Peano existence theorem
ગણિતમાં, ખાસ કરીને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં, પીનો અસ્તિત્વ પ્રમેય, પીનો પ્રમેય અથવા કોચી-પીનો પ્રમેય, જેનું નામ જિયુસેપ પીનો અને ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે એક મૂળભૂત પ્રમેય છે જે ચોક્કસ પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યાઓના ઉકેલોના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. હિસ્ટ્રી પીનોએ સૌપ્રથમ 1886માં ખોટા પુરાવા સાથે પ્રમેય પ્રકાશિત કર્યો હતો. 1890 માં તેમણે ક્રમિક અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને એક નવો સાચો પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો. પ્રમેય ચાલો સતત વિધેય અને D પર વ્યાખ્યાયિત સતત, સ્પષ્ટ પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ સાથેનો એક ખુલ્લો સબસેટ હોઈએ, તો પછી f માટે દરેક પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યાનો સ્થાનિક ઉકેલ હોય છે જ્યાં અંદરનો પડોશી હોય છે, જેમ કે બધા માટે. ઉકેલ અનન્ય હોવો જરૂરી નથીઃ એક અને સમાન પ્રારંભિક મૂલ્ય ઘણા જુદા જુદા ઉકેલોને જન્મ આપી શકે છે. સાબિતી સાથે બદલીને, આપણે ધારી શકીએ છીએ. જેમ તે ખુલ્લું છે ત્યાં એક લંબચોરસ છે. કારણ કે તે કોમ્પેક્ટ છે અને કન્ટિન્યુઅસ છે, આપણી પાસે છે અને સ્ટોન-વેઇઅરસ્ટ્રાસ થીયરમ દ્વારા લિપશિટ્ઝ ફંક્શન્સનો એક ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જે એકસમાન રીતે રૂપાંતરિત થાય છે. સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના, આપણે બધા માટે ધારીએ છીએ. આપણે પિકાર્ડ પુનરાવર્તનને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, ક્યાં. , અને. તેઓ ઇન્ડક્શન દ્વારા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ જેમ કે ડોમેનની અંદર છે. આપણી પાસે Lipschitz અચળાંક ક્યાં છે. આમ મહત્તમ તફાવત માટે, આપણી પાસે બાઉન્ડ છે, અને ઇન્ડક્શન દ્વારા, આ બાઉન્ડ સૂચવે છે જે બધા માટે શૂન્ય તરફ વળે છે. આપણી પાસે આર્ઝેલા-એસ્કોલી થીયરમ મુજબ ફંક્શન્સ સમાન છે, તેથી તેઓ પ્રમાણમાં કોમ્પેક્ટ છે. ખાસ કરીને, દરેક માટે એક અનુગામી છે જે સતત કાર્યમાં સમાનરૂપે રૂપાંતરિત થાય છે. મર્યાદા લઈને આપણે તે તારણ કાઢીએ છીએ. કાર્યો પ્રમાણમાં કોમ્પેક્ટ સેટના બંધમાં છે, તેથી તેઓ પોતે પ્રમાણમાં કોમ્પેક્ટ છે. આમ ત્યાં એક અનુગામી છે જે સતત કાર્યમાં સમાનરૂપે રૂપાંતરિત થાય છે. મર્યાદાને ધ્યાનમાં રાખીને આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે, આર્ઝેલા-એસ્કોલી પ્રમેય દ્વારા સમાન છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને. કલનની મૂળભૂત પ્રમેય અનુસાર, in. સંબંધિત પ્રમેયો પીનો પ્રમેયની સરખામણી સમાન સંદર્ભમાં અસ્તિત્વના અન્ય પરિણામ સાથે કરી શકાય છે, જે પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેય છે. પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેય બંને વધુ ધારે છે અને વધુ નિષ્કર્ષ કાઢે છે. તેને લિપશિટ્ઝ સાતત્યની જરૂર છે, જ્યારે પીનો પ્રમેયને માત્ર સાતત્યની જરૂર છે; પરંતુ તે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા બંનેને સાબિત કરે છે જ્યાં પીનો પ્રમેય માત્ર ઉકેલોના અસ્તિત્વને સાબિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડોમેન પરના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો પીનો પ્રમેય અનુસાર, આ સમીકરણમાં ઉકેલો છે, પરંતુ પિકાર્ડ-લિન્ડેલોફ પ્રમેય લાગુ પડતો નથી કારણ કે જમણી બાજુ 0 ધરાવતા કોઈપણ પડોશમાં સતત લિપ્સચિટ્ઝ નથી. આ રીતે આપણે અસ્તિત્વનો નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ પરંતુ વિશિષ્ટતાનો નહીં. તે તારણ આપે છે કે આ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણમાં બે પ્રકારના ઉકેલો હોય છે જ્યારે ક્યાં તો અથવા શરૂ થાય છે. અને વચ્ચે સંક્રમણ કોઈપણ સમયે થઈ શકે છે. કારાથિઓડોરી અસ્તિત્વ પ્રમેય એ પીનો અસ્તિત્વ પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ છે, જે સાતત્ય કરતાં નબળી પરિસ્થિતિઓ ધરાવે છે. નોંધો સંદર્ભો વિશ્લેષણમાં ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચી પ્રમેયો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો