Field equation
સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને લાગુ ગણિતમાં, ક્ષેત્ર સમીકરણ એ આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે જે ભૌતિક ક્ષેત્રની ગતિશીલતા, ખાસ કરીને સમય ઉત્ક્રાંતિ અને ક્ષેત્રના અવકાશી વિતરણને નિર્ધારિત કરે છે. સમીકરણના ઉકેલો એ ગાણિતિક કાર્યો છે જે સમય અને અવકાશના કાર્યો તરીકે ક્ષેત્રને સીધા અનુરૂપ હોય છે. ક્ષેત્ર સમીકરણ એ આંશિક વિભેદક સમીકરણ હોવાથી, ઉકેલોના પરિવારો છે જે વિવિધ ભૌતિક શક્યતાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સામાન્ય રીતે, માત્ર એક જ સમીકરણ હોતું નથી, પરંતુ યુગ્મિત સમીકરણોનો સમૂહ હોય છે જેને એક સાથે ઉકેલવો આવશ્યક છે. ક્ષેત્ર સમીકરણો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો નથી કારણ કે ક્ષેત્ર અવકાશ અને સમય પર આધાર રાખે છે, જેના માટે ઓછામાં ઓછા બે ચલની જરૂર પડે છે. જ્યારે "તરંગ સમીકરણ", "પ્રસરણ સમીકરણ" અને "સાતત્ય સમીકરણ" બધા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપો ધરાવે છે (અને વિવિધ વિશેષ કિસ્સાઓ અથવા સામાન્યીકરણ), ત્યાં કોઈ એકલ, વિશેષ સમીકરણ નથી જેને "ક્ષેત્ર સમીકરણ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ વિષય વ્યાપક રીતે શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના સમીકરણોમાં વિભાજિત થાય છે. શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સમીકરણો ઘણા ભૌતિક ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે જેમ કે પદાર્થનું તાપમાન, પ્રવાહીનો વેગ, સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થમાં તાણ, વર્તમાનમાંથી વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વગેરે. તેઓ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમ અને ગુરુત્વાકર્ષણ જેવી પ્રકૃતિની મૂળભૂત શક્તિઓનું પણ વર્ણન કરે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન જેવા કણો અથવા "કણો" ની પ્રણાલીઓ ક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલી હોય છે, જે અનંત ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (કણ મિકેનિક્સમાં મર્યાદિત ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમથી વિપરીત) અને ચલ કણોની સંખ્યાઓને મંજૂરી આપે છે, જેને બનાવી અથવા નાશ કરી શકાય છે. સામાન્યતાઓની ઉત્પત્તિ સામાન્ય રીતે, ક્ષેત્ર સમીકરણોની ધારણા કરવામાં આવે છે (જેમ કે આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણો અને શ્રોડિંગર સમીકરણ, જે તમામ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સમીકરણોને આધાર આપે છે) અથવા પ્રયોગોના પરિણામોમાંથી મેળવવામાં આવે છે (જેમ કે મેક્સવેલના સમીકરણો). તેમની માન્યતાની હદ એ પ્રાયોગિક પરિણામો સાથે યોગ્ય રીતે આગાહી કરવાની અને સંમત થવાની તેમની ક્ષમતા છે. સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિકોણથી, ક્ષેત્ર સમીકરણોને લગ્રેન્જિયન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત, હેમિલ્ટોનિયન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને સ્થિર ક્રિયાના સિદ્ધાંતના ક્ષેત્ર સૈદ્ધાંતિક ફોર્મ્યુલેશનના માળખામાં ઘડી શકાય છે. યોગ્ય લેગ્રેન્જિયન અથવા હેમિલ્ટોનિયન ઘનતા, આપેલ પ્રણાલીમાં ક્ષેત્રોનું કાર્ય, તેમજ તેમના વ્યુત્પન્નને જોતાં, સ્થિર ક્રિયાના સિદ્ધાંતને ક્ષેત્ર સમીકરણ પ્રાપ્ત થશે. શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ બંને સિદ્ધાંતોમાં, ક્ષેત્ર સમીકરણો પૃષ્ઠભૂમિ ભૌતિક સિદ્ધાંતની સમપ્રમાણતાને સંતોષશે. મોટા ભાગના વખતે ગેલિલીયન સમપ્રમાણતા પૂરતી હોય છે, ઝડપ (પ્રસાર ક્ષેત્રોની) માટે પ્રકાશ કરતાં ઘણી ઓછી હોય છે. જ્યારે કણો અને ક્ષેત્રો પ્રકાશની નજીકની ઝડપે પ્રસરે છે, ત્યારે લોરેન્ટ્ઝ સમપ્રમાણતા એ સૌથી સામાન્ય સેટિંગ્સમાંની એક છે કારણ કે સમીકરણ અને તેના ઉકેલો પછી વિશેષ સાપેક્ષતા સાથે સુસંગત હોય છે. બીજી સમપ્રમાણતા ગેજ ફ્રીડમમાંથી ઉદ્ભવે છે, જે ક્ષેત્ર સમીકરણો માટે આંતરિક છે. ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને અનુરૂપ ક્ષેત્રો ગેજ ક્ષેત્રો હોઈ શકે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ પોટેન્શિયલમાંથી મેળવી શકાય છે, અને પોટેન્શિયલના ચોક્કસ મૂલ્યો ક્ષેત્રના સમાન મૂલ્યને અનુરૂપ છે. વર્ગીકરણ ક્ષેત્ર સમીકરણોને ઘણી રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ શાસ્ત્રીય અથવા ક્વોન્ટમ, બિન-સાપેક્ષવાદી અથવા સાપેક્ષવાદી, ક્ષેત્રના પરિભ્રમણ અથવા દળ અનુસાર, અને ક્ષેત્રના ઘટકોની સંખ્યા અને સંકલન પરિવર્તન હેઠળ તેઓ કેવી રીતે બદલાય છે (દા. ત.). સ્કેલર ક્ષેત્રો, વેક્ટર ક્ષેત્રો, ટેન્સર ક્ષેત્રો, સ્પિનોર ક્ષેત્રો, ટ્વિસ્ટર ક્ષેત્રો વગેરે). તેઓ વિભેદક સમીકરણોના વર્ગીકરણને પણ વારસામાં મેળવી શકે છે, જેમ કે રેખીય અથવા બિનરેખીય, ઉચ્ચતમ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ, અથવા અપૂર્ણાંક વિભેદક સમીકરણો તરીકે પણ. ગેજ ક્ષેત્રોને જૂથ સિદ્ધાંતમાં અબેલિયન અથવા નોનબેલિયન તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. તરંગ ક્ષેત્ર સમીકરણો તરંગ સમીકરણોને આધાર આપે છે, કારણ કે સમયાંતરે બદલાતા ક્ષેત્રો તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. તરંગ સમીકરણોને ક્ષેત્ર સમીકરણો તરીકે વિચારી શકાય છે, તે અર્થમાં તેઓ ઘણીવાર ક્ષેત્ર સમીકરણોમાંથી મેળવી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, યોગ્ય લેગ્રેન્જિયન અથવા હેમિલ્ટોનિયન ગીચતાને જોતાં અને સ્થિર ક્રિયાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, તરંગ સમીકરણો પણ મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેક્સવેલના સમીકરણોનો ઉપયોગ અસમરૂપ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સમીકરણો મેળવવા માટે થઈ શકે છે, અને આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણોમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગો માટે સમીકરણો મેળવી શકાય છે. ક્ષેત્ર સમીકરણો માટે પૂરક સમીકરણો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં દરેક આંશિક વિભેદક સમીકરણ (PDE) ને આપમેળે "ક્ષેત્ર સમીકરણ" કહેવામાં આવતું નથી, ભલે ક્ષેત્રો સામેલ હોય. આપેલ ભૌતિક પ્રણાલી માટે વધારાના અવરોધો પૂરા પાડવા માટે તે વધારાના સમીકરણો છે. "સાતત્ય સમીકરણો" અને "પ્રસરણ સમીકરણો" પરિવહનની ઘટનાઓનું વર્ણન કરે છે, તેમ છતાં તેમાં પરિવહન પ્રક્રિયાઓને પ્રભાવિત કરતા ક્ષેત્રો સામેલ હોઈ શકે છે. જો "રચનાત્મક સમીકરણ" PDEનું સ્વરૂપ લે છે અને તેમાં ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે, તો તેને સામાન્ય રીતે ક્ષેત્ર સમીકરણ કહેવામાં આવતું નથી કારણ કે તે ક્ષેત્રોની ગતિશીલ વર્તણૂકને નિયંત્રિત કરતું નથી. તેઓ આપેલ સામગ્રીમાં એક ક્ષેત્રને બીજા સાથે સંબંધિત કરે છે. જ્યારે દ્રવ્યની અસરોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય ત્યારે બંધારણીય સમીકરણોનો ઉપયોગ ક્ષેત્ર સમીકરણો સાથે થાય છે. શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સમીકરણ શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સમીકરણો સાતત્ય મિકેનિક્સ (ઇલાસ્ટોડાયનેમિક્સ અને પ્રવાહી મિકેનિક્સ સહિત), ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ, વિદ્યુતચુંબકીયતા અને ગુરુત્વાકર્ષણમાં ઉદ્ભવે છે. મૂળભૂત શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સમીકરણોમાં બિન-સાપેક્ષ ગુરુત્વાકર્ષણ માટે ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો સમાવેશ થાય છે. સાપેક્ષ ગુરુત્વાકર્ષણ માટે આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણો વિદ્યુતચુંબકીયતા માટે મેક્સવેલના સમીકરણો. મૂળભૂત નિયમોમાંથી મેળવેલા મહત્વના સમીકરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ પ્રવાહી પ્રવાહ માટે નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણો. વાસ્તવિક જીવનની ગાણિતિક મોડેલિંગ પ્રક્રિયાઓના ભાગરૂપે, શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સમીકરણો ગતિના અન્ય સમીકરણો, સ્થિતિના સમીકરણો, રચનાત્મક સમીકરણો અને સાતત્ય સમીકરણો સાથે આવે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સમીકરણ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, કણોને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જે શ્રોડિંગર સમીકરણને સંતોષે છે. તેઓ સર્જન અને વિનાશના સંચાલકો પણ છે જે પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષે છે અને સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમને આધિન છે. સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સમીકરણોના ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં સ્પિન-0 કણો માટે ક્લેઇન-ગોર્ડન સમીકરણ, સ્પિન-1/2 કણો માટે ડીરાક સમીકરણ, કોઈપણ સ્પિનના કણો માટે બર્ગમેન-વિગ્નર સમીકરણનો સમાવેશ થાય છે. આ પણ જુઓ ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ વેવ ફંક્શન ફંડામેન્ટલ ઇન્ટરેક્શન ફિલ્ડ કપલિંગ ફિલ્ડ ડિકપલિંગ કપલિંગ પેરામીટર વેક્યૂમ સોલ્યુશન સંદર્ભો સામાન્ય શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત બાહ્ય કડીઓ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર લાગુ ગણિત આંશિક વિભેદક સમીકરણો શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત