Montel's theorem
જટિલ વિશ્લેષણમાં, ગણિતના એક ક્ષેત્રમાં, મોન્ટેલનો પ્રમેય હોલોમોર્ફિક કાર્યોના પરિવારો વિશેના બે પ્રમેયોમાંથી એકનો ઉલ્લેખ કરે છે. આનું નામ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી પોલ મોન્ટેલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, અને એવી પરિસ્થિતિઓ આપે છે કે જેમાં હોલોમોર્ફિક કાર્યોનો પરિવાર સામાન્ય હોય. આ પ્રમેયની પ્રથમ અને સરળ આવૃત્તિ જણાવે છે કે જટિલ સંખ્યાઓના ખુલ્લા સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત હોલોમોર્ફિક કાર્યોનું કુટુંબ સામાન્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સ્થાનિક રીતે સમાન રીતે બંધાયેલ હોય. આ પ્રમેય નીચે મુજબ ઔપચારિક રીતે મજબૂત પરિણામ ધરાવે છે. ધારો કે તે ખુલ્લા સમૂહ પર મેરોમોર્ફિક કાર્યોનો પરિવાર છે. જો એવું હોય કે જે સામાન્ય નથી, અને તેનો પડોશ હોય, તો તે જટિલ સમતલમાં ગાઢ હોય છે. બે મૂલ્યોને બાકાત રાખતાં કાર્યો મોન્ટેલના પ્રમેયની મજબૂત આવૃત્તિ (જેને ક્યારેક મૂળભૂત સામાન્યતા પરીક્ષણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) જણાવે છે કે હોલોમોર્ફિક કાર્યોનો પરિવાર, જે તમામ સમાન બે મૂલ્યોને બાકાત રાખે છે તે સામાન્ય છે. જરૂરિયાત ઉપરોક્ત પ્રમેયોમાં શરતો પૂરતી છે, પરંતુ સામાન્યતા માટે જરૂરી નથી. ખરેખર, કુટુંબ સામાન્ય છે, પરંતુ કોઈ જટિલ મૂલ્યને અવગણતું નથી. મોન્ટેલના પ્રમેયની પ્રથમ આવૃત્તિ માર્ટીના પ્રમેયનું સીધું પરિણામ છે (જે જણાવે છે કે જો ગોળાકાર વ્યુત્પન્ન સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ હોય તો જ કુટુંબ સામાન્ય હોય છે) અને કોચીના અભિન્ન સૂત્ર. થોમસ જોનેસ સ્ટિલ્ટજેસ અને વિલિયમ ફોગ ઓસ્ગુડ પછી આ પ્રમેયને સ્ટિલ્ટજેસ-ઓસ્ગુડ પ્રમેય પણ કહેવામાં આવે છે. ઉપર જણાવેલી ઉપસંહાર નીચે મુજબ છે. ધારો કે તમામ કાર્યો બિંદુના સમાન પડોશને બાકાત રાખે છે. નકશા સાથે પોસ્ટ કમ્પોઝ કરીને આપણે એક સમાન રીતે બંધાયેલ કુટુંબ મેળવીએ છીએ, જે પ્રમેયના પ્રથમ સંસ્કરણ દ્વારા સામાન્ય છે. મોન્ટેલના પ્રમેયના બીજા સંસ્કરણને પ્રથમમાંથી એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને અનુમાન કરી શકાય છે કે એકમ ડિસ્કથી બે વાર પંચર કરેલ સમતલ સુધી હોલોમોર્ફિક સાર્વત્રિક આવરણ અસ્તિત્વમાં છે. (આવા આવરણ લંબગોળ મોડ્યુલર કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે). મોન્ટેલના પ્રમેયની આ આવૃત્તિ પણ પિકાર્ડના પ્રમેયમાંથી, ઝાલ્ક્મેનના લેમ્માનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. સંપૂર્ણ કાર્યો માટેના સિદ્ધાંતો સાથે સંબંધ બ્લોચના સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાતો સંશોધનાત્મક સિદ્ધાંત (ઝાલ્ક્મેનના લેમ્મા દ્વારા ચોક્કસ કરવામાં આવ્યો છે) જણાવે છે કે જે ગુણધર્મો સૂચવે છે કે સમગ્ર કાર્ય સ્થિર છે તે એવા ગુણધર્મોને અનુરૂપ છે જે ખાતરી કરે છે કે હોલોમોર્ફિક કાર્યોનું કુટુંબ સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર જણાવેલી મોન્ટેલના પ્રમેયની પ્રથમ આવૃત્તિ લિઉવિલેના પ્રમેયની એનાલોગ છે, જ્યારે બીજી આવૃત્તિ પિકાર્ડના પ્રમેયને અનુરૂપ છે. મોન્ટેલ સ્પેસ ફંડામેન્ટલ નોર્માલિટી ટેસ્ટ રીમાન મેપિંગ થીયરમ નોટ્સ રેફરન્સ કોમ્પેક્ટનેસ થીયરમ્સ થીયરમ્સ ઇન કોમ્પ્લેક્સ એનાલિસિસ પણ જુઓ.