Obstacle problem
વિવિધતાપૂર્ણ અસમાનતાઓ અને મુક્ત સીમા સમસ્યાઓના ગાણિતિક અભ્યાસમાં અવરોધ સમસ્યા એ એક ઉત્તમ પ્રેરક ઉદાહરણ છે. સમસ્યા એ છે કે સ્થિતિસ્થાપક પટલની સંતુલન સ્થિતિ શોધવી જેની સીમા નિશ્ચિત હોય છે, અને જે આપેલ અવરોધની ઉપર પડવા માટે મર્યાદિત હોય છે. તે ન્યૂનતમ સપાટીઓના અભ્યાસ અને સંભવિત સિદ્ધાંતમાં સમૂહની ક્ષમતા સાથે પણ ઊંડાણપૂર્વક સંબંધિત છે. એપ્લિકેશન્સમાં છિદ્રાળુ માધ્યમોમાં પ્રવાહી ગાળણ, મર્યાદિત ગરમી, ઇલાસ્ટો-પ્લાસ્ટિસિટી, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ અને નાણાકીય ગણિતનો અભ્યાસ સામેલ છે. સમસ્યાની ગાણિતિક રચના ડિરીક્લેટ ઊર્જા કાર્યાત્મક લઘુતમ શોધવાનું છે, કેટલાક ક્ષેત્રોમાં જ્યાં કાર્યો પટલના ઊભી વિસ્થાપનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પટલની નિશ્ચિત સીમાને અનુરૂપ ડિરીક્લેટ સીમા શરતોને સંતોષવા ઉપરાંત, કાર્યો વધુમાં કેટલાક આપેલ અવરોધ કાર્ય કરતાં વધુ હોવા માટે મર્યાદિત છે. ઉકેલ એવા પ્રદેશમાં વિભાજિત થાય છે જ્યાં ઉકેલ અવરોધ કાર્યની બરાબર હોય છે, જેને સંપર્ક સમૂહ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને તે પ્રદેશ જ્યાં ઉકેલ અવરોધથી ઉપર હોય છે. બે પ્રદેશો વચ્ચેનો આંતરછેદ મુક્ત સીમા છે. સામાન્ય રીતે, ઉકેલ સતત હોય છે અને તેમાં લિપ્સિટ્ઝ સતત પ્રથમ વ્યુત્પન્ન હોય છે, પરંતુ તે ઉકેલ સામાન્ય રીતે મુક્ત સીમાની પાર બીજા વ્યુત્પન્નમાં અસંગત હોય છે. મુક્ત સીમાને અમુક એકવચન બિંદુઓ સિવાયની હોલ્ડર સતત સપાટી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે સરળ મેનીફોલ્ડ પર રહે છે. ઐતિહાસિક નોંધ અવરોધોની ઉપર પટલનો આકાર અવરોધોની સમસ્યા ત્યારે ઊભી થાય છે જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ સાબુની ફિલ્મ દ્વારા લેવામાં આવેલા આકારને ધ્યાનમાં લે છે, જેની સીમા સ્થિતિ નિશ્ચિત હોય છે (પ્લેટૂની સમસ્યા જુઓ), વધારાની મર્યાદા સાથે કે પટલ ક્ષેત્રના આંતરિક ભાગમાં પણ અમુક અવરોધોથી ઉપર પડવા માટે અવરોધિત હોય છે. આ કિસ્સામાં, ઓછી કરવાની ઉર્જા કાર્યાત્મક એ સપાટી વિસ્તાર અભિન્ન છે, અથવા આ સમસ્યાને તેની ટેલર શ્રેણીની દ્રષ્ટિએ ઉર્જા કાર્યાત્મકને વિસ્તૃત કરીને અને માત્ર પ્રથમ મુદત લઈને નાના વિક્ષેપના કિસ્સામાં રેખીય બનાવી શકાય છે, આ કિસ્સામાં ઓછી કરવાની ઊર્જા પ્રમાણભૂત ડિરીક્લેટ ઊર્જા શ્રેષ્ઠ અટકાવ છે. સરળ કિસ્સામાં જ્યાં પ્રક્રિયા બ્રાઉનિયન ગતિ છે, અને ડોમેનમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી પ્રક્રિયાને રોકવા માટે દબાણ કરવામાં આવે છે, અવરોધ સમસ્યાના ઉકેલને ચૂકવણીના અપેક્ષિત મૂલ્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, પ્રક્રિયા શરૂ કરીને, જો શ્રેષ્ઠ અટકાવવાની વ્યૂહરચના અનુસરવામાં આવે છે. અટકાવવાનો માપદંડ એ છે કે સંપર્ક સમૂહ સુધી પહોંચ્યા પછી રોકાવું જોઈએ. ઔપચારિક નિવેદન ધારો કે નીચેની માહિતી આપવામાં આવી છેઃ એક ખુલ્લી બાઉન્ડેડ ડોમેન Rn જે સ્મૂથ બાઉન્ડ્રી સાથે એક સ્મૂથ ફંક્શન છે જે એક સ્મૂથ ફંક્શન છે જે આ બધા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે <, એટલે કે. (તેના નિશાન) ની સીમાની મર્યાદા તેના કરતા ઓછી છે. પછી એવા સમૂહને ધ્યાનમાં લો કે જે ચોરસ સંકલનક્ષમ નબળા પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે ચોરસ સંકલનક્ષમ કાર્યોના સોબોલેવ જગ્યાના બંધ બહિર્મુખ સબસેટ છે, જેમાં ઇચ્છિત સીમા શરતો સાથે ચોક્કસપણે તે કાર્યો હોય છે જે અવરોધની ઉપર પણ હોય છે. અવરોધ સમસ્યાનો ઉકેલ એ કાર્ય છે જે સંબંધિત તમામ કાર્યો પર ઊર્જા અભિન્નને ઘટાડે છે; આવા લઘુતમ સાધનનું અસ્તિત્વ હિલ્બર્ટ અવકાશ સિદ્ધાંતની વિચારણાઓ દ્વારા ખાતરી આપવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક ફોર્મ્યુલેશન પરિવર્તનશીલ અસમાનતા હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ પર પરિવર્તનશીલ અસમાનતાના સિદ્ધાંતમાં અવરોધ સમસ્યાને પ્રમાણભૂત સમસ્યા તરીકે સુધારી શકાય છે. યોગ્ય કાર્યોના સમૂહમાં ઊર્જા લઘુતમ શોધવું એ એવી શોધ કરવા સમાન છે કે જ્યાં ̃ છે. , તા. ω: Rn × Rn → R એ મર્યાદિત-પરિમાણીય વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા Rn માં સામાન્ય સ્કેલર પ્રોડક્ટ છે. હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ પર વૈવિધ્યપૂર્ણ અસમાનતાઓ માટે આ વધુ સામાન્ય સ્વરૂપનો એક વિશેષ કેસ છે, જેના ઉકેલો એકંદર જગ્યાના કેટલાક બંધ બહિર્મુખ સબસેટમાં કાર્યો છે, જેમ કે બળજબરી, વાસ્તવિક-મૂલ્ય, બંધાયેલ દ્વિસંગી સ્વરૂપો અને બંધાયેલ રેખીય કાર્યો માટે. ઓછામાં ઓછું સુપરહાર્મોનિક કાર્ય એક પરિવર્તનશીલ દલીલ દર્શાવે છે કે, સંપર્ક સમૂહથી દૂર, અવરોધ સમસ્યાનું સમાધાન હાર્મોનિક છે. એક સમાન દલીલ જે પોતાને હકારાત્મક ફેરફારો સુધી મર્યાદિત રાખે છે તે દર્શાવે છે કે ઉકેલ સંપર્ક સમૂહ પર સુપરહાર્મોનિક છે. એકસાથે, બંને દલીલો સૂચવે છે કે ઉકેલ એક સુપરહાર્મોનિક કાર્ય છે. હકીકતમાં, મહત્તમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ પછી દર્શાવે છે કે અવરોધ સમસ્યાનું સમાધાન સ્વીકાર્ય કાર્યોના સમૂહમાં સૌથી ઓછું સુપરહાર્મોનિક કાર્ય છે. નિયમિતતાના ગુણધર્મો શ્રેષ્ઠ નિયમિતતા અવરોધ સમસ્યાના ઉકેલમાં નિયમિતતા અથવા બાઉન્ડેડ સેકન્ડ ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે, જ્યારે અવરોધમાં જ આ ગુણધર્મો હોય છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, ઉકેલનું સાતત્યનું માપાંક અને તેના વ્યુત્પન્ન માટે સાતત્યનું માપાંક અવરોધ સાથે સંબંધિત છે. જો અવરોધમાં સાતત્યનું માપાંક હોય, એટલે કે, તો ઉકેલમાં સાતત્યનું માપાંક આપવામાં આવે છે, જ્યાં અચળાંક માત્ર ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે, અવરોધ પર નહીં. જો અવરોધના પ્રથમ વ્યુત્પન્નમાં સાતત્યનું માપાંક હોય, તો ઉકેલના પ્રથમ વ્યુત્પન્નમાં સાતત્યનું માપાંક આપવામાં આવે છે, જ્યાં અચળાંક ફરીથી માત્ર ડોમેન પર આધાર રાખે છે. સ્તરની સપાટીઓ અને મુક્ત સીમા અધોગતિ સ્થિતિને આધિન, ઉકેલ અને અવરોધ વચ્ચેના તફાવતનો સ્તર સમૂહ, માટે સપાટીઓ છે. મુક્ત સીમા, જે સમૂહની સીમા છે જ્યાં ઉકેલ અવરોધને પૂર્ણ કરે છે, તે એકવચન બિંદુઓના સમૂહ સિવાય પણ છે, જે પોતે અલગ અથવા સ્થાનિક રીતે મેનીફોલ્ડ પર સમાયેલ હોય છે. સામાન્યીકરણ અવરોધ સમસ્યાનો સિદ્ધાંત સમાન રીતે લંબગોળ ઓપરેટરો અને તેમના સંકળાયેલ ઊર્જા વિધેયોના અન્ય વિચલન સ્વરૂપો સુધી વિસ્તૃત છે. લંબગોળ ઓપરેટરોને અધોગતિ પામે તે માટે પણ તેને સામાન્ય બનાવી શકાય છે. બેવડી અવરોધ સમસ્યા, જ્યાં કાર્ય એક અવરોધ કાર્યની ઉપર અને બીજાની નીચે રહે તે માટે મર્યાદિત હોય છે, તે પણ રસપ્રદ છે. સિગ્નોરિની સમસ્યા એ અવરોધ સમસ્યાનો એક પ્રકાર છે, જ્યાં ઊર્જા કાર્યાત્મકતાને એક અવરોધને આધિન ઘટાડવામાં આવે છે જે ફક્ત એક ઓછા પરિમાણની સપાટી પર રહે છે, જેમાં સીમા અવરોધ સમસ્યાનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં અવરોધ ક્ષેત્રની સીમા પર કાર્ય કરે છે. અવરોધ સમસ્યાના પેરાબોલિક, સમય આધારિત કિસ્સાઓ અને તેના પ્રકારો પણ અભ્યાસના હેતુઓ છે. ન્યુનત્તમ સપાટી વિવિધતા અસમાનતા સિગ્નોરિની સમસ્યા નોંધો ઐતિહાસિક સંદર્ભો પણ જુઓ. "લિયોનિડા ટોનેલી એન્ડ ધ પીસા મેથેમેટિકલ સ્કૂલ" એ પિસામાં ટોનેલીના કાર્ય અને શાળાના વિકાસ પર તેમના પ્રભાવનું સર્વેક્ષણ છે, જે મૌરો પિકોન અને લિયોનિડા ટોનેલી (6-9 મે, 1985 ના રોજ રોમમાં યોજાયેલી) ની જન્મ શતાબ્દીની ઉજવણીના પ્રસંગે આંતરરાષ્ટ્રીય કોંગ્રેસમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. લેખક તેમના વિદ્યાર્થીઓમાંના એક હતા અને તેમના મૃત્યુ પછી, તેમણે પીસા યુનિવર્સિટીમાં ગાણિતિક વિશ્લેષણની ખુરશી સંભાળી હતી, તેઓ વિજ્ઞાન ફેકલ્ટીના ડીન અને પછી રેકટર બન્યા હતાઃ તેમણે યુનિવર્સિટીના વિકાસ પર મજબૂત હકારાત્મક પ્રભાવ પાડ્યો હતો. સંદર્ભો. વ્યાખ્યાનનો સમૂહ નોંધે છે કે "ઘણી ચોક્કસ વિગતો વિના, સંભાવનાનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત, રેન્ડમ વિભેદક સમીકરણો અને કેટલીક એપ્લિકેશનો", જેમ કે લેખક પોતે જણાવે છે. . . બાહ્ય કડીઓ, લેખક દ્વારા 1998માં સ્કૂલા નોર્મલ સુપરિયોર ખાતે વિતરિત કરવામાં આવી હતી. આંશિક વિભેદક સમીકરણો વિવિધતાની ગણતરી