Large deviations of Gaussian random functions
જો દરેક મર્યાદિત-પરિમાણીય વિતરણ બહુપરીમાણીય સામાન્ય વિતરણ હોય તો એક ચલ (અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા) અથવા બે અથવા વધુ ચલ (અવ્યવસ્થિત ક્ષેત્ર) ના અવ્યવસ્થિત કાર્યને ગૌસીયન કહેવામાં આવે છે. કોસ્મિક માઇક્રોવેવ બેકગ્રાઉન્ડ રેડિયેશનમાં વિસંગતતાઓનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે ગોળા પરના ગૌસીયન રેન્ડમ ક્ષેત્રો ઉપયોગી છે (ઉદાહરણ તરીકે) (જુઓ, પીપી. 8-9); પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન ટોમોગ્રાફી દ્વારા મેળવેલ મગજની છબીઓ (જુઓ, પૃષ્ઠ. 9-10). કેટલીકવાર, ગૌસીયન રેન્ડમ ફંક્શનનું મૂલ્ય તેના અપેક્ષિત મૂલ્યથી કેટલાક પ્રમાણભૂત વિચલનો દ્વારા વિચલિત થાય છે. આ એક મોટું વિચલન છે. નાના ક્ષેત્રમાં (જગ્યા અથવા/અને સમયના) દુર્લભ હોવા છતાં, મોટા ક્ષેત્રમાં મોટા વિચલનો એકદમ સામાન્ય હોઈ શકે છે. મૂળભૂત નિવેદન ચાલો (દ્વિ-પરિમાણીય) ગોળા પર ગૌસીયન રેન્ડમ વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય હોઈએ. ધારો કે તેનું અપેક્ષિત મૂલ્ય (ગોળાના દરેક બિંદુ પર) છે, અને તેનું પ્રમાણભૂત વિચલન (ગોળાના દરેક બિંદુ પર) છે. પછી, મોટા માટે, નજીક છે, ક્યાં વહેંચાયેલું છે (પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણ), અને તે અચળ છે; તે તેના પર આધારિત નથી, પરંતુ તેના સહસંબંધ કાર્ય પર આધારિત છે (નીચે જુઓ). અંદાજની સાપેક્ષ ભૂલ મોટા માટે ઝડપથી ઘટે છે. આપેલ દિશામાં (ગોળાને સ્પર્શક) આપેલ બિંદુ (ગોળાના) પરના દિશાત્મક વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ વર્ણવેલ મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કિસ્સામાં અચળાંક નક્કી કરવો સરળ છે. શૂન્ય અપેક્ષા અને કેટલાક પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે વ્યુત્પન્ન અવ્યવસ્થિત છે. બાદમાં બિંદુ અને દિશા પર આધાર રાખે છે શકે છે. જો કે, જો તે નિર્ભર ન હોય, તો તે (ત્રિજ્યાના ગોળા માટે) બરાબર છે. પહેલાનો ગુણાંક હકીકતમાં ગોળાની યુલર લાક્ષણિકતા છે (ટોરસ માટે તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે). એવું માનવામાં આવે છે કે તે બે વાર સતત વિકલનક્ષમ (લગભગ ચોક્કસપણે) છે, અને એક જ બિંદુ પર તેની મહત્તમ (લગભગ ચોક્કસપણે) સુધી પહોંચે છે. ચાવીઃ સરેરાશ યુલરની લાક્ષણિકતા ઉપર દર્શાવેલ સિદ્ધાંતની ચાવી એ છે કે (ગોળાના) તમામ બિંદુઓના સમૂહની યુલરની લાક્ષણિકતા એવી છે કે. તેના અપેક્ષિત મૂલ્ય (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સરેરાશ મૂલ્ય) ની ગણતરી સ્પષ્ટ રીતે કરી શકાય છેઃ (જે તુચ્છ નથી, અને તેમાં પોઇનકેરે-હોફ પ્રમેય, ગૌસ-બોનેટ પ્રમેય, રાઇસનું સૂત્ર વગેરે સામેલ છે). જ્યારે પણ સેટ ખાલી સેટ હોય; આ કિસ્સામાં. અન્ય કિસ્સામાં, જ્યારે સમૂહ ખાલી ન હોય; તેની યુલર લાક્ષણિકતા સમૂહની ટોપોલોજી (જોડાયેલા ઘટકોની સંખ્યા અને આ ઘટકોમાં સંભવિત છિદ્રો) ના આધારે વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે. જો કે, જો તે મોટી હોય અને પછી સેટ સામાન્ય રીતે નાની, સહેજ વિકૃત ડિસ્ક અથવા લંબગોળ હોય (જે અનુમાન લગાવવું સરળ છે, પરંતુ સાબિત કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે). આમ, તેની યુલર લાક્ષણિકતા સામાન્ય રીતે (તે જોતાં) સમાન હોય છે. આ જ કારણ છે કે તે નજીક છે. ગૌસીયન પ્રક્રિયા ગૌસીયન રેન્ડમ ક્ષેત્ર મોટા વિચલન સિદ્ધાંત વધુ વાંચન ઉપર આપેલું મૂળભૂત નિવેદન એડલર દ્વારા જણાવેલા વધુ સામાન્ય (અને મુશ્કેલ) સિદ્ધાંતનો એક સરળ વિશેષ કેસ છે. આ વિશેષ કેસની વિગતવાર રજૂઆત માટે સિરેલસનના પ્રવચનો જુઓ. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ