Shapiro polynomials
ગણિતમાં, શાપિરો બહુપદીઓ એ બહુપદીઓનો ક્રમ છે જેનો પ્રથમ અભ્યાસ હેરોલ્ડ એસ. શાપિરો દ્વારા 1951માં ચોક્કસ ત્રિકોણમિતિ સરવાળાની તીવ્રતાને ધ્યાનમાં લેતી વખતે કરવામાં આવ્યો હતો. સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં, શાપિરો બહુપદીઓમાં સારા સ્વ-સહસંબંધ ગુણધર્મો હોય છે અને એકમ વર્તુળ પર તેમના મૂલ્યો નાના હોય છે. ક્રમના પ્રથમ થોડા સભ્યો આ પ્રમાણે છેઃ જ્યાં Q દ્વારા દર્શાવેલ બીજો ક્રમ, પ્રથમ ક્રમના પૂરક હોવાનું કહેવાય છે, જે P. રચના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. શાપિરો બહુપદીઓ Pn (z) ગોલે-રુડિન-શાપિરો ક્રમ an થી બનાવી શકાય છે, જે 1 ની બરાબર હોય છે જો n ના દ્વિસંગી વિસ્તરણમાં સળંગ જોડીઓની સંખ્યા સરખી હોય અને અન્યથા-1 હોય. આમ a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, a3 = −1, વગેરે. પ્રથમ શાપિરો Pn (z) એ ઘાત શ્રેણી f (z): = a0 + a1z + a2z2 + ના ક્રમ 2n−1 (જ્યાં n = 0,1,2,.) નો આંશિક સરવાળો છે. ગોલે-રુડિન-શાપિરો અનુક્રમ {an} ફ્રેક્ટલ જેવી રચના ધરાવે છે-ઉદાહરણ તરીકે, an = a2n-જે સૂચવે છે કે અનુગામી (a0, a2, a4.) મૂળ અનુક્રમ {an} ની પ્રતિકૃતિ બનાવે છે. આ બદલામાં f (z) દ્વારા સંતુષ્ટ નોંધપાત્ર કાર્યાત્મક સમીકરણો તરફ દોરી જાય છે. બીજા અથવા પૂરક શાપિરો બહુપદીઓ Qn (z) ને આ ક્રમના સંદર્ભમાં, અથવા સંબંધ Qn (z) = (1-) nz2n-1Pn (-1/z), અથવા પુનરાવર્તનો ગુણધર્મો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. {Pn} નો સૌથી રસપ્રદ ગુણધર્મ એ છે કે Pn (z) નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય એકમ વર્તુળ પર 2 (n + 1) ના વર્ગમૂળથી બંધાયેલું છે, જે Pn ના L2 ધોરણના ક્રમ પર છે. સમૂહ {−1,1} માંથી ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓ કે જેનું એકમ વર્તુળ પરનું મહત્તમ માપાંક તેમના સરેરાશ માપાંકની નજીક હોય છે તે સંચાર સિદ્ધાંતમાં વિવિધ ઉપયોગો માટે ઉપયોગી છે (દા. ત., એન્ટેના ડિઝાઇન અને ડેટા સંકોચન). ગુણધર્મ (iii) દર્શાવે છે કે (પી, ક્યૂ) ગોલે જોડી બનાવે છે. આ બહુપદીઓમાં વધુ ગુણધર્મો છેઃ લિટલવુડ બહુપદી નોંધો સંદર્ભ પ્રકરણ 4 પણ જુઓ. ફોરિયર વિશ્લેષણ ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ બહુપદીઓ