Baire set
ગણિતમાં, ખાસ કરીને માપન સિદ્ધાંતમાં, બેયર સમૂહો ટોપોલોજિકલ જગ્યાના σ-બીજગણિતની રચના કરે છે જે બોરેલ સમૂહોના કેટલાક પેથોલોજીકલ ગુણધર્મોને ટાળે છે. બેયર સમૂહોની ઘણી અસમાન વ્યાખ્યાઓ છે, પરંતુ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા, સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ અવકાશના બેયર સમૂહો સૌથી નાના σ-બીજગણિત બનાવે છે, જેમ કે તમામ સઘન રીતે સમર્થિત સતત કાર્યો માપી શકાય તેવા હોય છે. આમ, આ σ-બીજગણિત પર વ્યાખ્યાયિત પગલાં, જેને બેયર પગલાં કહેવાય છે, તે સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ પર એકીકરણ માટે અનુકૂળ માળખું છે. ખાસ કરીને, આવી જગ્યા પર કોઈપણ કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન કોઈપણ મર્યાદિત બેયર માપનના સંદર્ભમાં સંકલિત કરી શકાય છે. દરેક બેયર સમૂહ બોરેલ સમૂહ છે. વિપરીત ઘણા, પરંતુ તમામ નહીં, ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓમાં ધરાવે છે. બેયર સમૂહો ટોપોલોજી માટે ગણતરીપાત્ર આધાર વિના જગ્યાઓ પર બોરેલ સમૂહોના કેટલાક રોગવિજ્ઞાન ગુણધર્મોને ટાળે છે. વ્યવહારમાં, બેયર સમૂહો પર બેયર માપનો ઉપયોગ ઘણીવાર બોરેલ સમૂહો પર નિયમિત બોરેલ માપનો ઉપયોગ કરીને બદલી શકાય છે. બેયર સમૂહો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, અને, જેમણે તેમને બેયર કાર્યોના નામ પરથી નામ આપ્યું હતું, જેનું નામ બદલામાં રેને-લુઇસ બેયરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ પર બેયર સમૂહોની ઓછામાં ઓછી ત્રણ અસમાન વ્યાખ્યાઓ છે, અને સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ માટે વધુ વ્યાખ્યાઓ છે, જો કે આ તમામ વ્યાખ્યાઓ સ્થાનિક રીતે સઘન σ-કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે સમકક્ષ છે. વધુમાં, કેટલાક લેખકો ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર પ્રતિબંધો ઉમેરે છે જેના પર બેયર સમૂહો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને માત્ર એવી જગ્યાઓ પર બેયર સમૂહો વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે કોમ્પેક્ટ હોઝડોર્ફ અથવા સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોઝડોર્ફ અથવા σ-કોમ્પેક્ટ હોય. પ્રથમ વ્યાખ્યા કુનિહિકો કોડાઇરાએ અમુક ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના જેને આપણે બેયર સમૂહો કહીએ છીએ (જોકે તેઓ ગૂંચવણભરી રીતે તેમને "બોરેલ સમૂહો" કહે છે) તેને એવા સમૂહો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે કે જેનું લાક્ષણિક કાર્ય બેયર કાર્ય છે (તમામ સતત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યો ધરાવતા કાર્યોનો સૌથી નાનો વર્ગ અને ક્રમની બિંદુ મુજબની મર્યાદા હેઠળ બંધ). તે સમકક્ષ વ્યાખ્યા આપે છે અને ટોપોલોજિકલ જગ્યાના બેયર સમૂહોને સૌથી નાના σ-બીજગણિતના ઘટકો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમ કે તમામ સતત વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યો માપી શકાય તેવા હોય છે. સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ σ-કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે આ નીચેની વ્યાખ્યાઓની સમકક્ષ છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ નથી. તેનાથી વિપરીત, બેયર વિધેયો બરાબર વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેયો છે જે બેયર માપી શકાય તેવા છે. મેટ્રિક જગ્યાઓ માટે, બેયર સમૂહો બોરેલ સમૂહો સાથે મેળ ખાય છે. બીજી વ્યાખ્યામાં સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યાના બેયર સમૂહોને સઘન Gδ સમૂહો દ્વારા ઉત્પન્ન σ-રિંગના ઘટકો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે. આ વ્યાખ્યાનો હવે વધુ ઉપયોગ થતો નથી, કારણ કે σ-રિંગ્સ કંઈક અંશે ફેશનની બહાર છે. જ્યારે જગ્યા σ-કોમ્પેક્ટ હોય, ત્યારે આ વ્યાખ્યા આગામી વ્યાખ્યાની સમકક્ષ હોય છે. બંધ Gδ સમૂહોને બદલે કોમ્પેક્ટ Gδ સમૂહો સાથે કામ કરવાનું એક કારણ એ છે કે બાયરે માપ પછી આપમેળે નિયમિત હોય છે. ત્રીજી વ્યાખ્યા ત્રીજી અને સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી વ્યાખ્યા હેલ્મોસની વ્યાખ્યા જેવી જ છે, જેમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છે જેથી બાયરે સમૂહો માત્ર σ-રિંગને બદલે σ-બીજગણિત બનાવે છે. સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ ટોપોલોજિકલ સ્પેસના સબસેટને બેયર સેટ કહેવામાં આવે છે જો તે તમામ કોમ્પેક્ટ Gδ સેટ ધરાવતા સૌથી નાના σ-બીજગણિતનો સભ્ય હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બેયર સમૂહોના σ-બીજગણિત એ તમામ સઘન Gδ સમૂહો દ્વારા પેદા થયેલ σ-બીજગણિત છે. વૈકલ્પિક રીતે, બેયર સમૂહો સૌથી નાના σ-બીજગણિતની રચના કરે છે જેમ કે કોમ્પેક્ટ સપોર્ટના તમામ સતત કાર્યો માપી શકાય છે (ઓછામાં ઓછા સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ પર; સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પર આ બે શરતો સમકક્ષ હોવાની જરૂર નથી). σ-કોમ્પેક્ટ જગ્યાઓ માટે આ હેલ્મોસની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે. σ-કોમ્પેક્ટ ન હોય તેવી જગ્યાઓ માટે આ વ્યાખ્યા હેઠળ બેયરે સમૂહો તેમના પૂરક સાથે હેલ્મોસની વ્યાખ્યા હેઠળ છે. જો કે, આ કિસ્સામાં તે હવે સાચું નથી કે મર્યાદિત બેયર માપ આવશ્યકપણે નિયમિત છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, બેયર સંભાવના માપ કે જે અગણિત અલગ જગ્યાના દરેક ગણતરીપાત્ર સબસેટને માપ 0 સોંપે છે અને દરેક સહ-ગણતરીપાત્ર સબસેટને 1 માપે છે તે બેયર સંભાવના માપ છે જે નિયમિત નથી. ઉદાહરણો બેયર સમૂહોની વિવિધ વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ નથી સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ માટે કે જે σ-કોમ્પેક્ટ નથી, ઉપરની ત્રણ વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ હોવાની જરૂર નથી. એક અલગ ટોપોલોજિકલ જગ્યા સ્થાનિક રીતે સઘન અને હૌસડોર્ફ છે. અલગ જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ કાર્ય સતત હોય છે, અને તેથી, પ્રથમ વ્યાખ્યા અનુસાર, અલગ જગ્યાના તમામ ઉપગણ બેયરે છે. જો કે, અલગ જગ્યાના કોમ્પેક્ટ સબસ્પેસીસ ચોક્કસપણે મર્યાદિત સબસ્પેસીસ હોવાથી, બીજી વ્યાખ્યા અનુસાર, બેયર સમૂહો ચોક્કસપણે સૌથી વધુ ગણતરીપાત્ર સમૂહો છે, જ્યારે ત્રીજી વ્યાખ્યા અનુસાર બેયર સમૂહો સૌથી વધુ ગણતરીપાત્ર સમૂહો અને તેમના પૂરક છે. આમ, અગણિત અલગ જગ્યા પર ત્રણ વ્યાખ્યાઓ બિન-સમકક્ષ છે. નોન-હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે સતત વિધેયોની દ્રષ્ટિએ બેયર સમૂહોની વ્યાખ્યાઓ Gδ કોમ્પેક્ટ સમૂહોને સમાવતી વ્યાખ્યાઓની સમકક્ષ હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો X એ અનંત ગણતરીપાત્ર સમૂહ છે, જેના બંધ સમૂહો મર્યાદિત સમૂહો અને સંપૂર્ણ જગ્યા છે, તો પછી X પર માત્ર સતત વાસ્તવિક વિધેયો સ્થિર હોય છે, પરંતુ X ના તમામ ઉપસમૂહો કોમ્પેક્ટ બંધ Gδ સમૂહો દ્વારા પેદા થયેલ σ-બીજગણિતમાં હોય છે. એક બોરેલ સમૂહ કે જે બેયર સમૂહ નથી એક કરતા વધુ બિંદુઓ સાથે અસંખ્ય સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યાઓના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનમાં, એક બિંદુ બંધ હોવા છતાં, તે ક્યારેય બેયર સમૂહ નથી, અને તેથી તે બોરેલ સમૂહ છે. ગુણધર્મો બાયરે સમૂહો યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં બોરેલ સમૂહો સાથે મેળ ખાય છે. દરેક સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યા માટે, દરેક મર્યાદિત બેયર માપ (એટલે કે, તમામ બેયર સમૂહોના σ-બીજગણિત પરનું માપ) નિયમિત હોય છે. દરેક સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યા માટે, દરેક મર્યાદિત બેયર માપ નિયમિત બોરેલ માપ માટે એક અનન્ય વિસ્તરણ ધરાવે છે. કોલ્મોગોરોવ એક્સ્ટેંશન થીયરમ જણાવે છે કે મર્યાદિત-પરિમાણીય સંભાવના વિતરણોનો દરેક સુસંગત સંગ્રહ કાર્યોની જગ્યા પર બેયર માપ તરફ દોરી જાય છે. કોમ્પેક્ટનેસ ધારીએ તો (આપેલ જગ્યાની, અને તેથી ફંક્શન સ્પેસ પણ) તેને નિયમિત બોરેલ માપ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. પૂર્ણ થયા પછી વ્યક્તિને સંભાવના માટેની જગ્યા મળે છે જે જરૂરી નથી કે પ્રમાણભૂત હોય. નોંધો સંદર્ભો ખાસ કરીને સેક્ટ જુઓ. 51 "બોરેલ સેટ અને બેયર સેટ". . ખાસ કરીને સેક્ટ જુઓ. 7. 1 "બેયર અને બોરેલ σ-આલ્જેબ્રા અને પગલાંની નિયમિતતા" અને સંપ્રદાય. 7. 3 "નિયમિતતા વિસ્તરણ". સામાન્ય ટોપોલોજી માપન સિદ્ધાંત