Power sum symmetric polynomial
ગણિતમાં, ખાસ કરીને પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદીઓ એ સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે મૂળભૂત નિર્માણ ખંડનો એક પ્રકાર છે, એ અર્થમાં કે તર્કસંગત ગુણાંક સાથેની દરેક સપ્રમાણ બહુપદીને તર્કસંગત ગુણાંક સાથેની પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદીઓના ગુણાકારોના સરવાળા અને તફાવત તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો કે, અભિન્ન ગુણાંક સાથેની દરેક સપ્રમાણ બહુપદી પાવર-સમ બહુપદીઓના ગુણાકારોના અભિન્ન સંયોજનો દ્વારા પેદા થતી નથીઃ તે તર્કસંગત પર ઉત્પન્ન થતો સમૂહ છે, પરંતુ પૂર્ણાંકો પર નહીં. વ્યાખ્યા k = 0,1,2, માટે x1,., xn, લેખિત pk ચલમાં ડિગ્રી k ની પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદી એ ચલની તમામ kth ઘાતોનો સરવાળો છે. ઔપચારિક રીતે, આમાંની પ્રથમ કેટલીક બહુપદીઓ આ પ્રમાણે છે. આમ, દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, ચલમાં ડિગ્રીની બરાબર એક પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદી અસ્તિત્વમાં છે. પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદીઓના ઉત્પાદનોના તમામ અભિન્ન રેખીય સંયોજનોને લઈને રચાયેલી બહુપદી રીંગ એ પરિવર્તનીય રીંગ છે. ઉદાહરણો પ્રથમ ત્રણ હકારાત્મક મૂલ્યો માટે n સુધીની હકારાત્મક ડિગ્રીની પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદીઓને નીચે સૂચિબદ્ધ કરે છે. આ યાદી ડિગ્રી n સુધી જાય છે કારણ કે ડિગ્રી 1 થી n ની પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદીઓ નીચે દર્શાવેલ પ્રમેયના અર્થમાં મૂળભૂત છે. n = 1 માટેઃ n = 2 માટેઃ n = 3 માટેઃ ગુણધર્મો n ચલમાં 1,2,., n ડિગ્રીની સપ્રમાણ બહુપદીઓનો સમૂહ n ચલમાં સપ્રમાણ બહુપદીઓની વીંટી પેદા કરે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતેઃ પ્રમેય. પરિમેય ગુણાંક ધરાવતી સપ્રમાણ બહુપદીઓની વીંટી પરિમેય બહુપદીની વીંટી બરાબર હોય છે જો ગુણાંકને લાક્ષણિકતા 0 ના કોઈપણ ક્ષેત્રમાં લેવામાં આવે તો તે જ સાચું છે. જો કે, જો ગુણાંક પૂર્ણાંકો હોવા જ જોઈએ તો આ સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, n = 2 માટે, સપ્રમાણ બહુપદીમાં અભિવ્યક્તિ હોય છે જેમાં અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે. પ્રમેય અનુસાર p1 અને p2 ની દ્રષ્ટિએ રજૂ કરવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો છે. તેથી, P એ ઇન્ટિગ્રલ પોલીનોમિયલ રીંગ સાથે સંકળાયેલ નથી અન્ય એક ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાથમિક સપ્રમાણ પોલીનોમિયલ ek, જેને પાવર સમ પોલીનોમિયલમાં પોલીનોમિયલ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તે બધામાં ઇન્ટિગ્રલ કોએફિસિએન્ટ નથી હોતા. દાખલા તરીકે, જો ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતા 0 થી અલગ હોય તો પ્રમેય પણ અસત્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ક્ષેત્ર F લાક્ષણિકતા 2 ધરાવે છે, તો પછી, p1 અને p2 e2 = x1x2 ઉત્પન્ન કરી શકતા નથી. પ્રમેયની આંશિક સાબિતીનું રેખાચિત્રઃ ન્યૂટનની ઓળખ દ્વારા ઘાતનો સરવાળો એ પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓના કાર્યો છે; આ નીચેના પુનરાવર્તન સંબંધ દ્વારા સૂચિત થાય છે, જો કે સ્પષ્ટ કાર્ય કે જે ej ની દ્રષ્ટિએ ઘાતનો સરવાળો આપે છે તે જટિલ છેઃ સમાન પુનરાવર્તનને ફરીથી લખવાથી, એકમાં ઘાતના સરવાળાની દ્રષ્ટિએ પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ હોય છે (સ્પષ્ટ સૂત્ર પણ જટિલ હોય છે): આ સૂચવે છે કે પ્રાથમિક બહુપદી તર્કસંગત છે, જોકે અભિન્ન નથી, પરંતુ 1,, n ડિગ્રીની ઘાતનો સરવાળો બહુપદીઓના રેખીય સંયોજનો છે. એટલે કે, સપ્રમાણ બહુપદીઓની વીંટી ઘાતના સરવાળા દ્વારા પેદા થતી વીંટીમાં સમાયેલી હોય છે, કારણ કે દરેક ઘાતનો સરવાળો બહુપદી સપ્રમાણ હોય છે, બે વીંટીઓ સમાન હોય છે. (આ બતાવતું નથી કે બહુપદી f અનન્ય છે તે કેવી રીતે સાબિત કરવું.) સમાન ગુણધર્મો ધરાવતી સપ્રમાણ બહુપદીઓની અન્ય પ્રણાલી માટે સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદી જુઓ. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત ન્યૂટનની ઓળખ સંદર્ભો ઇયાન જી. મેકડોનાલ્ડ (1979), સમમિતીય કાર્યો અને હોલ બહુપદીઓ પણ જુઓ. ઓક્સફર્ડ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સ. ઓક્સફર્ડઃ ક્લેરેન્ડન પ્રેસ. ઇયાન જી. મેકડોનાલ્ડ (1995), સિમેટ્રિક ફંક્શન્સ એન્ડ હોલ પોલિનોમિયલ્સ, સેકન્ડ એડિશન. ઓક્સફર્ડઃ ક્લેરેન્ડન પ્રેસ. (પેપરબેક, 1998). રિચાર્ડ પી. સ્ટેનલી (1999), એન્યુમરેટિવ કોમ્બિનેટોરિક્સ, વોલ્યુમ. 2. કેમ્બ્રિજઃ કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. સજાતીય બહુપદીઓ સમમિતીય કાર્યો