Linear time-invariant system
પ્રણાલી વિશ્લેષણમાં, અભ્યાસના અન્ય ક્ષેત્રોમાં, રેખીય સમય-પરિવર્તનશીલ (એલ. ટી. આઈ.) પ્રણાલી એ એવી પ્રણાલી છે જે રેખીયતા અને સમય-વિચલનની મર્યાદાઓને આધિન કોઈપણ ઇનપુટ સંકેતમાંથી આઉટપુટ સંકેત ઉત્પન્ન કરે છે; આ શરતોને ટૂંકમાં નીચે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આ ગુણધર્મો ઘણી મહત્વપૂર્ણ ભૌતિક પ્રણાલીઓને (બરાબર અથવા આશરે) લાગુ પડે છે, આ કિસ્સામાં મનસ્વી ઇનપુટ માટે પ્રણાલીનો પ્રતિસાદ સીધા જ કોન્વોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છેઃ જ્યાં તેને પ્રણાલીનો આવેગ પ્રતિસાદ કહેવામાં આવે છે અને ≤ કોન્વોલ્યુશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (ગુણાકાર સાથે મૂંઝવણ ન કરવી). વધુ શું છે, આવી કોઈપણ પ્રણાલી (નિર્ધારણ) ને ઉકેલવા માટે વ્યવસ્થિત પદ્ધતિઓ છે, જ્યારે બંને ગુણધર્મોને પૂર્ણ ન કરતી પ્રણાલીઓ વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવા માટે સામાન્ય રીતે વધુ મુશ્કેલ (અથવા અશક્ય) હોય છે. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું સારું ઉદાહરણ એ કોઈપણ વિદ્યુત સર્કિટ છે જેમાં અવરોધકો, કેપેસિટર્સ, ઇન્ડક્ટર્સ અને રેખીય એમ્પ્લીફાયર્સ હોય છે. લીનિયર ટાઇમ-ઇનવેરિયન્ટ સિસ્ટમ થિયરીનો ઉપયોગ ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં પણ થાય છે, જ્યાં સિસ્ટમોમાં અસ્થાયી પરિમાણને બદલે અથવા વધુમાં અવકાશી પરિમાણો હોય છે. પરિભાષાને સૌથી સામાન્ય પહોંચ આપવા માટે આ પ્રણાલીઓને રેખીય અનુવાદ-અપરિવર્તન તરીકે ઓળખવામાં આવી શકે છે. સામાન્ય ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ (એટલે કે, નમૂનારૂપ) પ્રણાલીઓના કિસ્સામાં, રેખીય શિફ્ટ-ઇનવેરિયન્ટ એ અનુરૂપ શબ્દ છે. એલ. ટી. આઈ. સિસ્ટમ થિયરી એ લાગુ કરેલ ગણિતનું એક ક્ષેત્ર છે જે ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ વિશ્લેષણ અને ડિઝાઇન, સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને ફિલ્ટર ડિઝાઇન, કંટ્રોલ થિયરી, મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ, ઇમેજ પ્રોસેસિંગ, ઘણા પ્રકારનાં માપન સાધનોની ડિઝાઇન, એન. એમ. આર. સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી અને અન્ય ઘણા તકનીકી ક્ષેત્રોમાં સીધો ઉપયોગ કરે છે જ્યાં સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમો પોતાને રજૂ કરે છે. કોઈપણ એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીના વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મો રેખીયતા અને સમયની અપરિવર્તનશીલતા છે. રેખીયતાનો અર્થ એ છે કે ઇનપુટ અને આઉટપુટ વચ્ચેનો સંબંધ, બંનેને કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે એક રેખીય મેપિંગ છેઃ જો સતત હોય તો સિસ્ટમ આઉટપુટ છે; જો સિસ્ટમ આઉટપુટ સાથે વધુ ઇનપુટ હોય તો સિસ્ટમનું આઉટપુટ છે, આ,, ની તમામ પસંદગીઓ માટે લાગુ થાય છે. પછીની સ્થિતિને ઘણીવાર સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ટાઇમ ઇનવેરિયન્સનો અર્થ એ છે કે ભલે આપણે હવે સિસ્ટમ પર ઇનપુટ લાગુ કરીએ અથવા હવેથી T સેકન્ડ પછી, આઉટપુટ T સેકન્ડના સમય વિલંબ સિવાય સમાન હશે. એટલે કે, જો ઇનપુટને કારણે આઉટપુટ છે, તો ઇનપુટને કારણે આઉટપુટ છે. તેથી, સિસ્ટમ સમય અપરિવર્તનશીલ છે કારણ કે આઉટપુટ ઇનપુટ લાગુ કરવામાં આવે તે ચોક્કસ સમય પર આધારિત નથી. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલી સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત પરિણામ એ છે કે કોઈપણ એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીને સંપૂર્ણપણે એક જ કાર્ય દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જેને પ્રણાલીનો આવેગ પ્રતિસાદ કહેવાય છે. સિસ્ટમનું આઉટપુટ એ ફક્ત સિસ્ટમના આવેગ પ્રતિસાદ સાથે સિસ્ટમમાં ઇનપુટનું કન્વોલ્યુશન છે. આને સતત સમય પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ રેખીય ટાઇમ-ઇનવેરિયન્ટ (અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, "શિફ્ટ-ઇનવેરિયન્ટ") સિસ્ટમને ડિસ્ક્રીટ ટાઇમમાં કાર્યરત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં y, x અને h સિક્વન્સ છે અને ડિસ્ક્રીટ ટાઇમમાં કોન્વોલ્યુશન, ઇન્ટિગ્રલને બદલે ડિસ્ક્રીટ સમેશનનો ઉપયોગ કરે છે. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓને આવૃત્તિ ક્ષેત્રમાં પ્રણાલીના સ્થાનાંતરણ કાર્ય દ્વારા પણ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જે પ્રણાલીના આવેગ પ્રતિક્રિયાનું લાપ્લાસ પરિવર્તન છે (અથવા સ્વતંત્ર-સમય પ્રણાલીઓના કિસ્સામાં ઝેડ પરિવર્તન). આ પરિવર્તનના ગુણધર્મોના પરિણામે, આવર્તન ક્ષેત્રમાં પ્રણાલીનું ઉત્પાદન એ સ્થાનાંતરણ કાર્ય અને ઇનપુટના પરિવર્તનનું ઉત્પાદન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટાઇમ ડોમેનમાં કોન્વોલ્યુશન એ ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં ગુણાકારની સમકક્ષ છે. તમામ એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓ માટે, આઈગનફંક્શન્સ અને ટ્રાન્સફોર્મના પાયાના કાર્યો જટિલ ઘાતાંકો છે. આનો અર્થ એ છે કે, જો સિસ્ટમમાં ઇનપુટ કેટલાક જટિલ કંપનવિસ્તાર અને જટિલ આવર્તન માટે જટિલ તરંગ સ્વરૂપ છે, તો આઉટપુટ કેટલાક નવા જટિલ કંપનવિસ્તાર માટે, ઇનપુટના અમુક જટિલ અચળ ગુણ્યા હશે. ગુણોત્તર એ આવર્તન પર ટ્રાન્સફર કાર્ય છે. સિનુસોઈડ્સ એ જટિલ-સંયુક્ત આવૃત્તિઓ સાથે જટિલ ઘાતાંકોનો સરવાળો હોવાથી, જો સિસ્ટમમાં ઇનપુટ સિનુસોઇડ હોય, તો સિસ્ટમનું આઉટપુટ પણ સિનુસોઇડ હશે, કદાચ અલગ કંપનવિસ્તાર અને અલગ તબક્કા સાથે, પરંતુ હંમેશા સ્થિર સ્થિતિ સુધી પહોંચ્યા પછી સમાન આવર્તન સાથે. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓ એવા આવર્તન ઘટકોનું ઉત્પાદન કરી શકતી નથી જે ઇનપુટમાં ન હોય. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલી સિદ્ધાંત ઘણી મહત્વપૂર્ણ પ્રણાલીઓનું વર્ણન કરવામાં સારો છે. મોટાભાગની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓને વિશ્લેષણ કરવા માટે "સરળ" ગણવામાં આવે છે, ઓછામાં ઓછા સમય-બદલાતા અને/અથવા બિનરેખીય કેસની સરખામણીમાં. કોઈપણ પ્રણાલી કે જેને સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણ તરીકે મોડેલ કરી શકાય છે તે એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલી છે. આવી પ્રણાલીઓના ઉદાહરણો રેઝિસ્ટર, ઇન્ડક્ટર્સ અને કેપેસિટર્સ (આર. એલ. સી. સર્કિટ) થી બનેલી વિદ્યુત સર્કિટ છે. આદર્શ સ્પ્રિંગ-માસ-ડેમ્પર પ્રણાલીઓ પણ એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓ છે, અને ગાણિતિક રીતે આર. એલ. સી. સર્કિટની સમકક્ષ છે. મોટાભાગની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીની વિભાવનાઓ સતત-સમય અને સ્વતંત્ર-સમય (રેખીય પરિવર્તન-અપરિવર્તનશીલ) કિસ્સાઓમાં સમાન હોય છે. ઇમેજ પ્રોસેસિંગમાં, ટાઇમ વેરિયેબલને બે સ્પેસ વેરિયેબલ્સ સાથે બદલવામાં આવે છે, અને ટાઇમ ઇનવેરિયન્સની કલ્પનાને દ્વિ-પરિમાણીય શિફ્ટ ઇનવેરિયન્સ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ફિલ્ટર બેંકો અને MIMO સિસ્ટમોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, સંકેતોના વેક્ટરને ધ્યાનમાં લેવા માટે ઘણીવાર ઉપયોગી છે. એક રેખીય પ્રણાલી કે જે સમય-અપરિવર્તનશીલ નથી તેને ગ્રીન ફંક્શન પદ્ધતિ જેવા અન્ય અભિગમોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. સતત-સમય પ્રણાલીઓ આવેગ પ્રતિભાવ અને વળાંક ઇનપુટ સંકેત x (t) અને આઉટપુટ સંકેત y (t) સાથે રેખીય, સતત-સમય, સમય-પરિવર્તનશીલ પ્રણાલીની વર્તણૂકને વળાંક અભિન્ન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ {| | | | | | | | | (વિનિમયશીલતાનો ઉપયોગ કરીને) |} જ્યાં આવેગને પ્રણાલીનો પ્રતિસાદ છેઃ તેથી તે ઇનપુટ કાર્યની ભારિત સરેરાશની પ્રમાણસર છે. વેઇટિંગ ફંક્શન, ફક્ત રકમ દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે. જેમ જેમ ફેરફારો થાય છે તેમ, વજન કાર્ય ઇનપુટ કાર્યના વિવિધ ભાગો પર ભાર મૂકે છે. બધા નકારાત્મક માટે શૂન્ય ક્યારે હોય છે, તે ફક્ત સમય પહેલાના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે, અને પ્રણાલીને કારણભૂત કહેવામાં આવે છે. કન્વોલ્યુશન શા માટે એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે છે તે સમજવા માટે, નોટેશનને ચલ અને અચળ સાથે કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા દો. અને ટૂંકા સંકેતને રજૂ કરવા દો. પછી કન્ટિન્યુઅસ-ટાઇમ સિસ્ટમ ઇનપુટ ફંક્શનને આઉટપુટ ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરે છે. અને સામાન્ય રીતે, આઉટપુટનું દરેક મૂલ્ય ઇનપુટના દરેક મૂલ્ય પર આધારિત હોઈ શકે છે. આ ખ્યાલ આના દ્વારા રજૂ થાય છેઃ સમય માટે પરિવર્તન સંચાલક ક્યાં છે. લાક્ષણિક પ્રણાલીમાં, તે નજીકના સમયના મૂલ્યો પર સૌથી વધુ આધાર રાખે છે. જ્યાં સુધી ટ્રાન્સફોર્મ પોતે સાથે બદલાતું નથી, ત્યાં સુધી આઉટપુટ ફંક્શન માત્ર સ્થિર છે, અને સિસ્ટમ રસહીન છે. રેખીય પ્રણાલી માટે, સંતોષવું આવશ્યક છેઃ અને સમય-વિચલનની જરૂરિયાત છેઃ આ સંકેતલિપીમાં, આપણે આવેગ પ્રતિસાદને આ રીતે લખી શકીએ છીએઃ એ જ રીતેઃ આ પરિણામને કોન્વોલ્યુશન ઇન્ટિગ્રલમાં બદલીનેઃ જે કેસ માટે જમણી બાજુનું સ્વરૂપ ધરાવે છે અને પછી આ ચાલુ રાખવાની મંજૂરી આપે છેઃ સારાંશમાં, ઇનપુટ કાર્ય, સમય-સ્થાનાંતરિત આવેગ કાર્યોના સાતત્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જે અહીં બતાવ્યા પ્રમાણે સંયુક્ત રીતે "રેખીય" છે. સિસ્ટમની રેખીયતાનો ગુણધર્મ સિસ્ટમના પ્રતિસાદને આવેગ પ્રતિસાદોના અનુરૂપ સાતત્ય દ્વારા રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે તે જ રીતે જોડાય છે. અને સમય-વિચલન ગુણધર્મ તે સંયોજનને કોન્વોલ્યુશન ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉપરની ગાણિતિક કામગીરીમાં સરળ ગ્રાફિકલ સિમ્યુલેશન છે. આઈગનફંક્શન્સ તરીકે એક્સપોનેન્શિયલ્સ આઈગનફંક્શન્સ એ એક ફંક્શન છે જેના માટે ઓપરેટરનું આઉટપુટ એ જ ફંક્શનનું સ્કેલ કરેલું વર્ઝન છે. એટલે કે, જ્યાં f એ આઈગન ફંક્શન છે અને આઈગન વેલ્યુ છે, જે અચળાંક છે. ઘાતાંકીય વિધેયો, જ્યાં, રેખીય, સમય-અપરિવર્તનશીલ ઓપરેટરના આઈગનફંક્શન્સ છે. એક સરળ પુરાવો આ ખ્યાલને સમજાવે છે. ધારો કે ઇનપુટ છે. ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ સાથે સિસ્ટમનું આઉટપુટ તે પછી છે, જે કન્વોલ્યુશનના પરિવર્તનીય ગુણધર્મ દ્વારા, જ્યાં સ્કેલર માત્ર પરિમાણો s પર નિર્ભર છે તેની સમકક્ષ છે. તેથી સિસ્ટમનો પ્રતિસાદ એ ઇનપુટનું સ્કેલ કરેલું સંસ્કરણ છે. ખાસ કરીને, કોઈપણ માટે, સિસ્ટમ આઉટપુટ એ ઇનપુટ અને અચળાંકનું ઉત્પાદન છે. તેથી, તે એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું આઈગન ફંક્શન છે, અને અનુરૂપ આઈગન વેલ્યુ છે. સીધો પુરાવો એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓના આઈગનફંક્શન્સ તરીકે સીધા જ જટિલ ઘાતાંકો મેળવવાનું પણ શક્ય છે. ચાલો આપણે તેના કેટલાક જટિલ ઘાતાંકીય અને સમય-પરિવર્તિત સંસ્કરણને સેટ કરીએ. અચળાંકના સંદર્ભમાં રેખીયતા દ્વારા. સમયની અપરિવર્તનશીલતા. તો. સેટિંગ અને નામ બદલવાથી આપણને મળે છેઃ એટલે કે. કે ઇનપુટ તરીકે જટિલ ઘાતાંકીય આઉટપુટ તરીકે સમાન આવર્તનનું જટિલ ઘાતાંકીય આપશે. ફોરિયર અને લાપ્લાસ રૂપાંતર કરે છે ઘાતાંકોની આઈગનફંક્શન પ્રોપર્ટી એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓમાં વિશ્લેષણ અને આંતરદૃષ્ટિ બંને માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે. એકતરફી લાપ્લાસ પરિવર્તન એ આવેગના પ્રતિભાવમાંથી આઈગન વેલ્યુ મેળવવાનો બરાબર રસ્તો છે. ખાસ રસ ધરાવતા શુદ્ધ સાઇનસૉઇડ્સ (એટલે કે, જ્યાં અને તે સ્વરૂપના ઘાતાંકીય કાર્યો) છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ શુદ્ધ જટિલ સાઇનસોઈડ્સ માટે આઈગન વેલ્યુ આપે છે. બંનેને સિસ્ટમ કાર્ય, સિસ્ટમ પ્રતિસાદ અથવા ટ્રાન્સફર કાર્ય કહેવામાં આવે છે. લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે એકતરફી સંકેતોના સંદર્ભમાં થાય છે, એટલે કે. એવા સંકેતો કે જે અમુક મૂલ્ય કરતાં ઓછા t ના તમામ મૂલ્યો માટે શૂન્ય હોય. સામાન્ય રીતે, આ "શરૂઆતનો સમય" શૂન્ય પર સેટ કરવામાં આવે છે, સુવિધા માટે અને સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના, પરિવર્તન અભિન્નને શૂન્યથી અનંતમાં લઈ જવામાં આવે છે (નકારાત્મક અનંતના એકીકરણની નીચી મર્યાદા સાથે ઉપર દર્શાવેલ પરિવર્તન ઔપચારિક રીતે દ્વિપક્ષી લાપ્લાસ પરિવર્તન તરીકે ઓળખાય છે). ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ એવી પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે જે અનંત હદ સુધીના સંકેતો પર પ્રક્રિયા કરે છે, જેમ કે મોડ્યુલેટેડ સાઇનસોઈડ્સ, તેમ છતાં તે સીધા ઇનપુટ અને આઉટપુટ સંકેતો પર લાગુ કરી શકાતા નથી જે ચોરસ સંકલનક્ષમ નથી. લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ વાસ્તવમાં આ સંકેતો માટે સીધા જ કામ કરે છે જો તેઓ શરૂઆતના સમય પહેલાં શૂન્ય હોય, પછી ભલે તેઓ સ્થિર સિસ્ટમો માટે ચોરસ સંકલનક્ષમ ન હોય. જ્યારે સંકેતોના ફોરિયર રૂપાંતરણો અસ્તિત્વમાં ન હોય ત્યારે પણ ફોરિયર રૂપાંતરણ ઘણીવાર વીનર-ખિંચિન પ્રમેય દ્વારા અનંત સંકેતોના વર્ણપટ પર લાગુ કરવામાં આવે છે. આ બંને ટ્રાન્સફોર્મના કન્વોલ્યુશન ગુણધર્મને કારણે, સિસ્ટમના આઉટપુટને આપતું કન્વોલ્યુશન ટ્રાન્સફોર્મ ડોમેનમાં ગુણાકારમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે, જે સંકેતો માટે ટ્રાન્સફોર્મ અસ્તિત્વમાં છે તે આપેલ છે. કોઈ પણ ચોક્કસ આવર્તન ઘટકને તે લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ સાથે સિસ્ટમ દ્વારા કેવી રીતે નિયંત્રિત કરવામાં આવે છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે સિસ્ટમ પ્રતિસાદનો સીધો ઉપયોગ કરી શકે છે. જો આપણે જટિલ આવર્તન પર પ્રણાલી પ્રતિભાવ (આવેગ પ્રતિભાવનું લાપ્લાસ પરિવર્તન) નું મૂલ્યાંકન કરીએ, જ્યાં આપણે |H (s) | મેળવીએ છીએ જે આવર્તન f માટે પ્રણાલી લાભ છે. તે આવર્તન ઘટક માટે આઉટપુટ અને ઇનપુટ વચ્ચેનો સંબંધિત તબક્કો સ્થળાંતર એ જ રીતે આર્ગ (H (s)) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણો મહત્વપૂર્ણ પ્રણાલી ગુણધર્મો પ્રણાલીના કેટલાક સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો કાર્યકારણ અને સ્થિરતા છે. કારણભૂતતા એ ભૌતિક પ્રણાલી માટે એક આવશ્યકતા છે જેની સ્વતંત્ર ચલ સમય છે, જો કે આ પ્રતિબંધ ઇમેજ પ્રોસેસિંગ જેવા અન્ય કિસ્સાઓમાં હાજર નથી. કાર્યકારણ એ સિસ્ટમ કારણભૂત છે જો આઉટપુટ માત્ર વર્તમાન અને ભૂતકાળ પર આધારિત હોય, પરંતુ ભવિષ્યના ઇનપુટ્સ પર નહીં. કાર્યકારણ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે આવેગનો પ્રતિસાદ ક્યાં છે. દ્વિ-પક્ષીય લાપ્લાસ પરિવર્તનમાંથી કાર્યકારણ નિર્ધારિત કરવું સામાન્ય રીતે શક્ય નથી. જો કે ટાઇમ ડોમેનમાં કામ કરતી વખતે સામાન્ય રીતે એક તરફી લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ થાય છે જેના માટે કાર્યકારણની જરૂર પડે છે. સ્થિરતા એ સિસ્ટમ બાઉન્ડેડ-ઇનપુટ, બાઉન્ડેડ-આઉટપુટ સ્ટેબલ (બી. આઈ. બી. ઓ. સ્ટેબલ) છે, જો દરેક બાઉન્ડેડ ઇનપુટ માટે, આઉટપુટ મર્યાદિત હોય. ગાણિતિક રીતે, જો દરેક સંતોષકારક ઇનપુટ સંતોષકારક આઉટપુટ તરફ દોરી જાય (એટલે કે, તેનું મર્યાદિત મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય મર્યાદિત મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય સૂચવે છે), તો સિસ્ટમ સ્થિર છે. એક જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે, આવેગ પ્રતિભાવ, L1 માં છે (મર્યાદિત L1 ધોરણ ધરાવે છે): આવર્તન ક્ષેત્રમાં, અભિસરણના પ્રદેશમાં કાલ્પનિક અક્ષ હોવો આવશ્યક છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિંક કાર્ય સમાન આવેગ પ્રતિસાદ સાથેનું આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર બી. આઈ. બી. ઓ. સ્થિર નથી, કારણ કે સિંક કાર્યમાં મર્યાદિત એલ 1 ધોરણ નથી. આમ, કેટલાક બાઉન્ડેડ ઇનપુટ માટે, આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરનું આઉટપુટ અનબાઉન્ડ છે. ખાસ કરીને, જો ઇનપુટ માટે શૂન્ય હોય અને માટે કટ-ઓફ આવર્તન પર સાઇનસોઇડની બરાબર હોય, તો આઉટપુટ શૂન્ય ક્રોસિંગ સિવાયના તમામ સમય માટે અનબાઉન્ડ રહેશે. લીનિયર ટાઇમ-ઇનવેરિયન્ટ વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવવો એ આ સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણોની સ્પષ્ટ રેખીય પ્રણાલી છેઃ સ્ટેટ વેક્ટર, સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ, ઇનપુટ, ઇનપુટ વેક્ટર અને પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે. દ્રાવણમાં એકરૂપ અને કણ ભાગનો સમાવેશ થાય છે. સજાતીય ઉકેલ એક સજાતીય વિભેદક સમીકરણ ઇનપુટને શૂન્યની બરાબર સેટ કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ ઉકેલને હવે ટેલર શ્રેણીની રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છેઃ એકમ મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. આ ઉકેલને ઉપરોક્ત સમીકરણમાં બદલીને, પ્રાપ્ત થાય છેઃ હવે અજ્ઞાત મેટ્રિસીસ ગુણાંકની સરખામણી કરીને નક્કી કરી શકાય છેઃ નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે મૂળભૂત મેટ્રિક્સ માટે થાય છેઃ વિશિષ્ટ ઉકેલ ધારો અને, નીચે પ્રમાણેઃ કણો ઉકેલ આ સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત થાય છેઃ જ્યાં સાથે અજ્ઞાત કાર્ય વેક્ટર છે. ઉપરોક્ત બે સમીકરણોમાંથી નીચે મુજબ નક્કી કરી શકાય છેઃ મૂળભૂત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને એકીકરણ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છેઃ આમ, આપણે આખરે રેખીય સમય-અપરિવર્તનશીલ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીએ છીએઃ અલગ-સમય પ્રણાલીઓ સતત-સમય પ્રણાલીઓમાં લગભગ દરેક વસ્તુ અલગ-સમય પ્રણાલીઓમાં સમકક્ષ હોય છે. સતત-સમય પ્રણાલીઓમાંથી અલગ-સમય પ્રણાલીઓ ઘણા સંદર્ભોમાં, અલગ સમય (ડી. ટી.) પ્રણાલી ખરેખર મોટી સતત સમય (સી. ટી.) પ્રણાલીનો ભાગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિજિટલ રેકોર્ડિંગ સિસ્ટમ એનાલોગ અવાજ લે છે, તેને ડિજિટાઇઝ કરે છે, સંભવતઃ ડિજિટલ સંકેતો પર પ્રક્રિયા કરે છે, અને લોકોને સાંભળવા માટે એનાલોગ અવાજ વગાડે છે. વ્યવહારુ પ્રણાલીઓમાં, પ્રાપ્ત ડી. ટી. સંકેતો સામાન્ય રીતે સી. ટી. સંકેતોના સમાન નમૂના સ્વરૂપો હોય છે. જો સીટી સિગ્નલ હોય, તો એનાલોગ-થી-ડિજિટલ કન્વર્ટર પહેલાં ઉપયોગમાં લેવાતી સેમ્પલિંગ સર્કિટ તેને ડીટી સિગ્નલમાં રૂપાંતરિત કરશેઃ જ્યાં ટી એ સેમ્પલિંગ સમયગાળો છે. નમૂના લેતા પહેલા, ઇનપુટ સિગ્નલ સામાન્ય રીતે કહેવાતા ન્યક્વિસ્ટ ફિલ્ટર દ્વારા ચલાવવામાં આવે છે જે "ફોલ્ડિંગ ફ્રીક્વન્સી" 1/(2T) થી ઉપરની ફ્રીક્વન્સીને દૂર કરે છે; આ બાંયધરી આપે છે કે ફિલ્ટર કરેલા સિગ્નલમાં કોઈ માહિતી ખોવાઈ જશે નહીં. ફિલ્ટરિંગ વિના, ફોલ્ડિંગ ફ્રિક્વન્સી (અથવા ન્યક્વિસ્ટ ફ્રિક્વન્સી) થી ઉપરના કોઈપણ ફ્રિક્વન્સી ઘટકને અલગ ફ્રિક્વન્સી (આમ મૂળ સિગ્નલને વિકૃત કરે છે) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, કારણ કે ડીટી સિગ્નલ માત્ર ફોલ્ડિંગ ફ્રિક્વન્સી કરતા ઓછી ફ્રિક્વન્સી ઘટકોને જ સપોર્ટ કરી શકે છે. ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ અને કન્વોલ્યુશન ચાલો ક્રમને રજૂ કરીએ અને ટૂંકા સંકેતને રજૂ કરવા દો એક અલગ પ્રણાલી ઇનપુટ ક્રમને આઉટપુટ ક્રમમાં પરિવર્તિત કરે છે, સામાન્ય રીતે, આઉટપુટનું દરેક તત્વ ઇનપુટના દરેક તત્વ પર આધાર રાખી શકે છે. ટ્રાન્સફોર્મેશન ઓપરેટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએઃ નોંધ લો કે જ્યાં સુધી ટ્રાન્સફોર્મ પોતે n સાથે બદલાતું નથી, ત્યાં સુધી આઉટપુટ ક્રમ માત્ર અચળ છે, અને સિસ્ટમ રસહીન છે. (આમ સબસ્ક્રિપ્ટ, n.) લાક્ષણિક પ્રણાલીમાં, y [n] એ x ના ઘટકો પર સૌથી વધુ આધાર રાખે છે, જેમના સૂચકાંકો n ની નજીક હોય છે. ક્રોનેકર ડેલ્ટા કાર્યના વિશેષ કિસ્સામાં, આઉટપુટ ક્રમ એ આવેગ પ્રતિસાદ છેઃ રેખીય પ્રણાલી માટે, સંતોષવું આવશ્યક છેઃ અને સમય-વિચલન જરૂરિયાત છેઃ આવી પ્રણાલીમાં, આવેગ પ્રતિસાદ, પ્રણાલીને સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા આપે છે. એટલે કે, કોઈપણ ઇનપુટ ક્રમ માટે, આઉટપુટ ક્રમની ગણતરી ઇનપુટ અને આવેગ પ્રતિક્રિયાના સંદર્ભમાં કરી શકાય છે. તે કેવી રીતે થાય છે તે જોવા માટે, ઓળખને ધ્યાનમાં લોઃ જે ભારિત ડેલ્ટા કાર્યોના સરવાળાની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છે. તેથીઃ જ્યાં આપણે કેસ માટે વિનંતી કરી છે અને. અને તેના કારણે, આપણે લખી શકીએ છીએઃ તેથીઃ {| | |-| | (કોમ્યુટેટિવિટી) |} જે પરિચિત ડિસ્ક્રીટ કોન્વોલ્યુશન સૂત્ર છે. તેથી સંચાલકને x [k] વિધેયની ભારિત સરેરાશની પ્રમાણસર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. વેઇટિંગ ફંક્શન એ h [−k] છે, જે માત્ર રકમ n દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે. જેમ જેમ n બદલાય છે તેમ, વેઇટિંગ ફંક્શન ઇનપુટ ફંક્શનના વિવિધ ભાગો પર ભાર મૂકે છે. સમાનરૂપે, n = 0 પર આવેગને સિસ્ટમનો પ્રતિસાદ એ અનશિફ્ટેડ વેઇટિંગ ફંક્શનની "ટાઇમ" રિવર્સ કોપી છે. જ્યારે તમામ નકારાત્મક k માટે h [k] શૂન્ય હોય, ત્યારે પ્રણાલીને કારણભૂત કહેવામાં આવે છે. આઈગનફંક્શન્સ તરીકે એક્સપોનેન્શિયલ્સ આઈગનફંક્શન્સ એ એક કાર્ય છે જેના માટે ઓપરેટરનું આઉટપુટ સમાન કાર્ય છે, જે કેટલાક અચળાંક દ્વારા માપવામાં આવે છે. પ્રતીકોમાં, જ્યાં f એ આઈગનફંક્શન છે અને આઈગન વેલ્યુ છે, તે અચળાંક છે. ઘાતાંકીય વિધેયો, જ્યાં, રેખીય, સમય-અપરિવર્તનશીલ ઓપરેટરના આઈગનફંક્શન્સ છે. તે નમૂનાનું અંતરાલ છે, અને. એક સરળ પુરાવો આ ખ્યાલને સમજાવે છે. ધારો કે ઇનપુટ છે. ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ સાથે સિસ્ટમનું આઉટપુટ તે પછી હોય છે જે કન્વોલ્યુશનના પરિવર્તનીય ગુણધર્મ દ્વારા નીચેની સમકક્ષ હોય છે જ્યાં તે માત્ર પરિમાણ z પર આધારિત હોય છે. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું આઈગનફંક્શન પણ એવું જ છે કારણ કે પ્રણાલીનો પ્રતિસાદ ઇનપુટ ગુણાંક અચળાંક જેટલો જ હોય છે. ઝેડ અને ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરે છે ઘાતાંકોનો આઈગનફંક્શન ગુણધર્મ એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓમાં વિશ્લેષણ અને સમજ બંને માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે. ઝેડ ટ્રાન્સફોર્મ એ આવેગના પ્રતિભાવમાંથી આઈગન વેલ્યુ મેળવવાનો બરાબર રસ્તો છે. ખાસ રસ ધરાવતા શુદ્ધ સાઇનસોઈડ્સ છે; એટલે કે. સ્વરૂપના ઘાતાંકો, જ્યાં. આને સાથે પણ લખી શકાય છે. ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ (ડી. ટી. એફ. ટી.) શુદ્ધ સાઇનસોઈડ્સના આઈગનવેલ્યુ આપે છે. બંનેને સિસ્ટમ કાર્ય, સિસ્ટમ પ્રતિસાદ અથવા ટ્રાન્સફર કાર્ય કહેવામાં આવે છે. એક બાજુના લાપ્લાસ પરિવર્તનની જેમ, ઝેડ પરિવર્તનનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે એક બાજુના સંકેતોના સંદર્ભમાં થાય છે, એટલે કે. એવા સંકેતો કે જે t <0 માટે શૂન્ય હોય. સમયાંતરે સંકેતોના વિશ્લેષણ માટે સ્વતંત્ર-સમય ફોરિયર પરિવર્તન ફોરિયર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ બંને ટ્રાન્સફોર્મના કન્વોલ્યુશન ગુણધર્મને કારણે, જે કન્વોલ્યુશન સિસ્ટમનું આઉટપુટ આપે છે તેને ટ્રાન્સફોર્મ ડોમેનમાં ગુણાકારમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. એટલે કે, સતત-સમય સિસ્ટમ વિશ્લેષણમાં લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ ટ્રાન્સફર ફંક્શનની જેમ, ઝેડ ટ્રાન્સફોર્મ સિસ્ટમોનું વિશ્લેષણ કરવાનું અને તેમના વર્તનની સમજ મેળવવાનું સરળ બનાવે છે. ઉદાહરણો મહત્વપૂર્ણ પ્રણાલી ગુણધર્મો ડિસ્ક્રીટ-ટાઇમ એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીની ઇનપુટ-આઉટપુટ લાક્ષણિકતાઓ તેના આવેગ પ્રતિસાદ દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ણવવામાં આવે છે. પ્રણાલીના બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો કાર્યકારણ અને સ્થિરતા છે. બિન-કારણભૂત (સમયસર) પ્રણાલીઓને ઉપર મુજબ વ્યાખ્યાયિત અને વિશ્લેષણ કરી શકાય છે, પરંતુ વાસ્તવિક સમયમાં સાકાર કરી શકાતી નથી. અસ્થિર પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ અને નિર્માણ પણ કરી શકાય છે, પરંતુ તે માત્ર મોટી પ્રણાલીના ભાગ રૂપે ઉપયોગી છે, જેનું એકંદર સ્થાનાંતરણ કાર્ય સ્થિર છે. કારણભૂતતા એક અલગ-સમયની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલી કારણભૂત છે જો આઉટપુટનું વર્તમાન મૂલ્ય માત્ર વર્તમાન મૂલ્ય અને ઇનપુટના ભૂતકાળના મૂલ્યો પર આધારિત હોય. કાર્યકારણ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે આવેગનો પ્રતિસાદ ક્યાં છે. ઝેડ ટ્રાન્સફોર્મમાંથી કાર્યકારણ નિર્ધારિત કરવું સામાન્ય રીતે શક્ય નથી, કારણ કે ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ અનન્ય નથી. જ્યારે અભિસરણનો વિસ્તાર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્યકારણ નિર્ધારિત કરી શકાય છે. સ્થિરતા એ સિસ્ટમ બાઉન્ડેડ ઇનપુટ છે, બાઉન્ડેડ આઉટપુટ સ્ટેબલ (બી. આઈ. બી. ઓ. સ્ટેબલ) જો, દરેક બાઉન્ડેડ ઇનપુટ માટે, આઉટપુટ મર્યાદિત હોય. ગાણિતિક રીતે, જો સૂચવે છે કે (એટલે કે, જો બાઉન્ડેડ ઇનપુટ બાઉન્ડેડ આઉટપુટ સૂચવે છે, તે અર્થમાં કે મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્યો અને મર્યાદિત છે), તો સિસ્ટમ સ્થિર છે. એક જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે, આવેગ પ્રતિભાવ, સંતુષ્ટ થાય છે આવર્તન ક્ષેત્રમાં, અભિસરણના પ્રદેશમાં એકમ વર્તુળ હોવું આવશ્યક છે (એટલે કે, જટિલ ઝેડ માટે સંતોષકારક સ્થાન). નોંધો પણ જુઓ સર્ક્યુલન્ટ મેટ્રિક્સ ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સ સિસ્ટમ વિશ્લેષણ ગ્રીન ફંક્શન સિગ્નલ-ફ્લો ગ્રાફ સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ ઇસીઈ 209: એલટીઆઈ સિસ્ટમ્સ તરીકે સર્કિટ્સની સમીક્ષા-(ઇલેક્ટ્રિકલ) એલટીઆઈ સિસ્ટમ્સના ગાણિતિક વિશ્લેષણ પર ટૂંકું પ્રાઇમર. ઇસીઈ 209: ફેઝ શિફ્ટના સ્ત્રોતો-બે સામાન્ય વિદ્યુત એલટીઆઈ પ્રણાલીઓમાં ફેઝ શિફ્ટના સ્રોતનું સાહજિક સમજૂતી આપે છે. JHU 520.214 સિગ્નલ્સ એન્ડ સિસ્ટમ્સ અભ્યાસક્રમ નોંધો. એલ. ટી. આઈ. સિસ્ટમ થિયરી પર એક સંકલિત અભ્યાસક્રમ. સ્વ શિક્ષણ માટે પૂરતું. એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું ઉદાહરણ છેઃ આર. સી. લો-પાસ ફિલ્ટર. વ્યાપ અને તબક્કાનો પ્રતિસાદ. ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ ક્લાસિકલ કંટ્રોલ થિયરી સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ ફ્રિક્વન્સી-ડોમેન વિશ્લેષણ સમય ડોમેન વિશ્લેષણ