Free boundary problem
ગણિતમાં, મુક્ત સીમા સમસ્યા (એફ. બી. સમસ્યા) એ આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે જે અજ્ઞાત કાર્ય અને અજ્ઞાત ક્ષેત્ર બંને માટે ઉકેલી શકાય છે. સમસ્યાની શરૂઆતમાં જે સીમાનો ભાગ જાણી શકાતો નથી તે મુક્ત સીમા છે. એફ. બી. વિવિધ ગાણિતિક નમૂનાઓમાં ઉદ્ભવે છે જેમાં ભૌતિકથી માંડીને આર્થિક, નાણાકીય અને જૈવિક ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં માધ્યમની વધારાની અસર હોય છે. આ અસર સામાન્ય રીતે માધ્યમનું ગુણાત્મક પરિવર્તન છે અને તેથી તબક્કાના સંક્રમણનો દેખાવ છેઃ બરફથી પાણી, પ્રવાહીથી સ્ફટિક, ખરીદીથી વેચાણ (અસ્કયામતો), સક્રિયથી નિષ્ક્રિય (જીવવિજ્ઞાન), વાદળીથી લાલ (રંગીન રમતો), અવ્યવસ્થિતથી સંગઠિત (સ્વ-સંગઠિત નિર્ણાયકતા). આવી જટિલતાનું એક રસપ્રદ પાસું કહેવાતા સેન્ડપાઇલ ડાયનેમિક (અથવા આંતરિક ડી. એલ. એ.) છે. સૌથી શાસ્ત્રીય ઉદાહરણ બરફનું પીગળવું છેઃ બરફના એક ટુકડાને જોતાં, તેનું તાપમાન નક્કી કરવા માટે યોગ્ય પ્રારંભિક અને સીમા શરતો આપવામાં આવે તો તે ઉષ્મા સમીકરણને હલ કરી શકે છે. પરંતુ, જો કોઈ પણ પ્રદેશમાં તાપમાન બરફના ગલનબિંદુ કરતા વધારે હોય, તો તેના બદલે આ ક્ષેત્ર પ્રવાહી પાણી દ્વારા કબજે કરવામાં આવશે. બરફ/પ્રવાહી આંતરપૃષ્ઠમાંથી રચાયેલી સીમા PDE ના ઉકેલ દ્વારા ગતિશીલ રીતે નિયંત્રિત થાય છે. બે તબક્કાની સ્ટેફન સમસ્યાઓ બરફનું ઓગળવું એ તાપમાન ક્ષેત્ર માટે સ્ટેફન સમસ્યા છે, જે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે. બે તબક્કાઓ ધરાવતા પ્રદેશ પર કબજો ધરાવતા માધ્યમનો વિચાર કરો, તબક્કો 1 જે ક્યારે હાજર છે અને તબક્કો 2 જે ક્યારે હાજર છે. ચાલો બે તબક્કાઓ થર્મલ ડિફ્યુઝિવિટીઝ ધરાવે છે અને. ઉદાહરણ તરીકે, પાણીની ઉષ્મીય પ્રસરણતા 1.4 × 10−7 m2/s છે, જ્યારે બરફની પ્રસરણતા 1.335 × 10−6 m2/s છે. માત્ર એક તબક્કો ધરાવતા પ્રદેશોમાં, તાપમાન ઉષ્મા સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છેઃ પ્રદેશમાં, જ્યારે પ્રદેશમાં, આ (જાણીતી) સીમા પર યોગ્ય પરિસ્થિતિઓને આધિન છે; તે ઉષ્માના સ્રોતો અથવા ડૂબવાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ચાલો તે સપાટી હોઈએ જ્યાં સમયે; આ સપાટી બે તબક્કાઓ વચ્ચેનો આંતરછેદ છે. ચાલો એકમ બાહ્ય સામાન્ય વેક્ટરને બીજા (ઘન) તબક્કામાં દર્શાવીએ. સ્ટીફન સ્થિતિ એ દિશામાં મુક્ત સપાટીના વેગને સંચાલિત કરતું સમીકરણ આપીને સપાટીની ઉત્ક્રાંતિ નક્કી કરે છે, ખાસ કરીને જ્યાં પીગળવાની સુપ્ત ગરમી છે. તેનો અર્થ એ છે કે પ્રદેશમાંથી આવતા ઢોળાવની મર્યાદા, અને આપણા માટે પ્રદેશમાંથી આવતા ઢોળાવની મર્યાદા. આ સમસ્યામાં, આપણે આખા પ્રદેશને અગાઉથી જાણતા હોઈએ છીએ પરંતુ આપણે તે સમયે માત્ર બરફ-પ્રવાહી આંતરપૃષ્ઠને જ જાણતા હોઈએ છીએ. સ્ટીફન સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આપણે માત્ર દરેક પ્રદેશમાં ઉષ્મા સમીકરણને ઉકેલવું પડશે નહીં, પરંતુ આપણે મુક્ત સીમાને પણ ટ્રેક કરવી પડશે. એક તબક્કાની સ્ટીફન સમસ્યા ક્યાં તો લેવા અથવા શૂન્ય થવા માટે અનુરૂપ છે; તે બે તબક્કાની સમસ્યાનો એક વિશેષ કેસ છે. વધુ જટિલતાની દિશામાં આપણે તબક્કાની મનસ્વી સંખ્યા સાથેની સમસ્યાઓને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. અવરોધ સમસ્યાઓ અન્ય એક પ્રસિદ્ધ મુક્ત-સીમા સમસ્યા અવરોધ સમસ્યા છે, જે શાસ્ત્રીય પોઈસન સમીકરણ સાથે ગાઢ જોડાણ ધરાવે છે. વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંતને સંતોષે છે, એટલે કે તેઓ સીમા પર મૂલ્ય લેતા તમામ કાર્યો પર કાર્યાત્મકતાને ઘટાડે છે. અવરોધ સમસ્યામાં, આપણે એક વધારાનું અવરોધ લાદીએ છીએઃ આપણે અમુક આપેલ કાર્ય માટે, કાર્યાત્મક વિષયને અંદરની સ્થિતિમાં ઘટાડીએ છીએ. સંયોગ સમૂહ C ને તે વિસ્તાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં. વધુમાં, બિન-સંયોગ સમૂહને તે પ્રદેશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં બરાબર નથી, અને મુક્ત સીમાને બંને વચ્ચેના આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી ની સીમા પર મુક્ત સીમા સમસ્યાને સંતોષે છે, અને નોંધ લો કે બધા કાર્યોનો સમૂહ જેમ કે બહિર્મુખ છે. જ્યાં પોઈસન સમસ્યા કાર્યોની રેખીય પેટા જગ્યા પર વર્ગાત્મક વિધેયના લઘુતમકરણને અનુરૂપ હોય છે, ત્યાં મુક્ત સીમા સમસ્યા બહિર્મુખ સમૂહ પર લઘુતમકરણને અનુરૂપ હોય છે. પરિવર્તનશીલ અસમાનતાઓ સાથે જોડાણ ઘણી મુક્ત સીમા સમસ્યાઓને વિશ્લેષણ માટે પરિવર્તનશીલ અસમાનતાઓ તરીકે નફાકારક રીતે જોઈ શકાય છે. આ મુદ્દાને સમજાવવા માટે, આપણે પહેલા બહિર્મુખ સમૂહ પર વાસ્તવિક ચલોના કાર્યને લઘુતમ કરવા તરફ વળીએ છીએ; લઘુતમ પરિબળને આ સ્થિતિ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જો તે અંદરના ભાગમાં હોય, તો તેનો ઢાળ શૂન્ય હોવો જોઈએ; જો તે સીમા પર હોય, તો એટનો ઢાળ સીમાને લંબરૂપ હોવો જોઈએ. આ જ વિચાર હિલ્બર્ટ જગ્યાના બહિર્મુખ સબસેટ પર વિભેદક વિધેયના લઘુતમકરણને લાગુ પડે છે, જ્યાં ઢાળને હવે પરિવર્તનશીલ વ્યુત્પન્ન તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. આ વિચારને મૂર્ત બનાવવા માટે, આપણે તેને અવરોધ સમસ્યા પર લાગુ કરીએ છીએ, જેને આ રીતે લખી શકાય છે આ રચના નબળા ઉકેલની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છેઃ છેલ્લા સમીકરણ પર ભાગો દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરવાથી તે મળે છે કે આ વ્યાખ્યામાં માત્ર એક જ વ્યુત્પન્નની જરૂર છે, જે લંબગોળ સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓની નબળી રચનાની જેમ જ છે. મુક્ત સીમાઓની નિયમિતતા લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, કેટલાક કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ દલીલોનો ઉપયોગ કરીને વાજબી સરળતા સાથે વિભેદક સમીકરણના નબળા ઉકેલનું અસ્તિત્વ દર્શાવવામાં આવે છે. જો કે, પ્રદર્શિત નબળો ઉકેલ ઇચ્છા કરતા ઓછા વ્યુત્પન્ન સાથેના કાર્યોની જગ્યામાં રહેલો છે; ઉદાહરણ તરીકે, પોઈસન સમસ્યા માટે, આપણે સરળતાથી દાવો કરી શકીએ છીએ કે એક નબળો ઉકેલ છે જે અંદર છે, પરંતુ તેમાં બીજા વ્યુત્પન્ન ન પણ હોઈ શકે. પછી નબળા ઉકેલ હકીકતમાં પૂરતા પ્રમાણમાં નિયમિત છે તે દર્શાવવા માટે કેટલાક કલન અંદાજો લાગુ કરવામાં આવે છે. મુક્ત સીમા સમસ્યાઓ માટે, આ કાર્ય બે કારણોસર વધુ પ્રચંડ છે. એક માટે, ઉકેલો ઘણીવાર મુક્ત સરહદની આજુબાજુ અસંગત વ્યુત્પન્ન પ્રદર્શિત કરે છે, જ્યારે તેઓ તેનાથી દૂરના કોઈપણ પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક હોઈ શકે છે. બીજું, વ્યક્તિએ મુક્ત સીમાની નિયમિતતા પણ દર્શાવવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટીફન સમસ્યા માટે, મુક્ત સીમા એ સપાટી છે. સંબંધિત સમસ્યાઓ શુદ્ધ શૈક્ષણિક દ્રષ્ટિકોણથી મુક્ત સીમાઓ સમસ્યાઓના મોટા વર્ગ સાથે સંબંધિત છે જેને સામાન્ય રીતે વધુ પડતી નિર્ધારિત સમસ્યાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અથવા જેમ કે ડેવિડ કિન્ડરલેહરર અને ગુઇડો સ્ટેમ્પાચિયાએ તેમના પુસ્તકઃ ધ પ્રોબ્લેમ ઓફ મેચિંગ કોચી ડેટામાં સંબોધન કર્યું છે. અન્ય સંબંધિત એફ. બી. પી. જેનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે તે છે પોમ્પેયુ સમસ્યા, શિફરના અનુમાન. નીચેની બાહ્ય કડીઓ જુઓ. સમાન સમસ્યાઓનું મોડેલ બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતો બીજો અભિગમ ફેઝ-ફિલ્ડ મોડેલ છે. સંદર્ભો પી. ડી. ઈ. માં મેળ ખાતી સમસ્યા, પોમ્પેયુ સમસ્યા, શિફરનું અનુમાન, આંશિક વિભેદક સમીકરણો સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ