Λ-ring
બીજગણિતમાં, λ-રિંગ અથવા લેમ્બડા રિંગ એ એક પરિવર્તનીય રિંગ છે જેના પર કેટલીક કામગીરીઓ λn હોય છે જે વેક્ટર સ્પેસની બાહ્ય શક્તિઓની જેમ વર્તે છે. કે-થિયરીમાં ગણવામાં આવતી ઘણી રિંગ્સ કુદરતી λ-રિંગ માળખું ધરાવે છે. λ-રિંગ્સ બહુપદીઓની રિંગ પર સપ્રમાણ કાર્યોની ક્રિયાના અભ્યાસ માટે, ઘણા શાસ્ત્રીય પરિણામોને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા અને વિસ્તૃત કરવા માટે એક શક્તિશાળી ઔપચારિકતા પણ પ્રદાન કરે છે. દ્વારા λ-રિંગ્સ રજૂ કરવામાં આવી હતી. λ-રિંગ્સ વિશે વધુ જાણવા માટે જુઓ, અને. પ્રેરણા જો V અને W એ ક્ષેત્ર k પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ હોય, તો આપણે સીધો સરવાળો V ≤ W, ટેન્સર પ્રોડક્ટ V ≤ W, અને V ની n-th બાહ્ય શક્તિ, λn (V) બનાવી શકીએ છીએ. આ તમામ ફરીથી k પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ છે. મર્યાદિત જૂથની k-રેખીય રજૂઆત સાથે કામ કરતી વખતે, અમુક ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર વેક્ટર બંડલ્સ સાથે કામ કરતી વખતે અને વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં સીધી રકમ, ટેન્સર પ્રોડક્ટ અને બાહ્ય શક્તિની સમાન ત્રણ કામગીરીઓ પણ ઉપલબ્ધ છે. λ-રિંગ્સની રચના આ ત્રણ કામગીરીના સામાન્ય બીજગણિત ગુણધર્મોને અમૂર્ત બનાવવા માટે કરવામાં આવી છે, જ્યાં આપણે સીધી રકમની કામગીરીના સંદર્ભમાં ઔપચારિક વ્યુત્ક્રમોને પણ મંજૂરી આપીએ છીએ. (આ ઔપચારિક વ્યુત્ક્રમો ગ્રોથેન્ડીક જૂથોમાં પણ દેખાય છે, તેથી જ મોટાભાગના λ-રિંગ્સના અંતર્ગત એડિટિવ જૂથો ગ્રોથેન્ડીક જૂથો છે.) રિંગમાં ઉમેર સીધી રકમને અનુરૂપ હોય છે, રિંગમાં ગુણાકાર ટેન્સર પ્રોડક્ટને અનુરૂપ હોય છે, અને λ-કામગીરી બાહ્ય શક્તિઓને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આઇસોમોર્ફિઝમ તમામ λ-રિંગ્સમાં માન્ય સૂત્રને અનુરૂપ છે, અને આઇસોમોર્ફિઝમ તમામ λ-રિંગ્સમાં માન્ય સૂત્રને અનુરૂપ છે. સમાન પરંતુ (વધુ) વધુ જટિલ સૂત્રો ઉચ્ચ ક્રમના λ-ઓપરેટરોને સંચાલિત કરે છે. વેક્ટર બંડલ્સ સાથે પ્રેરણા જો આપણી પાસે સરળ યોજના પર વેક્ટર બંડલ્સનો ટૂંકો ચોક્કસ ક્રમ હોય તો સ્થાનિક રીતે, નાના પર્યાપ્ત ખુલ્લા પડોશ માટે આપણી પાસે આઇસોમોર્ફિઝમ છે. તેથી λ-રીંગમાં મૂળભૂત સંબંધ દર્શાવતા, કે વ્યાખ્યા A λ-રીંગ એ એક પરિવર્તનીય રીંગ R છે જે દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે λn: R → R કામગીરીઓ સાથે જોડાયેલી છે. આ કામગીરીઓ માટે નીચેના ગુણધર્મો માન્ય હોવા જરૂરી છે, R માં y અને તમામ n, m ≤ 0: λ0 (x) = 1 λ1 (x) = x λn (1) = 0 જો n ≤ 2 λn (x + y) = σi + j = n λi (x) λj (y) λn (xy) = Pn (λ1 (x), λn (λn). આ બહુપદીઓને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ધારો કે e1,., emn એ ચલ X1,., Xmn માં પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ છે. પછી Pn, m એ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે nm ચલમાં અનન્ય બહુપદી છે જેમ કે Pn, m (e1,., emn) એ અભિવ્યક્તિમાં tn નો ગુણાંક છે (આવી બહુપદી અસ્તિત્વમાં છે, કારણ કે અભિવ્યક્તિ xi માં સપ્રમાણ છે અને પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ તમામ સપ્રમાણ બહુપદીઓ ઉત્પન્ન કરે છે.) હવે ચાલો e1,., અને X1,., Xn અને f1 ચલમાં પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ,., fn એ Y1,., Yn ચલમાં પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ છે. પછી Pn એ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે 2n ચલમાં અનન્ય બહુપદી છે જેમ કે અભિવ્યક્તિ ભિન્નતાઓમાં tn નો ગુણાંક છે ઉપર વ્યાખ્યાયિત λ-રિંગ્સને કેટલાક લેખકો દ્વારા "વિશેષ λ-રિંગ્સ" કહેવામાં આવે છે, જેઓ વધુ સામાન્ય ખ્યાલ માટે "λ-રિંગ" શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે જ્યાં λn (1), λn (xy) અને λm (λn (x)) પરની શરતો પડતી મૂકવામાં આવે છે. ઉદાહરણો પૂર્ણાંકોની રીંગ Z, કામગીરી તરીકે દ્વિપદી ગુણાંક સાથે (જે નકારાત્મક x માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે) એ λ-રીંગ છે. હકીકતમાં, Z પર આ એકમાત્ર λ-માળખું છે. આ ઉદાહરણ ઉપરના પ્રેરણા વિભાગમાં ઉલ્લેખિત મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓના કેસ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, દરેક વેક્ટર જગ્યાને તેના પરિમાણ સાથે ઓળખે છે અને તેને યાદ રાખે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ દ્વિપદી વીંટી λ-વીંટી બની જાય છે જો આપણે λ-કામગીરીઓને દ્વિપદી ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, λn (x) = (). આ λ-રિંગ્સમાં, એડમ્સની તમામ કામગીરીઓ ઓળખ છે. ટોપોલોજિકલ સ્પેસ X નો K-સિદ્ધાંત K (X) એ λ-રીંગ છે, જેમાં વેક્ટર બંડલની બાહ્ય શક્તિઓ લઈને પ્રેરિત લેમ્બડા કામગીરી હોય છે. જૂથ G અને આધાર ક્ષેત્ર k ને જોતાં, પ્રતિનિધિત્વ રિંગ R (G) એ λ-રિંગ છે; λ-કામગીરીઓ જૂથ G ની k-રેખીય રજૂઆતની બાહ્ય શક્તિઓ દ્વારા પ્રેરિત થાય છે. પૂર્ણાંક ગુણાંક પર λ-કામગીરીઓ ઉપરની જેમ દ્વિપદી ગુણાંક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને જો e1, e2,. પ્રાથમિક સપ્રમાણ કાર્યોને સૂચવે છે, તો આપણે λn (e1) = en સુયોજિત કરીએ છીએ. λ-કામગીરીઓ માટે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને, અને હકીકત એ છે કે વિધેયો એક બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર છે અને રિંગ λZ ઉત્પન્ન કરે છે, આ વ્યાખ્યાને અનન્ય રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે જેથી λZ ને λ-રિંગમાં ફેરવી શકાય. હકીકતમાં, આ એક જનરેટર પર મુક્ત λ-રીંગ છે, જનરેટર e1 છે. (). વધુ ગુણધર્મો અને વ્યાખ્યાઓ દરેક λ-રિંગમાં લાક્ષણિકતા 0 હોય છે અને તેમાં λ-સબરિંગ તરીકે λ-રિંગ Z હોય છે. પરિવર્તનીય બીજગણિતની ઘણી કલ્પનાઓને λ-રિંગ્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, λ-રિંગ્સ R અને S વચ્ચેનું λ-હોમોમોર્ફિઝમ એ એક રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ f: R → S છે જેમ કે R માં તમામ x અને તમામ n ≤ 0 માટે f (λn (x)) = λn (f (x)). λ-રિંગ R માં λ-આદર્શ એ R માં એક આદર્શ I છે જે R માં તમામ x અને તમામ n ≤ 1 માટે λn (x) εI છે. જો x એ λ-રિંગનું તત્વ હોય અને m એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, જેમ કે તમામ n> m માટે λm (x)  ઒ત્ત 0 અને λn (x) = 0 હોય, તો આપણે ડિમ (x) = m લખીએ છીએ અને તત્વને x મર્યાદિત-પરિમાણીય કહીએ છીએ. બધા ઘટકો મર્યાદિત-પરિમાણીય હોવા જરૂરી નથી. આપણી પાસે મંદ (x + y) ≤ મંદ (x) + મંદ (y) છે અને તત્વોનો ગુણાકાર છે. ચેરન ક્લાસ સિમેટ્રિક ફંક્શન કે-થિયરી એડમ્સ ઓપરેશન પ્લેથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શિયલ રેફરન્સ એક્સ્પો 0 અને વી ઓફ રીંગ થિયરી કે-થિયરી પણ જુઓ.