Stochastic differential equation
સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ (એસ. ડી. ઈ.) એ એક વિભેદક સમીકરણ છે જેમાં એક અથવા વધુ શબ્દો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે, જે ઉકેલમાં પરિણમે છે જે એક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા પણ છે. એસ. ડી. ઈ. ની શુદ્ધ ગણિતમાં ઘણી ઉપયોગિતાઓ છે અને તેનો ઉપયોગ સ્ટોકના ભાવ, અવ્યવસ્થિત વૃદ્ધિના નમૂનાઓ અથવા થર્મલ વધઘટને આધિન ભૌતિક પ્રણાલીઓ જેવા સ્ટોકેસ્ટિક નમૂનાઓના વિવિધ વર્તણૂકોના નમૂના બનાવવા માટે થાય છે. એસ. ડી. ઈ. માં રેન્ડમ વિભેદક હોય છે જે સૌથી મૂળભૂત કિસ્સામાં રેન્ડમ વ્હાઇટ નોઇઝની ગણતરી બ્રાઉનિયન ગતિના વ્યુત્પન્ન તરીકે અથવા વધુ સામાન્ય રીતે સેમીમાર્ટીંગેલ તરીકે કરવામાં આવે છે. જો કે, અન્ય પ્રકારની અવ્યવસ્થિત વર્તણૂક શક્ય છે, જેમ કે કૂદવાની પ્રક્રિયાઓ જેમ કે લેવી પ્રક્રિયાઓ અથવા કૂદકા સાથે સેમીમાર્ટીંગેલ્સ. રેન્ડમ વિભેદક સમીકરણો સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો સાથે સંયુગ્મિત છે. સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોને વિભેદક મેનીફોલ્ડ્સ સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. બેકગ્રાઉન્ડ સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો 1905માં આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન અને મેરીયન સ્મોલુચોવ્સ્કીના કાર્યમાં બ્રાઉનિયન ગતિના સિદ્ધાંતમાં ઉદ્ભવ્યા હતા, જો કે લુઇસ બેચેલિયર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમને 1900માં બ્રાઉનિયન ગતિના મોડેલિંગનો શ્રેય આપવામાં આવ્યો હતો, જે સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણનું ખૂબ જ પ્રારંભિક ઉદાહરણ આપે છે જે હવે બેચેલિયર મોડેલ તરીકે ઓળખાય છે. આમાંના કેટલાક પ્રારંભિક ઉદાહરણો રેખીય સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો હતા, જેને ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી લેંગવિન પછી 'લેંગવિન' સમીકરણો પણ કહેવામાં આવે છે, જે રેન્ડમ બળને આધિન હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ગતિનું વર્ણન કરે છે. સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોનો ગાણિતિક સિદ્ધાંત 1940ના દાયકામાં જાપાની ગણિતશાસ્ત્રી કિયોસી ઇતોના અભૂતપૂર્વ કાર્ય દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જેમણે સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલની વિભાવના રજૂ કરી હતી અને બિનરેખીય સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો હતો. પાછળથી રશિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી સ્ટ્રેટોનોવિચ દ્વારા અન્ય એક અભિગમની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી, જે સામાન્ય કલન જેવું જ કલન તરફ દોરી ગયું હતું. સાહિત્યમાં એસ. ડી. ઈ. નું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ એક સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ છે, જેમાં જમણી બાજુ સફેદ ઘોંઘાટ ચલ પર આધારિત શબ્દ દ્વારા વિચલિત થાય છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, એસ. ડી. ઈ. ને અનુરૂપ સ્ટોકેસ્ટિક તફાવત સમીકરણોની સતત સમય મર્યાદા તરીકે સમજવામાં આવે છે. એસ. ડી. ઈ. ની આ સમજ અસ્પષ્ટ છે અને તેને અનુરૂપ અભિન્નની યોગ્ય ગાણિતિક વ્યાખ્યા દ્વારા પૂરક બનવું આવશ્યક છે. આવી ગાણિતિક વ્યાખ્યા સૌપ્રથમ 1940ના દાયકામાં કિયોસી ઇતો દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, જે આજે ઇતો કલન તરીકે ઓળખાય છે. પાછળથી રશિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી સ્ટ્રેટોનોવિચ દ્વારા અન્ય એક બાંધકામની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી, જે સ્ટ્રેટોનોવિચ અભિન્ન તરીકે ઓળખાય છે. ઇટો ઇન્ટિગ્રલ અને સ્ટ્રેટોનોવિચ ઇન્ટિગ્રલ સંબંધિત છે, પરંતુ અલગ, પદાર્થો અને તેમની વચ્ચેની પસંદગી ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી એપ્લિકેશન પર આધારિત છે. આઈ. ટી. ઓ. કલન બિન-અસંવેદનશીલતા અથવા કાર્યકારણની વિભાવના પર આધારિત છે, જે એપ્લિકેશનોમાં કુદરતી છે જ્યાં ચલ સમય છે. બીજી બાજુ, સ્ટ્રેટોનોવિચ કેલ્ક્યુલસમાં એવા નિયમો હોય છે જે સામાન્ય કેલ્ક્યુલસ જેવા હોય છે અને તેમાં આંતરિક ભૌમિતિક ગુણધર્મો હોય છે જે મેનીફોલ્ડ્સ પર રેન્ડમ ગતિ જેવી ભૌમિતિક સમસ્યાઓનો સામનો કરતી વખતે તેને વધુ કુદરતી બનાવે છે, જો કે તે શક્ય છે અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં ઇટો એસ. ડી. ઇ. દ્વારા મેનીફોલ્ડ્સ પર રેન્ડમ ગતિનું મોડેલ બનાવવું વધુ સારું છે, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે સબમેનીફોલ્ડ્સ પર એસ. ડી. ઇ. ને શ્રેષ્ઠ રીતે અંદાજિત કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવે છે. એસ. ડી. ઈ. પરનો વૈકલ્પિક દૃષ્ટિકોણ એ ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સનો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રવાહ છે. આ સમજણ સ્પષ્ટ છે અને સ્ટોકેસ્ટિક તફાવત સમીકરણોની સતત સમય મર્યાદાના સ્ટ્રેટોનોવિચ સંસ્કરણને અનુરૂપ છે. એસ. ડી. ઈ. સાથે સંકળાયેલું સ્મોલુકોવ્સ્કી સમીકરણ અથવા ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ છે, જે સંભાવના વિતરણ કાર્યોના સમય ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરતું સમીકરણ છે. વિભેદક સ્વરૂપોના અસ્થાયી ઉત્ક્રાંતિ માટે ફોકર-પ્લાન્ક ઉત્ક્રાંતિનું સામાન્યીકરણ સ્ટોકેસ્ટિક ઇવોલ્યુશન ઓપરેટરની વિભાવના દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં, "લેંગ્વિન એસ. ડી. ઇ". શબ્દના ઉપયોગમાં અસ્પષ્ટતા છે. જ્યારે લેંગ્વિન એસ. ડી. ઇ. વધુ સામાન્ય સ્વરૂપના હોઈ શકે છે, ત્યારે આ શબ્દ સામાન્ય રીતે ઢાળ પ્રવાહ વેક્ટર ક્ષેત્રો સાથે એસ. ડી. ઇ. ના સાંકડા વર્ગનો ઉલ્લેખ કરે છે. એસ. ડી. ઈ. નો આ વર્ગ ખાસ કરીને લોકપ્રિય છે કારણ કે તે પેરિસ-સોરલાસ સ્ટોકેસ્ટિક ક્વોન્ટાઇઝેશન પ્રક્રિયાનો પ્રારંભિક બિંદુ છે, જે સુપરસિમેટ્રિક ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ સાથે નજીકથી સંબંધિત એન = 2 સુપરસિમેટ્રિક મોડેલ તરફ દોરી જાય છે. ભૌતિક દ્રષ્ટિકોણથી, જોકે, એસ. ડી. ઈ. નો આ વર્ગ ખૂબ જ રસપ્રદ નથી કારણ કે તે ટોપોલોજિકલ સુપરસિમેટ્રીનું સ્વયંસ્ફુરિત ભંગાણ ક્યારેય દર્શાવતો નથી, એટલે કે, (ઓવરડેમ્પ્ડ) લેંગ્વિન એસ. ડી. ઈ. ક્યારેય અસ્તવ્યસ્ત હોતા નથી. સ્ટોકેસ્ટિક કલન બ્રાઉનિયન ગતિ અથવા વીનર પ્રક્રિયા ગાણિતિક રીતે અપવાદરૂપે જટિલ હોવાનું જાણવા મળ્યું હતું. વીનર પ્રક્રિયા લગભગ ચોક્કસપણે ક્યાંય વિભેદક નથી; આમ, તેને કલનનાં તેના પોતાના નિયમોની જરૂર છે. સ્ટોકેસ્ટિક કલનની બે પ્રબળ આવૃત્તિઓ છે, ઇટો સ્ટોકેસ્ટિક કલન અને સ્ટ્રેટોનોવિચ સ્ટોકેસ્ટિક કલન. બન્નેમાંથી દરેકના ફાયદા અને ગેરફાયદા છે, અને નવા આવનારાઓ ઘણીવાર મૂંઝવણમાં રહે છે કે શું આપેલ પરિસ્થિતિમાં એક બીજા કરતાં વધુ યોગ્ય છે કે કેમ. માર્ગદર્શિકાઓ અસ્તિત્વમાં છે (દા. ત. Øksendal, 2003) અને સુવિધાજનક રીતે, કોઈ પણ વ્યક્તિ સરળતાથી આઇ. ટી. ઓ. એસ. ડી. ઈ. ને સમકક્ષ સ્ટ્રેટોનોવિચ એસ. ડી. ઈ. માં રૂપાંતરિત કરી શકે છે અને ફરીથી પાછા આવી શકે છે. તેમ છતાં, જ્યારે એસ. ડી. ઈ. શરૂઆતમાં લખવામાં આવે ત્યારે કયા કલનનો ઉપયોગ કરવો તે અંગે સાવચેત રહેવું જોઈએ. આંકડાકીય ઉકેલો આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની આંકડાકીય પદ્ધતિઓમાં યુલર-મરુયામા પદ્ધતિ, મિલ્સ્ટીન પદ્ધતિ, રુંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિ (એસ. ડી. ઈ.), રોસેનબ્રોક પદ્ધતિ અને પુનરાવર્તિત સ્ટોકેસ્ટિક સંકલનની વિવિધ રજૂઆતો પર આધારિત પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, એસ. ડી. ઈ. માં મોલેક્યુલર ડાયનેમિક્સથી માંડીને ન્યુરો ડાયનેમિક્સ અને એસ્ટ્રોફિઝિકલ ઓબ્જેક્ટ્સની ડાયનેમિક્સ સુધીની વ્યાપક ઉપયોગિતા છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, એસ. ડી. ઈ. તમામ ગતિશીલ પ્રણાલીઓનું વર્ણન કરે છે, જેમાં ક્વોન્ટમ અસરો કાં તો બિનમહત્વપૂર્ણ હોય છે અથવા તેને વિક્ષેપ તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. એસ. ડી. ઈ. ને ઘોંઘાટવાળા નમૂનાઓ માટે ગતિશીલ પ્રણાલીઓના સિદ્ધાંતના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. આ એક મહત્વપૂર્ણ સામાન્યીકરણ છે કારણ કે વાસ્તવિક પ્રણાલીઓને તેમના વાતાવરણથી સંપૂર્ણપણે અલગ કરી શકાતી નથી અને આ કારણોસર હંમેશા બાહ્ય સ્ટોકેસ્ટિક પ્રભાવનો અનુભવ થાય છે. નવા અજ્ઞાત રજૂ કરીને ઉચ્ચ ક્રમના સમીકરણોને કેટલાક જોડીદાર પ્રથમ ક્રમના સમીકરણોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પ્રમાણભૂત તકનીકો છે. તેથી, એસ. ડી. ઈ. નો સૌથી સામાન્ય વર્ગ નીચે મુજબ છેઃ સિસ્ટમમાં તેના તબક્કા (અથવા સ્થિતિ) અવકાશમાં સ્થિતિ ક્યાં છે, જેને વિભેદક મેનીફોલ્ડ માનવામાં આવે છે, તે ઉત્ક્રાંતિના નિર્ધારક કાયદાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું પ્રવાહ વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, અને વેક્ટર ક્ષેત્રોનો સમૂહ છે જે સિસ્ટમના ગૌસીયન સફેદ અવાજ સાથે જોડાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો રેખીય જગ્યા હોય અને સ્થિર હોય, તો સિસ્ટમને એડિટિવ અવાજને આધિન હોવાનું કહેવાય છે, અન્યથા તે મલ્ટિપ્લિકેટિવ અવાજને આધિન હોવાનું કહેવાય છે. આ શબ્દ કંઈક અંશે ભ્રામક છે કારણ કે તેનો અર્થ સામાન્ય કેસ થયો છે, તેમ છતાં તે મર્યાદિત કેસ સૂચવે છે. ઘોંઘાટના નિશ્ચિત રૂપરેખાંકન માટે, એસ. ડી. ઈ. પાસે પ્રારંભિક સ્થિતિના સંદર્ભમાં વિભેદક એક અનન્ય ઉકેલ છે. સ્ટોકેસ્ટિક કેસની બિનઅનુભવીતા ત્યારે દેખાય છે જ્યારે કોઈ અવાજની ગોઠવણી પર રસ ધરાવતી વિવિધ વસ્તુઓની સરેરાશ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ અર્થમાં, જ્યારે ઘોંઘાટ ગુણાકારાત્મક હોય અને જ્યારે એસ. ડી. ઈ. ને સ્ટોકેસ્ટિક તફાવત સમીકરણની સતત સમય મર્યાદા તરીકે સમજવામાં આવે ત્યારે એસ. ડી. ઈ. એ વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત અસ્તિત્વ નથી. આ કિસ્સામાં, એસ. ડી. ઈ. ને "એસ. ડી. ઈ. ના અર્થઘટનો" તરીકે ઓળખાય છે જેમ કે ઇટો અથવા એસ. ડી. ઈ. ના સ્ટ્રેટોનોવિચ અર્થઘટનો દ્વારા પૂરક બનવું આવશ્યક છે. તેમ છતાં, જ્યારે એસ. ડી. ઈ. ને ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સના સતત-સમયના સ્ટોકેસ્ટિક પ્રવાહ તરીકે જોવામાં આવે છે, ત્યારે તે એક વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ગાણિતિક પદાર્થ છે જે સ્ટોકેસ્ટિક તફાવત સમીકરણની સતત સમય મર્યાદાના સ્ટ્રેટોનોવિચ અભિગમને અનુરૂપ છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ઉકેલની મુખ્ય પદ્ધતિ સમતુલ્ય ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ (FPE) નો ઉપયોગ કરીને સમયના કાર્ય તરીકે સંભાવના વિતરણ કાર્યને શોધવાની છે. ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ એક નિર્ધારક આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે. તે જણાવે છે કે કેવી રીતે સંભાવના વિતરણ કાર્ય સમયસર વિકસિત થાય છે તે જ રીતે શ્રોડિંગર સમીકરણ ક્વોન્ટમ તરંગ કાર્યની સમય ઉત્ક્રાંતિ આપે છે અથવા પ્રસરણ સમીકરણ રાસાયણિક સાંદ્રતાની સમય ઉત્ક્રાંતિ આપે છે. વૈકલ્પિક રીતે, સંખ્યાત્મક ઉકેલો મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન દ્વારા મેળવી શકાય છે. અન્ય તકનીકોમાં પાથ એકીકરણનો સમાવેશ થાય છે જે આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ વચ્ચેની સામ્યતા પર આધારિત છે (ઉદાહરણ તરીકે, ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણને કેટલાક ચલોનું પુનરાવર્તન કરીને શ્રોડિંગર સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે) અથવા સંભાવના વિતરણ કાર્યની આંકડાકીય ક્ષણો માટે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો લખીને. સંભાવના અને ગાણિતિક નાણામાં ઉપયોગ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સંકેત (અને સંભાવના સિદ્ધાંતની ઘણી એપ્લિકેશનોમાં, ઉદાહરણ તરીકે ફિલ્ટરિંગ સમસ્યા સાથે સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં અને ગાણિતિક નાણામાં) થોડો અલગ છે. તે સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓ પરના પ્રકાશનોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સંકેત પણ છે. આ સંકેત ભૌતિકશાસ્ત્રની રચનામાં સમયના યાદૃચ્છિક કાર્યની વિચિત્ર પ્રકૃતિને વધુ સ્પષ્ટ બનાવે છે. સખત ગાણિતિક શબ્દોમાં, તેને સામાન્ય કાર્ય તરીકે પસંદ કરી શકાતું નથી, પરંતુ માત્ર સામાન્ય કાર્ય તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. ગાણિતિક રચના આ ગૂંચવણને ભૌતિકશાસ્ત્રની રચના કરતાં ઓછી અસ્પષ્ટતા સાથે વર્તે છે. એક લાક્ષણિક સમીકરણ એ સ્વરૂપનું છે જ્યાં વીનર પ્રક્રિયા (પ્રમાણભૂત બ્રાઉનિયન ગતિ) સૂચવવામાં આવે છે. આ સમીકરણને અનુરૂપ અભિન્ન સમીકરણને વ્યક્ત કરવાની અનૌપચારિક રીત તરીકે અર્થઘટન કરવું જોઈએ ઉપરનું સમીકરણ સતત સમયની સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા Xt ની વર્તણૂકને સામાન્ય લેબસ્ગ્યુ અભિન્ન અને ઇટો અભિન્નના સરવાળા તરીકે વર્ણવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણનું સંશોધનાત્મક (પરંતુ ખૂબ જ મદદરૂપ) અર્થઘટન એ છે કે δ લંબાઈના નાના સમય અંતરાલમાં સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા Xt તેના મૂલ્યને એવી રકમ દ્વારા બદલે છે જે સામાન્ય રીતે અપેક્ષા સાથે વહેંચવામાં આવે છે μ (Xt, t) δ અને ભિન્નતા σ (Xt, t) 2δ અને પ્રક્રિયાના ભૂતકાળના વર્તનથી સ્વતંત્ર છે. આનું કારણ એ છે કે વીનર પ્રક્રિયાની વૃદ્ધિ સ્વતંત્ર હોય છે અને સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલી હોય છે. કાર્યને μ ને પ્રવાહ ગુણાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જ્યારે σ ને પ્રસરણ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા Xt ને પ્રસરણ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે, અને તે માર્કોવ ગુણધર્મને સંતોષે છે. એસ. ડી. ઈ. નું ઔપચારિક અર્થઘટન એસ. ડી. ઈ. નો ઉકેલ શું છે તેના સંદર્ભમાં આપવામાં આવે છે. એસ. ડી. ઈ. ના ઉકેલની બે મુખ્ય વ્યાખ્યાઓ છે, એક મજબૂત ઉકેલ અને નબળો ઉકેલ બંને માટે એક પ્રક્રિયા Xt નું અસ્તિત્વ જરૂરી છે જે એસ. ડી. ઈ. ના અભિન્ન સમીકરણ સંસ્કરણને ઉકેલે છે. બંને વચ્ચેનો તફાવત અંતર્ગત સંભાવના જગ્યા () માં રહેલો છે. નબળા ઉકેલમાં સંભાવના જગ્યા અને એક પ્રક્રિયા હોય છે જે અભિન્ન સમીકરણને સંતોષે છે, જ્યારે મજબૂત ઉકેલ એ એક પ્રક્રિયા છે જે સમીકરણને સંતોષે છે અને આપેલ સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિ માટેનું સમીકરણ છે, જે નાણાકીય ગણિતના બ્લેક-સ્કોલ્સ ઓપ્શન્સ પ્રાઇસિંગ મોડેલમાં શેરની કિંમતની ગતિશીલતા માટેનું સમીકરણ છે. ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિને સામાન્ય બનાવતા, મજબૂત ઉકેલોને સ્વીકારતા એસ. ડી. ઈ. ને વ્યાખ્યાયિત કરવું પણ શક્ય છે અને જેનું વિતરણ વિવિધ ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિ અથવા બ્લેક સ્કોલ્સ મોડેલોમાંથી આવતી ઘનતાનું બહિર્મુખ સંયોજન છે, જે એક જ એસ. ડી. ઈ. મેળવે છે, જેના ઉકેલો વિવિધ બ્લેક સ્કોલ્સ મોડેલોના લોગનોર્મલ વિતરણની મિશ્રણ ગતિશીલતા તરીકે વહેંચવામાં આવે છે. આ એવા નમૂનાઓ તરફ દોરી જાય છે જે નાણાકીય ગણિતમાં અસ્થિર સ્મિતનો સામનો કરી શકે છે. અંકગણિત બ્રાઉનિયન ગતિ તરીકે ઓળખાતા સરળ એસ. ડી. ઈ. નો ઉપયોગ લુઇસ બેચેલિયર દ્વારા 1900માં શેરની કિંમતો માટેના પ્રથમ મોડેલ તરીકે કરવામાં આવ્યો હતો, જે આજે બેચેલિયર મોડેલ તરીકે ઓળખાય છે. ત્યાં વધુ સામાન્ય સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો પણ છે જ્યાં ગુણાંક μ અને σ માત્ર પ્રક્રિયા Xt ના વર્તમાન મૂલ્ય પર જ નહીં, પરંતુ પ્રક્રિયાના અગાઉના મૂલ્યો પર પણ અને સંભવતઃ અન્ય પ્રક્રિયાઓના વર્તમાન અથવા અગાઉના મૂલ્યો પર પણ આધાર રાખે છે. તે કિસ્સામાં ઉકેલ પ્રક્રિયા, X, એ માર્કોવ પ્રક્રિયા નથી, અને તેને ઇટો પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે અને પ્રસરણ પ્રક્રિયા નથી. જ્યારે ગુણાંક માત્ર X ના વર્તમાન અને ભૂતકાળના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે, ત્યારે વ્યાખ્યાયિત સમીકરણને સ્ટોકેસ્ટિક વિલંબ વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. ફિસ્ક-સ્ટ્રેટોનોવિચ સાથે સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોનું સામાન્યીકરણ, જે કૂદકા સાથે સેમીમાર્ટીંગેલ્સનો અભિન્ન ભાગ છે, તે માર્કસ પ્રકારનાં એસ. ડી. ઈ. છે. માર્કસ ઇન્ટિગ્રલ એ મેકશેનના સ્ટોકેસ્ટિક કલનનું વિસ્તરણ છે. સ્ટોકેસ્ટિક ફાઇનાન્સમાં એક નવીન એપ્લિકેશન ઓર્ન્સ્ટીન-ઉહ્લેનબેક પ્રક્રિયા માટેના સમીકરણના ઉપયોગમાંથી ઉદ્ભવે છે, જે ધારણા હેઠળ શેરની કિંમતના વળતરની ગતિશીલતા માટેનું સમીકરણ છે જે વળતર લોગ-સામાન્ય વિતરણ દર્શાવે છે. આ પૂર્વધારણા હેઠળ, માર્સેલો મિનેના દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી પધ્ધતિઓ આગાહી અંતરાલ નક્કી કરે છે જે અસામાન્ય વળતરને ઓળખવામાં સક્ષમ છે જે બજારના દુરુપયોગની ઘટનાને છુપાવી શકે છે. મેનીફોલ્ડ્સ પર એસ. ડી. ઇ. વધુ સામાન્ય રીતે કોઈ પણ વ્યક્તિ સ્ટોકેસ્ટિક કેલ્ક્યુલસના સિદ્ધાંતને વિભેદક મેનીફોલ્ડ્સ પર વિસ્તૃત કરી શકે છે અને આ હેતુ માટે કોઈ વ્યક્તિ ફિસ્ક-સ્ટ્રેટોનોવિચ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરે છે. મેનીફોલ્ડ, અમુક મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા, સામાન્ય શરતોને સંતોષવા સાથે ફિલ્ટર કરેલી સંભાવના જગ્યા ધ્યાનમાં લો અને એક-બિંદુ કોમ્પેક્ટિફિકેશન અને-માપી શકાય તેવું થવા દો. લેખિત પર સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ એ એક જોડી છે, જેમ કે સતત-મૂલ્ય ધરાવતું સેમીમાર્ટીંગેલ, એ વેક્ટર બંડલ્સનું હોમોમોર્ફિઝમ છે. દરેક માટે નકશો રેખીય અને દરેક માટે છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે એસ. ડી. ઈ. નો ઉકેલ જીવનકાળ સુધી સતત-અનુકૂલિત-મૂલ્યવાન પ્રક્રિયા છે, એસ. ટી. દરેક પરીક્ષણ કાર્ય માટે પ્રક્રિયા વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન અર્ધ-ગુણાંક છે અને સમીકરણ સાથેના દરેક વિરામ સમય માટે-લગભગ ચોક્કસપણે, જ્યાં તફાવત છે. જો જીવનકાળ મહત્તમ હોય, એટલે કે, લગભગ ચોક્કસપણે, તો તે મહત્તમ ઉકેલ છે. તે એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે દરેક પરીક્ષણ કાર્ય માટે અર્ધ-ગુણાંક હોય છે, જે અર્ધ-ગુણાંક હોય છે. મહત્તમ ઉકેલ આપવામાં આવે તો આપણે સંપૂર્ણ સમય લંબાવી શકીએ છીએ અને ચાલુ રાખ્યા પછી આપણે અવિભાજ્ય પ્રક્રિયાઓ સુધી પહોંચી શકીએ છીએ. જો કે સ્ટ્રેટોનોવિચ એસ. ડી. ઇ. એ મેનીફોલ્ડ્સ પર એસ. ડી. ઇ. માટે કુદરતી પસંદગી છે, જો કે તેઓ સાંકળના નિયમને સંતોષે છે અને તેમના પ્રવાહ અને પ્રસરણ ગુણાંક કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફારો હેઠળ વેક્ટર ક્ષેત્રો તરીકે વર્તે છે, એવા કિસ્સાઓ છે જ્યાં મેનીફોલ્ડ્સ પર ઇટો કેલ્ક્યુલસ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. મેનીફોલ્ડ્સ પર ઇટો કેલ્ક્યુલસનો સિદ્ધાંત સૌપ્રથમ લોરેન્ટ શ્વાર્ટઝ દ્વારા શ્વાર્ટઝ મોર્ફિઝમની વિભાવના દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જેટ-બંડલ પર આધારિત મેનીફોલ્ડ્સ પર ઇટો એસ. ડી. ઇ. નું સંબંધિત 2-જેટ અર્થઘટન પણ જુઓ. આ અર્થઘટન ત્યારે મદદરૂપ થાય છે જ્યારે તે જગ્યાના સબમેનિફોલ્ડ પર આપવામાં આવેલા એસ. ડી. ઈ. ના ઉકેલો સાથે મોટી જગ્યા પર આપવામાં આવેલા એસ. ડી. ઈ. ના ઉકેલને શ્રેષ્ઠ રીતે અંદાજિત કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવે છે, જેમાં સ્ટ્રેટોનોવિચ આધારિત પ્રક્ષેપણ શ્રેષ્ઠ બનતું નથી. આ ફિલ્ટરિંગ સમસ્યા પર લાગુ કરવામાં આવ્યું છે, જે શ્રેષ્ઠ પ્રક્ષેપણ ફિલ્ટર્સ તરફ દોરી જાય છે. એસ. ડી. ઈ. એ રફ પાથ તરીકે સામાન્ય રીતે એસ. ડી. ઈ. ના ઉકેલ માટે સંભવિત સેટિંગની જરૂર પડે છે, કારણ કે ઉકેલમાં સમાવિષ્ટ અભિન્ન એક સ્ટોકેસ્ટિક અભિન્ન છે. જો માર્ગ દ્વારા વિભેદક સમીકરણ માર્ગ સાથે વ્યવહાર કરવો શક્ય હોત, તો કોઈએ સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર ન હોત અને કોઈ વ્યક્તિ સંભાવના સિદ્ધાંતથી સ્વતંત્ર રીતે સિદ્ધાંત વિકસાવી શકે છે. આ એસ. ડી. ઈ. ને દરેક માટે એક જ નિર્ધારક વિભેદક સમીકરણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવા તરફ નિર્દેશ કરે છે, જ્યાં આપેલ સંભાવના જગ્યા () માં નમૂનાની જગ્યા છે. જો કે, એસ. ડી. ઈ. નું સીધું માર્ગ મુજબનું અર્થઘટન શક્ય નથી, કારણ કે બ્રાઉનિયન ગતિ માર્ગોમાં અમર્યાદિત વિવિધતા હોય છે અને સંભાવના એક સાથે ક્યાંય તફાવત કરી શકાતો નથી, જેથી દરેક એક સામે અભિન્ન તરીકે સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલની નિષ્કપટ માર્ગ મુજબની વ્યાખ્યાને બાકાત રાખીને, જેવા શબ્દોને અર્થ આપવાની કોઈ નિષ્કપટ રીત નથી. જો કે, નિયમિત ઘોંઘાટ સાથે એસ. ડી. ઈ. ના ઉકેલોની મર્યાદાઓ માટે અને રફ પાથ થિયરીનો ઉપયોગ કરીને વોંગ-ઝકાઈ પરિણામ દ્વારા પ્રેરિત, જ્યારે બ્રાઉનિયન ગતિના પુનરાવર્તિત ઇન્ટિગ્રલ્સની પસંદ કરેલી વ્યાખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક એક માટે નિર્ધારક રફ ઇન્ટિગ્રલ વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે જે ઉદાહરણ તરીકે પુનરાવર્તિત બ્રાઉનિયન ઇન્ટિગ્રલની ચોક્કસ પસંદગી માટે સંભાવના એક સાથે ઇટો ઇન્ટિગ્રલ સાથે મેળ ખાય છે. પુનરાવર્તિત ઇન્ટિગ્રલની અન્ય વ્યાખ્યાઓ સ્ટ્રેટોનોવિચ ઇન્ટિગ્રલ જેવી વિવિધ સ્ટોકેસ્ટિક ઇન્ટિગ્રલની નિર્ધારિત પાથવાઇઝ સમકક્ષ તરફ દોરી જાય છે. આનો ઉપયોગ ઉદાહરણ તરીકે નાણાકીય ગણિતમાં સંભાવના વિના ભાવ વિકલ્પો માટે કરવામાં આવ્યો છે. ઉકેલોનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા નિર્ધારક સામાન્ય અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોની જેમ, તે જાણવું મહત્વપૂર્ણ છે કે આપેલ SDE પાસે ઉકેલ છે કે નહીં, અને તે અનન્ય છે કે નહીં. એન-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન સ્પેસ આરએનમાં મૂલ્યો લેતા અને એમ-ડાયમેન્શનલ બ્રાઉનિયન ગતિ બી દ્વારા સંચાલિત ઇટો એસ. ડી. ઇ. માટે નીચેની લાક્ષણિક અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેય છે; તેનો પુરાવો Øક્સેન્ડલ (2003, § 5.2) માં મળી શકે છે. ચાલો T> 0, અને માપી શકાય તેવા વિધેયો કે જેના માટે સ્થિરાંકો C અને D અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે તમામ t ω [0, T] અને તમામ x અને y ω Rn માટે, જ્યાં Z એક રેન્ડમ ચલ છે જે Bs, s ω દ્વારા પેદા થયેલ σ-બીજગણિતથી સ્વતંત્ર છે, અને મર્યાદિત બીજી ક્ષણ સાથેઃ પછી સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ/પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યામાં P-લગભગ ચોક્કસપણે અનન્ય t-સતત ઉકેલ (t, ω) ω Xt (ω) હોય છે, જેમ કે X એ Z અને Bs, s ≤ t, અને સામાન્ય કેસઃ સ્થાનિક લિપશિટ્ઝ સ્થિતિ અને મહત્તમ ઉકેલો દ્વારા પેદા થયેલ ગાળણક્રિયા FtZ માટે અનુકૂળ છે. વધુ સામાન્ય રીતે મેનીફોલ્ડ્સ પર સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો પણ જોઈ શકાય છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ વિસ્ફોટ કરે છે કે કેમ તે ની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. ધારો કે તે અમુક સ્થાનિક લિપ્સિટ્ઝ શરતને સંતોષે છે, એટલે કે, કેટલાક કોમ્પેક્ટ સેટ માટે અને કેટલાક કોન્સ્ટન્ટ શરત જ્યાં યુક્લિડિયન ધોરણ છે. આ શરત કહેવાતા મહત્તમ ઉકેલના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાની બાંયધરી આપે છે. ધારો કે તે સતત છે અને ઉપરોક્ત સ્થાનિક લિપશિટ્ઝ શરતને સંતોષે છે અને થોડી પ્રારંભિક શરત છે, એટલે કે તે પ્રારંભિક σ-બીજગણિતના સંદર્ભમાં માપી શકાય તેવું કાર્ય છે. લગભગ ચોક્કસપણે અટકવાનો અનુમાનિત સમય હોવો જોઈએ. એ-વેલ્યુડ સેમીમાર્ટીંગેલને જીવનકાળ સાથેનો મહત્તમ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે જો એક (અને તેથી બધા) માટે બંધ પ્રક્રિયાની જાહેરાત એ સેટ પર બંધ સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે જે આપણી પાસે લગભગ ચોક્કસપણે છે. તે કહેવાતા વિસ્ફોટનો સમય પણ છે. કેટલાક સ્પષ્ટ રીતે સોલ્વેબલ SDEs લીનિયર SDE: સામાન્ય કેસ જ્યાં રિડ્યુસિબલ SDEs: આપેલ ડિફરન્સિએબલ ફંક્શન માટે કેસ 1 એ સ્ટ્રેટોનોવિચ SDE ની સમકક્ષ હોય છે જેનો સામાન્ય ઉકેલ હોય છે જ્યાં રિડ્યુસિબલ SDEs: આપેલ ડિફરન્સિએબલ ફંક્શન માટે કેસ 2 સ્ટ્રેટોનોવિચ SDE ની સમકક્ષ હોય છે જે જ્યાં પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ત્યાં ઘટાડી શકાય છે. તેનો સામાન્ય ઉકેલ એસ. ડી. ઇ. અને સુપરસિમેટ્રી છે. એસ. ડી. ઇ. ના સુપરસિમેટ્રિક સિદ્ધાંતમાં, સ્ટોકેસ્ટિક ગતિશીલતાને મોડેલના તબક્કાની જગ્યા પર વિભેદક સ્વરૂપો પર કામ કરતા સ્ટોકેસ્ટિક ઇવોલ્યુશન ઓપરેટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક ડાયનેમિક્સની આ ચોક્કસ રચનામાં, તમામ એસ. ડી. ઈ. ટોપોલોજિકલ સુપરસિમેટ્રી ધરાવે છે જે સતત સમય પ્રવાહ દ્વારા તબક્કાની જગ્યાની સાતત્યતાની જાળવણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ સુપરસિમેટ્રીનું સ્વયંસ્ફુરિત ભંગાણ એ સર્વવ્યાપક ગતિશીલ ઘટનાનું ગાણિતિક સાર છે જે અરાજકતા, અશાંતિ, સ્વ-સંગઠિત નિર્ણાયકતા વગેરે તરીકે ઓળખાય છે. અને ગોલ્ડસ્ટોન થીયરમ સંકળાયેલ લાંબા અંતરની ગતિશીલ વર્તણૂકને સમજાવે છે, એટલે કે, બટરફ્લાય અસર, 1/એફ અને ક્રેકલિંગ અવાજો, અને ધરતીકંપો, ન્યુરોવલાંચ, સૌર જ્વાળાઓ વગેરેના સ્કેલ-ફ્રી આંકડા. પછાત સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ લેંગ્વિન ગતિશીલતા સ્થાનિક વોલેટિલિટી સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા સ્ટોકેસ્ટિક આંશિક વિભેદક સમીકરણો પ્રસરણ પ્રક્રિયા સ્ટોકેસ્ટિક તફાવત સમીકરણ સંદર્ભો વધુ વાંચન ડેસમંડ હાઈમ અને પીટર ક્લોડેનઃ "સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોના આંકડાકીય સિમ્યુલેશનનો પરિચય", SIAM, (2021). વિભેદક સમીકરણો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ