Courant algebroid
વિભેદક ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાતા ગણિતના ક્ષેત્રમાં, કોરન્ટ ભૂમિતિ મૂળરૂપે ઝાંગ-જુ લિયુ, એલન વેઇનસ્ટીન અને પિંગ ઝુ દ્વારા 1997 માં લાઈ બાયલેજબ્રોઇડ્સના ડબલ્સની તપાસમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી. લિયુ, વીનસ્ટીન અને ઝુએ તેનું નામ કુરાન્ટના નામ પરથી રાખ્યું હતું, જેમણે 1990ની શરૂઆતમાં કુરાન્ટ આલ્જેબ્રોઇડનો પ્રમાણભૂત પ્રોટોટાઇપ તૈયાર કર્યો હતો, જેના પર આજે કુરાન્ટ કૌંસ તરીકે ઓળખાતા સ્ક્યુ સિમેટ્રિક કૌંસની શોધ થઈ હતી, જે જેકોબી ઓળખને સંતોષવામાં નિષ્ફળ જાય છે. આ પ્રમાણભૂત ઉદાહરણ અને લાઈ બાયાલજેબ્રાનું બેવડું બંને કોરન્ટ આલ્જેબ્રોઇડ્સના વિશેષ ઉદાહરણો છે. વ્યાખ્યા એક કોરન્ટ આલ્જેબ્રૉઇડમાં કૌંસ સાથે વેક્ટર બંડલની માહિતી, અધોગતિ વિનાનું ફાઇબર મુજબનું આંતરિક ઉત્પાદન અને નીચેના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને આધિન બંડલ નકશાનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં E અને f ના વિભાગો બેઝ મેનીફોલ્ડ પર એક સરળ કાર્ય છે. M. D એ d ડી રામ વિભેદક સાથે સંયોજન છે, અને આંતરિક ઉત્પાદન દ્વારા પ્રેરિત કરવા માટે E થી નકશો κ છે. સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક વ્યાખ્યા કૌંસને સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક બનાવવા માટે વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા આપી શકાય છે કારણ કે આ હવે ઉપરના જેકોબી-ઓળખ સ્વયંસિદ્ધતાને સંતોષે નહીં. તેના બદલે તે હોમોટોપિક જેકોબી-ઓળખને પૂર્ણ કરે છે. જ્યાં T એ લીબનીઝ નિયમ છે અને સ્કેલર પ્રોડક્ટની ઇનવેરિયન્સ સંબંધ દ્વારા સંશોધિત થાય છે અને સ્ક્યુ-સિમેટ્રીના ઉલ્લંઘનને સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા બદલવામાં આવે છે સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક કૌંસ વ્યુત્પત્તિ D અને જેકોબીએટર T સાથે મળીને મજબૂત હોમોટોપિક લાઈ બીજગણિત બનાવે છે. ગુણધર્મો કૌંસ ત્રાંસા-સમમિતીય નથી જે ત્રીજા સ્વયંસિદ્ધ પરથી જોઈ શકાય છે. તેના બદલે તે ચોક્કસ જેકોબી-ઓળખ (પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ) અને લીબનીઝ નિયમ (બીજો સ્વયંસિદ્ધ) ને પૂર્ણ કરે છે. આ બે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી કોઈ પણ વ્યક્તિ તારવી શકે છે કે એન્કર નકશો ρ એ કૌંસોનું મોર્ફિઝમ છેઃ ચોથો નિયમ કૌંસની નીચે આંતરિક ઉત્પાદનનું ઇનવેરિયન્સ છે. ધ્રુવીકરણ ઉદાહરણો તરફ દોરી જાય છે કોરન્ટ આલ્જેબ્રૉઈડનું ઉદાહરણ ડોર્ફમેન કૌંસ છે, જે સીધા સરવાળા પર છે, જેમાં ટ્વિસ્ટ છે, જે સિવેરા (1998) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છેઃ જ્યાં X, Y વેક્ટર ક્ષેત્રો છે, φ, η એ 1-સ્વરૂપો છે અને H એ કૌંસને વળાંક આપતું બંધ 3-સ્વરૂપ છે. આ કૌંસનો ઉપયોગ સામાન્યીકૃત જટિલ માળખાઓની સંકલનક્ષમતાને વર્ણવવા માટે થાય છે. વધુ સામાન્ય ઉદાહરણ લાઈ આલ્જેબ્રૉઇડ A પરથી ઉદ્ભવે છે, જેના પર પ્રેરિત વિભેદક ફરીથી d તરીકે લખવામાં આવશે. પછી ડોર્ફમેન કૌંસ માટે સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરો જેમાં H અને A-3-સ્વરૂપ d હેઠળ બંધ હોય. કોરન્ટ આલ્જેબ્રોઇડનું બીજું ઉદાહરણ એ દ્વિઘાત લાઈ બીજગણિત છે, એટલે કે. અપરિવર્તનશીલ સ્કેલર પ્રોડક્ટ સાથે લાઇ બીજગણિત. અહીં આધાર મેનીફોલ્ડ માત્ર એક બિંદુ છે અને આમ એન્કર નકશો (અને D) તુચ્છ છે. વીનસ્ટીન એટ અલ દ્વારા પેપરમાં વર્ણવેલ ઉદાહરણ. તે લાઈ બાયાલ્જેબ્રૉઇડમાંથી આવે છે, એટલે કે. એ એ લાઈ અલ્જેબ્રૉઇડ (એન્કર અને કૌંસ સાથે), તેની ડ્યુઅલ એ લાઈ અલ્જેબ્રૉઇડ (વિભેદક ચાલુ કરે છે) અને (જ્યાં આર. એચ. એસ. પર તમે એ-કૌંસને ગ્રેડેડ લીબનીઝ નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરો છો). આ કલ્પના A અને (રોયટેનબર્ગ જુઓ) માં સમપ્રમાણ છે. અહીં એન્કર અને કૌંસ સાથે X અને α માં ઉપરોક્તનું વક્ર-સમપ્રમાણન છે (Y અને β માં સમકક્ષ): ડીરાક માળખાં સ્પ્લિટ સિગ્નેચરના આંતરિક ઉત્પાદન સાથે કોરન્ટ આલ્જેબ્રોઇડ આપવામાં આવે છે (દા. ત. પ્રમાણભૂત એક), પછી ડીરાક માળખું એ મહત્તમ આઇસોટ્રોપિક ઇન્ટિગ્રેબલ વેક્ટર સબબંડલ L → M છે, એટલે કે. ,,. ઉદાહરણો કોરન્ટ દ્વારા શોધાયેલ અને ડોર્ફમેન દ્વારા સમાંતર, 2-સ્વરૂપ ω ω ω2 (M) નો આલેખ મહત્તમ રીતે આઇસોટ્રોપિક છે અને વધુમાં સંકલનક્ષમ iff dω = 0 છે, એટલે કે. 2-સ્વરૂપ ડી રામ વિભેદક હેઠળ બંધ છે, એટલે કે. પ્રીસિમ્પ્લેક્ટિક માળખું. ઉદાહરણોનો બીજો વર્ગ દ્વિભાજકમાંથી ઉદભવે છે, જેમનો આલેખ મહત્તમ રીતે સમસ્થાનિક અને સંકલનક્ષમ iff [Π, Π] = 0 એટલે કે 0 છે. Π એ એમ. સામાન્યીકૃત જટિલ માળખાઓ પર પોઈસન બાયવેક્ટર છે (મુખ્ય લેખ સામાન્યીકૃત જટિલ ભૂમિતિ પણ જુઓ) વિભાજીત હસ્તાક્ષરના આંતરિક ઉત્પાદન સાથે કોરન્ટ આલ્જેબ્રૉઇડ આપવામાં આવ્યું છે. એક સામાન્યીકૃત જટિલ માળખું L → M એ જટિલ કોરન્ટ આલ્જેબ્રૉઇડમાં એક ડીરાક માળખું છે જેમાં વધારાના ગુણધર્મો છે જ્યાં જટિલતા પર પ્રમાણભૂત જટિલ માળખાના સંદર્ભમાં જટિલ જોડાણ થાય છે. ગ્વાલ્ટેરી દ્વારા વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે તેમ સામાન્યીકૃત જટિલ રચનાઓ જટિલ ભૂમિતિને અનુરૂપ ભૂમિતિના અભ્યાસને મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણો પ્રીસિમ્પ્લેક્ટિક અને પોઈસન માળખાઓની બાજુમાં જટિલ માળખા J: TM → TM નો આલેખ પણ છે. વધુ વાંચન સંદર્ભો દિમિત્રી રોયટેનબર્ગઃ કોરન્ટ આલ્જેબ્રોઇડ્સ, વ્યુત્પન્ન કૌંસ, અને સિમ્પ્લેક્ટિક સુપરમેનિફોલ્ડ્સ, પીએચડી થીસીસ યુનિવર્સિટી. કેલિફોર્નિયા બર્કલે (1999) વિભેદક ભૂમિતિ