Affine root system
ગણિતમાં, એફાઇન રુટ સિસ્ટમ એ યુક્લિડિયન જગ્યા પર એફાઇન-રેખીય કાર્યોની રુટ સિસ્ટમ છે. તેનો ઉપયોગ એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રા અને સુપરઅલજેબ્રા અને અર્ધ-સરળ પી-એડિક બીજગણિત જૂથોના વર્ગીકરણમાં થાય છે, અને તે મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓના પરિવારોને અનુરૂપ છે. કે. એ. સી. અને મૂડી દ્વારા કે. એ. સી.-મૂડી આલ્જેબ્રા પરના તેમના કાર્યમાં ઘટાડેલી એફાઇન રુટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સંભવતઃ બિન-ઘટાડેલી એફાઇન રુટ પ્રણાલીઓ અને દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી અને વર્ગીકૃત કરવામાં આવી હતી (સિવાય કે આ બંને કાગળોએ આકસ્મિક રીતે ડાયન્કિન આકૃતિને કાઢી નાખી હતી). વ્યાખ્યા ધારો કે E એ એફાઇન જગ્યા છે અને V એ તેના અનુવાદોની વેક્ટર જગ્યા છે. યાદ કરો કે V એ E પર વિશ્વાસુપણે અને અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે. ખાસ કરીને, જો, તો તે સારી રીતે V માં એક તત્વ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જે એકમાત્ર તત્વ છે. હવે ધારો કે આપણી પાસે V પર સ્કેલર પ્રોડક્ટ છે. આ E પર મેટ્રિકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. એફાઇન-રેખીય વિધેયોની વેક્ટર જગ્યા F નો વિચાર કરો. a ને નિશ્ચિત કર્યા પછી, F માં દરેક તત્વને V પર રેખીય વિધેય તરીકે લખી શકાય છે જે ની પસંદગી પર આધારિત નથી. હવે V ના દ્વૈતને પસંદ કરેલા સ્કેલર ઉત્પાદનને કારણે V સાથે ઓળખી શકાય છે અને આપણે F પર ઉત્પાદનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. કોઈપણ માટે અને અનુક્રમે સુયોજિત કરો. ઓળખ આપણે E પર પ્રતિબિંબને નીચેની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએઃ સ્થાનાંતરણ દ્વારા F પર પણ એફ તરીકે કાર્ય કરે છે એક એફાઇન રુટ સિસ્ટમ એ એક ઉપગણ છે જેમ કેઃ S ના તત્વોને એફાઇન મૂળ કહેવામાં આવે છે. સાથે દ્વારા પેદા થયેલ જૂથ સાથે દર્શાવો. આપણે આ પણ પૂછીએ છીએ આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ બે કોમ્પેક્ટ માટે આવા ઘટકો મર્યાદિત સંખ્યા છે. વર્ગીકરણ એફાઇન મૂળ પ્રણાલીઓ A1 = B1 = B = C1 = C સમાન છે, જેમ કે જોડી B2 = C2, B = C, અને A3 = D3 કોષ્ટકમાં આપવામાં આવેલી ભ્રમણકક્ષાઓની સંખ્યા એ વેઇલ જૂથ હેઠળ સરળ મૂળની ભ્રમણકક્ષાઓની સંખ્યા છે. ડાયન્કિન આકૃતિઓમાં, બિન-ઘટાડેલા સરળ મૂળ α (2α એ મૂળ સાથે) લીલા રંગના હોય છે. શ્રેણીમાં પ્રથમ ડાયન્કિન આકૃતિ કેટલીકવાર અન્ય જેવા જ નિયમને અનુસરતી નથી. ક્રમ 1 દ્વારા ઇરેડ્યુસિબલ એફાઇન રુટ સિસ્ટમ્સઃ A1, BC1, (BC1, C1), (C, BC1), (C, C1). ક્રમ 2: A2, C2, C, BC2, (BC2, C2), (C, BC2), (B2, B), (C, C2), G2, G. ક્રમ 3: A3, B3, B, C3, C, BC3, (BC3, C3), (C, BC3), (B3, B), (C, C3). ક્રમ 4: A4, B4, B, C4, C, BC4, (BC4, C4), (C, BC4), (B4, B), (C, C4), D4, F4, F. ક્રમ 5: A5, B5, B, C5, C, BC5, (BC5, C5), (C, BC5), (B5, B), (C, C5), (D5. ક્રમ 6: A6, B6, B, C6, C, BC6, (BC6, C6), (C, BC6), (B6, B), (C, C6), (D6, E6, ક્રમ 7: A7, B7, B, C, C, BC7, (BC7, C7), (C, BC7), (B7, B), (C, C7), (D7, E7, ક્રમ 8: A8, B8, B, C8, C8, BC8, (BC8, C8), (C, BC8), (B8, B), (C, C8), (D એપ્લિકેશનોએ દર્શાવ્યું હતું કે એફાઇન રુટ સિસ્ટમ્સ ઇન્ડેક્સ મેકડોનાલ્ડ આઇડેન્ટિટીઝે પી-એડિક બીજગણિત જૂથોનો અભ્યાસ કરવા માટે એફાઇન રૂટ સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ઘટાડેલી એફાઇન રુટ પ્રણાલીઓ એફાઇન કાક-મૂડી આલ્જેબ્રાને વર્ગીકૃત કરે છે, જ્યારે બિન-ઘટાડેલી એફાઇન રુટ પ્રણાલીઓ એફાઇન લાઈ સુપરએલજેબ્રાને અનુરૂપ હોય છે. તે દર્શાવે છે કે મેક્ડોનાલ્ડ બહુપદીઓના મૂળ પ્રણાલીઓના અનુક્રમણિકા પરિવારોને સંલગ્ન કરો. સંદર્ભો અલગ જૂથો લાઈ આલ્જેબ્રા ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ