Dyson series
સ્કેટરિંગ થિયરીમાં, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રનો એક ભાગ, ફ્રીમેન ડાયસન દ્વારા ઘડવામાં આવેલી ડાયસન શ્રેણી, ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ચિત્રમાં સમય ઉત્ક્રાંતિ સંચાલકનું અવ્યવસ્થિત વિસ્તરણ છે. દરેક પદને ફેનમેન આકૃતિઓના સરવાળા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ શ્રેણી એસિમ્પ્ટોટિક રીતે અલગ પડે છે, પરંતુ બીજા ક્રમમાં ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ (ક્યુ. ઇ. ડી.) માં પ્રાયોગિક ડેટાથી તફાવત 10−10 ના ક્રમમાં છે. આ નિકટનો કરાર માન્ય છે કારણ કે ક્યુ. ઇ. ડી. નો જોડાણ અચળાંક (ફાઇન-સ્ટ્રક્ચર અચળાંક તરીકે પણ ઓળખાય છે) 1 કરતા ઘણો ઓછો છે. નોંધ લો કે આ લેખમાં પ્લાન્ક એકમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે, જેથી ′ = 1 (જ્યાં ′ એ ઘટાડેલ પ્લાન્ક અચળાંક છે). ડાયસન ઓપરેટર ધારો કે આપણી પાસે હેમિલ્ટોનિયન છે, જેને આપણે મુક્ત ભાગ અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ, એટલે કે. . આપણે અહીં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ચિત્રમાં કામ કરીશું, એટલે કે, જ્યાં સમય-સ્વતંત્ર છે અને તે શ્રોડિંગર ચિત્રનો સંભવતઃ સમય-આધારિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ભાગ છે. સબ્સ્ક્રિપ્ટ્સ ટાળવા માટે, નીચે આપેલા માટે વપરાય છે. આપણે એવા એકમો પસંદ કરીએ છીએ કે જેમાં ઘટાડેલો પ્લાન્ક અચળાંક 1 હોય. ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ચિત્રમાં, સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉત્ક્રાંતિ સંચાલકને ડાયસન સંચાલક કહેવામાં આવે છે. આપણી પાસે કેટલાક ગુણધર્મો છેઃ ઓળખ અને સામાન્યીકરણઃ રચનાઃ સમય ઉલટાવવુંઃ એકતાઃ અને આમાંથી પ્રસારકનું સમય ઉત્ક્રાંતિ સમીકરણ મેળવવું શક્ય છેઃ આપણે ફરીથી નોંધ્યું છે કે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ચિત્રમાં હેમિલ્ટોનિયન ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિત સમાન છે. આ સમીકરણને ટોમોનાગા-શ્વિંગર સમીકરણ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ પરિણામેઃ જે આખરે વોલ્ટેરા સમીકરણનો એક પ્રકાર છે. ઉપરના વોલ્ટેરા સમીકરણનો પુનરાવર્તિત ઉકેલ નીચેની ન્યુમેન શ્રેણી તરફ દોરી જાય છેઃ અહીં આપણી પાસે છે, તેથી આપણે કહી શકીએ કે ક્ષેત્રો સમય-આદેશિત છે, અને સમય-આદેશ ઓપરેટર તરીકે ઓળખાતા ઓપરેટરને રજૂ કરવું ઉપયોગી છે, વ્યાખ્યાયિત કરવું. હકીકતમાં, નીચેના ઉદાહરણ દ્વારાઃ ધારો કે K તેની દલીલોમાં સપ્રમાણ છે અને વ્યાખ્યાયિત કરો (એકીકરણ મર્યાદા જુઓ): એકીકરણના ક્ષેત્રને, વગેરે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પેટા-પ્રદેશોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. K ની સમપ્રમાણતાને કારણે, આ દરેક પેટા-પ્રદેશોમાં અભિન્ન સમાન છે અને વ્યાખ્યા દ્વારા સમાન છે. તેથી તે સાચું છે કે આપણા અગાઉના ઇન્ટિગ્રલ પર પાછા ફરવું, નીચેની ઓળખ ધરાવે છે તમામ શરતોનો સારાંશ આપતા, આપણે ડાયસન શ્રેણી મેળવીએ છીએ જે ઉપરની ન્યુમેન શ્રેણીનું સરળીકૃત સંસ્કરણ છે અને જેમાં સમય આદેશિત ઉત્પાદનોનો સમાવેશ થાય છેઃ આ પરિણામને ડાયસનનું સૂત્ર પણ કહેવામાં આવે છે, જો કે તેણે સ્પષ્ટ રીતે સમય આદેશિત ઉત્પાદન અને કાર્યકારણ સાથે તેના સંબંધનું વર્ણન કર્યું છે. પછી, t> t0 માટે, સમય t પર સ્થિતિ વેક્ટરની દ્રષ્ટિએ સ્થિતિ વેક્ટરને વ્યક્ત કરી શકાય છે, પછી, tf> ti માટે, શ્રોડિંગર ચિત્રમાં અંતિમ સ્થિતિ (tf = t) સાથે પ્રારંભિક સ્થિતિ (ti = t0) નું આંતરિક ઉત્પાદન, નીચે મુજબ છેઃ શ્વિંગર-ડાયસન સમીકરણ મેગ્નસ શ્રેણી પીનો-બેકર શ્રેણી પિકાર્ડ પુનરાવર્તન સંદર્ભો પણ જુઓ ચાર્લ્સ જે. જોઆચેન, ક્વોન્ટમ અથડામણ સિદ્ધાંત, નોર્થ-હોલેન્ડ પબ્લિશિંગ, 1975, (એલ્સેવિયર) સ્કેટરિંગ સિદ્ધાંત ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ફ્રીમેન ડાયસન