Wallis product
ગણિતમાં, જ્હોન વોલિસ દ્વારા 1656માં પ્રકાશિત વોલિસ પ્રોડક્ટ ફોર જણાવે છે કે એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી વોલિસે અંતર્વેશનનો ઉપયોગ કરીને આ અનંત ઉત્પાદન મેળવ્યું હતું, જોકે તેની પદ્ધતિને સખત માનવામાં આવતી નથી. સમ અને વિષમ મૂલ્યોની તપાસ કરીને આધુનિક વ્યુત્પત્તિ શોધી શકાય છે, અને નોંધ્યું છે કે મોટા માટે, 1 નો વધારો એ ફેરફારમાં પરિણમે છે જે વધવાની સાથે હંમેશા નાનો બને છે. ચાલો (આ વોલિસના સંકલનનું એક સ્વરૂપ છે.) ભાગો દ્વારા સંકલનઃ હવે, આપણે મેળવવાની સુવિધા માટે બે ચલ અવેજી બનાવીએ છીએઃ આપણે પછીના ઉપયોગ માટે મૂલ્યો મેળવીએ છીએ. હવે, આપણે ભાગો દ્વારા સંકલનમાંથી પુનરાવર્તન સંબંધ પરિણામને વારંવાર લાગુ કરીને સમ મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ. આખરે, આપણે નીચે આવીએ છીએ, જેની આપણે ગણતરી કરી છે. વિષમ મૂલ્યો માટેની પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, આપણે નીચેનું નિરીક્ષણ કરીએ છીએ, જે એ હકીકત પર આધારિત છે કે વિભાજીત કરવુંઃ, જ્યાં સમાનતા આપણા પુનરાવર્તન સંબંધમાંથી આવે છે. સ્ક્વિઝ થીયરમ દ્વારા, લાપ્લાસની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો ગૌસીયન ઇન્ટિગ્રલ પરનું મુખ્ય પાનું જુઓ. સાઇન કાર્ય માટે યુલરના અનંત ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો જ્યારે ઉપરોક્ત પુરાવો સામાન્ય રીતે આધુનિક કલન પાઠ્યપુસ્તકોમાં દર્શાવવામાં આવે છે, ત્યારે વોલિસ ઉત્પાદન, ભૂતકાળમાં, સાઇન કાર્ય માટે પછીના યુલર અનંત ઉત્પાદનનું સરળ પરિણામ છે. ચાલોઃ સ્ટર્લિંગના અંદાજનો સંબંધ ફેક્ટોરિયલ ફંક્શન માટે સ્ટર્લિંગનો અંદાજ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે હવે વોલિસ પ્રોડક્ટના મર્યાદિત અંદાજોને ધ્યાનમાં લો, જે પ્રોડક્ટમાં પ્રથમ શબ્દો લઈને મેળવવામાં આવે છે, જ્યાં આ અભિવ્યક્તિમાં સ્ટર્લિંગના અંદાજને બદલીને લખી શકાય છે (બંને માટે અને) જે (ટૂંકી ગણતરી પછી) અનુમાન કરી શકે છે. શૂન્ય પર રીમાન ઝીટા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન રીમાન ઝીટા કાર્ય અને ડિરીક્લેટ એટા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ પછીની શ્રેણીમાં યુલર પરિવર્તન લાગુ કરીને, નીચે મુજબ મેળવવામાં આવે છેઃ જ્હોન વોલિસ, અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી પણ જુઓ, જેમને અનંત કલન અને પાઇના વિકાસ માટે આંશિક શ્રેય આપવામાં આવે છે. વિયેટનું સૂત્ર, માટે એક અલગ અનંત ઉત્પાદન સૂત્ર છે. માટે લીબનીઝ સૂત્ર, એક અનંત સરવાળો જેને માટે અનંત યુલર ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. વોલિસ ચાળણી પીપેન્જર ઉત્પાદન સૂત્ર વોલિસ ઉત્પાદનમાં શરતોના મૂળ લઈને ઇ મેળવે છે. નોંધો બાહ્ય કડીઓ પુરાવા ધરાવતા લેખો પાઇ અલ્ગોરિધમ્સ અનંત ઉત્પાદનો