Plethysm
બીજગણિતમાં, પ્લિથિઝમ એ ડુડલી ઇ. લિટલવુડ દ્વારા રજૂ કરાયેલા સપ્રમાણ કાર્યો પરની કામગીરી છે, જેમણે તેને {λ} χ {μ} દ્વારા દર્શાવ્યું હતું. આ ક્રિયા માટે "પ્લેથિઝમ" શબ્દ (ગ્રીક શબ્દ πληθyσμodς એટલે કે "ગુણાકાર") પાછળથી એમ. એલ. ક્લાર્ક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે કહ્યું હતું કે આ નામ એમ. એલ. ક્લાર્ક દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું હતું. જો લેમ્બડા રિંગ્સમાં કામગીરી સાથે સપ્રમાણ કાર્યોને ઓળખવામાં આવે છે, તો પછી પ્લિથિઝમ કામગીરીની રચનાને અનુરૂપ છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં ચાલો V એ જટિલ સંખ્યાઓ પર વેક્ટર જગ્યા છે, જેને સામાન્ય રેખીય જૂથ GL (V) ની રજૂઆત તરીકે ગણવામાં આવે છે. દરેક યુવાન આકૃતિ λ એ GL (V)-રજૂઆતોની શ્રેણી પર શુર ફંકટર Lλ (-) ને અનુરૂપ છે. બે યુવાન આકૃતિઓ λ અને μ આપવામાં આવે તો, Lλ (Lμ (V)) ના વિઘટનને જૂથના ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોના સીધા સરવાળામાં ધ્યાનમાં લો. સામાન્ય રેખીય જૂથના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત દ્વારા આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક સરવાળો યુવાન આકૃતિ માટે સમરૂપ છે. તેથી કેટલીક બિન-નકારાત્મક ગુણાકારો માટે એક સમરૂપતા છે (બાહ્ય) બહુમતીની સમસ્યા ગુણાકારો માટે અભિવ્યક્તિ શોધવાની છે. આ રચના શાસ્ત્રીય પ્રશ્ન સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. GL (V)-પ્રતિનિધિત્વ Lλ (V) નું અક્ષર મંદ (V) ચલમાં સપ્રમાણ કાર્ય છે, જે યુવાન આકૃતિ λ ને અનુરૂપ શૂર બહુપદી sλ તરીકે ઓળખાય છે. શૂર બહુપદીઓ સપ્રમાણ કાર્યોની જગ્યામાં આધાર બનાવે છે. તેથી બે સપ્રમાણ વિધેયોની વિપુલતાને સમજવા માટે તે આધારે તેમની અભિવ્યક્તિઓને જાણવી અને બે મનસ્વી શૂર બહુપદીઓ {sλ} χ {smu} ની વિપુલતા માટે અભિવ્યક્તિ પૂરતી હશે. માહિતીનો બીજો ભાગ ચોક્કસપણે Lλ (Lμ (V)) નું અક્ષર છે. સંદર્ભો સમમિતીય કાર્યો