Span (category theory)
શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, વિસ્તાર, છત અથવા પત્રવ્યવહાર એ શ્રેણીના બે પદાર્થો વચ્ચેના સંબંધની કલ્પનાનું સામાન્યીકરણ છે. જ્યારે શ્રેણીમાં તમામ પુલબેક્સ હોય (અને અન્ય શરતોની થોડી સંખ્યાને સંતોષે છે), ત્યારે સ્પાન્સને અપૂર્ણાંકોની શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ્સ તરીકે ગણી શકાય. ગાળાની કલ્પના નોબુઓ યોનેડા (1954) અને જીન બેનાબોઉ (1967) ને કારણે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા એ સ્પાન એ પ્રકારનો આકૃતિ છે એટલે કે, સ્વરૂપનો આકૃતિ. એટલે કે, λ એ શ્રેણી (-1 → 0 → + 1) હોવી જોઈએ. પછી શ્રેણી C માંનો ગાળો એક ફંકટર S: λ → C છે. આનો અર્થ એ છે કે ગાળો ત્રણ પદાર્થો X, Y અને C ના Z અને મોર્ફિઝમ્સ f: X → Y અને g: X → Z નો બનેલો છેઃ તે સામાન્ય ડોમેન સાથેના બે નકશા છે. સ્પાનનું કોલિમિટ એ પુશઆઉટ છે. ઉદાહરણો જો R એ X અને Y સમૂહો વચ્ચેનો સંબંધ હોય (એટલે કે. X × Y) નો સબસેટ, પછી X → R → Y એ એક ગાળો છે, જ્યાં નકશા પ્રક્ષેપણ નકશા છે અને. કોઈપણ ઓબ્જેક્ટ તુચ્છ ગાળો A-A-A-A આપે છે, જ્યાં નકશા એ ઓળખ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ચાલો અમુક શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ હોઈએ. એક તુચ્છ ગાળો A-A-B છે, જ્યાં ડાબો નકશો એ પરની ઓળખ છે, અને જમણો નકશો આપેલ નકશો φ છે. જો એમ એક આદર્શ શ્રેણી છે, ડબલ્યુ નબળા સમકક્ષતાનો સમૂહ છે, તો પછી જ્યાં ડાબી મોર્ફિઝમ ડબલ્યુમાં છે તે સ્વરૂપના વિસ્તારને સામાન્યીકૃત મોર્ફિઝમ ગણી શકાય (એટલે કે, જ્યાં એક "નબળા સમકક્ષતાને ઊંધી કરે છે"). નોંધ લો કે મોડેલ વર્ગો સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે આ સામાન્ય દ્રષ્ટિકોણ નથી. C શ્રેણીમાં કોસ્પાન્સ A કોસ્પાન K એ એક ફંકટર K: λop → C છે; સમાનરૂપે, λ થી C સુધી વિરોધાભાસી ફંકટર છે. આમ તેમાં ત્રણ પદાર્થો X, Y અને Z ઓફ C અને મોર્ફિઝમ્સ f: Y → X અને g: Z → X નો સમાવેશ થાય છેઃ તે સામાન્ય કોડોમેન સાથેના બે નકશા છે. કોસ્પાનની મર્યાદા પુલબેક છે. કોસ્પાનનું ઉદાહરણ બે મેનીફોલ્ડ્સ M અને N વચ્ચેનું કોબોર્ડિઝમ W છે, જ્યાં બે નકશા W માં સમાવેશ થાય છે. નોંધ કરો કે જ્યારે કોબોર્ડિઝમ કોસ્પાન છે, ત્યારે કોબોર્ડિઝમની શ્રેણી "કોસ્પાન શ્રેણી" નથીઃ તે "સીમા પર સમાવેશ સાથે મેનીફોલ્ડ્સની શ્રેણી" માં તમામ કોસ્પાનની શ્રેણી નથી, પરંતુ તેની પેટા શ્રેણી છે, કારણ કે M અને N એ W ની સીમાનું વિભાજન બનાવે છે તે જરૂરિયાત વૈશ્વિક અવરોધ છે. મર્યાદિત-પરિમાણીય કોબોર્ડિઝમ્સની શ્રેણી nCob એ ખંજર કોમ્પેક્ટ શ્રેણી છે. વધુ સામાન્ય રીતે, મર્યાદિત મર્યાદાઓ સાથે કોઈપણ શ્રેણી સી પર વિસ્તારની શ્રેણી વિસ્તાર (સી) પણ ખંજર કોમ્પેક્ટ છે. દ્વિસંગી સંબંધ પુલબેક (શ્રેણી સિદ્ધાંત) પુશઆઉટ (શ્રેણી સિદ્ધાંત) કોબોર્ડિઝમ સંદર્ભો યોનેડા, નોબુઓ, મોડ્યુલોના સમરૂપતા સિદ્ધાંત પર પણ જુઓ. જે. ફેસ. વિજ્ઞાન. યુનિ. ટોક્યો સેક્ટ. I, 7 (1954), 193-227. બેનાબોઉ, જીન, બાયકેટેગરીઝનો પરિચય, ગણિતમાં વ્યાખ્યાન નોંધો 47, સ્પ્રિંગર (1967), pp.1-77 વિધેયો