Spin representation
ગણિતમાં, સ્પિન રજૂઆતો એ મનસ્વી પરિમાણ અને સહી (એટલે કે, અનિશ્ચિત ઓર્થોગોનલ જૂથો સહિત) માં ઓર્થોગોનલ અથવા વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથોની ચોક્કસ પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆતો છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, તે સ્પિન જૂથોની બે સમકક્ષ રજૂઆતો છે, જે વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથોના બેવડા આવરણ છે. તેઓ સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ પર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેમને અન્ય ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સ્પિન પ્રતિનિધિત્વના તત્વોને સ્પિનર્સ કહેવામાં આવે છે. તેઓ ઇલેક્ટ્રોન જેવા ફર્મિઓનના ભૌતિક વર્ણનમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સ્પિન રજૂઆતો ઘણી રીતે બાંધવામાં આવી શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે બાંધકામમાં જૂથના વેક્ટર પ્રતિનિધિત્વમાં મહત્તમ આઇસોટ્રોપિક સબસ્પેસની પસંદગી (કદાચ માત્ર પરોક્ષ રીતે) શામેલ હોય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર, આ માટે સામાન્ય રીતે વેક્ટર પ્રતિનિધિત્વની જટિલતાનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. આ કારણોસર, પહેલા જટિલ સંખ્યાઓ પર સ્પિન રજૂઆતોને વ્યાખ્યાયિત કરવી અને વાસ્તવિક રચનાઓ રજૂ કરીને વાસ્તવિક રજૂઆતો મેળવવી અનુકૂળ છે. સ્પિન રજૂઆતોના ગુણધર્મો, સૂક્ષ્મ રીતે, ઓર્થોગોનલ જૂથના પરિમાણ અને સહી પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને, સ્પિન રજૂઆતો ઘણીવાર અપરિવર્તનશીલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપોને સ્વીકારે છે, જેનો ઉપયોગ સ્પિન જૂથોને શાસ્ત્રીય લાઈ જૂથોમાં એમ્બેડ કરવા માટે થઈ શકે છે. નીચા પરિમાણોમાં, આ એમ્બેડિંગ સર્જેક્ટિવ હોય છે અને સ્પિન જૂથો અને વધુ પરિચિત લાઈ જૂથો વચ્ચે વિશેષ સમરૂપતા નક્કી કરે છે; આ આ પરિમાણોમાં સ્પિનર્સના ગુણધર્મોને સ્પષ્ટ કરે છે. સેટ-અપ ચાલો બિન-આનુવંશિક દ્વિઘાત સ્વરૂપ સાથે મર્યાદિત-પરિમાણીય વાસ્તવિક અથવા જટિલ વેક્ટર જગ્યા હોઈએ. સચવાયેલા (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) રેખીય નકશાઓ ઓર્થોગોનલ જૂથ બનાવે છે. જૂથના ઓળખ ઘટકને વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ કહેવામાં આવે છે. (અનિશ્ચિત વર્ગાત્મક સ્વરૂપ સાથે વાસ્તવિક માટે, આ પરિભાષા પ્રમાણભૂત નથીઃ ખાસ ઓર્થોગોનલ જૂથને સામાન્ય રીતે આ કિસ્સામાં બે ઘટકો સાથે પેટા જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.) જૂથ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી, એક અનન્ય જોડાયેલ ડબલ કવર, સ્પિન જૂથ ધરાવે છે. આમ એક જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ છે જેના કર્નલમાં બે ઘટકો સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં ઓળખ તત્વ છે. આમ, હોમોમોર્ફિઝમ પછી જૂથ તત્વો અને ના સમકક્ષ છે; એટલે કે, કોઈપણ માટે. જૂથો અને બધા લાઈ જૂથો છે, અને નિશ્ચિત માટે તેમની પાસે સમાન લાઈ બીજગણિત છે. જો તે વાસ્તવિક હોય, તો તે તેના જટિલતાનું વાસ્તવિક વેક્ટર સબસ્પેસ છે, અને વર્ગાત્મક સ્વરૂપ કુદરતી રીતે તેના પર વર્ગાત્મક સ્વરૂપ સુધી વિસ્તરે છે. આ એક પેટાજૂથ તરીકે સમાવિષ્ટ છે, અને તેથી આપણે તેના પેટાજૂથ તરીકે અનુભવી શકીએ છીએ. વધુમાં, તેનું જટિલતા છે. જટિલ કિસ્સામાં, સમરૂપતા સુધી દ્વિઘાત સ્વરૂપો અનન્ય રીતે તેના પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચોક્કસપણે, આપણે ધારી શકીએ છીએ અને અનુરૂપ લાઈ જૂથો સૂચવવામાં આવે છે અને તેમના લાઈ બીજગણિત તરીકે. વાસ્તવિક કિસ્સામાં, દ્વિઘાત સ્વરૂપો બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોની જોડી દ્વારા સમરૂપતા સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે જ્યાં તેનું પરિમાણ છે, અને તે હસ્તાક્ષર છે. ચોક્કસપણે, આપણે ધારી શકીએ છીએ અને અનુરૂપ લાઈ જૂથો અને લાઈ બીજગણિત સૂચવવામાં આવે છે અને. અમે સહીને સ્પષ્ટ કરવાની જગ્યાએ લખીએ છીએ. સ્પિન રજૂઆતો, એક અર્થમાં, સૌથી સરળ રજૂઆતો છે અને જે અને ની રજૂઆતોમાંથી આવતી નથી. સ્પિન પ્રતિનિધિત્વ, તેથી, એક વાસ્તવિક અથવા જટિલ વેક્ટર જગ્યા છે જે સામાન્ય રેખીય જૂથમાંથી અથવા તેના જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ સાથે મળીને છે, જેમ કે તત્વ તેના કર્નલમાં નથી. જો આવી રજૂઆત હોય, તો લાઈ જૂથો અને લાઈ આલ્જેબ્રા વચ્ચેના સંબંધ અનુસાર, તે લાઈ બીજગણિત રજૂઆતને પ્રેરિત કરે છે, એટલે કે, કોમ્યુટેટર કૌંસ સાથેના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સના લાઈ બીજગણિતમાંથી અથવા તેમાંથી લાઈ બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ. સ્પિન રજૂઆતનું વિશ્લેષણ નીચેની વ્યૂહરચના અનુસાર કરી શકાય છેઃ જો સ્પિનની વાસ્તવિક રજૂઆત હોય, તો તેની જટિલતા એ સ્પિનની જટિલ રજૂઆત છે; પ્રતિનિધિત્વ તરીકે, તે તેથી સ્પિનની જટિલ રજૂઆત સુધી વિસ્તરે છે. ઊલટું આગળ વધીને, તેથી આપણે પહેલા જટિલ સ્પિન રજૂઆતો બનાવીએ છીએ અને પછી તેમને જટિલ સ્પિન રજૂઆતો સુધી મર્યાદિત રાખીએ છીએ અને પછી અંતે વાસ્તવિક સ્પિન રજૂઆતોમાં સંભવિત ઘટાડાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. જટિલ સ્પિન રજૂઆતો પ્રમાણભૂત દ્વિઘાત સ્વરૂપ સાથે દો જેથી ધ્રુવીકરણ દ્વારા સંકળાયેલ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સૂચવવામાં આવે. આઇસોટ્રોપિક પેટા જગ્યાઓ અને મૂળ પ્રણાલીઓ સ્પિન રજૂઆતોની પ્રમાણભૂત રચના સાથે મહત્તમ સંપૂર્ણપણે આઇસોટ્રોપિક પેટા જગ્યાઓ (સંદર્ભમાં) ની જોડીની પસંદગી સાથે શરૂ થાય છે. ચાલો આપણે આવી પસંદગી કરીએ. જો અથવા, તો પછી અને બંનેમાં પરિમાણ હોય છે. જો, તો પછી, જ્યારે જો, તો પછી, 1-પરિમાણીય ઓર્થોગોનલ પૂરક ક્યાં છે. અને વચ્ચેની જોડીને પ્રેરિત કરવા સાથે સંકળાયેલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ, જે બિન-જનરેટેડ હોવું જોઈએ, કારણ કે અને સંપૂર્ણપણે આઇસોટ્રોપિક પેટા-જગ્યાઓ છે અને બિન-જનરેટેડ છે. તેથી અને બેવડી વેક્ટર જગ્યાઓ છે. વધુ ચોક્કસપણે, ચાલો એક આધાર બનીએ. પછી તેનો એક અનોખો આધાર છે કે જો એક મેટ્રિક્સ છે, તો પછી આ આધારના સંદર્ભમાં એન્ડોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે અને ટ્રાન્સપોઝ અંદર અને અંદર બધા માટે સાથે પરિવર્તનને પ્રેરિત કરે છે. તે અનુસરે છે કે એન્ડોમોર્ફિઝમ, બરાબર ચાલુ, ચાલુ અને શૂન્ય ચાલુ (જો વિચિત્ર હોય તો), બધા માટે વક્ર છે, અને તેથી (શાસ્ત્રીય જૂથ જુઓ) નું એક તત્વ છે. આ રચનામાં કર્ણ મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરીને કાર્ટન ઉપ-બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ નો ક્રમ છે, અને કર્ણ મેટ્રિસીસ-પરિમાણીય અબેલિયન ઉપ-બીજગણિત નક્કી કરે છે. ધારો કે તેનો આધાર એવો હોય કે, વિકર્ણ મેટ્રિક્સ માટે તેનો th વિકર્ણ પ્રવેશ હોય. સ્પષ્ટ રીતે આ એક આધાર છે. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સ્પષ્ટપણે તેની સાથે ઓળખાય છે, તેથી હવે તેની સાથે સંકળાયેલ મૂળ પ્રણાલીનું નિર્માણ કરવું સરળ છે. મૂળ જગ્યાઓ (ની ક્રિયા માટે એક સાથે આઇગન જગ્યાઓ) નીચેના ઘટકો દ્વારા ફેલાયેલી હોય છેઃ મૂળ સાથે (એક સાથે આઇગન વેલ્યુ) (જે મૂળ સાથે મૂળ સાથે હોય તો અને, જો વિચિત્ર હોય તો, અને એક બિન-શૂન્ય તત્વ છે, મૂળ સાથે મૂળ સાથે આમ, આધારના સંદર્ભમાં, મૂળ એ વેક્ટર છે જેમાં જો વિચિત્ર હોય તો ક્રમચયો સાથે મળીને ક્રમચયો છે. હકારાત્મક મૂળની પ્રણાલી અને (વિષમ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનુરૂપ સરળ મૂળ છે હકારાત્મક મૂળ એ સરળ મૂળના બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક રેખીય સંયોજનો છે. સ્પિન રજૂઆતો અને તેમના વજન સ્પિન રજૂઆતોની એક રચના બાહ્ય બીજગણિત (ઓ) નો ઉપયોગ કરે છે અને/અથવા ક્રિયામાં કોઈપણ તત્વ માટે અને કોઈપણ માટે ક્રિયા આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં બીજી મુદત સંકોચન (આંતરિક ગુણાકાર) છે જે દ્વિરેખીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે જોડી અને. આ ક્રિયા ક્લિફોર્ડ સંબંધોને માન આપે છે, અને તેથી ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાંથી હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે. સમાન ક્રિયાને તેના પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેથી બંને ક્લિફોર્ડ મોડ્યુલો છે. લાઈ બીજગણિત આવરણ દ્વારા પ્રેરિત મેપિંગ દ્વારા જટિલ લાઈ બીજગણિત માટે આઇસોમોર્ફિક છે. તેઓ વાસ્તવમાં સમકક્ષ રજૂઆતો છે, તેથી આપણે એસ. પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ. સ્પષ્ટ વર્ણન દર્શાવે છે કે કાર્ટન ઉપ-બીજગણિતના ઘટકો એ માટે અને માટે સ્વરૂપના ઘટકો દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સ્પષ્ટ રીતે નીચેની ક્રિયા માટે વજનની જગ્યાઓ વિસ્તરે છેઃ જો કેટલાક માટે આપેલ આધાર વેક્ટર પર આઈગન વેલ્યુ −1/2 હોય, અને અન્યથા આઈગન વેલ્યુ હોય. તે અનુસરે છે કે વજનના તમામ સંભવિત સંયોજનો છે અને દરેક વજનની જગ્યા એક-પરિમાણીય છે. ના તત્વોને ડીરાક સ્પિનર્સ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે સમ હોય, ત્યારે તે ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત નથીઃ અને તે અપરિવર્તનશીલ પેટા જગ્યાઓ છે. વજન બાદબાકી ચિહ્નોની સમ સંખ્યા ધરાવતા અને બાદબાકી ચિહ્નોની વિષમ સંખ્યા ધરાવતા લોકોમાં વિભાજિત થાય છે. S + અને S-બંને પરિમાણ 2m−1 ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છે, જેના તત્વોને વેલ સ્પિનર્સ કહેવામાં આવે છે. તેઓ કાયરલ સ્પિન રજૂઆતો અથવા અર્ધ-સ્પિન રજૂઆતો તરીકે પણ ઓળખાય છે. ઉપરની હકારાત્મક મૂળ પ્રણાલીના સંદર્ભમાં, S + અને S-નું સૌથી વધુ વજન અનુક્રમે અને છે. ક્લિફોર્ડ ક્રિયા સી. એલ. એન. સી. ને એન્ડ (એસ) સાથે ઓળખે છે અને ઇવન સબઅલ્જેબ્રાને એસ + અને એસ-ને જાળવી રાખતા એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ સાથે ઓળખવામાં આવે છે. અન્ય ક્લિફોર્ડ મોડ્યુલ S′ આ કિસ્સામાં S માટે આઇસોમોર્ફિક છે. જ્યારે n વિષમ હોય, ત્યારે S એ પરિમાણ 2m ના તેથી (n, C) ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છેઃ એકમ વેક્ટર u ω U ની ક્લિફોર્ડ ક્રિયા દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેથી (n, C) ના ઘટકો જે સ્વરૂપમાં છે તે W ના બાહ્ય બીજગણિતના સમ અને વિષમ ભાગોને જાળવી રાખતા નથી. S નું સૌથી વધુ વજન ક્લિફોર્ડ ક્રિયા S પર વફાદાર નથીઃ ClnC ને અંત (S) ω અંત (S′) સાથે ઓળખી શકાય છે, જ્યાં u S′ પર વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે કાર્ય કરે છે. વધુ ચોક્કસપણે, બે રજૂઆતો સી. એલ. એન. સી. ના પેરિટી ઇન્વોલ્યુશન α દ્વારા સંબંધિત છે (જેને મુખ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે), જે સમ ઉપ-બીજગણિત પરની ઓળખ છે, અને સી. એલ. એન. સી. ના વિચિત્ર ભાગ પરની ઓળખને બાદ કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, S થી S′ સુધી એક રેખીય સમરૂપતા છે, જે S′ પર α (A) ની ક્રિયા સાથે S પર ClnC માં A ની ક્રિયાને ઓળખે છે. જો λ એ S નું વજન હોય, તો તે −λ બને છે. તે અનુસરે છે કે S એ બેવડી રજૂઆત માટે આઇસોમોર્ફિક છે. જ્યારે n = 2m + 1 વિચિત્ર હોય, ત્યારે આઇસોમોર્ફિઝમ B: S → S ≤ એ શૂર્સના લેમ્મા દ્વારા માપવા માટે અનન્ય છે, કારણ કે S ઇરેડ્યુસિબલ છે, અને તે S પર નોનડિજનરેટ ઇનવેરિયન્ટ બાયલિનિયર ફોર્મ β ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. હકીકતમાં, વધુ સાચું છેઃ S ≤ એ વિરુદ્ધ ક્લિફોર્ડ બીજગણિતની રજૂઆત છે, અને તેથી, કારણ કે સી. એલ. એન. સી. માં માત્ર બે બિન-તુચ્છ સરળ મોડ્યુલો S અને S′ છે, જે પેરિટી ઇન્વોલ્યુશન α દ્વારા સંબંધિત છે, ત્યાં સી. એલ. એન. સી. નું એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ τ છે જેમ કે સી. એલ. એન. સી. માં કોઈપણ A માટે. હકીકતમાં τ એ m સમ માટે પ્રત્યાવર્તન (V પરની ઓળખ દ્વારા પ્રેરિત એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ) છે, અને m વિષમ માટે સંયુગ્મન (V પરની ઓળખને બાદ કરીને પ્રેરિત એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ) છે. આ બે એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સ પેરિટી ઇન્વોલ્યુશન α દ્વારા સંબંધિત છે, જે V પરની ઓળખ બાદબાકી દ્વારા પ્રેરિત ઓટોમોર્ફિઝમ છે. જ્યારે n = 2m હોય, ત્યારે પરિસ્થિતિ m ની સમાનતા પર વધુ સંવેદનશીલ રીતે આધાર રાખે છે. m સમ માટે, વજન λ પાસે ઓછા ચિહ્નોની સમ સંખ્યા હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો −λ કરે; તે અનુસરે છે કે દરેક અર્ધ-સ્પિન રજૂઆતના અલગ આઇસોમોર્ફિઝમ્સ B ±: S ± → S ± ≤ તેના બેવડા સાથે હોય છે, દરેક અનન્ય રીતે સ્કેલ સુધી નક્કી થાય છે. આને સમરૂપતા B: S → S ≤ માં જોડી શકાય છે. m વિષમ માટે, λ એ S + નું વજન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો −λ એ S − નું વજન હોય; આમ S + થી S − િ઱ સુધી એક સમરૂપતા છે, જે ફરીથી સ્કેલ સુધી અનન્ય છે, અને તેનું ટ્રાન્સપોઝ S − થી S + િ઱ સુધી સમરૂપતા પ્રદાન કરે છે. આને ફરીથી સમરૂપતા B: S → S ≤ માં જોડી શકાય છે. એમ ઇવન અને એમ ઓડ બંને માટે, B ની પસંદગીમાં સ્વતંત્રતા એ આગ્રહ કરીને એકંદર સ્કેલ સુધી મર્યાદિત કરી શકાય છે કે B ને અનુરૂપ દ્વિપાર્શ્વ સ્વરૂપ β સંતોષે છે (1), જ્યાં τ એક નિશ્ચિત એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ છે (કાં તો રિવર્સન અથવા કોન્જ્યુગેશન). સમપ્રમાણતા અને ટેન્સર સ્ક્વેર β: S′S → C ના સમપ્રમાણતા ગુણધર્મો ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રા અથવા પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. હકીકતમાં ઘણું બધું કહી શકાયઃ ટેન્સર સ્ક્વેર S′S એ વિવિધ k માટે V પર k-સ્વરૂપોના સીધા સરવાળામાં વિઘટિત થવું આવશ્યક છે, કારણ કે તેનું વજન એ બધા ઘટકો છે જે h ≤ માં છે, જેના ઘટકો {− 1,0,1} ના છે. હવે સમતુલ્ય રેખીય નકશા એસ. એસ. સી. સી. એસ. સી. સી. અને બિન-શૂન્ય એવા નકશાને ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાં કે. વી. ના સમાવેશ દ્વારા બનાવી શકાય છે. વધુમાં, જો β (φ, si) = εβ (si, φ) અને τ નું ચિહ્ન kV પર εk હોય તો પછી kV માં A માટે. જો n = 2m + 1 વિષમ હોય તો તે શુરના લેમ્માને અનુસરે છે કે (બંને બાજુઓનું પરિમાણ 22m છે અને જમણી બાજુની રજૂઆતો અસમાન છે). કારણ કે સમપ્રમાણતા એક ઇન્વોલ્યુશન τ દ્વારા સંચાલિત થાય છે જે કાં તો જોડાણ અથવા ઉલટું હોય છે, તેથી 2jV ઘટકની સમપ્રમાણતા j સાથે વૈકલ્પિક થાય છે. પ્રાથમિક સંયોજન આપે છે અને સંકેત નક્કી કરે છે કે કઈ રજૂઆતો S2S માં થાય છે અને કઈ ¥2S માં થાય છે. ખાસ કરીને અને v ωV માટે (જે ω2mV માટે આઇસોમોર્ફિક છે), પુષ્ટિ કરે છે કે τ એ m સમ માટે ઉલટું છે, અને m વિષમ માટે જોડાણ છે. જો n = 2m સમ હોય, તો વિશ્લેષણ વધુ સંકળાયેલું હોય છે, પરંતુ પરિણામ વધુ શુદ્ધ વિઘટન છેઃ S2S ±, ±2S ± અને S + ±S-દરેકને k-સ્વરૂપોના સીધા સરવાળા તરીકે વિઘટિત કરી શકાય છે (જ્યાં k = m માટે સ્વ-દ્વૈત અને સ્વ-દ્વૈત વિરોધી m-સ્વરૂપોમાં વધુ વિઘટન થાય છે). મુખ્ય પરિણામ એ નીચે આપેલા કોષ્ટક અનુસાર, n મોડ્યુલો 8 પર આધાર રાખીને, S પર શાસ્ત્રીય લાઈ બીજગણિતના ઉપ-બીજગણિત તરીકે તેથી (n, C) ની અનુભૂતિ છેઃ n ≤ 6 માટે, આ એમ્બેડિંગ્સ આઇસોમોર્ફિઝમ્સ છે (n = 6 માટે gl ને બદલે sl પર): વાસ્તવિક રજૂઆતો તેથી (n, C) ની જટિલ સ્પિન રજૂઆતો ક્રિયાને વાસ્તવિક ઉપ-બીજગણિત સુધી મર્યાદિત કરીને તેથી (p, q) ની વાસ્તવિક રજૂઆતો આપે છે. જો કે, ત્યાં વધારાની "વાસ્તવિકતા" રચનાઓ છે જે વાસ્તવિક લાઈ આલ્જેબ્રાની ક્રિયા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. આ ત્રણ પ્રકારના હોય છે. r2 = IDS સાથે એક અપરિવર્તનશીલ જટિલ એન્ટિલિનિયર નકશો r: S → S છે. પછી r નો નિશ્ચિત બિંદુ સમૂહ એ S નો વાસ્તવિક વેક્ટર સબસ્પેસ SR છે, જેમાં SR χC = S છે. આને વાસ્તવિક માળખું કહેવામાં આવે છે. એક અપરિવર્તનશીલ જટિલ એન્ટિલિનિયર નકશો છે જેઃ જે2 = −આઈ. ડી. એસ. સાથે એસ. એસ. તે અનુસરે છે કે ત્રિપલ i, j અને k: = ij એ S ને ક્વાટર્નિયોનિક વેક્ટર સ્પેસ SH બનાવે છે. આને ચતુર્થાંશ માળખું કહેવામાં આવે છે. એક અપરિવર્તનશીલ જટિલ એન્ટિલિનિયર નકશો b: S → S ≤ છે જે ઉલટાવી શકાય તેવું છે. આ એસ પર સ્યુડોહેર્મિટીયન દ્વિપાર્શ્વ સ્વરૂપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને તેને હર્મિશિયન માળખું કહેવામાં આવે છે. તેથી (p, q) હેઠળ અચળ માળખાનો પ્રકાર ફક્ત સહી p − q મોડ્યુલો 8 પર આધાર રાખે છે, અને તે નીચેના કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં આર, સી અને એચ અનુક્રમે વાસ્તવિક, હર્મિશિયન અને ક્વાટર્નિયોનિક રચનાઓને સૂચવે છે, અને આર + આર અને એચ + એચ સૂચવે છે કે અર્ધ-સ્પિન રજૂઆતો બંને અનુક્રમે વાસ્તવિક અથવા ક્વાટર્નિયોનિક રચનાઓને સ્વીકારે છે. વર્ણન અને કોષ્ટકો વાસ્તવિક પ્રતિનિધિત્વનું વર્ણન પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે વર્ણવવું જોઈએ કે આ રચનાઓ અપરિવર્તનશીલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપો સાથે કેવી રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. એન = પી + ક્યૂ પી − ક્યૂ મોડ 2 હોવાથી, ત્યાં બે કિસ્સાઓ છેઃ પરિમાણ અને સહી બંને સરખા છે, અને પરિમાણ અને સહી બંને વિચિત્ર છે. વિચિત્ર કેસ સરળ છે, ત્યાં માત્ર એક જ જટિલ સ્પિન રજૂઆત S છે, અને હર્મિશિયન રચનાઓ થતી નથી. તુચ્છ કેસ n = 1 સિવાય, S હંમેશા સમ-પરિમાણીય હોય છે, જેમ કે મંદ S = 2N. તેથી (2N, C) ના વાસ્તવિક સ્વરૂપો (K, L) સાથે K + L = 2N અને તેથી (N, H) છે, જ્યારે sp (2N, C) ના વાસ્તવિક સ્વરૂપો sp (2N, R) અને sp (K, L) સાથે K + L = N છે. તેથી વિષમ સ્પિન રજૂઆતોને નીચેના કોષ્ટકમાં સારાંશ આપી શકાય છે. (†) માટે અને માટે સમ છે, આ છે. સમ-પરિમાણીય કેસ સમાન છે. કારણ કે, જટિલ અર્ધ-સ્પિન રજૂઆતો સમ-પરિમાણીય છે. આપણે વધુમાં હર્મિશિયન માળખાઓ અને વાસ્તવિક સ્વરૂપો સાથે વ્યવહાર કરવો પડશે, જે છે, સાથે, અને. પરિણામી સમ સ્પિન રજૂઆતોને નીચે પ્રમાણે સારાંશ આપવામાં આવે છે. (*) કારણ કે, આપણી પાસે તેના બદલે (†) માટે અને માટે (જેમાં સમાવેશ થાય છે) છે, આપણી પાસે તેના બદલે જટિલ કિસ્સામાં નિમ્ન-પરિમાણીય સમરૂપતા નીચેના વાસ્તવિક સ્વરૂપો ધરાવે છે. આ કોષ્ટકમાંથી ગુમ થયેલ વાસ્તવિક લાઈ આલ્જેબ્રાના એકમાત્ર વિશિષ્ટ સમરૂપતા અને નોંધો સંદર્ભો છે. . . . પ્રારંભિક સંસ્કરણ માટે કાર્યક્રમની વેબસાઇટ પણ જુઓ. . . . . સ્પિનર્સ લાઈ જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત