André–Oort conjecture
ગણિતમાં, એન્ડ્રે-ઓર્ટ અનુમાન એ ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિમાં એક સમસ્યા છે, જે સંખ્યા સિદ્ધાંતની એક શાખા છે, જેને મેનિન-મમ્ફોર્ડ અનુમાનના બિન-એબેલિયન એનાલોગ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે હવે એક પ્રમેય છે (ઘણી અલગ અલગ રીતે સાબિત). આ અનુમાન પોતે શિમુરાની જાતોમાં વિશેષ બિંદુઓના સમૂહના ઝારિસ્કી બંધની લાક્ષણિકતા સાથે સંબંધિત છે. અનુમાનનો એક ખાસ કિસ્સો 1989માં યવેસ એન્ડ્રે દ્વારા જણાવવામાં આવ્યો હતો અને વધુ સામાન્ય નિવેદન (જોકે શિમુરાના પ્રકાર પર પ્રતિબંધ હોવા છતાં) 1995માં ફ્રાન્સ ઉર્ટ દ્વારા અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું. આધુનિક સંસ્કરણ આ બે અનુમાનોનું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે. નિવેદન અનુમાન તેના આધુનિક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે. શિમુરાની વિવિધતામાં વિશેષ બિંદુઓના સમૂહના ઝારિસ્કી બંધનો દરેક ઈરીડ્યુસિબલ ઘટક એક વિશેષ પેટા વિવિધતા છે. આન્દ્રેનું અનુમાનનું પ્રથમ સંસ્કરણ માત્ર એક પરિમાણીય ઇરેડ્યુસિબલ ઘટકો માટે હતું, જ્યારે ઉર્ટએ દરખાસ્ત કરી હતી કે તે પરિમાણ g ની મુખ્યત્વે ધ્રુવીકૃત એબેલિયન જાતોના મોડુલી જગ્યામાં મનસ્વી પરિમાણના ઇરેડ્યુસિબલ ઘટકો માટે સાચું હોવું જોઈએ. એવું લાગે છે કે એન્ડ્રે ઉત્કૃષ્ટતા સિદ્ધાંતની એપ્લિકેશનો દ્વારા પ્રેરિત હતા જ્યારે ઉર્ટ મેનિન-મમફોર્ડ અનુમાન સાથે સામ્યતા દ્વારા. આંશિક પરિણામો બેન મુનેન, યવેસ એન્ડ્રે, એન્ડ્રે યાફેવ, બાસ એડિક્સહોવન, લોરેન્ટ ક્લોઝેલ, બ્રુનો ક્લિંગલર અને એમેન્યુઅલ ઉલ્મો સહિત અન્ય લોકો દ્વારા સંપૂર્ણ અનુમાન તરફ વિવિધ પરિણામો સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા છે. આમાંના કેટલાક પરિણામો સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણા (જીઆરએચ) સાચા હોવા પર શરતી હતા. હકીકતમાં, જીઆરએચ હેઠળ સંપૂર્ણ અનુમાનનો પુરાવો બ્રુનો ક્લિંગલર, એમેન્યુઅલ ઉલ્મો અને આન્દ્રે યાફેવ દ્વારા 2014 માં એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. 2006માં, ઉમ્બર્ટો ઝેનિયર અને જોનાથન પિલાએ ઓ-મિનિમલ ભૂમિતિ અને દિવ્ય સંખ્યા સિદ્ધાંતની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને મેનિન-મમ્ફોર્ડ-એન્ડ્રે-ઓર્ટ પ્રકારની સમસ્યાઓનો અભિગમ વિકસાવ્યો હતો. 2009માં, જોનાથન પિલાએ મોડ્યુલર વળાંકના મનસ્વી ઉત્પાદનો માટે આન્દ્રે-ઓર્ટ અનુમાનને બિનશરતી સાબિત કર્યું, જેના પરિણામે તેમને 2011નો ક્લે રિસર્ચ એવોર્ડ મળ્યો. બ્રુનો ક્લિંગલર, ઈમેન્યુઅલ ઉલ્મો અને આંદ્રેઈ યાફેવે 2014માં, સામાન્ય પિલા-ઝેનિયર અભિગમ માટે જરૂરી કાર્યાત્મક ઉત્કૃષ્ટતા પરિણામ સાબિત કર્યું અને ઈમેન્યુઅલ ઉલ્મોએ તેમાંથી વ્યૂહરચનામાં ઇન્ડક્શન પગલા માટે જરૂરી તકનીકી પરિણામનું અનુમાન લગાવ્યું છે. બાકીનો તકનીકી ઘટક વિશેષ બિંદુઓના ગેલોઇસ ડિગ્રીની નીચેની સીમાની સમસ્યા હતી. સીગલ મોડ્યુલર વિવિધતાના કિસ્સામાં, આ બાઉન્ડ 2015માં જેકબ સિમર્મેને સરેરાશ કોલ્મેઝ અનુમાન અને મેસર-વુસ્ટહોલ્ટ્ઝ આઇસોજેની અંદાજો પરથી કાઢ્યું હતું. સરેરાશ કોલમેઝ અનુમાન શિનયી યુઆન અને શૌ-વુ ઝાંગ દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે એન્ડ્રીટા, ગોરેન, હોવર્ડ અને માદાપુસી-પેરા દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. 2019-2020 માં, ગેલ બિનિઆમિની, હેરી શ્મિટ અને એન્ડ્રે યાફેવ, હેરી શ્મિટના અગાઉના કાર્ય અને ટોરી અને અબેલિયન જાતોમાં વળાંક બિંદુઓ પરના વિચારો અને ગેલ બિનિઆમિનીના બિંદુ ગણતરીના પરિણામો પર આધારિત, વિશેષ બિંદુઓની ઊંચાઈની સીમાઓ પર એક અનુમાન ઘડ્યું છે અને તેની માન્યતામાંથી સંપૂર્ણ એન્ડ્રે-ઓર્ટ અનુમાનના પુરાવા માટે જરૂરી વિશેષ બિંદુઓની ગેલોઇસ ડિગ્રી માટેની સીમાઓ કાઢે છે. સપ્ટેમ્બર 2021 માં, જોનાથન પિલા, અનંત શંકર અને જેકબ સિમર્મેને એક પેપરમાં (હેલેન એસ્નોલ્ટ અને માઇકલ ગ્રોચેનિગ દ્વારા લખાયેલ એપેન્ડિક્સ દર્શાવતા) બિનિયામિની-શ્મિટ-યાફેવ ઊંચાઈ અનુમાનનો પુરાવો હોવાનો દાવો કર્યો હતો, આમ પિલા-ઝેનિયર વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ કરીને આન્દ્રે-ઓર્ટ અનુમાનનો પુરાવો પૂર્ણ કર્યો હતો. કોલમેન-ઓર્ટ અનુમાન એ સંબંધિત અનુમાન કે જે બે સ્વરૂપો ધરાવે છે, જો આન્દ્રે-ઓર્ટ અનુમાન ધારવામાં આવે તો તે સમકક્ષ છે, તે કોલમેન-ઓર્ટ અનુમાન છે. રોબર્ટ કોલમેને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા જી માટે, જીનસ જીના માત્ર ઘણા સરળ પ્રોજેક્ટિવ વણાંકો સી છે, જેમ કે જેકોબિયન વિવિધતા જે (સી) એ સીએમ-પ્રકારની અબેલિયન વિવિધતા છે. ઉર્ટ પછી અનુમાન લગાવ્યું કે ટોરેલી લોકસ-પરિમાણ g ની અબેલિયન જાતોની મોડ્યુલી જગ્યાના-પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા g માટે પરિમાણ> 0 ની કોઈ વિશેષ પેટા વિવિધતા નથી જે ટોરેલી મેપિંગની છબીને ગાઢ ખુલ્લા સબસેટમાં છેદે છે. સામાન્યીકરણ મેનિન-મમ્ફોર્ડ અને આન્દ્રે-ઓર્ટ અનુમાનોને ઘણી દિશાઓમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે બિંદુઓના 'વિશેષ' હોવાના ગુણધર્મોને હળવા કરીને (અને તેના બદલે કહેવાતા 'અસંભવિત લોકસ' ને ધ્યાનમાં રાખીને) અથવા વધુ સામાન્ય આજુબાજુની જાતોને જોઈનેઃ અબેલિયન અથવા અર્ધ-એબેલિયન યોજનાઓ, મિશ્ર શિમુરા જાતો વગેરે. આ સામાન્યીકરણ બોલચાલની ભાષામાં ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન તરીકે ઓળખાય છે કારણ કે આ પ્રકારની સમસ્યાઓ રિચાર્ડ પિંક અને બોરિસ ઝિલ્બર દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. આમાંના મોટાભાગના પ્રશ્નો ખુલ્લા છે અને વર્તમાન સક્રિય સંશોધનનો વિષય છે. ઝિલ્બર-ગુલાબી અનુમાન સંદર્ભો પણ જુઓ વધુ વાંચન ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ અનુમાન