Stochastic volatility
આંકડામાં, સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલો તે છે જેમાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની ભિન્નતા પોતે અવ્યવસ્થિત રીતે વહેંચાયેલી હોય છે. તેનો ઉપયોગ ગાણિતિક નાણાના ક્ષેત્રમાં વિકલ્પો જેવી વ્યુત્પન્ન જામીનગીરીઓનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે. આ નામ અંતર્ગત સુરક્ષાની અસ્થિરતાને એક અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા તરીકે મોડેલની સારવાર પરથી ઉતરી આવ્યું છે, જે અંતર્ગત સુરક્ષાના ભાવ સ્તર, કેટલાક લાંબા ગાળાના સરેરાશ મૂલ્ય પર પાછા ફરવાની અસ્થિરતાની વૃત્તિ અને અસ્થિરતાની પ્રક્રિયાની ભિન્નતા જેવા રાજ્ય ચલ દ્વારા સંચાલિત થાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલો બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલની ખામીને ઉકેલવા માટેનો એક અભિગમ છે. ખાસ કરીને, બ્લેક-સ્કોલ્સ પર આધારિત મોડેલો ધારે છે કે અંતર્ગત વોલેટિલિટી વ્યુત્પન્નના જીવનકાળ દરમિયાન સતત રહે છે, અને અંતર્ગત સુરક્ષાના ભાવ સ્તરમાં ફેરફારોથી પ્રભાવિત નથી. જો કે, આ મોડેલો વોલેટિલિટી સ્માઇલ અને સ્ક્યુ જેવી ગર્ભિત વોલેટિલિટી સપાટીની લાંબા સમયથી અવલોકન કરાયેલી લાક્ષણિકતાઓને સમજાવી શકતા નથી, જે સૂચવે છે કે ગર્ભિત વોલેટિલિટી સ્ટ્રાઇક પ્રાઈસ અને એક્સપાયરીના સંદર્ભમાં બદલાય છે. અંતર્ગત કિંમતની વોલેટિલિટી એ સ્થિરતાને બદલે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે એમ ધારીને, ડેરિવેટિવ્ઝનું વધુ સચોટ રીતે મોડેલ બનાવવું શક્ય બને છે. બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ અને સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલો વચ્ચેનું મધ્યમ મેદાન સ્થાનિક વોલેટિલિટી મોડેલો દ્વારા આવરી લેવામાં આવ્યું છે. આ મોડેલોમાં અંતર્ગત વોલેટિલિટીમાં કોઈ નવી અવ્યવસ્થિતતા દર્શાવવામાં આવતી નથી પરંતુ તે સતત પણ નથી. સ્થાનિક વોલેટિલિટી મોડેલોમાં વોલેટિલિટી એ કોઈપણ વધારાની અવ્યવસ્થિતતા વિના, અંતર્ગત સંપત્તિનું બિન-તુચ્છ કાર્ય છે. આ વ્યાખ્યા અનુસાર, ભિન્નતાની સતત સ્થિતિસ્થાપકતા જેવા મોડેલો સ્થાનિક વોલેટિલિટી મોડેલો હશે, જો કે તેમને કેટલીકવાર સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં વર્ગીકરણ થોડું અસ્પષ્ટ હોઈ શકે છે. સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટીનો પ્રારંભિક ઇતિહાસ બહુવિધ મૂળ ધરાવે છે (એટલે કે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા, વિકલ્પ કિંમત અને ઇકોનોમેટ્રિક્સ) ની સમીક્ષા નીલ શેફર્ડ (2005) "સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી", ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસના પ્રકરણ 1 માં કરવામાં આવી છે. મૂળભૂત મોડેલ સતત અસ્થિરતાના અભિગમથી શરૂ કરીને, ધારો કે વ્યુત્પન્નની અંતર્ગત સંપત્તિ કિંમત ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિ માટે પ્રમાણભૂત મોડેલને અનુસરે છેઃ જ્યાં સતત પ્રવાહ છે (એટલે કે. સુરક્ષા કિંમતનું અપેક્ષિત વળતર) એ સતત વધઘટ છે, અને શૂન્ય સરેરાશ અને તફાવતનો એકમ દર ધરાવતી પ્રમાણભૂત વીનર પ્રક્રિયા છે. આ સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણનો સ્પષ્ટ ઉકેલ એ છે કે જુદા જુદા સમયે આપેલા શેરની કિંમતો માટે સતત વોલેટિલિટીનો અંદાજ કાઢવા માટે મહત્તમ સંભાવના અંદાજકાર તેનું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે આ સતત વોલેટિલિટી સાથેનું મૂળભૂત મોડેલ બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ અને કોક્સ-રોસ-રુબિનસ્ટીન મોડેલ જેવા નોન-સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલો માટે પ્રારંભિક બિંદુ છે. સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલ માટે, સતત વોલેટિલિટીને ફંક્શન સાથે બદલો જે તેના તફાવતને મોડેલ કરે છે. આ ભિન્નતા કાર્યને બ્રાઉનિયન ગતિ તરીકે પણ મોડેલિંગ કરવામાં આવ્યું છે, અને તેનું સ્વરૂપ અભ્યાસ હેઠળના ચોક્કસ SV મોડેલ પર આધારિત છે. જ્યાં અને કેટલાક કાર્યો છે, અને તે અન્ય પ્રમાણભૂત ગૌસીયન છે જે સતત સહસંબંધ પરિબળ સાથે સહસંબંધિત છે. હેસ્ટન મોડેલ લોકપ્રિય હેસ્ટન મોડેલ એ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું એસ. વી. મોડેલ છે, જેમાં ભિન્નતા પ્રક્રિયાની અવ્યવસ્થિતતા ભિન્નતાના વર્ગમૂળ તરીકે બદલાય છે. આ કિસ્સામાં, ભિન્નતા માટેનું વિભેદક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છેઃ જ્યાં સરેરાશ લાંબા ગાળાની ભિન્નતા છે, તે દર છે કે જેના પર ભિન્નતા તેના લાંબા ગાળાના સરેરાશ તરફ વળે છે, તે ભિન્નતા પ્રક્રિયાની વોલેટિલિટી છે, અને, જેમ કે, શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ગૌસીયન છે. જો કે, અને સતત સહસંબંધ મૂલ્ય સાથે સહસંબંધિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, હેસ્ટન એસ. વી. મોડેલ ધારે છે કે ભિન્નતા એ એક અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા છે જે દર પર લાંબા ગાળાના સરેરાશ તરફ પાછા ફરવાની વૃત્તિ દર્શાવે છે, તેના સ્તરના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં વોલેટિલિટી દર્શાવે છે અને જેનો અવ્યવસ્થિતતાનો સ્રોત અંતર્ગત કિંમત પ્રક્રિયાઓની અવ્યવસ્થિતતા સાથે (સહસંબંધ સાથે) સહસંબંધિત છે. વોલેટિલિટી સપાટીના કેટલાક પરિમાણો, જેમ કે 'SVI', હેસ્ટન મોડેલ પર આધારિત છે. સીઇવી મોડેલ સીઇવી મોડેલ વોલેટિલિટી અને કિંમત વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે, જેમાં સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી રજૂ કરવામાં આવે છેઃ વૈચારિક રીતે, કેટલાક બજારોમાં જ્યારે કિંમતો વધે છે ત્યારે વોલેટિલિટી વધે છે (દા. ત. કોમોડિટીઝ), તેથી. અન્ય બજારોમાં, જેમ જેમ કિંમતોમાં ઘટાડો થાય છે તેમ તેમ વોલેટિલિટી વધે છે. કેટલાક દલીલ કરે છે કે સીઇવી મોડેલ વોલેટિલિટી માટે તેની પોતાની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાનો સમાવેશ કરતું નથી, તે ખરેખર સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલ નથી. તેના બદલે, તેઓ તેને સ્થાનિક વોલેટિલિટી મોડેલ કહે છે. એસએબીઆર વોલેટિલિટી મોડેલ એસએબીઆર મોડેલ (સ્ટોકેસ્ટિક આલ્ફા, બીટા, રો), હેગન એટ અલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. સિંગલ ફોરવર્ડને વર્ણવે છે (જેમ કે કોઈપણ સંપત્તિ સાથે સંબંધિત). સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી હેઠળ ઇન્ડેક્સ, વ્યાજ દર, બોન્ડ, ચલણ અથવા ઇક્વિટી): પ્રારંભિક મૂલ્યો અને વર્તમાન આગળના ભાવ અને વોલેટિલિટી છે, જ્યારે અને બે સહસંબંધિત વીનર પ્રક્રિયાઓ છે (એટલે કે. બ્રાઉનિયન ગતિ) સહસંબંધ ગુણાંક સાથે. અચળ પરિમાણો એવા હોય છે. એસ. એ. બી. આર. મોડેલનું મુખ્ય લક્ષણ અસ્થિર સ્મિતની સ્મિત અસરને પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં સક્ષમ બનવું છે. GARCH મોડેલ જનરલાઇઝ્ડ ઓટોરેગ્રેસિવ કન્ડિશનલ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી (GARCH) મોડેલ સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટીના અંદાજ માટે અન્ય એક લોકપ્રિય મોડેલ છે. તે ધારે છે કે ભિન્નતાની પ્રક્રિયાની અવ્યવસ્થિતતા ભિન્નતાની સાથે બદલાય છે, જે હેસ્ટન મોડેલની જેમ ભિન્નતાના વર્ગમૂળના વિરોધમાં છે. પ્રમાણભૂત GARCH (1,1) મોડેલ સતત તફાવત માટે નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ GARCH મોડેલને અસંખ્ય પ્રકારો દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે, જેમાં NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, સખત રીતે, GARCH મોડેલોમાંથી શરતી વોલેટિલિટીઝ સ્ટોકેસ્ટિક નથી કારણ કે સમય t પર વોલેટિલિટી અગાઉના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં રાખીને સંપૂર્ણપણે પૂર્વ-નિર્ધારિત (નિર્ધારિત) હોય છે. 3/2 મોડેલ 3/2 મોડેલ હેસ્ટન મોડેલ જેવું જ છે, પરંતુ ધારે છે કે ભિન્નતા પ્રક્રિયાની અવ્યવસ્થિતતા સાથે બદલાય છે. ભિન્નતા વિભેદકનું સ્વરૂપ છેઃ જો કે પરિમાણોનો અર્થ હેસ્ટન મોડેલથી અલગ છે. આ મોડેલમાં, તફાવત પરિમાણોની સરેરાશ રીવર્ટિંગ અને વોલેટિલિટી બંને અનુક્રમે અને દ્વારા આપવામાં આવેલી સ્ટોકેસ્ટિક માત્રા છે. રફ વોલેટિલિટી મોડેલો ઉચ્ચ આવર્તન માહિતીમાંથી વોલેટિલિટીના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, વોલેટિલિટી પ્રક્રિયાની સરળતા પર સવાલ ઉઠાવવામાં આવ્યા છે. એવું જાણવા મળ્યું છે કે લોગ-વોલેટિલિટી કોઈપણ વાજબી સમયમર્યાદામાં ક્રમના હર્સ્ટ એક્સ્પોનન્ટ સાથે અપૂર્ણાંક બ્રાઉનિયન ગતિ તરીકે વર્તે છે. આનાથી આંશિક સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી (એફએસવી) મોડેલ અપનાવવામાં આવ્યું, જે એકંદર રફ એફએસવી (આરએફએસવી) તરફ દોરી ગયું જ્યાં તેને પ્રકાશિત કરવા માટે "રફ" છે. આર. એફ. એસ. વી. મોડેલ સમય શ્રેણીના ડેટા સાથે સુસંગત છે, જે વાસ્તવિક અસ્થિરતાની સુધારેલી આગાહી માટે પરવાનગી આપે છે. માપાંકન અને અંદાજ એકવાર કોઈ ચોક્કસ એસ. વી. મોડેલ પસંદ થઈ જાય, પછી તેને હાલની બજારની માહિતી સામે માપાંકન કરવું આવશ્યક છે. માપાંકન એ મોડેલ પરિમાણોના સમૂહને ઓળખવાની પ્રક્રિયા છે જે મોટે ભાગે અવલોકન કરેલ માહિતી આપવામાં આવે છે. એક લોકપ્રિય તકનીક મહત્તમ સંભાવના અંદાજ (એમ. એલ. ઇ.) નો ઉપયોગ કરવાની છે. દાખલા તરીકે, હેસ્ટન મોડેલમાં, ઐતિહાસિક અંતર્ગત સુરક્ષા કિંમતોના અવલોકનો માટે પોવેલ નિર્દેશિત સેટ પદ્ધતિ જેવા એમ. એલ. ઇ. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ પરિમાણોના સમૂહનો અંદાજ લગાવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમે એક અંદાજ સાથે શરૂઆત કરો છો, પરિણામી મોડેલ પર ઐતિહાસિક કિંમતની માહિતી લાગુ કરતી વખતે બાકીની ભૂલોની ગણતરી કરો અને પછી આ ભૂલોને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરવા માટે ગોઠવો. એકવાર કેલિબ્રેશન થઈ ગયા પછી, સમયાંતરે મોડેલને ફરીથી કેલિબ્રેટ કરવાની પ્રમાણભૂત પ્રથા છે. કેલિબ્રેશનનો વિકલ્પ આંકડાકીય અંદાજ છે, જેનાથી પરિમાણ અનિશ્ચિતતા માટે જવાબદાર છે. ઘણી વારંવાર અને બાયેસિયન પદ્ધતિઓ પ્રસ્તાવિત અને અમલમાં મૂકવામાં આવી છે, ખાસ કરીને ઉપરોક્ત મોડેલોના સબસેટ માટે. નીચેની સૂચિમાં ઓપન સોર્સ આંકડાકીય સોફ્ટવેર આર માટે વિસ્તરણ પેકેજો છે જે ખાસ કરીને હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી અંદાજ માટે તૈયાર કરવામાં આવ્યા છે. પ્રથમ ત્રણ જી. એ. આર. સી. એચ.-પ્રકારનાં મોડેલોને નિર્ધારિત અસ્થિરતાની જરૂરિયાતો પૂરી પાડે છે; ચોથું સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી અંદાજ સાથે સંબંધિત છે. રુગાર્કઃ એઆરએફઆઇએમએ, અર્થમાં, બાહ્ય રીગ્રેસર અને વિવિધ ગાર્ચ સ્વાદો, ફિટ, આગાહી, સિમ્યુલેશન, અનુમાન અને પ્લોટિંગ માટેની પદ્ધતિઓ સાથે. fGarch: "નાણાકીય ઇજનેરી અને કોમ્પ્યુટેશનલ ફાઇનાન્સ" શીખવવા માટે આરમેટ્રિક્સ વાતાવરણનો એક ભાગ. bayesGarch: વિદ્યાર્થીની ટી નવીનતાઓ સાથે GARCH (1,1) મોડેલનો bayesian અંદાજ. સ્ટોકવોલઃ માર્કોવ ચેઇન મોન્ટે કાર્લો (એમસીએમસી) પદ્ધતિઓ દ્વારા સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી (એસવી) મોડેલોના સંપૂર્ણ બાયેસિયન અંદાજ માટે કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ્સ. સમય જતાં ઘણી આંકડાકીય પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે અને સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડલ્સ સાથેના વિકલ્પો જેવી નાણાકીય અસ્કયામતોની કિંમત નક્કી કરવાનું સમાધાન કર્યું છે. તાજેતરની વિકસિત એપ્લિકેશન સ્થાનિક સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલ છે. આ સ્થાનિક સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલ ફોરેક્સ ઓપ્શન્સ જેવી નવી નાણાકીય અસ્કયામતોની કિંમત નક્કી કરવામાં વધુ સારા પરિણામો આપે છે. પાયથોન જેવી અન્ય ભાષાઓમાં વૈકલ્પિક આંકડાકીય અંદાજ પુસ્તકાલયો પણ છેઃ પાયફ્લક્સમાં બાયેસિયન અને GARCH અને બીટા-ટી-EGARCH નમૂનાઓ માટે શાસ્ત્રીય અનુમાન સમર્થનનો સમાવેશ થાય છે. બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ હેસ્ટન મોડેલ સ્થાનિક વોલેટિલિટી માર્કોવ સ્વિચિંગ મલ્ટીફ્રેક્ટલ રિસ્ક-ન્યુટ્રલ માપ SABR વોલેટિલિટી મોડેલ સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી જમ્પ સબઓર્ડિનેટર વોલેટિલિટી ક્લસ્ટરિંગ વોલેટિલિટી, અનિશ્ચિતતા, જટિલતા અને અસ્પષ્ટતા સંદર્ભો સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી અને મીન-વેરિઅન્સ એનાલિસિસ, હ્યુંગસોક આહન, પોલ વિલ્મોટ, (2006). સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી સાથેના વિકલ્પો માટે ક્લોઝ-ફોર્મ સોલ્યુશન, એસ. એલ. હેસ્ટન, (1993). વોલેટિલિટી આર્બિટ્રેજની અંદર, અલીરેઝા જાવેરી, (2005). સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડલ્સના કેલિબ્રેશનને વેગ આપવો, કિલિન, ફિઓડર (2006). ગાણિતિક નાણાકીય વિકલ્પો (નાણાકીય) વ્યુત્પન્ન (નાણાકીય)