Semisimple Lie algebra
ગણિતમાં, લાઈ બીજગણિત અર્ધ-સરળ હોય છે જો તે સરળ લાઈ બીજગણિતનો સીધો સરવાળો હોય. (એક સરળ લાઈ બીજગણિત એ કોઈ પણ બિન-શૂન્ય યોગ્ય આદર્શો વિનાનું બિન-એબેલિયન લાઈ બીજગણિત છે). સમગ્ર લેખમાં, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી, લાઈ બીજગણિત એ લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત છે. આવા લાઈ બીજગણિત માટે, જો બિન-શૂન્ય હોય, તો નીચેની શરતો સમકક્ષ હોય છેઃ અર્ધ-સરળ છે; હત્યાનું સ્વરૂપ, κ (x, y) = tr (ad (x) ad (y)), બિન-અધોગતિશીલ છે; તેમાં કોઈ બિન-શૂન્ય અબેલિયન આદર્શો નથી; તેમાં કોઈ બિન-શૂન્ય ઉકેલવા યોગ્ય આદર્શો નથી; નો આમૂલ (મહત્તમ ઉકેલવા યોગ્ય આદર્શ) શૂન્ય છે. મહત્વ અર્ધ-સરળતાનું મહત્વ સૌપ્રથમ લેવી વિઘટનમાંથી આવે છે, જે જણાવે છે કે દરેક મર્યાદિત પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત એ ઉકેલાય તેવા આદર્શ (તેના આમૂલ) અને અર્ધ-સરળ બીજગણિતનું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. ખાસ કરીને, ત્યાં કોઈ બિન-શૂન્ય લાઈ બીજગણિત નથી જે ઉકેલવા યોગ્ય અને અર્ધ-સરળ બંને હોય. અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા ખૂબ જ ભવ્ય વર્ગીકરણ ધરાવે છે, જે સોલ્વેબલ લાઈ આલ્જેબ્રાથી તદ્દન વિપરીત છે. લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાને તેમની મૂળ પ્રણાલી દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેને બદલામાં ડાયન્કિન આકૃતિઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. બિન-બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ બીજગણિતને બીજગણિત બંધ ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં સમજી શકાય છે, જોકે વર્ગીકરણ કંઈક વધુ જટિલ છે; વાસ્તવિક અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતના કેસ માટે વાસ્તવિક સ્વરૂપ જુઓ, જેને એલી કાર્ટન દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. વધુમાં, અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાનો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સામાન્ય લાઈ આલ્જેબ્રાની સરખામણીમાં ઘણો સ્વચ્છ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતમાં જોર્ડન વિઘટન તેની રજૂઆતમાં જોર્ડન વિઘટન સાથે એકરુપ છે; સામાન્ય રીતે લાઈ બીજગણિત માટે આવું નથી. જો અર્ધ સરળ હોય, તો પછી. ખાસ કરીને, દરેક રેખીય અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત એ વિશેષ રેખીય લાઈ બીજગણિતનું ઉપ-બીજગણિત છે. રચનાનો અભ્યાસ અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા માટે પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનો એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. જટિલ સંખ્યાઓ પરના અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાને સૌપ્રથમ વિલ્હેલ્મ કિલિંગ (1888-90) દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા, જોકે તેમના પુરાવાઓમાં કઠોરતાનો અભાવ હતો. તેમના પુરાવાને એલી કાર્ટન (1894) દ્વારા તેમના પીએચ. ડી. થીસીસમાં સખત બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેમણે અર્ધ-સરળ વાસ્તવિક લાઈ આલ્જેબ્રાને પણ વર્ગીકૃત કર્યા હતા. આને પછીથી શુદ્ધ કરવામાં આવ્યું હતું, અને ડાયન્કિન આકૃતિઓ દ્વારા વર્તમાન વર્ગીકરણ 1947માં તે સમયના 22 વર્ષીય યુજેન ડાયન્કિન દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. કેટલાક નાના ફેરફારો કરવામાં આવ્યા છે (ખાસ કરીને જે. પી. સેરે દ્વારા), પરંતુ પુરાવા તેની આવશ્યકતાઓમાં અપરિવર્તિત છે અને કોઈપણ પ્રમાણભૂત સંદર્ભમાં મળી શકે છે, જેમ કે. મૂળભૂત ગુણધર્મો અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાનો દરેક આદર્શ, ભાગાકાર અને ગુણાકાર ફરીથી અર્ધ-સરળ છે. અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતનું કેન્દ્ર તુચ્છ છે (કારણ કે કેન્દ્ર એ અબેલિયન આદર્શ છે). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંલગ્ન રજૂઆત ઇન્જેક્ટિવ છે. વધુમાં, છબી પર વ્યુત્પત્તિ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેથી, તે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. (આ વ્હાઇટહેડના લેમ્માનો એક ખાસ કેસ છે.) સંલગ્ન રજૂઆત ઇન્જેક્ટિવ હોવાથી, અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત એ સંલગ્ન રજૂઆત હેઠળ રેખીય લાઈ બીજગણિત છે. આ કેટલીક અસ્પષ્ટતા તરફ દોરી શકે છે, કારણ કે દરેક લાઈ બીજગણિત પહેલેથી જ અન્ય વેક્ટર સ્પેસ (એડોની પ્રમેય) ના સંદર્ભમાં રેખીય છે, જો કે સંલગ્ન રજૂઆત દ્વારા જરૂરી નથી. પરંતુ વ્યવહારમાં આવી અસ્પષ્ટતા ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. જો અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત હોય, તો (કારણ કે અર્ધ-સરળ અને અબેલિયન છે). લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર k પર મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત અર્ધ-સરળ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક ક્ષેત્ર વિસ્તરણ માટે આધાર વિસ્તરણ અર્ધ-સરળ હોય. આમ, ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદિત-પરિમાણીય વાસ્તવિક લાઈ બીજગણિત અર્ધ-સરળ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની જટિલતા અર્ધ-સરળ હોય. જોર્ડન વિઘટન લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાના દરેક એન્ડોમોર્ફિઝમ x ને વિશિષ્ટ રીતે અર્ધ-સરળ (એટલે કે, બીજગણિત બંધ પર કર્ણાકાર) અને નિલપોટેન્ટ ભાગમાં વિઘટિત કરી શકાય છે જેમ કે s અને n એકબીજા સાથે મુસાફરી કરે છે. વધુમાં, s અને n દરેક x માં બહુપદી છે. આ x નું જોર્ડન વિઘટન છે. ઉપરોક્ત અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતની સંલગ્ન રજૂઆતને લાગુ પડે છે. એક તત્વ x ને અર્ધ-સરળ (રેસ્પ) કહેવામાં આવે છે. નિલપોટેન્ટ) જો અર્ધ-સરળ હોય (રેસ્પ. નિલપોટેન્ટ) ઓપરેટર. જો, તો અમૂર્ત જોર્ડન વિઘટન જણાવે છે કે x ને અનન્ય રીતે આ રીતે લખી શકાય છેઃ જ્યાં અર્ધ સરળ છે, તે નિલપોટેન્ટ છે અને. વધુમાં, જો x સાથે મુસાફરી કરે છે, તો તે બંને સાથે પણ મુસાફરી કરે છે. કોઈપણ પ્રતિનિધિત્વ દ્વારા અમૂર્ત જોર્ડન વિઘટન પરિબળો કે જે કોઈપણ પ્રતિનિધિત્વ ρ આપવામાં આવે છે, તે પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાના એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિતમાં ρ (x) નું જોર્ડન વિઘટન છે. (આ વેલના સંપૂર્ણ રિડ્યુસિબિલિટી થીયરમના પરિણામ તરીકે સાબિત થાય છે; સંપૂર્ણ reducibility#Application: જોર્ડન વિઘટનની જાળવણી પર વેલનો થીયરમ જુઓ.) માળખું ચાલો લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર (મર્યાદિત-પરિમાણીય) અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત હોઈએ. તેની રચનાને તેના પર ચોક્કસ વિશિષ્ટ ઉપ-બીજગણિત, એક કાર્ટન ઉપ-બીજગણિતની સંલગ્ન ક્રિયા દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. વ્યાખ્યા મુજબ, કાર્ટાન સબઅલ્જેબ્રા (જેને મેક્સિમલ ટોરલ સબઅલ્જેબ્રા પણ કહેવાય છે) એ મેક્સિમલ સબઅલ્જેબ્રા છે, જેમ કે દરેક માટે, કર્ણક્ષમ છે. જેમ જેમ તે બહાર આવ્યું તેમ, તે અબેલિયન છે અને તેથી તેમાંના તમામ ઓપરેટરો એક સાથે વિકર્ણક્ષમ છે. દરેક રેખીય વિધેય માટે, ચાલો. (નોંધ કરો કે તે કેન્દ્રક છે.) પછી (બતાવવા માટે સૌથી મુશ્કેલ વસ્તુ છે. પ્રમાણભૂત પુરાવાઓ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં કેટલાક તથ્યોનો ઉપયોગ કરે છે; દા. ત., સેરે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે નકારાત્મક વજનના આદિમ તત્વ સાથેનું-મોડ્યુલ અનંત-પરિમાણીય, વિરોધાભાસી છે. ચાલો પરિવર્તન સંબંધો સાથે; એટલે કે, ના પ્રમાણભૂત આધારને અનુરૂપ છે. રેખીય વિધેયોને સંબંધિતના મૂળ કહેવામાં આવે છે. મૂળનો ગાળો (કારણ કે, પછી શૂન્ય સંચાલક છે; એટલે કે, કેન્દ્રમાં છે, જે શૂન્ય છે.) તદુપરાંત, પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાંથી, નીચેની સમપ્રમાણતા અને અભિન્ન ગુણધર્મો કાઢે છેઃ દરેક માટે, નોંધ લો કે જે ગુણધર્મો ધરાવે છે (1) અને (2) નિશ્ચિત-બિંદુ સમૂહ છે, જેનો અર્થ છે કે તે હાયપરપ્લેનને અનુરૂપ પ્રતિબિંબ છે. ઉપરોક્ત પછી કહે છે કે તે એક મૂળ પ્રણાલી છે. તે મૂળ પ્રણાલીના સામાન્ય સિદ્ધાંતને અનુસરે છે જેમાં એક એવો આધાર હોય છે કે દરેક મૂળ એ સમાન ચિહ્નના પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે રેખીય સંયોજન હોય; મૂળને સરળ મૂળ કહેવામાં આવે છે. ચાલો, વગેરે. પછી તત્વો (જેને ચેવલે જનરેટર કહેવાય છે) લાઈ બીજગણિત તરીકે ઉત્પન્ન થાય છે. વધુમાં, તેઓ સંબંધોને સંતોષે છે (જેને સેરે સંબંધો કહેવાય છે): સાથે,. આનું ઊલટું પણ સાચું છેઃ એટલે કે, જનરેટર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ લાઈ બીજગણિત અને ઉપરોક્ત જેવા સંબંધો એક (મર્યાદિત-પરિમાણીય) અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત છે જે ઉપરની જેમ રુટ સ્પેસ વિઘટન ધરાવે છે (જો કે તે કાર્ટન મેટ્રિક્સ છે). આ સેરનો પ્રમેય છે. ખાસ કરીને, બે અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા આઇસોમોર્ફિક હોય છે જો તેમની પાસે સમાન મૂળ પ્રણાલી હોય. મૂળ પ્રણાલી અને સેરેના પ્રમેયની સ્વયંસિદ્ધ પ્રકૃતિની અસર એ છે કે કોઈ પણ વ્યક્તિ તમામ સંભવિત મૂળ પ્રણાલીઓની ગણતરી કરી શકે છે; તેથી, "તમામ સંભવિત" અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા (લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય). વેઇલ જૂથ એ 's દ્વારા પેદા થતા રેખીય પરિવર્તનોનું જૂથ છે. વેઇલ જૂથ એ સમસ્યાની એક મહત્વપૂર્ણ સમપ્રમાણતા છે; ઉદાહરણ તરીકે, વેઇલ જૂથ હેઠળ કોઈપણ મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતના વજન અપરિવર્તનશીલ છે. ઉદાહરણ તરીકે એસ. એલ. એન. (સી) માં રુટ સ્પેસ વિઘટન માટે અને કર્ણ મેટ્રિસીસના કાર્ટન પેટા બીજગણિત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં વિકર્ણ પર વિકર્ણ મેટ્રિક્સ સૂચવે છે. પછી વિઘટન પ્રમાણભૂત (મેટ્રિક્સ) આધાર સાથે વેક્ટર માટે ક્યાં આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ-th પંક્તિ અને-th સ્તંભમાં આધાર વેક્ટરને રજૂ કરે છે. એસએલ2 (સી) નું આ વિઘટન સંકળાયેલ મૂળ પ્રણાલી ધરાવે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, વિઘટનમાં છે અને સંકળાયેલ મૂળ પ્રણાલી એસએલ3 (સી) છે અને સંકળાયેલ મૂળ પ્રણાલી ઉદાહરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમ કે <આઇડી1> માં નોંધ્યું છે, અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા ઉપર (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે લાક્ષણિકતા શૂન્યનું બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર) તેમના કાર્ટન સબાલ્જેબ્રા સાથે સંકળાયેલ મૂળ પ્રણાલી દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, અને બદલામાં, મૂળ પ્રણાલીઓને તેમના ડાયન્કિન આકૃતિઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતના ઉદાહરણો, શાસ્ત્રીય લાઈ બીજગણિત, તેમના ડાયનકિન આકૃતિઓમાંથી આવતા સંકેતો સાથે, આ પ્રમાણે છેઃ, વિશેષ રેખીય લાઈ બીજગણિત. , વિચિત્ર-પરિમાણીય વિશેષ ઓર્થોગોનલ લાઈ બીજગણિત. , સિંપ્લેક્ટિક લાઈ બીજગણિત. , સમ-પરિમાણીય વિશેષ ઓર્થોગોનલ લાઈ બીજગણિત (). પરિવારમાં પ્રતિબંધ જરૂરી છે કારણ કે તે એક-પરિમાણીય અને પરિવર્તનીય છે અને તેથી અર્ધ-સરળ નથી. આ લાઈ આલ્જેબ્રાને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે જેથી n એ ક્રમ હોય. લગભગ આ તમામ અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા ખરેખર સરળ છે અને આ પરિવારોના સભ્યો લગભગ બધા અલગ છે, સિવાય કે નાના ક્રમમાં કેટલીક અથડામણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે અને. આ ચાર પરિવારો, પાંચ અપવાદો (E6, E7, E8, F4 અને G2) સાથે મળીને, હકીકતમાં જટિલ સંખ્યાઓ પર એકમાત્ર સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા છે. વર્ગીકરણ લાક્ષણિકતા 0 ના બીજગણિત બંધ ક્ષેત્ર પરનું દરેક અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત એ સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા (વ્યાખ્યા દ્વારા) નો સીધો સરવાળો છે, અને મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા ચાર પરિવારોમાં આવે છે-એન, બીએન, સીએન અને ડીએન-પાંચ અપવાદો E6, E7, E8, F4 અને G2 સાથે. સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાને જમણી બાજુએ દર્શાવેલ જોડાયેલા ડાયનકિન આકૃતિઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જ્યારે અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા જરૂરી રીતે જોડાયેલા ડાયનકિન આકૃતિઓને અનુરૂપ નથી, જ્યાં આકૃતિના દરેક ઘટક અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતના સરળ લાઈ આલ્જેબ્રામાં વિઘટનના સરવાળાને અનુરૂપ છે. વર્ગીકરણ કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત (નીચે જુઓ) અને લાઈ બીજગણિત પર તેની સંલગ્ન ક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈને આગળ વધે છે. ક્રિયાની મૂળ પ્રણાલી પછી બંને મૂળ લાઈ બીજગણિત નક્કી કરે છે અને તેમાં ખૂબ જ મર્યાદિત સ્વરૂપ હોવું જોઈએ, જેને ડાયન્કિન આકૃતિઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. વધુ વિગતો માટે કાર્ટાન સબઅલ્જેબ્રા અને રુટ સિસ્ટમોનું વર્ણન કરતો નીચેનો વિભાગ જુઓ. વર્ગીકરણને વ્યાપક રીતે ગણિતના સૌથી ભવ્ય પરિણામોમાંનું એક માનવામાં આવે છે-સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોની સંક્ષિપ્ત સૂચિ, પ્રમાણમાં ટૂંકા પુરાવા દ્વારા, આશ્ચર્યજનક માળખા સાથે સંપૂર્ણ પરંતુ બિન-તુચ્છ વર્ગીકરણ. આની સરખામણી મર્યાદિત સરળ જૂથોના વર્ગીકરણ સાથે થવી જોઈએ, જે નોંધપાત્ર રીતે વધુ જટિલ છે. ચાર પરિવારોની ગણતરી બિન-બિનજરૂરી છે અને તેમાં ફક્ત સરળ બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે જો એન માટે, બીએન માટે, સીએન માટે અને ડીએન માટે. જો કોઈ ઓછી સંખ્યા આપવાનું શરૂ કરે છે, તો ગણતરી બિનજરૂરી છે, અને એક સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા વચ્ચે અપવાદરૂપ આઇસોમોર્ફિઝમ્સ ધરાવે છે, જે ડાયન્કિન આકૃતિઓના આઇસોમોર્ફિઝમ્સમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે; એન પણ નીચે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, પરંતુ E6 ની નીચે અન્ય, બિન-અપવાદરૂપ આલ્જેબ્રા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. બિન-બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર, વર્ગીકરણ વધુ જટિલ છે-એક બીજગણિત બંધ પર સરળ લાઈ બીજગણિતનું વર્ગીકરણ કરે છે, પછી આમાંના દરેક માટે, આ સ્વરૂપ (બંધ પર) ધરાવતા મૂળ ક્ષેત્ર પર સરળ લાઈ બીજગણિતનું વર્ગીકરણ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરળ વાસ્તવિક લાઈ બીજગણિતને વર્ગીકૃત કરવા માટે, આપેલ જટિલતા સાથે વાસ્તવિક લાઈ બીજગણિતને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેને જટિલ લાઈ બીજગણિતના વાસ્તવિક સ્વરૂપો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે; આ સાતક આકૃતિઓ દ્વારા કરી શકાય છે, જે વધારાના ડેટા ("સજાવટ") સાથે ડાયન્કિન આકૃતિઓ છે. અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત ચાલો લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર (મર્યાદિત-પરિમાણીય) અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત હોઈએ. પછી, #Structure ની જેમ, રુટ સિસ્ટમ ક્યાં છે. તેમાં સરળ મૂળ પસંદ કરો; ના મૂળને પછી હકારાત્મક કહેવામાં આવે છે અને જો તે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે સરળ મૂળનું રેખીય સંયોજન હોય તો તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ધારો કે, જે બોરેલ ઉપ-બીજગણિતનું મહત્તમ ઉકેલવા યોગ્ય ઉપ-બીજગણિત છે. ધારો કે V એ (સંભવતઃ-અનંત-પરિમાણીય) સરળ-મોડ્યુલ છે. જો V એ-વજન વેક્ટરને સ્વીકાર્યું હોય, તો તે સ્કેલિંગ સુધી અનન્ય છે અને તેને V નો સૌથી વધુ વજન વેક્ટર કહેવામાં આવે છે. તે એક-વજન વેક્ટર પણ છે અને-વજન, એક રેખીય કાર્યાત્મક, તેને V નું સૌથી વધુ વજન કહેવામાં આવે છે. મૂળભૂત છતાં બિન-તુચ્છ તથ્યો પછી (1) દરેક રેખીય કાર્યાત્મક માટે, એક સરળ-મોડ્યુલ અસ્તિત્વમાં છે જેનું સૌથી વધુ વજન હોય છે અને (2) સમાન સૌથી વધુ વજન ધરાવતા બે સરળ મોડ્યુલો સમકક્ષ હોય છે. ટૂંકમાં, બોરેલ-વેઇટ વેક્ટરને સ્વીકારતા સરળ-મોડ્યુલોના સમાનતા વર્ગોના સમૂહ અને વચ્ચે દ્વિભાજન અસ્તિત્વમાં છે. એપ્લિકેશનો માટે, ઘણીવાર મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ-મોડ્યુલ (મર્યાદિત-પરિમાણીય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત) માં રસ હોય છે. આ ખાસ કરીને ત્યારે થાય છે જ્યારે લાઈ જૂથનું લાઈ બીજગણિત હોય (અથવા તેનું જટિલકરણ), કારણ કે, લાઈ પત્રવ્યવહાર દ્વારા, લાઈ બીજગણિત રજૂઆતને લાઈ જૂથ રજૂઆત સાથે એકીકૃત કરી શકાય છે જ્યારે અવરોધો દૂર થાય છે. આગળનો માપદંડ પછી આ જરૂરિયાતને સંબોધિત કરે છેઃ હકારાત્મક વેઇલ ચેમ્બર દ્વારા, અમારો અર્થ બહિર્મુખ શંકુ છે જ્યાં તે એક અનન્ય વેક્ટર છે. પછી માપદંડ વાંચે છેઃ જો અને માત્ર ત્યારે જ, દરેક હકારાત્મક મૂળ માટે, (1) એક પૂર્ણાંક છે અને (2) તેમાં આવેલું છે. ઉપરોક્ત સમકક્ષ સ્થિતિને સંતોષતા રેખીય કાર્યને પ્રબળ અભિન્ન વજન કહેવામાં આવે છે. તેથી, સારાંશમાં, પ્રબળ અભિન્ન વજન અને મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ-મોડ્યુલોના સમાનતા વર્ગો વચ્ચે દ્વિભાજન અસ્તિત્વમાં છે, જે પરિણામ ઉચ્ચતમ વજનના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. વળાંકમાં મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ મોડ્યુલના પાત્રની ગણતરી વેલ અક્ષર સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે. વેલને કારણે આવેલું પ્રમેય કહે છે કે, લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર, અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતનું દરેક મર્યાદિત-પરિમાણીય મોડ્યુલ સંપૂર્ણપણે ઘટાડી શકાય તેવું છે; એટલે કે, તે સરળ-મોડ્યુલોનો સીધો સરવાળો છે. તેથી, ઉપરોક્ત પરિણામો પછી અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતની મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતને લાગુ પડે છે. વાસ્તવિક અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત એવા ક્ષેત્ર પર અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત માટે કે જે લાક્ષણિકતા શૂન્ય ધરાવે છે પરંતુ બીજગણિત રીતે બંધ નથી, લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પરની કોઈ સામાન્ય રચના સિદ્ધાંત નથી. પરંતુ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં, હજુ પણ માળખાકીય પરિણામો છે. ચાલો એક મર્યાદિત-પરિમાણીય વાસ્તવિક અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત અને તેનું જટિલકરણ (જે ફરીથી અર્ધ-સરળ છે) હોઈએ. વાસ્તવિક લાઈ બીજગણિતને વાસ્તવિક સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સ્વરૂપને કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે જો તેના પરનું કિલિંગ સ્વરૂપ નકારાત્મક-નિશ્ચિત હોય; તે જરૂરી છે કે કોમ્પેક્ટ લાઈ જૂથનું લાઈ બીજગણિત હોય (તેથી, નામ). કોમ્પેક્ટ કેસ ધારો કે તે કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપ છે અને મેક્સિમલ અબેલિયન સબસ્પેસ છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે કોમ્પેક્ટ લાઈ જૂથનું લાઈ બીજગણિત છે) જેમાં સ્ક્યુ-હર્મિશિયન મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે, જે કાલ્પનિક આઈગનવેલ્યુ સાથે ત્રાંસા કરી શકાય છે. તેથી, તે એક કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત છે અને તેના પરિણામે રુટ સ્પેસ વિઘટન થાય છે (cf. #Structure) જ્યાં દરેકનું વાસ્તવિક મૂલ્ય હોય છે; આમ, વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા પર વાસ્તવિક-રેખીય કાર્યાત્મક સાથે ઓળખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અને બધા કર્ણ મેટ્રિસીસની સબસ્પેસ લઈએ. નોંધ લો. ચાલો for દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખીય વિધેયાત્મક હોઈએ. પછી દરેક માટે, મેટ્રિક્સ ક્યાં છે જેમાં-th સ્થળ પર 1 અને અન્યત્ર શૂન્ય છે. તેથી, દરેક મૂળ સ્વરૂપનું હોય છે અને રુટ સ્પેસ વિઘટન એ મેટ્રિસીસનું વિઘટન છેઃ બિન-કોમ્પેક્ટ કેસ ધારો કે તે કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપ હોવું જરૂરી નથી (એટલે કે, કિલિંગ ફોર્મની સહી તમામ નકારાત્મક નથી). ધારો કે, વધુમાં, તેમાં કાર્ટન ઇન્વોલ્યુશન છે અને અનુક્રમે 1 અને-1 માટે ઇગેનસ્પેસ ક્યાં છે તેનું ઇગેનસ્પેસ વિઘટન થવા દો. ઉદાહરણ તરીકે, જો અને નકારાત્મક ટ્રાન્સપોઝ, પછી. ચાલો મેક્સિમલ અબેલિયન સબસ્પેસ બનીએ. હવે, તેમાં સપ્રમાણ મેટ્રિસીસ (યોગ્ય આંતરિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં) નો સમાવેશ થાય છે અને આમ ઓપરેટર્સ વાસ્તવિક આઈગન વેલ્યુ સાથે વારાફરતી કર્ણાકાર હોય છે. બીજગણિત રીતે બંધ આધાર ક્ષેત્ર માટેની દલીલોને પુનરાવર્તિત કરીને, વ્યક્તિ વિઘટન પ્રાપ્ત કરે છે (જેને પ્રતિબંધિત મૂળ જગ્યા વિઘટન કહેવાય છે): જ્યાં કોઈપણ રેખીય કાર્ય માટે તત્વોને પ્રતિબંધિત મૂળ કહેવામાં આવે છે; ખાસ કરીને,. વધુમાં, તે એક મૂળ પ્રણાલી છે પરંતુ જરૂરી નથી કે તેમાં ઘટાડો થાય (એટલે કે, તે બંને મૂળમાં થઈ શકે છે). એસ. એલ. (એન, સી) નો કેસ જો, તો પછી તેને વિકર્ણ ઉપ-બીજગણિત તરીકે લઈ શકાય છે, જેમાં વિકર્ણ મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે, જેની વિકર્ણ એન્ટ્રીઓનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. પરિમાણ હોવાથી, આપણે જોઈએ છીએ કે તેમાં ક્રમ છે. આ કિસ્સામાં રુટ વેક્ટરને મેટ્રિસીસ તરીકે લઈ શકાય છે, જ્યાં સ્થળ પર 1 અને અન્યત્ર શૂન્ય સાથે મેટ્રિક્સ છે. જો વિકર્ણ એન્ટ્રીઓ સાથે વિકર્ણ મેટ્રિક્સ હોય, તો આપણી પાસે છે. આમ, માટે મૂળ એ દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખીય વિધેયો છે. તેના બેવડા સાથે ઓળખ કર્યા પછી, મૂળ-ટુપલ્સની જગ્યામાં વાહક બની જાય છે જેનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. પરંપરાગત લેબલિંગમાં આ રુટ સિસ્ટમ તરીકે ઓળખાય છે. મૂળ સાથે સંકળાયેલ પ્રતિબિંબ અને કર્ણ પ્રવેશોને સ્થાનાંતરિત કરીને કાર્ય કરે છે. વેલ જૂથ પછી માત્ર તત્વો પરનું ક્રમચય જૂથ છે, જે મેટ્રિસીસની કર્ણ એન્ટ્રીઓને ક્રમબદ્ધ કરીને કાર્ય કરે છે. સામાન્યીકરણ અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા ચોક્કસ સામાન્યીકરણને સ્વીકારે છે. પ્રથમ, અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા માટે સાચું હોય તેવા ઘણા નિવેદનો સામાન્ય રીતે રિડક્ટિવ લાઈ આલ્જેબ્રા માટે વધુ સાચા હોય છે. સંક્ષિપ્તમાં, રિડક્ટિવ લાઈ બીજગણિત એ છે કે જેની સંલગ્ન રજૂઆત સંપૂર્ણપણે રિડ્યુસિબલ છે, જ્યારે નક્કર રીતે, રિડક્ટિવ લાઈ બીજગણિત એ અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત અને અબેલિયન લાઈ બીજગણિતનો સીધો સરવાળો છે; ઉદાહરણ તરીકે, તે અર્ધ-સરળ છે, અને રિડક્ટિવ છે. અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાના ઘણા ગુણધર્મો માત્ર રિડ્યુસિબિલિટી પર આધાર રાખે છે. જટિલ સેમીસિમ્પલ/રિડક્ટિવ લાઈ આલ્જેબ્રાના ઘણા ગુણધર્મો માત્ર બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ/રિડક્ટિવ લાઈ આલ્જેબ્રા માટે જ નહીં, પરંતુ વધુ સામાન્ય રીતે અન્ય ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ/રિડક્ટિવ લાઈ આલ્જેબ્રા વિભાજિત કરવા માટે પણ સાચા છેઃ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ/રિડક્ટિવ લાઈ આલ્જેબ્રા હંમેશા વિભાજિત થાય છે, પરંતુ અન્ય ક્ષેત્રો પર હંમેશા આવું થતું નથી. સ્પ્લિટ લાઈ આલ્જેબ્રા અનિવાર્યપણે બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રા જેવા જ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વિભાજન કાર્ટન સબઅલ્જેબ્રા એ જ ભૂમિકા ભજવે છે જે કાર્ટન સબઅલ્જેબ્રા બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો પર ભજવે છે. આ અભિગમ અનુસરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જે વિભાજીત અર્ધ-સરળ/ઘટાડેલા લાઈ આલ્જેબ્રાની રજૂઆતને વર્ગીકૃત કરે છે. જો તેનું લાઈ બીજગણિત અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત હોય, એટલે કે જો એક જોડાયેલ લાઈ જૂથ અર્ધ-સરળ કહેવાય. સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાનો સીધો સરવાળો. જો તેનું લાઈ બીજગણિત સરળ અને તુચ્છ (એક-પરિમાણીય) લાઈ બીજગણિતનો સીધો સરવાળો હોય તો તેને રિડક્ટિવ કહેવામાં આવે છે. ઘટાડેલા જૂથો બીજગણિત, ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સંખ્યાબંધ ગાણિતિક પદાર્થોની સમપ્રમાણતા તરીકે કુદરતી રીતે જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, n-પરિમાણીય વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાના સમપ્રમાણતાનું જૂથ (સમકક્ષ રીતે, ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિસીસનું જૂથ) રિડક્ટિવ છે. લાઈ બીજગણિત મૂળ પ્રણાલી લાઈ બીજગણિત રજૂઆત કોમ્પેક્ટ જૂથ સરળ લાઈ જૂથ બોરેલ ઉપ-બીજગણિત જેકોબસન-મોરોઝોવ પ્રમેય સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . લાઈ આલ્જેબ્રાના ગુણધર્મો