Epigraph (mathematics)
ગણિતમાં, વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યામાં મૂલ્યવાન કાર્યનું શિલાલેખ અથવા સુપરગ્રાફ એ સમૂહ છે, જે તેના આલેખ પર અથવા તેની ઉપર આવેલા કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનના તમામ બિંદુઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. કડક શિલાલેખ એ તેના આલેખની સખત ઉપર આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ છે. મહત્ત્વની વાત એ છે કે, ગ્રાફ અને એપિગ્રાફ બંનેમાં એપિગ્રાફમાં બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જે ગ્રાફ માટે સાચું હોય તે જરૂરી નથી. જો કાર્ય મૂલ્ય તરીકે લે છે, તો તે તેના એપિગ્રાફનો સબસેટ હશે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે બિંદુ સંબંધિત હશે પણ નહીં તો આ બે સમૂહો તેમ છતાં નજીકથી સંબંધિત છે કારણ કે ગ્રાફને હંમેશા એપિગ્રાફમાંથી પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે, અને તેનાથી ઊલટું. વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં સતત વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોનો અભ્યાસ પરંપરાગત રીતે તેમના આલેખના અભ્યાસ સાથે ગાઢ રીતે સંકળાયેલો છે, જે એવા સમૂહો છે જે આ કાર્યો વિશે ભૌમિતિક માહિતી (અને અંતર્જ્ઞાન) પ્રદાન કરે છે. શિલાલેખો બહિર્મુખ વિશ્લેષણ અને પરિવર્તનશીલ વિશ્લેષણના ક્ષેત્રોમાં આ જ હેતુ પૂરો પાડે છે, જેમાં પ્રાથમિક ધ્યાન વેક્ટર સ્પેસ (જેમ કે અથવા) માં મૂલ્યવાન સતત કાર્યોને બદલે મૂલ્યવાન બહિર્મુખ કાર્યો પર હોય છે. આનું કારણ એ છે કે સામાન્ય રીતે, આવા કાર્યો માટે, ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન તેના આલેખ કરતાં કાર્યના શિલાલેખમાંથી વધુ સહેલાઈથી મેળવવામાં આવે છે. વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં આલેખનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે જ રીતે, શિલાલેખનો ઉપયોગ ઘણીવાર બહિર્મુખ કાર્યના ગુણધર્મોના ભૌમિતિક અર્થઘટન આપવા, પૂર્વધારણાઓ ઘડવામાં અથવા સાબિત કરવામાં મદદ કરવા અથવા પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો બનાવવામાં મદદ કરવા માટે થઈ શકે છે. વ્યાખ્યા શિલાલેખની વ્યાખ્યા કાર્યના આલેખથી પ્રેરિત હતી, જ્યાં 'ની' ને સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અથવા વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં મૂલ્યવાન કાર્યનો સમૂહ છે. તેવી જ રીતે, કાર્યના આલેખ પર અથવા તેની નીચેના બિંદુઓનો સમૂહ તેનો છે. આ આલેખ સાથેનો શિલાલેખ દૂર કરવામાં આવ્યો છેઃ અન્ય સમૂહો સાથેના સંબંધો એ હકીકત હોવા છતાં કે તે એક (અથવા બંને) ને મૂલ્ય તરીકે લઈ શકે છે (આ કિસ્સામાં તેનો આલેખ તેનો સબસેટ હશે), તેમ છતાં તેના શિલાલેખને 'ના' ને બદલે 'ના' ના સબસેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો તે માત્ર અમુક વેક્ટર જગ્યાનો બિન-ખાલી સબસેટ હોય તો તે ક્યારેય વેક્ટર જગ્યાનો પણ નથી હોતો. એપિગ્રાફ વેક્ટર સ્પેસનો સબસેટ હોવાથી વાસ્તવિક વિશ્લેષણ અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ (અને અન્ય ક્ષેત્રો) સંબંધિત સાધનોને વધુ સહેલાઈથી લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ વ્યાખ્યા માટે કાર્યનું ડોમેન (કોડોમેનને બદલે) ખાસ મહત્વનું નથી; તે કોઈપણ રેખીય જગ્યા અથવા તેના બદલે મનસ્વી સમૂહ પણ હોઈ શકે છે. કડક શિલાલેખ અને આલેખ હંમેશા અલગ-અલગ હોય છે. કાર્યનું શિલાલેખન તેના આલેખ અને કડક શિલાલેખન સાથે સંબંધિત છે, જ્યાં સેટ સમાનતા ત્યારે જ હોય છે જ્યારે તે વાસ્તવિક મૂલ્યની હોય. જોકે, તે હંમેશા રહે છે. શિલાલેખોમાંથી કાર્યોનું પુનર્નિર્માણ શિલાલેખો ખાલી હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કાર્ય અનંતની સમાન હોય. જે રીતે કોઈપણ કાર્યને તેના આલેખમાંથી પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે, તે જ રીતે કોઈપણ વિસ્તૃત વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યને તેના શિલાલેખમાંથી પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે (મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે ત્યારે પણ). આપેલ મૂલ્યને "ઊભી રેખા" ના આંતરછેદ પરથી નીચે પ્રમાણે પુનઃબીલ્ડ કરી શકાય છેઃ કેસ 1: જો અને માત્ર જો કેસ 2: જો અને માત્ર જો કેસ 3: અન્યથા, તે તે સ્વરૂપનું હોવું જરૂરી છે કે જેમાંથી અંતરાલનું મહત્તમ મૂલ્ય લઈને તેનું મૂલ્ય મેળવી શકાય. ઉપરોક્ત અવલોકનોને એક સૂત્ર આપવા માટે જોડી શકાય છે, ખાસ કરીને, કોઈપણ જગ્યાએ વ્યાખ્યા દ્વારા, આ જ સૂત્રનો ઉપયોગ તેના કડક શિલાલેખમાંથી કાર્યોના ગુણધર્મો અને તેમના શિલાલેખ વચ્ચેના સંબંધોનું પુનઃનિર્માણ કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. એક કાર્ય બહિર્મુખ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું શિલાલેખ બહિર્મુખ સમૂહ હોય. વાસ્તવિક એફાઇન કાર્યનું શિલાલેખન એ કાર્યમાં અડધી જગ્યા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું શિલાલેખન બંધ હોય તો તે નીચું અર્ધવર્તી હોય છે. સાઇટેશન રેફરન્સ રોકફેલ્લર, રાલ્ફ ટાયરેલ (1996), કન્વેક્સ એનાલિસિસ, પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, પ્રિન્સટન, એનજે પણ જુઓ. . કન્વેક્સ વિશ્લેષણ ગાણિતિક વિશ્લેષણ પરિવર્તનશીલ વિશ્લેષણ