Alvis–Curtis duality
ગણિતમાં, એલ્વિસ-કર્ટિસ દ્વૈતતા એ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર રિડક્ટિવ જૂથના પાત્રો પરની દ્વૈતતા કામગીરી છે, જે તેમના વિદ્યાર્થી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી અને અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. લાઈ આલ્જેબ્રા માટે સમાન દ્વૈત કામગીરી રજૂ કરી. એલ્વિસ-કર્ટિસ દ્વૈત ક્રમ 2 ધરાવે છે અને તે સામાન્યીકૃત અક્ષરો પરની સમપ્રમાણતા છે. એલ્વિસ-કર્ટિસના દ્વૈતની વિગતવાર ચર્ચા કરે છે. વ્યાખ્યા વિભાજીત BN-જોડી સાથે મર્યાદિત જૂથ G ના અક્ષર ζ ની બેવડી ζ * ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અહીં સરવાળો G ની કોક્સેટર પ્રણાલીના સરળ મૂળના સમૂહ R ના તમામ સબસેટ J પર છે. અક્ષર ζ એ સબસેટ J ના પેરાબોલિક પેટાજૂથ PJ માં ζ નું કાપણી છે, જે ζ ને PJ સુધી મર્યાદિત કરીને અને પછી PJ ના યુનિપોટેન્ટ રેડિકલના અપરિવર્તનની જગ્યા લઈને આપવામાં આવે છે, અને ζ એ G ની પ્રેરિત રજૂઆત છે. (કાપણીની કામગીરી એ પેરાબોલિક ઇન્ડક્શનનો સંલગ્ન ફંકટર છે.) ઉદાહરણો તુચ્છ પાત્ર 1 નું દ્વૈત એ સ્ટેઇનબર્ગ પાત્ર છે. દર્શાવ્યું કે ડીલિગ્ને-લુસ્ટિગ અક્ષર R નું દ્વિગુણ εGεTR છે. કસ્પીડલ અક્ષર χ નો દ્વિગુણ (-1) |Δ |χ છે, જ્યાં Δ એ સરળ મૂળોનો સમૂહ છે. ગેલફૅન્ડ-ગ્રેવ અક્ષરની બેવડી એ પાત્ર છે જે નિયમિત એકશકિત તત્વો પર |ZF |ql મૂલ્ય લે છે અને અન્યત્ર અદ્રશ્ય થઈ જાય છે. સંદર્ભ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત દ્વૈત સિદ્ધાંતો