Smoothness
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, કાર્યની સરળતા એ અમુક ક્ષેત્ર પર તેના સતત વ્યુત્પન્નની સંખ્યા દ્વારા માપવામાં આવતો ગુણધર્મ છે, જેને વિભેદક વર્ગ કહેવાય છે. ખૂબ જ ઓછા સમયે, કાર્યને સરળ ગણી શકાય જો તે દરેક જગ્યાએ વિકલનક્ષમ હોય (તેથી સતત). બીજા છેડે, તે તેના કાર્યક્ષેત્રમાં તમામ ક્રમના વ્યુત્પન્ન પણ ધરાવી શકે છે, આ કિસ્સામાં તે અનંત રીતે વિકલનક્ષમ હોવાનું કહેવાય છે અને તેને સી-અનંત કાર્ય (અથવા કાર્ય) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વિભેદક વર્ગ એ તેમના વ્યુત્પન્નના ગુણધર્મો અનુસાર કાર્યોનું વર્ગીકરણ છે. તે વ્યુત્પન્નના ઉચ્ચતમ ક્રમનું માપ છે જે અસ્તિત્વમાં છે અને કાર્ય માટે સતત છે. વાસ્તવિક રેખા પર ખુલ્લા સમૂહ અને વાસ્તવિક મૂલ્યો સાથે વ્યાખ્યાયિત કાર્યને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે k એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. જો ડેરિવેટિવ્ઝ અસ્તિત્વમાં હોય અને સતત ચાલુ હોય તો ફંક્શનને વિભેદક વર્ગનું કહેવામાં આવે છે. જો-વિધેયક્ષમ હોય, તો તે ઓછામાં ઓછું વર્ગમાં છે કારણ કે તે સતત ચાલુ છે. કાર્યને અનંત રીતે વિભેદક, સરળ અથવા વર્ગનું કહેવામાં આવે છે, જો તેમાં તમામ ઓર્ડરના વ્યુત્પન્ન હોય. (તેથી આ બધા વ્યુત્પન્ન સતત કાર્યો છે.) કાર્ય વર્ગનું અથવા વિશ્લેષણાત્મક હોવાનું કહેવાય છે, જો તે સરળ હોય (એટલે કે, વર્ગમાં હોય) અને તેના ક્ષેત્રના કોઈપણ બિંદુની આસપાસ તેની ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ બિંદુના કેટલાક પડોશમાં કાર્યમાં એકરૂપ થાય છે. આમ તે કડક રીતે સમાયેલ છે. બમ્પ ફંક્શન્સ એ કાર્યોના ઉદાહરણો છે પરંતુ કાર્યોમાં નહીં. અલગ રીતે કહીએ તો, વર્ગમાં તમામ સતત કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. વર્ગમાં તમામ વિકલનક્ષમ વિધેયોનો સમાવેશ થાય છે, જેમના વ્યુત્પન્ન સતત હોય છે; આવા વિધેયોને સતત વિકલનક્ષમ કહેવામાં આવે છે. આમ, કાર્ય એ બરાબર એક કાર્ય છે જેનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને તે વર્ગનું છે. સામાન્ય રીતે, વર્ગોને તમામ સતત વિધેયોના સમૂહ તરીકે જાહેર કરીને અને કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંકને તમામ વિકલનક્ષમ વિધેયોના સમૂહ તરીકે જાહેર કરીને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, તે દરેક માટે સમાયેલ છે, અને આ નિયંત્રણ કડક છે તે દર્શાવવા માટે ઉદાહરણો છે. અનંત વિભેદક કાર્યોનો વર્ગ એ વર્ગોનું આંતરછેદ છે જે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો પર બદલાય છે. ઉદાહરણોઃ સાતત્યપૂર્ણ (C0) પરંતુ વિભેદક નથી કાર્ય સતત છે, પરંતુ પર વિભેદક નથી, તેથી તે વર્ગ C0 નું છે, પરંતુ વર્ગ C1 નું નથી. ઉદાહરણ તરીકેઃ ફાઈનાઈટલી-ટાઈમ્સ ડિફરન્શીયેબલ (સી) દરેક સમ પૂર્ણાંક માટે, વિધેય સતત હોય છે અને ટાઈમ્સ ડિફરન્શીયેબલ હોય છે. જો કે, 'એટ' એ વખતમાં વિભેદક નથી, તે જ રીતે 'સી' વર્ગનું પણ છે, પરંતુ 'સી' વર્ગનું નથી. ઉદાહરણ તરીકેઃ વિકલનક્ષમ પરંતુ સતત વિકલનક્ષમ નહીં (C1 નહીં) આ વિધેય વિકલનક્ષમ સાથે વિકલનક્ષમ છે કારણ કે તે → 0 તરીકે દોલન કરે છે, તે શૂન્ય પર સતત નથી. તેથી, તે વિભેદક છે પરંતુ વર્ગ C1 નું નથી. ઉદાહરણ તરીકેઃ વિભેદક પરંતુ લિપ્સચિટ્ઝ સતત નહીં કાર્ય વિભેદક છે પરંતુ તેનું વ્યુત્પન્ન કોમ્પેક્ટ સમૂહ પર અમર્યાદિત છે. તેથી, તે એવા વિધેયનું ઉદાહરણ છે જે વિકલનક્ષમ છે પરંતુ સ્થાનિક રીતે સતત લિપશિટ્ઝ નથી. ઉદાહરણોઃ વિશ્લેષણાત્મક (C) ઘાતાંકીય કાર્ય વિશ્લેષણાત્મક છે, અને તેથી તે Cω વર્ગમાં આવે છે. ત્રિકોણમિતીય વિધેયો પણ વિશ્લેષણાત્મક હોય છે જ્યાં પણ તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ જટિલ ઘાતાંકીય વિધેયોના રેખીય સંયોજનો છે અને. ઉદાહરણોઃ સ્મૂથ (C) પરંતુ એનાલિટિક (C) નહીં બમ્પ ફંક્શન સ્મૂથ છે, તેથી ક્લાસ C ≤ નું, પરંતુ તે વિશ્લેષણાત્મક નથી, અને તેથી ક્લાસ Cω નું નથી. આ કાર્ય કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે સરળ કાર્યનું ઉદાહરણ છે. બહુપરીમાણીય વિભેદકતા વર્ગોના ખુલ્લા સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ કાર્ય, હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે વર્ગ પરનું હોવાનું કહેવાય છે, જો તમામ આંશિક વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં હોય અને સતત હોય, તો દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે, જેમ કે, અને દરેક. સમાનરૂપે, વર્ગ પર છે જો-th ક્રમ ફ્રેચેટ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને દરેક બિંદુ પર સતત છે. કાર્ય વર્ગનું હોવાનું કહેવાય છે અથવા જો તે સતત ચાલુ હોય તો. વર્ગના કાર્યો પણ સતત વિભેદક હોવાનું કહેવાય છે. જો તેના તમામ ઘટકો વર્ગના હોય, તો તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કુદરતી અંદાજો ક્યાં છે, હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, એક કાર્ય, ના ખુલ્લા સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત, વર્ગ પર હોવાનું કહેવાય છે. તેને વર્ગનું કહેવામાં આવે છે અથવા જો તે સતત હોય, અથવા સમકક્ષ, જો બધા ઘટકો સતત હોય, તો ચાલુ હોય છે. સી. કે. કાર્યોની જગ્યા ચાલો વાસ્તવિક રેખાનું ખુલ્લું સબસેટ હોઈએ. બધા વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોનો સમૂહ ફ્રેચેટ વેક્ટર સ્પેસ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં સેમિનોર્મ્સના ગણતરીપાત્ર પરિવાર હોય છે, જે કોમ્પેક્ટ સમૂહોના વધતા ક્રમમાં બદલાય છે, જેનું જોડાણ છે, અને. કાર્યોનો સમૂહ પણ ફ્રેચેટ જગ્યા બનાવે છે. એક ઉપરની જેમ જ સેમિનોર્મનો ઉપયોગ કરે છે, સિવાય કે તેને તમામ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યોની શ્રેણીમાં રાખવાની મંજૂરી છે. ઉપરોક્ત જગ્યાઓ કુદરતી રીતે એપ્લિકેશનોમાં જોવા મળે છે જ્યાં ચોક્કસ ક્રમના વ્યુત્પન્ન ધરાવતા કાર્યો જરૂરી હોય છે; જો કે, ખાસ કરીને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં, કેટલીકવાર સોબોલેવ જગ્યાઓને બદલે કામ કરવું વધુ ફળદાયી બની શકે છે. સાતત્ય પેરામેટ્રિક સાતત્ય (સી. કે.) અને ભૌમિતિક સાતત્ય (જી. એન.) શબ્દો બ્રાયન બાર્સ્કી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, તે બતાવવા માટે કે વળાંકની સરળતાને ઝડપ પરના પ્રતિબંધોને દૂર કરીને માપી શકાય છે, જેની સાથે પરિમાણ વળાંકને શોધી કાઢે છે. પેરામેટ્રિક સાતત્ય પેરામેટ્રિક સાતત્ય (સી. કે.) એ પેરામેટ્રિક વળાંક પર લાગુ કરાયેલ એક ખ્યાલ છે, જે વળાંક સાથેના અંતર સાથે પરિમાણના મૂલ્યની સરળતાનું વર્ણન કરે છે. એ (પેરામેટ્રિક) વળાંકને વર્ગ સી. કે. નો કહેવાય છે, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય અને સતત ચાલુ હોય, જ્યાં અંતિમ બિંદુઓ પર ડેરિવેટિવ્ઝ અને એક બાજુના ડેરિવેટિવ્ઝ (જમણી બાજુથી ડાબી બાજુથી) તરીકે લેવામાં આવે છે. આ ખ્યાલના વ્યવહારુ ઉપયોગ તરીકે, સમયના પરિમાણ સાથે ઑબ્જેક્ટની ગતિનું વર્ણન કરતી વળાંકમાં C1 સાતત્ય હોવું આવશ્યક છે અને તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન વિભેદક છે-ઑબ્જેક્ટ માટે મર્યાદિત પ્રવેગક હોવું જોઈએ. સરળ ગતિ માટે, જેમ કે ફિલ્મ બનાવતી વખતે કેમેરાના માર્ગ માટે, પેરામેટ્રિક સાતત્યના ઉચ્ચ ક્રમ જરૂરી છે. પેરામેટ્રિક સાતત્યનો ક્રમ પેરામેટ્રિક સાતત્યના વિવિધ ક્રમને નીચે મુજબ વર્ણવી શકાય છેઃ ઝીરોથ વ્યુત્પન્ન સતત છે (વળાંક સતત છે): ઝીરોથ અને પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સતત છેઃ ઝીરોથ, પ્રથમ અને બીજા વ્યુત્પન્ન સતત છેઃ 0 થી-th વ્યુત્પન્ન સતત ભૌમિતિક સાતત્ય છે ભૌમિતિક સાતત્ય અથવા ભૌમિતિક સાતત્ય (Gn) નો ખ્યાલ મુખ્યત્વે લીબનીઝ, કેપ્લર અને પોન્સલેટ જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા શંકુ વિભાગો (અને સંબંધિત આકારો) પર લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો. આ ખ્યાલ બીજગણિતને બદલે ભૂમિતિ દ્વારા, પેરામેટ્રિક કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવેલી સાતત્યની વિભાવનાનું વર્ણન કરવાનો પ્રારંભિક પ્રયાસ હતો. ભૌમિતિક સાતત્ય પાછળનો મૂળભૂત વિચાર એ હતો કે પાંચ શંકુ વિભાગો ખરેખર એક જ આકારના પાંચ અલગ-અલગ પ્રકારો હતા. જેમ જેમ ઉત્કેન્દ્રતા શૂન્યની નજીક પહોંચે છે તેમ લંબગોળ વર્તુળ તરફ વલણ ધરાવે છે, અથવા જેમ જેમ તે એક તરફ પહોંચે છે તેમ પરવલય તરફ વલણ ધરાવે છે; અને જેમ જેમ ઉત્કેન્દ્રતા એક તરફ ઘટે છે તેમ હાયપરબોલા પરવલય તરફ વલણ ધરાવે છે; તે રેખાઓને છેદવાનું પણ વલણ ધરાવે છે. આમ, શંકુ વિભાગો વચ્ચે સાતત્ય હતું. આ વિચારો સાતત્યની અન્ય વિભાવનાઓ તરફ દોરી ગયા. દાખલા તરીકે, જો વર્તુળ અને સીધી રેખા એક જ આકારની બે અભિવ્યક્તિઓ હોય, તો કદાચ એક રેખાને અનંત ત્રિજ્યાના વર્તુળ તરીકે વિચારી શકાય છે. આવું થાય તે માટે, વ્યક્તિએ વર્તુળ પર બિંદુને એક બિંદુ બનાવવાની મંજૂરી આપીને રેખા બંધ કરવી પડશે, અને માટે અને સમાન હોવું જોઈએ. આવા વિચારો આધુનિક, બીજગણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત, કાર્યની સાતત્યતાના વિચારની રચનામાં ઉપયોગી હતા અને (વધુ માટે પ્રોજેક્ટિવલી એક્સટેન્ડેડ રિયલ લાઇન જુઓ). ભૌમિતિક સાતત્યનો ક્રમ એક વળાંક અથવા સપાટીને સાતત્ય તરીકે વર્ણવી શકાય છે, જે સરળતાનું વધતું માપ છે. વળાંક પરના બિંદુની બંને બાજુના વિભાગોને ધ્યાનમાં લોઃઃ વળાંક જોડ બિંદુ પર સ્પર્શ કરે છે. : વળાંક પણ જોડ બિંદુ પર એક સામાન્ય સ્પર્શક દિશા વહેંચે છે. : વળાંક જોડ બિંદુ પર વળાંકનું સામાન્ય કેન્દ્ર પણ વહેંચે છે. સામાન્ય રીતે, સાતત્ય અસ્તિત્વમાં હોય છે જો વળાંકને (પેરામેટ્રિક) સાતત્ય રાખવા માટે ફરીથી માપવામાં આવે. વળાંકનું પુનરાવર્તન ભૌમિતિક રીતે મૂળ જેવું જ છે; માત્ર પરિમાણ પ્રભાવિત થાય છે. સમાનરૂપે, બે વેક્ટર કાર્યો અને જો અને, સ્કેલર માટે સાતત્ય ધરાવે છે (એટલે કે, જો દિશા, પરંતુ જરૂરી નથી કે બે વેક્ટરની તીવ્રતા સમાન હોય). તે સ્પષ્ટ હોઈ શકે છે કે વળાંકને સરળ દેખાવા માટે સાતત્યની જરૂર પડશે, સારા સૌંદર્ય શાસ્ત્ર માટે, જેમ કે સ્થાપત્ય અને સ્પોર્ટ્સ કાર ડિઝાઇનમાં ઈચ્છુક લોકો માટે, ઉચ્ચ સ્તરની ભૌમિતિક સાતત્ય જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં સુધી બોડીમાં સાતત્ય ન હોય ત્યાં સુધી કારના બોડીમાં પ્રતિબિંબ સરળ દેખાશે નહીં. A (ચાર ખૂણાઓ પર નેવું ડિગ્રી ગોળાકાર ચાપ સાથે) માં સાતત્ય હોય છે, પરંતુ તેમાં સાતત્ય હોતું નથી. એ જ a માટે સાચું છે, તેના ખૂણાઓ પર ગોળાના અષ્ટકો અને તેની ધાર સાથે ક્વાર્ટર-સિલિન્ડર છે. જો સાતત્ય સાથે સંપાદનક્ષમ વળાંક જરૂરી હોય, તો પછી સામાન્ય રીતે ક્યુબિક સ્પ્લાઇન પસંદ કરવામાં આવે છે; આ વળાંકનો ઔદ્યોગિક ડિઝાઇનમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. અન્ય વિભાવનાઓ વિશ્લેષણાત્મકતા સાથે સંબંધ જ્યારે તમામ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો "સરળ" હોય છે (એટલે કે. બધા ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોય છે) જે સેટ પર તેઓ વિશ્લેષણાત્મક હોય છે, બમ્પ ફંક્શન્સ (ઉપર ઉલ્લેખિત) જેવા ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે વાસ્તવિક પરનાં કાર્યો માટે વિપરીત સાચું નથીઃ ત્યાં સરળ વાસ્તવિક કાર્યો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે વિશ્લેષણાત્મક નથી. એવા કાર્યોના સરળ ઉદાહરણો કે જે કોઈપણ સમયે સરળ હોય પરંતુ વિશ્લેષણાત્મક ન હોય તે ફોરિયર શ્રેણીના માધ્યમથી બનાવી શકાય છે; બીજું ઉદાહરણ ફેબિયસ કાર્ય છે. તેમ છતાં એવું લાગે છે કે આવા કાર્યો નિયમને બદલે અપવાદ છે, તે તારણ આપે છે કે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો સરળ કાર્યોમાં ખૂબ જ પાતળા રીતે વેરવિખેર છે; વધુ સખત રીતે, વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો સરળ કાર્યોનો નજીવો સબસેટ બનાવે છે. વધુમાં, વાસ્તવિક રેખાના દરેક ખુલ્લા સબસેટ A માટે, ત્યાં સરળ કાર્યો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે A પર વિશ્લેષણાત્મક હોય છે અને બીજે ક્યાંય નહીં. વાસ્તવિક રેખા પર દિવ્ય સંખ્યાઓની સર્વવ્યાપકતા સાથે પરિસ્થિતિની સરખામણી કરવી ઉપયોગી છે. વાસ્તવિક રેખા અને સરળ વિધેયોના સમૂહ બંને પર, આપણે પ્રથમ વિચારમાં જે ઉદાહરણો સાથે આવીએ છીએ (બીજગણિત/તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો) તે મોટાભાગના કિસ્સાઓ કરતાં વધુ સારી રીતે વર્તવામાં આવે છેઃ દિવ્ય સંખ્યાઓ અને ક્યાંય પણ વિશ્લેષણાત્મક વિધેયો સંપૂર્ણ માપ ધરાવતા નથી (તેમના પૂરક અલ્પ છે). આ રીતે વર્ણવેલ પરિસ્થિતિ જટિલ વિભેદક કાર્યોથી સ્પષ્ટ રીતે વિપરીત છે. જો કોમ્પ્લેક્સ ફંક્શન ઓપન સેટ પર માત્ર એક જ વાર ડિફરન્શીયેબલ હોય, તો તે સેટ પર અનંત ડિફરન્શીયેબલ અને વિશ્લેષણાત્મક બંને હોય છે. એકતાના સરળ પાર્ટીશનો બંધ આધાર સાથે સરળ કાર્યોનો ઉપયોગ એકતાના સરળ પાર્ટીશનોના નિર્માણમાં થાય છે (એકતાનું વિભાજન અને ટોપોલોજી શબ્દાવલિ જુઓ); આ સરળ મેનીફોલ્ડ્સના અભ્યાસમાં જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે તે બતાવવા માટે કે રીમાનિયન મેટ્રિક્સને તેમના સ્થાનિક અસ્તિત્વથી શરૂ કરીને વૈશ્વિક સ્તરે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એક સરળ કેસ એ વાસ્તવિક રેખા પર બમ્પ ફંક્શનનો છે, એટલે કે, એક સરળ ફંક્શન f જે અંતરાલ [a, b] ની બહાર મૂલ્ય 0 લે છે અને એવું છે કે રેખા પર સંખ્યાબંધ ઓવરલેપિંગ અંતરાલોને ધ્યાનમાં રાખીને, બમ્પ ફંક્શનનું નિર્માણ કરી શકાય છે તેમાંના દરેક પર, અને અર્ધ-અનંત અંતરાલો પર અને સમગ્ર રેખાને આવરી લેવા માટે, જેમ કે કાર્યોનો સરવાળો હંમેશા 1 હોય છે. હમણાં જ જે કહેવામાં આવ્યું છે તેમાંથી, એકતાના વિભાજન હોલોમોર્ફિક કાર્યોને લાગુ પડતા નથી; અસ્તિત્વ અને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યને સંબંધિત તેમનું અલગ વર્તન શીફ સિદ્ધાંતના મૂળમાંથી એક છે. તેનાથી વિપરીત, સરળ કાર્યોના શીવ્સ વધુ ટોપોલોજિકલ માહિતી વહન કરતા નથી. મેનીફોલ્ડ્સ પર અને તેની વચ્ચે સરળ કાર્યો પરિમાણ અને એટલાસનો એક સરળ મેનીફોલ્ડ આપવામાં આવે તો પછી નકશો સરળ હોય છે જો બધા માટે એક ચાર્ટ અસ્તિત્વમાં હોય અને તે ઇનના પડોશથી એક સરળ કાર્ય હોય (આપેલ ક્રમ સુધીના તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોય છે). એટલાસના કોઈપણ ચાર્ટના સંદર્ભમાં સરળતા ચકાસી શકાય છે, કારણ કે ચાર્ટ્સ વચ્ચેના સંક્રમણ કાર્યો પરની સરળતાની જરૂરિયાતો એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જો એક ચાર્ટની નજીક સરળ હોય તો તે અન્ય કોઈપણ ચાર્ટની નજીક સરળ હશે. જો એક-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડનો નકશો હોય, તો તે સરળ હોય છે, જો દરેક માટે ત્યાં એક ચાર્ટ હોય અને એક ચાર્ટ હોય, અને મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના સરળ નકશામાંથી એક સરળ કાર્ય હોય, જે સ્પર્શક જગ્યાઓ વચ્ચે રેખીય નકશાને પ્રેરિત કરેઃ કારણ કે, દરેક બિંદુએ પુશફોરવર્ડ (અથવા વિભેદક) સ્પર્શક વેક્ટર પર સ્પર્શક વેક્ટરને અહીં નકશો કરે છેઃ અને સ્પર્શક બંડલના સ્તર પર, પુશફોરવર્ડ એ વેક્ટર બંડલ હોમોમોર્ફિઝમ છેઃ પુશફોરવર્ડ માટે દ્વિ પુલબેક છે, જે કોવેક્ટર્સને પાછળથી કોવેક્ટર્સ પર "ખેંચે છે" અને-સ્વરૂપોથી-સ્વરૂપોમાં ખેંચે છેઃ આ રીતે મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના સરળ કાર્યો સ્થાનિક ડેટાને પરિવહન કરી શકે છે, જેમ કે વેક્ટર ક્ષેત્રો અને વિભેદક સ્વરૂપો, એક મેનીફોલ્ડથી બીજા સુધી, અથવા નીચે. પ્રીમેજ અને સરળ કાર્યો સાથે આગળ ધપાવવું, સામાન્ય રીતે, વધારાની ધારણાઓ વિના મેનીફોલ્ડ્સ નથી. નિયમિત બિંદુઓની પ્રિમેજ (એટલે કે, જો પ્રિમેજ પર વિભેદક અદૃશ્ય ન થાય) મેનીફોલ્ડ્સ છે; આ પ્રિમેજ થીયરમ છે. તેવી જ રીતે, એમ્બેડિંગ્સ સાથે આગળ ધપાવવાનું બહુવિધ છે. મેનીફોલ્ડ્સના સબસેટ્સ વચ્ચે સરળ કાર્યો મેનીફોલ્ડ્સના મનસ્વી સબસેટ્સ માટે સરળ નકશાની અનુરૂપ કલ્પના છે. ઇફ એ એક કાર્ય છે જેનું ડોમેન અને શ્રેણી અનુક્રમે મેનીફોલ્ડ્સના સબસેટ છે. જો બધા માટે એક ઓપન સેટ હોય અને એક સ્મૂથ ફંક્શન હોય તો તેને સ્મૂથ કહેવામાં આવે છે જેમ કે બધા માટે જુઓ (નંબર થિયરી) સોબોલેવ મેપિંગ સંદર્ભો સ્મૂથ ફંક્શન્સ