Ddbar lemma
જટિલ ભૂમિતિમાં, લેમ્મા (ઉચ્ચારણ ડી. ડી. બાર લેમ્મા) એ જટિલ વિભેદક સ્વરૂપના ડી રામ કોહોમોલોજી વર્ગ વિશેનો એક ગાણિતિક લેમ્મા છે. - લેમ્મા એ હોજ સિદ્ધાંત અને કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ પર કેલર ઓળખનું પરિણામ છે. કેટલીકવાર તે સંબંધિત ઓપરેટરના ઉપયોગને કારણે-લેમ્મા તરીકે પણ ઓળખાય છે, જેમાં બે ઓપરેટરો વચ્ચેના સંબંધ અને તેથી વધુ હોય છે. નિવેદન લેમ્મા ભારપૂર્વક જણાવે છે કે જો કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ હોય અને તે બાઈડીગ્રીન (પી, ક્યૂ) (સાથે) નું એક જટિલ વિભેદક સ્વરૂપ હોય, જેનો વર્ગ ડી રામ કોહોમોલોજીમાં શૂન્ય હોય, તો બાઈડીગ્રીન (પી-1, ક્યૂ-1) નું એક સ્વરૂપ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડના ડોલ્બીઓલ્ટ ઓપરેટર્સ ક્યાં અને ક્યાં છે. ddbar પોટેન્શિયલ આ સ્વરૂપને-પોટેન્શિયલ ઓફ કહેવામાં આવે છે. પરિબળનો સમાવેશ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે તે વાસ્તવિક વિભેદક સંચાલક છે, એટલે કે જો તે વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેનું વિભેદક સ્વરૂપ છે, તો તે છે. આ લેમ્માની સરખામણી ડી રામ કોહોમોલોજીમાં ચોક્કસ વિભેદક સ્વરૂપની કલ્પના સાથે થવી જોઈએ. ખાસ કરીને જો બંધ વિભેદક k-સ્વરૂપ (કોઈપણ સરળ મેનીફોલ્ડ પર) હોય, જેનો વર્ગ ડી રામ કોહોમોલોજીમાં શૂન્ય હોય, તો પછી કેટલાક વિભેદક (k-1)-સ્વરૂપ માટે જેને-પોટેન્શિયલ (અથવા માત્ર પોટેન્શિયલ) કહેવાય છે, બાહ્ય વ્યુત્પન્ન ક્યાં છે. ખરેખર, ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટરો શૂન્ય આપવા માટે બાહ્ય વ્યુત્પન્ન અને વર્ગ આપવા માટે સરવાળો કરે છે, તેથી-લેમ્મા સૂચવે છે કે, કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ્સના સેટિંગમાં-પોટેન્શિયલને-પોટેન્શિયલમાં સુધારે છે. સાબિતી-લેમ્મા એ હોજ સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે જે કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ પર લાગુ થાય છે. લંબગોળ સંકુલ માટે હોજ પ્રમેય કોઈપણ ઓપરેટરોને અને અનુક્રમે તેમના લાપ્લાસ ઓપરેટરોને લાગુ કરી શકાય છે. આ ઓપરેટરો માટે કર્નલો દ્વારા આપવામાં આવેલ હાર્મોનિક વિભેદક સ્વરૂપોની જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ હોજ વિઘટન પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે હાર્મોનિક સ્વરૂપોની આ જગ્યાઓ સાથે સંકળાયેલા ત્રણ ઓર્થોગોનલ વિઘટન છે, જે અનુક્રમે કેલર મેનીફોલ્ડના રીમાનિયન મેટ્રિકના સંદર્ભમાં ઔપચારિક સંલગ્નતા ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિઘટન કોઈપણ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ પર અલગથી હોય છે. મેનીફોલ્ડ કહલર હોવાનું મહત્વ એ છે કે ઉપરના ઓર્થોગોનલ વિઘટનના લાપ્લાસીયન અને તેથી વચ્ચે સંબંધ છે. ખાસ કરીને કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ પર જે ઓર્થોગોનલ વિઘટન સૂચવે છે જ્યાં અને-હાર્મોનિક સ્વરૂપોની જગ્યાઓને લગતા વધુ સંબંધો છે. ઉપરોક્ત વિઘટનના પરિણામે, કોઈ નીચેના સિદ્ધાંતને સાબિત કરી શકે છે. તેનો પુરાવો નીચે મુજબ છે. ચાલો કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ પર બંધ (પી, ક્યૂ)-સ્વરૂપ હોઈએ. તે ઝડપથી અનુસરે છે કે (ડી) સૂચવે છે (એ), (બી), અને (સી). વધુમાં, ઉપરના ઓર્થોગોનલ વિઘટન સૂચવે છે કે (a), (b), અથવા (c) માંથી કોઈપણ (e) સૂચવે છે. તેથી, મુખ્ય મુશ્કેલી એ બતાવવાની છે કે (ઇ) એ (ડી) સૂચવે છે. તે માટે, ધારો કે તે સબસ્પેસ માટે ઓર્થોગોનલ છે. પછી. કારણ કે-બંધ છે અને, તે પણ-બંધ છે (એટલે કે). જો ક્યાં અને તેમાં સમાયેલ હોય તો આ સરવાળો રીમાનિયન મેટ્રિક દ્વારા પ્રેરિત આંતરિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ વિઘટનમાંથી છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો અને. આમ આ કિસ્સો છે. આ આપણને કેટલાક વિભેદક સ્વરૂપ માટે લખવાની મંજૂરી આપે છે. માટે હોજ વિઘટન લાગુ કરવું, જ્યાં-હાર્મોનિક છે, અને. સમાનતા સૂચવે છે કે તે પણ-હાર્મોનિક છે અને તેથી. આમ. જો કે, તે બંધ હોવાથી, તે પણ બંધ છે. પછી ઉપરની સમાન યુક્તિનો ઉપયોગ કરીને, તે પણ કેલર ઓળખ લાગુ કરો. આમ અને સેટિંગ-પોટેન્શિયલ ઉત્પન્ન કરે છે. સ્થાનિક સંસ્કરણ-લેમ્માનું સ્થાનિક સંસ્કરણ ધરાવે છે અને હોજ વિઘટન પ્રમેયને અપીલ કરવાની જરૂર વગર સાબિત કરી શકાય છે. તે સંચાલક માટે પોઇનકેરે લેમ્મા અથવા ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્માનું એનાલોગ છે. સ્થાનિક-લેમ્મા કોઈપણ ક્ષેત્ર પર કબજો ધરાવે છે જેના પર ઉપરોક્ત લેમ્મા ધરાવે છે. પુરાવા ઉપરોક્ત લેમ્મામાંથી ઝડપથી અનુસરે છે. સૌપ્રથમ અવલોકન કરો કે જો કેટલાક લોકો માટે સ્થાનિક સ્વરૂપમાં હોય તો પછી કારણ, અને. બીજી બાજુ, ધારો કે-બંધ છે. પછી પોઇનકેરે લેમ્મા દ્વારા કોઈપણ બિંદુ અને એક સ્વરૂપનું ખુલ્લું પડોશી અસ્તિત્વ ધરાવે છે. હવે તે માટે લખવું અને નોંધવું કે અને સ્વરૂપોની દ્વિધામાં સરખામણી કરવી તે અને તે સૂચવે છે. સંભવતઃ ખુલ્લા પડોશના કદમાં ઘટાડો થયા પછી, ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્માને અને (બાદમાં કારણ કે) સ્થાનિક સ્વરૂપો મેળવવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. પછી નોંધ્યું કે આ સાબિતીને ક્યાં પૂર્ણ કરે છે. બોટ્ટ-ચેર્ન કોહોમોલોજી એ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ માટેનો કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત છે જે ઓપરેટરો પર આધાર રાખે છે અને-લેમ્મા કેટલી હદ સુધી પકડી રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે તે માપે છે. ખાસ કરીને જ્યારે કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ કેલર મેનીફોલ્ડ હોય, ત્યારે બોટ્ટ-ચેર્ન કોહોમોલોજી ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી માટે આઇસોમોર્ફિક હોય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તેમાં વધુ માહિતી હોય છે. કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડના બોટ્ટ-ચેર્ન કોહોમોલોજી જૂથોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે એક વિભેદક સ્વરૂપ જે બંને છે અને-બંધ છે-બંધ છે, ત્યાં બોટ્ટ-ચેર્ન કોહોમોલોજી જૂથોથી ડી રામ કોહોમોલોજી જૂથો માટે એક કુદરતી નકશો છે. અને ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી જૂથોના નકશા પણ છે. જ્યારે મેનીફોલ્ડ-લેમ્માને સંતોષે છે, ઉદાહરણ તરીકે જો તે કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ હોય, તો પછી બોટ્ટ-ચેર્ન કોહોમોલોજીથી ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી સુધીના ઉપરોક્ત નકશા આઇસોમોર્ફિઝમ્સ છે, અને વધુમાં બોટ્ટ-ચેર્ન કોહોમોલોજીથી ડી રામ કોહોમોલોજી સુધીનો નકશો ઇન્જેક્ટિવ છે. પરિણામે, જ્યારે પણ-લેમ્માને સંતોષે છે ત્યારે એક સમરૂપતા હોય છે. આ રીતે, ઉપરના નકશાનો કર્નલ લેમ્માને સંતોષવામાં મેનીફોલ્ડની નિષ્ફળતાને માપે છે, અને ખાસ કરીને કેલર મેનીફોલ્ડ બનવાની નિષ્ફળતાને માપે છે. બાયડીગ્રીન (1,1) ના પરિણામો-લેમ્માનું સૌથી નોંધપાત્ર પરિણામ ત્યારે થાય છે જ્યારે જટિલ વિભેદક સ્વરૂપમાં બાયડીગ્રીન (1,1) હોય. આ કિસ્સામાં લેમ્મા જણાવે છે કે ચોક્કસ વિભેદક સ્વરૂપમાં સરળ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવેલી-સંભવિતતા હોય છેઃ ખાસ કરીને આ તે કિસ્સામાં થાય છે જ્યાં કેલર સ્વરૂપ કેલર મેનીફોલ્ડના નાના ખુલ્લા સબસેટ સુધી મર્યાદિત હોય (આ કેસ લેમ્માના સ્થાનિક સંસ્કરણથી અનુસરે છે), જ્યાં ઉપરોક્ત પોઇનકેરે લેમ્મા ખાતરી કરે છે કે તે ચોક્કસ વિભેદક સ્વરૂપ છે. આ કેલર પોટેન્શિયલની કલ્પના તરફ દોરી જાય છે, જે સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે જે કેલર સ્વરૂપને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરે છે. બીજો મહત્વનો કિસ્સો એ છે કે બે કેલર સ્વરૂપોનો તફાવત ક્યારે છે જે સમાન ડી રામ કોહોમોલોજી વર્ગમાં છે. આ કિસ્સામાં ડી રામ કોહોમોલોજીમાં-લેમ્મા લાગુ પડે છે. એકલ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને (તફાવતો) કેલર સ્વરૂપોને સંપૂર્ણપણે વર્ણવવાની મંજૂરી આપીને, જે આપમેળે એક પ્લુરિસુફાર્મોનિક કાર્ય છે, કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ પ્લુરિપોટેન્શિયલ થિયરીની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરી શકાય છે, જેના માટે ઘણા વિશ્લેષણાત્મક સાધનો ઉપલબ્ધ છે. ઉદાહરણ તરીકે,-લેમ્માનો ઉપયોગ કેલર-આઈન્સ્ટાઈન સમીકરણને પોટેન્શિયલની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખવા માટે થાય છે, જે તેને કેલર પોટેન્શિયલ માટે જટિલ મોંગે-એમ્પીયર સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરે છે. ડી. ડી. બાર મેનીફોલ્ડ્સ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ કે જે જરૂરી નથી કે કેલર હોય પરંતુ હજુ પણ-લેમ્માને સંતોષવા માટે થાય છે તે-મેનિફોલ્ડ્સ તરીકે ઓળખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ કે જે ફુજિકી વર્ગ સી છે તે-લેમ્માને સંતોષે છે પરંતુ જરૂરી નથી કે તે કેલર હોય. પોઇનકેરે લેમ્મા ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્મા સંદર્ભો પણ જુઓ બાહ્ય કડીઓ હોજ થિયરી કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ