Geometrical frustration
કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સમાં, ભૌમિતિક હતાશા (અથવા ટૂંકમાંઃ હતાશા) શબ્દ એ એવી ઘટનાનો ઉલ્લેખ કરે છે જ્યાં અણુઓ બિન-તુચ્છ સ્થિતિને વળગી રહેવાનું વલણ ધરાવે છે અથવા જ્યાં, નિયમિત સ્ફટિક જાળી પર, વિરોધાભાસી આંતર-પરમાણુ દળો (દરેક એક બદલે સરળ તરફેણ કરે છે, પરંતુ વિવિધ રચનાઓ) એકદમ જટિલ રચનાઓ તરફ દોરી જાય છે. ભૂમિતિ અથવા બળોમાં હતાશાના પરિણામે, જમીનની અલગ-અલગ સ્થિતિઓનું સંપૂર્ણતા શૂન્ય તાપમાન પર પરિણમી શકે છે, અને સામાન્ય થર્મલ ક્રમને ઊંચા તાપમાને દબાવી શકાય છે. ઘણા અભ્યાસ કરાયેલા ઉદાહરણો આકારહીન સામગ્રી, ચશ્મા અથવા પાતળા ચુંબક છે. 'હતાશા' શબ્દ, ચુંબકીય પ્રણાલીઓના સંદર્ભમાં, ગેરાર્ડ તુલોઝ દ્વારા 1977માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. હતાશ ચુંબકીય પ્રણાલીઓનો અગાઉ પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રારંભિક કાર્યમાં 1950માં પ્રકાશિત જી. એચ. વાનિયર દ્વારા એન્ટિફેરોમેગ્નેટિકલી જોડાયેલા નજીકના પડોશી સ્પિન સાથે ત્રિકોણાકાર જાળી પર ઇસિંગ મોડેલનો અભ્યાસ સામેલ છે. સંબંધિત લક્ષણો સ્પર્ધાત્મક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે ચુંબકમાં જોવા મળે છે, જ્યાં સ્પિનની જોડી અથવા ચુંબકીય ક્ષણો વચ્ચે ફેરોમેગ્નેટિક તેમજ એન્ટિફેરોમેગ્નેટિક કપ્લિંગ્સ બંને હાજર હોય છે, જેમાં સ્પિનના અલગ અંતરના આધારે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રકાર હોય છે. તે કિસ્સામાં તુલનાત્મકતા, જેમ કે હેલિકલ સ્પિન વ્યવસ્થા, પરિણમી શકે છે, જેમ કે મૂળ રીતે ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, ખાસ કરીને, એ. યોશિમોરી, ટી. એ. કેપલાન, આર. જે. ઇલિયટ અને અન્ય લોકો દ્વારા, 1959 માં શરૂ કરીને, દુર્લભ-પૃથ્વી ધાતુઓ પરના પ્રાયોગિક તારણોનું વર્ણન કરવા માટે. હતાશ અથવા સ્પર્ધાત્મક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે આવી સ્પિન પ્રણાલીઓમાં નવેસરથી રસ લગભગ બે દાયકા પછી ઊભો થયો, 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં, સ્પિન ચશ્મા અને અવકાશી રીતે મોડ્યુલેટેડ ચુંબકીય સુપરસ્ટ્રક્ચર્સના સંદર્ભમાં. સ્પિન ગ્લાસમાં, ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓમાં સ્ટોકેસ્ટિક ડિસઓર્ડર દ્વારા હતાશા વધે છે, જે બિન-સ્ટોઇકોમેટ્રિક ચુંબકીય મિશ્રધાતુઓમાં પ્રાયોગિક રીતે થઈ શકે છે. હતાશા સાથે કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરાયેલા સ્પિન મોડેલોમાં સ્પિન ગ્લાસનું વર્ણન કરતા શેરિંગ્ટન-કિર્કપેટ્રિક મોડેલ અને સુસંગતતા ચુંબકીય સુપરસ્ટ્રક્ચરનું વર્ણન કરતા એ. એન. એન. એન. આઈ. મોડેલનો સમાવેશ થાય છે. તાજેતરમાં, ન્યુરલ જોડાણોના બિન-તુચ્છ સંયોજનને ઓળખવા અને મગજના એડજસ્ટેબલ તત્વોને પ્રકાશિત કરવા માટે મગજના નેટવર્ક વિશ્લેષણમાં હતાશાના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. ચુંબકીય ક્રમમાં ભૌમિતિક હતાશા એ ચુંબકત્વમાં એક મહત્વપૂર્ણ લક્ષણ છે, જ્યાં તે સ્પિનની સંબંધિત ગોઠવણીમાંથી ઉદ્ભવે છે. એક સરળ 2D ઉદાહરણ આકૃતિ 1 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ત્રણ ચુંબકીય આયનો ત્રિકોણના ખૂણાઓ પર તેમની વચ્ચે એન્ટીફેરોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે રહે છે; જ્યારે દરેક સ્પિન પડોશીઓની વિરુદ્ધમાં ગોઠવાય છે ત્યારે ઊર્જા ઓછી થાય છે. એકવાર પ્રથમ બે સ્પિન સમાંતર સંરેખિત થઈ જાય, ત્યારે ત્રીજું નિરાશ થાય છે કારણ કે તેની બે સંભવિત દિશાઓ, ઉપર અને નીચે, સમાન ઊર્જા આપે છે. ત્રીજું સ્પિન એક સાથે અન્ય બંને સાથે તેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને ઘટાડી શકતું નથી. આ અસર દરેક સ્પિન માટે થાય છે, તેથી જમીનની સ્થિતિ છ ગણી અધોગતિ પામે છે. માત્ર બે રાજ્યો જ્યાં બધી સ્પિન ઉપર અથવા નીચે હોય ત્યાં વધુ ઊર્જા હોય છે. તેવી જ રીતે ત્રણ પરિમાણોમાં, ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ગોઠવાયેલા ચાર સ્પિન (આકૃતિ 2) ભૌમિતિક હતાશાનો અનુભવ કરી શકે છે. જો સ્પિન વચ્ચે એન્ટીફેરોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા હોય, તો સ્પિનને ગોઠવવાનું શક્ય નથી જેથી સ્પિન વચ્ચેની તમામ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ વિરોધી સમાંતર હોય. છ નજીકની-પડોશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ છે, જેમાંથી ચાર સમાંતર છે અને તેથી અનુકૂળ છે, પરંતુ જેમાંથી બે (1 અને 2 ની વચ્ચે, અને 3 અને 4 ની વચ્ચે) પ્રતિકૂળ છે. તમામ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ અનુકૂળ હોવી અશક્ય છે, અને સિસ્ટમ નિરાશ છે. જો સ્પિન બિન-સમરેખીય રીતે ગોઠવવામાં આવે તો ભૌમિતિક હતાશા પણ શક્ય છે. જો આપણે સરળ અક્ષ (એટલે કે, ટેટ્રાહેડ્રોનના કેન્દ્રથી સીધા અથવા દૂર) તરફ નિર્દેશ કરતા દરેક શિરોબિંદુ પર સ્પિન સાથે ટેટ્રાહેડ્રોનને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી ચાર સ્પિન ગોઠવવાનું શક્ય છે જેથી કોઈ ચોખ્ખી સ્પિન ન હોય (આકૃતિ 3). આ સ્પિનની દરેક જોડી વચ્ચે એન્ટિફેરોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા થવાની બરાબર સમકક્ષ છે, તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ભૌમિતિક હતાશા નથી. આ અક્ષો સાથે, ભૌમિતિક હતાશા ઊભી થાય છે જો પડોશીઓ વચ્ચે લોહચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા હોય, જ્યાં સમાંતર સ્પિન દ્વારા ઊર્જા ઘટાડવામાં આવે છે. શ્રેષ્ઠ શક્ય વ્યવસ્થા આકૃતિ 4 માં દર્શાવવામાં આવી છે, જેમાં બે સ્પિન કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરે છે અને બે દૂર નિર્દેશ કરે છે. ચોખ્ખી ચુંબકીય ક્ષણ ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે, આ દિશામાં લોહચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને મહત્તમ કરે છે, પરંતુ ડાબી અને જમણી વેક્ટર રદ કરે છે (એટલે કે. એન્ટીફેરોમેગ્નેટિકલી સંરેખિત છે), જેમ કે આગળ અને પાછળ. બે સ્પિન આઉટ અને બે ઇન સાથે ત્રણ અલગ અલગ સમકક્ષ વ્યવસ્થાઓ છે, તેથી જમીનની સ્થિતિ ત્રણ ગણી અધોગતિ પામે છે. ગાણિતિક વ્યાખ્યા ગાણિતિક વ્યાખ્યા સરળ છે (અને ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં કહેવાતા વિલ્સન લૂપની સમાન છે): ઉદાહરણ તરીકે G એ ગ્રાફ ગણવામાં આવે છે તે સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિઓ ("કુલ ઊર્જા" અથવા "હેમિલ્ટોનિયન") ને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જ્યારે માત્રા નજીકના પડોશીઓ વચ્ચેની કહેવાતા "વિનિમય ઊર્જા" છે, જે (ગણવામાં આવતા ઊર્જા એકમોમાં) મૂલ્યો ±1 (ગાણિતિક રીતે, આ હસ્તાક્ષરિત ગ્રાફ છે) ધારે છે, જ્યારે તે સ્કેલર અથવા વેક્ટરિયલ સ્પિન અથવા સ્યુડો-સ્પિનના આંતરિક ઉત્પાદનો છે. જો આલેખ Gમાં ચતુર્ભુજ અથવા ત્રિકોણાકાર ચહેરો P હોય, તો નીચેના પ્રકારના કહેવાતા "પ્લેક્વેટ ચલ" PW, "લૂપ-ઉત્પાદનો" દેખાય છેઃ અને અનુક્રમે, જેને "હતાશા ઉત્પાદનો" પણ કહેવામાં આવે છે. કોઈએ આ ઉત્પાદનો પર સરવાળો કરવો પડે છે, જેનો સારાંશ તમામ તકતીઓ પર હોય છે. એક જ પટ્ટાનું પરિણામ + 1 અથવા-1 હોય છે. છેલ્લા ઉલ્લેખિત કિસ્સામાં પ્લેક્વેટ "ભૌમિતિક રીતે હતાશ" છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે પરિણામમાં એક સરળ ગેજ ઇનવેરિયન્સ છેઃ તે બદલાતું નથી-ન તો અન્ય માપી શકાય તેવી માત્રાઓ, દા. ત. "કુલ ઊર્જા"-ભલે સ્થાનિક રીતે વિનિમય સંકલન અને સ્પિન એક સાથે નીચે પ્રમાણે સુધારવામાં આવેઃ અહીં εi અને εk સંખ્યાઓ મનસ્વી સંકેતો છે, એટલે કે. + 1 અથવા-1, જેથી સુધારેલ માળખું સંપૂર્ણપણે અવ્યવસ્થિત દેખાઈ શકે. જોકે હતાશા પરનું મોટાભાગનું અગાઉનું અને વર્તમાન સંશોધન સ્પિન પ્રણાલીઓ પર કેન્દ્રિત છે, આ ઘટનાનો પ્રથમ અભ્યાસ સામાન્ય બરફમાં કરવામાં આવ્યો હતો. 1936માં ગિયાક અને સ્ટાઉટે ધ એન્ટ્રોપી ઓફ વોટર એન્ડ ધ થર્ડ લો ઓફ થર્મોડાયનેમિક્સ પ્રકાશિત કર્યું હતું. 15 K થી 273 K સુધી બરફની ઉષ્મા ક્ષમતા, ઉચ્ચ તાપમાન વાયુ તબક્કા સુધી ઠંડું અને બાષ્પીભવન સંક્રમણો દ્વારા પાણી પર કેલરીમીટર માપનની જાણ કરે છે. એન્ટ્રોપીની ગણતરી ગરમીની ક્ષમતાને એકીકૃત કરીને અને સુપ્ત ગરમીના યોગદાનને ઉમેરીને કરવામાં આવી હતી; ડેબીના તાજેતરમાં મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નીચા તાપમાનના માપને શૂન્ય પર એક્સટ્રાપોલેટ કરવામાં આવ્યા હતા. પરિણામી એન્ટ્રોપી, S1 = 44.28 કેલ/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) ની સરખામણી આદર્શ વાયુ, S2 = 45.10 કેલ/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K) ના આંકડાકીય મિકેનિક્સના સૈદ્ધાંતિક પરિણામ સાથે કરવામાં આવી હતી. બે મૂલ્યો S0 = 0.82 ± 0.05 કેલરી/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) દ્વારા અલગ પડે છે. આ પરિણામ પછી લિનસ પૌલિંગ દ્વારા એક ઉત્તમ અંદાજમાં સમજાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે બરફમાં પ્રોટોનના આંતરિક રૂપરેખાંકન વિકારને કારણે શૂન્ય તાપમાન પર મર્યાદિત એન્ટ્રોપી (0.81 કેલરી/(કે. મોલ) અથવા 3.4 જે/(મોલ કે) તરીકે અંદાજિત) ધરાવે છે. ષટ્કોણ અથવા ઘન બરફના તબક્કામાં ઓક્સિજન આયન O-O બંધની લંબાઈ 2.76 Å (276 પી. એમ.) સાથે ચતુષ્ફલકીય માળખું બનાવે છે, જ્યારે O-H બંધની લંબાઈ માત્ર 0.96 Å (96 પી. એમ.) માપે છે. આકૃતિ 5માં બતાવ્યા પ્રમાણે દરેક ઓક્સિજન (સફેદ) આયન ચાર હાઇડ્રોજન આયન (કાળા) થી ઘેરાયેલું છે અને દરેક હાઇડ્રોજન આયન 2 ઓક્સિજન આયનથી ઘેરાયેલું છે. આંતરિક H2O પરમાણુ માળખું જાળવી રાખીને, પ્રોટોનની લઘુતમ ઊર્જા સ્થિતિ બે નજીકના ઓક્સિજન આયનો વચ્ચે અડધી નથી. હાઇડ્રોજન O-O બંધની રેખા પર બે સમકક્ષ સ્થિતિઓ ધરાવે છે, એક દૂરની અને એક નજીકની સ્થિતિ. આમ એક નિયમ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ રૂપરેખાંકન માટે પ્રોટોનની સ્થિતિની હતાશા તરફ દોરી જાય છેઃ દરેક ઓક્સિજન માટે બે પડોશી પ્રોટોન દૂરની સ્થિતિમાં હોવા જોઈએ અને તેમાંથી બે નજીકના સ્થાને હોવા જોઈએ, કહેવાતા 'બરફના નિયમો'. પૌલિંગે પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો કે બરફની ખુલ્લી ચતુષ્ફલકીય રચના બરફના નિયમોને સંતોષતી ઘણી સમકક્ષ સ્થિતિઓ પૂરી પાડે છે. પૌલિંગે રૂપરેખાંકન એન્ટ્રોપીની ગણતરી નીચેની રીતે કરીઃ બરફના એક મોલને ધ્યાનમાં લો, જેમાં NO2− અને 2N પ્રોટોન હોય છે. દરેક O-O બંધ પ્રોટોન માટે બે સ્થાનો ધરાવે છે, જે 22N સંભવિત રૂપરેખાંકનો તરફ દોરી જાય છે. જો કે, દરેક ઓક્સિજન સાથે સંકળાયેલ 16 સંભવિત રૂપરેખાંકનોમાંથી, માત્ર 6 ઊર્જાસભર રીતે અનુકૂળ છે, જે H2O પરમાણુ અવરોધ જાળવી રાખે છે. પછી જમીનની સ્થિતિ જે સંખ્યાઓ લઈ શકે છે તેની ઉપરની સીમા ω <22N () N તરીકે અંદાજવામાં આવે છે. અનુરૂપ રૂપરેખાંકિત એન્ટ્રોપી S0 = kBln (ω) = NkBln () = 0.81 કેલરી/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) એ ગિયાક અને સ્ટાઉટ દ્વારા માપવામાં આવેલી ગુમ થયેલ એન્ટ્રોપી સાથે આશ્ચર્યજનક સમજૂતીમાં છે. પૌલિંગની ગણતરીમાં પ્રોટોનની સંખ્યા પર વૈશ્વિક અવરોધ અને વુર્ટ્ઝાઇટ જાળી પર બંધ લૂપ્સમાંથી ઉદ્ભવતા સ્થાનિક અવરોધ બંનેની અવગણના કરવામાં આવી હોવા છતાં, પછીથી આ અંદાજ ઉત્તમ ચોકસાઈનો હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. સ્પિન બરફ એક ગાણિતિક રીતે પાણીના બરફમાં અધોગતિ જેવી સ્થિતિ સ્પિન બરફમાં જોવા મળે છે. એક સામાન્ય સ્પિન બરફ માળખું આકૃતિ 6 માં ક્યુબિક પાયરોક્લોર માળખામાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જેમાં ચાર ખૂણાઓમાંથી દરેક પર એક ચુંબકીય અણુ અથવા આયન રહે છે. સામગ્રીમાં મજબૂત સ્ફટિક ક્ષેત્રને કારણે, દરેક ચુંબકીય આયનોને મોટી ક્ષણ સાથે આઈસિંગ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ડબલ્ટ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ સ્થાનિક ક્વોન્ટાઇઝેશન અક્ષ, <111> ક્યુબિક અક્ષો સાથે નિશ્ચિત સ્પિન સાથે કોર્નર-શેરિંગ ટેટ્રાહેડ્રલ જાળી પર રહેતા ઇસિંગ સ્પિનનું ચિત્ર સૂચવે છે, જે દરેક ટેટ્રાહેડ્રલ શિરોબિંદુને કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખાઓ સાથે મેળ ખાય છે. દરેક ટેટ્રાહેડ્રલ કોષમાં ઊર્જાને ઘટાડવા માટે બે સ્પિન અંદર તરફ નિર્દેશ કરતી હોવી જોઈએ અને બે બહાર નિર્દેશ કરતી હોવી જોઈએ. હાલમાં સ્પિન બરફનું મોડેલ લગભગ વાસ્તવિક સામગ્રી દ્વારા સાકાર થયું છે, જેમાં સૌથી વધુ નોંધપાત્ર રીતે દુર્લભ પૃથ્વીના પાયરોક્લોર્સ હો2ટી2ઓ7, ડાય2ટી2ઓ7 અને હો2એસએન2ઓ7 છે. આ તમામ પદાર્થો નીચા તાપમાને બિન-શૂન્ય અવશેષ એન્ટ્રોપી દર્શાવે છે. પૌલિંગના મોડેલનું વિસ્તરણઃ સામાન્ય હતાશા સ્પિન બરફ મોડેલ એ હતાશ પ્રણાલીઓનો માત્ર એક પેટા વિભાગ છે. હતાશા શબ્દ શરૂઆતમાં તેના ઘટકો વચ્ચેની સ્પર્ધાત્મક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાને એક સાથે ઘટાડવામાં સિસ્ટમની અસમર્થતાને વર્ણવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય રીતે હતાશા કાં તો સાઇટ ડિસઓર્ડરને કારણે સ્પર્ધાત્મક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ દ્વારા થાય છે (વિલન મોડેલ પણ જુઓ) અથવા ત્રિકોણાકાર, ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક (એફસીસી), ષટ્કોણ-ક્લોઝ-પેક્ડ, ટેટ્રાહેડ્રોન, પાયરોક્લોર અને એન્ટીફેરોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે કેગોમ લેટીસ જેવા જાળી માળખા દ્વારા થાય છે. તેથી હતાશાને બે વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવે છેઃ પ્રથમ સ્પિન ગ્લાસને અનુરૂપ છે, જે માળખામાં અવ્યવસ્થા અને સ્પિનમાં હતાશા બંને ધરાવે છે; બીજું ક્રમબદ્ધ જાળીની રચના અને સ્પિનની હતાશા સાથે ભૌમિતિક હતાશા છે. સ્પિન ગ્લાસની હતાશાને આર. કે. કે. વાય. મોડેલના માળખામાં સમજવામાં આવે છે, જેમાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો ગુણધર્મ, કાં તો લોહચુંબકીય અથવા લોહચુંબકીય વિરોધી, બે ચુંબકીય આયનોના અંતર પર આધારિત હોય છે. સ્પિન ગ્લાસમાં લેટીસ ડિસઓર્ડરને કારણે, રસની એક સ્પિન અને તેના નજીકના પડોશીઓ જુદા જુદા અંતર પર હોઈ શકે છે અને એક અલગ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ગુણધર્મ ધરાવે છે, જે આમ સ્પિનની વિવિધ પસંદગીની ગોઠવણી તરફ દોરી જાય છે. કૃત્રિમ ભૌમિતિક રીતે હતાશ ફેરોમૅગ્નેટ લિથોગ્રાફી તકનીકોની મદદથી, પેટા-માઇક્રોમીટર કદના ચુંબકીય ટાપુઓનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે, જેની ભૌમિતિક વ્યવસ્થા કુદરતી રીતે બનતી સ્પિન બરફ સામગ્રીમાં જોવા મળતી હતાશાને પુનઃઉત્પાદિત કરે છે. તાજેતરમાં આર. એફ. વાંગ એટ અલ. લિથોગ્રાફિકલી બનાવટી સિંગલ-ડોમેન ફેરોમેગ્નેટિક ટાપુઓના એરેથી બનેલા કૃત્રિમ ભૌમિતિક રીતે હતાશ ચુંબકની શોધની જાણ કરી. આ ટાપુઓને હાથ વડે ગોઠવવામાં આવે છે જેથી તે બરફને સ્પિન કરવા માટે દ્વિ-પરિમાણીય એનાલોગ બનાવી શકે. ક્રમબદ્ધ 'સ્પિન' ટાપુઓની ચુંબકીય ક્ષણોને ચુંબકીય બળ માઇક્રોસ્કોપી (એમ. એફ. એમ.) સાથે ચિત્રિત કરવામાં આવી હતી અને પછી હતાશાના સ્થાનિક સમાયોજનનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. હતાશ ચુંબકના ચોરસ જાળી પરના તેમના અગાઉના કાર્યમાં, તેઓએ નીચા તાપમાને સ્પિન બરફની જેમ બરફ જેવા ટૂંકા અંતરના સહસંબંધો અને લાંબા અંતરના સહસંબંધોની ગેરહાજરી બંનેનું નિરીક્ષણ કર્યું હતું. આ પરિણામો અજ્ઞાત જમીનને મજબૂત બનાવે છે જેના પર હતાશાના વાસ્તવિક ભૌતિકશાસ્ત્રની કલ્પના કરી શકાય છે અને આ કૃત્રિમ ભૌમિતિક રીતે હતાશ ચુંબક દ્વારા તેનું અનુકરણ કરી શકાય છે, અને વધુ સંશોધન પ્રવૃત્તિને પ્રેરણા આપે છે. મેગ્નેટો-ઓપ્ટિકલ કેર ઇફેક્ટનો ઉપયોગ કરીને બાહ્ય ક્ષેત્ર પ્રત્યેના તેમના વૈશ્વિક પ્રતિભાવનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ કૃત્રિમ રીતે હતાશ થયેલા ફેરોમૅગ્નેટ અનન્ય ચુંબકીય ગુણધર્મો પ્રદર્શિત કરી શકે છે. ખાસ કરીને, ચોરસ જાળી બળજબરીની બિન-એકવિધ કોણીય અવલંબન કૃત્રિમ સ્પિન બરફ પ્રણાલીમાં અવ્યવસ્થા સાથે સંબંધિત હોવાનું જોવા મળે છે. જાળી વિના ભૌમિતિક હતાશા અન્ય પ્રકારની ભૌમિતિક હતાશા સ્થાનિક ક્રમના પ્રસારથી ઉદ્ભવે છે. કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્રી જે મુખ્ય પ્રશ્નનો સામનો કરે છે તે ઘન પદાર્થની સ્થિરતાને સમજાવવાનો છે. કેટલીકવાર રાસાયણિક પ્રકૃતિના કેટલાક સ્થાનિક નિયમો સ્થાપિત કરવા શક્ય છે, જે ઓછી ઊર્જા ગોઠવણી તરફ દોરી જાય છે અને તેથી માળખાકીય અને રાસાયણિક ક્રમને નિયંત્રિત કરે છે. સામાન્ય રીતે આવું થતું નથી અને ઘણીવાર સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સ્થાનિક ક્રમ મુક્તપણે પ્રચાર કરી શકતો નથી, જે ભૌમિતિક હતાશા તરફ દોરી જાય છે. આ તમામ પ્રણાલીઓનું એક સામાન્ય લક્ષણ એ છે કે, સરળ સ્થાનિક નિયમો હોવા છતાં, તેઓ ઘણીવાર જટિલ, માળખાકીય અનુભૂતિઓનો મોટો સમૂહ રજૂ કરે છે. ભૌમિતિક હતાશા ઘનીકરણ દ્રવ્યના ક્ષેત્રોમાં ભૂમિકા ભજવે છે, જેમાં ક્લસ્ટરો અને આકારહીન ઘન પદાર્થોથી લઈને જટિલ પ્રવાહી સુધીનો સમાવેશ થાય છે. આ ગૂંચવણોને ઉકેલવા માટે અભિગમની સામાન્ય પદ્ધતિ બે પગલાંને અનુસરે છે. પ્રથમ, જગ્યા વળાંકને મંજૂરી આપીને સંપૂર્ણ જગ્યા ભરવાની મર્યાદાને હળવી કરવામાં આવે છે. આ વક્ર જગ્યામાં એક આદર્શ, અનિશ્ચિત માળખું વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે. પછી, આ આદર્શ નમૂનાને ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં સમાવવા માટે ચોક્કસ વિકૃતિઓ લાગુ કરવામાં આવે છે. અંતિમ માળખું એ ક્રમબદ્ધ પ્રદેશોનું મિશ્રણ છે, જ્યાં સ્થાનિક ક્રમ નમૂના જેવો જ હોય છે, અને એમ્બેડિંગમાંથી થતી ખામીઓ હોય છે. સંભવિત ખામીઓ પૈકી, વલણ એક મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સ્થાનિક નિયમો અને ભૂમિતિ વચ્ચેની સ્પર્ધાના મૂળ વિશે થોડી સમજ મેળવવા માટે સરળ દ્વિ-પરિમાણીય ઉદાહરણો દ્વિ-પરિમાણીય ઉદાહરણો મદદરૂપ થાય છે. પ્રથમ સમતલ પર સમાન ડિસ્ક (કાલ્પનિક દ્વિ-પરિમાણીય ધાતુ માટેનું એક મોડેલ) ની ગોઠવણીનો વિચાર કરો; આપણે માનીએ છીએ કે ડિસ્ક વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા આઇસોટ્રોપિક છે અને સ્થાનિક રીતે ડિસ્કને શક્ય તેટલી ગીચ રીતે ગોઠવવાનું વલણ ધરાવે છે. ત્રણ ડિસ્ક માટે શ્રેષ્ઠ વ્યવસ્થા ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત ડિસ્ક કેન્દ્રો સાથેનો એક સમબાહુ ત્રિકોણ છે. તેથી લાંબા અંતરની રચનાનો અભ્યાસ ઘટાડીને સમબાહુ ત્રિકોણ સાથેના સમતલ ઝુકાવ સુધી ઘટાડી શકાય છે. સ્થાનિક અને વૈશ્વિક નિયમો વચ્ચેની સંપૂર્ણ સુસંગતતા સાથે ત્રિકોણાકાર ટાઇલિંગ દ્વારા એક જાણીતો ઉકેલ આપવામાં આવે છેઃ આ પ્રણાલીને "અવિશ્વસનીય" કહેવામાં આવે છે. પરંતુ હવે, જ્યારે અણુઓ નિયમિત પંચકોણની ટોચ પર બેસે છે ત્યારે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા ઓછામાં ઓછી હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ પંચકોણની વહેંચણી ધાર (અણુ બંધ) અને શિરોબિંદુઓ (અણુ) નું લાંબા અંતર સુધી ફેલાવવાનો પ્રયાસ કરવો અશક્ય છે. આ નિયમિત પેન્ટાગોન સાથે પ્લેનને ટાઇલ કરવાની અશક્યતાને કારણે છે, કારણ કે પેન્ટાગોન શિરોબિંદુ કોણ 2 ને વિભાજિત કરતું નથી. આવા ત્રણ પંચકોણ એક સામાન્ય શિરોબિંદુ પર સરળતાથી ફિટ થઈ શકે છે, પરંતુ બે ધાર વચ્ચે અંતર રહે છે. આ પ્રકારની વિસંગતતાને "ભૌમિતિક હતાશા" કહેવામાં આવે છે. આ મુશ્કેલીમાંથી બહાર આવવાનો એક રસ્તો છે. ટાઇલ કરેલી સપાટીને કોઈપણ પૂર્વનિર્ધારિત ટોપોલોજીથી મુક્ત થવા દો, અને ચાલો આપણે સ્થાનિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા નિયમના કડક ઉપયોગ સાથે ટાઇલિંગ બનાવીએ. આ સરળ ઉદાહરણમાં, આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે સપાટી ગોળાની ટોપોલોજીને વારસામાં મેળવે છે અને તેથી વળાંક મેળવે છે. અંતિમ માળખું, અહીં પંચકોણીય ડોડેકાહેડ્રોન, પંચકોણીય ક્રમના સંપૂર્ણ પ્રસાર માટે પરવાનગી આપે છે. માનવામાં આવતી રચના માટે તેને "આદર્શ" (ખામી મુક્ત) મોડેલ કહેવામાં આવે છે. ગાઢ રચનાઓ અને ચતુષ્ફલકીય આવરણ ધાતુઓની સ્થિરતા એ ઘન અવસ્થા ભૌતિકશાસ્ત્રનો લાંબા સમયથી ચાલતો પ્રશ્ન છે, જેને માત્ર હકારાત્મક રીતે ચાર્જ કરેલા આયનો અને સંયોજકતા અને વહન ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને યોગ્ય રીતે ધ્યાનમાં લઈને ક્વોન્ટમ યાંત્રિક માળખામાં સમજી શકાય છે. તેમ છતાં ધાતુના બંધનના ખૂબ જ સરળ ચિત્રનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે અને માત્ર આઇસોટ્રોપિક પ્રકારની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ રાખે છે, જે માળખા તરફ દોરી જાય છે જેને ગીચ રીતે ભરેલા ગોળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને ખરેખર સ્ફટિકીય સરળ ધાતુની રચનાઓ ઘણીવાર કાં તો ક્લોઝ પેક ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક (એફસીસી) અથવા હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ (એચસીપી) જાળી હોય છે. અમુક હદ સુધી આકારહીન ધાતુઓ અને ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સને ગોળાઓના નજીકના પેકિંગ દ્વારા પણ તૈયાર કરી શકાય છે. સ્થાનિક અણુ ક્રમ ટેટ્રાહેડ્રાના નજીકના પેકિંગ દ્વારા સારી રીતે તૈયાર કરવામાં આવે છે, જે અપૂર્ણ આઇકોસાહેડ્રલ ક્રમ તરફ દોરી જાય છે. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન એ ચાર સમાન ગોળાઓના પેકિંગ માટે સૌથી ગીચ ગોઠવણી છે. આમ સખત ગોળાઓની સમસ્યાના ગાઢ રેન્ડમ પેકિંગને ટેટ્રાહેડ્રલ પેકિંગ સમસ્યા પર મેપ કરી શકાય છે. માત્ર ટેટ્રાહેડ્રલ રૂપરેખાંકનો બનાવવા માટે ટેબલ ટેનિસના દડાઓને પેક કરવાનો પ્રયાસ કરવો એ એક વ્યવહારુ કવાયત છે. એક સંપૂર્ણ ટેટ્રાહેડ્રોન તરીકે ગોઠવાયેલા ચાર દડાઓથી શરૂ થાય છે, અને નવા ટેટ્રાહેડ્રાની રચના કરતી વખતે નવા ગોળા ઉમેરવાનો પ્રયાસ કરે છે. આગામી ઉકેલ, પાંચ દડા સાથે, સામાન્ય રીતે બે ટેટ્રાહેડ્રા એક સામાન્ય ચહેરો વહેંચે છે; નોંધ લો કે પહેલેથી જ આ ઉકેલ સાથે, એફસીસી માળખું, જેમાં વ્યક્તિગત ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રો હોય છે, તે આવી ગોઠવણી દર્શાવતું નથી (ટેટ્રાહેડ્રા ધાર વહેંચે છે, ચહેરા નહીં). છ દડાઓ સાથે, ત્રણ નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રાનું નિર્માણ થાય છે, અને ક્લસ્ટર તમામ સઘન સ્ફટિકીય માળખાઓ (એફસીસી અને એચસીપી) સાથે અસંગત છે. સાતમો ગોળા ઉમેરવાથી એક નવો સમૂહ મળે છે જેમાં બે "અક્ષીય" દડા એકબીજાને સ્પર્શ કરે છે અને અન્ય પાંચ દડા પછીના બે દડાઓને સ્પર્શ કરે છે, બાહ્ય આકાર લગભગ નિયમિત પંચકોણીય દ્વિ-પિરામિડ છે. જો કે, હવે આપણે એક વાસ્તવિક પેકિંગ સમસ્યાનો સામનો કરી રહ્યા છીએ, જે બે પરિમાણોમાં પંચકોણીય ટાઇલિંગ સાથે ઉપરના સમાન છે. ટેટ્રાહેડ્રોનનો ડાયહેડ્રલ ખૂણો 2 સાથે સરખાવાય તેમ નથી; પરિણામે, પડોશી ટેટ્રાહેડ્રાના બે ચહેરાઓ વચ્ચે એક છિદ્ર રહે છે. પરિણામે, યુક્લિડિયન જગ્યા R3 ની સંપૂર્ણ ટાઇલિંગ નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રા સાથે અશક્ય છે. હતાશાનું ટોપોલોજિકલ પાત્ર છેઃ યુક્લિડિયન જગ્યાને ટેટ્રાહેડ્રાથી ભરવું અશક્ય છે, ગંભીર રીતે વિકૃત પણ, જો આપણે લાદવું કે ટેટ્રાહેડ્રાની સતત સંખ્યા (અહીં પાંચ) એક સામાન્ય ધાર ધરાવે છે. આગળનું પગલું નિર્ણાયક છેઃ જગ્યામાં વળાંકને મંજૂરી આપીને અનિશ્ચિત માળખાની શોધ, જેથી સ્થાનિક રૂપરેખાંકનો સમગ્ર જગ્યામાં સમાન રીતે અને ખામી વિના ફેલાય. ટેટ્રાહેડ્રાનું નિયમિત પેકિંગઃ પોલીટોપ {3,3,5} વીસ અનિયમિત ટેટ્રાહેડ્રાનું પેક સામાન્ય શિરોબિંદુ સાથે એવી રીતે હોય છે કે બાર બાહ્ય શિરોબિંદુઓ નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન બનાવે છે. ખરેખર, આઇકોસાહેડ્રોન ધારની લંબાઈ l એ પરિઘક્ષેત્રની ત્રિજ્યા r (l ≈ 1.05r) કરતા થોડી લાંબી છે. જો જગ્યા યુક્લિડિયન ન હોય, પરંતુ ગોળાકાર હોય તો નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રા સાથે એક ઉકેલ છે. તે પોલિટોપ {3,3,5} છે, જે શ્લાફલી નોટેશનનો ઉપયોગ કરે છે, જેને 600-કોષ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ત્યાં એકસો વીસ શિરોબિંદુઓ છે જે બધા અતિસંવેદનશીલ S3 સાથે સંબંધિત છે જેની ત્રિજ્યા સુવર્ણ ગુણોત્તર (φ =) ની બરાબર છે જો ધાર એકમ લંબાઈની હોય. છસો કોષો નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રા છે જે સામાન્ય ધારની આસપાસ પાંચ દ્વારા અને સામાન્ય શિરોબિંદુની આસપાસ વીસ દ્વારા જૂથબદ્ધ છે. આ માળખાને પોલીટોપ કહેવામાં આવે છે (જુઓ કોક્સેટર) જે બહુકોણ અને પોલીહેડ્રા ધરાવતી શ્રેણીમાં ઉચ્ચ પરિમાણમાં સામાન્ય નામ છે. જો આ માળખું ચાર પરિમાણોમાં સમાયેલું હોય તો પણ તેને ત્રિ-પરિમાણીય (વક્ર) મેનીફોલ્ડ માનવામાં આવે છે. આ મુદ્દો નીચેના કારણોસર વૈચારિક રીતે મહત્વપૂર્ણ છે. વક્ર અવકાશમાં રજૂ કરવામાં આવેલા આદર્શ નમૂનાઓ ત્રિ-પરિમાણીય વક્ર નમૂનાઓ છે. તેઓ સ્થાનિક રીતે ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન નમૂનાઓ તરીકે દેખાય છે. તેથી, {3,3,5} પોલીટોપ, જે ટેટ્રાહેડ્રા દ્વારા ટાઇલિંગ છે, જો અણુઓ તેના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત હોય તો તે ખૂબ જ ગાઢ અણુ માળખું પ્રદાન કરે છે. તેથી તેનો કુદરતી રીતે આકારહીન ધાતુઓ માટે નમૂના તરીકે ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ કોઈએ એ ન ભૂલવું જોઈએ કે તે ક્રમિક આદર્શીકરણની કિંમત પર છે. સાહિત્ય સંદર્ભો ઘનીકરણ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્ર થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી ચુંબકીય ક્રમ