Local property
ગણિતમાં, ગાણિતિક પદાર્થને સ્થાનિક રીતે મિલકતને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે, જો મિલકત પદાર્થના કેટલાક મર્યાદિત, તાત્કાલિક ભાગો પર સંતુષ્ટ હોય (દા. ત., બિંદુઓના કેટલાક પૂરતા પ્રમાણમાં નાના અથવા મનસ્વી રીતે નાના પડોશ પર). કાર્ય પર બિંદુના ગુણધર્મો કદાચ સ્થાનના વિચારનું સૌથી જાણીતું ઉદાહરણ સ્થાનિક લઘુત્તમ (અથવા સ્થાનિક મહત્તમ) ની વિભાવનામાં રહેલું છે, જે કાર્યમાં એક બિંદુ છે જેનું કાર્યાત્મક મૂલ્ય બિંદુઓના તાત્કાલિક પડોશમાં સૌથી નાનું (રેસ્પ., સૌથી મોટું) છે. આને વૈશ્વિક લઘુતમ (અથવા વૈશ્વિક મહત્તમ) ના વિચાર સાથે વિપરીત ગણવું જોઈએ, જે તેના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં કાર્યના લઘુતમ (રેસ્પ., મહત્તમ) ને અનુરૂપ છે. એક જ જગ્યાના ગુણધર્મો એક ટોપોલોજિકલ જગ્યાને કેટલીકવાર સ્થાનિક રીતે મિલકત પ્રદર્શિત કરવા માટે કહેવામાં આવે છે, જો મિલકતને નીચેની કોઈ એક રીતે દરેક બિંદુની "નજીક" પ્રદર્શિત કરવામાં આવેઃ દરેક બિંદુ પાસે મિલકતને પ્રદર્શિત કરતો પડોશી વિસ્તાર હોય છે; દરેક બિંદુ પાસે મિલકતને પ્રદર્શિત કરતા સમૂહોનો પડોશી આધાર હોય છે. અહીં, નોંધ લો કે સ્થિતિ (2) મોટા ભાગે સ્થિતિ (1) કરતાં વધુ મજબૂત છે, અને તે બંને વચ્ચે તફાવત કરવા માટે વધારાની સાવધાની રાખવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આ શરતોની વિવિધ પસંદગીઓના પરિણામે સ્થાનિક રીતે સઘનની વ્યાખ્યામાં કેટલીક ભિન્નતા ઊભી થઈ શકે છે. ઉદાહરણો સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ સ્થાનિક રીતે જોડાયેલ અને સ્થાનિક રીતે પાથ-જોડાયેલ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ સ્થાનિક રીતે હૌસડોર્ફ, સ્થાનિક રીતે નિયમિત, સ્થાનિક રીતે સામાન્ય વગેરે. જગ્યાઓની જોડીના સ્થાનિક રીતે માપી શકાય તેવા ગુણધર્મો ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ વચ્ચે સમાનતાની કેટલીક કલ્પના (દા. ત., હોમોમોર્ફિઝમ, ડિફિયોમોર્ફિઝમ, આઇસોમેટ્રી) જોતાં, જો પ્રથમ જગ્યાના દરેક બિંદુ પાસે પડોશી હોય જે બીજા જગ્યાના પડોશની સમકક્ષ હોય તો બે જગ્યાઓ સ્થાનિક રીતે સમકક્ષ હોવાનું કહેવાય છે. દાખલા તરીકે, વર્તુળ અને રેખા ખૂબ જ અલગ વસ્તુઓ છે. કોઈ વર્તુળને રેખા જેવું દેખાવા માટે ખેંચી શકતું નથી, ન તો અંતરાયો અથવા ઓવરલેપ વિના વર્તુળ પર ફિટ થવા માટે રેખાને સંકુચિત કરી શકે છે. જો કે, વર્તુળનો એક નાનો ટુકડો ખેંચાઈને સપાટ કરી શકાય છે જેથી તે રેખાના નાના ટુકડા જેવો દેખાય. આ કારણોસર, કોઈ એવું કહી શકે છે કે વર્તુળ અને રેખા સ્થાનિક રીતે સમકક્ષ છે. તેવી જ રીતે, ગોળા અને સમતલ સ્થાનિક રીતે સમકક્ષ છે. ગોળાની સપાટી પર ઊભેલા એક નાના પર્યાપ્ત નિરીક્ષક (દા. ત., એક વ્યક્તિ અને પૃથ્વી) તેને સમતલથી અલગ પાડી શકતા નથી. અનંત જૂથોના ગુણધર્મો અનંત જૂથ માટે, "નાના પડોશી" ને મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ પેટા જૂથ તરીકે લેવામાં આવે છે. અનંત જૂથને સ્થાનિક રીતે પી કહેવામાં આવે છે જો દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પેટાજૂથ પી હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પેટાજૂથ મર્યાદિત હોય તો જૂથ સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત હોય છે, અને જો દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પેટાજૂથ દ્રાવ્ય હોય તો જૂથ સ્થાનિક રીતે દ્રાવ્ય હોય છે. મર્યાદિત જૂથોના ગુણધર્મો મર્યાદિત જૂથો માટે, "નાના પડોશી" ને મુખ્ય સંખ્યા p ની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત પેટા જૂથ તરીકે લેવામાં આવે છે, સામાન્ય રીતે સ્થાનિક પેટા જૂથો, બિન-તુચ્છ p-પેટા જૂથોના સામાન્યકર્તાઓ. આ કિસ્સામાં, જો તે સ્થાનિક પેટા જૂથોમાંથી શોધી શકાય તો મિલકતને સ્થાનિક કહેવામાં આવે છે. વૈશ્વિક અને સ્થાનિક મિલકતોએ મર્યાદિત સરળ જૂથોના વર્ગીકરણ પરના પ્રારંભિક કાર્યનો નોંધપાત્ર ભાગ બનાવ્યો હતો, જે 1960ના દાયકા દરમિયાન હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો. પરિવર્તનીય રિંગ્સના ગુણધર્મો પરિવર્તનીય રિંગ્સ માટે, બીજગણિત ભૂમિતિના વિચારો રિંગના "નાના પડોશ" ને મુખ્ય આદર્શ પર સ્થાનિકીકરણ તરીકે લેવાનું સ્વાભાવિક બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, જો મિલકતને સ્થાનિક રિંગ્સમાંથી શોધી શકાય તો તેને સ્થાનિક કહેવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, પરિવર્તનીય રીંગ પર સપાટ મોડ્યુલ હોવું એ સ્થાનિક ગુણધર્મ છે, પરંતુ મુક્ત મોડ્યુલ હોવું એ નથી. વધુ માહિતી માટે, મોડ્યુલનું સ્થાનિકીકરણ જુઓ. સ્થાનિક માર્ગ જોડાણ સંદર્ભો પણ જુઓ સામાન્ય ટોપોલોજી હોમોમોર્ફિઝમ્સ