Position (geometry)
ભૂમિતિમાં, સ્થિતિ અથવા સ્થિતિ વેક્ટર, જેને સ્થાન વેક્ટર અથવા ત્રિજ્યા વેક્ટર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે યુક્લિડિયન વેક્ટર છે જે મનસ્વી સંદર્ભ મૂળ O ના સંબંધમાં અવકાશમાં બિંદુ P ની સ્થિતિને રજૂ કરે છે. સામાન્ય રીતે x, r, અથવા s સૂચવવામાં આવે છે, તે O થી P સુધીના સીધી રેખા ખંડને અનુરૂપ હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે વિસ્થાપન અથવા અનુવાદ છે જે મૂળને P પર મેપ કરે છેઃ સ્થિતિ વેક્ટર શબ્દનો ઉપયોગ મોટે ભાગે વિભેદક ભૂમિતિ, મિકેનિક્સ અને ક્યારેક વેક્ટર કલનનાં ક્ષેત્રોમાં થાય છે. વારંવાર આનો ઉપયોગ દ્વિ-પરિમાણીય અથવા ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં થાય છે, પરંતુ તેને સરળતાથી યુક્લિડિયન જગ્યાઓ અને કોઈપણ પરિમાણની જગ્યાઓને સંલગ્ન કરવા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. સાપેક્ષ સ્થિતિ બિંદુ P ના સંદર્ભમાં બિંદુ Q ની સાપેક્ષ સ્થિતિ એ યુક્લિડિયન વેક્ટર છે જે બે નિરપેક્ષ સ્થિતિ વેક્ટર (દરેક મૂળના સંદર્ભમાં) ના બાદબાકીથી પરિણમે છેઃ જ્યાં. બે બિંદુઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ દિશા એ તેમની સાપેક્ષ સ્થિતિ છે જે એકમ વેક્ટર તરીકે સામાન્યીકૃત છેઃ જ્યાં છેદ એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે. સાપેક્ષ દિશા એ બંધાયેલ વેક્ટર છે, જે સામાન્ય દિશાથી વિપરીત છે, જે મુક્ત વેક્ટર છે. વ્યાખ્યા ત્રણ પરિમાણો ત્રણ પરિમાણોમાં, ત્રિ-પરિમાણીય કોઓર્ડિનેટ્સના કોઈપણ સમૂહ અને તેમના અનુરૂપ બેઝ વેક્ટરનો ઉપયોગ અવકાશમાં બિંદુના સ્થાનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કરી શકાય છે-જે હાથમાં કાર્ય માટે સૌથી સરળ હોય તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. સામાન્ય રીતે, કોઈ પરિચિત કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે, અથવા કેટલીકવાર ગોળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ અથવા નળાકાર કોઓર્ડિનેટઃ જ્યાં t એ પરિમાણ છે, જે તેમની લંબચોરસ અથવા ગોળાકાર સમપ્રમાણતાને કારણે છે. આ વિવિધ કોઓર્ડિનેટ્સ અને અનુરૂપ બેસિસ વેક્ટર સમાન સ્થિતિ વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેના બદલે વધુ સામાન્ય વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરી શકાય છે અને તે સાતત્ય મિકેનિક્સ અને સામાન્ય સાપેક્ષતા જેવા સંદર્ભોમાં છે (પછીના કિસ્સામાં વ્યક્તિને વધારાના સમય સંકલનની જરૂર છે). n પરિમાણો રેખીય બીજગણિત n-પરિમાણીય સ્થિતિ વેક્ટરના અમૂર્તતા માટે પરવાનગી આપે છે. પોઝિશન વેક્ટરને બેસિસ વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ તમામ પોઝિશન વેક્ટરનો સમૂહ પોઝિશન સ્પેસ (એક વેક્ટર સ્પેસ કે જેના ઘટકો પોઝિશન વેક્ટર છે) બનાવે છે, કારણ કે જગ્યામાં અન્ય પોઝિશન વેક્ટર મેળવવા માટે સ્થિતિઓ ઉમેરી શકાય છે (વેક્ટર એડિશન) અને લંબાઈમાં માપી શકાય છે (સ્કેલર ગુણાકાર). "અવકાશ" ની કલ્પના સાહજિક છે, કારણ કે દરેક xi (i = 1,2,., n) નું કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે, મૂલ્યોનો સંગ્રહ અવકાશમાં એક બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સ્થિતિની જગ્યાનું પરિમાણ n છે (મંદ (R) = n પણ સૂચવવામાં આવે છે). બેસિસ વેક્ટરના સંદર્ભમાં વેક્ટર r ના કોઓર્ડિનેટ્સ xi છે. કોઓર્ડિનેટ્સનો વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર અથવા એન-ટુપલ (x1, x2,., xn) બનાવે છે. એક પરિમાણ xi (t) વક્ર 1D માર્ગનું વર્ણન કરશે, બે પરિમાણો xi (t1, t2) વક્ર 2D સપાટીનું વર્ણન કરે છે, ત્રણ xi (t1, t2, t3) વક્ર 3D કદની જગ્યાનું વર્ણન કરે છે, અને તેથી વધુ. આધાર સમૂહ B = {e1, e2,., en} નો રેખીય ગાળો સ્થિતિ અવકાશ R ની બરાબર છે, સૂચવેલ ગાળો (B) = R. કાર્યક્રમો વિભેદક ભૂમિતિ સ્થિતિ વેક્ટર ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ સતત અને વિભેદક જગ્યા વળાંકને વર્ણવવા માટે થાય છે, આ કિસ્સામાં સ્વતંત્ર પરિમાણ સમય હોવું જરૂરી નથી, પરંતુ (દા. ત.) હોઈ શકે છે. વળાંકની લંબાઇ. ગતિના કોઈપણ સમીકરણમાં, સ્થિતિ વેક્ટર r (t) સામાન્ય રીતે સૌથી વધુ માંગવાળો જથ્થો હોય છે કારણ કે આ કાર્ય કણની ગતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (એટલે કે. બિંદુ દળ)-અમુક સમયે આપેલ સંકલન પ્રણાલી સાથે સંબંધિત તેનું સ્થાન t. સ્થિતિના સંદર્ભમાં ગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, દરેક સંકલનને સમય દ્વારા પરિમાણિત કરી શકાય છે; કારણ કે સમયનું દરેક ક્રમિક મૂલ્ય કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવેલા ક્રમિક અવકાશી સ્થાનોના ક્રમને અનુરૂપ હોય છે, તેથી ઘણા ક્રમિક સ્થાનોની સાતત્ય મર્યાદા એ કણ ટ્રેસનો માર્ગ છે. એક પરિમાણના કિસ્સામાં, સ્થિતિમાં માત્ર એક જ ઘટક હોય છે, તેથી તે અસરકારક રીતે સ્કેલર કોઓર્ડિનેટમાં અધોગતિ પામે છે. તે, કહો, x દિશામાં વેક્ટર અથવા રેડિયલ r દિશા હોઈ શકે છે. સમકક્ષ સંકેતોમાં વ્યુત્પન્નોનો સમાવેશ થાય છે સ્થિતિ વેક્ટર r માટે કે જે સમય t નું વિધેય છે, સમય વ્યુત્પન્નની ગણતરી t ના સંદર્ભમાં કરી શકાય છે. આ વ્યુત્પન્નની ગતિશાસ્ત્ર, નિયંત્રણ સિદ્ધાંત, ઇજનેરી અને અન્ય વિજ્ઞાનના અભ્યાસમાં સામાન્ય ઉપયોગિતા છે. વેગ જ્યાં dr એ અનંત રીતે નાનું વિસ્થાપન (વેક્ટર) છે. પ્રવેગક જર્ક સ્થિતિના પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા વ્યુત્પન્ન માટેના આ નામોનો સામાન્ય રીતે મૂળભૂત ગતિશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ થાય છે. વિસ્તરણ દ્વારા, ઉચ્ચ ક્રમના વ્યુત્પન્નની ગણતરી સમાન રીતે કરી શકાય છે. આ ઉચ્ચ ક્રમના વ્યુત્પન્નોનો અભ્યાસ મૂળ વિસ્થાપન કાર્યના અંદાજમાં સુધારો કરી શકે છે. આવા ઉચ્ચ ક્રમના શબ્દો અનંત ક્રમના સરવાળા તરીકે વિસ્થાપન કાર્યને સચોટ રીતે રજૂ કરવા માટે જરૂરી છે, જે ઇજનેરી અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઘણી વિશ્લેષણાત્મક તકનીકોને સક્ષમ કરે છે. એફાઈન સ્પેસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ હોરિઝોન્ટલ પોઝિશન લાઇન એલિમેન્ટ પેરામેટ્રિક સરફેસ પોઝિશન ફિક્સિંગ સિક્સ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ વર્ટિકલ પોઝિશન નોટ્સ રેફરન્સ કેલર, એફ. જે., ગેટિસ, ડબ્લ્યુ. ઇ. એટ અલ પણ જુઓ. (1993). "ભૌતિકશાસ્ત્રઃ શાસ્ત્રીય અને આધુનિક" બીજી આવૃત્તિ. મેકગ્રો હિલ પબ્લિશિંગ. બાહ્ય કડીઓ કાઇનેમેટિક ગુણધર્મો