Elliptic cohomology
ગણિતમાં, લંબગોળ કોહોમોલોજી એ બીજગણિત ટોપોલોજીના અર્થમાં કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત છે. તે લંબગોળ વળાંક અને મોડ્યુલર સ્વરૂપો સાથે સંબંધિત છે. ઇતિહાસ અને પ્રેરણા ઐતિહાસિક રીતે, લંબગોળ કોહોમોલોજી લંબગોળ જાતિના અભ્યાસમાંથી ઉદ્ભવી હતી. અતિયા અને હિરઝેબ્રુચ દ્વારા જાણીતું હતું કે જો સ્પિન મેનીફોલ્ડ પર સરળતાથી અને બિન-તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે, તો ડીરાક ઓપરેટરની અનુક્રમણિકા અદૃશ્ય થઈ જાય છે. 1983માં, વિટ્ટને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે આ પરિસ્થિતિમાં ચોક્કસ ટ્વિસ્ટેડ ડીરાક ઓપરેટરનો સમતુલ્ય સૂચકાંક ઓછામાં ઓછો અચળ છે. આનાથી મેનીફોલ્ડ્સ પરની ક્રિયાઓને લગતી કેટલીક અન્ય સમસ્યાઓ તરફ દોરી ગયું, જેને લંબગોળ જાતિના પરિચય દ્વારા ઓચેનાઇન દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. બદલામાં, વિટ્ટને આને મુક્ત લૂપ જગ્યાઓ પરના (અનુમાનાત્મક) અનુક્રમણિકા સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત કર્યા. લંબગોળ કોહોમોલોજીની શોધ 1980ના દાયકાના અંતમાં લેન્ડવેબર, સ્ટોંગ અને રેવેનેલ દ્વારા તેના મૂળ સ્વરૂપમાં કરવામાં આવી હતી, જે લંબગોળ જાતિ સાથેના ચોક્કસ મુદ્દાઓને સ્પષ્ટ કરવા અને મુક્ત લૂપ જગ્યાઓ પર વિભેદક સંચાલકોના પરિવારોના (અનુમાનાત્મક) સૂચકાંક સિદ્ધાંત માટે સંદર્ભ પ્રદાન કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવી હતી. અમુક અર્થમાં તેને મુક્ત લૂપ જગ્યાના કે-સિદ્ધાંતના અંદાજ તરીકે જોઈ શકાય છે. વ્યાખ્યાઓ અને રચનાઓ કોહોમોલોજી થિયરીને સામયિક કહે છે જો i માટે વિચિત્ર હોય અને ત્યાં એક ઉલટાવી શકાય તેવું તત્વ હોય. આ સિદ્ધાંતો એક જટિલ અભિગમ ધરાવે છે, જે ઔપચારિક જૂથ કાયદો આપે છે. ઔપચારિક જૂથ કાયદાઓ માટે ખાસ કરીને સમૃદ્ધ સ્રોત લંબગોળ વળાંક છે. કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતને લંબગોળ કહેવામાં આવે છે જો તે સમ સામયિક હોય અને તેનો ઔપચારિક જૂથ નિયમ લંબગોળ વળાંકના ઔપચારિક જૂથ નિયમ સાથે સમરૂપ હોય. આવા લંબગોળ સમરૂપતા સિદ્ધાંતોની સામાન્ય રચના લેન્ડવેબર ચોક્કસ ફંકટર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. જો લેન્ડવેબરનો ઔપચારિક જૂથ કાયદો ચોક્કસ હોય, તો કોઈ વ્યક્તિ લંબગોળ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત (મર્યાદિત સંકુલ પર) ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, ફ્રેન્કે લેન્ડવેબરની ચોકસાઈને પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સ્થિતિને ઓળખી છેઃ તેના પર સપાટ હોવું જરૂરી છે. તદુપરાંત, સાર્વત્રિક કિસ્સામાં શરતો એ અર્થમાં પૂર્ણ થાય છે કે લંબગોળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેકથી ઔપચારિક જૂથોના મોડ્યુલી સ્ટેક સુધીનો નકશો સપાટ છે. આ પછી લંબગોળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેક પર સપાટ એફાઇન યોજનાઓના સ્થળ પર કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતોની પૂર્વધારણા આપે છે. વૈશ્વિક વિભાગો લઈને સાર્વત્રિક લંબગોળ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત મેળવવાની ઇચ્છાએ અગાઉના સ્થળની સરખામણીમાં આ પ્રીશીફની હોમોટૉપી મર્યાદા તરીકે ટોપોલોજિકલ મોડ્યુલર સ્વરૂપો-20નું નિર્માણ કર્યું છે. સ્પેક્ટ્રલ બીજગણિત ભૂમિતિ મધ્યવર્તી જેકોબિયન ક્રોમેટિક હોમોટોપી સિદ્ધાંત સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . . સ્થાપક લેખો એલિપ્ટિક કોહોમોલોજી-ગ્રીમ સેગલ એક્સ્ટેન્શન્સ ટુ કેલાબી-યુ મેનીફોલ્ડ્સ K3 સ્પેક્ટ્રા કન્સ્ટ્રક્ટિંગ એક્સપ્લિસિટ K3 સ્પેક્ટ્રા ધ એલિપ્ટિક કર્વ્સ ઇન ગેજ થિયરી, સ્ટ્રિંગ થિયરી અને કોહોમોલોજી કોહોમોલોજી થિયરીઝ એલિપ્ટિક કર્વ્સ મોડ્યુલર સ્વરૂપો