Thin group (combinatorial group theory)
ગણિતમાં, જૂથ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં, જૂથને પાતળું કહેવામાં આવે છે જો કોઈ પણ મર્યાદિત જનરેટિંગ સેટ દ્વારા પ્રેરિત કેલે ગ્રાફના ઘેર પર મર્યાદિત ઉપલી સીમા હોય. જો જૂથ પાતળું ન હોય તો તેને ચરબી કહેવામાં આવે છે. જૂથના કોઈપણ જનરેટિંગ સમૂહને જોતાં, આપણે એવા આલેખને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે જેના શિરોબિંદુઓ જૂથના ઘટકો હોય અને બે શિરોબિંદુઓ અડીને હોય, જો તેમનો ગુણોત્તર જનરેટિંગ સમૂહમાં હોય. આલેખ જોડાયેલ છે અને શિરોબિંદુ સંક્રમક છે. આલેખમાં પાથ જનરેટરમાં શબ્દોને અનુરૂપ છે. જો આલેખમાં આપેલ લંબાઈનું ચક્ર હોય, તો તેમાં ઓળખ તત્વ ધરાવતું સમાન લંબાઈનું ચક્ર હોય છે. આમ, આલેખનો ઘેરો બિન-તુચ્છ શબ્દની લઘુતમ લંબાઈને અનુરૂપ છે જે ઓળખને ઘટાડે છે. બિન-તુચ્છ શબ્દ એ એક એવો શબ્દ છે, જે જો મુક્ત જૂથમાં એક શબ્દ તરીકે જોવામાં આવે, તો તે ઓળખમાં ઘટાડો થતો નથી. જો આલેખમાં કોઈ ચક્ર ન હોય, તો તેનો ઘેરો અનંત તરીકે સેટ કરવામાં આવે છે. ઘેરાવો સેટ બનાવવાની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. પાતળું જૂથ એ એક એવું જૂથ છે જ્યાં તમામ મર્યાદિત જનરેટિંગ સમૂહો માટે ઘેરાની ઉપરની સીમા હોય છે. પાતળા અને ચરબીવાળા જૂથો અને ઘેર વિશેની કેટલીક હકીકતોઃ દરેક મર્યાદિત જૂથ પાતળું હોય છે. દરેક મુક્ત જૂથ જાડું હોય છે. ચક્રીય જૂથનો ઘેરો તેના ક્રમ બરાબર હોય છે. બિન-ચક્રીય અબેલિયન જૂથનો ઘેરાવો વધુમાં વધુ 4 છે, કારણ કે કોઈપણ બે ઘટકો પરિવર્તન કરે છે અને પરિવર્તન સંબંધ બિન-તુચ્છ શબ્દ આપે છે. ડાયહેડ્રલ જૂથનો ઘેર 2 છે. દરેક નિલપોટેન્ટ જૂથ, અને વધુ સામાન્ય રીતે, દરેક ઉકેલવા યોગ્ય જૂથ પાતળું હોય છે. બાહ્ય કડીઓ જૂથોના પરિઘ પરનું પ્રારંભિક પેપર જૂથોના ગુણધર્મો