One- and two-tailed tests
આંકડાકીય મહત્વ પરીક્ષણમાં, એક પૂંછડી પરીક્ષણ અને બે પૂંછડી પરીક્ષણ એ પરીક્ષણ આંકડાકીય દ્રષ્ટિએ ડેટા સમૂહમાંથી અનુમાનિત પરિમાણના આંકડાકીય મહત્વની ગણતરી કરવાની વૈકલ્પિક રીતો છે. જો અંદાજિત મૂલ્ય મૂલ્યોની ચોક્કસ શ્રેણી કરતાં વધારે કે ઓછું હોય તો બે પૂંછડીવાળું પરીક્ષણ યોગ્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પરીક્ષણ લેનાર ચોક્કસ શ્રેણીના ગુણથી ઉપર કે નીચે સ્કોર કરી શકે છે કે કેમ. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ નલ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ માટે થાય છે અને જો નિર્ણાયક ક્ષેત્રોમાં અંદાજિત મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં હોય, તો નલ પૂર્વધારણા પર વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. એક પૂંછડી પરીક્ષણ યોગ્ય છે જો અંદાજિત મૂલ્ય સંદર્ભ મૂલ્યથી માત્ર એક જ દિશામાં, ડાબી કે જમણી બાજુએ જઈ શકે છે, પરંતુ બંને નહીં. એક ઉદાહરણ એ હોઈ શકે કે શું મશીન એક ટકાથી વધુ ખામીયુક્ત ઉત્પાદનો ઉત્પન્ન કરે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, જો અંદાજિત મૂલ્ય એક તરફી નિર્ણાયક ક્ષેત્રોમાંથી કોઈ એકમાં અસ્તિત્વમાં હોય, તો વ્યાજની દિશા (તેના કરતા વધારે કે ઓછું) પર આધાર રાખીને, વૈકલ્પિક પૂર્વધારણાને નલ પૂર્વધારણા પર સ્વીકારવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક નામો એકતરફી અને બે બાજુવાળા પરીક્ષણો છે; પરિભાષા "પૂંછડી" નો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે વિતરણના આત્યંતિક ભાગો, જ્યાં અવલોકનો નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢે છે, તે નાના હોય છે અને સામાન્ય વિતરણની જેમ ઘણીવાર શૂન્ય તરફ "પૂંછડી બંધ" હોય છે, જે પીળા રંગમાં હોય છે, અથવા "ઘંટડી વળાંક", જે જમણી બાજુએ ચિત્રમાં હોય છે અને લીલા રંગમાં હોય છે. એપ્લિકેશન્સ વન-ટેલ્ડ પરીક્ષણોનો ઉપયોગ અસમપ્રમાણ વિતરણ માટે થાય છે જેમાં એક પૂંછડી હોય છે, જેમ કે ચી-સ્ક્વેર્ડ વિતરણ, જે ગુડનેસ-ઓફ-ફિટને માપવામાં સામાન્ય છે, અથવા વિતરણની એક બાજુ માટે જેમાં બે પૂંછડીઓ હોય છે, જેમ કે સામાન્ય વિતરણ, જે સ્થાનના અંદાજમાં સામાન્ય છે; આ દિશા સ્પષ્ટ કરવા માટે અનુરૂપ છે. બે પૂંછડીવાળા પરીક્ષણો ત્યારે જ લાગુ પડે છે જ્યારે બે પૂંછડીઓ હોય, જેમ કે સામાન્ય વિતરણમાં, અને બંને દિશામાં નોંધપાત્ર વિચારણા સાથે સુસંગત હોય. રોનાલ્ડ ફિશરના અભિગમમાં, જ્યારે પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્રનું પી-મૂલ્ય પૂરતું આત્યંતિક હોય (પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્રના નમૂનાના વિતરણની સરખામણીમાં) ત્યારે નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવશે અને આમ તે તકનું પરિણામ હોવાની શક્યતા ન હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ સામાન્ય રીતે પરિણામી પી-મૂલ્યની ચોક્કસ મહત્વના સ્તર સાથે સરખામણી કરીને કરવામાં આવે છે, જે પરિમાણના આંકડાકીય મહત્વની ગણતરી કરતી વખતે સૂચવવામાં આવે છે. એક પૂંછડી પરીક્ષણમાં, "આત્યંતિક" અગાઉથી નક્કી કરવામાં આવે છે કારણ કે તેનો અર્થ "પૂરતો નાનો" અથવા "પૂરતો મોટો" થાય છે-બીજી દિશામાં મૂલ્યોને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવતા નથી. કોઈ જાણ કરી શકે છે કે ડાબી અથવા જમણી પૂંછડીની સંભાવના એક પૂંછડી પી-મૂલ્ય તરીકે છે, જે આખરે તે દિશાને અનુરૂપ છે જેમાં પરીક્ષણ આંકડા H0 થી વિચલિત થાય છે. બે પૂંછડીવાળા પરીક્ષણમાં, "આત્યંતિક" નો અર્થ થાય છે "કાં તો પૂરતા પ્રમાણમાં નાનું અથવા પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું", અને બંને દિશામાં મૂલ્યોને નોંધપાત્ર માનવામાં આવે છે. આપેલ પરીક્ષણ આંકડા માટે, એક બે પૂંછડી પરીક્ષણ અને બે એક પૂંછડી પરીક્ષણ હોય છે, જે બંને દિશા માટે એક-એક હોય છે. જ્યારે મહત્વ સ્તર પ્રદાન કરવામાં આવે છે, ત્યારે નિર્ણાયક પ્રદેશો વિતરણના બે પૂંછડીના છેડા પર બે પૂંછડીના પરીક્ષણ માટે દરેકના વિસ્તાર સાથે અસ્તિત્વમાં હશે. વૈકલ્પિક રીતે, નિર્ણાયક પ્રદેશ ફક્ત એક પૂંછડીના અંત પર એક પૂંછડીના પરીક્ષણ માટેના વિસ્તાર સાથે અસ્તિત્વમાં હશે. પરીક્ષણ આંકડાકીય માટે બે પૂંછડીવાળા પરીક્ષણમાં આપેલા મહત્વના સ્તર માટે, સમાન પરીક્ષણ આંકડાકીય માટે અનુરૂપ એક પૂંછડીવાળા પરીક્ષણોને ક્યાં તો બમણા નોંધપાત્ર (પી-મૂલ્યનો અડધો ભાગ) ગણવામાં આવશે જો ડેટા પરીક્ષણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ દિશામાં હોય, અથવા જો ડેટા પરીક્ષણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ નિર્ણાયક ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો બિલકુલ નોંધપાત્ર (ઉપરનું પી-મૂલ્ય) નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સિક્કાને ફેરવવામાં આવે, તો તે માથા તરફ પક્ષપાતી છે કે કેમ તે ચકાસવું એ એક પૂંછડીની કસોટી છે, અને "બધા માથા" નો ડેટા મેળવવો એ અત્યંત મહત્વપૂર્ણ તરીકે જોવામાં આવશે, જ્યારે "બધી પૂંછડીઓ" નો ડેટા મેળવવો એ બિલકુલ નોંધપાત્ર નહીં હોય (પી = 1). તેનાથી વિપરીત, તે બંને દિશામાં પક્ષપાતી છે કે કેમ તે ચકાસવું એ બે પૂંછડીની કસોટી છે, અને ક્યાં તો "બધા માથા" અથવા "બધી પૂંછડીઓ" બંનેને અત્યંત નોંધપાત્ર માહિતી તરીકે જોવામાં આવશે. તબીબી પરીક્ષણમાં, જ્યારે કોઈ વ્યક્તિને સામાન્ય રીતે રસ હોય છે કે સારવારના પરિણામો તક કરતાં વધુ સારા છે કે કેમ, આમ એક પૂંછડી પરીક્ષણ સૂચવે છે; વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્ર માટે વધુ ખરાબ પરિણામ પણ રસપ્રદ છે, તેથી વ્યક્તિએ બે પૂંછડી પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ જે પરીક્ષણને બદલે અનુરૂપ છે કે શું સારવારના પરિણામો તકથી અલગ છે, ક્યાં તો વધુ સારા કે ખરાબ. પ્રાચીન લેડી ટેસ્ટિંગ ટી પ્રયોગમાં, ફિશરે પરીક્ષણ કર્યું હતું કે શું પ્રશ્નમાં રહેલી મહિલા બે પ્રકારની ચાની તૈયારીમાં તફાવત કરવા માટે તક કરતાં વધુ સારી છે કે કેમ, તેની ક્ષમતા તકથી અલગ છે કે કેમ તે નહીં, અને આમ તેણે એક પૂંછડી પરીક્ષણનો ઉપયોગ કર્યો હતો. સિક્કા પલટી નાંખવાનું ઉદાહરણ સિક્કા પલટી નાંખવાની પ્રક્રિયામાં, નલ પૂર્વધારણા એ બર્નૌલી પરીક્ષણોનો ક્રમ છે જેની સંભાવના 0.5 છે, જે રેન્ડમ ચલ X આપે છે જે માથા માટે 1 અને પૂંછડીઓ માટે 0 છે, અને એક સામાન્ય પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્ર એ નમૂનાનો સરેરાશ છે (માથાઓની સંખ્યા) જો સિક્કા માથા તરફ પક્ષપાતી છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, એક પૂંછડી પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે-માત્ર મોટી સંખ્યામાં માથા નોંધપાત્ર હશે. તે કિસ્સામાં પાંચ હેડ (HHHHH) નો ડેટા સેટ, 1 ના નમૂનાના સરેરાશ સાથે, થવાની સંભાવના ધરાવે છે, (2 પરિણામો સાથે સતત 5 પલટીઓ-((1/2) ^ 5 = 1/32). જો પરીક્ષણનું મહત્વ સ્તર (કટઓફ બાઉન્ડને અનુરૂપ મહત્વ સ્તર) પર વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હોત તો આ નોંધપાત્ર (નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવું) હોત અને હશે. જો કે, જો સિક્કા માથા અથવા પૂંછડી તરફ પક્ષપાતી છે કે કેમ તે માટે પરીક્ષણ કરવામાં આવે, તો બે પૂંછડી પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે, અને પાંચ માથાનો ડેટા સેટ (નમૂનાનો સરેરાશ 1) પાંચ પૂંછડીના ડેટા સેટ (નમૂનાનો સરેરાશ 0) જેટલો જ આત્યંતિક છે. પરિણામે, પી-મૂલ્ય હશે અને આ નોંધપાત્ર નહીં હોય (નલ પૂર્વધારણાને નકારી ન શકાય) જો પરીક્ષણનું મહત્વ સ્તર પર વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હોય. પી-વેલ્યુ કાર્લ પિયરસન દ્વારા પિયરસનની ચી-સ્ક્વેર્ડ ટેસ્ટમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જ્યાં તેમણે પી (મૂળ નોટેશન) ને એવી સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી હતી કે આંકડાકીય આપેલ સ્તર પર અથવા તેનાથી ઉપર હશે. આ એક પૂંછડીની વ્યાખ્યા છે, અને ચી-ચોરસ વિતરણ અસમપ્રમાણ છે, માત્ર હકારાત્મક અથવા શૂન્ય મૂલ્યો ધારે છે, અને તેની માત્ર એક જ પૂંછડી છે, ઉપરની પૂંછડી. તે સૈદ્ધાંતિક વિતરણ સાથે માહિતીની યોગ્યતાની ભલાઈને માપે છે, જેમાં સૈદ્ધાંતિક વિતરણ સાથે ચોક્કસ સમજૂતીને અનુરૂપ શૂન્ય હોય છે; p-મૂલ્ય આમ માપે છે કે યોગ્ય આટલું ખરાબ કે ખરાબ હોવાની શક્યતા કેટલી છે. એક પૂંછડી અને બે પૂંછડી પરીક્ષણો વચ્ચેના તફાવતને રોનાલ્ડ ફિશર દ્વારા પ્રભાવશાળી પુસ્તક સ્ટેટિસ્ટિકલ મેથડ્સ ફોર રિસર્ચ વર્કર્સમાં લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યો હતો, જ્યાં તેમણે તેને ખાસ કરીને સામાન્ય વિતરણ પર લાગુ કર્યો હતો, જે બે સમાન પૂંછડીઓ સાથેનું સમપ્રમાણ વિતરણ છે. સામાન્ય વિતરણ એ યોગ્ય સ્થાનને બદલે સ્થાનનું એક સામાન્ય માપ છે, અને તેની બે પૂંછડીઓ હોય છે, જે સૈદ્ધાંતિક સ્થાનની ઉપર અથવા નીચે સ્થાનના અંદાજને અનુરૂપ હોય છે (દા. ત., સૈદ્ધાંતિક સરેરાશની સરખામણીમાં નમૂનાનો સરેરાશ). સામાન્ય વિતરણ જેવા સમપ્રમાણ વિતરણના કિસ્સામાં, એક પૂંછડીવાળું પી-મૂલ્ય બે પૂંછડીવાળું પી-મૂલ્ય બરાબર અડધું હોય છેઃ ફિશરએ તેમના ધ ડિઝાઇન ઓફ એક્સપેરિમેન્ટ્સ (1935) માં પૂંછડીને માપવાના મહત્વ પર ભાર મૂક્યો હતો-પરીક્ષણ આંકડાશાસ્ત્રનું અવલોકન કરેલું મૂલ્ય અને વધુ આત્યંતિક-માત્ર ચોક્કસ પરિણામની સંભાવનાને બદલે. તેઓ આને સમજાવે છે કારણ કે માહિતીનો ચોક્કસ સમૂહ અસંભવિત હોઈ શકે છે (નલ પૂર્વધારણામાં), પરંતુ વધુ આત્યંતિક પરિણામો સંભવિત છે, તેથી આ પ્રકાશમાં જોવામાં આવે છે, ચોક્કસ પરંતુ આત્યંતિક અસંભવિત માહિતીને નોંધપાત્ર ગણવી જોઈએ નહીં. ચોક્કસ પરીક્ષણો જો પરીક્ષણના આંકડા શૂન્ય પૂર્વધારણામાં વિદ્યાર્થીના ટી-વિતરણને અનુસરે છે-જે સામાન્ય છે જ્યાં અંતર્ગત ચલ અજ્ઞાત સ્કેલિંગ પરિબળ સાથે સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે, તો પરીક્ષણને એક પૂંછડી અથવા બે પૂંછડીવાળા ટી-પરીક્ષણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો પરીક્ષણ નમૂનાના અંદાજને બદલે વાસ્તવિક વસ્તી સરેરાશ અને ભિન્નતાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે, તો તેને એક પૂંછડી અથવા બે પૂંછડીવાળું ઝેડ-પરીક્ષણ કહેવામાં આવશે. ટી અને ઝેડ માટે આંકડાકીય કોષ્ટકો એક અને બે પૂંછડીવાળા બંને પરીક્ષણો માટે નિર્ણાયક મૂલ્યો પૂરા પાડે છે. એટલે કે, તેઓ નિર્ણાયક મૂલ્યો પૂરા પાડે છે જે નમૂના વિતરણના એક અથવા બીજા છેડે સમગ્ર પ્રદેશને કાપી નાખે છે તેમજ નિર્ણાયક મૂલ્યો કે જે નમૂના વિતરણના બંને છેડે (અડધા કદના) પ્રદેશોને કાપી નાખે છે. બે નમૂનાઓની સરખામણી કરવામાં આવે ત્યારે જોડીદાર તફાવત પરીક્ષણ પણ જુઓ સંદર્ભો આંકડાકીય પરીક્ષણો