Multicollinearity
આંકડામાં, મલ્ટીકોલિનિયરીટી (કોલિનિયરીટી પણ) એ એક એવી ઘટના છે જેમાં બહુવિધ રીગ્રેસન મોડેલમાં એક આગાહી કરનાર ચલની અન્ય કરતા સંપૂર્ણ આગાહી કરી શકાય છે. આ પરિસ્થિતિમાં, બહુવિધ રીગ્રેસનના ગુણાંક અંદાજો ડેટામાં નાના ફેરફારો અથવા મોડેલને ફિટ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રક્રિયાના જવાબમાં અનિયમિત રીતે બદલાઈ શકે છે. લોકપ્રિય માન્યતાથી વિપરીત, કોલિનિયર વેરિયેબલ્સ સહિત સમગ્ર મોડેલની આગાહી શક્તિ અથવા વિશ્વસનીયતામાં ઘટાડો થતો નથી, ન તો તે ગુણાંકનો અંદાજ કેટલો સચોટ રીતે કરવામાં આવે છે તે ઘટાડે છે. હકીકતમાં, ઉચ્ચ કોલિનિયરિટી સૂચવે છે કે તમામ ચલોનો સમાવેશ કરવો અપવાદરૂપે મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે કોઈપણ ચલને બાકાત રાખવાથી મજબૂત મૂંઝવણ થશે. નોંધ લો કે સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ જેવા રીગ્રેસન વિશ્લેષણ અંતર્ગત ધારણાઓના નિવેદનોમાં, શબ્દસમૂહ "કોઈ બહુરેખીયતા નથી" સામાન્ય રીતે બહુરેખીયતાની ગેરહાજરીનો સંદર્ભ આપે છે, જે આગાહી કરનારાઓ વચ્ચે ચોક્કસ (બિન-અસ્થિર) રેખીય સંબંધ છે. આવા કિસ્સામાં, ડિઝાઇન મેટ્રિક્સમાં પૂર્ણ ક્રમ કરતાં ઓછો ક્રમ હોય છે, અને તેથી મોમેન્ટ મેટ્રિક્સને ઊંધું કરી શકાતું નથી. આ સંજોગોમાં, સામાન્ય રેખીય મોડેલ માટે, સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ અંદાજકાર અસ્તિત્વમાં નથી. વ્યાખ્યા મલ્ટીકોલિનિયરીટી એ એવી પરિસ્થિતિનો ઉલ્લેખ કરે છે જેમાં બહુવિધ રીગ્રેસન મોડેલમાં સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલો અત્યંત રેખીય રીતે સંબંધિત હોય છે. ગાણિતિક રીતે, જો કેટલાક ચલ વચ્ચે એક અથવા વધુ ચોક્કસ રેખીય સંબંધો અસ્તિત્વમાં હોય તો ચલોનો સમૂહ સંપૂર્ણપણે બહુકોશીય હોય છે. એટલે કે, તમામ અવલોકનો માટે, સ્થિરાંકો ક્યાં છે અને તે સમજૂતી ચલ પરનું નિરીક્ષણ છે. મલ્ટીકોલિનિયરીટીને કારણે થતી એક સમસ્યાનું અન્વેષણ કરવા માટે, બહુવિધ રીગ્રેસન સમીકરણના પરિમાણો માટે અંદાજ મેળવવાનો પ્રયાસ કરવાની પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લો. સામાન્ય લઘુત્તમ વર્ગના અંદાજમાં મેટ્રિક્સને ઊંધું કરવાનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં મેટ્રિક્સ છે, જ્યાં અવલોકનોની સંખ્યા છે, વ્યાખ્યાત્મક ચલની સંખ્યા છે, અને. જો સ્વતંત્ર ચલ વચ્ચે ચોક્કસ રેખીય સંબંધ (સંપૂર્ણ બહુપરીમાણીયતા) હોય, તો પછી ઓછામાં ઓછા એક સ્તંભ અન્યનું રેખીય સંયોજન છે, અને તેથી (અને તેથી) નો ક્રમ તેના કરતા ઓછો છે, અને મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું રહેશે નહીં. કાચા ડેટાસેટ્સ સાથે કામ કરતી વખતે સંપૂર્ણ સુસંગતતા સામાન્ય છે, જેમાં વારંવાર બિનજરૂરી માહિતી હોય છે. એકવાર બિનજરૂરી બાબતોને ઓળખી કાઢવામાં આવે અને દૂર કરવામાં આવે, તેમ છતાં, લગભગ કોલિનિયર વેરિયેબલ્સ ઘણીવાર અભ્યાસ કરવામાં આવતી સિસ્ટમમાં અંતર્ગત સહસંબંધોને કારણે રહે છે. આવા કિસ્સામાં, સમીકરણ () માં ભૂલ શબ્દનો સમાવેશ કરવા માટે ફેરફાર કરી શકાય છેઃ આ કિસ્સામાં, ચલ વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ રેખીય સંબંધ નથી, પરંતુ જો તેની ભિન્નતા ઓછી હોય તો ચલ લગભગ સમરેખીય હોય છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સમાં ઇન્વર્સ હોય છે, પરંતુ તે ખરાબ સ્થિતિમાં હોય છે. કમ્પ્યુટર અલ્ગોરિધમ અંદાજિત ઇન્વર્સની ગણતરી કરી શકે છે અથવા ન પણ કરી શકે છે; જો તે કરી શકે તો પણ, પરિણામી ઇન્વર્સમાં મોટી ગોળાકાર ભૂલો હોઈ શકે છે. બહુકોશીયતાના પગલાં નીચે મુજબ છેઃ ભિન્નતા ફુગાવાનું પરિબળ (વી. આઈ. એફ.): જ્યાં અન્ય તમામ રીગ્રેસરનો ઉપયોગ કરીને છઠ્ઠા ચલનો અંદાજ કેટલી સારી રીતે લગાવી શકાય તે માપવામાં આવે છે. તે એક લોકપ્રિય ખોટો ખ્યાલ છે કે 5,10,20 અથવા 40 થી વધુ પરિબળો "ગંભીર" બહુકોશીયતા સૂચવે છે, પરંતુ આ ખોટો છે. રીગ્રેસનનો અંદાજ કેટલો સચોટ રીતે કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના મોટા વીઆઇએફ હાજર હોઈ શકે છે. સ્થિતિ ક્રમાંકઃ મેટ્રિક્સમાં ખરાબ સ્થિતિનું પ્રમાણભૂત માપ એ સ્થિતિ અનુક્રમણિકા છે. આ નક્કી કરે છે કે મેટ્રિક્સનું વ્યુત્ક્રમ મર્યાદિત-ચોકસાઇ સંખ્યાઓ (પ્રમાણભૂત કમ્પ્યુટર ફ્લોટ્સ અને ડબલ્સ) સાથે આંકડાકીય રીતે અસ્થિર છે કે કેમ, જે મૂળ મેટ્રિક્સમાં નાના ફેરફારો માટે ગણતરી કરેલ વ્યુત્ક્રમની સંભવિત સંવેદનશીલતા સૂચવે છે. કન્ડિશન નંબરની ગણતરી ડિઝાઇન મેટ્રિક્સના લઘુત્તમ એકવચન મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત મહત્તમ એકવચન મૂલ્યને શોધીને કરવામાં આવે છે. જો કન્ડિશન નંબર 30 થી ઉપર હોય, તો રીગ્રેસનમાં ગંભીર મલ્ટીકોલિનિયરીટી હોઈ શકે છે; જો વધુમાં, ઉચ્ચ કન્ડિશન નંબર સાથે સંબંધિત બે અથવા વધુ ચલમાં તફાવતનું ઉચ્ચ પ્રમાણ સમજાવવામાં આવે તો મલ્ટીકોલિનિયરીટી અસ્તિત્વમાં છે. આ પદ્ધતિનો એક ફાયદો એ છે કે તે એ પણ દર્શાવે છે કે કયા ચલો સમસ્યાનું કારણ બની રહ્યા છે. સહસંબંધ મેટ્રિક્સઃ વ્યાખ્યાત્મક ચલની દરેક જોડી વચ્ચેના સહસંબંધની ગણતરી કરવાથી એ શક્યતાના સંકેતો મળે છે કે જમણી બાજુના ચલની કોઈપણ જોડી બહુકોશીય સમસ્યાઓ ઊભી કરી રહી છે. ઓછામાં ઓછા 0.4 ના સહસંબંધ મૂલ્યો (કર્ણ બહારના ઘટકો) ને કેટલીકવાર બહુકોશીય સમસ્યા સૂચવતા હોવાનું અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, પરંતુ આ ખોટું છે; બહુકોશીયતા માત્ર એક સાથે તમામ ચલોને જોઈને શોધી શકાય છે, અને જ્યારે તમામ સહસંબંધ નાના હોય ત્યારે પણ હાજર હોઈ શકે છે. પરિણામ અંદાજિત મલ્ટીકોલિનિયરિટીનું પ્રાથમિક પરિણામ એ છે કે, જો મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ટિબલ હોય તો પણ, કમ્પ્યુટર અલ્ગોરિધમ અંદાજિત ઇન્વર્સ મેળવવામાં અસફળ રહી શકે છે. જો તે એક મેળવે તો પણ, વિપરીત આંકડાકીય રીતે અચોક્કસ હોઈ શકે છે. જ્યારે વસ્તીમાં આગાહી કરનાર ચલ વચ્ચે મજબૂત સહસંબંધ હોય છે, ત્યારે તે ઓળખવું મુશ્કેલ છે કે કેટલાંક ચલમાંથી કયો સમાવેશ થવો જોઈએ. જો કે, આ નબળા મોડેલિંગની કલાકૃતિ નથી. અંદાજિત પ્રમાણભૂત ભૂલો મોટી છે કારણ કે ત્યાં વિવિધ ચલોનું આંશિક મૂંઝવણ છે, જે તે ઓળખવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે કે કયા રીગ્રેસર ખરેખર પરિણામ ચલનું કારણ છે. જ્યારે સંશોધક તેને અવગણવાનો પ્રયાસ કરે છે (રીગ્રેસનમાંથી ચલને બાકાત રાખીને) ત્યારે પણ આ મૂંઝવણ રહે છે. પરિણામે, રિગ્રેશનમાંથી બહુકોશીય ચલને બાકાત રાખવાથી ઘણીવાર મહત્વપૂર્ણ કન્ફાઉન્ડર્સને દૂર કરીને કારણદર્શક અનુમાનને અમાન્ય કરવામાં આવે છે. આંકડાકીય સમસ્યાઓના ઉપાયો ખાતરી કરો કે માહિતી બિનજરૂરી નથી. ડેટાસેટ્સમાં ઘણીવાર બિનજરૂરી ચલોનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડેટાસેટમાં આવક, ખર્ચ અને બચત માટેના ચલોનો સમાવેશ થઈ શકે છે. જો કે, આવક ખર્ચ અને બચત (વ્યાખ્યા દ્વારા) ની બરાબર હોવાથી, તમામ 3 ચલોનો એક સાથે સમાવેશ કરવો ખોટો છે. તેવી જ રીતે, દરેક શ્રેણી (દા. ત., ઉનાળો, પાનખર, શિયાળો અને વસંત) માટે ડમી વેરિયેબલનો સમાવેશ કરીને તેમજ સતત શબ્દ સંપૂર્ણ મલ્ટીકોલિનિયરિટી બનાવે છે. આગાહી કરનાર ચલોનું માનકીકરણ કરો. બહુપદી શબ્દો પેદા કરવા (એટલે કે, માટે,, વગેરે) અથવા ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની શરતો (એટલે કે,, વગેરે) જો પ્રશ્નમાં ચલની મર્યાદિત શ્રેણી હોય તો તે બહુકોશીયતાનું કારણ બની શકે છે. મીન-સેન્ટરિંગ આ ખાસ પ્રકારની મલ્ટીકોલિનિયરીટીને દૂર કરશે. ડેટાની ઓર્થોગોનલ રજૂઆતનો ઉપયોગ કરો. નબળી રીતે લખાયેલ આંકડાકીય સોફ્ટવેર કેટલીકવાર યોગ્ય રજૂઆતમાં રૂપાંતરિત થવામાં નિષ્ફળ જાય છે જ્યારે ચલ મજબૂત રીતે સહસંબંધિત હોય છે. જો કે, આધારમાં ફેરફાર કરીને માત્ર બિનસંબંધિત ચલોનો ઉપયોગ કરવા માટે રીગ્રેસનને ફરીથી લખવું હજુ પણ શક્ય છે. મોડેલને જેમ છે તેમ જ છોડી દેવું જોઈએ. મલ્ટીકોલિનિયરિટી મોડેલની ચોકસાઈ અથવા તેની આગાહીઓને અસર કરતી નથી. તે આંકડાકીય સમસ્યા નથી પણ આંકડાકીય સમસ્યા છે. કોલિનિયર ચલને બાકાત રાખવાથી પ્રમાણભૂત ભૂલો માટે કૃત્રિમ રીતે નાના અંદાજો તરફ દોરી જાય છે, પરંતુ પ્રતિગમન ગુણાંક માટે સાચી (અંદાજિત નહીં) પ્રમાણભૂત ભૂલોને ઘટાડતું નથી. ઊંચા તફાવતવાળા ફુગાવાના પરિબળ સાથેના ચલને બાકાત રાખવાથી તમામ ગણતરી કરાયેલ પ્રમાણભૂત ભૂલો અને પી-મૂલ્યોને અમાન્ય બનાવે છે, જે રીગ્રેસનના પરિણામોને પોસ્ટ હૉક વિશ્લેષણમાં ફેરવે છે. ખરાબ-કન્ડિશન્ડ મેટ્રિક્સ રેખીય અવલંબન સંદર્ભો પણ જુઓ વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ પ્રારંભિક ઉપયોગઃ બહુરેખીયતા પરની એન્ટ્રીમાં કેટલીક ઐતિહાસિક માહિતી છે. પ્રતિગમન વિશ્લેષણ પ્રયોગોની રચના