Pseudospectral optimal control
સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ એ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની સંયુક્ત સૈદ્ધાંતિક-કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિ છે. તે પી. એસ. ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ થિયરી બનાવવા માટે ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ થિયરી સાથે સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ (પી. એસ.) થિયરીને જોડે છે. પી. એસ. શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ લશ્કરી અને ઔદ્યોગિક કાર્યક્રમોમાં જમીન અને ઉડાન પ્રણાલીઓમાં કરવામાં આવ્યો છે. યુએવી પ્રક્ષેપવક્ર નિર્માણ, મિસાઇલ માર્ગદર્શન, રોબોટિક શસ્ત્રોનું નિયંત્રણ, કંપન ભીનાશ, ચંદ્ર માર્ગદર્શન, ચુંબકીય નિયંત્રણ, ઊંધી લોલકનું સ્વિંગ-અપ અને સ્થિરીકરણ, ભ્રમણકક્ષાનું સ્થાનાંતરણ, ટિથર લિબ્રેશન નિયંત્રણ, આરોહણ માર્ગદર્શન અને ક્વોન્ટમ નિયંત્રણ જેવી સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણીને ઉકેલવા માટે આ તકનીકોનો વ્યાપક ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. ઝાંખી ઘણી મોટી સંખ્યામાં એવા વિચારો છે જે સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલના સામાન્ય બેનર હેઠળ આવે છે. આના ઉદાહરણોમાં લિજેન્ડ્રે સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ, ચેબીશેવ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ, ગૌસ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ, રોસ-ફહરૂ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ, બેલમેન સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ, ફ્લેટ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ અને અન્ય ઘણી પદ્ધતિઓ છે. શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે ત્રણ પ્રકારની ગાણિતિક વસ્તુઓનો અંદાજ જરૂરી છેઃ ખર્ચ કાર્યમાં એકીકરણ, નિયંત્રણ પ્રણાલીનું વિભેદક સમીકરણ અને સ્થિતિ-નિયંત્રણની મર્યાદાઓ. એક આદર્શ અંદાજ પદ્ધતિ ત્રણેય અંદાજ કાર્યો માટે કાર્યક્ષમ હોવી જોઈએ. એક પદ્ધતિ જે તેમાંથી એક માટે કાર્યક્ષમ છે, ઉદાહરણ તરીકે કાર્યક્ષમ ODE સોલ્વર, અન્ય બે વસ્તુઓ માટે કાર્યક્ષમ પદ્ધતિ ન પણ હોઈ શકે. આ જરૂરિયાતો પીએસ પદ્ધતિઓને આદર્શ બનાવે છે કારણ કે તેઓ ત્રણેય ગાણિતિક પદાર્થોના અંદાજ માટે કાર્યક્ષમ છે. સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિમાં, સતત કાર્યોને કાળજીપૂર્વક પસંદ કરેલા ચતુર્ભુજ ગાંઠોના સમૂહ પર અંદાજિત કરવામાં આવે છે. ચતુર્ભુજ ગાંઠો અંદાજ માટે ઉપયોગમાં લેવાતા અનુરૂપ ઓર્થોગોનલ બહુપદી આધાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પીએસ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલમાં, લિજેન્ડ્રે અને ચેબીશેવ બહુપદીઓનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. ગાણિતિક રીતે, ચતુર્ભુજ ગાંઠો નાની સંખ્યામાં બિંદુઓ સાથે ઉચ્ચ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવામાં સક્ષમ છે. દાખલા તરીકે, લિજેન્ડ્રે-ગૌસ-લોબેટ્ટો ગાંઠો પર કોઈપણ સ્મૂથ ફંક્શન (C) ની ઇન્ટરપોલેટિંગ બહુપદી L2 અર્થમાં કહેવાતા વર્ણપટ દર પર એકરૂપ થાય છે, જે કોઈપણ બહુપદી દર કરતાં વધુ ઝડપી હોય છે. વિગતો શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ માટેની મૂળભૂત સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ કોવેક્ટર મેપિંગ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. અન્ય સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ તકનીકો, જેમ કે બેલમેન સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણો ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રારંભિક સમયે નોડ-ક્લસ્ટરિંગ પર આધાર રાખે છે. નોડ ક્લસ્ટરિંગ્સ તમામ ગૌસીયન બિંદુઓ પર થાય છે. વધુમાં, તેમની રચનાનો ઉપયોગ તેમને વધુ કોમ્પ્યુટેશનલ રીતે કાર્યક્ષમ બનાવવા માટે કરી શકાય છે, કારણ કે એડ-હોક સ્કેલિંગ અને જેકોબિયન ગણતરી પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે, જેમાં બેવડી સંખ્યા સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે. સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિઓમાં, એકીકરણનો અંદાજ ચતુર્ભુજ નિયમો દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે શ્રેષ્ઠ આંકડાકીય એકીકરણ પરિણામ પ્રદાન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, માત્ર એન નોડ્સ સાથે, લિજેન્ડ્રે-ગૌસ ચતુર્ભુજ સંકલન તેના કરતા ઓછી અથવા તેની બરાબર ડિગ્રીના કોઈપણ બહુપદી સંકલન માટે શૂન્ય ભૂલ પ્રાપ્ત કરે છે. ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ પ્રોબ્લેમ્સમાં સામેલ ODE ના P. S. ડિસ્ક્રીટાઈઝેશનમાં, ડેરિવેટિવ્ઝ માટે એક સરળ પરંતુ અત્યંત સચોટ તફાવત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ થાય છે. કારણ કે પી. એસ. પદ્ધતિ પસંદ કરેલા નોડ્સ પર સિસ્ટમ લાગુ કરે છે, રાજ્ય-નિયંત્રણની મર્યાદાઓને સીધી રીતે અલગ કરી શકાય છે. આ તમામ ગાણિતિક ફાયદાઓ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિઓને સતત શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સમસ્યાઓ માટે એક સીધું વિવેકીકરણ સાધન બનાવે છે. બેલમેન સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ ચેબીશેવ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ કોવેક્ટર મેપિંગ સિદ્ધાંત ફ્લેટ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિઓ ગૌસ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ લિજેન્ડ્રે સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ ગાંઠ પદ્ધતિ રોસ-ફહરૂ લેમ્મા રોસ-ફહરૂ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ પદ્ધતિઓ રોસ 'π લેમ્મા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ સ્ટફ કેવી રીતે કામ કરે છે સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણઃ ભાગ 1 સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણઃ ભાગ 2 સોફ્ટવેર DIDO-કાર્થેજની પ્રથમ રાણી ડિડોના નામ પરથી શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ માટે MATLAB સાધન. જી. પી. ઓ. પી. એસ.-II: જનરલ પર્પઝ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ સોફ્ટવેર જી. ઇ. એસ. ઓ. પી.-સિમ્યુલેશન અને ઓપ્ટિમાઇઝેશન માટે ગ્રાફિકલ એન્વાયર્નમેન્ટ ઓપન ઓ. સી. એલ.-ઓપન ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ લાઇબ્રેરી પ્રોપ્ટ-મેટલેબ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ સોફ્ટવેર પી. એસ. ઓ. પી. ટી.-ઓપન સોર્સ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ સોલ્વર ઇન સી + + સ્પાર્ટનઃ સિમ્પલ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ અલ્ગોરિધમ ફોર રેપિડ ટ્રેજેક્ટરી એનાલિસિસ ઓપનગોડ્ડાર્ડ-પાયથોન ઓપન સોર્સ સ્યુડોસ્પેક્ટ્રલ ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ સોફ્ટવેર ઓપ્ટિમલ કંટ્રોલ