Free lattice
ગણિતમાં, ક્રમ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં, મુક્ત જાળી એ જાળીને અનુરૂપ મુક્ત પદાર્થ છે. મુક્ત વસ્તુઓ તરીકે, તેમની પાસે સાર્વત્રિક સંપત્તિ છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા કારણ કે જાળીની વિભાવનાને બે કામગીરી અને ચોક્કસ ઓળખને સંતોષવાની દ્રષ્ટિએ સ્વયંસિદ્ધ કરી શકાય છે, તેથી તમામ જાળીઓની શ્રેણી વિવિધ (સાર્વત્રિક બીજગણિત) ની રચના કરે છે, અને આમ આ શ્રેણીમાં (સાર્વત્રિક બીજગણિતના સામાન્ય સિદ્ધાંતો દ્વારા) મુક્ત પદાર્થો અસ્તિત્વમાં છેઃ જાળી જ્યાં માત્ર તે જ સંબંધો ધરાવે છે જે સામાન્ય સ્વયંસિદ્ધમાંથી અનુસરે છે. આ મુક્ત જાળીઓને સંબંધિત સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ચોક્કસપણે, મુક્ત જાળી એ સેટથી જાળીઓ સુધીનું એક ફંકટર છે, જે દરેક સેટને દરેક અનુરૂપ તત્વને સોંપતા સેટ નકશાથી સજ્જ મુક્ત જાળી સોંપે છે. આનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ એ છે કે કોઈ પણ નકશા માટે કોઈ મનસ્વી જાળી માટે એક અનન્ય જાળી હોમોમોર્ફિઝમ સંતોષકારક અથવા પરિવર્તનીય આકૃતિ તરીકે અસ્તિત્વમાં છેઃ ફંકટરને જાળીઓથી તેમના અંતર્ગત સમૂહો સુધી ભૂલી ગયેલા ફંકટરની બાજુમાં છોડી દેવામાં આવે છે. સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો સીધો ઉપયોગ કરીને મુક્ત જાળી વિશેની બાબતોને સાબિત કરવી વારંવાર શક્ય છે, પરંતુ આવી દલીલો અમૂર્ત હોય છે, તેથી નક્કર બાંધકામ મૂલ્યવાન વૈકલ્પિક પ્રસ્તુતિ પ્રદાન કરે છે. સેમીલેટીસ સેમીલેટીસના કિસ્સામાં, મુક્ત સેમીલેટીસની સ્પષ્ટ રચના આપવી સરળ છે; આ સાર્વત્રિક ગુણધર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાની ઘણી લાક્ષણિકતાઓને સમજાવવામાં મદદ કરે છે. ચોક્કસપણે, ફ્રી સેમિલેટિસને તમામ મર્યાદિત નોન-એમ્પ્ટી સબસેટ્સના સમૂહ તરીકે અનુભવી શકાય છે, જેમાં સામાન્ય સેટ યુનિયનને જોઇન ઓપરેશન તરીકે જોવામાં આવે છે. નકશામાં સિંગલટોન સમૂહોના ઘટકોનો નકશો છે, એટલે કે, બધા માટે. કોઈપણ સેમીલેટીસ અને કોઈપણ સેટ નકશા માટે, અનુરૂપ સાર્વત્રિક મોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં સેમીલેટીસ ઓપરેશનને સૂચવે છે. આ સ્વરૂપને સાર્વત્રિક ગુણધર્મ દ્વારા ફરજ પાડવામાં આવે છેઃ કોઈપણને કેટલાક માટે સ્વરૂપ પરના તત્વોના મર્યાદિત જોડાણ તરીકે લખી શકાય છે, સાર્વત્રિક ગુણધર્મમાં સમાનતા કહે છે, અને અંતે હોમોમોર્ફિઝમ સ્થિતિ બધા માટે સૂચવે છે. (જો એક પણ હોય તો) ના અનંત ઉપગણોનું કોઈપણ વિસ્તરણ આ શરતો દ્વારા અનન્ય રીતે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર નથી, તેથી તેના અનંત ઉપગણને અનુરૂપ કોઈ તત્વો હોઈ શકતા નથી. નીચલા સેમીલેટીસ માટે ફ્રી ફંકટરને વ્યાખ્યાયિત કરવું એ જ રીતે શક્ય છે, પરંતુ સંયોજન ઘણી રીતે ફ્રી લેટીસ ઉત્પન્ન કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે, કારણ કે તે માત્ર એક સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે છેઃ જોડવાની કામગીરી નવા ઘટકો સુધી વિસ્તૃત નથી, હાલના આંશિક ક્રમને માન આપવામાં આવતું નથી; મંતવ્યો અને અસંબંધિત તરીકે, તેને સમજવું જોઈએ નહીં. મુક્ત જાળીનું વાસ્તવિક માળખું મુક્ત અર્ધ જાળી કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ જટિલ છે. શબ્દ સમસ્યા મફત જાળી માટે શબ્દ સમસ્યા કેટલાક રસપ્રદ પાસાઓ ધરાવે છે. બંધાયેલ જાળીઓના કેસને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે. બે દ્વિસંગી ક્રિયાઓ સાથે બીજગણિત માળખાં અને બે સ્થિરાંકો (શૂન્ય ક્રિયાઓ) 0 અને 1. જનરેટર X ના આપેલ સમૂહના ઘટકો પર આ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને તૈયાર કરી શકાય તેવી તમામ સારી રીતે રચાયેલી અભિવ્યક્તિઓનો સમૂહ W (X) તરીકે ઓળખાય છે. શબ્દોના આ સમૂહમાં ઘણી અભિવ્યક્તિઓ છે જે દરેક જાળીમાં સમાન મૂલ્યો સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો a એ X નું કોઈ તત્વ હોય, તો પછી a * 1 = 1 અને a * 1 = a. મુક્ત બાઉન્ડેડ જાળી માટે સમસ્યા શબ્દ એ નક્કી કરવાની સમસ્યા છે કે W (X) ના આમાંથી કયા ઘટકો મુક્ત બાઉન્ડેડ જાળી FX માં સમાન તત્વને સૂચવે છે, અને તેથી દરેક બાઉન્ડેડ જાળીમાં. શબ્દ સમસ્યાનું સમાધાન નીચે પ્રમાણે થઈ શકે છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ W (X) પર સંબંધને ≤ ~ v સુયોજિત કરીને પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જો નીચેનામાંથી કોઈ એક ધરાવેઃ w = v (આ તે કિસ્સામાં મર્યાદિત હોઈ શકે છે જ્યાં w અને v એ X ના ઘટકો છે), w = 0, v = 1, w = w1 ≤ w2 અને બંને w1 ≤ ~ v ધરાવે છે, w = w1 ≤ w2 અને ક્યાં તો w1 ≤ v અથવા w2 ≤ v ધરાવે છે, v = v1 ≤ v2 અને ક્યાં તો w ≤ v1 અથવા w ≤ v2 ધરાવે છે, v = v1 ≤ v2 અને બંને w ≤ v1 અને w ≤ v ≤ આ W (X) પર પ્રીઓર્ડર ≤ ~ ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તેથી સમકક્ષતા સંબંધને w ~ v દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યારે w ≤ ~ v અને v ≤ ~ w. પછી કોઈ બતાવી શકે છે કે આંશિક રીતે ક્રમાંકિત ભાગાકાર જગ્યા W (X)/~ એ મુક્ત બાઉન્ડેડ લેટીસ FX છે. W (X)/~ ના સમાનતા વર્ગો એ તમામ શબ્દોના સમૂહ છે, જેમાં w ≤ v અને v ≤ w છે. W (X) માં બે સારી રીતે રચાયેલા શબ્દો v અને w દરેક બંધાયેલ જાળીમાં સમાન મૂલ્ય સૂચવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો w ≤ v અને v ≤ w હોય; તો પછીની શરતો ઉપરની પ્રેરક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અસરકારક રીતે નક્કી કરી શકાય છે. કોષ્ટક એક ઉદાહરણ ગણતરી દર્શાવે છે જે દર્શાવે છે કે xwz અને xwzw (xwy) શબ્દો દરેક બંધાયેલ જાળીમાં સમાન મૂલ્ય સૂચવે છે. ઉપરના બાંધકામમાં નિયમો 2. અને 3. ને બાદ કરતાં, બંધાયેલા ન હોય તેવા જાળીઓના કિસ્સામાં પણ આવી જ રીતે વર્તવામાં આવે છે. મુક્ત જાળી પરના શબ્દ સમસ્યાના ઉકેલમાં ઘણા રસપ્રદ ઉપસર્ગો છે. એક એ છે કે જનરેટરના ત્રણ ઘટકોના સમૂહની મુક્ત જાળી અનંત છે. હકીકતમાં, કોઈ એવું પણ બતાવી શકે છે કે ત્રણ જનરેટર પરની દરેક મુક્ત જાળીમાં એક સબલેટિસ હોય છે જે ચાર જનરેટરના સમૂહ માટે મફત હોય છે. ઇન્ડક્શન દ્વારા, આ આખરે સંખ્યાબંધ જનરેટર પર સબલેટિસ મુક્ત પેદા કરે છે. આ ગુણધર્મ જૂથોમાં SQ-સાર્વત્રિકતાની યાદ અપાવે છે. ત્રણ જનરેટરમાં મુક્ત જાળી અનંત છે તેનો પુરાવો pn + 1 = xw (yw (xw (yw (xw (zw))))) ને પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીને મળે છે, જ્યાં x, y અને z એ ત્રણ જનરેટર છે અને p0 = x છે. એક પછી સમસ્યા શબ્દના પ્રેરક સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને બતાવવામાં આવે છે કે, pn + 1 એ pn કરતા સખત રીતે વધારે છે, અને તેથી તમામ અનંત શબ્દો pn મુક્ત જાળી FX માં વિવિધ મૂલ્યોનું મૂલ્યાંકન કરે છે. સંપૂર્ણ મુક્ત જાળી અન્ય પરિણામ એ છે કે સંપૂર્ણ મુક્ત જાળી (ત્રણ કે તેથી વધુ જનરેટર પર) "અસ્તિત્વમાં નથી", તે અર્થમાં કે તે એક યોગ્ય વર્ગ છે. આનો પુરાવો સમસ્યા શબ્દ પરથી પણ મળે છે. સંબંધોના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણ જાળીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, મળવું અને જોડાવાના મર્યાદિત સંબંધોનો ઉપયોગ કરવો પૂરતો નથી; અનંત ઉપગણના મળવું અને જોડાવાને વ્યાખ્યાયિત કરતા અનંત સંબંધો પણ હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, "જોડાઓ" ને અનુરૂપ અનંત સંબંધને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અહીં, f એ કાર્ડિનલ N થી FX ના ઘટકોમાંથી એક નકશો છે; ઓપરેટર સર્વોચ્ચતાને સૂચવે છે, જેમાં તે f ની છબીને તેના જોડાણ પર લઈ જાય છે. જ્યારે N એ મર્યાદિત સંખ્યા હોય ત્યારે આ "જોડાઓ" જેવું જ હોય છે; આ વ્યાખ્યાનો મુદ્દો જોડીને સંબંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનો છે, ભલે N એ અનંત મુખ્ય હોય. સમસ્યા શબ્દના પૂર્વ-આદેશના સ્વયંસિદ્ધ શબ્દો મળો અને જોડાઓને અનુરૂપ બે અનંત ઓપરેટરો દ્વારા જોડાયેલા હોઈ શકે છે. આમ કર્યા પછી, જ્યારે મર્યાદા ક્રમિક હોય ત્યારે આપવામાં આવેલી સામાન્ય રીતે અનુક્રમિત વ્યાખ્યા સુધી વિસ્તરે છે. પછી, પહેલાની જેમ, કોઈ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે કે તે તેના કરતા સખત રીતે વધારે છે. આમ, સંપૂર્ણ મુક્ત જાળીમાં ઓર્ડિનલ્સ જેટલા ઓછામાં ઓછા ઘણા ઘટકો હોય છે, અને આમ, સંપૂર્ણ મુક્ત જાળી સમૂહ તરીકે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકતી નથી, અને તેથી તે યોગ્ય વર્ગ હોવો જોઈએ. સંદર્ભો પીટર ટી. જ્હોનસ્ટોન, સ્ટોન સ્પેસ, કેમ્બ્રિજ સ્ટડીઝ ઇન એડવાન્સ્ડ મેથેમેટિક્સ 3, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ, 1982. () (પ્રકરણ 1 જુઓ) જાળી સિદ્ધાંત મુક્ત બીજગણિત રચનાઓ શબ્દો પર સંયોજન