Versine
વર્સીન અથવા વર્સ્ડ સાઇન એ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે જે કેટલાક પ્રારંભિક (સંસ્કૃત આર્યભટ્ટિયા, વિભાગ I) ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકોમાં જોવા મળે છે. એક કોણની આવૃત્તિ 1 બાદબાકી તેની કોસાઇન છે. ઘણા સંબંધિત કાર્યો છે, ખાસ કરીને કવરસાઈન અને હેવરસાઈન. બાદમાં, અડધા વર્સીન, નેવિગેશનના હેવર્સાઇન સૂત્રમાં ખાસ મહત્વ ધરાવે છે. સારાંશ વર્સીન અથવા વર્સ્ડ સાઇન એ એક ત્રિકોણમિતીય કાર્ય છે જે પહેલાથી જ કેટલાક પ્રારંભિક ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટકોમાં દેખાય છે. તેને સંક્ષિપ્ત શબ્દો,,, અથવા નો ઉપયોગ કરીને સૂત્રોમાં પ્રતીક કરવામાં આવે છે. લેટિનમાં, તેને સાઇનસ વિરુદ્ધ (પલટી થયેલ સાઇન), વર્સિનસ, વિરુદ્ધ, અથવા સાગિટ્ટા (તીર) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સામાન્ય ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાઇન, કોસાઇન અને સ્પર્શકની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરાયેલ, વર્સાઇન સમાન છે. વર્સાઇનને અનુરૂપ ઘણા સંબંધિત કાર્યો છેઃ વર્સડ કોસાઇન, અથવા વર્કોસિન, સંક્ષિપ્ત, અથવા. ઢંકાયેલ સાઇન અથવા કવરસિન (લેટિનમાં, કોસિનસ વિરુદ્ધ અથવા કવરસિનસ), સંક્ષિપ્તમાં,, અથવા ઢંકાયેલ કોસાઇન અથવા કવરકોસિન, સંક્ષિપ્તમાં, અથવા ઉપરોક્ત ચાર કાર્યોની સંપૂર્ણ સામ્યતામાં ચાર "અર્ધ-મૂલ્ય" કાર્યોનો બીજો સમૂહ પણ અસ્તિત્વમાં છેઃ ઢંકાયેલ સાઇન અથવા હેવર્સિન (લેટિન સેમીવર્સસ), સંક્ષિપ્તમાં,,,,, અથવા, નેવિગેશનમાં ઐતિહાસિક રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા હેવર્સિન સૂત્રમાંથી સૌથી પ્રખ્યાત હેવર્સડ કોસાઇન અથવા હેવર્સિન, સંક્ષિપ્તમાં, અથવા હેવર્સડ સાઇન, હેકોવર્સિન, અથવા કોહેવર્સિન, સંક્ષિપ્તમાં, અથવા હેકોવર્સડ કોસાઇન, હેકોવરકોસિન આ શબ્દોનો અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે જો કોઈ તેમની વ્યાખ્યા માટે મૂળ સંદર્ભમાં વિધેયોને જુએ, એક એકમ વર્તુળઃ એકમ વર્તુળના ઊભી તાર AB માટે, કોણ θ નું સાઇન (સબટેન્ડેડ ખૂણોના અડધા ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે) એ અંતર AC (તારનો અડધો ભાગ) છે. બીજી બાજુ, θ નું પારંગત સાઇન એ તારના કેન્દ્રથી ચાપના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર CD છે. આમ, cos (θ) (રેખા ઓ. સી. ની લંબાઈ બરાબર) અને versin (θ) (રેખા સી. ડી. ની લંબાઈ બરાબર) નો સરવાળો ત્રિજ્યા OD (લંબાઈ 1 સાથે) છે. આ રીતે સચિત્ર, સાઇન ઊભી છે (રેક્ટસ, શાબ્દિક રીતે "સીધી") જ્યારે વર્સાઇન આડી છે (વિરુદ્ધ, શાબ્દિક રીતે "વિરુદ્ધ તરફ વળેલું, સ્થળની બહાર"); બંને C થી વર્તુળ સુધીના અંતર છે. આ આકૃતિ એ કારણ પણ સમજાવે છે કે શા માટે વર્સીનને કેટલીકવાર સાગિટ્ટા કહેવામાં આવતું હતું, જે સમાન અર્થના અરબી ઉપયોગ સહેમમાંથી તીર માટે લેટિન છે. આ શબ્દ ભારતીય શબ્દ 'સારા' (તીર) પરથી આવ્યો છે, જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે 'ઉત્કર્ષ-જ્યા' માટે થતો હતો. જો ડબલ-એંગલ Δ = 2θ ની ચાપ ADB ને "બો" તરીકે અને તાર AB ને તેની "સ્ટ્રિંગ" તરીકે જોવામાં આવે, તો વર્સીન CD સ્પષ્ટ રીતે "એરો શાફ્ટ" છે. સાઇનને "ઊભી" અને પારંગત સાઇનને "આડી" તરીકેના અર્થઘટનને ધ્યાનમાં રાખીને, સાગિટ્ટા એ એબ્સિસા (ગ્રાફની આડી અક્ષ) માટે અપ્રચલિત સમાનાર્થી શબ્દ પણ છે. 1821માં, કોચીએ વર્સીન માટે સાઇનસ વિરુદ્ધ (સિવ) અને કવરસાઈન માટે કોસિનસ વિરુદ્ધ (કોસિવ) શબ્દોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ઐતિહાસિક રીતે, પારંગત સાઇનને સૌથી મહત્વપૂર્ણ ત્રિકોણમિતીય કાર્યોમાંનું એક માનવામાં આવતું હતું. જેમ જેમ θ શૂન્ય પર જાય છે તેમ, વર્સિન (θ) એ બે લગભગ સમાન જથ્થાઓ વચ્ચેનો તફાવત છે, તેથી કોસાઇન માટે એકલા ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકના વપરાશકર્તાને વિનાશક રદ ટાળવા માટે વર્સિન મેળવવા માટે ખૂબ જ ઉચ્ચ ચોકસાઈની જરૂર પડશે, જે પછીના માટે અલગ કોષ્ટકોને અનુકૂળ બનાવે છે. કેલ્ક્યુલેટર અથવા કમ્પ્યુટર સાથે પણ, રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલો નાના θ માટે sin2 સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપે છે. વર્સીનનો બીજો ઐતિહાસિક ફાયદો એ છે કે તે હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, તેથી તેનો લઘુગણક એક ખૂણો (θ = 0,2,.) સિવાય દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં તે શૂન્ય હોય છે-આમ, કોઈ વ્યક્તિ વર્સીનને સંડોવતા સૂત્રોમાં ગુણાકાર માટે લઘુગણક કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરી શકે છે. હકીકતમાં, ઈસવીસન પૂર્વે ત્રીજી સદીના ભારતના સૂર્ય સિદ્ધાંતમાંથી ગણવામાં આવેલ સાઇન (અર્ધ-તાર) મૂલ્યોની સૌથી જૂની હયાત કોષ્ટક (ટોલેમી અને અન્ય ગ્રીક લેખકો દ્વારા કોર્ડની ગણતરીના વિરોધમાં), સાઇન અને પારંગત સાઇન (0 થી 90 ° સુધી 3.75 ° વૃદ્ધિમાં) માટે મૂલ્યોની કોષ્ટક હતી. વર્સીન ટોલેમી દ્વારા વ્યુત્પન્ન અર્ધ-કોણ સૂત્ર sin2 = versin (θ) ના ઉપયોગમાં મધ્યવર્તી પગલા તરીકે દેખાય છે, જેનો ઉપયોગ આવા કોષ્ટકો બનાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. હેવર્સાઇન, ખાસ કરીને, નેવિગેશનમાં મહત્વપૂર્ણ હતું કારણ કે તે હેવર્સાઇન સૂત્રમાં દેખાય છે, જેનો ઉપયોગ કોણીય સ્થિતિ (દા. ત., રેખાંશ અને અક્ષાંશ) જોતાં ખગોળશાસ્ત્રીય ગોળાકાર પર અંતરની વ્યાજબી રીતે સચોટ ગણતરી કરવા માટે થાય છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ sin2 નો સીધો ઉપયોગ કરી શકે છે, પરંતુ હેવર્સાઇનનું કોષ્ટક રાખવાથી ચોરસ અને વર્ગમૂળની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાત દૂર થઈ ગઈ. જોસ ડી મેન્ડોઝા વાય રિયોસ દ્વારા પ્રારંભિક ઉપયોગ જેને પાછળથી હેવર્સાઇન્સ કહેવામાં આવશે તે 1801 માં દસ્તાવેજીકૃત કરવામાં આવ્યો છે. હેવર્સાઇન્સના ટેબલની સમકક્ષ પ્રથમ જાણીતું અંગ્રેજી 1805 માં જેમ્સ એન્ડ્રુ દ્વારા "સ્ક્વેર્સ ઓફ નેચરલ સેમી-કોર્ડ્સ" નામ હેઠળ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. 1835માં, હેવર્સાઇન શબ્દ (કુદરતી રીતે હેવ તરીકે ઓળખાય છે. અથવા આધાર-10 લોગ તરીકે લઘુગણકીય રીતે. હેવરસિન અથવા લોગ. હેવર્સ.) જેમ્સ ઇનમેન દ્વારા તેમના કાર્ય નેવિગેશન એન્ડ નોટિકલ એસ્ટ્રોનોમીઃ ફોર ધ યુઝ ઓફ બ્રિટીશ સીમેનની ત્રીજી આવૃત્તિમાં નેવિગેશનમાં એપ્લિકેશન્સ માટે ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિના ઉપયોગથી પૃથ્વીની સપાટી પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ઇનમાને પણ નટ શબ્દોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. વર્સીન અને નાટ. વર્સ. આવૃત્તિઓ માટે. 1856માં રિચાર્ડ ફાર્લી અને 1876માં જ્હોન કોલફિલ્ડ હેનિંગ્ટનને હેવરસાઇનના અન્ય ઉચ્ચ-પ્રતિષ્ઠિત કોષ્ટકો ગણવામાં આવ્યા હતા. હેવર્સાઇનનો ઉપયોગ નેવિગેશનમાં થતો રહે છે અને તાજેતરના દાયકાઓમાં તેને નવા ઉપયોગો મળ્યા છે, જેમ કે 1995 થી ગૌસીયન લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને ચંદ્ર અંતરને સાફ કરવા માટે બ્રુસ ડી. સ્ટાર્કની પદ્ધતિમાં અથવા 2014 થી દૃષ્ટિ ઘટાડવા માટે વધુ સઘન પદ્ધતિમાં. આધુનિક ઉપયોગો જ્યારે વર્સીન, કવરસાઈન અને હેવરસાઈન તેમજ તેમના વ્યસ્ત કાર્યોનો ઉપયોગ સદીઓ પહેલા શોધી શકાય છે, ત્યારે અન્ય પાંચ સહ-કાર્યોના નામો ખૂબ જ નાના મૂળના હોવાનું જણાય છે. વર્સીનનો એક સમયગાળો (0 <θ <2π) અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, હેવરસિન (અથવા હેવરકોસિન) તરંગ સ્વરૂપનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને નિયંત્રણ સિદ્ધાંતમાં પલ્સ અથવા વિન્ડો ફંક્શન (હેન, હેન-પોઇસન અને ટુકી વિંડોઝ સહિત) ના આકાર તરીકે થાય છે, કારણ કે તે સરળતાથી (મૂલ્ય અને ઢોળાવમાં સતત) શૂન્યથી એક (હેવરસિન માટે) અને શૂન્ય તરફ "ચાલુ" થાય છે. આ એપ્લિકેશનોમાં, તેને હેન ફંક્શન અથવા ઊભા-કોસિન ફિલ્ટર નામ આપવામાં આવ્યું છે. તેવી જ રીતે, હેવરકોસિનનો ઉપયોગ સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં ઊભા-કોસિન વિતરણમાં થાય છે. sin2 (θ) ના સ્વરૂપમાં ડબલ-એંગલ Δનું હેવર્સાઇન તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિમાં ફેલાવો અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે, જે 2005 થી નોર્મન જ્હોન વાઇલ્ડબર્ગર દ્વારા મેટ્રિકલ પ્લાનર અને નક્કર ભૂમિતિઓનું પ્રસ્તાવિત રિફોર્મ્યુલેશન છે. ગાણિતિક ઓળખ વ્યાખ્યાઓ ગોળાકાર પરિભ્રમણ વિધેયો એકબીજાના ગોળાકાર પરિભ્રમણ છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ઇન્ટિગ્રલ્સ ઇન્વર્સ ફંક્શન્સ ઇન્વર્સ ફંક્શન્સ જેમ કે આર્કવર્સિન (આર્કવર્સિન, આર્કવર્સ, એવર્સ, એવર્સ), આર્કવર્કોસિન (આર્કવર્કોસિન, આર્કવર્કોસ, એવર્કોસ, એવીસીએસ), આર્કોવર્સિન (આર્કોવર્સિન, આર્કોવર્સ, એકોવર્સ, એસીવીએસ), આર્કોવર્કોસિન (આર્કોવર્કોસિન, આર્કોવર્કોસ, એકોવર્કોસ, એસીવીસી), આર્કેવર્સિન (આર્કેવર્સિન, આર્કેવ, હેવર્સિન-1, ઇન્હાવ, આહવ, અહવ, અહવ, હાવ-1), આર્કેવેરકોસિન (આર્કેવેરકોસિન, આર્કેવેરકોસ, અહવ). મેકલૌરિન શ્રેણીઃ અંદાજો જ્યારે ત્રિજ્યા r ની સરખામણીમાં વર્સાઇન v નાનો હોય, ત્યારે તેને સૂત્ર દ્વારા અર્ધ-તાર લંબાઈ L (ઉપર બતાવેલ અંતર AC) થી અંદાજિત કરી શકાય છે વૈકલ્પિક રીતે, જો વર્સાઇન નાનો હોય અને વર્સાઇન, ત્રિજ્યા અને અર્ધ-તાર લંબાઈ જાણીતી હોય, તો તેનો ઉપયોગ સૂત્ર દ્વારા ચાપ લંબાઈ s (ઉપરની આકૃતિમાં AD) નો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે. આ સૂત્ર ચીની ગણિતશાસ્ત્રી શેન કુઓને જાણીતું હતું, અને સાગિટ્ટાને પણ સમાવતું વધુ સચોટ સૂત્ર બે સદીઓ પછી ગુઓ શૌજિંગ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. ઇજનેરીમાં વપરાતો વધુ સચોટ અંદાજ આર્બિટ્રરી કર્વ્સ અને કોર્ડ છે વર્સીન શબ્દનો ઉપયોગ કેટલીકવાર આર્બિટ્રરી પ્લેનર કર્વમાં સીધીતાથી વિચલનોને વર્ણવવા માટે પણ થાય છે, જેમાંથી ઉપરનું વર્તુળ એક વિશેષ કેસ છે. વળાંકમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના તારને જોતાં, તારથી વળાંક (સામાન્ય રીતે તારના મધ્યબિંદુ પર) સુધીના લંબરૂપ અંતરને વર્સાઇન માપન કહેવામાં આવે છે. સીધી રેખા માટે, કોઈપણ તારની આવૃત્તિ શૂન્ય હોય છે, તેથી આ માપ વળાંકની સીધીતાને દર્શાવે છે. જેમ જેમ તારની લંબાઈ L શૂન્ય પર જાય છે, તેમ ગુણોત્તર તાત્કાલિક વળાંક પર જાય છે. આ ઉપયોગ ખાસ કરીને રેલ પરિવહનમાં સામાન્ય છે, જ્યાં તે રેલ ટ્રેકની સીધીતાના માપનનું વર્ણન કરે છે અને તે રેલ સર્વેક્ષણ માટે હલેડ પદ્ધતિનો આધાર છે. લેન્સ અને અરીસાઓની સપાટીઓનું વર્ણન કરવા માટે સાગિટ્ટા (ઘણીવાર સંક્ષિપ્તમાં સેગ) શબ્દનો ઉપયોગ ઓપ્ટિક્સમાં સમાન રીતે થાય છે. આ પણ જુઓ ત્રિકોણમિતિ ઓળખ એક્સસેન્ટ અને એક્સોસેકેન્ટ વર્સીરા (એગ્નેસિની ચૂડેલ) એક્સપોનેન્શિયલ માઇનસ 1 નેચરલ લઘુગણક વત્તા 1 નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ GeoGebra.org ત્રિકોણમિતિ કાર્યો પર ત્રિકોણમિતિ કાર્યો