Riemann invariant
રીમાન અપરિવર્તન એ સંરક્ષણ સમીકરણોની પ્રણાલી પર કરવામાં આવેલા ગાણિતિક પરિવર્તન છે જેથી તેમને વધુ સરળતાથી ઉકેલી શકાય. રીમાન અચળાંકો આંશિક વિભેદક સમીકરણોના લાક્ષણિક વળાંક સાથે અચળાં હોય છે જ્યાં તેઓ નામ અચળાંકો મેળવે છે. તેઓ સૌપ્રથમ બર્નહાર્ડ રીમેન દ્વારા વાયુ ગતિશીલતામાં સમતલ તરંગો પરના તેમના કાર્યમાં મેળવવામાં આવ્યા હતા. ગાણિતિક સિદ્ધાંત સંરક્ષણ સમીકરણોના સમૂહને ધ્યાનમાં લોઃ મેટ્રિસીસના ઘટકો ક્યાં છે અને ક્યાં છે અને વેક્ટરના ઘટકો ક્યાં છે. તે પૂછવામાં આવશે કે શું આ સમીકરણને ફરીથી લખવું શક્ય છે તે કરવા માટે આ વળાંક વેક્ટર ક્ષેત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલમાં રજૂ કરવામાં આવશે. કૌંસમાંના શબ્દને કુલ વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખવામાં આવશે જ્યાં આપણને મળેલા છેલ્લા બે સમીકરણોની સરખામણી તરીકે પરિમાણિત કરવામાં આવે છે જે હવે લાક્ષણિક સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે જ્યાં આપણી પાસે એવી શરતો હોવી જોઈએ કે જ્યાં જરૂરી શરત આપવા માટે દૂર કરી શકાય જેથી બિન-તુચ્છ ઉકેલ માટે નિર્ધારક હોય રીમાન અપરિવર્તન માટે આપણે જ્યારે મેટ્રિક્સ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ હોય ત્યારે નોંધ લેવા માટે કેસ સાથે સંબંધિત છીએ કે વેક્ટર શૂન્ય હોવાને કારણે આ એકરૂપ છે. લાક્ષણિક સ્વરૂપમાં સિસ્ટમ સાથે છે મેટ્રિક્સનો ડાબો આઈગનવેક્ટર ક્યાં છે અને તે મેટ્રિક્સના આઈગનવેલ્યુની લાક્ષણિક ગતિ છે જે સંતોષ આપે છે આ લાક્ષણિક સમીકરણોને સરળ બનાવવા માટે આપણે પરિવર્તન કરી શકીએ છીએ જેમ કે જે એક સંકલન પરિબળ બનાવે છે તેને એકીકૃત કરવામાં મદદ કરવા માટે ગુણાકાર કરી શકાય છે. તેથી સિસ્ટમમાં હવે લાક્ષણિક સ્વરૂપ છે જેના પર કર્ણ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે આ સિસ્ટમનો ઉકેલ સામાન્યીકૃત હોડોગ્રાફ પદ્ધતિ દ્વારા આપી શકાય છે. ઉદાહરણ ઘનતા અને વેગના સંદર્ભમાં લખાયેલા એક-પરિમાણીય યુલર સમીકરણોને ધ્યાનમાં લો, જેમાં ધ્વનિની ઝડપ આઇસેંટ્રોપિક ધારણાને કારણે રજૂ કરવામાં આવે છે. આ પ્રણાલીને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખો જ્યાં આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સની ઉપરના વિશ્લેષણમાંથી મેટ્રિક્સ શોધવાની જરૂર છે. આઈગન મૂલ્યો આપવા માટે સંતોષજનક હોવાનું જોવા મળે છે અને આઈગનવેક્ટર્સ જ્યાં રીમાન અપરિવર્તનશીલ હોય ત્યાં જોવા મળે છે (અને ગેસ ગતિશીલતામાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા સંકેતો છે). સ્થિર ચોક્કસ ઉષ્માઓ સાથે સંપૂર્ણ વાયુ માટે, સમીકરણો આપવા માટે રીમાન અચળાંક આપવા માટે સંબંધ છે, જ્યાં ચોક્કસ ઉષ્મા ગુણોત્તર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લાક્ષણિક વળાંક ક્યાં અને ક્યાં છે. આને હોડોગ્રાફ પરિવર્તન દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. હોડોગ્રાફિક પ્લેનમાં, જો તમામ લાક્ષણિકતાઓ એક જ વળાંકમાં તૂટી જાય, તો આપણે સરળ તરંગો મેળવીએ છીએ. જો પી. ડી. ઈ. ની પ્રણાલીનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ આ સ્વરૂપમાં હોય તો જ્યાં સુધી મેટ્રિક્સ નિર્ધારક શૂન્ય ન હોય ત્યાં સુધી ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવો શક્ય બની શકે છે. સરળ તરંગ સંદર્ભો પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંત આંશિક વિભેદક સમીકરણો સંરક્ષણ સમીકરણો બર્નહાર્ડ રીમેન પણ જુઓ.