Spacetime algebra
ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સ્પેસટાઇમ બીજગણિત (એસ. ટી. એ.) એ ક્લિફોર્ડ બીજગણિત સી. એલ. 1,3 (આર.), અથવા સમકક્ષ ભૌમિતિક બીજગણિતનું નામ છે. ડેવિડ હેસ્ટેન્સના જણાવ્યા અનુસાર, અવકાશ સમય બીજગણિત ખાસ કરીને વિશેષ સાપેક્ષતાની ભૂમિતિ અને સાપેક્ષવાદી અવકાશ સમય સાથે નજીકથી સંકળાયેલું હોઈ શકે છે. તે એક વેક્ટર સ્પેસ છે જે માત્ર વેક્ટરને જ નહીં, પણ બાયવેક્ટર્સ (ચોક્કસ પ્લેન સાથે સંકળાયેલ નિર્દેશિત જથ્થાઓ, જેમ કે વિસ્તારો અથવા પરિભ્રમણ) અથવા બ્લેડ (ચોક્કસ હાયપર-વોલ્યુમ સાથે સંકળાયેલ જથ્થાઓ) ને જોડવાની મંજૂરી આપે છે, તેમજ ફેરવવામાં આવે છે, પ્રતિબિંબિત થાય છે અથવા લોરેન્ટ્ઝને પ્રોત્સાહન આપે છે. તે વિશેષ સાપેક્ષતામાં સ્પિનર્સનું કુદરતી મૂળ બીજગણિત પણ છે. આ ગુણધર્મો ભૌતિકશાસ્ત્રના ઘણા મહત્વપૂર્ણ સમીકરણોને ખાસ કરીને સરળ સ્વરૂપોમાં વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને તેમના અર્થોની વધુ ભૌમિતિક સમજણ માટે ખૂબ મદદરૂપ થઈ શકે છે. માળખું અવકાશ સમય બીજગણિત એક સમય જેવા વેક્ટર અને ત્રણ અવકાશ જેવા વેક્ટરના ઓર્થોગોનલ આધારથી બનાવી શકાય છે, ગુણાકાર નિયમ સાથે જ્યાં સહી સાથે મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિક છે. આમ, અન્યથા. બેસિસ વેક્ટર આ ગુણધર્મોને ડાયરેક મેટ્રિક્સ સાથે વહેંચે છે, પરંતુ એસટીએમાં કોઈ સ્પષ્ટ મેટ્રિક્સ રજૂઆતનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી. આ એક સ્કેલર, ચાર વેક્ટર, છ બાયવેક્ટર, ચાર સ્યુડોવેક્ટર અને એક સ્યુડોસ્કેલરનો આધાર પેદા કરે છે. અવકાશ સમય બીજગણિતમાં બિન-તુચ્છ ઉપ-બીજગણિત પણ હોય છે જેમાં માત્ર સમ ગ્રેડ તત્વો હોય છે, એટલે કે. સ્કેલર્સ, બાયવેક્ટર્સ અને સ્યુડોસ્કેલર્સ. સમ ઉપ-બીજગણિતમાં, સ્કેલર અને સ્યુડોસ્કેલર બંને તમામ ઘટકો સાથે પરિવર્તિત થાય છે અને જટિલ સંખ્યાઓની જેમ કાર્ય કરે છે. જો કે, સ્પેસટાઇમ બીજગણિતના તમામ વિચિત્ર-ગ્રેડ ઘટકો સાથે સ્યુડોસ્કેલર એન્ટિકોમ્યુટ, એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે પેરિટી પરિવર્તન હેઠળ, વેક્ટર અને સ્યુડોવેક્ટર નકારવામાં આવે છે. ઓર્થોગોનલ આધાર સાથે સંકળાયેલ પારસ્પરિક ફ્રેમ એ સંબંધને સંતોષવા માટેનો પારસ્પરિક આધાર છે આ પારસ્પરિક ફ્રેમ વેક્ટર માત્ર એક નિશાની, સાથે, અને માટે દ્વારા અલગ પડે છે. આઈન્સ્ટાઈન નોટેશન અનુસાર, વેક્ટરને સરવાળા સાથે ઉપલા અથવા નીચલા અનુક્રમણિકા કોઓર્ડિનેટ્સમાં રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં કોઓર્ડિનેટ્સને બેઝિસ વેક્ટર અથવા તેમના પારસ્પરિક સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ્સ લઈને કાઢવામાં આવી શકે છે. ટેન્સર કલનની જેમ, અનુક્રમણિકાની સ્થિતિમાં ફેરફાર મેટ્રિક અને અનુક્રમણિકા જિમ્નેસ્ટિક્સના ઉપયોગનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છેઃ બહુવિધ વિભાજન અવકાશ સમય બીજગણિત એ વિભાજન બીજગણિત નથી, કારણ કે તેમાં નિષ્ક્રિય તત્વો અને બિન-શૂન્ય શૂન્ય ભાજકો છેઃ આને આવા પ્રોજેક્ટર માટે અનુક્રમે પ્રકાશ-શંકુ અને ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધો પર પ્રોજેક્ટર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. પરંતુ કેટલાક કિસ્સાઓમાં એક મલ્ટીવેક્ટર જથ્થાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવું શક્ય છે, અને પરિણામનો અર્થ સમજવું શક્ય છેઃ તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, એક જ સમતલમાં વેક્ટર દ્વારા વિભાજિત નિર્દેશિત ક્ષેત્ર અન્ય વેક્ટર આપે છે, જે પ્રથમને ઓર્થોગોનલ છે. અવકાશ સમય ઢાળ યુક્લિડિયન અવકાશમાં ઢાળની જેમ અવકાશ સમય ઢાળને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જે દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન સંબંધને સંતુષ્ટ કરેઃ આ માટે ઢાળની વ્યાખ્યાને સ્પષ્ટ રીતે લખવાની જરૂર છે, આ આંશિક જગ્યાઓ અવકાશ સમય વિભાજિત છે. અવકાશ સમય બીજગણિતમાં, અવકાશ સમય વિભાજન એ પસંદ કરેલી સંદર્ભ ફ્રેમમાં ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાંથી (3 + 1)-પરિમાણીય અવકાશમાં નીચેની બે કામગીરીઓ દ્વારા પ્રક્ષેપણ છેઃ પસંદ કરેલ સમય અક્ષનું પતન, બાયવેક્ટર્સ દ્વારા ફેલાયેલ 3D જગ્યા આપે છે, જે ભૌતિક અવકાશના બીજગણિતમાં પ્રમાણભૂત 3D આધાર વેક્ટરની સમકક્ષ હોય છે અને પસંદ કરેલ સમય અક્ષ પર 4D જગ્યાના પ્રક્ષેપણ સાથે 1D જગ્યા આપે છે. આ ટાઇમલાઇક બેસિસ વેક્ટર દ્વારા પૂર્વ અથવા ગુણાકાર પછી પ્રાપ્ત થાય છે, જે સંદર્ભ ફ્રેમમાં ચાર વેક્ટરને સ્કેલર ટાઇમલાઇક અને બાયવેક્ટર સ્પેસલાઇક ઘટકમાં વિભાજિત કરે છે. જેમ જેમ આ દ્વિભાજક એકતા માટે ચોરસ છે, તેઓ અવકાશી આધાર તરીકે સેવા આપે છે. પાઉલી મેટ્રિક્સ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, આ લખવામાં આવે છે. એસ. ટી. એ. માં અવકાશી વેક્ટરને બોલ્ડફેસમાં દર્શાવવામાં આવે છે; પછી અને સાથે,-અવકાશી વિભાજન, અને તેની વિરુદ્ધ છેઃ જો કે, ઉપરોક્ત સૂત્રો માત્ર મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિકમાં સહી (+--) સાથે કામ કરે છે. અવકાશ સમયના વિભાજનના સ્વરૂપો માટે કે જે બંને સહીમાં કામ કરે છે, વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓ જેમાં અને તેનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન ભૌમિતિક બીજગણિતમાં વેક્ટરને ફેરવવા માટે, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છેઃ, ક્યાં ફેરવવાનો કોણ છે, અને તે પરિભ્રમણના સમતલનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો સામાન્યકૃત દ્વિભાજક છે જેથી. આપેલ સ્પેસેલાઇક બાયવેક્ટર માટે, તેથી યુલરનું સૂત્ર લાગુ પડે છે, જે પરિભ્રમણ આપે છે. આપેલ સમય સમાન દ્વિભાજક માટે, તેથી "સમય દ્વારા પરિભ્રમણ" વિભાજીત-જટિલ સંખ્યાઓ માટે સમાન સમીકરણનો ઉપયોગ કરે છેઃ આ સમીકરણનું અર્થઘટન કરવાથી, તે જોવાનું સરળ છે કે સમયની દિશામાં આ પરિભ્રમણ ફક્ત હાયપરબોલિક પરિભ્રમણ છે. આ વિશેષ સાપેક્ષતામાં લોરેન્ટ્ઝ બુસ્ટ્સની સમકક્ષ છે. આ બંને પરિવર્તનને લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને તે બધાનો સંયુક્ત સમૂહ લોરેન્ટ્ઝ જૂથ છે. એસ. ટી. એ. માં ઑબ્જેક્ટને કોઈપણ આધાર (સંદર્ભ ફ્રેમને અનુરૂપ) થી બીજામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આમાંથી એક અથવા વધુ પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીયતા ફેરાડે બાયવેક્ટર એસટીએમાં, વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને એક જ બાયવેક્ટર ક્ષેત્રમાં એકીકૃત કરી શકાય છે, જે ફેરાડે બાયવેક્ટર તરીકે ઓળખાય છે, જે ફેરાડે ટેન્સરની સમકક્ષ છે. તેને સામાન્ય વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ક્યાં અને ક્યાં છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તે એસ. ટી. એ. સ્યુડોસ્કેલર છે. વૈકલ્પિક રીતે, ઘટકોની દ્રષ્ટિએ વિસ્તરણ, વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે અલગ અને ક્ષેત્રો ઉપયોગ કરવાથી પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે આ શબ્દ આપેલ સંદર્ભ ફ્રેમને રજૂ કરે છે, અને જેમ કે, વિવિધ સંદર્ભ ફ્રેમનો ઉપયોગ દેખીતી રીતે અલગ સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં પરિણમશે, બરાબર પ્રમાણભૂત વિશેષ સાપેક્ષતાની જેમ. ફેરાડે બાયવેક્ટર સાપેક્ષ રીતે અપરિવર્તનશીલ હોવાથી, વધુ માહિતી તેના ચોરસમાં મળી શકે છે, જે બે નવા લોરેન્ટ્ઝ-અપરિવર્તનશીલ જથ્થાઓ, એક સ્કેલર અને એક સ્યુડોસ્કેલર આપે છેઃ સ્કેલર ભાગ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે લાગ્રેન્જિયન ઘનતાને અનુરૂપ છે, અને સ્યુડોસ્કેલર ભાગ ઓછો વારંવાર જોવા મળતો લોરેન્ટ્ઝ અપરિવર્તનશીલ છે. મેક્સવેલના સમીકરણ મેક્સવેલના સમીકરણોને અવકાશ સમય બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને, પ્રમાણભૂત વેક્ટર કલન સાથે કરી શકાય તેના કરતા સરળ સ્વરૂપમાં ઘડી શકાય છે. તેવી જ રીતે ઉપરોક્ત ફિલ્ડ બાયવેક્ટરની જેમ, વિદ્યુત ચાર્જ ઘનતા અને વર્તમાન ઘનતાને એક જ અવકાશ સમય વેક્ટરમાં એકીકૃત કરી શકાય છે, જે ચાર-વેક્ટરની સમકક્ષ છે. જેમ કે, અવકાશ સમય પ્રવાહ તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં ઘટકો શાસ્ત્રીય 3-પરિમાણીય વર્તમાન ઘનતાના ઘટકો છે. જ્યારે આ જથ્થાને આ રીતે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તે ખાસ કરીને સ્પષ્ટ કરે છે કે શાસ્ત્રીય ચાર્જ ઘનતા એ દ્વારા આપવામાં આવેલી સમયોચિત દિશામાં મુસાફરી કરતા પ્રવાહ સિવાય બીજું કંઈ નથી. અગાઉ વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વર્તમાન ઘનતાને સ્પેસટાઇમ ગ્રેડિયન્ટ સાથે જોડીને, આપણે સ્પેસટાઇમ બીજગણિતમાં મેક્સવેલના તમામ ચાર સમીકરણોને એક જ સમીકરણમાં જોડી શકીએ છીએ. હકીકત એ છે કે આ જથ્થાઓ અવકાશ સમયના બીજગણિતમાં તમામ સહપરિવર્તનશીલ પદાર્થો છે જે આપમેળે સમીકરણના લોરેન્ટ્ઝ સહપરિવર્તનની બાંયધરી આપે છે, જે ચાર અલગ-અલગ સમીકરણોમાં વિભાજિત થવા કરતાં બતાવવું ખૂબ સરળ છે. આ સ્વરૂપમાં, મેક્સવેલના સમીકરણોના અમુક ગુણધર્મોને સાબિત કરવું પણ ખૂબ સરળ છે, જેમ કે ચાર્જનું સંરક્ષણ. એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે કોઈપણ દ્વિભાજક ક્ષેત્ર માટે, તેના અવકાશ સમયના ઢાળનું વિચલન છે, કોઈ નીચેની હેરફેર કરી શકે છેઃ આ સમીકરણનો સ્પષ્ટ અર્થ છે કે વર્તમાન ઘનતાનું વિચલન શૂન્ય છે, એટલે કે. સમય જતાં કુલ ચાર્જ અને વર્તમાન ઘનતા સંરક્ષિત રહે છે. ઉપરાંત, જમણી બાજુ, વેક્ટર અને બાયવેક્ટરનું ઉત્પાદન હોવાથી, તેમાં સ્યુડોવેક્ટર ભાગ હોઈ શકે છે, જે ચુંબકીય મોનોપોલનું વર્ણન કરશે. પ્રયોગ સૂચવે છે કે આ અસ્તિત્વમાં નથી, જે સમીકરણને કંઈક અંશે અસમપ્રમાણ બનાવે છે. લોરેન્ટ્ઝ બળ ચાર્જ કણ પર લોરેન્ટ્ઝ બળનું સ્વરૂપ પણ અવકાશ સમય બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકાય છે. સંભવિત રચના પ્રમાણભૂત વેક્ટર કલન રચનામાં, બે સંભવિત કાર્યોનો ઉપયોગ થાય છેઃ વિદ્યુત સ્કેલર ક્ષમતા અને ચુંબકીય વેક્ટર ક્ષમતા. એસ. ટી. એ. ના સાધનોનો ઉપયોગ કરીને, આ બે પદાર્થોને એક જ વેક્ટર ક્ષેત્રમાં જોડવામાં આવે છે, જે ટેન્સર કેલ્ક્યુલસમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ચાર-સંભવિત સમાન છે. એસ. ટી. એ. માં, તેને સ્કેલર પોટેન્શિયલ ક્યાં છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તે ચુંબકીય પોટેન્શિયલના ઘટકો છે. વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ, આ ક્ષેત્રમાં મીટર દીઠ વેબરના એસ. આઈ. એકમો છે. વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રને આ સંભવિત ક્ષેત્રની દ્રષ્ટિએ પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે, જો કે, આ વ્યાખ્યા અનન્ય નથી. કોઈપણ બે વાર-વિભેદક સ્કેલર કાર્ય માટે, આ ઘટનાને ગેજ સ્વતંત્રતા કહેવામાં આવે છે તે હકીકતને કારણે, દ્વારા આપવામાં આવેલ પોટેન્શિયલ પણ મૂળ સમાન આપશે. આપેલ સમસ્યાને સરળ બનાવવા માટે યોગ્ય કાર્ય પસંદ કરવાની પ્રક્રિયાને ગેજ ફિક્સિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો કે, સાપેક્ષ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં, લોરેન્ઝ સ્થિતિ ઘણીવાર લાદવામાં આવે છે, જ્યાં. સંભવિતતાના સંદર્ભમાં એસ. ટી. એ. મેક્સવેલ સમીકરણને સુધારવા માટે, પ્રથમ ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા સાથે બદલવામાં આવે છે. આ પરિણામને બદલીને, વ્યક્તિ એસ. ટી. એ. માં વિદ્યુતચુંબકીયતાની સંભવિત રચના પર પહોંચે છેઃ ટેન્સર કેલ્ક્યુલસ ઔપચારિકતા સાથે સમાન રીતે લાગ્રેન્જિયન રચના, એસ. ટી. એ. માં સંભવિત રચના કુદરતી રીતે યોગ્ય લાગ્રેન્જિયન ઘનતા તરફ દોરી જાય છે. ક્ષેત્ર માટે મલ્ટીવેક્ટર-વેલ્યુડ યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો મેળવી શકાય છે, અને સ્કેલર ન હોય તેવી કોઈ વસ્તુના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્ન લેવાની ગાણિતિક કઠોરતા સાથે છૂટક હોવાને કારણે, સંબંધિત સમીકરણો બની જાય છે આ સ્વરૂપમાંથી સંભવિત સમીકરણને ફરીથી મેળવવાનું શરૂ કરવા માટે, લોરેન્ઝ ગેજમાં કામ કરવું સૌથી સરળ છે, સેટિંગ આ પ્રક્રિયા પસંદ કરેલા ગેજને ધ્યાનમાં લીધા વિના કરી શકાય છે, પરંતુ આ પરિણામી પ્રક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે સ્પષ્ટ કરે છે. ભૌમિતિક ઉત્પાદનની રચનાને કારણે, આ સ્થિતિનો ઉપયોગ કરવાથી પરિણામ મળે છે. અવેજીમાં મૂક્યા પછી, સંભવિત ક્ષેત્ર માટે ઉપરની ગતિનું સમાન સમીકરણ સરળતાથી મેળવી શકાય છે. પાઉલી સમીકરણ અવકાશ સમય બીજગણિત મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતની જગ્યાએ વાસ્તવિક સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ પૌલી કણના વર્ણનને મંજૂરી આપે છે. પાઉલી કણનું મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતનું વર્ણન છેઃ જ્યાં સ્પિનોર છે, તે કોઈ ભૌમિતિક અર્થઘટન વિનાનું કાલ્પનિક એકમ છે, તે પાઉલી મેટ્રિક્સ છે ('ટોપી' નોટેશન સૂચવે છે કે તે મેટ્રિક્સ ઓપરેટર છે અને ભૌમિતિક બીજગણિતમાં કોઈ તત્વ નથી), અને તે શ્રોડિંગર હેમિલ્ટોનિયન છે. અવકાશ સમયના બીજગણિતમાં પાઉલી કણને વાસ્તવિક પૌલી-શ્રોડિંગર સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ જ્યાં હવે એકમ સ્યુડોસ્કેલર છે, અને અને ભૌમિતિક બીજગણિતના ઘટકો છે, સમ બહુ-વાહક સાથે; તે ફરીથી શ્રોડિંગર હેમિલ્ટોનિયન છે. હેસ્ટેન્સ આને વાસ્તવિક પાઉલી-શ્રોડિંગર સિદ્ધાંત તરીકે ઉલ્લેખ કરે છે, જે એ વાત પર ભાર મૂકે છે કે જો ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમાવેશ કરતો શબ્દ પડતો મૂકવામાં આવે તો આ સિદ્ધાંત શ્રોડિંગર સિદ્ધાંતમાં ઘટાડો કરે છે. આ સમીકરણ ભૌતિક અવકાશના બીજગણિત માટે વધુ યોગ્ય છે, કારણ કે આ સમીકરણમાં અવકાશ સમયના બીજગણિત માટે આવશ્યક કંઈ દેખાતું નથી. ડાયરેક સમીકરણ અવકાશ સમય બીજગણિત મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતની જગ્યાએ વાસ્તવિક સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ ડાયરેક કણનું વર્ણન સક્ષમ કરે છે. ડાયરેક કણનું મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતનું વર્ણન છેઃ ડાયરેક મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. સ્પેસટાઇમ બીજગણિતમાં, હેસ્ટેન્સની વ્યુત્પત્તિને અનુસરીને, ડીરાક કણને સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ અહીં, સ્પિનોર ક્ષેત્ર છે, અને ભૌમિતિક બીજગણિતના ઘટકો છે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ચાર-સંભવિત છે, અને સ્પેસટાઇમ વેક્ટર વ્યુત્પન્ન છે. આ સમાન ગાણિતિક સંચાલકને વિદ્યુતચુંબકીયતા અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ બંને માટે ગતિના સમીકરણોનું વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે બંનેના વધુ સરળ એકીકરણ તરફ દોરી જાય છે. ડાયરેક સ્પિનર્સ સાપેક્ષવાદી ક્વોન્ટમ તરંગ કાર્યને કેટલીકવાર સ્પિનોર ક્ષેત્ર તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. જ્યાં બાયવેક્ટર છે, અને જ્યાં, ડેવિડ હેસ્ટેન્સ દ્વારા તેની વ્યુત્પત્તિ અનુસાર, અવકાશ સમય પર એક સમ બહુ-મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય છે, તે એક એકરૂપ સ્પિનોર (અથવા "રોટર") છે, અને તે સ્કેલર-મૂલ્યવાળા કાર્યો છે. આ રચનામાં, ના ઘટકોને સીધા જ ડીરાક સ્પિનોરના ઘટકો સાથે અનુરૂપ કરી શકાય છે, જે એ હકીકત દ્વારા સરળતાથી ચકાસી શકાય છે કે બંનેમાં 8 સ્કેલર ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ છે. આ સમીકરણને કાલ્પનિક સ્યુડોસ્કેલર સાથે સ્પિનને જોડવા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. તેને લોરેન્ટ્ઝ પરિભ્રમણ તરીકે જોવામાં આવે છે, જે ઓપરેશન દ્વારા વેક્ટરની બીજી ફ્રેમમાં વેક્ટરની ફ્રેમ છે, જ્યાં ટિલ્ડ પ્રતીક વિપરીત સૂચવે છે (વિપરીત ઘણીવાર ખંજર પ્રતીક દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે, ભૌમિતિક બીજગણિતમાં પરિભ્રમણ પણ જુઓ). આને સ્થાનિક રીતે વિવિધ વેક્ટર-અને સ્કેલર-મૂલ્યના અવલોકનો માટે એક માળખું પ્રદાન કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે અને મૂળ રૂપે શ્રોડિંગર દ્વારા પ્રસ્તાવિત ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના ઝીટરબેવેગંગ અર્થઘટન માટે સમર્થન આપવામાં આવ્યું છે. હેસ્ટેન્સે તેમની અભિવ્યક્તિની સરખામણી ફેઈનમેનની અભિવ્યક્તિ સાથે પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલેશનમાં કરી છેઃ-પાથ સાથે શાસ્ત્રીય ક્રિયા ક્યાં છે. ભૌતિક અવલોકનક્ષમ ક્ષેત્રમાંથી વર્તમાન ઘનતા યુ (1) ગેજ સમપ્રમાણતા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે ડાયરેક સમીકરણ કેટલાક સ્થિર તબક્કા પાળી દ્વારા આપવામાં આવેલા કેટલાક વૈશ્વિક તબક્કા પાળી હેઠળ સમપ્રમાણ છે. પરિવર્તન કરવાથી, જ્યાં ક્ષેત્રનો ચાર્જ છે અને એકમ સ્યુડોસ્કેલર છે, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે ડાયરેક સમીકરણ અપરિવર્તિત રહે છે. જો કે, સમીકરણમાંથી તમામ ભૌતિક અવલોકનો મજબૂત સ્થાનિક તબક્કાની સમપ્રમાણતા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે, જ્યાં તબક્કાની પાળી જગ્યા પર મનસ્વી રકમ દ્વારા બદલાઈ શકે છે. સ્થાનિક તબક્કાની પાળી સ્કેલર કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને પરિવર્તન દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પરિવર્તન સાથે આવે છે તે હકીકત એ હકીકતમાંથી આવે છે કે તે સ્કેલર અને સ્યુડોસ્કેલર ભાગમાં વિઘટિત થાય છે, જે બંને સમ પેટા-બીજગણિતના તત્વો સાથે આવે છે. જો કે, ડાયરેક સમીકરણમાં આ મજબૂત સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અવકાશ સમય વ્યુત્પન્ન ઉત્પાદન નિયમ અને સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત થાય છે. કારણ કે રૂપાંતરિત વ્યુત્પન્નનું સ્વરૂપ મૂળ સ્વરૂપ જેવું નથી (એટલે કે. તેમાં એક વધારાનો શબ્દ છે જે સ્પષ્ટપણે તબક્કા પર આધાર રાખે છે), વ્યુત્પન્ન સમીકરણને સ્થાનિક તબક્કા અપરિવર્તનશીલ બનવાથી અટકાવે છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, એક ગેજ ક્ષેત્ર રજૂ કરી શકાય છે, જે સમીકરણમાં સ્થાનિક તબક્કાની નિર્ભરતાને દૂર કરવા માટે એક રીતે પરિવર્તન માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે. જો કોઈ ગેજ ક્ષેત્રને સમાન મનસ્વી તબક્કા પાળી હેઠળ રૂપાંતરિત કરવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને આ ચોક્કસપણે તે છે જ્યાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દ આવે છે. શરૂઆતમાં, તે અસ્પષ્ટ હોઈ શકે છે કે આ અમૂર્ત ગેજ ક્ષેત્ર ખરેખર શું રજૂ કરે છે, કારણ કે તે તરંગ કાર્યના તબક્કાને બદલવા સિવાય અન્ય કોઈ અવલોકનક્ષમ અસર ધરાવતું નથી. પરંતુ તેની રજૂઆતના પરિણામોની તપાસ કરતી વખતે, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે તે ફક્ત વિદ્યુતચુંબકીય ચાર-સંભવિત છે, અને તે કે અચળાંક એ ફક્ત ક્ષેત્રમાં આપેલા કણનો ચાર્જ છે. જેમ કે, ડીરાક સમીકરણને ફેઝ-ઇનવેરિયન્ટ બનવાની ફરજ પાડવાથી તે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને બોનસ તરીકે વર્ણવે છે. સમાન ગેજ ક્ષેત્રો એસ. ટી. એ. માં ગેજ પરિવર્તન માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે ઇલેક્ટ્રોવીક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને સંચાલિત કરે છે, અને મજબૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા, જે કેટલાકને આ માળખામાં પ્રમાણભૂત મોડેલને સુધારવાનું શરૂ કરવા તરફ દોરી જાય છે. સામાન્ય સાપેક્ષતા કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીના લેસેનબી, ડોરાન અને ગુલની સામાન્ય સાપેક્ષતાની નવી રચનાએ ગુરુત્વાકર્ષણની નવી રચનાની દરખાસ્ત કરી છે, જેને ગેજ થિયરી ગ્રેવિટી (જી. ટી. જી.) કહેવાય છે, જેમાં અવકાશ સમય બીજગણિતનો ઉપયોગ મિન્કોવ્સ્કી જગ્યા પર વળાંકને પ્રેરિત કરવા માટે થાય છે, જ્યારે "અવકાશ સમય પર ઘટનાઓનું મનસ્વી રીતે સરળ રીમેપિંગ" (લેસેનબી, એટ અલ. ); બિન-તુચ્છ વ્યુત્પત્તિ પછી ભૌગોલિક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે, અને સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય સંભવિતતા સાથે સંકળાયેલ જોડાણ છે, અને તે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર જેવી બાહ્ય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા છે. આ સિદ્ધાંત કાળા છિદ્રોની સારવાર માટે કેટલાક વચનો દર્શાવે છે, કારણ કે તેનું શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ ઉકેલનું સ્વરૂપ એકવચનતા પર તૂટી જતું નથી; સામાન્ય સાપેક્ષતાના મોટાભાગના પરિણામો ગાણિતિક રીતે પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં આવ્યા છે, અને શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સની સાપેક્ષ રચના ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને ડીરાક સમીકરણ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે. ભૌમિતિક બીજગણિત ડીરાક બીજગણિત મેક્સવેલના સમીકરણો ડીરાક સમીકરણ સામાન્ય સાપેક્ષતા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ કાલ્પનિક સંખ્યાઓ વાસ્તવિક નથી-અવકાશ સમયનું ભૌમિતિક બીજગણિત, એસ. ગુલ, એ. લેસેનબી, સી. ડોરાન દ્વારા ભૌમિતિક બીજગણિતના વિચારોનો ટ્યુટોરિયલ પરિચય. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી ભૌમિતિક બીજગણિત જૂથ ભૌમિતિક ગણતરી સંશોધન અને વિકાસ ભૌમિતિક બીજગણિત ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રા મિન્કોવ્સ્કી અવકાશ સમય ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર