Van Hiele model
ગણિતના શિક્ષણમાં, વેન હીલે મોડેલ એ એક સિદ્ધાંત છે જે વર્ણવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ ભૂમિતિ કેવી રીતે શીખે છે. આ સિદ્ધાંત 1957 માં નેધરલેન્ડ્સમાં ઉટ્રેક્ટ યુનિવર્સિટી ખાતે દિના વાન હીલે-ગેલ્ડોફ અને પિયર વાન હીલે (પત્ની અને પતિ) ના ડોક્ટરલ નિબંધોમાં ઉદ્દભવ્યો હતો. સોવિયેટ્સે 1960ના દાયકામાં આ સિદ્ધાંત પર સંશોધન કર્યું હતું અને તેમના તારણોને તેમના અભ્યાસક્રમમાં એકીકૃત કર્યા હતા. અમેરિકન સંશોધકોએ 1970 ના દાયકાના અંતમાં અને 1980 ના દાયકાની શરૂઆતમાં વેન હીલે સિદ્ધાંત પર ઘણા મોટા અભ્યાસો કર્યા હતા, જેમાં તારણ કાઢ્યું હતું કે વિદ્યાર્થીઓના નીચા વેન હીલે સ્તરોએ પ્રૂફ-ઓરિએન્ટેડ ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમોમાં સફળ થવું મુશ્કેલ બનાવ્યું હતું અને અગાઉના ગ્રેડ સ્તરે વધુ સારી તૈયારી કરવાની સલાહ આપી હતી. પિયર વાન હીલેએ 1986માં સ્ટ્રક્ચર એન્ડ ઇનસાઇટ પ્રકાશિત કર્યું હતું, જેમાં તેમના સિદ્ધાંતનું વધુ વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. પ્રારંભિક ગ્રેડ સ્તરે આકારોના ગુણધર્મો અને વર્ગીકરણના વિશ્લેષણ પર ભાર મૂકીને આ નમૂનાએ સમગ્ર વિશ્વમાં ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમને ખૂબ પ્રભાવિત કર્યો છે. યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સમાં, આ સિદ્ધાંતે નેશનલ કાઉન્સિલ ઓફ ટીચર્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ અને કોમન કોર સ્ટાન્ડર્ડ્સ દ્વારા પ્રકાશિત ધોરણોની ભૂમિતિને પ્રભાવિત કરી છે. વેન હીલે સ્તર વિદ્યાર્થી રટણ દ્વારા [ગાણિતિક] એવા સંબંધો સાથે કામ કરવાનું શીખે છે જે તે સમજી શકતો નથી, અને જેનું મૂળ તેણે જોયું નથી. તેથી સંબંધોની પ્રણાલી એક સ્વતંત્ર રચના છે જેનો બાળકના અન્ય અનુભવો સાથે કોઈ સંબંધ નથી. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યાર્થી માત્ર તે જ જાણે છે કે તેને શું શીખવવામાં આવ્યું છે અને તેમાંથી શું કાઢવામાં આવ્યું છે. તેમણે તંત્ર અને સંવેદનાત્મક વિશ્વ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવાનું શીખ્યા નથી. તે જાણતો નથી કે તેણે જે શીખ્યું છે તેને નવી પરિસ્થિતિમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું. - પિયર વેન હીલે, 1959 વેન હીલે મોડેલનો સૌથી જાણીતો ભાગ એ પાંચ સ્તરો છે જે વેન હીલેસે બાળકો ભૂમિતિમાં તર્ક કરવાનું કેવી રીતે શીખે છે તેનું વર્ણન કરવા માટે રજૂ કર્યા હતા. જ્યાં સુધી વિદ્યાર્થીઓ ભૌમિતિક વિચારો વચ્ચેના સંબંધોની પ્રણાલીઓની વ્યાપક સમજણ ઊભી ન કરે ત્યાં સુધી ભૌમિતિક પ્રમેયોને સાબિત કરવાની અપેક્ષા રાખી શકાતી નથી. આ પ્રણાલીઓ રટણ દ્વારા શીખી શકાતી નથી, પરંતુ અસંખ્ય ઉદાહરણો અને પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો, ભૌમિતિક આકૃતિઓના વિવિધ ગુણધર્મો, ગુણધર્મો વચ્ચેના સંબંધો અને આ ગુણધર્મોને કેવી રીતે ક્રમ આપવામાં આવે છે તેનો અનુભવ કરીને પરિચિતતા દ્વારા વિકસાવવી આવશ્યક છે. વેન હીલ્સ દ્વારા પ્રતિપાદિત પાંચ સ્તરો વર્ણવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ આ સમજણ દ્વારા કેવી રીતે આગળ વધે છે. પાંચ વેન હિલે સ્તરને કેટલીકવાર વિદ્યાર્થીઓ આકારના વર્ગીકરણને કેવી રીતે સમજે છે તેના વર્ણન તરીકે ગેરસમજ કરવામાં આવે છે, પરંતુ આ સ્તર વાસ્તવમાં આકારો અને અન્ય ભૌમિતિક વિચારો વિશે વિદ્યાર્થીઓ જે રીતે તર્ક કરે છે તેનું વર્ણન કરે છે. પિયરે વાન હીલે નોંધ્યું કે તેમના વિદ્યાર્થીઓ ભૂમિતિ વિશેની તેમની સમજણમાં ચોક્કસ બિંદુઓ પર "ઉચ્ચપ્રદેશ" તરફ વળ્યા હતા અને તેમણે આ ઉચ્ચપ્રદેશ બિંદુઓને સ્તરો તરીકે ઓળખાવ્યા હતા. સામાન્ય રીતે, આ સ્તરો ઉંમરને બદલે અનુભવ અને સૂચનાનું પરિણામ છે. આ પિયાજેના જ્ઞાનાત્મક વિકાસના સિદ્ધાંતથી વિપરીત છે, જે વય-આધારિત છે. બાળકને ઉચ્ચ સ્તરના અભિજાત્યપણુ તરફ આગળ વધવા માટે આ ભૌમિતિક વિચારોનો પૂરતો અનુભવ (વર્ગખંડ અથવા અન્યથા) હોવો આવશ્યક છે. સમૃદ્ધ અનુભવો દ્વારા, બાળકો પ્રાથમિક શાળામાં સ્તર 2 સુધી પહોંચી શકે છે. આવા અનુભવો વિના, ઘણા પુખ્ત વયના લોકો (શિક્ષકો સહિત) તેમનું આખું જીવન સ્તર 1 માં રહે છે, ભલે તેઓ માધ્યમિક શાળામાં ઔપચારિક ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમ લે. સ્તર નીચે મુજબ છેઃ સ્તર 0. વિઝ્યુલાઇઝેશનઃ આ સ્તરે, બાળકની વિચારસરણીનું ધ્યાન વ્યક્તિગત આકારો પર હોય છે, જેને બાળક તેમના સર્વગ્રાહી દેખાવને ધ્યાનમાં રાખીને વર્ગીકૃત કરવાનું શીખી રહ્યું છે. બાળકો સામાન્ય રીતે વધુ વર્ણન વિના ફક્ત કહે છે, "તે એક વર્તુળ છે". બાળકો મૂળભૂત ભૌમિતિક આકૃતિઓ (ત્રિકોણ, વર્તુળ, ચોરસ) ના નમુનાઓને ઓળખે છે. આ દ્રશ્ય પ્રોટોટાઇપનો ઉપયોગ પછી અન્ય આકારોને ઓળખવા માટે થાય છે. આકાર એક વર્તુળ છે કારણ કે તે સૂર્ય જેવો દેખાય છે; આકાર એક લંબચોરસ છે કારણ કે તે દરવાજા અથવા બૉક્સ જેવો દેખાય છે; અને તેથી વધુ. ચોરસ એક લંબચોરસ કરતાં અલગ પ્રકારનો આકાર લાગે છે, અને લંબગોળ અન્ય સમાંતર ચતુર્ભુજ જેવો દેખાતો નથી, તેથી આ આકારોને બાળકના મનમાં સંપૂર્ણપણે અલગ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. બાળકો તેમના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કર્યા વિના આંકડાઓને સર્વગ્રાહી રીતે જુએ છે. જો કોઈ આકાર તેના પ્રોટોટાઇપ સાથે પૂરતો મેળ ખાતો ન હોય, તો બાળક વર્ગીકરણને નકારી શકે છે. આમ, આ તબક્કે બાળકો પાતળા, ફાચર આકારના ત્રિકોણ (બાજુઓ 1,20,20 અથવા બાજુઓ 20,20,39) ને "ત્રિકોણ" કહેવાનું ટાળી શકે છે, કારણ કે તે સમબાહુ ત્રિકોણથી આકારમાં ખૂબ જ અલગ છે, જે "ત્રિકોણ" માટે સામાન્ય પ્રોટોટાઇપ છે. જો ત્રિકોણનો આડો આધાર ટોચ પર અને વિરોધી શિરોબિંદુ નીચે હોય, તો બાળક તેને ત્રિકોણ તરીકે ઓળખી શકે છે, પરંતુ દાવો કરે છે કે તે "ઊંધુંચત્તુ" છે. ગોળાકાર અથવા અપૂર્ણ બાજુઓ ધરાવતી આકારોને "ત્રિકોણ" તરીકે સ્વીકારી શકાય છે જો તેઓ સમબાહુ ત્રિકોણ સાથે સંપૂર્ણ સામ્યતા ધરાવે છે. ચોરસને "હીરા" કહેવામાં આવે છે અને જો તેમની બાજુઓ આડી તરફ 45° પર હોય તો તેને ચોરસ તરીકે ઓળખવામાં આવતી નથી. આ સ્તરના બાળકો ઘણીવાર માને છે કે એક જ ઉદાહરણના આધારે કંઈક સાચું છે. સ્તર 1. વિશ્લેષણઃ આ સ્તરે, આકારો તેમના ગુણધર્મોના વાહક બની જાય છે. વિચારની વસ્તુઓ આકારોના વર્ગો છે, જેનું બાળક ગુણધર્મો હોવાનું વિશ્લેષણ કરવાનું શીખ્યું છે. આ સ્તર પરની વ્યક્તિ કહી શકે છે, "એક ચોરસમાં 4 સમાન બાજુઓ અને 4 સમાન ખૂણા હોય છે. તેના વિકર્ણો એકરૂપ અને લંબરૂપ છે, અને તેઓ એકબીજાને દ્વિભાજિત કરે છે. આકારના દેખાવ કરતાં ગુણધર્મો વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. જો કોઈ આકૃતિ બ્લેકબોર્ડ પર સ્કેચ કરવામાં આવે અને શિક્ષક દાવો કરે કે તેનો હેતુ સર્વસંમત બાજુઓ અને ખૂણાઓ રાખવાનો છે, તો વિદ્યાર્થીઓ સ્વીકારે છે કે તે ચોરસ છે, ભલે તે નબળી રીતે દોરવામાં આવે. આ સ્તરે પ્રોપર્ટીઝનો ઓર્ડર હજુ સુધી આપવામાં આવ્યો નથી. બાળકો મૂળભૂત આકૃતિઓના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરી શકે છે અને તેમને આ ગુણધર્મો દ્વારા ઓળખી શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે વર્ગોને ઓવરલેપ થવાની મંજૂરી આપતા નથી કારણ કે તેઓ દરેક ગુણધર્મને અન્યથી અલગ રીતે સમજે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ હજુ પણ આગ્રહ રાખશે કે "ચોરસ એ લંબચોરસ નથી". (તેઓ આવી માન્યતાઓને ટેકો આપવા માટે બાહ્ય ગુણધર્મો રજૂ કરી શકે છે, જેમ કે લંબચોરસને બાજુઓની બીજી જોડી કરતાં લાંબી બાજુઓની એક જોડી સાથે આકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે.) બાળકો આકારના ઘણા ગુણધર્મો જોવાનું શરૂ કરે છે, પરંતુ ગુણધર્મો વચ્ચેના સંબંધો જોતા નથી; તેથી તેઓ જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો સાથે ગુણધર્મોની સૂચિને સંક્ષિપ્ત વ્યાખ્યામાં ઘટાડી શકતા નથી. તેઓ સામાન્ય રીતે કેટલાક ઉદાહરણો પરથી પ્રેરક રીતે તર્ક કરે છે, પરંતુ હજુ સુધી અનુમાનાત્મક રીતે તર્ક કરી શકતા નથી કારણ કે તેઓ સમજી શકતા નથી કે આકારોના ગુણધર્મો કેવી રીતે સંબંધિત છે. સ્તર 2. એબ્સ્ટ્રેક્શનઃ આ સ્તરે, ગુણધર્મોને ઓર્ડર કરવામાં આવે છે. વિચારની વસ્તુઓ ભૌમિતિક ગુણધર્મો છે, જેને વિદ્યાર્થી અનુમાનાત્મક રીતે જોડવાનું શીખ્યા છે. વિદ્યાર્થી સમજે છે કે ગુણધર્મો સંબંધિત છે અને ગુણધર્મોનો એક સમૂહ બીજી મિલકત સૂચવી શકે છે. વિદ્યાર્થીઓ ભૌમિતિક આકૃતિઓ વિશે સરળ દલીલો સાથે તર્ક કરી શકે છે. આ સ્તરનો વિદ્યાર્થી કહી શકે છે કે, "સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ સમપ્રમાણ હોય છે, તેથી તેમના આધાર ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ". શીખનારાઓ આકારના પ્રકારો વચ્ચેના સંબંધોને ઓળખે છે. તેઓ જાણે છે કે તમામ ચોરસ લંબચોરસ છે, પરંતુ તમામ લંબચોરસ ચોરસ નથી, અને તેઓ સમજે છે કે શા માટે ચોરસ એ દરેકના ગુણધર્મોની સમજણના આધારે એક પ્રકારનો લંબચોરસ છે. તેઓ કહી શકે છે કે એક લંબચોરસ હોવું શક્ય છે કે નહીં, ઉદાહરણ તરીકે, એક લંબચોરસ પણ છે. તેઓ જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતોને સમજે છે અને સંક્ષિપ્ત વ્યાખ્યાઓ લખી શકે છે. જો કે, તેઓ હજુ સુધી કપાતનો આંતરિક અર્થ સમજી શક્યા નથી. તેઓ જટિલ દલીલને અનુસરી શકતા નથી, વ્યાખ્યાઓનું સ્થાન સમજી શકતા નથી અથવા સ્વયંસિદ્ધતાની જરૂરિયાતને સમજી શકતા નથી, તેથી તેઓ હજુ સુધી ઔપચારિક ભૌમિતિક પુરાવાઓની ભૂમિકાને સમજી શકતા નથી. સ્તર 3. કપાતઃ આ સ્તરના વિદ્યાર્થીઓ કપાતનો અર્થ સમજે છે. વિચારનો ઉદ્દેશ અનુમાનાત્મક તર્ક (સરળ પુરાવા) છે, જેને વિદ્યાર્થી ઔપચારિક પુરાવા (યુક્લિડિયન ભૂમિતિ) ની પદ્ધતિ બનાવવા માટે ભેગા કરવાનું શીખે છે. શીખનારાઓ માધ્યમિક શાળા સ્તરે ભૌમિતિક પુરાવાઓ બનાવી શકે છે અને તેનો અર્થ સમજી શકે છે. તેઓ યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં અવ્યાખ્યાયિત શરતો, વ્યાખ્યાઓ, સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેયોની ભૂમિકાને સમજે છે. જો કે, આ સ્તરના વિદ્યાર્થીઓ માને છે કે સ્વયંસિદ્ધ અને વ્યાખ્યાઓ મનસ્વીને બદલે નિશ્ચિત છે, તેથી તેઓ હજુ સુધી બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ વિશે કલ્પના કરી શકતા નથી. ભૌમિતિક વિચારોને હજુ પણ યુક્લિડિયન સમતલમાં પદાર્થો તરીકે સમજવામાં આવે છે. સ્તર 4. કઠોરતાઃ આ સ્તરે, ભૂમિતિ ગણિતશાસ્ત્રીના સ્તરે સમજાય છે. વિદ્યાર્થીઓ સમજે છે કે વ્યાખ્યાઓ મનસ્વી છે અને વાસ્તવમાં કોઈ નક્કર અનુભૂતિને સંદર્ભિત કરવાની જરૂર નથી. વિચારનો ઉદ્દેશ અનુમાનાત્મક ભૌમિતિક પ્રણાલીઓ છે, જેના માટે શીખનાર સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીઓની સરખામણી કરે છે. શીખનારાઓ સમજણ સાથે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિઓનો અભ્યાસ કરી શકે છે. લોકો ભૂમિતિના વિષયને સમજી શકે છે અને તે બિન-ગાણિતિક અભ્યાસોથી દાર્શનિક રીતે કેવી રીતે અલગ પડે છે. અમેરિકન સંશોધકોએ સ્તરને 1 થી 5 તરીકે પુનઃગણતરી કરી જેથી તેઓ "સ્તર 0" ઉમેરી શકે જેમાં નાના બાળકોનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું જેઓ આકારોને ઓળખી શક્યા ન હતા. બંને ક્રમાંકન પ્રણાલીઓ હજુ પણ ઉપયોગમાં છે. કેટલાક સંશોધકો સ્તરને અલગ-અલગ નામો પણ આપે છે. સ્તરના ગુણધર્મો વેન હિલે સ્તરમાં પાંચ ગુણધર્મો છેઃ 1. નિશ્ચિત ક્રમઃ સ્તરો અધિક્રમિક હોય છે. વિદ્યાર્થીઓ એક સ્તરને "અવગણી" શકતા નથી. વેન હીલ્સ દાવો કરે છે કે ભૂમિતિના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા અનુભવાતી મોટાભાગની મુશ્કેલી કપાત સ્તર પર શીખવવામાં આવે છે જ્યારે તેઓ હજુ સુધી એબ્સ્ટ્રેક્શન સ્તર પ્રાપ્ત કરી શક્યા નથી. 2. સંલગ્નતાઃ જે ગુણધર્મો એક સ્તર પર આંતરિક હોય છે તે બીજા સ્તર પર બાહ્ય બની જાય છે. (ગુણધર્મો વિઝ્યુલાઇઝેશન સ્તર પર છે, પરંતુ વિદ્યાર્થી વિશ્લેષણ સ્તર સુધી તેમના વિશે સભાનપણે વાકેફ નથી. ગુણધર્મો હકીકતમાં વિશ્લેષણ સ્તર પર સંબંધિત છે, પરંતુ વિદ્યાર્થીઓ હજુ સુધી સંબંધો વિશે સ્પષ્ટ રીતે વાકેફ નથી.) 3. ભેદઃ દરેક સ્તરના પોતાના ભાષાકીય પ્રતીકો અને સંબંધોનું માળખું હોય છે. ભાષાકીય પ્રતીકનો અર્થ તેની સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા કરતાં વધુ છે; તેમાં વક્તા દ્વારા આપવામાં આવેલા પ્રતીક સાથે સંકળાયેલા અનુભવોનો સમાવેશ થાય છે. જે એક સ્તર પર "સાચું" હોઈ શકે છે તે બીજા સ્તર પર સાચું હોવું જરૂરી નથી. સ્તર 0 પર એક ચોરસ એવી વસ્તુ છે જે બૉક્સ જેવી દેખાય છે. સ્તર 2 પર ચોરસ એ એક ખાસ પ્રકારનો લંબચોરસ છે. આમાંથી કોઈ પણ સ્તર 1 પર તર્ક કરનાર વ્યક્તિ માટે "ચોરસ" ના અર્થનું સાચું વર્ણન નથી. જો વિદ્યાર્થીને ફક્ત વ્યાખ્યા અને તેની સાથે સંકળાયેલા ગુણધર્મો સોંપવામાં આવે, તો ખ્યાલ સાથે અર્થપૂર્ણ અનુભવો વિકસાવવાની મંજૂરી આપ્યા વિના, વિદ્યાર્થી આ જ્ઞાનને પાઠમાં ઉપયોગમાં લેવાતી પરિસ્થિતિઓથી આગળ લાગુ કરી શકશે નહીં. 4. વિભાજનઃ એક શિક્ષક જે એક સ્તરે તર્ક કરે છે તે નીચલા સ્તરના વિદ્યાર્થીથી અલગ "ભાષા" બોલે છે, જે સમજણને અટકાવે છે. જ્યારે શિક્ષક "ચોરસ" ની વાત કરે છે ત્યારે તેનો અર્થ એક ખાસ પ્રકારનો લંબચોરસ થાય છે. સ્તર 0 અથવા 1 પરના વિદ્યાર્થીને આ શબ્દની સમાન સમજ નહીં હોય. વિદ્યાર્થી શિક્ષકને સમજી શકતો નથી, અને શિક્ષક સમજી શકતો નથી કે વિદ્યાર્થી કેવી રીતે તર્ક કરી રહ્યો છે, વારંવાર નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે વિદ્યાર્થીના જવાબો ફક્ત "ખોટા" છે. વેન હીલ્સ માનતા હતા કે આ ગુણધર્મ ભૂમિતિમાં નિષ્ફળતાના મુખ્ય કારણોમાંનું એક હતું. શિક્ષકો માને છે કે તેઓ પોતાને સ્પષ્ટ અને તાર્કિક રીતે વ્યક્ત કરી રહ્યા છે, પરંતુ તેમના સ્તર 3 અથવા 4 તર્ક નીચલા સ્તરના વિદ્યાર્થીઓને સમજી શકતા નથી, ન તો શિક્ષકો તેમના વિદ્યાર્થીઓની વિચાર પ્રક્રિયાઓને સમજે છે. આદર્શ રીતે, શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓને તેમની ભાષા પાછળના સહિયારા અનુભવોની જરૂર છે. 5. પ્રાપ્તિઃ વેન હીલ્સે આપેલ વિષય પર વિદ્યાર્થીઓને એક સ્તરથી બીજા સ્તર સુધી માર્ગદર્શન આપવા માટે પાંચ તબક્કાઓની ભલામણ કરી હતીઃ માહિતી અથવા પૂછપરછઃ વિદ્યાર્થીઓ સામગ્રીથી પરિચિત થાય છે અને તેની રચના શોધવાનું શરૂ કરે છે. શિક્ષકો એક નવો વિચાર રજૂ કરે છે અને વિદ્યાર્થીઓને નવા ખ્યાલ સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે. વિદ્યાર્થીઓને નવી વિભાવનાની રચનાનો સમાન રીતે અનુભવ કરાવવાથી, તેઓ તેના વિશે અર્થપૂર્ણ વાતચીત કરી શકે છે. (એક શિક્ષક કહી શકે છે, "આ એક લંબગોળ છે. તમારા કાગળ પર થોડી વધુ રોમ્બી બનાવો. માર્ગદર્શિત અથવા નિર્દેશિત અભિગમઃ વિદ્યાર્થીઓ એવા કાર્યો કરે છે જે તેમને ગર્ભિત સંબંધોનું અન્વેષણ કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. શિક્ષકો એકદમ માર્ગદર્શિત પ્રકૃતિની પ્રવૃત્તિઓનો પ્રસ્તાવ મૂકે છે જે વિદ્યાર્થીઓને નવા ખ્યાલના ગુણધર્મોથી પરિચિત થવા દે છે જે શિક્ષક તેમને શીખવા માંગે છે. (એક શિક્ષક પૂછી શકે છે, "જ્યારે તમે કર્ણની સાથે સમઘનને કાપીને ફોલ્ડ કરો છો ત્યારે શું થાય છે? અન્ય કર્ણ? " અને તેથી વધુ, ચર્ચા પછી.) સ્પષ્ટીકરણઃ વિદ્યાર્થીઓએ જે શોધ્યું છે તે વ્યક્ત કરે છે અને શબ્દભંડોળ રજૂ કરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓના અનુભવો સહિયારા ભાષાકીય પ્રતીકો સાથે જોડાયેલા છે. વેન હીલ્સ માને છે કે વિદ્યાર્થીઓને ખ્યાલથી પરિચિત થવાની તક મળ્યા પછી શબ્દભંડોળ શીખવું વધુ નફાકારક છે. શોધો શક્ય તેટલી સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. (એક શિક્ષક કહી શકે છે, "અહીં અમે નોંધ્યા છે તે ગુણધર્મો અને તમે શોધેલી વસ્તુઓ માટે કેટલાક સંકળાયેલ શબ્દભંડોળ છે. ચાલો આનો અર્થ શું છે તેની ચર્ચા કરીએ. મુક્ત અભિગમઃ વિદ્યાર્થીઓ વધુ જટિલ કાર્યો કરે છે જે તેમને સામગ્રીમાં સંબંધોના નેટવર્કમાં નિપુણતા મેળવવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. તેઓ અભ્યાસ કરવામાં આવતા ગુણધર્મો જાણે છે, પરંતુ વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં સંબંધોના નેટવર્કને નેવિગેટ કરવામાં પ્રવાહીતા વિકસાવવાની જરૂર છે. આ પ્રકારની પ્રવૃત્તિ માર્ગદર્શિત અભિગમ કરતાં વધુ ખુલ્લી હોય છે. આ કાર્યોમાં તેમને ઉકેલવા માટે નિર્ધારિત પ્રક્રિયાઓ નહીં હોય. સમસ્યાઓ વધુ જટિલ હોઈ શકે છે અને ઉકેલો શોધવા માટે વધુ મુક્ત સંશોધનની જરૂર પડે છે. (એક શિક્ષક કહી શકે છે, "તમે એક સમસ્થાનિકની માત્ર બે બાજુઓ કેવી રીતે બનાવી શકો?" અને અન્ય સમસ્યાઓ કે જેના માટે વિદ્યાર્થીઓએ એક નિશ્ચિત પ્રક્રિયા શીખી નથી.) એકીકરણઃ વિદ્યાર્થીઓ તેઓ જે શીખ્યા છે તેનો સારાંશ આપે છે અને તેને સ્મૃતિમાં સમર્પિત કરે છે. શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને તેઓ જે શીખ્યા છે તેની ઝાંખી આપી શકે છે. તે મહત્વનું છે કે શિક્ષક આ તબક્કા દરમિયાન કોઈ નવી સામગ્રી રજૂ ન કરે, પરંતુ જે પહેલેથી જ શીખી લેવામાં આવ્યું છે તેનો સારાંશ રજૂ કરે. શિક્ષક ભવિષ્યના કાર્ય માટે શીખ્યા સિદ્ધાંતો અને શબ્દભંડોળને યાદ રાખવાની સોંપણી પણ આપી શકે છે, કદાચ વધુ કસરતો દ્વારા. (એક શિક્ષક કહી શકે છે, "અહીં આપણે જે શીખ્યા છે તેનો સારાંશ છે. આ તમારી નોટબુકમાં લખો અને હોમવર્ક માટે આ કસરતો કરો. વેન હીલે મોડેલના ટેકેદારો નિર્દેશ કરે છે કે પરંપરાગત સૂચનામાં ઘણીવાર ફક્ત આ છેલ્લા તબક્કાનો સમાવેશ થાય છે, જે સમજાવે છે કે શા માટે વિદ્યાર્થીઓ સામગ્રીમાં નિપુણતા ધરાવતા નથી. દિના વાન હીલે-ગેલ્ડોફના ડોક્ટરલ મહાનિબંધ માટે, તેમણે નેધરલેન્ડ્સની મોન્ટેસરી માધ્યમિક શાળામાં 12 વર્ષના બાળકો સાથે શિક્ષણ પ્રયોગ હાથ ધર્યો હતો. તેમણે અહેવાલ આપ્યો કે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેઓ 20 પાઠોમાં વિદ્યાર્થીઓનું સ્તર 0 થી વધારીને 1 અને 50 પાઠોમાં સ્તર 1 થી વધારીને 2 કરી શક્યા. સંશોધન માપદંડ તરીકે વેન હિલે સ્તરોનો ઉપયોગ કરીને, ભૂમિતિના લગભગ અડધા વિદ્યાર્થીઓને એવા અભ્યાસક્રમમાં મૂકવામાં આવે છે જેમાં તેમની સફળ થવાની તકો માત્ર 50-50 હોય છે. - ઝલ્માન ઉસિસ્કિન, 1982 સંશોધકોએ શોધી કાઢ્યું કે અમેરિકન વિદ્યાર્થીઓનું વેન હીલે સ્તર ઓછું છે. યુરોપિયન સંશોધકોએ યુરોપિયન વિદ્યાર્થીઓ માટે સમાન પરિણામો શોધી કાઢ્યા છે. ઘણા, કદાચ મોટાભાગના, અમેરિકન વિદ્યાર્થીઓ પ્રૂફ-ઓરિએન્ટેડ હાઈ સ્કૂલ ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમ સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કર્યા પછી પણ કપાત સ્તર પ્રાપ્ત કરતા નથી, કદાચ કારણ કે સામગ્રી રટણ દ્વારા શીખવામાં આવે છે, જેમ કે વેન હીલ્સે દાવો કર્યો હતો. એવું લાગે છે કારણ કે અમેરિકન હાઈ સ્કૂલના ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમો ધારે છે કે વિદ્યાર્થીઓ પહેલેથી જ ઓછામાં ઓછા સ્તર 2 પર છે, સ્તર 3 માં જવા માટે તૈયાર છે, જ્યારે ઘણા હાઈ સ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ હજુ પણ સ્તર 1 અથવા તો સ્તર 0 પર છે. ઉપરની ફિક્સ્ડ સિક્વન્સ પ્રોપર્ટી જુઓ. સિદ્ધાંતની ટીકા અને ફેરફારો સ્તર અસંગત છે, જેમ કે ઉપરના ગુણધર્મોમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, પરંતુ સંશોધકોએ સ્તર ખરેખર કેટલા અલગ છે તે અંગે ચર્ચા કરી છે. અભ્યાસોમાં જાણવા મળ્યું છે કે ઘણા બાળકો બહુવિધ સ્તરે અથવા મધ્યવર્તી સ્તરે તર્ક કરે છે, જે સિદ્ધાંતથી વિરોધાભાસી લાગે છે. બાળકો પણ વિષય સાથેના તેમના સંપર્કના આધારે વિવિધ વિભાવનાઓ માટે વિવિધ દરે સ્તરોમાંથી આગળ વધે છે. તેથી તેઓ ચોક્કસ આકારો માટે એક સ્તર પર તર્ક કરી શકે છે, પરંતુ અન્ય સ્તર પર અન્ય આકારો માટે. કેટલાક સંશોધકોએ શોધી કાઢ્યું છે કે વિઝ્યુલાઇઝેશન સ્તર પરના ઘણા બાળકો સંપૂર્ણપણે સર્વગ્રાહી રીતે તર્ક કરતા નથી, પરંતુ એક જ લક્ષણ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકે છે, જેમ કે ચોરસની સમાન બાજુઓ અથવા વર્તુળની ગોળાકારતા. તેઓએ આ સ્તરનું નામ બદલીને સમન્વયાત્મક સ્તર રાખવાની દરખાસ્ત કરી છે. અન્ય ફેરફારો પણ સૂચવવામાં આવ્યા છે, જેમ કે મુખ્ય સ્તરો વચ્ચેના પેટા-સ્તરોને વ્યાખ્યાયિત કરવા, જોકે આમાંથી કોઈ પણ ફેરફારને હજુ સુધી લોકપ્રિયતા મળી નથી. વધુ વાંચન માર્ગુરેટ મેસન યંગ ચિલ્ડ્રન્સ દ્વારા ભૌમિતિક સમજણના વેન હીલે સ્તરો મેરી એની હેનીબલ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ભૌમિતિક સમજણના વેન હીલે સ્તરો-વેન હીલે મોડેલ વિશે વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નોની પીડીએફ, ગ્રંથસૂચિ સાથે વેન હીલે સિદ્ધાંતને સૂચના સાથે જોડવું-વેન હીલે સિદ્ધાંત પર આધારિત પ્રવૃત્તિઓ અવકાશી અને ભૌમિતિક વિચારસરણીનો વિકાસઃ સૂચનાનું મહત્વ. વેન હિલે લેવલ એન્ડ એચિવમેન્ટ ઇન સેકન્ડરી સ્કૂલ જીઓમેટ્રી-લાર્જ 1982 શિકાગો અભ્યાસ વેન હિલે મોડેલનું વિશ્લેષણ કરે છે અને ભૂમિતિમાં અમેરિકન હાઈ સ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓની સિદ્ધિને સમજવા પર તેની આયાત ભૂમિતિ માટે એક માળખું K-12-પાવરપોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન ભૌમિતિક વિચારસરણીનું વેન હિલે મોડેલ વેન હિલે મોડેલ ઇન્ટરનેશનલ કોન્ફરન્સ "વેન હિલે થિયરી ઇન મેથેમેટિકલ એજ્યુકેશન", ક્રોએશિયાના મુખ્ય પાસાઓનું ટૂંકું પ્રસ્તુતિ. તેનું આયોજનઃ યુનિવર્સિટી ઓફ ઝાદર, શિક્ષક શિક્ષણ વિભાગ અને HUNI-હ્રવત્સકા ઉદ્રુગા નસ્તાવ્નિકા ઇસ્ત્રાઝીવાચા (શિક્ષક સંશોધકોનું ક્રોએશિયન સંગઠન) દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. વ્યાવસાયિક પ્રવચનો અને કાર્યશાળાઓમાં ક્રિયા સંશોધનના પાસાઓ વિશેના વિષયોની સામગ્રી, કાર્યોમાં વેન હીલે સિદ્ધાંતના સ્તરના પાસાઓ-અને ક્રોએશિયન રાજ્ય શાળાના ઉપયોગ માટે પરીક્ષણ દરખાસ્તનો સમાવેશ થાય છે. ભૂમિતિ શિક્ષણ શિક્ષણશાસ્ત્ર