Gaussian binomial coefficient
ગણિતમાં, ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક (જેને ગૌસીયન ગુણાંક, ગૌસીયન બહુપદી અથવા q-દ્વિપદી ગુણાંક પણ કહેવાય છે) એ દ્વિપદી ગુણાંકના q-એનાલોગ છે. ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક, અથવા તરીકે લખાય છે, તે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે q માં બહુપદી છે, જેનું મૂલ્ય જ્યારે q ને મુખ્ય ઘાત પર સુયોજિત કરવામાં આવે છે ત્યારે પરિમાણ n ઉપરના વેક્ટર અવકાશમાં પરિમાણ k ની પેટા જગ્યાઓની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે, જે q ઘટકો સાથેનું મર્યાદિત ક્ષેત્ર છે; એટલે કે. તે મર્યાદિત ગ્રાસમેનિયનમાં બિંદુઓની સંખ્યા છે. વ્યાખ્યા ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં m અને r બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. જો, તો આનું મૂલ્યાંકન 0 થાય છે. કારણ કે, મૂલ્ય 1 છે કારણ કે અંશ અને છેદ બંને ખાલી ગુણાકાર છે. જો કે સૂત્ર શરૂઆતમાં તર્કસંગત કાર્ય હોવાનું જણાય છે, તે વાસ્તવમાં એક બહુપદી છે, કારણ કે વિભાજન Z [q] માં ચોક્કસ છે અંશ અને છેદમાંના તમામ પરિબળો દ્વારા વિભાજીત થાય છે, અને ભાગાકાર એ q-સંખ્યા છેઃ આ પરિબળોને વિભાજીત કરવાથી સમકક્ષ સૂત્ર મળે છે. ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક મર્યાદિત મૂલ્યો ધરાવે છેઃ ઉદાહરણો સંયુક્ત વર્ણન વ્યુત્ક્રમ ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંકના એક સંયુક્ત વર્ણનમાં વ્યુત્ક્રમનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય દ્વિપદી ગુણાંક-તત્વ સમૂહમાંથી પસંદ કરેલા-સંયોજનોની ગણતરી કરે છે. જો કોઈ તે તત્વોને લંબાઈના શબ્દમાં વિવિધ અક્ષરની સ્થિતિ તરીકે લે છે, તો પછી દરેક સંયોજન બે અક્ષરોના મૂળાક્ષરનો ઉપયોગ કરીને લંબાઈના શબ્દને અનુરૂપ છે, જેમ કે અક્ષર 1 (પસંદ કરેલા સંયોજનમાં સ્થિતિ સૂચવે છે) અને અક્ષરો 0 (બાકીની સ્થિતિ માટે). તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 0s અને 1s નો ઉપયોગ કરતા શબ્દો છે. ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક મેળવવા માટે, દરેક શબ્દ એક પરિબળ સાથે સંકળાયેલો છે, જ્યાં શબ્દના વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યા છે, જ્યાં, આ કિસ્સામાં, વ્યુત્ક્રમો એ સ્થિતિઓની જોડી છે જ્યાં જોડીની ડાબી બાજુએ 1 અક્ષર ધરાવે છે અને જમણી બાજુએ 0 અક્ષર ધરાવે છે. ઉપરના ઉદાહરણ સાથે, 0 વ્યુત્ક્રમો સાથે એક શબ્દ, 1 વ્યુત્ક્રમો સાથે એક શબ્દ, 2 વ્યુત્ક્રમો સાથે બે શબ્દો,,, 3 વ્યુત્ક્રમો સાથે એક શબ્દ અને 4 વ્યુત્ક્રમો સાથે એક શબ્દ છે. આ પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી 1s ની ડાબી-પાળીની સંખ્યા પણ છે. આ અંદરના ગુણાંકને અનુરૂપ છે. આને જોવાની બીજી રીત એ છે કે દરેક શબ્દને નીચે ડાબા ખૂણેથી ઉપરના જમણા ખૂણે જતા, ઊંચાઈ અને પહોળાઈ સાથે લંબચોરસ ગ્રીડમાં પાથ સાથે જોડવો. પાથ દરેક 0 માટે એક પગલું લે છે અને દરેક 1 માટે એક પગલું ઉપર લે છે. વ્યુત્ક્રમ એક પગલાની દિશાઓને ફેરવે છે (જમણી + ઉપર ઉપર + જમણી અને ઊલટું બને છે), તેથી વ્યુત્ક્રમની સંખ્યા માર્ગ હેઠળના વિસ્તારની બરાબર હોય છે. ડબ્બાઓમાં દડાઓ ચાલો અવિભાજ્ય દડાઓને અવિભાજ્ય ડબ્બાઓમાં ફેંકવાની રીતોની સંખ્યા હોઈએ, જ્યાં દરેક ડબ્બામાં દડાઓ હોઈ શકે છે. ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંકનો ઉપયોગ લાક્ષણિકતા દર્શાવવા માટે કરી શકાય છે. ખરેખર, જ્યાં બહુપદીમાં ગુણાંક સૂચવે છે (નીચે એપ્લિકેશન વિભાગ પણ જુઓ). ગુણધર્મ પ્રતિબિંબ સામાન્ય દ્વિપદી ગુણાંકની જેમ, ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક કેન્દ્ર-સમમિત છે, એટલે કે, પ્રતિબિંબ હેઠળ અપરિવર્તનશીલઃ ખાસ કરીને, q = 1 પર મર્યાદા ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંકનું મૂલ્યાંકન એટલે કે. ગુણાંકનો સરવાળો અનુરૂપ દ્વિપદી મૂલ્ય આપે છે. બહુપદીની ડિગ્રી ની ડિગ્રી છે. q ઓળખ પાસ્કલની ઓળખના એનાલોગ ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક માટે પાસ્કલની ઓળખના એનાલોગ છેઃ અને જ્યારે, આ બંને સામાન્ય દ્વિપદી ઓળખ આપે છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે, બંને સમીકરણો માન્ય રહે છે. પ્રથમ પાસ્કલ એનાલોગ પ્રારંભિક મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંકની પુનરાવર્તિત ગણતરી (m ના સંદર્ભમાં) ને મંજૂરી આપે છે અને એ પણ દર્શાવે છે કે ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક ખરેખર બહુપદી (q માં) છે. બીજા પાસ્કલ એનાલોગ પ્રતિબિંબ હેઠળ ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંકના અવેજી અને અપરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમથી અનુસરે છે. આ ઓળખ રેખીય બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ કુદરતી અર્થઘટન ધરાવે છે. યાદ કરો કે તે r-પરિમાણીય પેટા-જગ્યાઓની ગણતરી કરે છે, અને એક-પરિમાણીય નલસ્પેસ સાથે પ્રક્ષેપણ થવા દો. પ્રથમ ઓળખ બાયજેક્શનમાંથી આવે છે જે સબસ્પેસમાં લઈ જાય છે; જો જગ્યા આર-ડાયમેન્શનલ હોય, અને આપણે રેખીય કાર્યનો પણ ટ્રેક રાખવો જોઈએ જેનો ગ્રાફ છે; પરંતુ જો જગ્યા (આર-1)-ડાયમેન્શનલ હોય, અને આપણે કોઈપણ વધારાની માહિતી વિના પુનઃનિર્માણ કરી શકીએ છીએ. બીજી ઓળખ સમાન અર્થઘટન ધરાવે છે, જે (m−1)-પરિમાણીય જગ્યા માટે લે છે, ફરીથી બે કિસ્સાઓમાં વિભાજિત થાય છે. એનાલોગના પુરાવા બંને એનાલોગને પ્રથમ નોંધ કરીને સાબિત કરી શકાય છે કે ની વ્યાખ્યા પરથી, આપણી પાસે છેઃ જેમ સમીકરણ () બને છેઃ અને સમીકરણ () ને બદલીને પ્રથમ એનાલોગ મળે છે. સમાન પ્રક્રિયા, તેના બદલે ઉપયોગ કરીને, બીજા એનાલોગ આપે છે. q-દ્વિપદી પ્રમેય q-દ્વિપદી ગુણાંક માટે દ્વિપદી પ્રમેયનું એનાલોગ છે, જેને કોચી દ્વિપદી પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ સામાન્ય દ્વિપદી પ્રમેયની જેમ, આ સૂત્રમાં અસંખ્ય સામાન્યીકરણ અને વિસ્તરણ છે; તેમાંથી એક, નકારાત્મક શક્તિઓ માટે ન્યૂટનના સામાન્યીકૃત દ્વિપદી પ્રમેયને અનુરૂપ છે. સેટિંગ અનુક્રમે અલગ અને કોઈપણ ભાગો માટે જનરેટિંગ કાર્યો આપે છે. (મૂળભૂત હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી પણ જુઓ.) કેન્દ્રીય q-દ્વિપદી ઓળખ સામાન્ય દ્વિપદી ગુણાંક સાથે, આપણી પાસે છેઃ q-દ્વિપદી ગુણાંક સાથે, એનાલોગ છેઃ એપ્લિકેશન્સ ગૌસે મૂળભૂત રીતે ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંકનો ઉપયોગ દ્વિઘાત ગૌસ સરવાળાના સંકેતના નિર્ધારણમાં કર્યો હતો. ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક સપ્રમાણ બહુપદીઓની ગણતરીમાં અને પાર્ટીશનના સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. qr in નો ગુણાંક એ m અથવા તેનાથી ઓછા ભાગો સાથેના r ના પાર્ટીશનોની સંખ્યા છે, દરેક ભાગ n કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે. સમાનરૂપે, તે n અથવા તેનાથી ઓછા ભાગો ધરાવતા r ના પાર્ટીશનોની સંખ્યા પણ છે, દરેક ભાગ m કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે. મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના ગણનાત્મક સિદ્ધાંતમાં ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક પણ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ખાસ કરીને, q તત્વો સાથેના દરેક મર્યાદિત ક્ષેત્ર Fq માટે, ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક Fq (એક ગ્રાસમેનિયન) પર n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાના k-પરિમાણીય વેક્ટર પેટા જગ્યાઓની સંખ્યાની ગણતરી કરે છે. જ્યારે q માં બહુપદી તરીકે વિસ્તરણ થાય છે, ત્યારે તે સ્કબર્ટ કોષોમાં ગ્રાસમેનિયનનું જાણીતું વિઘટન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક એ (Fq) n માં એક-પરિમાણીય પેટા-જગ્યાઓની સંખ્યા છે (સમકક્ષ, સંકળાયેલ પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યામાં બિંદુઓની સંખ્યા). વધુમાં, જ્યારે q એ 1 (અનુક્રમે −1) હોય, ત્યારે ગૌસીયન દ્વિપદી ગુણાંક અનુરૂપ સંકુલ (અનુક્રમે વાસ્તવિક) ગ્રાસમેનિયનની યુલર લાક્ષણિકતા આપે છે. એફ. ક્યુ. એન. ની કે-ડાયમેન્શનલ એફાઇન સબસ્પેસની સંખ્યા આની બરાબર છે. આ ઓળખના અન્ય અર્થઘટનને મંજૂરી આપે છે જેમ કે (m−1)-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના (r−1)-પરિમાણીય સબસ્પેસને હાયપરપ્લેનને નિશ્ચિત કરીને, તે હાયપરપ્લેનમાં સમાવિષ્ટ આવી સબસ્પેસને ગણતરી કરીને, અને પછી હાયપરપ્લેનમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવી સબસ્પેસને ગણતરી કરીને; આ પછીની સબસ્પેસીસ આ નિશ્ચિત હાયપરપ્લેનને અનંત પર હાયપરપ્લેન તરીકે ગણાવીને પ્રાપ્ત જગ્યાના (r−1)-પરિમાણીય એફાઇન સબસ્પેસીસ સાથે બાયજેક્ટિવ પત્રવ્યવહારમાં છે. ક્વોન્ટમ જૂથોના ઉપયોગોમાં સામાન્ય સંમેલનોમાં, થોડી અલગ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ થાય છે; ક્વોન્ટમ દ્વિપદી ગુણાંક ત્યાં છે. ક્વોન્ટમ દ્વિપદી ગુણાંકનું આ સંસ્કરણ અને ના વિનિમય હેઠળ સપ્રમાણ છે. સંદર્ભો એક્સટન, એચ. (1983), ક્યૂ-હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન્સ એન્ડ એપ્લિકેશન્સ, ન્યૂ યોર્કઃ હેલસ્ટેડ પ્રેસ, ચિચેસ્ટરઃ એલિસ હોર્વુડ, 1983,, (તારીખ વગર, 2004 અથવા અગાઉ). રત્નાધા કોલ્હટકર, ગ્રાસમેન વેરાયટીઝનું ઝેટા ફંક્શન (તારીખ 26 જાન્યુઆરી, 2004) (2009). ક્યૂ-એનાલોગ ફેક્ટોરિયલ અને દ્વિપદી વિષયો