Geometric median
ભૂમિતિમાં, યુક્લિડિયન અવકાશમાં નમૂના બિંદુઓના અલગ સમૂહની ભૌમિતિક મધ્યક એ બિંદુ છે જે નમૂના બિંદુઓના અંતરનો સરવાળો ઘટાડે છે. આ મધ્યસ્થને સામાન્ય બનાવે છે, જે એક-પરિમાણીય માહિતી માટે અંતરનો સરવાળો ઘટાડવાનો ગુણધર્મ ધરાવે છે, અને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં કેન્દ્રિય વલણ પ્રદાન કરે છે. તેને 1-મીડિયન, અવકાશી મીડિયન, યુક્લિડિયન મિનિસમ પોઇન્ટ અથવા ટોરિસેલી પોઇન્ટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ભૌમિતિક મધ્યક એ આંકડામાં સ્થાનનો એક મહત્વપૂર્ણ અંદાજ છે, જ્યાં તેને L1 અંદાજક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે (L1 ધોરણ પછી). તે સુવિધા સ્થાનમાં પણ એક પ્રમાણભૂત સમસ્યા છે, જ્યાં તે પરિવહનના ખર્ચને ઘટાડવા માટે સુવિધા શોધવાની સમસ્યાનું મોડેલ બનાવે છે. વધુ સામાન્ય કે-માધ્યમ સમસ્યા દરેક નમૂના બિંદુથી તેના નજીકના કેન્દ્ર સુધીના અંતરનો સરવાળો ઘટાડીને કે ક્લસ્ટર કેન્દ્રોનું સ્થાન પૂછે છે. જો બિંદુને રેખા અથવા વળાંકમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે, તો શ્રેષ્ઠ-ફિટિંગ ઉકેલ ઓછામાં ઓછા નિરપેક્ષ વિચલનો દ્વારા મળી આવે છે. સમતલમાં ત્રણ બિંદુઓ માટે સમસ્યાનો વિશેષ કેસ (એટલે કે, નીચેની વ્યાખ્યામાં = 3 અને = 2) કેટલીકવાર ફર્મેટની સમસ્યા તરીકે પણ ઓળખાય છે; તે ન્યૂનતમ સ્ટેઇનર વૃક્ષોના નિર્માણમાં ઉદભવે છે, અને મૂળરૂપે પિયર ડી ફર્મેટ દ્વારા સમસ્યા તરીકે રજૂ કરવામાં આવી હતી અને ઇવેન્જેલિસ્ટા ટોરિસેલી દ્વારા હલ કરવામાં આવી હતી. તેનો ઉકેલ હવે ત્રણ નમૂના બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના ફર્મેટ બિંદુ તરીકે ઓળખાય છે. ભૌમિતિક માધ્યમને બદલામાં ભારિત અંતરના સરવાળાને ઘટાડવાની સમસ્યા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જે આલ્ફ્રેડ વેબર દ્વારા તેમના 1909 ના પુસ્તકમાં સુવિધા સ્થાન પર સમસ્યાની ચર્ચા પછી વેબર સમસ્યા તરીકે ઓળખાય છે. તેના બદલે કેટલાક સ્રોતો વેબરની સમસ્યાને ફર્મેટ-વેબર સમસ્યા કહે છે, પરંતુ અન્ય લોકો આ નામનો ઉપયોગ બિનભારિત ભૌમિતિક મધ્યમ સમસ્યા માટે કરે છે. ભૌમિતિક મધ્યસ્થ સમસ્યાનું સર્વેક્ષણ પ્રદાન કરે છે. સમસ્યાના બિન-સ્વતંત્ર બિંદુ સમૂહોના સામાન્યીકરણ માટે જુઓ. વ્યાખ્યા ઔપચારિક રીતે, દરેક સાથે m બિંદુઓના આપેલ સમૂહ માટે, ભૌમિતિક મધ્યકને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, તે n પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં તે બિંદુ છે જ્યાંથી તમામ યુક્લિડિયન અંતરોનો સરવાળો લઘુત્તમ છે. ગુણધર્મો 1-પરિમાણીય કેસ માટે, ભૌમિતિક મધ્યક મધ્યક સાથે મેળ ખાય છે. આનું કારણ એ છે કે અવિભાજ્ય મધ્યક પણ બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો ઘટાડે છે. (વધુ ચોક્કસપણે, જો બિંદુઓ p1,., pn હોય, તો તે ક્રમમાં, જો n વિષમ હોય તો ભૌમિતિક મધ્યક એ મધ્ય બિંદુ છે, પરંતુ જો n સમ હોય તો તે અનન્ય રીતે નિર્ધારિત થતું નથી, જ્યારે તે બે મધ્યમ બિંદુઓ અને વચ્ચેના રેખા ખંડમાં કોઈપણ બિંદુ હોઈ શકે છે.) જ્યારે પણ બિંદુઓ સમરેખીય ન હોય ત્યારે ભૌમિતિક મધ્યક અનન્ય હોય છે. અનુવાદ અને પરિભ્રમણ સહિત યુક્લિડિયન સમાનતા પરિવર્તન માટે ભૌમિતિક મધ્યક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે વ્યક્તિ કાં તો ભૌમિતિક મધ્યમાં પરિવર્તન કરીને, અથવા નમૂનાના ડેટામાં સમાન પરિવર્તન લાગુ કરીને અને રૂપાંતરિત ડેટાના ભૌમિતિક મધ્યમાં શોધ કરીને સમાન પરિણામ મેળવશે. આ ગુણધર્મ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે ભૌમિતિક મધ્યક માત્ર જોડી મુજબના અંતરથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તે ઓર્થોગોનલ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સની પ્રણાલી પર આધારિત નથી જેના દ્વારા નમૂનાની માહિતી રજૂ કરવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, મલ્ટીવેરિયેટ ડેટા સેટ માટે ઘટક મુજબની મધ્યસ્થ સામાન્ય પરિભ્રમણ અપરિવર્તનશીલ નથી, ન તો તે કોઓર્ડિનેટ્સની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે. ભૌમિતિક મધ્યમાં 0.0 નો વિરામ બિંદુ છે. એટલે કે, નમૂનાનો અડધો ભાગ આપખુદ રીતે દૂષિત થઈ શકે છે, અને નમૂનાઓનો મધ્યભાગ હજુ પણ બિન-ભ્રષ્ટ ડેટાના સ્થાન માટે એક મજબૂત અંદાજ આપનાર પ્રદાન કરશે. 3 (બિન-સમરેખીય) બિંદુઓ માટે, જો તે બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણનો કોઈ પણ ખૂણો 120° કે તેથી વધુ હોય, તો ભૌમિતિક મધ્યક એ તે ખૂણાના શિરોબિંદુ પરનું બિંદુ છે. જો બધા ખૂણા 120° કરતા ઓછા હોય, તો ભૌમિતિક મધ્યક એ ત્રિકોણની અંદરનું બિંદુ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓની દરેક ત્રણ જોડી માટે 120°નો ખૂણો આપે છે. આને ત્રણ શિરોબિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના ફર્મેટ બિંદુ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. (જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખીય હોય તો ભૌમિતિક મધ્યક એ અન્ય બે બિંદુઓ વચ્ચેનું બિંદુ છે, જેમ કે એક-પરિમાણીય મધ્યક સાથે થાય છે.) 4 કોપ્લાનર બિંદુઓ માટે, જો ચાર બિંદુઓમાંથી એક અન્ય ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણની અંદર હોય, તો ભૌમિતિક મધ્ય તે બિંદુ છે. નહિંતર, ચાર બિંદુઓ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ બનાવે છે અને ભૌમિતિક મધ્યક એ ચતુર્ભુજના કર્ણોનું પારનું બિંદુ છે. ચાર કોપ્લાનર બિંદુઓની ભૌમિતિક મધ્યક ચાર બિંદુઓના અનન્ય રેડોન બિંદુ જેટલી જ છે. ગણતરી ભૌમિતિક માધ્યમનો ખ્યાલ સમજવામાં સરળ હોવા છતાં, તેની ગણતરી કરવી એક પડકાર છે. કેન્દ્રક અથવા દળનું કેન્દ્ર, જેને ભૌમિતિક મધ્યકની જેમ જ દરેક બિંદુ સુધીના અંતરના વર્ગોનો સરવાળો ઓછો કરવા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે એક સરળ સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે-તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સની સરેરાશ છે-પરંતુ તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે કોઈ સ્પષ્ટ સૂત્ર, કે માત્ર અંકગણિત કામગીરીઓ અને kth મૂળને સમાવતી ચોક્કસ અલ્ગોરિધમ, સામાન્ય રીતે ભૌમિતિક મધ્યક માટે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે નહીં. તેથી, ગણતરીના આ નમૂના હેઠળ આ સમસ્યાના ઉકેલ માટે માત્ર આંકડાકીય અથવા પ્રતીકાત્મક અંદાજો જ શક્ય છે. જો કે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક મધ્યકના અંદાજની ગણતરી કરવી સરળ છે જેમાં દરેક પગલું વધુ સચોટ અંદાજ ઉત્પન્ન કરે છે. આ પ્રકારની પ્રક્રિયાઓ એ હકીકત પરથી મેળવી શકાય છે કે નમૂના બિંદુઓ સાથેના અંતરનો સરવાળો બહિર્મુખ કાર્ય છે, કારણ કે દરેક નમૂના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર બહિર્મુખ છે અને બહિર્મુખ કાર્યોનો સરવાળો બહિર્મુખ રહે છે. તેથી, જે પ્રક્રિયાઓ દરેક પગલા પર અંતરનો સરવાળો ઘટાડે છે તે સ્થાનિક મહત્તમમાં ફસાઈ શકતી નથી. આ પ્રકારનો એક સામાન્ય અભિગમ, જેને એન્ડ્રે વેઇઝફેલ્ડના કાર્ય પછી વેઇઝફેલ્ડનું અલ્ગોરિધમ કહેવાય છે, તે પુનરાવર્તિત રીતે ફરીથી વજનવાળા લઘુત્તમ ચોરસનું એક સ્વરૂપ છે. આ અલ્ગોરિધમ વજનના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે વર્તમાન અંદાજથી નમૂના બિંદુઓ સુધીના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, અને એક નવો અંદાજ બનાવે છે જે આ વજન અનુસાર નમૂનાની ભારિત સરેરાશ છે. એટલે કે, આ પદ્ધતિ લગભગ તમામ પ્રારંભિક સ્થાનો માટે એકરૂપ થાય છે, પરંતુ જ્યારે તેનો એક અંદાજ આપેલ બિંદુઓમાંથી એક પર પડે છે ત્યારે તે એકરૂપ થવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે. આ કિસ્સાઓને સંભાળવા માટે તેમાં ફેરફાર કરી શકાય છે જેથી તે તમામ પ્રારંભિક બિંદુઓ માટે એકરૂપ થાય. આ સમસ્યાના લગભગ શ્રેષ્ઠ ઉકેલો શોધવા માટે વધુ વ્યવહારદક્ષ ભૌમિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરો. લગભગ રેખીય સમયમાં ભૌમિતિક મધ્યકની મનસ્વી ચોકસાઇની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે બતાવો. એ પણ નોંધ લો કે સમસ્યાને સેકન્ડ ઓર્ડર કોન પ્રોગ્રામ તરીકે ઘડી શકાય છે જેને સામાન્ય ઓપ્ટિમાઇઝેશન સોલવર્સનો ઉપયોગ કરીને બહુપદી સમયમાં ઉકેલી શકાય છે. ભૌમિતિક મધ્યકની લાક્ષણિકતા જો y એ આપેલ તમામ બિંદુઓ, xi થી અલગ હોય, તો પછી y એ ભૌમિતિક મધ્યક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સંતુષ્ટ થાયઃ આ સમકક્ષ છેઃ જે વેઇઝફેલ્ડના અલ્ગોરિધમ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. સામાન્ય રીતે, y એ ભૌમિતિક મધ્યક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં એવા વેક્ટર હોય કે જેઃ જ્યાં xi  ઒ત્ત y માટે, અને xi = y માટે, આ સ્થિતિની સમકક્ષ રચના છે તેને મધ્ય ગુણધર્મના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે, એ અર્થમાં કે બિંદુઓનું કોઈપણ વિભાજન, ખાસ કરીને y દ્વારા કોઈપણ હાયપરપ્લેન દ્વારા પ્રેરિત, દરેક બાજુએ y થી હકારાત્મક દિશાઓનો સમાન અને વિરુદ્ધ સરવાળો ધરાવે છે. એક પરિમાણીય કિસ્સામાં, હાયપરપ્લેન એ પોતે બિંદુ y છે, અને દિશાઓનો સરવાળો (નિર્દેશિત) ગણતરી માપને સરળ બનાવે છે. સામાન્યીકરણ ભૌમિતિક મધ્યકને યુક્લિડિયન જગ્યાઓથી લઈને સામાન્ય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ (અને મેટ્રિક જગ્યાઓ પણ) સુધી સમાન વિચારનો ઉપયોગ કરીને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે જેનો ઉપયોગ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર ફ્રેચેટ અર્થને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. ચાલો અનુરૂપ અંતર કાર્ય સાથે રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોઈએ, ચાલો 1 નો સરવાળો વજન હોઈએ, અને તેમાંથી અવલોકનો હોઈએ. પછી આપણે ડેટા બિંદુઓના ભારિત ભૌમિતિક મધ્ય (અથવા ભારિત ફ્રેચેટ મધ્ય) ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. જો બધા વજન સમાન હોય, તો આપણે ફક્ત કહીએ છીએ કે તે ભૌમિતિક મધ્યક છે. મેડૉઇડ ભૌમિતિક મધ્યસ્થ નિરપેક્ષ વિચલન નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. અંગ્રેજીમાં અનુવાદિત અર્થ મલ્ટીવેરિયેટ સ્ટેટિસ્ટિક્સ નોનપેરામેટ્રિક સ્ટેટિસ્ટિક્સ ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન ભૌમિતિક અલ્ગોરિધમ્સ વર્ણનાત્મક આંકડાશાસ્ત્ર