Pregeometry (model theory)
પ્રિજિયોમેટ્રી, અને સંપૂર્ણ સંયુક્ત પ્રિજિયોમેટ્રીમાં, અનિવાર્યપણે "મેટ્રોઇડ" માટે સમાનાર્થી શબ્દો છે. તેઓ જિયાન-કાર્લો રોટા દ્વારા ઓછા "અવર્ણનીય કેકોફોનસ" વૈકલ્પિક શબ્દ પ્રદાન કરવાના હેતુથી રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ઉપરાંત, સંયુક્ત ભૂમિતિ શબ્દ, જેને કેટલીકવાર ભૂમિતિ તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તેનો હેતુ "સરળ મેટ્રોઇડ" ને બદલવાનો હતો. આ શબ્દોનો ઉપયોગ હવે મેટ્રોઇડના અભ્યાસમાં ભાગ્યે જ થાય છે. તે તારણ આપે છે કે રેખીય બીજગણિતની ઘણી મૂળભૂત વિભાવનાઓ-બંધ, સ્વતંત્રતા, પેટા જગ્યા, આધાર, પરિમાણ-પ્રીજિયોમેટ્રીના સામાન્ય માળખામાં ઉપલબ્ધ છે. મોડેલ થિયરી તરીકે ઓળખાતી ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રની શાખામાં, અનંત ફાઈનાઈટરી મેટ્રોઇડ્સ, જેને ત્યાં "પ્રિજિયોમેટ્રીઝ" (અને જો તે સરળ મેટ્રોઇડ્સ હોય તો "ભૂમિતિઓ") કહેવામાં આવે છે, તેનો ઉપયોગ સ્વતંત્ર ઘટનાઓની ચર્ચામાં થાય છે. પ્રિજિયોમેટ્રી, ભૂમિતિ અને અમૂર્ત ક્લોઝર ઓપરેટર્સ પ્રથમ ક્રમના નમૂનાઓની રચનાને કેવી રીતે પ્રભાવિત કરે છે તેના અભ્યાસને ભૌમિતિક સ્થિરતા સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે. પ્રેરણા જો કોઈ ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યા હોય અને, તો આપણે વેક્ટરના તમામ રેખીય સંયોજનોનો સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જેને સ્પાન ઓફ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. પછી આપણી પાસે અને અને છે. સ્ટેનિટ્ઝ એક્સચેન્જ લેમ્મા એ નિવેદનની સમકક્ષ છેઃ જો, તો પછી સ્વતંત્ર સમૂહની રેખીય બીજગણિત વિભાવનાઓ, સમૂહ, આધાર અને પરિમાણ ઉત્પન્ન કરે છે, તે બધાને એકલા-ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્રિજિયોમેટ્રી એ આ પરિસ્થિતિનું અમૂર્ત સ્વરૂપ છેઃ આપણે એક મનસ્વી સમૂહ અને મનસ્વી સંચાલકથી શરૂઆત કરીએ છીએ જે ઉપગણના દરેક ઉપગણને સોંપે છે, જે ઉપરના ગુણધર્મોને સંતોષ આપે છે. પછી આપણે આ વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં "રેખીય બીજગણિત" વિભાવનાઓને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. પરિમાણની આ સામાન્ય કલ્પના મોડેલ થિયરીમાં ખૂબ જ ઉપયોગી છે, જ્યાં ચોક્કસ પરિસ્થિતિમાં કોઈ નીચે પ્રમાણે દલીલ કરી શકે છેઃ સમાન કાર્ડિનાલિટી ધરાવતા બે મોડેલોમાં સમાન પરિમાણ હોવું જોઈએ અને સમાન પરિમાણ ધરાવતા બે મોડેલો આઇસોમોર્ફિક હોવા જોઈએ. વ્યાખ્યાઓ પ્રિજિયોમેટ્રી અને ભૂમિતિ સંયુક્ત પ્રિજિયોમેટ્રી (જેને ફાઈનાઈટરી મેટ્રોઇડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ એક જોડી છે, જ્યાં એક સમૂહ છે અને (જેને ક્લોઝર મેપ કહેવાય છે) નીચેના સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે. બધા માટે અનેઃ શું મોનોટોન વધી રહ્યું છે અને પ્રભુત્વ ધરાવે છે (એટલે કે. સૂચવે છે) અને સક્ષમ છે (એટલે કે) મર્યાદિત અક્ષરઃ દરેક માટે તેની સાથે અમુક મર્યાદિત હોય છે. વિનિમય સિદ્ધાંતઃ જો, પછી (અને તેથી હકીકતમાં એકવિધતા અને નિષ્ક્રિયતા દ્વારા). કેટલાક માટે ફોર્મના સેટને ક્લોઝ્ડ કહેવામાં આવે છે. તે પછી સ્પષ્ટ થાય છે કે બંધ સમૂહોના મર્યાદિત આંતરછેદો બંધ હોય છે અને તે સૌથી નાનો બંધ સમૂહ છે. ભૂમિતિ એ એક પ્રિજિયોમેટ્રી છે જેમાં સિંગલેટોનનું ક્લોઝર સિંગલેટોન હોય છે અને ખાલી સેટનું ક્લોઝર ખાલી સેટ હોય છે. સ્વતંત્રતા, પાયા અને પરિમાણ આપેલ સમૂહો, જો કોઈ હોય તો તેના પર સ્વતંત્ર છે. આપણે કહીએ છીએ કે જો તે ખાલી સમૂહ પર સ્વતંત્ર હોય તો તે સ્વતંત્ર છે. સમૂહ એ ઓવર માટે આધાર છે જો તે અને ઉપર સ્વતંત્ર હોય. એક આધાર મહત્તમ સ્વતંત્ર સબસેટ જેવો જ હોય છે, અને ઝોર્નના લેમ્માનો ઉપયોગ કરીને કોઈ બતાવી શકે છે કે દરેક સમૂહનો એક આધાર હોય છે. પ્રિજિયોમેટ્રી સ્ટેનિટ્ઝ વિનિમય ગુણધર્મને સંતોષે છે તેથી તમામ પાયા સમાન કાર્ડિનાલિટીના હોય છે, તેથી આપણે ઓવરના પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જેને ઓવરના કોઈપણ આધારની કાર્ડિનાલિટી તરીકે લખવામાં આવે છે. ફરીથી, ના પરિમાણને ખાલી સમૂહ પરના ડાયમેન્શન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો જ્યારે પણ તેનો મર્યાદિત સબસેટ હોય ત્યારે સેટ સ્વતંત્ર હોય છે. નોંધ લો કે આ સંબંધ સપ્રમાણ છે. ઓટોમોર્ફિઝમ્સ અને સજાતીય પ્રિજિયોમેટ્રીઝ પ્રિજિયોમેટ્રીનું ઓટોમોર્ફિઝમ એ એક બાયજેક્શન છે જે કોઈપણ માટે છે. પ્રિજિયોમેટ્રીને સજાતીય કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ બંધ અને કોઈપણ બે ઘટકો માટે ઓટોમોર્ફિઝમ હોય જેનો નકશો અને બિંદુની દિશામાં સુધારે છે. સંલગ્ન ભૂમિતિ અને સ્થાનિકીકરણ પ્રિજિયોમેટ્રીને જોતાં તેની સંકળાયેલ ભૂમિતિ (કેટલીકવાર સાહિત્યમાં કેનોનિકલ ભૂમિતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) એ ભૂમિતિ છે જ્યાં, અને કોઈપણ માટે, તે જોવાનું સરળ છે કે સજાતીય પ્રિજિયોમેટ્રીની સંકળાયેલ ભૂમિતિ સજાતીય છે. સ્થાનિકીકરણને જોતાં પ્રીજિયોમેટ્રી ક્યાં છે. પ્રિજિયોમેટ્રીના પ્રકાર પ્રિજિયોમેટ્રીને કહેવામાં આવે છેઃ જો ખાલી ન હોય તો તુચ્છ (અથવા અધોગતિ). મોડ્યુલર જો કોઈપણ બે બંધ મર્યાદિત પરિમાણીય સમૂહો સમીકરણને સંતોષે છે (અથવા સમકક્ષ કે જે ઓવરથી સ્વતંત્ર છે). સ્થાનિક રીતે મોડ્યુલર જો તેમાં સિંગલટન પર સ્થાનિકીકરણ હોય જે મોડ્યુલર હોય. (સ્થાનિક રીતે) પ્રોજેક્ટિવ જો તે બિન-તુચ્છ અને (સ્થાનિક રીતે) મોડ્યુલર હોય. જો મર્યાદિત સમૂહોના બંધ મર્યાદિત હોય તો સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત હોય છે. તુચ્છતા, મોડ્યુલરિટી અને સ્થાનિક મોડ્યુલરિટી સંકળાયેલ ભૂમિતિમાં પસાર થાય છે અને સ્થાનિકીકરણ હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. જો સ્થાનિક રીતે મોડ્યુલર સજાતીય પ્રિજિયોમેટ્રી હોય અને પછી ઇનનું સ્થાનિકીકરણ મોડ્યુલર હોય. ભૂમિતિ મોડ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર જો ગમે ત્યારે, અને પછી. ઉદાહરણો તુચ્છ ઉદાહરણ જો કોઈ સમૂહ હોય તો આપણે બધા માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. આ પ્રીજિયોમેટ્રી એક તુચ્છ, સજાતીય, સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત ભૂમિતિ છે. વેક્ટર જગ્યાઓ અને પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ ચાલો એક ક્ષેત્ર હોઈએ (વિભાજન રિંગ ખરેખર પૂરતી છે) અને તેની ઉપર વેક્ટર જગ્યા હોઈએ. પછી એક પ્રિજિયોમેટ્રી છે જ્યાં સમૂહોના બંધને તેમના ગાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બંધ સમૂહો એ રેખીય પેટા જગ્યાઓ છે અને રેખીય બીજગણિતમાંથી પરિમાણની કલ્પના પ્રીજિયોમેટ્રી પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે. આ પ્રીજિયોમેટ્રી સજાતીય અને મોડ્યુલર છે. વેક્ટર જગ્યાઓને મોડ્યુલારિટીનું પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણ માનવામાં આવે છે. સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત હોય તો જ અને જો મર્યાદિત હોય તો જ. તે ભૂમિતિ નથી, કારણ કે કોઈપણ બિન-તુચ્છ વેક્ટરનું બંધ થવું એ ઓછામાં ઓછું કદની પેટા જગ્યા છે. ઉપરની-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાની સંકળાયેલ ભૂમિતિ એ ઉપરની-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા છે. તે જોવાનું સરળ છે કે આ પ્રિજિયોમેટ્રી એક પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ છે. એફાઇન જગ્યાઓ ક્ષેત્ર પર એક-પરિમાણીય એફાઇન જગ્યા હોવી જોઈએ. સમૂહને જોતાં તેના બંધને તેના એફાઇન હલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો (એટલે કે. તે ધરાવતી સૌથી નાની એફાઇન સબસ્પેસ). આ એક સમાન-પરિમાણીય ભૂમિતિ બનાવે છે. એફાઇન સ્પેસ મોડ્યુલર નથી (ઉદાહરણ તરીકે, જો અને સમાંતર રેખાઓ હોય તો મોડ્યુલરિટીની વ્યાખ્યામાં સૂત્ર નિષ્ફળ જાય છે). જો કે, તે તપાસવું સરળ છે કે તમામ સ્થાનિકીકરણ મોડ્યુલર છે. ક્ષેત્ર વિસ્તરણ અને ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી ચાલો ક્ષેત્ર વિસ્તરણ બનીએ. જો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો સમૂહ પ્રિજિયોમેટ્રી બની જાય છે. આ પ્રીજિયોમેટ્રીમાં સમૂહ સ્વતંત્ર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર હોય. નું પરિમાણ ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી સાથે મેળ ખાય છે. મોડેલ થિયરીમાં, બીજગણિત રીતે બંધ અને તેના મુખ્ય ક્ષેત્રનો કેસ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. જ્યારે વેક્ટર જગ્યાઓ મોડ્યુલર હોય છે અને એફાઇન જગ્યાઓ "લગભગ" મોડ્યુલર હોય છે (એટલે કે. દરેક જગ્યાએ સ્થાનિક રીતે મોડ્યુલર), બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો અન્ય ચરમસીમાના ઉદાહરણો છે, જે સ્થાનિક રીતે મોડ્યુલર પણ નથી (એટલે કે. કોઈ પણ સ્થાનિકીકરણ મોડ્યુલર નથી). ગણતરીપાત્ર પ્રથમ ક્રમની ભાષા L અને L-માળખું M આપવામાં આવે તો, M નો કોઈપણ વ્યાખ્યાયિત સબસેટ D જે મજબૂત રીતે ન્યૂનતમ હોય તે સમૂહ D પર પ્રીજિયોમેટ્રીને જન્મ આપે છે. અહીં ક્લોઝર ઓપરેટર બીજગણિત ક્લોઝર દ્વારા આપવામાં આવે છે. મજબૂત ન્યૂનતમ સિદ્ધાંતનું એક મોડેલ પ્રીજિયોમેટ્રી તરીકે તેના પરિમાણ દ્વારા આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે; આ હકીકતનો ઉપયોગ મોર્લીના વર્ગીકરણ પ્રમેયના પુરાવા તરીકે થાય છે. સ્થિર સિદ્ધાંતો પરના ન્યૂનતમ સમૂહોમાં સ્વતંત્રતાનો સંબંધ સ્વતંત્રતાની કલ્પના સાથે મેળ ખાય છે. સંદર્ભો એચ. એચ. ક્રેપો અને જી. સી. રોટા (1970), સંયુક્ત સિદ્ધાંતના પાયા પરઃ સંયુક્ત ભૂમિતિ. એમ. આઈ. ટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ, માસ. પિલ્લૈ, આનંદ (1996), ભૌમિતિક સ્થિરતા સિદ્ધાંત. ઓક્સફર્ડ લોજિક ગાઈડ્સ. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. મેટ્રોઇડ સિદ્ધાંત મોડેલ સિદ્ધાંત