Lagrange inversion theorem
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, લેગ્રેન્જ વ્યુત્ક્રમ પ્રમેય, જેને લેગ્રેન્જ-બર્મન સૂત્ર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યના વ્યુત્ક્રમ કાર્યનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ આપે છે. નિવેદન ધારો કે તે સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં એક બિંદુ પર વિશ્લેષણાત્મક હોય છે અને પછી તેને શક્તિ શ્રેણી દ્વારા આપવામાં આવેલા સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરીને સમીકરણને ઉલટાવી અથવા હલ કરવું શક્ય છે જ્યાં પ્રમેય આગળ જણાવે છે કે આ શ્રેણીમાં અભિસરણની બિન-શૂન્ય ત્રિજ્યા છે, એટલે કે, તેના પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને રજૂ કરે છે. જો વિશ્લેષણાત્મકતા વિશેના દાવાઓ અવગણવામાં આવે, તો સૂત્ર ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી માટે પણ માન્ય છે અને તેને વિવિધ રીતે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ તેને વિવિધ ચલોનાં કાર્યો માટે ઘડવામાં આવી શકે છે; તેને કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય માટે તૈયાર સૂત્ર પ્રદાન કરવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે; અને તેને એવા કિસ્સામાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે જ્યાં વ્યસ્ત એ બહુ-મૂલ્યવાન કાર્ય છે. આ પ્રમેય 18મી સદીના અંતમાં લેગ્રેન્જ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો અને હંસ હેઇનરિચ બર્મેન દ્વારા સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો. જટિલ વિશ્લેષણ અને સમોચ્ચ એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને એક સીધી વ્યુત્પત્તિ છે; જટિલ ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી સંસ્કરણ બહુપદી માટેના સૂત્રને જાણવાનું પરિણામ છે, તેથી વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોનો સિદ્ધાંત લાગુ કરી શકાય છે. વાસ્તવમાં, વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય સિદ્ધાંતમાંથી મશીનરી આ સાબિતીમાં માત્ર ઔપચારિક રીતે પ્રવેશ કરે છે, જેમાં ખરેખર જે જરૂરી છે તે ઔપચારિક અવશેષોની કેટલીક મિલકત છે, અને વધુ સીધી ઔપચારિક સાબિતી ઉપલબ્ધ છે. જો ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી હોય, તો ઉપરોક્ત સૂત્ર શ્રેણીના ગુણાંક માટે સીધી રીતે રચનાત્મક વ્યસ્ત શ્રેણીના ગુણાંક આપતું નથી. જો કોઈ વિધેયોને અને અને સાથે ઔપચારિક પાવર શ્રેણીમાં વ્યક્ત કરી શકે, તો પછી બેલ બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ વ્યસ્ત ગુણાંકનું સ્પષ્ટ સ્વરૂપ આપી શકાય છેઃ જ્યાં વધતી જતી ફેક્ટોરિયલ છે. જ્યારે, છેલ્લા સૂત્રને એસોસીએહેડ્રાના ચહેરાના સંદર્ભમાં અર્થઘટન કરી શકાય છે જ્યાં એસોસીએહેડ્રોનના દરેક ચહેરા માટે ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણને કાર્ય માટે લેગ્રેન્જ વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર દ્વારા ઉકેલી શકાય છે, પરિણામે ઔપચારિક શ્રેણી ઉકેલ કન્વર્જન્સ પરીક્ષણો દ્વારા, આ શ્રેણી હકીકતમાં કન્વર્જન્ટ છે, જે સૌથી મોટી ડિસ્ક પણ છે જેમાં સ્થાનિક વ્યુત્ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સરળતા માટે સાબિતીનું રેખાચિત્ર ધારો. જો આપણે ભૌમિતિક શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને સંકલનને વિસ્તૃત કરીએ તો આપણે મેળવીએ છીએ જ્યાં છેલ્લા પગલામાં આપણે એક સરળ શૂન્ય ધરાવતી હકીકતનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અંતે આપણે ધ્યાનમાં રાખીને સંકલન કરી શકીએ છીએ સારાંશ સૂચકાંકની પુનઃવ્યાખ્યાયિત કરવા પર આપણને જણાવેલું સૂત્ર મળે છે. એપ્લિકેશન્સ લેગ્રાન્જ-બર્મન સૂત્ર લેગ્રાન્જ વ્યુત્ક્રમ પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ છે જેનો ઉપયોગ સંયોજનશાસ્ત્રમાં થાય છે અને જ્યારે ટેક સાથે કેટલાક વિશ્લેષણાત્મક માટે લાગુ પડે છે ત્યારે તેને લાગુ પડે છે. સૂત્રનું સામાન્યીકરણ લેગ્રેન્જ-બર્મન સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છેઃ જ્યાં એક મનસ્વી વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે. કેટલીકવાર, વ્યુત્પન્ન તદ્દન જટિલ હોઈ શકે છે. સૂત્રનું એક સરળ સંસ્કરણ મેળવવાની સાથે બદલાય છે જેમાં તેના બદલે સમાવેશ થાય છે. લેમ્બર્ટ W કાર્ય લેમ્બર્ટ કાર્ય એ કાર્ય છે જે પરોક્ષ રીતે સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આપણે ટેલર શ્રેણીની ગણતરી કરવા માટે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. એક શ્રેણી કે જે (આશરે) માટે એકરૂપ થાય છે તે શ્રેણી વ્યુત્ક્રમ દ્વારા પણ મેળવી શકાય છે. કાર્ય સમીકરણને સંતોષે છે પછી તેને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે અને ઊંધું કરી શકાય છે. આ એક શ્રેણી આપે છે જેની ગણતરી ઉપરોક્ત શ્રેણીમાં બદલીને કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, માટે અવેજી દ્વિસંગી વૃક્ષોનું મૂલ્ય આપે છે લેબલ વગરના દ્વિસંગી વૃક્ષોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. તેનું તત્વ કાં તો કદ શૂન્યનું પાંદડું હોય છે, અથવા બે પેટા વૃક્ષો સાથેનું મૂળ નોડ હોય છે. ગાંઠો પર દ્વિસંગી વૃક્ષોની સંખ્યા દ્વારા દર્શાવો. મૂળને દૂર કરવાથી દ્વિસંગી વૃક્ષ નાના કદના બે વૃક્ષોમાં વિભાજિત થાય છે. આ જનરેટિંગ ફંક્શન લેટિંગ પર કાર્યાત્મક સમીકરણ આપે છે, આમ ઉપજ સાથે પ્રમેય લાગુ કરવો આ દર્શાવે છે કે તે th કતલાન નંબર છે. ઇન્ટિગ્રલ્સનો એસિમ્પ્ટોટિક અંદાજ લાપ્લાસ-એર્ડેલી પ્રમેયમાં જે લાપ્લાસ-પ્રકારનાં ઇન્ટિગ્રલ્સ માટે એસિમ્પ્ટોટિક અંદાજ આપે છે, ફંક્શન ઇન્વર્ઝનને નિર્ણાયક પગલા તરીકે લેવામાં આવે છે. ફા ડી બ્રુનોનું સૂત્ર તે બે શ્રેણીઓના ગુણાંકની દ્રષ્ટિએ બે ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીની રચનાના ગુણાંક પણ આપે છે. સમાનરૂપે, તે સંયુક્ત વિધેયના nમા વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર છે. અન્ય પ્રમેય માટે લૅગ્રેન્જ રિવર્સન થીયરમ જેને કેટલીકવાર વ્યુત્ક્રમ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે ઔપચારિક શક્તિ series#The લૅગ્રેન્જ વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર સંદર્ભો સ્પ્રિંગર EOM વ્યુત્ક્રમ વિધેયો પર બાહ્ય કડીઓ બર્માન-લૅગ્રેન્જ શ્રેણી વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો જટિલ વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો સંયોજનમાં પ્રમેયો