Macdonald polynomials
ગણિતમાં, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ Pλ (x; t, q) એ કેટલાક ચલમાં ઓર્થોગોનલ સપ્રમાણ બહુપદીઓનું એક કુટુંબ છે, જે મેકડોનાલ્ડ દ્વારા 1987માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. પાછળથી તેમણે 1995માં બિન-સમમિતીય સામાન્યીકરણ રજૂ કર્યું હતું. મેકડોનાલ્ડે મૂળરૂપે તેમની બહુપદીઓને મર્યાદિત મૂળ પ્રણાલીઓના વજન λ સાથે સાંકળ્યા હતા અને માત્ર એક ચલ t નો ઉપયોગ કર્યો હતો, પરંતુ પાછળથી સમજાયું કે તેમને મર્યાદિત મૂળ પ્રણાલીઓને બદલે એફાઇન મૂળ પ્રણાલીઓ સાથે સાંકળવું વધુ સ્વાભાવિક છે, આ કિસ્સામાં ચલ t ને વિવિધ ચલ t = (t1,., tk) દ્વારા બદલી શકાય છે, જે એફાઇન મૂળ પ્રણાલીમાં મૂળની દરેક k ભ્રમણકક્ષા માટે એક છે. મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ એ n ચલ x = (x1,., xn) માં બહુપદીઓ છે, જ્યાં n એ એફાઇન રુટ સિસ્ટમનો ક્રમ છે. તેઓ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓના અન્ય ઘણા પરિવારોને સામાન્ય બનાવે છે, જેમ કે જેક બહુપદીઓ અને હોલ-લિટલવુડ બહુપદીઓ અને એસ્કી-વિલ્સન બહુપદીઓ, જેમાં બદલામાં વિશેષ કિસ્સાઓમાં 1-ચલ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનો સમાવેશ થાય છે. કૂર્નવિન્ડર બહુપદીઓ ચોક્કસ બિન-ઘટાડેલી મૂળ પ્રણાલીઓની મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ છે. તેઓ એફાઇન હેક આલ્જેબ્રા અને હિલ્બર્ટ યોજનાઓ સાથે ઊંડા સંબંધો ધરાવે છે, જેનો ઉપયોગ મેકડોનાલ્ડ દ્વારા તેમના વિશે કરવામાં આવેલા ઘણા અનુમાનોને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. વ્યાખ્યા પ્રથમ કેટલાક સંકેતોને ઠીક કરો R એ વાસ્તવિક વેક્ટર અવકાશમાં મર્યાદિત મૂળ પ્રણાલી છે V. R + એ હકારાત્મક મૂળની પસંદગી છે, જે હકારાત્મક વેઇલ ચેમ્બરને અનુરૂપ છે. ડબલ્યુ એ આર. ક્યુ. નું વેલ જૂથ છે જે આર (મૂળ દ્વારા ફેલાયેલ જાળી) નું મૂળ જાળી છે. પી એ આર (ક્યૂ ધરાવતી) નું વજન જાળી છે. વજન પર ક્રમઃ જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સરળ મૂળનું બિન-નકારાત્મક રેખીય સંયોજન હોય. પી + એ પ્રભાવશાળી વજનનો સમૂહ છેઃ હકારાત્મક વેલ ચેમ્બરમાં પી ના ઘટકો. ρ એ વેઇલ વેક્ટર છેઃ હકારાત્મક મૂળનો અડધો સરવાળો; આ હકારાત્મક વેઇલ ચેમ્બરના આંતરિક ભાગમાં P + નું એક વિશેષ તત્વ છે. F એ લાક્ષણિકતા 0 નું ક્ષેત્ર છે, સામાન્ય રીતે પરિમાણીય સંખ્યાઓ. A = F (P) એ P નું જૂથ બીજગણિત છે, જેમાં λ Π માટે eλ લખેલા તત્વોનો આધાર છે. જો f = eλ હોય, તો f નો અર્થ e − λ થાય છે, અને આ સમગ્ર જૂથ બીજગણિતમાં રેખીયતા દ્વારા વિસ્તૃત થાય છે. એમ. એમ. યુ. = એ. એસ. એલ. એ. ડબલ્યુ. એમ. ઇ. એલ. એ ભ્રમણકક્ષાનો સરવાળો છે; આ ઘટકો એ. ડબલ્યુ. દ્વારા નિશ્ચિત તત્વોના ઉપ-બીજગણિત માટે આધાર બનાવે છે, જે અનંત ક્યૂ-પોચામર પ્રતીક છે. એ એ ના બે તત્વોનું આંતરિક ગુણાકાર છે, ઓછામાં ઓછું જ્યારે ટી એ q ની હકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિ હોય. મેક્ડોનાલ્ડ બહુપદીઓ પી. એલ. ને λ ω પી + માટે વિશિષ્ટ રીતે નીચેની બે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં યુ. એલ. એમ. યુ એ યુ. એલ. એલ. = 1 સાથે ક્યૂ અને ટીનું તર્કસંગત કાર્ય છે; જો λ <μ હોય તો પી. એલ. અને પી. એમ. યુ ઓર્થોગોનલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ એ. ડબલ્યુ. માટે સ્પષ્ટ આધારને ઓર્થોગોનલાઇઝ કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ ગુણધર્મો ધરાવતી બહુપદીઓનું અસ્તિત્વ દર્શાવવું સરળ છે (કોઈપણ આંતરિક ઉત્પાદન માટે). મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ છે કે તેઓ ઓર્થોગોનલ છેઃ જ્યારે પણ λ ષ્ણાંક હોય ત્યારે ષ્ણાંક, ષ્ણાંક = 0 હોય છે. આ વ્યાખ્યાનું તુચ્છ પરિણામ નથી કારણ કે પી + સંપૂર્ણપણે ક્રમબદ્ધ નથી, અને તેથી તેમાં પુષ્કળ તત્વો છે જે અજોડ છે. આમ કોઈએ તપાસવું જોઈએ કે અનુરૂપ બહુપદીઓ હજુ પણ ઓર્થોગોનલ છે. ઓર્થોગોનાલિટી એ દર્શાવીને સાબિત કરી શકાય છે કે મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ 1-પરિમાણીય આઇગેનસ્પેસીસ સાથે સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરોની અવરજવરના બીજગણિત માટે આઇગેનવેક્ટર્સ છે, અને એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે વિવિધ આઇગેનવેલ્યુઓ માટે આઇગેનસ્પેસીસ ઓર્થોગોનલ હોવી જોઈએ. નોન-સિમ્પલી-લેસ્ડ રુટ સિસ્ટમ્સ (B, C, F, G) ના કિસ્સામાં, પરિમાણ t ને મૂળની લંબાઈ સાથે બદલવા માટે પસંદ કરી શકાય છે, જે મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓનું ત્રણ-પરિમાણ કુટુંબ આપે છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ વ્યાખ્યાને બિન-ઘટાડેલી મૂળ પ્રણાલી BC સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકે છે, જે કિસ્સામાં વ્યક્તિ છ-પરિમાણ પરિવાર (મૂળની દરેક ભ્રમણકક્ષા માટે એક t, વત્તા q) મેળવે છે જેને કોર્નવિન્ડર બહુપદી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કેટલીકવાર મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓને સંભવિત બિન-ઘટાડેલી એફાઇન રુટ સિસ્ટમ પર આધારિત ગણવી વધુ સારી છે. આ કિસ્સામાં, એફાઇન રુટ સિસ્ટમમાં મૂળની દરેક ભ્રમણકક્ષા સાથે સંકળાયેલ એક પરિમાણ t છે, વત્તા એક પરિમાણ q છે. મૂળની ભ્રમણકક્ષાઓની સંખ્યા 1 થી 5 સુધી બદલાઈ શકે છે. ઉદાહરણો જો q = t હોય તો મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ મૂળ પ્રણાલીના સઘન જૂથની રજૂઆતના વેલ અક્ષરો બની જાય છે, અથવા પ્રકાર A ની મૂળ પ્રણાલીઓના કિસ્સામાં શુર વિધેયો બની જાય છે. જો q = 0 હોય તો મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ અર્ધ-સરળ p-adic જૂથ માટે (પુનઃસ્થાપિત) ક્ષેત્રીય ગોળાકાર વિધેયો બની જાય છે, અથવા જ્યારે મૂળ પ્રણાલીમાં પ્રકાર A હોય ત્યારે હોલ-લિટલવુડ બહુપદીઓ બની જાય છે. જો t = 1 હોય તો મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ W ભ્રમણકક્ષાઓ પરનો સરવાળો બની જાય છે, જે જ્યારે મૂળ પ્રણાલીમાં પ્રકાર A હોય ત્યારે એકવિધ સમપ્રમાણ કાર્યો હોય છે. જો આપણે t = qα મૂકીએ અને q ને 1 તરફ વળવા દો તો મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ જેક બહુપદીઓ બની જાય છે જ્યારે મૂળ પ્રણાલી પ્રકાર A ની હોય છે, અને વધુ સામાન્ય મૂળ પ્રણાલીઓ માટે હેકમેન-ઓપ્ડમ બહુપદીઓ. એફાઇન રુટ સિસ્ટમ A1 માટે, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ રોજર્સ બહુપદીઓ છે. બિન-ઘટાડેલા ક્રમ 1 માટે પ્રકાર (સી, સી 1) ની એફાઇન રુટ સિસ્ટમ માટે, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ એ એસકી-વિલ્સન બહુપદીઓ છે, જે બદલામાં 1 ચલમાં ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓના મોટાભાગના નામવાળા પરિવારોનો વિશેષ કિસ્સાઓમાં સમાવેશ કરે છે. પ્રકાર (સી, સીએન) ની બિન-ઘટાડેલી એફાઇન રુટ સિસ્ટમ માટે, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ કુર્નવિન્ડર બહુપદીઓ છે. જો કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક k માટે t = qk હોય, તો મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓનું ધોરણ મેકડોનાલ્ડ (1982) દ્વારા ડાયસન અનુમાનના સામાન્યીકરણ તરીકે અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું, અને ડબલ એફાઇન હેક આલ્જેબ્રાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ચેરેડનિક (1995) દ્વારા તમામ (ઘટાડેલી) મૂળ પ્રણાલીઓ માટે સાબિત થયું હતું. આ અનુમાન અગાઉ કેટલાક લેખકો દ્વારા એન પ્રકાર સિવાયની તમામ મૂળ પ્રણાલીઓ માટે કેસ-બાય-કેસ સાબિત થયું હતું. બે અન્ય ધારણાઓ છે કે જેને સામાન્ય ધારણા સાથે મળીને આ સંદર્ભમાં સામૂહિક રીતે મેકડોનાલ્ડ ધારણાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ ધોરણ માટેના સૂત્ર ઉપરાંત, મેકડોનાલ્ડે બિંદુ tρ પર Pλ ના મૂલ્ય માટે એક સૂત્ર અને સમપ્રમાણતાનું અનુમાન લગાવ્યું હતું. મેકડોનાલ્ડ પોઝિટિવિટી અનુમાન પ્રકાર એ. એન.-1 ની મૂળ પ્રણાલીઓના કિસ્સામાં મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ એ ગુણાંક સાથે n ચલમાં માત્ર સમપ્રમાણ બહુપદીઓ છે જે q અને t ના તર્કસંગત કાર્યો છે. મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓનું ચોક્કસ રૂપાંતરિત સંસ્કરણ (નીચે સંયુક્ત સૂત્ર જુઓ) ઉપરના સમપ્રમાણ કાર્યોની જગ્યાનો ઓર્થોગોનલ આધાર બનાવે છે, અને તેથી તેને શુર કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ સંબંધોના ગુણાંક Kλμ (q, t) ને કોસ્ટકા-મેકડોનાલ્ડ ગુણાંક અથવા qt-કોસ્ટકા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. મેકડોનાલ્ડે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે કોસ્ટકા-મેકડોનાલ્ડ ગુણાંક એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે q અને t માં બહુપદીઓ છે. આ ધારણાઓ હવે સાબિત થઈ ગઈ છે; સૌથી મુશ્કેલ અને અંતિમ પગલું સકારાત્મકતાને સાબિત કરવાનું હતું, જે માર્ક હૈમન (2001) દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. બીજગણિત સંયોજનોમાં qt-કોસ્ટકા ગુણાંક માટે સંયોજન સૂત્ર શોધવું એ હજુ પણ એક કેન્દ્રીય ખુલ્લી સમસ્યા છે. એન! અનુમાન કરો એન! એડ્રિયાનો ગાર્સિયા અને માર્ક હૈમનનું અનુમાન જણાવે છે કે n ના દરેક પાર્ટીશન માટે n ના તમામ ઉચ્ચ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા ફેલાયેલી જગ્યા પરિમાણ n! ધરાવે છે, જ્યાં (pj, qj) પાર્ટીશનના આકૃતિના n ઘટકોમાંથી પસાર થાય છે, જેને બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોની જોડીનો સબસેટ માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો μ એ n = 3 નું પાર્ટીશન 3 = 2 + 1 હોય તો પછી જોડીઓ (pj, qj) (0,0), (0,1), (1,0) છે, અને જગ્યા Dμ એ 6 = 3! પરિમાણ ધરાવે છે. હૈમનનો મેકડોનાલ્ડ પોઝિટિવિટી અનુમાનનો પુરાવો અને એન! વિમાનમાં n બિંદુઓની આઇસોસ્પેક્ટ્રલ હિલ્બર્ટ યોજના કોહેન-મકાઉલે (અને ગોરેનસ્ટીન પણ) હતી તે દર્શાવવાનું અનુમાન સામેલ છે. હૈમન અને ગાર્સિયાના અગાઉના પરિણામોએ પહેલેથી જ દર્શાવ્યું હતું કે આનો અર્થ એન! અનુમાન, અને તે એન! અનુમાન સૂચવે છે કે કોસ્ટકા-મેકડોનાલ્ડ ગુણાંકને મોડ્યુલો ડી. એમ. માટે ગુણાંક ગુણાંક તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા. આ તરત જ મેકડોનાલ્ડ પોઝિટિવિટી અનુમાન સૂચવે છે કારણ કે અક્ષર ગુણાકાર બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ. ઇયાન ગ્રોજનોવ્સ્કી અને માર્ક હૈમેને એલ. એલ. ટી. બહુપદીઓ માટે હકારાત્મકતાના અનુમાનને સાબિત કરીને મેકડોનાલ્ડ સકારાત્મકતાના અનુમાનનો બીજો પુરાવો શોધી કાઢ્યો. 2005માં, જે. હેગ્લન્ડ, એમ. હૈમન અને એન. લોહરે મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓના સંયુક્ત અર્થઘટનનો પ્રથમ પુરાવો આપ્યો હતો. 1988માં આઇ. જી. મેકડોનાલ્ડે મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ (સમીકરણો (4.11 અને 5.13)) ના સંયુક્ત અર્થઘટનનો બીજો પુરાવો આપ્યો હતો. મેકડોનાલ્ડનું સૂત્ર હેગલુંડ, હૈમન અને લોહરના કાર્ય કરતાં અલગ છે, જેમાં ઘણા ઓછા શબ્દો છે (આ સૂત્ર મેકડોનાલ્ડના મૌલિક કાર્ય, ચો. VI (7.13)). ગણતરી માટે ખૂબ જ ઉપયોગી અને તેના પોતાના અધિકારમાં રસપ્રદ હોવા છતાં, તેમના સંયુક્ત સૂત્રો કોસ્ટ્કા-મેકડોનાલ્ડ ગુણાંકની હકારાત્મકતાને તરત જ સૂચિત કરતા નથી કારણ કે તે મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓને શુર વિધેયોને બદલે એકવિધ સમપ્રમાણતાવાળા વિધેયોમાં વિઘટન આપે છે. સામાન્યને બદલે રૂપાંતરિત મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓમાં લખાયેલ, તેઓ તે છે જ્યાં σ એ આકારના યુવાન આકૃતિને ભરવાનું છે, ઇન્વ અને મેજ એ ભરવા પર વ્યાખ્યાયિત ચોક્કસ સંયુક્ત આંકડાશાસ્ત્ર (કાર્યો) છે. આ સૂત્ર મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓને અનંત ચલમાં વ્યક્ત કરે છે. n ચલમાં બહુપદીઓ મેળવવા માટે, સૂત્રને માત્ર 1,2,., n પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરતા પૂરવણીઓ સુધી મર્યાદિત રાખો. xσ શબ્દનો અર્થઘટન એ રીતે થવો જોઈએ કે જ્યાં σi એ સામગ્રી i સાથે μ ને ભરવામાં આવેલા બોક્સની સંખ્યા છે. ઉપરના સૂત્રમાં રૂપાંતરિત મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ પરિવર્તનના ક્રમ દ્વારા શાસ્ત્રીય મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ સાથે સંબંધિત છે. પ્રથમ, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓનું અભિન્ન સ્વરૂપ, જે સૂચવવામાં આવે છે, તે તેનું ફરીથી સ્કેલિંગ છે જે ગુણાંકના છેદને સાફ કરે છેઃ જ્યાં યંગ ડાયાગ્રામમાં ચોરસનો સંગ્રહ છે, અને આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ચોરસના હાથ અને પગને સૂચવે છે. નોંધઃ જમણી બાજુની આકૃતિ ઝાંખી માટે ફ્રેન્ચ સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કરે છે, જે યુવા આકૃતિઓ માટે વિકિપીડિયા પૃષ્ઠ પર ઉપયોગમાં લેવાતા અંગ્રેજી સંકેતલિપીમાંથી ઊભી રીતે ફેરવવામાં આવે છે. મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓના અભ્યાસમાં ફ્રેન્ચ સંકેતનો વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. રૂપાંતરિત મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓને પછી 's' ના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આપણી પાસે છે જ્યાં ઉપરનું કૌંસ નોટેશન પ્લેથિસ્ટિક અવેજી સૂચવે છે. આ સૂત્રનો ઉપયોગ જેક બહુપદીઓ માટે નોપ અને સાહીના સૂત્રને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે. 1995માં, મેકડોનાલ્ડે સપ્રમાણ મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓનું બિન-સપ્રમાણ એનાલોગ રજૂ કર્યું હતું, અને સપ્રમાણ મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓને બિન-સપ્રમાણ પ્રતિરૂપમાંથી સરળતાથી પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. તેમની મૂળ વ્યાખ્યામાં, તેઓ દર્શાવે છે કે બિન-સમમિતીય મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ ચોક્કસ આંતરિક ઉત્પાદન માટે બહુપદી ઓર્થોગોનલનો એક અનોખો પરિવાર છે, તેમજ જ્યારે એકવિધ ધોરણે વિસ્તરણ કરવામાં આવે ત્યારે ત્રિકોણાત્મક ગુણધર્મને સંતોષ આપે છે. 2007માં, હેગ્લંડ, હૈમન અને લોહરે બિન-સમમિતીય મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ માટે સંયુક્ત સૂત્ર આપ્યું હતું. બિન-સમમિતીય મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ q = t = 0 લઈને અક્ષરોને સીમાંકિત કરવામાં અને જ્યારે q = t = φ હોય ત્યારે મુખ્ય બહુપદીઓમાં વિશેષતા ધરાવે છે. બાકાત રાખવાની પ્રક્રિયા પર આધારિત સંયુક્ત સૂત્ર 2018માં, એસ. કોર્ટીલ, ઓ. મંડેલશટમ અને એલ. વિલિયમ્સે બાકાત રાખવાની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ સપ્રમાણ અને બિનસમમિત મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ બંનેનું સીધું સંયુક્ત લાક્ષણિકતા આપવા માટે કર્યો હતો. તેમના પરિણામો આંશિક રીતે હેગલંડના અગાઉના કાર્યથી અલગ છે કારણ કે તેઓ મેકડોનાલ્ડ બહુપદી માટે તેના પરિવર્તનને બદલે સીધા સૂત્ર આપે છે. તેઓ બહુપરીમાણીય કતારની વિભાવના વિકસાવે છે, જે દડાઓ અથવા ખાલી કોષો ધરાવતો મેટ્રિક્સ છે, જેમાં દડાઓ અને તેમના પડોશીઓ વચ્ચે મેપિંગ અને સંયુક્ત લેબલિંગ મિકેનિઝમ છે. બિનસમમિતીય મેકડોનાલ્ડ બહુપદી પછી સંતુષ્ટ થાય છેઃ જ્યાં સરવાળો પ્રકારનાં તમામ બહુપરીમાણીય કતારો પર હોય છે અને તે ચોક્કસ બહુપદીઓમાં તે કતારોનું મેપિંગ કરતું વજન કાર્ય છે. સપ્રમાણ મેકડોનાલ્ડ બહુપદી સંતોષ આપે છેઃ જ્યાં બાહ્ય સરવાળો તમામ અલગ રચનાઓ પર હોય છે જે ક્રમચયો હોય છે, અને આંતરિક સરવાળો પહેલાની જેમ હોય છે. સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ માર્ક હૈમન સંયોજનશાસ્ત્ર, સપ્રમાણ કાર્યો અને હિલ્બર્ટ યોજનાઓ ગણિતમાં વર્તમાન વિકાસ 2002, નં. 1 (2002), 39-111. હૈમન, માર્ક નોટ્સ મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ અને હિલ્બર્ટ યોજનાઓની ભૂમિતિ પર. સમમિતીય કાર્યો 2001: વિકાસ અને પરિપ્રેક્ષ્યોના સર્વેક્ષણો, 1-64, નાટો વિજ્ઞાન. સર. II ગણિત. ફિઝ. કેમ., 74, ક્લુવર એકેડ. પ્રકાશક., ડોર્ડ્રેક્ટ, 2002. મેકડોનાલ્ડ, આઇ. જી. સિમેટ્રિક વિધેયો અને હોલ બહુપદીઓ. બીજી આવૃત્તિ. ઓક્સફર્ડ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સ. ઓક્સફર્ડ સાયન્સ પબ્લિકેશન્સ. ધ ક્લેરેન્ડન પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ન્યૂ યોર્ક, 1995. x + 475 પીપી. મેકડોનાલ્ડ, આઇ. જી. સિમેટ્રિક ફંક્શન્સ અને ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ. રટગર્સ યુનિવર્સિટી, ન્યૂ બ્રુન્સવિક, એન. જે. ખાતે પ્રસ્તુત ડીન જેક્વેલિન બી. લેવિસ મેમોરિયલ વ્યાખ્યાન. યુનિવર્સિટી વ્યાખ્યાન શ્રેણી, 12. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, પ્રોવિડન્સ, RI, 1998. xvi + 53 pp. મેકડોનાલ્ડ, આઇ. જી. એફાઈન હેક આલ્જેબ્રા અને ઓર્થોગોનલ બહુપદી. સેમિનાઇર બોરબાકી 797 (1995). બાહ્ય લિંક્સ મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ વિશે માઇક ઝાબ્રોકીનું પૃષ્ઠ છે. મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ વિશે હૈમનના કેટલાક કાગળો. બીજગણિત સંયોજનશાસ્ત્ર બીજગણિત ભૂમિતિ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ