Dual bundle
ગણિતમાં, ડ્યુઅલ બંડલ એ વેક્ટર બંડલ પરની કામગીરી છે જે વેક્ટર જગ્યાઓ માટે દ્વૈતની કામગીરીને વિસ્તરે છે. વ્યાખ્યા વેક્ટર બંડલનું બેવડું બંડલ એ વેક્ટર બંડલ છે જેના તંતુઓ તેના તંતુઓ માટે બેવડું સ્થાન છે. સમાનરૂપે, હોમ બંડલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, એટલે કે, મોર્ફિઝમનું વેક્ટર બંડલ તુચ્છ રેખા બંડલ બાંધકામો અને ઉદાહરણો સંક્રમણ કાર્યો સાથે સ્થાનિક તુચ્છતા આપવામાં આવે છે, સ્થાનિક તુચ્છતા સંક્રમણ કાર્યો સાથે સમાન ખુલ્લા આવરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે (ટ્રાન્સપોઝનું વ્યસ્ત). પછી ફાઇબર બંડલ બાંધકામ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બેવડા બંડલનું નિર્માણ કરવામાં આવે છે. ખાસ કિસ્સાઓમાંઃ સંકળાયેલ બંડલનું બેવડા બંડલ એ માળખા જૂથની બેવડી રજૂઆત સાથે સંકળાયેલ બંડલ છે. વિભેદક મેનીફોલ્ડના સ્પર્શક બંડલનું બેવડું બંડલ તેનું કોટાન્જેન્ટ બંડલ છે. ગુણધર્મો જો બેઝ સ્પેસ પેરાકોમ્પેક્ટ અને હૌસડોર્ફ હોય તો વાસ્તવિક, મર્યાદિત-ક્રમના વેક્ટર બંડલ અને તેના દ્વિ વેક્ટર બંડલ તરીકે આઇસોમોર્ફિક છે. જો કે, વેક્ટર જગ્યાઓની જેમ, જ્યાં સુધી આંતરિક ઉત્પાદનથી સજ્જ ન હોય ત્યાં સુધી આઇસોમોર્ફિઝમની કોઈ કુદરતી પસંદગી નથી. જટિલ વેક્ટર બંડલના કિસ્સામાં આ સાચું નથીઃ ઉદાહરણ તરીકે, રીમાન ગોળા પરનું ટૉટોલોજિકલ રેખા બંડલ તેના બેવડા માટે આઇસોમોર્ફિક નથી. જટિલ વેક્ટર બંડલનું દ્વિગુણ ખરેખર સંયુગ્મ બંડલ માટે સમરૂપ છે પરંતુ સમરૂપતાની પસંદગી બિન-પ્રમાણભૂત છે સિવાય કે તે હર્મિશિયન ઉત્પાદનથી સજ્જ હોય. બે વેક્ટર બંડલ્સનું હોમ બંડલ ટેન્સર પ્રોડક્ટ બંડલ માટે પ્રમાણભૂત રીતે આઇસોમોર્ફિક છે. એક જ જગ્યા પર વેક્ટર બંડલ્સનું મોર્ફિઝમ જોતાં, તેમના બેવડા બંડલ્સ (વિપરીત ક્રમમાં) વચ્ચે એક મોર્ફિઝમ હોય છે, જેને દરેક રેખીય નકશાના ટ્રાન્સપોઝ તરીકે ફાઇબ્ર્યુઇઝ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સંદર્ભ વેક્ટર ભૌમિતિકાને સાંકળે છે