Pointwise product
ગણિતમાં, બે કાર્યોનું બિંદુ મુજબનું ગુણાકાર એ બીજું કાર્ય છે, જે ક્ષેત્રના દરેક મૂલ્ય પર બે કાર્યોની છબીઓનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. જો ડોમેન અને કોડોમેન સાથે બંને વિધેયો હોય અને તેના ઘટકોનો ગુણાકાર કરી શકાય (દાખલા તરીકે, સંખ્યાઓનો અમુક સમૂહ હોઈ શકે છે), તો પછી અને નું પોઇન્ટવાઇઝ પ્રોડક્ટ એ બીજું વિધેય છે જેમાંથી અંદર નકશો બને છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચાલો અને એવા સમૂહો બનો કે જેમાં ગુણાકારની કલ્પના હોય-એટલે કે, ત્યાં એક દ્વિસંગી કામગીરી આપવામાં આવી છે. જેમ આપણે ઘણીવાર દ્વિસંગી ક્રિયા માટે પ્રતીકને અવગણીએ છીએ (એટલે કે. આપણે તેના બદલે લખીએ છીએ), આપણે ઘણીવાર તેના માટે લખીએ છીએ. ઉદાહરણો બે વિધેયોના પોઇન્ટવાઇઝ પ્રોડક્ટનો સૌથી સામાન્ય કેસ એ છે કે જ્યારે કોડોમેન એક રિંગ (અથવા ક્ષેત્ર) હોય, જેમાં ગુણાકાર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય છે. બિંદુ મુજબના ઉત્પાદનોનો બીજગણિત ઉપયોગ ચાલો એક સમૂહ બનીએ અને રિંગ બનીએ. સરવાળો અને ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે બીજગણિત માળખું બનાવી શકીએ છીએ જે બીજગણિત તરીકે ઓળખાય છે, જે વિધેયોમાંથી બિંદુ મુજબ કરવા માટેના વિધેયોના ઉમેરા, ગુણાકાર અને સ્કેલર ગુણાકારને વ્યાખ્યાયિત કરીને બને છે. જો થી થી કાર્યોના સમૂહને સૂચવે છે, તો આપણે કહીએ છીએ કે જો ઘટકો છે, તો, અને-જેમાંથી છેલ્લું બધા માટે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે-તે બધા ઘટકો છે. સામાન્યીકરણ જો બંને અને તેમના ડોમેન તરીકે અલગ ચલોના સમૂહની તમામ સંભવિત સોંપણીઓ હોય, તો તેમનું બિંદુ મુજબનું ઉત્પાદન એ એક કાર્ય છે જેનું ડોમેન બંને સમૂહોના જોડાણની તમામ સંભવિત સોંપણીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. દરેક સોંપણીના મૂલ્યની ગણતરી બંને કાર્યોના મૂલ્યોના ગુણાકાર તરીકે કરવામાં આવે છે, જે દરેકને તેના કાર્યક્ષેત્રમાં અસાઇનમેન્ટના સબસેટ તરીકે આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બુલિયન ચલોનું કાર્ય અને, અને બુલિયન ચલોનું કાર્ય અને, બંનેના બિંદુ મુજબના ઉત્પાદનની શ્રેણી સાથે અને તે આગળના કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છેઃ બિંદુ મુજબ પ્રાથમિક બીજગણિત દ્વિસંગી કામગીરી પણ જુઓ.