Grandi's series
ગણિતમાં, લખાયેલી અનંત શ્રેણીને કેટલીકવાર ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી, ફિલસૂફ અને પાદરી ગુઇડો ગ્રાન્ડીના નામ પરથી ગ્રાન્ડીની શ્રેણી કહેવામાં આવે છે, જેમણે 1703માં શ્રેણીની યાદગાર સારવાર આપી હતી. તે એક અલગ શ્રેણી છે, જેનો અર્થ છે કે તેમાં કોઈ સરવાળો નથી. જો કે, તેને સંખ્યાબંધ ગાણિતિક રીતે રસપ્રદ પરિણામો મેળવવા માટે હેરફેર કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગણિતમાં ઘણી સરવાળા પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અલગ શ્રેણીને પણ આંકડાકીય મૂલ્યો સોંપવા માટે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ શ્રેણીનો સેસેરો સરવાળો અને રામાનુજન સરવાળો 1/2 છે. અનિયમિત પદ્ધતિઓ શ્રેણી 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + + નો સરવાળો શોધવા માટેની એક સ્પષ્ટ પદ્ધતિ એ છે કે તેને દૂરબીન શ્રેણીની જેમ ગણવી અને બાદબાકી કરવીઃ (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +. = 0 + 0 + 0 +. = 0. બીજી બાજુ, સમાન કૌંસ પ્રક્રિયા દેખીતી રીતે વિરોધાભાસી પરિણામ 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. = 1 + 0 + 0 +. = 1 તરફ દોરી જાય છે. આમ, ગ્રાન્ડીની શ્રેણીમાં કૌંસને જુદી જુદી રીતે લાગુ કરીને, વ્યક્તિ "મૂલ્ય" તરીકે 0 અથવા 1 મેળવી શકે છે. (આ વિચારના ફેરફારો, જેને આઈલેનબર્ગ-મઝુર છેતરપિંડી કહેવાય છે, તેનો ઉપયોગ કેટલીકવાર ગાંઠ સિદ્ધાંત અને બીજગણિતમાં થાય છે.) આ બે "મૂલ્યો" ની સરેરાશ લઈને, કોઈ એ વાતને યોગ્ય ઠેરવી શકે છે કે શ્રેણી તેમાં એકરૂપ થાય છે. ગ્રાન્ડીની શ્રેણીને ભિન્ન ભૌમિતિક શ્રેણી તરીકે ગણવી અને ત્રીજી કિંમત મેળવવા માટે અભિસારી ભૌમિતિક શ્રેણીનું મૂલ્યાંકન કરતી સમાન બીજગણિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવોઃ S = 1 − 1 + 1 − 1 +., તેથી 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +.) = 1 − 1 + 1 − 1 +. = S '1 − S = S1 = 2S, પરિણામે S =. આ જ નિષ્કર્ષ −S ની ગણતરી, S માંથી પરિણામ બાદ કરીને અને 2S = 1 ને ઉકેલવાથી પરિણમે છે. ઉપરોક્ત મેનિપ્યુલેશન્સ શ્રેણીના સરવાળાનો ખરેખર અર્થ શું છે અને અલગ ભૌમિતિક શ્રેણી પર બીજગણિત પદ્ધતિઓ કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય છે તે ધ્યાનમાં લેતા નથી. તેમ છતાં, ઇચ્છાનુસાર શ્રેણીઓને કૌંસમાં બાંધવા માટે સક્ષમ બનવું અને તેમની સાથે અંકગણિત કરવા માટે સક્ષમ બનવું વધુ મહત્વપૂર્ણ છે તે હદ સુધી, કોઈ બે તારણો પર પહોંચી શકે છેઃ શ્રેણી 1 − 1 + 1 − 1 +. પાસે કોઈ sum.Davis p.152 નથી. પરંતુ તેનો સરવાળો હોવો જોઈએ. હકીકતમાં, આ બંને નિવેદનોને ચોક્કસ અને ઔપચારિક રીતે સાબિત કરી શકાય છે, પરંતુ માત્ર 19મી સદીમાં ઉદ્ભવેલા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ગાણિતિક ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને. યુરોપમાં 17મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં કલનશાસ્ત્રની રજૂઆત પછી, પરંતુ આધુનિક કઠોરતાના આગમન પહેલા, આ જવાબો વચ્ચેના તણાવને કારણે ભૌમિતિક શ્રેણી સાથે mathematicians.Knopp p.457 સંબંધ વચ્ચેના "અનંત" અને "હિંસક" વિવાદ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યું છે. જટિલ વિશ્લેષણની દ્રષ્ટિએ, આમ શ્રેણીના વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યના મૂલ્ય તરીકે જોવામાં આવે છે, જે ફક્ત જટિલ એકમ ડિસ્ક પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આધુનિક ગણિતમાં, અનંત શ્રેણીના સરવાળાને તેના આંશિક સરવાળાના ક્રમની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય. ગ્રાન્ડીની શ્રેણીના આંશિક સરવાળાનો ક્રમ એ છે કે જે સ્પષ્ટપણે કોઈ પણ સંખ્યાની નજીક નથી (જોકે તેમાં 0 અને 1 પર બે સંચય બિંદુઓ છે). તેથી, ગ્રાન્ડીની શ્રેણી અલગ છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે શ્રેણી પર ઘણી દેખીતી રીતે નિરુપદ્રવી કામગીરીઓ કરવી માન્ય નથી, જેમ કે વ્યક્તિગત શરતોને ફરીથી ગોઠવવી, સિવાય કે શ્રેણી સંપૂર્ણપણે એકરૂપ હોય. નહિંતર આ કામગીરીઓ સરવાળાના પરિણામને બદલી શકે છે. વધુમાં, ગ્રાન્ડીની શ્રેણીની શરતોને માત્ર 0 અથવા 1 નહીં પણ બે અથવા વધુ સતત પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના કોઈપણ અંતરાલ પર તેના સંચય બિંદુઓ રાખવા માટે ફરીથી ગોઠવી શકાય છે. દાખલા તરીકે, શ્રેણી (જેમાં, પાંચ પ્રારંભિક + 1 શબ્દો પછી, + 1 અને-1 શબ્દોની જોડીમાં વૈકલ્પિક શબ્દો-+ 1 અને-1 બંનેની અનંતતા, ગ્રાન્ડ હોટલના હિલ્બર્ટના વિરોધાભાસ દ્વારા, 1 અથવા-1 ની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાને પૂર્વવ્યાપ્તિ કરવાની મંજૂરી આપે છે) એ ગ્રાન્ડીની શ્રેણીનું ક્રમચય છે જેમાં ફરીથી ગોઠવાયેલી શ્રેણીમાં દરેક મૂલ્ય તે મૂલ્યને અનુરૂપ છે જે મૂળ શ્રેણીમાં તેનાથી મહત્તમ ચાર સ્થાનો દૂર છે; તેના સંચય બિંદુઓ 3,4 અને 5 છે. શિક્ષણ જ્ઞાનાત્મક અસર 1987ની આસપાસ, અન્ના સિએરપિન્સ્કાએ વોર્સો લિસિયમ ખાતે 17 વર્ષના પ્રિકાલ્ક્યુલસ વિદ્યાર્થીઓના જૂથ સાથે ગ્રાન્ડીની શ્રેણી રજૂ કરી હતી. તેમણે માનવતાના વિદ્યાર્થીઓ પર એવી અપેક્ષા સાથે ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું કે તેમનો ગાણિતિક અનુભવ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રનો અભ્યાસ કરતા તેમના સાથીઓની સરખામણીમાં ઓછો નોંધપાત્ર હશે, તેથી તેઓ જે જ્ઞાનશાસ્ત્રીય અવરોધો પ્રદર્શિત કરે છે તે હજુ પણ લાઇસિયમના વિદ્યાર્થીઓમાં હાજર હોઈ શકે તેવા અવરોધોનું વધુ પ્રતિનિધિત્વ કરશે. સિયેરપિન્સ્કાને શરૂઆતમાં અપેક્ષા હતી કે વિદ્યાર્થીઓ ગ્રાન્ડીની શ્રેણીને મૂલ્ય સોંપવામાં પીછેહઠ કરશે, તે સમયે તે ભૌમિતિક શ્રેણી સૂત્રના પરિણામે દાવો કરીને તેમને આઘાત પહોંચાડી શકે છે. આદર્શ રીતે, તર્કમાં ભૂલની શોધ કરીને અને વિવિધ સામાન્ય ગુણોત્તર માટેના સૂત્રની તપાસ કરીને, વિદ્યાર્થીઓ "નોંધે છે કે બે પ્રકારની શ્રેણીઓ છે અને અભિસરણની ગર્ભિત વિભાવના જન્મે છે". જો કે, વિદ્યાર્થીઓને એવું કહેવામાં આવતા કે એવું કહેવામાં આવતા પણ કોઈ આઘાત લાગ્યો ન હતો. સિયેરપિન્સ્કા ટિપ્પણી કરે છે કે એક પ્રાથમિક, વિદ્યાર્થીઓની પ્રતિક્રિયા ખૂબ આશ્ચર્યજનક ન હોવી જોઈએ કારણ કે લીબનીઝ અને ગ્રાન્ડીએ 1⁄2 ને બુદ્ધિગમ્ય પરિણામ માન્યું હતું; "એક પશ્ચાદવર્તી, જો કે, વિદ્યાર્થીઓ તરફથી આઘાતના આ અભાવનું સમજૂતી કંઈક અલગ હોઈ શકે છે. તેઓએ શાંતિથી આ વાહિયાતતાનો સ્વીકાર કર્યો કારણ કે, છેવટે, 'ગણિત સંપૂર્ણપણે અમૂર્ત અને વાસ્તવિકતાથી દૂર છે', અને 'તે ગાણિતિક પરિવર્તન સાથે તમે તમામ પ્રકારની મૂર્ખતા સાબિત કરી શકો છો', જેમ કે પછીથી એક છોકરાએ કહ્યું હતું. વિદ્યાર્થીઓ આખરે અભિસરણના પ્રશ્નથી મુક્ત ન હતા; સિયેરપિન્સ્કા બીજા દિવસે તેને દશાંશ વિસ્તરણ સાથે જોડીને આ મુદ્દામાં તેમને જોડવામાં સફળ રહ્યા હતા. જેમ જ 0.999. = 1 એ વિદ્યાર્થીઓને આશ્ચર્યચકિત કરી દીધા, તેમની બાકીની સામગ્રી "તેમના કાનમાંથી પસાર થઈ ગઈ". વર્ષ 2000ની આસપાસ ઇટાલીના ટ્રેવિસોમાં હાથ ધરાયેલા અન્ય એક અભ્યાસમાં, ત્રીજા વર્ષ અને ચોથા વર્ષના લિસિયો સાયન્ટિફિકોના વિદ્યાર્થીઓને (16 થી 18 વર્ષની વયના) નીચેના કાર્ડ આપવામાં આવ્યા હતાઃ "1703માં, ગણિતશાસ્ત્રી ગુઇડો ગ્રાન્ડીએ ઉમેરાનો અભ્યાસ કર્યોઃ 1-1 + 1-1 +. (ઉમેરણો, અનંત ઘણા, હંમેશા + 1 અને-1 હોય છે). તે વિષે તમારો અભિપ્રાય શું છે? ". વિદ્યાર્થીઓને અનંત સમૂહના વિચારથી પરિચિત કરાવવામાં આવ્યા હતા, પરંતુ તેમને અનંત શ્રેણીનો અગાઉ કોઈ અનુભવ નહોતો. તેમને પુસ્તકો કે કેલ્ક્યુલેટર વગર દસ મિનિટ આપવામાં આવી હતી. 88 પ્રતિસાદોને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતાઃ (26) પરિણામ 0 છે (18) પરિણામ 0 અથવા 1 હોઈ શકે છે (5) પરિણામ અસ્તિત્વમાં નથી (4) પરિણામ 1⁄2 છે (3) પરિણામ 1 (2) પરિણામ અનંત છે (30) કોઈ જવાબ નથી સંશોધક જ્યોર્જિયો બાગનીએ તેમના તર્કને નિર્ધારિત કરવા માટે ઘણા વિદ્યાર્થીઓની મુલાકાત લીધી હતી. તેમાંના કેટલાક 16 લોકોએ ગ્રાન્ડી અને રિકાટીના સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને 0 ના જવાબને વાજબી ઠેરવ્યો હતો. અન્ય લોકોએ 0 અને 1 ની સરેરાશ તરીકે 1⁄2 ને વાજબી ઠેરવ્યું. બાગની નોંધે છે કે તેમના તર્કમાં, લીબનીઝ જેવા જ હોવા છતાં, સંભવિત આધારનો અભાવ છે જે 18મી સદીના ગણિત માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ હતો. તેઓ નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે સાંસ્કૃતિક સંદર્ભ અલગ હોવા છતાં, પ્રતિક્રિયાઓ ઐતિહાસિક વિકાસ અને વ્યક્તિગત વિકાસ વચ્ચેની કડી સાથે સુસંગત છે. સંભાવનાઓ જોએલ લેહમેન વિવિધ સરવાળા વિભાવનાઓ વચ્ચે તફાવત કરવાની પ્રક્રિયાને એક વૈચારિક તિરાડ પર એક પુલનું નિર્માણ તરીકે વર્ણવે છેઃ 18 મી સદીના ગણિતને વળગી રહેલા વિચલન પરની મૂંઝવણ. "શ્રેણીઓ સામાન્ય રીતે ઇતિહાસ વિના અને એપ્લિકેશનોથી અલગ રજૂ કરવામાં આવે છે, તેથી વિદ્યાર્થીએ માત્ર" આ વસ્તુઓ શું છે? પણ "આપણે આ શા માટે કરી રહ્યા છીએ?" સરવાળો નહીં પણ અભિસરણ નક્કી કરવામાં વ્યસ્તતા સમગ્ર પ્રક્રિયાને ઘણા વિદ્યાર્થીઓ-અને પ્રશિક્ષકો માટે પણ કૃત્રિમ અને અર્થહીન લાગે છે. પરિણામે, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ યુલરની જેમ જ વલણ વિકસાવે છેઃ ". કુદરતી રીતે (એટલે કે, પ્રકૃતિમાંથી) ઊભી થતી સમસ્યાઓનો ઉકેલ હોય છે, તેથી વસ્તુઓ આખરે કામ કરશે તેવી ધારણા અસ્તિત્વના પુરાવાઓની જરૂર વગર પ્રાયોગિક રીતે ન્યાયી ઠેરવવામાં આવે છે. ધારો કે બધું બરાબર છે, અને જો પહોંચેલો ઉકેલ કામ કરે છે, તો તમે કદાચ સાચા હતા, અથવા ઓછામાં ઓછું પૂરતા પ્રમાણમાં સાચા હતા. તો શા માટે એવી વિગતોની ચિંતા કરવી જે ફક્ત હોમવર્કની સમસ્યાઓમાં જ દેખાય છે? લેહમેન આ વાંધાને એ જ ઉદાહરણ સાથે પૂર્ણ કરવાની ભલામણ કરે છે જે યુલર દ્વારા કેલેટ દ્વારા ગ્રાન્ડીની શ્રેણીની સારવાર સામે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. સારાંશ સંબંધિત સમસ્યાઓ શ્રેણી 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 +. (અનંત સુધી) પણ અલગ છે, પરંતુ તેનો સરવાળો કરવા માટે કેટલીક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ ગ્રાન્ડીની શ્રેણીને સોંપવામાં આવેલી સૌથી વધુ સરવાળા પદ્ધતિઓના મૂલ્યનો વર્ગ છે, જે વાજબી છે કારણ કે તેને ગ્રાન્ડીની શ્રેણીની બે નકલોના કોચી ઉત્પાદન તરીકે જોઈ શકાય છે. આ પણ જુઓઃ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · 1 − 2 + 3 − 4 + · 1 + 2 + 3 + 4 + · 1 + 2 + 4 + 8 + · 1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ રામાનુજન સારાંશ સેસેરો સારાંશ થોમસનની નોંધો બાહ્ય કડીઓ એક બાદ એક વત્તા એક બાદ એક-સંખ્યાબંધ, ગ્રાન્ડીની શ્રેણી અલગ શ્રેણી ભૌમિતિક શ્રેણી 1 (સંખ્યા) ગાણિતિક વિરોધાભાસ સમાનતા (ગણિત)