Nonlinear Schrödinger equation
સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, (એક-પરિમાણીય) બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ (એન. એલ. એસ. ઈ.) એ શ્રોડિંગર સમીકરણની બિનરેખીય વિવિધતા છે. તે એક શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સમીકરણ છે, જેની મુખ્ય એપ્લિકેશનો બિનરેખીય ઓપ્ટિકલ ફાઈબર્સ અને પ્લેનર વેવગાઇડ્સમાં પ્રકાશના પ્રસાર માટે અને સરેરાશ-ક્ષેત્ર શાસનમાં અત્યંત અનિસોટ્રોપિક, સિગાર આકારના ફાંસો સુધી મર્યાદિત બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ્સ માટે છે. વધુમાં, આ સમીકરણ ઊંડા અદ્રશ્ય (શૂન્ય-સ્નિગ્ધતા) પાણીની સપાટી પરના નાના-કંપનવિસ્તારના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોના અભ્યાસમાં જોવા મળે છે; ગરમ પ્લાઝમામાં લેંગમુઇર તરંગો; આયનોસ્ફિયરના કેન્દ્રિત પ્રદેશોમાં સમતલ-વિક્ષેપિત તરંગ કિરણોનો પ્રસાર; ડેવિડોવના આલ્ફા-હેલિક્સ સોલિટોનનો પ્રસાર, જે પરમાણુ સાંકળો સાથે ઊર્જા પરિવહન માટે જવાબદાર છે; અને અન્ય ઘણા. વધુ સામાન્ય રીતે, એન. એલ. એસ. ઇ. સાર્વત્રિક સમીકરણોમાંના એક તરીકે દેખાય છે જે નબળા બિનરેખીય માધ્યમોમાં અર્ધ-મોનોક્રોમેટિક તરંગોના ધીમે ધીમે બદલાતા પેકેટોના ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે. રેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણથી વિપરીત, એન. એલ. એસ. ઈ. ક્યારેય ક્વોન્ટમ સ્થિતિની સમય ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરતું નથી. 1ડી એન. એલ. એસ. ઇ. એક સંકલિત મોડેલનું ઉદાહરણ છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, 1ડી એનએલએસઈ એ શાસ્ત્રીય બિનરેખીય શ્રોડિન્જર ક્ષેત્રનો એક વિશેષ કેસ છે, જે બદલામાં ક્વોન્ટમ શ્રોડિન્જર ક્ષેત્રની શાસ્ત્રીય મર્યાદા છે. તેનાથી વિપરીત, જ્યારે શાસ્ત્રીય શ્રોડિન્જર ક્ષેત્રને પ્રમાણભૂત રીતે માપવામાં આવે છે, ત્યારે તે ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત બની જાય છે (જે રેખીય છે, એ હકીકત હોવા છતાં કે તેને 'ક્વોન્ટમ બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ' કહેવામાં આવે છે) જે ડેલ્ટા-કાર્ય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે બોસોનિક બિંદુ કણોને વર્ણવે છે-કણો કાં તો પીછેહઠ કરે છે અથવા જ્યારે તેઓ એક જ બિંદુ પર હોય ત્યારે આકર્ષિત કરે છે. હકીકતમાં, જ્યારે કણોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય છે, ત્યારે આ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત લિબ-લિનિગર મોડેલની સમકક્ષ હોય છે. ક્વોન્ટમ અને શાસ્ત્રીય 1D બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણો બંને સંકલિત છે. વિશેષ રસ અનંત શક્તિ પ્રતિકર્ષણની મર્યાદા છે, જે કિસ્સામાં લિબ-લિનિગર મોડેલ ટોન્ક્સ-ગિરાર્દો ગેસ (જેને હાર્ડ-કોર બોસ ગેસ અથવા અભેદ્ય બોસ ગેસ પણ કહેવાય છે) બની જાય છે. આ મર્યાદામાં, બોસન્સ, જોર્ડન-વિગ્નર પરિવર્તનનું સતત સામાન્યીકરણ એવા ચલોના પરિવર્તન દ્વારા, એક-પરિમાણીય બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ સ્પિનલેસ ફર્મિઓનમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ એ ગિન્ઝબર્ગ-લેન્ડાઉ સમીકરણનું સરળીકૃત 1 + 1-પરિમાણીય સ્વરૂપ છે, જે 1950માં સુપરકન્ડક્ટિવિટી પરના તેમના કાર્યમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, અને તેમના ઓપ્ટિકલ બીમના અભ્યાસમાં સ્પષ્ટ રીતે લખવામાં આવ્યું હતું. બહુ-પરિમાણીય સંસ્કરણ લેપલેસિયન દ્વારા બીજા અવકાશી વ્યુત્પન્નને બદલે છે. એક કરતાં વધુ પરિમાણોમાં, સમીકરણ સંકલિત નથી, તે પતન અને તરંગ અશાંતિ માટે પરવાનગી આપે છે. બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ એ બિનરેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે, જે શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સને લાગુ પડે છે. શાસ્ત્રીય સમીકરણ શાસ્ત્રીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ (પરિમાણહીન સ્વરૂપમાં) છેઃ જટિલ ક્ષેત્ર ± (x, t) માટે. આ સમીકરણ હેમિલ્ટોનિયનમાંથી પોઈસન કૌંસ સાથે ઉદ્દભવે છે તેના રેખીય પ્રતિરૂપથી વિપરીત, તે ક્યારેય ક્વોન્ટમ સ્થિતિની સમય ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરતું નથી. નકારાત્મક κ સાથેના કેસને ફોકસિંગ કહેવામાં આવે છે અને તે તેજસ્વી સોલિટોન ઉકેલો (અવકાશમાં સ્થાનિકકૃત, અને અનંત તરફ અવકાશી ક્ષીણતા ધરાવતા) તેમજ શ્વાસના ઉકેલો માટે પરવાનગી આપે છે. (નીચે જુઓ) દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે, ઇન્વર્સ સ્કેટરિંગ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને તેને બરાબર ઉકેલી શકાય છે. બીજો કેસ, κ પોઝિટિવ સાથે, ડિફોકસિંગ એન. એલ. એસ. છે જે ડાર્ક સોલિટોન સોલ્યુશન ધરાવે છે (અનંત પર સતત કંપનવિસ્તાર ધરાવે છે, અને કંપનવિસ્તારમાં સ્થાનિક અવકાશી ડૂબકી ધરાવે છે). ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ ક્વોન્ટાઇઝ્ડ વર્ઝન મેળવવા માટે, ફક્ત પોઇસન કૌંસને કોમ્યુટેટર દ્વારા અને સામાન્ય ક્રમમાં હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા બદલો ક્વોન્ટમ વર્ઝનને લિબ અને લિનિગર દ્વારા બેથે અન્સાત્ઝ દ્વારા હલ કરવામાં આવ્યું હતું. થર્મોડાયનેમિક્સનું વર્ણન ચેન-નિંગ યાંગ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. 1993માં કોરેપિન દ્વારા ક્વોન્ટમ સહસંબંધ કાર્યોનું પણ મૂલ્યાંકન કરવામાં આવ્યું હતું. આ મોડેલમાં ઉચ્ચ સંરક્ષણ કાયદાઓ છે-1989માં ડેવિસ અને કોરેપિને તેમને સ્થાનિક ક્ષેત્રોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કર્યા હતા. સમીકરણને ઉકેલવું બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ 1d માં સંકલિત કરી શકાય તેવું છેઃ તેને વ્યસ્ત સ્કેટરિંગ પરિવર્તન સાથે હલ કર્યું. સમીકરણોની અનુરૂપ રેખીય પ્રણાલીને જાખારોવ-શબાટ પ્રણાલી તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ જ્યાં ઝખારોવ-શબાટ પ્રણાલીની સુસંગતતા સ્થિતિ તરીકે બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ ઊભું થાય છેઃ q = r * અથવા q = − r * સુયોજિત કરીને આકર્ષક અથવા પ્રતિકૂળ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે. વૈકલ્પિક અભિગમ ઝખારોવ-શબાટ પ્રણાલીનો સીધો ઉપયોગ કરે છે અને નીચેના ડાર્બોક્સ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરે છેઃ જે પ્રણાલીને અપરિવર્તનીય બનાવે છે. અહીં, φ એ ઝખારોવ-શબાટ પ્રણાલીનું અન્ય ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન (φ થી અલગ) છે જે સ્પેક્ટ્રલ પરિમાણ ω સાથે છેઃ તુચ્છ સોલ્યુશન U = 0 થી શરૂ કરીને અને પુનરાવર્તન કરીને, n સોલિટોન સાથે સોલ્યુશન મેળવે છે. એન. એલ. એસ. સમીકરણ એ કુલ-પીટાએવ્સ્કી સમીકરણ જેવું આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે. સામાન્ય રીતે તેમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ હોતો નથી અને કુલ-પિટેવસ્કી સમીકરણને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી સમાન આંકડાકીય પદ્ધતિઓ, જેમ કે સ્પ્લિટ-સ્ટેપ ક્રેન્ક-નિકોલ્સન અને ફોરિયર સ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ તેના ઉકેલ માટે થાય છે. તેના ઉકેલ માટે વિવિધ ફોરટ્રાન અને સી કાર્યક્રમો છે. ગેલિલીયન અપરિવર્તન બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ નીચેના અર્થમાં ગેલિલીયન અપરિવર્તનશીલ છેઃ એક ઉકેલ આપવામાં આવે તો x ને x + vt સાથે બદલીને અને દરેક જગ્યાએ x (x, t) માં એક તબક્કા પરિબળને જોડીને એક નવો ઉકેલ મેળવી શકાય છેઃ ફાઇબર ઓપ્ટિક્સમાં બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ ઓપ્ટિક્સમાં, બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ મનકોવ સિસ્ટમમાં જોવા મળે છે, જે ફાઇબર ઓપ્ટિક્સમાં તરંગ પ્રસારનું એક મોડેલ છે. કાર્ય si એ તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ બિનરેખીય માધ્યમ દ્વારા તરંગના પ્રસારનું વર્ણન કરે છે. બીજા ક્રમના વ્યુત્પન્ન વિક્ષેપને રજૂ કરે છે, જ્યારે κ શબ્દ બિનરેખીયતાને રજૂ કરે છે. આ સમીકરણ ફાઇબરમાં ઘણી બિનરેખીય અસરોને રજૂ કરે છે, જેમાં સેલ્ફ-ફેઝ મોડ્યુલેશન, ફોર-વેવ મિક્સિંગ, સેકન્ડ-હાર્મોનિક જનરેશન, સ્ટિમ્યુલેટેડ રમન સ્કેટરિંગ, ઓપ્ટિકલ સોલિટોન, અલ્ટ્રાશોર્ટ પલ્સ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે પરંતુ તે મર્યાદિત નથી. પાણીના તરંગોમાં બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ પાણીના તરંગો માટે, બિનરેખીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ મોડ્યુલેટેડ તરંગ જૂથોના આવરણની ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે. 1968માં એક પેપરમાં, વ્લાદિમીર ઇ. જાખારોવ પાણીના મોજાઓના હેમિલ્ટોનિયન માળખાનું વર્ણન કરે છે. એ જ પેપરમાં જાખારોવ દર્શાવે છે કે, ધીમે ધીમે મોડ્યુલેટેડ તરંગ જૂથો માટે, તરંગ કંપનવિસ્તાર બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણને લગભગ સંતોષે છે. બિનરેખીય પરિમાણ k નું મૂલ્ય સાપેક્ષ પાણીની ઊંડાઈ પર આધારિત છે. ઊંડા પાણી માટે, પાણીના તરંગોની તરંગ લંબાઈની તુલનામાં પાણીની ઊંડાઈ મોટી હોવાથી, κ નકારાત્મક છે અને એન્વેલોપ સોલિટોન થઇ શકે છે. વધુમાં, આ પરબિડીયું સોલિટોનનો સમૂહ વેગ બાહ્ય સમય-આધારિત પાણીના પ્રવાહ દ્વારા પ્રેરિત પ્રવેગ દ્વારા વધારી શકાય છે. છીછરા પાણી માટે, પાણીની ઊંડાઈ કરતાં 4.6 ગણી લાંબી તરંગલંબાઇ સાથે, બિનરેખીય પરિમાણ k હકારાત્મક છે અને પરબિડીયું સોલિટોન સાથેના તરંગ જૂથો અસ્તિત્વમાં નથી. છીછરા પાણીની સપાટી-ઊંચાઈમાં સોલિટોન અથવા અનુવાદના તરંગો અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તેઓ બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ દ્વારા સંચાલિત નથી. બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણને દુષ્ટ તરંગોની રચનાને સમજાવવા માટે મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવે છે. બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણમાં દેખાય છે તેમ જટિલ ક્ષેત્ર, પાણીના તરંગોના કંપનવિસ્તાર અને તબક્કા સાથે સંબંધિત છે. પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ η સાથે ધીમે ધીમે મોડ્યુલેટેડ વાહક તરંગને ધ્યાનમાં લોઃ જ્યાં a (x0, t0) અને θ (x0, t0) ધીમે ધીમે મોડ્યુલેટેડ કંપનવિસ્તાર અને તબક્કો છે. વધુમાં ω0 અને k0 એ વાહક તરંગોની (અચળ) કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યા છે, જેણે પ્રસરણ સંબંધ ω0 = ω (k0) ને સંતોષવો પડે છે. તો તેનું મોડ્યુલસ |ψ | એ તરંગ કંપનવિસ્તાર a છે, અને તેની દલીલ આર્ગ (si) એ તબક્કો θ છે. ભૌતિક કોઓર્ડિનેટ્સ (x0, t0) અને (x, t) કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ, જેમ કે ઉપર આપેલા બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણમાં વપરાય છે, તે આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ આમ (x, t) એ વાહક તરંગોના જૂથ વેગ '(k0) સાથે આગળ વધતી રૂપાંતરિત સંકલન પ્રણાલી છે, વિક્ષેપ-સંબંધ વક્રતા' (k0)-જે જૂથ વેગ વિક્ષેપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે-તે હંમેશા ગુરુત્વાકર્ષણની ક્રિયા હેઠળ પાણીના તરંગો માટે, કોઈપણ પાણીની ઊંડાઈ માટે નકારાત્મક હોય છે. ઊંડા પાણીની પાણીની સપાટી પરના તરંગો માટે, બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ માટે મહત્વના ગુણાંક આ પ્રમાણે છેઃ તેથી જ્યાં g એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે. મૂળ (x0, t0) માં પાણીના તરંગો માટેનું બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ વાંચે છેઃ (એટલે કે. જટિલ સંયોજન) અને તેથી ઊંડા પાણીના તરંગો માટે. ગેજ સમકક્ષ પ્રતિરૂપ એન. એલ. એસ. ઇ. (1) એ નીચેના આઇસોટ્રોપિક લેન્ડૌ-લિફશિટ્ઝ સમીકરણ (એલ. એલ. ઇ.) અથવા હેઇસેનબર્ગ ફેરોમેગ્નેટ સમીકરણની સમકક્ષ ગેજ છે નોંધ લો કે આ સમીકરણ ઇશિમોરી સમીકરણ વગેરે જેવા 2 + 1 પરિમાણોમાં કેટલાક સંકલિત અને બિન-સંકલિત સામાન્યીકરણને સ્વીકારે છે. શૂન્ય-વળાંકની રચના એન. એલ. એસ. ઈ. એ શૂન્યની બરાબર હોવા પર ચોક્કસ-જોડાણની વળાંકની સમકક્ષ છે. સ્પષ્ટ રીતે, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે, જોડાણ ઘટકો પાઉલી મેટ્રિસીસ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછી શૂન્ય-વળાંકનું સમીકરણ એન. એલ. એસ. ઇ. ની સમકક્ષ છે. શૂન્ય-વળાંક સમીકરણને એવું નામ આપવામાં આવ્યું છે કારણ કે જો તેને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે શૂન્યની બરાબર વળાંકને અનુરૂપ છે. મેટ્રિસીસની જોડી અને એન. એલ. એસ. ઇ. માટે લક્ષ્મી જોડી તરીકે પણ ઓળખાય છે, એ અર્થમાં કે શૂન્ય-વળાંકનું સમીકરણ લક્ષ્મી સમીકરણને સંતોષવાને બદલે પીડીઈને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. વમળ સાથેના સંબંધે દર્શાવ્યું હતું કે વમળ તંતુઓ પરનું કાર્ય બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ત્યારબાદ, આ પત્રવ્યવહારનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કર્યો કે વમળ ફિલામેન્ટ માટે શ્વાસોચ્છવાસના ઉકેલો પણ ઉત્પન્ન થઈ શકે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં સંબંધિત મોડેલ માટે એકેએનએસ સિસ્ટમ એક્હૌસ સમીકરણ ક્વાર્ટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પણ જુઓ સોલિટોન (ઓપ્ટિક્સ) લઘુગણક શ્રોડિંગર સમીકરણ નોંધો સંદર્ભો નોંધો અન્ય બાહ્ય કડીઓ બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ (વિડિયો) પર ટ્યુટોરિયલ વ્યાખ્યાન. ઈક્યૂવર્લ્ડઃ ધ વર્લ્ડ ઓફ મેથેમેટિકલ ઇક્વેશન્સ ખાતે સમઘન બિનરેખીયતા સાથે બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણ. ઈક્યૂવર્લ્ડઃ ધ વર્લ્ડ ઓફ મેથેમેટિકલ ઇક્વેશન્સ ખાતે પાવર-લો નોનલિનીરિટી સાથે નોનલિનીયર શ્રોડિંગર સમીકરણ. ઇક્વવર્લ્ડ ખાતે સામાન્ય સ્વરૂપનું બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણઃ ધ વર્લ્ડ ઓફ મેથેમેટિકલ ઇક્વેશન. અવ્યવસ્થિત વિકિ પર બિનરેખીય શ્રોડિંગર સમીકરણના ગાણિતિક પાસાઓ આંશિક વિભેદક સમીકરણો બરાબર ઉકેલાય તેવા નમૂનાઓ શ્રોડિંગર સમીકરણ સંકલિત પ્રણાલીઓ