Permutationally invariant quantum state tomography
પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ક્વોન્ટમ સ્ટેટ ટોમોગ્રાફી (પી. આઈ. ક્વોન્ટમ સ્ટેટ ટોમોગ્રાફી) એ ઘણી પેટા પ્રણાલીઓ ધરાવતી ક્વોન્ટમ પ્રણાલીની સ્થિતિના આંશિક નિર્ધારણ માટેની એક પદ્ધતિ છે. સામાન્ય રીતે, પેટા પ્રણાલીઓ ધરાવતી પ્રણાલીની ક્વોન્ટમ યાંત્રિક સ્થિતિને વર્ણવવા માટે જરૂરી પરિમાણોની સંખ્યા સાથે ઝડપથી વધી રહી છે. ક્યુબિટ્સ ધરાવતી પ્રણાલીના કિસ્સામાં, જે કદાચ સૌથી સુસંગત કેસ છે, શુદ્ધ સ્થિતિના સ્થિતિ વેક્ટરને વર્ણવવા માટે વાસ્તવિક પરિમાણોની જરૂર પડે છે, અથવા મિશ્ર સ્થિતિના ઘનતા મેટ્રિક્સને વર્ણવવા માટે વાસ્તવિક પરિમાણોની જરૂર પડે છે. ક્વોન્ટમ સ્ટેટ ટોમોગ્રાફી એ ઘણી સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે તૈયાર પ્રણાલીઓ પર માપનની શ્રેણીમાંથી આ તમામ પરિમાણો નક્કી કરવાની એક પદ્ધતિ છે. આમ, પૂર્ણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિ ટોમોગ્રાફીના કિસ્સામાં, કણો અથવા ક્યુબિટ્સની સંખ્યા સાથે ઝડપથી જરૂરી માપનની સંખ્યા. મોટી પ્રણાલીઓ માટે, સમગ્ર ક્વોન્ટમ સ્થિતિનું નિર્ધારણ હવે વ્યવહારમાં શક્ય નથી અને વ્યક્તિને એવી પદ્ધતિઓમાં રસ છે જે ક્વોન્ટમ સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપવા માટે જરૂરી પરિમાણોનો માત્ર એક સબસેટ નક્કી કરે છે જે હજુ પણ સ્થિતિ વિશે મહત્વપૂર્ણ માહિતી ધરાવે છે. પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ક્વોન્ટમ ટોમોગ્રાફી એ એવી પદ્ધતિ છે જેમાં સ્ટેટ ટોમોગ્રાફી કરતાં ઓછા માપનની જરૂર પડે છે. પી. આઈ. ક્વોન્ટમ ટોમોગ્રાફી માત્ર ઘનતા મેટ્રિક્સના ક્રમચયાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ ભાગને માપે છે. પ્રક્રિયા માટે, પેટા પ્રણાલીઓ પર સ્થાનિક માપન હાથ ધરવા માટે તે પૂરતું છે. જો સ્થિતિ પર્મ્યુટેશનલ રીતે અપરિવર્તનશીલ હોવાની નજીક હોય, જે ઘણી વ્યવહારુ પરિસ્થિતિઓમાં હોય છે, તો તે સિસ્ટમના ઘનતા મેટ્રિક્સની નજીક છે. જો સ્થિતિ પર્મ્યુટેશનલ રીતે અપરિવર્તનશીલ ન હોય તો પણ, તેનો ઉપયોગ ગૂંચવણ શોધવા અને સંબંધિત ઓપરેટર અપેક્ષાઓના મૂલ્યોની ગણતરી માટે થઈ શકે છે. આમ, પ્રક્રિયા ક્વોન્ટમ સ્થિતિની ક્રમચયાત્મક રીતે અસ્થિરતાને ધારણ કરતી નથી. ક્યુબિટ્સ સ્કેલ માટે સ્વતંત્ર વાસ્તવિક પરિમાણોની સંખ્યા સ્થાનિક માપન સેટિંગ્સની સંખ્યાને સ્કેલ તરીકે ગણવામાં આવે છે આમ, ક્રમચયાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ ક્વોન્ટમ ટોમોગ્રાફીને મોટા માટે પણ વ્યવસ્થાપિત માનવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ક્વોન્ટમ ટોમોગ્રાફીને સ્કેલેબલ માનવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 10 થી વધુ કણો ધરાવતી પ્રણાલીઓના ઘનતા મેટ્રિક્સના પુનર્નિર્માણ માટે, ફોટોનિક પ્રણાલીઓ માટે, ફસાયેલા ઠંડા આયનો માટે અથવા ઠંડા અણુઓમાં પ્રણાલીઓ માટે. ડેન્સિટી મેટ્રિક્સ પી. આઈ. સ્ટેટ ટોમોગ્રાફીનો પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ભાગ ડેન્સિટી મેટ્રિક્સના પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ભાગનું પુનઃનિર્માણ કરે છે, જેને તમામ સંભવિત રીતોમાં કણોને ક્રમચય કર્યા પછી મેળવેલા ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓના સમાન મિશ્રણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં kth ક્રમચય સૂચવે છે. દાખલા તરીકે, આપણી પાસે બે ક્રમચયો છે. બે કણોના ક્રમમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. બે કણોની આપ-લે કરે છે. સામાન્ય રીતે, કણો માટે, આપણી પાસે ક્રમચયો છે. જો કણોના ક્રમને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે તો તે ઘનતા મેટ્રિક્સ મેળવવામાં આવે છે તે જોવાનું સરળ છે. આ એક પ્રયોગને અનુરૂપ છે જેમાં મોટા સમૂહમાંથી કણોના ઉપગણને અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. આ નાના જૂથની સ્થિતિ અલબત્ત ક્રમચયાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. કણોની સંખ્યા સાથે બહુપદી રીતે ભીંગડાઓની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા. ક્યુબિટ્સ (સ્પિન-કણો) ની પ્રણાલી માટે વાસ્તવિક ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા ઘનતા મેટ્રિક્સના ક્રમચયાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ ભાગને નક્કી કરવા માટે જરૂરી માપ આ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ નક્કી કરવા માટે, સ્થાનિક માપન સેટિંગ્સ જરૂરી છે. અહીં, સ્થાનિક માપન સેટિંગ્સનો અર્થ એ છે કે સંચાલકને દરેક કણ પર માપવામાં આવે છે. માપનનું પુનરાવર્તન કરીને અને પૂરતી માહિતી એકત્રિત કરીને, તમામ બે-બિંદુ, ત્રણ-બિંદુ અને ઉચ્ચ ક્રમના સહસંબંધો નક્કી કરી શકાય છે. ભૌતિક સ્થિતિનું કાર્યક્ષમ નિર્ધારણ અત્યાર સુધી આપણે ચર્ચા કરી છે કે માપનની સંખ્યા બહુપદીમાં ક્યુબિટ્સની સંખ્યા સાથે સરખાવાય છે. સમગ્ર ટોમોગ્રાફિક પ્રક્રિયાને માપનીય બનાવવા માટે, આપણે કમ્પ્યુટરમાં સ્થિતિને માપનીય રીતે સંગ્રહિત કરવાની જરૂર છે. સ્પષ્ટપણે, ઘનતા મેટ્રિક્સમાં-ક્વિટ સ્થિતિને સંગ્રહિત કરવાની સીધી રીત સ્કેલેબલ નથી. જો કે, તે તેના ક્રમચય પરિવર્તનશીલતાને કારણે બ્લોકડાયાગોનલ મેટ્રિક્સ છે અને આમ તેને વધુ અસરકારક રીતે સંગ્રહિત કરી શકાય છે. વધુમાં, તે સારી રીતે જાણીતું છે કે આંકડાકીય વધઘટ અને વ્યવસ્થિત ભૂલોને કારણે રેખીય વ્યુત્ક્રમ દ્વારા માપવામાં આવેલી સ્થિતિમાંથી મેળવેલ ઘનતા મેટ્રિક્સ હકારાત્મક અર્ધપરિમિત નથી અને તેમાં કેટલાક નકારાત્મક આઈગન મૂલ્યો છે. લાક્ષણિક ટોમોગ્રાફીમાં એક મહત્વપૂર્ણ પગલું ટોમોગ્રાફિક ડેટા પર ભૌતિક, એટલે કે, હકારાત્મક અર્ધ-અનંત ઘનતા મેટ્રિક્સને ફીટ કરવાનું છે. આ પગલું ઘણીવાર સંપૂર્ણ સ્થિતિ ટોમોગ્રાફીમાં એકંદર પ્રક્રિયામાં અવરોધ રજૂ કરે છે. જો કે, પી. આઈ. ટોમોગ્રાફી, જેમ આપણે હમણાં જ ચર્ચા કરી છે, ઘનતા મેટ્રિક્સને વધુ અસરકારક રીતે સંગ્રહિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે બહિર્મુખ ઓપ્ટિમાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરીને કાર્યક્ષમ ફિટિંગની પણ મંજૂરી આપે છે. આ સમગ્ર પ્રક્રિયાને સ્કેલેબલ બનાવે છે. વધુમાં, બહિર્મુખ ઓપ્ટિમાઇઝેશન ખાતરી આપે છે કે ઉકેલ વૈશ્વિક મહત્તમ છે. પી. આઈ. ટોમોગ્રાફી પદ્ધતિની લાક્ષણિકતાઓ સામાન્ય રીતે ક્રમચયાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ સ્થિતિઓને સંડોવતા પ્રયોગોમાં વપરાય છે. જો પી. આઈ. ટોમોગ્રાફી દ્વારા મેળવેલ ઘનતા મેટ્રિક્સ ગૂંચવાય છે, તો સિસ્ટમની ઘનતા મેટ્રિક્સ પણ ગૂંચવાય છે. આ કારણોસર, ગૂંચવણ ચકાસણી માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓ, જેમ કે ગૂંચવણ સાક્ષીઓ અથવા પેરેસ-હોરોડેકી માપદંડ, તેના પર લાગુ કરી શકાય છે. નોંધપાત્ર રીતે, આ રીતે હાથ ધરવામાં આવેલી ગૂંચવણની તપાસ એવું માનતી નથી કે ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ પોતે જ ક્રમચયાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. તદુપરાંત, કોઈપણ પર્મ્યુટાયોનલી ઇનવેરિયન્ટ ઓપરેટરનું અપેક્ષા મૂલ્ય સમાન છે અને આવા ઓપરેટરોના ખૂબ જ સુસંગત ઉદાહરણો સપ્રમાણ સ્થિતિઓ માટે પ્રોજેક્ટર છે, જેમ કે ગ્રીનબર્ગર-હોર્ન-ઝેલીંગર સ્થિતિ, ડબલ્યુ સ્થિતિ અને સપ્રમાણ ડિકે સ્થિતિ. આમ, આપણે ઉપરોક્ત ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓના સંદર્ભમાં વફાદારી મેળવી શકીએ છીએ કારણ કે સ્થિતિમાં અનુરૂપ પ્રોજેક્ટરનું અપેક્ષા મૂલ્ય અન્ય અભિગમો સાથે જોડાય છે ટોમોગ્રાફી માટે અન્ય અભિગમો છે જેને સંપૂર્ણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિ ટોમોગ્રાફી કરતાં ઓછા માપનની જરૂર હોય છે. જેમ આપણે ચર્ચા કરી છે તેમ, પી. આઈ. ટોમોગ્રાફી સામાન્ય રીતે ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ માટે સૌથી વધુ ઉપયોગી છે જે ક્રમચયમાં અપરિવર્તનશીલ હોવાની નજીક છે. કોમ્પ્રેસ્ડ સેન્સિંગ ખાસ કરીને નીચલા ક્રમના રાજ્યો માટે યોગ્ય છે. મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ સ્ટેટ ટોમોગ્રાફી, ઉદાહરણ તરીકે, ક્લસ્ટર સ્ટેટ્સ અને સ્પિન મોડલ્સની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ્સ માટે સૌથી યોગ્ય છે. પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ટોમોગ્રાફીને કોમ્પ્રેસ્ડ સેન્સિંગ સાથે જોડી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી સ્થાનિક માપન સેટિંગ્સની સંખ્યા પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ટોમોગ્રાફી કરતાં પણ ઓછી હોઈ શકે છે. પ્રયોગો પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ટોમોગ્રાફીનું ચાર-ક્વિટ સપ્રમાણ ડિકે સ્થિતિ માટે અને ફોટોનમાં છ-ક્વિટ સપ્રમાણ ડિકે માટે પણ પ્રાયોગિક પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું છે, અને તેની સરખામણી પૂર્ણ સ્થિતિ ટોમોગ્રાફી અને કોમ્પ્રેસ્ડ સેન્સિંગ સાથે કરવામાં આવી છે. પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ટોમોગ્રાફીનું અનુકરણ દર્શાવે છે કે માપેલા ડેટામાંથી 20 ક્યુબિટ્સના પોઝિટિવ સેમિડિફાઇનાઇટ ડેન્સિટી મેટ્રિક્સનું પુનર્નિર્માણ પ્રમાણભૂત કમ્પ્યુટર પર થોડી મિનિટોમાં શક્ય છે. પર્મ્યુટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટ ટોમોગ્રાફી અને કોમ્પ્રેસ્ડ સેન્સિંગનું સંયોજન કરતી વર્ણસંકર પદ્ધતિનું પણ પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું છે. સંદર્ભો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ ટોમોગ્રાફી