Bicubic interpolation
ગણિતમાં, બાયક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન એ દ્વિ-પરિમાણીય નિયમિત ગ્રીડ પર ડેટા બિંદુઓને ઇન્ટરપોલેટ કરવા માટે ક્યુબિક સ્પ્લાઇન ઇન્ટરપોલેશન (ડેટા સેટ પર ક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન લાગુ કરવાની પદ્ધતિ) નું વિસ્તરણ છે. અંતર્વેષ્ટિત સપાટી (જેનો અર્થ થાય છે કર્નલનો આકાર, છબી નહીં) દ્વિરેખીય અંતર્વેષ્ટન અથવા નજીકના પડોશી અંતર્વેષ્ટન દ્વારા મેળવવામાં આવેલી અનુરૂપ સપાટીઓ કરતાં સરળ હોય છે. બાયક્યુબિક અંતર્વેશન ક્યાં તો લેગ્રેન્જ બહુપદીઓ, ક્યુબિક સ્પ્લાઇન અથવા ક્યુબિક કોન્વોલ્યુશન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણ કરી શકાય છે. ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં, જ્યારે ઝડપ કોઈ સમસ્યા ન હોય ત્યારે, ઇમેજ રીસામ્પલિંગમાં બાયલ્યુનિયર અથવા નજીકના-પડોશી ઇન્ટરપોલેશન પર બાયક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશનને ઘણીવાર પસંદ કરવામાં આવે છે. દ્વિરેખીય અંતર્વેશનથી વિપરીત, જે માત્ર 4 પિક્સેલ્સ (2 × 2) ને ધ્યાનમાં લે છે, બાયક્યુબિક અંતર્વેશન 16 પિક્સેલ્સ (4 × 4) ને ધ્યાનમાં લે છે. પસંદ કરેલા બી અને સી મૂલ્યોના આધારે બાયક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન સાથે ફરીથી નમૂના લેવામાં આવેલી છબીઓમાં વિવિધ ઇન્ટરપોલેશન કલાકૃતિઓ હોઈ શકે છે. ગણતરી ધારો કે કાર્ય મૂલ્યો અને વ્યુત્પન્ન, અને એકમ વર્ગના ચાર ખૂણાઓ,, અને, પર જાણીતા છે. ઇન્ટરપોલેટેડ સપાટીને પછી લખી શકાય છે ઇન્ટરપોલેશન સમસ્યામાં 16 ગુણાંક નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે. ફંક્શન મૂલ્યો સાથે મેળ ખાતા ચાર સમીકરણો મળે છેઃ તેવી જ રીતે, અને દિશામાં ડેરિવેટિવ્ઝ માટે આઠ સમીકરણોઃ અને મિશ્ર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ માટે ચાર સમીકરણોઃ ઉપરના સમીકરણોએ નીચેની ઓળખનો ઉપયોગ કર્યો છેઃ આ પ્રક્રિયા એકમ વર્ગ પર એક સપાટી આપે છે જે સતત છે અને સતત ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે. મનસ્વી કદના નિયમિત ગ્રીડ પર બાયક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન પછી આવી બાયક્યુબિક સપાટીઓને એકસાથે પેચ કરીને પૂર્ણ કરી શકાય છે, જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે ડેરિવેટિવ્ઝ સીમાઓ સાથે મેળ ખાય છે. વેક્ટરમાં અજ્ઞાત પરિમાણોને જૂથબદ્ધ કરીને અને સમીકરણોની ઉપરોક્ત પ્રણાલીને રેખીય સમીકરણ માટે મેટ્રિક્સમાં ફરીથી ગોઠવી શકાય છે. મેટ્રિક્સને ઉલટાવવાથી વધુ ઉપયોગી રેખીય સમીકરણ મળે છે, જે ઝડપથી અને સરળતાથી ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. 16 ગુણાંક માટે અન્ય સંક્ષિપ્ત મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ હોઈ શકે છેઃ અથવા જ્યાં લંબચોરસ ગ્રીડનું વિસ્તરણ ઘણીવાર, એપ્લિકેશનો એકમ વર્ગને બદલે લંબચોરસ ગ્રીડ પરના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને બાયક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન માટે બોલાવે છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ ધરાવતા કોષનું અંતર ક્યાં છે અને ક્યાં છે તેની ઓળખ અને તેના માટે સમાન છે. આ કિસ્સામાં, ગુણાંકની ગણતરી કરવાનો સૌથી વ્યવહારુ અભિગમ એ છે કે પછી પહેલાની જેમ ઉકેલવા દો. આગળ, નોર્મલાઇઝ્ડ ઇન્ટરપોલેટિંગ વેરિયેબલ્સની ગણતરી બિંદુની આસપાસના ગ્રીડ બિંદુઓના ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને પછી, અંતર્વેશી સપાટી કાર્ય મૂલ્યોમાંથી વ્યુત્પન્ન શોધવાનું બની જાય છે જો વ્યુત્પન્ન અજ્ઞાત હોય, તો તેઓ સામાન્ય રીતે એકમ વર્ગના ખૂણાઓની નજીકના બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યોમાંથી અંદાજિત થાય છે, દા. ત. મર્યાદિત તફાવતોનો ઉપયોગ કરવો. એક જ વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, અથવા તે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, યોગ્ય અક્ષમાં આસપાસના બે બિંદુઓ વચ્ચેનો ઢોળાવ શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુની ગણતરી કરવા માટે, લક્ષ્ય બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુના બિંદુઓ શોધો અને તેમના ઢોળાવની ગણતરી કરો, અને તે જ રીતે માટે. ક્રોસ વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, બંને અક્ષોમાં વ્યુત્પન્ન લો, એક સમયે એક. ઉદાહરણ તરીકે, લક્ષ્ય બિંદુની ઉપર અને નીચે બિંદુઓના વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે પહેલા પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, પછી લક્ષ્ય બિંદુ માટે મૂલ્ય મેળવવા માટે તે મૂલ્યો (હંમેશની જેમ, તે બિંદુઓના મૂલ્યોને બદલે) પર પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. (અથવા કોઈ તેને વિરુદ્ધ દિશામાં કરી શકે છે, પહેલા ગણતરી કરી શકે છે અને પછી તેમાંથી. બન્ને સમાન પરિણામો આપે છે.) ડેટાસેટની ધાર પર, જ્યારે કોઈ આસપાસના કેટલાક બિંદુઓ ખૂટે છે, ત્યારે ગુમ થયેલા બિંદુઓને સંખ્યાબંધ પદ્ધતિઓ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. એક સરળ અને સામાન્ય પદ્ધતિ એ છે કે હાલના બિંદુથી લક્ષ્ય બિંદુ સુધીનો ઢોળાવ વધુ ફેરફાર કર્યા વિના ચાલુ રહે છે, અને તેનો ઉપયોગ ગુમ થયેલ બિંદુ માટે કાલ્પનિક મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. બાયક્યુબિક કન્વોલ્યુશન અલ્ગોરિધમ બાયક્યુબિક સ્પ્લાઇન ઇન્ટરપોલેશન માટે દરેક ગ્રીડ કોષ માટે ઉપર વર્ણવેલ રેખીય પ્રણાલીના ઉકેલની જરૂર છે. સમાન ગુણધર્મો ધરાવતું ઇન્ટરપોલેટર બંને પરિમાણોમાં નીચેના કર્નલ સાથે કોન્વોલ્યુશન લાગુ કરીને મેળવી શકાય છેઃ જ્યાં સામાન્ય રીતે-0.5 અથવા-0.75 પર સેટ કરવામાં આવે છે. નોંધ લો કે અને તમામ બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંકો માટે. આ અભિગમ કીઝ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે તે મૂળ કાર્યના નમૂનાના અંતરાલના સંદર્ભમાં ત્રીજા ક્રમમાં અભિસરણ ઉત્પન્ન કરે છે. જો આપણે સામાન્ય કેસ માટે મેટ્રિક્સ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણે સમીકરણને વધુ મૈત્રીપૂર્ણ રીતે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએઃ એક પરિમાણ માટે 0 અને 1 ની વચ્ચે. નોંધ લો કે 1-ડાયમેન્શનલ ક્યુબિક કોન્વોલ્યુશન ઇન્ટરપોલેશન માટે 4 નમૂના બિંદુઓ જરૂરી છે. દરેક તપાસ માટે બે નમૂના તેની ડાબી બાજુએ અને બે નમૂના જમણી બાજુએ સ્થિત છે. આ લખાણમાં આ બિંદુઓને −1 થી 2 સુધી અનુક્રમિત કરવામાં આવ્યા છે. 0 સાથે અનુક્રમિત બિંદુથી પૂછપરછ બિંદુ સુધીનું અંતર અહીં સૂચવવામાં આવે છે. બે પરિમાણો માટે સૌપ્રથમ એકવાર અને ફરીથી લાગુ કરવામાં આવે છેઃ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ઉપયોગ બિક્યુબિક અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ વારંવાર સ્કેલિંગ ઈમેજ અને ડિસ્પ્લે માટે વિડિયો માટે થાય છે (બીટમેપ રીસેમ્પલિંગ જુઓ). તે સામાન્ય દ્વિરેખીય અલ્ગોરિધમ કરતાં વધુ સારી વિગતવાર સાચવે છે. જો કે, કર્નલ પરના નકારાત્મક ભાગોને કારણે, તે ઓવરશૂટ (હેલોઇંગ) નું કારણ બને છે. આ ક્લિપિંગનું કારણ બની શકે છે, અને તે એક કલાકૃતિ છે (રિંગિંગ કલાકૃતિઓ પણ જુઓ), પરંતુ તે તીક્ષ્ણતા (સ્પષ્ટ તીક્ષ્ણતા) વધારે છે, અને ઇચ્છનીય હોઈ શકે છે. આ પણ જુઓ અવકાશી એન્ટી-એલિયાસિંગ બેઝિયર સપાટી બિલિનિયર ઇન્ટરપોલેશન ક્યુબિક હર્માઇટ સ્પ્લાઇન, બાયક્યુબિક સ્પ્લાઇન લેન્ક્ઝોસ રિસામ્પલિંગનું એક-પરિમાણીય એનાલોગ નેચરલ નેબર ઇન્ટરપોલેશન સિંક ફિલ્ટર સ્પ્લાઇન ઇન્ટરપોલેશન ટ્રીક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન ડાયરેક્શનલ ક્યુબિક કન્વોલ્યુશન ઇન્ટરપોલેશન સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઊંચાઈના નમૂનાઓમાં ઇન્ટરપોલેશનની અરજી ઇન્ટરપોલેશન સિદ્ધાંતનું સમજૂતી અને જાવા/સી + + (બાય) ક્યુબિક ઇન્ટરપોલેશન એક્સેલ વર્કશીટ ફંક્શનનું અમલીકરણ બાયક્યુબિક લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન ઇમેજ પ્રોસેસિંગ મલ્ટિવેરિયેટ ઇન્ટરપોલેશન માટે