Reflection symmetry
ગણિતમાં, પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા, રેખા સમપ્રમાણતા, દર્પણ સમપ્રમાણતા અથવા દર્પણ-છબી સમપ્રમાણતા એ પ્રતિબિંબના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા છે. એટલે કે, જે આકૃતિ પ્રતિબિંબમાંથી પસાર થતાં બદલાતી નથી તેમાં પ્રતિબિંબીત સમપ્રમાણતા હોય છે. 2D માં સમપ્રમાણતાની એક રેખા/અક્ષ હોય છે, 3D માં સમપ્રમાણતાનું સમતલ હોય છે. એક પદાર્થ અથવા આકૃતિ જે તેની રૂપાંતરિત છબીથી અલગ પડી શકતી નથી તેને મિરર સિમેટ્રિક કહેવામાં આવે છે. નિષ્કર્ષમાં, સમપ્રમાણતાની રેખા આકારને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે અને તે અર્ધભાગ સમાન હોવા જોઈએ. સમમિતીય કાર્ય ઔપચારિક શબ્દોમાં, ગણિતીય પદાર્થ પ્રતિબિંબ, પરિભ્રમણ અથવા અનુવાદ જેવી આપેલ કામગીરીના સંદર્ભમાં સમમિતીય હોય છે, જો, જ્યારે પદાર્થ પર લાગુ કરવામાં આવે, ત્યારે આ કામગીરી પદાર્થના અમુક ગુણધર્મને જાળવી રાખે છે. કામગીરીનો સમૂહ કે જે પદાર્થની આપેલ મિલકતને જાળવી રાખે છે તે જૂથ બનાવે છે. કામગીરીના આપેલ જૂથના સંદર્ભમાં બે પદાર્થો એકબીજા સાથે સપ્રમાણ હોય છે જો એક કેટલીક કામગીરીઓ દ્વારા બીજાથી મેળવવામાં આવે (અને ઊલટું). દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિનું સમપ્રમાણ કાર્ય એ એવી રેખા છે કે, દરેક લંબરૂપ રચના માટે, જો લંબરૂપ આકૃતિને લંબ સાથે અક્ષથી 'd' અંતરે છેદે છે, તો પછી આકાર અને લંબરૂપનું બીજું આંતરછેદ અસ્તિત્વમાં છે, અક્ષથી સમાન અંતરે 'd', લંબરૂપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં. સપ્રમાણ કાર્ય વિશે વિચારવાની બીજી રીત એ છે કે જો આકારને અક્ષની ઉપર અડધા ભાગમાં ફોલ્ડ કરવામાં આવે, તો બે અર્ધ સમાન હશેઃ બે અર્ધ એકબીજાની મિરર ઈમેજ છે. આમ એક ચોરસમાં સમપ્રમાણતાના ચાર અક્ષો હોય છે, કારણ કે તેને ફોલ્ડ કરવાની ચાર જુદી જુદી રીતો હોય છે અને ધાર બધા મેળ ખાતી હોય છે. વર્તુળમાં અનંત રીતે અનેક સમપ્રમાણતા અક્ષો હોય છે. સમમિતીય ભૌમિતિક આકારો પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા ધરાવતા ત્રિકોણ સમદ્વિબાહુ છે. પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા ધરાવતા ચતુર્ભુજ પતંગો, (અંતર્મુખ) ડેલ્ટોઇડ્સ, રોમ્બી અને આઇસોસેલેસ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે. બધા સમ-બાજુવાળા બહુકોણમાં બે સરળ પ્રતિબિંબીત સ્વરૂપો હોય છે, એક શિરોબિંદુઓ દ્વારા પ્રતિબિંબની રેખાઓ સાથે અને એક ધાર દ્વારા. મનસ્વી આકાર માટે, આકારની અક્ષીયતા માપે છે કે તે દ્વિપક્ષી રીતે સપ્રમાણ હોવાની કેટલી નજીક છે. તે પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા ધરાવતા આકારો માટે 1 અને કોઈપણ બહિર્મુખ આકાર માટે 2/3 અને 1 ની વચ્ચે હોય છે. પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતાના અદ્યતન પ્રકારો પ્રતિબિંબના વધુ સામાન્ય પ્રકારો માટે અનુરૂપ રીતે પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતાના વધુ સામાન્ય પ્રકારો છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ નોન-આઇસોમેટ્રિક એફાઇન ઇન્વોલ્યુશન (રેખા, સમતલ વગેરેમાં ત્રાંસુ પ્રતિબિંબ) ના સંદર્ભમાં. વર્તુળ વ્યુત્ક્રમના સંદર્ભમાં. પ્રકૃતિમાં જે પ્રાણીઓ દ્વિપક્ષી રીતે સપ્રમાણ હોય છે તેઓ સાગિટ્ટલ પ્લેનમાં પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, જે શરીરને ઊભી રીતે ડાબી અને જમણી બાજુએ વિભાજિત કરે છે, જેમાં બંને બાજુએ દરેક ઇન્દ્રિય અંગ અને અંગ જોડીમાંથી એક હોય છે. મોટાભાગના પ્રાણીઓ દ્વિપક્ષી રીતે સપ્રમાણ હોય છે, સંભવત કારણ કે આ આગળની હિલચાલ અને સુવ્યવસ્થિતતાને ટેકો આપે છે. આર્કિટેક્ચરમાં મિરર સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ ઘણીવાર આર્કિટેક્ચરમાં થાય છે, જેમ કે સાન્તા મારિયા નોવેલ્લા, ફ્લોરેન્સના રવેશમાં થાય છે. તે સ્ટોનહેંજ જેવા પ્રાચીન માળખાઓની રચનામાં પણ જોવા મળે છે. સ્થાપત્યની કેટલીક શૈલીઓમાં સમપ્રમાણતા એ મુખ્ય તત્વ હતું, જેમ કે પલ્લાડિયનવાદ. પ્રકૃતિમાં દાખલાઓ પણ જુઓ યુક્લિડિયન અવકાશમાં પ્રતિબિંબ જૂથોની બિંદુ પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા કોક્સેટર જૂથ સિદ્ધાંત પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા (વિવિધ પ્રકારની સમપ્રમાણતા) સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ સામાન્ય અદ્યતન બાહ્ય કડીઓ સમપ્રમાણતા સાથે મેપિંગ-ડેલ્ફી પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતામાં સ્રોત ગણિતમાંથી ઉદાહરણો મનોરંજક પ્રાથમિક ભૂમિતિ યુક્લિડિયન સમપ્રમાણતા છે