G-ring
પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, જી-રીંગ અથવા ગ્રોથેન્ડીક રીંગ એ નોથેરિયન રીંગ છે જેમ કે તેની કોઈપણ સ્થાનિક રીંગનો નકશો પૂર્ણ થવા સુધી નિયમિત હોય છે (નીચે વ્યાખ્યાયિત). બીજગણિત ભૂમિતિ અથવા સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં કુદરતી રીતે જોવા મળતી લગભગ તમામ નોથેરિયન રિંગ્સ જી-રિંગ્સ છે, અને નોથેરિયન રિંગ્સના ઉદાહરણો બનાવવાનું ખૂબ મુશ્કેલ છે જે જી-રિંગ્સ નથી. આ ખ્યાલનું નામ એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. જી-રીંગ અને જે-2 રીંગ બંને ધરાવતી રીંગને અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ રીંગ કહેવામાં આવે છે, અને જો વધુમાં તે સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી હોય તો તેને ઉત્તમ રીંગ કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યાઓ ક્ષેત્ર k ધરાવતી A (નોથેરિયન) રીંગ R ને k પર ભૌમિતિક રીતે નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો k ના કોઈપણ મર્યાદિત વિસ્તરણ K માટે રીંગ R·kK નિયમિત રીંગ હોય. R થી S સુધીની રિંગ્સના હોમોમોર્ફિઝમને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તે સપાટ હોય અને દરેક p ω Spec (R) માટે ફાઇબર S ωRk (p) એ p ના અવશેષ ક્ષેત્ર k (p) પર ભૌમિતિક રીતે નિયમિત હોય. (પોપેસ્કુનો પ્રમેય પણ જુઓ.) રિંગને સ્થાનિક જી-રિંગ કહેવામાં આવે છે જો તે નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ હોય અને તેની પૂર્ણતા માટેનો નકશો (તેના મહત્તમ આદર્શના સંદર્ભમાં) નિયમિત હોય. રિંગને જી-રિંગ કહેવામાં આવે છે જો તે નોથેરિયન હોય અને મુખ્ય આદર્શો પર તેના તમામ સ્થાનિકીકરણ સ્થાનિક જી-રિંગ્સ હોય. (આને માત્ર મહત્તમ આદર્શો માટે તપાસવું પૂરતું છે, તેથી ખાસ કરીને સ્થાનિક જી-રિંગ્સ એ જી-રિંગ્સ છે.) ઉદાહરણો દરેક ક્ષેત્ર એ જી-રિંગ છે દરેક સંપૂર્ણ નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ એ જી-રિંગ છે આર અથવા સી પર ચલની મર્યાદિત સંખ્યામાં કન્વર્જન્ટ પાવર સિરીઝની દરેક રિંગ એ જી-રિંગ છે. લાક્ષણિકતા 0 માં દરેક Dedekind ડોમેન, અને ખાસ કરીને પૂર્ણાંકોની રિંગ, G-રિંગ છે, પરંતુ હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં Dedekind ડોમેન્સ (અને અલગ મૂલ્યાંકન રિંગ્સ પણ) છે જે G-રિંગ્સ નથી. જી-રિંગનું દરેક સ્થાનિકીકરણ એ જી-રિંગ છે જી-રિંગ પર દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ બીજગણિત એ જી-રિંગ છે. આ ગ્રોથેન્ડીકને કારણે એક પ્રમેય છે. અહીં લાક્ષણિકતા p> 0 ની અલગ મૂલ્યાંકન રીંગ A નું ઉદાહરણ છે જે G-રીંગ નથી. જો k એ લાક્ષણિકતા p નું કોઈપણ ક્ષેત્ર છે જેમાં [k: kp] = ini અને R = k [[x]] છે અને A એ પાવર સિરીઝ σaixi ની એવી સબરીંગ છે કે જે [kp (a0, a1,.): kp] મર્યાદિત હોય તો સામાન્ય બિંદુ પર A નો ઔપચારિક ફાઇબર ભૌમિતિક રીતે નિયમિત નથી તેથી A એ G-રિંગ નથી. અહીં kp એ ફ્રોબેનિયસ મોર્ફિઝમ a → ap હેઠળ k ની છબી સૂચવે છે. સંદર્ભો એ. ગ્રોથેન્ડીક, જે. ડ્યુડોન, એલેમેન્ટ્સ ડી જીઓમેટ્રી આલ્જેબ્રિક IV પબ્લ. ગણિત. આઇ. એચ. ઇ. એસ. 24 (1965), વિભાગ 7 એચ. માત્સુમુરા, પરિવર્તનીય બીજગણિત, પ્રકરણ 13. પરિવર્તનીય બીજગણિત