Crystalline cohomology
ગણિતમાં, સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી એ બેઝ ફિલ્ડ k પરની યોજનાઓ X માટે વેઇલ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત છે. તેના મૂલ્યો Hn (X/W) એ k પર વિટ વેક્ટરની રિંગ W પર મોડ્યુલો છે. તે દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી અંશતઃ વેઇલ અનુમાનના ભાગમાં પી-એડિક પુરાવાથી પ્રેરિત છે અને તે ગ્રોથેન્ડીક (1963) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલા ડી રામ કોહોમોલોજીના બીજગણિત સંસ્કરણ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આશરે કહીએ તો, લાક્ષણિકતા p માં વિવિધ X ની સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી એ X ની સરળ લિફ્ટની લાક્ષણિકતા 0 ની ડી રામ કોહોમોલોજી છે, જ્યારે X ની ડી રામ કોહોમોલોજી એ સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી રિડ્યુસ્ડ મોડ p છે (ઉચ્ચ ટોર્સને ધ્યાનમાં લીધા પછી). સ્ફટિકીય કોહોમોલોજીનો વિચાર, આશરે, વિભાજીત પાવર સ્ટ્રક્ચર્સ સાથે ઝારિસ્કી ઓપન સેટ્સના અનંત જાડાઈ દ્વારા યોજનાના ઝારિસ્કી ઓપન સેટ્સને બદલવાનો છે. આ માટે પ્રેરણા એ છે કે તેની ગણતરી પછી લાક્ષણિકતા p થી લાક્ષણિકતા 0 સુધી યોજનાને સ્થાનિક રીતે ઉઠાવીને અને બીજગણિત ડી રામ કોહોમોલોજીના યોગ્ય સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી માત્ર યોગ્ય યોજનાઓને સરળ બનાવવા માટે જ સારી રીતે કામ કરે છે. કઠોર કોહોમોલોજી તેને વધુ સામાન્ય યોજનાઓ સુધી વિસ્તરે છે. લાક્ષણિકતા પી માં યોજનાઓ માટે એપ્લિકેશન્સ, સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત પી-એડિક એટેલ કોહોમોલોજી કરતાં કોહોમોલોજી જૂથોમાં પી-ટોર્શન વિશેના પ્રશ્નોને વધુ સારી રીતે સંભાળી શકે છે. આ તેને પી-એડિક એલ-ફંક્શન્સ પરના મોટાભાગના કામ માટે કુદરતી પૃષ્ઠભૂમિ બનાવે છે. સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી, સંખ્યા સિદ્ધાંતના દૃષ્ટિકોણથી, એલ-એડિક કોહોમોલોજી માહિતીમાં અંતર ભરે છે, જે બરાબર ત્યાં થાય છે જ્યાં 'સમાન લાક્ષણિકતા અવિભાજ્ય' હોય છે. પરંપરાગત રીતે રેમિફિકેશન થિયરીની જાળવણી, સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી આ પરિસ્થિતિને ડ્યુડોન મોડ્યુલ થિયરીમાં રૂપાંતરિત કરે છે, જે અંકગણિત સમસ્યાઓ પર મહત્વપૂર્ણ નિયંત્રણ આપે છે. આને ઔપચારિક નિવેદનોમાં બનાવવા પર વ્યાપક અવકાશ ધરાવતા અનુમાનો જીન-માર્ક ફોન્ટેન દ્વારા ઉચ્ચારવામાં આવ્યા હતા, જેના ઠરાવને પી-એડિક હોજ થિયરી કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિકતા p> 0 ના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર વિવિધ X માટે, p સિવાયની કોઈપણ મુખ્ય સંખ્યા માટે-adic કોહોમોલોજી જૂથો X ના સંતોષકારક કોહોમોલોજી જૂથો આપે છે, જેમાં-adic પૂર્ણાંકોની રિંગમાં ગુણાંક હોય છે. વાજબી ગુણધર્મો ધરાવતા ક્યૂ (અથવા ઝેડ, અથવા ક્યૂ, અથવા ઝેડ) માં ગુણાંક ધરાવતા સમાન કોહોમોલોજી જૂથો શોધવાનું સામાન્ય રીતે શક્ય નથી. તેનું ઉત્તમ કારણ (સેરને કારણે) એ છે કે જો X એ સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક હોય, તો તેની એન્ડોમોર્ફિઝમ રીંગ એ ક્વાટર્નિયન બીજગણિત B માં મહત્તમ ક્રમ છે, જે p અને φ પર વિભાજીત થાય છે. જો X પાસે અપેક્ષિત પરિમાણ 2 ના Q પર કોહોમોલોજી જૂથ હોય, તો (B નું વિપરીત બીજગણિત) આ 2-પરિમાણીય જગ્યા પર Q પર કાર્ય કરશે, જે અશક્ય છે કારણ કે B ને p પર વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. ગ્રોથેન્ડીકનો સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી સિદ્ધાંત આ અવરોધની આસપાસ આવે છે કારણ કે તે જમીન ક્ષેત્રના વિટ વેક્ટરની રિંગ પર મોડ્યુલો ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી જો ગ્રાઉન્ડ ફિલ્ડ એ F નું બીજગણિત બંધ હોય, તો તેના મૂલ્યો Z ના મહત્તમ અનરેમિફાઇડ એક્સ્ટેંશનની p-adic સમાપ્તિ પરના મોડ્યુલો છે, જે Z ને બદલે, p દ્વારા વિભાજ્ય ન હોય તેવા તમામ n માટે એકતાના n મા મૂળ ધરાવતી ઘણી મોટી રીંગ છે. પ્રેરણા લાક્ષણિકતા p ના ક્ષેત્ર k પર વિવિધ X ના વેઇલ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેનો એક વિચાર એ છે કે તેને k ના વિટ વેક્ટરની રીંગ પર વિવિધ X * પર 'લિફ્ટ' કરવું (જે રિડક્શન મોડ p પર X ને પાછું આપે છે), પછી આ લિફ્ટની ડી રામ કોહોમોલોજી લો. સમસ્યા એ છે કે તે બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી કે આ કોહોમોલોજી ઉપાડવાની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે. લાક્ષણિકતા 0 માં સ્ફટિકીય કોહોમોલોજીનો વિચાર એ છે કે કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતની સીધી વ્યાખ્યા શોધવા માટે X પર યોગ્ય સાઇટ પર સતત શીવ્સની કોહોમોલોજી તરીકે, જેને અનંત સાઇટ કહેવાય છે અને પછી તે દર્શાવે છે કે તે કોઈપણ લિફ્ટના ડી રામ કોહોમોલોજી જેવું જ છે. સાઇટ ઇન્ફ (એક્સ) એ એક શ્રેણી છે જેની વસ્તુઓને એક્સના પરંપરાગત ખુલ્લા સમૂહોના અમુક પ્રકારના સામાન્યીકરણ તરીકે વિચારી શકાય છે. લાક્ષણિકતા 0 માં તેના પદાર્થો અનંત જાડા થાય છે U → T ઓફ ઝારિસ્કી ઓપન સબસેટ્સ U ઓફ X. આનો અર્થ એ છે કે U એ T પર આદર્શોના નિલપોટેન્ટ આવરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત યોજના T નો બંધ ઉપગણ છે; ઉદાહરણ તરીકે, Spec (k) → Spec (k [x]/(x2)). ગ્રોથેન્ડીકે દર્શાવ્યું હતું કે સરળ યોજનાઓ X ઓવર C માટે, ઇન્ફ (X) પર શીફ OX ની કોહોમોલોજી સામાન્ય (સરળ અથવા બીજગણિત) ડી રામ કોહોમોલોજી જેવી જ છે. સ્ફટિકીય કોહોમોલોજી લાક્ષણિકતા p માં લાક્ષણિકતા 0 માં ઉપર વ્યાખ્યાયિત સ્ફટિકીય સ્થળનું સૌથી સ્પષ્ટ એનાલોગ કામ કરતું નથી. આનું કારણ આશરે એ છે કે ડી રામ સંકુલની ચોક્કસતા સાબિત કરવા માટે, કોઈ વ્યક્તિને અમુક પ્રકારના પોઇનકેરે લેમ્માની જરૂર પડે છે, જેનો પુરાવો બદલામાં એકીકરણનો ઉપયોગ કરે છે, અને એકીકરણ માટે વિવિધ વિભાજિત શક્તિઓની જરૂર પડે છે, જે લાક્ષણિકતા 0 માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે પરંતુ હંમેશા લાક્ષણિકતા p માં નથી. ગ્રોથેન્ડીકે X ની સ્ફટિકીય સાઇટની વસ્તુઓને X ના ઝારિસ્કી ખુલ્લા ઉપગણની આશરે અનંત જાડાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને આ સમસ્યાનું સમાધાન કર્યું, સાથે સાથે જરૂરી વિભાજિત શક્તિઓ આપતી વિભાજિત શક્તિ રચના સાથે. આપણે લાક્ષણિકતા p> 0 ના સંપૂર્ણ ક્ષેત્ર k પર લંબાઈ n ના વિટ વેક્ટરની રિંગ Wn = W/pnW પર કામ કરીશું. ઉદાહરણ તરીકે, k એ ક્રમ p નું મર્યાદિત ક્ષેત્ર હોઈ શકે છે, અને Wn એ પછી રિંગ Z/pnZ છે. (વધુ સામાન્ય રીતે કોઈ વ્યક્તિ બેઝ સ્કીમ S પર કામ કરી શકે છે, જેમાં વિભાજીત શક્તિ માળખા સાથે આદર્શો I નો નિશ્ચિત આવરણ હોય છે.) જો X એ k પરની યોજના હોય, તો Wn ની સાપેક્ષમાં X ની સ્ફટિકીય સાઇટ, જે ક્રિસ (X/Wn) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તેના પદાર્થોની જોડી U → T તરીકે હોય છે, જેમાં X ના ઝારિસ્કી ખુલ્લા સબસેટ U નું બંધ નિમજ્જન હોય છે, જે કેટલાક Wn-યોજના T માં હોય છે, જે આદર્શો J ના આવરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે Wn પરના એક સાથે સુસંગત J પર વિભાજિત શક્તિ માળખા સાથે હોય છે. X ઓવર k યોજનાની સ્ફટિકીય સમરૂપતાને વિપરીત મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં X/Wn ની સ્ફટિકીય સ્થળની સમરૂપતા રિંગ્સ O: = OWn ના આવરણમાં મૂલ્યો સાથે હોય છે. સિદ્ધાંતનો મુખ્ય મુદ્દો એ છે કે K પરની સરળ યોજના X ની સ્ફટિકીય સમરૂપતાની ગણતરી ઘણીવાર બીજગણિત ડી રામ સમરૂપતાની દ્રષ્ટિએ કરી શકાય છે, જેમાં X ને W પરની યોજના Z પર યોગ્ય અને સરળ રીતે ઊંચકવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત X ની ડી રામ કોહોમોલોજીને તેના સ્ફટિકીય કોહોમોલોજીના રિડક્શન મોડ p તરીકે પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે (ઉચ્ચ ટોર્સને ધ્યાનમાં લીધા પછી). સ્ફટિકો જો X એ S ઉપરની યોજના હોય તો આવરણ OX/S ને OX/S (T) = T ની સંકલન વીંટી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં આપણે T ને ક્રિસ (X/S) ના પદાર્થ U → T માટે સંક્ષિપ્ત તરીકે લખીએ છીએ. ક્રિસ (X/S) સાઇટ પર સ્ફટિક એ OX/S મોડ્યુલોના આવરણ F છે જે નીચેના અર્થમાં કઠોર છેઃ ક્રિસ (X/S) ના પદાર્થો T, T′ વચ્ચેના કોઈપણ નકશા f માટે, f * F (T) થી F (T′) સુધીનો કુદરતી નકશો એક સમરૂપતા છે. આ ઝારિસ્કી ટોપોલોજીમાં મોડ્યુલોના અર્ધ-સુસંગત આવરણની વ્યાખ્યા જેવું જ છે. સ્ફટિકનું ઉદાહરણ આવરણ OX/S છે. આ સિદ્ધાંત સાથે જોડાયેલ સ્ફટિક શબ્દ, જે ગ્રોથેન્ડીકના ટેટને લખેલા પત્ર (1966) માં સમજાવવામાં આવ્યો છે, તે બીજગણિત વિભેદક સમીકરણોના ચોક્કસ ગુણધર્મોથી પ્રેરિત રૂપક હતો. આ સિદ્ધાંતોએ ખાસ કરીને ડવર્કના કાર્યમાં પી-એડિક કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો (સ્ફટિકીય સિદ્ધાંતના અગ્રદૂત, જે ડવર્ક, મોન્સ્કી, વોશ્નિટ્ઝર, લૂબકિન અને કાટ્ઝ દ્વારા વિવિધ સ્વરૂપોમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા) માં ભૂમિકા ભજવી હતી. આવા વિભેદક સમીકરણો બીજગણિત કોસઝુલ જોડાણો દ્વારા સરળતાથી તૈયાર કરી શકાય છે, પરંતુ પી-એડિક સિદ્ધાંતમાં વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યનું એનાલોગ વધુ રહસ્યમય છે (કારણ કે પી-એડિક ડિસ્ક ઓવરલેપ કરવાને બદલે અલગ હોય છે). હુકમનામા દ્વારા, જટિલ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યના કિસ્સામાં સ્ફટિકમાં 'કઠોરતા' અને 'પ્રસાર' નોંધપાત્ર હશે. (સીએફ. 1960 ના દાયકામાં જ્હોન ટેટ દ્વારા રજૂ કરાયેલ કઠોર વિશ્લેષણાત્મક જગ્યાઓ, જ્યારે આ બાબતો પર સક્રિય ચર્ચા થઈ રહી હતી.) મોટિવિક કોહોમોલોજી ડી રામ કોહોમોલોજી સંદર્ભો (અતિયાહને પત્ર, 14 ઓક્ટોબર 1963) પણ જુઓ. બીજગણિત ભૂમિતિ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો હોમોલોજિકલ બીજગણિત