Kolmogorov–Zurbenko filter
આંકડાની અંદર, કોલ્મોગોરોવ-ઝુર્બેન્કો (કેઝેડ) ફિલ્ટરની દરખાસ્ત સૌપ્રથમ એ. એન. કોલ્મોગોરોવ દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને ઔપચારિક રીતે ઝુર્બેન્કો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી. તે m લંબાઈના ગતિશીલ સરેરાશ ફિલ્ટરના પુનરાવર્તનની શ્રેણી છે, જ્યાં m એ હકારાત્મક, વિષમ પૂર્ણાંક છે. કેઝેડ ફિલ્ટર લો-પાસ ફિલ્ટરના વર્ગને અનુસરે છે. કેઝેડ ફિલ્ટરમાં બે પરિમાણો છે, મૂવિંગ એવરેજ વિન્ડોની લંબાઈ m અને મૂવિંગ એવરેજના પુનરાવર્તન k ની સંખ્યા. તેને સ્પેક્ટ્રલ લિકેજને દૂર કરવા માટે રચાયેલ વિશેષ વિન્ડો ફંક્શન તરીકે પણ ગણી શકાય. પૃષ્ઠભૂમિ એ. એન. કોલ્મોગોરોવને પ્રશાંત મહાસાગરમાં અશાંતિના અભ્યાસ દરમિયાન કેઝેડ ફિલ્ટર માટે મૂળ વિચાર હતો. કોલ્મોગોરોવને તોફાનના ઉર્જા વર્ણપટમાં તેમના 5/3 ના નિયમ માટે હમણાં જ આંતરરાષ્ટ્રીય બાલ્ઝાન પુરસ્કાર મળ્યો હતો. આશ્ચર્યજનક રીતે પ્રશાંત મહાસાગરમાં 5/3 કાયદાનું પાલન કરવામાં આવ્યું ન હતું, જે ખૂબ જ ચિંતાનો વિષય હતો. સ્ટાન્ડર્ડ ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (એફ. એફ. ટી.) ઘોંઘાટીયા અને બિન-સ્થિર દરિયાઈ વાતાવરણ દ્વારા સંપૂર્ણપણે મૂર્ખ બનાવવામાં આવ્યું હતું. કેઝેડ ગાળણક્રિયાએ સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું અને તે ક્ષેત્રમાં કોલ્મોગોરોવના કાયદાનો પુરાવો સક્ષમ કર્યો. ફિલ્ટરનું બાંધકામ સતત ફોરિયર પરિવર્તનની મુખ્ય વિભાવનાઓ અને તેમના અલગ એનાલોગ પર આધારિત હતું. કેઝેડ ફિલ્ટરનું અલ્ગોરિધમ ઉચ્ચ-ક્રમના તફાવતો તરીકે અલગ કાર્યો માટે ઉચ્ચ-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝની વ્યાખ્યામાંથી આવ્યું છે. ગૌસીયન વિંડોમાં અનંત સરળતા એ ખરેખર અલગ વિશ્વનો એક સુંદર પરંતુ અવાસ્તવિક અંદાજ હોવાનું માનતા, કોલ્મોગોરોવે મર્યાદિત આધાર સાથે મર્યાદિત રીતે અલગ પાડી શકાય તેવી ટેપરિંગ વિંડો પસંદ કરી, અને અલગ કેસ માટે આ ગાણિતિક રચના બનાવી. કેઝેડ ફિલ્ટર મજબૂત અને લગભગ શ્રેષ્ઠ છે. કારણ કે તેની કામગીરી એક સરળ મૂવિંગ એવરેજ (એમએ) છે, કેઝેડ ફિલ્ટર ગુમ થયેલ ડેટા વાતાવરણમાં સારું પ્રદર્શન કરે છે, ખાસ કરીને બહુ-પરિમાણીય સમય શ્રેણીમાં જ્યાં અવકાશી વિરલતાથી ગુમ થયેલ ડેટા સમસ્યા ઊભી થાય છે. કેઝેડ ફિલ્ટરનું બીજું સરસ લક્ષણ એ છે કે બે પરિમાણો સ્પષ્ટ અર્થઘટન ધરાવે છે જેથી તેને વિવિધ ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો દ્વારા સરળતાથી અપનાવી શકાય. લોકપ્રિય આંકડાકીય સોફ્ટવેર આરમાં સમય શ્રેણી, સમાંતર અને અવકાશી માહિતી માટે કેટલાક સોફ્ટવેર પેકેજો વિકસાવવામાં આવ્યા છે, જે કેઝેડ ફિલ્ટર અને તેના વિસ્તરણોનો વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ કરવાની સુવિધા આપે છે. યુસી બર્કલે ખાતે જેર્ઝી નેયમેન અને એલિઝાબેથ સ્કોટ સાથે પોસ્ટડૉક્ટરલ હોદ્દાએ મુર્રે રોસેનબ્લેટ, રોબર્ટ શુમવે, હેરાલ્ડ ક્રેમર, ડેવિડ બ્રિલિંગર, હર્બર્ટ રોબિન્સ, વિલ્ફ્રિડ ડિક્સન, ઇમેન્યુઅલ પાર્ઝન સાથેના સંપર્કોમાં સમર્થિત એપ્લિકેશનોના ઘણા વિચારો પૂરા પાડ્યા હતા. વ્યાખ્યા KZ ફિલ્ટર ચાલો વાસ્તવિક મૂલ્યની સમય શ્રેણી હોઈએ, પરિમાણો સાથેનું KZ ફિલ્ટર અને તેને સમીકરણમાંથી મેળવેલા બહુપદી ગુણાંક દ્વારા ગુણાંક આપવામાં આવે છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે પુનરાવર્તનો દ્વારા મેળવી શકાય છે. પ્રથમ પુનરાવર્તન પ્રક્રિયા પર એમ. એ. ફિલ્ટર લાગુ કરવાનું છે બીજું પુનરાવર્તન પ્રથમ પુનરાવર્તનના પરિણામ પર એમ. એ. ઓપરેશન લાગુ કરવાનું છે, સામાન્ય રીતે kth પુનરાવર્તન એ (k−1) મા પુનરાવર્તન માટે એમ. એ. ફિલ્ટરનો ઉપયોગ છે. એમ. એ. ની સરળ કામગીરીની પુનરાવર્તન પ્રક્રિયા ગણતરીની દ્રષ્ટિએ ખૂબ જ અનુકૂળ છે. ગુણધર્મો ગાળકોના ઉત્પાદનનું આવેગ પ્રતિભાવ કાર્ય એ આવેગ પ્રતિસાદોનું સંકલન છે. કેઝેડ ફિલ્ટરના ગુણાંકને, જ્યાં m એક વિષમ પૂર્ણાંક છે તે અંતરાલ પર k સમાન સ્વતંત્ર વિતરણોના કોન્વોલ્યુશન દ્વારા મેળવેલા વિતરણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. તેથી, ગુણાંક એક ટેપરિંગ વિન્ડો બનાવે છે જે મર્યાદિત આધાર ધરાવે છે. કેઝેડ ફિલ્ટરનું મુખ્ય વજન લંબાઈ પર કેન્દ્રિત હોય છે અને વજન બહારથી શૂન્ય થઈ જાય છે. કેઝેડ ફિલ્ટરના આવેગ પ્રતિભાવ કાર્યમાં સતત વ્યુત્પન્ન હોય છે અને તે એસિમ્પ્ટોટિકલી ગૌસીયન વિતરિત હોય છે. ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ ફંક્શન માટે ધાર પર શૂન્ય ડેરિવેટિવ્ઝ તેમાંથી તીવ્ર ઘટાડો કાર્ય બનાવે છે, જે ઉચ્ચ આવર્તન રીઝોલ્યુશનમાં ઉકેલાઈ રહ્યું છે. કેઝેડ ફિલ્ટરનું એનર્જી ટ્રાન્સફર ફંક્શન એ છે કે તે એમ. એ. ફિલ્ટરની સરખામણીમાં કટ-ઓફ ફ્રિક્વન્સી સાથે લો-પાસ ફિલ્ટર છે, કેઝેડ ફિલ્ટર કટઓફ ફ્રિક્વન્સીથી ઉપરના ફ્રિક્વન્સી ઘટકોને ઘટાડવાની દ્રષ્ટિએ ઘણું સારું પ્રદર્શન કરે છે. કેઝેડ ફિલ્ટર અનિવાર્યપણે પુનરાવર્તિત એમ. એ. ફિલ્ટર છે. તેની ગણતરી કરવી સરળ છે અને ગુમ થયેલ માહિતીનો સામનો કરવા માટે સીધી રીતની મંજૂરી આપે છે. આ પ્રક્રિયાનો મુખ્ય ભાગ અંતરાલમાં ગુમ થયેલા અવલોકનોની અવગણના કરીને m બિંદુઓના અંતરાલમાં ઉપલબ્ધ માહિતીની સરળ સરેરાશ છે. આ જ વિચાર સરળતાથી અવકાશી માહિતી વિશ્લેષણ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ગુમ થયેલ મૂલ્યો KZ ફિલ્ટરના ટ્રાન્સફર ફંક્શન પર બહુ ઓછી અસર કરે છે. આર્બિટ્રરી k આ ટ્રાન્સફર ફંક્શનની k પાવર પ્રદાન કરશે અને સાઇડ લોબ મૂલ્યને ઘટાડશે. તે એક સંપૂર્ણ લો પાસ ફિલ્ટર હશે. વ્યવહારુ હેતુઓ માટે 3 થી 5 ની શ્રેણીમાં k ની પસંદગી સામાન્ય રીતે પૂરતી હોય છે, જ્યારે નિયમિત MA (k = 1) લગભગ 5 ટકાનું મજબૂત વર્ણપટ લિકેજ પ્રદાન કરે છે. શ્રેષ્ઠતા કેઝેડ ફિલ્ટર મજબૂત અને લગભગ શ્રેષ્ઠ છે. કારણ કે તેની કામગીરી એક સરળ મૂવિંગ એવરેજ છે, કેઝેડ ફિલ્ટર ગુમ થયેલ ડેટા વાતાવરણમાં સારું પ્રદર્શન કરે છે, ખાસ કરીને બહુ-પરિમાણીય સમય અને જગ્યામાં જ્યાં ગુમ થયેલ ડેટા અવકાશી વિરલતાથી ઊભી થતી સમસ્યાઓનું કારણ બની શકે છે. કેઝેડ ફિલ્ટરની અન્ય એક સરસ વિશેષતા એ છે કે બે પરિમાણોમાં દરેક સ્પષ્ટ અર્થઘટન ધરાવે છે જેથી તેને વિવિધ ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો દ્વારા સરળતાથી અપનાવી શકાય. સમય શ્રેણી, સમાંતર અને અવકાશી માહિતી માટે સોફ્ટવેર અમલીકરણ લોકપ્રિય આંકડાકીય પેકેજ આરમાં વિકસાવવામાં આવ્યા છે, જે કેઝેડ ફિલ્ટર અને તેના વિસ્તરણોનો વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ કરવાની સુવિધા આપે છે. કેઝેડ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ પિરિઓડોગ્રામને સરળ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના વર્ગ માટે, ઝુર્બેન્કોએ સૌથી ખરાબ સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધી જ્યાં પ્રક્રિયા વિશે ઉપલબ્ધ એકમાત્ર માહિતી તેની વર્ણપટ ઘનતા અને હેલ્ડર સ્થિતિ દ્વારા પ્રમાણિત સરળતા છે. તેમણે સ્પેક્ટ્રલ વિંડોની શ્રેષ્ઠ બેન્ડવિડ્થ મેળવી, જે સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટીની અંતર્ગત સરળતા પર આધારિત છે. ઝુર્બેન્કોએ કોલ્મોગોરોવ-ઝુર્બેન્કો (કેઝેડ) વિન્ડોની કામગીરીની સરખામણી બાર્ટલેટ વિન્ડો, પારઝન વિન્ડો, ટુકી-હેમિંગ વિન્ડો અને યુનિફોર્મ વિન્ડો સહિત અન્ય સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી સ્પેક્ટ્રલ વિન્ડો સાથે કરી હતી અને દર્શાવ્યું હતું કે કેઝેડ વિન્ડોનું પરિણામ મહત્તમની સૌથી નજીક છે. એક અમૂર્ત સ્વતંત્ર રચના તરીકે વિકસિત, કેઝેડ ગાળણ મજબૂત અને આંકડાકીય રીતે લગભગ શ્રેષ્ઠ છે. તે જ સમયે, તેના કુદરતી સ્વરૂપને કારણે, તેમાં ગણતરીના ફાયદા છે, જે 90 ટકા જેટલા અવલોકનો ગુમ થયેલ ડેટા સાથે જગ્યા/સમયની સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને જે વિવિધ ભૌતિક ઘટનાઓના અવ્યવસ્થિત સંયોજનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઘણીવાર "વણઉકેલાયેલી" સમસ્યાઓ માટે સ્પષ્ટ જવાબો મળી શકે છે. કેટલાક ગાણિતિક વિકાસથી વિપરીત, કેઝેડ વિવિધ ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો દ્વારા અનુકૂળ છે કારણ કે તેની પાછળ સ્પષ્ટ ભૌતિક અર્થઘટન છે. કેઝેડ ફિલ્ટરના વિસ્તરણમાં કેઝેડ અનુકૂલનશીલ (કેઝેડએ) ફિલ્ટર, અવકાશી કેઝેડ ફિલ્ટર અને કેઝેડ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (કેઝેડએફટી) નો સમાવેશ થાય છે. યાંગ અને ઝુર્બેન્કોએ કેઝેડ ફિલ્ટર અને તેના વિસ્તરણની વિગતવાર સમીક્ષા પૂરી પાડી. આર પેકેજો કેઝેડ ગાળણને અમલમાં મૂકવા માટે પણ ઉપલબ્ધ છે કેઝેડએફટી કેઝેડએફટી ફિલ્ટર સામયિક સંકેતો અથવા ભારે ઘોંઘાટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલી મોસમીતાના પુનર્નિર્માણ માટે રચાયેલ છે. મોસમીતા એ બિનસ્થિરતાના મુખ્ય સ્વરૂપોમાંનું એક છે જે ઘણીવાર સમય શ્રેણીમાં જોવા મળે છે. તેને સામાન્ય રીતે સમય શ્રેણીની અંદર સામયિક ઘટકો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મોસમી સાથે સમય શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરવા માટે વર્ણપટ વિશ્લેષણ એ એક શક્તિશાળી સાધન છે. જો કોઈ પ્રક્રિયા સ્થિર હોય, તો તેનું વર્ણપટ પણ સતત સ્વરૂપ છે. આગાહીની સરળતા માટે તેની પેરામેટ્રિક રીતે સારવાર કરી શકાય છે. જો વર્ણપટમાં રેખાઓ હોય, તો તે સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા સ્થિર નથી અને તેમાં સામયિકતાઓ છે. આ પરિસ્થિતિમાં, પેરામેટ્રિક ફિટિંગ સામાન્ય રીતે ઓછી ઊર્જા સાથે મોસમી અવશેષોમાં પરિણમે છે. આ ઋતુથી ઋતુની વિવિધતાને કારણે છે. આ સમસ્યાને ટાળવા માટે, બેન્ડ પાસ ગાળકો સહિત બિન-પેરામેટ્રિક અભિગમોની ભલામણ કરવામાં આવે છે. કોલ્મોગોરોવ-ઝુર્બેન્કો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (કેઝેડએફટી) એ આવા ગાળકોમાંનું એક છે. ઘણી એપ્લિકેશન્સનો હેતુ ઘોંઘાટીયા વાતાવરણમાંથી ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન વેવલેટનું પુનઃનિર્માણ કરવાનો છે. તે સાબિત થયું હતું કે કેઝેડએફટી સ્પેક્ટ્રલ ડોમેનમાં શ્રેષ્ઠ શક્ય રીઝોલ્યુશન પ્રદાન કરે છે. તે સૈદ્ધાંતિક રીતે સૌથી નાના અંતરની ધાર પર બે સંકેતોને અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, અથવા ભારે ઘોંઘાટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા અને સમયસર અનિયમિત રીતે અવલોકન કરવામાં આવતા સામયિક સંકેતોની પુનઃરચના કરે છે. આ કારણે, કેઝેડએફટી વિવિધ કાર્યક્રમો માટે એક અનોખી તક પૂરી પાડે છે. આર સોફ્ટવેરમાં કેઝેડએફટીને અમલમાં મૂકવા માટે કમ્પ્યુટર અલ્ગોરિધમ આપવામાં આવ્યું છે. કેઝેડએફટી અનિવાર્યપણે એક બેન્ડ પાસ ફિલ્ટર છે જે એક અનન્ય સમય વિંડો સાથે ટૂંકા ગાળાના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (એસટીએફટી) ની શ્રેણીમાં આવે છે. કેઝેડએફટી કમ્પ્યુટર રેન્ડમ નંબર જનરેટરના પરિણામે સફેદ ઘોંઘાટની સતત વર્ણપટ ઘનતાથી નાના વિચલનોને સહેલાઈથી શોધી કાઢે છે. આવા કોમ્પ્યુટર રેન્ડમ નંબર પેઢીઓ લાંબા ગાળે અનુમાનિત બની જાય છે. કોલ્મોગોરોવ જટિલતા યાદૃચ્છિક સંખ્યાઓના અણધારી ક્રમ પેદા કરવાની તક પૂરી પાડે છે. ઔપચારિક રીતે, આપણી પાસે એક પ્રક્રિયા છે, m અને k પરિમાણો સાથેનું KZFT ફિલ્ટર, આવર્તન ν0 પર ગણતરી કરીને, આઉટપુટ પ્રક્રિયા ઉત્પન્ન કરે છે, જેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ,,., અને બહુપદી ગુણાંક આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે ફિલ્ટર પ્રક્રિયામાં ફિલ્ટરના ઉપયોગની સમકક્ષ છે. તેવી જ રીતે, કેઝેડએફટી ફિલ્ટર કેઝેડ ફિલ્ટરની જેમ પુનરાવર્તન દ્વારા મેળવી શકાય છે. S સમયગાળામાં KZFTના વર્ગની સરેરાશ ક્ષણ t ની આસપાસના 2Sρ0 અવલોકનોના આધારે આવર્તન ν0 અથવા KZ પિરિઓડોગ્રામ (KZP) પર તરંગના વર્ગ કંપનવિસ્તારનો અંદાજ પ્રદાન કરશેઃ KZFTનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય આકૃતિ 2માં આપવામાં આવ્યું છે, જેમાં બેન્ડવિડ્થ દ્વારા મર્યાદિત સાથે ખૂબ જ તીવ્ર આવર્તન રીઝોલ્યુશન છે. જટિલ-મૂલ્યવાન પ્રક્રિયા માટે, પરિણામ બદલાતું નથી. વાસ્તવિક મૂલ્યની પ્રક્રિયા માટે, તે વાસ્તવિક અને જટિલ ક્ષેત્રોમાં ઊર્જાનું સમાનરૂપે વિતરણ કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાન આવર્તન ν0 પર કોસાઇન અથવા સાઇન તરંગનું પુનઃનિર્માણ કરે છે. તે અનુસરે છે કે આવર્તન ν0 સાથે અજ્ઞાત તરંગના કંપનવિસ્તાર અને તબક્કાને યોગ્ય રીતે પુનઃનિર્માણ કરે છે. નીચેની આકૃતિ કેઝેડએફટી ગાળણનું પાવર ટ્રાન્સફર કાર્ય પ્રદાન કરે છે. તે સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે તે વ્યાજ ν0 = 0.40 ની આવર્તનને સંપૂર્ણ રીતે કબજે કરે છે અને વ્યવહારીક રીતે સાઇડ લોબ્સમાંથી કોઈ સ્પેક્ટ્રલ લિકેજ પ્રદાન કરતું નથી જે ગાળણના પરિમાણ k દ્વારા નિયંત્રિત કરે છે. વ્યવહારુ હેતુઓ માટે 3 થી 5 ની શ્રેણીમાં k ની પસંદગી સામાન્ય રીતે પૂરતી હોય છે, જ્યારે નિયમિત FFT (k = 1) લગભગ 5 ટકાનું મજબૂત લિકેજ પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણોઃ સિમ્યુલેટેડ સિગ્નલ નોર્મલ રેન્ડમ નોઇઝ N (0,16) નો ઉપયોગ ગુમ થયેલ મૂલ્યો સાથે ડેટાસેટ્સના સ્પેક્ટ્રાને ચોક્કસપણે નિર્ધારિત કરવાની KZFT અલ્ગોરિધમની ક્ષમતાને ચકાસવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. વ્યવહારુ વિચારણાઓ માટે, ગુમ થયેલ મૂલ્યોની ટકાવારીનો ઉપયોગ પી = 70 ટકા પર કરવામાં આવ્યો હતો તે નક્કી કરવા માટે કે શું સ્પેક્ટ્રમ પ્રબળ આવર્તનને પકડવાનું ચાલુ રાખી શકે છે. m = 600 અને k = 3 પુનરાવર્તનોની વિશાળ વિંડો લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને, સિમ્યુલેટેડ રેખાંશ ડેટાસેટ માટે સ્પેક્ટ્રમ નક્કી કરવા માટે અનુકૂલનશીલ રીતે સરળ KZP અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આકૃતિ 3 માં સ્પષ્ટ છે કે એકમ સમય દીઠ 0.08 અને 0.10 ચક્રની પ્રબળ આવૃત્તિઓ સંકેતની અંતર્ગત આવૃત્તિઓ તરીકે ઓળખી શકાય છે. લંબચોરસ અવલોકનોના ઊંચા ઘોંઘાટમાં જડિત મૂળ સંકેતનું કેઝેડએફટી પુનર્નિર્માણ (ગુમ થયેલ દર 60 ટકા) આર-સોફ્ટવેરના કેઝેડએ પેકેજમાં કેઝેડએફટી ફિલ્ટરમાં એફ = આવર્તન પરિમાણ છે. સ્પેક્ટ્રમમાં જોવા મળતી દરેક જાણીતી પ્રબળ આવર્તન માટે આ પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરીને, દરેક આવર્તન (એકમ સમય દીઠ 0.08 અને 0.10 ચક્ર) વિશે સંકેતનું પુનઃનિર્માણ કરવા માટે m = 300 અને k = 3 પરિમાણો સાથે KZFT ફિલ્ટર કરો. પુનઃનિર્મિત સંકેત કેઝેડએફટી ફિલ્ટરને બે વાર (દરેક પ્રબળ આવર્તન વિશે એકવાર) લાગુ કરીને અને પછી દરેક ફિલ્ટરના પરિણામોનો સરવાળો કરીને નક્કી કરવામાં આવ્યો હતો. સાચા સંકેત અને પુનઃનિર્મિત સંકેત વચ્ચેનો સહસંબંધ 96.4% હતો; જે આકૃતિ 4માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. મૂળ અવલોકનો જટિલ, છુપાયેલા સમયાંતરે કોઈ અનુમાન પ્રદાન કરતા નથી, જે અલ્ગોરિધમ દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે પુનઃનિર્માણ કરવામાં આવ્યું હતું. કાચા ડેટામાં વારંવાર છુપાયેલી આવૃત્તિઓ હોય છે. થોડા નિશ્ચિત આવર્તન તરંગોનું સંયોજન સંકેતોના મિશ્રણની ઓળખને જટિલ બનાવી શકે છે, પરંતુ હજુ પણ સમય જતાં અનુમાનિત રહે છે. પ્રકાશનો દર્શાવે છે કે વાતાવરણીય દબાણમાં ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સૂર્યના દૈનિક સમયગાળાના પરિણામે છુપાયેલા સમયાંતરો છે. વાતાવરણીય ભરતીના મોજાઓના આ સામયિક સંકેતોના પુનર્નિર્માણથી ભારે હવામાનમાં હાજર ઘણી વિસંગતતાઓની સમજૂતી અને આગાહી કરવામાં આવે છે. ગ્રહોના ગુરુત્વાકર્ષણ બળના પરિણામે સૂર્ય પર સમાન ભરતીના મોજાઓ અસ્તિત્વમાં હોવા જોઈએ. તેની અક્ષોની આસપાસ સૂર્યનું પરિભ્રમણ પૃથ્વી પરના વિષુવવૃત્તીય પ્રવાહની જેમ જ પ્રવાહનું કારણ બનશે. પ્રવાહની આસપાસની વિક્ષેપો અથવા ધાર સૂર્યની સપાટી પર વિસંગતતાઓનું કારણ બનશે. અત્યંત ચુંબકીય પ્લાઝ્મામાં આડી પરિભ્રમણ ધાર ઊભી વિસ્ફોટ બનાવશે જે સૂર્યની સપાટીની ઉપર ઊંડા, ગરમ પ્લાઝમાને પરિવહન કરશે. દરેક ગ્રહ સૂર્ય પર ચોક્કસ આવર્તન સાથે ભરતીનું મોજું બનાવે છે. કેટલીકવાર કોઈપણ બે તરંગો તબક્કામાં આવશે અને અન્ય સમયે તબક્કાની બહાર હશે. પરિણામી કંપનવિસ્તાર તફાવત આવર્તન સાથે દોલન કરશે. ડીઝેડ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સનસ્પોટ ડેટાના વર્ણપટનો અંદાજ 9.9 અને 11.7 વર્ષની નજીકની આવર્તન સાથે બે તીક્ષ્ણ આવર્તન રેખાઓ પ્રદાન કરે છે. આ આવર્તન રેખાઓને ગુરુ અને શનિ (9.9) અને શુક્ર અને પૃથ્વી (11.7) દ્વારા થતી તફાવત આવૃત્તિઓ તરીકે ગણી શકાય. 9. 9 અને 11.7 વચ્ચેનો તફાવત આવર્તન 64 વર્ષના સમયગાળા સાથે આવર્તન આપે છે. આ તમામ સમયગાળાને સનસ્પોટ ડેટામાં ઓળખી શકાય છે. 64 વર્ષના સમયગાળાનો ઘટક હાલમાં ઘટતી સ્થિતિમાં છે. આ ઘટાડાથી નજીકના ભવિષ્યમાં પૃથ્વી પર ઠંડકની અસર થઈ શકે છે. બહુવિધ ગ્રહોની સંયુક્ત અસરની તપાસ સૂર્યની પ્રવૃત્તિમાં કેટલાક લાંબા સમયનો ખુલાસો કરી શકે છે અને પૃથ્વી પર આબોહવામાં વધઘટને સમજાવવામાં મદદ કરી શકે છે. કેઝેડ ફિલ્ટરનું કેઝેડએ અનુકૂલનશીલ સંસ્કરણ, જેને કેઝેડ અનુકૂલનશીલ (કેઝેડએ) ફિલ્ટર કહેવામાં આવે છે, તે ભારે ઘોંઘાટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા બિન-પેરામેટ્રિક સંકેતોમાં વિરામની શોધ માટે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. જ્યારે વિરામ થાય ત્યારે કેઝેડએ ફિલ્ટર પ્રથમ સંભવિત સમય અંતરાલોને ઓળખે છે. તે પછી વિન્ડોનું કદ ઘટાડીને આ સમય અંતરાલોની વધુ કાળજીપૂર્વક તપાસ કરે છે જેથી સરળ પરિણામનું રિઝોલ્યુશન વધે. બ્રેક પોઇન્ટ ડિટેક્શનના ઉદાહરણ તરીકે, અમે મોસમી અને ઘોંઘાટમાં દબાયેલા વિરામ ધરાવતા લાંબા ગાળાના વલણનું અનુકરણ કરીએ છીએ. આકૃતિ 2 એ 1 એકમના કંપનવિસ્તાર સાથે મોસમી સાઇન તરંગનો આલેખ છે, સામાન્ય રીતે વિતરિત અવાજ (), અને વિરામ સાથેનો આધાર સંકેત છે. વસ્તુઓને વધુ પડકારજનક બનાવવા માટે, બેઝ સિગ્નલમાં 1 યુનિટનો એકંદર નીચે તરફનો પ્રવાહ અને 0.5 યુનિટનો ઉપર તરફનો વિરામ હોય છે. મૂળ ડેટામાં નીચે તરફનું વલણ અને વિરામ ભાગ્યે જ દેખાય છે. બેઝ સિગ્નલ એ એક સ્ટેપ ફંક્શન છે, સાથે અને સાથે. આકૃતિ 6 માં બતાવ્યા પ્રમાણે મૂળ ડેટામાં લો-પાસ સ્મૂથિંગ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ વિરામને વધુ સ્મૂથિંગમાં પરિણમે છે. વિરામની સ્થિતિ હવે સ્પષ્ટ નથી. કેઝેડ ફિલ્ટર (કેઝેડએ) ના અનુકૂલનશીલ સંસ્કરણનો ઉપયોગ આકૃતિ 5બીમાં બતાવ્યા પ્રમાણે વિરામ શોધે છે. કેઝેડએનું નિર્માણ પુનરાવર્તિત સ્મૂથિંગ ફિલ્ટર કેઝેડના અનુકૂલનશીલ સંસ્કરણ પર આધારિત છે. કેઝેડ સાથે મળેલા વલણોના આધારે ફિલ્ટરિંગ વિંડોનું કદ બદલવાનો વિચાર છે. આ ફિલ્ટરને તે વિસ્તારો પર ઝૂમ કરવાનું કારણ બનશે જ્યાં ડેટા બદલાઈ રહ્યો છે; ફેરફાર જેટલો ઝડપી હશે, ઝૂમ તેટલો સખત હશે. કેઝેડએના નિર્માણમાં પ્રથમ પગલું એ કેઝેડનો ઉપયોગ કરવાનો છે; જ્યાં કે પુનરાવર્તનો છે અને ક્યૂ ફિલ્ટરની લંબાઈ છે, જ્યાં પુનરાવર્તિત મૂવિંગ એવરેજ છે જ્યાં મૂળ ડેટા છે અને ફિલ્ટર કરેલ ડેટા છે. આ પરિણામનો ઉપયોગ ફિલ્ટરનું અનુકૂલનશીલ સંસ્કરણ બનાવવા માટે થાય છે. ફિલ્ટર અનુક્રમે માથા અને પૂંછડી (qf અને qb) થી બનેલું છે, જેમાં f = માથા અને b = પૂંછડી છે, જે ડેટાના જવાબમાં કદમાં ગોઠવણ કરે છે, જ્યાં ડેટા ઝડપથી બદલાઈ રહ્યો છે તે પ્રદેશોને અસરકારક રીતે ઝૂમ કરે છે. ડેટામાં વિરામના જવાબમાં હેડ ક્યૂએફ સંકોચાય છે. KZ માંથી બનાવેલ તફાવત વેક્ટર; નો ઉપયોગ 'વ્યુત્પન્નની સ્વતંત્ર સમકક્ષ શોધવા માટે થાય છે. આ પરિણામ ફિલ્ટરિંગ વિંડોના માથા અને પૂંછડીના (અનુક્રમે qf અને qb) કદ નક્કી કરે છે. જો ઢોળાવ હકારાત્મક હોય તો માથું સંકોચાય છે અને પૂંછડી સંપૂર્ણ કદ (', પછી અને) સાથે વિસ્તૃત થશે. જો ઢાળ નકારાત્મક હોય તો બારીનું માથું પૂર્ણ કદનું હશે જ્યારે પૂંછડી સંકોચાઈ જશે (', પછી અને. કેઝેડએનો વિગતવાર કોડ ઉપલબ્ધ છે. કેઝેડએ અલ્ગોરિધમમાં બિન-પેરામેટ્રિક અભિગમના તમામ લાક્ષણિક ફાયદાઓ છે; તેને તપાસ હેઠળની સમય શ્રેણીના કોઈ ચોક્કસ મોડેલની જરૂર નથી. તે ભારે ઘોંઘાટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા કોઈપણ પ્રકૃતિના નીચા આવર્તન સંકેત પર અચાનક ફેરફારોની શોધ કરે છે. કેઝેડએ બ્રેક ડિટેક્શન માટે ખૂબ જ ઊંચી સંવેદનશીલતા દર્શાવે છે, ખૂબ જ ઓછા સિગ્નલ-ટુ-અવાજ ગુણોત્તર સાથે પણ; બ્રેકના સમયની શોધની ચોકસાઈ પણ ખૂબ વધારે છે. ઘોંઘાટીયા દ્વિ-પરિમાણીય છબીઓને પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે કેઝેડએ અલ્ગોરિધમ લાગુ કરી શકાય છે. આ બે-સ્તરનું કાર્ય f (x, y) હોઈ શકે છે, જે મજબૂત ઘોંઘાટ અથવા બહુસ્તરીય રંગીન ચિત્ર દ્વારા ક્ષતિગ્રસ્ત કાળા અને સફેદ ચિત્ર તરીકે હોઈ શકે છે. વિરામ (રંગમાં ફેરફાર) શોધવા માટે KZA ને રેખા દ્વારા લાગુ કરી શકાય છે, પછી નિયમિત KZ ફિલ્ટર દ્વારા વિવિધ રેખાઓ પરના વિરામ બિંદુઓને સરળ બનાવવામાં આવશે. અવકાશી KZA નું પ્રદર્શન આકૃતિ 7 માં આપવામાં આવ્યું છે. વર્ણપટમાં તીક્ષ્ણ આવર્તન રેખાઓનું નિર્ધારણ અનુકૂલનશીલ રીતે સુંવાળા પિરિઓડોગ્રામ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. અલ્ગોરિધમનો કેન્દ્રિય વિચાર અનુકૂલનશીલ રીતે કેઝેડ પિરિઓડોગ્રામના લઘુગણકને સરળ બનાવવાનો છે. સ્મૂથિંગની શ્રેણી કુલ એન્ટ્રોપીમાંથી શરતી એન્ટ્રોપીની અમુક નિશ્ચિત ટકાવારી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે. આશરે કહીએ તો, અલ્ગોરિધમ આવર્તન સ્કેલને બદલે માહિતી સ્કેલ પર સમાન રીતે કાર્ય કરે છે. આ અલ્ગોરિધમ KZP માં પરિમાણ k = 1 માટે ડિરિએન્ઝો-ઝર્બેન્કો અલ્ગોરિધમ તરીકે પણ જાણીતું છે અને સોફ્ટવેરમાં પ્રદાન કરવામાં આવે છે. અવકાશી કેઝેડ ફિલ્ટર અવકાશી કેઝેડ ફિલ્ટર સમય અને અવકાશમાં નોંધાયેલા ચલ પર લાગુ કરી શકાય છે. ફિલ્ટરના પરિમાણો સમય અને અવકાશમાં અલગથી પસંદ કરી શકાય છે. સામાન્ય રીતે ભૌતિક સમજ લાગુ કરી શકાય છે કે અવકાશમાં સરેરાશનું કયું પ્રમાણ વાજબી છે અને સરેરાશનું કયું પ્રમાણ સમયસર વાજબી છે. પરિમાણ k એ ફિલ્ટરના રિઝોલ્યુશનની તીક્ષ્ણતાને નિયંત્રિત કરી રહ્યું છે અથવા ફ્રીક્વન્સીઝના લીકને દબાવી રહ્યું છે. અવકાશી કેઝેડ ફિલ્ટર માટેના અલ્ગોરિધમ્સ આર સોફ્ટવેરમાં ઉપલબ્ધ છે. પરિણામ સમય પરિમાણને વર્ચ્યુઅલ સમય તરીકે ગણી શકાય, પછી અવકાશમાં ગાળણના પરિણામોની છબીઓ વર્ચ્યુઅલ સમયમાં "મૂવી" તરીકે પ્રદર્શિત કરી શકાય છે. આપણે સમય t, રેખાંશ x અને અક્ષાંશ y ના વિધેય તરીકે તાપમાન T (t, x, y) ના વિશ્વ રેકોર્ડ પર લાગુ 3D અવકાશી KZ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ દર્શાવી શકીએ છીએ. વૈશ્વિક આબોહવા વધઘટ ઘટક પરિમાણો પસંદ કરવા માટે સમય t માટે 25 મહિના, રેખાંશ માટે 3 ° અને કેઝેડ ગાળણ માટે અક્ષાંશ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. સ્કેલના ઠરાવોને સમાવવા માટે પરિમાણ k ને 5 ની બરાબર પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. પરિણામ "ફિલ્મ" ની એક સ્લાઇડ નીચે આકૃતિ 8 માં આપવામાં આવી છે. સમય અને અવકાશમાં આબોહવાના વધઘટને ઓળખવા માટે અક્ષાંશો સાથે નીચા પ્રમાણભૂત સરેરાશ કોસાઇન વર્ગ તાપમાન વિતરણને બાદ કરવામાં આવ્યું હતું. આપણે 2007 માટે ગ્લોબ પર કોસાઇન સ્ક્વેર લૉમાંથી તાપમાનમાં વધઘટની વિસંગતતાઓ જોઈ શકીએ છીએ. જમણી બાજુએ આકૃતિ સ્કેલમાં આપવામાં આવેલ તાપમાનની વિસંગતતાઓ ગ્લોબ પર પ્રદર્શિત થાય છે. તે યુરોપ અને ઉત્તર આફ્રિકામાં ખૂબ જ ઊંચી હકારાત્મક વિસંગતતા દર્શાવે છે, જે છેલ્લા 100 વર્ષથી વિસ્તરી રહી હતી. સંપૂર્ણ ભેજ ચલ મુખ્ય પ્રાદેશિક આબોહવા ફેરફારો માટે જવાબદારી રાખી રહ્યું છે કારણ કે તે તાજેતરમાં ઝર્બેન્કો આઇગોર અને સ્મિથ ડેવિન દ્વારા કોલ્મોગોરોવ-ઝર્બેન્કો ગાળકોમાં સ્પેટિઓટેમ્પોરલ વિશ્લેષણમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. કેઝેડ ગાળણના પરિણામ "મૂવી" માં તે વિસંગતતાઓ ધીમે ધીમે સમય સાથે બદલાઈ રહી છે, અવલોકન કરાયેલ વિસંગતતાઓની ધીમી તીવ્રતા સમયસર ઓળખવામાં આવી હતી. અલ નીનો સ્કેલ અને અન્ય જેવા વિવિધ સ્કેલના વધઘટને અવકાશી કેઝેડ ગાળણ દ્વારા પણ ઓળખી શકાય છે. તે ભીંગડાઓની ઉચ્ચ વ્યાખ્યા ધરાવતી "ફિલ્મ" ઉત્તર અમેરિકામાં પૂરી પાડવામાં આવે છે. અલગ વેરિયેબલ માટે કેઝેડ ગાળણક્રિયા દ્વારા વિવિધ સ્કેલ પસંદ કરી શકાય છે અને અનુરૂપ મલ્ટીવેરિયેટ વિશ્લેષણ અન્ય કોવેરિયેટ્સ પર પરિણામ વેરિયેબલની તપાસ માટે ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા પરિણામો પ્રદાન કરી શકે છે. કેઝેડ ફિલ્ટર રિઝોલ્યુશન પરંપરાગત પદ્ધતિઓની તુલનામાં અપવાદરૂપે સારું પ્રદર્શન કરે છે અને હકીકતમાં તે કોમ્પ્યુટેશનલ રીતે શ્રેષ્ઠ છે. અમલીકરણ ડબ્લ્યુ. યાંગ અને આઇ. ઝુર્બેન્કો. kzft: કોલ્મોગોરોવ-ઝુર્બેન્કો ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અને એપ્લિકેશન. આર પેકેજ, 2006. બી. બંધ કરો અને આઇ. ઝુર્બેન્કો. કેઝેએઃ છબી શોધ માટે કોલ્મોગોરોવ-ઝુર્બેન્કો અનુકૂલનશીલ અલ્ગોરિધમ. આર પેકેજ, 2016 (https://cran.r-project.org/web/packages/kza) એન્ડ્રિયાસ વેઇલર અને માઈકલ ગ્રોસનિકલોસ (કોન્સ્ટાન્ઝ યુનિવર્સિટી, જર્મની) ના 1-પરિમાણીય એરે માટે કેઝેડ અને કેઝેડએ જાવાનું અમલીકરણ (https://web.archive.org/web/20140914054417/http:// dbis. uni-konstanz.de/research/social-media-stream-analysis) પાયથોન અમલીકરણ કેઝેડ, કેઝેડએફટી અને કેઝેડપી ઓફ મેથ્યુ શોફર (યુનિવર્સિટી ઓફ લોઝેન, સ્વિટ્ઝર્લેન્ડ) (https://github.com/MathieuSchopfer/kolmogorov-zurbenko-filter) સંદર્ભો આંકડાકીય સંકેત પ્રક્રિયા ફિલ્ટર સિદ્ધાંત