Ducci sequence
ડુચી ક્રમ એ પૂર્ણાંકોના એન-ટુપલ્સનો ક્રમ છે, જેને કેટલીકવાર "ડિફી ગેમ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, કારણ કે તે ક્રમ પર આધારિત છે. પૂર્ણાંકોના એન-ટુપલને જોતાં, અનુક્રમમાં આગામી એન-ટુપલ પડોશી પૂર્ણાંકોના સંપૂર્ણ તફાવતોને લઈને રચાય છેઃ આનું વર્ણન કરવાની બીજી રીત નીચે મુજબ છે. વર્તુળમાં n પૂર્ણાંકોને ગોઠવો અને કોઈપણ બાદબાકી ચિહ્નોને અવગણીને પડોશીઓ વચ્ચેનો તફાવત લઈને નવું વર્તુળ બનાવો; પછી કામગીરીનું પુનરાવર્તન કરો. 1930ના દાયકામાં આની શોધ કરનાર ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી એનરિકો ડુચી (1864-1940) ના નામ પરથી ડુચી સિક્વન્સ નામ આપવામાં આવ્યું છે. ડુચી સિક્વન્સને ડુચી મેપ અથવા એન-નંબર ગેમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. આ નકશાના અભ્યાસમાં ખુલ્લી સમસ્યાઓ હજુ પણ બાકી છે. ગુણધર્મો બીજા એન-ટુપલ પછીથી, તે સ્પષ્ટ છે કે ડુચી ક્રમમાં દરેક એન-ટુપલમાં દરેક પૂર્ણાંક 0 કરતા વધારે અથવા બરાબર હોય છે અને તે પ્રથમ એન-ટુપલના મહત્તમ અને લઘુત્તમ સભ્યો વચ્ચેના તફાવત કરતાં ઓછો અથવા બરાબર હોય છે. આ અવરોધો સાથે સંભવિત એન-ટુપલ્સની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા હોવાથી, એન-ટુપલ્સનો ક્રમ વહેલા અથવા પછીના સમયમાં પુનરાવર્તિત થવો જોઈએ. તેથી દરેક ડુચી ક્રમ આખરે સામયિક બની જાય છે. જો n એ 2 ની ઘાત હોય તો દરેક ડુચી ક્રમ આખરે મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં n-ટુપલ (0,0,., 0) સુધી પહોંચે છે. જો n એ બેની ઘાત ન હોય, તો ડુચી ક્રમ કાં તો આખરે શૂન્યના એન-ટુપલ સુધી પહોંચશે અથવા 'દ્વિસંગી' એન-ટુપલ્સના સામયિક લૂપમાં સ્થાયી થશે; એટલે કે, સ્વરૂપના એન-ટુપલ્સ, એક અચળાંક છે, અને. ડુચી સિક્વન્સનું સ્પષ્ટ સામાન્યીકરણ એ છે કે એન-ટુપલ્સના સભ્યોને માત્ર પૂર્ણાંકોને બદલે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ બનવાની મંજૂરી આપવી. ઉદાહરણ તરીકે, આ 4-ટુપલ ચાર પુનરાવર્તનોમાં (0,0,0,0) માં એકરૂપ થાય છેઃ અહીં પ્રસ્તુત ગુણધર્મો હંમેશા આ સામાન્યીકરણ માટે નથી હોતા. ઉદાહરણ તરીકે, n-ટુપલ (1, q, q2, q3) થી શરૂ થતો ડુચી ક્રમ જ્યાં q એ ઘનનું (અતાર્કિક) હકારાત્મક મૂળ છે તે મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં (0,0,0,0) સુધી પહોંચતો નથી, જો કે મર્યાદામાં તે (0,0,0,0) માં એકરૂપ થાય છે. ઉદાહરણો ડુચી સિક્વન્સ શૂન્યના ટુપલ અથવા સામયિક લૂપ સુધી પહોંચે તે પહેલાં મનસ્વી રીતે લાંબા હોઈ શકે છે. (0,653,1854,4063) થી શરૂ થતો 4-ટુપલ ક્રમ શૂન્ય ટુપલ સુધી પહોંચવા માટે 24 પુનરાવર્તનો લે છે. આ 5-ટુપલ ક્રમ 7 પુનરાવર્તનો પછી 15 દ્વિસંગી 'લૂપ' સમયગાળામાં પ્રવેશ કરે છે. નીચે આપેલો 6-ટુપલ ક્રમ દર્શાવે છે કે ટુપલનો ક્રમ જેની લંબાઈ બેની ઘાત નથી તે હજુ પણ શૂન્યના ટુપલ સુધી પહોંચી શકે છેઃ જો કોઈ પણ "બે ની ઘાત"-ટુપલ ડુચી ક્રમ પર કેટલીક શરતો લાદવામાં આવે, તો તે શૂન્ય ટુપલ સુધી પહોંચવા માટે બે અથવા ઓછા પુનરાવર્તનોની તે શક્તિ લેશે. એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે આ ક્રમ એક નિયમને અનુરૂપ છે. મોડ્યુલો ટુ ફોર્મ જ્યારે ડુચી સિક્વન્સ દ્વિસંગી લૂપ્સ દાખલ કરે છે, ત્યારે ક્રમને મોડ્યુલો ટુમાં સારવાર કરવી શક્ય છે. એટલે કેઃ આ સાબિત કરવા માટેનો આધાર બનાવે છે કે જ્યારે ક્રમ બધા શૂન્યમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સેલ્યુલર ઓટોમેટા મોડ્યુલો 2 માં રેખીય નકશાને વોલ્ફ્રેમ કોડમાં નિયમ 102 તરીકે દર્શાવવામાં આવેલા સેલ્યુલર ઓટોમેટા તરીકે ઓળખી શકાય છે અને માર્ટિન-ઓડલીઝ્કો-વોલ્ફ્રેમ નકશા દ્વારા નિયમ 90 સાથે સંબંધિત છે. નિયમ 102 સિયેરપિન્સ્કી ત્રિકોણનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે. અન્ય સંબંધિત વિષયો ડુચી નકશો એ તફાવત સમીકરણનું ઉદાહરણ છે, એક એવી શ્રેણી જેમાં બિન-રેખીય ગતિશીલતા, અરાજકતા સિદ્ધાંત અને સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણનો પણ સમાવેશ થાય છે. સાયક્લોટોમિક બહુપદીઓની સમાનતાઓ તરફ પણ ધ્યાન દોરવામાં આવ્યું છે. હાલમાં ડુચી નકશાની કોઈ વ્યવહારુ એપ્લિકેશનો નથી, પરંતુ તફાવત સમીકરણોના અત્યંત લાગુ ક્ષેત્ર સાથેના તેના જોડાણથી અનુમાન કરવામાં આવ્યું છે કે ડુચી નકશાનું એક સ્વરૂપ ભવિષ્યમાં પણ લાગુ થઈ શકે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ડુચી સિક્વન્સ પૂર્ણાંક કટ-ધ-ગાંઠ સિક્વન્સ અને સિરીઝ નંબર થિયરી પર વર્તુળ પર પુનરાવર્તનો