Bruhat order
ગણિતમાં, બ્રુહાટ ક્રમ (જેને મજબૂત ક્રમ અથવા મજબૂત બ્રુહાટ ક્રમ અથવા ચેવલે ક્રમ અથવા બ્રુહાટ-ચેવલે ક્રમ અથવા ચેવલે-બ્રુહાટ ક્રમ પણ કહેવાય છે) એ કોક્સેટર જૂથના ઘટકો પરનો આંશિક ક્રમ છે, જે સ્કબર્ટ જાતો પરના સમાવેશ ક્રમને અનુરૂપ છે. ફ્લેગ મેનીફોલ્ડ અથવા ગ્રાસમેનિયનની સ્કબર્ટ જાતો પરના બ્રુહાટ ક્રમનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ તેમના દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, અને વધુ સામાન્ય અર્ધ-સરળ બીજગણિત જૂથો માટેના એનાલોગનો અભ્યાસ તેમના દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. વેલ જૂથ પર બ્રુહટ ક્રમનો સંયુક્ત અભ્યાસ શરૂ કર્યો, અને ફ્રાન્કોઇસ બ્રુહટ દ્વારા રજૂ કરાયેલા બ્રુહટ વિઘટન સાથેના સંબંધને કારણે "બ્રુહટ ક્રમ" નામ રજૂ કર્યું. ડાબી અને જમણી બાજુના નબળા બૃહત ક્રમનો અભ્યાસ તેમના દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. વ્યાખ્યા જો (W, S) જનરેટર S સાથેની કોક્સેટર પ્રણાલી હોય, તો પછી બ્રુહત ક્રમ એ W જૂથ પરનો આંશિક ક્રમ છે. યાદ રાખો કે W ના તત્વ માટે ઘટાડેલો શબ્દ એ S ના તત્વોના ગુણાકાર તરીકે W ની ન્યૂનતમ લંબાઈ અભિવ્યક્તિ છે, અને W ની લંબાઈ l (w) એ ઘટાડેલા શબ્દની લંબાઈ છે. (મજબૂત) બૃહદ ક્રમને યુ ≤ વી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો વી માટે કેટલાક (અથવા દરેક) ઘટાડેલા શબ્દની કેટલીક સબસ્ટ્રિંગ યુ માટે ઘટાડેલી શબ્દ હોય. (નોંધ લો કે અહીં સબસ્ટ્રિંગ એ સતત સબસ્ટ્રિંગ હોવું જરૂરી નથી.) નબળા ડાબા (બ્રુહટ) ક્રમને યુ ≤ એલ વી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો વી માટે કેટલાક ઘટાડેલા શબ્દની કેટલીક અંતિમ સબસ્ટ્રિંગ યુ માટે ઘટાડેલી શબ્દ હોય. નબળા જમણા (બ્રુહટ) ક્રમને યુ ≤ આર વી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો વી માટે કેટલાક ઘટાડેલા શબ્દની કેટલીક પ્રારંભિક સબસ્ટ્રિંગ યુ માટે ઘટાડેલી શબ્દ હોય. નબળા ક્રમ વિશે વધુ જાણવા માટે, લેખમાં ક્રમચયોના નબળા ક્રમ જુઓ. બૃહત આલેખ એ (મજબૂત) બૃહત ક્રમ સાથે સંબંધિત નિર્દેશિત આલેખ છે. શિરોબિંદુ સમૂહ એ કોક્સેટર જૂથના તત્વોનો સમૂહ છે અને ધાર સમૂહમાં નિર્દેશિત ધાર (યુ, વી) નો સમાવેશ થાય છે જ્યારે પણ કેટલાક પ્રતિબિંબ માટે યુ = ટી. વી. અને એલ (યુ) <એલ (વી). પ્રતિબિંબના સમૂહમાંથી આવતા ધાર લેબલ સાથે ગ્રાફને ધાર-લેબલવાળા નિર્દેશિત ગ્રાફ તરીકે જોઈ શકાય છે. (જમણી બાજુએ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને બ્રુહટ આલેખને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે; આલેખ તરીકે, પરિણામી પદાર્થો સમરૂપ છે, પરંતુ ધાર લેબલિંગ અલગ છે.) સપ્રમાણ જૂથ (ક્રમચયો) પરના મજબૂત બ્રુહટ ક્રમમાં મોબિયસ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને આમ આ સ્થિતિ યુલરિયન છે, જેનો અર્થ છે કે તેનું મોબિયસ કાર્ય સ્થિતિ પરના ક્રમ કાર્ય દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદી સંદર્ભો પણ જુઓ કોક્સેટર જૂથો ક્રમ સિદ્ધાંત