Bernstein–von Mises theorem
બેયેશિયન અનુમાનમાં, બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ પ્રમેય પેરામેટ્રિક મોડેલોમાં વિશ્વાસ નિવેદનો માટે બેયેશિયન વિશ્વસનીય સમૂહોનો ઉપયોગ કરવા માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે. તે જણાવે છે કે કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં, પશ્ચાદવર્તી વિતરણ અનંત ડેટાની મર્યાદામાં સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ સાથે મહત્તમ સંભાવના અંદાજક પર કેન્દ્રિત બહુપરીવર્તન સામાન્ય વિતરણમાં એકરૂપ થાય છે, જ્યાં સાચું વસ્તી પરિમાણ છે અને સાચા વસ્તી પરિમાણ મૂલ્ય પર ફિશર માહિતી મેટ્રિક્સ છેઃ બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ પ્રમેય બાયેસિયન અનુમાનને વારંવારના અનુમાન સાથે જોડે છે. તે ધારે છે કે કેટલીક સાચી સંભવિત પ્રક્રિયા છે જે અવલોકનો પેદા કરે છે, જેમ કે વારંવારવાદમાં, અને પછી તે પ્રક્રિયાને પુનઃપ્રાપ્ત કરવાની બાયેસિયન પદ્ધતિઓની ગુણવત્તાનો અભ્યાસ કરે છે, અને તે પ્રક્રિયા વિશે અનિશ્ચિતતા નિવેદનો કરે છે. ખાસ કરીને, તે જણાવે છે કે ચોક્કસ વિશ્વસનીયતા સ્તરના બાયેસિયન વિશ્વસનીય સમૂહો એસિમ્પ્ટોટિક રીતે આત્મવિશ્વાસ સ્તરના આત્મવિશ્વાસ સમૂહો હશે, જે બાયેસિયન વિશ્વસનીય સમૂહોના અર્થઘટન માટે પરવાનગી આપે છે. હ્યુરિસ્ટિક સ્ટેટમેન્ટ એક મોડેલમાં, ચોક્કસ નિયમિતતા પરિસ્થિતિઓ (મર્યાદિત-પરિમાણીય, સારી રીતે નિર્દિષ્ટ, સરળ, પરીક્ષણોનું અસ્તિત્વ) હેઠળ, જો અગાઉના વિતરણમાં લેબસ્ગ્યુ માપના સંદર્ભમાં ઘનતા હોય જે પૂરતી સરળ હોય (શૂન્યથી નજીકથી બંધાયેલ હોય), તો પુનઃસ્થાપિત પશ્ચાદવર્તી વિતરણ (કેન્દ્રિત કરીને અને પુનઃપ્રાપ્ત કરીને) અને કોઈપણ કાર્યક્ષમ અંદાજકાર પર કેન્દ્રિત ગૌસીયન વિતરણ અને વિપરીત ફિશર માહિતી સાથે તફાવત શૂન્યની સંભાવનામાં ભેગા થશે. બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ અને મહત્તમ સંભાવના અંદાજ જો મહત્તમ સંભાવના અંદાજકાર એક કાર્યક્ષમ અંદાજકાર હોય, તો આપણે આને જોડી શકીએ છીએ, અને આપણે બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ પ્રમેયની સામાન્ય, વધુ ચોક્કસ આવૃત્તિને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકીએ છીએ. અસરો બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ પ્રમેયની સૌથી મહત્વપૂર્ણ અસર એ છે કે બાયેસિયન અનુમાન વારંવાર દ્રષ્ટિકોણથી એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સાચું છે. આનો અર્થ એ છે કે મોટા પ્રમાણમાં માહિતી માટે, વારંવારના દૃષ્ટિકોણથી, અંદાજ અને અનિશ્ચિતતા વિશે માન્ય નિવેદનો કરવા માટે પશ્ચાદવર્તી વિતરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ પ્રમેયને રિચાર્ડ વોન મિસેસ અને એસ. એન. બર્નસ્ટીનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જોકે 1949માં જોસેફ એલ. ડૂબ દ્વારા મર્યાદિત સંભાવના અવકાશ સાથે રેન્ડમ ચલ માટે પ્રથમ યોગ્ય પુરાવો આપવામાં આવ્યો હતો. પાછળથી લ્યુસિએન લે કેમ, તેમના પીએચડી વિદ્યાર્થી લોરેન શ્વાર્ટઝ, ડેવિડ એ. ફ્રીડમેન અને પર્સી ડાયકોનિસે વધુ સામાન્ય ધારણાઓ હેઠળ સાબિતી વિસ્તૃત કરી. મર્યાદાઓ ખોટી રીતે નિર્દિષ્ટ મોડેલના કિસ્સામાં, પશ્ચાદવર્તી વિતરણ પણ સાચા સરેરાશ સાથે એસિમ્પ્ટોટિકલી ગૌસીયન બની જશે, પરંતુ ફિશરની માહિતી સાથે ભિન્નતા તરીકે જરૂરી નથી. આ સૂચવે છે કે બાયેસિયન સ્તરના વિશ્વસનીય સમૂહને સ્તરના આત્મવિશ્વાસ સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાતું નથી. બિન-પેરામેટ્રિક આંકડાશાસ્ત્રના કિસ્સામાં, બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ પ્રમેય સામાન્ય રીતે ડિરીક્લેટ પ્રક્રિયાના નોંધપાત્ર અપવાદ સાથે જાળવી રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે. ફ્રીડમેન દ્વારા 1965માં એક નોંધપાત્ર પરિણામ મળ્યું હતુંઃ જો રેન્ડમ ચલમાં અનંત ગણતરીપાત્ર સંભાવના જગ્યા હોય તો બર્નસ્ટીન-વોન મિસેસ પ્રમેય લગભગ ચોક્કસપણે માન્ય નથી; જો કે, આ સંભવિત પ્રાયોરની ખૂબ જ વ્યાપક શ્રેણીને મંજૂરી આપવા પર આધાર રાખે છે. વ્યવહારમાં, સંશોધનમાં સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રાયર્સ અનંત ગણતરીપાત્ર સંભાવના જગ્યા સાથે પણ ઇચ્છનીય ગુણધર્મ ધરાવે છે. વિવિધ સારાંશ આંકડાઓ જેમ કે સ્થિતિ અને સરેરાશ પશ્ચાદવર્તી વિતરણમાં અલગ રીતે વર્તે છે. ફ્રીડમેનના ઉદાહરણોમાં, પશ્ચાદવર્તી ઘનતા અને તેનો સરેરાશ ખોટા પરિણામ પર એકરૂપ થઈ શકે છે, પરંતુ પશ્ચાદવર્તી સ્થિતિ સુસંગત છે અને સાચા પરિણામ પર એકરૂપ થશે. નોંધો સંદર્ભો ડુબ, જોસેફ એલ. (1949), માર્ટિંગેલ્સના સિદ્ધાંતની અરજી. કોલોક. ઇન્ટર્ન. ડુ C.N.R.S (પેરિસ), નં. 13, pp. 23-27. ફ્રીડમેન, ડેવિડ એ. 1963). બેયસના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન પર અલગ કેસ I માં અંદાજ છે. ધ એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિકલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, વોલ્યુમ. 34, pp. 1386-1403. ફ્રીડમેન, ડેવિડ એ. (1965). બેયસના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન પર અલગ કેસ II માં અંદાજ છે. ધ એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિકલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, વોલ્યુમ. 36, pp. 454-456. લે કેમ, લ્યુસીન (1986). આંકડાકીય નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ, સ્પ્રિંગર. (પાના 336 અને 618-621). લોરેન શ્વાર્ટઝ (1965). બેયસ પ્રક્રિયાઓ પર. ઝેડ. વાહરશેઇનલિચકેઇટસ્થોરી, નં. 4, pp. 10-26. આંકડાશાસ્ત્રમાં બાયેસિયન અનુમાન પ્રમેયો