Infinite-dimensional holomorphy
ગણિતમાં, અનંત-પરિમાણીય હોલોમોર્ફી એ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણની શાખા છે. તે વ્યાખ્યાયિત કાર્યોમાં હોલોમોર્ફિક કાર્યની વિભાવનાના સામાન્યીકરણ સાથે સંબંધિત છે અને જટિલ બનાચ જગ્યાઓ (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે ફ્રેચેટ જગ્યાઓ) માં મૂલ્યો લે છે, જે સામાન્ય રીતે અનંત પરિમાણના હોય છે. તે બિનરેખીય કાર્યાત્મક વિશ્લેષણનું એક પાસું છે. જટિલ સમતલમાં વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર-વેલ્યુડ હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સ હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સના સિદ્ધાંતને એક જટિલ પરિમાણથી આગળ વધારવાનું પ્રથમ પગલું કહેવાતા વેક્ટર-વેલ્યુડ હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સને ધ્યાનમાં લે છે, જે હજુ પણ જટિલ સમતલ C માં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ બનાચ અવકાશમાં મૂલ્યો લે છે. આવા કાર્યો મહત્વપૂર્ણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, બાઉન્ડેડ રેખીય ઓપરેટરો માટે હોલોમોર્ફિક ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસના નિર્માણમાં. વ્યાખ્યા. એક વિધેય f: U → X, જ્યાં U ′C એક ખુલ્લો સબસેટ છે અને X એક જટિલ બનાચ જગ્યા છે, તેને હોલોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે જો તે જટિલ-વિભેદક હોય; એટલે કે, દરેક બિંદુ z ωU માટે નીચેની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છેઃ એક વેક્ટર-મૂલ્યવાળા હોલોમોર્ફિક કાર્ય f: U → X ના રેખા અભિન્નને સુધારી શકાય તેવા વળાંક સાથે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે γ: [a, b] → U જટિલ-મૂલ્યવાળા હોલોમોર્ફિક કાર્યો માટે, ફોર્મની રકમની મર્યાદા તરીકે જ્યાં a = t0 <t1 <. <tn = b એ અંતરાલ [a, b] નો એક પેટાવિભાગ છે, કારણ કે પેટાવિભાગ અંતરાલોની લંબાઈ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે. તે એક ઝડપી તપાસ છે કે કોચી ઇન્ટિગ્રલ થીયરમ વેક્ટર-વેલ્યુડ હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સ માટે પણ ધરાવે છે. ખરેખર, જો f: U → X એ આવું વિધેય હોય અને T: X → C એ બંધાયેલ રેખીય વિધેય હોય, તો તે બતાવી શકાય છે. તેથી, γ માટે એક સરળ બંધ વળાંક કે જેનું આંતરિક ભાગ U માં સમાયેલ છે, ક્લાસિકલ કોચી ઇન્ટિગ્રલ થીયરમ દ્વારા જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ શૂન્ય છે. પછી, T મનસ્વી હોવાથી, તે હાન-બનાચ પ્રમેયને અનુસરે છે જે વેક્ટર-વેલ્યુડ કેસમાં કોચી ઇન્ટિગ્રલ પ્રમેયને સાબિત કરે છે. આ શક્તિશાળી સાધનનો ઉપયોગ કરીને કોઈ વ્યક્તિ પછી કોચીનું અભિન્ન સૂત્ર સાબિત કરી શકે છે, અને, શાસ્ત્રીય કેસની જેમ, કે કોઈપણ વેક્ટર-મૂલ્ય ધરાવતું હોલોમોર્ફિક કાર્ય વિશ્લેષણાત્મક છે. f: U → X વિધેયને હોલોમોર્ફિક હોવા માટે ઉપયોગી માપદંડ એ છે કે T o f: U → C એ દરેક સતત રેખીય કાર્યાત્મક T: X → C માટે હોલોમોર્ફિક જટિલ-મૂલ્યનું વિધેય છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે ફ્રેચેટ અવકાશમાં મૂલ્યો સાથે જટિલ સમતલના ખુલ્લા સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય હોલોમોર્ફિક છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ, જો તે નબળું હોલોમોર્ફિક હોય. બનાચ જગ્યાઓ વચ્ચે હોલોમોર્ફિક કાર્યો વધુ સામાન્ય રીતે, બે જટિલ બનાચ જગ્યાઓ X અને Y અને એક ખુલ્લો સમૂહ URX આપવામાં આવે તો, f: U → Y ને હોલોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે જો f નું ફ્રેચેટ વ્યુત્પન્ન U માં દરેક બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં હોય. કોઈ બતાવી શકે છે કે, આ વધુ સામાન્ય સંદર્ભમાં, તે હજુ પણ સાચું છે કે હોલોમોર્ફિક કાર્ય વિશ્લેષણાત્મક છે, એટલે કે, તેને પાવર શ્રેણીમાં સ્થાનિક રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. જો કે તે હવે સાચું નથી કે જો કોઈ કાર્યને બોલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને હોલોમોર્ફિક હોય, તો બોલની મધ્યની આસપાસ તેની શક્તિ શ્રેણી સમગ્ર બોલમાં કન્વર્જન્ટ હોય છે; ઉદાહરણ તરીકે, સમગ્ર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત હોલોમોર્ફિક કાર્યો અસ્તિત્વમાં છે જે કન્વર્જન્સની મર્યાદિત ત્રિજ્યા ધરાવે છે. ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યાઓ વચ્ચે હોલોમોર્ફિક કાર્યો સામાન્ય રીતે, બે જટિલ ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યાઓ X અને Y અને એક ખુલ્લો સમૂહ U X આપવામાં આવે છે, f: U → Y કાર્યના હોલોમોર્ફીને વ્યાખ્યાયિત કરવાની વિવિધ રીતો છે. મર્યાદિત પરિમાણીય સેટિંગથી વિપરીત, જ્યારે X અને Y અનંત પરિમાણીય હોય, ત્યારે હોલોમોર્ફિક વિધેયોના ગુણધર્મો કઈ વ્યાખ્યા પસંદ કરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે. શક્યતાઓની સંખ્યાને મર્યાદિત કરવા માટે આપણે ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ, આપણે ફક્ત ત્યારે જ હોલોમોર્ફીની ચર્ચા કરીશું જ્યારે X અને Y સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ હોય. આ વિભાગ વ્યાખ્યાઓની યાદી રજૂ કરે છે, જે સૌથી નબળી કલ્પનાથી સૌથી મજબૂત કલ્પના તરફ આગળ વધે છે. જ્યારે જગ્યાઓ X અને Y કેટલીક વધારાની મર્યાદાઓને સંતોષે છે ત્યારે તે આ વ્યાખ્યાઓને લગતા કેટલાક પ્રમેયોની ચર્ચા સાથે સમાપ્ત થાય છે. ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફી એ નબળા હોલોમોર્ફીનું સંપૂર્ણ અનંત પરિમાણીય સેટિંગમાં સીધું સામાન્યીકરણ છે. ધારો કે X અને Y સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ટોપોલોજીકલ વેક્ટર જગ્યાઓ છે, અને U X એક ખુલ્લો સમૂહ છે. એક વિધેય f: U → Y ને Gâteaux હોલોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે જો, દરેક a ω U અને b ω X માટે, અને દરેક સતત રેખીય કાર્ય φ: Y → C માટે, કાર્ય એ મૂળના પડોશમાં z નું હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે. ગેટૉક્સ હોલોમોર્ફિક કાર્યોનો સંગ્રહ HG (U, Y) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફિક કાર્યોના વિશ્લેષણમાં, મર્યાદિત-પરિમાણીય હોલોમોર્ફિક કાર્યોના કોઈપણ ગુણધર્મો X ની મર્યાદિત-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓ પર રહે છે. જો કે, કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં હંમેશની જેમ, આ ગુણધર્મો સંપૂર્ણ ખુલ્લા સમૂહો પર આ કાર્યોના કોઈપણ અનુરૂપ ગુણધર્મો મેળવવા માટે એકસરખા રીતે ભેગા ન થઈ શકે. ઉદાહરણો જો f ω U હોય, તો f પાસે તમામ ઓર્ડરના ગેટવેક્સ ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે, કારણ કે x ω U અને h1,., hk ω X માટે, k-th ઓર્ડર ગેટવેક્સ ડેરિવેટિવ્ઝ Dkf (x) {h1,., hk} માં ફક્ત હાયના ગાળામાં પુનરાવર્તિત દિશાત્મક ડેરિવેટિવ્ઝનો સમાવેશ થાય છે, જે એક મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યા છે. આ કિસ્સામાં, પુનરાવર્તિત ગેટવેક્સ વ્યુત્પન્ન ઉચ્ચમાં બહુપરીમાણીય હોય છે, પરંતુ સમગ્ર જગ્યા X પર ગણવામાં આવે ત્યારે સામાન્ય રીતે સતત રહેવામાં નિષ્ફળ જશે. વધુમાં, ટેલરના પ્રમેયની એક આવૃત્તિ આ પ્રમાણે છેઃ અહીં, બહુરેખીય સંચાલક Dnf (x) સાથે સંકળાયેલ yમાં n ડિગ્રીની સજાતીય બહુપદી છે. આ શ્રેણીનું અભિસરણ એકસમાન નથી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, જો V′X એક નિશ્ચિત મર્યાદિત-પરિમાણીય સબસ્પેસ હોય, તો શ્રેણી 0 ωY ના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના કોમ્પેક્ટ પડોશીઓ પર સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. જો કે, જો સબસ્પેસ V ને બદલવાની મંજૂરી આપવામાં આવે, તો કન્વર્જન્સ નિષ્ફળ જાય છેઃ તે સામાન્ય રીતે આ ભિન્નતાના સંદર્ભમાં એકસમાન બનવામાં નિષ્ફળ જશે. નોંધ લો કે આ મર્યાદિત પરિમાણીય કેસથી એકદમ વિપરીત છે. હાર્ટોગનો પ્રમેય ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફિક વિધેયો માટે નીચેના અર્થમાં ધરાવે છેઃ જો f: (U. X1) × (V. X2) → Y એ એક એવું વિધેય છે જે તેની દરેક દલીલમાં અલગથી ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફિક હોય, તો f એ ઉત્પાદન જગ્યા પર ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફિક છે. હાયપોએનાલિટિસિટી એ ફંક્શન f: (U ± X) → Y એ હાયપોએનાલિટિક છે જો f ± HG (U, Y) અને વધુમાં f એ U ના પ્રમાણમાં સઘન ઉપગણ પર સતત હોય. હોલોમોર્ફી એ ફંક્શન f ± HG (U, Y) હોલોમોર્ફિક છે જો, દરેક x ± U માટે, ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ (જે પહેલેથી જ ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફી દ્વારા અસ્તિત્વમાં હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે) એકરૂપ થાય છે અને 0 ± X ના પડોશમાં y માટે સતત હોય છે. આમ હોલોમોર્ફી નબળા હોલોમોર્ફીની કલ્પનાને શક્તિ શ્રેણીના વિસ્તરણના અભિસરણ સાથે જોડે છે. હોલોમોર્ફિક કાર્યોનો સંગ્રહ H (U, Y) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ હોલોમોર્ફી એ કાર્ય f: (U ઱્હો X) → Y ને સ્થાનિક રીતે બંધાયેલ હોવાનું કહેવાય છે જો U ના દરેક બિંદુ પાસે પડોશી હોય જેની છબી f હેઠળ Y માં બંધાયેલ હોય. જો, વધુમાં, f એ U પર ગેટવેક્સ હોલોમોર્ફિક છે, તો પછી f સ્થાનિક રીતે બાઉન્ડેડ હોલોમોર્ફિક છે. આ કિસ્સામાં, આપણે f bul HLB (U, Y) લખીએ છીએ. સંદર્ભો રિચાર્ડ વી. કેડિસન, જ્હોન આર. રિંગરોઝ, ફંડામેન્ટલ્સ ઓફ ધ થિયરી ઓફ ઓપરેટર આલ્જેબ્રાસ, વોલ્યુમ. 1: પ્રાથમિક સિદ્ધાંત. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, 1997. (સેક્ટ જુઓ. 3. 3.) સૂ બોંગ ચાએ, હોલોમોર્ફી એન્ડ કેલ્ક્યુલસ ઇન નોર્મ્ડ સ્પેસ, માર્સેલ ડેકર, 1985. લોરેન્સ એ. હેરિસ, અનંત પરિમાણીય હોલોમોર્ફિક કાર્યો માટે નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેયો (તારીખ વગરના). બનાચ જગ્યાઓ