Q-Gaussian distribution
ક્યૂ-ગૌસીયન એ યોગ્ય અવરોધો હેઠળ સેલિસ એન્ટ્રોપીના મહત્તમકરણથી ઉદ્ભવતા સંભાવના વિતરણ છે. તે સેલિસ વિતરણનું એક ઉદાહરણ છે. ક્યૂ-ગૌસીયન એ ગૌસીયનનું તે જ રીતે સામાન્યીકરણ છે જે રીતે સેલિસ એન્ટ્રોપી એ પ્રમાણભૂત બોલ્ટ્ઝમેન-ગિબ્સ એન્ટ્રોપી અથવા શેનોન એન્ટ્રોપીનું સામાન્યીકરણ છે. સામાન્ય વિતરણ q → 1 તરીકે પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. ક્યૂ-ગૌસીયન આંકડાકીય મિકેનિક્સ, ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, શરીરરચનાશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, નાણા અને મશીન લર્નિંગના ક્ષેત્રોમાં સમસ્યાઓ પર લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. 1 <q <3 માટે ગૌસીયનની સરખામણીમાં તેની ભારે પૂંછડીઓ માટે વિતરણની ઘણીવાર તરફેણ કરવામાં આવે છે. q-ગૌસીયન વિતરણ માટે બાઉન્ડેડ રેન્ડમ વેરિયેબલની PDF છે. આ જીવવિજ્ઞાન અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં ક્યૂ-ગૌસીયન વિતરણને ગૌસીયન વિતરણ કરતાં વધુ યોગ્ય બનાવે છે, જે બાહ્ય સ્ટોકેસ્ટિસિટીની અસરનું મોડેલ બનાવે છે. 2008માં શાસ્ત્રીય કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના સામાન્યીકૃત ક્યૂ-એનાલોગની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી, જેમાં સ્વતંત્રતા અવરોધ એટલે કે ડી. ચલને q પરિમાણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હદ સુધી હળવા કરવામાં આવે છે, જેમાં સ્વતંત્રતા q → 1 તરીકે પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. જો કે, આવા પ્રમેયનો પુરાવો હજુ પણ અભાવ છે. ભારે પૂંછડીના પ્રદેશોમાં, વિતરણ વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણની સમકક્ષ છે, જેમાં ક્યૂ અને ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ વચ્ચે સીધું મેપિંગ છે. આ વિતરણોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરનાર વ્યવસાયી તેથી સમાન વિતરણને બે અલગ અલગ રીતે પરિમાણિત કરી શકે છે. જો સિસ્ટમ બિન-વ્યાપક હોય અથવા નાના નમૂનાઓના કદ સાથે જોડાણનો અભાવ હોય તો ક્યૂ-ગૌસીયન સ્વરૂપની પસંદગી ઊભી થઈ શકે છે. લાક્ષણિકતા સંભાવના ઘનતા કાર્ય પ્રમાણભૂત q-ગૌસીયનમાં સંભાવના ઘનતા કાર્ય હોય છે જ્યાં q-ઘાતાંક હોય છે અને સામાન્યીકરણ પરિબળ નોંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે કે q-ગૌસીયન વિતરણ માટે બાઉન્ડેડ રેન્ડમ ચલની PDF છે. ક્યુમુલેટિવ ડેન્સિટી ફંક્શન ક્યુમુલેટિવ ડેન્સિટી ફંક્શન માટે હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન ક્યાં છે. જેમ કે હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે પરંતુ x અમર્યાદિત છે, પી. એફ. એ. એફ. પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. જેમ સામાન્ય વિતરણ એ પ્રથમ ક્ષણ અને બીજી ક્ષણના નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે મહત્તમ માહિતી એન્ટ્રોપી વિતરણ છે (સામાન્યકરણની સ્થિતિને અનુરૂપ નિશ્ચિત શૂન્ય ક્ષણ સાથે), તેમ q-ગૌસીયન વિતરણ એ આ ત્રણ ક્ષણોના નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે મહત્તમ સેલિસ એન્ટ્રોપી વિતરણ છે. સંબંધિત વિતરણો વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ જ્યારે તેને એન્ટ્રોપીના રસપ્રદ વૈકલ્પિક સ્વરૂપ દ્વારા ન્યાયી ઠેરવી શકાય છે, ત્યારે આંકડાકીય રીતે તે નાના-નમૂનાના આંકડાઓનું વર્ણન કરવા માટે 1908 માં ડબ્લ્યુ. ગોસેટ દ્વારા રજૂ કરાયેલ વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણનું સ્કેલ કરેલ રિપેરામેટ્રાઇઝેશન છે. ગોસેટની મૂળ પ્રસ્તુતિમાં ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ પરિમાણ ν ને નમૂનાના કદ સાથે સંબંધિત હકારાત્મક પૂર્ણાંક તરીકે મર્યાદિત કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ તે સહેલાઈથી જોવા મળે છે કે ગોસેટની ઘનતા કાર્ય ν ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે માન્ય છે. સ્કેલ કરેલ રિપેરામેટ્રીઝેશન વૈકલ્પિક પરિમાણો q અને β રજૂ કરે છે જે ν સાથે સંબંધિત છે. વિદ્યાર્થીના ટી-ડિસ્ટ્રિબ્યુશનને ν ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સાથે જોતાં, સમકક્ષ q-ગૌસીયન ઇન્વર્સ સાથે હોય છે જ્યારે પણ, ફંક્શન ફક્ત વિદ્યાર્થીના ટી-ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનું સ્કેલ કરેલું વર્ઝન છે. કેટલીકવાર એવી દલીલ કરવામાં આવે છે કે વિતરણ એ વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણનું નકારાત્મક અને અથવા બિન-પૂર્ણાંક ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમનું સામાન્યીકરણ છે. જો કે, વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણનો સિદ્ધાંત સ્વતંત્રતાની તમામ વાસ્તવિક ડિગ્રીઓ સુધી તુચ્છ રીતે વિસ્તરે છે, જ્યાં વિતરણનો ટેકો હવે ν <0 ના કિસ્સામાં અનંતને બદલે સઘન છે. ત્રણ-પરિમાણ સંસ્કરણ શૂન્ય પર કેન્દ્રિત ઘણા વિતરણોની જેમ, q-ગૌસીયનને સ્થાન પરિમાણને સમાવવા માટે તુચ્છ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ઘનતા પછી રેન્ડમ વિચલનો પેદા કરીને વ્યાખ્યાયિત થાય છે બોક્સ-મુલર પરિવર્તનને ક્યુ-ગૌસિયનોમાંથી રેન્ડમ નમૂનાને મંજૂરી આપવા માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું છે. પ્રમાણભૂત બોક્સ-મુલર તકનીક નીચેના સ્વરૂપના સમીકરણોમાંથી સ્વતંત્ર સામાન્ય રીતે વિતરિત ચલની જોડી પેદા કરે છે. સામાન્યીકૃત બોક્સ-મુલર તકનીક q-ગૌસીયન વિચલનોની જોડી પેદા કરી શકે છે જે સ્વતંત્ર નથી. વ્યવહારમાં, એકસમાન રીતે વિતરિત ચલની જોડીમાંથી માત્ર એક જ વિચલન પેદા થશે. નીચેનું સૂત્ર નિર્દિષ્ટ પરિમાણ q સાથે q-ગૌસીયનમાંથી વિચલનો પેદા કરશે અને q-લઘુગણક ક્યાં છે અને આ વિચલનોને એપ્લિકેશન્સ ફિઝિક્સ દ્વારા મનસ્વી q-ગૌસીયનમાંથી વિચલનો પેદા કરવા માટે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. ક્યૂ-ગૌસીયન વિતરણ બે દળોને આધિન સમૂહની એક-પરિમાણીય ગતિની સ્થિતિના એસિમ્પ્ટોટિક સંભાવના ઘનતા કાર્ય તરીકે પણ મેળવવામાં આવે છેઃ પ્રકારનો નિર્ધારક બળ (અનંત સંભવિત કૂવો નક્કી કરે છે) અને સ્ટોકેસ્ટિક સફેદ ઘોંઘાટ બળ, જ્યાં સફેદ ઘોંઘાટ છે. નોંધ લો કે ઓવરડેમ્પ્ડ/સ્મોલ માસ એપ્રોક્સીમેશનમાં તાજેતરમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ઉપરોક્ત કન્વર્જન્સ નિષ્ફળ જાય છે. ન્યૂ યોર્ક સ્ટોક એક્સચેન્જ, નાસ્ડેક અને અન્યત્ર નાણાકીય વળતર વિતરણને ક્યુ-ગૌસીયન તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવ્યું છે. કોન્સ્ટેન્ટિનો સેલિસ સેલિસ સ્ટેટિસ્ટિક્સ સેલિસ એન્ટ્રોપી સેલિસ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન q-એક્સ્પોનેન્શિયલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન Q-ગૌસીયન પ્રક્રિયા નોંધો વધુ વાંચન જુનિપર, J. (2007), સેન્ટર ઓફ ફુલ એમ્પ્લોયમેન્ટ એન્ડ ઇક્વિટી, ધ યુનિવર્સિટી ઓફ ન્યૂકેસલ, ઓસ્ટ્રેલિયા એક્સટર્નલ લિંક્સ સેલિસ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, સ્ટેટિસ્ટિકલ મિકેનિક્સ ફોર નોન-એક્સટેન્સિવ સિસ્ટમ્સ એન્ડ લોંગ-રેન્જ ઇન્ટરેક્શન્સ સ્ટેટિસ્ટિકલ મિકેનિક્સ કન્ટિન્યુઅસ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન નોન-ફાઈનાઈટ વેરિઅન્સ સાથે પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન