Affine geometry of curves
વિભેદક ભૂમિતિના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, વળાંકની એફાઇન ભૂમિતિ એ એફાઇન અવકાશમાં વળાંકનો અભ્યાસ છે, અને ખાસ કરીને આવા વળાંકના ગુણધર્મો કે જે વિશેષ એફાઇન જૂથ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. એફાઇન ભૂમિતિમાં, ફ્રેનેટ-સેરેટ ફ્રેમ હવે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ સમાન નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવતા વળાંક સાથે અન્ય કેનોનિકલ મૂવિંગ ફ્રેમને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે. આ સિદ્ધાંત 20મી સદીની શરૂઆતમાં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, મોટે ભાગે વિલ્હેલ્મ બ્લાસ્કે અને જીન ફેવર્ડના પ્રયાસોથી. એફાઇન ફ્રેમ ચાલો x (t) એક વળાંક હોય. ધારો કે, જેમ કે યુક્લિડીયન કિસ્સામાં થાય છે, કે x (t) ના પ્રથમ n વ્યુત્પન્ન રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે જેથી, ખાસ કરીને, x (t) કોઈ પણ નિમ્ન-પરિમાણીય એફાઇન સબસ્પેસમાં ન હોય. પછી વળાંક પરિમાણ t ને નિર્ધારક સુયોજિત કરીને સામાન્ય કરી શકાય છે આવા વળાંકને તેની એફાઇન આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે. આવા પરિમાણ માટે, વિશેષ એફાઇન જૂથમાં મેપિંગ નક્કી કરે છે, જે વળાંક માટે વિશેષ એફાઇન ફ્રેમ તરીકે ઓળખાય છે. એટલે કે, જથ્થાના દરેક બિંદુએ એફાઇન જગ્યા માટે એક વિશેષ એફાઇન ફ્રેમ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમાં જગ્યાના બિંદુ x અને x પરના બિંદુ સાથે જોડાયેલ એક વિશેષ રેખીય આધાર હોય છે. આ નકશાની સાથે મૌરર-કાર્ટન સ્વરૂપનું પુલબેક વળાંકના સંલગ્ન માળખાકીય અપરિવર્તનોનો સંપૂર્ણ સમૂહ આપે છે. સમતલમાં, આ એક જ સ્કેલર અપરિવર્તન આપે છે, જે વળાંકની એફાઇન વળાંક છે. વક્ર પરિમાણ s નું સામાન્યીકરણ ઉપર પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું જેથી જો n ષ્ણ 0 (મોડ 4) અથવા n ષ્ણ 3 (મોડ 4) હોય તો આ નિર્ધારકનું ચિહ્ન વળાંકનું સ્વતંત્ર અપરિવર્તન છે. જો વળાંક + 1 હોય તો તેને ડેક્સટ્રોર્સ (જમણી બાજુ વળાંક, જર્મનમાં વારંવાર વેઇનવેન્ડીગ) અને જો તે −1 હોય તો સિનિસ્ટ્રોર્સ (ડાબી બાજુ વળાંક, જર્મનમાં વારંવાર હોપફેનવેન્ડીગ) કહેવામાં આવે છે. ત્રણ પરિમાણોમાં, જમણા હાથની હેલિક્સને ડેક્સટ્રોર્સ અને ડાબા હાથની હેલિક્સને સિનિસ્ટ્રોર્સ કહેવામાં આવે છે. વળાંક ધારો કે x માં વળાંક એ એફાઇન આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત છે. પછી એફાઇન વળાંક, k1,., kn − 1 ની વ્યાખ્યા આ રીતે કરવામાં આવે છે કે આવી અભિવ્યક્તિ નિર્ધારકના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીને શક્ય છે જેથી x (n + 1) એ x′,., x (n − 1) નું રેખીય સંયોજન છે. મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો કે જેના સ્તંભો x ના પ્રથમ n વ્યુત્પન્ન છે (હજુ પણ વિશેષ એફાઇન આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત). પછી, કોંક્રિટની દ્રષ્ટિએ, મેટ્રિક્સ C એ x ના પ્રથમ n ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા આપવામાં આવેલી ફ્રેમ સાથે વિશેષ રેખીય જૂથના મૌરર-કાર્ટન સ્વરૂપનું પુલબેક છે. મૂવિંગ ફ્રેમ એફાઇન ગોળા સંદર્ભો વળાંક વિભેદક ભૂમિતિ એફાઇન ભૂમિતિ પણ જુઓ.