Arc (projective geometry)
મર્યાદિત પ્રક્ષેપાત્મક ભૂમિતિમાં (સરળ) ચાપ એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સહજ રીતે, સતત ભૂમિતિમાં વક્ર આકૃતિઓના લક્ષણને સંતોષે છે. ઢીલી રીતે કહીએ તો, તે બિંદુઓના સમૂહ છે જે સમતલમાં "રેખા જેવા" થી દૂર હોય છે અથવા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં "સમતલ જેવા" થી દૂર હોય છે. આ મર્યાદિત સેટિંગમાં નામમાં સેટમાં બિંદુઓની સંખ્યાનો સમાવેશ કરવો લાક્ષણિક છે, તેથી આ સરળ ચાપને-આર્ક્સ કહેવામાં આવે છે. - આર્ક્સ ખ્યાલનું એક મહત્વપૂર્ણ સામાન્યીકરણ, જેને સાહિત્યમાં આર્ક્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે છે ()-આર્ક્સ. એક મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં (જરૂરી નથી કે ડેસારગ્યુસીયન) બિંદુઓનો સમૂહ જેમ કે કોઈ ત્રણ બિંદુઓ કોલિનિયર (રેખા પર) ન હોય તેને {{math|k-arc}} કહેવામાં આવે છે. જો પ્લેન પાસે ઓર્ડર હોય તો, જો કે મહત્તમ મૂલ્ય માત્ર ત્યારે જ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જો તે સરખું હોય. ક્રમના સમતલમાં, a-કમાનને અંડાકાર કહેવામાં આવે છે અને, જો સમ હોય તો, a-કમાનને હાયપરોવલ કહેવામાં આવે છે. ડેસારગ્યુસીયન પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન પીજી (2,) માં દરેક શંકુ, એટલે કે, ઈરીડ્યુસિબલ હોમોજીનીયસ ક્વાડ્રેટિક સમીકરણના શૂન્યનો સમૂહ, અંડાકાર છે. બેનીયામિનો સેગ્રેનું એક પ્રખ્યાત પરિણામ જણાવે છે કે જ્યારે તે વિચિત્ર હોય, ત્યારે પીજી (2,) માં દરેક-કમાન એક શંકુ (સેગ્રેનો પ્રમેય) હોય છે. મર્યાદિત ભૂમિતિમાં આ એક અગ્રણી પરિણામ છે. જો સમ હોય અને એક-કમાન હોય, તો તે સંયુક્ત દલીલો દ્વારા દર્શાવી શકાય છે કે એક વિશિષ્ટ બિંદુ અસ્તિત્વમાં હોવો જોઈએ (જેને કેન્દ્રક કહેવાય છે) જેમ કે અને આ બિંદુ એક (+ 2)-કમાન છે. આમ, દરેક અંડાકારને અનન્ય રીતે સમ ક્રમના મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં હાયપરવલ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. જે કમાનને મોટી કમાન સુધી લંબાવી શકાતી નથી તેને સંપૂર્ણ કમાન કહેવામાં આવે છે. ડેસારગેશિયન પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન, પીજી (2,) માં, નો-આર્ક પૂર્ણ થાય છે, તેથી તે બધાને અંડાકાર સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. - આર્ક્સ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ પીજી () સાથે, બિંદુઓનો સમૂહ કે જે સામાન્ય હાયપરપ્લેનમાં કોઈ બિંદુઓ નથી તેને a (અવકાશી)-આર્ક્સ કહેવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા સમતલ (જ્યાં) માં-કમાનની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવે છે. ()-કમાનો એક પ્રક્ષેપક સમતલમાં A ()-કમાનો () એક મર્યાદિત પ્રક્ષેપક સમતલમાં (જરૂરી નથી કે ડેસારગ્યુસીયન) એ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમ કે દરેક રેખા મોટાભાગના બિંદુઓમાં છેદે છે, અને ત્યાં ઓછામાં ઓછી એક રેખા હોય છે જે બિંદુઓમાં છેદે છે. A ()-arc એ a-arc છે અને જો કદ ચિંતાનો વિષય ન હોય તો તેને ફક્ત ચાપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ક્રમમાં પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં a ()-કમાનના બિંદુઓની સંખ્યા સૌથી વધુ હોય છે. જ્યારે સમાનતા થાય છે, ત્યારે તેને મહત્તમ ચાપ કહેવાય છે. હાયપરવોલ્સ મહત્તમ કમાનો છે. સંપૂર્ણ કમાનો મહત્તમ કમાનો હોવાની જરૂર નથી. સામાન્ય તર્કસંગત વળાંક નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ ઘટના ભૂમિતિ