Nilpotent orbit
ગણિતમાં, નિલપોટેન્ટ ઓર્બિટ્સ એ નિલપોટેન્ટ મેટ્રિસીસના સામાન્યીકરણ છે જે વાસ્તવિક અને જટિલ અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથો અને અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. વ્યાખ્યા અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત g નું તત્વ X ને નિલપોટેન્ટ કહેવામાં આવે છે જો તેની સંલગ્ન એન્ડોમોર્ફિઝમ ad X: g → g, ad X (Y) = [X, Y] નિલપોટેન્ટ હોય, એટલે કે, (ad X) n = 0 મોટા પર્યાપ્ત n માટે. સમાનરૂપે, X એ નિલપોટેન્ટ છે જો તેની લાક્ષણિક બહુપદી પેડ X (t) tdim g ની બરાબર હોય. અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથ અથવા બીજગણિત જૂથ G સંલગ્ન રજૂઆત દ્વારા તેના લાઈ બીજગણિત પર કાર્ય કરે છે, અને આ ક્રિયા હેઠળ નિલપોટેન્ટ હોવાનો ગુણધર્મ અપરિવર્તનશીલ છે. નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષા એ સંલગ્ન ક્રિયાની એવી ભ્રમણકક્ષા છે કે તેના તત્વોના કોઈપણ (સમકક્ષ, બધા) નિલપોટેન્ટ હોય. જટિલ પ્રવેશો સાથેના નિલપોટેન્ટ મેટ્રિસીસના ઉદાહરણો સામાન્ય સિદ્ધાંત માટે મુખ્ય પ્રેરક કેસ બનાવે છે, જે જટિલ સામાન્ય રેખીય જૂથને અનુરૂપ છે. જોર્ડન મેટ્રિક્સના સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક નિલપોટેન્ટ મેટ્રિક્સ કદના જોર્ડન બ્લોક્સ સાથે એક અનન્ય મેટ્રિક્સ સાથે સંયોજિત છે જ્યાં n નું પાર્ટીશન છે. આમ n = 2 કિસ્સામાં બે નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ છે, શૂન્ય ભ્રમણકક્ષા જેમાં શૂન્ય મેટ્રિક્સનો સમાવેશ થાય છે અને પાર્ટીશન (1,1) ને અનુરૂપ છે અને મુખ્ય ભ્રમણકક્ષા જેમાં શૂન્ય ટ્રેસ અને નિર્ધારક સાથે તમામ બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ A નો સમાવેશ થાય છે, જે પાર્ટીશન (2) ને અનુરૂપ છે. ભૌમિતિક રીતે, આ ભ્રમણકક્ષા મેટ્રિસીસના ચાર-પરિમાણીય વેક્ટર અવકાશમાં તેની ટોચ બાદબાકીમાં દ્વિ-પરિમાણીય જટિલ ચતુર્ભુજ શંકુ છે. જટિલ વિશેષ રેખીય જૂથ એ સમાન નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ સાથે સામાન્ય રેખીય જૂથનું પેટા જૂથ છે. જો કે, જો આપણે જટિલ વિશેષ રેખીય જૂથને વાસ્તવિક વિશેષ રેખીય જૂથ સાથે બદલીએ, તો નવી નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ ઊભી થઈ શકે છે. ખાસ કરીને, n = 2 માટે હવે 3 નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ છેઃ શૂન્ય ભ્રમણકક્ષા અને બે વાસ્તવિક અર્ધ-શંકુ (ટોચ વિના), જે ઉપરના પરિમાણોના હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યોને અનુરૂપ છે. ગુણધર્મો નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓને સંલગ્ન ક્રિયાના તે ભ્રમણકક્ષાઓ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે જેમના ઝારિસ્કી બંધ 0 ધરાવે છે. નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ સંખ્યામાં મર્યાદિત છે. ઝારિસ્કી દ્વારા નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાનું બંધ થવું એ નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાનું જોડાણ છે. જેકોબ્સન-મોરોઝોવ થીયરમઃ લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર, કોઈપણ નિલપોટેન્ટ તત્વ e ને sl2-ત્રિપલ {e, h, f} માં સમાવી શકાય છે અને આવા તમામ ત્રિપલ ZG (e) દ્વારા સંયોજિત થાય છે, જે G માં e નું કેન્દ્રીકરણ કરે છે. પોઝિટ માળખું નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ બનાવે છેઃ બે નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ આપવામાં આવે તો, જો O1 એ O2 ના ઝારિસ્કી બંધમાં સમાયેલ હોય તો O1 એ O2 કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોય છે. આ સ્થિતિ એક અનન્ય ન્યૂનતમ તત્વ, શૂન્ય ભ્રમણકક્ષા અને અનન્ય મહત્તમ તત્વ, નિયમિત નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષા ધરાવે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે, તે શ્રેણીબદ્ધ સ્થિતિ નથી. જો જમીનનું ક્ષેત્ર બીજગણિત રીતે બંધ હોય તો શૂન્ય ભ્રમણકક્ષા એક અનન્ય ભ્રમણકક્ષા દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે, જેને ન્યૂનતમ ભ્રમણકક્ષા કહેવાય છે, અને નિયમિત ભ્રમણકક્ષા એક અનન્ય ભ્રમણકક્ષાને આવરી લે છે, જેને સબરેગુલર ભ્રમણકક્ષા કહેવાય છે. વિશેષ રેખીય જૂથ SLn ના કિસ્સામાં, નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ n ના પાર્ટીશનો દ્વારા પરિમાણિત થાય છે. ગેર્સ્ટેનહેબરના પ્રમેય દ્વારા, ભ્રમણકક્ષાઓનો ક્રમ n ના પાર્ટીશનો પરના પ્રભુત્વ ક્રમને અનુરૂપ છે. વધુમાં, જો G એ દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું આઇસોમેટ્રી જૂથ છે, એટલે કે. એસ. એલ. એન. નું ઓર્થોગોનલ અથવા સિંપ્લેક્ટિક પેટાજૂથ, પછી તેની નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ ચોક્કસ સમાનતાની સ્થિતિને સંતોષતા n ના પાર્ટીશનો દ્વારા પરિમાણિત થાય છે અને અનુરૂપ સ્થિતિ માળખું તમામ પાર્ટીશનો પર પ્રભુત્વ ક્રમ દ્વારા પ્રેરિત થાય છે (આ એક બિન-તુચ્છ પ્રમેય છે, જે ગેર્સ્ટેનહેબર અને હેસેલિંકને કારણે છે). સંયુક્ત પ્રતિનિધિત્વ સંદર્ભો ડેવિડ કોલિંગવુડ અને વિલિયમ મેકગવર્ન પણ જુઓ. અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતમાં નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ. વેન નોસ્ટ્રાન્ડ રીઇનહોલ્ડ ગણિત શ્રેણી. વેન નોસ્ટ્રાન્ડ રીનહોલ્ડ કંપની, ન્યૂયોર્ક, 1993. . . લાઈ આલ્જેબ્રાઝ