Ehresmann connection
વિભેદક ભૂમિતિમાં, એહરેસમેન જોડાણ (ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ચાર્લ્સ એહરેસમેન પછી જેણે સૌપ્રથમ આ ખ્યાલને ઔપચારિક બનાવ્યો હતો) એ જોડાણની કલ્પનાનું એક સંસ્કરણ છે, જે કોઈપણ સરળ ફાઇબર બંડલ પર અર્થપૂર્ણ બને છે. ખાસ કરીને, તે અંતર્ગત ફાઇબર બંડલના સંભવિત વેક્ટર બંડલ માળખા પર આધાર રાખતું નથી, પરંતુ તેમ છતાં, રેખીય જોડાણોને એક વિશેષ કેસ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે. એહરેસમેન જોડાણોનો બીજો મહત્વનો ખાસ કિસ્સો મુખ્ય બંડલ પરના મુખ્ય જોડાણો છે, જે મુખ્ય લાઈ જૂથની ક્રિયામાં સમાન હોવા જરૂરી છે. વિભેદક ભૂમિતિમાં સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન એ એક રેખીય વિભેદક સંચાલક છે જે સહપરિવર્તન રીતે વેક્ટર બંડલના વિભાગનું દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન લે છે. તે વેક્ટરની દિશામાં બંડલના સમાંતર વિભાગની કલ્પના ઘડવાની પણ મંજૂરી આપે છેઃ એક વિભાગ s વેક્ટર X સાથે સમાંતર હોય છે. તેથી સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન ઓછામાં ઓછી બે બાબતો પ્રદાન કરે છેઃ એક વિભેદક સંચાલક, અને દરેક દિશામાં સમાંતર હોવાનો અર્થ શું છે તેની કલ્પના. એહરેસમેન જોડાણ વિભેદક ઓપરેટરને સંપૂર્ણપણે છોડી દે છે અને દરેક દિશામાં સમાંતર વિભાગોના સંદર્ભમાં જોડાણને સ્વયંસિદ્ધ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ખાસ કરીને, એહરેસમેન જોડાણ દરેક સ્પર્શક જગ્યાના વેક્ટર સબસ્પેસને ફાઇબર બંડલની કુલ જગ્યા સાથે જોડી દે છે, જેને આડી જગ્યા કહેવાય છે. એક વિભાગ s પછી X દિશામાં આડી (એટલે કે સમાંતર) હોય છે જો તે આડી જગ્યામાં હોય. અહીં આપણે આધાર M થી ફાઇબર બંડલ E સુધીના કાર્ય તરીકે s ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તેથી તે પછી સ્પર્શક વેક્ટરનું આગળનું દબાણ છે. આડી જગ્યાઓ એકસાથે વેક્ટર સબબંડલ બનાવે છે. આને માત્ર વેક્ટર બંડલ્સ કરતાં માળખાના વધુ વ્યાપક વર્ગ પર વ્યાખ્યાયિત કરવાનો તાત્કાલિક ફાયદો છે. ખાસ કરીને, તે સામાન્ય ફાઇબર બંડલ પર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વધુમાં, કોવેરિયન્ટ વ્યુત્પન્નની ઘણી લાક્ષણિકતાઓ હજુ પણ બાકી છેઃ સમાંતર પરિવહન, વળાંક અને હોલોનોમી. રેખીયતા ઉપરાંત જોડાણનો ગુમ થયેલ ઘટક સહપરિવર્તન છે. શાસ્ત્રીય સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન સાથે, સહપરિવર્તન એ વ્યુત્પન્નનું પશ્ચાદવર્તી લક્ષણ છે. તેમની રચનામાં ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકોના પરિવર્તન કાયદાને સ્પષ્ટ કરે છે-જે સહપરિવર્તન નથી-અને પછી પરિણામે વ્યુત્પન્નનું સામાન્ય સહપરિવર્તન અનુસરે છે. એહરેસમેન જોડાણ માટે, ફાઇબર બંડલના તંતુઓ પર કામ કરતા લાઈ જૂથની રજૂઆત કરીને શરૂઆતથી જ સામાન્યીકૃત સહપ્રસરણ સિદ્ધાંત લાદવો શક્ય છે. યોગ્ય શરત એ છે કે આડી જગ્યાઓ, ચોક્કસ અર્થમાં, જૂથ ક્રિયાના સંદર્ભમાં સમાન હોય. એહરેસમેન જોડાણ માટે અંતિમ સ્પર્શ એ છે કે તેને જોડાણ સ્વરૂપની જેમ જ વિભેદક સ્વરૂપ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. જો જૂથ તંતુઓ પર કાર્ય કરે છે અને જોડાણ સમાન છે, તો પછી સ્વરૂપ પણ સમાન હશે. વધુમાં, જોડાણ સ્વરૂપ વળાંકની વ્યાખ્યાને વળાંક સ્વરૂપ તરીકે પણ મંજૂરી આપે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચાલો એક સરળ રેસાનું બંડલ બનીએ. ચાલો ઊભી બંડલ હોઈએ જેમાં E ના વેક્ટર "રેસાને સ્પર્શક" એટલે કે. વી એટ નો ફાઇબર છે. જ્યારે બેઝ સ્પેસ એમ માટે કોઈ કેનોનિકલ સબસ્પેસ સ્પર્શક ન હોય ત્યારે પણ આ સબબંડલને કેનોનિકલ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (અલબત્ત, આ અસમપ્રમાણતા ફાઇબર બંડલની ખૂબ જ વ્યાખ્યામાંથી આવે છે, જેમાં "માત્ર એક પ્રક્ષેપણ હોય છે" જ્યારે ઉત્પાદનમાં બે હશે.) હોરિઝોન્ટલ સબસ્પેસીસ દ્વારા વ્યાખ્યા E પરનું એહરેસમેન જોડાણ એ H નું સ્મૂથ સબબંડલ છે, જેને જોડાણનું હોરિઝોન્ટલ બંડલ કહેવાય છે, જે V ને પૂરક છે, તે અર્થમાં કે તે સીધા સરવાળા વિઘટનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુ વિગતવાર, આડી બંડલમાં નીચેના ગુણધર્મો છે. દરેક બિંદુ માટે, e પર E માટે સ્પર્શક જગ્યાની વેક્ટર સબસ્પેસ છે, જેને e પર જોડાણની આડી સબસ્પેસ કહેવામાં આવે છે. તે સરળતાથી e પર આધાર રાખે છે. દરેક માટે,. ટી. ઇ. ઈ. માં કોઈપણ સ્પર્શક વેક્ટર (કોઈપણ ઇ. ઇ. માટે) એ આડી અને ઊભી ઘટકનો સરવાળો છે, જેથી ટી. ઇ. ઇ. = હી + વી. વધુ વ્યવહારદક્ષ શબ્દોમાં, આ ગુણધર્મોને સંતોષતી આડી જગ્યાઓની આવી સોંપણી જેટ બંડલ J1E → E ના સરળ વિભાગને ચોક્કસપણે અનુરૂપ છે. જોડાણ સ્વરૂપ દ્વારા વ્યાખ્યા સમાનરૂપે, ચાલો H સાથે ઊભી બંડલ V પર પ્રક્ષેપણ કરીએ (જેથી H = ker). આ ટીઈના આડા અને ઊભા ભાગોમાં ઉપરોક્ત સીધા સરવાળા વિઘટન દ્વારા નક્કી થાય છે અને તેને કેટલીકવાર એહરેસમેન જોડાણનું જોડાણ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. આમ, (સામાન્ય રીતે અંદાજોના) નીચેના ગુણધર્મો સાથે ટી. ઈ. થી પોતે એક વેક્ટર બંડલ હોમોમોર્ફિઝમ છેઃ 2 =; એ વી = આઈ. એમ. પરની ઓળખ છે. તેનાથી વિપરીત, જો ટીઈનું વેક્ટર બંડલ એન્ડોમોર્ફિઝમ આ બે ગુણધર્મોને સંતોષે છે, તો એચ = કેર એ એહરેસમેન જોડાણનું આડી સબબંડલ છે. છેવટે, નોંધ લો કે, દરેક સ્પર્શક જગ્યાનું પોતાની અંદર એક રેખીય મેપિંગ હોવાથી, તેને ઇ પર ટીઇ-મૂલ્યવાન 1-સ્વરૂપ તરીકે પણ ગણી શકાય. આ આગામી વિભાગોમાં ઉપયોગી પરિપ્રેક્ષ્ય હશે. હોરિઝોન્ટલ લિફ્ટ્સ દ્વારા સમાંતર પરિવહન એક એહરેસમેન જોડાણ પણ બેઝ મેનીફોલ્ડ M થી વળાંકને ફાઇબર બંડલ E ની કુલ જગ્યામાં ઉપાડવાની રીત સૂચવે છે જેથી વળાંકની સ્પર્શક આડી હોય. આ આડી લિફ્ટ્સ જોડાણની ઔપચારિકતાની અન્ય આવૃત્તિઓ માટે સમાંતર પરિવહનનું સીધું એનાલોગ છે. ખાસ કરીને, ધારો કે γ (t) એ બિંદુ x = γ (0) દ્વારા M માં એક સરળ વળાંક છે. ધારો કે x ઉપરના તંતુમાં e bul Ex એ એક બિંદુ છે. γ થી e ની લિફ્ટ એ કુલ જગ્યા E માં એક વળાંક છે, અને A લિફ્ટ આડી હોય છે જો વધુમાં, વળાંકની દરેક સ્પર્શક TE ના આડી સબબંડલમાં હોયઃ તે π પર લાગુ કરાયેલ ક્રમ-શૂન્યતા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે અને દરેક વેક્ટર X ω TxM વેક્ટર માટે એક અનન્ય આડી લિફ્ટ ધરાવે છે. ખાસ કરીને, γ નું સ્પર્શક ક્ષેત્ર પુલબેક બંડલ γ * E ની કુલ જગ્યામાં આડી વેક્ટર ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેય દ્વારા, આ વેક્ટર ક્ષેત્ર સંકલિત છે. આમ, x = γ (0) પર કોઈપણ વળાંક γ અને બિંદુ e માટે, નાના સમય t માટે γ થી e ની એક અનન્ય આડી લિફ્ટ અસ્તિત્વમાં છે. નોંધ લો કે, સામાન્ય એહરેસમેન જોડાણો માટે, આડી લિફ્ટ પાથ-આધારિત છે. જ્યારે M માં બે સરળ વળાંકો, γ1 (0) = γ2 (0) = x0 પર મેળ ખાય છે અને બીજા બિંદુ x1 ωM પર પણ છેદે છે, ત્યારે તે સમાન e ωπ−1 (x0) દ્વારા E તરફ આડી રીતે ઉઠાવવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ સામાન્ય રીતે π−1 (x1) ના વિવિધ બિંદુઓમાંથી પસાર થશે. ફાઇબર બંડલ્સની વિભેદક ભૂમિતિ માટે આ મહત્વપૂર્ણ પરિણામો ધરાવે છેઃ H ના વિભાગોની જગ્યા એ E પર વેક્ટર ક્ષેત્રોની જગ્યાનું લાઈ ઉપ-બીજગણિત નથી, કારણ કે તે (સામાન્ય રીતે) વેક્ટર ક્ષેત્રોના લાઈ કૌંસ હેઠળ બંધ નથી. લાઈ કૌંસ હેઠળ બંધ થવાની આ નિષ્ફળતા વળાંક દ્વારા માપવામાં આવે છે. ગુણધર્મો વક્રતા ચાલો એક એહરેસમેન જોડાણ હોઈએ. પછી ની વળાંક તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં [-,-] એ પોતાની સાથે ω1 (E, TE) ના ફ્રોલિચર-નિજેનહુઇસ કૌંસને સૂચવે છે. આમ R ω ω2 (E, TE) એ E પરનું બે સ્વરૂપ છે, જે TEમાં મૂલ્યો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અથવા, અન્ય શબ્દોમાં, જ્યાં X = XH + XV અનુક્રમે H અને V ઘટકોમાં સીધા સરવાળા વિઘટનને સૂચવે છે. વળાંક માટેની આ છેલ્લી અભિવ્યક્તિમાંથી, તે સમાન રીતે અદૃશ્ય થતું જોવા મળે છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ જો, આડી સબબંડલ ફ્રોબેનિયસ ઇન્ટિગ્રેબલ હોય. આમ વક્રતા એ ફાઇબર બંડલ E → M ના ત્રાંસા વિભાગો મેળવવા માટે આડી સબબંડલ માટે સંકલનક્ષમતાની સ્થિતિ છે. એહરેસમેન જોડાણની વક્રતા પણ બિયાંચી ઓળખના સંસ્કરણને સંતોષે છેઃ જ્યાં ફરીથી [-,-] એ ફ્રોલિચર-નિજેનહુઇસ કૌંસ છે જે ω1 (E, TE) અને R ω2 (E, TE) નું છે. એક એહરેસમેન જોડાણ વળાંકને સ્થાનિક રીતે અનન્ય આડી લિફ્ટ્સ રાખવાની મંજૂરી આપે છે. સંપૂર્ણ એહરેસમેન જોડાણ માટે, વળાંકને તેના સમગ્ર ક્ષેત્ર પર આડી રીતે ઉઠાવી શકાય છે. હોલોનોમી જોડાણની સપાટતા સ્થાનિક રીતે આડી જગ્યાઓની ફ્રોબેનિયસ સંકલનક્ષમતાને અનુરૂપ છે. બીજી ચરમસીમાએ, બિન-લુપ્ત વળાંક એ જોડાણની હોલોનોમીની હાજરી સૂચવે છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં મુખ્ય બંડલ અને મુખ્ય જોડાણો ધારો કે E એ M પર એક સરળ મુખ્ય G-બંડલ છે. પછી E પર એહરેસમેન જોડાણ H ને મુખ્ય (એહરેસમેન) જોડાણ કહેવામાં આવે છે જો તે E પર G ક્રિયાના સંદર્ભમાં એ અર્થમાં અપરિવર્તનશીલ હોય કે કોઈપણ e ω E અને g ω G માટે; અહીં e પર E પર g ની જમણી ક્રિયાના તફાવતને સૂચવે છે. G ના એક-પરિમાણ પેટા જૂથો E પર ઊભી રીતે કાર્ય કરે છે. આ ક્રિયાના તફાવતથી વ્યક્તિ જૂથ G ના લાઈ બીજગણિત g સાથે પેટા જગ્યાને ઓળખવા માટે પરવાનગી આપે છે, નકશા દ્વારા કહો. એહરેસમેન જોડાણના જોડાણ સ્વરૂપને પછી ω (X) = ι (X)) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત g માં મૂલ્યો સાથે E પર 1-સ્વરૂપ ω તરીકે જોઈ શકાય છે. આમ પુનઃવ્યાખ્યાયિત, જોડાણ સ્વરૂપ ω નીચેના બે ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ તે G ક્રિયા હેઠળ સમાનરૂપે પરિવર્તિત થાય છેઃ બધા h ω G માટે, જ્યાં Rh * એ યોગ્ય ક્રિયા હેઠળ પુલબેક છે અને AD એ તેના લાઈ બીજગણિત પર G ની સંલગ્ન રજૂઆત છે. તે લાઇ બીજગણિતના તેમના સંકળાયેલ ઘટકો સાથે ઊભી વેક્ટર ક્ષેત્રોનો નકશો બનાવે છેઃ ω (X) = ι (X) બધા X ωV માટે. તેનાથી વિપરીત, એવું દર્શાવી શકાય છે કે મુખ્ય બંડલ પર આ પ્રકારનું જી-મૂલ્ય ધરાવતું 1-સ્વરૂપ ઉપરોક્ત ગુણધર્મોને સંતોષતા આડી વિતરણ પેદા કરે છે. સ્થાનિક તુચ્છકરણને જોતાં ω ને આડી વેક્ટર ક્ષેત્રોમાં ઘટાડી શકાય છે (આ તુચ્છકરણમાં). તે પુલબેક દ્વારા M પર 1-સ્વરૂપ ω 'ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ફોર્મ ω સંપૂર્ણપણે ω નક્કી કરે છે, પરંતુ તે તુચ્છતાની પસંદગી પર આધારિત છે. (આ સ્વરૂપને ઘણીવાર જોડાણ સ્વરૂપ પણ કહેવામાં આવે છે અને ફક્ત ω દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.) વેક્ટર બંડલ્સ અને કોવેરિયન્ટ ડેરિવેટિવ્ઝ ધારો કે E એ M પર એક સ્મૂથ વેક્ટર બંડલ્સ છે. પછી E પર Ehresmann જોડાણ H ને રેખીય (Ehresmann) જોડાણ કહેવામાં આવે છે જો તે દરેક x ω M માટે e ω Ex પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. આ ચોક્કસ બનાવવા માટે, Sλ એ E પર ω દ્વારા સ્કેલર ગુણાકાર સૂચવે છે. પછી H રેખીય છે જો અને માત્ર જો કોઈપણ e ω E અને સ્કેલર ω માટે હોય. E એ વેક્ટર બંડલ હોવાથી, તેનું ઊભું બંડલ V એ π * E માટે સમરૂપ છે. તેથી જો s એ E નો વિભાગ હોય, તો (ds): TM → s * V = s * π * E = E. તે વેક્ટર બંડલ મોર્ફિઝમ છે, અને તેથી તે વેક્ટર બંડલ હોમ (ટી. એમ., ઇ.) ના વિભાગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. એહરેસમેન જોડાણ રેખીય છે તે હકીકત સૂચવે છે કે વધુમાં તે લીબનીઝ નિયમ પરના દરેક કાર્ય માટે ચકાસણી કરે છે, એટલે કે. , અને તેથી તે s નું સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન છે. તેનાથી વિપરીત વેક્ટર બંડલ પર સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન ρ એ H ને વ્યાખ્યાયિત કરીને રેખીય એહરેસમેન જોડાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, x = π (e) સાથે e ω E માટે, છબી dsx (TxM) છે જ્યાં s એ s (x) = e સાથે E નો વિભાગ છે અને બધા X ω TxM માટે ω Xs = 0 છે. નોંધ લો કે (ઐતિહાસિક કારણોસર) જોડાણો પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે રેખીય શબ્દનો ઉપયોગ કેટલીકવાર સ્પર્શક બંડલ અથવા ફ્રેમ બંડલ પર વ્યાખ્યાયિત જોડાણોનો સંદર્ભ આપવા માટે થાય છે (જેમ કે એફાઇન શબ્દ-એફાઇન જોડાણ જુઓ). ફાઇબર બંડલ (માળખા જૂથ સાથે સંપન્ન) પરનું એહરેસમેન જોડાણ કેટલીકવાર સંકળાયેલ બંડલ પર એહરેસમેન જોડાણને જન્મ આપે છે. દાખલા તરીકે, વેક્ટર બંડલ E માં (રેખીય) જોડાણ, જે ઉપર મુજબ E ની સમાંતરતા આપવાનું વિચારે છે, તે E ની ફ્રેમ PE ના સંકળાયેલ બંડલ પર જોડાણને પ્રેરિત કરે છે. તેનાથી વિપરીત, PE માં જોડાણ E માં (રેખીય) જોડાણને જન્મ આપે છે જો કે PE માં જોડાણ ફ્રેમ પર સામાન્ય રેખીય જૂથની ક્રિયા (અને આમ મુખ્ય જોડાણ) ના સંદર્ભમાં સમાન છે. એહરેસમેન જોડાણ માટે, કુદરતી રીતે, સંકળાયેલ બંડલ પર જોડાણને પ્રેરિત કરવું હંમેશા શક્ય નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર બંડલની ફ્રેમ્સના બંડલ પર બિન-સમતુલ્ય એહરેસમેન જોડાણ વેક્ટર બંડલ પર જોડાણને પ્રેરિત કરી શકશે નહીં. ધારો કે E એ P નું સંકળાયેલ બંડલ છે, જેથી E = P × GF. E પર A G-જોડાણ એ એહરેસમેન જોડાણ છે, જેમ કે સમાંતર પરિવહન નકશો τ: Fx → Fx′ એ રેસાના G-પરિવર્તન દ્વારા આપવામાં આવે છે (M માં પૂરતા પ્રમાણમાં નજીકના બિંદુઓ x અને x′ પર વળાંક સાથે જોડાયેલા). પી પર મુખ્ય જોડાણને જોતાં, પુલબેક દ્વારા સંકળાયેલ ફાઇબર બંડલ ઇ = પી × જીએફ પર જી-જોડાણ પ્રાપ્ત થાય છે. તેનાથી વિપરીત, E પર G-જોડાણ આપવામાં આવે તો સંકળાયેલ મુખ્ય બંડલ P પર મુખ્ય જોડાણને પુનઃપ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે. આ મુખ્ય જોડાણને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે, કોઈ લાક્ષણિક ફાઇબર F પર ફ્રેમની કલ્પનાનો પરિચય આપે છે. G એ F પર અસરકારક રીતે કામ કરતું મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ જૂથ હોવાથી, F ની અંદર બિંદુઓ (y1,., ym) નું મર્યાદિત રૂપરેખાંકન અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ, જેમ કે G-ભ્રમણકક્ષા R = {(gy1,, gym) | g ω G} એ G ની મુખ્ય સજાતીય જગ્યા છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ R ને F પર G-ક્રિયા માટે ફ્રેમની કલ્પનાનું સામાન્યીકરણ આપવા તરીકે વિચારી શકે છે. નોંધ કરો કે, R એ G માટે મુખ્ય સજાતીય જગ્યા હોવાથી, ફાઇબર બંડલ E (R) E પર આડી જગ્યાઓનું વિતરણ આ પ્રોડક્ટ બંડલ પર જગ્યાઓનું વિતરણ પ્રેરિત કરે છે. જોડાણ સાથે સંકળાયેલા સમાંતર પરિવહન નકશા જી-નકશા હોવાથી, તેઓ સબસ્પેસ ઇ (આર) ને જાળવી રાખે છે, અને તેથી જી-જોડાણ ઇ (આર) પર મુખ્ય જી-જોડાણમાં ઉતરી જાય છે. સારાંશમાં, સંબંધિત ફાઇબર બંડલ્સ સાથેના મુખ્ય જોડાણોના વંશજો અને સંબંધિત ફાઇબર બંડલ્સ પરના જી-જોડાણો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર (સમાનતા સુધી) છે. આ કારણોસર, માળખા જૂથ જી સાથે ફાઇબર બંડલ્સની શ્રેણીમાં, મુખ્ય જોડાણમાં સંકળાયેલ બંડલ્સ પર જી-જોડાણો માટે તમામ સંબંધિત માહિતી હોય છે. તેથી, જ્યાં સુધી સંકળાયેલ બંડલ પર જોડાણોને ધ્યાનમાં લેવાનું કોઈ મુખ્ય કારણ ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ટન જોડાણોના કિસ્સામાં) ત્યાં સામાન્ય રીતે મુખ્ય જોડાણ સાથે સીધું કામ કરે છે. નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન રાઉલ બોટ (1970) "સંકલન માટે ટોપોલોજીકલ અવરોધ", પ્રોસી. સિમ્પ. શુદ્ધ મઠ., 16 'આમેર. ગણિત. સોસાયટી, પ્રોવિડન્સ, આર. આઈ. જોડાણ (ગણિત)