Square packing
સ્ક્વેર પેકિંગ એ એક પેકિંગ સમસ્યા છે જ્યાં ઉદ્દેશ એ નક્કી કરવાનો છે કે કેટલા એકરૂપ ચોરસને કોઈ મોટા આકારમાં પેક કરી શકાય છે, ઘણીવાર ચોરસ અથવા વર્તુળ. ચોરસમાં ચોરસ ચોરસ પેકિંગમાં ચોરસ પેકિંગ એ એકમ ચોરસ (બાજુની લંબાઈના ચોરસ) ની મહત્તમ સંખ્યા નક્કી કરવાની સમસ્યા છે જે બાજુની લંબાઈના મોટા ચોરસની અંદર પેક કરી શકાય છે. જો પૂર્ણાંક હોય, તો જવાબ એ છે કે મનસ્વી બિન-પૂર્ણાંક માટે ખાલી જગ્યાની ચોક્કસ-અથવા તો એસિમ્પ્ટોટિક-માત્રા એ એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે. જેનું સૌથી નાનું મૂલ્ય એકમ ચોરસના પેકિંગને મંજૂરી આપે છે તે સંપૂર્ણ ચોરસ ક્યારે છે (તે કિસ્સામાં તે છે), તેમજ 2,3,5,6,7,8,10,13,14,15,24,34,35,46,47 અને 48 માટે જાણીતું છે. આમાંની મોટાભાગની સંખ્યાઓ માટે (માત્ર 5 અને 10 ના અપવાદો સાથે), પેકિંગ એ અક્ષ-સંરેખિત ચોરસ સાથે કુદરતી છે, અને છે, જ્યાં છત (ગોળાકાર) કાર્ય છે. આ આંકડો 5 અને 10 ચોરસ માટે શ્રેષ્ઠ પેકિંગ્સ દર્શાવે છે, જે ચોરસની બે સૌથી નાની સંખ્યા છે, જેના માટે શ્રેષ્ઠ પેકિંગમાં નમેલા ચોરસનો સમાવેશ થાય છે. સૌથી નાના વણઉકેલાયેલા કેસમાં 11 એકમ ચોરસને મોટા ચોરસમાં પેક કરવાનો સમાવેશ થાય છે. 11 એકમ ચોરસને બાજુની લંબાઈના ચોરસમાં પેક કરી શકાતા નથી. તેનાથી વિપરીત, 11 ચોરસનું સૌથી ચુસ્ત જાણીતું પેકિંગ વોલ્ટર ટ્રમ્પ દ્વારા મળી આવેલ લગભગ 3.877084 બાજુની લંબાઈના ચોરસની અંદર છે. અસંદિગ્ધ પરિણામો બાજુની લંબાઈના મોટા મૂલ્યો માટે, એકમ ચોરસની ચોક્કસ સંખ્યા કે જે ચોરસને પેક કરી શકે છે તે અજ્ઞાત રહે છે. અક્ષ-સંરેખિત એકમ ચોરસની ગ્રીડને પેક કરવી હંમેશા શક્ય છે, પરંતુ આ મોટા વિસ્તારને લગભગ ખુલ્લા અને નકામા છોડી શકે છે. તેના બદલે, પોલ એર્દોસ અને રોનાલ્ડ ગ્રેહામે દર્શાવ્યું હતું કે નમેલા એકમ ચોરસ દ્વારા અલગ પેકિંગ માટે, નકામી જગ્યાને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે (અહીં લિટલ ઓ નોટેશનમાં લખવામાં આવ્યું છે). બાદમાં, ગ્રેહામ અને ફેન ચંગે બગાડેલી જગ્યાને વધુ ઘટાડી. જો કે, ક્લાઉસ રોથ અને બોબ વોને સાબિત કર્યું છે તેમ, તમામ ઉકેલોએ ઓછામાં ઓછી જગ્યાનો બગાડ કરવો જ જોઇએ. ખાસ કરીને, જ્યારે અર્ધ-પૂર્ણાંક હોય, ત્યારે નકામી જગ્યા ઓછામાં ઓછી તેના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે. નકામી જગ્યાનો ચોક્કસ એસિમ્પ્ટોટિક વૃદ્ધિ દર, અડધા પૂર્ણાંકની બાજુની લંબાઈ માટે પણ, એક ખુલ્લી સમસ્યા રહે છે. એકમ ચોરસની કેટલીક સંખ્યાઓ ક્યારેય પેકિંગમાં શ્રેષ્ઠ સંખ્યા હોતી નથી. ખાસ કરીને, જો કદનો ચોરસ એકમ ચોરસના પેકિંગને મંજૂરી આપે છે, તો તે કેસ હોવો જોઈએ અને એકમ ચોરસનું પેકિંગ પણ શક્ય છે. વર્તુળમાં સ્ક્વેર પેકિંગ વર્તુળમાં સ્ક્વેર પેકિંગ એ શક્ય તેટલી નાની ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળમાં n એકમ ચોરસને પેક કરવાની સંબંધિત સમસ્યા છે. આ સમસ્યા માટે, સારા ઉકેલો n થી 35 સુધી માટે જાણીતા છે. અહીં n થી 12 સુધીના લઘુતમ ઉકેલો છેઃ ચોરસમાં વર્તુળ પેકિંગ પણ જુઓ ચોરસ લંબચોરસ પેકિંગ ખસેડતી સોફા સમસ્યા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પેકિંગ સમસ્યાઓ ભૂમિતિમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ