Affine Lie algebra
ગણિતમાં, એફાઇન લાઈ બીજગણિત એ અનંત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત છે જે મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ લાઈ બીજગણિતમાંથી કેનોનિકલ ફેશનમાં બનાવવામાં આવે છે. એફાઇન લાઈ બીજગણિતને જોતાં, નીચે વર્ણવ્યા મુજબ, સંબંધિત એફાઇન કાક-મૂડી બીજગણિત પણ બનાવી શકાય છે. શુદ્ધ ગાણિતિક દ્રષ્ટિકોણથી, એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રા રસપ્રદ છે કારણ કે તેમનો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત, મર્યાદિત-પરિમાણીય અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની જેમ, સામાન્ય કાક-મૂડી આલ્જેબ્રાની તુલનામાં વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે. વિક્ટર કેકે અવલોકન કર્યું તેમ, એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રાની રજૂઆત માટેનું અક્ષર સૂત્ર ચોક્કસ સંયુક્ત ઓળખ, મેકડોનાલ્ડ ઓળખ સૂચવે છે. એફીન લાઈ આલ્જેબ્રા સ્ટ્રિંગ થિયરી અને દ્વિ-પરિમાણીય કન્ફોર્મલ ફિલ્ડ થિયરીમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે કારણ કે તેઓ જે રીતે બાંધવામાં આવે છેઃ સરળ લાઈ બીજગણિતથી શરૂ કરીને, એક લૂપ બીજગણિતને ધ્યાનમાં લે છે, જે વર્તુળ પર-મૂલ્યવાન કાર્યો દ્વારા રચાય છે (બંધ સ્ટ્રિંગ તરીકે અર્થઘટન) પોઇન્ટવાઇઝ કોમ્યુટેટર સાથે. એફાઇન લાઈ બીજગણિત લૂપ બીજગણિતમાં એક વધારાનું પરિમાણ ઉમેરીને અને કોમ્યુટેટરને બિન-તુચ્છ રીતે સંશોધિત કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ક્વોન્ટમ વિસંગતતા (આ કિસ્સામાં, WZW મોડેલની વિસંગતતા) અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ કહે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો σ એ તેના ડાયનકિન આકૃતિના ઓટોમોર્ફિઝમ સાથે સંકળાયેલ સરળ લાઈ બીજગણિતનું ઓટોમોર્ફિઝમ હોય, તો ટ્વિસ્ટેડ લૂપ બીજગણિતમાં વાસ્તવિક રેખા પર-વેલ્યુડ ફંક્શન્સ f નો સમાવેશ થાય છે જે ટ્વિસ્ટેડ પિરિયડિસિટીની સ્થિતિને સંતોષે છે. તેમના કેન્દ્રીય વિસ્તરણ ચોક્કસપણે ટ્વિસ્ટેડ એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રા છે. શબ્દમાળા સિદ્ધાંતનો દ્રષ્ટિકોણ એફીન લાઈ આલ્જેબ્રાના ઘણા ઊંડા ગુણધર્મોને સમજવામાં મદદ કરે છે, જેમ કે હકીકત એ છે કે તેમની રજૂઆતના અક્ષરો મોડ્યુલર જૂથ હેઠળ એકબીજા સાથે પરિવર્તિત થાય છે. સરળ લાઈ બીજગણિતમાંથી એફાઇન લાઈ બીજગણિત વ્યાખ્યા જો મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ લાઈ બીજગણિત હોય, તો અનુરૂપ એફાઇન લાઈ બીજગણિત લૂપ બીજગણિતના કેન્દ્રિય વિસ્તરણ તરીકે, એક-પરિમાણીય કેન્દ્ર સાથે, એક વેક્ટર જગ્યા તરીકે, જ્યાં અનિશ્ચિત t માં લોરેન્ટ બહુપદીઓની જટિલ વેક્ટર જગ્યા છે. લાઈ કૌંસને બધા માટેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને, જ્યાં લાઈ બીજગણિતમાં લાઈ કૌંસ છે અને તે કાર્ટન-કિલિંગ સ્વરૂપ છે. અનુરૂપ એફાઇન કાક-મૂડી બીજગણિતને વધારાના જનરેટર ડી ઉમેરીને અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે [d, A] = δ (A) ને સંતોષે છે. ડાયન્કિન આકૃતિઓનું નિર્માણ દરેક એફાઇન લાઈ બીજગણિતની ડાયન્કિન આકૃતિમાં અનુરૂપ સરળ લાઈ બીજગણિત વત્તા વધારાના નોડનો સમાવેશ થાય છે, જે કાલ્પનિક મૂળના ઉમેરા સાથે સુસંગત છે. અલબત્ત, આવા નોડને કોઈ પણ સ્થળે ડાયન્કિન આકૃતિ સાથે જોડી શકાતો નથી, પરંતુ દરેક સરળ લાઈ બીજગણિત માટે લાઈ બીજગણિતના બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથની મુખ્યતાની સમાન સંખ્યાબંધ સંભવિત જોડાણો અસ્તિત્વમાં છે. ખાસ કરીને, આ જૂથ હંમેશા ઓળખ તત્વ ધરાવે છે, અને અનુરૂપ એફાઇન લાઈ બીજગણિતને અનટ્વિસ્ટેડ એફાઇન લાઈ બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. જ્યારે સરળ બીજગણિત ઓટોમોર્ફિઝમ્સને સ્વીકારે છે જે આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ્સ નથી, ત્યારે કોઈ અન્ય ડાયનકિન આકૃતિઓ મેળવી શકે છે અને આ ટ્વિસ્ટેડ એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રાને અનુરૂપ છે. કેન્દ્રીય એક્સ્ટેન્શન્સને વર્ગીકૃત કરવું અનુરૂપ સરળ લાઈ બીજગણિતના ડાયન્કિન આકૃતિમાં વધારાના નોડનું જોડાણ નીચેની રચનાને અનુરૂપ છે. એક એફાઇન લાઈ બીજગણિત હંમેશા અનુરૂપ સરળ લાઈ બીજગણિતના લૂપ બીજગણિતના કેન્દ્રિય વિસ્તરણ તરીકે બનાવી શકાય છે. જો કોઈ વ્યક્તિ તેના બદલે અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતથી શરૂઆત કરવા માંગે છે, તો વ્યક્તિએ અર્ધ-સરળ બીજગણિતના સરળ ઘટકોની સંખ્યા જેટલા સંખ્યાબંધ ઘટકો દ્વારા કેન્દ્રિય રીતે વિસ્તરણ કરવાની જરૂર છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, તેના બદલે ઘણીવાર અર્ધ-સરળ બીજગણિત અને અબેલિયન બીજગણિતનો સીધો સરવાળો ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં n અબેલિયન જનરેટર માટે n વધુ કેન્દ્રીય ઘટકો ઉમેરવાની પણ જરૂર છે. અનુરૂપ સરળ કોમ્પેક્ટ લાઈ ગ્રૂપના લૂપ ગ્રૂપની બીજી ઇન્ટિગ્રલ કોહોમોલોજી પૂર્ણાંકો માટે આઇસોમોર્ફિક છે. એક જ જનરેટર દ્વારા એફાઇન લાઈ જૂથના કેન્દ્રીય વિસ્તરણ આ મુક્ત લૂપ જૂથ પર ટોપોલોજીકલ વર્તુળ બંડલ છે, જેને ફાઇબ્રેશનના પ્રથમ ચેરન વર્ગ તરીકે ઓળખાતા બે વર્ગ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. તેથી, એફાઇન લાઈ જૂથના કેન્દ્રીય વિસ્તરણને એક જ પરિમાણ k દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેને ભૌતિકશાસ્ત્રના સાહિત્યમાં સ્તર કહેવામાં આવે છે, જ્યાં તે પ્રથમ વખત દેખાયું હતું. એફાઇન કોમ્પેક્ટ જૂથોની એકાત્મક ઉચ્ચતમ વજન રજૂઆતો ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યારે k એક કુદરતી સંખ્યા હોય. વધુ સામાન્ય રીતે, જો કોઈ અર્ધ-સરળ બીજગણિતને ધ્યાનમાં લે, તો દરેક સરળ ઘટક માટે કેન્દ્રિય ચાર્જ હોય છે. માળખું કાર્ટન-વેઇલ આધાર મર્યાદિત કેસની જેમ, કાર્ટન-વેઇલ આધાર નક્કી કરવો એ એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રાની રચના નક્કી કરવા માટેનું એક મહત્વપૂર્ણ પગલું છે. કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત અને ચોક્કસ મૂળ પ્રણાલી સાથે મર્યાદિત-પરિમાણીય, સરળ, જટિલ લાઈ બીજગણિતને ઠીક કરો. સંકેતલિપી રજૂ કરીને, એબેલિયન ઉપ-બીજગણિતની રચના સાથે, દ્વારા આપવામાં આવેલ એફાઇન લાઈ બીજગણિત માટે એક માટે કાર્ટન-વેઇલ આધારને વિસ્તારવાનો પ્રયાસ કરી શકાય છે. અને તેના પરના આઈગન વેલ્યુ અનુક્રમે અને સ્વતંત્ર છે. તેથી આ અબેલિયન ઉપ-બીજગણિતના સંદર્ભમાં મૂળ અનંત રીતે અધોગતિ પામે છે. ઉપર વર્ણવેલ વ્યુત્પત્તિને અબેલિયન ઉપ-બીજગણિતમાં જોડવાથી અબેલિયન ઉપ-બીજગણિતને એફાઇન લાઈ બીજગણિત માટે કાર્ટન ઉપ-બીજગણિતમાં ફેરવવામાં આવે છે, જેમાં કિલિંગ ફોર્મ માટે આઈગનવેલ્યુઝ છે. એફાઇન કાક-મૂડી બીજગણિત પર કિલિંગ ફોર્મ પર અને કિલિંગ ફોર્મ માટે નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં માત્ર છેલ્લું સમીકરણ ઇનવેરિયન્સ દ્વારા નિશ્ચિત નથી અને તેના બદલે કન્વેન્શન દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે. નોંધપાત્ર રીતે, સબસ્પેસ પરનું પ્રતિબંધ સહી સાથે દ્વિરેખીય સ્વરૂપ આપે છે. એ. એસ. સાથે સંકળાયેલ એફાઇન રુટ લખો. વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, આને ફરીથી લખી શકાય છે મૂળોનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે પછી તે અસામાન્ય છે કારણ કે તેની લંબાઈ શૂન્ય છેઃ હત્યા સ્વરૂપ દ્વારા પ્રેરિત મૂળ પર દ્વિરેખીય સ્વરૂપ ક્યાં છે. એફાઇન બીજગણિત માટે સરળ મૂળનો આધાર મેળવવા માટે, એક વધારાનું સરળ મૂળ જોડવું આવશ્યક છે, અને મૂળની ઊંચાઈની સામાન્ય કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં સૌથી વધુ મૂળ છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિસ્તૃત કાર્ટન મેટ્રિક્સ અને વિસ્તૃત ડાયન્કિન આકૃતિઓની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત એફીન લાઈ આલ્જેબ્રા માટે પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સામાન્ય રીતે વર્મા મોડ્યુલ્સનો ઉપયોગ કરીને વિકસાવવામાં આવે છે. જેમ અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાના કિસ્સામાં, આ સૌથી વધુ વજનના મોડ્યુલો છે. ત્યાં કોઈ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતો નથી; આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે મર્યાદિત-પરિમાણીય વર્મા મોડ્યુલના નલ વેક્ટર આવશ્યકપણે શૂન્ય હોય છે; જ્યારે એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રા માટેના તે નથી. આશરે કહીએ તો, આ અનુસરે છે કારણ કે હત્યાનું સ્વરૂપ દિશામાં લોરેન્ટ્ઝિયન છે, તેથી તેને કેટલીકવાર શબ્દમાળા પર "લાઇટકોન કોઓર્ડિનેટ્સ" કહેવામાં આવે છે. "રેડિયલી ઓર્ડર્ડર્ડ" વર્તમાન ઓપરેટર ઉત્પાદનોને સ્ટ્રિંગ વર્લ્ડ શીટ અને અવકાશી દિશા સાથે સમય જેવી દિશા લઈને સમય જેવા સામાન્ય ક્રમમાં સમજી શકાય છે. ક્રમ k ની શૂન્યાવકાશ રજૂઆત રજૂઆતો નીચે મુજબ વધુ વિગતવાર બનાવવામાં આવી છે. લાઈ બીજગણિત અને આધારને ઠીક કરો. પછી તે અનુરૂપ લૂપ બીજગણિત માટેનો આધાર છે, અને એફાઇન લાઈ બીજગણિત માટેનો આધાર છે. ક્રમની શૂન્યાવકાશ રજૂઆત, સૂચવવામાં આવે છે કે આધાર સાથે જટિલ રજૂઆત ક્યાં છે અને (સાથે) એફાઇન વર્ટેક્સ બીજગણિત દ્વારા ઓનની ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. હકીકતમાં શૂન્યાવકાશ રજૂઆત શિરોબિંદુ બીજગણિત માળખાથી સજ્જ હોઈ શકે છે, તે કિસ્સામાં તેને ક્રમના એફાઇન શિરોબિંદુ બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. એફાઇન લાઈ બીજગણિત કુદરતી રીતે કાક-મૂડી બીજગણિત સુધી વિસ્તરે છે, જેમાં વિભેદક શિરોબિંદુ બીજગણિતમાં અનુવાદ સંચાલક દ્વારા રજૂ થાય છે. વેઇલ જૂથ અને અક્ષરો એફીન લાઈ બીજગણિતના વેઇલ જૂથને શૂન્ય-સ્થિતિ બીજગણિત (લૂપ બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વપરાતું લાઈ બીજગણિત) અને કોરોટ જાળીના વેઇલ જૂથના અર્ધ-સીધા ઉત્પાદન તરીકે લખી શકાય છે. એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રાના બીજગણિત અક્ષરોનું વેલ અક્ષર સૂત્ર વેલ-કાક અક્ષર સૂત્રને સામાન્ય બનાવે છે. આમાંથી સંખ્યાબંધ રસપ્રદ બાંધકામો અનુસરે છે. જેકોબી થીટા કાર્યનું સામાન્યીકરણ બનાવી શકાય છે. આ થીટા કાર્યો મોડ્યુલર જૂથ હેઠળ પરિવર્તિત થાય છે. અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાની સામાન્ય છેદ ઓળખ પણ સામાન્ય બને છે; કારણ કે અક્ષરોને "વિકૃતિઓ" અથવા ઉચ્ચતમ વજનના ક્યૂ-એનાલોગ તરીકે લખી શકાય છે, આ ઘણી નવી સંયુક્ત ઓળખ તરફ દોરી જાય છે, જેમાં ડેડેકિંડ એટા કાર્ય માટે અગાઉની ઘણી અજ્ઞાત ઓળખોનો સમાવેશ થાય છે. આ સામાન્યીકરણને લેંગલેન્ડ્સ કાર્યક્રમના વ્યવહારુ ઉદાહરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. સુગાવારા રચનાને કારણે, કોઈપણ એફાઇન લાઈ બીજગણિતના સાર્વત્રિક આવરણ બીજગણિતમાં ઉપ-બીજગણિત તરીકે વિરાસોરો બીજગણિત હોય છે. આ એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રાને WZW નમૂનાઓ અથવા કોસેટ નમૂનાઓ જેવા અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના સમપ્રમાણતા આલ્જેબ્રા તરીકે સેવા આપવા માટે પરવાનગી આપે છે. પરિણામે, સ્ટ્રિંગ થિયરીના વર્લ્ડશીટ વર્ણનમાં એફાઇન લાઈ આલ્જેબ્રા પણ દેખાય છે. ઉદાહરણ પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષતા જનરેટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હેઇસેનબર્ગ બીજગણિતને એફાઇન લાઈ બીજગણિત તરીકે અનુભવી શકાય છે. સંદર્ભો લાઈ આલ્જેબ્રા પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત