Coefficient of multiple correlation
આંકડામાં, બહુવિધ સહસંબંધનો ગુણાંક એ અન્ય ચલોના સમૂહના રેખીય કાર્યનો ઉપયોગ કરીને આપેલ ચલની કેટલી સારી રીતે આગાહી કરી શકાય છે તેનું માપ છે. તે ચલનાં મૂલ્યો અને શ્રેષ્ઠ આગાહીઓ વચ્ચેનો સહસંબંધ છે જેની ગણતરી આગાહીયુક્ત ચલમાંથી રેખીય રીતે કરી શકાય છે. બહુવિધ સહસંબંધનો ગુણાંક 0 અને 1 વચ્ચેના મૂલ્યો લે છે. ઉચ્ચ મૂલ્યો સ્વતંત્ર ચલમાંથી આશ્રિત ચલની ઉચ્ચ આગાહી સૂચવે છે, જેમાં 1 નું મૂલ્ય સૂચવે છે કે આગાહીઓ બરાબર સાચી છે અને 0 નું મૂલ્ય સૂચવે છે કે સ્વતંત્ર ચલોનું કોઈ રેખીય સંયોજન આશ્રિત ચલની નિશ્ચિત સરેરાશ કરતાં વધુ સારું આગાહી કરનાર નથી. બહુવિધ સહસંબંધના ગુણાંકને નિર્ધારણના ગુણાંકના વર્ગમૂળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, પરંતુ ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ કે અવરોધનું સમાવેશ થાય છે અને શ્રેષ્ઠ શક્ય રેખીય આગાહીકારોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જ્યારે નિર્ધારણના ગુણાંકને વધુ સામાન્ય કેસો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં બિનરેખીય આગાહીનો સમાવેશ થાય છે અને જેમાં અનુમાનિત મૂલ્યો મોડેલ-ફિટિંગ પ્રક્રિયામાંથી મેળવવામાં આવ્યા નથી. વ્યાખ્યા બહુવિધ સહસંબંધનો ગુણાંક, જેને આર સૂચવવામાં આવે છે, તે એક સ્કેલર છે જેને રેખીય રીગ્રેસન મોડેલમાં અનુમાનિત અને આશ્રિત ચલની વાસ્તવિક કિંમતો વચ્ચેના પીઅર્સન સહસંબંધ ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં ઇન્ટરસેપ્ટનો સમાવેશ થાય છે. ગણતરી બહુવિધ સહસંબંધના ગુણાંકનો વર્ગ આગાહી કરનાર ચલ (સ્વતંત્ર ચલ) અને લક્ષ્ય ચલ (આશ્રિત ચલ) વચ્ચેના સહસંબંધના વેક્ટર અને આગાહી કરનાર ચલ વચ્ચેના સહસંબંધના સહસંબંધ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે. તે ટ્રાન્સપોઝ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને તે મેટ્રિક્સનો ઇન્વર્સ છે જો તમામ આગાહી કરનાર ચલ અસંબદ્ધ હોય, તો મેટ્રિક્સ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે અને ફક્ત આશ્રિત ચલ સાથેના વર્ગ સહસંબંધોનો સરવાળો બરાબર છે. જો આગાહી કરનાર ચલ એકબીજા સાથે સહસંબંધિત હોય, તો સહસંબંધ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત હિસ્સો આના માટે જવાબદાર છે. બહુવિધ સહસંબંધના વર્ગ ગુણાંકની ગણતરી આશ્રિત ચલની ભિન્નતાના અપૂર્ણાંક તરીકે પણ કરી શકાય છે જે સ્વતંત્ર ચલ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, જે બદલામાં 1 ઓછા ન સમજાય તેવા અપૂર્ણાંક છે. ન સમજાય તેવા અપૂર્ણાંકની ગણતરી અવશેષોના વર્ગના સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે-એટલે કે, આગાહી ભૂલોના વર્ગોનો સરવાળો-આશ્રિત ચલનાં મૂલ્યોના વિચલનોના વર્ગના સરવાળા દ્વારા તેના અપેક્ષિત મૂલ્યથી વિભાજિત. ગુણધર્મો બે કરતાં વધુ ચલ એકબીજા સાથે સંબંધિત હોવાથી, બહુવિધ સહસંબંધના ગુણાંકનું મૂલ્ય આશ્રિત ચલની પસંદગી પર આધાર રાખે છેઃ ચાલુ અને રહેશેનું રીગ્રેસન સામાન્ય રીતે ચાલુ અને રહેશેના રીગ્રેસન કરતાં અલગ હશે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે કોઈ ચોક્કસ નમૂનામાં ચલ બંને સાથે અસંબંધિત છે અને, જ્યારે અને એકબીજા સાથે રેખીય રીતે સંબંધિત છે. પછી ચાલુ અને શૂન્યનું રીગ્રેસન મળશે, જ્યારે ચાલુ અને સખત હકારાત્મક રીગ્રેસન મળશે. આ અનુસરે છે કારણ કે તેના શ્રેષ્ઠ આગાહીકાર સાથેનો સહસંબંધ તેના પર આધારિત છે અને તમામ કિસ્સાઓમાં તે ઓછામાં ઓછો તેના શ્રેષ્ઠ આગાહીકાર સાથેનો સહસંબંધ જેટલો મોટો છે, અને આ કિસ્સામાં કોઈ સમજૂતી શક્તિ પ્રદાન કર્યા વિના તે બરાબર તેટલો મોટો હશે. સંદર્ભો વધુ વાંચન એલિસન, પોલ ડી. (1998). બહુવિધ રીગ્રેસનઃ એ પ્રાઇમર. લંડનઃ સેજ પબ્લિકેશન્સ. કોહેન, જેકબ, વગેરે. (2002). એપ્લાઇડ મલ્ટિપલ રીગ્રેસનઃ વર્તણૂકીય વિજ્ઞાન માટે સહસંબંધ વિશ્લેષણ. ક્રાઉન, વિલિયમ એચ. (1998). સામાજિક અને વર્તણૂકીય વિજ્ઞાન માટે આંકડાકીય નમૂનાઓઃ બહુવિધ પ્રતિગમન અને મર્યાદિત-સ્વતંત્ર ચલ નમૂનાઓ. એડવર્ડ્સ, એલન લુઇસ (1985). બહુવિધ રીગ્રેસન એન્ડ ધ એનાલિસિસ ઓફ વેરિયન્સ એન્ડ કોવેરિયન્સ. કીથ, ટિમોથી (2006). બહુવિધ રીગ્રેસન અને બિયોન્ડ. બોસ્ટનઃ પીઅર્સન એજ્યુકેશન. ફ્રેડ એન. કેરલિંગર, ઇલાઝાર જે. પેધાઝુર (1973). વર્તણૂકીય સંશોધનમાં બહુવિધ પ્રતિગમન. ન્યૂ યોર્કઃ હોલ્ટ રાઇનહાર્ટ વિન્સ્ટન. સ્ટેન્ટન, જેફરી એમ. (2001). "ગેલ્ટન, પિયરસન એન્ડ ધ પીઝઃ એ બ્રીફ હિસ્ટ્રી ઓફ લીનિયર રીગ્રેસન ફોર સ્ટેટિસ્ટિક્સ ઇન્સ્ટ્રક્ટર્સ", જર્નલ ઓફ સ્ટેટિસ્ટિક્સ એજ્યુકેશન, 9 (3). સહસંબંધ સૂચકાંકો રીગ્રેસન વિશ્લેષણ