Direct stiffness method
માળખાકીય વિશ્લેષણની એક પદ્ધતિ તરીકે, સીધી કઠોરતા પદ્ધતિ, જેને મેટ્રિક્સ કઠોરતા પદ્ધતિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે ખાસ કરીને સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત પ્રકાર સહિત જટિલ માળખાના કમ્પ્યુટર-સ્વચાલિત વિશ્લેષણ માટે યોગ્ય છે. તે એક મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ છે જે માળખામાં સભ્ય દળો અને વિસ્થાપનની ગણતરી માટે સભ્યોના કઠોરતા સંબંધોનો ઉપયોગ કરે છે. સીધી કઠોરતા પદ્ધતિ એ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ (FEM) નું સૌથી સામાન્ય અમલીકરણ છે. પદ્ધતિ લાગુ કરવામાં, પ્રણાલીને ગાંઠો પર એકબીજા સાથે જોડાયેલા સરળ, આદર્શ તત્વોના સમૂહ તરીકે તૈયાર કરવી આવશ્યક છે. આ તત્વોના ભૌતિક કઠોરતાના ગુણધર્મો પછી, મેટ્રિક્સ ગણિત દ્વારા, એક જ મેટ્રિક્સ સમીકરણમાં સંકલિત કરવામાં આવે છે જે સમગ્ર આદર્શ રચનાના વર્તનને નિયંત્રિત કરે છે. માળખાના અજ્ઞાત વિસ્થાપન અને બળો પછી આ સમીકરણને હલ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. સીધી કઠોરતા પદ્ધતિ મોટાભાગના વ્યાપારી અને મુક્ત સ્રોત મર્યાદિત તત્વ સોફ્ટવેર માટેનો આધાર બનાવે છે. સીધી કઠોરતા પદ્ધતિનો ઉદ્ભવ એરોસ્પેસના ક્ષેત્રમાં થયો હતો. સંશોધકોએ વિમાનની જટિલ ફ્રેમોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે વિવિધ અભિગમો પર ધ્યાન આપ્યું. આમાં સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત, માળખાકીય મિકેનિક્સમાં ઊર્જા સિદ્ધાંતો, સુગમતા પદ્ધતિ અને મેટ્રિક્સ કઠોરતા પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે. આ પદ્ધતિઓના વિશ્લેષણ દ્વારા જ સીધી કઠોરતા પદ્ધતિ કમ્પ્યુટર અમલીકરણ માટે આદર્શ રીતે યોગ્ય એક કાર્યક્ષમ પદ્ધતિ તરીકે ઉભરી આવી હતી. 1934 અને 1938ની વચ્ચે એ. આર. કોલર અને ડબલ્યુ. જે. ડંકને આજે ઉપયોગમાં લેવાતી મેટ્રિક્સ પ્રણાલીઓ માટે પ્રતિનિધિત્વ અને પરિભાષા સાથે પ્રથમ કાગળો પ્રકાશિત કર્યા હતા. એરોઇલાસ્ટિક સંશોધન બીજા વિશ્વયુદ્ધ દરમિયાન ચાલુ રહ્યું પરંતુ 1938 થી 1947 સુધીના પ્રકાશન પ્રતિબંધો આ કાર્યને શોધવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે. મેટ્રિક્સ માળખાકીય વિશ્લેષણમાં બીજી મોટી સફળતા 1954 અને 1955 દરમિયાન આવી જ્યારે પ્રોફેસર જ્હોન એચ. અર્ગિરિસે માળખાના મૂળભૂત ઘટકોને સમીકરણોની પ્રણાલીમાં ભેગા કરવાની વિભાવનાને વ્યવસ્થિત કરી. છેવટે, 6 નવેમ્બર 1959ના રોજ, બોઇંગના સ્ટ્રક્ચરલ ડાયનેમિક્સ યુનિટના વડા એમ. જે. ટર્નરે કમ્પ્યુટર અમલીકરણ માટે કાર્યક્ષમ મોડેલ તરીકે સીધી જડતા પદ્ધતિની રૂપરેખા આપતા એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું. સભ્યની કઠોરતા સંબંધો એક લાક્ષણિક સભ્યની કઠોરતા સંબંધ નીચેનું સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ જ્યાં m = સભ્ય સંખ્યા m. = સભ્યના લાક્ષણિક બળોનો વાહક, જે અજ્ઞાત આંતરિક બળો છે. = સભ્યની કઠોરતા મેટ્રિક્સ જે વિકૃતિઓ સામે સભ્યના પ્રતિકારને દર્શાવે છે. = સભ્યના લાક્ષણિક વિસ્થાપન અથવા વિકૃતિઓના વાહક. = બાહ્ય અસરો (જેમ કે જાણીતા બળો અને તાપમાનમાં ફેરફારો) ને કારણે સભ્યના લાક્ષણિક બળોનું વેક્ટર જ્યારે સભ્ય પર લાગુ થાય છે. જો સંપૂર્ણ વિસ્થાપનને બદલે સભ્યની વિકૃતિઓ હોય, તો તે સ્વતંત્ર સભ્ય દળો છે, અને આવા કિસ્સામાં (1) કહેવાતા સભ્યની લવચીકતા મેટ્રિક્સ મેળવવા માટે ઊંધી કરી શકાય છે, જેનો ઉપયોગ લવચીકતા પદ્ધતિમાં થાય છે. પ્રણાલીની કઠોરતા સંબંધ નોડ્સ તરીકે ઓળખાતા બિંદુઓ પર એકબીજા સાથે જોડાયેલા ઘણા સભ્યો સાથેની પ્રણાલી માટે, સભ્યોની કઠોરતા સંબંધો જેમ કે Eq. (1) નીચેના અવલોકનોનો ઉપયોગ કરીને સંકલિત કરી શકાય છેઃ સભ્યો વચ્ચે સુસંગતતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે સભ્યની વિકૃતિઓને સિસ્ટમ નોડલ વિસ્થાપન r ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ સૂચવે છે કે r પ્રાથમિક અજ્ઞાત હશે. સભ્ય બળો નોડલ્ બળો આર હેઠળ નોડ્સને સંતુલનમાં રાખવામાં મદદ કરે છે. આ સૂચવે છે કે (1) ની જમણી બાજુ સમગ્ર સિસ્ટમ માટે નીચેના નોડલ સંતુલન સમીકરણોની જમણી બાજુએ સંકલિત કરવામાં આવશેઃ જ્યાં = સિસ્ટમના નોડ્સ પર લાગુ બાહ્ય બળોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નોડલ બળોના વેક્ટર. = સિસ્ટમ સ્ટિફનેસ મેટ્રિક્સ, જે સભ્યોની સ્ટિફનેસ મેટ્રિક્સને ભેગા કરીને સ્થાપિત કરવામાં આવે છે. = સિસ્ટમના નોડલ વિસ્થાપનનું વેક્ટર જે સિસ્ટમના તમામ સંભવિત વિકૃત રૂપરેખાંકનોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જે મનસ્વી નોડલ દળો આર = સમકક્ષ નોડલ દળોના વેક્ટરને આધિન છે, જે નોડલ દળો સિવાયની તમામ બાહ્ય અસરોને રજૂ કરે છે જે અગાઉના નોડલ બળ વેક્ટર આરમાં પહેલેથી જ સામેલ છે. આ વેક્ટર સભ્યોને ભેગા કરીને સ્થાપિત કરવામાં આવે છે. ઉકેલ સિસ્ટમની જડતા મેટ્રિક્સ K ચોરસ છે કારણ કે વેક્ટર R અને r સમાન કદ ધરાવે છે. વધુમાં, તે સપ્રમાણ છે કારણ કે તે સપ્રમાણ છે. એકવાર આધારની મર્યાદાઓને (2) માં ગણવામાં આવે, ત્યારે સાંકેતિક રીતે રેખીય સમીકરણો (2) ની પ્રણાલીને હલ કરીને નોડલ વિસ્થાપન જોવા મળે છેઃ ત્યારબાદ, સભ્યોના લાક્ષણિક બળો Eq માંથી મળી શકે છે. (1) જ્યાં સુસંગતતા વિચારણા દ્વારા r માંથી શોધી શકાય છે. સીધી જડતા પદ્ધતિ Eq હોવું સામાન્ય છે. (1) એવા સ્વરૂપમાં કે જ્યાં અનુક્રમે સભ્ય-અંત વિસ્થાપન અને દળો r અને R સાથે દિશામાં મેળ ખાય છે, અને સભ્યોના મેટ્રિસીસના સીધા સરવાળા દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ પદ્ધતિ પછી સીધી જડતા પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાય છે. મેટ્રિક્સ કઠોરતા પદ્ધતિના ફાયદા અને ગેરફાયદાઓની સરખામણી ફ્લેક્સિબિલિટી પદ્ધતિ લેખમાં કરવામાં આવી છે અને તેની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. ઉદાહરણ ભંગાણ સીધી જડતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે પ્રથમ પગલું એ છે કે માળખું બનાવતા વ્યક્તિગત તત્વોને ઓળખવા. એકવાર તત્વોની ઓળખ થઈ જાય પછી, માળખું નોડ્સ પર ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે, જે બિંદુઓ વિવિધ તત્વોને એક સાથે જોડે છે. પછી દરેક તત્વનું વ્યક્તિગત રીતે વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે જેથી સભ્યની કઠોરતા સમીકરણો વિકસાવી શકાય. બળો અને વિસ્થાપન તત્વની જડતા મેટ્રિક્સ દ્વારા સંબંધિત છે જે તત્વની ભૂમિતિ અને ગુણધર્મો પર આધારિત છે. ટ્રસ તત્વ માત્ર સંકોચન અથવા તણાવમાં બળોને પ્રસારિત કરી શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે બે પરિમાણોમાં, દરેક નોડમાં બે ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ (ડીઓએફ) હોય છેઃ આડી અને ઊભી વિસ્થાપન. પરિણામી સમીકરણમાં ચાર બાય ચાર કઠોરતા મેટ્રિક્સ છે. ફ્રેમ તત્વ સંકોચન અને તણાવ ઉપરાંત વળાંકની ક્ષણો સામે ટકી શકે છે. આ ત્રણ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમમાં પરિણમે છેઃ આડી વિસ્થાપન, ઊભી વિસ્થાપન અને સમતલમાં પરિભ્રમણ. આ કિસ્સામાં કઠોરતા મેટ્રિક્સ છ બાય છ છે. પ્લેટો અને શેલો જેવા અન્ય ઘટકોને પણ સીધી જડતા પદ્ધતિમાં સામેલ કરી શકાય છે અને સમાન સમીકરણો વિકસાવવા આવશ્યક છે. એસેમ્બલી એકવાર વ્યક્તિગત તત્વની કઠોરતા સંબંધો વિકસાવવામાં આવ્યા પછી તેમને મૂળ માળખામાં ભેગા કરવા આવશ્યક છે. આ પ્રક્રિયામાં પ્રથમ પગલું એ છે કે વ્યક્તિગત ઘટકો માટે કઠોરતા સંબંધોને સમગ્ર માળખા માટે વૈશ્વિક પ્રણાલીમાં રૂપાંતરિત કરવું. ટ્રસ તત્વના કિસ્સામાં, કઠોરતા પદ્ધતિનું વૈશ્વિક સ્વરૂપ વૈશ્વિક સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં તત્વના ખૂણા પર આધાર રાખે છે (આ પ્રણાલી સામાન્ય રીતે પરંપરાગત કાર્ટેશિયન સંકલન પ્રણાલી છે). (β ખૂણા પર ટ્રસ તત્વ માટે) સમાનરૂપે, જ્યાં અને ટ્રસ તત્વની દિશા કોસાઇન છે (એટલે કે, તેઓ સભ્ય સાથે સંરેખિત એકમ વેક્ટરના ઘટકો છે). આ ફોર્મ દર્શાવે છે કે આ ફોર્મ્યુલેશનમાં સ્પષ્ટ પેટર્નને ફક્ત વિસ્તૃત કરીને 3-ડી સ્પેસ ટ્રસમાં તત્વની જડતાને કેવી રીતે સામાન્ય બનાવવી. વૈશ્વિક સંકલન પ્રણાલીમાં તત્વની કઠોરતા મેટ્રિક્સ વિકસાવ્યા પછી, તેમને એક જ "માસ્ટર" અથવા "વૈશ્વિક" કઠોરતા મેટ્રિક્સમાં ભેળવી દેવા જોઈએ. આ મેટ્રિસીસને એકસાથે મર્જ કરતી વખતે બે નિયમોનું પાલન કરવું આવશ્યક છેઃ દરેક નોડ પર વિસ્થાપનની સુસંગતતા અને બળ સંતુલન. આ નિયમો તત્વ નોડલ વિસ્થાપનને વૈશ્વિક નોડલ વિસ્થાપન સાથે સંબંધિત કરીને જાળવી રાખવામાં આવે છે. વૈશ્વિક વિસ્થાપન અને બળ વેક્ટર દરેક માળખામાં સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રી માટે એક એન્ટ્રી ધરાવે છે. તત્વની કઠોરતા મેટ્રિક્સને વૈશ્વિક વિસ્થાપન અને લોડ વેક્ટરની રચનામાં દરેક મેટ્રિક્સને વધારીને અથવા વિસ્તૃત કરીને મર્જ કરવામાં આવે છે. (ઉપરોક્ત માળખાના તત્વ (1) માટે) છેવટે, વૈશ્વિક જડતા મેટ્રિક્સ વ્યક્તિગત વિસ્તૃત તત્વ મેટ્રિક્સને એકસાથે ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે. ઉકેલ એકવાર વૈશ્વિક જડતા મેટ્રિક્સ, વિસ્થાપન વેક્ટર અને બળ વેક્ટરનું નિર્માણ થઈ ગયા પછી, સિસ્ટમને એક જ મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. માળખામાં સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રી માટે, વિસ્થાપન અથવા બળ જાણીતું છે. સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રી માટે જાણીતું મૂલ્ય દાખલ કર્યા પછી, મુખ્ય જડતાનું સમીકરણ પૂર્ણ થાય છે અને મૂલ્યાંકન માટે તૈયાર થાય છે. મેટ્રિક્સ સમીકરણનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ઘણી જુદી જુદી પદ્ધતિઓ ઉપલબ્ધ છે, જેમાં ચોલ્સ્કી વિઘટન અને સમીકરણોની પ્રણાલીઓના બ્રુટ ફોર્સ મૂલ્યાંકનનો સમાવેશ થાય છે પરંતુ તે મર્યાદિત નથી. જો માળખું યોગ્ય રીતે નિયંત્રિત ન હોય, તો બળના ઉપયોગથી તે સખત રીતે આગળ વધશે અને વધારાની સહાયક શરતો ઉમેરવી આવશ્યક છે. આ વિભાગમાં વર્ણવેલ પદ્ધતિ સીધી જડતા પદ્ધતિની ઝાંખી તરીકે છે. પ્રક્રિયા પર વધુ વિગતો તેમજ પ્રક્રિયામાં અંતર્ગત ભૌતિક ગુણધર્મો વિશેની ધારણાઓ માટે વધારાના સ્રોતોની સલાહ લેવી જોઈએ. એપ્લિકેશન્સ સીધી જડતા પદ્ધતિ ખાસ કરીને કમ્પ્યુટર સોફ્ટવેરમાં અસરકારક રીતે અને સરળતાથી અમલ કરવા માટે વિકસાવવામાં આવી હતી જેથી મોટી સંખ્યામાં ઘટકો ધરાવતી જટિલ રચનાઓનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય. આજે, ઉપલબ્ધ લગભગ દરેક મર્યાદિત તત્વ ઉકેલનાર સીધી જડતા પદ્ધતિ પર આધારિત છે. જ્યારે દરેક પ્રોગ્રામ સમાન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરે છે, ત્યારે ગણતરીના સમયને ઘટાડવા અને જરૂરી મેમરીને ઘટાડવા માટે ઘણાને સુવ્યવસ્થિત કરવામાં આવ્યા છે. આ હાંસલ કરવા માટે, શોર્ટકટ વિકસાવવામાં આવ્યા છે. સીધી જડતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટેના સૌથી મોટા ક્ષેત્રોમાંનું એક માળખાકીય વિશ્લેષણનું ક્ષેત્ર છે જ્યાં આ પદ્ધતિને મોડેલિંગ સોફ્ટવેરમાં સામેલ કરવામાં આવી છે. સોફ્ટવેર વપરાશકર્તાઓને માળખાને મોડેલ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને વપરાશકર્તા તત્વોના ભૌતિક ગુણધર્મોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, પ્રોગ્રામ આપમેળે તત્વ અને વૈશ્વિક જડતા સંબંધો પેદા કરે છે. જ્યારે વિવિધ લોડિંગ શરતો લાગુ કરવામાં આવે છે ત્યારે સોફ્ટવેર માળખાનું મૂલ્યાંકન કરે છે અને વપરાશકર્તા માટે ડિફ્લેક્શન પેદા કરે છે. ફાઇનાઇટ એલિમેન્ટ મેથડ પણ જુઓ સ્ટ્રક્ચરલ મિકેનિક્સમાં ફાઇનાઇટ એલિમેન્ટ મેથડ સ્ટ્રક્ચરલ એનાલિસિસ ફ્લેક્સિબિલિટી મેથડ ફાઇનાઇટ એલિમેન્ટ સોફ્ટવેર પેકેજોની સૂચિ બાહ્ય કડીઓ 1-ડી સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ મેટ્રિક્સમાં સીધી જડતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ સ્ટિફનેસ એનાલિસિસના એનિમેશન સિમ્યુલેશન સંદર્ભો ફેલિપ્પા, કાર્લોસ એ. ફાઇનાઇટ એલિમેન્ટ પદ્ધતિનો પરિચય. 2001નો અંત. કોલોરાડો યુનિવર્સિટી. 18 સપ્ટેમ્બર 2005 રોબિન્સન, જ્હોન. ઇજનેર માટે માળખાકીય મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ. ન્યૂ યોર્કઃ જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, 1966 રુબિનસ્ટીન, મોશે એફ. મેટ્રિક્સ કમ્પ્યુટર એનાલિસિસ ઓફ સ્ટ્રક્ચર્સ. ન્યૂ જર્સીઃ પ્રેન્ટિસ-હોલ, 1966 મેકગાયર, ડબલ્યુ., ગલાઘેર, આર. એચ., અને ઝીમિયન, આર. ડી. મેટ્રિક્સ સ્ટ્રક્ચરલ એનાલિસિસ, 2જી આવૃત્તિ. ન્યૂયોર્કઃ જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, 2000. માળખાકીય વિશ્લેષણ આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો