Griffiths inequality
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા, જેને કેટલીકવાર ગ્રિફિથ્સ-કેલી-શેરમેન અસમાનતા અથવા જી. કે. એસ અસમાનતા પણ કહેવામાં આવે છે, જેને રોબર્ટ બી. ગ્રિફિથ્સના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે લોહચુંબકીય સ્પિન પ્રણાલીઓ માટે સહસંબંધ અસમાનતા છે. અનૌપચારિક રીતે, તે કહે છે કે ફેરોમૅગ્નેટિક સ્પિન પ્રણાલીઓમાં, જો સ્પિન ફ્લિપિંગ હેઠળ સ્પિનનું 'એ-પ્રાયોરી વિતરણ' અપરિવર્તનશીલ હોય, તો સ્પિનના કોઈપણ એકવિધનો સહસંબંધ બિન-નકારાત્મક હોય છે; અને સ્પિનના બે એકકાલિકનો બે બિંદુ સહસંબંધ બિન-નકારાત્મક હોય છે. ગ્રિફિથ્સ દ્વારા બે-શરીરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે ઇસિંગ ફેરોમેગ્નેટ માટે અસમાનતા સાબિત કરવામાં આવી હતી, ત્યારબાદ કેલી અને શેરમન દ્વારા મનસ્વી સંખ્યામાં સ્પિનને સમાવતી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવી હતી, અને પછી ગ્રિફિથ્સ દ્વારા મનસ્વી સ્પિન સાથેની સિસ્ટમો માટે. ગિનિબર દ્વારા વધુ સામાન્ય રચના આપવામાં આવી હતી, અને હવે તેને ગિનિબર અસમાનતા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યાઓ ચાલો જાળી λ પર (સતત અથવા સ્વતંત્ર) સ્પિનનું રૂપરેખાંકન હોઈએ. જો એઆરએલ એ જાળીની સાઇટ્સની સૂચિ છે, સંભવતઃ ડુપ્લિકેટ્સ સાથે, તો એ માં સ્પિનનું ઉત્પાદન હોવું જોઈએ. સ્પિન પર એ-પ્રાયોરી માપ dμ (σ) સોંપો; ચાલો H એ સ્વરૂપનું ઊર્જા કાર્યાત્મક છે જ્યાં સરવાળો સાઇટ્સ A ની સૂચિ પર છે, અને ચાલો પાર્ટીશન કાર્ય છે. હંમેશની જેમ, એન્સેમ્બલ એવરેજ માટે વપરાય છે. આ પ્રણાલીને ફેરોમૅગ્નેટિક કહેવામાં આવે છે જો, સાઇટ્સ A ની કોઈપણ સૂચિ માટે, JA ≤ 0. આ પ્રણાલીને સ્પિન ફ્લિપિંગ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ કહેવામાં આવે છે, જો λ માં કોઈપણ j માટે, માપ μ ને ફ્લિપિંગ નકશા σ → τ ની નિશાની હેઠળ સાચવવામાં આવે છે, જ્યાં અસમાનતાનું નિવેદન પ્રથમ ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા ફેરોમૅગ્નેટિક સ્પિન સિસ્ટમમાં જે સ્પિન ફ્લિપિંગ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે, સ્પિન A ની કોઈપણ સૂચિ માટે. બીજી ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા એ અને બી સ્પિનની કોઈપણ સૂચિ માટે સ્પિન ફ્લિપિંગ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય તેવી લોહચુંબકીય સ્પિન પ્રણાલીમાં. પ્રથમ અસમાનતા એ બીજાનો એક વિશેષ કેસ છે, જે B = યુને અનુરૂપ છે. પુરાવો અવલોકન કરો કે વિભાજન કાર્ય વ્યાખ્યા દ્વારા બિન-નકારાત્મક છે. પ્રથમ અસમાનતાનો પુરાવોઃ પછી વિસ્તરણ કરો જ્યાં nA (j) એ A માં જે દેખાય છે તેની સંખ્યા માટે વપરાય છે. હવે, સ્પિન ફ્લિપિંગ હેઠળ ઇનવેરિયન્સ દ્વારા, જો ઓછામાં ઓછું એક n (j) વિચિત્ર હોય, અને તે જ અભિવ્યક્તિ દેખીતી રીતે n ના સમ મૂલ્યો માટે બિન-નકારાત્મક હોય. બીજી અસમાનતાના પુરાવા. બીજી ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા માટે, રેન્ડમ ચલને બમણો કરો, એટલે કે. સમાન વિતરણ સાથે સ્પિનની બીજી નકલ ધ્યાનમાં લો. પછી નવા ચલોનો પરિચય આપો બમણી સિસ્ટમ ફેરોમૅગ્નેટિક છે કારણ કે તે હકારાત્મક ગુણાંક સાથે બહુપદી છે ઉપરાંત સ્પિન ફ્લિપિંગ હેઠળ માપ અપરિવર્તનશીલ છે કારણ કે છે. છેવટે બહુપદીઓ, હકારાત્મક ગુણાંક સાથેની બહુપદીઓ છે પ્રથમ ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા પરિણામ આપે છે. વધુ વિગતો અને માં છે. વિસ્તરણઃ ગિનિબર અસમાનતા ગિનિબર અસમાનતા એ ગ્રિફિથ્સ અસમાનતાના જીન ગિનિબર દ્વારા શોધાયેલ વિસ્તરણ છે. ફોર્મ્યુલેશન ચાલો (જાત, μ) સંભાવના જગ્યા છે. ફંકશન f માટે, h એ જાત પર, સૂચવે છે કે A એ જાત પર વાસ્તવિક ફંકશનોનો સમૂહ છે. A માં દરેક f1, f2,., fn માટે, અને સંકેતોની કોઈપણ પસંદગી માટે ±, પછી, A દ્વારા પેદા થયેલ બહિર્મુખ શંકુમાં કોઈપણ f, g, −h માટે, સાબિતી દો પછી હવે અસમાનતા ધારણા અને ઓળખ ઉદાહરણો પરથી અનુસરે છે. હકારાત્મક ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓનો શંકુ A જીનીબર અસમાનતાની ધારણાઓને સંતોષે છે. (γ, μ) એ હાર માપ સાથેનો પરિવર્તનીય સઘન સમૂહ છે, A એ γ પર વાસ્તવિક હકારાત્મક ચોક્કસ કાર્યોનો શંકુ છે. γ એ સંપૂર્ણપણે ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે, A એ γ પર વાસ્તવિક હકારાત્મક બિન-ઘટતા કાર્યોનો શંકુ છે. આનાથી ચેબીશેવની કુલ અસમાનતા પેદા થાય છે. આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહોના વિસ્તરણ માટે, એફ. કે. જી. અસમાનતા જુઓ. ઉપયોગો ફેરોમૅગ્નેટિક આઇસિંગ મોડેલના સહસંબંધની થર્મોડાયનેમિક મર્યાદા (બિન-નકારાત્મક બાહ્ય ક્ષેત્ર એચ અને મુક્ત સીમા શરતો સાથે) અસ્તિત્વમાં છે. આનું કારણ એ છે કે વોલ્યુમ વધારવું એ ચોક્કસ સબસેટ બી માટે નવા કપલિંગ્સ જે. બી. પર સ્વિચ કરવા જેવું જ છે. બીજી ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા દ્વારા તેથી કદ સાથે એકવિધ રીતે વધી રહી છે; પછી તે 1 દ્વારા બંધાયેલ હોવાથી તે એકરૂપ થાય છે. ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથેનું એક-પરિમાણીય, ફેરોમેગ્નેટિક આઇસિંગ મોડેલ તબક્કા સંક્રમણ દર્શાવે છે. આ ગુણધર્મને અધિક્રમિક અંદાજમાં દર્શાવી શકાય છે, જે કેટલીક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓની ગેરહાજરી દ્વારા સંપૂર્ણ મોડેલથી અલગ છેઃ બીજી ગ્રિફિથ્સ અસમાનતા સાથે ઉપરની દલીલ, પરિણામો સંપૂર્ણ મોડેલ પર વહન કરે છે. ગિનિબર અસમાનતા દ્વિ-પરિમાણીય શાસ્ત્રીય XY મોડેલ માટે મુક્ત ઊર્જા અને સ્પિન સહસંબંધ માટે થર્મોડાયનેમિક મર્યાદાનું અસ્તિત્વ પ્રદાન કરે છે. આ ઉપરાંત, ગિનિબર અસમાનતા દ્વારા, કુંઝ અને ફિસ્ટરે ફેરોમેગ્નેટિક XY મોડેલ માટે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે તબક્કા સંક્રમણની હાજરી સાબિત કરી. આઈઝેનમેન અને સિમોને ગિનિબર અસમાનતાનો ઉપયોગ એ સાબિત કરવા માટે કર્યો હતો કે પરિમાણ, જોડાણ અને વ્યસ્ત તાપમાનમાં ફેરોમૅગ્નેટિક ક્લાસિકલ XY મોડેલના બે બિંદુ સ્પિન સહસંબંધમાં (એટલે કે. પરિમાણ, જોડાણ અને વ્યસ્ત તાપમાનમાં ફેરોમૅગ્નેટિક આઇસિંગ મોડેલના બે બિંદુ સહસંબંધ) દ્વારા આપવામાં આવેલ ઉપલા બાઉન્ડ છે તેથી XY મોડેલનું નિર્ણાયક પરિમાણ D = 2 અને જોડાણ J = 1 માં આઇસિંગ મોડેલના નિર્ણાયક તાપમાનના બમણા કરતા નાનું ન હોઈ શકે, આ આપે છે કુલમ્બ ગેસ માટે ગિનિબર અસમાનતાનું એક સંસ્કરણ અસ્તિત્વમાં છે જે સહસંબંધોની થર્મોડાયનેમિક મર્યાદાનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. અન્ય ઉપયોગો (સ્પિન પ્રણાલીઓમાં તબક્કા સંક્રમણો, XY મોડેલ, XYZ ક્વોન્ટમ સાંકળ) ની સમીક્ષા કરવામાં આવે છે. સંદર્ભો અસમાનતાઓ આંકડાકીય મિકેનિક્સ