Tangent lines to circles
યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિમાં, વર્તુળની સ્પર્શક રેખા એ એક રેખા છે જે વર્તુળને બરાબર એક બિંદુએ સ્પર્શે છે, જે ક્યારેય વર્તુળના આંતરિક ભાગમાં પ્રવેશતી નથી. વર્તુળોમાં સ્પર્શક રેખાઓ અનેક પ્રમેયોનો વિષય બનાવે છે, અને ઘણી ભૌમિતિક રચનાઓ અને પુરાવાઓમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. એક બિંદુ પર વર્તુળની સ્પર્શક રેખા તે બિંદુની ત્રિજ્યાને લંબરૂપ હોવાથી, સ્પર્શક રેખાઓ ધરાવતા પ્રમેયોમાં ઘણીવાર રેડિયલ રેખાઓ અને ઓર્થોગોનલ વર્તુળો સામેલ હોય છે. એક વર્તુળને સ્પર્શરેખાઓ એક વર્તુળને સ્પર્શરેખા રેખા એક જ બિંદુએ વર્તુળને છેદે છે. સરખામણી કરવા માટે, સેકન્ટ રેખાઓ વર્તુળને બે બિંદુઓ પર છેદે છે, જ્યારે બીજી રેખા વર્તુળને બિલકુલ પણ છેદે નહીં. સ્પર્શક રેખાઓનો આ ગુણધર્મ ઘણા ભૌમિતિક પરિવર્તન હેઠળ સાચવવામાં આવે છે, જેમ કે સ્કેલિંગ, પરિભ્રમણ, અનુવાદ, વ્યુત્ક્રમ અને નકશાના અંદાજો. તકનીકી ભાષામાં, આ પરિવર્તન સ્પર્શરેખા અને વર્તુળની ઘટના માળખામાં ફેરફાર કરતા નથી, તેમ છતાં રેખા અને વર્તુળ વિકૃત થઈ શકે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા વર્તુળના પરિઘ પર તેના અંતિમ બિંદુ દ્વારા સ્પર્શક રેખા સાથે લંબરૂપ હોય છે. તેનાથી વિપરીત, સમાન અંતિમ બિંદુ દ્વારા ત્રિજ્યાને લંબરૂપ એક સ્પર્શક રેખા છે. વર્તુળ અને સ્પર્શક રેખાની પરિણામી ભૌમિતિક આકૃતિ ત્રિજ્યાના અક્ષની આસપાસ પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. વર્તુળની અંદરના બિંદુ દ્વારા કોઈ સ્પર્શક રેખા દોરી શકાતી નથી, કારણ કે આવી કોઈપણ રેખા સેકન્ટ રેખા હોવી જોઈએ. જો કે, વર્તુળની બહારના બિંદુથી વર્તુળમાં બે સ્પર્શક રેખાઓ દોરી શકાય છે. વર્તુળની ભૌમિતિક આકૃતિ અને બંને સ્પર્શક રેખાઓ એ જ રીતે વર્તુળના કેન્દ્ર બિંદુ સાથે જોડાતી ત્રિજ્યા અક્ષ વિશે પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. આમ બે સ્પર્શક બિંદુઓ સુધીના ખંડોની લંબાઈ સમાન હોય છે. સેકન્ટ-ટેનજેન્ટ પ્રમેય અનુસાર, આ ટેનજેન્ટ લંબાઈનો વર્ગ વર્તુળમાં બિંદુ P ની ઘાત બરાબર છે. આ શક્તિ વર્તુળના કોઈપણ બે આંતરછેદના બિંદુઓથી અંતરના ગુણાકારની બરાબર છે, જેમાંથી એક સેકન્ડ રેખા પસાર થાય છે. સ્પર્શક રેખા અને સ્પર્શક બિંદુ એકબીજા સાથે સંયુક્ત સંબંધ ધરાવે છે, જે ધ્રુવ બિંદુઓ અને ધ્રુવીય રેખાઓના વિચારમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યા છે. વર્તુળની બહારના બિંદુ અને તેના સ્પર્શતાના બે બિંદુઓને જોડતી સેકન્ટ રેખા વચ્ચે સમાન પારસ્પરિક સંબંધ અસ્તિત્વમાં છે. જો કોઈ બિંદુ કેન્દ્ર સાથેના વર્તુળની બહાર હોય, અને જો સ્પર્શક રેખાઓ બિંદુઓ પર વર્તુળને સ્પર્શ કરે અને, તો પછી અને પૂરક હોય (180° નો સરવાળો). જો બાહ્ય બિંદુના સ્પર્શક બિંદુથી તાર દોરવામાં આવે અને પછી. કાર્ટેશિયન સમીકરણ ધારો કે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં વર્તુળનું સમીકરણ કેન્દ્ર સાથે છે. પછી વર્તુળની સ્પર્શક રેખા કાર્ટેશિયન સમીકરણ ધરાવે છે આ વર્તુળનું ગર્ભિત વ્યુત્પન્ન લઈને સાબિત કરી શકાય છે. કહો કે વર્તુળનું સમીકરણ છે અને આપણે સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં આપણે તેના સંદર્ભમાં ગર્ભિત વ્યુત્પન્ન લઈને શરૂઆત કરીએ છીએઃ હવે જ્યારે આપણી પાસે સ્પર્શક રેખાનો ઢોળાવ છે, ત્યારે આપણે ઢોળાવ અને સ્પર્શક બિંદુના સંકલનને રેખા સમીકરણમાં બદલી શકીએ છીએ. હોકાયંત્ર અને સીધી ધારની રચનાઓ વર્તુળના પરિઘ પરના બિંદુ પર વર્તુળમાં રેખા સ્પર્શકનું નિર્માણ કરવું પ્રમાણમાં સરળ છેઃ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી રેડિયલ બિંદુ દ્વારા એક રેખા દોરવામાં આવે છે; રેખા એ લંબ રેખા છે. થેલ્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ વર્તુળની બહારના બિંદુ પર સ્પર્શક રેખાઓ બનાવવા માટે થઈ શકે છેઃ રેખા ખંડના મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ દોરવામાં આવે છે, જેનો વ્યાસ હોય છે, જ્યાં તે ફરીથી વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય છે. આંતરછેદ બિંદુઓ અને વર્તુળ અને નવા વર્તુળ એ નીચેની દલીલ દ્વારા પસાર થતી રેખાઓ માટેના સ્પર્શક બિંદુઓ છે. રેખા વિભાગો અને વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે; કારણ કે બંને અર્ધવર્તુળમાં અંકિત છે, તેઓ અનુક્રમે રેખા વિભાગોને લંબરૂપ છે અને. પરંતુ માત્ર એક સ્પર્શક રેખા રેડિયલ રેખાને લંબરૂપ હોય છે. તેથી, તેમાંથી પસાર થતી અને તેમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ વર્તુળને સ્પર્શે છે. માત્ર એક સીધી ધારનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળની બહારના બિંદુ પર સ્પર્શક રેખાઓ બનાવવાની બીજી પદ્ધતિઃ આપેલ બિંદુ દ્વારા કોઈપણ ત્રણ જુદી જુદી રેખાઓ દોરો જે વર્તુળને બે વાર છેદે છે. ચાલો છ આંતરછેદ બિંદુઓ હોઈએ, જેમાં સમાન અક્ષર સમાન રેખાને અનુરૂપ હોય અને અનુક્રમણિકા 1 નજીકનાં બિંદુને અનુરૂપ હોય. ચાલો તે બિંદુ બનીએ જ્યાં રેખાઓ અને આંતરછેદ થાય છે, તેવી જ રીતે રેખાઓ માટે અને. અને તેમાંથી એક રેખા દોરો. આ રેખા વર્તુળને બે બિંદુઓ પર મળે છે, અને. સ્પર્શક રેખાઓ અને છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ સાથે ચાલો સમીકરણ સાથે વર્તુળનું એક બિંદુ હોઈએ સ્પર્શરેખા પર સમીકરણ છે કારણ કે તે બંને વળાંક પર આવેલું છે અને તે રેખાનું સામાન્ય વેક્ટર છે. સ્પર્શક બિંદુ પર-અક્ષને છેદે છે તેનાથી વિપરીત, જો કોઈ બે સ્પર્શક બિંદુઓ કરતાં બિંદુથી શરૂ થાય છે અને વેક્ટર સ્વરૂપમાં લખેલા બે બિંદુઓ પર વર્તુળને મળે છેઃ જો બિંદુ-અક્ષ પર ન હોય તોઃ વેક્ટર સ્વરૂપમાં એક અંતર દ્વારા અને એકમ આધાર વેક્ટરને ઓર્થોગોનલ એકમ વેક્ટર દ્વારા બદલવામાં આવે છે, પછી બિંદુ દ્વારા સ્પર્શક બિંદુઓ પર વર્તુળને સ્પર્શ કરે છે. બિંદુ માટે વર્તુળ પર આવેલું છે અને સમીકરણ સાથે માત્ર એક જ સ્પર્શક હોય છે. સમીકરણો સાથે 2 સ્પર્શક હોય તો વર્તુળ વ્યુત્ક્રમ સાથે સંબંધઃ સમીકરણ બિંદુના વર્તુળ વ્યુત્ક્રમને વર્ણવે છે. ધ્રુવ અને ધ્રુવ સાથે સંબંધઃ બિંદુના ધ્રુવમાં સમીકરણ સ્પર્શક બહુકોણ હોય છે. સ્પર્શક બહુકોણ એ એક બહુકોણ છે જેની દરેક બાજુ ચોક્કસ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે, જેને તેનું અંતઃવૃત્ત કહેવાય છે. દરેક ત્રિકોણ એક સ્પર્શક બહુકોણ છે, જેમ કે કોઈપણ સંખ્યાબંધ બાજુઓનો દરેક નિયમિત બહુકોણ છે; વધુમાં, દરેક સંખ્યાબંધ બહુકોણ બાજુઓ માટે અનંત સંખ્યામાં બિન-સુસંગત સ્પર્શક બહુકોણ હોય છે. સ્પર્શક ચતુર્ભુજ પ્રમેય અને અંકિત વર્તુળો સ્પર્શક ચતુર્ભુજ એ ચાર સીધી બાજુઓની બંધ આકૃતિ છે જે આપેલ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે. સમાનરૂપે, વર્તુળ ચતુર્ભુજમાં અંકિત છે. પિટોટ પ્રમેય મુજબ, આવા કોઈપણ ચતુર્ભુજની વિરુદ્ધ બાજુઓનો સરવાળો સમાન હોય છે, એટલે કે, આ નિષ્કર્ષ ચતુર્ભુજના ચાર શિરોબિંદુઓમાંથી સ્પર્શક વિભાગોની સમાનતાને અનુસરે છે. સ્પર્શક બિંદુઓને (સેગમેન્ટ પર), (સેગમેન્ટ પર), (સેગમેન્ટ પર) અને (સેગમેન્ટ પર) તરીકે દર્શાવવા દો. દરેક બિંદુ વિશેના સપ્રમાણ સ્પર્શક વિભાગો સમાન છેઃ પરંતુ ચતુર્ભુજની દરેક બાજુ પ્રમેયને સાબિત કરતા આવા બે સ્પર્શક વિભાગોથી બનેલી છે. વિપરીત પણ સાચું છેઃ દરેક ચતુર્ભુજમાં એક વર્તુળ અંકિત કરી શકાય છે જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈ સમાન મૂલ્યની હોય છે. આ પ્રમેય અને તેના વિપરીતના વિવિધ ઉપયોગો છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ તરત જ દર્શાવે છે કે કોઈ પણ લંબચોરસમાં અંકિત વર્તુળ હોઈ શકે નહીં સિવાય કે તે ચોરસ હોય, અને દરેક લંબચોરસમાં અંકિત વર્તુળ હોય છે, જ્યારે સામાન્ય સમાંતર ચતુર્ભુજ નથી. બે વર્તુળો માટે, સામાન્ય રીતે ચાર અલગ-અલગ રેખાઓ હોય છે જે બંને (બિટાન્જેન્ટ) ને સ્પર્શક હોય છે-જો બે વર્તુળો એકબીજાની બહાર હોય-પરંતુ અધોગતિના કિસ્સાઓમાં શૂન્ય અને ચાર બિટાન્જેન્ટ રેખાઓ વચ્ચે કોઈ પણ સંખ્યા હોઈ શકે છે; જેને નીચે સંબોધવામાં આવી છે. આમાંથી બે, બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ માટે, વર્તુળો રેખાની એક જ બાજુએ પડે છે; અન્ય બે માટે, આંતરિક સ્પર્શક રેખાઓ, વર્તુળો રેખાની વિરુદ્ધ બાજુએ પડે છે. બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ બાહ્ય સમસ્થાનિક કેન્દ્રમાં છેદે છે, જ્યારે આંતરિક સ્પર્શક રેખાઓ આંતરિક સમસ્થાનિક કેન્દ્રમાં છેદે છે. બાહ્ય અને આંતરિક હોમોથેટિક કેન્દ્રો બંને કેન્દ્રોની રેખા (બે વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા) પર આવેલા છે, જે નાના વર્તુળના કેન્દ્રની નજીક છેઃ આંતરિક કેન્દ્ર બે વર્તુળો વચ્ચેના ભાગમાં હોય છે, જ્યારે બાહ્ય કેન્દ્ર બિંદુઓ વચ્ચે નહીં, પરંતુ નાના વર્તુળના કેન્દ્રની બાજુમાં હોય છે. જો બે વર્તુળોમાં સમાન ત્રિજ્યા હોય, તો હજુ પણ ચાર બિટાન્જેન્ટ હોય છે, પરંતુ બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ સમાંતર હોય છે અને એફાઇન પ્લેનમાં કોઈ બાહ્ય કેન્દ્ર નથી; પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં, બાહ્ય હોમોથેટિક કેન્દ્ર આ રેખાઓના ઢોળાવને અનુરૂપ અનંત બિંદુ પર આવેલું છે. બાહ્ય સ્પર્શક બિંદુઓને જોડતી લાલ રેખા અને તે બે વર્તુળો વચ્ચેની બાહ્ય સ્પર્શક છે. આપેલ બિંદુઓ, બિંદુઓની ગણતરી સરળતાથી કોણની મદદથી કરી શકાય છેઃ અહીં અને બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાને નોંધો અને કોણની ગણતરી મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. તમારી પાસે જ્યાં એ. ટી. એ. એન. 2 એ 2-દલીલ આર્ક્ટાન્જેન્ટ છે. નજીકના અને દૂરના વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર, અને તે બિંદુ કે જ્યાં બે વર્તુળોની બે બાહ્ય સ્પર્શક આંતરછેદ કરે છે (હોમોથેટિક કેન્દ્ર), અનુક્રમે નીચેની સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છેઃ અહીં, નજીકના અથવા દૂરના વર્તુળના કેન્દ્રોથી અંતર શોધવાની જરૂરિયાત પર આધારિત હોઈ શકે છે, અને. તે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે. આંતરિક સ્પર્શક એ એક સ્પર્શક છે જે બે વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતા ખંડને છેદે છે. નોંધ લો કે જ્યારે બે વર્તુળો ઓવરલેપ થાય છે ત્યારે આંતરિક સ્પર્શકને એવા કિસ્સાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે નહીં. બાંધકામ બિટાન્જેન્ટ રેખાઓ તે લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ હોમોથેટિક કેન્દ્રોનું નિર્માણ કરીને અને પછી ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓમાંથી એક દ્વારા, એક વર્તુળમાં સ્પર્શક હોમોથેટિક કેન્દ્ર દ્વારા સ્પર્શક રેખાઓનું નિર્માણ કરીને બનાવી શકાય છે. પરિણામી રેખા પછી અન્ય વર્તુળ સાથે પણ સ્પર્શક હશે. વૈકલ્પિક રીતે, સ્પર્શક રેખાઓ અને સ્પર્શક બિંદુઓ વધુ સીધી રીતે બનાવી શકાય છે, જે નીચે વિગતવાર છે. નોંધ લો કે અધોગતિના કિસ્સાઓમાં આ બાંધકામો તૂટી જાય છે; પ્રદર્શનને સરળ બનાવવા માટે આ વિભાગમાં આની ચર્ચા કરવામાં આવી નથી, પરંતુ બાંધકામનું એક સ્વરૂપ મર્યાદિત કિસ્સાઓમાં કામ કરી શકે છે (દા. ત., એક બિંદુ પર બે વર્તુળો સ્પર્શક). કૃત્રિમ ભૂમિતિ બે વર્તુળોના કેન્દ્રો બનવા દો, અને તેમની ત્રિજ્યા બનવા દો; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વર્તુળને બે વર્તુળોમાંથી મોટા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બાહ્ય અને આંતરિક સ્પર્શક રેખાઓ બનાવવા માટે બે અલગ અલગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. બાહ્ય સ્પર્શક ત્રિજ્યાનું નવું વર્તુળ તેના કેન્દ્રમાં દોરવામાં આવે છે. ઉપરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આ નવા વર્તુળને સ્પર્શ કરતી બે રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓ ઇચ્છિત સ્પર્શક રેખાઓને સમાંતર હોય છે, કારણ કે પરિસ્થિતિ બંને વર્તુળોમાં અને સતત પ્રમાણમાં સંકોચનને અનુરૂપ હોય છે, જે એક બિંદુ સુધી સંકોચાય છે. બે રેડિયલ રેખાઓ કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શક બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવી શકે છે; આ ઇચ્છિત સ્પર્શક બિંદુઓ પર છેદે છે. ઇચ્છિત બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ તે સ્પર્શક બિંદુઓ પર આ રેડિયલ રેખાઓને લંબરૂપ રેખાઓ છે, જે ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ બનાવી શકાય છે. આંતરિક સ્પર્શક ત્રિજ્યાનું નવું વર્તુળ તેના કેન્દ્રમાં દોરવામાં આવે છે. ઉપરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આ નવા વર્તુળને સ્પર્શ કરતી બે રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓ ઇચ્છિત સ્પર્શક રેખાઓને સમાંતર હોય છે, કારણ કે પરિસ્થિતિ એક સ્થિર માત્રામાં વિસ્તરણ કરતી વખતે એક બિંદુ સુધી સંકોચાય છે. બે રેડિયલ રેખાઓ કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શક બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવી શકે છે; આ ઇચ્છિત સ્પર્શક બિંદુઓ પર છેદે છે. ઇચ્છિત આંતરિક સ્પર્શક રેખાઓ તે સ્પર્શક બિંદુઓ પર આ રેડિયલ રેખાઓને લંબરૂપ રેખાઓ છે, જે ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ બનાવી શકાય છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ ચાલો વર્તુળોમાં કેન્દ્રો અને અનુક્રમે ત્રિજ્યા સાથે હોય. સામાન્યીકરણ સાથે સમીકરણ દ્વારા એક રેખા વ્યક્ત કરવાથી પછી બિટાન્જેન્ટ રેખા સંતોષ પામે છેઃ જ્યાં અને બાહ્ય સ્પર્શક માટે અથવા આંતરિક સ્પર્શક માટે બીજી ઉપજમાંથી પ્રથમને બાદ કરીને ઉકેલવું. જો તે અંતર છે તો આપણે સમીકરણ (1) ને સરળ બનાવવા માટે તેને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ, જેના પરિણામે સમીકરણોની નીચેની પદ્ધતિ પરિણમે છેઃ બે બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ માટે બે ઉકેલો () મેળવવા માટે આનો ઉકેલ લાવોઃ ભૌમિતિક રીતે આ સ્પર્શક રેખાઓ અને કેન્દ્રોની રેખા દ્વારા રચાયેલા કોણની ગણતરીને અનુરૂપ છે, અને પછી તેનો ઉપયોગ કેન્દ્રોની રેખા માટે સમીકરણને ફેરવવા માટે સ્પર્શરેખા માટે સમીકરણ મેળવવા માટે થાય છે. કોણની ગણતરી જમણા ત્રિકોણના ત્રિકોણમિતીય કાર્યોની ગણતરી કરીને કરવામાં આવે છે, જેના શિરોબિંદુઓ (બાહ્ય) સમસ્થાનિક કેન્દ્ર, વર્તુળનું કેન્દ્ર અને સ્પર્શક બિંદુ હોય છે; હાયપોટેન્યુઝ સ્પર્શક રેખા પર આવેલું હોય છે, ત્રિજ્યા કોણની વિરુદ્ધ હોય છે અને અડીને આવેલી બાજુ કેન્દ્રોની રેખા પર આવેલું હોય છે. તે એકમ વેક્ટર છે જે થી તરફ નિર્દેશ કરે છે, જ્યારે તે કેન્દ્રોની રેખા અને સ્પર્શક રેખા વચ્ચેનો કોણ છે. પછી છે (પરિભ્રમણની દિશાની સમાન નિશાનીના આધારે), અને ઉપરના સમીકરણો પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણ છેઃ વર્તુળોની જમણી બાજુની સ્પર્શક રેખા છે જે થી તરફ જુએ છે. તે વર્તુળોની જમણી બાજુની સ્પર્શરેખા છે જે થી તરફ જુએ છે. ઉપરોક્ત ધારે છે કે દરેક વર્તુળ હકારાત્મક ત્રિજ્યા ધરાવે છે. જો હકારાત્મક અને નકારાત્મક હોય તો તે દરેક રેખાની ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુએ રહેશે, અને બે સ્પર્શક રેખાઓ ઓળંગી જશે. આ રીતે ચારેય ઉકેલો પ્રાપ્ત થાય છે. રેડીય સ્વીચો અને બંનેના સંકેતો બદલાઇ રહ્યા છે. વેક્ટર સામાન્ય રીતે સ્પર્શતાના બિંદુઓ અને કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યા સાથેના બે વર્તુળોની સ્પર્શરેખા ધરાવતી ચાર રેખાઓ માટે અને એક સાથે સમીકરણોને હલ કરીને આપવામાં આવે છેઃ આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે સ્પર્શરેખા, જે ત્રિજ્યાને સમાંતર છે, તે ત્રિજ્યાને લંબરૂપ છે, અને સ્પર્શરેખા બિંદુઓ તેમના સંબંધિત વર્તુળો પર આવેલા છે. આ બે દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર ચલમાં ચાર વર્ગાત્મક સમીકરણો છે, અને સામાન્ય સ્થિતિમાં ઉકેલોની ચાર જોડી હશે. ડીજનરેટ કિસ્સાઓ બે અલગ વર્તુળોમાં રૂપરેખાંકનના આધારે શૂન્ય અને ચાર બિટાન્જેન્ટ રેખાઓ વચ્ચે હોઈ શકે છે; આને કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યા વચ્ચેના અંતરની દ્રષ્ટિએ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. જો બહુવિધતા સાથે ગણવામાં આવે (સામાન્ય સ્પર્શકને બે વાર ગણવામાં આવે) તો શૂન્ય, બે અથવા ચાર બિટાન્જેન્ટ રેખાઓ હોય છે. બિટાન્જેન્ટ રેખાઓને નકારાત્મક અથવા શૂન્ય ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોમાં પણ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. અધોગતિના કિસ્સાઓ અને ગુણાકારને અન્ય રૂપરેખાંકનોની મર્યાદાના સંદર્ભમાં પણ સમજી શકાય છે-દા. ત., બે વર્તુળોની મર્યાદા જે લગભગ સ્પર્શ કરે છે, અને એકને ખસેડીને જેથી તેઓ સ્પર્શ કરે છે, અથવા નાની ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ શૂન્ય ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સંકોચાય છે. જો વર્તુળો એકબીજાની બહાર હોય (), જે સામાન્ય સ્થિતિ છે, તો ત્યાં ચાર બિટાન્જેન્ટ છે. જો તેઓ એક બિંદુ () પર બાહ્ય સ્પર્શ કરે છે-બાહ્ય સ્પર્શકતાના એક બિંદુ ધરાવે છે-તો તેમની પાસે બે બાહ્ય બિટાન્જેન્ટ અને એક આંતરિક બિટાન્જેન્ટ હોય છે, એટલે કે સામાન્ય સ્પર્શક રેખા. આ સામાન્ય સ્પર્શક રેખામાં બે ગુણાકાર હોય છે, કારણ કે તે બંને દિશાઓ (દિશા) માટે વર્તુળો (એક ડાબી બાજુએ, એક જમણી બાજુએ) ને અલગ કરે છે. જો વર્તુળો બે બિંદુઓ () માં છેદે છે, તો તેમાં કોઈ આંતરિક બિટાન્જેન્ટ અને બે બાહ્ય બિટાન્જેન્ટ નથી (તેમને અલગ કરી શકાતા નથી, કારણ કે તેઓ છેદે છે, તેથી કોઈ આંતરિક બિટાન્જેન્ટ નથી). જો વર્તુળો એક બિંદુ () પર આંતરિક રીતે સ્પર્શ કરે છે-આંતરિક સ્પર્શકતાના એક બિંદુ ધરાવે છે-તો તેમની પાસે કોઈ આંતરિક સ્પર્શક નથી અને એક બાહ્ય સ્પર્શક નથી, એટલે કે સામાન્ય સ્પર્શક રેખા, જે ઉપરની જેમ ગુણાકાર બે ધરાવે છે. જો એક વર્તુળ સંપૂર્ણપણે બીજા () ની અંદર હોય તો તેમાં કોઈ બિટાન્જેન્ટ નથી, કારણ કે બાહ્ય વર્તુળની સ્પર્શક રેખા આંતરિક વર્તુળને છેદતી નથી, અથવા તેનાથી વિપરીત આંતરિક વર્તુળની સ્પર્શક રેખા બાહ્ય વર્તુળની એક અલગ રેખા છે. છેવટે, જો બે વર્તુળો સમાન હોય, તો વર્તુળની કોઈપણ સ્પર્શક એક સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે અને તેથી (બાહ્ય) બિટેંજેન્ટ હોય છે, તેથી વર્તુળમાં બિટેંજેન્ટ્સની કિંમત હોય છે. વધુમાં, બિટાન્જેન્ટ રેખાઓની કલ્પનાને નકારાત્મક ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે (બિંદુઓનું સમાન સ્થાન, પરંતુ "અંદરથી બહાર" ગણવામાં આવે છે), આ કિસ્સામાં જો ત્રિજ્યામાં વિરુદ્ધ સંકેત હોય (એક વર્તુળમાં નકારાત્મક ત્રિજ્યા હોય અને બીજામાં સકારાત્મક ત્રિજ્યા હોય) તો બાહ્ય અને આંતરિક હોમોથેટિક કેન્દ્રો અને બાહ્ય અને આંતરિક બિટાન્જેન્ટ્સ સ્વિચ કરવામાં આવે છે, જ્યારે જો ત્રિજ્યામાં સમાન સંકેત હોય (બંને સકારાત્મક ત્રિજ્યા અથવા બંને નકારાત્મક ત્રિજ્યા) તો "બાહ્ય" અને "આંતરિક" નો સમાન સામાન્ય અર્થ હોય છે (એક સંકેતને બદલવાથી તે સ્વિચ થાય છે, તેથી બંનેને બદલવાથી તે પાછા સ્વિચ થાય છે). બિટાન્જેન્ટ રેખાઓને ત્યારે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યારે એક અથવા બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા શૂન્ય હોય. આ કિસ્સામાં ત્રિજ્યા શૂન્ય સાથેનું વર્તુળ બેવડું બિંદુ છે, અને આમ તેમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા બિંદુને ગુણાકાર બે સાથે છેદે છે, તેથી તે "સ્પર્શક" છે. જો એક વર્તુળની ત્રિજ્યા શૂન્ય હોય, તો બિટાન્જેન્ટ રેખા એ વર્તુળને સ્પર્શ કરતી અને બિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા છે, અને તેને ગુણાકાર બે સાથે ગણવામાં આવે છે. જો બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા શૂન્ય હોય, તો બિટાન્જેન્ટ રેખા એ તેઓ વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે રેખા છે, અને તેને ગુણાકાર ચાર સાથે ગણવામાં આવે છે. નોંધ લો કે આ અધોગતિગ્રસ્ત કિસ્સાઓમાં બાહ્ય અને આંતરિક હોમોથેટિક કેન્દ્ર સામાન્ય રીતે હજુ પણ અસ્તિત્વમાં છે (જો ત્રિજ્યા સમાન હોય તો બાહ્ય કેન્દ્ર અનંત પર હોય છે), સિવાય કે વર્તુળો એકરુપ હોય, જે કિસ્સામાં બાહ્ય કેન્દ્ર વ્યાખ્યાયિત ન હોય, અથવા જો બંને વર્તુળોમાં ત્રિજ્યા શૂન્ય હોય, તો તે કિસ્સામાં આંતરિક કેન્દ્ર વ્યાખ્યાયિત નથી. અરજીઓ પટ્ટાની સમસ્યા આંતરિક અને બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ પટ્ટાની સમસ્યાને ઉકેલવામાં ઉપયોગી છે, જે બે પુલી પર ચુસ્તપણે ફિટ થવા માટે જરૂરી પટ્ટો અથવા દોરડાની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે છે. જો પટ્ટાને નજીવી જાડાઈની ગાણિતિક રેખા માનવામાં આવે છે, અને જો બંને પુલી બરાબર એક જ સમતલમાં હોવાનું માનવામાં આવે છે, તો સમસ્યા સંબંધિત સ્પર્શક રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો પટ્ટાની ગોળાકાર ચાપની લંબાઈ સાથે કરવામાં આવે છે. જો પટ્ટાને વ્હીલ્સની આસપાસ વીંટાળવામાં આવે છે જેથી તેને પાર કરી શકાય, તો આંતરિક સ્પર્શક રેખા સેગમેન્ટ્સ સુસંગત છે. તેનાથી વિપરીત, જો પટ્ટો પુલીની આસપાસ બાહ્ય રીતે લપેટી લેવામાં આવે છે, તો બાહ્ય સ્પર્શક રેખાના ભાગો સુસંગત છે; આ કેસને કેટલીકવાર પુલી સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. ત્રણ વર્તુળોમાં સ્પર્શક રેખાઓઃ મોંગેનો પ્રમેય દ્વારા સૂચવવામાં આવેલા ત્રણ વર્તુળો માટે, અને, વર્તુળોની ત્રણ જોડી (,, અને) છે. વર્તુળોની દરેક જોડીમાં બે હોમોથેટિક કેન્દ્રો હોવાથી, એકસાથે છ હોમોથેટિક કેન્દ્રો છે. ગેસ્પર્ડ મોંગેએ 19મી સદીની શરૂઆતમાં દર્શાવ્યું હતું કે આ છ બિંદુઓ ચાર રેખાઓ પર આવેલા છે, દરેક રેખામાં ત્રણ સમરેખીય બિંદુઓ છે. અપોલોનીયસની સમસ્યાના ઘણા વિશેષ કિસ્સાઓમાં એક અથવા વધુ રેખાઓને સ્પર્શ કરતું વર્તુળ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. આમાંથી સૌથી સરળ વર્તુળો બાંધવાનું છે જે આપેલ ત્રણ રેખાઓ (એલ. એલ. એલ. સમસ્યા) ને સ્પર્શે છે. આ સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે, આવા કોઈપણ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખાઓની કોઈપણ જોડીના દ્વિભાજક ખૂણા પર હોવું જોઈએ; બે રેખાઓના દરેક આંતરછેદ માટે બે કોણ-વિભાજક રેખાઓ હોય છે. આ દ્વિભાજક ખૂણાઓના આંતરછેદો દ્રાવણ વર્તુળોના કેન્દ્રો આપે છે. સામાન્ય રીતે આવા ચાર વર્તુળો હોય છે, ત્રણ રેખાઓના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણનું અંકિત વર્તુળ અને ત્રણ અંકિત વર્તુળો. સામાન્ય એપોલોનીયસ સમસ્યાને એક વર્તુળ અને બે સમાંતર રેખાઓ (પોતે એલ. એલ. સી. વિશેષ કેસનો એક વિશેષ કેસ) માટે વર્તુળ સ્પર્શકની સરળ સમસ્યામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ પરિપૂર્ણ કરવા માટે, આપેલ ત્રણ વર્તુળોમાંથી બેને માપવા માટે તે પૂરતું છે જ્યાં સુધી તેઓ માત્ર સ્પર્શ ન કરે, એટલે કે, સ્પર્શક હોય. યોગ્ય ત્રિજ્યાના વર્તુળના સંદર્ભમાં તેમના સ્પર્શક બિંદુમાં વ્યુત્ક્રમ આપેલ બે સ્પર્શ વર્તુળોને બે સમાંતર રેખાઓમાં અને આપેલ ત્રીજા વર્તુળને બીજા વર્તુળમાં રૂપાંતરિત કરે છે. આમ, જ્યાં સુધી તે રૂપાંતરિત ત્રીજા વર્તુળનો સંપર્ક ન કરે ત્યાં સુધી બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે સતત ત્રિજ્યાના વર્તુળને સરકીને ઉકેલો શોધી શકાય છે. પુનઃ-વ્યુત્ક્રમ મૂળ સમસ્યાના અનુરૂપ ઉકેલો ઉત્પન્ન કરે છે. સામાન્યીકરણ એક અથવા વધુ વર્તુળોમાં સ્પર્શક રેખાના ખ્યાલને ઘણી રીતે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. પ્રથમ, સ્પર્શક બિંદુઓ અને સ્પર્શક રેખાઓ વચ્ચેના સંયુગ્મ સંબંધને ધ્રુવ બિંદુઓ અને ધ્રુવીય રેખાઓ માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જેમાં ધ્રુવ બિંદુઓ ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે, માત્ર વર્તુળના પરિઘ પર નહીં. બીજું, બે વર્તુળોનું જોડાણ એ ક્વાર્ટિક પ્લેન વળાંકનો એક વિશેષ (ઘટાડી શકાય તેવો) કેસ છે, અને બાહ્ય અને આંતરિક સ્પર્શક રેખાઓ આ ક્વાર્ટિક વળાંકના બિટાન્જેન્ટ છે. સામાન્ય ક્વાર્ટિક વળાંકમાં 28 બિટાન્જેન્ટ હોય છે. ત્રીજું સામાન્યીકરણ સ્પર્શક રેખાઓને બદલે સ્પર્શક વર્તુળોને ધ્યાનમાં લે છે; સ્પર્શક રેખાને અનંત ત્રિજ્યાના સ્પર્શક વર્તુળ તરીકે ગણી શકાય. ખાસ કરીને, બે વર્તુળોની બાહ્ય સ્પર્શક રેખાઓ વર્તુળોના પરિવારના કિસ્સાઓને મર્યાદિત કરે છે જે આંતરિક રીતે અથવા બાહ્ય રીતે બંને વર્તુળો માટે સ્પર્શક હોય છે, જ્યારે આંતરિક સ્પર્શક રેખાઓ વર્તુળોના પરિવારના કિસ્સાઓને મર્યાદિત કરે છે જે આંતરિક રીતે એક સાથે સ્પર્શક હોય છે અને બાહ્ય રીતે બે વર્તુળોમાંથી બીજા સાથે સ્પર્શક હોય છે. મોબિયસ અથવા વ્યુત્ક્રમ ભૂમિતિમાં, રેખાઓને "અનંત પર" બિંદુ દ્વારા વર્તુળો તરીકે જોવામાં આવે છે અને કોઈપણ રેખા અને કોઈપણ વર્તુળ માટે, એક મોબિયસ પરિવર્તન હોય છે જે એક બીજાને મેપ કરે છે. મોબિયસ ભૂમિતિમાં, રેખા અને વર્તુળ વચ્ચેની સ્પર્શકતા બે વર્તુળો વચ્ચેની સ્પર્શકતાનો વિશેષ કેસ બની જાય છે. આ સમાનતા લાઈ ગોળાકાર ભૂમિતિમાં વધુ વિસ્તૃત છે. ત્રિજ્યા અને સ્પર્શરેખા વર્તુળના એક બિંદુ પર લંબરૂપ હોય છે, અને એકમ હાયપરબોલાના એક બિંદુ પર હાયપરબોલિક-ઓર્થોગોનલ હોય છે. ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા એકમ હાયપરબોલાની પેરામેટ્રિક રજૂઆત છે. ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક ત્યારથી હાયપરબોલિક ઓર્થોગોનલ છે અને એકમ હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટમાં એકબીજાનું પ્રતિબિંબ છે. જ્યારે વિભાજીત-જટિલ સંખ્યાઓ (જ્યાં) તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, ત્યારે બે સંખ્યાઓ સંદર્ભોને સંતોષે છે બાહ્ય કડીઓ વર્તુળો