Relaxation (iterative method)
સંખ્યાત્મક ગણિતમાં, બિનરેખીય પ્રણાલીઓ સહિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે છૂટછાટ પદ્ધતિઓ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ છે. મોટી વિરલ રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે રિલેક્સેશન પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી હતી, જે વિભેદક સમીકરણોના મર્યાદિત-તફાવત પૃથક્કરણ તરીકે ઉભરી આવી હતી. તેનો ઉપયોગ રેખીય લઘુતમ-ચોરસ સમસ્યાઓ માટે રેખીય સમીકરણોના ઉકેલ માટે અને રેખીય અસમાનતાની પ્રણાલીઓ માટે પણ થાય છે, જેમ કે રેખીય પ્રોગ્રામિંગમાં ઉદભવે છે. તેઓ સમીકરણોની બિનરેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે પણ વિકસાવવામાં આવ્યા છે. રિલેક્સેશન પદ્ધતિઓ ખાસ કરીને લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના નમૂના બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી રેખીય પ્રણાલીઓના ઉકેલમાં મહત્વપૂર્ણ છે, જેમ કે લાપ્લાસનું સમીકરણ અને તેનું સામાન્યીકરણ, પોઈસનનું સમીકરણ. આ સમીકરણો સીમા-મૂલ્ય સમસ્યાઓનું વર્ણન કરે છે, જેમાં ઉકેલ-કાર્યના મૂલ્યો ડોમેનની સીમા પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે; સમસ્યા એ છે કે ઉકેલની ગણતરી તેના આંતરિક ભાગ પર પણ કરવામાં આવે છે. વિભેદક સમીકરણના પૃથક્કરણના પરિણામે રેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે રિલેક્સેશન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે મર્યાદિત તફાવતો દ્વારા. ઉકેલોની પુનરાવર્તિત છૂટછાટને સામાન્ય રીતે સ્મૂથિંગ કહેવામાં આવે છે કારણ કે અમુક સમીકરણો સાથે, જેમ કે લાપ્લાસનું સમીકરણ, તે ઉકેલ વેક્ટર પર સ્થાનિક સ્મૂથિંગ ફિલ્ટરના પુનરાવર્તિત ઉપયોગ જેવું લાગે છે. આને ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશનમાં છૂટછાટની પદ્ધતિઓ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે એક સરળ સમસ્યા દ્વારા મુશ્કેલ સમસ્યાનો અંદાજ કાઢે છે, જેનો "હળવા" ઉકેલ મૂળ સમસ્યાના ઉકેલ વિશે માહિતી પ્રદાન કરે છે. સંભવિત સિદ્ધાંતની આદર્શ સમસ્યા જ્યારે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર φ એક સરળ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોય, ત્યારે તેના બીજા વ્યુત્પન્નનો અંદાજ આ રીતે કરી શકાય છેઃ બિંદુ (x, y) પર બે દલીલોના વિધેય φ માટે આનો ઉપયોગ કરીને અને φ (x, y) માટે ઉકેલ, પરિણામોમાં પરિણમે છેઃ પોઈસન સમીકરણના ઉકેલનો અંદાજ કાઢવા માટેઃ આંકડાકીય રીતે ગ્રીડ અંતર h સાથે દ્વિ-પરિમાણીય ગ્રીડ પર, છૂટછાટ પદ્ધતિ આપેલ વિધેય φ ના મૂલ્યોને સીમા નજીકના ગ્રીડ બિંદુઓને અને આંતરિક ગ્રીડ બિંદુઓને મનસ્વી મૂલ્યો સોંપે છે, અને પછી આંતરિક બિંદુઓ પર વારંવાર સોંપણી φ: = φ * કરે છે, જ્યાં φ * દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ અભિસરણ સુધી. આ પદ્ધતિ સરળતાથી અન્ય સંખ્યાબંધ પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત થાય છે. જ્યારે પદ્ધતિ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં એકરૂપ થાય છે, ત્યારે તે સામાન્ય રીતે સ્પર્ધાત્મક પદ્ધતિઓ કરતાં ધીમી પ્રગતિ કરે છે. તેમ છતાં, છૂટછાટ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ રેખીય બીજગણિતનો મુખ્ય ભાગ છે, કારણ કે છૂટછાટ સિદ્ધાંતના પરિવર્તન નવી પદ્ધતિઓ માટે ઉત્તમ પૂર્વશરત પૂરી પાડે છે. ખરેખર, પુનરાવર્તિત પદ્ધતિની પસંદગી કરતાં પૂર્વશરતની પસંદગી ઘણીવાર વધુ મહત્વપૂર્ણ હોય છે. પદ્ધતિઓને વેગ આપવા માટે મલ્ટીગ્રિડ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ પહેલા બરછટ ગ્રીડ પર અંદાજની ગણતરી કરી શકે છે-સામાન્ય રીતે બેવડું અંતર 2h-અને પ્રારંભિક સોંપણી તરીકે અન્ય ગ્રીડ બિંદુઓ માટે અંતર્વેષ્ટિત મૂલ્યો સાથે તે ઉકેલનો ઉપયોગ કરી શકે છે. આ પછી બરછટ ગણતરી માટે પણ પુનરાવર્તિત રીતે કરી શકાય છે. રેખીય પ્રણાલીઓમાં, છૂટછાટ પદ્ધતિઓના બે મુખ્ય વર્ગો સ્થિર પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ છે, અને વધુ સામાન્ય ક્રાયલોવ સબસ્પેસ પદ્ધતિઓ છે. જેકોબી પદ્ધતિ એક સરળ છૂટછાટ પદ્ધતિ છે. ગૌસ-સીડેલ પદ્ધતિ જેકોબી પદ્ધતિમાં સુધારો છે. અભિસરણને ઝડપી બનાવવા માટે જેકોબી અને ગૌસ-સીડેલ પદ્ધતિઓમાંથી કોઈ એક પર ક્રમિક વધુ પડતી રાહત લાગુ કરી શકાય છે. બહુવિધ પદ્ધતિઓ નોંધો સંદર્ભો અબ્રાહમ બર્મન, રોબર્ટ જે. પ્લેમોન્સ, ગણિતશાસ્ત્રમાં બિન-નકારાત્મક મેટ્રિક, 1994, સિયામ. . યુસેફ સાદ, ઇટરેટિવ મેથડ્સ ફોર સ્પાર્સ લીનિયર સિસ્ટમ્સ, 1લી આવૃત્તિ, પીડબ્લ્યુએસ, 1996. રિચાર્ડ એસ. વર્ગા 2002 મેટ્રિક્સ ઇટરેટિવ એનાલિસિસ, સેકન્ડ એડિશન. (1962ની પ્રેન્ટિસ હોલ આવૃત્તિ), સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. ડેવિડ એમ. યંગ, જુનિયર ઇટરેટિવ સોલ્યુશન ઓફ લાર્જ લીનિયર સિસ્ટમ્સ, એકેડેમિક પ્રેસ, 1971. (ડોવર દ્વારા પુનઃમુદ્રિત, 2003) વધુ વાંચન સાઉથવેલ, આર. વી. (1940) ઇજનેરી વિજ્ઞાનમાં રાહત પદ્ધતિઓ. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ. સાઉથવેલ, આરવી. (1946) સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં રાહત પદ્ધતિઓ. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ. પી. ગ્રીવેટ, પી. ડબલ્યુ. હોક્સ, A.Septier (1972). ઇલેક્ટ્રોન ઓપ્ટિક્સ, બીજી આવૃત્તિ. પર્ગામન પ્રેસ. . ડી. ડબલ્યુ. ઓ. હેડલ (2000). ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક લેન્સ સિસ્ટમ્સ, બીજી આવૃત્તિ. સીઆરસી પ્રેસ. . ઇર્વિન કેસ્પર (2001). ઇમેજિંગ અને ઇલેક્ટ્રોન ફિઝિક્સમાં એડવાન્સિસ, વોલ્યુમ. 116, ચાર્જ કણ ઓપ્ટિક્સ માટે આંકડાકીય ક્ષેત્રની ગણતરી. એકેડેમિક પ્રેસ. . પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક રેખીય બીજગણિત