Ultraparallel theorem
હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં, જો બે રેખાઓ એકબીજાને છેદતી ન હોય અને સમાંતર મર્યાદિત ન હોય તો તેને અતિ સમાંતર કહેવામાં આવે છે. અતિ-સમાંતર પ્રમેય જણાવે છે કે (અલગ) અતિ-સમાંતર રેખાઓની દરેક જોડી એક અનન્ય સામાન્ય લંબરૂપ (એક હાયપરબોલિક રેખા જે બંને રેખાઓને લંબરૂપ હોય છે) ધરાવે છે. હિલ્બર્ટની રચના ચાલો r અને s બે અતિ સમાંતર રેખાઓ છે. કોઈપણ બે અલગ બિંદુઓ A અને C પરથી s પર AB અને CB 'r ને લંબરૂપ અને b અને b' r પર ખેંચો. જો એવું બને કે AB = CB ', તો ઇચ્છિત સામાન્ય લંબરૂપ AC અને BB' ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે (સાચેરી ચતુર્ભુજ ACB 'B ની સમપ્રમાણતા દ્વારા). જો નહીં, તો આપણે સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના એબી <સીબી 'માની શકીએ છીએ. ધારો કે E એ A થી C ની વિરુદ્ધ બાજુએ રેખા s પર એક બિંદુ છે. CB પર A 'લો જેથી A' B '= AB. 'A' દ્વારા E ની નજીકની બાજુએ એક રેખા s '(A' E ') દોરો, જેથી કોણ B' A 'E' એ કોણ BAE સમાન હોય. પછી s 'સામાન્ય બિંદુ D' માં s ને મળે છે. કિરણ AE પર એક બિંદુ D બનાવો જેથી AD = A 'D' બને. પછી D 'ષ્ણાંક D. તેઓ r થી સમાન અંતર ધરાવે છે અને બંને s પર આવેલા છે. તેથી D' D (s નો એક ભાગ) નું લંબરૂપ દ્વિભાજક પણ r ને લંબરૂપ છે. (જો r અને s અતિ સમાંતરને બદલે એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સમાંતર હોય, તો આ રચના નિષ્ફળ જશે કારણ કે s 's ને નહીં મળે. તેના બદલે s' s અને r બંનેને એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સમાંતર હશે.) પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલમાં પુરાવો ચાલો કાર્ટેશિયન સમતલના એબ્સિસા પર ચાર અલગ બિંદુઓ હોઈએ. ચાલો અને અનુક્રમે વ્યાસ સાથે એબ્સિસાની ઉપર અર્ધવર્તુળાકાર હોઈએ. પછી પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલ એચ. પી. માં, અને અતિ સમાંતર રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. નીચેની બે હાયપરબોલિક ગતિઓ લખોઃ પછી હવે આ બે હાયપરબોલિક ગતિઓ સાથે ચાલુ રાખોઃ પછી,, (કહો) પર રહે છે. મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે અનન્ય અર્ધવર્તુળ, એક પર લંબરૂપ બીજાની ત્રિજ્યામાં ત્રિજ્યા સ્પર્શક હોવું આવશ્યક છે. એબ્સિસા અને લંબ ત્રિજ્યા દ્વારા રચાયેલ જમણા ત્રિકોણની લંબાઈ હાયપોટેન્યુઝ હોય છે. ઉપર ઉત્પન્ન થયેલ ચાર હાયપરબોલિક ગતિઓ દરેકને ઊંધી કરી શકાય છે અને મૂળ અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્રિત અર્ધવર્તુળ પર વિપરીત ક્રમમાં લાગુ કરી શકાય છે જેથી બંને અતિ સમાંતર અને લંબ બંને માટે અનન્ય હાયપરબોલિક રેખા મળે. બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલમાં પુરાવો હાયપરબોલિક ભૂમિતિના બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલમાંઃ બે અતિ-સમાંતર રેખાઓ બે બિન-છેદતા તારોને અનુરૂપ છે. આ બે રેખાઓના ધ્રુવો તારોના અંતિમ બિંદુઓ પર સીમા વર્તુળમાં સ્પર્શક રેખાઓના સંબંધિત આંતરછેદો છે. રેખા l ને લંબરૂપ રેખાઓ તારો દ્વારા રચવામાં આવે છે જેનું વિસ્તરણ l ના ધ્રુવમાંથી પસાર થાય છે. તેથી આપણે આપેલ બે રેખાઓના ધ્રુવો વચ્ચેની અનન્ય રેખા દોરીએ છીએ, અને તેને સીમા વર્તુળ સાથે છેદે છે; આંતરછેદનું તાર અતિ સમાંતર રેખાઓનું ઇચ્છિત સામાન્ય લંબરૂપ હશે. જો કોર્ડમાંથી એક વ્યાસની હોય, તો આપણી પાસે ધ્રુવ નથી, પરંતુ આ કિસ્સામાં વ્યાસને લંબરૂપ કોઈપણ તાર તે બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલમાં પણ લંબરૂપ છે, અને તેથી આપણે સામાન્ય લંબરૂપ મેળવવા માટે વ્યાસને સમકોણ પર છેદતી બીજી રેખાના ધ્રુવમાંથી એક રેખા દોરીએ છીએ. આ રચના હંમેશા શક્ય છે તે દર્શાવીને પુરાવો પૂર્ણ થાય છેઃ જો બંને તારો વ્યાસના હોય, તો તેઓ એકબીજાને છેદે છે. (સીમા વર્તુળના કેન્દ્રમાં) જો માત્ર એક જ તારનો વ્યાસ હોય, તો અન્ય તાર તેના આંતરિક ભાગમાં સમાવિષ્ટ પ્રથમ તારના વિભાગમાં ઓર્થોગોનલી રીતે નીચે આવે છે, અને ધ્રુવ ઓર્થોગોનલથી વ્યાસ સુધીની રેખા વ્યાસ અને તાર બંનેને છેદે છે. જો બંને રેખાઓ વ્યાસ ધરાવતી ન હોય, તો આપણે દરેક ધ્રુવમાંથી દોરેલી સ્પર્શકને લંબાવીને તેની અંદર અંકિત એકમ વર્તુળ સાથે ચતુર્ભુજ બનાવી શકીએ છીએ. ધ્રુવો આ ચતુર્ભુજની વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ છે, અને તારો એ શિરોબિંદુની અડીને આવેલી બાજુઓ વચ્ચે, વિરુદ્ધ ખૂણાઓ પર દોરવામાં આવેલી રેખાઓ છે. ચતુર્ભુજ બહિર્મુખ હોવાથી, ધ્રુવો વચ્ચેની રેખા ખૂણાઓ પર દોરેલા બંને તારોને છેદે છે, અને તારો વચ્ચેની રેખાનો ભાગ અન્ય બે તારોને લંબરૂપ જરૂરી તારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વૈકલ્પિક રીતે, આપણે નીચે પ્રમાણે અતિ-સમાંતર રેખાઓના સામાન્ય લંબરૂપનું નિર્માણ કરી શકીએ છીએઃ બેલ્ટ્રામી-ક્લેન મોડેલમાં અતિ-સમાંતર રેખાઓ બે બિન-છેદતા તારો છે. પરંતુ તેઓ વાસ્તવમાં વર્તુળની બહાર છેદે છે. આંતરછેદના બિંદુનો ધ્રુવીય ઇચ્છિત સામાન્ય લંબરૂપ છે. સંદર્ભો કરોલ બોર્સુક અને વાન્ડા સ્ઝમીલેવ (1960) ભૂમિતિના પાયા, પાનું 291. સાબિતીઓ ધરાવતા લેખો હાયપરબોલિક ભૂમિતિ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો