Stewart's theorem
ભૂમિતિમાં, સ્ટુઅર્ટનો પ્રમેય ત્રિકોણમાં બાજુઓની લંબાઈ અને સીવિઅનની લંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ આપે છે. તેનું નામ સ્કોટિશ ગણિતશાસ્ત્રી મેથ્યુ સ્ટુઅર્ટના માનમાં છે, જેમણે 1746માં આ પ્રમેય પ્રકાશિત કર્યો હતો. નિવેદન, ચાલો, ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ હોઈ. લંબાઈની બાજુએ સેવિયનની લંબાઈ હોવી જોઈએ. જો સીવીયન લંબાઈની બાજુને લંબાઈના બે વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે અને તેની બાજુમાં અને તેની બાજુમાં હોય, તો સ્ટુઅર્ટનો પ્રમેય જણાવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા આ સમીકરણને યાદ રાખવા માટે (શરતોને ફરીથી ગોઠવ્યા પછી) એક સામાન્ય સ્મૃતિચિહ્નનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છેઃ આ પ્રમેયને વિભાગોની હસ્તાક્ષરિત લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને વધુ સમપ્રમાણતાથી લખી શકાય છે. એટલે કે, રેખાના અમુક નિશ્ચિત દિશામાં ડાબી કે જમણી બાજુએ છે તેના આધારે લંબાઈને હકારાત્મક કે નકારાત્મક લો. આ રચનામાં, પ્રમેય જણાવે છે કે જો સમરેખીય બિંદુઓ હોય, અને તે કોઈ પણ બિંદુ હોય, તો વિશેષ કિસ્સામાં કે સિવિયન મધ્યક છે (એટલે કે, તે વિરુદ્ધ બાજુને સમાન લંબાઈના બે વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે), પરિણામ એપોલોનીયસ પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. પુરાવો પ્રમેયને કોસાઇનના કાયદાના ઉપયોગ તરીકે સાબિત કરી શકાય છે. અને અને વચ્ચેનો ખૂણો અને અને વચ્ચેનો ખૂણો હોવો જોઈએ. પછી પૂરક છે, અને તેથી. બે નાના ત્રિકોણમાં કોસાઈનોના નિયમને કોણનો ઉપયોગ કરીને લાગુ કરવાથી અને પ્રથમ સમીકરણનો ગુણાકાર કરીને અને ત્રીજા સમીકરણનો ગુણાકાર કરીને તેને ઉમેરવાથી તે દૂર થાય છે. એક પ્રાપ્ત કરે છે જે જરૂરી સમીકરણ છે. વૈકલ્પિક રીતે, પ્રમેયને ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી આધાર સુધી લંબરૂપ દોરીને અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈના સંદર્ભમાં અંતર લખીને સાબિત કરી શકાય છે. સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ પછી બીજગણિત રીતે સમાન અભિવ્યક્તિમાં ઘટાડો કરે છે. ઇતિહાસ અનુસાર, સ્ટુઅર્ટે 1746માં પરિણામ પ્રકાશિત કર્યું હતું જ્યારે તેઓ એડિનબર્ગ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે કોલિન મેકલૌરિનના સ્થાને ઉમેદવાર હતા. જણાવે છે કે પરિણામ કદાચ આર્કિમિડીઝને ઇ. સ. પૂ. 300ની આસપાસ જાણીતું હતું. તેઓ (ભૂલથી) આગળ કહે છે કે પ્રથમ જાણીતો પુરાવો 1751માં આર. સિમસન દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. જણાવે છે કે પરિણામનો ઉપયોગ સિમસન દ્વારા 1748માં અને સિમ્પસન દ્વારા 1752માં કરવામાં આવ્યો હતો, અને યુરોપમાં તેનો પ્રથમ દેખાવ 1803માં લેઝારે કાર્નોટ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. આ પણ જુઓ માસ પોઇન્ટ ભૂમિતિ નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન આઇ. એસ. અમરસિંઘે, સમસ્યાના ઉકેલો 43.3: સ્ટુઅર્ટનો પ્રમેય (ટોલેમીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સ્ટુઅર્ટના પ્રમેય માટે એક નવો પુરાવો), મેથેમેટિકલ સ્પેક્ટ્રમ, વોલ્યુમ 43 (03), પીપી. 138-139,2011. બાહ્ય કડીઓ યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિ ત્રિકોણ વિશેના પ્રમેયો પુરાવા ધરાવતા લેખો