Unbounded operator
ગણિતમાં, વધુ ખાસ રીતે કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ અને સંચાલક સિદ્ધાંતમાં, અમર્યાદિત સંચાલકની કલ્પના વિભેદક સંચાલકો, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં અમર્યાદિત અવલોકનો અને અન્ય કિસ્સાઓમાં વ્યવહાર કરવા માટે એક અમૂર્ત માળખું પ્રદાન કરે છે. "અનબાઉન્ડેડ ઓપરેટર" શબ્દ ભ્રામક હોઈ શકે છે, કારણ કે "અનબાઉન્ડેડ" ને કેટલીકવાર "જરૂરી રીતે બાઉન્ડેડ નથી" તરીકે સમજવો જોઈએ; "ઓપરેટર" ને "રેખીય ઓપરેટર" તરીકે સમજવું જોઈએ ("બાઉન્ડેડ ઓપરેટર" ના કિસ્સામાં); ઓપરેટરનું ડોમેન એક રેખીય સબસ્પેસ છે, જે સમગ્ર જગ્યા જરૂરી નથી; આ રેખીય સબસ્પેસ જરૂરી રીતે બંધ નથી; ઘણીવાર (પરંતુ હંમેશા નહીં) તે ગાઢ હોવાનું માનવામાં આવે છે; બાઉન્ડેડ ઓપરેટરના ખાસ કિસ્સામાં, તેમ છતાં, ડોમેનને સામાન્ય રીતે સમગ્ર જગ્યા માનવામાં આવે છે. બાઉન્ડેડ ઓપરેટરોથી વિપરીત, આપેલ જગ્યા પર અનબાઉન્ડ ઓપરેટરો બીજગણિત કે રેખીય જગ્યા પણ બનાવતા નથી, કારણ કે દરેકને તેના પોતાના ડોમેન પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. "ઓપરેટર" શબ્દનો અર્થ ઘણીવાર "બાઉન્ડેડ લીનિયર ઓપરેટર" થાય છે, પરંતુ આ લેખના સંદર્ભમાં તેનો અર્થ "અનબાઉન્ડ ઓપરેટર" થાય છે, જેમાં ઉપર આપેલા રિઝર્વેશન છે. આપેલ જગ્યા હિલ્બર્ટ જગ્યા હોવાનું માનવામાં આવે છે. બનાચ જગ્યાઓ અને વધુ સામાન્ય ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યાઓ માટે કેટલાક સામાન્યીકરણ શક્ય છે. ટૂંકા ઇતિહાસ અનબાઉન્ડ ઓપરેટર્સનો સિદ્ધાંત 1920 ના દાયકાના અંતમાં અને 1930 ના દાયકાની શરૂઆતમાં ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ માટે સખત ગાણિતિક માળખું વિકસાવવાના ભાગ રૂપે વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. આ સિદ્ધાંતનો વિકાસ જ્હોન વોન ન્યુમેન અને માર્શલ સ્ટોનને કારણે થયો છે. વોન ન્યુમેને 1932માં અનબાઉન્ડ ઓપરેટર્સનું વિશ્લેષણ કરવા માટે આલેખનો ઉપયોગ કરવાની શરૂઆત કરી હતી. વ્યાખ્યાઓ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો ચાલો બનાચ જગ્યાઓ હોઈએ. અનબાઉન્ડ ઓપરેટર (અથવા ફક્ત ઓપરેટર) એ રેખીય સબસ્પેસ-ડોમેન ઓફ-થી સ્પેસ સુધીનો રેખીય નકશો છે. સામાન્ય પરંપરાથી વિપરીત, સમગ્ર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત ન પણ થઈ શકે. ઓપરેટરને બંધ કહેવામાં આવે છે જો તેનો આલેખ બંધ સમૂહ હોય. (અહીં, આલેખ એ સીધી રકમની રેખીય પેટા જગ્યા છે, જેને તમામ જોડીઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં તે ના ક્ષેત્ર પર ચાલે છે.) સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે જેમ કે અને ના ડોમેનમાંથી બિંદુઓના દરેક ક્રમ માટે, તે ધરાવે છે જે અને ના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે. ક્લોઝનેસ ગ્રાફ ધોરણની દ્રષ્ટિએ પણ ઘડવામાં આવી શકે છેઃ ઓપરેટર બંધ થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું ડોમેન ધોરણના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણ જગ્યા હોયઃ ઓપરેટરને ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો તેનું ડોમેન ગાઢ હોય. આમાં સમગ્ર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર્સનો પણ સમાવેશ થાય છે, કારણ કે સમગ્ર જગ્યા પોતે જ ગાઢ છે. સંલગ્ન (જો અને હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ હોય તો) અને ટ્રાન્સપોઝના અસ્તિત્વ માટે ડોમેનની ઘનતા જરૂરી અને પૂરતી છે; નીચે આપેલા વિભાગો જુઓ. જો તેના ડોમેન પર બંધ, ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત અને સતત હોય, તો તેનું ડોમેન બધું જ છે. હિલ્બર્ટ જગ્યા પર ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટરને નીચેથી બંધાયેલ કહેવામાં આવે છે જો તે કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે હકારાત્મક ઓપરેટર હોય. એટલે કે, ડોમેનમાંના બધા માટે (અથવા વૈકલ્પિક રીતે કારણ કે મનસ્વી છે). જો બંને અને નીચેથી બંધાયેલ હોય તો બંધાયેલ છે. ઉદાહરણ ચાલો એકમ અંતરાલ પર સતત વિધેયોની જગ્યાને સૂચવીએ, અને સતત વિકલનક્ષમ વિધેયોની જગ્યાને સૂચવીએ. અમે સર્વોચ્ચ ધોરણથી સજ્જ છીએ, જે તેને બનાચ જગ્યા બનાવે છે. ક્લાસિકલ ડિફરન્સીએશન ઓપરેટરને સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો દરેક ડિફરન્સીએબલ ફંક્શન કન્ટિન્યુઅસ છે, તેથી. અમે દાવો કરીએ છીએ કે તે ડોમેન સાથે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અનબાઉન્ડ ઓપરેટર છે. આ માટે, આપણે બતાવવાની જરૂર છે કે તે રેખીય છે અને પછી, ઉદાહરણ તરીકે, આવા કેટલાક પ્રદર્શિત કરો અને. આ એક રેખીય સંચાલક છે, કારણ કે બે સતત વિકલનક્ષમ વિધેયોનું રેખીય સંયોજન પણ સતત વિકલનક્ષમ હોય છે, અને સંચાલક બંધાયેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સંતુષ્ટ કરો પરંતુ તરીકે. સંચાલક ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત અને બંધ હોય છે. સમાન ઓપરેટરને બનાચ જગ્યાની ઘણી પસંદગીઓ માટે ઓપરેટર તરીકે ગણી શકાય અને તેમાંથી કોઈની વચ્ચે બંધાયેલ ન હોઈ શકે. તે જ સમયે, તેને બનાચ જગ્યાઓની અન્ય જોડીઓ માટે ઓપરેટર તરીકે અને કેટલીક ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યાઓ માટે ઓપરેટર તરીકે પણ બંધાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે ચાલો એક ખુલ્લું અંતરાલ હોઈએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે ક્યાંઃ સંલગ્ન અનબાઉન્ડ ઓપરેટરની સંલગ્નને બે સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ વચ્ચે અનબાઉન્ડ ઓપરેટર બનો. પ્રથમ, તેને બાઉન્ડેડ ઓપરેટરના સંલગ્નને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેના સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એટલે કે, સંલગ્નને મિલકત સાથેના સંચાલક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ વધુ ચોક્કસપણે, નીચેની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો એવું હોય કે જે ડોમેન પર સતત રેખીય વિધેયાત્મક હોય, તો તેને એક તત્વ તરીકે જાહેર કરવામાં આવે છે અને હાન-બનાચ પ્રમેય દ્વારા સમગ્ર અવકાશમાં રેખીય વિધેયને વિસ્તૃત કર્યા પછી, તેમાં કેટલાકને શોધવાનું શક્ય છે કારણ કે રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય હિલ્બર્ટ અવકાશના સતત દ્વૈતને આંતરિક ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવેલા રેખીય વિધેયોના સમૂહ સાથે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. આ વેક્ટર અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો રેખીય કાર્યાત્મક ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય; અથવા સમકક્ષ, જો ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય. છેવટે, જેની રચના પૂર્ણ થવા દેવી એ જરૂરી રીતે એક રેખીય નકશો છે. સંલગ્ન અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેને ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે. વ્યાખ્યા મુજબ, ના ડોમેનમાં એવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે ના ડોમેન પર સતત હોય છે. પરિણામે, ડોમેન કંઈપણ હોઈ શકે છે; તે તુચ્છ હોઈ શકે છે (એટલે કે, માત્ર શૂન્ય ધરાવે છે). એવું બની શકે છે કે ડોમેન એક બંધ હાયપરપ્લેન છે અને ડોમેન પર દરેક જગ્યાએ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આમ, તેના ક્ષેત્ર પરની મર્યાદા એ તેની સીમા સૂચવતી નથી. બીજી બાજુ, જો સમગ્ર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે તેના ડોમેન પર બંધાયેલ છે અને તેથી સમગ્ર જગ્યા પર બંધાયેલ ઓપરેટર સુધી સાતત્ય દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાય છે. જો નું ડોમેન ગાઢ હોય, તો તેની પાસે તેની સંલગ્ન A બંધ ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર બંધાયેલ હોય છે જો અને માત્ર જો તે બંધાયેલ હોય. સંલગ્નની અન્ય સમકક્ષ વ્યાખ્યા સામાન્ય હકીકતની નોંધ લઈને મેળવી શકાય છે. રેખીય ઓપરેટરને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો કારણ કે તે આઇસોમેટ્રિક સર્જેક્શન છે, તે એકાત્મક છે. તેથીઃ જો અને માત્ર જો ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે કોઈ ઓપરેટરનો આલેખ છે. એક સરળ ગણતરી દર્શાવે છે કે આ "કેટલાક" સંતોષ આપે છેઃ ના ક્ષેત્રમાં દરેક માટે. આમ તેની સંલગ્નતા છે. તે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાથી તરત જ અનુસરે છે કે સંલગ્ન બંધ છે. ખાસ કરીને, સ્વ-સંલગ્ન સંચાલક (અર્થ) બંધ હોય છે. ઓપરેટર બંધ અને ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બાઉન્ડેડ ઓપરેટરો માટેના કેટલાક જાણીતા ગુણધર્મો બંધ ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટરોને સામાન્ય બનાવે છે. બંધ ઓપરેટરનો કર્નલ બંધ હોય છે. વધુમાં, બંધ ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટરનો કર્નલ સંલગ્નની શ્રેણીના ઓર્થોગોનલ પૂરક સાથે મેળ ખાય છે. એટલે કે, વોન ન્યુમેનનો પ્રમેય જણાવે છે કે અને તે સ્વ-સંલગ્ન છે, અને તે અને બંનેમાં બાઉન્ડેડ ઇન્વર્સ છે. જો તેમાં તુચ્છ કર્નલ હોય, તો તેની ગાઢ શ્રેણી હોય છે (ઉપરોક્ત ઓળખ દ્વારા). વધુમાંઃ સર્જેક્ટિવ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં એવું હોય કે બધા માટે (આ અનિવાર્યપણે કહેવાતા બંધ શ્રેણી પ્રમેયનો એક પ્રકાર છે.) ખાસ કરીને, જો અને માત્ર જો બંધ શ્રેણી હોય તો જ બંધ શ્રેણી હોય છે. બાઉન્ડેડ કેસથી વિપરીત, તે જરૂરી નથી કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, તે શક્ય પણ છે કે જે અસ્તિત્વમાં નથી. જો કે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, બંધાયેલ હોય તો આ કેસ છે. ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત, બંધ ઓપરેટરને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેની સમકક્ષ શરતોને સંતોષેઃ; નું ડોમેન આ ડોમેનમાં અને દરેક માટે ડોમેન બરાબર છે; ત્યાં સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરો અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે અને દરેક માટે ડોમેનમાં. દરેક સ્વ-સંલગ્ન સંચાલક સામાન્ય હોય છે. ટ્રાન્સપોઝ ચાલો બનાચ જગ્યાઓ વચ્ચે ઓપરેટર બનીએ. પછી ટ્રાન્સપોઝ (અથવા ડ્યુઅલ) એ રેખીય ઓપરેટર સંતોષકારક છેઃ બધા માટે અને અહીં, આપણે સંકેતનો ઉપયોગ કર્યો છેઃ અસ્તિત્વમાં રહેવા માટે ટ્રાન્સપોઝ માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત એ છે કે તે ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે (આવશ્યકપણે એ જ કારણસર જેમ ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેમ સંલગ્ન છે.) કોઈપણ હિલ્બર્ટ જગ્યા માટે એન્ટી-લિનિયર આઇસોમોર્ફિઝમ હોય છેઃ આ આઇસોમોર્ફિઝમ દ્વારા, ટ્રાન્સપોઝ નીચેની રીતે સંલગ્ન સાથે સંબંધિત છેઃ જ્યાં. (મર્યાદિત-પરિમાણીય કેસ માટે, આ એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે મેટ્રિક્સનો સંલગ્ન તેની સંયુક્ત ટ્રાન્સપોઝ છે.) નોંધ લો કે આ ટ્રાન્સપોઝની દ્રષ્ટિએ સંલગ્નની વ્યાખ્યા આપે છે. બંધ રેખીય ઓપરેટરો બંધ રેખીય ઓપરેટરો બનાચ જગ્યાઓ પર રેખીય ઓપરેટર્સનો વર્ગ છે. તેઓ બાઉન્ડેડ ઓપરેટરો કરતાં વધુ સામાન્ય છે, અને તેથી જરૂરી નથી કે સતત હોય, પરંતુ તેઓ હજુ પણ એટલા સારા ગુણધર્મો જાળવી રાખે છે કે જે આવા ઓપરેટરો માટે સ્પેક્ટ્રમ અને (ચોક્કસ ધારણાઓ સાથે) કાર્યાત્મક કલનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે. ઘણા મહત્વપૂર્ણ રેખીય ઓપરેટરો કે જે બંધ કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે તે બંધ થઈ જાય છે, જેમ કે વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક ઓપરેટર્સનો મોટો વર્ગ. બે બનાચ જગ્યાઓ હોવી જોઈએ. એક રેખીય ઓપરેટર બંધ હોય છે જો દરેક ક્રમમાં રૂપાંતરિત થાય છે જેમ કે એક પાસે અને છે. સમાનરૂપે, જો તેનો આલેખ સીધી રકમમાં બંધ હોય તો બંધ થાય છે. રેખીય ઓપરેટરને જોતાં, બંધ હોવું જરૂરી નથી, જો તેના ગ્રાફનું બંધ થવું એ કોઈ ઓપરેટરનો ગ્રાફ હોય, તો તે ઓપરેટરને બંધ કરવાનું કહેવામાં આવે છે, અને આપણે કહીએ છીએ કે તે બંધ કરી શકાય તેવું છે. દ્વારા બંધ દર્શાવો. તે અનુસરે છે કે તે પ્રતિબંધ છે. ક્લોઝેબલ ઓપરેટરનો કોર (અથવા આવશ્યક ડોમેન) એ તેનો પેટા સમૂહ છે કે જેના પર પ્રતિબંધ બંધ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ વ્યુત્પન્ન ઓપરેટરનો વિચાર કરો જ્યાં અંતરાલ પર તમામ સતત વિધેયોની બનાચ જગ્યા છે. જો કોઈ તેનું ડોમેન લે છે, તો તે બંધ ઓપરેટર છે જે બંધાયેલ નથી. બીજી બાજુ, જો, તો તે હવે બંધ રહેશે નહીં, પરંતુ તે બંધ કરી શકાય તેવું હશે, જેમાં બંધ કરવાનું વિસ્તરણ તેના પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે. સિમેટ્રિક ઓપરેટર્સ અને સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટર્સ હિલ્બર્ટ સ્પેસ પર ઓપરેટર T એ સિમેટ્રિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આપણી પાસે ડોમેનમાં દરેક x અને y માટે હોય. ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર સપ્રમાણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે T ના ક્ષેત્ર સુધી મર્યાદિત તેના સંલગ્ન T ≤ સાથે સંમત થાય, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો જ્યારે T ≤ એ તેનું વિસ્તરણ હોય. સામાન્ય રીતે, જો T ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત અને સપ્રમાણ હોય, તો સંલગ્ન T નું ડોમેન T ના ડોમેનની બરાબર હોવું જરૂરી નથી. જો T સપ્રમાણ હોય અને T નું ડોમેન અને સંલગ્નનું ડોમેન એકરુપ હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે T સ્વ-સંલગ્ન છે. નોંધ લો કે, જ્યારે T સ્વ-સંલગ્ન હોય છે, ત્યારે સંલગ્નનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે T ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને T ઱્઱ં આવશ્યકપણે બંધ હોવાથી, T બંધ છે. ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર T સપ્રમાણ હોય છે, જો સબસ્પેસ (અગાઉના વિભાગમાં વ્યાખ્યાયિત) J હેઠળ તેની છબી સાથે ઓર્થોગોનલ હોય (જ્યાં J (x, y): = (y,-x)). સમાનરૂપે, ઓપરેટર T એ સ્વ-સંલગ્ન છે જો તે ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત, બંધ, સપ્રમાણ હોય અને ચોથી શરતને સંતોષેઃ બંને ઓપરેટરો, સર્જેક્ટિવ છે, એટલે કે, સમગ્ર જગ્યા H પર T ના ડોમેનનો નકશો બનાવો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ H માં દરેક x માટે T ના ડોમેનમાં y અને z અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેમ કે અને. ઓપરેટર T એ સ્વ-સંલગ્ન છે, જો બે પેટા જગ્યાઓ, ઓર્થોગોનલ હોય અને તેમનો સરવાળો સંપૂર્ણ જગ્યા હોય તો આ અભિગમ બિન-ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત બંધ ઓપરેટરોને આવરી લેતો નથી. બિન-સઘન રીતે વ્યાખ્યાયિત સપ્રમાણ ઓપરેટરોને સીધા અથવા આલેખ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ સંલગ્ન ઓપરેટરો દ્વારા નહીં. સપ્રમાણ ઓપરેટરનો અભ્યાસ ઘણીવાર તેના કેલી ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા કરવામાં આવે છે. જટિલ હિલ્બર્ટ જગ્યા પર ઓપરેટર T એ સપ્રમાણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું વર્ગાત્મક સ્વરૂપ વાસ્તવિક હોય, એટલે કે, T ના ક્ષેત્રમાં તમામ x માટે સંખ્યા વાસ્તવિક હોય. એવું બની શકે છે કે એવું નથી. ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર T ને હકારાત્મક (અથવા બિન-નકારાત્મક) કહેવામાં આવે છે જો તેનું વર્ગાત્મક સ્વરૂપ બિન-નકારાત્મક હોય, એટલે કે, T ના ક્ષેત્રમાં તમામ x માટે. આવા ઓપરેટર આવશ્યકપણે સપ્રમાણ હોય છે. દરેક ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત, બંધ T માટે ઓપરેટર T ≤ T સ્વ-સંલગ્ન અને હકારાત્મક છે. વર્ણપટ પ્રમેય સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરોને લાગુ પડે છે અને વધુમાં, સામાન્ય ઓપરેટરોને લાગુ પડે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત, બંધ ઓપરેટરોને નહીં, કારણ કે આ કિસ્સામાં સ્પેક્ટ્રમ ખાલી હોઈ શકે છે. દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત સપ્રમાણ ઓપરેટર બંધ હોય છે, તેથી બંધાયેલ હોય છે, જે હેલિંગર-ટોઇપ્લિટ્ઝ પ્રમેય છે. વ્યાખ્યા અનુસાર, ઓપરેટર T એ ઓપરેટર S નું વિસ્તરણ છે. એક સમકક્ષ સીધી વ્યાખ્યાઃ S ના ક્ષેત્રમાં દરેક x માટે, x એ T ના ક્ષેત્રમાં આવે છે અને. નોંધ લો કે દરેક ઓપરેટર માટે દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત એક્સ્ટેંશન અસ્તિત્વમાં છે, જે પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ પર અને તેના પર આધારિત શુદ્ધ બીજગણિત હકીકત છે. જો આપેલ ઓપરેટર બંધાયેલ ન હોય તો વિસ્તરણ એક અસંગત રેખીય નકશો છે. તેનો બહુ ઓછો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તે આપેલ સંચાલકના મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોને જાળવી શકતું નથી (નીચે જુઓ), અને સામાન્ય રીતે તે અત્યંત બિન-વિશિષ્ટ હોય છે. ઓપરેટર T ને ક્લોઝેબલ કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેની સમકક્ષ શરતોને સંતોષેઃ T પાસે ક્લોઝ્ડ એક્સ્ટેંશન છે; T ના ગ્રાફનું ક્લોઝર એ અમુક ઓપરેટરનો ગ્રાફ છે; T ના ડોમેનમાંથી બિંદુઓના દરેક ક્રમ (xn) માટે જેમ કે xn → 0 અને Txn → y પણ તે ધરાવે છે. બધા ઓપરેટરો બંધ કરી શકાય તેવા નથી. ક્લોઝેબલ ઓપરેટર ટી પાસે સૌથી ઓછું ક્લોઝ્ડ એક્સ્ટેંશન હોય છે જેને ટીનું ક્લોઝર કહેવાય છે. ટીના ગ્રાફનું ક્લોઝર ગ્રાફની બરાબર હોય છે. અન્ય, બિન-લઘુત્તમ ક્લોઝ્ડ એક્સ્ટેંશન અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર T બંધ કરી શકાય તેવું છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો T ઱્઱ં ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય. આ કિસ્સામાં અને જો S ને ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને T એ S નું વિસ્તરણ હોય તો S ≤ એ T ≤ નું વિસ્તરણ છે. દરેક સપ્રમાણ ઓપરેટર બંધ કરી શકાય તેવું છે. સપ્રમાણ ઓપરેટરને મહત્તમ સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે જો તેની પાસે તેના સિવાય કોઈ સપ્રમાણ વિસ્તરણ ન હોય. દરેક સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટર મહત્તમ સપ્રમાણ હોય છે. ઊલટું ખોટું છે. ઓપરેટરને અનિવાર્યપણે સ્વ-સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે જો તેનું બંધ સ્વ-સંલગ્ન હોય. ઓપરેટર અનિવાર્યપણે સ્વ-સંલગ્ન હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની પાસે એક અને માત્ર એક જ સ્વ-સંલગ્ન વિસ્તરણ હોય. સપ્રમાણ ઓપરેટરમાં એક કરતાં વધુ સ્વ-સંલગ્ન વિસ્તરણ હોઈ શકે છે, અને તેમનું સાતત્ય પણ હોઈ શકે છે. ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત, સપ્રમાણ ઓપરેટર T એ અનિવાર્યપણે સ્વ-સંલગ્ન હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બંને ઓપરેટરની ગાઢ શ્રેણી હોય. ધારો કે T એ ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર છે. "T એ S નું વિસ્તરણ છે" આ સંબંધને સૂચવતા S. T દ્વારા (એક પરંપરાગત સંક્ષિપ્ત નામ γ (S) γ (T)) નીચે મુજબ છે. જો T સમપ્રમાણતાવાળા હોય તો પછી T ઱્હો T િરિટર T િરિટર. જો T બંધ અને સપ્રમાણ હોય તો T = T ≤ ≤ T ≤. જો T સ્વ-સંલગ્ન હોય તો T = T િ઱ = T િ઱. જો T અનિવાર્યપણે સ્વ-સંલગ્ન હોય તો T ઱્હો T િરિ = T િરિ. સ્વ-સંલગ્ન સંચાલકોનું મહત્વ સ્વ-સંયુક્ત સંચાલકોનો વર્ગ ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. દરેક સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટર ગાઢ રીતે વ્યાખ્યાયિત, બંધ અને સપ્રમાણ હોય છે. વિપરીત બાઉન્ડેડ ઓપરેટરો માટે લાગુ પડે છે પરંતુ સામાન્ય રીતે નિષ્ફળ જાય છે. સ્વ-સંલગ્નતા આ ત્રણ ગુણધર્મો કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ પ્રતિબંધિત છે. પ્રખ્યાત સ્પેક્ટ્રલ થીયરમ સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરો માટે છે. એક-પરિમાણ એકાત્મક જૂથો પર સ્ટોનના પ્રમેય સાથે સંયોજનમાં તે દર્શાવે છે કે સ્વ-સંલગ્ન સંચાલકો ચોક્કસપણે મજબૂત રીતે સતત એક-પરિમાણ એકાત્મક જૂથોના અનંત જનરેટર છે, જુઓ. શાસ્ત્રીય અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સમય ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરવા માટે આવા એકાત્મક જૂથો ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. સ્ટોન-વોન ન્યુમેન થીયરમ બાઉન્ડેડ ઓપરેટર નોંધો સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ જુઓ (પ્રકરણ 12 "હિલ્બર્ટ જગ્યાઓમાં અનબાઉન્ડ ઓપરેટરોની સામાન્ય થિયરી" જુઓ). (પ્રકરણ 5 "અનબાઉન્ડ ઓપરેટર્સ" જુઓ). (પ્રકરણ 8 "અનબાઉન્ડ ઓપરેટર્સ" જુઓ). લીનિયર ઓપરેટર્સ ઓપરેટર થિયરી ડીઃ લીનિયર Operator#Unbeschränkte લીનિયર ઓપરેટર છે