Toda field theory
ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ખાસ કરીને ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં, ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત, જેનું નામ મોરિકાઝુ ટોડા પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે લાઈ બીજગણિત અને ચોક્કસ લગ્રેન્જિયનની પસંદગી દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. ફોર્મ્યુલેશન લાઈ બીજગણિતને ક્રમમાં નિશ્ચિત કરવું, એટલે કે બીજગણિતના કાર્ટન ઉપ-બીજગણિતમાં પરિમાણ હોય છે, લગ્રેન્જિયન લખી શકાય છે પૃષ્ઠભૂમિ અવકાશ સમય એ 2-પરિમાણીય મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા છે, જેમાં જગ્યા જેવા સંકલન અને સમય સમાન સંકલન હોય છે. ગ્રીક સૂચકાંકો અવકાશ સમયના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવે છે. મૂળ આધારની કેટલીક પસંદગી માટે, તે સરળ મૂળ છે. આ કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત માટે એક આધાર પૂરો પાડે છે, જેનાથી તેને તેની સાથે ઓળખવામાં આવે છે. પછી ક્ષેત્રની સામગ્રી એ સ્કેલર ક્ષેત્રોનો સંગ્રહ છે, જે એ અર્થમાં સ્કેલર છે કે તેઓ અંતર્ગત અવકાશ સમયના લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન હેઠળ તુચ્છ રીતે પરિવર્તિત થાય છે. આંતરિક ઉત્પાદન એ કાર્ટન ઉપ-બીજગણિતમાં હત્યાના સ્વરૂપનું પ્રતિબંધ છે. આ પૂર્ણાંક અચળાંકો છે, જે કેએસી લેબલ્સ અથવા ડાયન્કિન લેબલ્સ તરીકે ઓળખાય છે. ભૌતિક અચળાંકો દળ અને જોડાણ અચળાંકો છે. ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના વર્ગીકરણ ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોને તેમના સંબંધિત લાઈ બીજગણિત અનુસાર વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો સામાન્ય રીતે મર્યાદિત લાઈ બીજગણિત સાથેના સિદ્ધાંતોનો સંદર્ભ આપે છે. જો લાઈ બીજગણિત એ એફાઇન લાઈ બીજગણિત હોય, તો તેને એફાઇન ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે (φ ના ઘટક પછી જે ડીકપલ દૂર કરવામાં આવે છે). જો તે હાયપરબોલિક હોય, તો તેને હાયપરબોલિક ટોડા ફિલ્ડ થિયરી કહેવામાં આવે છે. ટોડા ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો સંકલિત નમૂનાઓ છે અને તેમના ઉકેલો સોલિટોનનું વર્ણન કરે છે. ઉદાહરણો લિઉવિલે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત એ1 કાર્ટન મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલ છે, જે કાર્ટન મેટ્રિક્સ દ્વારા લાઈ આલ્જેબ્રાના વર્ગીકરણમાં લાઈ બીજગણિતને અનુરૂપ છે. બીજગણિતમાં માત્ર એક જ સરળ મૂળ છે. સિનહ-ગોર્ડન મોડેલ એ સામાન્યીકૃત કાર્ટન મેટ્રિક્સ સાથે એફાઇન ટોડા ફિલ્ડ થિયરી છે અને φ ના ઘટકને પ્રક્ષેપિત કર્યા પછી β માટે હકારાત્મક મૂલ્ય છે જે ડીકપલ થાય છે. સાઇન-ગોર્ડન મોડેલ એ સમાન કાર્ટન મેટ્રિક્સ સાથેનું મોડેલ છે પરંતુ કાલ્પનિક β છે. આ કાર્ટન મેટ્રિક્સ લાઈ બીજગણિતને અનુરૂપ છે. આનું એક સરળ મૂળ અને કોક્સેટર લેબલ છે, પરંતુ એફાઇન સિદ્ધાંત માટે લગ્રેન્જિયનમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છેઃ એક એફાઇન રુટ અને કોક્સેટર લેબલ પણ છે. એક તરીકે વિસ્તારી શકે છે, પરંતુ એફાઇન રુટ માટે, તેથી ઘટક છૂટા પડે છે. સરવાળો છે પછી જો શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય, વાસ્તવિક સાથે અને, સામાન્યતાની ખોટ વિના, હકારાત્મક હોય, તો આ છે. તે પછી લાગ્રેન્જિયન છે જે સાઇન-ગોર્ડન લાગ્રેન્જિયન છે. સંદર્ભો ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત જાળીના નમૂનાઓ લાઈ આલ્જેબ્રા બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય નમૂનાઓ સંકલિત પ્રણાલીઓ