CM-field
ગણિતમાં, CM-ક્ષેત્ર એ એક ચોક્કસ પ્રકારનું સંખ્યા ક્ષેત્ર છે, જેને જટિલ ગુણાકારના સિદ્ધાંત સાથે નજીકના જોડાણ માટે નામ આપવામાં આવ્યું છે. વપરાયેલું બીજું નામ જે-ફિલ્ડ છે. સંક્ષિપ્ત નામ "સીએમ" દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ઔપચારિક વ્યાખ્યા A સંખ્યા ક્ષેત્ર K એ CM-ક્ષેત્ર છે જો તે વર્ગાત્મક વિસ્તરણ K/F હોય જ્યાં આધાર ક્ષેત્ર F સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક હોય પરંતુ K સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક હોય. એટલે કે, F નું દરેક એમ્બેડિંગ સંપૂર્ણપણે અંદર આવેલું છે, પરંતુ તેમાં K નું કોઈ એમ્બેડિંગ નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, K નું પેટાક્ષેત્ર F એવું છે કે K તત્વના એક વર્ગમૂળ દ્વારા F પર ઉત્પન્ન થાય છે, જેમ કે β =, એવી રીતે કે તર્કસંગત સંખ્યા ક્ષેત્ર પર β ની ન્યૂનતમ બહુપદી તેના તમામ મૂળ બિન-વાસ્તવિક જટિલ સંખ્યાઓ ધરાવે છે. આ માટે α ને સંપૂર્ણપણે નકારાત્મક પસંદ કરવું જોઈએ, જેથી વાસ્તવિક સંખ્યા ક્ષેત્રમાં દરેક એમ્બેડિંગ σ માટે, σ (α) <0. ગુણધર્મો CM-ફિલ્ડની એક વિશેષતા એ છે કે તેના પર જટિલ જોડાણ ક્ષેત્ર પર ઓટોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે જે તેના એમ્બેડિંગથી સ્વતંત્ર છે. આપેલ સંકેતલિપીમાં, તેણે β ની નિશાની બદલવી જ જોઇએ. સંખ્યા ક્ષેત્ર K એ CM-ક્ષેત્ર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં "એકમોની ખામી" હોય, એટલે કે. જો તેમાં યોગ્ય પેટાક્ષેત્ર F હોય, જેના એકમ જૂથનો ક્રમ K જેટલો જ હોય. હકીકતમાં, F એ ઉપર ઉલ્લેખિત K નું સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક પેટાક્ષેત્ર છે. આ ડિરીક્લેટના એકમ પ્રમેયને અનુસરે છે. ઉદાહરણો CM-ક્ષેત્રનું સૌથી સરળ અને પ્રેરક ઉદાહરણ એક કાલ્પનિક વર્ગાત્મક ક્ષેત્ર છે, જેના માટે સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક પેટા ક્ષેત્ર માત્ર તર્કનું ક્ષેત્ર છે. સીએમ-ક્ષેત્રના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણોમાંનું એક સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્ર છે, જે એકતાના આદિમ nમા મૂળ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તે સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક ક્ષેત્રનું સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક વર્ગાત્મક વિસ્તરણ છે. બાદમાં જટિલ જોડાણનું નિશ્ચિત ક્ષેત્ર છે, અને તે યુનિયનના વર્ગમૂળને અડીને તેમાંથી મેળવવામાં આવે છે. તમામ CM ક્ષેત્રોનું QCM એ CM ક્ષેત્ર જેવું જ છે સિવાય કે તેની પાસે અનંત ડિગ્રી હોય. તે તમામ સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક ક્ષેત્રો ક્યુ. આર. ના જોડાણનું દ્વિઘાત વિસ્તરણ છે. ગેલ (/ક્યૂ) માં ક્રમ 2 ના તમામ ઘટકો દ્વારા સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ ગેલ (/ક્યુઆર) ઉત્પન્ન થાય છે (બંધ પેટાજૂથ તરીકે), અને ગેલ (/ક્યુસીએમ) એ અનુક્રમણિકા 2 નું પેટાજૂથ છે. ગેલોઇસ જૂથ ગાલ (ક્યુસીએમ/ક્યૂ) નું કેન્દ્ર ક્રમ 2 (જટિલ સંયોજન) ના તત્વ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને તેના કેન્દ્ર દ્વારા ભાગાકાર જૂથ ગાલ (ક્યુઆર/ક્યૂ) છે. જો V એ પરિમાણ n ની જટિલ અબેલિયન વિવિધતા હોય, તો પછી V ના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સના કોઈપણ અબેલિયન બીજગણિત F નો ક્રમ Z પર મહત્તમ 2n હોય છે. જો તેનો ક્રમ 2n હોય અને V સરળ હોય તો F એ CM-ક્ષેત્રમાં એક ક્રમ છે. તેનાથી વિપરીત કોઈપણ CM ક્ષેત્ર કેટલાક સરળ જટિલ અબેલિયન વિવિધતામાંથી આ રીતે ઉદભવે છે, જે આઇસોજેની સુધી અનન્ય છે. સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક ક્ષેત્રનું એક ઉદાહરણ જે CM નથી તે બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંખ્યા ક્ષેત્ર છે. સંદર્ભ ક્ષેત્ર (ગણિત) બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત જટિલ સંખ્યાઓ