Hadamard space
ભૂમિતિમાં, હેડમર્ડ જગ્યા, જેક્સ હેડમર્ડના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે હિલ્બર્ટ જગ્યાનું બિન-રેખીય સામાન્યીકરણ છે. સાહિત્યમાં તેમને સંપૂર્ણ કે. એ. ટી. (0) જગ્યાઓ તરીકે પણ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. હેડામર્ડ જગ્યાને ખાલી ન હોય તેવી સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે, કોઈપણ બિંદુઓ આપવામાં આવે છે અને ત્યાં એક બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે કે દરેક બિંદુ માટે બિંદુ પછીનું મધ્યબિંદુ છે અને હિલ્બર્ટ જગ્યામાં, ઉપરોક્ત અસમાનતા સમાનતા (સાથે) છે, અને સામાન્ય રીતે હેડામર્ડ જગ્યાને કહેવામાં આવે છે જો ઉપરોક્ત અસમાનતા સમાનતા હોય. સપાટ હેડમર્ડ જગ્યા હિલ્બર્ટ જગ્યાના બંધ બહિર્મુખ સબસેટ માટે સમરૂપ છે. ખાસ કરીને, જો અને માત્ર જો તે હિલ્બર્ટ જગ્યા હોય તો જ પ્રમાણભૂત જગ્યા એ હેડમર્ડ જગ્યા છે. હેડામર્ડ જગ્યાઓની ભૂમિતિ હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ જેવી જ છે, જે તેને કઠોરતા પ્રમેયોના અભ્યાસ માટે કુદરતી સેટિંગ બનાવે છે. હેડમર્ડ અવકાશમાં, કોઈપણ બે બિંદુઓ તેમની વચ્ચે એક અનન્ય ભૂગણિતીય દ્વારા જોડાઈ શકે છે; ખાસ કરીને, તે સંકોચાય છે. એકદમ સામાન્ય રીતે, જો મેટ્રિક જગ્યાનો બાઉન્ડેડ સબસેટ હોય, તો તેને સમાવતી લઘુત્તમ ત્રિજ્યાના બંધ બોલના કેન્દ્રને સર્કમસેન્ટર કહેવામાં આવે છે. હડામર્ડ જગ્યાના દરેક બાઉન્ડેડ સબસેટ સૌથી નાના બંધ બોલમાં સમાયેલ હોય છે (જે તેના બહિર્મુખ હલના ક્લોઝર સમાન હોય છે). જો હડામર્ડ જગ્યાના આઇસોમેટ્રીનું જૂથ અપરિવર્તનશીલ રહે તો (બ્રુહટ-ટિટ્સ ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ થીયરમ) ના પરિઘ કેન્દ્રને નિશ્ચિત કરે છે. બિન-હકારાત્મક વક્ર મેનીફોલ્ડનું મૂળભૂત પરિણામ એ કાર્ટન-હેડમર્ડ પ્રમેય છે. એનાલોગ હેડમર્ડ જગ્યા માટે ધરાવે છેઃ એક સંપૂર્ણ, જોડાયેલ મેટ્રિક જગ્યા જે હેડમર્ડ જગ્યા માટે સ્થાનિક રીતે આઇસોમેટ્રિક છે, તેના સાર્વત્રિક આવરણ તરીકે હેડમર્ડ જગ્યા ધરાવે છે. તેનો પ્રકાર બિન-સકારાત્મક વક્ર ભ્રમણકક્ષાઓ માટે લાગુ પડે છે. (સીએફ. લુરી.) હેડામર્ડ જગ્યાઓના ઉદાહરણોમાં હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ, પોઇનકેરે ડિસ્ક, સંપૂર્ણ વાસ્તવિક વૃક્ષો (ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ બ્રુહટ-ટિટ્સ બિલ્ડિંગ),-સ્પેસ વિથ એન્ડ અને હેડામર્ડ મેનીફોલ્ડ્સ, એટલે કે, બિન-સકારાત્મક વિભાગીય વળાંકના સંપૂર્ણ સરળ રીતે જોડાયેલા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ છે. હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડ્સના મહત્વના ઉદાહરણો ફક્ત બિન-હકારાત્મક વક્ર સપ્રમાણ જગ્યાઓ સાથે જોડાયેલા છે. હેડમર્ડ જગ્યાઓના ઉપયોગો ભૂમિતિ સુધી મર્યાદિત નથી. 1998માં, દિમિત્રી બુરાગો અને સર્જ ફર્લેગરે ગતિશીલ બિલિયર્ડ્સમાં સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે કે. એ. ટી. (0) ભૂમિતિના ઉપયોગ કર્યો હતોઃ સખત દડાઓના ગેસમાં, અથડામણની સંખ્યા પર એકસમાન બંધન હોય છે? ઉકેલની શરૂઆત ગતિશીલ પ્રણાલી માટે રૂપરેખાંકન જગ્યા બનાવીને થાય છે, જે અનુરૂપ બિલિયર્ડ કોષ્ટકની નકલોને એકસાથે જોડીને મેળવવામાં આવે છે, જે હેડમાર્ડ જગ્યા હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સંદર્ભો બુરાગો, દિમિત્રી; યુરી બુરાગો અને સેરગેઈ ઇવાનોવ પણ જુઓ. મેટ્રિક ભૂમિતિમાં અભ્યાસક્રમ. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી. (1984) જેકબ લુરીઃ નોટ્સ ઓન ધ થિયરી ઓફ હેડમર્ડ સ્પેસિસ એલેક્ઝાન્ડર એસ., કપોવિચ વી., પેટ્રુનિન એ. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ ભૂમિતિ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ પર નોંધો ભૌમિતિક ટોપોલોજી હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ મેટ્રિક જગ્યાઓ