Acyclic space
ગણિતમાં, એસાયક્લિક સ્પેસ એ નોન એમ્પ્ટી ટોપોલોજિકલ સ્પેસ X છે જેમાં સમરૂપતા સિદ્ધાંતના અર્થમાં ચક્ર હંમેશા સીમાઓ હોય છે. આ સૂચવે છે કે X ના તમામ પરિમાણોમાં અભિન્ન સમરૂપતા જૂથો બિંદુના અનુરૂપ સમરૂપતા જૂથો માટે સમરૂપતા ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટાડેલા સમરૂપતાના વિચારનો ઉપયોગ કરીને, આવી જગ્યાને "છિદ્રો" વિનાની ખાલી જગ્યા તરીકે ધ્યાનમાં લેવી સામાન્ય છે; ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળ અથવા ગોળા ચક્રીય નથી પરંતુ ડિસ્ક અથવા દડો ચક્રીય છે. જો કે આ સ્થિતિ એ પૂછવા કરતાં નબળી છે કે જગ્યામાં દરેક બંધ લૂપ જગ્યામાં ડિસ્કને બાંધશે, આપણે ફક્ત એટલું જ પૂછીએ છીએ કે કોઈપણ બંધ લૂપ-અને તેનું ઉચ્ચ પરિમાણીય એનાલોગ-"દ્વિ-પરિમાણીય સપાટી" જેવું કંઈક બાંધશે. અવકાશ X પર અચળતાની સ્થિતિ સૂચવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સરસ જગ્યાઓ માટે-જેમ કે, સરળ સંકુલ-કે વર્તુળ અથવા ઉચ્ચ ગોળાઓ માટે X નો કોઈપણ સતત નકશો નલ-હોમોટોપિક છે. જો જગ્યા X સંકોચાય તેવી હોય, તો તે સમરૂપતાના હોમોટોપી ઇનવેરિયન્સ દ્વારા પણ એસાયક્લિક છે. સામાન્ય રીતે, વિપરીત સાચું નથી. તેમ છતાં, જો X એક ચક્રીય CW સંકુલ છે, અને જો X નું મૂળભૂત જૂથ તુચ્છ છે, તો પછી X એક સંકોચાય તેવી જગ્યા છે, જે વ્હાઇટહેડ પ્રમેય અને હ્યુરેવિઝ પ્રમેય પરથી નીચે મુજબ છે. ઉદાહરણો એસાયક્લિક જગ્યાઓ ટોપોલોજીમાં જોવા મળે છે, જ્યાં તેનો ઉપયોગ અન્ય, વધુ રસપ્રદ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. દાખલા તરીકે, જો કોઈ મેનીફોલ્ડ M માંથી એક જ બિંદુને દૂર કરે છે જે એક સમરૂપતા ગોળા છે, તો તેને આવી જગ્યા મળે છે. એસાયક્લિક સ્પેસ X ના હોમોટૉપી જૂથો સામાન્ય રીતે અદૃશ્ય થતા નથી, કારણ કે મૂળભૂત જૂથ તુચ્છ હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, પંચર કરેલ પોઇનકેરે હોમોલોજી ગોળા એક એસાયક્લિક, 3-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ છે જે સંકોચાય તેવું નથી. આ ઉદાહરણોનો સંગ્રહ આપે છે, કારણ કે પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ એ મૂળભૂત જૂથનું અબેલિયનકરણ છે. દરેક સંપૂર્ણ જૂથ G સાથે એક (કેનોનિકલ, ટર્મિનલ) એસાયક્લિક જગ્યાને જોડી શકાય છે, જેનું મૂળભૂત જૂથ આપેલ જૂથ G નું કેન્દ્રિય વિસ્તરણ છે. આ સંકળાયેલ એસાયક્લિક જગ્યાઓના હોમોટૉપી જૂથો વર્ગીકરણ જગ્યા BG પર ક્વિલેનના વત્તા બાંધકામ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ચક્રીય જૂથો એક ચક્રીય જૂથ એ જૂથ G છે જેનું વર્ગીકરણ કરતી જગ્યા BG ચક્રીય છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેના તમામ (ઘટાડેલા) સમરૂપતા જૂથો અદ્રશ્ય થઈ જાય છે, એટલે કે, બધા માટે. દરેક એસાયક્લિક જૂથ આમ એક સંપૂર્ણ જૂથ છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તેનું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ, અને હકીકતમાં, એક સુપરપરફેક્ટ જૂથ, જેનો અર્થ થાય છે પ્રથમ બે સમરૂપતા જૂથો અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ વિપરીત સાચું નથીઃ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સુપરપરફેક્ટ છે (તેથી સંપૂર્ણ) પરંતુ એસાયક્લિક નથી. એસફેરિકલ સ્પેસ રેફરન્સ બાહ્ય કડીઓ બીજગણિત ટોપોલોજી હોમોલોજી સિદ્ધાંત હોમોટોપી સિદ્ધાંત પણ જુઓ.