Gas in a harmonic trap
ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના પરિણામોનો ઉપયોગ હાર્મોનિક ટ્રેપમાં ક્વોન્ટમ આદર્શ ગેસ માટે સંતુલનની સ્થિતિને જોવા માટે થઈ શકે છે, જે એક હાર્મોનિક પોટેન્શિયલ છે જેમાં મોટી સંખ્યામાં કણો હોય છે જે તાત્કાલિક થર્મલાઈઝિંગ અથડામણ સિવાય એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા નથી. આ પરિસ્થિતિ ખૂબ જ વ્યવહારુ મહત્વ ધરાવે છે કારણ કે બોસ વાયુઓના ઘણા પ્રાયોગિક અભ્યાસો આવા હાર્મોનિક ફાંસોમાં હાથ ધરવામાં આવે છે. મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન સ્ટેટિસ્ટિક્સ, બોસ-આઈન્સ્ટાઈન સ્ટેટિસ્ટિક્સ અથવા ફર્મી-ડીરાક સ્ટેટિસ્ટિક્સમાંથી પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને આપણે થોમસ-ફર્મી અંદાજ (બૉક્સમાં ગેસ) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને ખૂબ મોટી જાળની મર્યાદા સુધી જઈએ છીએ, અને ઊર્જા સ્થિતિઓ () ની અધોગતિને વિભેદક તરીકે વ્યક્ત કરીએ છીએ, અને સ્થિતિઓ પર સંકલનને સંકલન તરીકે વ્યક્ત કરીએ છીએ. પછી આપણે પાર્ટીશન ફંક્શન અથવા ગ્રાન્ડ પાર્ટીશન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને ગેસના થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોની ગણતરી કરવાની સ્થિતિમાં હોઈશું. માત્ર મોટા કણોના કેસને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, જો કે પરિણામો દળહીન કણો સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જેમ કે બૉક્સમાં આદર્શ ગેસના કિસ્સામાં કરવામાં આવ્યું હતું. વધુ સંપૂર્ણ ગણતરીઓ અલગ લેખો પર છોડી દેવામાં આવશે, પરંતુ કેટલાક સરળ ઉદાહરણો આ લેખમાં આપવામાં આવશે. સ્થિતિઓની અધોગતિ માટે થોમસ-ફર્મી અંદાજ હાર્મોનિક કૂવામાં મોટા કણો માટે, કણોની સ્થિતિઓ ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓના સમૂહ દ્વારા ગણવામાં આવે છે. કોઈ ચોક્કસ સ્થિતિની ઊર્જા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ધારો કે ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓનો દરેક સમૂહ એ સ્થિતિઓને સ્પષ્ટ કરે છે કે જ્યાં અથડામણ દ્વારા બદલી શકાય તેવા કણોની આંતરિક સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્પિન-1/2 કણમાં દરેક સ્પિન સ્થિતિ માટે એક હશે. આપણે કણોની દરેક સંભવિત સ્થિતિને હકારાત્મક પૂર્ણાંકોની ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રીડ પરના બિંદુ તરીકે વિચારી શકીએ છીએ. થોમસ-ફર્મી અંદાજ ધારે છે કે ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ એટલી મોટી છે કે તેમને સાતત્ય ગણી શકાય. ના મોટા મૂલ્યો માટે, આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણમાંથી ઓછી અથવા સમાન ઊર્જા ધરાવતી સ્થિતિઓની સંખ્યાનો અંદાજ આ રીતે લગાવી શકીએ છીએઃ જે ઊર્જા સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ સમતલ દ્વારા રચાયેલા ટેટ્રાહેડ્રોનના કદ અને હકારાત્મક અષ્ટકના બાઉન્ડિંગ પ્લેનની માત્ર ગણી છે. તેથી અને વચ્ચે ઊર્જા ધરાવતી સ્થિતિઓની સંખ્યા છેઃ નોંધ લો કે આ સાતત્ય અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઓછી-ઊર્જા સ્થિતિઓને લાક્ષણિકતા આપવાની ક્ષમતા ગુમાવી દીધી છે, જેમાં જમીનની સ્થિતિ ક્યાં છે તેનો સમાવેશ થાય છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં આ કોઈ સમસ્યા નહીં હોય, પરંતુ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન ઘનીકરણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, જેમાં ગેસનો મોટો ભાગ જમીનની સ્થિતિમાં અથવા તેની નજીક હોય છે, આપણે ઓછી ઉર્જા સ્થિતિઓ સાથે વ્યવહાર કરવાની ક્ષમતાને પુનઃપ્રાપ્ત કરવાની જરૂર પડશે. સાતત્ય અંદાજનો ઉપયોગ કર્યા વિના, ઊર્જા ધરાવતા કણોની સંખ્યા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં બોસ-આઈન્સ્ટાઈન આંકડાનું પાલન કરતા કણો માટે મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન આંકડાનું પાલન કરતા કણો માટે {|-| | | ફર્મિ-ડિરેક આંકડાનું પાલન કરતા કણો માટે | | સાથે, બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક હોવા સાથે, તાપમાન અને રાસાયણિક ક્ષમતા હોવા સાથે. સાતત્ય અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, અને અને વચ્ચે ઊર્જા ધરાવતા કણોની સંખ્યા હવે લખવામાં આવે છેઃ ઊર્જા વિતરણ કાર્ય આપણે હવે "હાર્મોનિક ટ્રેપમાં ગેસ" માટે કેટલાક વિતરણ કાર્યો નક્કી કરવાની સ્થિતિમાં છીએ. કોઈપણ ચલ માટેનું વિતરણ કાર્ય એ અને તે કણોના અપૂર્ણાંક જેટલું છે જે અને વચ્ચે મૂલ્યો ધરાવે છેઃ તે અનુસરે છે કેઃ આ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઊર્જા વિતરણ કાર્ય મેળવીએ છીએઃ ચોક્કસ ઉદાહરણો નીચેના વિભાગો કેટલાક ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં પરિણામોનું ઉદાહરણ આપે છે. વિશાળ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન કણો આ કેસ માટેઃ ઊર્જા વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરવું અને આપે છે તે માટે ઉકેલવુંઃ મૂળ ઊર્જા વિતરણ કાર્યમાં અવેજી આપવાથી મળે છેઃ વિશાળ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કણો આ કેસ માટેઃ જ્યાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ઊર્જા વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરવું અને આપે છે તે માટે ઉકેલવુંઃ પોલિલોગેરિધમ કાર્ય ક્યાં છે. બહુપતિકાક્ષર શબ્દ હંમેશા હકારાત્મક અને વાસ્તવિક હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય 0 થી 1 સુધી જશે. જેમ જેમ તાપમાન શૂન્ય પર જાય છે તેમ તેમ તે મોટું અને મોટું થતું જશે, જ્યાં સુધી આખરે નિર્ણાયક મૂલ્ય સુધી પહોંચશે, જ્યાં અને તે તાપમાન કે જેના પર નિર્ણાયક તાપમાન છે જેના પર બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ રચવાનું શરૂ થાય છે. સમસ્યા એ છે કે, ઉપર જણાવ્યા મુજબ, સાતત્ય અંદાજમાં જમીનની સ્થિતિને અવગણવામાં આવી છે. તે તારણ આપે છે કે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ ઉત્તેજિત સ્થિતિમાં બોસોનની સંખ્યાને સારી રીતે વ્યક્ત કરે છે, અને તેથી આપણે લખી શકીએ છીએઃ જ્યાં ઉમેરાયેલ શબ્દ જમીનની સ્થિતિમાં કણોની સંખ્યા છે. (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એનર્જીની અવગણના કરવામાં આવી છે.) આ સમીકરણ શૂન્ય તાપમાન સુધી ટકી રહેશે. વધુ પરિણામો આદર્શ બોસ ગેસ પરના લેખમાં મળી શકે છે. વિશાળ ફર્મિ-ડાયરેક કણો (દા. ત. ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રોન) આ કિસ્સામાંઃ ઊર્જા વિતરણ કાર્યને એકીકૃત કરવાથી મળે છેઃ જ્યાં ફરીથી, પોલિલોગેરિધમ કાર્ય છે. વધુ પરિણામો આદર્શ ફર્મી ગેસ પરના લેખમાં મળી શકે છે. સંદર્ભો હુઆંગ, કેર્સન, "સ્ટેટિસ્ટિકલ મિકેનિક્સ", જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ન્યૂયોર્ક, 1967 એ. ઇસિહારા, "સ્ટેટિસ્ટિકલ ફિઝિક્સ", એકેડેમિક પ્રેસ, ન્યૂયોર્ક, 1971 એલ. ડી. લાન્દાઉ અને ઇ. એમ. લાઇફશિટ્ઝ, "સ્ટેટિસ્ટિકલ ફિઝિક્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ ભાગ 1", બટરવર્થ-હેઇનમેન, ઓક્સફર્ડ, 1996 સી. જે. પેથિક અને એચ. સ્મિથ, "બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેશન ઇન ડિલ્યુટ ગેસીસ", કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ, 2004 સ્ટેટિસ્ટિકલ મિકેનિક્સ