Hyperhomology
હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં, હાયપરહોમોલોજી અથવા હાયપરકોહોમોલોજી () એ (સહ) હોમોલોજી ફંક્શનર્સનું સામાન્યીકરણ છે જે અબેલિયન શ્રેણીમાં પદાર્થોને નહીં પરંતુ તેના બદલે પદાર્થોના સાંકળ સંકુલને ઇનપુટ તરીકે લે છે, જેથી પદાર્થો અંદર આવે છે. તે ઑબ્જેક્ટની વ્યુત્પન્ન ફંકટર કોહોમોલોજી અને સાંકળ સંકુલની સમરૂપતા વચ્ચેનો એક પ્રકારનો ક્રોસ છે કારણ કે હાયપરકોહોમોલોજી વ્યુત્પન્ન વૈશ્વિક વિભાગોના ફંકટરને અનુરૂપ છે. હાયપરહોમોલોજીનો હવે વધુ ઉપયોગ થતો નથીઃ લગભગ 1970 થી તે મોટાભાગે વ્યુત્પન્ન વર્ગો વચ્ચે વ્યુત્પન્ન ફંકટરના આશરે સમકક્ષ ખ્યાલ દ્વારા બદલવામાં આવ્યું છે. પ્રેરણા હાયપરકોહોમોલોજી માટેની પ્રેરણાઓમાંથી એક એ હકીકત પરથી આવે છે કે ટૂંકા ચોક્કસ sequencesi.e સાથે સંકળાયેલ કોહોમોલોજીકલ લાંબા ચોક્કસ ક્રમોનું સ્પષ્ટ સામાન્યીકરણ નથી. ત્યાં એક સંકળાયેલ લાંબો ચોક્કસ ક્રમ છે. તે તારણ આપે છે કે હાયપરકોહોમોલોજી મનસ્વી લાંબા ચોક્કસ ક્રમમાંથી સમાન કોહોમોલોજિકલ સંકળાયેલ લાંબા ચોક્કસ ક્રમના નિર્માણ માટેની તકનીકો આપે છે કારણ કે તેના ઇનપુટ્સ એબેલિયન શ્રેણીમાંથી માત્ર વસ્તુઓને બદલે સાંકળ સંકુલ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપણે આ સાંકળ સંકુલને એક વિશિષ્ટ ત્રિકોણમાં ફેરવી શકીએ છીએ (વ્યુત્પન્ન શ્રેણી પર ત્રિકોણાકાર શ્રેણીઓની ભાષાનો ઉપયોગ કરીને) જેને આપણે સૂચિત કરીએ છીએ. વ્યાખ્યા આપણે હાયપરકોહોલોજીની વ્યાખ્યા આપીએ છીએ કારણ કે આ વધુ સામાન્ય છે. હંમેશની જેમ, હાયપરકોહોમોલોજી અને હાયપરહોમોલોજી અનિવાર્યપણે સમાન છેઃ એક દ્વિગુણિત કરીને એકમાંથી બીજામાં પરિવર્તિત થાય છે, એટલે કે. તમામ તીરની દિશા બદલીને, ઇન્જેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સને પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સ સાથે બદલીને, વગેરે. ધારો કે A એ પર્યાપ્ત ઇન્જેક્ટીવ્સ ધરાવતી એબેલિયન શ્રેણી છે અને F એ અન્ય એબેલિયન શ્રેણી B માટે ચોક્કસ ફંકટર છે. જો C એ ડાબી બાજુએ બંધાયેલ A ની વસ્તુઓનું સંકુલ હોય, તો C (પૂર્ણાંક i માટે) ની હાયપરકોહોમોમોલોજીની ગણતરી નીચે મુજબ કરવામાં આવે છેઃ અર્ધ-આઇસોમોર્ફિઝમ લોઃ C → I, અહીં I એ A ના ઇન્જેક્ટિવ તત્વોનું સંકુલ છે. સીનું હાયપરકોહોમોમોલોજી હાય (સી) એ પછી જટિલ એફ (આઈ) નું કોહોમોલોજી હાય (એફ (આઈ)) છે. સીનું હાયપરકોહોમોલોજી વિશિષ્ટ આઇસોમોર્ફિઝમ્સ સુધી અર્ધ-આઇસોમોર્ફિઝમની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે. હાયપર આલ્કોહોલોજીને વ્યુત્પન્ન શ્રેણીઓનો ઉપયોગ કરીને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ સીની હાયપર આલ્કોહોલોજી એ આરએફ (સી) ની કોહોમોલોજી છે જે બીની વ્યુત્પન્ન શ્રેણીના એક તત્વ તરીકે ગણવામાં આવે છે. નકારાત્મક સૂચકાંકો માટે લુપ્ત થતા સંકુલ માટે, હાયપરકોહોમોલોજીને H0 = FH0 = H0F ના વ્યુત્પન્ન પરિબળો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હાયપરકોહોમોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ બે હાયપરકોહોમોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ છે; એક E2 ટર્મ સાથે અને બીજો E1 ટર્મ અને E2 ટર્મ સાથે બંને હાયપરકોહોમોલોજીમાં રૂપાંતરિત થાય છે, જ્યાં RjF એ F નો જમણો વ્યુત્પન્ન ફંકટર છે. એપ્લિકેશન્સ હાયપરકોહોમોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સનો એક ઉપયોગ ગેર્બ્સના અભ્યાસમાં છે. યાદ કરો કે જગ્યા પરના ક્રમ n વેક્ટર બંડલ્સને સેચ-આલ્કોહોલોજી જૂથ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ગેર્બ્સ પાછળનો મુખ્ય વિચાર આ વિચારને કોહોમોલોજીકલ રીતે વિસ્તારવાનો છે, તેથી કેટલાક ફંકટરને લેવાને બદલે, આપણે કોહોમોલોજી જૂથને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તેથી તે મૂળ વર્ગીકરણ જૂથમાં પદાર્થો દ્વારા ગુંદર ધરાવતા પદાર્થોનું વર્ગીકરણ કરે છે. એક નજીકથી સંબંધિત વિષય જે જર્બિસ અને હાયપરકોહોમોલોજીનો અભ્યાસ કરે છે તે ડેલીગ્ને-આલ્કોહોલોજી છે. ઉદાહરણો પણ જુઓ કાર્ટન-આઈલેનબર્ગ ઠરાવ ગેર્બે સંદર્ભો એચ. કાર્ટન, એસ. આઈલેનબર્ગ, હોમોલોજિકલ બીજગણિત એ. ગ્રોથેન્ડીક, સુર ક્વેલ્કસ પોઇન્ટ ડી 'એલ્જેબ્રે હોમોલોજિક તોહોકુ મઠ. જે. 9 (1957) પીપી. 119-221 હોમોલોજિકલ બીજગણિત