Cotorsion group
અબેલિયન જૂથ સિદ્ધાંતમાં, જો વળાંક-મુક્ત જૂથ દ્વારા તેનું દરેક વિસ્તરણ વિભાજિત થાય તો અબેલિયન જૂથને કોટોર્શન કહેવામાં આવે છે. જો જૂથ છે, તો આ કહે છે કે તમામ વળાંક-મુક્ત જૂથો માટે. તે પરિમેય સંખ્યાઓના જૂથ માટેની શરત તપાસવા માટે પૂરતું છે. વધુ સામાન્ય રીતે, રિંગ R પરનું મોડ્યુલ M ને કોટોરશન મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે જો તમામ ફ્લેટ મોડ્યુલો F માટે Ext1 (F, M) = 0 હોય. આ અબેલિયન જૂથો (પૂર્ણાંકોની રિંગ Z પર મોડ્યુલો તરીકે ગણવામાં આવે છે) ની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે કારણ કે ઓવર Z ફ્લેટ મોડ્યુલો ટોર્સિયન-ફ્રી મોડ્યુલો જેવા જ હોય છે. કોટોર્શન જૂથોના કેટલાક ગુણધર્મોઃ કોટોર્શન જૂથનો કોઈપણ ભાગાકાર કોટોર્શન છે. જૂથોનું સીધું ઉત્પાદન કોટોર્શન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક પરિબળ હોય. દરેક વિભાજીત જૂથ અથવા ઇન્જેક્ટીવ જૂથ કોટોર્શન છે. બેયર ફોમિન પ્રમેય જણાવે છે કે વળાંક જૂથ કોટોર્શન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વિભાજ્ય જૂથ અને બંધાયેલા જૂથનો સીધો સરવાળો હોય, એટલે કે બંધાયેલા ઘાતાંકનો સમૂહ હોય. જો તે બીજગણિત રીતે સઘન હોય તો જ વળાંક-મુક્ત અબેલિયન જૂથને વળાંક કહેવાય છે. કોટોર્શન જૂથોના ઉલ્મ પેટાજૂથો કોટોર્શન છે અને કોટોર્શન જૂથોના ઉલ્મ પરિબળો બીજગણિત રીતે સઘન છે. બાહ્ય કડીઓ એબેલિયન જૂથ સિદ્ધાંત જૂથોના ગુણધર્મો