Donaldson–Thomas theory
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિત ભૂમિતિમાં, ડોનાલ્ડસન-થોમસ સિદ્ધાંત એ ડોનાલ્ડસન-થોમસ અચળાંકનો સિદ્ધાંત છે. કેલાબી-યુ ત્રણ ગણી શીવ્સની કોમ્પેક્ટ મોડુલી જગ્યાને જોતાં, તેના ડોનાલ્ડસન-થોમસ અપરિવર્તનશીલ એ તેના બિંદુઓની વર્ચ્યુઅલ સંખ્યા છે, એટલે કે, વર્ચ્યુઅલ ફંડામેન્ટલ ક્લાસ સામે કોહોમોલોજી ક્લાસ 1 નું અભિન્ન અંગ છે. ડોનાલ્ડસન-થોમસ અપરિવર્તનશીલ એ કેસન અપરિવર્તનશીલનું હોલોમોર્ફિક એનાલોગ છે. દ્વારા અપરિવર્તનશીલ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ડોનાલ્ડસન-થોમસ અચળાંકો બીજગણિત ત્રણ-ગણોના ગ્રોમોવ-વિટ્ટન અચળાંકો અને રાહુલ પંઢરીપાંડે અને થોમસના કારણે સ્થિર જોડીના સિદ્ધાંત સાથે ગાઢ જોડાણ ધરાવે છે. ડોનાલ્ડસન-થોમસ સિદ્ધાંત ભૌતિક રીતે અમુક બી. પી. એસ. સ્થિતિઓ દ્વારા પ્રેરિત છે જે સ્ટ્રિંગ અને ગેજ સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. આનું કારણ એ છે કે અપરિવર્તન અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી મોડ્યુલી જગ્યાઓની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી પર સ્થિરતાની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. અનિવાર્યપણે, આ સ્થિરતાની સ્થિતિઓ મિરર સમપ્રમાણતામાં ગણવામાં આવે છે તેમ કેલાબી-યુ મેનીફોલ્ડની કાહલર મોડ્યુલી જગ્યાના બિંદુઓને અનુરૂપ છે, અને પરિણામી પેટા શ્રેણી એ અનુરૂપ SCFT માટે BPS સ્થિતિઓની શ્રેણી છે. વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો ગ્રોમોવ-વિટ્ટન અપરિવર્તનોનો મૂળભૂત વિચાર રીમાન સપાટીથી સરળ લક્ષ્ય સુધી સ્યુડોહોલોમોર્ફિક નકશાનો અભ્યાસ કરીને જગ્યાની ભૂમિતિ તપાસવાનો છે. આવા તમામ નકશાના મોડ્યુલી સ્ટેક વર્ચ્યુઅલ ફંડામેન્ટલ ક્લાસને સ્વીકારે છે, અને આ સ્ટેક પર આંતરછેદ સિદ્ધાંત આંકડાકીય અચળાંક આપે છે જે ઘણીવાર આંકડાકીય માહિતી ધરાવી શકે છે. સમાન ભાવનામાં, ડોનાલ્ડસન-થોમસ સિદ્ધાંતનો અભિગમ બીજગણિતમાં વળાંકનો તેમના સમીકરણો દ્વારા ત્રણ ગણો અભ્યાસ કરવાનો છે. વધુ સચોટ રીતે, જગ્યા પર આદર્શ શીવ્સનો અભ્યાસ કરીને. આ મોડ્યુલી જગ્યા વર્ચ્યુઅલ મૂળભૂત વર્ગને પણ સ્વીકારે છે અને અમુક આંકડાકીય અચળાંક આપે છે જે ગણનાત્મક હોય છે. જ્યારે ગ્રોમોવ-વિટન સિદ્ધાંતમાં, નકશાને ડોમેન વળાંકના બહુવિધ આવરણ અને તૂટી ગયેલા ઘટકો હોવાની મંજૂરી છે, ડોનાલ્ડસન-થોમસ સિદ્ધાંત આવરણમાં સમાવિષ્ટ નિલપોટેન્ટ માહિતી માટે પરવાનગી આપે છે, જો કે, આ પૂર્ણાંક મૂલ્યના અપરિવર્તનશીલ છે. દેવેશ મૌલિક, આંદ્રેઈ ઓકૌનકોવ, નિકિતા નેક્રાસોવ અને રાહુલ પંઢરીપાંડેને કારણે ઊંડી ધારણાઓ છે, જે વધતી જતી સામાન્યતામાં સાબિત થાય છે કે, બીજગણિત ત્રણ-ગણોના ગ્રોમોવ-વિટેન અને ડોનાલ્ડસન-થોમસ સિદ્ધાંતો ખરેખર સમકક્ષ છે. વધુ ચોક્કસપણે, ચલોના યોગ્ય ફેરફાર પછી તેમના ઉત્પન્ન કાર્યો સમાન હોય છે. કેલાબી-યુ થ્રીફોલ્ડ્સ માટે, ડોનાલ્ડસન-થોમસ અપરિવર્તનશીલને મોડુલી જગ્યા પર ભારિત યુલર લાક્ષણિકતા તરીકે ઘડી શકાય છે. આ અપરિવર્તનશીલ, પ્રેરક હોલ બીજગણિત અને ક્વોન્ટમ ટોરસ પરના કાર્યોની રીંગ વચ્ચે તાજેતરના જોડાણો પણ થયા છે. ક્વિન્ટિક થ્રીફોલ્ડ પરની રેખાઓની મોડુલી જગ્યા એ 2875 બિંદુઓનો એક અલગ સમૂહ છે. બિંદુઓની વર્ચ્યુઅલ સંખ્યા એ બિંદુઓની વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને તેથી આ મોડુલી જગ્યાનો ડોનાલ્ડસન-થોમસ અચળાંક પૂર્ણાંક 2875 છે. તેવી જ રીતે, ડોનાલ્ડસન-થોમસ પંચક પર શંકુની મોડુલી જગ્યાનો અપરિવર્તનશીલ 609250 છે. વ્યાખ્યા કેલાબી-યુ ત્રણ ગણા અને નિશ્ચિત કોહોમોલોજી વર્ગ માટે ચેરન પાત્ર સાથે સુસંગત શીવ્સનો સંકળાયેલ મોડુલી સ્ટેક છે. સામાન્ય રીતે, આ અનંત પ્રકારનો બિન-વિભાજિત આર્ટિન સમૂહ છે, જેના પર આંકડાકીય અપરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરવું મુશ્કેલ છે. તેના બદલે, આવા સુસંગત શીવ્સને પેરામેટ્રીઝ કરતા ખુલ્લા સબસ્ટેક્સ છે જે તેમના પર લાદવામાં આવેલી સ્થિરતાની સ્થિતિ ધરાવે છે, એટલે કે. - સ્થિર શીવ્સ. આ મોડ્યુલી સ્ટેક્સમાં વધુ સારા ગુણધર્મો છે, જેમ કે મર્યાદિત પ્રકારથી અલગ હોવા. એકમાત્ર તકનીકી મુશ્કેલી એ છે કે નિશ્ચિત આવરણની વિકૃતિઓના અવરોધોના અસ્તિત્વને કારણે તેમાં ખરાબ એકલતા હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને હવે કેલાબી-યૌ હોવાથી, સેરે દ્વૈત સૂચવે છે જે પરિમાણ 0 નો સંપૂર્ણ અવરોધ સિદ્ધાંત આપે છે. ખાસ કરીને, આ સમરૂપ ડિગ્રીમાં સંકળાયેલ વર્ચ્યુઅલ ફંડામેન્ટલ ક્લાસિસ સૂચવે છે. પછી આપણે ડી. ટી. અપરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જે સ્થિરતાની સ્થિતિ અને કોહોમોલોજી વર્ગ પર આધારિત છે. થોમસ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું કે એક સરળ પરિવાર માટે ઉપર વ્યાખ્યાયિત અપરિવર્તનશીલ બદલાતું નથી. શરૂઆતમાં સંશોધકોએ ગીસેકર સ્થિરતા સ્થિતિ પસંદ કરી હતી, પરંતુ તાજેતરના વર્ષોમાં અન્ય ડી. ટી.-ફેરફારો અન્ય સ્થિરતા પરિસ્થિતિઓના આધારે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યા છે, જે દિવાલ-ક્રોસિંગ સૂત્રો તરફ દોરી જાય છે. હકીકતો મોડ્યુલી જગ્યા M નો ડોનાલ્ડસન-થોમસ અપરિવર્તન એ M ની ભારિત યુલર લાક્ષણિકતા બરાબર છે. વજન કાર્ય M માં દરેક બિંદુ સાથે સંકળાયેલું છે જે હાયપરપ્લેન સિંગ્યુલારીટીના મિલનર નંબરનું એનાલોગ છે. શીવ્સની મોડ્યુલી જગ્યાઓને બદલે સામાન્યીકરણ, વ્યુત્પન્ન શ્રેણીની વસ્તુઓની મોડ્યુલી જગ્યાઓને ધ્યાનમાં લે છે. તે પંઢરીપાંડે-થોમસ અચળાંક આપે છે જે કાલાબી-યૌની સ્થિર જોડીની 3 ગણી ગણતરી કરે છે. પૂર્ણાંક મૂલ્યવાન અચળાંકને બદલે, પ્રેરક અચળાંકને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ગણનાત્મક ભૂમિતિ ગ્રોમોવ-વિટ્ટન અપરિવર્તનશીલ હિલ્બર્ટ યોજના ક્વોન્ટમ કોહોમોલોજી સંદર્ભો બીજગણિત ભૂમિતિ શબ્દમાળા સિદ્ધાંત પણ જુઓ.