Busemann function
ભૌમિતિક ટોપોલોજીમાં, બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ હદામર્ડ જગ્યાઓમાં ભૂગણિતની મોટા પાયે ભૂમિતિ અને ખાસ કરીને હદામર્ડ મેનીફોલ્ડ્સ (ફક્ત બિન-હકારાત્મક વળાંકના સંપૂર્ણ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ સાથે જોડાયેલા) નો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. તેમનું નામ હર્બર્ટ બુસેમેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેમની રજૂઆત કરી હતી; તેમણે તેમના 1955 ના પુસ્તક "ધ જ્યોમેટ્રી ઓફ જીઓડેસિક્સ" માં આ વિષયની વ્યાપક સારવાર આપી હતી. વ્યાખ્યા અને પ્રાથમિક ગુણધર્મો ચાલો મેટ્રિક જગ્યા હોઈએ. ભૌગોલિક કિરણ એ એક માર્ગ છે જે તેની લંબાઈ સાથે દરેક જગ્યાએ અંતર ઘટાડે છે. એટલે કે, બધા માટે, સમાનરૂપે, કિરણ એ "કેનોનિકલ રે" (યુક્લિડિયન મેટ્રિકથી સજ્જ સમૂહ) માંથી મેટ્રિક સ્પેસ X માં એક આઇસોમેટ્રી છે. રે γ આપવામાં આવે તો, બુસેમેન ફંક્શન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આમ, જ્યારે t ખૂબ મોટું હોય, ત્યારે અંતર લગભગ સમાન હોય છે. કિરણ γને જોતાં, તેનું બુસેમેન કાર્ય હંમેશા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય છેઃ ખરેખર ઉપરની જમણી બાજુ, કોમ્પેક્ટાની ડાબી બાજુએ બિંદુની દિશામાં વલણ ધરાવે છે, કારણ કે તે ઉપરથી બંધાયેલ છે અને જો તે ત્રિકોણની અસમાનતાથી તાત્કાલિક હોય તો તે વધતું નથી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ઉપરોક્ત અંદાજ દર્શાવે છે કે બુસેમેન વિધેયો એ અચળાંક 1 સાથેના લિપ્સિટ્ઝ વિધેયો છે. દીનીના પ્રમેય મુજબ, કાર્યો કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર સમાનરૂપે વલણ ધરાવે છે કારણ કે t અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ પોઇનકેરે ડિસ્ક ચાલો પોઇનકેરે મેટ્રિક સાથે જટિલ સમતલમાં એકમ ડિસ્ક હોઈએ પછી, અને માટે, બુસેમેન કાર્ય તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં જમણી બાજુના કૌંસમાં શબ્દ એકમ ડિસ્ક માટે પોઈસન કર્નલ છે અને મૂળથી, તરફના રેડિયલ જીઓડેસિકને અનુરૂપ છે. ની ગણતરીને ઘટાડીને તે કરી શકાય છે, કારણ કે મોબિયસ પરિવર્તન હેઠળ મેટ્રિક અપરિવર્તનશીલ છે; ભૂગણિત દ્વારા તે સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં 1-પરિમાણ પેટાજૂથ છે, ઉપરનું સૂત્ર પણ મોબિયસ અપરિવર્તન દ્વારા બુસેમેન કાર્યને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. બુસેમેન હેડમર્ડ જગ્યા પર કાર્ય કરે છે હેડમર્ડ જગ્યામાં, જ્યાં કોઈપણ બે બિંદુઓ એક અનન્ય ભૌગોલિક વિભાગ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે, તે કાર્ય બહિર્મુખ છે, એટલે કે. ભૌગોલિક વિભાગો પર બહિર્મુખ. સ્પષ્ટ રીતે આનો અર્થ એ છે કે જો તે બિંદુ છે જે ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે, તો પછી. નિશ્ચિત માટે કાર્ય બહિર્મુખ છે અને તેથી તેના અનુવાદો પણ છે; ખાસ કરીને, જો ભૂગણિત કિરણો હોય, તો તે બહિર્મુખ છે. બુસેમેન વિધેય એ બિંદુની મર્યાદા હોવાથી, બુસેમેન વિધેયો હેડમર્ડ જગ્યાઓ પર બહિર્મુખ છે. હેડમર્ડ જગ્યા પર, વિધેયો કોઈપણ બંધાયેલા સબસેટ પર સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. જવા દો. આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત હોવાથી, એલેક્ઝાન્ડ્રોવની હડામર્ડ જગ્યાઓ માટેની પ્રથમ સરખામણી પ્રમેય સૂચવે છે કે કાર્ય બહિર્મુખ છે. આમ માટે જેથી લેટિંગ t એ φ તરફ વલણ ધરાવે છે, તે અનુસરે છે કે તેથી બંધાયેલા સમૂહો પર કન્વર્જન્સ એકસમાન છે. નોંધ લો કે (તેના પુરાવા સાથે) માટે ઉપરની અસમાનતા ભૂગણિતીય વિભાગો માટે પણ લાગુ પડે છેઃ જો એક ભૂગણિતીય વિભાગ છે જે આર્ક્લેન્થથી શરૂ થાય છે અને પેરામેટ્રાઇઝ્ડ હોય તો પછી ધારો કે તે હેડમાર્ડ અવકાશમાં બિંદુઓ છે, અને ચાલો ભૂગણિતીય સાથે અને ક્યાંથી હોઈએ. આ ભૌગોલિક બિંદુ પર બંધ દડાની સીમાને કાપી નાખે છે. આમ જો, તો તેની સાથે એક મુદ્દો છે. આ સ્થિતિ બુસેમેન કાર્યો માટે ચાલુ રહે છે. બુસેમેન વિધેયો માટેના ગુણધર્મનું નિવેદન અને પુરાવો હેડમર્ડ અવકાશના બંધ બહિર્મુખ ઉપગણ પર મૂળભૂત પ્રમેય પર આધાર રાખે છે, જે હિલ્બર્ટ અવકાશમાં ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણને સામાન્ય બનાવે છેઃ જો હેડમર્ડ અવકાશમાં બંધ બહિર્મુખ સમૂહ હોય, તો દરેક બિંદુ અને માં એક અનન્ય સૌથી નજીકનો બિંદુ ધરાવે છે; વધુમાં તે વિશિષ્ટ રીતે ગુણધર્મ દ્વારા નક્કી થાય છે કે, માટે, જેથી યુક્લિડિયન સરખામણી ત્રિકોણમાં ખૂણો તેના કરતા મોટો અથવા બરાબર હોય. જો હેડમર્ડ જગ્યા પર બુસેમેન વિધેય હોય, તો પછી, અને માં આપવામાં આવે છે, તેની સાથે એક અનોખો બિંદુ છે. નિશ્ચિત માટે, બિંદુ એ બંધ બહિર્મુખ બિંદુઓના સમૂહની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે અને તેથી તેના પર સતત આધાર રાખે છે. ચાલો સૌથી નજીકનું બિંદુ બનીએ. પછી અને તેથી જ્યાં અનન્ય બિંદુ છે જ્યાં લઘુત્તમ છે તેના દ્વારા લઘુત્તમ કરવામાં આવે છે. લિપ્સિટ્ઝની સ્થિતિ દ્વારા. દાવાને સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે, એટલે કે. . બીજી બાજુ, કાર્યોના કોઈપણ બંધ બોલ પર સમાન મર્યાદા છે. પર, આ સાથે પોઈન્ટ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે. તેથી અનંત ચાલુ છે અને વલણ ધરાવે છે. આમ સાથે અને તરફ વલણ ધરાવે છે. ચાલો સાથે સૌથી નજીકનું બિંદુ બનીએ. જવા દો. પછી, અને, લિપશિટ્ઝ શરત દ્વારા, ચાલુ કરો. ખાસ કરીને કરે છે. જો જરૂરી હોય તો અનુગામી તરફ આગળ વધવું તે ધારી શકાય છે અને બંને વધી રહ્યા છે (થી). બહિર્મુખ ઓપ્ટિમાઇઝેશન માટેની અસમાનતા તે માટે સૂચવે છે. તેથી તે એક કોચી ક્રમ છે. જો તેની મર્યાદા હોય, તો પછી અને. વિશિષ્ટતા દ્વારા તે તેને અનુસરે છે અને તેથી, જરૂરિયાત મુજબ. એકસમાન મર્યાદાઓ. ઉપરોક્ત દલીલ વધુ સામાન્ય રીતે સાબિત કરે છે કે જો અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે અને વિધેયો બંધાયેલા સમૂહો પર સમાન રીતે વલણ ધરાવે છે, તો પછી બહિર્મુખ છે, લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક 1 સાથે લિપ્સિટ્ઝ અને, અને, તેમાં આપવામાં આવે છે, જેમ કે તેની સાથે એક અનન્ય બિંદુ છે. જો બીજી બાજુ ક્રમ બંધાયેલો હોય, તો પછી બધા શબ્દો અમુક બંધ બોલમાં આવેલા હોય છે અને ત્યાં એકસમાન કન્વર્જન્સ સૂચવે છે કે તે એક કોચી ક્રમ છે તેથી કેટલાકમાં કન્વર્જ થાય છે. તેથી સમાન સ્વરૂપના કાર્ય માટે સમાન વલણ ધરાવે છે. આ જ દલીલ એ પણ દર્શાવે છે કે કાર્યોનો વર્ગ જે સમાન ત્રણ શરતોને સંતોષે છે (બહિર્મુખ, લિપશિટ્ઝ અને બંધ દડાઓ પર મિનિમા હોવા) તે બંધ સમૂહો પર સમાન મર્યાદા હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે. કોમેન્ટ કરો. નોંધ કરો કે, હેડમર્ડ જગ્યાના હેડમર્ડ સબસેટના કોઈપણ બંધ બહિર્મુખ સબસેટ પણ હેડમર્ડ સ્પેસ હોવાથી, હેડમર્ડ જગ્યામાં કોઈપણ બંધ બોલ હેડમર્ડ સ્પેસ છે. ખાસ કરીને એવું હોવું જરૂરી નથી કે દરેક ભૂગણિત વિભાગ સમગ્ર અથવા અર્ધ-અનંત અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત ભૂગણિતમાં સમાયેલ હોય. હિલ્બર્ટ જગ્યાનો બંધ એકમ દડો એક સ્પષ્ટ ઉદાહરણ આપે છે જે યોગ્ય મેટ્રિક જગ્યા નથી. જો બહિર્મુખ કાર્ય હોય, તો સ્થિરાંક 1 સાથેનું લિપશિટ્ઝ અને તેની સાથે સીમા પર એક અનન્ય બિંદુ પર ત્રિજ્યા સાથે કેન્દ્રિત કોઈપણ બંધ દડા પર તેનું લઘુત્તમ ધારે છે, તો પછી તેમાંના દરેક માટે એક અનન્ય ભૌગોલિક કિરણ હોય છે જે દરેક બંધ બહિર્મુખ સમૂહને એટ સાથે કાપી નાખે છે, જેથી. ખાસ કરીને આ દરેક બુસેમેન કાર્ય માટે લાગુ પડે છે. ત્રીજી શરત સૂચવે છે કે તે બંધ બહિર્મુખ બિંદુઓના સમૂહમાં સૌથી નજીકનું બિંદુ છે. ચાલો જિયોડેસિક જોડાઈએ. પછી લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક 1 સંતોષકારક અને અને સાથે એક બહિર્મુખ લિપ્સિટ્ઝ વિધેય ચાલુ છે. તેથી દરેક જગ્યાએ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, કારણ કે જો અને. એટલે. વિશિષ્ટતા દ્વારા તે અનુસરે છે કે તે સૌથી નજીકનું બિંદુ છે અને તે અનન્ય બિંદુ છે જે ઘટાડે છે. વિશિષ્ટતા સૂચવે છે કે આ ભૂગણિત વિભાગો મનસ્વી રીતે મેળ ખાય છે અને તેથી તે જણાવેલા ગુણધર્મ સાથે ભૂગણિત કિરણો સુધી વિસ્તરે છે. જો, તો પછી શરૂ થતું ભૌમિતિક કિરણ સંતુષ્ટ થાય છે. જો તેનાથી શરૂ થતું બીજું કિરણ હોય તો. પ્રથમ દાવાને સાબિત કરવા માટે, આને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે ચકાસવા માટે પૂરતું છે. તે કિસ્સામાં અને બંધ બહિર્મુખ સમૂહના અને તેના પરના અંદાજો છે. તેથી, તા. એટલે. બીજો દાવો અનુસરે છે કારણ કે તે બહિર્મુખ અને બંધાયેલ છે, તેથી, જો તે અદૃશ્ય થઈ જાય, તો દરેક જગ્યાએ અદૃશ્ય થઈ જવું જોઈએ. ધારો કે તે એક સતત બહિર્મુખ કાર્ય છે અને તેમાંના દરેક માટે એક અનન્ય ભૌગોલિક કિરણ છે જે દરેક બંધ બહિર્મુખ સમૂહને કાપી નાખે છે, જેથી; પછી તે એક બુસેમેન કાર્ય છે. તે એક સતત કાર્ય છે. તેની સાથે બિંદુઓનો બંધ બહિર્મુખ સમૂહ હોવો જોઈએ. દરેક બિંદુ માટે હડામર્ડ જગ્યા હોવાથી તેમાં એક અનન્ય સૌથી નજીકનું બિંદુ છે. તે સતત તેના પર આધાર રાખે છે અને જો તે બહાર આવેલું હોય, તો તે અતિસંવેદનશીલ સપાટી પર આવેલું હોય છે-ષ્ણની સીમા-અને બહિર્મુખ ઓપ્ટિમાઇઝેશનની અસમાનતાને સંતોષે છે. ચાલો જિયોડેસિક કિરણ અહીંથી શરૂ થાય છે. ઠીક કરો. ચાલો જિયોડેસિક કિરણ અહીંથી શરૂ થાય છે. ચાલો, બેઝ પોઇન્ટ સાથે બુસેમેન કાર્ય કરે છે. ખાસ કરીને. તે બતાવવા માટે પૂરતું છે. હવે તેની સાથે લો અને તેને અનુરૂપ જિયોડેસિક કિરણો શરૂ થવા દો. પછી બીજી બાજુ, કોઈપણ ચાર બિંદુઓ માટે,, હદામર્ડ અવકાશમાં, રેશેત્ન્યકની નીચેની ચતુર્ભુજ અસમાનતા ધરાવે છેઃ સેટિંગ,,, તે અનુસરે છે જેથી તેથી. તેવી જ રીતે. તેથી સમાવતી સ્તરની સપાટી પર. હવે માટે અને અંદર, ભૂગણિત કિરણો અહીંથી શરૂ થવા દો. પછી અને. વધુમાં, મર્યાદા દ્વારા,. પ્રવાહનો ઉપયોગ આ પરિણામની તમામ સ્તરની સપાટીઓ પર પરિવહન કરવા માટે થઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે, જો, તે લો અને સેટ કરો. પછી ક્યાં. પણ પછી, જેથી. તેથી, જરૂરિયાત મુજબ. તેવી જ રીતે જો, એવું જ લો. જવા દો. પછી, તેથી. તેથી, જરૂરિયાત મુજબ. છેવટે, એક જ બુસેમેન કાર્યને અચળાંક સુધી વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે બે ભૂગણિતશાસ્ત્ર માટે જરૂરી અને પૂરતી શરતો છેઃ હેડમર્ડ અવકાશ પર, બે ભૂગણિત કિરણોના બુસેમેન કાર્યો અને અચળાંક દ્વારા અલગ પડે છે જો અને માત્ર જો. ધારો કે સૌપ્રથમ તે અને બે ભૂગણિતીય કિરણો છે જેમાં બુસેમેન વિધેયો અચળાંક દ્વારા અલગ પડે છે. ભૂગણિતમાંથી એકની દલીલને અચળાંક દ્વારા ખસેડીને, એવું માની શકાય છે કે, કહો. જેના પર બંધ બહિર્મુખ સેટ હોવો જોઈએ. પછી અને તેવી જ રીતે. પછી, બિંદુઓ માટે અને સૌથી નજીકના બિંદુઓ હોય છે અને અંદર, જેથી. એટલે. હવે ધારો કે. ચાલો સાથે સંકળાયેલ જિયોડેસિક કિરણોની શરૂઆત કરીએ. પછી. એટલે. ત્યારથી અને બંને શરૂ થાય છે, તે તેને અનુસરે છે. અગાઉના પરિણામ દ્વારા અને અચળાંક દ્વારા અલગ પડે છે; તેથી અને અચળાંક દ્વારા અલગ પડે છે. સારાંશમાં, ઉપરોક્ત પરિણામો હેડમર્ડ જગ્યા પર બુસેમેન વિધેયોની નીચેની લાક્ષણિકતા આપે છેઃ TheOREM. હેડમર્ડ જગ્યા પર, વિધેય પર નીચેની શરતો સમકક્ષ હોય છેઃ તે એક બુસેમેન વિધેય છે. તે એક બહિર્મુખ કાર્ય છે, સ્થિરાંક સાથે લિપશિટ્ઝ અને તેની સાથે સીમા પર એક અનન્ય બિંદુ પર ત્રિજ્યા સાથે કેન્દ્રિત કોઈપણ બંધ દડા પર તેનું લઘુત્તમ ધારે છે. તે એક સતત બહિર્મુખ કાર્ય છે અને તેમાંના દરેક માટે એક અનન્ય ભૌગોલિક કિરણો હોય છે અને કોઈપણ માટે, કિરણો દરેક બંધ બહિર્મુખને કાપી નાખે છે. અગાઉના વિભાગમાં એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે જો હેડમાર્ડ જગ્યા હોય અને તે એક નિશ્ચિત બિંદુ હોય તો બુસેમેન કાર્યોની જગ્યાનું જોડાણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને બંધ સમૂહો પર સમાન મર્યાદા લેતા કાર્યોની જગ્યા બંધ થઈ જાય છે. આ પરિણામને સરહદીકરણની કલ્પનામાં ઔપચારિક બનાવી શકાય છે. આ ટોપોલોજીમાં, બિંદુઓ ભૂગણિતીય કિરણો તરફ વલણ ધરાવે છે જે જો અને માત્ર ત્યારે જ શરૂ થાય છે જો વલણથી દરેક વિભાગ પર બિંદુને અંતર પર લઈને મેળવેલા ક્રમને મનસ્વી રીતે મોટો બનાવે છે. જો મેટ્રિક જગ્યા હોય, તો ગ્રોમોવની સીમાબદ્ધતા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એક બિંદુ ઠીક કરો અને જવા દો. Lipschitz કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન્સની જગ્યા ચાલુ રાખો, એટલે કે. જેના માટે કેટલાક માટે સતત. આ જગ્યાને સેમિનોર્મ્સ દ્વારા ટોપોલોગાઇઝ કરી શકાય છે, જે બાઉન્ડેડ સમૂહો પર સમાન કન્વર્જન્સની ટોપોલોજી છે. સેમિનોર્મ્સ લિપ્સચિટ્ઝ શરતો દ્વારા મર્યાદિત છે. આ સતત બંધાયેલા કાર્યોના બનાચ જગ્યાઓના સીધા ઉત્પાદનમાં કુદરતી નકશા દ્વારા પ્રેરિત ટોપોલોજી છે. તે મેટ્રિક દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર્ય પર મોકલીને જગ્યા જડિત કરવામાં આવે છે. અંદરથી બંધ થવા દો. પછી માપવા યોગ્ય છે, કારણ કે છે, અને એક ખુલ્લા સબસેટ તરીકે સમાવે છે; વધુમાં બેઝપોઈન્ટની વિવિધ પસંદગીઓમાંથી ઉદ્ભવતા બોર્ડિફિકેશન કુદરતી રીતે હોમોમોર્ફિક છે. જવા દો. પછી અંદર સૂઈ જાય છે. તે બિન-શૂન્ય હોય છે અને માત્ર શૂન્ય પર જ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી તે શૂન્ય સમૂહ સાથે સતત કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે. તે પછી જરૂરિયાત મુજબ બંધ કરવામાં આવે છે. તે તપાસવા માટે કે જે બેઝપોઈન્ટથી સ્વતંત્ર છે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે જે ચાલુ કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે. પરંતુ, તેથી, અંદર માટે. તેથી માટે અને માટે કોમ્પેક્ટિફિકેશન વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર ઇન મોકલીને આપવામાં આવે છે. હેડામાર્ડ જગ્યા ક્યારે હોય છે, ત્યારે ગ્રોમોવની આદર્શ સીમાને બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ભૂગણિત કિરણોની "એસિમ્પ્ટોટિક મર્યાદાઓ" તરીકે સ્પષ્ટપણે અનુભવી શકાય છે. જો અંદર તરફ ઝુકાવ સાથે અમર્યાદિત ક્રમ હોય, તો પછી અદૃશ્ય થઈ જાય છે, બહિર્મુખ હોય છે, લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક સાથે લિપ્સિટ્ઝ હોય છે અને કોઈપણ બંધ દડા પર ન્યૂનતમ હોય છે. તેથી એક બ્યુસેમેન ફંક્શન છે જે એક અનન્ય જીઓડેસિક રેને અનુરૂપ છે જે અહીં શરૂ થાય છે. બીજી બાજુ, બાઉન્ડેડ સેટ પર એકસરખું વલણ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ વલણ ધરાવે છે અને દરેક સેગમેન્ટ પર બિંદુને અંતરથી લઈને મેળવેલા ક્રમને મનસ્વી રીતે મોટો બનાવે છે. કારણ કે, ચાલો મુદ્દો બનીએ. ધારો કે પ્રથમ તે એકસરખું ચાલુ રહેવાનું વલણ ધરાવે છે. પછી માટે. આ એક બહિર્મુખ કાર્ય છે. જેમ જેમ તે લુપ્ત થાય છે અને તેથી તે વધી રહ્યું છે. તેથી તે મહત્તમ કરવામાં આવે છે. તેથી દરેક માટે, 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. દો, અને. પછી મોટા સાથે નજીક છે. તેથી યુક્લિડિયન સરખામણી ત્રિકોણ મોટા ત્રિકોણની નજીક છે. તેથી ખૂણો નાનો છે. તેથી સમાન અંતર પરનું બિંદુ તેની નજીક આવેલું છે. તેથી, ભૂગણિતીય ત્રિકોણ માટેના પ્રથમ તુલનાત્મક પ્રમેય પ્રમાણે, તે નાનું છે. તેનાથી વિપરીત ધારો કે સ્થિર અને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. પછી ઉપરોક્તમાંથી સંતુષ્ટ થાય છે જેથી તે પૂરતું દર્શાવે છે કે કોઈપણ બાઉન્ડેડ સેટ પર પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે સમાન રીતે નજીક છે. નિશ્ચિત દડા માટે, તેને ઠીક કરો જેથી. આ દાવો પછી હડામર્ડ અવકાશમાં ભૌગોલિક વિભાગો માટેની અસમાનતાનું તાત્કાલિક પરિણામ છે, કારણ કે તેથી, જો તેમાં અને તે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું હોય, તો પછી બુસેમેન હડામર્ડ મેનીફોલ્ડ પર કાર્ય કરે છે. આ ભૌગોલિક બંધ દડાની સીમાને બે બિંદુઓ પર કાપી નાખે છે. આમ જો, તો તેની સાથે એવા બિંદુઓ છે. સાતત્ય દ્વારા આ શરત બુસેમેન વિધેયો માટે ચાલુ રહે છેઃ જો હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડ પર બુસેમેન વિધેય હોય, તો પછી, અને માં આપવામાં આવે છે, ત્યાં અનન્ય બિંદુઓ છે, જેમ કે અને. નિશ્ચિત કરવા માટે, બિંદુઓ અને તેના પર સતત આધાર રાખે છે. અને તરફ વલણ ધરાવતો ક્રમ લેતા, ત્યાં બિંદુઓ છે અને જે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે આ શરતોને સંતોષે છે. જો જરૂરી હોય તો અનુગામી તરફ આગળ વધવું, તે ધારી શકાય છે અને અને તરફ વલણ ધરાવે છે. સાતત્ય દ્વારા આ બિંદુઓ શરતોને સંતોષે છે. વિશિષ્ટતા સાબિત કરવા માટે, નોંધ લો કે સઘનતા દ્વારા તેની મહત્તમ અને લઘુત્તમ ધારણ કરે છે. લિપશિટ્ઝ સ્થિતિ દર્શાવે છે કે તેના મૂલ્યો વધુમાં વધુ અલગ પડે છે. તેથી તેને લઘુત્તમ અને મહત્તમ કરવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, અને માટે અને પોઈન્ટ અને આ અંતરને મહત્તમ કરવામાં અનન્ય પોઈન્ટ છે. તે પછી લિપશિટ્ઝ શરત તરત જ સૂચવે છે અને મહત્તમ કરવા અને ઘટાડવામાં અનન્ય બિંદુઓ હોવા જોઈએ. હવે ધારો કે તે વલણ ધરાવે છે. પછી અનુરૂપ પોઇન્ટ્સ અને બંધ બોલમાં આવેલા હોય છે તેથી કન્વર્જન્ટ અનુગામીઓને સ્વીકારો. પરંતુ વિશિષ્ટતા દ્વારા અને આવા કોઈપણ અનુગામીઓ તરફ વલણ હોવું જોઈએ અને, જેથી અને વલણ હોવું જોઈએ અને સાતત્ય સ્થાપિત કરવું જોઈએ. ઉપરોક્ત પરિણામ વધુ સામાન્ય રીતે હદામાર્ડ જગ્યામાં હોય છે. જો હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડ પર બુસેમેન વિધેય હોય, તો તે બધા માટે સતત વિકલનક્ષમ છે. અગાઉના ગુણધર્મોમાંથી, દરેક માટે એક અનન્ય જીઓડેસિક γ (t) છે જે તેની સાથે આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત છે. તેની પાસે તે ગુણધર્મ છે જેના પર તે કાપ મૂકે છેઃ અગાઉના સંકેતલિપીમાં અને. એકમ વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર ક્ષેત્ર સતત છે, કારણ કે તે એક સતત કાર્ય છે અને કાર્ટાન-હેડમર્ડ પ્રમેય દ્વારા જે નકશાને મોકલવામાં આવે છે તે એક ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. ચાલો સાથે દ્વારા આર્ક્લેન્થ દ્વારા વર્ગીકૃત અન્ય જીઓડેસિક પરિમાણો હોઈએ. પછી. ખરેખર, દો, જેથી. પછી આને અને સાથે લાગુ કરવું, તે અનુસરે છે કે બાહ્ય શરતો 0 તરફ વલણ ધરાવે છે, તેથી મધ્ય મુદતની સમાન મર્યાદા છે, જેમ દાવો કરવામાં આવ્યો છે. એક સમાન દલીલ લાગુ પડે છે. બાહ્ય શબ્દો પરનો દાવો આર્ક્લેન્થ માટેના પ્રથમ ભિન્નતા સૂત્રમાંથી અનુસરે છે, પરંતુ નીચે પ્રમાણે સીધા જ અનુમાન કરી શકાય છે. ચાલો અને, બંને એકમ વેક્ટર. પછી સ્પર્શક વેક્ટર માટે અને એકમ બોલમાં એકસમાન રીતે બંધાયેલ હોય છે. દો અને. પછી અહીં જમણી બાજુ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે કારણ કે તે જ પદ્ધતિ અન્ય શરતો માટે કામ કરે છે. તેથી તે અનુસરે છે કે જે વેક્ટર ક્ષેત્ર સાથે દ્વિગુણિત કાર્ય છે, જેથી. વેક્ટર ક્ષેત્ર આમ માટે ઢાળ વેક્ટર ક્ષેત્ર છે. કોઈપણ બિંદુ દ્વારા ભૌગોલિક પ્રવાહ માટે પ્રવાહ રેખાઓ છે, તેથી તે માટે ઢાળ પ્રવાહ છે. થિયોરમ. હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડ પર સતત વિધેય પર નીચેની શરતો સમકક્ષ હોય છેઃ તે એક બુસેમેન વિધેય છે. એક બહિર્મુખ, સ્થિરાંક 1 સાથેનું લિપશિટ્ઝ વિધેય છે, અને તેમાંના દરેક માટે તેનાથી અંતર પર બિંદુઓ છે. સાથે એક બહિર્મુખ કાર્ય છે. તે પહેલેથી જ સાબિત થઈ ચૂક્યું છે કે (1) નો અર્થ (2) થાય છે. ઉપરની દલીલો મ્યુટાટિસ મ્યુટેન્ડી દર્શાવે છે કે (2) સૂચવે છે (3). તેથી તે બતાવવાનું બાકી છે કે (3) એ (1) સૂચવે છે. ઠીક કરો. માટે ગ્રેડિયન્ટ ફ્લો થવા દો. તે તેને અનુસરે છે અને તે સાથે આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત ભૂગણિત છે. ખરેખર, જો, તો તે. ચાલો, બેઝ પોઇન્ટ સાથે બુસેમેન કાર્ય કરે છે. ખાસ કરીને. (1) સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે. તેની સાથે બિંદુઓનો બંધ બહિર્મુખ સમૂહ હોવો જોઈએ. દરેક બિંદુ માટે હડામર્ડ જગ્યા હોવાથી તેમાં એક અનન્ય સૌથી નજીકનું બિંદુ છે. તે સતત તેના પર આધાર રાખે છે અને જો તે બહાર આવેલું હોય, તો તે અતિસંવેદનશીલ સપાટી-ની સીમા-પર આવેલું છે અને ભૂગણિતીય થી થી ઓર્થોગોનલ છે. આ કિસ્સામાં જીઓડેસિક ન્યાયી છે. ખરેખર, હકીકત એ છે કે પ્રવાહનો ઢાળ પ્રવાહ અને શરતો સૂચવે છે કે પ્રવાહ રેખાઓ આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત ભૂગણિત છે અને ઓર્થોગોનલી સ્તરના વળાંકને કાપી નાખે છે. બીજી બાજુ, હડામર્ડ અવકાશમાં, કોઈપણ ચાર બિંદુઓ માટે, અને સાથે લેતા, રેશેત્ન્યકની નીચેની ચતુર્ભુજ અસમાનતા આ પ્રમાણે છેઃ સેટિંગ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, પ્રવાહનો ઉપયોગ આ પરિણામની તમામ સ્તરની સપાટીઓ પર પરિવહન કરવા માટે થઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે તે લો અને સેટ કરો. પછી ક્યાં. પણ પછી, જેથી. તેથી, જરૂરિયાત મુજબ. નોંધ લો કે આ દલીલને એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકી કરી શકાય છે કે બે બુસેમેન કાર્યો અને સ્થિરાંક દ્વારા અલગ પડે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અનુરૂપ ભૌગોલિક કિરણો સંતુષ્ટ થાય. ખરેખર, પ્રવાહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત તમામ ભૂગણિત પછીની સ્થિતિને સંતોષે છે, તેથી અચળાંકો દ્વારા અલગ પડે છે. આમાંથી કોઈપણ ભૂગણિત વ્યુત્પન્ન 1 સાથે રેખીય હોવાથી, સ્થિરાંકો દ્વારા આ બુસેમેન વિધેયોથી અલગ હોવા જોઈએ. યોગ્ય હેડમર્ડ જગ્યાના કોમ્પેક્ટિફિકેશનએ હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડના કોમ્પેક્ટિફિકેશનને વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જે બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે. તેમની રચના, જે વધુ સામાન્ય રીતે યોગ્ય (એટલે કે. સ્થાનિક રીતે સઘન) હદામાર્ડ જગ્યાઓ, યોગ્ય મેટ્રિક જગ્યાઓના વધુ સામાન્ય વર્ગ માટે-"આદર્શ સીમા" ઉમેરીને-ગ્રોમોવ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સઘનતાની સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અનુભૂતિ આપે છે, જેના માટે દરેક બંધ દડો સઘન હોય છે. નોંધ લો કે, કોઈપણ કોચી ક્રમ બંધ દડામાં સમાયેલો હોવાથી, કોઈપણ યોગ્ય મેટ્રિક જગ્યા આપમેળે પૂર્ણ થાય છે. આદર્શ સીમા એ મેટ્રિક જગ્યા માટે આદર્શ સીમાનો એક વિશેષ કેસ છે. હેડમર્ડ જગ્યાઓના કિસ્સામાં, આ જગ્યાના સરહદીકરણમાં બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવેલ કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુથી નીકળતા ભૌગોલિક કિરણોની જગ્યા સાથે સંમત થાય છે. જો યોગ્ય મેટ્રિક જગ્યા હોય, તો ગ્રોમોવના સંકોચનને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એક બિંદુ ઠીક કરો અને જવા દો. ચાલો Lipschitz કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન્સની જગ્યા. જેના માટે કેટલાક માટે સતત. જગ્યાને સેમિનોર્મ્સ દ્વારા ટોપોલોગાઇઝ કરી શકાય છે, કોમ્પેક્ટા પર સમાન કન્વર્જન્સની ટોપોલોજી. આ ટોપોલોજી C (X) ના કુદરતી નકશા દ્વારા બનાચ જગ્યાઓના સીધા ઉત્પાદનમાં પ્રેરિત છે. તે મેટ્રિક દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર્ય પર મોકલીને જગ્યા જડિત કરવામાં આવે છે. અંદરથી બંધ થવા દો. પછી કોમ્પેક્ટ (મેટ્રીઝેબલ) હોય છે અને તે ઓપન સબસેટ તરીકે હોય છે; વધુમાં બેઝપોઈન્ટની વિવિધ પસંદગીઓમાંથી ઉદ્ભવતા કોમ્પેક્ટિફિકેશન કુદરતી રીતે હોમોમોર્ફિક હોય છે. કોમ્પેક્ટનેસ આર્ઝેલા-એસ્કોલી થીયરમમાંથી અનુસરે છે કારણ કે અંદરની છબી સમવર્તી છે અને ધોરણમાં સમાન રીતે દ્વારા બંધાયેલ છે. ચાલો અંદર તરફ વલણમાં એક ક્રમ બનીએ. પછી બધા પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા શબ્દો બહાર હોવા જોઈએ કારણ કે તે કોમ્પેક્ટ છે, જેથી કોઈપણ અનુગામી એક બિંદુ પર ભેગા થાય; તેથી ક્રમ અમર્યાદિત હોવો જોઈએ. જવા દો. પછી અંદર સૂઈ જાય છે. તે બિન-શૂન્ય હોય છે અને માત્ર શૂન્ય પર જ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી તે શૂન્ય સમૂહ સાથે સતત કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે. તે પછી જરૂરિયાત મુજબ બંધ કરવામાં આવે છે. કોમ્પેક્ટિફિકેશન બેઝપોઈન્ટથી સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે તપાસવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે તે ચાલુ કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે. પરંતુ, તેથી, અંદર માટે. તેથી માટે અને માટે કોમ્પેક્ટિફિકેશન વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર ઇન મોકલીને આપવામાં આવે છે. જ્યારે હેડમર્ડ મેનીફોલ્ડ (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે યોગ્ય હેડમર્ડ જગ્યા) હોય, ત્યારે ગ્રોમોવની આદર્શ સીમાને બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ભૂગણિતની "એસિમ્પ્ટોટિક મર્યાદાઓ" તરીકે સ્પષ્ટપણે અનુભવી શકાય છે. આધાર બિંદુને નિશ્ચિત કરવા માટે, ત્યાં એક અનન્ય ભૌગોલિક પરિમાણ છે જે આર્ક્લેન્થ દ્વારા માપવામાં આવે છે અને તે આપેલ એકમ વેક્ટર છે. જો અનુરૂપ બુસેમેન કાર્ય હોય, તો તે એકમ-ગોળાના હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે અને તેને મોકલે છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક, કે. એ. ટી. (-1) અને હાયપરબોલિક જગ્યાઓમાં ક્વાસિગોડેસિક મોર્સ-મોસ્ટો લેમ્મા નકારાત્મક વળાંકની જગ્યાઓના કિસ્સામાં, જેમ કે પોઇનકેરે ડિસ્ક, કે. એ. ટી. (-1) અને હાયપરબોલિક જગ્યાઓ, તેમની ગ્રોમોવ સીમા પર મેટ્રિક માળખું હોય છે. આ માળખું અર્ધ-સમમિતિનાં જૂથ દ્વારા સાચવવામાં આવે છે, જે ભૂગણિતીય કિરણોને અર્ધસૂત્રી કિરણો સુધી લઈ જાય છે. ક્વાસિગોડેસિક્સનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ નકારાત્મક વક્ર સપાટીઓ માટે કરવામાં આવ્યો હતો-ખાસ કરીને હાયપરબોલિક અપર હાફપ્લેન અને યુનિટ ડિસ્ક-મોર્સ દ્વારા અને અલગ જૂથોની કઠોરતા પરના તેમના કાર્ય માટે, મોસ્ટો દ્વારા નકારાત્મક વક્ર સમપ્રમાણતાવાળી જગ્યાઓ માટે સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. મૂળભૂત પરિણામ એ ભૂગણિતની સ્થિરતા પર મોર્સ-મોસ્ટો લેમ્મા છે. વ્યાખ્યા મુજબ, સાથે અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત ક્વાસીજીઓડેસિક એ મેટ્રિક જગ્યામાં નકશો છે, જે જરૂરી નથી કે સતત હોય, જેના માટે સ્થિરાંકો છે અને જેમ કે બધા માટે અનેઃ નીચેનું પરિણામ આવશ્યકપણે માર્સ્ટન મોર્સ (1924) ને કારણે છે. ભૂગણિતની સ્થિરતા પર મોર્સનો સિદ્ધાંત. હાયપરબોલિક ડિસ્કમાં એક સ્થિરાંક હોય છે જે તેના પર આધાર રાખે છે અને જેમ કે મર્યાદિત અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ ક્વાસિગોડેસિક સેગમેન્ટ જીઓડેસિક સેગમેન્ટના હૌસડોર્ફ અંતરની અંદર હોય છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક માટેનો શાસ્ત્રીય પુરાવો પોઇનકેરે એકમ ડિસ્ક અથવા ઉપલા અર્ધ સમતલ માટે મોર્સના લેમ્માનો શાસ્ત્રીય પુરાવો ભૂગણિત વિભાગ પર ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનો ઉપયોગ કરીને વધુ સીધા આગળ વધે છે. એવું માની શકાય છે કે જાત મજબૂત "સ્યુડો-જીઓડેસિક" સ્થિતિને સંતોષે છેઃ તેને સતત પીસવાઇઝ જીઓડેસિક વળાંક દ્વારા બદલી શકાય છે, જેમાં સમાન અંતિમ બિંદુઓ મર્યાદિત હૌસડોર્ફ અંતરથી ઓછા અંતરે આવેલા હોય છેઃ અંતરાલને વિભાજિત કરો જેના પર લંબાઈના સમાન પેટા અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને પેટા અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ હેઠળની છબીઓ વચ્ચે ભૂગણિત લો. કારણ કે તે પીસવાઇઝ જીઓડેસિક છે, તે લિપ્સચિટ્ઝ અચળાંક સાથે સતત છે, જ્યાં. અંતરાલોના અંતિમ બિંદુઓ પર નીચલી સીમા આપોઆપ હોય છે. બાંધકામ દ્વારા અન્ય મૂલ્યો આનાથી સમાન રીતે બંધાયેલા દ્વારા અલગ પડે છે, જે ફક્ત અને પર આધાર રાખે છે; નીચલી બંધાયેલ અસમાનતા આ સમાન બંધની બમણી રકમ ઉમેરીને ε વધારીને જાળવી રાખે છે. જો ભૂગણિત રેખાના-પડોશીની બહાર આવેલો અને ભૂગણિત રેખા પર ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ હોય તોઃ ઉપલા અડધા સમતલમાં સમમિતિનો ઉપયોગ કરીને, એવું માની શકાય છે કે ભૂગણિત રેખા એ હકારાત્મક કાલ્પનિક અક્ષ છે, જે કિસ્સામાં તેના પર ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ અને દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી પૂર્વધારણા સૂચવે છે, જેથી માત્ર અને તેના પર આધાર રાખતો એક અચળાંક હોય છે જે ભૌગોલિક સેગમેન્ટના-પડોશીની અંદર રહે છે. ચાલો જિયોડેસિક સેગમેન્ટ ધરાવતી જિયોડેસિક રેખા બનીએ. પછી ત્યાં એક સ્થિરાંક છે જે ફક્ત અને તેના પર આધાર રાખે છે કે-પડોશી એક-પડોશીની અંદર રહે છે. ખરેખર કોઈપણ માટે, જેનો સબસેટ-પડોશીના બંધ થવાની બહાર આવેલો છે તે ખુલ્લો છે, તેથી ખુલ્લા અંતરાલોની ગણતરીપાત્ર જોડાણ છે. પછી ડાબી બાજુ અને કરતા ઓછી અથવા સમાન હોવાથી દરેક બિંદુ તેના કરતા ઓછા અથવા સમાન અંતરે આવેલું છે. દાવાને કાઢવા માટે, નોંધ લો કે જેનો સબસેટ-પડોશીના બંધ થવાની બહાર આવેલો છે તે ખુલ્લો છે, તેથી અંતરાલો સાથે અને બંનેનું જોડાણ અથવા બંનેના અંતરે છે. પછી ત્યારથી આ દાવો તેના કરતા વધુ લે છે. માત્ર અને તેના પર આધાર રાખીને એક અચળાંક છે કે જેનો ભૌગોલિક વિભાગ એક-પડોશીની અંદર આવેલો છે. દરેક બિંદુ અંતરની અંદર આવેલું છે. આમ ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ બંધ બહિર્મુખ સમૂહમાં એક બિંદુ પર તેના કરતા ઓછા અંતરે દરેક બિંદુને વહન કરે છે. તે સતત અને જોડાયેલ હોવાથી, નકશો પર હોવો આવશ્યક છે કારણ કે છબીમાં તેના અંતિમ બિંદુઓ છે. પરંતુ પછી દરેક બિંદુ એક બિંદુના અંતરની અંદર છે. પોઇનકેરે ડિસ્ક માટે ગ્રોમોવનો પુરાવો મોર્સના લેમ્માને કે. એ. ટી. (-1) જગ્યાઓના સામાન્યીકરણને ઘણીવાર મોર્સ-મોસ્ટો લેમ્મા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને શાસ્ત્રીય સાબિતીના સીધા સામાન્યીકરણ દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. ગ્રોમોવને કારણે હાયપરબોલિક મેટ્રિક જગ્યાઓના વધુ સામાન્ય વર્ગ માટે પણ સામાન્યીકરણ છે. પોઇનકેરે એકમ ડિસ્ક માટે ગ્રોમોવનો પુરાવો નીચે આપવામાં આવ્યો છે; હાયપરબોલિક મેટ્રિક જગ્યાઓના ગુણધર્મો પુરાવો દરમિયાન વિકસાવવામાં આવે છે, જેથી તે કે. એ. ટી. (-1) અથવા હાયપરબોલિક મેટ્રિક જગ્યાઓ પર મ્યુટાટિસ મ્યુટેન્ડી લાગુ કરે છે. આ એક મોટા પાયેની ઘટના હોવાથી, તે તપાસવા માટે પૂરતું છે કે અસમાનતાને સંતોષતા ડિસ્ક પરના કોઈપણ નકશા જીઓડેસિક સેગમેન્ટના હૌસડોર્ફ અંતરની અંદર છે. તે પછી સામાન્યતાની ખોટ વિના તેનું ભાષાંતર ધારવામાં આવી શકે છે અને પછી, (પૂર્ણાંક ભાગ) લઈને, પરિણામ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. અને ની છબીઓ વચ્ચેનું હૌસડોર્ફ અંતર દેખીતી રીતે માત્ર અને પર આધાર રાખીને અચળાંક દ્વારા બંધાયેલું છે. હવે ભૌગોલિક ત્રિકોણના આંતરિક વર્તુળનો વ્યાસ ક્યાં છે તેના કરતા ઓછો હોય છે; ખરેખર તે આદર્શ ત્રિકોણ દ્વારા સખત રીતે મહત્તમ કરવામાં આવે છે જ્યાં તે સમાન હોય છે. ખાસ કરીને, આંતરવર્તુળ ત્રિકોણને ત્રણ સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, જેની ત્રીજી બાજુ મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુની વિરુદ્ધ હોય છે, જેની લંબાઈ તેનાથી ઓછી હોય છે, તેથી તે અનુસરે છે કે ભૌગોલિક ત્રિકોણની દરેક બાજુ અન્ય બે બાજુઓના-પડોશીમાં સમાયેલી હોય છે. એક સરળ ઇન્ડક્શન દલીલ દર્શાવે છે કે શિરોબિંદુઓ સાથેનો ભૌગોલિક બહુકોણની દરેક બાજુ બીજી બાજુના પડોશમાં હોય છે (આવા બહુકોણ બે ભૌગોલિક બહુકોણને એક સામાન્ય બાજુની બાજુઓ સાથે જોડીને બનાવવામાં આવે છે). તેથી જો, એ જ અંદાજ બાજુઓવાળા બહુકોણ માટે લાગુ પડે છે. લેટ્સ માટે, બંધ દડાની સૌથી મોટી ત્રિજ્યા કે જેના પર તેના આંતરિક ભાગમાં કોઈ નથી. આ એક સતત કાર્ય છે જે બિન-શૂન્ય ચાલુ છે તેથી આ સેગમેન્ટમાં અમુક સમયે તેની મહત્તમ પ્રાપ્ત કરે છે. પછી કોઈની પણ છબીના પડોશીની અંદર આવેલું છે. તેથી તે સ્વતંત્ર માટે ઉપલી સીમા શોધવા માટે પૂરતું છે. સેગમેન્ટમાં પહેલાં અને પછી પસંદ કરો અને સાથે (અથવા અંતિમ બિંદુ જો તે કરતાં ઓછા અંતરે હોય તો). પછી સાથે છે,. તેથી, જેથી. ત્રિકોણ અસમાનતા દ્વારા વિભાગો પરના તમામ બિંદુઓ અને તેનાથી અંતરે છે. આમ બિંદુઓનો એક મર્યાદિત ક્રમ હોય છે જે શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે, સેગમેન્ટ પર પહેલા પડે છે, પછી બિંદુઓમાંથી આગળ વધે છે, સેગમેન્ટ લેતા પહેલા. ક્રમિક બિંદુઓને તેનાથી વધુ ન હોય તેવા અંતર દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે અને આ શરતને સંતોષવા માટે ભૌગોલિક વિભાગો પરના ક્રમિક બિંદુઓને પણ પસંદ કરી શકાય છે. આવા ક્રમમાં પોઈન્ટની લઘુતમ સંખ્યા સંતોષ આપે છે. આ બિંદુઓ એક બાજુ તરીકે ભૌમિતિક બહુકોણ બનાવે છે. લો, જેથી ની-પડોશીતામાં બહુકોણની અન્ય તમામ બાજુઓ ન હોય. તેથી, ઉપરના પરિણામ પરથી, તે અનુસરે છે. તેથી આ અસમાનતા સૂચવે છે કે દાવો કરવામાં આવ્યો છે તેમ તે સ્વતંત્ર રીતે એકસરખી રીતે બંધાયેલ છે. જો બધા બિંદુઓ ની અંદર હોય, તો પરિણામ અનુસરે છે. નહિંતર જે બિંદુઓ મહત્તમ ઉપગણમાં આવતા નથી. આમ બિંદુઓ અંતરની અંદરના પૂરક સાથે એક બિંદુ ધરાવે છે. પરંતુ પૂરક, અને સાથે એક અસંબદ્ધ જોડાણ. જોડાણ સૂચવે છે કે સેગમેન્ટમાં એક બિંદુ છે જે બિંદુઓના અંતરની અંદર અને અને સાથે છે. પણ પછી. તેથી ઓછા અંતરની અંદર આવેલા માટે બિંદુઓ. યાદ કરો કે હડામર્ડ અવકાશમાં જો અને બે ભૌગોલિક વિભાગો અને મધ્યવર્તી બિંદુઓ હોય અને તેમને ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે, તો તે ઉત્તલ કાર્ય છે. ખાસ કરીને જો અને તે એક જ બિંદુથી શરૂ કરવા પર વ્યાખ્યાયિત એકમ ગતિના ભૂગણિતીય વિભાગો હોય તો ખાસ કરીને આ નીચે મુજબ સૂચવે છેઃ કે. એ. ટી. (-1) અવકાશમાં, માત્ર અને તેના આધારે એક અચળાંક હોય છે કે જે કોઈપણ અર્ધ-ભૂગણિતીય કિરણો ભૂગણિતીય કિરણોના બંધાયેલ હૌસડોર્ફ અંતરની અંદર હોય. સમાન પરિણામ ક્વાસિગોડેસિક અને જીઓડેસિક રેખાઓ માટે લાગુ પડે છે. જો જિયોડેસિક હોય તો અચળાંક સાથે કહો અને, ચાલો સેગમેન્ટ માટે એકમ ઝડપ જિયોડેસિક હોઈએ. ઉપરનો અંદાજ દર્શાવે છે કે નિશ્ચિત અને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે, સમાન મેટ્રિક સાથે કોચી ક્રમ છે. આમ કોમ્પેક્ટા પર સમાનરૂપે ભૌમિતિક કિરણ તરફ વલણ ધરાવે છે જે વચ્ચે હૌસડોર્ફ અંતર પર બંધાયેલ છે અને સેગમેન્ટ્સ મર્યાદિત ભૂગણિતને પણ લાગુ પડે છે. ક્વાસિગોડેસિક રેખાઓ માટેનો દાવો જીઓડેસિક સેગમેન્ટને અનુરૂપ લે છે. એફ્રેમોવિચ-તિખોમિરોવા પ્રમેય કે. એ. ટી. (-1) જગ્યાઓની ચર્ચા કરતા પહેલા, આ વિભાગ પોઇનકેરે મેટ્રિક સાથે એકમ ડિસ્ક માટે એફ્રેમોવિચ-તિખોમિરોવા પ્રમેયનું વર્ણન કરશે. તે ભારપૂર્વક જણાવે છે કે યુક્લિડિયન મેટ્રિક સાથે એકમ ડિસ્કના અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ સુધી અર્ધ-આઇસોમેટ્રી વિસ્તરે છે. આ પ્રમેય કે. એ. ટી. (-1) જગ્યાઓના વધુ સામાન્ય સિદ્ધાંત માટે પ્રોટોટાઇપ બનાવે છે. તેમનો મૂળ પ્રમેય થોડો ઓછો સામાન્ય અને ઓછો ચોક્કસ સ્વરૂપમાં સાબિત થયો હતો અને પોઇનકેરે મેટ્રિક માટે એકમ ડિસ્કના દ્વિ-લિપ્સિટ્ઝ હોમોમોર્ફિઝમ્સ પર લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો; અગાઉ, મરણોત્તર પેપરમાં, જાપાની ગણિતશાસ્ત્રી અકીરા મોરીએ ટેકમુલર સિદ્ધાંતની અંદર સંબંધિત પરિણામ સાબિત કર્યું હતું કે ડિસ્કનું દરેક ક્વાસિકોફોર્મલ હોમોમોર્ફિઝમ હોલ્ડર સતત છે અને તેથી એકમ વર્તુળના હોમોમોર્ફિઝમ સુધી સતત વિસ્તરે છે (તે જાણીતું છે કે આ વિસ્તરણ અર્ધ-મોબિયસ છે). જો પોઇનકેરે એકમ ડિસ્ક હોય, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે કે. એ. ટી. (-1) જગ્યા હોય, તો ક્વાસિગોડેસિક્સની સ્થિરતા પર મોર્સ લેમ્મા સૂચવે છે કે દરેક અર્ધ-આઇસોમેટ્રી સીમા સુધી અનન્ય રીતે વિસ્તરે છે. વ્યાખ્યા મુજબ બે સ્વ-નકશા અર્ધ-સમકક્ષ છે જો, જેથી અનુરૂપ બિંદુઓ એકબીજાના સમાન રીતે બંધાયેલા અંતર પર હોય. ક્વાસી-આઇસોમેટ્રી એ સ્વ-મેપિંગ છે, જે આવશ્યકપણે સતત નથી, જે અર્ધ-વ્યસ્ત હોય છે અને યોગ્ય ઓળખ નકશાને અર્ધ-સમકક્ષ હોય છે અને જેમ કે સ્થિરાંકો હોય છે અને જેમ કે બધા માટે અને બંને મેપિંગ્સ નોંધ કરો કે અર્ધ-વ્યુત્ક્રમો અર્ધ-સમાનતા સુધી અનન્ય છે; તે સમકક્ષ વ્યાખ્યા સંભવતઃ અલગ જમણા અને ડાબા-સમતુલ્ય વ્યુત્ક્રમોનો ઉપયોગ કરીને આપી શકાય છે, પરંતુ તે આવશ્યકપણે અર્ધ-સમતુલ્ય હશે; કે અર્ધ-સમતુલ્ય રચના હેઠળ બંધ છે જે અર્ધ-સમતુલ્ય સુધી માત્ર અર્ધ-સમતુલ્ય વર્ગો પર આધાર રાખે છે; અને તે, મોડ્યુલો અર્ધ-સમતુલ્ય, અર્ધ-સમતુલ્ય, એક બિંદુને નિશ્ચિત કરીને, જિયોડેસિક કિરણોની શરૂઆત આપવામાં આવે તો, અર્ધ-આઇસોમેટ્રી હેઠળની છબી અર્ધ-જિયોડેસિક કિરણો છે. મોર્સ-મોસ્ટો લેમ્મા દ્વારા તે એક અનન્ય ભૌમિતિક કિરણોથી બંધાયેલ અંતરની અંદર છે. આ અર્ધ-સમકક્ષ વર્ગની સીમા પર નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમ કે. આમ સ્વ-મેપિંગના જૂથમાં અર્ધ-સમમિતિનાં જૂથનું હોમોમોર્ફિઝમ છે. તે સતત છે તે ચકાસવા માટે, નોંધ લો કે જો અને તે ભૌગોલિક કિરણો છે જે સમાનરૂપે નજીક છે, અંતરની અંદર, પછી અને અંતરની અંદર આવેલા છે, જેથી તે અને અંતરની અંદર આવેલા છે; તેથી નાના અંતરાલ પર, અને બહિર્મુખતા દ્વારા અંતરની અંદર આવેલા છે. કે. એ. ટી. (-1) જગ્યાઓ પર, સાતત્યનું વધુ સારું સંસ્કરણ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે તે મેટ્રિકના કુદરતી વર્ગના સંદર્ભમાં અર્ધ-મોબિયસ મેપિંગ છે, "વિઝ્યુઅલ મેટ્રિક્સ" એકમ વર્તુળ પર યુક્લિડિયન મેટ્રિકને સામાન્ય બનાવે છે અને મોબિયસ જૂથ હેઠળ તેના રૂપાંતર કરે છે. આ દ્રશ્ય મેટ્રિક્સને બુસેમેન કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. યુનિટ ડિસ્કના કિસ્સામાં, ટેકમુલર સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે હોમોમોર્ફિઝમ વર્તુળના અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ્સના જૂથ પર ડિસ્કના અર્ધ-ઔપચારિક હોમોમોર્ફિઝમ્સને વહન કરે છે (ઉદાહરણ તરીકે અહલફોર્સ-બર્લિંગ અથવા ડૌડી-અર્લ એક્સ્ટેંશનનો ઉપયોગ કરીને): તે અનુસરે છે કે અર્ધ-આઇસોમેટ્રી જૂથમાંથી અર્ધ-મોબિયસ જૂથમાં હોમોમોર્ફિઝમ સર્જેક્ટિવ છે. બીજી દિશામાં, હોમોમોર્ફિઝમ ઇન્જેક્ટિવ છે તે સાબિત કરવું સરળ છે. ધારો કે તે એકમ ડિસ્કની અર્ધ-આઇસોમેટ્રી છે જેમ કે તે ઓળખ છે. ધારણા અને મોર્સ લેમ્મા સૂચવે છે કે જો તે ભૌગોલિક રેખા છે, તો તે ની-પડોશીતામાં આવેલું છે. હવે બીજી ભૌગોલિક રેખા એવી રીતે લો કે જે આપેલ બિંદુ પર ઓર્થોગોનલી રીતે છેદે છે. પછી અને ના-પડોશીઓના આંતરછેદમાં આવેલું છે. મોબિયસ પરિવર્તન લાગુ કરીને, એવું માની શકાય છે કે તે એકમ ડિસ્કના મૂળમાં છે અને ભૂગણિત એ વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષો છે. બહિર્મુખતા દ્વારા, આ અક્ષોના-પડોશીઓ મૂળના-પડોશીમાં છેદે છેઃ જો બંને પડોશમાં આવેલા હોય, તો ચાલો અને-અને-અક્ષોના ઓર્થોગોનલ અંદાજો બનો; પછી-અક્ષ પર અંદાજો લઈએ; તેથી. તેથી, દાવો કરવામાં આવ્યો છે તેમ તે ઓળખની અર્ધ-સમકક્ષ છે. ક્રોસ રેશિયો અને બિન-છેદતી ભૌગોલિક રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એકમ વર્તુળ અથવા વાસ્તવિક અક્ષ પર બે અલગ-અલગ બિંદુઓ આપવામાં આવે તો તેમને જોડતા એક અનન્ય હાયપરબોલિક ભૌગોલિક હોય છે. તે વર્તુળ (અથવા સીધી રેખા) દ્વારા આપવામાં આવે છે જે એકમ વર્તુળ એકમ વર્તુળ અથવા વાસ્તવિક અક્ષને તે બે બિંદુઓ પર લંબગોળ રીતે કાપી નાખે છે. વિસ્તૃત જટિલ સમતલમાં ચાર અલગ-અલગ બિંદુઓને જોતાં તેમના ક્રોસ રેશિયોને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો એક જટિલ મોબિયસ પરિવર્તન હોય તો તે ક્રોસ રેશિયોને અપરિવર્તનશીલ રાખે છેઃ મોબિયસ જૂથ માત્ર બિંદુઓના ત્રણ ગણો પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે, તેથી ક્રોસ રેશિયોને વૈકલ્પિક રીતે જટિલ સંખ્યા તરીકે વર્ણવી શકાય છે જેમ કે મોબિયસ પરિવર્તન માટે. કારણ કે, અને બધા ક્રોસ રેશિયોને વ્યાખ્યાયિત કરતા અંશમાં દેખાય છે, ના ક્રમચયો હેઠળ ક્રોસ રેશિયોની વર્તણૂકને સમજવા માટે, અને, તે ક્રમચયોને ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે જે ઠીક કરે છે, તેથી ફક્ત ક્રમચયો, અને. ક્રોસ રેશિયો ઓર્ડર 6 ના એનહાર્મોનિક જૂથ અનુસાર પરિવર્તિત થાય છે જે મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા પેદા થાય છે જે અને પર મોકલે છે. અન્ય ત્રણ પરિવર્તનો મોકલવા, મોકલવા અને મોકલવા. ચાલો હવે તે ક્રમમાં એકમ વર્તુળ અથવા વાસ્તવિક અક્ષ પર બિંદુઓ હોઈએ. પછી ભૂગણિત અને આંતરછેદ કરતા નથી અને આ ભૂગણિત વચ્ચેનું અંતર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ આ બે ભૂગણિતને ઓર્થોગોનલી રીતે કાપીને એક અનન્ય ભૂગણિત રેખા છે અને અંતર તેમની વચ્ચેના ભૂગણિત ખંડની લંબાઈ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે દેખીતી રીતે વાસ્તવિક મોબિયસ પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. ક્રોસ રેશિયો અને ભૂગણિત વચ્ચેના અંતરની તુલના કરવા માટે, મોબિયસ ઇનવેરિયન્સ ગણતરીને સપ્રમાણ રૂપરેખાંકનમાં ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે. માટે, લો. પછી ક્યાં. બીજી બાજુ, ભૂગણિત અને ત્રિજ્યાના ઉપલા અડધા સમતલમાં અર્ધવર્તુળો છે અને. ભૌગોલિક જે તેમને ઓર્થોગોનલી રીતે કાપી નાખે છે તે હકારાત્મક કાલ્પનિક અક્ષ છે, તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર અને, વચ્ચેનું હાયપરબોલિક અંતર છે. તો ચાલો, જેથી ત્યાં એક અચળાંક હોય કે, જો, તો ત્યારથી ઉપર અને નીચેથી બંધાયેલ હોય. નોંધ લો કે જે એકમ વર્તુળની આસપાસ ક્રમમાં છે જો અને માત્ર જો. ક્રોસ રેશિયોનું વધુ સામાન્ય અને ચોક્કસ ભૌમિતિક અર્થઘટન ભૌગોલિક રેખા પર આદર્શ બિંદુઓના અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને આપી શકાય છે; તે વર્તુળ પરના બિંદુઓના ક્રમ પર આધારિત નથી અને તેથી ભૌગોલિક રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે કે નહીં. જો અને જિયોડેસિક રેખાથી અને તેના પર લંબરૂપ પગ છે, તો પછી. મોબિયસ પરિવર્તન હેઠળ બંને બાજુઓ અપરિવર્તનશીલ હોવાથી, તે કિસ્સામાં આ તપાસવા માટે પૂરતું છે કે, અને. આ કિસ્સામાં ભૌગોલિક રેખા એ હકારાત્મક કાલ્પનિક અક્ષ છે, જમણી બાજુ બરાબર છે, અને. તેથી ડાબી બાજુ બરાબર છે. નોંધ લો કે અને તે એવા બિંદુઓ પણ છે જ્યાં આદર્શ ત્રિકોણના આંતરિક વર્તુળો અને સ્પર્શ થાય છે. પ્રમેયનો પુરાવો વર્તુળનું હોમોમોર્ફિઝમ અર્ધસમમિત છે જો ત્યાં એવા સ્થિરાંકો હોય કે જે અર્ધ-મોબિયસ હોય તો એવા સ્થિરાંકો હોય કે જ્યાં ક્રોસ-રેશિયો સૂચવે છે. તે તાત્કાલિક છે કે અર્ધસમમિતીય અને અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ વ્યુત્ક્રમ અને રચનાની કામગીરી હેઠળ બંધ થાય છે. જો ક્વાસીસિમેટ્રિક હોય તો તે અર્ધ-મોબિયસ પણ છે, અને સાથેઃ આ અને માટે પ્રથમ અસમાનતાનો ગુણાકાર કરીને અનુસરે છે. તેનાથી વિપરીત કોઈપણ અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ અર્ધસમમિત છે. આ જોવા માટે, પહેલા તે ચકાસી શકાય છે કે (અને તેથી) હોલ્ડર કન્ટિન્યુઅસ છે. ચાલો એકતાના સમઘન મૂળનો સમૂહ બનીએ, જેથી જો અંદર હોય, તો પછી. હોલ્ડરના અંદાજને સાબિત કરવા માટે, એવું માની શકાય છે કે તે સમાન રીતે નાનો છે. પછી બંને અને સાથે નિશ્ચિત અંતર કરતા વધારે છે, તેથી અંદાજ અર્ધ-મોબિયસ અસમાનતાને લાગુ કરીને અનુસરે છે. તે ક્વાસીસિમેટ્રિક છે તે ચકાસવા માટે, ટ્રિપલ સાથે, સમાન રીતે નાના કિસ્સામાં એક સમાન ઉપલા બાઉન્ડ શોધવા માટે પૂરતું છે. આ કિસ્સામાં, અને થી 1 કરતા વધુ અંતર પર એક બિંદુ છે. અર્ધ-મોબિયસ અસમાનતાને લાગુ કરવી, અને જરૂરી ઉપલી સીમા પ્રાપ્ત કરે છે. સારાંશમાં કહીએ તોઃ વર્તુળનું હોમોમોર્ફિઝમ અર્ધ-મોબિયસ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે અર્ધસમમિત હોય. આ કિસ્સામાં તે અને તેનો ઇન્વર્સ હોલ્ડર કન્ટિન્યુઅસ છે. અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ રચના હેઠળ જૂથ બનાવે છે. પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે જો ત્યાં એવા સ્થિરાંકો છે કે જે એકમ વર્તુળ પરના અલગ બિંદુઓ માટે તે પહેલેથી જ ચકાસવામાં આવ્યું છે કે (અને વ્યસ્ત છે) સતત છે. રચના, અને તેથી, જો જરૂરી હોય તો જટિલ જોડાણ સાથે, તે આગળ ધારી શકાય છે કે વર્તુળની દિશાને જાળવી રાખે છે. આ કિસ્સામાં, જો વર્તુળ પર ક્રમમાં હોય, તો નીચે પણ છબીઓ છે; તેથી બંને વાસ્તવિક અને એક કરતા મોટી છે. આ કિસ્સામાં આ સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે. અગાઉના વિભાગમાંથી તે બતાવવા માટે પૂરતું છે. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે નીચેની અને અંદરની છબીઓ અને ની-પડોશીઓની અંદર છે; અર્ધ-સમપ્રમાણતા સ્થિરાંકોનો ઉપયોગ કરીને લઘુત્તમ અંતરનો અંદાજ લગાવી શકાય છે જે બિંદુઓ પર લાગુ થાય છે અને પ્રાપ્ત કરે છે. ગોઠવણ અને જો જરૂરી હોય તો, ઉપરોક્ત અસમાનતા પણ લાગુ પડે છે. બદલીને, અને નીચેની તેમની છબીઓ દ્વારા, તે અનુસરે છે કે જો,, અને એકમ વર્તુળ પર ક્રમમાં છે. તેથી ચાર ચક્રના ત્રણ ચક્રીય માટે સમાન અસમાનતાઓ માન્ય છે. જો અને સ્વિચ કરવામાં આવે તો ક્રોસ રેશિયો તેમના ઇન્વર્સ પર મોકલવામાં આવે છે, તેથી 0 અને 1 ની વચ્ચે હોય છે; તેવી જ રીતે જો અને સ્વિચ કરવામાં આવે છે. જો બંને જોડી બદલવામાં આવે, તો ક્રોસ રેશિયો અપરિવર્તિત રહે છે. તેથી આ કિસ્સામાં અસમાનતાઓ પણ માન્ય છે. છેવટે જો અને એકબીજા સાથે અદલાબદલી કરવામાં આવે, તો ક્રોસ રેશિયો થી માં બદલાય છે, જે 0 અને 1 ની વચ્ચે હોય છે. તેથી ફરીથી એ જ અસમાનતાઓ માન્ય છે. તે તપાસવું સરળ છે કે આ પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને, અને, ના તમામ સંભવિત ક્રમચયો માટે અસમાનતાઓ માન્ય છે, જેથી અને તેનો વ્યસ્ત ભાગ અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે. કે. એ. ટી. (-1) જગ્યાઓ માટે બુસેમેન કાર્યો અને વિઝ્યુઅલ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કે. એ. ટી. (-1) જગ્યાઓના વર્ગ પર વિશેષ વિઝ્યુઅલ મેટ્રિક્સ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે. આ સંપૂર્ણ ભૌગોલિક મેટ્રિક જગ્યાઓ છે જેમાં ભૌગોલિક ત્રિકોણની સીમા પરના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર હાયપરબોલિક ઉપલા અર્ધ સમતલમાં તુલનાત્મક ત્રિકોણ કરતાં ઓછું અથવા સમાન હોય છે અથવા પોઇનકેરે મેટ્રિક સાથે સમાન એકમ ડિસ્ક હોય છે. યુનિટ ડિસ્કના કિસ્સામાં કોર્ડલ મેટ્રિકને સીધા બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે અને ડિસ્ક માટેનો વિશેષ સિદ્ધાંત કોઈપણ યોગ્ય CAT (-1) જગ્યામાં સંપૂર્ણપણે સામાન્ય બને છે. હાયપરબોલિક અપર હાફ પ્લેન એ કે. એ. ટી. (0) જગ્યા છે, કારણ કે હાયપરબોલિક જીઓડેસિક ત્રિકોણમાં લંબાઈ યુક્લિડિયન સરખામણી ત્રિકોણમાં લંબાઈ કરતાં ઓછી હોય છેઃ ખાસ કરીને કે. એ. ટી. (-1) જગ્યા એ કે. એ. ટી. (0) જગ્યા છે, તેથી બુસેમેન વિધેયો અને ગ્રોમોવ સીમાનો સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે. હાયપરબોલિક ડિસ્કના સિદ્ધાંત પરથી, તે ખાસ કરીને અનુસરે છે કે કે. એ. ટી. (-1) અવકાશમાં દરેક ભૂગણિતીય કિરણ ભૂગણિતીય રેખા સુધી વિસ્તરે છે અને સીમાના બે બિંદુઓ આપવામાં આવે તો એક અનન્ય ભૂગણિતીય હોય છે જેમ કે આ બિંદુઓ મર્યાદા તરીકે હોય છે. આ સિદ્ધાંત કોઈપણ કે. એ. ટી. () જગ્યાને સમાન રીતે લાગુ પડે છે કારણ કે આ કે. એ. ટી. (-1) જગ્યા પર મેટ્રિકને સ્કેલ કરીને ઉદભવે છે. હાયપરબોલિક એકમ ડિસ્ક અર્ધ-આઇસોમેટ્રીઝ પર કાર્યાત્મક રીતે સીમાની અર્ધ-મોબિયસ હોમોમોર્ફિઝમ્સને પ્રેરિત કરે છે. ગ્રોમોવ હાયપરબોલિક જગ્યાઓનો વધુ સામાન્ય સિદ્ધાંત છે, જે સમાન નિવેદન ધરાવે છે, પરંતુ સીમાના હોમોમોર્ફિઝમ્સ પર ઓછા ચોક્કસ નિયંત્રણ સાથે. ઉદાહરણોઃ પોઇનકેયર ડિસ્ક પરકોલેશન થિયરીમાં એપ્લિકેશન્સ તાજેતરમાં બુસેમેન કાર્યોનો ઉપયોગ સંભવિતવાદીઓ દ્વારા પ્રથમ-માર્ગ પરકોલેશન અને નિર્દેશિત છેલ્લા-માર્ગ પરકોલેશનના નમૂનાઓમાં એસિમ્પ્ટોટિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો છે. નોંધો સંદર્ભો, પરિશિષ્ટ. ભૂમિતિ