Zero dagger
સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, 0 (શૂન્ય ખંજર) એ કુદરતી સંખ્યાઓનો ચોક્કસ સબસેટ છે, જેને સૌપ્રથમ 1960ના દાયકામાં રોબર્ટ એમ. સોલોવે દ્વારા અપ્રકાશિત કાર્યમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો હતો. (સુપરસ્ક્રિપ્ટ ખંજર હોવું જોઈએ, પરંતુ તે કેટલાક બ્રાઉઝર્સ પર વત્તા ચિહ્ન તરીકે દેખાય છે.) વ્યાખ્યા થોડી વિચિત્ર છે, કારણ કે ત્યાં પરિસ્થિતિઓને સંતોષતી કુદરતી સંખ્યાઓનો કોઈ સમૂહ હોઈ શકતો નથી. ખાસ કરીને, જો ZFC સુસંગત હોય, તો ZFC + "0 † અસ્તિત્વમાં નથી" સુસંગત છે. ઝેડએફસી + "0 અસ્તિત્વમાં છે" તે અસંગત હોવાનું જાણીતું નથી (અને મોટાભાગના સમૂહ સિદ્ધાંતવાદીઓ માને છે કે તે સુસંગત છે). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે સ્વતંત્ર હોવાનું માનવામાં આવે છે (ચર્ચા માટે મોટા મુખ્ય જુઓ). તે સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છેઃ 0 Å અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં હોય જો સંબંધિત ગોડેલ રચનાત્મક બ્રહ્માંડ L [U] માટે બિન-તુચ્છ પ્રાથમિક એમ્બેડિંગ j: L [U] → L [U] અસ્તિત્વમાં હોય, જ્યાં U એક અલ્ટ્રાફિલ્ટર સાક્ષી છે કે કેટલાક મુખ્ય κ માપી શકાય તેવું છે. જો 0 Å અસ્તિત્વમાં હોય, તો પછી L [U] ના એમ્બેડિંગનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે ત્યાં κ નો બંધ અનબાઉન્ડ સબસેટ છે, અને κ કરતા મોટા ઓર્ડિનલ્સનો બંધ અનબાઉન્ડ યોગ્ય વર્ગ છે, જે એકસાથે માળખા માટે અવિવેકી છે, અને 0 Å ને L [U] માં અવિવેકી વિશેના સાચા સૂત્રોના ગોડેલ નંબરોનો સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સોલોવેએ દર્શાવ્યું હતું કે 0 નું અસ્તિત્વ બે માપી શકાય તેવા કાર્ડિનલ્સના અસ્તિત્વને અનુસરે છે. તેને પરંપરાગત રીતે એક મોટો મુખ્ય સિદ્ધાંત માનવામાં આવે છે, જો કે તે મોટો મુખ્ય નથી, ન તો ખરેખર એક મુખ્ય સિદ્ધાંત છે. 0 #પણ જુઓઃ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત સૂત્રોનો સમૂહ (અથવા પૂર્ણાંકોનો સબસેટ), પરંતુ સરળ. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ વ્યાખ્યા દ્વારા "ઝેંટ્રલબ્લેટ ગણિત ડેટાબેઝ" (PDF) મોટા કાર્ડિનલ્સ