Lexicographic dominance
લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ એ રેન્ડમ ચલ વચ્ચેનો કુલ ક્રમ છે. તે સ્ટોકેસ્ટિક ઓર્ડરનું એક સ્વરૂપ છે. તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ વેરિયેબલ A એ રેન્ડમ વેરિયેબલ B (સૂચિત) પર લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ ધરાવે છે જો નીચેનામાંથી એક ધરાવે છેઃ A પાસે શ્રેષ્ઠ પરિણામ મેળવવાની B કરતા વધુ સંભાવના છે. એ અને બી પાસે શ્રેષ્ઠ પરિણામ મેળવવાની સમાન સંભાવના છે, પરંતુ એ પાસે બીજું શ્રેષ્ઠ પરિણામ મેળવવાની વધુ સંભાવના છે. એ અને બી પાસે શ્રેષ્ઠ અને બીજા શ્રેષ્ઠ પરિણામો મેળવવાની સમાન સંભાવના છે, પરંતુ એ પાસે ત્રીજા શ્રેષ્ઠ પરિણામ મેળવવાની વધુ સંભાવના છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ k એ પ્રથમ અનુક્રમણિકા છે જેના માટે A અને B માટે k-th શ્રેષ્ઠ પરિણામ મેળવવાની સંભાવના અલગ છે. પછી એ માટે આ સંભાવના વધારે હોવી જોઈએ. ચલો ઉપરની લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. રેન્ડમ વેરિયેબલ A એ રેન્ડમ વેરિયેબલ B (સૂચિત) પર ઉપરની તરફ લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ ધરાવે છે જો નીચેનામાંથી એક ધરાવે છેઃ A પાસે સૌથી ખરાબ પરિણામ મેળવવાની B કરતા ઓછી સંભાવના છે. A અને B ને સૌથી ખરાબ પરિણામ મળવાની સમાન સંભાવના છે, પરંતુ A ને બીજું સૌથી ખરાબ પરિણામ મળવાની સંભાવના ઓછી છે. A અને B ને સૌથી ખરાબ અને બીજા સૌથી ખરાબ પરિણામો મળવાની સમાન સંભાવના છે, પરંતુ A ને ત્રીજા સૌથી ખરાબ પરિણામો મળવાની સંભાવના ઓછી છે. બે ધારણાઓ વચ્ચે તફાવત કરવા માટે, પ્રમાણભૂત લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વની કલ્પનાને કેટલીકવાર ડાઉનવર્ડ લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ કહેવામાં આવે છે અને સૂચવવામાં આવે છે. અન્ય પ્રભુત્વની કલ્પનાઓ સાથેનો સંબંધ ફર્સ્ટ-ઓર્ડર સ્ટોકેસ્ટિક પ્રભુત્વ નીચે તરફ-લેક્સિકોગ્રાફિક અને ઉપર તરફ-લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ બંને સૂચવે છે. તેનાથી ઊલટું સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે z> y> x> w ક્રમાંકિત ચાર પરિણામો છે. બે લોટરીઓનો વિચાર કરો જે z, y, x, w ને નીચેની સંભાવનાઓ સોંપે છેઃ A:. 2,. 4,. 2,. 2 B:. 2,. 3,. 4,. 1 પછી નીચે મુજબ છેઃ, કારણ કે તેઓ z ને સમાન સંભાવના સોંપે છે પરંતુ A એ y ને વધુ સંભાવના સોંપે છે, કારણ કે B સૌથી ખરાબ પરિણામને ઓછી સંભાવના સોંપે છે, કારણ કે B ત્રણ શ્રેષ્ઠ પરિણામો (z, y, x) ને વધુ સંભાવના સોંપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો z, y, x નું મૂલ્ય 1 ની નજીક હોય અને w નું મૂલ્ય 0 હોય, તો B નું અપેક્ષિત મૂલ્ય 0.9 ની નજીક છે જ્યારે A નું અપેક્ષિત મૂલ્ય 0.8 ની નજીક છે, કારણ કે A બે શ્રેષ્ઠ પરિણામો {z, y} ને વધુ સંભાવના આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો z, y નું મૂલ્ય 1 ની નજીક હોય અને x, w નું મૂલ્ય 0 હોય, તો B નું અપેક્ષિત મૂલ્ય 0.5 ની નજીક છે જ્યારે A નું અપેક્ષિત મૂલ્ય 0.6 ની નજીક છે. સામાજિક પસંદગીના સિદ્ધાંતમાં લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વ સંબંધોનો ઉપયોગ વ્યૂહરચનાપ્રતિરક્ષા, ભાગીદારી માટે પ્રોત્સાહનો, સામાન્ય કાર્યક્ષમતા અને ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતાની કલ્પનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. હોસેની અને લાર્સન લેક્સિકોગ્રાફિક પ્રભુત્વના આધારે વાજબી રેન્ડમ સોંપણી માટેના નિયમોના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરે છે. સંદર્ભો રેન્ડમ ચલ ક્રમ