Holomorph (mathematics)
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિતના ક્ષેત્રમાં જે જૂથ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાય છે, જૂથનું હોલોમોર્ફ એ એક જૂથ છે જે એકસાથે જૂથ અને તેના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથની (નકલો) ધરાવે છે. હોલોમોર્ફ જૂથોના રસપ્રદ ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે, અને એક સમાન સંદર્ભમાં જૂથ તત્વો અને જૂથ ઓટોમોર્ફિઝમ્સની સારવાર કરવાની મંજૂરી આપે છે. જૂથ સિદ્ધાંતમાં, જૂથ માટે, સૂચિતના હોલોમોર્ફને અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન અથવા ક્રમચય જૂથ તરીકે વર્ણવી શકાય છે. અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે હોલ (G) જો તે ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે જ્યાં ગુણાકાર [Eq દ્વારા આપવામાં આવે છે. 1] સામાન્ય રીતે, અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન એ સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે કે જ્યાં અને તે જૂથો છે અને તે એક હોમોમોર્ફિઝમ છે અને જ્યાં અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનમાં તત્વોનો ગુણાકાર આપવામાં આવે છે જે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, ત્યારથી અને તેથી. હોલોમોર્ફ માટે, અને તે ઓળખનો નકશો છે, જેમ કે આપણે [Eq માં આપેલા ગુણાકારમાં સ્પષ્ટપણે લખવાનું દબાવીએ છીએ. 1] ઉપર. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ 3 નું ચક્રીય જૂથ જ્યાં દ્વારા આપવામાં આવેલ ગુણાકાર સાથેઃ જ્યાં ના ઘાતાંકોને મોડ 3 અને મોડ 2 ના ઘાતાંકો લેવામાં આવે છે. અવલોકન કરો, ઉદાહરણ તરીકે અને આ જૂથ અબેલિયન નથી, કારણ કે, તે ક્રમ 6 નું બિન-અબેલિયન જૂથ છે, જે મૂળભૂત જૂથ સિદ્ધાંત દ્વારા, સમપ્રમાણ જૂથ માટે સમરૂપ હોવું જોઈએ. હોલ (G) એક ક્રમચય જૂથ તરીકે A જૂથ G કુદરતી રીતે ડાબી અને જમણી ગુણાકાર દ્વારા પોતાને પર કાર્ય કરે છે, દરેક G ના અંતર્ગત સમૂહ પર G થી સમપ્રમાણ જૂથમાં હોમોમોર્ફિઝમને જન્મ આપે છે. એક હોમોમોર્ફિઝમને λ: G → SIM (G), (h) = g·h તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એટલે કે, g ને G ના દરેક તત્વને g દ્વારા ડાબે ગુણાકાર કરીને મેળવેલા ક્રમચય સાથે મેપ કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, બીજા હોમોમોર્ફિઝમ ρ: G → SIM (G) ને (h) = h·g−1 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં વ્યસ્ત ખાતરી કરે છે કે (k) = ((k)). આ હોમોમોર્ફિઝમ્સને G ની ડાબી અને જમણી નિયમિત રજૂઆતો કહેવામાં આવે છે. દરેક હોમોમોર્ફિઝમ ઇન્જેક્ટિવ છે, જેને કેલેના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો G = C3 = {1, x, x2} એ ક્રમ ત્રણનું ચક્રીય જૂથ હોય, તો પછી (1) = x·1 = x, (x) = x·x = x2, અને (x2) = x·x2 = 1, તેથી λ (x) (1, x, x2) થી (x, x2,1) લે છે. λ ની છબી એ G માટે સિમ (G) આઇસોમોર્ફિકનું પેટા જૂથ છે, અને સિમ (G) માં તેના નોર્મલાઇઝરને G ના હોલોમોર્ફ N તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. N માં દરેક n અને G માં g માટે, G માં એક h છે જેમ કે n· =·n. જો હોલોમોર્ફનું તત્વ n એ G ની ઓળખને સુધારે છે, તો G માં 1 માટે, (n·) (1) = (n·) (1), પરંતુ ડાબી બાજુ n (g) છે, અને જમણી બાજુ h છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો N માં n એ G ની ઓળખને સુધારે છે, તો G માં દરેક g માટે, n· =·n. જો g, h એ G ના ઘટકો છે, અને n એ G ની ઓળખ નક્કી કરતું N નું તત્વ છે, તો પછી આ સમાનતાને બે વાર n·· પર લાગુ કરો અને એકવાર (સમકક્ષ) અભિવ્યક્તિ n· પર લાગુ કરવાથી તે n (g)·n (h) = n (g·h) મળે છે. એટલે કે, N નું દરેક તત્વ જે G ની ઓળખને સુધારે છે તે હકીકતમાં G નું ઓટોમોર્ફિઝમ છે. એ ને ઓળખના સ્થિરીકારક તરીકે સુયોજિત કરવું, એ દ્વારા પેદા થયેલ પેટાજૂથ અને સામાન્ય પેટાજૂથ અને પૂરક એ સાથે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. સંક્રમણશીલ હોવાથી, દ્વારા પેદા થયેલ પેટા જૂથ અને બિંદુ સ્થિરીકારક A એ બધા N છે, જે દર્શાવે છે કે હોલોમોર્ફ એ ક્રમચય જૂથ તરીકે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે હોલોમોર્ફ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. તે ઉપયોગી છે, પરંતુ સીધું સુસંગત નથી, કે SIM (G) નું કેન્દ્રિયકરણ છે, તેમનું આંતરછેદ છે, જ્યાં Z (G) એ G નું કેન્દ્ર છે, અને તે A એ N ના આ બંને સામાન્ય પેટાજૂથો માટે એક સામાન્ય પૂરક છે. ગુણધર્મો ρ (G) θ ઑટ (G) = 1 ઑટ (G) ρ (G) ને સામાન્ય બનાવે છે જેથી કેનોનિકલી ρ (G) ઑટ (G) θ G′ ઑટ (G) થી λ (g) ρ (g) (h) = ghg−1 (G ના આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમનું જૂથ છે.) K ≤ G એક લાક્ષણિકતા ધરાવતું પેટાજૂથ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો λ (K) ′ હોલ (G) હોય.