Epsilon-equilibrium
રમત સિદ્ધાંતમાં, એપ્સિલોન-સંતુલન, અથવા નજીકના-નાશ સંતુલન, એક વ્યૂહરચના રૂપરેખા છે જે લગભગ નેશ સંતુલનની સ્થિતિને સંતોષે છે. નેશ સંતુલનમાં, કોઈ પણ ખેલાડીને તેની વર્તણૂક બદલવા માટે પ્રોત્સાહન મળતું નથી. અંદાજિત નેશ સંતુલનમાં, આ જરૂરિયાત નબળી પડી જાય છે જેથી ખેલાડીને કંઇક અલગ કરવા માટે નાનું પ્રોત્સાહન મળી શકે. આને હજુ પણ એક પર્યાપ્ત ઉકેલ ખ્યાલ માનવામાં આવી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે યથાવત્ પૂર્વગ્રહ ધારીને. ગણતરી કરવી સરળ હોવાને કારણે અથવા વૈકલ્પિક રીતે 2 થી વધુ ખેલાડીઓની રમતોમાં, ચોક્કસ નેશ સંતુલનમાં સામેલ સંભાવનાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ હોવી જરૂરી નથી તેવી શક્યતાને કારણે આ ઉકેલ ખ્યાલને નેશ સંતુલન કરતાં પસંદ કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા એક કરતાં વધુ વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા છે. પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા રમત અને વાસ્તવિક બિન-નકારાત્મક પરિમાણને જોતાં, જો કોઈ પણ ખેલાડી માટે તેની વ્યૂહરચનાથી એકપક્ષીય રીતે વિચલિત થઈને અપેક્ષિત વળતર કરતાં વધુ લાભ મેળવવો શક્ય ન હોય તો વ્યૂહરચનાની રૂપરેખા-સંતુલન તરીકે ઓળખાય છે. દરેક નાશ સંતુલન એક-સંતુલનની સમકક્ષ હોય છે. ઔપચારિક રીતે, દરેક ખેલાડી અને ઉપયોગિતા કાર્ય માટે એક્શન સેટ સાથે ખેલાડીની રમત બનવા દો. જ્યારે વ્યૂહરચના રૂપરેખા ભજવવામાં આવે ત્યારે ખેલાડીને વળતર દર્શાવો. ચાલો સંભાવના વિતરણની જગ્યા હોઈએ. વ્યૂહરચનાઓનું વાહક એ તમામ સારી રીતે સમર્થિત અંદાજિત સંતુલન માટે-નાશ સંતુલન છે નીચેની વ્યાખ્યા મજબૂત જરૂરિયાત લાદે છે કે ખેલાડી માત્ર ત્યારે જ શુદ્ધ વ્યૂહરચનાને હકારાત્મક સંભાવના સોંપી શકે છે જો તેની ચૂકવણી શ્રેષ્ઠ પ્રતિસાદ ચૂકવણી કરતાં સૌથી ઓછી વળતરની અપેક્ષા રાખે. વ્યૂહરચનાની રૂપરેખા ભજવવામાં આવે તેની સંભાવના હોવી જોઈએ. ખેલાડી માટે અન્ય ખેલાડીઓની વ્યૂહરચના રૂપરેખાઓ હોવી જોઈએ; માટે અને એક શુદ્ધ વ્યૂહરચના એ વ્યૂહરચના રૂપરેખા હોવી જોઈએ જ્યાં રમતો અને અન્ય ખેલાડીઓ રમે છે. જ્યારે વ્યૂહરચના પ્રોફાઇલનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે તે વળતર હોઈ શકે છે. જરૂરિયાત સૂત્ર પરિણામો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે ε-નાશ સંતુલન માટે બહુપદી-સમય અંદાજ યોજના (PTAS) નું અસ્તિત્વ એ પ્રશ્નની સમકક્ષ છે કે શું ε-સારી રીતે સમર્થિત અંદાજિત નાશ સંતુલન માટે એક અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ, પરંતુ PTAS નું અસ્તિત્વ એક ખુલ્લી સમસ્યા છે. ε ના સ્થિર મૂલ્યો માટે, અંદાજિત સંતુલન માટે બહુપદી-સમયના અલ્ગોરિધમ્સ ε ના નીચા મૂલ્યો માટે જાણીતા છે, જે સારી રીતે સમર્થિત અંદાજિત સંતુલન માટે જાણીતા છે. શ્રેણી [0,1] અને ε = 0.3393 માં ચૂકવણી ધરાવતી રમતો માટે, ε-નાશ સંતુલનની ગણતરી બહુપદી સમયમાં કરી શકાય છે [0,1] અને ε = 2/3 ની શ્રેણીમાં ચૂકવણી ધરાવતી રમતો માટે, ε-સારી રીતે સમર્થિત સંતુલનની ગણતરી બહુપદી સમયમાં કરી શકાય છે ઉદાહરણ સંભવિત અનંત સમયગાળાની સ્ટોકેસ્ટિક રમતોના સિદ્ધાંતમાં ε-સંતુલનની કલ્પના મહત્વપૂર્ણ છે. કોઈ નાશ સંતુલન વિના પરંતુ 0 કરતા સખત રીતે મોટા કોઈપણ ε માટે ε-સંતુલન સાથે સ્ટોકેસ્ટિક રમતોના સરળ ઉદાહરણો છે. કદાચ આ પ્રકારનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ એવરેટ દ્વારા સૂચવવામાં આવેલ મેચિંગ પેનીઝનું નીચેનું સ્વરૂપ છે. ખેલાડી 1 એક પૈસો છુપાવે છે અને ખેલાડી 2 એ અનુમાન લગાવવું જોઈએ કે તે માથું ઉપર છે કે પૂંછડી ઉપર છે. જો ખેલાડી 2 સાચો અંદાજ કાઢે છે, તો તે ખેલાડી 1 માંથી પૈસો જીતે છે અને રમત સમાપ્ત થાય છે. જો ખેલાડી 2 ખોટી રીતે અનુમાન કરે છે કે પેની ઉપર છે, તો રમત બંને ખેલાડીઓને શૂન્ય વળતર સાથે સમાપ્ત થાય છે. જો તે ખોટી રીતે અનુમાન કરે કે તે પૂંછડી ઉપર છે, તો રમત પુનરાવર્તન થાય છે. જો રમત કાયમ માટે ચાલુ રહે છે, તો બંને ખેલાડીઓને ચૂકવણી શૂન્ય છે. ε> 0 પરિમાણને જોતાં, કોઈપણ વ્યૂહરચના રૂપરેખા કે જ્યાં ખેલાડી 2 સંભાવના ε સાથે આગળ વધે છે અને સંભાવના 1 − ε (રમતના દરેક તબક્કે, અને અગાઉના તબક્કાઓથી સ્વતંત્ર રીતે) સાથે આગળ વધે છે તે રમત માટે ε-સંતુલન છે. આવી વ્યૂહરચના પ્રોફાઇલમાં ખેલાડી 2 ની અપેક્ષિત ચૂકવણી ઓછામાં ઓછી 1 − ε છે. જો કે, તે જોવાનું સરળ છે કે પ્લેયર 2 માટે એવી કોઈ વ્યૂહરચના નથી કે જે બરાબર 1 ની અપેક્ષિત ચૂકવણીની બાંયધરી આપી શકે. તેથી, રમતમાં કોઈ નેશ સંતુલન નથી. અન્ય એક સરળ ઉદાહરણ ટી સમયગાળા માટે મર્યાદિત રીતે પુનરાવર્તિત કેદીની મૂંઝવણ છે, જ્યાં ટી સમયગાળા દરમિયાન ચૂકવણી સરેરાશ થાય છે. આ રમતનું એકમાત્ર નેશ સંતુલન દરેક સમયગાળામાં ખામી પસંદ કરવાનું છે. હવે બે વ્યૂહરચનાઓ ટાઇટ-ફોર-ટેટ અને ગંભીર ટ્રિગરને ધ્યાનમાં લો. તેમ છતાં ન તો ટાઇટ-ફોર-ટેટ કે ન તો ગંભીર ટ્રિગર રમત માટે નેશ સંતુલન છે, તે બંને કેટલાક હકારાત્મક માટે-સંતુલન છે. ના સ્વીકાર્ય મૂલ્યો ઘટક રમતની ચૂકવણી અને સમયગાળાની સંખ્યા ટી પર આધાર રાખે છે. અર્થશાસ્ત્રમાં, શુદ્ધ વ્યૂહરચના એપ્સિલોન-સંતુલનની વિભાવનાનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે મિશ્ર વ્યૂહરચના અભિગમને અવાસ્તવિક તરીકે જોવામાં આવે છે. શુદ્ધ વ્યૂહરચના એપ્સિલોન-સંતુલનમાં, દરેક ખેલાડી શુદ્ધ વ્યૂહરચના પસંદ કરે છે જે તેની શ્રેષ્ઠ શુદ્ધ વ્યૂહરચનાના એપ્સિલોનની અંદર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બર્ટ્રાન્ડ-એડગવર્થ મોડેલમાં, જ્યાં કોઈ શુદ્ધ-વ્યૂહરચના સંતુલન અસ્તિત્વમાં નથી, ત્યાં શુદ્ધ-વ્યૂહરચના એપ્સિલોન સંતુલન અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. સંદર્ભો ઇનલાઇન ટાંકણો સ્ત્રોતો એચ. ડિક્સન રેપ્લિકેટેડ ઉદ્યોગમાં અંદાજે બર્ટ્રાન્ડ સંતુલન, આર્થિક અભ્યાસોની સમીક્ષા, 54 (1987), પૃષ્ઠો 47-62. એચ. એવરેટ. "રિકર્સિવ ગેમ્સ". એચ. ડબલ્યુ. કુહ્ન અને એ. ડબલ્યુ. ટકર, સંપાદકો. રમતોના સિદ્ધાંતમાં યોગદાન, વોલ્યુમ. એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિકલ સ્ટડીઝનો ત્રીજો ભાગ, વોલ્યુમ 39. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1957. 88 પાનાનો ગાણિતિક પરિચય; વિભાગ 3.7 જુઓ. ઘણી યુનિવર્સિટીઓમાં મફત ઓનલાઇન. આર. રેડનર. લાંબા પરંતુ મર્યાદિત જીવન સાથે અલ્પજનતંત્રના બિન-સહકારી એપ્સિલોન સંતુલનમાં સાંઠગાંઠભર્યું વર્તન, જર્નલ ઓફ ઇકોનોમિક થિયરી, 22,121-157,1980. કોમ્પ્યુટેશનલ દ્રષ્ટિકોણથી વ્યાપક સંદર્ભ; વિભાગ 3.4.7 જુઓ. નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. એસ. એચ. ટીઝ. સામાન્ય સ્વરૂપમાં બિન-સહકારી એન-વ્યક્તિ રમતો માટે નેશ ઇક્વિલિબ્રિયા, SIAM સમીક્ષા, 23,225-237,1981. રમત સિદ્ધાંત સંતુલન વિભાવનાઓ