Harnack's principle
આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, હાર્નેકનો સિદ્ધાંત અથવા હાર્નેકનો પ્રમેય હાર્નેકની અસમાનતાનું પરિણામ છે જે હાર્મોનિક કાર્યોના ક્રમના અભિસરણ સાથે સંબંધિત છે. યુક્લિડિયન અવકાશના ખુલ્લા જોડાયેલા સબસેટ પર હાર્મોનિક વિધેયોના ક્રમને જોતાં, જે બિંદુની દ્રષ્ટિએ એકવિધ રીતે એ અર્થમાં ઘટતા નથી કે દરેક બિંદુ માટે, પછી મર્યાદા આપમેળે દરેક માટે વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યા રેખામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. હાર્નેકનો પ્રમેય કહે છે કે મર્યાદા કાં તો દરેક બિંદુ પર અનંત છે અથવા તે દરેક બિંદુ પર મર્યાદિત છે. પછીના કિસ્સામાં, કોમ્પેક્ટ સેટ પર કન્વર્જન્સ એકસમાન હોય છે અને મર્યાદા હાર્મોનિક ફંક્શન હોય છે. આ પ્રમેય હાર્નેકની અસમાનતાનું પરિણામ છે. જો કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય માટે કોચી ક્રમ હોય, તો હાર્મોનિક કાર્ય પર લાગુ થતી હાર્નેક અસમાનતા સૂચિત કરે છે, જે ધરાવતાં મનસ્વી કોમ્પેક્ટ સમૂહ માટે, જે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા અને મનસ્વી રીતે નાના હોય છે. કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર સમાન કન્વર્જન્સની આ બરાબર વ્યાખ્યા છે. શબ્દોમાં કહીએ તો, હાર્નેક અસમાનતા એ એક એવું સાધન છે જે એક જ બિંદુ પર હાર્મોનિક કાર્યોના ક્રમના કોચી ગુણધર્મને તમામ બિંદુઓ પર કોચી ગુણધર્મમાં સીધો પ્રચાર કરે છે. કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર એકસમાન કન્વર્જન્સ સ્થાપિત કર્યા પછી, મર્યાદાની સુસંગતતા એ હકીકતનો તાત્કાલિક પરિણામ છે કે સરેરાશ મૂલ્ય ગુણધર્મ (એકસમાન કન્વર્જન્સ દ્વારા આપમેળે સંરક્ષિત) સતત કાર્યો વચ્ચે હાર્મોનિક કાર્યોને સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા આપે છે. કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર સમાન અભિસરણનો પુરાવો કોઈપણ રેખીય બીજા ક્રમના લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણ માટે સમાન રીતે સારી રીતે ધરાવે છે, જો કે તે રેખીય હોય જેથી તે સમાન સમીકરણને ઉકેલી શકે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે બીજા ક્રમના લંબગોળ PDE ના ઉકેલો માટે વધુ સામાન્ય હાર્નેક અસમાનતા હોલ્ડિંગનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે, તેના બદલે માત્ર હાર્મોનિક કાર્યો માટે. કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર એકસમાન અભિસરણ સ્થાપિત કર્યા પછી, સરેરાશ મૂલ્ય ગુણધર્મ આ વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં ઉપલબ્ધ નથી, અને તેથી નવા ઉકેલમાં અભિસરણનો પુરાવો તેના બદલે અન્ય સાધનોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, જેમ કે સ્કાઉડર અંદાજ. સંદર્ભો સ્ત્રોતો બાહ્ય કડીઓ હાર્મોનિક કાર્યો જટિલ વિશ્લેષણમાં સમીકરણો ગાણિતિક સિદ્ધાંતો