Catmull–Clark subdivision surface
કેટમુલ-ક્લાર્ક અલ્ગોરિધમ એ 3ડી કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ઉપયોગમાં લેવાતી એક તકનીક છે જેનો ઉપયોગ પેટાવિભાગની સપાટીના મોડેલિંગનો ઉપયોગ કરીને વક્ર સપાટીઓ બનાવવા માટે થાય છે. તે 1978 માં એડવિન કેટમુલ અને જિમ ક્લાર્ક દ્વારા દ્વિ-સમઘન એકસમાન બી-સ્પ્લાઇન સપાટીઓના મનસ્વી ટોપોલોજીના સામાન્યીકરણ તરીકે તૈયાર કરવામાં આવ્યું હતું. 2005માં, એડવિન કેટમુલે ટોની ડીરોઝ અને જોસ સ્ટેમ સાથે મળીને તેમની શોધ અને પેટાવિભાગની સપાટીઓના ઉપયોગ માટે ટેકનિકલ સિદ્ધિ માટે એકેડેમી એવોર્ડ મેળવ્યો હતો. ડીરોઝે "કાર્યક્ષમ, વાજબી પ્રક્ષેપણ" અને પાત્ર એનિમેશન વિશે લખ્યું હતું. સ્ટેમે પુનરાવર્તન વિના મર્યાદા સપાટીના સીધા મૂલ્યાંકન માટેની તકનીકનું વર્ણન કર્યું. પુનરાવર્તિત મૂલ્યાંકન કેટમુલ-ક્લાર્ક સપાટીઓને નીચેની શુદ્ધિકરણ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મનસ્વી પોલિહેડ્રોનની જાળીથી શરૂઆત કરો. આ જાળીમાંના તમામ શિરોબિંદુઓને મૂળ બિંદુઓ કહેવામાં આવશે. દરેક ચહેરા માટે, એક ફેસ પોઇન્ટ ઉમેરો દરેક ફેસ પોઇન્ટને સંબંધિત ચહેરા માટેના તમામ મૂળ બિંદુઓની સરેરાશ તરીકે સેટ કરો દરેક ધાર માટે, એક ધાર બિંદુ ઉમેરો. દરેક ધાર બિંદુને બે પડોશી મુખ બિંદુઓ (એએફ) અને ધારના મધ્યબિંદુ (એમઇ) ની સરેરાશ તરીકે સેટ કરો દરેક મૂળ બિંદુ (પી) માટે, પી ને સ્પર્શતા ચહેરાઓ માટે તમામ એન (તાજેતરમાં બનાવેલા) મુખ બિંદુઓની સરેરાશ (એફ) લો, અને પી ને સ્પર્શતી મૂળ ધાર માટે તમામ એન ધાર મધ્યબિંદુઓની સરેરાશ (આર) લો, જ્યાં દરેક ધાર મધ્યબિંદુ તેના બે અંતિમ બિંદુ શિરોબિંદુઓની સરેરાશ છે (ઉપરના નવા ધાર બિંદુઓ સાથે મૂંઝવણ ન કરવી). (નોંધ કરો કે શિરોબિંદુ પી ના દ્રષ્ટિકોણથી, પડોશી ધારની સંખ્યા પણ નજીકના ચહેરાઓની સંખ્યા છે, તેથી એન) દરેક મૂળ બિંદુને નવા શિરોબિંદુ પર ખસેડો (આ સંબંધિત વજન (એન-3), 2 અને 1 સાથે પી, આર અને એફનું બેરિસેન્ટર છે) નવી જાળીમાં ધાર અને ચહેરા બનાવો દરેક નવા ચહેરાના બિંદુને મૂળ ચહેરાને વ્યાખ્યાયિત કરતી તમામ મૂળ ધારના નવા ધાર બિંદુઓ સાથે જોડો દરેક નવા શિરોબિંદુને મૂળ શિરોબિંદુ પર બનેલી તમામ મૂળ ધારના નવા ધાર બિંદુઓ સાથે જોડો ધાર દ્વારા બંધ નવા ચહેરાને વ્યાખ્યાયિત કરો ગુણધર્મો નવી જાળીમાં ફક્ત ચતુર્ભુજ હશે, જે સામાન્ય રીતે સમતલ નહીં હોય. નવી જાળી સામાન્ય રીતે "સરળ" દેખાશે (એટલે કે. જૂની જાળી કરતાં ઓછી "દાંતાળું" અથવા "પોઇન્ટી"). પુનરાવર્તિત પેટાવિભાગનું પરિણામ જાળીમાં આવે છે જે વધુને વધુ ગોળ હોય છે. મનસ્વી દેખાતા બેરિસેન્ટર સૂત્રને કેટમુલ અને ક્લાર્ક દ્વારા ગાણિતિક વ્યુત્પત્તિને બદલે પરિણામી સપાટીઓના સૌંદર્યલક્ષી દેખાવના આધારે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું, જો કે તેઓ પદ્ધતિ બાયક્યુબિક બી-સ્પ્લાઇન સપાટીઓમાં એકરૂપ થાય છે તે સખત રીતે બતાવવા માટે ખૂબ જ આગળ વધે છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે આ શુદ્ધિકરણ પ્રક્રિયા દ્વારા મેળવવામાં આવેલી મર્યાદા સપાટી ઓછામાં ઓછી અસાધારણ શિરોબિંદુઓ પર અને દરેક જગ્યાએ હોય છે (જ્યારે n સૂચવે છે કે કેટલા વ્યુત્પન્ન સતત છે, ત્યારે આપણે સાતત્યની વાત કરીએ છીએ). એક પુનરાવર્તન પછી, સપાટી પરના અસાધારણ બિંદુઓની સંખ્યા સ્થિર રહે છે. ચોક્કસ મૂલ્યાંકન કેટમુલ-ક્લાર્ક પેટાવિભાગની સપાટીઓની મર્યાદા સપાટીનું પણ કોઈપણ પુનરાવર્તિત શુદ્ધિકરણ વિના સીધું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. આ જોસ સ્ટેમ (1998) ની તકનીક દ્વારા પરિપૂર્ણ કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિ પુનરાવર્તિત શુદ્ધિકરણ પ્રક્રિયાને મેટ્રિક્સ ઘાતાંકીય સમસ્યામાં ફેરવે છે, જેને મેટ્રિક્સ વિકર્ણકરણ દ્વારા સીધા જ ઉકેલી શકાય છે. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરતું સોફ્ટવેર 3ds મેક્સ 3D-કોટ AC3D એનિમે8 અથવા ઑટોકૅડ બ્લેન્ડર કરારા CATIA (કલ્પના કરો અને આકાર આપો) CGAL ચિત્તા 3D સિનેમા 4D Clara.io ક્રેઓ (ફ્રીસ્ટાઇલ) ડેઝ સ્ટુડિયો, 2. DeleD કોમ્યુનિટી એડિશન ડીલીટ ડીઝાઈનર હેમર હેક્સાગોન હૌદિની લાઇટવેવ 3D, વર્ઝન 9 મેકહ્યુમન માયા મેટાસેક્વોઇયા મોડો મડબોક્સ પાવર સર્ફિંગ સોલિડવર્ક્સ પિક્સારના ઓપનસબ્દિવ PRMan રિયલસોફ્ટ 3D રેમો 3D શેડ ગેંડા 3D-ગ્રાસશોપર 3D પ્લગઇન-વીવરબર્ડ પ્લગઇન સિલો સ્કેચઅપ સોફ્ટિમેજ XSI સ્ટ્રેટા 3D CX વિંગ્સ 3D ઝેડબ્રશ પણ જુઓ કોનવે પોલિહેડ્રોન નોટેશન-સંબંધિત ટોપોલોજિકલ પોલિહેડ્રોન અને પોલિગોનલ મેશ ઓપરેટર્સનો સમૂહ. ડૂ-સબિન પેટાવિભાગ સપાટી લૂપ પેટાવિભાગ સપાટી સંદર્ભો વધુ વાંચન પ્રીપ્રિન્ટ મેથિયસ નીયસનર, ચાર્લ્સ લૂપ, માર્ક મેયર, ટોની ડીરોઝ, "ફીચર એડેપ્ટિવ જી. પી. યુ. રેન્ડરિંગ ઓફ કેટમુલ-ક્લાર્ક સબડિવિઝન સર્ફેસ", એસીએમ ટ્રાન્ઝેક્શન્સ ઓન ગ્રાફિક્સ વોલ્યુમ 31 ઇશ્યૂ 1, જાન્યુઆરી 2012, ડેમો નીયસનર, મેથિયાસ; લૂપ, ચાર્લ્સ; ગ્રીનર, ગુંથરઃ કેટમુલ-ક્લાર્ક સબડિવિઝન સર્ફેસમાં અર્ધ-સ્મૂથ ક્રીઝનું કાર્યક્ષમ મૂલ્યાંકનઃ યુરોગ્રાફિક્સ 2012 એનેક્સઃ ટૂંકા કાગળો (યુરોગ્રાફિક્સ 2012, કેગ્લેરી). 2012, pp 41-44. વેડ બ્રેનેર્ડ, ટેસેલેશન ઇન કોલ ઓફ ડ્યુટીઃ ઘોસ્ટ્સને SIGGRAPH2014 ટ્યુટોરીયલ ડી. ડૂ અને એમ. સબિનઃ અસાધારણ બિંદુઓની નજીક પુનરાવર્તિત વિભાજન સપાટીઓનું વર્તન, કમ્પ્યુટર-સહાયિત ડિઝાઇન, 10 (6) 356-360 (1978), (ડોઈ, પીડીએફ) 3D કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ મલ્ટિવેરિયેટ ઇન્ટરપોલેશન તરીકે પણ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું.