Kantorovich theorem
કેન્ટોરોવિચ પ્રમેય, અથવા ન્યૂટન-કેન્ટોરોવિચ પ્રમેય, એ ન્યૂટનની પદ્ધતિના અર્ધ-સ્થાનિક અભિસરણ પરનું ગાણિતિક નિવેદન છે. તે સૌપ્રથમ 1948 માં લિયોનીદ કેન્ટોરોવિચે જણાવ્યું હતું. તે બનાચ નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયના સ્વરૂપ જેવું જ છે, જો કે તે નિશ્ચિત બિંદુને બદલે શૂન્યનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા દર્શાવે છે. ન્યૂટનની પદ્ધતિ એવા બિંદુઓનો ક્રમ બનાવે છે જે ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં સમીકરણના ઉકેલ અથવા સમીકરણની પ્રણાલીના વેક્ટર ઉકેલમાં એકરૂપ થશે. કેન્ટોરોવિચ પ્રમેય આ ક્રમના પ્રારંભિક બિંદુ પર શરતો આપે છે. જો તે શરતો સંતોષાય તો ઉકેલ પ્રારંભિક બિંદુની નજીક અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને ક્રમ તે બિંદુ પર એકરૂપ થાય છે. ધારણાઓ ચાલો એક ઓપન સબસેટ અને જેકોબિયન સાથે ડિફરન્શીયેબલ ફંક્શન હોઈએ જે સ્થાનિક રીતે લિપ્સચિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ હોય (દાખલા તરીકે જો બે વાર ડિફરન્શીયેબલ હોય તો). એટલે કે, એવું માનવામાં આવે છે કે કોઈપણ માટે એક ઓપન સબસેટ છે અને ત્યાં કોઈ પણ હોલ્ડ માટે અચળાંક અસ્તિત્વમાં છે. ડાબી બાજુનું ધોરણ એ અમુક ઓપરેટર ધોરણ છે જે જમણી બાજુના વેક્ટર ધોરણ સાથે સુસંગત છે. આ અસમાનતાને માત્ર વેક્ટર ધોરણનો ઉપયોગ કરવા માટે ફરીથી લખી શકાય છે. પછી કોઈપણ વેક્ટર માટે અસમાનતા જાળવી રાખવી જોઈએ. હવે કોઈપણ પ્રારંભિક બિંદુ પસંદ કરો. ધારો કે તે ઉલટાવી શકાય તેવું છે અને ન્યૂટન પગલું બનાવો આગામી ધારણા એ છે કે માત્ર આગામી બિંદુ જ નહીં પરંતુ આખો દડો સેટની અંદર સમાયેલો છે. આ દડા પર જેકોબિયન માટે લિપશિટ્ઝ અચળાંક હોવો જોઈએ (એમ ધારીને કે તે અસ્તિત્વમાં છે). છેલ્લી તૈયારી તરીકે, પુનરાવર્તિત રીતે બનાવો, જ્યાં સુધી તે શક્ય હોય ત્યાં સુધી, ક્રમ, નિવેદન મુજબ હવે જો પછી બંધ દડાની અંદર એક ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને ન્યુટન પુનરાવર્તન ઓછામાં ઓછા કન્વર્જન્સના રેખીય ક્રમ સાથે એકરૂપ થાય છે. એક નિવેદન જે વધુ ચોક્કસ છે પરંતુ સાબિત કરવા માટે થોડું વધુ મુશ્કેલ છે તે દ્વિઘાત બહુપદીના મૂળનો ઉપયોગ કરે છે, અને તેમના ગુણોત્તર પછી બંધ દડાની અંદર એક ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે તે મોટા દડાની અંદર અનન્ય છે અને તેના ઉકેલમાં અભિસરણ તેના સૌથી નાના મૂળ તરફ દ્વિઘાત બહુપદીના ન્યૂટન પુનરાવર્તનના અભિસરણ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે, જો, તો પછી દ્વિઘાત અભિસરણ ભૂલ અંદાજ કોરોલરીમાંથી મેળવવામાં આવે છે 1986 માં, યામામોટોએ સાબિત કર્યું કે ડોરિંગ (1969), ઓસ્ટ્રોવસ્કી (1971,1973), ગ્રેગ-તાપિયા (1974), પોત્રા-ટાક (1980), મિલ (1981), પોત્રા (1984) જેવી ન્યૂટન પદ્ધતિની ભૂલ મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. સામાન્યીકરણ કેન્ટોરોવિચ પ્રમેય માટે એક q-એનાલોગ છે. અન્ય સામાન્યીકરણ/વિવિધતાઓ માટે, ઓર્ટેગા અને રાઇનબોલ્ટ (1970) જુઓ. ઓશી અને તનાબેએ દાવો કર્યો હતો કે કેન્ટોરોવિચ પ્રમેયને રેખીય પ્રોગ્રામિંગના વિશ્વસનીય ઉકેલો મેળવવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન જ્હોન એચ. હૂબાર્ડ અને બાર્બરા બર્ક હૂબાર્ડઃ વેક્ટર કેલ્ક્યુલસ, રેખીય બીજગણિત, અને વિભેદક સ્વરૂપોઃ એક એકીકૃત અભિગમ, મેટ્રિક્સ આવૃત્તિઓ, (3. આવૃત્તિ અને Kant.-thm સહિત નમૂના સામગ્રીનું પૂર્વાવલોકન.) કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો વેક્ટર જગ્યાઓમાં ઓપ્ટિમાઇઝેશન ઓપ્ટિમાઇઝેશન અલ્ગોરિધમ્સ અને પદ્ધતિઓ