Extrinsic Geometric Flows
બાહ્ય ભૌમિતિક પ્રવાહ એ એક અદ્યતન ગણિતનું પાઠ્યપુસ્તક છે જે ભૌમિતિક પ્રવાહ, ગાણિતિક સમસ્યાઓનું વિહંગાવલોકન કરે છે જેમાં વળાંક અથવા સપાટી કોઈ નિયમ અનુસાર સતત ફરે છે. તે બાહ્ય પ્રવાહો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, જેમાં નિયમ રીચી પ્રવાહ જેવા આંતરિક પ્રવાહોને બદલે અવકાશમાં સપાટીના એમ્બેડિંગ પર આધાર રાખે છે, જે સપાટીની આંતરિક ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે અને એમ્બેડિંગના સંદર્ભ વિના વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. બાહ્ય ભૌમિતિક પ્રવાહો બેન એન્ડ્રુઝ, બેનેટ ચાઉ, ક્રિસ્ટીન ગ્યુન્થર અને મેટ લેંગફોર્ડ દ્વારા લખવામાં આવ્યો હતો અને 2020 માં અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટીની પુસ્તક શ્રેણી, ગ્રેજ્યુએટ સ્ટડીઝ ઇન મેથેમેટિક્સના વોલ્યુમ 206 તરીકે પ્રકાશિત થયો હતો. વિષયો આ પુસ્તકમાં ચાર પ્રકરણો છે, જે આશરે ચાર વિભાગોમાં વહેંચાયેલા છેઃ પ્રકરણો 1 થી 4 એ ઉષ્મા સમીકરણ અને તેમાંથી વ્યાખ્યાયિત વળાંક-ટૂંકા પ્રવાહની ચિંતા કરે છે, જેમાં વળાંક યુક્લિડિયન સમતલમાં, તેની વક્રતાના પ્રમાણસર ઝડપે લંબ રીતે આગળ વધે છે. તેમાં વળાંકો પરની સામગ્રીનો સમાવેશ થાય છે જે પ્રવાહની સાથે સ્વ-સમાન રહે છે, જેમ કે વર્તુળો અને ગંભીર રીપર વળાંક, ગેજ-હેમિલ્ટન-ગ્રેસન પ્રમેય જે મુજબ દરેક સરળ બંધ વળાંક એક વર્તુળમાં એકરૂપ થાય છે જ્યાં સુધી તે આખરે એક બિંદુ પર તૂટી ન જાય, ક્યારેય સ્વ-વિચ્છેદ કર્યા વિના, અને પ્રવાહના પ્રાચીન ઉકેલોનું વર્ગીકરણ. પ્રકરણ 5 થી 14 સરેરાશ વળાંક પ્રવાહની ચિંતા કરે છે, જે વળાંક-ટૂંકા પ્રવાહનું ઉચ્ચ પરિમાણીય સામાન્યીકરણ છે જે તેની લંબ ગતિની ગતિને નિયંત્રિત કરવા માટે સપાટીની સરેરાશ વળાંકનો ઉપયોગ કરે છે. અતિસંવેદનશીલતાની ભૂમિતિ પરના પ્રારંભિક પ્રકરણ પછી, તેમાં "સ્થાનિક રીતે સમગ્ર લિપશિટ્ઝ આલેખ" સંબંધિત એકર અને હ્યુસ્કેનના પરિણામો અને હ્યુસ્કેનના સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે કે સમાન રીતે બહિર્મુખ સપાટીઓ સુંવાળી અને બહિર્મુખ રહે છે, ગોળામાં રૂપાંતરિત થાય છે, તે પહેલાં તેઓ એક બિંદુ પર તૂટી જાય છે. હ્યુસ્કેનનું એકવિધતાનું સૂત્ર આવરી લેવામાં આવ્યું છે, જેમ કે બ્રેક અને વ્હાઇટના નિયમિતતા સિદ્ધાંતો છે, જે મુજબ પ્રવાહ લગભગ દરેક જગ્યાએ સરળ છે. આ વિભાગના કેટલાક પ્રકરણો આ પ્રવાહમાં વિકસી શકે તેવી એકલતાની ચિંતા કરે છે, તેમજ સપાટીઓ કે જે વહેતી વખતે સ્વ-સમાન રહે છે. પ્રકરણ 15 થી 17 ગૌસના વળાંકના પ્રવાહની ચિંતા કરે છે, જે સરેરાશ વળાંકની જગ્યાએ ગૌસીયન વળાંકનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં વળાંક-ટૂંકા પ્રવાહને સામાન્ય બનાવવાની એક અલગ રીત છે. જો કે ગૌસીયન વળાંક આંતરિક છે, સરેરાશ વળાંકથી વિપરીત, ગૌસ વળાંકનો પ્રવાહ બાહ્ય છે, કારણ કે તેમાં જડિત સપાટીની ગતિ શામેલ છે. અહીં, પ્રવાહની વિવિધતામાં પ્રવાહની ઝડપને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વળાંકને બદલે વળાંકની શક્તિનો ઉપયોગ કરવાનો સમાવેશ થાય છે, અને આ મર્યાદિત સમય અંતરાલો પર પ્રવાહના અસ્તિત્વ, સ્વ-સમાન ઉકેલોના અસ્તિત્વ અને મર્યાદિત આકારો અંગેના પ્રશ્નો ઉભા કરે છે. વક્રતાનો ઘાતાંક અહીં મહત્વપૂર્ણ છે, જેમાં બહિર્મુખ સપાટીઓ ઘાતાંક પર લંબગોળમાં રૂપાંતરિત થાય છે (એફાઇન વળાંક-ટૂંકા પ્રવાહને ઉત્પન્ન કરે છે) અને મોટા ઘાતાંકો માટે ગોળ ગોળાકાર હોય છે. પ્રકરણો 18-20 બિનરેખીય ભૌમિતિક પ્રવાહોનું વ્યાપક વિહંગાવલોકન પ્રદાન કરે છે. દરેક પ્રકરણની સામગ્રીમાં પ્રકરણમાં ચર્ચા કરાયેલા પરિણામોના પુરાવા અને ગણિત સાહિત્યના સંદર્ભો બંનેનો સમાવેશ થાય છે; દરેક પ્રકરણના અંતે ભાષ્ય વિભાગમાં વધારાના સંદર્ભો પૂરા પાડવામાં આવે છે, જે વધારાની અંતર્જ્ઞાન અને ખુલ્લી સમસ્યાઓનું વર્ણન તેમજ તે જ ક્ષેત્રમાં વધારાના પરિણામોનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન પણ પ્રદાન કરે છે. ઘણા આંકડાઓ સાથે ચર્ચા હેઠળના ગણિતને સમજાવવાની સાથે સાથે, તે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓના ફોટોગ્રાફ્સ પ્રદાન કરીને સામગ્રીને માનવીય બનાવે છે જેનો તે સંદર્ભ આપે છે. આ પ્રકરણોમાં અભ્યાસનો સમાવેશ થાય છે, જે આ પુસ્તકને સ્નાતક પાઠ્યપુસ્તકો તરીકે યોગ્ય બનાવે છે. પ્રેક્ષકો અને આવકાર ગ્રિગોરી પેરેલમેન દ્વારા પોઇનકેરે અનુમાન અને ભૌમિતિક અનુમાન બંનેને ઉકેલવા માટે તેમના ઉપયોગ પછી આંતરિક પ્રવાહો ગણિતમાં તાજેતરના ધ્યાનનો વિષય હોવા છતાં, બાહ્ય પ્રવાહોનો પણ ગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગોનો લાંબો ઇતિહાસ છે, જે આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. તેમના ઉપયોગોમાં જૈવિક કોષોની વૃદ્ધિ, ધાતુના સ્ફટિકના અનાજ, ફીણમાં પરપોટા અને "દરિયાકાંઠે ફરતા પથ્થરોની વિકૃતિ" નું મોડેલિંગ સામેલ છે. પુસ્તકના પુરાવાઓ ઘણીવાર સંશોધન સાહિત્યમાં પુરાવાઓનું સરળીકરણ છે, પરંતુ તેમ છતાં તે હજુ પણ તદ્દન તકનીકી છે, જેનો હેતુ ભૌમિતિક વિશ્લેષણમાં સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ અને સંશોધકોને છે. વાચકો વિભેદક ભૂમિતિ અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોની મૂળભૂત બાબતોથી પરિચિત હોવાની અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે. પુસ્તકમાં એક જ અભ્યાસક્રમમાં આવરી શકાય તે કરતાં વધુ સામગ્રી છે, પરંતુ તે કાં તો બહુ-અભ્યાસક્રમ ક્રમનો આધાર બની શકે છે અથવા એક વિષય અભ્યાસક્રમ બની શકે છે જે તેની કેટલીક સામગ્રીને જ પસંદ કરે છે. પાઠ્યપુસ્તક હોવા ઉપરાંત, બાહ્ય ભૌમિતિક પ્રવાહ આ ક્ષેત્રના નિષ્ણાતો માટે પ્રવાહ પર સંદર્ભ સામગ્રી તરીકે કામ કરી શકે છે. સંબંધિત કૃતિઓ ભૌમિતિક પ્રવાહ પરનું આ પ્રથમ પુસ્તક નથી. અન્યમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ જોકે બાહ્ય ભૌમિતિક પ્રવાહ આ કાર્યો કરતાં વધુ વ્યાપક અને અદ્યતન છે, તે તેમના કેટલાક વિષયોને બાકાત રાખે છે, જેમાં વળાંકના અનિસોટ્રોપિક પ્રવાહ, સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતની એપ્લિકેશનો અને તેના સ્તર-સેટ પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. સંદર્ભો ભૌમિતિક પ્રવાહ ગણિત પાઠ્યપુસ્તકો 2020 બિન-કાલ્પનિક પુસ્તકો પબ્લિકેશન્સ ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી