Tight span
મેટ્રિક ભૂમિતિમાં, મેટ્રિક પરબિડીયું અથવા મેટ્રિક જગ્યા M નો ચુસ્ત ગાળો એક ઇન્જેક્ટિવ મેટ્રિક જગ્યા છે જેમાં M ને જડિત કરી શકાય છે. અમુક અર્થમાં તેમાં એમ ના બિંદુઓ વચ્ચેના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જે યુક્લિડિયન અવકાશમાં સુયોજિત બિંદુના બહિર્મુખ પત્થરો જેવા હોય છે. ચુસ્ત ગાળાને કેટલીકવાર ઇન્જેક્ટિવ પરબિડીયું અથવા એમ. ના હાયપરકૉન્વેક્સ હલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તેને ઇન્જેક્ટિવ હલ પણ કહેવામાં આવે છે, પરંતુ બીજગણિતમાં મોડ્યુલના ઇન્જેક્ટિવ હલ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે મેટ્રિક જગ્યાઓને બદલે આર-મોડ્યુલોની શ્રેણીને સંબંધિત સમાન વર્ણન સાથેનો ખ્યાલ છે. ચુસ્ત ગાળાનું વર્ણન સૌપ્રથમ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું, અને તેનો અભ્યાસ અને ઉપયોગ 1960ના દાયકામાં હોલ્સ્ટિન્સ્કી દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. તેને પાછળથી સ્વતંત્ર રીતે અને દ્વારા ફરીથી શોધવામાં આવી હતી; આ ઇતિહાસ માટે જુઓ. ચુસ્ત વિસ્તાર એ ટી-થિયરીની કેન્દ્રિય રચનાઓમાંની એક છે. વ્યાખ્યા મેટ્રિક જગ્યાના ચુસ્ત ગાળાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. (X, d) ને મેટ્રિક સ્પેસ માની લો અને T (X) ને X પર એક્સ્ટ્રીમ ફંક્શનોનો સમૂહ માની લો, જ્યાં આપણે X પર એક એક્સ્ટ્રીમ ફંક્શન કહીએ છીએ જેનો અર્થ X થી R સુધીના ફંક્શન f થાય છે, જેમ કે કોઈપણ x માટે, x માં y, d (x, y) ≤ f (x) + f (y), અને X માં દરેક x માટે, f (x) = સુપ્ર {d (x, y)-f (y): x માં y. ખાસ કરીને (ઉપરના ગુણધર્મ 1 માં x = y લેતા) f (x) ≤ 0 બધા x માટે. ઉપરની પ્રથમ જરૂરિયાતનું અર્થઘટન કરવાની એક રીત એ છે કે f એ અમુક નવા બિંદુથી X માં બિંદુઓ સુધીના સંભવિત અંતરના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે (X, d) માં અંતર સાથે ત્રિકોણની અસમાનતાને સંતોષવી આવશ્યક છે. બીજી જરૂરિયાત જણાવે છે કે ત્રિકોણની અસમાનતાનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના આમાંથી કોઈ પણ અંતર ઘટાડી શકાતું નથી. (X, d) નો ચુસ્ત ગાળો મેટ્રિક જગ્યા (T (X), δ) છે, જ્યાં ધોરણ દ્વારા પ્રેરિત મેટ્રિક સમાન છે. (જો d બંધાયેલ હોય, તો δ એ ધોરણ દ્વારા પ્રેરિત મેટ્રિક દ્વારા પ્રેરિત સબસ્પેસ મેટ્રિક છે. જો d બંધાયેલ ન હોય, તો X પરનું દરેક ચરમ કાર્ય અમર્યાદિત છે અને તેથી તેમ છતાં, તે સાચું રહેશે કે T (X) માં કોઈપણ f, g માટે, તફાવત, એટલે કે, બંધાયેલ છે.) ચરમ વિધેયોની સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ X થી R સુધીના વિધેય માટે પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષતા, બીજી જરૂરિયાતની નીચેની આવૃત્તિઓ સમકક્ષ છેઃ X માં દરેક x માટે, f (x) = સુપ્ર {d (x, y)-f (y): x માં y. ઉપરોક્ત પ્રથમ જરૂરિયાતના સંદર્ભમાં f એ બિંદુ મુજબ ન્યૂનતમ છે, એટલે કે, X થી R સુધીના કોઈપણ વિધેય g માટે જેમ કે d (x, y) ≤ g (x) + g (y) બધા x માટે, x માં y, જો g ≤ f બિંદુ મુજબ હોય, તો f = g. મૂળભૂત ગુણધર્મો અને ઉદાહરણો X માં તમામ x માટે, X માં દરેક x માટે, ચરમસીમા છે. (પુરાવોઃ સમપ્રમાણતા અને ત્રિકોણની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરો.) જો X મર્યાદિત હોય, તો X થી R સુધીના કોઈપણ વિધેય f માટે જે પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષે છે, બીજી જરૂરિયાત એ શરતની સમકક્ષ છે કે X માં દરેક x માટે, x માં y અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે f (x) + f (y) = d (x, y). (જો એમ હોય તો બંને શરતો સાચી છે. જો પછી સર્વોચ્ચતા પ્રાપ્ત થાય છે, અને પ્રથમ જરૂરિયાત સમાનતા સૂચવે છે.) |X | = 2 કહો, અને અલગ a, b પસંદ કરો જેથી X = {a, b}. પછી {{(a, 1), (b, 0)}, {(a, 0), (b, 1)}} નું બહિર્મુખ આવરણ છે. [એક ચિત્ર ઉમેરો. શીર્ષકઃ જો X = {0,1} હોય, તો તે {(0,1), (1,0)} નું બહિર્મુખ આવરણ છે.] X પર દરેક ચરમ કાર્ય f એ કેટેટોવ છેઃ f પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષે છે અને અથવા સમકક્ષ રીતે, f પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષે છે અને (1-લિપ્સિટ્ઝ છે), અથવા સમકક્ષ રીતે, f પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષે છે અને T (X) C (X). (લિપશિટ્ઝ કાર્યો સતત હોય છે.) ટી (એક્સ) સમવર્તી છે. (X એ 1-લિપ્સિટ્ઝ હોવા પર દરેક ચરમ કાર્યને અનુસરે છે; cf. Equicontinuity#Examples.) X પરનું દરેક કેટેટોવ કાર્ય ચરમસીમા પર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે a, b અલગ છે, ધારો કે X = {a, b}, ધારો કે d = ([x  ઒ત્ત y]) x, X માં y એ X પર અલગ મેટ્રિક છે, અને ધારો કે f = {(a, 1), (b, 2)}. પછી f એ કેટેટોવ છે પરંતુ ચરમસીમા નથી. (તે લગભગ તાત્કાલિક છે કે એફ કેટેટોવ છે. f આત્યંતિક નથી કારણ કે તે આ વિભાગના ત્રીજા બુલેટમાં મિલકતને નિષ્ફળ કરે છે.) જો d બંધાયેલ હોય, તો T (X) માં દરેક f બંધાયેલ છે. હકીકતમાં, T (X) માં દરેક f માટે, (નોંધ) (ઉપરોક્ત વિભાગમાં ત્રીજા સમકક્ષ ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે.) જો d અમર્યાદિત હોય, તો T (X) માં દરેક f અમર્યાદિત છે. (પ્રથમ જરૂરિયાતને અનુસરે છે.) બિંદુ મુજબની મર્યાદા હેઠળ બંધ છે. જો (X, d) કોમ્પેક્ટ હોય, તો (T (X), δ) કોમ્પેક્ટ હોય છે. (પુરાવોઃ આત્યંતિક-મૂલ્ય પ્રમેય સૂચવે છે કે d, વિધેય તરીકે સતત હોવાથી બંધાયેલ છે, તેથી (અગાઉના બુલેટ જુઓ) એ C (X) નો બંધાયેલ સબસેટ છે. આપણે બતાવ્યું છે કે T (X) સમતુલ્ય છે, તેથી આર્ઝેલા-એસ્કોલી પ્રમેય સૂચવે છે કે T (X) પ્રમાણમાં સઘન છે. જો કે, અગાઉના બુલેટ સૂચવે છે કે T (X) ધોરણ હેઠળ બંધ છે, કારણ કે કન્વર્જન્સ બિંદુ મુજબ કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. આમ T (X) કોમ્પેક્ટ છે.) X થી R સુધીના કોઈપણ વિધેય g માટે જે પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષે છે, ત્યાં T (X) માં f અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે f ≤ g બિંદુની દિશામાં. X પર કોઈપણ ચરમ કાર્ય f માટે, T (X) માં કોઈપણ f, g માટે, તફાવત સંબંધિત છે, એટલે કે, બંધાયેલ છે. (ઉપરોક્ત ગોળીનો ઉપયોગ કરો.) કુરાટોવ્સ્કી નકશો એક આઇસોમેટ્રી છે. (જ્યારે X = યુ, પરિણામ સ્પષ્ટ છે. જ્યારે X ષ્ણાંક ષ્ણાંક હોય ત્યારે વિપરીત ત્રિકોણ અસમાનતા પરિણામ સૂચવે છે.) T (X) માં f દો. X માં કોઈપણ a માટે, જો f (a) = 0 હોય, તો f = e (a). (X માં દરેક x માટે આપણી પાસે f ની લઘુતમ (ઉપરના વિભાગમાં બીજી સમકક્ષ લાક્ષણિકતા) અને તે પછીની પ્રથમ જરૂરિયાતને સંતોષે છે તે હકીકત) (X, d) હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર જો (T (X), δ) હાયપરબોલિક હોય. હાયપરકોન્વેક્સિટી ગુણધર્મો (T (X), δ) અને બંને હાયપરકોન્વેક્સ છે. કોઈપણ Y માટે જે હાયપરકોન્વેક્સ નથી. ("(T (X), δ) એ (X, d) નું હાયપરકોન્વેક્સ હલ છે. ચાલો અને સાથે હાયપરકૉન્વેક્સ મેટ્રિક જગ્યા હોઈએ. જો બધા માટે I સાથે હાયપરકોન્વેક્સ ન હોય, તો પછી અને (T (X), δ) આઇસોમેટ્રિક છે. ("(X, d) નું દરેક હાયપરકોન્વેક્સ હલ (T (X), δ) સાથે આઇસોમેટ્રિક છે".) ઉદાહરણો |X | = 3 કહો, અલગ a, b, c પસંદ કરો જેથી X = {a, b, c}, અને ચાલો i = d (a, b), j = d (a, c), k = d (b, c). પછી ક્યાં [ચિત્ર ઉમેરો. કૅપ્શનઃ જો X = {0,1,2} હોય, તો T (X) = કાન્વ {(,,), (,,)} u કાન્વ {(,,), (,,)} u કાન્વ {(,,), (,)} ને Y અક્ષરની જેમ આકાર આપવામાં આવે છે. (સી. એફ.) આ આંકડો સમતલમાં 16 બિંદુઓનો સમૂહ X દર્શાવે છે; આ બિંદુઓથી મર્યાદિત મેટ્રિક જગ્યા બનાવવા માટે, આપણે મેનહટન અંતર (અંતર) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આકૃતિમાં દર્શાવેલ વાદળી પ્રદેશ ઓર્થોગોનલ બહિર્મુખ પત્થરો છે, જે બિંદુઓ z નો સમૂહ છે જેમ કે ચાર બંધ ચતુર્થાંશમાંથી દરેકમાં X નું બિંદુ હોય છે. આવા કોઈપણ બિંદુ z એ ચુસ્ત ગાળાના બિંદુને અનુરૂપ છેઃ બિંદુ z ને અનુરૂપ વિધેય f (x) એ f (x) = d (z, x) છે. આ સ્વરૂપનું કાર્ય મેનહટન મેટ્રિક માટે ત્રિકોણ અસમાનતા દ્વારા મેનહટન-મેટ્રિક પ્લેનમાં કોઈપણ ઝેડ માટે ચુસ્ત ગાળાના ગુણધર્મ 1 ને સંતોષે છે. ચુસ્ત ગાળાના ગુણધર્મ 2 ને બતાવવા માટે, X માં અમુક બિંદુ x ને ધ્યાનમાં લો; આપણે X માં y ને એવી રીતે શોધવું જોઈએ કે f (x) + f (y) = d (x, y). પરંતુ જો x એ ચાર ચતુર્થાંશમાંથી એકમાં હોય, જેની ટોચ z હોય, તો y ને વિરુદ્ધ ચતુર્થાંશમાં કોઈપણ બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે, તેથી ગુણધર્મ 2 પણ સંતુષ્ટ થાય છે. તેનાથી વિપરીત તે દર્શાવી શકાય છે કે ચુસ્ત ગાળાનો દરેક બિંદુ આ રીતે આ બિંદુઓના ઓર્થોગોનલ બહિર્મુખ પત્થરોના એક બિંદુને અનુરૂપ છે. જો કે, ઉચ્ચ પરિમાણોમાં મેનહટન મેટ્રિક સાથેના બિંદુ સમૂહો માટે, અને ડિસ્કનેક્ટેડ ઓર્થોગોનલ પત્થરો સાથેના સમતલીય બિંદુ સમૂહો માટે, ચુસ્ત ગાળો ઓર્થોગોનલ બહિર્મુખ પત્થરોથી અલગ હોય છે. જ્યારે X મર્યાદિત હોય ત્યારે ચુસ્ત ગાળાનું પરિમાણ ઉપરની વ્યાખ્યા n () ના સમૂહના ચુસ્ત ગાળાના T (X) ને RX માં સમાવે છે, જે પરિમાણ n ની વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા છે. બીજી તરફ, જો આપણે T (X) ના પરિમાણને પોલિહેડ્રલ સંકુલ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો દર્શાવે છે કે, મેટ્રિક પર યોગ્ય સામાન્ય સ્થિતિ ધારણા સાથે, આ વ્યાખ્યા n/3 અને n/2 વચ્ચેના પરિમાણ સાથેની જગ્યા તરફ દોરી જાય છે. વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓ મેટ્રિક જગ્યાની કલ્પનાને આધારે તેની પેટા જગ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાનું વર્ણન આના દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે સાબિત કર્યું હતું કે બનાચ જગ્યાની શ્રેણીમાં બનાચ જગ્યાનું ઇન્જેક્ટિવ પરબિડીયું, ચુસ્ત ગાળા સાથે (રેખીય માળખું ભૂલી ગયા પછી) મેળ ખાય છે. આ પ્રમેય અમુક સમસ્યાઓને મનસ્વી બનાચ જગ્યાઓથી લઈને C (X) સ્વરૂપની બનાચ જગ્યાઓ સુધી ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે, જ્યાં X એક સઘન જગ્યા છે. અવકાશમાં દરેક બિંદુથી એક બીજા બિંદુ સુધીના અંતરના વાહકના ઉષ્ણકટિબંધીય બહિર્મુખ આવરણ તરીકે મર્યાદિત મેટ્રિક જગ્યાના ચુસ્ત ગાળાની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા પ્રદાન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. જો કે, તે જ વર્ષે પાછળથી તેઓએ એરેટમમાં સ્વીકાર્યું કે, જ્યારે ઉષ્ણકટિબંધીય બહિર્મુખ પત્થરોમાં હંમેશા ચુસ્ત ગાળો હોય છે, તે તેની સાથે મેળ ખાતો નથી. એપ્લિકેશન્સ જૈવિક માહિતીમાંથી ઉત્ક્રાંતિ વૃક્ષોના પુનઃનિર્માણમાં ચુસ્ત ગાળાના ઉપયોગોનું વર્ણન કરે છે. ચુસ્ત સમયગાળો કે-સર્વર સમસ્યા માટે કેટલાક ઓનલાઇન અલ્ગોરિધમ્સમાં ભૂમિકા ભજવે છે. મેટ્રિક જગ્યાઓને છ બિંદુઓ સુધી વર્ગીકૃત કરવા માટે ચુસ્ત ગાળાનો ઉપયોગ કરે છે. કટ મેટ્રિક્સને વધુ સામાન્ય મર્યાદિત મેટ્રિક જગ્યાઓમાં પેક કરવા વિશેના પરિણામોને સાબિત કરવા માટે ચુસ્ત ગાળાનો ઉપયોગ કરે છે. કુરાટોવ્સ્કી એમ્બેડિંગ પણ જુઓ, જે કુરાટોવ્સ્કી નકશા ઇન્જેક્ટિવ મેટ્રિક સ્પેસ નોટ્સ રેફરન્સની જેમ વ્યાખ્યાયિત બનાચ જગ્યામાં કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યાને એમ્બેડ કરે છે. . . . . . . . . . બાહ્ય કડીઓ. મેટ્રિક ભૂમિતિ