List of uniform polyhedra
ભૂમિતિમાં, એકસમાન પોલિહેડ્રોન એ એક પોલિહેડ્રોન છે જે ચહેરા તરીકે નિયમિત બહુકોણ ધરાવે છે અને શિરોબિંદુ-સંક્રમક (તેના શિરોબિંદુઓ પર સંક્રમક, આઇસોગોનલ, એટલે કે. કોઈપણ અન્ય પર કોઈપણ શિરોબિંદુને મેપિંગ કરતી આઇસોમેટ્રી છે). તે અનુસરે છે કે તમામ શિરોબિંદુઓ એકરૂપ હોય છે, અને પોલિહેડ્રોનમાં ઉચ્ચ સ્તરની પરાવર્તન અને પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા હોય છે. યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રાને બહિર્મુખ નિયમિત બહુકોણ ચહેરાઓ અને તારા સ્વરૂપો સાથે બહિર્મુખ સ્વરૂપો વચ્ચે વિભાજિત કરી શકાય છે. તારા સ્વરૂપોમાં કાં તો નિયમિત તારા બહુકોણ ચહેરાઓ અથવા શિરોબિંદુ આકૃતિઓ અથવા બંને હોય છે. આ સૂચિમાં આનો સમાવેશ થાય છેઃ તમામ 75 બિન-પ્રિઝમેટિક યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા; પ્રિઝમ્સ અને એન્ટિપ્રિઝમ્સના અનંત સમૂહોના કેટલાક પ્રતિનિધિઓ; એક ડીજનરેટ પોલિહેડ્રોન, ઓવરલેપિંગ ધાર સાથે સ્કિલિંગની આકૃતિ. તે સાબિત થયું હતું કે પ્રિઝમ અને એન્ટિપ્રિઝમના અનંત પરિવારો સિવાય માત્ર 75 સમાન પોલિહેડ્રા છે. જ્હોન સ્કિલિંગે એક અવગણના કરાયેલ અધોગતિના ઉદાહરણની શોધ કરી, એવી સ્થિતિને હળવી કરીને કે એક ધાર પર માત્ર બે ચહેરાઓ મળી શકે છે. આ એકસમાન પોલિહેડ્રોનને બદલે ડીજનરેટ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રોન છે, કારણ કે કિનારીઓની કેટલીક જોડી એક સાથે જોડાય છે. તેમાં સામેલ નથીઃ એકસમાન પોલિહેડ્રોન સંયોજનો. અધોગતિગ્રસ્ત શિરોબિંદુ આકૃતિઓ સાથે 40 સંભવિત એકસમાન પોલિહેડ્રા જે ઓવરલેપિંગ ધાર ધરાવે છે (કોક્સેટર દ્વારા ગણવામાં આવતી નથી); એકસમાન ઝુકાવ (અનંત પોલિહેડ્રા) 11 યુક્લિડિયન બહિર્મુખ એકસમાન ઝુકાવ; 28 યુક્લિડિયન નોનકોન્વેક્સ અથવા એપિરોગોનલ એકસમાન ઝુકાવ; હાયપરબોલિક પ્લેનમાં એકસમાન ઝુકાવની અનંત સંખ્યા. કોઈપણ બહુકોણ અથવા 4-બહુપદી અનુક્રમણિકા એકસમાન બહુપદી માટે ચાર ક્રમાંકન યોજનાઓ સામાન્ય ઉપયોગમાં છે, જે અક્ષરો દ્વારા અલગ પડે છેઃ [C] કોક્સેટર એટ અલ., 1954, બહિર્મુખ સ્વરૂપોને આંકડા 15 થી 32 તરીકે દર્શાવે છે; ત્રણ પ્રિઝમેટિક સ્વરૂપો, આંકડા 33-35; અને બિન-બહિર્મુખ સ્વરૂપો, આંકડા 36-92. [ડબલ્યુ] વેનિંગર, 1974માં 119 અંકો છેઃ પ્લેટોનિક ઘન માટે 1-5, આર્કિમિડીયન ઘન માટે 6-18,4 નિયમિત નોન-કન્વેક્સ પોલિહેડ્રા સહિત સ્ટેલેટેડ સ્વરૂપો માટે 19-66, અને નોન-કન્વેક્સ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા માટે 67-119 સાથે સમાપ્ત થાય છે. [કે] કેલિડો, 1993:80 આકૃતિઓને સમપ્રમાણતા દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવામાં આવી હતીઃ 1-5 ડાયહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે પ્રિઝમેટિક સ્વરૂપોના અનંત પરિવારોના પ્રતિનિધિઓ તરીકે, 6-9 ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે, 10-26 ઓક્ટાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે, 27-80 આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે. [યુ] મેથેમેટિકા, 1993, કેલિડો શ્રેણીને અનુસરે છે, જેમાં 5 પ્રિઝમેટિક સ્વરૂપો છેલ્લા સ્થાને ખસેડવામાં આવ્યા છે, જેથી બિન-પ્રિઝમેટિક સ્વરૂપો 1-75 બની જાય છે. બાજુઓની સંખ્યા દ્વારા પોલિહેડ્રાના નામો સૌથી સામાન્ય પોલિહેડ્રાના સામાન્ય ભૌમિતિક નામો છે. 5 પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોને અનુક્રમે 4,6,8,12 અને 20 બાજુઓ સાથે ટેટ્રાહેડ્રોન, હેક્સાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, ડોડેકાહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે. નિયમિત ષટ્કોણ એ સમઘન છે. પોલીહેડ્રા કોષ્ટક બહિર્મુખ સ્વરૂપો 3 ચહેરાઓ/શિરોબિંદુઓ અને ઉપરની બાજુઓમાંથી શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકનોની ડિગ્રીના ક્રમમાં અને ચહેરા દીઠ વધતી બાજુઓમાં સૂચિબદ્ધ છે. આ ક્રમ ટોપોલોજીકલ સમાનતાઓને બતાવવાની મંજૂરી આપે છે. ત્યાં અનંત રીતે ઘણા પ્રિઝમ અને એન્ટિપ્રિઝમ છે, દરેક નિયમિત બહુકોણ માટે એક; 12-ઝોનલ કેસ સુધીના સૂચિબદ્ધ છે. કન્વેક્સ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા યુનિફોર્મ સ્ટાર પોલિહેડ્રા ફક્ત બહિર્મુખ ચહેરાઓ ધરાવતા સ્વરૂપોને પહેલા સૂચિબદ્ધ કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ તારા ચહેરાઓ સાથેના સ્વરૂપો આવે છે. ફરીથી અનંત ઘણા પ્રિઝમ અને એન્ટીપ્રિઝમ અસ્તિત્વમાં છે; તેઓ અહીં 8 બાજુવાળા સુધી સૂચિબદ્ધ છે. એકસમાન પોલિહેડ્રા 3 3,3,3, અને () (3) માં કોપ્લાનર જોડી તરીકે કેટલાક ચહેરાઓ જોવા મળે છે. (કોક્સેટર એટ અલ. 1954, પૃ. 423, 425, 426; સ્કિલિંગ 1975, પૃ. 123) સ્પેશિયલ કેસ ધ ગ્રેટ ડિસનબ ડીરહોમ્બિડેકાહેડ્રોન તેની 360 ધારમાંથી 240 ધાર ધરાવે છે જે 120 જોડીમાં અવકાશમાં મેળ ખાય છે. આ ધાર-અધોગતિને કારણે, તેને હંમેશા એકસમાન પોલિહેડ્રોન માનવામાં આવતું નથી. કોલમ કી યુનિફોર્મ અનુક્રમણિકાઃ U01-U80 (ટેટ્રાહેડ્રોન પ્રથમ, પ્રિઝમ 76 +) કેલિડો સોફ્ટવેર અનુક્રમણિકાઃ K01-K80 (n = 6 થી 80 માટે Kn = Un-5) (પ્રિઝમ 1-5, ટેટ્રાહેડ્રોન વગેરે. 6 +) મેગ્નસ વેનિંગર પોલિહેડ્રોન નમૂનાઓઃ W001-W119 1-18:5 બહિર્મુખ નિયમિત અને 13 બહિર્મુખ અર્ધરેખીય 20-22,41:4 બિન-બહિર્મુખ નિયમિત 19-66: વિશેષ 48 સ્ટેલેશન/સંયોજનો (આ સૂચિમાં બિન-નિયમિત આપવામાં આવ્યાં નથી) 67-109:43 બિન-બહિર્મુખ બિન-સ્નબ ગણવેશ 110-119:10 બિન-બહિર્મુખ સ્નબ ગણવેશ Chi: યુલર લાક્ષણિકતા,. સમતલ પર એકસમાન ઝુકાવ ટોરસ ટોપોલોજીને અનુરૂપ છે, જેમાં યુલરની લાક્ષણિકતા શૂન્ય છે. ઘનતાઃ ઘનતા (પોલીટોપ) તેના કેન્દ્રની આસપાસ પોલિહેડ્રોનના વળાંકની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. આને નોન-ઓરિએન્ટેબલ પોલિહેડ્રા અને હેમિપોલિહેડ્રા (તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતા ચહેરાઓ સાથે પોલિહેડ્રા) માટે ખાલી છોડી દેવામાં આવે છે, જેના માટે ઘનતા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. વર્ટેક્સ આકૃતિ છબીઓ પર નોંધઃ સફેદ બહુકોણ રેખાઓ "શિરોબિંદુ આકૃતિ" બહુકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. રંગીન ચહેરાઓ શિરોબિંદુ આકૃતિ છબીઓ પર સમાવિષ્ટ છે જે તેમના સંબંધોને જોવામાં મદદ કરે છે. કેટલાક આંતરછેદના ચહેરાઓ દૃષ્ટિની રીતે ખોટી રીતે દોરવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ આગળના કયા ભાગો છે તે બતાવવા માટે દૃષ્ટિની રીતે યોગ્ય રીતે આંતરછેદ કરવામાં આવતા નથી. આ પણ જુઓ શિરોબિંદુ આકૃતિ દ્વારા સમાન પોલિહેડ્રાની સૂચિ વિથોફ પ્રતીક દ્વારા સમાન પોલિહેડ્રાની સૂચિ શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ સંદર્ભો દ્વારા સમાન પોલિહેડ્રાની સૂચિ બાહ્ય કડીઓ સ્ટેલાઃ પોલિહેડ્રોન નેવિગેટર-તમામ સમાન પોલિહેડ્ર માટે જાળી બનાવવા અને છાપવા માટે સક્ષમ સોફ્ટવેર. આ પૃષ્ઠ પર મોટાભાગની છબીઓ બનાવવા માટે વપરાય છે. પેપર મોડલ યુનિફોર્મ અનુક્રમણિકાઃ U1-U80, (ટેટ્રાહેડ્રોન પ્રથમ) યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા (80), પોલ બોર્કે http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly પરિભ્રમણ જૂથ દ્વારા તમામ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા https://web.archive.org/web/20171110075259/http:// ગ્રેટ્રિક્સ. નેટ/પોલિહેડ્રા/યુનિફોર્મ/સારાંશ/http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm http://www.buddenbooks.com/jb/uniform કેલિડો અનુક્રમણિકાઃ K1-K80 (પેન્ટાગોનલ પ્રિઝમ પ્રથમ) https://www.math.technion.ac.il ~ rl/કેલિડો https://web.archive.org/web/20110927223146/http:// math. ટ૆ક્નીયન. ac. il/~ rl/docs/ગણવેશ. યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રા માટે યુનિફોર્મ સોલ્યુશન