Cyclically ordered group
ગણિતમાં, ચક્રીય ક્રમ ધરાવતું જૂથ એ જૂથ માળખું અને ચક્રીય ક્રમ બંને ધરાવતો સમૂહ છે, જેમ કે ડાબી અને જમણી ગુણાકાર બંને ચક્રીય ક્રમ જાળવી રાખે છે. ચક્રીય રીતે ક્રમાંકિત જૂથોનો સૌપ્રથમ 1947માં લેડિસ્લાવ રીગર દ્વારા ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. તેઓ ચક્રીય જૂથોનું સામાન્યીકરણ છેઃ અનંત ચક્રીય જૂથ અને મર્યાદિત ચક્રીય જૂથો. રેખીય ક્રમ ચક્રીય ક્રમને પ્રેરિત કરે છે, તેથી ચક્રીય રીતે ક્રમાંકિત જૂથો પણ રેખીય રીતે ક્રમાંકિત જૂથોનું સામાન્યીકરણ છેઃ પરિમેય સંખ્યાઓ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ વગેરે. કેટલાક સૌથી મહત્વપૂર્ણ ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથો અગાઉની કોઈ પણ શ્રેણીમાં આવતા નથીઃ વર્તુળ જૂથ અને તેના પેટા જૂથો, જેમ કે તર્કસંગત બિંદુઓના પેટા જૂથ. રેખીય જૂથોના ગુણોત્તર ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથોને ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવવું સ્વાભાવિક છેઃ એક પાસે અને છે. એક વખતનું રેખીય જૂથ, જેમ કે, જ્યારે વર્તુળમાં વળેલું હોય, ત્યારે પણ એવું વિચારી શકાય છે. તે દર્શાવે છે કે આ ચિત્ર એક સામાન્ય ઘટના છે. કોઈપણ ક્રમબદ્ધ જૂથ માટે અને કોઈપણ કેન્દ્રીય તત્વ કે જે સહ-અંતિમ પેટાજૂથ પેદા કરે છે, ભાગાકાર જૂથ એ ચક્રીય ક્રમબદ્ધ જૂથ છે. વધુમાં, દરેક ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથને આવા ભાગાકાર જૂથ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. વર્તુળ જૂથ રીગરના પરિણામો પર બીજી દિશામાં બાંધવામાં આવ્યું હતું. ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથ અને ક્રમબદ્ધ જૂથને જોતાં, ઉત્પાદન ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથ છે. ખાસ કરીને, જો વર્તુળ જૂથ હોય અને તે ક્રમબદ્ધ જૂથ હોય, તો તેનું કોઈપણ પેટા જૂથ ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથ છે. વધુમાં, દરેક ચક્રીય ક્રમબદ્ધ જૂથને આવા ઉત્પાદનના પેટાજૂથ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આર્કિમિડીયન રેખીય ક્રમાંકિત જૂથ સાથે સામ્યતા દ્વારા, આર્કિમિડીયન ચક્રીય ક્રમાંકિત જૂથને એક જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેમાં દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક જેવા તત્વોની કોઈ જોડી હોતી નથી. માત્ર હકારાત્મક ગણવામાં આવે છે, તેથી આ તેના રેખીય પ્રતિરૂપ કરતાં વધુ મજબૂત સ્થિતિ છે. ઉદાહરણ તરીકે, હવે લાયકાત નથી, કારણ કે દરેક માટે એક છે. શ્વીર્ઝકોવ્સ્કીના સાબિતીના ઉપસંહાર તરીકે, દરેક આર્કિમિડીયન ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથ પોતે જ એક પેટાજૂથ છે. આ પરિણામ ઓટ્ટો હોલ્ડરના 1901ના પ્રમેય જેવું જ છે કે દરેક આર્કિમિડીયન રેખીય ક્રમ ધરાવતું જૂથ તેનું પેટા જૂથ છે. ટોપોલોજી દરેક સઘન ચક્રીય ક્રમ ધરાવતું જૂથ તેનું પેટા જૂથ છે. સંબંધિત માળખાઓએ દર્શાવ્યું હતું કે ચક્રીય રીતે ક્રમબદ્ધ જૂથોની ચોક્કસ પેટા શ્રેણી, "નબળા એકમ સાથે પ્રક્ષેપ્ય આઇ. સી.-જૂથો", એમ. વી.-બીજગણિતની ચોક્કસ પેટા શ્રેણી, "પ્રક્ષેપ્ય એમ. વી.-બીજગણિત" ની સમકક્ષ છે. નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન. નું ભાષાંતર. Sibirskii Matematicheskii Zhurnal માંથી અનુવાદ, 46-53 આદેશિત જૂથો વર્તુળો