Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બેલિનફેન્ટ-રોસેનફેલ્ડ ટેન્સર એ ઊર્જા-મોમેન્ટમ ટેન્સરનો ફેરફાર છે જે કેનોનિકલ ઊર્જા-મોમેન્ટમ ટેન્સર અને સ્પિન કરંટમાંથી બનાવવામાં આવે છે જેથી તે સપ્રમાણ હોવા છતાં હજુ પણ સંરક્ષિત રહે. શાસ્ત્રીય અથવા ક્વોન્ટમ સ્થાનિક ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તનના જનરેટરને સ્થાનિક પ્રવાહના અભિન્ન અંગ તરીકે લખી શકાય છે. કોણીય વેગના સ્થાનિક સંરક્ષણ માટે જરૂરી છે કે આમ સ્પિન-પ્રવાહનો સ્રોત બિન-સમમિતીય કેનોનિકલ ઊર્જા-ગતિ ટેન્સર સૂચવે છે. બેલિનફેન્ટ-રોસેનફેલ્ડ ટેન્સર એ ઊર્જા વેગ ટેન્સરનો એક ફેરફાર છે જે કેનોનિકલ ઊર્જા વેગ ટેન્સર અને સ્પિન કરંટમાંથી બનાવવામાં આવે છે જેથી તે સપ્રમાણ હોવા છતાં હજુ પણ સંરક્ષિત રહે. ભાગો દ્વારા એકીકરણ દર્શાવે છે કે અને તેથી બેલિનફેન્ટ ટેન્સરનું ભૌતિક અર્થઘટન એ છે કે તેમાં આંતરિક કોણીય વેગના ઢાળ સાથે સંકળાયેલ "બાઉન્ડ મોમેન્ટમ" નો સમાવેશ થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉમેરાયેલ શબ્દ એ ચુંબકત્વ ઘનતા સાથે સંકળાયેલ "બાઉન્ડ કરંટ" નું એનાલોગ છે. સપ્રમાણ બનાવવા માટે જરૂરી સ્પિન-કરંટ ઘટકોનું વિચિત્ર સંયોજન અને તેમ છતાં હજુ પણ સંરક્ષિત સંપૂર્ણપણે કામચલાઉ લાગે છે, પરંતુ રોસેનફેલ્ડ અને બેલિનફેન્ટ બંને દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે સુધારેલ ટેન્સર ચોક્કસપણે સપ્રમાણ હિલ્બર્ટ ઊર્જા-વેગ ટેન્સર છે જે સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ગુરુત્વાકર્ષણના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. જેમ તે બંધાયેલ અને મુક્ત પ્રવાહોનો સરવાળો છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે, તે જ રીતે તે બંધાયેલ અને મુક્ત ઊર્જા-ગતિનો સરવાળો છે જે ગુરુત્વાકર્ષણના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. બેલિનફેન્ટ-રોસેનફેલ્ડ અને હિલ્બર્ટ એનર્જી-મોમેન્ટમ ટેન્સર હિલ્બર્ટ એનર્જી-મોમેન્ટમ ટેન્સરને મેટ્રિકના સંદર્ભમાં કાર્યાત્મક ક્રિયાની વિવિધતા દ્વારા અથવા તેની સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (બીજા સમીકરણમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન ઊભું થાય છે કારણ કે) આપણે મિન્કોવ્સ્કી-ઓર્થોનોર્મલ વાઇરબીનને અલગ કરીને એનર્જી-મોમેન્ટમ ટેન્સરને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. વાઇરબીનની વિવિધતા સાથે સમપ્રમાણ હોવાનું તાત્કાલિક કોઈ સ્પષ્ટ કારણ નથી. જો કે, ક્રિયાત્મક ક્રિયા અનંત સ્થાનિક લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોવી જોઈએ, અને તેથી તે શૂન્ય હોવી જોઈએ. જેમ કે એક આર્બિટરી પોઝિશન-ડિપેન્ડન્ટ સ્ક્યુ સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ છે, આપણે જોઈએ છીએ કે લોકલ લોરેન્ટ્ઝ અને રોટેશન ઇનવેરિયન્સ બંનેની જરૂર છે અને તે સૂચવે છે. એકવાર આપણે જાણી લઈએ કે તે સપ્રમાણ છે, તે બતાવવું સરળ છે, અને તેથી વાઇરબીન-વેરિએશન એનર્જી-મોમેન્ટમ ટેન્સર મેટ્રિક-વેરિએશન હિલ્બર્ટ ટેન્સરની સમકક્ષ છે. હવે આપણે નોઇથર કેનોનિકલ એનર્જી મોમેન્ટમ ટેન્સરના બેલિનફેન્ટ-રોસેનફેલ્ડ ફેરફારની ઉત્પત્તિને સમજી શકીએ છીએ. સ્પિન જોડાણ ક્યાં છે તે પગલાં લો જે મેટ્રિક સુસંગત અને વળાંક મુક્ત હોવાની શરત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્પિન કરંટ પછી વર્ટિકલ બારની વિવિધતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે દર્શાવે છે કે ભિન્નતા દરમિયાન સ્થિર રાખવામાં આવે છે. "કેનોનિકલ" નોઇથર એનર્જી મોમેન્ટમ ટેન્સર એ તે ભાગ છે જે આપણે સ્પિન જોડાણને સ્થિર રાખીએ છીએ તે વિવિધતામાંથી ઉદભવે છેઃ પછી હવે, વળાંક-મુક્ત અને મેટ્રિક-સુસંગત જોડાણ માટે, આપણી પાસે તે છે જ્યાં આપણે સંકેતનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ સ્પિન-જોડાણ વિવિધતાનો ઉપયોગ કરીને, અને ભાગો દ્વારા એકીકરણ પછી, આપણે શોધીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ડીરાક ક્ષેત્ર માટે શાસ્ત્રીય લગ્રેન્જિયનને ધ્યાનમાં લો અહીં સ્પિનોર કોવેરિયન્ટ ડેરિવેટિવ્ઝ છે તેથી આપણને મળે છે. અમે શેલ પર છીએ. હવે જો અલગ હોય અને અન્યથા શૂન્ય હોય. પરિણામે તે સંપૂર્ણપણે સમપ્રમાણતા વિરોધી છે. હવે, આ પરિણામ અને ફરીથી ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે આમ બેલિનફેન્ટ-રોસેનફેલ્ડ ટેન્સર બની જાય છે. વેઇનબર્ગની વ્યાખ્યા સ્ટીવન વેઇનબર્ગે બેલિનફેન્ટ ટેન્સરને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે કે જ્યાં લેગ્રેન્જિયન ઘનતા છે, સમૂહ {મ્બા} એ લેગ્રેન્જિયનમાં દેખાતા ક્ષેત્રો છે, બિન-બેલિનફેન્ટ ઊર્જા વેગ ટેન્સર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે સજાતીય લોરેન્ટ્ઝ જૂથના બીજગણિતને સંતોષતા મેટ્રિસીસનો સમૂહ છે. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં સંદર્ભો ટેન્સર