Mittag-Leffler polynomials
ગણિતમાં, મિટ્ટાગ-લેફલર બહુપદીઓ એ બહુપદીઓ gn (x) અથવા Mn (x) દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ છે. એમએન (x) એ બી = 0, સી =-1 પર મિક્સનર બહુપદી એમએન (x; બી, સી) નો એક વિશેષ કેસ છે. વ્યાખ્યા અને જનરેટિંગ ફંક્શન્સના ઉદાહરણો મિટ્ટાગ-લેફલર બહુપદીઓને અનુક્રમે જનરેટિંગ ફંક્શન્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેમની પાસે બાયવેરિયેટ જનરેટિંગ ફંક્શન પણ હોય છે. અંકોના ગુણાંક ઓ. ઈ. આઈ. એસ. માં મળી શકે છે, જોકે કોઈપણ સંદર્ભો વિના, અને તેના ગુણાંક ઓ. ઈ. આઈ. એસ. માં પણ છે. {| વર્ગ = "વિકિટેબલ"! ! gn (x)! ! Mn (x) |-| 0 | | | | | |-| 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | પણ. સ્પષ્ટ સૂત્રો સ્પષ્ટ સૂત્રો છે (છેલ્લું સૂત્ર તરત જ બતાવે છે, એક પ્રકારનું પ્રતિબિંબ સૂત્ર), અને, જેને આ રીતે પણ લખી શકાય છે, જ્યાં ઘટતા ફેક્ટોરિયલને સૂચવે છે. ગૌસીયન હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યની દ્રષ્ટિએ, આપણી પાસે પ્રતિબિંબ સૂત્ર છે ઉપર જણાવ્યા મુજબ, કારણ કે, આપણી પાસે પ્રતિબિંબ સૂત્ર છે. પુનરાવર્તન સૂત્રો બહુપદીઓને અને થી શરૂ કરીને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. અન્ય પુનરાવર્તન સૂત્ર, જે અગાઉના સમમાંથી વિચિત્ર સૂત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને તેનાથી ઊલટું, ફરીથી શરૂ થાય છે. માટે, આપણી પાસે ઘણા જુદા જુદા પુનરાવર્તન સૂત્રો છેઃ પુનરાવર્તન સૂત્ર (3) ને ધ્યાનમાં રાખીને, બહુપદી એ તફાવત સમીકરણનો અનન્ય બહુપદી ઉકેલ છે, જે સામાન્યીકૃત છે. વધુમાં નોંધ લો કે (2) અને (3) એ અર્થમાં એકબીજા સાથે બેવડા છે કે, આપણે એક ઓળખ માટે પ્રતિબિંબ સૂત્ર લાગુ કરી શકીએ છીએ અને પછી અદલાબદલી કરી શકીએ છીએ અને બીજાને મેળવી શકીએ છીએ. (જેમ બહુપદીઓ છે તેમ, માન્યતા કુદરતીથી તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો સુધી વિસ્તરે છે.) પ્રારંભિક મૂલ્યો (આ મૂલ્યોને OEISમાં "n-પરિમાણીય ક્રોસ પોલીટોપ માટે આંકડાકીય સંખ્યાઓ" પણ કહેવામાં આવે છે) ના પ્રારંભિક મૂલ્યોનું કોષ્ટક પુનરાવર્તન સૂત્ર (1) ને સમજાવી શકે છે, જેનો અર્થ એ થઈ શકે છે કે દરેક એન્ટ્રી એ ત્રણ પડોશી એન્ટ્રીઓનો સરવાળો છેઃ તેની ડાબી બાજુએ, ઉપર અને ડાબી બાજુએ, દા. ત. . તે મુખ્ય કર્ણના સંદર્ભમાં પ્રતિબિંબ સૂત્રને પણ સમજાવે છે, દા. ત. . {| વર્ગ = "વિકિટેબલ"! ! ! 1!! 2! ! 3! ! 4! ! 5! ! 6! ! 7. ! 8. ! 9. ! 10 |-! 1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" 2 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |2 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |4 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |6 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |8 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |10 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |12 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |14 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |16 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |18 | શૈલી = " 3. શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |3 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |9 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |19 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |3 3 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |51 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |73 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |9 9 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |129 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" 4 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |4 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |16 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |4 4 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |96 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |180 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |304 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |476 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિત" 5 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |5 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |25 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |85 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |225 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |5 01 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |985 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" 6. શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |6 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |36 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |146 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |456 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |1182 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે; | | શૈલી =" લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે; "| | શૈલી =" લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે; "| | શૈલી =" લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે; "| | શૈલી =" લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે; " 7. શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |7 | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |49 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |231 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |833 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = " 8. શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |8 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |64 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" |344 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે;" 9. શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; |9 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; "|81 | | શૈલી =" લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે ";" | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે" 10. શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | 10 | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; | | શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે"; "| | |" ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધો નીચેના ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધ માટે ધરાવે છેઃ (નોંધ કરો કે આ એક જટિલ નથી) દરેક સમ અથવા વિષમ બહુપદી હોવાથી, કાલ્પનિક દલીલો તેમના ગુણાંક માટે માત્ર વૈકલ્પિક સંકેતો ઉત્પન્ન કરે છે. વધુમાં, જો અને અલગ સમાનતા હોય, તો અભિન્ન તુચ્છ રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે.) દ્વિપદી ઓળખ દ્વિપદી પ્રકારનો શેફર ક્રમ હોવાથી, મિટ્ટાગ-લેફલર બહુપદીઓ પણ દ્વિપદી ઓળખને સંતોષે છે. ઇન્ટિગ્રલ રજૂઆતો હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય તરીકેની રજૂઆતના આધારે, ઇન્ટિગ્રલ તરીકે સીધી રીતે રજૂ કરવાની ઘણી રીતો છે, તેમાંની કેટલીક જટિલ માટે પણ માન્ય છે, દા. ત. . અભિન્ન પરિવારોના બંધ સ્વરૂપો ઝીટા મૂલ્યોની દ્રષ્ટિએ બંધ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિઓ સાથે સંકલનના ઘણા પરિવારો છે જ્યાં મિટ્ટાગ-લેફલર બહુપદીના ગુણાંક ગુણાંક તરીકે જોવા મળે છે. તે તમામ ઇન્ટિગ્રલ્સને પરિબળ અથવા પરિબળ ધરાવતા સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, અને મિટ્ટાગ-લેફલર બહુપદીની ડિગ્રી સાથે બદલાય છે. તે ઇન્ટિગ્રલ્સને તૈયાર કરવાની એક રીત એ છે કે તેમના માટે ભાગો દ્વારા ઇન્ટિગ્રેશનનો ઉપયોગ કરીને મિટ્ટાગ-લેફલર બહુપદીઓ માટે અનુરૂપ પુનરાવર્તન સૂત્રો મેળવવામાં આવે. 1. દાખલા તરીકે, આ ઇન્ટિગ્રલ્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરો આ ઇન્ટિગ્રલ્સ અમ્બ્રલ નોટેશનમાં બંધ સ્વરૂપ ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે બહુપદીને વિસ્તૃત કર્યા પછી, દરેક પાવરને ઝેટા મૂલ્ય દ્વારા બદલવો પડશે. ઇ. જી. આપણને મળે છે. 2. તેવી જ રીતે અંબ્રલ નોટેશનમાં, જ્યાં વિસ્તરણ કર્યા પછી, તેને ડિરીક્લેટ એટા ફંક્શન દ્વારા બદલવું પડે છે, તેમાં બંધ સ્વરૂપ હોય છે. 3. નીચેના માટે અને, અને સાતત્ય દ્વારા પૂર્ણ કરવા માટે સમાન અંબ્રલ નોટેશન ધરાવે છે. નોંધ લો કે માટે, આ સંકલન 4 માટે બંધ સ્વરૂપ પણ આપે છે. માટે, વ્યાખ્યાયિત કરો. જો સમ હોય અને આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો આપણી પાસે અંબ્રલ નોટેશન છે, એટલે કે. તેના બદલે, નોંધ લો કે અહીં માત્ર વિષમ ઝીટા મૂલ્યો (વિષમ) જોવા મળે છે (જ્યાં સુધી છેદને સમ ઝીટા મૂલ્યો તરીકે કાસ્ટ કરવામાં ન આવે), દા. ત. 5. જો તે વિચિત્ર હોય, તો તે જ અભિન્ન મૂલ્યાંકન કરવા માટે વધુ સામેલ છે, જેમાં પ્રારંભિક એકનો સમાવેશ થાય છે. તેમ છતાં તે તારણ આપે છે કે જો આપણે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો પેટર્ન ટકી રહે છે. પછી અંબ્રલ નોટેશનમાં નીચેનું બંધ સ્વરૂપ હોય છે, જેમ કેઃ નોંધ લો કે રીમેનના કાર્યાત્મક સમીકરણના લઘુગણક વ્યુત્પન્નના આધારે, જે યુલરના પ્રતિબિંબ સૂત્રને લાગુ કર્યા પછી લેવામાં આવે છે, તેના સંદર્ભમાં આ સમીકરણોને આના સંદર્ભમાં લખી શકાય છે, દા. ત. 6. કારણ કે, સમાન ઇન્ટિગ્રલ અલગ પડે છે કારણ કે ઇન્ટિગ્રાન્ડ માટે જેવું વર્તે છે. પરંતુ અનુરૂપ ડિગ્રી તફાવતો સાથે આવા બે સંકલનોનો તફાવત સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે અને ખૂબ સમાન પેટર્ન દર્શાવે છે, દા. ત. . બીજા પ્રકારની સ્ટર્લિંગ બહુપદીઓ પોલી-બર્નૌલી સંખ્યા સંદર્ભ બહુપદીઓની બર્નૌલી બહુપદી પણ જુઓ.