Oscillation theory
ગણિતમાં, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના ક્ષેત્રમાં, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણના બિન-તુચ્છ ઉકેલને ઓસિલેટિંગ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં અનંત સંખ્યામાં મૂળ હોય; અન્યથા તેને બિન-ઓસિલેટિંગ કહેવામાં આવે છે. વિભેદક સમીકરણને ઓસિલેટિંગ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ઓસિલેટિંગ ઉકેલ હોય. મૂળની સંખ્યા સંકળાયેલ સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના વર્ણપટ પર પણ માહિતી ધરાવે છે. ઉદાહરણો વિભેદક સમીકરણ દોલાયમાન છે કારણ કે sin (x) એ એક ઉકેલ છે. સ્પેક્ટ્રલ થિયરી સાથે જોડાણ ઓસિલેશન થિયરીની શરૂઆત જેક ચાર્લ્સ ફ્રાન્કોઇસ સ્ટર્મ દ્વારા 1836 થી સ્ટર્મ-લિઉવિલે સમસ્યાઓની તપાસમાં કરવામાં આવી હતી. ત્યાં તેમણે દર્શાવ્યું કે સ્ટર્મ-લિઉવિલે સમસ્યાનું n 'th આઈગનફંક્શન ચોક્કસપણે n-1 મૂળ ધરાવે છે. એક-પરિમાણીય શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે ઓસિલેશન/નોન-ઓસિલેશન વિશેનો પ્રશ્ન એ પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે કે શું આઈગનવેલ્યુ સતત વર્ણપટના તળિયે એકઠા થાય છે. 1996માં ગેઝટેસી-સિમોન-ટેસ્ચલે દર્શાવ્યું હતું કે સ્ટર્મ-લિઉવિલે સમસ્યાના બે આઈગનફંક્શન્સના બ્રોન્સ્કી નિર્ધારકના મૂળની સંખ્યા અનુરૂપ આઈગનવેલ્યુ વચ્ચે આઈગનવેલ્યુની સંખ્યા આપે છે. પાછળથી ક્રુગર-ટેશલ દ્વારા બે અલગ-અલગ સ્ટર્મ-લિઉવિલે સમસ્યાઓના બે આઈગનફંક્શન્સના કિસ્સામાં તેનું સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. બે ઉકેલોના વ્રોન્સ્કી નિર્ધારકના મૂળની સંખ્યાની તપાસને સંબંધિત દોલન સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઓસિલેશન થિયરીમાં શાસ્ત્રીય પરિણામો પણ જુઓઃ નેસરનો પ્રમેય (વિભેદક સમીકરણો) સ્ટર્મ-પિકોન સરખામણી પ્રમેય સ્ટર્મ વિભાજન પ્રમેય સંદર્ભો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો