Pure subgroup
ગણિતમાં, ખાસ કરીને અબેલિયન જૂથોના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરતા બીજગણિતના ક્ષેત્રમાં, શુદ્ધ પેટાજૂથ એ સીધા સરવાળાનું સામાન્યીકરણ છે. તેને અબેલિયન જૂથ સિદ્ધાંત અને સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં ઘણા ઉપયોગો મળ્યા છે. વ્યાખ્યા (સામાન્ય રીતે અબેલિયન) જૂથના પેટા જૂથને શુદ્ધ કહેવામાં આવે છે જો જ્યારે પણ કોઈ તત્વના મૂળ હોય, ત્યારે તે આવશ્યકપણે મૂળ ધરાવે છે. ઔપચારિક રીતેઃ, G માં an નું અસ્તિત્વ એવું છે કે S માં a નું અસ્તિત્વ એવું છે કે. મૂળ શુદ્ધ પેટા જૂથોને અલગ પેટા જૂથો અથવા સેવા આપતા પેટા જૂથો પણ કહેવામાં આવે છે અને સૌપ્રથમ પ્રુફરના 1923 ના પેપરમાં તપાસ કરવામાં આવી હતી જેમાં પ્રાથમિક અબેલિયન જૂથોના વિઘટન માટેની પરિસ્થિતિઓને શુદ્ધ પેટા જૂથોનો ઉપયોગ કરીને ચક્રીય જૂથોના સીધા સરવાળા તરીકે વર્ણવવામાં આવી હતી. પ્રુફરનું કાર્ય કુલિકોફ દ્વારા પૂરક બન્યું હતું જ્યાં શુદ્ધ પેટા જૂથોનો વ્યવસ્થિત રીતે ઉપયોગ કરીને ઘણા પરિણામો ફરીથી સાબિત થયા હતા. ખાસ કરીને, એક પુરાવો આપવામાં આવ્યો હતો કે મર્યાદિત ઘાતાંકના શુદ્ધ પેટાજૂથો સીધા સરવાળા છે. શુદ્ધ પેટા જૂથોની વધુ સંપૂર્ણ ચર્ચા, અનંત અબેલિયન જૂથ સિદ્ધાંત સાથેના તેમના સંબંધ અને તેમના સાહિત્યનું સર્વેક્ષણ ઇરવિંગ કેપ્લાન્સ્કીના નાના લાલ પુસ્તકમાં આપવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણો જૂથનો દરેક સીધો સરવાળો એ શુદ્ધ પેટા જૂથ છે. શુદ્ધ પેટાજૂઠનું દરેક શુદ્ધ પેટાજૂથ શુદ્ધ છે. એબેલિયન જૂથનું વિભાજીત પેટા જૂથ શુદ્ધ છે. જો ભાગાકાર જૂથ વળાંક-મુક્ત હોય, તો પેટાજૂથ શુદ્ધ છે. એબેલિયન જૂથનું વળાંક ઉપસમૂહ શુદ્ધ છે. શુદ્ધ પેટાજૂથોનું નિર્દેશિત જોડાણ એ શુદ્ધ પેટાજૂથ છે. મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા એબેલિયન જૂથમાં ટોર્સિયન પેટાજૂથ એ સીધો સરવાળો હોવાથી, કોઈ પૂછી શકે છે કે શું ટોર્સિયન પેટાજૂથ હંમેશા એબેલિયન જૂથનો સીધો સરવાળો છે. તે તારણ આપે છે કે તે હંમેશા સારાંશ નથી, પરંતુ તે એક શુદ્ધ પેટાજૂથ છે. અમુક હળવી પરિસ્થિતિઓમાં, શુદ્ધ પેટાજૂથો સીધા સરવાળા હોય છે. તેથી, કુલિકોફના પેપરની જેમ, તે પરિસ્થિતિઓમાં હજી પણ ઇચ્છિત પરિણામ મેળવી શકાય છે. શુદ્ધ પેટા જૂથોનો ઉપયોગ મર્યાદિતતાની શરતો સાથે સીધા સરવાળા પરના પરિણામ અને ઓછી પ્રતિબંધિત મર્યાદિતતાની શરતો સાથે સીધા સરવાળા પરના સંપૂર્ણ પરિણામ વચ્ચે મધ્યવર્તી ગુણધર્મ તરીકે થઈ શકે છે. આ ઉપયોગનું બીજું ઉદાહરણ પ્રુફરનું પેપર છે, જ્યાં હકીકત એ છે કે "મર્યાદિત વળાંક એબેલિયન જૂથો ચક્રીય જૂથોના સીધા સરવાળા છે" તે પરિણામ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે કે શુદ્ધ પેટાજૂથોની મધ્યવર્તી વિચારણા દ્વારા "મર્યાદિત ઘાતાંકના તમામ વળાંક એબેલિયન જૂથો ચક્રીય જૂથોના સીધા સરવાળા છે". સામાન્યીકરણ શુદ્ધ પેટાજૂથોને અબેલિયન જૂથો અને મોડ્યુલોના સિદ્ધાંતમાં ઘણી રીતે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા. શુદ્ધ પેટા મોડ્યુલો વિવિધ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા, પરંતુ આખરે ટેન્સર ઉત્પાદનો અથવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓના સંદર્ભમાં આધુનિક વ્યાખ્યા પર સ્થાયી થયા હતા; અગાઉની વ્યાખ્યાઓ સામાન્ય રીતે વધુ સીધી સામાન્યીકરણ હતી જેમ કે n 'th મૂળ માટે ઉપર વપરાયેલ એક સમીકરણ. શુદ્ધ ઇન્જેક્ટિવ અને શુદ્ધ પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલો પ્રુફરના 1923ના પેપરના વિચારોને નજીકથી અનુસરે છે. જ્યારે શુદ્ધ પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલોને શુદ્ધ ઇન્જેક્શન જેટલા ઘણા ઉપયોગો મળ્યા નથી, ત્યારે તેઓ મૂળ કાર્ય સાથે વધુ નજીકથી સંબંધિત છેઃ જો તે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત મોડ્યુલોના સીધા સરવાળાનો સીધો સરવાળો હોય તો મોડ્યુલ શુદ્ધ પ્રોજેક્ટિવ હોય છે. પૂર્ણાંકો અને એબેલિયન જૂથોના કિસ્સામાં શુદ્ધ પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ ચક્રીય જૂથોના સીધા સરવાળા જેટલું હોય છે. સંદર્ભ પ્રકરણ III. પેટા જૂથ ગુણધર્મો એબેલિયન જૂથ સિદ્ધાંત