Hardy–Littlewood maximal function
ગણિતમાં, હાર્ડી-લિટલવુડ મેક્સિમલ ઓપરેટર એમ એ એક નોંધપાત્ર બિન-રેખીય ઓપરેટર છે જેનો ઉપયોગ વાસ્તવિક વિશ્લેષણ અને હાર્મોનિક વિશ્લેષણમાં થાય છે. વ્યાખ્યા ઓપરેટર સ્થાનિક રીતે સંકલિત કાર્ય f: Rd → C લે છે અને અન્ય કાર્ય Mf આપે છે. કોઈપણ બિંદુ x ω Rd માટે, વિધેય Mf વાસ્તવિક સમૂહની મહત્તમ રકમ આપે છે, એટલે કે x પર કોઈપણ ત્રિજ્યા r ના તમામ દડા B (x, r) માટે f ના સરેરાશ મૂલ્યોનો સમૂહ. ઔપચારિક રીતે, જ્યાં |E | એ ઉપગણ ERd ના d-પરિમાણીય લેબસ્ગ્યુ માપને સૂચવે છે. સરેરાશ x અને r માં સંયુક્ત રીતે સતત હોય છે, તેથી મહત્તમ કાર્ય Mf, r> 0 પર સર્વોચ્ચ હોવાથી, માપી શકાય તેવું છે. તે સ્પષ્ટ નથી કે એમ. એફ. લગભગ દરેક જગ્યાએ મર્યાદિત છે. આ હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ અસમાનતાનું પરિણામ છે. હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ અસમાનતા જી. એચ. હાર્ડી અને જે. ઇ. લિટલવુડની આ પ્રમેય જણાવે છે કે એમ એ પી> 1 માટે એલપી (આરડી) થી પોતે સબલીનિયર ઓપરેટર તરીકે બંધાયેલ છે. એટલે કે, જો f ω Lp (Rd) હોય તો મહત્તમ વિધેય Mf નબળું L1-બાઉન્ડેડ અને Mf ω Lp (Rd) છે. પ્રમેયને વધુ ચોક્કસપણે જણાવતા પહેલા, સરળતા માટે, ચાલો {f> t} સમૂહ {x | f (x)> t} ને સૂચવે. હવે આપણી પાસે છેઃ પ્રમેય (નબળા પ્રકારનો અંદાજ). d ≤ 1 માટે, એક અચળાંક Cd> 0 છે જેમ કે તમામ λ> 0 અને f ≤ L1 (Rd) માટે, આપણી પાસે છેઃ હાથમાં હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ અસમાનતા સાથે, નીચેનો મજબૂત પ્રકારનો અંદાજ માર્સિન્કીવિઝ પ્રક્ષેપણ પ્રમેયનો તાત્કાલિક પરિણામ છેઃ પ્રમેય (મજબૂત પ્રકારનો અંદાજ). d ≤1,1 <p ≤ ≤ અને f ≤ Lp (Rd) માટે, સતત Cp, d> 0 એવું હોય છે કે મજબૂત પ્રકારના અંદાજમાં Cp માટે શ્રેષ્ઠ સીમાઓ, d અજ્ઞાત હોય. જો કે ત્યારબાદ એલિયાસ એમ. સ્ટેઇને નીચેનાને સાબિત કરવા માટે પરિભ્રમણની કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યોઃ પ્રમેય (પરિમાણ સ્વતંત્રતા). જ્યારે આ પ્રમેયના ઘણા પુરાવાઓ છે, ત્યારે નીચે એક સામાન્ય પુરાવો આપવામાં આવ્યો છેઃ p = φ માટે, અસમાનતા તુચ્છ છે (કારણ કે વિધેયની સરેરાશ તેના આવશ્યક સર્વોચ્ચ કરતાં મોટી નથી). 1 <p <ini માટે, પહેલા આપણે નબળા પ્રકારનો અંદાજ સાબિત કરવા માટે લેમ્માને આવરી લેતા વિટાલીના નીચેના સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીશું. (લેમ્માના પુરાવા માટે લેખ જુઓ.) લેમ્મા. ધારો કે X એ અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યા અને બંધાયેલ વ્યાસવાળા ખુલ્લા દડાઓનું કુટુંબ છે. પછી એક ગણતરીપાત્ર ઉપકુટુંબ હોય છે જેમાં અસંબદ્ધ દડા હોય છે જેમ કે જ્યાં 5B એ 5 ગણી ત્રિજ્યા સાથે B છે. જો Mf (x)> t હોય, તો વ્યાખ્યા મુજબ, આપણે x પર કેન્દ્રિત એક દડો Bx શોધી શકીએ છીએ, જેમ કે લેમ્મા દ્વારા, આપણે આવા દડાઓમાં, અસંબદ્ધ દડા Bj નો ક્રમ શોધી શકીએ છીએ, જેમ કે 5Bj નું જોડાણ {Mf> t} ને આવરી લે છે. તે નીચે પ્રમાણે છેઃ આ નબળા પ્રકારનાં અંદાજનો પુરાવો પૂર્ણ કરે છે. હવે આપણે આમાંથી એલ. પી. ની સીમા નક્કી કરીએ છીએ. જો |f (x) |> t/2 અને અન્યથા 0 હોય તો b ને b (x) = f (x) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. બી પર લાગુ થયેલા નબળા-પ્રકારનાં અંદાજ મુજબ, આપણી પાસે છેઃ C = 5d સાથે. પછી ઉપરના અંદાજ મુજબ આપણી પાસે છેઃ જ્યાં અચળાંક Cp માત્ર p અને d પર આધાર રાખે છે. આ પ્રમેયનો પુરાવો પૂર્ણ કરે છે. નોંધ લો કે સાબિતીમાં અચળાંકને લેબસ્ગ્યુ માપની આંતરિક નિયમિતતા અને લેમ્માને આવરી લેતા વિટાલીના મર્યાદિત સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીને સુધારી શકાય છે. અચળાંકને શ્રેષ્ઠ બનાવવા વિશે વધુ જાણવા માટે નીચેનો ચર્ચા વિભાગ જુઓ. હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ અસમાનતાની કેટલીક એપ્લિકેશનોમાં નીચેના પરિણામોને સાબિત કરવાનો સમાવેશ થાય છેઃ લેબસ્ગ્યુ વિભેદન પ્રમેય રાડેમાકર વિભેદન પ્રમેય નોનટેન્જેન્શિયલ કન્વર્જન્સ પર ફાટોના પ્રમેય. અપૂર્ણાંક એકીકરણ પ્રમેય અહીં આપણે લેબસ્ગ્યુ વિભેદન પ્રમેયનો ઝડપી પુરાવો આપવા માટે મહત્તમ કાર્યને સમાવતી પ્રમાણભૂત યુક્તિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. (પરંતુ યાદ રાખો કે મહત્તમ પ્રમેયના પુરાવામાં, અમે લેમ્માને આવરી લેતા વિટાલીનો ઉપયોગ કર્યો હતો.) ધારો કે f ω L1 (Rn) અને જ્યાં આપણે f = h + g લખીએ છીએ જ્યાં h સતત છે અને તેને સઘન આધાર છે અને g ω L1 (Rn) ધોરણ સાથે જેને મનસ્વી રીતે નાનું બનાવી શકાય છે. પછી સાતત્ય દ્વારા. હવે, ωg ≤ 2Mg અને તેથી, પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે છેઃ હવે, આપણે લગભગ દરેક જગ્યાએ ωf = 0 આપી અને તારણ કાઢી શકીએ છીએ; એટલે કે, લગભગ તમામ x માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તે મર્યાદા ખરેખર f (x) ની બરાબર છે તે બતાવવાનું બાકી છે. પરંતુ આ સરળ છેઃ તે જાણીતું છે કે (ઓળખનો અંદાજ) અને આમ લગભગ દરેક જગ્યાએ અનુગામી છે. મર્યાદાની વિશિષ્ટતા દ્વારા, fr → f લગભગ દરેક જગ્યાએ. ચર્ચા ઉપરોક્ત અસમાનતાઓમાં સૌથી નાના અચળાંકો Cp, d અને Cd શું છે તે હજુ પણ અજ્ઞાત છે. જો કે, ગોળાકાર મહત્તમ વિધેયો વિશે એલિયાસ સ્ટેઇનના પરિણામનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે, 1 <p <ini માટે, આપણે પરિમાણ પર Cp, d ની અવલંબનને દૂર કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, અમુક અચળાંક માટે Cp, d = Cp> 0 માત્ર p પર આધાર રાખે છે. તે અજ્ઞાત છે કે ત્યાં એક નબળી બાઉન્ડ છે કે જે પરિમાણથી સ્વતંત્ર છે. હાર્ડી-લિટલવુડ મેક્સિમલ ઓપરેટરના ઘણા સામાન્ય પ્રકારો છે જે સેટના વિવિધ પરિવારોની સરેરાશ સાથે કેન્દ્રિત દડાઓ પરની સરેરાશને બદલે છે. દાખલા તરીકે, કોઈ પણ કેન્દ્રહીન એચ. એલ. મેક્સિમલ ઓપરેટર (સ્ટેઇન-શકરચીના સંકેતનો ઉપયોગ કરીને) ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, જ્યાં Bx દડાઓમાં x પર કેન્દ્રિત થવાને બદલે માત્ર x હોવો જરૂરી છે. ડાયડિક એચએલ મેક્સિમલ ઓપરેટર પણ છે જ્યાં ક્યૂએક્સ બિંદુ x ધરાવતા તમામ ડાયડિક ક્યુબ્સ પર હોય છે. આ બંને ઓપરેટરો HL મહત્તમ અસમાનતાને સંતોષે છે. રાઇઝિંગ સન લેમ્મા રેફરન્સ જ્હોન બી. ગાર્નેટ, બાઉન્ડેડ એનાલિટિક ફંક્શન્સ પણ જુઓ. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, 2006 એન્ટોનિયોસ ડી. મેલાસ, કેન્દ્રિત હાર્ડી-લિટલવુડ મહત્તમ અસમાનતા માટે શ્રેષ્ઠ અચળાંક, એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ, 157 (2003), 647-688 રામી શકરચી અને એલિયાસ એમ. સ્ટેઇન, પ્રિન્સટન લેક્ચર્સ ઇન એનાલિસિસ III: રિયલ એનાલિસિસ. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2005 એલિયાસ એમ. સ્ટેઇન, મેક્સિમલ ફંક્શન્સઃ ગોળાકાર અર્થ, પ્રોસી. નતાલિયા. એકે. વિજ્ઞાન. યુ. એસ. એ. 73 (1976), એલિયાસ એમ. સ્ટેઇન, સિંગ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ્સ એન્ડ ડિફરન્શિયાબિલિટી પ્રોપર્ટીસ ઓફ ફંક્શન્સ. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1971 ગેરાલ્ડ ટેશલ, વાસ્તવિક અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં વિષયો (વ્યાખ્યાન નોંધો) વાસ્તવિક વિશ્લેષણ હાર્મોનિક વિશ્લેષણ કાર્યોના પ્રકારો