Klein transformation
ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ક્લેઇન પરિવર્તન એ સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ પ્રમેયમાં સુધારો કરવા માટે ક્ષેત્રોની પુનઃવ્યાખ્યા છે. ધારો કે φ અને χ એ એવા ક્ષેત્રો છે કે, જો x અને y અવકાશી-વિભાજિત બિંદુઓ છે અને i અને j સ્પિનોર/ટેન્સર સૂચકાંકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો પણ ધારો કે χ એ Z2 સમાનતા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે (અવકાશી પ્રતિબિંબ સાથે કરવાનું કંઈ નથી!) χ થી −χ નું મેપિંગ કરો પરંતુ φ ને અપરિવર્તનશીલ છોડી દો. દેખીતી રીતે, મુક્ત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો હંમેશા આ ગુણધર્મને સંતોષે છે. પછી, χ કણોની સંખ્યાની Z2 સમાનતા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને સમય જતાં સંરક્ષિત થાય છે. ચાલો ઓપરેટર Kχ દ્વારા આ સમાનતાને દર્શાવીએ જે χ-સમ સ્થિતિઓને પોતાની સાથે અને χ-વિષમ સ્થિતિઓને તેમના નકારાત્મકમાં મેપ કરે છે. પછી, Kχ અનૈચ્છિક, હર્મિશિયન અને એકાત્મક છે. કહેવાની જરૂર નથી, ઉપરના ક્ષેત્રો φ અને χ બોસોન અથવા ફર્મિઓન માટે યોગ્ય આંકડાકીય સંબંધો ધરાવતા નથી. એટલે કે. તેઓ પોતાના સંદર્ભમાં બોસોનીક છે પરંતુ એકબીજાના સંદર્ભમાં ફર્મિઓનિક છે. પરંતુ જો તમે એકલા આંકડાકીય ગુણધર્મો પર નજર નાખો, તો આપણને લાગે છે કે તેમાં બોસ-આઈન્સ્ટાઈનના આંકડાઓ જેવા જ આંકડાઓ છે. અહીં શા માટેઃ બે નવા ક્ષેત્રો φ 'અને χ' ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો અને આ પુનઃવ્યાખ્યા ઉલટાવી શકાય તેવી છે (કારણ કે Kχ છે). હવે, અવકાશ જેવા પરિવર્તન સંબંધો ફર્મી-ડીરાક બની જાય છે હવે, ચાલો ઉદાહરણ સાથે કામ કરીએ જ્યાં (હંમેશની જેમ અવકાશ જેવા અલગ). ફરી એકવાર ધારો કે આપણી પાસે Z2 સંરક્ષિત પેરિટી ઓપરેટર Kχ છે જે એકલા χ પર કામ કરે છે. દો અને પછી બે કરતાં વધુ ક્ષેત્રો જો બે કરતાં વધુ ક્ષેત્રો હોય, તો ઇચ્છિત પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી દરેક જોડી ક્ષેત્રોમાં "ખોટા" પરિવર્તન/પ્રતિસંવાદ સંબંધો સાથે ક્લેઇન પરિવર્તન લાગુ કરવાનું ચાલુ રાખી શકાય છે. આ પેરાસ્ટેટિસ્ટિક્સ અને વધુ પરિચિત બોસ-આઈન્સ્ટાઈન/ફર્મી-ડિરેક આંકડાશાસ્ત્ર વચ્ચેની સમાનતા સમજાવે છે. સંદર્ભો જોર્ડન-શ્વિંગર પરિવર્તન જોર્ડન-વિગ્નર પરિવર્તન બોગોલીબોવ-વાલટિન પરિવર્તન હોલ્સ્ટીન-પ્રિમાકોફ પરિવર્તન ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત પણ જુઓ.