Nonholonomic system
ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમ એ એક ભૌતિક સિસ્ટમ છે જેની સ્થિતિ તેને પ્રાપ્ત કરવા માટે લેવામાં આવેલા માર્ગ પર આધારિત છે. આવી પ્રણાલીને વિભેદક અવરોધો અને બિન-રેખીય અવરોધોને આધિન પરિમાણોના સમૂહ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેમ કે જ્યારે પ્રણાલી તેના પરિમાણ અવકાશમાં એક માર્ગ સાથે વિકસિત થાય છે (પરિમાણો મૂલ્યોમાં સતત બદલાતા રહે છે) પરંતુ અંતે માર્ગની શરૂઆતમાં પરિમાણ મૂલ્યોના મૂળ સમૂહ પર પાછા ફરે છે, ત્યારે પ્રણાલી પોતે તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત આવી નથી. નોનહોલોનોમિક મિકેનિક્સ એ ન્યુટોનિયન મિકેનિક્સનો સ્વાયત્ત વિભાગ છે. વધુ ચોક્કસપણે, નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમ, જેને એનહોલોનોમિક સિસ્ટમ પણ કહેવાય છે, તે છે જેમાં સંચાલક પરિમાણોની સતત બંધ સર્કિટ હોય છે, જેના દ્વારા સિસ્ટમને કોઈપણ સ્થિતિમાંથી અન્ય કોઈપણ સ્થિતિમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. કારણ કે પ્રણાલીની અંતિમ સ્થિતિ પરિમાણ અવકાશ દ્વારા તેના માર્ગના મધ્યવર્તી મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે, તેથી પ્રણાલીને રૂઢિચુસ્ત સંભવિત કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો વ્યસ્ત વર્ગ નિયમ. આ પછીનું હોલોનોમિક સિસ્ટમનું એક ઉદાહરણ છેઃ સિસ્ટમમાં પાથ ઇન્ટિગ્રલ્સ માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિઓ (પોટેન્શિયલમાં સ્થિતિ) પર આધાર રાખે છે, જે તે સ્થિતિઓ વચ્ચેના સંક્રમણના માર્ગથી સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર છે. તેથી આ પ્રણાલી એકીકૃત હોવાનું કહેવાય છે, જ્યારે બિન-હોલોનોમિક પ્રણાલી અવિભાજ્ય હોવાનું કહેવાય છે. જ્યારે નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમમાં પાથ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે મૂલ્ય સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની અમુક શ્રેણીમાં વિચલનને રજૂ કરે છે અને આ વિચલનને વિચારણા હેઠળના ચોક્કસ માર્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ અનહોલોનોમી કહેવામાં આવે છે. આ શબ્દ હેનરિચ હર્ટ્ઝ દ્વારા 1894માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. એન્હોલોનોમિક સિસ્ટમોની સામાન્ય લાક્ષણિકતા એ ગર્ભિત રીતે આશ્રિત પરિમાણો છે. જો ગર્ભિત અવલંબનને દૂર કરી શકાય, ઉદાહરણ તરીકે જગ્યાના પરિમાણને વધારીને, ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક વધારાનું પરિમાણ ઉમેરીને, સિસ્ટમ ખરેખર નોનહોલોનોમિક નથી, પરંતુ ફક્ત નિમ્ન-પરિમાણીય જગ્યા દ્વારા અપૂર્ણ રીતે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, જો સિસ્ટમ આંતરિક રીતે સ્વતંત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ (પરિમાણો) દ્વારા રજૂ કરી શકાતી નથી, તો તે ખરેખર એક અનહોલોનોમિક સિસ્ટમ છે. કેટલાક લેખકો સિસ્ટમની કહેવાતી આંતરિક અને બાહ્ય સ્થિતિઓ વચ્ચે તફાવત બનાવીને આનો મોટાભાગનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ હકીકતમાં, સિસ્ટમની લાક્ષણિકતા માટે તમામ પરિમાણો જરૂરી છે, પછી ભલે તે "આંતરિક" અથવા "બાહ્ય" પ્રક્રિયાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે, તેથી તફાવત હકીકતમાં કૃત્રિમ છે. જો કે, સંરક્ષણ સિદ્ધાંતોનું પાલન કરતી ભૌતિક પ્રણાલીઓ અને ન કરતી પ્રણાલીઓ વચ્ચે ખૂબ જ વાસ્તવિક અને અસંબદ્ધ તફાવત છે. ગોળા પર સમાંતર પરિવહનના કિસ્સામાં, તફાવત સ્પષ્ટ છેઃ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ યુક્લિડિયન અવકાશથી મૂળભૂત રીતે અલગ મેટ્રિક ધરાવે છે. ગોળા પર સમાંતર પરિવહન માટે, ગર્ભિત અવલંબન બિન-યુક્લિડિયન મેટ્રિક માટે આંતરિક છે. ગોળાની સપાટી દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા છે. પરિમાણને વધારીને, આપણે મેટ્રિકની પ્રકૃતિને વધુ સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકીએ છીએ, પરંતુ તે હજુ પણ મૂળભૂત રીતે બે-પરિમાણીય જગ્યા છે, જેમાં પરિમાણો રીમાનિયન મેટ્રિક દ્વારા અવલંબનમાં અનિવાર્યપણે જોડાયેલા છે. તેનાથી વિપરીત, X-Y પ્લોટરને હોલોનોમિક સિસ્ટમના ઉદાહરણ તરીકે ગણી શકાય જ્યાં સિસ્ટમના યાંત્રિક ઘટકોની સ્થિતિમાં પ્લોટર પેનની કોઈપણ સ્થિતિ માટે એક નિશ્ચિત રૂપરેખાંકન હશે. જો પેન 0,0 અને 3,3 સ્થાનો વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થાય છે, તો મિકેનિઝમના ગિયર્સમાં સમાન અંતિમ સ્થાનો હશે, પછી ભલે તે મિકેનિઝમ દ્વારા x-અક્ષ પર 3 એકમો અને પછી y-અક્ષ પર 3 એકમોને વધારીને, પહેલા Y-અક્ષની સ્થિતિને વધારીને, અથવા સ્થિતિ-ફેરફારોના અન્ય કોઈ ક્રમને સંચાલિત કરીને થાય છે જે 3,3 ની અંતિમ સ્થિતિમાં પરિણમે છે. પ્લોટર-પેન દ્વારા તેની નવી સ્થિતિ મેળવવા માટે લેવામાં આવેલા માર્ગને ધ્યાનમાં લીધા વિના મશીનની અંતિમ સ્થિતિ સમાન હોવાથી, અંતિમ પરિણામ પાથ-આધારિત ન હોવાનું કહી શકાય. જો આપણે ટર્ટલ પ્લોટરને બદલીએ, તો પેનને 0,0 થી 3,3 પર ખસેડવાની પ્રક્રિયામાં રોબોટના મિકેનિઝમના ગિયર્સ બે સ્થાનો વચ્ચે ખસેડવા માટે લેવામાં આવેલા માર્ગના આધારે જુદી જુદી સ્થિતિમાં સમાપ્ત થઈ શકે છે. આવી પ્રણાલી હોલોનોમિક કેમ છે તેની ગાણિતિક સમજૂતી માટે આ ખૂબ જ સમાન ગેન્ટ્રી ક્રેનનું ઉદાહરણ જુઓ. ઇતિહાસ એન. એમ. ફેરર્સે સૌપ્રથમ 1871 માં નોનહોલોનોમિક અવરોધો સાથે ગતિના સમીકરણોને વિસ્તારવાનું સૂચન કર્યું હતું. તેમણે સામાન્યીકૃત વેગની દ્રષ્ટિએ કાર્ટેશિયન વેગ માટે અભિવ્યક્તિઓ રજૂ કરી. 1877માં, ઇ. રાઉથે લેગ્રેન્જ ગુણક સાથેના સમીકરણો લખ્યા હતા. કઠોર પદાર્થોના રેખીય બિન-હોલોનોમિક અવરોધો માટેના તેમના પુસ્તકની ત્રીજી આવૃત્તિમાં, તેમણે ગુણક સાથેના સ્વરૂપની રજૂઆત કરી હતી, જેને હવે ગુણક સાથેના બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. હોલોનોમિક અને નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમોની શરતો હેનરિચ હર્ટ્ઝ દ્વારા 1894માં રજૂ કરવામાં આવી હતી. 1897માં, એસ. એ. ચેપ્લગિને સૌપ્રથમ લેગ્રેન્જ મલ્ટિપ્લાયર વિના ગતિના સમીકરણો રચવાનું સૂચન કર્યું હતું. ચોક્કસ રેખીય અવરોધો હેઠળ, તેમણે ગતિના સમીકરણોની ડાબી બાજુએ લેગ્રેન્જ-ઓપરેટર પ્રકારનાં વધારાના પદોનું જૂથ રજૂ કર્યું. બાકીની વધારાની શરતો સિસ્ટમની નોનહોલોનોમિકતાને લાક્ષણિકતા આપે છે અને જ્યારે આપેલ અવરોધો સંકલિત હોય ત્યારે તે શૂન્ય બની જાય છે. 1901માં પી. V.Voronets એ નોનસાયક્લિક હોલોનોમિક કોઓર્ડિનેટ્સ અને નોનસ્ટેશનરી કન્સ્ટ્રેઇન્ટ્સના કિસ્સાઓમાં ચૅપ્લીગિનના કાર્યને સામાન્ય બનાવ્યું. મર્યાદાઓ આપેલ સંદર્ભ માળખાના સંદર્ભમાં સ્થિતિ ધરાવતી કણોની પ્રણાલીનો વિચાર કરો. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, કોઈપણ અવરોધ કે જે બિન-હોલોનોમિક અવરોધ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતો નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નોનહોલોનોમિક અવરોધ અવિભાજ્ય છે અને ફાફિયન સ્વરૂપમાંઃ કોઓર્ડિનેટ્સની સંખ્યા છે. તે અવરોધ સમીકરણોની સંખ્યા છે. કોઓર્ડિનેટ્સ છે. તે ગુણાંક છે. ઉપરોક્ત સ્વરૂપ નોનહોલોનોમિક બનવા માટે, તે પણ જરૂરી છે કે ડાબી બાજુ ન તો કુલ વિભેદક હોય કે ન તો એકીકૃત પરિબળ દ્વારા એકમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે. માત્ર વર્ચ્યુઅલ વિસ્થાપન માટે, અવરોધનું વિભેદક સ્વરૂપ એ છે કે તમામ બિન-હોલોનોમિક અવરોધો માટે આ સ્વરૂપ લેવું જરૂરી નથી, હકીકતમાં તેમાં ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન અથવા અસમાનતાઓ સામેલ હોઈ શકે છે. અસમાનતાના અવરોધનું શાસ્ત્રીય ઉદાહરણ ગોળાની સપાટી પર મૂકવામાં આવેલા કણનું છે, છતાં તેને તેનાથી નીચે પડવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છેઃ તે ગોળાના કેન્દ્રથી કણનું અંતર છે. તે ગોળાની ત્રિજ્યા છે. રોલિંગ વ્હીલના ઉદાહરણો એ વ્હીલ (કેટલીકવાર યુનિસાઈકલ અથવા રોલિંગ સિક્કા તરીકે જોવામાં આવે છે) એક નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમ છે. સામાન્ય વ્યક્તિનું સમજૂતી સાયકલના ચક્રને ધ્યાનમાં લો જે ચોક્કસ જગ્યાએ (જમીન પર) પાર્ક કરવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં ફુગાવાનો વાલ્વ ચક્ર પર ચોક્કસ સ્થિતિ પર હોય છે. જો સાયકલની આસપાસ સવારી કરવામાં આવે અને પછી બરાબર એ જ જગ્યાએ પાર્ક કરવામાં આવે, તો વાલ્વ લગભગ ચોક્કસપણે પહેલાની જેમ તે જ સ્થિતિમાં નહીં હોય. તેની નવી સ્થિતિ લેવામાં આવેલા માર્ગ પર આધારિત છે. જો ચક્ર હોલોનોમિક હોત, તો જ્યાં સુધી ચક્ર હંમેશા પૃથ્વી પર સમાન સ્થાન પર પાછું વળેલું હોત ત્યાં સુધી વાલ્વ સ્ટેમ હંમેશા તે જ સ્થિતિમાં સમાપ્ત થતું. સ્પષ્ટપણે, જોકે, આ કિસ્સો નથી, તેથી સિસ્ટમ નોનહોલોનોમિક છે. ગાણિતિક સમજૂતી અવરોધ સમીકરણોની પ્રણાલી સાથે ચક્રને ગાણિતિક રીતે મોડેલ કરવું શક્ય છે, અને પછી સાબિત કરો કે તે પ્રણાલી નોનહોલોનોમિક છે. પ્રથમ, આપણે રૂપરેખાંકન જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ચક્ર તેની સ્થિતિને ત્રણ રીતે બદલી શકે છેઃ તેના એક્સલની આસપાસ અલગ પરિભ્રમણ હોવું, અલગ સંચાલન કોણ હોવું અને અલગ સ્થાન પર હોવું. આપણે કહી શકીએ કે તે એક્સલ વિશેનું પરિભ્રમણ છે, તે-અક્ષને સંબંધિત સ્ટીયરિંગ કોણ છે, અને અવકાશી સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આમ, રૂપરેખાંકન જગ્યા છેઃ આપણે હવે આ ચલોને એકબીજા સાથે સંબંધિત કરવા જોઈએ. આપણે જોઈએ છીએ કે જેમ જેમ ચક્ર તેનું પરિભ્રમણ બદલે છે, તેમ તેમ તે તેની સ્થિતિ બદલે છે. પરિભ્રમણ અને સ્થિતિ સૂચવતા વેગમાં ફેરફાર હાજર હોવો જોઈએ, આપણે યોગ્ય શબ્દોના સરળ સમય-વ્યુત્પન્ન લઈને કોણીય વેગ અને સંચાલન કોણને રેખીય વેગ સાથે જોડવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએઃ દિશામાં વેગ કોણીય વેગ ગુણ્યા ત્રિજ્યા ગુણ્યા સંચાલન કોણની કોસાઇન જેટલો હોય છે, અને વેગ સમાન હોય છે. હવે આપણે સમીકરણને ફાફિયન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કેટલીક બીજગણિત હેરફેર કરીએ છીએ જેથી તે પરીક્ષણ કરવું શક્ય છે કે શું તે હોલોનોમિક છે, જેની શરૂઆત આ રીતે થાય છેઃ પછી, ચાલો ચલને તેમના ગુણાંકથી અલગ કરીએ (સમીકરણની ડાબી બાજુ, ઉપરથી મેળવેલ). આપણે એ પણ અનુભવીએ છીએ કે આપણે બધા શબ્દોને ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ જેથી આપણે ફક્ત તફાવતો (સમીકરણની જમણી બાજુ) સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએઃ સમીકરણની જમણી બાજુ હવે ફાફિયન સ્વરૂપમાં છેઃ હવે આપણે હોલોનોમિક અવરોધો માટે સાર્વત્રિક પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો આ પ્રણાલી સર્વગ્રાહી હોત, તો આપણે આઠ પરીક્ષણો કરવા પડી શકે છે. જો કે, આપણે ગાણિતિક અંતઃપ્રેરણાનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પરીક્ષણમાં સિસ્ટમ નોનહોલોનોમિક છે તે સાબિત કરવા માટે શ્રેષ્ઠ પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ. પરીક્ષણ સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો કોઈપણ શબ્દો, અથવા શૂન્ય હોય, તો પરીક્ષણ સમીકરણનો તે ભાગ ઉકેલવા માટે તુચ્છ હશે અને શૂન્યની બરાબર હશે. તેથી, તે ઘણીવાર શ્રેષ્ઠ પ્રથા છે કે પ્રથમ પરીક્ષણ સમીકરણમાં શૂન્યની સમકક્ષ ન હોય તેવા તેમના સરવાળાની તકને મહત્તમ કરવા માટે શક્ય તેટલા બિન-શૂન્ય શબ્દો હોય. તેથી, આપણે પસંદ કરીએ છીએઃ આપણે આપણા પરીક્ષણ સમીકરણમાં અવેજી કરીએ છીએઃ અને સરળ બનાવીએ છીએઃ આપણે સરળતાથી જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રણાલી, વર્ણવ્યા મુજબ, નોનહોલોનોમિક છે, કારણ કે તે હંમેશા શૂન્યની બરાબર હોતી નથી. વધારાના તારણો અમે અમારો પુરાવો પૂર્ણ કર્યો છે કે સિસ્ટમ નોનહોલોનોમિક છે, પરંતુ અમારા પરીક્ષણ સમીકરણે અમને કેટલીક આંતરદૃષ્ટિ આપી છે કે શું સિસ્ટમ, જો વધુ મર્યાદિત હોય, તો તે હોલોનોમિક હોઈ શકે છે. ઘણી વખત પરીક્ષણ સમીકરણો પરિણામ આપશે જેમ કે સિસ્ટમને ધરમૂળથી બદલ્યા વિના સિસ્ટમને હોલોનોમિક બનવા માટે ક્યારેય મર્યાદિત કરી શકાતી નથી, પરંતુ આપણા પરિણામમાં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે બે અલગ અલગ રીતે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છેઃ, ચક્રની ત્રિજ્યા, શૂન્ય હોઈ શકે છે. આ મદદરૂપ નથી કારણ કે વ્યવહારમાં સિસ્ટમ તેની તમામ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ ગુમાવશે. શૂન્યની બરાબર સુયોજિત કરીને શૂન્ય હોઈ શકે છે. આ સૂચવે છે કે જો ચક્રને ફેરવવાની મંજૂરી ન હોય અને દરેક સમયે માત્ર એક સીધી રેખામાં જ આગળ વધવું પડે, તો તે એક હોલોનોમિક સિસ્ટમ હશે. જો કે, એક બાબત છે જેના પર આપણે હજુ સુધી વિચાર કર્યો નથી, કે સિસ્ટમ માટે આવા તમામ ફેરફારો શોધવા માટે, વ્યક્તિએ તમામ આઠ પરીક્ષણ સમીકરણો (દરેક અવરોધ સમીકરણમાંથી ચાર) કરવા જોઈએ અને જો શક્ય હોય તો સિસ્ટમને હોલોનોમિક બનાવવા માટે તમામ જરૂરિયાતોને એકત્રિત કરવા માટે તમામ નિષ્ફળતાઓને એકત્રિત કરવી જોઈએ. આ પ્રણાલીમાં, સાત વધારાના પરીક્ષણ સમીકરણોમાંથી, એક વધારાનો કિસ્સો પોતાને રજૂ કરે છેઃ જો કે, સમીકરણોને ઉમેરવામાં અને પરિણામો દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આનાથી વધુ મુશ્કેલી પડતી નથીઃ જે કેટલીક સરળ બીજગણિત હેરફેર સાથે બને છેઃ જેનો ઉકેલ (થી) છે. સામાન્ય માણસની ઉપરની સમજૂતીનો સંદર્ભ લો જ્યાં તે કહેવામાં આવ્યું છે, "[વાલ્વ સ્ટેમની] નવી સ્થિતિ લેવામાં આવેલા માર્ગ પર આધારિત છે. જો ચક્ર હોલોનોમિક હોત, તો જ્યાં સુધી ચક્ર હંમેશા પૃથ્વી પર સમાન સ્થાન પર પાછું વળેલું હોત ત્યાં સુધી વાલ્વ સ્ટેમ હંમેશા તે જ સ્થિતિમાં સમાપ્ત થતું. સ્પષ્ટપણે, જોકે, આ કિસ્સો નથી, તેથી સિસ્ટમ નોનહોલોનોમિક છે. જો કે તે કલ્પના કરવી સરળ છે કે જો ચક્રને માત્ર સંપૂર્ણ સીધી રેખા અને પાછળ ફેરવવાની મંજૂરી આપવામાં આવે, તો વાલ્વ સ્ટેમ એ જ સ્થિતિમાં સમાપ્ત થશે! હકીકતમાં, આપેલ ખૂણા સાથે સમાંતર ખસેડવું વાસ્તવિક દુનિયામાં ખરેખર જરૂરી નથી કારણ કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની દિશા પોતે મનસ્વી છે. જો ચક્ર આપેલ સંદર્ભને સંબંધિત કોઈપણ નિશ્ચિત ખૂણા પર માત્ર એક સીધી રેખામાં ચાલે તો સિસ્ટમ હોલોનોમિક બની શકે છે. આમ, અમે માત્ર એ જ સાબિત કર્યું નથી કે મૂળ સિસ્ટમ નોનહોલોનોમિક છે, પરંતુ અમે એક પ્રતિબંધ પણ શોધી શક્યા જે તેને હોલોનોમિક બનાવવા માટે સિસ્ટમમાં ઉમેરી શકાય છે. જો કે, કાર્ટેશિયન ગ્રીડની જેમ, તેને હોલોનોમિક બનાવવા માટે સિસ્ટમના પ્રતિબંધ વિશે ગાણિતિક રીતે કંઈક ખાસ છે. બે સમીકરણોને જોડીને અને દૂર કરીને, આપણે ખરેખર જોઈએ છીએ કે અને તેથી તે બે કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક સંપૂર્ણપણે બિનજરૂરી છે. આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે સ્ટીયરિંગ એંગલ અચળ છે, તેથી તેનો અર્થ એ છે કે અહીં હોલોનોમિક સિસ્ટમમાં માત્ર રૂપરેખાંકનની જગ્યા હોવી જરૂરી છે. અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેમ, જો રૂપરેખાંકનની જગ્યામાં બે કે તેથી ઓછા ચલ હોય તો જે પ્રણાલી ફાફિયન અવરોધ દ્વારા મોડેલેબલ છે તે હોલોનોમિક હોવી જોઈએ. આપણી મૂળ પ્રણાલીને માત્ર બે ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સુધી મર્યાદિત કરવા માટે તેમાં ફેરફાર કરીને અને આમ માત્ર બે ચલોનું વર્ણન કરવાની જરૂર પડે છે, અને એમ ધારીને કે તેને ફાફિયન સ્વરૂપમાં વર્ણવી શકાય છે (જે આ ઉદાહરણમાં આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ તે સાચું છે), આપણને ખાતરી છે કે તે હોલોનોમિક છે. રોલિંગ ગોળા આ ઉદાહરણ ઉપર ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી 'રોલિંગ વ્હીલ' સમસ્યાનું વિસ્તરણ છે. ત્રિ-પરિમાણીય ઓર્થોગોનલ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ ફ્રેમનો વિચાર કરો, ઉદાહરણ તરીકે, મૂળ માટે તેના પર ચિહ્નિત બિંદુ સાથે લેવલ ટેબલ ટોપ, અને x અને y અક્ષો પેન્સિલ રેખાઓ સાથે નાખવામાં આવે છે. એકમ ત્રિજ્યાનો ગોળા લો, ઉદાહરણ તરીકે, પિંગ-પૉંગ બોલ, અને વાદળી રંગમાં એક બિંદુ B ચિહ્નિત કરો. આ બિંદુને અનુરૂપ ગોળાનો વ્યાસ છે, અને ગોળાના કેન્દ્ર C પર સ્થિત આ વ્યાસ માટે સમતલ ઓર્થોગોનલ બિંદુ B સાથે સંકળાયેલ વિષુવવૃત્ત તરીકે ઓળખાતા એક મહાન વર્તુળને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ વિષુવવૃત્ત પર, બીજો બિંદુ R પસંદ કરો અને તેને લાલ રંગથી ચિહ્નિત કરો. ગોળાને z = 0 સમતલ પર એવી રીતે મૂકો કે બિંદુ B મૂળ સાથે સુસંગત હોય, C એ x = 0, y = 0, z = 1 પર સ્થિત હોય અને R એ x = 1, y = 0 અને z = 1 પર સ્થિત હોય, એટલે કે. આર હકારાત્મક x અક્ષની દિશામાં વિસ્તરે છે. આ ગોળાની પ્રારંભિક અથવા સંદર્ભ દિશા છે. ગોળાને હવે z = 0 સમતલમાં કોઈપણ સતત બંધ માર્ગ સાથે ફેરવી શકાય છે, જરૂરી નથી કે તે એક સરળ રીતે જોડાયેલ માર્ગ હોય, એવી રીતે કે તે ન તો લપસી જાય કે ન તો વળાંક લે, જેથી C x = 0, y = 0, z = 1 પર પાછો આવે. સામાન્ય રીતે, બિંદુ B હવે મૂળ સાથે સુસંગત નથી, અને બિંદુ R હવે હકારાત્મક x અક્ષ સાથે વિસ્તરતું નથી. હકીકતમાં, યોગ્ય માર્ગની પસંદગી દ્વારા, ગોળાને x = 0, y = 0, z = 1 પર સ્થિત C સાથે ગોળાની પ્રારંભિક દિશાથી કોઈપણ સંભવિત દિશા તરફ પુનઃનિર્ધારિત કરી શકાય છે. તેથી આ પ્રણાલી નોનહોલોનોમિક છે. એન્હોલોનોમીને બમણું અનન્ય ચતુર્થાંશ (q અને −q) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જે જ્યારે ગોળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા બિંદુઓ પર લાગુ થાય છે, ત્યારે બિંદુઓ B અને R ને તેમની નવી સ્થિતિ પર લઈ જાય છે. નોનહોલોનોમિક સિસ્ટમનું એક વધારાનું ઉદાહરણ ફૌકૉલ્ટ લોલક છે. સ્થાનિક સંકલન માળખામાં લોલક માર્ગની શરૂઆતમાં ભૌગોલિક ઉત્તરના સંદર્ભમાં ચોક્કસ દિશા સાથે ઊભી સપાટી પર ઝૂલતું હોય છે. પ્રણાલીનો ગર્ભિત માર્ગ એ પૃથ્વી પર અક્ષાંશની રેખા છે જ્યાં લોલક સ્થિત છે. પેંડુલમ પૃથ્વીની ફ્રેમમાં સ્થિર હોવા છતાં, તે સૂર્યને સંદર્ભિત ફ્રેમમાં આગળ વધી રહ્યું છે અને પૃથ્વીના પરિભ્રમણ દર સાથે સુમેળમાં ફરે છે, જેથી પેંડુલમ પ્લેનની એકમાત્ર સ્પષ્ટ ગતિ પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે થાય છે. આ પછીની ફ્રેમને જડતા સંદર્ભ ફ્રેમ માનવામાં આવે છે, જો કે તે પણ વધુ સૂક્ષ્મ રીતે બિન-જડતા છે. પૃથ્વીની ફ્રેમ બિન-જડતા તરીકે જાણીતી છે, આ હકીકત કેન્દ્રત્યાગી દળો અને કોરિઓલિસ દળોની સ્પષ્ટ હાજરી દ્વારા સમજી શકાય છે. અક્ષાંશની રેખા સાથેની ગતિ સમય પસાર થતાં પરિમાણિત થાય છે, અને ફૌકૌલ્ટ લોલકનું ઓસિલેશન પ્લેન સમય પસાર થતાં સ્થાનિક ઊભી અક્ષની આસપાસ ફરતું દેખાય છે. પ્રારંભિક દિશાના સંદર્ભમાં સમય t પર આ સમતલનું પરિભ્રમણ કોણ એ પ્રણાલીનું એન્હોલોનોમી છે. અક્ષાંશની સંપૂર્ણ સર્કિટ દ્વારા પ્રેરિત એન્હોલોનોમી એ અક્ષાંશના તે વર્તુળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા ઘન ખૂણાના પ્રમાણસર છે. માર્ગને અક્ષાંશ વર્તુળો સુધી મર્યાદિત રાખવાની જરૂર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, લોલકને વિમાનમાં માઉન્ટ કરી શકાય છે. એન્હોલોનોમી હજુ પણ પાથ દ્વારા સબટેન્ડેડ નક્કર ખૂણાના પ્રમાણસર છે, જે હવે તદ્દન અનિયમિત હોઈ શકે છે. ફૌકૉલ્ટ લોલક એ સમાંતર પરિવહનનું ભૌતિક ઉદાહરણ છે. ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં રેખીય ધ્રુવીકૃત પ્રકાશ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરની લંબાઈ લો, કહો કે ત્રણ મીટર, અને તેને એકદમ સીધી રેખામાં મૂકો. જ્યારે ઊભી ધ્રુવીકૃત બીમ એક છેડે દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે બીજા છેડેથી બહાર આવે છે, હજી પણ ઊભી દિશામાં ધ્રુવીકૃત થાય છે. ફાઇબરની ટોચને પટ્ટી સાથે ચિહ્નિત કરો, જે ઊભી ધ્રુવીકરણની દિશાને અનુરૂપ છે. હવે, ફાઇબરને સિલિન્ડરની આસપાસ દસ સેન્ટિમીટર વ્યાસની આસપાસ ચુસ્તપણે વીંટાળવું. ફાઇબરનો માર્ગ હવે હેલિક્સનું વર્ણન કરે છે, જે વર્તુળની જેમ સતત વળાંક ધરાવે છે. હેલિક્સમાં સતત વળાંક આવવાનો રસપ્રદ ગુણધર્મ પણ છે. જેમ જેમ ફાઇબરની કેન્દ્ર રેખા હેલિક્સ સાથે આગળ વધે છે તેમ તેમ ફાઇબરની ધરીની આસપાસ ફાઇબરનું ક્રમિક પરિભ્રમણ થાય છે. તદનુસાર, પટ્ટો પણ હેલિક્સની ધરીની આસપાસ વળાંક લે છે. જ્યારે રેખીય ધ્રુવીકૃત પ્રકાશને ફરીથી એક છેડે રજૂ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પટ્ટાની સાથે સંરેખિત ધ્રુવીકરણની દિશા સાથે, તે સામાન્ય રીતે પટ્ટાની સાથે સંરેખિત રેખીય ધ્રુવીકૃત પ્રકાશ તરીકે ઉભરી આવશે, પરંતુ પટ્ટાના અમુક નિશ્ચિત ખૂણા પર, ફાઇબરની લંબાઈ અને હેલિક્સની પીચ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. આ પ્રણાલી પણ નોનહોલોનોમિક છે, કારણ કે આપણે સરળતાથી ફાઇબરને બીજા હેલિક્સમાં નીચે દોરી શકીએ છીએ અને છેડાઓને સંરેખિત કરી શકીએ છીએ, પ્રકાશને તેના મૂળ બિંદુ પર પરત કરી શકીએ છીએ. તેથી એન્હોલોનોમી ફાઇબરની દરેક સર્કિટ સાથે ધ્રુવીકરણના ખૂણાના વિચલન દ્વારા રજૂ થાય છે. પરિમાણોના યોગ્ય ગોઠવણ દ્વારા, તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ સંભવિત કોણીય સ્થિતિ ઉત્પન્ન કરી શકાય છે. રોબોટિક્સ રોબોટિક્સમાં, નોનહોલોનોમિકનો ખાસ કરીને મોબાઇલ રોબોટ્સ માટે ગતિ આયોજન અને પ્રતિસાદ રેખીયકરણના અવકાશમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. હોલોનોમિક અવરોધ સાયકલ અને મોટરસાયકલ ગતિશીલતા ફોલિંગ કેટ પ્રોબ્લેમ ગોર્યાચેવ-ચેપ્લિન ટોપ પેરેલલ પાર્કિંગ પ્રોબ્લેમ ફાફિયન અવરોધ ઉદવાડિયા-કલાબા સમીકરણ લાઈ ગ્રુપ ઇન્ટિગ્રેટર સંદર્ભો બીજગણિત ટોપોલોજી વિભેદક ભૂમિતિ વિભેદક ટોપોલોજી ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ