Classical group
ગણિતમાં, શાસ્ત્રીય જૂથોને વાસ્તવિક, જટિલ અને ચતુર્થાંશ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક જૂથો, જટિલ સંખ્યાઓ અને ચતુર્થાંશ સાથે સપ્રમાણ અથવા તિર્યક-સમમિત દ્વિરેખીય સ્વરૂપોના વિશિષ્ટ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો અને હર્મિશિયન અથવા તિર્યક-હર્મિશિયન સેસ્ક્વિલિનિયર સ્વરૂપો પર વિશેષ રેખીય જૂથો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આમાંથી, જટિલ શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથો લાઈ જૂથોના ચાર અનંત પરિવારો છે જે અપવાદરૂપ જૂથો સાથે મળીને સરળ લાઈ જૂથોના વર્ગીકરણને સમાપ્ત કરે છે. સઘન શાસ્ત્રીય જૂથો જટિલ શાસ્ત્રીય જૂથોના સઘન વાસ્તવિક સ્વરૂપો છે. શાસ્ત્રીય જૂથોના મર્યાદિત એનાલોગ એ લાઈ પ્રકારનાં શાસ્ત્રીય જૂથો છે. "શાસ્ત્રીય જૂથ" શબ્દ હર્મન વેલ દ્વારા રચવામાં આવ્યો હતો, તે તેમના 1939 ના મોનોગ્રાફ ધ ક્લાસિકલ ગ્રુપનું શીર્ષક હતું. શાસ્ત્રીય જૂથો રેખીય લાઈ જૂથોના વિષયનો સૌથી ઊંડો અને સૌથી ઉપયોગી ભાગ બનાવે છે. મોટાભાગના શાસ્ત્રીય જૂથો શાસ્ત્રીય અને આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં લાગુ પડે છે. કેટલાક ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે. પરિભ્રમણ જૂથ એ યુક્લિડિયન અવકાશ અને ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત નિયમોની સમપ્રમાણતા છે, લોરેન્ટ્ઝ જૂથ એ વિશેષ સાપેક્ષતાના અવકાશ સમયનું સમપ્રમાણતા જૂથ છે. વિશિષ્ટ એકાત્મક જૂથ એ ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સનું સમપ્રમાણતા જૂથ છે અને સિંપ્લેક્ટિક જૂથ હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સ અને તેના ક્વોન્ટમ યાંત્રિક સંસ્કરણોમાં ઉપયોગ શોધે છે. શાસ્ત્રીય જૂથો શાસ્ત્રીય જૂથો એ નીચે ચર્ચા કરાયેલા બિન-વિકૃત સ્વરૂપોના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો સાથે બરાબર સામાન્ય રેખીય જૂથો છે. આ જૂથો સામાન્ય રીતે વધારાના પેટા જૂથો સુધી મર્યાદિત હોય છે, જેમના ઘટકોમાં નિર્ધારક 1 હોય છે, જેથી તેમના કેન્દ્રો અલગ હોય. શાસ્ત્રીય જૂથો, નિર્ધારક 1 શરત સાથે, નીચે કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ છે. સિક્વલમાં, નિર્ધારક 1 શરતનો ઉપયોગ વધુ સામાન્યતાના હિતમાં સતત થતો નથી. જટિલ શાસ્ત્રીય જૂથો છે, અને. એક જૂથ તેના લાઈ બીજગણિત જટિલ છે કે કેમ તેના આધારે જટિલ છે. વાસ્તવિક શાસ્ત્રીય જૂથો તમામ શાસ્ત્રીય જૂથોને સંદર્ભિત કરે છે કારણ કે કોઈપણ લાઈ બીજગણિત વાસ્તવિક બીજગણિત છે. સઘન શાસ્ત્રીય જૂથો જટિલ શાસ્ત્રીય જૂથોના સઘન વાસ્તવિક સ્વરૂપો છે. આ છે, બદલામાં, અને. કોમ્પેક્ટ વાસ્તવિક સ્વરૂપનું એક લાક્ષણિકતા લાઈ બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ છે. જો, જટિલકરણ, અને જો દ્વારા પેદા થયેલ જોડાયેલ જૂથ સઘન હોય, તો તે સઘન વાસ્તવિક સ્વરૂપ છે. શાસ્ત્રીય જૂથોને સમાન રીતે વાસ્તવિક સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીને અલગ રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. શાસ્ત્રીય જૂથો (અહીં નિર્ધારક 1 શરત સાથે, પરંતુ આ જરૂરી નથી) નીચે મુજબ છેઃ જટિલ રેખીય બીજગણિત જૂથો, અને તેમના વાસ્તવિક સ્વરૂપો સાથે. દાખલા તરીકે, એક વાસ્તવિક સ્વરૂપ છે, એક વાસ્તવિક સ્વરૂપ છે, અને તેનું વાસ્તવિક સ્વરૂપ છે. નિર્ધારક 1 શરત વિના, લાક્ષણિકતામાં અનુરૂપ સામાન્ય રેખીય જૂથો સાથે વિશેષ રેખીય જૂથોને બદલો. પ્રશ્નમાં બીજગણિત જૂથો લાઈ જૂથો છે, પરંતુ "વાસ્તવિક સ્વરૂપ" ની યોગ્ય કલ્પના મેળવવા માટે "બીજગણિત" લાયકાત જરૂરી છે. દ્વિરેખીય અને અર્ધરેખીય સ્વરૂપો શાસ્ત્રીય જૂથોને વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રો, અને, ક્યાં અને ક્યાં છે તેના પર વ્યાખ્યાયિત સ્વરૂપોની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ચતુર્થાંશ, ક્ષેત્રની રચના કરતા નથી કારણ કે ગુણાકાર પરિવર્તન કરતું નથી; તેઓ વિભાજન રિંગ અથવા તિર્યક ક્ષેત્ર અથવા બિન-વિનિમય ક્ષેત્ર બનાવે છે. જો કે, મેટ્રિક્સ ક્વાટર્નિયોનિક જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કરવા હજુ પણ શક્ય છે. આ કારણોસર, વેક્ટર જગ્યાને ઉપર, તેમજ નીચે વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી છે. ના કિસ્સામાં, ડાબી બાજુથી મેટ્રિક્સ ગુણાકાર તરીકે જૂથ ક્રિયાના પ્રતિનિધિત્વને શક્ય બનાવવા માટે જમણી વેક્ટર જગ્યા છે, જેમ કે અને માટે. અમુક મર્યાદિત-પરિમાણીય જમણા વેક્ટર જગ્યા પરનું સ્વરૂપ, અથવા જો અને જો તેને સેસ્ક્વિલિનિયર કહેવામાં આવે તો તે દ્વિસરેખીય હોય છે જો અને જો આ સંમેલનો પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ તમામ કિસ્સાઓમાં કામ કરે છે. ઓટોમોર્ફિઝમ એ રેખીય ઓપરેટરોના સમૂહમાં એક નકશો છે જેના પર જૂથની રચનાના તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો સમૂહ, તેને ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ કહેવામાં આવે છે, સૂચવવામાં આવે છે. આ શાસ્ત્રીય જૂથની પ્રારંભિક વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છેઃ શાસ્ત્રીય જૂથ એ એક એવું જૂથ છે જે મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ પર દ્વિરેખીય અથવા અર્ધરેખીય સ્વરૂપને સાચવે છે, અથવા. આ વ્યાખ્યામાં કેટલીક નિરર્થકતા છે. ના કિસ્સામાં, દ્વિરેખીય એ સેસ્ક્વિલિનિયરની સમકક્ષ છે. આ કિસ્સામાં, કોઈ બિન-શૂન્ય દ્વિરેખીય સ્વરૂપો નથી. સમમિતીય, તિર્યક-સમમિતીય, હર્મિશિયન અને તિર્યક-હર્મિશિયન સ્વરૂપો A સ્વરૂપ સમમિતીય છે જો તે તિર્યક-સમમિતીય હોય જો તે હર્મિશિયન હોય તો છેવટે, તે તિર્યક-હર્મિશિયન છે જો A દ્વિરેખીય સ્વરૂપ અનન્ય રીતે સમમિતીય સ્વરૂપ અને તિર્યક-સમમિતીય સ્વરૂપનો સરવાળો હોય. ટ્રાન્સફોર્મેશન પ્રિઝર્વેશન બંને ભાગોને અલગથી સાચવે છે. આ રીતે સપ્રમાણ અને વક્ર-સપ્રમાણ સ્વરૂપોને જાળવી રાખનારા જૂથોનો અલગથી અભ્યાસ કરી શકાય છે. એ જ હર્મિશિયન અને સ્ક્યુ-હર્મિશિયન સ્વરૂપોને લાગુ પડે છે, મ્યુટાટિસ મ્યુટાન્ડિસ. આ કારણોસર, વર્ગીકરણના હેતુઓ માટે, માત્ર શુદ્ધ સમપ્રમાણ, તિર્યક-સમપ્રમાણ, હર્મિશિયન અથવા તિર્યક-હર્મિશિયન સ્વરૂપોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. સ્વરૂપોના સામાન્ય સ્વરૂપો પાયાની ચોક્કસ યોગ્ય પસંદગીઓને અનુરૂપ છે. કોઓર્ડિનેટ્સમાં નીચેના સામાન્ય સ્વરૂપો આપતા આ પાયા છેઃ સ્ક્યુ-હર્મિશિયન સ્વરૂપમાં આ માટે આધારમાં ત્રીજું આધાર તત્વ છે. આ પાયાના અસ્તિત્વનો પુરાવો અને સિલ્વેસ્ટરના જડતાના નિયમ, વત્તા અને ઓછા સંકેતોની સંખ્યાની સ્વતંત્રતા, અને, સમપ્રમાણ અને હર્મિશિયન સ્વરૂપોમાં, તેમજ દરેક અભિવ્યક્તિમાં ક્ષેત્રોની હાજરી અથવા ગેરહાજરી, અથવા માં મળી શકે છે. જોડી, અને કેટલીકવાર, ફોર્મની સહી કહેવામાં આવે છે. ક્ષેત્રોની ઘટનાનું સમજૂતીઃ ત્યાં કોઈ બિન-તુચ્છ દ્વિરેખીય સ્વરૂપો નથી. સપ્રમાણ દ્વિરેખીય કિસ્સામાં, માત્ર ઉપરના સ્વરૂપોની સહી હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, "સહી" સાથેનું એક જટિલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ, આધારના ફેરફાર દ્વારા, એવા સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે જ્યાં ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિમાં તમામ ચિહ્નો "" હોય, જ્યારે વાસ્તવિક કિસ્સામાં આ અશક્ય છે, જેમાં આ સ્વરૂપમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તે આધારથી સ્વતંત્ર હોય છે. જો કે, હર્મિશિયન સ્વરૂપો જટિલ અને ચતુર્થાંશ કેસ બંનેમાં આધાર-સ્વતંત્ર હસ્તાક્ષર ધરાવે છે. (વાસ્તવિક કેસ સપ્રમાણ કેસમાં ઘટાડો કરે છે.) જટિલ વેક્ટર જગ્યા પર વક્ર-હર્મિશિયન સ્વરૂપને ગુણાકાર દ્વારા હર્મિશિયન તરીકે પ્રસ્તુત કરવામાં આવે છે, તેથી આ કિસ્સામાં, માત્ર રસપ્રદ છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો પ્રથમ વિભાગ સામાન્ય માળખું રજૂ કરે છે. અન્ય વિભાગો, અને ઉપરની મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓ પર દ્વિરેખીય અને સેસ્ક્વિલિનીયર સ્વરૂપોના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો તરીકે ઉદ્ભવતા ગુણાત્મક રીતે જુદા જુદા કિસ્સાઓને સમાપ્ત કરે છે. ઑટ (φ)-ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ધારે છે કે તે અથવા તેની ઉપર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા પર બિન-વિકૃત સ્વરૂપ છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથને કન્ડિશન () ના આધારે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે દરેક પાસે કન્ડિશન () માં આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવાના સંદર્ભમાં સંલગ્ન હોય છે. આ આધારની દ્રષ્ટિએ, ઘટકો ક્યાં છે તે મૂકો. આ દ્વિરેખીય સ્વરૂપો માટે યોગ્ય છે. સેસ્ક્વિલિનીયર સ્વરૂપો સમાન અભિવ્યક્તિઓ ધરાવે છે અને પછીથી અલગથી ગણવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં વ્યક્તિ શોધે છે અને () માંથી મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. બિન-અધોગતિ સ્થિતિનો ચોક્કસ અર્થ એ છે કે તે ઉલટાવી શકાય તેવું છે, તેથી સંલગ્ન હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ સાથે વ્યક્ત થાય છે ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથોનું લાઈ બીજગણિત તરત જ લખી શકાય છે. સંક્ષિપ્તમાં, જો અને માત્ર જો બધા માટે, લાઈ આલ્જેબ્રાના ઘાતાંકીય મેપિંગ હેઠળ () ની સ્થિતિને અનુરૂપ હોય, જેથી અથવા આધારમાં ઘાતાંકીય મેપિંગના પાવર સિરીઝ વિસ્તરણ અને સામેલ કામગીરીની રેખીયતાનો ઉપયોગ કરીને જોવામાં આવે. તેનાથી વિપરીત, ધારો કે. પછી, ઉપરોક્ત પરિણામનો ઉપયોગ કરીને,. આમ લાઈ બીજગણિતને આધાર અથવા સંલગ્ન સંદર્ભ વિના વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, કારણ કે નીચે આપેલા દરેક શાસ્ત્રીય જૂથ માટે સામાન્ય સ્વરૂપ આપવામાં આવશે. તે સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી, મેટ્રિક્સને સીધા જ વાંચી શકાય છે. પરિણામે, સંલગ્ન અને લાઈ આલ્જેબ્રા માટેની અભિવ્યક્તિઓ () અને () સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. મોટાભાગના બિન-તુચ્છ કિસ્સાઓમાં આ નીચે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. બિલિનિયર કેસ જ્યારે સ્વરૂપ સપ્રમાણ હોય, ત્યારે તેને કહેવામાં આવે છે. જ્યારે તે તિર્યક-સમપ્રમાણ હોય ત્યારે તેને કહેવામાં આવે છે. આ વાસ્તવિક અને જટિલ કેસોને લાગુ પડે છે. ક્વાટર્નિયોનિક કેસ ખાલી છે કારણ કે ક્વાટર્નિયોનિક વેક્ટર જગ્યાઓ પર કોઈ બિન-શૂન્ય દ્વિરેખીય સ્વરૂપો અસ્તિત્વમાં નથી. વાસ્તવિક કેસ વાસ્તવિક કેસ બે કિસ્સાઓમાં વિભાજિત થાય છે, સપ્રમાણતા અને અસમપ્રમાણતા વિરોધી સ્વરૂપો કે જેની અલગથી સારવાર કરવી જોઈએ. ઓ (પી, ક્યૂ) અને ઓ (એન)-ઓર્થોગોનલ જૂથો જો સપ્રમાણ હોય અને વેક્ટર જગ્યા વાસ્તવિક હોય, તો એક આધાર પસંદ કરી શકાય છે જેથી વત્તા અને ઓછા સંકેતોની સંખ્યા ચોક્કસ આધારથી સ્વતંત્ર હોય. જો કોઈ વ્યક્તિ લખે છે કે વત્તા ચિહ્નોની સંખ્યા ક્યાં છે અને બાદબાકી ચિહ્નોની સંખ્યા ક્યાં છે. જો સંકેત છે. જો જરૂરી હોય તો આધારને ફરીથી ગોઠવ્યા પછી મેટ્રિક્સ આ કિસ્સામાં છે. સંલગ્ન કામગીરી () પછી બને છે જે જ્યારે અથવા 0 હોય ત્યારે સામાન્ય ટ્રાન્સપોઝમાં ઘટાડો કરે છે. લાઈ બીજગણિત સમીકરણ () અને યોગ્ય ansatz નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે (આ નીચે આપેલા કેસ માટે વિગતવાર છે), અને () અનુસાર જૂથ જૂથો દ્વારા આપવામાં આવે છે અને નકશા દ્વારા આઇસોમોર્ફિક છે ઉદાહરણ તરીકે, લોરેન્ટ્ઝ જૂથના લાઈ બીજગણિતને કુદરતી રીતે લખી શકાય છે, તે ફરીથી ગોઠવવાનું શક્ય છે જેથી-બ્લોક ઉપરની ડાબી બાજુ (અથવા અન્ય કોઈપણ બ્લોક) હોય. અહીં "સમય ઘટક" ભૌતિક અર્થઘટનમાં ચોથા સંકલન તરીકે સમાપ્ત થાય છે, અને પ્રથમ નહીં જે વધુ સામાન્ય હોઈ શકે. એસપી (એમ, આર)-વાસ્તવિક સિમપ્લેક્ટિક જૂથ જો સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક હોય અને વેક્ટર સ્પેસ વાસ્તવિક હોય, તો ક્યાં છે તે આપવાનો એક આધાર છે. એક માટે લખે છે જો કોઈ લખે છે અથવા. સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી એક વ્યક્તિ વાંચે છે જ્યાં-પરિમાણીય મેટ્રિસીસ હોય તેવા ansatz ને બનાવીને અને () ને ધ્યાનમાં લઈને, એક લાઈ બીજગણિત શોધે છે, અને જૂથ કોમ્પ્લેક્સ કેસ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઓ (એન, સી)-જટિલ ઓર્થોગોનલ જૂથ જો કેસ સપ્રમાણ હોય અને વેક્ટર સ્પેસ જટિલ હોય, તો માત્ર વત્તા-ચિહ્નોવાળા આધારનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ કોલના કિસ્સામાં છે. સરળ લાઈ બીજગણિતના વર્ગીકરણની દ્રષ્ટિએ, જૂથોને બે વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવે છે, જે મૂળ પ્રણાલી સાથે અને મૂળ પ્રણાલી સાથે પણ વિષમ હોય છે. એસપી (એમ, સી)-જટિલ સિંપ્લેક્ટિક જૂથ સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક અને વેક્ટર સ્પેસ કોમ્પ્લેક્સ માટે, સમાન સૂત્ર, વાસ્તવિક કિસ્સામાં લાગુ પડે છે. એક માટે લખે છે. કિસ્સામાં એક લખે છે અથવા. લાઈ બીજગણિત તેની સમાંતર છે, અને જૂથ સેસ્ક્વિલિનિયર કેસ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે સેસ્ક્વિલિનિયર કેસમાં, એક પાયાના સંદર્ભમાં ફોર્મ માટે થોડો અલગ અભિગમ બનાવે છે, અન્ય સમીકરણો કે જે સંશોધિત થાય છે તે છે. જટિલ અને ચતુર્થાંશ કેસ નીચે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે. ગુણાત્મક દ્રષ્ટિકોણથી, સ્ક્યુ-હર્મિશિયન સ્વરૂપોની વિચારણા (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી) કોઈ નવા જૂથો પ્રદાન કરતી નથી; સ્ક્યુ-હર્મિશિયન સ્વરૂપ હર્મિશિયનને પ્રસ્તુત કરીને ગુણાકાર, અને ઊલટું. આમ માત્ર હર્મિશિયન કેસને જ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. યુ (પી, ક્યૂ) અને યુ (એન)-એકાત્મક જૂથો એ બિન-વિકૃત હર્મિશિયન સ્વરૂપ સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છે જેમ કે દ્વિરેખીય કિસ્સામાં, સહી (પી, ક્યૂ) આધારથી સ્વતંત્ર હોય છે. ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ સૂચવવામાં આવે છે, અથવા, કિસ્સામાં,. જો સંકેત છે. આ કિસ્સામાં, સ્વરૂપ લે છે અને લાઈ બીજગણિત દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ જૂથ તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં g એ સામાન્ય n x n જટિલ મેટ્રિક્સ છે અને તેને g ના સંયુક્ત ટ્રાન્સપોઝ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ કહે છે. સરખામણી તરીકે, યુનિટરી મેટ્રિક્સ યુ (એન) ને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે આપણે નોંધ્યું છે કે તે ક્વાટર્નિયોનિક કેસ સમાન છે. આ રીતે, ક્વાટર્નિયન માટે, ક્વાટર્નિયન કોલમ વેક્ટર અને ક્વાટર્નિયન મેટ્રિક્સ. જો ડાબી વેક્ટર જગ્યા ઉપર હોય, તો રેખીયતા જાળવવા માટે પંક્તિ વેક્ટર પર જમણી બાજુથી મેટ્રિક્સ ગુણાકાર જરૂરી રહેશે. જ્યારે આધાર આપવામાં આવે ત્યારે આ વેક્ટર જગ્યા પર જૂથની સામાન્ય રેખીય કામગીરીને અનુરૂપ નથી, જે કૉલમ વેક્ટર પર ડાબી બાજુથી મેટ્રિક્સ ગુણાકાર છે. આમ હવેથી જમણી વેક્ટર જગ્યા છે. તેમ છતાં, તેની બિન-પરિવર્તનીય પ્રકૃતિને કારણે કાળજી લેવી આવશ્યક છે. (મોટે ભાગે સ્પષ્ટ) વિગતો અવગણવામાં આવે છે કારણ કે જટિલ રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. ક્વાટર્નિયોનિક જૂથો સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે જટિલનો ઉપયોગ કરીને ક્વાટર્નિયોનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું અનુકૂળ છે, આ રજૂઆત સાથે, ક્વાટર્નિયોનિક ગુણાકાર મેટ્રિક્સ ગુણાકાર બની જાય છે અને ક્વાટર્નિયોનિક જોડાણ હર્મિશિયન સંલગ્ન બની જાય છે. વધુમાં, જો કોમ્પ્લેક્સ એન્કોડિંગ અનુસાર ક્વાટર્નિયનને કોલમ વેક્ટર તરીકે આપવામાં આવે, તો ડાબી બાજુથી ક્વાટર્નિયનની મેટ્રિક્સ રજૂઆત દ્વારા ગુણાકાર એક નવો કોલમ વેક્ટર ઉત્પન્ન કરે છે જે સાચા ક્વાટર્નિયનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ રજૂઆત ક્વાટર્નિયન લેખમાં જોવા મળતી વધુ સામાન્ય રજૂઆતથી થોડી અલગ છે. વધુ સામાન્ય પરંપરા એ જ વસ્તુ હાંસલ કરવા માટે પંક્તિ મેટ્રિક્સ પર જમણી બાજુથી ગુણાકારને દબાણ કરશે. સંજોગવશાત, ઉપરની રજૂઆત એ સ્પષ્ટ કરે છે કે એકમ ચતુર્થાંશ () નું જૂથ સમરૂપ છે. ક્વાટર્નિયોનિક-મેટ્રિક્સ, સ્પષ્ટ વિસ્તરણ દ્વારા, જટિલ સંખ્યાઓના બ્લોક-મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. જો કોઈ ઉપરના એન્કોડિંગ અનુસાર જટિલ સંખ્યાઓ સાથે કૉલમ વેક્ટર દ્વારા ક્વાટર્નિયોનિક કૉલમ વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે સંમત થાય, જેમાં ઉપરની સંખ્યાઓ અને નીચી સંખ્યાઓ હોય, તો ક્વાટર્નિયોનિક-મેટ્રિક્સ ઉપર આપેલા સ્વરૂપનું જ એક જટિલ-મેટ્રિક્સ બની જાય છે, પરંતુ હવે α અને β-મેટ્રિક્સ સાથે. વધુ ઔપચારિક રીતે A મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ () માં પ્રદર્શિત થાય છે જો અને માત્ર જો. આ ઓળખ સાથે, અવકાશ એ વાસ્તવિક બીજગણિત છે, પરંતુ તે તેની જટિલ પેટા જગ્યા નથી. એન્ટ્રી મુજબ ક્વાટર્નિયોનિક ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર (ડાબેથી) અને પછી ઇમેજ પર મેપિંગ કરવાથી એન્ટ્રી મુજબ સીધા અંદર ગુણાકાર કરતાં અલગ પરિણામ મળે છે. ચતુર્થાંશ ગુણાકારના નિયમો દર્શાવે છે કે નવા અને કૌંસની અંદર ક્યાં છે. ક્વાટર્નિયોનિક વેક્ટર પર ક્વાટર્નિયોનિક મેટ્રિસીસની ક્રિયા હવે જટિલ જથ્થા દ્વારા રજૂ થાય છે, પરંતુ અન્યથા તે "સામાન્ય" મેટ્રિસીસ અને વેક્ટર માટે સમાન છે. આ રીતે ક્વાટર્નિયોનિક જૂથો ક્વાટર્નિયોનિક મેટ્રિસીસના પરિમાણમાં સમાયેલા છે. ક્વાટર્નિયોનિક મેટ્રિક્સના નિર્ધારકને આ રજૂઆતમાં તેના પ્રતિનિધિ મેટ્રિક્સના સામાન્ય જટિલ નિર્ધારક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ક્વાટર્નિયોનિક ગુણાકારની બિન-પરિવર્તનીય પ્રકૃતિ, મેટ્રિસીસની ક્વાટર્નિયોનિક રજૂઆતમાં, અસ્પષ્ટ હશે. જે રીતે એમ્બેડ કરવામાં આવે છે તે અનન્ય નથી, પરંતુ આવા તમામ એમ્બેડિંગ ફોર દ્વારા સંબંધિત છે, જે નિર્ધારકને અપ્રભાવિત રાખે છે. આ જટિલ વેશમાં તેનું નામ છે. તેનાથી વિપરીત, હર્મિશિયન અને સ્ક્યુ-હર્મિશિયન કેસ બંને જ્યારે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે કંઈક નવું લાવે છે, તેથી આ કેસોને અલગથી ગણવામાં આવે છે. GL (n, H) અને SL (n, H) ઉપરની ઓળખ હેઠળ, તેનું લાઈ બીજગણિત એ ઉપરના નકશાની છબીમાં તમામ મેટ્રિસીસનો સમૂહ છે, ક્વાટર્નિયોનિક વિશેષ રેખીય જૂથ તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં મેટ્રિસીસ પર નિર્ધારક લેવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, કોઈ આને ડીયુડોન્ને નિર્ધારકના કર્નલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. લાઈ બીજગણિત એ Sp (p, q) છે-ચતુર્ધાતુક એકાત્મક જૂથ ઉપરની જેમ જટિલ કિસ્સામાં, સામાન્ય સ્વરૂપ છે અને વત્તા-ચિહ્નોની સંખ્યા આધારથી સ્વતંત્ર છે. જ્યારે આ ફોર્મ સાથે,. સંકેતનું કારણ એ છે કે ઉપરોક્ત પ્રિસ્ક્રિપ્શનનો ઉપયોગ કરીને જૂથને રજૂ કરી શકાય છે, સહીના જટિલ-હર્મિશિયન સ્વરૂપને સાચવવાના પેટા જૂથ તરીકે જો અથવા જૂથ સૂચવવામાં આવે છે. તેને કેટલીકવાર હાયપરયુનટરી જૂથ કહેવામાં આવે છે. ક્વાટર્નિયોનિક નોટેશનમાં, જેનો અર્થ થાય છે કે ફોર્મના ક્વાટર્નિયોનિક મેટ્રિસીસ સંતુષ્ટ થશે. ક્વાટર્નિયોનિક મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે સાવધાની રાખવાની જરૂર છે, પરંતુ અહીં માત્ર અને તે સામેલ છે અને આ દરેક ક્વાટર્નિયન મેટ્રિક્સ સાથે મુસાફરી કરે છે. હવે દરેક બ્લોક પર પ્રિસ્ક્રિપ્શન () લાગુ કરો, અને જો લાઈ બીજગણિત બને તો () માં સંબંધો સંતુષ્ટ થશે. પછી-વેલ્યુડ ફોર્મ તરીકે જોવામાં આવે છે. આમ, ના તત્વો, રેખીય પરિવર્તન તરીકે જોવામાં આવે છે, હસ્તાક્ષરના હર્મિશિયન સ્વરૂપ અને બિન-વિકૃત સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક સ્વરૂપ બંનેને જાળવી રાખે છે. બંને સ્વરૂપો સંપૂર્ણપણે જટિલ મૂલ્યો લે છે અને બીજા સ્વરૂપના પ્રિફેક્ટરને કારણે, તેઓ અલગથી સંરક્ષિત છે. આનો અર્થ એ છે કે અને આ જૂથનું નામ અને સંકેત બંને સમજાવે છે. O ≤ (2n) = O (n, H)-ક્વાટર્નિયોનિક ઓર્થોગોનલ જૂથ સ્ક્યુ-હર્મિશિયન સ્વરૂપ માટેનું સામાન્ય સ્વરૂપ એ દ્વારા આપવામાં આવે છે કે જ્યાં ક્રમબદ્ધ સૂચિમાં ત્રીજો આધાર ક્વાટર્નિયન છે. આ કિસ્સામાં, ઉપરના જટિલ મેટ્રિક્સ એન્કોડિંગનો ઉપયોગ કરીને અનુભૂતિ થઈ શકે છે, જેનો પેટા જૂથ બિન-વિકૃત જટિલ સ્ક્યુ-હર્મિશિયન હસ્તાક્ષર સ્વરૂપને સાચવે છે. સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી કોઈ જુએ છે કે ક્વાટર્નિયોનિક નોટેશનમાં અને () માંથી તે માટે અનુસરે છે. હવે પ્રિસ્ક્રિપ્શન () અનુસાર મૂકો. માટે સમાન પ્રિસ્ક્રિપ્શન યીલ્ડ, હવે કોમ્પ્લેક્સ નોટેશનમાં () માં છેલ્લી શરત વાંચે છે કે લાઈ બીજગણિત બને છે અને જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉપરાંત, જૂથ નક્કી કરતા ફોર્મને-વેલ્યુડ ફોર્મ તરીકે જોઈ શકાય છે. ફોર્મ માટે અવેજી અને અભિવ્યક્તિ બનાવો. પછી હસ્તાક્ષરનું સ્વરૂપ હર્મિશિયન છે (જ્યારે ડાબી બાજુનું પ્રથમ સ્વરૂપ સ્ક્યુ-હર્મિશિયન છે). અનુક્રમે પ્રથમ અને છેલ્લા બેસિસ વેક્ટર ક્યાં છે તેના આધારે ફેરફાર કરીને સહી સ્પષ્ટ થાય છે. બીજું સ્વરૂપ, સપ્રમાણ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે. આમ, પરિબળને કારણે, બંનેને અલગથી સાચવે છે અને તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે અને સંકેત "O" સમજાવવામાં આવ્યો છે. સામાન્ય ક્ષેત્રો પર શાસ્ત્રીય જૂથો અથવા બીજગણિતમાં વધુ વ્યાપક રીતે ગણવામાં આવતા શાસ્ત્રીય જૂથો, ખાસ કરીને રસપ્રદ મેટ્રિક્સ જૂથો પૂરા પાડે છે. જ્યારે મેટ્રિક્સ જૂથના ગુણાંકનું ક્ષેત્ર F વાસ્તવિક સંખ્યા અથવા જટિલ સંખ્યાઓ હોય, ત્યારે આ જૂથો માત્ર શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથો હોય છે. જ્યારે જમીન ક્ષેત્ર મર્યાદિત ક્ષેત્ર હોય, ત્યારે શાસ્ત્રીય જૂથો લાઈ પ્રકારનાં જૂથો હોય છે. આ જૂથો મર્યાદિત સરળ જૂથોના વર્ગીકરણમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ઉપરાંત, કોઈ વ્યક્તિ એફ પર એકાત્મક સહયોગી બીજગણિત આર પર શાસ્ત્રીય જૂથોને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે; જ્યાં આર = એચ (વાસ્તવિક પર બીજગણિત) એક મહત્વપૂર્ણ કેસ રજૂ કરે છે. સામાન્યતા માટે લેખ આર ઉપરના જૂથોનો સંદર્ભ આપશે, જ્યાં આર પોતે ગ્રાઉન્ડ ફિલ્ડ એફ હોઈ શકે છે. તેમના અમૂર્ત જૂથ સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેતા, ઘણા રેખીય જૂથોમાં "વિશેષ" પેટાજૂથ હોય છે, જેમાં સામાન્ય રીતે જમીન ક્ષેત્ર પર નિર્ધારક 1 ના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, અને તેમાંના મોટાભાગના "પ્રોજેક્ટિવ" ક્વોટિએન્ટ્સ સાથે સંકળાયેલા હોય છે, જે જૂથના કેન્દ્ર દ્વારા ક્વોટિએન્ટ્સ હોય છે. લાક્ષણિકતા 2 "S" માં ઓર્થોગોનલ જૂથો માટે અલગ અર્થ ધરાવે છે. જૂથના નામની સામે "સામાન્ય" શબ્દનો સામાન્ય રીતે અર્થ થાય છે કે જૂથને સ્થિર રાખવાને બદલે સ્થિરાંક દ્વારા અમુક પ્રકારના સ્વરૂપનો ગુણાકાર કરવાની મંજૂરી છે. સબસ્ક્રિપ્ટ n સામાન્ય રીતે મોડ્યુલના પરિમાણને સૂચવે છે કે જેના પર જૂથ કાર્ય કરી રહ્યું છે; જો R = F હોય તો તે વેક્ટર જગ્યા છે. ચેતવણીઃ આ સંકેત ડાયન્કિન આકૃતિના n સાથે કંઈક અંશે અથડાય છે, જે ક્રમ છે. સામાન્ય અને વિશેષ રેખીય જૂથો સામાન્ય રેખીય જૂથ GLn (R) એ Rn ના તમામ R-રેખીય ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ છે. એક પેટા જૂથ છેઃ વિશેષ રેખીય જૂથ SLn (R), અને તેમના ગુણોત્તરઃ પ્રોજેક્ટિવ સામાન્ય રેખીય જૂથ PGLn (R) = GLn (R)/Z (GLn (R)) અને પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથ પીએસએલએન (R) = SLn (R)/Z (SLn (R)). જ્યારે n = 2 હોય અને ક્ષેત્રનો ક્રમ 2 અથવા 3 હોય તેવા બે કિસ્સાઓ સિવાય, F ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથ પી. એસ. એલ. એન. (એફ) એ n ≤ 2 માટે સરળ છે. એકાત્મક જૂથો એકાત્મક જૂથ યુ. એન. (આર.) એ એક જૂથ છે જે મોડ્યુલ પર સેસ્ક્વિલિનિયર સ્વરૂપને જાળવી રાખે છે. એક પેટા જૂથ છે, વિશેષ એકાત્મક જૂથ એસ. યુ. એન. (આર) અને તેમના અવતરણો પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક જૂથ પી. યુ. એન. (આર) = યુ. એન. (આર)/ઝેડ. (યુ. એન. (આર)) અને પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ એકાત્મક જૂથ પી. એસ. યુ. એન. (આર) = એસ. યુ. એન. (આર)/ઝેડ. (એસ. યુ. એન. (આર)) સિમ્પ્લેક્ટિક જૂથો સિમ્પલેક્ટિક જૂથ એસ. પી. 2. એન. (આર) મોડ્યુલ પર સ્ક્યુ સિમેટ્રિક સ્વરૂપને સાચવે છે. તે એક ભાગાકાર ધરાવે છે, પ્રોજેક્ટિવ સિમ્પ્લેક્ટિક જૂથ પી. એસ. પી. 2એન (આર). સામાન્ય સિંપ્લેક્ટિક જૂથ જીએસપી2એન (આર) માં મોડ્યુલના ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો સમાવેશ થાય છે, જે કેટલાક ઇન્વર્ટિબલ સ્કેલર દ્વારા સ્ક્યુ સિમેટ્રિક સ્વરૂપને ગુણાકાર કરે છે. બે અને ત્રણ તત્વોના ક્ષેત્રો પર પી. એસ. પી. 2 ના કિસ્સાઓ સિવાય, મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ સિમ્પ્લેક્ટિક જૂથ પી. એસ. પી. 2. એન. (એફ. ક્યુ.) એન. ≤1 માટે સરળ છે. ઓર્થોગોનલ જૂથો ઓર્થોગોનલ જૂથ ઓન (આર) મોડ્યુલ પર બિન-વિકૃત દ્વિઘાત સ્વરૂપને સાચવે છે. એક પેટા જૂથ છે, વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ SOn (R) અને ક્વોટિએન્ટ્સ, પ્રોજેક્ટિવ ઓર્થોગોનલ જૂથ POn (R), અને પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ પીએસઓએન (R). લાક્ષણિકતા 2 માં નિર્ધારક હંમેશા 1 હોય છે, તેથી વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથને ઘણીવાર ડિકસન અપરિવર્તનશીલ 1 ના તત્વોના પેટાજૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એક નનામું જૂથ છે જે ઘણીવાર ωn (R) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેમાં સ્પિનોર ધોરણ 1 ના તત્વોના ઓર્થોગોનલ જૂથના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં અનુરૂપ પેટાજૂથ અને ભાગાકાર જૂથો Sωn (R), Pωn (R), Pωn (R), Pωn (R) છે. (વાસ્તવિક પર હકારાત્મક ચોક્કસ વર્ગાત્મક સ્વરૂપો માટે, જૂથ ω ઓર્થોગોનલ જૂથ જેવું જ હોય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે નાનું હોય છે.) પિન જૂથ પિન (આર) તરીકે ઓળખાતું ωn (આર) નું બેવડું આવરણ પણ છે, અને તેમાં સ્પિન જૂથ સ્પિન (આર) તરીકે ઓળખાતું પેટા જૂથ છે. સામાન્ય ઓર્થોગોનલ જૂથ જી. ઓ. એન. (આર.) માં મોડ્યુલના ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો સમાવેશ થાય છે જે કેટલાક ઇન્વર્ટિબલ સ્કેલર દ્વારા દ્વિઘાત સ્વરૂપને ગુણાકાર કરે છે. નોટેશનલ કન્વેન્શન અસાધારણ લાઈ જૂથો સાથે વિરોધાભાસ શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથો સાથે વિરોધાભાસ અસાધારણ લાઈ જૂથો છે, G2, F4, E6, E7, E8, જે તેમના અમૂર્ત ગુણધર્મોને શેર કરે છે, પરંતુ તેમની પરિચિતતા નથી. વિલ્હેલ્મ કિલિંગ અને એલી કાર્ટન દ્વારા જટિલ સંખ્યાઓ પર સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાના વર્ગીકરણમાં 1890 ની આસપાસ જ આની શોધ કરવામાં આવી હતી. નોંધો સંદર્ભો ઇ. આર્ટિન (1957) ભૌમિતિક બીજગણિત, પ્રકરણો III, IV, અને V મારફતે ઇન્ટરનેટ આર્કાઇવ લાઈ જૂથો