Jackson q-Bessel function
ગણિતમાં, જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્ય (અથવા મૂળભૂત બેસલ કાર્ય) એ બેસલ કાર્યના ત્રણ ક્યૂ-એનાલોગમાંથી એક છે. ત્રીજું જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્ય હેહ્ન-એક્સ્ટન ક્યૂ-બેસલ કાર્ય જેવું જ છે. વ્યાખ્યા ત્રણ જેક્સન q-બેસલ વિધેયો q-પોચમેર પ્રતીક અને મૂળભૂત હાયપરજિયોમેટ્રિક વિધેય દ્વારા આપવામાં આવે છે તેમને સતત મર્યાદા દ્વારા બેસલ વિધેયમાં ઘટાડી શકાય છેઃ પ્રથમ અને બીજા જેક્સન q-બેસલ વિધેય વચ્ચે જોડાણ સૂત્ર છે (): પૂર્ણાંક ક્રમ માટે, q-બેસલ વિધેયો ગુણધર્મોને સંતોષતા નકારાત્મક પૂર્ણાંક ક્રમ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને (): આપણે ઝીરોઝ હાન મેળવીએ છીએ જેનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે કે તેમાં અસંખ્ય વાસ્તવિક શૂન્ય () છે. ઇસ્માઇલે સાબિત કર્યું કે તમામ બિન-શૂન્ય મૂળ માટે વાસ્તવિક () છે. q-જહાજ કાર્યોનો ગુણોત્તર કાર્ય એ સંપૂર્ણપણે એકવિધ કાર્ય () છે. પુનરાવર્તન સંબંધો પ્રથમ અને બીજા જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્યમાં નીચેના પુનરાવર્તન સંબંધો છે (જુઓ અને): અસમાનતાઓ જ્યારે, બીજા જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્યને સંતોષે છેઃ (જુઓ.) માટે, (જુઓ.) નીચે આપેલા સૂત્રો બેસલ ફંક્શન માટે જનરેટિંગ ફંક્શનના q-એનાલોગ છે (જુઓ): તે q-એક્સ્પોનેન્શિયલ ફંક્શન છે. વૈકલ્પિક રજૂઆતો સંકલિત રજૂઆતો બીજા જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્યમાં નીચેની અભિન્ન રજૂઆતો છે (જુઓ અને): ક્યૂ-પોચમેર પ્રતીક ક્યાં છે. આ રજૂઆત મર્યાદામાં બેસલ કાર્યની અભિન્ન રજૂઆતમાં ઘટાડો કરે છે. હાયપરજિયોમેટ્રિક રજૂઆતો બીજા જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્યમાં નીચેની હાયપરજિયોમેટ્રિક રજૂઆતો છે (જુઓ,): બીજા સૂત્રના તાત્કાલિક પરિણામ તરીકે એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ મેળવી શકાય છે. અન્ય હાયપરજિયોમેટ્રિક રજૂઆતો માટે, જુઓ. સુધારેલા ક્યૂ-બેસલ કાર્યો સુધારેલા બેસલ કાર્યોના ક્યૂ-એનાલોગને જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્ય (અને) સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ સુધારેલા ક્યૂ-બેસલ કાર્યો વચ્ચે જોડાણ સૂત્ર છેઃ પુનરાવર્તન સંબંધો જેક્સન ક્યૂ-બેસલ કાર્યોના પુનરાવર્તન સંબંધ અને સુધારેલા ક્યૂ-બેસલ કાર્યોની વ્યાખ્યા દ્વારા, નીચેનો પુનરાવર્તન સંબંધ મેળવી શકાય છે (સમાન સંબંધને પણ સંતોષે છે) (): અન્ય પુનરાવર્તન સંબંધો માટે, જુઓ. સતત અપૂર્ણાંક પ્રતિનિધિત્વ સુધારેલા q-બેસલ કાર્યોનો ગુણોત્તર સતત અપૂર્ણાંક બનાવે છે (): વૈકલ્પિક પ્રતિનિધિત્વ હાયપરજિયોમેટ્રિક પ્રતિનિધિત્વ કાર્યમાં નીચેની રજૂઆત છે (): સંકલિત પ્રતિનિધિત્વ સુધારેલા q-બેસલ કાર્યોમાં નીચેની અભિન્ન રજૂઆત હોય છે (): q-બેસલ બહુપદી સંદર્ભો પણ જુઓ વિશેષ કાર્યો Q-એનાલોગ