Eventually (mathematics)
સંખ્યા સિદ્ધાંત અને વિશ્લેષણના ગાણિતિક ક્ષેત્રોમાં, અનંત ક્રમ અથવા કાર્યને આખરે ચોક્કસ ગુણધર્મ હોવાનું કહેવાય છે, જો તેની પાસે તેના તમામ ક્રમબદ્ધ ઉદાહરણોમાં ઉપરોક્ત ગુણધર્મ ન હોય, પરંતુ કેટલાક ઉદાહરણો પસાર થયા પછી હશે. "આખરે" શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર "પૂરતી મોટી સંખ્યાઓ માટે" તરીકે કરી શકાય છે, અને તે ગુણધર્મોના વર્ગ સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે જે કોઈપણ ક્રમબદ્ધ સમૂહના ઘટકોને લાગુ પડે છે (જેમ કે ક્રમ અને ઉપગણ). નોટેશન સામાન્ય સ્વરૂપ જ્યાં શબ્દસમૂહ આખરે (અથવા પૂરતા પ્રમાણમાં મોટો) જોવા મળે છે તે નીચે પ્રમાણે દેખાય છેઃ આખરે (પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે સાચું છે) માટે સાચું છે, જ્યાં અને સાર્વત્રિક અને અસ્તિત્વના પરિમાણો છે, જે વાસ્તવમાં ટૂંકાક્ષર છેઃ જેમ કે સાચું છે અથવા કંઈક વધુ ઔપચારિક રીતેઃ આનો અર્થ એ નથી કે કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય માટે જાણીતું છે, પરંતુ માત્ર તે જ અસ્તિત્વમાં છે. "પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા" શબ્દસમૂહને "આપખુદ રીતે મોટા" અથવા "અનંત રીતે મોટા" શબ્દસમૂહો સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ. વધુ માટે, આર્બિટ્રેરીલી large#Arbitrarily લાર્જ વિ. પૂરતું મોટું વિ. અનંત મોટું જુઓ. પ્રેરણા અને વ્યાખ્યા અનંત ક્રમ માટે, વ્યક્તિ ઘણીવાર તેની શરૂઆતની વર્તણૂકો કરતાં તેની લાંબા ગાળાની વર્તણૂકોમાં વધુ રસ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, આ ખ્યાલને ઔપચારિક રીતે પકડવાની એક રીત એ છે કે ક્રમ આખરે ચોક્કસ મિલકત ધરાવે છે, અથવા સમકક્ષ રીતે, કે મિલકત તેના અનુગામીઓમાંથી એક દ્વારા સંતુષ્ટ છે, કેટલાક માટે. ઉદાહરણ તરીકે, અમુક મર્યાદામાં રૂપાંતરિત થતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમની વ્યાખ્યા છેઃ દરેક ધન સંખ્યા માટે, એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એવી હોય છે કે જે બધા માટે હોય. જ્યારે "આખરે" શબ્દનો ઉપયોગ "એક કુદરતી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે બધા માટે" માટે લઘુલિપિ તરીકે થાય છે, ત્યારે અભિસરણની વ્યાખ્યાને વધુ સરળ રીતે પુનરાવર્તિત કરી શકાય છેઃ દરેક હકારાત્મક સંખ્યા માટે, આખરે. અહીં, નોંધ લો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જે આ ગુણધર્મને સંતોષતો નથી તે એક મર્યાદિત સમૂહ છે; એટલે કે, સમૂહ ખાલી છે અથવા તેમાં મહત્તમ તત્વ છે. પરિણામે, આ કિસ્સામાં "આખરે" નો ઉપયોગ "બધા માટે પરંતુ મર્યાદિત સંખ્યામાં શબ્દો" અભિવ્યક્તિનો પર્યાય છે-"લગભગ તમામ શબ્દો માટે" અભિવ્યક્તિનો એક વિશેષ કેસ (જોકે "લગભગ બધા" નો ઉપયોગ અનંત ઘણા અપવાદોને મંજૂરી આપવા માટે પણ થઈ શકે છે). મૂળભૂત સ્તરે, ક્રમને તેના ક્ષેત્ર તરીકે કુદરતી સંખ્યાઓ સાથેના વિધેય તરીકે વિચારી શકાય છે, અને "આખરે" ની કલ્પના વધુ સામાન્ય સમૂહો પરના વિધેયોને પણ લાગુ પડે છે-ખાસ કરીને એવા વિધેયો માટે કે જેમની પાસે કોઈ મહાન તત્વ સાથે ક્રમ નથી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, જો એવો સમૂહ હોય અને તેમાં એવું કોઈ તત્વ હોય કે જે તેના કરતા મોટા તમામ ઘટકો માટે કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો પછી આખરે કેટલીક મિલકત હોવાનું કહેવાય છે જો ત્યાં કોઈ તત્વ હોય કે જ્યારે પણ, તેમાં કહેવાતા ગુણધર્મ હોય. આ કલ્પનાનો ઉપયોગ, ઉદાહરણ તરીકે, હાર્ડી ક્ષેત્રોના અભ્યાસમાં થાય છે, જે વાસ્તવિક કાર્યોથી બનેલા ક્ષેત્રો છે, જેમાંના દરેકમાં આખરે ચોક્કસ ગુણધર્મો હોય છે. ઉદાહરણો "2 કરતા મોટા બધા અવિભાજ્ય વિષમ છે" ને "આખરે, બધા અવિભાજ્ય વિષમ છે" તરીકે લખી શકાય છે. આખરે, બધા અવિભાજ્ય ±1 મોડ્યુલો 6 સાથે એકરૂપ છે. અવિભાજ્યનો વર્ગ આખરે 1 મોડ 24 સાથે એકરૂપ હોય છે (ખાસ કરીને, આ 3 કરતા મોટા બધા અવિભાજ્ય માટે સાચું છે). કુદરતી સંખ્યાનું ભાજ્ય આખરે અંક 0 માં સમાપ્ત થાય છે (ખાસ કરીને, આ 4 કરતા મોટી તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે સાચું છે). અસરો જ્યારે કોઈ ક્રમ અથવા કાર્યમાં આખરે ગુણધર્મ હોય છે, ત્યારે તે ક્રમના સંબંધમાં કંઈક સાબિત કરવાના સંદર્ભમાં ઉપયોગી અસરો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમુક કાર્યોના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનના સંદર્ભમાં, તે જાણવું ઉપયોગી થઈ શકે છે કે શું તે આખરે ગણતરીત્મક રીતે અવલોકન કરતાં અલગ રીતે વર્તે છે કે નહીં, કારણ કે અન્યથા આની નોંધ લઈ શકાતી નથી. "આખરે" શબ્દને વધુ સંક્ષિપ્ત બનાવવા માટે ઘણી ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓમાં પણ સામેલ કરી શકાય છે. આમાં અમુક પ્રકારની મર્યાદાઓની વ્યાખ્યાઓ (ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ) અને એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકનું વર્ણન કરવા માટે બિગ ઓ નોટેશનનો સમાવેશ થાય છે. ગણિતમાં અન્ય ઉપયોગો એ 3-મેનીફોલ્ડને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટું કહેવામાં આવે છે જો તેમાં યોગ્ય રીતે જડિત 2-બાજુવાળા અસંકુચિત સપાટી હોય. આ ગુણધર્મ 3-મેનીફોલ્ડને હેકેન મેનીફોલ્ડ કહેવાની મુખ્ય જરૂરિયાત છે. ટેમ્પોરલ લોજિક એક ઓપરેટર રજૂ કરે છે જેનો ઉપયોગ અર્થઘટન કરી શકાય તેવા નિવેદનોને વ્યક્ત કરવા માટે થઈ શકે છેઃ અમુક ગુણધર્મો આખરે ભવિષ્યની ક્ષણે પકડી રાખશે. લગભગ તમામ મોટા ઓ સંકેતો ગાણિતિક જાર્ગન નંબર થિયરી સંદર્ભો સંખ્યા સિદ્ધાંત ગાણિતિક પરિભાષા 3-મેનિફોલ્ડ્સ પણ જુઓ.