યા બનાચ નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયની શરતોને સંતોષે છે (ડોમેન એક ખાલી ન હોય તેવી સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા છે) તો તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે કેટલાક અચળાંક માટે જે બધા માટે નિશ્ચિત છે અને. આવા એ ને સંકોચન મેપિંગ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ આ અભિગમના ઉપયોગના પ્રખ્યાત ઉદાહરણમાં સમાવેશ થાય છે જો કેટલાક મેટ્રિસીસ માટેનું સ્વરૂપ હોય અને પછી જો તમામ આઈગનવેલ્યુની તીવ્રતા 1 કરતા ઓછી હોય તો કન્વર્જન્સ થાય છે. કન્વર્જન્ટ અનુગામીઓ બોલ્ઝાનો-વેઇઅરસ્ટ્રાસ પ્રમેય દ્વારા દરેક બાઉન્ડેડ અનુક્રમમાં કન્વર્જન્ટ અનુગામી હોય છે. જો આ બધાની મર્યાદા સમાન હોય, તો મૂળ ક્રમ તે મર્યાદામાં એકરૂપ થાય છે. જો એવું દર્શાવી શકાય કે તમામ અનુગામીઓની મર્યાદા સમાન છે, જેમ કે પરિવર્તનનો એક વિશિષ્ટ નિશ્ચિત બિંદુ છે તે દર્શાવીને, તો પછી પ્રારંભિક ક્રમ પણ તે મર્યાદામાં એકરૂપ થવો જોઈએ. એકવિધતા (લિયાપુનોવ કાર્યો) દરેક બંધાયેલ એકવિધતા ક્રમ એક મર્યાદામાં એકરૂપ થાય છે. આ અભિગમ એવા ક્રમ પર પણ લાગુ કરી શકાય છે જે એકવિધ નથી. તેના બદલે, એકવિધ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે. જો તે લિયાપુનોવ ફંક્શન હોવાની શરતોને સંતોષે તો તે કન્વર્જન્ટ છે. લિયાપુનોવની પ્રમેય સામાન્ય રીતે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે જણાવવામાં આવે છે, પરંતુ વ્યુત્પન્નને અલગ તફાવતો સાથે બદલીને પુનરાવર્તનોના ક્રમ પર પણ લાગુ કરી શકાય છે. મૂળભૂત જરૂરિયાતો એ છે કે બધા માટે અને (અથવા માટે) અને "ત્રિજ્યાત્મક રીતે અમર્યાદિત" હોય, જેથી તે કોઈપણ ક્રમ માટે અનંત સુધી જાય છે જે અનંત તરફ વળે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, સ્વરૂપનું લિયાપુનોવ કાર્ય મળી શકે છે, જો કે વધુ જટિલ સ્વરૂપોનો પણ ઉપયોગ થાય છે. વિલંબ વિભેદક સમીકરણો માટે, સમાન અભિગમ લિયાપુનોવ વિધેયો સાથે લાગુ પડે છે જેને લિયાપુનોવ વિધેયો દ્વારા બદલવામાં આવે છે જેને લિયાપુનોવ-ક્રાસોવ્સ્કી વિધેયો પણ કહેવાય છે. જો સ્થિતિ 1 માં અસમાનતા નબળી હોય, તો લાસેલના અપરિવર્તન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વિધેયોના અનુક્રમોનું અભિસરણ વિધેયોના અનુક્રમોનું અભિસરણ ધ્યાનમાં લેવા માટે, યુક્લિડિયન ધોરણને બદલવા માટે વિધેયો વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે. આમાં ઘણીવાર ધોરણમાં કન્વર્જન્સ (મજબૂત કન્વર્જન્સ) નો સમાવેશ થાય છે-એક ફંક્શન ધોરણ, જેમ કે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને જો કન્વર્જન્સ થાય તો. આ કિસ્સામાં, ઉપરોક્ત તમામ તકનીકો આ કાર્ય ધોરણ સાથે લાગુ કરી શકાય છે. પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ-- કન્વર્જન્સ થાય છે જો દરેક માટે,. આ કિસ્સામાં, ઉપરોક્ત તકનીકો દરેક બિંદુ માટે યોગ્ય ધોરણ સાથે લાગુ કરી શકાય છે. એકસમાન અભિસરણ-બિંદુ મુજબ અભિસરણમાં, કેટલાક (ખુલ્લા) પ્રદેશો મનસ્વી રીતે ધીમે ધીમે અભિસરણ કરી શકે છે. એકસમાન અભિસરણ સાથે, એક નિશ્ચિત અભિસરણ દર એવો હોય છે કે તમામ બિંદુઓ ઓછામાં ઓછા તેટલી ઝડપથી અભિસરણ કરે. ઔપચારિક રીતે, દરેકનું ક્ષેત્ર ક્યાં છે. ફોરિયર શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ પણ જુઓ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સનું કન્વર્જન્સ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના સરળ ઘટકો કરતાં વધુ જટિલ છે. (ઔપચારિક રીતે, રેન્ડમ વેરિયેબલ એ ઇવેન્ટ સ્પેસથી વેલ્યુ સ્પેસ સુધીનું મેપિંગ છે. મૂલ્યની જગ્યા હોઈ શકે છે, જેમ કે પાસાના રોલ, અને આવા રેન્ડમ ચલને ઘણીવાર અનૌપચારિક રીતે અંદર હોવાનું કહેવામાં આવે છે, પરંતુ રેન્ડમ ચલોના ક્રમનું અભિસરણ મૂલ્યોના ક્રમને બદલે કાર્યોના ક્રમના અભિસરણ અથવા વિતરણને અનુરૂપ છે.) વિધેયો વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે માપવામાં આવે છે તેના આધારે અનેક પ્રકારના અભિસરણ છે. વિતરણમાં કન્વર્જન્સ-રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના વિતરણ કાર્યોનું બિંદુ મુજબનું કન્વર્જન્સ અને મર્યાદામાં કન્વર્જન્સ સંભાવનામાં કન્વર્જન્સ લગભગ નિશ્ચિત કન્વર્જન્સ-મર્યાદામાં માપ 0 સાથે સેટ સિવાય, મર્યાદામાં મેપિંગનું બિંદુ મુજબનું કન્વર્જન્સ. સરેરાશમાં સંકલન દરેકની પોતાની સાબિતી તકનીકો છે, જે આ લેખના વર્તમાન અવકાશની બહાર છે. ડોમિનેટેડ કન્વર્જન્સ કાર્લસનનો પ્રમેય પણ જુઓ, જે લગભગ દરેક જગ્યાએ L2 વિધેયોની ફોરિયર શ્રેણીનું બિંદુ મુજબનું (લેબસ્ગ્યુ) કન્વર્જન્સ સ્થાપિત કરે છે, ડૂબના માર્ટિંગેલ કન્વર્જન્સ થીયરમ્સ એ મોનોટોન કન્વર્જન્સ થીયરમ ટોપોલોજિકલ કન્વર્જન્સની રેન્ડમ વેરિયેબલ એનાલોગ છે. જો કે, ટોપોલોજીમાં કન્વર્જન્સની પોતાની વ્યાખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોન-હોઝડોર્ફ જગ્યામાં, ક્રમ માટે બહુવિધ વિવિધ મર્યાદાઓમાં ભેગા થવું શક્ય છે. સંદર્ભો ગાણિતિક વિશ્લેષણ