Fuzzy mathematics
અસ્પષ્ટ ગણિત એ ગણિતની શાખા છે જેમાં અસ્પષ્ટ સમૂહ સિદ્ધાંત અને અસ્પષ્ટ તર્કનો સમાવેશ થાય છે જે સરળ દ્વિસંગી "હા" અથવા "ના" (0 અથવા 1) સમાવેશના વિરોધમાં વર્ણપટ પરના સમૂહમાં તત્વોના આંશિક સમાવેશ સાથે કામ કરે છે. તેની શરૂઆત 1965માં લોટફી અસ્કર ઝાદેહની મૌલિક કૃતિ ફઝી સેટ્સના પ્રકાશન પછી થઈ હતી. ભાષાવિજ્ઞાન એ એવા ક્ષેત્રનું ઉદાહરણ છે જે અસ્પષ્ટ સમૂહ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. વ્યાખ્યા X સમૂહનો અસ્પષ્ટ ઉપગણ A એ કાર્ય A: X → L છે, જ્યાં L એ અંતરાલ [0,1] છે. આ કાર્યને સભ્યપદ કાર્ય પણ કહેવામાં આવે છે. સભ્યપદ કાર્ય એ L = {0,1} માટે વ્યાખ્યાયિત ઉપગણના સૂચક કાર્યનું સામાન્યીકરણ છે (જેને લાક્ષણિક કાર્ય પણ કહેવાય છે). વધુ સામાન્ય રીતે, અસ્પષ્ટ સબસેટ એ. ફઝીફિકેશનની વ્યાખ્યામાં કોઈપણ સંપૂર્ણ જાળી એલનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ગાણિતિક વિભાવનાઓના ફઝીફિકેશનની ઉત્ક્રાંતિને ત્રણ તબક્કામાં વિભાજિત કરી શકાય છેઃ સાઠ અને સિત્તેરના દાયકા દરમિયાન સીધું ફઝીફિકેશન, એંસીના દાયકા દરમિયાન સામાન્યીકરણ પ્રક્રિયામાં સંભવિત પસંદગીઓનો વિસ્ફોટ, નેવુંના દાયકામાં માનકીકરણ, સ્વયંસિદ્ધીકરણ અને એલ-ફઝીફિકેશન. સામાન્ય રીતે, ગાણિતિક વિભાવનાઓનું અસ્પષ્ટકરણ લાક્ષણિક કાર્યોથી માંડીને સભ્યપદ કાર્યો સુધીના આ વિભાવનાઓના સામાન્યીકરણ પર આધારિત હોય છે. ધારો કે A અને B એ X ના બે અસ્પષ્ટ ઉપગણ છે. આંતરછેદ A ≤ B અને જોડાણ A ≤ B ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ (A ≤ B) (x) = ન્યૂનતમ (A (x), B (x), (A ≤ B) (x) = મહત્તમ (A (x), B (x)) X માં તમામ x માટે. તેના બદલે અને કોઈ અનુક્રમે ટી-નોર્મ અને ટી-કોનૉર્મનો ઉપયોગ કરી શકે છે; ઉદાહરણ તરીકે, લઘુત્તમ (એ, બી) ને ગુણાકાર એબ દ્વારા બદલી શકાય છે. એક સીધું ફઝીફિકેશન સામાન્ય રીતે અને કામગીરી પર આધારિત હોય છે કારણ કે આ કિસ્સામાં પરંપરાગત ગણિતના વધુ ગુણધર્મોને ફઝી કેસ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. બીજગણિત કામગીરીના ફઝીફિકેશનમાં વપરાતો એક મહત્વપૂર્ણ સામાન્યીકરણ સિદ્ધાંત ક્લોઝર પ્રોપર્ટી છે. ધારો કે * એ X પર દ્વિસંગી ક્રિયા છે. X ના ફઝી સબસેટ A માટે ક્લોઝર પ્રોપર્ટી એ છે કે X માં તમામ x, y માટે, A (x * y) ≤ મિનિટ (A (x), A (y)). ધારો કે (G, *) એક જૂથ છે અને A એ G નો અસ્પષ્ટ સબસેટ છે. પછી A એ G નું અસ્પષ્ટ પેટાજૂથ છે જો G માં તમામ x, y માટે, A (x * y − 1) ≤ મિનિટ (A (x), A (y − 1)). સમાન સામાન્યીકરણ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રાન્ઝિટિવિટી પ્રોપર્ટીના ફઝીફિકેશન માટે. ધારો કે R એ X પર અસ્પષ્ટ સંબંધ છે, એટલે કે. R એ X × X નો અસ્પષ્ટ ઉપગણ છે. પછી R એ (ફઝી-) સંક્રમક છે જો X માં તમામ x, y, z માટે, R (x, z) ≤ મિનિટ (R (x, y), R (y, z)). એ. રોસેનફેલ્ડ દ્વારા 1971માં ફઝી એનાલોગ ફઝી પેટાજૂથો અને ફઝી પેટાજૂથો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. અન્ય ગાણિતિક વિષયોના એનાલોગને અસ્પષ્ટ ગણિતમાં અનુવાદિત કરવામાં આવ્યા છે, જેમ કે અસ્પષ્ટ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને અસ્પષ્ટ ગેલોઇસ સિદ્ધાંત, અસ્પષ્ટ ટોપોલોજી, અસ્પષ્ટ ભૂમિતિ, અસ્પષ્ટ ક્રમ અને અસ્પષ્ટ આલેખ. ફઝી માપ સિદ્ધાંત ફઝી સબઅલ્જેબ્રા મોનોઇડલ ટી-નોર્મ લોજિક શક્યતા સિદ્ધાંત ટી-નોર્મ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઝાદેહ, એલ. એ. ફઝી લોજિક-સ્કોલરપીડિયા હાજેક ખાતેનો લેખ, પી. ફઝી લોજિક-સ્ટેનફોર્ડ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફી ખાતેનો લેખ નવારા, એમ. ત્રિકોણીય ધોરણો અને કોનૉર્મ્સ-સ્કોલરપીડિયા ડુબોઇસ, ડી., પ્રાઇડ એચ. શક્યતા થિયરી ખાતેનો લેખ-સ્કોલરપીડિયા સેન્ટર ફોર મેથેમેટિક્સ ઓફ અનસર્ટેનિટી ફઝી મેથ રિસર્ચ ખાતેનો લેખ-ક્રેઇટન યુનિવર્સિટી સીઝિંગ, આર. બુક ઓન ધ હિસ્ટ્રી ઓફ ધ મેથેમેટિકલ થિયરી ઓફ ફઝી સેટ્સઃ ધ ફઝીફિકેશન ઓફ સિસ્ટમ્સ ખાતે હોસ્ટ કરેલી વેબ સાઇટ. ધ જિનેસિસ ઓફ ફઝી સેટ થિયરી એન્ડ ઇટ્સ ઇનિશિયલ એપ્લિકેશન્સ-ડેવલપમેન્ટ્સ અપ ટુ ધ 1970 (સ્ટડીઝ ઇન ફઝીનેસ એન્ડ સોફ્ટ કમ્પ્યુટિંગ, વોલ્યુમ. 216) બર્લિન, ન્યૂયોર્ક, [એટ અલ. ]: સ્પ્રિંગર 2007. અસ્પષ્ટ તર્ક