Heawood graph
આલેખ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, હેવુડ આલેખ એ 14 શિરોબિંદુઓ અને 21 ધાર સાથેનો એક દિશાહીન આલેખ છે, જેનું નામ પર્સી જ્હોન હેવુડના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. સંયુક્ત ગુણધર્મો આલેખ ઘન છે, અને આલેખમાંના તમામ ચક્રમાં છ કે તેથી વધુ ધાર હોય છે. દરેક નાના ક્યુબિક ગ્રાફમાં ટૂંકા ચક્ર હોય છે, તેથી આ ગ્રાફ 6-કેજ છે, જે ઘેરો 6 નો સૌથી નાનો ક્યુબિક ગ્રાફ છે. તે અંતર-સંક્રમણ ગ્રાફ છે (જુઓ પાલક વસ્તી ગણતરી) અને તેથી નિયમિત અંતર છે. હેવુડ ગ્રાફમાં 24 સંપૂર્ણ મેચિંગ છે; દરેક મેચિંગ માટે, મેચિંગમાં ન હોય તેવી ધારોનો સમૂહ હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર બનાવે છે. દાખલા તરીકે, આકૃતિ ચક્ર પર મૂકવામાં આવેલા આલેખના શિરોબિંદુઓ દર્શાવે છે, જેમાં ચક્રના આંતરિક કર્ણ મેળ ખાતા હોય છે. ચક્રની ધારને બે મેળમાં વિભાજિત કરીને, આપણે હેવુડ ગ્રાફને આઠ જુદી જુદી રીતે ત્રણ સંપૂર્ણ મેળ (એટલે કે તેની ધારને 3-રંગ) માં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ. દરેક બે સંપૂર્ણ મેળ અને દરેક બે હેમિલ્ટોનિયન ચક્રને ગ્રાફની સમપ્રમાણતા દ્વારા એક બીજામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. હેવુડ આલેખમાં 28 છ-અક્ષતંતુ ચક્ર છે. દરેક 6-ચક્ર બરાબર ત્રણ અન્ય 6-ચક્રથી અલગ છે; આ ત્રણ 6-ચક્રોમાંથી, દરેક એક અન્ય બેનો સમપ્રમાણ તફાવત છે. 6-ચક્ર દીઠ એક નોડ અને 6-ચક્રની દરેક અસંબદ્ધ જોડી માટે એક ધાર સાથેનો આલેખ કોક્સેટર આલેખ છે. ભૌમિતિક અને ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો હેવુડ ગ્રાફ એક ટોરોઇડલ ગ્રાફ છે; એટલે કે, તેને ટોરસ પર ક્રોસિંગ કર્યા વિના એમ્બેડ કરી શકાય છે. આ પ્રકારનું એક એમ્બેડિંગ તેના શિરોબિંદુઓ અને ધારને ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યામાં ટૉરસ, સ્ઝિલાસી પોલિહેડ્રોનની ટોપોલોજી સાથે નોન-કન્વેક્સ પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ અને ધારોના સમૂહ તરીકે મૂકે છે. અન્ય એમ્બેડિંગ નીચે મુજબ છેઃ નિયમિત ષટ્કોણનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનને ટાઇલ કરો અને તેમને સમયાંતરે 7 રંગોથી રંગાવો. કોઈપણ રંગ માટે, આ રંગના ષટ્કોણ ત્રિકોણાકાર ગ્રીડ બનાવે છે. આ ગ્રીડમાં, પસંદ કરેલા રંગના ષટ્કોણની મધ્યમાં કેન્દ્રો સાથે સમાંતર ચતુર્ભુજ લઈ શકાય છે. આ સમાંતર ચતુર્ભુજને ફોલ્ડ કરવાથી હેવુડ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને 7 ષટ્કોણ સાથે ટાઇલ્ડ ટોરસ મળશે (નીચેની ગેલેરીમાં ચિત્રમાં, પરંતુ ચોરસ સાથે) ગ્રાફનું નામ પર્સી જ્હોન હેવુડના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1890માં સાબિત કર્યું હતું કે ટોરસના દરેક પેટાવિભાગમાં બહુકોણમાં, બહુકોણીય પ્રદેશોને મહત્તમ સાત રંગોથી રંગીન કરી શકાય છે. હેવુડ ગ્રાફ સાત પરસ્પર અડીને આવેલા પ્રદેશો સાથે ટોરસનું પેટાવિભાગ બનાવે છે, જે દર્શાવે છે કે આ બંધન ચુસ્ત છે. હેવુડ આલેખ એ ફેનો સમતલનો લેવી આલેખ છે, જે તે ભૂમિતિમાં બિંદુઓ અને રેખાઓ વચ્ચેની ઘટનાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો આલેખ છે. આ અર્થઘટન સાથે, હેવુડ આલેખમાં 6-ચક્રો ફેનો સમતલમાં ત્રિકોણને અનુરૂપ છે. ઉપરાંત, હેવુડ ગ્રાફ એ જૂથ SL3 (F2) નું ટિટ્સ બિલ્ડિંગ છે. હેવુડ ગ્રાફમાં ક્રોસિંગ નંબર 3 છે, અને તે ક્રોસિંગ નંબર સાથેનો સૌથી નાનો ક્યુબિક ગ્રાફ છે. હેવુડ આલેખ સહિત, પાર નંબર 3 સાથે ક્રમ 14ના 8 અલગ આલેખ છે. હેવુડ આલેખ એ કોલિન ડી વર્ડીયર આલેખ અપરિવર્તનશીલ μ = 6 સાથેનો સૌથી નાનો ઘન આલેખ છે. હેવુડ આલેખ એ એક એકમ અંતરનો આલેખ છેઃ તેને સમતલમાં એવી રીતે જોડી શકાય છે કે નજીકના શિરોબિંદુઓ બરાબર એક અંતરે હોય, જેમાં કોઈ બે શિરોબિંદુઓ એક જ બિંદુ પર જોડાયેલા ન હોય અને ધારની અંદર કોઈ બિંદુમાં કોઈ શિરોબિંદુ જડિત ન હોય. બીજગણિત ગુણધર્મો હેવુડ ગ્રાફનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ પ્રોજેક્ટિવ રેખીય જૂથ પી. જી. એલ. 2 (7) માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે ક્રમ 336 નો સમૂહ છે. તે શિરોબિંદુઓ પર, ધાર પર અને આલેખની કમાનો પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે. તેથી, હેવુડ આલેખ એક સપ્રમાણ આલેખ છે. તેમાં ઓટોમોર્ફિઝમ્સ છે જે કોઈપણ શિરોબિંદુને અન્ય કોઈપણ શિરોબિંદુ અને કોઈપણ ધારને અન્ય કોઈપણ ધાર પર લઈ જાય છે. વધુ મજબૂત રીતે, હેવુડ ગ્રાફ 4-આર્ક-સંક્રમક છે. ફોસ્ટર વસ્તી ગણતરી અનુસાર, હેવુડ આલેખ, જેને F014A તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે 14 શિરોબિંદુઓ પરનો એકમાત્ર ઘન સમપ્રમાણ આલેખ છે. તેમાં પુસ્તકની જાડાઈ 3 અને કતાર નંબર 2 છે. હેવુડ આલેખની લાક્ષણિક બહુપદી છે. આ લાક્ષણિક બહુપદી સાથેનો તે એકમાત્ર આલેખ છે, જે તેને તેના વર્ણપટ દ્વારા નિર્ધારિત આલેખ બનાવે છે. ગેલેરી સંદર્ભો વ્યક્તિગત આલેખ નિયમિત આલેખ