Carl Johan Malmsten
કાર્લ જોહાન માલ્મસ્ટેન (એપ્રિલ 9,1814, યુડેટોર્પ, સ્કારા કાઉન્ટી, સ્વીડનમાં-ફેબ્રુઆરી 11,1886, ઉપ્સાલા, સ્વીડનમાં) એક સ્વીડિશ ગણિતશાસ્ત્રી અને રાજકારણી હતા. તેઓ જટિલ ચલના કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં પ્રારંભિક સંશોધન માટે, કેટલાક મહત્વપૂર્ણ લઘુગણક સંકલન અને શ્રેણીના મૂલ્યાંકન માટે, ઝેટા-કાર્ય સંબંધિત શ્રેણી અને સંકલનના સિદ્ધાંતમાં તેમના અભ્યાસ માટે, તેમજ મિટ્ટાગ-લેફલરને જર્નલ એક્ટા મેથેમેટિકા શરૂ કરવામાં મદદ કરવા માટે નોંધપાત્ર છે. માલ્મસ્ટેન 1840માં ડોસેન્ટ બન્યા અને પછી 1842માં ઉપ્સાલા યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રોફેસર બન્યા. તેઓ 1844માં રોયલ સ્વીડિશ એકેડેમી ઓફ સાયન્સના સભ્ય તરીકે ચૂંટાયા હતા. તેઓ 1859-1866 માં પોર્ટફોલિયો વિનાના મંત્રી અને 1866-1879 માં સ્કારબોર્ગ કાઉન્ટીના ગવર્નર પણ હતા. મુખ્ય યોગદાન સામાન્ય રીતે, માલ્મસ્ટેન જટિલ વિશ્લેષણમાં તેમના અગાઉના કાર્યો માટે જાણીતા છે. જો કે, તેમણે ગણિતની અન્ય શાખાઓમાં પણ ઘણું યોગદાન આપ્યું હતું, પરંતુ તેમના પરિણામો અયોગ્ય રીતે ભૂલી ગયા હતા અને તેમાંના ઘણાને ભૂલથી અન્ય વ્યક્તિઓને આભારી ગણાવવામાં આવ્યા હતા. આમ, તુલનાત્મક રીતે તાજેતરમાં જ Iaroslav Blagouchine દ્વારા શોધ કરવામાં આવી હતી કે માલ્મસ્ટેન સૌપ્રથમ એવા હતા જેમણે કેટલાક મહત્વપૂર્ણ લઘુગણક સંકલન અને શ્રેણીઓનું મૂલ્યાંકન કર્યું હતું, જે ગામા-અને ઝીટા-કાર્યો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, અને જેમાંથી આપણે ગામા કાર્યના લઘુગણક માટે કહેવાતા વર્ડીનું સંકલન અને કુમેરની શ્રેણી શોધી શકીએ છીએ. ખાસ કરીને, 1842માં તેમણે નીચેના lnln-લઘુગણક સંકલનોનું મૂલ્યાંકન કર્યું. બ્લાગોચિનના પેપરમાં વિગતો અને રસપ્રદ ઐતિહાસિક વિશ્લેષણ આપવામાં આવ્યું છે. આમાંના ઘણા સંકલન પાછળથી વિવિધ સંશોધકો દ્વારા ફરીથી શોધાયા હતા, જેમાં વાર્ડી, એડમચિક, મદીના અને મોલનો સમાવેશ થાય છે. વધુમાં, કેટલાક લેખકોએ આમાંના પ્રથમ સંકલનનું નામ વર્ડીના નામ પરથી રાખ્યું હતું, જેમણે 1988માં તેનું પુનઃમૂલ્યાંકન કર્યું હતું (તેઓ તેને વર્ડીનું અભિન્ન અંગ કહે છે), અને તે જ રીતે ઘણા જાણીતા ઇન્ટરનેટ સંસાધનો જેમ કે વોલ્ફ્રમ મેથવર્લ્ડ સાઇટ અથવા ઓઇઆઇએસ ફાઉન્ડેશન સાઇટ (આવા પ્રકારના લઘુગણક સંકલનના મૂલ્યાંકનમાં અસંદિગ્ધ માલ્મસ્ટેનની અગ્રતાને ધ્યાનમાં રાખીને, એવું લાગે છે કે માલ્મસ્ટેનનું સંકલન નામ તેમના માટે વધુ યોગ્ય રહેશે). માલ્મસ્ટને વિવિધ શ્રેણી રજૂઆતોના ઉપયોગ દ્વારા ઉપરોક્ત સૂત્રો મેળવ્યા છે. તે જ સમયે, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે તેમનું મૂલ્યાંકન સમોચ્ચ એકીકરણની પદ્ધતિઓ દ્વારા, હર્વિટ્ઝ ઝેટા કાર્યનો ઉપયોગ કરીને, પોલિલોગેરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને અને એલ-કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને પણ કરી શકાય છે. માલ્મસ્ટેનના સંકલનના વધુ જટિલ સ્વરૂપો એડમચિક અને બ્લાગોચિન (70 થી વધુ સંકલન) ના કાર્યોમાં જોવા મળે છે. નીચે આવા ઇન્ટિગ્રલ્સના કેટલાક ઉદાહરણો છે જ્યાં m અને n હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે જેમ કે m <n, G એ કતલાનનો અચળાંક છે, ζ એ રીમાન ઝેટા-ફંક્શન માટે વપરાય છે, મ્બા એ ડિગમ્મા ફંક્શન છે, અને મ્બા એ ટ્રિગમા ફંક્શન છે; અનુક્રમે eq જુઓ. (43), (47) અને (48) એડમચિકમાં પ્રથમ ત્રણ સંકલન માટે, અને નો ઉપયોગ કરે છે. 36-એ, 36-બી, 11-બી અને 13-બી અનુક્રમે છેલ્લા ચાર સંકલન માટે (ત્રીજા સંકલનની ગણતરી બંને કાર્યોમાં કરવામાં આવી રહી છે). તે વિચિત્ર છે કે માલ્મસ્ટેનના કેટલાક સંકલન જટિલ દલીલના ગામા-અને બહુપત્નીત્વ કાર્યો તરફ દોરી જાય છે, જે ઘણીવાર વિશ્લેષણમાં જોવા મળતા નથી. દાખલા તરીકે, Iaroslav Blagouchine દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે, અથવા, અનુક્રમે 7-એ અને 37 કસરતો જુઓ. તેમ છતાં, માલ્મસ્ટેનના ઇન્ટિગ્રલ્સ પણ સ્ટિલ્ટજેસ અચળાંકો સાથે નજીકથી જોડાયેલા હોવાનું જોવા મળે છે. 1842માં, માલ્મસ્ટેને કેટલીક મહત્વપૂર્ણ લઘુગણક શ્રેણીઓનું પણ મૂલ્યાંકન કર્યું, જેમાંથી આપણે આ બે શ્રેણીઓ શોધી શકીએ છીએ અને પછીની શ્રેણીને પાછળથી અર્ન્સ્ટ કુમેર દ્વારા સહેજ અલગ સ્વરૂપમાં ફરીથી શોધવામાં આવી હતી, જેમણે 1847માં સમાન અભિવ્યક્તિ મેળવી હતી (કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, કુમેરનું પરિણામ માલ્મસ્ટેનના એકમાંથી a = π (2x-1) મૂકીને મેળવવામાં આવે છે). વધુમાં, આ શ્રેણી વિશ્લેષણમાં ગામા કાર્યના લઘુગણક માટે કુમેરની શ્રેણી તરીકે પણ ઓળખાય છે, જો કે માલ્મસ્ટને તેને કુમેરના 5 વર્ષ પહેલાં મેળવી હતી. માલ્સમ્ટેને ઝીટા-ફંક્શન સંબંધિત શ્રેણીઓ અને સંકલનના સિદ્ધાંતમાં પણ નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું છે. 1842 માં તેમણે એલ-ફંક્શન તેમજ એમ-ફંક્શન માટે મહત્વપૂર્ણ કાર્યાત્મક સંબંધને અનુસરવાનું સાબિત કર્યું જ્યાં બંને સૂત્રોમાં 0 <s <1. આમાંથી પ્રથમ સૂત્ર લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા પહેલેથી જ 1749માં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ તે માલ્મસ્ટેન હતા જેમણે તેને સાબિત કર્યું હતું (યુલરએ માત્ર આ સૂત્ર સૂચવ્યું હતું અને તેને s ના કેટલાક પૂર્ણાંક અને અર્ધ-પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે ચકાસ્યું હતું). રસપ્રદ વાત એ છે કે, એલ (એસ) માટેનું સમાન સૂત્ર 1849 માં ઓસ્કાર શ્લોમિલ્ચ દ્વારા અભાનપણે ફરીથી શોધવામાં આવ્યું હતું (સાબિતી માત્ર 1858 માં આપવામાં આવી હતી). ચાર વર્ષ પછી, માલ્મસ્ટને કેટલીક અન્ય સમાન પ્રતિબિંબ સૂત્રો મેળવ્યા, જે હર્વિટ્ઝના કાર્યાત્મક સમીકરણના ચોક્કસ કિસ્સાઓ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ઝેટા-વિધેયોના સિદ્ધાંતમાં માલ્મસ્ટેનના યોગદાન વિશે બોલતા, આપણે તર્કસંગત દલીલ પર પ્રથમ સામાન્યીકૃત સ્ટિલ્ટજેસ અચળાંક માટે પ્રતિબિંબ સૂત્રની તેમની લેખકત્વની ખૂબ જ તાજેતરની શોધનો ઉલ્લેખ કરવામાં નિષ્ફળ ન જઈ શકીએ જ્યાં m અને n એ m <n જેવા હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. આ ઓળખ થોડા અલગ સ્વરૂપમાં હોવા છતાં, માલ્મસ્ટેન દ્વારા પહેલેથી જ 1846 માં લેવામાં આવી હતી અને વિવિધ લેખકો દ્વારા ઘણી વખત સ્વતંત્ર રીતે પણ શોધ કરવામાં આવી છે. ખાસ કરીને, સ્ટિલ્ટજેસ સ્થિરાંકોને સમર્પિત સાહિત્યમાં, તે ઘણીવાર અલ્મક્વિસ્ટ અને મેરમેનને આભારી છે જેમણે તેને 1990 ના દાયકામાં મેળવ્યું હતું. 19મી સદીના સ્વીડિશ ગણિતશાસ્ત્રીઓ રોયલ સ્વીડિશ એકેડેમી ઓફ સાયન્સિસના સભ્યો 1814 જન્મ 1886 મૃત્યુ ગોટિન્જેન એકેડેમી ઓફ સાયન્સિસના સભ્યો અને ઉપસલામાં રોયલ સોસાયટી ઓફ સાયન્સિસના હ્યુમેનિટીઝ સભ્યો