Rigidity (mathematics)
ગણિતમાં, ગાણિતિક પદાર્થોનો સખત સંગ્રહ C (દાખલા તરીકે સમૂહો અથવા કાર્યો) એ છે કે જેમાં દરેક c ωC અનન્ય રીતે c વિશેની ઓછી માહિતી દ્વારા નક્કી થાય છે જે કોઈની અપેક્ષા કરતાં ઓછી હોય છે. ઉપરોક્ત નિવેદન ગાણિતિક ગુણધર્મને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી; તેના બદલે, તે વર્ણવે છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ગણિતમાં "કઠોર" વિશેષણનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે કયા અર્થમાં થાય છે. કેટલાક ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ એકમ ડિસ્ક પરના હાર્મોનિક કાર્યો એ અર્થમાં કઠોર હોય છે કે તેઓ તેમના સીમા મૂલ્યો દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે. હોલોમોર્ફિક વિધેયો એક જ બિંદુ પર તમામ વ્યુત્પન્નોના સમૂહ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક રેખાથી જટિલ સમતલ સુધીનું સરળ કાર્ય, સામાન્ય રીતે, એક જ બિંદુ પર તેના તમામ વ્યુત્પન્ન દ્વારા નિર્ધારિત થતું નથી, પરંતુ જો આપણે વધારાની જરૂર હોય તો તે જટિલ સમતલમાં વાસ્તવિક રેખાના પડોશમાં એક સુધી કાર્યને વિસ્તૃત કરવું શક્ય બને છે. શ્વાર્ઝ લેમ્મા એ આવા કઠોરતા પ્રમેયનું ઉદાહરણ છે. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય અનુસાર, C માં બહુપદીઓ એ અર્થમાં કઠોર હોય છે કે કોઈપણ બહુપદી સંપૂર્ણપણે કોઈપણ અનંત સમૂહ, જેમ કે N, અથવા એકમ ડિસ્ક પરના તેના મૂલ્યો દ્વારા નક્કી થાય છે. અગાઉના ઉદાહરણ દ્વારા, બહુપદી પણ હોલોમોર્ફિક વિધેયોના સમૂહની અંદર કોઈપણ એક બિંદુ પર તેના બિન-શૂન્ય વ્યુત્પન્નોના મર્યાદિત સમૂહ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વેક્ટર જગ્યાઓ X, Y વચ્ચેના રેખીય નકશા L (X, Y) એ અર્થમાં કઠોર છે કે કોઈપણ L (X, Y) સંપૂર્ણપણે તેના મૂલ્યો દ્વારા X ના બેસિસ વેક્ટરના કોઈપણ સમૂહ પર નક્કી થાય છે. મોસ્ટોની કઠોરતા પ્રમેય, જે જણાવે છે કે નકારાત્મક વક્ર મેનીફોલ્ડ્સની ભૌમિતિક રચના તેમના ટોપોલોજિકલ માળખા દ્વારા નક્કી થાય છે. એક સુવ્યવસ્થિત સમૂહ એ અર્થમાં કઠોર હોય છે કે તેના પર એકમાત્ર (ક્રમ-જાળવણી) ઓટોમોર્ફિઝમ એ ઓળખ કાર્ય છે. પરિણામે, આપેલ બે સુવ્યવસ્થિત સમૂહો વચ્ચેની સમરૂપતા અનન્ય હશે. બહિર્મુખ બહુપદીની ભૂમિતિ પર કૌચીનો પ્રમેય જણાવે છે કે બહિર્મુખ બહુપદી અનન્ય રીતે તેના ચહેરાની ભૂમિતિ અને સંયુક્ત સંલગ્નતા નિયમો દ્વારા નક્કી થાય છે. એલેક્ઝાન્ડ્રોવની વિશિષ્ટતા પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રણ પરિમાણોમાં બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન તેની સપાટી પર ભૂગણિતની મેટ્રિક જગ્યા દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે. કે-સિદ્ધાંતમાં કઠોરતા વિવિધ બીજગણિત કે-સિદ્ધાંત જૂથો વચ્ચે સમરૂપતા દર્શાવે છે. વિપરીત ગેલોઇસ સમસ્યામાં કઠોર જૂથો. સંયોજનશાસ્ત્રમાં, કઠોર શબ્દનો ઉપયોગ કઠોર સર્જેક્શનની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ થાય છે, જે એક સર્જેક્શન છે જેના માટે નીચેની સમકક્ષ શરતો છેઃ દરેક માટે,; એક-ટુપલ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, તત્વોની પ્રથમ ઘટનાઓ વધતા ક્રમમાં હોય છે; ના પ્રારંભિક વિભાગોના પ્રારંભિક વિભાગોને મેપ કરે છે. આ કઠોરની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા સાથે સંબંધિત છે, જેમાં દરેક કઠોર સર્જેક્શન અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને ટુકડાઓમાં વિભાજન દ્વારા અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સખત સર્જેક્શનને જોતાં, પાર્ટીશનને આના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, પાર્ટીશન આપવામાં આવે તો, ભાડે આપીને ઓર્ડર કરો. જો હવે-ઓર્ડર્ડ પાર્ટીશન હોય, તો તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય એક કઠોર સર્જેક્શન છે. વિશિષ્ટતા પ્રમેય પણ જુઓ માળખાકીય કઠોરતા, એક ગાણિતિક સિદ્ધાંત જે લવચીક ટકી દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા કઠોર ભૌતિક પદાર્થોના સમૂહની સ્વતંત્રતાની માત્રાનું વર્ણન કરે છે. સ્તર માળખું (બીજગણિત ભૂમિતિ) સંદર્ભો ગાણિતિક પરિભાષા