Orthogonal transformation
રેખીય બીજગણિતમાં, ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન એ વાસ્તવિક આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા V પર રેખીય પરિવર્તન T: V → V છે, જે આંતરિક ઉત્પાદનને સાચવે છે. એટલે કે, V ના તત્વોની દરેક જોડી માટે, આપણી પાસે છે કારણ કે વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ આંતરિક ઉત્પાદન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન તેમની વચ્ચેના વેક્ટર અને ખૂણાઓની લંબાઈને જાળવી રાખે છે. ખાસ કરીને, ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન ઓર્થોનોર્મલ પાયાને ઓર્થોનોર્મલ પાયામાં મેપ કરે છે. ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન ઇન્જેક્ટિવ હોય છેઃ જો તેમ હોય તો, તેથી, નો કર્નલ તુચ્છ છે. બે અથવા ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન એ સખત પરિભ્રમણ, પ્રતિબિંબ અથવા પરિભ્રમણ અને પ્રતિબિંબ (અયોગ્ય પરિભ્રમણ તરીકે પણ ઓળખાય છે) ના સંયોજનો છે. પ્રતિબિંબે એ પરિવર્તન છે જે (વાસ્તવિક દુનિયાના) અરીસાઓની જેમ અરીસાના સમતલની આગળથી પાછળની દિશાને ઉલટાવી દે છે. યોગ્ય પરિભ્રમણને અનુરૂપ મેટ્રિસીસ (પ્રતિબિંબ વિના) + 1 નો નિર્ધારક ધરાવે છે. પ્રતિબિંબ સાથેના પરિવર્તનને −1 ના નિર્ધારક સાથે મેટ્રિસીસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. આ પરિભ્રમણ અને પ્રતિબિંબની વિભાવનાને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્ય બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાઓમાં, ઓર્થોગોનલ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ (ઓર્થોનોર્મલ આધારના સંદર્ભમાં) એક ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ છે. તેની પંક્તિઓ એકમ ધોરણ સાથે પરસ્પર ઓર્થોગોનલ વેક્ટર હોય છે, જેથી પંક્તિઓ V નો ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે. મેટ્રિક્સના સ્તંભો V નો બીજો ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે. જો ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન ઉલટાવી શકાય તેવું હોય (જે હંમેશા V મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય ત્યારે થાય છે) તો તેનો વ્યસ્ત અન્ય ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન છે. તેની મેટ્રિક્સ રજૂઆત એ મૂળ પરિવર્તનની મેટ્રિક્સ રજૂઆતનું ટ્રાન્સપોઝ છે. ઉદાહરણો પ્રમાણભૂત યુક્લિડિયન આંતરિક ઉત્પાદન અને પ્રમાણભૂત આધાર સાથે આંતરિક-ઉત્પાદનની જગ્યાને ધ્યાનમાં લો. પછી, મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન ઓર્થોગોનલ છે. આ જોવા માટે, ધ્યાનમાં લો પછી, અગાઉના ઉદાહરણને તમામ ઓર્થોગોનલ પરિવર્તનોનું નિર્માણ કરવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના મેટ્રિસીસ ઓર્થોગોનલ પરિવર્તનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ અયોગ્ય પરિભ્રમણ રેખીય પરિવર્તન ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ એકાત્મક પરિવર્તન સંદર્ભો રેખીય બીજગણિત પણ જુઓ.