Tutte–Coxeter graph
આલેખ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, ટુટ્ટે-કોક્સેટર આલેખ અથવા ટુટ્ટે આઠ-કેજ અથવા ક્રેમોના-રિકમંડ આલેખ એ 30 શિરોબિંદુઓ અને 45 ધાર સાથેનો 3-નિયમિત આલેખ છે. ઘેરો 8 ના અનન્ય સૌથી નાના ઘન આલેખ તરીકે, તે એક પાંજરા અને મૂરે આલેખ છે. તે દ્વિપક્ષી છે, અને તેને સામાન્યીકૃત ચતુષ્કોણ W2 (ક્રેમોના-રિકમંડ રૂપરેખાંકન તરીકે ઓળખાય છે) ના લેવી આલેખ તરીકે બનાવી શકાય છે. ગ્રાફનું નામ વિલિયમ થોમસ ટુટ્ટે અને એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે; તેની શોધ ટુટ્ટે (1947) દ્વારા કરવામાં આવી હતી, પરંતુ ભૌમિતિક રૂપરેખાંકનો સાથેના તેના જોડાણની તપાસ બંને લેખકો દ્વારા સંયુક્ત રીતે પ્રકાશિત થયેલા કાગળોની જોડીમાં કરવામાં આવી હતી (ટુટ્ટે 1958; કોક્સેટર 1958એ). તમામ ઘન અંતર-નિયમિત આલેખ જાણીતા છે. ટુટ્ટે-કોક્ઝેટર એ આવા 13 આલેખમાંથી એક છે. તેમાં ક્રોસિંગ નંબર 13, બુક જાડાઈ 3 અને કતાર નંબર 2 છે. બાંધકામો અને ઓટોમોર્ફિઝમ્સ ટુટ્ટે-કોક્સેટર આલેખ એ દ્વિપક્ષી લેવી આલેખ છે જે સિલ્વેસ્ટર (1844) ના કાર્ય પર આધારિત કોક્સેટર (1958બી) દ્વારા વર્ણવ્યા મુજબ, 6-વર્ટેક્સ સંપૂર્ણ આલેખ કે6ની 15 સંપૂર્ણ મેળને તેની 15 ધાર સાથે જોડે છે. દરેક શિરોબિંદુ ધાર અથવા સંપૂર્ણ મેળને અનુરૂપ હોય છે, અને જોડાયેલા શિરોબિંદુઓ ધાર અને મેળ વચ્ચેના ઘટના માળખાને રજૂ કરે છે. આ રચનાના આધારે, કોક્સેટરએ દર્શાવ્યું હતું કે ટુટ્ટે-કોક્સેટર આલેખ એક સપ્રમાણ આલેખ છે; તેમાં 1440 ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ છે, જેને છ તત્વો (કોક્સેટર 1958બી) પરના ક્રમચયોના જૂથના ઓટોમોર્ફિઝમ્સ સાથે ઓળખી શકાય છે. આ જૂથના આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ્સ K6 આલેખના છ શિરોબિંદુઓને ક્રમબદ્ધ કરવા સાથે સુસંગત છે; આ ક્રમચયો ટુટ્ટે-કોક્ઝેટર આલેખ પર તેના દ્વિપક્ષીકરણની દરેક બાજુના શિરોબિંદુઓને ક્રમબદ્ધ કરીને કાર્ય કરે છે જ્યારે બંને બાજુઓને સમૂહ તરીકે નિશ્ચિત રાખે છે. વધુમાં, ક્રમચયોના જૂથના બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ્સ દ્વિપક્ષીકરણની એક બાજુને બીજી બાજુ માટે અદલાબદલી કરે છે. કોક્સેટરએ બતાવ્યું તેમ, ટુટ્ટે-કોક્સેટર આલેખમાં પાંચ ધાર સુધીનો કોઈપણ માર્ગ આવા ઓટોમોર્ફિઝમ દ્વારા આવા અન્ય કોઈપણ માર્ગની સમકક્ષ છે. બિલ્ડિંગ તરીકે ટુટ્ટે-કોક્ઝેટર ગ્રાફ આ ગ્રાફ સિમ્લેક્ટિક જૂથ સાથે સંકળાયેલ ગોળાકાર બિલ્ડિંગ છે (આ જૂથ અને સપ્રમાણ જૂથ વચ્ચે એક અપવાદરૂપ સમરૂપતા છે). વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે સામાન્યીકૃત ચતુષ્કોણનો આપતન આલેખ છે. ચોક્કસપણે, ટુટ્ટે-કોક્સેટર આલેખને 4-પરિમાણીય સિમપ્લેક્ટિક વેક્ટર અવકાશમાંથી નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ શિરોબિંદુઓ કાં તો બિન-શૂન્ય વેક્ટર અથવા આઇસોટ્રોપિક 2-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓ છે, બિન-શૂન્ય વેક્ટર v અને આઇસોટ્રોપિક 2-પરિમાણીય પેટા જગ્યા વચ્ચે એક ધાર હોય છે જો અને માત્ર જો. ગેલેરી સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ એક્સો, જી. "પ્રખ્યાત આલેખના લંબચોરસ રેખાંકનો". 1958 પરિચય વ્યક્તિગત આલેખ રૂપરેખાંકન (ભૂમિતિ) નિયમિત આલેખ