Ex-tangential quadrilateral
યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં, એક્સ-ટેન્જેન્શિયલ ચતુર્ભુજ એ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ છે જ્યાં ચારેય બાજુના વિસ્તરણ ચતુર્ભુજની બહારના વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે. તેને વર્ણનાત્મક ચતુર્ભુજ પણ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળને તેનું વર્તુળ કહેવામાં આવે છે, તેની ત્રિજ્યાને બાહ્યરેખા અને તેના કેન્દ્રને કેન્દ્ર (આકૃતિમાં) કહેવામાં આવે છે. કેન્દ્રબિંદુ છ ખૂણા દ્વિભાજકના આંતરછેદ પર આવેલું છે. આ બે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ ખૂણાઓ પર આંતરિક ખૂણો દ્વિભાજક છે, અન્ય બે શિરોબિંદુ ખૂણાઓ પર બાહ્ય ખૂણો દ્વિભાજક (પૂરક ખૂણો દ્વિભાજક) છે, અને જ્યાં વિરુદ્ધ બાજુઓના વિસ્તરણ એકબીજાને છેદે છે ત્યાં રચાયેલા ખૂણાઓ પર બાહ્ય ખૂણો દ્વિભાજક છે (જમણી બાજુની આકૃતિ જુઓ, જ્યાં આ છમાંથી ચાર બિંદુયુક્ત રેખા વિભાગો છે). પૂર્વ-સ્પર્શરેખા ચતુર્ભુજ સ્પર્શરેખા ચતુર્ભુજ (જ્યાં ચાર બાજુઓ વર્તુળને સ્પર્શરેખા હોય છે) સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ત્રિકોણીય વર્તુળ માટેનું બીજું નામ એક અંકિત વર્તુળ છે, પરંતુ તે નામનો ઉપયોગ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજની એક બાજુના વર્તુળ સ્પર્શક અને નજીકના બે બાજુના વિસ્તરણ માટે પણ કરવામાં આવે છે. તે સંદર્ભમાં તમામ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં ચાર વિશિષ્ટ વર્તુળો હોય છે, પરંતુ તેઓ વધુમાં વધુ એક બાહ્ય વર્તુળ ધરાવી શકે છે. વિશેષ કિસ્સાઓમાં પતંગો એ પૂર્વ-સ્પર્શક ચતુર્ભુજના ઉદાહરણો છે. સમાંતર લંબચોરસ (જેમાં ચોરસ, લંબચોરસ અને લંબચોરસનો સમાવેશ થાય છે) ને અનંત બાહ્યરેખા સાથે પૂર્વ-સ્પર્શરેખા ચતુર્ભુજ ગણી શકાય કારણ કે તેઓ આગામી વિભાગમાં લાક્ષણિકતાઓને સંતોષે છે, પરંતુ ભ્રમણકક્ષા વિરુદ્ધ બાજુઓના વિસ્તરણની બંને જોડી માટે સ્પર્શરેખા ન હોઈ શકે (કારણ કે તે સમાંતર છે). બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ કે જેમની બાજુની લંબાઈ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે તે હંમેશા પૂર્વ-સ્પર્શક હોય છે કારણ કે તેઓ નજીકની બાજુની લંબાઈ માટે નીચેની લાક્ષણિકતાને સંતોષે છે. લાક્ષણિકતાઓ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ એ પૂર્વ-સ્પર્શક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં છ સહવર્તી ખૂણા દ્વિભાજક હોય. આ બે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ ખૂણાઓ પર આંતરિક ખૂણો દ્વિભાજક છે, અન્ય બે શિરોબિંદુ ખૂણાઓ પર બાહ્ય ખૂણો દ્વિભાજક છે, અને જ્યાં વિરુદ્ધ બાજુઓના વિસ્તરણ એકબીજાને છેદે છે ત્યાં રચાયેલા ખૂણાઓ પર બાહ્ય ખૂણો દ્વિભાજક છે. ગણતરીના હેતુ માટે, વધુ ઉપયોગી લાક્ષણિકતા એ છે કે ક્રમિક બાજુઓ સાથેનું બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ પૂર્વ-સ્પર્શક્ષમ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બે અડીને આવેલી બાજુઓનો સરવાળો અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા જેટલો હોય. આ બે અલગ અલગ રીતે શક્ય છેઃ અથવા આ 1846 માં જેકબ સ્ટેઇનર દ્વારા સાબિત થયું હતું. પ્રથમ કિસ્સામાં, વર્તુળ સૌથી મોટા શિરોબિંદુઓની બહાર હોય છે અથવા, જ્યારે બીજા કિસ્સામાં તે સૌથી મોટા શિરોબિંદુઓની બહાર હોય છે અથવા, જો કે ચતુર્ભુજની બાજુઓ બાજુઓ સંબંધિત આ લાક્ષણિકતાઓને જોડવાની એક રીત એ છે કે વિરુદ્ધ બાજુઓ વચ્ચેના તફાવતોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો વિરુદ્ધ બાજુઓની બે જોડી માટે સમાન હોય છે, આ સમીકરણો સ્પર્શક ચતુર્ભુજ માટે પિટોટ પ્રમેય સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જ્યાં વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળા વિરુદ્ધ બાજુઓની બે જોડી માટે સમાન હોય છે. જો બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં વિરુદ્ધ બાજુઓ અને પર છેદે છે, તો જમણી બાજુના સૂચિતાર્થનું નામ એલ. એમ. ઉર્કહાર્ટ (1902-1966) પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જોકે તે 1841માં ઑગસ્ટસ ડી મોર્ગન દ્વારા ઘણા સમય પહેલા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. ડેનિયલ પેડોએ તેને યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સૌથી પ્રાથમિક પ્રમેય નામ આપ્યું કારણ કે તે માત્ર સીધી રેખાઓ અને અંતર સાથે સંબંધિત છે. હકીકતમાં એક સમાનતા છે તે મોવાક હજ્જા દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, જે જમણી બાજુની સમાનતાને ચતુષ્કોણ માટે પૂર્વ-સ્પર્શનીય હોવા માટે બીજી જરૂરી અને પૂરતી શરત બનાવે છે. સ્પર્શક ચતુર્ભુજ સાથે સરખામણી સ્પર્શક ચતુર્ભુજ (કોષ્ટકમાં ડાબી કોલમ) ની કેટલીક મેટ્રિક લાક્ષણિકતાઓ પૂર્વ-સ્પર્શક ચતુર્ભુજ (કોષ્ટકમાં મધ્ય અને જમણી કોલમ) માટે ખૂબ સમાન સમકક્ષો ધરાવે છે, જે નીચે કોષ્ટકમાં જોઈ શકાય છે. આમ, બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં યોગ્ય શિરોબિંદુની બહાર (સ્તંભ પર આધાર રાખીને) આંતરિક વર્તુળ અથવા બાહ્ય વર્તુળ હોય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો નીચેની પાંચ જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતોમાંથી કોઈપણ એક સંતોષાય. આ કોષ્ટકમાં સંકેતો નીચે મુજબ છેઃ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં, કર્ણ અહીં છેદે છે. ત્રિકોણમાં પરિઘ છે; એ જ ચાર ત્રિકોણમાં અનુક્રમે બાજુઓ સુધીની ઊંચાઈ છે; શિરોબિંદુઓમાંથી અનુક્રમે અંતર છે; અનુક્રમે ખૂણા છે; અને વર્તુળોમાં ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે બાજુઓને બાહ્ય રીતે સ્પર્શક છે અને દરેક બાજુ માટે અડીને આવેલી બે બાજુઓનું વિસ્તરણ છે. ક્ષેત્રફળ બાજુઓ સાથેનો એક સ્પર્શરેખા ચતુષ્કોણ વિસ્તાર ધરાવે છે નોંધ લો કે આ સ્પર્શરેખા ચતુષ્કોણ વિસ્તાર માટેનું સૂત્ર સમાન છે અને તે પણ તે જ રીતે બ્રેત્શ્નાઇડરના સૂત્રમાંથી મેળવવામાં આવ્યું છે. એક્સરેડિયસ સતત બાજુઓ સાથે એક્સ-ટેન્જેન્શિયલ ચતુર્ભુજ માટે એક્સરેડિયસ ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ બાજુઓ સાથે એક્સ-ટેન્જેન્શિયલ ચતુર્ભુજ માટે, જ્યારે ચતુર્ભુજ પણ ચક્રીય હોય ત્યારે એક્સરેડિયસ મહત્તમ હોય છે (અને તેથી એક એક્સ-બાયસેન્ટ્રિક ચતુર્ભુજ). આ સૂત્રો સમજાવે છે કે શા માટે તમામ સમાંતર ચતુર્ભુજમાં અનંત બાહ્ય ત્રિજ્યા હોય છે. પૂર્વ-દ્વિ-કેન્દ્રિત ચતુર્ભુજ જો પૂર્વ-સ્પર્શક ચતુર્ભુજમાં પણ એક પરિઘ હોય, તો તેને પૂર્વ-દ્વિ-કેન્દ્રિત ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. પછી, તેના બે વિરુદ્ધ પૂરક ખૂણા હોવાથી, તેનું ક્ષેત્રફળ આપવામાં આવે છે, જે દ્વિકેન્દ્રી ચતુર્ભુજ માટે સમાન છે. જો પરિઘ કેન્દ્ર અને પરિઘ કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર હોય, તો અનુક્રમે પરિઘ અને ત્રિજ્યા ક્યાં છે. આ દ્વિકેન્દ્રી ચતુર્ભુજ માટે ફસના પ્રમેય જેવું જ સમીકરણ છે. પરંતુ જ્યારે માટે ઉકેલીએ છીએ, ત્યારે આપણે દ્વિ-કેન્દ્રિતની સરખામણીમાં પૂર્વ-દ્વિ-કેન્દ્રિત ચતુર્ભુજ માટે દ્વિઘાત સમીકરણના અન્ય મૂળને પસંદ કરવું જોઈએ. તેથી, આપણી પાસે એક્સ-બાયસેન્ટ્રીક માટે આ સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે જેનો અર્થ છે કે પરિઘ અને એક્સસર્કલ ક્યારેય એકબીજાને છેદતા નથી. સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણ ચક્રીય ચતુર્ભુજ સંદર્ભો પણ જુઓ.