Projective cover
શ્રેણી સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાતી અમૂર્ત ગણિતની શાખામાં, ઑબ્જેક્ટ X નું પ્રોજેક્ટિવ કવર એ એક અર્થમાં પ્રોજેક્ટિવ ઑબ્જેક્ટ P દ્વારા X નું શ્રેષ્ઠ અંદાજ છે. પ્રોજેક્ટિવ કવર એ ઇન્જેક્ટિવ એન્વલપ્સની બેવડી છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક શ્રેણી અને X એક ઑબ્જેક્ટ હોય. પ્રોજેક્ટિવ કવર એ જોડી (પી, પી) છે, જેમાં પી એ પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ છે અને પી એ હોમ (પી, એક્સ) માં અનાવશ્યક એપિમોર્ફિઝમ છે. જો આર એક વીંટી હોય, તો આર-મોડ્યુલોની શ્રેણીમાં, અનાવશ્યક એપિમોર્ફિઝમ એ એક એપિમોર્ફિઝમ છે જેમ કે પી. પ્રોપર્ટીસ પ્રોજેક્ટિવ કવર અને તેમના અનાવશ્યક એપિમોર્ફિઝમ્સ, જ્યારે અસ્તિત્વમાં હોય, ત્યારે તેઓ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય હોય છે. જો કે, આઇસોમોર્ફિઝમ અનન્ય હોવું જરૂરી નથી, કારણ કે પ્રોજેક્ટિવ ગુણધર્મ એ સંપૂર્ણ સુવિધાયુક્ત સાર્વત્રિક ગુણધર્મ નથી. અનાવશ્યક કર્નલ ધરાવતા p ની મુખ્ય અસર નીચે મુજબ છેઃ જો N એ P નું કોઈ યોગ્ય પેટા મોડ્યુલ હોય, તો પછી. અનૌપચારિક રીતે કહીએ તો, આ દર્શાવે છે કે અનાવશ્યક કર્નલ P ને M ને શ્રેષ્ઠ રીતે આવરી લે છે, એટલે કે, P નું કોઈ પેટા મોડ્યુલ પૂરતું નથી. આ પી ની પ્રક્ષેપકતા પર આધાર રાખતું નથીઃ તે તમામ અનાવશ્યક એપિમોર્ફિઝમ્સ માટે સાચું છે. જો (P, p) એ M નું પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય અને P 'એ એપિમોર્ફિઝમ સાથેનું બીજું પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ હોય, તો પછી P' થી P સુધી વિભાજિત એપિમોર્ફિઝમ α છે, જે ઇન્જેક્ટિવ એન્વલપ્સ અને ફ્લેટ કવરથી વિપરીત છે, જે દરેક ડાબી (જમણી) R-મોડ્યુલ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે, રિંગ R ને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ડાબી (જમણી) R-મોડ્યુલોમાં સામાન્ય રીતે પ્રોજેક્ટિવ કવર હોતા નથી. જો દરેક ડાબી (જમણી) આર-મોડ્યુલમાં આર-મોડ (મોડ-આર) માં પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય તો રિંગ આરને ડાબી (જમણી) સંપૂર્ણ કહેવામાં આવે છે. જો દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ડાબી (જમણી) આર-મોડ્યુલમાં આર-મોડ (મોડ-આર) માં પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય તો રિંગને અર્ધ-સંપૂર્ણ કહેવામાં આવે છે. "સેમિપરફેક્ટ" એ ડાબી-જમણી સમપ્રમાણ ગુણધર્મ છે. રીંગને લિફ્ટ/રેડ કહેવામાં આવે છે જો આઇડેમ્પોટેન્ટ્સ R/J થી R સુધી ઉપાડે છે, જ્યાં J એ R નો જેકોબસન રેડિકલ છે. લિફ્ટ/રેડ હોવાનો ગુણધર્મ પ્રોજેક્ટિવ કવરની દ્રષ્ટિએ વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ R લિફ્ટ/રેડ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R મોડ્યુલ R/J (જમણા અથવા ડાબા મોડ્યુલ તરીકે) ના સીધા સરવાળાઓમાં પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય. ઉદાહરણો આર મોડ્યુલોની શ્રેણીમાંઃ જો એમ પહેલેથી જ પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ છે, તો એમ થી એમ સુધીનો ઓળખ નકશો એક અનાવશ્યક એપિમોર્ફિઝમ છે (તેનો કર્નલ શૂન્ય છે). તેથી, પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલોમાં હંમેશા પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય છે. જો J (R) = 0 હોય, તો મોડ્યુલ M પાસે પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો M પહેલેથી જ પ્રોજેક્ટિવ હોય. મોડ્યુલ એમ સરળ હોય તેવા કિસ્સામાં, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો તે તેના પ્રોજેક્ટિવ કવરની ટોચ પર હોવું જરૂરી છે. મોડ્યુલ માટે ઇન્જેક્ટિવ પરબિડીયું હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે, જો કે ચોક્કસ રિંગ્સ મોડ્યુલો પર પ્રોજેક્ટિવ કવર ન પણ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, Z થી Z/2Z પરનો કુદરતી નકશો એ Z-મોડ્યુલ Z/2Z નું પ્રોજેક્ટિવ કવર નથી (જે હકીકતમાં કોઈ પ્રોજેક્ટિવ કવર નથી). રિંગ્સનો વર્ગ જે પ્રોજેક્ટિવ કવર સાથે તેના તમામ જમણા મોડ્યુલો પ્રદાન કરે છે તે જમણા સંપૂર્ણ રિંગ્સનો વર્ગ છે. કોઈપણ આર-મોડ્યુલ એમમાં સપાટ આવરણ હોય છે, જે જો આર પાસે પ્રોજેક્ટિવ આવરણ હોય તો પ્રોજેક્ટિવ આવરણની બરાબર હોય છે. પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન સંદર્ભો શ્રેણી સિદ્ધાંત હોમોલોજિકલ બીજગણિત મોડ્યુલ સિદ્ધાંત પણ જુઓ.