Singular submodule
રિંગ થિયરી અને મોડ્યુલ થિયરી તરીકે ઓળખાતી અમૂર્ત બીજગણિતની શાખાઓમાં, દરેક અધિકાર (રેસ્પ. ડાબે) આર-મોડ્યુલ એમ એકવચન પેટા મોડ્યુલ ધરાવે છે જેમાં એવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જેમના વિનાશક આવશ્યક છે. ડાબે) આરમાં આદર્શો. સમૂહ સંકેતલિપીમાં તેને સામાન્ય રીતે આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. સામાન્ય રિંગ્સ માટે, ટોર્સિયન સબમોડ્યુલ ટોર્સ (એમ) નું સારું સામાન્યીકરણ છે જે મોટેભાગે ડોમેન્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એવા કિસ્સામાં કે R એ પરિવર્તનીય ક્ષેત્ર છે,. જો R કોઈ રિંગ હોય, તો R ને જમણા મોડ્યુલ તરીકે ધ્યાનમાં રાખીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આ કિસ્સામાં R નો બે બાજુનો આદર્શ છે જેને R નો જમણો એકવચન આદર્શ કહેવાય છે. માટે શક્ય છે. વ્યાખ્યાઓ અહીં એકવચન સબમોડ્યુલ્સ અને એકવચન આદર્શોનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતી ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે. નીચેનામાં, એમ એ આર-મોડ્યુલ છેઃ એમ ને એકવચન મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે. એમ ને નોનસિંગ્યુલર મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે. R ને જમણી નોનસિંગ્યુલર કહેવામાં આવે છે. ડાબી નોન-સિંગ્યુલર રિંગને ડાબી એકવચન આદર્શનો ઉપયોગ કરીને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને રિંગ માટે જમણી-પરંતુ-ડાબી નહીં-નોન-સિંગ્યુલર હોવું સંપૂર્ણપણે શક્ય છે. એકતાની સાથે રિંગ્સમાં હંમેશા એવું બને છે કે, અને તેથી "જમણી એકવચન રિંગ" ને સામાન્ય રીતે એકવચન મોડ્યુલોની જેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતી નથી. કેટલાક લેખકોએ "સિંગ્યુલર રીંગ" નો ઉપયોગ "નોનઝીરો સિંગ્યુલર આઇડિયલ ધરાવે છે" એવો અર્થ કરવા માટે કર્યો છે, જો કે આ ઉપયોગ મોડ્યુલો માટેના વિશેષણોના ઉપયોગ સાથે સુસંગત નથી. ગુણધર્મો એકવચન પેટા મોડ્યુલના કેટલાક સામાન્ય ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ જ્યાં M ના સોસલને સૂચવે છે. જો f એ M થી N સુધીના R-મોડ્યુલનું હોમોમોર્ફિઝમ હોય, તો પછી. જો N એ M નું પેટા મોડ્યુલ હોય, તો પછી. "સિંગ્યુલર" અને "નોન-સિંગ્યુલર" ગુણધર્મો મોરિતા અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મો છે. વીંટીના એકવચન આદર્શોમાં વીંટીના કેન્દ્રીય નિલપોટેન્ટ તત્વો હોય છે. પરિણામે, પરિવર્તનીય વીંટીના એકવચન આદર્શમાં વીંટીના નિલ્રાડિકલનો સમાવેશ થાય છે. ટોર્સિયન સબમોડ્યુલનો સામાન્ય ગુણધર્મ એ છે કે, પરંતુ આ એકવચન સબમોડ્યુલ માટે જરૂરી નથી. જો કે, જો R એ જમણી નોન-સિંગ્યુલર રિંગ છે, તો પછી. જો N એ M નું આવશ્યક પેટા મોડ્યુલ છે (બંને જમણા મોડ્યુલો) તો M/N એકવચન છે. જો M એ મુક્ત મોડ્યુલ છે, અથવા જો R બરાબર નોન-સિંગ્યુલર છે, તો વિપરીત સાચું છે. અર્ધ-સરળ મોડ્યુલ જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ હોય તો તે નોન-સિંગ્યુલર છે. જો R એ જમણી સ્વ-ઇન્જેક્ટીવ રીંગ છે, તો પછી, જ્યાં J (R) એ R નો જેકોબસન રેડિકલ છે. ઉદાહરણો જમણી નોનસિંગ્યુલર રીંગ ખૂબ જ વ્યાપક વર્ગ છે, જેમાં ઘટાડેલી રીંગ, જમણી (અર્ધ) વારસાગત રીંગ, વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ, ડોમેન્સ, અર્ધ-સરળ રીંગ, બેયર રીંગ અને જમણી રિકર્ટ રીંગનો સમાવેશ થાય છે. પરિવર્તનીય રિંગ્સ માટે, નોન-સિંગ્યુલર હોવું એ ઘટાડેલી રિંગની સમકક્ષ છે. મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયો જોહ્ન્સનનો પ્રમેય (આર. ઇ. જોહ્ન્સનને કારણે) માં કેટલીક મહત્વપૂર્ણ સમાનતાઓ છે. કોઈપણ રીંગ R માટે, નીચેના સમકક્ષ છેઃ R બરાબર નોન-સિંગ્યુલર છે. ઇન્જેક્ટીવ હલ ઇ (આર. આર.) એ નોન-સિંગ્યુલર રાઇટ આર-મોડ્યુલ છે. એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ એ સેમીપ્રિમિટિવ રિંગ છે (એટલે કે,). ક્વોટિએન્ટની મહત્તમ જમણી રીંગ વોન ન્યુમેન રેગ્યુલર છે. જમણી નોન-સિંગ્યુલારિટી જમણી સ્વ-ઇન્જેક્ટિવ રિંગ્સ સાથે પણ મજબૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ધરાવે છે. પ્રમેયઃ જો R એ જમણી સ્વ-ઇન્જેક્ટીવ રીંગ છે, તો R પરની નીચેની શરતો સમકક્ષ છેઃ જમણી નોનસિંગ્યુલર, વોન ન્યુમેન નિયમિત, જમણી અર્ધ-વારસાગત, જમણી રિકાર્ટ, બેયર, અર્ધ-પૂર્વસૂચક. કાગળે રિંગ્સના વર્ગને લાક્ષણિકતા આપવા માટે નોન-સિંગ્યુલર મોડ્યુલ્સનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જેની મહત્તમ જમણી રિંગમાં ચોક્કસ માળખું હોય છે. પ્રમેયઃ જો R એક વીંટી હોય, તો તે જમણી બાજુની પૂર્ણ રેખીય વીંટી છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R પાસે બિન-કોણીય, વફાદાર, એકસમાન મોડ્યુલ હોય. વધુમાં, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R પાસે મર્યાદિત સમાન પરિમાણ સાથેનું બિન-એકવચન, વફાદાર મોડ્યુલ હોય તો તે સંપૂર્ણ રેખીય રિંગ્સનો મર્યાદિત સીધો ગુણાકાર છે. પાઠ્યપુસ્તકો પ્રાથમિક સ્ત્રોતો મોડ્યુલ સિદ્ધાંત રીંગ સિદ્ધાંત