Rindler coordinates
રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સ એ એક સંકલન પ્રણાલી છે જેનો ઉપયોગ વિશેષ સાપેક્ષતાના સંદર્ભમાં સપાટ અવકાશકાળમાં સમાન રીતે પ્રવેગક સંદર્ભ માળખાના હાયપરબોલિક પ્રવેગને વર્ણવવા માટે થાય છે. સાપેક્ષવાદી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં હાયપરબોલીકલી એક્સિલરેટેડ રેફરન્સ ફ્રેમના કોઓર્ડિનેટ્સ એક મહત્વપૂર્ણ અને ઉપયોગી કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટ બનાવે છે જે ફ્લેટ મિન્કોવ્સ્કી સ્પેસટાઇમના ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વિશેષ સાપેક્ષવાદમાં, સમાન રીતે પ્રવેગક કણ હાયપરબોલિક ગતિમાંથી પસાર થાય છે, જેના માટે સમાન રીતે પ્રવેગક સંદર્ભ માળખું જેમાં તે સ્થિર હોય તેને તેના યોગ્ય સંદર્ભ માળખા તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. આ હાયપરબોલીકલી એક્સિલરેટેડ ફ્રેમની ઘટનાઓની સરખામણી સજાતીય ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રમાં થતી અસરો સાથે કરી શકાય છે. સપાટ અવકાશ સમયમાં પ્રવેગની સામાન્ય ઝાંખી માટે, પ્રવેગ (વિશેષ સાપેક્ષતા) અને યોગ્ય સંદર્ભ ફ્રેમ (સપાટ અવકાશ સમય) જુઓ. આ લેખમાં, પ્રકાશની ઝડપ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જડતા કોઓર્ડિનેટ્સ છે, અને હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે. આ હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સને ત્વરિત નિરીક્ષકની સ્થિતિના આધારે બે મુખ્ય પ્રકારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છેઃ જો નિરીક્ષક સ્થિતિ પર સમયે સ્થિત હોય (કોમોવિંગ એક્સેલરોમીટર દ્વારા માપવામાં આવતા સતત યોગ્ય પ્રવેગક તરીકે), તો હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સને ઘણીવાર અનુરૂપ રિન્ડલર મેટ્રિક સાથે રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે. જો નિરીક્ષક સ્થાને સમયે સ્થિત હોય, તો હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સને કેટલીકવાર મોલર કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા સંબંધિત કોટલર-મોલર મેટ્રિક સાથે કોટલર-મોલર કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે. ઘણીવાર હાયપરબોલિક ગતિમાં નિરીક્ષકો સાથે સંબંધિત વૈકલ્પિક ચાર્ટ રડાર કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે જેને કેટલીકવાર લાસ કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે. કોટ્ટલર-મોલર કોઓર્ડિનેટ્સ તેમજ લાસ કોઓર્ડિનેટ્સ બંનેને રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે પણ સૂચવવામાં આવે છે. ઇતિહાસના સંદર્ભમાં, આવા કોઓર્ડિનેટ્સ વિશેષ સાપેક્ષતાના આગમન પછી તરત જ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, જ્યારે હાયપરબોલિક ગતિની વિભાવના સાથે (સંપૂર્ણ અથવા આંશિક રીતે) તેમનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતોઃ આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન (1907,1912), મેક્સ બોર્ન (1909), આર્નોલ્ડ સોમરફેલ્ડ (1910), મેક્સ વોન લૌ (1911), હેન્ડ્રિક લોરેન્ટ્ઝ (1913), ફ્રેડરિક કોટલર (1914), વોલ્ફગેંગ પૌલી (1921), કાર્લ બોલર્ટ (1922), સ્ટેજેપન મોહોરોવિચિક (1922), જ્યોર્જ લેમેઇટ્રે (1924), આઈન્સ્ટાઈન અને નાથન રોસેન (1935), ક્રિશ્ચિયન મોલર (1943,1952), ફ્રિટ્ઝ રોહ્રલિચ (1913) દ્વારા ફ્લેટ મિન્કોવ્સ્કી સ્પેસટાઇમના સંબંધમાં. વિગતો અને સ્રોતો માટે, જુઓ. રિન્ડલર ફ્રેમની લાક્ષણિકતાઓ હાયપરબોલિક ગતિમાં પદાર્થની વિશ્વરેખા જે યોગ્ય સમય અને ઝડપીતાના કાર્ય તરીકે-દિશામાં સતત યોગ્ય પ્રવેગ ધરાવે છે તે જ્યાં સ્થિર છે અને ચલ છે તેના દ્વારા આપી શકાય છે, જેમાં વિશ્વરેખા હાયપરબોલા જેવી હોય છે. સોમરફેલ્ડે દર્શાવ્યું હતું કે સમીકરણોને ચલ અને અચળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને ફરીથી અર્થઘટન કરી શકાય છે, જેથી તે ગતિશીલ નિરીક્ષક દ્વારા માપવામાં આવતી હાયપરબોલિક ગતિમાં શરીરના એક સાથે "આરામ આકાર" નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સેટિંગ દ્વારા સમગ્ર હાયપરબોલિકલી એક્સિલરેટેડ ફ્રેમના સમય તરીકે નિરીક્ષકના યોગ્ય સમયનો ઉપયોગ કરીને, જડતા કોઓર્ડિનેટ્સ અને હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના પરિવર્તન સૂત્રો પરિણામે છેઃ ઇન્વર્સ ડિફરન્શિયેટેડ અને મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિકમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, હાયપરબોલિકલી એક્સિલરેટેડ ફ્રેમમાં મેટ્રિક અનુસરે છે આ પરિવર્તન રિન્ડલર નિરીક્ષકને એક નિરીક્ષક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સમાં "સ્થિર" હોય છે, એટલે કે, સતત x, y, z જાળવી રાખે છે અને સમય પસાર થતાં માત્ર t બદલાય છે. કોઓર્ડિનેટ્સ તે પ્રદેશમાં માન્ય છે, જેને ઘણીવાર રિન્ડલર ફાચર કહેવામાં આવે છે, જો તે રિન્ડલર નિરીક્ષકના યોગ્ય પ્રવેગને (હાયપરબોલા સાથે) રજૂ કરે છે, જેનો યોગ્ય સમય રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ સમયની બરાબર હોવાનું વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વિશ્વ રેખાને જાળવી રાખવા માટે, નિરીક્ષકે સતત યોગ્ય પ્રવેગ સાથે વેગ આપવો આવશ્યક છે, જેમાં રિન્ડલર નિરીક્ષકો (રિન્ડલર ક્ષિતિજ) ની નજીક વધુ યોગ્ય પ્રવેગ ધરાવે છે. બધા રિન્ડલર નિરીક્ષકો જડતા ફ્રેમમાં સમયે તરત જ આરામ કરે છે, અને આ સમયે યોગ્ય પ્રવેગક સાથે રિન્ડલર નિરીક્ષક સ્થિતિ પર હશે (ખરેખર, પરંતુ આપણે એકમો ક્યાં ધારીએ છીએ), જે રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સમાં રિન્ડલર ક્ષિતિજથી તે નિરીક્ષકનું સતત અંતર પણ છે. જો બધા રિન્ડલર નિરીક્ષકો તેમની ઘડિયાળોને શૂન્ય પર સુયોજિત કરે છે, તો પછી રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે આપણી પાસે પસંદગી છે કે રિન્ડલર નિરીક્ષકનો યોગ્ય સમય રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટમાં કોઓર્ડિનેટ સમયની બરાબર હશે, અને આ નિરીક્ષકનો યોગ્ય પ્રવેગક ઉપરના મૂલ્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (રિન્ડલર ક્ષિતિજથી જુદા જુદા અંતર પરના અન્ય રિન્ડલર નિરીક્ષકો માટે, કોઓર્ડિનેટ સમય તેમના પોતાના યોગ્ય સમયના કેટલાક અચળ ગુણાંકની બરાબર હશે). રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક સામાન્ય પરંપરા છે જેથી રિન્ડલર નિરીક્ષક કે જેનો યોગ્ય સમય કોઓર્ડિનેટ ટાઇમ સાથે મેળ ખાય છે તે યોગ્ય પ્રવેગક ધરાવે છે, જેથી તેને સમીકરણોમાંથી દૂર કરી શકાય. ઉપરોક્ત સમીકરણ માટે સરળ બનાવવામાં આવ્યું છે. પ્રવેગને ધ્યાનમાં રાખીને, રિન્ડલર હોરાઇઝન અંતર શોધવા માટે સરળ સમીકરણ વધુ અનુકૂળ છે. લેખનો બાકીનો ભાગ અને બંનેને સુયોજિત કરવાની પરંપરાને અનુસરશે, તેથી એકમો માટે અને 1 એકમ હશે. ધ્યાન રાખો કે પ્રકાશ-સેકન્ડ/સેકન્ડ 2 સુયોજિત કરવું એ પ્રકાશ-વર્ષ/વર્ષ 2 સુયોજિત કરવા કરતાં ઘણું અલગ છે. જો આપણે એકમો પસંદ કરીએ તો પણ, યોગ્ય પ્રવેગકની તીવ્રતા આપણી એકમોની પસંદગી પર નિર્ભર રહેશેઃ ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે અંતર માટે પ્રકાશ-વર્ષોના એકમોનો ઉપયોગ કરીએ, (અથવા) અને સમય માટે વર્ષોનો ઉપયોગ કરીએ, (અથવા), તો આનો અર્થ પ્રકાશ વર્ષ/વર્ષ 2 થશે, જે લગભગ 9 મીટર/સેકન્ડ 2 ની બરાબર હશે, જ્યારે જો આપણે અંતર માટે પ્રકાશ-સેકન્ડના એકમોનો ઉપયોગ કરીએ, (અથવા), અને સમય માટે સેકન્ડનો ઉપયોગ કરીએ, (અથવા), તો તેનો અર્થ પ્રકાશ-સેકન્ડ/સેકન્ડ 2, અથવા 299 792 458 મીટર/સેકન્ડ 2 થશે. પરિવર્તન સૂત્રોના પ્રકારો પરિવર્તન સૂત્રોની વધુ સામાન્ય વ્યુત્પત્તિ આપવામાં આવે છે, જ્યારે અનુરૂપ ફર્મિ-વૉકર ટેટ્રાડ ઘડવામાં આવે છે જેમાંથી ફર્મિ કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા યોગ્ય કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવી શકાય છે. આ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળની પસંદગીના આધારે, મેટ્રિક, મૂળ અને બિંદુ પરના સમય વચ્ચેનો સમય ફેલાવો અને સંકલન પ્રકાશની ઝડપ મેળવી શકાય છે (પ્રકાશની આ ચલ ગતિ વિશેષ સાપેક્ષતાની વિરોધાભાસી નથી, કારણ કે તે માત્ર કાર્યરત ત્વરિત કોઓર્ડિનેટ્સની એક કલાકૃતિ છે, જ્યારે જડતા કોઓર્ડિનેટ્સમાં તે સ્થિર રહે છે). ફર્મિ કોઓર્ડિનેટ્સને બદલે, રડાર કોઓર્ડિનેટ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે પ્રકાશ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને અંતર નક્કી કરીને મેળવવામાં આવે છે (વિભાગ જુઓ અંતરની કલ્પનાઓ), જેના દ્વારા મેટ્રિક, સમય વિસ્તરણ અને પ્રકાશની ઝડપ હવે કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધારિત નથી-ખાસ કરીને, પ્રકાશની કોઓર્ડિનેટ ઝડપ જડતા ફ્રેમમાં પ્રકાશની ઝડપ સાથે સમાન રહે છેઃ રિન્ડલર નિરીક્ષકો નવા ચાર્ટમાં () સાથે અને, કોફ્રેમ ક્ષેત્ર લેવાનું સ્વાભાવિક છે જે ડ્યુઅલ ફ્રેમ ક્ષેત્ર ધરાવે છે આ દરેક ઘટના પર સ્પર્શક જગ્યામાં સ્થાનિક લોરેન્ટ્ઝ ફ્રેમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (આપણા રિન્ડલર ચાર્ટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા પ્રદેશમાં, એટલે કે રિન્ડલર ફાચર). ટાઈમલાઈક એકમ વેક્ટર ક્ષેત્રના અભિન્ન વળાંકો ટાઈમલાઈક એકરૂપતા આપે છે, જેમાં રિન્ડલર નિરીક્ષકો તરીકે ઓળખાતા નિરીક્ષકોના પરિવારની વિશ્વ રેખાઓનો સમાવેશ થાય છે. રિન્ડલર ચાર્ટમાં, આ વિશ્વ રેખાઓ ઊભી સંકલન રેખાઓ તરીકે દેખાય છે. ઉપરના સંકલન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે આ મૂળ કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં હાયપરબોલિક ચાપને અનુરૂપ છે. કોઈપણ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડમાં કોઈપણ સમવર્તી એકરૂપતાની જેમ, આ એકરૂપતામાં ગતિશીલ વિઘટન હોય છે (રાયચૌધરી સમીકરણ જુઓ). આ કિસ્સામાં, રિન્ડલર નિરીક્ષકોની એકરૂપતાનું વિસ્તરણ અને વર્ટિસિટી અદૃશ્ય થઈ જાય છે. વિસ્તરણ ટેન્સરનું અદ્રશ્ય થવું સૂચવે છે કે આપણા દરેક નિરીક્ષકો તેમના પડોશીઓ સાથે સતત અંતર જાળવી રાખે છે. વર્ટિસિટી ટેન્સરનું લુપ્ત થવું સૂચવે છે કે આપણા નિરીક્ષકોની વિશ્વ રેખાઓ એકબીજાની આસપાસ વળાંક લેતી નથી; આ "ફરતી" ની સ્થાનિક ગેરહાજરીનો એક પ્રકાર છે. દરેક નિરીક્ષકનો પ્રવેગક વેક્ટર સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે એટલે કે, દરેક રિન્ડલર નિરીક્ષક દિશામાં પ્રવેગી રહ્યો છે. વ્યક્તિગત રીતે કહીએ તો, દરેક નિરીક્ષક હકીકતમાં આ દિશામાં સતત તીવ્રતા સાથે વેગ આપે છે, તેથી તેમની વિશ્વ રેખાઓ વર્તુળોની લોરેન્ટ્ઝિયન એનાલોગ છે, જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સતત માર્ગ વળાંકના વળાંક છે. કારણ કે રિન્ડલર નિરીક્ષકો વર્ટિસિટી-મુક્ત છે, તેઓ હાઇપરસર્ફેસ ઓર્થોગોનલ પણ છે. ઓર્થોગોનલ અવકાશી અતિસંવેદનશીલતા છે; આ રિન્ડલર ચાર્ટમાં આડી અર્ધ-સમતલ તરીકે અને કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં અર્ધ-સમતલ તરીકે દેખાય છે (ઉપરની આકૃતિ જુઓ). રેખા તત્વમાં ગોઠવતા, આપણે જોઈએ છીએ કે તેમાં સામાન્ય યુક્લિડિયન ભૂમિતિ છે. આમ, રિન્ડલર ચાર્ટમાં અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ એ દાવા સાથે સુસંગત ખૂબ જ સરળ અર્થઘટન ધરાવે છે કે રિન્ડલર નિરીક્ષકો પરસ્પર સ્થિર છે. આપણે આ લેખમાં થોડા સમય પછી રિન્ડલર નિરીક્ષકોના આ કઠોરતા ગુણધર્મ પર પાછા ફરીશું. એક "વિરોધાભાસી" ગુણધર્મ નોંધ કરો કે નાના અચળાંક x કોઓર્ડિનેટ ધરાવતા રિન્ડલર નિરીક્ષકો તેને જાળવી રાખવા માટે વધુ મુશ્કેલ બની રહ્યા છે. આ આશ્ચર્યજનક લાગી શકે છે કારણ કે ન્યુટોનિયન ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જે નિરીક્ષકો સતત સાપેક્ષ અંતર જાળવી રાખે છે તેઓ સમાન પ્રવેગને શેર કરવા જોઈએ. પરંતુ સાપેક્ષવાદી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે લાકડીના પાછળના અંતિમ બિંદુ કે જે કેટલાક બાહ્ય બળ (તેની સમપ્રમાણતા અક્ષની સમાંતર) દ્વારા વેગ આપે છે તે અગ્રણી અંતિમ બિંદુ કરતાં થોડું સખત વેગ આપે છે, નહીં તો તે આખરે તૂટી જવું જોઈએ. આ લોરેન્ટ્ઝ સંકોચનનું પ્રકટીકરણ છે. જેમ જેમ લાકડીનો વેગ વધે છે તેમ તેમ તેનો વેગ વધે છે અને તેની લંબાઈ ઘટે છે. તે ટૂંકુ થઈ રહ્યું હોવાથી, પાછળનો છેડો આગળના ભાગ કરતાં વધુ સખત થવો જોઈએ. તેને જોવાની બીજી રીત છેઃ પાછળના છેડે ટૂંકા ગાળામાં વેગમાં સમાન ફેરફાર પ્રાપ્ત કરવો આવશ્યક છે. આ એક વિભેદક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે જે દર્શાવે છે કે, અમુક અંતરે, પાછળના છેડાના પ્રવેગક અલગ પડે છે, પરિણામે રિન્ડલર ક્ષિતિજ બને છે. આ ઘટના જાણીતા "વિરોધાભાસ", બેલના અવકાશયાન વિરોધાભાસનો આધાર છે. જો કે, તે સાપેક્ષવાદી ગતિશાસ્ત્રનું એક સરળ પરિણામ છે. આને જોવાની એક રીત એ છે કે પ્રવેગક વેક્ટરની તીવ્રતા માત્ર અનુરૂપ વિશ્વ રેખાની માર્ગ વક્રતા છે. પરંતુ આપણા રિન્ડલર નિરીક્ષકોની વિશ્વ રેખાઓ યુક્લિડિયન સમતલમાં કેન્દ્રિત વર્તુળોના પરિવારના એનાલોગ છે, તેથી આપણે ફક્ત સ્પીડ સ્કેટરથી પરિચિત હકીકતના લોરેન્ટ્ઝિયન એનાલોગ સાથે વ્યવહાર કરી રહ્યા છીએઃ કેન્દ્રિત વર્તુળોના પરિવારમાં, આંતરિક વર્તુળોએ બાહ્ય કરતા વધુ ઝડપથી (એકમ ચાપ લંબાઈ દીઠ) વાળવું જોઈએ. મિન્કોવ્સ્કી નિરીક્ષકો કુદરતી પસંદગી દ્વારા મિન્કોવ્સ્કી ચાર્ટમાં આપવામાં આવેલી વૈકલ્પિક ફ્રેમ પણ રજૂ કરવી યોગ્ય છે, ઉપર આપેલા સંકલન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને આ વેક્ટર ક્ષેત્રોને રૂપાંતરિત કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે રિન્ડલર ચાર્ટમાં (રિન્ડર વેજમાં) આ ફ્રેમ બને છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ એક ભૌગોલિક એકરૂપતા છે; અનુરૂપ નિરીક્ષકો જડતા ગતિની સ્થિતિમાં હોય છે. મૂળ કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં, આ નિરીક્ષકો, જેમને આપણે મિન્કોવ્સ્કી નિરીક્ષકો કહીશું, તેઓ શાંત છે. રિન્ડલર ચાર્ટમાં, મિન્કોવ્સ્કી નિરીક્ષકોની વિશ્વ રેખાઓ હાયપરબોલિક સેકન્ટ વણાંકો તરીકે દેખાય છે જે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં એસિમ્પ્ટોટિક હોય છે. ખાસ કરીને, રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સમાં, ઘટનામાંથી પસાર થતા મિન્કોવ્સ્કી નિરીક્ષકની વિશ્વ રેખા એ છે કે આ મિન્કોવ્સ્કી નિરીક્ષકનો યોગ્ય સમય ક્યાં છે. નોંધ લો કે તેમના ઇતિહાસનો માત્ર એક નાનો ભાગ રિન્ડલર ચાર્ટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવ્યો છે. આ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવે છે કે શા માટે રિન્ડલર ચાર્ટ ભૌગોલિક રીતે પૂર્ણ નથી; સમય સમાન ભૂગણિત મર્યાદિત યોગ્ય સમયમાં ચાર્ટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા પ્રદેશની બહાર ચાલે છે. અલબત્ત, આપણે પહેલેથી જ જાણતા હતા કે રિન્ડલર ચાર્ટ ભૌગોલિક રીતે પૂર્ણ ન હોઈ શકે, કારણ કે તે મૂળ કાર્ટેશિયન ચાર્ટના માત્ર એક ભાગને આવરી લે છે, જે ભૌગોલિક રીતે સંપૂર્ણ ચાર્ટ છે. આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવેલા કિસ્સામાં, અને આપણે પ્રકાશ શંકુને દોર્યા છે (યોગ્ય રીતે માપેલા અને વધારેલા). રિન્ડલર ક્ષિતિજ રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટમાં x = 0 પર કોઓર્ડિનેટ સિંગ્યુલારીટી હોય છે, જ્યાં મેટ્રિક ટેન્સર (રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટમાં વ્યક્ત કરાયેલ) લુપ્ત થઈ રહેલો નિર્ધારક હોય છે. આવું થાય છે કારણ કે x → 0 તરીકે રિન્ડલર નિરીક્ષકોની પ્રવેગકતા અલગ પડે છે. જેમ આપણે રિન્ડલર ફાચરને દર્શાવતી આકૃતિ પરથી જોઈ શકીએ છીએ, રિન્ડલર ચાર્ટમાં લોકસ x = 0 કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં લોકસ T2 = X2, X> 0 ને અનુરૂપ છે, જેમાં બે નલ અર્ધ-પ્લેનનો સમાવેશ થાય છે, દરેક નલ જીઓડેસિક એકરૂપતા દ્વારા સંચાલિત થાય છે. આ ક્ષણે, આપણે ફક્ત રિન્ડલર ક્ષિતિજને રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સની સીમા તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જો આપણે રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સમાં સતત સ્થિતિ ધરાવતા પ્રવેગક નિરીક્ષકોના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તેમાંથી કોઈ પણ T ≤ X સાથેની ઘટનાઓમાંથી પ્રકાશ સંકેતો પ્રાપ્ત કરી શકશે નહીં (આકૃતિ પર, આ ઘટનાઓ T = X રેખા પર અથવા તેની ડાબી બાજુની ઘટનાઓ હશે જે ઉપરની લાલ ક્ષિતિજ સાથે આવેલી છે; આ નિરીક્ષકો જોકે T ≤ X સાથેની ઘટનાઓમાંથી સંકેતો પ્રાપ્ત કરી શકે છે જો તેઓ તેમનો પ્રવેગક બંધ કરે અને આ રેખાને જાતે પાર કરે) અથવા તેઓ ક્યારેય T ≤ − X સાથેની ઘટનાઓ માટે સંકેતો મોકલી શક્યા ન હોત (T = − X રેખા પર અથવા તેની ડાબી બાજુની ઘટનાઓ જે નીચલી લાલ ક્ષિતિજ સાથે આવેલી છે; તે ઘટનાઓ તેમની ભૂતકાળની વિશ્વ રેખાના ભવિષ્યના તમામ પ્રકાશ શંકુની બહાર આવેલી છે). ઉપરાંત, જો આપણે પ્રવેગક નિરીક્ષકોના આ સમૂહના સભ્યોને ક્ષિતિજની નજીક અને નજીક ધ્યાનમાં લઈએ, જેમ જેમ ક્ષિતિજનું અંતર શૂન્યની નજીક પહોંચે છે, તેમ તેમ નિરીક્ષક દ્વારા આ અંતર પર અનુભવાતો સતત યોગ્ય પ્રવેગક (જે આવા નિરીક્ષક દ્વારા અનુભવાયેલ G-બળ પણ હશે) અનંતની નજીક પહોંચશે. આ બંને હકીકતો પણ સાચી હશે જો આપણે બ્લેક હોલની ઘટના ક્ષિતિજની બહાર ફરતા નિરીક્ષકોના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ, દરેક નિરીક્ષક શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સતત ત્રિજ્યા પર ફરતા હોય. હકીકતમાં, બ્લેક હોલના નજીકના પડોશમાં, ઘટના ક્ષિતિજની નજીકની ભૂમિતિને રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સમાં વર્ણવી શકાય છે. પ્રવેગક માળખાના કિસ્સામાં હોકિંગ કિરણોત્સર્ગને અનરુહ કિરણોત્સર્ગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જોડાણ એ ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે પ્રવેગની સમાનતા છે. ભૂગણિત રિન્ડલર ચાર્ટમાં ભૂગણિત સમીકરણો ભૂગણિત લગ્રેન્જિયનમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે; તેઓ છે. અલબત્ત, મૂળ કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં, ભૂગણિત સીધી રેખાઓ તરીકે દેખાય છે, તેથી આપણે તેમને આપણા સંકલન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને રિન્ડલર ચાર્ટમાં સરળતાથી મેળવી શકીએ છીએ. જો કે, મૂળ ચાર્ટથી સ્વતંત્ર રીતે તેમને મેળવવું અને અભ્યાસ કરવો એ ઉપદેશક છે, અને આપણે આ વિભાગમાં તેમ કરીશું. પ્રથમ, ત્રીજા અને ચોથાથી આપણે તરત જ પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ્સ મેળવીએ છીએ પરંતુ રેખા તત્વમાંથી આપણી પાસે અનુક્રમે ટાઈમલાઈક, નલ અને સ્પેસલાઈક જીઓડેસિક્સ માટે છે. આ ચોથું પ્રથમ સંકલન આપે છે, એટલે કે. આ ભૌગોલિક સમીકરણોનો સંપૂર્ણ ઉકેલ આપવા માટે પૂરતું છે. નલ જીઓડેસીક્સના કિસ્સામાં, નોનઝીરો સાથે, આપણે જોઈએ છીએ કે x કોઓર્ડિનેટ અંતરાલ પર રેન્જ ધરાવે છે. રિન્ડલર ફાચરમાં કોઈપણ ઘટના દ્વારા કોઈપણ નલ જીઓડેસિક આપતું સંપૂર્ણ સાત પરિમાણ કુટુંબ, આપેલ ઘટના દ્વારા કેટલાક પ્રતિનિધિ નલ જીઓડેસિકના ટ્રેકને ગોઠવી રહ્યું છે (એટલે કે, અતિસંવેદનશીલતાને રજૂ કરીને), આપણે એક ચિત્ર મેળવીએ છીએ જે શંકાસ્પદ રીતે બિંદુ દ્વારા તમામ અર્ધવર્તુળોના પરિવાર જેવું અને રિન્ડલર ક્ષિતિજ માટે ઓર્થોગોનલ દેખાય છે (આકૃતિ જુઓ). ફર્મેટ મેટ્રિક હકીકત એ છે કે રિન્ડલર ચાર્ટમાં, રિન્ડલર નિરીક્ષકો માટે કોઈપણ અવકાશી અતિસંવેદનશીલતામાં શૂન્ય ભૂગણિતના અંદાજો ફક્ત અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ છે જે હમણાં જ આપેલા સામાન્ય ઉકેલમાંથી સીધા ચકાસી શકાય છે, પરંતુ આ જોવાની એક ખૂબ જ સરળ રીત છે. સ્થિર અવકાશ સમય એ છે કે જેમાં વર્ટિસિટી-મુક્ત ટાઇમલાઇક કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્ર મળી શકે છે. આ કિસ્સામાં, આપણી પાસે અનુરૂપ સ્થિર નિરીક્ષકો (જેમને જડત્વીય નિરીક્ષકો હોવાની જરૂર નથી) માટે ઓર્થોગોનલ (સમાન) અવકાશી હાયપરસ્લિક્સનો વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત પરિવાર છે. આ આપણને આમાંના કોઈપણ હાયપરસ્લિક્સ પર નવા મેટ્રિકને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે અવકાશકાળમાંથી વારસામાં મળેલા મૂળ મેટ્રિક સાથે સુસંગત રીતે સંબંધિત છે, પરંતુ તે ગુણધર્મ સાથે કે નવા મેટ્રિકમાં ભૂગણિત (નોંધ કરો કે આ રીમેનીયન ત્રણ-મેનીફોલ્ડ પર રીમેનીયન મેટ્રિક છે) ચોક્કસપણે અવકાશ સમયના નલ ભૂગણિતના અંદાજો છે. આ નવા મેટ્રિકને ફર્મેટ મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે, અને સ્થિર અવકાશકાળમાં સંકલન ચાર્ટ સાથે સંપન્ન હોય છે જેમાં રેખા તત્વનું સ્વરૂપ ફર્મેટ મેટ્રિક હોય છે (જ્યાં મેટ્રિક ગુણાંકનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે). રિન્ડલર ચાર્ટમાં, સમય સમાન અનુવાદ એ આવા કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, તેથી આ એક સ્થિર અવકાશ સમય છે (આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ સમય ચોક્કસપણે આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણનો સ્થિર શૂન્યાવકાશ ઉકેલ છે). તેથી, આપણે તરત જ રિન્ડલર નિરીક્ષકો માટે ફર્મેટ મેટ્રિક લખી શકીએ છીએઃ પરંતુ આ ઉપલા અડધા અવકાશ ચાર્ટમાં હાયપરબોલિક થ્રી-સ્પેસ H3 નું જાણીતું રેખા તત્વ છે. આ હાયપરબોલિક પ્લેન H2 માટે જાણીતા ઉપલા અડધા પ્લેન ચાર્ટ સાથે નજીકથી સમાન છે, જે કન્ફોર્મલ મેપિંગ સમસ્યાઓ (અને ઘણું બધું) ના સંબંધમાં જટિલ વિશ્લેષણ વિદ્યાર્થીઓની પેઢીઓથી પરિચિત છે, અને ઘણા ગાણિતિક વિચારસરણીવાળા વાચકો પહેલેથી જ જાણે છે કે ઉપલા અડધા પ્લેન મોડેલમાં H2 ના ભૂગણિત ફક્ત અર્ધવર્તુળો છે (વાસ્તવિક અક્ષ દ્વારા રજૂ કરેલા અનંત પર વર્તુળ માટે ઓર્થોગોનલ). રિન્ડલર ચાર્ટ એ મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ સમય માટે સંકલન ચાર્ટ હોવાથી, આપણે દસ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રો શોધવાની અપેક્ષા રાખીએ છીએ. ખરેખર, કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં આપણે સહેલાઈથી દસ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રો શોધી શકીએ છીએ, જે અનુક્રમે સમય અનુવાદના એક પરિમાણ પેટા જૂથો, ત્રણ અવકાશી, ત્રણ પરિભ્રમણ અને ત્રણ બુસ્ટ પેદા કરે છે. આ એકસાથે (યોગ્ય આઇસોક્રોનસ) પોઇનકેરે જૂથ પેદા કરે છે, જે મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ સમયનું સમપ્રમાણતા જૂથ છે. જો કે, કિલિંગ વેક્ટર સમીકરણોને સીધી રીતે લખવા અને ઉકેલવા એ ઉપદેશક છે. આપણે ચાર પરિચિત દેખાતા કિલિંગ વેક્ટર ક્ષેત્રો (સમય અનુવાદ, અવકાશી અનુવાદો પ્રવેગકની દિશામાં ઓર્થોગોનલ અને અવકાશી પરિભ્રમણ પ્રવેગકની દિશામાં ઓર્થોગોનલ) વત્તા છ વધુ મેળવીએ છીએઃ (જ્યાં સંકેતો સતત + અથવા-પસંદ કરવામાં આવે છે). આ પ્રમાણભૂત જનરેટર સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે સમજવા માટે આપણે તેને એક કવાયત તરીકે છોડીએ છીએ; અહીં આપણે નિર્દેશ કરવા માંગીએ છીએ કે આપણે કાર્ટેશિયન ચાર્ટમાં સમકક્ષ જનરેટર મેળવવા માટે સક્ષમ હોવા જોઈએ, તેમ છતાં આ અનુવાદ હેઠળ રિન્ડલર ફાચર દેખીતી રીતે અપરિવર્તનશીલ નથી. આ કેવી રીતે હોઈ શકે? જવાબ એ છે કે સરળ મેનીફોલ્ડ પર આંશિક વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ વસ્તુની જેમ, કિલિંગ સમીકરણમાં સામાન્ય રીતે સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત ઉકેલો હશે, પરંતુ આ વૈશ્વિક સ્તરે અસ્તિત્વમાં ન પણ હોઈ શકે. એટલે કે, જૂથ પરિમાણ પર યોગ્ય પ્રતિબંધો સાથે, હત્યાના પ્રવાહને હંમેશા યોગ્ય સ્થાનિક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ પ્રવાહ વૈશ્વિક સ્તરે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ન પણ હોઈ શકે. આને લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ્સ પ્રતિ સે સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી, કારણ કે સામાન્ય સરળ મેનીફોલ્ડ્સના અભ્યાસમાં આ જ મુદ્દો ઊભો થાય છે. અંતરની ધારણાઓ રિન્ડલર ચાર્ટના અભ્યાસમાંથી શીખવા માટેના ઘણા મૂલ્યવાન પાઠોમાંથી એક એ છે કે હકીકતમાં અંતરની ઘણી અલગ (પરંતુ વાજબી) ધારણાઓ છે જેનો ઉપયોગ રિન્ડલર નિરીક્ષકો દ્વારા કરી શકાય છે. પ્રથમ તે છે જેનો આપણે ઉપર મૌન રીતે ઉપયોગ કર્યો છેઃ અવકાશી અતિસંવેદનશીલતા પર પ્રેરિત રીમાનિયન મેટ્રિક. આપણે આને શાસક અંતર કહીશું કારણ કે તે આ પ્રેરિત રીમાનિયન મેટ્રિકને અનુરૂપ છે, પરંતુ તેનો કાર્યકારી અર્થ તરત સ્પષ્ટ ન પણ હોઈ શકે. ભૌતિક માપનના દૃષ્ટિકોણથી, બે વિશ્વ રેખાઓ વચ્ચેના અંતરની વધુ કુદરતી કલ્પના રડાર અંતર છે. આની ગણતરી આપણા નિરીક્ષક (ઘટના A) ની વિશ્વ રેખાથી શૂન્ય ભૌગોલિકને કોઈ નાની વસ્તુની વિશ્વ રેખા પર મોકલીને કરવામાં આવે છે, જેના પર તે પ્રતિબિંબિત થાય છે (ઘટના B) અને નિરીક્ષક (ઘટના C) પર પરત આવે છે. રડાર અંતર પછી રાઉન્ડ ટ્રીપ મુસાફરીના સમયને વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે, જે આપણા નિરીક્ષક દ્વારા વહન કરવામાં આવતી આદર્શ ઘડિયાળ દ્વારા માપવામાં આવે છે. (મિન્કોવ્સ્કી અવકાશકાળમાં, સદભાગ્યે, આપણે બે વિશ્વ રેખાઓ વચ્ચે બહુવિધ શૂન્ય ભૌગોલિક માર્ગોની શક્યતાને અવગણી શકીએ છીએ, પરંતુ બ્રહ્માંડના નમૂનાઓ અને અન્ય ઉપયોગોમાં વસ્તુઓ એટલી સરળ નથી. આપણે એમ ધારીને પણ સાવચેતી રાખવી જોઈએ કે બે નિરીક્ષકો વચ્ચેના અંતરની આ કલ્પના એવી ધારણા આપે છે જે નિરીક્ષકોની પરસ્પર અદલાબદલી હેઠળ સમપ્રમાણ હોય છે.) ખાસ કરીને, અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે રિન્ડલર નિરીક્ષકોની જોડીને ધ્યાનમાં લો. (નોંધ કરો કે આમાંથી પ્રથમ, પાછળનો નિરીક્ષક, અગ્રણી નિરીક્ષક સાથે સુસંગત રહેવા માટે થોડો સખત ગતિ કરી રહ્યો છે). રિન્ડલર રેખા તત્વમાં ગોઠવીને, આપણે પ્રવેગકની દિશામાં આગળ વધતા શૂન્ય ભૂગણિતનું સમીકરણ સહેલાઈથી મેળવી લઈએ છીએઃ તેથી, આ બે નિરીક્ષકો વચ્ચેનું રડાર અંતર આ શાસક અંતર કરતા થોડું ઓછું છે, પરંતુ નજીકના નિરીક્ષકો માટે વિસંગતતા નગણ્ય છે. અંતરની ત્રીજી સંભવિત કલ્પના આ છેઃ આપણું નિરીક્ષક કોઈ વસ્તુ (બિંદુ પદાર્થ નહીં) પર મૂકવામાં આવેલી એકમ ડિસ્ક દ્વારા ઘટાડેલા ખૂણાને માપે છે, કારણ કે તે તેના સ્થાન પરથી દેખાય છે. આપણે આને ઓપ્ટિકલ વ્યાસનું અંતર કહીએ છીએ. મિન્કોવ્સ્કી અવકાશકાળમાં શૂન્ય ભૂગણિતની સરળ લાક્ષણિકતાને કારણે, આપણે આપણી રિન્ડલર નિરીક્ષકોની જોડી (પ્રવેગકની દિશા સાથે સંરેખિત) વચ્ચેનું ઓપ્ટિકલ અંતર સહેલાઈથી નક્કી કરી શકીએ છીએ. સ્કેચ પરથી તે બુદ્ધિગમ્ય હોવું જોઈએ કે ઓપ્ટિકલ વ્યાસ અંતર સ્કેલ જેવું છે. તેથી, અગ્રણી નિરીક્ષક (કેસ) થી અંતરનો અંદાજ લગાવતા પાછળના નિરીક્ષકના કિસ્સામાં, ઓપ્ટિકલ અંતર શાસક અંતર કરતાં થોડું વધારે હોય છે, જે રડાર અંતર કરતાં થોડું વધારે હોય છે. વાચકએ હવે પાછળ રહેલા નિરીક્ષકથી અંતરનો અંદાજ લગાવતા અગ્રણી નિરીક્ષકના કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે થોડો સમય લેવો જોઈએ. અંતરની અન્ય ધારણાઓ છે, પરંતુ મુખ્ય મુદ્દો સ્પષ્ટ છેઃ જ્યારે આ વિવિધ ધારણાઓના મૂલ્યો સામાન્ય રીતે રિન્ડલર નિરીક્ષકોની આપેલ જોડી માટે અસંમત હશે, ત્યારે તેઓ બધા સંમત થાય છે કે રિન્ડલર નિરીક્ષકોની દરેક જોડી સતત અંતર જાળવી રાખે છે. હકીકત એ છે કે ખૂબ નજીકના રિન્ડલર નિરીક્ષકો પરસ્પર સ્થિર છે, તે હકીકત પરથી અનુસરે છે, ઉપર નોંધ્યું છે કે, રિન્ડલર એકરૂપતાના વિસ્તરણ ટેન્સર સમાન રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. જો કે, આપણે અહીં બતાવ્યું છે કે વિવિધ અર્થમાં, આ કઠોરતા ગુણધર્મ મોટા પાયે ધરાવે છે. સાપેક્ષવાદી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, કોઈ પણ સળિયાને સખત રીતે વેગ આપી શકાતો નથી (અને કોઈ પણ ડિસ્કને સખત રીતે ફેરવી શકાતી નથી)-ઓછામાં ઓછું, અસમાન તાણને ટકાવી રાખ્યા વિના નહીં તે જાણીતી હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને, આ ખરેખર એક નોંધપાત્ર કઠોરતા ગુણધર્મ છે. આને જોવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે ન્યુટોનિયન ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જો આપણે કોઈ કઠોર પદાર્થને "લાત" મારીશું, તો પદાર્થના તમામ ઘટકો તરત જ તેમની ગતિની સ્થિતિને બદલી નાખશે. આ અલબત્ત સાપેક્ષવાદી સિદ્ધાંત સાથે અસંગત છે કે કોઈ પણ ભૌતિક અસર ધરાવતી કોઈ પણ માહિતી પ્રકાશની ઝડપ કરતાં વધુ ઝડપથી પ્રસારિત કરી શકાતી નથી. તે અનુસરે છે કે જો લાકડી તેની લંબાઈ સાથે ગમે ત્યાં લાગુ કરાયેલ કોઈ બાહ્ય બળ દ્વારા વેગ આપવામાં આવે છે, તો લાકડીમાં વિવિધ સ્થળોએ દ્રવ્યના ઘટકો બધા પ્રવેગકની સમાન તીવ્રતાને અનુભવી શકતા નથી જો લાકડી બંધાયેલા વિના વિસ્તૃત ન હોય અને આખરે તૂટી ન જાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક ત્વરિત લાકડી જે તૂટતી નથી તે તેની લંબાઈ સાથે બદલાતી તાણને ટકાવી રાખે છે. વધુમાં, સમય બદલાતા બળો સાથેના કોઈપણ વિચાર પ્રયોગમાં, પછી ભલે આપણે કોઈ વસ્તુને "લાત" મારીએ અથવા તેને ધીમે ધીમે વેગ આપવાનો પ્રયાસ કરીએ, આપણે યાંત્રિક નમૂનાઓને ટાળવાની સમસ્યાને ટાળી શકતા નથી જે સાપેક્ષ ગતિશાસ્ત્ર સાથે અસંગત હોય (કારણ કે શરીરના દૂરના ભાગો લાગુ કરેલા બળને ખૂબ ઝડપથી પ્રતિસાદ આપે છે). શાસક અંતરના કાર્યકારી મહત્વના પ્રશ્ન પર પાછા ફરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે આ તે અંતર હોવું જોઈએ જે આપણા નિરીક્ષકો મેળવશે જો તેઓ ખૂબ જ ધીમે ધીમે હાથથી પસાર થઈને એક નાના શાસકને હાથમાં લેશે જે વારંવાર અંતથી અંત સુધી સેટ કરવામાં આવે છે. પરંતુ આ અર્થઘટનને વિગતવાર ન્યાયી ઠેરવવા માટે અમુક પ્રકારના ભૌતિક નમૂનાની જરૂર પડશે. ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ વક્ર અવકાશ સમય માટે સામાન્યીકરણ રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સને વક્ર અવકાશ સમય માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જેમ કે ફર્મિ સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ. સામાન્યીકરણમાં અનિવાર્યપણે યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ ટેટ્રાડનું નિર્માણ અને પછી ફર્મિ-વૉકર પરિવહન નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેને આપેલ માર્ગ સાથે પરિવહનનો સમાવેશ થાય છે. વિગતો માટે, નીચે આપેલા સંદર્ભોમાં ની અને ઝિમરમેનનું પેપર જુઓ. આવા સામાન્યીકરણ વાસ્તવમાં પૃથ્વી આધારિત પ્રયોગશાળામાં જડતા અને ગુરુત્વાકર્ષણીય અસરો તેમજ વધુ રસપ્રદ જોડીદાર જડતા-ગુરુત્વાકર્ષણીય અસરોનો અભ્યાસ કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. ઇતિહાસ ઝાંખી કોટલર-મોલર અને રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સ આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને (1907) સમાન રીતે પ્રવેગક ફ્રેમની અંદરની અસરોનો અભ્યાસ કર્યો, સમન્વય આશ્રિત સમય ફેલાવા અને પ્રકાશની ઝડપને () ની સમકક્ષ બનાવવા માટે સમીકરણો મેળવ્યા, અને સૂત્રોને નિરીક્ષકના મૂળથી સ્વતંત્ર બનાવવા માટે, તેમણે રડાર કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ઔપચારિક કરારમાં સમય ફેલાવો () મેળવ્યો. બોર્ન કઠોરતાના ખ્યાલની રજૂઆત કરતી વખતે, મેક્સ બોર્ન (1909) એ નોંધ્યું હતું કે હાયપરબોલિક ગતિ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ "હાયપરબોલિકલી એક્સિલરેટેડ રેફરન્સ સિસ્ટમ" () સમકક્ષ () માં પરિવર્તન તરીકે થઈ શકે છે. બોર્નના કાર્યને આર્નોલ્ડ સોમરફેલ્ડ (1910) અને મેક્સ વોન લૌ (1911) દ્વારા વધુ વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે બંનેએ કાલ્પનિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને () મેળવ્યું હતું, જેનો સારાંશ વોલ્ફગેંગ પૌલી (1921) દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો, જેમણે કોઓર્ડિનેટ્સ () ઉપરાંત કાલ્પનિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક () પણ મેળવ્યું હતું. આઈન્સ્ટાઈને (1912) સ્થિર ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રનો અભ્યાસ કર્યો અને પ્રકાશની સંકલન આધારિત ગતિનો ઉપયોગ કરીને કોટલર-મોલર મેટ્રિક () તેમજ સૂત્રો () નો અંદાજ મેળવ્યો. હેન્ડ્રિક લોરેન્ટ્ઝ (1913) એ આઈન્સ્ટાઈનના સમાનતા સિદ્ધાંત અને સમાન ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રનો અભ્યાસ કરતી વખતે (,,) જેવા કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવ્યા હતા. ફ્રેડરિક કોટલર (1914) દ્વારા વિગતવાર વર્ણન આપવામાં આવ્યું હતું, જેમણે અનુરૂપ ઓર્થોનોર્મલ ટેટ્રાડ, પરિવર્તન સૂત્રો અને મેટ્રિક (,) ની રચના કરી હતી. કાર્લ બોલર્ટે (1922) પણ સમાન પ્રવેગ અને સમાન ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રોના અભ્યાસમાં મેટ્રિક () મેળવ્યું હતું. બોર્ન કઠોરતા સાથે સંબંધિત પેપરમાં, જ્યોર્જ લેમૈત્રે (1924) એ કોઓર્ડિનેટ્સ અને મેટ્રિક (,) મેળવ્યા હતા. આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન અને નાથન રોસેન (1935) એ (,) ને સજાતીય ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર માટે "જાણીતી" અભિવ્યક્તિઓ તરીકે વર્ણવ્યું હતું. ક્રિશ્ચિયન મોલર (1943) એ એકરૂપ ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રો સાથે સંબંધિત અભ્યાસ તરીકે (,) મેળવ્યા પછી, તેમણે (1952) તેમજ મિસનર એન્ડ થોર્ન એન્ડ વ્હીલર (1973) એ સમાન સમીકરણો મેળવવા માટે ફર્મી-વૉકર પરિવહનનો ઉપયોગ કર્યો હતો. જ્યારે આ તપાસ સપાટ અવકાશ સમય સાથે સંબંધિત હતી, ત્યારે વોલ્ફગેંગ રિન્ડલર (1960) એ વક્ર અવકાશ સમયમાં હાયપરબોલિક ગતિનું વિશ્લેષણ કર્યું હતું અને (1966) શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ અવકાશમાં ક્રુસ્કલ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સપાટ અવકાશ સમયમાં હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ (,) વચ્ચેની સામ્યતા દર્શાવી હતી. આ પછીના લેખકોને હાઇપરબોલિક ગતિમાં નિરીક્ષક દ્વારા માપવામાં આવેલા અનરુહ કિરણોત્સર્ગની રચનામાં પ્રભાવિત કરે છે, જે બ્લેક હોલ્સના હોકિંગ કિરણોત્સર્ગના વર્ણન જેવું જ છે. હોરાઇઝન બોર્ન (1909) એ દર્શાવ્યું હતું કે હાયપરબોલિક ગતિમાં બોર્ન રિજિડ બોડીના આંતરિક બિંદુઓ ફક્ત આ પ્રદેશમાં જ હોઈ શકે છે. સોમરફેલ્ડ (1910) એ વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું કે જડતા અને હાયપરબોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના પરિવર્તન માટે માન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ સંતોષવા જોઈએ. કોટલર (1914) એ આ પ્રદેશને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કર્યો હતો, અને "સરહદી સમતલ" () ના અસ્તિત્વ તરફ ધ્યાન દોર્યું હતું, જેનાથી આગળ હાયપરબોલિક ગતિમાં કોઈ સંકેત નિરીક્ષક સુધી પહોંચી શકતો નથી. આને બોલર્ટ (1922) દ્વારા "નિરીક્ષકનું ક્ષિતિજ" () કહેવામાં આવ્યું હતું. રિન્ડલર (1966) એ ક્રુસ્કલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં આવા ક્ષિતિજ અને ક્ષિતિજ વચ્ચેના સંબંધનું પ્રદર્શન કર્યું હતું. રડાર કોઓર્ડિનેટ્સ બોલર્ટની ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ કરીને, સ્ટેજેપન મોહોરોવિસિચ (1922) એ કેટલાક પરિમાણો માટે અલગ પસંદગી કરી અને પ્રિન્ટિંગ ભૂલ સાથે મેટ્રિક () મેળવ્યું, જેને બોલર્ટ (1922બી) દ્વારા અન્ય પ્રિન્ટિંગ ભૂલ સાથે સુધારવામાં આવ્યું હતું, જ્યાં સુધી મોહોરોવિસિચ (1923) દ્વારા પ્રિન્ટિંગ ભૂલ વિનાનું સંસ્કરણ આપવામાં આવ્યું ન હતું. વધુમાં, મોહોરોવિચિચે ભૂલથી દલીલ કરી હતી કે મેટ્રિક (જેને હવે કોટલર-મોલર મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે) ખોટી છે, જેને બોલર્ટ (1922) દ્વારા રદિયો આપવામાં આવ્યો હતો. મેટ્રિક () ની શોધ હેરી લાસ (1963) દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ () પણ આપ્યા હતા જેને કેટલીકવાર "લાસ કોઓર્ડિનેટ્સ" કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક (), તેમજ (,), પણ ફ્રિટ્ઝ રોહ્રલિચ (1963) દ્વારા મેળવવામાં આવ્યું હતું. આખરે, લાસ કોઓર્ડિનેટ્સ (,) ને ડેસ્લોજ એન્ડ ફિલ્પોટ (1987) દ્વારા રડાર કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ઓળખવામાં આવ્યા હતા. ઐતિહાસિક સૂત્રો સાથેનું કોષ્ટક બેલનો અવકાશયાન વિરોધાભાસ પણ જુઓ, કેટલીકવાર વિવાદાસ્પદ વિષય માટે જે ઘણીવાર રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. બોર્ન કોઓર્ડિનેટ્સ, મિન્કોવ્સ્કી સ્પેસટાઇમમાં ચોક્કસ એક્સિલરેટેડ નિરીક્ષકોની ગતિને અનુરૂપ અન્ય મહત્વપૂર્ણ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે. કોન્ગ્રુઅન્સ (સામાન્ય સાપેક્ષતા) એહરેનફેસ્ટ વિરોધાભાસ, કેટલીકવાર વિવાદાસ્પદ વિષય માટે ઘણીવાર બોર્ન કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ફ્રેમ ક્ષેત્રો સામાન્ય સાપેક્ષતા સંસાધનો મિલ્ને મોડેલ રાયચૌધરી સમીકરણ અનરુહ અસર સંદર્ભો ઐતિહાસિક સ્રોતો વધુ વાંચન ઉપયોગી પૃષ્ઠભૂમિઃ સરળ મેનીફોલ્ડ્સ પર વેક્ટર ક્ષેત્રોને લગતી પૃષ્ઠભૂમિ માટે પ્રકરણ 4 જુઓ. ફર્મેટ મેટ્રિકની વ્યુત્પત્તિ માટે પ્રકરણ 8 જુઓ. રિન્ડલર કોઓર્ડિનેટ્સઃ વિભાગ 6.6 જુઓ. રિન્ડલર હોરાઇઝનઃ એપ્રિંટ વર્ઝન થિયરી ઓફ રિલેટિવિટી કો-ઓર્ડિનેટ ચાર્ટ્સ ઇન જનરલ રિલેટિવિટી એક્સેલરેશન