Differentiation rules
આ વિભેદન નિયમોનો સારાંશ છે, એટલે કે, કલનમાં કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી માટેના નિયમો. વિભેદનના પ્રાથમિક નિયમો જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી, તમામ કાર્યો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (આર) ના કાર્યો છે જે વાસ્તવિક મૂલ્યો પરત કરે છે; જોકે વધુ સામાન્ય રીતે, નીચે આપેલા સૂત્રો જ્યાં પણ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય ત્યાં લાગુ પડે છે-જેમાં જટિલ સંખ્યાઓ (સી) નો કેસ પણ સામેલ છે. સ્થિર પદ નિયમ કોઈપણ મૂલ્ય માટે, જ્યાં, જો દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્થિર કાર્ય છે, તો. પ્રૂફ લેટ એન્ડ. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા મુજબ, આ દર્શાવે છે કે કોઈપણ અચળ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન 0 છે. સાહજિક (ભૌમિતિક) સમજૂતી એક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એ બિંદુ પર વળાંક પરની રેખાના સ્પર્શકનો ઢોળાવ છે. અચળ કાર્યનો ઢોળાવ શૂન્ય છે, કારણ કે અચળ કાર્યની સ્પર્શરેખા આડી હોય છે અને તેનો કોણ શૂન્ય હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જેમ જેમ x નું મૂલ્ય વધે છે અથવા ઘટે છે તેમ તેમ અચળ કાર્ય, y નું મૂલ્ય બદલાશે નહીં. કોઈપણ વિધેયો અને કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે અને, તેના સંદર્ભમાં વિધેયનું વ્યુત્પન્ન છેઃ લીબનીઝના સંકેતલિપીમાં આ આ રીતે લખવામાં આવે છેઃ વિશેષ કિસ્સાઓમાં સમાવિષ્ટ છેઃ અચળ પરિબળ નિયમ સરવાળો નિયમ તફાવત નિયમ ઉત્પાદન નિયમ વિધેયો f અને g માટે, x ના સંદર્ભમાં વિધેય h (x) = f (x) g (x) નું વ્યુત્પન્ન લીબનીઝના સંકેતલિપીમાં આ લખવામાં આવે છે સાંકળ નિયમ વિધેયનું વ્યુત્પન્ન લીબનીઝના સંકેતલિપીમાં આ રીતે લખવામાં આવે છેઃ ઘણીવાર નકશાની કલ્પના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માટે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, અને વિભેદક નકશો હોવાથી, આ વધુ સંક્ષિપ્ત રીતે લખવામાં આવે છેઃ વ્યસ્ત વિધેય પારસ્પરિક નિયમ કોઈપણ (બિન-લુપ્ત) વિધેય માટે વ્યુત્પન્ન છેઃ જ્યાં પણ બિન-શૂન્ય હોય. લીબનીઝના સંકેતલિપીમાં, આ લખવામાં આવ્યું છે પારસ્પરિક નિયમ ભાગાકાર નિયમમાંથી અથવા શક્તિ નિયમ અને સાંકળ નિયમના સંયોજનમાંથી મેળવી શકાય છે. ભાગાકાર નિયમ જો અને કાર્યો છે, તો પછીઃ જ્યાં પણ બિન-શૂન્ય હોય. આ ઉત્પાદનના નિયમ અને પારસ્પરિક નિયમમાંથી મેળવી શકાય છે. સામાન્યીકૃત સત્તાનો નિયમ પ્રાથમિક સત્તાનો નિયમ નોંધપાત્ર રીતે સામાન્યીકૃત થાય છે. સૌથી સામાન્ય શક્તિનો નિયમ એ કાર્યાત્મક શક્તિનો નિયમ છેઃ કોઈપણ કાર્યો માટે અને જ્યાં પણ બંને બાજુઓ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય. વિશેષ કિસ્સાઓમાં જો, તો પછી ક્યારે કોઈ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને તે સકારાત્મક છે. પારસ્પરિક નિયમ વિશેષ કેસ તરીકે વ્યુત્પન્ન થઈ શકે છે. ઘાતાંકીય અને લઘુગણક વિધેયોના વ્યુત્પન્ન ઉપરનું સમીકરણ બધા માટે સાચું છે, પરંતુ એક જટિલ સંખ્યા મેળવવા માટેનું વ્યુત્પન્ન. ઉપરનું સમીકરણ બધા માટે પણ સાચું છે, પરંતુ એક જટિલ સંખ્યા આપે છે. લઘુગણક વ્યુત્પન્ન એ વિધેયના લઘુગણકને અલગ પાડવા માટેનો નિયમ જણાવવાની બીજી રીત છે (સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને): જ્યાં પણ હકારાત્મક હોય. લઘુગણક તફાવત એ એક એવી તકનીક છે જે વાસ્તવમાં વ્યુત્પન્ન લાગુ કરતા પહેલા ચોક્કસ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા માટે લઘુગણક અને તેના તફાવત નિયમોનો ઉપયોગ કરે છે. લઘુગણકનો ઉપયોગ ઘાતાંકોને દૂર કરવા, ઉત્પાદનોને રકમમાં રૂપાંતરિત કરવા અને વિભાજનને બાદબાકીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે થઈ શકે છે-જેમાંથી દરેક વ્યુત્પન્ન લેવા માટે સરળ અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી શકે છે. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વ્યુત્પન્ન ઉપરના કોષ્ટકમાં વ્યુત્પન્ન ત્યારે થાય છે જ્યારે વ્યુત્ક્રમ સેકન્ટની શ્રેણી હોય અને જ્યારે વ્યુત્ક્રમ કોસેકેન્ટની શ્રેણી હોય. બે દલીલો સાથે ઇન્વર્સ સ્પર્શક કાર્યને વધુમાં વ્યાખ્યાયિત કરવું સામાન્ય છે. તેનું મૂલ્ય શ્રેણીમાં આવેલું છે અને તે બિંદુના ચતુર્થાંશને પ્રતિબિંબિત કરે છે. પ્રથમ અને ચોથા ચતુર્થાંશ માટે (એટલે કે) એક હોય છે. તેના આંશિક વ્યુત્પન્ન હાયપરબોલિક વિધેયોના વ્યુત્પન્ન છે આ વ્યુત્પન્ન પરના પ્રતિબંધો માટે હાયપરબોલિક વિધેયો જુઓ. વિશેષ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન ગામા કાર્યને દિગમ્મા કાર્ય તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે, જે ઉપરની લીટીની જમણી બાજુએ કૌંસબદ્ધ અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. રીમાન ઝીટા ફંક્શન ડેરિવેટિવ્ઝ ઓફ ઇન્ટિગ્રલ્સ ધારો કે x ફંક્શનના સંદર્ભમાં તફાવત કરવો જરૂરી છે જ્યાં વિધેયો અને બંને પ્લેનના બંનેમાં અને કેટલાક પ્રદેશમાં સતત હોય છે, જેમાં, અને વિધેયો અને બંને સતત હોય છે અને બંને માટે સતત વ્યુત્પન્ન હોય છે. પછી માટેઃ આ સૂત્ર લીબનીઝ અભિન્ન નિયમનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે અને કલનની મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. કાર્યોના-th વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે કેટલાક નિયમો અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. આમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ ફા ડી બ્રુનો સૂત્ર જો અને-વખત અવકલનીય હોય, તો ક્યાં અને સમૂહમાં ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણના તમામ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઉકેલોનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય લીબનીઝ નિયમ જો અને હોય તો-વખત તફાવતપાત્ર હોય, તો પછી સંદર્ભો પણ જુઓ અને વધુ વાંચન આ નિયમો ઘણા પુસ્તકોમાં આપવામાં આવ્યા છે, પ્રાથમિક અને અદ્યતન બંને કલન પર, શુદ્ધ અને લાગુ ગણિતમાં. આ લેખમાંના (ઉપરોક્ત સંદર્ભો ઉપરાંત) સૂત્રો અને કોષ્ટકોની ગાણિતિક પુસ્તિકા (ત્રીજી આવૃત્તિ), એસ. લિપ્સુટ્ઝ, એમ. આર. માં મળી શકે છે. સ્પીગલ, જે. લિયુ, શૉમ્સ આઉટલાઇન સિરીઝ, 2009. કેમ્બ્રિજ હેન્ડબુક ઓફ ફિઝિક્સ ફોર્મ્યુલાસ, જી. વોન, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2010. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરી માટે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ, કે. એફ. રીલી, એમ. પી. હોબ્સન, એસ. જે. બેન્સ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2010, NIST હેન્ડબુક ઓફ મેથેમેટિકલ ફંક્શન્સ, F. W. J. ઓલ્વર, D. W. લોઝિયર, R. F. બોઇસવર્ટ, C. W. ક્લાર્ક, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2010. બાહ્ય કડીઓ સૂત્ર સરળીકરણ સાથે વ્યુત્પન્ન કેલ્ક્યુલેટર પુરાવા ધરાવતા લેખો વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્ન ગાણિતિક ઓળખ સિદ્ધાંતો વિશ્લેષણમાં કલનમાં પ્રમેયો