Kulkarni–Nomizu product
વિભેદક ભૂમિતિના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, કુલકર્ણી-નોમિઝુ ઉત્પાદન (રવિન્દ્ર શ્રીપદ કુલકર્ણી અને કાત્સુમી નોમિઝુના નામ પરથી) ને બે-ટેન્સર માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને પરિણામે તે-ટેન્સર આપે છે. વ્યાખ્યા જો h અને k સપ્રમાણ-ટેન્સર હોય, તો ગુણાકારને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં Xj સ્પર્શક વેક્ટર છે અને મેટ્રિક્સ નિર્ધારક છે. નોંધ લો કે, તે બીજી અભિવ્યક્તિથી સ્પષ્ટ છે. સ્પર્શક જગ્યાના આધારના સંદર્ભમાં, તે કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપ લે છે જ્યાં કુલ એન્ટિસિમેટ્રિશન પ્રતીક સૂચવે છે. કુલકર્ણી-નોમિઝુ ઉત્પાદન એ શ્રેણીબદ્ધ બીજગણિતમાં ઉત્પાદનનો એક વિશેષ કેસ છે જ્યાં, સરળ ઘટકો પર, (સપ્રમાણ ઉત્પાદન સૂચવે છે). ગુણધર્મો સપ્રમાણ ટેન્સરની જોડીનો કુલકર્ણી-નોમિઝુ ગુણાકાર રીમાન ટેન્સરની બીજગણિત સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. દાખલા તરીકે, અવકાશ સ્વરૂપો પર (એટલે કે. સ્થિર વિભાગીય વળાંકની જગ્યાઓ) અને દ્વિ-પરિમાણીય સરળ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ, રીમાન વળાંક ટેન્સર મેટ્રિકના કુલકર્ણી-નોમિઝુ ઉત્પાદનની દ્રષ્ટિએ એક સરળ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે; એટલે કે, જો આપણે-વળાંક ટેન્સર દ્વારા અને રીમાન વળાંક ટેન્સર દ્વારા સૂચવીએ, તો પછી સ્કેલર વળાંક ક્યાં છે અને રિક્કી ટેન્સર છે, જે ઘટકોમાં વાંચે છે. ઉપરથી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને કુલકર્ણી-નોમિઝુ ઉત્પાદનને વિસ્તૃત કરવાથી, વ્યક્તિ મેળવે છે આ તે જ અભિવ્યક્તિ છે જે રીમાન વક્રતા ટેન્સર પરના લેખમાં જણાવવામાં આવી છે. આ જ કારણસર, તેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે રિચી વળાંક (અથવા તેના બદલે, સ્કાઉટન ટેન્સર) અને વેઇલ ટેન્સર દરેક રીમાનિયન મેનીફોલ્ડની વળાંકમાં જે યોગદાન આપે છે તેને વ્યક્ત કરવા માટે થાય છે. આ કહેવાતા રિક્કી વિઘટન વિભેદક ભૂમિતિમાં ઉપયોગી છે. જ્યારે મેટ્રિક ટેન્સર g હોય, ત્યારે તેની સાથે g નું કુલકર્ણી-નોમિઝુ ગુણાકાર એ 2-સ્વરૂપોની જગ્યાની ઓળખ એન્ડોમોર્ફિઝમ છે, ω2 (M), એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ એન્ડ (ω2 (M)) ની ઓળખ (મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને) ટેન્સર પ્રોડક્ટ ω2 (M) ω2 (M) સાથે. રીમાનિયન મેનીફોલ્ડમાં સતત વિભાગીય વળાંક k હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો રીમાન ટેન્સરનું સ્વરૂપ હોય જ્યાં g એ મેટ્રિક ટેન્સર હોય. નોંધો સંદર્ભો. વિભેદક ભૂમિતિ ટેન્સર