Lattice of subgroups
ગણિતમાં, જૂથના પેટા જૂથોની જાળી એ જાળી છે જેના ઘટકો પેટા જૂથો છે, જેમાં આંશિક ક્રમ સંબંધનો સમાવેશ કરવામાં આવે છે. આ જાળીમાં, બે પેટાજૂથોનું જોડાણ એ તેમના જોડાણ દ્વારા પેદા થયેલ પેટાજૂથ છે, અને બે પેટાજૂથોનું મિલન એ તેમનું આંતરછેદ છે. ઉદાહરણ ડાયહેડ્રલ જૂથ દિહ 4 માં દસ પેટાજૂથો છે, જે પોતે અને તુચ્છ પેટાજૂથોની ગણતરી કરે છે. આઠ જૂથ તત્વોમાંથી પાંચ ક્રમ બે ના પેટાજૂથો પેદા કરે છે, અને અન્ય બે બિન-ઓળખ તત્વો બંને ક્રમ ચારના સમાન ચક્રીય પેટાજૂથો પેદા કરે છે. વધુમાં, Z2 × Z2 સ્વરૂપના બે પેટાજૂથો છે, જે ક્રમ-બે તત્વોની જોડી દ્વારા પેદા થાય છે. આ દસ પેટા જૂથો દ્વારા રચાયેલી જાળી ચિત્રમાં દર્શાવવામાં આવી છે. આ ઉદાહરણ એ પણ દર્શાવે છે કે જૂથના તમામ પેટાજૂથોની જાળી સામાન્ય રીતે મોડ્યુલર જાળી નથી. ખરેખર, આ ચોક્કસ જાળીમાં સબલેટિસ તરીકે પ્રતિબંધિત "પંચકોણ" N5 છે. ગુણ A ≤ C (C નું પેટા જૂથ) ધરાવતા જૂથના કોઈપણ A, B અને C પેટા જૂથો માટે પછી AB ≤ C = A (B ≤ C); અહીં ગુણાકાર એ પેટા જૂથોનું ગુણાકાર છે. આ ગુણધર્મને જૂથોની મોડ્યુલર મિલકત અથવા (ડેડેકાઇન્ડનો) મોડ્યુલર કાયદો (,) કહેવામાં આવે છે. બે સામાન્ય પેટાજૂથો માટે ઉત્પાદન વાસ્તવમાં બે ધરાવતું સૌથી નાનું પેટાજૂથ હોવાથી, સામાન્ય પેટાજૂથો મોડ્યુલર જાળી બનાવે છે. લેટીસ પ્રમેય જૂથના પેટાજૂથોના જાળી અને તેના ભાગ વચ્ચેના ગેલોઇસ જોડાણને સ્થાપિત કરે છે. ઝાસેનહૌસ લેમ્મા પેટા જૂથોના જાળીમાં ગુણોત્તર અને ઉત્પાદનોના ચોક્કસ સંયોજનો વચ્ચે સમરૂપતા આપે છે. સામાન્ય રીતે, પેટા જૂથોના જાળીના આકાર પર કોઈ પ્રતિબંધ નથી, એ અર્થમાં કે દરેક જાળી અમુક જૂથના પેટા જૂથના જાળીના પેટા જાળી માટે સમરૂપ છે. વધુમાં, દરેક મર્યાદિત જાળી અમુક મર્યાદિત જૂથના પેટા જૂથ જાળીના પેટા જાળી માટે સમરૂપ છે. લાક્ષણિક જાળીઓ ચોક્કસ ગુણધર્મો ધરાવતા પેટાજૂથો જાળીઓ બનાવે છે, પરંતુ અન્ય ગુણધર્મો નથી. સામાન્ય પેટાજૂથો હંમેશા મોડ્યુલર જાળી બનાવે છે. હકીકતમાં, આવશ્યક ગુણધર્મ જે બાંહેધરી આપે છે કે જાળી મોડ્યુલર છે તે એ છે કે પેટાજૂથો એકબીજા સાથે મુસાફરી કરે છે, એટલે કે. કે તેઓ ક્વાસીનોર્મલ પેટા જૂથો છે. નિલપોટેન્ટ સામાન્ય પેટાજૂથો એક જાળી બનાવે છે, જે ફિટિંગના પ્રમેયની સામગ્રીનો (ભાગ) છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણ ફિટિંગ વર્ગ એફ માટે, બંને સબ-નોર્મલ એફ-પેટાજૂથો અને સામાન્ય એફ-પેટાજૂથો જાળી બનાવે છે. આમાં નીલપોટેન્ટ જૂથોના વર્ગ એફ સાથે ઉપરોક્ત, તેમજ ઉકેલવા યોગ્ય જૂથોના વર્ગ એફ જેવા અન્ય ઉદાહરણોનો સમાવેશ થાય છે. જૂથોના વર્ગને ફિટિંગ ક્લાસ કહેવામાં આવે છે જો તે આઇસોમોર્ફિઝમ, સબનોર્મલ પેટાજૂથો અને સબનોર્મલ પેટાજૂથોના ઉત્પાદનો હેઠળ બંધ હોય. કેન્દ્રીય પેટાજૂથો જાળી બનાવે છે. જો કે, ન તો મર્યાદિત પેટાજૂથો કે ન તો વળાંકવાળા પેટાજૂથો જાળી બનાવે છેઃ દાખલા તરીકે, મુક્ત ઉત્પાદન બે વળાંકવાળા તત્વો દ્વારા પેદા થાય છે, પરંતુ તે અનંત છે અને તેમાં અનંત ક્રમના તત્વો હોય છે. હકીકત એ છે કે સામાન્ય પેટાજૂથો મોડ્યુલર જાળી બનાવે છે તે વધુ સામાન્ય પરિણામનો એક ચોક્કસ કેસ છે, એટલે કે કોઈપણ માલ્ટસેવ વિવિધતામાં (જેમાંથી જૂથો એક ઉદાહરણ છે), એકરૂપતાનું જાળી મોડ્યુલર છે. જૂથોને તેમના પેટા જૂથ જાળી દ્વારા લાક્ષણિકતા આપવી પેટા જૂથોની જાળી વિશેની જાળી સૈદ્ધાંતિક માહિતીનો ઉપયોગ કેટલીકવાર મૂળ જૂથ વિશેની માહિતીને અનુમાન કરવા માટે થઈ શકે છે, એક વિચાર જે તેમના કાર્ય પર પાછા જાય છે. દાખલા તરીકે, ઓરેએ સાબિત કર્યું છે તેમ, જૂથ સ્થાનિક રીતે ચક્રીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની પેટાજૂથોની જાળી વિતરણક્ષમ હોય. જો વધુમાં જાળી ચડતી સાંકળની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો જૂથ ચક્રીય છે. જે જૂથોની પેટાજૂથોની જાળી પૂરક જાળી હોય તેમને પૂરક જૂથો કહેવામાં આવે છે, અને જે જૂથોની પેટાજૂથોની જાળી મોડ્યુલર જાળી હોય તેમને ઇવાસાવા જૂથો અથવા મોડ્યુલર જૂથો કહેવામાં આવે છે. આ પ્રકારના જાળી-સૈદ્ધાંતિક લાક્ષણિકતાઓ ઉકેલવા યોગ્ય જૂથો અને સંપૂર્ણ જૂથો માટે પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બુલમાં રાલ્ફ ફ્રીઝ દ્વારા સંદર્ભોની સમીક્ષા. એએમએસ 33 (4): 487-492. બાહ્ય કડીઓ પેટા જૂથોની જાળી પર પ્લેનેટમેથ એન્ટ્રી ઉદાહરણ તરીકેઃ સમપ્રમાણ જૂથના પેટા જૂથોની જાળી S4 જાળી સિદ્ધાંત જૂથ સિદ્ધાંત