L-semi-inner product
ગણિતમાં અર્ધ-ગૌણ-ઉત્પાદનની બે અલગ અલગ ધારણાઓ છે. પ્રથમ, અને વધુ સામાન્ય, આંતરિક ઉત્પાદન છે જે સખત હકારાત્મક હોવું જરૂરી નથી. આ લેખ બીજા સાથે વ્યવહાર કરશે, જેને લ્યુમરના અર્થમાં એલ-સેમી-ઇનર પ્રોડક્ટ અથવા સેમી-ઇનર પ્રોડક્ટ કહેવામાં આવે છે, જે એક આંતરિક પ્રોડક્ટ છે જે સંયુક્ત સમપ્રમાણ હોવું જરૂરી નથી. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં હિલ્બર્ટ અવકાશ પ્રકારની દલીલોને બનાચ જગ્યાઓ સુધી લંબાવવાના હેતુથી ગુંટર લ્યુમર દ્વારા તેને ઘડવામાં આવી હતી. પાછળથી જાઇલ્સ દ્વારા મૂળભૂત ગુણધર્મોની શોધ કરવામાં આવી હતી. વ્યાખ્યા આપણે ફરીથી ઉલ્લેખ કરીએ છીએ કે અહીં પ્રસ્તુત વ્યાખ્યા પ્રમાણભૂત કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ પાઠ્યપુસ્તકોમાં "અર્ધ-લઘુ ઉત્પાદન" થી અલગ છે, જ્યાં "અર્ધ-લઘુ ઉત્પાદન" આંતરિક ઉત્પાદનોના તમામ ગુણધર્મોને સંતોષે છે (સંયુગ્મ સમપ્રમાણતા સહિત) સિવાય કે તે સખત હકારાત્મક હોવું જરૂરી નથી. જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર રેખીય વેક્ટર જગ્યા માટે અર્ધ-લઘુ-ઉત્પાદન, એલ-અર્ધ-લઘુ ઉત્પાદન, અથવા લ્યુમરના અર્થમાં અર્ધ-લઘુ ઉત્પાદન એ સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવતું કાર્ય છે, જેમ કે તમામ બિન-નકારાત્મક-નિશ્ચિતતા માટેઃ પ્રથમ દલીલમાં રેખીયતા, એટલે કેઃ પ્રથમ દલીલમાં યોગાત્મકતાઃ પ્રથમ દલીલમાં એકરૂપતાઃ બીજી દલીલમાં સંયોગાત્મક એકરૂપતાઃ કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતા-આંતરિક ઉત્પાદનોમાંથી તફાવત અર્ધ-લઘુ-ઉત્પાદન આંતરિક ઉત્પાદનોથી અલગ છે જેમાં તે સામાન્ય રીતે સંયુગ્મિત સપ્રમાણ નથી, એટલે કે, સામાન્ય રીતે. આ એવું કહેવા સમાન છે કે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અર્ધ-ગૌણ-ઉત્પાદનો સામાન્ય રીતે તેના બીજા ચલ વિશે બિનરેખીય હોય છે. નોર્મ્ડ જગ્યાઓ માટે સેમી-ઇનર-પ્રોડક્ટ્સ જો રેખીય વેક્ટર જગ્યા માટે સેમી-ઇનર-પ્રોડક્ટ હોય તો તેના પર નોર્મ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેનાથી વિપરીત, જો ધોરણ સાથે નોર્મ્ડ વેક્ટર સ્પેસ હોય તો તેના પર હંમેશા અર્ધ-ઇનર પ્રોડક્ટ અસ્તિત્વમાં હોય છે (જરૂરી નથી કે અનન્ય હોય) જે ધોરણ સાથે સુસંગત હોય છે આ અર્થમાં કે ઉદાહરણો ધોરણ () સાથે યુક્લિડિયન સ્પેસ સુસંગત અર્ધ-ઇનર-પ્રોડક્ટ ધરાવે છેઃ જ્યાં સામાન્ય રીતે, માપ જગ્યા પર-ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સની જગ્યા જ્યાં ધોરણ સાથે સુસંગત અર્ધ-ઇનર-પ્રોડક્ટ ધરાવે છેઃ એપ્લિકેશન્સ લ્યુમરના વિચારને અનુસરીને, અર્ધ-ઇનર-પ્રોડક્ટ્સ બનાચ જગ્યાઓ પર બાઉન્ડેડ રેખીય ઓપરેટર્સનો અભ્યાસ કરવા માટે વ્યાપકપણે લાગુ કરવામાં આવી હતી. 2007માં, ડેર અને લીએ બનાચ જગ્યાઓમાં મોટા માર્જિન વર્ગીકરણ વિકસાવવા માટે અર્ધ-ગૌણ-ઉત્પાદનો લાગુ કર્યા હતા. તાજેતરમાં, મશીન લર્નિંગ માટે કર્નલ બનાચ જગ્યાઓનું પુનઃઉત્પાદન કરવાની વિભાવના સ્થાપિત કરવા માટે અર્ધ-ગૌણ-ઉત્પાદનોનો મુખ્ય સાધન તરીકે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. અર્ધ-ગૌણ-ઉત્પાદનોનો ઉપયોગ બનાચ જગ્યાઓ માટે ફ્રેમ્સ, રીઝ બેઝનો સિદ્ધાંત સ્થાપિત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. સંદર્ભ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ પણ જુઓ