Rigid unit modes
કઠોર એકમ સ્થિતિઓ (આરયુએમ) જાળીના સ્પંદનો અથવા ફોનોનના વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ક્વાર્ટઝ, ક્રિસ્ટોબલાઇટ અથવા ઝિર્કોનિયમ ટંગસ્ટેટ જેવી નેટવર્ક સામગ્રીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. નેટવર્ક સામગ્રીને સિઓ 4 ટેટ્રાહેડ્રા અથવા ટિઓ 6 ઓક્ટાહેડ્રા જેવા અણુઓના પોલિહેડ્રલ જૂથોના ત્રિ-પરિમાણીય નેટવર્ક તરીકે વર્ણવી શકાય છે. આરયુએમ એ એક જાળીનું કંપન છે જેમાં પોલિહેડ્રા અનુવાદ અને/અથવા પરિભ્રમણ દ્વારા, વિકૃત કર્યા વિના ખસેડવા માટે સક્ષમ છે. સ્ફટિકીય સામગ્રીમાં આરયુએમ એ ચશ્માંમાં ફ્લોપી મોડ્સના સમકક્ષ છે, જેમ કે જિમ ફિલિપ્સ અને માઇક થોર્પે દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. કઠોર એકમ સ્થિતિઓમાં રસ સ્ફટિકીય સામગ્રી માટે કઠોર એકમ સ્થિતિઓનો વિચાર વિકસાવવામાં આવ્યો હતો જેથી સિલિકેટ્સ જેવી સામગ્રીમાં વિસ્થાપન તબક્કાના સંક્રમણોના મૂળની સમજણને સક્ષમ કરી શકાય, જેને ખૂણેથી દોરેલા SiO4 અને AlO4 ટેટ્રાહેડ્રાના અનંત ત્રિ-પરિમાણીય નેટવર્ક તરીકે વર્ણવી શકાય છે. વિચાર એ હતો કે કઠોર એકમ સ્થિતિઓ વિસ્થાપન તબક્કાના સંક્રમણો માટે નરમ સ્થિતિઓ તરીકે કામ કરી શકે છે. સિલિકેટ્સમાં મૂળ કાર્ય દર્શાવે છે કે સિલિકેટ્સમાં ઘણા તબક્કાના સંક્રમણોને સોફ્ટ મોડ્સની દ્રષ્ટિએ સમજી શકાય છે જે આરયુએમ છે. વિસ્થાપન તબક્કાના સંક્રમણો પરના મૂળ કાર્ય પછી, આરયુએમ મોડેલને ક્રિસ્ટોબલાઇટ જેવી સામગ્રીના અવ્યવસ્થિત ઉચ્ચ-તાપમાનના તબક્કાઓની પ્રકૃતિ, ઝિયોલાઇટ્સમાં ગતિશીલતા અને સ્થાનિક માળખાકીય વિકૃતિઓ અને નકારાત્મક થર્મલ વિસ્તરણને સમજવા માટે પણ લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું. આરયુએમની ઉત્પત્તિને સમજવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે અવરોધોની સંખ્યા અને નેટવર્કની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી વચ્ચેના સંતુલનને ધ્યાનમાં લેવું, એક ઇજનેરી વિશ્લેષણ જે જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલનું છે અને જે જિમ ફિલિપ્સ અને માઇક થોર્પે દ્વારા આકારહીન સામગ્રી સાથે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. જો મર્યાદાઓની સંખ્યા ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા કરતાં વધી જાય, તો માળખું કઠોર હશે. બીજી બાજુ, જો ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા મર્યાદાઓની સંખ્યા કરતાં વધી જાય, તો માળખું ફ્લોપી હશે. એવા માળખા માટે કે જેમાં ખૂણેથી જોડાયેલા ટેટ્રાહેડ્રાનો સમાવેશ થાય છે (જેમ કે સિલીકામાં SiO4 ટેટ્રાહેડ્ર, SiO2) આપણે અવરોધોની સંખ્યા અને સ્વતંત્રતાની માત્રાને નીચે પ્રમાણે ગણી શકીએ છીએ. આપેલ ટેટ્રાહેડ્રોન માટે, કોઈપણ ખૂણાની સ્થિતિ તેના ત્રણ અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y, z) સાથે જોડાયેલા ટેટ્રાહેડ્રોનના અનુરૂપ ખૂણાના અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે મેળ ખાતી હોવી જોઈએ. આમ દરેક ખૂણામાં ત્રણ અવરોધો છે. આ બે જોડાયેલા ટેટ્રાહેડ્રા દ્વારા વહેંચાયેલા છે, તેથી દરેક ટેટ્રાહેડ્રોનમાં 1.5 અવરોધોનું યોગદાન આપે છે. ત્યાં 4 ખૂણાઓ છે, તેથી આપણી પાસે ટેટ્રાહેડ્રોન દીઠ કુલ 6 અવરોધો છે. એક કઠોર ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થમાં 6 ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ, 3 અનુવાદો અને 3 પરિભ્રમણ હોય છે. આમ અવરોધોની સંખ્યા અને સ્વતંત્રતાની માત્રા વચ્ચે ચોક્કસ સંતુલન હોય છે. (નોંધ લો કે અણુઓને મૂળભૂત એકમો માનીને આપણે સમાન પરિણામ મેળવી શકીએ છીએ. માળખાકીય ટેટ્રાહેડ્રોનમાં 5 અણુઓ છે, પરંતુ તેમાંથી 4 બે ટેટ્રાહેડ્રોન દ્વારા વહેંચાયેલા છે, જેથી ટેટ્રાહેડ્રોન દીઠ 3 + 4 * 3/2 = 9 ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. આવા ટેટ્રાહેડ્રોનને એકસાથે પકડી રાખવા માટે અવરોધોની સંખ્યા 9 (4 અંતર અને 5 ખૂણા) છે. આ સંતુલનનો અર્થ એ છે કે ખૂણાઓ પર જોડાયેલા માળખાકીય ટેટ્રાહેડ્રાની બનેલી રચના બરાબર કઠોર અને ફ્લોપી વચ્ચેની સરહદ પર હોય છે. એવું લાગે છે કે સમપ્રમાણતા અવરોધોની સંખ્યાને ઘટાડે છે જેથી ક્વાર્ટઝ અને ક્રિસ્ટોબ્લાઇટ જેવી રચનાઓ સહેજ ફ્લોપી હોય અને આમ કેટલાક આરયુએમને ટેકો આપે છે. ઉપરોક્ત વિશ્લેષણ અણુઓના પોલિહેડ્રલ જૂથોથી બનેલા કોઈપણ નેટવર્ક માળખાને લાગુ કરી શકાય છે. એક ઉદાહરણ માળખાઓનું પેરોવ્સ્કાઇટ કુટુંબ છે, જેમાં કોર્નર-લિંક્ડ BX6 ઓક્ટાહેડ્રાનો સમાવેશ થાય છે જેમ કે TiO6 અથવા ZrO6. એક સરળ ગણતરી વિશ્લેષણ હકીકતમાં સૂચવે છે કે આવી રચનાઓ કઠોર હોય છે, પરંતુ આદર્શ ઘન તબક્કામાં સમપ્રમાણતા અમુક અંશે લવચીકતાને મંજૂરી આપે છે. ઝિર્કોનિયમ ટંગસ્ટેટ, નકારાત્મક થર્મલ વિસ્તરણ દર્શાવતી મૂળ સામગ્રી, ZrO6 ઓક્ટાહેડ્રા અને WO4 ટેટ્રાહેડ્રા ધરાવે છે, જેમાં દરેક WO4 ટેટ્રાહેડ્રાના ખૂણાઓમાંથી એકમાં કોઈ જોડાણ નથી. ગણતરી વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે, સિલિકાની જેમ, ઝિર્કોનિયમ ટંગસ્ટેટ અવરોધની સંખ્યા અને સ્વતંત્રતાની માત્રા વચ્ચે ચોક્કસ સંતુલન ધરાવે છે, અને વધુ વિશ્લેષણ આ સામગ્રીમાં આરયુએમનું અસ્તિત્વ દર્શાવે છે. સંદર્ભો એન્ડ્રુ પી. ગિડ્ડી માર્ટિન ટી. ડવ જી. એસ. પાવલી અને વોલ્કર હેઇન. કેન્ટન ડી. હેમોન્ડ્સ, માર્ટિન ટી. ડવ, એન્ડ્રુ પી. ગિડ્ડી, વોલ્કર હેઇન અને બ્યોર્ન વિંકલરની માળખાગત સ્ફટિક રચનાઓમાં વિસ્થાપન તબક્કાના સંક્રમણો માટે સંભવિત નરમ સ્થિતિઓ તરીકે કઠોર-એકમ સ્થિતિઓનું નિર્ધારણ. ફ્રેમવર્ક સિલિકેટ્સમાં સખત-એકમ ફોનોન સ્થિતિઓ અને માળખાકીય તબક્કાના સંક્રમણો. માર્ટિન ટી. ડવ. ખનિજોમાં વિસ્થાપન તબક્કાના સંક્રમણનો સિદ્ધાંત. સ્ફટિકશાસ્ત્ર સામગ્રી વિજ્ઞાન