Riemann–Siegel theta function
ગણિતમાં, રીમાન-સીગલ થીટા વિધેયને ગામા વિધેયની દ્રષ્ટિએ t ના વાસ્તવિક મૂલ્યો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અહીં દલીલ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે સતત વિધેય પ્રાપ્ત થાય અને જાળવી રાખવામાં આવે, એટલે કે, તે જ રીતે કે લોગ-ગામા વિધેયની મુખ્ય શાખા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેમાં એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ છે જે કન્વર્જન્ટ નથી, પરંતુ જેની પ્રથમ કેટલીક શરતો તેના માટે સારો અંદાજ આપે છે. તેની 0 પરની ટેલર-શ્રેણી જે માટે એકરૂપ થાય છે તે ક્રમના બહુપત્નીત્વ કાર્યને સૂચવે છે. રીમાન-સીગલ થીટા કાર્ય રીમાન ઝીટા કાર્યના અભ્યાસમાં રસ ધરાવે છે, કારણ કે તે રીમાન ઝીટા કાર્યને એવી રીતે ફેરવી શકે છે કે તે નિર્ણાયક રેખા પર સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક મૂલ્યવાન ઝેડ કાર્ય બની જાય છે. વક્ર ચર્ચા રીમાન-સીગલ થીટા કાર્ય એ અને પર ત્રણ મૂળ ધરાવતા વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે એક વિચિત્ર વાસ્તવિક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે. તે માટે એક વધતા કાર્ય છે, અને મૂલ્ય સાથે સ્થાનિક ચરમસીમા ધરાવે છે. તેની સાથે એક જ વળાંક બિંદુ છે, જે તેના વ્યુત્પન્નનું લઘુતમ છે. જટિલ ચલના કાર્ય તરીકે થીટા આપણી પાસે લોગ-ગામા કાર્ય માટે અનંત શ્રેણી અભિવ્યક્તિ છે જ્યાં γ એ યુલરનો અચળાંક છે. z માટે અવેજી અને કાલ્પનિક ભાગને મુદત મુજબ લેવાથી θ (t) માટે નીચેની શ્રેણી મળે છે −1 અને 1 વચ્ચેના કાલ્પનિક ભાગવાળા મૂલ્યો માટે, આર્ક્ટાન્જેન્ટ ફંક્શન હોલોમોર્ફિક છે, અને તે સરળતાથી જોવા મળે છે કે શ્રેણી −1/2 અને 1/2 વચ્ચેના કાલ્પનિક ભાગ સાથે પ્રદેશમાં કોમ્પેક્ટ સમૂહો પર સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે, જે આ ડોમેન પર હોલોમોર્ફિક ફંક્શન તરફ દોરી જાય છે. તે અનુસરે છે કે આ પ્રદેશમાં ઝેડ કાર્ય પણ હોલોમોર્ફિક છે, જે નિર્ણાયક પટ્ટી છે. આપણે બંધ-સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે ઓળખોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ જે આપણી મૂળ વ્યાખ્યાને t ના હોલોમોર્ફિક કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે. કારણ કે લોગની મુખ્ય શાખામાં નકારાત્મક વાસ્તવિક અક્ષ સાથે એક જ શાખા કાપવામાં આવે છે, આ વ્યાખ્યામાં θ (t) એ i/2 ઉપર અને નીચેની કાલ્પનિક અક્ષ સાથે શાખા કાપને વારસામાં મેળવે છે. ગ્રામ બિંદુઓ નિર્ણાયક રેખા પર રીમાન ઝીટા કાર્ય લખી શકાય છે જો તે વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો Z કાર્ય વાસ્તવિક મૂલ્યો આપે છે. તેથી નિર્ણાયક રેખા પરનું ઝીટા કાર્ય ક્યાં તો શૂન્ય પર, તેને અનુરૂપ અથવા ક્યારે વાસ્તવિક હશે. જ્યાં પછીનો કેસ આવે છે તેના હકારાત્મક વાસ્તવિક મૂલ્યોને જે. પી. ગ્રામ પછી ગ્રામ પોઇન્ટ કહેવામાં આવે છે, અને અલબત્ત તે બિંદુઓ તરીકે પણ વર્ણવી શકાય છે જ્યાં પૂર્ણાંક હોય છે. ગ્રામ બિંદુ એ તેનો ઉકેલ છે આ ઉકેલો આ ક્રમ દ્વારા અંદાજવામાં આવે છેઃ લેમ્બર્ટ W કાર્ય ક્યાં છે. અહીં સૌથી નાના બિન નકારાત્મક ગ્રામ બિંદુઓ છે અનુક્રમણિકા n ની પસંદગી થોડી ક્રૂડ છે. તે ઐતિહાસિક રીતે એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે પ્રથમ મૂલ્ય પર અનુક્રમણિકા 0 હોય છે જે નિર્ણાયક રેખા પર રીમાન ઝીટા કાર્યના સૌથી નાના હકારાત્મક શૂન્ય (કાલ્પનિક ભાગ 14.13472515 પર) કરતા મોટી હોય છે. નોંધ લો, આ-વિધેય નિરપેક્ષ-નાની વાસ્તવિક દલીલો માટે દોલન કરે છે અને તેથી [−24,24] અંતરાલમાં અનન્ય રીતે ઉલટાવી શકાય તેવું નથી! આમ વિષમ થીટા-વિધેયમાં અનુક્રમણિકા −3 પર મૂલ્ય 0 સાથે તેનો સપ્રમાણ ગ્રામ બિંદુ હોય છે. શૂન્યની ગણતરી કરતી વખતે ગ્રામ બિંદુઓ ઉપયોગી છે. ગ્રામ બિંદુ પર અને જો આ બે ક્રમિક ગ્રામ બિંદુઓ પર હકારાત્મક હોય, તો અંતરાલમાં શૂન્ય હોવું આવશ્યક છે. ગ્રામના નિયમ અનુસાર, વાસ્તવિક ભાગ સામાન્ય રીતે હકારાત્મક હોય છે જ્યારે કાલ્પનિક ભાગ ગ્રામ બિંદુઓ સાથે બદલાય છે, હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યો વચ્ચે થોડા નિયમિત અંતરાલે. 0 થી T સુધીની પટ્ટીમાં મૂળની સંખ્યા, જ્યાં એક ભૂલ શબ્દ છે જે એસિમ્પ્ટોટિક રીતે વધે છે તેના દ્વારા શોધી શકાય છે. જો ગ્રામના કાયદાનું પાલન કરવામાં આવે, તો જ પટ્ટીમાં મૂળની સંખ્યા શોધવી સરળ બને છે. આજે આપણે જાણીએ છીએ કે, લાંબા ગાળે, ગ્રામનો કાયદો તમામ ગ્રામ-અંતરાલના લગભગ 1/4 ભાગ માટે રીમાન ઝીટા-ફંક્શનના બરાબર 1 શૂન્યને સમાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે. ગ્રામને ડર હતો કે તે મોટા સૂચકાંકો માટે નિષ્ફળ થઈ શકે છે (પ્રથમ ચૂક 127મા શૂન્ય પહેલા સૂચકાંક 126 પર છે) અને આમ આ દાવો માત્ર ખૂબ ઊંચા સૂચકાંકો માટે જ કર્યો હતો. પાછળથી હચિન્સને (ખોટા) નિવેદન માટે ગ્રામનો નિયમ શબ્દસમૂહ બનાવ્યો કે નિર્ણાયક રેખા પરના તમામ શૂન્યને ગ્રામ બિંદુઓ દ્વારા અલગ કરવામાં આવશે. ઝેડ ફંક્શન સંદર્ભો ગેબકે, ડબલ્યુ. (1979), ન્યુ હર્લેઇટુંગ અંડ એક્સપ્લિઝિયર્ટ રેસ્ટાબ્સચાત્ઝુંગ ડેર રીમાન-સીગલ-ફોર્મેલ પણ જુઓ. થીસીસ, ગોટિન્જેન યુનિવર્સિટી. સુધારેલું સંસ્કરણ (eDiss Göttingen 2015) બાહ્ય કડીઓ વોલ્ફ્રમ રિસર્ચ-રીમેન-સીગલ થીટા કાર્ય (કાર્ય કાવતરું અને મૂલ્યાંકન સહિત) ઝેટા અને એલ-કાર્ય બર્નહાર્ડ રીમેન