Quartic interaction
ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ક્વાર્ટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એ સ્કેલર ક્ષેત્રમાં સ્વ-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો એક પ્રકાર છે. અન્ય પ્રકારની ક્વાર્ટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ ચાર-ફર્મિઓન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના વિષય હેઠળ મળી શકે છે. શાસ્ત્રીય મુક્ત સ્કેલર ક્ષેત્ર ક્લેઈન-ગોર્ડન સમીકરણને સંતોષે છે. જો સ્કેલર ક્ષેત્ર સૂચવવામાં આવે, તો ક્વાર્ટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને લગ્રેન્જિયન ઘનતામાં સંભવિત ઊર્જા શબ્દ ઉમેરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. 4-પરિમાણીય અવકાશકાળમાં જોડાણ અચળાંક પરિમાણહીન હોય છે. આ લેખ મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા માટે મેટ્રિક સહીનો ઉપયોગ કરે છે. વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે લાગ્રેન્જિયન ક્વાર્ટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે લાગ્રેન્જિયન ઘનતા આ લાગ્રેન્જિયન વૈશ્વિક Z2 સમપ્રમાણતા મેપિંગ ધરાવે છે. જટિલ સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે લાગ્રેન્જિયન જટિલ સ્કેલર ક્ષેત્ર માટે લાગ્રેન્જિયનને નીચે પ્રમાણે પ્રેરિત કરી શકાય છે. બે સ્કેલર ક્ષેત્રો માટે અને લેગ્રેન્જિયનનું સ્વરૂપ છે જે આ જટિલ સ્કેલર ક્ષેત્રની દ્રષ્ટિએ અભિવ્યક્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત જટિલ સ્કેલર ક્ષેત્રની રજૂઆત કરીને વધુ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે, ઉપરોક્ત લેગ્રેન્જિયન બને છે જે આમ વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્રોના SO (2) મોડેલની સમકક્ષ છે, જે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોમાં જટિલ ક્ષેત્રને વિસ્તૃત કરીને જોઈ શકાય છે. વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્રો સાથે, આપણી પાસે લાગ્રેન્જિયન દ્વારા આપવામાં આવેલ વૈશ્વિક SO (N) સમપ્રમાણતા સાથેનું મોડેલ હોઈ શકે છે. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોમાં જટિલ ક્ષેત્રનું વિસ્તરણ દર્શાવે છે કે તે વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્રોના SO (2) મોડેલની સમકક્ષ છે. ઉપરના તમામ મોડેલોમાં, જોડાણ અચળાંક હકારાત્મક હોવો જોઈએ, કારણ કે અન્યથા સંભવિત નીચે અમર્યાદિત હશે, અને ત્યાં કોઈ સ્થિર શૂન્યાવકાશ નહીં હોય. ઉપરાંત, નીચે ચર્ચા કરાયેલ ફેનમેન પાથ ઇન્ટિગ્રલ ખોટી રીતે વ્યાખ્યાયિત હશે. 4 પરિમાણોમાં, સિદ્ધાંતોમાં લાન્દાઉ ધ્રુવ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે ઉચ્ચ-ઊર્જા સ્કેલ પર કટ-ઓફ વિના, રીનોર્મલાઇઝેશન સિદ્ધાંતને તુચ્છ બનાવશે. આ મોડેલ ગ્રિફિથ્સ-સિમોન વર્ગનું છે, જેનો અર્થ છે કે તેને ચોક્કસ પ્રકારના આલેખ પર ઇસિંગ મોડેલની નબળી મર્યાદા તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે. મોડેલ અને આઈસિંગ મોડેલ બંનેની તુચ્છતા રેન્ડમ કરંટ વિસ્તરણ તરીકે ઓળખાતી ગ્રાફિકલ રજૂઆત દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. ફેનમેન ઇન્ટિગ્રલ ક્વોન્ટાઇઝેશન ફેનમેન આકૃતિ વિસ્તરણ ફેનમેન પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલેશનમાંથી પણ મેળવી શકાય છે. φ માં બહુપદીઓના સમયબદ્ધ શૂન્યાવકાશ અપેક્ષા મૂલ્યો, જેને n-કણ ગ્રીનના કાર્યો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે તમામ સંભવિત ક્ષેત્રોને એકીકૃત કરીને બનાવવામાં આવે છે, જે કોઈ બાહ્ય ક્ષેત્રો વિના શૂન્યાવકાશ અપેક્ષા મૂલ્ય દ્વારા સામાન્યીકૃત થાય છે, આ બધા ગ્રીનના કાર્યો જનરેટિંગ ફંક્શનમાં J (x) φ (x) માં ઘાતાંકને વિસ્તૃત કરીને મેળવી શકાય છે. સહીને (+ + +) માં બદલવાથી પછી 4-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા પર φ4 આંકડાકીય મિકેનિક્સ અભિન્ન બને છે, સામાન્ય રીતે, આ નિશ્ચિત મોમેન્ટા સાથેના કણોના સ્કેટરિંગ પર લાગુ થાય છે, જે કિસ્સામાં, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ઉપયોગી છે, તેના બદલે ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શન ક્યાં છે તે આપે છે. આ કાર્યાત્મક સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરવાની પ્રમાણભૂત યુક્તિ એ છે કે તેને ઘાતાંકીય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે લખવું, યોજનાકીય રીતે, બીજા બે ઘાતાંકીય પરિબળોને શક્તિ શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને આ વિસ્તરણના સંયોજનને ગ્રાફિકલી રીતે રજૂ કરી શકાય છે. λ = 0 સાથેના ઇન્ટિગ્રલને અસંખ્ય પ્રાથમિક ગૌસીયન ઇન્ટિગ્રલ્સના ગુણાકાર તરીકે ગણી શકાય, અને પરિણામને ફેનમેન આકૃતિઓના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જેની ગણતરી નીચેના ફેનમેન નિયમોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છેઃ એન-પોઇન્ટ યુક્લિડિયન ગ્રીનના કાર્યમાં દરેક ક્ષેત્રને આલેખમાં બાહ્ય રેખા (અડધી ધાર) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, અને વેગ p સાથે સંકળાયેલ છે. દરેક શિરોબિંદુને પરિબળ-λ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. આપેલ ક્રમ λk પર, n બાહ્ય રેખાઓ અને k શિરોબિંદુઓ સાથેના તમામ આકૃતિઓ એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે દરેક શિરોબિંદુમાં વહેતો મોમેન્ટા શૂન્ય હોય. દરેક આંતરિક રેખા પરિબળ 1/(q2 + m2) દ્વારા રજૂ થાય છે, જ્યાં q એ તે રેખામાંથી વહેતી ગતિ છે. કોઈપણ અનિયંત્રિત મોમેન્ટા તમામ મૂલ્યો પર સંકલિત છે. પરિણામને સમપ્રમાણતા પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે ગ્રાફની રેખાઓ અને શિરોબિંદુઓને તેની કનેક્ટિવિટી બદલ્યા વિના ફરીથી ગોઠવી શકાય તેવી રીતોની સંખ્યા છે. "વેક્યૂમ પરપોટા" ધરાવતા આલેખ, કોઈ બાહ્ય રેખાઓ વગર જોડાયેલા સબગ્રાફ્સનો સમાવેશ કરશો નહીં. છેલ્લો નિયમ દ્વારા ભાગાકારની અસરને ધ્યાનમાં લે છે. મિન્કોવ્સ્કી-સ્પેસ ફેનમેનના નિયમો સમાન છે, સિવાય કે દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા રજૂ થાય છે, જ્યારે દરેક આંતરિક રેખા પરિબળ i/(q2-m2 + iε) દ્વારા રજૂ થાય છે, જ્યાં ε શબ્દ મિન્કોવ્સ્કી-સ્પેસ ગૌસીયન ઇન્ટિગ્રલ કન્વર્જ બનાવવા માટે જરૂરી નાના વિક પરિભ્રમણને રજૂ કરે છે. ફેનમેન આલેખમાં "લૂપ ઇન્ટિગ્રલ્સ" તરીકે ઓળખાતા અનિયંત્રિત મોમેન્ટા પરના ઇન્ટિગ્રલ્સ સામાન્ય રીતે અલગ પડે છે. આને સામાન્ય રીતે રીનોર્મલાઇઝેશન દ્વારા નિયંત્રિત કરવામાં આવે છે, જે લેગ્રેન્જિયનમાં અલગ અલગ પ્રતિ-શબ્દોને એવી રીતે ઉમેરવાની પ્રક્રિયા છે કે મૂળ લેગ્રેન્જિયન અને પ્રતિ-શબ્દોથી બનેલા આકૃતિઓ મર્યાદિત હોય. આ પ્રક્રિયામાં રીનોર્મલાઇઝેશન સ્કેલ રજૂ કરવું આવશ્યક છે, અને જોડાણ અચળાંક અને દળ તેના પર નિર્ભર બની જાય છે. તે આ નિર્ભરતા છે જે અગાઉ ઉલ્લેખિત લાન્દાઉ ધ્રુવ તરફ દોરી જાય છે, અને કટઓફને મર્યાદિત રાખવાની જરૂર છે. વૈકલ્પિક રીતે, જો કટઓફને અનંત સુધી જવાની મંજૂરી આપવામાં આવે, તો લાન્દાઉ ધ્રુવને ત્યારે જ ટાળી શકાય છે જ્યારે પુનરાવર્તિત જોડાણ શૂન્ય સુધી ચાલે, જે સિદ્ધાંતને તુચ્છ બનાવે છે. સ્વયંસ્ફુરિત સમપ્રમાણતા ભંગ એક રસપ્રદ લક્ષણ ત્યારે થઈ શકે છે જ્યારે m2 નકારાત્મક થાય, પરંતુ λ સાથે હજુ પણ સકારાત્મક હોય. આ કિસ્સામાં, શૂન્યાવકાશમાં બે સૌથી ઓછી-ઊર્જા અવસ્થાઓ હોય છે, જેમાંથી દરેક સ્વયંભૂ મૂળ સિદ્ધાંતની Z2 વૈશ્વિક સમપ્રમાણતાને તોડે છે. આ ક્ષેત્રની દિવાલો જેવી રસપ્રદ સામૂહિક સ્થિતિઓના દેખાવ તરફ દોરી જાય છે. ઓ (2) સિદ્ધાંતમાં, શૂન્યાવકાશ એક વર્તુળ પર હશે, અને એકની પસંદગી સ્વયંભૂ ઓ (2) સમપ્રમાણતાને તોડી નાખશે. સતત તૂટેલી સમપ્રમાણતા ગોલ્ડસ્ટોન બોસોન તરફ દોરી જાય છે. આ પ્રકારની સ્વયંસ્ફુરિત સમપ્રમાણતા તોડવી એ હિગ્સ પદ્ધતિનો આવશ્યક ઘટક છે. સ્વતંત્ર સમપ્રમાણતાનો સ્વયંસ્ફુરિત ભંગ સૌથી સરળ સાપેક્ષવાદી પ્રણાલી જેમાં આપણે સ્વયંસ્ફુરિત સમપ્રમાણતા ભંગ જોઈ શકીએ છીએ તે લેગ્રેન્જિયન સાથે એક જ સ્કેલર ક્ષેત્ર સાથે છે જ્યાં અને તરફ દોરી જાય છે તેના સંદર્ભમાં સંભવિતતાને ઘટાડીને આપણે હવે આ લઘુત્તમ લેખનની આસપાસ ક્ષેત્રને વિસ્તૃત કરીએ છીએ અને લેગ્રેન્જિયનમાં બદલીએ છીએ જ્યાં આપણે જોઈએ છીએ કે સ્કેલર હવે હકારાત્મક દળ પદ ધરાવે છે. શૂન્યાવકાશ અપેક્ષા મૂલ્યોની દ્રષ્ટિએ વિચારવાથી આપણે સમજી શકીએ છીએ કે જ્યારે સમપ્રમાણતા સ્વયંભૂ તૂટી જાય છે ત્યારે તેનું શું થાય છે. મૂળ લગ્રેન્જિયન સમપ્રમાણતા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હતું. બન્ને મિનિમા હોવાથી, ત્યાં બે અલગ-અલગ શૂન્યાવકાશ હોવા જોઈએઃ સમપ્રમાણતા લે છે, તેથી તે પણ લેવું જોઈએ. સિદ્ધાંત માટે બે સંભવિત શૂન્યાવકાશ સમકક્ષ છે, પરંતુ એક પસંદ કરવો પડશે. તેમ છતાં એવું લાગે છે કે નવા લેગ્રેન્જિયનમાં સમપ્રમાણતા અદૃશ્ય થઈ ગઈ છે, તે હજુ પણ ત્યાં છે, પરંતુ તે હવે તે રીતે કાર્ય કરે છે આ સ્વયંસ્ફુરિત રીતે તૂટેલી સમપ્રમાણતાનું સામાન્ય લક્ષણ છેઃ શૂન્યાવકાશ તેમને તોડે છે, પરંતુ તેઓ વાસ્તવમાં લેગ્રેન્જિયનમાં તૂટેલા નથી, માત્ર છુપાયેલા છે, અને ઘણીવાર માત્ર બિનરેખીય રીતે જ અનુભવાય છે. ચોક્કસ ઉકેલો એવા સ્વરૂપમાં લખાયેલા સિદ્ધાંતની ગતિના સમીકરણ માટે ચોક્કસ શાસ્ત્રીય ઉકેલોનો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે જે દળહીન માટે લખી શકાય છે, જેમ કે જેકોબી લંબગોળ કાર્ય અને બે એકીકરણ અચળાંકો સાથે, જો કે નીચેનો વિખેરણ સંબંધ ધરાવે છે. જ્યારે દળ પદ શૂન્ય ન હોય ત્યારે તે હવે પ્રસરણ સંબંધ બની જાય છે છે છેવટે, સમપ્રમાણતા તોડવાના કિસ્સામાં એક અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને નીચેનો પ્રસરણ સંબંધ ધરાવે છે આ તરંગ ઉકેલો રસપ્રદ છે કારણ કે, આપણે ખોટા દળ ચિહ્ન સાથે સમીકરણ સાથે શરૂઆત કરી હોવા છતાં, પ્રસરણ સંબંધ સાચો છે. આ ઉપરાંત, જેકોબી કાર્યમાં કોઈ વાસ્તવિક શૂન્ય નથી અને તેથી ક્ષેત્ર ક્યારેય શૂન્ય હોતું નથી પરંતુ આપેલ અચળ મૂલ્યની આસપાસ ફરે છે જે શરૂઆતમાં સમપ્રમાણતાના સ્વયંસ્ફુરિત ભંગાણનું વર્ણન કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો આપણે નોંધ લઈએ કે ઉકેલ અસ્તિત્વના સ્વરૂપમાં શોધી શકાય તો વિશિષ્ટતાનો પુરાવો આપી શકાય છે. પછી, આંશિક વિકલન સમીકરણ એક સામાન્ય વિકલન સમીકરણ બની જાય છે જે યોગ્ય પ્રસરણ સંબંધને સંતોષવા સાથે જેકોબી લંબગોળ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સ્કેલર ફિલ્ડ થિયરી ક્વોન્ટમ ટ્રિવિઅલિટી લેન્ડૌ પોલ રીનોર્મલાઇઝેશન હિગ્સ મિકેનિઝમ ગોલ્ડસ્ટોન બોસોન કોલમેન-વેઇનબર્ગ સંભવિત સંદર્ભો વધુ વાંચન 'ટી હૂફ્ટ, જી.,' ધ કન્સેપ્ચ્યુઅલ બેઝિસ ઓફ ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી '(ઓનલાઇન સંસ્કરણ) જુઓ. સ્પિન 0 સાથે ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સબટોમિક કણો