Orr–Sommerfeld equation
ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણ, પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્રમાં, એક આઇગનવેલ્યુ સમીકરણ છે જે સ્નિગ્ધ સમાંતર પ્રવાહમાં વિક્ષેપની રેખીય દ્વિ-પરિમાણીય સ્થિતિઓનું વર્ણન કરે છે. સમાંતર, લેમિનાર પ્રવાહ માટે નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોનો ઉકેલ અસ્થિર બની શકે છે જો પ્રવાહ પરની ચોક્કસ શરતો સંતોષાય છે, અને ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણ ચોક્કસપણે નક્કી કરે છે કે હાઇડ્રોડાયનેમિક સ્થિરતા માટેની શરતો શું છે. આ સમીકરણનું નામ વિલિયમ મેકફેડન ઓર અને આર્નોલ્ડ સોમરફેલ્ડના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 20મી સદીની શરૂઆતમાં મેળવ્યું હતું. ફોર્મ્યુલેશન સમીકરણ વિક્ષેપ વેગ ક્ષેત્ર માટે નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણના રેખીય સંસ્કરણને હલ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જ્યાં અવ્યવસ્થિત અથવા મૂળભૂત પ્રવાહ છે. વિક્ષેપ વેગમાં તરંગ જેવો ઉકેલ હોય છે (વાસ્તવિક ભાગ સમજી શકાય છે). આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને, અને પ્રવાહ માટે પ્રવાહ કાર્યની રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને, ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણનું નીચેનું પરિમાણીય સ્વરૂપ પ્રાપ્ત થાય છેઃ, જ્યાં પ્રવાહીની ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા છે, તેની ઘનતા છે, અને તે સંભવિત અથવા પ્રવાહ કાર્ય છે. શૂન્ય સ્નિગ્ધતા () ના કિસ્સામાં, સમીકરણ રેલેના સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે. કેટલાક લાક્ષણિકતા વેગ દ્વારા નિર્ધારિત સ્કેલ અનુસાર વેગને માપવા અને ચેનલની ઊંડાઈ અનુસાર લંબાઈને માપવા દ્વારા સમીકરણ બિન-પરિમાણીય સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, જ્યાં આધાર પ્રવાહની રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા છે. સંબંધિત સીમા શરતો ચેનલની ટોચ અને તળિયે નો-સ્લિપ સીમા શરતો છે અને સંભવિત કાર્ય ક્યાં છે તે કિસ્સામાં. અથવાઃ પ્રવાહ કાર્ય ક્યાં અને ક્યાં છે તે કિસ્સામાં. સમસ્યાનું આઈગનવેલ્યુ પરિમાણ છે અને આઈગનવેક્ટર છે. જો તરંગ ઝડપનો કાલ્પનિક ભાગ હકારાત્મક હોય, તો આધાર પ્રવાહ અસ્થિર હોય છે, અને પ્રણાલીમાં દાખલ કરાયેલ નાની વિક્ષેપ સમય જતાં વિસ્તૃત થાય છે. ઉકેલો સૌથી સરળ વેગ રૂપરેખાઓ સિવાયના બધા માટે, ઉકેલોની ગણતરી કરવા માટે આંકડાકીય અથવા એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ જરૂરી છે. કેટલીક લાક્ષણિક પ્રવાહ રૂપરેખાઓની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. સામાન્ય રીતે, બંધાયેલા પ્રવાહ માટે સમીકરણનું વર્ણપટ સ્વતંત્ર અને અનંત હોય છે, જ્યારે અમર્યાદિત પ્રવાહો માટે (જેમ કે સીમા-સ્તર પ્રવાહ), વર્ણપટમાં સતત અને સ્વતંત્ર બંને ભાગો હોય છે. પ્લેન પોઇસેઉઇલ પ્રવાહ માટે, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે પ્રવાહ અસ્થિર છે (એટલે કે. એક અથવા વધુ આઈગન મૂલ્યોમાં હકારાત્મક કાલ્પનિક ભાગ હોય છે) કેટલાક માટે ક્યારે અને તટસ્થ રીતે સ્થિર સ્થિતિ હોય ત્યારે,. પ્રણાલીના સ્થિરતાના ગુણધર્મો જોવા માટે, પ્રસરણ વળાંક, એટલે કે તરંગસંખ્યાના કાર્ય તરીકે વૃદ્ધિ દરનો આલેખ રચવાની પ્રથા છે. પ્રથમ આંકડો ઉપર સૂચિબદ્ધ નિર્ણાયક મૂલ્યો પર ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણનું વર્ણપટ દર્શાવે છે. આ જટિલ સમતલમાં આઇગનવેલ્યુઝ (સ્વરૂપમાં) નો આલેખ છે. સૌથી જમણી બાજુનું આઈગન વેલ્યુ સૌથી અસ્થિર છે. રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા અને તરંગસંખ્યાના નિર્ણાયક મૂલ્યો પર, સૌથી જમણી બાજુનું આઈગન વેલ્યુ બરાબર શૂન્ય છે. રેનોલ્ડ્સ નંબરના ઉચ્ચ (નીચલા) મૂલ્યો માટે, જમણી બાજુનું આઈગન વેલ્યુ જટિલ સમતલના હકારાત્મક (નકારાત્મક) અડધા ભાગમાં બદલાય છે. પછી, સ્થિરતા ગુણધર્મોનું સંપૂર્ણ ચિત્ર આ આઈગન વેલ્યુની કાર્યાત્મક અવલંબન દર્શાવતા પ્લોટ દ્વારા આપવામાં આવે છે; આ બીજી આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. બીજી બાજુ, ક્યુએટ પ્રવાહ માટે આઈગન વેલ્યુઓનું સ્પેક્ટ્રમ તમામ રેનોલ્ડ્સ નંબરો પર સ્થિરતા સૂચવે છે. જો કે, પ્રયોગોમાં, ક્યુએટ પ્રવાહ અસ્થિરથી નાના, પરંતુ મર્યાદિત, વિક્ષેપોમાં જોવા મળે છે, જેના માટે રેખીય સિદ્ધાંત અને ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણ લાગુ પડતું નથી. એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે ક્યુએટ (અને ખરેખર, પોઇસેઉઇલ) પ્રવાહ સાથે સંકળાયેલ આઈગનવેલ્યુ સમસ્યાની બિન-સામાન્યતા તે અવલોકન કરેલી અસ્થિરતાને સમજાવી શકે છે. એટલે કે, ઓર-સોમરફેલ્ડ ઓપરેટરના આઈગનફંક્શન્સ સંપૂર્ણ છે પરંતુ નોન-ઓર્થોગોનલ છે. પછી, વિક્ષેપની ઊર્જામાં ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણના તમામ આઈગનફંક્શન્સના યોગદાનનો સમાવેશ થાય છે. જો અલગથી ગણવામાં આવતા દરેક આઈગન વેલ્યુ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા સમય જતાં ઝડપથી ક્ષીણ થઈ રહી હોય (જેમ કે ક્યુએટ પ્રવાહ માટે ઓર-સોમરફેલ્ડ વિશ્લેષણ દ્વારા આગાહી કરવામાં આવી છે), તો આઈગન વેલ્યુની નોન-ઓર્થોગોનાલિટીમાંથી ઉદ્ભવતા ક્રોસ ટર્મ્સ ક્ષણિક રીતે વધી શકે છે. આમ, કુલ ઊર્જા ક્ષણિક રીતે વધે છે (એસિમ્પ્ટોટિક રીતે શૂન્ય તરફ વળતા પહેલા). દલીલ એ છે કે જો આ ક્ષણિક વૃદ્ધિની તીવ્રતા પૂરતી મોટી હોય, તો તે લેમિનાર પ્રવાહને અસ્થિર કરે છે, જો કે આ દલીલ સાર્વત્રિક રીતે સ્વીકારવામાં આવી નથી. સંક્રમણને સમજાવતી બિનરેખીય થિયરી પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે. જો કે તે સિદ્ધાંતમાં રેખીય ક્ષણિક વૃદ્ધિનો સમાવેશ થાય છે, તેમ છતાં 3D બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવામાં આવે છે જે શીયર પ્રવાહમાં અશાંતિમાં સંક્રમણને આધાર આપે છે તેવી પ્રબળ શંકા છે. આ સિદ્ધાંત કહેવાતા સંપૂર્ણ 3D સ્થિર સ્થિતિઓ, મુસાફરી તરંગો અને નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોના સમય-સામયિક ઉકેલોના નિર્માણ તરફ દોરી ગયો છે જે અશાંત શીયર ફ્લોના નજીકના દિવાલ પ્રદેશમાં જોવા મળતા સંક્રમણ અને સુસંગત માળખાના ઘણા મુખ્ય લક્ષણોને મેળવે છે. તેમ છતાં "ઉકેલ" સામાન્ય રીતે વિશ્લેષણાત્મક પરિણામનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે, તેમ છતાં પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં આંકડાકીય પરિણામોને "ઉકેલો" તરીકે સંદર્ભિત કરવાની સામાન્ય પ્રથા છે-અંદાજિત ઉકેલો નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોને ગાણિતિક રીતે સંતોષકારક રીતે સંતોષે છે કે નહીં તે ધ્યાનમાં લીધા વગર. એવું માનવામાં આવે છે કે અશાંતિમાં સંક્રમણમાં એક દ્રાવણથી બીજા દ્રાવણમાં વિકસિત થતી પ્રવાહીની ગતિશીલ સ્થિતિનો સમાવેશ થાય છે. આમ આ સિદ્ધાંત આવા ઉકેલોના વાસ્તવિક અસ્તિત્વ પર આધારિત છે (જેમાંથી ઘણા હજુ સુધી ભૌતિક પ્રાયોગિક સુયોજનમાં અવલોકન કરવાના બાકી છે). ચોક્કસ ઉકેલોની જરૂરિયાત પર આ છૂટછાટ ઘણી લવચીકતાને મંજૂરી આપે છે, કારણ કે ચોક્કસ ઉકેલો મેળવવાનું અત્યંત મુશ્કેલ છે (આંકડાકીય ઉકેલોની વિરુદ્ધ), સખતાઈ અને (સંભવતઃ) ચોકસાઈના ભોગે. આમ, સંક્રમણના અગાઉના અભિગમો જેટલા સખત ન હોવા છતાં, તેણે અપાર લોકપ્રિયતા મેળવી છે. છિદ્રાળુ માધ્યમોના પ્રવાહ માટે ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણનું વિસ્તરણ તાજેતરમાં સૂચવવામાં આવ્યું છે. મુક્ત-સપાટીના પ્રવાહ માટે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ ક્યુએટ પ્રવાહ માટે, ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણના ઉકેલમાં ગાણિતિક પ્રગતિ કરવી શક્ય છે. આ વિભાગમાં, આ પદ્ધતિનું પ્રદર્શન મુક્ત-સપાટીના પ્રવાહના કિસ્સામાં આપવામાં આવ્યું છે, એટલે કે, જ્યારે ચેનલના ઉપલા ઢાંકણને મુક્ત સપાટી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સૌ પ્રથમ નોંધ લો કે મુક્ત સપાટીને ધ્યાનમાં લેવા માટે ઉપરની સીમાની શરતોમાં ફેરફાર કરવો જરૂરી છે. બિન-પરિમાણીય સ્વરૂપમાં, આ શરતો હવે,, પર વાંચે છે. પ્રથમ મુક્ત-સપાટીની સ્થિતિ સ્પર્શક તાણની સાતત્યતાનું નિવેદન છે, જ્યારે બીજી સ્થિતિ સામાન્ય તણાવને સપાટીના તણાવ સાથે સંબંધિત કરે છે. અહીં અનુક્રમે ફ્રાઉડ અને વેબર સંખ્યાઓ છે. ક્યુએટ પ્રવાહ માટે, બિન-પરિમાણીય ઓર-સોમરફેલ્ડ સમીકરણના ચાર રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો છે, જ્યાં પ્રથમ પ્રકારનું એરી કાર્ય છે. ચાર સીમા શરતોમાં સુપરપોઝિશન ઉકેલની બદલી ચાર અજ્ઞાત સ્થિરાંકોમાં ચાર સમીકરણો આપે છે. સમીકરણોને બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે, નિર્ધારક શરત સંતોષવી આવશ્યક છે. અજ્ઞાત c માં આ એક જ સમીકરણ છે, જેને આંકડાકીય રીતે અથવા એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. એવું દર્શાવી શકાય છે કે તરંગોની સંખ્યાઓની શ્રેણી માટે અને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી રેનોલ્ડ્સ સંખ્યાઓ માટે, વૃદ્ધિ દર હકારાત્મક છે. આ પણ જુઓ ગ્રેવિટેશનલ ધૂમકેતુ-એસ્ટરોઇડ ફોર્સિંગ ઇવેન્ટ્સ ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગ લી તરંગો દુષ્ટ તરંગ સંદર્ભો વધુ વાંચન પ્રવાહી ગતિશીલતા પ્રવાહી ગતિશીલતાની સમીકરણો પ્રવાહી ગતિશીલ અસ્થિરતાઓ ડીઃ લીનિયર સ્ટેબિલિતા tstheorie#Orr-સોમરફેલ્ડ-ગ્લીચુંગ