Iterated function
ગણિતમાં, પુનરાવર્તિત વિધેય એ એક વિધેય છે (એટલે કે, અમુક સમૂહમાંથી પોતાને માટેનું વિધેય) જે પોતાની સાથે ચોક્કસ સંખ્યામાં અન્ય વિધેયની રચના કરીને મેળવવામાં આવે છે. એક જ કાર્યને વારંવાર લાગુ કરવાની પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તન કહેવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં, અમુક પ્રારંભિક પદાર્થથી શરૂ કરીને, આપેલ કાર્યને લાગુ કરવાનું પરિણામ ફરીથી કાર્યમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે, અને આ પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે જમણી બાજુની છબી પરઃ કાર્ય રચનાના વર્તુળ આકારના પ્રતીક સાથે. પુનરાવર્તિત કાર્યો કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, ફ્રેક્ટલ્સ, ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ, ગણિત અને રીનોર્મલાઇઝેશન જૂથ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અભ્યાસના પદાર્થો છે. વ્યાખ્યા સમૂહ X પર પુનરાવર્તિત વિધેયની ઔપચારિક વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે. ચાલો એક સમૂહ બનીએ અને એક કાર્ય બનીએ. (હંસ હેઇનરિચ બર્મેન અને જ્હોન ફ્રેડરિક વિલિયમ હર્શેલ દ્વારા રજૂ કરાયેલ સંકેત) ના n-th પુનરાવર્તન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું, જ્યાં n એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, દ્વારાઃ અને ઓળખ કાર્ય ક્યાં છે અને કાર્ય રચનાને સૂચવે છે. એટલે કે, હંમેશા સહયોગી. કારણ કે સંકેત કાર્યના પુનરાવર્તન (રચના) અથવા કાર્યના ઘાતાંક બંનેનો સંદર્ભ આપી શકે છે (બાદમાં સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિમાં વપરાય છે), કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓ રચનાત્મક અર્થને દર્શાવવા માટે ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરે છે, કાર્યના-th પુનરાવર્તન માટે લખે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અર્થ. આ જ હેતુ માટે, બેન્જામિન પિયર્સે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો જ્યારે તેના બદલે આલ્ફ્રેડ પ્રિંગશેમ અને જ્યુલ્સ મોલે સૂચવ્યું હતું. એબેલિયન ગુણધર્મ અને પુનરાવર્તન ક્રમ સામાન્ય રીતે, નીચેની ઓળખ તમામ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે હોય છે અને, આ માળખાકીય રીતે ઘાતાંકના ગુણધર્મ સાથે સમાન છે, એટલે કે. ખાસ કેસ. સામાન્ય રીતે, મનસ્વી સામાન્ય માટે (નકારાત્મક, બિન-પૂર્ણાંક, વગેરે) સૂચકાંકો અને, આ સંબંધને અનુવાદ કાર્યાત્મક સમીકરણ, cf કહેવામાં આવે છે. શ્રોડરનું સમીકરણ અને એબેલ સમીકરણ. લઘુગણક સ્કેલ પર, આ ચેબીશેવ બહુપદીઓના માળાના ગુણધર્મમાં ઘટાડો કરે છે, કારણ કે. આ સંબંધ એ પણ ધરાવે છે, જે ઘાતાંકના ગુણધર્મને અનુરૂપ છે. કાર્યોના ક્રમને પિકાર્ડ ક્રમ કહેવામાં આવે છે, જેનું નામ ચાર્લ્સ એમિલ પિકાર્ડના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. આપેલ માટે, મૂલ્યોના ક્રમને ની ભ્રમણકક્ષા કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ પૂર્ણાંક માટે, ભ્રમણકક્ષાને સામયિક ભ્રમણકક્ષા કહેવામાં આવે છે. આપેલ માટે આવા સૌથી નાના મૂલ્યને ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે. આ બિંદુને જ સામયિક બિંદુ કહેવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં ચક્ર શોધવાની સમસ્યા એ ભ્રમણકક્ષામાં પ્રથમ સામયિક બિંદુ અને ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો શોધવાની અલ્ગોરિધમિક સમસ્યા છે. નિશ્ચિત બિંદુઓ જો કેટલાક માટે (એટલે કે, ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો છે), તો તેને પુનરાવર્તિત ક્રમનું નિશ્ચિત બિંદુ કહેવામાં આવે છે. નિશ્ચિત બિંદુઓના સમૂહને ઘણીવાર આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. સંખ્યાબંધ નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં નિશ્ચિત બિંદુઓના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે, જેમાં બનાચ નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેય અને બ્રોવર નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેયનો સમાવેશ થાય છે. નિશ્ચિત બિંદુ પુનરાવર્તન દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્રમના અભિસરણ પ્રવેગ માટે ઘણી તકનીકો છે. ઉદાહરણ તરીકે, પુનરાવર્તિત નિશ્ચિત બિંદુ પર લાગુ કરાયેલી એઇટકેન પદ્ધતિને સ્ટેફન્સનની પદ્ધતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને તે દ્વિઘાત અભિસરણ ઉત્પન્ન કરે છે. વર્તનને મર્યાદિત કરવું પુનરાવર્તન પર, કોઈ એવું શોધી શકે છે કે એવા સમૂહો છે જે એક બિંદુ તરફ સંકોચાય છે અને એકરૂપ થાય છે. આવા કિસ્સામાં, જે બિંદુ સાથે એકરૂપ થાય છે તે એક આકર્ષક નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે ઓળખાય છે. તેનાથી વિપરીત, પુનરાવર્તન એક જ બિંદુથી દૂર જતા બિંદુઓનો દેખાવ આપી શકે છે; અસ્થિર નિશ્ચિત બિંદુ માટે આ સ્થિતિ હશે. જ્યારે ભ્રમણકક્ષાના બિંદુઓ એક અથવા વધુ મર્યાદાઓમાં ભેગા થાય છે, ત્યારે ભ્રમણકક્ષાના સંચય બિંદુઓના સમૂહને મર્યાદા સમૂહ અથવા ω-મર્યાદા સમૂહ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આકર્ષણ અને પ્રતિકર્ષણના વિચારો સમાન રીતે સામાન્ય બને છે; પુનરાવર્તન હેઠળના નાના પડોશના વર્તન અનુસાર, કોઈ વ્યક્તિ પુનરાવર્તનને સ્થિર સમૂહો અને અસ્થિર સમૂહોમાં વર્ગીકૃત કરી શકે છે. (વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોની અનંત રચનાઓ પણ જુઓ.) અન્ય મર્યાદિત વર્તણૂકો શક્ય છે; ઉદાહરણ તરીકે, ભટકતા બિંદુઓ એવા બિંદુઓ છે જે દૂર જાય છે, અને જ્યાંથી શરૂ કર્યું હતું તેની નજીક પણ ક્યારેય પાછા આવતા નથી. જો કોઈ વ્યક્તિ વ્યક્તિગત બિંદુ ગતિશીલતાને બદલે ઘનતા વિતરણની ઉત્ક્રાંતિને ધ્યાનમાં લે છે, તો પછી મર્યાદિત વર્તન અપરિવર્તનશીલ માપ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેને પુનરાવર્તિત પુનરાવર્તન હેઠળ બિંદુ-વાદળ અથવા ધૂળ-વાદળની વર્તણૂક તરીકે જોઈ શકાય છે. અપરિવર્તનશીલ માપ એ રુએલ-ફ્રોબેનિયસ-પેરોન ઓપરેટર અથવા ટ્રાન્સફર ઓપરેટરનું આઈગનસ્ટેટ છે, જે 1 ના આઈગન વેલ્યુને અનુરૂપ છે. નાના આઈગન મૂલ્યો અસ્થિર, ક્ષીણ થતી સ્થિતિને અનુરૂપ હોય છે. સામાન્ય રીતે, કારણ કે પુનરાવર્તિત પુનરાવર્તન શિફ્ટ, ટ્રાન્સફર ઓપરેટર અને તેના સંલગ્નને અનુરૂપ હોય છે, કૂપમેન ઓપરેટર બંનેને શિફ્ટ સ્પેસ પર શિફ્ટ ઓપરેટરની ક્રિયા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. મર્યાદિત પ્રકારના સબશિફ્ટનો સિદ્ધાંત ઘણા પુનરાવર્તિત કાર્યોમાં સામાન્ય સમજ પ્રદાન કરે છે, ખાસ કરીને જે અરાજકતા તરફ દોરી જાય છે. અપૂર્ણાંક પુનરાવર્તન કરે છે અને વહે છે, અને નકારાત્મક પુનરાવર્તન કરે છે જ્યારે સમીકરણમાં બહુવિધ ઉકેલો હોય ત્યારે કલ્પનાનો ઉપયોગ કાળજી સાથે થવો જોઈએ, જે સામાન્ય રીતે કેસ છે, જેમ કે ઓળખ નકશાના કાર્યાત્મક મૂળના બાબેજના સમીકરણમાં. ઉદાહરણ તરીકે, માટે અને, બંને અને ઉકેલો છે; તેથી અભિવ્યક્તિ એક અનન્ય કાર્યને સૂચવતી નથી, જેમ સંખ્યાઓ બહુવિધ બીજગણિત મૂળ ધરાવે છે. આ મુદ્દો અંકગણિતમાં "0/0" અભિવ્યક્તિ જેવો જ છે. જો fs ડોમેનને પૂરતા પ્રમાણમાં વિસ્તૃત કરી શકાય, તો f નું તુચ્છ મૂળ હંમેશા મેળવી શકાય છે, cf. ચિત્ર. પસંદ કરેલા મૂળ સામાન્ય રીતે અભ્યાસ હેઠળની ભ્રમણકક્ષાના હોય છે. વિધેયના અપૂર્ણાંક પુનરાવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ દાખલા તરીકે, વિધેયનું અડધું પુનરાવર્તન એ એવું વિધેય છે. આ કાર્યને અનુક્રમણિકા સંકેતનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે. તેવી જ રીતે, કાર્યને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે, જ્યારે તેને સમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને તેથી આગળ, બધા અગાઉ ઉલ્લેખિત સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. આ વિચારને સામાન્ય બનાવી શકાય છે જેથી પુનરાવર્તન ગણતરી એક સતત પરિમાણ બની જાય, જે સતત ભ્રમણકક્ષાનો એક પ્રકારનો સતત "સમય" છે. આવા કિસ્સાઓમાં, સિસ્ટમને પ્રવાહ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. (સીએફ. નીચે જોડાણ પરનો વિભાગ.) જો કાર્ય બાયજેક્ટિવ હોય (અને તેથી તે ઇન્વર્સ કાર્ય ધરાવે છે), તો નકારાત્મક પુનરાવર્તનો કાર્ય ઇન્વર્સ અને તેમની રચનાઓને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોર્મલ ઇન્વર્સ છે, જ્યારે ઇન્વર્સ પોતે રચાયેલ છે, એટલે કે. . અપૂર્ણાંક નકારાત્મક પુનરાવર્તનોને અપૂર્ણાંક હકારાત્મક સાથે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, તેને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે, અથવા, સમકક્ષ, જેમ કે. અપૂર્ણાંક પુનરાવર્તન માટેના કેટલાક સૂત્રો અપૂર્ણાંક પુનરાવર્તન માટે શ્રેણી સૂત્ર શોધવાની ઘણી પદ્ધતિઓમાંથી એક, નિશ્ચિત બિંદુનો ઉપયોગ કરીને, નીચે મુજબ છે. પહેલા કાર્ય માટે એક નિશ્ચિત બિંદુ નક્કી કરો. વાસ્તવિક સાથે જોડાયેલા તમામ n માટે વ્યાખ્યાયિત કરો. આ, કેટલીક રીતે, અપૂર્ણાંક પુનરાવર્તનો પર મૂકવા માટેની સૌથી કુદરતી વધારાની સ્થિતિ છે. નિશ્ચિત બિંદુ a ની આસપાસ ટેલર શ્રેણી તરીકે વિસ્તરણ કરો, કોઈપણ k માટે અવેજીમાં વિસ્તરણ કરો, શરતોને સરળ બનાવવા માટે ભૌમિતિક પ્રગતિનો ઉપયોગ કરો, એક વિશેષ કેસ છે જ્યારે, આ અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે, જોકે બિનકાર્યક્ષમ રીતે, કારણ કે પછીની શરતો વધુને વધુ જટિલ બની જાય છે. કોન્જુગેસી પર નીચેના વિભાગમાં વધુ વ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાની રૂપરેખા આપવામાં આવી છે. ઉદાહરણ 1 ઉદાહરણ તરીકે, સેટિંગ નિશ્ચિત બિંદુ આપે છે, તેથી ઉપરોક્ત સૂત્ર ફક્ત તે જ સમાપ્ત થાય છે જે તપાસવું તુચ્છ છે. ઉદાહરણ 2 જ્યાં આ n વખત કરવામાં આવે છે તેનું મૂલ્ય શોધો (અને સંભવતઃ જ્યારે n પૂર્ણાંક ન હોય ત્યારે અંતર્વેષ્ટિત મૂલ્યો). આપણી પાસે છે. એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. તેથી 2 ના નિશ્ચિત બિંદુ મૂલ્યની આસપાસ સેટ કરો અને વિસ્તૃત કરો તે પછી એક અનંત શ્રેણી છે, જે, માત્ર પ્રથમ ત્રણ શબ્દો લે છે, જ્યારે n હકારાત્મક-cf હોય ત્યારે પ્રથમ દશાંશ સ્થાન માટે યોગ્ય છે. ટેટ્રેશનઃ. (અન્ય નિશ્ચિત બિંદુનો ઉપયોગ કરવાથી શ્રેણી અલગ પડે છે.) માટે, શ્રેણી વ્યુત્ક્રમ કાર્યની ગણતરી કરે છે. ઉદાહરણ 3 કાર્ય સાથે, શ્રેણી મેળવવા માટે નિશ્ચિત બિંદુ 1 ની આસપાસ વિસ્તૃત કરો જે ફક્ત x (bn) ની ટેલર શ્રેણી છે જે 1 ની આસપાસ વિસ્તૃત થાય છે. સંયુગ્મતા જો અને તે બે પુનરાવર્તિત કાર્યો છે, અને ત્યાં એક હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે, પછી અને ટોપોલોજીકલ રીતે સંયુગ્મ હોવાનું કહેવાય છે. સ્પષ્ટપણે, ટોપોલોજીકલ જોડાણ પુનરાવર્તન હેઠળ સાચવવામાં આવે છે, જેમ કે. આમ, જો કોઈ એક પુનરાવર્તિત કાર્ય પ્રણાલી માટે ઉકેલ લાવી શકે, તો તેની પાસે તમામ ટોપોલોજીકલ સંયુગ્મિત પ્રણાલીઓ માટે પણ ઉકેલો છે. ઉદાહરણ તરીકે, તંબુનો નકશો લોજિસ્ટિક નકશા સાથે ટોપોલોજીકલ રીતે સંયોજિત છે. એક વિશેષ કેસ તરીકે, લેવાથી, કોઈ પણ કાર્ય માટે 'તરીકે' નું પુનરાવર્તન થાય છે. અવેજી ઉપજ બનાવવી, એક સ્વરૂપ જે એબેલ સમીકરણ તરીકે ઓળખાય છે. કડક હોમોમોર્ફિઝમની ગેરહાજરીમાં પણ, એક નિશ્ચિત બિંદુની નજીક, અહીં = 0, (0) = 0 પર લેવામાં આવે છે, કોઈ પણ વ્યક્તિ ઘણીવાર ફંક્શન માટે શ્રોડરના સમીકરણને હલ કરી શકે છે, જે સ્થાનિક રીતે માત્ર વિસ્તરણ માટે સંયોજિત કરે છે, એટલે કે. આમ, તેની પુનરાવર્તન ભ્રમણકક્ષા, અથવા પ્રવાહ, યોગ્ય જોગવાઈઓ હેઠળ (દા. ત.,), એકવિધ ભ્રમણકક્ષાના સંયુગ્મ જેટલો છે, જ્યાં આ અભિવ્યક્તિ સાદા ઘાતાંક તરીકે કામ કરે છેઃ કાર્યાત્મક પુનરાવર્તનને ગુણાકારમાં ઘટાડવામાં આવ્યું છે! અહીં, જો કે, ઘાતાંકને હવે પૂર્ણાંક અથવા હકારાત્મક હોવાની જરૂર નથી, અને તે સંપૂર્ણ ભ્રમણકક્ષા માટે ઉત્ક્રાંતિનો સતત "સમય" છેઃ પિકાર્ડ અનુક્રમનું મોનોઈડ (cf. અર્ધસમૂહ) નું સંપૂર્ણ સતત જૂથમાં સામાન્યીકરણ થયું છે. આ પદ્ધતિ (મુખ્ય આઈગનફંક્શનનું વિક્ષેપકારક નિર્ધારણ, cf. કાર્લમેન મેટ્રિક્સ) એ અગાઉના વિભાગના અલ્ગોરિધમની સમકક્ષ છે, જોકે વ્યવહારમાં તે વધુ શક્તિશાળી અને વ્યવસ્થિત છે. માર્કોવ સાંકળો જો કાર્ય રેખીય હોય અને તેને સ્ટોકેસ્ટિક મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવી શકાય, એટલે કે, એક મેટ્રિક્સ કે જેની પંક્તિઓ અથવા સ્તંભોનો સરવાળો એક હોય, તો પુનરાવર્તિત પ્રણાલી માર્કોવ સાંકળ તરીકે ઓળખાય છે. ઉદાહરણો ઘણા અસ્તવ્યસ્ત નકશા છે. જાણીતા પુનરાવર્તિત કાર્યોમાં મેન્ડલબ્રોટ સમૂહ અને પુનરાવર્તિત કાર્ય પ્રણાલીઓનો સમાવેશ થાય છે. અર્ન્સ્ટ શ્રોડરે 1870 માં લોજિસ્ટિક નકશાના ખાસ કિસ્સાઓ પર કામ કર્યું હતું, જેમ કે અસ્તવ્યસ્ત કેસ, જેથી, તેથી. એક નોનકોઆટિક કેસ શ્રોડર પણ તેની પદ્ધતિ,, યીલ્ડ, અને તેથી સાથે સચિત્ર છે. જો સમૂહ પર જૂથ તત્વની ક્રિયા હોય, તો પુનરાવર્તિત કાર્ય મુક્ત જૂથને અનુરૂપ હોય છે. મોટાભાગના વિધેયોમાં n-th પુનરાવર્તન માટે સ્પષ્ટ સામાન્ય બંધ-સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિઓ હોતી નથી. નીચેનું કોષ્ટક એવા કેટલાકની યાદી આપે છે જે કરે છે. નોંધ લો કે આ તમામ સમીકરણો બિન-પૂર્ણાંક અને નકારાત્મક n માટે પણ માન્ય છે, તેમજ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે પણ માન્ય છે. નોંધઃ આ બે વિશેષ કિસ્સાઓ માત્ર એવા કિસ્સાઓ છે જેમાં બંધ સ્વરૂપનો ઉકેલ હોય છે. અનુક્રમે b = 2 =-a અને b = 4 =-a પસંદ કરવાથી, તેમને ટેબલ પહેલાં ચર્ચા કરાયેલા બિન-અસ્થિર અને અસ્તવ્યસ્ત લોજિસ્ટિક કેસોમાં ઘટાડી શકાય છે. આમાંના કેટલાક ઉદાહરણો સરળ સંયોગો દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. પુનરાવર્તિત કાર્યોના અભ્યાસના માધ્યમોનો અભ્યાસ આર્ટિન-મઝુર ઝેટા કાર્ય અને ટ્રાન્સફર ઓપરેટરો સાથે કરી શકાય છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં, પુનરાવર્તિત કાર્યો પુનરાવર્તિત કાર્યોના એક વિશેષ કેસ તરીકે થાય છે, જે બદલામાં લેમ્બડા કેલ્ક્યુલસ જેવા વ્યાપક વિષયો અથવા કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સના ડીનોટેશનલ સિમેન્ટિક્સ જેવા સંકુચિત વિષયોના અભ્યાસને એન્કર કરે છે. પુનરાવર્તિત વિધેયોની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાઓ પુનરાવર્તિત વિધેયોની દ્રષ્ટિએ બે મહત્વપૂર્ણ વિધેયોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ સરવાળો છેઃ અને સમકક્ષ ઉત્પાદનઃ કાર્યાત્મક વ્યુત્પન્ન પુનરાવર્તિત વિધેયનું કાર્યાત્મક વ્યુત્પન્ન પુનરાવર્તિત સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ લાઈનું ડેટા પરિવહન સમીકરણ પુનરાવર્તિત વિધેયો સંયુક્ત વિધેયોની શ્રેણીના વિસ્તરણમાં પેદા થાય છે, જેમ કે. કાર્યના th પુનરાવર્તન માટે પુનરાવર્તન વેગ અથવા બીટા કાર્ય (ભૌતિકશાસ્ત્ર) જોતાં, આપણી પાસે છે. પરિણામે, સાદા શિફ્ટ ઓપરેટર દ્વારા ક્રિયા. તેનાથી વિપરીત, ઉપર ચર્ચા કરાયેલા સામાન્ય એબેલ સમીકરણ દ્વારા આપેલા મનસ્વી સમીકરણને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જ્યાં આ નોંધ્યું છે કે સતત પુનરાવર્તન સૂચકાંક માટે, પછી, હવે સબસ્ક્રિપ્ટ તરીકે લખવામાં આવે છે, આ સતત જૂથની લાઈની પ્રખ્યાત ઘાતાંકીય અનુભૂતિ સમાન છે, પ્રારંભિક પ્રવાહ વેગ સમગ્ર પ્રવાહને નિર્ધારિત કરવા માટે પૂરતો છે, આ ઘાતાંકીય અનુભૂતિને ધ્યાનમાં રાખીને જે આપમેળે અનુવાદ કાર્યાત્મક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ પ્રદાન કરે છે, તે પણ જુઓ અતાર્કિક પરિભ્રમણ પુનરાવર્તિત કાર્ય પ્રણાલી પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ પરિભ્રમણ સંખ્યા સર્કોવ્સ્કીની પ્રમેય અપૂર્ણાંક કલન પુનરાવર્તન સંબંધ શ્રોડરનું સમીકરણ કાર્યાત્મક વર્ગમૂળ એબેલ કાર્ય શ્રોડરનું સમીકરણ બોચરનું સમીકરણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોની અનંત રચનાઓ ફ્લો