Engel's theorem
પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં, ગણિતની એક શાખા, એન્જેલનો પ્રમેય જણાવે છે કે મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત એ નિલપોટેન્ટ લાઈ બીજગણિત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક માટે, દ્વારા આપવામાં આવેલ સંલગ્ન નકશો, એક નિલપોટેન્ટ એન્ડોમોર્ફિઝમ હોય; એટલે કે, કેટલાક k માટે. તે પ્રમેયનું પરિણામ છે, જેને એન્જેલનો પ્રમેય પણ કહેવાય છે, જે કહે છે કે જો મેટ્રિસીસના લાઈ બીજગણિતમાં નિલપોટેન્ટ મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે, તો પછી મેટ્રિસીસ બધાને એક સાથે સખત ઉપલા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવી શકાય છે. નોંધ લો કે જો આપણી પાસે માત્ર મેટ્રિસીસનો લાઈ બીજગણિત હોય જે લાઈ બીજગણિત તરીકે નિલપોટેન્ટ હોય, તો આ નિષ્કર્ષ અનુસરતો નથી (એટલે કે. લાઈના "સોલ્વેબલ" ના પ્રમેયમાં "નિલપોટેન્ટ" સાથે અને "ઉપલા ત્રિકોણાકાર" માં "કડક રીતે ઉપલા ત્રિકોણાકાર" સાથે નિષ્કપટ રિપ્લેસમેન્ટ ખોટું છે; આ પહેલેથી જ સ્કેલર મેટ્રિસીસના એક-પરિમાણીય લાઈ સબઅલ્જેબ્રા માટે નિષ્ફળ જાય છે). આ પ્રમેયનું નામ ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રેડરિક એન્ગલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 20 જુલાઈ 1890ના રોજ વિલ્હેલ્મ કિલિંગને લખેલા પત્રમાં તેનો પુરાવો તૈયાર કર્યો હતો. એન્ગલના વિદ્યાર્થી કે. એ. ઉમલાઉફે તેમના 1891 ના મહાનિબંધમાં સંપૂર્ણ પુરાવો આપ્યો હતો, જે તરીકે પુનઃમુદ્રિત થયો હતો. નિવેદનો ચાલો મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા V અને ઉપ-બીજગણિતના એન્ડોમોર્ફિઝમનું લાઈ બીજગણિત હોઈએ. પછી એન્જેલનો પ્રમેય જણાવે છે કે નીચેની બાબતો સમકક્ષ છેઃ દરેક વી પર નિલપોટેન્ટ એન્ડોમોર્ફિઝમ છે. ત્યાં એક ધ્વજ અસ્તિત્વમાં છે; એટલે કે, ના તત્વો એક સાથે સખત રીતે ઉપલા-ત્રિકોણાકાર છે. નોંધ લો કે અંતર્ગત આધાર ક્ષેત્ર પર કોઈ ધારણા જરૂરી નથી. આપણે નોંધ્યું છે કે સ્ટેટમેન્ટ 2. વિવિધ અને V માટે સ્ટેટમેન્ટની સમકક્ષ છે દરેક બિન-શૂન્ય મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા V અને પેટા બીજગણિત માટે, V માં એક બિન-શૂન્ય વેક્ટર v અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે દરેક માટે આ #Proof માં સાબિત થયેલ થીયરમનું સ્વરૂપ છે. (આ નિવેદન તુચ્છ રીતે નિવેદન 2 ની સમકક્ષ છે કારણ કે તે વ્યક્તિને જરૂરી ગુણધર્મો સાથે ફ્લેગ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.) સામાન્ય રીતે, લાઈ બીજગણિતને નિલપોટેન્ટ કહેવામાં આવે છે જો તેની નીચલી કેન્દ્રીય શ્રેણી મર્યાદિત તબક્કામાં અદૃશ્ય થઈ જાય; એટલે કે, = (i + 1)-th ઘાત માટે, ત્યાં અમુક k છે. પછી એન્જેલનો પ્રમેય નીચેનો પ્રમેય સૂચવે છે (જેને એન્જેલનો પ્રમેય પણ કહેવાય છે): જ્યારે મર્યાદિત પરિમાણ હોય, ત્યારે તે નિલપોટેન્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક માટે નિલપોટેન્ટ હોય. ખરેખર, જો નિલપોટેન્ટ ઓપરેટર્સ હોય, તો પછી 1 દ્વારા. 2. બીજગણિત પર લાગુ થાય છે, ત્યાં એક ધ્વજ અસ્તિત્વમાં છે. કારણ કે, આ સૂચવે છે કે તે નિલપોટેન્ટ છે. (વિપરીત વ્યાખ્યાથી સીધા જ અનુસરે છે.) પુરાવો આપણે પ્રમેયના નીચેના સ્વરૂપને સાબિત કરીએ છીએઃ જો લાઈ સબઅલ્જેબ્રા એવું હોય કે દરેક એક નિલપોટેન્ટ એન્ડોમોર્ફિઝમ હોય અને જો V નું હકારાત્મક પરિમાણ હોય, તો V માં એક બિન-શૂન્ય વેક્ટર v અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે દરેક X માટે. સાબિતી પરિમાણ પર ઇન્ડક્શન દ્વારા છે અને તેમાં થોડા પગલાંઓનો સમાવેશ થાય છે. (નોંધ લો કે સાબિતીનું માળખું લાઈના પ્રમેય જેવું જ છે, જે ઉકેલવા યોગ્ય બીજગણિત સાથે સંબંધિત છે.) મૂળભૂત કેસ તુચ્છ છે અને આપણે ધારીએ છીએ કે તેનું પરિમાણ હકારાત્મક છે. પગલું 1: એકમાં કોડિમેન્શનનો આદર્શ શોધો. આ સૌથી મુશ્કેલ પગલું છે. ચાલો એક મહત્તમ (યોગ્ય) ઉપ-બીજગણિત હોઈએ, જે મર્યાદિત-પરિમાણીયતા દ્વારા અસ્તિત્વમાં છે. અમે દાવો કરીએ છીએ કે તે કોડિમેન્શનનો આદર્શ છે. દરેક માટે, તે તપાસવું સરળ છે કે (1) રેખીય એન્ડોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે અને (2) આ પ્રેરિત નકશો નિલપોટેન્ટ છે (હકીકતમાં, નિલપોટેન્ટની જેમ નિલપોટેન્ટ છે; જોર્ડન-ચેવલી decomposition#Lie આલ્જેબ્રા જુઓ). આમ, દ્વારા પેદા થયેલા લાઈ ઉપ-બીજગણિત પર લાગુ કરાયેલ પ્રેરક પૂર્વધારણા દ્વારા, દરેક માટે બિન-શૂન્ય વેક્ટર v અસ્તિત્વમાં છે. એટલે કે, જો કેટલાક માટે Y અંદર છે પરંતુ અંદર નથી, તો પછી દરેક માટે. પરંતુ પછી Y દ્વારા ફેલાયેલ સબસ્પેસ એ લાઈ સબઅલ્જેબ્રા છે જેમાં કોડિમેન્શન એકનો આદર્શ છે. તેથી, મહત્તમતા દ્વારા. આ દાવાને સાબિત કરે છે. પગલું 2: ચાલો. પછી W ને સ્થિર કરે છે; એટલે કે દરેક માટે. ખરેખર, અંદર અને અંદર માટે, આપણી પાસે છેઃ કારણ એક આદર્શ છે અને તેથી. આમ, ડબલ્યુ. માં છે. પગલું 3: બિન-શૂન્ય વેક્ટરને શોધીને સાબિતી પૂર્ણ કરો જે દ્વારા નાશ પામે છે. લખો કે જ્યાં L એ એક-પરિમાણીય વેક્ટર સબસ્પેસ છે. ધારો કે Y એ L માં નોનઝીરો વેક્ટર છે અને v એ W માં નોનઝીરો વેક્ટર છે. હવે, તે એક નિલપોટેન્ટ એન્ડોમોર્ફિઝમ (પૂર્વધારણા દ્વારા) છે અને તેથી કેટલાક k માટે. પછી તે જરૂરી વેક્ટર છે કારણ કે વેક્ટર W માં પગલું 2 દ્વારા આવેલું છે. લાઈનો પ્રમેય હેઇસેનબર્ગ જૂથ નોંધો સાઇટેશન વર્ક્સ પણ જુઓ, જેમાં પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં લાઈ આલ્જેબ્રા પ્રમેયોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે.