Simplicial complex recognition problem
સરળ જટિલ ઓળખની સમસ્યા એ બીજગણિત ટોપોલોજીમાં ગણતરીની સમસ્યા છે. એક સરળ સંકુલને જોતાં, સમસ્યા એ નક્કી કરવાની છે કે તે અન્ય નિશ્ચિત સરળ સંકુલ માટે હોમોમોર્ફિક છે કે કેમ. પરિમાણ 5 કે તેથી વધુના સંકુલ માટે સમસ્યા અનિશ્ચિત છે. પૃષ્ઠભૂમિ અમૂર્ત સરળ સંકુલ (એ. એસ. સી.) એ સમૂહોનો પરિવાર છે જે ઉપગણ લેવા હેઠળ બંધ હોય છે (કુટુંબમાં સમૂહનો ઉપગણ પણ કુટુંબમાં એક સમૂહ હોય છે). દરેક અમૂર્ત સરળ સંકુલમાં ભૌમિતિક સરળ સંકુલ (જી. એસ. સી.) તરીકે યુક્લિડિયન અવકાશમાં એક અનન્ય ભૌમિતિક અનુભૂતિ હોય છે, જ્યાં એ. એસ. સી. માં કે તત્વો સાથેના દરેક સમૂહને જી. એસ. સી. માં (કે-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સમાં મેપ કરવામાં આવે છે. આમ, ASC ભૌમિતિક પદાર્થની મર્યાદિત રજૂઆત પૂરી પાડે છે. એએસસીને જોતાં, તે જે જીએસસીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તેના ટોપોલોજી અંગે ઘણા પ્રશ્નો પૂછી શકે છે. હોમોમોર્ફિઝમ સમસ્યા હોમોમોર્ફિઝમ સમસ્યા છેઃ સરળ મેનીફોલ્ડનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા બે મર્યાદિત સરળ સંકુલ આપવામાં આવે તો, નક્કી કરો કે તેઓ હોમોમોર્ફિક છે કે નહીં. જો સંકુલ મહત્તમ 3 પરિમાણના હોય, તો સમસ્યા નિર્ણાયક છે. આ ભૌમિતિક અનુમાનના પુરાવા પરથી અનુસરે છે. દરેક d ≤ 4 માટે, d-પરિમાણીય સરળ સંકુલ માટે હોમોમોર્ફિઝમ સમસ્યા અનિશ્ચિત છે. જો "હોમોમોર્ફિક" ને "પીસવાઇઝ-લીનિયર હોમોમોર્ફિક" સાથે બદલવામાં આવે તો તે જ સાચું છે. ઓળખની સમસ્યા ઓળખની સમસ્યા એ હોમોમોર્ફિઝમ સમસ્યાની પેટા સમસ્યા છે, જેમાં એક સરળ સંકુલને નિશ્ચિત પરિમાણ તરીકે આપવામાં આવે છે. ઇનપુટ તરીકે અન્ય સરળ કોમ્પ્લેક્સને જોતાં, સમસ્યા એ નક્કી કરવાની છે કે તે આપેલ ફિક્સ્ડ કોમ્પ્લેક્સ માટે હોમોમોર્ફિક છે કે કેમ. ત્રિ-પરિમાણીય ગોળા માટે ઓળખની સમસ્યા નિર્ણાયક છે. એટલે કે, એક અલ્ગોરિધમ છે જે નક્કી કરી શકે છે કે આપેલ કોઈપણ સરળ સંકુલ 4-પરિમાણીય દડાની સીમા માટે હોમોમોર્ફિક છે કે કેમ. કોઈપણ d ≤ 5 માટે d-પરિમાણીય ગોળા માટે ઓળખની સમસ્યા અનિશ્ચિત છે. તેનો પુરાવો જૂથો માટે સમસ્યા શબ્દને ઘટાડીને છે. આમાંથી, તે સાબિત કરી શકાય છે કે d ≤5 સાથે કોઈપણ નિશ્ચિત કોમ્પેક્ટ d-ડાયમેન્શનલ મેનીફોલ્ડ માટે ઓળખની સમસ્યા અનિર્ણાયક છે. 2014 સુધીમાં, તે ખુલ્લું છે કે માન્યતા સમસ્યા 4-પરિમાણીય ગોળા માટે નિર્ણાયક છે કે કેમ. મેનીફોલ્ડ સમસ્યા મેનીફોલ્ડ સમસ્યા છેઃ મર્યાદિત સરળ સંકુલને જોતાં, શું તે મેનીફોલ્ડ માટે હોમોમોર્ફિક છે? સમસ્યા અનિશ્ચિત છે; તેનો પુરાવો જૂથો માટે સમસ્યા શબ્દમાંથી ઘટાડો છે. સંદર્ભો અનિર્ણિત સમસ્યાઓ સરળ સમૂહો