Octonion algebra
ગણિતમાં, ઓક્ટોનીયન બીજગણિત અથવા એફ ક્ષેત્ર પર કેલે બીજગણિત એ એફ પરનું એક રચના બીજગણિત છે જેનું પરિમાણ એફ પર 8 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે 8-પરિમાણીય એકાત્મક બિન-સહયોગી બીજગણિત છે જે એફ પર બિન-અપક્ષયી દ્વિઘાત સ્વરૂપ એન (જેને સામાન્ય સ્વરૂપ કહેવાય છે) સાથે છે, જેમ કે એ માં તમામ x અને y માટે. ઓક્ટોનીયન બીજગણિતનું સૌથી જાણીતું ઉદાહરણ શાસ્ત્રીય ઓક્ટોનીયન છે, જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર R પર ઓક્ટોનીયન બીજગણિત છે. વિભાજીત-ઓક્ટોનીયનો આર પર ઓક્ટોનીયન બીજગણિત પણ બનાવે છે. આર-બીજગણિત આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી, આ વાસ્તવિક પર એકમાત્ર ઓક્ટોનીયન આલ્જેબ્રા છે. બાયોક્ટોનીયન્સનું બીજગણિત એ જટિલ સંખ્યાઓ C પરનું ઓક્ટોનીયન બીજગણિત છે. N માટેનું ઓક્ટોનીયન બીજગણિત એ વિભાજન બીજગણિત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સ્વરૂપ N એ અનિસોટ્રોપિક હોય. વિભાજીત અષ્ટકોણ બીજગણિત એ છે કે જેના માટે વર્ગાત્મક સ્વરૂપ N એ સમસ્થાનિક છે (એટલે કે, N (x) = 0 સાથે બિન-શૂન્ય વેક્ટર x અસ્તિત્વમાં છે). એફ-બીજગણિત સમરૂપતા સુધી, કોઈપણ ક્ષેત્ર એફ પર એક અનન્ય વિભાજન ઓક્ટોનીયન બીજગણિત હોય છે. જ્યારે એફ બીજગણિત રીતે બંધ હોય અથવા મર્યાદિત ક્ષેત્ર હોય, ત્યારે એફ પર આ એકમાત્ર ઓક્ટોનીયન બીજગણિત હોય છે. ઓક્ટોનીયન બીજગણિત હંમેશા બિન-સહયોગી હોય છે. જોકે, તેઓ વૈકલ્પિક આલ્જેબ્રા છે, વૈકલ્પિકતા એ સહયોગીતાનું નબળું સ્વરૂપ છે. વધુમાં, મૌફાંગ ઓળખ કોઈપણ ઓક્ટોનિયન બીજગણિતમાં હોય છે. તે અનુસરે છે કે કોઈપણ અષ્ટકોણ બીજગણિતમાં ઉલટાવી શકાય તેવા ઘટકો મૌફાંગ લૂપ બનાવે છે, જેમ કે એકમ ધોરણના ઘટકો કરે છે. મનસ્વી ક્ષેત્ર k પર સામાન્ય ઓક્ટોનીયન આલ્જેબ્રાના નિર્માણનું વર્ણન લિયોનાર્ડ ડિકસન દ્વારા તેમના પુસ્તક આલ્જેબ્રેન ઉંડ ઇહરે ઝહ્લેંથિયોરી (1927) (સીટ 264) માં કરવામાં આવ્યું હતું અને મેક્સ ઝોર્ન દ્વારા તેનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવ્યું હતું. ગુણાકાર k માંથી γ ની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. k ઉપરના ચતુર્થાંશ બીજગણિતમાંથી q અને Q આપવામાં આવે તો અષ્ટકોણને q + Qe લખવામાં આવે છે. અન્ય ઓક્ટોનીયનને r + Re લખી શકાય છે. પછી ક્વાટર્નિયન બીજગણિતમાં સંયુગ્મનને સૂચવવા સાથે, તેમનું ઉત્પાદન ઝોર્નનું જર્મન ભાષાનું આ કેલે-ડિકસન રચનાનું વર્ણન છે, જે રચના આલ્જેબ્રાના નિર્માણનું વર્ણન કરતા આ ઉપનામના સતત ઉપયોગમાં ફાળો આપે છે. કોહ્લ ફ્યુરીએ પ્રસ્તાવ મૂક્યો છે કે પ્રમાણભૂત મોડેલના ઘટકોને સમાધાન કરવાના પ્રયાસમાં ઓક્ટોનિયન આલ્જેબ્રાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વર્ગીકરણ તે એડોલ્ફ હર્વિટ્ઝનો એક પ્રમેય છે કે આદર્શ સ્વરૂપના એફ-આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો ઓક્ટોનીયન એફ-આલ્જેબ્રાના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો સાથે એક-થી-એક અનુરૂપ છે. વધુમાં, સંભવિત સામાન્ય સ્વરૂપો બરાબર એફ પર ફિસ્ટર 3-સ્વરૂપો છે. કારણ કે કોઈપણ બે ઓક્ટોનીયન એફ-આલ્જેબ્રા એફના બીજગણિત બંધ પર આઇસોમોર્ફિક બની જાય છે, તેથી કોઈ પણ બિન-એબેલિયન ગેલોઇસ કોહોમોલોજીના વિચારોને લાગુ કરી શકે છે. ખાસ કરીને, સ્પ્લિટ ઓક્ટોનીયનનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ એ સ્પ્લિટ બીજગણિત જૂથ G2 છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, ઓક્ટોનીયન F-આલ્જેબ્રાના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો અને F પર G2-ટોર્સર્સના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોના પત્રવ્યવહારને જોવામાં આવે છે. આ આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો બિન-એબેલિયન ગેલોઇસ કોહોમોલોજી સમૂહ બનાવે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ રચના બીજગણિત બિન-સહયોગી બીજગણિત