Quantile function
સંભાવના અને આંકડામાં, ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન રેન્ડમ વેરિયેબલના મૂલ્યનું આઉટપુટ આપે છે જેમ કે તેની સંભાવના ઇનપુટ સંભાવના મૂલ્ય કરતાં ઓછી અથવા સમાન હોય છે. સહજ ભાવે, ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન પ્રોબેબીલીટી ઇનપુટ પર અને તેની નીચેની શ્રેણી સાથે સંકળાય છે, એવી સંભાવના છે કે અમુક પ્રોબેબીલીટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન માટે તે શ્રેણીમાં રેન્ડમ વેરિયેબલ પ્રાપ્ત થાય છે. તેને પર્સેન્ટાઇલ ફંક્શન (પર્સેન્ટાઇલ પછી), પર્સેન્ટ પોઇન્ટ ફંક્શન અથવા ઇન્વર્સ ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન (ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન પછી) પણ કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા સ્ટ્રિક્ટલી મોનોટોનિક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન રેન્ડમ વેરિયેબલ X ના સતત અને સખત મોનોટોનિક સંચયી વિતરણ કાર્યના સંદર્ભમાં, ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન તેના ઇનપુટ p ને થ્રેશોલ્ડ મૂલ્ય x પર મેપ કરે છે જેથી X ની x કરતા ઓછી અથવા સમાન હોવાની સંભાવના p હોય. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન F ની દ્રષ્ટિએ, ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન Q એ x નું મૂલ્ય પરત કરે છે જે c. d. f. ના વ્યસ્ત તરીકે લખી શકાય છે. સામાન્ય વિતરણ કાર્ય વિતરણ કાર્યોના સામાન્ય કિસ્સામાં કે જે સખત રીતે એકવિધ નથી અને તેથી ઇન્વર્સ સી. ડી. એફ. ને મંજૂરી આપતું નથી, ક્વોન્ટાઇલ એ અંતરાલ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિતરણ કાર્ય એફનું (સંભવિત) મૂલ્ય ધરાવતું મૂલ્ય ધરાવતું મૂલ્ય છે. તે ઘણીવાર સૌથી ઓછું મૂલ્ય પસંદ કરવા માટે પ્રમાણભૂત હોય છે, જેને સમકક્ષ રીતે (એફની જમણી-સાતત્યતાનો ઉપયોગ કરીને) લખી શકાય છે. અહીં આપણે એ હકીકતને પકડી લઈએ છીએ કે ક્વોન્ટાઇલ કાર્ય તે તમામ મૂલ્યોમાંથી x નું લઘુતમ મૂલ્ય આપે છે જેનું સી. ડી. એફ. મૂલ્ય પી કરતાં વધી જાય છે, જે ખાસ કિસ્સામાં અગાઉના સંભાવના નિવેદનની સમકક્ષ છે કે વિતરણ સતત છે. નોંધ લો કે અનંત કાર્યને લઘુત્તમ કાર્ય દ્વારા બદલી શકાય છે, કારણ કે વિતરણ કાર્ય જમણી-સતત અને નબળી રીતે એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે. ક્વોન્ટાઇલ એ ગેલોઇસ અસમાનતાને સંતોષતું અનન્ય કાર્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કાર્ય F સતત અને સખત રીતે એકવિધ રીતે વધી રહ્યું હોય, તો અસમાનતાને સમાનતાઓ દ્વારા બદલી શકાય છે, અને આપણી પાસે છેઃ સામાન્ય રીતે, ભલે વિતરણ કાર્ય F ડાબે અથવા જમણે ઇન્વર્સ ધરાવવામાં નિષ્ફળ જાય, તેમ છતાં ક્વોન્ટાઇલ કાર્ય Q વિતરણ કાર્ય માટે "લગભગ ચોક્કસ ડાબે ઇન્વર્સ" તરીકે વર્તે છે, તે અર્થમાં કે લગભગ ચોક્કસપણે. સરળ ઉદાહરણ ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંકીય (λ) નું સંચિત વિતરણ કાર્ય. તીવ્રતા λ અને અપેક્ષિત મૂલ્ય (સરેરાશ) 1/λ) એ ઘાતાંકીય (λ) માટેનું માત્રાત્મક વિધેય એ Q નું મૂલ્ય શોધીને મેળવવામાં આવે છે, જેના માટેઃ 0 ≤ p <1 માટે. તેથી ક્વાર્ટાઇલ્સ છેઃ પ્રથમ ક્વાર્ટાઇલ (પી = 1/4) મીડિયન (પી = 2/4) ત્રીજો ક્વાર્ટાઇલ (પી = 3/4) એપ્લિકેશન્સ ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન્સનો ઉપયોગ આંકડાકીય કાર્યક્રમો અને મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓ બંનેમાં થાય છે. માત્રાત્મક કાર્ય એ સંભાવના વિતરણ સૂચવવાની એક રીત છે, અને તે સંભાવના ઘનતા કાર્ય (પી. ડી. એફ.) અથવા સંભાવના સમૂહ કાર્ય, સંચિત વિતરણ કાર્ય (સી. ડી. એફ.) અને લાક્ષણિક કાર્યનો વિકલ્પ છે. સંભાવના વિતરણનું માત્રાત્મક કાર્ય, ક્યૂ, તેના સંચિત વિતરણ કાર્ય એફ. નું વ્યસ્ત છે. માત્રાત્મક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન, એટલે કે માત્રાત્મક ઘનતા કાર્ય, સંભાવના વિતરણ સૂચવવાની બીજી રીત છે. તે ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન સાથે બનેલા પીડીએફનું પારસ્પરિક છે. આંકડાકીય કાર્યક્રમો માટે, વપરાશકર્તાઓએ આપેલ વિતરણના મુખ્ય ટકાવારી બિંદુઓ જાણવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેમને ઉપરના ઉદાહરણમાં મીડિયન અને 25 ટકા અને 75 ટકા ક્વાર્ટાઇલ્સની જરૂર છે અથવા અન્ય એપ્લિકેશનો માટે 5 ટકા, 95 ટકા, 2.5 ટકા, 97.5% સ્તરની જરૂર છે જેમ કે અવલોકનના આંકડાકીય મહત્વનું મૂલ્યાંકન કે જેનું વિતરણ જાણીતું છે; ક્વોન્ટાઇલ એન્ટ્રી જુઓ. કમ્પ્યુટર્સની લોકપ્રિયતા પહેલાં, પુસ્તકોમાં આંકડાકીય કોષ્ટકો સાથે પરિમાણાત્મક કાર્યના નમૂનાના પરિશિષ્ટો હોય તે અસામાન્ય ન હતું. ગિલક્રિસ્ટ દ્વારા માત્રાત્મક કાર્યોના આંકડાકીય ઉપયોગોની વ્યાપક ચર્ચા કરવામાં આવી છે. મોન્ટે-કાર્લો સિમ્યુલેશન વિવિધ પ્રકારની સિમ્યુલેશન ગણતરીઓમાં ઉપયોગ માટે બિન-સમાન રેન્ડમ અથવા સ્યુડોરાન્ડમ સંખ્યાઓ ઉત્પન્ન કરવા માટે માત્રાત્મક કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે. આપેલ વિતરણમાંથી એક નમૂનો સૈદ્ધાંતિક રીતે એક સમાન વિતરણમાંથી નમૂના પર તેના માત્રાત્મક કાર્યને લાગુ કરીને મેળવી શકાય છે. સિમ્યુલેશન પદ્ધતિઓની માંગણીઓ, ઉદાહરણ તરીકે આધુનિક કોમ્પ્યુટેશનલ ફાઇનાન્સમાં, ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન્સ પર આધારિત પદ્ધતિઓ પર વધુ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી રહી છે, કારણ કે તેઓ કોપ્યુલા અથવા અર્ધ-મોન્ટે-કાર્લો પદ્ધતિઓ અને ફાઇનાન્સમાં મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓ પર આધારિત મલ્ટીવેરિયેટ તકનીકો સાથે સારી રીતે કામ કરે છે. ગણતરી માત્રાત્મક કાર્યોના મૂલ્યાંકનમાં ઘણીવાર આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે ઉપરનું ઘાતાંકીય વિતરણ, જે અમુક વિતરણોમાંનું એક છે જ્યાં બંધ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ મળી શકે છે (અન્યમાં ગણવેશ, વેઇબુલ, ટુકી લેમ્બડા (જેમાં લોજિસ્ટિકનો સમાવેશ થાય છે) અને લોગ-લોજિસ્ટિકનો સમાવેશ થાય છે). જ્યારે સી. ડી. એફ. પોતે બંધ-સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે, ત્યારે સી. ડી. એફ. ને ઉલટાવવા માટે હંમેશા દ્વિભાજન પદ્ધતિ જેવા આંકડાકીય મૂળ-શોધ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. માત્રાત્મક કાર્યોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેના અન્ય અલ્ગોરિધમ્સ પુસ્તકોની આંકડાકીય વાનગીઓની શ્રેણીમાં આપવામાં આવ્યા છે. સામાન્ય વિતરણ માટેના અલ્ગોરિધમ્સ ઘણા આંકડાકીય સોફ્ટવેર પેકેજોમાં બનાવવામાં આવે છે. માત્રાત્મક વિધેયોને બિન-રેખીય સામાન્ય અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો તરીકે પણ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. સામાન્ય, વિદ્યાર્થી, બીટા અને ગામા વિતરણના કિસ્સાઓ માટે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો આપવામાં આવ્યા છે અને ઉકેલવામાં આવ્યા છે. સામાન્ય વિતરણ સામાન્ય વિતરણ કદાચ સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસ છે. કારણ કે સામાન્ય વિતરણ એ સ્થાન-સ્કેલ પરિવાર છે, મનસ્વી પરિમાણો માટેનું તેનું માત્રાત્મક કાર્ય પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણના માત્રાત્મક કાર્યના સરળ પરિવર્તનમાંથી મેળવી શકાય છે, જેને પ્રોબિટ કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કમનસીબે, આ કાર્યમાં મૂળભૂત બીજગણિત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને કોઈ બંધ-સ્વરૂપની રજૂઆત નથી; પરિણામે, અંદાજિત રજૂઆતોનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. વિચુરા અને અકલામ દ્વારા સંપૂર્ણ સંયુક્ત તર્કસંગત અને બહુપદી અંદાજો આપવામાં આવ્યા છે. શો દ્વારા બિન-સંયુક્ત તર્કસંગત અંદાજો વિકસાવવામાં આવ્યા છે. સામાન્ય પરિમાણ માટે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ સામાન્ય પરિમાણ માટે બિન-રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ, ડબલ્યુ (પી), આપી શકાય છે. તે કેન્દ્ર (પ્રારંભિક) શરતો સાથે છે આ સમીકરણને શાસ્ત્રીય શક્તિ શ્રેણી અભિગમ સહિત અનેક પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. આ ઉકેલોમાંથી મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ચોકસાઈ વિકસાવી શકાય છે (જુઓ સ્ટેઇનબ્રેચર અને શો, 2008). વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ આ ઐતિહાસિક રીતે વધુ જટિલ કિસ્સાઓમાંનું એક રહ્યું છે, કારણ કે પરિમાણ, ν, ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમની હાજરી, તર્કસંગત અને અન્ય અંદાજોના ઉપયોગને અણઘડ બનાવે છે. જ્યારે ν = 1,2,4 હોય ત્યારે સરળ સૂત્રો અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને જ્યારે ν સમ હોય ત્યારે સમસ્યાને બહુપદીના ઉકેલમાં ઘટાડી શકાય છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન્સને પાવર સિરીઝ તરીકે વિકસાવી શકાય છે. સરળ કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છેઃ ν = 1 (કૌચી વિતરણ) ν = 2 ν = 4 જ્યાં અને ઉપરના ભાગમાં "સાઇન" ફંક્શન હકારાત્મક દલીલો માટે + 1, નકારાત્મક દલીલો માટે-1 અને શૂન્ય પર શૂન્ય છે. તેને ત્રિકોણમિતીય સાઇન કાર્ય સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ. માત્રાત્મક મિશ્રણ ગીચતાના મિશ્રણની જેમ, વિતરણને માત્રાત્મક મિશ્રણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં, માત્રાત્મક કાર્યો છે અને, નમૂના પરિમાણો છે. પરિમાણો પસંદ કરવા આવશ્યક છે જેથી તે એક ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન હોય. બે ચાર-પેરામેટ્રિક ક્વોન્ટાઇલ મિશ્રણ, સામાન્ય-બહુપદી ક્વોન્ટાઇલ મિશ્રણ અને કોચી-બહુપદી ક્વોન્ટાઇલ મિશ્રણ, કાર્વેનેન દ્વારા પ્રસ્તુત કરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન્સ માટે બિન-રેખીય વિભેદક સમીકરણો સામાન્ય વિતરણ માટે આપવામાં આવેલ બિન-રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ એ કોઈ પણ ક્વોન્ટાઇલ ફંક્શન માટે ઉપલબ્ધ એક વિશેષ કેસ છે જેનું બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે. સામાન્ય રીતે ક્વોન્ટાઇલ માટેનું સમીકરણ, Q (p), આપી શકાય છે. તે યોગ્ય સીમા શરતો દ્વારા વધારવામાં આવે છે, જ્યાં અને f (x) એ સંભાવના ઘનતા કાર્ય છે. સામાન્ય, વિદ્યાર્થી, ગામા અને બીટા વિતરણના કિસ્સાઓ માટે આ સમીકરણના સ્વરૂપો અને શ્રેણી અને એસિમ્પ્ટોટિક ઉકેલો દ્વારા તેનું શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણ સ્ટેઇનબ્રેચર અને શો (2008) દ્વારા સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું છે. આવા ઉકેલો સચોટ બેન્ચમાર્ક પ્રદાન કરે છે, અને વિદ્યાર્થીના કિસ્સામાં, જીવંત મોન્ટે કાર્લો ઉપયોગ માટે યોગ્ય શ્રેણી. ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ સેમ્પલિંગ પર્સેન્ટેજ પોઇન્ટ પ્રોબેબિલિટી ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મ ક્વોન્ટાઇલ રેન્ક-સાઇઝ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન રેફરન્સ એબરનેથી, રોજર ડબલ્યુ. અને સ્મિથ, રોબર્ટ પી. (1993) * "એફ-ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની ટકાવારી શોધવા માટે ઇન્વર્સ બીટા ડિસ્ટ્રિબ્યુશનમાં શ્રેણી વિસ્તરણ લાગુ કરવું", એસીએમ ટ્રાન્સ પણ જુઓ. ગણિત. Softw., 9 (4), 478-480 નોર્મલ ક્વોન્ટાઇલનું રિફાઇનમેન્ટ "સ્ટુડન્ટ્સ" T ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ACM અલ્ગોરિધમ 396: સ્ટુડન્ટ્સ t-ક્વોન્ટાઇલ્સ ફંક્શન પ્રોબેબીલીટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન pt સંબંધિતઃ ક્વોન્ટાઇલ