Orthogonal trajectory
ગણિતમાં, ઓર્થોગોનલ માર્ગ એ એક વળાંક છે જે આપેલ (સમતલીય) વળાંકની પેન્સિલના કોઈપણ વળાંકને ઓર્થોગોનલી રીતે છેદે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેન્દ્રિત વર્તુળોની પેન્સિલના ઓર્થોગોનલ માર્ગ તેમના સામાન્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખાઓ છે (આકૃતિ જુઓ). ઓર્થોગોનલ માર્ગના નિર્ધારણ માટે યોગ્ય પદ્ધતિઓ વિભેદક સમીકરણોને હલ કરીને પૂરી પાડવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ પ્રથમ ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને સ્થાપિત કરે છે અને ચલને અલગ કરીને તેને ઉકેલે છે. બંને પગલાં મુશ્કેલ અથવા અશક્ય પણ હોઈ શકે છે. આવા કિસ્સાઓમાં સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ લાગુ કરવી પડે છે. ઓર્થોગોનલ માર્ગનો ઉપયોગ ગણિતમાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે વક્ર સંકલન પ્રણાલીઓ (એટલે કે. લંબગોળ કોઓર્ડિનેટ્સ) અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રો અને તેમના સમતુલ્ય વળાંક તરીકે દેખાય છે. જો માર્ગ આપેલા વળાંકને મનસ્વી (પરંતુ નિશ્ચિત) ખૂણાથી છેદે છે, તો વ્યક્તિને સમભુજ માર્ગ મળે છે. ઓર્થોગોનલ માર્ગનું નિર્ધારણ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સામાન્ય રીતે, કોઈ એવું ધારે છે કે વળાંકની પેન્સિલ એક સમીકરણ (0) 1 દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ 2. જ્યાં પેન્સિલનું પરિમાણ છે. જો પેંસિલ સ્પષ્ટ રીતે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો કોઈ પ્રતિનિધિત્વને ગર્ભિતમાં બદલી શકે છેઃ નીચેની વિચારણાઓ માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે તમામ જરૂરી વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે. પગલું 1. ઉપજ માટે પરોક્ષ રીતે તફાવત (1) 1 માં. ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ પગલું 2. હવે એવું માનવામાં આવે છે કે સમીકરણ (0) ને પરિમાણ માટે ઉકેલી શકાય છે, જેને આમ સમીકરણ (1) માંથી દૂર કરી શકાય છે. 1 માં પ્રથમ ક્રમ (2) નું વિભેદક સમીકરણ મળે છે. ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ જે આપેલ વળાંકની પેન્સિલ દ્વારા પૂર્ણ થાય છે. પગલું 3. કારણ કે એક બિંદુ પર ઓર્થોગોનલ માર્ગનો ઢોળાવ એ આ બિંદુ પર આપેલ વળાંકના ઢોળાવનો નકારાત્મક ગુણાકાર વ્યસ્ત છે, ઓર્થોગોનલ માર્ગ 1 માં પ્રથમ ક્રમ (3) ના વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ પગલું 4. આ વિભેદક સમીકરણ (આશા છે કે) યોગ્ય પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. બંને ઉદાહરણો માટે ચલોનું વિભાજન યોગ્ય છે. ઉકેલો આ પ્રમાણે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે 1, રેખાઓ અને ઉદાહરણ તરીકે 2, લંબગોળ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં જો વળાંકની પેન્સિલને ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં (0p) દ્વારા ગર્ભિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે તો, કાર્ટેશિયન કેસની જેમ, પેન્સિલનું પરિમાણ મુક્ત વિભેદક સમીકરણ (1p) (2p) નક્કી કરે છે. ઓર્થોગોનલ માર્ગોનું વિભેદક સમીકરણ પછી છે (જુઓ રેડહેફર અને પોર્ટ પૃષ્ઠ 65, હ્યુઝર, પૃષ્ઠ 120) (3p) ઉદાહરણ તરીકેઃ કાર્ડિયોઇડ્સઃ (0p) (આકૃતિમાંઃ વાદળી) (1p) આપેલ પેન્સિલના વિભેદક સમીકરણની ઉપજને દૂર કરવીઃ (2p) તેથી ઓર્થોગોનલ માર્ગોનું વિભેદક સમીકરણ છેઃ (3p) ચલોને અલગ કરીને આ વિભેદક સમીકરણને હલ કર્યા પછી જે મળે છે તે કાર્ડિયોઇડ્સની પેન્સિલ (આકૃતિમાં લાલ) નું વર્ણન કરે છે, જે આપેલ પેન્સિલની સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. આઇસોગોનલ માર્ગ એક વળાંક, જે આપેલ (સમતલીય) વળાંકની પેન્સિલના કોઈપણ વળાંકને નિશ્ચિત ખૂણા દ્વારા છેદે છે તેને આઇસોગોનલ માર્ગ કહેવામાં આવે છે. આઇસોગોનલ માર્ગના ઢોળાવ અને એક બિંદુ પર પેંસિલના વળાંકના ઢોળાવ વચ્ચે નીચેનો સંબંધ ધરાવે છેઃ આ સંબંધ માટેના સૂત્રને કારણે છે. એકને ઓર્થોગોનલ માર્ગ માટેની શરત મળે છે. આઇસોગોનલ પ્રક્ષેપવક્રના નિર્ધારણ માટે વ્યક્તિએ ઉપરની સૂચનાના 3. પગલાને સમાયોજિત કરવું પડશેઃ 3. પગલું (આઇસોગ. ). આઇસોગોનલ પ્રક્ષેપવક્રનું વિભેદક સમીકરણ છેઃ (3i) 1. ઉદાહરણ (કેન્દ્રિત વર્તુળો) અને કોણ મેળવવા માટે (3i) આ એક વિશેષ પ્રકારનું વિભેદક સમીકરણ છે, જેને અવેજી દ્વારા વિભેદક સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જેને ચલને અલગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. અવેજીને ઉલટાવ્યા પછી ઉકેલનું સમીકરણ મળે છેઃ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરવાથી સરળ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે જે લઘુગણક સર્પાકારનું વર્ણન કરે છે (આકૃતિ જુઓ). આંકડાકીય પદ્ધતિઓ જો માર્ગના વિભેદક સમીકરણને સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાતું નથી, તો તેને આંકડાકીય રીતે ઉકેલવું પડશે, ઉદાહરણ તરીકે રુંગે-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ દ્વારા. કેસીની અંડાકાર કોન્ફોકલ શંકુ વિભાગો ટ્રેજેક્ટરી એપોલોનિયન વર્તુળો, વર્તુળોના પરિવારોની જોડી કે જે બધા એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ છે તે પણ જુઓ સંદર્ભો એ. જેફ્રીઃ એડવાન્સ્ડ એન્જિનિયરિંગ મેથેમેટિક્સ, હાર્ટકોર્ટ/એકેડેમિક પ્રેસ, 2002, પૃષ્ઠ 233. એસ. બી. રાવઃ વિભેદક સમીકરણો, યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1996, પૃષ્ઠ 95. આર. એમ. રેડહેફર, ડી. પોર્ટઃ વિભેદક સમીકરણોઃ થિયરી એન્ડ એપ્લિકેશન્સ, જોન્સ એન્ડ બાર્ટલેટ, 1991, પૃષ્ઠ 63. એચ. હ્યુઝરઃ ગેવોહ્નલિચે ડિફરન્શિયલગ્લીચુન્ગેન, વ્યુએગ + ટ્યુબનર, 2009, પૃષ્ઠ 120. બાહ્ય કડીઓ ઓર્થોગોનલ માર્ગોનું અન્વેષણ-એપ્લેટ વપરાશકર્તાને વણાંકોના પરિવારો અને તેમના ઓર્થોગોનલ માર્ગને દોરવાની મંજૂરી આપે છે. ગણિત વળાંકઃ ક્ષેત્ર રેખાઓ, બાહ્ય રેખાઓ, દ્વિગુણિત બાહ્ય પ્રણાલી વળાંક