Eilenberg–Moore spectral sequence
ગણિતમાં, બીજગણિત ટોપોલોજીના ક્ષેત્રમાં, આઈલેનબર્ગ-મૂર વર્ણપટ ક્રમ તંતુ પર પુલબેકના સમરૂપતા જૂથોની ગણતરીને સંબોધિત કરે છે. વર્ણપટ ક્રમ બાકીની જગ્યાઓના સમરૂપતાના જ્ઞાનમાંથી ગણતરી કરે છે. સેમ્યુઅલ આઈલેનબર્ગ અને જ્હોન સી. મૂરેના મૂળ પેપરમાં આને એકવચન સમરૂપતા માટે સંબોધવામાં આવ્યું છે. પ્રેરણા ચાલો એક ક્ષેત્ર હોઈએ અને અનુક્રમે k માં ગુણાંક સાથે એકવચન સમરૂપતા અને એકવચન સમરૂપતા દર્શાવીએ. સતત નકશા p ના નીચેના પુલબેકને ધ્યાનમાં લોઃ વારંવાર પ્રશ્ન એ છે કે ફાઇબર ઉત્પાદનની સમરૂપતા, B, X અને E ની સમરૂપતા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો B એક બિંદુ છે, તો પુલબેક એ માત્ર સામાન્ય ઉત્પાદન છે. આ કિસ્સામાં કુનેથ સૂત્ર કહે છે કે જો કે આ સંબંધ વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં સાચો નથી. આઈલેનબર્ગ-મૂર વર્ણપટ ક્રમ એ એક એવું ઉપકરણ છે જે અમુક પરિસ્થિતિઓમાં ફાઇબર ઉત્પાદનના (સહ) સમરૂપતાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. નિવેદન એઇલેનબર્ગ-મૂર સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ ઉપરોક્ત આઇસોમોર્ફિઝમને એવી પરિસ્થિતિમાં સામાન્ય બનાવે છે કે જ્યાં p એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓનું તંતુ છે અને આધાર B ફક્ત જોડાયેલ છે. આ એક સામાન્યીકરણ છે કારણ કે ઝીરોથ ટોર ફંકટર એ માત્ર ટેન્સર પ્રોડક્ટ છે અને ઉપરોક્ત વિશેષ કિસ્સામાં બિંદુ B ની કોહોમોલોજી માત્ર ગુણાંક ક્ષેત્ર k (ડિગ્રી 0 માં) છે. દ્વિસંગી રીતે, આપણી પાસે નીચેનો સમરૂપતા વર્ણપટ ક્રમ છેઃ પુરાવા પરના સંકેતો વર્ણપટ ક્રમ અવકાશો નહીં પણ વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ પદાર્થો (સાંકળ સંકુલ) ના અભ્યાસમાંથી ઉદ્ભવે છે. નીચે ઈલેનબર્ગ અને મૂરેની મૂળ સમરૂપ રચનાની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. કોહોમોલોજી કેસ સમાન રીતે મેળવવામાં આવે છે. ચાલો ગુણાંક સાથે એકવચન સાંકળ ફંકટર બનીએ. આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર પ્રમેય મુજબ, માળખાના નકશાઓ સાથે વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ કોલ બીજગણિત માળખું ધરાવે છે. નીચેથી પૃથ્વીની શરતોમાં, નકશો એકવચન સાંકળ s ને સોંપે છેઃ Δn → B એ s ની રચના અને વિકર્ણ સમાવેશ B × B. તેવી જ રીતે, વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ કોલજેબ્રાના નકશા અને પ્રેરિત નકશા. કોમોડ્યુલ્સની ભાષામાં, તેઓ માળખાના નકશા સાથે અને તેવી જ રીતે X ને બદલે E માટે વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ કોમોડ્યુલ માળખાઓ સાથે પ્રદાન કરે છે. હવે વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ કોમોડ્યુલ તરીકે કહેવાતા કોબર રીઝોલ્યુશનનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે. કોબર રિઝોલ્યુશન એ વિભેદક હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં એક પ્રમાણભૂત તકનીક છેઃ જ્યાં n-th શબ્દ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કોબર રીઝોલ્યુશન એ બાયકોમ્પ્લેક્સ છે, એક ડિગ્રી સાંકળ સંકુલ S િ઱ (−) ના ગ્રેડિંગમાંથી આવે છે, બીજી એક સરળ ડિગ્રી n છે. બાયકોમ્પ્લેક્સનું કુલ સંકુલ સૂચવવામાં આવે છે. ટોપોલોજિકલ પરિસ્થિતિ સાથે ઉપરોક્ત બીજગણિત રચનાની કડી નીચે મુજબ છે. ઉપરોક્ત ધારણાઓ હેઠળ, એક નકશો છે જે અર્ધ-સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે (એટલે કે. સમરૂપતા જૂથો પર સમરૂપતા પ્રેરિત કરવી) જ્યાં કોટેંસર ઉત્પાદન છે અને કોટોર (કોટોરસન) એ કોટેંસર ઉત્પાદન માટે વ્યુત્પન્ન કારક છે. ગણતરી કરવા માટે, ડબલ કોમ્પ્લેક્સ તરીકે જુઓ. કોઈપણ બાયકોમ્પ્લેક્સ માટે બે ગાળણક્રિયાઓ હોય છે (જુઓ અથવા ફિલ્ટર કરેલ સંકુલનો વર્ણપટ ક્રમ); આ કિસ્સામાં આઈલેનબર્ગ-મૂર વર્ણપટ ક્રમ સમરૂપ ડિગ્રી વધારીને (વર્ણપટ ક્રમના પ્રમાણભૂત ચિત્રમાં સ્તંભો દ્વારા) ગાળણક્રિયાથી પરિણમે છે. આ ગાળણ આ પરિણામો વિવિધ રીતે શુદ્ધ કરવામાં આવ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, કન્વર્જન્સ પરિણામોને એવી જગ્યાઓનો સમાવેશ કરવા માટે શુદ્ધ કરવામાં આવે છે કે જેના માટે બધા માટે તટસ્થ રીતે કાર્ય કરે છે અને મનસ્વી પુલબેક્સનો સમાવેશ કરવા માટે આને વધુ સામાન્ય બનાવ્યું છે. મૂળ રચના અન્ય સમરૂપતા સિદ્ધાંતો સાથેની ગણતરીઓ માટે પોતાને ઉધાર આપતી નથી કારણ કે એવી અપેક્ષા રાખવાનું કોઈ કારણ નથી કે આવી પ્રક્રિયા સમરૂપતા સિદ્ધાંત માટે કામ કરશે જે સાંકળ સંકુલમાંથી મેળવવામાં આવી નથી. જો કે, ઉપરોક્ત પ્રક્રિયાને સ્વયંસિદ્ધ કરવી શક્ય છે અને એવી શરતો આપવી શક્ય છે કે જેના હેઠળ ઉપરોક્ત વર્ણપટ ક્રમ સામાન્ય (સહ) સમરૂપતા સિદ્ધાંત માટે ધરાવે છે, લેરી સ્મિથના મૂળ કાર્ય અથવા તેમાં પરિચય જુઓ. સંદર્ભો વધુ વાંચન એલન હેચર, બીજગણિત ટોપોલોજીમાં સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ, ચો. 3. આઈલેનબર્ગ-મેકલેન સ્પેસ સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ હોમોલોજી થિયરી