Kosmann lift
વિભેદક ભૂમિતિમાં, રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર વેક્ટર ક્ષેત્રની કોસમેન લિફ્ટનું નામ યવેટ કોસમેન-શ્વાર્ઝબાચના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જે રેખીય ફ્રેમના બંડલ પર વ્યાખ્યાયિત તેના કુદરતી લિફ્ટના ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમ બંડલ પર કેનોનિકલ પ્રક્ષેપણ છે. કોઈપણ રિડક્ટિવ જી-સ્ટ્રક્ચર માટે સામાન્યીકરણ અસ્તિત્વમાં છે. સામાન્ય રીતે, ફાઇબર બંડલની ઉપરની સબબંડલ અને તેના પર વેક્ટર ક્ષેત્ર આપવામાં આવે તો, તેના પરનું પ્રતિબંધ વેક્ટર ક્ષેત્ર "સાથે" હોય છે, તેના પર નહીં (એટલે કે, સ્પર્શરેખા). જો એક કેનોનિકલ એમ્બેડિંગ દ્વારા સૂચવે છે, તો તે પુલબેક બંડલનો એક વિભાગ છે, જ્યાં અને ફાઇબર બંડલનું સ્પર્શક બંડલ છે. ચાલો ધારીએ કે આપણને પુલબેક બંડલનું કોસમેન વિઘટન આપવામાં આવ્યું છે, જેમ કે, દરેક પર વેક્ટર સબસ્પેસ હોય છે અને આપણે વેક્ટર બંડલ હોવાનું માનીએ છીએ, જેને કોસમેન વિઘટનનું ટ્રાન્સવર્સલ બંડલ કહેવાય છે. તે અનુસરે છે કે વેક્ટર બંડલનો એક વિભાગ હોવાથી સ્પર્શક વેક્ટર ક્ષેત્ર અને ત્રાંસી વેક્ટર ક્ષેત્રમાં વિભાજિત થવાનું પ્રતિબંધ વ્યાખ્યા ચાલો આપેલ મેટ્રિક સાથે લક્ષી-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડનું લક્ષી ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમ બંડલ હોઈએ. આ એક મુખ્ય-સબબંડલ છે, જે માળખા જૂથ સાથે રેખીય ફ્રેમની સ્પર્શક ફ્રેમ બંડલ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, કોઈ એવું કહી શકે છે કે આપણને શાસ્ત્રીય રિડક્ટિવ-સ્ટ્રક્ચર આપવામાં આવ્યું છે. વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ એ રિડક્ટિવ લાઈ પેટાજૂથ છે. હકીકતમાં, એક સીધો સરવાળો વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં લાઈ બીજગણિત છે, તે લાઈ બીજગણિત છે, અને તે સપ્રમાણ મેટ્રિસીસની-અપરિવર્તનશીલ વેક્ટર સબસ્પેસ છે, એટલે કે. બધા માટે ચાલો કેનોનિકલ એમ્બેડિંગ હોઈએ. પછી કોઈ સાબિત કરી શકે છે કે પુલબેક બંડલનું કેનોનિકલ કોસમેન વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે, દરેકમાં તેના સબબંડલની ઉપર ફાઇબર હોય છે. અહીં, વર્ટિકલ સબબંડલ છે અને દરેક પર ફાઇબર સપ્રમાણ મેટ્રિસીસના વેક્ટર સ્પેસ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. ઉપરોક્ત કેનોનિકલ અને ઇક્વિવેરિયન્ટ વિઘટનમાંથી, તે અનુસરે છે કે-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટર ક્ષેત્રનું વિભાજન કરવા માટેનું પ્રતિબંધ-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટર ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ કોસમેન વેક્ટર ક્ષેત્ર અને ત્રાંસી વેક્ટર ક્ષેત્રમાં વિભાજિત થાય છે. ખાસ કરીને, બેઝ મેનીફોલ્ડ પરના સામાન્ય વેક્ટર ક્ષેત્ર માટે, તે અનુસરે છે કે તેના કુદરતી લિફ્ટ પરનું પ્રતિબંધ-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટર ફિલ્ડમાં વિભાજિત થાય છે, જેને કોસમેન લિફ્ટ ઓફ કહેવાય છે, અને એક ત્રાંસા વેક્ટર ક્ષેત્ર. ફ્રેમ બંડલ ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમ બંડલ મુખ્ય બંડલ સ્પિન બંડલ જોડાણ (ગણિત) જી-માળખું સ્પિન મેનીફોલ્ડ સ્પિન માળખું નોંધો સંદર્ભો ફાઇબર બંડલ વેક્ટર બંડલ રીમાનિયન ભૂમિતિ મેનીફોલ્ડ્સ પર માળખાં