Ordinal utility
અર્થશાસ્ત્રમાં, ઓર્ડિનલ યુટિલિટી ફંક્શન એ ઓર્ડિનલ સ્કેલ પર એજન્ટની પસંદગીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું કાર્ય છે. સામાન્ય ઉપયોગિતા સિદ્ધાંત દાવો કરે છે કે અન્ય કરતાં કયો વિકલ્પ સારો છે તે પૂછવું માત્ર અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ તે કેટલું સારું છે અથવા તે કેટલું સારું છે તે પૂછવું અર્થહીન છે. નિશ્ચિતતાની શરતો હેઠળ ગ્રાહક નિર્ણય લેવાનો તમામ સિદ્ધાંત સામાન્ય ઉપયોગિતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે અને સામાન્ય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે જ્યોર્જ આપણને કહે છે કે "હું A થી B અને B થી C પસંદ કરું છું". જ્યોર્જની પસંદગીઓને એવા કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે કેઃ પરંતુ મુખ્ય ઉપયોગિતાના વિવેચકો દાવો કરે છે કે આ કાર્યનો એકમાત્ર અર્થપૂર્ણ સંદેશ ક્રમ છે; વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અર્થહીન છે. તેથી, જ્યોર્જની પસંદગીઓને નીચેના વિધેય v દ્વારા પણ રજૂ કરી શકાય છેઃ વિધેયો u અને v સામાન્ય રીતે સમકક્ષ હોય છે-તેઓ જ્યોર્જની પસંદગીઓને સમાન રીતે રજૂ કરે છે. સામાન્ય ઉપયોગિતા મુખ્ય ઉપયોગિતા સિદ્ધાંત સાથે વિરોધાભાસી છેઃ બાદમાં ધારે છે કે પસંદગીઓ વચ્ચેના તફાવતો પણ મહત્વપૂર્ણ છે. યુ માં એ અને બી વચ્ચેનો તફાવત બી અને સી વચ્ચેની સરખામણીમાં ઘણો ઓછો છે, જ્યારે વી માં વિપરીત સાચું છે. તેથી, યુ અને વી મૂળભૂત રીતે સમકક્ષ નથી. ક્રમિક ઉપયોગિતાનો ખ્યાલ સૌપ્રથમ 1906માં પેરેટો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. સંકેત ધારો કે વિશ્વની તમામ અવસ્થાઓનો સમૂહ છે અને એજન્ટનો પસંદગી સંબંધ છે. નબળા પસંદગી સંબંધને આ રીતે ચિહ્નિત કરવો સામાન્ય છે, જેથી "એજન્ટ ઓછામાં ઓછું A જેટલું B ઇચ્છે છે". પ્રતીકનો ઉપયોગ ઉદાસીનતા સંબંધના લઘુલિપિ તરીકે થાય છેઃ, જે વાંચે છે કે "એજન્ટ બી અને એ વચ્ચે ઉદાસીન છે". પ્રતીકનો ઉપયોગ મજબૂત પસંદગી સંબંધ માટે લઘુલિપિ તરીકે થાય છેઃ, જે વાંચે છે કે "એજન્ટ સખત રીતે B થી A પસંદ કરે છે". ફંક્શનને સંબંધનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે કહેવામાં આવે છે જોઃ સંબંધિત વિભાવનાઓ ઉદાસીનતા વળાંક મેપિંગ આંકડાકીય કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવાને બદલે, એજન્ટના પસંદગી સંબંધને ઉદાસીનતા વળાંક દ્વારા ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે. આ ખાસ કરીને ત્યારે ઉપયોગી છે જ્યારે બે પ્રકારની વસ્તુઓ હોય, x અને y. પછી, દરેક ઉદાસીનતા વળાંક એવા બિંદુઓનો સમૂહ દર્શાવે છે કે, જો અને તે સમાન વળાંક પર હોય, તો પછી. ઉદાસીનતા વળાંકનું ઉદાહરણ નીચે દર્શાવવામાં આવ્યું છેઃ દરેક ઉદાસીનતા વળાંક એ બિંદુઓનો સમૂહ છે, દરેક બે માલ અથવા સેવાઓના જથ્થાના સંયોજનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે તમામ સંયોજનોથી ગ્રાહક સમાન રીતે સંતુષ્ટ છે. મૂળથી જેટલો આગળ વળાંક હોય છે, ઉપયોગિતાનું સ્તર તેટલું વધારે હોય છે. કોઈપણ બિંદુએ વળાંકનો ઢાળ (Y માટે X ના અવેજીના સીમાંત દરનો નકારાત્મક) એ દર દર્શાવે છે કે જેના પર વ્યક્તિ સમાન સ્તરની ઉપયોગિતા જાળવી રાખીને સારા Y સામે સારા X નો વેપાર કરવા તૈયાર છે. ગ્રાહક પાસે અવેજીનો ઘટતો સીમાંત દર છે એમ ધારીને બતાવ્યા પ્રમાણે વળાંક મૂળ તરફ બહિર્મુખ છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે ઉદાસીનતા વળાંક (એક ક્રમિક અભિગમ) સાથે ગ્રાહક વિશ્લેષણ એ જ પરિણામો આપે છે જે મુખ્ય ઉપયોગિતા સિદ્ધાંત પર આધારિત છે-એટલે કે, ગ્રાહકો તે બિંદુએ વપરાશ કરશે જ્યાં કોઈપણ બે માલ વચ્ચે અવેજીનો સીમાંત દર તે માલની કિંમતોના ગુણોત્તર (સમાન-સીમાંત સિદ્ધાંત) બરાબર હોય. જાહેર કરેલ પસંદગી જાહેર કરેલ પસંદગી સિદ્ધાંત વાસ્તવિક દુનિયામાં સામાન્ય પસંદગી સંબંધોનું નિરીક્ષણ કેવી રીતે કરવું તેની સમસ્યાને સંબોધિત કરે છે. જાહેર પસંદગી સિદ્ધાંતનો પડકાર એ નક્કી કરવામાં આંશિક રીતે રહેલો છે કે કયા માલના બંડલ અગાઉથી પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા, જ્યારે વ્યક્તિઓને માલના ચોક્કસ બંડલ પસંદ કરતા જોવામાં આવે છે. ક્રમિક ઉપયોગિતા કાર્યના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરતો પ્રતિનિધિત્વ કાર્યના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપવા માટે કેટલીક શરતો જરૂરી છેઃ સંક્રમણતાઃ જો અને પછી. સંપૂર્ણતાઃ બધા બંડલ્સ માટેઃ ક્યાં તો અથવા અથવા બંને. સંપૂર્ણતા પણ પ્રતિબિંબીતતા સૂચવે છેઃ દરેક માટેઃ જ્યારે આ શરતો પૂર્ણ થાય છે અને સમૂહ મર્યાદિત હોય છે, ત્યારે એક કાર્ય બનાવવું સરળ છે જે શરૂઆતના ફકરામાં ઉદાહરણ તરીકે દરેક તત્વને યોગ્ય સંખ્યા સોંપીને રજૂ કરે છે. જ્યારે X ગણનાત્મક રીતે અનંત હોય ત્યારે પણ આ જ સાચું છે. વધુમાં, જેનાં મૂલ્યો શ્રેણીમાં હોય તેવા પ્રતિનિધિત્વ કરતા ઉપયોગિતા કાર્યને પ્રેરક રીતે બનાવવું શક્ય છે. જ્યારે અનંત હોય, ત્યારે આ શરતો અપૂરતી હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, લેક્સિકોગ્રાફિક પસંદગીઓ સંક્રમક અને સંપૂર્ણ હોય છે, પરંતુ તેમને કોઈપણ ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાતી નથી. જરૂરી વધારાની શરત સાતત્ય છે. સાતત્ય એ પસંદગી સંબંધને સતત કહેવામાં આવે છે, જો જ્યારે પણ બી ને એ કરતા પસંદ કરવામાં આવે, ત્યારે બી અથવા એ ના નાના વિચલનો તેમની વચ્ચેના ક્રમને ઉલટાવી નહીં શકે. ઔપચારિક રીતે, સમૂહ X પરના પસંદગી સંબંધને સતત કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેની સમકક્ષ શરતોમાંથી એકને સંતોષેઃ દરેક માટે, સમૂહ ટોપોલોજીકલ રીતે ઉત્પાદન ટોપોલોજી સાથે બંધ હોય છે (આ વ્યાખ્યા ટોપોલોજિકલ જગ્યા હોવી જરૂરી છે). દરેક ક્રમ માટે, જો બધા માટે i અને અને, પછી. આવા દરેક માટે, આસપાસ એક દડો અને તેની આસપાસ એક દડો હોય છે, જે દરેક દડાની આસપાસ અને દરેક દડાની આસપાસ હોય છે, (આ વ્યાખ્યા મેટ્રિક જગ્યા હોવી જરૂરી છે). જો પસંદગી સંબંધ સતત ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ થાય છે, તો તે સ્પષ્ટ રીતે સતત છે. ડેબ્રેઉ (1954) ના સિદ્ધાંતો દ્વારા, વિપરીત પણ સાચું છેઃ દરેક સતત સંપૂર્ણ પસંદગી સંબંધને સતત ક્રમિક ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. નોંધ લો કે લેક્સિકોગ્રાફિક પસંદગીઓ સતત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, પરંતુ આસપાસના દરેક બોલમાં (5,1) સાથે પોઈન્ટ હોય છે અને આ પોઈન્ટ તેનાથી ઓછા હોય છે. આ ઉપર જણાવેલી હકીકત અનુસાર છે, કે આ પસંદગીઓ ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાતી નથી. વિશિષ્ટતા દરેક ઉપયોગિતા કાર્ય v માટે, એક અનન્ય પસંદગી સંબંધ છે જે v દ્વારા રજૂ થાય છે. જો કે, વિપરીત સાચું નથીઃ પસંદગી સંબંધ ઘણા વિવિધ ઉપયોગિતા કાર્યો દ્વારા રજૂ થઈ શકે છે. સમાન પસંદગીઓ કોઈપણ ઉપયોગિતા કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જે v નું એકવિધ રીતે વધતું પરિવર્તન છે. દા. ત., જો કોઈ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય હોય, તો v અને v વિધેયો સમાન ઉદાસીનતા વળાંક મેપિંગને જન્મ આપે છે. આ સમાનતાને નીચેની રીતે સંક્ષિપ્તમાં વર્ણવવામાં આવી છેઃ એક ક્રમિક ઉપયોગિતા કાર્ય એ મોનો ટોન પરિવર્તન વધારવા માટે અનન્ય છે. તેનાથી વિપરીત, કાર્ડિનલ યુટિલિટી ફંક્શન એ એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન વધારવા માટે અનન્ય છે. દરેક એફાઇન પરિવર્તન મોનોટોન છે; તેથી, જો બે કાર્યો કાર્ડિનલી સમકક્ષ હોય તો તેઓ પણ સામાન્ય રીતે સમકક્ષ હોય છે, પરંતુ તેનાથી ઊલટું નહીં. એકવિધતા ધારો કે, હવેથી, સમૂહ એ તમામ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક દ્વિ-પરિમાણીય વાહકોનો સમૂહ છે. તેથી એક તત્વ એક જોડી છે જે બે ઉત્પાદનો, દા. ત., સફરજન અને કેળામાંથી વપરાતી માત્રાને રજૂ કરે છે. પછી અમુક સંજોગોમાં પસંદગી સંબંધ ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ થાય છે. ધારો કે પસંદગી સંબંધ એકવિધ રીતે વધી રહ્યો છે, જેનો અર્થ છે કે "વધુ હંમેશા વધુ સારું છે": પછી, બંને આંશિક વ્યુત્પન્ન, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો v હકારાત્મક છે. ટૂંકમાંઃ જો ઉપયોગિતા કાર્ય એકવિધ રીતે વધતા પસંદગી સંબંધને રજૂ કરે છે, તો ઉપયોગિતા કાર્ય એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે. વિકલ્પનો સીમાંત દર ધારો કે કોઈ વ્યક્તિ પાસે બંડલ છે અને દાવો કરે છે કે તે આ બંડલ અને બંડલ વચ્ચે ઉદાસીન છે. આનો અર્થ એ છે કે તે y ના એકમો મેળવવા માટે x ના એકમો આપવા તૈયાર છે. જો આ ગુણોત્તરને આ રીતે રાખવામાં આવે, તો આપણે કહીએ છીએ કે તે બિંદુ પર x અને y વચ્ચે વિકલ્પનો સીમાંત દર (એમ. આર. એસ.) છે. એમ. આર. એસ. ની આ વ્યાખ્યા માત્ર ક્રમિક પસંદગી સંબંધ પર આધારિત છે-તે આંકડાકીય ઉપયોગિતા કાર્ય પર આધારિત નથી. જો પસંદગી સંબંધ ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ થાય છે અને કાર્ય અવકલ કરી શકાય તેવું હોય, તો પછી એમ. આર. એસ. ની ગણતરી તે કાર્યના વ્યુત્પન્નમાંથી કરી શકાય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, જો પસંદગી સંબંધ તે દ્વારા રજૂ થાય છે. કાર્ય માટે એમ. આર. એસ. સમાન છે. આ કોઈ સંયોગ નથી કારણ કે આ બે કાર્યો સમાન પસંદગી સંબંધને રજૂ કરે છે-દરેક એક બીજાનું વધતું મોનોટોન પરિવર્તન છે. સામાન્ય રીતે, એમ. આર. એસ. જુદા જુદા બિંદુઓ પર અલગ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શક્ય છે કે એમ. આર. એસ. પર ઓછું હોય કારણ કે વ્યક્તિ પાસે ઘણો એક્સ અને માત્ર એક વાય હોય, પરંતુ એ. ટી. અથવા એમ. આર. એસ. વધારે હોય. કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓ નીચે વર્ણવવામાં આવ્યા છે. રેખીયતા જ્યારે કોઈ ચોક્કસ પસંદગી સંબંધનો એમ. આર. એસ. બંડલ પર આધાર રાખતો નથી, એટલે કે, એમ. આર. એસ. બધા માટે સમાન હોય છે, ત્યારે ઉદાસીનતા વળાંક રેખીય અને સ્વરૂપના હોય છેઃ અને પસંદગી સંબંધને રેખીય કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ (અલબત્ત, સમાન સંબંધને અન્ય ઘણા બિન-રેખીય કાર્યો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જેમ કે અથવા, પરંતુ રેખીય કાર્ય સૌથી સરળ છે.) જ્યારે એમ. આર. એસ. તેના પર આધાર રાખે છે પરંતુ તેના પર નહીં, ત્યારે પસંદગી સંબંધને અર્ધરેખીય ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જે સ્વરૂપમાં ચોક્કસ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે. કારણ કે એમ. આર. એસ. એ એક કાર્ય છે, સંભવિત કાર્યની ગણતરી તેના અભિન્ન અંગ તરીકે કરી શકાય છેઃ આ કિસ્સામાં, તમામ ઉદાસીનતા વળાંક સમાંતર હોય છે-તે એકબીજાના આડી સ્થાનાંતરણ હોય છે. બે ચીજવસ્તુઓ સાથે એડિટિવિટી વધુ સામાન્ય પ્રકારનું યુટિલિટી ફંક્શન એ એડિટિવ ફંક્શન છેઃ આપેલ પસંદગીઓ એડિટિવ યુટિલિટી ફંક્શન દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે કે કેમ તે તપાસવાની ઘણી રીતો છે. જો પસંદગીઓ એડિટિવ હોય તો એક સરળ અંકગણિત ગણતરી તે દર્શાવે છે અને સૂચવે છે કે આ "ડબલ-કેન્સલેશન" ગુણધર્મ એડિટિવિટી માટે જરૂરી શરત છે. ડેબ્રેઉ (1960) એ દર્શાવ્યું હતું કે આ ગુણધર્મ પણ પૂરતો છેઃ એટલે કે, જો પસંદગી સંબંધ બેવડા-રદના ગુણધર્મને સંતોષે છે, તો તેને એડિટિવ યુટિલિટી ફંક્શન દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. અનુરૂપ ટ્રેડઓફ ગુણધર્મ જો પસંદગીઓ એડિટિવ ફંક્શન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, તો પછી એક સરળ અંકગણિત ગણતરી દર્શાવે છે કે તેથી આ "અનુરૂપ ટ્રેડઓફ્સ" ગુણધર્મ એડિટિવિટી માટે જરૂરી શરત છે. આ સ્થિતિ પણ પૂરતી છે. ત્રણ કે તેથી વધુ ચીજવસ્તુઓ સાથે ઉમેરણ જ્યારે ત્રણ કે તેથી વધુ ચીજવસ્તુઓ હોય, ત્યારે ઉપયોગિતા કાર્યની ઉમેરણ માટેની શરત આશ્ચર્યજનક રીતે બે ચીજવસ્તુઓ કરતાં વધુ સરળ હોય છે. આ ડેબ્રેયુ (1960) ના પ્રમેય 3નું પરિણામ છે. ઉમેરણ માટે જરૂરી શરત પ્રેફરન્શિયલ ઇન્ડિપેન્ડન્સ છે. જો પેટા સમૂહ A માં પસંદગી સંબંધ, પેટા સમૂહ B માટે સ્થિર મૂલ્યો આપવામાં આવે તો, આ સ્થિર મૂલ્યોથી સ્વતંત્ર હોય, તો કોમોડિટીઝનો પેટા સમૂહ A, કોમોડિટીઝના પેટા સમૂહ B થી પ્રાધાન્યપૂર્વક સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે ત્યાં ત્રણ કોમોડિટીઝ છેઃ x y અને z. ઉપગણ {x, y} પ્રાધાન્યમાં ઉપગણ {z} થી સ્વતંત્ર છે, જો બધા માટેઃ. આ કિસ્સામાં, આપણે ફક્ત એટલું જ કહી શકીએ કેઃ અચલ z માટે. સ્વતંત્ર ચીજવસ્તુઓના કિસ્સામાં પસંદગીની સ્વતંત્રતા અર્થપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સફરજન અને કેળાના બંડલ વચ્ચેની પસંદગીઓ કદાચ એજન્ટ પાસે હોય તેવા પગરખાં અને મોજાની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર હોય છે, અને તેનાથી ઊલટું. ડેબ્રેયુના પ્રમેય અનુસાર, જો કોમોડિટીના તમામ ઉપગણ પ્રાધાન્યમાં તેમના પૂરકથી સ્વતંત્ર હોય, તો પસંદગી સંબંધને એડિટિવ વેલ્યુ ફંક્શન દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. અહીં આપણે આવા એડિટિવ વેલ્યુ ફંક્શનનું નિર્માણ કેવી રીતે કરી શકાય તે બતાવીને આ પરિણામનું સાહજિક સમજૂતી આપીએ છીએ. સાબિતી ત્રણ ચીજવસ્તુઓ ધારે છેઃ x, y, z. આપણે બતાવીએ છીએ કે ત્રણ મૂલ્ય કાર્યોમાંથી દરેક માટે ત્રણ બિંદુઓને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાઃ 0 બિંદુ, 1 બિંદુ અને 2 બિંદુ. અન્ય બિંદુઓની ગણતરી સમાન રીતે કરી શકાય છે, અને પછી સાતત્યનો ઉપયોગ એ નિષ્કર્ષ પર આવવા માટે કરી શકાય છે કે કાર્યો તેમની સમગ્ર શ્રેણીમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. 0 બિંદુઃ મનસ્વી રીતે પસંદ કરો અને તેમને મૂલ્ય કાર્યના શૂન્ય તરીકે સોંપો, એટલે કે. : 1 બિંદુઃ મનસ્વી રીતે પસંદ કરો. તેને મૂલ્યના એકમ તરીકે સેટ કરો, એટલે કે. : પસંદ કરો અને જેમ કે નીચેના ઉદાસીનતા સંબંધો ધરાવે છેઃ આ ઉદાસીનતા y અને z ના એકમોને x ના એકમો સાથે સરખાવવાનું કામ કરે છે. આ ત્રણ બિંદુઓનું મૂલ્ય 1 હોવું જોઈએ, તેથી આપણે 2 બિંદુ નિર્ધારિત કરીએ છીએઃ હવે આપણે પ્રેફરેન્શિયલ-ઇન્ડિપેન્ડન્સ ધારણાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અને વચ્ચેનો સંબંધ z થી સ્વતંત્ર છે, અને તે જ રીતે અને વચ્ચેનો સંબંધ x થી સ્વતંત્ર છે અને અને વચ્ચેનો સંબંધ y થી સ્વતંત્ર છે. તેથી આ ઉપયોગી છે કારણ કે તેનો અર્થ એ છે કે આ ત્રણ બિંદુઓમાં વિધેય v નું મૂલ્ય-2-સમાન હોઈ શકે છે. એવી રીતે પસંદ કરો અને 3 પોઈન્ટ સોંપી દોઃ આપણી અત્યાર સુધીની સોંપણીઓ સુસંગત છે તે બતાવવા માટે, આપણે બતાવવું પડશે કે 3 નું કુલ મૂલ્ય મેળવનારા તમામ પોઈન્ટ ઉદાસીનતા પોઈન્ટ છે. અહીં, ફરીથી, પ્રેફરન્શિયલ ઇન્ડિપેન્ડન્સ ધારણા વપરાય છે, કારણ કે અને વચ્ચેનો સંબંધ z થી સ્વતંત્ર છે (અને તે જ રીતે અન્ય જોડીઓ માટે); તેથી અને તે જ રીતે અન્ય જોડીઓ માટે. તેથી, 3 બિંદુને સતત વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપણે ઇન્ડક્શન દ્વારા આ રીતે ચાલુ રાખી શકીએ છીએ અને તમામ પૂર્ણાંક બિંદુઓમાં પ્રતિ-કોમોડિટી કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, પછી તેને તમામ વાસ્તવિક બિંદુઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સાતત્યનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ઉપરોક્ત સાબિતીના બિંદુ 1 માં એક ગર્ભિત ધારણા એ છે કે ત્રણેય ચીજવસ્તુઓ આવશ્યક અથવા પસંદગી સંબંધિત છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એક બંડલ અસ્તિત્વમાં છે, જો કોઈ ચોક્કસ કોમોડિટીની માત્રા વધારવામાં આવે, તો નવું બંડલ સખત રીતે વધુ સારું છે. 3 થી વધુ ચીજવસ્તુઓનો પુરાવો સમાન છે. હકીકતમાં, આપણે એ તપાસવાની જરૂર નથી કે બિંદુઓના તમામ સબસેટ પ્રાધાન્યમાં સ્વતંત્ર છે; તે ચીજવસ્તુઓની જોડીની રેખીય સંખ્યાને તપાસવા માટે પૂરતું છે. દા. ત., જો ત્યાં જુદી જુદી ચીજવસ્તુઓ હોય, તો તે ચકાસવા માટે પૂરતું છે કે બધા માટે, બે ચીજવસ્તુઓ અન્ય ચીજવસ્તુઓથી પ્રાધાન્યમાં સ્વતંત્ર છે. એડિટિવ રજૂઆતની વિશિષ્ટતા એક એડિટિવ પસંદગી સંબંધને ઘણા વિવિધ એડિટિવ યુટિલિટી કાર્યો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. જો કે, આ તમામ કાર્યો સમાન છેઃ તેઓ માત્ર એકબીજાના મોનોટોન પરિવર્તનમાં વધારો કરી રહ્યા નથી (જેમ કે સમાન સંબંધનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા તમામ ઉપયોગિતા કાર્યો છે); તેઓ એકબીજાના રેખીય પરિવર્તનમાં વધારો કરી રહ્યા છે. ટૂંકમાં, એક એડિટિવ ઓર્ડિનલ યુટિલિટી ફંક્શન વધતા રેખીય પરિવર્તન સુધી અનન્ય છે. ક્રમિક ડેટામાંથી એડિટિવ અને ક્વાડ્રેટિક યુટિલિટી ફંક્શન્સની રચના ગેરાર્ડ ડેબ્રેઉ દ્વારા નિર્ધારિત મોટાભાગના સામાન્ય પ્રકારનાં યુટિલિટી ફંક્શન્સ-ક્વાડ્રેટિક અને એડિટિવ-ના ગાણિતિક પાયાએ એન્ડ્રાનિક ટેંજિયનને શુદ્ધ રીતે ક્રમિક ડેટામાંથી તેમના નિર્માણ માટેની પદ્ધતિઓ વિકસાવવા માટે સક્ષમ બનાવ્યા. ખાસ કરીને, વેરિયેબલ્સમાં એડિટિવ અને ક્વાડ્રેટિક યુટિલિટી ફંક્શન્સ નિર્ણય લેનારાઓના ઇન્ટરવ્યુમાંથી બનાવી શકાય છે, જ્યાં પ્રશ્નોનો હેતુ કાર્ડિનલ યુટિલિટી અંદાજોનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં સંપૂર્ણપણે 2D-તફાવત વળાંકને શોધવાનો છે. ક્રમિક અને મુખ્ય ઉપયોગિતા કાર્યો વચ્ચેની સરખામણી નીચેનું કોષ્ટક અર્થશાસ્ત્રમાં સામાન્ય બે પ્રકારના ઉપયોગિતા કાર્યોની સરખામણી કરે છેઃ પસંદગી (અર્થશાસ્ત્ર) બહુ-વિશેષતા ઉપયોગિતા ગ્રાહક સિદ્ધાંત સીમાંત ઉપયોગિતા જાળી સિદ્ધાંત કન્વેક્સ પસંદગીઓ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ લેક્સિકોગ્રાફિક પસંદગી સંબંધને ઉપયોગિતા કાર્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાતો નથી. Economics.SE માં R2 માં એમ્બેડ કરી શકાય તેવા રેખીય ઓર્ડરને લેક્સિકોગ્રાફિક રીતે ઓળખી શકાય છે. Math.SE માં. મુર્રે એન. રોથબાર્ડ, "ઉપયોગિતા અને કલ્યાણ અર્થશાસ્ત્રના પુનર્નિર્માણ તરફ" ઉપયોગિતા