Overdetermined system
ગણિતમાં, જો અજ્ઞાત કરતાં વધુ સમીકરણો હોય તો સમીકરણોની પદ્ધતિને વધુ પડતી નિર્ધારિત ગણવામાં આવે છે. વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલી લગભગ હંમેશા અસંગત હોય છે (તેનો કોઈ ઉકેલ નથી) જ્યારે તેને અનિયમિત ગુણાંક સાથે બનાવવામાં આવે છે. જો કે, વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલીમાં કેટલાક કિસ્સાઓમાં ઉકેલો હશે, ઉદાહરણ તરીકે જો કેટલાક સમીકરણો પ્રણાલીમાં ઘણી વખત આવે, અથવા જો કેટલાક સમીકરણો અન્યના રેખીય સંયોજનો હોય. પરિભાષાને અવરોધ ગણતરીના ખ્યાલની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે. દરેક અજ્ઞાતને સ્વતંત્રતાની ઉપલબ્ધ માત્રા તરીકે જોઈ શકાય છે. પ્રણાલીમાં રજૂ કરાયેલા દરેક સમીકરણને એક અવરોધ તરીકે જોઈ શકાય છે જે એક ડિગ્રીની સ્વતંત્રતાને પ્રતિબંધિત કરે છે. તેથી, નિર્ણાયક કેસ ત્યારે થાય છે જ્યારે સમીકરણોની સંખ્યા અને મુક્ત ચલની સંખ્યા સમાન હોય. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી આપતા દરેક ચલ માટે, અનુરૂપ અવરોધ અસ્તિત્વમાં છે. વધુ પડતા નિર્ધારિત કેસ ત્યારે થાય છે જ્યારે સિસ્ટમ વધુ પડતી મર્યાદિત હોય છે-એટલે કે, જ્યારે સમીકરણો અજ્ઞાત કરતા વધારે હોય છે. તેનાથી વિપરીત, ઓછો નિર્ધારિત કેસ ત્યારે થાય છે જ્યારે સિસ્ટમ ઓછી મર્યાદિત હોય-એટલે કે, જ્યારે સમીકરણોની સંખ્યા અજ્ઞાતની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય. આવી પ્રણાલીઓમાં સામાન્ય રીતે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો હોય છે. સમીકરણોની વધુ પડતી નિર્ધારિત રેખીય પ્રણાલીઓ બે પરિમાણોમાં એક ઉદાહરણ 3 સમીકરણો અને 2 અજ્ઞાત (અને) ની પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લો, જે 3> 2 માટે વધુ પડતી નિર્ધારિત છે, અને જે આકૃતિ #1 ને અનુરૂપ છેઃ રેખીય સમીકરણોની દરેક જોડી માટે એક ઉકેલ છેઃ પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો (0.2, −1,4) માટે, પ્રથમ અને ત્રીજા (−2/3,1/3) માટે, અને બીજા અને ત્રીજા (1.5,25) માટે. જો કે, એવો કોઈ ઉકેલ નથી કે જે ત્રણેયને એક સાથે સંતુષ્ટ કરે. આકૃતિઓ #2 અને 3 અન્ય રૂપરેખાંકનો દર્શાવે છે જે અસંગત છે કારણ કે તમામ રેખાઓ પર કોઈ બિંદુ નથી. આ વિવિધતાની પ્રણાલીઓ અસંગત માનવામાં આવે છે. માત્ર એવા કિસ્સાઓ કે જ્યાં ઓવરડિટર્મિનેડ સિસ્ટમ હકીકતમાં ઉકેલ ધરાવે છે તે આકૃતિઓ #4,5 અને 6 માં દર્શાવવામાં આવ્યા છે. આ અપવાદો ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલીમાં પૂરતા પ્રમાણમાં રેખીય રીતે આશ્રિત સમીકરણો હોય કે જે સ્વતંત્ર સમીકરણોની સંખ્યા અજ્ઞાતની સંખ્યા કરતાં વધી ન જાય. રેખીય અવલંબનનો અર્થ એ છે કે કેટલાક સમીકરણો અન્ય સમીકરણોના રેખીય સંયોજનથી મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, Y = X + 1 અને 2Y = 2X + 2 એ રેખીય રીતે આશ્રિત સમીકરણો છે કારણ કે બીજો સમીકરણ પ્રથમ સમીકરણની બમણી માત્રા લઈને મેળવી શકાય છે. મેટ્રિક્સ ફોર્મ રેખીય સમીકરણોની કોઈપણ પ્રણાલીને મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરીકે લખી શકાય છે. સમીકરણોની અગાઉની પ્રણાલી (આકૃતિ #1 માં) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છેઃ નોંધ લો કે ગુણાંક મેટ્રિક્સ (સમીકરણોને અનુરૂપ) ની પંક્તિઓ સ્તંભો (અજ્ઞાતને અનુરૂપ) કરતા વધારે છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રણાલી વધુ પડતી નિર્ધારિત છે. આ મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે, જે સિસ્ટમમાં આશ્રિત ચલની સંખ્યાને અનુરૂપ છે. એક રેખીય પ્રણાલી સુસંગત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ગુણાંક મેટ્રિક્સ તેના સંવર્ધિત મેટ્રિક્સ જેટલો જ ક્રમ ધરાવે છે (વધારાના સ્તંભ સાથેનો ગુણાંક મેટ્રિક્સ, તે સ્તંભ સ્થિરાંકોના સ્તંભ વેક્ટર છે). સંવર્ધિત મેટ્રિક્સનો ક્રમ 3 છે, તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે. શૂન્યતા 0 છે, જેનો અર્થ છે કે શૂન્ય જગ્યા માત્ર શૂન્ય વેક્ટર ધરાવે છે અને તેથી તેનો કોઈ આધાર નથી. રેખીય બીજગણિતમાં મેટ્રિસીસના ગુણધર્મો નક્કી કરવા માટે રો સ્પેસ, કોલમ સ્પેસ અને નલ સ્પેસની વિભાવનાઓ મહત્વપૂર્ણ છે. ઉપરની મર્યાદાઓ અને સ્વતંત્રતાની માત્રાની અનૌપચારિક ચર્ચા આ વધુ ઔપચારિક ખ્યાલો સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે. સજાતીય કેસ સજાતીય કેસ (જેમાં તમામ અચળ શરતો શૂન્ય હોય છે) હંમેશા સુસંગત હોય છે (કારણ કે ત્યાં એક તુચ્છ, સર્વ-શૂન્ય ઉકેલ હોય છે). રેખીય રીતે આશ્રિત સમીકરણોની સંખ્યાના આધારે બે કિસ્સાઓ છેઃ કાં તો માત્ર તુચ્છ ઉકેલ છે, અથવા તુચ્છ ઉકેલ વત્તા અન્ય ઉકેલોનો અનંત સમૂહ છે. રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લોઃ 1 ≤ i ≤ M માટે Li = 0, અને ચલ X1, X2,., XN, જ્યાં દરેક Li એ Xis નો ભારિત સરવાળો છે. પછી X1 = X2 = ꯘꯥ = XN = 0 હંમેશા ઉકેલ છે. જ્યારે એમ <એન સિસ્ટમ અલ્પનિર્ધારિત હોય છે અને ત્યાં હંમેશા વધુ ઉકેલોની અનંતતા હોય છે. હકીકતમાં ઉકેલોની જગ્યાનું પરિમાણ હંમેશા ઓછામાં ઓછું N − M હોય છે. અન્ય ઉકેલોની અનંતતા ત્યારે જ હશે જ્યારે સમીકરણોની પ્રણાલીમાં પૂરતી નિર્ભરતા (રેખીય રીતે આશ્રિત સમીકરણો) હોય કે જે સ્વતંત્ર સમીકરણોની સંખ્યા મહત્તમ N − 1 હોય. પરંતુ M ≤ N સાથે સ્વતંત્ર સમીકરણોની સંખ્યા N જેટલી ઊંચી હોઈ શકે છે, આ કિસ્સામાં એકમાત્ર તુચ્છ ઉકેલ છે. બિન-એકરૂપ કિસ્સામાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓમાં, 1 ≤ i ≤ M માટે Li = ci, ચલ X1, X2,., XN માં સમીકરણો કેટલીકવાર રેખીય રીતે નિર્ભર હોય છે; હકીકતમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સમીકરણોની સંખ્યા N + 1 કરતાં વધી શકતી નથી. આપણી પાસે N અજ્ઞાત અને M સમીકરણો (M> N) સાથે વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલી માટે નીચેના સંભવિત કિસ્સાઓ છે. એમ = એન + 1 અને તમામ એમ સમીકરણો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આ કેસ કોઈ ઉકેલ લાવતો નથી. ઉદાહરણોઃ x = 1, x = 2. M> N પરંતુ માત્ર K સમીકરણો (K <M અને K ≤ N + 1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આના ત્રણ સંભવિત પેટા-કિસ્સાઓ અસ્તિત્વમાં છેઃ K = N + 1. આ કેસ કોઈ ઉકેલ લાવતો નથી. ઉદાહરણોઃ 2x = 2, x = 1, x = 2. K = N. આ કેસ કાં તો એક જ ઉકેલ આપે છે અથવા કોઈ ઉકેલ આપતો નથી, પછીનો ત્યારે થાય છે જ્યારે એક સમીકરણના ગુણાંક વેક્ટરને અન્ય સમીકરણોના ગુણાંક વેક્ટરના ભારિત સરવાળા દ્વારા નકલ કરી શકાય છે પરંતુ અન્ય સમીકરણોની અચળ શરતો પર લાગુ કરાયેલ ભારિત સરવાળો એક સમીકરણના અચળ પદની નકલ કરતું નથી. એક ઉકેલ સાથેનું ઉદાહરણ 2x = 2, x = 1. ઉકેલ વગરનું ઉદાહરણ 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3. K <N. આ કેસ ક્યાં તો અનંત ઘણા ઉકેલો આપે છે અથવા કોઈ ઉકેલ નથી, બાદમાં અગાઉના પેટા-કેસની જેમ થાય છે. અનંત ઉકેલો સાથેનું ઉદાહરણ 3x + 3y = 3,2x + 2y = 2, x + y = 1. ઉકેલ વગરનું ઉદાહરણ 3x + 3y + 3z = 3,2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4. ગૌસીયન નાબૂદીનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના ગુણાંકના સંવર્ધિત મેટ્રિક્સને પંક્તિ સ્તરના સ્વરૂપમાં મૂકીને આ પરિણામોને સમજવું સરળ બની શકે છે. આ રો ઈચેલોન સ્વરૂપ એ સમીકરણોની પદ્ધતિનું સંવર્ધિત મેટ્રિક્સ છે જે આપેલ પદ્ધતિની સમકક્ષ છે (તેમાં બરાબર સમાન ઉકેલો છે). મૂળ પ્રણાલીમાં સ્વતંત્ર સમીકરણોની સંખ્યા એ સમસ્થાનિક સ્વરૂપમાં બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા છે. સિસ્ટમ અસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ઇકોલોન સ્વરૂપમાં છેલ્લી બિન-શૂન્ય હરોળમાં માત્ર એક બિન-શૂન્ય એન્ટ્રી હોય જે છેલ્લા સ્તંભમાં હોય (સમીકરણ 0 = c આપે છે જ્યાં c એ બિન-શૂન્ય અચળાંક છે). નહિંતર, બરાબર એક જ ઉકેલ હોય છે જ્યારે ઈચેલોન સ્વરૂપમાં બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા અજ્ઞાતની સંખ્યા જેટલી હોય છે, અને જ્યારે બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા ચલની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય ત્યારે અનંત ઘણા ઉકેલો હોય છે. બીજી રીતે કહીએ તો, રોઉચે-કેપેલી પ્રમેય અનુસાર, જો સંવર્ધિત મેટ્રિક્સનો ક્રમ ગુણાંક મેટ્રિક્સના ક્રમ કરતા વધારે હોય તો સમીકરણોની કોઈપણ પદ્ધતિ (વધુ નિર્ધારિત અથવા અન્યથા) અસંગત છે. જો, બીજી બાજુ, આ બે મેટ્રિસીસની રેન્ક સમાન હોય, તો સિસ્ટમમાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોવો આવશ્યક છે. ઉકેલ અનન્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમ ચલની સંખ્યા બરાબર હોય. નહિંતર સામાન્ય ઉકેલમાં k મુક્ત પરિમાણો હોય છે જ્યાં k એ ચલની સંખ્યા અને ક્રમ વચ્ચેનો તફાવત છે; તેથી આવા કિસ્સામાં ઉકેલોની અનંતતા હોય છે. ચોક્કસ ઉકેલો બધા ચોક્કસ ઉકેલો મેળવી શકાય છે, અથવા મેટ્રિક્સ બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને તે બતાવી શકાય છે કે કોઈ અસ્તિત્વમાં નથી. સિસ્ટમ ઓફ લિનિયર equations#Matrix ઉકેલ જુઓ. અંદાજિત ઉકેલો સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસની પદ્ધતિનો ઉપયોગ વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલીઓનો અંદાજિત ઉકેલ શોધવા માટે કરી શકાય છે. સિસ્ટમ માટે લઘુત્તમ વર્ગ સૂત્ર સમસ્યામાંથી મેળવવામાં આવે છે, જેનો ઉકેલ સામાન્ય સમીકરણો સાથે લખી શકાય છે, જ્યાં મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝ સૂચવે છે, જે અસ્તિત્વમાં છે (એટલે કે, જો A પાસે સંપૂર્ણ સ્તંભ ક્રમ હોય તો). આ સૂત્ર સાથે જ્યારે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય ત્યારે અંદાજિત ઉકેલ મળે છે, અને જ્યારે કોઈ અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે તે ચોક્કસ ઉકેલ આપે છે. જો કે, સારી આંકડાકીય ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે, ઓછામાં ઓછા વર્ગની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે A ના ક્યુઆર ફેક્ટરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે. સમીકરણોની વધુ પડતી નિર્ધારિત બિનરેખીય પ્રણાલીઓ મર્યાદિત પરિમાણીય જગ્યાઓમાં, સમીકરણોની પ્રણાલીને ક્યાં એક બિંદુ છે અથવા જ્યાં તે વાસ્તવિક અથવા જટિલ કાર્યો છે તેના સ્વરૂપમાં અથવા તેના સ્વરૂપમાં લખી અથવા રજૂ કરી શકાય છે. જો સિસ્ટમ વધુ પડતી નિર્ધારિત છે. તેનાથી વિપરીત, જો સિસ્ટમ એક અલ્પનિર્ધારિત સિસ્ટમ છે. વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે એક અસરકારક પદ્ધતિ તરીકે, ગૌસ-ન્યુટન પુનરાવર્તન સ્થાનિક રીતે ચતુર્ભુજ રીતે એવા ઉકેલોમાં પરિવર્તિત થાય છે કે જેના પર જેકોબિયન મેટ્રિસીસ ઇન્જેક્ટિવ હોય છે. સામાન્ય ઉપયોગમાં આ ખ્યાલ સમીકરણોની વધુ સામાન્ય પ્રણાલીઓ પર પણ લાગુ કરી શકાય છે, જેમ કે બહુપદી સમીકરણોની પ્રણાલીઓ અથવા આંશિક વિભેદક સમીકરણો. બહુપદી સમીકરણોની પ્રણાલીઓના કિસ્સામાં, એવું બની શકે છે કે વધુ પડતી નિર્ધારિત પ્રણાલી પાસે ઉકેલ હોય, પરંતુ કોઈ એક સમીકરણ અન્યનું પરિણામ નથી અને કોઈ પણ સમીકરણને દૂર કરતી વખતે, નવી પ્રણાલીમાં વધુ ઉકેલો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેનો એક જ ઉકેલ છે પરંતુ દરેક સમીકરણમાં પોતે બે ઉકેલો છે. અન્ડરડિટર્મિનેડ સિસ્ટમ રોઉચે-કેપેલી (અથવા, રોઉચે-ફ્રોબેનિયસ) થીયરમ ઇન્ટિગ્રેબિલિટી કન્ડિશન ઓછામાં ઓછા ચોરસ સુસંગતતા સાબિતી કોમ્પ્રેસ્ડ સેન્સિંગ મૂરે-પેનરોઝ સ્યુડોઇનવર્સ રેફરન્સ વક્ર ફિટિંગ રેખીય બીજગણિત આંશિક વિભેદક સમીકરણો પણ જુઓ.