Mean-field theory
ભૌતિકશાસ્ત્ર અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, મીન-ફિલ્ડ થિયરી (એમ. એફ. ટી.) અથવા સેલ્ફ-કોન્સિસ્ટન્ટ ફિલ્ડ થિયરી એક સરળ મોડેલનો અભ્યાસ કરીને ઉચ્ચ-પરિમાણીય રેન્ડમ (સ્ટોકેસ્ટિક) મોડેલોના વર્તનનો અભ્યાસ કરે છે જે ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (આંકડાની અંતિમ ગણતરીમાં મૂલ્યોની સંખ્યા જે બદલવા માટે મુક્ત છે) ની સરેરાશ દ્વારા મૂળનો અંદાજ કાઢે છે. આવા મોડેલો એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ઘણા વ્યક્તિગત ઘટકોને ધ્યાનમાં લે છે. એમ. એફ. ટી. નો મુખ્ય વિચાર કોઈ પણ એક પદાર્થ સાથેની તમામ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને સરેરાશ અથવા અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે બદલવાનો છે, જેને કેટલીકવાર મોલેક્યુલર ફિલ્ડ કહેવામાં આવે છે. આ કોઈપણ બહુવિધ-શરીરની સમસ્યાને અસરકારક એક-શરીરની સમસ્યામાં ઘટાડે છે. એમ. એફ. ટી. સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવાની સરળતાનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમના વર્તનમાં થોડી સમજ ઓછી કોમ્પ્યુટેશનલ કિંમતે મેળવી શકાય છે. ત્યારથી એમ. એફ. ટી. ને ભૌતિકશાસ્ત્રની બહારના ક્ષેત્રોની વિશાળ શ્રેણીમાં લાગુ કરવામાં આવે છે, જેમાં આંકડાકીય અનુમાન, ગ્રાફિકલ મોડેલ્સ, ન્યુરોસાયન્સ, આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સ, રોગચાળાના મોડેલ્સ, કતાર સિદ્ધાંત, કમ્પ્યુટર-નેટવર્ક પ્રદર્શન અને રમત સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે માત્રાત્મક પ્રતિભાવ સંતુલનમાં. મૂળ આ વિચાર સૌપ્રથમ ભૌતિકશાસ્ત્ર (આંકડાકીય મિકેનિક્સ) માં પિયરે ક્યુરી અને પિયરે વેઇસના કાર્યમાં તબક્કાના સંક્રમણોને વર્ણવવા માટે દેખાયો હતો. એમ. એફ. ટી. નો ઉપયોગ બ્રેગ-વિલિયમ્સ અંદાજ, બેથ લેટીસ પરના નમૂનાઓ, લાન્દાઉ સિદ્ધાંત, પિયર-વેઇસ અંદાજ, ફ્લોરી-હગિન્સ ઉકેલ સિદ્ધાંત અને શ્યુટ્જેન્સ-ફ્લિયર સિદ્ધાંતમાં કરવામાં આવ્યો છે. કેટલાક સરળ કિસ્સાઓ (દા. ત. અનંત) સિવાય, ઘણી (કેટલીકવાર અનંત) ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ ધરાવતી પ્રણાલીઓને સામાન્ય રીતે બરાબર ઉકેલવી મુશ્કેલ હોય છે અથવા બંધ, વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં ગણતરી કરવી મુશ્કેલ હોય છે. અમુક ગૌસીયન રેન્ડમ-ફિલ્ડ સિદ્ધાંતો, 1D આઇસિંગ મોડેલ). ઘણીવાર સંયુક્ત સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે જે સિસ્ટમના પાર્ટીશન કાર્યની ગણતરી જેવી બાબતોને મુશ્કેલ બનાવે છે. એમ. એફ. ટી. એ એક અંદાજ પદ્ધતિ છે જે ઘણીવાર મૂળ ઉકેલવા યોગ્ય અને ગણતરી માટે ખુલ્લી બનાવે છે, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં એમ. એફ. ટી. ખૂબ જ સચોટ અંદાજો આપી શકે છે. ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, હેમિલ્ટોનિયનને ક્ષેત્રના સરેરાશની આસપાસ વધઘટની તીવ્રતાના સંદર્ભમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આ સંદર્ભમાં, એમ. એફ. ટી. ને વધઘટમાં હેમિલ્ટોનિયનના "શૂન્ય ક્રમ" ના વિસ્તરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. ભૌતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે એમ. એફ. ટી. પ્રણાલીમાં કોઈ વધઘટ થતી નથી, પરંતુ આ એ વિચાર સાથે સુસંગત છે કે વ્યક્તિ તમામ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને "સરેરાશ-ક્ષેત્ર" સાથે બદલી રહી છે. ઘણી વાર, એમ. એફ. ટી. ઉચ્ચ ક્રમના વધઘટનો અભ્યાસ કરવા માટે અનુકૂળ પ્રક્ષેપણ બિંદુ પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાર્ટીશન ફંક્શનની ગણતરી કરતી વખતે, હેમિલ્ટોનિયનમાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની શરતોના સંયોજનશાસ્ત્રનો અભ્યાસ કેટલીકવાર શ્રેષ્ઠ રીતે વિક્ષેપ પરિણામો અથવા ફેનમેન આકૃતિઓ ઉત્પન્ન કરી શકે છે જે સરેરાશ-ક્ષેત્ર અંદાજને સુધારે છે. માન્યતા સામાન્ય રીતે, કોઈ ચોક્કસ સમસ્યા માટે સરેરાશ-ક્ષેત્ર અભિગમ કામ કરશે કે નહીં તે નક્કી કરવામાં પરિમાણ સક્રિય ભૂમિકા ભજવે છે. કેટલીકવાર એક નિર્ણાયક પરિમાણ હોય છે જેની ઉપર એમ. એફ. ટી. માન્ય હોય છે અને જેની નીચે તે ન હોય. સંશોધનાત્મક રીતે, એમ. એફ. ટી. માં ઘણી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને એક અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દ્વારા બદલવામાં આવે છે. તેથી જો ક્ષેત્ર અથવા કણ મૂળ પ્રણાલીમાં ઘણી અવ્યવસ્થિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ દર્શાવે છે, તો તેઓ એકબીજાને રદ કરવાનું વલણ ધરાવે છે, તેથી સરેરાશ અસરકારક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અને એમ. એફ. ટી. વધુ સચોટ હશે. આ ઉચ્ચ પરિમાણીયતાના કિસ્સાઓમાં સાચું છે, જ્યારે હેમિલ્ટોનિયનમાં લાંબા અંતરના બળોનો સમાવેશ થાય છે, અથવા જ્યારે કણો વિસ્તૃત થાય છે (દા. ત. પોલિમર). ગિન્ઝબર્ગ માપદંડ એ ઔપચારિક અભિવ્યક્તિ છે કે કેવી રીતે વધઘટ એમ. એફ. ટી. ને નબળો અંદાજ આપે છે, જે ઘણીવાર રસની પ્રણાલીમાં અવકાશી પરિમાણોની સંખ્યા પર આધારિત હોય છે. ઔપચારિક અભિગમ (હેમિલ્ટોનિયન) સરેરાશ-ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત માટેનો ઔપચારિક આધાર બોગોલિઉબોવ અસમાનતા છે. આ અસમાનતા જણાવે છે કે હેમિલ્ટોનિયન સાથેની પ્રણાલીની મુક્ત ઊર્જા નીચેની ઉપલી સીમા ધરાવે છેઃ એન્ટ્રોપી ક્યાં છે, અને હેલ્મહોલ્ટ્ઝ મુક્ત ઊર્જા ક્યાં છે. સરેરાશ હેમિલ્ટોનિયન સાથે સંદર્ભ પ્રણાલીના સંતુલન સમૂહ પર લેવામાં આવે છે. ખાસ કિસ્સામાં કે હેમિલ્ટોનિયન સંદર્ભ બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પ્રણાલીનો છે અને આમ લખી શકાય છે કે આપણી આંકડાકીય પ્રણાલીના વ્યક્તિગત ઘટકોની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી ક્યાં છે (અણુઓ, સ્પિન અને તેથી આગળ), કોઈ પણ અસમાનતાની જમણી બાજુને ઘટાડીને ઉપલા બાઉન્ડને તીક્ષ્ણ કરવાનું વિચારી શકે છે. લઘુતમ સંદર્ભ પ્રણાલી પછી સ્વતંત્રતાની બિન-સહસંબંધિત ડિગ્રીનો ઉપયોગ કરીને સાચી પ્રણાલી માટે "શ્રેષ્ઠ" અંદાજ છે અને તેને સરેરાશ ક્ષેત્ર અંદાજ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સૌથી સામાન્ય કેસ માટે કે લક્ષ્ય હેમિલ્ટોનિયનમાં માત્ર જોડી મુજબની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ હોય છે, એટલે કે, જ્યાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી જોડીનો સમૂહ છે, લઘુત્તમ પ્રક્રિયા ઔપચારિક રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. એક ઘટકની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીઓ પર અવલોકનક્ષમના સામાન્યીકૃત સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો (સ્વતંત્ર ચલોનો સરવાળો, સતત ચલોનો સંકલન). ચલ દ્વારા નિર્દિષ્ટ સ્થિતિમાં સંદર્ભ પ્રણાલી શોધવાની સંભાવના ક્યાં છે તેના દ્વારા અંદાજિત મુક્ત ઊર્જા આપવામાં આવે છે. આ સંભાવના સામાન્યીકૃત બોલ્ટ્ઝમેન પરિબળ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પાર્ટીશન કાર્ય છે. આમ લઘુત્તમ કરવા માટે, આપણે યોગ્ય સામાન્યીકરણની ખાતરી કરવા માટે લેગ્રેન્જ ગુણકનો ઉપયોગ કરીને સિંગલ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સંભાવનાઓના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ. અંતિમ પરિણામ એ સ્વ-સુસંગતતા સમીકરણોનો સમૂહ છે જ્યાં સરેરાશ ક્ષેત્ર એપ્લિકેશન્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે સરેરાશ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતને સંખ્યાબંધ ભૌતિક પ્રણાલીઓ પર લાગુ કરી શકાય છે જેથી તબક્કાના સંક્રમણો જેવી ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરી શકાય. આઇસિંગ મોડેલ ઔપચારિક વ્યુત્પત્તિ ઉપર દર્શાવેલ બોગોલીબોવ અસમાનતાનો ઉપયોગ દ્વિ-પરિમાણીય આઇસિંગ જાળીના સરેરાશ ક્ષેત્ર મોડેલની ગતિશીલતા શોધવા માટે થઈ શકે છે. ચુંબકત્વ કાર્યની ગણતરી પરિણામી અંદાજિત મુક્ત ઊર્જામાંથી કરી શકાય છે. પ્રથમ પગલું સાચા હેમિલ્ટોનિયનનું વધુ ટ્રેક્ટેબલ અંદાજ પસંદ કરવાનું છે. બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ અથવા અસરકારક ક્ષેત્ર હેમિલ્ટોનિયનનો ઉપયોગ કરીને, પરિવર્તનશીલ મુક્ત ઊર્જા બોગોલિઉબોવ અસમાનતા દ્વારા છે, જે આ જથ્થાને સરળ બનાવે છે અને ચુંબકકરણ કાર્યની ગણતરી કરે છે જે પરિવર્તનશીલ મુક્ત ઊર્જાને ઘટાડે છે જે વાસ્તવિક ચુંબકકરણનો શ્રેષ્ઠ અંદાજ આપે છે. મિનિમાઇઝર એ છે કે જે સ્પિનની સરેરાશ છે. બધા સ્પિન દ્વારા અનુભવાતા અસરકારક ક્ષેત્રને સરેરાશ સ્પિન મૂલ્ય સાથે સરખાવવું એ વધઘટને દબાવવા માટેના પરિવર્તનશીલ અભિગમ સાથે સંબંધિત છે. ચુંબકીયકરણ કાર્યનું ભૌતિક અર્થઘટન પછી વ્યક્તિગત સ્પિન માટે સરેરાશ મૂલ્યોનું ક્ષેત્ર છે. બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી સ્પિન અંદાજ-પરિમાણીય જાળી પરના ઇસિંગ મોડેલને ધ્યાનમાં લો. હેમિલ્ટોનિયન એ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં નજીકના પડોશીઓની જોડી પર સરવાળો સૂચવે છે, અને પડોશી ઇસિંગ સ્પિન છે. ચાલો આપણે આપણા સ્પિન ચલને તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી વધઘટ રજૂ કરીને પરિવર્તિત કરીએ. જ્યાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ ત્યાં આપણે હેમિલ્ટોનિયનને ફરીથી લખી શકીએ છીએ; આ સ્પિનનું વધઘટ છે. જો આપણે જમણી બાજુ વિસ્તારીએ, તો આપણે એક શબ્દ મેળવીએ છીએ જે સંપૂર્ણપણે સ્પિનના સરેરાશ મૂલ્યો પર આધારિત છે અને સ્પિન રૂપરેખાંકનોથી સ્વતંત્ર છે. આ તુચ્છ શબ્દ છે, જે પ્રણાલીના આંકડાકીય ગુણધર્મોને અસર કરતું નથી. આગામી પદ એ છે કે જેમાં સ્પિનના સરેરાશ મૂલ્ય અને વધઘટ મૂલ્યનું ગુણાકાર સામેલ છે. છેવટે, છેલ્લી મુદતમાં બે વધઘટ મૂલ્યોના ગુણાકારનો સમાવેશ થાય છે. સરેરાશ ક્ષેત્ર અંદાજમાં આ બીજા ક્રમના વધઘટ શબ્દની અવગણના કરવાનો સમાવેશ થાય છેઃ આ વધઘટ નીચા પરિમાણો પર વધારવામાં આવે છે, જે એમ. એફ. ટી. ને ઉચ્ચ પરિમાણો માટે વધુ સારો અંદાજ બનાવે છે. ફરીથી, સરવાળાને ફરીથી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. વધુમાં, અમે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે દરેક સ્પિનનું સરેરાશ મૂલ્ય સ્થળ-સ્વતંત્ર છે, કારણ કે આઇસિંગ સાંકળ અનુવાદાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. આ ઉપજ આપે છે પડોશી સ્પિન પરના સરવાળાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે, જ્યાં તેનો અર્થ થાય છે "નજીકના પાડોશી", અને પ્રિફેક્ટર બેવડી ગણતરી ટાળે છે, કારણ કે દરેક બોન્ડ બે સ્પિનમાં ભાગ લે છે. સરળીકરણ અંતિમ અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે જ્યાં સંકલન સંખ્યા છે. આ તબક્કે, ઇસિંગ હેમિલ્ટોનિયનને અસરકારક સરેરાશ ક્ષેત્ર સાથે એક-બોડી હેમિલ્ટોનિયનના સરવાળામાં વિભાજીત કરવામાં આવ્યું છે, જે બાહ્ય ક્ષેત્ર અને પડોશી સ્પિન દ્વારા પ્રેરિત સરેરાશ ક્ષેત્રનો સરવાળો છે. એ નોંધવું યોગ્ય છે કે આ સરેરાશ ક્ષેત્ર સીધા નજીકના પડોશીઓની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે અને આમ સિસ્ટમના પરિમાણ પર આધાર રાખે છે (દાખલા તરીકે, પરિમાણના હાયપરક્યુબિક જાળી માટે,). આ હેમિલ્ટોનિયનને પાર્ટીશન ફંક્શનમાં બદલીને અને અસરકારક 1D સમસ્યાનું સમાધાન કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ કે લેટીસ સાઇટ્સની સંખ્યા ક્યાં છે. આ સિસ્ટમના પાર્ટીશન કાર્ય માટે બંધ અને ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ છે. આપણે પ્રણાલીની મુક્ત ઊર્જા મેળવી શકીએ છીએ અને નિર્ણાયક ઘટકોની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. ખાસ કરીને, આપણે એક કાર્ય તરીકે ચુંબકત્વ મેળવી શકીએ છીએ. આમ આપણી પાસે અને વચ્ચે બે સમીકરણો છે, જે આપણને તાપમાનના કાર્ય તરીકે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ નીચેના અવલોકન તરફ દોરી જાય છેઃ ચોક્કસ મૂલ્ય કરતાં વધુ તાપમાન માટે, એકમાત્ર ઉકેલ છે. સિસ્ટમ પેરામેગ્નેટિક છે. કારણ કે, બે બિન-શૂન્ય ઉકેલો છેઃ આ પ્રણાલી લોહચુંબકીય છે. તે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ દર્શાવે છે કે એમ. એફ. ટી. લોહચુંબકીય તબક્કાના સંક્રમણ માટે જવાબદાર છે. એ જ રીતે, એમ. એફ. ટી. ને નીચેના કિસ્સાઓમાં હેમિલ્ટોનિયનના અન્ય પ્રકારો પર લાગુ કરી શકાય છેઃ ધાતુ-સુપરકન્ડક્ટર સંક્રમણનો અભ્યાસ કરવા માટે. આ કિસ્સામાં, ચુંબકત્વનું એનાલોગ એ સુપરકન્ડક્ટિંગ ગેપ છે. પ્રવાહી સ્ફટિકનું પરમાણુ ક્ષેત્ર જે ત્યારે ઉભરી આવે છે જ્યારે નિર્દેશક ક્ષેત્રનું લાપ્લેસીયન બિન-શૂન્ય હોય. પ્રોટીન માળખાની આગાહીમાં નિશ્ચિત પ્રોટીન બેકબોન આપવામાં આવેલ શ્રેષ્ઠ એમિનો એસિડ સાઇડ ચેઇન પેકિંગ નક્કી કરવા માટે (સ્વ-સુસંગત સરેરાશ ક્ષેત્ર (જીવવિજ્ઞાન) જુઓ). સંયુક્ત સામગ્રીના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો નક્કી કરવા. સરેરાશ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત જેવા પરિવર્તનશીલ લઘુતમકરણનો ઉપયોગ આંકડાકીય અનુમાનમાં પણ થઈ શકે છે. સમય-આધારિત સરેરાશ ક્ષેત્રોમાં વિસ્તરણ સરેરાશ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, સિંગલ-સાઇટ સમસ્યામાં દેખાતા સરેરાશ ક્ષેત્ર એ સમય-સ્વતંત્ર સ્કેલર અથવા વેક્ટર જથ્થો છે. જો કે, આ હંમેશા કેસ નથીઃ ડાયનેમિકલ મીન ફિલ્ડ થિયરી (ડીએમએફટી) તરીકે ઓળખાતા સરેરાશ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના પ્રકારમાં, સરેરાશ ક્ષેત્ર સમય-આધારિત જથ્થો બની જાય છે. દાખલા તરીકે, મેટલ-મોટ-ઇન્સ્યુલેટર સંક્રમણનો અભ્યાસ કરવા માટે હૂબાર્ડ મોડેલ પર ડીએમએફટી લાગુ કરી શકાય છે. આ પણ જુઓ ગતિશીલ સરેરાશ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સરેરાશ ક્ષેત્ર રમત સિદ્ધાંત સામાન્યીકૃત રોગચાળો સરેરાશ ક્ષેત્ર મોડેલ સંદર્ભો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આંકડાકીય મિકેનિક્સ વિભાવનાઓ ઇલેક્ટ્રોનિક માળખાકીય પદ્ધતિઓ