Vibrations of a circular membrane
તણાવ હેઠળ દ્વિ-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક પટલ ત્રાંસા સ્પંદનોને ટેકો આપી શકે છે. આદર્શ ડ્રમહેડના ગુણધર્મોને એકસમાન જાડાઈના ગોળાકાર પટલના સ્પંદનો દ્વારા તૈયાર કરી શકાય છે, જે કઠોર ફ્રેમ સાથે જોડાયેલા હોય છે. પ્રતિધ્વનિની ઘટનાને કારણે, ચોક્કસ કંપન આવૃત્તિઓ પર, તેની પ્રતિધ્વનિત આવૃત્તિઓ, પટલ કંપન ઊર્જાનો સંગ્રહ કરી શકે છે, જે સપાટી સ્થાયી તરંગોની લાક્ષણિક પેટર્નમાં આગળ વધી રહી છે. આને સામાન્ય સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. પટલમાં આ સામાન્ય સ્થિતિઓની અનંત સંખ્યા હોય છે, જે મૂળભૂત સ્થિતિ તરીકે ઓળખાતી સૌથી ઓછી આવૃત્તિથી શરૂ થાય છે. ત્યાં અનંત ઘણી રીતો છે જેમાં પટલ કંપન કરી શકે છે, દરેક અમુક પ્રારંભિક સમયે પટલના આકાર અને તે સમયે પટલ પરના દરેક બિંદુના ત્રાંસી વેગ પર આધારિત છે. પટલના સ્પંદનો ડિરીક્લેટ સીમા શરતો સાથે દ્વિ-પરિમાણીય તરંગ સમીકરણના ઉકેલો દ્વારા આપવામાં આવે છે જે ફ્રેમની મર્યાદાને રજૂ કરે છે. એવું દર્શાવી શકાય છે કે પટલના કોઈપણ આપખુદ જટિલ કંપનને પટલની સામાન્ય સ્થિતિઓની સંભવતઃ અનંત શ્રેણીમાં વિઘટિત કરી શકાય છે. આ ફોરિયર શ્રેણીમાં સમય સંકેતના વિઘટન જેવું જ છે. ડ્રમ પરના કંપનોનો અભ્યાસ ગણિતશાસ્ત્રીઓને ડ્રમના આકારને સાંભળી શકાય છે કે કેમ તે અંગે એક પ્રસિદ્ધ ગાણિતિક સમસ્યા ઊભી કરવા તરફ દોરી ગયો, જેનો જવાબ (તે ન કરી શકે) 1992 માં દ્વિ-પરિમાણીય સેટિંગમાં આપવામાં આવ્યો હતો. પ્રેરણા કંપનશીલ ડ્રમ હેડ સમસ્યાનું વિશ્લેષણ ડ્રમ અને તિમ્પાની જેવા પર્ક્યુસન વાદ્યોને સમજાવે છે. જો કે, કાનના પડદાની કામગીરીમાં જૈવિક ઉપયોગ પણ છે. શૈક્ષણિક દ્રષ્ટિકોણથી દ્વિ-પરિમાણીય પદાર્થની રીતો એ રીતો, ગાંઠો, એન્ટીનોડ્સ અને ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓના અર્થને દૃષ્ટિની રીતે દર્શાવવાની અનુકૂળ રીત છે. આ વિભાવનાઓ અણુની રચનાની સમજણ માટે મહત્વપૂર્ણ છે. સમસ્યા મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યાની ખુલ્લી ડિસ્કને ધ્યાનમાં લો, જે "સ્થિર" ડ્રમ હેડ આકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. કોઈપણ સમયે "સ્થિર" ડ્રમ હેડ આકારથી માપવામાં આવેલા બિંદુ પર ડ્રમ હેડ આકારની ઊંચાઈ સૂચવવામાં આવશે જેના દ્વારા હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકાય છે. ચાલો તેની સીમા સૂચવીએ, મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યાનું વર્તુળ, જે ડ્રમ હેડ જોડાયેલ છે તે કઠોર ફ્રેમને રજૂ કરે છે. ડ્રમ હેડના કંપનને નિયંત્રિત કરતું ગાણિતિક સમીકરણ એ શૂન્ય સીમા શરતો સાથેનું તરંગ સમીકરણ છે, ની ગોળાકાર ભૂમિતિને કારણે, નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ રહેશે, પછી, ઉપરોક્ત સમીકરણો આ રીતે લખવામાં આવે છે. ભૌતિક પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ, તરંગની ઝડપ, c, જ્યાં દ્વારા આપવામાં આવે છે, તે પટલની સીમા () પર પરિણામી રેડિયલ પટલ છે, તે પટલની જાડાઈ છે, અને પટલની ઘનતા છે. જો પટલમાં એકસમાન તાણ હોય, તો આપેલ ત્રિજ્યા પર એકસમાન તણાવ બળ, એઝિમુથલ દિશામાં પરિણામી પટલ ક્યાં છે તે લખી શકાય છે. અક્ષસમિતીય કેસ આપણે પહેલા ગોળાકાર ડ્રમ હેડના કંપનની સંભવિત રીતોનો અભ્યાસ કરીશું જે અક્ષસમિતીય હોય છે. આપણે અલગ વેરિયેબલ્સમાં ઉકેલો શોધીશું, તેને ઉપરના સમીકરણમાં બદલીશું અને બંને બાજુઓને ઉપજ દ્વારા વિભાજીત કરીશું આ સમાનતાની ડાબી બાજુ તેના પર નિર્ભર નથી અને જમણી બાજુ તેના પર નિર્ભર નથી કે બંને બાજુઓ અમુક અચળાંકની બરાબર હોવી જોઈએ. ભૌતિક રીતે એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે કે કંપનશીલ ડ્રમ હેડની સમસ્યાનું સમાધાન સમયસર ઓસિલેટરી હશે, અને આ માત્ર ત્રીજો કેસ છોડી દે છે, તેથી આપણે સગવડ માટે પસંદ કરીએ છીએ. પછી, સાઇન અને કોસાઇન કાર્યોનું રેખીય સંયોજન છે, આ અવલોકન સાથે સમીકરણ તરફ વળવું કે આ બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણના તમામ ઉકેલો ક્રમ 0 ના બેસલ કાર્યોનું રેખીય સંયોજન છે, કારણ કે આ બેસલના વિભેદક સમીકરણનો એક વિશેષ કેસ છેઃ બેસલ કાર્ય અમર્યાદિત છે, જેના પરિણામે કંપનશીલ ડ્રમ હેડ સમસ્યાનો બિન-ભૌતિક ઉકેલ આવે છે, તેથી અચળ હોવો જોઈએ. આપણે એવું પણ ધારીશું કે અન્યથા આ અચળાંક પછીથી અચળાંકોમાં શોષાઈ શકે છે અને તેમાંથી આવી શકે છે તે નીચે મુજબ છે ડ્રમ હેડની સીમા પર ઊંચાઈ શૂન્ય હોવાની જરૂરિયાત આ સ્થિતિમાં પરિણમે છે બેસલ કાર્યમાં અનંત સંખ્યામાં હકારાત્મક મૂળ હોય છે, તેથી આપણે તે મેળવીએ છીએ. આપણે અલગ વેરિયેબલ્સમાં ઉકેલ ધારીએ છીએ, આને વેવ સમીકરણમાં બદલીને અને વેરિયેબલ્સને અલગ કરીને, જ્યાં અચળાંક છે તે આપે છે. પહેલાની જેમ, તેના માટેના સમીકરણમાંથી આપણે જે સમીકરણ મેળવીએ છીએ તેનાથી, બંને બાજુઓને ચલ દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને તેને અલગ કરીને, તે અને કેટલાક અચળાંક માટે. આનો અર્થ એ પણ થાય છે કે તેના ઉકેલ માટે સમીકરણ પર પાછા જવું એ બેસલ કાર્યોનું રેખીય સંયોજન છે અને અગાઉના વિભાગમાં સમાન દલીલ સાથે, આપણે તેના-th હકારાત્મક મૂળ સાથે ક્યાં પહોંચીએ છીએ. હાઇડ્રોજન પરમાણુના સમાન તરંગ કાર્યો પણ સૂચવવામાં આવે છે તેમજ તેની સાથે સંકળાયેલી કોણીય આવૃત્તિઓ પણ સૂચવવામાં આવે છે. ના મૂલ્યો બેસલ કાર્યના મૂળ છે. આ સીમા શરત પરથી કાઢવામાં આવે છે જે ઉપજ આપે છે. સ્કાયપી લાયબ્રેરી સાથે નીચેના પાયથોન કોડનો ઉપયોગ કરીને વધુ મૂલ્યોની ગણતરી સરળતાથી કરી શકાય છેઃ સ્કાયપી ઇમ્પોર્ટ સ્પેશ્યલમાંથી બેસલ ફંક્શનના ક્રમમાં એસસી એમ = 0 #તરીકે (એટલે કે. ગોળાકાર પટલ માટે કોણીય સ્થિતિ) nz = 3 #મૂળની ઇચ્છિત સંખ્યા આલ્ફા _ mn = sc.jn_zeros (m, nz) #આઉટપુટ Jm ના nz શૂન્ય પણ જુઓ કંપનશીલ શબ્દમાળા, એક-પરિમાણીય કેસ ક્લાદની પેટર્ન, સંબંધિત ઘટનાનું પ્રારંભિક વર્ણન, ખાસ કરીને સંગીતનાં સાધનો સાથે; પણ જુઓ સાયમેટિક્સ ડ્રમના આકારને સાંભળવું, પટલ પરમાણુ ભ્રમણકક્ષાના આકારના સંદર્ભમાં સ્થિતિઓને લાક્ષણિકતા આપવી, સંબંધિત ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક અને ત્રિ-પરિમાણીય સમસ્યા સંદર્ભો આંશિક વિભેદક યાંત્રિક સમીકરણો ડ્રમિંગ યાંત્રિક સ્પંદનો