Line integral convolution
વૈજ્ઞાનિક વિઝ્યુલાઇઝેશનમાં, લાઇન ઇન્ટિગ્રલ કન્વોલ્યુશન (એલ. આઈ. સી.) એ વેક્ટર ક્ષેત્રની કલ્પના કરવાની એક પદ્ધતિ છે, જેમ કે પ્રવાહી ગતિ. વૈશ્વિક પદ્ધતિ એકીકરણ-આધારિત પદ્ધતિ રચના-આધારિત પદ્ધતિ કન્વોલ્યુશન સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં આ પ્રક્રિયાને ડિસ્ક્રીટ કન્વોલ્યુશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. એકીકરણ આધારિત પદ્ધતિ તે એકીકરણ આધારિત પદ્ધતિ (તકનીક) છે. વધુ ચોક્કસપણે તે યુનિફોર્મ ગ્રીડ પર ડિસ્ક્રીટ લાઇન ઇંટીગ્રલ પર આધારિત છે. સ્વતંત્ર આંકડાકીય એકીકરણ એક રેખા (વધુ ચોક્કસપણે વળાંક) સાથે કરવામાં આવે છે. અહીં રેખાનો અર્થ વેક્ટર ક્ષેત્રની ક્ષેત્ર રેખા થાય છે. વૈશ્વિક પદ્ધતિ અન્ય એકીકરણ-આધારિત તકનીકોની તુલનામાં કે જે ઇનપુટ વેક્ટર ક્ષેત્રની ક્ષેત્ર રેખાઓની ગણતરી કરે છે, એલ. આઈ. સી. નો ફાયદો એ છે કે વેક્ટર ક્ષેત્રની તમામ માળખાકીય સુવિધાઓ પ્રદર્શિત થાય છે, જેમાં ક્ષેત્ર રેખાઓના પ્રારંભ અને અંતિમ બિંદુઓને ચોક્કસ વેક્ટર ક્ષેત્ર સાથે અનુકૂલન કરવાની જરૂર નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આઈ. ટી. આર. વેક્ટર ક્ષેત્રની ટોપોલોજી દર્શાવે છે. વપરાશકર્તા પરીક્ષણમાં, એલ. આઈ. સી. ખાસ કરીને નિર્ણાયક મુદ્દાઓને ઓળખવા માટે સારી હોવાનું જણાયું હતું. અન્ય ઉચ્ચ-પ્રદર્શન જી. પી. યુ.-આધારિત અમલીકરણની ઉપલબ્ધતા સાથે, મર્યાદિત આંતરક્રિયાત્મકતાનો અગાઉનો ગેરલાભ હવે હાજર નથી. ટેક્સચર-આધારિત પદ્ધતિ એલ. આઈ. સી. ટેક્સચરને ઇનપુટ તરીકે લે છે અને ટેક્સચર (આઉટપુટ) આપે છે. તો તે ટેક્સચર સંશ્લેષણ છે. બ્રાયન કેબ્રાલ અને લીથ કેસી લીડમ એલ્ગોરિધમ અનૌપચારિક વર્ણન સિદ્ધાંત દ્વારા ઇતિહાસ એલ. આઈ. સી. તકનીકની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતીઃ ક્ષેત્ર રેખાઓ સાથેના પિક્સેલ મૂલ્યો મજબૂત રીતે સહસંબંધિત છે, પરંતુ ઓર્થોગોનલી રીતે તેમની સાથે લગભગ અસંબંધિત છે. પરિણામે, ક્ષેત્રની રેખાઓ પૃષ્ઠભૂમિમાંથી દૃષ્ટિની રીતે અલગ દેખાય છે અને દૃશ્યમાન બને છે. અંતઃપ્રેરણાઃ રેન્ડમલી ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ આયર્ન ફાઈલિંગ્સનો ઉપયોગ કરીને ચુંબકીય ક્ષેત્રની રેખાઓના નદી વિઝ્યુલાઇઝેશનમાં રંગ ફેંકવો "જ્યારે દળહીન બારીક રેતીના લંબચોરસ વિસ્તારને મજબૂત પવન દ્વારા ફૂંકવામાં આવે છે ત્યારે શું થાય છે તેનું અનુકરણ કરે છે" સહજ ભાવે, કેટલાક ક્ષેત્રમાં વેક્ટર ક્ષેત્રનો પ્રવાહ શ્યામ અને હળવા રંગ સ્રોતોની સ્થિર રેન્ડમ પેટર્ન ઉમેરીને જોવામાં આવે છે. જેમ જેમ પ્રવાહ સ્રોતોમાંથી પસાર થાય છે, તેમ તેમ પ્રવાહીનો દરેક ભાગ સ્ત્રોત રંગમાંથી કેટલાકને પસંદ કરે છે, જે તેને નદીમાં રંગ ફેંકવા જેવી રીતે પહેલેથી જ મેળવેલા રંગ સાથે સરેરાશ કરે છે. પરિણામ એ રેન્ડમ પટ્ટાવાળી રચના છે જ્યાં સમાન સ્ટ્રીમલાઇન પરના બિંદુઓ સમાન રંગ ધરાવે છે. ઔપચારિક ગાણિતિક વર્ણન જો કે ઇનપુટ વેક્ટર ક્ષેત્ર અને પરિણામની છબીને અલગ કરવામાં આવે છે, તેમ છતાં તેને સતત દ્રષ્ટિકોણથી જોવામાં આવે છે. ચાલો અમુક ડોમેનમાં વેક્ટર ક્ષેત્ર આપવામાં આવે. જો કે ઇનપુટ વેક્ટર ક્ષેત્રને સામાન્ય રીતે અલગ કરવામાં આવે છે, અમે ક્ષેત્રને દરેક બિંદુમાં વ્યાખ્યાયિત તરીકે માનીએ છીએ, એટલે કે. આપણે ઇન્ટરપોલેશન ધારીએ છીએ. પ્રવાહરેખાઓ, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે ક્ષેત્ર રેખાઓ, દરેક બિંદુ પર વેક્ટર ક્ષેત્રને સ્પર્શક હોય છે. તેઓ ક્યાં તો સીમા પર અથવા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર સમાપ્ત થાય છે. સરળતા માટે, નીચેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ અને સીમાઓને અવગણવામાં આવે છે. ચાપની લંબાઈ દ્વારા પરિમાણિત ક્ષેત્ર રેખાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ચાલો ક્ષેત્ર રેખા હોઈએ જે માટે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. પછી છબીનું ગ્રે મૂલ્ય સેટ કરવામાં આવે છે જ્યાં કોન્વોલ્યુશન કર્નલ છે, તે અવાજની છબી છે, અને તે ક્ષેત્ર રેખા ખંડની લંબાઈ છે જે અનુસરવામાં આવે છે. એલ. આઈ. સી. ની છબીમાં દરેક પિક્સેલ માટે ગણતરી કરવી પડશે. જો નિષ્કપટ રીતે હાથ ધરવામાં આવે, તો આ ખૂબ ખર્ચાળ છે. પ્રથમ, રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિ જેવા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે આંકડાકીય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્ર રેખાઓની ગણતરી કરવી પડે છે, અને પછી દરેક પિક્સેલ માટે ક્ષેત્ર રેખા ખંડ સાથે કોન્વોલ્યુશનની ગણતરી કરવી પડે છે. આઉટપુટ ઈમેજ સામાન્ય રીતે કોઈક રીતે રંગીન હશે. સામાન્ય રીતે કેટલાક સ્કેલર ક્ષેત્રનો ઉપયોગ રંગ નક્કી કરવા માટે થાય છે, જેમ કે વેક્ટરની લંબાઈ, જ્યારે ગ્રે-સ્કેલ એલ. આઈ. સી. છબી રંગની તેજ નક્કી કરે છે. કન્વોલ્યુશન કર્નલ્સ અને રેન્ડમ ઘોંઘાટની વિવિધ પસંદગીઓ વિવિધ દેખાવ ઉત્પન્ન કરે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે ગુલાબી ઘોંઘાટ વાદળછાયું પેટર્ન ઉત્પન્ન કરે છે જ્યાં ઉચ્ચ પ્રવાહના વિસ્તારો સ્મીયરિંગ તરીકે અલગ પડે છે, જે હવામાનની કલ્પના માટે યોગ્ય છે. કન્વોલ્યુશનમાં વધુ સુધારાઓ છબીની ગુણવત્તામાં સુધારો કરી શકે છે. પ્રોગ્રામરો માટેનું વર્ણન એલ્ગોરિધમિક રીતે, આ તકનીક વેક્ટર ક્ષેત્રના ક્ષેત્રમાં ઇચ્છિત આઉટપુટ રીઝોલ્યુશન પર રેન્ડમ ગ્રે સ્તરની છબી ઉત્પન્ન કરીને શરૂ થાય છે. પછી, આ છબીમાં દરેક પિક્સેલ માટે, નિશ્ચિત ચાપ લંબાઈની આગળ અને પાછળની સ્ટ્રીમલાઇનની ગણતરી કરવામાં આવે છે. વર્તમાન પિક્સેલને સોંપેલ મૂલ્યની ગણતરી આ સ્ટ્રીમલાઇનના સેગમેન્ટમાં આવેલા તમામ પિક્સેલ્સના ગ્રે સ્તરો સાથે યોગ્ય કન્વોલ્યુશન કર્નલના કન્વોલ્યુશન દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ ગ્રે લેવલની એલ. આઈ. સી. ઈમેજ બનાવે છે. સમસ્યા 2D સ્થિર વેક્ટર ક્ષેત્રની ક્ષેત્ર રેખાઓ અને એકલતાની કલ્પના કરો (2D સ્થિર પ્રવાહની પ્રવાહ રેખાઓ) ઇનપુટ વેક્ટર ક્ષેત્રઃ 2D સ્થિર વેક્ટર ક્ષેત્રનો અવાજઃ સ્થિર સફેદ અવાજ (સ્કેલર ક્ષેત્ર = રચના) આઉટપુટ પરિણામ (આઉટપુટ છબી) = ઇનપુટ વેક્ટર ક્ષેત્રની અંતિમ એલ. આઈ. સી. છબી પગલાં અવરોધો ખોટી એકલતાની આવૃત્તિઓ મૂળભૂત એલ. આઈ. સી. છબીઓ રંગ અને એનિમેશન વિનાની ગ્રેસ્કેલ છબીઓ છે. જ્યારે આવી એલ. આઈ. સી. છબી ક્ષેત્ર વેક્ટરની દિશા દર્શાવે છે, તે તેમની દિશા સૂચવતી નથી; સ્થિર ક્ષેત્રો માટે, આને એનિમેશન દ્વારા સુધારી શકાય છે. મૂળભૂત એલ. આઈ. સી. છબીઓ વેક્ટરની લંબાઈ (અથવા ક્ષેત્રની તાકાત) દર્શાવતી નથી. વેક્ટરની લંબાઈ (અથવા ક્ષેત્રની તાકાત) સામાન્ય રીતે રંગમાં કોડેડ હોય છે; વૈકલ્પિક રીતે, એનિમેશનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. એનિમેટેડ સંસ્કરણ એલ. આઈ. સી. છબીઓને સમય જતાં બદલાતા કર્નલનો ઉપયોગ કરીને એનિમેટેડ કરી શકાય છે. સ્ટ્રીમલાઇનમાંથી સતત સમયે નમૂનાઓનો ઉપયોગ હજુ પણ કરવામાં આવતો હતો, પરંતુ સ્થિર કર્નલ સાથે સ્ટ્રીમલાઇનમાં તમામ પિક્સેલ્સની સરેરાશ કરવાને બદલે, સામયિક કાર્યથી બનેલા તરંગ જેવા કર્નલને વિંડો તરીકે કામ કરતા હેન કાર્ય દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે (કલાકૃતિઓને રોકવા માટે). પછી સામયિક કાર્યને એનિમેશન બનાવવા માટે સમયગાળા દરમિયાન ખસેડવામાં આવે છે. એફ. એલ. આઈ. સી. ફાસ્ટ એલ. આઈ. સી. (એફ. એલ. આઈ. સી.) ગણતરીને નોંધપાત્ર રીતે પહેલેથી જ ગણતરી કરાયેલ ક્ષેત્ર રેખાઓના ભાગોનો ફરીથી ઉપયોગ કરીને, કોન્વોલ્યુશન કર્નલ તરીકે બોક્સ ફંક્શનમાં વિશેષતા આપીને અને કોન્વોલ્યુશન દરમિયાન બિનજરૂરી ગણતરીઓ ટાળીને ઝડપી બનાવી શકાય છે. પરિણામી ઝડપી એલ. આઈ. સી. પદ્ધતિને કન્વોલ્યુશન કર્નલોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે જે મનસ્વી બહુપદીઓ છે. ઓએલઆઇસી ઓરિએન્ટેડ લાઇન ઇન્ટિગ્રલ કન્વોલ્યુશન (ઓએલઆઇસી) ઓરિએન્ટેડ લાઇન ઇન્ટિગ્રલ કન્વોલ્યુશન (એફઆરઓએલઆઇસી) યુએફએલઆઇસીનું ઝડપી રેન્ડરિંગ સમય-આધારિત વેક્ટર ક્ષેત્રો (અસ્થિર પ્રવાહ) માટે એક પ્રકાર (યુએફએલઆઇસી = અસ્થિર પ્રવાહ એલઆઇસી) ની રચના કરવામાં આવી છે જે પ્રવાહ એનિમેશનની સુસંગતતા જાળવી રાખે છે. સમાંતર આવૃત્તિઓ એલ. આઈ. સી. છબીની ગણતરી ખર્ચાળ છે પરંતુ સ્વાભાવિક રીતે સમાંતર હોવાથી, તેને સમાંતર પણ કરવામાં આવી છે અને જી. પી. યુ. આધારિત અમલીકરણની ઉપલબ્ધતા સાથે, તે પીસી પર ઇન્ટરેક્ટિવ બની ગયું છે. યુએફએલઆઇસી માટે ઇન્ટરેક્ટિવ જી. પી. યુ. આધારિત અમલીકરણ પણ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. બહુ-પરિમાણીય નોંધ કરો કે ડોમેન 2D ડોમેન હોવું જરૂરી નથીઃ આ પદ્ધતિ બહુ-પરિમાણીય ઘોંઘાટ ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ પરિમાણીય ડોમેનને લાગુ પડે છે. જો કે, ઉચ્ચ-પરિમાણીય એલ. આઈ. સી. રચનાનું વિઝ્યુલાઇઝેશન સમસ્યારૂપ છે; એક રીત 2 ડી સ્લાઇસેસ સાથે ઇન્ટરેક્ટિવ સંશોધનનો ઉપયોગ કરવાનો છે જે જાતે સ્થિત અને ફેરવવામાં આવે છે. ડોમેન પણ સપાટ હોવું જરૂરી નથી; એલ. આઈ. સી. ની રચનાની ગણતરી 3D જગ્યામાં મનસ્વી આકારની 2D સપાટીઓ માટે પણ કરી શકાય છે. એપ્લિકેશન્સ આ તકનીક 1993 માં પ્રથમ વખત પ્રકાશિત થઈ ત્યારથી સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણી પર લાગુ કરવામાં આવી છે. એપ્લિકેશન્સઃ સ્થિર (સમય સ્વતંત્ર) પ્રવાહ માટે ઇનપુટ વેક્ટર ક્ષેત્ર પ્રવાહ-વિઝ્યુલાઇઝેશન પદ્ધતિની ક્ષેત્ર રેખાઓના અંદાજ દ્વારા વેક્ટર ક્ષેત્રોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. અહીં ક્ષેત્ર રેખાઓને સ્ટ્રીમલાઇન્સ કહેવામાં આવે છે 2D સ્વાયત્ત ગતિશીલ પ્રણાલીઓનું વિઝ્યુઅલ એક્સપ્લોરેશન પવનયુક્ત નકશાઓ એલ. આઈ. સી. પેન્સિલ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરીને ફેન્સી છબીઓ બનાવવા માટે પાણીની દિશાઓની કલાત્મક અસરો પેન્સિલ ડ્રોઈંગ ઓટોમેટિક પેન્સિલ ડ્રોઈંગ જનરેશન તકનીક વાળની રચનાની ઓટોમેટિક જનરેશન માર્બલિંગ ટેક્સચર બનાવે છે ટેરેઇન સામાન્યીકરણઃ રેમન્ડ મેકગ્યુઅર પેરાવ્યુ દ્વારા સામાન્ય શેડેડ રિલીફ અમલીકરણ જી. પી. યુ. આધારિત ઇમેજ પ્રોસેસિંગ ટૂલ્સ બનાવે છેઃ લાઇન ઇન્ટિગ્રલ કન્વોલ્યુશન એ એલ. આઈ. સી. અને આર. કે. 4 પર આધારિત 2D ફ્લો વિઝ્યુલાઇઝેશન ટૂલ. C + + અને VTK નો ઉપયોગ કરીને વિકસાવવામાં આવ્યું છે. એન્ડ્રેસ બેજારાનો વોલ્ફ્રેમ રિસર્ચ (2008), લાઇનઇન્ટિગ્રલ કન્વોલ્યુશનપ્લોટ, વોલ્ફ્રેમ લેંગ્વેજ ફંક્શન, https://reference.wolfram.com/language/ref/LineIntegralConvolutionPlot.html (અપડેટ કરેલ 2014) દ્વારા. આ પણ જુઓ ભારિત અંકગણિત સરેરાશ અથવા ભારિત સરેરાશ સંદર્ભો આંકડાકીય કાર્ય રેખાંકન વેક્ટર કલન પ્રવાહી ગતિશીલતા જટિલ વિશ્લેષણ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ