6-demicube
ભૂમિતિમાં, 6-ડેમિક્યુબ અથવા ડેમિહેક્સેરેક્ટ એ એક સમાન 6-બહુપદી છે, જે 6-ક્યુબ (હેક્સેરેક્ટ) થી બનેલું છે, જેમાં વૈકલ્પિક શિરોબિંદુઓ દૂર કરવામાં આવે છે. તે સમાન પોલીટોપ્સના પરિમાણીય રીતે અનંત પરિવારનો એક ભાગ છે જેને ડેમિહાઇપરક્યુબ્સ કહેવાય છે. ઇ. એલ. એલ્ટેએ 1912માં તેને અર્ધરેગ્યુલર પોલીટોપ તરીકે ઓળખાવ્યું હતું, અને તેને 6-પરિમાણીય અર્ધ માપ પોલીટોપ માટે એચ. એમ. 6 તરીકે લેબલ કર્યું હતું. કોક્સેટરએ તેના કોક્સેટર આકૃતિમાંથી આ પોલીટોપનું નામ 131 રાખ્યું છે, જેમાં 1-લંબાઈની શાખાઓમાંથી એક પર વીંટી છે. તેને સમાન રીતે 3-પરિમાણીય ઘાતાંકીય સ્ક્લાફલી પ્રતીક અથવા {3,33,1} દ્વારા નામ આપી શકાય છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ મૂળ પર કેન્દ્રિત અર્ધહેક્સેરેક્ટના શિરોબિંદુઓ માટે હેક્સેરેક્ટના વૈકલ્પિક અર્ધભાગ છેઃ (±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1) વત્તા ચિહ્નોની વિચિત્ર સંખ્યા સાથે. રૂપરેખાંકન તરીકે આ રૂપરેખાંકન મેટ્રિક્સ 6-ડેમિક્યુબને રજૂ કરે છે. પંક્તિઓ અને સ્તંભો શિરોબિંદુઓ, ધાર, ચહેરાઓ, કોષો, 4-ચહેરાઓ અને 5-ચહેરાને અનુરૂપ છે. કર્ણ સંખ્યાઓ જણાવે છે કે સમગ્ર 6-અર્ધકોશીયમાં દરેક તત્વના કેટલા ઘટકો જોવા મળે છે. બિન-કર્ણ સંખ્યાઓ કહે છે કે સ્તંભના કેટલા ઘટકો હરોળના તત્વમાં અથવા તેના પર જોવા મળે છે. વિકર્ણ એફ-વેક્ટર સંખ્યાઓ વાયથોફ રચના દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, જે એક સમયે એક અરીસાને દૂર કરીને પેટાજૂથ ક્રમના સંપૂર્ણ જૂથ ક્રમને વિભાજિત કરે છે. છબીઓ સંબંધિત પોલીટોપ્સ D6 સમપ્રમાણતા સાથે 47 સમાન પોલીટોપ્સ છે, 31 B6 સમપ્રમાણતા દ્વારા વહેંચાયેલા છે, અને 16 અનન્ય છેઃ 6-ડેમિક્યુબ, 131 સમાન પોલીટોપ્સની પરિમાણીય શ્રેણીમાં ત્રીજા ક્રમે છે, જેને કોક્સેટર દ્વારા k31 શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. પાંચમી આકૃતિ યુક્લિડિયન હનીકોમ્બ, 331 છે, અને અંતિમ બિન-કોમ્પેક્ટ હાયપરબોલિક હનીકોમ્બ, 431 છે. દરેક પ્રગતિશીલ એકસમાન પોલીટોપ તેના શિરોબિંદુ આકૃતિ તરીકે અગાઉનાથી બનાવવામાં આવે છે. તે સમાન પોલીટોપ અને હનીકોમ્બ્સની પરિમાણીય શ્રેણીમાં પણ બીજા ક્રમે છે, જેને કોક્સેટર દ્વારા 13k શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવી છે. ચોથી આકૃતિ યુક્લિડિયન હનીકોમ્બ 133 છે અને અંતિમ બિન-કોમ્પેક્ટ હાયપરબોલિક હનીકોમ્બ 134 છે. સ્ક્યુ આઇકોસાહેડ્રોન કોક્સેટર 12 શિરોબિંદુઓના ઉપગણને ઓળખી કાઢે છે જે આઇકોસાહેડ્રોનની સમાન સમપ્રમાણતા સાથે નિયમિત સ્ક્યુ આઇકોસાહેડ્રોન {3,5} બનાવે છે, પરંતુ વિવિધ ખૂણાઓ પર. તેમણે આને નિયમિત સ્ક્યુ આઇકોસાહેડ્રોન નામ આપ્યું. સંદર્ભો એચ. એસ. એમ કોક્સેટરઃ કોક્સેટર, રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, (ત્રીજી આવૃત્તિ, 1973), ડોવર આવૃત્તિ, p.296, કોષ્ટક I (iii): રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, એન-પરિમાણોમાં ત્રણ રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ (n ≤5) H. S. M. કોક્સેટર, રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, ડોવર ન્યૂયોર્ક, 1973, p.296, કોષ્ટક I (iii): રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, એન-પરિમાણોમાં ત્રણ રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ (n ≤ 5) કેલિડોસ્કોપઃ એચ. એસ. એમ. ના પસંદ કરેલા લખાણો. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન દ્વારા સંપાદિત, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, (પેપર 22) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ નિયમિત પોલીટોપ I, [ગણિત. ઝીરો. 46 (1940) 380-407, એમઆર 2,10] (પેપર 23) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ II, [ગણિત. ઝીરો. 188 (1985) 559-591 [પેપર 24] એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ III, [ગણિત. ઝીરો. 200 (1988) 3-45] જ્હોન એચ. કોનવે, હેઇડી બર્ગીલ, ચેઇમ ગુડમેન-સ્ટ્રાસ, ધ સિમેટ્રીઝ ઓફ થિંગ્સ 2008, (પ્રકરણ 26. પીપી. 409: હેમિક્યુબ્સઃ 1n1) બાહ્ય કડીઓ બહુ-પરિમાણીય શબ્દકોષ 6-બહુપદી