Continuous geometry
ગણિતમાં, સતત ભૂમિતિ એ જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક ભૂમિતિ દ્વારા રજૂ કરાયેલ એનાલોગ છે, જ્યાં સબસ્પેસના પરિમાણને અલગ સમૂહમાં હોવાને બદલે, તે એકમ અંતરાલનું એક તત્વ હોઈ શકે છે. વોન ન્યુમેન પરિમાણોની સતત શ્રેણી લેતા પરિમાણ કાર્ય સાથે વોન ન્યુમેન આલ્જેબ્રાની તેમની શોધથી પ્રેરિત હતા, અને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ સિવાયની સતત ભૂમિતિના પ્રથમ ઉદાહરણ હાયપરફાઇનાઇટ પ્રકાર II પરિબળના અંદાજો હતા. વ્યાખ્યા મેંગર અને બિરખોફે પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાના રેખીય પેટા જગ્યાના જાળીની દ્રષ્ટિએ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ માટે સ્વયંસિદ્ધ આપ્યા. સતત ભૂમિતિ માટે વોન ન્યુમેનના સિદ્ધાંતો આ સિદ્ધાંતોના નબળા સ્વરૂપ છે. સતત ભૂમિતિ એ એક જાળી L છે જેમાં નીચેના ગુણધર્મો L મોડ્યુલર છે. L પૂર્ણ છે. જાળીની કામગીરીઓ ઱્હો, ઱્હો ચોક્કસ સાતત્ય ગુણધર્મને સંતોષે છે, જ્યાં A એ નિર્દેશિત સમૂહ છે અને જો તો, અને ઱્હો અને ઱્હો સાથે સમાન શરત ઉલટાવી છે. L માં દરેક તત્વ એક પૂરક ધરાવે છે (જરૂરી નથી કે અનન્ય હોય). તત્વ a નું પૂરક એ તત્વ b છે, જેમાં 0 અને 1 એ L ના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તત્વો છે. L ઈરીડ્યુસિબલ છેઃ આનો અર્થ એ છે કે અનન્ય પૂરક તત્વો ધરાવતા એકમાત્ર તત્વો 0 અને 1 છે. ઉદાહરણો મર્યાદિત-પરિમાણીય જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ, અથવા તેના બદલે રેખીય પેટા જગ્યાઓનો સમૂહ, એક સતત ભૂમિતિ છે, જેમાં પરિમાણો સ્વતંત્ર સમૂહમાં મૂલ્યો લે છે. દર્શાવ્યું કે કોઈપણ ઓર્થોકમ્પ્લીમેન્ટેડ સંપૂર્ણ મોડ્યુલર જાળી એ સતત ભૂમિતિ છે. જો V એ ક્ષેત્ર (અથવા વિભાજન રિંગ) F પરની વેક્ટર જગ્યા હોય, તો પછી V ની પેટા જગ્યાઓના જાળી PG (V) થી તે પરિમાણોને 2 વડે ગુણાકાર કરતી પેટા જગ્યાઓના જાળી સુધી એક કુદરતી નકશો છે. તેથી આપણે તેની સીધી મર્યાદા લઈ શકીએ છીએ આ એક ડાયમેન્શન ફંક્શન છે જે 0 અને 1 વચ્ચેના તમામ ડાયડિક રેશનલ મૂલ્યો લે છે. તેની પૂર્ણતા એક સતત ભૂમિતિ છે જેમાં દરેક પરિમાણના તત્વો હોય છે. આ ભૂમિતિ દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી, અને તેને એફ પરિમાણ પર સતત ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે આ વિભાગ તેના કેટલાક પરિણામોનો સારાંશ આપે છે. આ પરિણામો વોન ન્યુમેન આલ્જેબ્રામાં અંદાજો પરના વોન ન્યુમેનના કાર્યને સમાન છે અને તેનાથી પ્રેરિત છે. L ના બે ઘટકો a અને b ને પરિપ્રેક્ષ્ય કહેવામાં આવે છે, લખવામાં આવે છે, જો તેમની પાસે સામાન્ય પૂરક હોય. આ L પરનો સમાનતા સંબંધ છે; તે સંક્રમક છે તેનો પુરાવો ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. L ના સમકક્ષતા વર્ગો A, B,. તેમના પર કુલ ક્રમ ધરાવે છે, જો A માં કેટલાક a અને B માં b હોય તો તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. (આ A માં a અને B માં b બધા માટે જરૂરી નથી.) L થી એકમ અંતરાલ સુધીના પરિમાણ કાર્ય D ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો સમકક્ષતા વર્ગો A અને B માં તત્વો a અને b હોય તો તેમના સરવાળાને સમાનતાના વર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નહિંતર સરવાળો વ્યાખ્યાયિત નથી. જો આ સરવાળો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો, હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે, ગુણાકાર nA એ A ની n નકલોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સમકક્ષતા વર્ગો A અને B માટે A નહીં {0} સાથે પૂર્ણાંકને અનન્ય પૂર્ણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સમકક્ષતા વર્ગો A અને B માટે A નહીં {0} સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાને મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે C લઘુત્તમ અનુક્રમમાંથી પસાર થાય છેઃ આનો અર્થ એ છે કે ક્યાં તો C માં ન્યૂનતમ બિન-શૂન્ય તત્વ હોય છે, અથવા બિન-શૂન્ય તત્વોનો અનંત ક્રમ હોય છે, જેમાંથી દરેક અગાઉના તત્વનો મહત્તમ અડધો ભાગ હોય છે. D (a) ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં {a} અને {1} એ a અને 1 ધરાવતા સમાનતા વર્ગો છે. D ની છબી સંપૂર્ણ એકમ અંતરાલ હોઈ શકે છે, અથવા અમુક હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે સંખ્યાઓનો સમૂહ હોઈ શકે છે. L ના બે ઘટકો D હેઠળ સમાન છબી ધરાવે છે જો અને માત્ર જો તેઓ પરિપ્રેક્ષ્ય હોય, તો તે સમકક્ષતા વર્ગોમાંથી એકમ અંતરાલના સબસેટમાં ઈન્જેક્શન આપે છે. પરિમાણ કાર્ય D પાસે ગુણધર્મો છેઃ જો પછી D (a * b) + D (a * b) = D (a) + D (b) જો અને માત્ર જો, અને જો અને માત્ર જો સંકલન પ્રમેય પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં, વેબ્લેન-યંગ પ્રમેય જણાવે છે કે ઓછામાં ઓછી 3 પરિમાણની પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ ડિવિઝન રિંગ પર વેક્ટર સ્પેસની પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. આને એમ કહીને પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે કે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં પેટા જગ્યાઓ વિભાજન રિંગ પર મેટ્રિક્સ બીજગણિતના મુખ્ય જમણા આદર્શોને અનુરૂપ છે. ન્યુમેને આને સતત ભૂમિતિઓમાં સામાન્ય બનાવ્યું, અને વધુ સામાન્ય રીતે પૂરક મોડ્યુલર જાળીઓ માટે, નીચે પ્રમાણે. તેમનો પ્રમેય જણાવે છે કે જો પૂરક મોડ્યુલર જાળી L નો ક્રમ ઓછામાં ઓછો 4 હોય, તો L ના ઘટકો વોન ન્યુમેન નિયમિત રિંગના મુખ્ય જમણા આદર્શોને અનુરૂપ હોય છે. વધુ ચોક્કસપણે જો જાળીનો ક્રમ n હોય તો વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગને અન્ય વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ R પર n બાય n મેટ્રિક્સ રીંગ Mn (R) તરીકે લઈ શકાય છે. અહીં પૂરક મોડ્યુલર જાળીનો ક્રમ n હોય છે જો તે n તત્વોનો સજાતીય આધાર ધરાવે છે, જ્યાં આધાર એ n તત્વો a1 છે,, એવી રીતે કે જો, અને, અને જો કોઈ બે તત્વો પરિપ્રેક્ષ્ય હોય તો આધારને સજાતીય કહેવામાં આવે છે. જાળીનો ક્રમ અનન્ય હોવો જરૂરી નથી; ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ જાળીનો ક્રમ 1 હોય છે. જાળીનો ક્રમ ઓછામાં ઓછો 4 હોવો એ શરત એ શરતને અનુરૂપ છે કે પરિમાણ વેબ્લેન-યંગ પ્રમેયમાં ઓછામાં ઓછું 3 છે, કારણ કે પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં ઓછામાં ઓછું 3 પરિમાણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં ઓછામાં ઓછા 4 સ્વતંત્ર બિંદુઓનો સમૂહ હોય. તેનાથી વિપરીત, વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગના મુખ્ય જમણા આદર્શો પૂરક મોડ્યુલર જાળી બનાવે છે. ધારો કે R એ વોન ન્યુમેન નિયમિત રીંગ છે અને L એ તેના મુખ્ય જમણા આદર્શોની જાળી છે, જેથી L એ પૂરક મોડ્યુલર જાળી છે. ન્યુમેને દર્શાવ્યું હતું કે L એ સતત ભૂમિતિ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R એ ઈરીડ્યુસિબલ સંપૂર્ણ રેન્ક રિંગ હોય. સંદર્ભો પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ વોન ન્યુમેન આલ્જેબ્રાઝ લેટીસ થિયરી