Angle of parallelism
હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં, સમાંતર કોણ એ બે એસિમ્પ્ટોટિક સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા જમણા હાયપરબોલિક ત્રિકોણના બિન-જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુ પરનો કોણ છે. કોણ જમણા ખૂણા અને સમાંતરતાના ખૂણાના શિરોબિંદુ વચ્ચેના ખંડની લંબાઈ a પર આધાર રાખે છે. રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુને જોતાં, બિંદુથી રેખા પર લંબરૂપ છોડો. ધારો કે a એ આ લંબરૂપ ખંડની લંબાઈ છે, અને તે સૌથી નાનો ખૂણો છે કે જેથી બિંદુ પરથી દોરવામાં આવેલી રેખા આપેલ રેખાને છેદતી નથી. બે બાજુઓ એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સમાંતર હોવાથી, ત્યાં પાંચ સમકક્ષ સમીકરણો છે જે સંબંધિત છે અને a: જ્યાં sinh, cosh, tanh, sech અને csch હાયપરબોલિક કાર્યો છે અને gd એ ગુડરમેનિયન કાર્ય છે. બાંધકામ જાનોસ બોલ્યાઈએ એક એવી રચના શોધી કાઢી જે r પર નહીં પણ બિંદુ A માંથી પસાર થતી રેખા r ને એસિમ્પ્ટોટિક સમાંતર s આપે છે. r પર A થી B પર લંબરૂપ છોડો. B થી અલગ r પર કોઈપણ બિંદુ C પસંદ કરો. સી પર એક લંબ ટી થી આર ઊભી કરો. ટી પર એ થી ડી પર એક લંબ ડ્રોપ કરો. પછી લંબાઈ ડી. એ. સી. બી કરતા લાંબી છે, પરંતુ સી. એ. કરતા ટૂંકી છે. સી ની આસપાસ એક વર્તુળ દોરો જેની ત્રિજ્યા ડી. એ. ની બરાબર હોય. તે ખંડ AB ને બિંદુ E પર છેદે છે. પછી BEC કોણ BC ની લંબાઈથી સ્વતંત્ર છે, જે ફક્ત AB પર આધાર રાખે છે; તે સમાંતરતાનો કોણ છે. AB થી BEC ખૂણા પર A દ્વારા s ની રચના કરો. અહીં વપરાયેલ સૂત્રો માટે જમણા ત્રિકોણની ત્રિકોણમિતિ જુઓ. સમાંતરતાનો કોણ 1840માં નિકોલાઈ લોબાચેવસ્કી દ્વારા જર્મન પ્રકાશન "જીઓમેટ્રીશ અનટર્સુચુંગેન જુર થિયરી ડેર પેરેલેલિનીન" માં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. ટેક્સાસના પ્રોફેસર જી. બી. હેલસ્ટેડે 1891માં અનુવાદ તૈયાર કર્યા પછી આ પ્રકાશન અંગ્રેજીમાં વ્યાપકપણે જાણીતું બન્યું હતું. (સમાંતર સિદ્ધાંતો પરના ભૌમિતિક સંશોધનો) હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં આ મુખ્ય ખ્યાલને નીચે આપેલા માર્ગો વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ સમાંતર એચ. એ. અને લંબ એડી વચ્ચેના કોણ એચ. એ. ડી. ને સમાંતર કોણ (સમાંતર કોણ) કહેવામાં આવે છે જેને આપણે અહીં એડી = પી માટે Π (પી) દ્વારા નિર્ધારિત કરીશું. પ્રદર્શન હાયપરબોલિક પ્લેનના પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ મોડેલમાં (હાયપરબોલિક ગતિ જુઓ), યુક્લિડિયન ભૂમિતિ સાથે φ નો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાય છે. ધારો કે Q એ x-અક્ષ પર વ્યાસ સાથેનું અર્ધવર્તુળ છે જે બિંદુઓ (1,0) અને (0, y) માંથી પસાર થાય છે, જ્યાં y> 1 છે. Q એ મૂળ પર કેન્દ્રિત એકમ અર્ધવર્તુળને સ્પર્શક હોવાથી, બે અર્ધવર્તુળો સમાંતર હાયપરબોલિક રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વાય-અક્ષ બંને અર્ધવર્તુળોને પાર કરે છે, જે એકમ અર્ધવર્તુળ સાથે સમકોણ બનાવે છે અને ક્યૂ સાથે ચલ કોણ બનાવે છે. (0, y) ની ત્રિજ્યા દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલ Q ના કેન્દ્રમાં કોણ પણ φ છે કારણ કે બે ખૂણાઓની બાજુઓ લંબ, ડાબી બાજુથી ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુથી જમણી બાજુ હોય છે. અર્ધવર્તુળ Q નું કેન્દ્ર (x, 0), x <0 પર છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા 1 − x છે. આમ, Q ની ત્રિજ્યાનો વર્ગ તેથી હાયપરબોલિક ભૂમિતિના પોઇનકેરે અર્ધ-સમતલ નમૂનાનું મેટ્રિક લઘુગણક માપ સાથે {(0, y): y> 0} કિરણો પરના અંતરને પરિમાણ આપે છે. ચાલો લોગ y = a, તેથી y = ea જ્યાં e એ કુદરતી લઘુગણકનો આધાર છે. પછી φ અને a વચ્ચેનો સંબંધ ત્રિકોણ {(x, 0), (0,0), (0, y)} પરથી તારવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ સંદર્ભો માર્વિન જે. ગ્રીનબર્ગ (1974) યુક્લિડિયન અને નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, pp. 211-3, W. H. ફ્રીમેન એન્ડ કંપની. રોબિન હાર્ટશોર્ન (1997) કમ્પેનિયન ટુ યુક્લિડ પીપી. 319, 325, અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી. જેરેમી ગ્રે (1989) આઇડિયાજ ઓફ સ્પેસઃ યુક્લિડિયન, નોન-યુક્લિડિયન, એન્ડ રિલેટિવિસ્ટિક, બીજી આવૃત્તિ, ક્લેરેન્ડન પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ (પૃષ્ઠો 113 થી 118 જુઓ). બેલા કેરેક્જાર્ટો (1966) લેસ ફૉન્ડમેન્ટ્સ ડી લા જીઓમેટ્રી, ટોમ ડ્યુક્સ, § 97.6 એન્ગલ ડી પેરેલેલિઝમ ડી લા જીઓમેટ્રી હાયપરબોલિક, પીપી. 411, 2, એકેડેમિયા કિયાડો, બુડાપેસ્ટ. હાયપરબોલિક ભૂમિતિ કાર્યો અને નકશા કોણ