Method of lines
રેખાઓની પદ્ધતિ (એમ. ઓ. એલ., એન. એમ. ઓ. એલ., એન. યુ. એમ. ઓ. એલ.) એ આંશિક વિભેદક સમીકરણો (પી. ડી. ઈ.) ઉકેલવા માટેની એક તકનીક છે જેમાં એક પરિમાણ સિવાયના તમામ પરિમાણોને અલગ કરવામાં આવે છે. પી. ડી. ઈ. ને એક જ સતત પરિમાણમાં ઘટાડીને, રેખાઓની પદ્ધતિ ઉકેલોને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ઓ. ડી. ઈ.) અને વિભેદક-બીજગણિત સમીકરણો (ડી. એ. ઈ.) ના સંખ્યાત્મક એકીકરણ માટે વિકસાવવામાં આવેલી પદ્ધતિઓ અને સોફ્ટવેર દ્વારા ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. વર્ષોથી ઘણી જુદી જુદી પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં ઘણી એકીકરણ દિનચર્યાઓ વિકસાવવામાં આવી છે, અને કેટલીક ઓપન સોર્સ સંસાધનો તરીકે પ્રકાશિત કરવામાં આવી છે. રેખાઓની પદ્ધતિ મોટેભાગે આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓના નિર્માણ અથવા વિશ્લેષણનો સંદર્ભ આપે છે જે પહેલા માત્ર અવકાશી વ્યુત્પન્નને અલગ કરીને અને સમય ચલને સતત છોડીને આગળ વધે છે. આ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલી તરફ દોરી જાય છે જેના પર પ્રારંભિક મૂલ્ય સામાન્ય સમીકરણો માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે. આ સંદર્ભમાં રેખાઓની પદ્ધતિ ઓછામાં ઓછી 1960ના દાયકાની શરૂઆતની છે. ત્યારથી વિવિધ પ્રકારના આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે રેખાઓની પદ્ધતિની ચોકસાઈ અને સ્થિરતાની ચર્ચા કરતા ઘણા કાગળો પ્રકાશિત થયા છે. લંબગોળ સમીકરણોને MOL પર લાગુ કરવા માટે જરૂરી છે કે PDE સમસ્યા ઓછામાં ઓછા એક પરિમાણમાં પ્રારંભિક મૂલ્ય (કૌચી) સમસ્યા તરીકે સારી રીતે રજૂ કરવામાં આવે, કારણ કે ODE અને DAE સંકલનકારો પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યા (IVP) ઉકેલકો છે. આમ તેનો સીધા જ લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણો પર ઉપયોગ કરી શકાતો નથી, જેમ કે લાપ્લાસનું સમીકરણ. જો કે, ફોલ્સ ટ્રાન્ઝિઅન્ટ્સની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને લેપલેસના સમીકરણને ઉકેલવા માટે MOL નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. આ પદ્ધતિમાં, આશ્રિત ચલનું સમય વ્યુત્પન્ન લાપ્લાસના સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવે છે. પછી મર્યાદિત તફાવતોનો ઉપયોગ અવકાશી વ્યુત્પન્નોનો અંદાજ કાઢવા માટે કરવામાં આવે છે, અને સમીકરણોની પરિણામી પ્રણાલી MOL દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે. રેખાઓની અર્ધ-વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ દ્વારા લંબગોળ સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવું પણ શક્ય છે. આ પદ્ધતિમાં, વિવેકીકરણ પ્રક્રિયા ODE ના સમૂહમાં પરિણમે છે જે સંકળાયેલ ઘાતાંકીય મેટ્રિક્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. તાજેતરમાં, ફોલ્સ ટ્રાન્ઝિઅન્ટ્સની પદ્ધતિ સાથે સંકળાયેલા સ્થિરતાના મુદ્દાઓને દૂર કરવા માટે, એક વિક્ષેપ અભિગમ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો જે લંબગોળ PDE ની વિશાળ શ્રેણી માટે ફોલ્સ ટ્રાન્ઝિઅન્ટ્સની પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ કરતાં વધુ મજબૂત હોવાનું જણાયું હતું. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ રેખાઓની ખોટી ક્ષણિક પદ્ધતિ-નમૂના કોડ રેખાઓની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ સંખ્યાત્મક વિભેદક સમીકરણો આંશિક વિભેદક સમીકરણો