Gas in a box
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, બૉક્સમાં ક્વોન્ટમ કણના પરિણામોનો ઉપયોગ બૉક્સમાં ક્વોન્ટમ આદર્શ ગેસ માટે સંતુલનની સ્થિતિને જોવા માટે થઈ શકે છે, જે મોટી સંખ્યામાં અણુઓ ધરાવતું બૉક્સ છે જે તાત્કાલિક ઉષ્મીય અથડામણ સિવાય એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા નથી. આ સરળ નમૂનાનો ઉપયોગ શાસ્ત્રીય આદર્શ વાયુ તેમજ વિવિધ ક્વોન્ટમ આદર્શ વાયુઓ જેમ કે આદર્શ વિશાળ ફર્મી વાયુ, આદર્શ વિશાળ બોસ વાયુ તેમજ બ્લેક બોડી રેડિયેશન (ફોટોન વાયુ) નું વર્ણન કરવા માટે થઈ શકે છે, જેને દ્રવ્યમાન વિનાના બોસ વાયુ તરીકે ગણી શકાય, જેમાં સામાન્ય રીતે સમતોલિત દ્રવ્યમાન સાથેના ફોટોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દ્વારા ઉષ્મીકરણને સરળ ગણવામાં આવે છે. મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન સ્ટેટિસ્ટિક્સ, બોસ-આઈન્સ્ટાઈન સ્ટેટિસ્ટિક્સ અથવા ફર્મી-ડીરાક સ્ટેટિસ્ટિક્સના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને અને ખૂબ મોટા બૉક્સની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લેતા, થોમસ-ફર્મી અંદાજ (એનરિકો ફર્મી અને લેવેલિન થોમસના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે) નો ઉપયોગ ઊર્જા સ્થિતિઓની અધોગતિને વિભેદક તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે થાય છે, અને અવસ્થાઓ પરના સારાંશોને સંકલન તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે થાય છે. આ ગેસના થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોને પાર્ટીશન ફંક્શન અથવા ગ્રાન્ડ પાર્ટીશન ફંક્શનના ઉપયોગ સાથે ગણતરી કરવા સક્ષમ બનાવે છે. આ પરિણામો મોટા અને દળહીન બંને કણો પર લાગુ કરવામાં આવશે. વધુ સંપૂર્ણ ગણતરીઓ અલગ લેખો પર છોડી દેવામાં આવશે, પરંતુ કેટલાક સરળ ઉદાહરણો આ લેખમાં આપવામાં આવશે. સ્થિતિઓના અધોગતિ માટે થોમસ-ફર્મી અંદાજ બોક્સમાં મોટા અને દળહીન બંને કણો માટે, કણોની સ્થિતિઓ ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓના સમૂહ દ્વારા ગણવામાં આવે છે. વેગમાત્રાની તીવ્રતા તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં h એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને L એ પેટીની બાજુની લંબાઈ છે. કણોની દરેક સંભવિત સ્થિતિને હકારાત્મક પૂર્ણાંકોની ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રીડ પરના બિંદુ તરીકે વિચારી શકાય છે. ધારો કે ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓનો દરેક સમૂહ f સ્થિતિઓને સ્પષ્ટ કરે છે જ્યાં f એ કણોની આંતરિક સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે જેને અથડામણ દ્વારા બદલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્પિન કણમાં f = 2 હશે, જે દરેક સ્પિન સ્થિતિ માટે એક હશે. n ના મોટા મૂલ્યો માટે, ઉપરોક્ત સમીકરણમાંથી p કરતા ઓછા અથવા સમાન વેગની તીવ્રતા ધરાવતી સ્થિતિઓની સંખ્યા આશરે છે જે ત્રિજ્યા n ના ગોળાના કદના માત્ર f ગણો છે જેને આઠ વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે કારણ કે માત્ર હકારાત્મક ni સાથેનો અષ્ટક ગણવામાં આવે છે. સાતત્ય અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, p અને p + dp વચ્ચે વેગની તીવ્રતા ધરાવતી સ્થિતિઓની સંખ્યા એટલે જ્યાં V = L3 એ બોક્સનું કદ છે. નોંધ લો કે આ સાતત્ય અંદાજનો ઉપયોગ કરવામાં, જેને થોમસ-ફર્મી અંદાજ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, ઓછી ઊર્જાની સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપવાની ક્ષમતા ખોવાઈ જાય છે, જેમાં જમીનની સ્થિતિ પણ સામેલ છે જ્યાં ni = 1 છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં આ કોઈ સમસ્યા નહીં હોય, પરંતુ જ્યારે બોસ-આઈન્સ્ટાઈન ઘનીકરણને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જેમાં ગેસનો મોટો ભાગ જમીનની સ્થિતિમાં અથવા તેની નજીક હોય છે, ત્યારે ઓછી ઉર્જા સ્થિતિઓ સાથે વ્યવહાર કરવાની ક્ષમતા મહત્વપૂર્ણ બની જાય છે. કોઈપણ અંદાજનો ઉપયોગ કર્યા વિના, ઊર્જા ધરાવતા કણોની સંખ્યા εi એ સ્થિતિ i ની અધોગતિ ક્યાં છે અને β = 1/kBT, બોલ્ટ્ઝમેનનો અચળાંક kB, તાપમાન T અને રાસાયણિક સંભવિતતા μ દ્વારા આપવામાં આવે છે. (મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન આંકડાશાસ્ત્ર, બોસ-આઈન્સ્ટાઈન આંકડાશાસ્ત્ર અને ફર્મી-ડિરેક આંકડાશાસ્ત્ર જુઓ.) થોમસ-ફર્મી અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, E અને E + dE વચ્ચે ઊર્જા સાથે dNE કણોની સંખ્યા છેઃ E અને E + dE વચ્ચે ઊર્જા ધરાવતી સ્થિતિઓની સંખ્યા ક્યાં છે. ઊર્જા વિતરણ આ લેખના અગાઉના વિભાગોમાંથી મેળવેલા પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, બૉક્સમાં ગેસ માટે કેટલાક વિતરણો હવે નક્કી કરી શકાય છે. કણોની પ્રણાલી માટે, ચલ માટેનું વિતરણ એ અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કણોના અપૂર્ણાંક છે જે વચ્ચે અને ક્યાં માટે મૂલ્યો ધરાવે છે, કણોની સંખ્યા કે જે વચ્ચે અને વચ્ચે મૂલ્યો ધરાવે છે, સ્થિતિઓની સંખ્યા કે જે વચ્ચે અને વચ્ચે મૂલ્યો ધરાવે છે, સંભાવના છે કે જે સ્થિતિ મૂલ્ય ધરાવે છે તે કણ દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે, કણોની કુલ સંખ્યા. તે અનુસરે છે કેઃ વેગ વિતરણ માટે, અને વચ્ચે વેગની તીવ્રતા ધરાવતા કણોનો અપૂર્ણાંક છેઃ અને ઊર્જા વિતરણ માટે, અને વચ્ચે ઊર્જા ધરાવતા કણોનો અપૂર્ણાંક છેઃ બૉક્સમાં રહેલા કણ માટે (અને મુક્ત કણ માટે પણ), વિશાળ અને દળહીન કણો માટે ઊર્જા અને વેગ વચ્ચેનો સંબંધ અલગ છે. મોટા કણો માટે, જ્યારે દળહીન કણો માટે, કણનું દળ ક્યાં છે અને પ્રકાશની ઝડપ ક્યાં છે. આ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને, મોટા કણો માટે ગેસની થર્મલ તરંગલંબાઇ ક્યાં છે. આ એક મહત્વપૂર્ણ જથ્થો છે, કારણ કે જ્યારે આંતર-કણ અંતરના ક્રમ પર હોય છે, ત્યારે ક્વોન્ટમ અસરો પ્રભુત્વ મેળવવાનું શરૂ કરે છે અને ગેસને હવે મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન ગેસ ગણી શકાય નહીં. દળહીન કણો માટે હવે દળહીન કણો માટે થર્મલ તરંગલંબાઇ ક્યાં છે. ચોક્કસ ઉદાહરણો નીચેના વિભાગો કેટલાક ચોક્કસ કિસ્સાઓ માટે પરિણામોનું ઉદાહરણ આપે છે. વિશાળ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન કણો આ કેસ માટેઃ ઊર્જા વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરવું અને N માટે ઉકેલવાથી મૂળ ઊર્જા વિતરણ કાર્યમાં અવેજી મળે છે જે મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ માટે શાસ્ત્રીય રીતે મેળવેલા સમાન પરિણામો આપે છે. વધુ પરિણામો આદર્શ ગેસ પરના લેખના શાસ્ત્રીય વિભાગમાં મળી શકે છે. વિશાળ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કણો આ કેસ માટેઃ જ્યાં ઊર્જા વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરીને અને N માટે ઉકેલવાથી કણ સંખ્યા મળે છે જ્યાં Lis (z) એ બહુપત્નીકરણીય કાર્ય છે. બહુપતિકાક્ષર શબ્દ હંમેશા હકારાત્મક અને વાસ્તવિક હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય 0 થી ζ (3/2) સુધી જશે કારણ કે z એ 0 થી 1 સુધી જાય છે. જેમ જેમ તાપમાન શૂન્ય તરફ ઘટતું જશે તેમ તેમ તે મોટું અને મોટું થતું જશે, જ્યાં સુધી આખરે તે નિર્ણાયક મૂલ્ય સુધી પહોંચશે જ્યાં z = 1 અને જ્યાં રીમાન ઝેટા કાર્ય સૂચવે છે. તાપમાન કે જેના પર નિર્ણાયક તાપમાન હોય છે. આ નિર્ણાયક તાપમાનથી નીચેના તાપમાન માટે, કણ સંખ્યા માટે ઉપરોક્ત સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. નિર્ણાયક તાપમાન એ તાપમાન છે કે જેના પર બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ રચવાનું શરૂ થાય છે. સમસ્યા એ છે કે, ઉપર જણાવ્યા મુજબ, સાતત્ય અંદાજમાં જમીનની સ્થિતિને અવગણવામાં આવી છે. જો કે, તે તારણ આપે છે કે કણ સંખ્યા માટેનું ઉપરોક્ત સમીકરણ ઉત્તેજિત સ્થિતિમાં બોસોનની સંખ્યાને સારી રીતે વ્યક્ત કરે છે, અને આમઃ જ્યાં ઉમેરાયેલ શબ્દ જમીનની સ્થિતિમાં કણોની સંખ્યા છે. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એનર્જીની અવગણના કરવામાં આવી છે. આ સમીકરણ શૂન્ય તાપમાન સુધી ટકી રહેશે. વધુ પરિણામો આદર્શ બોસ ગેસ પરના લેખમાં મળી શકે છે. દળહીન બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કણો (દા. ત. બ્લેક બોડી રેડિયેશન) દળહીન કણોના કિસ્સામાં, દળહીન ઊર્જા વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. આ કાર્યને આવર્તન વિતરણ કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરવું અનુકૂળ છેઃ દળહીન કણો માટે થર્મલ તરંગલંબાઇ ક્યાં છે. પછી વર્ણપટ ઊર્જા ઘનતા (એકમ આવર્તન દીઠ એકમ વોલ્યુમ દીઠ ઊર્જા) અન્ય થર્મોડાયનેમિક પરિમાણો મોટા કણોના કિસ્સામાં સમાન રીતે મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આવર્તન વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરવાથી અને N માટે ઉકેલવાથી કણોની સંખ્યા મળે છેઃ બ્લેક બોડીમાં સૌથી સામાન્ય દળહીન બોસ ગેસ એ ફોટોન ગેસ છે. "બોક્સ" ને બ્લેક બોડી કેવિટી તરીકે લેતા, ફોટોન સતત શોષાય છે અને દિવાલો દ્વારા ફરીથી ઉત્સર્જિત થાય છે. જ્યારે આ કિસ્સો હોય, ત્યારે ફોટોનની સંખ્યા સંરક્ષિત નથી. બોસ-આઈન્સ્ટાઈન સ્ટેટિસ્ટિક્સની વ્યુત્પત્તિમાં, જ્યારે કણોની સંખ્યા પરનો સંયમ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ અસરકારક રીતે રાસાયણિક સંભવિતતા (μ) ને શૂન્ય પર સેટ કરવા સમાન છે. વધુમાં, ફોટોનની બે સ્પિન અવસ્થાઓ હોવાથી, f નું મૂલ્ય 2 છે. પછી વર્ણપટ ઊર્જા ઘનતા એ છે જે બ્લેક બોડી રેડિયેશનના પ્લાન્કના નિયમ માટે માત્ર વર્ણપટ ઊર્જા ઘનતા છે. નોંધ લો કે વિએન વિતરણ પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે જો આ પ્રક્રિયા દળહીન મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન કણો માટે હાથ ધરવામાં આવે છે, જે ઊંચા તાપમાન અથવા નીચી ઘનતા માટે પ્લાન્કના વિતરણનો અંદાજ કાઢે છે. અમુક પરિસ્થિતિઓમાં, ફોટોનને લગતી પ્રતિક્રિયાઓ ફોટોનની સંખ્યાના સંરક્ષણમાં પરિણમશે (દા. ત. પ્રકાશ ઉત્સર્જક ડાયોડ, "સફેદ" પોલાણ). આ કિસ્સાઓમાં, ફોટોન વિતરણ કાર્યમાં બિન-શૂન્ય રાસાયણિક સંભવિતતા સામેલ હશે. (હર્મન 2005) અન્ય માસલેસ બોસ ગેસ ઉષ્મા ક્ષમતા માટે ડેબી મોડેલ દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. આ મોડેલ બૉક્સમાં ફોનોનના ગેસને ધ્યાનમાં લે છે અને ફોટોનના વિકાસથી અલગ છે કારણ કે ફોનોનની ઝડપ પ્રકાશની ગતિ કરતા ઓછી હોય છે, અને બૉક્સના દરેક અક્ષ માટે મહત્તમ માન્ય તરંગલંબાઇ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે તબક્કાની જગ્યા પરનું એકીકરણ અનંત સુધી કરી શકાતું નથી, અને પરિણામોને બહુપદીમાં વ્યક્ત કરવાને બદલે, તેઓ સંબંધિત ડેબી કાર્યોમાં વ્યક્ત થાય છે. વિશાળ ફર્મિ-ડાયરેક કણો (દા. ત. ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રોન) આ કિસ્સામાંઃ ઊર્જા વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરવાથી મળે છે જ્યાં ફરીથી, લિસ (ઝેડ) એ બહુપત્નીકીય કાર્ય છે અને તે થર્મલ ડી બ્રોગલી તરંગલંબાઇ છે. વધુ પરિણામો આદર્શ ફર્મી ગેસ પરના લેખમાં મળી શકે છે. ફર્મિ ગેસના ઉપયોગો મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ, સફેદ દ્વાર્ફની થિયરી અને સામાન્ય રીતે ડીજનરેટ દ્રવ્યમાં જોવા મળે છે. ગેસ ઇન અ હાર્મોનિક ટ્રેપ સંદર્ભો વુ-ક્વોક, એલ., રૂપરેખાંકન અભિન્ન (આંકડાકીય મિકેનિક્સ), 2008 પણ જુઓ. આ વિકિ સાઇટ નીચે છે; 28 એપ્રિલ 2012 ના રોજ વેબ આર્કાઇવમાં આ લેખ જુઓ. આંકડાકીય મિકેનિક્સ