Lipschitz domain
ગણિતમાં, લિપ્સિટ્ઝ ડોમેન (અથવા લિપ્સિટ્ઝ સીમા સાથેનું ડોમેન) એ યુક્લિડિયન અવકાશમાં એક ડોમેન છે જેની સીમા એ અર્થમાં "પૂરતા પ્રમાણમાં નિયમિત" છે કે તેને સ્થાનિક રીતે લિપ્સિટ્ઝ સતત કાર્યનો આલેખ હોવાનું વિચારી શકાય છે. આ શબ્દનું નામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી રુડોલ્ફ લિપ્સિટ્ઝના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા દો. ચાલો એક ડોમેન બનીએ અને તેની સીમા દર્શાવીએ. પછી તેને લિપ્સિટ્ઝ ડોમેન કહેવામાં આવે છે જો દરેક બિંદુ માટે તે હાયપરપ્લેન પર પરિમાણનું હાયપરપ્લેન અસ્તિત્વમાં હોય, તો તે હાયપરપ્લેન પર લિપ્સિટ્ઝ-સતત કાર્ય અને વાસ્તવિક અને એવું કે જ્યાં એક એકમ વેક્ટર હોય જે ત્રિજ્યાના ખુલ્લા દડા માટે સામાન્ય હોય, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેની સીમાના દરેક બિંદુ પર, સ્થાનિક રીતે કેટલાક લિપ્સિટ્ઝ કાર્યના આલેખની ઉપર સ્થિત બિંદુઓનો સમૂહ હોય છે. સામાન્યીકરણ વધુ સામાન્ય ધારણા એ છે કે નબળા લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન્સ, જે ડોમેન્સ છે જેની સીમા બિલિપ્સચિટ્ઝ મેપિંગ દ્વારા સ્થાનિક રીતે સપાટ છે. ઉપરના અર્થમાં લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન્સને કેટલીકવાર નબળા લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન્સથી વિપરીત મજબૂત લિપ્સચિટ્ઝ કહેવામાં આવે છે. એક ડોમેન નબળું લિપશિટ્ઝ છે જો દરેક બિંદુ માટે ત્રિજ્યા અને નકશો અસ્તિત્વમાં હોય જે બાયજેક્શન હોય; અને બંને લિપશિટ્ઝ સતત કાર્યો છે; જ્યાં એકમ બોલને સૂચવે છે અને એ (મજબૂત રીતે) લિપશિટ્ઝ ડોમેન હંમેશા નબળું લિપશિટ્ઝ ડોમેન હોય છે પરંતુ વિપરીત સાચું નથી. નબળા લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન્સનું ઉદાહરણ કે જે મજબૂત લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે તે લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન્સના બે-ઇંટોના ડોમેન એપ્લિકેશન્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સોબોલેવ એમ્બેડિંગ પ્રમેયોમાંના ઘણા માટે જરૂરી છે કે અભ્યાસનું ડોમેન લિપ્સચિટ્ઝ ડોમેન હોય. પરિણામે, ઘણા આંશિક વિભેદક સમીકરણો અને પરિવર્તનશીલ સમસ્યાઓ લિપ્સિટ્ઝ ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સંદર્ભો ભૂમિતિ લિપશિટ્ઝ સોબોલેવની જગ્યાઓનો નકશો બનાવે છે