II25,1
ગણિતમાં, II25,1 એ સમ 26-પરિમાણીય લોરેન્ટ્ઝિયન એકરૂપ જાળી છે. તેમાં ઘણા અસામાન્ય ગુણધર્મો છે, જે કોનવેની શોધમાંથી ઉદ્ભવે છે કે તેમાં ધોરણ શૂન્ય વેઇલ વેક્ટર છે. ખાસ કરીને તે લીચ લેટીસ λ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, અને તેના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથની ટોચ પર કોનવે જૂથ Co1 છે. રચના m + n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા Rm + n માટે a1b1 + દ્વારા આપવામાં આવેલ (a1,., am + n) અને (b1,., bm + n) ના આંતરિક ગુણાકાર સાથે Rm, n લખો. જાળી II25,1 એ R25,1 માં તમામ વેક્ટર (a1,., a26) દ્વારા એવી રીતે આપવામાં આવે છે કે ક્યાં તો બધા એઇ પૂર્ણાંકો છે અથવા તે બધા પૂર્ણાંકો વત્તા 1/2 છે, અને તેમનો સરવાળો સરખો છે. પ્રતિબિંબ જૂથ જાળી II25,1 એ λ ≈ H માટે સમરૂપ છે જ્યાંઃ λ એ લીચ જાળી છે, H એ 2-પરિમાણીય સમ લોરેન્ટ્ઝિયન જાળી છે, જે આંતરિક ઉત્પાદન-1 સાથે 2 ધોરણ 0 વેક્ટર z અને w દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, અને બે સરવાળા ઓર્થોગોનલ છે. તેથી આપણે II25,1 ના વેક્ટરને (λ, m, n) = λ + mz + nw તરીકે λ સાથે λ અને m, n પૂર્ણાંકોમાં લખી શકીએ છીએ, જ્યાં (λ, m, n) નોર્મ λ2-2mn છે. સ્પષ્ટ રીતે આઇસોમોર્ફિઝમ આપવા માટે, ચાલો, અને, જેથી દ્વારા પેદા થયેલ સબસ્પેસ અને તે 2-પરિમાણીય સમ લોરેન્ટ્ઝિયન જાળી છે. પછી તે આઇસોમોર્ફિક છે અને આપણે λ ની વ્યાખ્યાઓમાંથી એકને પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ. કોનવેએ દર્શાવ્યું હતું કે આંતરિક ગુણાકાર-1 ધરાવતા મૂળ (ધોરણ 2 વેક્ટર) જે w = (0,0,1) સાથે છે તે પ્રતિબિંબ જૂથના સરળ મૂળ છે. લીચ લેટીસમાં λ માટે આ વેક્ટર (λ, 1, λ 2/2-1) છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સરળ મૂળને લીચ જાળીના બિંદુઓ સાથે ઓળખી શકાય છે, અને વધુમાં આ સરળ મૂળના સમૂહથી લીચ જાળી સુધીની સમપ્રમાણતા છે. પ્રતિબિંબ જૂથ એ 25-પરિમાણીય હાયપરબોલિક જગ્યા પર કામ કરતું હાયપરબોલિક પ્રતિબિંબ જૂથ છે. પ્રતિબિંબ જૂથના મૂળભૂત ક્ષેત્રમાં 1+23 + 284 શિરોબિંદુઓની ભ્રમણકક્ષાઓ નીચે મુજબ છેઃ અનંત પર એક શિરોબિંદુ ધોરણ 0 વેઇલ વેક્ટરને અનુરૂપ છે. અનંત પર શિરોબિંદુઓની 23 ભ્રમણકક્ષાઓ મૂળભૂત ક્ષેત્રના મર્યાદિત સંખ્યામાં ચહેરાને મળે છે. આ શિરોબિંદુઓ લીચ જાળીના ઊંડા છિદ્રોને અનુરૂપ છે, અને તેમાં લીચ જાળી સિવાયના 23 નિમેયર જાળીઓને અનુરૂપ 23 ભ્રમણકક્ષાઓ છે. આ શિરોબિંદુઓમાંથી એકને મળતા સરળ મૂળિયા 24મા ક્રમની એફાઇન ડાયન્કિન આકૃતિ બનાવે છે. હાયપરબોલિક અવકાશમાં શિરોબિંદુઓની 284 ભ્રમણકક્ષાઓ. આ લીચ જાળીના છીછરા છિદ્રોની 284 ભ્રમણકક્ષાઓને અનુરૂપ છે. આમાંના કોઈપણ શિરોબિંદુઓને મળતા સરળ મૂળિયા 25મા ક્રમની ગોળાકાર ડાયન્કિન આકૃતિ બનાવે છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથે II25,1 ના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ઓટ (II25,1) નું વર્ણન નીચે મુજબ કર્યું છે. સૌ પ્રથમ, ઓટો (II25,1) એ સમયની દિશા જાળવી રાખતા ઓટોમોર્ફિઝમ્સના ઇન્ડેક્સ 2 પેટાજૂથ ઓટો + (II25,1) દ્વારા-1 દ્વારા પેદા થયેલ ક્રમ 2 ના જૂથનું ઉત્પાદન છે. ઓટો + (II25,1) જૂથમાં તેના પ્રતિબિંબો દ્વારા પેદા થયેલ સામાન્ય પેટા જૂથ રેફ હોય છે, જેના સરળ મૂળ લીચ લેટીસ વેક્ટરને અનુરૂપ હોય છે. ઓટો + (II25,1)/રેફ જૂથ લીચ જાળીના એફાઇન ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, અને તેથી તે λ = Z24 માટે આઇસોમોર્ફિક અનુવાદોનું સામાન્ય પેટાજૂથ ધરાવે છે, અને ભાગાકાર લીચ જાળીના તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે એક છૂટાછવાયા સરળ જૂથ કોનવે જૂથ Co1 નું બેવડું આવરણ છે. વેક્ટર II25,1 ના દરેક બિન-શૂન્ય વેક્ટરને આદિમ વેક્ટરના હકારાત્મક પૂર્ણાંક ગુણાંક તરીકે અનન્ય રીતે લખી શકાય છે, તેથી તમામ વેક્ટરને વર્ગીકૃત કરવા માટે તે આદિમ વેક્ટરને વર્ગીકૃત કરવા માટે પૂરતું છે. પોઝિટિવ નોર્મ વેક્ટર સમાન નોર્મ ધરાવતા કોઈપણ બે પોઝિટિવ નોર્મ પ્રિમિટિવ વેક્ટર ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ હેઠળ સંયોજિત થાય છે. નોર્મ ઝીરો વેક્ટર 24 નીમીયર જાળીઓને અનુરૂપ આદિમ નોર્મ 0 વેક્ટરની 24 ભ્રમણકક્ષાઓ છે. પત્રવ્યવહાર નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવ્યો છેઃ જો z એ ધોરણ 0 વેક્ટર હોય, તો જાળી z/z એ 24-પરિમાણીય સમ એકરૂપ જાળી છે અને તેથી તે નિમિયર જાળીઓમાંની એક છે. II25,1 ના પ્રતિબિંબ જૂથના ધોરણ 0 વેઇલ વેક્ટરને અનુરૂપ નિમેયર જાળી એ લીચ જાળી છે. નોર્મ-2 વેક્ટર નોર્મ-2 ના વેક્ટર v ની 121 ભ્રમણકક્ષાઓ છે, જે નિર્ધારક 2 ના 25-પરિમાણીય સમ જાળી L ના 121 સમરૂપતા વર્ગોને અનુરૂપ છે. આ પત્રવ્યવહારમાં, જાળી L એ વેક્ટર v. નોર્મ-4 વેક્ટરના ઓર્થોગોનલ પૂરક માટે આઇસોમોર્ફિક છે ત્યાં ધોરણ-4 ના વેક્ટર v ની 665 ભ્રમણકક્ષાઓ છે, જે 25-પરિમાણીય એકરૂપ જાળી L ના 665 આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોને અનુરૂપ છે. આ પત્રવ્યવહારમાં, જાળી L ના સમ વેક્ટરની અનુક્રમણિકા 2 સબલેટિસ વેક્ટર v ના ઓર્થોગોનલ પૂરક માટે આઇસોમોર્ફિક છે. અન્ય વેક્ટર ત્યાં n = 3,4,5 માટે ધોરણ-2n ના વેક્ટરનું સમાન પરંતુ વધુને વધુ જટિલ વર્ણન છે. અને આવા વેક્ટરની ભ્રમણકક્ષાઓની સંખ્યા ખૂબ ઝડપથી વધે છે. સંદર્ભો કોનવે, જે. એચ.; સ્લોએન, એન. જે. એ. (1999). ગોળા પેકિંગ્સ, જાળીઓ અને જૂથો. (ત્રીજી આવૃત્તિ.) ઇ. બન્નાઈ, આર. ઇ. બોર્ચર્ડ્સ, જ્હોન લીચ, સિમોન પી. નોર્ટન, એ. એમ. ઓડલીઝ્કો, રિચાર્ડ એ. પાર્કર, એલ. ક્વીન અને બી. બી. વેન્કોવ. ગ્રુન્ડલેહ્રેન ડેર મેથેમેટિસ્ચેન વિસેનશાફ્ટેન, 290. ન્યૂ યોર્કઃ સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. . ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો જાળી બિંદુઓ છૂટાછવાયા જૂથો મૂનશાઇન સિદ્ધાંત જ્હોન હોર્ટન કોનવે