Fluctuation-dissipation theorem
વિગતવાર સંતુલનનું પાલન કરતી પ્રણાલીઓના વર્તનની આગાહી કરવા માટે આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય (એફ. ડી. ટી.) અથવા વધઘટ-વિસર્જન સંબંધ (એફ. ડી. આર.) એક શક્તિશાળી સાધન છે. સિસ્ટમ વિગતવાર સંતુલનનું પાલન કરે છે તે જોતાં, પ્રમેય એ પુરાવો છે કે ભૌતિક ચલમાં થર્મોડાયનેમિક વધઘટ એ જ ભૌતિક ચલ (જેમ કે વોલ્ટેજ, તાપમાન તફાવત, વગેરે) ના પ્રવેશ અથવા અવરોધ (તેમના સામાન્ય અર્થમાં, માત્ર વિદ્યુતચુંબકીય દ્રષ્ટિએ નહીં) દ્વારા પ્રમાણિત પ્રતિક્રિયાની આગાહી કરે છે. ), અને ઊલટું. વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ યાંત્રિક પ્રણાલીઓ બંનેને લાગુ પડે છે. હર્બર્ટ કોલેન અને થિયોડોર વેલ્ટન દ્વારા 1951માં વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો અને રિયોગો કુબો દ્વારા તેનું વિસ્તરણ કરવામાં આવ્યું હતું. સામાન્ય પ્રમેયની પૂર્વધારણાઓ છે, જેમાં આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા તેમના એનસ મિરાબિલિસ દરમિયાન બ્રાઉનિયન ગતિની સમજૂતી અને 1928માં હેરી ન્યક્વિસ્ટ દ્વારા વિદ્યુત અવરોધકમાં જ્હોનસન અવાજની સમજૂતીનો સમાવેશ થાય છે. ગુણાત્મક ઝાંખી અને ઉદાહરણો વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય કહે છે કે જ્યારે કોઈ એવી પ્રક્રિયા હોય છે જે ઊર્જાનો નાશ કરે છે, તેને ગરમીમાં ફેરવે છે (દા. ત., ઘર્ષણ), ત્યારે થર્મલ વધઘટને લગતી વિપરીત પ્રક્રિયા હોય છે. કેટલાક ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈને આ શ્રેષ્ઠ રીતે સમજી શકાય છેઃ ખેંચો અને બ્રાઉનિયન ગતિ જો કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાંથી પસાર થઈ રહ્યો હોય, તો તે ખેંચાણ (હવા પ્રતિકાર અથવા પ્રવાહી પ્રતિકાર) નો અનુભવ કરે છે. ખેંચાણ ગતિ ઊર્જાને દૂર કરે છે, તેને ગરમીમાં ફેરવે છે. અનુરૂપ વધઘટ બ્રાઉનિયન ગતિ છે. પ્રવાહીમાં એક પદાર્થ સ્થિર બેસતો નથી, પરંતુ તેના બદલે નાના અને ઝડપથી બદલાતા વેગ સાથે ફરે છે, કારણ કે પ્રવાહીમાંના અણુઓ તેમાં અથડાય છે. બ્રાઉનિયન ગતિ ગરમી ઊર્જાને ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે-ખેંચાણની વિપરીત. પ્રતિકાર અને જોહ્ન્સનનો ઘોંઘાટ જો વિદ્યુત પ્રવાહ રેઝિસ્ટર સાથે વાયર લૂપમાંથી પસાર થઈ રહ્યો હોય, તો પ્રતિકારને કારણે પ્રવાહ ઝડપથી શૂન્ય પર જશે. પ્રતિકાર વિદ્યુત ઊર્જાનો નાશ કરે છે, તેને ગરમીમાં ફેરવે છે (જુલ ગરમી). અનુરૂપ વધઘટ જ્હોનસન નોઇઝ છે. રેઝિસ્ટર સાથેના વાયર લૂપમાં વાસ્તવમાં શૂન્ય કરંટ હોતો નથી, તેમાં રેઝિસ્ટરમાં ઇલેક્ટ્રોન અને અણુઓના થર્મલ વધઘટને કારણે એક નાનો અને ઝડપથી બદલાતો કરંટ હોય છે. જ્હોનસન અવાજ ગરમી ઊર્જાને વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે-પ્રતિકારની વિપરીત. પ્રકાશ શોષણ અને ઉષ્મીય કિરણોત્સર્ગ જ્યારે પ્રકાશ કોઈ પદાર્થને અવરોધે છે, ત્યારે પ્રકાશનો અમુક ભાગ શોષાય છે, જેનાથી પદાર્થ વધુ ગરમ બને છે. આ રીતે, પ્રકાશનું શોષણ પ્રકાશ ઊર્જાને ગરમીમાં ફેરવે છે. અનુરૂપ વધઘટ થર્મલ કિરણોત્સર્ગ છે (દા. ત., "લાલ ગરમ" પદાર્થની ચમક). ઉષ્મીય કિરણોત્સર્ગ ઉષ્મા ઊર્જાને પ્રકાશ ઊર્જામાં ફેરવે છે-જે પ્રકાશના શોષણથી વિપરીત છે. ખરેખર, કિર્ચોફનો ઉષ્મીય કિરણોત્સર્ગનો નિયમ એ વાતની પુષ્ટિ કરે છે કે વસ્તુ જેટલી વધુ અસરકારક રીતે પ્રકાશને શોષી લે છે, તેટલી વધુ ઉષ્મીય કિરણોત્સર્ગ તે બહાર કાઢે છે. વિગતવાર ઉદાહરણો વધઘટ-પ્રસરણ પ્રમેય એ આંકડાકીય થર્મોડાયનેમિક્સનું સામાન્ય પરિણામ છે જે વિગતવાર સંતુલનનું પાલન કરતી પ્રણાલીમાં વધઘટ અને લાગુ કરાયેલ વિક્ષેપ માટે પ્રણાલીના પ્રતિભાવ વચ્ચેના સંબંધને પ્રમાણિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને બ્રાઉનીયન ગતિ પરના તેમના 1905 ના પેપરમાં નોંધ્યું હતું કે જો કણને પ્રવાહીમાંથી ખેંચવામાં આવે તો તે જ અનિયમિત બળો જે બ્રાઉનીયન ગતિમાં કણની અનિયમિત ગતિનું કારણ બને છે તે પણ ખેંચાણનું કારણ બનશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો કોઈ સિસ્ટમને કોઈ ચોક્કસ દિશામાં ખલેલ પહોંચાડવાનો પ્રયાસ કરે છે, તો બાકીના કણની વધઘટ એ જ મૂળ ધરાવે છે જે વિસર્જિત ઘર્ષણ બળ સામે કામ કરવું જોઈએ. આ નિરીક્ષણ પરથી આઈન્સ્ટાઈન આઈન્સ્ટાઈન-સ્મોલુકોવ્સ્કી સંબંધ મેળવવા માટે આંકડાકીય મિકેનિક્સનો ઉપયોગ કરી શક્યા હતા, જે પ્રસરણ અચળાંક D અને કણની ગતિશીલતાને જોડે છે, જે કણના અંતિમ પ્રવાહ વેગ અને લાગુ બળનો ગુણોત્તર છે. kB એ બોલ્ટઝમેન અચળાંક છે, અને T એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે. 1928માં જ્હોન બી. જ્હોનસને રેઝિસ્ટરમાં થર્મલ અવાજની શોધ કરી અને હેરી ન્યક્વિસ્ટે જ્હોનસન-ન્યક્વિસ્ટ અવાજને સમજાવ્યો. કોઈ લાગુ કરંટ વિના, સરેરાશ-ચોરસ વોલ્ટેજ પ્રતિકાર અને બેન્ડવિડ્થ કે જેના પર વોલ્ટેજ માપવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છેઃ આ નિરીક્ષણને વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેયના લેન્સ દ્વારા સમજી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રતિકાર સાથે રેઝિસ્ટર અને નાના કેપેસિટીન્સ સાથે કેપેસિટર ધરાવતી એક સરળ સર્કિટ લો. કિર્ચોફનો નિયમ ઉપજ આપે છે અને તેથી આ સર્કિટ માટેનું પ્રતિસાદ કાર્ય છે ઓછી આવર્તન મર્યાદામાં, તેનો કાલ્પનિક ભાગ સરળ છે જે પછી વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય દ્વારા વોલ્ટેજના પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી ફંક્શન સાથે જોડી શકાય છે. તેથી સામાન્ય રચના વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેયને ઘણી રીતે ઘડી શકાય છે; એક ખાસ કરીને ઉપયોગી સ્વરૂપ નીચે મુજબ છેઃ ચાલો થર્મલ વધઘટને આધિન હેમિલ્ટોનિયન સાથે ગતિશીલ પ્રણાલીનું અવલોકન કરી શકાય. અવલોકનક્ષમ પાવર સ્પેક્ટ્રમ દ્વારા લાક્ષણિકતા ધરાવતા વધઘટ સાથે તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ વધઘટ કરશે. ધારો કે આપણે સમય-બદલાતા, અવકાશી રીતે અચળ ક્ષેત્રને ચાલુ કરી શકીએ છીએ જે હેમિલ્ટોનિયનને બદલે છે. સમય-આધારિત ક્ષેત્ર માટે અવલોકનક્ષમનો પ્રતિસાદ સિસ્ટમની સંવેદનશીલતા અથવા રેખીય પ્રતિસાદ કાર્ય દ્વારા પ્રથમ ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં વિક્ષેપ એડિયાબેટિકલી (ખૂબ જ ધીમેથી) ચાલુ થાય છે. વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય બે બાજુવાળા શક્તિ વર્ણપટ (એટલે કે. સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને આવૃત્તિઓ) ની સંવેદનશીલતાના ફોરિયર પરિવર્તનના કાલ્પનિક ભાગમાંઃ જે ફોરિયર પરિવર્તન પરંપરા હેઠળ આવે છે. ડાબી બાજુ વધઘટને વર્ણવે છે, જમણી બાજુ ઓસિલેટરી ક્ષેત્ર દ્વારા પંપ કરવામાં આવે ત્યારે સિસ્ટમ દ્વારા વિખેરાયેલી ઊર્જા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આ પ્રમેયનું શાસ્ત્રીય સ્વરૂપ છે; ક્વોન્ટમ વધઘટને (જેની મર્યાદા છે) સાથે બદલીને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતની ઓળખ, એલ. એસ. ઝેડ. ઘટાડાના માધ્યમથી પુરાવો મળી શકે છે. ફ્લકચ્યુએશન-ડિસિપેશન થીયરમને જગ્યા-આધારિત ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં, કેટલાક ચલોના કિસ્સામાં અથવા ક્વોન્ટમ-મિકેનિક્સ સેટિંગમાં સીધી રીતે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. એક ખાસ કિસ્સો જેમાં વધઘટ થતી માત્રા પોતે ઊર્જા છે તે આવર્તન-આધારિત ચોક્કસ ગરમી માટે વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય છે. વ્યુત્પત્તિ શાસ્ત્રીય સંસ્કરણ આપણે એ જ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને ઉપર આપેલા સ્વરૂપમાં વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય મેળવીએ છીએ. નીચેના પરીક્ષણ કેસને ધ્યાનમાં લોઃ ક્ષેત્ર f અનંત સમય માટે ચાલુ છે અને t = 0 પર બંધ કરવામાં આવે છે જ્યાં હેવિસાઇડ કાર્ય છે. આપણે સંભાવના વિતરણ W (x, 0) અને સંક્રમણ સંભાવના દ્વારા અપેક્ષા મૂલ્ય વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ સંભાવના વિતરણ કાર્ય W (x, 0) એક સંતુલન વિતરણ છે અને તેથી હેમિલ્ટોનિયન માટે બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નબળા ક્ષેત્ર માટે, આપણે જમણી બાજુને વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ અહીં ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં સંતુલન વિતરણ છે. ઉપજ માટેના સૂત્રમાં આ અંદાજને પ્લગ કરીને જ્યાં A (t) એ ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં x નું સ્વયં-સહસંબંધ કાર્ય છેઃ નોંધ લો કે ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં સિસ્ટમ સમય-પાળી હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. આપણે પ્રણાલીની સંવેદનશીલતાનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ અને તેથી ઉપરોક્ત સમીકરણ (*) સાથે શોધી શકીએ છીએ પરિણામે, આવર્તન અવલંબન વિશે નિવેદન આપવા માટે, સમીકરણ (* *) નું ફોરિયર રૂપાંતર લેવું જરૂરી છે. ભાગો દ્વારા સંકલન કરીને, તે દર્શાવવું શક્ય છે કારણ કે તે વાસ્તવિક અને સપ્રમાણ છે, તે અનુસરે છે કે છેવટે, સ્થિર પ્રક્રિયાઓ માટે, વીનર-ખિંચિન પ્રમેય જણાવે છે કે દ્વિ-પક્ષીય વર્ણપટ ઘનતા સ્વયં-સહસંબંધ કાર્યના ફોરિયર પરિવર્તનની બરાબર છેઃ તેથી, તે ક્વોન્ટમ સંસ્કરણને અનુસરે છે. આ જથ્થાઓ વચ્ચેની કડી કહેવાતા કુબો સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે, જે રેખીય પ્રતિભાવ સિદ્ધાંતની ધારણાઓ હેઠળ, અવ્યવસ્થિત સ્રોતની હાજરીમાં અવલોકનક્ષમની સમૂહ સરેરાશની સમય ઉત્ક્રાંતિથી અનુસરે છે. એકવાર ફોરિયર રૂપાંતરિત થઈ જાય પછી, કુબો સૂત્ર પ્રતિક્રિયા કાર્યના કાલ્પનિક ભાગને આ રીતે લખવાની મંજૂરી આપે છે કેનોનિકલ એન્સેમ્બલમાં, બીજા પદને ફરીથી વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં બીજી સમાનતામાં આપણે ટ્રેસના ચક્રીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી સ્થાન આપ્યું છે. આગળ, ત્રીજી સમાનતામાં, આપણે ટ્રેસની બાજુમાં દાખલ કર્યું અને કાલ્પનિક સમય અંતરાલ સાથે સમય ઉત્ક્રાંતિ સંચાલક તરીકે અર્થઘટન કર્યું. કાલ્પનિક સમય પરિવર્તન ફોરિયર પરિવર્તન પછી એક પરિબળમાં ફેરવાય છે અને આમ માટે અભિવ્યક્તિને સરળતાથી ક્વોન્ટમ વધઘટ-વિસર્જન સંબંધ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે જ્યાં શક્તિ વર્ણપટ ઘનતા એ સ્વયં-સહસંબંધનું ફોરિયર પરિવર્તન છે અને તે બોસ-આઈન્સ્ટાઈન વિતરણ કાર્ય છે. આ જ ગણતરી પણ આમ ઉપજ આપે છે, શાસ્ત્રીય કિસ્સામાં જે મેળવવામાં આવે છે તેનાથી અલગ રીતે, શક્તિ વર્ણપટ ઘનતા ક્વોન્ટમ મર્યાદામાં બરાબર આવર્તન-સમપ્રમાણ નથી. સતત, તેમાં ઓપરેટરોના પરિવર્તન નિયમોમાંથી ઉદ્ભવતા કાલ્પનિક ભાગ છે. હકારાત્મક આવર્તનની અભિવ્યક્તિમાં વધારાના "" શબ્દને સ્વયંસ્ફુરિત ઉત્સર્જન સાથે સંકળાયેલ હોવાનું પણ વિચારી શકાય છે. ઘણીવાર ટાંકવામાં આવતું પરિણામ એ સમપ્રમાણિત શક્તિ વર્ણપટ ઘનતા પણ છે "ધ" ને ક્વોન્ટમ વધઘટ અથવા અવલોકનક્ષમની શૂન્ય-બિંદુ ગતિ સાથે સંકળાયેલ હોવાનું વિચારી શકાય છે. પૂરતા ઊંચા તાપમાને, એટલે કે. ક્વોન્ટમ યોગદાન નગણ્ય છે, અને આપણે શાસ્ત્રીય સંસ્કરણને પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ. ગ્લાસી પ્રણાલીઓમાં ઉલ્લંઘન જ્યારે વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેય વિગતવાર સંતુલનનું પાલન કરતી પ્રણાલીઓના પ્રતિભાવ વચ્ચે સામાન્ય સંબંધ પ્રદાન કરે છે, જ્યારે વિગતવાર સંતુલનનું ઉલ્લંઘન થાય છે ત્યારે વધઘટની વિસર્જિત થવાની સરખામણી વધુ જટિલ હોય છે. કહેવાતા કાચના તાપમાનથી નીચે, ગ્લાસી પ્રણાલીઓ સમતોલિત હોતી નથી, અને ધીમે ધીમે તેમની સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચે છે. સંતુલન માટેનો આ ધીમો અભિગમ વિગતવાર સંતુલનના ઉલ્લંઘનનો પર્યાય છે. આમ આ પ્રણાલીઓને અભ્યાસ કરવા માટે મોટા સમય-સ્કેલની જરૂર પડે છે જ્યારે તેઓ ધીમે ધીમે સંતુલન તરફ આગળ વધે છે. ગ્લાસી પ્રણાલીઓમાં વધઘટ-વિસર્જન સંબંધના ઉલ્લંઘનનો અભ્યાસ કરવા માટે, ખાસ કરીને સ્પિન ચશ્મા, સંદર્ભ. મેક્રોસ્કોપિક પ્રણાલીઓના આંકડાકીય સિમ્યુલેશન (એટલે કે. સુપર કોમ્પ્યુટર્સનો ઉપયોગ કરીને ત્રિ-પરિમાણીય એડવર્ડ્સ-એન્ડરસન મોડેલ દ્વારા વર્ણવેલ) તેમની સહસંબંધ લંબાઈની તુલનામાં મોટી છે. તેમના સિમ્યુલેશનમાં, સિસ્ટમ શરૂઆતમાં ઊંચા તાપમાને તૈયાર કરવામાં આવે છે, ઝડપથી કાચના તાપમાનથી નીચેના તાપમાને ઠંડુ થાય છે, અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર હેઠળ ખૂબ લાંબા સમય સુધી સંતુલિત થવા માટે છોડી દેવામાં આવે છે. પછી, પછીના સમયે, બે ગતિશીલ અવલોકનોની તપાસ કરવામાં આવે છે, એટલે કે પ્રતિક્રિયા કાર્ય અને સ્પિન-ટેમ્પોરલ સહસંબંધ કાર્ય જ્યાં ઘન જાળીના કદના નોડ પર સ્પિન રહે છે, અને તે ચુંબકત્વ ઘનતા છે. આ પ્રણાલીમાં વધઘટ-વિસર્જિત સંબંધને આ અવલોકનની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે કારણ કે તેમના પરિણામો એવી અપેક્ષાઓની પુષ્ટિ કરે છે કે જેમ જેમ પ્રણાલીને લાંબા સમય સુધી સંતુલિત કરવા માટે છોડી દેવામાં આવે છે, તેમ તેમ વધઘટ-વિસર્જિત સંબંધ સંતોષવાની નજીક છે. 1990 ના દાયકાના મધ્યમાં, સ્પિન ગ્લાસ મોડેલ્સની ગતિશીલતાના અભ્યાસમાં, વધઘટ-વિસર્જન પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ શોધવામાં આવ્યું હતું જે એસિમ્પ્ટોટિક બિન-સ્થિર સ્થિતિઓ માટે માન્ય છે, જ્યાં સંતુલન સંબંધમાં દેખાતા તાપમાનને અસરકારક તાપમાન દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ સંબંધ શરૂઆતમાં જે નમૂનાઓ માટે મળી આવ્યો હતો તેની બહારની ગ્લાસી પ્રણાલીઓમાં રાખવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. બિન-સંતુલન થર્મોડાયનેમિક્સ ગ્રીન-કુબો સંબંધો ઑન્સેજર પારસ્પરિક સંબંધો ઇક્વિ પાર્ટીશન થીયરમ બોલ્ટ્ઝમેન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડિસિપેટિવ સિસ્ટમ નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન પર્ડ્યુ યુનિવર્સિટીના પ્રોફેસર ઇ. ડબલ્યુ. કાર્લસન દ્વારા વ્યાખ્યાનનું ઑડિઓ રેકોર્ડિંગ કુબોના પ્રખ્યાત લખાણઃ ફ્લકચ્યુએશન-ડિસિપેશન થીયરમ આંકડાકીય મિકેનિક્સ બિન-સંતુલન થર્મોડાયનેમિક્સ ભૌતિકશાસ્ત્ર થીયરમ આંકડાકીય મિકેનિક્સ થીયરમ