No-communication theorem
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, નો-કમ્યુનિકેશન થીયરમ અથવા નો-સિગ્નલિંગ સિદ્ધાંત એ ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંતમાંથી નો-ગો થીયરમ છે જે જણાવે છે કે, ગૂંચવાયેલી ક્વોન્ટમ સ્થિતિના માપન દરમિયાન, એક નિરીક્ષક માટે, કુલ સ્થિતિની સબસિસ્ટમનું માપન કરીને, અન્ય નિરીક્ષકને માહિતી પહોંચાડવી શક્ય નથી. આ પ્રમેય મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ક્વોન્ટમ ગૂંચવણ એ એક એવી અસર છે જેના દ્વારા અમુક વ્યાપક રીતે અલગ થયેલી ઘટનાઓને એવી રીતે સહસંબંધિત કરી શકાય છે કે, પ્રથમ નજરમાં, પ્રકાશ કરતાં વધુ ઝડપી સંદેશાવ્યવહારની શક્યતા સૂચવે છે. નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમ એવી શરતો આપે છે કે જેના હેઠળ બે નિરીક્ષકો વચ્ચે માહિતીનું આ પ્રકારનું હસ્તાંતરણ અશક્ય છે. આ પરિણામોને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કહેવાતા વિરોધાભાસને સમજવા માટે લાગુ કરી શકાય છે, જેમ કે ઇ. પી. આર. વિરોધાભાસ અથવા બેલના પ્રમેયના પરીક્ષણોમાં મેળવેલા સ્થાનિક વાસ્તવવાદના ઉલ્લંઘન. આ પ્રયોગોમાં, નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમ દર્શાવે છે કે સ્થાનિક વાસ્તવવાદની નિષ્ફળતા તે તરફ દોરી જતી નથી જેને "અંતર પર ડરામણી વાતચીત" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (આઈન્સ્ટાઈનના ક્વોન્ટમ ગૂંચવણના લેબલિંગ સાથે સામ્યતામાં ક્યુએમની સંપૂર્ણતાની ધારણા પર "અંતર પર ડરામણી ક્રિયા" ની જરૂર છે). અનૌપચારિક ઝાંખી નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમ જણાવે છે કે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સંદર્ભમાં, કાળજીપૂર્વક તૈયાર કરેલી મિશ્ર અથવા શુદ્ધ સ્થિતિઓ દ્વારા માહિતીના શાસ્ત્રીય બિટ્સને પ્રસારિત કરવું શક્ય નથી, પછી ભલે તે ગૂંચવાયેલી હોય કે ન હોય. આ પ્રમેય માત્ર એક પૂરતી શરત છે જે જણાવે છે કે જો ક્રૌસ મેટ્રિસીસ કમ્યુટ થાય તો ક્વોન્ટમ ગૂંચવાયેલી સ્થિતિઓ દ્વારા કોઈ સંચાર થઈ શકતો નથી અને આ તમામ સંચારને લાગુ પડે છે. સાપેક્ષતા અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રના દ્રષ્ટિકોણથી પણ પ્રકાશ કરતાં વધુ ઝડપી અથવા "તાત્કાલિક" સંચારને મંજૂરી નથી. માત્ર એક પૂરતી શરત હોવાથી ત્યાં વધારાના કિસ્સાઓ હોઈ શકે છે જ્યાં સંદેશાવ્યવહારની મંજૂરી નથી અને એવા કિસ્સાઓ પણ હોઈ શકે છે કે જ્યાં શાસ્ત્રીય માહિતી કરતાં વધુ ક્વોન્ટમ ચેનલ એન્કોડિંગ દ્વારા વાતચીત કરવી હજુ પણ શક્ય છે. સંદેશાવ્યવહારના સંદર્ભમાં ક્વોન્ટમ ચેનલનો ઉપયોગ હંમેશા વહેંચાયેલ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ દ્વારા શાસ્ત્રીય માહિતીને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે થઈ શકે છે. 2008માં મેથ્યુ હેસ્ટિંગ્સે એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ સાબિત કર્યું હતું જ્યાં તમામ ક્વોન્ટમ ચેનલો માટે લઘુતમ આઉટપુટ એન્ટ્રોપી એડિટિવ નથી. તેથી, પીટર શોરને કારણે સમકક્ષતા પરિણામ દ્વારા, હોલેવો ક્ષમતા માત્ર એડિટિવ નથી, પરંતુ એન્ટ્રોપીની જેમ સુપર-એડિટિવ છે, અને પરિણામે કેટલીક ક્વોન્ટમ ચેનલો હોઈ શકે છે જ્યાં તમે ક્લાસિકલ ક્ષમતા કરતાં વધુ ટ્રાન્સફર કરી શકો છો. સામાન્ય રીતે એકંદર સંદેશાવ્યવહાર ક્વોન્ટમ અને નોન ક્વોન્ટમ ચેનલો દ્વારા એક જ સમયે થાય છે, અને સામાન્ય રીતે સમય ક્રમ અને કાર્યકારણનું ઉલ્લંઘન કરી શકાતું નથી. પ્રમેયમાં પ્રવેશતી મૂળભૂત ધારણા એ છે કે ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક પ્રણાલી કેટલીક ગૂંચવાયેલી સ્થિતિઓ સાથે પ્રારંભિક સ્થિતિમાં તૈયાર કરવામાં આવે છે, અને આ પ્રારંભિક સ્થિતિ હિલ્બર્ટ અવકાશ H માં મિશ્ર અથવા શુદ્ધ સ્થિતિ તરીકે વર્ણવી શકાય છે. ચોક્કસ સમય પછી પ્રણાલીને બે ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે, જેમાં દરેકમાં કેટલીક બિન-ગૂંચવાયેલી સ્થિતિઓ અને અડધા ક્વોન્ટમ ગૂંચવાયેલી સ્થિતિઓ હોય છે અને બે ભાગો અવકાશી રીતે અલગ થઈ જાય છે, A અને B, બે અલગ નિરીક્ષકો, એલિસ અને બોબને મોકલવામાં આવે છે, જેઓ કુલ પ્રણાલીના તેમના ભાગ (એટલે કે, A અને B) પર ક્વોન્ટમ યાંત્રિક માપન કરવા માટે સ્વતંત્ર હોય છે. પ્રશ્ન એ છે કે શું એવી કોઈ ક્રિયા છે કે જે એલિસ A પર કરી શકે છે જે બોબ દ્વારા B નું નિરીક્ષણ કરીને શોધી શકાય? આ પ્રમેય જવાબ આપે છે 'ના'. પ્રમેયમાં એક મહત્વપૂર્ણ ધારણા એ છે કે ન તો એલિસ કે ન તો બોબને કોઈ પણ રીતે પ્રારંભિક સ્થિતિની તૈયારીને અસર કરવાની મંજૂરી નથી. જો એલિસને પ્રારંભિક સ્થિતિની તૈયારીમાં ભાગ લેવાની મંજૂરી આપવામાં આવી હોત, તો તેના માટે તેમાં સંદેશને એન્કોડ કરવો તુચ્છ રીતે સરળ હોત; આમ ન તો એલિસ કે ન તો બોબ પ્રારંભિક સ્થિતિની તૈયારીમાં ભાગ લે છે. આ પ્રમેય માટે જરૂરી નથી કે પ્રારંભિક સ્થિતિ કોઈક રીતે 'રેન્ડમ' અથવા 'સંતુલિત' અથવા 'સમાન' હોયઃ ખરેખર, પ્રારંભિક સ્થિતિ તૈયાર કરનાર ત્રીજો પક્ષ તેમાં એલિસ અને બોબ દ્વારા પ્રાપ્ત સંદેશાઓને સરળતાથી એન્કોડ કરી શકે છે. સરળ રીતે કહીએ તો, પ્રમેય જણાવે છે કે, કેટલીક પ્રારંભિક સ્થિતિ આપવામાં આવે તો, એલિસ એવી કોઈ ક્રિયા કરી શકે નહીં જે બોબ દ્વારા શોધી શકાય. સાબિતી એ વ્યાખ્યાયિત કરીને આગળ વધે છે કે કેવી રીતે કુલ હિલ્બર્ટ જગ્યા એચને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, એચએ અને એચબી, જે એલિસ અને બોબ માટે સુલભ પેટા-જગ્યાઓનું વર્ણન કરે છે. સિસ્ટમની કુલ સ્થિતિ ઘનતા મેટ્રિક્સ σ દ્વારા વર્ણવવામાં આવી હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ એક વાજબી ધારણા હોવાનું જણાય છે, કારણ કે ઘનતા મેટ્રિક્સ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં શુદ્ધ અને મિશ્ર બંને સ્થિતિઓનું વર્ણન કરવા માટે પૂરતું છે. પ્રમેયનો બીજો મહત્વનો ભાગ એ છે કે માપન સ્થિતિ σ પર સામાન્યીકૃત પ્રક્ષેપણ સંચાલક P લાગુ કરીને કરવામાં આવે છે. આ ફરીથી વાજબી છે, કારણ કે પ્રક્ષેપણ સંચાલકો ક્વોન્ટમ માપનનું યોગ્ય ગાણિતિક વર્ણન આપે છે. એલિસ દ્વારા માપ્યા પછી, કુલ પ્રણાલીની સ્થિતિ P (σ) સ્થિતિમાં પડી ગઈ હોવાનું કહેવાય છે. પ્રમેયનો ધ્યેય એ સાબિત કરવાનો છે કે બોબ કોઈપણ રીતે પૂર્વ-માપન સ્થિતિ σ ને માપન પછીની સ્થિતિ P (σ) થી અલગ કરી શકતો નથી. આ ગાણિતિક રીતે σ ના ટ્રેસ અને P (σ) ના ટ્રેસની સરખામણી કરીને પૂર્ણ થાય છે, જેમાં ટ્રેસ સબસ્પેસ HA પર લેવામાં આવે છે. ટ્રેસ માત્ર સબસ્પેસ પર હોવાથી, તેને તકનીકી રીતે આંશિક ટ્રેસ કહેવામાં આવે છે. આ પગલાની ચાવી એ ધારણા છે કે (આંશિક) ટ્રેસ બોબના દૃષ્ટિકોણથી સિસ્ટમનો પૂરતો સારાંશ આપે છે. એટલે કે, દરેક વસ્તુ કે જેની બોબ પાસે ઍક્સેસ છે, અથવા ક્યારેય ઍક્સેસ કરી શકે છે, માપી શકે છે અથવા શોધી શકે છે, તે સંપૂર્ણપણે સિસ્ટમ σ ના એચએ પર આંશિક ટ્રેસ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ફરીથી, આ એક વાજબી ધારણા છે, કારણ કે તે પ્રમાણભૂત ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો એક ભાગ છે. હકીકત એ છે કે એલિસ તેના માપન કરે છે ત્યારે આ ટ્રેસ ક્યારેય બદલાતો નથી તે નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમના સાબિતીનો નિષ્કર્ષ છે. સૂત્ર પ્રમેયનો પુરાવો સામાન્ય રીતે બેલ પરીક્ષણોની રચના માટે સચિત્ર છે જેમાં બે નિરીક્ષકો એલિસ અને બોબ સામાન્ય દ્વિપક્ષી પ્રણાલી પર સ્થાનિક અવલોકનો કરે છે, અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની આંકડાકીય મશીનરીનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે ઘનતા સ્થિતિઓ અને ક્વોન્ટમ કામગીરી. એલિસ અને બોબ સિસ્ટમ એસ પર માપન કરે છે જેની અંતર્ગત હિલ્બર્ટ જગ્યા છે તે પણ માનવામાં આવે છે કે અભિસરણના મુદ્દાઓને ટાળવા માટે બધું મર્યાદિત-પરિમાણીય છે. સંયુક્ત પ્રણાલીની સ્થિતિ એચ પર ઘનતા સંચાલક દ્વારા આપવામાં આવે છે. એચ પર કોઈપણ ઘનતા સંચાલક σ એ સ્વરૂપનો સરવાળો છેઃ જ્યાં ટીઆઈ અને સી અનુક્રમે એચએ અને એચબી પર સંચાલક છે. નીચેના માટે, એમ ધારવું જરૂરી નથી કે ટીઆઈ અને સી સ્ટેટ પ્રોજેક્શન ઓપરેટર્સ છેઃ એટલે કે. તેઓ બિન-નકારાત્મક હોવા જરૂરી નથી, ન તો એકનું નિશાન હોય છે. એટલે કે, σ ની વ્યાખ્યા ઘનતા મેટ્રિક્સ કરતાં કંઈક અંશે વ્યાપક હોઈ શકે છે; પ્રમેય હજુ પણ ધરાવે છે. નોંધ લો કે આ પ્રમેય અલગ કરી શકાય તેવી સ્થિતિઓ માટે તુચ્છ રીતે માન્ય છે. જો વહેંચાયેલ સ્થિતિ σ અલગ કરી શકાય તેવી હોય, તો તે સ્પષ્ટ છે કે એલિસ દ્વારા કોઈપણ સ્થાનિક કામગીરી બોબની સિસ્ટમને અકબંધ રાખશે. આમ પ્રમેયનો મુદ્દો એ છે કે વહેંચાયેલ ગૂંચવાયેલી સ્થિતિ દ્વારા કોઈ સંચાર પ્રાપ્ત કરી શકાતો નથી. એલિસ તેની સબસિસ્ટમ પર સ્થાનિક માપન કરે છે. સામાન્ય રીતે, આને સિસ્ટમ સ્થિતિ પર ક્વોન્ટમ ઓપરેશન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જે નીચેના પ્રકારની હોય છે જ્યાં Vk ને ક્રોસ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જે સંતોષ આપે છે. ધારો કે સંયુક્ત પ્રણાલી σ સ્થિતિમાં તૈયાર કરવામાં આવે છે અને દલીલના હેતુઓ માટે, એલિસ તેનું માપન કરે તે પછી તરત જ (કોઈ સમય વિલંબ વિના) બિન-સાપેક્ષવાદી પરિસ્થિતિ ધારે છે, તો એલિસની પ્રણાલીના સંદર્ભમાં સમગ્ર સ્થિતિના આંશિક નિશાન દ્વારા બોબની પ્રણાલીની સંબંધિત સ્થિતિ આપવામાં આવે છે. પ્રતીકોમાં, એલિસની કામગીરી પછી બોબની પ્રણાલીની સાપેક્ષ સ્થિતિ એ છે કે જ્યાં એલિસની પ્રણાલીના સંદર્ભમાં આંશિક ટ્રેસ મેપિંગ છે. આ સ્થિતિની સીધી ગણતરી કરી શકાય છેઃ આમાંથી એવી દલીલ કરવામાં આવે છે કે, આંકડાકીય રીતે, બોબ એલિસે શું કર્યું અને રેન્ડમ માપન (અથવા તેણે કંઈપણ કર્યું છે કે કેમ) વચ્ચેનો તફાવત કહી શકતો નથી. કેટલીક ટિપ્પણીઓ જો ઘનતા સંચાલકને એ અને બી વચ્ચેની બિન-સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના પ્રભાવ હેઠળ વિકસિત થવાની મંજૂરી આપવામાં આવે, તો સામાન્ય રીતે સાબિતીમાં ગણતરી હવે યોગ્ય નથી, સિવાય કે યોગ્ય પરિવર્તન સંબંધો ધારવામાં આવે. આમ નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમ કહે છે કે કોઈ પણ માહિતીને પ્રસારિત કરવા માટે એકલા વહેંચાયેલ ગૂંચવણનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. આની સરખામણી નો-ટેલિપોર્ટેશન થીયરમ સાથે કરો, જે જણાવે છે કે શાસ્ત્રીય માહિતી ચેનલ ક્વોન્ટમ માહિતી પ્રસારિત કરી શકતી નથી. (પ્રસારણ દ્વારા, અમારો અર્થ સંપૂર્ણ નિષ્ઠા સાથે પ્રસારણ થાય છે.) જો કે, ક્વોન્ટમ ટેલિપોર્ટેશન યોજનાઓ બંને સંસાધનોનો ઉપયોગ એકલા માટે અશક્ય છે તે હાંસલ કરવા માટે કરે છે. નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમ નો-ક્લોનિંગ થીયરમ સૂચવે છે, જે જણાવે છે કે ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓની (સંપૂર્ણ રીતે) નકલ કરી શકાતી નથી. એટલે કે, શાસ્ત્રીય માહિતીના સંચાર માટે ક્લોનિંગ એક પૂરતી શરત છે. આ જોવા માટે, ધારો કે ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓનું ક્લોન કરી શકાય છે. ધારો કે મહત્તમ ગૂંચવાયેલી ઘંટડીની સ્થિતિના ભાગો એલિસ અને બોબને વહેંચવામાં આવે છે. એલિસ બોબને નીચેની રીતે બિટ્સ મોકલી શકતી હતીઃ જો એલિસ "0" ને પ્રસારિત કરવા માંગે છે, તો તે તેના ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણને ઝેડ દિશામાં માપે છે, બોબની સ્થિતિને અથવા તો તૂટી જાય છે. "1" પ્રસારિત કરવા માટે, એલિસ તેના ક્યૂબિટને કંઈ કરતી નથી. બોબ તેના ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિની ઘણી નકલો બનાવે છે, અને દરેક નકલના પરિભ્રમણને ઝેડ દિશામાં માપે છે. બોબ જાણશે કે એલિસે "0" પ્રસારિત કર્યું છે જો તેના તમામ માપ સમાન પરિણામ આપશે; અન્યથા, તેના માપના પરિણામો હશે અથવા સમાન સંભાવના સાથે. આ એલિસ અને બોબને એકબીજા વચ્ચે શાસ્ત્રીય બિટ્સ (સંભવતઃ અવકાશ જેવા વિભાજનમાં, કાર્યકારણનું ઉલ્લંઘન કરીને) વાતચીત કરવાની મંજૂરી આપશે. આ લેખમાં ચર્ચા કરાયેલ નો-કમ્યુનિકેશન થીયરમનું સંસ્કરણ ધારે છે કે એલિસ અને બોબ દ્વારા વહેંચાયેલ ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ એક સંયુક્ત સિસ્ટમ છે, એટલે કે. કે તેની અંતર્ગત હિલ્બર્ટ જગ્યા એક ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે જેનું પ્રથમ પરિબળ સિસ્ટમના તે ભાગનું વર્ણન કરે છે જેની સાથે એલિસ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે અને જેનું બીજું પરિબળ સિસ્ટમના તે ભાગનું વર્ણન કરે છે જેની સાથે બોબ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, આ ધારણાને એવી ધારણા દ્વારા બદલી શકાય છે કે એલિસ અને બોબ અવકાશી રીતે અલગ છે. નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમનું આ વૈકલ્પિક સંસ્કરણ દર્શાવે છે કે પ્રકાશ કરતાં વધુ ઝડપી કોમ્યુનિકેશન ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના નિયમોનું પાલન કરતી પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાતું નથી. નો-કોમ્યુનિકેશન થીયરમનો પુરાવો ધારે છે કે બોબની પ્રણાલીના તમામ માપી શકાય તેવા ગુણધર્મોની ગણતરી તેના ઘટાડેલા ઘનતા મેટ્રિક્સમાંથી કરી શકાય છે, જે વિવિધ માપન કરવાની સંભાવનાની ગણતરી માટે બોર્ન નિયમને જોતાં સાચું છે. પરંતુ બોર્ન નિયમ સાથેની આ સમાનતા અનિવાર્યપણે વિરુદ્ધ દિશામાં પણ મેળવી શકાય છે, જેમાં તે બતાવવું શક્ય છે કે બોર્ન નિયમ એ ધારણાથી અનુસરે છે કે અવકાશ જેવી અલગ ઘટનાઓ એકબીજાને અસર કરીને કાર્યકારણનું ઉલ્લંઘન કરી શકતી નથી. નો-બ્રોડકાસ્ટ પ્રમેય નો-ક્લોનિંગ પ્રમેય નો-ડીલીટિંગ પ્રમેય નો-હિડિંગ પ્રમેય નો-ટેલિપોર્ટેશન પ્રમેય સંદર્ભો ક્વોન્ટમ માપન ક્વોન્ટમ માહિતી વિજ્ઞાન ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પ્રમેયો આંકડાકીય મિકેનિક્સ પ્રમેયો નો-ગો પ્રમેયો