Sum and Product Puzzle
સમ એન્ડ પ્રોડક્ટ પઝલ, જેને ઇમ્પોસિબલ પઝલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં ઉકેલ માટે પૂરતી માહિતીનો અભાવ હોય તેવું લાગે છે, તે એક તર્ક પઝલ છે. તે સૌપ્રથમ 1969 માં હંસ ફ્રોઉડેન્થલ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું, અને ઇમ્પોસિબલ પઝલ નામ માર્ટિન ગાર્ડનર દ્વારા રચવામાં આવ્યું હતું. પઝલ ઉકેલવા યોગ્ય છે, જોકે સરળતાથી નહીં. ત્યાં ઘણી સમાન કોયડાઓ છે. કોયડો X અને Y એ 1 કરતા મોટી બે અલગ અલગ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. તેમની રકમ 100થી વધુ નથી. S અને P એ બે ગણિતશાસ્ત્રીઓ છે (અને પરિણામે સંપૂર્ણ તર્કશાસ્ત્રીઓ); S એ X + Y નો સરવાળો જાણે છે અને P એ X × Y નો ગુણાકાર જાણે છે. એસ અને પી બંને આ ફકરાની તમામ માહિતી જાણે છે. નીચેની વાતચીતમાં, બંને સહભાગીઓ હંમેશા સત્ય કહી રહ્યા છેઃ એસ કહે છે કે "પી એક્સ અને વાયને જાણતો નથી". પી કહે છે "હવે હું X અને Y ને જાણું છું". S કહે છે "હવે હું X અને Y પણ જાણું છું". X અને Y શું છે? સમજૂતી એકવાર વિભાવનાઓ અને પરિપ્રેક્ષ્યો સ્પષ્ટ થઈ જાય પછી સમસ્યાનું સરળતાથી સમાધાન થઈ જાય છે. તેમાં ત્રણ પક્ષો સામેલ છે, એસ, પી અને ઓ. S એ X + Y નો સરવાળો જાણે છે, P એ ગુણાકાર X·Y જાણે છે, અને નિરીક્ષક O એ મૂળ સમસ્યા નિવેદન સિવાય બીજું કંઈ જાણતો નથી. ત્રણેય પક્ષો એક જ માહિતી રાખે છે પરંતુ તેનું અલગ રીતે અર્થઘટન કરે છે. પછી તે માહિતીની રમત બની જાય છે. ચાલો આપણે A સંખ્યાના વિભાજનને બે શબ્દોમાં A = B + C a 2-વિભાજન કહીએ. ગોલ્ડબેકના અનુમાન અથવા એ હકીકત જેવા કોઈ અદ્યતન જ્ઞાનની જરૂર નથી કે આવા 2-વિભાજનના ઉત્પાદન B·C માટે અનન્ય હોવું જોઈએ (એટલે કે. ત્યાં કોઈ અન્ય બે સંખ્યાઓ નથી કે જે જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે સમાન પરિણામ આપે). પરંતુ ગોલ્ડબેકના અનુમાન સાથે, એ હકીકત સાથે કે P તરત જ X અને Y ને જાણશે જો તેમનો ગુણાકાર અર્ધ-મુખ્ય હોય, તો તે અનુમાન કરી શકાય છે કે x + y નો સરવાળો સમ ન હોઈ શકે, કારણ કે દરેક સમ સંખ્યાને બે મુખ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે. તે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર પછી અર્ધ-પ્રાથમિક હશે. નીચેના પગલાંઓ ઉકેલ આપે છેઃ S (Sue), P (Pete), અને O (Otto) એ તમામ ઉત્પાદનોની કોષ્ટકો બનાવે છે જે શ્રેણીમાં રકમના 2-ભાગથી બનાવી શકાય છે, એટલે કે. 5 થી 100 સુધી (X> 1 અને Y> X માટે આપણે 5 થી શરૂ કરવું જરૂરી છે). ઉદાહરણ તરીકે, 11 ને 2 + 9,3 + 8,4 + 7 અને 5 + 6 માં વિભાજિત કરી શકાય છે. સંબંધિત ઉત્પાદનો 18,24,28 અને 30 છે અને ખેલાડીઓ તેમના ટેબલમાં આ દરેક ઉત્પાદનોની બાજુમાં ટિક માર્ક મૂકે છે (કોષ્ટક 1). જ્યારે તેઓ પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે કેટલાક નંબરોમાં કોઈ ટિક માર્ક નથી, કેટલાકમાં એક હોય છે, અને કેટલાકમાં એક કરતાં વધુ હોય છે. સુ હવે તેના સરવાળા અને તેના તમામ 2-ભાગોને જુએ છે. તે જુએ છે કે તમામ 2-વિભાગોમાં એવા ઉત્પાદનો હોય છે જે અનન્ય નથી, એટલે કે. ત્યાં એક અલગ ફેક્ટરાઇઝેશન અસ્તિત્વમાં છે જે કોઈ અન્ય સંભવિત રકમનું 2-વિભાજન છે. તે પગલું 1 માં ટેબલ પરથી આ જુએ છે જ્યાં તેના તમામ ઉત્પાદનોમાં એકથી વધુ ટિક માર્ક હોય છે. તેણીને ખ્યાલ આવે છે કે આ હકીકતને કારણે, પીટ ઉત્પાદનને જોઈને X અને Y પરિબળોને અનન્ય રીતે નિર્ધારિત કરવામાં અસમર્થ હશે (જેમાં ઉમેદવાર ઉત્પાદનોમાંથી ઓછામાં ઓછા એકમાં માત્ર એક જ ટિક માર્ક હોવો જરૂરી હોત). આમ તે કહે છે કે "પી એક્સ અને વાયને જાણી શકતો નથી". જ્યારે પીટ અને ઓટ્ટો આ સાંભળે છે, ત્યારે તેમને માહિતી મળે છે કે સ્યુની રકમ સાથે સંકળાયેલ કોઈ પણ ઉત્પાદન અનન્ય નથી. સંભવિત રકમમાંથી પસાર થઈને, એક પછી એક, સુ, પીટ અને ઓટ્ટો હવે, દરેક પોતે, તમામ પાત્ર રકમની યાદી બનાવી શકે છે (કોષ્ટક 2). કોષ્ટકમાં તે રકમનો સમાવેશ થાય છે, જેમના તમામ 2-વિભાગોમાં એવા ઉત્પાદનો હોય છે જે અનન્ય નથી, એટલે કે. કોષ્ટક 1 માં એક કરતાં વધુ ટિક માર્ક છે. સુ, પીટ અને ઓટોએ ઉમેદવારની રકમનું ટેબલ બનાવ્યું છે (સુ અલબત્ત પહેલેથી જ તેની રકમ જાણે છે પરંતુ પીટની વિચારસરણી શોધવાની જરૂર છે). કોષ્ટક 2 માં નવી માહિતીને ધ્યાનમાં લેતા, પીટ ફરી એકવાર તેના ઉત્પાદનને જુએ છે. શરૂઆતથી જ રકમ તરીકે ગણવામાં આવતી 5 અને 100 વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓની સરખામણીમાં એક સિવાય તેના ઉત્પાદનના તમામ સંભવિત 2-વિભાજનોનો સરવાળો કોષ્ટક 2માંથી ગાયબ થઈ ગયો છે. માત્ર એક જ જે બાકી રહે છે તે બે છુપાયેલી સંખ્યાઓ X અને Y નો સરવાળો હોવો જોઈએ, જેનો ગુણાકાર X·Y તે જાણે છે. સરવાળો અને ઉત્પાદનમાંથી, વ્યક્તિગત સંખ્યાઓ જાણવી સરળ છે અને આમ તે સૂને કહે છે કે "હવે હું X અને Y જાણું છું". પીટ હવે સમાપ્ત થઈ ગયો છે અને રમતમાંથી બહાર નીકળી ગયો છે. સુ અને ઓટ્ટો કોષ્ટક 1 ની પુનઃગણતરી કરે છે, આ વખતે મૂળ કોષ્ટક 1 ની જેમ 5 થી 100 ની શ્રેણીમાં તમામ સંખ્યાઓને બદલે કોષ્ટક 2 માં રહેલા સરવાળાઓમાંથી માત્ર 2-વિભાજનના ઉત્પાદનોની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ સુધારેલ કોષ્ટકને કોષ્ટક 1 બી કહેવામાં આવે છે. સુ તેની રકમના 2-ભાગોના તમામ ઉત્પાદનોને જુએ છે અને શોધે છે કે તેમાંથી માત્ર એક જ કોષ્ટક 1બીમાં બરાબર એક જ વાર દેખાય છે. આ પછી પીટ પાસે જે ઉત્પાદન હોવું જોઈએ, અને તે પીટની જેમ સરળતાથી તેમના સરવાળા અને ઉત્પાદનમાંથી બે સંખ્યાઓનું અનુમાન કરી શકે છે. આમ, તે ઓટ્ટોને કહે છે (પીટ પહેલેથી જ ગયો છે) કે "હવે હું એક્સ અને વાયને પણ જાણું છું". સુ પણ હવે થઈ ગયો છે અને રમતમાંથી બહાર નીકળી જાય છે, માત્ર ઓટ્ટો જ રહે છે. પગલું 4 ની માહિતી પરથી, ઓટો કોષ્ટક 2 માં તમામ રકમને સ્કેન કરે છે, જેમાંથી માત્ર એક જ 2-સ્પ્લિટમાં કોષ્ટક 1 બીમાં એક જ ટિક માર્ક હોય છે. ઇચ્છિત વ્યક્તિ પાસે માત્ર એક જ ટિક માર્ક હોઈ શકે છે, અથવા સુ નિશ્ચિતતા સાથે X અને Y ને જાણી શક્યા ન હોત. છેવટે, ઓટ્ટો ઇચ્છિત રકમ પર પહોંચે છે, જે આ ગુણધર્મો ધરાવતી એકમાત્ર રકમ પણ છે, જે મૂળ સમસ્યાને એક અનન્ય ઉકેલ સાથે ઉકેલવા યોગ્ય બનાવે છે. ઓટ્ટોનું કામ પણ હવે પૂરું થઈ ગયું છે. ઉકેલ ઉકેલમાં X અને Y 4 અને 13 છે, જેમાં P શરૂઆતમાં જાણતો હતો કે ગુણાકાર 52 છે અને S જાણતો હતો કે સરવાળો 17 છે. શરૂઆતમાં P ઉકેલ જાણતો નથી, કારણ કે 52 = 4 × 13 = 2 × 26 અને S જાણે છે કે P ઉકેલ જાણતો નથી કારણ કે મર્યાદાઓની અંદર 17 નો તમામ સંભવિત સરવાળો સમાન અસ્પષ્ટ ઉત્પાદનો ઉત્પન્ન કરે છે. જો કે એકવાર પી જાણે છે કે એસ માને છે કે ઉત્પાદન આપવામાં બહુવિધ સંભવિત ઉકેલો છે, પી 2 x 26 ને નકારી શકે છે, કારણ કે તે કિસ્સામાં સરવાળો 28 છે. જો S ને 28 કહેવામાં આવ્યું હોત, તો તે નિશ્ચિતતા સાથે કહી શકતી ન હતી કે P ને મૂલ્યો ખબર ન હતી, કારણ કે સંભવિત જોડી 5 અને 23 હશે, અને જો P ને કુલ 5 x 23 કહેવામાં આવ્યું હોત, તો તે બે સંખ્યાઓ એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે. તેથી P હવે જાણે છે કે સંખ્યાઓ 4 અને 13 છે અને S ને કહે છે કે તે સંખ્યાઓ જાણે છે. આમાંથી, S હવે જાણે છે કે યોગના આધારે સંભવિત જોડીઓમાંથી (એટલે કે. 2+15,3+14,4+13,5+12,6+11,7+10,8 + 9) માત્ર એક જ પ્રોડક્ટ છે જે P ને જવાબ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે, જે 4 + 13 છે. વાચક પછી એ હકીકતને આધારે એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ શોધી શકે છે કે S તેને નક્કી કરવામાં સક્ષમ હતો. નોંધ લો કે દાખલા તરીકે, જો S ને 97 (48 + 49) અને P ને 2352 (48 * 49) કહેવામાં આવ્યું હોત, તો P એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ શોધી શકશે, પરંતુ S નહીં, કારણ કે 44 અને 53 હજી પણ તાર્કિક રીતે શક્ય વિકલ્પ હશે. અન્ય ઉકેલો સમસ્યાનું સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. બંધાયેલ X + Y ≤ 100 ને ઇરાદાપૂર્વક પસંદ કરવામાં આવે છે. જો X + Y ની મર્યાદામાં ફેરફાર કરવામાં આવે, તો ઉકેલોની સંખ્યા બદલાઈ શકે છે. X + Y <62 માટે, કોઈ ઉકેલ નથી. આ શરૂઆતમાં પ્રતિકૂળ લાગે શકે છે કારણ કે ઉકેલ X = 4, Y = 13 સીમાની અંદર બંધબેસે છે. પરંતુ આ સીમાઓ વચ્ચેની સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતા પરિબળો સાથેના ઉત્પાદનોને બાકાત રાખવાથી, હવે તમામ બિન-ઉકેલોને પરિબળ બનાવવાની બહુવિધ રીતો નથી, જે માહિતી તરફ દોરી જાય છે જે સમસ્યાનું કોઈ સમાધાન નથી આપતી. ઉદાહરણ તરીકે, જો X = 2, Y = 62, X + Y = 64, X·Y = 124 ગણવામાં ન આવે, તો 124 નો માત્ર એક જ ગુણાકાર રહે છે, એટલે કે. 4·31,35 નો સરવાળો આપે છે. પછી 35 નાબૂદ થાય છે જ્યારે S જાહેર કરે છે કે P ઉત્પાદનના પરિબળોને જાણી શકતો નથી, જે 64 ના સરવાળાને મંજૂરી આપવામાં આવી હોત તો તે ન હોત. બીજી બાજુ, જ્યારે મર્યાદા X + Y ≤ 1685 અથવા તેનાથી વધુ હોય, ત્યારે બીજો ઉકેલ X = 4, Y = 61 દેખાય છે. આમ, ત્યારથી, સમસ્યા એ અર્થમાં ઉકેલી શકાતી નથી કે હવે કોઈ અનોખો ઉકેલ નથી. તેવી જ રીતે, જો X + Y ≤ 1970 કે તેથી વધુ હોય તો ત્રીજો ઉકેલ દેખાય છે (X = 16, Y = 73). આ ત્રણેય ઉકેલોમાં એક મુખ્ય સંખ્યા હોય છે. કોઈ મુખ્ય સંખ્યા વિનાનો પ્રથમ ઉકેલ એ ચોથો છે જે X + Y ≤ 2522 અથવા તેનાથી વધુ કિંમતો X = 16 = 2·2·2 અને Y = 111 = 3·37 સાથે દેખાય છે. જો Y> X> 1 શરતને Y> X> 2 માં બદલવામાં આવે, તો 124 <t <5045 માટે X + Y ≤ t થ્રેશોલ્ડ માટે એક અનોખો ઉકેલ છે, જેના પછી બહુવિધ ઉકેલો છે. 124 અને તેનાથી નીચે, કોઈ ઉકેલો નથી. તે આશ્ચર્યજનક નથી કે ઉકેલ માટેની મર્યાદા વધી ગઈ છે. સાહજિક રીતે, સમસ્યાની જગ્યાને "સ્પાર્સ" મળ્યું જ્યારે મુખ્ય નંબર 2 હવે પરિબળ X તરીકે ઉપલબ્ધ નથી, જે આપેલ રકમ A માંથી ઓછા સંભવિત ઉત્પાદનો X·Y બનાવે છે. જ્યારે ઘણા ઉકેલો હોય છે, એટલે કે, ઉચ્ચ t માટે, કેટલાક ઉકેલો Y> X> 1 સાથે મૂળ સમસ્યા માટેના ઉકેલો સાથે મેળ ખાય છે, ઉદાહરણ તરીકે X = 16, Y = 163. જો અમુક થ્રેશોલ્ડ t માટે X + Y ≤ t શરતને બદલે X·Y ≤ u માટે બદલવામાં આવે, તો સમસ્યા દેખાવમાં ફેરફાર કરે છે. ઓછી ગણતરીઓ જરૂરી હોવાથી તેને ઉકેલવું સરળ બને છે. બે પરિબળોના સૌથી મોટા ગુણાકારના આધારે અનુરૂપ t માટે u માટે વાજબી મૂલ્ય u = t·t/4 હોઈ શકે છે, જેનો સરવાળો t એ (t/2) · (t/2) છે. હવે સમસ્યાનો 47 <t <60,71 <t <80,107 <t <128, અને 131 <t <144 ની શ્રેણીમાં એક અનોખો ઉકેલ છે અને તે થ્રેશોલ્ડથી નીચે કોઈ ઉકેલ નથી. વૈકલ્પિક રચના માટેના પરિણામો મૂળ રચના સાથે મેળ ખાતા નથી, ન તો ઉકેલોની સંખ્યામાં, ન તો સામગ્રીમાં. ચેરિલના જન્મદિવસના સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ટોર્સ્ટન સિલ્કેની ધ ઇમ્પોસિબલ પ્રોબ્લેમ બે ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગણિત મંચ પરની સમસ્યા અને મેથવર્ક્સ કોડી મોડેલ ચેકિંગ સમ અને પ્રોડક્ટ લોજિક કોયડાઓ પરની ઉત્પાદન સમસ્યા પણ જુઓ.