Double centralizer theorem
રિંગ થિયરી તરીકે ઓળખાતા અમૂર્ત બીજગણિતની શાખામાં, ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર થીયરમ ઘણા સમાન પરિણામોમાંથી કોઈપણ એકનો સંદર્ભ લઈ શકે છે. આ પરિણામો રિંગ આરની સબરીંગ એસના સેન્ટ્રલાઈઝર સાથે સંબંધિત છે, જે આ લેખમાં સી. આર. (એસ.) તરીકે દર્શાવવામાં આવી છે. હંમેશાં એવું બને છે કે સી. આર. (સી. આર. (એસ)) માં એસ હોય છે, અને ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર થીયરમ આર અને એસ પર શરતો આપે છે જે બાંયધરી આપે છે કે સી. આર. (સી. આર. (એસ)) એ એસની બરાબર છે. ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર થીયરમ્સ એવી શરતો આપે છે કે જેના હેઠળ કોઈ નિષ્કર્ષ પર આવી શકે કે સમાનતા થાય છે. રસનો બીજો વિશેષ કેસ છે. ધારો કે M એ જમણું R મોડ્યુલ છે અને M ને કુદરતી ડાબી બાજુ E-મોડ્યુલ માળખું આપો, જ્યાં E એ એન્ડ (M) છે, જે અબેલિયન જૂથ M ની એન્ડોમોર્ફિઝમ્સની રીંગ છે. mr (x) = xr દ્વારા આપવામાં આવેલ દરેક નકશો mr એ M નું એડિટિવ એન્ડોમોર્ફિઝમ બનાવે છે, એટલે કે, E નું એક તત્વ. નકશો r → mr એ રીંગ E માં R ની રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે, અને અમે RM દ્વારા E ની અંદર R ની છબીને સૂચવીએ છીએ. તે ચકાસી શકાય છે કે આ કેનોનિકલ નકશાનો કર્નલ એનિહિલેટર એન (એમ. આર.) છે. તેથી, રિંગ્સ માટે આઇસોમોર્ફિઝમ થીયરમ દ્વારા, આરએમ એ ભાગાકાર રિંગ આર/એન (એમઆર) માટે આઇસોમોર્ફિક છે. સ્પષ્ટ રીતે જ્યારે M એક વફાદાર મોડ્યુલ છે, ત્યારે R અને RM આઇસોમોર્ફિક રિંગ્સ છે. તેથી હવે E એ સબરીંગ તરીકે RM સાથે રિંગ છે, અને CE (RM) ની રચના થઈ શકે છે. વ્યાખ્યા મુજબ કોઈ વ્યક્તિ ચકાસી શકે છે કે CE (RM) = એન્ડ (MR), M ના R મોડ્યુલ એન્ડોમોર્ફિઝમ્સની રીંગ છે. આમ જો એવું બને કે CE (CE (RM)) = RM, તો આ CE (એન્ડ (MR)) = RM કહેવા જેવી જ બાબત છે. કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત કદાચ સૌથી સામાન્ય સંસ્કરણ કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત માટેનું સંસ્કરણ છે, જેમ કે તે આમાં દેખાય છેઃ પ્રમેયઃ જો A એ F ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત છે અને B એ A નું સરળ ઉપ-બીજગણિત છે, તો CA (CA (B)) = B, અને વધુમાં પરિમાણો આર્ટીનીયન રિંગ્સને સંતોષે છે. એક સરળ આર મોડ્યુલ યુઆરને જોતાં, આપણે આરયુ અને ઇ = એન્ડ (યુ) સહિત ઉપરોક્ત પ્રેરણા વિભાગમાંથી સંકેતો લઈશું. વધુમાં, આપણે R-હોમોમોર્ફિઝમ્સ ધરાવતી E ની સબરીંગ માટે D = એન્ડ (UR) લખીશું. શુરના લેમ્મા અનુસાર, ડી એ વિભાજન રિંગ છે. પ્રમેયઃ ચાલો R એ સરળ જમણા મોડ્યુલ UR સાથે જમણી આર્ટીનીયન રીંગ હોય, અને RU, D અને E અગાઉના ફકરાની જેમ આપવામાં આવે. પછી. ટિપ્પણીઓ આ સંસ્કરણમાં, જેકોબસન ઘનતા પ્રમેયને સાબિત કરવાના ઉદ્દેશ સાથે રિંગ્સ પસંદ કરવામાં આવે છે. નોંધ લો કે તે માત્ર એ નિષ્કર્ષ પર પહોંચે છે કે કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત સંસ્કરણથી વિપરીત, ચોક્કસ સબરીંગમાં સેન્ટ્રલાઈઝર ગુણધર્મ હોય છે. કારણ કે આલ્જેબ્રા સામાન્ય રીતે પરિવર્તનીય રિંગ્સ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને ઉપરની તમામ સામેલ રિંગ્સ બિન-પરિવર્તનીય હોઈ શકે છે, તે સ્પષ્ટ છે કે આલ્જેબ્રા આવશ્યકપણે સામેલ નથી. જો U વધુમાં વફાદાર મોડ્યુલ હોય, જેથી R એ જમણી આદિમ રીંગ હોય, તો RU એ R માટે રીંગ આઇસોમોર્ફિક છે. બહુપદી ઓળખ રીંગમાં, બહુપદી ઓળખ રીંગ માટે એક સંસ્કરણ આપવામાં આવે છે. ઝેડ (આર) સંકેતનો ઉપયોગ રિંગ આર. પ્રમેયના કેન્દ્રને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવશેઃ જો આર એક સરળ બહુપદી ઓળખ રિંગ છે, અને એ આરનું સરળ ઝેડ (આર) પેટા બીજગણિત છે, તો સીઆર (સીઆર (એ)) = એ. ટિપ્પણીઓ આ સંસ્કરણને કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત સંસ્કરણ અને આર્ટીનીયન રીંગ સંસ્કરણની "વચ્ચે" ગણી શકાય. આનું કારણ એ છે કે સરળ બહુપદી ઓળખ રિંગ્સ આર્ટીનિયન છે, પરંતુ આર્ટીનિયન સંસ્કરણથી વિપરીત, નિષ્કર્ષ હજુ પણ આર. વોન ન્યુમેન આલ્જેબ્રાસના તમામ કેન્દ્રીય સરળ સબરિંગ્સનો સંદર્ભ આપે છે. વોન ન્યુમેન બાયકોમ્યુટન્ટ થીયરમ જણાવે છે કે હિલ્બર્ટ સ્પેસ એચ પર બાઉન્ડેડ ઓપરેટર્સ બી (એચ) ના બીજગણિતનો *-સબલેજેબ્રા એ વોન ન્યુમેન બીજગણિત છે (એટલે કે. જો અને માત્ર ત્યારે જ જો A = CB (H) CB (H) (A) હોય. જો CE (CE (RM)) = RM હોય, જ્યાં E = અંત (M) અને RM પ્રેરણા વિભાગમાં આપેલ છે, તો મોડ્યુલ M ને ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર ગુણધર્મ અથવા સંતુલિત મોડ્યુલ હોવાનું કહેવાય છે. આ પરિભાષામાં, ડબલ સેન્ટ્રલાઈઝર થીયરમનું આર્ટીનીયન રીંગ વર્ઝન જણાવે છે કે જમણી આર્ટીનીયન રીંગ માટેના સરળ જમણા મોડ્યુલો સંતુલિત મોડ્યુલો છે. નોંધો સંદર્ભો રીંગ થિયરીમાં 1994ના મૂળ પ્રમેયોની પુનઃમુદ્રણ