Chiral knot
ગાંઠ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, કાયરલ ગાંઠ એ ગાંઠ છે જે તેની અરીસાની છબીની સમકક્ષ નથી (જ્યારે સમાન હોય ત્યારે ઉલટું હોય છે). એક લક્ષી ગાંઠ જે તેની અરીસાની છબીની સમકક્ષ હોય છે તે એમ્ફીચેરલ ગાંઠ છે, જેને અકિરલ ગાંઠ પણ કહેવાય છે. ગાંઠની કાયરાલીટી એ ગાંઠ અપરિવર્તનશીલ છે. ગાંઠ ઉલટાવી શકાય તેવી છે કે નહીં તેના આધારે તેની કાયરાલીટીને વધુ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ગાંઠની સમપ્રમાણતાના માત્ર પાંચ પ્રકારો છે, જે કાયરાલિટી અને ઇન્વર્ટિબિલિટી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છેઃ સંપૂર્ણ કાયરલ, ઇન્વર્ટિબલ, પોઝિટિવ એમ્ફીચેરલ નોનઇન્વર્ટિબલ, નેગેટિવ એમ્ફીચેરલ નોનઇન્વર્ટિબલ અને સંપૂર્ણ એમ્ફીચેરલ ઇન્વર્ટિબલ. પૃષ્ઠભૂમિ ચોક્કસ ગાંઠોની સંભવિત કાયરાલીટીની શંકા 1847 થી કરવામાં આવી હતી જ્યારે જોહાન્ન લિસ્ટિંગે ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે ટ્રેફોઇલ કાયરલ હતું, અને આ 1914 માં મેક્સ ડેહ્ન દ્વારા સાબિત થયું હતું. પી. જી. ટેટે 10 ક્રોસિંગ સુધીની તમામ એમ્ફીશીયરલ ગાંઠો શોધી કાઢી હતી અને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે તમામ એમ્ફીશીયરલ ગાંઠો સમ ક્રોસિંગ નંબર ધરાવે છે. મેરી ગર્ટ્રુડ હાસમેને 1910ના દાયકાના અંતમાં તમામ 12-ક્રોસિંગ અને ઘણા 14-ક્રોસિંગ એમ્ફીચેરલ ગાંઠો શોધી કાઢ્યા હતા. પરંતુ ટેટના અનુમાનનું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ, જિમ હોસ્ટ, મોર્વન થિસલ્થવેટ અને જેફ વીક્સ દ્વારા 1998માં 15-ક્રોસિંગ એમ્ફીચેરલ ગાંઠ મળી આવી હતી. જો કે, ટેટનું અનુમાન મુખ્ય, વૈકલ્પિક ગાંઠો માટે સાચું સાબિત થયું હતું. સૌથી સરળ કાયરલ ગાંઠ એ ટ્રેફોઇલ ગાંઠ છે, જે મેક્સ ડેહ્ન દ્વારા કાયરલ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. તમામ બિન-તુચ્છ ટોરસ ગાંઠો કિરાલ છે. એલેક્ઝાન્ડર બહુપદી ગાંઠને તેની અરીસાની છબીથી અલગ કરી શકતી નથી, પરંતુ જોન્સ બહુપદી કેટલાક કિસ્સાઓમાં કરી શકે છે; જો Vk (q)  ઒ત્ત Vk (q−1) હોય, તો ગાંઠ કાયરલ છે, જો કે વિપરીત સાચું નથી. HOMFLY બહુપદી કાયરાલીટીને શોધવામાં વધુ સારી છે, પરંતુ કોઈ જાણીતી બહુપદી ગાંઠ અપરિવર્તનશીલ નથી જે કાયરાલીટીને સંપૂર્ણપણે શોધી શકે. ઇન્વર્ટિબલ ગાંઠ એક કાયરલ ગાંઠ કે જેને વિપરીત દિશા સાથે સરળતાથી વિકૃત કરી શકાય છે તેને ઇન્વર્ટિબલ ગાંઠ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં ટ્રેફોઇલ ગાંઠનો સમાવેશ થાય છે. સંપૂર્ણ કાયરલ ગાંઠ જો ગાંઠ તેની ઊંધી અથવા તેની અરીસાની છબીની સમકક્ષ ન હોય, તો તે સંપૂર્ણ કાયરલ ગાંઠ છે, ઉદાહરણ તરીકે 9 32 ગાંઠ. એમ્ફીશીયરલ ગાંઠ એ એક ગાંઠ છે જે 3-ગોળાનું ઓરિએન્ટેશન-રિવર્સિંગ સેલ્ફ-હોમોમોર્ફિઝમ ધરાવે છે, α, ગાંઠને સેટ મુજબ ઠીક કરે છે. તમામ એમ્ફીશીયરલ વૈકલ્પિક ગાંઠો સમ ઓળંગ સંખ્યા ધરાવે છે. વિષમ ક્રોસિંગ નંબર સાથેની પ્રથમ એમ્ફીશીયરલ ગાંઠ હોસ્ટ એટ અલ દ્વારા શોધાયેલ 15-ક્રોસિંગ ગાંઠ છે. જો ગાંઠ તેની પાછળની અને તેની અરીસાની છબી બંને માટે સમસ્થાનિક હોય, તો તે સંપૂર્ણપણે ઉભયસ્થાનિક હોય છે. આ ગુણધર્મ સાથેની સૌથી સરળ ગાંઠ એ આકૃતિ-આઠ ગાંઠ છે. હકારાત્મક એમ્ફીશીયરલ જો સ્વ-હોમોમોર્ફિઝમ, α, ગાંઠની દિશાને જાળવી રાખે છે, તો તેને હકારાત્મક એમ્ફીશીયરલ કહેવામાં આવે છે. આ ગાંઠ તેના અરીસામાં સમસ્થાનિક હોવાની સમકક્ષ છે. બાર કરતા નાની ક્રોસિંગ નંબર ધરાવતી કોઈ ગાંઠ હકારાત્મક એમ્ફીચેરલ અને બિન-પરિવર્તનીય હોતી નથી. નકારાત્મક એમ્ફીશીયરલ જો સ્વ-હોમોમોર્ફિઝમ, α, ગાંઠની દિશાને ઉલટાવે છે, તો તેને નકારાત્મક એમ્ફીશીયરલ કહેવામાં આવે છે. આ ગાંઠની તેની અરીસાની છબીની વિરુદ્ધ બાજુએ સમસ્થાનિક હોવાની સમકક્ષ છે. સૌથી ઓછા ક્રોસિંગ ધરાવતી આ મિલકત સાથેની બિન-પરિવર્તનીય ગાંઠ ગાંઠ 817 છે. સંદર્ભો