Essential extension
ગણિતમાં, ખાસ કરીને મોડ્યુલ થિયરીમાં, રિંગ R અને સબમોડ્યુલ N સાથે R-મોડ્યુલ M આપવામાં આવે છે, મોડ્યુલ M ને N નું આવશ્યક વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે (અથવા N ને આવશ્યક સબમોડ્યુલ અથવા M નું મોટું સબમોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે) જો M ના દરેક સબમોડ્યુલ H માટે, સૂચવે છે કે એક વિશેષ કેસ તરીકે, R નો આવશ્યક લેફ્ટ આઇડિયલ એ લેફ્ટ આઇડિયલ છે જે ડાબી મોડ્યુલ આરઆરના સબમોડ્યુલ તરીકે આવશ્યક છે. ડાબી બાજુનો આદર્શ આરના કોઈપણ બિન-શૂન્ય ડાબી બાજુના આદર્શ સાથે બિન-શૂન્ય આંતરછેદ ધરાવે છે. સમાન રીતે, એક આવશ્યક જમણી બાજુનો આદર્શ એ જમણી બાજુના આર મોડ્યુલ આરઆરનું એક આવશ્યક પેટા મોડ્યુલ છે. આવશ્યક વિસ્તરણ માટેના સામાન્ય સંકેતોમાં નીચેની બે અભિવ્યક્તિઓનો સમાવેશ થાય છેઃ, અને આવશ્યક પેટા મોડ્યુલની બેવડી કલ્પના અનાવશ્યક પેટા મોડ્યુલ (અથવા નાના પેટા મોડ્યુલ) ની છે. પેટા મોડ્યુલ N અનાવશ્યક છે જો અન્ય કોઈપણ પેટા મોડ્યુલ H માટે, તે સૂચવે છે. અનાવશ્યક પેટા મોડ્યુલો માટેના સામાન્ય સંકેતોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ, અને ગુણધર્મો અહીં આવશ્યક વિસ્તરણના કેટલાક પ્રાથમિક ગુણધર્મો છે, જે ઉપર રજૂ કરેલા સંકેતલિપીમાં આપવામાં આવ્યા છે. ધારો કે M એ એક મોડ્યુલ છે, અને K, N અને H એ K N સાથે M ના પેટા મોડ્યુલો છે સ્પષ્ટ રીતે M એ M નું આવશ્યક પેટા મોડ્યુલ છે, અને બિન-શૂન્ય મોડ્યુલનું શૂન્ય પેટા મોડ્યુલ ક્યારેય જરૂરી નથી. જો અને માત્ર જો અને જો અને માત્ર જો અને ઝોર્નના લેમ્માનો ઉપયોગ કરીને અન્ય ઉપયોગી હકીકત સાબિત કરવી શક્ય છેઃ M ના કોઈપણ પેટા મોડ્યુલ N માટે, ત્યાં એક પેટા મોડ્યુલ C અસ્તિત્વમાં છે. વધુમાં, યોગ્ય આવશ્યક વિસ્તરણ વિનાનું મોડ્યુલ (એટલે કે, જો મોડ્યુલ અન્ય મોડ્યુલમાં આવશ્યક હોય, તો તે તે મોડ્યુલની બરાબર છે) એક ઇન્જેક્ટિવ મોડ્યુલ છે. પછી એ સાબિત કરવું શક્ય છે કે દરેક મોડ્યુલ M માં મહત્તમ આવશ્યક વિસ્તરણ E (M) હોય છે, જેને M નું ઇન્જેક્ટીવ હલ કહેવામાં આવે છે. ઇન્જેક્ટીવ હલ આવશ્યકપણે એક ઇન્જેક્ટીવ મોડ્યુલ છે, અને તે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે. ઇન્જેક્ટીવ હલ એ અર્થમાં પણ ન્યૂનતમ છે કે એમ ધરાવતા અન્ય કોઈપણ ઇન્જેક્ટીવ મોડ્યુલમાં ઇ (એમ) ની નકલ હોય છે. ઘણા ગુણધર્મો અનાવશ્યક સબમોડ્યુલ્સમાં દ્વિગુણિત થાય છે, પરંતુ બધું જ નહીં. ફરીથી ચાલો M એ એક મોડ્યુલ છે, અને K, N અને H એ K N સાથે M ના પેટા મોડ્યુલો છે. શૂન્ય પેટા મોડ્યુલ હંમેશા અનાવશ્યક હોય છે, અને બિન-શૂન્ય મોડ્યુલ M પોતે ક્યારેય અનાવશ્યક નથી. જો અને માત્ર જો અને જો અને માત્ર જો અને. દરેક મોડ્યુલને મોનોમોર્ફિઝમ દ્વારા મેપ કરી શકાય છે, જેની છબી ઇન્જેક્ટિવ મોડ્યુલ (તેના ઇન્જેક્ટિવ હલ) માં આવશ્યક છે, તેથી કોઈ પૂછી શકે છે કે શું બેવડા નિવેદન સાચું છે, એટલે કે. દરેક મોડ્યુલ M માટે, શું એક પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ P છે અને P થી M પર એક એપિમોર્ફિઝમ છે જેની કર્નલ અનાવશ્યક છે? (આવા પી ને પ્રોજેક્ટિવ કવર કહેવામાં આવે છે). જવાબ સામાન્ય રીતે "ના" છે, અને રિંગ્સનો વિશેષ વર્ગ કે જેમના જમણા મોડ્યુલોમાં બધા પ્રોજેક્ટિવ કવર હોય છે તે જમણા સંપૂર્ણ રિંગ્સનો વર્ગ છે. નકાયમાના સિદ્ધાંતનું એક સ્વરૂપ એ છે કે J (R) M એ M નું અનાવશ્યક પેટા મોડ્યુલ છે જ્યારે M એ R પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ છે. સામાન્યીકરણ આ વ્યાખ્યાને મનસ્વી અબેલિયન શ્રેણી C માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. એક આવશ્યક વિસ્તરણ એ મોનોમોર્ફિઝમ છે જે દરેક બિન-શૂન્ય પેટા પદાર્થ s: N → E માટે, ફાઇબર ઉત્પાદન N × E M ≤ 0 છે. સામાન્ય શ્રેણીમાં, મોર્ફિઝમ f: X → Y આવશ્યક છે જો કોઈ મોર્ફિઝમ g: Y → Z એ મોનોમોર્ફિઝમ હોય જો અને માત્ર ત્યારે જ જો g ° f એ મોનોમોર્ફિઝમ હોય. જી ને વાય નું ઓળખ મોર્ફિઝમ લેવું એ દર્શાવે છે કે આવશ્યક મોર્ફિઝમ એફ એ મોનોમોર્ફિઝમ હોવું જોઈએ. જો X પાસે ઇન્જેક્ટીવ હલ Y હોય, તો Y એ Xનું સૌથી મોટું આવશ્યક વિસ્તરણ છે. પરંતુ સૌથી મોટું આવશ્યક વિસ્તરણ ઇન્જેક્ટિવ હલ ન પણ હોઈ શકે. ખરેખર, T1 જગ્યાઓ અને સતત નકશાની શ્રેણીમાં, દરેક પદાર્થમાં એક અનન્ય સૌથી મોટું આવશ્યક વિસ્તરણ હોય છે, પરંતુ એક કરતાં વધુ તત્વ ધરાવતી કોઈ પણ જગ્યામાં ઇન્જેક્ટિવ હલ હોતું નથી. આ પણ જુઓ ગાઢ પેટા મોડ્યુલો એ એક ખાસ પ્રકારના આવશ્યક પેટા મોડ્યુલ સંદર્ભો છે ડેવિડ આઈસેનબડ, બીજગણિત ભૂમિતિ વિભાગ III.2 પરિવર્તનીય બીજગણિત મોડ્યુલ સિદ્ધાંત તરફના દૃષ્ટિકોણ સાથે પરિવર્તનીય બીજગણિત.