Line group
રેખા જૂથ એ રેખા સાથે આગળ વધવા સાથે સંકળાયેલી સમપ્રમાણતાનું વર્ણન કરવાની ગાણિતિક રીત છે. આ સમપ્રમાણતામાં તે રેખા સાથે પુનરાવર્તનનો સમાવેશ થાય છે, જે તે રેખાને એક-પરિમાણીય જાળી બનાવે છે. જો કે, રેખા જૂથોમાં એક કરતાં વધુ પરિમાણો હોઈ શકે છે, અને તેઓ તે પરિમાણોને તેની સમપ્રમાણતા અથવા સમપ્રમાણતા પરિવર્તનમાં સામેલ કરી શકે છે. એક વ્યક્તિ જગ્યાના સંપૂર્ણ પરિમાણોમાં બિંદુ જૂથ લઈને એક રેખા જૂથ બનાવે છે, અને પછી અવકાશ જૂથ બનાવવાની રીતમાં બિંદુ જૂથના દરેક ઘટકોમાં રેખા સાથે અનુવાદ અથવા ઓફસેટ ઉમેરે છે. આ ઓફસેટમાં પુનરાવર્તન અને પુનરાવર્તનનો અપૂર્ણાંક, દરેક ઘટક માટે એક અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે. સગવડતા માટે, અપૂર્ણાંકોને પુનરાવર્તનના કદ સુધી માપવામાં આવે છે; આમ તેઓ રેખાના એકમ કોષ વિભાગમાં હોય છે. એક-પરિમાણીય ત્યાં 2 એક-પરિમાણીય રેખા જૂથો છે. તેઓ સ્વતંત્ર દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથો Cn અને Dn ની અનંત મર્યાદાઓ છેઃ દ્વિ-પરિમાણીય ત્યાં 7 ફ્રીઝ જૂથો છે, જેમાં રેખા સાથે પ્રતિબિંબ, રેખા સાથે લંબરૂપ પ્રતિબિંબ અને બે પરિમાણોમાં 180° પરિભ્રમણનો સમાવેશ થાય છે. ત્રિ-પરિમાણીય ત્રિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથોના 7 અનંત પરિવારોમાંથી મેળવેલા ત્રિ-પરિમાણીય રેખા જૂથોના 13 અનંત પરિવારો છે. સામાન્ય રીતે અવકાશ જૂથોની જેમ, સમાન બિંદુ જૂથ સાથેના રેખા જૂથોમાં ઓફસેટની વિવિધ પેટર્ન હોઈ શકે છે. દરેક પરિવારો n ક્રમ સાથે અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણના જૂથ પર આધારિત છે. જૂથો હર્મન-મૌગુઇન સંકેતલિપીમાં સૂચિબદ્ધ છે, અને બિંદુ જૂથો માટે, સ્કોનફ્લાય સંકેતલિપી. રેખા જૂથો માટે કોઈ તુલનાત્મક સંકેત નથી. આ જૂથોને ત્રિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથો અને ફ્રીઝ જૂથોની જેમ સિલિન્ડરની આસપાસ n વખત વીંટાળેલા અને સિલિન્ડરની ધરી સાથે અનંત પુનરાવર્તન કરતા વોલપેપર જૂથોની પેટર્ન તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ જૂથોનું કોષ્ટકઃ ઓફસેટ પ્રકારો છેઃ કંઈ નહીં. અક્ષ સાથે ઓફસેટમાં અક્ષની આસપાસ એકમ કોષના પુનરાવર્તનની અંદર તેની આસપાસ કોઈ ઓફસેટનો સમાવેશ થતો નથી. હેલિસિટી q સાથે હેલિકલ ઓફસેટ. અક્ષ સાથે એકમ ઓફસેટ માટે, તેની આસપાસ q નું ઓફસેટ હોય છે. એક બિંદુ કે જેણે વારંવાર ઓફસેટ કર્યા છે તે હેલિક્સને શોધી કાઢશે. ઝિગઝેગ ઓફસેટ. અક્ષની આસપાસના એકમ કોષના સંબંધમાં અડધા ભાગનું હેલિકલ ઓફસેટ. નોંધ લો કે વોલપેપર જૂથો પી. એમ., પી. જી., સી. એમ. અને પી. એમ. જી. બે વાર દેખાય છે. દરેક દેખાવ રેખા-જૂથ અક્ષની તુલનામાં અલગ દિશા ધરાવે છે; પ્રતિબિંબ સમાંતર (એચ) અથવા લંબરૂપ (વી). અન્ય જૂથોમાં આવી કોઈ દિશા નથીઃ પી1, પી2, પીએમએમ, પીજીજી, સીએમએમ. જો બિંદુ જૂથ સ્ફટિકીય બિંદુ જૂથ, અમુક ત્રિ-પરિમાણીય જાળીની સમપ્રમાણતા માટે મર્યાદિત હોય, તો પરિણામી રેખા જૂથને લાકડી જૂથ કહેવામાં આવે છે. લાકડીના 75 જૂથો છે. કોક્સેટર નોટેશન લંબચોરસ વોલપેપર જૂથો પર આધારિત છે, જેમાં ઊભી અક્ષ સમપ્રમાણતા ક્રમ n અથવા 2n ના નળાકારમાં લપેટી છે. સાતત્ય મર્યાદા પર જઈએ તો, n થી ≤ સાથે, સંભવિત બિંદુ જૂથો C ≤, C ≤ h, C ≤ v, D ≤, અને D ≤ h બની જાય છે, અને રેખા જૂથો પાસે વાંકીચૂંકી સિવાય યોગ્ય સંભવિત ઓફસેટ હોય છે. હેલિકલ સમપ્રમાણતા Cn (q) અને Dn (q) જૂથો હેલિકલ પદાર્થોની સમપ્રમાણતા વ્યક્ત કરે છે. Cn (q) એ સમાન દિશામાં લક્ષી n હેલિસીસ માટે છે, જ્યારે Dn (q) એ વૈકલ્પિક દિશાઓ સાથે n બિન-લક્ષી હેલિસીસ અને 2n હેલિસીસ માટે છે. ક્યૂની નિશાનીને ઉલટાવવાથી અરીસાની છબી બને છે, જે હેલિસીસની કાયરલિટી અથવા હેન્ડનેસને ઉલટાવે છે. ન્યુક્લિક એસિડ, ડીએનએ અને આરએનએ, તેમની હેલિકલ સમપ્રમાણતા માટે જાણીતા છે. ન્યુક્લિક એસિડની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત દિશા હોય છે, જે સિંગલ સ્ટ્રેન્ડ C1 (q) આપે છે. ડબલ સ્ટ્રેન્ડ્સ વિરુદ્ધ દિશાઓ ધરાવે છે અને હેલિક્સ એક્સિસની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય છે, જે તેમને D1 (q) આપે છે. બિંદુ જૂથ અવકાશ જૂથ એક-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથ ફ્રીઝ જૂથ રોડ જૂથ સંદર્ભો યુક્લિડિયન સમપ્રમાણતા અલગ જૂથો પણ જુઓ.