Harris chain
સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક અભ્યાસમાં, હેરિસ સાંકળ એ માર્કોવ સાંકળ છે જ્યાં સાંકળ રાજ્ય જગ્યાના ચોક્કસ ભાગમાં અમર્યાદિત સંખ્યામાં પરત આવે છે. હેરિસ સાંકળો પુનઃજનન પ્રક્રિયાઓ છે અને તેનું નામ થિયોડોર હેરિસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. હેરિસ સાંકળો અને હેરિસ પુનરાવૃત્તિનો સિદ્ધાંત માર્કોવ સાંકળોને સામાન્ય (સંભવતઃ અગણિત અનંત) સ્થિતિ જગ્યાઓ પર સારવાર માટે ઉપયોગી છે. વ્યાખ્યા ચાલો સ્ટોકેસ્ટિક કર્નલ સાથે સામાન્ય સ્થિતિ જગ્યા પર માર્કોવ સાંકળ હોઈએ. કર્નલ સામાન્યીકૃત એક-પગલાના સંક્રમણ સંભાવના કાયદાને રજૂ કરે છે, જેથી તમામ સ્થિતિઓ અને તમામ માપી શકાય તેવા સમૂહો માટે. જો અસ્તિત્વમાં હોય તો સાંકળ એ હેરિસ સાંકળ છે, અને સંભાવનાને એવી રીતે માપવામાં આવે છે કે જો, તો બધા માટે. જો અને (ક્યાં માપી શકાય તેવું છે), તો પછી. વ્યાખ્યાનો પ્રથમ ભાગ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે સાંકળ ક્યાંથી શરૂ થાય છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના સંભાવના 1 સાથે અમુક સ્થિતિમાં પરત આવે છે. તે અનુસરે છે કે તે અનંત વાર (સંભાવના 1 સાથે) રાજ્યની મુલાકાત લે છે. બીજો ભાગ સૂચવે છે કે એકવાર માર્કોવ સાંકળ રાજ્યમાં આવી જાય પછી, તેની આગામી સ્થિતિ સ્વતંત્ર બર્નૌલી સિક્કા પલટીની મદદથી પેદા કરી શકાય છે. આ જોવા માટે, પ્રથમ નોંધ લો કે પરિમાણ 0 અને 1 ની વચ્ચે હોવું જોઈએ (આ વ્યાખ્યાના બીજા ભાગને સમૂહ પર લાગુ કરીને બતાવી શકાય છે). હવે ચાલો એક મુદ્દો બનીએ અને ધારો. આગામી રાજ્ય પસંદ કરવા માટે, સ્વતંત્ર રીતે સફળતાની સંભાવના સાથે પક્ષપાતી સિક્કાને ફેરવો. જો સિક્કાની ફેરબદલી સફળ થાય, તો સંભાવના માપ અનુસાર આગામી સ્થિતિ પસંદ કરો. નહિંતર (અને જો), માપ અનુસાર આગામી સ્થિતિ પસંદ કરો (બધા માપી શકાય તેવા ઉપગણ માટે વ્યાખ્યાયિત). બે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ અને જે સમાન સંભાવના કાયદો ધરાવે છે અને ઉપરની વ્યાખ્યા અનુસાર હેરિસ સાંકળો છે તેને નીચે પ્રમાણે જોડી શકાય છેઃ ધારો કે તે અને, ક્યાં અને તેમાં બિંદુઓ છે. બંને પ્રક્રિયાઓની આગલી સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે સમાન સિક્કા ફેરવવાનો ઉપયોગ કરીને, તે અનુસરે છે કે આગામી સ્થિતિઓ ઓછામાં ઓછી સંભાવના સાથે સમાન છે. ઉદાહરણો ઉદાહરણ 1: ગણતરી કરી શકાય તેવી સ્થિતિ જગ્યા ω એ ગણતરી કરી શકાય તેવી સ્થિતિ જગ્યા છે. કર્નલ K ને x માટે એક-પગલાની શરતી સંક્રમણ સંભાવનાઓ P [Xn + 1 = y | Xn = x] દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. માપ ρ એ સ્થિતિઓ પર પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન છે, જેથી તમામ x ω માટે ρ (x) ω0, અને ρ (x) પ્રોબેબીલીટીનો સરવાળો એક બરાબર છે. ધારો કે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા આપેલ સમૂહ A′ ′ ′ ′ અને આપેલ પરિમાણ ε> 0 માટે સંતુષ્ટ છે. પછી P [Xn + 1 = c | Xn = x] ≤ ερ (c) બધા x ω A અને બધા c ω માટે. ઉદાહરણ 2: સતત ઘનતા ધરાવતી સાંકળો ધારો કે {Xn}, Xn bul Rd એ કર્નલ સાથેની માર્કોવ સાંકળ છે જે લેબસ્ગ્યુ માપના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણપણે સતત છેઃ K (x, dy) = K (x, y) dy કે જેથી K (x, y) એ સતત કાર્ય છે. (x0, y0) એવી રીતે પસંદ કરો કે જેથી K (x0, y0)> 0 હોય, અને A અને ω અનુક્રમે x0 અને y0 ધરાવતા ખુલ્લા સમૂહો હોય જે પૂરતા પ્રમાણમાં નાના હોય જેથી A × ω પર K (x, y) ≤ ε> 0 હોય. ρ (C) = |Ω θC |/|Ω | જ્યાં |Ω | એ ω નું લેબસ્ગ્યુ માપ છે, આપણી પાસે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં તે (2) છે. જો (1) ધરાવે છે, તો {Xn} એ હેરિસ સાંકળ છે. નીચેનામાં ઘટાડો અને સમયાંતરે; એટલે કે. સમય 0 પછી પ્રથમ વખત પ્રક્રિયા પ્રદેશમાં પ્રવેશ કરે છે. ચાલો માર્કોવ સાંકળના પ્રારંભિક વિતરણને સૂચવીએ, એટલે કે. . વ્યાખ્યાઃ જો બધા માટે, તો પછી હેરિસ સાંકળને રિકરન્ટ કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યાઃ પુનરાવર્તિત હેરિસ સાંકળ અપેરિયોડિક હોય છે જો, એવું હોય કે, પ્રમેયઃ સ્થિર વિતરણ સાથે અપેરિયોડિક પુનરાવર્તિત હેરિસ સાંકળ હોવી જોઈએ. જો પછી તરીકે, જ્યાં સમાન માપી શકાય તેવી જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત હસ્તાક્ષરિત પગલાં માટે કુલ તફાવત સૂચવે છે. સંદર્ભો માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ