Mapping cone (homological algebra)
હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં, મેપિંગ શંકુ એ ટોપોલોજીમાં સમાન રચનાથી પ્રેરિત સાંકળ સંકુલના નકશા પરનું બાંધકામ છે. ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓના સિદ્ધાંતમાં તે એક પ્રકારનો સંયુક્ત કર્નલ અને કોકર્નલ છેઃ જો સાંકળ સંકુલ તેમની શરતોને એબેલિયન શ્રેણીમાં લે છે, જેથી આપણે કોહોમોલોજી વિશે વાત કરી શકીએ, તો નકશા f ના શંકુને એસાયક્લિક હોવાનો અર્થ એ છે કે નકશો અર્ધ-આઇસોમોર્ફિઝમ છે; જો આપણે સંકુલની વ્યુત્પન્ન શ્રેણીમાં પસાર થઈએ, તો આનો અર્થ એ છે કે f એ ત્યાં એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે, જે જૂથોના નકશા, રિંગ પરના મોડ્યુલો અથવા મનસ્વી એબેલિયન શ્રેણીના તત્વોની પરિચિત મિલકતને યાદ કરે છે કે જો કર્નલ અને કોકર્નલ બંને અદૃશ્ય થઈ જાય, તો નકશો એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. જો આપણે ટી-શ્રેણીમાં કામ કરી રહ્યા છીએ, તો હકીકતમાં શંકુ તેના મુખ્ય પદાર્થો વચ્ચેના નકશાના કર્નલ અને કોકર્નલ બંનેને રજૂ કરે છે. વ્યાખ્યા શંકુને કોઈપણ એડિટિવ શ્રેણી પર કોચેન કોમ્પ્લેક્સની શ્રેણીમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (એટલે કે, એક શ્રેણી કે જેના મોર્ફિઝમ્સ એબેલિયન જૂથો બનાવે છે અને જેમાં આપણે કોઈપણ બે પદાર્થોનો સીધો સરવાળો બનાવી શકીએ છીએ). ચાલો બે કોમ્પ્લેક્સ હોઈએ, તફાવત સાથે એટલે કે, અને તે જ રીતે કોમ્પ્લેક્સના નકશા માટે આપણે શંકુને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે ઘણીવાર નીચેના કોમ્પ્લેક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છેઃ શરતો પર, વિભેદક સાથે (કૉલમ વેક્ટરની જેમ કામ કરે છે). અહીં અને સાથે સંકુલ છે. નોંધ લો કે પરનો વિભેદક કુદરતી વિભેદકથી અલગ છે, અને કેટલાક લેખકો અલગ સંકેત પરંપરાનો ઉપયોગ કરે છે. આમ, જો ઉદાહરણ તરીકે આપણા સંકુલ અબેલિયન જૂથોના હોય, તો વિભેદક ગુણધર્મો તરીકે કાર્ય કરશે ધારો કે હવે આપણે અબેલિયન શ્રેણી પર કામ કરી રહ્યા છીએ, જેથી સંકુલની સમરૂપતા વ્યાખ્યાયિત થાય. શંકુનો મુખ્ય ઉપયોગ અર્ધ-સમરૂપતાઓને ઓળખવાનો છેઃ જો શંકુ ચક્રીય હોય, તો નકશો અર્ધ-સમરૂપતા છે. આ જોવા માટે, આપણે ત્રિકોણના અસ્તિત્વનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં નકશા સીધા સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે (જુઓ સાંકળ સંકુલની હોમોટોપી શ્રેણી). આ એક ત્રિકોણ હોવાથી, તે સમરૂપતા જૂથો પર લાંબા ચોક્કસ ક્રમને જન્મ આપે છેઃ અને જો તે ચક્રીય હોય તો વ્યાખ્યા મુજબ, ઉપરના બાહ્ય શબ્દો શૂન્ય છે. ક્રમ ચોક્કસ હોવાથી, આનો અર્થ એ છે કે તે તમામ સમરૂપતા જૂથો પર સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે, અને તેથી (વ્યાખ્યા દ્વારા ફરીથી) અર્ધ-સમરૂપતા છે. આ હકીકત એબેલિયન શ્રેણીમાં આઇસોમોર્ફિઝમ્સના સામાન્ય વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાને યાદ કરે છે કારણ કે તે નકશા જેમના કર્નલ અને કોકર્નલ બંને અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સંયુક્ત કર્નલ અને કોકર્નલ તરીકે શંકુનો આ દેખાવ આકસ્મિક નથી; હકીકતમાં, અમુક સંજોગોમાં શંકુ શાબ્દિક રીતે બંનેનું મૂર્ત સ્વરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે કહો કે આપણે અબેલિયન શ્રેણી પર કામ કરી રહ્યા છીએ અને ડિગ્રી 0 માં માત્ર એક બિન-શૂન્ય પદ છેઃ અને તેથી તે માત્ર (અંતર્ગત અબેલિયન શ્રેણીના પદાર્થોના નકશા તરીકે) છે. પછી શંકુ માત્ર છે (અંડરસેટ લખાણ દરેક શબ્દની ડિગ્રી સૂચવે છે.) આ સંકુલની સમરૂપતા એ છે કે આ એક અકસ્માત નથી અને હકીકતમાં દરેક ટી-શ્રેણીમાં થાય છે. મેપિંગ સિલિન્ડર એક સંબંધિત કલ્પના મેપિંગ સિલિન્ડર છેઃ ચાલો સાંકળ સંકુલોનું મોર્ફિઝમ હોઈએ, ચાલો આગળ કુદરતી નકશો હોઈએ. ટોપોલોજિકલ પ્રેરણા આ સંકુલને ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સતત નકશાના મેપિંગ શંકુ (ટોપોલોજી) ની સામ્યતામાં શંકુ કહેવામાં આવે છેઃ ટોપોલોજિકલ શંકુની એકવચન સાંકળોનું સંકુલ X થી Y ની એકવચન સાંકળોના પ્રેરિત નકશાના શંકુ (સાંકળ-જટિલ-અર્થમાં) ની સમકક્ષ હોમોટૉપી છે. સંકુલના નકશાનું મેપિંગ સિલિન્ડર એ જ રીતે સતત નકશાના મેપિંગ સિલિન્ડર સાથે સંબંધિત છે. સંદર્ભો જોસેફ જે. રોટમેન, એન ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ આલ્જેબ્રિક ટોપોલોજી (1988) સ્પ્રિંગર-વેરલેગ (પ્રકરણ 9 જુઓ) હોમોલોજિકલ બીજગણિત