Topological modular forms
ગણિતમાં, ટોપોલોજિકલ મોડ્યુલર સ્વરૂપો (ટી. એમ. એફ.) એ વર્ણપટનું નામ છે જે સામાન્યીકૃત કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે. નક્કર શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે એક ટોપોલોજિકલ જગ્યા હોય છે, અને આ જગ્યાઓ તેમની વચ્ચે ચોક્કસ નકશાઓથી સજ્જ હોય છે, જેથી કોઈપણ ટોપોલોજિકલ જગ્યા X માટે, વ્યક્તિ X થી લઈને X સુધીના સતત નકશાના હોમોટૉપી વર્ગોના સમૂહ પર અબેલિયન જૂથ માળખું મેળવે છે. એક લક્ષણ જે ટી. એમ. એફ. ને અલગ પાડે છે તે એ હકીકત છે કે તેની ગુણાંક વીંટી, (બિંદુ), અભિન્ન કસ્પ વિસ્તરણ સાથે હોલોમોર્ફિક મોડ્યુલર સ્વરૂપોની શ્રેણીબદ્ધ વીંટી જેવી જ છે. ખરેખર, આ બે રિંગ્સ અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 અને 3 ને ઊંધી કર્યા પછી સમરૂપ બની જાય છે, પરંતુ આ વ્યુત્ક્રમ ગુણાંક રિંગમાં ઘણી બધી વળાંકની માહિતીને ભૂંસી નાખે છે. ટોપોલોજીકલ મોડ્યુલર સ્વરૂપોના વર્ણપટને (સામાન્યીકૃત) લંબગોળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેક પર ઇ-અનંત રિંગ સ્પેક્ટ્રાના આવરણના વૈશ્વિક વિભાગો તરીકે બનાવવામાં આવે છે. આ સિદ્ધાંત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં મોડ્યુલર સ્વરૂપોના સિદ્ધાંત, ગોળાઓના હોમોટૉપી જૂથો અને મેનીફોલ્ડ્સના લૂપ સ્પેસ પર અનુમાનાત્મક અનુક્રમણિકા સિદ્ધાંતો સાથે સંબંધ ધરાવે છે. ટી. એમ. એફ. નું નિર્માણ સૌપ્રથમ માઈકલ હોપકિન્સ અને હેન્સ મિલર દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું; ઘણી ગણતરીઓ પોલ ગોઅર્સ, હોપકિન્સ, માર્ક મહોવાલ્ડ, મિલર, ચાર્લ્સ રેઝક અને ટિલમેન બાઉર દ્વારા પ્રીપ્રિન્ટ્સ અને લેખોમાં મળી શકે છે. નિર્માણ ટી. એમ. એફ. ની મૂળ રચના હોપકિન્સ, મિલર અને પોલ ગોઅર્સના અવરોધ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે અને તે ડ્વાયર, કાન અને સ્ટોવરના વિચારો પર આધારિત છે. આ અભિગમમાં, લંબગોળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેકના ઈટેલ સાઇટ પર ગુણાકાર કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતોના પ્રીશેફ ઓપ (ટોપ એટલે ટોપોલોજિકલ) ને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને દર્શાવે છે કે આને અનિવાર્યપણે અનન્ય રીતે ઇ-અનંત રિંગ સ્પેક્ટ્રાના આવરણમાં ઉઠાવી શકાય છે. આ આવરણમાં નીચેનો ગુણધર્મ છેઃ R વીંટી પરના કોઈપણ લંબગોળ લંબગોળ વળાંકને, તે E-અનંત વીંટી વર્ણપટ (એક શાસ્ત્રીય લંબગોળ સમરૂપતા સિદ્ધાંત) સોંપે છે, જેની સાથે સંકળાયેલ ઔપચારિક જૂથ તે લંબગોળ વળાંકનું ઔપચારિક જૂથ છે. બીજું બાંધકામ, જેકબ લુરીને કારણે, તે જે મોડ્યુલી સમસ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તેનું વર્ણન કરવાને બદલે ટી. એમ. એફ. નું નિર્માણ કરે છે અને પછી અસ્તિત્વ દર્શાવવા માટે સામાન્ય પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત લાગુ કરે છેઃ જેમ લંબગોળ વળાંકનો મોડ્યુલી સ્ટેક તે ફંકટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે તેની ઉપર લંબગોળ વળાંકની શ્રેણીને રિંગને સોંપે છે, તેમ ઇ-અનંત રિંગ સ્પેક્ટ્રાના આવરણ સાથેનો સ્ટેક એ ફંકટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ઇ-અનંત રિંગને તેની લક્ષી વ્યુત્પન્ન લંબગોળ વળાંકની શ્રેણીને સોંપે છે, યોગ્ય રીતે અર્થઘટન કરે છે. આ બાંધકામો સરળ લંબગોળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટૅક પર કામ કરે છે, અને તેઓ આ મોડ્યુલી સ્ટેકના ડિલિગ્ને-મમ્ફોર્ડ કોમ્પેક્ટિફિકેશન માટે પણ કામ કરે છે, જેમાં નોડલ સિંગ્યુલારીટી સાથે લંબગોળ વળાંકનો સમાવેશ થાય છે. ટી. એમ. એફ. એ સ્પેક્ટ્રમ છે જે સરળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેક પરના વૈશ્વિક વિભાગોમાંથી પરિણમે છે, અને ટી. એમ. એફ. એ ડેલિગ્ને-મમ્ફોર્ડ કોમ્પેક્ટિફિકેશનના વૈશ્વિક વિભાગો તરીકે ઉદ્ભવતા સ્પેક્ટ્રમ છે. ટી. એમ. એફ. એ સંયોજક ટી. એમ. એફ. નું સામયિક સંસ્કરણ છે. જ્યારે ટી. એમ. એફ. બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા રિંગ સ્પેક્ટ્રા સમયગાળો 2 સાથે સામયિક હોય છે, ત્યારે ટી. એમ. એફ. પોતે સમયગાળો 576 ધરાવે છે. સામયિકતા મોડ્યુલર ડિસ્ક્રિમિનન્ટ સાથે સંબંધિત છે. ગણિતના અન્ય ભાગો સાથેના સંબંધો ટી. એમ. એફ. માં કેટલાક રસ શબ્દમાળા સિદ્ધાંત અને અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાંથી આવે છે. ગ્રીમ સેગલે સૌપ્રથમ 1980 ના દાયકામાં લંબગોળ કોહોમોલોજી (ટી. એમ. એફ. ના પુરોગામી) ની ભૌમિતિક રચનાને અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના અમુક પ્રકારની મોડુલી જગ્યા તરીકે પ્રદાન કરવા માટે દરખાસ્ત કરી હતી, અને આ વિચારોને સ્ટીફન સ્ટોલ્ઝ અને પીટર ટેઇશનર દ્વારા ચાલુ અને વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા છે. તેમનો કાર્યક્રમ સુપરસિમેટ્રિક યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોના મોડુલી સ્પેસ તરીકે ટી. એમ. એફ. નું નિર્માણ કરવાનો પ્રયાસ કરવાનો છે. સ્ટ્રિંગ થિયરી દ્વારા વધુ સીધા પ્રેરિત કાર્યમાં, એડવર્ડ વિટ્ટને વિટન જીનસની રજૂઆત કરી, જે સ્ટ્રિંગ બોર્ડિઝમ રિંગથી મોડ્યુલર સ્વરૂપોની રિંગમાં હોમોમોર્ફિઝમ છે, જેમાં મેનીફોલ્ડની લૂપ જગ્યામાં તુચ્છ લોકસના ઔપચારિક પડોશ પર સમતુલ્ય અનુક્રમણિકા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. આ કોઈપણ સ્પિન મેનીફોલ્ડને અડધા પહેલા પોન્ટ્રીગિન વર્ગના મોડ્યુલર સ્વરૂપમાં અદૃશ્ય થવા સાથે સાંકળે છે. હોપકિન્સ, મેથ્યુ એન્ડો, ચાર્લ્સ રેઝક અને નીલ સ્ટ્રિકલેન્ડના કામ દ્વારા, વિટ્ટન જાતિને ટોપોલોજીમાં ઉઠાવી શકાય છે. એટલે કે, સ્ટ્રિંગ બોર્ડિઝમ સ્પેક્ટ્રમથી ટી. એમ. એફ. (એક કહેવાતી દિશા) સુધીનો એક નકશો છે, જેમાં આ વર્ણપટના હોમોટૉપી જૂથો પર પ્રેરિત નકશાની રચના તરીકે અને ટી. એમ. એફ. ના હોમોટૉપી જૂથોના મોડ્યુલર સ્વરૂપોના નકશા તરીકે વિટ્ટન જીનસને પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે. આનાથી વિટ્ટન જાતિ વિશે ચોક્કસ વિભાજનશીલતાના નિવેદનો સાબિત કરવાની મંજૂરી મળી. ટી. એમ. એફ. ની દિશા સ્પિન બોર્ડિઝમ સ્પેક્ટ્રમથી ક્લાસિકલ કે-થિયરી સુધીના અતિયાહ-બોટ-શાપિરો નકશા સાથે સામ્યતામાં છે, જે ડીરાક સમીકરણને ટોપોલોજી તરફ દોરી જાય છે. સંદર્ભો બેહરેન્સ, એમ., નોટ્સ ઓન ધ કન્સ્ટ્રક્શન ઓફ ટી. એમ. એફ. (2007), <આઇ. ડી. 2> ~ એમ. બેહરેન્સ/પેપર્સ/બિલ્ડ. પી. ડી. એફ. ગોઅર્સ, પી. એન્ડ હોપકિન્સ, એમ., મોડુલી સ્પેસ ઓફ કમ્યુટેટિવ રિંગ સ્પેક્ટ્રા, <આઇ. ડી. 7> ~ પીગોઅર્સ/પેપર્સ/સમ. પી. ડી. એફ. હોપકિન્સ, એમ. અને મહોવાલ્ડ, એમ., ફ્રોમ એલિપ્ટિક કર્વ્સ ટુ હોમોટોપી થિયરી (1998), <આઇ. ડી. 6> લુરી, જે., એ સર્વે ઓફ એલિપ્ટિક કોહોમોલોજી (2007), <આઇ. ડી. 5> લુરી/પેપર્સ/સર્વે. પી. ડી. એફ. રેઝક, સી., <આઇ. ડી. 3>