Bretagnolle–Huber inequality
માહિતી સિદ્ધાંતમાં, બ્રેટેગ્નોલ-હ્યુબર અસમાનતા બે સંભાવના વિતરણો વચ્ચેના કુલ તફાવત અંતરને અને કુલબેક-લીબલર વિચલનના અંતર્મુખ અને બંધાયેલા કાર્ય દ્વારા બંધાય છે. બાઉન્ડને જાણીતી પિન્સ્કરની અસમાનતાના વિકલ્પ તરીકે જોઈ શકાય છેઃ જ્યારે મોટી હોય (દાખલા તરીકે 2 કરતા મોટી). ), પિન્સ્કરની અસમાનતા શૂન્ય છે, જ્યારે બ્રેટગ્નોલ-હ્યુબર બંધાયેલ રહે છે અને તેથી બિન-શૂન્ય રહે છે. તેનો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્ર અને મશીન લર્નિંગમાં માહિતી-સૈદ્ધાંતિક નીચલી સીમાઓને સાબિત કરવા માટે થાય છે જે પૂર્વધારણા પરીક્ષણ પર આધાર રાખે છે ઔપચારિક નિવેદન પ્રારંભિક વ્યાખ્યાઓ ચાલો અને માપી શકાય તેવી જગ્યા પર બે સંભાવના વિતરણો હોઈએ. યાદ કરો કે કુલબેક-લીબલર વિચલન દ્વારા અને વચ્ચેની કુલ ભિન્નતાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છેઃ ઉપરના સંકેતલિપીમાં, સંદર્ભ સાથે સંપૂર્ણ સાતત્ય માટે વપરાય છે, અને સંદર્ભ સાથે રેડોન-નિકોડીમ વ્યુત્પન્ન માટે વપરાય છે. સામાન્ય નિવેદન બ્રેટેગ્નોલ-હ્યુબર અસમાનતા કહે છેઃ વૈકલ્પિક સંસ્કરણ નીચેનું સંસ્કરણ સીધા ઉપરની સીમા દ્વારા ગર્ભિત છે પરંતુ કેટલાક લેખકો તેને આ રીતે જણાવવાનું પસંદ કરે છે. કોઈ પણ ઘટના થવા દો. પછી પૂરક ક્યાં છે. ખરેખર, કુલ વિવિધતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, કોઈપણ માટે, ફરીથી ગોઠવણી, આપણે દાવો કરેલ નીચલી સીમા પ્રાપ્ત કરીએ છીએ. પુરાવા અમે ત્સિબાકોવના પુસ્તક (લેમ્મા 2.6, પાનું 89) ના વિચારોને અનુસરીને મુખ્ય નિવેદનને સાબિત કરીએ છીએ, જે મૂળ પુરાવાથી અલગ છે (તેમની દલીલના આધુનિક પુનઃલેખન માટે C.Canonne ની નોંધ જુઓ). સાબિતી બે તબક્કામાં છેઃ 1. કૌચી-શ્વાર્ઝનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે કુલ તફાવત ભટ્ટાચાર્ય ગુણાંક (અસમાનતાની જમણી બાજુ) સાથે સંબંધિત છેઃ જેનસનની અસમાનતાને ચતુરાઈથી લાગુ કરીને સાબિત કરો કે પગલું 1: પ્રથમ નોંધ લો કે આ જોવા માટે, સૂચવો અને સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના, ધારો કે તે આવું છે. પછી આપણે ફરીથી લખી શકીએ છીએ અને પછી ઉમેરીને અને દૂર કરીને આપણે બંને ઓળખ મેળવીએ છીએ. પછી કારણ કે પગલું 2: અમે જેનસનની અસમાનતા લખીએ છીએ અને લાગુ કરીએ છીએઃ પગલાં 1 અને 2 ના પરિણામોને જોડવાથી કુલ વિવિધતા પર દાવો કરવામાં આવે છે. ઉપયોગોના ઉદાહરણો પક્ષપાતી સિક્કાની નમૂનાની જટિલતા સૂત્રઃ પ્રશ્ન એ છે કે વાજબી સિક્કાને પક્ષપાતી સિક્કાથી અલગ પાડવા માટે મારે કેટલા સિક્કા ઉછાળવાની જરૂર છે? ધારો કે તમારી પાસે 2 સિક્કા છે, એક વાજબી સિક્કો (બર્નૌલી સરેરાશ સાથે વહેંચાયેલો) અને એક પક્ષપાતી સિક્કો (). પછી, ઓછામાં ઓછા (કેટલાક માટે) સંભાવના સાથે પક્ષપાતી સિક્કાને ઓળખવા માટે, ઓછામાં ઓછું આ નીચલી સીમા મેળવવા માટે આપણે લાદ્યું છે કે નમૂનાઓના બે ક્રમ વચ્ચેનું કુલ તફાવત અંતર ઓછામાં ઓછું છે. આનું કારણ એ છે કે કુલ તફાવત ઉપરની સીમા સિક્કાઓના અર્થને ઓછો અથવા વધુ અંદાજવાની સંભાવનાને દર્શાવે છે. સૂચવો અને સિક્કાના સંબંધિત સંયુક્ત વિતરણો દરેક સિક્કા માટે ઉછાળે છે, પછી આપણી પાસે છે શરતોને ફરીથી ગોઠવીને પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે. કે-સશસ્ત્ર ડાકુ રમતો માટે માહિતી-સૈદ્ધાંતિક લોઅર બાઉન્ડ બહુ-સશસ્ત્ર ડાકુઓમાં, કોઈપણ ડાકુ અલ્ગોરિધમનો મિનિમેક્સ અફસોસ પરની લોઅર બાઉન્ડ બ્રેટગ્નોલ-હ્યુબર અને પૂર્વધારણા પરીક્ષણ પર તેના પરિણામનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે (જુઓ ડાકુ અલ્ગોરિધમ્સનો પ્રકરણ 15). પરિણામ સૌપ્રથમ 1979માં જીન બ્રેટગ્નોલ અને કેથરિન હ્યુબર દ્વારા સાબિત થયું હતું અને સ્ટ્રાસબર્ગ પ્રોબેબિલિટી સેમિનારની કાર્યવાહીમાં પ્રકાશિત થયું હતું. એલેક્ઝાન્ડર ત્સિબાકોવના પુસ્તકમાં અસમાનતાનું પ્રારંભિક પુનઃ પ્રકાશન અને બ્રેટગ્નોલ અને હ્યુબરને તેનું શ્રેય આપવામાં આવ્યું છે, જે એસોડના લેમ્માના પ્રારંભિક અને ઓછા સામાન્ય સંસ્કરણ તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે (નોંધો 2.8 જુઓ). 2014 માં ફેનોની અસમાનતાના વિસ્તરણના પરિણામે બ્રેટેગ્નોલ-હ્યુબર પર સતત સુધારો સાબિત થયો હતો. ઉપરની સીમાની યાદી માટે કુલ વિવિધતા પણ જુઓ સંદર્ભો માહિતી સિદ્ધાંત સંભવિત અસમાનતાઓ