Quadrature domains
પોટેન્શિયલ થિયરી તરીકે ઓળખાતી ગણિતની શાખામાં, દ્વિ-પરિમાણીય વાસ્તવિક યુક્લિડિયન અવકાશમાં ચતુર્ભુજ ક્ષેત્ર એ D ના મર્યાદિત સબસેટ (z1,., zk) સાથે ડોમેન D (એક ખુલ્લો જોડાયેલ સમૂહ) છે, જે વિસ્તાર માપના સંદર્ભમાં D પર સુસંગત અને સંકલિત દરેક કાર્ય માટે, આ માપના સંદર્ભમાં u નું અભિન્ન અંગ "ચતુર્ભુજ સૂત્ર" દ્વારા આપવામાં આવે છે; એટલે કે, જ્યાં cj એ u થી સ્વતંત્ર બિન-શૂન્ય જટિલ અચળાંકો છે. સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણ એ છે કે જ્યારે D એક ગોળાકાર ડિસ્ક હોયઃ અહીં k = 1, z1 એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, અને c1 એ D ના ક્ષેત્રફળની બરાબર છે. તે ચતુર્ભુજ સૂત્ર ડિસ્કના સંદર્ભમાં હાર્મોનિક કાર્યોના સરેરાશ મૂલ્ય ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે. તે જાણીતું છે કે k ના તમામ મૂલ્યો માટે ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. 2 કરતા મોટા પરિમાણ d ની યુક્લિડિયન જગ્યામાં ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રોની સમાન વ્યાખ્યા છે. ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રોનું વૈકલ્પિક, વિદ્યુતસ્થૈતિક અર્થઘટન પણ છેઃ ડોમેન D એ ચતુર્ભુજ ક્ષેત્ર છે જો D પર વિદ્યુત ચાર્જનું સમાન વિતરણ D ની બહાર સમાન વિદ્યુતસ્થૈતિક ક્ષેત્ર બનાવે છે જેમ કે બિંદુ z1,., zk પર બિંદુ ચાર્જનું k-ટુપલ કરે છે. ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રો અને તેના સંખ્યાબંધ સામાન્યીકરણ (દા. ત., વિસ્તાર માપને ડીની સીમા પર લંબાઈ માપ દ્વારા બદલો) તાજેતરના વર્ષોમાં વિવિધ જોડાણોમાં જોવા મળ્યા છે જેમ કે ન્યુટોનિયન ગુરુત્વાકર્ષણની વ્યસ્ત સમસ્યાઓ, ચીકણું પ્રવાહીના હેલ-શૉ પ્રવાહ અને શુદ્ધ ગાણિતિક આઇસોપેરિમેટ્રિક સમસ્યાઓ, અને તેમાં રસ સતત વધી રહ્યો હોવાનું જણાય છે. તેઓ 2003 માં સાન્ટા બાર્બરા ખાતે યુનિવર્સિટી ઓફ કેલિફોર્નિયા ખાતે આંતરરાષ્ટ્રીય પરિષદનો વિષય હતા અને તે તારીખની અદ્યતન સ્થિતિ બિરખુસર વેર્લાગ દ્વારા પ્રકાશિત તે પરિષદની કાર્યવાહીમાં જોઈ શકાય છે. સંદર્ભો સંભવિત સિદ્ધાંત