Cross section (geometry)
ભૂમિતિ અને વિજ્ઞાનમાં, ક્રોસ સેક્શન એ સમતલ સાથે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં નક્કર પદાર્થનું બિન-ખાલી આંતરછેદ છે, અથવા ઉચ્ચ-પરિમાણીય અવકાશમાં એનાલોગ છે. વસ્તુને ટુકડાઓમાં કાપવાથી ઘણા સમાંતર ક્રોસ-સેક્શન બને છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ક્રોસ-સેક્શનની સીમા જે બે અક્ષોની સમાંતર હોય છે, એટલે કે, આ અક્ષો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલની સમાંતર હોય છે, તેને કેટલીકવાર સમોચ્ચ રેખા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સમતલ જમીનની સમાંતર ઊભા-રાહત નકશાના પર્વતોમાંથી પસાર થાય છે, તો પરિણામ દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સમોચ્ચ રેખા છે જે સમાન ઊંચાઈના પર્વતોની સપાટી પરના બિંદુઓ દર્શાવે છે. તકનીકી રેખાંકનમાં ક્રોસ-સેક્શન, જે તેને છેદે છે તે સમતલ પર ઑબ્જેક્ટનું પ્રક્ષેપણ છે, તે એક સામાન્ય સાધન છે જેનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટની આંતરિક વ્યવસ્થાને બે પરિમાણોમાં દર્શાવવા માટે થાય છે. તે પરંપરાગત રીતે ક્રોસહેચિંગની શૈલી સાથે ક્રોસહેચ કરવામાં આવે છે જે ઘણીવાર ઉપયોગમાં લેવાતી સામગ્રીના પ્રકારોને સૂચવે છે. ગણતરી કરેલ અક્ષીય ટોમોગ્રાફી સાથે, કમ્પ્યુટર્સ એક્સ-રે ડેટામાંથી ક્રોસ-સેક્શન બનાવી શકે છે. વ્યાખ્યા જો કોઈ સમતલ ઘન (ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ) ને છેદે છે, તો સમતલ અને ઘન માટે સામાન્ય પ્રદેશને ઘનનું ક્રોસ-સેક્શન કહેવામાં આવે છે. ઘનનો ક્રોસ-સેક્શન ધરાવતા પ્લેનને કટીંગ પ્લેન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઘનના ક્રોસ-સેક્શનનો આકાર કટીંગ પ્લેનની ઘન તરફની દિશા પર આધારિત હોઈ શકે છે. દાખલા તરીકે, જ્યારે દડાની તમામ ક્રોસ-સેક્શન ડિસ્ક હોય છે, ત્યારે ક્યુબની ક્રોસ-સેક્શન કટીંગ પ્લેન ક્યુબ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તેના પર આધાર રાખે છે. જો કટીંગ પ્લેન સમઘનની બે વિરુદ્ધ બાજુઓના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબરૂપ હોય, તો ક્રોસ-સેક્શન એક ચોરસ હશે, જો કે, જો કટીંગ પ્લેન વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડતા સમઘનના કર્ણને લંબરૂપ હોય, તો ક્રોસ-સેક્શન એક બિંદુ, ત્રિકોણ અથવા ષટ્કોણ હોઈ શકે છે. વિમાન વિભાગો એક સંબંધિત ખ્યાલ એ સમતલ વિભાગનો છે, જે સપાટી સાથેના સમતલના આંતરછેદનું વળાંક છે. આમ, સમતલ વિભાગ એ કટીંગ પ્લેનમાં ઘનના ક્રોસ-સેક્શનની સીમા છે. જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સપાટીને બે ચલ પરિબળો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સમતલ વિભાગો જે સમતલને કાપીને સંકલન સમતલ (બે સંકલન અક્ષો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ) ને સમાંતર હોય છે તેને સ્તર વળાંક અથવા આઇસોલેઇન કહેવામાં આવે છે. વધુ ખાસ રીતે, સ્વરૂપના સમીકરણો સાથે વિમાનોને કાપીને (-પ્લેનને સમાંતર વિમાનો) સમતલ વિભાગો ઉત્પન્ન કરે છે જેને ઘણીવાર એપ્લિકેશન વિસ્તારોમાં સમોચ્ચ રેખાઓ કહેવામાં આવે છે. ક્રોસ સેક્શન અને પ્લેન સેક્શનના ગાણિતિક ઉદાહરણો પોલિહેડ્રોનનો ક્રોસ સેક્શન એ બહુકોણ છે. શંકુ વિભાગો-વર્તુળો, લંબગોળ, લંબગોળ અને હાયપરબોલાસ-એ શંકુના સમતલ વિભાગો છે, જેમાં વિવિધ ખૂણાઓ પર કટીંગ પ્લેન હોય છે, જે ડાબી બાજુના આકૃતિમાં જોવા મળે છે. લંબગોળની મધ્યમાંથી પસાર થતો કોઈપણ આંતરછેદ લંબગોળ પ્રદેશ બનાવે છે, જ્યારે અનુરૂપ સમતલ વિભાગો તેની સપાટી પર લંબગોળ હોય છે. જ્યારે કટીંગ પ્લેન સમપ્રમાણતા અક્ષને લંબરૂપ હોય ત્યારે આ અનુક્રમે ડિસ્ક અને વર્તુળોમાં અધોગતિ પામે છે. વધુ સામાન્યતામાં, ચતુર્ભુજના સમતલ વિભાગો શંકુ વિભાગો છે. બે પાયા વચ્ચે વિસ્તરેલા નક્કર જમણા ગોળાકાર નળાકારનું ક્રોસ-સેક્શન એ ડિસ્ક છે જો ક્રોસ-સેક્શન નળાકારના આધારને સમાંતર હોય, અથવા લંબગોળ પ્રદેશ (જમણી બાજુની આકૃતિ જુઓ) જો તે આધારને સમાંતર કે લંબરૂપ ન હોય. જો કટીંગ પ્લેન આધારને લંબરૂપ હોય તો તેમાં લંબચોરસ હોય છે (બતાવેલ નથી) સિવાય કે તે નળાકારને માત્ર સ્પર્શક હોય, તે કિસ્સામાં તે એક જ રેખાખંડ હોય છે. નળાકાર શબ્દનો અર્થ ઘન નળાકારની બાજુની સપાટી પણ હોઈ શકે છે (નળાકાર (ભૂમિતિ) જુઓ). જો નળાકારનો આ અર્થમાં ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો ઉપરોક્ત ફકરો નીચે મુજબ વાંચે છેઃ મર્યાદિત લંબાઈના જમણા ગોળાકાર નળાકારનો સમતલ વિભાગ એક વર્તુળ છે જો કટીંગ પ્લેન નળાકારની સમપ્રમાણતાના અક્ષને લંબરૂપ હોય, અથવા લંબગોળ જો તે ન તો સમાંતર હોય કે ન તો તે અક્ષને લંબરૂપ હોય. જો કટીંગ પ્લેન અક્ષની સમાંતર હોય તો પ્લેન વિભાગમાં સમાંતર રેખા સેગમેન્ટ્સની જોડી હોય છે સિવાય કે કટીંગ પ્લેન સિલિન્ડરને સ્પર્શક હોય, તે કિસ્સામાં, પ્લેન વિભાગ એક જ લાઇન સેગમેન્ટ હોય છે. સમતલ વિભાગનો ઉપયોગ તેના એક દલીલના સંદર્ભમાં કાર્યના આંશિક વ્યુત્પન્નની કલ્પના કરવા માટે થઈ શકે છે, જે બતાવ્યા પ્રમાણે છે. ધારો. 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના 'ના' ના સંબંધિત વિષયોમાં બે રેન્ડમ ચલોના સંભાવના ઘનતા કાર્યનો સમતલ વિભાગ જેમાં કટીંગ પ્લેન એક ચલના નિશ્ચિત મૂલ્ય પર હોય તે અન્ય ચલનું શરતી ઘનતા કાર્ય છે (સમતલ વિભાગને વ્યાખ્યાયિત કરતા નિશ્ચિત મૂલ્ય પર શરતી). જો તેના બદલે સમતલ વિભાગને ઘનતાના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે લેવામાં આવે, તો પરિણામ એ આઇસો-ડેન્સિટી સમોચ્ચ છે. સામાન્ય વિતરણ માટે, આ રૂપરેખાઓ લંબગોળ હોય છે. અર્થશાસ્ત્રમાં, ઉત્પાદન કાર્ય એ ઉત્પાદનને સ્પષ્ટ કરે છે જે વિવિધ જથ્થા અને ઇનપુટ્સ, ખાસ કરીને શ્રમ અને ભૌતિક મૂડી દ્વારા ઉત્પન્ન કરી શકાય છે. પેઢી અથવા સમાજના ઉત્પાદન કાર્યને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ગોઠવી શકાય છે. જો સમતલ વિભાગને-સમતલની સમાંતર લેવામાં આવે, તો પરિણામ એ શ્રમ અને મૂડીના ઉપયોગના વિવિધ સંયોજનો દર્શાવતું એક સંવાદિતા છે જે સમતલ વિભાગની ઊંચાઈ દ્વારા આપવામાં આવેલા ઉત્પાદનના સ્તરમાં પરિણમશે. વૈકલ્પિક રીતે, જો ઉત્પાદન કાર્યનો સમતલ વિભાગ નિશ્ચિત સ્તરે લેવામાં આવે છે-એટલે કે, સમતલની સમાંતર-તો પરિણામ દ્વિ-પરિમાણીય આલેખ છે જે દર્શાવે છે કે ઉપયોગના વિવિધ મૂલ્યોમાંથી દરેક પર કેટલું ઉત્પાદન કરી શકાય છે. અર્થશાસ્ત્રમાં પણ, મુખ્ય અથવા ક્રમિક ઉપયોગિતા કાર્ય જથ્થા અને બે ચીજવસ્તુઓના વપરાશ દ્વારા પ્રાપ્ત ગ્રાહકના સંતોષની માત્રા આપે છે. જો ઉપયોગિતા કાર્યનો સમતલ વિભાગ આપેલ ઊંચાઈ (ઉપયોગિતાના સ્તર) પર લેવામાં આવે છે, તો દ્વિ-પરિમાણીય પરિણામ એ એક ઉદાસીનતા વળાંક છે જે વપરાયેલી માત્રા અને બે ચીજવસ્તુઓના વિવિધ વૈકલ્પિક સંયોજનો દર્શાવે છે, જે તમામ ઉપયોગિતાનું ચોક્કસ સ્તર આપે છે. વિસ્તાર અને કદ કેવેલેરીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સમાન વિસ્તારના અનુરૂપ ક્રોસ-સેક્શનવાળા ઘન પદાર્થોમાં સમાન કદ હોય છે. જ્યારે કોઈ ચોક્કસ ખૂણાથી જોવામાં આવે ત્યારે ઑબ્જેક્ટનો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર () એ તે ખૂણાથી ઑબ્જેક્ટના ઓર્થોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઊંચાઈ h અને ત્રિજ્યા r ધરાવતા નળાકારને જ્યારે તેની મધ્ય અક્ષ સાથે જોવામાં આવે છે, અને જ્યારે તેને ઓર્થોગોનલ દિશાથી જોવામાં આવે છે. જ્યારે કોઈપણ ખૂણાથી જોવામાં આવે ત્યારે ત્રિજ્યા r નો ગોળા હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, નીચેની સપાટીના સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરીને ગણતરી કરી શકાય છેઃ જ્યાં દર્શક તરફ જોવાની દિશા તરફ નિર્દેશ કરતું એકમ વેક્ટર છે, તે બાહ્ય-નિર્દેશાત્મક સામાન્ય સાથેનું સપાટીનું તત્વ છે, અને સંકલન માત્ર સૌથી ઉપરની સપાટી પર લેવામાં આવે છે, જે સપાટીનો તે ભાગ છે જે દર્શકના દ્રષ્ટિકોણથી "દૃશ્યમાન" છે. બહિર્મુખ પદાર્થ માટે, દર્શકના દ્રષ્ટિકોણથી પદાર્થમાંથી પસાર થતું દરેક કિરણ માત્ર બે સપાટીઓને પાર કરે છે. આવા પદાર્થો માટે, સમાકલનનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈને સમગ્ર સપાટી () પર સમાકલન લઈ શકાય છે (જેથી પદાર્થની "ટોચ" અને "તળિયે" બાદબાકી ન થાય, જેમ કે અચળ વેક્ટર ક્ષેત્ર પર લાગુ વિચલન પ્રમેય દ્વારા જરૂરી છે) અને બે દ્વારા વિભાજીત કરી શકાય છેઃ ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ઘનના ક્રોસ-સેક્શન સાથે સામ્યતામાં, એક-પરિમાણીય જગ્યામાં-પરિમાણીય પદાર્થનું ક્રોસ-સેક્શન એ હાયપરપ્લેન (એક-પરિમાણીય સબસ્પેસ) સાથે શરીરનું બિન-ખાલી આંતરછેદ છે. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કેટલીકવાર ઉચ્ચ પરિમાણીય જગ્યાઓના પાસાઓની કલ્પના કરવામાં મદદ કરવા માટે કરવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, જો કોઈ ચાર-પરિમાણીય પદાર્થ આપણી ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાંથી પસાર થાય, તો આપણે ચાર-પરિમાણીય પદાર્થનો ત્રિ-પરિમાણીય ક્રોસ-સેક્શન જોશું. ખાસ કરીને, 3-અવકાશમાંથી પસાર થતો 4-દડો (અતિસંવેદનશીલતા) 3-દડો તરીકે દેખાશે જે મહત્તમ સુધી વધે છે અને પછી સંક્રમણ દરમિયાન કદમાં ઘટાડો થાય છે. આ ગતિશીલ પદાર્થ (3-જગ્યાના દૃષ્ટિકોણથી) એ 4-બોલના ક્રોસ-સેક્શનનો ક્રમ છે. ભૂસ્તરશાસ્ત્રમાં, ગ્રહના આંતરિક ભાગની રચનાને ઘણીવાર ગ્રહના ક્રોસ-સેક્શનની આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને સચિત્ર કરવામાં આવે છે, જે ગ્રહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, જેમ કે જમણી બાજુએ પૃથ્વીના ક્રોસ-સેક્શનમાં. ડાબી બાજુએ બતાવ્યા પ્રમાણે, શરીર રચનામાં અંગની આંતરિક રચનાને સમજાવવા માટે ક્રોસ-સેક્શનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ડાબી બાજુએ બતાવ્યા પ્રમાણે વૃક્ષના થડનો ક્રોસ સેક્શન વૃદ્ધિની વીંટીઓ દર્શાવે છે જેનો ઉપયોગ વૃક્ષની ઉંમર અને તેના પર્યાવરણના અસ્થાયી ગુણધર્મો શોધવા માટે થઈ શકે છે. આ પણ જુઓ વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ વિસ્ફોટિત-દૃશ્ય રેખાંકન ગ્રાફિકલ પ્રક્ષેપણ યોજનાઓ (રેખાંકનો) પ્રોફાઇલ ગેજ વિભાગ અસ્તર; સામગ્રીનું પ્રતિનિધિત્વ સેકન્ડ પ્લેન નોંધો સંદર્ભો ઇન્ફોગ્રાફિક્સ પ્રાથમિક ભૂમિતિ પ્રતિનિધિત્વ વિમાનોની તકનીકી રેખાંકન પદ્ધતિઓ (ભૂમિતિ)