Kazhdan–Lusztig polynomial
પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદી એ તેમના દ્વારા રજૂ કરાયેલ અભિન્ન બહુપદીઓના પરિવારનો સભ્ય છે. તેઓ કોક્સેટર જૂથ W ના તત્વો y, w ની જોડી દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે, જે ખાસ કરીને લાઈ જૂથનું વેલ જૂથ હોઈ શકે છે. પ્રેરણા અને ઇતિહાસ 1978ની વસંતઋતુમાં કાઝદાન અને લુસ્ટિગ બીજગણિત જૂથના વેલ જૂથની સ્પ્રિંગર રજૂઆતોનો અભ્યાસ કરી રહ્યા હતા, જે એકબીજાના વર્ગો સાથે સંબંધિત-એડિક કોહોમોલોજી જૂથો પર હતા. તેમને જટિલ સંખ્યાઓ પર આ રજૂઆતોની નવી રચના મળી. પ્રતિનિધિત્વમાં બે કુદરતી પાયા હતા, અને આ બે પાયા વચ્ચેનો સંક્રમણ મેટ્રિક્સ અનિવાર્યપણે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેમની બહુપદીઓની વાસ્તવિક કઝદાન-લુસ્ટિગ રચના વધુ પ્રાથમિક છે. કાઝદાન અને લુસ્ટિગે આનો ઉપયોગ કોક્સેટર જૂથના હેક બીજગણિત અને તેની રજૂઆતોમાં પ્રમાણભૂત આધાર બનાવવા માટે કર્યો હતો. તેમના પ્રથમ પેપરમાં કાઝદાન અને લુસ્ટિગે ઉલ્લેખ કર્યો હતો કે તેમની બહુપદીઓ સ્કબર્ટ જાતો માટે સ્થાનિક પોઇનકેરે દ્વૈતતાની નિષ્ફળતા સાથે સંબંધિત હતી. તેમણે માર્ક ગોરેસ્કી અને રોબર્ટ મેકફેર્સનના આંતરછેદના કોહોમોલોજીના સંદર્ભમાં આનું પુનઃઅર્થઘટન કર્યું અને ચોક્કસ આંતરછેદના કોહોમોલોજી જૂથોના પરિમાણોના સંદર્ભમાં આવા આધારની બીજી વ્યાખ્યા આપી. સ્પ્રિંગર પ્રતિનિધિત્વ માટેના બે પાયાએ વર્મા મોડ્યુલો અને સરળ મોડ્યુલો દ્વારા આપવામાં આવેલ અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાની ચોક્કસ અનંત પરિમાણીય રજૂઆતોના ગ્રોથેન્ડીક જૂથ માટેના બે પાયાઓની કઝદાન અને લુસ્ટિગને યાદ અપાવી હતી. આ સામ્યતા, અને જેન્સ કાર્સ્ટન જેન્ટ્ઝેન અને એન્થોની જોસેફના વેલ જૂથોની રજૂઆતો સાથે બીજગણિતને ઢાંકવાના આદિમ આદર્શોને લગતા કાર્ય, કાઝદાન-લુસ્ટિગ અનુમાન તરફ દોરી ગયા. વ્યાખ્યા સમૂહ S ઉત્પન્ન કરીને કોક્સેટર જૂથ W ને ઠીક કરો, અને તત્વ w ની લંબાઈ માટે લખો (S ના તત્વોના ગુણાકાર તરીકે w માટે અભિવ્યક્તિની સૌથી નાની લંબાઈ). ડબલ્યુ (W) ના હેક બીજગણિતમાં રિંગની ઉપરના ઘટકોનો આધાર હોય છે, જેમાં ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યુત્ક્રમો સંબંધને (−2q−1 દ્વારા વર્ગાત્મક સંબંધને ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે) અને વેણી સંબંધોને પણ સંતોષ આપે છે. આમાંથી તે અનુસરે છે કે હેક બીજગણિતમાં ઓટોમોર્ફિઝમ D છે જે q1/2 થી q−1/2 અને દરેકને મોકલે છે. વધુ સામાન્ય રીતે એક હોય છે; D ને પણ ઇન્વોલ્યુશન તરીકે જોઈ શકાય છે. કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ પીવાયડબલ્યુ (ક્યૂ) તત્વોની જોડી વાય, ડબલ્યુ, ડબલ્યુ દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે અને વિશિષ્ટ રીતે નીચેના ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી થાય છે. જ્યાં સુધી y ≤ w (W ના બ્રુહટ ક્રમમાં) ન હોય ત્યાં સુધી તેઓ 0 છે, જો y = w હોય તો 1, અને y <w માટે તેમની ડિગ્રી મહત્તમ (l (w) −l (y) −1)/2 છે. હેક બીજગણિતના ઇન્વોલ્યુશન ડી હેઠળ તત્વો અપરિવર્તનશીલ છે. આ તત્વો-મોડ્યુલ તરીકે હેક બીજગણિતનો આધાર બનાવે છે, જેને કાઝદાન-લુસ્ટિગ આધાર કહેવાય છે. કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના અસ્તિત્વને સ્થાપિત કરવા માટે, કાઝદાન અને લુસ્ટિગે રાયવ (ક્યૂ) દર્શાવતી વધુ પ્રાથમિક બહુપદીઓના સંદર્ભમાં બહુપદીઓ પાયવ (ક્યૂ) ની ગણતરી માટે એક સરળ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા આપી હતી. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત તેમને પુનરાવર્તન સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે કઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓને પછી એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને સંબંધનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તિત રીતે ગણતરી કરી શકાય છે કે ડાબી બાજુના બે શબ્દો સ્થિર શબ્દો વિના q1/2 અને q−1/2 માં બહુપદીઓ છે. આ સૂત્રો લગભગ 3 કરતા મોટા ક્રમ માટે હાથથી વાપરવા માટે કંટાળાજનક છે, પરંતુ કમ્પ્યુટર્સ માટે સારી રીતે અનુકૂળ છે, અને તેમની સાથે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓની ગણતરી કરવાની એકમાત્ર મર્યાદા એ છે કે મોટા ક્રમ માટે આવી બહુપદીઓની સંખ્યા કમ્પ્યુટર્સની સંગ્રહ ક્ષમતા કરતાં વધી જાય છે. ઉદાહરણો જો y ≤ w તો Py, w પાસે અચળ પદ 1 છે. જો y ≤ w અને પછી Py, તો w = 1. જો ડબલ્યુ = ડબલ્યુ0 એ મર્યાદિત કોક્સેટર જૂથનું સૌથી લાંબુ તત્વ હોય તો પાઇ, ડબલ્યુ = 1 બધા વાય માટે. જો W એ કોક્ઝેટર જૂથ A1 અથવા A2 (અથવા વધુ સામાન્ય રીતે મહત્તમ 2 ક્રમ ધરાવતું કોઈપણ કોક્ઝેટર જૂથ) હોય તો પાઇ, ડબલ્યુ 1 છે જો y ≤ ડબલ્યુ અને અન્યથા 0 છે. જો W એ કોક્સેટર જૂથ A3 છે જે સમૂહ S = {a, b, c} ઉત્પન્ન કરે છે અને a અને c મુસાફરી કરે છે તો Pb, bacb = 1 + q અને Pac, acbca = 1 + q, બિન-સ્થિર બહુપદીઓના ઉદાહરણો આપે છે. નીચલા ક્રમના જૂથો માટે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના સરળ મૂલ્યો ઉચ્ચ ક્રમના જૂથો માટે લાક્ષણિક નથી. ઉદાહરણ તરીકે, E8 ના વિભાજીત સ્વરૂપ માટે સૌથી જટિલ લુસ્ટિગ-વોગન બહુપદી (કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓની વિવિધતા નીચે જુઓ) દર્શાવવામાં આવી છે કે અચળ પદ 1 અને બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક ગુણાંક ધરાવતી કોઈપણ બહુપદી કેટલાક સમપ્રમાણ જૂથના તત્વોની જોડી માટે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદી છે. કાઝદાન-લુસ્ટિગ અનુમાન કરે છે કે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ તેમના કેનોનિકલ આધાર અને હેક બીજગણિતના કુદરતી આધાર વચ્ચેના સંક્રમણ ગુણાંક તરીકે ઉદ્ભવે છે. ઇન્વેન્શન પેપરમાં બે સમકક્ષ અનુમાનો પણ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, જે હવે કાઝદાન-લુસ્ટિગ અનુમાનો તરીકે ઓળખાય છે, જે તેમની બહુપદીઓના મૂલ્યોને 1 પર જટિલ અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથો અને લાઈ આલ્જેબ્રાની રજૂઆત સાથે સંબંધિત કરે છે, જે પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં લાંબા સમયથી ચાલતી સમસ્યાને સંબોધિત કરે છે. ચાલો W એ મર્યાદિત વેઇલ જૂથ છે. દરેક ડબલ્યુ માટે ડબલ્યુ સૌથી વધુ વજનનું વર્મા મોડ્યુલ તરીકે સૂચવે છે જ્યાં ρ એ હકારાત્મક મૂળ (અથવા વેઇલ વેક્ટર) નો અડધો સરવાળો છે, અને તેનો ઇરેડ્યુસિબલ ભાગાકાર, સૌથી વધુ વજનનું સરળ સૌથી વધુ વજનનું મોડ્યુલ છે. બંને અને વેલ જૂથ W સાથે જટિલ અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત g પર સ્થાનિક રીતે-મર્યાદિત વજનના મોડ્યુલો છે, અને તેથી બીજગણિત અક્ષરને સ્વીકારે છે. ચાલો g-મોડ્યુલ X ના અક્ષર માટે ch (X) લખીએ. કાઝદાન-લુસ્ટિગ અનુમાન જણાવે છેઃ વેલ જૂથની મહત્તમ લંબાઈનું તત્વ ક્યાં છે. આ અનુમાનો લાક્ષણિકતા 0 બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રો પર સ્વતંત્ર રીતે અને દ્વારા સાબિત થયા હતા. પુરાવા દરમિયાન રજૂ કરવામાં આવેલી પદ્ધતિઓએ 1980 અને 1990 ના દાયકામાં ભૌમિતિક પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત નામ હેઠળ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતના વિકાસને માર્ગદર્શન આપ્યું છે. ટિપ્પણીઓ 1. આ બંને ધારણાઓ સમાન હોવાનું જાણીતું છે. વધુમાં, બોર્હો-જેન્ટ્ઝેનનો અનુવાદ સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે તેને કોઈપણ પ્રબળ અભિન્ન વજન દ્વારા બદલી શકાય છે. આમ, કાઝદાન-લુસ્ટિગ ધારણાઓ બર્નસ્ટીન-ગેલફેન્ડ-ગેલફેન્ડ શ્રેણી O ના કોઈપણ નિયમિત અભિન્ન બ્લોકમાં વર્મા મોડ્યુલોના જોર્ડન-હોલ્ડર ગુણાકારનું વર્ણન કરે છે. 2. કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના તમામ ગુણાંકોનું સમાન અર્થઘટન જેન્ટ્ઝેન અનુમાનમાંથી અનુસરે છે, જે આશરે કહે છે કે ના વ્યક્તિગત ગુણાંક એ વર્મા મોડ્યુલના ચોક્કસ પેટા પ્રમાણની ગુણાકાર છે જે કેનોનિકલ ગાળણ, જેન્ટ્ઝેન ગાળણ દ્વારા નક્કી થાય છે. રેગુલર ઇન્ટિગ્રલ કેસમાં જેન્ટઝેન અનુમાન પછીના પેપરમાં સાબિત થયું હતું. 3. ડેવિડ વોગને આ અનુમાનોના પરિણામે દર્શાવ્યું હતું કે જો તે વિચિત્ર હોય તો તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તેથી શ્રેણી O માં આવા તમામ એક્સ્ટ જૂથોના પરિમાણો કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના ગુણાંકની દ્રષ્ટિએ નક્કી કરવામાં આવે છે. આ પરિણામ દર્શાવે છે કે મર્યાદિત વેઇલ જૂથના કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના તમામ ગુણાંક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. જો કે, અનુમાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના, આંતરછેદ કોહોમોલોજી જૂથોના પરિમાણો તરીકે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના ગુણાંકના અર્થઘટનથી મર્યાદિત વેલ જૂથ Wના કિસ્સામાં હકારાત્મકતા પહેલેથી જ જાણીતી હતી. તેનાથી વિપરીત, કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ અને એક્સ્ટ જૂથો વચ્ચેના સંબંધનો સૈદ્ધાંતિક રીતે અનુમાનને સાબિત કરવા માટે ઉપયોગ કરી શકાય છે, જો કે તેમને સાબિત કરવાનો આ અભિગમ અમલમાં મૂકવો વધુ મુશ્કેલ સાબિત થયો. 4. કાઝદાન-લુસ્ટિગ અનુમાનોના કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓ ચકાસવા માટે સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, એમ1 એ એન્ટિડોમિનન્ટ વર્મા મોડ્યુલ છે, જે સરળ હોવાનું જાણીતું છે. આનો અર્થ એ છે કે એમ 1 = એલ 1, ડબલ્યુ = 1 માટે બીજા અનુમાનની સ્થાપના કરે છે, કારણ કે સરવાળો એક જ પદ સુધી ઘટે છે. બીજી બાજુ, ડબલ્યુ = ડબલ્યુ0 માટેનું પ્રથમ અનુમાન વેઇલ અક્ષર સૂત્ર અને વર્મા મોડ્યુલના અક્ષર માટેના સૂત્રને અનુસરે છે, આ હકીકત સાથે કે તમામ કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ 1 ની બરાબર છે. 5. કાશીવારા (1990) એ સમપ્રમાણતાવાળા કાક-મૂડી બીજગણિત માટે કાઝદાન-લુસ્ટિગ ધારણાઓનું સામાન્યીકરણ સાબિત કર્યું. બ્રુહટ વિઘટન દ્વારા વેલ જૂથ W સાથે બીજગણિત જૂથ G ની જગ્યા G/B એ W ના ઘટકો દ્વારા પરિમાણિત એફાઇન જગ્યાઓ Xw નું અસંબદ્ધ જોડાણ છે. આ જગ્યાઓના બંધ થવાને સ્કબર્ટ જાતો કહેવામાં આવે છે, અને ડિલિગ્નેના સૂચનને અનુસરીને, કાઝ્ડન અને લુસ્ટિગે બતાવ્યું કે સ્કબર્ટ જાતોના આંતરછેદ કોહોમોલોજી જૂથોના સંદર્ભમાં કાઝ્ડન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓને કેવી રીતે વ્યક્ત કરવી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદી પાઇ, ડબલ્યુ (ક્યુ) બરાબર છે જ્યાં જમણી બાજુએ દરેક શબ્દનો અર્થ છેઃ શીવ્સની જટિલ આઇસીને લો, જેની હાયપરહોમોલોજી એ ડબલ્યુ (કોષને બંધ કરવાની) ની સ્કબર્ટ વિવિધતાની આંતરછેદ સમરૂપતા છે, તેની ડિગ્રીની સમરૂપતા લો, અને પછી કોષના કોઈપણ બિંદુ પર આ શીફની દાંડીનું પરિમાણ લો, જેની બંધતા વાયની સ્કબર્ટ વિવિધતા છે. વિષમ-પરિમાણીય કોહોમોલોજી જૂથો સરવાળામાં દેખાતા નથી કારણ કે તેઓ બધા શૂન્ય છે. આનાથી પહેલો પુરાવો મળ્યો કે મર્યાદિત વેઇલ જૂથો માટે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના તમામ ગુણાંક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. વાસ્તવિક જૂથોમાં સામાન્યીકરણ લુસ્ટિગ-વોગન બહુપદીઓ (જેને કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ અથવા કાઝદાન-લુસ્ટિગ-વોગન બહુપદીઓ પણ કહેવાય છે) ની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી. તેઓ કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ સાથે સામ્યતા ધરાવે છે, પરંતુ વાસ્તવિક અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોની રજૂઆતને અનુરૂપ છે, અને તેમના એકાત્મક દ્વિધાઓના અનુમાનાત્મક વર્ણનમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. તેમની વ્યાખ્યા વધુ જટિલ છે, જે જટિલ જૂથોની સરખામણીમાં વાસ્તવિક જૂથોની રજૂઆતની સંબંધિત જટિલતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આ તફાવત, પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સાથે સીધો સંબંધ ધરાવતા કિસ્સાઓમાં, બેવડા કોસેટ્સના સ્તર પર સમજાવવામાં આવે છે; અથવા જટિલ ફ્લેગ મેનીફોલ્ડ્સ G/B ના એનાલોગ પરની ક્રિયાઓની અન્ય શરતોમાં જ્યાં G એક જટિલ લાઈ જૂથ છે અને B એ બોરેલ પેટાજૂથ છે. મૂળ (કે. એલ.) કેસ પછી વિઘટનની વિગતો વિશે છે, જે બ્રુહટ વિઘટનની શાસ્ત્રીય થીમ છે, અને ગ્રાસમેનિયનમાં સ્કબર્ટ કોશિકાઓ પહેલાં. એલ-વી કેસ જીનું વાસ્તવિક સ્વરૂપ લે છે, જે તે અર્ધ-સરળ જૂથમાં મહત્તમ સઘન પેટાજૂથ છે, અને કે ની જટિલતા બનાવે છે. પછી અભ્યાસનો સંબંધિત ઉદ્દેશ છે. માર્ચ 2007માં, એવી જાહેરાત કરવામાં આવી હતી કે E8ના વિભાજીત સ્વરૂપ માટે L-V બહુપદીઓની ગણતરી કરવામાં આવી છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં અન્ય વસ્તુઓનું સામાન્યીકરણ કઝદાન અને લુસ્ટિગના બીજા પેપરમાં કઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓની વ્યાખ્યા માટે ભૌમિતિક સેટિંગની સ્થાપના કરવામાં આવી હતી, એટલે કે, ધ્વજની વિવિધતામાં સ્કબર્ટ જાતોની એકલતાની ભૂમિતિ. લુસ્ટિગના પછીના મોટાભાગના કાર્યોએ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં ઉદ્ભવતા અન્ય કુદરતી એકવચન બીજગણિત જાતોના સંદર્ભમાં કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના એનાલોગની શોધ કરી, ખાસ કરીને, નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ અને કંપારી જાતોના બંધ. એવું બહાર આવ્યું છે કે ક્વોન્ટમ જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત, મોડ્યુલર લાઈ આલ્જેબ્રા અને એફાઇન હેક આલ્જેબ્રા બધા કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના યોગ્ય એનાલોગ દ્વારા ચુસ્તપણે નિયંત્રિત થાય છે. તેઓ પ્રાથમિક વર્ણનને સ્વીકારે છે, પરંતુ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત માટે જરૂરી આ બહુપદીઓના ઊંડા ગુણધર્મો આધુનિક બીજગણિત ભૂમિતિ અને હોમોલોજિકલ બીજગણિતની અત્યાધુનિક તકનીકોમાંથી અનુસરે છે, જેમ કે આંતરછેદ કોહોમોલોજી, વિકૃત શીવ્સ અને બેઇલિન્સન-બર્નસ્ટીન-ડેલીગ્ને વિઘટનનો ઉપયોગ. કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના ગુણાંક સોરગેલની દ્વિગુણિત શ્રેણીમાં કેટલીક હોમોમોર્ફિઝમ જગ્યાઓના પરિમાણો હોવાનું અનુમાન કરવામાં આવે છે. મનસ્વી કોક્સેટર જૂથો માટે આ ગુણાંકનું આ એકમાત્ર જાણીતું હકારાત્મક અર્થઘટન છે. સંયુક્ત સિદ્ધાંત કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના સંયુક્ત ગુણધર્મો અને તેમના સામાન્યીકરણ સક્રિય વર્તમાન સંશોધનનો વિષય છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં તેમના મહત્વને ધ્યાનમાં રાખીને, કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના સિદ્ધાંતને શુદ્ધ સંયુક્ત રીતે વિકસાવવાના પ્રયાસો હાથ ધરવામાં આવ્યા છે, જે અમુક અંશે ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ આંતરછેદ કોહોમોલોજી અને અન્ય અદ્યતન તકનીકોના સંદર્ભ વિના. આનાથી બીજગણિત સંયોજનમાં ઉત્તેજક વિકાસ થયો છે, જેમ કે પેટર્ન-અવગણના ઘટના. ના પાઠ્યપુસ્તકમાં કેટલાક સંદર્ભો આપવામાં આવ્યા છે. આ વિષય પર એક સંશોધન મોનોગ્રાફ છે. ઘણા વિશેષ કિસ્સાઓમાં સ્પષ્ટ સૂત્રો અસ્તિત્વમાં હોવા છતાં, સમપ્રમાણ જૂથો માટે પણ કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના તમામ ગુણાંક (કેટલાક કુદરતી સમૂહોની મુખ્યતા તરીકે) નું કોઈ જાણીતું સંયુક્ત અર્થઘટન નથી. અસમાનતા કોબાયાશી (2013) એ સાબિત કર્યું કે સ્ફટિકીય કોક્સેટર જૂથો માટે કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓના મૂલ્યો ચોક્કસ કડક અસમાનતાને સંતોષે છેઃ ચાલો સ્ફટિકીય કોક્સેટર પ્રણાલી અને તેની કાઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓ બનીએ. જો અને, તો ત્યાં એવું પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વમાં છે. સંદર્ભો. . . . . . . . . . . . . . બાહ્ય કડીઓ યુ. સી. ખાતે કઝદાન-લુસ્ટિગ થિયરી પર વસંત 2005ના અભ્યાસક્રમના વાંચન મોનિકા વઝીરાની દ્વારા ડેવિસ કઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓની ગણતરી માટે જી. એ. પી. કાર્યક્રમો. કઝદાન-લુસ્ટિગ-વોગન બહુપદીઓની ગણતરી માટે કોઈપણ કોક્સેટર જૂથ એટલાસ સોફ્ટવેર માટે કઝદાન-લુસ્ટિગ બહુપદીઓની ગણતરી માટે ફોક્કો ડુ ક્લોક્સનું કોક્સેટર સોફ્ટવેર. બહુપદીઓ લાઈ જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત લાઈ આલ્જેબ્રાનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત બીજગણિત સંયોજન