Mathematics: The Loss of Certainty
ગણિતઃ નિશ્ચિતતાની ખોટ એ સદીઓ દરમિયાન ગાણિતિક સંસ્કૃતિઓમાં વિકાસશીલ પરિપ્રેક્ષ્યો પર મોરિસ ક્લાઇનનું પુસ્તક છે. આ પુસ્તક એ ઇતિહાસને અનુસરે છે કે કેવી રીતે ગણિતના નવા પરિણામોએ સદીઓથી ગણિતશાસ્ત્રીઓને આશ્ચર્યચકિત કર્યા છે. ઉદાહરણોમાં 19મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ કેવી રીતે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ શોધથી આશ્ચર્યચકિત થયા હતા અને કેવી રીતે ગોડેલના અપૂર્ણતા પ્રમેયએ ઘણા તર્કશાસ્ત્રીઓને નિરાશ કર્યા હતા તેનો સમાવેશ થાય છે. ક્લાઇને વધુમાં ન્યૂટન અને લીબનીઝ જેવા કેટલાક અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓના ભગવાન સાથેના નજીકના સંબંધની ચર્ચા કરી છે. તેઓ માને છે કે ન્યૂટનના ધાર્મિક હિતો તેમના ગાણિતિક અને વૈજ્ઞાનિક કાર્યની સાચી પ્રેરણા હતી. તેમણે 10 ડિસેમ્બર, 1692ના રોજ રેવરેન્ડ રિચાર્ડ બેન્ટલીને લખેલા પત્રમાંથી ન્યૂટનને ટાંક્યા હતાઃ જ્યારે મેં આપણી પ્રણાલી વિશે મારો ગ્રંથ 'ધ મેથેમેટિકલ પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ નેચરલ ફિલોસોફી' લખ્યો હતો, ત્યારે મારી નજર એવા સિદ્ધાંતો પર હતી જે પુરુષોને દેવત્વમાં માન્યતા માટે વિચારવા સાથે કામ કરી શકે છે; અને મને તે માટે ઉપયોગી લાગે તે સિવાય બીજું કંઈ પણ આનંદિત કરી શકે નહીં. ક્લાઇને 1699 અથવા 1700 ના તારીખ વગરના પત્રમાંથી લીબનીઝને ટાંકીને કહ્યુંઃ મને લાગે છે કે સમગ્ર માનવજાતનું મુખ્ય લક્ષ્ય ભગવાનની અજાયબીઓનું જ્ઞાન અને વિકાસ હોવું જોઈએ, અને આ જ કારણ છે કે ભગવાને તેમને globe.Kline નું સામ્રાજ્ય આપ્યું હતું, તે પણ દલીલ કરે છે કે સાર્વત્રિક રીતે સ્વીકાર્ય, તાર્કિક રીતે મજબૂત ગણિત સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ નિષ્ફળ ગયો છે. તેઓ માને છે કે મોટાભાગના ગણિતશાસ્ત્રીઓ આજે કાર્યક્રમો પર કામ કરતા નથી. તેના બદલે તેઓ સતત વધતી ગતિએ શુદ્ધ ગણિતમાં નવા પરિણામો ઉત્પન્ન કરવાનું ચાલુ રાખે છે. ટીકા આ પુસ્તકની સમીક્ષાઓમાં, સંખ્યાબંધ નિષ્ણાતો, લેખકના દૃષ્ટિકોણને શ્રદ્ધાંજલિ આપતા, તેના પર પક્ષપાતી ભાવનાત્મકતા, અપ્રમાણિકતા અને અક્ષમતાનો આરોપ મૂકે છે. ખાસ કરીને, ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ મંથલીમાં રેમન્ડ જી. અયુબ લખે છેઃ સદીઓથી, યુક્લિડિયન ભૂમિતિ અવકાશનું સારું નમૂના લાગતું હતું. પરિણામો ખગોળશાસ્ત્ર અને નેવિગેશનમાં અસરકારક રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા હતા અને હજુ પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. જ્યારે ઔપચારિકતાની નજીકથી તપાસ કરવામાં આવી ત્યારે તેમાં નબળાઈઓ હોવાનું જાણવા મળ્યું હતું અને તે અવલોકન કરવું રસપ્રદ છે કે, આ વખતે, ઔપચારિકતાની નજીકથી તપાસ જ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (કેટલાક કહેશે શોધ) ની શોધ તરફ દોરી ગઈ હતી. (ઘણા વર્ષો પછી એક સંતોષકારક યુક્લિડિયન મોડેલ તૈયાર કરવામાં આવ્યું હતું.) આ લેખક એ સમજવામાં નિષ્ફળ જાય છે કે શા માટે આ શોધ, ક્લાઇનના શબ્દોમાં, એક "પરાજય" હતી. શું તેનાથી વિપરીત, તે એક મહાન વિજય નથી?. પ્રોફેસર ક્લાઇન તેમના વાચકો સાથે પ્રામાણિકપણે વ્યવહાર કરતા નથી. તે એક વિદ્વાન વ્યક્તિ છે અને સંપૂર્ણ રીતે જાણે છે કે અમૂર્તમાં રચાયેલા ઘણા ગાણિતિક વિચારોને વાસ્તવિક દુનિયામાં નોંધપાત્ર ઉપયોગ મળ્યો છે. તે આ હકીકતને અવગણવાનું પસંદ કરે છે, જે ગણિતના સૌથી કટ્ટર વિરોધીઓ દ્વારા પણ સ્વીકારવામાં આવે છે. તે એક અસમર્થનીય માન્યતાને ટેકો આપવા માટે આવું કરે છે. એકને લુઇસ ચૌદમા દરબારના વિદૂષકની વાર્તા યાદ અપાવે છેઃ તેણે એક કવિતા લખી હતી અને વિદૂષકને તેનો અભિપ્રાય પૂછ્યો હતો. "તમારી ભવ્યતા કંઈપણ કરવા સક્ષમ છે. તમારી મહારાણી ડોગગેરેલ લખવા માટે નીકળી છે અને તમારી મહારાણી સફળ થઈ છે. સંતુલન પર, આવા, અરે, આ પુસ્તક વિશે કહેવું આવશ્યક છે. મેથેમેટિકલ રિવ્યૂઝમાં જ્હોન કોરકોરનઃ આ પુસ્તકનો એકંદર હેતુ ગણિતની ફિલસૂફી તરીકે એક માનસિક વ્યવહારવાદને આગળ વધારવાનો છે જે "લાગુ કરેલ ગણિત" ને ઊંચું કરે છે અને "શુદ્ધ ગણિત" અને પાયાના અભ્યાસો બંનેને બદનામ કરે છે. તેમ છતાં તેનો થીસીસ વીસમી સદીના તર્કશાસ્ત્રીઓની ઊંડી પાયાની સિદ્ધિઓ પર આધારિત છે, મૂળભૂત ફિલસૂફી વિવિધ ફિલસૂફીઓની નજીકની પિતરાઈ છે જે ઓગણીસમી સદીમાં પ્રભાવશાળી હતી. વધુમાં, ઉપર સૂચિબદ્ધ વિચારો પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, વીસમી સદીના તર્કની લેખકની સમજ વિશ્વસનીય નથી. તદનુસાર તેમને તે આશ્ચર્યજનક લાગે છે (પૃ. 322,323) કે હિલ્બર્ટ, ગોડેલ, ચર્ચ, બોરબાકી શાળાના સભ્યો અને અન્ય "ફાઉન્ડેશનો પરના કાર્યમાં અગ્રણીઓ પુષ્ટિ કરે છે કે ગાણિતિક વિભાવનાઓ અને ગુણધર્મો અમુક ઉદ્દેશ્યપૂર્ણ અર્થમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તેઓ માનવ મન દ્વારા પકડી શકાય છે". હમણાં જ ઉલ્લેખિત ગણિતશાસ્ત્રીઓના પ્લેટોનિસ્ટીક વાસ્તવવાદ સામે તેમની એકમાત્ર દલીલ (માનવ) ભૂલ અને (ગાણિતિક) જૂઠાણું (પૃ. 324) વચ્ચેનો તફાવત કરવામાં તેમની પોતાની નિષ્ફળતા પર આધારિત છે. લેખકને એવું લાગતું નથી કે જ્ઞાન મેળવવા માટે અચૂક હોવું જરૂરી નથી, ન તો તે સ્વીકારે છે કે નિશ્ચિતતાની ખોટ એ સત્યની ખોટ સમાન નથી. લેખકની દલીલના દાર્શનિક અને પાયાના પાસાઓ ગણિતના ઇતિહાસના વ્યાપક સર્વેક્ષણ અને અર્થઘટનમાં વણાયેલા છે. કોઈ એવી આશા રાખી શકે છે કે મજબૂત ઐતિહાસિક કાર્ય દ્વારા દલીલને કંઈક અંશે મુક્ત કરવામાં આવશે, પરંતુ આવું નથી. લેખકના દ્રષ્ટિકોણ માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ બે સમયગાળો બંનેનું અસંગત અર્થઘટન કરવામાં આવ્યું છે. (અ) કેટલાક ફકરાઓમાં લેખક એ સ્પષ્ટ સત્યને સ્વીકારે છે કે અનુભવ અને નિરીક્ષણે શાસ્ત્રીય ગ્રીક ગણિતના વિકાસમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવી હતી. 9, 18, 24, 167). પરંતુ અન્ય ફકરાઓમાં, તેઓ આક્ષેપ કરે છે કે શાસ્ત્રીય ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ "સ્વ-સ્પષ્ટ સત્યો" (પીપી. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (બ) કેટલાક ફકરાઓમાં લેખકે ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતને ગણિતની મજબૂતીમાં વ્યાપક વિશ્વાસના સમય તરીકે વર્ણવી છે. 6, 68, 78, 103, 173), પરંતુ અન્ય ફકરાઓમાં તેઓ આ સમયગાળાને બૌદ્ધિક ઉથલપાથલના સમય તરીકે વર્ણવે છે જેમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેમના વિજ્ઞાનના આધાર વિશે ગંભીર શંકાઓનું મનોરંજન કર્યું હતું. 152, 153, 170, 308). જે મુખ્ય દલીલને દૂષિત કરે છે અને જે પુસ્તક દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલા ઘણા ધ્વનિ અને રસપ્રદ અવલોકનો અને આંતરદૃષ્ટિથી ધ્યાન વિચલિત કરે છે તે ફિલોસોફિકલ, પાયાના અને ઐતિહાસિક અપૂરતા પર જ અફસોસ કરી શકાય છે. 'રેવ્યુ ડી હિસ્ટ્રી ડેસ સાયન્સિસઃ ક્વોન્ટ ઑક્સ ડર્નિયર્સ ચેપિટર્સ સુર લેસ ગ્રાન્ડેઝ ટેન્ડન્સ ડેસ મેથેમેટિક્સ કન્ટેમ્પરન્સ, ઇલ્સ સોન્ટ ફ્રેન્ચમેન્ટ ડેસેવેન્ટ્સ, એસેઝ સુપરફિસિયલ્સ "માં એમી દહન. ગણિતના સમકાલીન વિશ્લેષણ (ગ્રાન્ડ પેરિયોડ સ્ટ્રક્ચરલિસ્ટ, રીટોર એયુ "કોંક્રિટ", ફ્લક્સ એન્ટ્રે લેસ મેથેમેટિક્સ એન્ડ લા ફિઝિક, વગેરે) ETC: એ રિવ્યૂ ઓફ જનરલ સિમેન્ટિક્સઃ પ્રોફેસર ક્લાઇનનું પુસ્તક એક રસપ્રદ વિષયનું જીવંત વર્ણન છે. જોકે, તેના તારણો વધુ પડતા દોરવામાં આવ્યા છે અને ઘણા કિસ્સાઓમાં અન્યાયી છે. વીસમી સદીના પાયાના સંશોધનમાંથી શીખવા જેવો પાઠ એ નથી કે ગણિત ખેદજનક સ્થિતિમાં છે, પરંતુ ગણિત વિશેના ઊંડા દાર્શનિક મુદ્દાઓને ગણિત દ્વારા જ ઉકેલવામાં નહીં આવે તો તે હદ સુધી પ્રકાશિત કરી શકાય છે. ગોડેલના સિદ્ધાંતો ખરેખર જણાવે છે કે ગણિતમાં આપણે જે જાણી શકીએ તેની મર્યાદાઓ હોઈ શકે છે, પરંતુ તેઓ પોતાના દ્વારા એ મહાન ઊંચાઈઓ પણ દર્શાવે છે કે જેમાં માનવ બુદ્ધિ ગાણિતિક વિચાર દ્વારા આગળ વધી શકે છે. ઇયાન સ્ટુઅર્ટ ઇન એજ્યુકેશનલ સ્ટડીઝ ઇન મેથેમેટિક્સઃ આ પુસ્તક આપણે આ લેખક પાસેથી જે પરંપરાની અપેક્ષા રાખી છે તેમાં નિશ્ચિતપણે છે; અને તેના પ્રત્યેની મારી પ્રતિક્રિયા તેના પુરોગામીઓ પ્રત્યેની મારી પ્રતિક્રિયા જેવી જ છેઃ મને લાગે છે કે તેનો ત્રણ ચતુર્થાંશ ભાગ શાનદાર છે, અને બીજો ચતુર્થાંશ અપમાનજનક મૂર્ખામીભર્યો છે; અને તેનું કારણ એ છે કે મોરિસ ક્લાઇન ખરેખર આજના ગણિત વિશે શું છે તે સમજી શકતા નથી, જો કે તેમને ગઈકાલની ઈર્ષાભાવ જગાડે તેવી સમજ છે. મોરિસ ક્લાઇને અન્યત્ર કહ્યું છે કે તેઓ વીસમી સદીના ગણિતની અંતિમ સિદ્ધિને ગોડેલ પ્રમેય માને છે. હું સહમત નથીઃ જી. ડી. ડી. એલ. પ્રમેય, આશ્ચર્યજનક અને ઊંડા હોવા છતાં, વાસ્તવિક ગાણિતિક વિકાસના મુખ્ય પ્રવાહ પર તેની બહુ ઓછી અસર પડી હતી. તે વાસ્તવમાં સમાન પ્રકારના વધુ સિદ્ધાંતો સિવાય કંઈપણ નવું અને શક્તિશાળી તરફ દોરી ગયું ન હતું. ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેઓ શું કરી રહ્યા હતા તે વિશે કેવી રીતે વિચારતા હતા તેના પર તેની અસર પડી; પરંતુ તેઓએ ખરેખર જે કર્યું તેના પર તેની અસર શૂન્યની નજીક છે. આને ટોપોલોજીના ઉદય સાથે સરખાવોઃ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા દેખીતી રીતે અંતર્મુખી પ્રયાસોના પચાસ વર્ષ, મોટા ભાગે લાગુ વિજ્ઞાનની અવગણના; પોલિશ્ડ અને સંપૂર્ણ અને પુષ્કળ અને હજુ પણ મોટા પ્રમાણમાં અવાસ્તવિક શક્તિની તકનીકના સમૂહમાં વિકસિત; અને છેલ્લા દાયકામાં લાગુ વિજ્ઞાનના દરેક ક્ષેત્રમાં મહત્વપૂર્ણ બની રહ્યું છેઃ ઇજનેરી, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ. ટોપોલોજી આ સદીની સર્વોચ્ચ સિદ્ધિ હોવાનો વધુ દાવો કરે છે. પરંતુ મોરિસ ક્લાઇન માત્ર અંતર્મુખતા જોઈ શકે છે. તેમને એવું લાગતું નથી કે ગાણિતિક સમસ્યાને સંતોષકારક ઉકેલ મેળવવા માટે, પરિણામી સિદ્ધાંતને લાગુ કરવાની આશા રાખતી સમસ્યાને બદલે ગણિતના કેન્દ્રિત ચિંતનની જરૂર પડી શકે છે. પણ જો હું સફરજનના ઝાડને કાપવા માંગું છું, અને મારી આરી ખૂબ જ ભોળી છે, તો વૃક્ષ વિશે વિચારવાની કોઈ માત્રા તેને તીક્ષ્ણ બનાવશે નહીં. સારું ગણિત છે અને ખરાબ ગણિત છે. એવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ છે જેઓ વિજ્ઞાનમાં સંપૂર્ણપણે રસ ધરાવતા નથી, જેઓ એવા સાધનોનું નિર્માણ કરી રહ્યા છે જે વિજ્ઞાનને અનિવાર્ય લાગશે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિજ્ઞાનમાં જુસ્સાથી રસ ધરાવે છે, અને ત્યાં ચોક્કસ ઉપયોગ માટે સાધનો બનાવે છે, જેનું કાર્ય ઝેપ્પેલીન અથવા ઇલેક્ટ્રોનિક વાલ્વ જેટલું અપ્રચલિત થઈ જશે. શોધથી ઉપયોગિતા સુધીનો માર્ગ ખોટા અંતનો સસલા-યુદ્ધ છેઃ વસ્તુઓની યોજનામાં ગણિતનું પોતાનું સ્થાન રહ્યું છે અને રહેશે. અને, છેવટે, કોઈ ભૌતિકશાસ્ત્રને જાણતા ન હોય તેવા ટોપોલોજિસ્ટનું અલગ થવું એ કોઈ ટોપોલોજીને જાણતા ન હોય તેવા ભૌતિકશાસ્ત્રી કરતાં વધુ ખરાબ નથી. આજના વિજ્ઞાનને તેના વ્યક્તિઓ પાસેથી વિશેષતાની જરૂર છેઃ સમગ્ર વૈજ્ઞાનિકોની સામૂહિક પ્રવૃત્તિ એ છે જ્યાં કડીઓ બનાવટી છે. જો મોરિસ ક્લાઇને આ પ્રક્રિયાની પ્રકૃતિનો થોડો સંકેત આપ્યો હોત, તો હું તેમની દલીલોને વધુ ગંભીરતાથી લઈશ. પરંતુ ગણિતમાં ઘટાડો થયો હોવાનો તેમનો દાવો ખૂબ જ અજ્ઞાનતા પર આધારિત છે, અને તેમની દલીલો આજના ગણિતના અદ્ભુત, ચમકતા ઉત્સાહની તુલનામાં અસ્પષ્ટ છે. હું પણ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા વૈજ્ઞાનિક સમસ્યાઓના મહત્વને વધુ સ્પષ્ટ માન્યતા જોવા માંગુ છું; પરંતુ આ સ્પષ્ટ અલગતામાં પણ તેઓ શાનદાર કામ કરે છે તે હકીકતને અવગણવી એ યુદ્ધ શરૂ થાય તે પહેલાં હારવું છે. ગ્રંથસૂચિ મોરિસ ક્લાઇન, ગણિતઃ નિશ્ચિતતાની ખોટ, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1980 નોંધો ગણિતના ઇતિહાસ વિશે વધુ વાંચન પુસ્તકો