Molar heat capacity
રાસાયણિક પદાર્થની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા એ ઊર્જાની માત્રા છે જે તેના તાપમાનમાં એક એકમનો વધારો કરવા માટે પદાર્થના એક મોલમાં ગરમીના રૂપમાં ઉમેરવી આવશ્યક છે. વૈકલ્પિક રીતે, તે પદાર્થના નમૂનાની ઉષ્મા ક્ષમતા છે જેને નમૂનાના પદાર્થની માત્રા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે; અથવા પદાર્થની ચોક્કસ ઉષ્મા ક્ષમતા તેના દાઢના જથ્થાને ગુણાકાર કરે છે. મોલર ઉષ્મા ક્ષમતાનો એસ. આઈ. એકમ જૂલ પ્રતિ કેલ્વિન પ્રતિ મોલ છે, જે. કે. −1 ⋅ મોલ −1 છે. ચોક્કસ ગરમીની જેમ, પદાર્થની માપવામાં આવેલી દાઢ ગરમી ક્ષમતા, ખાસ કરીને ગેસ, જ્યારે નમૂનાને ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે (સતત દબાણ અથવા આઇસોબેરિક પર) તેને વિસ્તૃત કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવે ત્યારે તે નોંધપાત્ર રીતે વધારે હોઈ શકે છે, જ્યારે તેને બંધ પાત્રમાં ગરમ કરવામાં આવે છે જે વિસ્તરણને અટકાવે છે (સતત કદ અથવા આઇસોચોરિક પર). જો કે, બંને વચ્ચેનો ગુણોત્તર અનુરૂપ ચોક્કસ ઉષ્મા ક્ષમતાઓમાંથી મેળવેલ સમાન ઉષ્મા ક્ષમતા ગુણોત્તર છે. આ ગુણધર્મ રસાયણશાસ્ત્રમાં સૌથી વધુ સુસંગત છે, જ્યારે પદાર્થોની માત્રા ઘણીવાર દળ અથવા કદને બદલે મોલમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા સામાન્ય રીતે દાઢ સમૂહ સાથે વધે છે, ઘણીવાર તાપમાન અને દબાણ સાથે બદલાય છે, અને દ્રવ્યની દરેક સ્થિતિ માટે અલગ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વાતાવરણીય દબાણ પર, ગલનબિંદુની ઉપર પાણીની (આઇસોબેરિક) મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા લગભગ 76 J ⋅ K−1 ⋅ mol−1 હોય છે, પરંતુ તે બિંદુની નીચે બરફની ઉષ્મા ક્ષમતા લગભગ 37.84 J ⋅ K−1 ⋅ mol−1 હોય છે. જ્યારે પદાર્થ તબક્કા સંક્રમણમાંથી પસાર થઈ રહ્યો હોય, જેમ કે ઓગળવું અથવા ઉકળવું, તેની દાઢ ગરમીની ક્ષમતા તકનીકી રીતે અનંત છે, કારણ કે ગરમી તેના તાપમાનને વધારવાને બદલે તેની સ્થિતિને બદલવામાં જાય છે. આ ખ્યાલ એવા પદાર્થો માટે યોગ્ય નથી કે જેમની ચોક્કસ રચના જાણીતી નથી, અથવા જેમના દાઢનું દળ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, જેમ કે અનિશ્ચિત પરમાણુ કદના પોલિમર અને ઓલિગોમર્સ. પદાર્થની નજીકથી સંબંધિત મિલકત એ અણુઓના મોલ દીઠ ઉષ્મા ક્ષમતા અથવા અણુ-ધ્રુવીય ઉષ્મા ક્ષમતા છે, જેમાં નમૂનાની ઉષ્મા ક્ષમતાને અણુઓના મોલને બદલે અણુઓના મોલની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પાણીની અણુ-મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા તેની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતાના 1/3 છે, એટલે કે 25.3 J ષ્ણ K − 1 ષ્ણ mol − 1. અનૌપચારિક રસાયણશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં, દાઢની ઉષ્મા ક્ષમતાને માત્ર "ઉષ્મા ક્ષમતા" અથવા "વિશિષ્ટ ઉષ્મા" કહી શકાય. જો કે, આંતરરાષ્ટ્રીય ધોરણો હવે ભલામણ કરે છે કે સંભવિત મૂંઝવણને ટાળવા માટે "ચોક્કસ ઉષ્મા ક્ષમતા" હંમેશા દળના એકમ દીઠ ક્ષમતાનો સંદર્ભ આપે છે. તેથી, આ માત્રા માટે હંમેશા "વિશિષ્ટ" નહીં પણ "દાઢ" શબ્દનો ઉપયોગ થવો જોઈએ. વ્યાખ્યા પદાર્થની દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા, જેને સે. મી. દ્વારા સૂચવી શકાય છે, તે પદાર્થના નમૂનાની ઉષ્મા ક્ષમતા C છે, જેને નમૂનામાં પદાર્થની માત્રા (મોલ્સ) n દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છેઃ સે. મી. જ્યાં Q એ નમૂનાનું તાપમાન ΔT દ્વારા વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માની માત્રા છે. દેખીતી રીતે, જ્યારે n જાણીતું અથવા વ્યાખ્યાયિત ન હોય ત્યારે આ પરિમાણની ગણતરી કરી શકાતી નથી. પદાર્થની ઉષ્મા ક્ષમતાની જેમ, પદાર્થની દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા પણ બદલાઈ શકે છે, કેટલીકવાર નોંધપાત્ર રીતે, તે નમૂનાના પ્રારંભિક તાપમાન T અને તેના પર લાગુ દબાણ P પર આધારિત હોય છે. તેથી, તેને તે બે ચલોનું ફંક્શન cm (P, T) ગણવું જોઈએ. આ પરિમાણો સામાન્ય રીતે પદાર્થની દાઢ ગરમી ક્ષમતા આપતી વખતે સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "H2O: 75.338 J ષ્ણ K − 1 ષ્ણ mol − 1 (25 °C, 101.325 kPa)" જ્યારે નિર્દિષ્ટ ન હોય ત્યારે, દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા cm ના પ્રકાશિત મૂલ્યો સામાન્ય રીતે તાપમાન અને દબાણ માટે કેટલીક પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિઓ માટે માન્ય હોય છે. જો કે, પ્રારંભિક તાપમાન અને દબાણ પર સે. મી. (પી, ટી) ની નિર્ભરતાને ઘણીવાર વ્યવહારુ સંદર્ભોમાં અવગણી શકાય છે, દા. ત. તે ચલની સાંકડી શ્રેણીમાં કામ કરતી વખતે. તે સંદર્ભોમાં સામાન્ય રીતે ક્વોલિફાયર (પી, ટી) ને અવગણી શકાય છે, અને તે શ્રેણીઓ માટે યોગ્ય સ્થિર સે. મી. દ્વારા દાઢ ગરમી ક્ષમતાનો અંદાજ લગાવી શકાય છે. કોઈ પદાર્થની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા એ પદાર્થના મોલર દળની સી ગણી ચોક્કસ ઉષ્મા હોવાથી તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય સામાન્ય રીતે ચોક્કસ ઉષ્મા કરતાં ઓછું હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પેરાફિન મીણની ચોક્કસ ઉષ્મા લગભગ હોય છે પરંતુ તેની દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા લગભગ હોય છે. દાઢ ગરમી ક્ષમતા એ પદાર્થનો "સઘન" ગુણધર્મ છે, જે એક આંતરિક લાક્ષણિકતા છે જે ધ્યાનમાં લેવાતી રકમના કદ અથવા આકાર પર આધારિત નથી. (વિસ્તૃત મિલકતની સામે "વિશિષ્ટ" ક્વોલિફાયર ઘણીવાર તેમાંથી મેળવેલ સઘન મિલકત સૂચવે છે.) ફેરફારો પદાર્થમાં ઉષ્મા ઊર્જાનું ઈન્જેક્શન, તેનું તાપમાન વધારવા ઉપરાંત, સામાન્ય રીતે તેના કદ અથવા તેના દબાણમાં વધારો કરે છે, જે નમૂના કેવી રીતે મર્યાદિત છે તેના પર આધાર રાખે છે. પછીના વિશે કરવામાં આવેલી પસંદગી માપવામાં આવેલી દાઢ ગરમીની ક્ષમતાને અસર કરે છે, તે જ પ્રારંભિક દબાણ પી અને પ્રારંભિક તાપમાન ટી માટે પણ. બે ચોક્કસ પસંદગીઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છેઃ જો દબાણ સ્થિર રાખવામાં આવે (ઉદાહરણ તરીકે, આસપાસના વાતાવરણીય દબાણ પર), અને નમૂનાને વિસ્તૃત કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવે, તો વિસ્તરણ કાર્ય ઉત્પન્ન કરે છે કારણ કે દબાણમાંથી બળ ઘેરાને વિસ્થાપિત કરે છે. તે કાર્ય પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા ઊર્જામાંથી આવવું જોઈએ. આ રીતે મેળવેલ મૂલ્ય સતત દબાણ (અથવા આઇસોબેરિક) પર મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા હોવાનું કહેવાય છે, અને તેને ઘણીવાર સી. પી., એમ., સી. પી., એમ., સી. પી., એમ., વગેરે તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, જો વિસ્તરણ અટકાવવામાં આવે છે-ઉદાહરણ તરીકે પૂરતા પ્રમાણમાં સખત આવરણ દ્વારા, અથવા આંતરિક આવરણનો સામનો કરવા માટે બાહ્ય દબાણ વધારીને-કોઈ કાર્ય ઉત્પન્ન થતું નથી, અને તેમાં જે ઉષ્મા ઊર્જા ગઈ હોત તે તેના બદલે પદાર્થની આંતરિક ઊર્જામાં ફાળો આપવી જોઈએ, જેમાં તેના તાપમાનમાં વધારાની માત્રામાં વધારો કરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ રીતે મેળવેલ મૂલ્ય સ્થિર કદ (અથવા આઇસોકોરિક) પર મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા હોવાનું કહેવાય છે અને સી. વી., એમ., સી. વી., એમ., સી. વી., એમ., વગેરે સૂચવે છે. cV, m નું મૂલ્ય હંમેશા cP, m ના મૂલ્ય કરતાં ઓછું હોય છે. આ તફાવત ખાસ કરીને વાયુઓમાં નોંધપાત્ર છે જ્યાં સ્થિર દબાણ હેઠળના મૂલ્યો સામાન્ય રીતે સ્થિર કદ કરતાં 30 ટકાથી 66.7% વધારે હોય છે. ચોક્કસ ગરમી માપવા માટેની તમામ પદ્ધતિઓ દાઢ ગરમીની ક્ષમતાને પણ લાગુ પડે છે. એકમો દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતાનો એસ. આઈ. એકમ જુલ પ્રતિ કેલ્વિન પ્રતિ મોલ (J/(K ⋅ mol), J/(K mol), J K − 1 mol − 1, વગેરે) છે. તાપમાનમાં એક ડિગ્રી સેલ્સિયસનો વધારો એ એક કેલ્વિનના વધારા જેટલો જ હોવાથી, તે જૂલ પ્રતિ ડિગ્રી સેલ્સિયસ પ્રતિ મોલ (J/(°C ⋅ mol)) જેટલો જ છે. રસાયણશાસ્ત્રમાં, ગરમીની માત્રા હજુ પણ ઘણીવાર કેલરીમાં માપવામાં આવે છે. ગૂંચવણભરી રીતે, "કેલ" અથવા "કેલ" દર્શાવતા તે નામના બે એકમોનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ગરમીની માત્રાને માપવા માટે કરવામાં આવે છેઃ "નાની કેલરી" (અથવા "ગ્રામ-કેલરી", "કેલ") બરાબર 4.184 J છે. "ગ્રાન્ડ કેલરી" ("કિલોકેલરી", "કિલોગ્રામ-કેલરી", અથવા "ફૂડ કેલરી"; "કિલોકેલરી" અથવા "કેલરી") એ 1000 નાની કેલરી છે, એટલે કે, બરાબર 4184 જે. જ્યારે ગરમીને આ એકમોમાં માપવામાં આવે છે, ત્યારે ચોક્કસ ગરમીનો એકમ સામાન્ય રીતે 1 કેલરી/(°C ષ્ણ મોલ) ("નાની કેલરી") = 4.184 J ષ્ણ K − 1 ષ્ણ મોલ − 1 1 કિલો કેલરી/(°C ષ્ણ મોલ) ("મોટી કેલરી") = 4184 J ષ્ણ K − 1 ષ્ણ મોલ − 1 હોય છે. પદાર્થની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા પદાર્થની ઉષ્મા ક્ષમતા જેટલી જ પરિમાણ ધરાવે છે; એટલે કે, L2 ષ્ણ M ષ્ણ T − 2 ષ્ણ ષ્ણ ષ્ણ − 1, અથવા M (L/T) 2/ષ્ણ. (ખરેખર, તે પદાર્થની ઉષ્મા ક્ષમતા છે જેમાં પદાર્થના અણુઓની એવોગાડ્રો સંખ્યા હોય છે.) તેથી, એસ. આઈ. એકમ J ષ્ણ K−1 ષ્ણ mol−1 એ કિલોગ્રામ મીટર સ્ક્વેર્ડ પ્રતિ સેકન્ડ સ્ક્વેર્ડ પ્રતિ કેલ્વિન (કિલોગ્રામ ષ્ણ m2 ષ્ણ K−1 ષ્ણ s−2) ની સમકક્ષ છે. ભૌતિક આધાર મોનોટોમિક વાયુઓ પદાર્થના નમૂનાનું તાપમાન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની તુલનામાં તેના ઘટક કણો (અણુઓ અથવા અણુઓ) ની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ આગાહી કરે છે કે, ઓરડાના તાપમાને અને સામાન્ય દબાણ પર, ગેસમાં એક અલગ અણુ ગતિ ઊર્જાના સ્વરૂપ સિવાય કોઈ નોંધપાત્ર માત્રામાં ઊર્જાનો સંગ્રહ કરી શકતો નથી. તેથી, જ્યારે મોનોટોમિક ગેસના અણુઓની ચોક્કસ સંખ્યા N ગરમી ઊર્જાનો ઇનપુટ Q મેળવે છે, ત્યારે નિશ્ચિત કદના કન્ટેનરમાં, દરેક અણુની ગતિ ઊર્જામાં અણુના દળથી સ્વતંત્ર રીતે Q/N નો વધારો થશે. આ ધારણા આદર્શ વાયુઓના સિદ્ધાંતનો પાયો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે સિદ્ધાંત આગાહી કરે છે કે તમામ મોનોટોમિક વાયુઓના સ્થિર કદ cV, m પર મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા સમાન હશે; ખાસ કરીને, cV, m = R જ્યાં R એ આદર્શ વાયુ અચળાંક છે, લગભગ 8.31446 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1 (જે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક kB અને એવોગાડ્રો અચળાંકનું ઉત્પાદન છે). અને, ખરેખર, ઉત્કૃષ્ટ વાયુઓ હીલિયમ, નિયોન, આર્ગોન, ક્રિપ્ટોન અને ઝેનોન (1 એટીએમ અને 25 ડિગ્રી સેલ્સિયસ પર) માટે cV, m ના પ્રાયોગિક મૂલ્યો બધા 12.5 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1 છે, જે R છે; તેમ છતાં તેમનું અણુ વજન 4 થી 131 ની રેન્જમાં છે. આ જ સિદ્ધાંત આગાહી કરે છે કે સ્થિર દબાણ પર મોનોટોમિક ગેસની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા cP, m = cV, m + R = R હશે આ આગાહી પ્રાયોગિક મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે, જે ઝેનોન દ્વારા હિલીયમ માટે અનુક્રમે 20.78,20.79,20.85,20.95, અને 21.01 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1 છે; જે સૈદ્ધાંતિક R = 20.78 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1 ની ખૂબ નજીક છે. તેથી, મોનોટોમિક ગેસની ચોક્કસ ઉષ્મા (દળના એકમ દીઠ, મોલ દીઠ નહીં) તેના (પરિમાણીય) સંબંધિત પરમાણુ દળ A ની વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હશે. એટલે કે, અંદાજે, cV = (12470 J ⋅ K − 1 ષ્ણ કિલો − 1)/A cP = (20786 J ⋅ K − 1 ષ્ણ કિલો − 1)/A બહુપદ વાયુઓ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી એક બહુપદ અણુ (બે કે તેથી વધુ અણુઓ સાથે જોડાયેલા) તેની ગતિ ઊર્જા ઉપરાંત અન્ય સ્વરૂપોમાં ઉષ્મા ઊર્જાનો સંગ્રહ કરી શકે છે. આ સ્વરૂપોમાં અણુનું પરિભ્રમણ અને તેના દળના કેન્દ્રના સંબંધમાં અણુઓનું કંપન સામેલ છે. સ્વતંત્રતાની આ વધારાની માત્રા પદાર્થની દાઢ ગરમીની ક્ષમતામાં ફાળો આપે છે. એટલે કે, જ્યારે પોલિએટોમિક અણુઓ સાથે ગેસમાં ઉષ્મા ઊર્જાને ઇન્જેક્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો માત્ર એક ભાગ તેમની ગતિ ઊર્જાને વધારવામાં જશે, અને તેથી તાપમાન; બાકીની સ્વતંત્રતા તે અન્ય ડિગ્રીમાં જશે. આમ, તાપમાનમાં સમાન વધારો હાંસલ કરવા માટે, તે પદાર્થના મોલને મોનોટોમિક ગેસના મોલ કરતાં વધુ ઉષ્મા ઊર્જા પૂરી પાડવી પડશે. ઓક્ટેન જેવા અણુ દીઠ ઉચ્ચ અણુ ગણતરી ધરાવતા પદાર્થોમાં, તેથી મોલ દીઠ ખૂબ મોટી ઉષ્મા ક્ષમતા હોઈ શકે છે, અને તેમ છતાં પ્રમાણમાં ઓછી ચોક્કસ ઉષ્મા (એકમ દળ દીઠ) હોઈ શકે છે. જો શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સનો ઉપયોગ કરીને અણુનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરી શકાય, તો ઊર્જાના સમવિભાજનના પ્રમેયનો ઉપયોગ આગાહી કરવા માટે કરી શકાય છે કે સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રીમાં kTની માત્રામાં સરેરાશ ઊર્જા હશે, જ્યાં k એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને T એ તાપમાન છે. જો પરમાણુની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા f હોય, તો દરેક પરમાણુ સરેરાશ, fkT જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો હશે. પછી મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા (અચળ કદ પર) cV, m = fR હશે જ્યાં R એ આદર્શ વાયુ અચળાંક છે. મેયરના સંબંધ અનુસાર, સ્થિર દબાણ પર દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા cP, m = cV, m + R = fR + R = (f + 2) R હશે. ખાસ કરીને, મોનોટોમિક ગેસના દરેક અણુમાં માત્ર f = 3 ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ હોય છે, એટલે કે તેના વેગ વેક્ટરના ઘટકો; તેથી cV, m = R અને cP, m = R. ડાયટોમિક પરમાણુની પરિભ્રમણ પદ્ધતિઓ ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિર કદ પર નાઇટ્રોજનની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા 20.6 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1 (15°C, 1 atm પર) છે, જે 2.49 R છે. સૈદ્ધાંતિક સમીકરણ cV, m = fR પરથી, એક નિષ્કર્ષ નીકળે છે કે દરેક અણુમાં f = 5 ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. આ અણુના વેગ વેક્ટરના ત્રણ ડિગ્રી, વત્તા દળના કેન્દ્રમાંથી અને બે અણુઓની રેખાને લંબરૂપ થઈને અક્ષની આસપાસ તેના પરિભ્રમણથી બે ડિગ્રી હોવાનું બહાર આવે છે. અનુવાદો અને પરિભ્રમણને કારણે સ્વતંત્રતાની માત્રાને સ્વતંત્રતાની કઠોર ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમાં અણુમાં કોઈ વિકૃતિ સામેલ હોતી નથી. સ્વતંત્રતાની તે બે વધારાની ડિગ્રીઓને કારણે, મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા cV, m (20.6 J ષ્ણ K − 1 ષ્ણ mol − 1) એ એક કાલ્પનિક મોનોટોમિક ગેસ (12.5 J ષ્ણ K − 1 ષ્ણ mol − 1) કરતાં એક પરિબળ દ્વારા વધારે છે. ફ્રોઝન અને સક્રિય ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ અનુસાર, નાઇટ્રોજન જેવા ડાયટોમિક અણુમાં આંતરિક સ્વતંત્રતાની વધુ ડિગ્રી હોવી જોઈએ, જે બે અણુઓના કંપનને અનુરૂપ છે જે તેમની વચ્ચેના બંધનને ખેંચે છે અને સંકુચિત કરે છે. થર્મોડાયનેમિક હેતુઓ માટે, દરેક દિશા કે જેમાં અણુ બાકીના પરમાણુની તુલનામાં સ્વતંત્ર રીતે કંપન કરી શકે છે તે બે ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ રજૂ કરે છેઃ એક બોન્ડ્સને વિકૃત કરવાથી સંભવિત ઊર્જા સાથે સંકળાયેલ છે, અને એક અણુની ગતિની ગતિ ઊર્જા માટે. જેમ કે ડાયટોમિક અણુમાં, કંપન માટે માત્ર એક જ દિશા હોય છે, અને બે અણુઓની ગતિ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ પરંતુ સમાન હોવી જોઈએ; તેથી કંપનની સ્વતંત્રતાની માત્ર બે ડિગ્રી હોય છે. તે f ને 7 સુધી અને cV, m ને 3.5 R સુધી લાવશે. આ સ્પંદનો તેમના અપેક્ષિત ઉષ્મા ઉર્જા ઇનપુટના અપૂર્ણાંકને શોષતા નથી તેનું કારણ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે સિદ્ધાંત મુજબ, સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રીમાં સંગ્રહિત ઊર્જામાં માત્ર ચોક્કસ માત્રામાં (ક્વોન્ટા) વધારો અથવા ઘટાડો થવો જોઈએ. તેથી, જો પ્રણાલીનું તાપમાન T પૂરતું ઊંચું ન હોય, તો કેટલીક સૈદ્ધાંતિક ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (kT/f) માટે ઉપલબ્ધ સરેરાશ ઊર્જા અનુરૂપ લઘુત્તમ ક્વોન્ટમ કરતાં ઓછી હોઈ શકે છે. જો તાપમાન પૂરતું ઓછું હોય, તો તે વ્યવહારીક રીતે તમામ અણુઓ માટે હોઈ શકે છે. પછી એક કહે છે કે સ્વતંત્રતાની તે ડિગ્રીઓ "સ્થિર" છે. ગેસની મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા પછી માત્ર "સક્રિય" ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે-કે, મોટાભાગના અણુઓ માટે, તે ક્વોન્ટમ થ્રેશોલ્ડને દૂર કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા પ્રાપ્ત કરી શકે છે. સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રી માટે, એક અંદાજિત નિર્ણાયક તાપમાન હોય છે જેના પર તે "પીગળી જાય છે" ("અનફ્રીઝ") અને સક્રિય બને છે, આમ તે ઉષ્મા ઊર્જાને પકડી રાખવામાં સક્ષમ બને છે. ગેસમાં અણુઓની સ્વતંત્રતાની ત્રણ અનુવાદાત્મક ડિગ્રીઓ માટે, આ નિર્ણાયક તાપમાન અત્યંત નાનું હોય છે, તેથી તેઓ હંમેશા સક્રિય હોવાનું માની શકાય છે. ફ્રીડમની રોટેશનલ ડિગ્રી માટે, પીગળવાનું તાપમાન સામાન્ય રીતે થોડા દસ કેલ્વિન હોય છે (જો કે હાઇડ્રોજન જેવા ખૂબ જ હળવા પરમાણુ સાથે રોટેશનલ ઉર્જાનું સ્તર એટલું વ્યાપક અંતર હશે કે જ્યાં સુધી નોંધપાત્ર રીતે વધુ તાપમાન ન પહોંચે ત્યાં સુધી રોટેશનલ હીટ ક્ષમતા સંપૂર્ણપણે "અનફ્રીઝ" ન થઈ શકે). ડાયટોમિક અણુઓની કંપન પદ્ધતિઓ સામાન્ય રીતે ઓરડાના તાપમાનથી ઉપર જ સક્રિય થવાનું શરૂ કરે છે. નાઇટ્રોજનના કિસ્સામાં, ફ્રીડમની રોટેશનલ ડિગ્રી પહેલેથી જ −173 °C (100 K, ઉત્કલન બિંદુથી માત્ર 23 K ઉપર) પર સંપૂર્ણપણે સક્રિય હોય છે. બીજી બાજુ, કંપન સ્થિતિઓ માત્ર 350 K (77°C) ની આસપાસ સક્રિય થવાનું શરૂ કરે છે. લગભગ તે તાપમાન પર, તે ઝડપથી વધવા લાગે છે, પછી તે ફરીથી ધીમું પડે છે. તે 1500 ડિગ્રી સેલ્સિયસ પર 35.5 J ⋅ K−1 ⋅ mol−1,2500 ડિગ્રી સેલ્સિયસ પર 36.9 અને 3500 ડિગ્રી સેલ્સિયસ પર 37.5 છે. છેલ્લું મૂલ્ય લગભગ બરાબર f = 7 માટે અનુમાનિત મૂલ્યને અનુરૂપ છે. નીચે કેટલાક સ્થિર-દબાણ મોલર ઉષ્મા ક્ષમતાઓ cP, પ્રમાણભૂત તાપમાન (25 °C = 298 K) પર વિવિધ ડાયટોમિક વાયુઓની m, 500 °C પર અને 5000 °C પર કોષ્ટક છે, અને સૂત્ર f * = 2cP, m/R−2 દ્વારા અંદાજિત ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ f * ની સ્પષ્ટ સંખ્યાઃ (*) 59 °C (ઉત્કલન બિંદુ) પર ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર અંદાજ સૂચવે છે કે કંપનશીલ સ્થિતિઓના ઊર્જા સ્તરોનું અંતર ડાયટોમિક અણુનું નિર્માણ કરતા અણુઓના ઘટાડાના દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. આ હકીકત સમજાવે છે કે શા માટે ભારે અણુઓની કંપનશીલ સ્થિતિઓ નીચા તાપમાને સક્રિય હોય છે. ઓરડાના તાપમાને મોલર ગરમીની ક્ષમતા f = 7 ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે સુસંગત છે, જે ડાયટોમિક પરમાણુ માટે મહત્તમ છે. પૂરતા ઊંચા તાપમાને, તમામ ડાયટોમિક વાયુઓ આ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. એકલ પરમાણુની પરિભ્રમણ પદ્ધતિઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ એ પણ સમજાવે છે કે આદર્શ વાયુ સિદ્ધાંત દ્વારા મોનોટોમિક વાયુઓની ચોક્કસ ગરમીની સારી આગાહી શા માટે કરવામાં આવે છે, એવી ધારણા સાથે કે દરેક પરમાણુ એક બિંદુ સમૂહ છે જેમાં માત્ર f = 3 ટ્રાન્સલેશનલ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ અનુસાર, અણુઓ બિન-શૂન્ય કદના હોવાથી, તેમની પાસે સ્વતંત્રતાની ત્રણ પરિભ્રમણ ડિગ્રી અથવા કુલ f = 6 હોવી જોઈએ. તેવી જ રીતે, ડાયટોમિક નાઇટ્રોજન અણુમાં વધારાની પરિભ્રમણ સ્થિતિ હોવી જોઈએ, એટલે કે બે અણુઓની રેખા વિશે; અને આમ f = 6 પણ હોય છે. શાસ્ત્રીય દ્રષ્ટિકોણમાં, આ દરેક સ્થિતિઓએ ઉષ્મા ઊર્જાનો સમાન હિસ્સો સંગ્રહિત કરવો જોઈએ. જો કે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અનુસાર, માન્ય (માત્રાત્મક) પરિભ્રમણ સ્થિતિઓ વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત પરિભ્રમણની અનુરૂપ અક્ષ વિશે જડતાની ક્ષણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે એક અણુની જડતાની ક્ષણ અત્યંત ઓછી હોય છે, તેના પરિભ્રમણ સ્થિતિઓ માટે સક્રિયકરણ તાપમાન અત્યંત ઊંચું હોય છે. આ જ બાબત આંતરિક પરમાણુ અક્ષની આસપાસ ડાયાટોમિક પરમાણુ (અથવા રેખીય બહુપક્ષીય અણુ) ની જડતાની ક્ષણને લાગુ પડે છે, તેથી જ તે પરિભ્રમણની પદ્ધતિ સામાન્ય રીતે સક્રિય નથી. બીજી બાજુ, ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ ઉત્તેજિત સ્થિતિમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે અને કેટલાક અપવાદરૂપ કિસ્સાઓમાં, તેઓ ઓરડાના તાપમાને અથવા ક્રાયોજેનિક તાપમાને પણ સક્રિય હોઈ શકે છે. બહુપરીમાણ્વિક વાયુઓ બહુપરીમાણ્વિક વાયુ અણુના n અણુઓને અનંત રીતે વિસ્થાપિત કરવાની તમામ સંભવિત રીતોના સમૂહ એ પરિમાણ 3n ની રેખીય જગ્યા છે, કારણ કે દરેક અણુ સ્વતંત્ર રીતે ત્રણ ઓર્થોગોનલ અક્ષ દિશાઓમાંથી દરેકમાં વિસ્થાપિત થઈ શકે છે. જો કે, આમાંથી કેટલાક ત્રણ પરિમાણો અનંત વિસ્થાપન વેક્ટર દ્વારા અણુનું માત્ર ભાષાંતર છે, અને અન્ય કેટલાક અક્ષની આસપાસ અનંત ખૂણા દ્વારા તેનું માત્ર કઠોર પરિભ્રમણ છે. હજુ પણ અન્ય અણુના બે ભાગોના એક જ બંધ વિશેના સંબંધિત પરિભ્રમણને અનુરૂપ હોઈ શકે છે જે તેમને જોડે છે. સ્વતંત્ર વિરૂપણ સ્થિતિઓ-અણુને વાસ્તવમાં વિકૃત કરવાની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર રીતો, જે તેના બંધને તાણ આપે છે-આ જગ્યાના માત્ર બાકીના પરિમાણો છે. ડાયટોમિક અણુઓની જેમ, આ દરેક વિરૂપતા સ્થિતિઓ ઊર્જા સંગ્રહ હેતુઓ માટે બે કંપનશીલ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ તરીકે ગણવામાં આવે છેઃ એક તાણગ્રસ્ત બોન્ડ્સમાં સંગ્રહિત સંભવિત ઊર્જા માટે, અને એક અણુઓની વધારાની ગતિ ઊર્જા માટે કારણ કે તેઓ પરમાણુના બાકીના રૂપરેખાંકન વિશે કંપન કરે છે. ખાસ કરીને, જો અણુ રેખીય હોય (બધા અણુઓ સીધી રેખા પર હોય), તો તેમાં માત્ર બે બિન-તુચ્છ પરિભ્રમણ સ્થિતિઓ હોય છે, કારણ કે તેની પોતાની ધરી પર પરિભ્રમણ કોઈ પણ અણુને વિસ્થાપિત કરતું નથી. તેથી, તેમાં 3n−5 વાસ્તવિક વિરૂપણ સ્થિતિઓ છે. ઊર્જા-સંગ્રહિત સ્વતંત્રતા ડિગ્રીની સંખ્યા પછી f = 3 + 2 + 2 (3n−5) = 6n−5 છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય નાઇટ્રસ ઓક્સાઇડ પરમાણુ (n = 3 સાથે) 3n−5 = 4 સ્વતંત્ર અનંત વિરૂપતા સ્થિતિઓ ધરાવે છે. તેમાંથી બેને એક બોન્ડને ખેંચવા તરીકે વર્ણવી શકાય છે જ્યારે અન્ય તેની સામાન્ય લંબાઈ જાળવી રાખે છે. અન્ય બેને ઓળખી શકાય છે કે પરમાણુ કેન્દ્રીય અણુ પર બે દિશામાં વળે છે, જે તેની ધરી પર ઓર્થોગોનલ છે. દરેક સ્થિતિમાં, વ્યક્તિએ ધારવું જોઈએ કે અણુઓ વિસ્થાપિત થાય છે જેથી દળનું કેન્દ્ર સ્થિર રહે અને ત્યાં કોઈ પરિભ્રમણ ન હોય. અણુ પછી f = 6n−5 = 13 કુલ ઊર્જા-સંગ્રહિત ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (3 ટ્રાન્સલેશનલ, 2 રોટેશનલ, 8 કંપનશીલ) ધરાવે છે. પૂરતા ઊંચા તાપમાને, તેની દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા cP હોવી જોઈએ, m = 7.5 R = 62.63 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1. સાયનોજેન અને એસિટિલીન (n = 4) માટે સમાન વિશ્લેષણ f = 19 આપે છે અને cP, m = 10.5 R = 87.3 J ⋅ K−1 ⋅ mol−1 ની આગાહી કરે છે. n પરમાણુ ધરાવતા પરમાણુ કે જે કઠોર હોય છે અને રેખીય નથી, તેમાં 3 અનુવાદ સ્થિતિઓ અને 3 બિન-તુચ્છ પરિભ્રમણ સ્થિતિઓ હોય છે, તેથી માત્ર 3n−6 વિરૂપતા સ્થિતિઓ હોય છે. તેથી તેમાં f = 3 + 3 + 2 (3n − 6) = 6n − 6 ઊર્જા-શોષી લેવાની ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (સમાન અણુ ગણતરી સાથે રેખીય પરમાણુ કરતાં એક ઓછી) છે. પાણી (n = 3) તેની બિન-તાણિત સ્થિતિમાં વળેલું હોય છે, તેથી તેમાં f = 12 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા હોવાની આગાહી કરવામાં આવે છે. મિથેન (n = 5) ત્રિ-પરિમાણીય છે, અને સૂત્ર f = 24ની આગાહી કરે છે. ઇથેન (n = 8) માં પરિભ્રમણની સ્વતંત્રતાની 4 ડિગ્રી હોય છેઃ બે અક્ષો જે કેન્દ્રીય બંધને લંબરૂપ હોય છે, અને બે વધુ કારણ કે દરેક મિથાઈલ જૂથ તે બંધની આસપાસ નજીવા પ્રતિકાર સાથે સ્વતંત્ર રીતે ફેરવી શકે છે. તેથી, સ્વતંત્ર વિકૃતિ સ્થિતિઓની સંખ્યા 3n − 7 છે, જે f = 3 + 4 + 2 (3n − 7) = 6n − 7 = 41 આપે છે. નીચેનું કોષ્ટક સ્થિર દબાણ cP પર પ્રાયોગિક દાઢ ઉષ્મા ક્ષમતા, પ્રમાણભૂત તાપમાન (25 °C = 298 K) પર ઉપરોક્ત બહુપક્ષીય વાયુઓની m, 500 °C પર અને 5000 °C પર દર્શાવે છે, અને સૂત્ર f * = 2cP, m/R−2 દ્વારા અંદાજિત ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ f * ની સ્પષ્ટ સંખ્યા દર્શાવે છેઃ (*) 3000C પર ઘન પદાર્થોની ચોક્કસ ઉષ્મા મોટાભાગના ઘન પદાર્થોમાં (પરંતુ બધા નહીં), અણુઓની નિશ્ચિત સરેરાશ સ્થિતિ અને દિશા હોય છે, અને તેથી ઉપલબ્ધ માત્ર ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ એ અણુઓના સ્પંદનો છે. આમ ચોક્કસ ઉષ્મા દળના એકમ દીઠ અણુઓની સંખ્યા (અણુઓ નહીં) ના પ્રમાણમાં હોય છે, જે ડુલોંગ-પેટિટ કાયદો છે. અન્ય યોગદાન ઘન પદાર્થોમાં ચુંબકીય ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમમાંથી આવી શકે છે, પરંતુ આ ભાગ્યે જ નોંધપાત્ર યોગદાન આપે છે. અને ઇલેક્ટ્રોનિક ઘનનો દરેક અણુ એક સ્વતંત્ર કંપન મોડમાં ફાળો આપે છે, તેથી n અણુઓમાં ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા 6n છે. તેથી, ઘન પદાર્થના નમૂનાની ઉષ્મા ક્ષમતા 3RNa, અથવા (24.94 J/K) Na હોવાની અપેક્ષા છે, જ્યાં Na એ નમૂનામાં અણુઓના મોલની સંખ્યા છે, અણુઓની નહીં. બીજી રીતે કહીએ તો, ઘન પદાર્થની અણુ-મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા 3R = 24.94 J ⋅ K − 1 ⋅ mol − 1 હોવાની અપેક્ષા છે, જ્યાં "એમોલ" એ ઘનની માત્રાને સૂચવે છે જેમાં અણુઓની એવોગાડ્રો સંખ્યા હોય છે. તે અનુસરે છે કે, પરમાણુ ઘન પદાર્થોમાં, અણુઓના મોલ દીઠ ઉષ્મા ક્ષમતા સામાન્ય રીતે 3nR ની નજીક હશે, જ્યાં n એ અણુ દીઠ અણુઓની સંખ્યા છે. આમ ઘનના n પરમાણુઓએ સૈદ્ધાંતિક રીતે મોનોટોમિક ગેસના n અણુઓ કરતાં બમણી ઊર્જા સંગ્રહિત કરવી જોઈએ. આ પરિણામને જોવાની એક રીત એ છે કે મોનોટોમિક ગેસ માત્ર અણુઓની ગતિ ઊર્જા તરીકે ઊર્જાનો સંગ્રહ કરી શકે છે, જ્યારે ઘન તેને સ્પંદનો દ્વારા તાણાયેલા બંધની સંભવિત ઊર્જા તરીકે પણ સંગ્રહિત કરી શકે છે. જેમ જેમ અણુ દીઠ અણુઓની સંખ્યા n વધે છે તેમ તેમ બહુપક્ષીય વાયુની અણુ-ધ્રુવીય ઉષ્મા ક્ષમતા ઘનની નજીક પહોંચે છે. એફ વાયુઓની જેમ, કેટલાક કંપન સ્થિતિઓ નીચા તાપમાને "સ્થિર" થઈ જશે, ખાસ કરીને પ્રકાશ અને ચુસ્ત રીતે બંધાયેલા અણુઓ સાથેના ઘન પદાર્થોમાં, જેના કારણે અણુ-ધ્રુવીય ઉષ્મા ક્ષમતા આ સૈદ્ધાંતિક મર્યાદા કરતાં ઓછી હશે. ખરેખર, જેમ જેમ તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે તેમ તેમ ઘન પદાર્થની અણુ-ધ્રુવીય (અથવા ચોક્કસ) ઉષ્મા ક્ષમતા શૂન્ય તરફ વળે છે. ઉપરના વિશ્લેષણ દ્વારા આગાહી કરવામાં આવી છે તેમ, ઊંચા તાપમાને તમામ ઘન પદાર્થો માટે અણુઓના મોલ દીઠ ગરમીની ક્ષમતા, અણુઓના મોલ દીઠ ગરમીની ક્ષમતાને બદલે નોંધપાત્ર રીતે સ્થિર હોવાનું જોવા મળે છે. આ સંબંધ 1819માં અનુભવજન્ય રીતે જોવા મળ્યો હતો અને તેના બે શોધકો પછી તેને ડુલોંગ-પેટિટ કાયદો કહેવામાં આવે છે. આ શોધ દ્રવ્યના અણુ સિદ્ધાંતના સમર્થનમાં એક મહત્વપૂર્ણ દલીલ હતી. ખરેખર, ઓરડાના તાપમાને નક્કર ધાતુના રાસાયણિક ઘટકો માટે, અણુ-ધ્રુવીય ઉષ્મા ક્ષમતા આશરે 2.8 આરથી 3.4 આર સુધીની હોય છે. નીચલા છેડે મોટા અપવાદોમાં પ્રમાણમાં ઓછા દળ, ચુસ્ત રીતે બંધાયેલા અણુઓ, જેમ કે બેરિલિયમ (2.0 આર, સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યના માત્ર 66 ટકા) અને હીરા (0.735 R, માત્ર 24 ટકા) થી બનેલા ઘન પદાર્થોનો સમાવેશ થાય છે. તે પરિસ્થિતિઓ મોટા ક્વોન્ટમ કંપનશીલ ઊર્જાનું અંતર સૂચવે છે, આમ ઘણા કંપનશીલ સ્થિતિઓ ઓરડાના તાપમાને "સ્થિર થઈ જાય છે". ગલનબિંદુની નજીકનો પાણીનો બરફ પણ અણુ દીઠ વિસંગત રીતે ઓછી ઉષ્મા ક્ષમતા ધરાવે છે (1.5 આર, સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યના માત્ર 50 ટકા). સંભવિત ઉષ્મા ક્ષમતાના ઉચ્ચ સ્તર પર, ઘન પદાર્થોમાં અનહાર્મોનિક સ્પંદનોના યોગદાનને કારણે અને કેટલીકવાર ધાતુઓમાં વહન ઇલેક્ટ્રોનના સામાન્ય યોગદાનને કારણે ઉષ્મા ક્ષમતા સામાન્ય માત્રામાં આર કરતાં વધી શકે છે. આ આઈન્સ્ટાઈન અથવા ડેબી સિદ્ધાંતોમાં ગણવામાં આવતી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી નથી. ઘન તત્વોની ચોક્કસ ઉષ્મા ઘન રાસાયણિક તત્વની જથ્થાબંધ ઘનતા તેના દાઢ દળ સાથે મજબૂત રીતે સંબંધિત હોવાથી, ઘનની ઘનતા અને તેની ચોક્કસ ઉષ્મા ક્ષમતા વચ્ચે પ્રતિ દળના આધારે નોંધપાત્ર વ્યસ્ત સહસંબંધ અસ્તિત્વમાં છે. આ ઘનતા અને અણુ વજનમાં ઘણી વ્યાપક ભિન્નતા હોવા છતાં, મોટાભાગના તત્વોના અણુઓ લગભગ સમાન કદના હોવાની ખૂબ જ અંદાજિત વલણને કારણે છે. આ બે પરિબળો (અણુ કદની સ્થિરતા અને મોલ-વિશિષ્ટ ગરમી ક્ષમતાની સ્થિરતા) કોઈપણ નક્કર રાસાયણિક તત્વના કદ અને તેની કુલ ગરમી ક્ષમતા વચ્ચે સારા સહસંબંધમાં પરિણમે છે. આ કહેવાની બીજી રીત એ છે કે ઘન તત્વોની વોલ્યુમ-વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા (વોલ્યુમેટ્રિક ઉષ્મા ક્ષમતા) લગભગ સ્થિર હોય છે. ઘન તત્વોનું દાઢનું કદ ખૂબ જ આશરે સ્થિર હોય છે, અને (વધુ વિશ્વસનીય રીતે) તે જ રીતે મોટાભાગના ઘન પદાર્થો માટે દાઢની ઉષ્મા ક્ષમતા પણ હોય છે. આ બે પરિબળો વોલ્યુમેટ્રિક ઉષ્મા ક્ષમતાને નિર્ધારિત કરે છે, જે જથ્થાબંધ ગુણધર્મ તરીકે સુસંગતતામાં પ્રહાર કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, યુરેનિયમ તત્વ એ એક ધાતુ છે જેની ઘનતા ધાતુના લિથિયમ કરતાં લગભગ 36 ગણી હોય છે, પરંતુ યુરેનિયમની ચોક્કસ ઉષ્મા ક્ષમતા વોલ્યુમેટ્રિક ધોરણે હોય છે. ધાતુના આપેલ જથ્થા દીઠ) લિથિયમ કરતાં માત્ર 18 ટકા મોટો છે. જો કે, ઘન તત્વોમાં સરેરાશ પરમાણુ કદ તદ્દન સ્થિર નથી, તેથી આ સિદ્ધાંતથી વિચલનો છે. દાખલા તરીકે, આર્સેનિક, જે એન્ટિમની કરતાં માત્ર 14.5% ઓછું ગાઢ હોય છે, તે સામૂહિક ધોરણે લગભગ 59 ટકા વધુ ચોક્કસ ઉષ્મા ક્ષમતા ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો; જો કે આર્સેનિકનો સાગોળ એ જ દળના એન્ટિમની કરતાં માત્ર 17 ટકા મોટો હોય છે, તે આપેલ તાપમાનમાં વધારો કરવા માટે લગભગ 59 ટકા વધુ ગરમી શોષી લે છે. બે પદાર્થોની ઉષ્મા ક્ષમતાનો ગુણોત્તર તેમના દાઢના જથ્થાના ગુણોત્તરને નજીકથી અનુસરે છે (દરેક પદાર્થના સમાન જથ્થામાં અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર); સહસંબંધથી સરળ જથ્થામાં પ્રસ્થાન, આ કિસ્સામાં, હળવા આર્સેનિક પરમાણુઓ સમાન કદને બદલે એન્ટિમની અણુઓ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ નજીકથી ભરાયેલા હોવાને કારણે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાન કદના અણુઓ આર્સેનિકના મોલને એન્ટિમોનીના મોલ કરતાં 63 ટકા મોટો બનાવે છે, જે અનુરૂપ રીતે ઓછી ઘનતા ધરાવે છે, જે તેના કદને તેની ગરમી ક્ષમતાની વર્તણૂકને વધુ નજીકથી પ્રતિબિંબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. અશુદ્ધિઓની અસર કેટલીકવાર અશુદ્ધિઓની નાની સાંદ્રતા ચોક્કસ ગરમીને મોટા પ્રમાણમાં અસર કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે અર્ધચાલક લોહચુંબકીય મિશ્રધાતુઓમાં. પ્રવાહીની ચોક્કસ ઉષ્મા પ્રવાહીની ઉષ્મા ક્ષમતાનો સામાન્ય સિદ્ધાંત હજુ સુધી પ્રાપ્ત થયો નથી, અને તે હજુ પણ સંશોધનનું સક્રિય ક્ષેત્ર છે. લાંબા સમયથી એવું માનવામાં આવતું હતું કે ફોનોન સિદ્ધાંત પ્રવાહીની ઉષ્મા ક્ષમતાને સમજાવવામાં સક્ષમ નથી, કારણ કે પ્રવાહી માત્ર સમાંતર રહે છે, પરંતુ ત્રાંસા ફોનોન નથી, જે ઘન પદાર્થોમાં ઉષ્મા ક્ષમતાના 2/3 માટે જવાબદાર હોય છે. જો કે, ન્યુટ્રોન અને એક્સ-રે સાથેના બ્રિલૌઇન સ્કેટરિંગ પ્રયોગો, જે યાકોવ ફ્રેન્કેલના અંતઃપ્રેરણાની પુષ્ટિ કરે છે, તે દર્શાવે છે કે પ્રવાહીમાં ત્રાંસા ફોનોન અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જો કે તે ફ્રેન્કેલ આવર્તન તરીકે ઓળખાતી થ્રેશોલ્ડથી ઉપરની આવર્તન સુધી મર્યાદિત છે. મોટાભાગની ઊર્જા આ ઉચ્ચ-આવર્તન સ્થિતિઓમાં સમાયેલી હોવાથી, ડેબી મોડેલનો એક સરળ ફેરફાર સરળ પ્રવાહીની પ્રાયોગિક ઉષ્મા ક્ષમતાઓનો સારો અંદાજ આપવા માટે પૂરતો છે. ઉચ્ચ સ્ફટિક બંધનકર્તા ઊર્જાને કારણે, કંપનશીલ સ્થિતિ ઠંડકની અસરો પ્રવાહી કરતાં ઘન પદાર્થોમાં વધુ જોવા મળે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવાહી પાણીની ઉષ્મા ક્ષમતા સમાન તાપમાનની નજીક બરફ કરતા બમણી હોય છે, અને ફરીથી ડુલોંગ-પેટિટ સૈદ્ધાંતિક મહત્તમ પરમાણુઓના મોલ દીઠ 3R ની નજીક હોય છે. કાચ સંક્રમણ તાપમાનથી ઉપરના તાપમાને આકારહીન પદાર્થોને પ્રવાહીનો એક પ્રકાર ગણી શકાય. કાચ સંક્રમણ તાપમાનની નીચે આકારહીન પદાર્થો ઘન (ગ્લાસી) અવસ્થાના સ્વરૂપમાં હોય છે. કાચ સંક્રમણ તાપમાન પર ચોક્કસ ગરમીમાં લાક્ષણિક વિસંગતતાઓ હોય છે જે તૂટેલા બોન્ડ્સ (રૂપરેખાંકનો) થી બનેલા પરકોલેટિંગ ક્લસ્ટરોની ગ્લાસી સ્થિતિમાં ગેરહાજરીને કારણે થાય છે જે ફક્ત પ્રવાહી તબક્કામાં હાજર હોય છે. કાચ સંક્રમણ તાપમાનની ઉપર તૂટેલા બંધ દ્વારા રચાયેલા પરકોલેટિંગ ક્લસ્ટરો વધુ ફ્લોપી માળખાને સક્ષમ કરે છે અને તેથી અણુ ગતિ માટે મોટી માત્રામાં સ્વતંત્રતા આપે છે જે પ્રવાહીની ઉચ્ચ ઉષ્મા ક્ષમતામાં પરિણમે છે. કાચ સંક્રમણ તાપમાનની નીચે તૂટેલા બંધનો કોઈ વિસ્તૃત સમૂહ હોતા નથી અને ગરમીની ક્ષમતા ઓછી હોય છે કારણ કે આકારહીન પદાર્થની ઘન-સ્થિતિ (ગ્લાસી) રચના વધુ કઠોર હોય છે. ગરમીની ક્ષમતામાં વિસંગતતાઓનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે કાચ સંક્રમણ તાપમાનને શોધવા માટે થાય છે જ્યાં સુપરકુલ્ડ પ્રવાહી કાચમાં પરિવર્તિત થાય છે. હાઇડ્રોજન બંધની અસર હાઇડ્રોજન ધરાવતા ઇથેનોલ, એમોનિયા અને પાણી જેવા ધ્રુવીય અણુઓ જ્યારે તેમના પ્રવાહી તબક્કામાં હોય ત્યારે શક્તિશાળી, આંતરઆણ્વિક હાઇડ્રોજન બંધ ધરાવે છે. આ બોન્ડ્સ અન્ય જગ્યા પૂરી પાડે છે જ્યાં તુલનાત્મક રીતે નીચા તાપમાને પણ ગરમીને કંપનની સંભવિત ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત કરી શકાય છે. હાઇડ્રોજન બોન્ડ એ હકીકત માટે જવાબદાર છે કે પ્રવાહી પાણી પ્રમાણમાં નીચા તાપમાને (એટલે કે અણુના મોલ દીઠ 3R ની સૈદ્ધાંતિક મર્યાદાને સંગ્રહિત કરે છે. પાણીના ઠંડક બિંદુની નજીક). આ પણ જુઓ ક્વોન્ટમ આંકડાકીય મિકેનિક્સ ગરમી ક્ષમતા ગુણોત્તર શુદ્ધ પદાર્થો માટે આંકડાકીય મિકેનિક્સ થર્મોડાયનેમિક સમીકરણો થર્મોડાયનેમિક સમીકરણો હીટ ટ્રાન્સફર ગુણાંક સુપ્ત ગરમીના મિશ્રણની ગરમી સામગ્રી ગુણધર્મો (થર્મોડાયનેમિક્સ) જોબૅક પદ્ધતિ (ગરમી ક્ષમતાનો અંદાજ) ગલનની ચોક્કસ ગરમી (ફ્યુઝનની એન્થાલ્પી) બાષ્પીભવનની ચોક્કસ ગરમી (બાષ્પીભવનની એન્થાલ્પી) વોલ્યુમેટ્રિક ગરમી ક્ષમતા થર્મલ માસ આર-વેલ્યુ (ઇન્સ્યુલેશન) સંગ્રહ હીટર ફ્રેન્કેલ લાઇન સંદર્ભો ભૌતિક જથ્થા થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મો મોલર જથ્થા