Kepler's equation
ઓર્બિટલ મિકેનિક્સમાં, કેપ્લરનું સમીકરણ કેન્દ્રીય બળને આધિન પદાર્થની ભ્રમણકક્ષાના વિવિધ ભૌમિતિક ગુણધર્મોને સંબંધિત કરે છે. તે જોહાન્સ કેપ્લર દ્વારા 1609 માં તેમના એસ્ટ્રોનોમિયા નોવાના પ્રકરણ 60 માં લેવામાં આવ્યું હતું, અને તેમના પુસ્તક વી ઓફ એપિટોમ ઓફ કોપરનિકન એસ્ટ્રોનોમી (1621) માં કેપ્લરે સમીકરણનો પુનરાવર્તિત ઉકેલ રજૂ કર્યો હતો. જો કે, આ સમીકરણ અને તેનો ઉકેલ સૌપ્રથમ 9મી સદીના હબાશ અલ-હસીબ અલ-મરવાઝીના લંબનની સમસ્યાઓથી સંબંધિત કાર્યમાં દેખાયો હતો. આ સમીકરણે ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત બંનેના ઇતિહાસમાં, ખાસ કરીને શાસ્ત્રીય આકાશી મિકેનિક્સમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી છે. સમીકરણ કેપ્લરનું સમીકરણ એ છે કે જ્યાં સરેરાશ વિસંગતતા છે, તે વિચિત્ર વિસંગતતા છે, અને તે વિષમતા છે. 'વિચિત્ર વિસંગતતા' કેપ્લેરિયન ભ્રમણકક્ષામાં ફરતા બિંદુની સ્થિતિની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગી છે. દાખલા તરીકે, જો પદાર્થ પેરિએસ્ટ્રોનને કોઓર્ડિનેટ્સ પર પસાર કરે છે, તો પછી કોઈપણ સમયે પદાર્થની સ્થિતિ શોધવા માટે, તમે પહેલા સમયની સરેરાશ વિસંગતતા અને સૂત્ર દ્વારા સરેરાશ ગતિની ગણતરી કરો, પછી મેળવવા માટે ઉપરના કેપ્લર સમીકરણને હલ કરો, પછી કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવોઃ જ્યાંથી અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ, અર્ધ-લઘુ અક્ષ છે. કેપ્લરનું સમીકરણ એક દિવ્ય સમીકરણ છે કારણ કે સાઇન એક દિવ્ય કાર્ય છે, જેનો અર્થ છે કે તેને બીજગણિત રીતે ઉકેલી શકાતું નથી. મૂલ્યાંકન કરવા માટે સામાન્ય રીતે આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને શ્રેણી વિસ્તરણ જરૂરી છે. વૈકલ્પિક સ્વરૂપો કેપ્લરના સમીકરણના ઘણા સ્વરૂપો છે. દરેક સ્વરૂપ ચોક્કસ પ્રકારની ભ્રમણકક્ષા સાથે સંકળાયેલું છે. પ્રમાણભૂત કેપ્લર સમીકરણનો ઉપયોગ લંબગોળ ભ્રમણકક્ષાઓ () માટે થાય છે. હાયપરબોલિક કેપ્લર સમીકરણનો ઉપયોગ હાયપરબોલિક માર્ગ () માટે થાય છે. રેડિયલ કેપ્લર સમીકરણનો ઉપયોગ રેખીય (રેડિયલ) માર્ગ () માટે થાય છે. બાર્કરનું સમીકરણ પેરાબોલિક ટ્રેજેક્ટરીઝ () માટે વપરાય છે. જ્યારે, ભ્રમણકક્ષા ગોળાકાર હોય છે. વધવાથી વર્તુળ લંબગોળ બને છે. જ્યારે, ત્યાં ત્રણ શક્યતાઓ હોય છેઃ એક પેરાબોલિક પ્રક્ષેપવક્ર, આકર્ષણના કેન્દ્રમાંથી બહાર આવતા અનંત કિરણોની સાથે અથવા બહાર જતા પ્રક્ષેપવક્ર, અથવા એક પ્રક્ષેપવક્ર જે આકર્ષણના કેન્દ્રથી અમુક અંતરે એક બિંદુ સુધી રેખા ખંડ સાથે આગળ અને પાછળ જાય છે. 1 થી ઉપર થોડો વધારો 180 ડિગ્રીની નીચે વળાંક કોણ સાથે હાયપરબોલિક ભ્રમણકક્ષામાં પરિણમે છે. વધુ વધારો વળાંક કોણને ઘટાડે છે, અને જેમ જેમ અનંત તરફ જાય છે, તેમ તેમ ભ્રમણકક્ષા અનંત લંબાઈની સીધી રેખા બની જાય છે. હાયપરબોલિક કેપ્લર સમીકરણ હાયપરબોલિક કેપ્લર સમીકરણ છેઃ જ્યાં હાયપરબોલિક વિચિત્ર વિસંગતતા છે. આ સમીકરણ લંબગોળ સમીકરણની જમણી બાજુના −1 ગણા વર્ગમૂળ તરીકે M ને પુનઃવ્યાખ્યાયિત કરીને મેળવવામાં આવે છેઃ (જેમાં હવે કાલ્પનિક છે) અને પછી તેના દ્વારા બદલવામાં આવે છે. રેડિયલ કેપ્લર સમીકરણ રેડિયલ કેપ્લર સમીકરણ છેઃ જ્યાં તે સમયના પ્રમાણસર હોય છે અને કિરણ સાથે આકર્ષણના કેન્દ્રથી અંતરના પ્રમાણસર હોય છે. આ સમીકરણ કેપ્લરના સમીકરણને 1/2 વડે ગુણાકાર કરીને અને 1: પર સુયોજિત કરીને મેળવવામાં આવે છે અને પછી અવેજીને ઊલટી સમસ્યા બનાવીને આપેલ મૂલ્યની ગણતરી કરવી સરળ છે. જો કે, ક્યારે આપવામાં આવે છે તે ઉકેલવું નોંધપાત્ર રીતે વધુ પડકારજનક હોઈ શકે છે. કોઈ બંધ સ્વરૂપનો ઉકેલ નથી. લેગ્રેન્જ વ્યુત્ક્રમનો ઉપયોગ કરીને કેપ્લરના સમીકરણના ઉકેલ માટે અનંત શ્રેણી અભિવ્યક્તિ લખી શકાય છે, પરંતુ શ્રેણી અને ના તમામ સંયોજનો માટે એકરૂપ થતી નથી (નીચે જુઓ). કેપ્લરના સમીકરણની ઉકેલનીયતા અંગે મૂંઝવણ ચાર સદીઓથી સાહિત્યમાં ચાલુ છે. કેપ્લરે પોતે સામાન્ય ઉકેલ શોધવાની સંભાવના પર શંકા વ્યક્ત કરી હતીઃ બેસલ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ફોરિયર શ્રેણીનું વિસ્તરણ (સંદર્ભમાં) છે. વ્યુત્ક્રમ કેપ્લર સમીકરણ વ્યુત્ક્રમ કેપ્લર સમીકરણ એ તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે કેપ્લરના સમીકરણનો ઉકેલ છેઃ આ ઉપજનું મૂલ્યાંકન કરવુંઃ આ શ્રેણીઓને ઇન્વર્સ સિરીઝ કામગીરી સાથે ગણિતમાં પુનઃઉત્પાદિત કરી શકાય છે. ઇન્વર્સ સિરીઝ [શ્રેણી [M-sin [M], {M, 0,10}] ઇન્વર્સ સિરીઝ [શ્રેણી [M-e sin [M], {M, 0,10}]] આ કાર્યો સરળ મેકલૌરિન શ્રેણી છે. દિવ્ય વિધેયોની આવી ટેલર શ્રેણીની રજૂઆતને તે વિધેયોની વ્યાખ્યા માનવામાં આવે છે. તેથી, આ ઉકેલ વ્યુત્ક્રમ કેપ્લર સમીકરણની ઔપચારિક વ્યાખ્યા છે. જો કે, આપેલ બિન-શૂન્ય પરનું સંપૂર્ણ કાર્ય નથી. ખરેખર, જટિલ સંખ્યાઓના અનંત સમૂહ પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય પર જાય છે જ્યારે શૂન્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ આ બે બિંદુઓ પર હોય છે (જ્યાં ઇન્વર્સ કોશને પોઝિટિવ માનવામાં આવે છે), અને આ મૂલ્યો પર અનંત પર જાય છે. આનો અર્થ એ છે કે મેકલૌરિન શ્રેણીના અભિસરણની ત્રિજ્યા છે અને તેનાથી મોટા મૂલ્યો માટે શ્રેણી એકરૂપ થશે નહીં. શ્રેણીનો ઉપયોગ હાયપરબોલિક કેસ માટે પણ થઈ શકે છે, આ કિસ્સામાં કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા ક્યારે કન્વર્જ થાય છે તેની શ્રેણી છે. જ્યારે આ ઉકેલ ચોક્કસ ગાણિતિક અર્થમાં સૌથી સરળ છે, મોટાભાગના ઉપયોગો માટે અન્ય ઉકેલો પ્રાધાન્યક્ષમ છે. વૈકલ્પિક રીતે, કેપ્લરનું સમીકરણ સંખ્યાત્મક રીતે ઉકેલી શકાય છે. આ સમસ્યાનો ઉકેલ કાર્લ સ્ટમ્પફે 1968માં શોધી કાઢ્યો હતો, પરંતુ તેના મહત્વને ઓળખવામાં આવ્યું ન હતું. તેમાં મેકલૌરિન શ્રેણી પણ લખી શકાય છે. આ શ્રેણી જ્યારે લાપ્લાસ મર્યાદા (આશરે 0.66) કરતા મોટી હોય ત્યારે એકરૂપ થતી નથી, તેના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લીધા વિના (જ્યાં સુધી તેનો ગુણાંક ન હોય), પરંતુ જો લાપ્લાસ મર્યાદા કરતાં ઓછી હોય તો તે બધા માટે એકરૂપ થાય છે. શ્રેણીમાં ગુણાંક, પ્રથમ (જે સરળ છે) સિવાય, સમયગાળા સાથે સામયિક રીતે આધાર રાખે છે. વ્યુત્ક્રમ રેડિયલ કેપ્લર સમીકરણ () ને આ રીતે પણ લખી શકાય છેઃ આ ઉપજનું મૂલ્યાંકન કરવુંઃ ગણિતનો ઉપયોગ કરીને આ પરિણામ મેળવવા માટેઃ વ્યુત્ક્રમ શ્રેણી [શ્રેણી [આર્કસિન [સ્ક્વોર્ટ [ટી]]-સ્ક્વોર્ટ [(1-ટી) ટી], {ટી, 0,15}]] વ્યુત્ક્રમ સમસ્યાનો આંકડાકીય અંદાજ ન્યુટનની પદ્ધતિ મોટાભાગના ઉપયોગો માટે, વ્યુત્ક્રમ સમસ્યાની ગણતરી કાર્યના મૂળને શોધીને આંકડાકીય રીતે કરી શકાય છેઃ આ ન્યુટનની પદ્ધતિ દ્વારા પુનરાવર્તિત રીતે કરી શકાય છેઃ નોંધ કરો કે આ ગણતરીમાં રેડિયનના એકમોમાં છે. ઇચ્છિત ચોકસાઈ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી આ પુનરાવર્તન પુનરાવર્તિત થાય છે (દા. ત. જ્યારે <ઇચ્છિત ચોકસાઈ). મોટાભાગની લંબગોળ ભ્રમણકક્ષાઓ માટે પ્રારંભિક મૂલ્ય પૂરતું છે. સાથે ભ્રમણકક્ષાઓ માટે, ના પ્રારંભિક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. અસંખ્ય કૃતિઓ સચોટ (પણ વધુ જટિલ) પ્રારંભિક અનુમાન વિકસાવી છે. જો સમાનરૂપે 1 હોય, તો તેનું વ્યુત્પન્ન, જે ન્યૂટનની પદ્ધતિના છેદમાં છે, તે શૂન્યની નજીક જઈ શકે છે, જે ન્યુટન-રેફસન, સેકન્ટ અથવા રેગ્યુલા ફાલ્સી જેવી વ્યુત્પન્ન-આધારિત પદ્ધતિઓને આંકડાકીય રીતે અસ્થિર બનાવે છે. તે કિસ્સામાં, દ્વિભાજન પદ્ધતિ બાંયધરીકૃત અભિસરણ પ્રદાન કરશે, ખાસ કરીને કારણ કે ઉકેલને નાના પ્રારંભિક અંતરાલમાં બંધ કરી શકાય છે. આધુનિક કમ્પ્યુટર્સ પર, 17 થી 18 પુનરાવર્તનોમાં 4 અથવા 5 અંકોની ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવી શક્ય છે. કેપ્લરના સમીકરણના હાયપરબોલિક સ્વરૂપ માટે સમાન અભિગમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. પેરાબોલિક માર્ગના કિસ્સામાં, બાર્કરના સમીકરણનો ઉપયોગ થાય છે. નિશ્ચિત-બિંદુ પુનરાવર્તન એક સંબંધિત પદ્ધતિ તેની નોંધ લઈને શરૂ થાય છે. જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિને વારંવાર જમણી બાજુએ બદલવાથી મૂલ્યાંકન માટે એક સરળ નિશ્ચિત-બિંદુ પુનરાવર્તન અલ્ગોરિધમ મળે છે. આ પદ્ધતિ કેપ્લરના 1621ના ઉકેલ જેવી જ છે. કાર્ય E (e, M, n) E = M માટે k = 1 થી n E = M + e * sin E આગામી k વળતર E પુનરાવર્તનોની સંખ્યા, ની કિંમત પર આધારિત છે. હાયપરબોલિક સ્વરૂપ પણ એવું જ છે. આ પદ્ધતિ ઉપરના ન્યુટનની પદ્ધતિના ઉકેલ સાથે સંબંધિત છે જે ઓછી માત્રામાં પ્રથમ ક્રમમાં છે અને,. કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના નિયમો પણ જુઓ કેપ્લર પ્રોબ્લેમ કેપ્લર પ્રોબ્લેમ ઇન જનરલ રિલેટિવિટી રેડિયલ ટ્રેજેક્ટરી સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ કેપ્લરનું સમીકરણ વોલ્ફ્રમ મઠમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના જોહાન્સ કેપ્લર ઓર્બિટ્સના નામસ્ત્રોતીય સમીકરણો