Generic polynomial
ગણિતમાં, સામાન્ય બહુપદી સામાન્ય રીતે બહુપદીનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેના ગુણાંક અનિશ્ચિત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો, અને અનિશ્ચિત હોય, તો ડિગ્રી બે ની સામાન્ય બહુપદી હોય છે. જો કે, ગેલોઇસ સિદ્ધાંતમાં, બીજગણિતની એક શાખા, અને આ લેખમાં, સામાન્ય બહુપદી શબ્દનો એક અલગ, જોકે સંબંધિત, અર્થ છેઃ મર્યાદિત જૂથ G અને ક્ષેત્ર F માટે સામાન્ય બહુપદી એ એક મોનિક બહુપદી P છે જે તર્કસંગત વિધેયો L = F (t1,., tn) ના ક્ષેત્રમાં ગુણાંક સાથે F પર અનિશ્ચિત હોય છે, જેમ કે P ના વિભાજન ક્ષેત્ર M પાસે L પર ગેલોઇસ જૂથ G હોય છે, અને જેથી ગેલોઇસ જૂથ G સાથેના દરેક વિસ્તરણ K/F ને બહુપદીના વિભાજન ક્ષેત્ર તરીકે મેળવી શકાય છે જે વિશેષતા છે. આપેલ ગેલોઇસ જૂથ માટે સામાન્ય બહુપદીનું અસ્તિત્વ, અને ખાસ કરીને રચના, તે જૂથ માટે વ્યસ્ત ગેલોઇસ સમસ્યાનું સંપૂર્ણ સમાધાન પૂરું પાડે છે. જો કે, તમામ ગેલોઇસ જૂથોમાં સામાન્ય બહુપદીઓ હોતી નથી, એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ ક્રમ આઠનું ચક્રીય જૂથ છે. સામાન્ય બહુપદી ધરાવતા જૂથો સમપ્રમાણ જૂથ Sn. આ તુચ્છ છે, જેમ કે Sn માટે સામાન્ય બહુપદી છે. ચક્રીય જૂથો Cn, જ્યાં n એ આઠથી વિભાજીત થતું નથી. લેન્સ્ટ્રાએ દર્શાવ્યું હતું કે જો n એ આઠ વડે વિભાજ્ય હોય તો ચક્રીય જૂથમાં સામાન્ય બહુપદી હોતી નથી અને જો n એ આઠ વડે વિભાજ્ય ન હોય તો G. W. સ્મિથ સ્પષ્ટપણે આવી બહુપદી બનાવે છે. ચક્રીય જૂથની રચના સામાન્ય બહુપદીઓના અન્ય વર્ગો તરફ દોરી જાય છે; ખાસ કરીને ડાયહેડ્રલ જૂથ Dn સામાન્ય બહુપદી ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો n આઠથી વિભાજીત ન હોય. ક્વાટર્નિયન જૂથ Q8. કોઈપણ વિષમ અવિભાજ્ય માટે હેઇસેનબર્ગ જૂથો p. વૈકલ્પિક જૂથ A4. વૈકલ્પિક જૂથ A5. E6, E7 અને E8 માટે મૂળ પ્રણાલીઓના ચોક્કસ જૂથો સહિત, Q પર વ્યાખ્યાયિત પ્રતિબિંબ જૂથો. કોઈપણ જૂથ કે જે બે જૂથોનું સીધું ઉત્પાદન છે, જે બંને સામાન્ય બહુપદી ધરાવે છે. કોઈપણ જૂથ કે જે બે જૂથોનું પુષ્પગુચ્છ ઉત્પાદન છે, જે બંનેમાં સામાન્ય બહુપદીઓ હોય છે. સામાન્ય બહુપદીઓના ઉદાહરણો સામાન્ય બહુપદીઓ ડિગ્રી 5 કે તેથી ઓછા તમામ સંક્રમક જૂથો માટે જાણીતા છે. સામાન્ય પરિમાણ F ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત જૂથ G માટે સામાન્ય પરિમાણ, સૂચવવામાં આવે છે, તેને G ઉપર F માટે સામાન્ય બહુપદીમાં પરિમાણોની ન્યૂનતમ સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અથવા જો કોઈ સામાન્ય બહુપદી અસ્તિત્વમાં ન હોય તો. ઉદાહરણોઃ પ્રકાશનો જેનસન, ક્રિશ્ચિયન યુ., લેડેટ, આર્ને અને યુઈ, નોરિકો, સામાન્ય બહુપદી, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2002 ફિલ્ડ (ગણિત) ગેલોઇસ સિદ્ધાંત