Five-dimensional space
પાંચ પરિમાણીય જગ્યા એ પાંચ પરિમાણો ધરાવતી જગ્યા છે. ગણિતમાં, એન સંખ્યાઓનો ક્રમ એન-પરિમાણીય અવકાશમાં સ્થાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. જો ભૌતિક રીતે અર્થઘટન કરવામાં આવે, તો તે સામાન્ય ત્રણ અવકાશી પરિમાણો કરતાં એક વધુ છે અને સાપેક્ષવાદી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વપરાતા સમયનું ચોથું પરિમાણ છે. બ્રહ્માંડ પાંચ પરિમાણીય છે કે નહીં તે ચર્ચાનો વિષય છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર પાંચ પરિમાણીય અવકાશ પરનું મોટાભાગનું પ્રારંભિક કાર્ય એક સિદ્ધાંત વિકસાવવાના પ્રયાસમાં હતું જે પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને એકીકૃત કરે છેઃ મજબૂત અને નબળા પરમાણુ દળો, ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીયતા. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી થિયોડોર કાલુઝા અને સ્વીડિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી ઓસ્કર ક્લેઇને 1921માં સ્વતંત્ર રીતે કાલુઝા-ક્લેન સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો, જેણે ગુરુત્વાકર્ષણને વિદ્યુતચુંબકીય બળ સાથે એકીકૃત કરવા માટે પાંચમા પરિમાણનો ઉપયોગ કર્યો હતો. તેમ છતાં તેમના અભિગમો પાછળથી ઓછામાં ઓછા આંશિક રીતે અચોક્કસ હોવાનું જણાયું હતું, આ વિભાવનાએ ભૂતકાળની સદીમાં વધુ સંશોધન માટે આધાર પૂરો પાડ્યો હતો. આ પરિમાણ સીધા અવલોકનક્ષમ કેમ નહીં હોય તે સમજાવવા માટે, ક્લિને સૂચવ્યું હતું કે પાંચમા પરિમાણને 10 સેન્ટિમીટરના ક્રમમાં એક નાના, સઘન વળાંકમાં ફેરવવામાં આવશે. તેમના તર્ક હેઠળ, તેમણે પ્રકાશની કલ્પના માનવ ધારણાની બહાર ઉચ્ચ પરિમાણમાં તરંગોને કારણે થતી વિક્ષેપ તરીકે કરી હતી, જે રીતે તળાવમાં માછલીઓ માત્ર વરસાદના ટીપાંને કારણે પાણીની સપાટી પર તરંગોના પડછાયાઓ જોઈ શકે છે. શોધી શકાય તેમ ન હોવા છતાં, તે પરોક્ષ રીતે દેખીતી રીતે અસંબંધિત દળો વચ્ચેનું જોડાણ સૂચવે છે. સુપરસ્ટ્રિંગ થિયરી અને સુપરગ્રેવિટીના ઉદભવને કારણે 1970ના દાયકામાં કાલુઝા-ક્લેન થિયરીએ પુનરુત્થાનનો અનુભવ કર્યો હતોઃ એ ખ્યાલ કે વાસ્તવિકતા ઊર્જાના કંપનશીલ તારથી બનેલી છે, જે માત્ર દસ પરિમાણો કે તેથી વધુમાં ગાણિતિક રીતે વ્યવહાર્ય છે. સુપરસ્ટ્રિંગ થિયરી પછી એમ-થિયરી તરીકે ઓળખાતા વધુ સામાન્યીકૃત અભિગમમાં વિકસિત થઈ. એમ-થિયરીએ દસ આવશ્યક પરિમાણો ઉપરાંત સંભવિત અવલોકનક્ષમ વધારાનું પરિમાણ સૂચવ્યું હતું જે સુપરસ્ટ્રિંગ્સના અસ્તિત્વ માટે પરવાનગી આપશે. અન્ય 10 પરિમાણોને કોમ્પેક્ટ કરવામાં આવે છે, અથવા સબટોમિક સ્તરથી નીચેના કદમાં "રોલ અપ" કરવામાં આવે છે. કાલૂઝા-ક્લેન સિદ્ધાંતને આજે અનિવાર્યપણે એક ગેજ સિદ્ધાંત તરીકે જોવામાં આવે છે, જેમાં ગેજ એ વર્તુળ જૂથ છે. પાંચમા પરિમાણનું સીધું નિરીક્ષણ કરવું મુશ્કેલ છે, જોકે લાર્જ હેડ્રોન કોલાઇડર તેના અસ્તિત્વના પરોક્ષ પુરાવા રેકોર્ડ કરવાની તક પૂરી પાડે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ સિદ્ધાંત આપે છે કે પેટા અણુ કણોની અથડામણ અથડામણના પરિણામે નવા કણો ઉત્પન્ન કરે છે, જેમાં ગ્રેવિટોનનો સમાવેશ થાય છે જે ચોથા પરિમાણમાંથી છટકી જાય છે, અથવા બ્રેન, જે પાંચ-પરિમાણીય જથ્થામાં લીક થાય છે. એમ-સિદ્ધાંત પ્રકૃતિના અન્ય મૂળભૂત દળોની તુલનામાં ગુરુત્વાકર્ષણની નબળાઇને સમજાવશે, જેમ કે જોઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટેબલ પરથી પિન ઉપાડવા માટે ચુંબકનો ઉપયોગ કરતી વખતે-ચુંબક સમગ્ર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણીય ખેંચાણને સરળતાથી દૂર કરવામાં સક્ષમ છે. 20મી સદીની શરૂઆતમાં ગાણિતિક અભિગમો વિકસાવવામાં આવ્યા હતા જે પાંચમા પરિમાણને સૈદ્ધાંતિક રચના તરીકે જોતા હતા. આ સિદ્ધાંતો હિલ્બર્ટ અવકાશનો સંદર્ભ આપે છે, એક ખ્યાલ જે અનંત સંખ્યામાં ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓને મંજૂરી આપવા માટે અનંત સંખ્યામાં ગાણિતિક પરિમાણોને રજૂ કરે છે. આઈન્સ્ટાઈન, બર્ગમેન અને બર્ગમેને પાછળથી વિદ્યુતચુંબકીયતાનો સમાવેશ કરવા માટે સામાન્ય સાપેક્ષતાના ચાર-પરિમાણીય અવકાશ સમયને વધારાના ભૌતિક પરિમાણમાં વિસ્તારવાનો પ્રયાસ કર્યો, જોકે તેઓ અસફળ રહ્યા હતા. તેમના 1938 ના પેપરમાં, આઈન્સ્ટાઈન અને બર્ગમેન એ આધુનિક દ્રષ્ટિકોણ રજૂ કરનારા પ્રથમ લોકોમાં હતા કે ચાર-પરિમાણીય સિદ્ધાંત, જે લાંબા અંતર પર આઈન્સ્ટાઈન-મેક્સવેલ સિદ્ધાંત સાથે મેળ ખાય છે, તે તમામ પાંચ પરિમાણોમાં સંપૂર્ણ સમપ્રમાણતા સાથે પાંચ-પરિમાણીય સિદ્ધાંતમાંથી લેવામાં આવ્યો છે. તેઓએ સૂચવ્યું કે વિદ્યુતચુંબકીયતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી પરિણમી છે જે પાંચમા પરિમાણમાં "ધ્રુવીકૃત" છે. આઈન્સ્ટાઈન અને બર્ગમેનની મુખ્ય નવીનતા મેટ્રિક ટેન્સર અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક પોટેન્શિયલને જોડવાના બહાનુંને બદલે પાંચમા પરિમાણને ભૌતિક અસ્તિત્વ તરીકે ગંભીરતાથી ધ્યાનમાં લેવાની હતી. પરંતુ પછી તેઓએ તેની પાંચ પરિમાણીય સમપ્રમાણતાને તોડવા માટે સિદ્ધાંતમાં ફેરફાર કરીને પીછેહઠ કરી. એડવર્ડ વિટ્ટન દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું તેમ તેમનો તર્ક એ હતો કે સિદ્ધાંતના વધુ સપ્રમાણ સંસ્કરણે નવા લાંબા અંતરના ક્ષેત્રના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી, જે દળહીન અને સ્કેલર બંને હતું, જેને આઈન્સ્ટાઈનના સામાન્ય સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ફેરફારની જરૂર હોત. મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ અને શૂન્યાવકાશમાં મેક્સવેલના સમીકરણોને પાંચ પરિમાણીય રીમાન વક્રતા ટેન્સરમાં સમાવી શકાય છે. 1993માં, ભૌતિકશાસ્ત્રી ગેરાર્ડ 'ટી હૂફ્ટે હોલોગ્રાફિક સિદ્ધાંત રજૂ કર્યો હતો, જે સમજાવે છે કે વધારાના પરિમાણ વિશેની માહિતી અવકાશકાળમાં એક ઓછા પરિમાણ સાથે વળાંક તરીકે દેખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હોલોગ્રામ એ દ્વિ-પરિમાણીય સપાટી પર મૂકવામાં આવેલા ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્રો છે, જે જ્યારે નિરીક્ષક આગળ વધે છે ત્યારે છબીને વળાંક આપે છે. તેવી જ રીતે, સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, ચોથું પરિમાણ ફરતા અનંત (પરીક્ષણ) કણના વળાંક માર્ગ તરીકે અવલોકનક્ષમ ત્રણ પરિમાણોમાં પ્રગટ થાય છે. 'ટી હૂફ્ટે અનુમાન લગાવ્યું છે કે પાંચમું પરિમાણ ખરેખર સ્પેસટાઇમ ફેબ્રિક છે. તાજેતરના સંશોધનો અવકાશ સમયના 5D વિસ્તરણના કેટલાક વૈકલ્પિક અર્થઘટનો સૂચવે છે, જેમાંથી મોટાભાગના અગાઉના કલુઝા-ક્લેન સિદ્ધાંતને સામાન્ય બનાવે છે. પ્રથમ અભિગમ અવકાશ-સમય-બાબત છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના ક્ષેત્ર સમીકરણોના નવા ઉકેલો મેળવવા માટે 5D સંકલન પરિવર્તનના અનિયંત્રિત જૂથનો ઉપયોગ કરે છે જે 4D અવકાશકાળમાં અનુરૂપ શાસ્ત્રીય ઉકેલો સાથે સંમત થાય છે. અન્ય 5D રજૂઆત થર્મલ-સ્પેસ-ટાઇમ એન્સેમ્બલ દ્રષ્ટિકોણથી ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રનું વર્ણન કરે છે અને મર્યાદિત કિસ્સાઓ તરીકે શાસ્ત્રીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સાથે જોડાણ ખેંચે છે. હજી એક અન્ય અભિગમ, સ્પેસકાઈમની રજૂઆત, સામાન્ય સમયને ઘટના-ક્રમબદ્ધ હકારાત્મક-વાસ્તવિક સંખ્યાથી જટિલ-સમય (કિમે) સુધી લઈ જાય છે, જે અસરકારક રીતે સમય-શ્રેણીમાંથી સમાંતર પ્રક્રિયાઓને 2D મેનીફોલ્ડ્સ (કિમે-સપાટીઓ) માં પરિવર્તિત કરે છે. પાંચમી પરિમાણીય ભૂમિતિ ક્લેઈનની વ્યાખ્યા અનુસાર, "ભૂમિતિ એ પોતાની અંદરના પરિવર્તન હેઠળ અવકાશ સમયના અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ છે". તેથી, પાંચમા પરિમાણની ભૂમિતિ આવા અવકાશ-સમયના અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે, જેમ આપણે તેની અંદર આગળ વધીએ છીએ, જે ઔપચારિક સમીકરણોમાં વ્યક્ત થાય છે. પોલીટોપ પાંચ કે તેથી વધુ પરિમાણોમાં, માત્ર ત્રણ નિયમિત પોલીટોપ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. પાંચ પરિમાણોમાં, તે છેઃ સિમ્પ્લેક્સ પરિવારનું 5-સિમ્પ્લેક્સ, {3,3,3,3}, 6 શિરોબિંદુઓ સાથે, 15 ધાર, 20 ચહેરાઓ (દરેક એક સમબાહુ ત્રિકોણ), 15 કોષો (દરેક એક નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન), અને 6 હાયપરસેલ્સ (દરેક એક 5-કોષ). હાયપરક્યુબ પરિવારનો 5-સમઘન, {4,3,3,3}, 32 શિરોબિંદુઓ, 80 ધાર, 80 ચહેરાઓ (દરેક એક ચોરસ), 40 કોષો (દરેક એક સમઘન), અને 10 હાયપરસેલ્સ (દરેક એક ટેસરાક્ટ) સાથે. ક્રોસ પોલીટોપ પરિવારના 5-ઓર્થોપ્લેક્સ, {3,3,3,4}, 10 શિરોબિંદુઓ, 40 ધાર, 80 ચહેરાઓ (દરેક ત્રિકોણ), 80 કોષો (દરેક ટેટ્રાહેડ્રોન), અને 32 હાયપરસેલ્સ (દરેક 5 કોષ) સાથે. એક મહત્વપૂર્ણ એકસમાન 5-બહુપદી એ 5-અર્ધ-ઘન છે, h {4,3,3,3} 5-ઘન (16) ના અડધા શિરોબિંદુઓ ધરાવે છે, જે વૈકલ્પિક 5-કોષ અને 16-કોષ હાયપરસેલ્સ દ્વારા બંધાયેલ છે. વિસ્તૃત અથવા વંધ્યીકૃત 5-સિમ્પ્લેક્સ એ A5 જાળીની શિરોબિંદુ આકૃતિ છે. તે તેના સપ્રમાણ કોક્સેટર આકૃતિથી બમણી સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. જાળીનો ચુંબન નંબર, 30, તેના શિરોબિંદુઓમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. સુધારેલ 5-ઓર્થોપ્લેક્સ એ D5 જાળીની શિરોબિંદુ આકૃતિ છે. તેના 40 શિરોબિંદુઓ જાળીની ચુંબન સંખ્યાને રજૂ કરે છે અને પરિમાણ 5 માટે સૌથી વધુ છે. હાઇપરસ્ફિયર 5-અવકાશમાં એક હાઇપરસ્ફિયર (જેને તેની સપાટી 4-પરિમાણીય હોવાને કારણે 4-ક્ષેત્ર પણ કહેવાય છે) એ કેન્દ્રીય બિંદુ P થી નિશ્ચિત અંતર r પર 5-અવકાશમાં તમામ બિંદુઓનો સમૂહ ધરાવે છે. આ હાઇપરસર્ફેસ દ્વારા ઘેરાયેલ હાયપરવોલ્યુમ છેઃ 5-મેનીફોલ્ડ ગ્રેવિટી હાયપરસ્ફિયર યાદી પણ જુઓ નિયમિત 5-બહુપદી ચાર-પરિમાણીય અવકાશ સંદર્ભો વધુ વાંચન વેલ, હર્મન, રૉમ, ઝીટ, મેટરી, 1918. 5 એડીએન. 1922 એડી. જુર્ગન એહલર્સની નોંધો સાથે, 1980. ટ્રાન્સ. ચોથી આવૃત્તિ. હેનરી બ્રોસ, 1922 સ્પેસ ટાઇમ મેટર, મેથ્યુએન, રેપ્ટ. 1952 ડોવર. . બાહ્ય કડીઓ અતિ પરિપ્રેક્ષ્યમાં પાંચ પરિમાણીય હાયપરક્યુબના એનાગ્લિફ પરિમાણ બહુ-પરિમાણીય ભૂમિતિ 5 (સંખ્યા)