Mean absolute difference
સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત (અવિભાજ્ય) એ સંભાવના વિતરણમાંથી મેળવેલા બે સ્વતંત્ર મૂલ્યોના સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતની બરાબર આંકડાકીય પ્રસરણનું માપ છે. સંબંધિત આંકડાકીય સાપેક્ષ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત છે, જે અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા વિભાજિત સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત છે, અને ગિની ગુણાંકના બમણા બરાબર છે. સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતને નિરપેક્ષ સરેરાશ તફાવત (સરેરાશ હસ્તાક્ષરિત તફાવતની નિરપેક્ષ કિંમત સાથે ગેરસમજ ન થવી) અને ગિની સરેરાશ તફાવત (જી. એમ. ડી.) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતને કેટલીકવાર δ અથવા એમ. ડી. તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતને "સરેરાશ" અથવા "સરેરાશ" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ઔપચારિક રીતે અપેક્ષિત મૂલ્ય, બે રેન્ડમ ચલો X અને Y ના નિરપેક્ષ તફાવતને સ્વતંત્ર રીતે અને સમાન રીતે સમાન (અજ્ઞાત) વિતરણ સાથે વહેંચવામાં આવે છે જેને હવેથી Q કહેવામાં આવે છે. ગણતરી ખાસ કરીને, વિવિક્ત કિસ્સામાં, Q અનુસાર સમાનરૂપે વહેંચાયેલ વસ્તીના કદ n ના યાદૃચ્છિક નમૂના માટે, કુલ અપેક્ષા નિયમ દ્વારા (પ્રયોગમૂલક) એટલે નમૂના મૂલ્યોના ક્રમમાં નિરપેક્ષ તફાવત yi, i = 1 થી n ની ગણતરી તમામ સંભવિત તફાવતોના નિરપેક્ષ મૂલ્યના અંકગણિત સરેરાશ તરીકે કરી શકાય છેઃ જો Q પાસે વિવિક્ત સંભાવના વિધેય f (y) હોય, જ્યાં yi, i = 1 થી n, તો બિન-શૂન્ય સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો છેઃ સતત કિસ્સામાં, જો Q પાસે સંભાવના ઘનતા વિધેય f (x) હોય તો સમીકરણનું વૈકલ્પિક સ્વરૂપ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જો Q પાસે માત્રાત્મક વિધેય Q (F) સાથે સંચયી વિતરણ વિધેય F (x) હોય, તો પછી સાપેક્ષ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત ગિની ગુણાંકની બમણી બરાબર છે જે લોરેન્ઝ વળાંકની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સંબંધ સાપેક્ષ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત અને ગિની ગુણાંક બંનેને પૂરક પરિપ્રેક્ષ્યો આપે છે, જેમાં તેમના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની વૈકલ્પિક રીતો સામેલ છે. ગુણધર્મો સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત અનુવાદો અને નકારાત્મકતા માટે અપરિવર્તનીય છે, અને હકારાત્મક સ્કેલિંગના પ્રમાણમાં બદલાય છે. એટલે કે, જો X એ રેન્ડમ ચલ છે અને c એ અચળાંક છેઃ એમ. ડી. (X + c) = એમ. ડી. (X), એમ. ડી. (−X) = એમ. ડી. (X), અને એમ. ડી. (cX) = |c | એમ. ડી. (X). સાપેક્ષ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત હકારાત્મક સ્કેલિંગ માટે અપરિવર્તનીય છે, નકારાત્મકતા સાથે પરિવર્તિત થાય છે, અને મૂળ અને અનુવાદિત અંકગણિત માધ્યમોના ગુણોત્તરના પ્રમાણમાં અનુવાદ હેઠળ બદલાય છે. એટલે કે, જો X એ રેન્ડમ ચલ છે અને c એ અચળાંક છેઃ RMD (X + c) = RMD (X) · મીન (X)/(મીન (X) + c) = RMD (X)/(1 + c/મીન (X)) c ≤ મીન (X) માટે, RMD (−X) = − RMD (X), અને c> 0 માટે RMD (cX) = RMD (X). જો રેન્ડમ વેરિયેબલનો સરેરાશ હકારાત્મક હોય, તો તેનો સાપેક્ષ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર રહેશે. જો, વધુમાં, રેન્ડમ વેરિયેબલ માત્ર એવા મૂલ્યોને લઈ શકે છે જે શૂન્ય કરતા વધારે અથવા સમાન હોય, તો તેનો સાપેક્ષ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત 2 કરતા ઓછો હશે. પ્રમાણભૂત વિચલનની સરખામણીમાં સરેરાશ સંપૂર્ણ તફાવત એલ-સ્કેલ (બીજી એલ-ક્ષણ) કરતા બમણો છે, જ્યારે પ્રમાણભૂત વિચલન એ સરેરાશ (બીજી પરંપરાગત કેન્દ્રીય ક્ષણ) વિશેના તફાવતનો વર્ગમૂળ છે. એલ-ક્ષણો અને પરંપરાગત ક્ષણો વચ્ચેના તફાવતો સૌપ્રથમ સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત અને પ્રમાણભૂત વિચલન (પ્રથમ એલ-ક્ષણ અને પ્રથમ પરંપરાગત ક્ષણ બંને સરેરાશ છે) ની સરખામણીમાં જોવા મળે છે. પ્રમાણભૂત વિચલન અને સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત બંને માપન પ્રસરણ-વસ્તીના મૂલ્યો અથવા વિતરણની સંભાવનાઓ કેવી રીતે ફેલાય છે. સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતને કેન્દ્રીય વલણના ચોક્કસ માપના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો નથી, જ્યારે પ્રમાણભૂત વિચલનને અંકગણિત સરેરાશથી વિચલનના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કારણ કે પ્રમાણભૂત વિચલન તેના તફાવતોને ચોરસ કરે છે, તે સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતની તુલનામાં મોટા તફાવતોને વધુ વજન આપે છે અને નાના તફાવતોને ઓછું વજન આપે છે. જ્યારે અંકગણિત સરેરાશ મર્યાદિત હોય, ત્યારે સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવત પણ મર્યાદિત હશે, પછી ભલે પ્રમાણભૂત વિચલન અનંત હોય. કેટલીક ચોક્કસ સરખામણીઓ માટે ઉદાહરણો જુઓ. તાજેતરમાં રજૂ કરાયેલ અંતર પ્રમાણભૂત વિચલન સરેરાશ નિરપેક્ષ તફાવતની સમાન ભૂમિકા ભજવે છે પરંતુ અંતર પ્રમાણભૂત વિચલન કેન્દ્રિત અંતર સાથે કામ કરે છે. ઇ-સ્ટેટિસ્ટિક્સ પણ જુઓ. નમૂના અંદાજકો રેન્ડમ વેરિયેબલ X માંથી રેન્ડમ નમૂના S માટે, જેમાં n મૂલ્યો yi હોય છે, તે આંકડાશાસ્ત્ર એ એમ. ડી. (X) નું સુસંગત અને નિષ્પક્ષ અંદાજકાર છે. આંકડાકીયઃ આરએમડી (એક્સ) નો સુસંગત અંદાજ છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે નિષ્પક્ષ નથી. આરએમડી (એક્સ) માટે વિશ્વાસ અંતરાલોની ગણતરી બુટસ્ટ્રેપ સેમ્પલિંગ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. સામાન્ય રીતે, આરએમડી (એક્સ) માટે નિષ્પક્ષ અંદાજકાર અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે અંશતઃ સરેરાશના વ્યસ્ત દ્વારા ગુણાકાર માટે નિષ્પક્ષ અંદાજ શોધવામાં મુશ્કેલી પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં નમૂના અજ્ઞાત p માટે રેન્ડમ ચલ X (p) માંથી લેવામાં આવ્યા હોવાનું જાણીતું છે, અને તેમાં બર્નૌલી વિતરણ છે, જેથી અને, પછી. પરંતુ RMD (X (p)) ના કોઈપણ અંદાજકાર R (S) નું અપેક્ષિત મૂલ્ય આ સ્વરૂપનું હશેઃ જ્યાં r i અચળાંકો છે. તેથી E (R (S)) ક્યારેય 0 અને 1 વચ્ચેના તમામ p માટે RMD (X (p)) ની બરાબર ન હોઈ શકે. ઉદાહરણો κ એ બીટા કાર્ય છે આ પણ જુઓ મીન એબ્સોલ્યુટ એરર મીન ડેવિએશન એસ્ટિમેટર કોઇફિશિયન્ટ ઓફ વેરિએશન L-મોમેન્ટ સંદર્ભો સ્ત્રોતો આંકડાકીય વિચલન અને વિખેરણ સારાંશ આંકડાશાસ્ત્ર સંભાવના વિતરણનો સિદ્ધાંત સ્કેલ આંકડાશાસ્ત્ર અંતર