The Erdős Distance Problem
એર્ડોસ અંતર સમસ્યા એ અલગ ભૂમિતિમાં એર્ડોસની અલગ અંતરની સમસ્યા પર એક મોનોગ્રાફ છેઃ કેવી રીતે એક સ્થાન-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં નિર્દેશ કરી શકે છે જેથી બિંદુઓની જોડી શક્ય તેટલી નાની શક્ય અંતર સેટ કરી શકે? તે જુલિયા ગારિબાલ્ડી, એલેક્સ ઇઓસેવિચ અને સ્ટીવન સેન્જર દ્વારા લખવામાં આવ્યું હતું અને 2011 માં અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી દ્વારા સ્ટુડન્ટ મેથેમેટિકલ લાઇબ્રેરીના વોલ્યુમ 56 તરીકે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. મેથેમેટિકલ એસોસિએશન ઑફ અમેરિકાના બેઝિક લાઇબ્રેરી લિસ્ટ કમિટીએ તેને અંડરગ્રેજ્યુએટ ગણિત પુસ્તકાલયોમાં સામેલ કરવાનું સૂચન કર્યું છે. વિષયો એર્ડોસ અંતર સમસ્યામાં બાર પ્રકરણો અને ત્રણ પરિશિષ્ટોનો સમાવેશ થાય છે. પોલ એર્દોસ અને એર્દોસ દ્વારા સમસ્યાની રચનાનું વર્ણન કરતા પ્રારંભિક પ્રકરણ પછી કે અંતરની સંખ્યા હંમેશા ઓછામાં ઓછી પ્રમાણસર હોય છે, આગામી છ પ્રકરણો સમસ્યાના દ્વિ-પરિમાણીય સંસ્કરણને આવરી લે છે. તેઓ સમસ્યા પર જાણીતા પરિણામોમાં ક્રમિક સુધારાઓનું વર્ણન કરવા માટે એકબીજા પર નિર્માણ કરે છે, જે પ્રકરણ 7 માં નીચલા બાઉન્ડ પ્રમાણસર સુધી પહોંચે છે. આ પરિણામો સમસ્યાને અન્ય વિષયો સાથે જોડે છે જેમાં કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતા, ક્રાસિંગ નંબર અસમાનતા, બિંદુઓ અને રેખાઓ વચ્ચેની ઘટનાઓ પર સ્ઝેમેરેડી-ટ્રોટર પ્રમેય અને માહિતી સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ સામેલ છે. પછીના પ્રકરણો સમસ્યાની વિવિધતાઓની ચર્ચા કરે છેઃ ઉચ્ચ પરિમાણો, સમતલ માટે અન્ય મેટ્રિક જગ્યાઓ, વેક્ટર વચ્ચેના વિશિષ્ટ આંતરિક ઉત્પાદનોની સંખ્યા અને જગ્યાઓમાં સમાન સમસ્યાઓ કે જેમના કોઓર્ડિનેટ્સ વાસ્તવિક સંખ્યાને બદલે મર્યાદિત ક્ષેત્રમાંથી આવે છે. પ્રેક્ષકો અને આવકાર આ પુસ્તક મોટાભાગે સ્વ-સમાવિષ્ટ હોવા છતાં, તે અદ્યતન યુનિવર્સિટી-સ્તરના ગણિતના વિદ્યાર્થીઓને ધ્યાનમાં રાખીને ગાણિતિક અભિજાત્યપણાનું સ્તર ધારણ કરે છે. કસરતોનો સમાવેશ કરવામાં આવે છે, જેનાથી તેનો ઉપયોગ વિશિષ્ટ અભ્યાસક્રમ માટે પાઠ્યપુસ્તક તરીકે શક્ય બને છે. સમીક્ષક માઈકલ વેઇસ સૂચવે છે કે આ પુસ્તક તેના લેખકો "ગાણિતિક અનુભવના વિવિધ સ્તરે વાચકો" સુધી પહોંચવાની આશા કરતાં ઓછું સફળ છેઃ તેની કેટલીક સામગ્રીની ઘનતા, જે તે સામગ્રીને સંપૂર્ણ રીતે આવરી લેવા માટે જરૂરી છે, તે પ્રારંભિક ગણિતશાસ્ત્રીઓની સુલભતા સાથે અસંગત છે. વેઇસ પુસ્તકમાં કેટલીક નાની ગાણિતિક ભૂલો વિશે પણ ફરિયાદ કરે છે, જે જોકે તેની એકંદર સામગ્રીમાં દખલ કરતી નથી. પુસ્તકની મોટાભાગની સામગ્રી, સમસ્યાના દ્વિ-પરિમાણીય સંસ્કરણ પર, લેરી ગુથ અને નેટ્સ કાટ્ઝના નવા પરિણામો દ્વારા તેના પ્રકાશન પછી તરત જ અપ્રચલિત કરવામાં આવી હતી, જેમણે સાબિત કર્યું હતું કે આ કિસ્સામાં અંતરની સંખ્યા નજીક-રેખીય હોવી જોઈએ. તેમ છતાં, સમીક્ષક વિલિયમ ગેસાર્ક દલીલ કરે છે કે આ પરિણામ વાચકો માટે વધુ રસપ્રદ બનવું જોઈએ, ઓછું નહીં, કારણ કે તે ગુથ અને કાટ્ઝને તેમના પરિણામને સાબિત કરવામાં જે અવરોધો દૂર કરવા પડ્યા હતા તે સમજાવવામાં મદદ કરે છે. વધુમાં, પુસ્તક જે તકનીકોનું વર્ણન કરે છે તે અલગ ભૂમિતિમાં ઘણા ઉપયોગો ધરાવે છે. સંદર્ભો ગણિત પુસ્તકો 2011 બિન-કાલ્પનિક પુસ્તકો ડિસ્ક્રીટ ભૂમિતિ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી