Automorphic L-function
ગણિતમાં, ઓટોમોર્ફિક L-ફંક્શન એ જટિલ ચલ s નું કાર્ય L (s, π, r) છે, જે વૈશ્વિક ક્ષેત્ર પર રિડક્ટિવ ગ્રુપ G ની ઓટોમોર્ફિક રજૂઆત સાથે સંકળાયેલું છે અને લેંગલેન્ડ્સના G ના દ્વિ જૂથ LG ની મર્યાદિત-પરિમાણીય જટિલ રજૂઆત r સાથે સંકળાયેલું છે, જે ડિરીક્લેટ અક્ષરની ડિરીક્લેટ L-શ્રેણી અને મોડ્યુલર સ્વરૂપના મેલિન પરિવર્તનને સામાન્ય બનાવે છે. તેમનો પરિચય કરાવ્યો હતો. અને ઓટોમોર્ફિક એલ-કાર્યોનું સર્વેક્ષણ આપ્યું. ગુણધર્મો ઓટોમોર્ફિક-કાર્યોમાં નીચેના ગુણધર્મો હોવા જોઈએ (જે કેટલાક કિસ્સાઓમાં સાબિત થયા છે પરંતુ હજુ પણ અન્ય કિસ્સાઓમાં અનુમાનિત છે). એલ-ફંક્શન સ્થાનિક કાર્યોના સ્થાનો પરનું ઉત્પાદન હોવું જોઈએ. અહીં ઓટોમોર્ફિક રજૂઆત એ સ્થાનિક જૂથોની રજૂઆતોનું ટેન્સર ઉત્પાદન છે. એલ-ફંક્શનમાં તમામ કોમ્પ્લેક્સના મેરોમોર્ફિક ફંક્શન તરીકે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય હોવાની અપેક્ષા છે, અને એક કાર્યાત્મક સમીકરણને સંતોષે છે જ્યાં પરિબળ એ "સ્થાનિક સ્થિરાંકો" નું ગુણાકાર છે, જેમાંથી લગભગ તમામ 1 છે. સામાન્ય રેખીય જૂથોએ સામાન્ય રેખીય જૂથો માટે પ્રમાણભૂત રજૂઆત (કહેવાતા પ્રમાણભૂત એલ-કાર્યો) અને ચકાસાયેલ વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય અને કાર્યાત્મક સમીકરણ સાથે ઓટોમોર્ફિક એલ-કાર્યોનું નિર્માણ કર્યું હતું, જેમાં ટેટના થીસીસમાં પદ્ધતિનું સામાન્યકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. લેંગલેન્ડ્સ પ્રોગ્રામમાં સર્વવ્યાપક જીએલ (એમ) અને જીએલ (એન) ની રજૂઆતના રેન્કિન-સેલબર્ગ ઉત્પાદનો છે. પરિણામી રેન્કિન-સેલબર્ગ એલ-કાર્યો સંખ્યાબંધ વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મોને સંતોષે છે, તેમનું કાર્યાત્મક સમીકરણ સૌપ્રથમ લેંગલેન્ડ્સ-શાહીદી પદ્ધતિ દ્વારા સાબિત થયું છે. સામાન્ય રીતે, લેંગલેન્ડ્સ કાર્યાત્મકતાના અનુમાનો સૂચવે છે કે જોડાયેલા રિડક્ટિવ જૂથના ઓટોમોર્ફિક એલ-કાર્યો સામાન્ય રેખીય જૂથોના ઓટોમોર્ફિક એલ-કાર્યોના ઉત્પાદનો સમાન છે. લેંગલેન્ડની કાર્યાત્મકતાનો પુરાવો પણ ઓટોમોર્ફિક એલ-કાર્યોના વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મોની સંપૂર્ણ સમજણ તરફ દોરી જશે. સંદર્ભો ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપો ઝેટા અને એલ-ફંક્શન્સ લેંગલેન્ડ્સ પ્રોગ્રામ