Lomax distribution
લોમેક્સ વિતરણ, જેને શરતી રીતે પેરેટો પ્રકાર II વિતરણ પણ કહેવામાં આવે છે, તે વ્યવસાય, અર્થશાસ્ત્ર, વીમાકરણ વિજ્ઞાન, કતાર સિદ્ધાંત અને ઇન્ટરનેટ ટ્રાફિક મોડેલિંગમાં ઉપયોગમાં લેવાતું ભારે પૂંછડીનું સંભાવના વિતરણ છે. તેનું નામ કે. એસ. લોમેક્સ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તે અનિવાર્યપણે પેરેટો વિતરણ છે જે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું છે જેથી તેનો આધાર શૂન્યથી શરૂ થાય. લાક્ષણિકતા સંભાવના ઘનતા કાર્ય લોમેક્સ વિતરણ માટે સંભાવના ઘનતા કાર્ય (પી. ડી. એફ.) આકાર પરિમાણ અને સ્કેલ પરિમાણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘનતાને એવી રીતે ફરીથી લખી શકાય છે કે જે પેરેટો પ્રકાર I વિતરણ સાથેનો સંબંધ વધુ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવે છે. તે છેઃ બિન-કેન્દ્રીય ક્ષણો બિન-કેન્દ્રીય ક્ષણો ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યારે આકાર પરિમાણ સખત રીતે ઓળંગે છે, જ્યારે ક્ષણનું મૂલ્ય સંબંધિત વિતરણ હોય. ખાસ કરીનેઃ લોમેક્સ વિતરણ એ xm = λ અને μ = 0 સાથે પેરેટો પ્રકાર II વિતરણ છેઃ સામાન્યીકૃત પેરેટો વિતરણ સાથેનો સંબંધ લોમેક્સ વિતરણ એ સામાન્યીકૃત પેરેટો વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. ખાસ કરીનેઃ બીટા મુખ્ય વિતરણ સાથેનો સંબંધ સ્કેલ પરિમાણ λ = 1 સાથેનું લોમેક્સ વિતરણ એ બીટા મુખ્ય વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. જો X પાસે લોમેક્સ વિતરણ હોય, તો પછી. એફ વિતરણ સાથેનો સંબંધ આકાર પરિમાણ α = 1 અને સ્કેલ પરિમાણ λ = 1 સાથેનું લોમેક્સ વિતરણ ઘનતા ધરાવે છે, જે એફ (2,2) વિતરણ જેટલું જ વિતરણ છે. આ ઘાતાંકીય વિતરણો સાથે બે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના ગુણોત્તરનું વિતરણ છે. ક્યૂ-એક્સપોનેન્શિયલ વિતરણ સાથેનો સંબંધ લોમેક્સ વિતરણ એ ક્યૂ-એક્સપોનેન્શિયલ વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. q-ઘાતાંકીય આ વિતરણને બંધાયેલ અંતરાલ પર આધાર આપવા માટે વિસ્તરે છે. લોમેક્સ પરિમાણો આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ (લોગ-) લોજિસ્ટિક વિતરણ સાથે સંબંધ લોમેક્સનું લઘુગણક (આકાર = 1, સ્કેલ = λ)-વિતરિત ચલ સ્થાન લોગ (λ) અને સ્કેલ 1 સાથે લોજિસ્ટિક વિતરણને અનુસરે છે. આ સૂચવે છે કે લોમેક્સ (આકાર = 1, સ્કેલ = λ)-વિતરણ એ આકાર β = 1 અને સ્કેલ α = લોગ (λ) સાથે લોગ-લોજિસ્ટિક વિતરણ બરાબર છે. ગામા-એક્સપોનેન્શલ (સ્કેલ-) મિશ્રણ જોડાણ લોમેક્સ વિતરણ એક્સપોનેન્શલ વિતરણોના મિશ્રણ તરીકે ઉદભવે છે જ્યાં દરનું મિશ્રણ વિતરણ એ ગામા વિતરણ છે. જો λ |k, θ ~ ગામા (આકાર = k, સ્કેલ = θ) અને X|λ ~ ઘાતાંકીય (દર = λ) હોય તો X |k, θ નું સીમાંત વિતરણ લોમેક્સ (આકાર = k, સ્કેલ = 1/θ) છે. દર પરિમાણને સ્કેલ પરિમાણની સમકક્ષ પુનઃપરિમાણીકૃત કરી શકાય છે, તેથી લોમેક્સ વિતરણ ઘાતાંકોનું સ્કેલ મિશ્રણ બનાવે છે (વિપરીત-ગામા વિતરણને અનુસરતા ઘાતાંકીય સ્કેલ પરિમાણ સાથે). પાવર લો સંયોજન સંભાવના વિતરણ હાયપરએક્સપોનેન્શલ વિતરણ (ઘાતાંકોનું મર્યાદિત મિશ્રણ) સામાન્ય-ઘાતાંકીય-ગામા વિતરણ (લોમેક્સ મિશ્રણ વિતરણ સાથે સામાન્ય સ્કેલ મિશ્રણ) સંદર્ભો સતત વિતરણ ચક્રવૃદ્ધિ સંભાવના વિતરણ બિન-અનંત ભિન્નતા સાથે સંભાવના વિતરણ