Isothermal coordinates
ગણિતમાં, ખાસ કરીને વિભેદક ભૂમિતિમાં, રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સ એ સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે જ્યાં મેટ્રિક યુક્લિડિયન મેટ્રિકને અનુરૂપ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં, રીમાનિયન મેટ્રિક સ્થાનિક રીતે તે સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં પોઝિટિવ સ્મૂથ ફંક્શન હોય છે. (જો રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ ઓરિએન્ટેડ હોય, તો કેટલાક લેખકો આગ્રહ રાખે છે કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એ ઓરિએન્ટેશન સાથે આઇસોથર્મલ હોવા માટે સહમત હોવી જોઈએ.) સપાટીઓ પર આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સ સૌપ્રથમ ગૌસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. કોર્ન અને લિકટેન્સ્ટાઇને સાબિત કર્યું કે દ્વિ-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર કોઈપણ બિંદુની આસપાસ આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેનાથી વિપરીત, મોટાભાગના ઉચ્ચ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સ આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સને ક્યાંય પણ સ્વીકારતા નથી; એટલે કે, તેઓ સામાન્ય રીતે સ્થાનિક રીતે સુસંગત રીતે સપાટ હોતા નથી. પરિમાણ 3 માં, રીમાનિયન મેટ્રિક સ્થાનિક રીતે સુસંગત રીતે સપાટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો કપાસ ટેન્સર અદૃશ્ય થઈ જાય. પરિમાણો> 3 માં, મેટ્રિક સ્થાનિક રીતે સુસંગત રીતે સપાટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો વેઇલ ટેન્સર અદૃશ્ય થઈ જાય. સપાટીઓ પર આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સ 1822 માં, કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસે વાસ્તવિક-વિશ્લેષણાત્મક રીમાનિયન મેટ્રિક સાથે મનસ્વી સપાટી પર આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સનું અસ્તિત્વ સાબિત કર્યું, જે ક્રાંતિના સપાટીઓના વિશેષ કિસ્સામાં જોસેફ લેગ્રાન્જના અગાઉના પરિણામોને અનુસરે છે. ગૌસ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતી રચનામાં કોચી-કોવાલેવસ્કી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, જેથી તેમની પદ્ધતિ મૂળભૂત રીતે વાસ્તવિક-વિશ્લેષણાત્મક સંદર્ભ સુધી મર્યાદિત રહે. આર્થર કોર્ન દ્વારા દ્વિ-પરિમાણીય આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં નવીનતાઓને અનુસરીને, લિયોન લિક્ટનસ્ટાઇને 1916માં ઓછી નિયમિતતાના રીમાનિયન મેટ્રિક્સ માટે આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સનું સામાન્ય અસ્તિત્વ શોધી કાઢ્યું હતું, જેમાં સરળ મેટ્રિક્સ અને હોલ્ડર સતત મેટ્રિક્સનો પણ સમાવેશ થાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ પર રીમાનિયન મેટ્રિકને જોતાં, આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટ્સ વચ્ચેનું સંક્રમણ કાર્ય, જે તેના ખુલ્લા ઉપગણ વચ્ચેનો નકશો છે, તે આવશ્યકપણે કોણ-સંરક્ષિત છે. ઓરિએન્ટેશન-પ્રિઝર્વેશન સાથે એન્ગલ-પ્રિઝર્વેશન પ્રોપર્ટી એ હોલોમોર્ફિક ફંક્શન્સની એક લાક્ષણિકતા (ઘણી વચ્ચે) છે, અને તેથી આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ ચાર્ટ્સ ધરાવતી ઓરિએન્ટેડ કોઓર્ડિનેટ એટલાસને હોલોમોર્ફિક કોઓર્ડિનેટ એટલાસ તરીકે જોઈ શકાય છે. આ દર્શાવે છે કે રીમાનિયન મેટ્રિક અને દ્વિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ પરની દિશા રીમાન સપાટીની રચનાને પ્રેરિત કરવા માટે જોડાય છે (એટલે કે. એક-પરિમાણીય જટિલ મેનીફોલ્ડ). વધુમાં, એક લક્ષી સપાટીને જોતાં, બે રીમાનિયન મેટ્રિક્સ સમાન હોલોમોર્ફિક એટલાસને પ્રેરિત કરે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ એકબીજા સાથે સુસંગત હોય. આ કારણોસર, રીમાન સપાટીઓનો અભ્યાસ લક્ષી સપાટીઓ પર રીમાનિયન મેટ્રિક્સના અનુરૂપ વર્ગોના અભ્યાસ સમાન છે. 1950 ના દાયકા સુધીમાં, કોર્ન અને લિક્ટનસ્ટીનના વિચારોનું પ્રદર્શન જટિલ વ્યુત્પન્નની ભાષામાં અને લિપમેન બેર્સ અને શિંગ-શેન ચેર્ન દ્વારા બેલ્ટ્રામી સમીકરણમાં મૂકવામાં આવ્યું હતું. આ સંદર્ભમાં, સામાન્યીકૃત ઉકેલોના અસ્તિત્વની તપાસ કરવી સ્વાભાવિક છે, જે સંબંધિત આંશિક વિભેદક સમીકરણોને સંતોષે છે પરંતુ હવે સામાન્ય રીતે સંકલન ચાર્ટ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાતા નથી. આ ચાર્લ્સ મોરે દ્વારા દ્વિ-પરિમાણીય ક્ષેત્રો પર લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંત પરના તેમના નિર્ણાયક 1938ના લેખમાં શરૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જે પાછળથી લાર્સ અહલ્ફોર્સ અને બેર્સના માપી શકાય તેવા રીમાન મેપિંગ પ્રમેય તરફ દોરી ગયું હતું. બેલ્ટ્રામી સમીકરણ આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સનું અસ્તિત્વ બેલ્ટ્રામી સમીકરણ માટે જાણીતા અસ્તિત્વ પ્રમેયો લાગુ કરીને સાબિત કરી શકાય છે, જે કાલ્ડેરોન અને ઝિગ્મંડના એકવચન અભિન્ન સંચાલકો માટે એલ. પી. અંદાજો પર આધાર રાખે છે. બેલ્ટ્રામી સમીકરણ માટે એક સરળ અભિગમ તાજેતરમાં એડ્રિયન ડૌડી દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. જો જટિલ સંકલનમાં રીમાનિયન મેટ્રિક સ્થાનિક રીતે આપવામાં આવે, તો તે જ્યાં અને અને સાથે સરળ હોય તે સ્વરૂપ લે છે. હકીકતમાં આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં મેટ્રિક ρ સ્મૂથ સાથે ફોર્મ લેવું જોઈએ. જટિલ સંકલન સંતોષ આપે છે જેથી જો બેલ્ટ્રામી સમીકરણમાં ડિફિયોમોર્ફિક ઉકેલ હોય તો કોઓર્ડિનેટ્સ (યુ, વી) આઇસોથર્મલ હશે. આવા ઉકેલ કોઈપણ પડોશમાં અસ્તિત્વમાં હોવાનું સાબિત થયું છે. લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે સ્થાનિક સોલ્વેબિલિટી દ્વારા અસ્તિત્વ સરળ દ્વિ-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સનું અસ્તિત્વ એ લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના વિશ્લેષણમાં પ્રમાણભૂત સ્થાનિક સોલ્વેબિલિટી પરિણામનું પરિણામ છે. વર્તમાન સંદર્ભમાં, સંબંધિત લંબગોળ સમીકરણ એ કાર્ય માટે રીમાનિયન મેટ્રિકના સંબંધમાં હાર્મોનિક હોવાની શરત છે. સ્થાનિક સોલ્વેબિલિટી પછી જણાવે છે કે કોઈપણ બિંદુ પાસે એક પડોશી હોય છે જેના પર ક્યાંય-લુપ્ત થતા વ્યુત્પન્ન સાથે હાર્મોનિક કાર્ય હોય છે. આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેના રીતે આવા કાર્યમાંથી બનાવવામાં આવે છે. ની સંવાદિતા રીમાનિયન મેટ્રિક સાથે સંકળાયેલા હોજ સ્ટાર ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત વિભેદક 1-સ્વરૂપની બંધતા જેવી જ છે. હોજ સ્ટારની વ્યાખ્યા અનુસાર પોઇનકેરે લેમ્મા આમ હોજ સ્ટાર સાથે કાર્યનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે, અને તે એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ છે અને તેથી રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને તે પછી ઇન્વર્સ ફંક્શન થીયરમને અનુસરે છે અને તેના કેટલાક પડોશ પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવે છે. આ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપમેળે આઇસોથર્મલ છે, કારણ કે ઓર્થોગોનાલિટી અને મેટ્રિકની વિકર્ણતા સૂચવે છે, અને હોજ સ્ટારનો ધોરણ-જાળવણી ગુણધર્મ બે વિકર્ણ ઘટકોની સમાનતા સૂચવે છે. ગૌસીયન વળાંક સમઉષ્મીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, ગૌસીયન વળાંક સરળ સ્વરૂપ લે છે. પુનઃમુદ્રિતઃ બાહ્ય કડીઓ વિભેદક ભૂમિતિ વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રણાલીઓનું સંકલન આંશિક વિભેદક સમીકરણો