CCR and CAR algebras
ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સી. સી. આર. આલ્જેબ્રા (કેનોનિકલ કમ્યુટેશન સંબંધો પછી) અને સી. એ. આર. આલ્જેબ્રા (કેનોનિકલ એન્ટિકોમ્યુટેશન સંબંધો પછી) અનુક્રમે બોસન્સ અને ફર્મિઓનના ક્વોન્ટમ યાંત્રિક અભ્યાસમાંથી ઉદ્ભવે છે. તેઓ ક્વોન્ટમ આંકડાકીય મિકેનિક્સ અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં અગ્રણી ભૂમિકા ભજવે છે. સી. સી. આર. અને સી. એ. આર. એ *-આલ્જેબ્રા તરીકે ચાલો એક વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા હોઈએ જે નોન-સિંગ્યુલર વાસ્તવિક એન્ટિસિમેટ્રિક બાયલિનિયર ફોર્મ (એટલે કે. એક સિંપ્લેક્ટિક વેક્ટર જગ્યા). વિષયના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ એકાત્મક *-બીજગણિતને કેનોનિકલ કમ્યુટેશન રિલેશન્સ (સી. સી. આર.) બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. આ બીજગણિતની રજૂઆતોની વિશિષ્ટતા જ્યારે મર્યાદિત પરિમાણીય હોય ત્યારે સ્ટોન-વોન ન્યુમેન પ્રમેયમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. જો તેના બદલે નોનસિંગ્યુલર વાસ્તવિક સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપથી સજ્જ હોય, તો વિષયના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ એકાત્મક *-બીજગણિતને કેનોનિકલ એન્ટિકોમ્યુટેશન રિલેશન્સ (CAR) બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. સી. સી. આર. નું સી *-બીજગણિત સી. સી. આર. બીજગણિતનો એક અલગ, પરંતુ નજીકથી સંબંધિત અર્થ છે, જેને સી. સી. આર. સી *-બીજગણિત કહેવાય છે. ચાલો નોનસિંગ્યુલર સિમ્પ્લેક્ટિક સ્વરૂપ સાથે વાસ્તવિક સિમ્પ્લેક્ટિક વેક્ટર સ્પેસ બનીએ. ઓપરેટર આલ્જેબ્રાના સિદ્ધાંતમાં, સી. સી. આર. બીજગણિત ઉપર એ એકાત્મક સી *-બીજગણિત છે જે તત્વોને આધિન ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. આને કેનોનિકલ કમ્યુટેશન સંબંધોનું વેલ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે અને, ખાસ કરીને, તેઓ સૂચવે છે કે દરેક એકાત્મક છે અને. તે સારી રીતે જાણીતું છે કે સી. સી. આર. બીજગણિત એક સરળ બિન-વિભાજીત બીજગણિત છે અને તે સમરૂપતા સુધી અનન્ય છે. જ્યારે હિલ્બર્ટ જગ્યા હોય અને તે આંતરિક-ઉત્પાદનના કાલ્પનિક ભાગ દ્વારા આપવામાં આવે છે, ત્યારે સી. સી. આર. બીજગણિતને કોઈપણ માટે સુયોજિત કરીને સપ્રમાણ ફોક જગ્યા પર વિશ્વાસુપણે રજૂ કરવામાં આવે છે. ફિલ્ડ ઓપરેટરોને દરેક માટે સપ્રમાણ ફોક જગ્યા પર એક-પરિમાણ એકાત્મક જૂથના જનરેટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સ્વ-સંલગ્ન અનબાઉન્ડ ઓપરેટરો છે, જો કે તેઓ ઔપચારિક રીતે સંતુષ્ટ થાય છે કારણ કે સોંપણી વાસ્તવિક-રેખીય છે, તેથી ઓપરેટરો વિભાગ 1 ના અર્થમાં CCR બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. CAR નું C *-બીજગણિત હિલ્બર્ટ જગ્યા છે. ઓપરેટર આલ્જેબ્રાના સિદ્ધાંતમાં CAR બીજગણિત એ કોઈપણ માટે સંબંધોને આધિન તત્વો દ્વારા પેદા થયેલ જટિલ એકાત્મક *-બીજગણિતની અનન્ય C *-પૂર્ણતા છે. જ્યારે અલગ કરી શકાય ત્યારે CAR બીજગણિત એ AF બીજગણિત છે અને ખાસ કિસ્સામાં તે અનંત પરિમાણીય હોય છે જેને ઘણીવાર આ રીતે લખવામાં આવે છે. ચાલો એન્ટિસિમેટ્રિક ફોક જગ્યા પર અને એન્ટિસિમેટ્રિક વેક્ટર પર ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ થવા દોઃ CAR બીજગણિત બધા માટે સેટિંગ દ્વારા વિશ્વાસુપણે રજૂ થાય છે અને. હકીકત એ છે કે આ C *-બીજગણિત બનાવે છે તે એ હકીકતને કારણે છે કે એન્ટિસિમેટ્રિક ફોક સ્પેસ પર સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટરો પ્રામાણિક રીતે બંધાયેલા ઓપરેટરો છે. વધુમાં, ક્ષેત્ર સંચાલકો વિભાગ 1 સાથે સંબંધ આપીને સંતુષ્ટ થાય છે. સુપરઅલજેબ્રા સામાન્યીકરણ ચાલો એક વાસ્તવિક-શ્રેણીબદ્ધ વેક્ટર જગ્યા હોઈએ જે નોન-સિંગ્યુલર એન્ટીસિમેટ્રિક બાયલિનિયર સુપરફોર્મ (એટલે કે) થી સજ્જ છે. જે ક્યાં તો વાસ્તવિક છે અથવા એક સરખું તત્વ છે અને જો બંને વિચિત્ર હોય તો કાલ્પનિક છે. કોઈપણ બે શુદ્ધ ઘટકોના સંબંધોના વિષયના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ એકાત્મક *-બીજગણિત એ સ્પષ્ટ અતિ બીજગણિત સામાન્યીકરણ છે જે સી. સી. આર. ને સી. એ. આર. સાથે એકીકૃત કરે છેઃ જો તમામ શુદ્ધ ઘટકો સમાન હોય, તો એક સી. સી. આર. મેળવે છે, જ્યારે જો તમામ શુદ્ધ ઘટકો વિષમ હોય, તો એક સી. એ. આર. મેળવે છે. ગણિતમાં, સી. સી. આર. અને સી. એ. આર. બીજગણિતની અમૂર્ત રચના, કોઈપણ ક્ષેત્ર પર, માત્ર જટિલ સંખ્યાઓ નહીં, વેલ અને ક્લિફોર્ડ બીજગણિતના નામ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જ્યાં ઘણા નોંધપાત્ર પરિણામો પ્રાપ્ત થયા છે. આમાંથી એક એ છે કે વેઇલ અને ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રાના શ્રેણીબદ્ધ સામાન્યીકરણ સિંપ્લેક્ટિક અને સપ્રમાણ બિન-ડિજનરેટ દ્વિરેખીય સ્વરૂપની દ્રષ્ટિએ કેનોનિકલ કમ્યુટેશન અને એન્ટિકોમ્યુટેશન સંબંધોની આધાર-મુક્ત રચનાને મંજૂરી આપે છે. વધુમાં, આ શ્રેણીબદ્ધ વેઇલ બીજગણિતમાં દ્વિસંગી ઘટકો સિંપ્લેક્ટિક અને અનિશ્ચિત ઓર્થોગોનલ લાઈ આલ્જેબ્રાના પરિવર્તન સંબંધોનું આધાર-મુક્ત સંસ્કરણ આપે છે. આ પણ જુઓ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન આંકડાશાસ્ત્ર ફર્મી-ડીરાક આંકડાશાસ્ત્ર શબ્દકોષ શબ્દમાળા સિદ્ધાંત હેઇસેનબર્ગ જૂથ બોગોલિઉબોવ પરિવર્તન (−1) F સંદર્ભો ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત સ્વયંસિદ્ધ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ આલ્જેબ્રા C *-આલ્જેબ્રા