Multibrot set
ગણિતમાં, મલ્ટિબ્રોટ સમૂહ એ જટિલ સમતલમાં મૂલ્યોનો સમૂહ છે, જેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય પુનરાવર્તનના સામાન્ય મોનિક એકવિધ બહુપદી પરિવારના સભ્ય દ્વારા સમગ્ર પુનરાવર્તન દરમિયાન અમુક મર્યાદિત મૂલ્યથી નીચે રહે છે. આ નામ બહુવિધ અને મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનું સંયોજન છે. જુલિયા સેટ પર પણ આ જ લાગુ કરી શકાય છે, જેને મલ્ટિજુલિયા સેટ કહેવામાં આવે છે. જ્યાં d ≤ 2 છે. ઘાતાંક d ને નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક મૂલ્યોમાં વધુ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણો કેસ એ ક્લાસિક મેન્ડલબ્રોટ સેટ છે જેમાંથી નામ લેવામાં આવ્યું છે. ડી ના અન્ય મૂલ્યો માટેના સમૂહો પણ ફ્રેક્ટલ છબીઓ દર્શાવે છે જ્યારે તેઓ જટિલ સમતલ પર રચાય છે. નીચે દર્શાવેલ વિવિધ શક્તિઓના દરેક ઉદાહરણો સમાન સ્કેલ પર રચવામાં આવ્યા છે. સમૂહ સાથે જોડાયેલા c ના મૂલ્યો કાળા છે. સી ના મૂલ્યો કે જે પુનરાવર્તન હેઠળ અમર્યાદિત મૂલ્ય ધરાવે છે, અને આમ સમૂહમાં નથી, તે વિવિધ રંગોમાં આલેખિત કરવામાં આવે છે, જે રૂપરેખા તરીકે દેખાય છે, જે પુનરાવર્તનની સંખ્યાને આધારે છે, જેના કારણે એસ્કેપ ટાઇમ અલ્ગોરિધમમાં મૂલ્ય નિશ્ચિત તીવ્રતા કરતાં વધી જાય છે. હકારાત્મક શક્તિઓ તેનું ઉદાહરણ મૂળ મેન્ડલબ્રોટ સમૂહ છે. આના ઉદાહરણોને ઘણીવાર મલ્ટીબ્રોટ સેટ કહેવામાં આવે છે. આ સમૂહોમાં મૂળનો સમાવેશ થાય છે અને રોટેશનલ સમપ્રમાણતા સાથે ફ્રેક્ટલ પરિમિતિ હોય છે. નકારાત્મક શક્તિઓ જ્યારે ડી નકારાત્મક હોય ત્યારે સમૂહ ઘેરાયેલો દેખાય છે પરંતુ તેમાં મૂળનો સમાવેશ થતો નથી, જો કે આ એસ્કેપ ટાઇમ અલ્ગોરિધમ દ્વારા માન્ય નિશ્ચિત મહત્તમ ત્રિજ્યાની માત્ર એક કલાકૃતિ છે, અને તે સમૂહોની મર્યાદા નથી કે જે વાસ્તવમાં મધ્યમાં કોઈ છિદ્ર વિના આકાર ધરાવે છે (તમે આને લિયાપુનોવ ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકો છો [કોઈ છિદ્ર નથી કારણ કે મૂળ અનિશ્ચિત નહીં અનંત તરફ જાય છે કારણ કે મૂળ {0 અથવા 0 + 0i} નકારાત્મક શક્તિ પર લેવામાં આવે છે તે અવ્યાખ્યાયિત બને છે]). પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા સાથે તારા આકારના વિસ્તારમાં સમૂહ અને મૂળ વચ્ચેના રૂપરેખાંકનોમાં રસપ્રદ જટિલ વર્તણૂક છે. સેટમાં ગોળાકાર પરિમિતિ હોય તેવું લાગે છે, જો કે આ એસ્કેપ ટાઇમ અલ્ગોરિધમ દ્વારા માન્ય નિશ્ચિત મહત્તમ ત્રિજ્યાની માત્ર એક કલાકૃતિ છે, અને તે સેટની મર્યાદા નથી જે વાસ્તવમાં બધી દિશાઓમાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે. અપૂર્ણાંક સાથે અપૂર્ણાંક શક્તિઓનું રેન્ડરિંગ એક વૈકલ્પિક પદ્ધતિ એ છે કે એક્સપોનેન્ટને ઊભી અક્ષ સાથે રેન્ડર કરવું. આ માટે કાં તો વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિક મૂલ્ય નક્કી કરવું અને બાકીનું મૂલ્ય આડી અક્ષ સાથે પ્રસ્તુત કરવું જરૂરી છે. પરિણામી સમૂહ એક સાંકડી સ્તંભમાં મૂળથી અનંત સુધી ઊભી રીતે વધે છે. વિસ્તૃતીકરણ વધતી જતી જટિલતા દર્શાવે છે. પ્રથમ અગ્રણી બમ્પ અથવા સ્પાઇક 2 ના ઘાતાંક પર જોવા મળે છે, જે તેના ક્રોસ-સેક્શન પર સેટ કરેલા પરંપરાગત મેન્ડલબ્રોટનું સ્થાન છે. અહીં ત્રીજી છબી એક સમતલ પર પ્રસ્તુત થાય છે જે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષો વચ્ચે 45 ડિગ્રીના ખૂણા પર નિશ્ચિત છે. ઉપરની તમામ છબીઓ એસ્કેપ ટાઇમ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પ્રસ્તુત કરવામાં આવે છે જે સેટની બહારના બિંદુઓને સરળ રીતે ઓળખે છે. નીચે આપેલા ઉદાહરણમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, લિયાપુનોવ ઘાતાંકની રચના કરીને વધુ મોટી અસ્થિભંગની વિગતો જાહેર થાય છે. લિયાપુનોવ ઘાતાંક એ આપેલ ક્રમનો ભૂલ વૃદ્ધિ દર છે. પહેલા એન પુનરાવર્તનો સાથે પુનરાવર્તન ક્રમની ગણતરી કરો, પછી ઘાતાંકની ગણતરી કરો અને જો ઘાતાંક નકારાત્મક હોય તો ક્રમ સ્થિર હોય છે. ચિત્રમાં સફેદ પિક્સેલ્સ એ પરિમાણો c છે જેના માટે ઘાતાંક હકારાત્મક અથવા અસ્થિર છે. આ રંગો એ ચક્રોનો સમયગાળો દર્શાવે છે કે જેની તરફ ભ્રમણકક્ષાઓ આકર્ષાય છે. ઘેરા-વાદળી (બહાર) રંગના તમામ બિંદુઓ એક નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા આકર્ષાય છે, મધ્યમાંના તમામ બિંદુઓ (હળવા વાદળી) સમયગાળા 2 ચક્ર દ્વારા આકર્ષાય છે અને તેથી વધુ. સ્યુડોકોડ એસ્કેપ ટાઇમ ALGORITHM = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = સ્ક્રીન પરના દરેક પિક્સેલ માટે x = x0 = x પિક્સેલ પુનરાવર્તનનું સંકલન y = y = y પિક્સેલ પુનરાવર્તનનું સંકલનઃ = 0 મહત્તમ પુનરાવર્તનઃ = 1000 જ્યારે (x * x + y * y ≤ (2 * 2) અને પુનરાવર્તન <મહત્તમ પુનરાવર્તન ડુ/* આંતરિક કોડ (S) Z માટે ટેબલ નીચે */પુનરાવર્તનઃ = પુનરાવર્તન + 1 જો પુનરાવર્તન = મહત્તમ પુનરાવર્તન રંગઃ = અન્ય કાળો રંગઃ = = કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ ન હોય તેવી શક્તિઓ દર્શાવેલ સંકેતોને સંયોજિત કરીને મેળવી શકાય છે. સંદર્ભો જટિલ ગતિશીલતા અસ્થિભંગ વિડિયો ક્લિપ્સ ધરાવતા લેખો ઉદાહરણ સ્યુડોકોડ સાથેના લેખો