Kuratowski's intersection theorem
ગણિતમાં, કુરાટોવ્સ્કીનું આંતરછેદ પ્રમેય એ સામાન્ય ટોપોલોજીનું પરિણામ છે જે બિન-ખાલી આંતરછેદ ધરાવતા સમૂહોના નેસ્ટેડ ક્રમ માટે પૂરતી શરત આપે છે. કુરાટોવ્સ્કીનું પરિણામ કેન્ટોરના આંતરછેદના પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ છે. જ્યારે કેન્ટોરના પરિણામ માટે જરૂરી છે કે સામેલ સેટ કોમ્પેક્ટ હોય, ત્યારે કુરાટોવ્સ્કીનું પરિણામ તેમને બિન-કોમ્પેક્ટ હોવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ આગ્રહ રાખે છે કે તેમની બિન-કોમ્પેક્ટનેસ યોગ્ય અર્થમાં "શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે". આ પ્રમેયને પોલિશ ગણિતશાસ્ત્રી કાઝીમીર્ઝ કુરાટોવ્સ્કીના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1930માં તેને સાબિત કર્યું હતું. પ્રમેયનું નિવેદન ધારો કે (X, d) એક સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા છે. ઉપગણ A′Xને જોતાં, તેના બિન-કોમ્પેક્ટનેસ α (A) ≤0ના કુરાટોવ્સ્કી માપને નોંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે, જો A પોતે કોમ્પેક્ટ હોય, તો α (A) = 0, કારણ કે મનસ્વી રીતે નાના વ્યાસના ખુલ્લા દડાઓ દ્વારા Aના દરેક આવરણમાં મર્યાદિત સબકવર હશે. વિપરીત પણ સાચું છેઃ જો α (A) = 0 હોય, તો પછી A પ્રીકોમ્પેક્ટ હોવો જોઈએ, અને જો A બંધ હોય તો ખરેખર કોમ્પેક્ટ હોવો જોઈએ. ઉપરાંત, જો A એ B નો સબસેટ છે, તો α (A) ≤ α (B). અમુક અર્થમાં, માત્રા α (A) એ સમૂહ A "કેટલો બિન-કોમ્પેક્ટ" છે તેનું આંકડાકીય વર્ણન છે. હવે સમૂહોના ક્રમને ધ્યાનમાં લો, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે એક. કુરાટોવ્સ્કીનો આંતરછેદ પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે જો આ સમૂહો ખાલી ન હોય, તો બંધ હોય, ઘટતા નેસ્ટેડ હોય (એટલે કે. દરેક n માટે an + 1-an, અને n-n તરીકે α (an) → 0, પછી તેમનું અનંત આંતરછેદ એક બિન-ખાલી કોમ્પેક્ટ સમૂહ છે. જો કોઈ બિન-કોમ્પેક્ટનેસના બોલ માપ અથવા બિન-કોમ્પેક્ટનેસના વિભાજન માપ સાથે કામ કરે છે, તો પરિણામ પણ લાગુ પડે છે, કારણ કે બિન-કોમ્પેક્ટનેસના આ ત્રણ માપ પરસ્પર લિપશિટ્ઝ સમકક્ષ છે; જો તેમાંથી કોઈ એક n → φ તરીકે શૂન્ય તરફ વળે છે, તો અન્ય બે પણ હોવા જોઈએ. સંદર્ભો કોમ્પેક્ટનેસ પ્રમેયો