Dirac algebra
ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ડીરાક બીજગણિત એ ક્લિફોર્ડ બીજગણિત છે. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રી પી. એ. એમ. ડીરાકે 1928માં ગામા મેટ્રિક્સની મેટ્રિક્સ રજૂઆત સાથે સ્પિન-કણો માટે ડીરાક સમીકરણ વિકસાવવા માટે આની રજૂઆત કરી હતી, જે બીજગણિતના જનરેટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ગામા મેટ્રિક્સ એ ચાર મેટ્રિક્સનો સમૂહ છે, જેમાં પ્રવેશો છે, એટલે કે, તેના ઘટકો સંતુષ્ટ કરે છે, જ્યાં પરંપરા દ્વારા, ઓળખ મેટ્રિક્સને જમણી બાજુએ દબાવવામાં આવ્યો છે. સંખ્યાઓ મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિકના ઘટકો છે. આ લેખ માટે અમે સહીને મોટે ભાગે માઇનસ, એટલે કે, નક્કી કરીએ છીએ. ડીરાક બીજગણિત એ પછી ઓળખનો રેખીય ગાળો, ગામા મેટ્રિસીસ તેમજ ગામા મેટ્રિસીસના કોઈપણ રેખીય સ્વતંત્ર ઉત્પાદનો છે. આ ક્ષેત્ર પર અથવા પરિમાણ સાથે મર્યાદિત-પરિમાણીય બીજગણિત બનાવે છે. બીજગણિત માટેનો આધાર બીજગણિતનો એક આધાર હોય છે જ્યાં દરેક અભિવ્યક્તિમાં, દરેક ગ્રીક અનુક્રમણિકા વધતી જાય છે કારણ કે આપણે જમણી તરફ આગળ વધીએ છીએ. ખાસ કરીને, અભિવ્યક્તિઓમાં કોઈ પુનરાવર્તિત અનુક્રમણિકા નથી. પરિમાણ ગણતરી દ્વારા, બીજગણિતનું પરિમાણ 16 છે. બીજગણિત એકલાની પેદાશો લઈને પેદા કરી શકાય છેઃ ઓળખ ઊભી થાય છે જ્યારે અન્ય સ્પષ્ટ રીતે બીજની પેદાશો છે. આ ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ જગ્યાને વિસ્તરે છે. આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે આપણી પાસે ખરેખર ચતુર્ભુજ શક્તિઓ અને લોરેન્ટ્ઝ બીજગણિત દ્વારા પેદા થયેલ ક્લિફોર્ડ બીજગણિતનો આધાર છે આ વિભાગમાં સિદ્ધાંત માટે, સાહિત્યમાં જોવા મળતી પરંપરાઓની ઘણી પસંદગીઓ છે, જે ઘણીવાર તેના પરિબળોને અનુરૂપ હોય છે. સ્પષ્ટતા માટે, અહીં આપણે જરૂરી આંકડાકીય પરિબળોની સંખ્યાને ઘટાડવા માટે પરંપરાઓ પસંદ કરીશું, પરંતુ જનરેટર હર્મિશિયનને બદલે હર્મિશિયન વિરોધી બની શકે છે. ક્લિફોર્ડ બીજગણિતની દ્વિઘાત પેટા જગ્યા લખવાની બીજી એક સામાન્ય રીત છેઃ સાથે. નોંધ લો. આને લખવાની બીજી એક રીત છે જે ત્યારે પણ લાગુ પડે છે જ્યારેઃ આ સ્વરૂપનો ઉપયોગ લોરેન્ટ્ઝ બીજગણિત (વાસ્તવિક સંમેલનો સાથે) ભૌતિકશાસ્ત્ર સંમેલનોની રજૂઆત દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક પરિબળનો સમાવેશ કરવો સામાન્ય પરંપરા છે, જેથી હર્મિશિયન સંયોજન (જ્યાં અવકાશ સમયના ગ્રીક સૂચકાંકોના સંદર્ભમાં ટ્રાન્સપોઝિંગ કરવામાં આવે છે) સિગ્મા જનરેટરનું 'હર્મિશિયન મેટ્રિક્સ' આપે છે, જેમાંથી માત્ર કૌંસની પ્રતિસામ્યતાને કારણે બિન-શૂન્ય હોય છે, અંદર લોરેન્ટ્ઝ બીજગણિતની ટેન્સર-રજૂઆતની છ-પરિમાણીય જગ્યાને વિસ્તરે છે. વધુમાં, તેઓ લાઈ બીજગણિતના પરિવર્તન સંબંધો ધરાવે છે, અને તેથી સ્પિન પ્રતિનિધિત્વની અંદર બેઠેલા લોરેન્ટ્ઝ બીજગણિત (પ્રતિનિધિત્વ જગ્યાને ફેલાવવા ઉપરાંત) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સ્પિન (1,3) મેટ્રિસીસ માટેનો ઘાતાંકીય નકશો સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. આ લોરેન્ટ્ઝ બીજગણિતને સંતોષે છે, અને લોરેન્ટ્ઝ જૂથના સ્પિન જૂથના પ્રતિનિધિત્વને સૂચિત કરે છે (સખત રીતે, ઓળખ સાથે જોડાયેલ ભાવિ-નિર્દેશિત ભાગ). તે પછી આ રજૂઆતના સ્પિન જનરેટર છે. આપણે ભારપૂર્વક કહીએ છીએ કે તે પોતે એક મેટ્રિક્સ છે, મેટ્રિક્સના ઘટકો નહીં. એક જટિલ મેટ્રિક્સ તરીકે તેના ઘટકોને મૂળાક્ષરની શરૂઆતથી ગ્રીક અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પરંપરા દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે. સ્પિનોર પરની ક્રિયા, જે આ સેટિંગમાં વેક્ટર સ્પેસનું એક તત્વ છે, અથવા ઘટકોમાં, આ સ્પિનોર પર અનંત લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તનને અનુરૂપ છે. પછી મર્યાદિત લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન, ઘટકો દ્વારા પરિમાણિત (અસમપ્રમાણતામાં વિરોધી) ને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. માટે અનુરૂપ પરિવર્તન છે. આ સાથે, ડીરાક લાગ્રેન્જિયન જેવા લાગ્રેન્જિયનોના નિર્માણ માટે લોરેન્ટ્ઝ અપરિવર્તનશીલ જથ્થાનું નિર્માણ કરવું સરળ બને છે. ક્વાર્ટિક પાવર ક્વાર્ટિક સબસ્પેસમાં એક જ આધાર તત્વ હોય છે, જ્યાં સંપૂર્ણપણે એન્ટિસિમેટ્રિક ટેન્સર હોય છે જેમ કે પરંપરા દ્વારા. આ કોઈપણ બે અડીને આવેલા ગામા મેટ્રિસીસના વિનિમય હેઠળ અસમપ્રમાણતા વિરોધી છે. γ5 જટિલ ગાળાને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, આ આધાર તત્વને વૈકલ્પિક રીતે વધુ વિગતો તરીકે લઈ શકાય છે. વોલ્યુમ સ્વરૂપ તરીકે ક્વાર્ટિક તત્વની કુલ એન્ટીસિમેટ્રી દ્વારા, તેને વોલ્યુમ સ્વરૂપ ગણી શકાય. હકીકતમાં, આ અવલોકન બાહ્ય બીજગણિતના સામાન્યીકરણ તરીકે ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રાની ચર્ચા સુધી વિસ્તરે છેઃ બંને ટેન્સર બીજગણિતના ભાગાકાર તરીકે ઉદ્ભવે છે, પરંતુ બાહ્ય બીજગણિત વધુ પ્રતિબંધિત ભાગ આપે છે, જ્યાં વિરોધી કોમ્યુટર્સ બધા અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ડીરાક અને ક્લેઇન-ગોર્ડન સમીકરણમાંથી વ્યુત્પત્તિ ગામા તત્વોનું વ્યાખ્યાયિત સ્વરૂપ મેળવી શકાય છે જો કોઈ વ્યક્તિ ડીરાક સમીકરણઃ અને ક્લેઇન-ગોર્ડન સમીકરણઃ નું સહપરિવર્તન સ્વરૂપ ધારણ કરે અને આ સમીકરણો સુસંગત પરિણામો તરફ દોરી જાય તે જરૂરી છે. સુસંગતતાની જરૂરિયાતમાંથી વ્યુત્પત્તિ (સાબિતી). ડીરાક સમીકરણને તેના સંયુગ્મિત સમીકરણ દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી ઉપજ મળે છેઃ ક્લેઇન-ગોર્ડન સમીકરણ સાથે સુસંગતતાની માંગ તરત જ નીચે તરફ દોરી જાય છેઃ જ્યાં એન્ટિકોમ્યુટેટર છે, તે સિગ્નેચર (+ −−) સાથે મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિક છે અને તે 4x4 એકમ મેટ્રિક્સ છે. સી. એલ. 1,3 (સી) અને સી. એલ. 1,3 (આર) ડાયરેક બીજગણિતને વાસ્તવિક અવકાશ સમયના બીજગણિત સી. એલ. 1,3 () ની જટિલતા તરીકે ગણી શકાયઃ સી. એલ. 1,3 () એ સી. એલ. 1,3 () થી અલગ છેઃ સી. એલ. 1,3 () માં માત્ર ગામા મેટ્રિક્સના વાસ્તવિક રેખીય સંયોજનો અને તેમના ઉત્પાદનોને મંજૂરી છે. ભૌમિતિક બીજગણિતના સમર્થકો જ્યાં પણ શક્ય હોય ત્યાં વાસ્તવિક બીજગણિત સાથે કામ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. તેઓ દલીલ કરે છે કે ભૌતિક સમીકરણમાં કાલ્પનિક એકમની હાજરીને ઓળખવી સામાન્ય રીતે શક્ય (અને સામાન્ય રીતે જ્ઞાનવર્ધક) છે. આવા એકમો વાસ્તવિક ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાં ઘણા જથ્થાઓમાંથી એકમાંથી ઉદ્ભવે છે જે −1 નો વર્ગ કરે છે, અને બીજગણિતના ગુણધર્મો અને તેની વિવિધ પેટા જગ્યાઓની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે આ ભૌમિતિક મહત્વ ધરાવે છે. આમાંના કેટલાક સમર્થકો એ પણ પ્રશ્ન કરે છે કે શું ડીરાક સમીકરણના સંદર્ભમાં વધારાના કાલ્પનિક એકમને રજૂ કરવું જરૂરી છે કે ઉપયોગી પણ છે. રીમાનિયન ભૂમિતિના ગણિતમાં, મનસ્વી પરિમાણો માટે ક્લિફોર્ડ બીજગણિત સી. એલ. પી., q () ને વ્યાખ્યાયિત કરવું પરંપરાગત છે; વેઇલ સ્પિનર્સનું વિરોધી વિનિમય ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાંથી કુદરતી રીતે ઉભરી આવે છે. વેઇલ સ્પિનરો સ્પિન જૂથની ક્રિયા હેઠળ પરિવર્તિત થાય છે. સ્પિન જૂથની જટિલતા, જેને સ્પિન જૂથ કહેવાય છે, તે ઉત્પાદન સાથેના વર્તુળ સાથેના સ્પિન જૂથનું ઉત્પાદન છે, જેને ઓળખવા માટે માત્ર એક સાંકેતિક ઉપકરણ છે. આનો ભૌમિતિક મુદ્દો એ છે કે તે વાસ્તવિક સ્પિનોરને વિચ્છેદિત કરે છે, જે લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન હેઠળ સહપરિવર્તનશીલ હોય છે, જે ઘટકમાંથી, જેને વિદ્યુતચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના ફાઇબર સાથે ઓળખી શકાય છે. ડાયરેક કણ/વિરોધી કણોની સ્થિતિને સંબંધિત કરવા માટે યોગ્ય રીતે ગૂંચવણભરી સમાનતા અને ચાર્જ જોડાણ છે (સમકક્ષ રીતે, વેઇલ ધોરણે કાયરલ સ્થિતિઓ). બાયસ્પિનર, જ્યાં સુધી તે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડાબી અને જમણી ઘટકો ધરાવે છે, તે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે. આ મજોરાના સ્પિનોર અને ELKO સ્પિનોરથી વિપરીત છે, જે (એટલે કે. તેઓ વિદ્યુત તટસ્થ છે), કારણ કે તેઓ સ્પષ્ટ રીતે સ્પિનોરને અવરોધે છે જેથી જટિલતાથી આવતા ભાગ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ન થાય. જ્યાં સુધી ચાર્જ અને સમાનતાની રજૂઆત પરંપરાગત ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત પાઠ્યપુસ્તકોમાં ગૂંચવણભર્યો વિષય હોઈ શકે છે, ત્યાં સુધી સામાન્ય ભૌમિતિક સેટિંગમાં આ વિષયોની વધુ કાળજીપૂર્વક વિચ્છેદન સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ક્લિફોર્ડ બીજગણિતના પ્રમાણભૂત ખુલાસાઓ પ્રથમ સિદ્ધાંતોમાંથી વેલ સ્પિનર્સનું નિર્માણ કરે છે; કે તેઓ "આપમેળે" એન્ટિ-કોમ્યુટ એ બાંધકામનું એક ભવ્ય ભૌમિતિક ઉપ-ઉત્પાદન છે, જે પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતને અપીલ કરતી કોઈપણ દલીલોને સંપૂર્ણપણે બાયપાસ કરે છે (અથવા કેટલીકવાર સામાન્ય સંવેદના કે ગ્રાસમેન ચલોને એડ હૉક દલીલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.) સમકાલીન ભૌતિકશાસ્ત્ર વ્યવહારમાં, ડીરાક બીજગણિત અવકાશ સમય બીજગણિતને બદલે ડીરાક સમીકરણ "જીવંત" ના સ્પિનરો પ્રમાણભૂત વાતાવરણ તરીકે ચાલુ રહે છે. ઉચ્ચ-પરિમાણીય ગામા મેટ્રિક્સ ફિયર્ઝ ઓળખ સંદર્ભો ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રા બીજગણિત પણ જુઓ.