Shear and moment diagram
શીયર ફોર્સ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ આકૃતિઓ એ વિશ્લેષણાત્મક સાધનો છે જેનો ઉપયોગ માળખાકીય વિશ્લેષણ સાથે કરવામાં આવે છે, જે બીમ જેવા માળખાકીય તત્વના આપેલ બિંદુ પર શીયર ફોર્સ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ્સનું મૂલ્ય નક્કી કરીને માળખાકીય ડિઝાઇન કરવામાં મદદ કરે છે. આ આકૃતિઓનો ઉપયોગ માળખામાં સભ્યના પ્રકાર, કદ અને સામગ્રીને સરળતાથી નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે જેથી માળખાકીય નિષ્ફળતા વિના આપેલ ભાર સમૂહને ટેકો આપી શકાય. શીયર અને મોમેન્ટ આકૃતિઓનો બીજો ઉપયોગ એ છે કે બીમનું ડિફ્લેક્શન મોમેન્ટ એરિયા પદ્ધતિ અથવા કોન્જુગેટ બીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે. જો કે આ સંમેલનો સંબંધિત છે અને જો સ્પષ્ટ રીતે જણાવવામાં આવે તો કોઈપણ સંમેલનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, પ્રેક્ટિસ કરતા ઇજનેરોએ ડિઝાઇન પ્રથાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રમાણભૂત સંમેલનને અપનાવ્યું છે. સામાન્ય પરંપરા મોટાભાગની ઇજનેરી એપ્લિકેશનોમાં ઉપયોગમાં લેવાતી સામાન્ય પરંપરા હકારાત્મક શીયર બળને લેબલ કરવાની છે-જે તત્વને ઘડિયાળની દિશામાં (ડાબી બાજુ ઉપર અને જમણી બાજુ નીચે) ફરે છે. તેવી જ રીતે હકારાત્મક બેન્ડિંગ મોમેન્ટ માટે સામાન્ય પરંપરા એ છે કે તત્વને "યુ" આકારની રીતે (ડાબી બાજુએ ઘડિયાળની દિશામાં અને જમણી બાજુએ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) વાળવું. આને યાદ રાખવાની બીજી રીત એ છે કે જો ક્ષણ બીમને "સ્મિત" માં વાળતી હોય તો ક્ષણ હકારાત્મક હોય છે, જેમાં બીમની ટોચ પર સંકોચન અને તળિયે તણાવ હોય છે. આ પરંપરાને બીમના વિશ્લેષણને સરળ બનાવવા માટે પસંદ કરવામાં આવી હતી. આડી સભ્યનું સામાન્ય રીતે ડાબેથી જમણે વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે અને ઊભી દિશામાં હકારાત્મકને સામાન્ય રીતે ઉપર લેવામાં આવે છે, તેથી હકારાત્મક શીયર કન્વેન્શનને ડાબી બાજુથી ઉપર કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું, અને તમામ રેખાંકનોને જમણી બાજુથી નીચે સુસંગત બનાવવા માટે. પોઝિટિવ બેન્ડિંગ કન્વેન્શન એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું કે પોઝિટિવ શીયર ફોર્સ પોઝિટિવ મોમેન્ટ બનાવવાનું વલણ ધરાવે. વૈકલ્પિક રેખાંકન પરંપરા માળખાકીય ઇજનેરીમાં અને ખાસ કરીને કોંક્રિટ ડિઝાઇનમાં સકારાત્મક ક્ષણ સભ્યની તણાવ બાજુ પર દોરવામાં આવે છે. આ પરંપરા હકારાત્મક ક્ષણને ઉપર વર્ણવેલ કિરણની નીચે મૂકે છે. તાણ બાજુ પર ક્ષણ આકૃતિ મૂકવાની પરંપરા ફ્રેમ સાથે વધુ સરળતાથી અને સ્પષ્ટ રીતે વ્યવહાર કરવાની મંજૂરી આપે છે. વધુમાં, ક્ષણને સભ્યની તાણ બાજુએ મૂકવી એ વિરૂપતાનો સામાન્ય આકાર દર્શાવે છે અને સૂચવે છે કે કોંક્રિટ સભ્યની રીબારની કઈ બાજુએ મૂકવી જોઈએ, કારણ કે કોંક્રિટ તણાવમાં નબળી હોય છે. શીયર ફોર્સ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટની ગણતરી લોડિંગ આકૃતિ દોરવા સાથે આગળનું પગલું એ છે કે તત્વ સાથે કોઈપણ બિંદુ પર શીયર ફોર્સ અને મોમેન્ટનું મૂલ્ય શોધવું. આડી બીમ માટે આ કરવાની એક રીત એ છે કે કોઈપણ સમયે બીમના જમણા છેડે "કાપી નાખવું". નીચે આપેલા ઉદાહરણમાં બિંદુ ભાર, વિતરિત ભાર અને લાગુ કરેલ ક્ષણનો સમાવેશ થાય છે. સપોર્ટમાં હિંગ્ડ સપોર્ટ અને ફિક્સ્ડ એન્ડ સપોર્ટ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ ચિત્ર લાગુ કરાયેલા બળો અને વિસ્થાપન અવરોધો સાથે બીમ દર્શાવે છે. બીજું ચિત્ર એ દર્શાવેલ ગણતરીઓ વિના આપવામાં આવેલ પ્રતિક્રિયા મૂલ્યો સાથેનું લોડિંગ આકૃતિ છે અથવા જેને મોટાભાગના લોકો ફ્રી બોડી આકૃતિ કહે છે. ત્રીજું ચિત્ર શીયર ફોર્સ ડાયાગ્રામ છે અને ચોથું ચિત્ર બેન્ડિંગ મોમેન્ટ ડાયાગ્રામ છે. બેન્ડિંગ મોમેન્ટ આકૃતિ માટે સામાન્ય સંકેત પરંપરાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ક્ષણ આકૃતિ નીચે શીયર અને બેન્ડિંગ કાર્યો પર દરેક ભારની અસરો દર્શાવવા માટે વિસ્તૃત કાર્યો સાથે શીયર બળ અને બેન્ડિંગ ક્ષણ માટે પગલું મુજબના કાર્યો છે. આ ઉદાહરણ યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સના રૂઢિગત એકમોનો ઉપયોગ કરીને સચિત્ર છે. બિંદુ ભારને કિપ્સ (1 કિપ = 1000 એલબીએફ = 4.45 કેએન) માં દર્શાવવામાં આવે છે, વિતરિત ભારને કે/ફૂટ (1 કે/ફૂટ = 1 કિપ/ફૂટ = 14.6 કેએન/મીટર) માં દર્શાવવામાં આવે છે, ક્ષણોને એફટી-કે (1 ફૂટ-કે = 1 ફૂટ-કિપ = 1.356 કેએનએમ) માં દર્શાવવામાં આવે છે, અને લંબાઈ એફટી (1 ફૂટ = 0.3048 મીટર) માં હોય છે. પગલું 1: પ્રતિક્રિયા બળો અને ક્ષણોની ગણતરી કરો બેન્ડિંગ મોમેન્ટ અને શીયર ફોર્સ સમીકરણો મેળવવાનું પ્રથમ પગલું પ્રતિક્રિયા બળો નક્કી કરવાનું છે. આ સમગ્ર બીમ મુક્ત શરીર આકૃતિ ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. બીમમાં ત્રણ પ્રતિક્રિયા બળો હોય છે, બે આધારો પર Ra, Rb અને બંધાયેલ છેડે Rc. ક્લેમ્પ્ડ એન્ડમાં પ્રતિક્રિયા દંપતી મેક પણ હોય છે. આ ચાર માત્રાઓ બે સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવી પડે છે, બીમમાં બળોનું સંતુલન અને બીમમાં ક્ષણોનું સંતુલન. આ અજ્ઞાત ચલમાં બે સ્વતંત્ર સમીકરણો આપવામાં આવે તો ચાર અજ્ઞાત શોધી શકાતા નથી અને તેથી બીમ સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત છે. આ સમસ્યાનું સમાધાન કરવાની એક રીત એ છે કે રેખીય સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવો અને સમસ્યાને સંખ્યાબંધ સ્થિર રીતે નિર્ધારિત સમસ્યાઓના સુપરપોઝિશનમાં વિભાજિત કરવી. આધાર પર વધારાની સીમા શરતોને સુપરપોઝ્ડ સોલ્યુશનમાં સામેલ કરવી પડશે જેથી સમગ્ર બીમની વિકૃતિ સુસંગત હોય. સમગ્ર બીમની ફ્રી-બોડી આકૃતિમાંથી આપણી પાસે બે સંતુલન સમીકરણો છે બળોનો સારાંશ, આપણી પાસે મુક્ત છેડા (A) ની આસપાસની ક્ષણોનો સરવાળો અને સરવાળો આપણી પાસે છે. એ જ રીતે, જો આપણે બીજા આધારની આસપાસ ક્ષણો લઈએ, તો આપણી પાસે છે ફરી એકવાર આપણે શોધી કાઢીએ કે આ સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણોથી સ્વતંત્ર નથી. આ સમીકરણ અન્ય બે સમીકરણોથી રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ન હોવાનું પણ બહાર આવ્યું છે તે મેળવવા માટે આપણે બીમના ક્લેમ્પ્ડ એન્ડની આસપાસની ક્ષણોની ગણતરી કરવાનો પણ પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ. તેથી, બીમ સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત છે અને આપણે આરએ અને મેકના કાર્યો તરીકે બીમના વિભાગોમાં બેન્ડિંગ મોમેન્ટ્સ શોધવી પડશે. પગલું 2: બીમને વિભાગોમાં વિભાજીત કરો પ્રતિક્રિયા બળો મળ્યા પછી, તમે બીમને ટુકડાઓમાં વિભાજીત કરો. સભ્ય પર બાહ્ય બળોનું સ્થાન અને સંખ્યા આ ટુકડાઓની સંખ્યા અને સ્થાન નક્કી કરે છે. પ્રથમ ભાગ હંમેશા એક છેડેથી શરૂ થાય છે અને પ્રથમ બાહ્ય બળ પહેલાં ગમે ત્યાં સમાપ્ત થાય છે. પગલું 3: શીયર ફોર્સ અને મોમેન્ટ્સની ગણતરી કરો-પ્રથમ ભાગ ચાલો V1 અને M1 પ્રથમ બીમ સેગમેન્ટના ક્રોસ-સેક્શનમાં અનુક્રમે શીયર ફોર્સ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ હોય. જેમ જેમ બીમનો વિભાગ બાહ્ય બળના ઉપયોગના બિંદુ તરફ આગળ વધે છે તેમ તેમ શીયર બળ અને ક્ષણનું પરિમાણ બદલાઈ શકે છે. આ શીયર ફોર્સ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટને ક્રોસ-સેક્શનની સ્થિતિનું કાર્ય બનાવે છે (આ ઉદાહરણમાં x). આ ખંડ પરના બળોનો સરવાળો કરીને અને ક્ષણોનો સરવાળો કરીને, શીયર બળ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ માટેના સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે. આ સમીકરણો છેઃ અને તેથી, પગલું 4: શીયર બળો અને ક્ષણોની ગણતરી કરો-બીજો ભાગ બીજા ખંડને લઈને, બીજા આંતરિક બળ પહેલાં ગમે ત્યાં સમાપ્ત થાય છે, આપણી પાસે છે અને તેથી, નોંધ લો કે કારણ કે શીયર બળ x ની દ્રષ્ટિએ છે, ક્ષણ સમીકરણ ચોરસ છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ક્ષણ એ શીયર બળનું અભિન્ન અંગ છે. આ ક્ષણનો મુશ્કેલ ભાગ વહેંચાયેલ બળ છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ સાથે બળ બદલાતું હોવાથી, 10 ફૂટ પછીના અંતર દ્વારા બળનો ગુણાકાર કરવામાં આવશે. એટલે કે. (x-10) ક્ષણનું સ્થાન વિતરિત બળની મધ્યમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે પણ બદલાઈ રહ્યું છે. આ તે છે જ્યાંથી (x + 10)/2 ઉતરી આવ્યું છે. વૈકલ્પિક રીતે, આપણે ક્રોસ-સેક્શન વિશે ક્ષણો લઈ શકીએ છીએ ફરીથી, આ કિસ્સામાં, પગલું 5: શીયર બળો અને ક્ષણોની ગણતરી કરો-ત્રીજો ભાગ ત્રીજો ભાગ લઈને, અને દળોનો સરવાળો કરીને, આપણી પાસે ક્રોસ-સેક્શન વિશે ક્ષણો છે અને સારાંશ આપીએ તો, આપણે મેળવીએ છીએ. પગલું 6: શીયર બળો અને ક્ષણોની ગણતરી કરો-ચોથો ભાગ ચોથો અને અંતિમ ભાગ લેતા, બળોનું સંતુલન આપે છે અને ક્રોસ-સેક્શનની આસપાસ ક્ષણોના સંતુલન V4 અને M4 માટે ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે, આપણી પાસે છે અને આ દરેક સમીકરણોને તેમના ઇચ્છિત અંતરાલો પર ગોઠવીને, તમને આ બીમ માટે બેન્ડિંગ મોમેન્ટ અને શીયર ફોર્સ આકૃતિઓ મળે છે. ખાસ કરીને, બીમના ક્લેમ્પ્ડ છેડે, x = 50 અને આપણી પાસે પગલું 7 છેઃ ચાર સેગમેન્ટના ડિફ્લેક્શનની ગણતરી કરો હવે આપણે ચાર સેગમેન્ટના ડિફ્લેક્શનની ગણતરી કરવા માટે યુલર-બર્નૌલી બીમ થિયરીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વિભેદક સમીકરણ કે જે બીમ ડિફ્લેક્શન (ડબલ્યુ) ને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ (એમ) સાથે સંબંધિત કરે છે તે છે જ્યાં ઇ એ યંગનું મોડ્યુલસ છે અને આઇ એ બીમ ક્રોસ-સેક્શનની જડતાની ક્ષેત્ર ક્ષણ છે. M1, M2, M3, M4 માટે સમીકરણોને બીમ સમીકરણમાં બદલીને અને ડિફ્લેક્શન માટે ઉકેલવાથી આપણને પગલું 8 મળે છેઃ સીમાની શરતો લાગુ કરો હવે આપણે એકીકરણ સ્થિરાંકો નક્કી કરવા માટે ચાર વિભાગો માટે વિસ્થાપનની સીમાની શરતો લાગુ કરીશું. બીમના ચોથા ભાગ માટે, આપણે બંધાયેલ છેડા પરની સીમા શરતોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં x = 50 પર w4 = dw/dx = 0 છે. C7 અને C8 માટેનો ઉકેલ આપે છે તેથી, આપણે w4 ને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. ઉપરાંત, આ બિંદુ પર વિક્ષેપણ વળાંકના ઢોળાવ સમાન છે, એટલે કે, dw4/dx = dw3/dx. આ સીમા શરતોનો ઉપયોગ કરીને અને C5 અને C6 માટે ઉકેલ કાઢીને, આપણને આ સ્થિરાંકોનું સ્થાનાંતર W3 માટે અભિવ્યક્તિમાં મળે છે. એ જ રીતે, 2 અને 3 વચ્ચેના આધાર પર જ્યાં x = 25, W3 = W2 અને dw3/dx = dw2/dx. આનો ઉપયોગ કરીને અને C3 અને C4 માટે ઉકેલવાથી મળે છે તેથી, વિભાગ 1 અને 2 વચ્ચેના આધાર પર, x = 10 અને w1 = w2 અને dw1/dx = dw2/dx. આ સીમા શરતો આપણને આપે છે તેથી, પગલું 9: મેક અને રા માટે ઉકેલો કારણ કે x = 25 પર ડબલ્યુ2 = 0, આપણે આરએ મેળવવા માટે મેક માટે ઉકેલી શકીએ છીએ. આ અભિવ્યક્તિઓને પછી દરેક વિભાગ માટે લંબાઈના કાર્ય તરીકે ગોઠવી શકાય છે. શીયર ફોર્સ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ વચ્ચેનો સંબંધ બે આકૃતિઓ વચ્ચેના સંબંધની નોંધ લેવી મહત્વપૂર્ણ છે. ક્ષણ આકૃતિ એ શીયર ફોર્સ આકૃતિ હેઠળના વિસ્તારની દ્રશ્ય રજૂઆત છે. એટલે કે, ક્ષણ એ શીયર બળનું અભિન્ન અંગ છે. જો શીયર બળ અંતરાલ પર સ્થિર હોય, તો ક્ષણ સમીકરણ x (રેખીય) ની દ્રષ્ટિએ હશે. જો શીયર બળ અંતરાલ પર રેખીય હોય, તો ક્ષણ સમીકરણ દ્વિઘાત (પેરાબોલિક) હશે. શીયર ફોર્સ આકૃતિઓ પરની બીજી નોંધ એ છે કે તેઓ દર્શાવે છે કે બાહ્ય બળ અને ક્ષણો ક્યાં લાગુ કરવામાં આવે છે. કોઈ બાહ્ય બળો વિના, પીસવાઇઝ કાર્યોએ જોડાવું જોઈએ અને કોઈ વિસંગતતા દર્શાવવી જોઈએ નહીં. આલેખ પરની વિસંગતતાઓ એ લાગુ કરવામાં આવેલા બાહ્ય બળ અથવા બાહ્ય ક્ષણોની ચોક્કસ તીવ્રતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, શીયર બળ આકૃતિ પર x = 10 પર, બે સમીકરણો વચ્ચે અંતર છે. આ અંતર-10 થી 15.3 સુધી જાય છે. આ અંતરની લંબાઈ 25.3 છે, જે તે બિંદુ પરના બાહ્ય બળની ચોક્કસ તીવ્રતા છે. આ ક્ષણે આકૃતિ પરના વિભાગ 3 પર, 50 ની વિસંગતતા છે. આ માળખા પર 50 ની લાગુ કરેલી ક્ષણથી છે. આલેખ પરના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો આ સંજોગોમાં આ બીમમાં મહત્તમ બળો અને ક્ષણોને રજૂ કરે છે. લોડ, શીયર અને ક્ષણ આકૃતિઓ વચ્ચેના સંબંધો આ પદ્ધતિ પ્રમાણમાં સરળ સમસ્યાઓ સાથે સરળતાથી બિનજરૂરી રીતે જટિલ બની શકે છે, તેથી લોડિંગ, શીયર અને ક્ષણ આકૃતિ વચ્ચેના વિવિધ સંબંધોને સમજવા માટે તે ખૂબ મદદરૂપ થઈ શકે છે. આમાંથી પ્રથમ લોડિંગ આકૃતિ અને શીયર આકૃતિ પર વિતરિત ભાર વચ્ચેનો સંબંધ છે. ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ લોડ શીયર લોડને તેની તીવ્રતા અનુસાર બદલાય છે, તેથી શીયર ડાયાગ્રામનો ઢોળાવ ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ લોડની તીવ્રતા જેટલો છે. સ્વેડલરના પ્રમેય દ્વારા વિતરિત ભાર અને શીયર બળની તીવ્રતા વચ્ચેનો સંબંધ વર્ણવવામાં આવ્યો છેઃ આના કેટલાક સીધા પરિણામો એ છે કે જો કોઈ સભ્ય પર બિંદુ ભાર લાગુ કરવામાં આવે તો શીયર આકૃતિમાં તીવ્રતામાં બિંદુ ફેરફાર થશે, અને સતત વિતરિત ભારના પરિણામે રેખીય રીતે બદલાતી શીયર તીવ્રતા હશે. તેવી જ રીતે તે દર્શાવી શકાય છે કે આપેલ બિંદુ પર ક્ષણ આકૃતિનો ઢોળાવ તે અંતર પર શીયર આકૃતિની તીવ્રતા જેટલો છે. વિતરિત શીયર બળ અને બેન્ડિંગ મોમેન્ટ વચ્ચેનો સંબંધ છેઃ આનું સીધું પરિણામ એ છે કે દરેક બિંદુએ શીયર આકૃતિ શૂન્યને પાર કરે છે જે ક્ષણે આકૃતિમાં સ્થાનિક મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ હશે. જો શીયર આકૃતિ સભ્યની લંબાઈ પર શૂન્ય હોય, તો ક્ષણ આકૃતિ તે લંબાઈ પર સતત મૂલ્ય ધરાવશે. કલન દ્વારા તે દર્શાવી શકાય છે કે બિંદુ ભાર રેખીય રીતે બદલાતી ક્ષણ આકૃતિ તરફ દોરી જશે, અને સતત વિતરિત ભાર દ્વિઘાત ક્ષણ આકૃતિ તરફ દોરી જશે. વ્યવહારુ વિચારણાઓ વ્યવહારુ ઉપયોગોમાં સમગ્ર તબક્કાવાર કાર્ય ભાગ્યે જ લખવામાં આવે છે. સ્ટેપવાઇઝ ફંક્શનના એકમાત્ર ભાગો કે જે લખવામાં આવશે તે ક્ષણ આકૃતિના બિનરેખીય ભાગમાં ક્ષણ સમીકરણો છે; જ્યારે પણ સભ્ય પર વિતરિત ભાર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે આ થાય છે. સ્થિર ભાગો માટે શીયર અને/અથવા ક્ષણ આકૃતિનું મૂલ્ય આકૃતિ પર જ લખવામાં આવે છે, અને સભ્યના રેખીય રીતે બદલાતા ભાગો માટે પ્રારંભિક મૂલ્ય, અંતિમ મૂલ્ય અને ઢોળાવ અથવા સભ્યનો ભાગ જરૂરી છે. બેન્ડિંગ યુલર-બર્નૌલી બીમ થિયરી બેન્ડિંગ મોમેન્ટ સિંગ્યુલારિટી function#Example બીમ ગણતરી સંદર્ભો વધુ વાંચન ચેંગ, ફા-હ્વા પણ જુઓ. "શીયર ફોર્સિસ એન્ડ બેન્ડિંગ મોમેન્ટ્સ ઇન બીમ" સ્ટેટિક્સ એન્ડ સ્ટ્રેન્થ ઓફ મટિરિયલ્સ. ન્યૂ યોર્કઃ ગ્લેનકો, મેકગ્રો-હિલ, 1997. પ્રિન્ટ કરો. સ્પોટ્સ, મેરહાઇલ ફ્રેન્કલીન, ટેરી ઇ. શૂપ અને લી એમરી. હોર્નબર્ગર. "શીયર એન્ડ બેન્ડિંગ મોમેન્ટ ડાયાગ્રામ". મશીન તત્વોની રચના. અપર સેડલ રિવર, એનજેઃ પીઅર્સન/પ્રેન્ટિસ હોલ, 2004. પ્રિન્ટ કરો. બાહ્ય કડીઓ કોન્ટિનમ મિકેનિક્સ આકૃતિઓ ક્ષણ (ભૌતિકશાસ્ત્ર) માળખાકીય વિશ્લેષણ