Hopfian object
શ્રેણી સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાતી ગણિતની શાખામાં, હોપ્ફિયન ઓબ્જેક્ટ એ એવી વસ્તુ છે કે A પર A નું કોઈપણ એપિમોર્ફિઝમ આવશ્યકપણે ઓટોમોર્ફિઝમ છે. બેવડી કલ્પના એ કોહોફિયન ઓબ્જેક્ટની છે, જે એક ઓબ્જેક્ટ B છે જેમ કે B થી B માં દરેક મોનોમોર્ફિઝમ આવશ્યકપણે ઓટોમોર્ફિઝમ છે. બે પરિસ્થિતિઓનો અભ્યાસ જૂથો, રિંગ્સ, મોડ્યુલો અને ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણીઓમાં કરવામાં આવ્યો છે. "હોપ્ફિયન" અને "કોપ્ફિયન" શબ્દો 1960ના દાયકાથી ઉદ્ભવ્યા છે, અને તે હેઇન્ઝ હોપ્ફ અને સપાટીઓના મૂળભૂત જૂથો પરના તેમના કાર્યમાં હોપ્ફિયન જૂથના ખ્યાલના તેમના ઉપયોગના સન્માનમાં હોવાનું કહેવાય છે. ગુણધર્મો બંને શરતોને તેમની શ્રેણીમાં મર્યાદિતતાની શરતોના પ્રકાર તરીકે જોવામાં આવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત સાથે ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ સમૂહ સિદ્ધાંત ધારીને અને સમૂહોની શ્રેણીમાં કામ કરતા, હોપ્ફિયન અને કોપ્ફિયન પદાર્થો ચોક્કસપણે મર્યાદિત સમૂહો છે. આમાંથી તે જોવાનું સરળ છે કે તમામ મર્યાદિત જૂથો, મર્યાદિત મોડ્યુલો અને મર્યાદિત રિંગ્સ તેમની શ્રેણીઓમાં હોપ્ફિયન અને કોપ્ફિયન છે. હોપ્ફિયન ઓબ્જેક્ટ્સ અને કોપ્ફિયન ઓબ્જેક્ટ્સ પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સ અને ઇન્જેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સ સાથે પ્રાથમિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ધરાવે છે. બે પરિણામો છેઃ એક ઇન્જેક્ટિવ હોપ્ફિયન ઓબ્જેક્ટ કોહોપ્ફિયન છે. એક પ્રોજેક્ટિવ કોફિઅન ઓબ્જેક્ટ હોફિઅન છે. પ્રથમ નિવેદનનો પુરાવો ટૂંકો છેઃ ધારો કે A એક ઇન્જેક્ટિવ હોપ્ફિયન ઓબ્જેક્ટ છે, અને ધારો કે f એ A થી A સુધી ઇન્જેક્ટિવ મોર્ફિઝમ છે. ઇન્જેક્ટિવિટી દ્વારા, ઓળખ નકશા દ્વારા એફ પરિબળો એ પર આઇએ કરે છે, જે જીએફ = આઇએ જેવા મોર્ફિઝમ જી આપે છે. પરિણામે, g એ એક સર્જેક્ટિવ મોર્ફિઝમ છે અને તેથી ઓટોમોર્ફિઝમ છે, અને પછી f એ જરૂરી છે કે g માટે ઇન્વર્સ ઓટોમોર્ફિઝમ છે. આ સાબિતીને બીજા નિવેદનને સાબિત કરવા માટે દ્વિગુણિત કરી શકાય છે. હોપફિયન અને કોહોફિયન જૂથો હોપફિયન અને કોહોફિયન મોડ્યુલો અહીં મોડ્યુલોની શ્રેણીમાં કેટલાક મૂળભૂત પરિણામો છે. તે ખાસ કરીને યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે આરઆર મોડ્યુલ તરીકે હોપ્ફિયન અથવા કોપ્ફિયન હોવા એ આર રિંગ તરીકે હોપ્ફિયન અથવા કોપ્ફિયન હોવા કરતાં અલગ છે. નોથેરિયન મોડ્યુલ હોપ્ફિયન છે, અને આર્ટીનીયન મોડ્યુલ કોપ્ફિયન છે. મોડ્યુલ આર. આર. આશાસ્પદ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આર સીધી મર્યાદિત રીંગ હોય. સમમિતીય રીતે, આ બંને મોડ્યુલ આર. આર. હોપ્ફિયન હોવાની સમકક્ષ પણ છે. ઉપરોક્તથી વિપરીત, આર. આર. અથવા આર. આર. મોડ્યુલો કોહોપ્ફિયન હોઈ શકે છે અથવા કોઈપણ સંયોજનમાં ન પણ હોઈ શકે. એક બાજુ રિંગ કોહોફિયનનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું હતું પરંતુ બીજી બાજુ નહીં. જો કે, જો આ બે મોડ્યુલોમાંથી કોઈ એક કોહોપ્ફિયન હોય, તો R બંને બાજુએ હોપ્ફિયન છે (કારણ કે R ડાબી અથવા જમણી મોડ્યુલ તરીકે પ્રોજેક્ટિવ છે) અને સીધા મર્યાદિત છે. હોપફિયન અને કોહોફિયન રિંગ્સ રિંગ્સની શ્રેણીમાં સ્થિતિ મોડ્યુલોની શ્રેણીથી તદ્દન અલગ છે. ઓળખ જાળવવા માટે, એટલે કે 1 થી 1 મોકલવા માટે, એકતાની સાથે રિંગ્સની શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ્સ જરૂરી છે. જો R આદર્શો પર ચડતી સાંકળની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો R હોપ્ફિયન છે. આ નોથેરિયન મોડ્યુલોની હકીકત સાથે સામ્યતા દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. જો કે "કોહોફિઅન" માટેનો પ્રતિરૂપ વિચાર અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે જો f એ R ગુણ્યા R માં ઓળખ જાળવી રાખતી રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે, અને f ની છબી R નથી, તો પછી છબી ચોક્કસપણે R ની આદર્શ નથી. કોઈ પણ સંજોગોમાં, આ દર્શાવે છે કે એક બાજુની નોથેરિયન અથવા આર્ટીનીયન રીંગ હંમેશા હોફિઅન હોય છે. કોઈપણ સરળ રીંગ હોપ્ફિયન છે, કારણ કે કોઈપણ એન્ડોમોર્ફિઝમનું કર્નલ એક આદર્શ છે, જે સરળ રીંગમાં શૂન્ય હોવું જરૂરી છે. તેનાથી વિપરીત, માં, બિન-મદ્યપાન ક્ષેત્રનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું હતું. ગણતરીપાત્ર પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાની પૂર્ણ રેખીય રીંગ એન્ડડી (વી) એક હોપ્ફિયન રીંગ છે જે મોડ્યુલ તરીકે હોપ્ફિયન નથી, કારણ કે તેમાં માત્ર ત્રણ આદર્શો છે, પરંતુ તે સીધા મર્યાદિત નથી. પેપર કોહોફિયન રિંગનું ઉદાહરણ પણ આપે છે જે મોડ્યુલ તરીકે કોહોફિયન નથી. વધુમાં, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બુલિયન રીંગ R અને તેની સાથે સંકળાયેલ સ્ટોન સ્પેસ X માટે, રીંગ R રિંગ્સની શ્રેણીમાં હોપફિયન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X ટોપોલોજિકલ સ્પેસની શ્રેણીમાં કોહોફિયન હોય, અને R રિંગ તરીકે કોહોફિયન હોય જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X ટોપોલોજિકલ સ્પેસ તરીકે હોફિયન હોય. હોપફિયન અને કોહોફિયન ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓમાં, કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ પરના પરિણામોની શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ, એકમાત્ર કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ જે હોપ્ફિયન છે તે મર્યાદિત અલગ જગ્યાઓ છે. બીજું, સીમા વિનાના કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ હંમેશા કોહોપ્ફિયન હોય છે. છેલ્લે, નોન એમ્પ્ટી બાઉન્ડ્રી સાથે કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ કોહોપ્ફિયન નથી. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ હોપફિયન જૂથ સહ-હોપફિયન જૂથ શ્રેણી સિદ્ધાંત જૂથ સિદ્ધાંત મોડ્યુલ સિદ્ધાંત રિંગ સિદ્ધાંત