Convolution of probability distributions
સંભાવના વિતરણનો કોન્વોલ્યુશન/સરવાળો સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં સંભાવના વિતરણની દ્રષ્ટિએ કામગીરી તરીકે ઉદભવે છે જે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉમેરા સાથે સુસંગત છે અને વિસ્તરણ દ્વારા, રેન્ડમ ચલોના રેખીય સંયોજનો રચવા માટે. અહીં ઓપરેશન એ સંભાવના વિતરણના સંદર્ભમાં કન્વોલ્યુશનનો એક વિશેષ કેસ છે. પરિચય બે અથવા વધુ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું સંભાવના વિતરણ એ તેમના વ્યક્તિગત વિતરણોનું કોન્વોલ્યુશન છે. આ શબ્દ એ હકીકત દ્વારા પ્રેરિત છે કે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન અથવા પ્રોબેબીલીટી ડેન્સિટી ફંક્શન અનુક્રમે તેમના અનુરૂપ પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન અથવા પ્રોબેબીલીટી ડેન્સિટી ફંક્શનનું કન્વોલ્યુશન છે. ઘણા જાણીતા વિતરણોમાં સરળ વળાંક હોય છેઃ સંભાવના વિતરણની વળાંકની સૂચિ જુઓ બે સ્વતંત્ર પૂર્ણાંક-મૂલ્ય (અને તેથી અલગ) રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર છે અનુક્રમે સંભાવના ઘનતા કાર્યો (પીડીએફ) અને સંચિત વિતરણ કાર્યો (સી. ડી. એફ.) સાથે સ્વતંત્ર, સતત રેન્ડમ ચલ માટે, આપણી પાસે છે કે સરવાળાનું સી. ડી. એફ. છેઃ જો આપણે રેન્ડમ ચલથી શરૂઆત કરીએ અને, તેનાથી સંબંધિત, અને તેમની સંભવિત સ્વતંત્રતા વિશે કોઈ માહિતી ન હોય, તોઃ જો કે, જો અને સ્વતંત્ર હોય, તોઃ અને આ સૂત્ર સંભાવના વિતરણનું વળાંક બની જાય છેઃ ઉદાહરણ વ્યુત્પત્તિ સંભાવના વિતરણના વળાંક માટે સૂત્રો મેળવવાની ઘણી રીતો છે. ઘણીવાર અમુક પ્રકારના જનરેટિંગ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટિગ્રલ્સની હેરફેરને ટાળી શકાય છે. આવી પદ્ધતિઓ પરિણામી વિતરણના ગુણધર્મો મેળવવા માટે પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે, જેમ કે ક્ષણો, ભલે વિતરણ માટે સ્પષ્ટ સૂત્ર મેળવી શકાતું ન હોય. સીધી તકનીકોમાંની એક લાક્ષણિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરવાની છે, જે હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે અને આપેલ વિતરણ માટે અનન્ય હોય છે. બર્નૌલી વિતરણોનું કન્વોલ્યુશન બે સ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત બર્નૌલી રેન્ડમ ચલોનું કન્વોલ્યુશન એ દ્વિપદી રેન્ડમ ચલ છે. આ ઉપરાંત, Z ને સામાન્ય દ્વિપદી રેન્ડમ ચલ દર્શાવવા દોઃ પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન્સનો ઉપયોગ કરીને જેમ સ્વતંત્ર છે તેમ, અહીં, આપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કર્યો છે કે k> n માટે છેલ્લી પરંતુ ત્રણ સમાનતા, અને પાસ્કલના નિયમની બીજી છેલ્લી સમાનતા. લાક્ષણિકતા કાર્યોનો ઉપયોગ દરેક અને નું લાક્ષણિકતા કાર્ય એ છે કે જ્યાં ટી શૂન્યના કેટલાક પડોશમાં છે. ઉત્પાદનની અપેક્ષા એ અપેક્ષાઓનું ઉત્પાદન છે કારણ કે દરેક સ્વતંત્ર છે. કારણ કે અને સમાન લાક્ષણિકતા કાર્ય ધરાવે છે, તેમનું સમાન વિતરણ હોવું આવશ્યક છે. આ પણ જુઓ સંભાવના વિતરણની ગૂંચવણોની સૂચિ સંદર્ભ સંભાવના વિતરણનો સિદ્ધાંત