Hardy field
ગણિતમાં, હાર્ડી ક્ષેત્ર એ એક ક્ષેત્ર છે જેમાં અનંત સમયે વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોના જંતુઓનો સમાવેશ થાય છે જે તફાવત હેઠળ બંધ હોય છે. તેનું નામ અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી જી. એચ. હાર્ડીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા શરૂઆતમાં, હાર્ડી ક્ષેત્રોને અનંત સમયે વાસ્તવિક કાર્યોના જંતુઓના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા. ખાસ કરીને આપણે વિધેયોના સંગ્રહ H ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે તમામ મોટી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે વિધેયો f એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ R માટે નકશો (u, ≤) બનાવે છે, f પર આધાર રાખીને કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે. અહીં અને બાકીના લેખમાં આપણે કહીએ છીએ કે વિધેયમાં "આખરે" ગુણધર્મ હોય છે જો તેમાં તમામ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા x માટે ગુણધર્મ હોય, તો ઉદાહરણ તરીકે આપણે કહીએ છીએ કે H માં વિધેય f આખરે શૂન્ય હોય છે જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા U હોય જેમ કે તમામ x ≤ U માટે f (x) = 0 હોય. જો f − g આખરે શૂન્ય હોય તો જ આપણે f એ g ની સમકક્ષ હોય એમ કહીને H પર સમાનતા સંબંધ બનાવી શકીએ છીએ. આ સંબંધના સમાનતા વર્ગોને અનંત સમયે જંતુઓ કહેવામાં આવે છે. જો H એ સામાન્ય ઉમેરા અને વિધેયોના ગુણાકાર હેઠળ ક્ષેત્ર બનાવે છે, તો H એ પ્રેરિત ઉમેરા અને ગુણાકાર કામગીરી હેઠળ આ સમાનતા સંબંધને મોડ્યુલો કરશે. વધુમાં, જો H માં દરેક વિધેય આખરે વિકલનક્ષમ હોય અને H માં કોઈપણ વિધેયનું વ્યુત્પન્ન પણ H માં હોય, તો H મોડ્યુલો ઉપરના સમકક્ષ સંબંધને હાર્ડી ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. હાર્ડી ક્ષેત્રના ઘટકો આ રીતે સમકક્ષતા વર્ગો છે અને તેને સૂચવવા જોઈએ, જેમ કે, [f] ν જે કાર્યોના વર્ગને સૂચવે છે જે આખરે પ્રતિનિધિ કાર્ય f ની બરાબર હોય છે. જો કે, વ્યવહારમાં ઘટકો સામાન્ય રીતે ફક્ત પ્રતિનિધિઓ દ્વારા જ સૂચવવામાં આવે છે, તેથી [f] ν ને બદલે કોઈ ફક્ત f લખશે. ઉદાહરણ તરીકે જો F એ R નું પેટાક્ષેત્ર હોય તો આપણે F ના તત્વોને અચળ કાર્યો તરીકે ધ્યાનમાં લઈને તેને હાર્ડી ક્ષેત્ર તરીકે ગણી શકીએ છીએ, એટલે કે F માં સંખ્યા α ને અચળ કાર્ય fα તરીકે ધ્યાનમાં લઈને જે R થી α માં દરેક x ને મેપ કરે છે. આ એક ક્ષેત્ર છે કારણ કે F છે, અને આ ક્ષેત્રમાં દરેક વિધેયનું વ્યુત્પન્ન 0 હોવાથી જે F માં હોવું જોઈએ તે હાર્ડી ક્ષેત્ર છે. હાર્ડી ક્ષેત્રનું ઓછું તુચ્છ ઉદાહરણ એ R પર તર્કસંગત કાર્યોનું ક્ષેત્ર છે, જેને R (x) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. આ P (x)/Q (x) સ્વરૂપના કાર્યોનો સમૂહ છે જ્યાં P અને Q વાસ્તવિક ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓ છે. બહુપદી Q બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા શૂન્ય ધરાવી શકે છે, તેથી આવા તર્કસંગત કાર્યને તમામ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા x માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે, ખાસ કરીને Q ના સૌથી મોટા વાસ્તવિક મૂળ કરતા મોટા તમામ x માટે. તર્કસંગત કાર્યોને ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવાથી વધુ તર્કસંગત કાર્ય મળે છે, અને ભાગાકાર નિયમ દર્શાવે છે કે તર્કસંગત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ફરીથી તર્કસંગત કાર્ય છે, તેથી R (x) હાર્ડી ક્ષેત્ર બનાવે છે. બીજું ઉદાહરણ એ કાર્યોનું ક્ષેત્ર છે જે પ્રમાણભૂત અંકગણિત કામગીરીઓ, ઘાતાંકો અને લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને સ્વરૂપના અમુક અંતરાલ પર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. આવા કાર્યોને કેટલીકવાર હાર્ડી એલ-કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ઘણા મોટા હાર્ડી ક્ષેત્રો (જેમાં સબફિલ્ડ તરીકે હાર્ડી એલ-ફંક્શન્સ હોય છે) ને ટ્રાન્સસીરીઝનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ગુણધર્મો હાર્ડી ક્ષેત્રનું દરેક તત્વ આખરે કાં તો સખત હકારાત્મક, સખત નકારાત્મક અથવા શૂન્ય હોય છે. આ હકીકતોથી એકદમ તરત જ અનુસરે છે કે હાર્ડી ક્ષેત્રના ઘટકો આખરે વિકલનક્ષમ હોય છે અને તેથી સતત હોય છે અને આખરે ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ હોય છે અથવા શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે સાઇન અને કોસાઇન કાર્યો જેવા સામયિક કાર્યો હાર્ડી ક્ષેત્રોમાં અસ્તિત્વમાં હોઈ શકતા નથી. સામયિક કાર્યોને ટાળવાનો અર્થ એ પણ છે કે હાર્ડી ક્ષેત્રમાં દરેક તત્વની અનંત પર (સંભવતઃ અનંત) મર્યાદા હોય છે, તેથી જો f એ H નું તત્વ હોય, તો તે R ≤ {− ≤, + ≤} માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેનો અર્થ એ પણ છે કે જો g − f આખરે સખત હકારાત્મક હોય તો આપણે f <g કહીને H પર ઓર્ડર આપી શકીએ છીએ. નોંધ લો કે જો f ની મર્યાદા g ની મર્યાદા કરતાં ઓછી હોય તો આ f <g દર્શાવવા જેવું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ઓળખ કાર્ય f (x) = x અને ઘાતાંકીય કાર્ય g (x) = ex ના જંતુઓને ધ્યાનમાં લઈએ તો પછી g (x) − f (x)> 0 બધા x માટે આપણી પાસે તે g> f છે. પરંતુ તે બંને અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ અર્થમાં ક્રમ આપણને જણાવે છે કે તમામ અમર્યાદિત કાર્યો કેટલી ઝડપથી અનંત તરફ વળી જાય છે. મર્યાદિત મર્યાદાઓ પણ સમાન હોય તે પૂરતું નથીઃ f (x) = 1/x અને g (x) = 0 ને ધ્યાનમાં લો. મોડેલ થિયરીમાં હાર્ડી ક્ષેત્રોનો આધુનિક સિદ્ધાંત વાસ્તવિક કાર્યો સુધી મર્યાદિત નથી પરંતુ વાસ્તવિક બંધ ક્ષેત્રોને વિસ્તૃત કરતી ચોક્કસ રચનાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરેલા કાર્યો સુધી મર્યાદિત છે. ખરેખર, જો R એ ક્ષેત્રનું ઓ-મિનિમલ વિસ્તરણ હોય, તો R માં બિનઅનુભવી વ્યાખ્યાયિત વિધેયોનો સમૂહ કે જે તમામ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા ઘટકો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે H (R) દર્શાવતું હાર્ડી ક્ષેત્ર બનાવે છે. વાસ્તવિક સેટિંગમાં હાર્ડી ક્ષેત્રોના ગુણધર્મો હજુ પણ આ વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં છે. સંદર્ભ એસિમ્પ્ટોટિક વિશ્લેષણ આદર્શ સિદ્ધાંત ક્ષેત્ર (ગણિત) બીજગણિત માળખાં