Concentration inequality
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, એકાગ્રતાની અસમાનતાઓ રેન્ડમ ચલ અમુક મૂલ્ય (સામાન્ય રીતે, તેના અપેક્ષિત મૂલ્ય) થી કેવી રીતે વિચલિત થાય છે તેની સીમા પૂરી પાડે છે. મોટી સંખ્યામાં શાસ્ત્રીય સંભાવના સિદ્ધાંતનો નિયમ જણાવે છે કે સ્વતંત્ર યાદૃચ્છિક ચલોનો સરવાળો, ખૂબ જ હળવી પરિસ્થિતિઓમાં, મોટી સંભાવના સાથે તેમની અપેક્ષાઓની નજીક છે. આવા સરવાળા તેમના સરેરાશની આસપાસ કેન્દ્રિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સનું સૌથી મૂળભૂત ઉદાહરણ છે. તાજેતરના પરિણામો દર્શાવે છે કે આવી વર્તણૂક સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના અન્ય કાર્યો દ્વારા વહેંચાયેલી છે. એકાગ્રતા અસમાનતાને તેનો ઉપયોગ કરવા માટે રેન્ડમ વેરિયેબલ વિશે કેટલી માહિતીની જરૂર છે તેના આધારે સૉર્ટ કરી શકાય છે. માર્કોવની અસમાનતા એક અવ્યવસ્થિત ચલ છે જે બિન-નકારાત્મક (લગભગ ચોક્કસપણે) છે. પછી, દરેક અચળાંક માટે, માર્કોવની અસમાનતાના નીચેના વિસ્તરણની નોંધ લોઃ જો કડક રીતે વધતું અને બિન-નકારાત્મક કાર્ય હોય, તો ચેબીશેવની અસમાનતા ચેબીશેવની અસમાનતાને રેન્ડમ ચલ પર નીચેની માહિતીની જરૂર છેઃ અપેક્ષિત મૂલ્ય મર્યાદિત છે. તફાવત મર્યાદિત છે. પછી, દરેક અચળાંક માટે, અથવા સમકક્ષ, નું પ્રમાણભૂત વિચલન ક્યાં છે. ચેબીશેવની અસમાનતાને સામાન્યીકૃત માર્કોવની અસમાનતાના એક ખાસ કેસ તરીકે જોઈ શકાય છે જે રેન્ડમ વેરિયેબલ પર લાગુ થાય છે. વિસોચાન્સ્કીજ-પેટુનિન અસમાનતા ચાલો X એ એકસમાન વિતરણ સાથે રેન્ડમ વેરિયેબલ છે, જેનો અર્થ μ અને મર્યાદિત, બિન-શૂન્ય ભિન્નતા σ2 છે. પછી, કોઈપણ માટે (પ્રમાણમાં પ્રાથમિક પુરાવા માટે જુઓ દા. ત. ). એક તરફી વાયસોચાન્સ્કીજ-પેટુનિન અસમાનતા એક એકરૂપ અવ્યવસ્થિત ચલ માટે અને એક તરફી વાયસોચાન્સ્કીજ-પેટુનિન અસમાનતા નીચે મુજબ છેઃ પાલે-ઝાયગ્મંડ અસમાનતા કેન્ટેલીની અસમાનતા ગૌસની અસમાનતા ચેર્નોફની સીમાઓ સામાન્ય ચેર્નોફ બાઉન્ડ માટે મોમેન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શનની જરૂર છે, જેમ કે તે હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તે અનંત હોઈ શકે છે. માર્કોવની અસમાનતાથી, દરેક માટેઃ અને દરેક માટેઃ વિવિધ વિતરણો અને પરિમાણના વિવિધ મૂલ્યો માટે વિવિધ ચેર્નોફ સીમાઓ છે. વધુ એકાગ્રતાની અસમાનતાઓનું સંકલન જુઓ. સ્વતંત્ર બાઉન્ડેડ વેરિયેબલના સરવાળા પરની સીમાઓ ચાલો સ્વતંત્ર રેન્ડમ વેરિયેબલ હોઈએ જેમ કે, બધા માટે i: લગભગ ચોક્કસપણે. તેમનો સરવાળો, તેના અપેક્ષિત મૂલ્ય અને તેના તફાવતને ધ્યાનમાં રાખોઃ સરવાળો અને તેના અપેક્ષિત મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતને બાંધવો ઘણીવાર રસપ્રદ હોય છે. કેટલીક અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. 1. હોફડિંગની અસમાનતા કહે છે કેઃ રેન્ડમ વેરિયેબલ એ માર્ટિંગેલનો એક ખાસ કેસ છે, અને. તેથી, અઝુમાની અસમાનતાના સામાન્ય સ્વરૂપનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે અને તે સમાન મર્યાદા આપે છેઃ આ હોફડિંગનું સામાન્યીકરણ છે કારણ કે તે અન્ય પ્રકારના માર્ટિંગેલ્સ, તેમજ સુપરમાર્ટિંગેલ્સ અને સબમાર્ટિંગેલ્સને સંભાળી શકે છે. ફેન એટ અલ જુઓ. (2015) નોંધ લો કે જો અઝુમાની અસમાનતાના સરળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો બાઉન્ડમાં ઘાતાંક 4 ના પરિબળથી વધુ ખરાબ છે. 3. સમ ફંકશન, એ n ચલોના ફંકશનનો એક વિશેષ કેસ છે. આ વિધેય બંધાયેલ રીતે બદલાય છેઃ જો ચલ i બદલવામાં આવે, તો f નું મૂલ્ય વધુમાં વધુ બદલાય છે. તેથી, મેકડિયારમિડની અસમાનતાનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે અને તે સમાન બાઉન્ડ આપે છેઃ આ હોફડિંગનું એક અલગ સામાન્યીકરણ છે કારણ કે તે સમ ફંક્શન ઉપરાંત અન્ય કાર્યોને સંભાળી શકે છે, જ્યાં સુધી તેઓ બાઉન્ડેડ રીતે બદલાય છે. 4. બેનેટની અસમાનતા હોફડિંગની તુલનામાં થોડો સુધારો આપે છે જ્યારે સરવાળાઓની ભિન્નતા તેમની લગભગ નિશ્ચિત સીમા સીની તુલનામાં ઓછી હોય છે. તે કહે છે કેઃ જ્યાં 5. બર્નસ્ટીનની પ્રથમ અસમાનતાઓ કહે છે કેઃ આ હોફડિંગનું સામાન્યીકરણ છે કારણ કે તે માત્ર લગભગ-નિશ્ચિત બંધાયેલ જ નહીં પરંતુ લગભગ-નિશ્ચિત બંધાયેલ અને ભિન્નતા બંધાયેલ બંને સાથે રેન્ડમ ચલોનું સંચાલન કરી શકે છે. 6. સ્વતંત્ર ચલોના સરવાળાના કિસ્સામાં ચેર્નોફ સીમાઓ ખાસ કરીને સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે ચલ સંતોષ આપે છે. પછી આપણી પાસે નીચલી પૂંછડીની અસમાનતા છેઃ જો સંતોષ થાય, તો આપણી પાસે ઉપરની પૂંછડીની અસમાનતા છેઃ જો તે હોય, અને તેની ભિન્નતા હોય, તો ચેર્નોફ અસમાનતાનું લાક્ષણિક સંસ્કરણ છેઃ 7. સમાન સીમાઓ આમાં મળી શકે છેઃ રાડેમાકર distribution#Bounds રકમ પર એફ્રોન-સ્ટીન અસમાનતા એફ્રોન-સ્ટીન અસમાનતા (અથવા અસમાનતાને પ્રભાવિત કરે છે, અથવા ભિન્નતા પર બંધાયેલ એમ. જી.) સામાન્ય કાર્યના તફાવતને મર્યાદિત કરે છે. ધારો કે, બધા માટે સમાન વિતરણ સાથે સ્વતંત્ર છે. ચાલો પછી એક સાબિતી મળી શકે છે દા. ત., બ્રેટેગ્નોલ-હ્યુબર-કેરોલ અસમાનતા બ્રેટેગ્નોલ-હ્યુબર-કેરોલ અસમાનતા બહુપરીમાણીય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના વેક્ટર અને અપેક્ષિત મૂલ્યોના વેક્ટર વચ્ચેના તફાવતને સીમિત કરે છે. એક સરળ પુરાવો (પરિશિષ્ટ વિભાગ) માં દેખાય છે. જો રેન્ડમ વેક્ટર બહુવિધ રીતે પરિમાણો સાથે વહેંચાયેલું હોય અને સંતોષ આપે તો આ અસમાનતાનો ઉપયોગ કુલ ભિન્નતાના અંતરને બાંધવા માટે થાય છે. મેસન અને વેન ઝ્વેટની અસમાનતા બહુપદી રેન્ડમ વેક્ટર માટે મેસન અને વેન ઝ્વેટની અસમાનતા શાસ્ત્રીય ચી-ચોરસ આંકડાશાસ્ત્રમાં થોડો ફેરફારની ચિંતા કરે છે. ચાલો રેન્ડમ વેક્ટરને પરિમાણો સાથે બહુપરીમાણીય રીતે વહેંચવામાં આવે અને જેમ કે દરેક માટે અને ત્યાં એવા સ્થિરાંકો અસ્તિત્વમાં છે કે જે બધા માટે અને સંતોષકારક હોય અને આપણી પાસે ડ્વોરેટ્ઝકી-કીફર-વોલ્ફોવિટ્ઝ અસમાનતા હોય. કુદરતી સંખ્યાને જોતાં, ચાલો વાસ્તવિક મૂલ્યના સ્વતંત્ર અને સંચિત વિતરણ કાર્ય F (·) સાથે સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ હોઈએ. તો તે સંભાવના છે કે એક રેન્ડમ વેરિયેબલ તેના કરતા નાનું છે, અને તે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સની સરેરાશ સંખ્યા છે જે તેના કરતા નાના છે. પછી એન્ટી-કોન્સેન્ટ્રેશન અસમાનતાઓ એન્ટી-કોન્સેન્ટ્રેશન અસમાનતાઓ, બીજી તરફ, રેન્ડમ વેરિયેબલ જથ્થાની આસપાસ કેટલું ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકે છે તેની ઉપરની સીમા પૂરી પાડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રાવ અને યેહૂડાયોફ દર્શાવે છે કે હાયપરક્યુબની મોટાભાગની દિશાઓ માટે, નીચેની બાબતો સાચી છેઃ જ્યાં મોટા કદના સબસેટમાંથી સમાન રીતે દોરવામાં આવે છે. આવી અસમાનતાઓ સંચાર જટિલતા (દા. ત., અંતર હેમિંગ સમસ્યાના પુરાવાઓમાં) અને આલેખ સિદ્ધાંત સહિત અનેક ક્ષેત્રોમાં મહત્વની છે. સ્વતંત્ર રેડેમાકર રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ભારિત સરવાળા માટે રસપ્રદ એન્ટી-કોન્સેન્ટ્રેશન અસમાનતા પાલે-ઝિગ્મંડ અને ખિન્ચિન અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ કાર્તિક શ્રીધરન, "એકાગ્રતા અસમાનતાઓનો સૌમ્ય પરિચય"-કોર્નેલ યુનિવર્સિટી સંભવિત અસમાનતાઓ