Rule of marteloio
માર્ટેલોયોનો નિયમ એ નેવિગેશનલ ગણતરીની મધ્યયુગીન તકનીક છે જે હોકાયંત્રની દિશા, અંતર અને ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો તરીકે ઓળખાતા સરળ ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરે છે. આ નિયમમાં નાવિકોને કહેવામાં આવ્યું હતું કે ટોલેટા અને મૂળભૂત અંકગણિતની મદદથી ત્રિકોણને ઉકેલવાના માધ્યમથી બે જુદા જુદા નેવિગેશન અભ્યાસક્રમો વચ્ચેના માર્ગને કેવી રીતે ગોઠવવો. જે લોકો સંખ્યાઓમાં હેરફેર કરવામાં અસ્વસ્થતા અનુભવે છે તેઓ દ્રશ્ય ટોન્ડો ઇ ક્વાડ્રો (વર્તુળ અને ચોરસ) નો આશરો લઈ શકે છે અને વિભાજક સાથે તેમનો જવાબ પ્રાપ્ત કરી શકે છે. ખગોળશાસ્ત્રીય નેવિગેશનના વિકાસ પહેલા, 14મી અને 15મી સદી દરમિયાન ભૂમધ્ય નાવિકો દ્વારા સામાન્ય રીતે માર્ટેલોયોના નિયમનો ઉપયોગ થતો હતો. વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્ર વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્ર વેનેશિયન ભાષામાંથી આવે છે. તેમના 1436ના એટલાસમાં, વેનેશિયન કપ્તાન અને નકશાકાર એન્ડ્રીયા બિયાન્કોએ સંખ્યાઓનું એક કોષ્ટક રજૂ કર્યું હતું જેને તેમણે ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો ("માર્ટેલોયોનું કોષ્ટક") નામ આપ્યું હતું, અને તેનો ઉપયોગ રેક્સન ડી માર્ટેલોયો ("માર્ટેલોયોનું કારણ") તરીકે કરવાની પદ્ધતિ રજૂ કરી હતી. માર્ટેલોયોનો અર્થ પોતે અનિશ્ચિત છે. સૌથી વધુ સ્વીકૃત પૂર્વધારણા, સૌપ્રથમ એ. ઈ. દ્વારા આગળ ધપાવવામાં આવી હતી. નોર્ડેન્સકિલ્ડ, એ છે કે માર્ટેલોયો "હેમર" (વેનેશિયનમાં "માર્ટેલો") સાથે સંબંધિત છે, જે નાના હેમરનો ઉલ્લેખ કરે છે જેનો ઉપયોગ સમય પસાર થવા માટે ઓન-બોર્ડ જહાજની ઘંટડીને ફટકારવા માટે કરવામાં આવતો હતો. એવું સૂચવવામાં આવ્યું છે કે-ઓઇઓ પ્રત્યય સૂચવે છે કે માર્ટેલોયોનો અર્થ પોતે હેમર કે હેમર નથી, પરંતુ દર ચાર કલાકે ઘડિયાળ બદલવાથી "હેમર, દિન, રેકેટ" સૂચવવાનો હેતુ ધરાવતા "હેમર" નો અર્થ થાય છે. ઘડિયાળ બદલતી વખતે ડેક પર ઘણા હાથ હોવાથી, વહાણના પાયલોટ માટે બેરિંગમાં ફેરફાર (જો જરૂરી હોય તો) કરવાનો આદેશ આપવો એ યોગ્ય ક્ષણ હશે. વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાઓ (લગભગ સ્વીકૃત નથી) એ છે કે "માર્ટેલોયો" એ મારી લોગિયો (જેનો અર્થ થાય છે "સમુદ્રનું શાસન"), અથવા મેરે ટેલા (જેનો અર્થ થાય છે "દરિયાઈ નેટવર્ક") નું અપભ્રંશ છે, અથવા તે ગ્રીક હોમર્ટોલોજિયમ (омαρτολογίον, જેનો અર્થ થાય છે "સાથી ટુકડો"), અથવા ગ્રીક ઇમેરલોજિયમ (ήμερολογίον, જેનો અર્થ થાય છે "દૈનિક ગણતરી") અથવા તે ઉત્તર ફ્રેન્ચ મેટેલોટમાંથી હોઈ શકે છે, જે બદલામાં બ્રેટન માર્ટોલોડ (જેનો અર્થ થાય છે "ખલાસીઓ") માંથી આવે છે. હેતુ "માર્ટેલોયોના નિયમ" નો ઉપયોગ મધ્ય યુગમાં યુરોપિયન નેવિગેશનમાં કરવામાં આવ્યો હતો, ખાસ કરીને 14મી અને 16મી સદીની વચ્ચે ભૂમધ્ય સમુદ્રમાં, જો કે તેના મૂળ જૂના હોઈ શકે છે. ભૌગોલિક કોઓર્ડિનેટ્સના આગમન અને યુરોપમાં આકાશી નેવિગેશનના વિકાસ પહેલાં તે "હોકાયંત્ર અને ચાર્ટ" દ્વારા નેવિગેશનનો એક અભિન્ન ભાગ હતો. મધ્યયુગીન નેવિગેશન બે પરિમાણો, દિશા અને અંતર પર આધારિત હતું. જહાજ પર, દિશા નાવિકના હોકાયંત્ર (જે 1300 ની આસપાસ ઉભરી આવ્યું હતું) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવી હતી. અંતરને ડેડ રેકનીંગ દ્વારા માપવામાં આવતું હતું, (એટલે કે, અંતર = ઝડપ × સમય), જ્યાં સમય અડધો કલાકના કાચ દ્વારા માપવામાં આવતો હતો, અને સ્પીડ રીડિંગ્સને ચિપ લોગના અમુક સ્વરૂપ દ્વારા લેવામાં આવતી હતી (14મી અને 15મી સદીમાં ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રાચીન પદ્ધતિમાં, લાકડાનો ટુકડો અથવા ફ્લોટસમ ઓવરબોર્ડમાં વણાટ કરવામાં આવતો હતો; જહાજની લંબાઈથી ચિપને તરવામાં લાગતા સમયને ચિહ્નિત કરવા માટે ક્રૂ લયબદ્ધ ગીતમાં રોકાયેલું હતું). હોકાયંત્રની દિશા અને બિંદુ A અને બિંદુ B વચ્ચેનું અંતર જાણવું જરૂરી છે. દરિયામાં લાંબા અનુભવ દ્વારા નાવિકો દ્વારા બંદરો એકબીજા સાથે સંબંધિત ક્યાં છે તેનું જ્ઞાન મેળવવામાં આવ્યું હતું. આ માહિતી કેટલીકવાર પાયલોટની હેન્ડબુકમાં એકત્રિત કરવામાં આવતી હતી અને લખવામાં આવતી હતી, જેને પોર્ટોલાનો (ઇટાલિયનમાં "પોર્ટ બુક", ગ્રીક પેરિપ્લસ, પોર્ટુગીઝ રોટેઇરો અને અંગ્રેજી રટરની સમકક્ષ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ હેન્ડબુકનો ઉપયોગ પોર્ટોલન ચાર્ટ તરીકે ઓળખાતા દરિયાઈ નકશાના વર્ગના નિર્માણ માટે કરવામાં આવતો હતો. 13મી સદીના અંતમાં જેનોઆમાં પોર્ટોલન ચાર્ટનું નિર્માણ શરૂ થયું અને ટૂંક સમયમાં તે વેનિસ અને મજોર્કામાં ફેલાયું. પોર્ટોલન ચાર્ટ રેખાંશ અને અક્ષાંશ રેખાઓ દ્વારા ગ્રિડ કરવામાં આવતા ન હતા, પરંતુ હોકાયંત્રની લંબ રેખાઓની જાળ દ્વારા બાંધવામાં આવતા હતા, જે નાવિકોને માત્ર સ્થાનો વચ્ચેના અંતર અને દિશાનો ખ્યાલ આપતા હતા. હેન્ડબુક અથવા પોર્ટોલન ચાર્ટ દ્વારા, નેવિગેટર તરત જ જોઈ શકતો હતો કે, ઉદાહરણ તરીકે, પીસા જેનોઆના 85 માઇલ દક્ષિણપૂર્વમાં (પરંપરાગત હોકાયંત્ર ગુલાબના નામકરણમાં "સિરોકો") આવેલું છે, અને તેથી જેનોઆથી પીસા તરફ નીકળતું જહાજ તે અંતર માટે તે બેરિંગ જાળવી રાખશે. જો કે, મોટાભાગના નૌકાવિહારના માર્ગો લગભગ એટલા સુઘડ નહોતા. મજોર્કાથી નેપલ્સ જવા ઈચ્છતા નાવિકને ખબર પડી શકે છે કે મજોર્કા પૂર્વમાં ("લેવાન્ટે") લગભગ 600 માઇલ દૂર છે-પરંતુ સારડિનીયા ટાપુ રસ્તામાં છે, તેથી માર્ગ પર જહાજનું વહન બદલવું પડશે. આ કરવા કરતાં આ કહેવું સરળ છે, કારણ કે આ યુગ દરમિયાન ભૌગોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ અસ્તિત્વમાં નહોતા. સમુદ્રમાં જહાજની ચોક્કસ સ્થિતિ નક્કી કરવાનો એકમાત્ર રસ્તો ભૂતકાળની અસર અને મુસાફરી કરેલા અંતર દ્વારા ગણતરી કરવાનો હશે. ટાપુઓ એક અનુમાનિત અવરોધ હતા-સારડિનીયાને અવગણવું એ માત્ર એક નિર્ધારિત અંતર માટે દક્ષિણપૂર્વમાં સફર કરવાની બાબત હશે અને પછી બાકીના માટે બેરિંગને ઉત્તરપૂર્વ ("ગ્રીકો") માં બદલવાની બાબત હશે. વધુ સમસ્યા એ છે કે જો જહાજને યોગ્ય પવન દ્વારા તેના ઇચ્છિત માર્ગથી ઉડાવી દેવામાં આવ્યું હોય, અથવા ટેકિંગમાં જોડાવું પડ્યું હોય, વારંવાર બેરિંગ બદલવું પડ્યું હોય. તે તેના ઇચ્છિત માર્ગ પર કેવી રીતે પાછા ફરે છે? આ તે છે જ્યાં માર્ટેલોયોનો નિયમ આવ્યો. ટ્રાવર્સ સમસ્યા માર્ટેલોયોના નિયમમાં સમુદ્રમાં બેરિંગ બદલવાની સમસ્યાને સંબોધવામાં આવી હતી. વધુ ખાસ રીતે, તે નેવિગેટરને એક નેવિગેશનલ કોર્સથી બીજા નેવિગેશનલ કોર્સમાં પસાર થવામાં મદદ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે એક જહાજ કોર્સિકાથી જેનોઆ જવાનું હતું, જે લગભગ 130 માઇલ સુધી સીધા ઉત્તર ("ટ્રામોન્ટાના") તરફનો માર્ગ હતો. પરંતુ પવન સહકાર આપતો નથી, અને જહાજને લગભગ 70 માઇલ સુધી ઉત્તરપશ્ચિમ ("મેસ્ટ્રો") તરફ જવાની ફરજ પડી હતી. તે તેના મૂળ માર્ગ પર કેવી રીતે પાછા ફરે છે? ઉત્તરપૂર્વ ("ગ્રીકો") તરફ તેની અસરને ફરીથી ગોઠવવી પૂરતી સમજદાર લાગે છે, પરંતુ તે અસર પર કેટલો સમય ચાલવું જોઈએ? એક નાવિકને કેવી રીતે ખબર પડશે કે જહાજ તેના જૂના માર્ગ પર ક્યારે પહોંચ્યું છે અને ફરીથી ઉત્તર તરફ વળવું જોઈએ? જૂના માર્ગને ઓવરશૂટ અથવા અન્ડરશૂટ કરવાનું કેવી રીતે ટાળવું? ત્રિકોણને ઉકેલવાની આ એક ગાણિતિક સમસ્યા છે. જો નેવિગેટર જાણે છે કે વહાણ ભૂલભરેલા માર્ગ પર કેટલો સમય પસાર થયું છે, તો તે તેના ઇચ્છિત માર્ગથી તેના વર્તમાન અંતરની ગણતરી કરી શકે છે, અને અંદાજ લગાવી શકે છે કે જ્યાં સુધી તે તેના જૂના માર્ગને પુનઃપ્રાપ્ત ન કરે ત્યાં સુધી તેને નવા બેરિંગ પર કેટલો સમય પાછા ફરવું પડશે. કોર્સિકા-થી-જેનોઆના ઉદાહરણમાં, એક ગર્ભિત ત્રિકોણ ACD છે, જેમાં એક બાજુ આપવામાં આવી છે (વાસ્તવિક NW કોર્સ પર AC = 70 માઈલ), A પર 45° કોણ (વાસ્તવિક કોર્સ NW અને ઇચ્છિત કોર્સ N વચ્ચેના તફાવતનો કોણ) અને C પર 90° નો બીજો કોણ (વાસ્તવિક કોર્સ NW અને રીટર્ન કોર્સ NE વચ્ચેના તફાવતનો કોણ). નેવિગેટર માટે પડકાર એ છે કે એનઇ રીટર્ન કોર્સ (સાઇડ સીડીની લંબાઈ, જેને રિટોર્નો કહેવામાં આવે છે) પર કેટલું લાંબુ સફર કરવું જોઈએ અને જ્યારે કોઈ સીધું થાય ત્યાં સુધીમાં ઇચ્છિત કોર્સ પર કેટલું આગળ વધ્યું છે (હાયપોટેન્યુઝ એડીની લંબાઈ, અથવા જેને કુલ એવાન્ઝો કહેવામાં આવે છે). આ પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ છે, જે એક બાજુ (70) અને બે ખૂણા (45° અને 90°) આપવામાં આવેલી બે બાજુઓ માટે ઉકેલ આપે છે. આ ઝડપથી સાઇનના કાયદાને લાગુ કરીને કરવામાં આવે છેઃ રિટોર્નો = 70 માઈલ અને કુલ એવાન્ઝો = 98.99 માઈલના ઉકેલો. આનો અર્થ એ છે કે જો જહાજ તેની વર્તમાન સ્થિતિ (સી) થી એનઇ ધરાવે છે, તો તે એનઇ બેરિંગ પર 70 માઇલની સફર પછી તેના મૂળ ઇચ્છિત માર્ગ પર પહોંચશે. તે તેના જંક્શન બિંદુ (ડી) સુધી પહોંચે ત્યાં સુધીમાં, તે તેના મૂળ ઇચ્છિત માર્ગના 98.99 માઇલને આવરી લેશે. ત્યાં તે તેના બેરિંગ એન ને સીધું કરી શકે છે અને બાકીના 30 માઇલ કે તેથી વધુ જેનોઆ સુધી સફર કરી શકે છે. કમનસીબે, 14મી અને 15મી સદીના પ્રાથમિક શૈક્ષણિક સ્તરો ધરાવતા મધ્યયુગીન ખલાસીઓ, સાઇનના કાયદાને જાણતા ન હતા અથવા તેને સરળતાથી હેરફેર કરતા ન હતા. પરિણામે, મધ્યયુગીન નાવિકોને ગણતરીની સરળ અને વધુ સુલભ પદ્ધતિની જરૂર હતી. મેજોરકાના વિદ્વાન-પાદરી રેમન લુલ, નિયમો રેમન લુલની "મિલેરિયા", નેવિગેશનની પસાર સમસ્યાને ઉકેલવા માટેના નિયમનો ઉલ્લેખ કરનાર પ્રથમ લેખક હતા. તેમના આર્બોર સાયન્ટિયા (1295) માં, ભૂમિતિ પરના પ્રશ્નોના વિભાગમાં, લુલ લખે છેઃ લુલ જે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો હોય તેવું લાગે છે તે એ છે કે એક જહાજ ખરેખર ઇ સફર કરે છે, પરંતુ એસઇ સફર કરવાનો ઇરાદો ધરાવે છે, તે સમજી શકે છે કે તેના દક્ષિણપૂર્વ તરફના અંતરનો કેટલો હિસ્સો તે પહેલાથી જ સારો કરી ચૂક્યો છે-જેને ઈટાલિયનો "અવાન્ઝર" કહે છે, પરંતુ લુલ તેને "મિલેરિયા ઇન મારી" કહે છે. લુલ બરાબર કેવી રીતે તે સમજાવતા નથી, પરંતુ માત્ર એક "સાધન" નો સંદર્ભ આપે છે, જે સંભવતઃ અમુક પ્રકારના ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક છે. લુલ એ સૂચવે છે કે નાવિકો બે માર્ગો વચ્ચેના ખૂણાની કોસાઇન દ્વારા ખોટા માર્ગ પર ખરેખર પસાર થયેલા અંતરને ગુણાકાર કરીને ઇચ્છિત માર્ગ પર મિલિયારિયાની ગણતરી કરી શકે છે. મારીમાં મિલિયારિયા = અંતર રવાના × કોસ (θ) જ્યાં θ એ બે માર્ગો વચ્ચેના તફાવતનો કોણ છે. લુલના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, એક જહાજ કે જે દક્ષિણપૂર્વમાં સફર કરવાનો ઈરાદો ધરાવતું હતું ("એક્સલોક" એટલે કે "સિરોકો" માટે કતલાન) પરંતુ તેના બદલે તેને પૂર્વમાં સફર કરવાની ફરજ પાડવામાં આવી હતી ("લેવન્ટ"), તો તફાવતનો કોણ θ = 45° છે. ભૂલભરેલા માર્ગ પર 100 માઈલ પછી, ઇચ્છિત માર્ગ પર મિલેરિયા 100 × cos 45° = 70.71 છે. ભૂલભરેલા માર્ગ પર 200 માઇલ સુધી સફરને બમણી કરવાથી 141.42 માઇલ (= 200 cos 45°) સુધીના ઇચ્છિત માર્ગ પર મિલિયારિયા બમણી થઈ જશે. (આકૃતિગત રીતે, મારીમાં લુલ્સ મિલિયારિયાને જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણનું નિર્માણ કરીને માપવામાં આવે છે, જેમાં વાસ્તવિક માર્ગથી ઇચ્છિત માર્ગ સુધી અંતરથી દોરડું ચલાવીને, પછીના 90 ° ખૂણા પર મળે છે). લુલ તેમના આર્સ મેગ્ના જનરલિસ એટ અલ્ટિમા (1305માં લખાયેલ) માં થોડા વધુ સ્પષ્ટ છે. તેમના ઉદાહરણને ઉલટાવતા, એક જહાજ જે વાસ્તવમાં દક્ષિણપૂર્વમાં સફર કરે છે પરંતુ પૂર્વમાં સફર કરવાનો ઇરાદો ધરાવે છે, લુલ નોંધે છે કે દક્ષિણપૂર્વ બેરિંગ પર દર ચાર માઇલ માટે, તે પૂર્વ તરફના ઇચ્છિત માર્ગ પર "ત્રણ માઇલ" (વાસ્તવમાં 2.83) મેળવે છે. આમ, લુલ નોંધે છે કે જહાજ વર્તમાન માર્ગ પર દર 100 માઇલ માટે તેના ઇચ્છિત માર્ગમાંથી "25 માઈલ" (29 વાસ્તવમાં) ગુમાવે છે. નોંધ લો કે તેમના ફકરાઓમાં, રેમન લુલ નિયમની ભલામણ કરી રહ્યા નથી, પરંતુ તેનો અહેવાલ આપી રહ્યા છે, જે સંકેત આપે છે કે આ નિયમ પહેલેથી જ સમકાલીન ખલાસીઓ દ્વારા વ્યવહારમાં જાણીતો અને ઉપયોગમાં લેવાતો હતો. આ કદાચ આશ્ચર્યજનક નથી-જોકે ત્રિકોણમિતિ ખ્રિસ્તી યુરોપમાં તેની બાલ્યાવસ્થામાં જ હતી, આરબ ગણિતમાં સાઇન અને કોસાઇન કોષ્ટકો પહેલેથી જ જાણીતા હતા. 1230ના દાયકા સુધી મુસ્લિમ શાસન હેઠળનું મજોર્કા સામ્રાજ્ય, લુલના સમયમાં એક બહુસાંસ્કૃતિક કેન્દ્ર રહ્યું હતું, જેમાં યહુદી સમુદાયોનો વિકાસ થયો હતો, જેમાંથી ઘણા ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રમાં નિપુણ હતા અને જેમના નાવિકો ભૂમધ્ય સમુદ્રમાં વ્યાપક સંપર્ક ધરાવતા હતા. મેજરકેન નાવિકો પાસે હાથમાં અમુક પ્રકારનું ત્રિકોણમિતીય ટેબલ હતું તે અસંભવિત નથી. તેમ છતાં, 1295 માં રેમન લુલ દ્વારા સૂચિત આ કોષ્ટકની ચોક્કસ સામગ્રી અને લેઆઉટ અનિશ્ચિત છે. એન્ડ્રીયા બિયાન્કોનું "ટોલેટા" આપણને લુલ પછી એક સદી કરતાં વધુ સમય પછી નાવિકના ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકની આપણી પ્રથમ ઝલક મળે છે. તેમના 1436 પોર્ટોલન એટલાસના પ્રથમ ફોલિયોમાં, વેનેશિયન કપ્તાન એન્ડ્રીયા બિયાન્કો રેક્સન ડી માર્ટેલિયોને સમજાવે છે કે કેવી રીતે ટ્રેવર્સની ગણતરી કરવી અને કોર્સને પુનઃપ્રાપ્ત કરવો. તે એક સરળ ત્રિકોણમિતીય ટેબલ મૂકે છે જેને તે ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો કહે છે અને ભલામણ કરે છે કે નાવિકો ટેબલને યાદમાં રાખે. ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવ્યો છેઃ ટોલેટામાં સંખ્યાઓનો અંદાજ આધુનિક સૂત્રો દ્વારા લગાવી શકાય છેઃ અલાર્ગર = અવાન્ઝર = રિટોર્નો = અવાન્ઝો ડી રિટોર્નો = જ્યાં q = ચતુર્થાંશ પવનની સંખ્યા (ચતુર્થાંશ પવનની સંખ્યામાં વ્યક્ત કરવામાં આવેલ તફાવતનો કોણ). (નોંધ લો કે સંખ્યાઓ 11.25 ° ને બદલે 11.15 ° અંતરાલો પર સેટ કરેલ ક્વાર્ટર-પવન સાથે કામ કરે છે, જે ક્વાર્ટર પવનની સામાન્ય વ્યાખ્યા છે). ટોલેટા એ સંખ્યાઓના ઘણા સ્તંભો સાથેનું એક સરળ ટેબલ છે. પ્રથમ સ્તંભમાં વાસ્તવિક અને ઇચ્છિત અભ્યાસક્રમો વચ્ચેના તફાવતનો કોણ છે, જે ક્વાર્ટર-પવનની સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. એકવાર તે તફાવત નક્કી થઈ જાય પછી, બીજો સ્તંભ અલાર્ગર ("વિસ્તરણ", જહાજનું વર્તમાન અંતર ઇચ્છિત માર્ગથી છે) આપે છે જ્યારે ત્રીજો સ્તંભ અવંઝારને કહે છે ("એડવાન્સ", ઇચ્છિત માર્ગ પર કેટલું અંતર પહેલેથી જ વર્તમાન બેરિંગ પર સફર કરીને આવરી લેવામાં આવ્યું છે-આ રેમન લુલની મિલેરિયા દી મારીની સમકક્ષ છે). વર્તમાન માર્ગ પર સફરના 100 માઇલ માટે બિયાન્કોના ટેબલ પર અલાર્ગર અને અવાન્ઝર નંબરો દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ધારો કે એક જહાજ જે બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી પૂર્વ ("લેવાન્ટે") વહન કરે છે. પરંતુ ધારો કે પવનોએ તેને દક્ષિણપૂર્વથી પૂર્વ તરફના માર્ગ (એસ. ઇ. બી. ઇ., "ક્વાર્ટો ડી સિરોકો વર્સો લેવાન્ટે") પર સફર કરવાની ફરજ પાડી હતી. દક્ષિણપૂર્વ-બાય-પૂર્વમાં પૂર્વથી ત્રણ ચતુર્થાંશ પવન (અથવા 33.75 °) દૂર છે (32-બિંદુ હોકાયંત્ર પર, પૂર્વથી એક ચતુર્થાંશ પવનના ક્રમમાં, 1 ચતુર્થાંશ પૂર્વ-બાય-દક્ષિણ, 2 ચતુર્થાંશ પૂર્વ-દક્ષિણપૂર્વ, 3 ચતુર્થાંશ દક્ષિણપૂર્વ-બાય-પૂર્વ છે). તેનો અર્થ એ કે નેવિગેટરએ ટોલેટા પર ત્રીજી પંક્તિ, q = 3 ની સલાહ લેવી જોઈએ. ધારો કે વહાણ એસઇ-બાય-ઇ બેરિંગ પર 100 માઇલ ચાલ્યું. પૂર્વ તરફના ઇચ્છિત માર્ગથી તેનું અંતર તપાસવા માટે, નાવિક એલાર્ગર સ્તંભ પરની અનુરૂપ એન્ટ્રી વાંચશે અને તરત જ જોશે કે તે ઇચ્છિત માર્ગથી 55 માઇલ દૂર છે. અવંઝાર સ્તંભ તેમને જાણ કરે છે કે વર્તમાન એસ. ઇ. બી. ઇ. માર્ગ પર 100 માઇલની મુસાફરી કર્યા પછી, તેમણે ઇચ્છિત ઇ. માર્ગના 83 માઇલ આવરી લીધા છે. આગળનું પગલું એ નક્કી કરવાનું છે કે ઇચ્છિત માર્ગ પર કેવી રીતે પાછા ફરવું. ઉદાહરણને ચાલુ રાખીને, પૂર્વ તરફના ઇચ્છિત માર્ગ પર પાછા જવા માટે, આપણા નાવિકે વહાણના વહનને ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં ફરીથી દિશા આપવી પડશે. પરંતુ ત્યાં વિવિધ ઉત્તરપૂર્વીય ખૂણાઓ છે-એન. બી. ઇ., એન. એન. ઇ., એન. ઇ., ઇ. એન. ઇ., વગેરે. નાવિક પાસે બેરિંગની પસંદગી હોય છે-જો તે તીક્ષ્ણ ખૂણાથી પરત આવે (દા. ત. ઉત્તરથી પૂર્વ તરફ), તે વધુ હળવા ઢાળ કરતાં વધુ ઝડપથી ઇચ્છિત માર્ગ પર પાછા ફરશે (દા. ત. પૂર્વથી ઉત્તર). તે જે પણ ખૂણો પસંદ કરે છે, તેણે નક્કી કરવું પડશે કે તેણે તેના જૂના માર્ગ પર પહોંચવા માટે તે બેરિંગ પર કેટલો સમય સફર કરવો પડશે. જો તે ખૂબ લાંબો સફર કરે છે, તો તે તેને ઓવરશૂટ કરવાનું જોખમ લે છે. રીટર્ન કોર્સની ગણતરી કરવા માટે ટોલેટાના છેલ્લા ત્રણ સ્તંભો છે. ચોથા સ્તંભમાં, વળતરના ખૂણાઓ ઇચ્છિત કોર્સ બેરિંગના ક્વાર્ટર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે (વર્તમાન કોર્સ બેરિંગ નહીં). અમારા ઉદાહરણમાં, નાવિકનો ઈરાદો પૂર્વ તરફ જવાનો હતો, પરંતુ તે 100 માઇલ સુધી દક્ષિણપૂર્વથી પૂર્વ તરફ સફર કરી રહ્યો છે. પવનને ધ્યાનમાં રાખીને, તે નક્કી કરે છે કે જહાજને પૂર્વ-ઉત્તરપૂર્વ (ENE, "ગ્રીકો-લેવાન્ટે") તરફ પુનઃદિશામાન કરીને મૂળ માર્ગ પર પાછા ફરવું શ્રેષ્ઠ છે. ENE એ ઇચ્છિત બેરિંગ, પૂર્વથી બે ક્વાર્ટર-પવન છે, તેથી હવે તે ટેબલના ચોથા સ્તંભ પર બીજી પંક્તિ ("ક્વાર્ટર = 2") જુએ છે. પાંચમો સ્તંભ રિટોર્નો છે, જે મૂળ માર્ગને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે તેણે પસંદ કરેલા વળતર ખૂણા પર મુસાફરી કરવી આવશ્યક છે. તેણે ENE બેરિંગ (q = 2) દ્વારા પાછા ફરવાનું પસંદ કર્યું છે તે જોતાં, તેણે રિટોર્નો સ્તંભની બીજી પંક્તિ વાંચવી આવશ્યક છે, જે 26 નંબર દર્શાવે છે. આ સૂચવે છે કે તેણે દરેક 10 માઇલ માટે ENE બેરિંગ પર મુસાફરી કરવી પડશે. યાદ રાખો, તેમનું અલાર્ગર (ઇચ્છિત માર્ગથી અંતર) 55 માઇલ હતું. તેથી તેના ઇચ્છિત માર્ગ પર પાછા ફરવા માટે તેણે ENE પર 5,5 × 26 = 143 માઇલની મુસાફરી કરવી પડશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેણે તેના ENE બેરિંગને 143 માઇલ સુધી પકડી રાખવાની જરૂર છે; એકવાર તે અંતર કાપવામાં આવે, પછી તેણે તેના જહાજને પૂર્વ તરફ સીધું કરવું જોઈએ, અને તે બરાબર ઇચ્છિત માર્ગ પર પાછો આવશે. છઠ્ઠી અને અંતિમ સ્તંભ (અવાન્ઝો દી રિટોર્નો) તેની પરત ફરતી મુસાફરી દ્વારા તેણે કરેલા ઇચ્છિત માર્ગની લંબાઈ આપે છે. આ પણ પ્રતિ 10 માઈલ એલાર્ગરની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તેમનો એલાર્ગર 55 હતો, અને તેમનો પરત ફરવાનો કોણ ENE હતો (આમ q = 2), એટલે કે તેમનો અવાન્ઝો ડી રિટોર્નો 5.5 × 24 = 132 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો બધું બરાબર ચાલે, અને આપણો નાવિક 143 માઇલ (રિટોર્નો) સુધી તેની ENE બેરિંગ પકડી રાખે, તો તે પરત ફરતી વખતે, તેણે તેના પૂર્વ તરફના ઇચ્છિત માર્ગ (અવાન્ઝો ડી રિટોર્નો) પર વધારાના 132 માઇલનું અંતર કાપ્યું હશે. છેવટે, તેના સમગ્ર સાહસ દ્વારા પૂર્વ તરફના કુલ અંતર (કુલ અવાન્ઝો) ની ગણતરી કરવા માટે, તેણે વિચલન (83 માઇલ) વત્તા અવાન્ઝો ડી રિટોર્નો (132 માઇલ) દરમિયાન અવાન્ઝર ઉમેરવું પડશે. આમ એકંદરે, તેમણે ઇચ્છિત માર્ગ પર 83 + 132 = 215 માઇલનું અંતર કાપ્યું છે. પ્રારંભિક બિંદુ (એ) થી નકશા પર તે અંતરને માપવાથી, નાવિક તેની ચોક્કસ વર્તમાન સ્થિતિ શોધી શકે છે. ટોલેટા ડી માર્ટેલોયોનો આ સૌથી સરળ ઉપયોગ છે. તે મૂળમાં ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક છે. જો કે, તે સાઇનના કાયદાની જેમ એક જ વારમાં પસાર થતી સમસ્યાનો સામનો કરતું નથી, પરંતુ સમસ્યાને બે જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, જેને તે ક્રમિક રીતે હલ કરવા માટે આગળ વધે છે. આધુનિક ત્રિકોણમિતિ એ એલાર્ગરની ગણતરીના પગલાને સમાપ્ત કરશે, અને સીધી રીટોર્નોની ગણતરી કરશે-પરંતુ તે માટે, વ્યક્તિને સંપૂર્ણ સાઇન ટેબલથી સજ્જ કરવાની જરૂર છે. ટોલેટા એક સરળ ટેબલ છે, જેની સલાહ લેવી અને તેની સાથે ગણતરી કરવી સરળ છે, અને નેવિગેટર્સ દ્વારા યાદ રાખવા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં કોમ્પેક્ટ છે (બિયાન્કો ભલામણ કરે છે). ત્રણનો નિયમ ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો સરસ ગોળ સંખ્યાઓ, 100 અને 10 માટે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. પરંતુ, વ્યવહારમાં, વહાણ સામાન્ય રીતે પાછા ફરવાનો પ્રયાસ કરતા પહેલા 100 માઇલ નહીં, પરંતુ અન્ય કોઈ અંતર, 65 માઇલ કહે છે. આની ગણતરી કરવા માટે ગુણોત્તર ઉકેલવાની એક સરળ સમસ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો વહાણ દક્ષિણપૂર્વથી પૂર્વ તરફ 65 માઇલ ચાલ્યું હોય, તો ઇચ્છિત પૂર્વ તરફના માર્ગથી એલાર્ગરની ગણતરી કરવી એ ફક્ત નીચેના માટે ઉકેલવાની બાબત છેઃ જ્યાં 55 એ 100 માઇલ માટે એલાર્ગર છે (q = 3 પર કોષ્ટકના બીજા સ્તંભમાં આપવામાં આવ્યું છે). આ સરળતાથી સરળ "ત્રણના નિયમ" દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે ક્રોસ-ગુણાકારની એક પદ્ધતિ છે, જેમાં ત્રણ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ચોથા માટે ક્રમિક ગુણાકાર અને વિભાજન દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છેઃ તેથી, E દ્વારા SE પર 65 માઇલની સફર એ અલાર્ગર = = 35.75 માઇલ સૂચવે છે. અવંઝાર, વગેરે. સમાન રીતે સમજી શકાય છે. જ્યારે "ત્રણનો નિયમ" 14મી સદીમાં પહેલેથી જ જાણીતો હતો, ત્યારે મોટા પ્રમાણમાં નિરક્ષર સમાજમાંથી દોરવામાં આવેલા મધ્યયુગીન ખલાસીઓ માટે ગુણાકાર અને વિભાજનને અમલમાં મૂકવાની કુશળતા અસ્પષ્ટ હોઈ શકે છે. તેમ છતાં, તે અપ્રાપ્ય ન હતું. એન્ડ્રીયા બિયાન્કોએ આગ્રહ કર્યો તેમ, નાવિકોએ "સારી રીતે ગુણાકાર અને સારી રીતે વિભાજન કેવી રીતે કરવું તે જાણવું જોઈએ" ("સેવર બેન મોલ્ટિપ્લિચર એ બેન પાર્ટિર") અહીં આપણે વાણિજ્ય અને નેવિગેશનનું મહત્વપૂર્ણ ઇન્ટરફેસ જોઈએ છીએ. વાણિજ્યનું ગણિત-અરબી અંકો, ગુણાકાર, વિભાજન, અપૂર્ણાંકો, માલની ખરીદી અને વેચાણની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી સાધનો અને અન્ય વ્યાપારી વ્યવહારો-અનિવાર્યપણે નેવિગેશનના ગણિત સમાન હતા. અને આ પ્રકારનું ગણિત એબેકસ શાળાઓમાં શીખવવામાં આવતું હતું, જેની સ્થાપના 13મી સદીમાં ઉત્તર ઇટાલીના વ્યાપારી કેન્દ્રોમાં વેપારીઓના પુત્રોને તાલીમ આપવા માટે કરવામાં આવી હતી, તે જ વર્ગ જ્યાંથી ઇટાલિયન નાવિકો લેવામાં આવતા હતા. ઈતિહાસકાર તરીકે ઇ. જી. આર. ટેલર નોંધે છે, "ખલાસીઓ તેમના રોજિંદા કાર્યમાં ગણિતનો ઉપયોગ કરનારા પ્રથમ વ્યાવસાયિક જૂથ હતા" વર્તુળ અને ચોરસ સંખ્યાઓને હેરફેર કરવાની ઉચ્ચ કળાથી પરેશાન લોકો માટે, એક વિકલ્પ હતો. આ "વર્તુળ અને ચોરસ" (ટોન્ડો ઇ ક્વાડ્રો) તરીકે ઓળખાતું દ્રશ્ય ઉપકરણ હતું, જે એન્ડ્રીયા બિયાન્કો દ્વારા તેમના 1436 એટલાસમાં પણ પૂરું પાડવામાં આવ્યું હતું. વર્તુળ 32-પવન હોકાયંત્ર ગુલાબ (અથવા લંબચોરસ રેખાઓનું એકત્રીકરણ) હતું. આ વર્તુળ 8 × 8 ચોરસ ગ્રીડ સાથે અંકિત કરવામાં આવ્યું હતું. કેન્દ્રમાં ઉગેલા હોકાયંત્રની અવગણના કરી શકાય છે-ખરેખર, વર્તુળને જ અવગણી શકાય છે, કારણ કે તે ગ્રીડમાં ચાલતા કિરણોના નિર્માણ સિવાય અન્ય કોઈ હેતુ ધરાવતું નથી. રસનો ગુલાબ ચોરસ ગ્રીડના ઉપરના ડાબા ખૂણામાં છે. તે ખૂણેથી હોકાયંત્રની લંબ રેખાઓની શ્રેણી બહાર આવે છે. તેમના મૂળ 1436 ટોન્ડો ઇ ક્વાડ્રોમાં, બિયાન્કોમાં સોળ ઉત્સર્જિત કિરણો છે-એટલે કે, બિયાન્કોમાં અર્ધ-ચતુર્થાંશ પવન અથવા આઠમા પવન (ઓટાવા) નો સમાવેશ થાય છે, જેથી ઉત્સર્જિત કિરણો 5.625 ડિગ્રીના અંતરાલે હોય. વર્તુળ અને ચોરસની અન્ય રચનાઓ, દા. ત. કોર્નારો એટલાસ, ક્વાર્ટર-પવન અંતર (11.25 ડિગ્રી) પર નીકળતાં માત્ર આઠ કિરણોનો ઉપયોગ કરે છે. દેખીતી રીતે, આ કિરણો 32-પવન હોકાયંત્ર ગુલાબના તળિયે જમણા ક્વાર્ટરની પ્રતિકૃતિ બનાવે છેઃ પૂર્વ (0q), E દ્વારા S (1q), ESE (2q), SE દ્વારા E (3q), SE (4q), SE દ્વારા S (5q), SSE (6q), S દ્વારા E (7q) અને દક્ષિણ (8q). ગ્રીડની ઉપર અંતર બાર સ્કેલ છે, જે પેટા-એકમોથી સજ્જ છે. સ્કેલ પર સંખ્યાઓના બે સમૂહ છે, એક દરેક ગ્રીડ ચોરસને 20 માઈલ માપવા માટે, બીજું દરેક ગ્રીડ ચોરસને 100 માઈલ માપવા માટે (આકૃતિ જુઓ). ટોચની પટ્ટી 20 મીટર પ્રતિ ચોરસ માપ છે, જેમાં દરેક કાળા બિંદુ એક માઇલ સૂચવે છે. નીચેની પટ્ટી 100 મીટર-પ્રતિ-ચોરસ સ્કેલ છે, જ્યાં એકમ ચોરસની લંબાઈને બે સમાન 50 મીટર પેટા-ચોરસમાં વહેંચવામાં આવે છે, અને બિંદુઓ અને લાલ રેખાઓનો સમૂહ તેને 10 માઇલની લંબાઈમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી કોઈ વ્યક્તિ કયા સ્કેલ પસંદ કરે છે તેના આધારે, સમગ્ર ગ્રીડની બાજુની લંબાઈ (આઠ ચોરસ) 160 માઇલ (20 મીટર પ્રતિ ચોરસ સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને) અથવા 800 માઇલ (100 મીટર પ્રતિ ચોરસ સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને) સુધી માપી શકાય છે. વિભાજક સાથેનું કરૂબ સૂચવે છે કે કેવી રીતે નેવિગેટર સંખ્યાઓમાં હેરફેર કરવાને બદલે દ્રશ્ય માપન દ્વારા એલાર્ગર અને અવાન્ઝરની ગણતરી કરવા માટે ગ્રીડનો ઉપયોગ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ધારો કે વહાણએ ઇચ્છિત માર્ગની નીચે બે ચતુર્થાંશ પવન સાથે 120 માઇલની મુસાફરી કરી છે (દા. ત. ઇ. એસ. ઇ. ખાતે મુસાફરી કરી, જ્યારે ઇચ્છિત માર્ગ પૂર્વ છે). વિભાજક અને 20 મીટર સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને, નેવિગેટર તેના વિભાજક સાથે 120 માઇલ માપી શકે છે. પછી ટોચના ડાબા ખૂણા (A) પર એક છેડો સુયોજિત કરીને, તે ESE કિરણોની સાથે વિભાજક મૂકે છે (= પૂર્વ કિરણોની નીચે બે ચતુર્થાંશ પવન, અથવા ગ્રીડની આડી ટોચ) અને સ્થળને ચિહ્નિત કરે છે (આકૃતિ પર બિંદુ B). પછી સીધી ધાર શાસકનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વ કિરણ સુધી એક રેખા ખેંચે છે, અને અનુરૂપ સ્થળ C ને ચિહ્નિત કરે છે. તે તરત જ જોવાનું સરળ છે કે જમણા ખૂણાવાળો ત્રિકોણ ABC બનાવવામાં આવ્યો છે. ઇ. સ. પૂર્વેની લંબાઈ એ એલાર્ગર (ઇચ્છિત માર્ગથી અંતર) છે, જેને 46 માઇલ તરીકે માપી શકાય છે (આને દૃષ્ટિની રીતે બે ગ્રીડ ચોરસ વત્તા એક બીટ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે 20 મીટર + 20 મીટર છે અને થોડુંક જેને વિભાજક અને 20 મીટર બાર સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને 6 મીટર તરીકે મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે). એસીની લંબાઈ અવંઝાર છે (અંતર સારું બને છે), જે 111 માઇલ છે-દૃષ્ટિની રીતે, પાંચ ગ્રીડ ચોરસ અને એક બીટ, અથવા (20 × 5) + 11, વિભાજક દ્વારા માપવામાં આવે છે અને ફરીથી માપવામાં આવે છે. આ રીતે "વર્તુળ અને વર્ગ" ગુણાકાર અને વિભાજન અથવા ત્રણના નિયમ દ્વારા સંખ્યાઓને હેરફેર કરે છે. નેવિગેટર માત્ર માપ દ્વારા જ અવંઝાર અને અલાર્ગરનું દૃષ્ટિની રીતે મૂલ્યાંકન કરી શકે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કોઈપણ ઇચ્છિત બેરિંગ અને વિચલન માટે થઈ શકે છે, કારણ કે તેનો એકમાત્ર હેતુ ત્રિકોણને વિભાજક અને સ્કેલ દ્વારા ઉકેલવાનો છે. દા. ત. અમારા પ્રથમ કોર્સિકા-થી-જેનોઆ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં ઇચ્છિત બેરિંગ ઉત્તર હતું પરંતુ જહાજ વાસ્તવમાં ઉત્તરપશ્ચિમ તરફ રવાના થયું હતું, નેવિગેટર ડિવાઇડરને 70 માઇલની લંબાઈ પર સેટ કરશે અને તેને ચોથા ક્વાર્ટર પવન સાથે મૂકશે (= ટોન્ડો ઇ ક્વાડ્રોમાં એસઇ રે, કારણ કે એનડબલ્યુ ઉત્તરથી ચાર ક્વાર્ટર પવન દૂર છે). તે બરાબર એ જ રીતે અલાર્ગર અને અવાન્ઝરની ગણતરી કરશે-ગ્રીડની આડી ટોચ પર એક રેખા દોરો, ચોરસને માપો, વગેરે. ટોન્ડો ઇ ક્વાડ્રો ઉપકરણ આરબ સાઇન ક્વાડ્રન્ટ (રુબુલ મુજયાબ) જેવું જ છે, જેમાં ખૂણાના કિરણો એડજસ્ટેબલ પ્લમ્બ લાઇનની ભૂમિકાની નકલ કરે છે. અન્ય ઉપયોગો જ્યારે ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો (અને તેના દ્રશ્ય પ્રતિરૂપ, ટોન્ડો ઇ ક્વાડ્રો) ઇચ્છિત અભ્યાસક્રમને પુનઃપ્રાપ્ત કરવાના સ્પષ્ટ કાર્ય માટે રચાયેલ છે, ત્યારે તેનો વધુ રીતે ઉપયોગ કરી શકાય છે, નેવિગેશનલ સમસ્યાઓના ઘણા વર્ગો માટે, દા. ત. બહુવિધ અસર ધરાવતા ફેરફારો વગેરે સાથે અભ્યાસક્રમ તૈયાર કરવો. ત્રિકોણ ત્રિકોણ માટે માર્ટેલોયોના નિયમની રસપ્રદ એપ્લિકેશનોમાંની એક છે, દા. ત. કિનારાના સીમાચિહ્નથી વહાણનું અંતર નક્કી કરવું. (રોડ્સના વેનેશિયન નેવિગેટર માઈકલની નોંધમાં આ અંતિમ કવાયતનો પ્રયાસ હતો, જેની આપણે અહીં નકલ કરીએ છીએ.) ઉદાહરણ તરીકેઃ ધારો કે એનડબલ્યુ ("મેસ્ટ્રો") પર સફર કરતું જહાજ એક સાંજે પશ્ચિમ તરફ ("પોન્ટેન્ટે") એક સીમાચિહ્ન જુએ છે, પરંતુ અંતર અજ્ઞાત છે. ધારો કે જહાજ રાતોરાત એનડબલ્યુ માર્ગ પર સફર કરવાનું ચાલુ રાખે છે, અને બીજી સવારે, 40 માઇલ પછી, તે નોંધે છે કે સીમાચિહ્ન હવે તેની હાલની સ્થિતિનું પશ્ચિમ-દક્ષિણપશ્ચિમ (ડબલ્યુએસડબલ્યુ, "પોન્ટે-લિબેસિઓ") છે. વહાણથી સીમાચિહ્નનું અંતર શોધવું એ માત્ર માર્ટેલોયોના નિયમનો ઉપયોગ છે. સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે, સાંજની સ્થિતિ (નકશા પર A) થી પ્રારંભ કરો અને જહાજ અને સીમાચિહ્ન (લંબાઈ AB) વચ્ચેના અંતરને ઇચ્છિત માર્ગ તરીકે અને જહાજના વાસ્તવિક માર્ગ (NW) ને વિચલન તરીકે ગણાવો. સવાર (સી) માં જહાજની સ્થિતિથી સીમાચિહ્નનું અંતર નક્કી કરવું એ ઇ. સ. પૂર્વેના અંતરને ગણતરી કરેલ રીટોર્નો તરીકે ગણવાની બાબત છે. રિટોર્નોની ગણતરી કરવા માટે આપણે એલાર્ગર જાણવાની જરૂર હોવાથી, આ બે-પગલાંની પ્રક્રિયા છે. પ્રથમ, નોંધ લો કે એનડબલ્યુ એ ડબલ્યુ ઉપર ચાર ચતુર્થાંશ પવન છે, તેથી ટોલેટાને જોતા, ક્યૂ = 4 હરોળમાં, એલાર્ગર એનડબલ્યુ કોર્સ પર દર 100 માઇલ માટે 71 માઇલ છે. પરંતુ વહાણ રાતોરાત માત્ર 40 માઈલ ચાલ્યું હતું, તેથી આપણે ગુણોત્તર 71/100 = x/40 ઉકેલવો પડશે, જે ત્રણના નિયમ દ્વારા x = અલાર્ગર = 28,4 માઈલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એ થી સી સુધી 40 માઇલ સુધી રાતોરાત સફર કરીને એનડબલ્યુ દ્વારા, જહાજ હવે તેના "ઇચ્છિત" પશ્ચિમ તરફના માર્ગથી 28,4 માઇલ દૂર છે. હવે રિટોર્નો માટે. સીમાચિહ્ન, નોંધ્યું છે તેમ, વહાણની સવારની સ્થિતિ (સી) નું ડબલ્યુએસડબલ્યુ છે. તેથી સીમાચિહ્ન પર "પાછા ફરવા" માટે, જહાજએ તેના વર્તમાન એનડબલ્યુ બેરિંગને ડબલ્યુએસડબલ્યુ બેરિંગમાં બદલવું પડશે-એટલે કે, એનડબલ્યુથી 6 ક્વાર્ટર-પવન નીચે. જો કે, ટોલેટા "ઇચ્છિત" દિશા (આ કિસ્સામાં, પશ્ચિમ) ની દ્રષ્ટિએ ક્વાર્ટર પવનને સ્પષ્ટ કરે છે, અને WSW એ પશ્ચિમની નીચે બે ક્વાર્ટર પવન છે, તેથી આપણે q = 2 પંક્તિ જોવાની જરૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે રિટોર્નો દર 10 માઇલ એલાર્ગર માટે 26 માઇલ છે. એલાર્ગર 28.4 હોવાથી, તેનો અર્થ એ કે રિટોર્નો 26 × 2.84 = 73.84 છે. અને તે આપણી પાસે છે. આ સીમાચિહ્ન વહાણની સવારની સ્થિતિથી 73.84 માઇલ દૂર છે. (વાર્તાને પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે એ જાણવાની ઇચ્છા રાખી શકીએ કે સીમાચિહ્ન એ સાંજ પહેલાનું અંતર હતું (એટલે કે. બિંદુ A થી સીમાચિહ્ન B). તે માત્ર રિટોર્નોમાં અવાન્ઝર અને અવાન્ઝોને ઉમેરવાની બાબત છે. ઝડપી ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે અવાન્ઝર (40 માઈલ માટે @q = 4) 28.4 માઈલ (= 71 × 40/100) છે અને અવાન્ઝો ડી રિટોર્નો (28.4 માઈલ માટે @q = 2) 2.84 × 24 = 68.16 છે. તેથી કુલ એવાન્ઝો = 28.4 + 68.16 = 96.56 માઈલ. તે સીમાચિહ્ન અને અગાઉની સાંજે જહાજ વચ્ચેનું અંતર હતું.) સ્થાન શોધવું માર્ટેલોયોના નિયમનો ઉપયોગ લક્ષ્ય તરીકે અવંઝાર સાથે પણ થઈ શકે છે, દા. ત. ધારો કે એક જહાજ ટોર્ડેસિલાસ રેખા શોધવાના હેતુથી નીકળે છે, જે કેપ વર્ડેની પશ્ચિમમાં 370 લીગમાં 1494 સંધિમાં કાયદેસર રીતે નિર્ધારિત મેરિડીયન છે. જહાજને કેપ વર્ડેથી બહાર નીકળવાની જરૂર નથી અને તેને શોધવા માટે વેસ્ટ બેરિંગ પર સતત સફર કરવાની જરૂર નથી. તેના બદલે, તે વધુ અનુકૂળ બેરિંગ પર બહાર નીકળી શકે છે (દા. ત. એસડબલ્યુ), અને પશ્ચિમને "ઈરાદાપૂર્વકનો" માર્ગ માને છે. તેથી માર્ટેલોયો નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તે ત્યાં સુધી આગળ વધી શકે છે જ્યાં સુધી "ઈરાદો" વેસ્ટ કોર્સ પર અવાન્ઝર 370 લીગ સુધી ન પહોંચે. ખરેખર, તેને કેપ વર્ડેથી બહાર નીકળવાની પણ જરૂર નથી, પરંતુ તે બીજા સ્થળેથી બહાર નીકળી શકે છે, જેમ કે સેવિલે, અને કેપ વર્ડેના જાણીતા અંતર અને બેરિંગનો ઉપયોગ કરી શકે છે (એટલે કે. સેવિલે) અને જ્યારે તે આખરે ટોર્ડેસિલાસ મેરિડીયન સુધી પહોંચી ગયું હોય ત્યારે ગણતરી કરવા માટે માર્ટેલોયોનો નિયમ. આ બે પગલાં લે છે. ધારો કે કેપ વર્ડે (નકશા પર બી) સેવિલેના દક્ષિણપશ્ચિમમાં 400 લીગ છે (નકશા પર એ), પરંતુ જહાજ સેવિલેથી સીધા પશ્ચિમમાં ખુલ્લા સમુદ્રમાં ટોર્ડેસિલાસ મેરિડીયન સુધી પહોંચવાનો ઇરાદો ધરાવે છે. સફર કરવા માટે કેટલો સમય લાગશે? માર્ટેલોયોના નિયમ દ્વારા આનો ઉકેલ લાવવાનો રસ્તો એ છે કે સમસ્યાને વિપરીત રીતે રજૂ કરવીઃ પશ્ચિમને ઇચ્છિત અસર તરીકે અને એસડબલ્યુને વાસ્તવિક માર્ગ તરીકે ગણવો. એસડબલ્યુ એ ડબલ્યુ ની નીચે ચાર ચતુર્થાંશ પવન છે, તેથી ટોલેટાને q = 4 માટે જોતા, અવાન્ઝર દર 100 માઇલ માટે 71 છે. તેથી જો કોઈ જહાજ "વાસ્તવિક" એસડબલ્યુ કોર્સથી કેપ વર્ડે સુધી 400 લીગમાં સફર કરે છે, તો તે "ઇચ્છિત" પશ્ચિમ તરફના કોર્સ પર 284 લીગ (= 71 × 4) નું અવાન્ઝર પ્રાપ્ત કરશે. અલબત્ત, જહાજ વાસ્તવમાં એસડબલ્યુથી કેપ વર્ડે તરફ નથી જઈ રહ્યું, પરંતુ ડબલ્યુ ખુલ્લા સમુદ્રમાં જઈ રહ્યું છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે જહાજ સેવિલેથી પશ્ચિમ તરફ રવાના થાય છે, ત્યારે તે જાણે છે કે તે ગર્ભિત કેપ વર્ડે મેરિડીયન (નકશા પર બિંદુ સી) સુધી પહોંચે તે પહેલાં તેને પશ્ચિમ બેરિંગ પર 284 લીગની સફર કરવાની જરૂર છે, અને તે પછી માત્ર 370 લીગની ટોર્ડેસિલાસ રેખા સુધી ગણતરી શરૂ કરવી જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેને ટોર્ડેસિલાસ રેખા (નકશા પર બિંદુ ડી) સુધી પહોંચવા માટે સેવિલેની પશ્ચિમમાં કુલ 284 + 370 = 654 લીગની સફર કરવાની જરૂર છે. જ્યારે આ વિશિષ્ટ ઉદાહરણ માર્ટેલોયોના નિયમની લવચીકતા દર્શાવે છે, ત્યારે તે તેની એક મુખ્ય ખામી પણ દર્શાવે છેઃ પરિણામ પૃથ્વીના વળાંકની સંપૂર્ણપણે અવગણના કરે છે, એટલે કે. હકીકત એ છે કે રેખાંશ મેરિડીયન રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવ પર ભેગા થાય છે, અને આમ ઉચ્ચ અક્ષાંશો પર સાંકડી થાય છે. માર્ટેલોયો જે સૂચવે છે તેનાથી વિપરીત, કેપ વર્ડેની પશ્ચિમમાં 370 લીગ સેવિલેની પશ્ચિમમાં 654 લીગની જેમ રેખાંશ મેરિડીયન પર નથી. કારણ કે સેવિલે કેપ વર્ડેની ઉત્તરે સારી રીતે આવેલું છે, મેરિડીયન કેપ વર્ડેના અક્ષાંશ કરતાં સેવિલેના અક્ષાંશ પર એકબીજાની નજીક ક્લસ્ટર થયેલ છે. સેવિલેની પશ્ચિમે સફર કરતું જહાજ, હકીકતમાં, 654 લીગ (પોઇન્ટ ડી) રવાના થાય તે પહેલાં જ વાસ્તવિક ટોર્ડેસિલાસ મેરિડીયન (નકશા પર પોઇન્ટ ટી) સુધી પહોંચશે. માર્ટેલોયોના નિયમમાં ખલાસીઓ ચાર્ટ પર સમતલ ત્રિકોણ દોરીને માર્ગોની યોજના બનાવે છે, જાણે કે વિશ્વની સપાટી સપાટ હોય. ભૂમધ્ય સમુદ્રના સઘન અક્ષાંશો સુધી મર્યાદિત નૌકાવિહાર માટે આ પૂરતું વ્યવહારુ હોઈ શકે છે, પરંતુ તે મોટા પાયે તદ્દન ભ્રામક છે. 15મી અને 16મી સદીના અંતમાં, દરિયાઈ ખગોળશાસ્ત્રમાં સુધારો અને અક્ષાંશ સમાનતાઓની રજૂઆતથી નાવિકો અંતરના અંદાજ પર આધાર રાખવાને બદલે આકાશી વાંચન દ્વારા સમુદ્રમાં તેમની સ્થિતિ નક્કી કરી શક્યા. માર્ટેલોયોના શાસનનો ઉત્તરાધિકારી "રેજિમેન્ટ ઓફ ધ લીગ" (રેજિમેન્ટો દાસ લેગુઆસ) હતો, જેનો ઉપયોગ એટલાન્ટિક મહાસાગરમાં સફર કરતા પોર્ટુગીઝ નાવિકો દ્વારા કરવામાં આવતો હતો. અથવા, વિલિયમ બોર્ન (1571) દ્વારા રજૂ કરાયેલા શબ્દનો ઉપયોગ કરવા માટે, "ડિગ્રી વધારવા અથવા મૂકવાનો નિયમ", જેને "ટેબલ ઓફ લીગ" અથવા "પોલ વધારવા માટેનો નિયમ" તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તે સૌપ્રથમ પોર્ટુગીઝ નેવિગેશન મેન્યુઅલ રેજિમેન્ટો ડો એસ્ટ્રોલાબિયો ઇ ડો ક્વાડ્રન્ટેમાં લખવામાં આવ્યું હતું (લિસ્બનમાં સી. 1509માં પ્રકાશિત થયું હતું, પરંતુ સી. 1480માં લખાયું હતું) તેને માર્ટિન કોર્ટેસ ડી અલ્બાકર દ્વારા તેમના 1551 બ્રેવ કોમ્પેન્ડિયો લા એસ્ફેરા વાય ડેલ આર્ટે ડી નેવેગરમાં લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યું હતું. "લીગની રેજિમેન્ટ" માર્ટેલોયોના નિયમથી ખૂબ અલગ નથી. લીગની રેજિમેન્ટ હંમેશા પશ્ચિમ-પૂર્વ અસરને "ઇચ્છિત માર્ગ" તરીકે માને છે અને પગલાં તેનાથી વિચલનો નક્કી કરે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, લીગ ટેબલ એલાર્ગરના નિશ્ચિત મૂલ્યને ધ્યાનમાં લે છે-જે 1 અક્ષાંશ ડિગ્રી (અથવા, સમયના માપમાં, 17.5 (પોર્ટુગીઝ) લીગ અથવા સમકક્ષ 70 (ઇટાલિયન) માઇલ પર સેટ છે. તે પછી નૌકાવિહારની દિશાના દરેક જુદા જુદા ક્વાર્ટર પવન (હંમેશા ઇચ્છિત માર્ગથી દૂર રહેવાને બદલે ઉત્તર-દક્ષિણ અક્ષથી દૂર ક્વાર્ટર તરીકે નિયુક્ત), રિલેવર અને અફાસ્ટાર આપે છે. રિલેવર એ વાસ્તવિક માર્ગ પરની લીગની સંખ્યા છે કે જે પૂર્વ-નિર્ધારિત 1 ડિગ્રી અક્ષાંશ (પ્રારંભિક સમાંતરથી એલાર્ગરની 17,5 લીગ) ને આવરી લેવા માટે જહાજને સફર કરવી આવશ્યક છે. અફસ્તાર માત્ર પશ્ચિમ-પૂર્વ તરફનું અનુરૂપ અવંઝાર છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ધારો કે જહાજ પૂર્વ-દક્ષિણપૂર્વ (ઇ. એસ. ઇ.) બેરિંગ પર નીકળે છે. તે દક્ષિણથી છ ચતુર્થાંશ પવન છે (યાદ રાખોઃ માર્ટેલોયોથી વિપરીત, લીગની રેજિમેન્ટ હંમેશા ઉત્તર-દક્ષિણ મેરિડીયનથી દૂર ચતુર્થાંશ પવનને માપે છે). લીગ ટેબલની કોઈપણ રેજિમેન્ટને જોતાં (દા. ત. માર્ટિન કોર્ટેસ ડી અલ્બાકર, 1551), q = 6 માટે, કોષ્ટક રિલેવરને 45 લીગ અને અફાસ્ટારને 42 લીગ તરીકે આપે છે. આનો અર્થ એ છે કે ESE બેરિંગ પર સફર કરતા જહાજને એક ડિગ્રી અક્ષાંશને આવરી લેવા માટે 45.73 લીગમાં સફર કરવી પડશે (માર્ટેલોયો ભાષાનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂર્વ બેરિંગથી એલાર્ગરની 17.5 લીગ), અને અનુરૂપ અફાસ્ટાર (માર્ટેલોયોની શરતોમાં અવાન્ઝર) 42.25 લીગ હશે. જો, તેના બદલે, જહાજ એસઇ બેરિંગ પર નીકળ્યું હતું, એટલે કે દક્ષિણથી ચાર ચતુર્થાંશ પવન ઉપર, તો q = 4 પર લીગ ટેબલની રેજિમેન્ટના અનુરૂપ મૂલ્યો રીલેવર = 24 અને અફાસ્ટાર = 17 છે. નોંધ લો કે એસઇ બેરિંગ ઝડપથી 1 ડિગ્રી એલાર્ગર સુધી પહોંચે છે (એટલે કે. ઇ. એસ. ઇ. બેરિંગ કરતા નાના રિલેવર), અને તેમાં ઓછા અફાસ્ટાર (એન. એસ. મેરિડીયનની નજીક) હશે. ગાણિતિક રીતે, રિલેવર = 17.5/cos θ અફાસ્ટાર = 17.5 × ટેન θ જ્યાં θ = 11.25 × ઉત્તર-દક્ષિણ અક્ષથી દૂર ક્વાર્ટર-પવનની સંખ્યા. પરિભાષામાં તફાવત હોવા છતાં, ખાસ કરીને અક્ષાંશ ડિગ્રીનો ઉપયોગ, માર્ટેલોયો અને લીગની રેજિમેન્ટનો નિયમ ખૂબ સમાન છે-તે બંને સમતલ ચાર્ટ પર ત્રિકોણને ઉકેલવા વિશે છે. માર્ટેલોયો પર રેજિમેન્ટનો ફાયદો એ છે કે કોષ્ટકમાં અક્ષાંશ સમાંતરની રજૂઆત છે, જેથી ખગોળશાસ્ત્રીય નિરીક્ષણ (ચતુર્થાંશ, એસ્ટ્રોલેબ, વગેરે દ્વારા) દ્વારા સ્થિતિ ચકાસી શકાય. ), અને અંતર અને દિશાના નાવિકના અંદાજો પર સંપૂર્ણપણે આધાર રાખવાની જરૂર નથી. રેજિમેન્ટ સાથે, ભૌગોલિક નિર્દેશાંકોનો ઉપયોગ નેવિગેશનને માર્ગદર્શન આપવા માટે પણ થઈ શકે છે. દાખલા તરીકે, ટોડેસિલાસ રેખા (કેપ વર્ડેની પશ્ચિમે મેરિડીયન 370 લીગ) ની શોધ ચોક્કસ અક્ષાંશના સંદર્ભમાં ખૂબ સરળ છે. દાખલા તરીકે, ધારો કે બે જહાજો કેપ વર્ડે (17° ઉત્તર) થી, એક પશ્ચિમમાં ઉત્તર બેરિંગ દ્વારા (ડબલ્યુ. બી. એન., જે પશ્ચિમથી એક ચતુર્થાંશ ઉપર છે, અથવા ઉત્તર અક્ષથી ક્યૂ = 7), અન્ય પશ્ચિમ-ઉત્તરપશ્ચિમ બેરિંગ દ્વારા (ડબલ્યુ. એન. ડબલ્યુ., પશ્ચિમથી બે ચતુર્થાંશ ઉપર, અથવા ઉત્તર અક્ષથી ક્યૂ = 6) પ્રસ્થાન કરે છે. લીગની રેજિમેન્ટનો ઉપયોગ કરીને, ચોક્કસ અક્ષાંશોની ગણતરી કરવી શક્ય છે જ્યારે તેઓ ટોર્ડેસિલાસ મેરિડીયનને પાર કરશે-વિવિધ બેરિંગ્સ પર ગર્ભિત અફાસ્ટાર દ્વારા પશ્ચિમમાં 370 લીગને વિભાજીત કરો. ડબલ્યુ. બી. એન. જહાજ જ્યારે 21°21 'ઉત્તર અક્ષાંશ પ્રાપ્ત કરશે ત્યારે તે મેરિડીયન સુધી પહોંચશે, જ્યારે ડબલ્યુ. એન. ડબલ્યુ. જહાજ જ્યારે 29° ઉત્તર અક્ષાંશ પ્રાપ્ત કરશે ત્યારે તે પહોંચશે. તેથી કલાકની ઘડિયાળ અને સ્પીડ રીડિંગ્સ સાથે લીગની ગણતરી કરવાને બદલે, જહાજો માત્ર બેરિંગ જાળવી શકે છે, અને તેમના અક્ષાંશનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે સમયાંતરે ખગોળીય અવલોકનો લઈ શકે છે. "ટ્રાવર્સ સેઇલિંગ" સાથેનો સંબંધ ટોલેટા ડી માર્ટેલોયો વધુ આધુનિક નેવિગેશનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા આધુનિક "ટ્રાવર્સ ટેબલ" ના પૂર્વજો છે. આધુનિક નામકરણમાં, ટ્રેવર્સ એ "જહાજ દ્વારા બનાવેલ વળાંકવાળો માર્ગ છે જ્યારે તે ઘણી ક્રમિક દિશાઓમાં સફર કરે છે" અને ટ્રેવર્સને ઉકેલવું એ "એક જ માર્ગ અને અંતર શોધવાની પદ્ધતિ છે જે જહાજને બે અથવા વધુ અભ્યાસક્રમો અને અંતર તરીકે સમાન સ્થાન પર લાવશે". માર્ટેલોયો ભાષામાં, જ્યારે "ટ્રાવર્સનું નિરાકરણ" કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપવામાં આવેલી જાણીતી માહિતી "વાસ્તવિક માર્ગ" અને "રિટોર્નો" છે, જ્યારે અજ્ઞાત "ઇચ્છિત અસર" અને "કુલ અવાન્ઝો" છે. ટ્રાવર્સ કોષ્ટકો દરેક વળાંકવાળા કોર્સ સેગમેન્ટ્સ માટે ત્રણ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરે છે-અંતર (ડિસ્ટ. ), અક્ષાંશનો તફાવત (D.Lat, N-S અક્ષ સાથે હિલચાલ) અને પ્રસ્થાન (ડેપ., E-W અક્ષ સાથે હિલચાલ), પછીના બે સૂત્રો દ્વારા ગણવામાં આવે છેઃ અક્ષાંશનો તફાવત = અંતર × cos θ પ્રસ્થાન = અંતર × sin θ જ્યાં θ એ N-S અક્ષથી અભ્યાસક્રમનો કોણીય તફાવત છે જો θ ની કિંમતો 45° કરતા ઓછી હોય; જો, તેમ છતાં, કોણ 45° કરતાં વધી જાય, તો θ ને E-W અક્ષથી તફાવત કોણ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અને સૂત્રોને પલટી દેવામાં આવે છે, એટલે કે. અક્ષાંશ સૂત્રનો તફાવત પ્રસ્થાન બની જાય છે, અને પ્રસ્થાન સૂત્ર અક્ષાંશનો તફાવત છે). અથવા, વધુ સરળ રીતે, નજીકના મુખ્ય પવન (N, S, E, W) થી તફાવત કોણ તરીકે θ ની ગણતરી કરો, સૂત્રોને ચલાવો અને પછી મોટી સંખ્યાને યોગ્ય સ્તંભ (D.Lat) માં મૂકો. અથવા ડે.). દરેક કોર્સ સેગમેન્ટ માટે, નેવિગેટર સંબંધિત ત્રિપુટી (જિલ્લા, D.Lat., ડેપો.) દાખલ કરે છે. અને શરૂઆતથી અંતિમ બિંદુ સુધી ગર્ભિત બેરિંગની ગણતરી કરી શકે છે અને તે બેરિંગ પર સારું અંતર બનાવી શકે છે. પછી તે અક્ષાંશ અને પ્રસ્થાનનો એકંદર તફાવત મેળવવા માટે, અક્ષાંશ અને પ્રસ્થાનના તમામ તફાવતોને ઉમેરા અને બાદબાકી દ્વારા જોડે છે, અને તેને એકંદર બેરિંગ અને અંતરમાં ફેરવે છે. હસ્તપ્રત સ્રોતો રેમન લુલની સૂચક 1295 ટિપ્પણીઓને બાજુએ મૂકીને, માર્ટેલોયોનો સૌથી પહેલો જાણીતો સંદર્ભ જેનોઆના ચોક્કસ ઓબર્ટો ફોગ્લીટોની માતાની સંપત્તિની યાદીમાં 1390નો છે, જ્યાં એક એન્ટ્રીમાં ઉનમ martelogium.item કાર્ટા ઉના પ્રો નેવેગાન્ડો લખવામાં આવ્યું છે. પ્રથમ સ્પષ્ટ દેખાવ અને સમજૂતી વેનેશિયન કપ્તાન એન્ડ્રીયા બિયાન્કોનું 1436 એટલાસ છે. ત્યારથી માર્ટેલોયોના શાસનને લગતી અન્ય પ્રારંભિક હસ્તપ્રતો મળી આવી છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ એક અનામી 15મી સદીના વેનેશિયન કોડેક્સ, 1428 પછી, જે એક સમયે ડોગે માર્કો ફોસ્કેરિનીના સંગ્રહનો ભાગ હતો, જે હવે ખોવાઈ ગયો છે. ધ લિબર ઓફ વેનેશિયન મરીનર માઈકલ ઓફ રોડ્સ (c. 1434-36) (સુશ્રી. ખાનગી સંગ્રહમાં) એન્કોના ગ્રેઝિયોસો બેનિન્કાસાના એડ્રિયાટિક પોર્ટોલાનો, સંકલિત 1435-45 (સુશ્રી. એન્કોના, ઇટાલીમાં બિબ્લિયોટેકા કોમ્યુનલ લુસિયાનો બેનિન્કાસામાં). વેનેશિયન પોર્ટોલાનો હસ્તપ્રત પિએટ્રો ડી વર્સી દ્વારા અલ્ક્યુન રેક્સિયન ડી મેરિનરી, સી. 1444 (Ms.It.IV. 170 વેનિસ, ઇટાલીમાં બિબ્લિયોટેકા નાઝિઓનેલ માર્સિયાના ખાતે) મોડોનેના ઝોર્ઝી ટ્રોમ્બેટા તરીકે ઓળખાતા વેનેશિયન નૌકાદળના ટ્રમ્પેટરનું લિબ્રો, તારીખ c. 1444-49 (લંડન, યુકેમાં બ્રિટીશ લાઇબ્રેરીમાં કોટન એમએસ. ટાઇટસ A.XXVI) આર્ટે વેનેઝિયાના ડેલ નેવિગરે તરીકે ઓળખાતી અનામિક વેનેશિયન હસ્તપ્રત, c. 1444-45 (સુશ્રી C.M.17 પાદુઆ, ઇટાલીમાં બિબ્લિયોટેકા ડેલ મ્યુઝીઓ સિવિકો ડી પાડોવા ખાતે). રાગિઓની એન્ટીક સ્પેટ્ટાન્ટી ડેલ 'આર્ટે ડેલ મેરે એટ ફેબ્રિકે ડી વેસેલી (સુશ્રી એનવીટી 19, ગ્રીનવિચ, યુકેમાં નેશનલ મેરીટાઇમ મ્યુઝિયમ ખાતે). કોર્નારો એટલાસ, અગાઉની હસ્તપ્રતની સી. 1489 નકલ, (લંડનમાં બ્રિટિશ લાઈબ્રેરીમાં Ms.Egerton 73) 15મી સદીના અનામી વેનેશિયન પોર્ટોલાનો (સુશ્રી 3345 * (Fosc.307) વિયેના, ઑસ્ટ્રિયામાં ઓસ્ટરરીચિશે નેશનલબીબ્લિયોથેક (±NB) ખાતે) નોંધે છે બાહ્ય સંસાધનો અલ્ટાન્ટે બિયાન્કો, 1436 પર Internetculturale.it; ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન Geoweb.sbn.venezia.it પર. મેકગી, ડી. એટ અલ. (2003 પછી) માઈકલ ઓફ રહોડ્સઃ એક મધ્યયુગીન નાવિક અને તેમની હસ્તપ્રત વેબસાઇટ (20 જુલાઈ, 2011 સુધી પહોંચેલી). (મૂળ એમ. આઈ. ટી. ખાતે ડિબનર ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ધ હિસ્ટ્રી ઓફ સાયન્સ એન્ડ ટેકનોલોજી દ્વારા હોસ્ટ કરાયેલ, જે હવે ઇટાલીના ફ્લોરેન્સમાં મ્યુઝીઓ ગેલિલિયો ઇન્સ્ટિટ્યૂટ અને મ્યુઝિયમ ઓફ ધ હિસ્ટ્રી ઓફ સાયન્સ દ્વારા હોસ્ટ કરાયેલ છે) રેફરન્સ એક્ઝેલ, એ. ડી. (2001) ધ રિડલ ઓફ ધ કમ્પાસઃ ધ ઇન્વેન્શન ધેટ ચેન્જ્ડ ધ વર્લ્ડ ન્યૂ યોર્કઃ હાર્કોર્ટ. આલ્બર્ટિસ, ઇ. એ. (1893) લે કન્સ્ટ્રુઝિઓની નાવલે એ લ 'આર્ટે ડેલા નેવિગેઝિઓન અલ ટેમ્પો ડી ક્રિસ્ટોફોરો કોલંબો, પેટ IV, વોલ્યુમ. રેક્કોલ્ટા ડી ડોક્યુમેન્ટી અને સ્ટડી પબ્લિકલીકાટી ડલ્લા રીઅલ કમિશન કોલમ્બિયાના પેલ ક્વાર્ટો સેન્ટેનારિયો ડેલા સ્કોપર્ટા ડેલ 'અમેરિકા. રોમઃ મિનિસ્ટેરો ડેલા પબ્લિકા ઇસ્ટ્રુઝિઓન. અલ્બુકર્ક, એલ. ડી. (1970) "એ નેવેગાઓ એસ્ટ્રોનોમિકા", એ. કોર્ટેસો, સંપાદક, 1969-70, હિસ્ટોરીયા દા કાર્ટોગ્રાફિયા પોર્ટુગેસા, વોલ્યુમ. 2. લિસ્બનઃ જુંટા ડી ઇન્વેસ્ટિગાઓસ ડુ અલ્ટ્રામર, પી. (1975માં પુનઃમુદ્રિત તરીકે, એસ્ટુડોસ ડી હિસ્ટોરીયા, વોલ્યુમ. 3. કોઈમ્બ્રાઃ યુસી બિબ્લિયોટેકા ગેરલ ઓનલાઈન) અલ્બુકર્ક, લુઇસ ડી (1973) "ઓ ટ્રાટાડો ડી ટોર્ડેસિલહાસ ઇ ડિફિકલ્ડેડ્સ ટેક્નીકાસ દા સુઆ એપ્લિકાકાઓ રિગોરોસા" ઇન એલ ટ્રાટાડો ડી ટોર્ડેસિલાસ વાય સુ પ્રોયેસિઓન, વોલ્યુમ. 1, pp. 119-366. (1974માં પુનઃમુદ્રિત તરીકે, એસ્ટુડોસ દ હિસ્ટોરીયા, વોલ્યુમ. 2. કોઇમ્બ્રાઃ યુ. સી. બિબ્લિયોટેકા ગેરલ. પીપી. 221p56 બ્રેઝિંગ, એ. (1881) "લા ટોલેટા દ માર્ટેલોજો ઉંડ ડાઈ લોક્સોડ્રોમિશેન કાર્ટન", ઝીટ્સક્રિફ્ટ ફર વિસેન્શાફ્ટલિચે જિયોગ્રાફી, વોલ્યુમ. II, પં. 1 (પીપી. 129-33), Pt. 2 (pp. 180-95). બ્રુમ્મેલેન, જી. (2010) ડી. જાર્ડિન અને એ. શેલ-ગેલેશમાં "ક્લિયર સેઇલિંગ વિથ ટ્રિગોનોમેટ્રી", સંપાદકો, મેથેમેટિકલ ટાઇમ કેપ્સ્યુલ્સઃ ગણિત વર્ગખંડ માટે ઐતિહાસિક મોડ્યુલો. મેથેમેટિકલ એસોસિએશન ઑફ અમેરિકા. કેમ્પબેલ, ટી. (1987) "પોર્ટોલન ચાર્ટ્સ ફ્રોમ ધ લેટ તેરમી સદી ટુ 1500", જે. બી. હાર્લી અને ડી. વુડવર્ડમાં, સંપાદકો, ધ હિસ્ટ્રી ઓફ કાર્ટોગ્રાફી, વોલ્યુમ. 1-પ્રાગૈતિહાસિક, પ્રાચીન અને મધ્યયુગીન યુરોપ અને ભૂમધ્ય પ્રદેશમાં નકશાકરણ. શિકાગોઃ યુનિવર્સિટી ઓફ શિકાગો પ્રેસ, પીપી. 371-63 ઓનલાઇન (PDF) કોર્ટેસો, એ. (1969) પોર્ટુગીઝ કાર્ટોગ્રાફીનો ઇતિહાસ. કોઇમ્બ્રાઃ જુંટા ડી ઇન્વેસ્ટિગાઓસ ડુ અલ્ટ્રામર કોટર, સી. એચ. (1978) "અર્લી ટેબ્યુલર, ગ્રાફિકલ એન્ડ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ, પ્લેન સેઇલિંગની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ", રેવિસ્ટા દા યુનિવર્સિડેડ ડી કોઇમ્બ્રા, વોલ્યુમ. 26, પીપી. 3-20 ઓફપ્રિન્ટ ડી 'અવેઝેક, એમ. એ. પી. માર્કિસ (1874) એપેરકસ હિસ્ટોરિક્સ સુર લા રોઝ ડેસ વેન્ટ્સઃ લેટ્રે એ મોન્સીઅર હેનરી નાર્ડુચી. રોમઃ સિવેલી ઓનલાઈન ડેસિમોની, સી. (1888) "લે કાર્ટે નૌટિચે ઇટાલીયન ડેલ મેડિયો ઇવો, એ પ્રપોઝીટો ડી અન લિબ્રો ડેલ પ્રો. ફિશર", એટ્ટી ડેલા સોસાયટી લિગ્યુરે ડી સ્ટોરિયા પેટ્રિયા, વોલ્યુમ. 19, pp. 225-66. ડિફી, બેઇલી ડબલ્યુ., અને જ્યોર્જ ડી. વિનિયસ (1977) પોર્ટુગીઝ સામ્રાજ્યના પાયા, 1415-1580 મિનેપોલિસ, એમએનઃ યુનિવર્સિટી ઓફ મિનેસોટા પ્રેસ. એડસન, ઇ. (2007) ધ વર્લ્ડ મેપ, 1300-1492: પરંપરા અને પરિવર્તનની દ્રઢતા. બાલ્ટીમોર, એમ. ડી.: ધ જોન્સ હોપકિન્સ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. ફોર્મેલિઓની, વિસેન્ઝીઓ (1783) સેગિયો સુલ્લા નોટિકા એન્ટિકા ડી 'વેનેઝિયાની, કોન યુના ઇલસ્ટ્રેઝિઓન ડી' એલ્ક્યુન કાર્ટે ઇડ્રોગ્રાફિશ એન્ટીચે ડેલા બિબ્લિયોટેકા ડી એસ. માર્કો, ચે ડિમોન્સ્ટ્રાનો એલ 'ઇસોલ એન્ટિલે પ્રાઇમા ડેલા સ્કોપર્ટા ડી ક્રિસ્ટોફોરો કોલંબો. વેનિસ. ઓનલાઇન ગેલ્સિચ, ઇ. (1892) "આઈ પ્રિમી પાસી ડેલા સાયન્ઝા નોટિકા", રિવિસ્ટા મેરિટિમા, વોલ્યુમ. 25, પીપી. 71-102 કેલી, જે. ઈ. (2000) મધ્ય યુગના અંતમાં એનાલોગ અને ડિજિટલ નેવિગેશન, મેલરોઝ પાર્ક, પે.: સમટાઇમ પબ્લિશર્સ કેલી, જે. ઈ. (1995) "પર્સ્પેક્ટિવ્સ ઓન ધ ઓરિજિન્સ એન્ડ યુઝ ઓફ પોર્ટોલન ચાર્ટ્સ", કાર્ટોગ્રાફિકા, વોલ્યુમ. 32 (3), pp. 1-16. ઑનલાઇન ક્રેત્સમેર, કે. (1909) ડી ઇટાલીનિશેન પોર્ટોલન ડેસ મિટ્ટેલાલ્ટર્સઃ ઈન બીટ્રાગ જુર ગેશિચ્ટે ડેર કાર્ટોગ્રાફી એન્ડ નોટિક. બર્લિનઃ મિટલર ઉંડ સોહ્ન લોંગ, પી. આઈ., ડી. મેકગી અને એ. એમ. સ્ટાલ, સંપાદકો, (2009) ધ બુક ઓફ માઈકલ ઓફ રહોડ્સઃ એ ફિફ્થ-સેન્ચ્યુરી મેનુસ્ક્રીપ્ટ. 3 ગ્રંથો, કેમ્બ્રિજ, માસઃ એમ. આઈ. ટી. પ્રેસ કરો. માસિએરો, એફ. (1984) "લા રેક્સન ડી માર્ટેલોયો", સ્ટડી વેનેઝિયાની, વોલ્યુમ. 8, pp. 393-412. મેરીફિલ્ડ, જે. (1883) ટ્રીટાઇઝ ઓન નેવિગેશન. લંડનઃ સ્પોટિસવુડ. ઑનલાઇન મોરેલી, જેકોપો (1810) લેટર રારીસિમા ડી ક્રિસ્ટોફોરો કોલંબો. બાસાનોઃ સ્ટેમ્પેરિયા રેમોન્ડિનિયાના ઓનલાઇન નોર્ડેનસ્કિલ્ડ, એડોલ્ફ એરિક (1897) પેરિપ્લસઃ એન એસે ઓન ધ અર્લી હિસ્ટ્રી ઓફ ચાર્ટ્સ એન્ડ સેઇલિંગ ડિરેક્શન્સ, ટ્રે. ફ્રાન્સિસ એ. બાથર, સ્ટોકહોમઃ નોર્સ્ટેડ. પેરી, જે. એચ. (1974) ધ ડિસ્કવરી ઓફ ધ સી, 1984 આવૃત્તિ, બર્કલેઃ યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા પ્રેસ. ઑનલાઇન રેમન લુલ (1305) આર્સ મેગ્ના જનરલિસ એટ અલ્ટિમા, 1517 આવૃત્તિ, ઓનલાઇન, ખાસ કરીને. ભાગ 10, "ડી નેવિગેશન", ફો. 93, p.213 રેમન લુલ્લ (1295) L 'arbre de ciència, 1635 લેટિન આવૃત્તિઃ આર્બોર સાયન્ટિએ વેનેરબિલિસ એટ સીલિટિવ્સ ઈલુમિનેટી પેટ્રીસ રવમવેન્ડી લ્વેલી માયોરીએનસિસ લિયોન્સઃ પિલેહોટે. ઓનલાઇન રેન્ડલ્સ, ડબલ્યુ. જી. એલ. "(1998) ધ ઇમર્જન્સ ઓફ નોટિકલ એસ્ટ્રોનોમી ઇન પોર્ટુગલ ઇન ધ XVth સેન્ચ્યુરી", જર્નલ ઓફ નેવિગેશન, વોલ્યુમ. 51, pp. 46-57. રોસી, એફ. (2009) "ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ વોલ્યુમ 2 ઓફ લોંગ, મેકગી અને સ્ટાલ, સંપાદકો, બુક ઓફ માઈકલ ઓફ રોડ્સ. (ઓનલાઇન) રુગે, એસ. (1900) "ડેર પેરિપ્લસ નોર્ડેન્સકિલ્ડસ", ડોઇશ ભૌગોલિક બ્લેટર વોલ્યુમ. 23, નં. 4, પીપી. સેઝગિન, એફ. (2007) ઇસ્લામમાં ગાણિતિક ભૂગોળ અને નકશાશાસ્ત્ર અને પશ્ચિમમાં તેમનું સાતત્ય. ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ધ હિસ્ટ્રી ઓફ અરેબિક-ઇસ્લામિક સાયન્સ ટેલર, ઇ. જી. આર. (1950) "ફાઇવ સેન્ચ્યુરીઝ ઓફ ડેડ રેકનીંગ", જર્નલ ઓફ નેવિગેશન, વોલ્યુમ. 3, pp. 280-85. ટેલર, ઇ. જી. આર. (1956) ધ હેવન-ફાઇન્ડિંગ આર્ટઃ એ હિસ્ટ્રી ઓફ નેવિગેશન ફ્રોમ ઓડિસિયસ ટુ કેપ્ટન કૂક, 1971 આવૃત્તિ, લંડનઃ હોલિસ એન્ડ કાર્ટર. ટેલર, ઇ. જી. આર. (1960) "મેથેમેટિક્સ એન્ડ ધ નેવિગેટર ઇન ધ થર્ટીન્થ સેન્ચ્યુરી", જર્નલ ઓફ નેવિગેશન, વોલ્યુમ. 13, pp. 1-12. ટોઆલ્ડો, જિયુસેપ (1782) "લેટર એ સુઆ એક્લેન્ઝા ઇલ. સિગ. કે. વી. વેનેઝીયન, વેનેઝીયન અને વેનેઝીયનનો અભ્યાસ કરો. પીપી. 40-61 વર્નેટ, જે. (2008) રેમન લુલ અને ઇસ્લામમાં "ધ સાયન્ટિફિક વર્લ્ડ ઓફ ધ ક્રાઉન ઓફ એરેગોન અંડર જેમ્સ I", સંવાદની શરૂઆત. બાર્સિલોનાઃ IEMed., pp. 99-114. વોટર્સ, ડી. ડબલ્યુ. (1988) "રિફ્લેક્શન્સ અપોન સમ નેવિગેશનલ એન્ડ હાઇડ્રોગ્રાફિક પ્રોબ્લેમ્સ ઓફ ધ XVIth સેન્ચ્યુરી રિલેટેડ ટુ ધ વોયેજ ઓફ બાર્ટોલોમ્યુ ડાયસ", રેવિસ્ટા દા યુનિવર્સિડેડ ડી કોઇમ્બ્રા, વોલ્યુમ. 34, પીપી. 275 347. ઓફપ્રિન્ટ ત્રિકોણમિતિ નેવિગેશન કાર્ટોગ્રાફી મધ્યયુગીન યુરોપિયન ગણિત