Fraunhofer diffraction equation
ઓપ્ટિક્સમાં, ફ્રોનહોફર વિવર્તન સમીકરણનો ઉપયોગ તરંગોના વિવર્તનને મોડેલ કરવા માટે થાય છે જ્યારે વિવર્તન પેટર્નને વિવર્તનશીલ પદાર્થથી લાંબા અંતરે જોવામાં આવે છે, અને જ્યારે તે ઇમેજિંગ લેન્સના ફોકલ પ્લેન પર જોવામાં આવે છે. આ સમીકરણનું નામ જોસેફ વોન ફ્રાઉનહોફરના માનમાં રાખવામાં આવ્યું હતું, જોકે તેઓ વાસ્તવમાં સિદ્ધાંતના વિકાસમાં સામેલ નહોતા. આ લેખ વિવિધ ગાણિતિક સ્વરૂપોમાં સમીકરણ આપે છે, અને વિક્ષેપિત છિદ્રના વિવિધ સ્વરૂપો માટે ફ્રેનહોફર વિવર્તન પેટર્નની વિગતવાર ગણતરીઓ પ્રદાન કરે છે, ખાસ કરીને સામાન્ય રીતે ઘટના મોનોક્રોમેટિક પ્લેન તરંગ માટે. ફ્રાઉનહોફર વિવર્તનની ગુણાત્મક ચર્ચા અન્યત્ર મળી શકે છે. વ્યાખ્યા જ્યારે પ્રકાશના કિરણને અવરોધ દ્વારા આંશિક રીતે અવરોધિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે થોડો પ્રકાશ પદાર્થની આસપાસ વિખેરાઈ જાય છે, અને પ્રકાશ અને શ્યામ પટ્ટાઓ ઘણીવાર છાયાની ધાર પર જોવા મળે છે-આ અસરને વિવર્તન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કિર્ચોફ વિવર્તન સમીકરણ તરંગ સમીકરણમાંથી મેળવેલ અભિવ્યક્તિ પ્રદાન કરે છે, જે છિદ્ર દ્વારા વિક્ષેપિત તરંગનું વર્ણન કરે છે; આ સમીકરણના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો મોટાભાગના રૂપરેખાંકનો માટે ઉપલબ્ધ નથી. ફ્રાઉનહોફર વિવર્તન સમીકરણ એ એક અંદાજ છે જે જ્યારે દૂરના ક્ષેત્રમાં વિવર્તન તરંગનું અવલોકન કરવામાં આવે ત્યારે લાગુ કરી શકાય છે, અને જ્યારે લેન્સનો ઉપયોગ વિવર્તન પ્રકાશને કેન્દ્રિત કરવા માટે કરવામાં આવે છે ત્યારે પણ; ઘણા કિસ્સાઓમાં, ફ્રાઉનહોફર સમીકરણ માટે એક સરળ વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ ઉપલબ્ધ છે-તેમાંના ઘણા નીચે મેળવવામાં આવ્યા છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં જો છિદ્ર સમતલમાં હોય, છિદ્રમાં મૂળ સાથે અને એકવિધ તરંગ દ્વારા પ્રકાશિત હોય, તો તરંગલંબાઇ λ, જટિલ કંપનવિસ્તાર સાથે તરંગ સંખ્યા, અને વિક્ષેપિત તરંગ હકારાત્મક-અક્ષ સાથે અનપ્રાઇમ્ડ-પ્લેનમાં જોવા મળે છે, જ્યાં મૂળના સંદર્ભમાં બિંદુની દિશા કોસાઇન છે. વિવર્તન તરંગનું જટિલ કંપનવિસ્તાર ફ્રાઉનહોફર વિવર્તન સમીકરણ દ્વારા આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે વિવર્તન પેટર્નનું સ્વરૂપ માત્ર જોવાની દિશા પર આધાર રાખે છે, તેથી વિવર્તન પેટર્ન કદમાં બદલાય છે પરંતુ જોવાના અંતરમાં ફેરફાર સાથે સ્વરૂપમાં નહીં. ફ્રાઉનહોફર વિવર્તન સમીકરણને વિવિધ ગાણિતિક સમકક્ષ સ્વરૂપોમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ તે જોઈ શકાય છે કે ઉપરોક્ત સમીકરણોમાં ઇન્ટિગ્રલ એ આવર્તન પર મૂલ્યાંકન કરાયેલ છિદ્ર કાર્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. આમ, આપણે સમીકરણને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની દ્રષ્ટિએ પણ લખી શકીએ છીએઃ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ક્યાં છે. ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોર્મ્યુલેશન વિવર્તન સમસ્યાઓને ઉકેલવામાં ખૂબ ઉપયોગી થઈ શકે છે. બીજું સ્વરૂપ છેઃ જ્યાં અનુક્રમે અવલોકન બિંદુ અને છિદ્રમાં એક બિંદુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને અનુક્રમે છિદ્ર અને વિવર્તન તરંગોના વિક્ષેપના તરંગ વાહકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને છિદ્ર પર વિક્ષેપની તીવ્રતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં જ્યારે વિવર્તન છિદ્ર ગોળાકાર સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, ત્યારે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને બદલે ધ્રુવીયનો ઉપયોગ કરવો ઉપયોગી છે. છિદ્રમાં એક બિંદુએ કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છેઃ અને જટિલ કંપનવિસ્તાર દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વિસ્તાર ρ′dρ′dω′ માં રૂપાંતરિત થાય છે, જે આપે છે. તેના પર કોઈ નિર્ભરતા નથી. આ કિસ્સામાં, આપણી પાસે છિદ્ર કાર્યના ફોરિયર-બેસલ અથવા હેન્કેલ ટ્રાન્સફોર્મની બરાબર છે, ઉદાહરણ અહીં સામાન્ય રીતે ઘટના મોનોક્રોમેટિક પ્લેન વેવ સાથે ફ્રોનહોફર વિવર્તનના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે. દરેક કિસ્સામાં, વિવર્તનશીલ પદાર્થ સમતલમાં સ્થિત હોય છે, અને આપતિત સમતલ તરંગનું જટિલ કંપનવિસ્તાર તરંગ વિક્ષેપની તીવ્રતા ક્યાં છે, તે તરંગલંબાઇ છે, તે પ્રકાશનો વેગ છે, તે સમય = તરંગ સંખ્યા છે અને તબક્કો સમયે શૂન્ય છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમય આધારિત પરિબળ સમગ્ર ગણતરીમાં અવગણવામાં આવે છે, કારણ કે તે સ્થિર રહે છે, અને જ્યારે તીવ્રતાની ગણતરી કરવામાં આવે છે ત્યારે સરેરાશ થાય છે. પરની તીવ્રતા તેના જટિલ સંયુગ્મના કંપનવિસ્તારના પ્રમાણસર હોય છે આ વ્યુત્પત્તિઓ મોટાભાગના પ્રમાણભૂત ઓપ્ટિક્સ પુસ્તકોમાં, વિવિધ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને સહેજ અલગ સ્વરૂપોમાં મળી શકે છે. અહીં મોડેલ કરેલી દરેક સિસ્ટમ માટે સંદર્ભ આપવામાં આવ્યો છે. ઉપયોગમાં લેવાતા ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ અહીં મળી શકે છે. સાંકડી લંબચોરસ સ્લિટ છિદ્ર એ પહોળાઈનું એક સ્લિટ છે જે-અક્ષની સાથે સ્થિત છે, એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ સ્લિટનું કેન્દ્ર અહીં સ્થિત છે એમ ધારીએ તો, ઉપરનું પ્રથમ સમીકરણ, ના તમામ મૂલ્યો માટે છેઃ યુલર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આને સરળ બનાવી શકાય છેઃ ક્યાં. સિંક કાર્યને કેટલીકવાર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને વિવિધ ગ્રંથોમાં વ્યુત્પત્તિઓને જોતા આ મૂંઝવણનું કારણ બની શકે છે. આને આ રીતે પણ લખી શકાય છેઃ z-અક્ષ અને મૂળ સાથે જોડાતી રેખા વચ્ચેનો કોણ ક્યાં છે અને ક્યારે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સોલ્યુશન સ્લિટને રેક્ટ ફંક્શન દ્વારા આ રીતે રજૂ કરી શકાય છેઃ આ ફંક્શનનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફ્રિક્વન્સી ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને ફંક્શનને અહીં ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફ્રિક્વન્સી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તીવ્રતા એ કંપનવિસ્તારના વર્ગને પ્રમાણસર હોય છે, અને તેથી તે છિદ્ર લંબચોરસ છિદ્ર હોય છે જ્યારે પહોળાઈ W અને ઊંચાઈ H નું લંબચોરસ ચીરી સામાન્ય રીતે તરંગલંબાઇના એકવર્ણી સમતલ તરંગ દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે (સામાન્ય ખૂણા પર પ્રકાશિત ચીરી), ત્યારે જટિલ કંપનવિસ્તાર અગાઉના વિભાગમાં સમાન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જે બે સ્વતંત્ર ઓર્થોગોનલ પરિમાણો પર લાગુ થાય છેઃ તીવ્રતા તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં અક્ષો નિરીક્ષણના સમતલ અથવા છબી સમતલ (ઉપરની આકૃતિમાં વર્ણવેલ) પર ત્રાંસી દિશાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને તે ચિત્ર સમતલ પર ચીરી કેન્દ્ર અને નિરીક્ષણના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે. વ્યવહારમાં, તમામ સ્લિટ્સ મર્યાદિત કદના હોય છે તેથી (પહોળાઈ W વ્યાખ્યાયિત) અને (ઊંચાઈ H વ્યાખ્યાયિત) અક્ષો સાથે બંને ત્રાંસી દિશાઓ પર વિવર્તન ઉત્પન્ન કરે છે. જો સ્લિટની ઊંચાઈ H તેની પહોળાઈ W કરતા ઘણી વધારે હોય, તો ઊભી (ઊંચાઈ અથવા અક્ષ સાથે) વિવર્તન કિનારીઓનું અંતર આડી (પહોળાઈ અથવા અક્ષ સાથે) કિનારીઓના અંતર કરતાં ઘણું ઓછું હોય છે. જો ઊભી ફ્રિન્જનું અંતર પ્રમાણમાં એટલું મોટું H જેટલું ઓછું હોય, તો ઊભી ફ્રિન્જનું નિરીક્ષણ એટલું મુશ્કેલ છે કે અવલોકનના સમતલ અથવા છબીના સમતલ પર વિક્ષેપિત તરંગ તીવ્રતાની પેટર્નનું નિરીક્ષણ કરતી વ્યક્તિ તેમની સાંકડી ઊંચાઈ સાથે માત્ર આડી ફ્રિન્જને ઓળખે છે. આ જ કારણ છે કે ઊંચાઈ-લાંબા સ્લિટ અથવા સ્લિટ એરે જેમ કે વિવર્તન ગ્રેટિંગનું સામાન્ય રીતે માત્ર પહોળાઈ સાથેના પરિમાણમાં વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. જો પ્રકાશિત બીમ સ્લિટની સંપૂર્ણ ઊંચાઈને પ્રકાશિત કરતું નથી, તો પછી ઊભી કિનારીઓનું અંતર સ્લિટની ઊંચાઈ સાથે લેસર બીમના પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. નીચેની બે-સ્લિટ પેટર્નની નજીકથી તપાસ દર્શાવે છે કે મુખ્ય સ્થળોની ઉપર અને નીચે ખૂબ જ બારીક ઊભી વિવર્તન કિનારીઓ છે, તેમજ વધુ સ્પષ્ટ આડી કિનારીઓ છે. વર્તુળાકાર છિદ્ર છિદ્ર વ્યાસ ધરાવે છે. અવલોકન સમતલમાં જટિલ કંપનવિસ્તાર એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ દ્વારા આપવામાં આવે છે પુનરાવર્તન સંબંધનો ઉપયોગ કરીને આપવા માટે જો આપણે અવેજી કરીએ અને એકીકરણની મર્યાદાઓ 0 થઈ જાય અને આપણે પુટિંગ મેળવીએ, તો આપણને ફોરિયર-બેસલ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મળે છે. આમ, આપણને તીવ્રતા મળે છે તીવ્રતા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ વિવર્તન પેટર્નનું સ્વરૂપ આ હવાદાર વિવર્તન પેટર્ન તરીકે ઓળખાય છે વિવર્તન પેટર્ન સામાન્ય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ હોય છે. ગૌસીયન રૂપરેખા સાથેનું છિદ્ર, ઉદાહરણ તરીકે, ગૌસીયન રૂપરેખા સાથેનું છિદ્ર, એક ફોટોગ્રાફિક સ્લાઇડ કે જેના પ્રસારણમાં ગૌસીયન ભિન્નતા હોય છે, જેથી મૂળથી r "'અંતર પર સ્થિત છિદ્રમાં એક બિંદુ પર કંપનવિસ્તાર ફોરિયર-બેસલ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને સોલ્યુશન આપીને આપવામાં આવે. હેન્કેલ રૂપાંતર આપી રહ્યું છે અને તીવ્રતા તીવ્રતા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ કાર્ય જમણી બાજુએ આલેખિત કરવામાં આવ્યું છે, અને તે જોઈ શકાય છે કે, લંબચોરસ અથવા ગોળાકાર છિદ્ર દ્વારા ઉત્પાદિત વિવર્તન પેટર્નથી વિપરીત, તેમાં કોઈ ગૌણ રિંગ્સ નથી. આનો ઉપયોગ એપોડાઇઝેશન નામની પ્રક્રિયામાં થઈ શકે છે-છિદ્ર એક ફિલ્ટર દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે જેનું પ્રસારણ ગૌસીયન કાર્ય તરીકે બદલાય છે, જે કોઈ ગૌણ રિંગ્સ વિના વિવર્તન પેટર્ન આપે છે. સ્લિટ્સ ટુ સ્લિટ્સ જ્યારે પ્રકાશ બે સ્લિટ્સ ઓવરલેપથી વિક્ષેપિત થાય છે ત્યારે જે પેટર્ન બને છે તે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોંધપાત્ર રસ ધરાવે છે, પ્રથમ યંગના હસ્તક્ષેપ પ્રયોગ દ્વારા પ્રકાશના તરંગ સિદ્ધાંતને સ્થાપિત કરવામાં તેના મહત્વ માટે, અને બીજું ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ડબલ-સ્લિટ્સ પ્રયોગમાં વિચાર પ્રયોગ તરીકે તેની ભૂમિકાને કારણે. લાલ લેસરનો ઉપયોગ કરીને સાંકડી ચીરીઓ right|thumb |Two ચીરીઓ હસ્તક્ષેપ ધારો કે આપણી પાસે તરંગલંબાઇના સમતલ તરંગ દ્વારા પ્રકાશિત બે લાંબી ચીરીઓ છે. સ્લિટ્સ સમતલમાં હોય છે, અક્ષની સમાંતર હોય છે, અંતર દ્વારા અલગ પડે છે અને મૂળ વિશે સપ્રમાણ હોય છે. તરંગલંબાઇની સરખામણીમાં સ્લિટ્સની પહોળાઈ નાની હોય છે. એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ ઘટના પ્રકાશ સ્લિટ્સ દ્વારા સમાન ગોળાકાર તરંગોમાં વિક્ષેપિત થાય છે. બે સ્લિટ્સમાંથી આપેલ દિશામાં મુસાફરી કરતા તરંગોના વિવિધ તબક્કાઓ હોય છે. મૂળના સંબંધમાં ઉપલા અને નીચલા સ્લિટ્સમાંથી તરંગોનો તબક્કો આ રીતે આપવામાં આવે છે અને સારાંશિત તરંગોનું જટિલ કંપનવિસ્તાર આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ છિદ્રને કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ ડેલ્ટા કાર્ય ક્યાં છે. આપણી પાસે છે અને આપી રહ્યા છીએ આ તે જ અભિવ્યક્તિ છે જે એકીકરણ દ્વારા ઉપર મેળવવામાં આવી છે. તીવ્રતા આ સંયુક્ત તરંગોની તીવ્રતા આ રીતે આપે છેઃ મર્યાદિત પહોળાઈના સ્લિટ્સ સ્લિટ્સની પહોળાઈ મર્યાદિત છે. એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ ડિફ્રૈક્ટેડ પેટર્ન આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ છિદ્ર કાર્ય આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ કાર્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ આવર્તન ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને કાર્યને અહીં આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આપણી પાસે અથવા આ તે જ અભિવ્યક્તિ છે જે એકીકરણ દ્વારા મેળવવામાં આવી હતી. તીવ્રતા તીવ્રતા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ તે જોઈ શકાય છે કે તીવ્રતા પેટર્નનું સ્વરૂપ વ્યક્તિગત સ્લિટ વિવર્તન પેટર્નનું ઉત્પાદન છે, અને દખલ પેટર્ન જે નગણ્ય પહોળાઈના સ્લિટ્સ સાથે મેળવવામાં આવશે. આ જમણી બાજુની છબીમાં સચિત્ર છે જે લેસર બીમ દ્વારા સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન દર્શાવે છે, અને બે સમાન સ્લિટ્સ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિવર્તન/હસ્તક્ષેપ પેટર્ન પણ દર્શાવે છે. ગ્રેટિંગ્સ એ ગ્રેટિંગને બોર્ન એન્ડ વુલ્ફમાં "કોઈ પણ વ્યવસ્થા જે ઘટના તરંગ પર કંપનવિસ્તાર અથવા તબક્કા, અથવા બંનેની સામયિક વિવિધતા લાદે છે" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સાંકડી સ્લિટ ગ્રેટિંગ એક સરળ ગ્રેટિંગમાં સ્લિટ્સ સાથેની સ્ક્રીનનો સમાવેશ થાય છે, જેની પહોળાઈ ઘટના પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી હોય છે. એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ એક ખૂણા પર વિક્ષેપિત તરંગનું જટિલ કંપનવિસ્તાર આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ કારણ કે આ ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ છિદ્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે આ કાર્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છેઃ 20 અને 50 સાંકડી સ્લિટ ગ્રેટિંગ વિવર્તન પેટર્નમાં મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા thumb|200px |right |Detail તીવ્રતા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ કાર્યમાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ શ્રેણી છે. નિયમિત અંતર "મુખ્ય મહત્તમ" હોય છે, અને મુખ્ય મહત્તમ વચ્ચે ઘણી નાની મહત્તમ સંખ્યા હોય છે. મુખ્ય મહત્તમ ત્યારે થાય છે જ્યારે અને તેથી મુખ્ય વિક્ષેપિત બીમ ખૂણાઓ પર થાય છેઃ સામાન્ય રીતે આપતનાં પ્રકાશ માટેનું આ ગ્રેટિંગ સમીકરણ છે. નાના મધ્યવર્તી મહત્તમની સંખ્યા સ્લિટ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે, અને તેમનું કદ અને આકાર પણ આના દ્વારા નક્કી થાય છે. = 50 માટે પેટર્નનું સ્વરૂપ પ્રથમ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. 20 અને 50 સ્લિટ્સ ગ્રેટિંગ્સ માટેની વિગતવાર રચના બીજા આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવી છે. મર્યાદિત પહોળાઈ સ્લિટ ગ્રેટિંગ ગ્રેટિંગમાં હવે N "પહોળાઈના સ્લિટ્સ અને એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને અંતર ઉકેલ છે એમ્પ્લિટ્યુડ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ એપર્ચર ફંક્શનને આ રીતે લખી શકાય છેઃ કન્વોલ્યુશન થીયરમનો ઉપયોગ કરીને, જે કહે છે કે જો આપણી પાસે બે કાર્યો હોય અને આપણી પાસે જ્યાં કન્વોલ્યુશન ઓપરેશન સૂચવે છે, તો આપણે એપર્ચર ફંક્શનને આ રીતે પણ લખી શકીએ છીએ. મુખ્ય વિક્ષેપિત શિખરોના કદને વ્યક્તિગત સ્લિટ્સના વિવર્તન પેટર્ન સાથે મોડ્યુલેટ કરવામાં આવે છે. અન્ય ગ્રેટિંગ્સ ઉપરની ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કોઈપણ સામયિક માળખા માટે વિવર્તનનું સ્વરૂપ શોધવા માટે કરી શકાય છે જ્યાં માળખાનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ જાણીતું છે. ગુડમેન આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સાઇનસોઈડલ એમ્પ્લિટ્યુડ અને ફેઝ મોડ્યુલેશન ગ્રેટિંગ્સ સાથે મેળવેલ વિવર્તન પેટર્ન માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવવા માટે કરે છે. આ હોલોગ્રાફીમાં ખાસ રસ ધરાવે છે. એક્સ્ટેન્શન્સ બિન-સામાન્ય પ્રકાશ જો છિદ્ર એક દિશામાં મોનોક્રોમેટિક પ્લેન તરંગ ઘટના દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે, તો ઉપરના ફ્રોનહોફર સમીકરણનું પ્રથમ સંસ્કરણ બની જાય છેઃ ઉપરની દરેક પ્રણાલીઓનું મોડેલ બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સમીકરણો માત્ર અચળાંકોના ગુણાકારમાં ફેરફારો દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને તેથી વિવર્તન પ્રકાશ પેટર્નનું સ્વરૂપ હશે, સિવાય કે તે હવે ઘટના પ્લેન તરંગની દિશાની આસપાસ કેન્દ્રિત હશે. ફ્રેનહોફર વિવર્તનના ઉપરોક્ત તમામ ઉદાહરણોમાં, પ્રકાશિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ વધારવાની અસર વિવર્તન માળખાના કદને ઘટાડવાની છે, અને તેનાથી વિપરીત, જ્યારે તરંગલંબાઇ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે પેટર્નનું કદ વધે છે. જો પ્રકાશ મોનો-રંગીન ન હોય, એટલે કે. તેમાં વિવિધ તરંગલંબાઇની શ્રેણી હોય છે, દરેક તરંગલંબાઇ તેના પડોશીઓથી થોડી અલગ કદની પેટર્નમાં વિભાજિત થાય છે. જો તરંગલંબાઇનો ફેલાવો સરેરાશ તરંગલંબાઇ કરતા નોંધપાત્ર રીતે ઓછો હોય, તો વ્યક્તિગત પેટર્ન કદમાં ખૂબ જ ઓછી બદલાશે, અને તેથી મૂળભૂત વિવર્તન હજુ પણ સહેજ ઘટાડેલા વિરોધાભાસ સાથે દેખાશે. જેમ જેમ તરંગલંબાઇનો ફેલાવો વધે છે તેમ તેમ અવલોકન કરી શકાય તેવી "કિનારીઓ" ની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય છે. કિર્ચોફનું વિવર્તન સૂત્ર ફ્રેસ્નલ વિવર્તન હ્યુજેન્સ સિદ્ધાંત એરી ડિસ્ક ફોરિયર ઓપ્ટિક્સ સંદર્ભો વિવર્તન ફોરિયર વિશ્લેષણ પણ જુઓ.