Book embedding
આલેખ સિદ્ધાંતમાં, પુસ્તક એમ્બેડિંગ એ પુસ્તકમાં એમ્બેડિંગ કરવા માટે ગ્રાફના પ્લાનર એમ્બેડિંગનું સામાન્યીકરણ છે, અર્ધ-પ્લેનનો સંગ્રહ જે તમામ તેમની સીમા જેવી જ રેખા ધરાવે છે. સામાન્ય રીતે, આલેખના શિરોબિંદુઓ આ સીમા રેખા પર આવેલા હોવા જરૂરી છે, જેને સ્પાઇન કહેવાય છે, અને ધારને એક અર્ધ-સમતલની અંદર રહેવાની જરૂર છે. આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ એ આલેખના કોઈપણ પુસ્તક એમ્બેડિંગ માટે અર્ધ-સમતલની સૌથી નાની શક્ય સંખ્યા છે. પુસ્તકની જાડાઈને પેજનમ્બર, સ્ટેકનમ્બર અથવા નિશ્ચિત બાહ્ય જાડાઈ પણ કહેવામાં આવે છે. બુક એમ્બેડિંગ્સનો ઉપયોગ પેજવિડ્થ અને બુક ક્રોસિંગ નંબર સહિત અન્ય કેટલાક ગ્રાફ અપરિવર્તનશીલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ કરવામાં આવે છે. શિરોબિંદુઓ સાથેના દરેક આલેખમાં વધુમાં વધુ પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે, અને આ સૂત્ર સંપૂર્ણ આલેખ માટે ચોક્કસ પુસ્તકની જાડાઈ આપે છે. પુસ્તકની જાડાઈ ધરાવતા આલેખ એ બાહ્ય સમતલ આલેખ છે. પુસ્તકની જાડાઈ વધુમાં વધુ બે ધરાવતા આલેખ સબહેમિલ્ટોનિયન આલેખ છે, જે હંમેશા સમતલીય હોય છે; વધુ સામાન્ય રીતે, દરેક સમતલીય આલેખમાં મહત્તમ ચાર પુસ્તકોની જાડાઈ હોય છે. તમામ નાના-બંધ આલેખ પરિવારો, અને ખાસ કરીને બંધાયેલ ત્રિ-પહોળાઈ અથવા બંધાયેલ જાતિ સાથેના આલેખમાં પણ બંધાયેલ પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે. આપેલ આલેખની ચોક્કસ પુસ્તક જાડાઈ નક્કી કરવી એન. પી.-મુશ્કેલ છે, પુસ્તકની કરોડરજ્જુની સાથે નિશ્ચિત શિરોબિંદુ ક્રમ સાથે અથવા જાણ્યા વિના. ગ્રાફના ત્રણ પાનાના પુસ્તક એમ્બેડિંગના અસ્તિત્વનું પરીક્ષણ, એમ્બેડિંગની કરોડરજ્જુની સાથે શિરોબિંદુઓના નિશ્ચિત ક્રમને જોતાં, અજ્ઞાત ગણતરીની જટિલતા ધરાવે છેઃ તે બહુપદી સમયમાં ઉકેલવા યોગ્ય હોવાનું જાણીતું નથી અથવા એન. પી.-હાર્ડ હોવાનું જાણીતું નથી. પુસ્તક એમ્બેડિંગનો અભ્યાસ કરવા માટેની મૂળ પ્રેરણાઓમાંની એક વી. એલ. એસ. આઈ. ડિઝાઇનમાં કાર્યક્રમો સામેલ છે, જેમાં પુસ્તક એમ્બેડિંગના શિરોબિંદુઓ સર્કિટના ઘટકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને વાયર તેમની વચ્ચેના જોડાણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. બુક એમ્બેડિંગનો ગ્રાફ ડ્રોઇંગમાં પણ ઉપયોગ થાય છે, જ્યાં ગ્રાફ માટે બે પ્રમાણભૂત વિઝ્યુલાઇઝેશન શૈલીઓ, ચાપ આકૃતિઓ અને ગોળાકાર લેઆઉટ, પુસ્તક એમ્બેડિંગનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે. પરિવહન આયોજનમાં, પગપાળા અને વાહન ટ્રાફિકના વિવિધ સ્રોતો અને સ્થળો કે જે ટ્રાફિક લાઇટ પર મળે છે અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે તેને ગાણિતિક રીતે ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ તરીકે મોડેલિંગ કરી શકાય છે, જેમાં ધાર વિવિધ સ્રોત-ગંતવ્ય જોડીને જોડે છે. આ આલેખના પુસ્તક એમ્બેડિંગનો ઉપયોગ સમયપત્રક તૈયાર કરવા માટે થઈ શકે છે જે તમામ ટ્રાફિકને શક્ય તેટલા ઓછા સિગ્નલ તબક્કાઓ સાથે આંતરછેદ તરફ આગળ વધવા દે છે. આર. એન. એ. ના ફોલ્ડિંગ માળખાને સંડોવતા બાયોઇન્ફોર્મેટિક્સ સમસ્યાઓમાં, સિંગલ-પેજ બુક એમ્બેડિંગ્સ ન્યુક્લિક એસિડ સેકન્ડરી સ્ટ્રક્ચરના ક્લાસિકલ સ્વરૂપોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને બે-પેજ બુક એમ્બેડિંગ્સ સ્યુડોકનોટ્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પુસ્તક એમ્બેડિંગના અન્ય ઉપયોગોમાં અમૂર્ત બીજગણિત અને ગાંઠ સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યા તરીકે પુસ્તકની કલ્પનાને 1960ના દાયકામાં સી. એ. પર્સિંગર અને ગેઇલ એટનીસેન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી. આ કાર્યના ભાગરૂપે, એટનીસને પહેલેથી જ પુસ્તકોમાં આલેખને સમાવવાનું વિચાર્યું હતું. તેમણે જે એમ્બેડિંગનો અભ્યાસ કર્યો હતો તે કોઈપણ અન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં ગ્રાફના એમ્બેડિંગ જેવી જ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છેઃ શિરોબિંદુઓને અલગ બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, ધારને વળાંક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, અને બે ધારને છેદવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે તેઓ એક સામાન્ય અંતિમ બિંદુ પર મળે છે. 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં, પોલ સી. કેનન અને એલ. ટેલર ઓલમેને વધુ પ્રતિબંધિત પ્રકારનું એમ્બેડિંગ વિકસાવ્યું હતું જેનો ઉપયોગ મોટાભાગના અનુગામી સંશોધનમાં કરવામાં આવ્યો હતો. તેમની રચનામાં, આલેખના શિરોબિંદુઓ પુસ્તકની કરોડરજ્જુની સાથે મૂકવા જોઈએ, અને દરેક ધાર એક જ પૃષ્ઠમાં હોવી જોઈએ. પુસ્તક એમ્બેડિંગના પછીના વિકાસમાં મહત્વના સીમાચિહ્નોમાં 1980ના દાયકાના અંતમાં મિહાલિસ યન્નાકાકિસ દ્વારા પુરાવાઓનો સમાવેશ થાય છે કે સમતલીય આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ મહત્તમ ચાર હોય છે, અને 1990ના દાયકાના અંતમાં પુસ્તક એમ્બેડિંગ અને બાયોઇન્ફોર્મેટિક્સ વચ્ચેના નજીકના જોડાણોની શોધનો સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યાઓ પુસ્તક એ એક ચોક્કસ પ્રકારની ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે, જેને અર્ધ-વિમાનનો ચાહક પણ કહેવાય છે. તેમાં એક જ રેખા હોય છે, જેને કરોડરજ્જુ અથવા પુસ્તકની પાછળની બાજુ કહેવાય છે, જેમાં એક અથવા વધુ અર્ધ-સમતલનો સંગ્રહ હોય છે, જેને પુસ્તકના પૃષ્ઠો અથવા પાંદડા કહેવાય છે, જેમાં દરેકની કરોડરજ્જુ તેની સીમા તરીકે હોય છે. મર્યાદિત સંખ્યામાં પૃષ્ઠો ધરાવતા પુસ્તકોને ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં સમાવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની-અક્ષ પસંદ કરીને અને પૃષ્ઠોને અર્ધ-સમતલ તરીકે પસંદ કરીને, જેનો દ્વિધ્રુવીય ખૂણો-સમતલના સંદર્ભમાં એક પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. પુસ્તક પર મર્યાદિત આલેખનું પુસ્તક રેખાંકન એ એક ચિત્ર છે કે જેના પર દરેક શિરોબિંદુ કરોડરજ્જુ પર એક બિંદુ તરીકે દોરવામાં આવે છે, અને દરેક ધાર એક વળાંક તરીકે દોરવામાં આવે છે જે તેના એક પૃષ્ઠની અંદર હોય છે. - પૃષ્ઠ પુસ્તક ક્રોસિંગ નંબર એ-પૃષ્ઠ પુસ્તક રેખાંકનમાં ક્રોસિંગની લઘુતમ સંખ્યા છે. એક પુસ્તક એમ્બેડિંગ એ એક પુસ્તક ચિત્ર છે જે તેમાં એમ્બેડિંગ ગ્રાફ બનાવે છે. એટલે કે, તે એક પુસ્તક ચિત્ર છે જેના પર કોઈ ધાર ક્રોસિંગ નથી. દરેક મર્યાદિત આલેખમાં એક પુસ્તક હોય છે જે પર્યાપ્ત સંખ્યામાં પૃષ્ઠો સાથે પુસ્તકમાં સમાવિષ્ટ હોય છે. દાખલા તરીકે, ગ્રાફની દરેક ધારને તેના પોતાના અલગ પૃષ્ઠ પર એમ્બેડ કરવી હંમેશા શક્ય છે. પુસ્તકની જાડાઈ, પેજન નંબર અથવા સ્ટેક નંબર એ પુસ્તકને એમ્બેડ કરવા માટે જરૂરી પૃષ્ઠોની ઓછામાં ઓછી સંખ્યા છે. અન્ય પરિમાણ કે જે પુસ્તકના પૃષ્ઠોની સંખ્યાની બહાર એમ્બેડિંગની ગુણવત્તાને માપે છે, તે તેની પૃષ્ઠ-પહોળાઈ છે. આને કટવિડ્થની સમાન રીતે ધારની મહત્તમ સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને એક જ પૃષ્ઠની અંદર કરોડરજ્જુને લંબરૂપ કિરણો દ્વારા પાર કરી શકાય છે. સમાનરૂપે (બુક એમ્બેડિંગ્સ માટે જેમાં દરેક ધાર એકવિધ વળાંક તરીકે દોરવામાં આવે છે), તે એક જ પૃષ્ઠની અંદર ધારના સબસેટનું મહત્તમ કદ છે જેમ કે ધારના અંતિમ બિંદુઓની જોડી દ્વારા કરોડરજ્જુ પર વ્યાખ્યાયિત અંતરાલ બધા એકબીજાને છેદે છે. આ વ્યાખ્યાઓ માટે તે નિર્ણાયક છે કે ધારને માત્ર પુસ્તકના એક જ પૃષ્ઠની અંદર રહેવાની મંજૂરી છે. એટનીસને પહેલેથી જ અવલોકન કર્યું છે તેમ, જો ધાર તેના બદલે પુસ્તકની કરોડરજ્જુમાં એક પૃષ્ઠથી બીજા પૃષ્ઠ પર પસાર થઈ શકે છે, તો પછી દરેક આલેખ ત્રણ પાનાના પુસ્તકમાં જડિત થઈ શકે છે. આવા ત્રણ પાનાના ટોપોલોજિકલ બુક એમ્બેડિંગ માટે જેમાં સ્પાઇન ક્રોસિંગની મંજૂરી છે, દરેક ગ્રાફને ધાર દીઠ સ્પાઇન ક્રોસિંગની મહત્તમ લઘુગણક સંખ્યા સાથે એમ્બેડ કરી શકાય છે, અને કેટલાક ગ્રાફને સ્પાઇન ક્રોસિંગની આટલી જરૂર પડે છે. ચોક્કસ આલેખ પ્રથમ આંકડામાં બતાવ્યા પ્રમાણે, સંપૂર્ણ આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ ત્રણ છેઃ બિન-સમતલીય આલેખ તરીકે તેની પુસ્તકની જાડાઈ બે કરતા વધારે હોય છે, પરંતુ ત્રણ પૃષ્ઠો સાથેનું પુસ્તક અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, શિરોબિંદુઓ સાથેના દરેક સંપૂર્ણ આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ બરાબર છે. આ પરિણામ કોઈપણ-વર્ટેક્સ આલેખની મહત્તમ શક્ય પુસ્તક જાડાઈ પર ઉપલી સીમા પણ આપે છે. સંપૂર્ણ ગ્રાફનો બે પાનાનો ક્રોસિંગ નંબર એન્થોની હિલના હજુ સુધી અપ્રમાણિત અનુમાન સાથે મેળ ખાય છે કે આ ગ્રાફનો અનિયંત્રિત ક્રોસિંગ નંબર કેટલો હોવો જોઈએ. એટલે કે, જો હિલનું અનુમાન સાચું હોય, તો આ ગ્રાફનું ચિત્ર જે ક્રોસિંગની સંખ્યાને ઘટાડે છે તે બે પાનાનું ચિત્ર છે. સંપૂર્ણ દ્વિપક્ષી આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ સૌથી વધુ છે. આ પુસ્તકની જાડાઈ સાથે ચિત્ર બનાવવા માટે, દ્વિપક્ષીકરણની નાની બાજુના દરેક શિરોબિંદુ માટે, તે શિરોબિંદુ સાથે સંકળાયેલી ધારને તેમના પોતાના પૃષ્ઠ પર મૂકી શકાય છે. આ બંધન હંમેશા ચુસ્ત હોતું નથી; દાખલા તરીકે, પુસ્તકની જાડાઈ ત્રણ હોય છે, ચાર નહીં. જો કે, જ્યારે આલેખની બંને બાજુઓ ખૂબ અસંતુલિત હોય છે, ત્યારે તેની પુસ્તકની જાડાઈ બરાબર હોય છે. તુરાન આલેખ માટે (સ્વતંત્ર સમૂહ દીઠ શિરોબિંદુઓના સ્વતંત્ર સમૂહોમાંથી રચાયેલો સંપૂર્ણ બહુપક્ષીય આલેખ, વિવિધ સ્વતંત્ર સમૂહોમાંથી દરેક બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેની ધાર સાથે) પુસ્તકની જાડાઈ વચ્ચે સેન્ડવિચ કરવામાં આવે છે અને જ્યારે વિચિત્ર હોય ત્યારે ઉપલી મર્યાદાને સુધારી શકાય છે. ગુણધર્મો પ્લેનારીટી અને આઉટરપ્લેનારીટી આપેલ ગ્રાફની પુસ્તકની જાડાઈ વધુમાં વધુ એક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે આઉટરપ્લેનાર ગ્રાફ હોય. બાહ્ય સમતલ આલેખ એ એક આલેખ છે જેમાં સમતલ એમ્બેડિંગ હોય છે જેમાં તમામ શિરોબિંદુઓ એમ્બેડિંગના બાહ્ય ભાગ સાથે સંબંધિત હોય છે. આવા આલેખ માટે, શિરોબિંદુઓને બાહ્ય ચહેરામાં દેખાય છે તે જ ક્રમમાં કરોડરજ્જુની સાથે મૂકવાથી આપેલ આલેખનનું એક પાનાનું પુસ્તક એમ્બેડિંગ મળે છે. (આલેખનો ઉચ્ચારણ બિંદુ બાહ્ય ચહેરાની આસપાસના શિરોબિંદુઓના ચક્રીય ક્રમમાં એક કરતા વધુ વખત આવશ્યકપણે દેખાશે, પરંતુ તેમાંથી માત્ર એક જ નકલ પુસ્તક એમ્બેડિંગમાં શામેલ થવી જોઈએ.) તેનાથી વિપરીત, એક પાનાનું પુસ્તક એમ્બેડિંગ આપમેળે બાહ્ય સમતલ એમ્બેડિંગ છે. કારણ કે, જો આલેખ એક જ પૃષ્ઠ પર જડિત હોય, અને તેના પૃષ્ઠને સંપૂર્ણ સમતલ સુધી વિસ્તારવા માટે કરોડરજ્જુ સાથે અન્ય અર્ધ-સમતલ જોડાયેલ હોય, તો એમ્બેડિંગના બાહ્ય ચહેરામાં સમગ્ર ઉમેરાયેલ અર્ધ-સમતલનો સમાવેશ થાય છે, અને તમામ શિરોબિંદુઓ આ બાહ્ય સપાટી પર આવેલા હોય છે. દરેક બે પાનાનું પુસ્તક એમ્બેડિંગ એ પ્લાનર એમ્બેડિંગનો એક વિશેષ કેસ છે, કારણ કે પુસ્તકના બે પાનાનું જોડાણ એ સમગ્ર પ્લેનની ટોપોલોજીકલ સમકક્ષ જગ્યા છે. તેથી, પુસ્તકની જાડાઈ બે સાથેનો દરેક આલેખ આપમેળે સમતલીય આલેખ બને છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ વધુમાં વધુ બે હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર ધરાવતા સમતલીય આલેખનો પેટા આલેખ હોય. જો ગ્રાફને બે પાનાનું એમ્બેડિંગ આપવામાં આવે, તો તેને (કોઈપણ પૃષ્ઠમાં) કરોડરજ્જુના કોઈપણ બે સળંગ શિરોબિંદુઓ વચ્ચે વધારાની ધાર ઉમેરીને (કોઈપણ પૃષ્ઠમાં) પ્લાનર હેમિલ્ટોનિયન ગ્રાફમાં વધારી શકાય છે, જે પહેલેથી જ અડીને નથી, અને કરોડરજ્જુના પ્રથમ અને છેલ્લા શિરોબિંદુઓ વચ્ચે છે. ગોલ્ડનર-હેરી આલેખ સમતલીય આલેખનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે જેમાં પુસ્તકની જાડાઈ બે નથીઃ તે મહત્તમ સમતલીય આલેખ છે, તેથી સમતુલા જાળવી રાખીને તેમાં કોઈ ધાર ઉમેરવી શક્ય નથી, અને તેમાં હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર નથી. હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર દ્વારા આ લાક્ષણિકતાને કારણે, બે પાનાના પુસ્તક એમ્બેડિંગ ધરાવતા આલેખને સબહેમિલ્ટોનિયન આલેખ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. બધા સમતલીય આલેખ કે જેમની મહત્તમ ડિગ્રી મહત્તમ ચાર હોય છે, તેમની પુસ્તકની જાડાઈ મહત્તમ બે હોય છે. પ્લેનર 3-વૃક્ષોની પુસ્તકની જાડાઈ વધુમાં વધુ ત્રણ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, તમામ સમતલીય આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ ચાર હોય છે. 1986માં મિહાલિસ યન્નાકાકિસ દ્વારા એવો દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે કેટલાક સમતલીય આલેખ અસ્તિત્વમાં છે જેની પુસ્તકની જાડાઈ બરાબર ચાર છે. જો કે, આ દાવાનો વિગતવાર પુરાવો, જે પછીના જર્નલ પેપરમાં જાહેર કરવામાં આવ્યો હતો, તે 2020 સુધી જાણી શકાયો ન હતો, જ્યારે બેકોસ એટ અલ. ત્રણ પહોળાઈ 4 સાથે સમતલીય આલેખ રજૂ કરવામાં આવ્યા છે જેમાં કોઈપણ પુસ્તક એમ્બેડિંગમાં ચાર પૃષ્ઠોની જરૂર પડે છે. પેટા વિભાગો હેઠળની વર્તણૂક આલેખની દરેક ધારને બે ધારવાળા માર્ગોમાં વિભાજિત કરીને, દરેક ધારની અંદર નવા શિરોબિંદુઓ ઉમેરીને, કેટલીકવાર તેની પુસ્તકની જાડાઈમાં વધારો કરી શકે છે. દાખલા તરીકે, હીરાના આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ એક છે (તે બાહ્ય સમતલ છે) પરંતુ તેના પેટાવિભાગમાં પુસ્તકની જાડાઈ બે છે (તે સમતલ અને સબહેમિલ્ટોનિયન છે પરંતુ બાહ્ય સમતલ નથી). જો કે, આ પેટાવિભાગ પ્રક્રિયા કેટલીકવાર પેટા વિભાજિત આલેખની પુસ્તકની જાડાઈને પણ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકે છે. દાખલા તરીકે, સંપૂર્ણ આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ તેના શિરોબિંદુઓની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે, પરંતુ તેની દરેક ધારને બે ધારવાળા માર્ગમાં વિભાજિત કરવાથી એક પેટાવિભાગ ઉત્પન્ન થાય છે, જેની પુસ્તકની જાડાઈ ઘણી ઓછી હોય છે, માત્ર. આ પ્રકારના ઉદાહરણો અસ્તિત્વમાં હોવા છતાં, એવું અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું કે પેટાવિભાગની પુસ્તકની જાડાઈ મૂળ આલેખ કરતાં ઘણી ઓછી ન હોઈ શકે. ખાસ કરીને, તેઓએ અનુમાન લગાવ્યું કે ત્યાં એક એવું કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે કે, દરેક આલેખ માટે અને દરેક ધારને બે ધારવાળા માર્ગ દ્વારા બદલીને રચાયેલા આલેખ માટે, જો પુસ્તકની જાડાઈ હોય તો પુસ્તકની જાડાઈ મહત્તમ હોય છે. તેમનો અંદાજ ખોટો સાબિત થયોઃ તારાઓ અને ત્રિકોણાકાર ઝુકાવના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનો દ્વારા રચાયેલા આલેખમાં અમર્યાદિત પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે, પરંતુ તેમની ધારને છ ધારવાળા માર્ગોમાં વિભાજિત કરવાથી તેમની પુસ્તકની જાડાઈ ત્રણ થઈ જાય છે. પુસ્તકની જાડાઈ જાડાઈ સાથે સંબંધિત છે, જે આપેલ આલેખની ધારને આવરી લેવા માટે જરૂરી સમતલીય આલેખની સંખ્યા છે. ગ્રાફની જાડાઈ હોય છે જો તેને સમતલમાં દોરી શકાય, અને તેની ધાર રંગોથી રંગાયેલી હોય, એવી રીતે કે એકબીજા જેવી જ રંગની ધાર પાર ન થાય. સમાન રીતે, આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે જો તેને અડધા સમતલમાં દોરવામાં આવે, તેના શિરોબિંદુઓ અડધા સમતલની સીમા પર હોય, તેની ધાર રંગોથી રંગાયેલી હોય અને તે જ રંગની બે ધાર વચ્ચે કોઈ ક્રોસિંગ ન હોય. પુસ્તકની જાડાઈની આ રચનામાં, ધારના રંગો પુસ્તકના એમ્બેડિંગના પૃષ્ઠોને અનુરૂપ હોય છે. જો કે, જાડાઈ અને પુસ્તકની જાડાઈ એકબીજાથી ખૂબ જ અલગ હોઈ શકે છેઃ બે જાડાઈ હોવા છતાં, અમર્યાદિત પુસ્તકની જાડાઈ ધરાવતા આલેખ (સંપૂર્ણ આલેખના પેટાવિભાગો) અસ્તિત્વમાં છે. ત્રિ-પહોળાઈના આલેખમાં સૌથી વધુ પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે અને આ બાઉન્ડ તેના માટે ચુસ્ત હોય છે. ધારવાળા આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે, અને જાતિના આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, દરેક નાના-બંધ આલેખ પરિવારમાં બંધાયેલ પુસ્તકની જાડાઈ હોય છે. બીજી બાજુ, 1-સમતલીય આલેખ, જે નાના હેઠળ બંધ ન હોય, તેમાં પણ પુસ્તકની જાડાઈ બંધ હોય છે, પરંતુ કેટલાક 1-સમતલીય આલેખમાં પુસ્તકની જાડાઈ ઓછામાં ઓછી ચાર હોય છે. બંધાયેલ પુસ્તકની જાડાઈના આલેખના દરેક છીછરા નાના એક વિરલ આલેખ છે, જેની ધાર અને શિરોબિંદુઓનો ગુણોત્તર એક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલ છે જે ફક્ત ગૌણની ઊંડાઈ અને પુસ્તકની જાડાઈ પર આધાર રાખે છે. એટલે કે, ની પરિભાષામાં, બંધાયેલ પુસ્તકની જાડાઈના આલેખમાં બંધાયેલ વિસ્તરણ છે. જો કે, બાઉન્ડેડ ડિગ્રીના આલેખમાં પણ, બાઉન્ડેડ વિસ્તરણ કરતાં વધુ મજબૂત જરૂરિયાત, અનબાઉન્ડ બુક જાડાઈ હોઈ શકે છે. કારણ કે પુસ્તકની જાડાઈના બે આલેખ સમતલીય આલેખ છે, તેઓ સમતલીય વિભાજક પ્રમેયનું પાલન કરે છેઃ તેમની પાસે વિભાજક હોય છે, શિરોબિંદુઓના સબસેટ હોય છે, જેને દૂર કરવાથી આલેખને મોટા ભાગના શિરોબિંદુઓ સાથે ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, વિભાજકમાં માત્ર શિરોબિંદુઓ હોય છે. અહીં, આલેખમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યાનો સંદર્ભ આપે છે. જો કે, પુસ્તકની જાડાઈ ત્રણના આલેખ અસ્તિત્વમાં છે જેમાં સબલીનિયર કદના વિભાજક નથી. પુસ્તક એમ્બેડિંગના એક જ પૃષ્ઠની અંદરની ધાર અમુક રીતે સ્ટેક ડેટા સ્ટ્રક્ચરની જેમ વર્તે છે. આને માળખા પર દબાણ અને પૉપ કામગીરીના મનસ્વી ક્રમને ધ્યાનમાં લઈને ઔપચારિક બનાવી શકાય છે, અને એક આલેખ બનાવી શકાય છે જેમાં માળખાની કામગીરી આલેખના શિરોબિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે, જે પુસ્તક એમ્બેડિંગની કરોડરજ્જુની સાથે અનુક્રમ ક્રમમાં મૂકવામાં આવે છે. પછી, જો કોઈ દરેક પોપ ઓપરેશનમાંથી એક ધાર ખેંચે છે જે સ્ટેકમાંથી ઑબ્જેક્ટને પૉપ કરે છે, અગાઉના પુશ ઓપરેશનમાં જે દબાણ કરે છે, પરિણામી ગ્રાફમાં આપમેળે એક-પૃષ્ઠ એમ્બેડિંગ હશે. આ કારણોસર, ગ્રાફના પૃષ્ઠ નંબરને તેનો સ્ટેક નંબર પણ કહેવામાં આવે છે. એ જ રીતે, કોઈ વ્યક્તિ કતાર માહિતી માળખાના એન્ક્વ્યુ અને ડેક્વ્યુ કામગીરીના મનસ્વી ક્રમને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે, અને એક આલેખ બનાવી શકે છે જે આ કામગીરીને તેના શિરોબિંદુઓ તરીકે ધરાવે છે, જે એક જ પૃષ્ઠની કરોડરજ્જુ પર ક્રમમાં મૂકવામાં આવે છે, જેમાં દરેક એન્ક્વ્યુ કામગીરી અને અનુરૂપ ડેક્વ્યુ વચ્ચેની ધાર હોય છે. પછી, આ આલેખમાં, દરેક બે ધાર કાં તો કરોડરજ્જુ પરના વિચ્છેદિત અંતરાલને પાર કરશે અથવા આવરી લેશે. સામ્યતા દ્વારા, સંશોધકોએ આલેખની કતાર એમ્બેડિંગને ટોપોલોજિકલ પુસ્તકમાં એમ્બેડિંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી છે, જેમ કે દરેક શિરોબિંદુ કરોડરજ્જુ પર હોય છે, દરેક ધાર એક જ પૃષ્ઠમાં હોય છે, અને એક જ પૃષ્ઠની દરેક બે ધાર કાં તો ક્રોસ અથવા કવર કરે છે. આલેખની કતારને સમાવવા માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછા પૃષ્ઠોની સંખ્યાને તેની કતાર સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ શોધવી એ એન. પી.-હાર્ડ છે. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે મહત્તમ સમતલીય આલેખમાં હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર શોધવું એ એન. પી.-પૂર્ણ છે. મહત્તમ સમતલીય આલેખમાં, જો હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર અસ્તિત્વમાં હોય તો જ પુસ્તકની જાડાઈ બે હોય છે. તેથી, આપેલ મહત્તમ સમતલીય આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ બે છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે એન. પી.-પૂર્ણ પણ છે. જો એમ્બેડિંગની કરોડરજ્જુની સાથે ગ્રાફના શિરોબિંદુઓનો ક્રમ નિશ્ચિત હોય, તો પછી બે પાનાનું એમ્બેડિંગ (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) રેખીય સમયમાં મળી શકે છે, આપેલ ગ્રાફને તેમના કરોડરજ્જુના ક્રમમાં શિરોબિંદુઓને જોડતા ચક્ર સાથે વધારીને રચાયેલા ગ્રાફ માટે સમતુલા પરીક્ષણના ઉદાહરણ તરીકે. તેમણે દાવો કર્યો હતો કે નિશ્ચિત કરોડરજ્જુના ક્રમ સાથે ત્રણ પાનાની એમ્બેડિંગ્સ શોધવી એ બહુપદી સમયમાં પણ કરી શકાય છે, જો કે આ પરિણામના તેમના લેખનમાં ઘણી વિગતો અવગણવામાં આવી છે. જો કે, ચાર કે તેથી વધુ પૃષ્ઠોની જરૂર હોય તેવા આલેખ માટે, ઓછામાં ઓછા શક્ય સંખ્યાબંધ પૃષ્ઠો સાથે એમ્બેડિંગ શોધવાની સમસ્યા એન. પી.-હાર્ડ રહે છે, જે વર્તુળના કોર્ડના આંતરછેદના આલેખ, રંગીન વર્તુળ આલેખની એન. પી.-હાર્ડ સમસ્યાની સમકક્ષતા દ્વારા થાય છે. તેના શિરોબિંદુઓ માટે નિશ્ચિત કરોડરજ્જુના ક્રમવાળા આલેખને જોતાં, આ શિરોબિંદુઓને વર્તુળની આસપાસ સમાન ક્રમમાં દોરવાથી અને રેખા ખંડોની ધારને દોરવાથી રજૂ થતી તારોનો સંગ્રહ ઉત્પન્ન થાય છે. પછી એક વર્તુળ આલેખ બનાવી શકાય છે જેમાં આ આકૃતિના તારને શિરોબિંદુ તરીકે અને તારની જોડીને ધાર તરીકે પાર કરી શકાય છે. વર્તુળ આલેખનો રંગ ઉપગણની કિનારીઓના વિભાજનને રજૂ કરે છે જે એક જ પૃષ્ઠને પાર કર્યા વિના દોરી શકાય છે. તેથી, શ્રેષ્ઠ રંગ એ શ્રેષ્ઠ પુસ્તક એમ્બેડિંગની સમકક્ષ છે. ચાર કે તેથી વધુ રંગો સાથે વર્તુળ આલેખ રંગ એન. પી.-સખત હોવાથી, અને કોઈ પણ વર્તુળ આલેખ કોઈ પુસ્તક એમ્બેડિંગ સમસ્યામાંથી આ રીતે બનાવી શકાય છે, તે અનુસરે છે કે શ્રેષ્ઠ પુસ્તક એમ્બેડિંગ પણ એન. પી.-સખત છે. બે પાનાના પુસ્તક રેખાંકનની કરોડરજ્જુ પર નિશ્ચિત શિરોબિંદુ ક્રમ માટે, જ્યારે આ સંખ્યા બિન-શૂન્ય હોય ત્યારે ક્રોસિંગની સંખ્યાને ઘટાડવી પણ એન. પી.-મુશ્કેલ છે. જો કરોડરજ્જુનો ક્રમ અજ્ઞાત હોય પરંતુ કિનારીઓનું બે પૃષ્ઠોમાં વિભાજન આપવામાં આવે, તો પછી એસ. પી. ક્યુ. આર. વૃક્ષો પર આધારિત અલ્ગોરિધમ દ્વારા રેખીય સમયમાં 2-પાનાનું એમ્બેડિંગ (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) શોધવું શક્ય છે. જો કે, જ્યારે ન તો સ્પાઇન ઓર્ડરિંગ કે ન તો ધાર પાર્ટીશન જાણીતું હોય ત્યારે 2-પાનાનું એમ્બેડિંગ શોધવું એન. પી.-પૂર્ણ છે. ગ્રાફનો બુક ક્રોસિંગ નંબર શોધવો પણ એન. પી.-હાર્ડ છે, કારણ કે 2-પાનાનો ક્રોસિંગ નંબર શૂન્ય છે કે કેમ તે ચકાસવાના વિશેષ કેસની એન. પી.-પૂર્ણતા છે. બાઉન્ડેડ વિસ્તરણના પરિણામે, મોટા ગ્રાફના સબગ્રાફ તરીકે બાઉન્ડેડ કદનો પેટર્ન ગ્રાફ અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ તે શોધવાની સબગ્રાફ આઇસોમોર્ફિઝમ સમસ્યા, જ્યારે મોટા ગ્રાફમાં પુસ્તકની જાડાઈ બાઉન્ડેડ હોય ત્યારે રેખીય સમયમાં ઉકેલી શકાય છે. પેટર્ન ગ્રાફ મોટા ગ્રાફનો પ્રેરિત સબગ્રાફ છે કે કેમ, અથવા તેમાં મોટા ગ્રાફ માટે ગ્રાફ હોમોમોર્ફિઝમ છે કે કેમ તે શોધવા માટે પણ આ જ સાચું છે. આ જ કારણસર, બાઉન્ડેડ બુક જાડાઈનો આલેખ ફર્સ્ટ ઓર્ડર લોજિકના આપેલા સૂત્રનું પાલન કરે છે કે કેમ તે ચકાસવાની સમસ્યા ફિક્સ્ડ-પેરામીટર ટ્રેક્ટેબલ છે. સમસ્યાને બુલિયન સંતોષકારક સમસ્યાના ઉદાહરણમાં રૂપાંતરિત કરીને અને પરિણામી સમસ્યા માટે SAT સોલ્વર લાગુ કરીને શ્રેષ્ઠ પુસ્તક એમ્બેડિંગ્સ શોધવા માટેની પદ્ધતિનું વર્ણન કરો. તેઓ જણાવે છે કે તેમની સિસ્ટમ આશરે 20 મિનિટમાં 400-વર્ટેક્સ મેક્સિમલ પ્લાનર ગ્રાફ માટે શ્રેષ્ઠ એમ્બેડિંગ શોધવામાં સક્ષમ છે. એપ્લિકેશન્સ ફોલ્ટ-ટોલરન્ટ મલ્ટીપ્રોસેસિંગ દ્વારા ટાંકવામાં આવેલ પુસ્તક એમ્બેડિંગનો અભ્યાસ કરવા માટેની મુખ્ય પ્રેરણાઓમાંની એક ફોલ્ટ-ટોલરન્ટ મલ્ટીપ્રોસેસરોની સંસ્થા માટે વીએલએસઆઈ ડિઝાઇનમાં એપ્લિકેશનનો સમાવેશ થાય છે. આ લેખકો દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી ડાયોજીન્સ પ્રણાલીમાં, મલ્ટીપ્રોસેસર પ્રણાલીના સીપીયુને પુસ્તકની કરોડરજ્જુને અનુરૂપ તાર્કિક અનુક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે (જોકે આ ક્રમને આ પ્રણાલીના ભૌતિક લેઆઉટમાં એક રેખા સાથે મૂકવો જરૂરી નથી). આ પ્રોસેસરોને જોડતી કોમ્યુનિકેશન લિંક્સને "બંડલ્સ" માં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે જે પુસ્તકના પૃષ્ઠોને અનુરૂપ હોય છે અને સ્ટેક્સની જેમ કાર્ય કરે છેઃ પ્રોસેસર્સમાંથી એકને નવી કોમ્યુનિકેશન લિંકની શરૂઆત સાથે જોડવાથી બંડલમાં અગાઉની તમામ લિંક્સ ઉપરની તરફ ધકેલાય છે, અને અન્ય પ્રોસેસરને કોમ્યુનિકેશન લિંકના અંત સુધી જોડવાથી તે બંડલના તળિયેની એક સાથે જોડાય છે અને અન્ય તમામને નીચે પૉપ કરે છે. આ સ્ટૅક વર્તણૂકને કારણે, એક જ બંડલ સંદેશાવ્યવહાર લિંક્સના સમૂહને સંભાળી શકે છે જે પુસ્તક એમ્બેડિંગમાં એક જ પૃષ્ઠની ધાર બનાવે છે. આ રીતે લિંક્સને ગોઠવીને, જ્યાં સુધી નેટવર્કને અમલમાં મૂકવા માટે પૂરતા બિન-ખામીયુક્ત પ્રોસેસરો રહે ત્યાં સુધી, કયા પ્રોસેસરો ખામીયુક્ત બની ગયા છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, વિવિધ નેટવર્ક ટોપોલોજીની વિશાળ વિવિધતા અમલમાં મૂકી શકાય છે. નેટવર્ક ટોપોલોજી જે આ સિસ્ટમ દ્વારા અમલમાં મૂકી શકાય છે તે બરાબર તે જ છે જેની બુક જાડાઈ ઉપલબ્ધ કરાવવામાં આવેલા બંડલ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે. બુક એમ્બેડિંગનો ઉપયોગ વીએલએસઆઈ ઘટકોને સર્કિટના સ્તરોમાં જોડતા વાયરના પ્લેસમેન્ટનું મોડેલ બનાવવા માટે પણ થઈ શકે છે. સ્ટેક્સ સૉર્ટિંગ અન્ય એપ્લિકેશન સ્ટેક્સનો ઉપયોગ કરીને ક્રમચયોને સૉર્ટ કરવાની ચિંતા દ્વારા ટાંકવામાં આવી છે. એક પ્રભાવશાળી પરિણામ દર્શાવે છે કે જે સિસ્ટમ ડેટા સ્ટ્રીમ પર પ્રક્રિયા કરે છે તે આવતા તત્વોને સ્ટેક પર દબાણ કરીને અને પછી, યોગ્ય રીતે પસંદ કરેલા સમયે, તેમને સ્ટેકમાંથી આઉટપુટ સ્ટ્રીમ પર પૉપ કરીને ડેટાને સૉર્ટ કરી શકે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના પ્રારંભિક ક્રમને ક્રમચય દ્વારા વર્ણવવામાં આવે જે ક્રમચય પેટર્નને ટાળે છે. ત્યારથી, સ્ટેક્સ અને કતારોની વધુ સામાન્ય સિસ્ટમો દ્વારા ડેટા સ્ટ્રીમ્સને સૉર્ટ કરવાની સમાન સમસ્યાઓ પર ઘણું કામ કરવામાં આવ્યું છે. દ્વારા ગણવામાં આવતી સિસ્ટમમાં, ઇનપુટ ડેટા સ્ટ્રીમમાંથી દરેક તત્વને ઘણા સ્ટેક્સમાંથી એક પર દબાણ કરવું આવશ્યક છે. પછી, એકવાર તમામ ડેટાને આ રીતે આગળ ધપાવવામાં આવે, પછી વસ્તુઓને આ સ્ટેક્સમાંથી (યોગ્ય ક્રમમાં) આઉટપુટ સ્ટ્રીમ પર પૉપ કરવામાં આવે છે. ચુંગ એટ અલ તરીકે. અવલોકન કરો, આપેલ ક્રમચયોને આ પ્રણાલી દ્વારા ત્યારે જ ક્રમબદ્ધ કરી શકાય છે જ્યારે ક્રમચયોમાંથી મેળવેલ ચોક્કસ આલેખમાં કરોડરજ્જુની સાથે ચોક્કસ નિશ્ચિત ક્રમમાં શિરોબિંદુઓ સાથે અને સંખ્યાબંધ પૃષ્ઠો સાથે એક પુસ્તક જડિત હોય જે મોટા ભાગના સમાન હોય. ટ્રાફિક નિયંત્રણ વર્ણવ્યા મુજબ, નિયંત્રિત આંતરછેદ પર ટ્રાફિક સિગ્નલના તબક્કાઓનું વર્ણન કરવા માટે પુસ્તક એમ્બેડિંગનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આંતરછેદ પર, ટ્રાફિકની આવનારી અને બહાર જતી લેન (રાહદારી ક્રોસવોક અને સાયકલ લેનના છેડા તેમજ મોટર વાહનો માટેની લેન સહિત) ને ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે પુસ્તકની કરોડરજ્જુ પર તેમની ઘડિયાળની દિશામાં ગોઠવાયેલી હોય છે. આવનારી લેનથી બહારની લેન સુધી જવા માટે ટ્રાફિક દ્વારા લેવામાં આવેલા આંતરછેદમાંથી પસાર થતા માર્ગોને દિશાહીન આલેખની ધાર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. દાખલા તરીકે, આ આલેખમાં ટ્રાફિકની આવનારી લેનની ધાર હોઈ શકે છે જે બંને રસ્તાના એક જ સેગમેન્ટની છે, જે તે સેગમેન્ટથી તે સેગમેન્ટમાં પાછા યુ-ટર્નનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જો જંક્શન પર યુ-ટર્નની મંજૂરી હોય તો જ. આ ધારોના આપેલ સબસેટ માટે, સબસેટ એ પાથના સંગ્રહને રજૂ કરે છે જે બધાને એકબીજાની દખલ વિના પસાર કરી શકાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સબસેટમાં કોઈ પણ જોડીની ધારનો સમાવેશ થતો નથી જે જો બે ધારને પુસ્તક એમ્બેડિંગના એક પૃષ્ઠમાં મૂકવામાં આવે તો પાર થશે. આમ, આ આલેખની પુસ્તક એમ્બેડિંગ પાથના બિન-હસ્તક્ષેપ ઉપગણમાં વિભાજનનું વર્ણન કરે છે, અને આ આલેખની પુસ્તકની જાડાઈ (કરોડરજ્જુ પર તેની નિશ્ચિત એમ્બેડિંગ સાથે) સિગ્નલિંગ શેડ્યૂલ માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછા અલગ તબક્કાઓની સંખ્યા આપે છે જેમાં જંકશનમાંથી પસાર થતા તમામ સંભવિત ટ્રાફિક પાથનો સમાવેશ થાય છે. નેટવર્ક ડેટાના વિઝ્યુલાઇઝેશનમાં ગ્રાફ ડ્રોઈંગ બુક એમ્બેડિંગ પણ વારંવાર લાગુ કરવામાં આવે છે. આલેખ રેખાંકનમાં બે પ્રમાણભૂત લેઆઉટ, ચાપ આકૃતિઓ અને ગોળાકાર લેઆઉટને પુસ્તક એમ્બેડિંગ તરીકે જોઈ શકાય છે, અને પુસ્તક એમ્બેડિંગને ક્લસ્ટર લેઆઉટ, એક સાથે એમ્બેડિંગ અને ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રાફ રેખાંકનોના નિર્માણમાં પણ લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. ચાપ આકૃતિ અથવા રેખીય એમ્બેડિંગ રેખા સાથે આલેખના શિરોબિંદુઓને સ્થાન આપે છે, અને આલેખની કિનારીઓને આ રેખાની ઉપર અથવા નીચે અર્ધવર્તુળ તરીકે ખેંચે છે, કેટલીકવાર તે રેખાના ભાગો પર કિનારીઓ દોરવાની પણ મંજૂરી આપે છે. આ ચિત્ર શૈલી એક પૃષ્ઠ (જો તમામ અર્ધવર્તુળો રેખાની ઉપર હોય તો) અથવા બે પૃષ્ઠો (જો રેખાની બંને બાજુઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો) સાથે પુસ્તક એમ્બેડિંગને અનુરૂપ છે, અને મૂળરૂપે આલેખની ક્રોસિંગ સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કરવાની રીત તરીકે રજૂ કરવામાં આવી હતી. સમતલીય આલેખ કે જેમાં બે પાનાનું પુસ્તક એમ્બેડિંગ ન હોય તે પણ સમાન રીતે દોરવામાં આવી શકે છે, તેમની ધારને રેખાની ઉપર અને નીચે બહુવિધ અર્ધવર્તુળો દ્વારા રજૂ કરવાની મંજૂરી આપીને. આવા ચિત્ર સામાન્ય વ્યાખ્યા દ્વારા સમાવિષ્ટ પુસ્તક નથી, પરંતુ તેને ટોપોલોજિકલ બુક એમ્બેડિંગ કહેવામાં આવે છે. દરેક સમતલીય આલેખ માટે, એવી એમ્બેડિંગ શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે જેમાં દરેક ધાર કરોડરજ્જુને વધુમાં વધુ એક વાર પાર કરે. અન્ય ચિત્ર શૈલીમાં, ગોળાકાર લેઆઉટ, આલેખના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર મૂકવામાં આવે છે અને ધાર વર્તુળની અંદર અથવા બહાર દોરવામાં આવે છે. ફરીથી, વર્તુળની અંદર ધારની ગોઠવણી (દાખલા તરીકે સીધી રેખાના ભાગો તરીકે) એક પાનાના પુસ્તક ચિત્રને અનુરૂપ છે, જ્યારે વર્તુળની અંદર અને બહારની ગોઠવણી બે પાનાના પુસ્તક ચિત્રને અનુરૂપ છે. કોઈપણ શૈલીના એક પાનાના રેખાંકનો માટે, રેખાંકનની દ્રશ્ય અવ્યવસ્થા ઘટાડવાના માર્ગ તરીકે ક્રોસિંગની સંખ્યા ઓછી રાખવી મહત્વપૂર્ણ છે. ક્રોસિંગની સંખ્યાને ઓછી કરવી એ એન. પી.-પૂર્ણ છે, પરંતુ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા ક્યાં છે તેના અંદાજિત ગુણોત્તર સાથે અંદાજિત કરી શકાય છે. એક-પાનું અથવા બે-પાનું ક્રોસિંગ નંબરને ન્યૂનતમ બનાવવો એ ફિક્સ્ડ-પેરામીટર ટ્રેક્ટેબલ છે જ્યારે આપેલ ગ્રાફના સાયક્લોમેટિક નંબર દ્વારા અથવા ક્રોસિંગ નંબર અને ગ્રાફની ત્રિ-પહોળાઈના સંયોજન દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે. ક્રોસિંગની જટિલતા ઘટાડવા માટે સંશોધનાત્મક પદ્ધતિઓ પણ તૈયાર કરવામાં આવી છે, જેમ કે. સાવચેતીપૂર્વક શિરોબિંદુ દાખલ કરવાના ક્રમમાં અને સ્થાનિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન પર. પૃષ્ઠોમાં ધારની નિશ્ચિત પાર્ટીશન સાથે બે પાનાની પુસ્તક એમ્બેડિંગને ક્લસ્ટર્ડ પ્લેનારીટીના સ્વરૂપ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જેમાં આપેલ ગ્રાફને એવી રીતે દોરવો આવશ્યક છે કે ગ્રાફના ભાગો (ધારના બે સબસેટ) ચિત્રમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે જે તેમના ક્લસ્ટરિંગને પ્રતિબિંબિત કરે. બે પાનાના પુસ્તક એમ્બેડિંગનો ઉપયોગ આલેખના એક સાથે એમ્બેડિંગ શોધવા માટે પણ કરવામાં આવ્યો છે, જેમાં બે આલેખ એક જ શિરોબિંદુ સમૂહ પર આપવામાં આવ્યા છે અને કોઈએ શિરોબિંદુઓ માટે પ્લેસમેન્ટ શોધવું આવશ્યક છે જેમાં બંને આલેખ સીધી ધાર સાથે સમતલ રીતે દોરવામાં આવ્યા છે. આલેખના ત્રિ-પરિમાણીય રેખાંકનો બનાવવા માટે બેથી વધુ પૃષ્ઠો ધરાવતી પુસ્તક એમ્બેડિંગનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. ખાસ કરીને, પુસ્તક એમ્બેડિંગ માટે બાંધકામનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે દરેક પૃષ્ઠની અંદર દરેક શિરોબિંદુની ડિગ્રીને ઓછી રાખે છે, ગ્રાફને ઓછા કદના ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રીડમાં એમ્બેડ કરવાની પદ્ધતિના ભાગ રૂપે. આર. એન. એ. ફોલ્ડિંગ આર. એન. એ. અણુઓ તેમની રચના બનાવવા માટે કેવી રીતે ફોલ્ડ થાય છે તેના અભ્યાસમાં, ન્યુક્લિક એસિડ ગૌણ માળખાના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને રેખાની સાથે દોરવામાં આવેલી પાયાની સાંકળ (આર. એન. એ. ક્રમ પોતે) તરીકે આકૃતિગત રીતે વર્ણવી શકાય છે, જેમાં માળખાના બેઝપેયરનું વર્ણન કરતી રેખા ઉપરની ચાપોનો સંગ્રહ છે. એટલે કે, આ માળખાઓ વાસ્તવમાં જટિલ ત્રિ-પરિમાણીય આકાર ધરાવે છે, તેમ છતાં તેમની જોડાણ (જ્યારે ગૌણ માળખું અસ્તિત્વમાં હોય) ને વધુ અમૂર્ત માળખા, એક પાનાનું પુસ્તક એમ્બેડિંગ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. જો કે, તમામ આર. એન. એ. ફોલ્ડ્સ આ સરળ રીતે વર્તે નહીં. કેટલાક આર. એન. એ. સ્યુડોકનોટ્સ માટે કહેવાતા "દ્વિ-ગૌણ માળખા" નો પ્રસ્તાવ મૂક્યો છે જે બે પાનાના પુસ્તક એમ્બેડિંગનું સ્વરૂપ લે છેઃ આર. એન. એ. ક્રમ ફરીથી એક રેખા સાથે દોરવામાં આવે છે, પરંતુ બેઝપેયર્સ આ રેખા ઉપર અને નીચે બંને ચાપ તરીકે દોરવામાં આવે છે. દ્વિ-ગૌણ માળખું રચવા માટે, આલેખમાં મહત્તમ ત્રણ ડિગ્રી હોવી આવશ્યક છેઃ દરેક આધાર આધાર ક્રમમાં તેના પડોશીઓ સાથેની બે કડીઓ ઉપરાંત, આકૃતિના માત્ર એક ચાપમાં ભાગ લઈ શકે છે. આ રચનાના ફાયદાઓમાં એ હકીકતોનો સમાવેશ થાય છે કે તે એવી રચનાઓને બાકાત રાખે છે જે વાસ્તવમાં અવકાશમાં ગૂંથેલી હોય છે, અને તે મોટાભાગના જાણીતા આર. એન. એ. સ્યુડોકનોટ્સ સાથે મેળ ખાય છે. કારણ કે સ્પાઇન ઓર્ડરિંગ આ એપ્લિકેશન માટે અગાઉથી જાણીતું છે, આપેલ બેઝપેયરિંગ માટે દ્વિ-માધ્યમિક માળખાના અસ્તિત્વ માટે પરીક્ષણ સરળ છે. સુસંગત રીતે બે પૃષ્ઠોને ધાર સોંપવાની સમસ્યાને ક્યાં તો 2-સંતોષના ઉદાહરણ તરીકે અથવા વર્તુળ આલેખની દ્વિપક્ષીતા ચકાસવાની સમસ્યા તરીકે ઘડી શકાય છે, જેના શિરોબિંદુઓ બેઝપેયર છે અને જેની ધાર બેઝપેયર વચ્ચેના ક્રોસિંગનું વર્ણન કરે છે. વૈકલ્પિક રીતે અને વધુ અસરકારક રીતે, બતાવ્યા પ્રમાણે, દ્વિ-ગૌણ માળખું અસ્તિત્વમાં હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ઇનપુટનો આકૃતિ આલેખ (પાયાને તેમના ક્રમ ક્રમમાં ચક્રમાં જોડીને અને આપેલ આધાર જોડીને ધાર તરીકે ઉમેરીને રચાયેલો આલેખ) એક સમતલીય આલેખ હોય. આ લાક્ષણિકતા દ્વિ-માધ્યમિક માળખાને રેખીય સમયમાં સમતુલા પરીક્ષણના ઉદાહરણ તરીકે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. આર. એન. એ. ગૌણ માળખાની સરખામણીમાં ચોક્કસ સમસ્યાઓની એન. પી.-કઠોરતાના પુરાવાના ભાગ રૂપે ગૌણ માળખાઓ અને પુસ્તક એમ્બેડિંગ્સ વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કર્યો. અને જો આર. એન. એ. માળખું દ્વિ-માધ્યમિકને બદલે તૃતીય હોય (એટલે કે, જો તેને તેની આકૃતિમાં બેથી વધુ પૃષ્ઠોની જરૂર હોય), તો પૃષ્ઠ સંખ્યા નક્કી કરવી ફરીથી એન. પી.-હાર્ડ છે. કોમ્પ્યુટેશનલ કોમ્પ્લેક્સિટી થિયરીએ નિર્દેશિત આલેખમાં પહોંચવાની સમસ્યાના કોમ્પ્યુટેશનલ કોમ્પ્લેક્સિટી થિયરીનો અભ્યાસ કરવા માટે પુસ્તક એમ્બેડિંગનો ઉપયોગ કર્યો હતો. જેમ તેઓએ અવલોકન કર્યું છે તેમ, બે પાનાના નિર્દેશિત આલેખ માટેની સુલભતાને અસંદિગ્ધ લઘુગણક અવકાશમાં ઉકેલી શકાય છે (સમરૂપ, લઘુગણક અવકાશ જટિલતા માટે, અસંદિગ્ધ બહુપદી-સમય સમસ્યાઓના વર્ગ યુપીનું). જો કે, ત્રણ પાનાના નિર્દેશિત આલેખ માટે સુલભતા માટે બિનનિર્ધારિત લઘુગણક જગ્યાની સંપૂર્ણ શક્તિની જરૂર પડે છે. આમ, પુસ્તક એમ્બેડિંગ આ બે જટિલતા વર્ગો વચ્ચેના તફાવત સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલું લાગે છે. એક-ટેપ બિન-નિર્ધારિત ટ્યુરિંગ મશીનો દ્વારા બે-ટેપ બિન-નિર્ધારિત ટ્યુરિંગ મશીનોની કોઈ સબક્વાડ્રેટિક-ટાઇમ સિમ્યુલેશન નથી તે સાબિત કરવા માટે સતત પૃષ્ઠ સંખ્યા સાથે વિસ્તરણ આલેખનું અસ્તિત્વ એ મુખ્ય પગલું છે. ગણિતના અન્ય ક્ષેત્રો અમૂર્ત બીજગણિતમાં પુસ્તકની જાડાઈના ઉપયોગોનો અભ્યાસ કરે છે, જેમાં દરેક શૂન્ય વિભાજક માટે શિરોબિંદુ અને મૂલ્યોની દરેક જોડી માટે ધાર બનાવીને મર્યાદિત સ્થાનિક વીંટીના શૂન્ય વિભાજકમાંથી વ્યાખ્યાયિત આલેખનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેની ઉપજ શૂન્ય હોય છે. મલ્ટી-પેપર ક્રમમાં, ડાયનિકોવે ગાંઠો અને કડીઓના ટોપોલોજિકલ પુસ્તક એમ્બેડિંગનો અભ્યાસ કર્યો છે, જે દર્શાવે છે કે આ એમ્બેડિંગને પ્રતીકોના સંયુક્ત ક્રમ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે અને બે કડીઓની ટોપોલોજિકલ સમાનતા એમ્બેડિંગમાં સ્થાનિક ફેરફારોના ક્રમ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. સંદર્ભો ટોપોલોજીકલ આલેખ સિદ્ધાંત