Transfer operator
ગણિતમાં, ટ્રાન્સફર ઓપરેટર પુનરાવર્તિત નકશા વિશેની માહિતીને એન્કોડ કરે છે અને તેનો ઉપયોગ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ, આંકડાકીય મિકેનિક્સ, ક્વોન્ટમ અંધાધૂંધી અને ફ્રેક્ટલ્સના વર્તનનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. તમામ સામાન્ય કિસ્સાઓમાં, સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ 1 છે, અને અનુરૂપ આઈગનવેક્ટર એ સિસ્ટમનું અપરિવર્તનશીલ માપ છે. ટ્રાન્સફર ઓપરેટરને કેટલીકવાર ડેવિડ રુએલ પછી રુએલ ઓપરેટર અથવા પેરોન-ફ્રોબેનિયસ ઓપરેટર અથવા રુએલ-પેરોન-ફ્રોબેનિયસ ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે, જે ઓપરેટરના આઈગન વેલ્યુના નિર્ધારણ માટે પેરોન-ફ્રોબેનિયસ પ્રમેયની લાગુ થવાના સંદર્ભમાં છે. વ્યાખ્યા અભ્યાસ કરવા માટેનું પુનરાવર્તિત કાર્ય એ મનસ્વી સમૂહ માટેનો નકશો છે. ટ્રાન્સફર ઓપરેટરને કાર્યોની જગ્યા પર કામ કરતા ઓપરેટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં સહાયક મૂલ્યાંકન કાર્ય છે. જ્યારે જેકોબિયન નિર્ધારક હોય, ત્યારે તેને સામાન્ય રીતે લેવામાં આવે છે. ટ્રાન્સફર ઓપરેટરની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાને g ની માપ-સૈદ્ધાંતિક આગળ ધપાવવાની બિંદુ-સેટ મર્યાદા તરીકે દર્શાવી શકાય છેઃ સારમાં, ટ્રાન્સફર ઓપરેટર એ માપી શકાય તેવી જગ્યાઓની શ્રેણીમાં સીધો ઇમેજ ફંકટર છે. ફ્રોબેનિયસ-પેરોન ઓપરેટરની ડાબી બાજુની જોડી કૂપમેન ઓપરેટર અથવા કમ્પોઝિશન ઓપરેટર છે. સામાન્ય સેટિંગ બોરેલ ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે. સામાન્ય નિયમ તરીકે, ટ્રાન્સફર ઓપરેટરને સામાન્ય રીતે શિફ્ટ સ્પેસ પર કામ કરતા (ડાબે-) શિફ્ટ ઓપરેટર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. સૌથી સામાન્ય રીતે અભ્યાસ કરાયેલ શિફ્ટ એ મર્યાદિત પ્રકારની સબશિફ્ટ છે. એ જ રીતે ટ્રાન્સફર ઓપરેટરની અડીને સામાન્ય રીતે જમણી પાળી તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ખાસ કરીને સારી રીતે અભ્યાસ કરાયેલ જમણી પાળીમાં જેકોબી ઓપરેટર અને હેસેનબર્ગ મેટ્રિક્સનો સમાવેશ થાય છે, જે બંને જમણી પાળી દ્વારા ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓની પ્રણાલીઓ ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે કાર્યનું પુનરાવર્તન કુદરતી રીતે પુનરાવર્તન (બિંદુ ગતિશીલતાનો અભ્યાસ) હેઠળ X ના બિંદુઓની ભ્રમણકક્ષાના અભ્યાસ તરફ દોરી જાય છે, ત્યારે ટ્રાન્સફર ઓપરેટર વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે પુનરાવર્તન હેઠળ (સરળ) નકશા કેવી રીતે વિકસિત થાય છે. આમ, ટ્રાન્સફર ઓપરેટર્સ સામાન્ય રીતે ભૌતિકશાસ્ત્રની સમસ્યાઓમાં દેખાય છે, જેમ કે ક્વોન્ટમ અરાજકતા અને આંકડાકીય મિકેનિક્સ, જ્યાં ધ્યાન સરળ કાર્યોના સમય ઉત્ક્રાંતિ પર કેન્દ્રિત હોય છે. બદલામાં, આ મોલેક્યુલર ડાયનેમિક્સના ક્ષેત્ર દ્વારા તર્કસંગત દવા ડિઝાઇન માટે તબીબી ઉપયોગો ધરાવે છે. ઘણીવાર એવું બને છે કે ટ્રાન્સફર ઓપરેટર હકારાત્મક હોય છે, તેમાં સ્વતંત્ર હકારાત્મક વાસ્તવિક મૂલ્યના આઈગનવેલ્યુ હોય છે, જેમાં સૌથી મોટું આઈગનવેલ્યુ એકની બરાબર હોય છે. આ કારણોસર, ટ્રાન્સફર ઓપરેટરને કેટલીકવાર ફ્રોબેનિયસ-પેરોન ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ટ્રાન્સફર ઓપરેટરના આઈગનફંક્શન્સ સામાન્ય રીતે ફ્રેક્ટલ હોય છે. જ્યારે ટ્રાન્સફર ઓપરેટરનો લઘુગણક ક્વોન્ટમ હેમિલ્ટોનિયનને અનુરૂપ હોય, ત્યારે આઈગનવેલ્યુ સામાન્ય રીતે ખૂબ નજીકથી અંતરે હશે, અને આમ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓનો ખૂબ જ સાંકડો અને કાળજીપૂર્વક પસંદ કરેલ સમૂહ પણ સમગ્ર કદ પર બિન-શૂન્ય આધાર સાથે મોટી સંખ્યામાં ખૂબ જ અલગ ફ્રેક્ટલ આઈગનસ્ટેટને આવરી લેશે. આનો ઉપયોગ શાસ્ત્રીય આંકડાકીય મિકેનિક્સના ઘણા પરિણામોને સમજાવવા માટે થઈ શકે છે, જેમાં સમયની અપરિવર્તનીયતા અને એન્ટ્રોપીમાં વધારો સામેલ છે. બર્નૌલી નકશાનું ટ્રાન્સફર ઓપરેટર બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય છે અને તે નિર્ધારક અવ્યવસ્થાનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે; અલગ આઈગનવેલ્યુ બર્નૌલી બહુપદીઓને અનુરૂપ છે. આ ઓપરેટર સતત સ્પેક્ટ્રમ પણ ધરાવે છે જેમાં હર્વિટ્ઝ ઝેટા ફંક્શનનો સમાવેશ થાય છે. ગૌસ નકશાના સ્થાનાંતરણ સંચાલકને ગૌસ-કુઝમિન-વિર્સિંગ (GKW) સંચાલક કહેવામાં આવે છે. GKW નો સિદ્ધાંત સતત અપૂર્ણાંકો પર ગૌસ દ્વારા કરવામાં આવેલી પૂર્વધારણા સાથે સંબંધિત છે અને તે રીમાન ઝેટા કાર્ય સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. બર્નૌલી યોજના પણ જુઓ મર્યાદિત પ્રકાર ક્રેઇન-રુટમેન પ્રમેય સંદર્ભોનું સ્થળાંતર (પ્રારંભિક સર્વેક્ષણ પ્રદાન કરે છે). અરાજકતા સિદ્ધાંત ગતિશીલ પ્રણાલીઓ સંચાલક સિદ્ધાંત વર્ણપટ સિદ્ધાંત