Helly's theorem
હેલીનો પ્રમેય બહિર્મુખ સમૂહોના આંતરછેદ પર સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં એક મૂળભૂત પરિણામ છે. તેની શોધ એડવર્ડ હેલી દ્વારા 1913 માં કરવામાં આવી હતી, પરંતુ 1923 સુધી તેમના દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી ન હતી, તે સમય સુધીમાં વૈકલ્પિક પુરાવા દ્વારા અને પહેલેથી જ દેખાયા હતા. હેલીના પ્રમેયે હેલી પરિવારની કલ્પનાને જન્મ આપ્યો. નિવેદન ચાલો, સાથે, બહિર્મુખ ઉપગણોનો મર્યાદિત સંગ્રહ હોઈએ. જો આ દરેક સમૂહોનું આંતરછેદ બિન-ખાલી હોય, તો સમગ્ર સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય છે; એટલે કે, અનંત સંગ્રહો માટે વ્યક્તિએ સઘનતા ધારણ કરવી પડશેઃ ચાલો કોમ્પેક્ટ બહિર્મુખ ઉપગણોનો સંગ્રહ હોઈએ, જેમ કે કાર્ડિનાલિટીના દરેક પેટા સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય. પછી આખા સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ છે. સાબિતી અમે દ્વારા સાબિતીમાં રેડોનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદિત સંસ્કરણને સાબિત કરીએ છીએ. અનંત સંસ્કરણ પછી કોમ્પેક્ટનેસના મર્યાદિત આંતરછેદ ગુણધર્મ લાક્ષણિકતા દ્વારા અનુસરે છેઃ કોમ્પેક્ટ સ્પેસના બંધ સબસેટ્સના સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક મર્યાદિત પેટા સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય (એકવાર તમે એક જ સમૂહને ઠીક કરો, તો તેની સાથે અન્ય તમામનું આંતરછેદ નિશ્ચિત કોમ્પેક્ટ સ્પેસના બંધ સબસેટ્સ હોય છે). પુરાવો ઇન્ડક્શન દ્વારા છેઃ બેઝ કેસઃ ચાલો. આપણી ધારણાઓ અનુસાર, દરેક માટે એક બિંદુ છે જે સંભવિત અપવાદ સાથે બધાના સામાન્ય આંતરછેદમાં છે. હવે આપણે રેડોનના પ્રમેયને સમૂહ પર લાગુ કરીએ છીએ જે આપણને અસંબદ્ધ ઉપગણ આપે છે જેમ કે બહિર્મુખ પત્થરો બહિર્મુખ પત્થરોને છેદે છે. ધારો કે તે આ બે બહિર્મુખ પત્થરોના આંતરછેદમાં એક બિંદુ છે. અમે દાવો કરીએ છીએ કે ખરેખર, કોઈપણને ધ્યાનમાં લો અમે તે સાબિત કરીશું કે નોંધ કરો કે તેમાં એકમાત્ર તત્વ ન પણ હોઈ શકે. જો, પછી, અને તેથી. તે બહિર્મુખ હોવાથી, તેમાં બહિર્મુખ આવરણ પણ હોય છે અને તેથી તે પણ હોય છે. તેવી જ રીતે, જો, તો, અને તે જ તર્ક દ્વારા. તે દરેકમાં હોવાથી, તે આંતરછેદમાં પણ હોવું જોઈએ. ઉપર, આપણે ધાર્યું છે કે તમામ મુદ્દાઓ અલગ છે. જો આ કિસ્સો ન હોય, તો કેટલાક માટે કહો, પછી તે દરેક સેટમાં છે, અને ફરીથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે આંતરછેદ ખાલી નથી. આ કેસમાં સાબિતી પૂર્ણ કરે છે. પ્રેરક પગલુંઃ ધારો કે તે માટે નિવેદન સાચું છે. ઉપરની દલીલ દર્શાવે છે કે સમૂહોના કોઈપણ પેટા સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હશે. પછી આપણે સંગ્રહને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જ્યાં આપણે બે સમૂહોને બદલીએ છીએ અને એક જ સમૂહ સાથે. આ નવા સંગ્રહમાં, સમૂહના દરેક પેટા સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હશે. તેથી પ્રેરક પૂર્વધારણા લાગુ પડે છે, અને દર્શાવે છે કે આ નવા સંગ્રહમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ છે. આ મૂળ સંગ્રહ માટે સમાન સૂચવે છે, અને સાબિતી પૂર્ણ કરે છે. રંગીન હેલી પ્રમેય એ હેલીના પ્રમેયનું વિસ્તરણ છે, જેમાં એક સંગ્રહને બદલે, તેના બહિર્મુખ ઉપગણોનો d + 1 સંગ્રહ છે. જો, ટ્રાન્સવર્સલની દરેક પસંદગી માટે-દરેક સંગ્રહમાંથી એક સમૂહ-બધા પસંદ કરેલા સમૂહો માટે એક બિંદુ સામાન્ય છે, તો પછી ઓછામાં ઓછા એક સંગ્રહ માટે, સંગ્રહમાં તમામ સમૂહો માટે એક બિંદુ સામાન્ય છે. લાક્ષણિક રીતે, ડી + 1 સંગ્રહને ડી + 1 વિવિધ રંગોનો ગણી શકાય. પછી પ્રમેય કહે છે કે, જો એક-સમૂહ-પ્રતિ-રંગની દરેક પસંદગીમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય, તો ત્યાં એક એવો રંગ અસ્તિત્વમાં છે કે જે તે રંગના તમામ સમૂહોમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય. દરેક a> 0 માટે કેટલાક b> 0 એવા હોય છે કે, જો સમૂહના n બહિર્મુખ ઉપગણ હોય અને ઓછામાં ઓછા (d + 1)-ટુપલ્સના a-અપૂર્ણાંકમાં એક બિંદુ સામાન્ય હોય, તો સમૂહના ઓછામાં ઓછા b ના અપૂર્ણાંકમાં એક બિંદુ સામાન્ય હોય છે. કારાથિઓડોરીનો પ્રમેય ડોઇગ્નોનનો પ્રમેય કિર્ચબર્ગરનો પ્રમેય શેપલી-ફોકમેન લેમ્મા ક્રેઇન-મિલમેન પ્રમેય ચોક્વેટ સિદ્ધાંત રેડોનનો પ્રમેય અને તેનું સામાન્યીકરણ, ટવેરબર્ગનો પ્રમેય નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. . . હેઇનરિચ ગુગેનહેઇમર (1977) લાગુ પડતી ભૂમિતિ, પાનું 137, ક્રીગર, હંટીંગ્ટન. . . . બહિર્મુખ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં પ્રમેયો ભૌમિતિક પારવર્તી સિદ્ધાંતના પુરાવા ધરાવતા લેખો