Hecke algebra of a locally compact group
ગણિતમાં, સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથનું હેક બીજગણિત એ કોન્વોલ્યુશન હેઠળ દ્વિ-અપરિવર્તનશીલ માપોનું બીજગણિત છે. વ્યાખ્યા ધારો કે (G, K) એક જોડી છે જેમાં એક એકીકૃત સ્થાનિક રીતે સઘન ટોપોલોજિકલ જૂથ G અને G ના બંધ પેટાજૂથ K નો સમાવેશ થાય છે. પછી સઘન આધાર C [K\ G/K] ના દ્વિ-K-અપરિવર્તનશીલ સતત કાર્યોની જગ્યાને કોન્વોલ્યુશનની કામગીરી હેઠળ સહયોગી બીજગણિતની રચના સાથે સંપન્ન કરી શકાય છે. આ બીજગણિતને H (G// K) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે અને તેને જોડીની હેક રીંગ (G, K) કહેવામાં આવે છે. જો આપણે ગેલફેન્ડ જોડીથી શરૂઆત કરીએ તો પરિણામી બીજગણિત પરિવર્તનીય હોવાનું બહાર આવે છે. ઉદાહરણો SL (2) ખાસ કરીને, જ્યારે G = SLn (Qp) અને K = SLn (Zp) અને અનુરૂપ પરિવર્તનીય હેક રિંગની રજૂઆતો ઇયાન જી. મેકડોનાલ્ડ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવી ત્યારે આ લાગુ પડે છે. બીજી બાજુ, G = GL2 (Q) અને K = GL2 (Z) ના કિસ્સામાં આપણી પાસે શાસ્ત્રીય હેક બીજગણિત છે, જે મોડ્યુલર સ્વરૂપોના સિદ્ધાંતમાં હેક ઓપરેટરોની પરિવર્તનીય રીંગ છે. ઇવાહોરી મર્યાદિત વેલ જૂથના ઇવાહોરી-હેક્કે બીજગણિત તરફ દોરી જતો કિસ્સો એ છે કે જ્યારે G એ pk તત્વો સાથે મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત ચેવલે જૂથ છે, અને B એ તેનું બોરેલ પેટાજૂથ છે. ઇવાહોરીએ દર્શાવ્યું હતું કે હેક રીંગ H (G// B) એ G ના વેલ જૂથ W ના સામાન્ય હેક બીજગણિત Hq માંથી મેળવવામાં આવે છે, જે પછીના બીજગણિતના અનિશ્ચિત q ને pk માં વિશેષતા આપે છે, જે મર્યાદિત ક્ષેત્રની મુખ્યતા છે. જ્યોર્જ લુસ્ટિગે 1984માં ટિપ્પણી કરી હતી (મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર રિડક્ટિવ જૂથોના અક્ષરો, xi, ફૂટનોટ): ઇવાહોરી અને માત્સુમોટો (1965) એ કેસને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જ્યારે G એ બિન-આર્કીમીડિયન સ્થાનિક ક્ષેત્ર F પર રિડક્ટિવ બીજગણિત જૂથના બિંદુઓનું જૂથ છે, જેમ કે Qp, અને K જેને હવે Gનું ઇવાહોરી પેટાજૂથ કહેવામાં આવે છે. પરિણામી હેક રિંગ એ Gના એફાઇન વેઇલ જૂથના હેક બીજગણિત અથવા એફાઇન હેક બીજગણિત માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જ્યાં અનિશ્ચિત q એ F ના અવશેષ ક્ષેત્રની મુખ્યતા માટે વિશિષ્ટ છે. સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથ સંદર્ભોનું જૂથ બીજગણિત પણ જુઓ.