Nichols algebra
બીજગણિતમાં, બ્રેઇડેડ વેક્ટર સ્પેસનું નિકોલ્સ બીજગણિત (ઘણીવાર મર્યાદિત જૂથ દ્વારા પ્રેરિત બ્રેઇડિંગ સાથે) એક બ્રેઇડેડ હોપ્ફ બીજગણિત છે જે ગણિતશાસ્ત્રી વોરેન નિકોલ્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેના નામ પરથી રાખવામાં આવે છે. તે ક્વોન્ટમ જૂથો અને તેમના જાણીતા મર્યાદિત-પરિમાણીય કાપ જેવા પોઇન્ટેડ હોપ્ફ બીજગણિતના ક્વોન્ટમ બોરેલ ભાગની ભૂમિકા ભજવે છે. રેડફોર્ડ બાયપ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને આવા નવા ક્વોન્ટમ જૂથોને લખવા માટે નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાનો તરત જ ઉપયોગ કરી શકાય છે. આવા તમામ નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા અને તમામ સંકળાયેલ ક્વોન્ટમ જૂથોનું વર્ગીકરણ (એપ્લિકેશન જુઓ) ઝડપથી આગળ વધી રહ્યું છે, જો કે હજુ પણ ઘણું બધું ખુલ્લું છેઃ અબેલિયન જૂથનો કેસ 2005 માં ઉકેલવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ અન્યથા આ ઘટના ખૂબ જ દુર્લભ લાગે છે, જેમાં મુઠ્ઠીભર જાણીતા અને શક્તિશાળી નકારાત્મક માપદંડ સ્થાપિત છે (નીચે જુઓ). મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાની આ સૂચિ પણ જુઓ. મર્યાદિત-પરિમાણીય સિદ્ધાંત મોટા પ્રમાણમાં મૂળ પ્રણાલીઓ અને ડાયન્કિન આકૃતિઓના સિદ્ધાંત દ્વારા સંચાલિત થાય છે, જે આશ્ચર્યજનક રીતે અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા જેવા જ છે. હેકેનબર્ગરના વ્યાખ્યાનમાં એક વ્યાપક પરિચય જોવા મળે છે. વ્યાખ્યા યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ શ્રેણીમાં યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ V નો વિચાર કરો. આ ખાસ કરીને બ્રેઇડેડ વેક્ટરસ્પેસ છે, જુઓ બ્રેઇડેડ મોનોઈડલ શ્રેણી. યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલનું ટેન્સર બીજગણિત હંમેશા બ્રેઇડેડ હોપ્ફ બીજગણિત હોય છે. નિકોલ્સ બીજગણિતને કેટલાક સમકક્ષ લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાંથી કેટલાક હોપ્ફ બીજગણિત માળખા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે અને કેટલાક વધુ સંયુક્ત હોય છે. અનુલક્ષીને, નિકોલ્સ બીજગણિતને સ્પષ્ટપણે નક્કી કરવું (તે મર્યાદિત-પરિમાણીય છે કે નહીં તે નક્કી કરવું પણ) ખૂબ જ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે અને કેટલાક નક્કર કિસ્સાઓમાં ખુલ્લું છે (નીચે જુઓ). વ્યાખ્યા I: સંયોજન સૂત્ર ચાલો એક વેક્ટર જગ્યા હોઈએ, આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ માટે વેણી જૂથની ક્રિયા છે, જ્યાં સ્થાનાંતરણ તરીકે કાર્ય કરે છે. સ્પષ્ટપણે સપ્રમાણ જૂથમાં હોમોમોર્ફિઝમ છે પરંતુ ન તો આ કોઈ વિભાગને સ્વીકારે છે, ન તો સામાન્ય રીતે ક્રિયા આના પર ફેક્ટરાઇઝ કરે છે. તેમ છતાં એક સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક વિભાગને ધ્યાનમાં લો જે કોઈપણ ઘટાડેલી અભિવ્યક્તિ દ્વારા સ્થાનાંતરણ અને મનસ્વી ઘટકોમાં સ્થાનાંતરણ મોકલે છે. આ જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ નથી, પરંતુ માત્સુમોટોનો પ્રમેય (જૂથ સિદ્ધાંત) આપણને કહે છે કે કોઈપણ પરની ક્રિયા ઘટાડેલી અભિવ્યક્તિની પસંદગીથી સ્વતંત્ર રીતે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. છેવટે નિકોલ્સ બીજગણિત પછી છે આ વ્યાખ્યા પાછળથી (પરંતુ સ્વતંત્ર રીતે) વોરોનોવિઝ દ્વારા આપવામાં આવી હતી. તે બીજગણિત સાબિતીઓમાં ભાગ્યે જ ઉપયોગી હોવાનો ગેરલાભ ધરાવે છે પરંતુ તે તેના પોતાના અધિકારમાં અંતઃપ્રેરણાને રજૂ કરે છે અને તે હોપ્ફ બીજગણિતના સંકેતથી ખૂબ જ સ્પષ્ટ અને સ્વતંત્ર હોવાનો ઉપદેશાત્મક ફાયદો ધરાવે છે. વ્યાખ્યા II: નિર્ધારિત આદિમ નિકોલ્સ બીજગણિત એ આપેલ દ્વારા પેદા થયેલ ગૂંથેલા વર્ગમાં અનન્ય હોપ્ફ બીજગણિત છે, જેમ કે તે એકમાત્ર આદિમ તત્વો છે. નિકોલ્સને કારણે આ મૂળ વ્યાખ્યા છે અને તે હોપ્ફ આલ્જેબ્રાના વર્ગીકરણમાં મૂળભૂત કલ્પના તરીકે નિકોલ્સ બીજગણિતની ભૂમિકાને ખૂબ જ પારદર્શક બનાવે છે. વ્યાખ્યા III: સાર્વત્રિક ભાગાકાર ધારો. નીચેના ગુણધર્મો સાથે સૌથી મોટો આદર્શ અસ્તિત્વમાં છેઃ (આ આપમેળે છે) નિકોલ્સ બીજગણિત એ વ્યાખ્યા IV: નોનડિજનરેટ પેરિંગ છે અનન્ય હોપ્ફ પેરિંગ વચ્ચે નોનડિજનરેટ હોપ્ફ પેરિંગને ફેક્ટરાઇઝ કરે છે અને આ હકીકત નિકોલ્સ બીજગણિતને અનન્ય રીતે લાક્ષણિકતા આપે છે. આ સૈદ્ધાંતિક રીતે ખૂબ જ ઉપયોગી લાક્ષણિકતા લુસ્ટિગને કારણે છે. વ્યાખ્યા V: સ્ક્યુ ડેરિવેટિવ્ઝ આ અગાઉની વ્યાખ્યાનું કંઈક સ્પષ્ટ સ્વરૂપ છેઃ સજાતીય આધાર પસંદ કરો (એટલે કે. કોએક્શન/ગ્રેજ્યુએશન) ટેન્સર બીજગણિતના સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ત્રાંસા વ્યુત્પત્તિઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ પછી નિકોલ્સ બીજગણિત એ સૌથી મોટા સજાતીય આદર્શ દ્વારા ભાગાકાર છે જેમાં કોઈ અચળાંક નથી અને તે તમામ વ્યુત્પત્તિઓ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. આશરે કહીએ તો, કોઈ પણ વ્યક્તિ તમામ તિર્યક-વ્યુત્પત્તિઓના કર્નલમાં ઘટકો શોધી શકે છે અને તેને વિભાજિત કરી શકે છે; પછી તે બધા ઘટકો માટે ફરીથી જુઓ જે હવે તમામ તિર્યક-વ્યુત્પત્તિઓના કર્નલમાં છે અને તેમને પણ વિભાજિત કરે છે વગેરે. ઉદાહરણો આપણે મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાના ઉદાહરણો આપીએ છીએ. લાક્ષણિકતા પી પર, આ અસર પહેલેથી જ બિન-બ્રેઇડેડ પરિસ્થિતિમાં દેખાઈ શકે છે, એટલે કે પી-પ્રતિબંધિત લાઈ આલ્જેબ્રાના કાપેલા સાર્વત્રિક આવરણ. લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં અને અબેલિયન જૂથમાંથી આવતા બ્રેડિંગ સાથે, આ સમાન વારંવારની ઘટના હોવાનું જણાય છે (જો કે વધુ સામેલ હોય, વર્ગીકરણ જુઓ). બીજી બાજુ જી નોનબેલિયન માટે, માત્ર બહુ ઓછા ઉદાહરણો અત્યાર સુધી જાણીતા છે, અને શક્તિશાળી નકારાત્મક માપદંડ ઘણા જૂથોને બાકાત રાખે છે (વર્ગીકરણ જુઓ). 1-પરિમાણીય ઉદાહરણો પ્રથમ ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રૂપ હોપ્ફ બીજગણિત H = k [Z/2Z] પર 1-પરિમાણીય યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલને ધ્યાનમાં લો, જેમાં ચક્રીય જૂથ ગુણાકાર રીતે સૂચવવામાં આવે છે (બીજગણિતમાં હંમેશની જેમ) અને કેટલાક g દ્વારા પેદા થાય છે. H-કોક્શન (રેસ્પ) તરીકે લો. ઝેડ/2 ઝેડ-ગ્રેજ્યુએશન) ઓનઃ એચ-એક્શન (રેસ્પ) તરીકે લો. ઝેડ/2 ઝેડ-એક્શન) ઓનઃ આમ બ્રેઇડિંગ છે પછી, નિશાનીની પસંદગીના આધારે, નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા છેઃ નોંધ લો કે પ્રથમ અપેક્ષા મુજબ છે (બિન-બ્રેઇડેડ કેસ), જ્યારે બીજાને તે બિંદુ સુધી કાપવામાં આવ્યું છે કે તે મર્યાદિત-પરિમાણીય છે! તેવી જ રીતે, k માં અમુક q દ્વારા કાર્ય કરતા g સાથેના ઉચ્ચ ચક્રીય જૂથ પર Vq એ નિકોલ્સ બીજગણિત ધરાવે છે જો q ષ્ણાંક 1 એ એકતાનું આદિમ n-th મૂળ છે, અને અન્યથા. (ભૌતિક દ્રષ્ટિકોણથી, V + એ બોસોનને અનુરૂપ છે, જ્યારે V-પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંત દ્વારા પ્રતિબંધિત ફર્મિઓનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; એક સામ્યતા જે બ્રેઇડેડ કોમ્યુટેટરને ધ્યાનમાં લેતી વખતે પુનરાવર્તન કરે છે, આ કિસ્સાઓમાં (વિરોધી) કોમ્યુટેટર હોવાથી, ક્વોન્ટમ જૂથ અને ચર્ચા તરીકે સુપરસિમેટ્રી પણ જુઓ) G એબેલિયન પર ઉચ્ચ-ક્રમના ઉદાહરણોઃ બ્રેઇડેડ કોમ્યુટેટર આગામી ઉદાહરણો બે પાયાના તત્વોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દર્શાવે છેઃ હોપ્ફ બીજગણિત H = k [Z/2Z × Z/2Z] જૂથ પર દ્વિ-પરિમાણીય યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ V0,1 = kx ky ને ધ્યાનમાં લો. V0,1: પર H-કોક્શન/ગ્રેજ્યુએશન તરીકે લો અને H-એક્શન તરીકે લો. Z/2Z-ક્રિયા) V0,1 પરઃ "+" સાથે V0 માટે (સમપ્રમાણ) અને "-" સાથે V1 માટે (અસમપ્રમાણ) આમ બ્રેડિંગ છે પછી, નિશાનીની પસંદગીના આધારે, નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા પરિમાણ 4 અને 8 ના હોય છે (તેઓ નીચે વર્ગીકરણમાં દેખાય છે): ત્યાં કોઈ અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા સાથે નોંધપાત્ર સામ્યતા જોઈ શકે છેઃ પ્રથમ કિસ્સામાં, બ્રેઇડેડ કોમ્યુટેટર [x, y] (અહીંઃ એન્ટિકોમ્યુટેટર) શૂન્ય છે, જ્યારે બીજામાં, રુટ સ્ટ્રિંગ લાંબી છે [x, [x, y] = 0. તેથી આ બંને ડાયન્કિન આકૃતિઓ અને A2 સાથે સંબંધિત છે. એક ડાયન્કિન આકૃતિઓ B2, G2 ને અનુરૂપ લાંબા રુટ સ્ટ્રિંગ્સ V2, V3 સાથે ઉદાહરણો પણ બનાવે છે (પરંતુ ઉચ્ચ પણ નહીં). લાઈ આલ્જેબ્રા, ક્વોન્ટમ જૂથો નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાનું સાર્વત્રિક આવરણ કદાચ ક્વોન્ટમ જૂથોના બોરેલ ભાગ અને તેમના સામાન્યીકરણ માટે જાણીતું છે. વધુ ચોક્કસપણે બ્રેઇડિંગ સાથે એબેલિયન જૂથ પર વિકર્ણ યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ હોઈ દો જ્યાં અર્ધ-સરળ (મર્યાદિત-પરિમાણીય) લાઈ બીજગણિતનું હત્યાનું સ્વરૂપ છે, પછી નિકોલ્સ બીજગણિત એ લુસ્ટિગના નાના ક્વોન્ટમ જૂથનો હકારાત્મક ભાગ છે જેમાં સુપર-લાઈ બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે હેકેનબર્ગર્સની સૂચિમાં લાઈ બીજગણિત કરતાં વધુ વિકર્ણ નિકોલ્સ બીજગણિત છે, અને રુટ સિસ્ટમ સિદ્ધાંત વ્યવસ્થિત છે, પરંતુ વધુ જટિલ છે (નીચે જુઓ). ખાસ કરીને તેમાં સુપર-લાઈ-આલ્જેબ્રા (નીચેનું ઉદાહરણ) તેમજ ચોક્કસ લાઈ આલ્જેબ્રા અને સુપર-લાઈ-આલ્જેબ્રાનું વર્ગીકરણ પણ સામેલ છે જે ફક્ત ચોક્કસ મર્યાદિત લાક્ષણિકતામાં જ દેખાય છે. આમ નિકોલ્સ બીજગણિત સિદ્ધાંત અને મૂળ પ્રણાલી સિદ્ધાંત આ વિભાવનાઓ માટે એકીકૃત માળખું પ્રદાન કરે છે. નોનડાયગોનલ બ્રેઇડિંગ્સ, નોનબેલિયન જૂથો k = C પર માત્ર મુઠ્ઠીભર મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા અત્યાર સુધી જાણીતા છે. તે જાણીતું છે કે આ કિસ્સામાં દરેક ઈરીડ્યુસિબલ યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ જૂથના કોન્જુગેસી વર્ગને અનુરૂપ છે (જી ના સેન્ટ્રલાઈઝરની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત સાથે). આર્બિટરી યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ એ આનો સીધો સરવાળો છે, સરવાળાઓની સંખ્યાને ક્રમ કહેવામાં આવે છે; દરેક સરવાળો ડિન્કિન આકૃતિમાં એનોડને અનુરૂપ છે (નીચે જુઓ). નોંધ લો કે ઉપરોક્ત અબેલિયન જૂથો માટે, ઈરીડ્યુસિબલ સરવાળા 1-પરિમાણીય છે, તેથી ક્રમ અને પરિમાણ એક સાથે આવે છે. વિશિષ્ટ ઉદાહરણોમાં કોક્સેટર જૂથમાં પ્રતિબિંબના સંયુગ્મ વર્ગ (એસ) સાથે સંકળાયેલા નિકોલ્સ બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે, તેઓ ફોમિન કિરિલોવ આલ્જેબ્રા સાથે સંબંધિત છે. તે જાણીતું છે કે આ નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા મર્યાદિત પરિમાણીય છે પરંતુ પહેલેથી જ કેસ 2000 થી ખુલ્લો છે. ઉદાહરણોનો બીજો વર્ગ એબેલિયન કેસમાંથી આકૃતિ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા ફોલ્ડિંગ દ્વારા બનાવી શકાય છે. આપણા જ્ઞાનની હદ સુધી મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાની સૂચિ માટે અહીં જુઓ. એક ખૂબ જ નોંધપાત્ર લક્ષણ એ છે કે દરેક નિકોલ્સ બીજગણિત માટે (પૂરતી મર્યાદિત પરિસ્થિતિઓમાં) મૂળના સમૂહ સાથે એક સામાન્યીકૃત મૂળ પ્રણાલી અસ્તિત્વમાં છે, જે નિકોલ્સ બીજગણિતને નિયંત્રિત કરે છે. આની શોધ વિકર્ણ નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા માટે બાયકારેક્ટરની દ્રષ્ટિએ અને સામાન્ય અર્ધ-સરળ નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા માટે કરવામાં આવી છે. લાઈ આલ્જેબ્રાથી જાણીતી સામાન્ય સ્ફટિકશાસ્ત્રીય મૂળ પ્રણાલીઓથી વિપરીત, સમાન સામાન્યકૃત મૂળ પ્રણાલીમાં વિવિધ વેઇલ ચેમ્બર હોઈ શકે છે, જે સકારાત્મક મૂળ અને સરળ સકારાત્મક મૂળના સમૂહની બિન-સમકક્ષ પસંદગીઓને અનુરૂપ હોય છે, જેમાં વિવિધ કાર્ટન મેટ્રિક્સ અને વિવિધ ડાયન્કિન આકૃતિઓ હોય છે. વિવિધ વેઇલ ચેમ્બર હકીકતમાં વિવિધ નોન-આઇસોમોર્ફિક નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાને અનુરૂપ છે જેને વેઇલ-સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ જૂથો એ હકીકતના સંદર્ભમાં ખૂબ જ ખાસ છે કે અહીં તમામ બોરેલ ભાગો આઇસોમોર્ફિક છે; તેમ છતાં આ કિસ્સામાં પણ લુસ્ટિગનું પ્રતિબિંબ સંચાલક ફરીથી હોપ્ફ બીજગણિત આઇસોમોર્ફિઝમ નથી! વેલ ગ્રૂપોઇડ અને સામાન્યીકૃત મૂળ પ્રણાલીની વ્યાખ્યા ચાલો ઔપચારિક આધાર સાથે ક્રમ ક્યાં છે. આપણે સૌપ્રથમ સામાન્યીકૃત કાર્ટન આલેખની જેમ ચર્ચા કરીએઃ એક સામાન્યીકૃત કાર્ટન મેટ્રિક્સ એ એક અભિન્ન મેટ્રિક્સ છે જેમ કે કાર્ટન આલેખ એ પદાર્થો/ચેમ્બરના સમૂહ દ્વારા પરિમાણિત આવા કાર્ટન મેટ્રિક્સનો સમૂહ છે, સાથે મળીને (ઑબ્જેક્ટ ચેન્જ) મોર્ફિઝમ જેમ કે નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરો (નોંધ કરો કે લાઈ બીજગણિત સાહિત્યમાં ટ્રાન્સપોઝ કન્વેન્શન પણ છે, દા. ત. હમ્ફ્રીના પુસ્તકમાં) વેઇલ ગ્રૂપોઇડ એ પદાર્થો અને મોર્ફિઝમ્સ સાથેની શ્રેણી છે જે ઔપચારિક રીતે વાસ્તવિક મૂળોનો સમૂહ એ સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પછી પ્રકારનો મૂળ સમૂહ એ સ્ફટિકશાસ્ત્રીય હાયપરપ્લેન ગોઠવણીની મર્યાદિત સમાનતા સાથેનો સમૂહ છે. આ સામાન્ય વેક્ટરના મૂળ અને પસંદગીઓ દ્વારા હાયપરપ્લેનનો સમૂહ છે જેમ કે સામાન્ય વેક્ટર સાથે હાયપરપ્લેન દ્વારા ઘેરાયેલા દરેક સરળ ચેમ્બર માટે અન્ય તમામ પસંદ કરેલા સામાન્ય વેક્ટરને તેના અભિન્ન રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. તમામ મર્યાદિત સ્ફટિકશાસ્ત્રીય હાયપરપ્લેન વ્યવસ્થાના સમૂહમાં (અને તેથી મર્યાદિત વેઇલ ગ્રૂપોઇડ્સ અથવા મર્યાદિત સામાન્યકૃત મૂળ પ્રણાલીઓ) વર્ગીકૃત કરવામાં આવી છે. પ્રતિબિંબ વ્યવસ્થા ઉપરાંત એક વધુ અનંત કુટુંબ છે અને કુલ 74 અપવાદો છે. ક્રમ 3 નું ઉદાહરણ (સુપર લાઈ બીજગણિત પણ) સૌથી નાની સ્ફટિકશાસ્ત્રીય હાયપરપ્લેન ગોઠવણી, વેઇલ ગ્રુપોઇડ, સામાન્યકૃત રુટ સિસ્ટમ, જે સામાન્ય લાઈ પ્રકારની નથી, તે નીચે મુજબ છે. તે વિકર્ણ નિકોલ્સ બીજગણિત માટે દેખાય છે, સુપર લાઈ બીજગણિત પણ. હાયપરપ્લેનની ગોઠવણી ક્યુબોક્ટેહેડ્રોન (એક પ્લેટોનિક ઘન) માંથી બનાવી શકાય છેઃ તેના મૂળ (રેસ્પ) હોય છે. હાયપરપ્લેન, ચિત્રોમાં બંધાયેલા સમબાહુ ત્રિકોણ રેસ્પ. ચોરસમાં કર્ણ, સુપર લાઈ બીજગણિતમાં વિષમ રેસ્પ. મૂળ પણ). તે દેખીતી રીતે વિવિધ પ્રકારના વેલ ચેમ્બર (સમબાહુ ત્રિકોણ) ધરાવે છે. જમણા ત્રિકોણ) વિવિધ કાર્ટન મેટ્રિસીસ સાથે જેમાં સરળ મૂળની દ્રષ્ટિએ મૂળ નીચે મુજબ છેઃ ચિત્રમાં સફેદ ચેમ્બર, દા. ત. આધાર સાથે. સ્પષ્ટપણે, આ પ્રકારના ચેમ્બરનો ડાયન્કિન આકૃતિ એક સરળ-સજ્જ ત્રિકોણ છે, પરાવર્તન આપણને બીજા પ્રકારનાં ચેમ્બર પર લાવે છે. આ પ્રકારના ચેમ્બરનો ડાયન્કિન આકૃતિ માત્ર (પરંતુ એક વધુ મૂળ) છે. આ મૂળ પ્રણાલી અનંત શ્રેણીનો સૌથી નાનો સભ્ય છે. ચિત્રો ત્યાંથી છે, જ્યાં ઉદાહરણની પણ સંપૂર્ણ ચર્ચા કરવામાં આવી છે. વર્ગીકરણ (વિગતો) અબેલિયન જૂથો પર k = C માં અબેલિયન જૂથો પર મર્યાદિત પરિમાણના નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાને Istvan Heckenberger દ્વારા 2004-2005 વર્ષોમાં અંકગણિત મૂળ પ્રણાલીઓ અને સામાન્યીકૃત Dynkin આકૃતિઓનું વર્ગીકરણ કરીને વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા; જ્યાં પહેલેથી જ ખાર્ચેન્કોએ તેમને પુનરાવર્તિત (બ્રેઇડેડ) કોમ્યુટેટરનો પોઇનકેરે-બર્ખોફ-વિટ આધાર ધરાવતો હોવાનું સાબિત કર્યું હતું. એક માત્ર માહિતીની જરૂર છે તે બ્રેઇડિંગ મેટ્રિક્સ છે, જે આ સેટિંગમાં કર્ણ છે (ઉપરના ઉદાહરણો જુઓ) જ્યારે મોટે ભાગે માત્ર શાસ્ત્રીય કાર્ટન-કિસ્સાઓ દેખાય છે, ત્યાં નાના અવિભાજ્ય માટે ઘણા વિદેશી આકૃતિઓ શક્ય છે, જેમ કે ત્રિકોણ આ કિસ્સાઓમાં એક આકૃતિનું વેઇલ પ્રતિબિંબ "સમાન" આકૃતિમાં ન આવી શકે, પરંતુ કહેવાતા વેઇલ સમકક્ષ. આ પણ ચોક્કસ કારણ છે, કે આ વિદેશી કેસોમાં સામાન્ય જૂથને બદલે વેલ-જૂથ હોય છે. નિકોલ્સ બીજગણિતના જનરેટર અને સંબંધો મૂળ પ્રણાલીમાંથી સહેલાઈથી ઉપલબ્ધ નથી. તેના બદલે, વ્યક્તિએ લિનોન્ડ શબ્દો સાથે કંટાળાજનક કામ કરવું પડે છે. આ સંપૂર્ણપણે નકારાત્મક માપદંડમાં કરવામાં આવ્યું છેઃ ખાસ કરીને ઈરીડ્યુસિબલ V માટે કોઈ સબમોડ્યુલ્સ નથી; જો કે કોઈ વ્યક્તિ સબરેકની વધુ અમૂર્ત કલ્પનાનો ઉપયોગ કરી શકે છે જે ફક્ત બે સમાવિષ્ટ તત્વોની વેણીને પ્રતિબિંબિત કરે છે. કેટલાક કાગળોમાં, નિકોલસ એન્ડ્રુસ્કીવિટ્શ એટ અલ. નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા ધરાવતાં જૂથોને બાકાત રાખતાં નકારાત્મક માપદંડ આપ્યા હતા. તેમની તકનીકોનો આશરે સારાંશ આપી શકાય છે (વધુ વિગતો! ): આ એન્સાટ્ઝ કેટલીકવાર મજબૂત શરતો મૂકે છે, ખાસ કરીને કોઈપણ જી-ગ્રેડેડ તત્વ x ને પોતાની સાથે બાંધવા પર (દા. ત. ઉપરનું પ્રથમ ઉદાહરણ q §1) દર્શાવે છે. નોંધ લો કે કારણ કે g સેન્ટ્રલાઈઝરમાં કેન્દ્રિય છે, તે શુર લેમ્માના પરિણામે સ્કેલર દ્વારા ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત પર કાર્ય કરે છે; તેથી આ સેલ્ફબ્રેડિંગ રેસ્પ. 1-ડિમ સબ-યેટર-ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ/બ્રેઇડેડ વેક્ટરસ્પેસ/1-ડિમ સબરેક કર્ણ છે તેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે જી ને બાકાત રાખવા માટે થાય છે. વિષમ ક્રમ અને/અથવા ઉચ્ચ પરિમાણના χ હોવાનુંઃ જો g વાસ્તવિક હોય (એટલે કે. જો g અર્ધ-વાસ્તવિક હોય (એટલે કે-1) તો q =-1 (ખાસ કરીને g સમ ક્રમનો હોવો જોઈએ). કેટલીક j-th ઘાત સાથે સંયોજિત) પછી ક્યાં તો ઉપરની જેમ q =-1 અથવા અને પ્રતિનિધિત્વ χ એ એક-પરિમાણીય છે જેમાં q = ζ3 એકતાનું આદિમ ત્રીજું મૂળ છે (ખાસ કરીને g નો ક્રમ 3 દ્વારા વિભાજીત થાય છે) જો તેનાથી વિપરીત g એક ઇન્વોલ્યુશન છે અને કેટલાક કેન્દ્રિય h = tgt છે તો પછી કામ કરતા h (મેટ્રિક્સ તરીકે જોવામાં આવે છે) ના આઈગન મૂલ્યો મજબૂત રીતે પ્રતિબંધિત છે. નોનબેલિયન જૂથો પર મૂળ પ્રણાલીઓ નોનબેલિયન કિસ્સામાં પણ મૂળ પ્રણાલીનું અસ્તિત્વ તરત જ નીચેની ખૂબ જ મજબૂત અસરો સૂચવે છેઃ તાત્કાલિક પરિણામો ક્રમ 2 નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા માટે ગર્ભિત છે જે g, h અસંબદ્ધ છે; પછીઃ તત્વોના બ્રેઇડેડ કોમ્યુટેટર [x, y] બધા શૂન્ય નથી. બ્રેઇડેડ કોમ્યુટેટરની જગ્યા ઈરીડ્યુસિબલ સબ-યેટર-ડ્રિનફેલ્ડ મોડ્યુલ બનાવે છે (એટલે કે. લાઇ બીજગણિતના કિસ્સામાં મૂળ અનન્ય છે) તેઓ "આવનજાવનની નજીક" છે આ આશરે સૂચવે છે કે, બિન-એબેલિયન જૂથો પર મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા ખૂબ જ નીચા ક્રમના (જો હોય તો) હોવા જોઈએ અથવા જૂથ એબેલિયનની નજીક હોવું જોઈએ. નકારાત્મક માપદંડઃ નોનબેલિયન સબરેક્સ (પ્રકાર D) જેમ કે એબેલિયન સબરેક્સ એબેલિયન જૂથો પર નિકોલ્સ આલ્જેબ્રા માટે હેકેનબર્ગરના માળખાકીય વર્ગીકરણનો ઉપયોગ કરે છે (ઉપર જુઓ) કોઈ પણ નોનબેલિયન સબરેક્સને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. જો આવી સબરેક કેટલાંક ટુકડાઓમાં વિઘટિત થાય છે (કારણ કે હવે સંયુગ્મિત થવા માટે ઓછું તત્વ હાજર છે), તો પછી મૂળ પ્રણાલીઓ પર ઉપરોક્ત પરિણામો લાગુ થાય છે. એક ચોક્કસ કેસ જ્યાં આ અત્યંત સફળ છે તે પ્રકાર ડી છે, એટલે કે. r માટે, s ઉત્પન્ન થયેલા પેટાજૂથમાં સંયોજિત થતું નથી, આ કિસ્સામાં સબરેકનું નિકોલ્સ બીજગણિત અનંત-પરિમાણીય છે અને તે જ રીતે સમગ્ર નિકોલ્સ બીજગણિત પણ મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ બીજગણિતને સ્વીકારતું નથી. ઉપરની બંને નકારાત્મક તકનીકો મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ બીજગણિતને નકારવા માટે ખૂબ જ ફળદાયી રહી છેઃ સમમિતીય જૂથો માટે વૈકલ્પિક જૂથો માટે ઉદાહરણોની ટૂંકી સૂચિ સિવાય લાઈ પ્રકારનાં કેટલાક જૂથો (સ્ત્રોતો, સંપૂર્ણ સૂચિ?) શક્યતાઓની ટૂંકી સૂચિ સિવાયના તમામ છૂટાછવાયા જૂથો (રેસ્પ. એ. ટી. એલ. એ. એસ. નોટેશનમાં કોન્જ્યુગેસી વર્ગો) જે તમામ વાસ્તવિક છે અથવા જે = 3-ક્વાસીરિયલઃ. ફિશર જૂથ માટે વર્ગો. બેબી મોન્સ્ટર જૂથ બી માટે વર્ગો. મોન્સ્ટર જૂથ એમ માટે વર્ગો સામાન્ય રીતે મોટા પ્રમાણમાં કોન્જ્યુગેસી વર્ગો એ. ઇ. પ્રકાર ડી ("પૂરતા પ્રમાણમાં પરિવર્તનીય નથી"), જ્યારે અન્ય લોકો પૂરતા પ્રમાણમાં અબેલિયન સબરેક્સ ધરાવે છે અને તેમના વિચારણા દ્વારા બાકાત કરી શકાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓ હાથથી કરવા પડે છે. નોંધ લો કે ખુલ્લા કિસ્સાઓમાં ખૂબ જ નાના સેન્ટ્રલાઈઝર્સ (સામાન્ય રીતે ચક્રીય) અને રજૂઆતો χ (સામાન્ય રીતે 1-પરિમાણીય નિશાની રજૂઆત) હોય છે. નોંધપાત્ર અપવાદો ક્રમ 16,32 ના સંયોગ વર્ગો છે, જે ક્રમ 2048 રેસ્પના કેન્દ્રિય પી-જૂથો તરીકે છે. 128 અને હાલમાં χ પર કોઈ પ્રતિબંધ નથી. ઉપયોગો નિકોલ્સ બીજગણિત, ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ જૂથો, નિકોલસ એન્ડ્રુસ્કિવિત્સ અને હંસ-જુર્ગેન સ્નેઇડર દ્વારા મર્યાદિત-પરિમાણીય પોઇન્ટેડ હોપ્ફ આલ્જેબ્રા (નાના અવિભાજ્ય વિના) ના વર્ગીકરણમાં ક્વોન્ટમ બોરેલ ભાગ તરીકે દેખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અને એકતાના મૂળ q માટેના તેમના જાણીતા કાપ સામાન્ય અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતની જેમ જ E 's (બોરેલ ભાગ), બેવડા F' s અને K 's (કાર્ટન બીજગણિત) માં વિઘટિત થાય છેઃ અહીં, શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતની જેમ V એ E' s દ્વારા ફેલાયેલ પરિમાણ n (ક્રમ) નું વેક્ટરસ્પેસ છે, અને σ (કહેવાતા કોકીલ્સ ટ્વિસ્ટ) E 's અને F' s વચ્ચે બિન-તુચ્છ જોડાણ બનાવે છે. નોંધ લો કે શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતથી વિપરીત, બેથી વધુ જોડાયેલા ઘટકો દેખાઈ શકે છે. સિટ જુઓ. લોક ". A3 પ્રકારનાં 4 ભાગો સાથેનું એક વિચિત્ર ઉદાહરણ. આ વર્ગીકરણ લગભગ આપેલ કાલ્પનિક ઉદાહરણને (કોરૅડિકલ-) જૂથ અને (જોડાયેલ-) ભાગના રેડફોર્ડ બાયપ્રોડક્ટમાં ઘટાડે છે, જેમાં અનુરૂપ "ગ્રેડેડ ઓબ્જેક્ટ" (તમામ જોડાણોને મારી નાખવું) લઈને નિકોલ્સ બીજગણિત હોય છે. ઉપરના મર્યાદિત-પરિમાણીય નિકોલ્સ આલ્જેબ્રાના વર્ગીકરણના જ્ઞાન સાથે, લેખકો જોડાયેલા ભાગમાં (ડિગ્રી 1 માં પેઢી) દેખાવા માટે કોઈ વધારાના ઘટકો સાબિત કરતા નથી, અને અંતે સામાન્યીકૃત ડાયન્કિન આકૃતિઓમાં તમામ સંભવિત લિફ્ટિંગને "ડોટેડ રેખાઓ" તરીકે વર્ણવે છે. તાજેતરમાં, આ પત્રવ્યવહારને વેલ જૂથ સાથે 1:1 ના પત્રવ્યવહારમાં રહેલા અમુક કહેવાતા કોએડિયલ સબઅલ્જેબ્રાઓને ઓળખવા માટે મોટા પ્રમાણમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે, જેને અગાઉ "આંકડાકીય સંયોગ" તરીકે અનુમાન કરવામાં આવ્યું છે અને અમુક કિસ્સાઓમાં હાથથી સાબિત કરવામાં આવ્યું છે. સંદર્ભો હોપ્ફ આલ્જેબ્રા ક્વોન્ટમ જૂથો