Luneburg lens
લ્યુનબર્ગ લેન્સ (મૂળ જર્મન લ્યુનબર્ગ લેન્સ) એક ગોળાકાર સપ્રમાણ ઢાળ-અનુક્રમણિકા લેન્સ છે. લાક્ષણિક લ્યુનબર્ગ લેન્સનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ n કેન્દ્રથી બાહ્ય સપાટી સુધી ત્રિજ્યાત્મક રીતે ઘટે છે. તેઓ દૃશ્યમાન પ્રકાશથી રેડિયો તરંગો સુધી વિદ્યુતચુંબકીય કિરણોત્સર્ગ સાથે ઉપયોગ માટે બનાવી શકાય છે. ચોક્કસ અનુક્રમણિકા રૂપરેખાઓ માટે, લેન્સ એકબીજા પર આપેલ બે કેન્દ્રિત ગોળાઓની સંપૂર્ણ ભૌમિતિક છબીઓ બનાવશે. અસંખ્ય રીફ્રેક્ટિવ-ઇન્ડેક્સ રૂપરેખાઓ છે જે આ અસર પેદા કરી શકે છે. આ પ્રકારનો સૌથી સરળ ઉકેલ રુડોલ્ફ લ્યુનબર્ગ દ્વારા 1944માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ માટે લ્યુનબર્ગનું દ્રાવણ લેન્સની બહાર બે સંયુક્ત કેન્દ્રો બનાવે છે. ઉકેલ એક સરળ અને સ્પષ્ટ સ્વરૂપ લે છે જો એક કેન્દ્ર બિંદુ અનંત પર હોય અને બીજું લેન્સની વિરુદ્ધ સપાટી પર હોય. જે. ત્યારબાદ બ્રાઉન અને એ. એસ. ગુટમેને એવા ઉકેલો રજૂ કર્યા જે એક આંતરિક કેન્દ્રબિંદુ અને એક બાહ્ય કેન્દ્રબિંદુ પેદા કરે. આ ઉકેલો અનન્ય નથી; ઉકેલોના સમૂહને ચોક્કસ સંકલનના સમૂહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેનું આંકડાકીય મૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે. લ્યુનબર્ગના ઉકેલની રચના કરે છે આદર્શ લ્યુનબર્ગ લેન્સની સપાટી પરનું દરેક બિંદુ વિરુદ્ધ બાજુએ સમાંતર કિરણોત્સર્ગની ઘટના માટેનું કેન્દ્રબિંદુ છે. આદર્શ રીતે, લેન્સની રચના કરતી સામગ્રીનો ડાઇલેક્ટ્રિક અચળાંક તેના કેન્દ્રમાં 2 થી તેની સપાટી પર 1 થાય છે (અથવા સમકક્ષ રીતે, રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ 1 થી પડે છે), લેન્સની ત્રિજ્યા ક્યાં છે તે અનુસાર. કારણ કે સપાટી પરનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ આસપાસના માધ્યમ જેટલો જ હોય છે, તેથી સપાટી પર કોઈ પ્રતિબિંબ થતું નથી. લેન્સની અંદર, કિરણોના માર્ગો લંબગોળની ચાપ હોય છે. મેક્સવેલનું ફિશ-આઈ લેન્સ મેક્સવેલનું ફિશ-આઈ લેન્સ પણ સામાન્યીકૃત લ્યુનબર્ગ લેન્સનું ઉદાહરણ છે. માછલીની આંખ, જેનું સૌપ્રથમ 1854માં મેક્સવેલ દ્વારા સંપૂર્ણ વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું (અને તેથી લ્યુનબર્ગના દ્રાવણની પૂર્વ-તારીખ), તેનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ લેન્સના કેન્દ્રમાં રીફ્રેક્શન ઇન્ડેક્સ ક્યાં છે અને તે લેન્સની ગોળાકાર સપાટીની ત્રિજ્યા છે તેના આધારે બદલાય છે. લેન્સની સપાટી પર રીફ્રેક્શનનો સૂચકાંક છે. લેન્સ ગોળાકાર સપાટી પરના દરેક બિંદુને સપાટી પરના વિરુદ્ધ બિંદુ પર છબી આપે છે. લેન્સની અંદર, કિરણોના માર્ગો વર્તુળોની ચાપ હોય છે. પ્રકાશન અને એટ્રિબ્યુશન આ લેન્સના ગુણધર્મો 1853 કેમ્બ્રિજ અને ડબલિન મેથેમેટિકલ જર્નલમાં સંખ્યાબંધ સેટ સમસ્યાઓ અથવા કોયડાઓમાંથી એકમાં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. પડકાર એ છે કે રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સને ત્રિજ્યાના કાર્ય તરીકે શોધવો, જો કે કિરણ ગોળાકાર માર્ગનું વર્ણન કરે છે, અને આગળ લેન્સના કેન્દ્રિત ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે. તેનો ઉકેલ એ જ સામયિકની 1854ની આવૃત્તિમાં આપવામાં આવ્યો છે. સમસ્યાઓ અને ઉકેલો મૂળ રૂપે અજ્ઞાત રૂપે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા, પરંતુ આ સમસ્યાનું સમાધાન (અને અન્ય એક) નિવેનના ધ સાયન્ટિફિક પેપર્સ ઓફ જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલમાં સામેલ કરવામાં આવ્યું હતું, જે મેક્સવેલના મૃત્યુના 11 વર્ષ પછી પ્રકાશિત થયું હતું. વ્યવહારમાં, લ્યુનબર્ગ લેન્સ સામાન્ય રીતે અલગ કેન્દ્રિત શેલોની સ્તરવાળી રચનાઓ હોય છે, દરેક અલગ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સની હોય છે. આ શેલો સ્ટેપ્ડ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ પ્રોફાઇલ બનાવે છે જે લ્યુનબર્ગના દ્રાવણથી સહેજ અલગ છે. આ પ્રકારના લેન્સનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે માઇક્રોવેવ ફ્રીક્વન્સીઝ માટે થાય છે, ખાસ કરીને કાર્યક્ષમ માઇક્રોવેવ એન્ટેના અને રડાર કેલિબ્રેશન ધોરણો બનાવવા માટે. લ્યુનબર્ગ લેન્સના નળાકાર એનાલોગનો ઉપયોગ લેસર ડાયોડમાંથી પ્રકાશના સંયોજન માટે પણ થાય છે. રડાર પરાવર્તક લ્યુનબર્ગ લેન્સમાંથી તેની સપાટીના ભાગોને ધાતુયુક્ત કરીને રડાર પરાવર્તક બનાવી શકાય છે. દૂરના રડાર ટ્રાન્સમીટરમાંથી કિરણોત્સર્ગ લેન્સની વિરુદ્ધ બાજુએ ધાતુકરણની નીચેની બાજુ પર કેન્દ્રિત થાય છે; અહીં તે પ્રતિબિંબિત થાય છે, અને રડાર સ્ટેશન પર પાછા કેન્દ્રિત થાય છે. આ યોજનામાં મુશ્કેલી એ છે કે ધાતુયુક્ત પ્રદેશો લેન્સના તે ભાગ પર કિરણોત્સર્ગના પ્રવેશ અથવા બહાર નીકળવાને અવરોધે છે, પરંતુ બિન-ધાતુયુક્ત પ્રદેશો વિપરીત બાજુએ અંધ-ડાઘમાં પરિણમે છે. દૂર કરી શકાય તેવા લ્યુનબર્ગ લેન્સ પ્રકારનાં રડાર રિફ્લેક્ટરને કેટલીકવાર લશ્કરી વિમાનો સાથે જોડવામાં આવે છે જેથી તાલીમ કામગીરી દરમિયાન સ્ટીલ્થ એરક્રાફ્ટ દૃશ્યમાન થાય અથવા તેમના સાચા રડાર સિગ્નેચરને છુપાવી શકાય. અન્ય પ્રકારના રડાર પરાવર્તકોથી વિપરીત, તેમનો આકાર વિમાનના સંચાલનને અસર કરતું નથી. માઇક્રોવેવ એન્ટેના એ લ્યુનબર્ગ લેન્સનો ઉપયોગ ઉચ્ચ લાભ ધરાવતા રેડિયો એન્ટેનાના આધાર તરીકે થઈ શકે છે. આ એન્ટેના ડિશ એન્ટેના સાથે તુલનાત્મક છે, પરંતુ મુખ્ય કેન્દ્રિત તત્વ તરીકે પેરાબોલિક પરાવર્તકને બદલે લેન્સનો ઉપયોગ કરે છે. ડિશ એન્ટેનાની જેમ, રીસીવર અથવા ટ્રાન્સમીટરમાંથી ફીડ ફોકસ પર મૂકવામાં આવે છે, ફીડમાં સામાન્ય રીતે હોર્ન એન્ટેના હોય છે. ફીડ હોર્નનું ફેઝ સેન્ટર ફોકસના બિંદુ સાથે સુસંગત હોવું જોઈએ, પરંતુ ફેઝ સેન્ટર હંમેશાં હોર્નના મુખની અંદર કંઈક અંશે હોવાથી, તેને લેન્સની સપાટીની સામે બરાબર ઉપર લાવી શકાતું નથી. પરિણામે વિવિધ પ્રકારના લ્યુનબર્ગ લેન્સનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, જે સપાટી પર કેન્દ્રિત ક્લાસિક લેન્સને બદલે તેની સપાટીથી કંઈક અંશે આગળ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. લ્યુનબર્ગ લેન્સ એન્ટેના પેરાબોલિક વાનગી કરતાં ઘણા ફાયદા આપે છે. કારણ કે લેન્સ ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ હોય છે, તેથી સમગ્ર એન્ટેનાને શારીરિક રીતે ફેરવ્યા વિના, એન્ટેનાને લેન્સની આસપાસ ફીડ ખસેડીને ચલાવી શકાય છે. ફરીથી, કારણ કે લેન્સ ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ હોય છે, એક જ લેન્સનો ઉપયોગ વ્યાપક રીતે જુદી જુદી દિશામાં જોતા અનેક ફીડ્સ સાથે કરી શકાય છે. તેનાથી વિપરીત, જો પેરાબોલિક પરાવર્તક સાથે બહુવિધ ફીડ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો કોમા (ડી-ફોકસિંગનું એક સ્વરૂપ) પીડાને ટાળવા માટે બધા ઓપ્ટિકલ એક્સિસના નાના ખૂણામાં હોવા જોઈએ. ઓફસેટ પ્રણાલીઓ ઉપરાંત, ડિશ એન્ટેના ફીડ અને તેના સહાયક માળખાથી પીડાય છે જે મુખ્ય તત્વ (છિદ્ર અવરોધ) ને આંશિક રીતે અસ્પષ્ટ કરે છે; અન્ય રીફ્રેક્ટિંગ પ્રણાલીઓ સાથે સામાન્ય રીતે, લ્યુનબર્ગ લેન્સ એન્ટેના આ સમસ્યાને ટાળે છે. લ્યુનબર્ગ લેન્સ એન્ટેના પરની વિવિધતા અર્ધગોલાકાર લ્યુનબર્ગ લેન્સ એન્ટેના અથવા લ્યુનબર્ગ રિફ્લેક્ટર એન્ટેના છે. આ લ્યુનબર્ગ લેન્સના માત્ર એક ગોળાર્ધનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં ગોળાની કાપેલી સપાટી પ્રતિબિંબિત ધાતુના ગ્રાઉન્ડ પ્લેન પર આરામ કરે છે. આ વ્યવસ્થા લેન્સના વજનને અડધું કરે છે, અને ગ્રાઉન્ડ પ્લેન આધારનું અનુકૂળ સાધન પૂરું પાડે છે. જો કે, જ્યારે પરાવર્તક પર આપતનું કોણ લગભગ 45° કરતા ઓછું હોય ત્યારે ફીડ લેન્સને આંશિક રીતે અસ્પષ્ટ કરે છે. કોઈપણ ગોળાકાર સપ્રમાણ લેન્સ માટે, દરેક કિરણ સંપૂર્ણપણે લેન્સના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા સમતલમાં હોય છે. કિરણની પ્રારંભિક દિશા એક રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે લેન્સના કેન્દ્ર-બિંદુ સાથે મળીને લેન્સને દ્વિભાજિત કરતા સમતલને ઓળખે છે. લેન્સની સમપ્રમાણતાનો સમતલ હોવાથી, રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સના ઢાળમાં આ સમતલને લંબરૂપ કોઈ ઘટક નથી જે કિરણોને તેની એક બાજુ અથવા બીજી બાજુ વિચલિત કરે. સમતલમાં, પ્રણાલીની ગોળાકાર સમપ્રમાણતા કિરણના માર્ગને વર્ણવવા માટે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવાનું અનુકૂળ બનાવે છે. કિરણ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોતાં (જેમ કે લેન્સમાંથી પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના બિંદુ), ફર્મેટનો સિદ્ધાંત ભારપૂર્વક જણાવે છે કે કિરણ તેમની વચ્ચે જે માર્ગ લે છે તે તે છે જે તે ઓછામાં ઓછા શક્ય સમયમાં પસાર કરી શકે છે. લેન્સમાં કોઈપણ બિંદુ પર પ્રકાશની ઝડપ રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે અને પાયથાગોરસ દ્વારા, બે બિંદુઓ વચ્ચેના સંક્રમણનો સમય અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ ક્યાં છે. આને ઓછું કરવાથી કિરણના માર્ગ પરની નિર્ભરતાને નિર્ધારિત કરતું બીજા ક્રમનું વિભેદક સમીકરણ મળે છે. આ પ્રકારની લઘુતમ સમસ્યાનો લેગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, અને એક તૈયાર ઉકેલ બેલ્ટ્રામી ઓળખના સ્વરૂપમાં અસ્તિત્વમાં છે, જે તરત જ આ બીજા ક્રમના સમીકરણના પ્રથમ સંકલનને પૂરું પાડે છે. આ ઓળખમાં અવેજી (જ્યાં રજૂ થાય છે), એકીકરણનો અચળાંક ક્યાં છે તે આપે છે. આ પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને અલગ કરી શકાય તેવું છે, એટલે કે તેને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે જેથી તે માત્ર એક જ બાજુ દેખાય, અને માત્ર બીજી બાજુઃ પરિમાણ કોઈપણ આપેલ કિરણ માટે અચળાંક છે, પરંતુ લેન્સના કેન્દ્રથી જુદા જુદા અંતર પર પસાર થતા કિરણો વચ્ચે અલગ પડે છે. કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા કિરણો માટે, તે શૂન્ય છે. કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓમાં, જેમ કે મેક્સવેલની માછલી-આંખ માટે, આ પ્રથમ ક્રમના સમીકરણને વિધેય તરીકે સૂત્ર આપવા માટે વધુ સંકલિત કરી શકાય છે. સામાન્ય રીતે તે અને ના પરિવર્તનના સંબંધિત દર પ્રદાન કરે છે, જે લેન્સ દ્વારા કિરણોના માર્ગને અનુસરવા માટે આંકડાકીય રીતે સંકલિત થઈ શકે છે. આ પણ જુઓ બોલ લેન્સ BLITS (બોલ લેન્સ ઇન ધ સ્પેસ) સેટેલાઇટ ગ્રેવિટેશનલ લેન્સમાં પણ ત્રિજ્યીય રીતે ઘટતો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ હોય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ યુ ટ્યુબમાંથી લ્યુનબર્ગ લેન્સ (ડાઇલેક્ટ્રિક એન્ટેના) દ્વારા પ્રચારનું એનિમેશન યુ ટ્યુબમાંથી મેક્સવેલના ફિશ-આઈ લેન્સનું એનિમેશન યુ ટ્યુબમાંથી હાફ મેક્સવેલના ફિશ-આઈ લેન્સનું એનિમેશન (ડાઇલેક્ટ્રિક એન્ટેના) યુ ટ્યુબ લેન્સ સ્ટીલ્થ ટેકનોલોજી લશ્કરી છેતરપિંડીમાંથી