Metaplectic structure
વિભેદક ભૂમિતિમાં, મેટાપ્લેક્ટિક માળખું એ ઓરિએન્ટેબલ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પર સ્પિન માળખાનું સિમપ્લેક્ટિક એનાલોગ છે. સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ પર મેટાપ્લેક્ટિક માળખું વ્યક્તિને સિમપ્લેક્ટિક સ્પિનોર બંડલને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે મેટાપ્લેક્ટિક રજૂઆત દ્વારા મેટાપ્લેક્ટિક માળખા સાથે સંકળાયેલ હિલ્બર્ટ સ્પેસ બંડલ છે, જે વિભેદક ભૂમિતિમાં સિમપ્લેક્ટિક સ્પિનોર ક્ષેત્રની કલ્પનાને જન્મ આપે છે. લાક્ષણિક સ્પિન માળખાઓ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે વ્યાપક ઉપયોગો ધરાવે છે, ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત માટે જ્યાં તેઓ આ વિચારને સ્થાપિત કરવામાં આવશ્યક ઘટક છે કે સિમપ્લેક્ટિક સ્પિન ભૂમિતિ અને સિમપ્લેક્ટિક ડીરાક ઓપરેટરો સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિ અને સિમપ્લેક્ટિક ટોપોલોજીમાં મૂલ્યવાન સાધનો આપી શકે છે. તેઓ વિભેદક ભૂમિતિ, બીજગણિત ટોપોલોજી અને કે સિદ્ધાંતમાં પણ સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક રસ ધરાવે છે. તેઓ સિમપ્લેક્ટિક સ્પિન ભૂમિતિ માટેનો પાયો બનાવે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા સિંપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ પરનું મેટાપ્લેક્ટિક માળખું એ બેવડા આવરણના સંદર્ભમાં સિંપ્લેક્ટિક ફ્રેમ બંડલનું સમતુલ્ય ઉત્થાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જોડી એ મુખ્ય બંડલ પરનું મેટાપ્લેક્ટિક માળખું છે જ્યારે a) એક મુખ્ય-બંડલ ઓવર હોય, b) એક સમતુલ્ય-ગડી આવરણ નકશો હોય જેમ કે અને બધા માટે અને મુખ્ય બંડલને મેટાપ્લેક્ટિક ફ્રેમનું બંડલ પણ કહેવામાં આવે છે. બે મેટાપ્લેક્ટિક સ્ટ્રક્ચર્સ અને સમાન સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એક-સમકક્ષ નકશો અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે અને બધા માટે અને અલબત્ત, આ કિસ્સામાં અને આપેલ સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડની સિમપ્લેક્ટિક ફ્રેમ-બંડલના બે સમકક્ષ ડબલ આવરણ હોય. અવરોધ દરેક સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ આવશ્યકપણે સમ પરિમાણ અને લક્ષી હોવાથી, કોઈ સાબિત કરી શકે છે કે મેટાપ્લેક્ટિક માળખાના અસ્તિત્વમાં ટોપોલોજિકલ અવરોધ ચોક્કસપણે રીમાનિયન સ્પિન ભૂમિતિ જેવો જ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિંપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ મેટાપ્લેક્ટિક માળખાને સ્વીકારે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સ્ટીફેલ-વ્હિટનીનો બીજો વર્ગ અદૃશ્ય થઈ જાય. હકીકતમાં, પ્રથમ ચેરન વર્ગનો મોડ્યુલો ઘટાડો એ બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ છે. તેથી, મેટાપ્લેક્ટિક સ્ટ્રક્ચર્સને સ્વીકારે છે જો અને માત્ર જો સમ હોય, એટલે કે, જો અને માત્ર જો શૂન્ય હોય. જો આ કિસ્સો હોય, તો મેટાપ્લેક્ટિક માળખાના આઇસોમોર્ફી વર્ગોને-ગુણાંક સાથેના પ્રથમ કોહોમોલોજી જૂથ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જેમ જેમ મેનીફોલ્ડને લક્ષી માનવામાં આવે છે તેમ, પ્રથમ સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ પણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ઉદાહરણો મેટાપ્લેક્ટિક માળખાને સ્વીકારતા મેનિફોલ્ડ્સ ફેઝ સ્પેસ કોઈપણ ઓરિએન્ટેબલ મેનીફોલ્ડ. જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ સરળ રીતે જોડાયેલી હોવાથી, આવી રચના અનન્ય હોવી જોઈએ. ગ્રાસમેનિયન વગેરે. આ પણ જુઓ મેટાપ્લેક્ટિક ગ્રુપ સિમ્પ્લેક્ટિક ફ્રેમ બંડલ સિમ્પ્લેક્ટિક ગ્રુપ સિમ્પ્લેક્ટિક સ્પિનોર બંડલ નોંધો સંદર્ભો સિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ બહુવિધ બીજગણિત ટોપોલોજી પરની રચનાઓ