Radon's theorem
ભૂમિતિમાં, 1921માં જોહાન રેડોન દ્વારા પ્રકાશિત બહિર્મુખ સમૂહો પર રેડોનનો પ્રમેય જણાવે છે કેઃ Rdમાં d + 2 બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહને બે સમૂહોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જેમના બહિર્મુખ પત્થરો છેદે છે. આ બહિર્મુખ પત્થરોના આંતરછેદના બિંદુને set.For નું રેડોન બિંદુ કહેવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, d = 2 ના કિસ્સામાં, યુક્લિડિયન સમતલમાં ચાર બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહને બેમાંથી એક રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે. તે ત્રિપલ અને સિંગલટનની રચના કરી શકે છે, જ્યાં ત્રિપલ (ત્રિકોણ) ના બહિર્મુખ આવરણમાં સિંગલટન હોય છે; વૈકલ્પિક રીતે, તે બિંદુઓની બે જોડી બનાવી શકે છે જે બે આંતરછેદ રેખા વિભાગોના અંતિમ બિંદુઓ બનાવે છે. સાબિતી અને રચના d-પરિમાણીય જગ્યામાં d + 2 બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહને ધ્યાનમાં લો. પછી a1,., ad + 2 ગુણકોનો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે, જેમાંથી તમામ શૂન્ય નથી, જે રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીને હલ કરે છે કારણ કે ત્યાં d + 2 અજ્ઞાત (ગુણક) છે પરંતુ માત્ર d + 1 સમીકરણો છે જેને તેઓએ સંતોષવા જોઈએ (બિંદુઓના દરેક સંકલન માટે એક, ગુણકનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જરૂરી અંતિમ સમીકરણ સાથે). કેટલાક ચોક્કસ બિન-શૂન્ય ઉકેલ a1,., ad + 2 ને ઠીક કરો. ધારો કે હકારાત્મક ગુણકો સાથેના બિંદુઓનો સમૂહ હોવો જોઈએ, અને ગુણકો સાથેના બિંદુઓનો સમૂહ હોવો જોઈએ જે નકારાત્મક અથવા શૂન્ય હોય. પછી અને બિંદુઓના જરૂરી વિભાજનને બે ઉપગણમાં વિભાજીત બહિર્મુખ પત્થરો સાથે વિભાજીત કરો. બહિર્મુખ પત્થરો અને તે એકબીજાને છેદતા હોવા જોઈએ, કારણ કે તે બંનેમાં તે બિંદુ હોય છે જ્યાં સૂત્રની ડાબી બાજુ આ બિંદુને અંદરના બિંદુઓના બહિર્મુખ સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરે છે, અને જમણી બાજુ તેને અંદરના બિંદુઓના બહિર્મુખ સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરે છે. તેથી, સાબિતી પૂર્ણ કરીને, બંને બહિર્મુખ પત્થરો સાથે સંબંધિત છે. આ પ્રૂફ પદ્ધતિ ગુણકો માટે સમીકરણોની પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે ગૌસીયન નાબૂદી અથવા અન્ય કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને રેડોન બિંદુની કાર્યક્ષમ રચના માટે પરવાનગી આપે છે, જે પરિમાણમાં બહુપદી હોય છે. ટોપોલોજિકલ રેડોન પ્રમેય રેડોનના પ્રમેયની સમકક્ષ રચના છેઃ જો f એ (d + 1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ Δd + 1 થી Rd સુધીનું કોઈપણ એફાઇન વિધેય હોય, તો પછી Δd + 1ના બે અસંબદ્ધ મુખ હોય છે, જેમની f intersect.They હેઠળની છબીઓ સમકક્ષ હોય છે કારણ કે સિમ્પ્લેક્સ પરનું કોઈપણ એફાઇન વિધેય તેના શિરોબિંદુઓની છબીઓ દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે. ઔપચારિક રીતે, ચાલો f એ Δd + 1 થી Rd સુધી એક એફાઇન ફંક્શન છે. ચાલો Δd + 1 ના શિરોબિંદુઓ હોઈએ, અને તેમની છબીઓ f હેઠળ હોઈએ. મૂળ રચના દ્વારા, તેને બે અલગ-અલગ ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, દા. ત. (xi) i એ I માં અને (xj) j એ J માં, ઓવરલેપિંગ બહિર્મુખ હલ સાથે. કારણ કે f એ એફાઇન છે, I માં (xi) i નું બહિર્મુખ આવરણ એ I માં શિરોબિંદુઓ (vi) i દ્વારા ફેલાયેલ ચહેરાની છબી છે, અને તેવી જ રીતે J માં (xj) j નું બહિર્મુખ આવરણ એ j માં શિરોબિંદુઓ (vj) j દ્વારા ફેલાયેલ ચહેરાની છબી છે. આ બે ચહેરાઓ અસંબદ્ધ છે, અને તેમની છબીઓ f આંતરછેદ હેઠળ છે-જેમ કે નવી રચના દ્વારા દાવો કરવામાં આવ્યો છે. ટોપોલોજીકલ રેડોન પ્રમેય આ ફોર્મ્યુલેશનને સામાન્ય બનાવે છે. તે f ને કોઈપણ સતત વિધેય બનવાની મંજૂરી આપે છે-જરૂરી નથી કે તે સંલગ્ન હોયઃ જો f એ (d + 1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ αd + 1 થી Rd સુધી કોઈ સતત વિધેય હોય, તો પછી αd + 1 ના બે અસંબદ્ધ ચહેરાઓ હોય છે, જેમની છબીઓ α intersect.More હેઠળ હોય છે, સામાન્ય રીતે, જો K એ કોઈ (d + 1)-પરિમાણીય કોમ્પેક્ટ બહિર્મુખ સમૂહ હોય, અને α એ K થી d-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ સતત વિધેય હોય, તો ત્યાં એક રેખીય વિધેય g અસ્તિત્વમાં હોય છે કે જ્યાં કોઈ બિંદુ જ્યાં g તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને કોઈ અન્ય બિંદુ જ્યાં g તેનું લઘુતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે તેને f દ્વારા તે જ બિંદુ પર મેપ કરવામાં આવે છે. જ્યાં K એ સિમ્પ્લેક્સ હોય તેવા કિસ્સામાં, g ના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા બે સિમ્પ્લેક્સ ચહેરાઓ પછી બે અસંબદ્ધ ચહેરાઓ હોવા જોઈએ જેમની છબીઓ બિન-ખાલી આંતરછેદ ધરાવે છે. આ જ સામાન્ય નિવેદન, જ્યારે સિમ્પ્લેક્સને બદલે અતિસંવેદન પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે બોર્સુક-ઉલમ પ્રમેય આપે છે, કે f એ ગોળાના બે વિરુદ્ધ બિંદુઓને એક જ બિંદુ પર મેપ કરવા જોઈએ. પુરાવા ટોપોલોજિકલ રેડોન પ્રમેય મૂળ રૂપે બાજમોઝી અને બારાની દ્વારા નીચેની રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યો હતોઃ Sd (d-પરિમાણીય ગોળા) થી Δd + 1 સુધી સતત નકશાની રચના કરો, જેમ કે ગોળા પરના દરેક બિંદુ x માટે, g (x) અને g (-x) Δd + 1 ના બે અલગ-અલગ ચહેરાઓ પર હોય. બોર્સુક-ઉલમ પ્રમેયને કાર્ય પર લાગુ કરો, જે Sd થી Rd સુધી સતત કાર્ય છે. પ્રમેય કહે છે કે, આવા કોઈપણ વિધેય માટે, Sd પર અમુક બિંદુ y અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે f (g (y)) = f (g (-y)). બિંદુઓ g (y) અને g (-y) એ Δd + 1 ની બે અસંબદ્ધ બાજુઓ પર છે, અને તેઓ Rd ના સમાન બિંદુ પર f દ્વારા મેપ કરવામાં આવે છે. આ સૂચવે છે કે આ બે અસંબદ્ધ ચહેરાની છબીઓ એકબીજાને છેદે છે. બીજો પુરાવો લોવાસ અને શ્રિજવેર દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. ત્રીજો પુરાવો માટોસેક દ્વારા આપવામાં આવ્યો છેઃ ધારો કે K એ સિમ્પ્લેક્સ Δd + 1 છે, અને ધારો કે તે પોતાની સાથે K નો કાઢી નાખેલો જોડ છે. ની ભૌમિતિક અનુભૂતિ ગોળ Sd + 1 માટે હોમોમોર્ફિક છે. તેથી, તેનો Z2-સૂચકાંક d + 1 બરાબર છે. ટોપોલોજીકલ રેડોન પ્રમેય નીચેના વધુ સામાન્ય પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે. કોઈપણ સરળ જટિલ K માટે, જો તેનો Z2-સૂચકાંક d કરતા મોટો હોય, તો પછી | |K | | થી Rd સુધીના દરેક સતત નકશા માટે, K ના બે અસંબદ્ધ ચહેરાની છબીઓ એકબીજાને છેદે છે. એપ્લિકેશન્સ સમતલમાં કોઈપણ ચાર બિંદુઓનું રેડોન બિંદુ તેમની ભૌમિતિક મધ્યક છે, જે બિંદુ અન્ય બિંદુઓ સાથેના અંતરનો સરવાળો ઘટાડે છે. રેડોનનો પ્રમેય બહિર્મુખ સમૂહોના આંતરછેદો પર હેલીના પ્રમેયના પ્રમાણભૂત સાબિતીનું મુખ્ય પગલું બનાવે છે; આ સાબિતી રેડોનના રેડોનના પ્રમેયની મૂળ શોધ માટે પ્રેરણા હતી. રેડોનના પ્રમેયનો ઉપયોગ રેખીય વિભાજનના સંદર્ભમાં ડી-પરિમાણીય બિંદુઓના વીસી પરિમાણની ગણતરી કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. ત્યાં d + 1 બિંદુઓના સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે (દાખલા તરીકે, નિયમિત સિમ્પ્લેક્સના બિંદુઓ) જેમ કે દરેક બે ખાલી ન હોય તેવા ઉપગણને હાયપરપ્લેન દ્વારા એકબીજાથી અલગ કરી શકાય છે. જો કે, d + 2 બિંદુઓનો સમૂહ ગમે તે હોય, રેડોન પાર્ટીશનના બે ઉપગણને રેખીય રીતે અલગ કરી શકાતા નથી. તેથી, આ પ્રણાલીનું વીસી પરિમાણ બરાબર d + 1 છે. એક રેન્ડમાઇઝ્ડ અલ્ગોરિધમ કે જે વારંવાર તેમના રેડોન બિંદુ દ્વારા d + 2 બિંદુઓના સમૂહને બદલે છે, તેનો ઉપયોગ કોઈપણ બિંદુ સમૂહના કેન્દ્રબિંદુના અંદાજની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે, તે સમયની માત્રામાં જે બિંદુઓની સંખ્યા અને પરિમાણ બંનેમાં બહુપદી છે. સંબંધિત વિભાવનાઓ ભૌમિતિક મધ્યક. એક-પરિમાણીય અવકાશમાં ત્રણ બિંદુઓનું રેડોન બિંદુ માત્ર તેમની મધ્ય છે. બિંદુઓના સમૂહની ભૌમિતિક મધ્યક એ સમૂહમાં બિંદુઓના અંતરના સરવાળાને ઘટાડતું બિંદુ છે; તે એક-પરિમાણીય મધ્યકને સામાન્ય બનાવે છે અને સુવિધાના સ્થાન અને મજબૂત આંકડાશાસ્ત્ર બંનેના દૃષ્ટિકોણથી તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. સમતલમાં ચાર બિંદુઓના સમૂહ માટે, ભૌમિતિક મધ્યક રેડોન બિંદુ સાથે મેળ ખાય છે. ટવેરબર્ગનો પ્રમેય. r સમૂહોમાં વિભાજન માટે સામાન્યીકરણ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું અને હવે તે ટ્વેરબર્ગના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. તે જણાવે છે કે યુક્લિડિયન ડી-સ્પેસમાં બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહ માટે, r ઉપગણમાં વિભાજન હોય છે, જેમના બહિર્મુખ પત્થરો ઓછામાં ઓછા એક સામાન્ય બિંદુને છેદે છે. કૈરાથિઓડોરીનો પ્રમેય જણાવે છે કે બિંદુઓના અમુક સમૂહના બહિર્મુખ પતવારમાં કોઈપણ બિંદુ પણ મહત્તમ d + 1 બિંદુઓના સબસેટના બહિર્મુખ પતવારની અંદર હોય છે; એટલે કે, આપેલ બિંદુ રેડોન પાર્ટીશનનો ભાગ છે જેમાં તે સિંગલટન છે. કારાથિઓડોરીના પ્રમેયનો એક પુરાવો રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉકેલોની તપાસ કરવાની તકનીકનો ઉપયોગ કરે છે, જે રેડોનના પ્રમેયની સાબિતી જેવી જ છે, જ્યાં સુધી મહત્તમ d + 1 ન રહે ત્યાં સુધી એક સમયે એક બિંદુને દૂર કરવા માટે. કન્વેક્સ ભૂમિતિઓ. રેડોનના પ્રમેય સાથે સંબંધિત વિભાવનાઓને બહિર્મુખ ભૂમિતિઓ માટે પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી છે, જે એવા ગુણધર્મો સાથે મર્યાદિત સમૂહોના પરિવારો છે કે જે પરિવારમાં કોઈપણ બે સમૂહોનું આંતરછેદ રહે છે, અને તે કે ખાલી સમૂહ અને તમામ સમૂહોનું જોડાણ કુટુંબનું છે. આ વધુ સામાન્ય સંદર્ભમાં, સમૂહ S નો બહિર્મુખ પત્થરો એ પરિવારના સભ્યોનું આંતરછેદ છે જેમાં S હોય છે, અને જગ્યાનો રેડોન નંબર એ સૌથી નાનો r છે કે કોઈપણ r બિંદુઓમાં બે ઉપગણ હોય છે જેમના બહિર્મુખ પત્થરો છેદે છે. તેવી જ રીતે, યુક્લિડિયન જગ્યાઓમાં બહિર્મુખ સમૂહો માટેની તેમની વ્યાખ્યાઓ સાથે સામ્યતા દ્વારા હેલી નંબર h અને કારાથિઓડોરી નંબર c ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને તે બતાવી શકાય છે કે આ સંખ્યાઓ h <r ≤ ch + 1 ની અસમાનતાને સંતોષે છે. આલેખ માટે રેડોન પ્રમેય. મનસ્વી દિશાહીન આલેખમાં, કોઈ બહિર્મુખ સમૂહને શિરોબિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જેમાં સમૂહમાં શિરોબિંદુઓની જોડીને જોડતા દરેક પ્રેરિત માર્ગનો સમાવેશ થાય છે. આ વ્યાખ્યા સાથે, આલેખમાં ω + 1 શિરોબિંદુઓના દરેક સમૂહને બે ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જેમના બહિર્મુખ પત્થરો છેદે છે, અને ω + 1 એ લઘુતમ સંખ્યા છે જેના માટે આ શક્ય છે, જ્યાં ω એ આપેલ આલેખનો સમૂહ નંબર છે. પ્રેરિત માર્ગોને બદલે ટૂંકા માર્ગોને સમાવતા સંબંધિત પરિણામો માટે જુઓ અને. નોંધો સંદર્ભો. . . જેમ ટાંકવામાં આવ્યું છે. . . . જેમ ટાંકવામાં આવ્યું છે. . . . . . . વિવિક્ત ભૂમિતિમાં પ્રમેયો બહિર્મુખ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો કન્વેક્સ હલ્સ ભૌમિતિક ટ્રાન્સવર્સલ સિદ્ધાંત