Additive polynomial
ગણિતમાં, શાસ્ત્રીય બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં યોગાત્મક બહુપદીઓ એક મહત્વપૂર્ણ વિષય છે. વ્યાખ્યા ધારો કે k એ મુખ્ય લાક્ષણિકતા p નું ક્ષેત્ર છે. k માં ગુણાંક ધરાવતી બહુપદી P (x) ને એડિટિવ બહુપદી અથવા ફ્રોબેનિયસ બહુપદી કહેવામાં આવે છે, જો a અને b માં બહુપદી હોય. તે ધારવા સમાન છે કે આ સમાનતા k ધરાવતા કેટલાક અનંત ક્ષેત્રમાં બધા a અને b માટે લાગુ પડે છે, જેમ કે તેના બીજગણિત બંધ. પ્રસંગોપાત સંપૂર્ણપણે એડિટિવનો ઉપયોગ ઉપરની સ્થિતિ માટે થાય છે, અને એડિટિવનો ઉપયોગ નબળી સ્થિતિ માટે થાય છે કે P (a + b) = P (a) + P (b) ક્ષેત્રના તમામ a અને b માટે. અનંત ક્ષેત્રો માટે શરતો સમકક્ષ હોય છે, પરંતુ મર્યાદિત ક્ષેત્રો માટે તેઓ નથી, અને નબળી સ્થિતિ "ખોટી" છે કારણ કે તે સારી રીતે વર્તે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ q ના ક્ષેત્ર પર xq − x નો કોઈપણ બહુવિધ P એ ક્ષેત્રના તમામ a અને b માટે P (a + b) = P (a) + P (b) ને સંતોષશે, પરંતુ સામાન્ય રીતે (સંપૂર્ણપણે) એડિટિવ નહીં હોય. ઉદાહરણો બહુપદી xp એ એડિટિવ છે. ખરેખર, k ના બીજગણિત બંધમાં કોઈપણ a અને b માટે દ્વિપદી પ્રમેય હોય છે કારણ કે p એ અવિભાજ્ય છે, બધા n = 1 માટે, p − 1 દ્વિપદી ગુણાંક p દ્વારા વિભાજીત થાય છે, જે સૂચવે છે કે a અને b માં બહુપદી તરીકે. તેવી જ રીતે ફોર્મની તમામ બહુપદીઓ એડિટિવ છે, જ્યાં n એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. જો k એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું ક્ષેત્ર હોય તો પણ આ વ્યાખ્યા અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં માત્ર યોગાત્મક બહુપદીઓ એ k માં કેટલાક a માટે અક્ષ સ્વરૂપની હોય છે. યોગાત્મક બહુપદીઓની વીંટી તે સાબિત કરવું એકદમ સરળ છે કે k માં ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન પણ એક યોગાત્મક બહુપદી છે. એક રસપ્રદ પ્રશ્ન એ છે કે શું આ રેખીય સંયોજનો સિવાય અન્ય એડિટિવ બહુપદીઓ છે. જવાબ એ છે કે આ માત્ર એક જ છે. તમે ચકાસી શકો છો કે જો P (x) અને M (x) યોગાત્મક બહુપદીઓ છે, તો P (x) + M (x) અને P (M (x)) પણ છે. આ સૂચવે છે કે યોગાત્મક બહુપદીઓ બહુપદી ઉમેરા અને રચના હેઠળ વીંટી બનાવે છે. આ વીંટીને સૂચવવામાં આવે છે જ્યાં સુધી k એ ક્ષેત્ર ન હોય ત્યાં સુધી આ વીંટી પરિવર્તનીય નથી (મોડ્યુલર અંકગણિત જુઓ). ખરેખર, k માં a ગુણાંક માટે યોગાત્મક બહુપદી x અને xp ને ધ્યાનમાં લો. તેમની રચના હેઠળ રૂપાંતર કરવા માટે, આપણી પાસે અને તેથી ap − a = 0 હોવું આવશ્યક છે. આ સમીકરણના મૂળ માટે આ ખોટું છે, એટલે કે, બહારના માટે. યોગાત્મક બહુપદીઓનું મૂળભૂત પ્રમેય ચાલો P (x) એ k માં ગુણાંક ધરાવતી બહુપદી હોય અને તેના મૂળનો સમૂહ હોય. ધારો કે P (x) ના મૂળ અલગ છે (એટલે કે, P (x) અલગ કરી શકાય તેવું છે), તો પછી P (x) એ એડિટિવ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સમૂહ ક્ષેત્ર ઉમેરા સાથે જૂથ બનાવે. ડ્રિન્ફેલ્ડ મોડ્યુલ એડિટિવ મેપ રેફરન્સ ડેવિડ ગોસ, બેઝિક સ્ટ્રક્ચર્સ ઓફ ફંક્શન ફિલ્ડ એરિથમેટિક, 1996, સ્પ્રિંગર, બર્લિન પણ જુઓ. . બાહ્ય કડીઓ બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત મોડ્યુલર અંકગણિત બહુપદીઓ