Reflection principle (Wiener process)
સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ માટે સંભાવનાના સિદ્ધાંતમાં, વીનર પ્રક્રિયા માટે પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો વીનર પ્રક્રિયાનો માર્ગ f (t) સમય t = s પર f (s) = a મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે, તો સમય s પછીનો અનુગામી માર્ગ a મૂલ્ય વિશેના અનુગામી માર્ગના પ્રતિબિંબ જેવું જ વિતરણ ધરાવે છે. વધુ ઔપચારિક રીતે, પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત એ વીનર પ્રક્રિયા અથવા બ્રાઉનિયન ગતિના સર્વોચ્ચતાના વિતરણને લગતા લેમ્માનો સંદર્ભ આપે છે. પરિણામ સમય t સુધી બ્રાઉનીયન ગતિના સર્વોચ્ચતાના વિતરણને સમય t પર પ્રક્રિયાના વિતરણ સાથે સંબંધિત છે. તે બ્રાઉનીયન ગતિના મજબૂત માર્કોવ ગુણધર્મનો પરિણામ છે. નિવેદન જો વીનર પ્રક્રિયા છે, અને તે એક થ્રેશોલ્ડ છે (જેને ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પણ કહેવાય છે), તો લેમ્મા જણાવે છેઃ વીનર પ્રક્રિયાઓની સાતત્યતાને કારણે, વીનર પ્રક્રિયાનો દરેક માર્ગ (એક નમૂનારૂપ અનુભૂતિ) ધારો કે જેના પર મૂલ્ય/સ્તર/થ્રેશોલ્ડ/ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર અથવા તેનાથી ઉપર સમાપ્ત થાય છે, સમય () એ પ્રથમ વખત કોઈ અગાઉના સમયે થ્રેશોલ્ડ () ને પાર કર્યો હોવો જોઈએ (પહોંચ્યો હોવો જોઈએ). (તે અંતરાલ પર ઘણી વખત સ્તરને પાર કરી શકે છે, અમે વહેલી તકે લઈએ છીએ.) આવા દરેક માર્ગ માટે, તમે અન્ય માર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો કે જે મૂળ માર્ગથી સ્તરની આસપાસ ઉપ-અંતરાલ પર પ્રતિબિંબિત થાય છે અથવા ઊભી રીતે પલટી જાય છે. આ પ્રતિબિંબિત માર્ગો વીનર પ્રક્રિયાના નમૂના પણ છે જે અંતરાલ પર મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે, પરંતુ નીચે સમાપ્ત થાય છે. આમ, અંતરાલ પર પહોંચતા તમામ માર્ગોમાંથી, અડધો નીચે સમાપ્ત થશે, અને અડધો ઉપર સમાપ્ત થશે. તેથી, ઉપર સમાપ્ત થવાની સંભાવના પહોંચવાની સંભાવના કરતાં અડધી છે. મજબૂત સ્વરૂપમાં, પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત કહે છે કે જો અટકવાનો સમય હોય તો વીનર પ્રક્રિયાનું પ્રતિબિંબ પણ એક વીનર પ્રક્રિયા છે, જ્યાંઃ અને સૂચક કાર્ય અને તે જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મજબૂત સ્વરૂપ પસંદ કરીને મૂળ લેમ્માને સૂચવે છે. પુરાવો ક્રોસિંગ પોઇન્ટ a,, સુધી પહોંચવા માટેનો સૌથી પહેલો રોકાવાનો સમય લગભગ ચોક્કસપણે બંધાયેલો રોકાવાનો સમય છે. પછી આપણે એ તારણ કાઢવા માટે મજબૂત માર્કોવ ગુણધર્મ લાગુ કરી શકીએ કે તેના પછીનો સંબંધિત માર્ગ પણ તેનાથી સ્વતંત્ર સરળ બ્રાઉનિયન ગતિ છે. પછી છેલ્લી વખતની સંભાવના વિતરણ સમય અંતરાલમાં થ્રેશોલ્ડ પર અથવા તેની ઉપર હોય છે જેને આ રીતે વિઘટિત કરી શકાય છે. શરતી અપેક્ષાઓ માટે ટાવર મિલકત દ્વારા, બીજી મુદત ઘટાડે છેઃ કારણ કે તે પ્રમાણભૂત બ્રાઉનિયન ગતિથી સ્વતંત્ર છે અને તેના કરતા ઓછી હોવાની સંભાવના ધરાવે છે. લેમ્માનો પુરાવો આને પ્રથમ સમીકરણની બીજી પંક્તિમાં બદલીને પૂર્ણ થાય છે. . પરિણામ પ્રતિબિંબના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ઘણીવાર બ્રાઉનિયન ગતિના વિતરણ ગુણધર્મોને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. પ્રતિબંધિત અંતરાલ પર બ્રાઉનિયન ગતિને ધ્યાનમાં લેતા પછી પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત આપણને સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે મહત્તમ સ્થાન, સંતોષકારક, આર્ક્સાઇન વિતરણ ધરાવે છે. આ લેવી આર્ક્સાઇન કાયદાઓમાંથી એક છે. સંદર્ભો સ્ટોકેસ્ટિક કલન સંભાવના પ્રમેયો