Multipole radiation
બહુધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગ એ દૂરના સ્રોતોના સમય-આધારિત વિતરણોમાંથી વિદ્યુતચુંબકીય અથવા ગુરુત્વાકર્ષણીય કિરણોત્સર્ગના વર્ણન માટેનું સૈદ્ધાંતિક માળખું છે. આ સાધનો ભૌતિક ઘટના પર લાગુ કરવામાં આવે છે જે વિવિધ લંબાઈના ભીંગડા પર થાય છે-આકાશગંગાની અથડામણને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગોથી લઈને પરમાણુ ક્ષયના પરિણામે ગામા કિરણોત્સર્ગ સુધી. બહુધ્રુવીય વિકિરણનું વિશ્લેષણ સમાન બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે જે સ્થિર સ્રોતોમાંથી ક્ષેત્રોનું વર્ણન કરે છે, જો કે વિશ્લેષણની વિગતોમાં મહત્વપૂર્ણ તફાવતો છે કારણ કે બહુધ્રુવીય વિકિરણ ક્ષેત્રો સ્થિર ક્ષેત્રોથી તદ્દન અલગ રીતે વર્તે છે. આ લેખ મુખ્યત્વે વિદ્યુતચુંબકીય બહુધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગ સાથે સંબંધિત છે, જો કે ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગોની સારવાર સમાન છે. વિદ્યુતચુંબકીય કિરણોત્સર્ગ વિદ્યુતભાર અને વિદ્યુત પ્રવાહની સ્રોત પ્રણાલીની માળખાકીય વિગતો પર આધાર રાખે છે. જો માળખું અજ્ઞાત અથવા જટિલ હોય તો સીધું વિશ્લેષણ અવ્યવસ્થિત હોઈ શકે છે. બહુધ્રુવીય વિશ્લેષણ કિરણોત્સર્ગને વધતી જટિલતાની ક્ષણોમાં અલગ કરવાની રીત પ્રદાન કરે છે. વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણો કરતાં નીચલા ક્રમની ક્ષણો પર વધુ આધાર રાખે છે, તેથી વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રને માળખાને વિગતવાર જાણ્યા વિના અંદાજિત કરી શકાય છે. બહુધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગના ગુણધર્મો ક્ષણોની રેખીયતા મેક્સવેલના સમીકરણો રેખીય હોવાથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્ત્રોત વિતરણ પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. રેખીયતા વિવિધ બહુધ્રુવીય ક્ષણોના ક્ષેત્રોને સ્વતંત્ર રીતે ગણતરી કરવા અને સિસ્ટમના કુલ ક્ષેત્રને આપવા માટે એકસાથે ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે. આ સુપરપોઝિશનનો જાણીતો સિદ્ધાંત છે. બહુધ્રુવીય ક્ષણોની મૂળ અવલંબનની ગણતરી નિશ્ચિત વિસ્તરણ બિંદુના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે જેને આપેલ સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ માનવામાં આવે છે. મૂળનો અનુવાદ પ્રથમ બિન-લુપ્ત ક્ષણના અપવાદ સાથે સિસ્ટમની બહુધ્રુવીય ક્ષણોને બદલે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર્જની મોનોપોલ ક્ષણ એ સિસ્ટમમાં કુલ ચાર્જ છે. મૂળને બદલવાથી આ ક્ષણે ક્યારેય બદલાશે નહીં. જો મોનોપોલ ક્ષણ શૂન્ય હોય તો સિસ્ટમની દ્વિધ્રુવ ક્ષણ અનુવાદ અપરિવર્તનશીલ હશે. જો મોનોપોલ અને દ્વિધ્રુવ ક્ષણો બંને શૂન્ય હોય તો ચતુર્ભુજ ક્ષણો અનુવાદ અપરિવર્તનશીલ હોય છે, અને તેથી આગળ. કારણ કે ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણો મૂળની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે, તેમને પ્રણાલીના અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મો તરીકે ગણી શકાય નહીં. અંતર પર ક્ષેત્રની નિર્ભરતા બહુધ્રુવીય ક્ષણથી ક્ષેત્ર મૂળથી અંતર અને સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં મૂલ્યાંકન બિંદુની કોણીય દિશા બંને પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને, સ્થિર-ધ્રુવ સ્કેલથી વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રની રેડિયલ અવલંબન. એટલે કે, વિદ્યુત મોનોપોલ મોમેન્ટમાંથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર વ્યસ્ત અંતર વર્ગ તરીકે માપવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ એક ક્ષેત્ર બનાવે છે જે વિપરીત અંતર સમઘન તરીકે માપવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ. જેમ જેમ અંતર વધે છે તેમ તેમ ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણોના યોગદાન નીચા ક્રમની ક્ષણોના યોગદાન કરતાં ઘણું ઓછું થઈ જાય છે, તેથી ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણોને અવગણી શકાય છે. કિરણોત્સર્ગ તરંગોની રેડિયલ અવલંબન સ્થિર ક્ષેત્રોથી અલગ છે કારણ કે આ તરંગો પ્રણાલીમાંથી ઊર્જાને દૂર લઈ જાય છે. ઊર્જાનું સંરક્ષણ કરવું આવશ્યક હોવાથી, સરળ ભૌમિતિક વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે ગોળાકાર કિરણોત્સર્ગની ઊર્જા ઘનતા, ત્રિજ્યા, તરીકે માપવી આવશ્યક છે. જેમ જેમ ગોળાકાર તરંગ વિસ્તરે છે, તેમ તેમ તરંગની નિશ્ચિત ઊર્જા સપાટી વિસ્તારના વિસ્તરી રહેલા ક્ષેત્રમાં ફેલાવવી જોઈએ. તદનુસાર, દરેક સમય-આધારિત બહુધ્રુવીય ક્ષણે ક્ષણના ક્રમને ધ્યાનમાં લીધા વિના, કિરણોત્સર્ગી ઊર્જાની ઘનતામાં ફાળો આપવો આવશ્યક છે. તેથી, ઉચ્ચ ક્રમની ક્ષણોને સ્થિર કેસની જેમ સરળતાથી કાઢી શકાતી નથી. તેમ છતાં, પ્રણાલીના બહુધ્રુવીય ગુણાંક સામાન્ય રીતે વધતા ક્રમ સાથે ઘટતા જાય છે, સામાન્ય રીતે, તેથી કિરણોત્સર્ગ ક્ષેત્રોને હજુ પણ ઉચ્ચ-ક્રમની ક્ષણોને કાપીને અંદાજિત કરી શકાય છે. સમય-આધારિત વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રો સ્ત્રોતો સમય-આધારિત સ્રોત વિતરણોને ફોરિયર વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ સ્વતંત્ર રીતે અલગ આવૃત્તિઓનું વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ચાર્જ ઘનતા દ્વારા અને વર્તમાન ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે સગવડ માટે, આ બિંદુથી આગળ માત્ર એક જ કોણીય આવર્તન ω ગણવામાં આવે છે; આમ બહુવિધ આવર્તન માટેના પરિણામોને સામાન્ય બનાવવા માટે સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત લાગુ કરી શકાય છે. વેક્ટરની માત્રા બોલ્ડમાં દેખાય છે. ભૌતિક જથ્થાને રજૂ કરવા માટે જટિલ જથ્થાના વાસ્તવિક ભાગને લેવાની પ્રમાણભૂત પરંપરાનો ઉપયોગ થાય છે. પ્રાથમિક કણોની આંતરિક કોણીય ગતિ (જુઓ સ્પિન (ભૌતિકશાસ્ત્ર)) પણ કેટલીક સ્રોત સામગ્રીમાંથી વિદ્યુતચુંબકીય કિરણોત્સર્ગને અસર કરી શકે છે. આ અસરોને ધ્યાનમાં લેવા માટે, સિસ્ટમના આંતરિક ચુંબકીયકરણને ધ્યાનમાં લેવું પડશે. જોકે સરળતા માટે, આ અસરોને સામાન્યીકૃત બહુધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગની ચર્ચા માટે મોકૂફ રાખવામાં આવશે. સંભવિતતા સમય આધારિત વિદ્યુત ક્ષમતા અને ચુંબકીય ક્ષમતા અનુક્રમે φ અને A મેળવવા માટે સ્રોત વિતરણને એકીકૃત કરી શકાય છે. સૂત્રોને લોરેન્ઝ ગેજમાં એસ. આઈ. એકમોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ સૂત્રોમાં c એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે, તે ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય છે, અને તે સ્રોત બિંદુ x′ થી મૂલ્યાંકન બિંદુ x સુધીનું યુક્લિડિયન અંતર છે. જ્યાં ઉપજની ઉપર સમય-આધારિત સ્રોત વિતરણને એકીકૃત કરવું. આ સૂત્રો બહુધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગના વિશ્લેષણ માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે. નજીકના ક્ષેત્રમાં બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ નજીકના ક્ષેત્ર એ સ્રોતની આસપાસનો વિસ્તાર છે જ્યાં વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રનું અર્ધ-સ્થિર મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. જો બહુધ્રુવીય મૂળથી લક્ષ્ય અંતર કિરણોત્સર્ગ તરંગલંબાઇ કરતાં ઘણું ઓછું હોય, તો પછી. પરિણામે, આ પ્રદેશમાં ઘાતાંકનો અંદાજ આ રીતે લગાવી શકાય છેઃ ટેલર વિસ્તરણ જુઓ. આ અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, બાકીની નિર્ભરતા તે જ છે જે તે સ્થિર પ્રણાલી માટે છે, તે જ વિશ્લેષણ લાગુ પડે છે. અનિવાર્યપણે, ક્ષમતાનું મૂલ્યાંકન નજીકના ક્ષેત્રમાં આપેલ ક્ષણે સિસ્ટમનો સ્નેપશોટ લઈને અને તેને સ્થિર ગણાવીને કરી શકાય છે-તેથી તેને અર્ધ-સ્થિર કહેવામાં આવે છે. નજીકના અને દૂરના ક્ષેત્ર અને બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ જુઓ. ખાસ કરીને, વિપરીત અંતરને ગોળાકાર હાર્મોનિક્સનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે જે ગોળાકાર બહુધ્રુવીય ગુણાંક મેળવવા માટે અલગથી સંકલિત થાય છે. દૂરના ક્ષેત્રમાં બહુધ્રુવીય વિસ્તરણઃ બહુધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગ ઉચ્ચ આવર્તન સ્ત્રોતથી મોટા અંતર પર, નીચેના અંદાજો ધરાવે છેઃ મોટા અંતર પર માત્ર પ્રથમ ક્રમની સંજ્ઞા નોંધપાત્ર હોવાથી, વિસ્તરણની દરેક શક્તિ અલગ બહુધ્રુવીય ક્ષણને અનુરૂપ હોય છે. પ્રથમ થોડી ક્ષણો સીધી નીચે મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. વિદ્યુત મોનોપોલ કિરણોત્સર્ગ, બિનઅસ્તિત્વ શૂન્ય ક્રમ શબ્દ, સ્કેલર પોટેન્શિયલ પર લાગુ થાય છે, જ્યાં કુલ ચાર્જ આવર્તન પર દોલન કરતી વિદ્યુત મોનોપોલ ક્ષણ હોય છે. ચાર્જનું સંરક્ષણ જરૂરી છે કારણ કે જો સિસ્ટમ બંધ હોય તો કુલ ચાર્જમાં વધઘટ થઈ શકતી નથી, જેનો અર્થ છે કે ઓસિલેશન એમ્પ્લિટ્યુડ q શૂન્ય હોવો જોઈએ. એટલે, તા. અનુરૂપ ક્ષેત્રો અને કિરણોત્સર્ગી શક્તિ પણ શૂન્ય હોવી જોઈએ. વિદ્યુત દ્વિધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવીય સંભવિત વિદ્યુત દ્વિધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગ વેક્ટર ક્ષમતા પર શૂન્ય ક્રમ શબ્દ લાગુ કરીને મેળવી શકાય છે. ભાગોની ઉપજ અને ચાર્જ સાતત્ય સમીકરણ દ્વારા એકીકરણ દર્શાવે છે કે તે અનુસરે છે કે સ્કેલર પોટેન્શિયલ પર પ્રથમ ક્રમની મુદત લાગુ કરીને સમાન પરિણામો મેળવી શકાય છે. સિસ્ટમના વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણનું કંપનવિસ્તાર છે, જે સંભવિતને વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષેત્રો તરીકે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે એકવાર સમય-આધારિત સંભવિતને સમજી લેવામાં આવે, તો સમય-આધારિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી સામાન્ય રીતે કરી શકાય છે. એટલે કે, અથવા, અવકાશના સ્રોત-મુક્ત પ્રદેશમાં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ મુક્ત જગ્યાનો અવરોધ ક્યાં છે તે મેળવવા માટે કરી શકાય છે. ઉપરની ક્ષમતાને અનુરૂપ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ગોળાકાર કિરણોત્સર્ગ તરંગો સાથે સુસંગત છે. શુદ્ધ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ શક્તિ પાવર ઘનતા, એકમ સમય દીઠ એકમ વિસ્તાર દીઠ ઊર્જા, પોઇન્ટિંગ વેક્ટર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તે અનુસરે છે કે એકમ ઘન ખૂણા દીઠ સમયની સરેરાશ શક્તિ ઘનતા ઉત્સર્જનની તીવ્રતાના અર્ક સાથે બિંદુ ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે અને 1/2 નું પરિબળ સમય જતાં સરેરાશથી આવે છે. ઉપર સમજાવ્યા મુજબ, તે કિરણોત્સર્ગ ઊર્જા ઘનતાની રેડિયલ અવલંબનને રદ કરે છે. શુદ્ધ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવનો ઉપયોગ આપે છે કે જ્યાં θ ને તેના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે. ગોળા પર એકીકરણથી વિકિરિત કુલ શક્તિ પ્રાપ્ત થાય છેઃ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય વિકિરણ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય ક્ષમતા પ્રથમ ક્રમની સંજ્ઞા, જે વેક્ટર ક્ષમતા પર લાગુ થાય છે તે ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય વિકિરણ અને વિદ્યુત ચતુર્ભુજ વિકિરણ આપે છે. ઇન્ટિગ્રેન્ડને J અને x′ માં સપ્રમાણ અને પ્રતિસમ ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. બીજા પદમાં વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે અસરકારક ચુંબકત્વ હોય છે અને એકીકરણ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણ આપે છે. નોંધ લો કે જેનું સ્વરૂપ આના જેવું જ છે. તેનો અર્થ એ કે ચુંબકીય દ્વિધ્રુવમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુત દ્વિધ્રુવમાંથી વિદ્યુત ક્ષેત્રની જેમ વર્તે છે. તેવી જ રીતે, ચુંબકીય દ્વિધ્રુવમાંથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર વિદ્યુત દ્વિધ્રુવમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્રની જેમ વર્તે છે. અગાઉના પરિણામો પર પરિવર્તન લેવાથી ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય પરિણામો મળે છે. ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષેત્ર શુદ્ધ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ શક્તિ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ દ્વારા એકમ ઘન ખૂણા દીઠ ફેલાતી સરેરાશ શક્તિ છે જ્યાં θ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે. કુલ વિકિરિત શક્તિ છેઃ વિદ્યુત ચતુર્ભુજ કિરણોત્સર્ગ વિદ્યુત ચતુર્ભુજ સંભવિત અગાઉના વિભાગમાંથી સંકલનના સપ્રમાણ ભાગને ભાગો દ્વારા એકીકરણ અને વિદ્યુત દ્વિધ્રુવીય કિરણોત્સર્ગ માટે કરવામાં આવ્યું હતું તેમ ચાર્જ સાતત્ય સમીકરણ લાગુ કરીને ઉકેલી શકાય છે. આ ટ્રેસલેસ ઇલેક્ટ્રિક ક્વાડ્રુપોલ મોમેન્ટ ટેન્સરને અનુરૂપ છે. સામાન્ય વેક્ટર સાથે બીજા અનુક્રમણિકાને સંકોચન કરવાથી વેક્ટર પોટેન્શિયલને વિદ્યુત ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રો તરીકે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી મળે છે પરિણામી ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રો છેઃ શુદ્ધ વિદ્યુત ચતુર્ભુજ શક્તિ વિદ્યુત ચતુર્ભુજ દ્વારા એકમ ઘન ખૂણા દીઠ વિકિરિત સરેરાશ શક્તિ જ્યાં θ ચુંબકીય દ્વિધ્રુવના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે. જેમ જેમ સ્રોત વિતરણની બહુધ્રુવીય ક્ષણ વધે છે તેમ તેમ અત્યાર સુધી કાર્યરત સીધી ગણતરીઓ ચાલુ રાખવા માટે ખૂબ જ બોજારૂપ બની જાય છે. ઉચ્ચ ક્ષણોના વિશ્લેષણ માટે વધુ સામાન્ય સૈદ્ધાંતિક તંત્રની જરૂર પડે છે. પહેલાની જેમ જ, એક જ સ્રોત આવર્તન ગણવામાં આવે છે. તેથી ચાર્જ, કરંટ અને આંતરિક ચુંબકત્વની ઘનતા અનુક્રમે આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. પરિણામી વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સ્રોતોની જેમ જ સમય-નિર્ભરતાને વહેંચે છે. આ વ્યાખ્યાઓ અને સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરવાથી મેક્સવેલના સમીકરણોને આ રીતે લખી શકાય છે. આ સમીકરણોને છેલ્લા સમીકરણોના વળાંક લઈને અને ઓળખને લાગુ કરીને જોડી શકાય છે. આ બિન-સજાતીય હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણના વાહક સ્વરૂપો આપે છે. તરંગ સમીકરણના ઉકેલો સ્રોત-મુક્ત પ્રદેશમાં આવર્તન સાથે વિદ્યુતચુંબકીય કિરણોત્સર્ગનું વર્ણન કરતા સજાતીય તરંગ સમીકરણો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે. તરંગ કાર્યને વેક્ટર ગોળાકાર હાર્મોનિક્સના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં સામાન્ય વેક્ટર ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ છે અને ગોળાકાર હેન્કેલ કાર્યો છે. ગોળાકાર બેસલ કાર્યો જુઓ. વિભેદક પ્રચાલક એ ગુણધર્મ સાથે કોણીય વેગ પ્રચાલક છે. ગુણાંક અને અનુક્રમે વિસ્તરતા અને સંકોચાયેલા તરંગોને અનુરૂપ છે. તેથી રેડિયેશન માટે. અન્ય ગુણાંક નક્કી કરવા માટે, તરંગ સમીકરણ માટે ગ્રીનનું કાર્ય લાગુ કરવામાં આવે છે. જો સ્રોત સમીકરણ હોય તો ઉકેલ છેઃ ગ્રીન ફંક્શનને વેક્ટર ગોળાકાર હાર્મોનિક્સમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. નોંધ લો કે તે એક વિભેદક ઓપરેટર છે જે સ્રોત કાર્ય પર કાર્ય કરે છે. આમ, તરંગ સમીકરણનો ઉકેલ છેઃ વિદ્યુત બહુધ્રુવીય ક્ષેત્રો વિદ્યુત બહુધ્રુવીય તરંગ સમીકરણ માટે ઉપરોક્ત ઉકેલ લાગુ કરવાથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે ઉકેલ મળે છેઃ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છેઃ સૂત્રને સંકલનમાં ઓળખને લાગુ કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, જે ગ્રીન્સ થીયરમમાં પરિણમે છે અને ભાગો દ્વારા એકીકરણ સૂત્રને હેરફેર કરે છે. માત્ર સૌથી નીચા ક્રમની શરતોને જાળવી રાખવાથી વિદ્યુત બહુધ્રુવ ગુણાંક માટે સરળ સ્વરૂપમાં પરિણમે છેઃ જો તે સ્થિર ચાર્જ વિતરણ પર લાગુ કરવામાં આવે તો તે સ્થિર કિસ્સામાં વિદ્યુત બહુધ્રુવ ક્ષણ જેવું જ હોય છે, જ્યારે તે સ્રોત સામગ્રીના આંતરિક ચુંબકત્વમાંથી પ્રેરિત વિદ્યુત બહુધ્રુવ ક્ષણને અનુરૂપ હોય છે. ચુંબકીય બહુધ્રુવીય ક્ષેત્રો ચુંબકીય બહુધ્રુવીય તરંગ સમીકરણ માટે ઉપરોક્ત ઉકેલ લાગુ કરવાથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે ઉકેલ મળે છેઃ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છેઃ પહેલાની જેમ, ફોરમુલા આ પ્રમાણે સરળ બનાવે છેઃ માત્ર સૌથી નીચા ક્રમની શરતોને જાળવી રાખવાથી ચુંબકીય બહુધ્રુવીય ગુણાંક માટે સરળ સ્વરૂપમાં પરિણમે છેઃ અસરકારક ચુંબકત્વમાંથી ચુંબકીય બહુધ્રુવીય ક્ષણ છે જ્યારે આંતરિક ચુંબકત્વને અનુરૂપ છે. સામાન્ય ઉકેલ વિદ્યુત અને ચુંબકીય બહુધ્રુવ ક્ષેત્રો કુલ ક્ષેત્રો આપવા માટે ભેગા થાય છેઃ નોંધ લો કે રેડિયલ કાર્યને દૂરના ક્ષેત્રની મર્યાદામાં સરળ બનાવી શકાય છે. આમ કિરણોત્સર્ગની રેડિયલ અવલંબન પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ વેક્ટર ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ નજીકના અને દૂરના ક્ષેત્રના ચતુર્ભુજ સૂત્ર સંદર્ભો વિદ્યુતચુંબકીય કિરણોત્સર્ગ પણ જુઓ.