Chopsticks (hand game)
ચૉપસ્ટિક્સ (કેટલીકવાર કેલ્ક્યુલેટર અથવા માત્ર સ્ટિક્સ તરીકે ઓળખાય છે) એ બે અથવા વધુ ખેલાડીઓ માટે હાથની રમત છે, જેમાં ખેલાડીઓ દરેક હાથમાંથી સંખ્યાબંધ આંગળીઓ લંબાવે છે અને વારાફરતી એક હાથને બીજા હાથ સામે ટેપ કરીને તે ગુણને સ્થાનાંતરિત કરે છે. ચૉપસ્ટિક્સ એ સંયુક્ત રમતનું એક ઉદાહરણ છે, અને તે એ અર્થમાં ઉકેલવામાં આવે છે કે સંપૂર્ણ રમત સાથે, કોઈપણ બિંદુથી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના જાણીતી છે. જો તમારી પાસે દરેક હાથ પર સમાન સંખ્યામાં આંગળીઓ હોય તો તમે તેમને એકસાથે ફટકારી શકો છો અને દરેક હાથ પર એક આંગળી મૂકીને તેમને વિભાજિત કરી શકો છો. જ્યારે ખેલાડી પાસે માત્ર એક આંગળી બાકી હોય ત્યારે તેને હાથ વચ્ચે બદલી શકાતી નથી અને તેણે પ્રતિસ્પર્ધી પર હુમલો કરવો જ જોઇએ. ચપસ્ટિક્સની સ્થિતિને સરળતાથી ચાર આંકડાના કોડ [એ. બી. સી. ડી.] તરીકે સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે. એ અને બી એ ખેલાડીના હાથ (આંગળીઓના ચડતા ક્રમમાં) છે જે તેમનો વારો લેવાના છે. સી અને ડી એ ખેલાડીના હાથ (આંગળીઓના ચડતા ક્રમમાં) છે જે પોતાનો વારો લેવાના નથી. દરેક ખેલાડીના હાથને ચડતા ક્રમમાં નોંધવું મહત્વપૂર્ણ છે, જેથી એક અલગ સ્થિતિને આકસ્મિક રીતે બે કોડ દ્વારા રજૂ કરવામાં ન આવે. ઉદાહરણ તરીકે, કોડ [1032] ને મંજૂરી નથી, અને તેને [0123] નોંધવું જોઈએ. તેથી, પ્રારંભિક સ્થિતિ [1111] છે. આગામી સ્થાન [1211] હોવું જોઈએ. આગામી સ્થાન [1212] અથવા [1312] હોવું જોઈએ. દરેક સ્થિતિને 4-અંકની સંખ્યા તરીકે ગણતા, સૌથી નાની સ્થિતિ 0000 છે, અને સૌથી મોટી સ્થિતિ 4444 છે. આ સંક્ષિપ્ત સૂત્ર વધુ ખેલાડીઓ સાથેની રમતોમાં સરળતાથી વિસ્તરે છે. ત્રણ ખેલાડીઓની રમતને છ અંકો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે (દા. ત. [111211]), જ્યાં અડીને આવેલા અંકોની દરેક જોડી એક જ ખેલાડીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને દરેક જોડીનો ક્રમ ખેલાડીઓ ક્યારે તેમનો વારો લેશે તેના આધારે કરવામાં આવે છે. ડાબી બાજુની જોડી ખેલાડીના હાથનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે તેનો વારો લેવા જઈ રહ્યો છે; વચ્ચેની જોડી તે ખેલાડીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે આગળ જશે, વગેરે. સૌથી જમણી બાજુની જોડી તે ખેલાડીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેણે તેના વારો પહેલા સૌથી લાંબી રાહ જોવી પડે છે (સામાન્ય રીતે કારણ કે તે હમણાં જ ગયો હતો). સામાન્ય નિયમો હેઠળ, મહત્તમ 14 સંભવિત ચાલ હોય છેઃ ચાર હુમલાઓ (A-C, A-D, B-C, B-D) ચાર વિભાગો (02-11,03-12,04-13,04-22) છ સ્થાનાંતરણો (13-22,22-13,14-23,23-14,24-33,33-24) જો કે, તેમાંથી માત્ર 5 કે તેથી ઓછા જ આપેલ વળાંક પર ઉપલબ્ધ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રારંભિક સ્થિતિ 1312 2213,1313,2413,0113, અથવા 1222 પર જઈ શકે છે. રમતની લંબાઈ ટૂંકી શક્ય રમત 5 ચાલ છે. એક ઉદાહરણ છેઃ 1111 1211 1312 0113 1401 0014 સૌથી લાંબી શક્ય રમત જે દરેક ચાલ સાથે પ્રારંભિક બિંદુથી વધુ દૂર જાય છે તે 9 ચાલ છે. બે ઉદાહરણો છેઃ 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001 1111 1211 1212 2323 0323 0303 0103 0401 0004 પુનરાવર્તન સાથેની સૌથી લાંબી શક્ય રમત અનિશ્ચિત છે. સ્થાનો રોલ-ઓવરની રકમ 5 હોવાથી, ચૉપસ્ટિક્સ એ બેઝ-5 રમત છે. દરેક સ્થિતિ ચાર અંકોની લાંબી હોય છે. 0000 થી 4444 (બેઝ-5 માં) ની ગણતરી 625 સ્થાનો આપે છે. જો કે, આમાંની મોટાભાગની સ્થિતિઓ ખોટી સંકેતો છે (દા. ત. 0132,1023, અને 1032). તેઓ અલગ દેખાય છે પરંતુ રમતમાં કાર્યાત્મક રીતે સમાન છે. કાર્યાત્મક રીતે અલગ સ્થિતિઓની સંખ્યા શોધવા માટે, કાર્યાત્મક રીતે અલગ જોડીની સંખ્યાનો વર્ગ કરો. ત્યાં 15 અલગ જોડી (00,01,02,03,04,11,12,13,14,22,23,24,33,34 અને 44) છે. કોઈપણ ખેલાડી પાસે આમાંથી કોઈપણ જોડી હોઈ શકે છે, તેથી આપણે ફક્ત 15 * 15 નો ગુણાકાર કરીએ છીએ, જે 225 કાર્યાત્મક રીતે અલગ સ્થિતિ આપે છે. ખાલી જગ્યાઓ સહિત 625 જગ્યાઓ છે. ત્યાં 225 કાર્યાત્મક રીતે અલગ હોદ્દાઓ છે. 204 પહોંચી શકાય તેવી જગ્યાઓ છે. ત્યાં 21 પહોંચી ન શકાય તેવી જગ્યાઓ છેઃ 0000,0100,0200,0300,0400,1100,1101,1200,1300,1400,2200,2200,2300,2400,3300,343,344,4400,444 અને 4444. આમાંથી 15 ફક્ત એક ખેલાડી છે જે 15 અલગ-અલગ જોડી ધરાવે છે, અને બીજો ખેલાડી મૃત છે. સમસ્યા એ છે કે મૃત ખેલાડી એ ખેલાડી છે જેણે હમણાં જ પોતાનો વારો લીધો (તેથી જમણી બાજુએ "00"). ખેલાડી પોતાના વળાંક પર હારી શકતો નથી, તેથી આ સ્થાનો દેખીતી રીતે પહોંચી શકાતા નથી. તેમાંથી 4 જોડી એ છે કે જ્યાં ખેલાડીએ [kk] સાથે આગળ વધવું જોઈએ, અને અન્ય ખેલાડી પાસે [0k], જ્યાં. આ પહોંચી શકાતું નથી કારણ કે જે ખેલાડી હમણાં જ ગયો હતો [0k] તે વિભાજિત થઈ શકશે નહીં, તેથી તે ખેલાડીએ તેના [0k] નો ઉપયોગ કરીને હુમલો કર્યો હોવો જોઈએ. પરંતુ દુશ્મન પર હુમલો કરવા માટે [0k] નો ઉપયોગ કરવાની કોઈ રીત નથી જેથી તેઓ [kk] તરફ આગળ વધે. તેના માટે મૃત હાથ પર હુમલો કરવાની જરૂર પડશે, જે ગેરકાયદેસર છે. બાકીના બે સ્થાનો 3444 અને 4444 છે. 4444 પહોંચી શકાતું નથી કારણ કે ખેલાડી વિભાજનથી [44] સુધી પહોંચી શકતો નથી, અને તેથી તેની પાસે પહેલેથી જ [44] હોવું જરૂરી હતું. એકમાત્ર સંભવિત જોડી કે જે [44] દ્વારા હુમલો કર્યા પછી [44] પર જાય છે તે [04] છે, જેમાં ફરીથી મૃત હાથ પર હુમલો કરવાની જરૂર પડે છે. 3444 વાસ્તવમાં પહોંચી શકાય તેવું છે, પરંતુ માત્ર 4444 થી. 4444 થી 4444 સુધી પહોંચી શકાતું નથી, ન તો 3444 છે. ત્યાં 14 પહોંચી શકાય તેવી અંતિમ રમતો છેઃ 0001,0002,0003,0004,0011,0012,0013,0014,0022,0023,0024,0033,0034,0044. સંતોષકારક રીતે પૂરતી, આ તમામ 14 સંભવિત અંતિમ રમતો છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ પણ 14 અલગ જીવંત જોડીમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરીને જીતી શકે છે. આ 14 અંતિમ રમતોમાંથી, પ્રથમ ખેલાડી તેમાંથી 8 જીતે છે, એમ ધારીને કે રમતો ઓછામાં ઓછી ચાલમાં સમાપ્ત થાય છે. ભિન્નતાઓ મિસેરેઃ પ્રથમ ખેલાડી કે જેણે તેમના બંને હાથને મારી નાખ્યા હોય તે જીતે છે. આત્મહત્યાઃ ખેલાડીઓને વિભાજીત હાથ વડે પોતાનો એક હાથ મારી નાખવાની મંજૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિતિ [1201] માં, ખેલાડી 12-03 ચલાવી શકે છે, આમ રમતને [0103] પર લાવી શકે છે. પ્રતિસ્પર્ધીને બી-ડી રમવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે, જે રમતને [0401] પર લાવે છે, તે સમયે પ્રથમ ખેલાડી માટે ઝડપી જીત શક્ય છે. અદલાબદલી/ચેરીઃ જો ખેલાડીઓ પાસે બે અસમાન જીવંત હાથ હોય, તો તેઓ તેમની અદલાબદલી કરી શકે છે (તેમનો વારો ગુમાવતા હોવા છતાં). આ વિવિધતા સામાન્ય રીતે સ્પષ્ટ કારણોસર પુનરાવર્તન અથવા અનંત લૂપ દ્વારા ડ્રો આપે છે. આને ટાળવા માટે, ખેલાડીને હુમલો કરવા માટે મજબૂર કરવામાં આવે તે પહેલાં હુમલો કર્યા વિના કરી શકાય તેવી સતત અદલાબદલીની સંખ્યા પર મર્યાદા મૂકી શકાય છે. અચાનક મૃત્યુઃ જ્યારે ખેલાડીઓ પાસે માત્ર એક આંગળી (બંને હાથ પર) બાકી હોય ત્યારે તેઓ હારી જાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, દરેક ખેલાડી ત્રણ જીવન સાથે શરૂઆત કરી શકે છે, અને દર વખતે જ્યારે તેઓ નીચે આવે છે [1], ત્યારે તેઓ એક જીવન ગુમાવે છે. મેટાઃ જો કોઈ ખેલાડીના હાથ પાંચથી વધુ હોય, તો તેઓ તેને જોડી શકે છે, કુલમાંથી પાંચને બાદ કરી શકે છે અને પછી બાકીનાને વિભાજિત કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, [44] 8 સુધી ઉમેરે છે. મેટા નિયમો હેઠળ, 4 અને 4 ને 8 માં જોડી શકાય છે, જે પાંચને બાદ કર્યા પછી 3 બને છે; પછી આને [12] માં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેથી, એક જ ચાલમાં [44] થી [12] સુધી જવું શક્ય છે. મેટા 2 નવી સંભવિત ચાલ (34-11,44-12) ને ખોલે છે. જો મેટા અને આત્મહત્યા બંને રમી રહ્યા હોય, તો કુલ મહત્તમ 20 સંભવિત ચાલ માટે ચાર વધારાની ચાલ (24-01,33-01,34-02,44-03) ખોલવામાં આવે છે. લોગાન કલમઃ ખેલાડીઓને આત્મહત્યા અને અદલાબદલી કરવાની મંજૂરી છે, પરંતુ જો બંને એક સાથે કરવામાં આવે તો જ (એટલે કે. જીવંત માટે મૃત હાથની અદલાબદલી કરવી). મૃત્યુ હુમલોઃ ખેલાડીઓને મૃત હાથ પર હુમલો કરવાની મંજૂરી છે. ડેડ હેન્ડ પર હુમલો કરવાથી હુમલો કરવામાં આવે તે પહેલાં ડેડ હેન્ડને 0 ગણવામાં આવે છે. કટઓફઃ જો કોઈ હાથ પાંચ આંગળીઓથી ઉપર જાય, તો તે મૃત છે (સત્તાવાર નિયમોમાં વર્ણવેલ રોલઓવરના વિરોધમાં). ઝોમ્બિઓઃ ત્રણ કે તેથી વધુ ખેલાડીઓ સાથે, જો કોઈ ખેલાડીને નોકઆઉટ કરવામાં આવે, તો તે કાયમી ધોરણે એક હાથની એક આંગળીમાં ઘટાડો થાય છે. તેમના વળાંક પર, તેઓ હુમલો કરી શકે છે, પરંતુ વિભાજિત થઈ શકતા નથી અથવા હુમલો કરી શકતા નથી (ક્રિસ બેન્ડી દ્વારા શોધાયેલ). માત્ર સ્થાનાંતરણઃ વિભાગોને મંજૂરી નથી. એકમાત્ર વિભાજનની મંજૂરી ટ્રાન્સફર છે. માત્ર વિભાગોઃ સ્થાનાંતરણની મંજૂરી નથી. માત્ર વિભાજનની મંજૂરી છે. અર્ધભાગઃ વિભાજનની મંજૂરી ત્યારે જ આપવામાં આવે છે જ્યારે સમ સંખ્યાને બે સમાન અર્ધભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે, અથવા વૈકલ્પિક રીતે, વિષમ સંખ્યાને શક્ય તેટલી સમાન રીતે વિભાજિત કરવામાં આવે (સંપૂર્ણ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને). આ વિવિધતામાં, બીજા ખેલાડીની જીતવાની વ્યૂહરચના હોય છે (હંમેશા જીત માટે દબાણ કરી શકે છે). સ્ટમ્પ્સઃ જો કોઈ ખેલાડી [1] પર હોય, તો તેને [0.05] માં વહેંચવું કાયદેસર છે. વધુ હાથઃ દરેક ખેલાડીના બેથી વધુ હાથ હોય છે. આ સામાન્ય રીતે બહુવિધ લોકોની ટીમોમાં રમાય છે, કારણ કે લોકો પાસે માત્ર બે હાથ હોય છે. ખેલાડી દીઠ વધુ હાથ સાથે, વિવિધ સ્થાનાંતરણ, વિભાજન, અદલાબદલી અને આત્મહત્યાના નિયમો શક્ય છે, અને તેમાં સમાવેશ થાય છે પરંતુ તે મર્યાદિત નથીઃ સિંગલ ટ્રાન્સફરઃ દરેક ખેલાડી માત્ર બે હાથ વચ્ચે આંગળીઓ સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે. બહુવિધ સ્થાનાંતરણઃ દરેક ખેલાડી બેથી વધુ હાથ વચ્ચે આંગળીઓ સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે, જ્યાં સુધી પરિણામી સ્થિતિ મૂળ સ્થિતિથી અલગ હોય ત્યાં સુધી સિંગલ ડિવિઝનઃ ખેલાડી માત્ર એક હાથથી માત્ર એક મૃત હાથમાં આંગળીઓ સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે. વિભાજનઃ ખેલાડી આંગળીઓને માત્ર એક હાથથી બહુવિધ મૃત હાથમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે. સ્થાનાંતરણ અને વિભાજનઃ ખેલાડી મૃત હાથને પુનર્જીવિત કરવા માટે બહુવિધ હાથમાંથી આંગળીઓ સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે. વિવિધ સંખ્યાઓઃ એક હાથ જ્યારે હકારાત્મક સંખ્યા સુધી પહોંચે છે ત્યારે તે મૃત્યુ પામે છે. તે પ્રમાણભૂત ચૉપસ્ટિક્સનો પ્રકાર છે. 5 કરતા મોટી સંખ્યાઓ માટે વિવિધ હાથની ગણતરી પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે જેમ કે ચાઇનીઝ હાથના અંકો, સેનરી આંગળીની ગણતરી અને આંગળી દ્વિસંગી. આ વિવિધતામાં ઘણીવાર રોલઓવરનો સમાવેશ થાય છે. સૂર્યઃ બંને ખેલાડીઓ તેમના દરેક હાથમાં 4 થી શરૂઆત કરે છે ([4444]). આ એક એવી સ્થિતિ છે જે સામાન્ય રમતમાં પહોંચી શકાતી નથી (એટલે કે. શરૂઆતની સ્થિતિથી [1111]). પૂર્ણાંકઃ હાથની +/- નિશાની બદલીને, તેના પર પલટી મારીને પોતાના હાથમાંથી એકને અદલાબદલી કરવાની મંજૂરી છે. આ નકારાત્મક અને શૂન્ય મૂલ્યના હાથ માટે પરવાનગી આપે છે, જો કે હાથ હજુ પણ 5 અથવા-5 પર મૃત્યુ પામે છે. રોલ-ઓવર સાથે, આ ક્રિયા હાથના મૂલ્યને 5 બાદબાકી મૂલ્ય સાથે બદલવા સમાન બને છે. બે વધારાની ચાલ (એ-બી, બી-એ) ઉમેરીને, પોતાના હાથ પર હુમલો કરવાની મંજૂરી છે. સામાન્ય રીતે સ્વેપ અને કટઓફ પ્રકારો સાથે સંયોજનમાં રમાય છે. ચેરી બોમ્બઃ બરાબર 5 પર ટ્રાન્સફર કરવાથી વપરાશકર્તાનો હાથ [1 1] બનશે અને હુમલો કરનાર ખેલાડીનો હાથ ગુમાવશે, અને તે ખેલાડીનો બીજો હાથ 1 બની જશે. મૂળભૂત રીતે, 1 વિરુદ્ધ 1 રમતમાં સ્થિતિ [1101] બની જાય છે. 1 વિરુદ્ધ એક રમતમાં, તે સરળ બળજબરીથી જીત બની જાય છે, તેથી તે 2 થી વધુ લોકો સાથે શ્રેષ્ઠ રીતે રમાય છે. સ્વ-ઉમેરણઃ ખેલાડીઓ તેમના વળાંકમાં કોઈપણ જીવંત હાથમાં 1 આંગળી ઉમેરી શકે છે અને આ ક્રિયા ખેલાડીનો વારો સમાપ્ત કરશે. તેઓ 4 આંગળીઓ ઊંચકીને જીવંત હાથમાં 1 ઉમેરીને પણ આત્મ-વિનાશ કરી શકે છે. અને મૃત હાથમાં બહુવિધ આંગળીઓ સ્થાનાંતરિત કરવાની મંજૂરી છે. રમતની વિવિધતા તેને જટિલ વ્યૂહરચના આપે છે. શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના ઉપરોક્ત નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, બે સંપૂર્ણ ખેલાડીઓ અનિશ્ચિત સમય સુધી રમશે; રમત લૂપમાં ચાલુ રહેશે. હકીકતમાં, ખૂબ જ બિનઅનુભવી ખેલાડીઓ પણ માત્ર એક પગલું આગળ જોઈને હારવાનું ટાળી શકે છે. કટઓફ વિવિધતામાં, પ્રથમ ખેલાડી જીત માટે દબાણ કરી શકે છે. એક જીતવાની વ્યૂહરચના એ છે કે દરેક ચાલ પછી હંમેશા નીચેના રૂપરેખાંકનોમાંથી એક સુધી પહોંચવું, જો એક કરતાં વધુ પસંદગીઓ હોય તો પ્રાધાન્યમાં સૂચિમાં પ્રથમ પસંદ કરવું. [1211] (અહીંથી શરૂ કરીને) [એબી12], જ્યાં એ અને બી ગમે તેટલી આંગળીઓ હોઈ શકે છે (જો શક્ય હોય તો તરત જ જીતી શકાય છે) તેનાથી વિપરીત, ડિવિઝન અને આત્મહત્યા માત્ર ભિન્નતામાં, પછી બીજા ખેલાડીની જીતવાની વ્યૂહરચના હોય છે. સામાન્યીકરણ ચૉપસ્ટિક્સને (પી, આર)-પ્રકારની રમતમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જ્યાં પી એ ખેલાડીઓની સંખ્યા છે અને આર એ રોલ-ઓવર રકમ છે. બે કરતા ઓછા ખેલાડીઓ એક ખેલાડી સાથેની રમત રમતમાં છેલ્લો ખેલાડી હોવાના કારણે તુચ્છ રીતે રમત જીતી જાય છે. શૂન્ય ખેલાડીઓ સાથેની રમત એ જ રીતે તુચ્છ છે કારણ કે રમતમાં કોઈ ખેલાડી નથી અને તેથી કોઈ વિજેતા નથી. બે ખેલાડીઓને રોલ-ઓવર આપવામાં આવે છે, ત્યાં પદ છે, જેમાં બિનકાર્યક્ષમતાઓનો સમાવેશ થાય છે. કાર્યાત્મક રીતે અલગ સ્થિતિઓ છે. કારણ કે, ત્યાં પહોંચી શકાય તેવી જગ્યાઓ છે. રોલ-ઓવરની રકમ હોવાથી, ચૉપસ્ટિક્સ એક બેઝ-ગેમ છે. દરેક સ્થિતિ લાંબા અંકોની હોય છે. આધારમાં તમામ સંખ્યાઓની ગણતરી-અંકો સાથે આપણને સ્થિતિ આપે છે. જો કે, આમાંની મોટાભાગની સ્થિતિઓ ખોટી સંકેતો છે (દા. ત. 1002,0120, અને 1020). તેઓ અલગ દેખાય છે પરંતુ રમતમાં કાર્યાત્મક રીતે સમાન છે. કાર્યાત્મક રીતે અલગ સ્થિતિઓની સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે કાર્યાત્મક રીતે અલગ જોડીની સંખ્યાનો વર્ગ કરીએ છીએ. રોલ-ઓવર માટે, અલગ જોડી હોય છે, જ્યાં-th ત્રિકોણાકાર સંખ્યા હોય છે. કોઈપણ ખેલાડી પાસે આમાંથી કોઈપણ જોડી હોઈ શકે છે, તેથી આપણે ફક્ત પરિણામી મૂલ્યને વર્ગ કરીએ છીએ, જે આપણને કાર્યાત્મક રીતે અલગ સ્થિતિ આપે છે. માટે પહોંચી ન શકાય તેવી જગ્યાઓ છે. આમાંથી ફક્ત એક ખેલાડી છે જે દરેક અલગ જોડી ધરાવે છે, અને બીજો ખેલાડી મૃત છે. સમસ્યા એ છે કે મૃત ખેલાડી તે ખેલાડી છે જેણે હમણાં જ પોતાનો વારો લીધો. ખેલાડી પોતાના વળાંક પર હારી શકતો નથી, તેથી આ સ્થાનો દેખીતી રીતે પહોંચી શકાતા નથી. તે સ્થાનોમાંથી તે છે જ્યારે ખેલાડી, જેનો વારો છે, તેના માટે મૂલ્યના બે હાથ હોય છે અને બીજા ખેલાડી પાસે મૂલ્યનો માત્ર એક જીવંત હાથ હોય છે. આ સ્થાનો પહોંચી શકાતા નથી કારણ કે જે ખેલાડી પાસે મૂલ્યનો માત્ર એક જીવંત હાથ હોય તે વિભાજિત થઈ શકશે નહીં, તેથી તે ખેલાડીએ તેના એકમાત્ર જીવંત માથાનો ઉપયોગ કરીને હુમલો કર્યો હોવો જોઈએ. પરંતુ દુશ્મન પર હુમલો કરવા માટે તેના એકમાત્ર જીવંત હાથનો ઉપયોગ કરવાની કોઈ રીત નથી જેથી તેમના બે હાથ મૂલ્યવાન હોય, કારણ કે તેના માટે મૃત હાથ પર હુમલો કરવાની જરૂર પડશે, જે ગેરકાયદેસર છે. સ્થિતિ જ્યારે બંને ખેલાડીઓ પાસે મૂલ્યના બે હાથ હોય. આ સ્થિતિ પહોંચી શકાતી નથી કારણ કે કોઈપણ ખેલાડી કે જેની પાસે માત્ર મૂલ્યવાન હાથ છે તે વિભાજિત થઈ શકશે નહીં, તેથી તે ખેલાડીએ તેના મૂલ્યવાન હાથમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને હુમલો કર્યો હોવો જોઈએ. પરંતુ મૂલ્યવાન હાથનો ઉપયોગ કરવાની કોઈ રીત નથી જેથી તેમની પાસે મૂલ્યવાન હાથ હોય, કારણ કે તેના માટે મૃત હાથ પર હુમલો કરવાની જરૂર પડશે, જે ગેરકાયદેસર છે. સ્થિતિ ત્યારે હોય છે જ્યારે ખેલાડીનો વારો હોય ત્યારે તેનો એક હાથ મૂલ્યવાન હોય છે અને એક હાથ મૂલ્યવાન હોય છે, અને બીજા ખેલાડીના બે હાથ મૂલ્યવાન હોય છે. આ સ્થિતિ ફક્ત અગાઉની સ્થિતિથી જ પહોંચી શકાય છે, પરંતુ અગાઉની સ્થિતિ પ્રારંભિક સ્થિતિથી પહોંચી શકાતી નથી, તેથી આ સ્થિતિ પણ નથી. બેથી વધુ ખેલાડીઓને 5 નો રોલ-ઓવર આપવામાં આવે છે. 2 ખેલાડીઓ સાથે, 204 સ્થાનો છે. 3 ખેલાડીઓ સાથે, 3,337 સ્થાનો છે. 4 ખેલાડીઓ સાથે, 25,000 થી વધુ સ્થાનો છે. 1 ની રોલ-ઓવર રકમ ધરાવતી રમત એ તુચ્છ રમત છે, કારણ કે શરૂઆતમાં બધા હાથ મૃત હોય છે કારણ કે એકના મૂલ્યો શૂન્યના મૂલ્યો બની જાય છે. 2 ની રોલ-ઓવર રકમ ધરાવતી રમત અધોગતિ પામે છે, કારણ કે વિભાજન અશક્ય છે અને રોલ-ઓવર અને કટઓફ ભિન્નતાઓ સમાન રમતમાં પરિણમે છે. હાથ કાં તો 'જીવંત' અને 'મૃત' હોય છે, અને હાથ પર હુમલો કરવાથી હાથ મરી જાય છે. હકીકતમાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ ખેલાડીના 'હાથ' ની સંખ્યાની ગણતરી કરી શકે છે (આંગળીઓ અથવા ગણતરીની અન્ય કોઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), અને જ્યારે કોઈ ખેલાડી પ્રતિસ્પર્ધી પર હુમલો કરે છે, ત્યારે વિરોધીના હાથની સંખ્યામાં એકનો ઘટાડો થાય છે. રમતમાં કુલ પહોંચી શકાય તેવી સ્થિતિઓ છે, અને રમતની લંબાઈ. બે ખેલાડીઓની રમતને પ્રથમ વ્યક્તિની જીત તરીકે મજબૂત રીતે ઉકેલવામાં આવે છે. જ્યારે બે ખેલાડીઓ પાસે માત્ર એક જ હાથ હોય છે, ત્યારે રમત અધોગતિ પામે છે, કારણ કે વિભાજન થઈ શકતું નથી અને દરેક ખેલાડી પાસે માત્ર એક જ ચાલ હોય છે. રમતમાં ચાલ પછી દરેક સ્થાનના રોલ-ઓવરને ટુપલ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં અને સાથે-th ફિબોનાકી નંબર છે. સ્થાનોની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે જે વિભાજિત થાય છે. આ પ્રકારને ફિબોનાકી સંખ્યાઓના વિભાજનક્ષમતા ગુણધર્મો અને તેના આધારે બંને પક્ષો માટે જીત તરીકે મજબૂત રીતે ઉકેલવામાં આવે છે. રમતની લંબાઈ છે. મોર્રા (રમત) પણ જુઓ-એક અલગ હાથની રમત, જે તર્કને બદલે તક પર આધારિત છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ અજેય ચૉપસ્ટિક્સ AI બોટ. આ બોટ રોલઓવર અને ટ્રાન્સફર સાથે રમત રમે છે. બાળકોની રમતો હેન્ડ ગેમ્સ એબ્સ્ટ્રેક્ટ સ્ટ્રેટેજી ગેમ્સ સોલ્વ્ડ ગેમ્સ કોમ્બિનેટરિયલ ગેમ થિયરી