Stress majorization
સ્ટ્રેસ મેજરાઇઝેશન એ બહુ-પરિમાણીય સ્કેલિંગ (એમ. ડી. એસ.) માં ઉપયોગમાં લેવાતી ઓપ્ટિમાઇઝેશન વ્યૂહરચના છે, જ્યાં-પરિમાણીય ડેટા વસ્તુઓના સમૂહ માટે,-પરિમાણીય જગ્યામાં બિંદુઓની ગોઠવણીની માંગ કરવામાં આવે છે જે કહેવાતા સ્ટ્રેસ ફંક્શનને ઘટાડે છે. સામાન્ય રીતે અથવા, એટલે કે. મેટ્રિક્સ યુક્લિડિયન અવકાશમાં અથવા પરિમાણીય બિંદુઓની યાદી આપે છે જેથી પરિણામની કલ્પના કરી શકાય (એટલે કે. એમ. ડી. એસ. પ્લોટ). કાર્ય એ ખર્ચ અથવા નુકસાન કાર્ય છે જે આર-પરિમાણીય અવકાશમાં આદર્શ (-પરિમાણીય) અંતર અને વાસ્તવિક અંતર વચ્ચેના વર્ગ તફાવતને માપે છે. તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં બિંદુઓની જોડી વચ્ચેના માપ માટેનું વજન છે, તે અને વચ્ચેનું યુક્લિડિયન અંતર છે અને તે-પરિમાણીય ડેટા સ્પેસમાં બિંદુઓ (તેમના વિભાજન) વચ્ચેનું આદર્શ અંતર છે. નોંધ લો કે તેનો ઉપયોગ બિંદુઓ વચ્ચેની સમાનતામાં વિશ્વાસની માત્રાને સ્પષ્ટ કરવા માટે થઈ શકે છે (દા. ત. જો કોઈ ચોક્કસ જોડી માટે કોઈ માહિતી ન હોય તો 0 નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે). એક રૂપરેખાંકન જે ન્યૂનતમ કરે છે તે એક આલેખ આપે છે જેમાં એકબીજાની નજીકના બિંદુઓ તે બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે જે મૂળ-પરિમાણીય ડેટા સ્પેસમાં પણ એકબીજાની નજીક હોય છે. એવી ઘણી રીતો છે જેને ઘટાડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રુસ્કલે પુનરાવર્તિત સૌથી તીવ્ર ઉતરતા અભિગમની ભલામણ કરી હતી. જો કે, જાન ડી લીઉ દ્વારા તણાવ ઘટાડવા માટે નોંધપાત્ર રીતે વધુ સારી (બાંયધરી અને અભિસરણના દરની દ્રષ્ટિએ) પદ્ધતિ રજૂ કરવામાં આવી હતી. દરેક પગલા પર ડી લીયુની પુનરાવર્તિત મુખ્યકરણ પદ્ધતિ એક સરળ બહિર્મુખ કાર્યને ઘટાડે છે જે બંને ઉપરથી સીમા બનાવે છે અને એક બિંદુની સપાટીને સ્પર્શે છે, જેને સહાયક બિંદુ કહેવાય છે. બહિર્મુખ વિશ્લેષણમાં આવા કાર્યને મુખ્ય કાર્ય કહેવામાં આવે છે. આ પુનરાવર્તિત મુખ્યકરણ પ્રક્રિયાને એસ. એમ. એ. સી. ઓ. એફ. અલ્ગોરિધમ ("જટિલ કાર્યને મોટું કરીને માપ") તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. એસ. એમ. એ. સી. ઓ. એફ. અલ્ગોરિધમ તણાવ કાર્યને નીચે પ્રમાણે વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ નોંધ લો કે પ્રથમ પદ અચળ છે અને બીજો પદ (એટલે કે. હેસિયન મેટ્રિક્સ માટે બીજો પદ ટ્ર) ની સમકક્ષ છે અને તેથી પ્રમાણમાં સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. ત્રીજો શબ્દ આ રીતે બંધાયેલો છેઃ ક્યાં છેઃ માટે અને માટે અને. આ અસમાનતાનો પુરાવો કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતા દ્વારા છે, જુઓ બોર્ગ (pp. 152-153). આમ, આપણી પાસે એક સરળ વર્ગાત્મક કાર્ય છે જે તણાવને મુખ્ય બનાવે છેઃ પુનરાવર્તિત લઘુતમ પ્રક્રિયા પછી છેઃ જો અન્યથા પુનરાવર્તન કરવામાં આવે તો આપણે સ્ટોપ સેટ કરીએ છીએ. આ અલ્ગોરિધમ તણાવને એકવિધ રીતે ઘટાડવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે (જુઓ ડી લીયુ). ગ્રાફ રેખાંકનમાં ઉપયોગ સ્ટ્રેસ મેજરાઇઝેશન અને એસ. એમ. એ. સી. ઓ. એફ. જેવા અલ્ગોરિધમ્સનો ગ્રાફ રેખાંકનના ક્ષેત્રમાં પણ ઉપયોગ થાય છે. એટલે કે, ગ્રાફમાં નોડ્સની સ્થિતિ પર સ્ટ્રેસ ફંક્શનને ઘટાડીને નેટવર્ક અથવા ગ્રાફ માટે વાજબી સૌંદર્યની દૃષ્ટિએ આકર્ષક લેઆઉટ શોધી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય રીતે નોડ્સ અને અને વજન વચ્ચેના ગ્રાફ-સૈદ્ધાંતિક અંતર પર સેટ કરવામાં આવે છે. અહીં, લાંબા અથવા ટૂંકા અંતરના આદર્શ અંતરને જાળવી રાખવા વચ્ચેના વિનિમય તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. સારા પરિણામો જોવા મળ્યા છે. સંદર્ભ આલેખ રેખાંકન પરિમાણમાં ઘટાડો ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન ગાણિતિક વિશ્લેષણ