Geometric analysis
ભૌમિતિક વિશ્લેષણ એ એક ગાણિતિક શાખા છે જ્યાં વિભેદક સમીકરણોના સાધનો, ખાસ કરીને લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણો (PDE) નો ઉપયોગ વિભેદક ભૂમિતિ અને વિભેદક ટોપોલોજીમાં નવા પરિણામો સ્થાપિત કરવા માટે થાય છે. રેખીય લંબગોળ PDE નો ઉપયોગ ઓછામાં ઓછો હોજ સિદ્ધાંત જેટલો જૂનો છે. તાજેતરમાં, તે મોટાભાગે જગ્યાઓના ભૌમિતિક અને ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે બિનરેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ઉપયોગનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમ કે યુક્લિડિયન સ્પેસના સબમેનિફોલ્ડ્સ, રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ અને સિમ્પ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ્સ. આ અભિગમ ઓછામાં ઓછી સપાટીઓ પર ટિબોર રાડો અને જેસી ડગ્લાસ, યુક્લિડિયન અવકાશમાં રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સના આઇસોમેટ્રિક એમ્બેડિંગ્સ પર જ્હોન ફોર્બ્સ નેશ જુનિયર, મિન્કોવ્સ્કી સમસ્યા અને વેઇલ સમસ્યા પર લુઇસ નિરેનબર્ગ દ્વારા કામ, અને બહિર્મુખ અતિસંવેદનશીલતા પર એલેક્ઝાન્ડર ડેનિલોવિચ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ અને અલેક્સી પોગોરલોવ દ્વારા કામ કરે છે. 1980ના દાયકામાં કારેન ઉહલેનબેક, ક્લિફોર્ડ ટૌબ્સ, શિંગ-તુંગ યાઉ, રિચાર્ડ સ્કોન અને રિચાર્ડ હેમિલ્ટનના મૂળભૂત યોગદાનથી ભૌમિતિક વિશ્લેષણનો ખાસ કરીને ઉત્તેજક અને ઉત્પાદક યુગ શરૂ થયો જે આજે પણ ચાલુ છે. એક પ્રખ્યાત સિદ્ધિ ગ્રિગોરી પેરેલમેન દ્વારા પોઇનકેરે અનુમાનનો ઉકેલ હતો, જે રિચાર્ડ હેમિલ્ટન દ્વારા શરૂ કરવામાં આવેલા અને મોટા પ્રમાણમાં હાથ ધરવામાં આવેલા કાર્યક્રમને પૂર્ણ કરતી હતી. અવકાશ ભૌમિતિક વિશ્લેષણના અવકાશમાં આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ (જ્યારે તેને "ભૌમિતિક PDE" તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) અને ભૂમિતિમાં આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ એમ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. તે વળાંક અને સપાટીઓ, અથવા વક્ર સીમાઓ સાથેના ક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે, પરંતુ મનસ્વી પરિમાણમાં રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ પણ કરે છે. વિવિધતાના કલનને કેટલીકવાર ભૌમિતિક વિશ્લેષણના ભાગ તરીકે ગણવામાં આવે છે, કારણ કે પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંતોમાંથી ઉદ્ભવતા વિભેદક સમીકરણોમાં મજબૂત ભૌમિતિક સામગ્રી હોય છે. ભૌમિતિક વિશ્લેષણમાં વૈશ્વિક વિશ્લેષણનો પણ સમાવેશ થાય છે, જે મેનીફોલ્ડ્સ પરના વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસ અને વિભેદક સમીકરણો અને ટોપોલોજી વચ્ચેના સંબંધ સાથે સંબંધિત છે. ભૌમિતિક વિશ્લેષણમાં મુખ્ય વિષયોની આંશિક યાદી નીચે મુજબ છેઃ ગેજ સિદ્ધાંત હાર્મોનિક નકશા કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સ સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ લઘુત્તમ સબમેનિફોલ્ડ્સ હકારાત્મક ઊર્જા સિદ્ધાંતો સ્યુડોહોલોમોર્ફિક વળાંક રિક્કી પ્રવાહ યામાબે સમસ્યા યાંગ-મિલ્સ સમીકરણો સંદર્ભો વધુ વાંચન વિવિધતાની ગણતરી વિભેદક સમીકરણો