Zero to the power of zero
શૂન્યની ઘાતને શૂન્ય, દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે એક ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે જેને સંદર્ભના આધારે 1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અથવા અવ્યાખ્યાયિત છોડી દેવામાં આવે છે. બીજગણિત અને સંયોજનશાસ્ત્રમાં, એક સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, અભિવ્યક્તિને કેટલીકવાર અવ્યાખ્યાયિત છોડી દેવામાં આવે છે. કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ અને સોફ્ટવેરમાં પણ આ અભિવ્યક્તિને સંભાળવાની વિવિધ રીતો છે. અલગ ઘટકો કુદરતી-સંખ્યાના ઘટકોને સંડોવતા ઘણા વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના ત્રણ અર્થઘટનો હકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે જેટલા અર્થપૂર્ણ છે તેટલા જ અર્થપૂર્ણ છેઃ ખાલી ગુણાકાર તરીકેનું અર્થઘટન તેને મૂલ્ય સોંપે છે. તેનું સંયુક્ત અર્થઘટન એ-તત્વ સમૂહમાંથી તત્વોના 0-ટુપલ્સની સંખ્યા છે; ત્યાં બરાબર એક 0-ટુપલ્સ છે. સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક અર્થઘટન એ ખાલી સમૂહથી-ઘટક સમૂહ સુધીના કાર્યોની સંખ્યા છે; ત્યાં બરાબર એક એવું કાર્ય છે, એટલે કે, ખાલી કાર્ય. આ ત્રણેય આપવા માટે નિષ્ણાત છે. બહુપદીઓ અને પાવર સિરીઝ બહુપદીઓનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવી અનુકૂળ છે. A (વાસ્તવિક) બહુપદી એ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યાં અનિશ્ચિત છે, અને ગુણાંક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. બહુપદીઓને મુદત મુજબ ઉમેરવામાં આવે છે, અને વિભાજક નિયમ અને ઘાતાંકો માટેના સામાન્ય નિયમો લાગુ કરીને ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આ કામગીરીઓ સાથે, બહુપદીઓ રિંગ બનાવે છે. ની ગુણાકાર ઓળખ એ બહુપદી છે; એટલે કે, કોઈપણ બહુપદી ન્યાયી છે. ઉપરાંત, બહુપદીઓનું મૂલ્યાંકન વાસ્તવિક સંખ્યાને વિશેષતા આપીને કરી શકાય છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, એક અનન્ય યુનિટલ-બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ છે. કારણ કે તે અવિભાજ્ય છે. એટલે કે, 0 સહિત દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે. આ જ દલીલ કોઈપણ રીંગ દ્વારા બદલવામાં લાગુ પડે છે. ઘણી બહુપદી ઓળખ માટે વ્યાખ્યા જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિપદી પ્રમેય માત્ર જો માટે જ માન્ય છે. તેવી જ રીતે, પાવર સિરીઝની રિંગ્સને તમામ વિશેષતાઓ માટે 1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, આઇડેન્ટિટીઝ લાઇક એન્ડ હોલ્ડ ફોર ઓનલી ઇફ. બહુપદીને સતત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, વ્યક્તિએ વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે. કલનમાં, શક્તિનો નિયમ માત્ર જો માટે જ માન્ય છે. બીજગણિત કામગીરીઓ સાથે સંકળાયેલી મર્યાદાઓનું મૂલ્યાંકન ઘણીવાર પેટા અભિવ્યક્તિઓને તેમની મર્યાદાઓ દ્વારા બદલીને કરી શકાય છે; જો પરિણામી અભિવ્યક્તિ મૂળ મર્યાદા નક્કી કરતી નથી, તો અભિવ્યક્તિને અનિશ્ચિત સ્વરૂપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અભિવ્યક્તિ એક અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છેઃ વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેયોને જોતાં અને (જેમ જેમ વાસ્તવિક સંખ્યાની નજીક પહોંચે છે અથવા તેની સાથે) નજીક આવે છે, તેની મર્યાદા કોઈપણ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે અથવા, અથવા તેના આધારે તે અલગ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની દરેક મર્યાદામાં (એક તરફી મર્યાદા) સાથે વિધેયનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તેમના મૂલ્યો અલગ છેઃ આમ, બે-ચલ વિધેય, સમૂહ પર સતત હોવા છતાં, સતત વિધેય સુધી વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી, પછી ભલે તે કોઈ પણ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાનું પસંદ કરે. બીજી બાજુ, જો અને સંખ્યાના ખુલ્લા પડોશ પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો છે, તો પછી કોઈ પણ બાજુથી હકારાત્મક અભિગમ તરીકે. આ અને વધુ સામાન્ય પરિણામો કાર્યના મર્યાદિત વર્તનનો અભ્યાસ કરીને મેળવી શકાય છે. કોમ્પ્લેક્સ એક્સપોનેન્ટ કોમ્પ્લેક્સ ડોમેનમાં, ફંક્શનને નોનઝીરો માટે શાખા પસંદ કરીને અને તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી કારણ કે તેના પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવાની કોઈ શાખા નથી. મૂલ્ય તરીકે ઇતિહાસ 1752 માં, યુલરએ એનાલિસીસ ઇનફિનિટોરમમાં ઇન્ટ્રોડક્ટીયોમાં તે લખ્યું હતું અને સ્પષ્ટપણે તેનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો. યુલરના પુસ્તક ઇન્સ્ટિટ્યુશન્સ કેલ્કુલી ડિફરન્શિયલિસની 1787ની આવૃત્તિમાં માસ્ચેરોનીને આભારી એક ટિપ્પણીમાં "સમર્થન" તેમજ અન્ય વધુ સામેલ સમર્થન આપવામાં આવ્યું હતું. 1830 ના દાયકામાં, લિબ્રીએ દાવાને યોગ્ય ઠેરવવાના પ્રયાસમાં ઘણી વધુ દલીલો પ્રકાશિત કરી હતી, જો કે તે સમયે કઠોરતાના ધોરણો દ્વારા પણ આ ખાતરીપૂર્વક ન હતા. મર્યાદિત સ્વરૂપ તરીકે યુલર, સેટિંગ કરતી વખતે, ઉલ્લેખ કરે છે કે પરિણામે કાર્યના મૂલ્યો માટે, થી, થી, થી માટે "વિશાળ કૂદકો" લે છે. 1814માં, ફાફે તેને સાબિત કરવા માટે સ્ક્વિઝ થીયરમ દલીલનો ઉપયોગ કર્યો હતો. બીજી બાજુ, 1821 માં કોચીએ સમજાવ્યું કે શા માટે અમુક નિશ્ચિત સંબંધ દ્વારા મર્યાદિત હોવા છતાં હકારાત્મક સંખ્યાઓ અને અભિગમની મર્યાદાને અને વચ્ચે યોગ્ય રીતે સંબંધ પસંદ કરીને કોઈપણ મૂલ્ય ધારણ કરી શકાય છે. તેમણે અનુમાન લગાવ્યું કે ચોક્કસ અવરોધ વિના સંપૂર્ણ બે-ચલ કાર્યની મર્યાદા "અનિશ્ચિત" છે. આ સમર્થન સાથે, તેમણે અનિશ્ચિત સ્વરૂપોના કોષ્ટક જેવા અભિવ્યક્તિઓ સાથે સૂચિબદ્ધ કર્યા. દેખીતી રીતે કોચીના કામથી અજાણ, 1834 માં મોબિયસ, ફાફની દલીલને આધારે, ખોટી રીતે દાવો કરે છે કે જ્યારે પણ કોઈ સંખ્યા નજીક આવે છે (સંભવતઃ તેમાંથી હકારાત્મક માનવામાં આવે છે). મોબિયસે કેસ ઘટાડ્યો, પરંતુ પછી એમ ધારીને ભૂલ કરી કે દરેક અને કેટલાક સતત કાર્ય માટે અને કેટલાક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો માટે સાચું છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે નહીં. એક અનામી ટીકાકારએ અન્યાયી પગલા તરફ ધ્યાન દોર્યું; પછી અન્ય ટીકાકાર કે જેમણે તેમના નામ પર ફક્ત "એસ" તરીકે સહી કરી હતી તેમણે સ્પષ્ટ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો પૂરા પાડ્યા અને "ઘણા જુદા જુદા મૂલ્યો હોઈ શકે છે" એમ લખીને પરિસ્થિતિ વ્યક્ત કરી. વર્તમાન પરિસ્થિતિને કેટલાક લેખકો આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે કારણ કે તે ઘણા પ્રમેય નિવેદનોને સરળ બનાવે છે. બેન્સન (1999) અનુસાર, "વ્યાખ્યાયિત કરવી કે નહીં તે પસંદગી સગવડ પર આધારિત છે, શુદ્ધતા પર નહીં. જો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરવાથી દૂર રહીએ, તો અમુક દાવાઓ બિનજરૂરી રીતે વિચિત્ર બની જાય છે. . સર્વસંમતિ એ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવાની છે, જો કે એવા પાઠ્યપુસ્તકો છે જે વ્યાખ્યાયિત કરવાથી દૂર રહે છે. ક્નુથ (1992) વધુ મજબૂત રીતે દલીલ કરે છે કે "હોવું જ જોઈએ"; તે મૂલ્ય, જે સમાન હોવું જોઈએ, અને મર્યાદિત સ્વરૂપ (ક્યાંની મર્યાદા માટેનું સંક્ષિપ્ત) વચ્ચેનો તફાવત ખેંચે છે, જે એક અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છેઃ "કોચી અને લિબ્રી બંને સાચા હતા, પરંતુ લિબ્રી અને તેના બચાવકર્તાઓ સમજી શક્યા ન હતા કે સત્ય તેમની બાજુ કેમ હતું". અન્ય લેખકો અવ્યાખ્યાયિત છોડી દે છે કારણ કે તે એક અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છેઃ સૂચિત કરતું નથી. 1 સિવાય કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય સોંપતા કોઈ લેખકો હોય તેવું લાગતું નથી. IEEE ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ સ્ટાન્ડર્ડ IEEE 754-2008 ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ સ્ટાન્ડર્ડનો ઉપયોગ મોટાભાગની ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ લાઈબ્રેરીઓની ડિઝાઇનમાં થાય છે. તે પાવરની ગણતરી કરવા માટે સંખ્યાબંધ કામગીરીઓની ભલામણ કરે છેઃ પૉન (જેનો ઘાતાંક પૂર્ણાંક છે) તરીકે ગણવામાં આવે છે; જુઓ. પાઉ (જેનો ઉદ્દેશ નોન-એન. એ. એન. પરિણામ પરત કરવાનો હોય છે જ્યારે ઘાતાંક એક પૂર્ણાંક હોય, જેમ કે પાઉન) તરીકે ગણવામાં આવે છે. અનિશ્ચિત સ્વરૂપને કારણે પાવરને NaN (નોટ-એ-નંબર) તરીકે ગણવામાં આવે છે; જુઓ. પાવ વેરિઅન્ટ મુખ્યત્વે સુસંગતતા માટે C99 ના પાવ ફંક્શનથી પ્રેરિત છે. તે મોટે ભાગે એક જ પાવર ફંક્શન ધરાવતી ભાષાઓ માટે ઉપયોગી છે. પાવર કાર્યોના વિરોધાભાસી ઉપયોગ અને જુદા જુદા દ્રષ્ટિકોણ (ઉપર જણાવ્યા મુજબ) ને કારણે પૉન અને પાવર પ્રકારો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ સી અને સી + + ધોરણો (ડોમેન ભૂલ થઈ શકે છે) ના પરિણામનો ઉલ્લેખ કરતા નથી. પરંતુ C માટે, C99 મુજબ, જો પ્રમાણભૂત જોડાણ F સમર્થિત હોય, તો વાસ્તવિક ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ પ્રકારો માટેનું પરિણામ હોવું જરૂરી છે કારણ કે ત્યાં નોંધપાત્ર એપ્લિકેશનો છે જેના માટે આ મૂલ્ય NaN કરતા વધુ ઉપયોગી છે (દાખલા તરીકે, અલગ ઘટકો સાથે); જટિલ પ્રકારો પરનું પરિણામ સ્પષ્ટ કરવામાં આવતું નથી, ભલે માહિતીપ્રદ જોડાણ G સમર્થિત હોય. જાવા સ્ટાન્ડર્ડ, ડોટ નેટ ફ્રેમવર્ક મેથડ System.Math.Pow, જુલિયા અને પાયથોન પણ આ રીતે ગણવામાં આવે છે. કેટલીક ભાષાઓ દસ્તાવેજીકરણ કરે છે કે તેમની ઘાતાંક કામગીરી સી ગાણિતિક પુસ્તકાલયના પાવ કાર્યને અનુરૂપ છે; આ લુઆ અને પર્લના * * સંચાલકનો કેસ છે (જ્યાં સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે કે 0 * * 0 નું પરિણામ પ્લેટફોર્મ-આધારિત છે). ગાણિતિક અને વૈજ્ઞાનિક સોફ્ટવેર એ. પી. એલ., આર., સ્ટેટા, સેજમેથ, મેટલેબ, મેગ્મા, જી. એ. પી., સિંગ્યુલર, પી. એ. આર. આઈ./જી. પી. અને જી. એન. યુ. ઓક્ટેવ તેનું મૂલ્યાંકન કરે છે. ગણિત અને મેક્સીમા સરળ બને છે, ભલે તેના પર કોઈ પ્રતિબંધ ન મૂકવામાં આવે; જો કે, જો તેને સીધો દાખલ કરવામાં આવે, તો તેને ભૂલ અથવા અનિશ્ચિત તરીકે ગણવામાં આવે છે. સેજમેથ સરળ નથી કરતું. મેપલ, મેથેમેટિકા અને PARI/GP પૂર્ણાંક અને ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ મૂલ્યો વચ્ચે વધુ તફાવત કરે છેઃ જો ઘાતાંક પૂર્ણાંક પ્રકારનો શૂન્ય હોય, તો તે આધારના પ્રકારનો a પરત કરે છે; શૂન્ય મૂલ્યના ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ ઘાતાંક સાથેના ઘાતાંકને અવ્યાખ્યાયિત, અનિશ્ચિત અથવા ભૂલ તરીકે ગણવામાં આવે છે. 0/0 સંદર્ભો પણ જુઓ બાહ્ય કડીઓ sci.math FAQ: શું છે? (શૂન્ય થી શૂન્ય શક્તિ) શું સમાન છે? AskAMathematician.com ઘાતાંકીય ગાણિતિક વિશ્લેષણ પર કોમ્પ્યુટર અંકગણિત કોમ્પ્યુટર ભૂલો 0 (સંખ્યા) સોફ્ટવેર વિસંગતતાઓ 1 (સંખ્યા)