Bethe ansatz
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બેથ અન્સાત્ઝ એ ચોક્કસ ક્વોન્ટમ બહુવિધ-બોડી મોડેલોના ચોક્કસ તરંગ કાર્યો શોધવા માટે એક અન્સાત્ઝ છે, જે સામાન્ય રીતે એક-પરિમાણીય જાળી મોડેલો માટે હોય છે. તેનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ 1931માં હંસ બેથે દ્વારા એક-પરિમાણીય એન્ટીફેરોમેગ્નેટિક આઇસોટ્રોપિક (XXX) હેઇસેનબર્ગ મોડેલના ચોક્કસ આઈગનવેલ્યુઝ અને આઈગનવેક્ટર્સ શોધવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ત્યારથી આ પદ્ધતિ અન્ય સ્પિન સાંકળો અને આંકડાકીય જાળીના નમૂનાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે. તેમના મૃત્યુ સમયે રિચાર્ડ ફેનમેનના બ્લેકબોર્ડના "ટુ લર્ન" વિભાગમાં દર્શાવવામાં આવેલા વિષયોમાં "બેથે અન્સાત્ઝ પ્રોબ્લેમ્સ" એક હતું. ચર્ચા બહુવિધ-બોડી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના માળખામાં, બેથ અન્સાત્ઝ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા નમૂનાઓને મુક્ત ફર્મિઓન નમૂનાઓ સાથે વિપરિત કરી શકાય છે. કોઈ એવું કહી શકે છે કે મુક્ત મોડેલની ગતિશીલતા એક-બોડી રિડ્યુસિબલ છેઃ ફર્મિઓન (બોસોન) માટેનું બહુવિધ-બોડી તરંગ કાર્ય એ એક-બોડી તરંગ કાર્યોનું વિરોધી-સમમિત (સમપ્રમાણ) ઉત્પાદન છે. બેથ અન્સાત્ઝ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા નમૂનાઓ મુક્ત નથીઃ બે-બોડી સેક્ટરમાં બિન-તુચ્છ સ્કેટરિંગ મેટ્રિક્સ હોય છે, જે સામાન્ય રીતે મોમેન્ટા પર આધાર રાખે છે. બીજી બાજુ, બેથ અન્સાત્ઝ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા મોડેલોની ગતિશીલતા બે-બોડી રિડ્યુસિબલ છેઃ બહુવિધ-બોડી સ્કેટરિંગ મેટ્રિક્સ એ બે-બોડી સ્કેટરિંગ મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન છે. ઘણી-બોડી અથડામણ બે-બોડી અથડામણના ક્રમ તરીકે થાય છે અને ઘણી-બોડી તરંગ કાર્યને એવા સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે જેમાં બે-બોડી તરંગ કાર્યોના માત્ર તત્વો હોય છે. મલ્ટી-બોડી સ્કેટરિંગ મેટ્રિક્સ જોડી મુજબના સ્કેટરિંગ મેટ્રિક્સના ગુણાકાર બરાબર છે. મલ્ટી-બોડી વેવફંક્શન માટે (કોઓર્ડિનેટ) બેથ અન્સાત્ઝનું સામાન્ય સ્વરૂપ એ છે કે જેમાં કણોની સંખ્યા, તેમની સ્થિતિ, પૂર્ણાંકોના તમામ ક્રમચયોની સમૂહ છે, જે હકારાત્મક કે નકારાત્મક મૂલ્યો લેતા ક્રમચયોની સમાનતા છે,-th કણની (અર્ધ-) ગતિ છે, સ્કેટરિંગ ફેઝ શિફ્ટ ફંક્શન છે અને તે સાઇન ફંક્શન છે. આ સ્વરૂપ સાર્વત્રિક છે (ઓછામાં ઓછું બિન-માળખાગત પ્રણાલીઓ માટે), જેમાં વેગ અને સ્કેટરિંગ કાર્યો મોડેલ-આધારિત છે. યાંગ-બેક્સટર સમીકરણ બાંધકામની સુસંગતતાની બાંયધરી આપે છે. પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંત બેથે અન્સાત્ઝ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા નમૂનાઓ માટે માન્ય છે, ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા બોસોનના નમૂનાઓ માટે પણ. જમીનની સ્થિતિ એ ફર્મિ ગોળા છે. સામયિક સીમા શરતો બેથે અન્સાત્ઝ સમીકરણો અથવા ફક્ત બેથે સમીકરણો તરફ દોરી જાય છે. લઘુગણક સ્વરૂપમાં બેથે અન્સાત્ઝ સમીકરણો યાંગ ક્રિયા દ્વારા પેદા કરી શકાય છે. બેથ વેવ ફંક્શનના ધોરણનો વર્ગ યાંગ ક્રિયાના હેસિયનના નિર્ધારક જેટલો છે. નોંધપાત્ર સામાન્યીકરણ એ ક્વોન્ટમ ઇન્વર્સ સ્કેટરિંગ પદ્ધતિ અથવા બીજગણિત બેથ અન્સાત્ઝ છે, જે અંતર્ગત ઓપરેટર બીજગણિત માટે અન્સાત્ઝ આપે છે જેણે "બિનરેખીય ઉત્ક્રાંતિ સમીકરણોના વિશાળ વર્ગને ઉકેલવાની મંજૂરી આપી છે". કહેવાતા એસ-ડી મોડેલના ચોક્કસ ઉકેલો (પી. બી. 1980માં વીગમેન અને સ્વતંત્ર રીતે એન. એન્ડ્રેઈ દ્વારા, 1980માં પણ) અને એન્ડરસન મોડેલ (પી. બી. 1981માં વીગમેન અને 1981માં એન. કાવાકામી અને એ. ઓકીજી) બંને પણ બેથે અન્સાત્ઝ પર આધારિત છે. આ બે મોડેલોના બહુ-ચેનલ સામાન્યીકરણ પણ છે જે ચોક્કસ ઉકેલો (એન. એન્ડ્રેઈ અને સી. ડેસ્ટ્રી દ્વારા અને સી. જે. દ્વારા) માટે અનુકૂળ છે. બોલેચ અને એન. એન્ડ્રેઈ). તાજેતરમાં બેથે અન્સાત્ઝ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા કેટલાક નમૂનાઓ નક્કર સ્થિતિ અને ઓપ્ટિકલ જાળીમાં પ્રાયોગિક રીતે સાકાર થયા હતા. આ પ્રયોગોના સૈદ્ધાંતિક વર્ણનમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા જીન-સેબાસ્ટિયન કોક્સ અને એલેક્સી ત્સ્વેલિક દ્વારા ભજવવામાં આવી હતી. પરિભાષા એવી ઘણી સમાન પદ્ધતિઓ છે જે બેથે અન્સાત્ઝ બીજગણિત બેથે અન્સાત્ઝના નામ હેઠળ આવે છે. ક્વોન્ટમ ઇન્વર્સ સ્કેટરિંગ પદ્ધતિ એ બીજગણિત બેથે અન્સાત્ઝ દ્વારા ઉકેલની પદ્ધતિ છે, અને બંને વ્યવહારીક રીતે સમાનાર્થી છે. વિશ્લેષણાત્મક બેથે એન્સાત્ઝ કોઓર્ડિનેટ બેથે એન્સાત્ઝ ફંક્શનલ બેથે એન્સાત્ઝ નેસ્ટેડ બેથે એન્સાત્ઝ થર્મોડાયનેમિક બેથે એન્સાત્ઝ ઉદાહરણો હેઇસેનબર્ગ એન્ટીફેરોમેગ્નેટિક સાંકળ હેઇસેનબર્ગ એન્ટીફેરોમેગ્નેટિક સાંકળને હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (સામયિક સીમા શરતો ધારીને) આ મોડેલ (સંકલન) બેથે એન્સાત્ઝનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. સ્કેટરિંગ ફેઝ શિફ્ટ ફંક્શન એ છે, જેમાં વેગની દ્રષ્ટિએ વેગને સરળતાથી પુનઃપરિમિત કરવામાં આવ્યો છે (અહીં, સામયિક) સીમા શરતો બેથ સમીકરણો લાદવામાં આવે છે અથવા વધુ અનુકૂળ રીતે લઘુગણક સ્વરૂપમાં જ્યાં ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ સમ માટે અલગ અર્ધ-વિચિત્ર પૂર્ણાંકો હોય છે, વિષમ માટે પૂર્ણાંકો (વ્યાખ્યાયિત મોડ સાથે). લાગુ પડતી બેથે અન્સાત્ઝ એન્ડરસન અશુદ્ધિ મોડેલ ગૌડિન મોડેલ XXX અને XXZ હેઇસેનબર્ગ સ્પિન ચેઇનનો ઉપયોગ કરીને મનસ્વી સ્પિન હબ્બાર્ડ મોડેલ કોન્ડો મોડેલ લિબ-લિનિગર મોડેલ સિક્સ-વર્ટેક્સ મોડેલ અને એઇટ-વર્ટેક્સ મોડેલ (હેઇસેનબર્ગ સ્પિન ચેઇન દ્વારા) ક્રોનોલોજી 1928 નો ઉપયોગ કરીને નીચેની સિસ્ટમોનું સમાધાન કરી શકાય છેઃ વર્નર હેઇસેનબર્ગ તેના મોડેલને પ્રકાશિત કરે છે. 1930: ફેલિક્સ બ્લોચે વધુ પડતા સરળીકૃત અન્સાત્ઝની દરખાસ્ત કરી જે હેઇસેનબર્ગ સાંકળ માટે શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યાને ખોટી ગણાવે છે. 1931: હંસ બેથે સાચો જવાબ રજૂ કરે છે અને કાળજીપૂર્વક દર્શાવે છે કે તે યોગ્ય સંખ્યામાં આઈગનફંક્શન્સ આપે છે. 1938: હેઇસેનબર્ગ મોડેલની ચોક્કસ જમીન-સ્થિતિ ઊર્જા મેળવે છે. 1958: રેમન્ડ લી ઓર્બેચ એનિસોટ્રોપિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે હેઇસેનબર્ગ મોડેલને ઉકેલવા માટે બેથ અન્સાત્ઝનો ઉપયોગ કરે છે. 1962: જે. ડેસ ક્લોઇઝેક્સ અને જે. જે. પીયર્સન હેઇસેનબર્ગ એન્ટીફેરોમેગ્નેટ (સ્પિનોન વિખેરણ સંબંધ) નું સાચું વર્ણપટ મેળવે છે, જે દર્શાવે છે કે તે એન્ડરસનના સ્પિન-વેવ સિદ્ધાંતની આગાહીઓથી અલગ છે (અચળ પ્રિફેક્ટર અલગ છે). 1963: ઇલિયટ એચ. લિબ અને વર્નર લિનિગર 1 ડી δ-ફંક્શન ઇન્ટરેક્ટિંગ બોસ ગેસ (જે હવે લિબ-લિનિગર મોડેલ તરીકે ઓળખાય છે) નો ચોક્કસ ઉકેલ પૂરો પાડે છે. લીબ વર્ણપટનો અભ્યાસ કરે છે અને બે મૂળભૂત પ્રકારનાં ઉત્તેજનાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. 1964: રોબર્ટ બી. ગ્રિફિથ્સે શૂન્ય તાપમાન પર હેઇસેનબર્ગ મોડેલનું ચુંબકીયકરણ વળાંક મેળવ્યું. 1966: સી. એન. યાંગ અને સી. પી. યાંગ સખત રીતે સાબિત કરે છે કે હેઇસેનબર્ગ સાંકળની જમીનની સ્થિતિ બેથે અન્સાત્ઝ દ્વારા આપવામાં આવી છે. તેઓ અને માં ગુણધર્મો અને ઉપયોગોનો અભ્યાસ કરે છે. 1967: સી. એન. યાંગ લાઇબ અને લિનિગરના δ-ફંક્શનના સોલ્યુશનને સામાન્ય બનાવે છે જે બોસ ગેસને તરંગ કાર્યની મનસ્વી ક્રમચય સમપ્રમાણતામાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે, જે નેસ્ટેડ બેથે અન્સાત્ઝને જન્મ આપે છે. 1968: ઇલિયટ એચ. લિબ અને એફ. વાય. વુએ 1 ડી હૂબાર્ડ મોડેલને હલ કર્યું. 1969: સી. એન. યાંગ અને સી. પી. યાંગ લિબ-લિનિગર નમૂનાનું થર્મોડાયનેમિક્સ મેળવે છે, જે થર્મોડાયનેમિક બેથે અન્સાત્ઝ (TBA) નો આધાર પૂરો પાડે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ બેથે અન્સાત્ઝ મેગ્નેટિઝમનો પરિચય કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સ બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય નમૂનાઓ