Papoulis-Marks-Cheung Approach
પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમ એ બહુ-પરિમાણીય શેનોન નમૂના સિદ્ધાંતમાં એક પ્રમેય છે જે દર્શાવે છે કે દ્વિ-પરિમાણીય બેન્ડ-મર્યાદિત કાર્યની નમૂનાની ઘનતાને કાર્યના ફોરિયર પરિવર્તનના આધાર સુધી ઘટાડી શકાય છે. એથાનાસિયોસ પાપોલીસ દ્વારા પ્રમેયના બહુ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણને લાગુ કરીને, અભિગમ સૌપ્રથમ રોબર્ટ જે. દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો. માર્ક્સ II અને ક્વાંગ ફાઈ ચેઉંગ. આ અભિગમને "ભવ્ય", "નોંધપાત્ર રીતે" બંધ "અને" રસપ્રદ "કહેવામાં આવ્યો છે. પ્રમેય કાર્યનું દ્વિ-પરિમાણીય ફોરિયર રૂપાંતર અથવા આવર્તન વર્ણપટ એ છે કે અને તેને અનુરૂપ અવકાશી આવૃત્તિઓ ક્યાં અને ક્યાં છે. લંબાઈ ક્યારે અને ક્યારે હોય છે, અવકાશી આવર્તનમાં એકમ લંબાઈ દીઠ ચક્રના એકમો હોય છે. પ્રેલી અને ન્યુહોફ પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમને નીચે પ્રમાણે વર્ણવે છે. તેમના પરિણામ મેળવવા માટે, માર્ક્સ અને ચેઉંગે પાપૌલિસના સામાન્યીકૃત નમૂનાના વિસ્તરણ પર આધાર રાખ્યો હતો. સમજાવો પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમને ઉદાહરણ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે સમજાવવામાં આવે છે. આકૃતિ 1 પરથી જમણા અડધા સમતલ પર બતાવેલ અડધા વર્તુળનો વિચાર કરો. સંકેતનો વર્ણપટ, અડધા વર્તુળની બહાર શૂન્ય હોય છે. વર્તુળની અંદર, 'સ્પેક્ટ્રમ' મનસ્વી છે પરંતુ સારી રીતે વર્તવામાં આવે છે. અર્ધ-વર્તુળ, એકમ ત્રિજ્યા સાથે, ચોરસ ક્ષેત્રફળ (એકમ લંબાઈ દીઠ ચક્ર) ધરાવે છે. પાપૌલિસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમ અનુસાર, છબી માટે નમૂનાની ઘનતાને એકમ વિસ્તાર દીઠ નમૂનાઓમાં ઘટાડી શકાય છે. પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમ આ કેવી રીતે કરવું તે જાણ કરે છે. આકૃતિ 1 માં જમણી બાજુએ અર્ધ વર્તુળની લંબચોરસ પ્રતિકૃતિ દર્શાવવામાં આવી છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે આકૃતિ 2 માં બતાવેલ અવકાશી સ્થાનો પર દ્વિ-પરિમાણીય કાર્યનું નમૂના લેવામાં આવે છે. આ પ્રતિકૃતિ બહુ-પરિમાણીય નમૂના સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે જે દર્શાવે છે કે અવકાશી ક્ષેત્રમાં દ્વિ-પરિમાણીય સંકેતના નમૂનાનું પરિણામ ફોરિયર ક્ષેત્રમાં વર્ણપટ પ્રતિકૃતિમાં પરિણમે છે. જો સમાન નમૂનાની ઘનતા ઓછી હોય, તો પ્રતિકૃતિઓ ઓવરલેપ થશે અને મૂળ કાર્યના પુનર્નિર્માણના પ્રયાસને પરિણામે છબીનું ઉપનામ બદલાશે. આ હાંસલ કરવા માટે નમૂનાની ઘનતા સ્પેક્ટ્રમ પ્રતિકૃતિના લંબચોરસ જાળી કોષના ક્ષેત્રફળની બરાબર છે. પ્રતિકૃતિમાં ઉપયોગમાં લેવાતા લંબચોરસનું અનુરૂપ ક્ષેત્રફળ (એકમ લંબાઈ દીઠ ચક્ર) ચોરસ બરાબર છે. આકૃતિ 2 દ્વારા પુષ્ટિ કરવામાં આવી છે તેમ, વર્ણપટ પ્રતિકૃતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે જરૂરી નમૂનાની ઘનતા તેથી એકમ વિસ્તાર દીઠ નમૂનાઓ છે. પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમ કહે છે કે આ નમૂનાની ઘનતાને અડધા વર્તુળના વિસ્તાર સુધી ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે એકમ વિસ્તાર દીઠ નમૂનાઓ સુધી. આ ઘટાડો કેવી રીતે થાય છે તે જોવા માટે, આકૃતિ 3 નો વિચાર કરો જ્યાં લંબચોરસ જાળી કોષ સમાન ચોરસમાં વહેંચાયેલો છે. નોંધ લો કે આમાંથી બે ચોરસ સંપૂર્ણપણે એવા વિસ્તારમાં આવેલા છે જ્યાં વર્ણપટ પ્રતિકૃતિ સમાન રીતે શૂન્ય છે. આ ચોરસ હળવા લીલા રંગના હોય છે. દરેક ચોરસને વિવિધ દ્વિ-પરિમાણીય સંકેતોના વર્ણપટ તરીકે વિચારો. હળવા લીલા વિસ્તારોને અનુરૂપ સંકેતો માટેના તમામ નમૂનાઓ શૂન્ય છે અને તેને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી. બે લીલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે. આ ચોરસને અનુરૂપ નમૂનાઓને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી (તે બધા શૂન્ય છે), તેથી એકંદર નમૂનાની ઘનતા એકમ વિસ્તાર દીઠ નમૂનાઓથી એકમ વિસ્તાર દીઠ નમૂનાઓમાં ઘટાડવામાં આવે છે. નમૂનાની ઘનતામાં અનુરૂપ ઘટાડો આકૃતિ 4 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે જ્યાં લાલ બિંદુઓ એવા સ્થાનો છે જ્યાં નમૂના લેવાની જરૂર નથી. એક લાલ બિંદુ ધરાવતો એક કોષ છાયાવાળો બતાવવામાં આવ્યો છે. નમૂનાની ઘનતામાં અનુરૂપ ઘટાડો આકૃતિ 4 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે જ્યાં લાલ બિંદુઓ એવા સ્થાનો છે જ્યાં નમૂના લેવાની જરૂર નથી. એક લાલ બિંદુ ધરાવતો એક કોષ છાયાવાળો બતાવવામાં આવ્યો છે. કોષનું ક્ષેત્રફળ એકમો છે. તેથી નમૂનાની ઘનતા, આકૃતિ 3 માં બે લીલા ચોરસના વિસ્તારોમાંથી પણ જોવા મળે છે, જે એકમ વિસ્તાર દીઠ નમૂનાઓ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે. એક્સ્ટેંશન અગાઉના ઉદાહરણમાં, આકૃતિ 3 માં ચોરસને મનસ્વી રીતે નાના બનાવી શકાય છે અને સંખ્યામાં વધારો કરી શકાય છે જેથી, એસિમ્પ્ટોટિક રીતે, શૂન્ય સમાન તમામ વિસ્તારને આવરી શકાય. આમ, નમૂનાની ઘનતાને સ્પેક્ટ્રમના આધાર સુધી ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે, તે વિસ્તાર સુધી જ્યાં સ્પેક્ટ્રમ સમાન રીતે શૂન્ય નથી. પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમને સીધા ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ઉપરાંત, પ્રતિકૃતિ ભૂમિતિ લંબચોરસ હોવી જરૂરી નથી પરંતુ તે કોઈપણ આકાર હોઈ શકે છે જે સમાંતર ચતુર્ભુજ અને ષટ્કોણ જેવા સમગ્ર સમતલને ટાઇલ કરશે. પાપોલીસ-માર્ક્સ-ચેઉંગ અભિગમનું વધુ વિગતવાર ગાણિતિક વર્ણન માર્ક્સ અને ચેઉંગ અને તેમના વ્યુત્પન્ન કાર્ય દ્વારા મૂળ પેપરમાં ઉપલબ્ધ છે. ફોરિયર વિશ્લેષણમાં સંદર્ભ પ્રમેય