Revenue equivalence
મહેસૂલ સમાનતા એ હરાજી સિદ્ધાંતમાં એક ખ્યાલ છે જે જણાવે છે કે ચોક્કસ શરતોને ધ્યાનમાં રાખીને, કોઈપણ પદ્ધતિ કે જે સમાન પરિણામોમાં પરિણમે છે (એટલે કે. સમાન બોલી લગાવનારને વસ્તુઓની ફાળવણી કરે છે) પણ સમાન અપેક્ષિત આવક ધરાવે છે. સંકેત ત્યાં સંભવિત પરિણામોનો સમૂહ છે. એવા એજન્ટો છે જે દરેક પરિણામ માટે અલગ મૂલ્યાંકન ધરાવે છે. એજન્ટનું મૂલ્યાંકન (જેને તેનો "પ્રકાર" પણ કહેવાય છે) એક કાર્ય તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છેઃ જે નાણાકીય દ્રષ્ટિએ દરેક વિકલ્પ માટે તેના મૂલ્યને વ્યક્ત કરે છે. એજન્ટો પાસે અર્ધરેખીય ઉપયોગિતા કાર્યો હોય છે; આનો અર્થ એ છે કે, જો પરિણામ હોય અને વધુમાં એજન્ટને ચુકવણી (હકારાત્મક કે નકારાત્મક) પ્રાપ્ત થાય, તો એજન્ટની કુલ ઉપયોગિતા છેઃ દરેક એજન્ટ માટે, અન્ય એજન્ટોના તમામ મૂલ્ય-કાર્યોના વેક્ટરને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તો. એક પદ્ધતિ એ કાર્યોની જોડી છેઃ એક કાર્ય, જે મૂલ્ય-વાહકને ઇનપુટ તરીકે લે છે અને પરિણામ આપે છે (તેને સામાજિક પસંદગી કાર્ય પણ કહેવામાં આવે છે); એક કાર્ય, જે મૂલ્ય-વાહકને ઇનપુટ તરીકે લે છે અને ચૂકવણીના વાહકને પરત કરે છે, તે નક્કી કરે છે કે દરેક ખેલાડીએ કેટલું પ્રાપ્ત કરવું જોઈએ (નકારાત્મક ચુકવણીનો અર્થ છે કે ખેલાડીએ હકારાત્મક રકમ ચૂકવવી જોઈએ). એજન્ટોના પ્રકારો સ્વતંત્ર રીતે સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ છે. આમ, એક પદ્ધતિ બાયેસિયન રમતને પ્રેરિત કરે છે જેમાં ખેલાડીની વ્યૂહરચના તેના સાચા પ્રકારનાં કાર્ય તરીકે તેનો અહેવાલ પ્રકાર છે. એક પદ્ધતિને બાયેસિયન-નેશ પ્રોત્સાહન સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં બાયેસિયન નેશ સંતુલન હોય જેમાં તમામ ખેલાડીઓ તેમના સાચા પ્રકારનો અહેવાલ આપે છે. નિવેદન આ ધારણાઓ હેઠળ, આવક સમાનતા પ્રમેય પછી નીચે મુજબ કહે છે. કોઈપણ બે બાયેસિયન-નેશ પ્રોત્સાહન સુસંગત પદ્ધતિઓ માટે, જોઃ કાર્ય બંને પદ્ધતિઓમાં સમાન હોય, અનેઃ કેટલાક પ્રકાર માટે, ખેલાડીની અપેક્ષિત ચુકવણી (અન્ય ખેલાડીઓના પ્રકારો પર સરેરાશ) બંને પદ્ધતિઓમાં સમાન હોય; દરેક ખેલાડીનું મૂલ્યાંકન પાથ-કનેક્ટેડ સેટમાંથી લેવામાં આવે છે, પછીઃ તમામ પ્રકારની અપેક્ષિત ચૂકવણી બંને પદ્ધતિઓમાં સમાન હોય છે, અને તેથીઃ અપેક્ષિત આવક (-ચૂકવણીનો સરવાળો) બંને પદ્ધતિઓમાં સમાન હોય છે. ઉદાહરણ એક ઉત્તમ ઉદાહરણ હરાજી પદ્ધતિઓની જોડી છેઃ પ્રથમ કિંમતની હરાજી અને બીજી કિંમતની હરાજી. પ્રથમ કિંમતની હરાજીમાં એક પ્રકાર છે જે બાયેસિયન-નેશ પ્રોત્સાહન સુસંગત છે; બીજી કિંમતની હરાજી પ્રબળ-વ્યૂહરચના-પ્રોત્સાહન-સુસંગત છે, જે બાયેસિયન-નેશ પ્રોત્સાહન સુસંગત કરતાં પણ વધુ મજબૂત છે. બે પદ્ધતિઓ પ્રમેયની શરતોને પૂર્ણ કરે છે કારણ કેઃ બંને પદ્ધતિઓમાં કાર્ય સમાન છે-સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર વસ્તુ જીતે છે; અનેઃ જે ખેલાડી વસ્તુને 0 તરીકે મૂલ્ય આપે છે તે હંમેશા બંને પદ્ધતિઓમાં 0 ચૂકવે છે. ખરેખર, દરેક ખેલાડી માટે અપેક્ષિત ચુકવણી બંને હરાજીમાં સમાન છે, અને હરાજી કરનારની આવક સમાન છે; વિગતો માટે પ્રથમ-કિંમત સીલબંધ-બોલી હરાજી પરનું પૃષ્ઠ જુઓ. એક જ વસ્તુની હરાજીમાં હરાજી તંત્રની સમાનતા હકીકતમાં, આપણે આવકની સમાનતાનો ઉપયોગ એ સાબિત કરવા માટે કરી શકીએ છીએ કે ઘણી પ્રકારની હરાજી આવકની સમકક્ષ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ કિંમતની હરાજી, બીજી કિંમતની હરાજી અને તમામ પગારની હરાજી એ તમામ આવક સમકક્ષ હોય છે જ્યારે બોલી લગાવનાર સમપ્રમાણ હોય છે (એટલે કે, તેમનું મૂલ્યાંકન સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોય છે). બીજી કિંમતની હરાજી બીજી કિંમતની એક જ વસ્તુની હરાજીનો વિચાર કરો, જેમાં સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર ખેલાડી બીજી સૌથી વધુ બોલી ચૂકવે છે. દરેક ખેલાડી માટે તેના પોતાના મૂલ્યની બોલી લગાવવી શ્રેષ્ઠ છે. ધારો કે હરાજી જીતી જાય છે, અને બીજી સૌથી વધુ બોલી ચૂકવે છે, અથવા. આ હરાજીમાંથી થતી આવક સરળ છે. પ્રથમ કિંમતની હરાજી પ્રથમ કિંમતની હરાજીમાં, જ્યાં સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર ખેલાડી ફક્ત તેની બોલી ચૂકવે છે, જો તમામ ખેલાડીઓ બોલી લગાવવાના કાર્યનો ઉપયોગ કરીને બોલી લગાવે તો આ એક નેશ સંતુલન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો દરેક ખેલાડી એવી બોલી લગાવે કે તેઓ બીજી સૌથી વધુ બોલીના અપેક્ષિત મૂલ્યની બોલી લગાવે, એમ ધારીને કે તેમની બોલી સૌથી વધુ હતી, તો પછી કોઈ પણ ખેલાડીને વિચલિત થવા માટે કોઈ પ્રોત્સાહન મળતું નથી. જો આ સાચું હોય, તો તે જોવાનું સરળ છે કે જો હરાજી જીતી જાય તો આ હરાજીમાંથી અપેક્ષિત આવક પણ છે. પુરાવો આ સાબિત કરવા માટે, ધારો કે એક ખેલાડી બોલી લગાવે છે જ્યાં, અસરકારક રીતે તેની કિંમત તેના બદલે છે. અમે એવું મૂલ્ય શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી ખેલાડીની અપેક્ષિત ચૂકવણી મહત્તમ થાય. ત્યારે જીતવાની સંભાવના છે. આ બોલીની અપેક્ષિત કિંમત છે. પછી ખેલાડીની અપેક્ષિત ચૂકવણી લેટ છે, જે એક રેન્ડમ વેરિયેબલ છે. પછી આપણે ઉપરોક્ત તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ. સામાન્ય હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઉપરોક્ત તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ. સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ લેતા, આપણે મેળવીએ છીએ. આમ તમારા મૂલ્ય સાથે બોલી લગાવવાથી ખેલાડીની અપેક્ષિત ચૂકવણી મહત્તમ થાય છે. મોનોટોન વધી રહ્યો હોવાથી, આપણે ચકાસીએ છીએ કે આ ખરેખર મહત્તમ બિંદુ છે. અંગ્રેજી હરાજી ખુલ્લી ચડતી કિંમતની હરાજી (ઉર્ફ અંગ્રેજી હરાજી) માં, ખરીદદારની પ્રબળ વ્યૂહરચના એ છે કે જ્યાં સુધી પૂછતી કિંમત તેના મૂલ્યની બરાબર ન હોય ત્યાં સુધી હરાજીમાં રહે. પછી, જો તે મેદાનમાં બાકી રહેલો છેલ્લો ખેલાડી હોય, તો તે જીતે છે અને બીજી સૌથી વધુ બોલી ચૂકવે છે. બે ખરીદદારોના કેસનો વિચાર કરો, દરેક એવા મૂલ્ય સાથે કે જે આધાર [0,1], સંચિત વિતરણ કાર્ય F (v) અને સંભાવના ઘનતા કાર્ય f (v) સાથેના વિતરણમાંથી સ્વતંત્ર ડ્રો છે. જો ખરીદદારો તેમની પ્રબળ વ્યૂહરચનાઓ અનુસાર વર્તે છે, તો પછી V મૂલ્ય ધરાવતો ખરીદદાર જીતે છે જો તેના પ્રતિસ્પર્ધીનું મૂલ્ય x ઓછું હોય. આમ તેની જીતની સંભાવના છે અને તેની અપેક્ષિત ચુકવણી છે જીતવા પરની અપેક્ષિત ચુકવણી શરતી છે તેથી બંને બાજુઓને F (v) દ્વારા ગુણાકાર કરવો અને v દ્વારા તફાવત કરવાથી e (v) માટે નીચેનું વિભેદક સમીકરણ મળે છે. . આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા, ધારો કે સીલબંધ પ્રથમ કિંમતની હરાજીમાં B (v) સંતુલન બિડ કાર્ય છે. અમે એ દર્શાવીને આવક સમાનતા સ્થાપિત કરીએ છીએ કે B (v) = e (v), એટલે કે, એક હરાજીમાં વિજેતા દ્વારા સંતુલન ચુકવણી બીજામાં વિજેતા દ્વારા અપેક્ષિત સંતુલન ચુકવણીની બરાબર છે. ધારો કે ખરીદદારનું મૂલ્ય v અને બિડ b છે. તેનો વિરોધી સંતુલન બોલી વ્યૂહરચના અનુસાર બોલી લગાવે છે. પ્રતિસ્પર્ધીની બોલી વિતરણનો ટેકો [0, B (1)] છે. આમ ઓછામાં ઓછી બી (1) ની કોઈપણ બોલી સંભાવના 1 સાથે જીતે છે. તેથી, શ્રેષ્ઠ બિડ b અંતરાલ [0, B (1)] માં આવેલું છે અને તેથી આપણે આ બિડને b = B (x) તરીકે લખી શકીએ છીએ જ્યાં x [0,1] માં આવેલું છે. જો પ્રતિસ્પર્ધીનું મૂલ્ય y હોય તો તે B (y) ની બોલી લગાવે છે. તેથી, જીતવાની સંભાવના છે. ખરીદદારની અપેક્ષિત ચૂકવણી એ છે કે જો તે જીતે તો તેની જીતની સંભાવના તેના ચોખ્ખા લાભની ગણી થાય છે, એટલે કે. તફાવત દર્શાવતા, મહત્તમ માટે જરૂરી શરત છે. એટલે કે જો B (x) ખરીદદારનો શ્રેષ્ઠ પ્રતિસાદ હોય તો તેણે આ પ્રથમ ઓર્ડરની શરતને સંતોષવી જ જોઇએ. છેવટે આપણે નોંધ્યું છે કે B (v) સંતુલન બોલી કાર્ય બનવા માટે, ખરીદનારનો શ્રેષ્ઠ પ્રતિસાદ B (v) હોવો આવશ્યક છે. આમ x = v. જરૂરી સ્થિતિમાં x ને બદલીને,. નોંધ લો કે આ વિભેદક સમીકરણ e (v) માટે સમાન છે. e (0) = B (0) = 0 હોવાથી તે તેને અનુસરે છે. બોલી કાર્યોની આગાહી કરવા માટે આવક સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને આપણે રમતમાં ખેલાડીના બોલી કાર્યની આગાહી કરવા માટે આવક સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. બીજી કિંમતની હરાજી અને પ્રથમ કિંમતની હરાજીના બે ખેલાડીઓના સંસ્કરણને ધ્યાનમાં લો, જ્યાંથી દરેક ખેલાડીનું મૂલ્ય સમાન રીતે લેવામાં આવે છે. બીજી કિંમતની હરાજીમાં પ્રથમ ખેલાડીની અપેક્ષિત ચુકવણીની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય છેઃ ખેલાડીઓ બીજી કિંમતની હરાજીમાં પ્રામાણિકપણે બોલી લગાવે છે, તેથી અમે તમામ કિંમતોને ખેલાડીઓના મૂલ્યો સાથે બદલી શકીએ છીએ. જો ખેલાડી 1 જીતે છે, તો તે જે ખેલાડી 2 બોલી લગાવે છે, અથવા તે ચૂકવે છે. ખેલાડી 1 પોતે બોલી લગાવે છે. જ્યારે ખેલાડી 1 ગુમાવે છે ત્યારે ચુકવણી શૂન્ય હોય છે, તેથી ઉપરોક્ત છે કારણ કે તે એક સમાન વિતરણમાંથી આવે છે, તેથી આપણે આને પ્રથમ કિંમતની હરાજીમાં સરળ બનાવી શકીએ છીએ. ધારો કે પ્રથમ કિંમતની હરાજીમાં, દરેક ખેલાડી પાસે બોલી લગાવવાનું કાર્ય છે, જ્યાં આ કાર્ય આ સમયે અજ્ઞાત છે. આ રમતમાં ખેલાડી 1 ની અપેક્ષિત ચુકવણી પછી થાય છે (ઉપર મુજબ) હવે, ખેલાડી જે બોલી લગાવે છે તે જ ખેલાડી ચૂકવે છે, અને ચાલો ધારીએ કે ઉચ્ચ મૂલ્યો ધરાવતા ખેલાડીઓ હજુ પણ જીતે છે, જેથી જીતવાની સંભાવના ફક્ત ખેલાડીનું મૂલ્ય છે, જેમ કે બીજી કિંમતની હરાજીમાં. આપણે પછીથી બતાવીશું કે આ ધારણા સાચી હતી. ફરીથી, જો કોઈ ખેલાડી હરાજીમાં હારી જાય તો તે કંઈપણ ચૂકવતો નથી. પછી આપણે આવક સમાનતા સિદ્ધાંત દ્વારા મેળવીએ છીએ, આપણે આ અભિવ્યક્તિને બીજી કિંમતની હરાજીની આવક સાથે સરખાવી શકીએ છીએ જેની આપણે ઉપર ગણતરી કરી છેઃ આમાંથી, આપણે બોલી કાર્યનું અનુમાન કરી શકીએ છીએઃ નોંધ કરો કે આ બોલી કાર્ય સાથે, વધુ મૂલ્ય ધરાવતો ખેલાડી હજુ પણ જીતે છે. અન્ય તમામ ખેલાડીઓ આ બોલી કાર્યનો ઉપયોગ કરીને બોલી લગાવી રહ્યા છે તે જોતાં ખેલાડીએ તેની બોલીને કેવી રીતે મહત્તમ કરવી જોઈએ તે વિશે વિચારીને આપણે વધારાની રીતે બતાવી શકીએ છીએ કે આ યોગ્ય સંતુલન બોલી કાર્ય છે. પ્રથમ કિંમતની સીલબંધ બોલીની હરાજી પરનું પાનું જુઓ. તેવી જ રીતે, આપણે જાણીએ છીએ કે બીજી કિંમતની હરાજીમાં ખેલાડી 1 ની અપેક્ષિત ચુકવણી છે, અને આ તમામ પગારની હરાજીમાં અપેક્ષિત ચુકવણીની બરાબર હોવી જોઈએ, એટલે કે. આમ, તમામ પગારની હરાજીમાં દરેક ખેલાડી માટે બોલી લગાવવાનું કાર્ય છે અસરો આ સિદ્ધાંતની એક મહત્વપૂર્ણ અસર એ છે કે કોઈપણ એક-વસ્તુની હરાજી જે બિનશરતી સૌથી વધુ બોલી લગાવનારને વસ્તુ આપે છે તેની અપેક્ષિત આવક સમાન હશે. આનો અર્થ એ છે કે, જો આપણે હરાજી કરનારની આવક વધારવા માંગીએ છીએ, તો પરિણામ કાર્ય બદલવું આવશ્યક છે. આવું કરવાની એક રીત એ છે કે વસ્તુ પર આરક્ષણ કિંમત નક્કી કરવી. આ પરિણામ કાર્યને બદલે છે કારણ કે હવે વસ્તુ હંમેશા સૌથી વધુ બોલી લગાવનારને આપવામાં આવતી નથી. આરક્ષણ કિંમત કાળજીપૂર્વક પસંદ કરીને, હરાજી કરનાર નોંધપાત્ર રીતે વધુ અપેક્ષિત આવક મેળવી શકે છે. મર્યાદાઓ આવક-સમકક્ષતા સિદ્ધાંત કેટલાક મહત્વપૂર્ણ કિસ્સાઓમાં તૂટી જાય છેઃ જ્યારે ખેલાડીઓ ઉપર ધાર્યા મુજબ જોખમ-તટસ્થને બદલે જોખમ-પ્રતિકૂળ હોય છે. આ કિસ્સામાં, તે જાણીતું છે કે પ્રથમ કિંમતની હરાજી બીજી કિંમતની હરાજી કરતાં વધુ આવક પેદા કરે છે. જ્યારે ખેલાડીઓનું મૂલ્યાંકન એકબીજા પર નિર્ભર હોય છે, દા. ત., જો મૂલ્યાંકન વિશ્વની કોઈ એવી સ્થિતિ પર આધારિત હોય જે બોલી લગાવનારને માત્ર આંશિક રીતે જ ખબર હોય (આ વિજેતાઓના શ્રાપ સાથે સંબંધિત છે). આ સ્થિતિમાં, અંગ્રેજી હરાજી બીજી કિંમતની હરાજી કરતાં વધુ આવક પેદા કરે છે, કારણ કે તે બોલી લગાવનારને અન્ય ખેલાડીઓની બોલીઓમાંથી માહિતી શીખવા દે છે. સંદર્ભો. હરાજી સિદ્ધાંત મિકેનિઝમ ડિઝાઇન