Solid angle
ભૂમિતિમાં, નક્કર કોણ (પ્રતીકઃ) એ કોઈ ચોક્કસ બિંદુથી દૃશ્ય ક્ષેત્રની માત્રાનું માપ છે જે આપેલ પદાર્થ આવરી લે છે. એટલે કે, તે બિંદુ પરથી જોઈ રહેલા નિરીક્ષકને પદાર્થ કેટલો મોટો દેખાય છે તેનું માપ છે. જે બિંદુ પરથી પદાર્થને જોવામાં આવે છે તેને ઘન કોણનું શિખર કહેવામાં આવે છે, અને તે બિંદુએ પદાર્થ તેના ઘન કોણને નીચે લાવતો હોવાનું કહેવાય છે. ઇન્ટરનેશનલ સિસ્ટમ ઓફ યુનિટ્સ (એસ. આઈ.) માં, ઘન કોણને પરિમાણહીન એકમમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જેને સ્ટેરેડિયન (પ્રતીકઃ એસ. આર.) કહેવાય છે. એક સ્ટેરેડિયન ટોચની આસપાસના એકમ ગોળા પરના વિસ્તારના એક એકમને અનુરૂપ છે, તેથી જે પદાર્થ ટોચ પરથી તમામ કિરણોને અવરોધે છે તે એકમ ગોળાના કુલ સપાટી વિસ્તાર જેટલા સંખ્યાબંધ સ્ટેરેડિયનને આવરી લેશે. ઘન ખૂણાઓને ડિગ્રી, મિનિટ અને સેકન્ડ જેવા કોણીય માપના ચોરસમાં પણ માપી શકાય છે. નજીકની નાની વસ્તુ દૂરના મોટા પદાર્થ જેટલો જ નક્કર ખૂણો રજૂ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચંદ્ર સૂર્ય કરતાં ઘણો નાનો હોવા છતાં, તે પૃથ્વીની પણ ઘણી નજીક છે. ખરેખર, પૃથ્વી પરના કોઈપણ બિંદુ પરથી જોવામાં આવે તો, બંને પદાર્થો લગભગ સમાન નક્કર ખૂણો (અને તેથી સ્પષ્ટ કદ) ધરાવે છે. આ સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન સ્પષ્ટ થાય છે. વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો સ્ટેરેડિયનમાં પદાર્થનો નક્કર ખૂણો એકમ ગોળાના ખંડના ક્ષેત્રફળની બરાબર હોય છે, જે ટોચ પર કેન્દ્રિત હોય છે, જે પદાર્થ આવરી લે છે. સ્ટેરેડિયનમાં એકમ ગોળાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ આપવું એ રેડિયનમાં એકમ વર્તુળની ચાપની લંબાઈ આપવા સમાન છે. જેમ રેડિયનમાં સમતલીય ખૂણો એ ચાપની લંબાઈ અને તેની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર છે, તેમ સ્ટેરેડિયનમાં ઘન ખૂણો એ ગોળાની ત્રિજ્યાના વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિસ્તાર અને પદાર્થ દ્વારા ગોળા પર આવરી લેવામાં આવેલા વિસ્તારનો ગુણોત્તર છે. સૂત્ર એ છે કે ગોળાકાર સપાટી વિસ્તાર ક્યાં છે અને તે માનવામાં આવતા ગોળાની ત્રિજ્યા છે. ઘન ખૂણાઓનો ઉપયોગ ખગોળશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ખાસ કરીને ખગોળીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં થાય છે. ખૂબ દૂરની વસ્તુનો ઘન ખૂણો ક્ષેત્રફળ અને ચોરસ અંતરના ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં હોય છે. અહીં "વિસ્તાર" નો અર્થ થાય છે જ્યારે જોવાની દિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થનું ક્ષેત્રફળ. ગોળાનો તેના આંતરિક ભાગમાં કોઈપણ બિંદુથી માપવામાં આવેલો નક્કર ખૂણો 4 એસ. આર. હોય છે, અને ઘનની મધ્યમાં તેની એક બાજુ દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલો નક્કર ખૂણો તેનો છઠ્ઠો ભાગ અથવા 2/3 એસ. આર. હોય છે. ઘન ખૂણાઓને ચોરસ ડિગ્રી (1 એસઆર = 2 ચોરસ ડિગ્રી), ચોરસ ચાપ-મિનિટ અને ચોરસ ચાપ-સેકન્ડમાં અથવા ગોળાના અપૂર્ણાંકોમાં (1 એસઆર = અપૂર્ણાંક વિસ્તાર) પણ માપી શકાય છે, જેને સ્પેટ (1 એસપી = 4 એસઆર) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં વિભેદક માટે એક સૂત્ર છે, જ્યાં અક્ષાંશ (ઉત્તર ધ્રુવથી કોણ) છે અને રેખાંશ છે. એક બિંદુ પર નમેલી મનસ્વી લક્ષી સપાટી માટેનો નક્કર કોણ કેન્દ્ર સાથેના એકમ ગોળામાં સપાટીના પ્રક્ષેપણના નક્કર ખૂણા જેટલો હોય છે, જેની ગણતરી સપાટીના અભિન્ન તરીકે કરી શકાય છેઃ બિંદુના સંદર્ભમાં સપાટીના અનંત વિસ્તારના સ્થિતિ વેક્ટરને અનુરૂપ એકમ વેક્ટર ક્યાં છે, અને જ્યાં તે એકમ સામાન્ય વેક્ટરને રજૂ કરે છે. જો સપાટી પરના એકમ ગોળા પરનું પ્રક્ષેપણ સમરૂપ ન હોય તો પણ, બહુવિધ ગણોને સ્કેલર પ્રોડક્ટની નિશાની દ્વારા વર્ણવેલ સપાટીની દિશા અનુસાર યોગ્ય રીતે ગણવામાં આવે છે. આમ કોઈ વ્યક્તિ સપાટ સપાટી વિસ્તાર, દિશા અને દર્શકથી અંતર ધરાવતા નાના પાસા દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા નક્કર કોણનો અંદાજ આ રીતે લગાવી શકે છેઃ જ્યાં ગોળાનો સપાટી વિસ્તાર છે. પ્રાયોગિક ઉપયોગો તેજસ્વી તીવ્રતા અને પ્રકાશને વ્યાખ્યાયિત કરવા, અને સંવાદદાતાના કિરણોત્સર્ગી જથ્થાઓની તેજસ્વી તીવ્રતા અને તેજ ગોળાકાર ત્રિકોણની ગોળાકાર વધારાની ગણતરી સીમા તત્વ પદ્ધતિ (બી. ઇ. એમ.) નો ઉપયોગ કરીને સંભવિતતાની ગણતરી ધાતુના સંકુલમાં લિગાન્ડના કદનું મૂલ્યાંકન કરીને, લિગાન્ડ શંકુ કોણ જુઓ વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચાર્જ વિતરણની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રની શક્તિની ગણતરી કરતા ગૌસના નિયમ ઊષ્મા સ્થાનાંતરણમાં ઉત્સર્જક શક્તિ અને વિકિરણની ગણતરી કરતા રધરફર્ડમાં સ્કેટરિંગ ક્રોસ સેક્શનની ગણતરી રમન સ્કેટરિંગમાં ક્રોસ સેક્શનની ગણતરી કરતા સામાન્ય પદાર્થો માટે ઓપ્ટિકલ ફાઇબર ઘન ખૂણાઓની સ્વીકૃતિનો નક્કર કોણ કોન, ગોળાકાર કેપ, ગોળાર્ધનો નક્કર કોણ ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં એકમ સપાટી તત્વનો ઉપયોગ કરીને નીચેના ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીને ઉપરોક્ત જોવા મળે છેઃ આ સૂત્ર કલનનો ઉપયોગ કર્યા વિના પણ મેળવી શકાય છે. 2200 વર્ષ પહેલાં આર્કિમિડીઝે સાબિત કર્યું હતું કે ગોળાકાર આવરણની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ હંમેશા વર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે, જેની ત્રિજ્યા ગોળાકાર આવરણની કિનારીથી તે બિંદુ સુધીના અંતર જેટલું હોય છે જ્યાં આવરણની સમપ્રમાણતાની ધરી આવરણને છેદે છે. આકૃતિમાં આ ત્રિજ્યા આ રીતે આપવામાં આવી છે તેથી એકમ ગોળા માટે ગોળાકાર કેપનો નક્કર કોણ આ રીતે આપવામાં આવે છે જ્યારે =, ગોળાકાર કેપ નક્કર ખૂણો 2 ધરાવતો ગોળાર્ધ બની જાય છે. શંકુના પૂરકનો નક્કર ખૂણો છે આ આકાશી ગોળાના ભાગનો નક્કર ખૂણો પણ છે જે અક્ષાંશ પર સ્થિત ખગોળશાસ્ત્રીય નિરીક્ષક પૃથ્વીના પરિભ્રમણની સાથે જોઈ શકે છે. વિષુવવૃત્ત પર તમામ આકાશી ગોળા દેખાય છે; બંને ધ્રુવ પર, માત્ર અડધો ભાગ દેખાય છે. શંકુના અક્ષથી ખૂણા પર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવેલા ગોળાકાર આવરણના ભાગ દ્વારા અને શંકુના શિખરમાંથી પસાર થતા ઘન કોણની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો, તો પછી સૂત્ર ઉપરના ગોળાકાર આવરણ સૂત્રમાં ઘટાડો થાય છેઃ પ્રથમ પદ બને છે, અને બીજું. ઓ. એ. બી. સી. ને ત્રિકોણાકાર ચહેરો એ. બી. સી. દ્વારા ઓ. પર મૂળ સાથે ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ બનવા દો જ્યાં શિરોબિંદુઓ એ, બી અને સી ની વેક્ટર સ્થિતિઓ છે. શિરોબિંદુ કોણને બી. ઓ. સી. કોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો અને અનુરૂપ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો. ચાલો ટેટ્રાહેડ્રલ ફેસિસ OAC અને OBC ધરાવતા પ્લેન વચ્ચે ડાયહેડ્રલ કોણ હોઈએ અને અનુરૂપ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ત્રિકોણાકાર સપાટી ABC દ્વારા આપવામાં આવેલ ઘન કોણ ગોળાકાર અધિકતાના સિદ્ધાંતને અનુસરે છે અને તે એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે ટેટ્રાહેડ્રોનના ચાર આંતરિક નક્કર ખૂણાઓના સરવાળા માટે "સમતલીય ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે" એવા પ્રમેય માટે એક સમાન પ્રમેય છેઃ જ્યાં ટેટ્રાહેડ્રલ ફેસિસ OAB, OAC, OBC અને ABC ધરાવતા કોઈપણ બે પ્લેન વચ્ચેના તમામ છ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ પર રેન્જ હોય છે. મૂળ O પર ટેટ્રાહેડ્રોનના નક્કર કોણની ગણતરી કરવા માટે એક ઉપયોગી સૂત્ર જે સંપૂર્ણપણે શિરોબિંદુ ખૂણાઓનું કાર્ય છે, તે એલ 'હ્યુઇલિયરના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે જ્યાં અન્ય રસપ્રદ સૂત્રમાં શિરોબિંદુઓને 3 પરિમાણીય જગ્યામાં વાહક તરીકે વ્યક્ત કરવાનો સમાવેશ થાય છે. ધારો કે એ, બી અને સી શિરોબિંદુઓની વેક્ટર સ્થિતિઓ, અને ધારો, અને દરેક વેક્ટરની તીવ્રતા (મૂળ-બિંદુ અંતર). ત્રિકોણાકાર સપાટી ABC દ્વારા સબટેન્ડેડ ઘન કોણ છેઃ જ્યાં ત્રણ વેક્ટરના સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટને સૂચવે છે અને સ્કેલર પ્રોડક્ટને સૂચવે છે. નકારાત્મક અથવા ખોટા નક્કર ખૂણાઓને ટાળવા માટે અહીં કાળજી લેવી આવશ્યક છે. સંભવિત ભૂલોનો એક સ્રોત એ છે કે જો ખોટી વળાંક હોય તો સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નકારાત્મક હોઈ શકે છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યની ગણતરી કરવી એ પૂરતો ઉકેલ છે કારણ કે સમીકરણનો અન્ય કોઈ ભાગ વળાંક પર આધારિત નથી. અન્ય નુકસાન ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્કેલર ટ્રીપલ પ્રોડક્ટ પોઝિટિવ હોય પરંતુ વિભાજક નેગેટિવ હોય. આ કિસ્સામાં નકારાત્મક મૂલ્ય પાછું આપે છે જેને વધારવું આવશ્યક છે. પિરામિડ ચાર બાજુના જમણા લંબચોરસ પિરામિડની ટોચના ખૂણાઓ અને (પિરામિડની વિરુદ્ધ બાજુના ચહેરાઓ પર માપવામાં આવતા ત્રિભુજ ખૂણાઓ) નો નક્કર કોણ એ છે કે જો પિરામિડની પાયાની બાજુની લંબાઈ (અને) અને પાયાના લંબચોરસના કેન્દ્રથી પિરામિડની ટોચ (ગોળાના કેન્દ્ર) સુધીનું અંતર () બંને જાણીતા હોય, તો ઉપરોક્ત સમીકરણને જમણા-ગોળાકાર પિરામિડની નક્કર કોણ આપવા માટે હેરફેર કરી શકાય છે, જ્યાં પિરામિડની ઊંચાઈ સાથે પિરામિડનો આધાર પરિઘાકારનો નિયમિત-બાજુનો બહુકોણ છે. સૂચકાંકો ચક્રીય છેઃ અને. જટિલ ઉત્પાદનો બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુ ખૂણા સાથે સંકળાયેલ તબક્કાને ઉમેરે છે. જો કે, શાખાના કાપમાં ગુણાંક ખોવાઈ જાય છે અને તેનો અલગથી ટ્રેક રાખવો આવશ્યક છે. ઉપરાંત, લગભગ સમાંતર સેગમેન્ટ્સની મર્યાદામાં અંડરફ્લો ટાળવા માટે જટિલ તબક્કાઓના ચાલી રહેલા ઉત્પાદનને પ્રસંગોપાત માપવું આવશ્યક છે. અક્ષાંશ-રેખાંશ લંબચોરસ ગોળાર્ધ પર અક્ષાંશ-રેખાંશ લંબચોરસનો નક્કર કોણ એ છે કે જ્યાં અને અક્ષાંશની ઉત્તર અને દક્ષિણ રેખાઓ છે (ઉત્તર તરફ વધતા ખૂણા સાથે રેડિયનમાં વિષુવવૃત્તથી માપવામાં આવે છે), અને રેખાંશની પૂર્વ અને પશ્ચિમ રેખાઓ છે (જ્યાં રેડિયનમાં ખૂણો પૂર્વ તરફ વધે છે). ગાણિતિક રીતે, આ રેડિયન દ્વારા ગોળાની આસપાસ ફરતા કોણની ચાપને રજૂ કરે છે. જ્યારે રેખાંશ 2 ત્રિજ્યામાં ફેલાય છે અને અક્ષાંશ ત્રિજ્યામાં ફેલાય છે, ત્યારે ઘન ખૂણો ગોળાનો હોય છે. અક્ષાંશ-રેખાંશ લંબચોરસને લંબચોરસ પિરામિડના નક્કર ખૂણા સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ. લંબચોરસ પિરામિડની ચારેય બાજુઓ ગોળાની સપાટીને વિશાળ વર્તુળાકાર કમાનોમાં છેદે છે. અક્ષાંશ-રેખાંશ લંબચોરસ સાથે, માત્ર રેખાંશની રેખાઓ મહાન વર્તુળ ચાપ હોય છે; અક્ષાંશની રેખાઓ નથી. આકાશી પદાર્થો કોણીય વ્યાસની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આકાશી પદાર્થના નક્કર ખૂણા માટેનું સૂત્ર પદાર્થની ત્રિજ્યા અને નિરીક્ષકથી પદાર્થ સુધીના અંતરની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ સૂર્ય અને ચંદ્ર (પૃથ્વીના સંબંધમાં) માટે યોગ્ય સરેરાશ મૂલ્યો દાખલ કરીને, સૂર્યનો સરેરાશ નક્કર કોણ સ્ટેરેડિયન છે અને ચંદ્રનો સરેરાશ નક્કર કોણ સ્ટેરેડિયન છે. કુલ આકાશી ગોળાની દ્રષ્ટિએ, સૂર્ય અને ચંદ્ર અનુક્રમે% () અને% () ના સરેરાશ અપૂર્ણાંક વિસ્તારને ઘટાડે છે. આ નક્કર ખૂણાઓ લગભગ સમાન કદના હોવાથી, ચંદ્ર ગ્રહણ દરમિયાન પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેના અંતરના આધારે કુલ અને કુંડલાકાર બંને સૂર્યગ્રહણનું કારણ બની શકે છે. મનસ્વી પરિમાણોમાં ઘન ખૂણા-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં એકમ ગોળાની સંપૂર્ણ ()-પરિમાણીય ગોળાકાર સપાટી દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા ઘન ખૂણાને કોઈપણ સંખ્યામાં પરિમાણોમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ગોળાકાર સમપ્રમાણતા સાથેની ગણતરીમાં ઘણીવાર આ નક્કર કોણ પરિબળની જરૂર પડે છે. તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં ગામા કાર્ય છે. જ્યારે પૂર્ણાંક હોય, ત્યારે ગામા કાર્યની ગણતરી સ્પષ્ટપણે કરી શકાય છે. તે અનુસરે છે કે આ વિસ્તારની સપાટીથી ઘેરાયેલા 3D ગોળા માટે 4 સ્ટેરેડિયન અને લંબાઈના પરિઘથી ઘેરાયેલા 2D વર્તુળ માટે 2 રેડિયનના અપેક્ષિત પરિણામો આપે છે. તે 1D કેસ માટે સહેજ ઓછું સ્પષ્ટ 2 પણ આપે છે, જેમાં મૂળ-કેન્દ્રિત 1D "ગોળા" એ અંતરાલ છે અને આ બે મર્યાદિત બિંદુઓ દ્વારા બંધાયેલ છે. મનસ્વી પરિમાણમાં વેક્ટર સૂત્રનો સમકક્ષ એઓમોટો દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે રિબાન્ડો દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો હતો. તે તેમને અનંત મલ્ટિવેરિયેટ ટેલર શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરે છેઃ કોણને વ્યાખ્યાયિત કરતા એકમ વેક્ટરને જોતાં, ચાલો તેમને જોડીને રચાયેલા મેટ્રિક્સને સૂચવીએ જેથી મી કૉલમ છે, અને. ચલ બહુવિધ ચલ બનાવે છે. "એકરૂપ" પૂર્ણાંક માટે બહુ-ઘટક વ્યાખ્યાયિત કરો. નોંધ લો કે અહીં = બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો, અથવા 0 થી શરૂ થતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ. માટે નોટેશનનો અર્થ ચલ છે, તેવી જ રીતે ઘાતાંકો માટે. તેથી, આ શબ્દનો અર્થ એ છે કે તમામ શરતો પરનો સરવાળો જેમાં l પ્રથમ અથવા બીજા અનુક્રમણિકા તરીકે દેખાય છે. જ્યાં આ શ્રેણી એકરૂપ થાય છે, તે વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નક્કર ખૂણામાં એકરૂપ થાય છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન ઇરાતુમ આઇબીઆઇડી. વોલ્યુમ 50 (2011) પાનું 059801. બાહ્ય કડીઓ આર્થર પી. નોર્ટન, એ સ્ટાર એટલાસ, ગેલ એન્ડ ઇંગ્લિસ, એડિનબર્ગ, 1969. એમ. જી. કેન્ડાલ, એ કોર્સ ઇન ધ જીઓમેટ્રી ઓફ એન ડાયમેન્શન્સ, નં. ગ્રિફીનના આંકડાકીય મોનોગ્રાફ્સ અને અભ્યાસક્રમોમાંથી 8, આવૃત્તિ. એમ. જી. કેન્ડેલ, ચાર્લ્સ ગ્રિફીન એન્ડ કંપની લિમિટેડ, લંડન, 1961 એન્ગલ યુક્લિડિયન નક્કર ભૂમિતિ