Demazure module
ગણિતમાં, ડિમૅઝર મોડ્યુલ, દ્વારા રજૂ કરાયેલ, બોરેલ ઉપ-બીજગણિતની ક્રિયા હેઠળ ચરમ વજનની જગ્યા દ્વારા પેદા થયેલ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતનું પેટા મોડ્યુલ છે. દ્વારા રજૂ કરાયેલ ડીમાઝર અક્ષર સૂત્ર, ડીમાઝર મોડ્યુલોના અક્ષરો આપે છે, અને તે વેલ અક્ષર સૂત્રનું સામાન્યીકરણ છે. ડીમાઝર મોડ્યુલનું પરિમાણ સૌથી વધુ વજનમાં બહુપદી છે, જેને ડીમાઝર બહુપદી કહેવાય છે. ડિમૅઝર મોડ્યુલો ધારો કે g એ એક જટિલ અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત છે, જેમાં બોરેલ ઉપ-બીજગણિત b છે, જેમાં કાર્ટાન ઉપ-બીજગણિત h છે. g ની અપરિવર્તનીય મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆત V એ h ની આઇગેનસ્પેસના સરવાળા તરીકે વિભાજિત થાય છે, અને સૌથી વધુ વજનની જગ્યા 1-પરિમાણીય છે અને તે b ની આઇગેનસ્પેસ છે. વેઇલ જૂથ W એ V ના વજન પર કાર્ય કરે છે, અને આ ક્રિયા હેઠળ સૌથી વધુ વજનના વેક્ટર λ ના સંયુગ્મ wλ એ ચરમ વજન છે, જેની વજનની જગ્યાઓ તમામ 1-પરિમાણીય છે. એક ડિમૅઝર મોડ્યુલ એ ચરમ વેક્ટર ડબલ્યુ. એલ. ના વજનની જગ્યા દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વીનું બી-સબમોડ્યુલ છે, તેથી વીના ડિમૅઝર સબમોડ્યુલ્સને વેલ જૂથ ડબલ્યુ દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે. ત્યાં બે આત્યંતિક કિસ્સાઓ છેઃ જો ડબલ્યુ તુચ્છ હોય તો ડિમૅઝર મોડ્યુલ માત્ર 1-પરિમાણીય હોય છે, અને જો ડબલ્યુ મહત્તમ લંબાઈનું તત્વ હોય તો ડિમૅઝર મોડ્યુલ એ સંપૂર્ણ ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆત વી છે. ડિમૅઝર મોડ્યુલ્સને કાક-મૂડી આલ્જેબ્રાના સૌથી વધુ વજનની રજૂઆત માટે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, સિવાય કે એકમાં હવે 2 કિસ્સાઓ છે કારણ કે કોઈ પણ બોરેલ સબલેજેબ્રા બી અથવા તેની વિરુદ્ધ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા સબમોડ્યુલ્સને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. મર્યાદિત-પરિમાણીયમાં આ વેઇલ જૂથના સૌથી લાંબા તત્વ દ્વારા વિનિમય થાય છે, પરંતુ અનંત પરિમાણોમાં હવે આ સ્થિતિ નથી કારણ કે ત્યાં કોઈ સૌથી લાંબુ તત્વ નથી. ડિમૅઝર અક્ષર સૂત્ર ઇતિહાસ ડિમૅઝર અક્ષર સૂત્ર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. વિક્ટર કેકે ધ્યાન દોર્યું હતું કે ડીમાઝ્યુરના સાબિતીમાં ગંભીર અંતર છે, કારણ કે તે તેના પર આધાર રાખે છે, જે ખોટું છે; કાકનું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ જુઓ. અને દ્વારા સ્કબર્ટ જાતોની ભૂમિતિ પરના કાર્યનો ઉપયોગ કરીને ડીમાઝુરના અક્ષર સૂત્રનો પુરાવો આપ્યો. લાઈ બીજગણિત તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા પ્રભાવશાળી ઉચ્ચતમ વજનના મોડ્યુલો માટે પુરાવો આપ્યો. ડીમાઝર અક્ષર સૂત્રનું શુદ્ધ સંસ્કરણ સાબિત થયું જે અનુમાન લગાવ્યું (અને ઘણા કિસ્સાઓમાં સાબિત થયું). નિવેદન ડીમાઝર અક્ષર સૂત્ર અહીં છેઃ ડબલ્યુ એ વેઇલ જૂથનું એક તત્વ છે, જેમાં સરળ મૂળના પ્રતિબિંબના ઉત્પાદન તરીકે ડબલ્યુ = <આઇ. ડી. 1> નું વિઘટન ઘટે છે. λ એ સૌથી ઓછું વજન છે, અને eλ એ વજનની જાળીની જૂથ રિંગનું અનુરૂપ તત્વ છે. Ch (F (Wλ)) એ ડિમૅઝર મોડ્યુલ F (Wλ) નું અક્ષર છે. પી એ વજનની જાળી છે, અને ઝેડ [પી] તેની જૂથ વીંટી છે. તે મૂળભૂત વજનનો સરવાળો છે અને ડોટ એક્શન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. α માટે α એ ઝેડ-મોડ્યુલ ઝેડ [પી] નું એન્ડોમોર્ફિઝમ છે જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને α માટે δj એ α છે જે sj સંદર્ભ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનું મૂળ છે.