Stationary phase approximation
ગણિતમાં, સ્થિર તબક્કાનો અંદાજ એ એસિમ્પ્ટોટિક વિશ્લેષણનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે, જે ઝડપથી બદલાતા જટિલ ઘાતાંકીય સામે એકીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલા કાર્યોને લાગુ પડે છે. આ પદ્ધતિ 19મી સદીથી ઉદ્ભવે છે, અને તે જ્યોર્જ ગેબ્રિએલ સ્ટોક્સ અને લોર્ડ કેલ્વિનને કારણે છે. તે લાપ્લાસની પદ્ધતિ અને સૌથી તીવ્ર ઉતરવાની પદ્ધતિ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, પરંતુ લાપ્લાસનું યોગદાન અન્ય કરતા આગળ છે. મૂળભૂત બાબતો સ્થિર તબક્કાની પદ્ધતિઓનો મુખ્ય વિચાર ઝડપથી બદલાતા તબક્કા સાથે સાઇનસોઈડ્સના રદ કરવા પર આધાર રાખે છે. જો ઘણા સાઇનસોઈડ્સનો એક જ તબક્કો હોય અને તેમને એકસાથે ઉમેરવામાં આવે, તો તેઓ રચનાત્મક રીતે ઉમેરશે. જો, જો કે, આ જ સાઇનસોઈડ્સના તબક્કાઓ હોય છે જે આવર્તનમાં ફેરફારની સાથે ઝડપથી બદલાય છે, તો તેઓ અસંગત રીતે ઉમેરશે, જે જુદા જુદા સમયે રચનાત્મક અને વિનાશક ઉમેરા વચ્ચે બદલાય છે. સૂત્ર લેટિંગ કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓના સમૂહને સૂચવે છે (એટલે કે. બિંદુઓ જ્યાં), એવી ધારણા હેઠળ કે જે કાં તો સઘન રીતે સમર્થિત છે અથવા ઘાતાંકીય સડો ધરાવે છે, અને તમામ નિર્ણાયક બિંદુઓ બિનઉત્પાદિત છે (એટલે કે. માટે) આપણી પાસે નીચેનું એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્ર છે, જેમ કેઃ અહીં હેસિયનને સૂચવે છે, અને હેસિયનની સહી સૂચવે છે, એટલે કે. હકારાત્મક આઈગન મૂલ્યોની સંખ્યા બાદ નકારાત્મક આઈગન મૂલ્યોની સંખ્યા. કારણ કે, આ ઘટાડે છેઃ આ કિસ્સામાં તમામ નિર્ણાયક બિંદુઓને ઘટાડવાની ધારણાઓ બિન-વિકૃત છે. આ સ્ટિપેસ્ટ ડિસેન્ટની પદ્ધતિ માટેના સૂત્રનું વિક-રોટેટેડ વર્ઝન છે. એક ઉદાહરણ એક કાર્યને ધ્યાનમાં લો. આ વિધેયમાં તબક્કો પદ,, જ્યારે અથવા તેની સમકક્ષ હોય ત્યારે સ્થિર હોય છે. આ સમીકરણના ઉકેલો કેટલાક માટે પ્રબળ આવર્તન આપે છે. જો આપણે ટેલર શ્રેણી તરીકે વિસ્તરણ કરીએ અને તેના કરતા વધુ ક્રમની શરતોની અવગણના કરીએ, તો આપણી પાસે બીજા વ્યુત્પન્નને સૂચવે છે. જ્યારે પ્રમાણમાં મોટો હોય, ત્યારે એક નાનો તફાવત પણ ઇન્ટિગ્રલની અંદર ઝડપી ઓસિલેશન પેદા કરશે, જે રદ કરવા તરફ દોરી જશે. તેથી આપણે ટેલર વિસ્તરણ માટેની મર્યાદાની બહાર એકીકરણની મર્યાદાને વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ. જો આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ,. . આ તેમાં સંકલિત થાય છે. ઘટાડાના પગલાં સામેલ સિદ્ધાંતનું પ્રથમ મુખ્ય સામાન્ય નિવેદન એ છે કે I (k) નું એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન માત્ર f ના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે. જો g ની પસંદગી દ્વારા ઇન્ટિગ્રલને જગ્યાના એવા પ્રદેશમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે જ્યાં f નો કોઈ નિર્ણાયક બિંદુ નથી, તો પરિણામી ઇન્ટિગ્રલ 0 તરફ વળે છે કારણ કે ઓસિલેશનની આવર્તનને અનંત પર લઈ જવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે રીમાન-લેબેસ્ગ્યુ લેમ્મા જુઓ. બીજું વિધાન એ છે કે જ્યારે f એ મોર્સ વિધેય હોય, જેથી f ના એકવચન બિંદુઓ બિન-વિકૃત અને અલગ હોય, ત્યારે પ્રશ્નને n = 1 કિસ્સામાં ઘટાડી શકાય છે. હકીકતમાં, પછી, દરેકમાં માત્ર એક નિર્ણાયક બિંદુ P ધરાવતા કિસ્સાઓમાં સંકલનને વિભાજિત કરવા માટે g ની પસંદગી કરી શકાય છે. તે સમયે, કારણ કે P પર હેસિયન નિર્ધારક ધારણા દ્વારા 0 નથી, મોર્સ લેમ્મા લાગુ પડે છે. કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફાર દ્વારા f દ્વારા બદલી શકાય છે. જે નું મૂલ્ય પી પર એફ ના હેસિયન મેટ્રિક્સની સહી દ્વારા આપવામાં આવે છે. જી માટે, આવશ્યક કેસ એ છે કે જી એ xi ના બમ્પ ફંક્શનનું ગુણાકાર છે. હવે સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના ધારો કે P એ મૂળ છે, અંતરાલ પર મૂલ્ય 1 સાથે સરળ બમ્પ ફંક્શન h લો અને ઝડપથી તેની બહાર 0 તરફ વલણ રાખો. લો, પછી ફુબિનીનો પ્રમેય I (k) ને f (x) = ±x2 ની જેમ વાસ્તવિક રેખા પરના સંકલનના ગુણાકારમાં ઘટાડે છે. બાદબાકી ચિહ્ન સાથેનો કેસ એ વત્તા ચિહ્ન સાથેનો કેસનો જટિલ સંયોજન છે, તેથી આવશ્યકપણે એક આવશ્યક એસિમ્પ્ટોટિક અંદાજ છે. આ રીતે મોર્સ કાર્યો માટે ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ માટે એસિમ્પ્ટોટિક્સ મળી શકે છે. ડીજનરેટ કેસમાં વધુ તકનીકોની જરૂર પડે છે (ઉદાહરણ તરીકે એરી ફંક્શન જુઓ). એક-પરિમાણીય કેસ આવશ્યક નિવેદન આ છેઃ હકીકતમાં સમોચ્ચ એકીકરણ દ્વારા તે દર્શાવી શકાય છે કે સમીકરણની જમણી બાજુએ મુખ્ય શબ્દ એ ડાબી બાજુએ અભિન્ન મૂલ્ય છે, જે શ્રેણી પર વિસ્તૃત છે (પુરાવા માટે ફ્રેસ્નલ અભિન્ન જુઓ). તેથી તે ઇન્ટિગ્રલ ઓવરનો અંદાજ કાઢવાનો પ્રશ્ન છે, કહો. આ તમામ એક-પરિમાણીય સંકલન માટેનું એક મોડેલ છે, જેમાં એક બિન-અપક્ષયી નિર્ણાયક બિંદુ હોય છે, જેના પર બીજું વ્યુત્પન્ન હોય છે. હકીકતમાં મોડેલ કેસમાં 0 પર બીજું વ્યુત્પન્ન 2 છે. ઉપયોગ કરીને માપવા માટે, અવલોકન કરો કે જ્યાં અચળ છે તેને બદલવું એ દ્વારા માપવા સમાન છે. તે અનુસરે છે કે સામાન્ય મૂલ્યો માટે, પરિબળ બને છે. જેમ અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, એક જટિલ સંયુગ્મ સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે. નીચલા ક્રમની શરતો સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્થિર તબક્કાનો અંદાજ એ અવિભાજ્યની એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકનો પ્રથમ ક્રમનો અંદાજ છે. નીચલા ક્રમની શરતોને સારી વર્તણૂક માટે વિવિધ વજન પરિબળો સાથે ઓવર ફેનમેન આકૃતિઓના સરવાળા તરીકે સમજી શકાય છે. ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીમાં કોમન ઇન્ટિગ્રલ્સ પણ જુઓ લેપલેસની મેથડ મેથડ ઓફ સ્ટીપેસ્ટ ડિસેન્ટ નોંધો સંદર્ભો બ્લિસ્ટેન, એન. અને હેન્ડલ્સમેન, આર. (1975), એસિમ્પ્ટોટિક એક્સપેન્શન્સ ઓફ ઇન્ટિગ્રલ્સ, ડોવર, ન્યૂ યોર્ક. વિક્ટર ગિલેમિન અને શ્લોમો સ્ટર્નબર્ગ (1990), ભૌમિતિક અસમપ્રમાણતા, (પ્રકરણ 1 જુઓ). . અકી, કેઇટી; અને રિચાર્ડ્સ, પોલ જી. (2002). "ક્વોન્ટિટેટિવ સિસ્મોલોજી" (બીજી આવૃત્તિ. ), pp 255-256. યુનિવર્સિટી સાયન્સ બુક્સ, વોંગ, આર. (2001), એસિમ્પ્ટોટિક એપ્રોક્સિમેશન્સ ઓફ ઇન્ટિગ્રલ્સ, ક્લાસિક્સ ઇન એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ, વોલ્યુમ. 34. 1989ના મૂળની સુધારેલી પુનઃમુદ્રણ. સોસાયટી ફોર ઇન્ડસ્ટ્રિયલ એન્ડ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ (SIAM), ફિલાડેલ્ફિયા, PA. xviii + 543 પૃષ્ઠો, ડ્યુડોન, જે. (1980), કેલ્ક્યુલ ઇન્ફિનિટસીમલ, હર્મન, પેરિસ એક્સટર્નલ લિંક્સ મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ પર્ટર્બેશન થિયરી