Standard error
આંકડાની પ્રમાણભૂત ભૂલ (એસઇ) (સામાન્ય રીતે પરિમાણનો અંદાજ) એ તેના નમૂના વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન અથવા તે પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ છે. જો આંકડાકીય નમૂનાનું સરેરાશ હોય, તો તેને સરેરાશ (SEM) ની પ્રમાણભૂત ભૂલ કહેવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત ભૂલ એ આત્મવિશ્વાસના અંતરાલો ઉત્પન્ન કરવામાં મુખ્ય ઘટક છે. સરેરાશનું નમૂનાનું વિતરણ સમાન વસ્તીમાંથી વારંવાર નમૂના લઈને અને મેળવેલા માધ્યમના નમૂનાનું રેકોર્ડિંગ કરીને પેદા થાય છે. આ વિવિધ માધ્યમોનું વિતરણ બનાવે છે, અને આ વિતરણનું પોતાનું સરેરાશ અને ભિન્નતા છે. ગાણિતિક રીતે, મેળવેલા નમૂનાના સરેરાશ વિતરણનો તફાવત નમૂનાના કદ દ્વારા વિભાજિત વસ્તીના તફાવત જેટલો છે. આનું કારણ એ છે કે જેમ જેમ નમૂનાનું કદ વધે છે, નમૂનાનો અર્થ એ છે કે વસ્તીના સરેરાશની આસપાસ વધુ નજીકથી ક્લસ્ટર થાય છે. તેથી, સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલનની પ્રમાણભૂત ભૂલ વચ્ચેનો સંબંધ એવો છે કે, આપેલ નમૂનાના કદ માટે, સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ નમૂનાના કદના વર્ગમૂળ દ્વારા વિભાજિત પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ એ વસ્તીના સરેરાશની આસપાસ નમૂનાના માધ્યમોના પ્રસરણનું માપ છે. રીગ્રેસન વિશ્લેષણમાં, "પ્રમાણભૂત ભૂલ" શબ્દ કાં તો ઘટાડેલા ચી-સ્ક્વેર્ડ સ્ટેટિસ્ટિકના વર્ગમૂળ અથવા ચોક્કસ રીગ્રેસન ગુણાંક માટે પ્રમાણભૂત ભૂલ (જેમ કે, વિશ્વાસ અંતરાલોમાં વપરાય છે) નો સંદર્ભ આપે છે. નમૂનાની પ્રમાણભૂત ભૂલનો અર્થ ચોક્કસ મૂલ્ય ધારો કે અવલોકનોનો આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર નમૂનો આંકડાકીય વસ્તીમાંથી લેવામાં આવ્યો છે, જેમાં પ્રમાણભૂત વિચલન છે. નમૂનામાંથી ગણવામાં આવેલા સરેરાશ મૂલ્યમાં સરેરાશ પર સંકળાયેલ પ્રમાણભૂત ભૂલ હશે, જે આના દ્વારા આપવામાં આવશેઃ વ્યવહારીક રીતે આ આપણને જણાવે છે કે જ્યારે વસ્તીના સરેરાશ મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિબળને કારણે, અંદાજ પરની ભૂલને બે પરિબળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, જેમાં નમૂનામાં ચાર ગણા અવલોકનો મેળવવાની જરૂર પડે છે; તેને દસ પરિબળ દ્વારા ઘટાડવામાં સો ગણા અવલોકનોની જરૂર પડે છે. અંદાજ વસ્તીના નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન ભાગ્યે જ જાણીતું છે. તેથી, સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલનો અંદાજ સામાન્ય રીતે તેના બદલે નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે બદલવામાં આવે છેઃ કારણ કે આ માત્ર સાચી "પ્રમાણભૂત ભૂલ" માટેનો અંદાજ છે, તેથી અહીં અન્ય સંકેતો જોવાનું સામાન્ય છે જેમ કેઃ જ્યારે વસ્તીનું પ્રમાણભૂત વિચલન (), નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન (), સરેરાશનું પ્રમાણભૂત વિચલન (, જે પ્રમાણભૂત ભૂલ છે), અને સરેરાશના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ (, જે સૌથી વધુ વખત ગણતરી કરાયેલ જથ્થો છે, અને તેને ઘણીવાર બોલચાલની ભાષામાં પ્રમાણભૂત ભૂલ પણ કહેવામાં આવે છે) વચ્ચે સ્પષ્ટ રીતે તફાવત કરવામાં નિષ્ફળ જાય ત્યારે મૂંઝવણનો એક સામાન્ય સ્રોત થાય છે. અંદાજકર્તાની ચોકસાઈ જ્યારે નમૂનાનું કદ નાનું હોય, ત્યારે વસ્તીના સાચા પ્રમાણભૂત વિચલનને બદલે નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનને વ્યવસ્થિત રીતે ઓછો અંદાજ આપવાનું વલણ ધરાવે છે, અને તેથી પ્રમાણભૂત ભૂલ પણ થાય છે. n = 2 સાથે, ઓછો અંદાજ લગભગ 25 ટકા છે, પરંતુ n = 6 માટે, ઓછો અંદાજ માત્ર 5 ટકા છે. ગુરલેન્ડ અને ત્રિપાઠી (1971) આ અસર માટે સુધારણા અને સમીકરણ પ્રદાન કરે છે. સોકલ અને રોહલ્ફ (1981) n <20 ના નાના નમૂનાઓ માટે સુધારણા પરિબળનું સમીકરણ આપે છે. વધુ ચર્ચા માટે પ્રમાણભૂત વિચલનનો નિષ્પક્ષ અંદાજ જુઓ. વ્યુત્પત્તિ સરેરાશ પરની પ્રમાણભૂત ભૂલ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના તફાવતમાંથી મેળવી શકાય છે, જે ભિન્નતાની વ્યાખ્યા અને તેના કેટલાક સરળ ગુણધર્મોને આપવામાં આવે છે. જો સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલન ધરાવતી વસ્તીના સ્વતંત્ર નિરીક્ષણોનો નમૂનો હોય, તો આપણે કુલ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જેમાં બિયેનયમે સૂત્રને કારણે, તફાવત હશે જ્યાં આપણે પ્રમાણભૂત વિચલનો, એટલે કે, અનિશ્ચિતતાનો અંદાજ લગાવ્યો છે, જે વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલન માટે શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય સાથે માપ છે. પ્રમાણભૂત ભૂલ એ વ્યાખ્યા દ્વારા પ્રમાણભૂત વિચલન છે, જેનું પ્રમાણભૂત વિચલન ફક્ત વિચલનનું વર્ગમૂળ છેઃ સહસંબંધિત રેન્ડમ ચલો માટે નમૂનાના વિચલનની ગણતરી માર્કોવ સાંકળ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય અનુસાર કરવાની જરૂર છે. રેન્ડમ નમૂનાના કદ સાથે સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે નમૂના લેવામાં આવે છે, અગાઉથી જાણ્યા વિના, કેટલાક માપદંડ અનુસાર કેટલા અવલોકનો સ્વીકાર્ય હશે. આવા કિસ્સાઓમાં, નમૂનાનું કદ એક રેન્ડમ વેરિયેબલ છે જેની વિવિધતા તેની વિવિધતામાં વધારો કરે છે, જે કુલ ભિન્નતાના નિયમને અનુસરે છે. જો પોઇસન વિતરણ હોય, તો અંદાજ સાથે. તેથી અંદાજકાર બને છે, જે પ્રમાણભૂત ભૂલ માટે નીચેના સૂત્ર તરફ દોરી જાય છેઃ (કારણ કે પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે). જ્યારે σ મૂલ્ય અજ્ઞાત હોય ત્યારે વિદ્યાર્થીનો અંદાજ ઘણા વ્યવહારુ ઉપયોગોમાં, σ નું સાચું મૂલ્ય અજ્ઞાત હોય છે. પરિણામે, આપણે એવા વિતરણનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે જે સંભવિત σs ના ફેલાવાને ધ્યાનમાં લે છે. જ્યારે સાચું અંતર્ગત વિતરણ ગૌસીયન તરીકે ઓળખાય છે, જોકે અજ્ઞાત σ સાથે, ત્યારે પરિણામી અંદાજિત વિતરણ વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણને અનુસરે છે. પ્રમાણભૂત ભૂલ એ વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે. ટી-વિતરણ ગૌસીયનથી થોડું અલગ છે, અને નમૂનાના કદના આધારે બદલાય છે. નાના નમૂનાઓ વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનને ઓછો અંદાજ આપે તેવી શક્યતા છે અને તેનો સરેરાશ જે સાચા વસ્તીના સરેરાશથી અલગ હોય છે, અને વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણ ગૌસીયનની તુલનામાં થોડી ભારે પૂંછડીઓ સાથે આ ઘટનાઓની સંભાવના માટે જવાબદાર છે. વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણની પ્રમાણભૂત ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટે σ ને બદલે નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલન "s" નો ઉપયોગ કરવો પૂરતો છે, અને આપણે આ મૂલ્યનો ઉપયોગ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી કરવા માટે કરી શકીએ છીએ. નોંધઃ જ્યારે નમૂનાનું કદ 100 થી વધુ હોય ત્યારે વિદ્યાર્થીની સંભાવના વિતરણ ગૌસીયન વિતરણ દ્વારા સારી રીતે અંદાજવામાં આવે છે. આવા નમૂનાઓ માટે પછીના વિતરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે ખૂબ સરળ છે. ઉપરાંત, વસ્તીનું 'સાચું' વિતરણ અજ્ઞાત હોવા છતાં, નમૂનાના વિતરણની સામાન્યતા વાજબી નમૂનાના કદ માટે અર્થપૂર્ણ છે, અને ચોક્કસ નમૂનાની શરતો હેઠળ, CLT જુઓ. જો આ શરતો પૂરી ન થાય, તો પછી પ્રમાણભૂત ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટે બુટસ્ટ્રેપ વિતરણનો ઉપયોગ કરવો ઘણીવાર સારી ચાલ છે, પરંતુ તે ગણતરીત્મક રીતે સઘન હોઈ શકે છે. ધારણાઓ અને ઉપયોગ કેવી રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે તેનું ઉદાહરણ એ છે કે અજ્ઞાત વસ્તીના આત્મવિશ્વાસના અંતરાલને અર્થ બનાવવો. જો નમૂનાનું વિતરણ સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે, તો નમૂનાનો અર્થ, પ્રમાણભૂત ભૂલ અને સામાન્ય વિતરણના જથ્થાનો ઉપયોગ સાચી વસ્તીના સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. નીચેના અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ ઉપલા અને નીચલા 95 ટકા વિશ્વાસ મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે, જ્યાં તે નમૂનાના સરેરાશની બરાબર હોય છે, તે નમૂનાના સરેરાશ માટે પ્રમાણભૂત ભૂલની બરાબર હોય છે, અને 1.96 એ સામાન્ય વિતરણના 97.5 ટકા બિંદુની અંદાજિત કિંમત હોય છેઃ ખાસ કરીને, નમૂનાના આંકડાકીય (જેમ કે નમૂનાના સરેરાશ) ની પ્રમાણભૂત ભૂલ એ પ્રક્રિયામાં નમૂનાના સરેરાશની વાસ્તવિક અથવા અંદાજિત પ્રમાણભૂત વિચલન છે જેના દ્વારા તે પેદા કરવામાં આવી હતી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે નમૂનાના આંકડાશાસ્ત્રના નમૂનાના વિતરણનું વાસ્તવિક અથવા અંદાજિત પ્રમાણભૂત વિચલન છે. પ્રમાણભૂત ભૂલ માટેનું સંકેત SE, SEM (માપનની પ્રમાણભૂત ભૂલ અથવા સરેરાશ માટે), અથવા SE માંથી કોઈપણ એક હોઈ શકે છે. પ્રમાણભૂત ભૂલો મૂલ્યમાં અનિશ્ચિતતાના સરળ પગલાં પૂરા પાડે છે અને ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કેઃ ઘણા કિસ્સાઓમાં, જો કેટલાક વ્યક્તિગત જથ્થાની પ્રમાણભૂત ભૂલ જાણીતી હોય તો જથ્થાના કેટલાક કાર્યની પ્રમાણભૂત ભૂલ સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે; જ્યારે મૂલ્યની સંભાવના વિતરણ જાણીતું હોય, ત્યારે તેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે; જ્યારે સંભાવના વિતરણ અજ્ઞાત હોય, ત્યારે ચેબીશેવ અથવા વાયસોચાન્સ્કી-પેટુનિન અસમાનતાઓનો ઉપયોગ રૂઢિચુસ્ત વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે; અને નમૂનાનું કદ અનંત તરફ વળેલું હોવાથી કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય ખાતરી આપે છે કે સરેરાશનું નમૂના વિતરણ એસિમ્પ્ટોટિકલી નોર્મલ છે. સરેરાશ વિરુદ્ધ પ્રમાણભૂત વિચલનની પ્રમાણભૂત ભૂલ વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી સાહિત્યમાં, પ્રાયોગિક માહિતીને ઘણીવાર નમૂના માહિતીના સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને અથવા પ્રમાણભૂત ભૂલ સાથે સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને સારાંશ આપવામાં આવે છે. આ ઘણીવાર તેમની વિનિમયક્ષમતા વિશે મૂંઝવણ તરફ દોરી જાય છે. જો કે, સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલન વર્ણનાત્મક આંકડાશાસ્ત્ર છે, જ્યારે સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ રેન્ડમ સેમ્પલિંગ પ્રક્રિયાની વર્ણનાત્મક છે. નમૂનાના ડેટાનું પ્રમાણભૂત વિચલન એ માપમાં વિવિધતાનું વર્ણન છે, જ્યારે સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ એ સંભવિત નિવેદન છે કે કેવી રીતે નમૂનાનું કદ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના પ્રકાશમાં વસ્તીના સરેરાશના અંદાજો પર વધુ સારી બાઉન્ડ પ્રદાન કરશે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, નમૂનાના સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ એ અંદાજ છે કે નમૂનાનો સરેરાશ વસ્તીના સરેરાશથી કેટલો દૂર હોવાની સંભાવના છે, જ્યારે નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન એ છે કે નમૂનાની અંદરની વ્યક્તિઓ નમૂનાના સરેરાશથી કેટલી અલગ છે. જો વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન મર્યાદિત હોય, તો નમૂનાના સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ વધતા નમૂનાના કદ સાથે શૂન્ય તરફ વળશે, કારણ કે વસ્તીના સરેરાશના અંદાજમાં સુધારો થશે, જ્યારે નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનને અંદાજિત કરશે. એક્સ્ટેન્શન્સ ફાઇનાઇટ પોપ્યુલેશન કરેક્શન (એફ. પી. સી.) પ્રમાણભૂત ભૂલ માટે ઉપર આપેલું સૂત્ર ધારે છે કે વસ્તી અનંત છે. તેમ છતાં, તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર મર્યાદિત વસ્તી માટે થાય છે જ્યારે લોકો હાલની મર્યાદિત વસ્તી બનાવતી પ્રક્રિયાને માપવામાં રસ ધરાવે છે (આને વિશ્લેષણાત્મક અભ્યાસ કહેવામાં આવે છે). જ્યારે વસ્તી મર્યાદિત હોય ત્યારે ઉપરોક્ત સૂત્ર બરાબર સાચું ન હોવા છતાં, જ્યારે નમૂનાનું અપૂર્ણાંક નાનું હોય ત્યારે મર્યાદિત અને અનંત વસ્તી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત ઓછો હશે (દા. ત. મર્યાદિત વસ્તીના નાના પ્રમાણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે). આ કિસ્સામાં લોકો ઘણીવાર મર્યાદિત વસ્તી માટે સાચું નથી કરતા, અનિવાર્યપણે તેને "લગભગ અનંત" વસ્તી તરીકે ગણાવે છે. જો કોઈ વ્યક્તિ હાલની મર્યાદિત વસ્તીને માપવામાં રસ ધરાવે છે જે સમય જતાં બદલાશે નહીં, તો પછી વસ્તીના કદને સમાયોજિત કરવું જરૂરી છે (જેને ગણનાત્મક અભ્યાસ કહેવાય છે). જ્યારે આંકડાકીય અભ્યાસમાં નમૂનાનો અપૂર્ણાંક (ઘણીવાર એફ તરીકે ઓળખાય છે) મોટો હોય છે (આશરે 5 ટકા કે તેથી વધુ), ત્યારે પ્રમાણભૂત ભૂલનો અંદાજ "મર્યાદિત વસ્તી સુધારણા" (એ. કે. એ.) દ્વારા ગુણાકાર કરીને સુધારવો આવશ્યક છે. : એફ. પી. સી.): જે, મોટા એન માટેઃ વસ્તીની મોટી ટકાવારીની નજીક નમૂના લઈને મેળવેલી વધારાની ચોકસાઈ માટે જવાબદાર છે. એફ. પી. સી. ની અસર એ છે કે જ્યારે નમૂનાનું કદ એન વસ્તીના કદ એનની બરાબર હોય ત્યારે ભૂલ શૂન્ય થઈ જાય છે. જો રિપ્લેસમેન્ટ સાથે નમૂના લેવામાં આવે, તો પછી એફ. પી. સી. અમલમાં આવતું નથી. નમૂનામાં સહસંબંધ માટે સુધારો જો માપેલા જથ્થા A ના મૂલ્યો આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર ન હોય પરંતુ પરિમાણ અવકાશ x "માં જાણીતા સ્થાનોમાંથી મેળવવામાં આવ્યા હોય, તો સરેરાશની સાચી પ્રમાણભૂત ભૂલનો નિષ્પક્ષ અંદાજ (વાસ્તવમાં પ્રમાણભૂત વિચલન ભાગ પર સુધારો) નમૂનાની ગણતરી કરેલી પ્રમાણભૂત ભૂલને પરિબળ f" દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય છેઃ જ્યાં નમૂના પૂર્વગ્રહ ગુણાંક ρ એ તમામ નમૂના બિંદુ જોડીઓ માટે સ્વ-સહસંબંધ-ગુણાંક (−1 અને + 1 વચ્ચેનો જથ્થો) નો વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતો પ્રેઇસ-વિન્સ્ટન અંદાજ છે. આ અંદાજિત સૂત્ર મધ્યમથી મોટા નમૂનાના કદ માટે છે; સંદર્ભ કોઈપણ નમૂનાના કદ માટે ચોક્કસ સૂત્રો આપે છે, અને વોલ સ્ટ્રીટ સ્ટોક અવતરણો જેવી ભારે સ્વ-સંબંધિત સમય શ્રેણી પર લાગુ કરી શકાય છે. વધુમાં, આ સૂત્ર હકારાત્મક અને નકારાત્મક ρ માટે સમાન રીતે કામ કરે છે. વધુ ચર્ચા માટે પ્રમાણભૂત વિચલનનો નિષ્પક્ષ અંદાજ પણ જુઓ. આ પણ જુઓ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનું દૃષ્ટાંત ભૂલના માર્જીન સંભવિત ભૂલ ભારિત સરેરાશ નમૂનાના સરેરાશ અને નમૂનાના સહપ્રસરણની પ્રમાણભૂત ભૂલ સરેરાશ અને અનુમાનિત પ્રતિસાદોના મધ્યસ્થ ભિન્નતાની પ્રમાણભૂત ભૂલ સંદર્ભો આંકડાકીય વિચલન અને પ્રસરણ