Euler–Rodrigues formula
ગણિત અને મિકેનિક્સમાં, યુલર-રોડ્રિગ્સ સૂત્ર વેક્ટરના પરિભ્રમણને ત્રણ પરિમાણોમાં વર્ણવે છે. તે રોડ્રિગ્સના પરિભ્રમણ સૂત્ર પર આધારિત છે, પરંતુ એક અલગ પરિમાણનો ઉપયોગ કરે છે. લિયોનહાર્ડ યુલરને કારણે ચાર યુલર પરિમાણો દ્વારા પરિભ્રમણનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. રોડ્રિગ્સ સૂત્ર (ઓલિન્ડે રોડ્રિગ્સના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે), ફેરવાયેલા બિંદુની સ્થિતિની ગણતરી કરવાની એક પદ્ધતિ છે, જેનો ઉપયોગ કેટલાક સોફ્ટવેર એપ્લિકેશન્સમાં થાય છે, જેમ કે ફ્લાઇટ સિમ્યુલેટર અને કમ્પ્યુટર ગેમ્સ. વ્યાખ્યા મૂળ વિશેના પરિભ્રમણને ચાર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમ કે જ્યારે પરિભ્રમણ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્થિતિ પરનું બિંદુ તેની નવી સ્થિતિ વેક્ટર રચનામાં ફરે છે. પ્રમાણભૂત વેક્ટર સંકેતલિપીમાં, રોડ્રિગ્સ પરિભ્રમણ સૂત્ર સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ સમપ્રમાણતા પરિમાણો લે છે અને સમાન પરિભ્રમણનું વર્ણન કરે છે. આ સમપ્રમાણતા ઉપરાંત, ચાર પરિમાણોનો દરેક સમૂહ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક અનન્ય પરિભ્રમણનું વર્ણન કરે છે. પરિભ્રમણની રચના બે પરિભ્રમણની રચના પોતે એક પરિભ્રમણ છે. ચાલો અને બે પરિભ્રમણના યુલર પરિમાણો બનો. સંયોજન પરિભ્રમણ (પરિભ્રમણ 1 પછી પરિભ્રમણ 2) માટેના પરિમાણો નીચે મુજબ છેઃ તે તપાસવું કંટાળાજનક હોવા છતાં સરળ છે. (આ અનિવાર્યપણે યુલરની ચાર ચોરસ ઓળખ છે, જેનો ઉપયોગ રોડ્રિગ્સ દ્વારા પણ થાય છે.) પરિભ્રમણ કોણ અને પરિભ્રમણ અક્ષ ત્રણ પરિમાણોમાં કોઈપણ કેન્દ્રીય પરિભ્રમણ અનન્ય રીતે તેના પરિભ્રમણ અક્ષ (એકમ વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરાયેલ) અને પરિભ્રમણ કોણ દ્વારા નક્કી થાય છે. આ પરિભ્રમણ માટે યુલર પરિમાણોની ગણતરી નીચે મુજબ કરવામાં આવે છેઃ નોંધ લો કે જો 360 ડિગ્રીના સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ દ્વારા વધારો કરવામાં આવે, તો સાઇન અને કોસાઇનની દલીલો માત્ર 180 ડિગ્રી વધે છે. પરિણામી પરિમાણો મૂળ મૂલ્યોની વિરુદ્ધ છે; તેઓ સમાન પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ખાસ કરીને, ઓળખ પરિવર્તન (નલ રોટેશન,) પરિમાણ મૂલ્યોને અનુરૂપ છે. કોઈપણ અક્ષની આસપાસ 180 ડિગ્રીના પરિભ્રમણનું પરિણામ આવે છે. ચતુર્થાંશ સાથે જોડાણ યુલર પરિમાણોને ચતુર્થાંશના ગુણાંક તરીકે જોઈ શકાય છે; સ્કેલર પરિમાણ એ વાસ્તવિક ભાગ છે, વેક્ટર પરિમાણો, કાલ્પનિક ભાગો છે. આમ આપણી પાસે ક્વાટર્નિયન છે જે એકમ લંબાઈ (અથવા વર્સર) નું ક્વાટર્નિયન છે કારણ કે સૌથી અગત્યનું, પરિભ્રમણની રચના માટેના ઉપરોક્ત સમીકરણો ચોક્કસપણે ક્વાટર્નિયનના ગુણાકાર માટેના સમીકરણો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગુણાકાર સાથે એકમ ચતુર્થાંશોનું જૂથ, મોડ્યુલો નકારાત્મક ચિહ્ન, રચના સાથે પરિભ્રમણના જૂથ માટે સમરૂપ છે. એસયુ (2) સ્પિન મેટ્રિક્સ સાથે જોડાણ લાઇ જૂથ એસયુ (2) નો ઉપયોગ જટિલ મેટ્રિક્સમાં ત્રિ-પરિમાણીય પરિભ્રમણને રજૂ કરવા માટે થઈ શકે છે. પરિભ્રમણને અનુરૂપ એસયુ (2)-મેટ્રિક્સ, તેના યુલર પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ, વૈકલ્પિક રીતે, આને તે સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે જ્યાં પાઉલી સ્પિન મેટ્રિક્સ છે. આમ, યુલર પરિમાણો એ સ્પિન જૂથ સ્પિન (3) ના તત્વને અનુરૂપ એસયુ (2) મેટ્રિક્સમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જે ઓર્થોગોનલ જૂથ એસઓ (3) માં પરિભ્રમણ માટે ડબલ કવર મેપિંગ દ્વારા મેપ કરે છે. આ લાઈ જૂથ એસયુ (2) ≈ સ્પિન (3) ની અનન્ય ત્રિ-પરિમાણીય ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆત તરીકે અનુભવે છે. ત્રણ પરિમાણોમાં પરિભ્રમણ ઔપચારિકતાઓ અને ત્રણ પરિમાણોમાં અવકાશી પરિભ્રમણ આવૃત્તિ સ્પિનર્સ પણ જુઓ SO (4) 3D પરિભ્રમણ જૂથ સંદર્ભો ત્રણ પરિમાણોમાં પરિભ્રમણ યુક્લિડિયન સમપ્રમાણતા લિયોનહાર્ડ યુલર