Complete homogeneous symmetric polynomial
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિત સંયોજનશાસ્ત્ર અને પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓ ચોક્કસ પ્રકારની સપ્રમાણ બહુપદીઓ છે. દરેક સપ્રમાણ બહુપદીને સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓમાં બહુપદી અભિવ્યક્તિ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા ચલમાં ડિગ્રીની સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદી, માટે લખવામાં આવે છે, તે ચલમાં કુલ ડિગ્રીની તમામ એકવિધતાઓનો સરવાળો છે. ઔપચારિક રીતે, સૂત્રને આ રીતે પણ લખી શકાય છેઃ ખરેખર, તે ક્રમમાં માત્ર ગુણાકાર છે. આમ, દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, ચલમાં ડિગ્રીની બરાબર એક સંપૂર્ણ સજાતીય સમપ્રમાણ બહુપદી અસ્તિત્વમાં છે. વ્યાખ્યાને ફરીથી લખવાની બીજી રીત એ છે કે ક્રમની શરત વિના, તમામ ક્રમ પર સરવાળો લેવોઃ અહીં ક્રમમાં સંખ્યાનો ગુણાકાર છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓના ઉત્પાદનોના તમામ અભિન્ન રેખીય સંયોજનોને લઈને રચાયેલી બહુપદી વીંટી એ પરિવર્તનીય વીંટી છે. ઉદાહરણો નીચેના પ્રથમ ત્રણ હકારાત્મક મૂલ્યો માટે મૂળભૂત (નીચે સમજાવ્યા મુજબ) સંપૂર્ણ સજાતીય સમપ્રમાણ બહુપદીઓની યાદી આપે છે. માટેઃ માટેઃ માટેઃ ગુણધર્મો ઉત્પન્ન કરતા કાર્ય સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓને ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીની નીચેની ઓળખ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છેઃ (આને સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે ઉત્પન્ન કરતા કાર્ય અથવા ઉત્પન્ન કરતી શ્રેણી કહેવામાં આવે છે). અહીં અંતિમ અભિવ્યક્તિમાં દરેક અપૂર્ણાંક એ ઔપચારિક ભૌમિતિક શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની સામાન્ય રીત છે જે મધ્ય અભિવ્યક્તિમાં એક પરિબળ છે. તે ભૌમિતિક શ્રેણીઓના ગુણાકારની રચના કેવી રીતે થાય છે તે ધ્યાનમાં લઈને ઓળખને ન્યાયી ઠેરવી શકાય છેઃ ગુણાકારમાં દરેક પરિબળ દરેક ભૌમિતિક શ્રેણીમાંથી પસંદ કરેલા એક પદને એકસાથે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, અને ચલમાં દરેક એકવિધતા બરાબર આવી જ એક પસંદગીના શબ્દો માટે મેળવવામાં આવે છે, અને એકવિધતાની માત્રાની સમાન શક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત સૂત્રને મેકમોહન માસ્ટર થીયરમના વિશેષ કેસ તરીકે જોઈ શકાય છે. જમણી બાજુનું અર્થઘટન ક્યાં અને ક્યાં કરી શકાય છે. ડાબી બાજુએ, મેકમોહન અભિવ્યક્તિમાં દેખાતા બહુપદી ગુણાંકના વિશેષ કિસ્સાઓ તરીકે સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓને ઓળખી શકાય છે. કેટલીક પ્રમાણભૂત ગણતરીઓ કરીને, આપણે જનરેટિંગ ફંક્શનને પણ લખી શકીએ છીએ જે પ્લેથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શલનું પાવર સિરીઝ વિસ્તરણ છે (અને નોંધ લો કે તે ચોક્કસપણે જે-th પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદી છે). પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ સાથેનો સંબંધ પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ અને સંપૂર્ણ સજાતીય બહુપદીઓ વચ્ચેનો મૂળભૂત સંબંધ છેઃ જે બધા માટે અને કોઈપણ સંખ્યામાં ચલ માટે માન્ય છે. તે ધરાવે છે તે જોવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે તે પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીની ઓળખમાંથી છે, જે સંપૂર્ણ સજાતીય બહુપદીઓ માટે ઉપર આપેલા સમાન છે, જેને પ્લિથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શિયલ્સની દ્રષ્ટિએ પણ લખી શકાય છેઃ (આ વાસ્તવમાં બહુપદીઓની ઓળખ છે, કારણ કે પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ શૂન્ય થયા પછી). સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે જનરેટિંગ ફંક્શન દ્વારા આનો ગુણાકાર કરવાથી, કોઈ વ્યક્તિ અચળ શ્રેણી 1 મેળવે છે (સમકક્ષ રીતે, પ્લેથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શિયલ્સ એક્સ્પોનેન્શલના સામાન્ય ગુણધર્મોને સંતોષે છે), અને પ્રાથમિક અને સંપૂર્ણ સજાતીય બહુપદીઓ વચ્ચેનો સંબંધ તેના ગુણાંકની સરખામણી કરવાથી અનુસરે છે. તે સંબંધને સમજવાની થોડી વધુ સીધી રીત એ છે કે ડિગ્રીની નિશ્ચિત એકવિધતાનો સમાવેશ કરતા સરવાળામાં યોગદાનને ધ્યાનમાં લેવું. મોનોમીયલમાં નોનઝીરો એક્સપોનેન્ટ સાથે દેખાતા ચલોના કોઈપણ સબસેટ માટે, તે ચલોના ગુણાકારને ટર્મ ફ્રોમ, વ્હેયર અને મોનોમીયલ ફ્રોમ તરીકે સામેલ કરે છે; આ યોગદાનમાં ગુણાંક છે. પછી સંબંધ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે દ્વિપદી સૂત્ર દ્વારા, જ્યાં (બિન-શૂન્ય ઘાતાંક સાથે) ઘટતા અલગ ચલોની સંખ્યા સૂચવે છે. કારણ કે અને બંને 1 ની બરાબર હોવાથી, કોઈ પણ વ્યક્તિ યોગની પ્રથમ અથવા છેલ્લી શરતોમાંથી સંબંધને અલગ કરી શકે છે. પહેલું સમીકરણોનો ક્રમ આપે છેઃ અને તેથી વધુ, જે પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ ક્રમિક સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓને પુનરાવર્તિત રીતે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે; પછીનું સમીકરણોનો સમૂહ આપે છે અને તેથી આગળ, જે વ્યસ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. પ્રથમ પ્રાથમિક અને સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓ આ સંબંધોમાં સંપૂર્ણપણે સમાન ભૂમિકાઓ ભજવે છે, તેમ છતાં અગાઉની બહુપદીઓ પછી શૂન્ય બની જાય છે, જ્યારે પછીની નથી. આ ઘટનાને સપ્રમાણ કાર્યોની રીંગના સેટિંગમાં સમજી શકાય છે. તેમાં રીંગ ઓટોમોર્ફિઝમ છે જે પ્રાથમિક અને પ્રથમ સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ કાર્યોના ક્રમને અદલાબદલી કરે છે. ડિગ્રી 1 થી ચલમાં સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓનો સમૂહ ચલમાં સપ્રમાણ બહુપદીઓની વીંટી પેદા કરે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેની સપ્રમાણ બહુપદીઓની વીંટી અભિન્ન બહુપદીની વીંટીની સમકક્ષ હોય છે. આ એમ કહીને ઘડી શકાય છે કે તે અભિન્ન ગુણાંક સાથે સપ્રમાણ બહુપદીઓની વીંટીનો ઉત્કૃષ્ટ આધાર બનાવે છે (જેમ કે પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે પણ સાચું છે). પૂર્ણાંકોની રીંગને કોઈપણ અન્ય પરિવર્તનીય રીંગ દ્વારા બદલવામાં આવે તો પણ આ જ વાત લાગુ પડે છે. આ નિવેદનો પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે સમાન નિવેદનોમાંથી અનુસરે છે, જે અન્ય પ્રકારની દ્રષ્ટિએ કોઈપણ પ્રકારની સપ્રમાણ બહુપદીઓને વ્યક્ત કરવાની સૂચવેલ સંભાવનાને કારણે છે. સ્ટર્લિંગ સંખ્યાઓ સાથેનો સંબંધ સંપૂર્ણ સજાતીય બહુપદીઓ અને પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓના પૂર્ણાંકો પરનું મૂલ્યાંકન સ્ટર્લિંગ સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત છેઃ એકવિધ સપ્રમાણ બહુપદીઓ સાથેનો સંબંધ બહુપદી એ ડિગ્રીની તમામ અલગ-અલગ એકવિધ સપ્રમાણ બહુપદીઓનો સરવાળો પણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે ન્યુટનની શક્તિનો સરવાળો સાથેનો સંબંધ સરળ પુનરાવર્તિત સૂત્ર આપે છે જ્યાં અને pk એ ઉપરની જેમ k-th ઘાત સમસમિતીય બહુપદી છેઃ. નાના માટે આપણી પાસે સપ્રમાણ ટેન્સર સાથેનો સંબંધ છે-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા અને આઈગનવેલ્યુ સાથે રેખીય ઓપરેટરનો વિચાર કરો. તેની th સપ્રમાણ ટેન્સર શક્તિ અને પ્રેરિત ઓપરેટર દ્વારા દર્શાવો. દરખાસ્તઃ સાબિતી સરળ છેઃ માટે આઈગનબેસિસનો વિચાર કરો. આધારને અનુક્રમ દ્વારા અનુક્રમિત કરી શકાય છે, ખરેખર, તેના સમપ્રમાણતાઓને ધ્યાનમાં લો. આવા તમામ વેક્ટર આઈગનવેલ્યુ સાથે આઈગનવેક્ટર છે તેથી આ દરખાસ્ત સાચી છે. તેવી જ રીતે કોઈ પણ પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓને અસમપ્રમાણતા વિરોધી ટેન્સર શક્તિઓ પરના નિશાન દ્વારા વ્યક્ત કરી શકે છે. બંને સમીકરણો શુર બહુપદીઓના સમીકરણોમાં શુર ફંકટર પરના નિશાન તરીકે સમાવિષ્ટ છે, જેને વેલ અક્ષર સૂત્ર તરીકે જોઈ શકાય છે. જો આપણે ચલ માટે બદલીએ, તો સમપ્રમાણ બહુપદીને, માટે, ના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે. પુરાવા, જેમ કે લેમ્મા 3.5 માં જોવા મળે છે, તે વધતા જતા-ટુપલ્સના સંયોજન ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે. સમમિત બહુપદી પ્રાથમિક સમમિત બહુપદી શુર બહુપદી ન્યૂટનની ઓળખ મેકમોહન માસ્ટર પ્રમેય સમમિત કાર્ય પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સંદર્ભો મેકડોનાલ્ડ, આઇ. જી. (1979), સિમેટ્રિક ફંક્શન્સ એન્ડ હોલ પોલિનોમિયલ્સ. ઓક્સફર્ડ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સ. ઓક્સફર્ડઃ ક્લેરેન્ડન પ્રેસ. મેકડોનાલ્ડ, આઇ. જી. (1995), સિમેટ્રિક ફંક્શન્સ એન્ડ હોલ પોલિનોમિયલ્સ, સેકન્ડ એડિશન. ઓક્સફર્ડઃ ક્લેરેન્ડન પ્રેસ. (પેપરબેક, 1998). રિચાર્ડ પી. સ્ટેનલી (1999), એન્યુમરેટિવ કોમ્બિનેટોરિક્સ, વોલ્યુમ. 2. કેમ્બ્રિજઃ કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. સજાતીય બહુપદીઓ સમમિતીય કાર્યો