Poincaré metric
ગણિતમાં, હેનરી પોઇનકેરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ પોઇનકેર મેટ્રિક એ મેટ્રિક ટેન્સર છે જે સતત નકારાત્મક વળાંકની દ્વિ-પરિમાણીય સપાટીનું વર્ણન કરે છે. તે કુદરતી મેટ્રિક છે જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે હાયપરબોલિક ભૂમિતિ અથવા રીમાન સપાટીઓમાં વિવિધ ગણતરીઓમાં થાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં સામાન્ય રીતે ત્રણ સમકક્ષ રજૂઆતો વપરાય છે. એક પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલ છે, જે ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર હાયપરબોલિક જગ્યાના મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ એકમ ડિસ્ક પર હાયપરબોલિક જગ્યા માટે એક મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ડિસ્ક અને ઉપલા અડધા સમતલ એક અનુરૂપ નકશા દ્વારા સંબંધિત છે, અને સમપ્રમાણતા મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજું પ્રતિનિધિત્વ પંચર ડિસ્ક પર હોય છે, જ્યાં ક્યારેક q-એનાલોગ માટેના સંબંધો વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ વિવિધ સ્વરૂપોની નીચે સમીક્ષા કરવામાં આવી છે. રીમાન સપાટીઓ પરના મેટ્રિક્સની ઝાંખી જટિલ સપાટી પરના મેટ્રિકને સામાન્ય રીતે તે સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં λ એ અને નું વાસ્તવિક, હકારાત્મક કાર્ય છે. જટિલ સમતલમાં વળાંક γ ની લંબાઈ આમ દ્વારા આપવામાં આવે છે જટિલ સમતલના સબસેટનું ક્ષેત્રફળ વોલ્યુમ સ્વરૂપ બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા બાહ્ય ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે. મેટ્રિકનો નિર્ધારક બરાબર છે, તેથી નિર્ધારકનો વર્ગમૂળ છે. પ્લેન પર યુક્લિડિયન વોલ્યુમ સ્વરૂપ છે અને તેથી એક પાસે A ફંક્શન છે જે મેટ્રિકની પોટેન્શિયલ કહેવાય છે જો લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર મેટ્રિક દ્વારા આપવામાં આવે તો આ વળાંક રિક્કી સ્કેલર વળાંકનો અડધો ભાગ છે. આઇસોમેટ્રીઝ ખૂણા અને ચાપ-લંબાઈને જાળવી રાખે છે. રીમાન સપાટીઓ પર, આઇસોમેટ્રી કોઓર્ડિનેટના ફેરફારો સમાન હોય છેઃ એટલે કે, લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટર અને વક્રતા બંને આઇસોમેટ્રી હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે. આમ, ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો S મેટ્રિક સાથે રીમાન સપાટી હોય અને T મેટ્રિક સાથે રીમાન સપાટી હોય. પછી જો અને માત્ર જો તે અનુરૂપ હોય અને જો સાથેનો નકશો આઇસોમેટ્રી છે. અહીં, નકશો અનુરૂપ હોવાની જરૂરિયાત નિવેદન સિવાય બીજું કંઈ નથી, એટલે કે પોઇનકેરે પ્લેન પર મેટ્રિક અને વોલ્યુમ તત્વ પોઇનકેરે હાફ-પ્લેન મોડેલમાં પોઇનકેરે મેટ્રિક ટેન્સર ઉપલા હાફ-પ્લેન એચ પર આપવામાં આવે છે જ્યાં આપણે લખીએ છીએ અને. આ મેટ્રિક ટેન્સર SL (2, R) ની ક્રિયા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. એટલે કે, જો આપણે તેના માટે લખીએ તો આપણે તેના પર કામ કરી શકીએ છીએ અને અનંત રૂપાંતર થાય છે અને આમ તે સ્પષ્ટ કરે છે કે મેટ્રિક ટેન્સર SL (2, R) હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. ખરેખર, અપરિવર્તનશીલ કદ તત્વ દ્વારા આપવામાં આવે છે મેટ્રિક દ્વારા આપવામાં આવે છે મેટ્રિકનું બીજું રસપ્રદ સ્વરૂપ ક્રોસ-રેશિયોના સંદર્ભમાં આપી શકાય છે. કોઈપણ ચાર બિંદુઓને જોતાં અને કોમ્પેક્ટિફાઇડ કોમ્પ્લેક્સ પ્લેનમાં ક્રોસ-રેશિયો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે પછી મેટ્રિક અહીં દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પર, જીઓડેસિક જોડાણના અંતિમ બિંદુઓ છે અને. આને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે જેથી તે અને વચ્ચે હોય. આ મેટ્રિક ટેન્સર માટે ભૂગણિત વાસ્તવિક અક્ષને લંબરૂપ ગોળાકાર ચાપ (અર્ધ-વર્તુળો કે જેનું મૂળ વાસ્તવિક અક્ષ પર હોય છે) અને વાસ્તવિક અક્ષ પર સમાપ્ત થતી સીધી ઊભી રેખાઓ છે. પ્લેનથી ડિસ્કનો અનૌપચારિક નકશો ઉપલા અડધા પ્લેનને મોબિયસ ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે યુનિટ ડિસ્ક સાથે અનુરૂપ રીતે મેપ કરી શકાય છે જ્યાં ડબલ્યુ એ યુનિટ ડિસ્ક પરનું બિંદુ છે જે ઉપલા અડધા પ્લેનમાં બિંદુ ઝેડને અનુરૂપ છે. આ નકશામાં, અચળાંક z0 ઉપલા અડધા સમતલમાં કોઈપણ બિંદુ હોઈ શકે છે; તે ડિસ્કના કેન્દ્રમાં મેપ કરવામાં આવશે. વાસ્તવિક અક્ષ એકમ ડિસ્કની ધાર પર નકશો બનાવે છે અચળ વાસ્તવિક સંખ્યાનો ઉપયોગ મનસ્વી નિશ્ચિત રકમ દ્વારા ડિસ્કને ફેરવવા માટે કરી શકાય છે. કેનોનિકલ મેપિંગ એ છે જે i ને ડિસ્કના કેન્દ્રમાં અને 0 ને ડિસ્કના તળિયે લઈ જાય છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક પર મેટ્રિક અને વોલ્યુમ એલિમેન્ટ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલમાં પોઇનકેરે મેટ્રિક ટેન્સર ઓપન યુનિટ ડિસ્ક પર આપવામાં આવે છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક પર જિયોડેસિક પ્રવાહો એનોસોવ પ્રવાહો છે; તે લેખ આવા પ્રવાહો માટે સંકેત વિકસાવે છે. પંક્ચર્ડ ડિસ્ક મોડેલ ડિસ્કમાં ઉપલા અર્ધ-સમતલનું બીજું સામાન્ય મેપિંગ એ q-મેપિંગ છે જ્યાં q એ નામ છે અને τ એ અર્ધ-સમયગાળાનો ગુણોત્તર છેઃ અગાઉના વિભાગોના સંકેતલિપીમાં, τ એ ઉપલા અર્ધ-સમતલમાં સંકલન છે. મેપિંગ પંચર ડિસ્ક પર છે, કારણ કે મૂલ્ય q = 0 નકશાની છબીમાં નથી. ઉપલા અર્ધ-સમતલ પર પોઇનકેયર મેટ્રિક q-ડિસ્ક પર મેટ્રિકને પ્રેરિત કરે છે મેટ્રિકની ક્ષમતા શ્વાર્ઝ લેમ્મા છે પોઇનકેયર મેટ્રિક હાર્મોનિક કાર્યો પર અંતર ઘટાડી રહ્યું છે. આ શ્વાર્ઝ લેમ્માનું વિસ્તરણ છે, જેને શ્વાર્ઝ-અહલ્ફોર્સ-પિક પ્રમેય કહેવાય છે. ફ્યુશિયન જૂથ ફ્યુશિયન મોડેલ ક્લેનિયન જૂથ પોઇનકેરે ડિસ્ક મોડેલ પોઇનકેરે અર્ધ-પ્લેન મોડેલ પ્રાઇમ જીઓડેસિક સંદર્ભો હર્શેલ એમ. ફારકાસ અને ઇર્વિન ક્રા, રીમેન સપાટીઓ (1980), સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, ન્યૂ યોર્ક પણ જુઓ. . જુર્ગેન જોસ્ટ, કોમ્પેક્ટ રીમાન સર્ફેસ (2002), સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, ન્યૂ યોર્ક. (વિભાગ 2.3 જુઓ). સ્વેત્લાના કાટોક, ફ્યુશિયન ગ્રૂપ્સ (1992), યુનિવર્સિટી ઓફ શિકાગો પ્રેસ, શિકાગો (એક સરળ, સરળતાથી વાંચી શકાય તેવો પરિચય પૂરો પાડે છે.) અનૌપચારિક ભૂમિતિ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ રીમાનિયન ભૂમિતિ રીમાન સપાટીઓ મેટ્રિક