Hamiltonian Monte Carlo
હેમિલ્ટોનિયન મોન્ટે કાર્લો અલ્ગોરિધમ (મૂળરૂપે વર્ણસંકર મોન્ટે કાર્લો તરીકે ઓળખાતું) એ માર્કોવ સાંકળ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ છે જે રેન્ડમ નમૂનાઓનો ક્રમ મેળવવા માટે છે, જે લક્ષ્ય સંભાવના વિતરણ અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે, જેના માટે સીધું નમૂના લેવાનું મુશ્કેલ છે. આ ક્રમનો ઉપયોગ લક્ષ્ય વિતરણ (અપેક્ષિત મૂલ્યો) ના સંદર્ભમાં સંકલનનો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે. હેમિલ્ટોનિયન મોન્ટે કાર્લો મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ અલ્ગોરિધમના ઉદાહરણને અનુરૂપ છે, જેમાં હેમિલ્ટોનિયન ગતિશીલતા ઉત્ક્રાંતિનું અનુકરણ સમય-ઉલટાવી શકાય તેવા અને વોલ્યુમ-સાચવતા આંકડાકીય સંકલનકાર (સામાન્ય રીતે લીપફ્રોગ સંકલનકાર) નો ઉપયોગ કરીને રાજ્ય અવકાશમાં નવા બિંદુ તરફ આગળ વધવાનો પ્રસ્તાવ મૂકવા માટે કરવામાં આવે છે. મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ અલ્ગોરિધમમાં ગૌસીયન રેન્ડમ વોક પ્રપોઝલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો ઉપયોગ કરવાની સરખામણીમાં, હેમિલ્ટોનિયન મોન્ટે કાર્લો દૂરના રાજ્યોમાં ચાલની દરખાસ્ત કરીને ક્રમિક નમૂના રાજ્યો વચ્ચેના સહસંબંધને ઘટાડે છે, જે સિમપ્લેક્ટિક ઇન્ટિગ્રેટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે સિમ્યુલેટેડ હેમિલ્ટોનિયન ડાયનેમિકના અંદાજિત ઊર્જા સંરક્ષણ ગુણધર્મોને કારણે સ્વીકૃતિની ઉચ્ચ સંભાવના જાળવી રાખે છે. ઘટાડેલા સહસંબંધનો અર્થ એ છે કે આપેલ મોન્ટે કાર્લો ભૂલ માટે લક્ષ્ય સંભાવના વિતરણના સંદર્ભમાં અંદાજિત સંકલન માટે ઓછા માર્કોવ સાંકળ નમૂનાઓની જરૂર છે. આ અલ્ગોરિધમનો મૂળ પ્રસ્તાવ 1987માં સિમોન ડ્યુએન, એન્થોની કેનેડી, બ્રાયન પેન્ડલટન અને ડંકન રોવેથ દ્વારા લેટીસ ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં ગણતરીઓ માટે મૂકવામાં આવ્યો હતો. 1996માં, રેડફોર્ડ એમ. નીલે દર્શાવ્યું હતું કે કેવી રીતે પદ્ધતિનો ઉપયોગ આંકડાકીય સમસ્યાઓના વ્યાપક વર્ગ માટે થઈ શકે છે, ખાસ કરીને કૃત્રિમ ચેતા નેટવર્કમાં. જો કે, સંબંધિત ગીચતાના ઢાળોનો પુરવઠો કરવાના બોજને કારણે આંકડાશાસ્ત્ર અને અન્ય માત્રાત્મક શાખાઓમાં અલ્ગોરિધમનો વ્યાપક સ્વીકાર કરવામાં વિલંબ થયો, જ્યાં સુધી 2010ના દાયકાના મધ્યમાં સ્ટેનના વિકાસકર્તાઓએ સ્વચાલિત તફાવત સાથે સંયોજનમાં એચ. એમ. સી. નો અમલ કર્યો. અલ્ગોરિધમ ધારો કે નમૂનાનું લક્ષ્ય વિતરણ () માટે છે અને નમૂનાઓની સાંકળ જરૂરી છે. હેમિલ્ટનના સમીકરણો એ છે કે જ્યાં અને અનુક્રમે સ્થિતિ અને વેગ વેક્ટરનો મી ઘટક છે અને તે હેમિલ્ટોનિયન છે. ચાલો એક માસ મેટ્રિક્સ હોઈએ જે સપ્રમાણ અને હકારાત્મક ચોક્કસ હોય, તો પછી હેમિલ્ટોનિયન એ છે જ્યાં સંભવિત ઊર્જા છે. લક્ષ્ય માટે સંભવિત ઊર્જા આપવામાં આવે છે જે બોલ્ટ્ઝમેનના પરિબળમાંથી આવે છે. અલ્ગોરિધમને લીપ ફ્રોગ પગલાંઓની સંખ્યા માટે હકારાત્મક પૂર્ણાંક અને પગલાના કદ માટે હકારાત્મક સંખ્યાની જરૂર છે. ધારો કે સાંકળ પર છે. જવા દો. પ્રથમ, રેન્ડમ ગૌસીયન મોમેન્ટમ માંથી દોરવામાં આવે છે. આગળ, કણ સમય માટે હેમિલ્ટોનિયન ગતિશીલતા હેઠળ ચાલશે, આ લીપ ફ્રોગ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને હેમિલ્ટનના સમીકરણોને આંકડાકીય રીતે હલ કરીને કરવામાં આવે છે. લીપ ફ્રોગ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમય પછી સ્થિતિ અને વેગ વેક્ટર આ સમીકરણોને અને મેળવવાના સમયને લાગુ કરવાના છે. લીપ ફ્રોગ અલ્ગોરિધમ એ બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા શાસ્ત્રીય કણોની ગતિનો અંદાજિત ઉકેલ છે. જો ચોક્કસ હોય, તો ઉકેલ પ્રારંભિક અવ્યવસ્થિત રીતે ઉત્પન્ન ઊર્જા વિતરણને ક્યારેય બદલશે નહીં, કારણ કે શાસ્ત્રીય સંભવિત ઊર્જા ક્ષેત્રની હાજરીમાં દરેક કણ માટે ઊર્જા સંરક્ષિત કરવામાં આવે છે. થર્મોડાયનેમિક સંતુલન વિતરણ સુધી પહોંચવા માટે, કણોની આસપાસના હીટ બાથ સાથે અમુક પ્રકારની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા હોવી આવશ્યક છે, જેથી સમગ્ર સિસ્ટમ બોલ્ટઝમેન વિતરણ અનુસાર સંભાવનાઓ સાથે વિવિધ ઊર્જાઓનો ઉપયોગ કરી શકે. સિસ્ટમને થર્મોડાયનેમિક સંતુલન વિતરણ તરફ ખસેડવાની એક રીત એ છે કે મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને કણોની સ્થિતિને બદલવી. તેથી પહેલા, કોઈ વ્યક્તિ લીપ ફ્રોગ સ્ટેપ લાગુ કરે છે, પછી મેટ્રોપોલિસ-હેસ્ટિંગ્સ સ્ટેપ. જ્યાંથી આ મેળવવા માટે પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે ત્યાંથી સંક્રમણ થાય છે. નો યુ-ટર્ન સેમ્પલર નો યુ-ટર્ન સેમ્પલર (એનયુટીએસ) એ આપમેળે નિયંત્રિત કરીને વિસ્તરણ છે. ટ્યુનિંગ નિર્ણાયક છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક પરિમાણીય કિસ્સામાં, પોટેન્શિયલ એ છે જે સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરની પોટેન્શિયલને અનુરૂપ છે. ખૂબ મોટા માટે, કણ દોલન કરશે અને આમ ગણતરીના સમયનો બગાડ કરશે. ખૂબ નાના માટે, કણ અવ્યવસ્થિત ચાલની જેમ વર્તે છે. ઢીલી રીતે, એન. યુ. ટી. એસ. યુ-ટર્નની સ્થિતિ સંતોષાય નહીં ત્યાં સુધી હેમિલ્ટોનિયન ગતિશીલતાને આગળ અને પાછળ બંને સમયે અવ્યવસ્થિત રીતે ચલાવે છે. જ્યારે આવું થાય છે, ત્યારે એમસીએમસી નમૂના માટે માર્ગમાંથી એક યાદૃચ્છિક બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે અને તે નવા બિંદુથી પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે. વિગતવાર, લીપ દેડકાના પગથિયાંઓના માર્ગને શોધવા માટે દ્વિસંગી વૃક્ષનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું છે. એમસીએમસી નમૂના તૈયાર કરવા માટે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા હાથ ધરવામાં આવે છે. સ્લાઇસ વેરિયેબલનું નમૂના લેવામાં આવે છે. ચાલો અને અનુક્રમે આગળના કણની સ્થિતિ અને વેગ બનીએ. તેવી જ રીતે, અને પછાત કણ માટે. દરેક પુનરાવર્તનમાં, દ્વિસંગી વૃક્ષ સમય જતાં આગળના કણને આગળ અથવા પછાત કણને પાછળ ખસેડવા માટે એકસરખી રીતે પસંદ કરે છે. ઉપરાંત દરેક પુનરાવર્તન માટે, કૂદકો દેડકાના પગલાંની સંખ્યામાં 2 નો પરિબળ વધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ પુનરાવર્તનમાં, આગળનો કણ 1 લીપ ફ્રોગ પગલાનો ઉપયોગ કરીને સમય જતાં આગળ વધે છે. આગામી પુનરાવર્તનમાં, પછાત કણ 2 લીપ દેડકાના પગલાંનો ઉપયોગ કરીને સમય જતાં પાછળની તરફ આગળ વધે છે. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી યુ-ટર્ન શરત પૂરી ન થાય, એટલે કે જ્યારે હેમિલ્ટોનિયન અચોક્કસ બને અથવા જ્યાં, ઉદાહરણ તરીકે,. એકવાર યુ-ટર્નની સ્થિતિ પૂર્ણ થઈ જાય પછી, આગામી એમસીએમસી નમૂના, દ્વિસંગી વૃક્ષ દ્વારા શોધી કાઢવામાં આવેલા લીપ ફ્રોગ પાથને સમાન રીતે નમૂના લઈને મેળવવામાં આવે છે જે સંતોષ આપે છે. મોન્ટે કાર્લો મોલેક્યુલર મોડેલિંગ માટે ડાયનેમિક મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ સોફ્ટવેર પણ જુઓ સ્ટેન મેટ્રોપોલિસ-એડજસ્ટેડ લેંગવિન અલ્ગોરિધમ સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ હેમિલ્ટોનિયન મોન્ટે કાર્લો શરૂઆતથી ઓપ્ટિમાઇઝેશન અને મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓ માર્કોવ સાંકળ મોન્ટે કાર્લો