Linear group
ગણિતમાં, મેટ્રિક્સ જૂથ એ G જૂથ છે જેમાં મેટ્રિક્સ ગુણાકારની કામગીરી સાથે ચોક્કસ ક્ષેત્ર K પર ઉલટાવી શકાય તેવા મેટ્રિક્સનો સમાવેશ થાય છે. રેખીય જૂથ એ એક જૂથ છે જે મેટ્રિક્સ જૂથ માટે સમરૂપ છે (એટલે કે, K પર વફાદાર, મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆત સ્વીકારવી). કોઈપણ મર્યાદિત જૂથ રેખીય હોય છે, કારણ કે તે કેલેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ક્રમચય મેટ્રિક્સ દ્વારા અનુભવી શકાય છે. અનંત જૂથોમાં, રેખીય જૂથો એક રસપ્રદ અને વ્યવહારુ વર્ગ બનાવે છે. રેખીય ન હોય તેવા જૂથોના ઉદાહરણોમાં એવા જૂથોનો સમાવેશ થાય છે જે "ખૂબ મોટા" હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, અનંત સમૂહના ક્રમચયોના જૂથ), અથવા જે કેટલાક રોગવિષયક વર્તનનું પ્રદર્શન કરે છે (ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અનંત વળાંક જૂથો). વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત ઉદાહરણો A જૂથ G ને રેખીય કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કોઈ ક્ષેત્ર K, એક પૂર્ણાંક d અને G થી સામાન્ય રેખીય જૂથ GLd (K) (પરિમાણ d પર K ની વફાદાર રેખીય રજૂઆત) માટે ઇન્જેક્ટીવ હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોયઃ જો જરૂરી હોય તો G એ K પર ડિગ્રી d ની રેખીય છે એમ કહીને ક્ષેત્ર અને પરિમાણનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે. મૂળભૂત ઉદાહરણો એવા જૂથો છે જેને રેખીય જૂથના પેટાજૂથો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ જૂથ GLn (K) પોતે; વિશેષ રેખીય જૂથ SLn (K) (નિર્ધારક 1 સાથે મેટ્રિસીસનો પેટાજૂથો); ઉલટાવી શકાય તેવા ઉપલા (અથવા નીચલા) ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસનો સમૂહ. જૂઠ જૂથોના અભ્યાસમાં, જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં વિશ્વાસુપણે રજૂ કરી શકાય તેવા જૂઠ જૂથો તરફ ધ્યાન મર્યાદિત કરવું કેટલીકવાર શૈક્ષણિક રીતે અનુકૂળ હોય છે. (કેટલાક લેખકો માટે જરૂરી છે કે જૂથને GLn (C) ના બંધ પેટાજૂથ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે.) આ અભિગમને અનુસરતા પુસ્તકોમાં હોલ (2015) અને રોસમેન (2002) નો સમાવેશ થાય છે. રેખીય જૂથોના વર્ગો શાસ્ત્રીય જૂથો અને સંબંધિત ઉદાહરણો કહેવાતા શાસ્ત્રીય જૂથો ઉપરના ઉદાહરણો 1 અને 2 ને સામાન્ય બનાવે છે. તેઓ રેખીય બીજગણિત જૂથો તરીકે ઉદ્ભવે છે, એટલે કે, સમીકરણોની મર્યાદિત સંખ્યા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત GLn ના પેટાજૂથો તરીકે. મૂળભૂત ઉદાહરણો ઓર્થોગોનલ, એકાત્મક અને સિંપ્લેક્ટિક જૂથો છે પરંતુ વિભાજન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વધુ રચના કરવી શક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે ચતુર્થાંશ બીજગણિતનું એકમ જૂથ એક શાસ્ત્રીય જૂથ છે). નોંધ લો કે આ જૂથો સાથે સંકળાયેલા પ્રોજેક્ટિવ જૂથો પણ રેખીય છે, જોકે દેખીતી રીતે ઓછા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પી. એસ. એલ. 2 (આર) જૂથ એ 2 × 2 મેટ્રિસીસનો સમૂહ નથી, પરંતુ તે 3 × 3 મેટ્રિસીસ (સંલગ્ન પ્રતિનિધિત્વ) તરીકે વફાદાર પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે, જેનો ઉપયોગ સામાન્ય કિસ્સામાં થઈ શકે છે. ઘણા લાઈ જૂથો રેખીય હોય છે, પરંતુ તે બધા નહીં. એસ. એલ. 2 (આર) નું સાર્વત્રિક આવરણ રેખીય નથી, જેમ કે ઘણા ઉકેલવા યોગ્ય જૂથો છે, ઉદાહરણ તરીકે કેન્દ્રીય ચક્રીય પેટાજૂથ દ્વારા હેઇસેનબર્ગ જૂથનો ભાગાકાર. શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથોના અલગ પેટા જૂથો (ઉદાહરણ તરીકે જાળી અથવા પાતળા જૂથો) પણ રસપ્રદ રેખીય જૂથોના ઉદાહરણો છે. મર્યાદિત જૂથો ક્રમ n નું મર્યાદિત જૂથ G કોઈપણ ક્ષેત્ર K પર મહત્તમ n પર ડિગ્રીનું રેખીય હોય છે. આ નિવેદનને કેટલીકવાર કેલેનો પ્રમેય કહેવામાં આવે છે, અને ફક્ત એ હકીકત પરથી પરિણમે છે કે જૂથ રિંગ K [G] પર G ની ક્રિયા ડાબી (અથવા જમણી) ગુણાકાર દ્વારા રેખીય અને વફાદાર હોય છે. લાઈ પ્રકારના મર્યાદિત જૂથો (મર્યાદિત ક્ષેત્રો પરના શાસ્ત્રીય જૂથો) એ મર્યાદિત સરળ જૂથોનું એક મહત્વપૂર્ણ કુટુંબ છે, કારણ કે તેઓ મર્યાદિત સરળ જૂથોના વર્ગીકરણમાં મોટાભાગના સ્લોટ લે છે. જ્યારે ઉપરનું ઉદાહરણ 4 વિશિષ્ટ વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ખૂબ જ સામાન્ય છે (તેમાં તમામ રેખીય જૂથો શામેલ છે), મર્યાદિત અનુક્રમણિકા સમૂહ I સુધી મર્યાદિત, એટલે કે, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા જૂથો ઘણા રસપ્રદ ઉદાહરણો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ પિંગ-પૉંગ લેમ્માનો ઉપયોગ રેખીય જૂથોના ઘણા ઉદાહરણો બનાવવા માટે થઈ શકે છે જે મુક્ત જૂથો છે (ઉદાહરણ તરીકે દ્વારા પેદા થયેલ જૂથ મુક્ત છે). અંકગણિત જૂથો મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થવા માટે જાણીતા છે. બીજી બાજુ, આપેલ અંકગણિત જૂથ માટે જનરેટરનો સ્પષ્ટ સમૂહ શોધવો મુશ્કેલ સમસ્યા છે. વેણી જૂથો (જેને મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે) મર્યાદિત-પરિમાણીય જટિલ વેક્ટર જગ્યા પર વફાદાર રેખીય પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે જ્યાં જનરેટર સ્પષ્ટ મેટ્રિસીસ દ્વારા કાર્ય કરે છે. ભૂમિતિના ઉદાહરણો કેટલાક કિસ્સાઓમાં ભૌમિતિક માળખામાંથી આવતી રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરીને મેનીફોલ્ડનું મૂળભૂત જૂથ રેખીય હોવાનું દર્શાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઓછામાં ઓછી 2 જીનસની તમામ બંધ સપાટીઓ હાયપરબોલિક રીમાન સપાટીઓ છે. એકરૂપતા પ્રમેય દ્વારા આ હાયપરબોલિક પ્લેનના આઇસોમેટ્રી જૂથમાં તેના મૂળભૂત જૂથની રજૂઆતને જન્મ આપે છે, જે પી. એસ. એલ. 2 (આર) માટે આઇસોમોર્ફિક છે અને આ મૂળભૂત જૂથને ફ્યુશિયન જૂથ તરીકે અનુભવે છે. આ રચનાનું સામાન્યીકરણ મેનીફોલ્ડ પર a (G, X)-રચનાની કલ્પના દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજું ઉદાહરણ સેઇફર્ટ મેનીફોલ્ડનું મૂળભૂત જૂથ છે. બીજી બાજુ, તે જાણીતું નથી કે 3-મેનિફોલ્ડ્સના તમામ મૂળભૂત જૂથો રેખીય છે કે નહીં. જ્યારે રેખીય જૂથો ઉદાહરણોનો એક વિશાળ વર્ગ છે, ત્યારે તમામ અનંત જૂથોમાં તેઓ ઘણા નોંધપાત્ર ગુણધર્મો દ્વારા અલગ પડે છે. મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ રેખીય જૂથોમાં નીચેના ગુણધર્મો હોય છેઃ તેઓ શેષ રૂપે મર્યાદિત હોય છે; બર્નસાઇડનો થીયરમઃ મર્યાદિત ઘાતાંકનું વળાંક જૂથ જે લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્ર પર રેખીય હોય તે મર્યાદિત હોવું જોઈએ; શુરનો થીયરમઃ વળાંક રેખીય જૂથ સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત હોય છે. ખાસ કરીને, જો તે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય તો તે મર્યાદિત છે. સેલબર્ગની વ્યાખ્યાઃ કોઈપણ મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ રેખીય જૂથમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું વળાંક-મુક્ત પેટાજૂથ હોય છે. ટિટ્સ વૈકલ્પિક જણાવે છે કે રેખીય જૂથમાં કાં તો બિન-એબેલિયન મુક્ત જૂથ હોય છે અથવા અન્યથા તે વર્ચ્યુઅલ રીતે ઉકેલવા યોગ્ય હોય છે (એટલે કે, તેમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું ઉકેલવા યોગ્ય જૂથ હોય છે). આના ઘણા વધુ પરિણામો છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ રેખીય જૂથનું ડેહ્ન કાર્ય માત્ર બહુપદી અથવા ઘાતાંકીય હોઈ શકે છે; એક અનુકૂળ રેખીય જૂથ વર્ચ્યુઅલ રીતે ઉકેલવા યોગ્ય છે, ખાસ કરીને પ્રાથમિક રીતે અનુકૂળ; વોન ન્યુમેન અનુમાન રેખીય જૂથો માટે સાચું છે. બિન-રેખીય જૂથોના ઉદાહરણો બિન-રેખીય જૂથોના અનંત પેદા થયેલા ઉદાહરણો આપવાનું મુશ્કેલ નથીઃ ઉદાહરણ તરીકે અનંત અબેલિયન જૂથ (Z/2Z) N x (Z/3Z) N રેખીય ન હોઈ શકે. અનંત સમૂહ પરના સમપ્રમાણ જૂથમાં આ જૂથ હોવાથી તે પણ રેખીય નથી. મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા ઉદાહરણો શોધવાનું વધુ સૂક્ષ્મ છે અને સામાન્ય રીતે ઉપર સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડે છે. કોઈપણ મર્યાદિત રીતે રેખીય જૂથ શેષ રૂપે મર્યાદિત હોવાથી, તે સરળ અને અનંત બંને ન હોઈ શકે. આમ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા અનંત સરળ જૂથો, ઉદાહરણ તરીકે થોમ્પસનનું જૂથ F, અને મહત્તમ યોગ્ય સામાન્ય પેટાજૂથ દ્વારા હિગમેનના જૂથનો ભાગાકાર, રેખીય નથી. ઉપર ઉલ્લેખિત ટિટ્સ વિકલ્પના પરિણામ મુજબ, ગ્રિગોરચુકના જૂથ જેવા મધ્યવર્તી વૃદ્ધિના જૂથો રેખીય નથી. ફરીથી ટિટ્સ વૈકલ્પિક દ્વારા, ઉપર જણાવ્યા મુજબ વોન ન્યુમેન અનુમાનના તમામ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો રેખીય નથી. આમાં થોમ્પસનના જૂથ એફ અને ટાર્સ્કી રાક્ષસ જૂથોનો સમાવેશ થાય છે. બર્નસાઇડના પ્રમેય અનુસાર, ટાર્સ્કી રાક્ષસ જૂથો જેવા અનંત, મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા વળાંક જૂથો રેખીય ન હોઈ શકે. હાયપરબોલિક જૂથોના ઉદાહરણો છે જે રેખીય નથી, જે લાઈ જૂથો એસપી (એન, 1) માં જાળીઓના ભાગ તરીકે મેળવવામાં આવે છે. મુક્ત જૂથનું બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ આઉટ (એફએન) ઓછામાં ઓછા 4 માટે રેખીય ન હોવાનું જાણીતું છે. વેણી જૂથોના કિસ્સામાં તેનાથી વિપરીત, તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે કે શું જીનસ> 1 ની સપાટીનું મેપિંગ વર્ગ જૂથ રેખીય છે કે કેમ. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત એકવાર જૂથ રેખીય હોવાનું સ્થાપિત થઈ જાય તે પછી તેના માટે "શ્રેષ્ઠ" વફાદાર રેખીય રજૂઆતો શોધવાનો પ્રયાસ કરવો રસપ્રદ છે, ઉદાહરણ તરીકે સૌથી ઓછા સંભવિત પરિમાણની, અથવા તો તેની તમામ રેખીય રજૂઆતોને વર્ગીકૃત કરવાનો પ્રયાસ કરવો (જે વફાદાર નથી તે સહિત). આ પ્રશ્નો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનો ઉદ્દેશ છે. સિદ્ધાંતના મુખ્ય ભાગોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ મર્યાદિત જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત; લાઈ જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને વધુ સામાન્ય રીતે રેખીય બીજગણિત જૂથો. અનંત મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા જૂથોની રજૂઆતનો સિદ્ધાંત સામાન્ય રીતે રહસ્યમય છે; આ કિસ્સામાં રસનો હેતુ જૂથના પાત્રની જાતો છે, જે ખૂબ જ ઓછા કિસ્સાઓમાં સારી રીતે સમજી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે મુક્ત જૂથો, સપાટી જૂથો અને વધુ સામાન્ય રીતે લાઈ જૂથોમાં જાળીઓ (ઉદાહરણ તરીકે માર્ગુલિસના અતિશયતા પ્રમેય અને અન્ય કઠોરતા પરિણામો દ્વારા). નોંધો સંદર્ભો. . અનંત જૂથ સિદ્ધાંત મેટ્રિક્સ