Gordon–Luecke theorem
ગણિતમાં, ગાંઠ પૂરક પર ગોર્ડન-લ્યુક પ્રમેય જણાવે છે કે જો બે શાંત ગાંઠોના પૂરક હોમોમોર્ફિક હોય, તો ગાંઠો સમકક્ષ હોય છે. ખાસ કરીને, ગાંઠના પૂરક વચ્ચેના કોઈપણ હોમોમોર્ફિઝમે મેરિડીયનને મેરિડીયનમાં લઈ જવું આવશ્યક છે. આ પ્રમેયને સામાન્ય રીતે "ગાંઠો તેમના પૂરક દ્વારા નક્કી થાય છે" તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે; જો કે આ થોડું અસ્પષ્ટ છે કારણ કે તે બે ગાંઠોને સમકક્ષ માને છે જો ત્યાં સ્વ-હોમોમોર્ફિઝમ હોય જે એક ગાંઠને બીજી ગાંઠ સાથે લઈ જાય છે. આમ અરીસાની છબીઓની અવગણના કરવામાં આવે છે. જો બે ગાંઠ સમસ્થાનિક હોય તો ઘણીવાર તેને સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં સાચું સંસ્કરણ એ છે કે જો બે ગાંઠમાં પૂરક હોય જે ઓરિએન્ટેશન-પ્રિઝર્વિંગ હોમોમોર્ફિક હોય, તો તે આઇસોટોપિક છે. આ પરિણામો નીચેનામાંથી અનુસરે છે (જેને ગોર્ડન-લ્યુક પ્રમેય પણ કહેવાય છે): 3-ગોળામાં બિન-તુચ્છ ગાંઠ પર કોઈ બિન-તુચ્છ ડેહન શસ્ત્રક્રિયા 3-ગોળાકાર મેળવી શકતી નથી. આ પ્રમેય કેમેરોન ગોર્ડન અને જ્હોન લ્યુક દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. સાબિતીના આવશ્યક ઘટકોમાં ચક્રીય શસ્ત્રક્રિયા પ્રમેય પર માર્ક કલર અને પીટર શેલેન સાથે તેમનું સંયુક્ત કાર્ય, લિથરલેન્ડની શૈલીમાં સંયુક્ત તકનીકો, પાતળી સ્થિતિ અને શાર્લમેન ચક્રનો સમાવેશ થાય છે. લિંક પૂરક માટે, તે હકીકતમાં સાચું નથી કે લિંક્સ તેમના પૂરક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જે. એચ. સી. વ્હાઇટહેડે સાબિત કર્યું કે અનંત ઘણી કડીઓ છે જેમના પૂરક વ્હાઇટહેડ કડીઓ માટે હોમોમોર્ફિક છે. તેની રચના એક ગૂંથેલા ઘટકમાં ફેલાયેલી ડિસ્ક સાથે ટ્વિસ્ટ કરવાની છે (જેમ કે વ્હાઇટહેડ લિંકના કોઈપણ ઘટક માટે કેસ છે). બીજી પદ્ધતિ એ છે કે બે ઘટકોમાં ફેલાયેલા એન્યુલસ સાથે ટ્વિસ્ટ કરવું. ગોર્ડને સાબિત કર્યું કે લિંક્સના વર્ગ માટે જ્યાં આ બે રચનાઓ શક્ય નથી ત્યાં આપેલ પૂરક સાથે આ વર્ગમાં મર્યાદિત રીતે ઘણી લિંક્સ છે. સંદર્ભો કેમેરોન ગોર્ડન અને જ્હોન લ્યુક, ગાંઠો તેમના પૂરક દ્વારા નક્કી થાય છે. જે. આમેર. ગણિત. સો. 2 (1989), નં. 2, 371-415. કેમેરોન ગોર્ડન, લિંક્સ અને તેમના પૂરક. ટોપોલોજી અને ભૂમિતિઃ સ્મારક સિસ્ટેગ, 71-82, કન્ટેમ્પ. મઠ., 314, આમેર. ગણિત. , પ્રોવિડન્સ, આર. આઈ., 2002. ગાંઠ સિદ્ધાંત 3-ટોપોલોજીમાં પ્રમેયોનું નિરૂપણ કરે છે