6-orthoplex
ભૂમિતિમાં, 6-ઓર્થોપ્લેક્સ અથવા 6-ક્રોસ પોલીટોપ એ 12 શિરોબિંદુઓ, 60 ધાર, 160 ત્રિકોણ મુખ, 240 ટેટ્રાહેડ્રોન કોષો, 192 5-કોષ 4-મુખ અને 64 5-મુખ સાથે નિયમિત 6-બહુપદી છે. તેના બે નિર્મિત સ્વરૂપો છે, પ્રથમ સ્લફલી પ્રતીક {34,4} સાથે નિયમિત છે, અને બીજું વૈકલ્પિક રીતે લેબલ (ચેકરબોર્ડ) પાસાઓ સાથે, સ્લફલી પ્રતીક {3,3,3,31,1} અથવા કોક્સેટર પ્રતીક 311 સાથે. તે પોલીટોપ્સના અનંત પરિવારનો એક ભાગ છે, જેને ક્રોસ-પોલીટોપ્સ અથવા ઓર્થોપ્લેક્સિસ કહેવાય છે. બેવડા પોલીટોપ 6-હાયપરક્યુબ અથવા હેક્સેરેક્ટ છે. વૈકલ્પિક નામો હેક્સાક્રોસ, જે ગ્રીકમાં છ (પરિમાણો) માટે હેક્સ સાથે ક્રોસ પોલીટોપ નામના પારિવારિક નામના સંયોજન પરથી ઉતરી આવ્યું છે. 64-ફેસેટેડ 6-પોલીટોપ તરીકે હેક્સાકોન્ટિટેટ્રાપેટન. રૂપરેખાંકન તરીકે આ રૂપરેખાંકન મેટ્રિક્સ 6-ઓર્થોપ્લેક્સને રજૂ કરે છે. પંક્તિઓ અને સ્તંભો શિરોબિંદુઓ, ધાર, ચહેરાઓ, કોષો, 4-ચહેરાઓ અને 5-ચહેરાને અનુરૂપ છે. કર્ણ સંખ્યાઓ જણાવે છે કે સમગ્ર 6-ઓર્થોપ્લેક્સમાં દરેક તત્વના કેટલા ઘટકો જોવા મળે છે. બિન-કર્ણ સંખ્યાઓ કહે છે કે સ્તંભના કેટલા ઘટકો હરોળના તત્વમાં અથવા તેના પર જોવા મળે છે. બાંધકામ 6-ઓર્થોપ્લેક્સ સાથે સંકળાયેલા ત્રણ કોક્સેટર જૂથો છે, એક નિયમિત, C6 અથવા [4,3,3,3,3] કોક્સેટર જૂથ સાથે હેક્સેરેક્ટની બેવડી, અને 5-સરળ પાસાઓની બે નકલો સાથે અડધી સમપ્રમાણતા, વૈકલ્પિક રીતે, D6 અથવા [33,1,1] કોક્સેટર જૂથ સાથે. સૌથી નીચી સમપ્રમાણતા રચના 6-ઓર્થોટોપનાં બેવડા પર આધારિત છે, જેને 6-ફ્યુઝિલ કહેવાય છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ 6-ઓર્થોપ્લેક્સના શિરોબિંદુઓ માટે, મૂળ પર કેન્દ્રિત છે (±1,0,0,0,0,0), (0, ±1,0,0,0,0), (0,0, ±1,0,0,0), (0,0,0, ± 1,0,0), (0,0,0,0, ±1,0), (0,0,0,0,0, ±1) દરેક શિરોબિંદુ જોડી ધાર દ્વારા જોડાયેલ છે, સિવાય કે વિરુદ્ધ. છબીઓ સંબંધિત પોલીટોપ 6-ઓર્થોપ્લેક્સને નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓમાં 3-પરિમાણો સુધી રજૂ કરી શકાય છે. તે એકસમાન પોલીટોપ અને હનીકોમ્બની પરિમાણીય શ્રેણીમાં છે, જેને કોક્સેટર દ્વારા 3k1 શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. (એક અધોગતિગ્રસ્ત 4-પરિમાણીય કેસ 3-ગોળાકાર ટાઇલિંગ, એક ટેટ્રાહેડ્રલ હોસોહેડ્રોન તરીકે અસ્તિત્વમાં છે.) આ પોલીટોપ બી6 કોક્સેટર પ્લેનમાંથી પેદા થતા 63 સમાન 6-પોલીટોપમાંથી એક છે, જેમાં નિયમિત 6-ક્યુબ અથવા 6-ઓર્થોપ્લેક્સનો સમાવેશ થાય છે. સંદર્ભો એચ. એસ. એમ કોક્સેટરઃ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, ડોવર ન્યૂયોર્ક, 1973 કેલિડોસ્કોપઃ સિલેક્ટેડ રાઇટિંગ્સ ઓફ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન દ્વારા સંપાદિત, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, (પેપર 22) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ નિયમિત પોલીટોપ I, [ગણિત. ઝીરો. 46 (1940) 380-407, એમઆર 2,10] (પેપર 23) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ II, [ગણિત. ઝીરો. 188 (1985) 559-591 [પેપર 24] એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ III, [ગણિત. ઝીરો. 200 (1988) નોર્મન જ્હોનસન યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ, હસ્તપ્રત (1991) એન. ડબલ્યુ. જ્હોનસનઃ યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ અને હનીકોમ્બ્સનો સિદ્ધાંત, પીએચ. ડી. 1966 વિશિષ્ટ બાહ્ય કડીઓ વિવિધ પરિમાણોના પોલીટોપ્સ બહુ-પરિમાણીય ગ્લોસરી 6-પોલીટોપ્સ