Ross–Littlewood paradox
રોસ-લિટલવુડ વિરોધાભાસ (જેને દડા અને ફૂલદાની સમસ્યા અથવા પિંગ પૉંગ બોલ સમસ્યા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ અમૂર્ત ગણિત અને તર્કશાસ્ત્રમાં એક કાલ્પનિક સમસ્યા છે જે અનંતની વિરોધાભાસી અથવા ઓછામાં ઓછી બિન-સાહજિક પ્રકૃતિને સમજાવવા માટે રચાયેલ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, થોમસનના લેમ્પ વિરોધાભાસની જેમ, રોસ-લિટલવુડ વિરોધાભાસ સુપરટાસ્કની કલ્પના સાથેની વૈચારિક મુશ્કેલીઓને સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે, જેમાં અનંત સંખ્યામાં કાર્યો ક્રમિક રીતે પૂર્ણ થાય છે. આ સમસ્યાનું મૂળ વર્ણન ગણિતશાસ્ત્રી જ્હોન ઇ. લિટલવુડે તેમના 1953ના પુસ્તક લિટલવુડ્સ મિસેલનીમાં કર્યું હતું અને બાદમાં શેલ્ડન રોસે તેમના 1988ના પુસ્તક એ ફર્સ્ટ કોર્સ ઇન પ્રોબેબિલિટીમાં તેનું વિસ્તરણ કર્યું હતું. સમસ્યા ખાલી ફૂલદાની અને દડાઓના અનંત પુરવઠાથી શરૂ થાય છે. ત્યારબાદ અનંત સંખ્યામાં પગલાં લેવામાં આવે છે, જેમ કે દરેક પગલા પર ફૂલદાનીમાં 10 દડા ઉમેરવામાં આવે છે અને તેમાંથી 1 દડો દૂર કરવામાં આવે છે. પછી પ્રશ્ન પૂછવામાં આવે છેઃ જ્યારે કાર્ય પૂર્ણ થાય ત્યારે ફૂલદાનીમાં કેટલા દડા હોય છે? અનંત સંખ્યામાં પગલાંઓ પૂર્ણ કરવા માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે બપોરના એક મિનિટ પહેલા ફૂલદાની ખાલી છે, અને નીચેના પગલાંઓ કરવામાં આવે છેઃ પ્રથમ પગલું બપોરના 30 સેકન્ડ પહેલાં કરવામાં આવે છે. બીજું પગલું બપોરના 15 સેકન્ડ પહેલાં કરવામાં આવે છે. દરેક અનુગામી પગલું અગાઉના પગલાના અડધા સમયમાં કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પગલું એન બપોરના 2 મિનિટ પહેલા કરવામાં આવે છે. આ ખાતરી આપે છે કે બપોર સુધીમાં અગણિત સંખ્યામાં પગલાં લેવામાં આવે છે. દરેક અનુગામી પગલું અગાઉના પગલા જેટલો અડધો સમય લે છે, તેથી એક મિનિટ પસાર થાય ત્યાં સુધીમાં અનંત સંખ્યામાં પગલાં લેવામાં આવે છે. પછી સવાલ એ છે કે બપોરના સમયે ફૂલદાનીમાં કેટલા દડા હોય છે? ઉકેલો પઝલના જવાબો ઘણી શ્રેણીઓમાં આવે છે. ફૂલદાનીમાં અનંત ઘણા દડા હોય છે સૌથી વધુ સાહજિક જવાબ એવું લાગે છે કે ફૂલદાનીમાં બપોર સુધીમાં અનંત સંખ્યામાં દડા હોય છે, કારણ કે રસ્તામાં દરેક પગલે દૂર કરવા કરતાં વધુ દડા ઉમેરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા મુજબ, દરેક પગલા પર, અગાઉના પગલા કરતાં વધુ સંખ્યામાં દડા હશે. હકીકતમાં એવું કોઈ પગલું નથી કે જ્યાં અગાઉના પગલાથી દડાની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય. જો દરેક વખતે દડાની સંખ્યા વધે છે, તો અનંત પગલાં પછી અનંત સંખ્યામાં દડા હશે. ફૂલદાની ખાલી છે ધારો કે દડાઓના અનંત પુરવઠાના દડાઓને ક્રમાંકિત કરવામાં આવ્યા હતા, અને પગલું 1 પર દડા 1 થી 10 ફૂલદાનીમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, અને પછી દડો નંબર 1 દૂર કરવામાં આવે છે. પગલું 2 પર, બોલ 11 થી 20 દાખલ કરવામાં આવે છે, અને પછી બોલ 2 દૂર કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે બપોર સુધીમાં, ફૂલદાનીમાં દાખલ કરવામાં આવેલા એન લેબલવાળા દરેક બોલને આખરે અનુગામી પગલામાં દૂર કરવામાં આવે છે (એટલે કે, પગલું એન પર). તેથી, બપોરના સમયે ફૂલદાની ખાલી રહે છે. આ ઉકેલ ગણિતશાસ્ત્રીઓ એલિસ અને કોએત્સિયર દ્વારા પસંદ કરવામાં આવ્યો છે. તે આ દલીલનો સમન્વય છે કે ફૂલદાની બપોરના સમયે ખાલી હોય છે, વધુ સાહજિક જવાબ સાથે કે ફૂલદાનીમાં અનંત ઘણા દડા હોવા જોઈએ, જેણે આ સમસ્યાને રોસ-લિટલવુડ વિરોધાભાસ નામ આપવાની બાંયધરી આપી છે. સમસ્યાના રોસના સંભવિત સંસ્કરણે દૂર કરવાની પદ્ધતિને તે કિસ્સામાં વિસ્તૃત કરી જ્યાં જ્યારે પણ કોઈ દડો પાછો ખેંચવાનો હોય ત્યારે તે દડો તે સમયે ફૂલદાનીમાં હાજર લોકોમાંથી સમાન રીતે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તેમણે આ કિસ્સામાં દર્શાવ્યું હતું કે બપોરના સમયે ફૂલદાનીમાં કોઈ ચોક્કસ દડો રહેવાની સંભાવના 0 હતી અને તેથી, બૂલની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને અને દડાઓ પર ગણતરીપાત્ર રકમ લઈને, બપોરના સમયે ફૂલદાની ખાલી થવાની સંભાવના 1 હતી. પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખે છે ખરેખર, કેટલા દડાઓ સાથે સમાપ્ત થાય છે તે ફૂલદાનીમાંથી દડાઓ દૂર કરવાના ક્રમ પર આધાર રાખે છે. અગાઉ જણાવ્યા મુજબ, દડાઓ એવી રીતે ઉમેરી અને દૂર કરી શકાય છે કે બપોરના સમયે ફૂલદાનીમાં કોઈ દડા ન રહે. જો કે, જો પગલું 1 પર ફૂલદાનીમાંથી બોલ નંબર 10, પગલું 2 પર બોલ નંબર 20, અને તેથી આગળ દૂર કરવામાં આવે, તો તે સ્પષ્ટ છે કે બપોરના સમયે ફૂલદાનીમાં અનંત સંખ્યામાં દડા બાકી રહેશે. હકીકતમાં, વિવિધ પગલાઓ પર કયા બોલને દૂર કરવામાં આવે છે તેના આધારે, કોઈપણ પસંદ કરેલા દડાઓને બપોર સુધીમાં ફૂલદાનીમાં મૂકી શકાય છે, જે નીચેની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે. ફિલસૂફ તર્કશાસ્ત્રી ટોમ ટિમોસ્કો અને ગણિતશાસ્ત્રી તર્કશાસ્ત્રી જિમ હેનલે દ્વારા આ ઉકેલની તરફેણ કરવામાં આવી છે. આ ઉકેલ ગાણિતિક રીતે સમૂહોના ક્રમની હલકી મર્યાદાને અનુરૂપ છે. નીચેની પ્રક્રિયા ફૂલદાનીમાં બાકી રહેલા બોલની પસંદ કરેલી સંખ્યા કેવી રીતે મેળવવી તેની રૂપરેખા આપે છે. ચાલો n ફૂલદાનીમાં દડાની ઇચ્છિત અંતિમ સંખ્યાને સૂચવે છે (n ≤ 0). ચાલો i હાલમાં થઈ રહેલી કામગીરીની સંખ્યા સૂચવે છે (i ≤ 1). પ્રક્રિયાઃ i = 1 થી અનંત માટેઃ ફૂલદાનીમાં (10 * i-9) થી (10 * i) સુધીના ક્રમાંકિત દડા મૂકો જો i ≤ n હોય તો દડો નંબર 2 * i દૂર કરો જો i> n હોય તો દડો નંબર n + i દૂર કરો સ્પષ્ટ રીતે, પ્રથમ n વિષમ દડા દૂર કરવામાં આવતા નથી, જ્યારે 2n કરતા મોટા અથવા સમાન બધા દડા હોય છે. તેથી, બરાબર n દડા ફૂલદાનીમાં રહે છે. જોકે દડા અને ફૂલદાનીની સ્થિતિ બપોર પહેલાંના સમયે દરેક ક્ષણે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેમ છતાં બપોર પછી અથવા પછી કોઈ પણ ક્ષણે કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢી શકાતો નથી. આમ, આપણે બધા જાણે છે કે, બપોરના સમયે, ફૂલદાની માત્ર જાદુઈ રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અથવા તેની સાથે કંઈક બીજું થાય છે. પરંતુ આપણે જાણતા નથી, કારણ કે સમસ્યાનું નિવેદન આ વિશે કંઇ કહેતું નથી. તેથી, અગાઉના ઉકેલની જેમ, આ ઉકેલ જણાવે છે કે સમસ્યા અલ્પનિર્દિષ્ટ છે, પરંતુ અગાઉના ઉકેલ કરતાં અલગ રીતે. આ ઉકેલની તરફેણ ગણિતના ફિલસૂફ પોલ બેનાસેરાફે કરી છે. સમસ્યા અવ્યવસ્થિત છે સમસ્યા અવ્યવસ્થિત છે. ચોક્કસપણે કહીએ તો, સમસ્યાના નિવેદન અનુસાર, બપોર પહેલાં અનંત સંખ્યામાં કામગીરી કરવામાં આવશે, અને પછી બપોરના સમયે પરિસ્થિતિ વિશે પૂછવામાં આવશે. પરંતુ, ઝેનોના વિરોધાભાસની જેમ, જો બપોર પહેલાં (ક્રમિક રીતે) અનંત ઘણી કામગીરીઓ કરવી પડે, તો બપોર એ સમયનો એક બિંદુ છે જે ક્યારેય પહોંચી શકાતો નથી. બીજી બાજુ, બપોરે કેટલા દડા બાકી રહેશે તે પૂછવાનો અર્થ એ છે કે બપોર પહોંચી જશે. તેથી સમસ્યાના નિવેદનમાં જ એક વિરોધાભાસ ગર્ભિત છે, અને આ વિરોધાભાસ એ ધારણા છે કે કોઈ પણ વ્યક્તિ કોઈક રીતે અનંત સંખ્યામાં પગલાં 'પૂર્ણ' કરી શકે છે. આ ઉકેલ ગણિતશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફ જીન પોલ વેન બેન્ડેગેમની તરફેણ છે. સુપરટાસ્ક થોમસનનો લેમ્પ ઝેનોના વિરોધાભાસ હિલ્બર્ટનો ગ્રાન્ડ હોટેલ સંદર્ભોનો વિરોધાભાસ વધુ વાંચન "લિટલવુડ્સ મિસેલની" (આવૃત્તિ. બેલા બોલોબાસ), કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ, 1986. પૃ. 26. (સૌપ્રથમ "એ મેથેમેટિસિયન્સ મિસેલની" તરીકે પ્રકાશિત થયું (આવૃત્તિ. Béla Bollobás, Methuen & Co., 1953) "ટાસ્કસ, સુપર-ટાસ્કસ, એન્ડ મોડર્ન એલિટિક્સ", પોલ બેનાસેરાફ, જર્નલ ઓફ ફિલોસોફી, LIX, 1962, pp. 765-784 "સંભાવનામાં પ્રથમ અભ્યાસક્રમ", શેલ્ડન રોસ, ન્યૂ યોર્કઃ મેકમિલન, 1976 "અનંતના કેટલાક વિરોધાભાસ પર", વિક્ટર એલિસ અને ટ્યૂનિસ કોએટ્સિયર, ધ બ્રિટીશ જર્નલ ફોર ધ ફિલોસોફી ઓફ સાયન્સ, v. 42 n. 2, જૂન 1991, pp. 187-194 "રોસ પેરાડોક્સ ઇઝ એન ઇમ્પોસિબલ સુપર-ટાસ્ક", જીન પોલ વેન બેન્ડેગમ, ધ બ્રિટિશ જર્નલ ફોર ધ ફિલોસોફી ઓફ સાયન્સ, v. 45 n. 2, જૂન 1994, pp. 743-748 "અનંત પીડાઓઃ સુપરટાસ્ક સાથેની મુશ્કેલી", અર્મેન, જે. અને નોર્ટન, જે. ડી., એસ. સ્ટિચમાં (આવૃત્તિ.) પોલ બેનાસેરાફઃ ધ ફિલોસોફર એન્ડ હિઝ ક્રિટિક્સ (ન્યૂયોર્કઃ બ્લેકવેલ), 1994 "સ્વીટ રીઝનઃ એ ફિલ્ડ ગાઇડ ટુ મોડર્ન લોજિક", ટોમ ટિમોસ્કો અને જિમ હેનલે, ફ્રીમેન પ્રેસ, 1995 સુપરટાસ્કસ પેરાડોક્સિસ ઓફ ઇન્ફિનીટી