Choquet integral
ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલ એ 1953 માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ગુસ્તાવ ચોક્વેટ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ સબએડિટિવ અથવા સુપરએડિટિવ ઇન્ટિગ્રલ છે. તેનો ઉપયોગ શરૂઆતમાં આંકડાકીય મિકેનિક્સ અને સંભવિત સિદ્ધાંતમાં થતો હતો, પરંતુ 1980 ના દાયકામાં નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં તેનો માર્ગ મળી ગયો, જ્યાં તેનો ઉપયોગ અનિશ્ચિત ઘટનાની અપેક્ષિત ઉપયોગિતાને માપવાની રીત તરીકે થાય છે. તે ખાસ કરીને સભ્યપદ કાર્યો અને ક્ષમતાઓ પર લાગુ થાય છે. અચોક્કસ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ 2-મોનોટોન ઓછી સંભાવના અથવા 2-વૈકલ્પિક ઉચ્ચ સંભાવના દ્વારા પ્રેરિત ઉપલી અપેક્ષા દ્વારા પ્રેરિત ઓછી અપેક્ષાની ગણતરી કરવા માટે પણ થાય છે. ક્ષમતાઓ સાથે માપવામાં આવતા માન્યતા કાર્યોની અપેક્ષિત ઉપયોગિતાને દર્શાવવા માટે ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરવો એ એલ્સબર્ગ વિરોધાભાસ અને એલાઇસ વિરોધાભાસને સમાધાન કરવાનો એક માર્ગ છે. વ્યાખ્યા નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ થાય છેઃ-એક સમૂહ. - ના ઉપગણોનો સંગ્રહ. એક કાર્ય. - એક મોનોટોન સમૂહ કાર્ય. ધારો કે તે સંદર્ભમાં માપી શકાય તેવું છે, એટલે કે પછીના સંદર્ભમાં ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં જમણી બાજુના ઇન્ટિગ્રલ્સ સામાન્ય રીમાન ઇન્ટિગ્રલ છે (ઇન્ટિગ્રાન્ડ્સ ઇન્ટિગ્રેબલ છે કારણ કે તેઓ મોનોટોન છે). ગુણધર્મો સામાન્ય રીતે ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલ ઉમેરણને સંતોષતું નથી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જો સંભાવના માપ ન હોય, તો તે કેટલાક કાર્યો માટે હોઈ શકે છે. ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલ નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છે. એકવિધતા જો પછી હકારાત્મક એકરૂપતા બધા માટે તે કોમોનોટોન ઉમેરણ ધરાવે છે જો કોમોનોટોન કાર્યો હોય, એટલે કે, જો બધા માટે તે ધરાવે છે. જે તરીકે વિચારી શકાય છે અને એકસાથે વધી રહ્યું છે અને ઘટી રહ્યું છે પછી સબએડિટીવિટી જો 2-વૈકલ્પિક છે, તો પછી સુપરએડિટીવિટી જો 2-મોનોટોન છે, તો વૈકલ્પિક રજૂઆત ચાલો સંચિત વિતરણ કાર્યને સૂચવીએ જે સંકલિત છે. પછી આ નીચેના સૂત્રને ઘણીવાર ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ જ્યાં. મેળવવા માટે પસંદ કરો, એપ્લિકેશન્સ મેળવવાનું પસંદ કરો ચોક્વેટ ઇન્ટિગ્રલ ઇમેજ પ્રોસેસિંગ, વિડિયો પ્રોસેસિંગ અને કમ્પ્યુટર વિઝનમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું. વર્તણૂકીય નિર્ણય સિદ્ધાંતમાં, એમોસ ટવર્સ્કી અને ડેનિયલ કાહ્નેમેન સંચયી સંભાવના સિદ્ધાંતની રચનામાં ચોક્વેટ અભિન્ન અને સંબંધિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે. બિનરેખીય અપેક્ષા સુપરએડિટીવિટી સબએડિટીવિટી નોંધો વધુ વાંચન અપેક્ષિત ઉપયોગિતા કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ ગાણિતિક એકીકરણની વ્યાખ્યાઓ પણ જુઓ.