Hermite's problem
હર્માઇટની સમસ્યા એ 1848માં ચાર્લ્સ હર્માઇટ દ્વારા ગણિતમાં રજૂ કરવામાં આવેલી ખુલ્લી સમસ્યા છે. તેમણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ક્રમ તરીકે વ્યક્ત કરવાની રીત માટે પૂછ્યું, જેમ કે જ્યારે મૂળ સંખ્યા ઘન અતાર્કિક હોય ત્યારે ક્રમ આખરે ચોક્કસપણે સામયિક હોય. પ્રેરણા વાસ્તવિક સંખ્યાઓ લખવાની પ્રમાણભૂત રીત તેમની દશાંશ રજૂઆત દ્વારા છે, જેમ કેઃ જ્યાં a0 એ પૂર્ણાંક છે, x નો પૂર્ણાંક ભાગ અને a1, a2, a3. એ 0 અને 9 વચ્ચેના પૂર્ણાંકો છે. વાસ્તવિક સંખ્યા x એ માત્ર ત્યારે જ તર્કસંગત સંખ્યા છે જો તેનું દશાંશ વિસ્તરણ આખરે સામયિક હોય, એટલે કે જો ત્યાં કુદરતી સંખ્યાઓ N અને p હોય કે જેથી દરેક n ≤ N માટે તે કેસ છે કે an + p = an. સંખ્યાઓ વ્યક્ત કરવાની બીજી રીત તેમને સતત અપૂર્ણાંક તરીકે લખવાની છે, જેમ કેઃ જ્યાં a0 એ પૂર્ણાંક છે અને a1, a2, a3. એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. આ રજૂઆતમાંથી આપણે x ને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકીએ છીએ કારણ કે જો x એક પરિમેય સંખ્યા હોય તો ક્રમ (an) મર્યાદિત રીતે ઘણા શબ્દો પછી સમાપ્ત થાય છે. બીજી બાજુ, યુલરે સાબિત કર્યું કે અતાર્કિક સંખ્યાઓને સતત અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે અનંત ક્રમની જરૂર પડે છે. વધુમાં, આ ક્રમ આખરે સામયિક હોય છે (ફરીથી, જેથી કુદરતી સંખ્યાઓ N અને p એવી હોય કે દરેક n ≤ N માટે આપણી પાસે a + p = an હોય), જો અને માત્ર ત્યારે જ જો x એક દ્વિઘાત અતાર્કિક હોય. હર્માઇટનો પ્રશ્ન તર્કસંગત સંખ્યાઓ એ બીજગણિત સંખ્યાઓ છે જે ડિગ્રી 1 ની બહુપદીને સંતોષે છે, જ્યારે દ્વિઘાત અતાર્કિક સંખ્યાઓ બીજગણિત સંખ્યાઓ છે જે ડિગ્રી 2 ની બહુપદીને સંતોષે છે. સંખ્યાઓના આ બંને સમૂહો માટે આપણી પાસે કુદરતી સંખ્યાઓ (એન) નો ક્રમ બનાવવાની રીત છે, જેમાં દરેક ક્રમ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા આપે છે અને એવી રીતે કે આ વાસ્તવિક સંખ્યા અનુરૂપ સમૂહની હોય, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમ આખરે સામયિક હોય. 1848 માં, ચાર્લ્સ હર્માઇટે કાર્લ ગુસ્તાવ જેકબ જેકોબીને એક પત્ર લખીને પૂછ્યું કે શું આ પરિસ્થિતિને સામાન્ય બનાવી શકાય છે, એટલે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા x ને કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ એવી રીતે સોંપી શકાય કે જ્યારે x એ ઘન અતાર્કિક હોય ત્યારે ક્રમ ચોક્કસપણે સામયિક હોય, એટલે કે ડિગ્રી 3 ની બીજગણિત સંખ્યા? અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા d માટે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા x ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ક્રમ સોંપવાની કોઈ રીત છે કે જે જ્યારે x એ ડિગ્રી d નો બીજગણિત હોય ત્યારે પસંદ કરી શકે? અભિગમ ક્રમ કે જે હર્માઇટની સમસ્યાને ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરે છે તેને ઘણીવાર બહુ-પરિમાણીય સતત અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. જેકોબી પોતે એક પ્રારંભિક ઉદાહરણ સાથે આવ્યા હતા, જેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (x, y) ની દરેક જોડીને અનુરૂપ ક્રમ શોધવામાં આવ્યો હતો, જે સતત અપૂર્ણાંકના ઉચ્ચ-પરિમાણીય એનાલોગ તરીકે કામ કરતો હતો. તેમણે એ બતાવવાની આશા વ્યક્ત કરી હતી કે (x, y) સાથે જોડાયેલ ક્રમ આખરે સામયિક હતો જો અને માત્ર ત્યારે જ જો x અને y બંને ઘન સંખ્યા ક્ષેત્રના હોય, પરંતુ તેમ કરવામાં અસમર્થ હતા અને શું આ કિસ્સો ઉકેલાયો નથી. 2015 માં, પ્રથમ વખત, કોઈપણ ઘન અતાર્કિક માટે સામયિક રજૂઆત ત્રિમાસિક સતત અપૂર્ણાંકો દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવી છે, એટલે કે, તર્કસંગત અથવા પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સામયિક ક્રમ તરીકે ઘન અતાર્કિક લખવાની સમસ્યાનું સમાધાન કરવામાં આવ્યું છે. જો કે, સામયિક રજૂઆત તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત અલ્ગોરિધમમાંથી પ્રાપ્ત થતી નથી અને તે માત્ર ઘન અતાર્કિકની ન્યૂનતમ બહુપદીના જ્ઞાનથી શરૂ થાય છે. સતત અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય બનાવવાને બદલે, સમસ્યાનો બીજો અભિગમ મિન્કોવ્સ્કીના પ્રશ્ન ચિહ્ન કાર્યને સામાન્ય બનાવવાનો છે. આ કાર્ય? : [0,1] → [0,1] પણ ત્યારથી વર્ગાત્મક અતાર્કિક સંખ્યાઓ પસંદ કરે છે? (x) તર્કસંગત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો x તર્કસંગત હોય અથવા દ્વિઘાત અતાર્કિક સંખ્યા હોય, અને વધુમાં x તર્કસંગત હોય તો અને માત્ર ત્યારે જ જો? (x) એ દ્વિઘાત તર્કસંગત છે, આમ x એ ચોક્કસપણે ક્યારે દ્વિઘાત અતાર્કિક છે? (x) એક બિન-ડાયડિક પરિમાણીય સંખ્યા છે. એકમ વર્ગ [0,1] × [0,1] અથવા દ્વિ-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સમાં આ કાર્યના વિવિધ સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યા છે, જોકે હજી સુધી કોઈએ હર્માઇટની સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું નથી. 2021 માં ઓલેગ કાર્પેનકોવ દ્વારા ક્યુબિક વેક્ટરના સામયિક પ્રતિનિધિ શોધવા માટે બે બાદબાકી અલ્ગોરિધમ્સની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી. પ્રથમ (અલ્ગોરિધમ) સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક કેસ માટે જ કામ કરે છે. અલ્ગોરિધમ માટેનું ઇનપુટ ક્યુબિક વેક્ટરના ત્રણ ગણો છે. ક્યુબિક વેક્ટર એ કોઈપણ વેક્ટર છે જે 3 ડિગ્રી વિસ્તરણ ઉત્પન્ન કરે છે. આ કિસ્સામાં ક્યુબિક વેક્ટર સંયુક્ત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અલ્ગોરિધમનો આઉટપુટ સામયિક હોય. બીજું (એચ. એ. પી. ડી. અલ્ગોરિધમ) તમામ કેસો (જટિલ ઘન વેક્ટર સહિત) અને તમામ પરિમાણો માટે કામ કરે તેવું અનુમાન છે. સંદર્ભો સતત અપૂર્ણાંકો બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ