Riemannian submersion
વિભેદક ભૂમિતિમાં, ગણિતની એક શાખા, રીમાનિયન ડૂબવું એ એક રીમાનિયન મેનીફોલ્ડથી બીજામાં ડૂબવું છે જે મેટ્રિક્સને માન આપે છે, જેનો અર્થ છે કે તે સ્પર્શક જગ્યાઓ પર ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ધારો કે (એમ, જી) અને (એન, એચ) બે રીમેનીયન મેનીફોલ્ડ્સ અને (સર્જેક્ટિવ) સબમર્સન, એટલે કે ફાઇબર મેનીફોલ્ડ છે. આડી વિતરણ એ સ્પર્શક બંડલનું પેટા-બંડલ છે જે પ્રક્ષેપણ અને મેટ્રિક બંને પર આધાર રાખે છે. પછી, f ને રીમાનિયન સબમર્ઝન કહેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ, બધા માટે, વેક્ટર સ્પેસ આઇસોમોર્ફિઝમ આઇસોમેટ્રિક હોય, એટલે કે, લંબાઈ-જાળવણી. ઉદાહરણો રીમાનિયન ડૂબકીનું ઉદાહરણ ત્યારે ઊભું થાય છે જ્યારે લાઈ જૂથ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર આઇસોમેટ્રિક, મુક્ત અને યોગ્ય રીતે કાર્ય કરે છે. ભાગાકાર મેટ્રિકથી સજ્જ ભાગાકાર જગ્યાનું પ્રક્ષેપણ રીમાનિયન ડૂબકી છે. ઉદાહરણ તરીકે, એકમ જટિલ સંખ્યાઓના જૂથ દ્વારા ઘટક મુજબ ગુણાકાર કરવાથી હોપ્ફ તંતુ પેદા થાય છે. ગુણધર્મો રીમાનિયન ડૂબકીની લક્ષ્ય જગ્યાના વિભાગીય વળાંકની ગણતરી ઓ 'નીલના સૂત્ર દ્વારા કુલ જગ્યાના વળાંક પરથી કરી શકાય છે, જેને બેરેટ ઓ' નીલ માટે નામ આપવામાં આવ્યું છેઃ જ્યાં ઓર્થોનોર્મલ વેક્ટર ક્ષેત્રો છે, તેમની આડી લિફ્ટ્સ, વેક્ટર ક્ષેત્રોનું લાઈ કૌંસ છે અને તે ઊભી વિતરણ માટે વેક્ટર ક્ષેત્રનું પ્રક્ષેપણ છે. ખાસ કરીને વિભાગીય વળાંક માટેની નીચલી સીમા ઓછામાં ઓછી વિભાગીય વળાંક માટેની નીચલી સીમા જેટલી મોટી હોય છે. સામાન્યીકરણ અને વિવિધતાઓ ફાઇબર બંડલ સબમેટ્રી સહ-લિપ્સિટ્ઝ નકશો પણ જુઓ ફાઇબર કરેલ મેનીફોલ્ડ ભૌમિતિક ટોપોલોજી મેનિફોલ્ડ નોટ્સ સંદર્ભો. બેરેટ ઓ 'નીલ. ડૂબકીના મૂળભૂત સમીકરણો. મિશિગન ગણિત. જે. 13 (1966), 459-469. રીમાનિયન ભૂમિતિ મેનીફોલ્ડ્સનો નકશો