Permutation codes
ક્રમચય સંકેતો એ ભૂલ સુધારણા સંકેતોના પરિવાર છે જે સૌપ્રથમ 1965 માં સ્લેપિયન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. અને ફ્લેશ મેમરી અને પાવર-લાઇન સંચાર સંબંધિત તેમની એપ્લિકેશનોને કારણે સંયોજન અને માહિતી સિદ્ધાંત બંનેમાં વ્યાપકપણે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો ક્રમચય કોડને સમમિતીય જૂથના સબસેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે લંબાઈના શબ્દમાળાઓ વચ્ચેના સામાન્ય હેમિંગ અંતરથી સંપન્ન હોય છે. વધુ ચોક્કસપણે, જો ક્રમચયો હોય, તો ક્રમચયો કોડનું લઘુતમ અંતર લઘુતમ હકારાત્મક પૂર્ણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે, વિશિષ્ટ છે, જેમ કે. ક્રમચય સંકેતો ચોક્કસ ચેનલો માટે યોગ્ય છે તેનું એક કારણ એ છે કે દરેક કોડવર્ડમાં મૂળાક્ષર પ્રતીકો માત્ર એક જ વાર દેખાય છે, જે ઉદાહરણ તરીકે પાવરલાઇન સંદેશાવ્યવહારના સંદર્ભમાં થતી ભૂલોને કોડવર્ડ્સ ગિલ્બર્ટ-વાર્શામોવ બાઉન્ડ પર ઓછી અસરકારક બનાવે છે. નાની લંબાઈ સિવાય તેમાં બહુ ઓછી પ્રગતિ થઈ છે. આપણે બધા ક્રમચયોના સમૂહને દર્શાવવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જેમાં ઓળખથી બરાબર અંતર હોય છે. ચાલો, ક્રમમાં વિસંગતતાઓની સંખ્યા ક્યાં છે. ગિલ્બર્ટ-વાર્શામોવ બાઉન્ડ એ ખૂબ જ જાણીતી ઉપલી બાઉન્ડ છે, અને અત્યાર સુધી નાના મૂલ્યો માટે અન્ય સીમાઓને પાછળ છોડી દે છે. પ્રમેય 1: આગામી પ્રમેય દર્શાવે છે તે કિસ્સામાં તેના પર સુધારા થયા છે. પ્રમેય 2: જો અમુક પૂર્ણાંક માટે, તો. અને ના નાના મૂલ્યો માટે, સંશોધકોએ કેટલાક નિર્ધારિત ઓટોમોર્ફિઝમ્સ સાથે સીધા ક્રમચય સંકેતો શોધવા માટે વિવિધ કમ્પ્યુટર શોધ વ્યૂહરચનાઓ વિકસાવી છે અન્ય સીમાઓ ક્રમચય સંકેતો પર અસંખ્ય સીમાઓ છે, અમે અહીં બેની યાદી આપીએ છીએ ગિલ્બર્ટ-વાર્શામોવ બાઉન્ડ ઇમ્પ્રૂવમેન્ટ ઉપર પહેલેથી જ ચર્ચા કરાયેલ ગિલ્બર્ટ-વાર્શામોવ બાઉન્ડમાં એક સુધારો કરવામાં આવ્યો છે. અમુક આલેખમાં ક્રમચય સંકેતો અને સ્વતંત્ર સમૂહો વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે સંકેતલિપીની લંબાઈ અનંત સુધી જાય છે, ત્યારે કોઈ પરિબળ દ્વારા ગિલ્બર્ટ-વાર્શામોવને એસિમ્પ્ટોટિક રીતે બંધાયેલ સુધારી શકે છે. ચાલો ઓળખના પડોશ દ્વારા પ્રેરિત સબગ્રાફને સૂચવીએ, કેલે ગ્રાફ અને. ચાલો પ્રમેય 3 માં મહત્તમ ડિગ્રી સૂચવે છેઃ ચાલો અને પછી, ક્યાં. ગિલ્બર્ટ-વાર્શામોવ બાઉન્ડ છે, પ્રમેય 4: જ્યારે નિશ્ચિત હોય અને અનંત થાય છે, ત્યારે આપણી પાસે રેખીય કોડનો ઉપયોગ કરીને નીચલી સીમાઓ હોય છે. ક્રમચય કોડ માટે નીચલી સીમા જે ક્રમચય કોડની લંબાઈ અને અંતરની ચોક્કસ પ્રથાઓમાં એસિમ્પ્ટોટિક સુધારાઓ પ્રદાન કરે છે તેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. સમપ્રમાણ જૂથના આપેલ સબસેટ માટે, અમે ઓછામાં ઓછા સંપૂર્ણપણે સમાયેલ ઓછામાં ઓછા અંતરના ક્રમચય કોડની મહત્તમ મુખ્યતા દ્વારા સૂચવીએ છીએ, એટલે કે. . પ્રમેય 5: ચાલો પૂર્ણાંકો એવા હોઈએ કે અને. વધુમાં ચાલો એક મુખ્ય શક્તિ બનીએ અને હકારાત્મક પૂર્ણાંકો બનીએ જેમ કે અને. જો ત્યાં કોઈ કોડ અસ્તિત્વમાં હોય જેમાં હેમિંગ વજનનો કોડવર્ડ હોય, તો જ્યાં કોરોલરી 1: દરેક પ્રાઇમ પાવર માટે, દરેક માટે,. ઉપસંહાર 2: દરેક મુખ્ય શક્તિ માટે, દરેક માટે, સંદર્ભો ભૂલ શોધ અને સુધારણા