Pickands–Balkema–De Haan theorem
પિકન્ડ્સ-બાલ્કેમા-ડી હાન થીયરમ રેન્ડમ વેરિયેબલનું એસિમ્પ્ટોટિક પૂંછડી વિતરણ આપે છે, જ્યારે તેનું સાચું વિતરણ અજ્ઞાત હોય છે. તેને ઘણીવાર આત્યંતિક મૂલ્ય સિદ્ધાંતમાં બીજો પ્રમેય કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ પ્રમેય (ફિશર-ટિપેટ-ગેનેડેન્કો પ્રમેય) થી વિપરીત, જે નમૂનાની મહત્તમ સાથે સંબંધિત છે, પિકન્ડ્સ-બાલ્કેમા-ડી હાન પ્રમેય થ્રેશોલ્ડથી ઉપરના મૂલ્યોનું વર્ણન કરે છે. આ પ્રમેયનું નામ ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેમ્સ પિકન્ડ્સ, ગુસ બાલ્કેમા અને લોરેન્સ ડી હાનને આભારી છે. શરતી વધારાનું વિતરણ કાર્ય રેન્ડમ વેરિયેબલના અજ્ઞાત વિતરણ કાર્ય માટે, પિકન્ડ્સ-બાલ્કેમા-ડી હાન પ્રમેય ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડથી ઉપરના વેરિયેબલના શરતી વિતરણ કાર્યનું વર્ણન કરે છે. આ કહેવાતા શરતી વધારાનું વિતરણ કાર્ય છે, જેને માટે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં અંતર્ગત વિતરણનું મર્યાદિત અથવા અનંત જમણું અંતિમ બિંદુ છે. આ કાર્ય થ્રેશોલ્ડ પર વધારાના મૂલ્યના વિતરણનું વર્ણન કરે છે, જો કે થ્રેશોલ્ડ ઓળંગી ગયું છે. નિવેદન શરતી વધારાનું વિતરણ કાર્ય હોવું જોઈએ. પિકન્ડ્સ, બાલ્કેમા અને ડી હાને રજૂ કર્યું કે અંતર્ગત વિતરણ કાર્યોના મોટા વર્ગ માટે, અને મોટા, સામાન્યીકૃત પેરેટો વિતરણ દ્વારા સારી રીતે અંદાજવામાં આવે છે, નીચેના અર્થમાં. ધારો કે ત્યાં એવા ફંક્શન્સ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે નોન-ડિજનરેટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનમાં કન્વર્જ થાય છે, તો આવી મર્યાદા સામાન્યીકૃત પેરેટો ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની બરાબર છેઃ, જ્યાં, જો, અહીં σ> 0 હોય, અને y ≤ 0 જ્યારે k ≤ 0 અને 0 ≤ y ≤ − σ/k જ્યારે k <0 હોય. આ વિશેષ કિસ્સાઓને સરેરાશ સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જો k = 0 હોય, તો સમાન વિતરણ, જો k =-1 હોય, તો પેરેટો વિતરણ, જો k> 0 હોય. અંતર્ગત વિતરણ કાર્યોનો વર્ગ ફિશર-ટિપેટ-ગેનેડેન્કો પ્રમેયને સંતોષતા વિતરણ કાર્યોના વર્ગ સાથે સંબંધિત છે. સામાન્યીકૃત પેરેટો વિતરણનો એક ખાસ કેસ પાવર-લો હોવાથી, પિકન્ડ્સ-બાલ્કેમા-ડી હાન થીયરમનો ઉપયોગ કેટલીકવાર આત્યંતિક ઘટનાઓના મોડેલિંગ માટે પાવર-લૉના ઉપયોગને યોગ્ય ઠેરવવા માટે થાય છે. આ પ્રમેયને વિતરણની વિશાળ શ્રેણીનો સમાવેશ કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે. જ્યારે વિસ્તૃત આવૃત્તિઓ આવરી લે છે, ઉદાહરણ તરીકે સામાન્ય અને લોગ-સામાન્ય વિતરણો, હજુ પણ સતત વિતરણો અસ્તિત્વમાં છે જે આવરી લેવામાં આવતા નથી. સ્થિર વિતરણ સંદર્ભો સંભાવના પ્રમેયો પણ જુઓ સંભાવના વિતરણની ચરમ મૂલ્ય માહિતી પૂંછડીઓ