Coherent states in mathematical physics
સુસંગત સ્થિતિઓને ભૌતિક સંદર્ભમાં રજૂ કરવામાં આવી છે, પ્રથમ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં અર્ધ-શાસ્ત્રીય સ્થિતિઓ તરીકે, પછી ક્વોન્ટમ ઓપ્ટિક્સની કરોડરજ્જુ તરીકે અને તેઓ સુસંગત સ્થિતિઓ (પણ જુઓ) લેખમાં તે ભાવનામાં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. જો કે, તેમણે વિવિધ પ્રકારના સામાન્યીકરણ પેદા કર્યા છે, જેના કારણે ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રચંડ પ્રમાણમાં સાહિત્યનું સર્જન થયું છે. આ લેખમાં, અમે આ રેખા પર સંશોધનની મુખ્ય દિશાઓનું સ્કેચ કરીએ છીએ. વધુ વિગતો માટે, અમે કેટલાક વર્તમાન સર્વેક્ષણોનો સંદર્ભ લઈએ છીએ. એક સામાન્ય વ્યાખ્યા ચાલો એક જટિલ, અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા, સ્થાનિક રીતે સઘન જગ્યા અને એક માપ હોઈ શકે. દરેક ઇન માટે, વેક્ટરને દર્શાવો. ધારો કે વેક્ટરનો આ સમૂહ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ મેપિંગ નબળું સતત છે, એટલે કે, દરેક વેક્ટર માટે, કાર્ય સતત છે (ની ટોપોલોજીમાં). ઓળખનો ઠરાવ હિલ્બર્ટ અવકાશ પર નબળા અર્થમાં ધરાવે છે, એટલે કે, કોઈપણ બે વેક્ટર માટે, નીચેની સમાનતા ધરાવે છેઃ ઉપરના બે ગુણધર્મોને સંતોષતા વેક્ટરનો સમૂહ સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓનો સમૂહ કહેવાય છે. કેનોનિકલ અથવા સ્ટાન્ડર્ડ કોહેરેંટ સ્ટેટ્સ (CCS) ની અગાઉની વ્યાખ્યાને (લેખ કોહેરેંટ સ્ટેટમાં આપવામાં આવેલી) પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે, તે લેવા માટે પૂરતું છે, જટિલ સમતલ અને કેટલીકવાર ઓળખની સ્થિતિનું રિઝોલ્યુશન નબળી સ્થિતિ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જેમાં વેક્ટર ફક્ત કુલ સમૂહ બનાવે છે અને કાર્યો, જેમ ચાલે છે તેમ, પુનઃઉત્પાદન કર્નલ હિલ્બર્ટ જગ્યા બનાવે છે. બંને કિસ્સાઓમાં ઉદ્દેશ એ સુનિશ્ચિત કરવાનો છે કે મનસ્વી વેક્ટર આ વેક્ટરના રેખીય (અભિન્ન) સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય. ખરેખર, ઓળખનો ઠરાવ તરત જ સૂચવે છે કે ક્યાં. આ વેક્ટર ચોરસ સંકલિત, સતત કાર્યો છે અને પુનઃઉત્પાદન ગુણધર્મને સંતોષે છે જ્યાં પુનઃઉત્પાદન કર્નલ છે, જે નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છે કેટલાક ઉદાહરણો આપણે આ વિભાગમાં ઉપર આપેલા સામાન્ય માળખાના ચિત્રો તરીકે વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક પ્રકારનાં સુસંગત સ્થિતિઓ રજૂ કરીએ છીએ. બિનરેખીય સુસંગત સ્થિતિઓ સી. સી. એસ. ના સામાન્યીકરણનો મોટો વર્ગ તેમના વિશ્લેષણાત્મક માળખામાં સરળ ફેરફાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. ધારો કે હકારાત્મક સંખ્યાઓ () નો અનંત ક્રમ છે. કન્વેન્શન સેટ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તે જ ફોક સ્પેસમાં જેમાં સી. સી. એસ. નું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું, હવે આપણે વિસ્તરણ દ્વારા સંબંધિત વિકૃત અથવા બિનરેખીય સુસંગત સ્થિતિઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. આ સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓ ફોક અવકાશમાં વધુ પડતી પૂર્ણ હોય છે અને ત્રિજ્યાના જટિલ સમતલમાં ખુલ્લી ડિસ્ક તરીકે ઓળખના ઠરાવને સંતોષે છે, જે શ્રેણીના અભિસરણની ત્રિજ્યા છે (સીસીએસના કિસ્સામાં). આ માપ સામાન્ય રીતે (માટે) સ્વરૂપનું હોય છે, જ્યાં તે ક્ષણની સ્થિતિ દ્વારા સંબંધિત હોય છે. ફરી એકવાર, આપણે જોઈએ છીએ કે ફોક સ્પેસમાં મનસ્વી વેક્ટર માટે, કાર્ય સ્વરૂપનું છે, જ્યાં ડોમેન પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે. આ સુસંગત સ્થિતિઓ સાથે સંકળાયેલ પુનઃઉત્પાદન કર્નલ બારુટ-ગિરાર્ડેલો સુસંગત સ્થિતિઓ છે. સી. સી. એસ. કેસ સાથે સામ્યતા દ્વારા, વેક્ટર અને તેના સંલગ્ન ઓપરેટર પરની તેની ક્રિયા દ્વારા સામાન્યીકૃત વિનાશ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્યોના આધારે, આ બે ઓપરેટરો, ઓળખ અને તેમના તમામ કોમ્યુટેટર સાથે મળીને, વિવિધ પ્રકારના વિકૃત ક્વોન્ટમ આલ્જેબ્રા સહિત આલ્જેબ્રાની વિશાળ શ્રેણી પેદા કરી શકે છે. 'બિનરેખીય' શબ્દ, જે ઘણીવાર આ સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓને લાગુ પડે છે, તે ફરીથી ક્વોન્ટમ ઓપ્ટિક્સમાંથી આવે છે જ્યાં સ્થિતિઓના આવા ઘણા પરિવારોનો ઉપયોગ કિરણોત્સર્ગ ક્ષેત્ર અને અણુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના અભ્યાસમાં થાય છે, જ્યાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની શક્તિ પોતે કિરણોત્સર્ગની આવર્તન પર આધારિત હોય છે. અલબત્ત, આ સુસંગત સ્થિતિઓમાં સામાન્ય રીતે સી. સી. એસ. ના જૂથ સૈદ્ધાંતિક અથવા ન્યૂનતમ અનિશ્ચિતતા ગુણધર્મો નહીં હોય (ત્યાં વધુ સામાન્ય હોઈ શકે છે). ઓપરેટરો અને ઉપર વ્યાખ્યાયિત સામાન્ય પ્રકારનાં ઓપરેટરોને લેડર ઓપરેટરો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. જ્યારે આવા ઓપરેટરો લાઈ આલ્જેબ્રાની રજૂઆતના જનરેટર તરીકે દેખાય છે, ત્યારે તેના આઈગનવેક્ટર્સને સામાન્ય રીતે બારુટ-ગિરાર્ડેલો સુસંગત સ્થિતિઓ કહેવામાં આવે છે. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ ફોક સ્પેસ પર એસયુ (1,1) ના લાઈ બીજગણિતની રજૂઆતમાંથી મેળવવામાં આવે છે. ગેઝોઉ-ક્લાઉડર સુસંગત સ્થિતિઓ બિન-રેખીય સુસંગત સ્થિતિઓની ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિનું બિન-વિશ્લેષણાત્મક વિસ્તરણ ઘણીવાર શુદ્ધ બિંદુ સ્પેક્ટ્રા ધરાવતા ભૌતિક હેમિલ્ટોનિયનો સાથે સંકળાયેલ સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વપરાય છે. આ સુસંગત અવસ્થાઓ, જેને ગેઝો-ક્લાઉડર સુસંગત અવસ્થાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેને ક્રિયા-કોણ ચલ દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે. ધારો કે આપણને ભૌતિક હેમિલ્ટોનિયન આપવામાં આવ્યું છે, એટલે કે, તેમાં ઊર્જા આઈગનવેલ્યુઝ અને આઈગનવેક્ટર્સ છે, જે આપણે હિલ્બર્ટ સ્પેસ ઓફ સ્ટેટ્સ માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે. ચાલો આપણે આઈગન વેલ્યુઝને આ રીતે ક્રમબદ્ધ પરિમાણહીન જથ્થાના ક્રમને રજૂ કરીને લખીએઃ પછી, બધા માટે અને, ગેઝો-ક્લાઉડર સુસંગત સ્થિતિઓને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં ફરીથી સામાન્યકરણ પરિબળ છે, જે ફક્ત તેના પર નિર્ભર હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આ સુસંગત અવસ્થાઓ અસ્થાયી સ્થિરતાની સ્થિતિ અને ક્રિયા ઓળખને સંતોષે છે, જ્યારે કે આ સામાન્યીકૃત સુસંગત અવસ્થાઓ એક સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, ત્યારે ઓળખનો ઠરાવ સામાન્ય રીતે ઉપરની જેમ અભિન્ન સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવતો નથી, પરંતુ તેના બદલે બોહરના અર્થમાં અભિન્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમ કે તે લગભગ સામયિક કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં છે. વાસ્તવમાં ગેઝો-ક્લાઉડર સી. એસ. નું નિર્માણ વેક્ટર સી. એસ. અને ડીજનરેટ સ્પેક્ટ્રા ધરાવતા હેમિલ્ટોનિયનો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે અલી અને બાગેરેલો દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે. હીટ કર્નલ સુસંગત સ્થિતિઓ અન્ય પ્રકારની સુસંગત સ્થિતિ ત્યારે ઉદભવે છે જ્યારે એવા કણને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે કે જેની રૂપરેખાંકન જગ્યા કોમ્પેક્ટ લાઈ જૂથ કે. હોલની જૂથ મેનીફોલ્ડ છે, જેમાં સુસંગત સ્થિતિઓ રજૂ કરવામાં આવી છે જેમાં યુક્લિડિયન જગ્યા પરના સામાન્ય ગૌસીયનને K પર હીટ કર્નલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ સુસંગત સ્થિતિઓમાં ઓળખનો ઠરાવ હોય છે જે જટિલતા પર સેગલ-બર્ગમેન જગ્યા તરફ દોરી જાય છે. હોલના પરિણામોને સ્ટેન્ઝેલ દ્વારા ગોળાઓ સહિત સઘન સમપ્રમાણ જગ્યાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા હતા. હીટ કર્નલ સુસંગત સ્થિતિઓ, આ કિસ્સામાં, થિમેન અને તેમના સહયોગીઓ દ્વારા ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતમાં લાગુ કરવામાં આવી છે. બાંધકામમાં બે અલગ અલગ લાઈ જૂથો સામેલ હોવા છતાં, ઉષ્મા કર્નલ સુસંગત સ્થિતિઓ પેરેલોમોવ પ્રકારની નથી. જૂથ-સૈદ્ધાંતિક અભિગમ ગિલમોર અને પેરેલોમૉવને સ્વતંત્ર રીતે સમજાયું કે સુસંગત સ્થિતિઓના નિર્માણને કેટલીકવાર જૂથ સૈદ્ધાંતિક સમસ્યા તરીકે જોવામાં આવે છે. આ જોવા માટે, ચાલો આપણે થોડા સમય માટે સી. સી. એસ. ના કેસ પર પાછા જઈએ. ત્યાં, ખરેખર, ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ઓપરેટર બીજું કંઈ નહીં પણ હેઇસેનબર્ગ જૂથ (જેને વેલ-હેઇસેનબર્ગ જૂથ પણ કહેવાય છે) ના તત્વની ફોક જગ્યામાં પ્રતિનિધિ છે, જેનું લાઈ બીજગણિત અને દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. જો કે, સી. સી. એસ. સાથે આગળ વધતા પહેલા, પહેલા સામાન્ય કેસ લો. ચાલો સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથ બનીએ અને ધારો કે તે એકાત્મક ઓપરેટરો દ્વારા હિલ્બર્ટ જગ્યા પર સતત, ઈરીડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે. આ રજૂઆતને સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં બિન-શૂન્ય વેક્ટર અસ્તિત્વમાં હોય જેમાં ઇન્ટિગ્રલ કન્વર્જ થાય છે. અહીં ડાબી બાજુનું અપરિવર્તનશીલ હાર માપ છે. એક વેક્ટર જેના માટે સ્વીકાર્ય હોવાનું કહેવાય છે, અને તે દર્શાવી શકાય છે કે આવા એક વેક્ટરનું અસ્તિત્વ આવા વેક્ટરના સંપૂર્ણ ગાઢ સમૂહના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. વધુમાં, જો જૂથ એકરૂપ હોય, એટલે કે, જો ડાબી અને જમણી અચળ માપ મેળ ખાય, તો એક સ્વીકાર્ય વેક્ટરનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે દરેક વેક્ટર સ્વીકાર્ય છે. ચોરસ સંકલિત રજૂઆત અને સ્વીકાર્ય વેક્ટરને જોતાં, ચાલો આપણે વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરીએ આ વેક્ટર કેનોનિકલ સુસંગત સ્થિતિઓના એનાલોગ છે, જે ત્યાં હેઇસેનબર્ગ જૂથની રજૂઆતના સંદર્ભમાં લખવામાં આવ્યા છે (જો કે, નીચે ગિલમોર-પેરેલોમવ CS પરનો વિભાગ જુઓ). આગળ, તે બતાવી શકાય છે કે ઓળખનો ઠરાવ ચાલુ રહે છે. આમ, વાહક સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓના કુટુંબની રચના કરે છે. તમામ વેક્ટર માટેના વિધેયો માપ અને આવા વિધેયોના સમૂહના સંદર્ભમાં ચોરસ સંકલિત છે, જે હકીકતમાં ટોપોલોજીમાં સતત છે, એક બંધ સબસ્પેસ બનાવે છે. વધુમાં, મેપિંગ એ અને અને વચ્ચેની રેખીય આઇસોમેટ્રી છે અને આ આઇસોમેટ્રી હેઠળ રજૂઆત ડાબી બાજુની નિયમિત રજૂઆતની પેટા રજૂઆત સાથે મેપ કરવામાં આવે છે. એક ઉદાહરણ છેઃ વેવલેટ્સ ઉપરોક્ત રચનાનું એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ રેખાના એફાઇન જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પ્રકારનાં તમામ 2 × 2 મેટ્રિસીસનો સમૂહ છે, અને તેની સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. અમે દ્વારા આપવામાં આવેલી ક્રિયા સાથે પણ લખીશું. આ જૂથ બિન-એકરૂપ છે, જેમાં ડાબી અચળ માપ (જમણી અચળ માપ) દ્વારા આપવામાં આવે છે. અફાઇન જૂથ હિલ્બર્ટ જગ્યા પર એકાત્મક ઈરીડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે. વેક્ટર વાસ્તવિક ચલના માપી શકાય તેવા કાર્યો છે અને આ પ્રતિનિધિત્વના (એકાત્મક) સંચાલકો તેમના પર આ રીતે કાર્ય કરે છે જો તે એવું કાર્ય છે કે જેમાં તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (સ્વીકાર્યતા) સ્થિતિને સંતોષે છે તો તેને સ્વીકાર્ય વેક્ટર તરીકે દર્શાવી શકાય છે, એટલે કે, ઉપર દર્શાવેલ સામાન્ય રચનાને અનુસરીને, વેક્ટર સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓના કુટુંબને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને તેના પર ઓળખનો ઠરાવ હોય છે. સંકેત વિશ્લેષણ સાહિત્યમાં, ઉપરની સ્વીકાર્યતાની સ્થિતિને સંતોષતા વેક્ટરને મધર વેવલેટ કહેવામાં આવે છે અને સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓને વેવલેટ કહેવામાં આવે છે. સંકેતોને પછી વેક્ટર સાથે ઓળખવામાં આવે છે અને કાર્યને સિગ્નલનું સતત વેવલેટ પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. આ ખ્યાલને બે પરિમાણો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જૂથને સમતલના કહેવાતા સમાનતા જૂથ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જેમાં સમતલ અનુવાદો, પરિભ્રમણ અને વૈશ્વિક વિસ્તરણનો સમાવેશ થાય છે. પરિણામી 2D વેવલેટ અને તેમના કેટલાક સામાન્યીકરણનો છબી પ્રક્રિયામાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ગિલમોર-પેરેલોમવ સુસંગત જણાવે છે કે ઉપર વર્ણવેલ જૂથ રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરીને સુસંગત સ્થિતિઓનું નિર્માણ પૂરતું નથી. પહેલેથી જ તે સી. સી. એસ. મેળવી શકતું નથી, કારણ કે આ હેઇસેનબર્ગ જૂથના ઘટકો દ્વારા અનુક્રમિત નથી, પરંતુ તેના કેન્દ્ર દ્વારા પછીના ભાગાકારના બિંદુઓ દ્વારા અનુક્રમિત છે, તે ભાગ ચોક્કસપણે છે. મુખ્ય અવલોકન એ છે કે હેઇસેનબર્ગ જૂથનું કેન્દ્ર વેક્યૂમ વેક્ટરને એક તબક્કા સુધી અપરિવર્તનશીલ રાખે છે. આ વિચારને સામાન્ય બનાવતા, ગિલમોર અને પેરેલોમોવ સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથ અને હિલ્બર્ટ જગ્યા પરની એકાત્મક ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતને ધ્યાનમાં લે છે, જે જરૂરી નથી કે ચોરસ સંકલનક્ષમ હોય. એકમ ધોરણમાં વેક્ટરને ઠીક કરો, અને તમામ તત્વોનો સમાવેશ કરતા પેટાજૂથ દ્વારા સૂચવો કે જે તેને તબક્કા સુધી અપરિવર્તનશીલ રાખે છે, એટલે કે, જ્યાં તેનું વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય છે. ચાલો ડાબી કોસેટ જગ્યા અને એક આર્બિટરી એલિમેન્ટ અંદર હોય. કોસેટ પ્રતિનિધિ પસંદ કરીને, દરેક કોસેટ માટે, આપણે વેક્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કોસેટ પ્રતિનિધિની ચોક્કસ પસંદગી પર આ વેક્ટરની નિર્ભરતા માત્ર એક તબક્કામાંથી પસાર થાય છે. ખરેખર, જો તેના બદલે, આપણે એક જ કોસેટ માટે એક અલગ પ્રતિનિધિ લીધો હોત, તો કેટલાક માટે, આપણી પાસે હોત. તેથી, ક્વોન્ટમ યાંત્રિક રીતે, બંને અને સમાન ભૌતિક સ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને ખાસ કરીને, પ્રક્ષેપણ સંચાલક માત્ર કોસેટ પર આધાર રાખે છે. આ રીતે વ્યાખ્યાયિત વેક્ટરને ગિલમોર-પેરેલોમવ સુસંગત સ્થિતિઓ કહેવામાં આવે છે. કારણ કે તે ઈરીડ્યુસિબલ હોવાનું માનવામાં આવે છે, આ તમામ વેક્ટરોનો સમૂહ જેમ પસાર થાય છે તે ગાઢ છે. સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓની આ વ્યાખ્યામાં, ઓળખનો કોઈ ઠરાવ માન્ય નથી. જો કે, જો કુદરતી ક્રિયા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ માપ વહન કરે છે, અને જો ઔપચારિક સંચાલકને બંધાયેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો તે આવશ્યકપણે ઓળખનો ગુણાંક છે અને ઓળખનો ઠરાવ ફરીથી મેળવવામાં આવે છે. ગિલમોર-પેરેલોમવ સુસંગત સ્થિતિઓને ક્વોન્ટમ જૂથોમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવી છે, પરંતુ આ માટે આપણે સાહિત્યનો સંદર્ભ લઈએ છીએ. વધુ સામાન્યીકરણઃ કોસેટ જગ્યાઓ પર સુસંગત સ્થિતિઓ પેરેલોમોવ બાંધકામનો ઉપયોગ કોઈપણ સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથ માટે સુસંગત સ્થિતિઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. બીજી બાજુ, ખાસ કરીને ગિલમોર-પેરેલોમોવ બાંધકામની નિષ્ફળતાના કિસ્સામાં, જૂથની રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓની અન્ય રચનાઓ અસ્તિત્વમાં છે, જે જૂથની સજાતીય જગ્યાઓ માટે ચોરસ એકીકરણની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. ટૂંકમાં કહીએ તો, આ અભિગમમાં વ્યક્તિ એકાત્મક ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતથી શરૂઆત કરે છે અને વેક્ટર, પેટા જૂથ અને એક વિભાગ શોધવાનો પ્રયાસ કરે છે, જ્યાં તે બાઉન્ડેડ ઇન્વર્સ સાથે બાઉન્ડેડ, પોઝિટિવ ઓપરેટર છે અને તેના પર અર્ધ-અપરિવર્તનશીલ માપ છે. એવું માનવામાં આવતું નથી કે ક્રિયા હેઠળ તબક્કા સુધી અપરિવર્તનશીલ રહો અને સ્પષ્ટપણે, શ્રેષ્ઠ પરિસ્થિતિ એ છે કે જ્યારે ઓળખનો ગુણાંક હોય. કંઈક અંશે તકનીકી હોવા છતાં, આ સામાન્ય રચના આ પ્રકારના અર્ધ-સીધા ઉત્પાદન જૂથો માટે પ્રચંડ વૈવિધ્યતાની છે, જ્યાં એક બંધ પેટા જૂથ છે. આમ, તે ઘણા ભૌતિક રીતે મહત્વપૂર્ણ જૂથો માટે ઉપયોગી છે, જેમ કે પોઇનકેરે જૂથ અથવા યુક્લિડિયન જૂથ, જે અગાઉની વ્યાખ્યાના અર્થમાં ચોરસ સંકલિત રજૂઆતો ધરાવતા નથી. ખાસ કરીને, ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરતી અભિન્ન શરત એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે કોઈપણ વેક્ટરને સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓના સંદર્ભમાં લખી શકાય છે, જે કોઈપણ પ્રકારની સુસંગત સ્થિતિઓનો પ્રાથમિક ઉદ્દેશ છે. સુસંગત સ્થિતિઓઃ માપ સમૂહના જથ્થાકરણ માટે બાયેસિયન રચના આપણે હવે પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિમાંથી પ્રસ્થાન કરીએ છીએ અને સુસંગત સ્થિતિઓના નિર્માણની સામાન્ય પદ્ધતિ રજૂ કરીએ છીએ, જે આ પદાર્થોની રચના પરના કેટલાક અવલોકનોથી શરૂ કરીને કેટલાક સ્વ-સંલગ્ન સંચાલકના આઇગનસ્ટેટના સુપરપોઝિશન તરીકે શરૂ થાય છે, જેમ કે પ્રમાણભૂત CS માટે હાર્મોનિક ઓસિલેટર હેમિલ્ટોનિયન હતું. તે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો સાર છે કે આ સુપરપોઝિશન સંભવિત સ્વાદ ધરાવે છે. હકીકતમાં, આપણે નોંધ્યું છે કે કેનોનિકલ સુસંગત સ્થિતિઓના સંભવિત માળખામાં બે સંભાવના વિતરણનો સમાવેશ થાય છે જે તેમની રચનાને આધાર આપે છે. એક પ્રકારની દ્વૈતતામાં, જ્યારે ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ સુસંગત સ્થિતિમાં હોય ત્યારે ઉત્તેજના શોધવાની સંભાવનાને સંચાલિત કરતું પોઈસન વિતરણ અને જટિલ પરિમાણોના સમૂહ પર ગામા વિતરણ, વધુ ચોક્કસપણે રેડિયલ ચલની ચોરસની શ્રેણી પર હોય છે. સામાન્યીકરણ તે દ્વૈત યોજનાને અનુસરે છે. ચાલો માપ અને તેની સાથે સંકળાયેલ જટિલ-મૂલ્યવાન વિધેયોની હિલ્બર્ટ જગ્યાથી સજ્જ પરિમાણોનો સમૂહ હોઈએ, જે વર્ગના સંદર્ભમાં સંકલિત કરી શકાય છે. ચાલો આપણે મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર ઓર્થોનોર્મલ સમૂહમાં પસંદ કરીએઃ અનંત ગણતરીક્ષમતાના કિસ્સામાં, આ સમૂહએ (નિર્ણાયક) મર્યાદિતતાની સ્થિતિનું પાલન કરવું આવશ્યક છેઃ ચાલો ના ઘટકો સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં ઓર્થોનોર્મલ આધાર સાથે અલગ કરી શકાય તેવી જટિલ હિલ્બર્ટ જગ્યા હોઈએ. ઉપરની બે શરતો સૂચવે છે કે સામાન્યીકૃત સુસંગત સ્થિતિઓનું કુટુંબ, જેમાં ઓળખને ઉકેલવા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આવા સંબંધ આપણને એક સુસંગત સ્થિતિ અથવા પરિમાણોના સમૂહની ફ્રેમ ક્વોન્ટાઇઝેશનને અમલમાં મૂકવા માટે પરવાનગી આપે છે જે કાર્ય સાથે જોડાય છે જે યોગ્ય શરતોને સંતોષે છે જેમાં નીચેના ઓપરેટરઃ ઓપરેટર જો વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન હોય તો સમપ્રમાણ હોય છે, અને જો તે વાસ્તવિક અને અર્ધ-મર્યાદિત હોય તો તે સ્વ-સંલગ્ન (દ્વિઘાત સ્વરૂપ તરીકે) હોય છે. ઓપરેટર માટે મૂળ એક ઉપલા ચિહ્ન છે, જે સામાન્ય રીતે બિન-વિશિષ્ટ હોય છે. તેને પરિવારના સંદર્ભમાં શાસ્ત્રીય અવલોકનક્ષમ કહેવામાં આવશે જો કહેવાતા નીચલા પ્રતીક, તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો હળવા કાર્યાત્મક ગુણધર્મો ધરાવે છે જે મૂળ સમૂહને આપવામાં આવેલા વધુ ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો અનુસાર ચોક્કસ બનાવવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓના અવકાશની આ રચનાનો છેલ્લો મુદ્દો તેના આંકડાકીય પાસાઓ સાથે સંબંધિત છે. બે સંભાવના વિતરણ વચ્ચે ખરેખર એક આંતરક્રિયા છેઃ સુસંગત સ્થિતિઓ પણ જુઓ Lieb અનુમાન ક્વોન્ટાઇઝેશન સંદર્ભો ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર