Cut point
ટોપોલોજીમાં, કટ-પોઇન્ટ એ જોડાયેલ જગ્યાનું એક બિંદુ છે જેમ કે તેને દૂર કરવાથી પરિણામી જગ્યા ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે. જો કોઈ બિંદુને દૂર કરવાથી જોડાયેલી જગ્યાઓ તૂટી ન જાય, તો આ બિંદુને બિન-કટ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખાનો દરેક બિંદુ કટ-પોઇન્ટ છે, જ્યારે વર્તુળનો કોઈ પણ બિંદુ કટ-પોઇન્ટ નથી. દરેક જગ્યામાં કટ-પોઇન્ટ્સની સંખ્યાની ગણતરી કરીને બે જોડાયેલ જગ્યાઓ હોમોમોર્ફિક છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે કટ-પોઇન્ટ્સ ઉપયોગી છે. જો બે જગ્યાઓમાં કટ-પોઇન્ટની સંખ્યા અલગ હોય, તો તે હોમોમોર્ફિક નથી. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ એ બતાવવા માટે કટ-પોઇન્ટ્સનો ઉપયોગ કરે છે કે રેખાઓ અને વર્તુળો હોમોમોર્ફિક નથી. કટ-પોઇન્ટ્સ ટોપોલોજિકલ કન્ટિન્યુઆના લાક્ષણિકતામાં પણ ઉપયોગી છે, જે જગ્યાઓનો એક વર્ગ છે જે સઘનતા અને જોડાણના ગુણધર્મોને જોડે છે અને તેમાં એકમ અંતરાલ, વર્તુળ અને ટોરસ જેવી ઘણી પરિચિત જગ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યા ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ જોડાયેલ T1 ટોપોલોજિકલ જગ્યા X નો કટ-પોઇન્ટ એ X માં એક બિંદુ p છે, જેમ કે X-{p} જોડાયેલ નથી. જે બિંદુ કટ-પોઇન્ટ નથી તેને નોન-કટ પોઇન્ટ કહેવામાં આવે છે. જો X માં દરેક બિંદુ X નો કટ બિંદુ હોય તો બિન-ખાલી જોડાયેલ ટોપોલોજિકલ જગ્યા X એ કટ-પોઇન્ટ જગ્યા છે. મૂળભૂત ઉદાહરણો બંધ અંતરાલ [a, b] માં અનંત સંખ્યાબંધ કટ-પોઇન્ટ હોય છે. તેના અંતિમ બિંદુઓ સિવાયના તમામ બિંદુઓ કટ-બિંદુઓ છે અને અંતિમ બિંદુઓ {a, b} નોન-કટ બિંદુઓ છે. ખુલ્લા અંતરાલ (a, b) માં પણ બંધ અંતરાલો જેવા અનંત કટ-પોઇન્ટ હોય છે. ખુલ્લા અંતરાલોમાં અંતિમ બિંદુઓ ન હોવાથી, તેમાં કોઈ બિન-કટ બિંદુઓ નથી. વર્તુળમાં કોઈ કટ-પોઇન્ટ હોતા નથી અને તે અનુસરે છે કે વર્તુળનો દરેક બિંદુ બિન-કટ બિંદુ છે. સંકેતો X નું કટીંગ એ એક સમૂહ {p, U, V} છે જ્યાં p એ X, U અને V નો કટ-પોઇન્ટ છે જે X-{p} નું વિભાજન બનાવે છે. તેને X\ {p} = U|V તરીકે પણ લખી શકાય છે. કટ-પોઇંટ્સ અને હોમોમોર્ફિઝમ્સ કટ-પોઇંટ્સ એ સતત કાર્યો હેઠળ સાચવવામાં આવે તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકેઃ f: [0,2] → R2, f (x) = (cos x, sin x) દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંતરાલનો દરેક બિંદુ (બે અંતિમ બિંદુઓ સિવાય) એક કટ-પોઇન્ટ છે, પરંતુ f (x) એક વર્તુળ બનાવે છે જેમાં કોઈ કટ-પોઇન્ટ નથી. કટ-પોઇન્ટ્સ હોમોમોર્ફિઝમ્સ હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. તેથી, કટ-પોઇન્ટ એ ટોપોલોજીકલ અપરિવર્તનશીલ છે. કટ-પોઇન્ટ્સ અને કન્ટિન્યુઆ દરેક કન્ટિનમ (કોમ્પેક્ટ કનેક્ટેડ હૌસડોર્ફ સ્પેસ) જેમાં એકથી વધુ પોઇન્ટ હોય, તેમાં ઓછામાં ઓછા બે નોન-કટ પોઇન્ટ હોય છે. ખાસ કરીને, દરેક ઓપન સેટ કે જે પરિણામી જગ્યાને અલગ કરે છે તેમાં ઓછામાં ઓછો એક નોન-કટ પોઇન્ટ હોય છે. બરાબર બે બિન-કટ-બિંદુઓ સાથેનું દરેક સાતત્ય એકમ અંતરાલ માટે હોમોમોર્ફિક છે. જો K એ a, b બિંદુઓ સાથેનું સાતત્ય હોય અને K-{a, b} જોડાયેલ ન હોય, તો K એ એકમ વર્તુળ સાથે હોમોમોર્ફિક છે. કટ-પોઇન્ટ જગ્યાઓના ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો ધારો કે X એ જોડાયેલ જગ્યા છે અને x એ X માં કટ પોઇન્ટ છે જેમ કે X\ {x} = A|B. પછી {x} કાં તો ખુલ્લું અથવા બંધ હોય છે. જો {x} ખુલ્લું હોય, તો A અને B બંધ હોય છે. જો {x} બંધ હોય, તો A અને B ખુલ્લા છે. ધારો કે X એ કટ-પોઇન્ટ જગ્યા છે. X ના બંધ બિંદુઓનો સમૂહ અનંત છે. ઇરેડ્યુસિબલ કટ-પોઇન્ટ સ્પેસ વ્યાખ્યાઓ એક કટ-પોઇન્ટ સ્પેસ ઇરેડ્યુસિબલ છે જો તેનો કોઈ યોગ્ય સબસેટ કટ-પોઇન્ટ સ્પેસ ન હોય. ખલિમસ્કી રેખાઃ ચાલો પૂર્ણાંકોનો સમૂહ બનીએ અને તેના પર ટોપોલોજી માટેનો આધાર ક્યાં છે. ખલિમસ્કી રેખા એ આ ટોપોલોજીથી સંપન્ન સમૂહ છે. તે એક કટ-પોઇન્ટ જગ્યા છે. વધુમાં, તે ઈરીડ્યુસિબલ છે. પ્રમેય એ ટોપોલોજિકલ જગ્યા એ એક ઈરીડ્યુસિબલ કટ-પોઇન્ટ જગ્યા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X એ ખલિમસ્કી રેખા માટે હોમોમોર્ફિક હોય. કટ પોઇન્ટ (આલેખ સિદ્ધાંત) સંદર્ભો પણ જુઓ (મૂળ 1970માં એડિસન-વેસ્લી પબ્લિશિંગ કંપની, ઇન્ક. દ્વારા પ્રકાશિત). સામાન્ય ટોપોલોજી