Leibniz integral rule
કલનશાસ્ત્રમાં, ઇન્ટિગ્રલ સાઇન હેઠળ તફાવત માટે લીબનીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમ જણાવે છે કે ફોર્મના ઇન્ટિગ્રલ માટે જ્યાં અને ઇન્ટિગ્રેલ્સ આ ઇન્ટિગ્રલના વ્યુત્પન્ન પર આધારિત વિધેયો છે તે વ્યક્ત કરી શકાય છે કારણ કે જ્યાં આંશિક વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે કે ઇન્ટિગ્રલની અંદર, માત્ર સાથેની વિવિધતા જ વ્યુત્પન્ન લેવા માટે ગણવામાં આવે છે. તેનું નામ ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ખાસ કિસ્સામાં જ્યાં વિધેયો અને અચળાંકો હોય અને મૂલ્યો કે જે આના પર નિર્ભર ન હોય તે સરળ બને છેઃ જો અચળાં હોય અને, જે બીજી સામાન્ય પરિસ્થિતિ છે (ઉદાહરણ તરીકે, કોચીના પુનરાવર્તિત એકીકરણ સૂત્રના પુરાવા તરીકે), તો લીબનીઝ અભિન્ન નિયમ બને છેઃ આ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ, અમુક શરતો હેઠળ, અભિન્ન અને આંશિક વિભેદક ઓપરેટરોને અદલાબદલી કરવા માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય છે, અને ખાસ કરીને અભિન્ન પરિવર્તનના તફાવતમાં ઉપયોગી છે. આનું ઉદાહરણ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મોમેન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શન છે, જે લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મની વિવિધતા છે, જેને રેન્ડમ વેરિયેબલની ક્ષણો પેદા કરવા માટે અલગ કરી શકાય છે. લીબનીઝનો અભિન્ન નિયમ લાગુ પડે છે કે કેમ તે અનિવાર્યપણે મર્યાદાના વિનિમય વિશેનો પ્રશ્ન છે. સામાન્ય સ્વરૂપઃ અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવત જમણી બાજુને લેગ્રાન્જના સંકેતનો ઉપયોગ કરીને પણ લખી શકાય છેઃ પ્રમેયની મજબૂત આવૃત્તિઓ માટે માત્ર જરૂરી છે કે આંશિક વ્યુત્પન્ન લગભગ દરેક જગ્યાએ અસ્તિત્વમાં હોય, અને તે સતત ન હોય. આ સૂત્ર લીબનીઝ અભિન્ન નિયમનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે અને તેને કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. જો ઉપલી અને નીચી બંને મર્યાદાઓને અચળાંક તરીકે લેવામાં આવે, તો સૂત્ર ઓપરેટર સમીકરણનું આકાર લે છેઃ જ્યાં નિશ્ચિત અંતરાલના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન છે અને તે અભિન્ન ઓપરેટર છે. એટલે કે, તે બીજા વ્યુત્પન્નની સમપ્રમાણતા સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ તેમાં સંકલન તેમજ વ્યુત્પન્નનો સમાવેશ થાય છે. આ કેસને લીબનીઝ અભિન્ન નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. મર્યાદાના વિનિમય પર નીચેના ત્રણ મૂળભૂત પ્રમેયો અનિવાર્યપણે સમકક્ષ છેઃ વ્યુત્પન્ન અને અભિન્નનું આદાનપ્રદાન (અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવત; એટલે કે, લીબનીઝ અભિન્ન નિયમ); આંશિક વ્યુત્પન્નના ક્રમમાં ફેરફાર; એકીકરણના ક્રમમાં ફેરફાર (અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ એકીકરણ; એટલે કે, ફુબિનીનો પ્રમેય). ત્રિ-પરિમાણીય, સમય-આધારિત કેસ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ફરતી દ્વિ-પરિમાણીય સપાટી માટે લીબનીઝ અભિન્ન નિયમ છે જ્યાંઃ તે સમયે અવકાશી સ્થિતિ પર વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, બંધ વળાંકથી ઘેરાયેલ સપાટી છે, તે સપાટીનું વેક્ટર તત્વ છે, તે વળાંકનું વેક્ટર તત્વ છે, તે પ્રદેશની હિલચાલનો વેગ છે, વેક્ટર વિચલન છે, વેક્ટર ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે, ડબલ ઇંટીગ્રલ્સ સપાટી પરના સપાટીના અભિન્ન છે, અને રેખા અભિન્ન બાઉન્ડિંગ વળાંક પર છે. ઉચ્ચ પરિમાણો લીબનીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમ બહુ-પરિમાણીય ઇન્ટિગ્રલ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. બે અને ત્રણ પરિમાણોમાં, આ નિયમ પ્રવાહી ગતિશીલતાના ક્ષેત્રમાંથી રેનોલ્ડ્સ પરિવહન પ્રમેય તરીકે વધુ સારી રીતે ઓળખાય છેઃ જ્યાં એક સ્કેલર કાર્ય છે, અને અનુક્રમે R3 અને તેની સીમાના સમય-બદલાતા જોડાયેલા પ્રદેશને સૂચવે છે, તે સીમાનો યુલરિયન વેગ છે (જુઓ લગ્રેન્જિયન અને યુલરિયન કોઓર્ડિનેટ્સ) અને તે સપાટી તત્વનો એકમ સામાન્ય ઘટક છે. લીબનીઝ અભિન્ન નિયમના સામાન્ય નિવેદનમાં વિભેદક ભૂમિતિ, ખાસ કરીને વિભેદક સ્વરૂપો, બાહ્ય વ્યુત્પન્ન, ફાચર ઉત્પાદનો અને આંતરિક ઉત્પાદનોની વિભાવનાઓની જરૂર પડે છે. તે સાધનો સાથે, n પરિમાણોમાં લીબનીઝ અભિન્ન નિયમ એ છે કે જ્યાં એકીકરણનું સમય-બદલાતું ક્ષેત્ર છે, ω એ p-સ્વરૂપ છે, વેગનું વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, આંતરિક ઉત્પાદનને સૂચવે છે, dxω એ માત્ર અવકાશ ચલોના સંદર્ભમાં ω નું બાહ્ય વ્યુત્પન્ન છે અને તે ω નું સમય વ્યુત્પન્ન છે. જો કે, આ તમામ ઓળખ લાઈ ડેરિવેટિવ્ઝ વિશેના સૌથી સામાન્ય નિવેદનમાંથી મેળવી શકાય છેઃ અહીં, આજુબાજુના મેનીફોલ્ડ કે જેના પર વિભેદક સ્વરૂપ રહે છે તેમાં જગ્યા અને સમય બંનેનો સમાવેશ થાય છે. તે આપેલ ક્ષણે એકીકરણનું ક્ષેત્ર (સબમેનિફોલ્ડ) છે (તે તેના પર નિર્ભર નથી, કારણ કે સબમેનિફોલ્ડ તરીકે તેનું પરિમાણ સમયની તેની સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે), તે લાઈ વ્યુત્પન્ન છે, જે અગાઉના સૂત્રો (એટલે કે, સ્પેસટાઇમ વેગ છે) માંથી શુદ્ધ અવકાશી વેક્ટર ક્ષેત્રમાં સમયની દિશામાં એકાત્મક વેક્ટર ક્ષેત્રને ઉમેરવાથી મેળવેલ સ્પેસટાઇમ વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, જે પ્રવાહ દ્વારા પેદા થયેલ એક-પરિમાણ જૂથમાંથી ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે, અને તે આવા ડિફિયોમોર્ફિઝમ હેઠળની છબી છે. આ સ્વરૂપ વિશે એક નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે જ્યારે તે સમય જતાં તેના આકાર અને કદમાં ફેરફાર કરે છે ત્યારે તે કેસ માટે જવાબદાર હોઈ શકે છે, કારણ કે આવી વિકૃતિઓ સંપૂર્ણપણે તેના દ્વારા નક્કી થાય છે. માપન સિદ્ધાંતનું નિવેદન ચાલો એક ખુલ્લો સબસેટ બનીએ, અને એક માપ જગ્યા બનીએ. ધારો કે નીચેની શરતોને સંતોષે છેઃ દરેક માટે લેબસ્ગ્યુ-ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન છે. લગભગ બધા માટે, આંશિક વ્યુત્પન્ન બધા માટે અસ્તિત્વમાં છે. ત્યાં એક સંકલિત કાર્ય છે જે બધા માટે અને લગભગ દરેક માટે છે. પછી, બધા માટે, પુરાવો પ્રભુત્વ ધરાવતા અભિસરણ પ્રમેય અને સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય (નીચેની વિગતો) પર આધાર રાખે છે. મૂળભૂત સ્વરૂપનો પુરાવો આપણે પહેલા એકીકરણ a અને b ની અચળ મર્યાદાઓનો કેસ સાબિત કરીએ છીએ. આપણે એકીકરણના ક્રમને બદલવા માટે ફુબિનીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. દરેક અને, જેમ કે અને બંને અને અંદર છે, આપણી પાસેઃ નોંધ લો કે હાથ પરના સંકલનને સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે તે બંધ લંબચોરસ પર સતત હોય છે અને આમ ત્યાં પણ સમાનરૂપે સતત હોય છે; આમ dt અથવા dx દ્વારા તેના સંકલન અન્ય ચલમાં સતત હોય છે અને તેના દ્વારા પણ સંકલિત થઈ શકે છે (આવશ્યકપણે આ કારણ છે કે સમાન રીતે સતત કાર્યો માટે, કોઈ વ્યક્તિ સંકલન ચિહ્ન દ્વારા મર્યાદાને પસાર કરી શકે છે, જે નીચે વિસ્તૃત રીતે વર્ણવેલ છે). તેથીઃ જ્યાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છેઃ (આપણે અહીં x0 ને x0 અને x વચ્ચેના કોઈપણ અન્ય બિંદુ દ્વારા બદલી શકીએ છીએ) F એ વ્યુત્પન્ન સાથે વિકલનક્ષમ છે, તેથી આપણે શૂન્યની નજીકની મર્યાદા લઈ શકીએ છીએ. ડાબી બાજુ માટે આ મર્યાદા છેઃ જમણી બાજુ માટે, આપણને મળે છેઃ અને આ રીતે આપણે ઇચ્છિત પરિણામ સાબિત કરીએ છીએઃ બાઉન્ડેડ કન્વર્જન્સ થીયરમનો ઉપયોગ કરીને બીજો પુરાવોઃ જો હાથ પરના ઇન્ટિગ્રલ્સ લેબસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલ્સ હોય, તો આપણે બાઉન્ડેડ કન્વર્જન્સ થીયરમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ (આ ઇન્ટિગ્રલ્સ માટે માન્ય છે, પરંતુ રીમાન ઇન્ટિગ્રલ્સ માટે નહીં) તે બતાવવા માટે કે મર્યાદાને ઇન્ટિગ્રલ સાઇનમાંથી પસાર કરી શકાય છે. નોંધ લો કે આ સાબિતી એ અર્થમાં નબળી છે કે તે ફક્ત દર્શાવે છે કે fx (x, t) લેબસેગ્યુ સંકલનક્ષમ છે, પરંતુ તે રીમાન સંકલનક્ષમ નથી. પહેલાના (મજબૂત) સાબિતીમાં, જો f (x, t) રીમાન સંકલનક્ષમ હોય, તો તે જ રીતે fx (x, t) પણ છે (અને આ રીતે દેખીતી રીતે લેબસ્ગ્યુ સંકલનક્ષમ પણ છે). ચાલો વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા અનુસાર, સમીકરણ () ને સમીકરણ () માં બદલો. બે ઇન્ટિગ્રલનો તફાવત એ તફાવતનો ઇન્ટિગ્રલ બરાબર છે, અને 1/એચ એ અચળાંક છે, તેથી હવે આપણે બતાવીએ છીએ કે મર્યાદાને ઇન્ટિગ્રલ ચિહ્નમાંથી પસાર કરી શકાય છે. અમે દાવો કરીએ છીએ કે ઇન્ટિગ્રલ સાઇન હેઠળ મર્યાદાનો માર્ગ બાઉન્ડેડ કન્વર્જન્સ થીયરમ (ડોમિનેટેડ કન્વર્જન્સ થીયરમનું પરિણામ) દ્વારા માન્ય છે. દરેક δ> 0 માટે, તફાવત ભાગાકારને ધ્યાનમાં લો t નિશ્ચિત માટે, સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય સૂચવે છે કે અંતરાલ [x, x + δ] માં z અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે fx (x, t) ની સાતત્યતા અને ડોમેનની સઘનતા એકસાથે સૂચવે છે કે fx (x, t) બંધાયેલ છે. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપરોક્ત ઉપયોગ તેથી એક સમાન (સ્વતંત્ર) બંધાયેલ આપે છે. આંશિક વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે તેવી ધારણા દ્વારા તફાવત ગુણોત્તર આંશિક વ્યુત્પન્ન fx સાથે બિંદુની દિશામાં એકરૂપ થાય છે. ઉપરોક્ત દલીલ દર્શાવે છે કે દરેક ક્રમ {δn} → 0 માટે, ક્રમ સમાન રીતે બંધાયેલો છે અને બિંદુની દિશામાં fx માં રૂપાંતરિત થાય છે. બાઉન્ડેડ કન્વર્જન્સ થીયરમ જણાવે છે કે જો મર્યાદિત માપના સમૂહ પર કાર્યોનો ક્રમ સમાન રીતે બાઉન્ડેડ હોય અને બિંદુની દિશામાં કન્વર્જ થાય, તો ઇન્ટિગ્રલ હેઠળ મર્યાદાનો માર્ગ માન્ય છે. ખાસ કરીને, દરેક ક્રમ {δn} → 0 માટે મર્યાદા અને અભિન્નની અદલાબદલી થઈ શકે છે. તેથી, δ → 0 તરીકેની મર્યાદા અભિન્ન ચિહ્નમાંથી પસાર થઈ શકે છે. ચલ મર્યાદાઓ રચાય છે એક વાસ્તવિક ચલ અને વાસ્તવિક મૂલ્યવાન વિકલનક્ષમ વિધેયો અને એક વાસ્તવિક ચલના સતત વાસ્તવિક મૂલ્યવાન વિધેય g માટે, આ સાંકળ નિયમ અને ગણતરીના પ્રથમ મૂળભૂત પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે. વ્યાખ્યાયિત કરો અને (નીચલી મર્યાદા માત્ર ડોમેનમાં અમુક સંખ્યા હોવી જોઈએ) પછી, રચના તરીકે લખી શકાય છેઃ સાંકળ નિયમ પછી સૂચવે છે કે ગણતરીના પ્રથમ મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા,. તેથી, ઉપરના પરિણામને બદલીને, આપણને ઇચ્છિત સમીકરણ મળે છેઃ નોંધઃ આ સ્વરૂપ ખાસ કરીને ઉપયોગી થઈ શકે છે જો વિભેદન કરવાની અભિવ્યક્તિ આ સ્વરૂપની હોયઃ કારણ કે તે સંકલનની મર્યાદાઓ પર આધારિત નથી, તેને અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળથી બહાર કાઢી શકાય છે, અને ઉપરોક્ત સ્વરૂપનો ઉપયોગ ઉત્પાદન નિયમ સાથે થઈ શકે છે, એટલે કે, ચલ મર્યાદાઓ સાથેનું સામાન્ય સ્વરૂપ જ્યાં a અને b એ α ના કાર્યો છે જે અનુક્રમે α અને αb ની વૃદ્ધિ દર્શાવે છે, જ્યારે α એ α દ્વારા વધારવામાં આવે છે. પછી, મીન વેલ્યુ થીયરમનું એક સ્વરૂપ, જ્યાં a <φ <b, ઉપરના સૂત્રના પ્રથમ અને છેલ્લા ઇન્ટિગ્રલ્સ પર લાગુ થઈ શકે છે, પરિણામે α દ્વારા વિભાજીત કરો અને α → 0 દો. નોંધ લો કે ω1 = a અને ω2 = b. આપણે ઇન્ટિગ્રલ સાઇન દ્વારા મર્યાદાને પસાર કરી શકીએ છીએઃ ફરીથી બાઉન્ડેડ કન્વર્જન્સ થીયરમ દ્વારા. આ લીબનીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમનું સામાન્ય સ્વરૂપ આપે છે, જે ચેઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને ચલ મર્યાદાઓ સાથે સામાન્ય સ્વરૂપનો વૈકલ્પિક પુરાવો આપે છે. લીબનીઝના ઇન્ટિગ્રલ રૂલનું સામાન્ય સ્વરૂપ લીબનીઝના ઇન્ટિગ્રલ રૂલ, મલ્ટીવેરિયેબલ ચેઇન રૂલ અને કેલ્ક્યુલસના પ્રથમ મૂળભૂત પ્રમેયના મૂળભૂત સ્વરૂપના પરિણામે મેળવી શકાય છે. ધારો કે સમતલમાં લંબચોરસમાં અને માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ઉપરાંત, ધારો કે અને આંશિક વ્યુત્પન્ન બંને આ લંબચોરસ પર સતત કાર્યો છે. ધારો કે ડિફરેન્શીયેબલ રિયલ વેલ્યુડ ફંક્શન્સ (એટલે કે) માં મૂલ્યો સાથે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. દરેક માટે). હવે, સેટ કરો અને પછી, ડેફિનાઈટ ઇન્ટિગ્રલ્સના ગુણધર્મો દ્વારા, આપણે લખી શકીએ છીએ કારણ કે ફંક્શન બધા ડિફરન્શીયેબલ છે (સાબિતીના અંતે ટિપ્પણી જુઓ), મલ્ટીવેરિયેબલ ચેઇન નિયમ દ્વારા, તે અનુસરે છે કે જે ડિફરન્શીયેબલ છે, અને તેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ હવે, નોંધ લો કે દરેક માટે, અને દરેક માટે, આપણી પાસે તે છે, કારણ કે જ્યારે આંશિક વ્યુત્પન્નને સંદર્ભમાં લઈએ છીએ, ત્યારે આપણે અભિવ્યક્તિમાં નિશ્ચિત રાખીએ છીએ; આમ એકીકરણની સતત મર્યાદાઓ સાથે લીબનીઝના સંકલન નિયમનું મૂળભૂત સ્વરૂપ લાગુ પડે છે. આગળ, ગણતરીના પ્રથમ મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે તે છે; કારણ કે જ્યારે ના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન લે છે, ત્યારે પ્રથમ ચલ નિશ્ચિત હોય છે, તેથી મૂળભૂત પ્રમેય ખરેખર લાગુ કરી શકાય છે. આ પરિણામોને ઉપરના સમીકરણમાં બદલીને મળે છેઃ ઇચ્છિત તરીકે. ઉપરના સાબિતીમાં એક તકનીકી મુદ્દો છે જે નોંધવા યોગ્ય છેઃ સાંકળ નિયમ લાગુ કરવા માટે તે જરૂરી છે કે જે પહેલેથી જ ડિફરન્શીએબલ હોય. આ તે છે જ્યાં આપણે આપણી ધારણાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, ના આંશિક વ્યુત્પન્ન સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે અને. કારણ કે તે સતત છે, તેનું અભિન્ન પણ એક સતત કાર્ય છે, અને કારણ કે તે પણ સતત છે, આ બે પરિણામો દર્શાવે છે કે તેના બંને આંશિક વ્યુત્પન્ન સતત છે. આંશિક વ્યુત્પન્નની સાતત્યતા એ કાર્યની વિભેદકતા સૂચવે છે, તે ખરેખર વિભેદક છે. ત્રિ-પરિમાણીય, સમય-આધારિત સ્વરૂપ આકૃતિ 1 માં સમય t સપાટી પર કેન્દ્રકની આસપાસ ગોઠવાયેલા બિંદુઓનો સમૂહ ધરાવે છે. કાર્યને સમય સાથે સ્વતંત્ર રીતે લખી શકાય છે. ચલને ફરતી સપાટી સાથે જોડાયેલ સંદર્ભની નવી ફ્રેમમાં ખસેડવામાં આવે છે, જેનું મૂળ અહીં છે. સખત રીતે અનુવાદિત સપાટી માટે, એકીકરણની મર્યાદાઓ પછી સમયથી સ્વતંત્ર હોય છે, તેથીઃ જ્યાં પ્રદેશ માટે અભિન્નને મર્યાદિત કરતી એકીકરણની મર્યાદાઓ હવે સમય આધારિત નથી તેથી તફાવત માત્ર સંકલન પર કાર્ય કરવા માટે એકીકરણમાંથી પસાર થાય છેઃ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સપાટીની ગતિના વેગ સાથે આ સમીકરણ ક્ષેત્રના ભૌતિક વ્યુત્પન્નને વ્યક્ત કરે છે, એટલે કે, ગતિશીલ સપાટી સાથે જોડાયેલ સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન. વ્યુત્પન્ન શોધ્યા પછી, ચલને સંદર્ભના મૂળ માળખામાં પાછા ફેરવી શકાય છે. આપણે નોંધ્યું છે કે (કર્લ પરનો લેખ જુઓ) અને સ્ટોક્સ થીયરમ એ કર્લના સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની સરફેસ ઇન્ટિ આ નિશાની સ્થાપિત કરવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે ક્ષેત્ર F હકારાત્મક z-દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, અને સપાટી ‡ એ xy-સમતલનો એક ભાગ છે જેની પરિમિતિ ષ્ણુલ છે. આપણે હકારાત્મક ઝેડ-દિશામાં રહેવા માટે નોર્મલને અપનાવીએ છીએ. ષ્ણું સકારાત્મક પરિભ્રમણ પછી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે (z-અક્ષ સાથે અંગૂઠા સાથે જમણા હાથનો નિયમ). પછી ડાબી બાજુનો ઇન્ટિગ્રલ F થી ‡ નો પોઝિટિવ ફ્લક્સ નક્કી કરે છે. ધારો કે વેગ v પર હકારાત્મક x-દિશામાં અનુવાદિત થાય છે. કહો કે y-અક્ષની સમાંતર x ની સીમાનું એક તત્વ, ds, સમય t માં vt × ds વિસ્તારને બહાર કાઢે છે. જો આપણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સીમાની આસપાસ સંકલન કરીએ, તો vt × ds બિંદુઓ નકારાત્મક z-દિશામાં ષ્ણુલની ડાબી બાજુએ (જ્યાં ds નીચે તરફ નિર્દેશ કરે છે), અને ષ્ણુલની જમણી બાજુએ હકારાત્મક z-દિશામાં (જ્યાં ds ઉપર તરફ નિર્દેશ કરે છે), જે અર્થપૂર્ણ છે કારણ કે ss જમણી તરફ આગળ વધી રહ્યું છે, જમણી બાજુએ વિસ્તાર ઉમેરી રહ્યું છે અને તેને ડાબી બાજુએ ગુમાવી રહ્યું છે. તે આધારે, F નો પ્રવાહ ષ્ણુલની જમણી બાજુએ વધી રહ્યો છે અને ડાબી બાજુએ ઘટી રહ્યો છે. જો કે, ડોટ પ્રોડક્ટ. પરિણામે, રેખા સંકલનની નિશાની નકારાત્મક તરીકે લેવામાં આવે છે. જો v એ અચળાંક હોય, તો તે ટાંકવામાં આવેલ પરિણામ છે. આ પુરાવો જેમ જેમ સપાટી આગળ વધે છે તેમ તેમ તે વિકૃત થવાની શક્યતાને ધ્યાનમાં લેતો નથી. વૈકલ્પિક વ્યુત્પત્તિ લેમ્મા. એક પાસે છેઃ સાબિતી. કલનની મૂળભૂત પ્રમેયના પુરાવા પરથી, અને ધારો કે a અને b અચળ છે, અને તે f (x) માં એક પરિમાણ α સામેલ છે જે સંકલનમાં અચળ છે પરંતુ વિવિધ સંકલન રચવા માટે બદલાઈ શકે છે. ધારો કે f (x, α) એ કોમ્પેક્ટ સમૂહમાં x અને α નું સતત કાર્ય છે {(x, α): α0 ≤ α ≤ α1 અને a ≤ x ≤ b}, અને આંશિક વ્યુત્પન્ન fα (x, α) અસ્તિત્વમાં છે અને સતત છે. જો કોઈ વ્યાખ્યાયિત કરે તોઃ પછી અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવત કરીને α ના સંદર્ભમાં તફાવત કરી શકાય છે, એટલે કે, હેઇન-કેન્ટોર પ્રમેય દ્વારા તે સમૂહમાં સમાન રીતે સતત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ ε> 0 માટે અસ્તિત્વમાં છે કે [a, b] માં x ના તમામ મૂલ્યો માટે, બીજી બાજુ, તેથી φ (α) એક સતત વિધેય છે. તેવી જ રીતે જો અસ્તિત્વમાં હોય અને તે સતત હોય, તો બધા ε> 0 માટે δα અસ્તિત્વમાં છે જેમ કેઃ તેથી, જ્યાં ε → 0 એ δα → 0 છે, તેથી આ તે સૂત્ર છે જે આપણે સાબિત કરવા માટે નક્કી કર્યું છે. હવે, ધારો કે જ્યાં a અને b એ α ના વિધેયો છે, જે α દ્વારા વધારવામાં આવે ત્યારે અનુક્રમે δa અને δb નો વધારો કરે છે. પછી, મીન વેલ્યુ થીયરમનું એક સ્વરૂપ, જ્યાં a <ω <b, ઉપરના ω માટે સૂત્રના પ્રથમ અને છેલ્લા સંકલન પર લાગુ કરી શકાય છે, પરિણામે ω દ્વારા વિભાજીત થાય છે, ω → 0 દોરે છે, ω1 → a અને ω2 → b ને ધ્યાનમાં લે છે અને ઉપજ માટે ઉપરોક્ત વ્યુત્પત્તિ નો ઉપયોગ કરે છે. ઉદાહરણો 1: નિશ્ચિત મર્યાદાઓ કાર્યને ધ્યાનમાં લો અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળના કાર્ય બિંદુ (x, α) = (0,0) પર સતત નથી, અને કાર્ય φ (α) α = 0 પર વિસંગતતા ધરાવે છે કારણ કે φ (α) ±π/2 સુધી α → 0 ± તરીકે પહોંચે છે. જો આપણે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ α ના સંદર્ભમાં φ (α) ને અલગ પાડીએ, તો આપણને તે મળે છે, જે અલબત્ત, α = 0 સિવાયના α ના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે. આને સંકલિત કરી શકાય છે (α ના સંદર્ભમાં) ઉદાહરણ 2: ચલ મર્યાદાઓ સાથે એક ઉદાહરણ ચલ મર્યાદાઓ સાથેઃ ચોક્કસ સંકલનોનું મૂલ્યાંકન કરતી એપ્લિકેશનો ચોક્કસ સંકલનોનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે સૂત્ર ઉપયોગી થઈ શકે છે. જ્યારે આ સંદર્ભમાં ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવત કરવા માટેના લીબનીઝ અભિન્ન નિયમને એકીકરણ માટે ફેનમેનની યુક્તિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ 3 ધ્યાનમાં લો હવે, જેમ જેમ બદલાય છે તેમ, આપણી પાસે છે તેથી, તેથી, સંદર્ભમાં બંને પક્ષોને એકીકૃત કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએઃ મૂલ્યાંકનથી નીચે મુજબ છેઃ તે જ રીતે નક્કી કરવા માટે, આપણે 1 ઇંચથી વધુના મૂલ્યમાં અવેજી કરવાની જરૂર હોવી જોઈએ. આ કંઈક અંશે અસુવિધાજનક છે. તેના બદલે, આપણે બદલીએ છીએ, ક્યાં. પછી, તેથી, ની વ્યાખ્યા હવે પૂર્ણ થઈ ગઈ છેઃ ઉપરોક્ત ચર્ચા, અલબત્ત, જ્યારે લાગુ પડતી નથી, કારણ કે તફાવત માટેની શરતો પૂરી થતી નથી. ઉદાહરણ 4 પહેલા આપણે ગણતરી કરીએ છીએઃ એકીકરણની મર્યાદાઓ તેનાથી સ્વતંત્ર હોવાથી, આપણી પાસે છેઃ બીજી તરફઃ આ બે સંબંધોને સરખાવવાથી પછી ઉપજ મળે છે. આ વ્યુત્પત્તિને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. નોંધ લો કે જો આપણે તેને વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે આપેલ, આ અભિન્ન ઘટાડાના સૂત્રનો ઉપયોગ for ના તમામ મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. ઇન્ટિગ્રલ્સ જેવા અને તેને વેઇઅરસ્ટ્રાસ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને પણ નિયંત્રિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ 5 અહીં, આપણે ઇન્ટિગ્રલના સંદર્ભમાં ઇન્ટિગ્રલ ડિફરન્શિયેટિંગને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, આપણી પાસે છે. જો કે, આ વધુ સામાન્ય ઇન્ટિગ્રલને આના સંદર્ભમાં અલગ કરી શકાય છેઃ હવે, φ ને ઠીક કરો, અને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લો. વધુમાં, દ્વારા આપવામાં આવેલ એકમ વર્તુળનું હકારાત્મક લક્ષી પરિમાણ પસંદ કરો, જેથી. પછી ઉપરનું અંતિમ ઇન્ટિગ્રલ ચોક્કસપણે ઓવરનું લાઇન ઇન્ટિગ્રલ છે. ગ્રીનની પ્રમેય મુજબ, આ ડબલ ઇન્ટિગ્રલ બરાબર છે જ્યાં બંધ એકમ ડિસ્ક છે. તેનું સંકલન સમાન રીતે 0 છે, તેથી તે સમાન રીતે શૂન્ય છે. આ સૂચવે છે કે f (φ) અચળ છે. અચળાંક અહીં મૂલ્યાંકન કરીને નક્કી કરી શકાય છેઃ તેથી, મૂળ સંકલન પણ સમાન છે. ઉકેલવા માટેની અન્ય સમસ્યાઓ અસંખ્ય અન્ય સંકલન છે જે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવતની તકનીકનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના દરેક કિસ્સામાં, મૂળ ઇન્ટિગ્રલને નવા પરિમાણ ધરાવતા સમાન ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા બદલી શકાય છેઃ પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ, ડિરીક્લેટ ઇન્ટિગ્રલ, હકારાત્મક α માટે સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ છે પરંતુ જ્યારે શરતી કન્વર્જન્ટ હોય ત્યારે જ. તેથી, અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવતને ક્યારે ન્યાયી ઠેરવવો સરળ છે, પરંતુ તે સાબિત કરે છે કે જ્યારે થોડી સાવચેતીપૂર્વક કામ કરવાની જરૂર હોય ત્યારે પરિણામી સૂત્ર માન્ય રહે છે. અનંત શ્રેણી અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવતની માપ-સૈદ્ધાંતિક આવૃત્તિ ગણતરીના માપ તરીકે સરવાળાનું અર્થઘટન કરીને સરવાળાને (મર્યાદિત અથવા અનંત) પણ લાગુ પડે છે. ઉપયોગનું એક ઉદાહરણ એ હકીકત છે કે શક્તિ શ્રેણીઓ તેમના અભિસરણની ત્રિજ્યામાં વિકલનક્ષમ છે. લોકપ્રિય સંસ્કૃતિમાં અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ તફાવતનો ઉલ્લેખ સ્વર્ગીય ભૌતિકશાસ્ત્રી રિચાર્ડ ફેનમેનના સૌથી વધુ વેચાતા સંસ્મરણો 'શ્યોરલી યુ આર જોકિંગ, મિસ્ટર ફેનમેન!' માં કરવામાં આવ્યો છે. "એ ડિફરન્ટ બોક્સ ઓફ ટૂલ્સ" પ્રકરણમાં. તેઓ હાઈ સ્કૂલમાં હતા ત્યારે ફ્રેડરિક એસ. વુડ્સ (જે મેસેચ્યુસેટ્સ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેક્નોલોજીમાં ગણિતના પ્રોફેસર હતા) દ્વારા લખાયેલા જૂના લખાણ, એડવાન્સ્ડ કેલ્ક્યુલસ (1926) માંથી તે શીખવાનું વર્ણન કરે છે. જ્યારે ફેનમેને પાછળથી કલનનું ઔપચારિક શિક્ષણ મેળવ્યું ત્યારે આ તકનીક વારંવાર શીખવવામાં આવતી ન હતી, પરંતુ આ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને, ફેનમેન પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટીમાં ગ્રેજ્યુએટ સ્કૂલમાં તેમના આગમન પર અન્યથા મુશ્કેલ એકીકરણ સમસ્યાઓને હલ કરવામાં સક્ષમ હતાઃ એક વસ્તુ જે મેં ક્યારેય શીખી ન હતી તે હતી સમોચ્ચ એકીકરણ. મારા હાઈસ્કૂલના ભૌતિકશાસ્ત્રના શિક્ષક શ્રી બેડરે મને આપેલા પુસ્તકમાં દર્શાવેલી વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા હું સંકલન કરવાનું શીખ્યો હતો. એક દિવસ તેણે મને વર્ગ પછી રહેવાનું કહ્યું. "ફેનમેન", તેણે કહ્યું, "તમે વધારે બોલો છો અને વધારે ઘોંઘાટ કરો છો. હું જાણું છું શા માટે. તમે કંટાળી ગયા છો. તો હું તમને એક પુસ્તક આપવા જઈ રહ્યો છું. તમે ત્યાં પાછળ, ખૂણામાં ઉપર જાઓ અને આ પુસ્તકનો અભ્યાસ કરો, અને જ્યારે તમને આ પુસ્તકમાં જે બધું છે તે બધું ખબર પડશે, ત્યારે તમે ફરીથી વાત કરી શકો છો. તેથી દરેક ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગમાં, મેં પાસ્કલના નિયમ સાથે શું ચાલી રહ્યું હતું, અથવા તેઓ જે પણ કરી રહ્યા હતા તેના પર મેં કોઈ ધ્યાન આપ્યું નહીં. હું આ પુસ્તક સાથે પાછળ હતોઃ વુડ્સ દ્વારા "એડવાન્સ્ડ કેલ્ક્યુલસ". બેડર જાણતો હતો કે મેં "કેલ્ક્યુલસ ફોર ધ પ્રેક્ટિકલ મેન" નો થોડો અભ્યાસ કર્યો છે, તેથી તેણે મને વાસ્તવિક કૃતિઓ આપી-તે કોલેજમાં જુનિયર અથવા સિનિયર અભ્યાસક્રમ માટે હતી. તેમાં ફોરિયર શ્રેણી, બેસલ કાર્યો, નિર્ધારકો, લંબગોળ કાર્યો હતા-તમામ પ્રકારની અદ્ભુત સામગ્રી કે જેના વિશે હું કંઇ જાણતો ન હતો. તે પુસ્તકમાં અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ પરિમાણોને કેવી રીતે અલગ પાડવું તે પણ દર્શાવવામાં આવ્યું હતું-તે એક ચોક્કસ કામગીરી છે. તે બહાર આવ્યું છે કે યુનિવર્સિટીઓમાં તે ખૂબ ભણાવવામાં આવતું નથી; તેઓ તેના પર ભાર મૂકતા નથી. પરંતુ હું તે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજી ગયો, અને મેં તે એક ખરાબ સાધનનો વારંવાર ઉપયોગ કર્યો. તેથી કારણ કે મને તે પુસ્તકનો ઉપયોગ કરીને સ્વ-શીખવવામાં આવ્યું હતું, મારી પાસે સંકલન કરવાની વિશિષ્ટ પદ્ધતિઓ હતી. પરિણામ એ આવ્યું કે, જ્યારે એમ. આઈ. ટી. અથવા પ્રિન્સટન ખાતેના છોકરાઓને ચોક્કસ સંકલન કરવામાં મુશ્કેલી પડતી હતી, તે એટલા માટે હતું કારણ કે તેઓ શાળામાં શીખી લીધેલી પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ સાથે તે કરી શકતા ન હતા. જો તે સમોચ્ચ એકીકરણ હોત, તો તેઓ તેને શોધી શક્યા હોત; જો તે એક સરળ શ્રેણી વિસ્તરણ હોત, તો તેઓ તેને શોધી શક્યા હોત. પછી હું સાથે આવું છું અને અભિન્ન સંકેત હેઠળ તફાવત કરવાનો પ્રયાસ કરું છું, અને ઘણીવાર તે કામ કરે છે. તેથી મને સંકલન કરવા માટે ખૂબ પ્રતિષ્ઠા મળી, માત્ર એટલા માટે કે મારું સાધનોનું બોક્સ બીજા બધા કરતા અલગ હતું, અને તેઓએ મને સમસ્યા આપતા પહેલા તેના પર તેમના તમામ સાધનોનો પ્રયાસ કર્યો હતો. આ પણ જુઓ સાંકળ નિયમ સંકલિત વસ્તુઓનો તફાવત લીબનીઝ નિયમ (સામાન્યીકૃત ઉત્પાદન નિયમ) રેનોલ્ડ્સ પરિવહન પ્રમેય, લીબનીઝ નિયમનું સામાન્યીકરણ સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ ગોટફ્રીડ વિલ્હેમ લીબનીઝ બહુપરીવર્તનીય કલન સંકલિત કલન વિભેદક કલન પુરાવા ધરાવતા લેખો