Schwarzschild geodesics
સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ભૂગણિત કેન્દ્રીય નિશ્ચિત દળના ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રમાં પરીક્ષણ કણોની ગતિનું વર્ણન કરે છે, જે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકમાં ગતિ છે. આઈન્સ્ટાઈનના સામાન્ય સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતની માન્યતામાં શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ભૂગણિત મહત્ત્વનું રહ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ સૌરમંડળમાં ગ્રહોની વિસંગત પ્રગતિ અને ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પ્રકાશના વિક્ષેપણની સચોટ આગાહીઓ પ્રદાન કરે છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ભૂગણિત માત્ર દળોના કણોની ગતિ સાથે સંબંધિત છે જેથી નાના કણો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં બહુ ઓછું યોગદાન આપે છે. જો કે, તેઓ ઘણા એસ્ટ્રોફિઝિકલ દૃશ્યોમાં અત્યંત સચોટ છે, જો કે તે કેન્દ્રીય સમૂહ કરતા ઘણા ગણા નાના હોય, દા. ત., તેમના તારાની પરિક્રમા કરતા ગ્રહો માટે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ભૂગણિત એ મનસ્વી દળના બે પદાર્થોની સાપેક્ષ ગતિનો પણ સારો અંદાજ છે, જો કે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ દળ બે વ્યક્તિગત દળોના સરવાળા બરાબર સેટ કરેલું હોય અને. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં દ્વિસંગી તારાઓની ગતિની આગાહી કરવામાં આ મહત્વપૂર્ણ છે. ઐતિહાસિક સંદર્ભમાં શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકનું નામ તેના શોધક કાર્લ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડના સન્માનમાં રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે આઈન્સ્ટાઈનના સામાન્ય સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતના પ્રકાશનના લગભગ એક મહિના પછી 1915માં ઉકેલ શોધી કાઢ્યો હતો. તે તુચ્છ સપાટ અવકાશ ઉકેલ સિવાય આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણોનો પ્રથમ ચોક્કસ ઉકેલ હતો. 1931માં, યુસુકે હાગિહારાએ એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું હતું જે દર્શાવે છે કે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકમાં પરીક્ષણ કણોની ગતિ લંબગોળ કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. 1949માં સામુઇલ કેપલાને દર્શાવ્યું હતું કે શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકમાં ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા માટે ઓછામાં ઓછી ત્રિજ્યા સ્થિર છે. આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણો માટે ચોક્કસ ઉકેલ એ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક છે, જે ચાર્જ વગરના, બિન-ફરતા, ગોળાકાર રીતે સમપ્રમાણતાવાળા દળના બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ઉકેલને આ રીતે લખી શકાય છે કે જ્યાં, નાના હકારાત્મક દળના પરીક્ષણ કણના કિસ્સામાં, સેકન્ડમાં યોગ્ય સમય (કણ સાથે ચાલતી ઘડિયાળ દ્વારા માપવામાં આવેલો સમય) છે, મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં પ્રકાશની ઝડપ છે, કારણ કે, સેકન્ડમાં સમય સંકલન (અનંત પર સ્થિર ઘડિયાળ દ્વારા માપવામાં આવેલો સમય) છે, કારણ કે, મીટરમાં રેડિયલ સંકલન (તારો પર કેન્દ્રિત વર્તુળનો પરિઘ), રેડિયનમાં અક્ષાંશ (ઉત્તરથી કોણ) છે, રેડિયનમાં રેખાંશ છે, અને તે વિશાળ પદાર્થ (મીટરમાં) ની શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા છે, જે તેના દળ સાથે સંબંધિત છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક છે. જેમ જેમ ગુણોત્તર શૂન્ય પર જાય છે તેમ તેમ ગુરુત્વાકર્ષણનો શાસ્ત્રીય ન્યુટોનિયન સિદ્ધાંત મર્યાદામાં પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. તે મર્યાદામાં, મેટ્રિક વિશેષ સાપેક્ષતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલું વળતર આપે છે. વ્યવહારમાં, આ ગુણોત્તર લગભગ હંમેશા અત્યંત નાનો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીની શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા આશરે 9 મીમી (ઇંચ) છે; પૃથ્વીની સપાટી પર, ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણમાં સુધારા એક અબજમાં માત્ર એક ભાગ છે. સૂર્યની શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા ઘણી મોટી છે, આશરે 2953 મીટર, પરંતુ તેની સપાટી પર, ગુણોત્તર આશરે એક મિલિયનમાં 4 ભાગ છે. સફેદ દ્વાર્ફ તારો ઘણો ગાઢ હોય છે, પરંતુ અહીં પણ તેની સપાટી પરનો ગુણોત્તર આશરે 250 ભાગો દસ લાખમાં હોય છે. આ ગુણોત્તર માત્ર ન્યુટ્રોન તારાઓ (જ્યાં ગુણોત્તર આશરે 50 ટકા છે) અને કાળા છિદ્રો જેવા અતિ-ગાઢ પદાર્થોની નજીક મોટો બને છે. પરીક્ષણ કણોની ભ્રમણકક્ષાઓ આપણે વિચારણામાંથી એક ચલને દૂર કરવા માટે સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને સરળ બનાવી શકીએ છીએ. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક લગભગ સમપ્રમાણતાવાળા હોવાથી, કોઈપણ ભૌગોલિક કે જે તે સમતલમાં આગળ વધવાનું શરૂ કરે છે તે અનિશ્ચિત સમય સુધી તે સમતલમાં રહેશે (સમતલ સંપૂર્ણપણે ભૌગોલિક છે). તેથી, આપણે સંકલન પ્રણાલીને દિશા આપીએ છીએ જેથી કણોની ભ્રમણકક્ષા તે સમતલમાં રહે, અને સંકલનને તે રીતે નિશ્ચિત કરીએ જેથી મેટ્રિક (આ સમતલનું) ગતિના બે સ્થિરાંકો (મૂલ્યો કે જે યોગ્ય સમયે બદલાતા નથી) માં સરળ બને (cf. નીચે આપેલ વ્યુત્પત્તિ). એક કુલ ઊર્જા છેઃ અને બીજી ચોક્કસ કોણીય વેગઃ જ્યાં બે પદાર્થોની કુલ કોણીય વેગ છે, અને તે ઘટાડેલા દળ છે. જ્યારે, ઘટેલું દળ લગભગ સમાન હોય છે. ક્યારેક એવું માનવામાં આવે છે. બુધ ગ્રહના કિસ્સામાં આ સરળીકરણ સાપેક્ષવાદી અસર કરતાં બમણી મોટી ભૂલ રજૂ કરે છે. ભૂગણિતની ચર્ચા કરતી વખતે, તેને કાલ્પનિક ગણી શકાય, અને અચળાંકો અને શું મહત્ત્વનું છે. તમામ સંભવિત ભૂગણિતને આવરી લેવા માટે, આપણે એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે જેમાં અનંત (ફોટોનનો માર્ગ આપવો) અથવા કાલ્પનિક (ટેક્યોનિક ભૂગણિત માટે) હોય. ફોટોનિક કેસ માટે, આપણે બે અચળાંકોના ગુણોત્તરને અનુરૂપ સંખ્યા પણ નિર્દિષ્ટ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, જે શૂન્ય અથવા બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. આ સ્થિરાંકોને શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકની વ્યાખ્યામાં સ્થાનાંતર કરવાથી યોગ્ય સમયના કાર્ય તરીકે ત્રિજ્યા માટે ગતિનું સમીકરણ મળે છેઃ આનો ઔપચારિક ઉકેલ એ છે કે નોંધ લો કે વર્ગમૂળ ટેકયોનિક ભૂગણિત માટે કાલ્પનિક હશે. અને વચ્ચે ઉપરના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, આપણે એ પણ લખી શકીએ છીએ કારણ કે એસિમ્પ્ટોટિકલી ઇન્ટિગ્રાન્ડ તેનાથી વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, આ દર્શાવે છે કે સંદર્ભની ફ્રેમમાં જો તે પહોંચે તો તે ક્યારેય પહોંચ્યા વિના ઝડપથી કરે છે. જો કે, એક કાર્ય તરીકે, પહોંચે છે. ઉપરોક્ત ઉકેલો માન્ય છે જ્યારે સંકલન મર્યાદિત છે, પરંતુ કુલ ઉકેલમાં બે અથવા અનંત ટુકડાઓનો સમાવેશ થઈ શકે છે, દરેક અભિન્ન દ્વારા વર્ણવેલ છે પરંતુ વર્ગમૂળ માટે વૈકલ્પિક સંકેતો સાથે. ક્યારે અને, આપણે ક્યારે અને સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકીએઃ અને ફોટોનિક ભૂગણિત માટે () શૂન્ય કોણીય વેગ સાથે (ફોટોનિક કિસ્સામાં યોગ્ય સમય તુચ્છ હોવા છતાં, કોઈ એક એફાઇન પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, અને પછી ભૂગણિત સમીકરણનો ઉકેલ છે.) અન્ય ઉકેલી શકાય તેવો કેસ એ છે કે જેમાં અને અને અચળ છે. જથ્થામાં જ્યાં આ યોગ્ય સમય આપે છે તે નાના અને હકારાત્મક ઉકેલોની નજીક છે. દ્રાવણની બહાર ટેકયોનિક હોય છે અને "યોગ્ય સમય" જગ્યા જેવો હોય છેઃ આ નાના અને નકારાત્મક સાથેના અન્ય ટેકયોનિક દ્રાવણની નજીક હોય છે. બહારના સ્થિર ટેક્યોનિક ભૂગણિતીયને અંદરના સતત ભૂગણિતીય દ્વારા ચાલુ રાખવામાં આવતું નથી, પરંતુ તે "સમાંતર બાહ્ય પ્રદેશ" માં ચાલુ રહે છે (ક્રુસ્કલ-ઝેકેરેસ કોઓર્ડિનેટ્સ જુઓ). અન્ય ટેકયોનિક દ્રાવણ બ્લેક હોલમાં પ્રવેશી શકે છે અને સમાંતર બાહ્ય પ્રદેશમાં ફરીથી બહાર નીકળી શકે છે. ઘટના ક્ષિતિજ () ની અંદર સ્થિર ઉકેલ સફેદ છિદ્રમાં સ્થિર ઉકેલ દ્વારા ચાલુ રહે છે. જ્યારે કોણીય વેગ શૂન્ય ન હોય ત્યારે આપણે યોગ્ય સમય પરની નિર્ભરતાને કોણ પરની નિર્ભરતા દ્વારા બદલી શકીએ છીએ, જેની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ભ્રમણકક્ષા માટે સમીકરણ મળે છે, જ્યાં સંક્ષિપ્તતા માટે, બે લંબાઈ-સ્કેલ અને, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે. આ જ સમીકરણ લગ્રેન્જિયન અભિગમ અથવા હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પણ મેળવી શકાય છે (નીચે જુઓ). ભ્રમણકક્ષાના સમીકરણનો ઉકેલ છે આ વેઇઅરસ્ટ્રાસ લંબગોળ કાર્યની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. સ્થાનિક અને વિલંબિત વેગ શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સથી વિપરીત, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કોઓર્ડિનેટ્સમાં અને સ્થાનિક વેગના રેડિયલ અને ત્રાંસી ઘટકો નથી (સ્થિર નિરીક્ષકને સંબંધિત), તેના બદલે તેઓ ગતિ માટે ઘટકો આપે છે જે રેડિયલ અને ગતિના ત્રાંસી ઘટક સાથે સંબંધિત છે. સમન્વય બુકકીપર દ્રશ્યથી દૂર શેપિરો-વિલંબિત વેગનું નિરીક્ષણ કરે છે, જે સંબંધ અને દ્વારા આપવામાં આવે છે. બુકકીપર અને ફરતા પરીક્ષણ-કણ વચ્ચેના સમય પ્રસરણ પરિબળને તે સ્વરૂપમાં પણ મૂકી શકાય છે જ્યાં અંશ ગુરુત્વાકર્ષણીય છે, અને છેદ એ સમય પ્રસરણનો ગતિમાન ઘટક છે. અનંતમાંથી આવતા કણ માટે ડાબી બાજુનું પરિબળ જમણી બાજુના પરિબળ બરાબર હોય છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં ઘટતો વેગ પલાયન વેગ સાથે મેળ ખાય છે. બે સ્થિરાંકો કોણીય વેગ અને દળ સાથેના પરીક્ષણ કણોની કુલ ઊર્જા અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં જો કણ દળહીન હોય તો તેને અને સાથે બદલવામાં આવે છે, જ્યાં પ્લાન્ક અચળાંક અને સ્થાનિક રીતે અવલોકન કરાયેલ આવર્તન છે. લંબગોળ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઉકેલ ભ્રમણકક્ષાનું મૂળભૂત સમીકરણ જો તેને વ્યસ્ત ત્રિજ્યાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે તો તેને ઉકેલવું સરળ છે આ સમીકરણની જમણી બાજુ એક ઘન બહુપદી છે, જેમાં ત્રણ મૂળ છે, જેને અહીં આ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યા છે, અને ત્રણ મૂળોનો સરવાળો એ શબ્દના ગુણાંક બરાબર છે. જો ત્રણેય મૂળ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, તો મૂળને લેબલ કરવામાં આવે છે જેથી. જો તેના બદલે માત્ર એક જ વાસ્તવિક મૂળ હોય, તો તેને આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે; જટિલ સંયુગ્મ મૂળને લેબલ કરવામાં આવે છે અને. ડેસકાર્ટેસના સંકેતોના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, વધુમાં વધુ એક નકારાત્મક મૂળ હોઈ શકે છે; જો અને માત્ર ત્યારે જ નકારાત્મક છે. નીચે ચર્ચા કર્યા મુજબ, સંભવિત ભ્રમણકક્ષાઓના પ્રકારો નક્કી કરવામાં મૂળ ઉપયોગી છે. મૂળના આ લેબલિંગને જોતાં, મૂળભૂત ભ્રમણકક્ષાના સમીકરણનો ઉકેલ એ છે કે જ્યાં કાર્ય (જેકોબી લંબગોળ કાર્યોમાંનું એક) રજૂ કરે છે અને તે પ્રારંભિક સ્થિતિને પ્રતિબિંબિત કરતી સંકલનની અચળાંક છે. આ લંબગોળ કાર્યનું લંબગોળ માપાંક સૂત્ર ન્યુટોનિયન મર્યાદા દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગ્રહોની ભ્રમણકક્ષાઓ માટે ન્યુટોનિયન ઉકેલને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા શૂન્ય પર જાય તેમ મર્યાદા લે છે. આ કિસ્સામાં, ત્રીજું મૂળ આશરે, અને અથવા કરતાં ઘણું મોટું બને છે. તેથી, મોડ્યુલસ શૂન્ય તરફ વળે છે; તે મર્યાદામાં, ત્રિકોણમિતીય સાઇન ફંક્શન બની જાય છે જે ગ્રહોની ગતિ માટે ન્યૂટનના ઉકેલો સાથે સુસંગત છે, આ સૂત્ર વિકેન્દ્રતાના કેન્દ્રીય શંકુને વર્ણવે છે જો હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો ભ્રમણકક્ષા એક લંબગોળ છે જ્યાં તે અનુક્રમે સૌથી દૂરના અને નજીકના અભિગમના અંતરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો શૂન્ય અથવા નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો ભ્રમણકક્ષા અનુક્રમે પેરાબોલા અથવા હાયપરબોલા છે. આ પછીના બે કિસ્સાઓમાં, સૌથી નજીકના અભિગમના અંતરને રજૂ કરે છે; કારણ કે ભ્રમણકક્ષા અનંત () પર જાય છે, ત્યાં સૌથી દૂરના અભિગમનું કોઈ અંતર નથી. મૂળ અને સંભવિત ભ્રમણકક્ષાની ઝાંખી એક મૂળ ભ્રમણકક્ષાના એક બિંદુને રજૂ કરે છે જ્યાં વ્યુત્પન્ન અદૃશ્ય થઈ જાય છે, એટલે કે, જ્યાં. આવા વળાંક પર, બીજા વ્યુત્પન્નના મૂલ્યના આધારે મહત્તમ, લઘુત્તમ અથવા વળાંક બિંદુ સુધી પહોંચે છે, જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો ત્રણેય મૂળ અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, તો બીજા વ્યુત્પન્ન અનુક્રમે u1, u2 અને u3 પર હકારાત્મક, નકારાત્મક અને સકારાત્મક હોય છે. તે અનુસરે છે કે યુ વિરુદ્ધ φ નો આલેખ ક્યાં તો યુ1 અને યુ2 વચ્ચે દોલન કરી શકે છે, અથવા તે યુ3 થી અનંત તરફ આગળ વધી શકે છે (જે શૂન્ય તરફ જતા r ને અનુરૂપ છે). જો યુ1 નકારાત્મક હોય, તો વાસ્તવમાં "ઓસિલેશન" નો માત્ર એક ભાગ જ થશે. આ અનંતમાંથી આવતા કણોને અનુરૂપ છે, કેન્દ્રીય દળની નજીક પહોંચે છે, અને પછી ફરીથી અનંત તરફ આગળ વધે છે, જેમ કે શાસ્ત્રીય ઉકેલમાં હાયપરબોલિક માર્ગ. જો કણો તેની કોણીય ગતિ માટે માત્ર યોગ્ય માત્રામાં ઊર્જા ધરાવે છે, તો u2 અને u3 મર્જ થશે. આ કિસ્સામાં ત્રણ ઉકેલો છે. ભ્રમણકક્ષા સર્પાકાર થઈ શકે છે, તે ત્રિજ્યાની નજીક (એસિમ્પ્ટોટિકલી) φ માં ઘટતા ઘાતાંકીય તરીકે, અથવા. અથવા તે ત્રિજ્યા પર ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા હોઈ શકે છે. અથવા કોઈની ભ્રમણકક્ષા હોઈ શકે છે જે તે ત્રિજ્યાથી મધ્ય બિંદુ સુધી સર્પાકાર હોય છે. પ્રશ્નમાં ત્રિજ્યાને આંતરિક ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે અને તે 3 ગુણ્યા rs ની વચ્ચે હોય છે. ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા પણ જ્યારે સમાન હોય ત્યારે પરિણમે છે, અને આને બાહ્ય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. આ વિવિધ પ્રકારની ભ્રમણકક્ષાઓની ચર્ચા નીચે કરવામાં આવી છે. જો કણ પર્યાપ્ત ઊર્જા અને પૂરતા પ્રમાણમાં નીચા કોણીય વેગ સાથે કેન્દ્રીય દળ પર આવે તો જ તે વાસ્તવિક હશે. આ બ્લેક હોલમાં પડતા કણને અનુરૂપ છે. ભ્રમણકક્ષા φ માં મર્યાદિત ફેરફાર સાથે સર્પાકાર થાય છે. ભ્રમણકક્ષાની પ્રગતિ કાર્ય sn અને તેનો વર્ગ sn2 અનુક્રમે 4K અને 2K નો સમયગાળો ધરાવે છે, જ્યાં K ને સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી, તે લગભગ સમાન કારણોસર છે કારણ કે મોડ્યુલસ શૂન્યની નજીક છે, તેથી સમયગાળો K ની ઘાતમાં વિસ્તારી શકાય છે; સૌથી નીચા ક્રમમાં, આ વિસ્તરણ ઉપજ આપે છે આ અંદાજોને સૂત્રમાં બદલીને δφ માટે ત્રિજ્યીય ઓસિલેશન દીઠ કોણીય પ્રગતિ માટેનું સૂત્ર આપે છે લંબગોળ ભ્રમણકક્ષા માટે, અને અનુક્રમે સૌથી લાંબા અને ટૂંકા અંતરના વ્યુત્ક્રમને રજૂ કરે છે. આને લંબગોળની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ અને તેની ભ્રમણકક્ષાની ઉત્કેન્દ્રતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પ્રકાશને વળાંક આપતું અંતિમ સમીકરણ આપે છે તેની વ્યાખ્યાને બદલીને આપે છે. જેમ જેમ કણ દળ m શૂન્ય તરફ જાય છે (અથવા, સમાનરૂપે જો પ્રકાશ સીધા કેન્દ્રીય દળ તરફ આગળ વધી રહ્યો હોય, જેમ કે લંબાઈ-સ્કેલ a અનંત તરફ જાય છે), ભ્રમણકક્ષા માટેનું સમીકરણ ની શક્તિઓમાં વિસ્તૃત થાય છે, આ સૂત્રમાં અગ્રણી ક્રમ શબ્દ અનંતથી આવતા અને અનંત તરફ પાછા જતા દળ વિનાના કણ માટે અંદાજિત કોણીય વળાંક δφ આપે છેઃ અહીં, અસર પરિમાણ છે, જે નજીકના અભિગમના અંતર કરતા કંઈક વધારે છેઃ જો કે આ સૂત્ર અંદાજિત છે, તે છે સૂર્યની સપાટી પર પ્રકાશ ચરાઈ માટે, અંદાજિત કોણીય વળાંક આશરે 1.75 આર્કસેકન્ડ્સ છે, જે વર્તુળનો આશરે દસ લાખમો ભાગ છે. ન્યુટોનિયન ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે સંબંધ અસરકારક રેડિયલ સંભવિત ઊર્જા ઉપર તારવેલા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યા rs ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય છે, જે એક-પરિમાણીય અસરકારક સંભવિતતામાં ગતિશીલ કણની સમકક્ષ છે. પ્રથમ બે શબ્દો જાણીતી શાસ્ત્રીય ઊર્જા છે, જેમાં પ્રથમ આકર્ષક ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણીય સંભવિત ઊર્જા છે અને બીજું પ્રતિકારક "કેન્દ્રત્યાગી" સંભવિત ઊર્જાને અનુરૂપ છે; જો કે, ત્રીજું પદ સામાન્ય સાપેક્ષતા માટે અનન્ય આકર્ષક ઊર્જા છે. નીચે અને અન્યત્ર બતાવ્યા પ્રમાણે, આ વ્યસ્ત-સમઘન ઊર્જા લંબગોળ ભ્રમણકક્ષાઓને δφ પ્રતિ પરિભ્રમણ કોણ દ્વારા ધીમે ધીમે આગળ વધવા માટેનું કારણ બને છે જ્યાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ હોય છે અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય છે. ત્રીજું પદ આકર્ષક છે અને નાના મૂલ્યો પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે, જે નિર્ણાયક આંતરિક ત્રિજ્યા આપે છે, જેના પર કણને નિશ્ચિતપણે અંદરની તરફ દોરવામાં આવે છે; આ આંતરિક ત્રિજ્યા એ એકમ દળ દીઠ કણના કોણીય વેગનું કાર્ય છે અથવા, સમકક્ષ રીતે, ઉપર વ્યાખ્યાયિત લંબાઈ-સ્કેલ છે. ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાઓ અને તેમની સ્થિરતા અસરકારક ક્ષમતાને લંબાઈની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખી શકાય છે. વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષાઓ ત્યારે શક્ય બને છે જ્યારે અસરકારક બળ શૂન્ય હોય, એટલે કે જ્યારે બે આકર્ષક બળો-ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણ (પ્રથમ પદ) અને સામાન્ય સાપેક્ષતા માટેનું અનન્ય આકર્ષણ (ત્રીજું પદ)-પ્રતિકારક કેન્દ્રત્યાગી બળ (બીજું પદ) દ્વારા બરાબર સંતુલિત હોય. બે ત્રિજ્યાઓ છે જેના પર આ સંતુલન થઈ શકે છે, જેને અહીં રિનર અને રાઉટર તરીકે સૂચવવામાં આવે છે જે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. આંતરિક ત્રિજ્યા રિનર અસ્થિર હોય છે, કારણ કે જ્યારે r નાનું થાય છે ત્યારે આકર્ષક ત્રીજું બળ અન્ય બે બળો કરતાં વધુ ઝડપથી મજબૂત બને છે; જો કણ રિનરથી સહેજ અંદરની તરફ લપસી જાય છે (જ્યાં ત્રણેય બળો સંતુલનમાં હોય છે), તો ત્રીજું બળ અન્ય બે પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે અને કણને અંદરની તરફ r = 0 તરફ ખેંચે છે. બાહ્ય ત્રિજ્યા પર, જોકે, ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાઓ સ્થિર હોય છે; ત્રીજું પદ ઓછું મહત્વનું છે અને સિસ્ટમ બિન-સાપેક્ષવાદી કેપ્લર સમસ્યા જેવી વધુ વર્તે છે. જ્યારે તે (શાસ્ત્રીય કેસ) કરતા ઘણો મોટો હોય છે, ત્યારે આ સૂત્રો લગભગ બની જાય છે અને rs ની વ્યાખ્યાઓને રાઉટરમાં બદલીને દળના પદાર્થની પરિભ્રમણ કરતા દળના કણ માટે શાસ્ત્રીય સૂત્ર મળે છે. જ્યાં ωφ એ કણની ભ્રમણકક્ષાની કોણીય ઝડપ છે. આ સૂત્ર બિન-સાપેક્ષવાદી મિકેનિક્સમાં કેન્દ્રત્યાગી બળને ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણ બળની બરાબર સુયોજિત કરીને મેળવવામાં આવે છેઃ ઘટાડેલું દળ ક્યાં છે? આપણા સંકેતલિપીમાં, શાસ્ત્રીય ભ્રમણકક્ષાની કોણીય ઝડપ બરાબર થાય છે બીજી ચરમસીમાએ, જ્યારે a2 ઉપરથી 3r2 સુધી પહોંચે છે, ત્યારે બે ત્રિજ્યાઓ એક જ મૂલ્યમાં એકરૂપ થાય છે. rs કરતા નાની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાઓ શક્ય નથી. દળહીન કણો માટે, a અનંત તરફ જાય છે, જે સૂચવે છે કે રિનર = rs પર ફોટોન માટે ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા છે. આ ત્રિજ્યાના ગોળાને કેટલીકવાર ફોટોન ગોળા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ત્રિજ્યા રાઉટરની ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષામાંથી એક નાનું ત્રિજ્યા વિચલન કોણીય આવર્તન સાથે સ્થિર રીતે દોલન કરશે જે બંને બાજુના વર્ગમૂળને લઈને અને ટેલર શ્રેણીનું પ્રદર્શન કરીને વિસ્તરણ ઉપજ એક પરિભ્રમણના સમયગાળા T દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી પરિભ્રમણ દીઠ ભ્રમણકક્ષાની પ્રગતિ મળે છે જ્યાં આપણે ωφT = 2p અને લંબાઈ-સ્કેલ a ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ત્રિજ્યાની વ્યાખ્યાને બદલીને rs મળે છે આ લંબગોળ ભ્રમણકક્ષાના અર્ધ-અક્ષ A અને સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત e વિકેન્દ્રતાનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, જે ભ્રમણકક્ષાના સમીકરણ ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકોની ગણિતીય વ્યુત્પત્તિ આપે છે. સપાટ અવકાશ-સમયમાં, ગુરુત્વાકર્ષણના સ્ત્રોતથી દૂર, આ ભૂગણિત સીધી રેખાઓને અનુરૂપ હોય છે; જો કે, જ્યારે અવકાશ-સમય વક્ર હોય ત્યારે તેઓ સીધી રેખાઓથી વિચલિત થઈ શકે છે. ભૂગણિતીય રેખાઓ માટેનું સમીકરણ એ છે કે જ્યાં કુલુ ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને ચલ પરિમાણો અવકાશ-સમય, તેની કહેવાતી વિશ્વ રેખા દ્વારા કણના માર્ગને રજૂ કરે છે. ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીક માત્ર મેટ્રિક ટેન્સર પર અથવા તે સ્થિતિ સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તેના પર આધાર રાખે છે. ચલ એ સમય સમાન ભ્રમણકક્ષાઓ (જે મોટા કણો દ્વારા મુસાફરી કરે છે) માટે યોગ્ય સમયનો સતત ગુણાંક છે, અને સામાન્ય રીતે તેની બરાબર ગણવામાં આવે છે. પ્રકાશ જેવી (અથવા શૂન્ય) ભ્રમણકક્ષાઓ માટે (જે ફોટોન જેવા દળહીન કણો દ્વારા મુસાફરી કરે છે), યોગ્ય સમય શૂન્ય છે અને, સખત રીતે કહીએ તો, ચલ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. તેમ છતાં, પ્રકાશ જેવી ભ્રમણકક્ષાઓને સમય સમાન ભ્રમણકક્ષાઓની અતિ-સાપેક્ષ મર્યાદા તરીકે મેળવી શકાય છે, એટલે કે, તેની કુલ ઊર્જાને સ્થિર રાખીને કણ દળ m શૂન્ય પર જાય છે. તેથી, કણની ગતિ માટે ઉકેલ લાવવાનો સૌથી સીધો રસ્તો ભૂગણિતીય સમીકરણને ઉકેલવાનો છે, જે આઈન્સ્ટાઈન અને અન્ય લોકો દ્વારા અપનાવવામાં આવેલો અભિગમ છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકને તે રીતે લખી શકાય છે જ્યાં બે કાર્યો અને તેના પારસ્પરિકને સંક્ષિપ્તતા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ મેટ્રિકમાંથી, ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકોની ગણતરી કરી શકાય છે, અને પરિણામોને જીઓડેસિક સમીકરણોમાં બદલી શકાય છે તે ચકાસી શકાય છે કે આ ચાર સમીકરણોમાંથી પ્રથમમાં અવેજી દ્વારા માન્ય ઉકેલ છે. સમપ્રમાણતા દ્વારા, ભ્રમણકક્ષા સમતલીય હોવી જોઈએ, અને આપણે સંકલન માળખાને ગોઠવવા માટે મુક્ત છીએ જેથી વિષુવવૃત્તીય સમતલ ભ્રમણકક્ષાનું સમતલ હોય. આ ઉકેલ બીજા અને ચોથા સમીકરણોને સરળ બનાવે છે. બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, તેમને અનુક્રમે અને વડે વિભાજીત કરવું પૂરતું છે. જે ગતિના બે સ્થિરાંકો આપે છે. લેગ્રેન્જિયન અભિગમ કારણ કે પરીક્ષણ કણો નિશ્ચિત મેટ્રિકમાં ભૂગણિતને અનુસરે છે, તે કણોની ભ્રમણકક્ષાઓ વિવિધતાના કલનનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે, જેને લેગ્રેન્જિયન અભિગમ પણ કહેવાય છે. અવકાશ-સમયમાં ભૂગણિતને વળાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેના માટે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સમાં નાના સ્થાનિક ફેરફારો (તેમના અંતિમ બિંદુઓની ઘટનાઓને નિશ્ચિત રાખીને) તેમની એકંદર લંબાઈમાં કોઈ નોંધપાત્ર ફેરફાર કરતા નથી. આ ગાણિતિક રીતે ભિન્નતાઓના કલનનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં τ એ યોગ્ય સમય છે, s = cτ એ અવકાશ-સમયમાં ચાપ-લંબાઈ છે અને T ને ગતિ ઊર્જા સાથે સામ્યતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો યોગ્ય સમયના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નને ટૂંકાણ માટે બિંદુ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે તો T ને સતત પરિબળો (જેમ કે c અથવા બેનો વર્ગમૂળ) તરીકે લખી શકાય છે જે પરિવર્તનશીલ સમસ્યાના જવાબને અસર કરતા નથી; તેથી, અભિન્ન ઉપજ હેમિલ્ટનના સિદ્ધાંતની અંદરની વિવિધતાને લેવાથી પરિવર્તનશીલ સમસ્યાનો ઉકેલ લેગ્રાન્જના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યારે t અને φ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ સમીકરણો ગતિના બે સ્થિરાંકો દર્શાવે છે જે બે સ્થિર લંબાઈ-સ્કેલની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિકની વ્યાખ્યામાં આ સમીકરણોની અવેજીથી ભ્રમણકક્ષા માટેનું સમીકરણ મળે છે. હેમિલ્ટોનિયન અભિગમ એ લાગ્રેન્જિયન ઉકેલને સમકક્ષ હેમિલ્ટોનિયન સ્વરૂપમાં પુનઃરચના કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા આપવામાં આવે છે ફરી એકવાર, ભ્રમણકક્ષા સમપ્રમાણતા દ્વારા પ્રતિબંધિત થઈ શકે છે. હેમિલ્ટોનિયનમાં દેખાતી નથી અને દેખાતી નથી, તેથી તેમની સંયુગ્મ મોમેન્ટા અચળ હોય છે; તેઓ પ્રકાશની ઝડપ અને બે અચળ લંબાઈ-સ્કેલની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે અને યોગ્ય સમયના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન પ્રથમ સમીકરણને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરીને ભ્રમણકક્ષાનું સમીકરણ મળે છે. આ અભિગમનો ફાયદો એ છે કે તે કણની ગતિને તરંગના પ્રસાર સાથે સરખાવે છે, અને ફર્માટના સિદ્ધાંત દ્વારા, સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પ્રકાશના વિક્ષેપણની વ્યુત્પત્તિ તરફ સરસ રીતે દોરી જાય છે. મૂળભૂત વિચાર એ છે કે, સમયની ગુરુત્વાકર્ષણીય ધીમી ગતિને કારણે, ગુરુત્વાકર્ષણીય દળની નજીકના તરંગ-મોરચાના ભાગો વધુ દૂરની તુલનામાં વધુ ધીમે ધીમે આગળ વધે છે, આમ તરંગ-મોરચાના પ્રસારની દિશા વળે છે. સામાન્ય સહપ્રસરણનો ઉપયોગ કરીને, એકમ દળના એક કણ માટે હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણને મનસ્વી કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે કારણ કે આ ઉપરની હેમિલ્ટોનિયન રચનાની સમકક્ષ છે, જેમાં ક્રિયાના આંશિક વ્યુત્પન્ન સામાન્યીકૃત મોમેન્ટાનું સ્થાન લે છે. શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ મેટ્રિક જી. એમ. યુ. એન. નો ઉપયોગ કરીને, આ સમીકરણ બને છે જ્યાં આપણે ફરી ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલીને ભ્રમણકક્ષાના સમતલ સાથે દિશા આપીએ છીએ. સમય t અને અઝીમુથલ ખૂણો φ ચક્રીય કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જેથી હેમિલ્ટનના મુખ્ય કાર્ય S માટેનો ઉકેલ લખી શકાય કે જ્યાં અને તે અચળ સામાન્યીકૃત મોમેન્ટા છે. હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણ રેડિયલ ભાગ માટે અભિન્ન ઉકેલ આપે છે હેમિલ્ટનના મુખ્ય કાર્ય S ના વ્યુત્પન્નને સંરક્ષિત વેગ pφ ઉપજના સંદર્ભમાં લેવું જે સમાન છે φ અને r માં અનંત તફાવત લેવાથી મૂળભૂત ભ્રમણકક્ષાનું સમીકરણ મળે છે જ્યાં સંરક્ષિત લંબાઈ-સ્કેલ a અને b ને હેમિલ્ટનના સિદ્ધાંત દ્વારા સંરક્ષિત મોમેન્ટા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો કોઈ આમાં વિવિધતાના કલનને લાગુ કરે છે, તો તેને ફરીથી ભૌમિતિક માટેના સમીકરણો મળે છે. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, પહેલા સંકલનના વર્ગની વિવિધતા લે છે. આ કેસના મેટ્રિક અને કોઓર્ડિનેટ્સ માટે અને ધારો કે કણ વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં આગળ વધી રહ્યો છે, તે ચોરસ છે આની વિવિધતા લેવાથી રેખાંશમાં ગતિ મળે છે જે રેખાંશના સંદર્ભમાં બદલાય છે અને માત્ર એકીકરણની વિવિધતા મેળવવા માટે વિભાજીત થાય છે. જ્યાં સુધી અંદરનું અન્ય પરિબળ દરેક જગ્યાએ શૂન્ય ન હોય ત્યાં સુધી અવિભાજ્યને વિકૃત પસંદગી દ્વારા બિન-શૂન્ય બનાવી શકાય છે. તેથી ગતિનું સમીકરણ સમયના સંદર્ભમાં ગતિ છે માત્ર સમયના સંદર્ભમાં વિભાજન મેળવવા માટે માત્ર સંકલનની વિવિધતા મેળવવા માટે આ રીતે ભાગો દ્વારા સંકલન કરવાથી ક્ષણ મળે છે. ત્રિજ્યીય ગતિને મેટ્રિક સમીકરણમાં બદલીને (અને ઉપયોગ કરીને) તે આપે છે કે જેમાંથી કોઈ મેળવી શકે છે જે માટે ગતિનું સમીકરણ છે. આનું અવલંબન આને વિભાજીત કરીને મેળવી શકાય છે જે દળ વિનાના કણો માટે પણ સાચું છે. જો લંબાઈના ભીંગડાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને પછી તેના પરની નિર્ભરતા સરળ બને છે. ગ્રેવિટેશન્સફેલ્ડ એ આઈન્સ્ટાઈનના સિદ્ધાંતને સમજ્યો નથી. યુનિવર્સિટી ઓફ યુનિવર્સિટીઝ યુનિવર્સિટીઝ યુનિવર્સિટીઝ યુનિવર્સિટીઝ યુનિવર્સિટીઝ યુનિવર્સિટીઝ યુનિવર્સિટીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ એકેડેમીઝ મૂળ કાગળના મૂળ કાગળના લખાણનું સ્કેન, એન્ટોસી અને લોઇંગર દ્વારા વિકિસ્રોત અનુવાદમાં કાગળ પરની ટિપ્પણી, એક સરળ વ્યુત્પત્તિ શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ, કે. (1916) આપે છે. ગ્રેવિટેશન્સફેલ્ડ એનર કુગેલ ઑસ ઇન્કમ્પ્રેસિબલર ફ્લુસિગકીટ. 424-? (ગુરુત્વાકર્ષણ (પુસ્તક) જુઓ.) બાહ્ય કડીઓ કેવિન બ્રાઉન દ્વારા રિફ્લેક્શન્સ ઓન રિલેટિવિટીમાંથી ટૂંકસાર. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ચોક્કસ ઉકેલો