Infinitary combinatorics
ગણિતમાં, અનંત સંયોજનશાસ્ત્ર અથવા સંયોજન સમૂહ સિદ્ધાંત એ સંયોજનશાસ્ત્રમાં વિચારોનું અનંત સમૂહો સુધીનું વિસ્તરણ છે. અભ્યાસ કરવામાં આવેલી કેટલીક બાબતોમાં સતત આલેખ અને વૃક્ષો, રામસેના પ્રમેયના વિસ્તરણ અને માર્ટિનના સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે. તાજેતરના વિકાસ એકવચન કાર્ડિનલ્સના અનુગામીઓ પર સાતત્ય અને સંયોજનના સંયોજન સાથે સંબંધિત છે. અનંત સમૂહો માટે રામસે સિદ્ધાંત લખો κ, ઓર્ડિનલ્સ માટે λ, કાર્ડિનલ નંબર માટે m અને નેચરલ નંબર માટે n. સંકેતલિપીને એમ કહેવાની ટૂંકી રીત તરીકે રજૂ કરવામાં આવી હતી કે n-ઘટક ઉપગણના સમૂહ [κ] n ના દરેક વિભાજનમાં m ટુકડાઓમાં λ ક્રમ પ્રકારનો એકરૂપ સમૂહ હોય છે. એક સજાતીય સમૂહ આ કિસ્સામાં κ નો ઉપગણ એવો હોય છે કે દરેક n-ઘટક ઉપગણ પાર્ટીશનના સમાન ઘટકમાં હોય. જ્યારે m એ 2 હોય ત્યારે તેને ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સૂત્રને ધારીએ તો, κ → (ω) ω સાથે કોઈ ક્રમિક κ નથી, તેથી n ને સામાન્ય રીતે મર્યાદિત માનવામાં આવે છે. એક એક્સ્ટેંશન જ્યાં n ને લગભગ અનંત હોવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે તે નોટેશન છે જે એમ કહેવાની લઘુલિપિ રીત છે કે κ ના મર્યાદિત સબસેટ્સના સમૂહના દરેક પાર્ટીશનમાં m ટુકડાઓમાં ક્રમ પ્રકાર λ નો સબસેટ હોય છે જેમ કે કોઈપણ મર્યાદિત n માટે, કદ n ના તમામ સબસેટ્સ પાર્ટીશનના સમાન તત્વમાં હોય છે. જ્યારે m એ 2 હોય ત્યારે તેને ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. બીજી વિવિધતા એ સંકેત છે જે કહેવાની ટૂંકી રીત છે કે 2 રંગો સાથે κ ના n-તત્વ ઉપગણના સમૂહ [κ] n ના દરેક રંગમાં ક્રમ પ્રકાર λ નો ઉપગણ હોય છે જેમ કે [λ] n ના તમામ ઘટકોમાં પ્રથમ રંગ હોય છે, અથવા ક્રમ પ્રકાર μ નો ઉપગણ હોય છે જેથી [μ] n ના તમામ ઘટકોમાં બીજો રંગ હોય છે. આના કેટલાક ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ (જે નીચે મુજબ છે તે મુખ્ય છે) તમામ મર્યાદિત n અને k (રામસેનો પ્રમેય) માટે. (એર્ડોસ-રાડો પ્રમેય.) (સિયેરપિન્સ્કી પ્રમેય) (એર્દોસ-દુશનિક-મિલર પ્રમેય). પસંદગી વિનાના બ્રહ્માંડોમાં, અનંત ઘટકો સાથેના વિભાજન ગુણધર્મો હોઈ શકે છે, અને તેમાંના કેટલાક નિર્ધારણના સ્વયંસિદ્ધ (AD) ના પરિણામ તરીકે મેળવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડોનાલ્ડ એ. માર્ટિને સાબિત કર્યું કે એડી એટલે મોટા કાર્ડિનલ્સ આ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને ઘણા મોટા કાર્ડિનલ ગુણધર્મોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ખાસ કરીનેઃ નબળા કોમ્પેક્ટ કાર્ડિનલ્સ κ તે છે જે κ → (κ) 2 α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α