Quantum pendulum
ક્વોન્ટમ લોલક રસાયણશાસ્ત્રમાં અવરોધિત આંતરિક પરિભ્રમણ, સ્કેટરિંગ અણુઓની ક્વોન્ટમ લાક્ષણિકતાઓ તેમજ અન્ય અસંખ્ય ક્વોન્ટમ ઘટનાઓને સમજવા માટે મૂળભૂત છે. જો કે લઘુ-કોણ અંદાજને આધિન ન હોય તેવા લોલકમાં અંતર્ગત બિનરેખીયતા હોય છે, તેમ છતાં ક્વોન્ટાઇઝ્ડ સિસ્ટમ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ પ્રમાણમાં સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. શ્રોડિંગર સમીકરણ શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાંથી લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સનો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમ માટે હેમિલ્ટોનિયન વિકસાવી શકાય છે. એક સરળ લોલકમાં એક સામાન્યીકૃત સંકલન (કોણીય વિસ્થાપન) અને બે અવરોધો (તારની લંબાઈ અને ગતિનું સમતલ) હોય છે. આ હેમિલ્ટોનિયનમાં પરિણમે છે સિસ્ટમ માટે સમય-આધારિત શ્રોડિંગર સમીકરણ એ છે કે ઊર્જાના સ્તરો અને અનુરૂપ આઈગનસ્ટેટ શોધવા માટે વ્યક્તિએ સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિંગર સમીકરણને હલ કરવું આવશ્યક છે. આ સ્વતંત્ર ચલને નીચે પ્રમાણે બદલીને શ્રેષ્ઠ રીતે પરિપૂર્ણ થાય છેઃ આ ફક્ત મેથ્યુના વિભેદક સમીકરણ છે, જેના ઉકેલો મેથ્યુ કાર્યો છે. લાક્ષણિક મૂલ્યો તરીકે ઓળખાતા સંખ્યાબંધ ઘણા વિશેષ મૂલ્યો માટે, મેથ્યુ સમીકરણ એવા ઉકેલોને સ્વીકારે છે જે સમયગાળા સાથે સામયિક હોય છે. મેથ્યુ કોસાઇન, સાઇન વિધેયોના લાક્ષણિક મૂલ્યો અનુક્રમે લખવામાં આવે છે, જ્યાં એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. મેથ્યુ કોસાઇન અને સાઇન વિધેયોના સામયિક વિશેષ કિસ્સાઓ ઘણીવાર અનુક્રમે લખવામાં આવે છે, જો કે તેમને પરંપરાગત રીતે અલગ સામાન્યીકરણ આપવામાં આવે છે (એટલે કે, તેમનું ધોરણ બરાબર છે). ક્વોન્ટમ લોલકમાં સીમા શરતો સૂચવે છે કે આપેલ માટે નીચે મુજબ છેઃ સિસ્ટમની ઊર્જા, અનુક્રમે સમ/વિષમ ઉકેલો માટે, મેથ્યુ સમીકરણને હલ કરીને મળેલા લાક્ષણિક મૂલ્યોના આધારે માપવામાં આવે છે. અસરકારક સંભવિત ઊંડાઈને એ ઊંડા સંભવિત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે સ્વતંત્ર સંભવિતતામાં કણની ગતિશીલતા આપે છે. તેનાથી વિપરીત, છીછરા સંભવિતતામાં, બ્લોચ તરંગો, તેમજ ક્વોન્ટમ ટનલિંગ, મહત્વપૂર્ણ બની જાય છે. સામાન્ય ઉકેલ a અને q ના આપેલ મૂલ્ય માટે ઉપરોક્ત વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર મેથ્યુ કોસાઇન અને મેથ્યુ સાઇનનો સમૂહ છે, જે અનુક્રમે સમ અને વિષમ ઉકેલો છે. સામાન્ય રીતે, મેથ્યુ વિધેયો અપેરિયોડિક હોય છે; જો કે, લાક્ષણિક મૂલ્યો માટે, મેથ્યુ કોસાઇન અને સાઇન સમયગાળા સાથે સામયિક બને છે. q ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે, નીચેના સાચા છેઃ અહીં પ્રથમ થોડા સામયિક મેથ્યુ કોસાઇન વિધેયો છે. નોંધ લો કે, ઉદાહરણ તરીકે, (લીલો) કોસાઇન કાર્ય જેવું લાગે છે, પરંતુ સપાટ ટેકરીઓ અને છીછરા ખીણો સાથે. આ પણ જુઓ ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર ગ્રંથસૂચિ મુહમ્મદ અયુબ, એટમ ઓપ્ટિક્સ ક્વોન્ટમ પેંડુલમ, 2011, ઈસ્લામાબાદ, પાકિસ્તાન., https://arxiv.org/abs/1012.6011 ક્વોન્ટમ મોડલ પેંડુલમ