8-cube
ભૂમિતિમાં, 8-ઘન એ આઠ-પરિમાણીય હાયપરક્યુબ છે. તેમાં 256 શિરોબિંદુઓ, 1024 ધાર, 1792 ચોરસ ચહેરાઓ, 1792 ઘન કોષો, 1120 ટેસરાક્ટ 4-ચહેરાઓ, 448 5-ઘન 5-ચહેરાઓ, 112 6-ઘન 6-ચહેરાઓ અને 16 7-ઘન 7-ચહેરાઓ છે. તે શ્લાફલી પ્રતીક {4,36} દ્વારા રજૂ થાય છે, જે દરેક 6-ચહેરાની આસપાસ 3 7-ક્યુબ્સથી બનેલું છે. તેને ઓક્ટેરેક્ટ કહેવામાં આવે છે, ગ્રીકમાં ટેસેરેક્ટ (4-ક્યુબ) નું પોર્ટમન્ટેઉ અને આઠ (પરિમાણો) માટે ઓક્ટ. તેને નિયમિત હેક્સડેકા-8-ટોપ અથવા હેક્સાડેકાઝેટ્ટોન પણ કહી શકાય, જે 16 નિયમિત પાસાઓમાંથી બનેલું 8-પરિમાણીય પોલીટોપ છે. તે પોલીટોપ્સના અનંત પરિવારનો એક ભાગ છે, જેને હાયપરક્યુબ્સ કહેવાય છે. 8-સમઘનના દ્વૈતને 8-ઓર્થોપ્લેક્સ કહી શકાય અને તે ક્રોસ-પોલીટોપ્સના અનંત પરિવારનો એક ભાગ છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ મૂળ અને ધાર લંબાઈ 2 પર કેન્દ્રિત 8-સમઘનના શિરોબિંદુઓ માટે (±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1) છે જ્યારે તેના આંતરિક ભાગમાં-1 <xi <1 સાથે તમામ બિંદુઓ (x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) નો સમાવેશ થાય છે. રૂપરેખાંકન તરીકે આ રૂપરેખાંકન મેટ્રિક્સ 8-સમઘનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પંક્તિઓ અને સ્તંભો શિરોબિંદુઓ, ધાર, ચહેરાઓ, કોષો, 4-ચહેરાઓ, 5-ચહેરાઓ, 6-ચહેરાઓ અને 7-ચહેરાને અનુરૂપ છે. કર્ણ સંખ્યાઓ જણાવે છે કે સમગ્ર 8-સમઘનમાં દરેક તત્વના કેટલા ઘટકો જોવા મળે છે. બિન-કર્ણ સંખ્યાઓ કહે છે કે સ્તંભના કેટલા ઘટકો હરોળના તત્વમાં અથવા તેના પર જોવા મળે છે. વિકર્ણ એફ-વેક્ટર સંખ્યાઓ વાયથોફ રચના દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, જે એક સમયે એક અરીસાને દૂર કરીને પેટાજૂથ ક્રમના સંપૂર્ણ જૂથ ક્રમને વિભાજિત કરે છે. પ્રોજેક્શન્સ વ્યુત્પન્ન પોલીટોપ્સ વૈકલ્પિક કામગીરી લાગુ કરીને, ઓક્ટેરેક્ટના વૈકલ્પિક શિરોબિંદુઓને કાઢીને, અન્ય એકસમાન પોલીટોપ બનાવે છે, જેને 8-ડેમીક્યુબ કહેવાય છે, (ડેમીહાઇપરક્યુબ્સ તરીકે ઓળખાતા અનંત પરિવારનો ભાગ), જેમાં 16 ડેમીહેપ્ટેરેક્ટિક અને 128 8-સિમ્પ્લેક્સ પાસાં છે. સંબંધિત બહુપદી હાયપરક્યુબની અનંત શ્રેણીમાં 8-સમઘન 8મું સ્થાન ધરાવે છેઃ સંદર્ભો એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરઃ કોક્સેટર, રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, (ત્રીજી આવૃત્તિ, 1973), ડોવર આવૃત્તિ, પૃષ્ઠ 296, કોષ્ટક I (iii): રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, એન-પરિમાણોમાં ત્રણ રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ (n ≤ 5) કેલિડોસ્કોપઃ એચ. એસ. એમ. ના પસંદ કરેલા લખાણો. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન દ્વારા સંપાદિત, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, (પેપર 22) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ નિયમિત પોલીટોપ I, [ગણિત. ઝીરો. 46 (1940) 380-407, એમઆર 2,10] (પેપર 23) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ II, [ગણિત. ઝીરો. 188 (1985) 559-591 [પેપર 24] એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ III, [ગણિત. ઝીરો. 200 (1988) નોર્મન જ્હોનસન યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ, હસ્તપ્રત (1991) એન. ડબલ્યુ. જ્હોનસનઃ ધ થિયરી ઓફ યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ એન્ડ હનીકોમ્બ્સ, પીએચ. ડી. (1966) બાહ્ય કડીઓ બહુ-પરિમાણીય શબ્દકોશઃ હાયપરક્યુબ ગેરેટ જોન્સ 8-પોલીટોપ્સ