Theil–Sen estimator
નોન-પેરામેટ્રિક સ્ટેટિસ્ટિક્સમાં, થીલ-સેન એસ્ટિમેટર એ બિંદુઓની જોડી દ્વારા તમામ રેખાઓના ઢોળાવની મધ્ય પસંદ કરીને સમતલમાં નમૂના બિંદુઓ (સરળ રેખીય રીગ્રેસન) માટે એક રેખાને મજબૂત રીતે ફીટ કરવાની એક પદ્ધતિ છે. તેને સેનની ઢોળાવ અંદાજક, ઢોળાવની પસંદગી, એક મધ્યમ પદ્ધતિ, કેન્ડેલ મજબૂત લાઇન-ફિટ પદ્ધતિ અને કેન્ડેલ-થેલ મજબૂત રેખા પણ કહેવામાં આવે છે. તેનું નામ હેનરી થીલ અને પ્રણવ કે. સેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે અનુક્રમે 1950 અને 1968માં આ પદ્ધતિ પર કાગળો પ્રકાશિત કર્યા હતા અને કેન્ડાલ તાઉ ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક સાથેના તેના સંબંધને કારણે મૌરિસ કેન્ડાલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું હતું. થીલ-સેન રીગ્રેસનના સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ રીગ્રેસન કરતાં ઘણા ફાયદા છે. તે આઉટલીઅર્સ માટે અસંવેદનશીલ છે. જ્યારે અવશેષો સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં ન આવે ત્યારે પણ તેનો ઉપયોગ મહત્વ પરીક્ષણો માટે થઈ શકે છે. તે સ્ક્યુડ અને હેટેરોસ્કેડેસ્ટિક ડેટા માટે નોન-રોબસ્ટ સરળ રેખીય રીગ્રેસન (ઓછામાં ઓછા ચોરસ) કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ સચોટ હોઈ શકે છે, અને આંકડાકીય શક્તિની દ્રષ્ટિએ સામાન્ય રીતે વિતરિત ડેટા માટે પણ ઓછામાં ઓછા ચોરસ સામે સારી સ્પર્ધા કરે છે. તેને "રેખીય વલણનો અંદાજ કાઢવા માટેની સૌથી લોકપ્રિય બિન-પેરામેટ્રિક તકનીક" કહેવામાં આવી છે. પરિમાણોની અસરકારક રીતે ગણતરી કરવા માટે ઝડપી અલ્ગોરિધમ્સ છે. વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેમ, દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓના સમૂહનો થીલ-સેન અંદાજક એ તમામ જોડી નમૂના બિંદુઓ દ્વારા નિર્ધારિત ઢોળાવની મધ્ય છે. આ વ્યાખ્યાને તે કેસને સંભાળવા માટે વિસ્તૃત કરી જેમાં બે ડેટા બિંદુઓ સમાન સંકલન ધરાવે છે. સેનની વ્યાખ્યામાં, એક વ્યક્તિ માત્ર અલગ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતા બિંદુઓની જોડીમાંથી વ્યાખ્યાયિત ઢોળાવની મધ્યક લે છે. એકવાર ઢોળાવ નક્કી થઈ ગયા પછી,-ઇન્ટરસેપ્ટને મૂલ્યોની મધ્યમાં સુયોજિત કરીને નમૂના બિંદુઓમાંથી એક રેખા નક્કી કરી શકાય છે. ફિટ રેખા પછી ગુણાંક સાથેની રેખા અને સ્લોપ-ઇન્ટરસેપ્ટ સ્વરૂપમાં હોય છે. સેને અવલોકન કર્યું તેમ, ઢોળાવની આ પસંદગી કેન્ડાલ તાઉ ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંકને આશરે શૂન્ય બનાવે છે, જ્યારે તેનો ઉપયોગ તેમના સંકળાયેલ અવશેષો સાથે મૂલ્યોની તુલના કરવા માટે થાય છે. સહજ ભાવે, આ સૂચવે છે કે ફિટ લાઇન ડેટા પોઇન્ટની ઉપર અથવા નીચે કેટલી દૂર પસાર થાય છે તે ડેટા સેટની ડાબી કે જમણી બાજુએ છે તેની સાથે સહસંબંધિત નથી. ની પસંદગી કેન્ડેલ ગુણાંકને અસર કરતી નથી, પરંતુ મધ્ય અવશેષ લગભગ શૂન્ય બનવાનું કારણ બને છે; એટલે કે, ફિટ રેખા સમાન સંખ્યામાં બિંદુઓથી ઉપર અને નીચે પસાર થાય છે. ઢોળાવના અંદાજ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ બિંદુઓની જોડી દ્વારા નિર્ધારિત રેખાઓના ઢોળાવના મધ્ય 95 ટકા ધરાવતા અંતરાલ તરીકે નક્કી કરી શકાય છે અને બિંદુઓની જોડીના નમૂના લઈને અને નમૂનાવાળા ઢોળાવના 95 ટકા અંતરાલને નક્કી કરીને ઝડપથી અંદાજ લગાવી શકાય છે. સિમ્યુલેશન મુજબ, આશરે 600 નમૂનાની જોડી સચોટ વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે પૂરતી છે. ભિન્નતા થીલ-સેન અંદાજકર્તાની વિવિધતા, પુનરાવર્તિત મધ્યક રીગ્રેસન, દરેક નમૂના બિંદુ માટે નક્કી કરે છે, તે બિંદુ દ્વારા રેખાઓના ઢોળાવની મધ્યક, અને પછી આ મધ્યકોની મધ્યક તરીકે એકંદર અંદાજકર્તાને નક્કી કરે છે. તે થીલ-સેન અંદાજકાર કરતાં વધુ સંખ્યામાં આઉટલાયર્સને સહન કરી શકે છે, પરંતુ તેને અસરકારક રીતે ગણતરી કરવા માટે જાણીતા અલ્ગોરિધમ્સ વધુ જટિલ અને ઓછા વ્યવહારુ છે. એક અલગ પ્રકાર નમૂના બિંદુઓને તેમના-કોઓર્ડિનેટ્સના ક્રમ દ્વારા જોડે છેઃ સૌથી નાના કોઓર્ડિનેટ સાથેના બિંદુને મધ્ય કોઓર્ડિનેટની ઉપરના પ્રથમ બિંદુ સાથે જોડવામાં આવે છે, બીજા સૌથી નાના બિંદુને મધ્યની ઉપરના આગામી બિંદુ સાથે જોડવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ. તે પછી આ બિંદુઓની જોડી દ્વારા નિર્ધારિત રેખાઓના ઢોળાવની મધ્યની ગણતરી કરે છે, જે થીલ-સેન અંદાજકાર કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી જોડીની તપાસ કરીને ઝડપ મેળવે છે. ભારિત માધ્યમો પર આધારિત થીલ-સેન અંદાજકર્તાની વિવિધતાઓનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જે એ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે કે નમૂનાઓની જોડી કે જેમના-કોઓર્ડિનેટ વધુ અલગ હોય છે, તેમાં સચોટ ઢોળાવ હોવાની શક્યતા વધુ હોય છે અને તેથી વધુ વજન મેળવવું જોઈએ. મોસમી માહિતી માટે, નમૂના બિંદુઓની માત્ર જોડી કે જે બંને એક જ મહિના અથવા વર્ષની એક જ મોસમ સાથે સંબંધિત છે તેને ધ્યાનમાં લઈને અને આ જોડીના વધુ પ્રતિબંધિત સમૂહ દ્વારા નિર્ધારિત રેખાઓના ઢોળાવની મધ્યક શોધીને માહિતીમાં મોસમી વિવિધતાઓને સરળ બનાવવી યોગ્ય હોઈ શકે છે. આંકડાકીય ગુણધર્મો થીલ-સેન એસ્ટિમેટર એ સરળ રેખીય રીગ્રેસનમાં સાચા ઢોળાવનો નિષ્પક્ષ અંદાજ છે. પ્રતિસાદ ભૂલના ઘણા વિતરણો માટે, આ અંદાજકાર ઓછામાં ઓછા-ચોરસ અંદાજની તુલનામાં ઉચ્ચ એસિમ્પ્ટોટિક કાર્યક્ષમતા ધરાવે છે. ઓછી કાર્યક્ષમતા ધરાવતા અંદાજકારોને કાર્યક્ષમ નિષ્પક્ષ અંદાજકારોના સમાન નમૂનાના તફાવતને પ્રાપ્ત કરવા માટે વધુ સ્વતંત્ર અવલોકનોની જરૂર પડે છે. થીલ-સેન એસ્ટિમેટર લઘુત્તમ-ચોરસ એસ્ટિમેટર કરતાં વધુ મજબૂત છે કારણ કે તે આઉટલીઅર્સ માટે ઘણું ઓછું સંવેદનશીલ છે. તેનો અર્થ એ છે કે તે તેની ચોકસાઈમાં ઘટાડો કર્યા વિના ઇનપુટ ડેટા-પોઇન્ટના 29.3% સુધીના મનસ્વી ભ્રષ્ટાચારને સહન કરી શકે છે. જો કે, પદ્ધતિના ઉચ્ચ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ માટે વિરામ બિંદુ ઘટે છે. ઉચ્ચ વિરામ બિંદુ, 50 ટકા, અલગ મજબૂત લાઇન-ફિટિંગ અલ્ગોરિધમ માટે ધરાવે છે, જે સીગલનું પુનરાવર્તિત મધ્યમ અંદાજ છે. થીલ-સેન એસ્ટિમેટર તેના રિસ્પોન્સ વેરિયેબલના દરેક રેખીય પરિવર્તન હેઠળ સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પહેલા ડેટાને રૂપાંતરિત કરવું અને પછી એક રેખા ફીટ કરવી, અથવા પહેલા એક રેખા ફીટ કરવી અને પછી તેને તે જ રીતે રૂપાંતરિત કરવી, બંને સમાન પરિણામ ઉત્પન્ન કરે છે. જો કે, તે આગાહી કરનાર અને પ્રતિક્રિયા ચલ બંનેના અફાઇન પરિવર્તન હેઠળ સમાન નથી. અલ્ગોરિધમ્સ અને અમલીકરણ નમૂના બિંદુઓના સમૂહના મધ્ય ઢોળાવની ગણતરી બિંદુઓની જોડી દ્વારા તમામ રેખાઓની ગણતરી કરીને અને પછી રેખીય સમય મધ્ય શોધ અલ્ગોરિધમ લાગુ કરીને કરી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, બિંદુઓની જોડીના નમૂના લઈને તેનો અંદાજ લગાવી શકાય છે. આ સમસ્યા પ્રોજેક્ટિવ દ્વૈતતા હેઠળ, રેખાઓની ગોઠવણીમાં ક્રોસિંગ પોઇન્ટ શોધવાની સમસ્યાની સમકક્ષ છે, જે આવા તમામ ક્રોસિંગ પોઇન્ટ વચ્ચે મધ્યસ્થ-સંકલન ધરાવે છે. કમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં બ્રુટ ફોર્સ ક્વાડ્રેટિક ટાઇમ અલ્ગોરિધમ કરતાં ઢાળની પસંદગી બરાબર પરંતુ વધુ અસરકારક રીતે કરવાની સમસ્યાનો વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. થીલ-સેન અંદાજકર્તાની ચોક્કસ સમયે ગણતરી કરવા માટે ઘણી જુદી જુદી પદ્ધતિઓ જાણીતી છે, ક્યાં તો નિર્ધારિત રીતે અથવા રેન્ડમાઇઝ્ડ અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને. સીગલના પુનરાવર્તિત સરેરાશ અંદાજકર્તાનું નિર્માણ પણ તે જ સમય મર્યાદામાં કરી શકાય છે. ગણતરીના નમૂનાઓમાં જેમાં ઇનપુટ કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંકો હોય છે અને જેમાં પૂર્ણાંકો પર બિટવાઇઝ કામગીરી સતત સમય લે છે, થીલ-સેન અંદાજકર્તાને વધુ ઝડપથી, અવ્યવસ્થિત અપેક્ષિત સમયમાં બનાવી શકાય છે. થીલ-સેન એસ્ટિમેટરની જેમ જ બ્રેકડાઉન પોઇન્ટ ધરાવતા આશરે મીડીયન રેન્ક ધરાવતા સ્લોપ માટેના એસ્ટિમેટરને ε-નેટ પર આધારિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ડેટા સ્ટ્રીમ મોડેલમાં જાળવી શકાય છે (જેમાં નમૂના બિંદુઓને એક પછી એક અલ્ગોરિધમ દ્વારા પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે જેમાં સમગ્ર ડેટા સેટને રજૂ કરવા માટે પૂરતો સતત સંગ્રહ નથી). આર સ્ટેટિસ્ટિક્સ પેકેજમાં, થીલ-સેન એસ્ટિમેટર અને સીગલનું પુનરાવર્તિત મધ્યમ એસ્ટિમેટર એમ. બી. એલ. એમ. લાઈબ્રેરી દ્વારા ઉપલબ્ધ છે. થીલ-સેન અંદાજ માટે મફત સ્વતંત્ર વિઝ્યુઅલ બેઝિક એપ્લિકેશન, કેટીઆરલાઇન, યુએસ ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય સર્વેક્ષણ દ્વારા ઉપલબ્ધ કરાવવામાં આવી છે. સાયપાઇ અને સ્કિકિટ-લર્ન લાઈબ્રેરીઓના ભાગ રૂપે પાયથોનમાં થીલ-સેન એસ્ટિમેટરનો પણ અમલ કરવામાં આવ્યો છે. એપ્લિકેશન્સ થીલ-સેન અંદાજને સેન્સર કરેલા રીગ્રેસન મોડેલોને નિયંત્રિત કરવાની ક્ષમતાને કારણે ખગોળશાસ્ત્ર પર લાગુ કરવામાં આવ્યો છે. બાયોફિઝિક્સમાં, રીમોટ સેન્સિંગ એપ્લિકેશન્સ માટે તેનો ઉપયોગ સૂચવે છે જેમ કે "ગણતરીમાં સરળતા, વિશ્વાસ અંતરાલોના વિશ્લેષણાત્મક અંદાજો, આઉટલીઅર્સ માટે મજબૂતાઈ, અવશેષો સંબંધિત પરીક્ષણક્ષમ ધારણાઓ અને માપન ભૂલો સંબંધિત પ્રાથમિક માહિતીને મર્યાદિત કરવા" ને કારણે પ્રતિબિંબીત માહિતીમાંથી પર્ણ વિસ્તારના અંદાજ ". પાણીની ગુણવત્તા જેવા મોસમી પર્યાવરણીય ડેટાને માપવા માટે, તિરાડ ડેટાની હાજરીમાં તેની ઉચ્ચ ચોકસાઈને કારણે થીલ-સેન અંદાજકર્તાના મોસમી ગોઠવાયેલા પ્રકારને ઓછામાં ઓછા ચોરસના અંદાજ કરતાં પ્રાધાન્યક્ષમ તરીકે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં, થીલ-સેન પદ્ધતિનો ઉપયોગ સોફ્ટવેર વૃદ્ધત્વના વલણોનો અંદાજ કાઢવા માટે કરવામાં આવે છે. હવામાનશાસ્ત્ર અને આબોહવાશાસ્ત્રમાં, તેનો ઉપયોગ પવનની ઘટના અને ગતિના લાંબા ગાળાના વલણોનો અંદાજ કાઢવા માટે કરવામાં આવે છે. અંદાજિત વલણ ઢોળાવને અસર કરતી અન્ય સમસ્યા માટે રીગ્રેસન ડાયલ્યુશન પણ જુઓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . મજબૂત રીગ્રેસન કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિ