Order of integration (calculus)
કલનશાસ્ત્રમાં, સંકલનના ક્રમની અદલાબદલી એ એક એવી પદ્ધતિ છે જે પુનરાવર્તિત સંકલન (અથવા ફ્યુબિનીના પ્રમેયના ઉપયોગ દ્વારા બહુવિધ સંકલન) કાર્યોને અન્ય, આશા છે કે સરળ, સંકલનમાં રૂપાંતરિત કરે છે, જેમાં સંકલન કરવામાં આવે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, એકીકરણનો ક્રમ માન્ય રીતે અદલાબદલી કરી શકાય છે; અન્યમાં તે કરી શકાતો નથી. સમસ્યાનું નિવેદન તપાસ માટેની સમસ્યા એ સ્વરૂપના અભિન્ન અંગનું મૂલ્યાંકન છે જ્યાં D એ xy-સમતલમાં અમુક દ્વિ-પરિમાણીય ક્ષેત્ર છે. કેટલાક કાર્યો માટે સરળ એકીકરણ શક્ય છે, પરંતુ જ્યાં તે સાચું નથી, ત્યાં એકીકરણના ક્રમમાં ફેરફાર કરીને સંકલનને કેટલીકવાર સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. આ આદાનપ્રદાનમાં મુશ્કેલી એ છે કે ડોમેન ડીના વર્ણનમાં ફેરફાર નક્કી કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિ અન્ય બહુવિધ સંકલનને પણ લાગુ પડે છે. કેટલીકવાર, સંપૂર્ણ મૂલ્યાંકન મુશ્કેલ હોવા છતાં, અથવા કદાચ આંકડાકીય એકીકરણની જરૂર હોવા છતાં, ડબલ ઇન્ટિગ્રલને એક એકીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે, જેમ કે આગળ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. એક એકીકરણમાં ઘટાડો આંકડાકીય મૂલ્યાંકનને વધુ સરળ અને વધુ કાર્યક્ષમ બનાવે છે. ભાગો દ્વારા એકીકરણનો સંબંધ પુનરાવર્તિત સંકલનને ધ્યાનમાં લો જે આપણે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સામાન્ય રીતે જોવા મળતા ઉપસર્ગ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને લખીશુંઃ આ અભિવ્યક્તિમાં, બીજા સંકલનની ગણતરી પહેલા y ના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે અને x સ્થિર રાખવામાં આવે છે-પહોળાઈ dx ની પટ્ટી પહેલા y-દિશા પર સંકલિત કરવામાં આવે છે (x દિશામાં પહોળાઈ dx ની પટ્ટી y દિશામાં y ચલના સંદર્ભમાં સંકલિત કરવામાં આવે છે), જેમાં y-અક્ષ સાથે પહોળાઈ dy ના લંબચોરસની અનંત માત્રા ઉમેરવામાં આવે છે. આ x-અક્ષ સાથે ત્રિ-પરિમાણીય સ્લાઇસ dx, y-અક્ષ સાથે y = a થી y = x અને z દિશામાં z = h (y) બનાવે છે. નોંધ લો કે જો જાડાઈ dx અનંત હોય, તો x સ્લાઇસ પર માત્ર અનંત રીતે બદલાય છે. આપણે ધારી શકીએ કે x અચળ છે. આ સંકલન આકૃતિ 1 ની ડાબી પેનલમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે, પરંતુ ખાસ કરીને જ્યારે કાર્ય h (y) સરળતાથી સંકલિત ન હોય ત્યારે તે અસુવિધાજનક હોય છે. આંકડાની જમણી પેનલમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સંકલનના ક્રમને ઉલટાવીને સંકલનને એક જ એકીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે. ચલોના આ આદાનપ્રદાનને પૂર્ણ કરવા માટે, પહોળાઈ dy ની પટ્ટીને પહેલા x = y રેખાથી x = z મર્યાદા સુધી સંકલિત કરવામાં આવે છે, અને પછી પરિણામને y = a થી y = z સુધી સંકલિત કરવામાં આવે છે, પરિણામેઃ આ પરિણામ ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટેના સૂત્રનું ઉદાહરણ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે નીચે દર્શાવેલ છેઃ અવેજીઃ જે પરિણામ આપે છે. મુખ્ય-મૂલ્ય સંકલન માટે, વ્હિટ્ટેકર અને વોટસન, ગખોવ, લુ અથવા ઝ્વિલિંગર જુઓ. ઓબોલાશ્વિલીમાં પોઇનકેરે-બર્ટ્રાન્ડ પરિવર્તનની ચર્ચા પણ જુઓ. એક ઉદાહરણ જ્યાં એકીકરણનો ક્રમ બદલી શકાતો નથી તે કંવલ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છેઃ જ્યારેઃ સોખોત્સ્કી-પ્લેમેલ્જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આંશિક અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ અને મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ કરીને બીજા સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છેઃ સંકેત કૌચી મુખ્ય મૂલ્ય સૂચવે છે. કંવલ જુઓ. મૂળભૂત પ્રમેયો એકીકરણના ક્રમને ઉલટાવવા માટેના આધારની ચર્ચા ટી. ડબલ્યુ. ના પુસ્તક ફોરિયર એનાલિસિસમાં જોવા મળે છે. કોર્નર. તેઓ તેમની ચર્ચાને એક ઉદાહરણ સાથે રજૂ કરે છે જ્યાં એકીકરણનું આદાનપ્રદાન બે અલગ-અલગ જવાબો તરફ દોરી જાય છે કારણ કે નીચે આપેલા પ્રમેય II ની શરતો સંતુષ્ટ નથી. અહીં ઉદાહરણ છેઃ વિનિમયની સ્વીકાર્યતાને સંચાલિત કરતા બે મૂળભૂત પ્રમેયો ચૌધરી અને ઝુબેર દ્વારા નીચે ટાંકવામાં આવ્યા છેઃ એપ્લિકેશનો માટેનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય પ્રોટર અને મોરે દ્વારા ટાંકવામાં આવ્યો છેઃ ફુબિનીના પ્રમેય સંદર્ભો પણ જુઓ અને નોંધો બાહ્ય કડીઓ પોલની ઓનલાઇન ગણિત નોંધોઃ કેલ્ક્યુલસ III ઓરેગોન સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના ગણિત વિભાગના પુનરાવર્તિત સંકલનોનો ઉપયોગ કરીને "ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સ" ની ગણતરી દર્શાવતી સારી 3D છબીઓ. રોન મિચની યુસીએલએ કેલ્ક્યુલસ પ્રોબ્લેમ્સ એકીકરણના ક્રમને બદલવાના વધુ જટિલ ઉદાહરણો (સમસ્યાઓ 33,35,37,39,41 અને 43 જુઓ) ડુએન નિકેમ્પની યુનિવર્સિટી ઓફ મિનેસોટા વેબસાઇટ ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ