Conjugate points
વિભેદક ભૂમિતિમાં, સંયુગ્મિત બિંદુઓ અથવા કેન્દ્રીય બિંદુઓ, આશરે, એવા બિંદુઓ છે જે લગભગ ભૂગણિતના 1-પરિમાણ પરિવાર દ્વારા જોડાઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળા પર, ઉત્તર-ધ્રુવ અને દક્ષિણ-ધ્રુવ કોઈપણ મેરિડીયન દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. બીજો દ્રષ્ટિકોણ એ છે કે સંયુગ્મિત બિંદુઓ જણાવે છે કે જ્યારે ભૂગણિત લંબાઈ-ઘટાડવામાં નિષ્ફળ જાય છે. તમામ ભૂગણિત સ્થાનિક રીતે લંબાઈ ઘટાડે છે, પરંતુ વૈશ્વિક સ્તરે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળા પર, ઉત્તર-ધ્રુવમાંથી પસાર થતા કોઈપણ ભૌગોલિક ભાગને દક્ષિણ-ધ્રુવ સુધી વિસ્તારવામાં આવી શકે છે, અને તેથી ધ્રુવોને જોડતો કોઈપણ ભૌગોલિક ભાગ (અનન્ય રીતે) વૈશ્વિક લંબાઈને ઘટાડતો નથી. આ આપણને જણાવે છે કે પ્રમાણભૂત 2-ગોળા પર એન્ટિપોડલ બિંદુઓની કોઈપણ જોડી સંયુક્ત બિંદુઓ છે. વ્યાખ્યા ધારો કે p અને q એ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પરના બિંદુઓ છે, અને તે એક ભૌગોલિક છે જે p અને q ને જોડે છે. પછી p અને q એ સંયુગ્મિત બિંદુઓ છે જો ત્યાં બિન-શૂન્ય જેકોબી ક્ષેત્ર અસ્તિત્વમાં હોય જે p અને q પર અદૃશ્ય થઈ જાય. યાદ કરો કે કોઈપણ જેકોબી ક્ષેત્રને ભૌગોલિક ભિન્નતાના વ્યુત્પન્ન તરીકે લખી શકાય છે (જેકોબી ક્ષેત્રો પરનો લેખ જુઓ). તેથી, જો p અને q સંયુગ્મિત હોય, તો કોઈ વ્યક્તિ ભૂગણિતનો એક પરિવાર બનાવી શકે છે જે p થી શરૂ થાય છે અને લગભગ q પર સમાપ્ત થાય છે. ખાસ કરીને, જો ભૂગણિતનું કુટુંબ હોય કે જેનું વ્યુત્પન્ન s માં જેકોબી ક્ષેત્ર J ઉત્પન્ન કરે છે, તો પછી ભિન્નતાનું અંતિમ બિંદુ, એટલે કે, માત્ર s માં પ્રથમ ક્રમ સુધીનું બિંદુ q છે. તેથી, જો બે બિંદુઓ સંયુગ્મિત હોય, તો તે જરૂરી નથી કે તેમને જોડતા બે અલગ ભૂગણિત અસ્તિત્વમાં હોય. ઉદાહરણો ગોળા પર, એન્ટીપોડલ બિંદુઓ સંયુક્ત હોય છે. વાસ્તવિક કોઓર્ડિનેટ જગ્યા પર, કોઈ સંયુક્ત બિંદુઓ નથી. બિન-સકારાત્મક વિભાગીય વળાંકવાળા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પર, કોઈ સંયુક્ત બિંદુઓ નથી. કટ લોકસ જેકોબી ક્ષેત્ર સંદર્ભો રીમાનિયન ભૂમિતિ પણ જુઓ.