Curve fitting
કર્વ ફિટિંગ એ વળાંક અથવા ગાણિતિક કાર્ય બનાવવાની પ્રક્રિયા છે, જે સંભવતઃ અવરોધોને આધિન ડેટા બિંદુઓની શ્રેણીમાં શ્રેષ્ઠ રીતે બંધબેસે છે. કર્વ ફિટિંગમાં ક્યાં તો ઇન્ટરપોલેશન સામેલ હોઈ શકે છે, જ્યાં ડેટામાં ચોક્કસ ફિટ જરૂરી હોય છે, અથવા સ્મૂથિંગ, જેમાં "સ્મૂથ" ફંક્શન બનાવવામાં આવે છે જે ડેટાને લગભગ બંધબેસે છે. સંબંધિત વિષય રીગ્રેસન એનાલિસિસ છે, જે આંકડાકીય અનુમાનના પ્રશ્નો પર વધુ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે જેમ કે વળાંકમાં કેટલી અનિશ્ચિતતા હાજર છે જે રેન્ડમ ભૂલો સાથે અવલોકન કરેલા ડેટાને અનુરૂપ છે. ફીટ કરેલા વળાંકનો ઉપયોગ ડેટા વિઝ્યુલાઇઝેશન માટે સહાય તરીકે થઈ શકે છે, જ્યાં કોઈ ડેટા ઉપલબ્ધ નથી તેવા કાર્યના મૂલ્યોનું અનુમાન કરવા માટે અને બે અથવા વધુ ચલો વચ્ચેના સંબંધોનો સારાંશ આપવા માટે. એક્સ્ટ્રાપોલેશન એ અવલોકન કરેલ માહિતીની શ્રેણીની બહાર ફીટ કરેલ વળાંકના ઉપયોગનો સંદર્ભ આપે છે, અને તે અનિશ્ચિતતાને આધિન છે કારણ કે તે અવલોકન કરેલ માહિતીને પ્રતિબિંબિત કરે છે તેટલી જ વળાંક બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિને પ્રતિબિંબિત કરી શકે છે. માહિતીના રેખીય-બીજગણિત વિશ્લેષણ માટે, "ફિટિંગ" નો અર્થ સામાન્ય રીતે વળાંકને શોધવાનો પ્રયાસ કરવાનો થાય છે જે વળાંકમાંથી બિંદુના ઊભી (વાય-અક્ષ) વિસ્થાપનને ઘટાડે છે (દા. ત., સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ). જો કે, ગ્રાફિકલ અને ઇમેજ એપ્લિકેશન્સ માટે, ભૌમિતિક ફિટિંગ શ્રેષ્ઠ વિઝ્યુઅલ ફિટ પ્રદાન કરવા માંગે છે; જેનો સામાન્ય રીતે અર્થ થાય છે વળાંકથી ઓર્થોગોનલ અંતરને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરવો (દા. ત., કુલ ઓછામાં ઓછા ચોરસ), અથવા અન્યથા વળાંકમાંથી બિંદુના વિસ્થાપનના બંને અક્ષોનો સમાવેશ કરવો. ભૌમિતિક ફિટ્સ લોકપ્રિય નથી કારણ કે તેમને સામાન્ય રીતે બિન-રેખીય અને/અથવા પુનરાવર્તિત ગણતરીઓની જરૂર પડે છે, જો કે તેઓ વધુ સૌંદર્યલક્ષી અને ભૌમિતિક રીતે સચોટ પરિણામનો ફાયદો ધરાવે છે. ડેટા બિંદુઓ પર કાર્યોની બીજગણિત ફિટિંગ સૌથી સામાન્ય રીતે, એક ફોર્મના કાર્યને બંધબેસે છે. ડેટા બિંદુઓ માટે ફિટિંગ રેખાઓ અને બહુપદી કાર્યો પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી સમીકરણ એ ઢાળ a સાથેની રેખા છે. એક રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડશે, તેથી પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી સમીકરણ એ અલગ x કોઓર્ડિનેટ્સવાળા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી ચોક્કસ રીતે બંધબેસતું હોય છે. જો સમીકરણનો ક્રમ સેકન્ડ ડિગ્રી બહુપદી સુધી વધારવામાં આવે, તો નીચેના પરિણામો મળશેઃ આ એક સરળ વળાંકને ત્રણ બિંદુઓ સાથે બરાબર બંધબેસે છે. જો સમીકરણનો ક્રમ વધારીને ત્રીજી ડિગ્રી બહુપદી કરવામાં આવે, તો નીચે મુજબ પ્રાપ્ત થાય છેઃ આ બરાબર ચાર બિંદુઓને બંધબેસે છે. વધુ સામાન્ય નિવેદન એ કહેવાનું હશે કે તે બરાબર ચાર અવરોધોને બંધબેસે છે. દરેક અવરોધ એક બિંદુ, કોણ અથવા વળાંક હોઈ શકે છે (જે દોલન વર્તુળની ત્રિજ્યાનું પારસ્પરિક છે). કોણ અને વળાંકની મર્યાદાઓ મોટેભાગે વળાંકના છેડા પર ઉમેરવામાં આવે છે, અને આવા કિસ્સાઓમાં તેને અંતિમ શરતો કહેવામાં આવે છે. એક જ સ્પ્લાઇનમાં સમાયેલ બહુપદી વળાંક વચ્ચે સરળ સંક્રમણની ખાતરી કરવા માટે સમાન અંતિમ શરતોનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ ક્રમની મર્યાદાઓ, જેમ કે "વળાંકના દરમાં ફેરફાર" પણ ઉમેરી શકાય છે. આ, ઉદાહરણ તરીકે, હાઇવે ક્લોવરલીફ ડિઝાઇનમાં કાર પર લાગુ થતા બળોના પરિવર્તનના દરને સમજવા માટે ઉપયોગી થશે (આંચકો જુઓ), કારણ કે તે ક્લોવરલીફને અનુસરે છે, અને તે મુજબ વાજબી ઝડપ મર્યાદા નક્કી કરવા માટે. પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી સમીકરણ પણ એક બિંદુ અને એક કોણ માટે ચોક્કસ ફિટ હોઈ શકે છે જ્યારે ત્રીજી ડિગ્રી બહુપદી સમીકરણ પણ બે બિંદુઓ, એક કોણ અવરોધ અને વળાંક અવરોધ માટે ચોક્કસ ફિટ હોઈ શકે છે. આ માટે અને ઉચ્ચ ક્રમના બહુપદી સમીકરણો માટે અવરોધોના અન્ય ઘણા સંયોજનો શક્ય છે. જો n + 1 કરતાં વધુ અવરોધો હોય (n એ બહુપદીની ડિગ્રી હોય), તો બહુપદી વળાંક હજુ પણ તે અવરોધોમાંથી પસાર થઈ શકે છે. તમામ અવરોધો માટે ચોક્કસ ફિટ ચોક્કસ નથી (પરંતુ તે થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદીના કિસ્સામાં જે બરાબર ત્રણ સમરેખીય બિંદુઓને બંધબેસે છે). સામાન્ય રીતે, જોકે, પછી દરેક અંદાજનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કેટલીક પદ્ધતિની જરૂર પડે છે. લઘુત્તમ વર્ગ પદ્ધતિ એ વિચલનોની સરખામણી કરવાની એક રીત છે. જ્યારે બહુપદી સમીકરણની માત્રામાં વધારો કરવો અને ચોક્કસ મેળ મેળવવો શક્ય હોય ત્યારે અંદાજિત મેળ મેળવવા માટે ઘણા કારણો આપવામાં આવે છે. : જો ચોક્કસ મેળ અસ્તિત્વમાં હોય તો પણ, તે સહેલાઈથી શોધી શકાય તે જરૂરી નથી. ઉપયોગમાં લેવાતા અલ્ગોરિધમનો આધાર રાખીને ત્યાં એક અલગ કેસ હોઈ શકે છે, જ્યાં ચોક્કસ ફિટની ગણતરી કરી શકાતી નથી, અથવા ઉકેલ શોધવામાં કમ્પ્યુટરનો ઘણો સમય લાગી શકે છે. આ પરિસ્થિતિ માટે અંદાજિત ઉકેલની જરૂર પડી શકે છે. નમૂનામાં શંકાસ્પદ માહિતી બિંદુઓને બરાબર ફિટ કરવા માટે વળાંકને વિકૃત કરવાને બદલે સરેરાશ બહાર કાઢવાની અસર ઇચ્છનીય હોઈ શકે છે. રુંજની ઘટનાઃ ઉચ્ચ ક્રમની બહુપદીઓ અત્યંત દોલનશીલ હોઈ શકે છે. જો વળાંક એ અને બી બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, તો એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે કે વળાંક એ અને બીના મધ્યબિંદુની નજીક પણ ચાલશે. આ ઉચ્ચ ક્રમના બહુપદી વળાંક સાથે ન પણ થઈ શકે; તેમાં એવા મૂલ્યો પણ હોઈ શકે છે જે હકારાત્મક કે નકારાત્મક તીવ્રતામાં ખૂબ મોટા હોય. નીચા ક્રમની બહુપદીઓ સાથે, વળાંક મધ્યબિંદુની નજીક આવવાની શક્યતા વધુ હોય છે (તે પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી પર મધ્યબિંદુમાંથી બરાબર પસાર થવાની ખાતરી પણ આપે છે). નીચલા ક્રમની બહુપદીઓ સરળ હોય છે અને ઉચ્ચ ક્રમની બહુપદી વળાંક "ગઠ્ઠો" હોય છે. આને વધુ ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, બહુપદી વળાંકમાં શક્ય વળાંક બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા n-2 છે, જ્યાં n એ બહુપદી સમીકરણનો ક્રમ છે. વળાંક બિંદુ એ વળાંક પરનું સ્થાન છે જ્યાં તે હકારાત્મક ત્રિજ્યાથી નકારાત્મક તરફ જાય છે. આપણે એમ પણ કહી શકીએ કે આ તે જગ્યા છે જ્યાં તે "હોલ્ડિંગ વોટર" થી "શેડિંગ વોટર" માં પરિવર્તિત થાય છે. નોંધ લો કે તે માત્ર "શક્ય" છે કે ઉચ્ચ ક્રમની બહુપદીઓ ગઠ્ઠી હશે; તેઓ સરળ પણ હોઈ શકે છે, પરંતુ નિમ્ન ક્રમના બહુપદી વળાંકથી વિપરીત આની કોઈ ગેરંટી નથી. પંદરમી ડિગ્રી બહુપદીમાં, વધુમાં વધુ, તેર વળાંક બિંદુઓ હોઈ શકે છે, પરંતુ તેમાં અગિયાર, અથવા નવ અથવા એકથી નીચેની કોઈપણ વિષમ સંખ્યા પણ હોઈ શકે છે. (સમ ક્રમાંકિત ડિગ્રી ધરાવતી બહુપદીઓમાં n-2 થી શૂન્ય સુધીના કોઈપણ સમ સંખ્યામાં વળાંક બિંદુઓ હોઈ શકે છે.) ચોક્કસ બંધબેસતા માટે બહુપદી વળાંકની માત્રા જરૂરિયાત કરતાં વધારે હોય તે ઉચ્ચ ક્રમની બહુપદીઓ માટે અગાઉ સૂચિબદ્ધ તમામ કારણો માટે અનિચ્છનીય છે, પરંતુ તે એવા કેસ તરફ પણ દોરી જાય છે જ્યાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો હોય. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય બેને બદલે માત્ર એક જ બિંદુ દ્વારા મર્યાદિત પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી (એક રેખા) અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો આપશે. આનાથી માત્ર એક જ ઉકેલની સરખામણી અને પસંદગી કેવી રીતે કરવી તે સમસ્યા ઊભી થાય છે, જે સોફ્ટવેર અને મનુષ્યો માટે પણ સમસ્યા બની શકે છે. આ કારણોસર, તમામ અવરોધો પર ચોક્કસ મેળ માટે શક્ય તેટલી ઓછી ડિગ્રી પસંદ કરવી સામાન્ય રીતે શ્રેષ્ઠ છે, અને જો અંદાજિત ફિટ સ્વીકાર્ય હોય તો કદાચ તેનાથી પણ ઓછી ડિગ્રી. ડેટા બિંદુઓ પર અન્ય કાર્યોને બંધબેસતા અન્ય પ્રકારના વળાંક, જેમ કે ત્રિકોણમિતીય કાર્યો (જેમ કે સાઇન અને કોસાઇન) નો પણ અમુક કિસ્સાઓમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. સ્પેક્ટ્રોસ્કોપીમાં, માહિતી ગૌસીયન, લોરેન્ટ્ઝિયન, વોઈગ્ટ અને સંબંધિત કાર્યો સાથે ફીટ થઈ શકે છે. જીવવિજ્ઞાન, ઇકોલોજી, વસ્તી વિષયક, રોગચાળાવિજ્ઞાન અને અન્ય ઘણી શાખાઓમાં, વસ્તીમાં વૃદ્ધિ, ચેપી રોગનો ફેલાવો વગેરે. લોજિસ્ટિક ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને ફીટ કરી શકાય છે. કૃષિમાં ઊંધી લોજિસ્ટિક સિગ્મોઇડ કાર્ય (એસ-કર્વ) નો ઉપયોગ પાકની ઉપજ અને વૃદ્ધિ પરિબળો વચ્ચેના સંબંધને વર્ણવવા માટે થાય છે. આ વાદળી આકૃતિ ખેતરોમાં માપવામાં આવેલી માહિતીના સિગ્મોઇડ રીગ્રેસન દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી. તે જોઈ શકાય છે કે શરૂઆતમાં, એટલે કે. ઓછી જમીનની ક્ષારતા પર, જમીનની ક્ષારતા વધવાથી પાકની ઉપજ ધીમે ધીમે ઘટે છે, જ્યારે તે પછી ઘટાડો ઝડપથી વધે છે. જો ફોર્મના કાર્યને પૂર્વધારણા કરી શકાતી નથી, તો પણ કોઈ પ્લેન કર્વને ફિટ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકે છે. અન્ય પ્રકારના વળાંક, જેમ કે શંકુ વિભાગો (ગોળાકાર, લંબગોળ, પેરાબોલિક અને હાયપરબોલિક ચાપ) અથવા ત્રિકોણમિતીય કાર્યો (જેમ કે સાઇન અને કોસાઇન) નો પણ અમુક કિસ્સાઓમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે હવાના પ્રતિકારને અવગણવામાં આવે છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળના પદાર્થોના માર્ગ પેરાબોલિક માર્ગને અનુસરે છે. તેથી, પેરાબોલિક વળાંક સાથે મેળ ખાતી ગતિ માહિતીનો અર્થ સમજાય છે. ભરતીઓ સાઇનસોઈડલ પેટર્નને અનુસરે છે, તેથી જો ચંદ્ર અને સૂર્ય બંનેની અસરોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો ભરતી માહિતી બિંદુઓને સાઇન તરંગ અથવા વિવિધ સમયગાળાના બે સાઇન તરંગોના સરવાળા સાથે મેળ ખાતા હોવા જોઈએ. પેરામેટ્રિક વળાંક માટે, તેના દરેક કોઓર્ડિનેટ્સને ચાપ લંબાઈના અલગ કાર્ય તરીકે ફિટ કરવા અસરકારક છે; એમ ધારીને કે ડેટા બિંદુઓને ઓર્ડર કરી શકાય છે, તાર અંતરનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ભૌમિતિક ફિટ દ્વારા વર્તુળને ફીટ કરવું કોપ 2D ડેટા બિંદુઓના સમૂહમાં વર્તુળની શ્રેષ્ઠ દ્રશ્ય ફિટ શોધવાનો પ્રયાસ કરવાની સમસ્યાનો સંપર્ક કરે છે. આ પદ્ધતિ સુંદર રીતે સામાન્ય રીતે બિન-રેખીય સમસ્યાને રેખીય સમસ્યામાં પરિવર્તિત કરે છે જેને પુનરાવર્તિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલી શકાય છે, અને તેથી તે અગાઉની તકનીકો કરતાં ઘણી ઝડપી છે. ભૌમિતિક ફિટ દ્વારા લંબગોળને ફિટ કરવું ઉપરોક્ત તકનીકને બિન-રેખીય પગલું ઉમેરીને સામાન્ય લંબગોળ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે, જેના પરિણામે એક એવી પદ્ધતિ બને છે જે ઝડપી હોય છે, તેમ છતાં મનસ્વી અભિગમ અને વિસ્થાપનના દૃષ્ટિની રીતે આનંદદાયક લંબગોળ શોધે છે. ફિટિંગ સપાટીઓ નોંધે છે કે જ્યારે આ ચર્ચા 2D વળાંકની દ્રષ્ટિએ હતી, ત્યારે આ તર્કનો મોટાભાગનો ભાગ 3D સપાટીઓ સુધી પણ વિસ્તરે છે, જેનો દરેક પેચ બે પેરામેટ્રિક દિશામાં વળાંકની જાળી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને સામાન્ય રીતે u અને v કહેવામાં આવે છે. સોફ્ટવેર આર અને ન્યુમેરિકલ સોફ્ટવેર જેવા કે ગનુપ્લોટ, જી. એન. યુ. સાયન્ટિફિક લાઇબ્રેરી, એમ. એલ. એ. બી., મેપલ, એમ. એ. ટી. એલ. એ. બી., ટી. કે. સોલ્વર 6, સાયલેબ, મેથેમેટિકા, જી. એન. યુ. ઓક્ટેવ અને સાયપાઈ જેવા ઘણા આંકડાકીય પેકેજોમાં વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં કર્વ ફિટિંગ કરવા માટેના આદેશોનો સમાવેશ થાય છે. કર્વ ફિટિંગ કરવા માટે ખાસ લખાયેલા પ્રોગ્રામ્સ પણ છે; તેઓ આંકડાકીય અને આંકડાકીય-વિશ્લેષણ પ્રોગ્રામ્સની સૂચિમાં તેમજ આ પ્રમાણે મળી શકે છેઃ શ્રેણીઃ રીગ્રેશન અને કર્વ ફિટિંગ સોફ્ટવેર. કેલિબ્રેશન કર્વ-ફિટિંગ કોમ્પેક્શન એસ્ટિમેશન થિયરી ફંક્શન એપ્રોક્સિમેશન ફિટ આનુવંશિક પ્રોગ્રામિંગની ભલાઈ ઓછામાં ઓછા ચોરસ ગોઠવણ લેવેનબર્ગ-માર્કવાર્ડ્ટ અલ્ગોરિધમ લાઇન ફિટિંગ લિનિયર ઇન્ટરપોલેશન મેથેમેટિકલ મોડેલ મલ્ટી એક્સપ્રેશન પ્રોગ્રામિંગ નોનલાઇનિયર રીગ્રેસન ઓવરફિટિંગ પ્લેન કર્વ પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફિટિંગ સિનુસોઇડલ મોડેલ સ્મૂથિંગ સ્પ્લાઇન્સ (ઇન્ટરપોલેટિંગ, સ્મૂથિંગ) ટાઇમ સિરીઝ કુલ ઓછામાં ઓછા ચોરસ લિનિયર ટ્રેન્ડ એસ્ટિમેશન સંદર્ભો વધુ વાંચન એન. ચેર્નોવ (2010), પરિપત્ર અને રેખીય રીગ્રેસનઃ ઓછામાં ઓછા ચોરસ દ્વારા ફિટિંગ વર્તુળો અને રેખાઓ, ચેપમેન અને હોલ/સીઆરસી, આંકડા અને લાગુ સંભાવના પર મોનોગ્રાફ્સ, વોલ્યુમ 117 (256 પીપી. ).