Harmonic tensors
આ લેખમાં ગોળાકાર વિધેયોને બહુપદીઓ દ્વારા બદલવામાં આવ્યા છે જે મેક્સવેલના સમયથી ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સમાં સારી રીતે જાણીતા છે અને બહુધ્રુવીય ક્ષણો સાથે સંકળાયેલા છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, દ્વિધ્રુવ અને ચતુર્ભુજ ક્ષણો સામાન્ય રીતે દેખાય છે કારણ કે ભૌતિકશાસ્ત્રની મૂળભૂત વિભાવનાઓ તેમની સાથે ચોક્કસપણે સંકળાયેલી હોય છે. દ્વિધ્રુવ અને ચતુર્ભુજ ક્ષણો છેઃ, જ્યાં ચાર્જની ઘનતા (અથવા અન્ય માત્રા) છે. ઓક્ટુપોલ મોમેન્ટનો ઉપયોગ ભાગ્યે જ થાય છે. એક નિયમ તરીકે, ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણોની ગણતરી ગોળાકાર કાર્યોની મદદથી કરવામાં આવે છે. સ્કેટરિંગ સમસ્યાઓમાં ગોળાકાર કાર્યો અનુકૂળ હોય છે. વિભેદક ઓપરેટરો સાથેની ગણતરીમાં બહુપદીઓ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. અહીં, ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણો સહિત ટેન્સરના ગુણધર્મોને મૂળભૂત રીતે નક્કર ગોળાકાર કાર્યોની લાક્ષણિકતાઓનું પુનરાવર્તન માનવામાં આવે છે પરંતુ તેમની પોતાની વિશિષ્ટતાઓ હોય છે. તાજેતરના સંખ્યાબંધ અભ્યાસોમાં દર્શાવ્યા મુજબ, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં અપરિવર્તનશીલ બહુપદી ટેન્સરનો ઉપયોગ પ્રાધાન્યક્ષમ છે અને ગણતરીની મૂળભૂત યોજનાને સરળ બનાવે છે. ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ અહીં સામેલ નથી. હાર્મોનિક સપ્રમાણ ટેન્સરનો ઉપયોગ કરવાના નિયમો દર્શાવવામાં આવ્યા છે જે તેમના ગુણધર્મોને સીધા અનુસરે છે. આ નિયમો સ્વાભાવિક રીતે વિશેષ કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે, પરંતુ જૂથના ગુણધર્મો સામાન્ય હોવા છતાં હંમેશા સ્પષ્ટ હોતા નથી. કોઈપણ રીતે, ચાલો આપણે હાર્મોનિક ટેન્સરના મુખ્ય ગુણધર્મને યાદ કરીએઃ સૂચકાંકોની કોઈપણ જોડી પરનું નિશાન અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અહીં, ટેન્સરના તે ગુણધર્મો પસંદ કરવામાં આવે છે જે માત્ર વિશ્લેષણાત્મક ગણતરીઓને વધુ સઘન બનાવે છે અને 'ફેક્ટોરિયલ્સની સંખ્યા' ઘટાડે છે પણ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના કેટલાક મૂળભૂત પ્રશ્નોને યોગ્ય રીતે ઘડવાની પણ મંજૂરી આપે છે. સામાન્ય ગુણધર્મો સપ્રમાણ ટેન્સરના ચાર ગુણધર્મો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેના ઉપયોગ તરફ દોરી જાય છે. એ. ટેન્સર એ સજાતીય બહુપદી છેઃ, જ્યાં સૂચકાંકોની સંખ્યા છે, એટલે કે, ટેન્સર ક્રમ; બી. ટેન્સર સૂચકાંકોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે; સી. ટેન્સર હાર્મોનિક છે, એટલે કે, તે લાપ્લાસ સમીકરણનો ઉકેલ છેઃ ડી. કોઈપણ બે સૂચકાંકો પર ટ્રેસ અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ, જ્યાં પ્રતીક સમીકરણો પછી બાકીના સૂચકાંકોને સૂચવે છે. ટેન્સરના ઘટકો ઘન ગોળાકાર કાર્યો છે. ગોળાકાર કાર્યોના સ્વરૂપમાં ઘટકો પ્રાપ્ત કરવા માટે ટેન્સરને પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે. ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સમાં મલ્ટિપોલ ટેન્સર જ્યારે બિંદુ ચાર્જની પોટેન્શિયલ ત્રિજ્યા વેક્ટર ('મેક્સવેલ પોલ્સ') ના કોઓર્ડિનેટ્સની ઘાતમાં વિસ્તૃત થાય છે ત્યારે મલ્ટિપોલ પોટેન્શિયલ ઉત્પન્ન થાય છે. પોટેન્શિયલ માટે, એક જાણીતું સૂત્ર છેઃ, જ્યાં નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે. ત્રિજ્યા વેક્ટરની th ટેન્સર પાવર માટે, અને ક્રમના સપ્રમાણ હાર્મોનિક ટેન્સર માટે,. ટેન્સર એ વર્ણવેલ સામાન્ય ગુણધર્મો સાથે એકરૂપ હાર્મોનિક બહુપદી છે. કોઈપણ બે સૂચકાંકો પર સંકોચન (જ્યારે બે ઢાળ સંચાલક બને છે) શૂન્ય છે. જો ટેન્સર દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો પછી એક બહુધ્રુવીય હાર્મોનિક ટેન્સર ઉત્પન્ન થાય છે, જે સજાતીયતા ડિગ્રી સાથે એક સજાતીય હાર્મોનિક કાર્ય પણ છે. પોટેન્શિયલ માટેના સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે, જે લેડર ઓપરેટર બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. વિદ્યુતસ્થૈતિકતામાં શક્તિ-નિયમ સમકક્ષ ક્ષણો પરનો પ્રમેય સંકોચનનો એક સ્પષ્ટ ગુણધર્મ છે, જે સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ક્ષણોની ગણતરીને અનિવાર્યપણે સરળ બનાવતા પ્રમેયને જન્મ આપે છે. પ્રમેય ચાર્જની વહેંચણી છે. બહુધ્રુવીય ક્ષમતાની ગણતરી કરતી વખતે, હાર્મોનિક ટેન્સર (અથવા ગોળાકાર કાર્યોને બદલે) ને બદલે પાવર-લો ક્ષણોનો ઉપયોગ કરી શકાય છેઃ ગોળાકાર કાર્યોના ઉપયોગ સાથે સરખામણી કરવામાં તે એક ફાયદો છે. ઉદાહરણ 1. ચતુર્ભુજ ક્ષણ માટે, ઇન્ટિગ્રલને બદલે, 'ટૂંકા' ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ક્ષણો અલગ હોય છે પરંતુ સંભાવનાઓ એકબીજા સમાન હોય છે. ટેન્સર માટે હાર્મોનિક ટેન્સર ફોર્મ્યુલા માટેનું સૂત્ર લેડર ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું. તે લાપ્લાસ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. સમાન અભિગમ વિશેષ કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં જાણીતો છે. સૂત્રમાં પ્રથમ પદ, જે બિંદુ ચાર્જ પોટેન્શિયલના વિસ્તરણ પરથી જોવાનું સરળ છે, તે બરાબર છે. બાકીની શરતો લેપલેસ ઓપરેટરને વારંવાર લાગુ કરીને અને મોડ્યુલસની સમ શક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય છે. લાપ્લાસ સમીકરણમાં વિસ્તરણને બદલીને ગુણાંક નક્કી કરવા સરળ છે. પરિણામે, સૂત્ર નીચે મુજબ છેઃ આ સ્વરૂપ તેના પર ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સના વિભેદક સંચાલકોને લાગુ કરવા માટે ઉપયોગી છે. આ તફાવત ક્રોનેકર પ્રતીકોનું ઉત્પાદન પેદા કરે છે. ઉદાહરણ 2,. સાથે સંકોચનનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લી ગુણવત્તાની ચકાસણી કરી શકાય છે. સમપ્રમાણતા કામગીરીના સંદર્ભમાં વિભેદન સૂત્ર લખવું અનુકૂળ છે. સૂચકાંકોના તમામ સ્વતંત્ર ક્રમચયો પર લેવામાં આવેલા સરવાળાની મદદથી તેના માટે એક પ્રતીકની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતીઃ પરિણામે, નીચેનું સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છેઃ, જ્યાં પ્રતીકનો ઉપયોગ ક્રોનેકર પ્રતીકની ટેન્સર પાવર માટે થાય છે અને પરંપરાગત પ્રતીક [.] નો ઉપયોગ સમપ્રમાણતા હેઠળ બદલાતી બે સબસ્ક્રિપ્ટ માટે થાય છે. નીચેની વ્યક્તિ ટેન્સર અને ઘન ગોળાકાર કાર્યો વચ્ચેનો સંબંધ શોધી શકે છે. બે એકમ વેક્ટરની જરૂર છેઃ-અક્ષ સાથે નિર્દેશિત વેક્ટર અને જટિલ વેક્ટર. તેમની શક્તિઓ સાથે સંકોચન જરૂરી સંબંધ આપે છે, જ્યાં એક લિજેન્ડર બહુપદી છે. વિક્ષેપ સિદ્ધાંતમાં, ગોળાકાર કાર્યોની દ્રષ્ટિએ સ્રોતને વિસ્તૃત કરવો જરૂરી છે. જો સ્રોત બહુપદી હોય, ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટાર્ક અસરની ગણતરી કરતી વખતે, તો સંકલન પ્રમાણભૂત હોય છે, પરંતુ બોજારૂપ હોય છે. અપરિવર્તનશીલ ટેન્સરની મદદથી ગણતરી કરતી વખતે, વિસ્તરણ ગુણાંકને સરળ બનાવવામાં આવે છે, અને પછી સંકલનની જરૂર નથી. તેમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, તે સંકોચનની ગણતરી કરવા માટે પૂરતું છે, જે વિચારણા હેઠળના ટેન્સરનો ક્રમ ઘટાડે છે. ઇન્ટિગ્રલ્સને બદલે, બે સૂચકાંકો પર ટેન્સરના ટ્રેસની ગણતરી કરવાની કામગીરીનો ઉપયોગ થાય છે. નીચેનું ક્રમ ઘટાડવાનું સૂત્ર ઉપયોગી છેઃ, જ્યાં પ્રતીક [m] તમામ ડાબેરી (l-2) સૂચકાંકોને સૂચવે છે. જો કૌંસમાં ક્રોનેકર ડેલ્ટા સાથે ઘણા પરિબળો હોય, તો નીચેનું સંબંધ સૂત્ર ધરાવે છેઃ ટ્રેસની ગણતરી કરવાથી ક્રોનેકર પ્રતીકોની સંખ્યામાં એકનો ઘટાડો થાય છે અને સમીકરણની જમણી બાજુએ હાર્મોનિક ટેન્સરનો ક્રમ બેનો ઘટાડો થાય છે. ટ્રેસ k સમયની ગણતરીનું પુનરાવર્તન કરવાથી તમામ ક્રોનેકર પ્રતીકો દૂર થાય છેઃ હાર્મોનિક 4D ટેન્સર ચાર-પરિમાણીય 4D અવકાશમાં લાપ્લાસ સમીકરણની પોતાની વિશિષ્ટતાઓ છે. 4D જગ્યામાં બિંદુ ચાર્જની ક્ષમતા બરાબર છે. પાવરના સંદર્ભમાં પોઇન્ટ-ચાર્જ પોટેન્શિયલના વિસ્તરણથી મલ્ટિપોલ 4D પોટેન્શિયલ ઊભું થાય છેઃ ન્યુમિનેટરમાં હાર્મોનિક ટેન્સરનું માળખું 3D હાર્મોનિક ટેન્સર જેવું જ હોય છે. કોઈપણ બે સૂચકાંકોના સંદર્ભમાં તેનું સંકોચન નાબૂદ થવું જોઈએ. દ્વિધ્રુવ અને ચતુર્ભુજ 4-D ટેન્સર, અહીંથી નીચે મુજબ, આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, વિસ્તરણની અગ્રણી મુદત, જેમ જોઈ શકાય છે, તે સમાન છે 3D ટેન્સર માટે વર્ણવેલ પદ્ધતિ, સંબંધો આપે છે,. ચાર-પરિમાણીય ટેન્સર માળખાકીય રીતે 3D ટેન્સર કરતાં વધુ સરળ છે. હાર્મોનિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ બહુપદીઓનું વિઘટન સંકોચન નિયમો લાગુ કરવાથી હાર્મોનિક કાર્યોના સંદર્ભમાં ટેન્સરનું વિઘટન થાય છે. વિક્ષેપ સિદ્ધાંતમાં, ત્રીજો અંદાજ પણ ઘણીવાર સારો માનવામાં આવે છે. અહીં, ક્રમ l = 6 સુધી ટેન્સર શક્તિનું વિઘટન રજૂ કરવામાં આવે છેઃ,,,,,,,:. સૂત્રો મેળવવા માટે, સંકોચનની ગણતરી બે સૂચકાંકોના સંદર્ભમાં કરવી ઉપયોગી છે, એટલે કે ટ્રેસ. તે માટેનું સૂત્ર તેના માટેનું સૂત્ર સૂચવે છે. ટ્રેસને લાગુ કરવાથી, અગાઉના વિભાગના નિયમોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ખાસ કરીને, સમ મૂલ્યો માટેના સંબંધોની છેલ્લી મુદત સ્વરૂપ ધરાવે છે. તમામ સૂચકાંકો પર વારંવાર થતું સંકોચન પણ ઉપયોગી છે, જે રાજ્યોને સામાન્ય કરતી વખતે ઉદભવે છે. 4D અવકાશમાં બહુપદીઓનું વિઘટન વેક્ટરની ટેન્સર શક્તિઓનું વિઘટન પણ ચાર પરિમાણોમાં સઘન હોય છેઃ,,,,,,,:. જ્યારે દબાવેલા સૂચકાંકો સાથે ટેન્સર નોટેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે છેલ્લી સમાનતા બને છે,. બે સૂચકાંકો પર સંકોચનનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ શક્તિઓનું વિઘટન વધુ મુશ્કેલ નથી. લેડર ઓપરેટર લેડર ઓપરેટરો સઘન સ્વરૂપમાં આઈગન કાર્યોને રજૂ કરવા માટે ઉપયોગી છે. તેઓ સુસંગત સ્થિતિઓના નિર્માણ માટેનો આધાર છે. અહીં ઓપરેટરોને ઓસિલેટરના 'સર્જન' અને 'વિનાશ' ઓપરેટરોની નજીક ગણવામાં આવે છે. એફિમોવના સંચાલક કે જે એક દ્વારા ક્રમના મૂલ્યમાં વધારો કરે છે તેની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી. તે બિંદુ-ચાર્જ ક્ષમતાના વિસ્તરણથી મેળવી શકાય છેઃ સમીકરણની ડાબી બાજુએ સીધા તફાવતથી હાર્મોનિક ટેન્સરઃ પર કામ કરતા વેક્ટર ઓપરેટર મળે છે, જ્યાં ઓપરેટર સજાતીય બહુપદીને સજાતીયતાની ડિગ્રી દ્વારા ગુણાકાર કરે છે. ખાસ કરીને, તા. એકતામાં એક-ગણો ઉપયોગના પરિણામે, હાર્મોનિક ટેન્સર ઊભો થાય છેઃ, અહીં વિવિધ સ્વરૂપોમાં લખાયેલ છે. કોણીય વેગ પ્રચાલક સાથે આ ટેન્સરનો સંબંધ નીચે મુજબ છેઃ વેક્ટર સ્વરૂપમાં ઓપરેટરના કેટલાક ઉપયોગી ગુણધર્મો નીચે આપેલ છે. સ્કેલર ઉત્પાદન કોઈપણ બે સૂચકાંકો પર અદ્રશ્ય થઈ રહેલું નિશાન આપે છે. વેક્ટરનું સ્કેલર પ્રોડક્ટ અને છે, અને તેથી, વેક્ટર સાથે ટેન્સરનું સંકોચન આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યાં એક સંખ્યા છે. ગોળા પરના સ્કેલર પ્રોડક્ટમાં કોમ્યુટેટર એકતાની બરાબર છેઃ ટેન્સરના વિચલનની ગણતરી કરવા માટે, એક ઉપયોગી સૂત્ર છે, જ્યાંથી (જમણી બાજુએ એક સંખ્યા છે). ફોર-ડાયમેન્શનલ લેડર ઓપરેટર 4D સ્પેસમાં રાઇઝિંગ ઓપરેટર મોટા ભાગે સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે. તેના માટેનું મુખ્ય સૂત્ર એ છે કે જ્યાં 4D વેક્ટર,, છે, અને ઓપરેટર તેની ડિગ્રી દ્વારા સજાતીય બહુપદીનો ગુણાકાર કરે છે. ભૌતિક સમસ્યાઓ માટે ચલને અલગ કરવું અનુકૂળ છેઃ ખાસ કરીને, તા. લેડર ઓપરેટરનું સ્કેલર પ્રોડક્ટ અને 3D સ્પેસ જેટલું સરળ છેઃ અને નું સ્કેલર ઉત્પાદન છે. લેડર ઓપરેટર હવે કોણીય મોમેન્ટમ ઓપરેટર અને 4D જગ્યામાં પરિભ્રમણના વધારાના ઓપરેટર સાથે સંકળાયેલ છે. તેઓ કોણીય વેગ અને લાપ્લાસ-રંગ-લેન્ઝ ઓપરેટરો તરીકે લાઈ બીજગણિત કરે છે. ઓપરેટરનું સરળ સ્વરૂપ છે. અલગથી 3D-ઘટક અને રાઇઝિંગ ઓપરેટરના આગળના કોઓર્ડિનેટ માટે, સૂત્રો છે,. ટેન્સર સ્ફેરિકલ હાર્મોનિક્સ ઓપરેટર (ભૌતિકશાસ્ત્ર) લેપલેસ-રંગ-લેન્ઝ વેક્ટર એંગ્યુલર મોમેન્ટમ ઓપરેટર લેડર ઓપરેટર મલ્ટીપોલર એક્સચેન્જ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ હાર્મોનિક વિશ્લેષણ રોટેશનલ સમપ્રમાણતા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ ઓપરેટર સિદ્ધાંત સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર