J-integral
જે-ઇન્ટિગ્રલ સામગ્રીમાં તાણ ઊર્જા પ્રકાશન દર, અથવા એકમ અસ્થિભંગ સપાટી વિસ્તાર દીઠ કાર્ય (ઊર્જા) ની ગણતરી કરવાની રીત રજૂ કરે છે. જે-ઇન્ટિગ્રલનો સૈદ્ધાંતિક ખ્યાલ 1967માં જી. પી. ચેરેપાનોવ દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે 1968માં જેમ્સ આર. રાઇસ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે ઊર્જાસભર સમોચ્ચ માર્ગ ઇન્ટિગ્રલ (જેને જે કહેવાય છે) તિરાડની આસપાસના માર્ગથી સ્વતંત્ર છે. પ્રાયોગિક પદ્ધતિઓ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને વિકસાવવામાં આવી હતી જેણે નમૂનાના કદમાં નિર્ણાયક અસ્થિભંગના ગુણધર્મોને માપવાની મંજૂરી આપી હતી જે રેખીય સ્થિતિસ્થાપક અસ્થિભંગ મિકેનિક્સ (LEFM) માટે માન્ય હોવા માટે ખૂબ નાના છે. આ પ્રયોગો અસ્થિભંગ ઊર્જા જેઆઇસીના નિર્ણાયક મૂલ્યમાંથી અસ્થિભંગની મજબૂતાઈના નિર્ધારણને મંજૂરી આપે છે, જે તે બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે જેના પર પ્રસાર દરમિયાન મોટા પાયે પ્લાસ્ટિકની ઉપજ મોડ I લોડિંગ હેઠળ થાય છે. જે-ઇન્ટિગ્રલ એ મોનોટોનિક લોડિંગને આધિન બોડીમાં ક્રેક માટે તાણ ઊર્જા પ્રકાશન દરની બરાબર છે. આ સામાન્ય રીતે સાચું છે, અર્ધસ્થાયી પરિસ્થિતિઓમાં, માત્ર રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી માટે. તિરાડની ટોચ પર નાના પાયે ઉપજનો અનુભવ કરતી સામગ્રી માટે, J નો ઉપયોગ ખાસ સંજોગોમાં ઊર્જા પ્રકાશન દરની ગણતરી કરવા માટે કરી શકાય છે જેમ કે મોડ III (એન્ટીપ્લેન શીયર) માં મોનોટોનિક લોડિંગ. શુદ્ધ પાવર-લો સખ્તાઇ પ્લાસ્ટિક સામગ્રી માટે જે માંથી તાણ ઊર્જા પ્રકાશન દરની ગણતરી પણ કરી શકાય છે જે ક્રેકની ટોચ પર નાના પાયે ઉપજ આપે છે. J જથ્થો સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિક સામગ્રીના મોનોટોનિક મોડ I અને મોડ II લોડિંગ માટે પાથ-ઇન્ડિપેન્ડન્ટ નથી, તેથી માત્ર ક્રેક ટિપની ખૂબ નજીકનો સમોચ્ચ ઊર્જા મુક્તિનો દર આપે છે. ઉપરાંત, રાઇસે દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે બિન-પ્રમાણસર લોડિંગ ન હોય ત્યારે જે પ્લાસ્ટિક સામગ્રીમાં પાથ-ઇન્ડિપેન્ડન્ટ છે. અનલોડિંગ એ આનો એક વિશેષ કેસ છે, પરંતુ બિન-પ્રમાણસર પ્લાસ્ટિક લોડિંગ પણ પાથ-સ્વતંત્રતાને અમાન્ય બનાવે છે. આવા બિન-પ્રમાણસર લોડિંગ એ સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિક સામગ્રી પર ઇન-પ્લેન લોડિંગ મોડ્સ માટે પાથ-નિર્ભરતાનું કારણ છે. દ્વિ-પરિમાણીય J-સંકલન દ્વિ-પરિમાણીય J-સંકલનને મૂળરૂપે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું (ઉદાહરણ માટે આકૃતિ 1 જુઓ) જ્યાં W (x1, x2) એ તાણ ઊર્જાની ઘનતા છે, x1, x2 એ સંકલન દિશાઓ છે, t = [σ] n એ સપાટીનું કર્ષણ વેક્ટર છે, n એ વળાંક માટે સામાન્ય છે, [σ] એ કૌચી તાણ ટેન્સર છે, અને u એ વિસ્થાપન વેક્ટર છે. તાણ ઊર્જાની ઘનતા ક્રેક ટિપની આસપાસ જે-ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે વારંવાર વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં (અને ઇન્ડેક્સ નોટેશનમાં) વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કારણ કે જે-ઇન્ટિગ્રલનો ઘટક દિશામાં ક્રેક ઓપનિંગ માટે છે અને તે ક્રેક ટિપની આસપાસનો એક નાનો પ્રદેશ છે. ગ્રીનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે જ્યારે સીમા બંધ હોય અને કોઈ એકલતા ન હોય અને ફક્ત જોડાયેલ હોય તેવા પ્રદેશને ઘેરી લે છે ત્યારે આ અભિન્ન શૂન્ય હોય છે. જો ક્રેકના ચહેરાઓ પર કોઈ સપાટીના ટ્રેક્શન ન હોય તો જે-ઇન્ટિગ્રલ પણ પાથ સ્વતંત્ર છે. ચોખાએ એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે જે-ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય પ્લાનર ક્રેક વૃદ્ધિ માટે ઊર્જા મુક્તિનો દર દર્શાવે છે. જે-ઇન્ટિગ્રલ બિનરેખીય સ્થિતિસ્થાપક અથવા સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિક સામગ્રીમાં તિરાડની નજીકના તાણની ગણતરીમાં સામેલ મુશ્કેલીઓને કારણે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. ચોખાએ દર્શાવ્યું હતું કે જો મોનોટોનિક લોડિંગ (કોઈપણ પ્લાસ્ટિક અનલોડિંગ વિના) ધારવામાં આવે તો જે-ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ પ્લાસ્ટિક સામગ્રીના ઊર્જા પ્રકાશન દરની ગણતરી કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. {| વર્ગ = "ટોક્કોલર્સ સંકુચિત તૂટી" પહોળાઈ = "80 ટકા" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ ડાબે"! બંધ માર્ગ પર J-સંકલન શૂન્ય છે તેનો પુરાવો |-|To J-સંકલનની માર્ગ સ્વતંત્રતા દર્શાવે છે, આપણે પહેલા બતાવવું પડશે કે સરળ રીતે જોડાયેલા ડોમેનમાં બંધ સમોચ્ચ પર તેનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. આપણે આને ગ્રીન્સ થીયરમ (અથવા દ્વિ-પરિમાણીય વિચલન થીયરમ) માંથી લખી શકીએ છીએ આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને આપણે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ કે સમોચ્ચ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્ર ક્યાં છે. હવે, જો કોઈ શારીરિક બળો હાજર ન હોય, તો સંતુલન (રેખીય વેગનું સંરક્ષણ) માટે તે જરૂરી છે. હવે, જો સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ ટેન્સર સજાતીય હોય, તો તફાવતની સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તેથી, આપણી પાસે બંધ સમોચ્ચ છે જે કોઈપણ સ્થિતિસ્થાપક એકરૂપતા વિના સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશને ઘેરી લે છે, જેમ કે શૂન્ય અને તિરાડો. |} {| વર્ગ = "ટોક્કોલર્સ સંકુચિત તૂટી" પહોળાઈ = "80%" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ ડાબે"! જે-સંકલન પાથ-સ્વતંત્ર છે તેનો પુરાવો |-| સમોચ્ચને ધ્યાનમાં લો. આ સમોચ્ચ બંધ હોવાથી અને સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશને ઘેરી લે છે, તેથી સમોચ્ચની આસપાસ જે-સંકલન શૂન્ય છે, એટલે કે. ધારો કે ક્રેક ટિપની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ઇન્ટિગ્રલ્સ હકારાત્મક સંકેત ધરાવે છે. હવે, ક્રેક સપાટીઓ અક્ષની સમાંતર હોવાથી, આ સપાટીઓ પર સામાન્ય ઘટક છે. ઉપરાંત, ક્રેક સપાટીઓ ટ્રેક્શન મુક્ત હોવાથી. તેથી, અને જે-ઇન્ટિગ્રલ પાથ સ્વતંત્ર છે. |} જે-ઇન્ટિગ્રલ અને ફ્રેક્ચરની મજબૂતાઈ આઇસોટ્રોપિક, સંપૂર્ણ રીતે બરડ, રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી માટે, જે-ઇન્ટિગ્રલ સીધા ફ્રેક્ચરની મજબૂતાઈ સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે જો ક્રેક તેની મૂળ દિશાના સંદર્ભમાં સીધા આગળ વધે છે. પ્લેન સ્ટ્રેન માટે, મોડ I લોડિંગ શરતો હેઠળ, આ સંબંધ એ છે કે જ્યાં ક્રિટિકલ સ્ટ્રેન એનર્જી રીલીઝ રેટ છે, મોડ I લોડિંગમાં ફ્રેક્ચરની કઠિનતા છે, પોઈસનનો ગુણોત્તર છે, અને E એ સામગ્રીનું યંગનું મોડ્યુલસ છે. મોડ II લોડિંગ માટે, જે-ઇન્ટિગ્રલ અને મોડ II ફ્રેક્ચર ટફનેસ () વચ્ચેનો સંબંધ મોડ III લોડિંગ માટે છે, સંબંધ સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિક સામગ્રી છે અને એચઆરઆર સોલ્યુશન હચિન્સન, રાઇસ અને રોસેનગ્રેન પછીથી દર્શાવે છે કે જે બિનરેખીય (પાવર લો સખ્તાઇ) સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિક સામગ્રીમાં ક્રેકની ટોચ પર એકવચન તાણ અને તાણ ક્ષેત્રોને દર્શાવે છે જ્યાં પ્લાસ્ટિક ઝોનનું કદ ક્રેકની લંબાઈની તુલનામાં નાનું હોય છે. હચિન્સને ડબલ્યુ. રેમ્બર્ગ અને ડબલ્યુ. ઓસ્ગુડ દ્વારા સૂચવવામાં આવેલા સ્વરૂપના ભૌતિક બંધારણીય નિયમનો ઉપયોગ કર્યો હતોઃ જ્યાં σ એ એકઅક્ષીય તણાવમાં તણાવ છે, σy એ ઉપજ તણાવ છે, ε એ તાણ છે, અને εy = σy/E એ અનુરૂપ ઉપજ તાણ છે. જથ્થો E એ સામગ્રીનું સ્થિતિસ્થાપક યંગનું મોડ્યુલસ છે. મોડેલને α દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, જે સામગ્રીની પરિમાણહીન અચળ લાક્ષણિકતા છે, અને n, વર્ક સખ્તાઇનો ગુણાંક છે. આ મોડેલ માત્ર એવી પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ પડે છે જ્યાં તણાવ એકવિધ રીતે વધે છે, તણાવ ઘટકો લગભગ સમાન ગુણોત્તરમાં રહે છે જેમ કે લોડિંગ પ્રગતિ (પ્રમાણસર લોડિંગ), અને ત્યાં કોઈ અનલોડિંગ નથી. જો નજીકની આકૃતિમાં બતાવેલ બોડી પર દૂર-ક્ષેત્ર તાણ σfar લાગુ કરવામાં આવે છે, તો માર્ગની આસપાસ J-સંકલન (સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક ઝોનની અંદર હોવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે) દ્વારા આપવામાં આવે છે કારણ કે ક્રેકની આસપાસનો કુલ સંકલન અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને ક્રેકની સપાટી પરના યોગદાન શૂન્ય હોય છે, આપણી પાસે છે. જે-ઇન્ટિગ્રલ્સ વચ્ચેનો સંબંધ, જે. 1 અને જે. 2 ની આસપાસ હોય છે, તે અંતર-ક્ષેત્રના તાણની દ્રષ્ટિએ કે માટે અવરોધ અને અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે, જ્યાં સમતલ તાણ માટે β = 1 અને સમતલ તાણ માટે β = 1 − ν2 (ν એ પોઈસનનો ગુણોત્તર છે). તાણ ક્ષેત્રના એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ અને ઉપરોક્ત વિચારોનો ઉપયોગ J-ઇન્ટિગ્રલના સંદર્ભમાં તણાવ અને તાણ ક્ષેત્રોને નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છેઃ ક્યાં અને ક્યાં પરિમાણહીન કાર્યો છે. આ અભિવ્યક્તિઓ સૂચવે છે કે J ને તાણ તીવ્રતા પરિબળ (K) ના પ્લાસ્ટિક એનાલોગ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જેનો ઉપયોગ રેખીય સ્થિતિસ્થાપક અસ્થિભંગ મિકેનિક્સમાં થાય છે, એટલે કે, આપણે J> JIc જેવા માપદંડનો ઉપયોગ ક્રેક વૃદ્ધિ માપદંડ તરીકે કરી શકીએ છીએ. ફ્રેક્ચર ટફનેસ ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ સ્ટ્રેસ ઇન્ટેન્સિટી ફેક્ટર નેચર ઓફ ધ સ્લિપ બેન્ડ લોકલ ફિલ્ડ રેફરન્સ બાહ્ય કડીઓ જે. આર. રાઇસ, "એ પાથ ઇન્ડિપેન્ડન્ટ ઇન્ટિગ્રલ એન્ડ ધ એપ્રોક્સિમેટ એનાલિસિસ ઓફ સ્ટ્રેઇન કોન્સેન્ટ્રેશન બાય નોચેસ એન્ડ ક્રેક્સ", જર્નલ ઓફ એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ, 35,1968, pp. 379-386. વેન વલિએટ, ક્રિસ્ટીન જે. (2006); "3.032 મિકેનિકલ બિહેવિયર ઓફ મટિરિયલ્સ", X. ચેન (2014), "પાથ-ઇન્ડિપેન્ડન્ટ ઇન્ટિગ્રલ", ઇનઃ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ થર્મલ સ્ટ્રેસ, આર. બી. હેટનાર્સ્કી, સ્પ્રિંગર દ્વારા સંપાદિત. નોનલીનિયર ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ નોટ્સ પ્રો. જ્હોન હચિન્સન (હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટીમાંથી) નોટ્સ ઓન ફ્રેક્ચર ઓફ થિન ફિલ્મ્સ એન્ડ મલ્ટિલેયર્સ પ્રો. જ્હોન હચિન્સન (હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટીમાંથી) પ્રોફેસરો દ્વારા સ્તરવાળી સામગ્રીમાં મિશ્ર મોડ ક્રેકિંગ. જ્હોન હચિન્સન અને ઝિગાંગ સુઓ (હાર્વર્ડ યુનિવર્સિટીમાંથી) પીટ શ્રેઅર્સ દ્વારા ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ (ટીયુ આઇન્ડહોવન, નેધરલેન્ડ્સમાંથી) ડૉ. સી. એચ. વાંગ (ડીએસટીઓ-ઓસ્ટ્રેલિયા) દ્વારા ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સનો પરિચય પ્રોફેસર રુઇ હુઆંગ (યુનિવર્સિટીમાંથી) દ્વારા ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ કોર્સ નોંધો. ઓસ્ટિન ખાતે ટેક્સાસના) લુડોવિક નોઅલ્સ દ્વારા એચઆરઆર સોલ્યુશન્સ (લીજ યુનિવર્સિટી) નિષ્ફળતા સોલિડ મિકેનિક્સ મિકેનિક્સ પરીક્ષણ મિકેનિક્સ ફ્રેક્ચર મિકેનિક્સ