Law of cotangents
ત્રિકોણમિતિમાં, કોટાન્જેન્ટ્સનો નિયમ એ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ અને ત્રણ ખૂણાઓના અર્ધભાગના કોટાન્જેન્ટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ છે. જેમ ત્રણ માત્રાઓ કે જેમની સમાનતા સાઇનના નિયમ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તે ત્રિકોણના પરિવેષ્ટિત વર્તુળના વ્યાસ (અથવા તેના પારસ્પરિક, નિયમ કેવી રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તેના આધારે) ની બરાબર હોય છે, તેવી જ રીતે કોટાન્જેન્ટ્સનો નિયમ પણ ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યાને તેની બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથે સંબંધિત કરે છે. નિવેદન ત્રિકોણ માટે સામાન્ય સંકેતો (ઉપર જમણી બાજુની આકૃતિ જુઓ) નો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં, ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ છે, તે ત્રણ સંબંધિત બાજુઓની વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ છે, તે શિરોબિંદુઓ પર અનુરૂપ ખૂણાઓ છે, અર્ધપરિમાપ છે, એટલે કે, અને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, કોટાન્જેન્ટ્સનો નિયમ જણાવે છે કે અને વધુમાં ત્રિજ્યા પુરાવા દ્વારા આપવામાં આવે છે. દરેક જોડીમાં વિભાગો સમાન લંબાઈના હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, શિરોબિંદુને અડીને આવેલા 2 વિભાગો સમાન છે. જો આપણે દરેક જોડીમાંથી એક ભાગ પસંદ કરીએ, તો તેનો સરવાળો અર્ધપરિમાપક હશે. આનું ઉદાહરણ આકૃતિમાં રંગમાં દર્શાવેલ વિભાગો છે. લાલ રેખા બનાવતા બે ભાગોનો સરવાળો થાય છે, તેથી વાદળી ભાગ લંબાઈનો હોવો જોઈએ. દેખીતી રીતે, અન્ય પાંચ વિભાગોમાં પણ લંબાઈ હોવી જોઈએ, અથવા, નીચલા આંકડામાં બતાવ્યા પ્રમાણે. આકૃતિના નિરીક્ષણ દ્વારા, કોટેનજેન્ટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે અને તે જ રીતે અન્ય બે ખૂણાઓ માટે, પ્રથમ દાવાને સાબિત કરે છે. બીજા માટે-ત્રિજ્યા સૂત્ર-આપણે સામાન્ય ઉમેરા સૂત્રથી શરૂઆત કરીએ છીએઃ તેને લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએઃ (આ પણ ત્રિપલ કોટેનજેન્ટ ઓળખ છે) પ્રથમ ભાગમાં મેળવેલા મૂલ્યોને બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએઃ દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી તેનું મૂલ્ય મળે છે, બીજા દાવાને સાબિત કરે છે. કોટેનજેન્ટ્સના કાયદાનો ઉપયોગ કરતા કેટલાક પુરાવા કોટેનજેન્ટ્સના કાયદા પરથી સંખ્યાબંધ અન્ય પરિણામો મેળવી શકાય છે. હેરોનનું સૂત્ર. નોંધ લો કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પણ 6 નાના ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે, 3 જોડીમાં પણ, દરેક જોડીમાં ત્રિકોણ સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શિરોબિંદુની નજીકના બે ત્રિકોણ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈના જમણા ત્રિકોણ હોવાથી, દરેકનું ક્ષેત્રફળ છે. તેથી તે બે ત્રિકોણ એક સાથે ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે, અને તેથી આખા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે આ જરૂરી પરિણામ આપે છે. મોલવાઇડનું પ્રથમ સૂત્ર. એડિશન ફોર્મ્યુલા અને કોટાન્જેન્ટ્સના નિયમમાંથી આપણી પાસે આ જરૂરિયાત મુજબ પરિણામ આપે છે. મોલવાઇડનું બીજું સૂત્ર. અહીં, સરવાળા/ઉત્પાદન સૂત્ર અનુસાર, ઉત્પાદનને સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે એક વધારાનું પગલું જરૂરી છે. આ જરૂરિયાત મુજબ પરિણામ આપે છે. સ્પર્શકનો નિયમ પણ આમાંથી મેળવી શકાય છે. "કોટાન્જેન્ટ્સનો કાયદો" તરીકે ઓળખાતી અન્ય ઓળખ કોટાન્જેન્ટ્સનો કાયદો સાઇન, કોસાઇન અથવા સ્પર્શકના કાયદા જેટલો સામાન્ય અથવા સારી રીતે સ્થાપિત નથી, તેથી આ જ નામ કેટલીકવાર કોટાન્જેન્ટ્સને સંડોવતા અન્ય ત્રિકોણ ઓળખ પર લાગુ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ બે ખૂણાઓના કોટાન્જેન્ટ્સનો સરવાળો ત્રીજા શિરોબિંદુ દ્વારા તેમની વચ્ચેની બાજુના અને ઊંચાઈના ગુણોત્તર જેટલો થાય છેઃ કોસાઇનનો નિયમ કોસાઇનને બદલે કોટાન્જેન્ટની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે ત્રિકોણના વિસ્તારને ઓળખમાં લાવે છેઃ કારણ કે ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓ તેમના કોટાન્જેન્ટ્સના જોડી મુજબના ઉત્પાદનોના સરવાળા સાથે સરવાળો કરે છે.