Orthogonal polynomials on the unit circle
ગણિતમાં, એકમ વર્તુળ પરની ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ એ બહુપદીઓના પરિવારો છે જે એકમ વર્તુળ પર અમુક સંભાવના માપ માટે જટિલ સમતલમાં એકમ વર્તુળ પર એકીકરણના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ હોય છે. તેમનો પરિચય કરાવ્યો હતો. વ્યાખ્યા ધારો કે તે જટિલ સમતલમાં એકમ વર્તુળ પર સંભાવના માપ છે, જેનો આધાર મર્યાદિત નથી. સાથે સંકળાયેલ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ એ અગ્રણી પદ સાથેની બહુપદીઓ છે જે માપના સંદર્ભમાં ઓર્થોગોનલ હોય છે. સેજેગો પુનરાવૃત્તિ મોનિક ઓર્થોગોનલ સેજેગો બહુપદીઓ વર્બ્લુન્સ્કી ગુણાંક તરીકે ઓળખાતા દ્વારા આપવામાં આવેલા સ્વરૂપ અને પ્રારંભિક સ્થિતિના પુનરાવર્તન સંબંધને સંતોષે છે. ત્યારબાદ, ગેરોનિમસનો પ્રમેય જણાવે છે કે તેની સાથે સંકળાયેલા વર્બ્લુન્સ્કી ગુણાંક એ શુર પરિમાણો છેઃ વર્બ્લુન્સ્કીનો પ્રમેય વર્બ્લુન્સ્કીનો પ્રમેય જણાવે છે કે ખુલ્લી એકમ ડિસ્કમાં જટિલ સંખ્યાઓનો કોઈપણ ક્રમ એ અનંત આધાર સાથે એકમ વર્તુળ પર અનન્ય સંભાવના માપ માટે વર્બ્લુન્સ્કી ગુણાંકનો ક્રમ છે. બેક્સટરની પ્રમેય બેક્સટરની પ્રમેય જણાવે છે કે વર્બ્લુન્સ્કી ગુણાંક સંપૂર્ણપણે અભિસારી શ્રેણી બનાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો રચનાની ક્ષણો સંપૂર્ણપણે અભિસારી શ્રેણી અને વજનનું કાર્ય દરેક જગ્યાએ સખત હકારાત્મક હોય. સેજેગોના પ્રમેય વર્બ્લુન્સ્કીનું સેજેગોના પ્રમેયનું સ્વરૂપ જણાવે છે કે માપનો સંપૂર્ણપણે સતત ભાગ ક્યાં છે. વર્બ્લુન્સ્કીનું સ્વરૂપ સેગેના મૂળ સંસ્કરણમાં બિન-શૂન્ય એકવચન ભાગને પણ મંજૂરી આપે છે. રાખમાનોવની પ્રમેય રાખમાનોવની પ્રમેય જણાવે છે કે જો માપનો સંપૂર્ણપણે સતત ભાગ લગભગ દરેક જગ્યાએ હકારાત્મક હોય તો વર્બ્લુન્સ્કી ગુણાંક 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. રોજર્સ-સેજેગો બહુપદીઓ એકમ વર્તુળ પર ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનું ઉદાહરણ છે. શુર વર્ગ સંદર્ભો ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ પણ જુઓ.