Spin structure
વિભેદક ભૂમિતિમાં, ઓરિએન્ટેબલ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર સ્પિન માળખું સંબંધિત સ્પિનોર બંડલ્સને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે વિભેદક ભૂમિતિમાં સ્પિનોરની કલ્પનાને જન્મ આપે છે. સ્પિન માળખાઓ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે વ્યાપક ઉપયોગો ધરાવે છે, ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત માટે જ્યાં તેઓ ચાર્જ વગરના ફર્મિઓન સાથેના કોઈપણ સિદ્ધાંતની વ્યાખ્યામાં આવશ્યક ઘટક છે. તેઓ વિભેદક ભૂમિતિ, બીજગણિત ટોપોલોજી અને કે સિદ્ધાંતમાં પણ સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક રસ ધરાવે છે. તેઓ સ્પિન ભૂમિતિ માટેનો પાયો બનાવે છે. ભૂમિતિ અને ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ પૂછે છે કે આપેલ લક્ષી રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ (એમ, જી) સ્પિનરોને સ્વીકારે છે કે નહીં. આ સમસ્યાનો સામનો કરવા માટેની એક પદ્ધતિ એ છે કે M પાસે સ્પિન માળખું હોવું જરૂરી છે. આ હંમેશા શક્ય નથી કારણ કે સ્પિન માળખાના અસ્તિત્વમાં સંભવિત રીતે ટોપોલોજિકલ અવરોધ છે. સ્પિન માળખાં અસ્તિત્વમાં રહેશે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એમનો બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ ડબલ્યુ 2 (એમ) એચ 2 (એમ, ઝેડ 2) અદૃશ્ય થઈ જાય. વધુમાં, જો ડબલ્યુ2 (એમ) = 0 હોય, તો એમ પર સ્પિન માળખાના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોનો સમૂહ એચ1 (એમ, ઝેડ2) દ્વારા મુક્તપણે અને અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે. જેમ કે મેનીફોલ્ડ એમ લક્ષી હોવાનું માનવામાં આવે છે, એમનો પ્રથમ સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ ડબલ્યુ 1 (એમ) bul એચ 1 (એમ, ઝેડ 2) પણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. (મેનીફોલ્ડ M ના સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગોને તેના સ્પર્શક બંડલ TM ના સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.) સ્પિનર્સનું બંડલ πS: S → M ઓવર M એ પછી સંબંધિત મુખ્ય બંડલ πP: P → M સાથે સંકળાયેલ જટિલ વેક્ટર બંડલ છે જે M પર સ્પિન ફ્રેમનું છે અને સ્પિનરોની જગ્યા પર તેના માળખા જૂથ સ્પિન (n) ની સ્પિન રજૂઆત છે. એમ પર આપેલ સ્પિન માળખા માટે બંડલ એસ ને સ્પિનોર બંડલ કહેવામાં આવે છે. મેનીફોલ્ડ પર સ્પિન માળખાની ચોક્કસ વ્યાખ્યા ફાઇબર બંડલની કલ્પના રજૂ થયા પછી જ શક્ય બની હતી; આન્દ્રે હેફ્લિગર (1956) ને ઓરિએન્ટેબલ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર સ્પિન માળખાના અસ્તિત્વમાં ટોપોલોજિકલ અવરોધ જોવા મળ્યો અને મેક્સ કારોબી (1968) એ આ પરિણામને નોન-ઓરિએન્ટેબલ સ્યુડો-રીમાનિયન કેસ સુધી લંબાવ્યું. રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પર સ્પિન સ્ટ્રક્ચર્સ વ્યાખ્યા ઓરિએન્ટેડ વેક્ટર બંડલ સાથે ઓરિએન્ટેબલ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર સ્પિન સ્ટ્રક્ચર એ ડબલ કવરિંગના સંદર્ભમાં ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમ બંડલની સમકક્ષ લિફ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જોડી એ SO (n)-મુખ્ય બંડલ પર સ્પિન માળખું છે જ્યારે a) એ મુખ્ય સ્પિન (n)-બંડલ ઓવર હોય છે, અને b) એ એક સમાન 2-ગણો આવરણ નકશો છે જેમ કે અને બધા માટે અને. બે સ્પિન માળખાં અને સમાન લક્ષી રીમાનિયન મેનીફોલ્ડને "સમકક્ષ" કહેવામાં આવે છે જો સ્પિન (એન)-સમકક્ષ નકશો અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે અને બધા માટે અને. આ કિસ્સામાં અને બે સમકક્ષ ડબલ આવરણ છે. મુખ્ય બંડલ પર સ્પિન સ્ટ્રક્ચર તરીકે સ્પિન સ્ટ્રક્ચરની વ્યાખ્યા આન્દ્રે હેફ્લિગર (1956) ને કારણે છે. અવરોધ હેફલાઇગરને લક્ષી રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ (એમ, જી) પર સ્પિન માળખાના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પૂરતી શરતો મળી. સ્પિન માળખું બનવામાં અવરોધ એ H2 (M, Z2) નું ચોક્કસ તત્વ [k] છે. સ્પિન માળખા માટે વર્ગ [k] એ એમ નો બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ ડબલ્યુ 2 (એમ) Π એચ 2 (એમ, ઝેડ 2) છે. તેથી, સ્પિન માળખું અસ્તિત્વમાં છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એમ નો બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ ડબલ્યુ 2 (એમ) Π એચ 2 (એમ, ઝેડ 2) અદૃશ્ય થઈ જાય. વેક્ટર બંડલ પર સ્પિન સ્ટ્રક્ચર્સ ચાલો M એ પેરાકોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ અને E એ ફાઇબર મેટ્રિકથી સજ્જ પરિમાણ n નું M પર લક્ષી વેક્ટર બંડલ હોય. આનો અર્થ એ છે કે M ના દરેક બિંદુ પર, E નો તંતુ એક આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા છે. E નું સ્પિનોર બંડલ એ M ના દરેક બિંદુ સાથે સ્પિન પ્રતિનિધિત્વને સતત સાંકળવા માટેનું એક પ્રિસ્ક્રિપ્શન છે. તે કરવા માટે સક્ષમ થવા માટે ટોપોલોજિકલ અવરોધો છે, અને પરિણામે, આપેલ બંડલ E કોઈપણ સ્પિનોર બંડલને સ્વીકારી શકશે નહીં. જો તે કરે છે, તો એક કહે છે કે બંડલ E સ્પિન છે. આને મુખ્ય બંડલની ભાષા દ્વારા સખત બનાવી શકાય છે. વેક્ટર બંડલની ઓરિએન્ટેડ ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમનો સંગ્રહ ફ્રેમ બંડલ પીએસઓ (ઇ) બનાવે છે, જે ખાસ ઓર્થોગોનલ જૂથ એસ. ઓ. (એન) ની ક્રિયા હેઠળ મુખ્ય બંડલ છે. પી. એસ. ઓ. (ઇ) માટે સ્પિન માળખું એ સ્પિન જૂથ સ્પિન (એન) ની ક્રિયા હેઠળ મુખ્ય બંડલ પી. એસ. પિન (ઇ) માટે પી. એસ. ઓ. (ઇ) નું લિફ્ટ છે, જેના દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે બંડલ નકશો અસ્તિત્વમાં છેઃ પી. એસ. પિન (ઇ) → પી. એસ. ઓ. (ઇ) જેમ કે, બધા માટે અને, સ્પિન જૂથને એસ. ઓ. (એન) ના ડબલ-કવર તરીકે રજૂ કરતા જૂથોનું મેપિંગ ક્યાં છે. ખાસ કિસ્સામાં જેમાં E એ બેઝ મેનીફોલ્ડ M પર સ્પર્શક બંડલ TM છે, જો સ્પિન માળખું અસ્તિત્વમાં હોય તો એમ કહે છે કે M એ સ્પિન મેનીફોલ્ડ છે. સમાનરૂપે M એ સ્પિન છે જો M ના સ્પર્શક તંતુઓના ઓર્થોનોર્મલ પાયાનું SO (n) મુખ્ય બંડલ મુખ્ય સ્પિન બંડલનો Z2 ભાગાકાર હોય. જો મેનીફોલ્ડમાં કોષનું વિઘટન અથવા ત્રિકોણ હોય, તો સ્પિન માળખાને સમાનરૂપે 1-કંકાલ પર સ્પર્શક બંડલના તુચ્છકરણના હોમોટૉપી-વર્ગ તરીકે વિચારી શકાય છે જે 2-કંકાલ પર વિસ્તરે છે. જો પરિમાણ 3 કરતા ઓછું હોય, તો પહેલા એક તુચ્છ રેખા બંડલ સાથે વ્હિટની રકમ લે છે. અવરોધ અને વર્ગીકરણ ઓરિએન્ટેબલ વેક્ટર બંડલ માટે સ્પિન માળખું અસ્તિત્વમાં છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ અદૃશ્ય થઈ જાય. આ આર્મંડ બોરેલ અને ફ્રેડરિક હિરઝેબ્રુચનું પરિણામ છે. વધુમાં, સ્પિનના કિસ્સામાં, સ્પિન માળખાઓની સંખ્યા સાથે દ્વિભાજનમાં હોય છે. સંબંધિત મુખ્ય-બંડલ માટે વર્ણપટ અનુક્રમ દલીલનો ઉપયોગ કરીને આ પરિણામોને સરળતાથી pg 110-111 સાબિત કરી શકાય છે. નોંધ લો કે આ ફાઇબ્રેશન આપે છે, તેથી સેર સ્પેક્ટ્રલ ક્રમ લાગુ કરી શકાય છે. સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સના સામાન્ય સિદ્ધાંત પરથી, ત્યાં એક ચોક્કસ ક્રમ છે. વધુમાં, અને કેટલાક ગાળણ માટે, તેથી આપણને ચોક્કસ ક્રમ આપતો નકશો મળે છે. હવે, સ્પિન માળખું એ વિનિમયાત્મક આકૃતિમાં ફીટ કરવાનું બરાબર બેવડું આવરણ છે જ્યાં બે ડાબી ઊભી નકશા બેવડાં આવરણ નકશા છે. હવે, ડબલ કવરિંગ્સ ઇન્ડેક્સ પેટાજૂથો સાથે બાયજેક્શનમાં છે, જે ગ્રુપ મોર્ફિઝમ્સના સમૂહ સાથે બાયજેક્શનમાં છે. પરંતુ, હ્યુરેવિઝ પ્રમેય અને ગુણાંકના પરિવર્તન પરથી, આ બરાબર કોહોમોલોજી જૂથ છે. સમાન દલીલને લાગુ કરતાં, બિન-તુચ્છ આવરણ અનુરૂપ છે, અને નકશો ચોક્કસપણે બીજા સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગનો છે, તેથી. જો તે અદૃશ્ય થઈ જાય, તો નકશાની નીચેની વિપરીત છબી સ્પિન સ્ટ્રક્ચર આપતા ડબલ આવરણોનો સમૂહ છે. હવે, આ ઉપગણને આની સાથે ઓળખી શકાય છે, આ પછીનું કોહોમોલોજી જૂથ વેક્ટર બંડલ પરના વિવિધ સ્પિન માળખાને વર્ગીકૃત કરે છે. આ ફાઇબ્રેશનના હોમોટૉપી જૂથોના લાંબા ચોક્કસ ક્રમને જોઈને અને કોહોમોલોજી જૂથોના ક્રમને લાગુ કરીને કરી શકાય છે કારણ કે કર્નલ છે, અને તેની વ્યસ્ત છબી કર્નલ સાથે દ્વિભાજનમાં છે, આપણી પાસે ઇચ્છિત પરિણામ છે. વર્ગીકરણ પર ટિપ્પણીઓ જ્યારે સ્પિન માળખાં અસ્તિત્વમાં હોય, ત્યારે મેનીફોલ્ડ પરની અસમાન સ્પિન માળખાઓ H1 (M, Z2) ના ઘટકો સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર (કેનોનિકલ નહીં) ધરાવે છે, જે સાર્વત્રિક ગુણાંક પ્રમેય દ્વારા H1 (M, Z2) માટે આઇસોમોર્ફિક છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, સ્પિન માળખાના સમરૂપતા વર્ગોની જગ્યા એ H1 (M, Z2) પર એક સંલગ્ન જગ્યા છે. સાહજિક રીતે, એમ પર દરેક બિન-તુચ્છ ચક્ર માટે સ્પિન માળખું એ દ્વિસંગી પસંદગીને અનુરૂપ છે કે જ્યારે કોઈ લૂપને ઘેરી લે છે ત્યારે એસ. ઓ. (એન) બંડલનો વિભાગ શીટ્સને સ્વિચ કરે છે કે કેમ. જો ડબલ્યુ 2 અદૃશ્ય થઈ જાય તો આ પસંદગીઓ બે-હાડપિંજર પર વિસ્તૃત થઈ શકે છે, પછી (અવરોધ સિદ્ધાંત દ્વારા) તેઓ આપમેળે તમામ એમ પર વિસ્તૃત થઈ શકે છે. કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આ દરેક લૂપની આસપાસ ફરતા ફર્મિઓન માટે સામયિક અથવા એન્ટીપેરિયોડિક સીમા શરતોની પસંદગીને અનુરૂપ છે. નોંધ લો કે કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ પર બીજા સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગની ગણતરી પ્રથમ ચેરન વર્ગ તરીકે કરી શકાય છે. ઉદાહરણો એ જીનસ જી રીમાન સપાટી 22 ગ્રામ અસમાન સ્પિન માળખાને સ્વીકારે છે; થીટા લાક્ષણિકતા જુઓ. જો H2 (M, Z2) અદૃશ્ય થઈ જાય, તો M સ્પિન છે. ઉદાહરણ તરીકે, Sn એ બધા માટે સ્પિન છે. (નોંધ કરો કે S2 પણ સ્પિન છે, પરંતુ વિવિધ કારણોસર; નીચે જુઓ.) જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન CP2 સ્પિન નથી. વધુ સામાન્ય રીતે, તમામ સમ-પરિમાણીય જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ CP2n સ્પિન નથી. તમામ વિષમ-પરિમાણીય જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ CP2n + 1 સ્પિન છે. પરિમાણ 3 કે તેથી ઓછા બધા કોમ્પેક્ટ, ઓરિએન્ટેબલ મેનીફોલ્ડ્સ સ્પિન છે. બધા કાલાબી-યૂ મેનીફોલ્ડ્સ સ્પિન છે. ગુણધર્મો સ્પિન મેનીફોલ્ડની જાતિ એક પૂર્ણાંક છે, અને જો વધુમાં પરિમાણ 4 મોડ 8 હોય તો તે એક સમ પૂર્ણાંક છે. સામાન્ય રીતે જીનસ એક તર્કસંગત અપરિવર્તનશીલ છે, જે કોઈપણ મેનીફોલ્ડ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ તે સામાન્ય રીતે પૂર્ણાંક નથી. આ મૂળરૂપે હિરઝેબ્રુચ અને બોરેલ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, અને અતિયાહ-સિંગર અનુક્રમણિકા પ્રમેય દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે, ડાયરેક ઓપરેટરની અનુક્રમણિકા તરીકે જીનસને અનુભવીને-ડાયરેક ઓપરેટર એ સેકન્ડ ઓર્ડર ઓપરેટરનું વર્ગમૂળ છે, અને સ્પિન માળખું "વર્ગમૂળ" હોવાને કારણે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. અનુક્રમણિકા પ્રમેય માટે આ એક પ્રેરક ઉદાહરણ હતું. સ્પિનસી માળખાં સ્પિનસી માળખું ઓરિએન્ટેડ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર સ્પિન માળખાને અનુરૂપ છે, પરંતુ સ્પિનસી જૂથનો ઉપયોગ કરે છે, જે તેના બદલે ચોક્કસ ક્રમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. યુ (એન) ના કેન્દ્રમાં સમાવેશમાંથી આવતા કર્ણ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, ઓળખના સ્કેલર ગુણાંક. આમ એક હોમોમોર્ફિઝમ છે આ હંમેશા કર્નલમાં તત્વ (−1, −1) હશે. ભાગાકાર મોડ્યુલો લેવાથી આ તત્વ જૂથ સ્પિનસી (એન) આપે છે. આ વળેલું ઉત્પાદન છે જ્યાં U (1) = SO (2) = S1 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્પિનસી (એન) જૂથ એ એસ1 દ્વારા એસ. ઓ. (એન) નું કેન્દ્રિય વિસ્તરણ છે. બીજી રીતે જોવામાં આવે તો, સ્પિનસી (એન) એ સામાન્ય ઝેડ 2 ના સંદર્ભમાં મેળવેલ ભાગાકાર જૂથ છે જે બંડલ માટે અને અનુક્રમે આવરણ પરિવર્તનની જોડી દ્વારા પેદા થાય છે. આ સ્પિનસી જૂથને ફાઇબર સ્પિન (એન) સાથે વર્તુળ પર એક બંડલ અને ફાઇબર સાથે એસ. ઓ. (એન) પર એક બંડલ બનાવે છે. મૂળભૂત જૂથ π1 (સ્પિનસી (એન)) એ જો n ષ્ણાંક 2 હોય તો Z માટે અને જો n = 2 હોય તો Z ષ્ણાંક Z માટે સમરૂપ છે. જો મેનીફોલ્ડમાં કોષનું વિઘટન અથવા ત્રિકોણ હોય, તો સ્પિનસી માળખાને સમાનરૂપે 2-કંકાલ પર જટિલ માળખાના સમસ્થાનિક વર્ગ તરીકે વિચારી શકાય છે જે 3-કંકાલ પર વિસ્તરે છે. એ જ રીતે સ્પિન સ્ટ્રક્ચર્સના કિસ્સામાં, જો મેનીફોલ્ડ વિષમ-પરિમાણીય હોય તો કોઈ તુચ્છ રેખા બંડલ સાથે વ્હિટની રકમ લે છે. હજુ બીજી વ્યાખ્યા એ છે કે મેનીફોલ્ડ એન પર સ્પિનસી માળખું એ સ્પિન માળખા સાથે મળીને એન પર એક જટિલ રેખા બંડલ એલ છે. અવરોધ એક સ્પિનસી માળખું ત્યારે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યારે બંડલ ઓરિએન્ટેબલ હોય અને બંડલ E નો બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ નકશાની છબીમાં હોય (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્રીજો અભિન્ન સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે). આ કિસ્સામાં એક કહે છે કે E એ સ્પિનસી છે. સાહજિક રીતે, લિફ્ટ કોઈપણ મેળવેલા સ્પિનસી બંડલના યુ (1) ભાગના ચોરસના ચેરન વર્ગને આપે છે. હોપ્ફ અને હિરઝેબ્રુકના પ્રમેય અનુસાર, બંધ ઓરિએન્ટેબલ 4-મેનિફોલ્ડ્સ હંમેશા સ્પિનસી માળખાને સ્વીકારે છે. વર્ગીકરણ જ્યારે મેનીફોલ્ડ સ્પિનસી માળખું બિલકુલ વહન કરે છે, ત્યારે સ્પિનસી માળખાઓનો સમૂહ એફીન સ્પેસ બનાવે છે. વધુમાં, સ્પિનસી માળખાઓના સમૂહમાં મુક્ત સંક્રમક ક્રિયા હોય છે. આમ, સ્પિનસી-રચનાઓ કુદરતી રીતે ન હોવા છતાં તેના તત્વોને અનુરૂપ છે. ભૌમિતિક ચિત્ર આ નીચેનું ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે, જે એડવર્ડ વિટનને કારણે છે. જ્યારે સ્પિનસી માળખું બિન-શૂન્ય હોય ત્યારે આ વર્ગમૂળના બંડલમાં બિન-સંકલિત ચેરન વર્ગ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તે ટ્રિપલ ઓવરલેપ શરતમાં નિષ્ફળ જાય છે. ખાસ કરીને, ત્રણ-માર્ગીય આંતરછેદ પર સંક્રમણ કાર્યોનું ઉત્પાદન હંમેશા એકની બરાબર હોતું નથી, જેમ કે મુખ્ય બંડલ માટે જરૂરી હોય છે. તેના બદલે તે ક્યારેક-1 હોય છે. આ નિષ્ફળતા અવરોધિત સ્પિન બંડલના સંક્રમણ કાર્યોના ત્રિપલ ઉત્પાદનોમાં સમાન નિષ્ફળતા તરીકે ચોક્કસપણે સમાન આંતરછેદો પર થાય છે. તેથી, સંપૂર્ણ સ્પિન બંડલના સંક્રમણ કાર્યોના ત્રિપલ ઉત્પાદનો, જે સ્પિન અને યુ (1) ઘટક બંડલના ત્રિપલ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનો છે, તે કાં તો અથવા તેથી સ્પિનસી બંડલ ટ્રિપલ ઓવરલેપ સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી તે કાયદેસર બંડલ છે. વિગતો ઉપરોક્ત સાહજિક ભૌમિતિક ચિત્રને નીચે પ્રમાણે નક્કર બનાવી શકાય છે. ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં બીજો તીર 2 વડે ગુણાકાર છે અને ત્રીજો ઘટાડો મોડ્યુલો 2 છે. આ કોહોમોલોજી પર એક લાંબો ચોક્કસ ક્રમ પ્રેરિત કરે છે, જેમાં બીજો તીર 2 દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા પ્રેરિત થાય છે, ત્રીજો પ્રતિબંધ મોડ્યુલો 2 દ્વારા પ્રેરિત થાય છે અને ચોથો સંકળાયેલ બોકસ્ટીન હોમોમોર્ફિઝમ β છે. સ્પિન બંડલના અસ્તિત્વમાં અવરોધ એ એક તત્વ W2 છે. તે એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે કોઈ વ્યક્તિ હંમેશા સ્થાનિક રીતે SO (n) બંડલને સ્પિન બંડલમાં ઉપાડી શકે છે, પરંતુ વ્યક્તિએ દરેક સંક્રમણ કાર્યની Z2 લિફ્ટ પસંદ કરવાની જરૂર છે, જે સંકેતની પસંદગી છે. જ્યારે ત્રિપલ ઓવરલેપ પર આ ત્રણ સંકેતોનું ગુણાકાર −1 હોય ત્યારે લિફ્ટ અસ્તિત્વમાં નથી, જે ડબલ્યુ2નું ચેચ કોહોમોલોજી ચિત્ર આપે છે. આ અવરોધને રદ કરવા માટે, એક વ્યક્તિ આ સ્પિન બંડલને સમાન અવરોધ W2 સાથે U (1) બંડલ સાથે ટેન્સર કરે છે. નોંધ લો કે આ બંડલ શબ્દનો દુરુપયોગ છે, કારણ કે ન તો સ્પિન બંડલ કે ન તો યુ (1) બંડલ ટ્રિપલ ઓવરલેપ સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી ન તો ખરેખર બંડલ છે. કાયદેસર યુ (1) બંડલને તેના ચેરન વર્ગ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે એચ2 (એમ, ઝેડ) નું એક તત્વ છે. ઉપરોક્ત ચોક્કસ ક્રમમાં પ્રથમ તત્વ સાથે આ વર્ગને ઓળખો. આગામી તીર આ ચેરન વર્ગને બમણો કરે છે, અને તેથી કાયદેસર બંડલ બીજામાં સમ ઘટકોને અનુરૂપ હશે, જ્યારે વિચિત્ર ઘટકો બંડલને અનુરૂપ હશે જે ટ્રિપલ ઓવરલેપ સ્થિતિને નિષ્ફળ કરે છે. અવરોધ પછી તીરની છબીમાં બીજા H2 (M, Z) માં તત્વની નિષ્ફળતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે, ચોકસાઈ દ્વારા, આગામી તીર હેઠળ H2 (M, Z2) માં તેની છબી દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. સ્પિન બંડલમાં અનુરૂપ અવરોધને રદ કરવા માટે, આ છબી ડબલ્યુ 2 હોવી જરૂરી છે. ખાસ કરીને, જો ડબલ્યુ 2 તીરની છબીમાં ન હોય, તો ડબલ્યુ 2 ની બરાબર અવરોધ સાથે કોઈ યુ (1) બંડલ અસ્તિત્વમાં નથી અને તેથી અવરોધ રદ કરી શકાતો નથી. ચોક્કસતા દ્વારા, ડબલ્યુ 2 એ અગાઉના તીરની છબીમાં માત્ર ત્યારે જ હોય છે જો તે આગામી તીરના કર્નલમાં હોય, જેને આપણે યાદ કરીએ છીએ તે બોકસ્ટીન હોમોમોર્ફિઝમ β છે. એટલે કે, અવરોધ રદ કરવાની શરત એ છે કે જ્યાં આપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કર્યો છે કે ત્રીજો અભિન્ન સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ W3 એ બીજા સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ W2 નો બોકસ્ટીન છે (આને W3 ની વ્યાખ્યા તરીકે લઈ શકાય છે). સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગોના ઇન્ટિગ્રલ લિફ્ટ્સ આ દલીલ એ પણ દર્શાવે છે કે બીજો સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગ માત્ર ઝેડ 2 કોહોમોલોજીના તત્વોને જ નહીં પરંતુ એક ઉચ્ચ ડિગ્રીમાં ઇન્ટિગ્રલ કોહોમોલોજીના તત્વોને પણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. હકીકતમાં સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગોના તમામ વર્ગોમાં પણ આવું જ છે. પરિણામી વર્ગો માટે વિચિત્ર ડિગ્રીમાં મોટા અક્ષર W નો ઉપયોગ કરવો પરંપરાગત છે, જેને અભિન્ન સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગો કહેવામાં આવે છે, અને તેમની ડિગ્રી દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે (જે હંમેશા વિચિત્ર હોય છે). ઉદાહરણો પરિમાણ 4 કે તેથી ઓછા બધા ઓરિએન્ટેડ સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ્સ સ્પિનસી છે. બધા લગભગ જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ સ્પિનસી છે. બધા સ્પિન મેનીફોલ્ડ્સ સ્પિનસી છે. કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમ સૂચવે છે કે ચાર્જ વગરના ફર્મિઓનનું તરંગ કાર્ય એ SO (N) બંડલ E ના સ્પિન લિફ્ટ સાથે સંકળાયેલ વેક્ટર બંડલનો એક વિભાગ છે. તેથી, સ્પિન સ્ટ્રક્ચરની પસંદગી એ તરંગ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જરૂરી ડેટાનો એક ભાગ છે, અને ઘણીવાર પાર્ટીશન કાર્યમાં આ પસંદગીઓનો સરવાળો કરવાની જરૂર પડે છે. ઘણા ભૌતિક સિદ્ધાંતોમાં E એ સ્પર્શક બંડલ છે, પરંતુ સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંતમાં D-બ્રેનના વિશ્વ વોલ્યુમ પરના ફર્મિઓન માટે તે એક સામાન્ય બંડલ છે. ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીમાં ચાર્જ સ્પિનર્સ એ સંકળાયેલ સ્પિંક બંડલ્સના વિભાગો છે, અને ખાસ કરીને કોઈ ચાર્જ સ્પિનર્સ એવી જગ્યા પર અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે નહીં જે સ્પિંક ન હોય. કેટલાક અતિ ગુરુત્વાકર્ષણ સિદ્ધાંતોમાં એક અપવાદ ઊભો થાય છે જ્યાં વધારાની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સૂચવે છે કે અન્ય ક્ષેત્રો ત્રીજા સ્ટીફેલ-વ્હિટની વર્ગને રદ કરી શકે છે. સુપરગ્રેવિટી અને સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં સ્પિનર્સનું ગાણિતિક વર્ણન એ ખાસ કરીને સૂક્ષ્મ ખુલ્લી સમસ્યા છે, જેને તાજેતરમાં સંદર્ભોમાં સંબોધવામાં આવી હતી. તે તારણ આપે છે કે સ્પિન સ્ટ્રક્ચરની પ્રમાણભૂત કલ્પના સુપરગ્રેવિટી અને સ્ટ્રિંગ થિયરીની એપ્લિકેશનો માટે ખૂબ પ્રતિબંધિત છે, અને આ સિદ્ધાંતોની ગાણિતિક રચના માટે સ્પિનોરિયલ સ્ટ્રક્ચરની સાચી કલ્પના "લિપ્સિટ્ઝ સ્ટ્રક્ચર" છે. મેટાપ્લેક્ટિક સ્ટ્રક્ચર ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમ બંડલ સ્પિનોર રેફરન્સ વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ સ્વેન-એસ. પોર્સ્ટ દ્વારા સ્પિન સ્ટ્રક્ચર્સ પર કંઈક. ગણિતના વિદ્યાર્થીઓ માટે અભિગમ અને સ્પિન સ્ટ્રક્ચર્સનો ટૂંકો પરિચય છે. રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પરની રચનાઓ મેનીફોલ્ડ્સ પરની રચનાઓ બીજગણિત ટોપોલોજી કે-થિયરી ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર