Positive-definite kernel
ઓપરેટર થિયરીમાં, ગણિતની એક શાખા, પોઝિટિવ-ડેફિનિટ કર્નલ એ પોઝિટિવ-ડેફિનિટ ફંક્શન અથવા પોઝિટિવ-ડેફિનિટ મેટ્રિક્સનું સામાન્યીકરણ છે. તે સૌપ્રથમ 20મી સદીની શરૂઆતમાં જેમ્સ મર્સર દ્વારા ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર સમીકરણો ઉકેલવાના સંદર્ભમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ત્યારથી, ગણિતના વિવિધ ભાગોમાં હકારાત્મક-નિશ્ચિત કાર્યો અને તેમના વિવિધ એનાલોગ અને સામાન્યીકરણોનો ઉદય થયો છે. તેઓ ફોરિયર વિશ્લેષણ, સંભાવના સિદ્ધાંત, સંચાલક સિદ્ધાંત, જટિલ કાર્ય-સિદ્ધાંત, ક્ષણ સમસ્યાઓ, અભિન્ન સમીકરણો, આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે સીમા-મૂલ્ય સમસ્યાઓ, મશીન લર્નિંગ, એમ્બેડિંગ સમસ્યા, માહિતી સિદ્ધાંત અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં કુદરતી રીતે જોવા મળે છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક બિન-ખાલી સમૂહ હોઈએ, જેને કેટલીકવાર અનુક્રમણિકા સમૂહ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સપ્રમાણ કાર્યને હકારાત્મક-નિશ્ચિત (પી. ડી.) કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ હોય તો કર્નલ ચાલુ રાખો, આપેલ છે. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, કેટલીકવાર હકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલો વચ્ચે તફાવત કરવામાં આવે છે, જેના માટે (1.1) માં સમાનતા સૂચવે છે, અને હકારાત્મક અર્ધ-નિશ્ચિત (પી. એસ. ડી.) કર્નલો, જે આ શરત લાદતા નથી. નોંધ લો કે આ જરૂરી છે કે જોડી મુજબના મૂલ્યાંકન દ્વારા બનાવવામાં આવેલ કોઈપણ મર્યાદિત મેટ્રિક્સ, કાં તો સંપૂર્ણપણે હકારાત્મક (પી. ડી.) હોય. અથવા બિન-નકારાત્મક (પી. એસ. ડી.) આઈગન વેલ્યુ. ગાણિતિક સાહિત્યમાં, કર્નલો સામાન્ય રીતે જટિલ મૂલ્યવાન કાર્યો હોય છે, પરંતુ આ લેખમાં આપણે વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યો ધારીએ છીએ, જે પી. ડી. ની એપ્લિકેશનોમાં સામાન્ય પ્રથા છે. કર્નલો. કેટલીક સામાન્ય મિલકતો પી. ડી. ના પરિવાર માટે કર્નલો શંકુ આકારનો સરવાળો પી. ડી. છે, આપેલ ઉત્પાદન પી. ડી. છે, આપેલ મર્યાદા પી. ડી. છે. જો મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે. જો સમૂહોનો ક્રમ હોય, અને પી. ડી. નો ક્રમ હોય. કર્નલો, પછી બંને અને પી. ડી. છે. કર્નલો ચાલુ કરો. જવા દો. પછી પ્રતિબંધ પણ પી. ડી. છે. કર્નલ. પી. ડી. ના ઉદાહરણો કર્નલો પી. ડી. ના સામાન્ય ઉદાહરણો યુક્લિડિયન અવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત કર્નલોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ બહુપદી કર્નલઃ. ગૌસીયન કર્નલ (આરબીએફ કર્નલ): લેપલેસિયન કર્નલઃ. એબેલ કર્નલઃ. સોબોલેવ જગ્યાઓ પેદા કરતી કર્નલઃ, જ્યાં ત્રીજા પ્રકારનું બેસલ કાર્ય છે. પેલે-વીનર જગ્યા પેદા કરતી કર્નલઃ જો હિલ્બર્ટ જગ્યા હોય, તો તેનું અનુરૂપ આંતરિક ઉત્પાદન પી. ડી. છે. કર્નલ. ખરેખર, આપણી પાસે કર્નલો અને હિસ્ટોગ્રામ પર વ્યાખ્યાયિત છેઃ વાસ્તવિક જીવનની સમસ્યાઓના ઉપયોગોમાં હિસ્ટોગ્રામ વારંવાર જોવા મળે છે. મોટાભાગના અવલોકનો સામાન્ય રીતે ગણતરીના બિન-નકારાત્મક વેક્ટરના સ્વરૂપ હેઠળ ઉપલબ્ધ હોય છે, જે, જો સામાન્ય કરવામાં આવે તો, આવર્તનના હિસ્ટોગ્રામ આપે છે. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે સ્ક્વેર્ડ મેટ્રિક્સના નીચેના પરિવાર, અનુક્રમે જેનસન વિચલન,-સ્ક્વેર, કુલ ભિન્નતા અને હેલિંગર અંતરની બે ભિન્નતાઓનો ઉપયોગ પી. ડી. ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. નીચેના સૂત્ર હિસ્ટ્રી પોઝિટિવ-ડેફિનિટ કર્નલ્સનો ઉપયોગ કરતા કર્નલ્સ, જેમ કે (1.1) માં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે, સૌપ્રથમ 1909 માં જેમ્સ મર્સર દ્વારા અભિન્ન સમીકરણો પરના પેપરમાં દેખાયા હતા. અન્ય કેટલાક લેખકોએ આગામી બે દાયકામાં આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યો હતો, પરંતુ તેમાંથી કોઈએ સ્પષ્ટ રીતે કર્નલનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો, એટલે કે. પી. ડી કાર્યો (ખરેખર એમ. માથિયાસ અને એસ. બોચનર પી. ડી. ના અભ્યાસથી પરિચિત ન હોવાનું જણાય છે. કર્નલો). મર્સરનું કાર્ય 1904ના હિલ્બર્ટના બીજા પ્રકારના ફ્રેડહોલ્મ ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણો પરના પેપરમાંથી ઉદ્ભવ્યું હતુંઃ ખાસ કરીને, હિલ્બર્ટે દર્શાવ્યું હતું કે જ્યાં સતત વાસ્તવિક સમપ્રમાણતાવાળી કર્નલ છે, તે સતત છે, તે ઓર્થોનોર્મલ આઈગનફંક્શન્સની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ છે, અને s એ (1.2) ના અનુરૂપ આઈગનવેલ્યુ છે. હિલ્બર્ટે "ચોક્કસ" કર્નલને તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જેના માટે ડબલ ઇન્ટિગ્રલ સિવાય સંતોષ આપે છે. મર્સરના પેપરનો મૂળ ઉદ્દેશ હિલ્બર્ટના અર્થમાં ચોક્કસ કર્નલોની લાક્ષણિકતા દર્શાવવાનો હતો, પરંતુ મર્સરને ટૂંક સમયમાં જાણવા મળ્યું કે આવા કાર્યોનો વર્ગ નિર્ધારકોની દ્રષ્ટિએ લાક્ષણિકતા દર્શાવવા માટે ખૂબ પ્રતિબંધિત હતો. તેથી તેમણે સતત વાસ્તવિક સમપ્રમાણતાવાળા કર્નલને હકારાત્મક પ્રકાર (એટલે કે. પોઝિટિવ-ડેફિનિટ) જો બધા વાસ્તવિક સતત વિધેયો ચાલુ હોય, અને તેમણે સાબિત કર્યું કે (1.1) એ કર્નલના પોઝિટિવ પ્રકાર માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત છે. મર્સર પછી સાબિત કર્યું કે કોઈપણ સતત પી. ડી. કર્નલ વિસ્તરણ સંપૂર્ણપણે અને સમાન રીતે ધરાવે છે. લગભગ તે જ સમયે W. H. યંગે અભિન્ન સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં એક અલગ પ્રશ્ન દ્વારા પ્રેરિત થઈને દર્શાવ્યું હતું કે સતત કર્નલની સ્થિતિ (1.1) બધા માટે સમાન છે. ઇ. એચ. મૂરેએ ખૂબ જ સામાન્ય પ્રકારના પી. ડી. નો અભ્યાસ શરૂ કર્યો. કર્નલ. જો એક અમૂર્ત સમૂહ હોય, તો તે "હકારાત્મક હર્મિશિયન મેટ્રિસીસ" પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યોને કહે છે જો તેઓ બધા માટે (1.1) ને સંતોષે છે. મૂરે ઇંટીગ્રલ સમીકરણોના સામાન્યીકરણમાં રસ ધરાવતા હતા અને દર્શાવ્યું હતું કે આવા દરેક માટે હિલ્બર્ટ જગ્યા છે જેમ કે, દરેક માટે. આ ગુણધર્મને કર્નલનો પુનઃઉત્પાદન ગુણધર્મ કહેવામાં આવે છે અને લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે સીમા-મૂલ્ય સમસ્યાઓના ઉકેલમાં તેનું મહત્વ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. વિકાસની બીજી રેખા જેમાં પી. ડી. કર્નલોએ મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી, જેમ કે 1929માં ઇ. કાર્ટન દ્વારા શરૂ કરાયેલ અને એચ. વેલ અને એસ. ઇતો દ્વારા ચાલુ કરાયેલ સજાતીય જગ્યાઓ પર સુમેળનો સિદ્ધાંત હતો. પી. ડી. નો સૌથી વ્યાપક સિદ્ધાંત સજાતીય જગ્યાઓમાં કર્નલો એમ. ક્રેઇનના હોય છે જેમાં ખાસ કિસ્સાઓમાં પી. ડી. પરના કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથોના કાર્યો અને ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆતો. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, પૃ. કર્નલો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સહપરિવર્તન કર્નલો તરીકે ઉદ્ભવે છે. કર્નલ હિલ્બર્ટ જગ્યાઓના પુનઃઉત્પાદન સાથે જોડાણ અને લક્ષણ નકશા હકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલો એક માળખું પ્રદાન કરે છે જેમાં કેટલીક મૂળભૂત હિલ્બર્ટ જગ્યા રચનાઓનો સમાવેશ થાય છે. નીચેનામાં આપણે હકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલો અને બે ગાણિતિક પદાર્થો વચ્ચેનો ગાઢ સંબંધ રજૂ કરીએ છીએ, એટલે કે હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ અને લક્ષણ નકશાનું પુનઃઉત્પાદન. ચાલો એક સમૂહ, કાર્યોની હિલ્બર્ટ જગ્યા અને તેના પર અનુરૂપ આંતરિક ઉત્પાદન હોઈએ. કોઈપણ મૂલ્યાંકન કાર્યાત્મક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપણે સૌપ્રથમ રિપ્રોડ્યુસિંગ કર્નલ હિલ્બર્ટ સ્પેસ (આર. કે. એચ. એસ.) ને વ્યાખ્યાયિત કરીએઃ વ્યાખ્યાઃ જો મૂલ્યાંકન કાર્યો સતત હોય તો સ્પેસને રિપ્રોડ્યુસિંગ કર્નલ હિલ્બર્ટ સ્પેસ કહેવામાં આવે છે. દરેક આર. કે. એચ. એસ. નું તેની સાથે સંકળાયેલું એક વિશેષ કાર્ય છે, એટલે કે પુનઃઉત્પાદન કર્નલઃ વ્યાખ્યાઃ પુનઃઉત્પાદન કર્નલ એ એક એવું કાર્ય છે કે, અને, બધા માટે અને. પછીની મિલકતને પુનઃઉત્પાદન મિલકત કહેવામાં આવે છે. નીચેનું પરિણામ આર. કે. એચ. એસ. અને પુનઃઉત્પાદન કર્નલો વચ્ચે સમાનતા દર્શાવે છેઃ હવે હકારાત્મક ચોક્કસ કર્નલો અને આર. કે. એચ. એસ. વચ્ચેનું જોડાણ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે. અગાઉ જણાવ્યા મુજબ, સકારાત્મક ચોક્કસ કર્નલો આંતરિક ઉત્પાદનોમાંથી બનાવી શકાય છે. આ હકીકતનો ઉપયોગ પી. ડી. ને જોડવા માટે થઈ શકે છે. મશીન લર્નિંગ એપ્લિકેશન્સમાં ઉદ્ભવતા અન્ય રસપ્રદ પદાર્થ સાથેના કર્નલો, એટલે કે સુવિધા નકશો. ચાલો હિલ્બર્ટ જગ્યા, અને અનુરૂપ આંતરિક ઉત્પાદન. કોઈપણ નકશાને લક્ષણ નકશો કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં આપણે ફીચર સ્પેસને કૉલ કરીએ છીએ. તે જોવાનું સરળ છે કે દરેક લક્ષણ નકશો એક અનન્ય પીડી વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ખરેખર દ્વારા કર્નલ, પી. ડી. માંથી નીચેની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા. આંતરિક ઉત્પાદનની મિલકત. બીજી બાજુ, દરેક પી. ડી. કર્નલ અને તેના અનુરૂપ આર. કે. એચ. એસ. માં ઘણા સંબંધિત લક્ષણ નકશા છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ચાલો, અને બધા માટે. પછી, પુનઃઉત્પાદન ગુણધર્મ દ્વારા. આ પીડી પર નવો દેખાવ સૂચવે છે. યોગ્ય હિલ્બર્ટ જગ્યાઓમાં આંતરિક ઉત્પાદનો તરીકે કર્નલો, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો પી. ડી. કર્નલોને સમાનતા નકશા તરીકે જોઈ શકાય છે જે અસરકારક રીતે બે બિંદુઓ કેટલા સમાન છે અને મૂલ્ય દ્વારા છે તેનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે. વધુમાં, પી. ડી. ની સમાનતા દ્વારા. કર્નલ અને તેના અનુરૂપ આર. કે. એચ. એસ., દરેક ફીચર નકશાનો ઉપયોગ આર. કે. એચ. એસ. બનાવવા માટે કરી શકાય છે. કર્નલો અને અંતર કર્નલ પદ્ધતિઓની સરખામણી ઘણીવાર નજીકના પડોશીઓ જેવી અંતર આધારિત પદ્ધતિઓ સાથે કરવામાં આવે છે. આ વિભાગમાં આપણે તેમના બે સંબંધિત ઘટકો, એટલે કે કર્નલો અને અંતર વચ્ચેની સમાનતાઓની ચર્ચા કરીએ છીએ. અહીં અમુક સમૂહના તત્વોની દરેક જોડી વચ્ચેના અંતર કાર્ય દ્વારા, અમારો અર્થ એ છે કે તે સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત મેટ્રિક, એટલે કે. કોઈપણ બિન-નકારાત્મક-મૂલ્યવાન કાર્ય કે જેના પર સંતોષ થાય છે, અને જો અને માત્ર જો,. અંતર અને પી. ડી. વચ્ચેની એક કડી કર્નલો એક ચોક્કસ પ્રકારના કર્નલ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેને નકારાત્મક ચોક્કસ કર્નલ કહેવામાં આવે છે, અને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે વ્યાખ્યાઃ એક સપ્રમાણ કાર્યને નકારાત્મક નિશ્ચિત (એન. ડી.) કર્નલ કહેવામાં આવે છે, જો તે કોઈપણ અને તેના માટે હોય તો. એન. ડી. કર્નલો અને અંતર વચ્ચેનું સમાંતર નીચે મુજબ છેઃ જ્યારે પણ સેટ પર એન. ડી. કર્નલ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને માત્ર આ સેટ પર શૂન્ય હોય છે, ત્યારે તેનું વર્ગમૂળ તેના માટેનું અંતર છે. તે જ સમયે દરેક અંતર એ એન. ડી. કર્નલને અનુરૂપ હોવું જરૂરી નથી. આ માત્ર હિલ્બર્ટિયન અંતર માટે સાચું છે, જ્યાં અંતરને હિલ્બર્ટિયન કહેવામાં આવે છે જો કોઈ વ્યક્તિ મેટ્રિક જગ્યાને અમુક હિલ્બર્ટ જગ્યામાં આઇસોમેટ્રિક રીતે એમ્બેડ કરી શકે. બીજી બાજુ, એન. ડી. કર્નલોને પી. ડી. ના ઉપકુટુંબ સાથે ઓળખી શકાય છે. કર્નલો અનંત રીતે વિભાજીત કર્નલો તરીકે ઓળખાય છે. બિન-નકારાત્મક-મૂલ્યના કર્નલને અનંત રીતે વિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે જો દરેક માટે એક સકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલ હોય. બીજી કડી એ છે કે પી. ડી. કર્નલ સ્યુડોમેટ્રિકને પ્રેરિત કરે છે, જ્યાં અંતર કાર્ય પરની પ્રથમ અવરોધને મંજૂરી આપવા માટે ઢીલું કરવામાં આવે છે. હકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલને જોતાં, આપણે અંતર કાર્યને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઃ મશીન લર્નિંગમાં કેટલીક એપ્લિકેશનો સકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલો, કર્નલ હિલ્બર્ટ સ્પેસના પુનઃઉત્પાદન સાથે તેમની સમાનતા દ્વારા, આંકડાકીય શિક્ષણ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે પ્રખ્યાત પ્રતિનિધિ પ્રમેય જણાવે છે કે આરકેએચએસમાં દરેક લઘુતમ કાર્યને તાલીમ બિંદુઓ પર મૂલ્યાંકન કરેલ કર્નલ કાર્યના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે. આ વ્યવહારીક રીતે ઉપયોગી પરિણામ છે કારણ કે તે અસરકારક રીતે પ્રયોગમૂલક જોખમ ઘટાડવાની સમસ્યાને અનંત પરિમાણીયથી મર્યાદિત પરિમાણીય ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યામાં સરળ બનાવે છે. સંભવિત મોડેલોમાં કર્નલો સંભાવના સિદ્ધાંતમાં કર્નલો ઊભી થાય છે તે ઘણી જુદી જુદી રીતો છે. બિનનિર્ધારણીય પુનઃપ્રાપ્તિ સમસ્યાઓઃ ધારો કે આપણે સમૂહના નવા બિંદુ પર અજ્ઞાત મોડેલ કાર્યનો પ્રતિસાદ શોધવા માંગીએ છીએ, જો કે આપણી પાસે નિરીક્ષણ અથવા પ્રયોગ દ્વારા આપવામાં આવેલ ઇનપુટ-પ્રતિસાદ જોડીનો નમૂનો છે. પરનો પ્રતિસાદ એ એક નિશ્ચિત કાર્ય નથી પરંતુ વાસ્તવિક મૂલ્યના રેન્ડમ ચલની અનુભૂતિ છે. ધ્યેય એ કાર્ય વિશેની માહિતી મેળવવાનો છે જે નિર્ધારિત સેટિંગમાં બદલાય છે. બે ઘટકો માટે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ અને બિનસંબંધિત રહેશે નહીં, કારણ કે જો તે વર્ણવેલ રેન્ડમ પ્રયોગોની ખૂબ નજીક છે અને ઘણીવાર સમાન વર્તન બતાવશે. આને કોવેરિયન્સ કર્નલ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આવી કર્નલ અસ્તિત્વમાં છે અને નબળી વધારાની ધારણાઓ હેઠળ હકારાત્મક-નિશ્ચિત છે. હવે સંભવિત પૃષ્ઠભૂમિને સંપૂર્ણપણે અવગણીને, કોવેરિયન્સ કર્નલ સાથે કર્નલ ઇન્ટરપોલેશનનો ઉપયોગ કરીને સારો અંદાજ મેળવી શકાય છે. હવે ધારો કે શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે ઘોંઘાટ ચલ ઉમેરવામાં આવે છે, જેમ કે ઘોંઘાટ અલગ અને તેનાથી સ્વતંત્ર છે, તો પછી સારા અંદાજ શોધવાની સમસ્યા ઉપરના એક સમાન છે, પરંતુ દ્વારા આપવામાં આવેલા સુધારેલા કર્નલ સાથે. કર્નલો દ્વારા ઘનતાનો અંદાજઃ સમસ્યા એ છે કે પુનરાવર્તનો સહિત મોટા નમૂનામાંથી ડોમેન પર મલ્ટીવેરિયેટ વિતરણની ઘનતાને પુનઃપ્રાપ્ત કરવી. જ્યાં નમૂના બિંદુઓ ગાઢ હોય, ત્યાં સાચું ઘનતા કાર્ય મોટા મૂલ્યો લેવું આવશ્યક છે. ગ્રીડના દરેક કોષમાં નમૂનાઓની સંખ્યાની ગણતરી કરીને અને પરિણામી હિસ્ટોગ્રામને ગોઠવીને એક સરળ ઘનતા અંદાજ શક્ય છે, જે પીસવાઇઝ સ્થિર ઘનતા અંદાજ આપે છે. બિન-નકારાત્મક અનુવાદ અપરિવર્તનશીલ કર્નલનો ઉપયોગ કરીને વધુ સારો અંદાજ મેળવી શકાય છે, જેમાં કુલ અભિન્ન એકની બરાબર હોય છે, અને તેને સરળ અંદાજ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો આંકડાકીય ઉકેલ કહેવાતી જાળી મુક્ત પદ્ધતિઓના સૌથી મોટા ઉપયોગ ક્ષેત્રોમાંથી એક PDE ના આંકડાકીય ઉકેલમાં છે. કેટલીક લોકપ્રિય મેશફ્રી પદ્ધતિઓ હકારાત્મક-નિશ્ચિત કર્નલો (જેમ કે મેશલેસ લોકલ પેટ્રોવ ગેલર્કિન (એમ. એલ. પી. જી.), રિપ્રોડ્યુસિંગ કર્નલ પાર્ટિકલ મેથડ (આર. કે. પી. એમ.) અને સ્મૂથેડ-પાર્ટિકલ હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ (એસ. પી. એચ.)) સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આ પદ્ધતિઓ કોલોકેશન માટે રેડિયલ બેસિસ કર્નલનો ઉપયોગ કરે છે. સ્ટાઇનસ્પ્રિંગ ડાયલેશન થીયરમ અન્ય ઉપયોગો કોમ્પ્યુટર પ્રયોગો અને અન્ય ઇજનેરી પ્રયોગો પરના સાહિત્યમાં, વ્યક્તિ વધુને વધુ પી. ડી. પર આધારિત નમૂનાઓનો સામનો કરે છે. કર્નલો, આરબીએફ અથવા ક્રિગિંગ. આવો જ એક વિષય પ્રતિક્રિયા સપાટીની પદ્ધતિ છે. અન્ય પ્રકારની એપ્લિકેશનો કે જે ડેટા ફિટિંગમાં આવે છે તે ઝડપી પ્રોટોટાઇપિંગ અને કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ છે. અહીં ઘણીવાર બિંદુ ક્લાઉડ ડેટાને અંદાજિત કરવા અથવા ઇન્ટરપોલેટ કરવા માટે ગર્ભિત સપાટીના નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પી. ડી. ની અરજીઓ ગણિતની અન્ય વિવિધ શાખાઓમાં કર્નલો મલ્ટીવેરિયેટ એકીકરણ, મલ્ટીવેરિયેટ ઓપ્ટિમાઇઝેશન અને આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને વૈજ્ઞાનિક કમ્પ્યુટિંગમાં છે, જ્યાં કોઈ વ્યક્તિ ઝડપી, સચોટ અને અનુકૂલનશીલ અલ્ગોરિધમ્સનો અભ્યાસ કરે છે જે આદર્શ રીતે ઉચ્ચ-પ્રદર્શન કમ્પ્યુટિંગ વાતાવરણમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ કોવેરિયન્સ ફંક્શન ઇન્ટિગ્રલ ઇક્વેશન ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મ પોઝિટિવ-ડેફિનિટ ફંક્શન ઓન અ ગ્રૂપ રિપ્રોડ્યુસિંગ કર્નલ હિલ્બર્ટ સ્પેસ સંદર્ભો ઓપરેટર થિયરી હિલ્બર્ટ સ્પેસ