Roberts's triangle theorem
રોબર્ટ્સનો ત્રિકોણ પ્રમેય, જે સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં પરિણમે છે, જણાવે છે કે રેખાઓની દરેક સરળ ગોઠવણીમાં ઓછામાં ઓછા ત્રિકોણાકાર ચહેરા હોય છે. આમ, ત્રણ રેખાઓ ત્રિકોણ બનાવે છે, ચાર રેખાઓ ઓછામાં ઓછા બે ત્રિકોણ બનાવે છે, પાંચ રેખાઓ ઓછામાં ઓછા ત્રણ ત્રિકોણ બનાવે છે, વગેરે. તેનું નામ બ્રિટિશ ગણિતશાસ્ત્રી સેમ્યુઅલ રોબર્ટ્સના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1889માં પ્રકાશિત કર્યું હતું. નિવેદન અને ઉદાહરણ પ્રમેય જણાવે છે કે યુક્લિડિયન સમતલમાં રેખાઓની દરેક સરળ ગોઠવણીમાં ઓછામાં ઓછા ત્રિકોણાકાર મુખ હોય છે. અહીં, એક વ્યવસ્થા સરળ હોય છે જ્યારે તેમાં કોઈ બે સમાંતર રેખાઓ ન હોય અને એક જ બિંદુ પરથી કોઈ ત્રણ રેખાઓ ન હોય. બરાબર ત્રિકોણાકાર મુખવાળી રેખાઓની ગોઠવણી કરવાની એક રીત એ છે કે અર્ધવર્તુળને સ્પર્શ કરતી રેખાઓ પસંદ કરવી. આ રીતે ગોઠવાયેલી રેખાઓ માટે, એકમાત્ર ત્રિકોણ એ છે કે જે સતત સ્પર્શતાના બિંદુઓ સાથે ત્રણ રેખાઓ દ્વારા રચાય છે. જેમ રેખાઓ સળંગ ત્રિપુટીઓ ધરાવે છે, તેમ તેમાં ત્રિકોણ પણ હોય છે. સાબિતી બ્રાન્કો ગ્રુનબૌમને રોબર્ટ્સના મૂળ પેપર "અવિશ્વસનીય" માં સાબિતી મળી, અને 1979 માં રોબર્ટ ડબ્લ્યુ. શેનોનને રોબર્ટ્સના પ્રમેયનો પ્રથમ સાચો પુરાવો શ્રેય આપે છે. તેના બદલે તેઓ નીચેની વધુ પ્રાથમિક દલીલ રજૂ કરે છે, જે સૌપ્રથમ રશિયનમાં એલેક્સી બેલોવ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. તે સ્પષ્ટ રીતે સમાન પ્રમેયના સરળ સંસ્કરણ પર આધાર રાખે છે, જે મુજબ ત્રણ કે તેથી વધુ રેખાઓની દરેક સરળ ગોઠવણીમાં ઓછામાં ઓછો એક ત્રિકોણાકાર ચહેરો હોય છે. આ એ હકીકત પરથી સરળતાથી પ્રેરિત થાય છે કે ગોઠવણીમાં એક રેખા ઉમેરવાથી ત્રિકોણાકાર મુખની સંખ્યામાં ઘટાડો થઈ શકતો નથીઃ જો રેખા હાલની ત્રિકોણને કાપી નાખે છે, તો પરિણામી બે ટુકડાઓમાંથી એક ફરીથી ત્રિકોણ બને છે. બીજી બાજુ, જો કે રોબર્ટ્સના પ્રમેયની સીમા દરેક ઉમેરાયેલી રેખા સાથે વધે છે, કોઈપણ ચોક્કસ વ્યવસ્થામાં ત્રિકોણની સંખ્યા કેટલીકવાર અપરિવર્તિત રહી શકે છે. જો આપેલી બધી રેખાઓ તેમના ઢોળાવને બદલ્યા વિના ખસેડવામાં આવે, તો તેમની નવી સ્થિતિને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની પદ્ધતિ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, જે દરેક રેખાના તેની મૂળ સ્થિતિના ઓફસેટ છે. દરેક ત્રિકોણાકાર ચહેરા માટે, તેની ત્રણ રેખાઓના ઓફસેટ પર એક રેખીય સમીકરણ હોય છે, જે જો સંતુષ્ટ થાય, તો ચહેરો તેના મૂળ વિસ્તારને જાળવી રાખે છે. જો ત્રિકોણ કરતાં ઓછા હોઈ શકે, તો (કારણ કે તેમને અવરોધિત કરતા સમીકરણો કરતાં વધુ ચલ હશે) બે રેખાઓને સ્થાને ઠીક કરવી અને બાકીની તમામ રેખાઓની એક સાથે રેખીય ગતિ શોધવી શક્ય બનશે, તેમના ઢોળાવોને સ્થિર રાખીને, જે ત્રિકોણના તમામ વિસ્તારોને સાચવે છે. આવી ગતિ એવી વ્યવસ્થાઓમાંથી પસાર થવી જોઈએ જે સરળ ન હોય, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે ચાલતી રેખાઓમાંથી એક બે નિશ્ચિત રેખાઓના ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પરથી પસાર થાય છે. તે સમયે જ્યારે ફરતી રેખાઓ પ્રથમ બિન-સરળ વ્યવસ્થા બનાવે છે, ત્યારે ત્રણ કે તેથી વધુ રેખાઓ એક બિંદુ પર મળે છે. આ રેખાઓ મળે તે પહેલાં, રેખાઓના આ ઉપગણમાં ત્રિકોણાકાર ચહેરો હશે (મૂળ વ્યવસ્થામાં પણ હાજર) જેનો વિસ્તાર શૂન્યની નજીક પહોંચે છે. પરંતુ આ ચહેરાના વિસ્તારોની અસ્થિરતાને વિરોધાભાસી બનાવે છે. વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે ત્રિકોણ કરતાં ઓછા છે તેવી ધારણા સાચી ન હોઈ શકે. સંબંધિત પરિણામો જ્યારે રોબર્ટ્સનો પ્રમેય આપેલ સંખ્યાબંધ રેખાઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા સૌથી ઓછા સંભવિત ત્રિકોણની ચિંતા કરે છે, ત્યારે સંબંધિત કોબોન ત્રિકોણ સમસ્યા શક્ય તેટલી મોટી સંખ્યાની ચિંતા કરે છે. બે સમસ્યાઓ પહેલેથી જ અલગ છે, જ્યાં રોબર્ટ્સનો પ્રમેય ખાતરી આપે છે કે ત્રણ ત્રિકોણ અસ્તિત્વમાં હશે, પરંતુ કોબોન ત્રિકોણ સમસ્યાના ઉકેલમાં પાંચ ત્રિકોણ છે. રોબર્ટ્સના પ્રમેયને સરળ રેખા ગોઠવણીથી લઈને કેટલીક બિન-સરળ ગોઠવણીઓ, યુક્લિડિયન સમતલને બદલે પ્રોજેક્ટિવ સમતલમાં ગોઠવણી અને ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યાઓમાં હાયપરપ્લેનની ગોઠવણીમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. રેખા ગોઠવણીથી આગળ, રોબર્ટ્સના પ્રમેયની જેમ જ સ્યુડોલીનની ગોઠવણી માટે સમાન બંધન છે. સંદર્ભો અલગ ભૂમિતિ ત્રિકોણ