Tangent measure
માપ સિદ્ધાંતમાં, સ્પર્શક માપનો ઉપયોગ રેડોન માપના સ્થાનિક વર્તનનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે, જે રીતે સ્પર્શક જગ્યાઓનો ઉપયોગ વિભેદક મેનીફોલ્ડ્સના સ્થાનિક વર્તનનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. ટેન્જેન્ટ માપ (ડેવિડ પ્રીસ દ્વારા તેમના સુધારાત્મક સમૂહોના અભ્યાસમાં રજૂ કરાયેલ) ભૌમિતિક માપ સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગી સાધન છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેનો ઉપયોગ માર્સ્ટ્રાન્ડના પ્રમેય અને પ્રીસના પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે થાય છે. વ્યાખ્યા એન-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન સ્પેસ આરએનના ખુલ્લા સબસેટ ω પર વ્યાખ્યાયિત રેડોન માપને ધ્યાનમાં લો અને a ને ω માં મનસ્વી બિંદુ દો. આપણે a, Br (a) ની આસપાસ r ત્રિજ્યાના નાના ખુલ્લા દડા પર "ઝૂમ ઇન" કરી શકીએ છીએ, જે પરિવર્તન દ્વારા r ત્રિજ્યાના દડાને a ની ત્રિજ્યાના દડાથી 0 પર કેન્દ્રિત 1 ત્રિજ્યાના દડા સુધી વિસ્તૃત કરે છે. આ સાથે, હવે આપણે જ્યાં r નાનું થાય છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પુશ-ફોરવર્ડ માપને જોઈને બીઆર (એ) પર માઇક્રોન કેવી રીતે વર્તે છે તેના પર ઝૂમ કરી શકીએ છીએ. જેમ જેમ r શૂન્યની નજીક પહોંચે છે તેમ તેમ આ પગલાં મર્યાદામાં કેવા દેખાય છે તે જોઈને આપણે a ની આસપાસ આપણા માપ વિશે માહિતી મેળવી શકીએ છીએ. વ્યાખ્યા. બિંદુ a પર રેડોન માપનું સ્પર્શક માપ એ બીજું રેડોન માપ ν છે જેમ કે ત્યાં હકારાત્મક સંખ્યાઓ ci> 0 અને ઘટતી ત્રિજ્યાના અનુક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે જ્યાં મર્યાદા નબળા-઱્઱ં ટોપોલોજીમાં લેવામાં આવે છે, એટલે કે, ω માં કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે કોઈપણ સતત કાર્ય φ માટે, અમે a બાય ટૅન (μ, a) પર μ ના સ્પર્શક માપનો સમૂહ સૂચવીએ છીએ. અસ્તિત્વ એક બિંદુ પર એક માપના સ્પર્શક માપનો સમૂહ ટૅન (μ, a), એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, એ, રેડોન માપની નબળી સઘનતા દ્વારા, જો નીચેની શરતોમાંથી કોઈ એક હોય તો ટેન (μ, a) ખાલી નથીઃ એમયુ હકારાત્મક અને મર્યાદિત ઉચ્ચ ઘનતા ધરાવે છે, એટલે કે. કેટલાક માટે. ગુણધર્મો એક બિંદુ પર સ્પર્શક માપનો સંગ્રહ બે પ્રકારના સ્કેલિંગ હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે. ઉપાયોના શંકુ પણ પ્રીસ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા. એક બિંદુ પર એક માપના સ્પર્શક માપનો સમૂહ તાન (μ, a) એ માપનો શંકુ છે, એટલે કે. જો અને પછી. કોન ટેન (એમયુ, એ) એ એમયુના આધારમાં એક બિંદુ એ પર માપ એમયુના સ્પર્શક માપનો ડી-કોન અથવા ડાયલેશન અપરિવર્તનશીલ છે, એટલે કે. જો અને પછી. માપના સમર્થનમાં લાક્ષણિક બિંદુઓ પર, સ્પર્શક માપનો શંકુ પણ અનુવાદ હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે. એ પર લગભગ દરેક એ પર, એ પર એમયુના સ્પર્શક માપનો શંકુ ટેન (એમયુ, એ) અનુવાદ અપરિવર્તનશીલ છે, એટલે કે. જો અને x એ ν ના આધારમાં હોય, તો પછી. ઉદાહરણો ધારો કે આપણી પાસે R2 માં એક વર્તુળ છે જે તે વર્તુળ પર સમાન માપ ધરાવે છે. પછી, વર્તુળમાં કોઈપણ બિંદુ a માટે, સ્પર્શક માપનો સમૂહ માત્ર હકારાત્મક અચળાંકો ગુણ્યા 1-પરિમાણીય હૌસડોર્ફ માપ હશે જે તે બિંદુએ વર્તુળની રેખા સ્પર્શક પર સપોર્ટેડ હશે. 1995માં, ટોબી ઓ 'નીલે Rd પર રેડોન માપનું એક ઉદાહરણ રજૂ કર્યું હતું, જેમ કે, લગભગ દરેક બિંદુ માટે a ω Rd, ટેન (μ, a) માં તમામ બિન-શૂન્ય રેડોન માપનો સમાવેશ થાય છે. સંબંધિત વિભાવનાઓ માપની સ્પર્શક જગ્યાની સંકળાયેલ કલ્પના છે. Rn ની k-પરિમાણીય સબસ્પેસ P ને ω પર μ ની k-પરિમાણીય સ્પર્શક જગ્યા કહેવામાં આવે છે જો-યોગ્ય રીસ્કેલિંગ પછી-પી પર k-પરિમાણીય હૌસડોર્ફ માપ Hk જેવું લાગે છે. વધુ ચોક્કસપણેઃ વ્યાખ્યા. P એ a પર k-પરિમાણીય સ્પર્શક જગ્યા છે જો ત્યાં θ> 0 એવું હોય કે જ્યાં μa, r એ દ્વારા આપવામાં આવેલ અનુવાદિત અને પુનઃપ્રાપ્ત માપ છે. સ્પર્શક માપ અને સ્પર્શક જગ્યાઓનો વધુ અભ્યાસ વેરિફોલ્ડની કલ્પના તરફ દોરી જાય છે. સંદર્ભ માપ (માપન સિદ્ધાંત)