Mohr's circle
મોહરનું વર્તુળ એ કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સર માટેના પરિવર્તન કાયદાનું દ્વિ-પરિમાણીય ગ્રાફિકલ પ્રતિનિધિત્વ છે. મોહરના વર્તુળનો ઉપયોગ ઘણીવાર સામગ્રીની તાકાત માટે યાંત્રિક ઇજનેરી, જમીનની તાકાત માટે ભૂ-તકનીકી ઇજનેરી અને બાંધવામાં આવેલી રચનાઓની તાકાત માટે માળખાકીય ઇજનેરી સંબંધિત ગણતરીઓમાં થાય છે. તેનો ઉપયોગ ઘણા સમતલમાં તાણને ઊભી અને આડી ઘટકોમાં ઘટાડીને તેની ગણતરી કરવા માટે પણ થાય છે. આને મુખ્ય સ્તર કહેવામાં આવે છે જેમાં મુખ્ય તાણની ગણતરી કરવામાં આવે છે; મોહરના વર્તુળનો ઉપયોગ ગ્રાફિકલ રજૂઆતમાં મુખ્ય સ્તર અને મુખ્ય તાણ શોધવા માટે પણ થઈ શકે છે, અને તે આવું કરવાની સૌથી સરળ રીતોમાંની એક છે. સાતત્ય તરીકે ધારણ કરાયેલ ભૌતિક પદાર્થ પર તાણનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી, ચોક્કસ ભૌતિક બિંદુ પર કોચી તણાવ ટેન્સરના ઘટકો સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં જાણીતા છે. મોહર વર્તુળનો ઉપયોગ પછી ફરતી સંકલન પ્રણાલી પર કામ કરતા તાણ ઘટકોને ગ્રાફિકલી રીતે નક્કી કરવા માટે થાય છે, એટલે કે, તે બિંદુ પરથી પસાર થતા અલગ લક્ષી સમતલ પર કામ કરે છે. વર્તુળ પરના દરેક બિંદુના એબ્સિસા અને ઓર્ડિનેટ (,) એ અનુક્રમે સામાન્ય તાણ અને શીયર તાણ ઘટકોની તીવ્રતા છે, જે ફરતી સંકલન પ્રણાલી પર કાર્ય કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વર્તુળ એ બિંદુઓનું સ્થાન છે જે વ્યક્તિગત સપાટીઓ પર તેમના તમામ દિશાઓ પર તાણની સ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં અક્ષો તણાવ તત્વના મુખ્ય અક્ષોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. 19મી સદીના જર્મન ઇજનેર કાર્લ કુલમેને વળાંક દરમિયાન આડી બીમમાં સમાંતર અને ઊભી તાણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે તાણ માટે ગ્રાફિકલ રજૂઆતની કલ્પના કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. તેમના કાર્યથી સાથી જર્મન ઇજનેર ક્રિશ્ચિયન ઓટ્ટો મોહર (વર્તુળનું નામ) પ્રેરિત થયા, જેમણે તેને દ્વિ-અને ત્રિ-પરિમાણીય તાણ બંને સુધી વિસ્તાર્યું અને તણાવ વર્તુળના આધારે નિષ્ફળતાના માપદંડ વિકસાવ્યા. એક બિંદુ પર તાણની સ્થિતિની રજૂઆત માટે વૈકલ્પિક ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓમાં લેમેના તણાવ લંબગોળ અને કોચીના તણાવ ચતુર્ભુજનો સમાવેશ થાય છે. મોહર વર્તુળ કોઈપણ સપ્રમાણ 2x2 ટેન્સર મેટ્રિક્સ પર લાગુ કરી શકાય છે, જેમાં જડતા ટેન્સરના તાણ અને ક્ષણનો સમાવેશ થાય છે. અભિપ્રેરણા આંતરિક બળો એક વિકૃત પદાર્થના કણો વચ્ચે ઉત્પન્ન થાય છે, જે સાતત્ય તરીકે ધારવામાં આવે છે, લાગુ બાહ્ય બળોની પ્રતિક્રિયા તરીકે, એટલે કે, સપાટી બળો અથવા શરીર બળો. આ પ્રતિક્રિયા યુલરના સાતત્ય માટેના ગતિના નિયમોને અનુસરે છે, જે કણો માટે ન્યૂટનના ગતિના નિયમોની સમકક્ષ છે. આ આંતરિક બળોની તીવ્રતાના માપને તણાવ કહેવામાં આવે છે. કારણ કે પદાર્થને સાતત્ય તરીકે માનવામાં આવે છે, આ આંતરિક બળો પદાર્થના કદમાં સતત વહેંચાય છે. ઇજનેરીમાં, દા. ત., માળખાકીય, યાંત્રિક અથવા ભૂ-તકનીકી, પદાર્થની અંદર તણાવનું વિતરણ, ઉદાહરણ તરીકે ટનલ, વિમાનની પાંખો અથવા મકાન સ્તંભોની આસપાસના ખડક સમૂહમાં તણાવ, તણાવ વિશ્લેષણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તાણ વિતરણની ગણતરી એ પદાર્થના દરેક બિંદુ (ભૌતિક કણ) પર તાણનું નિર્ધારણ સૂચવે છે. કોચીના જણાવ્યા અનુસાર, પદાર્થના કોઈપણ બિંદુ (આકૃતિ 2) પરનો તણાવ, જે સાતત્ય તરીકે ધારવામાં આવે છે, તે સંપૂર્ણપણે કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સર તરીકે ઓળખાતા પ્રકાર (2,0) ના બીજા ક્રમના ટેન્સરના નવ સ્ટ્રેસ ઘટકો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ પદાર્થની અંદર સ્ટ્રેસ વિતરણ સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં નક્કી થયા પછી, ફરતી સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં ચોક્કસ સામગ્રી બિંદુ પર સ્ટ્રેસ ટેન્સરના ઘટકોની ગણતરી કરવી જરૂરી હોઈ શકે છે, એટલે કે, તે રસના બિંદુથી પસાર થતા અલગ દિશા સાથે સમતલ પર કામ કરતા તાણ-સંકલન પ્રણાલી સાથે એક કોણ બનાવે છે (આકૃતિ 3). ઉદાહરણ તરીકે, મહત્તમ સામાન્ય તાણ અને મહત્તમ શીયર સ્ટ્રેસ, તેમજ જ્યાં તેઓ કાર્ય કરે છે તે વિમાનોની દિશા શોધવી રસપ્રદ છે. આ હાંસલ કરવા માટે, સંકલન પ્રણાલીના પરિભ્રમણ હેઠળ ટેન્સર પરિવર્તન કરવું જરૂરી છે. ટેન્સરની વ્યાખ્યા પરથી, કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સર ટેન્સર પરિવર્તન કાયદાનું પાલન કરે છે. કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સર માટે આ પરિવર્તન નિયમની ગ્રાફિકલ રજૂઆત એ સ્ટ્રેસ માટેનું મોહર વર્તુળ છે. તણાવની દ્વિ-પરિમાણીય સ્થિતિ માટે મોહરનું વર્તુળ બે પરિમાણોમાં, કોઈપણ બે લંબરૂપ દિશાઓના સંદર્ભમાં આપેલ ભૌતિક બિંદુ પર તણાવ ટેન્સર સંપૂર્ણપણે માત્ર ત્રણ તણાવ ઘટકો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ચોક્કસ સંકલન પ્રણાલી માટે આ તણાવ ઘટકો છેઃ સામાન્ય તણાવ અને, અને શીયર તણાવ. કોણીય વેગના સંતુલન પરથી, કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સરની સમપ્રમાણતા દર્શાવી શકાય છે. આ સમપ્રમાણતા તે સૂચવે છે. આમ, કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સરને આ રીતે લખી શકાય છેઃ ઉદ્દેશ એ છે કે મોહ્ર વર્તુળનો ઉપયોગ સ્ટ્રેસ ઘટકો શોધવા માટે અને ફરતી સંકલન પ્રણાલી પર, એટલે કે,-પ્લેન (આકૃતિ 4) થી પસાર થતા અને લંબરૂપ એક અલગ લક્ષી પ્લેન પર કરવો. ફરતી સંકલન પ્રણાલી મૂળ સંકલન પ્રણાલી સાથે એક ખૂણો બનાવે છે. મોહર વર્તુળનું સમીકરણ સમતલ તાણ અને સમતલ તાણના દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સાઓ માટે મોહર વર્તુળનું સમીકરણ મેળવવા માટે, પ્રથમ ભૌતિક બિંદુ (આકૃતિ 4) ની આસપાસ દ્વિ-પરિમાણીય અનંત સામગ્રી તત્વને ધ્યાનમાં લો, જેમાં-સમતલની સમાંતર દિશામાં એકમ વિસ્તાર હોય, એટલે કે, પૃષ્ઠ અથવા સ્ક્રીનને લંબરૂપ હોય. અનંત તત્વ પરના બળોના સંતુલનમાંથી, સામાન્ય તાણ અને શીયર સ્ટ્રેસના પરિમાણો આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ {| વર્ગ = "ટોક્કોલર્સ સંકુચિત તૂટી" પહોળાઈ = "60 ટકા" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ ડાબે"! મોહરના વર્તુળ પેરામેટ્રિક સમીકરણોની વ્યુત્પત્તિ-દળોનું સંતુલન |-|From (-અક્ષ) ની દિશામાં બળોનું સંતુલન (આકૃતિ 4), અને સમતલનું ક્ષેત્રફળ જ્યાં કાર્ય કરે છે તે જાણીને, આપણી પાસે છેઃ જો કે, આપણે હવે (-અક્ષ) (આકૃતિ 4) ની દિશામાં બળોના સંતુલનમાંથી મેળવીએ છીએ, અને એ જાણીને કે મોહ્રના વર્તુળ પેરામેટ્રિક સમીકરણોની વ્યુત્પત્તિ-ટેન્સર ટ્રાન્સફોર્મેશન |-|The સ્ટ્રેસ ટેન્સર ટ્રાન્સફોર્મેશન લૉને જમણી બાજુના વિસ્તરણ તરીકે કહી શકાય, અને તે જાણીને અને આપણી પાસેઃ જો કે, આપણે મેળવીએ છીએ તે જાણીને જો કે, આપણે મેળવીએ છીએ તે જાણીને આ ક્ષણે ક્રિયાના સમતલના લંબરૂપ સમતલ પર કામ કરતા સ્ટ્રેસ ઘટકની ગણતરી કરવી જરૂરી નથી કારણ કે તે મોહર વર્તુળ માટે સમીકરણ મેળવવા માટે જરૂરી નથી. |} આ બે સમીકરણો મોહર વર્તુળના પરિમાણાત્મક સમીકરણો છે. આ સમીકરણોમાં, પરિમાણ છે, અને અને કોઓર્ડિનેટ્સ છે. આનો અર્થ એ છે કે એબ્સિસા અને ઓર્ડિનેટ સાથે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરીને, પરિમાણને મૂલ્યો આપીને વર્તુળ પર પડેલા બિંદુઓને મૂકવામાં આવશે. આ પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાંથી પરિમાણને દૂર કરવાથી મોહર વર્તુળનું બિન-પેરામેટ્રિક સમીકરણ પ્રાપ્ત થશે. આ માટે સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવીને અને પ્રથમ સમીકરણમાં પ્રથમ પદને સ્થાનાંતરિત કરીને અને દરેક સમીકરણોની બંને બાજુઓને વર્ગ કરીને પછી તેમને ઉમેરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આમ આપણી પાસે છે જ્યાં આ સંકલન પ્રણાલીમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા સાથેના સ્વરૂપના વર્તુળ (મોહર વર્તુળ) નું સમીકરણ છે. મોહર વર્તુળનો ઉપયોગ કરતી વખતે સાઇન સંમેલનોના બે અલગ-અલગ સમૂહો ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છેઃ "ભૌતિક અવકાશ" માં તણાવ ઘટકો માટે એક સંકેત સંમેલન અને "મોહર-વર્તુળ-અવકાશ" માં તણાવ ઘટકો માટે બીજું. વધુમાં, સંકેત સંમેલનોના બે સમૂહમાંથી દરેકમાં, ઇજનેરી મિકેનિક્સ (માળખાકીય ઇજનેરી અને યાંત્રિક ઇજનેરી) સાહિત્ય ભૂ-મિકેનિક્સ સાહિત્યથી અલગ સંકેત પરંપરાને અનુસરે છે. ત્યાં કોઈ પ્રમાણભૂત સંકેત પરંપરા નથી, અને ચોક્કસ સંકેત પરંપરાની પસંદગી હાથમાંની ચોક્કસ સમસ્યા માટે ગણતરી અને અર્થઘટન માટેની સુવિધાથી પ્રભાવિત છે. આ સંકેત સંમેલનોની વધુ વિગતવાર સમજૂતી નીચે રજૂ કરવામાં આવી છે. આકૃતિ 4 નો ઉપયોગ કરીને મોહર વર્તુળના સમીકરણ માટે અગાઉની વ્યુત્પત્તિ ઇજનેરી મિકેનિક્સ સાઇન કન્વેન્શનને અનુસરે છે. આ લેખ માટે ઇજનેરી મિકેનિક્સ સાઇન કન્વેન્શનનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. ભૌતિક-અવકાશ સંકેત પરંપરા કોચી સ્ટ્રેસ ટેન્સર (આકૃતિ 3 અને આકૃતિ 4) ની પરંપરાથી, સ્ટ્રેસ ઘટકોમાં પ્રથમ સબસ્ક્રિપ્ટ એ ચહેરાને સૂચવે છે કે જેના પર સ્ટ્રેસ ઘટક કાર્ય કરે છે, અને બીજી સબસ્ક્રિપ્ટ સ્ટ્રેસ ઘટકની દિશા સૂચવે છે. આમ-અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં અને-અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં સામાન્ય વેક્ટર સાથે ચહેરા પર કામ કરતું શીયર સ્ટ્રેસ છે. ભૌતિક-અવકાશ સંકેત પરંપરામાં, હકારાત્મક સામાન્ય તાણ ક્રિયાના સ્તર (તણાવ) ની બહારની તરફ હોય છે, અને નકારાત્મક સામાન્ય તણાવ ક્રિયાના સ્તર (સંકોચન) ની અંદરની તરફ હોય છે (આકૃતિ 5). ભૌતિક-અવકાશ સંકેત પરંપરામાં, હકારાત્મક શીયર તાણ અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં ભૌતિક તત્વના હકારાત્મક ચહેરાઓ પર કાર્ય કરે છે. ઉપરાંત, હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ અક્ષની નકારાત્મક દિશામાં ભૌતિક તત્વના નકારાત્મક ચહેરાઓ પર કાર્ય કરે છે. હકારાત્મક ચહેરો અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં તેના સામાન્ય વાહક ધરાવે છે, અને નકારાત્મક ચહેરો અક્ષની નકારાત્મક દિશામાં તેના સામાન્ય વાહક ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શીયર ભાર મૂકે છે અને હકારાત્મક છે કારણ કે તેઓ હકારાત્મક ચહેરાઓ પર કાર્ય કરે છે, અને તેઓ અનુક્રમે-અક્ષ અને-અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં પણ કાર્ય કરે છે (આકૃતિ 3). તેવી જ રીતે, સંબંધિત વિરુદ્ધ શીયર સ્ટ્રેસ અને નકારાત્મક ચહેરાઓમાં કાર્ય કરવું એ નકારાત્મક સંકેત ધરાવે છે કારણ કે તેઓ અનુક્રમે-અક્ષ અને-અક્ષની નકારાત્મક દિશામાં કાર્ય કરે છે. મોહર-સર્કલ-સ્પેસ સાઇન કન્વેન્શન મોહર-સર્કલ-સ્પેસ સાઇન કન્વેન્શનમાં, સામાન્ય તાણ ભૌતિક-સ્પેસ સાઇન કન્વેન્શનમાં સામાન્ય તાણ જેવા જ સંકેત ધરાવે છેઃ સકારાત્મક સામાન્ય તાણ ક્રિયાના સ્તરની બહારની તરફ કાર્ય કરે છે, અને નકારાત્મક સામાન્ય તાણ ક્રિયાના સ્તરની અંદરની તરફ કાર્ય કરે છે. જો કે, શીયર સ્ટ્રેસ, ભૌતિક જગ્યામાં પરંપરાની તુલનામાં મોહર-સર્કલ જગ્યામાં એક અલગ પરંપરા ધરાવે છે. મોહર-વર્તુળ-અવકાશ સંકેત પરંપરામાં, હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ સામગ્રી તત્વને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે, અને નકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ સામગ્રીને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે. આ રીતે, મોહર-વર્તુળ અવકાશમાં શીયર સ્ટ્રેસ ઘટક હકારાત્મક છે, અને મોહર-વર્તુળ અવકાશમાં શીયર સ્ટ્રેસ ઘટક નકારાત્મક છે. મોહર-વર્તુળ જગ્યા દોરવા માટે બે વિકલ્પો અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જે ગાણિતિક રીતે સાચું મોહર વર્તુળ ઉત્પન્ન કરે છેઃ હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ ઉપર તરફ દોરવામાં આવે છે (આકૃતિ 5, સાઇન કન્વેન્શન #1) સકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ નીચે તરફ દોરવામાં આવે છે, એટલે કે,-અક્ષ ઊંધો છે (આકૃતિ 5, સાઇન કન્વેન્શન #2). હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસને ઉપરની તરફ ગોઠવવાથી મોહર વર્તુળ પરના ખૂણામાં ઘડિયાળની દિશામાં હકારાત્મક પરિભ્રમણ થાય છે, જે ભૌતિક અવકાશ પરંપરાની વિરુદ્ધ છે. તેથી જ કેટલાક લેખકો હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસને નીચે તરફ દોરવાનું પસંદ કરે છે, જે મોહર વર્તુળ પરના ખૂણાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હકારાત્મક પરિભ્રમણ કરે છે, જે શીયર સ્ટ્રેસ માટેના ભૌતિક અવકાશ સંમેલન જેવું જ છે. મોહર-વર્તુળ અવકાશમાં શીયર સ્ટ્રેસ એક્સિસને નીચે તરફ રાખવાની "સમસ્યા" ને દૂર કરવા માટે, એક વૈકલ્પિક સંકેત પરંપરા છે જ્યાં હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ સામગ્રી તત્વને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે અને નકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ સામગ્રી તત્વને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે (આકૃતિ 5, વિકલ્પ 3). આ રીતે, સકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસને મોહર-વર્તુળ અવકાશમાં ઉપરની તરફ ગોઠવવામાં આવે છે અને મોહર-વર્તુળ અવકાશમાં ખૂણો ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હકારાત્મક પરિભ્રમણ ધરાવે છે. આ વૈકલ્પિક સાઇન કન્વેન્શન એક વર્તુળ ઉત્પન્ન કરે છે જે આકૃતિ 5 માં સાઇન કન્વેન્શન #2 જેવું જ છે કારણ કે હકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ પણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં શીયર સ્ટ્રેસ છે, અને બંનેને નીચે તરફ દોરવામાં આવે છે. ઉપરાંત, નકારાત્મક શીયર સ્ટ્રેસ ઘડિયાળની દિશામાં શીયર સ્ટ્રેસ છે, અને બંને ઉપરની તરફ ગોઠવાયેલા છે. આ લેખ ભૌતિક જગ્યા માટે ઇજનેરી મિકેનિક્સ સાઇન કન્વેન્શન અને મોહર-વર્તુળ જગ્યા માટે વૈકલ્પિક સાઇન કન્વેન્શનને અનુસરે છે (આકૃતિ 5 માં સાઇન કન્વેન્શન #3) મોહરનું વર્તુળ દોરવું ધારો કે આપણે તાણના ઘટકો જાણે છે, અને અભ્યાસ હેઠળના પદાર્થના એક બિંદુ પર, આકૃતિ 4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, તાણની સ્થિતિ માટે મોહર વર્તુળ બનાવવા માટે નીચેના પગલાંઓ છેઃ આડી-અક્ષ અને ઊભી-અક્ષ સાથે કાર્ટેશિયન સંકલન પ્રણાલી દોરો. પસંદ કરેલ સાઇન કન્વેન્શનને અનુસરીને, બે બિંદુઓ અને બંને લંબરૂપ સમતલ પર અને અનુક્રમે (આકૃતિ 4 અને 6) જાણીતા તાણ ઘટકોને અનુરૂપ જગ્યામાં ગોઠવો. બિંદુઓને જોડીને અને એક સીધી રેખા સાથે વર્તુળનો વ્યાસ દોરો. મોહર વર્તુળ દોરો. વર્તુળનું કેન્દ્ર વ્યાસ રેખાનું મધ્યબિંદુ છે, જે અક્ષ સાથે આ રેખાના આંતરછેદને અનુરૂપ છે. મુખ્ય સામાન્ય તાણ શોધવો મુખ્ય તાણની તીવ્રતા એ બિંદુઓના એબ્સિસા છે અને (આકૃતિ 6) જ્યાં વર્તુળ-અક્ષને છેદે છે. મુખ્ય મુખ્ય તાણની તીવ્રતા હંમેશા આ બે બિંદુઓમાંથી કોઈપણ બિંદુના એબ્સિસાનું સૌથી મોટું નિરપેક્ષ મૂલ્ય હોય છે. તેવી જ રીતે, નાના મુખ્ય તાણની તીવ્રતા હંમેશા આ બે બિંદુઓના એબ્સિસાનું સૌથી ઓછું નિરપેક્ષ મૂલ્ય હોય છે. અપેક્ષા મુજબ, આ બે બિંદુઓના વટહુકમો શૂન્ય છે, જે મુખ્ય સપાટી પરના શીયર સ્ટ્રેસ ઘટકોની તીવ્રતાને અનુરૂપ છે. વૈકલ્પિક રીતે, મુખ્ય તાણના મૂલ્યો શોધી શકાય છે કે જ્યાં સરેરાશ સામાન્ય તાણની તીવ્રતા કેન્દ્રના એબ્સિસા દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વર્તુળની ત્રિજ્યાની લંબાઈ (બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમીકરણના આધારે), મહત્તમ અને લઘુત્તમ શીયર તાણ શોધવા દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ બિંદુઓ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા સાથે વર્તુળના આંતરછેદ પર સ્થિત છે. આમ, મહત્તમ અને લઘુત્તમ શીયર સ્ટ્રેસની તીવ્રતા વર્તુળની ત્રિજ્યાના મૂલ્યની બરાબર હોય છે મનસ્વી સપાટી પર સ્ટ્રેસ ઘટકો શોધવા જેમ કે પહેલાં ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, દ્વિ-પરિમાણીય સ્ટ્રેસ વિશ્લેષણ કર્યા પછી આપણે સ્ટ્રેસ ઘટકો, અને ભૌતિક બિંદુ પર જાણી શકીએ છીએ. આ તાણ ઘટકો આકૃતિ 5 અને 6 માં બતાવ્યા પ્રમાણે બે લંબરૂપ સમતલમાં કાર્ય કરે છે અને તેમાંથી પસાર થાય છે. મોહર વર્તુળનો ઉપયોગ તાણ ઘટકો શોધવા માટે થાય છે અને એટલે કે, વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ, જે સમતલ સાથે કોણ બનાવીને પસાર થતા અન્ય કોઈપણ સમતલ પર કાર્ય કરે છે. આ માટે, બે અભિગમોનો ઉપયોગ કરી શકાય છેઃ બેવડો ખૂણો, અને ધ્રુવ અથવા વિમાનોનું મૂળ. આકૃતિ 6 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, સમતલ પર ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કામ કરતા તાણ ઘટકો નક્કી કરવા માટે કે જેના પર કાર્ય કરે છે, આપણે વર્તુળની આસપાસ સમાન ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં જાણીતા તાણ બિંદુથી બિંદુ સુધી, એટલે કે રેખાઓ અને મોહર વર્તુળ વચ્ચેનો કોણ પસાર કરીએ છીએ. બેવડા કોણનો અભિગમ એ હકીકત પર આધાર રાખે છે કે સામાન્ય વેક્ટર અને તેમાંથી પસાર થતા કોઈપણ બે ભૌતિક સમતલ વચ્ચેનો કોણ (આકૃતિ 4) એ મોહર વર્તુળ અને વર્તુળના કેન્દ્ર પર તેમના અનુરૂપ તાણ બિંદુઓને જોડતી બે રેખાઓ વચ્ચેનો અડધો કોણ છે. આ દ્વિકોણ સંબંધ એ હકીકત પરથી આવે છે કે મોહર વર્તુળ માટેના પેરામેટ્રિક સમીકરણો નું કાર્ય છે. તે પણ જોઈ શકાય છે કે સમતલ અને આકૃતિ 5 ની આસપાસના ભૌતિક તત્વમાં એક ખૂણા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે, જે મોહર વર્તુળમાં એક ખૂણા (ખૂણાથી બમણો) દ્વારા રજૂ થાય છે. ધ્રુવ અથવા વિમાનોનું મૂળ બીજા અભિગમમાં મોહર વર્તુળ પરના બિંદુના નિર્ધારણનો સમાવેશ થાય છે જેને ધ્રુવ અથવા વિમાનોનું મૂળ કહેવાય છે. ધ્રુવ પરથી દોરવામાં આવેલી કોઈપણ સીધી રેખા મોહર વર્તુળને એક એવા બિંદુ પર છેદે છે જે અવકાશમાં તે જ દિશામાં (સમાંતર) વળેલા સમતલ પર તણાવની સ્થિતિને રજૂ કરે છે. તેથી, તાણના ઘટકોને જાણીને અને કોઈપણ ચોક્કસ સમતલ પર, કોઈ વ્યક્તિ ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા અને મોહર વર્તુળ પર તે સમતલની સમાંતર રેખા દોરી શકે છે અને ધ્રુવને મોહર વર્તુળ સાથે આવી રેખાના આંતરછેદ તરીકે શોધી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ધારીએ કે આપણી પાસે તાણના ઘટકો સાથે તણાવની સ્થિતિ છે, અને, આકૃતિ 7 પર બતાવ્યા પ્રમાણે. પ્રથમ, આપણે ક્રિયાના સમતલની સમાંતર બિંદુથી એક રેખા દોરી શકીએ છીએ, અથવા, જો આપણે અન્યથા પસંદ કરીએ, તો ક્રિયાના સમતલની સમાંતર બિંદુથી એક રેખા દોરી શકીએ છીએ. મોહર વર્તુળ સાથે આ બેમાંથી કોઈપણ રેખાનું આંતરછેદ ધ્રુવ છે. એકવાર ધ્રુવ નક્કી થઈ ગયા પછી, ઊભી સાથે કોણ બનાવતા સમતલ પર તાણની સ્થિતિ શોધવા માટે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેના સામાન્ય વેક્ટરવાળા સમતલ સાથે આડી સમતલ સાથે કોણ બનાવે છે, પછી આપણે ધ્રુવથી સમાંતર રેખા દોરી શકીએ છીએ (આકૃતિ 7 જુઓ). તે સમતલ પર નોર્મલ અને શીયર સ્ટ્રેસ પછી રેખા અને મોહર વર્તુળ વચ્ચેના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. મુખ્ય વિમાનોની દિશા શોધવી જ્યાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ મુખ્ય તાણ કાર્ય કરે છે તે વિમાનોની દિશા, જેને મુખ્ય વિમાનો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે મોહર વર્તુળમાં અનુક્રમે એ. એન. ટી. બી. ઓ. સી. અને એ. એન. ટી. બી. ઓ. ઈ. ના ખૂણાઓને માપવા અને તેમાંથી દરેક ખૂણાઓનો અડધો ભાગ લઈને નક્કી કરી શકાય છે. આમ, અને અને વચ્ચેનો કોણ એ મુખ્ય સમતલ સમતલ સાથે જે કોણ બનાવે છે તેનાથી બમણો છે. કોણ અને નીચેના સમીકરણમાંથી પણ શોધી શકાય છે આ સમીકરણ બે મૂલ્યોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેના માટે અલગ છે (આકૃતિ). આ સમીકરણ વર્તુળની ભૂમિતિમાંથી સીધા જ મેળવી શકાય છે, અથવા શૂન્યની બરાબર માટે વર્તુળનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ બનાવીને (મુખ્ય સમતલમાં શીયર સ્ટ્રેસ હંમેશા શૂન્ય હોય છે). ઉદાહરણ તરીકે આકૃતિ 8 અને આકૃતિ 9 માં બતાવ્યા પ્રમાણે તાણની સ્થિતિ હેઠળ એક ભૌતિક તત્વ ધારો, જેની એક બાજુનું સમતલ આડી સમતલના સંદર્ભમાં 10° પર લક્ષી છે. મોહર વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને, શોધોઃ તેમના ક્રિયાના વિમાનોની દિશા. મહત્તમ શીયર તેમના ક્રિયાના વિમાનો પર ભાર મૂકે છે અને દિશા નિર્દેશ કરે છે. આડી સપાટી પરના તાણ ઘટકો. સ્ટ્રેસ ટ્રાન્સફોર્મેશન ફોર્મ્યુલા અથવા સ્ટ્રેસ ટ્રાન્સફોર્મેશન લૉનો ઉપયોગ કરીને જવાબોની તપાસ કરો. ઉકેલઃ ભૌતિક જગ્યા માટે ઇજનેરી મિકેનિક્સ સાઇન કન્વેન્શનને અનુસરીને (આકૃતિ 5), આ ઉદાહરણમાં ભૌતિક તત્વ માટેના તણાવ ઘટકો છેઃ તણાવની આ ચોક્કસ સ્થિતિ માટે મોહર વર્તુળ દોરવા માટેના પગલાંને અનુસરીને, આપણે પહેલા-અક્ષ ઉપરની તરફ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દોરીએ છીએ. પછી આપણે બે બિંદુઓ A (50,40) અને B (-10,-40) નું આલેખન કરીએ છીએ, જે આકૃતિ 8 અને આકૃતિ 9 બંનેમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સમતલ A અને B પર તણાવની સ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ બિંદુઓ મોહર-વર્તુળ અવકાશ (આકૃતિ 5) માટે ઇજનેરી મિકેનિક્સ સાઇન કન્વેન્શનને અનુસરે છે, જે ધારે છે કે હકારાત્મક નોર્મલ સામગ્રી તત્વમાંથી બહારની તરફ દબાણ કરે છે, અને હકારાત્મક શીયર દરેક સમતલ પર સામગ્રી તત્વને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે. આ રીતે, પ્લેન B પર કામ કરતું શીયર સ્ટ્રેસ નકારાત્મક છે અને પ્લેન A પર કામ કરતું શીયર સ્ટ્રેસ સકારાત્મક છે. વર્તુળનો વ્યાસ એ બિંદુ A અને B ને જોડતી રેખા છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર એ-અક્ષ સાથે આ રેખાનું આંતરછેદ છે. કેન્દ્રનું સ્થાન અને વ્યાસની લંબાઈ બંનેને જાણીને, આપણે તણાવની આ ચોક્કસ સ્થિતિ માટે મોહર વર્તુળ રચવામાં સક્ષમ છીએ. બંને બિંદુઓ E અને C (આકૃતિ 8 અને આકૃતિ 9) ના એબ્સિસા જે-અક્ષને છેદે છે તે અનુક્રમે લઘુત્તમ અને મહત્તમ સામાન્ય તાણનું પરિમાણ છે; બંને બિંદુઓ E અને C ના વટહુકમો અનુક્રમે નાના અને મુખ્ય બંને મુખ્ય સમતલ પર કામ કરતા શીયર તાણનું પરિમાણ છે, જે મુખ્ય સમતલ માટે શૂન્ય છે. મોહર વર્તુળનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર વર્તુળ પરના વિવિધ બિંદુઓ માટેના કોઓર્ડિનેટ્સને ખરેખર માપવા દ્વારા વિવિધ તાણ ઘટકોને ગ્રાફિકલી રીતે શોધવાનો હોવા છતાં, વિશ્લેષણાત્મક રીતે પરિણામોની પુષ્ટિ કરવી વધુ અનુકૂળ છે. આમ, વર્તુળના કેન્દ્રની ત્રિજ્યા અને એબ્સિસા છે અને મુખ્ય તાણ એ છે H અને G બંને બિંદુઓ માટેના કોઓર્ડિનેટ્સ (આકૃતિ 8 અને આકૃતિ 9) અનુક્રમે લઘુત્તમ અને મહત્તમ શીયર સ્ટ્રેસના પરિમાણો છે; બંને બિંદુઓ H અને G માટેના એબ્સિસા એ જ સમતલ પર કામ કરતા સામાન્ય તાણ માટેના પરિમાણો છે જ્યાં અનુક્રમે લઘુત્તમ અને મહત્તમ શીયર સ્ટ્રેસ કાર્ય કરે છે. લઘુત્તમ અને મહત્તમ શીયર સ્ટ્રેસની તીવ્રતા વિશ્લેષણાત્મક રીતે મળી શકે છે અને તે જ સમતલ પર કામ કરતા સામાન્ય સ્ટ્રેસ જ્યાં લઘુત્તમ અને મહત્તમ શીયર સ્ટ્રેસ સમાન હોય છે. બેવડા ખૂણાના અભિગમનો ઉપયોગ કરીને આપણે મોહર વર્તુળ (આકૃતિ 8) માં  angt BOC અને  angt BOE ખૂણાઓને માપીએ છીએ જેથી ભૌતિક જગ્યામાં પ્લેન B સાથે મુખ્ય મુખ્ય તાણ અને નાના મુખ્ય તાણનો બમણો ખૂણો શોધી શકાય. આ ખૂણાઓ માટે વધુ સચોટ મૂલ્ય મેળવવા માટે, ખૂણાઓને જાતે માપવાને બદલે, આપણે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ એક ઉકેલ છેઃ આકૃતિ 8 ના નિરીક્ષણ પરથી, આ મૂલ્ય કોણ એ. એન. ટી. બી. ઓ. ઈ ને અનુરૂપ છે. આમ, ગૌણ મુખ્ય ખૂણો છે પછી, મુખ્ય મુખ્ય ખૂણો એ છે કે યાદ રાખો કે આ ચોક્કસ ઉદાહરણમાં અને તે (-અક્ષમાં લક્ષી) ની ક્રિયાના સમતલના સંદર્ભમાં ખૂણા છે અને (-અક્ષમાં લક્ષી) ની ક્રિયાના સમતલના સંદર્ભમાં ખૂણા નથી. ધ્રુવ અભિગમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પહેલા ધ્રુવ અથવા વિમાનોના મૂળનું સ્થાનિકીકરણ કરીએ છીએ. આ માટે, આપણે મોહર વર્તુળ પર બિંદુ A દ્વારા આડી સાથે 10° વળેલી રેખા દોરીએ છીએ, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમતલ A ની સમાંતર રેખા જ્યાં કાર્ય કરે છે. ધ્રુવ એ છે જ્યાં આ રેખા મોહર વર્તુળને છેદે છે (આકૃતિ 9). ધ્રુવના સ્થાનની પુષ્ટિ કરવા માટે, આપણે બી સમતલની સમાંતર મોહર વર્તુળ પર બિંદુ બી દ્વારા એક રેખા દોરી શકીએ છીએ જ્યાં તે કાર્ય કરે છે. આ રેખા ધ્રુવ પર મોહર વર્તુળને પણ છેદે છે (આકૃતિ 9). ધ્રુવ પરથી આપણે મોહર વર્તુળ પર વિવિધ બિંદુઓ પર રેખાઓ દોરીએ છીએ. જ્યાં આ રેખાઓ મોહર વર્તુળને છેદે છે તે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવે છે કે ભૌતિક જગ્યામાં સમતલ પર કામ કરતા તાણ ઘટકો રેખા જેવા જ ઝોક ધરાવે છે. દાખલા તરીકે, વર્તુળમાં ધ્રુવથી બિંદુ C સુધીની રેખા ભૌતિક જગ્યામાં જ્યાં કાર્ય કરે છે તે સમતલ જેવી જ ઝોક ધરાવે છે. આ સમતલ મોહર-વર્તુળ અવકાશમાં અને ભૌતિક અવકાશમાં સમતલ B સાથે 63.435 ° નો કોણ બનાવે છે. એ જ રીતે, સમાન દિશા સાથે વિમાનો પર તણાવ ઘટકો શોધવા માટે ધ્રુવથી બિંદુઓ E, D, F, G અને H સુધી રેખાઓ શોધી કાઢવામાં આવે છે. તાણની સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય સ્થિતિ માટે મોહરનું વર્તુળ એક બિંદુ પર તાણના સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય કેસ માટે મોહર વર્તુળનું નિર્માણ કરવા માટે, મુખ્ય તાણના મૂલ્યો અને તેમની મુખ્ય દિશાઓનું પ્રથમ મૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે. મુખ્ય અક્ષોને સંકલન પ્રણાલી તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, સામાન્યને બદલે, સંકલન પ્રણાલી, અને એમ ધારીને કે, પછી એકમ વેક્ટર સાથેના આપેલ સમતલ માટે તાણ વેક્ટરના સામાન્ય અને શીયર ઘટકો, નીચેના સમીકરણોને સંતોષે છે. મોહર વર્તુળો માટેના આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે તમામ સ્વીકાર્ય તાણ બિંદુઓ આ વર્તુળો પર અથવા તેમના દ્વારા ઘેરાયેલા છાયાવાળા વિસ્તારની અંદર આવેલા છે (આકૃતિ 10 જુઓ). વર્તુળ માટેના સમીકરણને સંતોષતા તણાવ બિંદુઓ વર્તુળ પર અથવા તેની બહાર આવેલા હોય છે. વર્તુળ માટેના સમીકરણને સંતોષતા તણાવ બિંદુઓ વર્તુળ પર અથવા તેની અંદર આવેલા હોય છે. અને છેવટે, વર્તુળ માટેના સમીકરણને સંતોષતા તાણ બિંદુઓ વર્તુળ પર અથવા તેની બહાર આવેલા છે. ક્રિટિકલ પ્લેન એનાલિસિસ સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ બાહ્ય કડીઓ રેબેકા બ્રાનોન દ્વારા મોહરનું વર્તુળ અને વધુ વર્તુળો DoITPoMS શિક્ષણ અને શિક્ષણ પેકેજ-"તણાવ વિશ્લેષણ અને મોહરનું વર્તુળ" ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ સ્થિતિસ્થાપકતા (ભૌતિકશાસ્ત્ર) સોલિડ મિકેનિક્સ મિકેનિક્સ વર્તુળો