Well-covered graph
આલેખ સિદ્ધાંતમાં, સારી રીતે આવરિત આલેખ એ એક દિશાહીન આલેખ છે જેમાં દરેક ન્યૂનતમ શિરોબિંદુ આવરણનું કદ દરેક અન્ય ન્યૂનતમ શિરોબિંદુ આવરણ જેટલું જ હોય છે. સમાનરૂપે, આ એવા આલેખ છે જેમાં તમામ મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહોનું કદ સમાન હોય છે. સારી રીતે આવરિત આલેખની વ્યાખ્યા કરવામાં આવી હતી અને સૌપ્રથમ 1970માં માઈકલ ડી. પ્લમર દ્વારા તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખમાં તમામ સંપૂર્ણ આલેખ, સંતુલિત સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખ અને રોકના આલેખનો સમાવેશ થાય છે, જેના શિરોબિંદુઓ ચેસબોર્ડના ચોરસને રજૂ કરે છે અને ધાર ચેસ રોકની ચાલને રજૂ કરે છે. સારી રીતે ઢંકાયેલા ઘન આલેખની જાણીતી લાક્ષણિકતાઓ, સારી રીતે ઢંકાયેલા પંજા-મુક્ત આલેખ અને ઉચ્ચ ઘેરાના સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખ આ આલેખને બહુપદી સમયમાં ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ અન્ય પ્રકારના આલેખ સારી રીતે ઢંકાયેલા છે કે કેમ તે ચકાસવું એ એક સી. ઓ. એન. પી.-પૂર્ણ સમસ્યા છે. વ્યાખ્યાઓ આલેખમાં શિરોબિંદુ આવરણ એ શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે જે આલેખની દરેક ધારને સ્પર્શે છે. શિરોબિંદુ આવરણ ન્યૂનતમ અથવા બિનજરૂરી હોય છે, જો તેમાંથી કોઈ શિરોબિંદુ દૂર કરવાથી આવરણ ગુણધર્મનો નાશ થશે. જો ઓછા શિરોબિંદુઓ સાથે અન્ય કોઈ શિરોબિંદુ આવરણ ન હોય તો તે ન્યૂનતમ છે. સારી રીતે આવરિત આલેખ એ છે જેમાં દરેક ન્યૂનતમ આવરણ પણ ન્યૂનતમ હોય છે. સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખને વ્યાખ્યાયિત કરતા મૂળ પેપરમાં, પ્લમર લખે છે કે આ એ ગુણધર્મની "દેખીતી રીતે સમકક્ષ" છે કે દરેક બે ન્યૂનતમ આવરણમાં એકબીજા જેટલા જ શિરોબિંદુઓ હોય છે. આલેખમાં સ્વતંત્ર સમૂહ એ શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી કોઈ બે એકબીજાથી અડીને નથી. જો આલેખમાં શિરોબિંદુ આવરણ હોય, તો તેનું પૂરક એક સ્વતંત્ર સમૂહ હોવું જોઈએ, અને તેનાથી ઊલટું. જો અને માત્ર ત્યારે જ તેનું પૂરક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહ હોય, અને જો અને માત્ર ત્યારે જ તેનું પૂરક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહ હોય તો તે લઘુત્તમ શિરોબિંદુ આવરણ છે. તેથી, સારી રીતે આવરિત આલેખ, સમકક્ષ રીતે, એક આલેખ છે જેમાં દરેક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહ સમાન કદ ધરાવે છે, અથવા એક આલેખ જેમાં દરેક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહ મહત્તમ હોય છે. સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખને વ્યાખ્યાયિત કરતા મૂળ પેપરમાં, આ વ્યાખ્યાઓ જોડાયેલા આલેખ સુધી મર્યાદિત હતી, જો કે તે ડિસ્કનેક્ટ કરેલા આલેખ માટે પણ અર્થપૂર્ણ છે. પછીના કેટલાક લેખકોએ જોડાણની જરૂરિયાતને નબળી જરૂરિયાત સાથે બદલી છે કે સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખમાં કોઈ અલગ શિરોબિંદુ ન હોવા જોઈએ. જોડાયેલા સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખ અને અલગ શિરોબિંદુઓ વગર સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખ બંને માટે, કોઈ આવશ્યક શિરોબિંદુઓ, શિરોબિંદુઓ હોઈ શકતા નથી જે દરેક લઘુત્તમ શિરોબિંદુ આવરણ સાથે સંબંધિત હોય. વધુમાં, દરેક સારી રીતે આવરિત આલેખ એ શિરોબિંદુને આવરી લેવા માટે એક નિર્ણાયક આલેખ છે, જેનો અર્થ એ છે કે, દરેક શિરોબિંદુ માટે, આલેખમાંથી કાઢી નાખવાથી નાના લઘુત્તમ શિરોબિંદુ આવરણ સાથે આલેખ ઉત્પન્ન થાય છે. આલેખનું સ્વતંત્ર સંકુલ એ દરેક સ્વતંત્ર સમૂહ માટે સિમ્પ્લેક્સ ધરાવતું સરળ સંકુલ છે. એક સરળ સંકુલને શુદ્ધ કહેવામાં આવે છે જો તેની તમામ મહત્તમ સરળતાઓમાં સમાન મુખ્યતા હોય, તો સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલો આલેખ સમાન રીતે શુદ્ધ સ્વતંત્ર સંકુલ સાથેનો આલેખ છે. ઉદાહરણો ચાર કે પાંચ લંબાઈનો ચક્ર આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છેઃ દરેક કિસ્સામાં, દરેક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહનું કદ બે હોય છે. સાત લંબાઈનું ચક્ર અને ત્રણ લંબાઈનો માર્ગ પણ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છે. દરેક સંપૂર્ણ આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છેઃ દરેક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહમાં એક જ શિરોબિંદુ હોય છે. તેવી જ રીતે, દરેક ક્લસ્ટર ગ્રાફ (સંપૂર્ણ ગ્રાફનું અસંબદ્ધ જોડાણ) સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે જો તેના દ્વિપક્ષીકરણની બંને બાજુઓમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા સમાન હોય, કારણ કે આ તેના માત્ર બે મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહો છે. કોઈ અલગ શિરોબિંદુઓ વગરના ત્રિકોણ-મુક્ત આલેખનો પૂરક આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છેઃ તેમાં બે કરતા મોટા કોઈ સ્વતંત્ર સમૂહ નથી, અને દરેક એક શિરોબિંદુને બે-શિરોબિંદુ સ્વતંત્ર સમૂહ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. રોકનો ગ્રાફ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છેઃ જો કોઈ વ્યક્તિ ચેસબોર્ડ પર રોકનો કોઈ સમૂહ મૂકે છે જેથી કોઈ બે રોક એકબીજા પર હુમલો ન કરે, તો ચેસબોર્ડની દરેક પંક્તિ અને સ્તંભ પર એક ન હોય ત્યાં સુધી વધુ બિન-આક્રમક રોક મૂકવાનું ચાલુ રાખવું હંમેશા શક્ય છે. આલેખ કે જેના શિરોબિંદુઓ એક સરળ બહુકોણના કર્ણ હોય છે અને જેની કિનારીઓ એકબીજાને પાર કરતા કર્ણની જોડીને જોડે છે તે સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે, કારણ કે તેના મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહો બહુકોણના ત્રિકોણ હોય છે અને તમામ ત્રિકોણમાં સમાન સંખ્યામાં કિનારીઓ હોય છે. જો કોઈ-વર્ટેક્સ આલેખ હોય, તો એક-ધાર આલેખ સાથેનો મૂળ ઉત્પાદન (એટલે કે, નવા શિરોબિંદુઓને ઉમેરીને રચાયેલો આલેખ, દરેક ડિગ્રી એક અને દરેક એક અલગ શિરોબિંદુને અડીને) સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે. કારણ કે, મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહમાં પૂરક સમૂહના ડિગ્રી-1 પડોશીઓ સાથે મનસ્વી સ્વતંત્ર સમૂહ હોવો આવશ્યક છે, અને તેથી તેનું કદ હોવું આવશ્યક છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જૂથ આવરણ સાથે કોઈપણ આલેખ આપવામાં આવે છે (જૂથમાં શિરોબિંદુઓનું વિભાજન), દરેક જૂથમાં અન્ય શિરોબિંદુ ઉમેરીને રચાયેલ આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે; મૂળ ઉત્પાદન એ આ રચનાનો ખાસ કેસ છે જ્યારે તેમાં એક-શિરોબિંદુ જૂથો હોય છે. આમ, દરેક આલેખ સારી રીતે આવરિત આલેખનો પ્રેરિત ઉપ આલેખ છે. દ્વિપક્ષીતા, ખૂબ જ સારી રીતે આવરિત આલેખ અને ઘેરાવો ખૂબ જ સારી રીતે આવરિત આલેખને સારી રીતે આવરિત આલેખ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે (સંભવતઃ વિચ્છેદિત, પરંતુ કોઈ અલગ શિરોબિંદુઓ વગર) જેમાં દરેક મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહ (અને તેથી દરેક ન્યૂનતમ શિરોબિંદુ આવરણ પણ) શિરોબિંદુઓનો બરાબર અડધો ભાગ ધરાવે છે. આ વ્યાખ્યામાં આલેખના મૂળ ઉત્પાદનો અને એક-ધાર આલેખનો સમાવેશ થાય છે. તેમાં, દાખલા તરીકે, અને દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલા દ્વિપક્ષી સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખનો પણ સમાવેશ થાય છેઃ અલગ શિરોબિંદુઓ વગરના દ્વિપક્ષી આલેખમાં, કોઈપણ દ્વિપક્ષીકરણની બંને બાજુઓ મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહો (અને ન્યૂનતમ શિરોબિંદુ આવરણ) બનાવે છે, તેથી જો આલેખ સારી રીતે ઢંકાયેલો હોય તો બંને બાજુઓમાં સમાન રીતે ઘણા શિરોબિંદુઓ હોવા જોઈએ. શિરોબિંદુઓ સાથે સારી રીતે આવરિત આલેખમાં, અલગ શિરોબિંદુઓ વિના, મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહનું કદ મહત્તમ હોય છે, તેથી ખૂબ જ સારી રીતે આવરિત આલેખ એ સારી રીતે આવરિત આલેખ હોય છે જેમાં મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહનું કદ શક્ય તેટલું મોટું હોય છે. દ્વિપક્ષી આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મિલકત સાથે સંપૂર્ણ મેળ ખાય છે, જે દરેક ધાર માટે, પડોશીઓના પ્રેરિત સબગ્રાફ અને સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખ બનાવે છે. મેળની દ્રષ્ટિએ લાક્ષણિકતાઓને દ્વિપક્ષી આલેખથી ખૂબ જ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ આલેખ ખૂબ જ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે જો તે નીચેના બે ગુણધર્મો સાથે સંપૂર્ણ મેળ ખાતો હોયઃ ત્રિકોણની કોઈ ધાર અંદરની નથી, અને જો તેની ધાર ત્રણ ધારવાળા માર્ગની કેન્દ્રિય ધાર હોય, તો માર્ગના બે અંતિમ બિંદુઓ અડીને હોવા જોઈએ. વધુમાં, જો ખૂબ જ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે, તો પછી દરેક સંપૂર્ણ મેળ આ ગુણધર્મોને સંતોષે છે. વૃક્ષો એ દ્વિપક્ષી આલેખનો એક વિશેષ કેસ છે, અને વૃક્ષ સારી રીતે ઢંકાયેલું છે કે કેમ તે ચકાસવાનું સારી રીતે ઢંકાયેલ દ્વિપક્ષી આલેખની લાક્ષણિકતાના વધુ સરળ વિશેષ કેસ તરીકે નિયંત્રિત કરી શકાય છેઃ જો બેથી વધુ શિરોબિંદુઓ ધરાવતું વૃક્ષ હોય, તો તે સારી રીતે ઢંકાયેલું હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો વૃક્ષનો દરેક બિન-પર્ણ નોડ બરાબર એક પાંદડાની બાજુમાં હોય. આ જ લાક્ષણિકતા એવા આલેખને લાગુ પડે છે જે સ્થાનિક રીતે વૃક્ષ જેવા હોય છે, એ અર્થમાં કે દરેક શિરોબિંદુના નીચા-વ્યાસવાળા પડોશ ચક્રીય હોય છેઃ જો આલેખનો ઘેરો આઠ કે તેથી વધુ હોય (જેથી, દરેક શિરોબિંદુ માટે, ત્રણની અંતરની અંદર શિરોબિંદુઓનો સબગ્રાફ ચક્રીય હોય) તો તે સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એક કરતા વધુ ડિગ્રીના દરેક શિરોબિંદુમાં બરાબર એક ડિગ્રીનો પડોશી હોય. નજીકથી સંબંધિત પરંતુ વધુ જટિલ લાક્ષણિકતા પાંચ કે તેથી વધુ ઘેરાના સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખને લાગુ પડે છે. નિયમિતતા અને સમતુલા ઘન (3-નિયમિત) સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખને વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા છેઃ તેમાં ઓછા જોડાણ સાથે ઘન આલેખના ત્રણ અનંત પરિવારો સાથે મળીને સાત 3-જોડાયેલા ઉદાહરણો છે. સાત 3-જોડાયેલા ક્યુબિક સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખમાં સંપૂર્ણ આલેખ, ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ અને પંચકોણીય પ્રિઝમના આલેખ, ડ્યુરર આલેખ, ઉપયોગિતા આલેખ, Y-δ રૂપાંતર દ્વારા ઉપયોગિતા આલેખમાંથી મેળવેલ આઠ-વર્ટેક્સ આલેખ અને 14-વર્ટેક્સ સામાન્યીકૃત પીટરસન આલેખ છે. આ આલેખમાંથી, પ્રથમ ચાર સમતલીય આલેખ છે. તે માત્ર ચાર ક્યુબિક પોલિહેડ્રલ આલેખ (સરળ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાના આલેખ) છે જે સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યા છે. ચાર આલેખ (બે પ્રિઝમ, ડ્યુરર ગ્રાફ અને) સામાન્યીકૃત પીટરસન આલેખ છે. 1-અને 2-જોડાયેલા ક્યુબિક સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખ બધા પાથ અથવા ચક્રના ગાંઠોને આલેખના ત્રણ ટુકડાઓ દ્વારા બદલીને રચાય છે જે લેબલ કરે છે, અને. ટુકડાઓ અથવા તેનો ઉપયોગ ચક્રના ગાંઠો અથવા માર્ગના આંતરિક ગાંઠોને બદલવા માટે થઈ શકે છે, જ્યારે ટુકડાનો ઉપયોગ માર્ગના બે અંતિમ ગાંઠોને બદલવા માટે થાય છે. ફ્રેગમેન્ટમાં એક બ્રિજ હોય છે, તેથી પાથ પર આ રિપ્લેસમેન્ટ પ્રક્રિયા કરવા અને કેટલાક પાથ નોડ્સ (અને બાકીના નોડ્સ માટે અન્ય બે ટુકડાઓ) ને બદલવા માટે ફ્રેગમેન્ટનો ઉપયોગ કરવાનું પરિણામ 1-વર્ટેક્સ-કનેક્ટેડ ક્યુબિક સારી રીતે ઢંકાયેલ ગ્રાફ છે. બધા 1-વર્ટેક્સ-જોડાયેલા સારી રીતે ઢંકાયેલા ક્યુબિક આલેખ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે, અને આવા તમામ આલેખ સમતલીય હોય છે. બે પ્રકારના 2-વર્ટેક્સ-કનેક્ટેડ ક્યુબિક સારી રીતે ઢંકાયેલા આલેખ છે. આ બે પરિવારોમાંથી એક ચક્રના ગાંઠોને ટુકડાઓ દ્વારા બદલીને રચાય છે અને ઓછામાં ઓછા બે ટુકડાઓ પ્રકારનાં હોય છે; આ પ્રકારનો આલેખ સમતલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં કોઈ પ્રકારનાં ટુકડા ન હોય. અન્ય કુટુંબ પાથના ગાંઠોને પ્રકારનાં ટુકડાઓ દ્વારા બદલીને રચાય છે અને; આવા તમામ આલેખ સમતલીય હોય છે. ત્રણ પરિમાણોમાં સારી રીતે આવરિત સરળ પોલિહેડ્રાની લાક્ષણિકતાને પૂરક બનાવતા, સંશોધકોએ સારી રીતે આવરિત સરળ પોલિહેડ્રાને પણ ધ્યાનમાં લીધું છે, અથવા સમકક્ષ રીતે સારી રીતે આવરિત મહત્તમ સમતલીય આલેખ. પાંચ કે તેથી વધુ શિરોબિંદુઓ સાથેનો દરેક મહત્તમ સમતલીય આલેખ શિરોબિંદુ જોડાણ 3,4 કે 5 ધરાવે છે. ત્યાં કોઈ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા 5-જોડાયેલા મહત્તમ સમતલીય આલેખ નથી, અને ત્યાં માત્ર ચાર 4-જોડાયેલા સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા મહત્તમ સમતલીય આલેખ છેઃ નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનના આલેખ, પંચકોણીય દ્વિધ્રુવીય, સ્નબ ડિસ્પેનોઇડ, અને 12 શિરોબિંદુઓ, 30 ધાર અને 20 ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ સાથે અનિયમિત પોલિહેડ્રોન (એક નોનકોન્વેક્સ ડેલ્ટાહેડ્રોન). જો કે, ત્યાં અનંત રીતે ઘણા 3-જોડાયેલા સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા મહત્તમ સમતલીય આલેખ છે. દાખલા તરીકે, જો-વર્ટેક્સ મેક્સિમલ પ્લાનર ગ્રાફમાં ત્રિકોણીય બાજુઓ અલગ હોય, તો આ બાજુઓ એક જૂથ આવરણ બનાવશે. તેથી, જૂથ આવરણ રચના, જે આ આલેખ માટે આ દરેક ત્રિકોણને કેન્દ્રીય શિરોબિંદુ પર મળતા ત્રણ નવા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, તે સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલ મહત્તમ સમતલીય આલેખ ઉત્પન્ન કરે છે. જટિલતાનું પરીક્ષણ કે ગ્રાફમાં વિવિધ કદના બે મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહો છે કે કેમ તે એન. પી.-પૂર્ણ છે; એટલે કે, પૂરક રીતે, ગ્રાફ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છે કે કેમ તે પરીક્ષણ એ સી. ઓ. એન. પી.-પૂર્ણ છે. ગ્રાફમાં મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહો શોધવાનું સરળ હોવા છતાં, જે સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યા હોવાનું જાણીતું છે, તે એલ્ગોરિધમ માટે આઉટપુટ તરીકે, તમામ ગ્રાફ પર, મહત્તમ સ્વતંત્ર સમૂહ અથવા ઇનપુટ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યું નથી તેની બાંયધરી આપવા માટે એન. પી.-હાર્ડ પણ છે. તેનાથી વિપરીત, આપેલ આલેખ બહુપદી સમયમાં ખૂબ જ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છે કે કેમ તે ચકાસવું શક્ય છે. આવું કરવા માટે, ખૂબ જ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખમાં મેળ ખાતી ધારના બે ગુણધર્મોને સંતોષતી ધારોનો સમાવેશ કરતો સબગ્રાફ શોધો, અને પછી સંપૂર્ણ મેળ ખાય છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે મેળ ખાતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરો. મનસ્વી આલેખ માટે એન. પી.-પૂર્ણ હોય તેવી કેટલીક સમસ્યાઓ, જેમ કે હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર શોધવાની સમસ્યા, ખૂબ જ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખ માટે બહુપદી સમયમાં પણ ઉકેલી શકાય છે. ગ્રાફને સમતુલ્ય કહેવામાં આવે છે જો દરેક મહત્તમ મેળ મહત્તમ હોય; એટલે કે, જો તેની રેખા ગ્રાફ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવે તો તે સમતુલ્ય છે. જો દરેક મહત્તમ મેળ એક સંપૂર્ણ મેળ હોય તો તેને વધુ મજબૂત રીતે રેન્ડમલી મેચેબલ કહેવામાં આવે છે. એકમાત્ર જોડાયેલા અવ્યવસ્થિત રીતે મેળ ખાતા આલેખ એ સંપૂર્ણ આલેખ અને સંતુલિત સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખ છે. બહુપદી સમયમાં રેખા આલેખ, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે પંજા-મુક્ત આલેખ સારી રીતે આવરી લેવામાં આવ્યો છે કે કેમ તે ચકાસવું શક્ય છે. પાંચ કે તેથી વધુ ઘેરાવાળા સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખની લાક્ષણિકતાઓ અને 3-નિયમિત હોય તેવા સારી રીતે આવરી લેવામાં આવેલા આલેખની લાક્ષણિકતાઓ પણ આ આલેખને ઓળખવા માટે કાર્યક્ષમ બહુપદી સમય અલ્ગોરિધમ્સ તરફ દોરી જાય છે. નોંધો સંદર્ભો. . જેમ ટાંકવામાં આવ્યું છે. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . જેમ ટાંકવામાં આવ્યું છે. . . . આલેખ પરિવારો