Z function
ગણિતમાં, ઝેડ કાર્ય એ નિર્ણાયક રેખા સાથે રીમાન ઝીટા કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે વપરાતું કાર્ય છે જ્યાં દલીલ અડધી હોય છે. તેને રીમેન-સીગલ ઝેડ ફંક્શન, રીમેન-સીગલ ઝેટા ફંક્શન, હાર્ડી ફંક્શન, હાર્ડી ઝેડ ફંક્શન અને હાર્ડી ઝેટા ફંક્શન પણ કહેવામાં આવે છે. તેને રીમાન-સીગલ થીટા કાર્ય અને રીમાન ઝીટા કાર્યની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. તે રીમાન ઝીટા કાર્યના કાર્યાત્મક સમીકરણમાંથી અનુસરે છે કે Z કાર્ય t ના વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વાસ્તવિક છે. તે એક સમ કાર્ય છે, અને વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક છે. તે એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે રીમાન-સીગલ થીટા કાર્ય અને રીમાન ઝીટા કાર્ય બંને નિર્ણાયક પટ્ટીમાં હોલોમોર્ફિક છે, જ્યાં t નો કાલ્પનિક ભાગ − 1/2 અને 1/2 ની વચ્ચે હોય છે, કે Z કાર્ય નિર્ણાયક પટ્ટીમાં પણ હોલોમોર્ફિક છે. વધુમાં, ઝેડ (ટી) ના વાસ્તવિક શૂન્ય ચોક્કસપણે નિર્ણાયક રેખા સાથે ઝીટા કાર્યના શૂન્ય છે, અને ઝેડ કાર્ય નિર્ણાયક પટ્ટીમાં જટિલ શૂન્ય તેની નિર્ણાયક પટ્ટીમાં રીમાન ઝીટા કાર્યની નિર્ણાયક રેખાથી શૂન્યને અનુરૂપ છે. રીમાન-સીગલ સૂત્ર વાસ્તવિક ટી માટે ઝેડ (ટી) ના મૂલ્યની ગણતરી, અને તેથી નિર્ણાયક રેખા સાથે ઝીટા કાર્યની ગણતરી, રીમાન-સીગલ સૂત્ર દ્વારા મોટા પ્રમાણમાં ઝડપી કરવામાં આવે છે. આ સૂત્ર આપણને જણાવે છે કે ભૂલ શબ્દ R (t) કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ જટિલ એસિમ્પ્ટોટિક અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે. જો, અને પછી જ્યાં લંબગોળ સૂચવે છે કે આપણે ઉચ્ચ અને વધુને વધુ જટિલ શરતો પર ચાલુ રાખી શકીએ છીએ. ઝેડ (ટી) માટે અન્ય કાર્યક્ષમ શ્રેણીઓ જાણીતી છે, ખાસ કરીને કેટલીક અપૂર્ણ ગામા કાર્યનો ઉપયોગ કરે છે. જો પછી એક ખાસ સરસ ઉદાહરણ છે Z વિધેયનું વર્તન ક્રિટિકલ લાઇન થીયરમમાંથી, તે અનુસરે છે કે Z વિધેયના વાસ્તવિક શૂન્યની ઘનતા અમુક અચળાંક c> 2/5 માટે છે. તેથી, આપેલ કદના અંતરાલમાં શૂન્યની સંખ્યા ધીમે ધીમે વધે છે. જો રીમાન પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો નિર્ણાયક પટ્ટીમાંના તમામ શૂન્ય વાસ્તવિક શૂન્ય છે, અને અચળાંક c એક છે. એવું પણ માનવામાં આવે છે કે આ બધા શૂન્ય સરળ શૂન્ય છે. એક Omega પ્રમેય Z વિધેયના શૂન્યને કારણે, તે ઓસિલેટરી વર્તણૂક દર્શાવે છે. તે ધીમે ધીમે સરેરાશ અને ટોચના મૂલ્યમાં પણ વધે છે. દાખલા તરીકે, આપણી પાસે રીમાન પૂર્વધારણા વિના પણ, Omega પ્રમેય છે કે જ્યાં સંકેતનો અર્થ એ છે કે ω ની અંદર કાર્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવાથી t વધવાની સાથે શૂન્ય થવાનું વલણ નથી. સરેરાશ વૃદ્ધિ Z કાર્યની સરેરાશ વૃદ્ધિનો પણ ઘણો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આપણે રુટ મીન સ્ક્વેર (સંક્ષિપ્ત RMS) સરેરાશ શોધી શકીએ છીએ અથવા જે આપણને જણાવે છે કે Z (t) નું RMS કદ વધે છે. આ અંદાજ સુધારી શકાય છે જો આપણે ઘાતાંક વધારીએ, તો આપણને સરેરાશ મૂલ્ય મળે છે જે ઝેડના ટોચના મૂલ્યો પર વધુ આધાર રાખે છે. ચોથી શક્તિઓ માટે, આપણી પાસે એવું તારણ આવી શકે છે કે સરેરાશ ચોથી શક્તિનું ચોથું મૂળ વધે છે કારણ કે લિન્ડેલોફ પૂર્વધારણામાં ઉચ્ચ સમ શક્તિઓનો ઘણો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, પરંતુ અનુરૂપ સરેરાશ મૂલ્ય વિશે ઓછું જાણીતું છે. તે અનુમાન કરવામાં આવે છે, અને રીમાન પૂર્વધારણામાંથી અનુસરે છે, કે દરેક હકારાત્મક ε માટે. અહીં નાનો "o" સંકેતનો અર્થ એ છે કે જમણી બાજુ દ્વારા વિભાજિત ડાબી બાજુ શૂન્યમાં એકરૂપ થાય છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો નાનો o એ ω ની નકારાત્મકતા છે. આ અનુમાનને લિન્ડેલોફ પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે, અને તે રીમાન પૂર્વધારણા કરતાં નબળું છે. તે સામાન્ય રીતે એક મહત્વપૂર્ણ સમકક્ષ સ્વરૂપમાં જણાવવામાં આવે છે, જે કોઈપણ સ્વરૂપમાં હોય છે જે આપણને કહે છે કે ટોચના મૂલ્યોની વૃદ્ધિનો દર ખૂબ ઊંચો ન હોઈ શકે. વૃદ્ધિના આ દર પર સૌથી વધુ જાણીતું બંધન મજબૂત નથી, જે આપણને કહે છે કે કોઈપણ યોગ્ય છે. તે જાણવું આશ્ચર્યજનક હશે કે ઝેડ ફંક્શન આની નજીક ક્યાંય પણ ઝડપથી વધ્યું છે. લિટલવુડે સાબિત કર્યું કે રીમાન પૂર્વધારણા પર, અને આ વધુ સંભવિત લાગે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ વોલ્ફ્રમ રિસર્ચ-રીમેન-સીગલ ફંક્શન ઝેડ (ફંક્શન પ્લોટિંગ અને મૂલ્યાંકનનો સમાવેશ કરે છે) ઝેટા અને એલ-ફંક્શન્સ