Narrow class group
બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, સંખ્યા ક્ષેત્ર K નું સાંકડી વર્ગ જૂથ એ K ના વર્ગ જૂથનું શુદ્ધિકરણ છે જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં K ના એમ્બેડિંગ વિશેની કેટલીક માહિતીને ધ્યાનમાં લે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ધારો કે K એ Q નું મર્યાદિત વિસ્તરણ છે. યાદ કરો કે K ના સામાન્ય વર્ગ જૂથને ભાગાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં IK એ K ના અપૂર્ણાંક આદર્શોનું જૂથ છે, અને PK એ K ના મુખ્ય અપૂર્ણાંક આદર્શોનું પેટા જૂથ છે, એટલે કે, aOK સ્વરૂપના આદર્શો જ્યાં a એ K નું તત્વ છે. સાંકડા વર્ગ જૂથને ભાગાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં હવે PK + એ K ના સંપૂર્ણપણે હકારાત્મક મુખ્ય અપૂર્ણાંક આદર્શોનું જૂથ છે; એટલે કે, aOK સ્વરૂપના આદર્શો જ્યાં a એ K નું એક તત્વ છે જેમ કે દરેક એમ્બેડિંગ ઉપયોગો માટે σ (a) હકારાત્મક છે. એક ઉદાહરણ નીચેનું પરિણામ છે (ફ્રેહ્લિચ અને ટેલર, પ્રકરણ V, પ્રમેય 1.25). પ્રમેય. ધારો કે જ્યાં d એ વર્ગ-મુક્ત પૂર્ણાંક છે, અને K નું સાંકડી વર્ગ જૂથ તુચ્છ છે. ધારો કે તે K ના પૂર્ણાંકોની વીંટી માટેનો આધાર છે. એક દ્વિઘાત સ્વરૂપને વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં NK/Q એ ધોરણ છે. પછી અમુક પૂર્ણાંકો x અને y માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા p એ સ્વરૂપમાં હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ અથવા જ્યાં dK એ K નો ડિસ્ક્રિમિનન્ટ હોય, અને લિજેન્ડર પ્રતીક સૂચવે. ઉદાહરણો ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ સાબિત કરી શકે છે કે ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રો Q (), Q (), Q () બધા તુચ્છ સાંકડા વર્ગ જૂથ ધરાવે છે. પછી, આ દરેક ક્ષેત્રોના પૂર્ણાંકો માટે યોગ્ય પાયા પસંદ કરીને, ઉપરોક્ત પ્રમેય નીચે મુજબ સૂચવે છેઃ પૂર્ણાંકો x અને y માટે એક અવિભાજ્ય p એ p = x2 + y અને 2 સ્વરૂપનું હોય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ (આ બે વર્ગના સરવાળા પર ફર્માટના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે). એક અવિભાજ્ય p એ પૂર્ણાંકો x અને y માટે p = x2 − 2y અને હેરસ્પ; 2 સ્વરૂપનું હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો A અવિભાજ્ય p એ પૂર્ણાંકો x અને y માટે p = x2 − xy + y અને હેરસ્પ; 2 સ્વરૂપનું હોય જો અને માત્ર જો (cf. આઇઝેનસ્ટીન પ્રાઇમ) એક ઉદાહરણ જે સાંકડા વર્ગ જૂથ અને સામાન્ય વર્ગ જૂથ વચ્ચેના તફાવતને સમજાવે છે તે Q () નો કેસ છે. આમાં તુચ્છ વર્ગ જૂથ છે, પરંતુ તેના સાંકડા વર્ગ જૂથમાં ક્રમ 2 છે. કારણ કે વર્ગ જૂથ તુચ્છ છે, નીચેનું નિવેદન સાચું છેઃ એક મુખ્ય p અથવા તેનો વ્યસ્ત − p પૂર્ણાંકો x અને y માટે ± p = x2 − 6y & હેરસ્પ; 2 સ્વરૂપનું છે જો અને માત્ર જો. હકારાત્મક p ને વર્ગીકૃત કરતું નિવેદન નીચે મુજબ છેઃ પૂર્ણાંકો x અને y માટે અવિભાજ્ય p એ p = x2 − 6y અને હેરસ્પ; 2 સ્વરૂપનું હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો p = 3 અથવા (જ્યારે પ્રથમ નિવેદન અવિભાજ્યને મંજૂરી આપે છે, તો બીજું માત્ર અવિભાજ્યને મંજૂરી આપે છે.) વર્ગ જૂથ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સંદર્ભો એ. ફ્રોલિચ અને એમ. જે. ટેલર, બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત (પૃષ્ઠ 180), કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1991 પણ જુઓ. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત