Spinors in three dimensions
ગણિતમાં, સ્પિનોર ખ્યાલને ત્રણ પરિમાણો માટે વિશિષ્ટ તરીકે ડોટ પ્રોડક્ટ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટની પરંપરાગત કલ્પનાઓ દ્વારા ગણી શકાય. આ પરિભ્રમણ જૂથ SO (3) ની વિગતવાર બીજગણિત ચર્ચાનો એક ભાગ છે. રચના 2 × 2 જટિલ હર્મિશિયન મેટ્રિક્સ સાથે સ્પિનોરનું જોડાણ એલી કાર્ટન દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. વિગતવાર, વાસ્તવિક (અથવા જટિલ) સંખ્યાઓના વેક્ટર x = (x1, x2, x3) ને જોતાં, જટિલ મેટ્રિક્સને જોડી શકાય છે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આને ઘણીવાર ડોટ પ્રોડક્ટ તરીકે લખવામાં આવે છે, જ્યાં પાઉલી મેટ્રિક્સનું વેક્ટર સ્વરૂપ છે. આ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સમાં નીચેના ગુણધર્મો છે, જે તેમને આંતરિક રીતે 3-અવકાશની ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત કરે છેઃ, જ્યાં નિર્ધારક સૂચવે છે. જ્યાં I એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. જ્યાં Z એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ છે. જો એકમ વેક્ટર હોય, તો તે વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ છે જે સમતલ ઓર્થોગોનલમાં પ્રતિબિંબિત થવાથી પરિણમે છે. છેલ્લા ગુણધર્મનો ઉપયોગ રોટેશનલ કામગીરીને સરળ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. તે રેખીય બીજગણિતમાંથી એક પ્રાથમિક હકીકત છે કે બે પ્રતિબિંબની રચના તરીકે 3-અવકાશ પરિબળોમાં કોઈપણ પરિભ્રમણ. (વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ ઓરિએન્ટેશન-રિવર્સિંગ ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન કાં તો પ્રતિબિંબ અથવા ત્રણ પ્રતિબિંબનનું ઉત્પાદન છે.) આમ જો R એ એક પરિભ્રમણ છે જે એકમ વેક્ટરને લંબરૂપ સમતલમાં પ્રતિબિંબ તરીકે વિઘટિત થાય છે અને ત્યારબાદ સમતલમાં લંબરૂપ પ્રતિબિંબ આવે છે, તો પછી મેટ્રિક્સ R દ્વારા વેક્ટરના પરિભ્રમણને રજૂ કરે છે. 3-જગ્યાની તમામ પરિભ્રમણ રેખીય ભૂમિતિને અસરકારક રીતે જટિલ 2 × 2 મેટ્રિક્સના સમૂહમાં એન્કોડ કર્યા પછી, 2 × 1 મેટ્રિક્સ (એટલે કે, સ્તંભ વેક્ટર) શું ભૂમિકા ભજવે છે તે પૂછવું સ્વાભાવિક છે. કામચલાઉ રીતે, સ્પિનોર એ જટિલ એન્ટ્રીઓ β1 અને β2 સાથેનું કોલમ વેક્ટર છે. સ્પિનરોની જગ્યા દેખીતી રીતે જટિલ 2 × 2 મેટ્રિસીસ દ્વારા કાર્ય કરે છે. ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, એકમ વેક્ટરની જોડીમાં બે પ્રતિબિંબનો ગુણાકાર 2 × 2 મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની યુક્લિડિયન વેક્ટર પરની ક્રિયા પરિભ્રમણ છે. તેથી સ્પિનરો પર પરિભ્રમણની ક્રિયા છે. જો કે, એક મહત્વપૂર્ણ ચેતવણી છેઃ પરિભ્રમણનું ગુણાંકકરણ અનન્ય નથી. સ્પષ્ટપણે, જો પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ હોય, તો પછી R ને −R દ્વારા બદલીને સમાન પરિભ્રમણ પ્રાપ્ત થશે. હકીકતમાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ સરળતાથી બતાવી શકે છે કે આ એકમાત્ર અસ્પષ્ટતા છે જે ઊભી થાય છે. આમ સ્પિનોર પર પરિભ્રમણની ક્રિયા હંમેશા બમણી મૂલ્યની હોય છે. 2 × 2 જટિલ મેટ્રિસીસ સાથેના કાર્ટનના કાર્યના કેટલાક પૂર્વગામીઓ હતાઃ વોલ્ફગેંગ પાઉલીએ આ મેટ્રિસીસનો એટલો સઘન ઉપયોગ કર્યો હતો કે ચાર-પરિમાણીય પેટા જગ્યાના ચોક્કસ આધારના તત્વોને પૌલી મેટ્રિસીસ σi કહેવામાં આવે છે, જેથી હર્મિશિયન મેટ્રિક્સને પૌલી વેક્ટર તરીકે લખવામાં આવે. 19મી સદીના મધ્યમાં ચાર જટિલ પરિમાણોના આ બીજગણિતની બીજગણિત કામગીરીનો દ્વિભાજન તરીકે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. માઈકલ સ્ટોન અને પૌલ ગોલ્ડબાર, ગણિતમાં ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે, આનો વિરોધ કરતા કહે છે, "સ્પિન રજૂઆતોની શોધ 'એલી કાર્ટન દ્વારા 1913 માં કરવામાં આવી હતી, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમની જરૂર હતી તેના કેટલાક વર્ષો પહેલા". આઇસોટ્રોપિક વેક્ટર સ્પિનર્સનો ઉપયોગ કરીને ફોર્મ્યુલેશન ક્વાટર્નિયોનિક બાંધકામનો ઉપયોગ કર્યા વિના 3-સ્પેસમાં આઇસોટ્રોપિક વેક્ટરમાંથી સીધા જ બનાવી શકાય છે. સ્પિનરોની આ રજૂઆતને પ્રેરિત કરવા માટે, ધારો કે X એ જટિલ 3-જગ્યામાં વેક્ટર x નું પ્રતિનિધિત્વ કરતો મેટ્રિક્સ છે. ધારો કે x એ આઇસોટ્રોપિક છેઃ એટલે કે, પછી X નો નિર્ધારક શૂન્ય હોવાથી તેની પંક્તિઓ અથવા સ્તંભો વચ્ચે પ્રમાણસરતા છે. આમ મેટ્રિક્સને બે જટિલ 2-વેક્ટરના બાહ્ય ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છેઃ આ ફેક્ટરાઇઝેશન વેક્ટર x ના કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણોની વધુ પડતી નિર્ધારિત સિસ્ટમ આપે છેઃ અવરોધને આધિન આ સિસ્ટમ ઉકેલોને સ્વીકારે છે. આમ સ્પિનોરને સંકેતની પસંદગી સાથે આઇસોટ્રોપિક વેક્ટર તરીકે જોઈ શકાય છે. નોંધ લો કે લઘુગણક શાખાને કારણે, નિશાનીને સતત પસંદ કરવી અશક્ય છે જેથી x કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચે સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ સાથે () સતત બદલાય. સ્પિનોર પર પરિભ્રમણની રજૂઆતની આ અસ્પષ્ટતા હોવા છતાં, પરિભ્રમણ ω1: ω2 ગુણોત્તર પર અપૂર્ણાંક રેખીય પરિવર્તન દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે કાર્ય કરે છે કારણ કે ઉકેલ () માં નિશાનીની એક પસંદગી બીજા નિશાનીની પસંદગીને દબાણ કરે છે. ખાસ કરીને, સ્પિનરોની જગ્યા એ ઓર્થોગોનલ જૂથની પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત છે. આ દ્રષ્ટિકોણના પરિણામે, સ્પિનરોને આઇસોટ્રોપિક વેક્ટરના એક પ્રકારનાં "વર્ગમૂળ" તરીકે ગણી શકાય. ખાસ કરીને, મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ () નો પરિચય આપવો એ અનિશ્ચિત સ્પિનોર (spinor) માટે X = 2 ω t ω C ને ઉકેલવા સમાન છે. એક ફોર્ટીઓરી, જો ω અને x ની ભૂમિકાઓ હવે ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો Q (ω) = x સ્વરૂપ દરેક સ્પિનોર ω માટે, ω ના ઘટકોમાં વેક્ટર x ને ચતુર્ભુજ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો આ દ્વિઘાત સ્વરૂપ ધ્રુવીકૃત હોય, તો તે સ્પિનર્સ Q (μ, x) પર દ્વિરેખીય વેક્ટર-મૂલ્ય ધરાવતું સ્વરૂપ નક્કી કરે છે. આ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ પછી પ્રતિબિંબ અથવા પરિભ્રમણ હેઠળ ટેન્સોરિયલ રૂપે પરિવર્તિત થાય છે. વાસ્તવિકતા ઉપરોક્ત વિચારણાઓ સમાન રીતે લાગુ પડે છે કે શું વિચારણા હેઠળની મૂળ યુક્લિડિયન જગ્યા વાસ્તવિક છે કે જટિલ. જ્યારે જગ્યા વાસ્તવિક હોય છે, તેમ છતાં, સ્પિનર્સમાં કેટલીક વધારાની રચના હોય છે જે બદલામાં પરિભ્રમણ જૂથના પ્રતિનિધિત્વનું સંપૂર્ણ વર્ણન સરળ બનાવે છે. ધારો કે, સરળતા માટે, 3-જગ્યા પર આંતરિક ઉત્પાદન હકારાત્મક-નિશ્ચિત હસ્તાક્ષર ધરાવે છેઃ આ પરંપરા સાથે, વાસ્તવિક વેક્ટર હર્મિશિયન મેટ્રિસીસને અનુરૂપ છે. વધુમાં, સ્વરૂપ () ને જાળવી રાખતા વાસ્તવિક પરિભ્રમણ (બેવડા મૂલ્યના અર્થમાં) નિર્ધારક એકના એકાત્મક મેટ્રિસીસને અનુરૂપ છે. આધુનિક શબ્દોમાં, આ વિશેષ એકાત્મક જૂથ એસ. યુ. (2) ને એસ. ઓ. (3) ના બેવડા આવરણ તરીકે રજૂ કરે છે. પરિણામે, સ્પિનોર હર્મિશિયન ઉત્પાદન તમામ પરિભ્રમણ દ્વારા સાચવવામાં આવે છે, અને તેથી તે પ્રમાણભૂત છે. જો, તેમ છતાં, 3-જગ્યા પર આંતરિક ઉત્પાદનની સહી અનિશ્ચિત હોય (એટલે કે, બિન-વિકૃત, પણ હકારાત્મક ચોક્કસ નહીં), તો પછી આને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે ઉપરોક્ત વિશ્લેષણને સમાયોજિત કરવું આવશ્યક છે. પછી ધારો કે 3-જગ્યા પર લંબાઈનું સ્વરૂપ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ પછી અગાઉના વિભાગોના સ્પિનરોની રચના આગળ વધે છે, પરંતુ તમામ સૂત્રોમાં તેને બદલવામાં આવે છે. આ નવી પરંપરા સાથે, વાસ્તવિક વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ પોતે વાસ્તવિક છેઃ સ્વરૂપ () હવે વાસ્તવિક પરિભ્રમણ (અથવા ઉલટું) હેઠળ અપરિવર્તનશીલ નથી, કારણ કે સ્થિર જૂથ () હવે લોરેન્ટ્ઝ જૂથ O (2,1) છે. તેના બદલે, એન્ટિ-હર્મિશિયન સ્વરૂપ આ મેટ્રિક સહીમાં સ્પિનર્સ માટે આંતરિક ઉત્પાદનની યોગ્ય કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ સ્વરૂપ ઓ (2,1) ની ઓળખના જોડાયેલા ઘટકમાં પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. બંને કિસ્સાઓમાં, ક્વાર્ટિક સ્વરૂપ અનુક્રમે O (3) (અથવા O (2,1)) હેઠળ સંપૂર્ણપણે અપરિવર્તનશીલ હોય છે, જ્યાં Q એ અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ વેક્ટર-મૂલ્યનું દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે. હકીકત એ છે કે આ દ્વિઘાતને બદલે ચતુર્થાંશ અપરિવર્તનશીલ છે, તેનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે. જો કોઈ વિશેષ ઓર્થોગોનલ પરિવર્તનના જૂથ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, તો પછી આ સ્વરૂપનું વર્ગમૂળ લેવાનું અને તેમના દ્વિગુણિત સાથે સ્પિનરોની ઓળખ મેળવવાનું સ્પષ્ટ રીતે શક્ય છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની ભાષામાં, આ સૂચવે છે કે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી SO (3) (અથવા SO (2,1)) ની માત્ર એક જ ઇરેડ્યુસિબલ સ્પિન રજૂઆત છે. જો, જો કે, રિવર્સલ (દા. ત., પ્લેનમાં પ્રતિબિંબ) ને પણ મંજૂરી આપવામાં આવે છે, તો પછી પ્રતિબિંબની અરજી પર નિશાનીમાં ફેરફારને કારણે સ્પિનરોને તેમના ડ્યુઅલ સાથે ઓળખવું હવે શક્ય નથી. આમ ઓ (3) (અથવા ઓ (2,1)) ની બે ઈરીડ્યુસિબલ સ્પિન રજૂઆતો છે, જેને કેટલીકવાર પિન રજૂઆતો કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિકતા માળખાં આ બે સહીઓ વચ્ચેના તફાવતોને સ્પિનરોની જગ્યા પર વાસ્તવિકતા માળખાની કલ્પના દ્વારા સંહિતાબદ્ધ કરી શકાય છે. અનૌપચારિક રીતે, સ્પિનોરનું જટિલ સંયુગ્મ લેવા માટે આ એક પ્રિસ્ક્રિપ્શન છે, પરંતુ એવી રીતે કે આ સ્પિનોરના ઘટકો દીઠ સામાન્ય સંયુગ્મને અનુરૂપ ન પણ હોય. ખાસ કરીને, વાસ્તવિકતા માળખું હર્મિશિયન 2 × 2 મેટ્રિક્સ K દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે, જેનું ગુણાકાર પોતે ઓળખ મેટ્રિક્સ છેઃ K2 = ID છે. જ્યારે પણ X એ વાસ્તવિક વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ હોય ત્યારે જરૂર દ્વારા વેક્ટર (દા. ત., () અથવા ()) પરના આંતરિક ઉત્પાદનનું ચોક્કસ સ્વરૂપ વાસ્તવિકતા માળખું (-1 ના પરિબળ સુધી) નક્કી કરે છે. આમ K = iC એ યુક્લિડિયન હસ્તાક્ષર () માં વાસ્તવિકતા માળખું છે, અને K = ID એ હસ્તાક્ષર () માટે છે. હાથમાં વાસ્તવિકતા માળખા સાથે, નીચેના પરિણામો મળે છેઃ X એ વાસ્તવિક વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ છે જો, અને માત્ર જો, જો μ અને x સ્પિનોર હોય, તો આંતરિક ઉત્પાદન હર્મિશિયન સ્વરૂપ નક્કી કરે છે જે યોગ્ય ઓર્થોગોનલ પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉદાહરણો પૌલી સ્પિન મેટ્રિક્સના સ્પિનર્સ ઘણીવાર, સ્પિનર્સનું પ્રથમ ઉદાહરણ કે જે ભૌતિકશાસ્ત્રના વિદ્યાર્થીનો સામનો કરે છે તે પૌલીના ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનના સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા 2 × 1 સ્પિનર્સ છે. પાઉલી મેટ્રિસીસ એ ત્રણ 2 × 2 મેટ્રિસીસનો વેક્ટર છે જેનો ઉપયોગ સ્પિન ઓપરેટર્સ તરીકે થાય છે. 3 પરિમાણોમાં એકમ વેક્ટર આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે (a, b, c), એકમ વેક્ટરની દિશામાં સ્પિન માટે સ્પિન મેટ્રિક્સ મેળવવા માટે પાઉલી સ્પિન મેટ્રિક્સ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લે છે. તે સ્પિન મેટ્રિક્સના આઈગનવેક્ટર્સ વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવેલી દિશામાં સ્પિન-1/2 માટે સ્પિનર્સ છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ u = (0.8,-0.6,0) એક એકમ વેક્ટર છે. આને પાઉલી સ્પિન મેટ્રિક્સ સાથે જોડવાથી મેટ્રિક્સ મળે છેઃ આઈગનવેક્ટર્સ રેખીય બીજગણિતની સામાન્ય પદ્ધતિઓ દ્વારા મળી શકે છે, પરંતુ એક અનુકૂળ યુક્તિ એ નોંધવાની છે કે પૌલી સ્પિન મેટ્રિક્સ એક અનૈચ્છિક મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે, ઉપરોક્ત મેટ્રિક્સનો વર્ગ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. આમ ±1 ના આઈગન મૂલ્યો સાથે આઈગનવેક્ટર સમસ્યાનો (મેટ્રિક્સ) ઉકેલ ફક્ત 1 ±Su છે. એટલે કે, પછી વેક્ટર સોલ્યુશન તરીકે આઈગનવેક્ટર મેટ્રિક્સના સ્તંભોમાંથી કોઈ એકને પસંદ કરી શકાય છે, જો કે પસંદ કરેલ સ્તંભ શૂન્ય ન હોય. ઉપરોક્ત પ્રથમ સ્તંભને ધ્યાનમાં લેતા, બે આઈગન મૂલ્યો માટે આઈગનવેક્ટર ઉકેલો આ પ્રમાણે છેઃ આઈગનવેક્ટર્સ શોધવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી યુક્તિ આદર્શોની વિભાવના સાથે સંબંધિત છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સ આઈગનવેક્ટર્સ (1 ±Su)/2 પ્રોજેક્શન ઓપરેટર્સ અથવા આઈડેમ્પોટન્ટ્સ છે અને તેથી દરેક પાઉલી બીજગણિતમાં એક આદર્શ ઉત્પન્ન કરે છે. આ જ યુક્તિ કોઈપણ ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાં કામ કરે છે, ખાસ કરીને ડીરાક બીજગણિત કે જેની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. આ પ્રક્ષેપણ સંચાલકો ઘનતા મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતમાં પણ જોવા મળે છે જ્યાં તેઓ શુદ્ધ ઘનતા મેટ્રિક્સના ઉદાહરણો છે. વધુ સામાન્ય રીતે, (a, b, c) દિશામાં સ્પિન માટે પ્રોજેક્શન ઓપરેટર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને કોઈપણ બિન-શૂન્ય સ્તંભને પ્રોજેક્શન ઓપરેટર તરીકે લઈ શકાય છે. જ્યારે બે સ્તંભો અલગ દેખાય છે, ત્યારે તે બતાવવા માટે a2 + b2 + c2 = 1 નો ઉપયોગ કરી શકાય છે કે તેઓ એક જ સ્પિનોરના ગુણાંક (સંભવતઃ શૂન્ય) છે. સામાન્ય ટિપ્પણીઓ અણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, સ્પિનનો ગુણધર્મ મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. તેમના અન્ય ગુણધર્મો ઉપરાંત તમામ કણો બિન-શાસ્ત્રીય ગુણધર્મ ધરાવે છે, એટલે કે, જેનો પરંપરાગત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કોઈ સંબંધ નથી, એટલે કે સ્પિન, જે એક પ્રકારનો આંતરિક કોણીય વેગ છે. સ્થિતિની રજૂઆતમાં, સ્પિન વિનાના વેવફંક્શન્સને બદલે, si = si (r), સ્પિન સાથે હોય છેઃ si = si (r, σ), જ્યાં σ મૂલ્યોનો નીચેનો અલગ સમૂહ લે છેઃ કણોના કુલ કોણીય વેગમાત્રા સંચાલક, ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગમાત્રા (એટલે કે, ત્યાં માત્ર પૂર્ણાંકોની મંજૂરી છે) અને આંતરિક ભાગ, સ્પિનના સરવાળાને અનુરૂપ છે. એક બોસોન્સ (S = 0, ±1, ±2,.) અને ફર્મિઓન્સ (S = ±1/2, ±3/2, ±5/2,.) ને અલગ પાડે છે. આ પણ જુઓ બ્લોચ ગોળા પાઉલી સમીકરણ સંદર્ભો રેખીય બીજગણિત સ્પિનર્સ રુઃ σπινορ τρεχμερνογο προστρανστβα