Langlands–Deligne local constant
ગણિતમાં, લેંગલેન્ડ્સ-ડેલીગ્ને સ્થાનિક અચળાંક, જેને સ્થાનિક એપ્સિલોન પરિબળ અથવા સ્થાનિક આર્ટિન મૂળ સંખ્યા (s ના પ્રાથમિક વાસ્તવિક કાર્ય સુધી) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે સ્થાનિક ક્ષેત્રના વેઇલ જૂથની રજૂઆત સાથે સંકળાયેલ પ્રાથમિક કાર્ય છે. આર્ટિન એલ-ફંક્શનનું કાર્યાત્મક સમીકરણ L (ρ, s) = ε (ρ, s) L (ρ, s, 1 − s) તેમાં દેખાતા પ્રાથમિક કાર્ય ε (ρ, s) ધરાવે છે, જે આર્ટિન રુટ નંબર તરીકે ઓળખાતા અચળાંકની બરાબર છે, જે s નું પ્રાથમિક વાસ્તવિક કાર્ય છે, અને લેંગલેન્ડ્સે શોધ્યું કે ε (ρ, s) ને સ્થાનિક અચળાંકો ε (ρ, s) ના ગુણાકાર ε (ρ, s) = Πε (ρv, s, siv) તરીકે કેનોનિકલ રીતે લખી શકાય છે. સ્થાનિક અચળાંક ε (ρv, s, siv) નું ચિહ્ન સુધી અસ્તિત્વ સાબિત થયું. ઉપયોગમાં લેવાતી સ્થાનિક પદ્ધતિઓ દ્વારા સ્થાનિક સ્થિરાંકોના અસ્તિત્વનો મૂળ પુરાવો લાંબો અને જટિલ હતો, અને ક્યારેય પ્રકાશિત થયો ન હતો. પાછળથી વૈશ્વિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને એક સરળ સાબિતી મળી. ગુણધર્મો સ્થાનિક સ્થિરાંકો ε (ρ, s, siE) વેઇલ જૂથના પ્રતિનિધિત્વ ρ અને E ના એડિટિવ જૂથના અક્ષર siE ની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. તેઓ નીચેની શરતોને સંતોષે છેઃ જો ρ 1-પરિમાણીય હોય તો ε (ρ, s, siE) સ્થાનિક L-ફંક્શનના કાર્યાત્મક સમીકરણમાં સ્થિરાંકો તરીકે ટેટના થીસીસ દ્વારા તેની સાથે સંકળાયેલ સ્થિરાંકો છે. ε (ρ1 ≈ ρ2, s, siE) = ε (ρ1, s, siE) ε (ρ2, s, siE). પરિણામે, ε (ρ, s, siE) ને વર્ચ્યુઅલ રજૂઆત ρ માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો ρ એ પરિમાણ 0 ની વર્ચ્યુઅલ રજૂઆત હોય અને E માં K હોય તો ε (ρ, s, siE) = ε (IndE/Kρ, s, siK) પ્રેરિત અક્ષરો પર બ્રાઉઅરનો પ્રમેય સૂચવે છે કે આ ત્રણ ગુણધર્મો સ્થાનિક સ્થિરાંકોની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. દર્શાવ્યું કે વેઇલ જૂથની વાસ્તવિક (ઓર્થોગોનલ) રજૂઆતો માટે સ્થાનિક સ્થિરાંકો તુચ્છ છે. નોટેશનલ કન્વેન્શન સ્થાનિક સ્થિરાંકોને દર્શાવવા માટે ઘણા જુદા જુદા કન્વેન્શન છે. પરિમાણ s બિનજરૂરી છે અને તેને રજૂઆત ρ સાથે જોડી શકાય છે, કારણ કે ε (ρ, s, siE) = ε (ρ | |s, 0, siE) યોગ્ય અક્ષર માટે | |. ડીલિગ્નેમાં વધારાના પરિમાણ dx નો સમાવેશ થાય છે જેમાં સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર હાર માપની પસંદગી હોય છે. અન્ય પરંપરાઓ હાર માપની પસંદગી નક્કી કરીને આ પરિમાણને બાકાત રાખે છેઃ કાં તો હાર માપ કે જે si (લેંગલેન્ડ્સ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાય છે) ના સંદર્ભમાં સ્વ-દ્વિગુણિત છે, અથવા હાર માપ કે જે E માપ 1 ના પૂર્ણાંકો આપે છે. આ વિવિધ પરંપરાઓ પ્રાથમિક શબ્દો દ્વારા અલગ પડે છે જે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત ઝીટા અને એલ-કાર્યો વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત