Spin chain
સ્પિન ચેઇન એ આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક પ્રકારનું મોડેલ છે. સ્પિન સાંકળો મૂળરૂપે ચુંબકીય પ્રણાલીઓના નમૂના માટે ઘડવામાં આવી હતી, જેમાં સામાન્ય રીતે જાળી પર નિશ્ચિત સ્થળો પર સ્થિત ચુંબકીય સ્પિનવાળા કણો હોય છે. એક પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણ ક્વોન્ટમ હેઇસેનબર્ગ મોડેલ છે. સાઇટ્સ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ ઓપરેટરો દ્વારા કરવામાં આવે છે જે બે જુદી જુદી સાઇટ્સ પર કામ કરે છે, ઘણીવાર પડોશી સાઇટ્સ. તેમને આઇસિંગ મોડેલ જેવા આંકડાકીય જાળીના નમૂનાઓના ક્વોન્ટમ સંસ્કરણ તરીકે જોઈ શકાય છે, આ અર્થમાં કે દરેક સ્થળે સ્પિનનું વર્ણન કરતા પરિમાણને અલગ સમૂહમાં મૂલ્યો લેતા ચલ (સામાન્ય રીતે, 'સ્પિન અપ' અને 'સ્પિન ડાઉન' નું પ્રતિનિધિત્વ કરતા) થી વેક્ટર સ્પેસમાં મૂલ્યો લેતા ચલ (સામાન્ય રીતે સ્પિન-1/2 અથવા તેની દ્વિ-પરિમાણીય રજૂઆત) માં પ્રોત્સાહન આપવામાં આવે છે. સ્પિન સાંકળનું આદર્શ ઉદાહરણ હેઝેનબર્ગ મોડેલ છે, જેનું વર્ણન વર્નર હેઝેનબર્ગ દ્વારા 1928માં કરવામાં આવ્યું હતું. આ 1/2 સ્પિન સાથે નિશ્ચિત કણોની એક-પરિમાણીય જાળીનું મોડેલ બનાવે છે. એક સરળ સંસ્કરણ (એન્ટિફેરોમેગ્નેટિક XXX મોડેલ) હલ કરવામાં આવ્યું હતું, એટલે કે, હેઇસેનબર્ગ મોડેલના હેમિલ્ટોનિયનનું સ્પેક્ટ્રમ હંસ બેથે દ્વારા બેથે અન્સાત્ઝનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. હવે બેથ અન્સાત્ઝ શબ્દનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સ્પિન ચેઇન થિયરીમાં બરાબર ઉકેલી શકાય તેવી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ઘણા અન્સાત્ઝનો સંદર્ભ આપવા માટે થાય છે, જેમ કે હેઇસેનબર્ગ મોડેલ (XXZ, XYZ) ની અન્ય વિવિધતાઓ માટે, અને આંકડાકીય જાળી સિદ્ધાંતમાં પણ, જેમ કે સિક્સ-વર્ટેક્સ મોડેલ માટે. ભૌતિક ઉપયોગો સાથેની અન્ય સ્પિન સાંકળ હૂબાર્ડ મોડેલ છે, જે 1963માં જ્હોન હૂબાર્ડ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. આ મોડેલ 1968માં ઇલિયટ લિબ અને ફા-યુએહ વૂ દ્વારા બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. સ્પિન સાંકળોનું (એક વર્ગનું) બીજું ઉદાહરણ ગૌડિન મોડેલ છે, જેનું વર્ણન અને નિરાકરણ મિશેલ ગૌડિન દ્વારા 1976ના ગાણિતિક વર્ણનમાં કરવામાં આવ્યું છે. આ મોડેલમાં સંબંધિત લાઈ બીજગણિત છે. વધુ સામાન્ય રીતે, આ લાઈ બીજગણિતને કોઈપણ જટિલ, મર્યાદિત-પરિમાણીય અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત તરીકે લઈ શકાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે હજુ પણ તેને મનસ્વી લાઈ બીજગણિત તરીકે લઈ શકાય છે. દરેક શિરોબિંદુ લાઈ બીજગણિતની સંકળાયેલ રજૂઆત ધરાવે છે, જેને લેબલ કરવામાં આવે છે. આ આંકડાકીય જાળી મોડેલોનું ક્વોન્ટમ સામાન્યીકરણ છે, જ્યાં દરેક શિરોબિંદુ સંકળાયેલ 'સ્પિન ચલ' ધરાવે છે. સમગ્ર સિસ્ટમ માટે હિલ્બર્ટ જગ્યા, જેને રૂપરેખાંકન જગ્યા કહી શકાય, તે દરેક શિરોબિંદુ પર પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાઓનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ છેઃ એક હેમિલ્ટોનિયન પછી હિલ્બર્ટ જગ્યા પર ઓપરેટર છે. સ્પિન ચેઇન્સના સિદ્ધાંતમાં, સંભવતઃ ઘણા હેમિલ્ટોનિયન છે જે પરસ્પર મુસાફરી કરે છે. આ ઓપરેટરોને વારાફરતી વિકર્ણ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. સ્પિન ચેઇન્સ માટે ચોક્કસ ઉકેલની કલ્પના છે, જેને ઘણીવાર મોડેલના વર્ણપટને નિર્ધારિત કરવા તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. ચોક્કસ શબ્દોમાં કહીએ તો, આનો અર્થ સિસ્ટમના હેમિલ્ટોનિયનો માટે હિલ્બર્ટ જગ્યાના એક સાથે આઇગનવેક્ટર્સ તેમજ દરેક હેમિલ્ટોનિયનના સંદર્ભમાં દરેક આઇગનવેક્ટરના આઇગનવેલ્યુ નક્કી કરવાનો છે. ઉદાહરણો સ્પિન 1/2 XXX મોડેલ વિગતવાર પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણ, અને હેઇસેનબર્ગ સ્પિન ચેઇનનું ચોક્કસ ઉદાહરણ, સ્પિન 1/2 હેઇસેનબર્ગ XXX મોડેલ તરીકે ઓળખાય છે. આલેખ એ-સાઇટ્સ સાથે સામયિક 1-પરિમાણીય જાળી છે. સ્પષ્ટ રીતે, આ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને તેની સાથે ઓળખવાના તત્વો. સંકળાયેલ લાઈ બીજગણિત છે. સ્થળ પર એક સંકળાયેલ હિલ્બર્ટ જગ્યા છે જે બે પરિમાણીય રજૂઆત માટે આઇસોમોર્ફિક છે (અને તેથી આગળ આઇસોમોર્ફિક). સિસ્ટમ રૂપરેખાંકનોની હિલ્બર્ટ જગ્યા પરિમાણની છે. ની દ્વિ-પરિમાણીય રજૂઆત પર ઓપરેટર આપવામાં આવે છે, જે ઓપરેટર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જેના પર બીજી બાજુ સાથે ચાલુ અને ઓળખ તરીકે કાર્ય કરે છે. સ્પષ્ટ રીતે, તે લખી શકાય છે જ્યાં 1 ઓળખ સૂચવે છે. હેમિલ્ટોનિયન અનિવાર્યપણે, અનુક્રમણિકા પર ગર્ભિત સરવાળા સાથે, એક એફાઇન પરિવર્તન સુધી છે, અને પાઉલી મેટ્રિસીસ ક્યાં છે. હેમિલ્ટોનિયન ત્રણ કુલ સ્પિન ઓપરેટરોની ક્રિયા હેઠળ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. પછી કેન્દ્રિય સમસ્યા હેમિલ્ટોનિયનના વર્ણપટ (આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સ) નક્કી કરવાની છે. આનું સમાધાન હંસ બેથે દ્વારા શોધાયેલ અને લુડવિગ ફેડીવ દ્વારા વધુ શોધાયેલ બીજગણિત બેથે અન્સાત્ઝની પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવે છે. સ્પિન સાંકળોની યાદી ક્વોન્ટમ હેઇસેનબર્ગ મોડેલ ઇનોઝેમત્સેવ મોડેલ હાલ્ડેન-શાસ્ટ્રી મોડેલ ક્વોન્ટમ ગૌડિન મોડેલ પણ જુઓ લેટીસ મોડેલ (ભૌતિકશાસ્ત્ર) બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય બાહ્ય સંદર્ભો nLab સ્પિન મોડેલોમાં સ્પિન સાંકળને જોડે છે ક્વોન્ટમ ચુંબકત્વ ક્વોન્ટમ જાળી મોડેલો ચુંબકીય ક્રમ