Nagata ring
પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, એન-1 રીંગ એ એક અભિન્ન ડોમેન છે જેનું અભિન્ન બંધ તેના ભાગાકાર ક્ષેત્રમાં મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ-મોડ્યુલ છે. તેને જાપાનીઝ રીંગ (અથવા એન-2 રીંગ) કહેવામાં આવે છે જો તેના ભાગાકાર ક્ષેત્રના દરેક મર્યાદિત વિસ્તરણ માટે, ઇનનું અભિન્ન બંધ એ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ-મોડ્યુલ (અથવા સમકક્ષ રીતે મર્યાદિત-બીજગણિત) હોય. એક વીંટીને સાર્વત્રિક રીતે જાપાનીઝ કહેવામાં આવે છે જો તેની ઉપર દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અભિન્ન ક્ષેત્ર જાપાનીઝ હોય, અને તેને નાગાતા રિંગ કહેવામાં આવે છે, જેનું નામ માસાયોશી નાગાતા પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, અથવા સ્યુડો-ભૌમિતિક રિંગ જો તે નોથેરિયન હોય અને સાર્વત્રિક રીતે જાપાનીઝ હોય (અથવા, જે સમાન હોવાનું બહાર આવે છે, જો તે નોથેરિયન હોય અને મુખ્ય આદર્શ દ્વારા તેના તમામ ભાગ N-2 રિંગ્સ હોય). રિંગને ભૌમિતિક કહેવામાં આવે છે જો તે બીજગણિત વિવિધતાની સ્થાનિક રિંગ હોય અથવા આવી સ્થાનિક રિંગની પૂર્ણતા હોય, પરંતુ આ ખ્યાલનો વધુ ઉપયોગ થતો નથી. ઉદાહરણો બહુપદીઓના ક્ષેત્રો અને રિંગ્સ અથવા ક્ષેત્રો પર મર્યાદિત રીતે ઘણા અનિશ્ચિત શક્તિ શ્રેણીઓ જાપાની રિંગ્સના ઉદાહરણો છે. અન્ય એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ નોથેરિયન ઇન્ટિગ્રલી ક્લોઝ્ડ ડોમેન છે (દા. ત. એક ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન) અપૂર્ણાંકોનું સંપૂર્ણ ક્ષેત્ર ધરાવે છે. બીજી બાજુ, મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર અથવા તો સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન રિંગ પણ જાપાનીઝ હોય તે જરૂરી નથી. કોઈપણ અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ વીંટી એ નાગાતા વીંટી છે, તેથી ખાસ કરીને બીજગણિત ભૂમિતિમાં જોવા મળતી લગભગ તમામ નોથેરિયન વીંટીઓ નાગાતા વીંટીઓ છે. નોથેરિયન ક્ષેત્રનું પ્રથમ ઉદાહરણ કે જે નાગાટા રિંગ નથી, તેના દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. અહીં એક અલગ મૂલ્યાંકન રિંગનું ઉદાહરણ છે જે જાપાનીઝ રિંગ નથી. લાક્ષણિક ક્ષેત્રનું અવિભાજ્ય અને અનંત ડિગ્રી ક્ષેત્ર વિસ્તરણ પસંદ કરો, જેમ કે. સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન રિંગને ઔપચારિક પાવર સિરીઝની રિંગ બનવા દો, જેના પર ગુણાંક મર્યાદિત વિસ્તરણ પેદા કરે છે. જો કોઈ ઔપચારિક પાવર સિરીઝ ન હોય તો રિંગ એન-1 રિંગ નથી (તેનું અભિન્ન બંધ એ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ નથી) તેથી તે જાપાની રિંગ નથી. જો તમામ જનરેટરના ચોરસ અને સમઘન દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા અનંત જનરેટરમાં બહુપદી રિંગની સબરીંગ હોય, અને કેટલાક દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા કોઈ પણ આદર્શમાં નહીં પણ તમામ ઘટકોના નજીકના વ્યુત્ક્રમો દ્વારા મેળવવામાં આવે, તો તે નોથેરિયન ડોમેન છે જે એન-1 રિંગ નથી, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેના ભાગાકાર ક્ષેત્રમાં તેનું અભિન્ન બંધ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ-મોડ્યુલ નથી. દરેક બંધ બિંદુ પર કસ્પ સિંગ્યુલારીટી પણ હોય છે, તેથી એકવચન બિંદુઓનો સમૂહ બંધ નથી હોતો. સંદર્ભો બોશ, ગુન્ટઝર, રેમેર્ટ, નોન-આર્કિમિડીયન એનાલિસિસ, સ્પ્રિંગર 1984, એ. ગ્રોથેન્ડીક, જે. ડ્યુડોન, એલેમેન્ટ્સ ડી જીઓમેટ્રી આલ્જેબ્રિક, ચો. 0IV § 23, પ્રકાશન. ગણિત. આઇ. એચ. ઇ. એસ. 20 (1964). એચ. માત્સુમુરા, પરિવર્તનીય બીજગણિત, પ્રકરણ 12. નાગાટા, માસાયોશી સ્થાનિક રિંગ્સ. શુદ્ધ અને લાગુ ગણિતમાં આંતરવિજ્ઞાન ટ્રેક્ટ્સ, નં. 13 ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિશર્સ જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ન્યૂ યોર્ક-લંડન 1962નો એક વિભાગ, જે આર. ઇ. ક્રીગર પબ દ્વારા પુનઃમુદ્રિત કરવામાં આવ્યો હતો. સહ (1975) બાહ્ય કડીઓ http://stacks.math.columbia.edu/tag/032E બીજગણિત ભૂમિતિ પરિવર્તનીય બીજગણિત