Multipole expansion
બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ એ એક ગાણિતિક શ્રેણી છે જે એવા કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ખૂણાઓ પર આધાર રાખે છે-સામાન્ય રીતે ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ માટે ગોળાકાર સંકલન પ્રણાલી (ધ્રુવીય અને અઝિમુથલ ખૂણાઓ) માં ઉપયોગમાં લેવાતા બે ખૂણાઓ. તેવી જ રીતે ટેલર શ્રેણી માટે, બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ ઉપયોગી છે કારણ કે ઘણીવાર મૂળ કાર્યનો સારો અંદાજ આપવા માટે માત્ર પ્રથમ થોડા શબ્દોની જરૂર પડે છે. વિસ્તરણ કરવામાં આવતું કાર્ય વાસ્તવિક અથવા જટિલ મૂલ્ય ધરાવતું હોઈ શકે છે અને તે વિદ્યુતચુંબકીય અને ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રોના અભ્યાસમાં વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક અન્ય બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ માટે ક્યાં તો અથવા ઓછા વારંવાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં દૂરના બિંદુઓ પરના ક્ષેત્રો નાના પ્રદેશમાં સ્રોતોના સંદર્ભમાં આપવામાં આવે છે. ખૂણાઓ સાથેનું બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ ઘણીવાર ત્રિજ્યામાં વિસ્તરણ સાથે જોડાય છે. આ પ્રકારનું સંયોજન સમગ્ર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કાર્યનું વર્ણન કરતું વિસ્તરણ આપે છે. બહુધ્રુવીય વિસ્તરણને ક્રમશઃ વધુ સારી કોણીય લાક્ષણિકતાઓ (ક્ષણો) સાથેના શબ્દોના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. પ્રથમ (શૂન્ય ક્રમ) શબ્દને મોનોપોલ ક્ષણ કહેવામાં આવે છે, બીજા (પ્રથમ ક્રમ) શબ્દને દ્વિધ્રુવ ક્ષણ કહેવામાં આવે છે, ત્રીજા (બીજા ક્રમ) ને ચતુર્ભુજ ક્ષણ, ચોથા (ત્રીજા ક્રમ) શબ્દને ઓક્ટુપોલ ક્ષણ કહેવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ. ગ્રીક આંકડાકીય ઉપસર્ગોની મર્યાદાને ધ્યાનમાં રાખીને, ઉચ્ચ ક્રમની શરતોને પરંપરાગત રીતે ધ્રુવોની સંખ્યામાં "-ધ્રુવ" ઉમેરીને નામ આપવામાં આવે છે-દા. ત., 32-ધ્રુવ (ભાગ્યે જ ડોટ્રિઆકોન્ટાપોલ અથવા ટ્રાયકોન્ટડીપોલ) અને 64-ધ્રુવ (ભાગ્યે જ ટેટ્રાહેક્સાકોન્ટાપોલ અથવા હેક્સાકોન્ટેટેટ્રાપોલ). બહુધ્રુવીય ક્ષણમાં સામાન્ય રીતે મૂળના અંતરની શક્તિઓ (અથવા વિપરીત શક્તિઓ) તેમજ અમુક કોણીય અવલંબનનો સમાવેશ થાય છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ સંભવિતતાનું ચોક્કસ વર્ણન પૂરું પાડે છે, અને સામાન્ય રીતે બે શરતો હેઠળ એકરૂપ થાય છેઃ (1) જો સ્રોતો (દા. ત.) ચાર્જ) મૂળની નજીક સ્થિત થયેલ છે અને જે બિંદુ પર પોટેન્શિયલ જોવા મળે છે તે મૂળથી દૂર છે; અથવા (2) વિપરીત, એટલે કે, જો સ્ત્રોતો મૂળથી દૂર સ્થિત હોય અને પોટેન્શિયલ મૂળની નજીક જોવા મળે છે. પ્રથમ (વધુ સામાન્ય) કિસ્સામાં, શ્રેણી વિસ્તરણના ગુણાંકને બાહ્ય બહુધ્રુવીય ક્ષણો અથવા ફક્ત બહુધ્રુવીય ક્ષણો કહેવામાં આવે છે, જ્યારે બીજા કિસ્સામાં, તેમને આંતરિક બહુધ્રુવીય ક્ષણો કહેવામાં આવે છે. ગોળાકાર હાર્મોનિક્સમાં વિસ્તરણ સૌથી સામાન્ય રીતે, શ્રેણીને ગોળાકાર હાર્મોનિક્સના સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે. આમ, આપણે ફંક્શનને સરવાળા તરીકે લખી શકીએ છીએ જ્યાં પ્રમાણભૂત ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ છે, અને અચળ ગુણાંક છે જે ફંક્શન પર આધાર રાખે છે. આ શબ્દ મોનોપોલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; દ્વિધ્રુવનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; અને તેથી વધુ. સમાનરૂપે, શ્રેણીને વારંવાર એ રીતે પણ લખવામાં આવે છે કે જ્યાં ખૂણાઓ દ્વારા આપવામાં આવેલી દિશામાં એકમ વેક્ટરના ઘટકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને સૂચકાંકોનો પરોક્ષ રીતે સારાંશ આપવામાં આવે છે. અહીં, શબ્દ મોનોપોલ છે; દ્વિધ્રુવનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી ત્રણ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે; અને તેથી વધુ. ઉપરોક્ત વિસ્તરણમાં, ગુણાંક વાસ્તવિક અથવા જટિલ હોઈ શકે છે. જો બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવતું કાર્ય વાસ્તવિક હોય, તેમ છતાં, ગુણાંક ચોક્કસ ગુણધર્મોને સંતોષવા જોઈએ. ગોળાકાર હાર્મોનિક વિસ્તરણમાં, આપણી પાસે હોવું જ જોઈએ બહુ-વાહક વિસ્તરણમાં, દરેક ગુણાંક વાસ્તવિક હોવો જોઈએઃ જ્યારે સ્કેલર વિધેયોના વિસ્તરણ એ બહુધ્રુવીય વિસ્તરણનો અત્યાર સુધીનો સૌથી સામાન્ય ઉપયોગ છે, ત્યારે તેમને મનસ્વી ક્રમના ટેન્સરનું વર્ણન કરવા માટે પણ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. આનો ઉપયોગ વિદ્યુતચુંબકીયતામાં વેક્ટર સંભવિતતાના બહુધ્રુવીય વિસ્તરણમાં અથવા ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગોના વર્ણનમાં મેટ્રિક વિક્ષેપમાં થાય છે. ત્રણ પરિમાણોના કાર્યોનું વર્ણન કરવા માટે, સંકલન મૂળથી દૂર, બહુધ્રુવીય વિસ્તરણના ગુણાંકને મૂળ સુધીના અંતરના કાર્યો તરીકે લખી શકાય છે,-મોટેભાગે, ની ઘાતમાં લોરેન્ટ શ્રેણી તરીકે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષમતાને વર્ણવવા માટે, મૂળની નજીકના નાના પ્રદેશમાં સ્ત્રોતમાંથી, ગુણાંકને આ રીતે લખી શકાય છેઃ દ્રવ્યમાન પ્રણાલીઓના ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રો, ચાર્જ અને વર્તમાન વિતરણના વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસારને લગતી સમસ્યાઓમાં બહુવિધ વિસ્તરણનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ એ છે કે ઇલેક્ટ્રોનિક ઓર્બિટલ્સના આંતરિક મલ્ટિપોલ્સ સાથેની તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાઓમાંથી અણુ કેન્દ્રકની બાહ્ય મલ્ટિપોલ ક્ષણોની ગણતરી. ન્યુક્લિયસની બહુવિધ ક્ષણો ન્યુક્લિયસની અંદર ચાર્જના વિતરણ પર અહેવાલ આપે છે અને આમ, ન્યુક્લિયસના આકાર પર. બહુધ્રુવીય વિસ્તરણને તેના પ્રથમ બિન-શૂન્ય પદ સુધી કાપવું એ ઘણીવાર સૈદ્ધાંતિક ગણતરીઓ માટે ઉપયોગી છે. બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ આંકડાકીય સિમ્યુલેશનમાં પણ ઉપયોગી છે, અને ગ્રીનગાર્ડ અને રોકલિનની ઝડપી બહુધ્રુવીય પદ્ધતિનો આધાર બનાવે છે, જે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોની પ્રણાલીઓમાં ઊર્જા અને બળોની કાર્યક્ષમ ગણતરી માટેની સામાન્ય તકનીક છે. મૂળભૂત વિચાર કણોને જૂથોમાં વિઘટિત કરવાનો છે; જૂથની અંદરના કણો સામાન્ય રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે (એટલે કે, સંપૂર્ણ ક્ષમતા દ્વારા), જ્યારે કણોના જૂથો વચ્ચેની ઊર્જા અને બળોની ગણતરી તેમની બહુધ્રુવીય ક્ષણોમાંથી કરવામાં આવે છે. ઝડપી બહુધ્રુવીય પદ્ધતિની કાર્યક્ષમતા સામાન્ય રીતે ઇવાલ્ડ સરવાળા જેવી જ હોય છે, પરંતુ જો કણો સમૂહબદ્ધ હોય તો તે બહેતર હોય છે, એટલે કે. સિસ્ટમમાં મોટી ઘનતા વધઘટ હોય છે. વિદ્યુતસ્થૈતિક ચાર્જ વિતરણની બહાર પોટેન્શિયલનું બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ સ્થિતિ વેક્ટર સાથે બિંદુ ચાર્જ ધરાવતા અલગ ચાર્જ વિતરણને ધ્યાનમાં લો. આપણે ધારીએ છીએ કે ચાર્જ મૂળની આસપાસ ક્લસ્ટર થયેલ છે, જેથી બધા માટે i:, જ્યાં અમુક મર્યાદિત મૂલ્ય હોય. ચાર્જ વિતરણને કારણે સંભવિત, ચાર્જ વિતરણની બહારના બિંદુ પર, એટલે કે, ની શક્તિમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ વિસ્તરણ કરવાની બે રીતો સાહિત્યમાં મળી શકે છેઃ પ્રથમ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં ટેલર શ્રેણી છે, અને, જ્યારે બીજી ગોળાકાર હાર્મોનિક્સની દ્રષ્ટિએ છે જે ગોળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે. કાર્ટેશિયન અભિગમનો ફાયદો એ છે કે લિજેન્ડર કાર્યો, ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ વગેરેનું કોઈ પૂર્વ જ્ઞાન જરૂરી નથી. તેનો ગેરલાભ એ છે કે વ્યુત્પત્તિઓ એકદમ બોજારૂપ છે (હકીકતમાં તેનો મોટો ભાગ 1780ના દાયકામાં લિજેન્ડર દ્વારા એકવાર અને કાયમ માટે કરવામાં આવેલા લિજેન્ડર વિસ્તરણનું ગર્ભિત પુનઃપ્રાપ્તિ છે). બહુધ્રુવીય વિસ્તરણની સામાન્ય મુદત માટે બંધ અભિવ્યક્તિ આપવી પણ મુશ્કેલ છે-સામાન્ય રીતે માત્ર પ્રથમ થોડા શબ્દોને લંબગોળ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં વિસ્તરણ સગવડ માટે ધારો. મૂળની આસપાસ ટેલર વિસ્તરણને ટેલર ગુણાંક સાથે લખી શકાય છે જો લાપ્લાસ સમીકરણને સંતોષે છે, તો પછી ઉપરોક્ત વિસ્તરણ દ્વારા આપણી પાસે છે અને વિસ્તરણને ટ્રેસલેસ કાર્ટેશિયન સેકન્ડ રેન્ક ટેન્સરના ઘટકોની દ્રષ્ટિએ ફરીથી લખી શકાય છેઃ ક્રોનેકર ડેલ્ટા ક્યાં છે અને. ટ્રેસને દૂર કરવું સામાન્ય છે, કારણ કે તે બીજા ક્રમના ટેન્સરમાંથી રોટેશનલલી ઇનવેરિયન્ટને બહાર કાઢે છે. ઉદાહરણ હવે નીચેના સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લોઃ પછી સીધા તફાવત દ્વારા તે અનુસરે છે કે મોનોપોલ, ડાયપોલ અને (ટ્રેસલેસ) ક્વાડ્રુપોલને અનુક્રમે વ્યાખ્યાયિત કરો, અને આપણે આખરે કુલ પોટેન્શિયલના મલ્ટિપોલ વિસ્તરણની પ્રથમ કેટલીક શરતો મેળવીએ છીએ, જે અલગ ચાર્જની કુલમ્બ પોટેન્શિયલનો સરવાળો છેઃ અલગ ચાર્જ વિતરણની પોટેન્શિયલનું આ વિસ્તરણ નીચે આપેલા વાસ્તવિક ઘન હાર્મોનિક્સમાં સમાન છે. મુખ્ય તફાવત એ છે કે વર્તમાન એક રેખીય રીતે નિર્ભર જથ્થાના સંદર્ભમાં છે, નોંધ માટેઃ જો ચાર્જ વિતરણમાં વિરુદ્ધ ચિહ્નના બે ચાર્જ હોય જે અનંત અંતરથી અલગ હોય, તો તે સરળતાથી બતાવવામાં આવે છે કે વિસ્તરણમાં પ્રબળ શબ્દ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવી સંભવિત ક્ષેત્ર છે. ગોળાકાર સ્વરૂપ ચાર્જ વિતરણની બહારના બિંદુ પર સંભવિત, એટલે કે. , ને લાપ્લાસ વિસ્તરણ દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ જ્યાં એક અનિયમિત ઘન હાર્મોનિક છે (નીચે દ્વારા વિભાજિત ગોળાકાર હાર્મોનિક કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત) અને તે નિયમિત ઘન હાર્મોનિક છે (ગોળાકાર હાર્મોનિક સમય). આપણે ચાર્જ વિતરણની ગોળાકાર બહુધ્રુવીય ક્ષણને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. નોંધ લો કે બહુધ્રુવીય ક્ષણ માત્ર ચાર્જ વિતરણ (એન ચાર્જની સ્થિતિ અને પરિમાણ) દ્વારા નક્કી થાય છે. ગોળાકાર હાર્મોનિક એકમ વેક્ટર પર આધાર રાખે છે. (એકમ વેક્ટર બે ગોળાકાર ધ્રુવીય ખૂણાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.) આમ, વ્યાખ્યા મુજબ, અનિયમિત ઘન હાર્મોનિક્સને આ રીતે લખી શકાય છે કે જેથી ચાર્જ વિતરણની બહારના બિંદુ પર ક્ષેત્રનું બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ આ વિસ્તરણ સંપૂર્ણપણે સામાન્ય છે કે તે તમામ શરતો માટે બંધ સ્વરૂપ આપે છે, માત્ર પ્રથમ થોડા માટે નહીં. તે દર્શાવે છે કે ગોળાકાર બહુધ્રુવીય ક્ષણો પોટેન્શિયલના વિસ્તરણમાં ગુણાંક તરીકે દેખાય છે. પ્રથમ થોડા શબ્દોને વાસ્તવિક સ્વરૂપમાં ધ્યાનમાં લેવાનું રસપ્રદ છે, જે સામાન્ય રીતે સ્નાતક પાઠ્યપુસ્તકોમાં જોવા મળતા એકમાત્ર શબ્દો છે. એમ સરવાળાનો સરવાળો એક સાથે બંને પરિબળોના એકાત્મક પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોવાથી અને જટિલ ગોળાકાર હાર્મોનિક્સનું વાસ્તવિક સ્વરૂપમાં પરિવર્તન એકાત્મક પરિવર્તન દ્વારા થતું હોવાથી, આપણે વાસ્તવિક અનિયમિત ઘન હાર્મોનિક્સ અને વાસ્તવિક બહુધ્રુવીય ક્ષણોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ. શબ્દ બની જાય છે આ હકીકતમાં ફરીથી કુલમ્બનો નિયમ છે. શબ્દ માટે આપણે રજૂ કરીએ છીએ પછી આ શબ્દ કાર્ટેશિયન સ્વરૂપમાં જોવા મળતા સમાન છે. શબ્દ લખવા માટે, આપણે ચતુર્ભુજ ક્ષણના પાંચ વાસ્તવિક ઘટકો અને વાસ્તવિક ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ માટે લઘુલિપિ સંકેતો રજૂ કરવા પડશે. આ પ્રકારની નોંધો સાહિત્યમાં મળી શકે છે. સ્પષ્ટ રીતે વાસ્તવિક સંકેત ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં અણઘડ બની જાય છે, જે જટિલ સંકેતની ઉપયોગીતા દર્શાવે છે. બે બિન-ઓવરલેપિંગ ચાર્જ વિતરણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા બિંદુ ચાર્જના બે સમૂહોનો વિચાર કરો, એક સમૂહ બિંદુની આસપાસ ક્લસ્ટર થયેલ છે અને એક સમૂહ બિંદુની આસપાસ ક્લસ્ટર થયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે બે અણુઓનો વિચાર કરો અને યાદ રાખો કે વ્યાખ્યા પ્રમાણે અણુમાં ઇલેક્ટ્રોન (નકારાત્મક બિંદુ ચાર્જ) અને કેન્દ્રક (સકારાત્મક બિંદુ ચાર્જ) હોય છે. બે વિતરણો વચ્ચેની કુલ વિદ્યુતસ્થૈતિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા એ છે કે આ ઊર્જાને અને ના વ્યસ્ત અંતરમાં શક્તિ શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ વિસ્તરણને યુએબીના બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ મેળવવા માટે, આપણે લખીએ છીએ, જે એક વેક્ટર છે જે તરફ નિર્દેશ કરે છે. નોંધ લો કે આપણે ધારીએ છીએ કે બે વિતરણો ઓવરલેપ થતા નથીઃ આ સ્થિતિ હેઠળ આપણે લાપ્લાસ વિસ્તરણને નીચેના સ્વરૂપમાં લાગુ કરી શકીએ છીએ જ્યાં અને અનુક્રમે અનિયમિત અને નિયમિત ઘન હાર્મોનિક્સ છે. નિયમિત ઘન હાર્મોનિકનું ભાષાંતર મર્યાદિત વિસ્તરણ આપે છે, જ્યાં પોઇન્ટેડ કૌંસ વચ્ચેનું પ્રમાણ ક્લેબશ-ગોર્ડન ગુણાંક છે. આગળ આપણે ગોળાકાર ગુણાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો અને થોડા અલગ ક્રમમાં સારાંશ શ્રેણીઓને આવરી લેવાનો ઉપયોગ (જે ફક્ત અનંત શ્રેણી માટે જ માન્ય છે) આખરે આપે છે આ બે બિન-ઓવરલેપિંગ ચાર્જ વિતરણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાનું બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ છે જે અંતર આરએબી અલગ છે. કારણ કે આ વિસ્તરણ સ્પષ્ટ રીતે ની શક્તિઓમાં છે. આ કાર્ય સામાન્યીકૃત ગોળાકાર હાર્મોનિક છે. પરમાણુ ક્ષણો બધા અણુઓ અને અણુઓ (એસ-સ્ટેટ અણુઓ સિવાય) માં એક અથવા વધુ બિન-લુપ્ત થતી કાયમી બહુધ્રુવ ક્ષણો હોય છે. સાહિત્યમાં વિવિધ વ્યાખ્યાઓ મળી શકે છે, પરંતુ ગોળાકાર સ્વરૂપમાં નીચેની વ્યાખ્યાનો ફાયદો એ છે કે તે એક સામાન્ય સમીકરણમાં સમાયેલી છે. કારણ કે તે જટિલ સ્વરૂપમાં છે, તેનો વધુ ફાયદો એ છે કે તેના વાસ્તવિક પ્રતિરૂપ કરતાં ગણતરીમાં હેરફેર કરવું સરળ છે. આપણે ચાર્જ eZi સાથે N કણો (ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ) ધરાવતા પરમાણુને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. (ઇલેક્ટ્રોનનું ઝેડ-મૂલ્ય −1 હોય છે, જ્યારે ન્યુક્લિયસ માટે તે અણુ સંખ્યા છે). કણ I પાસે ગોળાકાર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ ri, θi અને φi છે અને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ xi, yi અને zi છે. (જટિલ) ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક મલ્ટિપોલ ઓપરેટર એ છે જ્યાં રાકાહના સામાન્યીકરણમાં નિયમિત ઘન હાર્મોનિક કાર્ય છે (જે શ્મિટના અર્ધ-સામાન્યીકરણ તરીકે પણ ઓળખાય છે). જો પરમાણુ કુલ સામાન્યીકૃત તરંગ કાર્ય ધરાવે છે (ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખીને), તો અણુના ક્રમની બહુધ્રુવ ક્ષણ અપેક્ષા (અપેક્ષિત) મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જો પરમાણુ ચોક્કસ બિંદુ જૂથ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, તો આ તરંગ કાર્યમાં પ્રતિબિંબિત થાય છેઃ જૂથના ચોક્કસ ઈરીડ્યુસિબલ પ્રતિનિધિત્વ λ અનુસાર રૂપાંતર થાય છે ("ેડિસી પાસે સમપ્રમાણતા પ્રકાર λ" છે). આનું પરિણામ એ છે કે પસંદગીના નિયમો મલ્ટિપોલ ઓપરેટરના અપેક્ષા મૂલ્ય માટે ધરાવે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપેક્ષા મૂલ્ય સમપ્રમાણતાને કારણે અદૃશ્ય થઈ શકે છે. આનું એક જાણીતું ઉદાહરણ એ હકીકત છે કે વ્યુત્ક્રમ કેન્દ્ર ધરાવતા અણુઓ દ્વિધ્રુવ વહન કરતા નથી (માટે અપેક્ષા મૂલ્યો અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સમપ્રમાણતા વિનાના અણુ માટે, કોઈ પસંદગીના નિયમો કાર્યરત નથી અને આવા અણુમાં કોઈપણ ક્રમના બિન-લુપ્ત થતા ગુણાંક હશે (તે દ્વિધ્રુવ અને સાથે સાથે ચતુર્ભુજ, ઓક્ટુપોલ, હેક્સાડેકોપોલ વગેરે વહન કરશે). નિયમિત ઘન હાર્મોનિક્સના સૌથી ઓછા સ્પષ્ટ સ્વરૂપો (કોન્ડોન-શોર્ટલી તબક્કા સાથે) આપે છેઃ (અણુનો કુલ ચાર્જ). (જટિલ) દ્વિધ્રુવ ઘટકો આ પ્રમાણે છેઃ નોંધ લો કે એક સરળ રેખીય સંયોજન દ્વારા જટિલ બહુધ્રુવીય સંચાલકોને વાસ્તવિકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. વાસ્તવિક મલ્ટિપોલ ઓપરેટરો કોસાઇન પ્રકાર અથવા સાઇન પ્રકારનાં હોય છે. સૌથી ઓછા કેટલાક છેઃ પરંપરાઓ પર નોંધ ઉપર આપવામાં આવેલી જટિલ પરમાણુ બહુધ્રુવીય ક્ષણની વ્યાખ્યા આ લેખમાં આપવામાં આવેલી વ્યાખ્યાની જટિલ સંયુગ્મ છે, જે સામાન્યીકરણ સિવાય જેક્સન દ્વારા શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ પર પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકની વ્યાખ્યાને અનુસરે છે. વધુમાં, જેક્સનની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાં એન-કણ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક અપેક્ષા મૂલ્યની સમકક્ષ એક-કણ ચાર્જ વિતરણ પર અભિન્ન છે. યાદ રાખો કે એક-કણ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક પ્રણાલીના કિસ્સામાં અપેક્ષા મૂલ્ય ચાર્જ વિતરણ (તરંગ કાર્ય વર્ગનું મોડ્યુલસ) પર અભિન્ન સિવાય બીજું કંઈ નથી, જેથી આ લેખની વ્યાખ્યા જેક્સનની વ્યાખ્યાનું ક્વોન્ટમ યાંત્રિક એન-કણ સામાન્યીકરણ છે. આ લેખમાંની વ્યાખ્યા, અન્ય લોકો વચ્ચે, ફાનો અને રેકા અને બ્રિંક અને સેચલરની વ્યાખ્યા સાથે સંમત થાય છે. ઉદાહરણો બહુધ્રુવીય ક્ષણોના ઘણા પ્રકારો છે, કારણ કે સંયોજનો અને ચાર્જ વિતરણની સમપ્રમાણતાના આધારે શ્રેણી વિસ્તરણ દ્વારા સંભવિતતાને અંદાજિત કરવાની ઘણી રીતો છે. સૌથી સામાન્ય વિસ્તરણમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ પોટેન્શિયલની એક્સિયલ મલ્ટિપોલ મોમેન્ટ્સ; પોટેન્શિયલની ગોળાકાર મલ્ટિપોલ મોમેન્ટ્સ; અને પોટેન્શિયલના નળાકાર મલ્ટિપોલ મોમેન્ટ્સ પોટેન્શિયલના ઉદાહરણોમાં વિદ્યુત પોટેન્શિયલ, ચુંબકીય પોટેન્શિયલ અને બિંદુ સ્રોતોની ગુરુત્વાકર્ષણીય પોટેન્શિયલનો સમાવેશ થાય છે. પોટેન્શિયલનું ઉદાહરણ અનંત લાઇન ચાર્જની વિદ્યુત પોટેન્શિયલ છે. સામાન્ય ગાણિતિક ગુણધર્મો ગણિત અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બહુધ્રુવીય ક્ષણો કાર્યના વિઘટન માટે ઓર્થોગોનલ આધાર બનાવે છે, જે એકબીજાની અનંત નજીક લાવવામાં આવેલા બિંદુ સ્રોતોના ક્ષેત્રના પ્રતિભાવ પર આધારિત છે. આને વિવિધ ભૌમિતિક આકારોમાં ગોઠવાયેલા તરીકે વિચારી શકાય છે, અથવા, વિતરણ સિદ્ધાંતના અર્થમાં, દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન તરીકે. બહુધ્રુવીય વિસ્તરણ ભૌતિક નિયમોની અંતર્ગત પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા અને તેમના સંબંધિત વિભેદક સમીકરણો સાથે સંબંધિત છે. તેમ છતાં સ્રોત શબ્દો (જેમ કે દળો, ચાર્જ અથવા પ્રવાહો) સમપ્રમાણતાવાળા ન હોઈ શકે, તેમ છતાં કોઈ પણ તેમને પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા જૂથની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોની દ્રષ્ટિએ વિસ્તૃત કરી શકે છે, જે ગોળાકાર સંવાદિતા અને ઓર્થોગોનલ કાર્યોના સંબંધિત સમૂહો તરફ દોરી જાય છે. રેડિયલ અવલંબન માટે અનુરૂપ ઉકેલો કાઢવા માટે ચલને અલગ કરવાની તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, ઘણા ક્ષેત્રોને બહુધ્રુવીય ક્ષણોની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે (જો કે ક્ષેત્રને બરાબર પુનઃનિર્માણ કરવા માટે અનંત સંખ્યાની જરૂર પડી શકે છે). એક લાક્ષણિક ઉપયોગ એ છે કે સ્થાનિક ચાર્જ વિતરણના ક્ષેત્રને તેના એકધ્રુવીય અને દ્વિધ્રુવીય શબ્દો દ્વારા અંદાજિત કરવું. મલ્ટિપોલ મોમેન્ટના આપેલ ક્રમ માટે એકવાર હલ કરવામાં આવેલી સમસ્યાઓ આપેલ સ્રોત માટે અંતિમ અંદાજિત ઉકેલ બનાવવા માટે રેખીય રીતે જોડાઈ શકે છે. આ પણ જુઓ બાર્ન્સ-હટ સિમ્યુલેશન ઝડપી બહુધ્રુવીય પદ્ધતિ લાપ્લાસ વિસ્તરણ દંતકથા બહુપદી ચતુર્ભુજ ચુંબકનો ઉપયોગ કણ પ્રવેગકોમાં થાય છે સોલિડ હાર્મોનિક્સ ટોરોઇડલ મોમેન્ટ સંદર્ભો વેક્ટર કેલ્ક્યુલસ મોમેન્ટ (ભૌતિકશાસ્ત્ર)