Dirac comb
ગણિતમાં, ડીરાક કાંસકો (જેને શા ફંક્શન, ઇમ્પલ્સ ટ્રેન અથવા સેમ્પલિંગ ફંક્શન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ અમુક સમયગાળા માટે સૂત્ર સાથેનું સામયિક કાર્ય છે. અહીં t એ વાસ્તવિક ચલ છે અને સરવાળો તમામ પૂર્ણાંકો k પર વિસ્તરે છે. ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય અને ડીરાક કાંસકો સમશીતોષ્ણ વિતરણો છે. કાર્યનો આલેખ કાંસકો જેવો દેખાય છે (કાંસાના દાંત તરીકે s સાથે), તેથી તેનું નામ અને કાર્યને દર્શાવવા માટે કાંસકો જેવા સિરિલિક અક્ષર શા (ષ્) નો ઉપયોગ થાય છે. પ્રતીક, જ્યાં સમયગાળો અવગણવામાં આવ્યો છે, તે એકમ સમયગાળાની ડીરાક કાંસળીને રજૂ કરે છે. આ સૂચવે છે કારણ કે ડીરાક કોમ્બ ફંક્શન સામયિક છે, તેને ડિરીક્લેટ કર્નલ પર આધારિત ફોરિયર શ્રેણી તરીકે રજૂ કરી શકાય છેઃ ડીરાક કોમ્બ ફંક્શન ફોરિયર શ્રેણીના કોઈ પણ સંદર્ભ વિના, ટેમ્પર્ડ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પર સતત ફોરિયર વિશ્લેષણના એક માળખામાં, સેમ્પલિંગ અને એલિયાસિંગ જેવી સતત અને અલગ ઘટના બંનેને રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ડીરાક કાંસાનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ અન્ય ડીરાક કાંસકો છે. ટેમ્પર્ડ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પર કન્વોલ્યુશન થીયરમને કારણે, જે પોઇસન સમેશન ફોર્મ્યુલા તરીકે બહાર આવે છે, સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં, ડીરાક કાંસકો તેની સાથે ગુણાકાર દ્વારા મોડેલિંગ નમૂનાને મંજૂરી આપે છે, પરંતુ તે તેની સાથે કન્વોલ્યુશન દ્વારા મોડેલિંગ પિરિયડાઇઝેશનને પણ મંજૂરી આપે છે. ડીરાક-કોમ્બ ઓળખ ડીરાક કોમ્બ બે રીતે બનાવી શકાય છે, કાં તો સતત કાર્ય પર લાગુ કરાયેલ કોમ્બ ઓપરેટર (નમૂનાનું પ્રદર્શન) નો ઉપયોગ કરીને, અથવા, વૈકલ્પિક રીતે, ડીરાક ડેલ્ટા પર લાગુ કરાયેલ પ્રતિનિધિ ઓપરેટર (સમયાંતરે પ્રદર્શન) નો ઉપયોગ કરીને. ઔપચારિક રીતે, આ ઉપજ (;) ક્યાં અને સંકેત પ્રક્રિયામાં, આ ગુણધર્મ એક તરફ ગુણાકાર દ્વારા કાર્યના નમૂનાને મંજૂરી આપે છે, અને બીજી તરફ તે () સાથે કન્વોલ્યુશન દ્વારા સમયગાળાને પણ મંજૂરી આપે છે. ડાયરેક કાંસાની ઓળખ એ સમશીતોષ્ણ વિતરણ માટે કન્વોલ્યુશન પ્રમેયનો એક ચોક્કસ કેસ છે. સ્કેલિંગ ડીરાક કાંસાની સ્કેલિંગ પ્રોપર્ટી ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શનના ગુણધર્મો પરથી અનુસરે છે. હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે, તે નીચે પ્રમાણે છેઃ નોંધ લો કે નકારાત્મકને બદલે હકારાત્મક સ્કેલિંગ સંખ્યાઓની આવશ્યકતા એ કોઈ પ્રતિબંધ નથી કારણ કે નકારાત્મક ચિહ્ન માત્ર અંદરના સરવાળાના ક્રમને ઉલટાવી દેશે, જે પરિણામને અસર કરતું નથી. ફોરિયર શ્રેણી તે સ્પષ્ટ છે કે તે સમયગાળા સાથે સામયિક છે. એટલે કે, બધા t માટે. આવા સામયિક કાર્ય માટે જટિલ ફોરિયર શ્રેણી એ છે કે જ્યાં ફોરિયર ગુણાંક (પ્રતીકાત્મક રીતે) બધા ફોરિયર ગુણાંક 1/T હોય છે, પરિણામે જ્યારે સમયગાળો એક એકમ હોય, ત્યારે આ ટિપ્પણી કરવા માટે સરળ બને છેઃ સૌથી સખત રીતે, ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય સહિત કોઈપણ ઉત્પાદનો પર રીમેન અથવા લેબસ્ગ્યુ એકીકરણ શૂન્ય ઉપજ આપે છે. આ કારણોસર, ઉપરનું સંકલન (ફોરિયર શ્રેણી ગુણાંક નિર્ધારણ) "સામાન્યીકૃત કાર્યોના અર્થમાં" સમજવું આવશ્યક છે. તેનો અર્થ એ છે કે, ડીરાક કાંસકો પર લાગુ અંતરાલના લાક્ષણિક કાર્યનો ઉપયોગ કરવાને બદલે, કટઆઉટ કાર્ય તરીકે કહેવાતા લાઇટહિલ એકાત્મક કાર્યનો ઉપયોગ કરે છે, વિગતો માટે જુઓ, પૃષ્ઠ 62, પ્રમેય 22. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ડીરાક કાંસાનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પણ ડીરાક કાંસકો છે. ફ્રિક્વન્સી ડોમેન (Hz) માં વ્યક્ત કરવામાં આવેલા ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે પીરિયડની ડીરાક કાંસકો પીરિયડની રીસ્કેલ્ડ ડીરાક કાંસવામાં પરિવર્તિત થાય છે. માટે અન્ય ડીરાક કાંસાની પ્રમાણસર છે, પરંતુ આવર્તન ડોમેન (રેડિયન/સે) માં સમયગાળો સાથે. ત્યારથી ગૌસીયન વિધેયોની એક અભિસારી શ્રેણી છે, અને ગૌસીયન ગૌસીયનમાં પરિવર્તિત થાય છે, તેમના દરેક સંબંધિત ફોરિયર રૂપાંતરણો પણ ગૌસીયનની શ્રેણીમાં પરિણમે છે, અને સ્પષ્ટ ગણતરી સ્થાપિત કરે છે કે કાર્યો અને આમ દરેક સમાન અંતરે ગૌસીયન સ્પાઇક્સની શ્રેણી ધરાવતા સામયિક કાર્ય સાથે સામ્યતા ધરાવે છે અને જેની સંબંધિત "ઊંચાઈ" (પૂર્વ-પરિબળો) ધીમે ધીમે ઘટતા ગૌસીયન પરબિડીયું કાર્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે અનંત સમયે શૂન્ય થઈ જાય છે. નોંધ લો કે મર્યાદામાં દરેક ગૌસીયન સ્પાઇક એક અનંત તીક્ષ્ણ ડીરાક આવેગ બની જાય છે જે અનુક્રમે દરેક સંબંધિત અને માટે કેન્દ્રિત હોય છે, અને તેથી પણ તમામ પૂર્વ-પરિબળો આખરે તેનાથી અલગ પડી શકતા નથી. તેથી વિધેયો અને તેમના સંબંધિત ફોરિયર રૂપાંતરણો સમાન વિધેયમાં એકરૂપ થાય છે અને આ મર્યાદા વિધેય અનંત સમતુલ્ય ગૌસીયન સ્પાઇક્સની શ્રેણી છે, દરેક સ્પાઇકને એકના સમાન પૂર્વ-પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે. એકમ સમયગાળા માટે ડીરાક કાંસકોઃ અને ત્યારથી, આપણે આ મર્યાદામાં દર્શાવવાનું પરિણામ મેળવીએ છીએઃ સમયગાળા માટે અનુરૂપ પરિણામ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના સ્કેલિંગ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, તે સ્થાપિત કરવાની બીજી રીત કે ડીરાક કાંસકો અન્ય ડીરાક કાંસકોમાં પરિવર્તિત થાય છે તે સામાન્ય રીતે સામયિક કાર્યોના સતત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની તપાસ કરીને શરૂ થાય છે, અને પછી ડીરાક કાંસાના કિસ્સામાં નિષ્ણાત બને છે. તે પણ બતાવવા માટે કે ચોક્કસ નિયમ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેની પરંપરા પર આધાર રાખે છે, આ કોઈપણ સામયિક કાર્ય માટે કોણીય આવર્તનનો ઉપયોગ કરીને બતાવવામાં આવશે જેમાં તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પાલન કરે છેઃ કારણ કે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરે છે અને તરફ દોરી જાય છે અને આ સમીકરણ સૂચવે છે કે લગભગ દરેક જગ્યાએ માત્ર શક્ય અપવાદો સાથે અને જ્યારે સંબંધિત ફોરિયર શ્રેણી અભિવ્યક્તિ પર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે ત્યારે અનુરૂપ ડેલ્ટા ફંક્શન પરિણામો મળે છે. ડીરાક કાંસાના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના વિશેષ કેસ માટે, એક જ સમયગાળામાં ફોરિયર સિરીઝ ઇન્ટિગ્રલ મૂળમાં માત્ર ડીરાક ફંક્શનને આવરી લે છે અને આમ દરેક માટે આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામયિક કાર્યોનું સતત ફોરિયર પરિવર્તન બધા માટે ફોરિયર શ્રેણી ગુણાંક તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે જ્યારે. અન્ય ડીરાક કાંસકો છે, પરંતુ કોણીય આવર્તન ક્ષેત્ર (રેડિયન/સે) માં સમયગાળો સાથે. ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, ચોક્કસ નિયમ વપરાયેલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટેની પરંપરા પર આધારિત છે. ખરેખર, ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શનના સ્કેલિંગ પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ઉપરોક્તને સામાન્ય ફ્રિક્વન્સી ડોમેન (Hz) માં ફરીથી વ્યક્ત કરી શકાય છે અને એક વ્યક્તિ ફરીથી પ્રાપ્ત કરી શકે છેઃ જેમ કે એકમ સમયગાળો ડીરાક કાંસકો પોતે રૂપાંતરિત થાય છેઃ છેવટે, ડીરાક કાંસકો એ કોણીય ફ્રિક્વન્સી જગ્યામાં એકાત્મક સતત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું આઈગન વેલ્યુ 1 નું આઈગન ફંક્શન પણ છે, કારણ કે એકાત્મક ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ માટે ઉપરોક્તને નમૂના તરીકે ફરીથી વ્યક્ત કરી શકાય છે અને કોઈ પણ કાર્યને ડીરાક કાંસકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી તે કોંબાના ગાંઠો પર કાર્યના મૂલ્યની સમાન સંકલન સાથે આવેગની ટ્રેનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ ઓપરેશનનો ઉપયોગ વારંવાર નમૂનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે થાય છે. ડીરાક કાંસાની સ્વ-પરિવર્તન ગુણધર્મ અને કોન્વોલ્યુશન થીયરમને કારણે, આ ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં ડીરાક કાંસાની સાથે કોન્વોલ્યુશનને અનુરૂપ છે. ડેલ્ટા ફંક્શન સાથે કોન્વોલ્યુશન એ ફંક્શનને દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરવા સમકક્ષ હોવાથી, ડીરાક કાંસકો સાથેનું કોન્વોલ્યુશન પ્રતિકૃતિ અથવા સામયિક સરવાળાને અનુરૂપ છેઃ આ ન્યક્વિસ્ટ-શૅનન સેમ્પલિંગ થીયરમની કુદરતી રચના તરફ દોરી જાય છે. જો કાર્યના વર્ણપટમાં B કરતા વધુ આવર્તન ન હોય (એટલે કે, તેનું વર્ણપટ માત્ર અંતરાલમાં બિન-શૂન્ય હોય) તો અંતરાલો પર મૂળ કાર્યના નમૂનાઓ મૂળ સંકેતની પુનઃરચના માટે પૂરતા હોય છે. તે નમૂના કાર્યના વર્ણપટને યોગ્ય લંબચોરસ કાર્ય દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે, જે ઈંટ-દિવાલ લોપાસ ફિલ્ટર લાગુ કરવા સમાન છે. ટાઇમ ડોમેનમાં, આ "રેક્ટ ફંક્શન સાથે ગુણાકાર" એ "સિંક ફંક્શન સાથે કોન્વોલ્યુશન" (, p.33-34) ની સમકક્ષ છે. તેથી, તે તેના નમૂનાઓમાંથી મૂળ કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરે છે. આને વ્હિટ્ટેકર-શેનોન અંતર્વેશન સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ટિપ્પણીઃ સૌથી વધુ સખત રીતે, સામાન્યીકૃત કાર્ય સાથે રેક્ટ કાર્યનો ગુણાકાર, જેમ કે ડીરાક કાંસકો, નિષ્ફળ જાય છે. આ અંતરાલ સીમાઓ પર ગુણાકાર ઉત્પાદનના અનિશ્ચિત પરિણામોને કારણે છે. ઉકેલ તરીકે, કોઈ વ્યક્તિ રેક્ટ ફંક્શનને બદલે લાઇટહિલ એકાત્મક ફંક્શનનો ઉપયોગ કરે છે. તે અંતરાલ સીમાઓ પર સરળ હોય છે, તેથી તે દરેક જગ્યાએ નિર્ધારિત ગુણાકાર ઉત્પાદનો આપે છે, વિગતો માટે જુઓ, પૃષ્ઠ 62, પ્રમેય 22. દિશાત્મક આંકડાશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ દિશાત્મક આંકડાશાસ્ત્રમાં, સમયગાળાની ડીરાક કાંસકો આવરિત ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યની સમકક્ષ હોય છે અને તે રેખીય આંકડાશાસ્ત્રમાં ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યનું એનાલોગ છે. રેખીય આંકડાશાસ્ત્રમાં, રેન્ડમ વેરિયેબલ સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક-સંખ્યા રેખા અથવા તેના કેટલાક સબસેટ પર વહેંચવામાં આવે છે, અને ની સંભાવના ઘનતા એ એક કાર્ય છે જેનું ડોમેન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, અને જેનું અભિન્ન એકમ છે. દિશાત્મક આંકડાશાસ્ત્રમાં, રેન્ડમ વેરિયેબલ એકમ વર્તુળમાં વહેંચાયેલું હોય છે, અને તેની સંભાવના ઘનતા એ એક કાર્ય છે જેનું ક્ષેત્ર લંબાઈની વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું અમુક અંતરાલ હોય છે અને તે અંતરાલ પરનું અભિન્ન એકમ હોય છે. જેમ વાસ્તવિક સંખ્યાની રેખા પર મનસ્વી કાર્ય સાથે ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યના ગુણાકારનું અભિન્ન મૂલ્ય શૂન્ય પર તે કાર્યનું મૂલ્ય આપે છે, તેવી જ રીતે એકમ વર્તુળ પરના સમયગાળાના મનસ્વી કાર્ય સાથે સમયગાળાના ડીરાક કાંસાના ગુણાકારનું અભિન્ન મૂલ્ય શૂન્ય પર તે કાર્યનું મૂલ્ય આપે છે. કોમ્બ ફિલ્ટર ફ્રીક્વન્સી કોમ્બ પોઈસન સારાંશ સૂત્ર સંદર્ભો વધુ વાંચન પણ જુઓ. . . વિશેષ કાર્યો સામાન્યીકૃત કાર્યો સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ દિશાસૂચક આંકડાશાસ્ત્ર