Schwarz–Ahlfors–Pick theorem
ગણિતમાં, શ્વાર્ઝ-અહલ્ફોર્સ-પિક પ્રમેય એ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ માટે શ્વાર્ઝ લેમ્માનું વિસ્તરણ છે, જેમ કે પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલ. શ્વાર્ઝ-પિક લેમ્મા જણાવે છે કે એકમ ડિસ્ક U થી પોતાની તરફ, અથવા ઉપલા અર્ધ-સમતલ H થી પોતાની તરફ દરેક હોલોમોર્ફિક કાર્ય, બિંદુઓ વચ્ચેનું પોઇનકેર અંતર વધારશે નહીં. પોઇનકેર મેટ્રિક સાથેની એકમ ડિસ્ક યુ નકારાત્મક ગૌસીયન વળાંક −1 ધરાવે છે. 1938માં, લાર્સ અહલ્ફોર્સે એકમ ડિસ્કમાંથી અન્ય નકારાત્મક વક્ર સપાટીઓ પર નકશા માટે લેમ્માને સામાન્ય બનાવ્યુંઃ પ્રમેય (શ્વાર્ઝ-અહલ્ફોર્સ-પિક). ધારો કે U પોઇનકેર મેટ્રિક સાથેની એકમ ડિસ્ક છે; ધારો કે S એ રીમાન સપાટી છે જે હર્મિશિયન મેટ્રિકથી સંપન્ન છે જેની ગૌસીયન વળાંક ≤ −1 છે; ચાલો એક હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે. પછી 1973માં શિંગ-તુંગ યાઉ દ્વારા આ પ્રમેયના સામાન્યીકરણને સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. સંદર્ભ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ રીમાન જટિલ વિશ્લેષણમાં પ્રમેયોને સપાટી પર મૂકે છે વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રમેયો