Ordinary differential equation
ગણિતમાં, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ (ODE) એ માત્ર એક સ્વતંત્ર ચલ પર આધારિત વિભેદક સમીકરણ (DE) છે. અન્ય DE ની જેમ, તેના અજ્ઞાત (ઓ) માં એક (અથવા વધુ) કાર્ય (ઓ) નો સમાવેશ થાય છે અને તેમાં તે કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સમાવેશ થાય છે. "સામાન્ય" શબ્દનો ઉપયોગ આંશિક વિભેદક સમીકરણોથી વિપરીત થાય છે જે એક સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં હોઈ શકે છે. વિભેદક સમીકરણો એક રેખીય વિભેદક સમીકરણ એ એક વિભેદક સમીકરણ છે જે અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્નમાં રેખીય બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે સ્વરૂપનું સમીકરણ છે જ્યાં,, અને મનસ્વી રીતે વિભેદક કાર્યો છે જેને રેખીય હોવાની જરૂર નથી, અને તે ચલના અજ્ઞાત કાર્યના ક્રમિક વ્યુત્પન્ન છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોમાં, રેખીય વિભેદક સમીકરણો ઘણા કારણોસર અગ્રણી ભૂમિકા ભજવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને લાગુ ગણિતમાં જોવા મળતા મોટાભાગના પ્રાથમિક અને વિશેષ કાર્યો રેખીય વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો છે (હોલોનોમિક કાર્ય જુઓ). જ્યારે ભૌતિક ઘટનાઓને બિન-રેખીય સમીકરણો સાથે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે સામાન્ય રીતે સરળ ઉકેલ માટે રેખીય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે. કેટલાક બિન-રેખીય ODE કે જેને સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાય છે તે સામાન્ય રીતે સમીકરણને સમકક્ષ રેખીય ODE માં રૂપાંતરિત કરીને ઉકેલી શકાય છે (જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, રિકાતી સમીકરણ). કેટલાક ODE ને જાણીતા કાર્યો અને સંકલનની દ્રષ્ટિએ સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાય છે. જ્યારે તે શક્ય ન હોય ત્યારે, ઉકેલોની ટેલર શ્રેણીની ગણતરી માટેનું સમીકરણ ઉપયોગી થઈ શકે છે. લાગુ કરેલી સમસ્યાઓ માટે, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટેની આંકડાકીય પદ્ધતિઓ ઉકેલનો અંદાજ પૂરો પાડી શકે છે. પૃષ્ઠભૂમિ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ODE) ગણિત અને સામાજિક અને કુદરતી વિજ્ઞાનના ઘણા સંદર્ભોમાં ઉદ્ભવે છે. પરિવર્તનનું ગાણિતિક વર્ણન તફાવતો અને વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ કરે છે. વિવિધ તફાવતો, વ્યુત્પન્ન અને કાર્યો સમીકરણો દ્વારા સંબંધિત બને છે, જેમ કે વિભેદક સમીકરણ એ એક પરિણામ છે જે ગતિશીલ રીતે બદલાતી ઘટના, ઉત્ક્રાંતિ અને વિવિધતાનું વર્ણન કરે છે. ઘણીવાર, જથ્થાને અન્ય જથ્થાના ફેરફારના દર (ઉદાહરણ તરીકે, સમયના સંદર્ભમાં વિસ્થાપનના વ્યુત્પન્ન), અથવા જથ્થાના ઢાળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે રીતે તેઓ વિભેદક સમીકરણો દાખલ કરે છે. ચોક્કસ ગાણિતિક ક્ષેત્રોમાં ભૂમિતિ અને વિશ્લેષણાત્મક મિકેનિક્સનો સમાવેશ થાય છે. વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રોમાં ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ખગોળશાસ્ત્ર (આકાશી મિકેનિક્સ), હવામાનશાસ્ત્ર (હવામાન મોડેલિંગ), રસાયણશાસ્ત્ર (પ્રતિક્રિયા દર), જીવવિજ્ઞાન (ચેપી રોગો, આનુવંશિક વિવિધતા), ઇકોલોજી અને વસ્તી મોડેલિંગ (વસ્તી સ્પર્ધા), અર્થશાસ્ત્ર (સ્ટોક વલણો, વ્યાજ દરો અને બજાર સંતુલન ભાવ ફેરફારો) નો સમાવેશ થાય છે. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વિભેદક સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને આ ક્ષેત્રમાં યોગદાન આપ્યું છે, જેમાં ન્યૂટન, લીબનીઝ, બર્નૌલી પરિવાર, રિકાટી, ક્લેયરૉટ, ડી 'એલેમ્બર્ટ અને યુલરનો સમાવેશ થાય છે. એક સરળ ઉદાહરણ ન્યુટનનો ગતિનો બીજો નિયમ છે-બળ F હેઠળ પદાર્થના વિસ્થાપન x અને સમય t વચ્ચેનો સંબંધ વિભેદક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સ્થિર દળ m ના કણની ગતિને અવરોધે છે. સામાન્ય રીતે, F એ સમય t પર કણની સ્થિતિ x (t) નું કાર્ય છે. અજ્ઞાત કાર્ય x (t) વિભેદક સમીકરણની બંને બાજુએ દેખાય છે, અને તે સંકેત F (x (t) માં દર્શાવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે, y એ એક આશ્રિત ચલ છે જે સ્વતંત્ર ચલ x ના અજ્ઞાત કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તફાવત માટેના સંકેતો લેખક પર આધાર રાખીને બદલાય છે અને કયા સંકેતો હાથ પરના કાર્ય માટે સૌથી વધુ ઉપયોગી છે. આ સંદર્ભમાં, લીબનીઝ નોટેશન તફાવત અને એકીકરણ માટે વધુ ઉપયોગી છે, જ્યારે લેગ્રેન્જનું નોટેશન ઉચ્ચ-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝને સઘન રીતે રજૂ કરવા માટે વધુ ઉપયોગી છે, અને ન્યૂટનના નોટેશનનો ઉપયોગ ઘણીવાર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સમયના સંદર્ભમાં નીચા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝને રજૂ કરવા માટે થાય છે. સામાન્ય વ્યાખ્યા આપવામાં આવેલ F, x, y નું વિધેય અને y ના વ્યુત્પન્ન. પછી સ્વરૂપના સમીકરણને ક્રમ n નું સ્પષ્ટ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ક્રમ n નું ગર્ભિત સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છેઃ વધુ વર્ગીકરણ છેઃ ODE ની પ્રણાલી સંખ્યાબંધ યુગ્મિત વિભેદક સમીકરણો સમીકરણોની પ્રણાલી બનાવે છે. જો y એ વેક્ટર છે જેના ઘટકો વિધેયો છે; y (x) = [y1 (x), y2 (x),., ym (x)], અને F એ y અને તેના વ્યુત્પન્નોનું વેક્ટર-મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે, તો તે ક્રમ n અને પરિમાણ m ના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સ્પષ્ટ પ્રણાલી છે. ગર્ભિત એનાલોગ છેઃ જ્યાં 0 = (0,0,., 0) એ શૂન્ય વેક્ટર છે. મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ફોર્મની સિસ્ટમ માટે, કેટલાક સ્રોતો માટે પણ જરૂરી છે કે જેકોબિયન મેટ્રિક્સ નોન-સિંગ્યુલર હોય જેથી તેને ઇમ્પ્લિસિટ ODE [સિસ્ટમ] કહી શકાય; આ જેકોબિયન નોન-સિંગ્યુલારિટી સ્થિતિને સંતોષતી ઇમ્પ્લિસિટ ODE સિસ્ટમને સ્પષ્ટ ODE સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. સમાન સ્રોતોમાં, એકવચન જેકોબિયન સાથેની ગર્ભિત ODE પ્રણાલીઓને વિભેદક બીજગણિત સમીકરણો (DAEs) કહેવામાં આવે છે. આ તફાવત માત્ર એક પરિભાષા નથી; ડી. એ. ઈ. મૂળભૂત રીતે અલગ લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે અને સામાન્ય રીતે (નોન-સિંગ્યુલર) ઓ. ડી. ઈ. પ્રણાલીઓ કરતાં ઉકેલવા માટે વધુ સામેલ હોય છે. સંભવતઃ વધારાના ડેરિવેટિવ્ઝ માટે, હેસિયન મેટ્રિક્સ અને તેથી આગળ પણ આ યોજના અનુસાર બિન-એકવચન માનવામાં આવે છે, જો કે નોંધ લો કે એક કરતા મોટા ક્રમના કોઈપણ ODE ને પ્રથમ ક્રમના ODE ની પ્રણાલી તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે (અને સામાન્ય રીતે કરવામાં આવે છે), જે જેકોબિયન એકત્વ માપદંડને આ વર્ગીકરણને તમામ ક્રમમાં વ્યાપક બનાવવા માટે પૂરતો બનાવે છે. ODE ની પ્રણાલીની વર્તણૂકને તબક્કાના ચિત્રના ઉપયોગ દ્વારા જોઈ શકાય છે. વિભેદક સમીકરણને આપેલ ઉકેલો એક વિધેય, જ્યાં I એક અંતરાલ છે, તેને F માટે ઉકેલ અથવા અભિન્ન વળાંક કહેવામાં આવે છે, જો u એ I પર n-ગુણ્યા વિકલનક્ષમ હોય, અને બે ઉકેલો આપવામાં આવે અને, u ને v નું વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે અને A ઉકેલ કે જેનું કોઈ વિસ્તરણ નથી તેને મહત્તમ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. બધા આર પર વ્યાખ્યાયિત ઉકેલને વૈશ્વિક ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. nમા ક્રમના સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ એકીકરણના n મનસ્વી સ્વતંત્ર અચળાંકો ધરાવતો ઉકેલ છે. સામાન્ય ઉકેલમાંથી સ્થિરાંકોને ચોક્કસ મૂલ્યો પર સુયોજિત કરીને ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે, જે ઘણીવાર સમૂહ 'પ્રારંભિક શરતો અથવા સીમા શરતો' ને પૂર્ણ કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે. એકવચન ઉકેલ એ એક એવો ઉકેલ છે જે સામાન્ય ઉકેલમાં મનસ્વી સ્થિરાંકોને ચોક્કસ મૂલ્યો સોંપીને મેળવી શકાતો નથી. રેખીય ODE ના સંદર્ભમાં, પરિભાષા ચોક્કસ ઉકેલ ODE ના કોઈપણ ઉકેલનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકે છે (પ્રારંભિક શરતોને સંતોષવા જરૂરી નથી), જે પછી સજાતીય ઉકેલ (સજાતીય ODE નો સામાન્ય ઉકેલ) માં ઉમેરવામાં આવે છે, જે પછી મૂળ ODE નો સામાન્ય ઉકેલ બનાવે છે. આ લેખમાં અનુમાન પદ્ધતિ વિભાગમાં વપરાતી પરિભાષા છે, અને અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ અને પરિમાણોની વિવિધતાની ચર્ચા કરતી વખતે તેનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. મર્યાદિત સમયગાળાના ઉકેલો બિન-રેખીય સ્વાયત્ત ODE માટે કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં મર્યાદિત સમયગાળાના ઉકેલો વિકસાવવા શક્ય છે, એટલે કે અહીં તેની પોતાની ગતિશીલતાથી, સિસ્ટમ અંતિમ સમયે શૂન્ય મૂલ્ય સુધી પહોંચશે અને તે પછી કાયમ શૂન્યમાં રહેશે. આ મર્યાદિત-સમયગાળાના ઉકેલો સંપૂર્ણ વાસ્તવિક રેખા પર વિશ્લેષણાત્મક વિધેયો ન હોઈ શકે, અને કારણ કે તેઓ તેમના અંતિમ સમયે બિન-લિપ્સિટ્ઝ વિધેયો હશે, તેઓ લિપ્સિટ્ઝ વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોના વિશિષ્ટતા પ્રમેયમાં શામેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણઃ મર્યાદિત સમયગાળાના ઉકેલને સ્વીકારે છેઃ થિયરીઝ સિંગ્યુલર સોલ્યુશન્સ સામાન્ય અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના એકવચન ઉકેલોનો સિદ્ધાંત લીબનીઝના સમયથી સંશોધનનો વિષય હતો, પરંતુ ઓગણીસમી સદીના મધ્યભાગથી જ તેને વિશેષ ધ્યાન મળ્યું છે. આ વિષય પરનું મૂલ્યવાન પરંતુ ઓછું જાણીતું કાર્ય હૌટેન (1854) નું છે. ડાર્બોક્સ (1873 થી) આ સિદ્ધાંતમાં અગ્રણી હતા, અને આ ઉકેલોના ભૌમિતિક અર્થઘટનમાં તેમણે વિવિધ લેખકો, ખાસ કરીને કાસોરાટી અને કેલે દ્વારા કામ કરતું ક્ષેત્ર ખોલ્યું. બાદમાં (1872) પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોના એકવચન ઉકેલોનો સિદ્ધાંત લગભગ 1900 માં સ્વીકારવામાં આવ્યો છે. ચતુર્ભુજમાં ઘટાડો વિભેદક સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કરવાના આદિમ પ્રયાસમાં ચતુર્ભુજમાં ઘટાડો જોવા મળ્યો હતો. જેમ કે અઢારમી સદીના બીજગણિતશાસ્ત્રીઓની આશા હતી કે તેઓ n ડિગ્રીના સામાન્ય સમીકરણને ઉકેલવા માટે એક પદ્ધતિ શોધે, તેથી વિશ્લેષકોની આશા હતી કે તેઓ કોઈપણ વિભેદક સમીકરણને એકીકૃત કરવા માટે એક સામાન્ય પદ્ધતિ શોધે. જોકે, ગૌસ (1799) એ દર્શાવ્યું હતું કે જટિલ વિભેદક સમીકરણો માટે જટિલ સંખ્યાઓની જરૂર પડે છે. તેથી, વિશ્લેષકોએ કાર્યોના અભ્યાસને બદલવાનું શરૂ કર્યું, આમ એક નવું અને ફળદ્રુપ ક્ષેત્ર ખોલ્યું. આ દ્રષ્ટિકોણના મહત્વની પ્રશંસા કરનાર કાઉચી સૌપ્રથમ હતા. ત્યારબાદ, વાસ્તવિક પ્રશ્ન એ ન હતો કે શું ઉકેલ જાણીતા વિધેયો અથવા તેમના સંકલન દ્વારા શક્ય છે, પરંતુ શું આપેલ વિભેદક સમીકરણ સ્વતંત્ર ચલ અથવા ચલની વિધેયની વ્યાખ્યા માટે પૂરતું છે, અને જો એમ હોય તો, લાક્ષણિક ગુણધર્મો શું છે. ફ્યુચીયન સિદ્ધાંત ફ્યુચના બે સંસ્મરણોએ નવલકથા અભિગમને પ્રેરિત કર્યો, ત્યારબાદ થોમ અને ફ્રોબેનિયસ દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો. 1869ની શરૂઆતમાં કોલેટ અગ્રણી યોગદાન આપનાર હતા. બિન-રેખીય પ્રણાલીને એકીકૃત કરવાની તેમની પદ્ધતિ 1868માં બર્ટ્રાન્ડને જણાવવામાં આવી હતી. ક્લેબ્શ (1873) એ તેમના એબેલિયન ઇન્ટિગ્રલ્સના સિદ્ધાંતની સમાંતર રેખાઓ સાથે સિદ્ધાંત પર હુમલો કર્યો. કારણ કે બાદમાં મૂળભૂત વળાંકના ગુણધર્મો અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જે તર્કસંગત પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તિત રહે છે, ક્લેબ્શે પરિમેય એક-થી-એક પરિવર્તન હેઠળ અનુરૂપ સપાટીઓ f = 0 ના અપરિવર્તનીય ગુણધર્મો અનુસાર વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉત્કૃષ્ટ કાર્યોને વર્ગીકૃત કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી. 1870 થી, સોફસ લાઈના કાર્યએ વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતને વધુ સારા પાયા પર મૂક્યો. તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે જૂના ગણિતશાસ્ત્રીઓના એકીકરણ સિદ્ધાંતો, લાઈ જૂથોનો ઉપયોગ કરીને, એક સામાન્ય સ્રોતનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે, અને તે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો કે જે સમાન અનંત પરિવર્તનને સ્વીકારે છે તે તુલનાત્મક એકીકરણ મુશ્કેલીઓ રજૂ કરે છે. તેમણે સંપર્કના પરિવર્તનના વિષય પર પણ ભાર મૂક્યો હતો. વિભેદક સમીકરણોના જૂથના સિદ્ધાંતને પ્રમાણિત કરવામાં આવ્યો છે, એટલે કેઃ (1) તે વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે જાણીતી ઘણી કામચલાઉ પદ્ધતિઓને એકીકૃત કરે છે, અને (2) તે ઉકેલો શોધવા માટે શક્તિશાળી નવી રીતો પ્રદાન કરે છે. આ સિદ્ધાંત સામાન્ય અને આંશિક વિભેદક સમીકરણો બંને માટે લાગુ પડે છે. સામાન્ય ઉકેલ અભિગમ વિભેદક સમીકરણોના સમપ્રમાણતા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરે છે, ઉકેલોના ઉકેલોના સતત અનંત પરિવર્તન (લાઈ થિયરી). સતત જૂથ સિદ્ધાંત, લાઈ આલ્જેબ્રા અને વિભેદક ભૂમિતિ નો ઉપયોગ સંકલિત સમીકરણો પેદા કરવા માટે રેખીય અને બિન-રેખીય (આંશિક) વિભેદક સમીકરણોની રચનાને સમજવા માટે, તેના લક્ષ્મી જોડીઓ, પુનરાવર્તન સંચાલકો, બેક્લંડ પરિવર્તન શોધવા માટે અને અંતે DE માટે ચોક્કસ વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો શોધવા માટે થાય છે. ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇજનેરી અને અન્ય શાખાઓમાં ઉદ્ભવતા વિભેદક સમીકરણો પર સમપ્રમાણતા પદ્ધતિઓ લાગુ કરવામાં આવી છે. સ્ટર્મ-લિઉવિલે સિદ્ધાંત સ્ટર્મ-લિઉવિલે સિદ્ધાંત એ વિશેષ પ્રકારના સેકન્ડ ઓર્ડર રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનો સિદ્ધાંત છે. તેમના ઉકેલો બીજા ક્રમના સજાતીય રેખીય સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખીય સંચાલકોના આઈગન મૂલ્યો અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ પર આધારિત છે. આ સમસ્યાઓને સ્ટર્મ-લિઉવિલે પ્રોબ્લેમ્સ (એસએલપી) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેનું નામ જે. સી. એફ. ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. સ્ટર્મ અને જે. લિઉવિલે, જેમણે 1800ના દાયકાના મધ્યમાં તેમનો અભ્યાસ કર્યો હતો. એસએલપીમાં અનંત સંખ્યામાં આઈગનવેલ્યુ હોય છે, અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ સંપૂર્ણ, ઓર્થોગોનલ સમૂહ બનાવે છે, જે ઓર્થોગોનલ વિસ્તરણને શક્ય બનાવે છે. લાગુ કરેલ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરીમાં આ એક મુખ્ય વિચાર છે. એસએલપી ચોક્કસ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના વિશ્લેષણમાં પણ ઉપયોગી છે. ઉકેલોનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા એવા ઘણા સિદ્ધાંતો છે જે સ્થાનિક અને વૈશ્વિક સ્તરે ODE ને સંડોવતા પ્રારંભિક મૂલ્યની સમસ્યાઓના ઉકેલોનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા સ્થાપિત કરે છે. બે મુખ્ય પ્રમેયો છે {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" |-! પ્રમેય! ધારણા! નિષ્કર્ષ |-|Peano અસ્તિત્વ પ્રમેય | |F સતત | |local અસ્તિત્વ માત્ર |-|Picard-Lindelöf પ્રમેય | |F Lipschitz સતત | |local અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા |-| તેમના મૂળભૂત સ્વરૂપમાં આ બંને પ્રમેયો માત્ર સ્થાનિક પરિણામોની બાંયધરી આપે છે, જોકે બાદમાં વૈશ્વિક પરિણામ આપવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો ગ્રોનવોલની અસમાનતાની શરતો પૂરી થાય. ઉપરાંત, ઉપરના લિપ્સચિટ્ઝ જેવા વિશિષ્ટતા પ્રમેયો ડી. એ. ઈ. પ્રણાલીઓને લાગુ પડતા નથી, જેમાં માત્ર તેમના (બિન-રેખીય) બીજગણિત ભાગમાંથી ઉદ્ભવતા બહુવિધ ઉકેલો હોઈ શકે છે. સ્થાનિક અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેય સરળીકૃત આ પ્રમેયને નીચે પ્રમાણે સરળ રીતે કહી શકાય. સમીકરણ અને પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યા માટેઃ જો x-y સમતલમાં બંધ લંબચોરસમાં F અને ષ્ણૂ F/ષ્ણૂ y સતત હોય, જ્યાં a અને b વાસ્તવિક (પ્રતીકાત્મક રીતેઃ) હોય અને કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનને સૂચવે, તો વર્ગ કૌંસ બંધ અંતરાલને સૂચવે છે, તો કેટલાક માટે એક અંતરાલ હોય છે જ્યાં ઉપરોક્ત સમીકરણ અને પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યાનું સમાધાન મળી શકે છે. એટલે કે, એક ઉકેલ છે અને તે અનન્ય છે. F પર રેખીય હોવા માટે કોઈ પ્રતિબંધ નથી, તેથી આ બિન-રેખીય સમીકરણોને લાગુ પડે છે જે F (x, y) સ્વરૂપ લે છે, અને તે સમીકરણોની પ્રણાલીઓ પર પણ લાગુ કરી શકાય છે. વૈશ્વિક વિશિષ્ટતા અને ઉકેલનું મહત્તમ ક્ષેત્ર જ્યારે પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેયની પૂર્વધારણાઓ સંતોષાય છે, ત્યારે સ્થાનિક અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાને વૈશ્વિક પરિણામ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. વધુ ચોક્કસપણેઃ દરેક પ્રારંભિક સ્થિતિ (x0, y0) માટે એક અનન્ય મહત્તમ (સંભવતઃ અનંત) ખુલ્લું અંતરાલ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે કોઈપણ ઉકેલ કે જે આ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે તે ઉકેલનું પ્રતિબંધ છે જે આ પ્રારંભિક સ્થિતિને ડોમેન સાથે સંતોષે છે. તે કિસ્સામાં, મર્યાદિત સમયમાં બરાબર બે શક્યતાઓ વિસ્ફોટ થાય છેઃ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રને છોડી દે છેઃ જ્યાં ω એ ખુલ્લો સમૂહ છે જેમાં F વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને તે તેની સીમા છે. નોંધ લો કે ઉકેલનું મહત્તમ ક્ષેત્ર હંમેશા અંતરાલ (વિશિષ્ટતા ધરાવતું) હોય છે જે (x0, y0) ની ચોક્કસ પસંદગી પર આધાર રાખે છે તેના કરતા નાનું હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ. આનો અર્થ એ છે કે F (x, y) = y2, જે C1 છે અને તેથી સ્થાનિક રીતે લિપ્સચિટ્ઝ સતત છે, જે પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેયને સંતોષ આપે છે. આવા સરળ સેટિંગમાં પણ, સોલ્યુશનનું મહત્તમ ડોમેન બધા ન હોઈ શકે કારણ કે સોલ્યુશન તે છે જે મહત્તમ ડોમેન ધરાવે છેઃ આ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે મહત્તમ અંતરાલ પ્રારંભિક શરતો પર આધારિત હોઈ શકે છે. વાયના ડોમેનને અસ્તિત્વ તરીકે લઈ શકાય છે પરંતુ આ એક ડોમેન તરફ દોરી જશે જે અંતરાલ નથી, જેથી પ્રારંભિક સ્થિતિની વિરુદ્ધ બાજુ પ્રારંભિક સ્થિતિથી ડિસ્કનેક્ટ થઈ જશે, અને તેથી તેના દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવશે નહીં. મહત્તમ ડોમેન એટલા માટે નથી કારણ કે જે ઉપરોક્ત પ્રમેય અનુસાર બે સંભવિત કેસોમાંથી એક છે. ક્રમમાં ઘટાડો વિભેદક સમીકરણો સામાન્ય રીતે ઉકેલવા માટે સરળ હોય છે જો સમીકરણનો ક્રમ ઘટાડી શકાય. પ્રથમ ક્રમની પ્રણાલીમાં ઘટાડો n ક્રમના કોઈપણ સ્પષ્ટ વિભેદક સમીકરણને, i = 1,2,., n માટે અજ્ઞાત વિધેયોના નવા કુટુંબને વ્યાખ્યાયિત કરીને n પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલી તરીકે લખી શકાય છે. પ્રથમ ક્રમના યુગ્મિત વિભેદક સમીકરણોની n-પરિમાણીય પ્રણાલી પછી વેક્ટર સંકેતલિપીમાં વધુ સઘન હોય છેઃ જ્યાં ચોક્કસ ઉકેલોનો સારાંશ કેટલાક વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો હોય છે જેને ચોક્કસ અને બંધ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. અહીં કેટલાક મહત્વપૂર્ણ વર્ગો આપવામાં આવ્યા છે. નીચેના કોષ્ટકમાં,,,, અને, ના કોઈપણ સંકલિત કાર્યો છે; અને વાસ્તવિક સ્થિરાંકો આપવામાં આવ્યા છે; મનસ્વી સ્થિરાંકો (સામાન્ય રીતે જટિલ) છે. વિભેદક સમીકરણો તેમના સમકક્ષ અને વૈકલ્પિક સ્વરૂપોમાં હોય છે જે એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે. ઇન્ટિગ્રલ સોલ્યુશન્સમાં, λ અને ε એ ઇન્ટિગ્રેશનના ડમી વેરિયેબલ્સ છે (સરવાળામાં સૂચકાંકોના સાતત્ય એનાલોગ), અને નોટેશનનો અર્થ એ છે કે, ઇન્ટિગ્રેશન અવેજી પછી, સ્થિરાંકો ઉમેર્યા વિના (સ્પષ્ટપણે જણાવેલા) ઇન્ટિગ્રેશન કરવું. અલગ કરી શકાય તેવા સમીકરણો સામાન્ય પ્રથમ ક્રમના સમીકરણો સામાન્ય બીજા ક્રમના સમીકરણો nમા ક્રમના સમીકરણો માટે રેખીય અનુમાન કરવાની પદ્ધતિ જ્યારે ODE ને ઉકેલવા માટેની અન્ય તમામ પદ્ધતિઓ નિષ્ફળ જાય છે, અથવા એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપણને DE નો ઉકેલ કેવો દેખાશે તે વિશે થોડી અંતઃપ્રેરણા હોય છે, ત્યારે કેટલીકવાર ઉકેલનો અંદાજ કાઢીને અને તેને માન્ય કરીને DE ને ઉકેલવું શક્ય છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, આપણે ફક્ત વિભેદક સમીકરણના ઉકેલનો અંદાજ લગાવીએ છીએ, અને પછી ઉકેલને વિભેદક સમીકરણમાં જો તે સમીકરણને સંતોષે તો તેને માન્ય કરવા માટે પ્લગ કરીએ છીએ. જો તે કરે તો આપણી પાસે DE નો ચોક્કસ ઉકેલ છે, નહીં તો આપણે ફરીથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને બીજું અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. દાખલા તરીકે આપણે અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે DE ના ઉકેલનું સ્વરૂપ છેઃ કારણ કે આ એક ખૂબ જ સામાન્ય ઉકેલ છે જે શારીરિક રીતે સાઇનસોઇડલ રીતે વર્તે છે. પ્રથમ ક્રમના ODE કે જે બિન-સજાતીય હોય તેના કિસ્સામાં આપણે પહેલા DE ના સજાતીય ભાગનો DE ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે, જે અન્યથા લાક્ષણિક સમીકરણ તરીકે ઓળખાય છે, અને પછી અનુમાન લગાવીને સમગ્ર બિન-સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે. છેવટે, આપણે ODE નો કુલ ઉકેલ મેળવવા માટે આ બંને ઉકેલોને એકસાથે ઉમેરીએ છીએ, એટલે કેઃ ઓપન-સોર્સ કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલી, મેક્સિમાને ઉકેલવા માટે ODE માટેનું સોફ્ટવેર. COPASI, ODE ના એકીકરણ અને વિશ્લેષણ માટે એક મફત (કલાત્મક લાઇસન્સ 2) સોફ્ટવેર પેકેજ છે. મેટલેબ, એક ટેકનિકલ કમ્પ્યુટિંગ એપ્લિકેશન (મેટ્રિક્સ લેબોરેટરી) જીએનયુ ઓક્ટેવ, એક ઉચ્ચ-સ્તરની ભાષા છે, જે મુખ્યત્વે આંકડાકીય ગણતરીઓ માટે બનાવાયેલ છે. સાયલેબ, આંકડાકીય ગણતરી માટે એક ઓપન સોર્સ એપ્લિકેશન છે. મેપલ, પ્રતીકાત્મક ગણતરીઓ માટેની માલિકીની એપ્લિકેશન છે. મેથેમેટિકા, મુખ્યત્વે પ્રતીકાત્મક ગણતરીઓ માટે બનાવાયેલ માલિકીની એપ્લિકેશન છે. સિમ્પાય, એક પાયથોન પેકેજ જે ODE ને પ્રતીકાત્મક રીતે જુલિયા (પ્રોગ્રામિંગ લેંગ્વેજ) ને હલ કરી શકે છે, જે મુખ્યત્વે આંકડાકીય ગણતરીઓ માટે બનાવાયેલ ઉચ્ચ-સ્તરની ભાષા છે. સેજમેથ, એક ઓપન સોર્સ એપ્લિકેશન છે જે ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં ફેલાયેલી ક્ષમતાઓની વિશાળ શ્રેણી સાથે પાયથોન જેવા વાક્યરચનાનો ઉપયોગ કરે છે. સાયપાઈ એ પાયથોન પેકેજ છે જેમાં ODE સંકલન મોડ્યુલનો સમાવેશ થાય છે. ચેબફુન, એક ઓપન સોર્સ પેકેજ છે, જે MATLAB માં લખાયેલું છે, જે 15-અંકની ચોકસાઈ સુધી કાર્યો સાથે ગણતરી કરવા માટે છે. જીએનયુ આર, એક ઓપન સોર્સ કોમ્પ્યુટેશનલ વાતાવરણ છે જે મુખ્યત્વે આંકડાશાસ્ત્ર માટે બનાવાયેલ છે, જેમાં ODE ઉકેલવા માટેના પેકેજોનો સમાવેશ થાય છે. બાઉન્ડ્રી વેલ્યુ પ્રોબ્લેમ પણ જુઓ વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણો વિભેદક સમીકરણો પર લાગુ થયેલ લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ અને વિભેદક સમીકરણોના વિષયોની સૂચિ મેટ્રિક્સ વિભેદક સમીકરણ અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ પુનરાવર્તન સંબંધ નોંધો સંદર્ભો. પોલ્યાનિન, એ. ડી. અને વી. એફ. ઝૈતસેવ, હેન્ડબુક ઓફ એક્ઝેક્ટ સોલ્યુશન્સ ફોર ઓર્ડિનરી ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન્સ (બીજી આવૃત્તિ), ચેપમેન એન્ડ હોલ/સીઆરસી પ્રેસ, બોકા રેટન, 2003. ગ્રંથસૂચિ ડબલ્યુ. જ્હોનસન, સામાન્ય અને આંશિક વિભેદક સમીકરણો પર એક ગ્રંથ, જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, 1913, યુનિવર્સિટી ઓફ મિશિગનમાં ઐતિહાસિક ગણિત સંગ્રહ વિટોલ્ડ હ્યુરેવિઝ, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો પર વ્યાખ્યાન, ડોવર પબ્લિકેશન્સ,. એ. ડી. પોલ્યાનિન, વી. એફ. ઝૈતસેવ અને એ. મૌસિઆક્સ, હેન્ડબુક ઓફ ફર્સ્ટ ઓર્ડર પાર્શિયલ ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન્સ, ટેલર એન્ડ ફ્રાન્સિસ, લંડન, 2002. ડી. ઝ્વિલિંગર, હેન્ડબુક ઓફ ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન્સ (ત્રીજી આવૃત્તિ), એકેડેમિક પ્રેસ, બોસ્ટન, 1997. બાહ્ય કડીઓ ઇક્યુવર્લ્ડઃ ગાણિતિક સમીકરણોની દુનિયા, જેમાં તેમના ઉકેલો સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની યાદી છે. પોલ ડોકિન્સ, લેમર યુનિવર્સિટી દ્વારા ઓનલાઇન નોંધો/વિભેદક સમીકરણો. વિભેદક સમીકરણો, એસ. ઓ. એસ. ગણિત. હોલિસ્ટિક ન્યુમેરિકલ મેથડ્સ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ, યુનિવર્સિટી ઓફ સાઉથ ફ્લોરિડા તરફથી વિભેદક સમીકરણોના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ પર પ્રાઇમર. ગેરાલ્ડ ટેશલ દ્વારા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અને ગતિશીલ પ્રણાલીઓના વ્યાખ્યાનની નોંધો. વિવિધ પ્રશ્નો પર નોંધોઃ ઇજનેરો માટે વિભેદક સમીકરણો યુઆઈયુસીના જિરી લેબ્લ દ્વારા વિભેદક સમીકરણો પર એક પ્રારંભિક પાઠ્યપુસ્તક. સ્કિલેબનો ઉપયોગ કરીને ODE સાથે મોડેલિંગ ઓપનિયરિંગ ટીમ દ્વારા સ્કિલેબ સ્ટાન્ડર્ડ પ્રોગ્રામિંગ લેંગ્વેજનો ઉપયોગ કરીને ODE દ્વારા વર્ણવેલ ભૌતિક પ્રણાલીનું મોડેલ કેવી રીતે બનાવવું તે અંગેના ટ્યુટોરીયલ. Wolfram|Alpha વિભેદક કલન વિભેદક સમીકરણોમાં સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવું