Filtered category
શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણીઓ શ્રેણી તરીકે સમજાતા નિર્દેશિત સમૂહની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે (તેથી તેને નિર્દેશિત શ્રેણી કહેવામાં આવે છે; જ્યારે કેટલાક ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણીના સમાનાર્થી તરીકે નિર્દેશિત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરે છે). કોફિલ્ટર્ડ શ્રેણીની બેવડી કલ્પના છે, જેને નીચે યાદ કરવામાં આવશે. ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણીઓ A શ્રેણીને ત્યારે ફિલ્ટર કરવામાં આવે છે જ્યારે તે ખાલી ન હોય, દરેક બે પદાર્થો માટે અને તેમાં એક પદાર્થ અને બે તીર હોય છે અને તેમાં, દરેક બે સમાંતર તીર માટે, એક પદાર્થ અને એક તીર હોય છે. ફિલ્ટર કરેલ કોલિમિટ એ ફંકટરનું કોલિમિટ છે જ્યાં ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણી છે. જો વિરુદ્ધ શ્રેણીને ફિલ્ટર કરવામાં આવે તો કોફિલ્ટર્ડ કેટેગરી એ શ્રેણીને કોફિલ્ટર્ડ કરવામાં આવે છે. વિગતવાર, જ્યારે એક વર્ગ ખાલી ન હોય ત્યારે તેને કોફિલ્ટર કરવામાં આવે છે, દરેક બે પદાર્થો માટે અને તેમાં એક પદાર્થ અને બે તીર હોય છે અને તેમાં, દરેક બે સમાંતર તીર માટે, એક પદાર્થ અને એક તીર હોય છે. કોફિલ્ટર્ડ મર્યાદા એ ફંકટરની મર્યાદા છે જ્યાં કોફિલ્ટર્ડ શ્રેણી છે. ઇન્ડ-ઓબ્જેક્ટ્સ અને પ્રો-ઓબ્જેક્ટ્સ નાની શ્રેણી આપવામાં આવે તો, સમૂહોનો એક પ્રીશીફ કે જે રજૂ કરી શકાય તેવા પ્રીશીવ્સનો એક નાનો ફિલ્ટર કરેલો કોલિમિટ હોય છે, તેને શ્રેણીનો ઇન્ડ-ઓબ્જેક્ટ કહેવામાં આવે છે. શ્રેણીના ઇન્ડ-ઓબ્જેક્ટ્સ ફંકટર (પ્રીશીવ્સ) ની શ્રેણીમાં સંપૂર્ણ પેટા શ્રેણી બનાવે છે. પ્રો-ઓબ્જેક્ટ્સની શ્રેણી વિરુદ્ધ શ્રેણીમાં ઇન્ડ-ઓબ્જેક્ટ્સની શ્રેણીની વિરુદ્ધ છે. κ-ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણીઓ "ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણી" નો એક પ્રકાર છે જે "κ-ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણી" તરીકે ઓળખાય છે, જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ નીચેના નિરીક્ષણથી શરૂ થાય છેઃ ઉપરની ફિલ્ટર કરેલી શ્રેણીની વ્યાખ્યામાં ત્રણ શરતો અનુક્રમે કહે છે કે, અથવા સ્વરૂપમાં કોઈપણ આકૃતિ પર કોકોન અસ્તિત્વમાં છે. આકૃતિઓના આ ત્રણ આકારો માટે કોકોનનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે કોઈપણ મર્યાદિત આકૃતિ માટે કોકોન અસ્તિત્વમાં છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક શ્રેણીને ફિલ્ટર કરવામાં આવે છે (ઉપરની વ્યાખ્યા અનુસાર) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોઈ મર્યાદિત આકૃતિ પર કોકોન હોય. આને લંબાવતા, નિયમિત કાર્ડિનલ κ આપવામાં આવે છે, જો દરેક આકૃતિ પર κ કરતા નાની કાર્ડિનાલિટીનું કોકોન હોય તો શ્રેણીને κ-ફિલ્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (એક નાનો આકૃતિ કાર્ડિનાલિટી κ નો હોય છે જો તેના ડોમેનનો મોર્ફિઝમ સેટ કાર્ડિનાલિટી κ નો હોય.) κ-ફિલ્ટર કરેલ કોલિમિટ એ ફંકટરનું કોલિમિટ છે જ્યાં κ-ફિલ્ટર કરેલ શ્રેણી છે. સંદર્ભો આર્ટિન, એમ., ગ્રોથેન્ડીક, એ. અને વર્ડીયર, જે. એલ. સેમિનાઇર ડી જીઓમેટ્રી એલ્ગેબ્રિક ડુ બોઇસ મેરી (એસજીએ 4). ગણિતમાં વ્યાખ્યાન નોંધો 269, સ્પ્રિંગર વેર્લાગ, 1972. ખુલાસો I, 2.7., વિભાગ IX. 1. શ્રેણી સિદ્ધાંત