Schwarzian derivative
ગણિતમાં, શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન એ વ્યુત્પન્ન જેવું જ ઓપરેટર છે જે મોબિયસ પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. આમ, તે જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક રેખાના સિદ્ધાંતમાં અને ખાસ કરીને, મોડ્યુલર સ્વરૂપો અને હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. તે અવિભાજ્ય કાર્યો, કન્ફોર્મલ મેપિંગ અને ટેકમુલર સ્પેસના સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. તેનું નામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી હર્મન શ્વાર્ઝના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા એક જટિલ ચલના હોલોમોર્ફિક વિધેયના શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નને આ જ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એક વાસ્તવિક ચલના વિધેયના શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નને પણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વૈકલ્પિક સંકેતનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. ગુણધર્મો કોઈપણ મોબિયસ પરિવર્તનનું શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. તેનાથી વિપરીત, મોબિયસ પરિવર્તન આ ગુણધર્મ સાથેના એકમાત્ર કાર્યો છે. આમ, શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન ચોક્કસપણે તે માત્રાને માપે છે કે જેમાં કાર્ય મોબિયસ પરિવર્તન બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે. જો મોબિયસ પરિવર્તન હોય, તો રચના સમાન શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે; અને બીજી બાજુ, શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ પૂરતા પ્રમાણમાં વિકલનક્ષમ કાર્યો માટે અને ક્યારે અને ક્યારે સરળ વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યો છે, આ સૂચવે છે કે નકારાત્મક (અથવા હકારાત્મક) શ્વાર્ઝિયન સાથેના કાર્યની તમામ પુનરાવર્તનો નકારાત્મક (રેસ્પ) રહેશે. હકારાત્મક), એક-પરિમાણીય ગતિશીલતાના અભ્યાસમાં ઉપયોગની હકીકત. બે જટિલ ચલોના કાર્યનો પરિચય આપતા તેનું બીજું મિશ્ર આંશિક વ્યુત્પન્ન આના દ્વારા આપવામાં આવે છે અને શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન એક સરળ વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર ધરાવે છે, જે આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ચલોનું વિનિમય કરે છે. એક પાસે અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, છે. આ ઉપરના સાંકળ નિયમને અનુસરે છે. ભૌમિતિક અર્થઘટન વિલિયમ થર્સ્ટન શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નનું અર્થઘટન મોબિયસ પરિવર્તનથી અનુરૂપ નકશો કેટલો વિચલિત થાય છે તેના માપ તરીકે કરે છે. પછી ત્યાં એક અનન્ય મોબિયસ પરિવર્તન અસ્તિત્વમાં છે જેમાં સમાન 0,1,2-મા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે હવે તેના માટે સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલવા માટે ચાલો અને ઉકેલવા માટેના કેસને ઉકેલવા માટે પૂરતું છે જે પ્રથમ ત્રણ ગુણાંકને ચોથા ગુણાંકમાં પ્લગ કરવા સમાન બનાવે છે, આપણને મળે છે. જટિલ સમતલના અનુવાદ, પરિભ્રમણ અને સ્કેલિંગ પછી, શૂન્યના પડોશમાં. ત્રીજા ક્રમ સુધી આ કાર્ય ત્રિજ્યાના વર્તુળને પેરામેટ્રિક વળાંક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યાં આ વળાંક છે, ચોથા ક્રમ સુધી, અર્ધ-અક્ષો સાથેનું લંબગોળ અને જેમ કે મોબિયસ પરિવર્તન હંમેશા વર્તુળોને વર્તુળો અથવા રેખાઓમાં મેપ કરે છે, તેથી વિષમતા મોબિયસ પરિવર્તનથી વિચલનને માપે છે. વિભેદક સમીકરણ રેખીય બીજા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો જ્યાં તે વાસ્તવિક પરિમાણનું વાસ્તવિક મૂલ્યનું કાર્ય છે. ચાલો ઉકેલોની દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા દર્શાવીએ. કારણ કે, ચાલો મૂલ્યાંકન કાર્યાત્મક હોય. નકશો ડોમેનના દરેક બિંદુ માટે, એક-પરિમાણીય રેખીય સબસ્પેસ આપે છે. એટલે કે, કર્નલ વાસ્તવિક રેખાથી વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ રેખા સુધીના મેપિંગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ નકશાનું શ્વાર્ઝિયન સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, અને હકીકતમાં તે સમાન છે. શ્વાર્ઝિયનના આ અર્થઘટનને કારણે, જો સામાન્ય ખુલ્લા અંતરાલના બે ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સમાં સમાન શ્વાર્ઝિયન હોય, તો તેઓ (સ્થાનિક રીતે) સમાન વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા પર કામ કરતા સામાન્ય રેખીય જૂથના તત્વ દ્વારા સંબંધિત છે, એટલે કે, તેનું અપૂર્ણાંક રેખીય પરિવર્તન. વૈકલ્પિક રીતે, જટિલ સમતલમાં બીજા ક્રમના રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો અને બે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોલોમોર્ફિક ઉકેલો બનો. પછી ગુણોત્તર તે ક્ષેત્રને સંતોષે છે જેના પર અને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને ઊલટું પણ સાચું છેઃ જો આવું અસ્તિત્વમાં હોય, અને તે સરળ રીતે જોડાયેલા ક્ષેત્ર પર હોલોમોર્ફિક હોય, તો પછી બે ઉકેલો અને શોધી શકાય છે, અને વધુમાં, આ એક સામાન્ય સ્કેલ પરિબળ સુધી અનન્ય છે. જ્યારે રેખીય બીજા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ઉપરોક્ત સ્વરૂપમાં લાવી શકાય છે, ત્યારે પરિણામી સમીકરણને કેટલીકવાર સમીકરણનું Q-મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે. નોંધ લો કે ગૌસીયન હાયપરજિયોમેટ્રિક વિભેદક સમીકરણને ઉપરોક્ત સ્વરૂપમાં લાવી શકાય છે, અને આમ હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણના ઉકેલોની જોડી આ રીતે સંબંધિત છે. સમાનતા માટેની શરતો જો એકમ ડિસ્ક પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય હોય, તો ડબલ્યુ. ક્રોસ (1932) અને નેહરી (1949) એ સાબિત કર્યું કે અવિભાજ્ય હોવા માટે જરૂરી શરત છે તેનાથી વિપરીત જો સંતોષ પર હોલોમોર્ફિક કાર્ય હોય તો નેહરીએ સાબિત કર્યું કે તે અવિભાજ્ય છે. ખાસ કરીને એકરૂપતા માટે પૂરતી શરત ગોળાકાર ચાપ બહુકોણોનું અનૌપચારિક મેપિંગ છે શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન અને સંકળાયેલ બીજા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ ઉપલા અર્ધ-સમતલ અથવા એકમ વર્તુળ અને જટિલ સમતલમાં કોઈપણ બંધાયેલા બહુકોણ વચ્ચે રીમાન મેપિંગ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે, જેની ધાર ગોળાકાર ચાપ અથવા સીધી રેખાઓ હોય છે. સીધી ધારવાળા બહુકોણ માટે, આ શ્વાર્ઝ-ક્રિસ્ટોફેલ મેપિંગમાં ઘટાડો કરે છે, જે શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કર્યા વિના સીધા જ મેળવી શકાય છે. સંકલનના અચળાંકો તરીકે ઉદ્ભવતા સહાયક પરિમાણો બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણના આઈગન મૂલ્યો સાથે સંબંધિત છે. પહેલેથી જ 1890 માં ફેલિક્સ ક્લેઇને લેમે વિભેદક સમીકરણની દ્રષ્ટિએ ચતુર્ભુજના કેસનો અભ્યાસ કર્યો હતો. ચાલો ઘડિયાળની દિશામાં ખૂણાઓ સાથે ગોળાકાર ચાપ બહુકોણ હોઈએ. ચાલો એક હોલોમોર્ફિક નકશો બનીએ જે સતત સીમાઓ વચ્ચેના નકશા સુધી વિસ્તરે છે. શિરોબિંદુઓને વાસ્તવિક અક્ષ પરના બિંદુઓને અનુરૂપ થવા દો. પછી વાસ્તવિક માટે વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન છે અને એક બિંદુ નહીં. શ્વાર્ઝ પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત જટિલ સમતલ પર બે ધ્રુવ સાથે તર્કસંગત કાર્ય સુધી વિસ્તરે છેઃ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને સહાયક પરિમાણો કહેવામાં આવે છે. તેઓ ત્રણ રેખીય અવરોધોને આધિન છેઃ જે ગુણાંકના લુપ્ત થવા અને આસપાસના વિસ્તરણને અનુરૂપ છે. મેપિંગ પછી લખી શકાય છે કે જ્યાં અને તે રેખીય બીજા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોલોમોર્ફિક ઉકેલો છે ત્યાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સહાયક પરિમાણો છે, જે વ્યવહારમાં નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. ત્રિકોણ માટે, જ્યારે, ત્યાં કોઈ સહાયક પરિમાણો નથી. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ હાયપરજિયોમેટ્રિક વિભેદક સમીકરણની સમકક્ષ છે અને તે શ્વાર્ઝ ત્રિકોણ કાર્ય છે, જેને હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ લખી શકાય છે. ચતુર્ભુજ માટે સહાયક પરિમાણો એક સ્વતંત્ર ચલ પર આધાર રાખે છે. યોગ્ય પસંદગી માટે લખતા, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છે આમ અંતરાલ પર સ્ટર્મ-લિઉવિલે સમીકરણના આઈગનફંક્શન્સ છે. સ્ટર્મ સેપરેશન થીયરમ અનુસાર, બળોનું લુપ્ત ન થવું એ સૌથી ઓછું આઈગન વેલ્યુ છે. ટેકમુલર જગ્યા પર જટિલ માળખું યુનિવર્સલ ટેકમુલર જગ્યાને એકમ ડિસ્કના વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક અર્ધ-સમતલ મેપિંગની જગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અથવા તેની સમકક્ષ ઉપલા અર્ધ-સમતલ, બે મેપિંગ્સ સાથે સમકક્ષ માનવામાં આવે છે જો સીમા પર એક અન્યમાંથી રચના દ્વારા મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. રીમાન ગોળાના નીચલા ગોળાર્ધ સાથે ઓળખતા, નીચલા ગોળાર્ધનો કોઈપણ અર્ધ-ઔપચારિક સ્વ-નકશો કુદરતી રીતે ઉપરના ગોળાર્ધના અનુરૂપ નકશાને અનુરૂપ છે. હકીકતમાં તે બેલ્ટ્રામી વિભેદક સમીકરણના ઉકેલના ઉપલા ગોળાર્ધમાં પ્રતિબંધ તરીકે નક્કી કરવામાં આવે છે જ્યાં μ એ નીચલા ગોળાર્ધમાં વ્યાખ્યાયિત બંધાયેલ માપી શકાય તેવું કાર્ય છે, જે ઉપલા ગોળાર્ધમાં 0 સુધી વિસ્તૃત છે. ઉપલા ગોળાર્ધને ઓળખવા માટે, લિપમેન બર્સે એક નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જે સાર્વત્રિક ટેચમુલર જગ્યાને એકસમાન ધોરણ સાથે બંધાયેલા હોલોમોર્ફિક કાર્યોના જગ્યાના ખુલ્લા સબસેટમાં સમાવે છે. ફ્રેડરિક ગેહરીંગે 1977માં દર્શાવ્યું હતું કે તે એકરૂપ કાર્યોના શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નના બંધ ઉપગણનું આંતરિક છે. 1 કરતા મોટી જીનસની સઘન રીમાન સપાટી માટે, તેની સાર્વત્રિક આવરણ જગ્યા એ એકમ ડિસ્ક છે જેના પર તેનું મૂળભૂત જૂથ મોબિયસ પરિવર્તન દ્વારા કાર્ય કરે છે. ની ટેઇચમુલર જગ્યાને નીચે સાર્વત્રિક ટેઇચમુલર જગ્યા અપરિવર્તનશીલની પેટા જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. હોલોમોર્ફિક વિધેયોમાં તે ગુણધર્મ હોય છે જે નીચે અપરિવર્તનશીલ હોય છે, તેથી તેના પર દ્વિઘાત તફાવતો નક્કી કરો. આ રીતે, ટેચમુલર જગ્યા પર દ્વિઘાત તફાવતોની મર્યાદિત-પરિમાણીય જટિલ વેક્ટર જગ્યાના ખુલ્લા પેટા જગ્યા તરીકે અનુભવાય છે. વર્તુળ ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમનું ડિફિયોમોર્ફિઝમ જૂથ પરિવર્તન ગુણધર્મ શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નને વર્તુળ પર ડિગ્રી 2 ની ઘનતાના મોડ્યુલમાં ગુણાંક સાથે વર્તુળના ડિફિયોમોર્ફિઝમ જૂથના સતત 1-ચક્ર અથવા ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ તરીકે અર્થઘટન કરવાની મંજૂરી આપે છે. ચાલો ડિગ્રીની ટેન્સર ઘનતાની જગ્યા હોઈએ. ઓરિએન્ટેશન-પ્રિઝર્વિંગ ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ, પુશફોરવર્ડ્સ દ્વારા કાર્ય કરે છે. જો તે એક તત્વ છે, તો પછી મેપિંગને ધ્યાનમાં લો ગ્રુપ કોહોમોલોજીની ભાષામાં ઉપરનો સાંકળ જેવો નિયમ કહે છે કે આ મેપિંગ ગુણાંક સાથે 1-ચક્ર છે. હકીકતમાં અને કોહોમોલોજી ઉત્પન્ન કરતું 1-ચક્ર છે. 1-આલ્કોહોલોજીની ગણતરી એ વધુ સામાન્ય પરિણામનો ચોક્કસ કેસ છે નોંધ લો કે જો એક જૂથ અને એક-મોડ્યુલ હોય, તો પછી અંદરના ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરતી ઓળખને જૂથોના પ્રમાણભૂત હોમોમોર્ફિઝમ્સની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ તે અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદનમાં હોમોમોર્ફિઝમમાં એન્કોડ કરવામાં આવે છે જેમ કે પ્રક્ષેપણ સાથેની રચના એ ઓળખ નકશો છે; પત્રવ્યવહાર નકશા દ્વારા થાય છે. ક્રોસ કરેલ હોમોમોર્ફિઝમ્સ વેક્ટર સ્પેસ બનાવે છે અને સબસ્પેસ તરીકે કોબાઉન્ડરી ક્રોસ કરેલ હોમોમોર્ફિઝમ્સ ધરાવે છે. એક સરળ સરેરાશ દલીલ દર્શાવે છે કે, જો એક કોમ્પેક્ટ ગ્રુપ અને ટોપોલોજિકલ વેક્ટર સ્પેસ હોય જેના પર K સતત કાર્ય કરે છે, તો ઉચ્ચ કોહોમોલોજી જૂથો માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ખાસ કરીને સરેરાશ સાથે 1-કોષો χ માટે, હાર માપના ડાબા અપરિવર્તનશીલનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ સાથે આપે છે આમ સરેરાશ દ્વારા એવું માની શકાય છે કે તે અંદરની સામાન્ય સ્થિતિને સંતોષે છે. નોંધ લો કે જો કોઈપણ તત્વ સંતુષ્ટ થાય તો. પરંતુ પછી, ત્યારથી એક હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેથી તે સમતુલ્ય સ્થિતિને સંતોષે છે. આમ એવું માની શકાય છે કે કોસાઈકલ આ સામાન્યકરણની શરતોને સંતોષે છે. જ્યારે પણ મોબિયસ પરિવર્તનને અનુરૂપ હોય ત્યારે શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન હકીકતમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે. નીચે ચર્ચા કરાયેલા અન્ય બે 1-ચક્ર માત્ર પછી જ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આ પરિણામનું એક અનંત સંસ્કરણ છે જે સરળ વેક્ટર ક્ષેત્રોના લાઈ બીજગણિત માટે 1-ચક્ર આપે છે, અને તેથી વિટ બીજગણિત માટે, ત્રિકોણમિતીય બહુપદી વેક્ટર ક્ષેત્રોનું ઉપ-બીજગણિત. ખરેખર, જ્યારે લાઈ જૂથ હોય અને ઓનની ક્રિયા સરળ હોય, ત્યારે લાઈ આલ્જેબ્રા (ઓળખ પર હોમોમોર્ફિઝમ્સના વ્યુત્પન્ન) ના અનુરૂપ હોમોમોર્ફિઝમ્સને લઈને ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમનું લાઈ બીજગણિત સંસ્કરણ મેળવવામાં આવે છે. આ પણ અર્થપૂર્ણ છે અને 1-ચક્ર તરફ દોરી જાય છે જે ઓળખને સંતોષે છે લાઈ બીજગણિતના કિસ્સામાં, કોબાઉન્ડરી નકશામાં ઇન માટેનું સ્વરૂપ હોય છે. બંને કિસ્સાઓમાં 1-આલ્કોહોલોજીને ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ મોડ્યુલો કોબાઉન્ડરીઝની જગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ્સ અને લાઈ બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ્સ વચ્ચેનો કુદરતી પત્રવ્યવહાર "વેન એસ્ટ ઇન્ક્લુઝન મેપ" તરફ દોરી જાય છે આ રીતે ગણતરીને લાઈ બીજગણિત કોહોમોલોજીમાં ઘટાડી શકાય છે. સાતત્ય દ્વારા આ વિટ બીજગણિતના ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ્સની ગણતરીમાં ઘટાડો કરે છે. ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ જૂથ પર સામાન્યીકરણની શરતો નીચેની વધારાની શરતો સૂચવે છેઃ માટે. તેના સંમેલનોને અનુસરીને, વિટ બીજગણિતનો આધાર તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ના જટિલતા માટેનો આધાર તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જેથી અંદર માટે. આ યોગ્ય ગુણાંક માટે દબાણ કરે છે. ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ સ્થિતિ આ માટે પુનરાવર્તન સંબંધ આપે છેઃ શરત, તે સૂચવે છે. આ સ્થિતિ અને પુનરાવર્તન સંબંધથી, તે અનુસરે છે કે સ્કેલર ગુણાંક સુધી, જ્યારે 0,1 અથવા 2 બરાબર હોય ત્યારે આનો એક અનન્ય બિન-શૂન્ય ઉકેલ હોય છે અને અન્યથા માત્ર શૂન્ય ઉકેલ હોય છે. આનો ઉકેલ જૂથ 1-ચક્રને અનુરૂપ છે. આનો ઉકેલ જૂથ 1-ચક્રને અનુરૂપ છે. અનુરૂપ લાઈ બીજગણિત 1-કોષો કેન્દ્રીય વિસ્તરણ દ્વારા સ્કેલર બહુવિધ સુધી આપવામાં આવે છે ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ બદલામાં અને તેના લાઈ બીજગણિત, કહેવાતા વિરાસોરો બીજગણિતના કેન્દ્રીય વિસ્તરણને જન્મ આપે છે. કોડજોઈન્ટ ક્રિયા જૂથ અને તેનું કેન્દ્રિય વિસ્તરણ પણ ટેચમુલર સિદ્ધાંત અને સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં કુદરતી રીતે દેખાય છે. હકીકતમાં ક્વાસિકોફોર્મલ સ્વ-નકશા દ્વારા પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ્સ ચોક્કસપણે ક્વાસિસિમેટ્રિક હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે; આ બરાબર હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે જે 1/2 ક્રોસ રેશિયોવાળા ચાર બિંદુઓને 1 અથવા 0 ની નજીકના ક્રોસ રેશિયોવાળા બિંદુઓને મોકલતા નથી. સીમા મૂલ્યોને ધ્યાનમાં રાખીને, સાર્વત્રિક ટેકમુલરને મોબિયસ પરિવર્તનના પેટાજૂથ દ્વારા અર્ધસમમિતીય હોમોમોર્ફિઝમ્સના જૂથના ભાગાકાર સાથે ઓળખી શકાય છે. (તે કુદરતી રીતે અર્ધવર્તુળોની જગ્યા તરીકે પણ અનુભવી શકાય છે.) કારણ કે સજાતીય જગ્યા કુદરતી રીતે સાર્વત્રિક ટેચમુલર જગ્યાની પેટા જગ્યા છે. તે કુદરતી રીતે એક જટિલ મેનીફોલ્ડ પણ છે અને આ અને અન્ય કુદરતી ભૌમિતિક રચનાઓ ટેકમુલર જગ્યા પરની રચનાઓ સાથે સુસંગત છે. ના લાઈ બીજગણિતના દ્વૈતને હિલના ઓપરેટરોની જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે અને શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્નની કોએજૉઇન્ટ ક્રિયા સાથે ઓળખી શકાય છે. ડિફિયોમોર્ફિઝમનું વ્યસ્ત હિલના સંચાલકને સ્યુડોગ્રુપ્સ અને જોડાણો પર મોકલે છે શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન અને તેના પર વ્યાખ્યાયિત અન્ય 1-ચક્રને જટિલ સમતલમાં ખુલ્લા સમૂહો વચ્ચે બાયહોલોમોર્ફિક સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં સ્થાનિક વર્ણન વિશ્લેષણાત્મક સ્યુડોગ્રુપ્સના સિદ્ધાંત તરફ દોરી જાય છે, જે 1910ના દાયકામાં એલી કાર્ટન દ્વારા સૌપ્રથમ અભ્યાસ કરાયેલા અનંત-પરિમાણીય જૂથો અને લાઈ આલ્જેબ્રાના સિદ્ધાંતને ઔપચારિક બનાવે છે. આ રીમાન સપાટીઓ પર એફાઇન અને પ્રોજેક્ટિવ માળખાઓ સાથે સંબંધિત છે તેમજ શ્વાર્ઝિયન અથવા પ્રોજેક્ટિવ જોડાણોના સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છે, જેની ચર્ચા ગનિંગ, શિફર અને હોલી દ્વારા કરવામાં આવી છે. હોલોમોર્ફિક સ્યુડોગ્રુપ ઓનમાં ખુલ્લા સમૂહો વચ્ચે બાયહોલોમોર્ફિઝમ્સનો સંગ્રહ હોય છે અને જેમાં દરેક ઓપન માટે ઓળખ નકશા હોય છે, જે ઓપન પર પ્રતિબંધ હેઠળ બંધ હોય છે, જે રચના હેઠળ બંધ હોય છે (જ્યારે શક્ય હોય ત્યારે), જે ઇન્વર્સ લેવા હેઠળ બંધ હોય છે અને એવું કે જો બાયહોલોમોર્ફિઝમ્સ સ્થાનિક રીતે હોય, તો તે પણ અંદર હોય છે. સ્યુડોગ્રુપને સંક્રમક કહેવામાં આવે છે જો, આપવામાં આવે અને તેમાં, તેમાં બાયહોલોમોર્ફિઝમ હોય. સંક્રમક સ્યુડોગ્રુપ્સનો એક ખાસ કેસ તે છે જે સપાટ હોય છે, એટલે કે. તેમાં તમામ જટિલ અનુવાદો છે. ચાલો, રચના હેઠળ, તેની સાથે ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી પરિવર્તનોનું જૂથ બનીએ. હોલોમોર્ફિક સ્યુડોગ્રુપ એ પેટા જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, એટલે કે ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પેટા જૂથ સાથે 0 (અથવા "જેટ") ના ઘટકો. તેનાથી વિપરીત જો તે સપાટ હોય તો તે અનન્ય રીતે આના દ્વારા નક્કી થાય છેઃ એક બાયહોલોમોર્ફિઝમ જો અને માત્ર ત્યારે જ સમાયેલ હોય જો દરેક માટે પાવર સિરીઝ હોયઃ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો એટ માટે ઔપચારિક પાવર સિરીઝ દ્વારા બદલાયેલા તત્વ દ્વારા આપવામાં આવે છે; અથવા વધુ ટૂંકમાં આવેલા તમામ જેટ દ્વારા. આ જૂથમાં-જેટ્સના જૂથ પર કુદરતી હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે, જે zk શબ્દ સુધી કાપેલી પાવર શ્રેણીને લઈને મેળવવામાં આવે છે. આ જૂથ ડિગ્રીની બહુપદીઓની જગ્યા (k કરતા વધુ ક્રમની શરતોને કાપીને) પર વિશ્વાસુપણે કાર્ય કરે છે. કાપણી એ જ રીતે હોમોમોર્ફિઝમ્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; કર્નલમાં નકશા f સાથે હોય છે, એ જ રીતે એબેલિયન પણ હોય છે. આમ Gk જૂથ ઉકેલી શકાય તેવું છે, તે હકીકત એ હકીકત પરથી પણ સ્પષ્ટ થાય છે કે તે મોનોમીયલના આધાર માટે ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં છે. સપાટ સ્યુડોગ્રુપને "વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત" કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એક મર્યાદિત પૂર્ણાંક હોય કે જેમાં હોમોમોર્ફિઝમ વિશ્વાસપાત્ર હોય અને છબી એક બંધ પેટાજૂથ હોય. આ પ્રકારનો સૌથી નાનો ક્રમ કહેવાય છે. આ રીતે ઉદ્ભવતા તમામ પેટાજૂથોનું સંપૂર્ણ વર્ગીકરણ છે જે વધારાની ધારણાઓને સંતોષે છે કે અંદરની છબી એક જટિલ પેટાજૂથ છે અને તે સમાન છેઃ આ સૂચવે છે કે સ્યુડોગ્રુપમાં સ્કેલિંગ પરિવર્તન પણ છે, એટલે કે. સાથે દરેક બહુપદી સમાવે છે. આ કિસ્સામાં એકમાત્ર શક્યતાઓ તે અને છે; અથવા તે અને. પહેલું એ સ્યુડોગ્રુપ છે જે જટિલ મોબિયસ જૂથના એફાઇન પેટાજૂથ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે (પરિવર્તન ફિક્સિંગ); બાદમાં સમગ્ર જટિલ મોબિયસ જૂથ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્યુડોગ્રુપ છે. આ વર્ગીકરણને સરળતાથી લાઈ બીજગણિત સમસ્યામાં ઘટાડી શકાય છે કારણ કે ઔપચારિક લાઈ બીજગણિતમાં ઔપચારિક વેક્ટર ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે જેમાં ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણી F છે. તેમાં આધાર સાથે બહુપદી વેક્ટર ક્ષેત્રો છે, જે વિટ બીજગણિતનું પેટા બીજગણિત છે. લાઈ કૌંસ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ફરીથી આ તફાવત દ્વારા ડિગ્રીની બહુપદીઓની જગ્યા પર કાર્ય કરે છે-તેને-સાથે ઓળખી શકાય છે અને તેની છબીઓ ના લાઈ બીજગણિતનો આધાર આપે છે. તેની નોંધ લો. ચાલો લાઈ બીજગણિતને દર્શાવીએઃ તે લાઈ બીજગણિતના પેટા બીજગણિત માટે સમરૂપ છે. તે નીચે સમાવિષ્ટ છે અને અપરિવર્તનશીલ છે. કારણ કે તે વિટ બીજગણિતનું લાઈ ઉપ-બીજગણિત છે, એકમાત્ર શક્યતા એ છે કે તેમાં કેટલાક માટે આધાર અથવા આધાર છે. સ્વરૂપના અનુરૂપ જૂથ ઘટકો છે. અનુવાદો સાથે આની રચના કરવાથી પરિણામ મળે છે. સિવાય કે, આ પેટાજૂથના સ્વરૂપનો વિરોધાભાસ કરે; તેથી. શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન જટિલ મોબિયસ જૂથ માટે સ્યુડોગ્રુપ સાથે સંબંધિત છે. હકીકતમાં જો તેના પર બાયહોલોમોર્ફિઝમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે તેના પર દ્વિઘાત વિભેદક છે. જો એક બાયહોમોલોર્ફિઝમ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોય અને તેના પર ચતુર્ભુજ તફાવતો હોય; વધુમાં તે પર એક ચતુર્ભુજ વિભેદક છે, તેથી તે પણ તેના પર એક ચતુર્ભુજ વિભેદક છે. આમ ઓળખ એ હોલોમોર્ફિક ક્વાડ્રેટિક ભિન્નતાઓમાં ગુણાંક સાથે બાયહોલોમોર્ફિઝમ્સના સ્યુડોગ્રુપ માટે 1-ચક્રનું એનાલોગ છે. તેવી જ રીતે અને હોલોમોર્ફિક કાર્યો અને હોલોમોર્ફિક તફાવતોમાં મૂલ્યો સાથે સમાન સ્યુડોગ્રુપ માટે 1-કોષિકાઓ છે. સામાન્ય રીતે 1-ચક્રને કોઈપણ ક્રમના હોલોમોર્ફિક તફાવતો માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેથી સમાવેશ નકશામાં ઉપરોક્ત ઓળખને લાગુ કરીને, તે તેને અનુસરે છે; અને તેથી જો તેનું પ્રતિબંધ છે, તો પછી. બીજી બાજુ, હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્થાનિક હોલોમોરોર્ફિક પ્રવાહને લઈને-વેક્ટર ક્ષેત્રોનું ઘાતાંકીય-સ્થાનિક બાયહોલોમોર્ફિઝમ્સનું હોલોમોર્ફિક સ્યુડોગ્રુપ હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. જો 1-ચક્ર યોગ્ય સાતત્ય અથવા વિશ્લેષણાત્મક પરિસ્થિતિઓને સંતોષે છે, તો તે હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રોના 1-ચક્રને પ્રેરિત કરે છે, જે પ્રતિબંધ સાથે પણ સુસંગત છે. તદનુસાર, તે હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રો પર 1-ચક્રને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ આધાર સાથે બહુપદી વેક્ટર ક્ષેત્રોના લાઈ બીજગણિત સુધી મર્યાદિત, આને લાઈ બીજગણિત કોહોમોલોજીની સમાન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે (ક્રોસ હોમોમોર્ફિઝમ્સ પરના અગાઉના વિભાગમાં). ત્યાં ગણતરી ક્રમની ઘનતા પર કામ કરતા સમગ્ર વિટ બીજગણિત માટે હતી, જ્યારે અહીં તે માત્ર ક્રમના હોલોમોર્ફિક (અથવા બહુપદી) તફાવતો પર કામ કરતા પેટા બીજગણિત માટે છે. ફરીથી, એમ ધારીને કે પરિભ્રમણ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, ત્યાં બિન-શૂન્ય 1-કોષિકાઓ છે, જે સ્કેલર ગુણાંક સુધી અનન્ય છે. માત્ર સમાન વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ડિગ્રી 0,1 અને 2 ના તફાવતો માટે જ્યાં બહુપદી છે. 1-કોષો ત્રણ સ્યુડોગ્રુપ્સને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ આ સ્કેલિંગ જૂથ () આપે છે; એફાઇન જૂથ (); અને સમગ્ર જટિલ મોબિયસ જૂથ (). તેથી આ 1-કોષો સ્યુડોગ્રુપને વ્યાખ્યાયિત કરતા વિશેષ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો છે. વધુ નોંધપાત્ર રીતે તેનો ઉપયોગ રીમાન સપાટીઓ પર અનુરૂપ એફાઇન અથવા પ્રોજેક્ટિવ માળખાઓ અને જોડાણોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. જો સરળ મેપિંગ્સનો સ્યુડોગ્રુપ હોય, તો ટોપોલોજિકલ સ્પેસમાં-સ્ટ્રક્ચર હોવાનું કહેવાય છે, જો તેમાં એવા ચાર્ટ્સનો સંગ્રહ હોય કે જે ખુલ્લા સેટથી લઈને ખુલ્લા સેટ સુધી હોમોમોર્ફિઝમ્સ હોય, જેમાં દરેક બિન-ખાલી આંતરછેદ માટે, કુદરતી નકશો થી માં આવેલું હોય. આ એક સ્મૂથ-મેનીફોલ્ડની રચનાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જો તેમાં સ્થાનિક ડિફિયોમોર્ફિમ્સ અને રીમાન સપાટી હોય અને તેમાં બાયહોલોમોર્ફિઝમ્સ હોય. જો એફાઇન સ્યુડોગ્રુપ હોય, તો તેને એફાઇન માળખું હોવાનું કહેવાય છે; અને જો મોબિયસ સ્યુડોગ્રુપ હોય, તો તેને પ્રોજેક્ટિવ માળખું હોવાનું કહેવાય છે. આમ અમુક જાળી માટે આપવામાં આવેલી એક જાતની સપાટીમાં એક સંલગ્ન માળખું હોય છે; અને ફ્યુશિયન જૂથ દ્વારા ઉપલા અડધા સમતલ અથવા એકમ ડિસ્કના ભાગાકાર તરીકે આપવામાં આવેલી જાતિ સપાટીમાં એક પ્રક્ષેપાત્મક માળખું હોય છે. 1966માં ગનિંગ વર્ણવે છે કે આ પ્રક્રિયાને કેવી રીતે ઉલટાવી શકાયઃ જાતિ માટે, શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન 2 નો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત અને કોહોમોલોજી પર પ્રમાણભૂત પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરાયેલ પ્રોજેક્ટિવ જોડાણનું અસ્તિત્વ, ઉપલા અડધા સમતલ અથવા એકમ ડિસ્ક સાથે સાર્વત્રિક આવરણ સપાટીને ઓળખવા માટે વાપરી શકાય છે (સમાન પરિણામ જીનસ 1 માટે ધરાવે છે, એફાઇન જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને અને). સામાન્યીકરણ સામાન્યીકરણનું વર્ણન કરે છે જે કન્ફોર્મલ મેનીફોલ્ડ્સના મેપિંગ્સ માટે લાગુ પડે છે, જેમાં શ્વાર્ઝિયન વ્યુત્પન્ન મેનીફોલ્ડ પર સપ્રમાણ ટેન્સર બની જાય છે. ચાલો એક સ્મૂથ મેટ્રિક ટેન્સર સાથે ડાયમેન્શનનો સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ હોઈએ. એક સ્મૂથ ડિફિયોમોર્ફિઝમ કન્ફોર્મલ છે જો કેટલાક સ્મૂથ ફંક્શન માટે. શ્વાર્ઝિયનને લેવિ-સિવિટા જોડાણ ક્યાં છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે જોડાણના સંદર્ભમાં હેસિયનને સૂચવે છે, તે લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલક છે (સંદર્ભમાં હેસિયનના નિશાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત). શ્વાર્ઝિયન કોસાઈકલ કાયદાને સંતોષે છે એ મોબિયસ પરિવર્તન એક કન્ફોર્મલ ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે, જેનું કન્ફોર્મલ પરિબળ શ્વાર્ઝિયનને લુપ્ત કરી રહ્યું છે. મોબિયસ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો સંગ્રહ એ કન્ફોર્મલ ગ્રૂપનું ક્લોઝ્ડ લાઈ પેટાજૂથ છે. યુક્લિડિયન અવકાશ પરના ઉકેલો, યુક્લિડિયન મેટ્રિક સાથે, ચોક્કસપણે જ્યારે સ્થિર હોય ત્યારે, ગોળાકાર મેટ્રિક આપતું અનુરૂપ પરિબળ, અથવા બોલ અથવા અર્ધ-અવકાશ અથવા (અનુક્રમે) પર હાયપરબોલિક પોઇનકેર મેટ્રિક માટેનું અનુરૂપ પરિબળ હોય છે. અન્ય સામાન્યીકરણ લેગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયનમાં હકારાત્મક વળાંકને લાગુ પડે છે. ધારો કે તે એક સિમપ્લેક્ટિક વેક્ટર સ્પેસ છે, જેનું પરિમાણ ઉપર છે. પૂરક લેગ્રેન્જિયન પેટા જગ્યાઓની જોડીને ઠીક કરો. લેગ્રેન્જિયન પેટા-જગ્યાઓનો સમૂહ કે જે પૂરક છે તે મેપિંગની જગ્યા દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે જે (બધા માટે) ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણ હોય છે. કોઈપણ લગ્રેન્જિયન સબસ્પેસ પૂરક આવા કેટલાક ટેન્સર દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ વક્રને સ્થાનિક રીતે સપ્રમાણ ટેન્સરના એક-પરિમાણ પરિવાર દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. જો વળાંક નિશ્ચિત હોય તો તે હકારાત્મક હોય છે. લેગ્રેન્જિયન શ્વાર્ઝિયનને પછી આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આ ગુણધર્મ ધરાવે છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ વળાંકને લગતા સિમપ્લેક્ટિક પરિવર્તન હોય અને. લગ્રેન્જિયન શ્વાર્ઝિયન બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ સાથે સંબંધિત છે, જ્યાં તે એક સપ્રમાણ ટેન્સર છે, જે વાસ્તવિક ચલ પર આધારિત છે અને તેમાં વળાંક છે. ચાલો વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની-પરિમાણીય જગ્યા હોઈએ. તે સપ્રમાણ હોવાથી, તેના દ્વારા આપવામાં આવેલું સ્વરૂપ તેનાથી સ્વતંત્ર છે, અને તેથી તે એક સમાન માળખું આપે છે. મૂલ્યાંકનને કાર્યાત્મક થવા દો. પછી ડોમેનમાંના કોઈપણ માટે, કર્નલ ઓફ એ લેગ્રેન્જિયન સબસ્પેસ છે, અને તેથી કર્નલ ઓફના લેગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયનમાં વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ વળાંકનો લાગ્રેન્જિયન શ્વાર્ઝિયન પછી છે. રિકાટી સમીકરણ નોંધો સંદર્ભો, પ્રકરણ 6, "ટેકમુલર સ્પેસ"], પ્રકરણ 10, "ધ શ્વાર્ઝિયન" પણ જુઓ. , કલમ 12, "ગોળાકાર કમાનો સાથે બહુકોણોનું મેપિંગ". ", સામાન્યીકૃત લેમે કાર્યોના સિદ્ધાંત પર". . પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ મોડ્યુલર રચનાઓ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો જટિલ વિશ્લેષણ અનૌપચારિક મેપિંગ્સ