Topological property
ટોપોલોજી અને ગણિતના સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં, ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મ અથવા ટોપોલોજિકલ અપરિવર્તન એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાનો ગુણધર્મ છે જે હોમોમોર્ફિઝમ્સ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. વૈકલ્પિક રીતે, ટોપોલોજીકલ ગુણધર્મ એ ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓનો યોગ્ય વર્ગ છે જે હોમોમોર્ફિઝમ્સ હેઠળ બંધ છે. એટલે કે, જગ્યાઓનો ગુણધર્મ એ ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મ છે જો જ્યારે પણ જગ્યા X પાસે તે ગુણધર્મ હોય ત્યારે X માટે દરેક જગ્યા હોમોમોર્ફિક તે ગુણધર્મ ધરાવે છે. અનૌપચારિક રીતે, ટોપોલોજીકલ ગુણધર્મ એ જગ્યાની મિલકત છે જે ખુલ્લા સમૂહોનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. ટોપોલોજીમાં એક સામાન્ય સમસ્યા એ નક્કી કરવાની છે કે બે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ હોમોમોર્ફિક છે કે નહીં. બે જગ્યાઓ હોમોમોર્ફિક નથી તે સાબિત કરવા માટે, તે ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મ શોધવા માટે પૂરતું છે જે તેમના દ્વારા વહેંચાયેલું નથી. ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મોના ગુણધર્મો એક ગુણધર્મ છેઃ વંશપરંપરાગત, જો દરેક ટોપોલોજિકલ જગ્યા અને સબસેટ માટે સબસ્પેસમાં નબળો વંશપરંપરાગત ગુણધર્મ હોય, જો દરેક ટોપોલોજિકલ જગ્યા અને બંધ સબસેટ માટે સબસ્પેસમાં ગુણધર્મ હોય તો સામાન્ય ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો કાર્ડિનલ કાર્યો જગ્યાની મુખ્યતા. જગ્યાના ટોપોલોજી (ખુલ્લા ઉપગણોનો સમૂહ) ની મુખ્યતા. વજન, જગ્યાના ટોપોલોજીના આધારની ઓછામાં ઓછી મુખ્યતા. ઘનતા, જેના બંધ છે તે ઉપગણની સૌથી ઓછી મુખ્યતા છે. વિભાજન નોંધ કરો કે આમાંના કેટલાક શબ્દો જૂના ગાણિતિક સાહિત્યમાં અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે; વિભાજન સ્વયંસિદ્ધિનો ઇતિહાસ જુઓ. T0 અથવા કોલ્મોગોરોવ. જગ્યા એ કોલ્મોગોરોવ છે જો જગ્યામાં x અને y અલગ-અલગ બિંદુઓની દરેક જોડી માટે, ઓછામાં ઓછો x ધરાવતો ખુલ્લો સમૂહ હોય પરંતુ y નહીં, અથવા y ધરાવતો ખુલ્લો સમૂહ હોય પરંતુ x નહીં. T1 અથવા ફ્રેચેટ. એક જગ્યા એ ફ્રેચેટ છે જો જગ્યામાં x અને y અલગ-અલગ બિંદુઓની દરેક જોડી માટે, x ધરાવતો એક ખુલ્લો સમૂહ હોય પરંતુ y નહીં. (T0 સાથે સરખામણી કરો; અહીં, આપણને સ્પષ્ટ કરવાની મંજૂરી છે કે ખુલ્લા સમૂહમાં કયો બિંદુ સમાયેલ હશે.) તેવી જ રીતે, જો તેના તમામ સિંગલેટોન બંધ હોય તો જગ્યા T1 છે. T1 જગ્યાઓ હંમેશા T0 હોય છે. સોબર. એક જગ્યા શાંત હોય છે જો દરેક ઈરીડ્યુસિબલ બંધ સમૂહ C નો એક અનન્ય સામાન્ય બિંદુ p હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો C એ બે નાના બંધ બિન-ખાલી ઉપગણોનું (સંભવતઃ બિન-સંયુક્ત) જોડાણ ન હોય, તો ત્યાં એક p છે કે જે {p} નું બંધ C બરાબર છે, અને p એ આ ગુણધર્મ સાથેનું એકમાત્ર બિંદુ છે. ટી2 અથવા હૌસડોર્ફ. એક જગ્યા હૌસડોર્ફ છે જો દરેક બે અલગ-અલગ બિંદુઓ અલગ-અલગ પડોશ ધરાવે છે. T2 જગ્યાઓ હંમેશા T1 હોય છે. T2 1⁄2 અથવા યુરીસોહન. એક જગ્યા એ યુરીસોહન છે જો દરેક બે અલગ-અલગ બિંદુઓ અલગ-અલગ બંધ પડોશીઓ ધરાવે છે. T1⁄2 જગ્યાઓ હંમેશા T2 હોય છે. સંપૂર્ણપણે T2 અથવા સંપૂર્ણપણે હૌસડોર્ફ. જો દરેક બે અલગ-અલગ બિંદુઓ કાર્ય દ્વારા અલગ કરવામાં આવે તો જગ્યા સંપૂર્ણપણે T2 છે. દરેક સંપૂર્ણપણે હૌસડોર્ફ જગ્યા યુરીસોહન છે. નિયમિત. જો જ્યારે પણ C એ બંધ સમૂહ હોય અને p એ C માં ન હોય તો જગ્યા નિયમિત હોય છે, તો પછી C અને p અલગ પડોશ ધરાવે છે. ટી3 અથવા નિયમિત હૌસડોર્ફ. જો તે નિયમિત T0 જગ્યા હોય તો જગ્યા નિયમિત હૌસડોર્ફ છે. (નિયમિત જગ્યા હૌસડોર્ફ છે જો અને માત્ર જો તે T0 હોય, તો પરિભાષા સુસંગત છે.) સંપૂર્ણપણે નિયમિત. એક જગ્યા સંપૂર્ણપણે નિયમિત હોય છે જો જ્યારે પણ C એ બંધ સમૂહ હોય અને p એ C માં ન હોય તો, પછી C અને {p} ને વિધેય દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે. T1⁄2, ટાયકોનોફ, સંપૂર્ણપણે નિયમિત હૌસડોર્ફ અથવા સંપૂર્ણપણે T3. ટાયકોનોફ જગ્યા એ સંપૂર્ણપણે નિયમિત T0 જગ્યા છે. (સંપૂર્ણપણે નિયમિત જગ્યા હૌસડોર્ફ છે જો અને માત્ર જો તે T0 હોય, તો પરિભાષા સુસંગત છે.) ટાયકોનોફ જગ્યાઓ હંમેશા નિયમિત હૌસડોર્ફ હોય છે. સામાન્ય છે. જો કોઈ બે અલગ-અલગ બંધ સમૂહોમાં અલગ-અલગ પડોશ હોય તો જગ્યા સામાન્ય છે. સામાન્ય જગ્યાઓ એકતાના વિભાજનને સ્વીકારે છે. T4 અથવા સામાન્ય હૌસડોર્ફ. સામાન્ય જગ્યા હૌસડોર્ફ છે જો અને માત્ર જો તે T1 હોય. સામાન્ય હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ હંમેશા ટાયકોનોફ હોય છે. સંપૂર્ણપણે સામાન્ય. જો કોઈપણ બે અલગ સેટમાં અલગ પડોશ હોય તો જગ્યા સંપૂર્ણપણે સામાન્ય છે. T5 અથવા સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હૌસડોર્ફ. સંપૂર્ણપણે સામાન્ય જગ્યા હૌસડોર્ફ છે જો અને માત્ર જો તે T1 હોય. સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ હંમેશા સામાન્ય હૌસડોર્ફ હોય છે. સંપૂર્ણપણે સામાન્ય. જો કોઈપણ બે વિચ્છેદિત બંધ સમૂહોને કાર્ય દ્વારા ચોક્કસપણે અલગ કરવામાં આવે તો જગ્યા સંપૂર્ણપણે સામાન્ય છે. સંપૂર્ણપણે સામાન્ય જગ્યા પણ સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હોવી જોઈએ. T6 અથવા સંપૂર્ણ રીતે સામાન્ય હૌસડોર્ફ, અથવા સંપૂર્ણ રીતે T4. એક જગ્યા સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હોય છે, જો તે સંપૂર્ણપણે સામાન્ય અને T1 બંને હોય. સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હૌસડોર્ફ જગ્યા પણ સંપૂર્ણપણે સામાન્ય હૌસડોર્ફ હોવી જોઈએ. અલગ જગ્યા. એક જગ્યા અલગ છે જો તેના તમામ બિંદુઓ સંપૂર્ણપણે અલગ હોય, એટલે કે. જો કોઈ ઉપગણ ખુલ્લું હોય. અલગ-અલગ બિંદુઓની સંખ્યા. ટોપોલોજિકલ જગ્યાના અલગ-અલગ બિંદુઓની સંખ્યા. ગણતરીની શરતો અલગ કરી શકાય તેવી. જો તેમાં ગણતરીપાત્ર ગાઢ ઉપગણ હોય તો જગ્યા અલગ કરી શકાય છે. પ્રથમ-ગણતરીપાત્ર. જો દરેક બિંદુને ગણતરીપાત્ર સ્થાનિક આધાર હોય તો જગ્યા પ્રથમ-ગણતરીપાત્ર છે. બીજા ક્રમાંકિત. જો તેની ટોપોલોજી માટે ગણતરીપાત્ર આધાર હોય તો જગ્યા બીજી ગણતરીપાત્ર છે. બીજી-ગણતરીપાત્ર જગ્યાઓ હંમેશા અલગ કરી શકાય તેવી, પ્રથમ-ગણતરીપાત્ર અને લિન્ડેલોફ હોય છે. જોડાણ જોડાયેલું છે. એક જગ્યા જોડાયેલી હોય છે જો તે અલગ-અલગ બિન-ખાલી ખુલ્લા સમૂહોની જોડીનું જોડાણ ન હોય. સમાનરૂપે, એક જગ્યા જોડાયેલી હોય છે જો માત્ર ક્લોપન સેટ ખાલી સેટ હોય અને તે પોતે જ હોય. સ્થાનિક રીતે જોડાયેલા. જો દરેક બિંદુ પાસે જોડાયેલ સમૂહો ધરાવતો સ્થાનિક આધાર હોય તો જગ્યા સ્થાનિક રીતે જોડાયેલી હોય છે. સંપૂર્ણપણે ડિસ્કનેક્ટ થઈ ગયું. એક જગ્યા સંપૂર્ણપણે ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે જો તેમાં એક કરતાં વધુ બિંદુ સાથે કોઈ જોડાયેલ સબસેટ ન હોય. પાથ-જોડાયેલ. X માં દરેક બે બિંદુઓ x, y માટે, x થી y સુધી એક પાથ p હોય, એટલે કે, સતત નકશો p: [0,1] → X સાથે p (0) = x અને p (1) = y. પાથ-કનેક્ટેડ જગ્યાઓ હંમેશા જોડાયેલ હોય તો X જગ્યા પાથ-કનેક્ટેડ છે. સ્થાનિક રીતે માર્ગ-જોડાયેલ. જો દરેક બિંદુ પાસે પાથ-કનેક્ટેડ સમૂહો ધરાવતો સ્થાનિક આધાર હોય તો જગ્યા સ્થાનિક રીતે પાથ-કનેક્ટેડ હોય છે. સ્થાનિક રીતે પાથ-કનેક્ટેડ જગ્યા જો અને માત્ર ત્યારે જ જોડાયેલી હોય જો તે પાથ-કનેક્ટેડ હોય. આર્ક-જોડાયેલ. એક જગ્યા X ચાપ-જોડાયેલ હોય છે જો X માં દરેક બે બિંદુઓ x, y માટે, x થી y સુધી ચાપ f હોય, એટલે કે, અને સાથે ઇન્જેક્ટિવ સતત નકશો. આર્ક-કનેક્ટેડ જગ્યાઓ પાથ-કનેક્ટેડ છે. ફક્ત જોડાયેલા. સ્પેસ X સરળ રીતે જોડાયેલ હોય છે જો તે પાથ-કનેક્ટેડ હોય અને દરેક સતત નકશો સતત નકશા સાથે હોમોટોપિક હોય. સ્થાનિક રીતે ફક્ત જોડાયેલું છે. એક જગ્યા X સ્થાનિક રીતે સરળતાથી જોડાયેલ હોય છે જો X માં દરેક બિંદુ x પાસે પડોશ U નો સ્થાનિક આધાર હોય જે ફક્ત જોડાયેલ હોય. અર્ધ-સ્થાનિક રીતે સરળતાથી જોડાયેલું છે. સ્પેસ X એ અર્ધ-સ્થાનિક રીતે સરળ રીતે જોડાયેલ હોય છે જો દરેક બિંદુ પાસે પડોશી U નો સ્થાનિક આધાર હોય કે જેથી U માં દરેક લૂપ X માં સંકુચિત હોય. અર્ધ-સ્થાનિક સરળ જોડાણ, સ્થાનિક સરળ જોડાણ કરતાં સખત નબળી સ્થિતિ, સાર્વત્રિક આવરણના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરત છે. કરારબદ્ધ. જો X પરનો ઓળખ નકશો સતત નકશામાં સમસ્થાનિક હોય તો અવકાશ X સંકોચાય છે. સંકુચિત જગ્યાઓ હંમેશા સરળતાથી જોડાયેલી હોય છે. હાયપર કનેક્ટેડ. જો કોઈ બે ખાલી ન હોય તેવા ખુલ્લા સમૂહો અલગ ન હોય તો જગ્યા હાયપરકનેક્ટેડ હોય છે. દરેક હાયપર કનેક્ટેડ જગ્યા જોડાયેલ છે. અલ્ટ્રા-કનેક્ટેડ. જો કોઈ બે ખાલી ન હોય તેવા બંધ સમૂહો અલગ ન હોય તો જગ્યા અલ્ટ્રા-કનેક્ટેડ હોય છે. દરેક અલ્ટ્રા-કનેક્ટેડ જગ્યા પાથ-કનેક્ટેડ છે. અવિવેકી અથવા તુચ્છ. જો માત્ર ખુલ્લા સમૂહો ખાલી સમૂહો હોય અને પોતે જ હોય તો જગ્યા અવિવેકી હોય છે. આવી જગ્યામાં તુચ્છ ટોપોલોજી હોવાનું કહેવાય છે. કોમ્પેક્ટ કોમ્પેક્ટ. જો દરેક ખુલ્લા આવરણમાં મર્યાદિત ઉપાવરણ હોય તો જગ્યા સઘન હોય છે. કેટલાક લેખકો આ જગ્યાઓને ક્વાસિક કોમ્પેક્ટ કહે છે અને હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે આરક્ષિત કોમ્પેક્ટ કહે છે જ્યાં દરેક ખુલ્લા આવરણમાં મર્યાદિત સબકવર હોય છે. કોમ્પેક્ટ જગ્યાઓ હંમેશા લિન્ડેલોફ અને પેરાકોમ્પેક્ટ હોય છે. તેથી કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ સામાન્ય છે. ક્રમિક રીતે કોમ્પેક્ટ. જો દરેક ક્રમમાં અભિસારી અનુગામી હોય તો જગ્યા ક્રમિક રીતે સઘન હોય છે. નોંધપાત્ર રીતે કોમ્પેક્ટ. જો દરેક ગણતરીપાત્ર ખુલ્લા આવરણમાં મર્યાદિત ઉપાવરણ હોય તો જગ્યા ગણતરીપાત્ર રીતે સઘન હોય છે. સ્યુડોકોમ્પેક્ટ. જગ્યા એ સ્યુડોકોમ્પેક્ટ છે જો જગ્યા પરનું દરેક સતત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય બંધાયેલ હોય. σ-કોમ્પેક્ટ. જો તે સંખ્યાબંધ કોમ્પેક્ટ ઉપગણોનું જોડાણ હોય તો જગ્યા એ σ-કોમ્પેક્ટ છે. લિન્ડેલૉફ. એક જગ્યા લિન્ડેલોફ છે જો દરેક ખુલ્લા કવરમાં ગણતરીપાત્ર સબકવર હોય. પેરાકોમ્પેક્ટ. જો દરેક ખુલ્લા આવરણમાં ખુલ્લું સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત શુદ્ધિકરણ હોય તો જગ્યા પેરાકોમ્પેક્ટ છે. પેરાકોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ સામાન્ય છે. સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ. એક જગ્યા સ્થાનિક રીતે સઘન હોય છે જો દરેક બિંદુ સ્થાનિક આધાર ધરાવે છે જેમાં સઘન પડોશીઓ હોય. થોડી અલગ વ્યાખ્યાઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે. સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ હંમેશા ટાયકોનોફ હોય છે. અલ્ટ્રા કનેક્ટેડ કોમ્પેક્ટ. અલ્ટ્રા-કનેક્ટેડ કોમ્પેક્ટ સ્પેસ X માં દરેક ખુલ્લા કવરમાં X પોતે જ હોવો જોઈએ. બિન-ખાલી અલ્ટ્રા-કનેક્ટેડ કોમ્પેક્ટ જગ્યાઓમાં મોનોલિથ તરીકે ઓળખાતો સૌથી મોટો યોગ્ય ખુલ્લો સબસેટ હોય છે. માપનીયતા માપનીય. જો જગ્યા મેટ્રિક જગ્યા માટે હોમોમોર્ફિક હોય તો તેને માપી શકાય છે. મેટ્રિઝેબલ જગ્યાઓ હંમેશા હૌસડોર્ફ અને પેરાકોમ્પેક્ટ (અને તેથી સામાન્ય અને ટાયકોનોફ) હોય છે, અને પ્રથમ-ગણતરીપાત્ર હોય છે. વધુમાં, એક ટોપોલોજિકલ જગ્યાને માપવા યોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં મેટ્રિક અસ્તિત્વમાં હોય કે જે મેટ્રિક ટોપોલોજી પોલિશ ટોપોલોજી સાથે સમાન હોય. એક જગ્યાને પોલિશ કહેવામાં આવે છે જો તે અલગ કરી શકાય તેવી અને સંપૂર્ણ મેટ્રિક સાથે માપી શકાય તેવી હોય. સ્થાનિક રીતે માપી શકાય તેવું. જો દરેક બિંદુ પાસે માપવા યોગ્ય પડોશી હોય તો જગ્યા સ્થાનિક રીતે માપવા યોગ્ય છે. વિવિધ બેર જગ્યા. સ્પેસ X એ બેયર સ્પેસ છે જો તે પોતે જ ઓછી ન હોય. તેવી જ રીતે, જો સંખ્યાબંધ ઘણા ગાઢ ખુલ્લા સમૂહોનું આંતરછેદ ગાઢ હોય તો X એ બેયર જગ્યા છે. દરવાજાની જગ્યા. જો દરેક ઉપગણ ખુલ્લું અથવા બંધ (અથવા બંને) હોય તો ટોપોલોજીકલ જગ્યા એ દરવાજાની જગ્યા છે. ટોપોલોજીકલ એકરૂપતા. એક જગ્યા X એ (ટોપોલોજીકલ રીતે) સજાતીય છે જો X માં દરેક x અને y માટે એવી હોમોમોર્ફિઝમ હોય કે સાહજિક રીતે કહીએ તો, આનો અર્થ એ છે કે જગ્યા દરેક બિંદુ પર સમાન દેખાય છે. તમામ ટોપોલોજીકલ જૂથો એકરૂપ છે. મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અથવા એલેક્ઝાન્ડ્રોવ. એક જગ્યા X એ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ છે જો X માં ખુલ્લા સમૂહોના મનસ્વી આંતરછેદો ખુલ્લા હોય, અથવા સમકક્ષ જો બંધ સમૂહોના મનસ્વી જોડાણો બંધ હોય. આ ચોક્કસપણે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ અને સતત નકશાની શ્રેણીના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા સભ્યો છે. શૂન્ય-પરિમાણીય. જો તેમાં ક્લોપેન સમૂહોનો આધાર હોય તો જગ્યા શૂન્ય-પરિમાણીય હોય છે. આ ચોક્કસપણે 0 ના નાના પ્રેરક પરિમાણ સાથેની જગ્યાઓ છે. લગભગ અલગ. જો દરેક ખુલ્લો સમૂહ બંધ હોય (એટલે ક્લોપેન) તો જગ્યા લગભગ અલગ હોય છે. લગભગ અલગ જગ્યાઓ ચોક્કસપણે મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ શૂન્ય-પરિમાણીય જગ્યાઓ છે. બુલિયન. એક જગ્યા બુલિયન છે જો તે શૂન્ય-પરિમાણીય, કોમ્પેક્ટ અને હૌસડોર્ફ (સમકક્ષ, સંપૂર્ણપણે ડિસ્કનેક્ટ, કોમ્પેક્ટ અને હૌસડોર્ફ) હોય. આ ચોક્કસપણે એવી જગ્યાઓ છે જે બુલિયન આલ્જેબ્રાના પથ્થરની જગ્યાઓ માટે હોમોમોર્ફિક છે. રીડેમેઇસ્ટર ટોર્શન-ઉકેલી શકાય તેવું. એક જગ્યાને κ-ઉકેલવા યોગ્ય (અનુક્રમેઃ લગભગ κ-ઉકેલવા યોગ્ય) કહેવામાં આવે છે જો તેમાં κ ગાઢ સમૂહો હોય જે જોડી મુજબ અલગ હોય (અનુક્રમેઃ ક્યાંય પણ ગાઢ ઉપસમૂહોના આદર્શ પર લગભગ અલગ). જો જગ્યા-નિરાકરણક્ષમ ન હોય તો તેને-નિરાકરણક્ષમ કહેવામાં આવે છે. મહત્તમ નિરાકરણક્ષમ. અવકાશ મહત્તમ રીતે ઉકેલવા યોગ્ય હોય છે જો તે-ઉકેલવા યોગ્ય હોય, જ્યાં સંખ્યાને મજબૂત રીતે સ્વતંત્રનું વિક્ષેપ પાત્ર કહેવામાં આવે છે. સેટ એ જગ્યાનો મજબૂત રીતે અલગ સબસેટ છે જો અંદરના બિંદુઓને જોડી મુજબ અલગ પડોશ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે. જો દરેક બિન-અલગ બિંદુ કેટલાક મજબૂત રીતે અલગ સમૂહનું સંચય બિંદુ હોય તો અવકાશને મજબૂત રીતે અલગ કહેવામાં આવે છે. બિન-ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો મેટ્રિક જગ્યાઓ વગેરેના ગુણધર્મોના ઘણા ઉદાહરણો છે, જે ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો નથી. મિલકત દર્શાવવા માટે તે ટોપોલોજિકલ નથી, તે બે હોમોમોર્ફિક ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ શોધવા માટે પૂરતી છે જેમ કે, છે, પરંતુ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદા અને સંપૂર્ણતાના મેટ્રિક અવકાશ ગુણધર્મો ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો નથી. ચાલો અને પ્રમાણભૂત મેટ્રિક સાથે મેટ્રિક જગ્યાઓ બનો. પછી, હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા. જો કે, તે પૂર્ણ છે પરંતુ બંધાયેલ નથી, જ્યારે બંધાયેલ છે પરંતુ પૂર્ણ નથી. હોમોલોજી અને કોહોમોલોજી હોમોટોપી ગ્રૂપ અને કોહોમોટોપી ગ્રૂપ સાઇટેશન્સ રેફરન્સ [2] સિમોન મૌલિઅરાસ, મેસીજ લેવેનસ્ટીન અને ગ્રેસિઆના પુએન્ટેસ, એન્ટેંગલમેન્ટ એન્જિનિયરિંગ એન્ડ ટોપોલોજિકલ પ્રોટેક્શન બાય ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ ક્વોન્ટમ વોક, જર્નલ ઓફ ફિઝિક્સ બીઃ એટોમિક, મોલેક્યુલર એન્ડ ઓપ્ટિકલ ફિઝિક્સ 46 (10), 104005 (2013) પણ જુઓ. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf હોમોમોર્ફિઝમ્સ રુઃ τοπολογιχεσκιyy ινVARIANT