Coxeter notation
ભૂમિતિમાં, કોક્સેટર નોટેશન (કોક્સેટર પ્રતીક પણ) એ સમપ્રમાણતા જૂથોને વર્ગીકૃત કરવાની એક પદ્ધતિ છે, જે ચોક્કસ પેટા જૂથોને સૂચવવા માટે સંશોધકો સાથે કોક્સેટર-ડાઇન્કિન આકૃતિના માળખાને વ્યક્ત કરતા કૌંસવાળા સંકેતલિપીમાં કોક્સેટર જૂથના મૂળભૂત પ્રતિબિંબો વચ્ચેના ખૂણાઓનું વર્ણન કરે છે. આ સંકેતનું નામ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, અને નોર્મન જોહ્ન્સન દ્વારા વધુ વ્યાપક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે. કોક્સેટર જૂથો માટે, શુદ્ધ પ્રતિબિંબ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, કૌંસ સંકેતલિપી અને કોક્સેટર-ડિંકિન આકૃતિ વચ્ચે સીધો પત્રવ્યવહાર છે. કૌંસ સંકેતલિપીમાં સંખ્યાઓ કોક્સેટર આકૃતિની શાખાઓમાં મિરર રિફ્લેક્શન ઓર્ડરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે સમાન સરળીકરણનો ઉપયોગ કરે છે, ઓર્થોગોનલ અરીસાઓ વચ્ચે 2s દબાવીને. રેખીય આકૃતિ માટે હરોળમાં શાખાઓની સંખ્યાને રજૂ કરવા માટે કોક્સેટર સંકેતને ઘાતાંકો સાથે સરળ બનાવવામાં આવે છે. તેથી એન જૂથને [3n−1] દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, જે એન-1 ક્રમ-3 શાખાઓ દ્વારા જોડાયેલા એન નોડ્સને સૂચવે છે. ઉદાહરણ A2 = [3,3] = [32] અથવા [31,1] આકૃતિઓ રજૂ કરે છે અથવા. કોક્સેટર શરૂઆતમાં સંખ્યાઓની ઊભી સ્થિતિ સાથે દ્વિભાજિત આકૃતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા હતા, પરંતુ બાદમાં [., 3p, q] અથવા [3p, q, r] જેવા [31,1,1 અથવા [3,31,1] = અથવા D4 સાથે શરૂ થતા ઘાતાંક સંકેતો સાથે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવ્યા હતા. કોક્સેટરએ A3 = [3,3,3,3] = [[34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], જેમ કે = =, એ. એન. કુટુંબને ફિટ કરવા માટે વિશેષ કિસ્સાઓમાં શૂન્યની મંજૂરી આપી હતી. ચક્રીય આકૃતિઓ દ્વારા રચાયેલા કોક્સેટર જૂથો કૌંસની અંદર કૌંસ દ્વારા રજૂ થાય છે, જેમ કે ત્રિકોણ જૂથ (p q r) માટે [(p, q, r)] =. જો શાખા ક્રમ સમાન હોય, તો તેમને કૌંસમાં ચક્રની લંબાઈ તરીકે ઘાતાંક તરીકે જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે, જેમ કે [(3,3,3,3)] = [3 [4]], જે કોક્સેટર આકૃતિને રજૂ કરે છે અથવા. તેને [3, (3,3,3)] અથવા [3,3 [3] તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વધુ જટિલ લૂપિંગ આકૃતિઓ પણ કાળજી સાથે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પેરાકોમ્પેક્ટ કોક્સેટર જૂથને કોક્સેટર નોટેશન [(3,3, (3), 3,3)] દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જેમાં બે અડીને આવેલા [(3,3,3)] લૂપ્સ દર્શાવતા નેસ્ટેડ/ઓવરલેપિંગ કૌંસ હોય છે, અને તેને વધુ સઘન રીતે [3 [] × [] તરીકે પણ રજૂ કરવામાં આવે છે, જે કોક્સેટર આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પેરાકોમ્પેક્ટ સંપૂર્ણ આલેખ આકૃતિ અથવા, તેના નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન કોક્સિટર આકૃતિની સમપ્રમાણતા તરીકે સુપરસ્ક્રિપ્ટ [3,3] સાથે [3,3] તરીકે રજૂ થાય છે. એફાઇન અને હાયપરબોલિક જૂથો માટે, સબસ્ક્રિપ્ટ દરેક કિસ્સામાં નોડ્સની સંખ્યા કરતાં એક ઓછી હોય છે, કારણ કે આ દરેક જૂથો મર્યાદિત જૂથના આકૃતિમાં નોડ ઉમેરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા. કોક્સેટર આકૃતિ સામાન્ય રીતે ક્રમ-2 શાખાઓને ખાલી છોડી દે છે, પરંતુ કૌંસ સંકેતલિપીમાં સબગ્રાફ્સને જોડવા માટે સ્પષ્ટ 2 નો સમાવેશ થાય છે. તેથી કોક્સેટર આકૃતિ = A2 × A2 = 2A2 ને [3] × [3] = [3] 2 = [3,2,3] દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. કેટલીકવાર સ્પષ્ટ 2-શાખાઓ ક્યાં તો 2 લેબલ સાથે, અથવા અંતર સાથેની રેખા સાથે શામેલ થઈ શકે છેઃ અથવા, [3,2,3] જેવી સમાન પ્રસ્તુતિ તરીકે. ક્રમ અને પરિમાણ કોક્સેટર બિંદુ જૂથ ક્રમ એ ગાંઠોની સંખ્યાની બરાબર છે જે પણ પરિમાણની બરાબર છે. એક જ અરીસો 1-પરિમાણમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, [], જ્યારે 2-પરિમાણોમાં [1], અથવા [] × [] +. 1 એ સ્થળ ધારક છે, વાસ્તવિક શાખા ક્રમ નથી, પરંતુ ઓર્થોગોનલ નિષ્ક્રિય અરીસા માટેનું માર્કર છે. સંકેત [n, 1], ક્રમ 3 જૂથને રજૂ કરે છે, જેમ કે [n] × [] + અથવા. તેવી જ રીતે, [1,1] તરીકે [] × [] + × [] + અથવા ક્રમ 2 અને [1,1] + તરીકે [] + × [] + × [] + અથવા, ક્રમ 1! પેટાજૂથો કોક્સેટરનું સંકેતન કૌંસની બહાર + સુપરસ્ક્રિપ્ટ ઓપરેટર ઉમેરીને પરિભ્રમણ/અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, [X] + જે જૂથ [X] ના ક્રમને અડધો કાપી નાખે છે, આમ અનુક્રમણિકા 2 પેટાજૂથો. આ ઓપરેટર સૂચવે છે કે આવર્તન (અથવા અનુવાદો) સાથે પ્રતિબિંબને બદલીને, સમાન સંખ્યામાં ઓપરેટરોને લાગુ કરવા આવશ્યક છે. જ્યારે કોક્સેટર જૂથ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેને સીધું પેટાજૂથ કહેવામાં આવે છે કારણ કે જે બાકી રહે છે તે માત્ર પ્રતિબિંબીત સમપ્રમાણતા વિનાની સીધી સમપ્રમાણતા છે. + ઓપરેટરોને કૌંસની અંદર પણ લાગુ કરી શકાય છે, જેમ કે [X, Y +] અથવા [X, (Y, Z) +], અને "અર્ધ-પરોક્ષ" પેટાજૂથો બનાવે છે જેમાં પ્રતિબિંબીત અને બિન-પ્રતિબિંબીત જનરેટર બંને શામેલ હોઈ શકે છે. અર્ધ-પરોક્ષ પેટાજૂથો ફક્ત કોક્સેટર જૂથ પેટાજૂથોને જ લાગુ પડી શકે છે જેમની પાસે તેની બાજુમાં સમ ક્રમની શાખાઓ હોય છે. કોક્સેટર જૂથની અંદર કૌંસ દ્વારા ઘટકોને + સુપરસ્ક્રિપ્ટ ઓપરેટર આપી શકાય છે, જે અડીને આવેલી ક્રમબદ્ધ શાખાઓને અડધા ક્રમમાં વિભાજિત કરવાની અસર ધરાવે છે, આમ સામાન્ય રીતે માત્ર સમ સંખ્યાઓ સાથે જ લાગુ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, [4,3 +] અને [4, (3,3) +] (). જો સંલગ્ન વિષમ શાખા સાથે લાગુ કરવામાં આવે, તો તે અનુક્રમણિકા 2 નું પેટા જૂથ બનાવતા નથી, પરંતુ તેના બદલે [5,1 +] = [5/2] જેવા ઓવરલેપિંગ મૂળભૂત ડોમેન્સ બનાવે છે, જે પેન્ટાગ્રામ, {5/2} જેવા બમણા આવરિત બહુકોણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, અને [5,3 +] શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ [5/2,3], ઘનતા 2 સાથે સંબંધિત છે. પડોશી + તત્વો વિનાના જૂથો રિંગ્ડ નોડ્સમાં જોઈ શકાય છે, સમાન પોલીટોપ માટે કોક્સેટર-ડાયકિન આકૃતિ અને હનીકોમ્બ + તત્વોની આસપાસના છિદ્ર નોડ્સ સાથે સંબંધિત છે, વૈકલ્પિક નોડ્સ દૂર કરીને ખાલી વર્તુળો. તેથી સ્નબ ક્યુબ, સમપ્રમાણતા ધરાવે છે [4,3] + (), અને સ્નબ ટેટ્રાહેડ્રોન, સમપ્રમાણતા ધરાવે છે [4,3 +] (), અને ડેમિક્યુબ, h {4,3} = {3,3} (અથવા =) સમપ્રમાણતા ધરાવે છે [1 +, 4,3] = [3,3] (અથવા = =). નોંધઃ પાયરિટોહેડ્રલ સમપ્રમાણતાને કોક્સેટર જૂથમાંથી જનરેટર {0,1,2} સાથે સ્પષ્ટતા માટે અંતર સાથે આલેખને અલગ કરીને, પાયરિટોહેડ્રલ જનરેટર {0,12}, પ્રતિબિંબ અને 3 ગણો પરિભ્રમણ ઉત્પન્ન કરીને લખી શકાય છે. અને કાયરલ ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાને જનરેટર {12,0120} સાથે અથવા, [1 +, 4,3 +] = [3,3] + તરીકે લખી શકાય છે. અડધા પેટા જૂથો અને વિસ્તૃત જૂથો જ્હોનસન + ઓપરેટરને પ્લેસહોલ્ડર 1 + નોડ્સ સાથે કામ કરવા માટે વિસ્તરે છે, જે અરીસાઓને દૂર કરે છે, મૂળભૂત ડોમેનનું કદ બમણું કરે છે અને જૂથ ક્રમને અડધો કરે છે. સામાન્ય રીતે આ ક્રિયા માત્ર સમ-ક્રમની શાખાઓ દ્વારા બંધાયેલા વ્યક્તિગત અરીસાઓને લાગુ પડે છે. 1 અરીસાને રજૂ કરે છે તેથી [2p] ને [2p, 1], [1,2p], અથવા [1,2p, 1] તરીકે જોઈ શકાય છે, જેમ કે આકૃતિ અથવા, ક્રમ-2p ડાયહેડ્રલ ખૂણા દ્વારા સંબંધિત 2 અરીસાઓ સાથે. અરીસાને દૂર કરવાની અસર જોડતા ગાંઠોની નકલ કરવાની છે, જે કોક્સેટર આકૃતિઓમાં જોઈ શકાય છેઃ =, અથવા કૌંસ સંકેતલિપીમાંઃ [1 +, 2p, 1] = [1, p, 1] = [p]. આ દરેક અરીસાઓને દૂર કરી શકાય છે જેથી h [2p] = [1 +, 2p, 1] = [1,2p, 1 +] = [p], પ્રતિબિંબીત પેટા જૂથ અનુક્રમણિકા 2. આને કોક્સેટર આકૃતિમાં નોડની ઉપર + પ્રતીક ઉમેરીને બતાવી શકાય છેઃ = =. જો બંને અરીસાઓ દૂર કરવામાં આવે, તો એક ચતુર્થાંશ પેટાજૂથ પેદા થાય છે, જેમાં શાખા ક્રમ અડધા ક્રમનો જિરેશન બિંદુ બની જાય છેઃ q [2p] = [1 +, 2p, 1 +] = [p] +, અનુક્રમણિકા 4નું પરિભ્રમણશીલ પેટાજૂથ. = = = = =. ઉદાહરણ તરીકે, (p = 2 સાથે): [4,1 +] = [1 +, 4] = [2] = [] × [], ક્રમ 4. [1 +, 4,1 +] = [2] +, ક્રમ 2. અડધાથી વિપરીત બમણો થાય છે જે અરીસો ઉમેરે છે, મૂળભૂત ક્ષેત્રને દ્વિભાજિત કરે છે અને જૂથ ક્રમને બમણો કરે છે. = [2p] અડધી ક્રિયાઓ ઉચ્ચ ક્રમના જૂથો માટે લાગુ પડે છે, જેમ કે ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા એ ઓક્ટાહેડ્રલ જૂથનું અડધું જૂથ છેઃ h [4,3] = [1 +, 4,3] = [3,3], 4-શાખા પરના અડધા અરીસાઓને દૂર કરે છે. અરીસાને દૂર કરવાની અસર એ છે કે તમામ જોડતા ગાંઠોની નકલ કરવી, જે કોક્સેટર આકૃતિઓમાં જોઈ શકાય છેઃ =, h [2p, 3] = [1 +, 2p, 3] = [(p, 3,3)]. જો ગાંઠો અનુક્રમિત હોય, તો અડધા પેટાજૂથોને સંયોજનો તરીકે નવા અરીસાઓ સાથે લેબલ કરી શકાય છે. જેમ કે, જનરેટર {0,1} માં પેટાજૂથ =, જનરેટર {1,010} હોય છે, જ્યાં મિરર 0 દૂર કરવામાં આવે છે, અને મિરર 0 પર પ્રતિબિંબિત મિરર 1 ની નકલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પણ આપવામાં આવે છે, જનરેટર {0,1,2}, તેમાં અર્ધ જૂથ =, જનરેટર {1,2,010} છે. અરીસો ઉમેરીને બમણો કરવો એ અડધી કામગીરીને ઉલટાવવામાં પણ લાગુ પડે છેઃ = [4,3], અથવા વધુ સામાન્ય રીતે = [2p, q]. રેડિકલ પેટાજૂથો જ્હોનસને "રેડિકલ" પેટાજૂથો માટે તારાંકન અથવા સ્ટાર * ઓપરેટર પણ ઉમેર્યું હતું, જે + ઓપરેટર જેવું જ કાર્ય કરે છે, પરંતુ પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને દૂર કરે છે. રેડિકલ પેટાજૂથનો અનુક્રમણિકા એ દૂર કરેલા તત્વનો ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, [4,3 *] [2,2]. દૂર કરાયેલ [3] પેટાજૂથ ક્રમ 6 છે તેથી [2,2] એ [4,3] નું અનુક્રમણિકા 6 પેટાજૂથ છે. આમૂલ પેટા જૂથો વિસ્તૃત સમપ્રમાણતા કામગીરીની વ્યસ્ત કામગીરીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, [4,3 *] [2,2], અને તેનાથી વિપરીત [2,2] ને [3 [2,2]] [4,3] તરીકે લંબાવી શકાય છે. પેટા જૂથોને કોક્સેટર આકૃતિ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ અથવા. દૂર કરેલ નોડ (અરીસો) નજીકના અરીસાના વર્ચ્યુઅલ અરીસાઓને વાસ્તવિક અરીસાઓ બનાવે છે. જો [4,3] પાસે જનરેટર {0,1,2}, [4,3 +] હોય, તો સૂચકાંક 2 પાસે જનરેટર {0,12} હોય; [1 +, 4,3] [3,3], સૂચકાંક 2 પાસે જનરેટર {010,1,2} હોય; જ્યારે આમૂલ પેટા જૂથ [4,3 *] [2,2], સૂચકાંક 6 પાસે જનરેટર {01210,2, (012) 3} હોય; અને અંતે [1 +, 4,3 *], સૂચકાંક 12 પાસે જનરેટર {0 (12) 20, (012) 201} હોય. ત્રિકોણીય પેટાજૂથ એ ત્રિકોણીય પેટાજૂથ એ અનુક્રમણિકા 3 પેટાજૂથ છે. જ્હોનસન ઓપરેટર, ઇન્ડેક્સ 3 સાથે ટ્રાયોનિક પેટાજૂથને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ક્રમ 2 કોક્સેટર જૂથો માટે, [3], ટ્રાયોનિક પેટાજૂથ, [3] એ એક અરીસો છે. અને [3p] માટે, ટ્રાયોનિક પેટાજૂથ [3p] [p] છે. આપેલ, જનરેટર {0,1} સાથે, 3 ટ્રાયોનિક પેટાજૂથો ધરાવે છે. તેમને દૂર કરવા માટેના મિરર જનરેટરની બાજુમાં, અથવા બંને માટે શાખા પર પ્રતીક મૂકીને અલગ કરી શકાય છેઃ [3p, 1] = =, =, અને [3p] = = જનરેટર સાથે {0,10101}, {01010,1}, અથવા {101,010}. ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાના ટ્રાયોનિક પેટાજૂથોઃ [3,3] [2 +, 4], જે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન અને ટેટ્રાગોનલ ડિસ્પેનોઇડની સમપ્રમાણતાને સંબંધિત છે. ક્રમ 3 કોક્સેટર જૂથો માટે, [પી, 3], એક ત્રિકોણીય પેટાજૂથ [પી, 3] [પી/2, પી], અથવા = છે. ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદિત જૂથ [4,3] [2,4], અને યુક્લિડિયન જૂથ [6,3] [3,6], અને હાયપરબોલિક જૂથ [8,3] [4,8]. વિષમ-ક્રમની અડીને આવેલી શાખા, પી, જૂથ ક્રમને ઓછો નહીં કરે, પરંતુ ઓવરલેપિંગ મૂળભૂત ડોમેન્સ બનાવશે. જૂથ ક્રમ એ જ રહે છે, જ્યારે ઘનતા વધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત પોલિહેડ્રા આઇકોસાહેડ્રોનની આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા, [5,3], [5/2,5] બની જાય છે, જે 2 નિયમિત સ્ટાર પોલિહેડ્રાની સમપ્રમાણતા છે. તે હાયપરબોલિક ટિલિંગ્સ {p, 3}, અને સ્ટાર હાયપરબોલિક ટિલિંગ્સ {p/2, p} ને ક્રમ 4 માટે, [q, 2p, 3] = [2p, ((p, q, q))], = સાથે પણ સંબંધિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, [3,4,3] = [4,3,3], અથવા =, [3,4,3] માં જનરેટર [4,3,3] ટ્રાયોનિક પેટાજૂથ જનરેટર {0,1,2,32123} સાથે. હાયપરબોલિક જૂથો માટે, [3,6,3] = [6,3 [3], અને [4,4,3] = [4,4,4]. ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાના ટ્રાયોનિક પેટાજૂથો] જ્હોન્સને [3,3] ના બે ચોક્કસ ટ્રાયોનિક પેટાજૂથોને ઓળખી કાઢ્યા, પ્રથમ અનુક્રમણિકા 3 પેટાજૂથો [3,3] [2 +, 4], [3,3] (= =) જનરેટર {0,1,2} સાથે. તેને તેના જનરેટર {02,1} ની યાદ અપાવવા માટે [(3,3,2)] () તરીકે પણ લખી શકાય છે. આ સમપ્રમાણતામાં ઘટાડો એ નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન અને ટેટ્રાગોનલ ડિસ્પેનોઇડ વચ્ચેનો સંબંધ છે, જે બે વિરુદ્ધ ધાર પર લંબ ટેટ્રાહેડ્રોનના ખેંચાણને રજૂ કરે છે. બીજું તે સંબંધિત અનુક્રમણિકા 6 પેટાજૂથ [3,3] Δ અથવા [(3,3,2)] + (), અનુક્રમણિકા 3 ને [3,3] + [2,2] + માંથી, જનરેટર {02,1021} સાથે, [3,3] માંથી અને તેના જનરેટર {0,1,2} થી ઓળખે છે. આ પેટાજૂથો મોટા કોક્સેટર જૂથોમાં પણ લાગુ પડે છે, જેમાં [3,3] પેટાજૂથો સાથે પડોશી શાખાઓ બધા સમાન ક્રમમાં હોય છે.] ઉદાહરણ તરીકે, [(3,3) +, 4], [(3,3)], 4], અને [(3,3), 4] અનુક્રમે [3,3,4], અનુક્રમણિકા 2,3 અને 6 ના પેટા જૂથો છે. [(3,3), 4], [8,2 +, 8], ક્રમ 128 ના જનરેટર, [3,3,4] જનરેટર {0,1,2,3} માંથી {02,1,3} છે. અને [(3,3) α, 4] α, ક્રમ 64, જનરેટર {02,1021,3} ધરાવે છે. તેમજ, [3], 4,3] [(3,3), 4]. આ ઉપરાંત સંબંધિત [31,1,1] = [3,3,4,1 +] ત્રિકોણીય પેટાજૂથો ધરાવે છેઃ [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +], ક્રમ 64, અને 1 = [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +] ′ [[4,2 +, 4]] +, ક્રમ 32. કેન્દ્રીય વ્યુત્ક્રમ એ કેન્દ્રીય વ્યુત્ક્રમ, ક્રમ 2, પરિમાણ દ્વારા કાર્યરત રીતે અલગ છે. જૂથ [] n = [2n−1] એ n-પરિમાણીય અવકાશમાં n ઓર્થોગોનલ અરીસાઓ અથવા ઉચ્ચ પરિમાણીય અવકાશના n-ફ્લેટ સબસ્પેસને રજૂ કરે છે. જૂથના અરીસાઓ [2n−1] ક્રમાંકિત છે. વ્યુત્ક્રમના કિસ્સામાં અરીસાઓનો ક્રમ વાંધો નથી. કેન્દ્રીય વ્યુત્ક્રમનો મેટ્રિક્સ છે, વિકર્ણ પર નકારાત્મક સાથે ઓળખ મેટ્રિક્સ. તે આધાર પરથી, કેન્દ્રીય વ્યુત્ક્રમમાં તમામ ઓર્થોગોનલ અરીસાઓના ઉત્પાદન તરીકે જનરેટર હોય છે. કોક્સેટર સંકેતલિપીમાં આ વ્યુત્ક્રમ જૂથ દરેક 2 શાખાઓમાં વૈકલ્પિક + ઉમેરીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક સમપ્રમાણતા કોક્સેટર આકૃતિ ગાંઠો પર ખુલ્લા ગાંઠો તરીકે ચિહ્નિત થયેલ છે. પ્રતિબિંબ જનરેટરની સાંકળ દર્શાવવા માટે અરીસાઓ, ઓપન-નોડ્સ અને વહેંચાયેલ ડબલ-ઓપન નોડ્સના રેખીય ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરતી સ્પષ્ટ 2 શાખાઓ સાથે કોક્સેટર-ડાઇન્કિન આકૃતિને ચિહ્નિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, [2 +, 2] અને [2,2 +] એ [2,2] ના પેટા જૂથો અનુક્રમણિકા 2 છે, અને અનુક્રમે જનરેટર {01,2} અને {0,12} સાથે (અથવા) અને (અથવા) તરીકે રજૂ થાય છે. તેમનો સામાન્ય પેટાજૂથ અનુક્રમણિકા 4 એ [2 +, 2 +] છે, અને તે (અથવા) દ્વારા રજૂ થાય છે, જેમાં બે વિકલ્પોમાં વહેંચાયેલ નોડને ડબલ-ઓપન ચિહ્નિત કરે છે, અને એક જ રોટોરેફ્લેક્શન જનરેટર {012} છે. પરિભ્રમણ અને ઘૂર્ણન પ્રતિબિંબો ઘૂર્ણન અને ઘૂર્ણન પ્રતિબિંબો પ્રિઝમેટિક જૂથના તમામ પ્રતિબિંબોના એક સિંગલ-જનરેટર પ્રોડક્ટ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે, [2p] × [2q] ×. જ્યાં gcd (p, q,.) = 1, તેઓ n = 2pq ક્રમના અમૂર્ત ચક્રીય જૂથ Zn માટે આઇસોમોર્ફિક છે. 4-પરિમાણીય બેવડા પરિભ્રમણ, [2p +, 2 +, 2q +] (gcd (p, q) = 1 સાથે), જેમાં કેન્દ્રિય જૂથનો સમાવેશ થાય છે, અને કોનવે દ્વારા ± [Cp × Cq], ક્રમ 2pq તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. કોક્સેટર આકૃતિમાંથી, જનરેટર {0,1,2,3} માટે, {0123,0132} તરીકે, [2p +, 2 +, 2q +] માટે બે જનરેટરની જરૂર પડે છે. અર્ધ જૂથો, [2p +, 2 +, 2q +] +, અથવા ચક્રીય આલેખ, [(2p +, 2 +, 2q +, 2 +)], કોનવે દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તે [Cp × Cq] છે, ક્રમ pq, એક જનરેટર સાથે, જેમ કે {0123}. જો ત્યાં એક સામાન્ય પરિબળ f હોય, તો બેવડા પરિભ્રમણને [2pf +, 2 +, 2qf +] (gcd (p, q) = 1 સાથે), જનરેટર {0123,0132}, ક્રમ 2pqf તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, p = q = 1, f = 2, [4 +, 2 +, 4 +] એ ક્રમ 4 છે. અને [2pf +, 2 +, 2qf +] +, જનરેટર {0123}, ક્રમ pqf છે. ઉદાહરણ તરીકે, [4 +, 2 +, 4 +] + એ ક્રમ 2 છે, જે કેન્દ્રિય વ્યુત્ક્રમ છે. સામાન્ય રીતે એન-પરિભ્રમણ જૂથ, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] ને તમામ અરીસાઓના ગુણાકાર તરીકે અને પછી ક્રમિક જોડીઓની અદલાબદલી કરવા માટે જો gcd (p1,., pn)> 1 હોય તો n જનરેટરની જરૂર પડી શકે છે. અર્ધ જૂથ, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] + માં જનરેટરનો વર્ગ છે. એન-રોટરી પ્રતિબિંબ સમાન છે. કોમ્યુટેટર પેટાજૂથો માત્ર વિષમ-ક્રમ શાખા તત્વો ધરાવતા સરળ જૂથોમાં ક્રમ 2નું માત્ર એક જ પરિભ્રમણ/અનુવાદાત્મક પેટાજૂથો હોય છે, જે કોમ્યુટેટર પેટાજૂથો પણ છે, ઉદાહરણ તરીકે [3,3] +, [3,5] +, [3,3,3] +, [3,3,5] +. સમ-ક્રમની શાખાઓ ધરાવતા અન્ય કોક્સેટર જૂથો માટે, કોમ્યુટેટર પેટાજૂથમાં અનુક્રમણિકા 2c હોય છે, જ્યાં c એ ડિસ્કનેક્ટ થયેલા સબગ્રાફ્સની સંખ્યા છે જ્યારે તમામ સમ-ક્રમની શાખાઓ દૂર કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે 4s દૂર કરવામાં આવે ત્યારે કોક્સેટર આકૃતિમાં [4,4] પાસે ત્રણ સ્વતંત્ર નોડ્સ હોય છે, તેથી તેનું કોમ્યુટેટર પેટાજૂથ અનુક્રમણિકા 23 છે, અને ત્રણ + ઓપરેટરો સાથે વિવિધ રજૂઆતો હોઈ શકે છેઃ [4 +, 4 +] +, [1 +, 4,1 +, 4,1 +], [1 +, 4,4,1 +] +, અથવા [(4 +, 4 +, 2 +)]. સામાન્ય સંકેતનો ઉપયોગ + c સાથે જૂથ ઘાતાંક તરીકે થઈ શકે છે, જેમ કે [4,4] + 3. ઉદાહરણ પેટા જૂથો ક્રમ 2 ઉદાહરણ પેટા જૂથો સમ-ક્રમવાળા ડાયહેડ્રલ સમપ્રમાણતા જૂથોમાં સંખ્યાબંધ પેટા જૂથો હોય છે. આ ઉદાહરણ લાલ અને લીલા રંગમાં [4] ના બે જનરેટર અરીસાઓ દર્શાવે છે, અને તમામ પેટાજૂથોને અડધા, ક્રમ-ઘટાડો અને તેમના સીધા પેટાજૂથો દ્વારા જુએ છે. આ જૂથ [4], બે મિરર જનરેટર 0 અને 1 ધરાવે છે. દરેક અન્ય તરફ પ્રતિબિંબ દ્વારા બે વર્ચ્યુઅલ અરીસાઓ 101 અને 010 ઉત્પન્ન કરે છે. ક્રમ 3 યુક્લિડિયન ઉદાહરણ પેટા જૂથો [4,4] જૂથમાં 15 નાના અનુક્રમણિકા પેટા જૂથો છે. આ કોષ્ટક તે બધાને બતાવે છે, જેમાં શુદ્ધ પ્રતિબિંબીત જૂથો માટે પીળા મૂળભૂત ડોમેન છે, અને વૈકલ્પિક સફેદ અને વાદળી ડોમેન્સ છે જે રોટેશનલ ડોમેન્સ બનાવવા માટે જોડી બનાવવામાં આવે છે. સાયન, લાલ અને લીલી અરીસાની રેખાઓ કોક્સેટર આકૃતિમાં સમાન રંગીન ગાંઠોને અનુરૂપ છે. પેટાજૂથ જનરેટરને કોક્સેટર રેખાકૃતિના 3 ગાંઠોને અનુરૂપ મૂળભૂત ડોમેન, {0,1,2} ના મૂળ 3 અરીસાઓના ઉત્પાદનો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. બે આંતરછેદ કરતી પ્રતિબિંબ રેખાઓનું ગુણાકાર પરિભ્રમણ કરે છે, જેમ કે {012}, {12}, અથવા {02}. અરીસાને દૂર કરવાથી દૂર કરેલા અરીસાની આજુબાજુના અરીસાઓની બે નકલો બને છે, જેમ કે {010}, અને {212}. શ્રેણીમાં બે પરિભ્રમણ પરિભ્રમણ ક્રમને અડધા ભાગમાં કાપી નાખે છે, જેમ કે {0101} અથવા {(01) 2}, {1212} અથવા {(02) 2}. ત્રણેય અરીસાઓનું ગુણાકાર {012} અથવા {120} જેવું પ્રતિબિંબ બનાવે છે. હાયપરબોલિક ઉદાહરણ પેટાજૂથો બધા ત્રિકોણ જૂથો પર સમાન ક્રમના ઘટકો સાથે 15 નાના પેટાજૂથો સમાન સમૂહ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમ કે હાયપરબોલિક સમતલમાં [6,4]: પેરાબોલિક પેટાજૂથો કોક્સેટર જૂથના પેરાબોલિક પેટાજૂથોને કોક્સેટર આકૃતિ સાથે રજૂ કરેલા એક અથવા વધુ જનરેટર અરીસાઓને દૂર કરીને ઓળખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે ઓક્ટાહેડ્રલ જૂથમાં પેરાબોલિક પેટાજૂથો છે,,,,,. કૌંસ સંકેતલિપીમાં [4,3] પેરાબોલિક પેટાજૂથો [4], [2], [3] અને એક જ અરીસો [] ધરાવે છે. પેટાજૂથનો ક્રમ જાણીતો છે, અને હંમેશા પૂર્ણાંક વિભાજક જૂથ ક્રમ અથવા અનુક્રમણિકા હોય છે. પેરાબોલિક પેટાજૂથોને x ગાંઠો સાથે પણ લખી શકાય છે, જેમ કે = [4,3] બીજા અરીસાને દૂર કરીને પેટાજૂથઃ અથવા = = [4,1 ×, 3] = [2]. પેટ્રી પેટાજૂથ ઈરીડ્યુસિબલ કોક્સિટર ગ્રૂપનું પેટ્રી પેટાજૂથ તમામ જનરેટરના ઉત્પાદન દ્વારા બનાવી શકાય છે. તે નિયમિત પોલીટોપનાં ત્રાંસા નિયમિત પેટ્રી બહુકોણમાં જોઈ શકાય છે. નવા જૂથના ક્રમને મૂળ કોક્સેટર જૂથનો કોક્સેટર નંબર કહેવામાં આવે છે. કોક્સેટર જૂથની કોક્સેટર સંખ્યા 2m/n છે, જ્યાં n એ ક્રમ છે, અને m એ પ્રતિબિંબની સંખ્યા છે. પેટ્રી પેટાજૂથ સુપરસ્ક્રિપ્ટ સાથે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, [3,3] એ ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથનું પેટ્રી પેટાજૂથ છે, ચક્રીય જૂથ ક્રમ 4, જે પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છે. ક્રમ 4 કોક્સેટર જૂથમાં ડબલ રોટેશન જનરેટર હશે, જેમ કે [4,3,3] ક્રમ 8 છે. વિસ્તૃત સમપ્રમાણતા કોક્સેટરના સંકેતલિપીમાં ડબલ સ્ક્વેર કૌંસ સંકેતલિપીનો સમાવેશ થાય છે, જે કોક્સેટર આકૃતિમાં ઓટોમોર્ફિક સમપ્રમાણતાને વ્યક્ત કરે છે. જ્હોન્સને એન્ગલ-બ્રેકેટ <[X]> દ્વારા વૈકલ્પિક ડબલિંગ ઉમેર્યું. જ્હોન્સને ઉપસર્ગ સમપ્રમાણતા સંશોધક [Y [X]] પણ ઉમેર્યું હતું, જ્યાં Y ક્યાં તો [X] ના કોક્સેટર આકૃતિ અથવા [X] ના મૂળભૂત ક્ષેત્રની સમપ્રમાણતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3D માં આ સમકક્ષ લંબચોરસ અને સમસ્થાનિક ભૂમિતિ આકૃતિઓઃ અને, પ્રથમ ચોરસ કૌંસ સાથે બમણી થાય છે, અથવા બે વાર [2 [3 [4]] તરીકે બમણી થાય છે, [2] સાથે, ક્રમ 4 ઉચ્ચ સમપ્રમાણતા. બીજાને અલગ પાડવા માટે, કોણીય કૌંસનો ઉપયોગ બમણા કરવા માટે થાય છે, <[3 [4]]> અને બે વાર <2 [3 [4]]> તરીકે બમણા થાય છે, એક અલગ [2], ક્રમ 4 સમપ્રમાણતા સાથે પણ. છેવટે સંપૂર્ણ સમપ્રમાણતા જ્યાં તમામ 4 ગાંઠો સમકક્ષ હોય તેને [4 [3 [4]] દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, ક્રમ 8, [4] વર્ગની સમપ્રમાણતા સાથે. પરંતુ ટેટ્રાગોનલ ડિસ્પેનોઇડ મૂળભૂત ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લઈને ચોરસ આલેખની [4] વિસ્તૃત સમપ્રમાણતાને વધુ સ્પષ્ટ રીતે [(2 +, 4) [3 [4]] અથવા [2 +, 4 [3 [4]] તરીકે ચિહ્નિત કરી શકાય છે. વધુ સમપ્રમાણતા ચક્રીય અને શાખાઓ, અને આકૃતિઓમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તે નિયમિત n-ગોનની ક્રમ 2n સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, {n}, અને [n [3 [n]] દ્વારા રજૂ થાય છે. અને અનુક્રમે [3 [31,1,1] = [3,4,3] અને [3 [32,2,2]] દ્વારા રજૂ થાય છે જ્યારે [(3,3) [31,1,1,1] = [3,3,4,3] દ્વારા, નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનની 24 ક્રમની સમપ્રમાણતા ધરાવતી આકૃતિ સાથે, {3,3}. પેરાકોમ્પેક્ટ હાયપરબોલિક જૂથ = [31,1,1,1,1], 5-કોષની સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, {3,3,3}, અને આમ [(3,3,3) [31,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3] દ્વારા રજૂ થાય છે. ફૂદડી * સુપરસ્ક્રિપ્ટ અસરકારક રીતે એક ઊલટું ઓપરેશન છે, જે વિચિત્ર-આદેશિત અરીસાઓને દૂર કરીને આમૂલ પેટાજૂથોનું નિર્માણ કરે છે. ઉદાહરણોઃ જનરેટરને જોતાં, બેવડી સમપ્રમાણતાને એક નવા ઓપરેટરને ઉમેરવા તરીકે જોવામાં આવે છે જે કોક્સેટર આકૃતિમાં સમપ્રમાણ સ્થિતિનો નકશો બનાવે છે, જે કેટલાક મૂળ જનરેટરને બિનજરૂરી બનાવે છે. 3D અવકાશ જૂથો અને 4D બિંદુ જૂથો માટે, કોક્સેટર અનુક્રમણિકા બે પેટાજૂથને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેને તેઓ ડબલિંગ જનરેટર દ્વારા [X] ના મૂળ જનરેટરના ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ + જેવું જ દેખાય છે, જે તેનું કાયરલ પેટાજૂથ છે. તેથી ઉદાહરણ તરીકે 3D અવકાશ જૂથો + (I432,211) અને (Pmn, 223) એ (IMM, 229) ના અલગ પેટા જૂથો છે. એક પરિમાણમાં, દ્વિપક્ષી જૂથ [] એક અરીસાની સમપ્રમાણતા, અમૂર્ત દિહ1 અથવા ઝેડ2, સમપ્રમાણતા ક્રમ 2 રજૂ કરે છે. તેને એક જ નોડ સાથે કોક્સેટર-ડાયન્કિન આકૃતિ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. ઓળખ જૂથ એ સીધું પેટાજૂથ [] +, Z1, સમપ્રમાણતા ક્રમ 1 છે. + સુપરસ્ક્રિપ્ટ સરળ રીતે સૂચવે છે કે વૈકલ્પિક અરીસાના પ્રતિબિંબને અવગણવામાં આવે છે, આ સરળ કિસ્સામાં ઓળખ જૂથને છોડી દે છે. કોક્સેટરે એક વૈકલ્પિક પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે એક જ ખુલ્લા નોડનો ઉપયોગ કર્યો હતો. બે જૂથોને ક્રમ આપો બે પરિમાણોમાં, લંબચોરસ જૂથ [2], અમૂર્ત D22 અથવા D4, ને પણ સીધા ઉત્પાદન [] × [] તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે બે દ્વિપક્ષી જૂથોનું ઉત્પાદન હોવાથી, કોક્સેટર આકૃતિ સાથે, ક્રમ 4 સાથે બે ઓર્થોગોનલ અરીસાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. 2 માં [2] સ્પષ્ટ શાખા ક્રમ 2 ની જેમ કોક્સેટર આકૃતિમાં ઓર્થોગોનલ સબગ્રાફ્સના રેખીયકરણમાંથી આવે છે. લંબચોરસ જૂથ, [2] + (અથવા), લંબચોરસ જૂથનો અડધો ભાગ, બિંદુ પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા, Z2, ક્રમ 2. નીચલા ક્રમના જૂથો માટે 1 સ્થાન ધારકને મંજૂરી આપવા માટે કોક્સેટર નોટેશન, તેથી [1] એ [] જેવું જ છે, અને [1 +] અથવા [1] + એ [] + અને કોક્સેટર આકૃતિ જેવું જ છે. સંપૂર્ણ પી-ગોનલ જૂથ [પી], અમૂર્ત ડાયહેડ્રલ જૂથ ડી 2 પી, (પી> 2 માટે નોનબેલિયન), ક્રમ 2 પી, કોણ π/પી પર બે અરીસાઓ દ્વારા પેદા થાય છે, જે કોક્સેટર આકૃતિ દ્વારા રજૂ થાય છે. પી-ગોનલ પેટાજૂથ [પી] +, ચક્રીય જૂથ ઝેડપી, ક્રમ પી, π/p ના પરિભ્રમણ ખૂણા દ્વારા પેદા થાય છે. કોક્સેટર નોટેશન મૂળભૂત ડોમેનમાં દ્વિભાજિત અરીસાને ઉમેરીને સમપ્રમાણતાના ઓટોમોર્ફિક ડબલિંગને રજૂ કરવા માટે ડબલ-બ્રેકિંગનો ઉપયોગ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, [[p]] એ [p] માં દ્વિભાજિત અરીસો ઉમેરે છે, અને તે [2p] માટે સમરૂપ છે. મર્યાદામાં, એક પરિમાણ સુધી નીચે જતાં, સંપૂર્ણ એપિરોગોનલ જૂથ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે કોણ શૂન્ય પર જાય છે, તેથી [ini], અમૂર્ત રીતે અનંત ડાયહેડ્રલ જૂથ D ini, બે સમાંતર અરીસાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને કોક્સેટર આકૃતિ ધરાવે છે. એપિરોગોનલ જૂથ [≤] +, અમૂર્ત રીતે અનંત ચક્રીય જૂથ Z ≤, જે પૂર્ણાંકોના એડિટિવ જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, તે એક બિન-શૂન્ય અનુવાદ દ્વારા પેદા થાય છે. હાયપરબોલિક પ્લેનમાં, એક સંપૂર્ણ સ્યુડોગોનલ જૂથ [iπ/λ] અને સ્યુડોગોનલ પેટાજૂથ [iπ/λ] + હોય છે. આ જૂથો નિયમિત અનંત-બાજુવાળા બહુકોણમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેની ધાર લંબાઈ λ છે. આ બધા અરીસાઓ એક જ રેખાના ઓર્થોગોનલ છે. ક્રમ ત્રણ જૂથો 3 પરિમાણોમાં બિંદુ જૂથોને ક્રમ 3 કોક્સેટર જૂથો સાથે સંબંધિત કૌંસ સંકેતલિપીમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ ત્રણ પરિમાણોમાં, સંપૂર્ણ ઓર્થોરોમ્બિક જૂથ અથવા ઓર્થોરેક્ટેંગુલર [2,2], અમૂર્ત રીતે Z23, ક્રમ 8, ત્રણ ઓર્થોગોનલ અરીસાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, (કોક્સેટર આકૃતિ દ્વારા ત્રણ અલગ બિંદુઓ તરીકે પણ રજૂ થાય છે). તેને સીધા ઉત્પાદન [] × [] × [] તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે, પરંતુ [2,2] અભિવ્યક્તિ પેટા જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છેઃ પ્રથમ એક "અર્ધ-પરોક્ષ" પેટાજૂથ છે, ઓર્થોરોમ્બિક જૂથ, [2,2 +] (અથવા), અમૂર્ત રીતે Z2 × Z2, ક્રમ 4 નો. જ્યારે + સુપરસ્ક્રિપ્ટ કૌંસની અંદર આપવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે માત્ર નજીકના અરીસાઓમાંથી પેદા થયેલ પ્રતિબિંબ (કોક્સેટર આકૃતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત) વૈકલ્પિક છે. સામાન્ય રીતે, + નોડની બાજુના શાખા ઓર્ડર સરખા હોવા જોઈએ. આ કિસ્સામાં [2,2 +] અને [2 +, 2] બે આઇસોમોર્ફિક પેટાજૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ભૌમિતિક રીતે અલગ છે. અન્ય પેટા જૂથો પેરારોમ્બિક જૂથ [2,2] + (અથવા) છે, જે ક્રમ 4 પણ છે, અને અંતે ક્રમ 2નું કેન્દ્રીય જૂથ [2 +, 2 +] (અથવા) છે. આગળ સંપૂર્ણ ઓર્થો-પી-ગોનલ જૂથ છે, [2, પી] (), અમૂર્ત રીતે Z2 × D2p, ક્રમ 4p નો, જે ડાયહેડ્રલ ખૂણા π/p પર બે અરીસાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને બંને ત્રીજા અરીસા માટે ઓર્થોગોનલ છે. તે કોક્સેટર આકૃતિ દ્વારા પણ રજૂ થાય છે. સીધા પેટા જૂથને પેરા-પી-ગોનલ જૂથ કહેવામાં આવે છે, [2, પી] + (અથવા), અમૂર્ત રીતે ડી 2 પી, 2 પી ક્રમમાં, અને અન્ય પેટા જૂથ [2, પી +] () અમૂર્ત રીતે ઝેડ 2 × ઝેડ પી છે, જે પણ 2 પી ક્રમમાં છે. સંપૂર્ણ જાઇરો-પી-ગોનલ જૂથ, [2 +, 2p] (અથવા), અમૂર્ત રીતે D4p, 4p ક્રમમાં. જાઇરો-પી-ગોનલ જૂથ, [2 +, 2 પી +] (અથવા), અમૂર્ત રીતે 2 પી ક્રમના ઝેડ 2 પી, એ [2 +, 2 પી] અને [2,2 પી +] બંનેનું પેટા જૂથ છે. પોલિહેડ્રલ જૂથો પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોની સમપ્રમાણતા પર આધારિત છેઃ ટેટ્રાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, ક્યુબ, આઇકોસાહેડ્રોન અને ડોડેકાહેડ્રોન, જેમાં અનુક્રમે સ્ક્લાફલી પ્રતીકો {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, અને {5,3} છે. આ માટે કોક્સેટર જૂથો છેઃ [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () જેને પૂર્ણ ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા, ઓક્ટાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા અને 24,48 અને 120 ના ક્રમ સાથે આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા કહેવાય છે. આ તમામ સમપ્રમાણતામાં, 12,24 અને 60 ક્રમના પરિભ્રમણશીલ ટેટ્રાહેડ્રલ [3,3] + (), ઓક્ટાહેડ્રલ [3,4] + (), અને આઇકોસાહેડ્રલ [3,5] + () જૂથો ઉત્પન્ન કરીને વૈકલ્પિક પ્રતિબિંબને દૂર કરી શકાય છે. ઓક્ટાહેડ્રલ જૂથમાં રોટેશનલ અને રિફ્લેક્શનલ સિમેટ્રીના મિશ્રણ સાથે ક્રમ 12નું પાયરિટોહેડ્રલ સિમેટ્રી જૂથ, [3 +, 4] (અથવા) તરીકે ઓળખાતું એક અનોખું અનુક્રમણિકા 2 પેટાજૂથ પણ છે. પાયરિટોહેડ્રલ સમપ્રમાણતા એ આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાનું અનુક્રમણિકા 5 પેટાજૂથ પણ છેઃ-->, 0, {010}, અને 3-ગણો પરિભ્રમણ {12} માં વર્ચ્યુઅલ મિરર 1 સાથે. ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથ, [3,3] (), ડબલિંગ ધરાવે છે (જે રંગીન ગાંઠો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે), જે એકબીજા પર પ્રથમ અને છેલ્લા અરીસાઓનું મેપિંગ કરે છે, અને આ [3,4] (અથવા) જૂથ ઉત્પન્ન કરે છે. પેટા જૂથ [3,4,1 +] (અથવા) એ [3,3] જેવું જ છે, અને [3 +, 4,1 +] (અથવા) એ [3,3] + જેવું જ છે. યુક્લિડિયન સમતલમાં 3 અરીસાઓ દ્વારા પેદા થતા 3 મૂળભૂત પ્રતિબિંબીત જૂથો છે, જે કોક્સેટર આકૃતિઓ દ્વારા રજૂ થાય છે, અને, અને તેમને કોક્સેટર નોટેશન [4,4], [6,3], અને [(3,3,3)] તરીકે આપવામાં આવે છે. છેલ્લા જૂથના કૌંસ આકૃતિ ચક્રને સૂચવે છે, અને તેમાં લઘુલિપિ સંકેત પણ છે [3 [3]. [4,4] જૂથના બમણા થવાથી અરીસાઓના મૂળ સમૂહમાંથી π/4 ફેરવવામાં આવેલી સમાન સમપ્રમાણતા ઉત્પન્ન થાય છે. પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાના સીધા પેટા જૂથો છેઃ [4,4] +, [6,3] +, અને [(3,3,3)] +. [4 +, 4] અને [6,3 +] અર્ધ-પરોક્ષ પેટા જૂથો છે. કોક્સેટર નોટેશન (ઓર્બિફોલ્ડ નોટેશન) માં આપવામાં આવેલ, કેટલાક નીચા અનુક્રમણિકા એફાઇન પેટાજૂથો છેઃ ક્રમ ચાર જૂથો બિંદુ જૂથો ક્રમ ચાર જૂથો 4-પરિમાણીય બિંદુ જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ પેટાજૂથો અવકાશ જૂથો રેખા જૂથો ક્રમ ચાર જૂથો પણ 3-પરિમાણીય રેખા જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ દ્વિમિતીય જૂથ ક્રમ ચાર જૂથો 4-પરિમાણીય દ્વિમિતીય જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જેમ જેમ p અને q અનંત સુધી જાય છે, તેઓ 2 પરિમાણો અને વોલપેપર જૂથોમાં અધોગતિ પામે છે. વોલપેપર જૂથો ક્રમ ચાર જૂથોએ કેટલાક દ્વિ-પરિમાણીય વોલપેપર જૂથોને પણ વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે, જેમ કે ચાર-પરિમાણીય દ્વિધ્રુવીય જૂથોના મર્યાદિત કિસ્સાઓઃ [φ, 2, φ], (* 2222) ના પેટાજૂથોને તેના અનુક્રમણિકા 16 કોમ્યુટેટર પેટાજૂથમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જટિલ પ્રતિબિંબ કોક્સેટર નોટેશનને જટિલ જગ્યા, સીએન સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે જ્યાં ગાંઠો 2 અથવા તેથી વધુ સમયગાળાના એકાત્મક પ્રતિબિંબ છે. નોડ્સને અનુક્રમણિકા દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે, જો દબાવવામાં આવે તો સામાન્ય વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે 2 હોવાનું માનવામાં આવે છે. જટિલ પ્રતિબિંબ જૂથોને કોક્સેટર જૂથોને બદલે શેફર્ડ જૂથો કહેવામાં આવે છે, અને તેનો ઉપયોગ જટિલ પોલીટોપ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. તેમાં, ક્રમ 1 શેફર્ડ જૂથ, ક્રમ p, ને p [], [] p અથવા] p [તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. તેમાં એક જ જનરેટર છે, જે કોમ્પ્લેક્સ પ્લેનમાં 2π/p રેડિયન પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છેઃ કોક્સેટર ક્રમ 2 જટિલ જૂથ લખે છે, p [q] r કોક્સેટર આકૃતિ રજૂ કરે છે. p અને r ને ત્યારે જ દબાવવું જોઈએ જ્યારે બંને 2 હોય, જે વાસ્તવિક કેસ [q] છે. ક્રમ 2 જૂથ p [q] r નો ક્રમ છે. શ્રેણી 2 ના ઉકેલો કે જે જટિલ બહુકોણ ઉત્પન્ન કરે છે તે છેઃ p [4] 2 (p એ 2,3,4 છે,.), 3 [3] 3 [6] 2,3 [4] 3,4 [3] 4,3 [8] 2,4 [6] 2,4 [4] 3,3 [5] 3,5 [3] 5,3 [10] 2,5 [6] 2, અને 5 [4] 3 કોક્સેટર આકૃતિઓ સાથે,,,,,,,,,,,,,,. અનંત જૂથો 3 [12] 2,4 [8] 2,6 [6] 2,3 [6] 3,6 [4] 3,4 [4] 4, અને 6 [3] 6 અથવા,,,,,, છે. અનુક્રમણિકા 2 પેટા જૂથો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબને દૂર કરીને અસ્તિત્વ ધરાવે છેઃ p [2q] 2 → p [q] p. 4 શાખાઓ માટે અનુક્રમણિકા r પેટા જૂથો પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છેઃ p [4] r → p [r] p. અનંત કુટુંબ p [4] 2 માટે, કોઈપણ p = 2,3,4, માટે, બે પેટા જૂથો છેઃ p [4] 2 → [p], અનુક્રમણિકા p, જ્યારે અને p [4] 2 → p [] × p [], અનુક્રમણિકા 2. સમપ્રમાણતા જનરેટર તરીકે પ્રતિબિંબ મેટ્રિક્સ સાથેની ગણતરી એ કોક્સેટર જૂથ, જે કોક્સેટર આકૃતિ દ્વારા રજૂ થાય છે, તેને શાખા ક્રમ માટે કોક્સેટર નોટેશન [પી, ક્યૂ] આપવામાં આવે છે. કોક્સેટર આકૃતિમાં દરેક નોડ અરીસાને રજૂ કરે છે, જે પરંપરા દ્વારા ρi (અને મેટ્રિક્સ Ri) કહેવાય છે. આ જૂથના જનરેટર [p, q] પ્રતિબિંબ છેઃ ρ0, ρ1, અને ρ2. પરિભ્રમણ સબસિમેટ્રીને પ્રતિબિંબના ગુણાકાર તરીકે આપવામાં આવે છેઃ પરંપરા અનુસાર, σ0,1 (અને મેટ્રિક્સ S0,1) = ρ0ρ1 એ કોણ π/p નું પરિભ્રમણ રજૂ કરે છે, અને σ1,2 = ρ1ρ2 એ કોણ π/q નું પરિભ્રમણ છે, અને σ0,2 = ρ0ρ2 એ કોણ π/2 નું પરિભ્રમણ રજૂ કરે છે. [p, q] +, એ અનુક્રમણિકા 2 પેટાજૂથ છે જે બે પરિભ્રમણ જનરેટર દ્વારા રજૂ થાય છે, દરેક બે પ્રતિબિંબના ઉત્પાદનો છેઃ σ0,1, σ1,2, અને અનુક્રમે π/p, અને π/q ખૂણાઓના પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. એક સમ શાખા સાથે, [p +, 2q], અથવા, અનુક્રમણિકા 2 નું બીજું પેટાજૂથ છે, જે પરિભ્રમણ જનરેટર σ0,1 અને પરાવર્તન ρ2 દ્વારા રજૂ થાય છે. સમ શાખાઓ સાથે, [2p +, 2q +], એ બે જનરેટર સાથેનું અનુક્રમણિકા 4નું પેટા જૂથ છે, જે ત્રણેય પ્રતિબિંબ મેટ્રિસીસના ઉત્પાદન તરીકે બાંધવામાં આવ્યું છેઃ પરંપરા મુજબઃ si 0,1,2 અને si 1,2,0, જે રોટરી પ્રતિબિંબ છે, જે પ્રતિબિંબ અને પરિભ્રમણ અથવા પ્રતિબિંબને રજૂ કરે છે. એફાઇન કોક્સેટર જૂથોના કિસ્સામાં, અથવા, એક અરીસો, સામાન્ય રીતે છેલ્લો, મૂળમાંથી અનુવાદિત થાય છે. ટ્રાન્સલેશન જનરેટર τ0,1 (અને મેટ્રિક્સ T0,1) એ એફાઇન રિફ્લેક્શન સહિત બે (અથવા સમ સંખ્યામાં) રિફ્લેક્શનના ગુણાકાર તરીકે બનાવવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ (પ્રતિબિંબ વત્તા અનુવાદ) એ અનુક્રમણિકા 4 પેટા જૂથની જેમ વિષમ સંખ્યામાં પ્રતિબિંબો φ 0,1,2 (અને મેટ્રિક્સ V 0,1,2) નું ગુણાકાર હોઈ શકે છેઃ [4 +, 4 +] =. અન્ય સંયુક્ત જનરેટર, પરંપરા દ્વારા ζ (અને મેટ્રિક્સ Z) તરીકે, વ્યુત્ક્રમને રજૂ કરે છે, જે તેના વ્યુત્ક્રમ પર એક બિંદુને મેપિંગ કરે છે. [4,3] અને [5,3] માટે, ζ = (ρ0ρ1ρ2) h/2, જ્યાં h અનુક્રમે 6 અને 10 છે, તે દરેક પરિવાર માટે કોક્સેટર સંખ્યા છે. 3D કોક્સેટર જૂથ [p, q] () માટે, આ પેટાજૂથ રોટરી રિફ્લેક્શન [2 +, h +] છે. કોક્સેટર જૂથોને તેમના ક્રમ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે તેના કોક્સેટર-ડાયકિન આકૃતિમાં ગાંઠોની સંખ્યા છે. જૂથોનું માળખું તેમના અમૂર્ત જૂથ પ્રકારો સાથે પણ આપવામાં આવ્યું છેઃ આ લેખમાં, અમૂર્ત ડાયહેડ્રલ જૂથોને ડિહ્ન તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, અને ચક્રીય જૂથોને Zn દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, જેમાં ડિહ1 = Z2 છે. ક્રમ 2 ઉદાહરણ તરીકે, 2D માં, કોક્સેટર જૂથ [p] () ને બે પ્રતિબિંબ મેટ્રિક્સ R0 અને R1 દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, ચક્રીય સમપ્રમાણતા [p] + () ને મેટ્રિક્સ S0,1 ના પરિભ્રમણ જનરેટર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. ક્રમ 3 મર્યાદિત ક્રમ 3 કોક્સેટર જૂથો છે [1, પી], [2, પી], [3,3], [3,4], અને [3,5]. સમતલ દ્વારા બિંદુને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે (જે મૂળમાંથી પસાર થાય છે), કોઈ ઉપયોગ કરી શકે છે, જ્યાં 3 × 3 ઓળખ મેટ્રિક્સ છે અને સમતલના વેક્ટર નોર્મલ માટે ત્રિ-પરિમાણીય એકમ વેક્ટર છે. જો L2 નોર્મ અને એકતા હોય, તો પરિવર્તન મેટ્રિક્સને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ [p, 2] ઘટાડી શકાય તેવું 3-પરિમાણીય મર્યાદિત પ્રતિબિંબીત જૂથ ડાયહેડ્રલ સમપ્રમાણતા છે, [p, 2], ક્રમ 4p,. પ્રતિબિંબ જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2 છે. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ઓળખ. [p, 2] + () એ 3માંથી 2 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1, S1,2, અને S0,2. એક ક્રમ p પરિભ્રમણ V 0,1,2 દ્વારા પેદા થાય છે, જે તમામ 3 પ્રતિબિંબનો ગુણાકાર છે. [3] સૌથી સરળ ઈરીડ્યુસિબલ 3-પરિમાણીય મર્યાદિત પ્રતિબિંબીત જૂથ ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા છે, [3,3], ક્રમ 24,. D3 = A3 રચનામાંથી પ્રતિબિંબ જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2 છે. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ઓળખ. [3,3] + () એ 3માંથી 2 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1, S1,2, અને S0,2. ત્રિકોણીય પેટાજૂથ, જે [2 +, 4], ક્રમ 8 માટે સમરૂપ છે, તે S0,2 અને R1 દ્વારા પેદા થાય છે. એક ક્રમ 4 પરિભ્રમણ V 0,1,2 દ્વારા પેદા થાય છે, જે તમામ 3 પ્રતિબિંબનો ગુણાકાર છે. [4,3] અન્ય ઈરીડ્યુસિબલ 3-પરિમાણીય મર્યાદિત પ્રતિબિંબીત જૂથ ઓક્ટાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા છે, [4,3], ક્રમ 48,. રિફ્લેક્શન જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2 છે. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ઓળખ. ચિરલ ઓક્ટાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા, [4,3] +, () એ 3માંથી 2 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1, S1,2, અને S0,2. પાયરિટોહેડ્રલ સમપ્રમાણતા [4,3 +], () પ્રતિબિંબ R0 અને પરિભ્રમણ S1,2 દ્વારા પેદા થાય છે. 6 ગણો પરિભ્રમણ V 0,1,2 દ્વારા પેદા થાય છે, જે તમામ 3 પ્રતિબિંબનો ગુણાકાર છે. [5,3] એક અંતિમ ઈરીડ્યુસિબલ 3-પરિમાણીય મર્યાદિત પ્રતિબિંબીત જૂથ આઈકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા છે, [5,3], ક્રમ 120,. રિફ્લેક્શન જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2 છે. R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = ઓળખ. [5,3] + () 3માંથી 2 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1, S1,2, અને S0,2. 10 ગણો પરિભ્રમણ V 0,1,2 દ્વારા પેદા થાય છે, જે તમામ 3 પ્રતિબિંબનોનું ગુણાકાર છે. ક્રમ 4 4 પરિમાણોમાં 4 ઈરીડ્યુસિબલ કોક્સેટર જૂથો છેઃ [3,3,3], [4,3,3], [31,1,1], [3,4,4], [5,3,3], તેમજ ડ્યુપ્રિઝમેટિક જૂથો [p, 2, q] નો અનંત પરિવાર. [p, 2, q] દ્વૈતવાદી જૂથ, [p, 2, q] નો ક્રમ 4pq છે. [[પી, 2, પી]] દ્વિપ્રિસમેટિક જૂથ ક્રમમાં બમણો થઈ શકે છે, 8 પી 2, બે વિમાનો વચ્ચે 2 ગણો પરિભ્રમણ સાથે. [3,3,3] હાયપરટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા, [3,3,3], ક્રમ 120,5-પરિમાણોમાં 4 અરીસાઓ સાથે રજૂ કરવા માટે સૌથી સરળ છે, [4,3,3,3] ના પેટાજૂથ તરીકે. [[3,3,3] વિસ્તૃત જૂથ [[3,3,3]], ક્રમ 240,2-ગણો પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ T દ્વારા બમણો થાય છે, અહીં સંકલન ક્રમ અને નિશાનીને ઉલટાવી શકાય છેઃ ત્યાં 3 જનરેટર {T, R0, R1} છે. કારણ કે T સ્વ-પારસ્પરિક R3 = TR0T છે, અને R2 = TR1T છે. [4,3,3] એક ઈરીડ્યુસિબલ 4-પરિમાણીય મર્યાદિત પ્રતિબિંબીત જૂથ હાયપરઓક્ટેહેડ્રલ જૂથ (અથવા હેક્સાડેકાકોરિક જૂથ (16-કોષ માટે), B4 = [4,3,3], ક્રમ 384, છે. રિફ્લેક્શન જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2, R3 છે. R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = ઓળખ. ચિરલ હાયપરઓક્ટેહેડ્રલ સમપ્રમાણતા, [4,3,3] +, () 6માંથી 3 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, અને S0,3. હાયપરપાયરીટોહેડ્રલ સમપ્રમાણતા [4, (3,3) +], () પ્રતિબિંબ R0 અને પરિભ્રમણ S1,2 અને S2,3 દ્વારા પેદા થાય છે. 8 ગણો બેવડું પરિભ્રમણ W 0,1,2,3 દ્વારા પેદા થાય છે, જે તમામ 4 પ્રતિબિંબનો ગુણાકાર છે. [4,3,3] નું અડધું જૂથ [3,31,1], ક્રમ 192 છે. તે [4,3,3] જૂથ સાથે 3 જનરેટર વહેંચે છે, પરંતુ તેમાં નજીકના જનરેટરની બે નકલો હોય છે, જેમાંથી એક દૂર કરેલા અરીસામાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. [3,4,3] એક ઈરીડ્યુસિબલ 4-પરિમાણીય મર્યાદિત પ્રતિબિંબીત જૂથ આઇકોસિટેટ્રાકોરિક જૂથ (24-કોષ માટે), F4 = [3,4,3], ક્રમ 1152, છે. રિફ્લેક્શન જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2, R3 છે. R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 4 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = ઓળખ. ચિરલ આઇકોસિટેટ્રાકોરિક સમપ્રમાણતા, [3,4,3] +, () 6માંથી 3 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, અને S0,3. આયનીય ઘટેલું [3,4,3 +] જૂથ, () પ્રતિબિંબ R0 અને પરિભ્રમણ S1,2 અને S2,3 દ્વારા પેદા થાય છે. 12 ગણો બેવડો પરિભ્રમણ W 0,1,2,3 દ્વારા પેદા થાય છે, જે તમામ 4 પ્રતિબિંબનો ગુણાકાર છે. [[3,4,3] જૂથ [[3,4,3]] 2 ગણા પરિભ્રમણ દ્વારા [3,4,3] વિસ્તરે છે, T, બમણા ક્રમમાં 2304 સુધી. [5,3,3] હાયપર-આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા, [5,3,3], ક્રમ 14400,. રિફ્લેક્શન જનરેટર મેટ્રિક્સ R0, R1, R2, R3 છે. R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R0 × R3) 2 = (R1 × R3) 2 = ઓળખ. [5,3,3] + () 3 પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થાય છેઃ S0,1 = R0 × R1, S1,2 = R1 × R2, S2,3 = R2 × R3, વગેરે. ક્રમ 8 [34,2,1] E8 કોક્સેટર જૂથ, [34,2,1], 8 મિરર નોડ્સ ધરાવે છે, ક્રમ 696729,600 (192x10!). E7 અને E6, [33,2,1], અને [32,2,1], અનુક્રમે પ્રથમ અરીસા અથવા પ્રથમ બે અરીસાઓને અવગણીને બનાવી શકાય છે. એફાઇન ક્રમ 2 એફાઇન મેટ્રિક્સને વધારાની પંક્તિ અને સ્તંભ ઉમેરીને રજૂ કરવામાં આવે છે, છેલ્લી પંક્તિ છેલ્લી એન્ટ્રી 1 સિવાય શૂન્ય છે. છેલ્લો સ્તંભ અનુવાદ વાહકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. [ini] એફાઇન જૂથ [ini], બે પ્રતિબિંબ મેટ્રિસીસ, x = 0 અને x = 1 દ્વારા આપી શકાય છે. એફાઇન ક્રમ 3 [4,4] એફાઇન જૂથ [4,4],, (p4m), ત્રણ પ્રતિબિંબ મેટ્રિક્સ દ્વારા આપી શકાય છે, x અક્ષ પર પ્રતિબિંબ (y = 0), એક કર્ણ (x = y), અને રેખા પર પ્રતિબિંબ (x = 1). [4,4] + () (p4) S0,1 S1,2, અને S0,2 દ્વારા પેદા થાય છે. [4 +, 4 +] () (પી. જી. જી.) 2-ગણા પરિભ્રમણ S0,2 અને ગ્લાઇડ પ્રતિબિંબ (રૂપાંતર) V 0,1,2 દ્વારા પેદા થાય છે. [4 +, 4] () (p4g) S0,1 અને R3 દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. જૂથ [(4,4,2 +)] () (cmm), બે ગણા પરિભ્રમણ S1,3 અને પ્રતિબિંબ R2 દ્વારા પેદા થાય છે. [3,6] એફાઇન જૂથ [3,6], (p6m), ત્રણ પ્રતિબિંબ મેટ્રિસીસ દ્વારા આપી શકાય છે, x અક્ષ (y = 0), રેખા y = (√3/2) x, અને ઊભી રેખા x = 1 પર પ્રતિબિંબ. [3 [3] એફાઇન જૂથ [3 [3]] ને અડધા જૂથ તરીકે બનાવી શકાય છે. R2 ને R '2 = R2 × R1 × R2 દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે હાયપરપ્લેન દ્વારા રજૂ થાય છેઃ y + (σ3/2) x = 2. મૂળભૂત ક્ષેત્ર એક સમબાહુ ત્રિકોણ છે જેની ધાર લંબાઈ 2 છે. એફાઇન ક્રમ 4 [4,3,4] એફાઇન જૂથ [4,3,4] () છે, જે ચાર પ્રતિબિંબ મેટ્રિસીસ દ્વારા આપી શકાય છે. મિરર R0 ને z = 0 સમતલ પર મૂકી શકાય છે. મિરર R1 ને સમતલ y = z પર મૂકી શકાય છે. મિરર R2 ને x = y સમતલ પર મૂકી શકાય છે. મિરર R3 ને x = 1 સમતલ પર મૂકી શકાય છે. [4,3,4] + () એ S0,1, S1,2, અને S2,3 દ્વારા પેદા થાય છે. [[4,3,4]] વિસ્તૃત જૂથ [[4,3,4]] જૂથ ક્રમને બમણો કરે છે, 2-ગણો પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ T સાથે, બિંદુઓ (1,1/2,0) અને (1/2,1 2,1/2) દ્વારા નિશ્ચિત અક્ષ સાથે ઉમેરે છે. જનરેટર {R0, R1, T} છે. R2 = T × R1 × T અને R3 = T × R0 × T. [4,31,1] જૂથ [4,31,1] નું નિર્માણ [4,3,4 માંથી, [4,3,4,1 +] ની ગણતરી કરીને, R '3 = R3 × R2 × R3 તરીકે કરી શકાય છે, જેમાં R3 પર R2 ની છબી તરીકે નવા R' 3 છે. [3 [4] જૂથ [3 [4] ને [4,3,4] માંથી, પ્રથમ અને છેલ્લા અરીસાઓ, [1 +, 4,3,4,1 +] ને દૂર કરીને, R '1 = R0 × R1 × R0 અને R' 3 = R3 × R2 × R3 દ્વારા બનાવી શકાય છે. નોંધો સંદર્ભો એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરઃ કેલિડોસ્કોપઃ એચ. એસ. એમ. ના પસંદ કરેલા લખાણો. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન દ્વારા સંપાદિત, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, (પેપર 22) (પેપર 23) (પેપર 24) નોર્મન જોહ્ન્સન યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ, હસ્તપ્રત (1991) એન. ડબલ્યુ. જ્હોન્સનઃ ધ થિયરી ઓફ યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ એન્ડ હનીકોમ્બ્સ, પીએચ. ડી. (1966) નોર્મન ડબલ્યુ. જ્હોન્સન એન્ડ એશિયા આઇવિક વેઇસ ક્વાડ્રેટિક ઇન્ટિજર્સ એન્ડ કોક્સેટર ગ્રૂપ્સ પીડીએફ કેન. જે. ગણિત. વોલ્યુમ. 51 (6), 1999 પીપી. 1307-1336 N. W. જોહ્ન્સનઃ ભૂમિતિ અને પરિવર્તન, (2018) PDF જ્હોન એચ. કોનવે અને ડેરેક એ. સ્મિથ, ઓન ક્વાટર્નિયન્સ એન્ડ ઓક્ટોનીયન્સ, 2003, ધ સિમેટ્રીઝ ઓફ થિંગ્સ 2008, જ્હોન એચ. કોનવે, હેઇડી બર્ગીલ, ચેઇમ ગુડમેન-સ્ટ્રાસ, Ch.22 35 મુખ્ય અવકાશ જૂથો, ch.25 184 સંયુક્ત અવકાશ જૂથો, ch.26 ઉચ્ચ સ્થિર, 4D બિંદુ જૂથો સમપ્રમાણતા જૂથ સિદ્ધાંત