Numerical model of the Solar System
સૌર મંડળનું આંકડાકીય મોડેલ એ ગાણિતિક સમીકરણોનો સમૂહ છે, જે જ્યારે ઉકેલાય છે, ત્યારે સમયના કાર્ય તરીકે ગ્રહોની અંદાજિત સ્થિતિ આપે છે. આવા નમૂના બનાવવાના પ્રયાસોએ આકાશી મિકેનિક્સનું વધુ સામાન્ય ક્ષેત્ર સ્થાપિત કર્યું. આ અનુકરણના પરિણામોની સરખામણી ચોકસાઈ ચકાસવા માટે ભૂતકાળના માપ સાથે કરી શકાય છે અને પછી તેનો ઉપયોગ ભવિષ્યની સ્થિતિની આગાહી કરવા માટે થઈ શકે છે. તેથી તેનો મુખ્ય ઉપયોગ પંચાંગની તૈયારીમાં થાય છે. જૂના પ્રયાસો સિમ્યુલેશન કાર્ટેશિયન અથવા ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં કરી શકાય છે. પહેલું સરળ છે, પરંતુ અત્યંત ગણતરી સઘન છે, અને માત્ર ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટર પર વ્યવહારુ છે. જેમ કે પહેલાના સમયમાં ફક્ત પછીનો જ ઉપયોગ થતો હતો. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, પછીની ગણતરી ઓછી સઘન નહોતી, પરંતુ કેટલાક સરળ અંદાજો સાથે શરૂઆત કરવી અને પછી ઇચ્છિત ચોકસાઈ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી હોય તેટલી વિક્ષેપો ઉમેરવી શક્ય હતી. સારમાં સૌર મંડળનું આ ગાણિતિક અનુકરણ એ એન-બોડી સમસ્યાનું એક સ્વરૂપ છે. પ્રતીક એન પદાર્થોની સંખ્યાને રજૂ કરે છે, જે સૂર્ય, 8 ગ્રહો, ડઝનેક ચંદ્ર અને અગણિત ગ્રહચિહ્નો, ધૂમકેતુઓ વગેરેનો સમાવેશ કરે તો તે ખૂબ મોટી થઈ શકે છે. જો કે કોઈપણ અન્ય પદાર્થ પર સૂર્યનો પ્રભાવ એટલો મોટો છે, અને એકબીજા પર અન્ય તમામ પદાર્થોનો પ્રભાવ એટલો નાનો છે કે સમસ્યાને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલી શકાય તેવી 2-પદાર્થની સમસ્યામાં ઘટાડી શકાય છે. દરેક ગ્રહ માટેનું પરિણામ એક ભ્રમણકક્ષા છે, જે સમયના કાર્ય તરીકે તેની સ્થિતિનું સરળ વર્ણન છે. એકવાર આનો ઉકેલ આવી જાય પછી ચંદ્ર અને ગ્રહોની એકબીજા પરની અસરો નાના સુધારા તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે. આ સંપૂર્ણ ગ્રહોની ભ્રમણકક્ષાની સરખામણીમાં નાના છે. કેટલાક સુધારા હજુ પણ ઘણા ડિગ્રી મોટા હોઈ શકે છે, જ્યારે માપ 1 "કરતા વધુની ચોકસાઈ માટે કરી શકાય છે. જો કે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ હવે સિમ્યુલેશન માટે થતો નથી, તેમ છતાં અંદાજિત અલ્પકાલિક શોધવાનું ઉપયોગી છે કારણ કે કોઈ વ્યક્તિ પ્રમાણમાં સરળ મુખ્ય ઉકેલ લઈ શકે છે, કદાચ કેટલીક સૌથી મોટી વિક્ષેપો ઉમેરી શકે છે, અને ઇચ્છિત ગ્રહોની સ્થિતિ પર વધુ પ્રયત્નો કર્યા વિના પહોંચી શકે છે. ગેરલાભ એ છે કે વિક્ષેપ સિદ્ધાંત ખૂબ જ અદ્યતન ગણિત છે. આધુનિક પદ્ધતિ આધુનિક પદ્ધતિમાં ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં આંકડાકીય એકીકરણનો સમાવેશ થાય છે. એક સામેલ દરેક પદાર્થ માટે સ્થિતિ (x, y, z) અને વેગ (vx, vy, vz) માટે ઉચ્ચ ચોકસાઈ મૂલ્ય સાથે શરૂ થાય છે. જ્યારે દરેક પદાર્થનું દળ પણ જાણીતું હોય, ત્યારે પ્રવેગક (અક્ષ, અય, એઝ) ની ગણતરી ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ પરથી કરી શકાય છે. દરેક શરીર એકબીજાના શરીરને આકર્ષે છે, કુલ પ્રવેગક આ તમામ આકર્ષણોનો સરવાળો છે. આગળ એક નાનું સમય-પગલું પસંદ કરે છે અને ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમને લાગુ કરે છે. ત્વરણને Δt સાથે ગુણાકાર કરવાથી વેગમાં સુધારો થાય છે. Δt સાથે ગુણાકાર કરેલ વેગ સ્થિતિને સુધારો આપે છે. આ પ્રક્રિયા અન્ય તમામ સંસ્થાઓ માટે પુનરાવર્તિત થાય છે. પરિણામ એ તમામ પદાર્થો માટે સ્થિતિ અને વેગ માટેનું નવું મૂલ્ય છે. પછી, આ નવા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને આગામી સમય-પગલું Δt માટે સમગ્ર ગણતરી શરૂ કરો. આ પ્રક્રિયાને વારંવાર પુનરાવર્તિત કરવી, અને સમય જતાં તમામ શરીરની સ્થિતિના વર્ણન સાથે સમાપ્ત થાય છે. આ પદ્ધતિનો ફાયદો એ છે કે કમ્પ્યુટર માટે તે કરવું ખૂબ જ સરળ કામ છે, અને તે એક જ સમયે તમામ સંસ્થાઓ માટે અત્યંત સચોટ પરિણામો આપે છે, જે વિક્ષેપો નક્કી કરવા માટેની જટિલ અને મુશ્કેલ પ્રક્રિયાઓને દૂર કરે છે. ગેરલાભ એ છે કે વ્યક્તિએ પ્રથમ સ્થાને અત્યંત સચોટ આંકડાઓથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, નહીં તો પરિણામો સમયની વાસ્તવિકતાથી દૂર થઈ જશે; કે જેને x, y, z સ્થિતિ મળે છે જે ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કરી શકાય તે પહેલાં વધુ વ્યવહારુ ગ્રહણ અથવા વિષુવવૃત્તીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતરિત થાય છે; અને તે બધા અથવા કંઇ અભિગમ નથી. જો કોઈ એક ચોક્કસ સમયે એક ગ્રહની સ્થિતિ જાણવા માંગે છે, તો અન્ય તમામ ગ્રહો અને તમામ મધ્યવર્તી સમય-પગલાંની પણ ગણતરી કરવી પડશે. એકીકરણ અગાઉના વિભાગમાં એવું માનવામાં આવતું હતું કે નાના ટાઇમસ્ટેપ પર પ્રવેગક સ્થિર રહે છે જેથી ગણતરી ફક્ત V × Δt થી R અને તેથી આગળના ઉમેરા સુધી ઘટી જાય. વાસ્તવમાં આ કિસ્સો નથી, સિવાય કે જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ એટલું ઓછું લે છે કે લેવામાં આવતા પગલાંની સંખ્યા નિષેધાત્મક રીતે વધારે હશે. કારણ કે જ્યારે કોઈ પણ સમયે સ્થિતિ પ્રવેગ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવેગનું મૂલ્ય તાત્કાલિક સ્થિતિ દ્વારા નક્કી થાય છે. દેખીતી રીતે સંપૂર્ણ એકીકરણની જરૂર છે. કેટલીક પદ્ધતિઓ ઉપલબ્ધ છે. પહેલા જરૂરી સમીકરણોની નોંધ લોઃ આ સમીકરણ ચોક્કસ બોડી j પર 1 થી N સુધી ચાલતા તમામ પદાર્થોના પ્રવેગનું વર્ણન કરે છે. તે એક વેક્ટર સમીકરણ છે, તેથી તેને દરેક X, Y, Z ઘટકો માટે 3 સમીકરણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે આ પ્રમાણે આપે છેઃ વધારાના સંબંધો સાથે, તેવી જ રીતે Y અને Z માટે. પહેલાનું સમીકરણ (ગુરુત્વાકર્ષણ) નિરાશાજનક લાગી શકે છે, પરંતુ તેની ગણતરીમાં કોઈ સમસ્યા નથી. પછીના સમીકરણો (ગતિના નિયમો) સરળ લાગે છે, પરંતુ તેમ છતાં તેમની ગણતરી કરી શકાતી નથી. કોમ્પ્યુટર્સ સંકલન કરી શકતા નથી, તેઓ અનંત મૂલ્યો સાથે કામ કરી શકતા નથી, તેથી dt ને બદલે આપણે Δt નો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને પરિણામી ચલને ડાબી બાજુએ લાવીએ છીએઃ, અનેઃ યાદ રાખો કે a હજી પણ સમયનું કાર્ય છે. આને ઉકેલવાની સૌથી સરળ રીત માત્ર યુલર અલ્ગોરિધમ છે, જે સારમાં ઉપર વર્ણવેલ રેખીય ઉમેરો છે. માત્ર અમુક સામાન્ય કોમ્પ્યુટર ભાષામાં પોતાને 1 પરિમાણ સુધી મર્યાદિત રાખોઃ a.old = ગુરુત્વાકર્ષણ કાર્ય (x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt. સરેરાશ પ્રવેગક લઈને વધુ સારા પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે, પ્રારંભિક મૂલ્ય અને અપેક્ષિત (અનિયંત્રિત) અંતિમ મૂલ્ય વચ્ચેની સરેરાશઃ a.old = ગુરુત્વાકર્ષણ કાર્ય (x.old) x.expect = x.old + v.old * dt a.expect = = ગુરુત્વાકર્ષણ કાર્ય (x.expect) v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt અલબત્ત મધ્યવર્તી મૂલ્યો લઈને હજુ પણ વધુ સારા પરિણામોની અપેક્ષા કરી શકાય છે. રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે આવું થાય છે, ખાસ કરીને ગ્રેડ 4 અથવા 5 ની પદ્ધતિ સૌથી વધુ ઉપયોગી છે. તેના સારા લાંબા ગાળાના ઊર્જા સંરક્ષણને કારણે ઉપયોગમાં લેવાતી સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ લીપફ્રોગ પદ્ધતિ છે. એક સંપૂર્ણપણે અલગ પદ્ધતિ ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ છે. તે કિસ્સામાં આપણે લખીએ છીએઃ પરંતુ માત્ર r માં કેટલાક ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન સુધી વિકાસ કરવાને બદલે, કોઈ વ્યક્તિ r અને v (એટલે કે r ') માં લખીને વિકાસ કરી શકે છે અને પછી શ્રેણીમાં પરિબળો f અને g લખી શકે છે. અંદાજો પ્રવેગની ગણતરી કરવા માટે દરેક પદાર્થનું એકબીજા પદાર્થ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણીય આકર્ષણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. પરિણામે સિમ્યુલેશનમાં ગણતરીની માત્રા બોડીની સંખ્યાના વર્ગ સાથે વધે છેઃ બોડીની સંખ્યાને બમણી કરવાથી પરિબળ ચાર સાથે કામ વધે છે. સિમ્યુલેશનની ચોકસાઈ વધારવા માટે માત્ર વધુ દશાંશ જ નહીં પરંતુ નાના સમયના પગલાં પણ લેવા પડે છે, ફરીથી ઝડપથી કામની માત્રામાં વધારો થાય છે. દેખીતી રીતે કામની માત્રા ઘટાડવા માટે યુક્તિઓ લાગુ કરવી પડશે. આમાંની કેટલીક યુક્તિઓ અહીં આપવામાં આવી છે. અત્યાર સુધીમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ યુક્તિ એ યોગ્ય એકીકરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ છે, જેમ કે ઉપર દર્શાવેલ છે. એકમોની પસંદગી મહત્વપૂર્ણ છે. એસ. આઈ. એકમોમાં કામ કરવાને બદલે, જે કેટલાક મૂલ્યોને અત્યંત નાના અને કેટલાકને અત્યંત મોટા બનાવે છે, તમામ એકમોને એવી રીતે માપવામાં આવે છે કે તેઓ 1 ની પડોશમાં હોય. ઉદાહરણ તરીકે, સૌરમંડળમાં અંતર માટે ખગોળશાસ્ત્રીય એકમ સૌથી સીધો છે. જો આ ન કરવામાં આવે તો ફ્લોટિંગ પોઇન્ટ ઓવરફ્લો અથવા અંડરફ્લો પર ગણતરીની મધ્યમાં સિમ્યુલેશન ત્યજી દેવાયું હોવાનું લગભગ નિશ્ચિત છે, અને જો તે ખરાબ ન હોય તો, કાપવાની ભૂલોને કારણે ચોકસાઈ ખોવાઈ જવાની શક્યતા છે. જો એન મોટું હોય (સૌરમંડળના સિમ્યુલેશનમાં એટલું નહીં, પરંતુ આકાશગંગાના સિમ્યુલેશનમાં વધુ) તો પદાર્થોના ગતિશીલ જૂથો બનાવવાની પ્રથા છે. ચોક્કસ દિશામાં અને સંદર્ભ પદાર્થથી મોટા અંતરે તમામ પદાર્થો, જેની ગણતરી તે સમયે કરવામાં આવી રહી છે, તેમને એકસાથે લેવામાં આવે છે અને તેમનું ગુરુત્વાકર્ષણીય આકર્ષણ સમગ્ર જૂથ પર સરેરાશ હોય છે. બંધ પ્રણાલીની ઊર્જાની કુલ માત્રા અને કોણીય વેગ એ સંરક્ષિત જથ્થા છે. દરેક સમયના પગલા પછી આ રકમની ગણતરી કરીને સિમ્યુલેશનને જો તેઓ નોંધપાત્ર રીતે બદલાતા નથી તો સ્ટેપસાઇઝ Δt વધારવા માટે પ્રોગ્રામ કરી શકાય છે, અને જો તેઓ આમ કરવાનું શરૂ કરે તો તેને ઘટાડી શકાય છે. અગાઉની જેમ જૂથોમાં શરીરનું સંયોજન કરવું અને નજીકના શરીરની સરખામણીમાં દૂરના શરીર પર મોટા અને આમ ઓછા સમયના પગલાં લાગુ કરવા પણ શક્ય છે. જ્યારે કોઈ ચોક્કસ ભાગ સંદર્ભ ભાગની નજીક હોય ત્યારે પ્રવેગના અતિશય ઝડપી પરિવર્તનને મંજૂરી આપવા માટે, એક નાનું પરિમાણ રજૂ કરવાની પ્રથા છે જેથી જટિલતાઓ જો સૌથી વધુ શક્ય ચોકસાઈની જરૂર હોય, તો ગણતરીઓ વધુ જટિલ બની જાય છે. ધૂમકેતુઓના કિસ્સામાં, કિરણોત્સર્ગ દબાણ અને વાયુ ખેંચાણ જેવા બિન-ગુરુત્વાકર્ષણ બળોને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. લાંબા ગાળાની ગણતરીઓ માટે બુધ અને અન્ય ગ્રહોના કિસ્સામાં, સાપેક્ષવાદી અસરોને અવગણી શકાય નહીં. પછી પણ કુલ ઊર્જા હવે અચળ નથી (કારણ કે રેખીય વેગ સાથે ચાર વેક્ટર ઊર્જા છે). પ્રકાશની મર્યાદિત ઝડપ પણ શાસ્ત્રીય અને સાપેક્ષવાદી બંને પ્રકાશ-સમયની અસરોને મંજૂરી આપવાનું મહત્વપૂર્ણ બનાવે છે. ગ્રહોને હવે કણો તરીકે ગણી શકાય નહીં, પરંતુ તેમના આકાર અને ઘનતાને પણ ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીનું સપાટ થવું પૂર્વગમનનું કારણ બને છે, જે અક્ષીય ઝુકાવમાં ફેરફારનું કારણ બને છે, જે તમામ ગ્રહોની લાંબા ગાળાની હિલચાલને અસર કરે છે. સૌરમંડળની સ્થિરતાના અભાવને કારણે લાંબા ગાળાના નમૂનાઓ, જે લાખો વર્ષો કરતાં વધુ આગળ જાય છે, તે શક્ય નથી. એફેમેરિસ વીએસઓપી (ગ્રહો) સંદર્ભો આંકડાકીય વિશ્લેષણ કોમ્પ્યુટેશનલ ભૌતિકશાસ્ત્ર ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ ડાયનેમિક્સ ઓફ ધ સોલર સિસ્ટમ સોલર સિસ્ટમ મોડેલ્સ પણ જુઓ.