Finite extensions of local fields
બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, પૂર્ણિકરણ દ્વારા, મુખ્ય આદર્શના વિભાજનનો અભ્યાસ ઘણીવાર સ્થાનિક ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં ઘટાડી શકાય છે જ્યાં વિભાજન જૂથો જેવા સાધનોની મદદથી વધુ વિગતવાર વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. આ લેખમાં, સ્થાનિક ક્ષેત્ર બિન-આર્કીમીડિયન છે અને તેમાં મર્યાદિત અવશેષ ક્ષેત્ર છે. અનરેમિફાઇડ એક્સ્ટેંશન ચાલો મર્યાદિત અવશેષ ક્ષેત્રો અને ગેલોઇસ જૂથ સાથે નોનઆર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રોનું મર્યાદિત ગેલોઇસ એક્સ્ટેંશન હોઈએ. પછી નીચેના સમકક્ષ છે. (i) અનરેમિફાઇડ છે. (ii) એક ક્ષેત્ર છે, જ્યાં નો મહત્તમ આદર્શ છે. (iii) (iv) જડતાનું પેટા જૂથ તુચ્છ છે. (v) જો તે એકસમાન તત્વ હોય, તો તે પણ એકસમાન તત્વ છે. જ્યારે અનરેમિફાઇડ હોય, ત્યારે (iv) (અથવા (iii)) દ્વારા, G ને ઓળખી શકાય છે, જે મર્યાદિત ચક્રીય છે. ઉપરોક્ત સૂચવે છે કે સ્થાનિક ક્ષેત્ર K ના મર્યાદિત અનરેમિફાઇડ એક્સ્ટેન્શન્સ અને K ના અવશેષ ક્ષેત્રના મર્યાદિત અલગ કરી શકાય તેવા એક્સ્ટેન્શન્સ વચ્ચે શ્રેણીઓની સમાનતા છે. નીચેની બાબતો સમાન છે. સંપૂર્ણપણે વિસ્તૃત તેના જડતા પેટાજૂથ સાથે મેળ ખાય છે. જ્યાં આઇઝેનસ્ટીન બહુપદીનું મૂળ છે. ધોરણમાં એક યુનિફોર્માઇઝર છે. અભ્યંકરનો લેમ્મા અનરેમિફાઇડ મોર્ફિઝમ સંદર્ભો બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત પણ જુઓ.