Band matrix
ગણિતમાં, ખાસ કરીને મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતમાં, બેન્ડ મેટ્રિક્સ અથવા બેન્ડેડ મેટ્રિક્સ એ એક વિરલ મેટ્રિક્સ છે જેની બિન-શૂન્ય એન્ટ્રીઓ કર્ણ બેન્ડ સુધી મર્યાદિત હોય છે, જેમાં મુખ્ય કર્ણ અને બંને બાજુએ શૂન્ય અથવા વધુ કર્ણ હોય છે. બેન્ડ મેટ્રિક્સ બેન્ડવિડ્થ ઔપચારિક રીતે, એન × એન મેટ્રિક્સ એ = (એઇ, જે) ને ધ્યાનમાં લો. જો બધા મેટ્રિક્સ ઘટકો ત્રાંસા સરહદી પટ્ટાની બહાર શૂન્ય હોય, જેની શ્રેણી સ્થિરાંકો k1 અને k2 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવેઃ તો પછી k1 અને k2 જથ્થાને અનુક્રમે અને કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સનો ધ એ k1 અને k2 નો મહત્તમ છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે સંખ્યા k એવી છે કે જો. ઉદાહરણો k1 = k2 = 0 સાથેનું બેન્ડ મેટ્રિક્સ એ વિકર્ણ મેટ્રિક્સ છે k1 = k2 = 1 સાથેનું બેન્ડ મેટ્રિક્સ એ ત્રિકોણીય મેટ્રિક્સ છે. ત્રિકોણીય મેટ્રિક્સ k1 = 0 માટે, k2 = n − 1, એ જ રીતે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મેળવે છે, k1 = n − 1 માટે, k2 = 0 નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ મેળવે છે. જ્યારે બેન્ડવિડ્થ મર્યાદિત હોય ત્યારે ઉપલા અને નીચલા હેસેનબર્ગ મેટ્રિક્સ ટોઇપ્લિટ્ઝ મેટ્રિક્સ કરે છે. બ્લોક કર્ણ મેટ્રિક્સ શિફ્ટ મેટ્રિક્સ અને શીયર મેટ્રિક્સ જોર્ડનમાં મેટ્રિક્સ સામાન્ય સ્વરૂપ એ સ્કાયલાઇન મેટ્રિક્સ, જેને "ચલ બેન્ડ મેટ્રિક્સ" પણ કહેવાય છે, બેન્ડ મેટ્રિક્સનું સામાન્યીકરણ લેહમેર મેટ્રિક્સના વ્યુત્ક્રમો સતત ત્રિકોણીય મેટ્રિક્સ છે, અને આમ બેન્ડ મેટ્રિક્સ છે. સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણમાં, મર્યાદિત તત્વ અથવા મર્યાદિત તફાવત સમસ્યાઓના મેટ્રિસીસને ઘણીવાર બેન્ડ કરવામાં આવે છે. આવા મેટ્રિસીસને સમસ્યા ચલ વચ્ચેના જોડાણના વર્ણન તરીકે જોઈ શકાય છે; પટ્ટાવાળી મિલકત એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે ચલ મનસ્વી રીતે મોટા અંતર પર જોડાયેલા નથી. આવા મેટ્રિસીસને વધુ વિભાજિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, બેન્ડેડ મેટ્રિસીસ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં બેન્ડમાં દરેક તત્વ બિન-શૂન્ય હોય છે. એક-પરિમાણીય સમસ્યાઓનું વિવેચન કરતી વખતે આ ઘણીવાર ઊભી થાય છે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સમસ્યાઓ પણ બેન્ડેડ મેટ્રિસીસ તરફ દોરી જાય છે, આ કિસ્સામાં બેન્ડ પોતે પણ વિરલ હોય છે. દાખલા તરીકે, ચોરસ ડોમેન પર આંશિક વિભેદક સમીકરણ (કેન્દ્રીય તફાવતોનો ઉપયોગ કરીને) મેટ્રિક્સ પરિમાણના વર્ગમૂળની બરાબર બેન્ડવિડ્થ સાથે મેટ્રિક્સ આપશે, પરંતુ બેન્ડની અંદર માત્ર 5 કર્ણ બિન-શૂન્ય હોય છે. કમનસીબે, આવા મેટ્રિક્સમાં ગૌસીયન નાબૂદી (અથવા સમકક્ષ એલયુ વિઘટન) લાગુ કરવાથી બેન્ડ ઘણા બિન-શૂન્ય તત્વો દ્વારા ભરવામાં આવે છે. બેન્ડ સંગ્રહ બેન્ડ મેટ્રિક્સ સામાન્ય રીતે બેન્ડમાં કર્ણને સંગ્રહિત કરીને સંગ્રહિત કરવામાં આવે છે; બાકીનું સ્પષ્ટ રીતે શૂન્ય હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિભુજાકાર મેટ્રિક્સમાં બેન્ડવિડ્થ 1 હોય છે. 6-બાય-6 મેટ્રિક્સને 6-બાય-3 મેટ્રિક્સ તરીકે સંગ્રહિત કરવામાં આવે છે જ્યારે મેટ્રિક્સ સમપ્રમાણ હોય ત્યારે વધુ બચત શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2 ની ઉપરની બેન્ડવિડ્થ સાથે સપ્રમાણ 6-બાય-6 મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લોઃ આ મેટ્રિક્સ 6-બાય-3 મેટ્રિક્સ તરીકે સંગ્રહિત છેઃ વિરલ મેટ્રિક્સનું બેન્ડ સ્વરૂપ ગણતરીના દૃષ્ટિકોણથી, બેન્ડ મેટ્રિક્સ સાથે કામ કરવું હંમેશા સમાન પરિમાણવાળા ચોરસ મેટ્રિક્સ સાથે કામ કરવા માટે પ્રાધાન્ય આપે છે. બેન્ડ મેટ્રિક્સને જટિલતામાં લંબચોરસ મેટ્રિક્સ સાથે સરખાવી શકાય છે, જેની હરોળનું પરિમાણ બેન્ડ મેટ્રિક્સની બેન્ડવિડ્થ જેટલું હોય છે. આમ ગુણાકાર જેવી કામગીરી કરવામાં સામેલ કાર્યમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે, જે ઘણીવાર ગણતરીના સમય અને જટિલતાની દ્રષ્ટિએ મોટી બચત તરફ દોરી જાય છે. જેમ જેમ વિરલ મેટ્રિક્સ ગાઢ મેટ્રિક્સ કરતાં વધુ કાર્યક્ષમ ગણતરી માટે પોતાને ઉધાર આપે છે, તેમજ કમ્પ્યુટર સંગ્રહના વધુ કાર્યક્ષમ ઉપયોગમાં, મેટ્રિક્સમાં ક્રમચયો લાગુ કરીને બેન્ડવિડ્થને ઘટાડવાની રીતો શોધવા (અથવા સીધા ભરણને ઘટાડવા) પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવામાં આવ્યું છે, અથવા આવા અન્ય સમાનતા અથવા સમાનતા પરિવર્તન. કુથિલ-મેકકી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ વિરલ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સની બેન્ડવિડ્થને ઘટાડવા માટે થઈ શકે છે. જો કે, એવા મેટ્રિસીસ છે જેના માટે રિવર્સ કુથિલ-મેકકી અલ્ગોરિધમ વધુ સારું પ્રદર્શન કરે છે. ઉપયોગમાં લેવાતી અન્ય ઘણી પદ્ધતિઓ છે. પંક્તિઓ અને સ્તંભોના ક્રમચયોના માધ્યમથી ન્યૂનતમ બેન્ડવિડ્થ સાથે મેટ્રિક્સની રજૂઆત શોધવાની સમસ્યા એન. પી.-હાર્ડ છે. વિકર્ણ મેટ્રિક્સ ગ્રાફ બેન્ડવિડ્થ નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . . બાહ્ય કડીઓ એલ. એ. પી. એ. સી. કે. અને બેન્ડ મેટ્રિક્સને લગતી માહિતી બેન્ડેડ મેટ્રિક્સ અને અન્ય વિરલ મેટ્રિક્સ બંધારણો પરનું ટ્યુટોરીયલ વિરલ મેટ્રિક્સ