Vitali covering lemma
ગણિતમાં, લેમ્માને આવરી લેતી વિટાલી એ એક સંયુક્ત અને ભૌમિતિક પરિણામ છે જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે યુક્લિડિયન જગ્યાઓના માપન સિદ્ધાંતમાં થાય છે. આ લેમ્મા એક મધ્યવર્તી પગલું છે, સ્વતંત્ર રસ ધરાવતું, વિટાલી આવરણ પ્રમેયના પુરાવામાં. આવરણ પ્રમેયનો શ્રેય ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી જિયુસેપ વિટાલીને આપવામાં આવે છે. આ પ્રમેય જણાવે છે કે ઇ. વિટાલીના લેમ્માને આવરી લેતા વિટાલી આવરણમાંથી કાઢવામાં આવેલા અસંબદ્ધ પરિવાર દ્વારા લેબસ્ગ્યુ-નેગ્લિજિબલ સમૂહ સુધી, આરડીના આપેલ સબસેટ ઇ સુધી આવરી લેવાનું શક્ય છે. લેમ્માનું બે મૂળભૂત સંસ્કરણ છે, એક મર્યાદિત સંસ્કરણ અને અનંત સંસ્કરણ. બંને લેમ્માને મેટ્રિક જગ્યાના સામાન્ય સેટિંગમાં સાબિત કરી શકાય છે, સામાન્ય રીતે આ પરિણામો યુક્લિડિયન જગ્યાના વિશેષ કિસ્સામાં લાગુ કરવામાં આવે છે. બંને પ્રમેયોમાં આપણે નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ કરીશુંઃ જો બોલ હોય અને, તો આપણે બોલ માટે લખીશું. મર્યાદિત આવૃત્તિ પ્રમેય (મર્યાદિત આવરણ લેમ્મા). મનસ્વી મેટ્રિક જગ્યામાં સમાવિષ્ટ દડાઓનો કોઈપણ મર્યાદિત સંગ્રહ હોવો જોઈએ. પછી આ દડાઓનો એક પેટા સંગ્રહ અસ્તિત્વમાં છે જે અસંબદ્ધ છે અને પુરાવાને સંતોષ આપે છેઃ સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના, આપણે ધારીએ છીએ કે દડાઓનો સંગ્રહ ખાલી નથી; એટલે કે, n> 0. સૌથી મોટી ત્રિજ્યાનો દડો હોવો જોઈએ. પરોક્ષ રીતે, ધારો કે તે પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. જો ત્યાં કોઈ દડો હોય જે તેનાથી અલગ હોય, તો ચાલો તે મહત્તમ ત્રિજ્યા (મનસ્વી રીતે સંબંધોને તોડવા) સાથેનો દડો હોય, અન્યથા, આપણે m: = k સેટ કરીએ છીએ અને પ્રેરક વ્યાખ્યાને સમાપ્ત કરીએ છીએ. હવે સેટ કરો. તે દરેક માટે બતાવવાનું બાકી છે. આ સ્પષ્ટ છે. નહિંતર, આવશ્યકપણે એવા કેટલાક છે જે છેદે છે અને ની ત્રિજ્યા ઓછામાં ઓછી તેટલી મોટી છે. ત્રિકોણ અસમાનતા પછી સરળતાથી સૂચવે છે કે, જરૂરિયાત મુજબ. આ મર્યાદિત સંસ્કરણનો પુરાવો પૂર્ણ કરે છે. અનંત આવૃત્તિ પ્રમેય (અનંત આવરણ લેમ્મા). અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યામાં દડાઓનો મનસ્વી સંગ્રહ હોવો જોઈએ જેમ કે જ્યાં દડો B ની ત્રિજ્યા સૂચવે છે. પછી એક ગણતરીપાત્ર પેટા-સંગ્રહ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે ના દડા જોડી મુજબ અલગ પડે છે, અને સંતુષ્ટ કરે છે અને વધુમાં, દરેક કેટલાકને છેદે છે. પુરાવોઃ F ના પેટા સંગ્રહો Fn, n ≤ 0 માં વિભાજનને ધ્યાનમાં લો, જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે, બોલ B નો સમાવેશ થાય છે જેની ત્રિજ્યા (2 − n − 1R, 2 − nR] માં હોય છે. Gn સાથેનો ક્રમ Gn, નીચે પ્રમાણે પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ, H0 = F0 ને સુયોજિત કરો અને G0 ને H0 નો મહત્તમ અસંબદ્ધ પેટા સંગ્રહ થવા દો (આ પ્રકારનો પેટા સંગ્રહ ઝોર્નના લેમ્મા દ્વારા અસ્તિત્વમાં છે). ધારો કે G0,., Gn પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, ચાલો અને Gn + 1 ને Hn + 1 નો મહત્તમ અસંબદ્ધ પેટા સંગ્રહ માનીએ. F નો પેટા સંગ્રહ પ્રમેયની જરૂરિયાતોને સંતોષે છેઃ G એ એક અસંબદ્ધ સંગ્રહ છે, અને આમ તે ગણતરીપાત્ર છે કારણ કે આપેલ મેટ્રિક જગ્યા અલગ કરી શકાય તેવી છે. વધુમાં, દરેક દડો B ωF એક દડો C ωG ને એવી રીતે છેદે છે કે B ω5C. ખરેખર, જો આપણને કેટલાક આપવામાં આવે, તો ત્યાં કેટલાક n એવા હોવા જોઈએ કે B એ Fn સાથે સંબંધિત છે. ક્યાં તો B એ Hn સાથે સંબંધિત નથી, જે n> 0 સૂચવે છે અને તેનો અર્થ એ છે કે B એ G0,., Gn−1, અથવા B ΠHn ના જોડાણમાંથી બોલને છેદે છે અને Gn ની મહત્તમતા દ્વારા, B એ Gn માં બોલને છેદે છે. કોઈ પણ સંજોગોમાં, B એ G0,., Gn ના જોડાણ સાથે જોડાયેલા દડા C ને છેદે છે. આવા દડા C ની ત્રિજ્યા 2 − n − 1R કરતા મોટી હોવી જોઈએ. B ની ત્રિજ્યા 2 − nR કરતા ઓછી અથવા તેની બરાબર હોવાથી, આપણે ત્રિકોણની અસમાનતા દ્વારા તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે B 5C, દાવો કર્યો છે. આમાંથી તરત જ સાબિતી પૂર્ણ થાય છે. ટિપ્પણીઓ અનંત સંસ્કરણમાં, દડાઓનો પ્રારંભિક સંગ્રહ ગણતરીપાત્ર અથવા અગણિત હોઈ શકે છે. અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યામાં, દડાઓનો કોઈપણ જોડી મુજબનો અસંબદ્ધ સંગ્રહ ગણવા યોગ્ય હોવો જોઈએ. બિન-વિભાજીત જગ્યામાં, એ જ દલીલ દર્શાવે છે કે જોડી મુજબના અસંબદ્ધ ઉપકુટુંબ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તે કુટુંબ ગણવા યોગ્ય હોવું જરૂરી નથી. જો ત્રિજ્યા બંધાયેલ ન હોય તો પરિણામ નિષ્ફળ થઈ શકે છેઃ Rd માં 0 પર કેન્દ્રિત તમામ દડાઓના કુટુંબને ધ્યાનમાં લો; કોઈપણ અસંબદ્ધ ઉપકુટુંબમાં માત્ર એક જ દડો B હોય છે, અને 5 B માં આ પરિવારના તમામ દડા નથી હોતા. અચળાંક 5 શ્રેષ્ઠ નથી. જો Fn ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે 2 − n ને બદલે c − n, c> 1 સ્કેલનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો અંતિમ મૂલ્ય 5 ને બદલે 1 + 2c છે. 3 કરતા મોટો કોઈપણ અચળાંક લેમ્માનું સાચું નિવેદન આપે છે, પરંતુ 3 નહીં. વધુ સારા વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે મૂળ સંગ્રહ F એ Rd ના સબસેટ E નું વિટાલી આવરણ છે, ત્યારે એક દર્શાવે છે કે ઉપસંગ્રહ G, જે ઉપરોક્ત સાબિતીમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે E ને લેબસ્ગ્યુ-નેગ્લિજિબલ સેટ સુધી આવરી લે છે. ઉપયોગો અને ઉપયોગની પદ્ધતિ વિટાલી લેમ્માનો ઉપયોગ હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે છે. આ સાબિતીની જેમ, વિટાલી લેમ્માનો ઉપયોગ વારંવાર ત્યારે થાય છે જ્યારે આપણે, દાખલા તરીકે, સમૂહ ERd ના d-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જે આપણે જાણીએ છીએ કે દડાઓના ચોક્કસ સંગ્રહના જોડાણમાં સમાયેલ છે, જેમાંના દરેકમાં એક માપ છે જેની આપણે વધુ સરળતાથી ગણતરી કરી શકીએ છીએ, અથવા એક વિશેષ ગુણધર્મ છે જેનો ઉપયોગ કરવા માંગીએ છીએ. તેથી, જો આપણે આ જોડાણના માપની ગણતરી કરીએ, તો આપણી પાસે E ના માપ પર ઉપલી સીમા હશે. જો કે, જો તેઓ ઓવરલેપ થાય તો આ બધા દડાઓના જોડાણના માપની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે. વિટાલી લેમ્મા દ્વારા, આપણે એક પેટા સંગ્રહ પસંદ કરી શકીએ છીએ જે અસંબદ્ધ અને એવું છે. તેથી, હવે, ડી-ડાયમેન્શનલ બોલની ત્રિજ્યાને પાંચ પરિબળ દ્વારા વધારવાથી તેનું કદ 5d પરિબળ દ્વારા વધે છે, તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે અને આમ વિટાલી કવરિંગ થીયરમ કવરિંગ થીયરમમાં, ઉદ્દેશ "નગણ્ય સમૂહ" સુધી આવરી લેવાનો છે, આપેલ સમૂહ E: Rd દ્વારા વિટાલીમાંથી કાઢવામાં આવેલા અસંબદ્ધ પેટા સંગ્રહ દ્વારા E માટે આવરી લેવામાં આવે છેઃ એક વિટાલી વર્ગ અથવા E માટે વિટાલી આવરણ એ સમૂહોનો સંગ્રહ છે, જેમ કે, દરેક x ω E અને δ> 0 માટે, સંગ્રહમાં એક સમૂહ U હોય છે, જેમ કે x ω U અને U નો વ્યાસ બિન-શૂન્ય અને δ કરતા ઓછો હોય છે. વિટાલીની શાસ્ત્રીય સેટિંગમાં, નગણ્ય સમૂહ એ લેબસેગ્યુ નગણ્ય સમૂહ છે, પરંતુ લેબસેગ્યુ માપ સિવાયના પગલાં અને આરડી સિવાયની જગ્યાઓ પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી છે, જે નીચે સંબંધિત વિભાગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. નીચેનું અવલોકન ઉપયોગી છેઃ જો E માટે વિટાલી આવરણ હોય અને જો E એ ખુલ્લા સમૂહ ωRd માં સમાયેલ હોય, તો પછી ω માં સમાવિષ્ટ સમૂહો U નો પેટા સંગ્રહ પણ ઇ માટે વિટાલી આવરણ છે. Rd ના માપી શકાય તેવા ઉપગણોનો સંગ્રહ એ નિયમિત કુટુંબ છે (લેબસ્ગ્યુના અર્થમાં) જો સંગ્રહમાં દરેક સમૂહ V માટે અચળાંક C હોય. સમઘનનું કુટુંબ એ નિયમિત કુટુંબનું ઉદાહરણ છે, જેમ કે R2 માં લંબચોરસનું કુટુંબ એવું છે કે બાજુઓનો ગુણોત્તર m − 1 અને m ની વચ્ચે રહે છે, કેટલાક નિશ્ચિત m ≤ 1 માટે. જો આરડી પર મનસ્વી ધોરણ આપવામાં આવે, તો ધોરણ સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક માટે દડાઓનું કુટુંબ એ બીજું ઉદાહરણ છે. તેનાથી વિપરીત, R2 માં તમામ લંબચોરસનો પરિવાર નિયમિત નથી. આનું મૂળ પરિણામ આ પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ છે, જેમાં d = 1 અને અંતરાલોનો સંગ્રહ છે જે મર્યાદિત માપ ધરાવતી વાસ્તવિક રેખાના માપી શકાય તેવા સબસેટ E માટે વિટાલી આવરી લે છે. ઉપરોક્ત પ્રમેય E પાસે મર્યાદિત માપ છે એમ ધાર્યા વિના સાચું રહે છે. આ મર્યાદિત માપના કિસ્સામાં, દરેક પૂર્ણાંક n ≤ 0 માટે, બિંદુઓ x ના ખુલ્લા વલયાકારમાં સમાવિષ્ટ E ના ભાગ પર આવરણ પરિણામ લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેમ કે n <|x | <n + 1. કંઈક અંશે સંબંધિત આવરણ પ્રમેય એ બેસિકોવિચ આવરણ પ્રમેય છે. ઉપગણ A rd ના દરેક બિંદુ a માટે, કેન્દ્ર a અને હકારાત્મક ત્રિજ્યા r સાથે યુક્લિડિયન બોલ B (a, r) સોંપવામાં આવે છે. પછી, વિટાલી પ્રમેયની જેમ, A ને ચોક્કસ રીતે આવરી લેવા માટે આ દડાઓનો પેટા સંગ્રહ પસંદ કરવામાં આવે છે. વિટાલી આવરણ પ્રમેય સાથેના મુખ્ય તફાવતો એ છે કે એક તરફ, વિટાલીની અસંગતતાની જરૂરિયાતને એ હકીકતથી હળવી કરવામાં આવે છે કે પસંદ કરેલા દડાઓની સંખ્યા Nx જે મનસ્વી બિંદુ x bul Rd ધરાવે છે તે માત્ર પરિમાણ d પર આધાર રાખીને સતત Bd દ્વારા બંધાયેલ છે; બીજી તરફ, પસંદ કરેલા દડા આપેલ તમામ કેન્દ્રોના સમૂહ A ને આવરી લે છે. લેબ્સગ્યુ માપને બદલે હૌસડોર્ફ માપને ધ્યાનમાં લેતી વખતે હૌસડોર્ફ માપ માટે વિટાલીના આવરણ પ્રમેયનો સમાન ઉદ્દેશ હોઈ શકે છે. નીચેના પ્રમેય તે કિસ્સામાં લાગુ પડે છે. વધુમાં, જો E પાસે મર્યાદિત s-પરિમાણીય હૌસડોર્ફ માપ હોય, તો કોઈપણ ε> 0 માટે, આપણે આ પેટા સંગ્રહ {Uj} પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી આ પ્રમેય ઉપર આપેલા લેબસેગ્યુના પરિણામને સૂચવે છે. ખરેખર, જ્યારે s = d હોય, ત્યારે Rd પર હૌસડોર્ફ માપ Hs એ d-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપના ગુણાંક સાથે મેળ ખાય છે. જો અસંબદ્ધ સંગ્રહ નિયમિત હોય અને મર્યાદિત લેબસ્ગ્યુ માપ સાથે માપી શકાય તેવા પ્રદેશ B માં સમાયેલ હોય, તો તે અગાઉના પ્રમેયના પ્રથમ દાવામાં બીજી સંભાવનાને બાકાત રાખે છે. તે અનુસરે છે કે ઇ પસંદ કરેલ ડિસજોઈન્ટ પેટા સંગ્રહ દ્વારા લેબસેગ્યુ-નેગ્લિજિબલ સમૂહ સુધી આવરી લેવામાં આવે છે. કવરિંગ લેમ્માથી કવરિંગ થીયરમ સુધી કવરિંગ લેમ્માનો ઉપયોગ વિટાલી કવરિંગ થીયરમના નીચેના મૂળભૂત સ્વરૂપના પુરાવામાં મધ્યવર્તી પગલું તરીકે થઈ શકે છે. પુરાવોઃ સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના, કોઈ એવું માની શકે છે કે એફમાં તમામ દડા બિન-જનરેટેડ છે અને તેની ત્રિજ્યા 1 કરતા ઓછી અથવા સમાન છે. આવરણ લેમ્માના અનંત સ્વરૂપ દ્વારા, F નો ગણતરીપાત્ર અસંબદ્ધ પેટા સંગ્રહ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે દરેક દડો B ωF એ દડો C ωG ને છેદે છે, જેના માટે B ω5C. ધારો કે r> 0 આપવામાં આવે છે, અને ધારો કે Z એ એવા બિંદુઓના સમૂહને સૂચવે છે જે G માંથી કોઈપણ દડામાં સમાવિષ્ટ નથી અને 0 પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા r ના ખુલ્લા દડા B (r) સાથે સંબંધિત છે. તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે Z લેબસ્ગ્યુ-નગણ્ય છે, દરેક આપેલ r માટે. ચાલો G માં તે દડાઓનો પેટા સંગ્રહ દર્શાવીએ જે B (r) ને મળે છે. નોંધ લો કે તે મર્યાદિત અથવા ગણનાત્મક રીતે અનંત હોઈ શકે છે. ધારો કે z bul Z નિશ્ચિત છે. દરેક એન માટે, ઝેડની વ્યાખ્યા અનુસાર ઝેડ બંધ સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. પરંતુ વિટાલી કવર પ્રોપર્ટી દ્વારા, B (r) માં સમાયેલ z ધરાવતો અને K થી અલગ પડેલો દડો મળી શકે છે. G ની પ્રોપર્ટી દ્વારા, દડો B અમુક દડોને છેદે છે અને તેમાં સમાયેલો છે. પરંતુ કારણ કે K અને B અસંબદ્ધ છે, આપણી પાસે i> N હોવો જ જોઈએ. તેથી કેટલાક i> N માટે, અને તેથી આ દરેક N માટે અસમાનતા આપે છે. અનંત-પરિમાણીય જગ્યાઓ વિટાલી આવરણ પ્રમેય અનંત-પરિમાણીય સેટિંગ્સમાં માન્ય નથી. આ દિશામાં પ્રથમ પરિણામ ડેવિડ પ્રીસ દ્વારા 1979માં આપવામાં આવ્યું હતુંઃ (અનંત-પરિમાણીય) અલગ કરી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા H પર ગૌસીયન માપ γ અસ્તિત્વમાં છે જેથી વિટાલી આવરણ પ્રમેય (H, બોરેલ (H), γ) માટે નિષ્ફળ જાય. આ પરિણામ 2003માં જારોસ્લાવ ટિઝર દ્વારા મજબૂત કરવામાં આવ્યું હતુંઃ વિટાલી આવરણ પ્રમેય હકીકતમાં કોઈપણ (અનંત-પરિમાણીય) અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યા પરના દરેક અનંત-પરિમાણીય ગૌસીયન માપ માટે નિષ્ફળ જાય છે. બેઝિકોવિચ આવરણ પ્રમેય નોંધો સંદર્ભો (શીર્ષક અનુવાદ) "વાસ્તવિક ચલોના બિંદુઓ અને કાર્યોના જૂથો પર" એ વિટાલી આવરણ પ્રમેયનો પ્રથમ પુરાવો ધરાવતું પેપર છે. લેમ્મા માપન સિદ્ધાંતને આવરી લેવું વાસ્તવિક વિશ્લેષણ