MUSCL scheme
આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં, એમયુએસસીએલ યોજના એ મર્યાદિત કદની પદ્ધતિ છે જે આપેલ પ્રણાલી માટે અત્યંત સચોટ આંકડાકીય ઉકેલો પ્રદાન કરી શકે છે, એવા કિસ્સાઓમાં પણ જ્યાં ઉકેલો આંચકા, વિસંગતતા અથવા મોટા ઢાળ પ્રદર્શિત કરે છે. એમયુએસસીએલ એટલે મોનોટોનિક અપસ્ટ્રીમ-સેન્ટર્ડ સ્કીમ ફોર કન્ઝર્વેશન લોઝ (વેન લીયર, 1979), અને આ શબ્દ બ્રેમ વાન લીયર (વેન લીયર, 1979) દ્વારા એક નિર્ણાયક પેપરમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. આ પેપરમાં તેમણે પ્રથમ હાઇ-ઓર્ડર, ટોટલ વેરિએશન ડિમિનિશિંગ (ટીવીડી) યોજનાનું નિર્માણ કર્યું હતું જ્યાં તેમણે સેકન્ડ ઓર્ડર અવકાશી ચોકસાઈ મેળવી હતી. અગાઉના સમય-પગલાથી મેળવેલ કોષ-સરેરાશ સ્થિતિઓમાંથી મેળવેલ પુનઃનિર્મિત સ્થિતિઓ દ્વારા ગોડુનોવની યોજનાના પીસવાઇઝ સતત અંદાજને બદલવાનો વિચાર છે. દરેક કોષ માટે, ઢાળ મર્યાદિત, પુનઃનિર્મિત ડાબી અને જમણી સ્થિતિઓ મેળવવામાં આવે છે અને કોષની સીમાઓ (ધાર) પર પ્રવાહોની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે. આ ફ્લક્સનો, બદલામાં, રીમાન સોલ્વર માટે ઇનપુટ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે, જેના પછી ઉકેલોની સરેરાશ કરવામાં આવે છે અને સમયસર ઉકેલને આગળ વધારવા માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, ફ્લક્સનો ઉપયોગ રીમાન-સોલ્વર-મુક્ત યોજનાઓમાં થઈ શકે છે, જે મૂળભૂત રીતે રુસાનોવ જેવી યોજનાઓ છે. રેખીય પુનર્નિર્માણ આપણે નીચેની સરળ પ્રથમ ક્રમ, સ્કેલર, 1D પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લઈને એમયુએસસીએલ યોજનાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને ધ્યાનમાં લઈશું, જે હકારાત્મક દિશામાં ફેલાતી તરંગ હોવાનું માનવામાં આવે છે, જ્યાં સ્થિતિ ચલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને ફ્લક્સ ચલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ગોડુનોવની મૂળભૂત યોજના દરેક કોષ માટે પીસવાઇઝ અચળ અંદાજોનો ઉપયોગ કરે છે, અને કોષ કેન્દ્રો સાથે અનુક્રમિત ઉપરોક્ત સમસ્યાના પ્રથમ ક્રમના અપવાઇન્ડ વિવેચનાત્મકતામાં પરિણમે છે. અર્ધ-વિવિક્ત યોજનાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, આ મૂળભૂત યોજના આંચકા અથવા તીવ્ર વિસંગતતાઓને નિયંત્રિત કરવામાં સક્ષમ નથી કારણ કે તે સ્મીયર થઈ જાય છે. આ અસરનું ઉદાહરણ વિરુદ્ધ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જે જમણી બાજુએ ફેલાતા પગલાના તરંગ સાથે 1D એડવેક્ટિવ સમીકરણને સમજાવે છે. સિમ્યુલેશન 200 કોષોના જાળીદાર સાથે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને ચોથા ક્રમના રુંગ-કુટ્ટા ટાઇમ ઇન્ટિગ્રેટર (RK4) નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. વિસંગતતાઓનું ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન પ્રદાન કરવા માટે, ગોડુનોવની યોજનાને દરેક કોષના પીસવાઇઝ રેખીય અંદાજોનો ઉપયોગ કરવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે કેન્દ્રિય તફાવત યોજનામાં પરિણમે છે જે અવકાશમાં બીજા ક્રમની સચોટ છે. આમ, કોષની ધાર પર ફ્લક્સનું મૂલ્યાંકન કરવાથી આપણને નીચેની અર્ધ-અલગ યોજના મળે છે જ્યાં અને કોષની ધાર ચલની પીસવાઇઝ અંદાજિત કિંમતો છે, એટલે કે, જો કે ઉપરોક્ત સેકન્ડ ઓર્ડર યોજના સરળ ઉકેલો માટે વધુ ચોકસાઈ પ્રદાન કરે છે, તે ટોટલ વેરિએશન ડિમિનિશિંગ (ટીવીડી) યોજના નથી અને જ્યાં વિસંગતતાઓ અથવા આંચકા હાજર હોય ત્યાં ઉકેલમાં નકલી ઓસિલેશન રજૂ કરે છે. આ અસરનું ઉદાહરણ વિરુદ્ધ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જે 1D એડવેક્ટિવ સમીકરણને સમજાવે છે, જેમાં એક પગલું તરંગ જમણી તરફ પ્રસરે છે. ગોડુનોવના પ્રમેયને કારણે ચોકસાઈની આ ખોટ અપેક્ષિત છે. સિમ્યુલેશન 200 કોષોના જાળીદાર સાથે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને સમય એકીકરણ માટે RK4 નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. એમયુએસસીએલ આધારિત આંકડાકીય યોજનાઓ ઢાળ મર્યાદિત ડાબી અને જમણી બાહ્ય સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને દરેક કોષમાં રેખીય પીસવાઇઝ અંદાજનો ઉપયોગ કરવાના વિચારને વિસ્તૃત કરે છે. આનું પરિણામ નીચેની ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન, ટીવીડી ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન યોજનામાં આવે છે, જે, વૈકલ્પિક રીતે, વધુ સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, આંકડાકીય ફ્લક્સ સતત ફ્લક્સ કાર્ય માટે પ્રથમ અને બીજા ક્રમના અંદાજોના બિનરેખીય સંયોજનને અનુરૂપ છે. ચિહ્નો અને યોજના આધારિત કાર્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (મર્યાદિત બહિર્મુખ કોષ ધાર ચલોનું), એટલે કે, જ્યાં, ડાઉનવિન્ડ ઢોળાવનો ઉપયોગ કરીનેઃ અને કાર્ય એ એક મર્યાદિત કાર્ય છે જે ઉકેલ ટીવીડી છે તેની ખાતરી કરવા માટે પીસવાઇઝ અંદાજોના ઢોળાવને મર્યાદિત કરે છે, જેથી નકલી ઓસિલેશનને ટાળી શકાય જે અન્યથા વિસંગતતાઓ અથવા આંચકાઓની આસપાસ થાય છે-ફ્લક્સ લિમિટર વિભાગ જુઓ. મર્યાદા શૂન્યની બરાબર હોય છે જ્યારે અને એકતાની બરાબર હોય છે જ્યારે. આમ, ટીવીડી ડિસ્ક્રીટાઈઝેશનની ચોકસાઈ સ્થાનિક ચરમસીમાએ પ્રથમ ક્રમમાં ઘટી જાય છે, પરંતુ ડોમેનના સરળ ભાગો પર બીજા ક્રમમાં જાય છે. અલ્ગોરિધમનો અમલ કરવા માટે સીધા આગળ છે. એકવાર યોગ્ય યોજના પસંદ થઈ જાય, જેમ કે કુર્ગાનોવ અને ટાડમોર યોજના (નીચે જુઓ), ઉકેલ પ્રમાણભૂત સંખ્યાત્મક એકીકરણ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને આગળ વધી શકે છે. કુર્ગાનોવ અને તાડમોર કેન્દ્રીય યોજના કુર્ગાનોવ અને તાડમોર (કે. ટી.) કેન્દ્રીય યોજનાની અગ્રદૂત, (કુર્ગાનોવ અને તાડમોર, 2000), નેસ્યાહુ અને તાડમોર (એન. ટી.) એક અસ્થિર કેન્દ્રીય યોજના છે, (નેસ્યાહુ અને તાડમોર, 1990). તે રીમાન-સોલ્વર-મુક્ત, સેકન્ડ-ઓર્ડર, ઉચ્ચ-રીઝોલ્યુશન યોજના છે જે એમયુએસસીએલ પુનર્નિર્માણનો ઉપયોગ કરે છે. તે એક સંપૂર્ણપણે અલગ પદ્ધતિ છે જે અમલમાં મૂકવા માટે સીધી છે અને તેનો ઉપયોગ સ્કેલર અને વેક્ટર સમસ્યાઓ પર થઈ શકે છે, અને તેને ઉચ્ચ ક્રમના પુનર્નિર્માણ સાથે પૂરક રુસાનોવ ફ્લક્સ (જેને સ્થાનિક લક્સ-ફ્રીડ્રિક્સ ફ્લક્સ પણ કહેવાય છે) તરીકે જોઈ શકાય છે. આ અલ્ગોરિધમ રીમાન પ્રકારનાં સોલવર્સ સાથે તુલનાત્મક કામગીરી સાથેના કેન્દ્રીય તફાવતો પર આધારિત છે, જ્યારે તેનો ઉપયોગ ઉચ્ચ-ઢાળવાળી ઘટનાઓનું પ્રદર્શન કરતી PDEની વર્ણનાત્મક પ્રણાલીઓ માટે ઉકેલો મેળવવા માટે થાય છે. કે. ટી. યોજના એન. ટી. યોજનાને વિસ્તરે છે અને મૂળ એન. ટી. યોજના કરતાં ઓછી માત્રામાં આંકડાકીય સ્નિગ્ધતા ધરાવે છે. તેનો વધારાનો ફાયદો એ પણ છે કે તેને સંપૂર્ણપણે અલગ અથવા અર્ધ-અલગ યોજના તરીકે અમલમાં મૂકી શકાય છે. અહીં આપણે અર્ધ-સ્વતંત્ર યોજનાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. ગણતરી નીચે દર્શાવવામાં આવી છેઃ જ્યાં સ્થાનિક પ્રસાર ઝડપ, આ સી. એફ. એલ. સંબંધિત ઝડપોથી આગળના વર્ણપટ ત્રિજ્યાને રજૂ કરે છે અને તેના દ્વારા આપવામાં આવેલ કોષો ઉપરના જેકોબિયનના આઈગન મૂલ્યનું મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે, ત્યાં કોઈ લાક્ષણિક માહિતીની જરૂર નથી. ઉપરોક્ત ફ્લક્સ ગણતરીને મોટાભાગે લક્સ-ફ્રીડ્રિક્સ ફ્લક્સ કહેવામાં આવે છે (જોકે તે ઉલ્લેખનીય છે કે આવી ફ્લક્સ અભિવ્યક્તિ લક્સ, 1954માં નહીં પરંતુ રુસાનોવ, 1961માં જોવા મળે છે). ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન યોજનાનો ઉપયોગ કરવાની અસરકારકતાનું ઉદાહરણ વિરુદ્ધ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જે 1D એડવેક્ટિવ સમીકરણને સમજાવે છે, જેમાં જમણી બાજુએ એક પગલું તરંગ ફેલાય છે. સુપરબી લિમિટર સાથે કુર્ગાનોવ અને ટેડમોર કેન્દ્રીય યોજનાનો ઉપયોગ કરીને 200 કોષોના જાળી પર સિમ્યુલેશન હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને સમય એકીકરણ માટે RK-4 નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આ સિમ્યુલેશન પરિણામ ઉપર દર્શાવેલ ઉપરના પ્રથમ ક્રમના અપવાઇન્ડ અને બીજા ક્રમના કેન્દ્રીય તફાવત પરિણામો સામે અત્યંત સારી રીતે વિરોધાભાસી છે. સમીકરણોના સમૂહો પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે આ યોજના પણ સારા પરિણામો પ્રદાન કરે છે-યુલર સમીકરણો પર લાગુ કરવામાં આવેલી આ યોજના માટે નીચે આપેલા પરિણામો જુઓ. જો કે, યોગ્ય મર્યાદા પસંદ કરવામાં કાળજી લેવી પડશે કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, સુપરબી મર્યાદા કેટલાક સરળ તરંગો માટે અવાસ્તવિક તીક્ષ્ણતાનું કારણ બની શકે છે. જો તે હાજર હોય તો આ યોજના સરળતાથી પ્રસરણની શરતો શામેલ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉપરોક્ત 1D સ્કેલર સમસ્યાને પ્રસરણ શબ્દનો સમાવેશ કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવે, તો આપણે મેળવીએ છીએ કે જેના માટે કુર્ગાનોવ અને ટાડમોર નીચેના કેન્દ્રીય તફાવત અંદાજની દરખાસ્ત કરે છે, જ્યાં, અલ્ગોરિધમ (સંપૂર્ણ અને અર્ધ-અલગ આવૃત્તિઓ) અને તેની વ્યુત્પત્તિઓની સંપૂર્ણ વિગતો મૂળ પેપર (કુર્ગાનોવ અને ટાડમોર, 2000) માં મળી શકે છે, જેમાં સંખ્યાબંધ 1D અને 2D ઉદાહરણો છે. નેસ્યાહુ અને તડમોર (1990) ના અગાઉના સંબંધિત પેપરમાં પણ વધારાની માહિતી ઉપલબ્ધ છે. નોંધઃ આ યોજના મૂળરૂપે કુર્ગાનોવ અને ટાડમોર દ્વારા રેખીય એક્સ્ટ્રાપોલેશન પર આધારિત બીજા ક્રમની યોજના તરીકે રજૂ કરવામાં આવી હતી. પછીનું પેપર (કુર્ગાનોવ અને લેવી, 2000) દર્શાવે છે કે તે ત્રીજા ક્રમની યોજનાનો આધાર પણ બનાવી શકે છે. પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ (ત્રીજો ક્રમ) નો ઉપયોગ કરીને તેમની યોજનાનું 1D એડવેક્ટિવ ઉદાહરણ અને યુલર સમીકરણનું ઉદાહરણ, નીચે પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ અને યુલર સમીકરણ વિભાગોમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. પીસવાઇઝ પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ રેખીય-એક્સ્ટ્રાપોલેશનના વિચારને ઉચ્ચ ક્રમના પુનર્નિર્માણ સુધી વિસ્તારવું શક્ય છે, અને એક ઉદાહરણ વિરુદ્ધ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. જો કે, આ કિસ્સામાં ડાબી અને જમણી સ્થિતિઓનો અંદાજ સેકન્ડ ઓર્ડર, અપવાઇન્ડ બાયસ્ડ, તફાવત સમીકરણના પ્રક્ષેપણ દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ એક પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ યોજનામાં પરિણમે છે જે અવકાશમાં ત્રીજા ક્રમની સચોટ છે. અમે કેરમાની (કેરમાની, એટ અલ., 2003) ના અભિગમને અનુસરીએ છીએ, અને ત્રીજા ક્રમની અપવાઇન્ડ પક્ષપાતી યોજના રજૂ કરીએ છીએ, જ્યાં પ્રતીકો અને ફરીથી યોજના આધારિત કાર્યો (મર્યાદિત પુનઃનિર્મિત કોષ ધાર ચલોનું) રજૂ કરે છે. પરંતુ આ કેસ માટે તેઓ પેરાબોલિકલી રિકન્સ્ટ્રક્ટ સ્ટેટ્સ પર આધારિત છે, એટલે કે, અને જ્યાં = 1/3 અને, અને લિમિટર ફંક્શન, ઉપરની જેમ જ છે. પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ અમલમાં મૂકવા માટે સીધું છે અને તેનો ઉપયોગ ઉપર દર્શાવેલ રેખીય એક્સ્ટ્રાપોલેશનને બદલે કુર્ગાનોવ અને ટેડમોર યોજના સાથે થઈ શકે છે. આ કેટી યોજનાના અવકાશી ઉકેલને ત્રીજા ક્રમમાં વધારવાની અસર ધરાવે છે. યુલર સમીકરણોને હલ કરતી વખતે તે સારું પ્રદર્શન કરે છે, નીચે જુઓ. અવકાશી ક્રમમાં આ વધારો સરળ ઉકેલો માટે બીજા ક્રમની યોજનાઓ કરતાં ચોક્કસ ફાયદા ધરાવે છે, જો કે, આંચકાઓ માટે તે વધુ નિરાશાજનક છે-રેખીય એક્સ્ટ્રાપોલેશન અને સુપરબી લિમિટર સાથે કેટી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ઉપરના ઉકેલ સાથે વિરુદ્ધ આકૃતિ તુલના કરો. આ સિમ્યુલેશન સમાન કે. ટી. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પરંતુ પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ સાથે 200 કોષોના જાળી પર હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. સમયનું એકીકરણ આર. કે.-4 દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું, અને નકલી ઓસિલેશનને ટાળવા માટે વેન અલબાડા લિમિટરના વૈકલ્પિક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ઉદાહરણ 1 ડી યુલર સમીકરણો સરળતા માટે આપણે 1 ડી કેસને ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ વિના અને શારીરિક બળ વિના ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. તેથી, સંરક્ષણ વેક્ટર સ્વરૂપમાં, સામાન્ય યુલર સમીકરણો ક્યાં અને ક્યાં સ્થિતિઓનો વેક્ટર છે અને તે ફ્લક્સનો વેક્ટર છે. ઉપરોક્ત સમીકરણો દળ, વેગ અને ઊર્જાના સંરક્ષણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આમ ત્રણ સમીકરણો અને ચાર અજ્ઞાત છે, (ઘનતા) (પ્રવાહી વેગ), (દબાણ) અને (કુલ ઊર્જા). કુલ ઊર્જા આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં તે ચોક્કસ આંતરિક ઊર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પ્રણાલીને બંધ કરવા માટે સ્થિતિનું સમીકરણ જરૂરી છે. જે આપણા હેતુને અનુકૂળ છે તે છે જ્યાં પ્રવાહી માટે ચોક્કસ ગરમીના ગુણોત્તર બરાબર છે. હવે આપણે સરળ 1D ઉદાહરણમાં ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, દરેક સ્ટેટ વેરિયેબલ માટે ડાબી અને જમણી એક્સ્ટ્રાપોલેટેડ સ્થિતિઓ મેળવીને આગળ વધી શકીએ છીએ. આમ, ઘનતા માટે આપણે જ્યાં મેળવીએ છીએ તે જ રીતે, વેગ અને કુલ ઊર્જા માટે. વેગની ગણતરી વેગથી કરવામાં આવે છે અને દબાણની ગણતરી સ્થિતિના સમીકરણમાંથી કરવામાં આવે છે. મર્યાદિત એક્સ્ટ્રાપોલેટેડ સ્થિતિઓ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, આપણે પછી આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ધાર ફ્લક્સ બનાવવા માટે આગળ વધીએ છીએ. ધાર પ્રવાહો જાણીતા હોવાથી, હવે આપણે અર્ધ-સ્વતંત્ર યોજના બનાવી શકીએ છીએ, એટલે કે, ઉકેલ હવે પ્રમાણભૂત આંકડાકીય તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને એકીકરણ દ્વારા આગળ વધી શકે છે. ઉપરોક્ત એમયુએસસીએલ યોજનાનો મૂળભૂત વિચાર સમજાવે છે. જો કે, યુલર સમીકરણોના વ્યવહારુ ઉકેલ માટે, કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે યોગ્ય યોજના (જેમ કે ઉપરોક્ત KT યોજના) પણ પસંદ કરવી પડશે. વિપરીત આકૃતિ જી એ સોડની શોક ટ્યુબ સમસ્યા (સોડ, 1978) નો લીનિયર એક્સ્ટ્રાપોલેશન અને ઓસ્પ્રે લિમિટર સાથે ઉપરોક્ત ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન કુર્ગાનોવ અને ટેડમોર સેન્ટ્રલ સ્કીમ (કેટી) નો ઉપયોગ કરીને બીજા ક્રમનો ઉકેલ દર્શાવે છે. આ યુલર સમીકરણોને ઉકેલવા માટે એમયુએસસીએલ અભિગમની અસરકારકતા સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે. આ સિમ્યુલેશન મેટલેબ કોડ (વેસલિંગ, 2001) નો ઉપયોગ કરીને 200 કોષોના જાળી પર હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, જે કે. ટી. અલ્ગોરિધમ અને ઓસ્પ્રે લિમિટરનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ હતું. સમય સંકલન ચોથા ક્રમના એસએચકે (આર. કે.-4ની સમકક્ષ કામગીરી) સંકલનકર્તા દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. નીચેની પ્રારંભિક શરતો (એસ. આઈ. એકમો) નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતોઃ દબાણ ડાબે = 100000 [પી. એ.]; દબાણ જમણે = 10000 [પી. એ.]; ઘનતા ડાબે = 1 [કે. જી./એમ. 3]; ઘનતા જમણે = <આઇ. ડી. 2> [કે. જી./એમ. 3]; લંબાઈ = 20 [એમ.]; વેગ ડાબે = 0 [એમ./એસ.]; વેગ જમણે = 0 [એમ./એસ.]; સમયગાળો = 0.01 [એસ.]; લેમ્બડા = <આઇ. ડી. 1> (α/αx). વિપરીત આકૃતિ ઉપરોક્ત ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન કુર્ગાનોવ અને ટેડમોર સેન્ટ્રલ સ્કીમ (કેટી) નો ઉપયોગ કરીને જી એ સોડની શોક ટ્યુબ સમસ્યા (સોડ, 1978) નો ત્રીજા ક્રમનો ઉકેલ દર્શાવે છે પરંતુ પેરાબોલિક પુનર્નિર્માણ અને વેન અલબાડા લિમિટર સાથે. આ ફરીથી યુલર સમીકરણોને ઉકેલવા માટે એમયુએસસીએલ અભિગમની અસરકારકતાને સમજાવે છે. મેટલેબ કોડ (વેસલિંગ, 2001) નો ઉપયોગ કરીને 200 કોષોના જાળી પર સિમ્યુલેશન હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, જે પેરાબોલિક એક્સ્ટ્રાપોલેશન અને વેન અલબાડા લિમિટર સાથે કેટી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ હતું. વેન અલબાડા લિમિટરના વૈકલ્પિક સ્વરૂપનો ઉપયોગ નકલી ઓસિલેશનને ટાળવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. સમય સંકલન ચોથા ક્રમના એસએચકે સંકલનકર્તા દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. એ જ પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. અન્ય વિવિધ ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશન યોજનાઓ વિકસાવવામાં આવી છે જે યુલર સમીકરણોને સારી ચોકસાઈ સાથે હલ કરે છે. આવી યોજનાઓના ઉદાહરણો છે, ઓશેર યોજના અને લિઉ-સ્ટેફન એયુએસએમ (એડવેક્શન અપસ્ટ્રીમ સ્પ્લિટિંગ મેથડ) યોજના. આ અને અન્ય પદ્ધતિઓ વિશે વધુ માહિતી નીચે આપેલા સંદર્ભોમાં મળી શકે છે. કુર્ગાનોવ અને ટાડમોર કેન્દ્રીય યોજનાનું ઓપન સોર્સ અમલીકરણ નીચેની બાહ્ય કડીઓમાં મળી શકે છે. ફાઇનાઇટ વોલ્યુમ મેથડ ફ્લક્સ લિમિટર ગોડુનોવની થીયરમ હાઈ રિઝોલ્યુશન સ્કીમ મેથડ ઓફ લાઇન્સ પણ જુઓ સર્ગેઇ કે. ગોડુનોવ ટોટલ વેરિએશન ડિમિનિશિંગ સોડ શોક ટ્યુબ રેફરન્સ કેરમાની, એમ. જે., ગેર્બર, એ. જી., અને સ્ટૉકી, જે. એમ. (2003), થર્મોડાયનેમિકલી બેઝ્ડ મોઇશ્ચર પ્રેડિક્શન યુઝિંગ રોઝ સ્કીમ, ધ ફોર્થ કોન્ફરન્સ ઓફ ઈરાની એરોસ્પેસ સોસાયટી, અમીર કબીર યુનિવર્સિટી ઓફ ટેકનોલોજી, તેહરાન, ઈરાન, જાન્યુઆરી 27-29. કુર્ગાનોવ, એલેક્ઝાન્ડર અને ઈટન ટાડમોર (2000), નોનલીનિયર કન્ઝર્વેશન લોઝ અને કન્વેક્શન-ડિફ્યુઝન સમીકરણો માટે નવી ઉચ્ચ-રીઝોલ્યુશન કેન્દ્રીય યોજનાઓ, જે. કોમ્પ્યુટ. ભૌતિક., 160,241-282. કુર્ગાનોવ, એલેક્ઝાન્ડર અને ડોરોન લેવી (2000), એ થર્ડ-ઓર્ડર સેમિડિસ્ક્રીટ સેન્ટ્રલ સ્કીમ ફોર કન્ઝર્વેશન લોઝ એન્ડ કન્વેક્શન-ડિફ્યુઝન ઇક્વેશન્સ, સિયામ જે. સાય. ગણતરી કરો., 22,1461-1488. લક્ષ્મી, પી. ડી. (1954). બિન-રેખીય હાયપરબોલિક સમીકરણો અને તેમની આંકડાકીય ગણતરીના નબળા ઉકેલો, કોમ. શુદ્ધ એપલ. ગણિત., VII, pp 159-193. લેવેક, આર. જે. (2002). હાયપરબોલિક સમસ્યાઓ માટે મર્યાદિત વોલ્યુમ પદ્ધતિઓ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. વેન લીયર, બી. (1979), ટુવર્ડ્સ ધ અલ્ટીમેટ કન્ઝર્વેટિવ ડિફરન્સ સ્કીમ, વી. એ સેકન્ડ ઓર્ડર સિક્વલ ટુ ગોડુનોવ મેથડ, જે. કોમ. ભૌતિક., 32,101-136. નેસ્યાહુ, એચ. અને ઇ. ટાડમોર (1990), હાયપરબોલિક સંરક્ષણ કાયદાઓ માટે નોન-ઓસિલેટરી સેન્ટ્રલ ડિફરન્સીંગ, જે. કોમ્પુટ. ભૌતિક., 87,408-463. . રુસાનોવ, વી. વી. (1961). અવરોધો સાથે બિન-સ્ટીડી શોક તરંગોના આંતરછેદનું ગણતરી, જે. કોમ્પુટ. ગણિત. ફિઝ. યુ. એસ. એસ. આર., 1, pp 267-279. સોડ, જી. એ. (1978), એ ન્યુમેરિકલ સ્ટડી ઓફ અ કન્વર્જિંગ સિલીંડ્રિકલ શોક. જે. ફ્લુઇડ મિકેનિક્સ, 83,785-794. ટોરો, ઇ. એફ. (1999), રીમાન સોલવર્સ એન્ડ ન્યુમેરિકલ મેથડ્સ ફોર ફ્લુઇડ ડાયનેમિક્સ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. વેસ્સેલિંગ, પીટર (2001), પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ કોમ્પ્યુટેશનલ ફ્લુઇડ ડાયનેમિક્સ, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. હિર્શ, સી. (1990), ન્યુમેરિકલ કમ્પ્યુટેશન ઓફ ઇન્ટરનલ એન્ડ એક્સટર્નલ ફ્લોઝ, વોલ્યુમ 2, વિલી. લેની, કલ્બર્ટ બી. (1998) કોમ્પ્યુટેશનલ ગેસ ડાયનેમિક્સ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. તનેહિલ, જ્હોન સી., વગેરે. (1997), કોમ્પ્યુટેશનલ ફ્લુઇડ મિકેનિક્સ અને હીટ ટ્રાન્સફર, 2 જી આવૃત્તિ, ટેલર અને ફ્રાન્સિસ. બાહ્ય કડીઓ GEES-કુર્ગાનોવ અને ટેડમોર કેન્દ્રીય યોજનાનો ઉપયોગ કરીને યુલર સમીકરણોને હલ કરતો ઓપન સોર્સ કોડ, જે ફોરટ્રાનમાં લખાયેલ છે (લેખકઃ આર્નો મેરહોફર) પ્રવાહી ગતિશીલતા સંખ્યાત્મક વિભેદક સમીકરણો કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રવાહી ગતિશીલતા