Subgroup distortion
ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં, ગણિતની એક શાખા, પેટા જૂથ વિકૃતિ એ માપે છે કે ઓવરગ્રુપ જૂથની શબ્દ સમસ્યાની જટિલતાને કેટલી હદે ઘટાડી શકે છે. મોટાભાગના ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતની જેમ, આ ખ્યાલ મિશા ગ્રોમોવને કારણે છે, જેમણે તેને 1993માં રજૂ કર્યો હતો. ઔપચારિક રીતે, ચાલો જૂથ જનરેટ કરીએ, અને દ્વારા જનરેટ કરવા માટે ઓવરગ્રુપ બનવા દો. પછી દરેક જનરેટિંગ સેટ અનુરૂપ જૂથ પર શબ્દ મેટ્રિકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; ઇનની વિકૃતિ એ કાર્યનો એસિમ્પ્ટોટિક સમાનતા વર્ગ છે જ્યાં ત્રિજ્યાનો દડો કેન્દ્રમાં છે અને તેનો વ્યાસ છે. સતત વિકૃતિ ધરાવતા પેટાજૂથોને ક્વાસીકોનવેક્સ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બાઉમ્સ્લેગ-સોલિટાર જૂથના સામાન્ય પેટાજૂથ તરીકે સમાવિષ્ટ અનંત ચક્રીય જૂથને ધ્યાનમાં લો. પછી મૂળથી અંતર છે, પરંતુ મૂળથી અંતર છે. ખાસ કરીને, ઓછામાં ઓછું આધાર સાથે ઝડપથી વિકૃત થાય છે. તેવી જ રીતે, બે જનરેટર પર મુક્ત અબેલિયન જૂથમાં જડિત સમાન અનંત ચક્રીય જૂથ, રેખીય વિકૃતિ ધરાવે છે; જેમ કે એમ્બેડિંગ પોતે જ સતત વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરે છે. પ્રાથમિક ગુણધર્મો જૂથોના ટાવરમાં, અંદરની વિકૃતિ ઓછામાં ઓછી અંદરની વિકૃતિ છે. સામાન્ય અબેલિયન પેટાજૂથમાં કન્જુગેશન ઓવરગ્રુપ રજૂઆતના આઈગનવેલ્યુ દ્વારા નિર્ધારિત વિકૃતિ હોય છે; ઔપચારિક રીતે, જો આઈગનવેલ્યુ સાથે કાર્ય કરે છે, તો તે ઓછામાં ઓછું બેઝ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વિકૃત થાય છે. ઘણા બિન-સામાન્ય પરંતુ હજુ પણ અબેલિયન પેટાજૂથો માટે, સામાન્ય કોરની વિકૃતિ મજબૂત નીચલા બાઉન્ડ આપે છે. જાણીતા મૂલ્યો સૌથી વધુ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ સાથે દરેક ગણતરીપાત્ર કાર્ય પેટા જૂથ વિકૃતિ હોઈ શકે છે, પરંતુ નિલપોટેન્ટ લાઈ જૂથના લાઈ પેટા જૂથોમાં હંમેશા કેટલાક તર્કસંગત માટે વિકૃતિ હોય છે. વ્યાખ્યામાં છેદ હંમેશા હોય છે; આ કારણોસર, તેને ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. તે કિસ્સામાં, એક પેટાજૂથ કે જે સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત નથી તેમાં સુપરએડિટિવ વિકૃતિ હોય છે; તેનાથી વિપરીત દરેક સુપરએડિટિવ ફંક્શન (એસિમ્પ્ટોટિક સમાનતા સુધી) આ રીતે શોધી શકાય છે. ગુપ્તલેખનમાં ઉપસમૂહ વિકૃતિ દ્વારા પ્રેરિત શબ્દ સમસ્યામાં સરળીકરણ ગુપ્ત સંદેશાને એન્કોડિંગ અને ડીકોડિંગ કરવા માટે ક્રિપ્ટોસિસ્ટમ, અલ્ગોરિધમ્સ બનાવવા માટે પૂરતું છે. ઔપચારિક રીતે, સાદા લખાણનો સંદેશ એ કોઈપણ પદાર્થ (જેમ કે લખાણ, છબીઓ અથવા સંખ્યાઓ) છે જેને સંખ્યા તરીકે એન્કોડ કરી શકાય છે. ટ્રાન્સમીટર પછી શબ્દની લંબાઈ સાથે તત્વ તરીકે એન્કોડ કરે છે. તે વિકૃત સાથે જાહેર ઓવરગ્રુપમાં, તત્વમાં ઘણી ઓછી લંબાઈનો શબ્દ હોય છે, જે પછી ગુપ્ત પેટાજૂથને અસ્પષ્ટ કરવા માટે સંખ્યાબંધ "ડિકોય" સાથે પ્રાપ્તકર્તાને પ્રસારિત કરવામાં આવે છે. રીસીવર પછી તત્વને પસંદ કરે છે, જનરેટરના સંદર્ભમાં શબ્દને ફરીથી વ્યક્ત કરે છે, અને પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. સંદર્ભો ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત નિમ્ન-પરિમાણીય ટોપોલોજી