Linear relation
રેખીય બીજગણિતમાં, વેક્ટર સ્પેસ અથવા મોડ્યુલના ઘટકો વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ અથવા સરળ સંબંધ એ એક રેખીય સમીકરણ છે જેમાં આ ઘટકો ઉકેલ તરીકે હોય છે. વધુ ચોક્કસપણે, જો રિંગ પર (ડાબે) મોડ્યુલના ઘટકો હોય (ક્ષેત્ર પર વેક્ટર સ્પેસનો કેસ એક વિશેષ કેસ છે), તો વચ્ચેનો સંબંધ એ ઘટકોનો ક્રમ છે કે જે મોડ્યુલની રચના વચ્ચેના સંબંધો છે. એક સામાન્ય રીતે એવા કિસ્સામાં રસ ધરાવે છે કે જ્યાં ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ મોડ્યુલનો જનરેટિંગ સેટ હોય, તે કિસ્સામાં સંબંધોના મોડ્યુલને ઘણીવાર સિઝીજી મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે. સિઝીજી મોડ્યુલ જનરેટિંગ સેટની પસંદગી પર આધાર રાખે છે, પરંતુ તે મફત મોડ્યુલ સાથે સીધી રકમ સુધી અનન્ય છે. એટલે કે, જો અને સમાન મોડ્યુલના બે જનરેટિંગ સેટને અનુરૂપ સિઝીજી મોડ્યુલો હોય, તો તે સ્થિર રીતે આઇસોમોર્ફિક છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં બે મુક્ત મોડ્યુલો અસ્તિત્વમાં છે અને તે આઇસોમોર્ફિક છે. ઉચ્ચ ક્રમના સિઝીજી મોડ્યુલો પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ મોડ્યુલનું પ્રથમ સિઝીજી મોડ્યુલ ફક્ત તેનું સિઝીજી મોડ્યુલ છે. માટે, નું th સિઝીજી મોડ્યુલ એ-th સિઝીજી મોડ્યુલનું સિઝીજી મોડ્યુલ છે. હિલ્બર્ટનો સિઝીજી થીયરમ જણાવે છે કે, જો કોઈ ક્ષેત્ર પર બહુપદી રિંગ અનિશ્ચિત હોય, તો દરેક th સિઝીજી મોડ્યુલ મુક્ત છે. કેસ એ હકીકત છે કે દરેક મર્યાદિત પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનો એક આધાર હોય છે, અને કેસ એ હકીકત છે કે તે એક મુખ્ય આદર્શ ડોમેન છે અને મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મુક્ત મોડ્યુલનું દરેક પેટા મોડ્યુલ પણ મુક્ત છે. ઉચ્ચ ક્રમના સિઝીજી મોડ્યુલોના નિર્માણને મુક્ત ઠરાવોની વ્યાખ્યા તરીકે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, જે હિલ્બર્ટના સિઝીજી પ્રમેયને વૈશ્વિક સમરૂપ પરિમાણ ધરાવતા ક્ષેત્ર પર અનિશ્ચિત બહુપદી વીંટી તરીકે પુનઃસ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો અને તે પરિવર્તનીય રિંગના બે ઘટકો છે, તો તે એક સંબંધ છે જેને તુચ્છ કહેવામાં આવે છે. આદર્શના તુચ્છ સંબંધોનું મોડ્યુલ એ આદર્શના પ્રથમ સિઝીજી મોડ્યુલનું પેટા મોડ્યુલ છે જે આદર્શના ઉત્પન્ન સમૂહના ઘટકો વચ્ચેના તુચ્છ સંબંધો દ્વારા પેદા થાય છે. તુચ્છ સંબંધોની વિભાવનાને ઉચ્ચ ક્રમના સિઝીજી મોડ્યુલોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, અને આ આદર્શના કોઝુલ સંકુલની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે, જે આદર્શના જનરેટર વચ્ચેના બિન-તુચ્છ સંબંધો પર માહિતી પ્રદાન કરે છે. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ ચાલો રિંગ હોઈએ અને ડાબી બાજુનું મોડ્યુલ હોઈએ. એક રેખીય સંબંધ, અથવા ફક્ત ના ઘટકો વચ્ચેનો સંબંધ એ એવા ઘટકોનો ક્રમ છે કે જે જો ઉત્પન્ન કરતો સમૂહ હોય, તો સંબંધને ઘણીવાર નો સિઝીજી કહેવામાં આવે છે. તેને ધ્યાનમાં લીધા વિના સિઝીજી કહેવાનો અર્થ થાય છે કારણ કે, સિઝીજી મોડ્યુલ પસંદ કરેલા જનરેટિંગ સેટ પર આધાર રાખે છે, તેમ છતાં તેના મોટાભાગના ગુણધર્મો સ્વતંત્ર છે; નીચે જુઓ. જો વીંટી નોથેરિયન હોય, અથવા, ઓછામાં ઓછી સુસંગત હોય, અને જો મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય, તો સિઝીજી મોડ્યુલ પણ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. આ સિઝીજી મોડ્યુલનું સિઝીજી મોડ્યુલ તેનું બીજું સિઝીજી મોડ્યુલ છે. આ રીતે ચાલુ રાખીને દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે th સિઝીજી મોડ્યુલને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હિલ્બર્ટનો સિઝીજી પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે, જો કોઈ ક્ષેત્ર પર બહુપદી વીંટી પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ હોય, તો કોઈપણ th સિઝીજી મોડ્યુલ એક મુક્ત મોડ્યુલ છે. સ્થિર ગુણધર્મો સામાન્ય રીતે કહીએ તો, કે-સિદ્ધાંતની ભાષામાં, ગુણધર્મ સ્થિર હોય છે જો તે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા મુક્ત મોડ્યુલ સાથે સીધો સરવાળો કરીને સાચું બને છે. સિઝીજીઝ મોડ્યુલોની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા એ છે કે તેમાં સામેલ મોડ્યુલો માટે સેટ બનાવવાની પસંદગીઓ પર "સ્થિર રીતે સ્વતંત્ર" હોય છે. નીચેનું પરિણામ આ સ્થિર properties.Proof નો આધાર છે. જેમ કે જનરેટિંગ સેટ છે, દરેકને લખી શકાય છે આ વચ્ચેનો સંબંધ પૂરો પાડે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વચ્ચેનો દરેક સંબંધ એ અને s ના રેખીય સંયોજન વચ્ચેના સંબંધનો સરવાળો છે. આ વિઘટન અનન્ય છે તે સાબિત કરવું સરળ છે, અને આ પરિણામ સાબિત કરે છે. આ સાબિત કરે છે કે પ્રથમ સિઝીજી મોડ્યુલ "સ્થિર રીતે અનન્ય" છે. વધુ ચોક્કસપણે, બે જનરેટિંગ સમૂહો અને મોડ્યુલ આપવામાં આવે છે, જો અને સંબંધોના અનુરૂપ મોડ્યુલો હોય, તો ત્યાં બે મુક્ત મોડ્યુલો અસ્તિત્વમાં છે અને જેમ કે અને આઇસોમોર્ફિક છે. આ સાબિત કરવા માટે, બે જનરેટિંગ સમૂહોના જોડાણ વચ્ચેના સંબંધોના મોડ્યુલના બે વિઘટન મેળવવા માટે અગાઉના પ્રસ્તાવને બે વાર લાગુ કરવો પૂરતો છે. ઉચ્ચ સિઝીજી મોડ્યુલો માટે સમાન પરિણામ મેળવવા માટે, તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે, જો કોઈ મોડ્યુલ છે, અને તે એક મુક્ત મોડ્યુલ છે, તો પછી અને તેમાં આઇસોમોર્ફિક સિઝીજી મોડ્યુલો છે. તે જનરેટિંગ સેટને ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે જેમાં જનરેટિંગ સેટ અને બેસિસનો સમાવેશ થાય છે. આ જનરેટિંગ સમૂહના ઘટકો વચ્ચેના દરેક સંબંધ માટે, ના પાયાના ઘટકોના ગુણાંક બધા શૂન્ય હોય છે, અને ના સિઝીજી બરાબર શૂન્ય ગુણાંક સાથે વિસ્તૃતના સિઝીજી હોય છે. આ નીચેના પ્રમેયનો પુરાવો પૂર્ણ કરે છે. મુક્ત ઠરાવો સાથેનો સંબંધ-મોડ્યુલના જનરેટિંગ સેટને જોતાં, જ્યાં નવા અનિશ્ચિત હોય તેવા આધારે મુક્ત મોડ્યુલને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. આ એક ચોક્કસ ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યાં ડાબી તીર એ રેખીય નકશો છે જે દરેકને અનુરૂપ નકશો બનાવે છે. તેની જગ્યાએ આ કર્નલ સાથે આ રચનાનું પુનરાવર્તન કરી શકાય છે. આ રચનાનું વારંવાર પુનરાવર્તન કરવાથી, એક લાંબો ચોક્કસ ક્રમ મળે છે જ્યાં બધા મુક્ત મોડ્યુલો હોય છે. વ્યાખ્યા મુજબ, આટલો લાંબો ચોક્કસ ક્રમ એ મુક્ત રીઝોલ્યુશન છે. દરેક માટે, તીરનો કર્નલ જેમાંથી શરૂ થાય છે તે એકમો સિઝીજી મોડ્યુલ છે. તે અનુસરે છે કે મુક્ત ઠરાવોનો અભ્યાસ સિઝીજી મોડ્યુલોના અભ્યાસ જેવો જ છે. જો મુક્ત હોય તો મુક્ત રીઝોલ્યુશન લંબાઈની મર્યાદિત હોય છે. આ કિસ્સામાં, દરેક માટે અને (શૂન્ય મોડ્યુલ) લઈ શકાય છે. આ હિલ્બર્ટના સિઝીજી પ્રમેયને પુનરાવર્તિત કરવાની મંજૂરી આપે છેઃ જો કોઈ ક્ષેત્ર પર અનિશ્ચિત બહુપદી વીંટી હોય, તો દરેક મુક્ત રીઝોલ્યુશન મહત્તમ લંબાઈ સુધી મર્યાદિત હોય છે. પરિવર્તનીય નોથેરિયન રિંગનું વૈશ્વિક પરિમાણ કાં તો અનંત હોય છે, અથવા ન્યૂનતમ એવું હોય છે કે દરેક મુક્ત રીઝોલ્યુશન મહત્તમ લંબાઈ સુધી મર્યાદિત હોય છે. જો તેનું વૈશ્વિક પરિમાણ મર્યાદિત હોય તો પરિવર્તનીય નોથેરિયન વીંટી નિયમિત હોય છે. આ કિસ્સામાં, વૈશ્વિક પરિમાણ તેના ક્રુલ પરિમાણ બરાબર છે. તેથી, હિલ્બર્ટના સિઝીજી પ્રમેયને ખૂબ જ ટૂંકા વાક્યમાં પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે જે ઘણું ગણિત છુપાવે છેઃ ક્ષેત્ર પરની બહુપદી વીંટી એ નિયમિત ring.Trivial સંબંધો છે. આ તુચ્છ રીતે સૂચવે છે કે તે અને વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ છે. તેથી, આદર્શના જનરેટિંગ સમૂહને જોતાં, બે જનરેટિંગ ઘટકો વચ્ચેના આ તુચ્છ સંબંધો દ્વારા પેદા થતા સબમોડ્યુલના દરેક તત્વને તુચ્છ સંબંધ અથવા તુચ્છ સિઝીજી કહે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, તુચ્છ સિઝીજીઝનું મોડ્યુલ આવા અને અન્યથા સંબંધો દ્વારા પેદા થાય છે. સિઝીજી શબ્દ આર્થર કેલેના કાર્ય સાથે ગણિતમાં આવ્યો હતો. તે પેપરમાં, કેલેએ તેનો ઉપયોગ પરિણામ અને ભેદભાવના સિદ્ધાંતમાં કર્યો હતો. જેમ કે સિઝીજી શબ્દનો ઉપયોગ ખગોળશાસ્ત્રમાં ગ્રહો વચ્ચેના રેખીય સંબંધને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, કેલેએ તેનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સના નાના વચ્ચેના રેખીય સંબંધોને દર્શાવવા માટે કર્યો હતો, જેમ કે, 2 × 3 મેટ્રિક્સના કિસ્સામાંઃ પછી, સિઝીજી શબ્દને ડેવિડ હિલ્બર્ટ દ્વારા તેમના 1890 ના લેખમાં (ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં) લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેમાં બહુપદી પર ત્રણ મૂળભૂત પ્રમેયો, હિલ્બર્ટનું સિઝીજી પ્રમેય, હિલ્બર્ટનું આધાર પ્રમેય અને હિલ્બર્ટનું નલસ્ટેલેન્સેટ્ઝ છે. તેમના લેખમાં, કેલે ગણિતશાસ્ત્રી જીન-લુઇસ કોઝુલ દ્વારા વિભેદક ભૂમિતિમાં સમાન રચના પછી, એક ખાસ કિસ્સામાં, જેને પાછળથી કોઝુલ સંકુલ કહેવામાં આવ્યું હતું, તેનો ઉપયોગ કરે છે. નોંધો સંદર્ભો ડેવિડ આઈસેનબુડ, ધ જીઓમેટ્રી ઓફ સિઝીજીઝ, ગ્રેજ્યુએટ ટેક્સ્ટ્સ ઇન મેથેમેટિક્સ, વોલ્યુમ. 229, સ્પ્રિંગર, 2005. પરિવર્તનીય બીજગણિત હોમોલોજિકલ બીજગણિત રેખીય બીજગણિત બહુપદીઓ