Closed monoidal category
ગણિતમાં, ખાસ કરીને શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, બંધ મોનોઈડલ શ્રેણી (અથવા એક મોનોઈડલ બંધ શ્રેણી) એ એવી શ્રેણી છે જે એક મોનોઈડલ શ્રેણી અને બંધ શ્રેણી બંને એવી રીતે હોય છે કે માળખાં સુસંગત હોય. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ સમૂહની શ્રેણી છે, સમૂહ, જ્યાં સમૂહોનું મોનોઈડલ ઉત્પાદન અને તે સામાન્ય કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન છે, અને આંતરિક હોમ એ થી થી કાર્યોનો સમૂહ છે. બિન-કાર્ટેશિયન ઉદાહરણ એ ક્ષેત્ર પરની વેક્ટર જગ્યાઓ, કે-વેક્ટની શ્રેણી છે. અહીં મોનોઈડલ પ્રોડક્ટ એ વેક્ટર સ્પેસની સામાન્ય ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે, અને આંતરિક હોમ એ એક વેક્ટર સ્પેસથી બીજા વેક્ટર સ્પેસમાં રેખીય નકશાની વેક્ટર સ્પેસ છે. બંધ સપ્રમાણ મોનોઇડલ શ્રેણીઓની આંતરિક ભાષા રેખીય તર્ક છે અને પ્રકાર પ્રણાલી રેખીય પ્રકારની પ્રણાલી છે. બંધ મોનોઇડલ શ્રેણીઓના ઘણા ઉદાહરણો સપ્રમાણ છે. જો કે, આ હંમેશા કેસ હોવો જરૂરી નથી, કારણ કે ભાષાશાસ્ત્રના શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક ફોર્મ્યુલેશનમાં બિન-સમમિતીય મોનોઈડલ શ્રેણીઓનો સામનો કરી શકાય છે; આશરે કહીએ તો, આ કુદરતી ભાષાની બાબતોમાં શબ્દ-ક્રમને કારણે છે. વ્યાખ્યા એક બંધ મોનોઇડલ શ્રેણી એ એક મોનોઇડલ શ્રેણી છે, જેમાં જમણી બાજુએ ટેન્સરિંગ દ્વારા આપવામાં આવેલા દરેક પદાર્થ માટે ફંક્શનને જમણી બાજુએ એક જોડાણ હોય છે, જે લખાયેલું હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે હોમ-સેટ વચ્ચે 'કરીંગ' તરીકે ઓળખાતું એક દ્વિભાજન અસ્તિત્વમાં છે, જે એ અને સી બંનેમાં કુદરતી છે. એક અલગ, પરંતુ સામાન્ય સંકેતલિપીમાં, કોઈ કહેશે કે ફંક્શનને જમણી બાજુએ સમાન રીતે છે, એક બંધ મોનોઇડલ શ્રેણી એ એક શ્રેણી છે, જે દરેક બે પદાર્થો એ અને બી માટે સજ્જ છે, એક પદાર્થ સાથે, એક આકારવાદ, જે નીચેના સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સંતોષ આપે છેઃ દરેક આકારવાદ માટે એક અનન્ય આકારવાદ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે આ રચના એક ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ ફંકટરને આંતરિક હોમ ફંકટર કહેવામાં આવે છે, અને ઓબ્જેક્ટને આંતરિક હોમ ઓફ એન્ડ કહેવામાં આવે છે. આંતરિક હોમ માટે અન્ય ઘણા સંકેતો સામાન્ય ઉપયોગમાં છે. જ્યારે ટેન્સર ઉત્પાદન કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન હોય, ત્યારે સામાન્ય સંકેત હોય છે અને આ પદાર્થને ઘાતાંકીય પદાર્થ કહેવામાં આવે છે. બાઈક્લોઝ્ડ અને સિમેટ્રિક શ્રેણીઓ સખત રીતે કહીએ તો, આપણે જમણી બાજુએ બંધ મોનોઇડલ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરી છે, કારણ કે આપણે જરૂરી છે કે કોઈપણ પદાર્થ સાથે જમણી બાજુએ ટેન્સરિંગને જમણી બાજુ હોય. ડાબી બાજુના બંધ મોનોઇડલ વર્ગમાં, આપણે તેના બદલે માંગ કરીએ છીએ કે કોઈપણ પદાર્થ સાથે ડાબી બાજુના ટેન્સરિંગના ફંકટરની જમણી બાજુએ એક દ્વિ-બંધ મોનોઇડલ વર્ગ એક મોનોઇડલ વર્ગ છે જે ડાબી અને જમણી બાજુએ બંધ હોય. સપ્રમાણ મોનોઇડલ શ્રેણીને બંધ છોડી દેવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે જમણી બાજુએ બંધ હોય. આમ આપણે સુરક્ષિત રીતે 'સપ્રમાણ મોનોઇડલ બંધ શ્રેણી' ની વાત કરી શકીએ છીએ, તે સ્પષ્ટ કર્યા વિના કે તે ડાબી કે જમણી બાજુ બંધ છે. હકીકતમાં, બ્રેઇડેડ મોનોઈડલ વર્ગો માટે આ જ વધુ સામાન્ય રીતે સાચું છેઃ કારણ કે બ્રેઇડિંગ કુદરતી રીતે આઇસોમોર્ફિક બનાવે છે, ડાબી બાજુએ ટેન્સરિંગ અને જમણી બાજુએ ટેન્સરિંગ વચ્ચેનો તફાવત અભૌતિક બની જાય છે, તેથી દરેક જમણી બાજુએ બંધ બ્રેઇડેડ મોનોઈડલ શ્રેણી કેનોનિકલ રીતે લેફ્ટ ક્લોઝ થઈ જાય છે, અને ઊલટું. આપણે બંધ મોનોઇડલ વર્ગોને વધારાની મિલકત સાથે મોનોઇડલ વર્ગો તરીકે વર્ણવ્યા છે. કોઈ પણ બંધ મોનોઈડલ શ્રેણીને વધારાની મિલકત સાથે બંધ શ્રેણી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. એટલે કે, આપણે ટેન્સર ઉત્પાદનના અસ્તિત્વની માંગ કરી શકીએ છીએ જે આંતરિક હોમ ફંકટરની બાજુમાં રહે છે. આ અભિગમમાં, બંધ મોનોઈડલ વર્ગોને મોનોઈડલ બંધ વર્ગો પણ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો દરેક કાર્ટેશિયન બંધ શ્રેણી એક સપ્રમાણ, મોનોઈડલ બંધ શ્રેણી છે, જ્યારે મોનોઈડલ માળખું કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન માળખું હોય છે. આંતરિક હોમ ફંકટર ઘાતાંકીય પદાર્થ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, સમૂહની શ્રેણી, સમૂહ, એક સપ્રમાણ, બંધ મોનોઇડલ શ્રેણી છે. અહીં આંતરિક હોમ એ ફક્ત થી થી કાર્યોનો સમૂહ છે. મોડ્યુલોની શ્રેણી, પરિવર્તનીય રીંગ આર પર આર-મોડ એ બિન-કાર્ટેશિયન, સપ્રમાણ, મોનોઈડલ બંધ શ્રેણી છે. મોનોઇડલ ઉત્પાદન મોડ્યુલોના ટેન્સર ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે અને આંતરિક હોમ તેના કુદરતી આર-મોડ્યુલ માળખા સાથે આર-રેખીય નકશાની જગ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યાઓની શ્રેણી એક સપ્રમાણ, બંધ મોનોઈડલ શ્રેણી છે. એબેલિયન જૂથોને ઝેડ-મોડ્યુલો તરીકે ગણી શકાય, તેથી એબેલિયન જૂથોની શ્રેણી પણ એક સપ્રમાણ, બંધ મોનોઈડલ શ્રેણી છે. સપ્રમાણ કોમ્પેક્ટ ક્લોઝ્ડ કેટેગરી એ સપ્રમાણ મોનોઇડલ ક્લોઝ્ડ કેટેગરી છે જેમાં આંતરિક હોમ ફંકટર દ્વારા આપવામાં આવે છે. કેનોનિકલ ઉદાહરણ એ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓની શ્રેણી છે, FdVect. કાઉન્ટરએક્સામ્પલ્સ રિંગ્સની શ્રેણી એ રિંગ્સના ટેન્સર પ્રોડક્ટ હેઠળ એક સપ્રમાણ, મોનોઈડલ શ્રેણી છે, જે એકમ પદાર્થ તરીકે કામ કરે છે. આ શ્રેણી બંધ નથી. જો તે હોત, તો રિંગ્સની કોઈપણ જોડી વચ્ચે બરાબર એક હોમોમોર્ફિઝમ હોત. પરિવર્તનશીલ રીંગ આર પર આર-આલ્જેબ્રાની શ્રેણી માટે પણ આ જ લાગુ પડે છે. ઇસબેલ કોન્જ્યુગેસી સંદર્ભો મોનોઈડલ બંધ શ્રેણીઓ પણ જુઓ