Fourier integral operator
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સ એક મહત્વપૂર્ણ સાધન બની ગયા છે. ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સના વર્ગમાં વિશેષ કિસ્સાઓમાં વિભેદક ઓપરેટરો તેમજ શાસ્ત્રીય ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટરો હોય છે. ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સૂચવે છે, તે એક પ્રમાણભૂત પ્રતીક છે જે કોમ્પેક્ટ રીતે સપોર્ટેડ છે અને વાસ્તવિક મૂલ્ય અને ડિગ્રીમાં સજાતીય છે. એ ના સમર્થન પર તેની જરૂર પડે તે પણ જરૂરી છે. આ શરતો હેઠળ, જો a ક્રમ શૂન્યનો હોય, તો તે બતાવવું શક્ય છે કે તે બાઉન્ડેડ ઓપરેટરને થી થી વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ઉદાહરણો ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સના અભ્યાસ માટે એક પ્રેરણા વેવ ઓપરેટર માટે પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યા માટે સોલ્યુશન ઓપરેટર છે. ખરેખર, નીચેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લોઃ અને આ સમસ્યાનો ઉકેલ આના દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે આને ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ તરીકે અર્થઘટન કરવાની જરૂર છે કારણ કે તેઓ સામાન્ય રીતે એકરૂપ થતા નથી. આ ઔપચારિક રીતે બે ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટરોના સરવાળા જેવું લાગે છે, જો કે દરેક ઇન્ટિગ્રલમાં ગુણાંક મૂળમાં સરળ નથી, અને તેથી પ્રમાણભૂત પ્રતીકો નથી. જો આપણે આ સિંગ્યુલારીટીને કટઓફ ફંક્શન સાથે કાપીએ, તો પછી મેળવેલા ઓપરેટરો હજુ પણ પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યા મોડ્યુલો સ્મૂથ ફંક્શન્સના ઉકેલો પ્રદાન કરે છે. આમ, જો આપણે ફક્ત પ્રારંભિક ડેટાની એકલતાના પ્રસારમાં જ રસ ધરાવીએ, તો આવા ઓપરેટરોને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે. હકીકતમાં, જો આપણે તરંગ સમીકરણમાં ધ્વનિની ગતિ c ને સ્થિતિ સાથે બદલવાની મંજૂરી આપીએ તો આપણે હજી પણ એક ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર શોધી શકીએ છીએ જે ઉકેલ મોડ્યુલો સ્મૂથ ફંક્શન્સ પ્રદાન કરે છે, અને ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સ આમ ચલ ગતિ તરંગ સમીકરણોના ઉકેલોની એકલતાના પ્રસારનો અભ્યાસ કરવા માટે એક ઉપયોગી સાધન પ્રદાન કરે છે, અને વધુ સામાન્ય રીતે અન્ય હાયપરબોલિક સમીકરણો માટે. માઇક્રોલોકલ એનાલિસિસ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સ્યુડોડિફરેન્શિયલ ઓપરેટર ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર સિમ્પ્લેક્ટિક કેટેગરી નોંધો સંદર્ભો એલિયાસ સ્ટેઇન, હાર્મોનિક એનાલિસિસઃ વાસ્તવિક-ચલ પદ્ધતિઓ, ઓર્થોગોનાલિટી અને ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ પણ જુઓ. પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1993. એફ. ટ્રેવ્સ, સ્યુડો ડિફરન્શિયલ અને ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સનો પરિચય, (ગણિતમાં યુનિવર્સિટી સિરીઝ), પ્લેનમ પબ્લ. 1981. જે. જે. ડુઇસ્ટરમાટ, ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સ, (ગણિતમાં પ્રગતિ), બિરખુસર 1995. બાહ્ય કડીઓ આંશિક વિભેદક સમીકરણો માઇક્રોલોકલ વિશ્લેષણ ફોરિયર વિશ્લેષણ હાર્મોનિક વિશ્લેષણ