Kuratowski's closure-complement problem
પોઇન્ટ-સેટ ટોપોલોજીમાં, કુરાટોવ્સ્કીની ક્લોઝર-કોમ્પ્લીમેન્ટ પ્રોબ્લેમ ક્લોઝરની સેટ કામગીરીને વારંવાર લાગુ કરીને અને ટોપોલોજિકલ સ્પેસના આપેલ પ્રારંભિક સબસેટને પૂરક બનાવીને પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવા સૌથી વધુ સંખ્યામાં અલગ સમૂહો માટે પૂછે છે. જવાબ 14 છે. આ પરિણામ સૌપ્રથમ 1922માં કાઝીમીર્ઝ કુરાટોવ્સ્કી દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. જ્હોન એલ. કેલીની 1955 ની ક્લાસિક, જનરલ ટોપોલોજીમાં પાઠ્યપુસ્તક કવાયત તરીકે ખ્યાતિ પ્રાપ્ત કરતા પહેલા તેણે કુરાટોવ્સ્કીના મૂળભૂત મોનોગ્રાફ ટોપોલોજી (પ્રથમ વખત 1933 માં ફ્રેન્ચમાં પ્રકાશિત; પ્રથમ અંગ્રેજી અનુવાદ 1966 માં દેખાયો) માં વધારાનું પ્રદર્શન મેળવ્યું હતું. પ્રૂફ લેટિંગ એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાના મનસ્વી સબસેટને સૂચવે છે, બંધ કરવા માટે અને પૂરક માટે લખો. નીચેની ત્રણ ઓળખ સૂચવે છે કે 14 થી વધુ અલગ સમૂહો ઉપલબ્ધ નથીઃ (બંધ કરવાની કામગીરી સક્ષમ છે.) . (પૂરક ક્રિયા એ એક આક્રમણ છે.) . (અથવા સમાનરૂપે, ઓળખનો ઉપયોગ કરીને (2)). પ્રથમ બે તુચ્છ છે. ત્રીજું ઓળખમાંથી અનુસરે છે જ્યાં આંતરિક છે જે પૂરકના બંધ થવાના પૂરકની બરાબર છે. (ઓપરેશન સક્ષમ છે.) મહત્તમ 14ની અનુભૂતિ કરતા ઉપગણને 14-સમૂહ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ટોપોલોજી હેઠળ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જગ્યામાં 14 સમૂહો હોય છે. અહીં એક ઉદાહરણ છેઃ જ્યાં ખુલ્લા અંતરાલને સૂચવે છે અને બંધ અંતરાલને સૂચવે છે. ચાલો આ સમૂહને દર્શાવીએ. પછી નીચેના 14 સેટ સુલભ છેઃ, ઉપર બતાવેલ સેટ. વધુ પરિણામો ટોપોલોજિકલ જગ્યાના સંદર્ભમાં તેની ઉત્પત્તિ હોવા છતાં, કુરાટોવ્સ્કીની ક્લોઝર-કોમ્પ્લીમેન્ટ સમસ્યા વાસ્તવમાં ટોપોલોજિકલ કરતાં વધુ બીજગણિત છે. 1960 થી નજીકથી સંબંધિત સમસ્યાઓ અને પરિણામોની આશ્ચર્યજનક વિપુલતા જોવા મળી છે, જેમાંથી ઘણાને બિંદુ-સેટ ટોપોલોજી સાથે બહુ ઓછું અથવા કંઇ લેવાદેવા નથી. ક્લોઝર-કોમ્પ્લીમેન્ટ ઓપરેશન્સ એક મોનોઈડ આપે છે જેનો ઉપયોગ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓને વર્ગીકૃત કરવા માટે થઈ શકે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ બી. જે. ગાર્ડનર અને માર્સેલ જેક્સન દ્વારા કુરાટોવ્સ્કી ક્લોઝર-કોમ્પ્લીમેન્ટ થીયરમ માર્ક બોરોન ટોપોલોજી દ્વારા કુરાટોવ્સ્કી ક્લોઝર-કોમ્પ્લીમેન્ટ પ્રોબ્લેમ ગાણિતિક સમસ્યાઓ