Moreau envelope
યોગ્ય નીચલા અર્ધ-સતત બહિર્મુખ કાર્યનું મોરેઉ પરબિડીયું (અથવા મોરેઉ-યોસિડા નિયમિતકરણ) તેનું સરળ સંસ્કરણ છે. તે 1965 માં જીન-જેક્સ મોરેઉ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું. મોરેઉ પરબિડીયું ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો ધરાવે છેઃ મિનિમાઈઝિંગ ઓવર અને મિનિમાઈઝિંગ ઓવર એ અર્થમાં સમકક્ષ સમસ્યાઓ છે કે મિનિમાઈઝર્સનો સમૂહ અને સમાન છે. જો કે, ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ઓપ્ટિમાઇઝેશન એલ્ગોરિધમ્સ સીધા જ લાગુ કરી શકાય છે, કારણ કે તે બિન-વિભેદક હોઈ શકે છે જ્યારે હંમેશા સતત વિભેદક હોય છે. ખરેખર, ઘણી નિકટવર્તી ઢાળ પદ્ધતિઓને ઢાળ વંશ પદ્ધતિ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા હિલ્બર્ટ અવકાશમાંથી યોગ્ય નીચલા અર્ધ-સતત બહિર્મુખ કાર્યના મોરેઉ પરબિડીયુંને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગુણધર્મો મોરેઉ પરબિડીયુંને અને વચ્ચેના અનંત કન્વોલ્યુશન તરીકે પણ જોઈ શકાય છે. કાર્યનો નિકટવર્તી સંચાલક મોરેઉ પરબિડીયુંના ઢાળ સાથે નીચેની ઓળખ દ્વારા સંબંધિત છેઃ ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરીને અને ઉપરોક્ત ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રોક્સિમલ ઓપરેટરને મોરેઉ પરબિડીયું પર ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ અલ્ગોરિધમ તરીકે અર્થઘટન કરી શકીએ છીએ. ફેન્શેલના દ્વૈત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, મોરેઉ પરબિડીયુંની નીચેની બેવડી રચના મેળવી શકાય છેઃ જ્યાંના બહિર્મુખ સંયુગ્મને સૂચવે છે. હિલ્બર્ટ જગ્યા પર યોગ્ય, બહિર્મુખ, નીચલા અર્ધ-સતત વિધેયનો ઉપ-વિભેદક તેના બહિર્મુખ સંયુગ્મના ઉપ-વિભેદકની વિરુદ્ધ હોવાથી, આપણે નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ કે જો ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિનું મહત્તમકારક હોય, તો તે પ્રાથમિક રચનામાં લઘુતમ છે અને ઊલટું. હોપ્ફ-લેક્સ સૂત્ર અનુસાર, મોરેઉ પરબિડીયું એ હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણનો સ્નિગ્ધતાનો ઉકેલ છે. સ્ટેનલી ઓશર અને સહ-લેખકોએ આ ગુણધર્મ અને કોલ-હોપ્ફ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કાર્યના નિકટવર્તી સંચાલકના અંદાજોની ગણતરી કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ મેળવવા માટે કર્યો હતો. પ્રોક્સિમલ ઓપરેટર પ્રોક્સિમલ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ પણ જુઓ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ એ હેમિલ્ટન-જેકોબી-આધારિત પ્રોક્સિમલ ઓપરેટરઃ એક યુટ્યુબ વિડિયો જે પ્રોક્સિમલ ઓપરેટર મેથેમેટિકલ ઓપ્ટિમાઇઝેશનને અંદાજિત કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ સમજાવે છે.