Bishop's graph
ગણિતમાં, બિશપનો આલેખ એ એક આલેખ છે જે ચેસબોર્ડ પર બિશપના ચેસ પીસની તમામ કાનૂની ચાલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. દરેક શિરોબિંદુ ચેસબોર્ડ પર એક ચોરસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને દરેક ધાર બિશપની કાનૂની ચાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; એટલે કે, જો તેઓ સામાન્ય કર્ણ પર કબજો કરે તો બે શિરોબિંદુઓ (ચોરસ) વચ્ચે એક ધાર હોય છે. જ્યારે ચેસબોર્ડમાં પરિમાણો હોય છે, ત્યારે પ્રેરિત આલેખને બિશપનો આલેખ કહેવામાં આવે છે. ગુણધર્મો હકીકત એ છે કે ચેસબોર્ડમાં બે રંગોના ચોરસ હોય છે, જેમ કે લાલ અને કાળા, જેમ કે આડા અથવા ઊભી રીતે અડીને આવેલા ચોરસમાં વિરુદ્ધ રંગો હોય છે, તે સૂચવે છે કે બિશપના આલેખમાં બે જોડાયેલા ઘટકો હોય છે, જેમના શિરોબિંદુ સમૂહ અનુક્રમે લાલ અને કાળા ચોરસ હોય છે. તેનું કારણ એ છે કે બિશપની ત્રાંસા ચાલ તેને રંગ બદલવાની મંજૂરી આપતી નથી, પરંતુ એક અથવા વધુ ચાલ દ્વારા બિશપ કોઈપણ ચોરસમાંથી સમાન રંગના અન્ય કોઈપણમાં જઈ શકે છે. જો બોર્ડની બાજુ સમ લંબાઈની હોય તો બે ઘટકો સમરૂપ હોય છે, પરંતુ જો બંને બાજુઓ વિષમ હોય તો નહીં. જો મૂળ બોર્ડ ચોરસ હોય અને તેની બાજુઓ વિચિત્ર લંબાઈની હોય, તો બિશપના આલેખના ઘટકને હીરા પર રોકના આલેખ તરીકે ગણી શકાય, કારણ કે જો લાલ ચોરસ (કહો) 45 ડિગ્રી ફેરવવામાં આવે, તો બિશપની ચાલ આડી અને ઊભી થઈ જાય છે, જેમ કે રોકની. જો બિશપ બરાબર એક જ ચાલમાં તે ચોરસ સુધી પહોંચી શકે તો એક ચોરસ પર બિશપ દ્વારા હુમલો કરવામાં આવે છે. પ્રભુત્વ ધરાવતો સમૂહ એ બિશપોની એવી વ્યવસ્થા છે કે દરેક ચોરસ પર તે બિશપોમાંથી કોઈ એક દ્વારા હુમલો કરવામાં આવે અથવા તેના પર કબજો કરવામાં આવે. એક સ્વતંત્ર પ્રભુત્વ ધરાવતો સમૂહ એ એક પ્રભુત્વ ધરાવતો સમૂહ છે જેમાં કોઈ બિશપ અન્ય કોઈ પર હુમલો કરતો નથી. બાજુ n ના ચોરસ બોર્ડ પર પ્રભુત્વ મેળવવા માટે જરૂરી બિશપોની ઓછામાં ઓછી સંખ્યા બરાબર n છે, અને આ બિશપોની સૌથી નાની સંખ્યા પણ છે જે સ્વતંત્ર પ્રભુત્વ ધરાવતો સમૂહ બનાવી શકે છે. તેનાથી વિપરીત, કુલ વર્ચસ્વ સમૂહ, જે એક પ્રભુત્વ સમૂહ છે, જેના માટે બિશપ દ્વારા કબજો કરાયેલા લોકો સહિત દરેક ચોરસ પર બિશપમાંથી એક દ્વારા હુમલો કરવામાં આવે છે, તેના માટે વધુ બિશપની જરૂર પડે છે; બાજુના ચોરસ બોર્ડ પર, કુલ પ્રભુત્વ સમૂહનું ઓછામાં ઓછું કદ ઓછામાં ઓછા પ્રભુત્વ ધરાવતા સમૂહ કરતા લગભગ 1/3 મોટું હોય છે. સંદર્ભ આલેખ સિદ્ધાંત ગાણિતિક ચેસ સમસ્યાઓ ચેસ-સંબંધિત યાદીઓ