Higher local field
ગણિતમાં, ઉચ્ચ (-પરિમાણીય) સ્થાનિક ક્ષેત્ર એ સંપૂર્ણ સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન ક્ષેત્રનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ છે. આવા ક્ષેત્રોને કેટલીકવાર બહુ-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રો પણ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર (સામાન્ય રીતે સંખ્યા ક્ષેત્રોની પૂર્ણતા અથવા બીજગણિત વળાંકની સ્થાનિક રિંગ્સના ભાગાકાર ક્ષેત્રો) ક્ષેત્રોના સ્થાનિક પરિમાણની પસંદગી સાથે સંકળાયેલ એક અનન્ય સર્જેક્ટિવ અલગ મૂલ્યાંકન (ક્રમ 1) હોય છે, સિવાય કે તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને જટિલ સંખ્યાઓ જેવા પ્રાચીન સ્થાનિક ક્ષેત્રો હોય. તેવી જ રીતે, ક્ષેત્રના n સ્થાનિક પરિમાણોની પસંદગી સાથે સંકળાયેલા લગભગ તમામ n-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર ક્રમ n નું અલગ મૂલ્યાંકન છે. એક-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રોથી વિપરીત, ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રોમાં અવશેષ ક્ષેત્રોનો ક્રમ હોય છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર વિવિધ અભિન્ન માળખાં છે, જે કેટલા અવશેષ ક્ષેત્રોની માહિતીને ધ્યાનમાં લેવા માંગે છે તેના આધારે છે. ભૌમિતિક રીતે, ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો સ્થાનિકીકરણની પ્રક્રિયા અને ઉચ્ચ પરિમાણીય યોજનાઓની સ્થાનિક વીંટીઓને પૂર્ણ કરીને દેખાય છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો ઉચ્ચ પરિમાણીય સંખ્યા સિદ્ધાંતના વિષયનો એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે, જે સ્થાનિક વિચારણાઓ માટે વસ્તુઓનો યોગ્ય સંગ્રહ બનાવે છે. વ્યાખ્યા મર્યાદિત ક્ષેત્રોમાં પરિમાણ 0 હોય છે અને મર્યાદિત અવશેષ ક્ષેત્ર સાથેના સંપૂર્ણ સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન ક્ષેત્રોમાં પરિમાણ 1 હોય છે (R અથવા C જેવા આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રોને પરિમાણ 1 હોવાનું પણ વ્યાખ્યાયિત કરવું સ્વાભાવિક છે), પછી આપણે કહીએ છીએ કે સંપૂર્ણ સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન ક્ષેત્રનું પરિમાણ n હોય છે જો તેના અવશેષ ક્ષેત્રનું પરિમાણ n − 1 હોય. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો એક કરતાં વધુ પરિમાણના હોય છે, જ્યારે એક-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રો પરંપરાગત સ્થાનિક ક્ષેત્રો હોય છે. આપણે મર્યાદિત-પરિમાણીય ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રના અવશેષ ક્ષેત્રને 'પ્રથમ' અવશેષ ક્ષેત્ર કહીએ છીએ, તેનું અવશેષ ક્ષેત્ર પછી બીજું અવશેષ ક્ષેત્ર છે, અને જ્યાં સુધી આપણે મર્યાદિત ક્ષેત્ર સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી પેટર્ન ચાલુ રહે છે. ઉદાહરણો દ્વિ-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રોને નીચેના વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવે છેઃ હકારાત્મક લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્રો, તેઓ એક-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર ચલ ટીમાં ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી છે, એટલે કે. Fq ((u)) ((t)). લાક્ષણિકતા શૂન્યના સમાન લાક્ષણિકતા ક્ષેત્રો, તેઓ લાક્ષણિકતા શૂન્યના એક-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્ર F પર ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી F ((t)) છે. મિશ્ર-લાક્ષણિકતા ક્ષેત્રો, તેઓ પ્રકાર F {{t}} ના ક્ષેત્રોના મર્યાદિત વિસ્તરણ છે, F એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું એક-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્ર છે. આ ક્ષેત્રને ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે બંને દિશામાં અનંત હોય છે, જેમાં F ના ગુણાંક હોય છે, જેમ કે ગુણાંકના મૂલ્યાંકનનું લઘુત્તમ પૂર્ણાંક હોય છે, અને એવું કે ગુણાંકનું મૂલ્યાંકન શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે તેમની અનુક્રમણિકા બાદબાકી અનંત તરફ જાય છે. આર્કિમિડીયન દ્વિ-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રો, જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ આર અથવા જટિલ સંખ્યાઓ સી પર ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી છે. રચનાઓ ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો વિવિધ સંદર્ભોમાં દેખાય છે. એક ભૌમિતિક ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે. લાક્ષણિકતા p ના મર્યાદિત ક્ષેત્ર પરની સપાટીને જોતાં, સપાટી પરનો વળાંક અને વળાંક પરનો બિંદુ, બિંદુ પર સ્થાનિક વીંટી લો. પછી, આ વીંટીને પૂર્ણ કરો, તેને વળાંક પર સ્થાનાંતરિત કરો અને પરિણામી વીંટીને પૂર્ણ કરો. છેવટે, ભાગાકાર ક્ષેત્ર લો. પરિણામ એ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પરનું દ્વિ-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્ર છે. પરિવર્તનીય બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને એક રચના પણ છે, જે બિન-નિયમિત રિંગ્સ માટે તકનીકી બની જાય છે. પ્રારંભિક બિંદુ નોથેરિયન, નિયમિત, એન-પરિમાણીય રીંગ છે અને મુખ્ય આદર્શોનો સંપૂર્ણ ધ્વજ છે જેમ કે તેમની અનુરૂપ ભાગાકાર રીંગ નિયમિત હોય છે. જ્યાં સુધી n-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્ર સુધી પહોંચવામાં ન આવે ત્યાં સુધી ઉપરની જેમ પૂર્ણતા અને સ્થાનિકીકરણની શ્રેણી થાય છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર ટોપોલોજી એક-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રોને સામાન્ય રીતે મૂલ્યાંકન ટોપોલોજીમાં ગણવામાં આવે છે, જેમાં સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ ખુલ્લા સમૂહોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. આ ઉચ્ચ પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રો માટે પૂરતું નથી, કારણ કે અવશેષ સ્તર પર પણ ટોપોલોજીને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રોને યોગ્ય ટોપોલોજી (વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત નહીં) સાથે સંપન્ન કરી શકાય છે જે આ મુદ્દાને સંબોધિત કરે છે. જો n> 1 હોય તો આવા ટોપોલોજીઓ ક્રમ n ના અલગ મૂલ્યાંકન સાથે સંકળાયેલ ટોપોલોજીઓ નથી. પરિમાણ બે અને તેનાથી ઉપરનું ક્ષેત્રનું એડિટિવ જૂથ એક ટોપોલોજિકલ જૂથ બની જાય છે જે સ્થાનિક રીતે સઘન નથી અને ટોપોલોજીનો આધાર ગણવા યોગ્ય નથી. સૌથી આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે ગુણાકાર સતત નથી; જો કે, તે ક્રમિક રીતે સતત છે, જે તમામ વાજબી અંકગણિત હેતુઓ માટે પૂરતું છે. વધુ ઔપચારિક મુદ્દાઓ દ્વારા ટોપોલોજીકલ વિચારણાઓને બદલવા માટે પુનરાવર્તિત ઇન્ડ-પ્રો અભિગમો પણ છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર માપન, એકીકરણ અને હાર્મોનિક વિશ્લેષણ દ્વિ-પરિમાણીય સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર કોઈ અનુવાદ અપરિવર્તનશીલ માપ નથી. તેના બદલે, મેદાન પર દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકનોના સંદર્ભમાં બંધ દડાઓ દ્વારા પેદા થયેલ સમૂહોની વીંટી પર વ્યાખ્યાયિત એક મર્યાદિત એડિટિવ ટ્રાન્સલેશન અપરિવર્તનશીલ માપ છે, અને વાસ્તવિક પર ઔપચારિક પાવર શ્રેણી આર ((એક્સ)) માં મૂલ્યો લે છે. આ માપ ચોક્કસ શુદ્ધ અર્થમાં પણ નોંધપાત્ર રીતે ઉમેરવામાં આવે છે. તેને ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર ઉચ્ચ હાર માપ તરીકે જોઈ શકાય છે. દરેક ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રનું એડિટિવ જૂથ નોન-કેનોનિકલી સેલ્ફ-ડ્યુઅલ છે, અને કોઈ પણ કાર્યોની યોગ્ય જગ્યાઓ પર ઉચ્ચ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. આ ઉચ્ચ હાર્મોનિક વિશ્લેષણ તરફ દોરી જાય છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત પરિમાણ એકમાં સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ઉચ્ચ પરિમાણોમાં તેના એનાલોગ ધરાવે છે. ગુણાકાર જૂથ માટે યોગ્ય સ્થાનાંતર nમું મિલ્નર કે-જૂથ બની જાય છે, જ્યાં n એ ક્ષેત્રનું પરિમાણ છે, જે પછી ક્ષેત્ર પર મહત્તમ અબેલિયન વિસ્તરણના ગેલોઇસ જૂથ માટે પારસ્પરિક નકશાના ક્ષેત્ર તરીકે દેખાય છે. દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત તત્વોના તેના પેટા જૂથ દ્વારા nમા મિલ્નર કે-જૂથના ભાગાકાર સાથે કામ કરવું વધુ સારું છે. ફેસેન્કો પ્રમેયને કારણે, આ ભાગાકારને યોગ્ય ઉચ્ચ પરિમાણીય ટોપોલોજીથી સંપન્ન કે-જૂથના મહત્તમ અલગ ટોપોલોજિકલ ભાગાકાર તરીકે પણ જોઈ શકાય છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક ક્ષેત્રના મહત્તમ અબેલિયન વિસ્તરણના ગેલોઇસ જૂથમાં nમા મિલ્નર કે-જૂથના આ ભાગથી ઉચ્ચ સ્થાનિક પારસ્પરિકતા હોમોમોર્ફિઝમમાં એક-પરિમાણીય સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત જેવી ઘણી લાક્ષણિકતાઓ છે. ઉચ્ચ સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અવશેષ ક્ષેત્ર સ્તર પર વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત છે, જે ક્ષેત્ર અને અવશેષ ક્ષેત્રના સ્તર પર પારસ્પરિકતા નકશાને સમાવતી પરિવર્તનીય આકૃતિ બનાવવા માટે મિલ્નર કે-સિદ્ધાંતના સરહદ નકશાનો ઉપયોગ કરે છે. સામાન્ય ઉચ્ચ સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત કાઝુયા કાટો અને ઇવાન ફેસેન્કો દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં ઉચ્ચ સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની દરખાસ્ત અલેક્સી પાર્શિને કરી હતી. નોંધો સંદર્ભ ક્ષેત્ર (ગણિત) બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત હાર્મોનિક વિશ્લેષણ