Epsilon number
ગણિતમાં, એપ્સિલોન સંખ્યાઓ એ અનંત સંખ્યાઓનો સંગ્રહ છે જેનો વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મ એ છે કે તેઓ ઘાતાંકીય નકશાના નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. પરિણામે, તેઓ પસંદ કરેલા ઘાતાંકીય નકશાની એપ્લિકેશનોની મર્યાદિત શ્રેણી દ્વારા અને ઉમેરા અને ગુણાકાર જેવી "નબળી" કામગીરીઓ દ્વારા 0 થી પહોંચી શકાતા નથી. મૂળ એપ્સિલોન સંખ્યાઓ જ્યોર્જ કેન્ટોર દ્વારા ક્રમિક અંકગણિતના સંદર્ભમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી; તેઓ ક્રમિક સંખ્યાઓ ε છે જે સમીકરણને સંતોષે છે જેમાં ω સૌથી નાનું અનંત ક્રમિક છે. આવા સૌથી ઓછા ક્રમિક ε0 (ઉચ્ચારણ એપ્સિલોન નોટ અથવા એપ્સિલોન શૂન્ય) છે, જેને નાના મર્યાદા ક્રમિક ક્રમમાંથી ટ્રાન્સફાઇનાઇટ પુનરાવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવેલી "મર્યાદા" તરીકે જોઈ શકાય છેઃ જ્યાં સર્વોચ્ચ કાર્ય છે, જે ક્રમની વોન ન્યુમેન રજૂઆતના કિસ્સામાં સેટ યુનિયનની સમકક્ષ છે. ઘાતાંકીય નકશાના મોટા ક્રમિક નિશ્ચિત બિંદુઓને ક્રમિક સબસ્ક્રિપ્ટ્સ દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે, જેના પરિણામે. ક્રમિક ε0 હજુ પણ ગણતરીપાત્ર છે, જેમ કે કોઈપણ એપ્સિલોન નંબર કે જેની અનુક્રમણિકા ગણતરીપાત્ર છે (ત્યાં અગણિત ક્રમિક સંખ્યાઓ છે, અને અગણિત એપ્સિલોન સંખ્યાઓ કે જેની અનુક્રમણિકા અગણિત ક્રમિક છે). સૌથી નાનો એપ્સિલોન નંબર ε0 ઘણા ઇન્ડક્શન પ્રૂફમાં દેખાય છે, કારણ કે ઘણા હેતુઓ માટે, ટ્રાન્સફાઇનાઇટ ઇન્ડક્શન માત્ર ε0 સુધી જરૂરી છે (જેન્ટ્ઝેનની સુસંગતતા પ્રૂફ અને ગુડસ્ટીનના પ્રમેયના પુરાવા તરીકે). ગેન્ટઝેન દ્વારા પીનો અંકગણિતની સુસંગતતા સાબિત કરવા માટે તેનો ઉપયોગ, ગોડેલના બીજા અપૂર્ણતા પ્રમેય સાથે, દર્શાવે છે કે પીનો અંકગણિત આ ક્રમની સારી પાયાને સાબિત કરી શકતું નથી (હકીકતમાં તે આ ગુણધર્મ સાથે સૌથી ઓછું ક્રમિક છે, અને જેમ કે, પ્રૂફ-સૈદ્ધાંતિક ક્રમિક વિશ્લેષણમાં, પીનો અંકગણિતના સિદ્ધાંતની મજબૂતાઈના માપ તરીકે વપરાય છે). ઘણી મોટી એપ્સિલોન સંખ્યાઓને વેબ્લેન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જ્હોન હોર્ટન કોનવે અને ડોનાલ્ડ ક્નુથ દ્વારા અતિવાસ્તવિક સંખ્યા પ્રણાલીમાં એપ્સિલોન સંખ્યાઓના વધુ સામાન્ય વર્ગની ઓળખ કરવામાં આવી છે, જેમાં તમામ અતિવાસ્તવિકતાઓનો સમાવેશ થાય છે જે આધાર ω ઘાતાંકીય નકશા x → ωx ના નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. જ્યારે પણ α <γ હોય ત્યારે α + γ = γ, અને જ્યારે પણ 0 <α <δ હોય ત્યારે αδ = δ, અને જ્યારે પણ 1 <α <ε હોય ત્યારે એપ્સિલોન સંખ્યાઓ ε> 2 એવી હોય કે αε = ε. તેમની ગામા સંખ્યાઓ ωβ સ્વરૂપની છે, અને તેમની ડેલ્ટા સંખ્યાઓ ωωβ સ્વરૂપની છે. ક્રમિક ε સંખ્યાઓ આધાર α સાથે ક્રમિક ઘાતાંકની પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા છેઃ જ્યારે તાત્કાલિક પુરોગામી હોય. , જ્યારે પણ મર્યાદા ક્રમિક હોય. આ વ્યાખ્યા પરથી, તે અનુસરે છે કે કોઈપણ નિશ્ચિત ક્રમિક માટે, મેપિંગ એ એક સામાન્ય કાર્ય છે, તેથી તે સામાન્ય કાર્યો માટે નિશ્ચિત-બિંદુ લેમ્મા દ્વારા મનસ્વી રીતે મોટા નિશ્ચિત બિંદુઓ ધરાવે છે. જ્યારે, આ નિશ્ચિત બિંદુઓ ચોક્કસપણે ક્રમિક એપ્સિલોન સંખ્યાઓ હોય છે. જ્યારે તાત્કાલિક પુરોગામી હોય. , જ્યારે પણ મર્યાદા ક્રમિક હોય. કારણ કે સમાન સર્વોચ્ચતા સાથેનો એક અલગ ક્રમ,, 0 થી શરૂ કરીને અને તેના બદલે આધાર ε0 સાથે ઘાતાંક કરીને મેળવવામાં આવે છેઃ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ ક્રમિક દ્વારા અનુક્રમિત એપ્સિલોન સંખ્યા કે જે તાત્કાલિક પુરોગામી ધરાવે છે તે જ રીતે બનાવી શકાય છે. ખાસ કરીને, અનુક્રમણિકા β એ મર્યાદા ક્રમિક છે કે નહીં, તે માત્ર આધાર ω ઘાતાંકનું જ નહીં પરંતુ તમામ ક્રમાંક માટે આધાર δ ઘાતાંકનું પણ નિશ્ચિત બિંદુ છે. એપ્સિલોન સંખ્યાઓ ક્રમિક સંખ્યાઓનો અમર્યાદિત પેટા વર્ગ હોવાથી, તેમની ગણતરી ક્રમિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. કોઈપણ ક્રમિક સંખ્યા માટે, ઓછામાં ઓછી એપ્સિલોન સંખ્યા (ઘાતાંકીય નકશાનું નિશ્ચિત બિંદુ) સમૂહમાં પહેલેથી જ નથી. એવું લાગે છે કે આ પુનરાવર્તિત ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને રચનાત્મક વ્યાખ્યાની બિન-રચનાત્મક સમકક્ષ છે; પરંતુ બે વ્યાખ્યાઓ મર્યાદા ક્રમિક દ્વારા અનુક્રમિત પગલાઓ પર સમાન રીતે બિન-રચનાત્મક છે, જે ઘાતાંકીય શ્રેણીની સર્વોચ્ચતા લેવા કરતાં ઉચ્ચ ક્રમના અનંત પુનરાવર્તનને રજૂ કરે છે. એપ્સિલોન સંખ્યાઓ વિશેની નીચેની હકીકતો સાબિત કરવા માટે સીધી છેઃ જો કે તે એકદમ મોટી સંખ્યા છે, તેમ છતાં તે ગણતરીપાત્ર છે, જે ગણતરીપાત્ર ઓર્ડિનલ્સનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ છે; હકીકતમાં, જો અને માત્ર ત્યારે જ ગણતરીપાત્ર છે જો ગણતરીપાત્ર હોય. એપ્સિલોન સંખ્યાઓના કોઈપણ બિન-ખાલી સમૂહનું જોડાણ (અથવા સર્વોચ્ચતા) એપ્સિલોન સંખ્યા છે; તેથી દાખલા તરીકે એપ્સિલોન સંખ્યા છે. આમ, મેપિંગ એક સામાન્ય કાર્ય છે. કોઈપણ અગણિત કાર્ડિનલનો પ્રારંભિક ક્રમ એ એપ્સિલોન નંબર છે. મૂળવાળા વૃક્ષો દ્વારા ε0 નું પ્રતિનિધિત્વ કોઈપણ એપ્સિલોન સંખ્યા ε કેન્ટોર સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે કેન્ટોર સામાન્ય સ્વરૂપ એપ્સિલોન સંખ્યાઓ માટે ખૂબ ઉપયોગી નથી. જો કે, ε0 કરતા ઓછા ઓર્ડિનલ્સને તેમના કેન્ટોર સામાન્ય સ્વરૂપો દ્વારા ઉપયોગી રીતે વર્ણવી શકાય છે, જે નીચે મુજબ તમામ મર્યાદિત મૂળવાળા વૃક્ષોના ક્રમબદ્ધ સમૂહ તરીકે ε0 ની રજૂઆત તરફ દોરી જાય છે. કોઈપણ ઓર્ડિનલમાં કેન્ટોર નોર્મલ સ્વરૂપ હોય છે જ્યાં k એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને તેની સાથે ઓર્ડિનલ્સ હોય છે, જે અનન્ય રીતે તેના દ્વારા નક્કી થાય છે. બદલામાં દરેક ઓર્ડિનલ્સ સમાન કેન્ટોર સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છે. આપણે નવા મૂળનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વૃક્ષોના મૂળને જોડીને α નું પ્રતિનિધિત્વ કરતું મર્યાદિત મૂળ ધરાવતું વૃક્ષ મેળવીએ છીએ. (આનું પરિણામ એ છે કે સંખ્યા 0 એક જ મૂળ દ્વારા રજૂ થાય છે જ્યારે સંખ્યા એક મૂળ અને એક જ પાંદડું ધરાવતા વૃક્ષ દ્વારા રજૂ થાય છે.) મર્યાદિત મૂળવાળા વૃક્ષોના સમૂહ પરના ક્રમને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ આપણે પહેલા ઘટતા ક્રમમાં મૂળ સાથે જોડાયેલા પેટા વૃક્ષોનો ક્રમ આપીએ છીએ, અને પછી પેટા વૃક્ષોના આ ક્રમબદ્ધ ક્રમ પર લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ રીતે તમામ મર્યાદિત મૂળવાળા વૃક્ષોનો સમૂહ એક સુવ્યવસ્થિત સમૂહ બની જાય છે જે ε0 માટે ક્રમ-સમરૂપ હોય છે. આ રજૂઆત હાઇડ્રા થીયરમના પુરાવા સાથે સંબંધિત છે, જે ગ્રાફ-સૈદ્ધાંતિક રમત તરીકે ઓર્ડિનલ્સના ઘટતા ક્રમને રજૂ કરે છે. વેબ્લેન પદાનુક્રમ "એપ્સિલોન મેપિંગ" ના નિશ્ચિત બિંદુઓ એક સામાન્ય કાર્ય બનાવે છે, જેના નિશ્ચિત બિંદુઓ સામાન્ય કાર્ય બનાવે છે; આને વેબ્લેન પદાનુક્રમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (બેઝ φ0 (α) = ωα સાથે વેબ્લેન કાર્યો). વેબ્લેન પદાનુક્રમના સંકેતલિપીમાં, એપ્સિલોન મેપિંગ φ1 છે, અને તેના નિશ્ચિત બિંદુઓ φ2 દ્વારા ગણવામાં આવે છે. આ નસમાં ચાલુ રાખીને, નકશા φα ને ક્રમશઃ મોટા ઓર્ડિનલ્સ α માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (જેમાં, ટ્રાન્સફાઇનાઇટ રિકર્શનના આ દુર્લભ સ્વરૂપ દ્વારા, ઓર્ડિનલ્સની મર્યાદા), જેમાં ક્રમશઃ મોટા ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુઓ φα + 1 (0) છે. આ પ્રક્રિયા દ્વારા 0 થી પહોંચી ન શકાય તેવું સૌથી ઓછું ક્રમિક-i. ઇ., સૌથી ઓછું ક્રમિક α જેના માટે φα (0) = α, અથવા સમકક્ષ રીતે નકશાનું પ્રથમ નિશ્ચિત બિંદુ-એ ફેફરમેન-શ્યુટ્ટે ક્રમિક γ0 છે. સમૂહ સિદ્ધાંતમાં જ્યાં આવા ક્રમિક અસ્તિત્વમાં હોવાનું સાબિત કરી શકાય છે, ત્યાં કોઈની પાસે એક નકશો હોય છે જે નિશ્ચિત બિંદુઓની ગણતરી કરે છે, જે છે; આ બધા હજુ પણ એપ્સિલોન સંખ્યાઓ છે, કારણ કે તેઓ દરેક β ≤ γ0 માટે φβ ની છબીમાં આવેલા છે, જેમાં નકશા φ1 નો સમાવેશ થાય છે જે એપ્સિલોન સંખ્યાઓની ગણતરી કરે છે. સર્રિયલ ε નંબર્સ ઓન નંબર્સ એન્ડ ગેમ્સમાં, અતિવાસ્તવિક સંખ્યાઓ પરના ક્લાસિક પ્રદર્શનમાં, જ્હોન હોર્ટન કોનવેએ એવા ખ્યાલોના સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો પૂરા પાડ્યા હતા જે ઓર્ડિનલ્સથી અતિવાસ્તવિક સુધી કુદરતી વિસ્તરણ ધરાવતા હતા. આવું જ એક કાર્ય છે-નકશો; આ નકશો તેના કાર્યક્ષેત્રમાં તમામ અતિવાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરવા માટે કુદરતી રીતે સામાન્ય બનાવે છે, જે બદલામાં અતિવાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે કેન્ટોર સામાન્ય સ્વરૂપનું કુદરતી સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે. આ વિસ્તૃત નકશાના કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુને એપ્સિલોન સંખ્યા તરીકે ધ્યાનમાં લેવું સ્વાભાવિક છે, પછી ભલે તે કડક રીતે ક્રમિક સંખ્યા હોય કે ન હોય. બિન-સામાન્ય એપ્સિલોન સંખ્યાઓના કેટલાક ઉદાહરણો છે અને દરેક અતિવાસ્તવિક સંખ્યા n માટે વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક કુદરતી રીત છે, અને નકશો ક્રમ-સંરક્ષિત રહે છે. કોનવે "ઈરીડ્યુસિબલ" અતિવાસ્તવિક સંખ્યાઓના વ્યાપક વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાં ખાસ કરીને રસપ્રદ પેટા વર્ગ તરીકે એપ્સિલોન સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય અંકગણિત મોટા ગણી શકાય તેવા ક્રમિક સંદર્ભો જે. એચ. પણ જુઓ. કોનવે, ઓન નંબર્સ એન્ડ ગેમ્સ (1976) એકેડેમિક પ્રેસ સેક્શન XIV.20 ઓફ ઓર્ડિનલ નંબર્સ