Sturm separation theorem
ગણિતમાં, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના ક્ષેત્રમાં, સ્ટર્મ વિભાજન પ્રમેય, જેક્સ ચાર્લ્સ ફ્રાન્કોઇસ સ્ટર્મના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે સજાતીય બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોના મૂળના સ્થાનનું વર્ણન કરે છે. મૂળભૂત રીતે પ્રમેય જણાવે છે કે આવા સમીકરણના બે રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો આપવામાં આવે તો બે ઉકેલોના શૂન્ય વૈકલ્પિક હોય છે. સ્ટર્મ સેપરેશન થીયરમ જો u (x) અને v (x) એ એક સમાન બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણના બે બિન-તુચ્છ સતત રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો છે, જેમાં x0 અને x1 એ u (x) ના ક્રમિક મૂળ છે, તો v (x) એ ખુલ્લા અંતરાલ (x0, x1) માં બરાબર એક જ મૂળ ધરાવે છે. તે સ્ટર્મ-પિકોન સરખામણી પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ છે. પુરાવો અને તે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી તે અનુસરે છે કે જ્યાં વિભેદક સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે તે બધા માટે વ્રોન્સ્કિયને સંતોષ કરવો જ જોઇએ, કહો. સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના, ધારો કે. પછી તેથી અને ક્યાં તો અને બંને હકારાત્મક અથવા બંને નકારાત્મક છે. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, ધારો કે તે બંને હકારાત્મક છે. હવે, એટ અને ત્યારથી અને તેના ક્રમિક શૂન્ય કારણ બને છે. આમ, રાખવા માટે આપણી પાસે હોવું જ જોઈએ. આપણે આ અવલોકન કરીને જોઈએ છીએ કે જો તે પછી (-અક્ષથી દૂર) વધશે, જે ક્યારેય શૂન્ય તરફ દોરી જશે નહીં. તેથી શૂન્ય સૌથી વધુ થાય તે માટે (એટલે કે, અને તે બહાર આવ્યું છે, બ્રોન્સ્કિયનમાંથી આપણા પરિણામ દ્વારા). તેથી અંતરાલમાં ક્યાંક ચિહ્ન બદલાઈ ગયું છે. મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય દ્વારા એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બીજી બાજુ, ત્યાં માત્ર એક જ શૂન્ય હોઈ શકે છે, કારણ કે અન્યથા બે શૂન્ય હશે અને વચ્ચે કોઈ શૂન્ય નહીં હોય, અને તે માત્ર સાબિત થયું હતું કે આ અશક્ય છે. સંદર્ભો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો