Hodge structure
ગણિતમાં, હોજ માળખું, જેનું નામ ડબલ્યુ. વી. ડી. હોજ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે રેખીય બીજગણિતના સ્તરે એક બીજગણિત માળખું છે, જે હોજ સિદ્ધાંત એક સરળ અને સઘન કેલર મેનીફોલ્ડના કોહોમોલોજી જૂથોને આપે છે. પિયરે ડેલીગ્ને (1970) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મિશ્ર હોજ માળખાના સ્વરૂપમાં તમામ જટિલ જાતો (ભલે તે એકવચન અને અપૂર્ણ હોય) માટે હોજ માળખાઓનું સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું છે. હોજ માળખાની વિવિધતા એ હોજ માળખાઓનું એક કુટુંબ છે જે મેનીફોલ્ડ દ્વારા પરિમાણિત છે, જેનો પ્રથમ અભ્યાસ ફિલિપ ગ્રિફિથ્સ (1968) દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. આ તમામ વિભાવનાઓને મોરિહિકો સૈતો (1989) દ્વારા જટિલ જાતો પર મિશ્ર હોજ મોડ્યુલોમાં વધુ સામાન્ય બનાવવામાં આવી હતી. હોજ માળખાઓની વ્યાખ્યા પૂર્ણાંક વજન nનું શુદ્ધ હોજ માળખું એક અબેલિયન જૂથ ધરાવે છે અને તેના જટિલતા Hનું જટિલ પેટા જગ્યાઓના સીધા સરવાળામાં વિઘટન કરે છે, જ્યાં, જે ગુણધર્મ સાથે જટિલ સંયુગ્મ છેઃ હોજ ગાળણ દ્વારા Hના સીધા સરવાળાના વિઘટનને બદલીને સમકક્ષ વ્યાખ્યા મેળવવામાં આવે છે, જે જટિલ પેટા જગ્યાઓ દ્વારા Hનું મર્યાદિત ઘટતું ગાળણ આ શરતને આધિન હોય છે. આ બે વર્ણનો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, જો X એ કોમ્પેક્ટ કહલર મેનીફોલ્ડ હોય, તો તે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે Xનું n-th કોહોમોલોજી જૂથ છે, તો પછી તેની n-th કોહોમોલોજી છે. બીજગણિત ભૂમિતિમાં ઉપયોગો માટે, એટલે કે, તેમના સમયગાળા દ્વારા જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જાતોનું વર્ગીકરણ, n પર વજનની તમામ હોજ રચનાઓનો સમૂહ ખૂબ મોટો છે. રીમાન દ્વિપાર્શ્વ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને, આ કિસ્સામાં જેને હોજ રીમાન દ્વિપાર્શ્વ સંબંધ કહેવાય છે, તેને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકાય છે. વજન n ના ધ્રુવીકૃત હોજ માળખામાં હોજ માળખું અને બિન-અપક્ષયી પૂર્ણાંક દ્વિરેખીય સ્વરૂપ Q (ધ્રુવીકરણ) નો સમાવેશ થાય છે, જે રેખીયતા દ્વારા H સુધી વિસ્તૃત થાય છે, અને શરતોને સંતોષ આપે છેઃ હોજ ગાળણની દ્રષ્ટિએ, આ શરતો સૂચવે છે કે જ્યાં C એ H પર વેઇલ ઓપરેટર છે, જે દ્વારા આપવામાં આવે છે. હોજ માળખાની બીજી વ્યાખ્યા જટિલ વેક્ટર જગ્યા પર-ગ્રેડિંગ અને વર્તુળ જૂથ U (1) ની ક્રિયા વચ્ચેની સમાનતા પર આધારિત છે. આ વ્યાખ્યામાં, દ્વિ-પરિમાણીય વાસ્તવિક બીજગણિત ટોરસ તરીકે જોવામાં આવતા જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકાર જૂથની ક્રિયા H પર આપવામાં આવે છે. આ ક્રિયામાં એ ગુણધર્મ હોવો જોઈએ કે વાસ્તવિક સંખ્યા a દ્વારા કાર્ય કરે છે. સબસ્પેસ એ સબસ્પેસ છે જેના પર એ-હોજ માળખા દ્વારા ગુણાકાર તરીકે કાર્ય કરે છે હેતુઓના સિદ્ધાંતમાં, કોહોમોલોજી માટે વધુ સામાન્ય ગુણાંકને મંજૂરી આપવી મહત્વપૂર્ણ બને છે. હોજ માળખાની વ્યાખ્યામાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રની નોથેરિયન સબરીંગ A નક્કી કરીને ફેરફાર કરવામાં આવે છે, જેના માટે એક ક્ષેત્ર છે. પછી વજન n ની શુદ્ધ હોજ A-રચનાને પહેલાની જેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે A સાથે બદલાય છે. બી ની સબરીંગ એ માટે હોજ એ-સ્ટ્રક્ચર્સ અને બી-સ્ટ્રક્ચર્સને લગતા આધાર પરિવર્તન અને પ્રતિબંધના કુદરતી પરિબળો છે. મિશ્ર હોજની રચનાઓ 1960ના દાયકામાં જીન-પિયરે સેરે દ્વારા વેઇલ અનુમાનના આધારે નોંધવામાં આવી હતી કે એકવચન (સંભવતઃ ઘટાડી શકાય તેવું) અને બિન-પૂર્ણ બીજગણિત જાતોએ પણ 'વર્ચ્યુઅલ બેટ્ટી નંબરો' સ્વીકારવા જોઈએ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, કોઈ પણ બીજગણિત વિવિધતા X ને બહુપદી PX (t) સોંપવા માટે સક્ષમ હોવું જોઈએ, જેને તેની વર્ચ્યુઅલ પોઇનકેર બહુપદી કહેવાય છે, ગુણધર્મો સાથે જો X એ બિન-કોણીય અને પ્રોજેક્ટિવ (અથવા સંપૂર્ણ) હોય તો જો Y એ X અને U = X\Y નો બંધ બીજગણિત સબસેટ હોય તો આવી બહુપદીઓનું અસ્તિત્વ સામાન્ય (એકવચન અને બિન-પૂર્ણ) બીજગણિત વિવિધતાના કોહોમોલોજીમાં હોજ સ્ટ્રક્ચરના એનાલોગના અસ્તિત્વથી અનુસરશે. નવલકથા એ છે કે સામાન્ય વિવિધતાની n મી કોહોમોલોજી એવું લાગે છે કે તેમાં વિવિધ વજનના ટુકડાઓ છે. આનાથી એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક તેમના હેતુઓના અનુમાનિત સિદ્ધાંત તરફ દોરી ગયા અને હોજ સિદ્ધાંતના વિસ્તરણ માટે શોધને પ્રેરિત કરી, જે પિયરે ડેલીગ્નેના કાર્યમાં પરાકાષ્ઠાએ પહોંચી. તેમણે મિશ્ર હોજ માળખાની કલ્પના રજૂ કરી, તેમની સાથે કામ કરવા માટેની તકનીકો વિકસાવી, તેમની રચના કરી (હેઇસુકે હિરોનાકાના એકતાના ઠરાવ પર આધારિત) અને તેમને એલ-એડિક કોહોમોલોજી પરના વજન સાથે સંબંધિત કરી, જે વેઇલ અનુમાનોનો છેલ્લો ભાગ સાબિત કરે છે. વળાંકનું ઉદાહરણ વ્યાખ્યાને પ્રેરિત કરવા માટે, ઘટાડી શકાય તેવા જટિલ બીજગણિત વળાંક X ના કેસને ધ્યાનમાં લો, જેમાં બે બિન-કોણીય ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, અને, જે બિંદુઓ અને બિંદુઓ પર આંતરછેદ કરે છે. વધુમાં, ધારો કે ઘટકો સઘન નથી, પરંતુ બિંદુઓ ઉમેરીને સઘન કરી શકાય છે. વળાંક X નું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ (સઘન આધાર સાથે) પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ સાથે દ્વિગુણિત છે, જેની કલ્પના કરવી સરળ છે. આ જૂથમાં ત્રણ પ્રકારના એક ચક્ર છે. પ્રથમ, પંચરની આસપાસ નાના લૂપનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા તત્વો છે. પછી એવા તત્વો છે જે દરેક ઘટકોના કોમ્પેક્ટિફિકેશનના પ્રથમ સમરૂપતામાંથી આવી રહ્યા છે. આ ઘટકના કોમ્પેક્ટિફિકેશનમાં ચક્રને અનુરૂપ () માં એક ચક્ર, કેનોનિકલ નથીઃ આ ઘટકો નો સમયગાળો મોડ્યુલો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. છેવટે, મોડ્યુલો પ્રથમ બે પ્રકારો, જૂથ એક સંયુક્ત ચક્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે જે એક ઘટકમાં એક માર્ગથી આગળ જાય છે અને બીજા ઘટકમાં એક માર્ગ સાથે પાછા આવે છે. આ સૂચવે છે કે વધતા ગાળણને સ્વીકારે છે, જેના ક્રમિક અવતરણો Wn/Wn−1 સરળ સંપૂર્ણ જાતોના કોહોમોલોજીમાંથી ઉદ્ભવે છે, તેથી વિવિધ વજન હોવા છતાં (શુદ્ધ) હોજ માળખાને સ્વીકારે છે. વધુ ઉદાહરણો "એ નાઇવ ગાઇડ ટુ મિક્સ્ડ હોજ થિયરી" માં મળી શકે છે. મિશ્ર હોજ માળખાની વ્યાખ્યા એબેલિયન જૂથ પર મિશ્ર હોજ માળખામાં જટિલ વેક્ટર જગ્યા H (ની જટિલતા) પર મર્યાદિત ઘટતા ગાળણ Fpનો સમાવેશ થાય છે, જેને હોજ ગાળણ કહેવાય છે અને તર્કસંગત વેક્ટર જગ્યા પર મર્યાદિત વધતા ગાળણ વાઈ (સ્કેલરને તર્કસંગત સંખ્યાઓ સુધી લંબાવીને મેળવવામાં આવે છે), જેને વજન ગાળણ કહેવાય છે, જે જરૂરિયાતને આધિન છે કે વજન ગાળણના સંદર્ભમાં n-th સંબંધિત ક્રમિક ભાગ, તેની જટિલતા પર F દ્વારા પ્રેરિત ગાળણ સાથે, વજન n નું શુદ્ધ હોજ માળખું છે, તમામ પૂર્ણાંક n માટે. અહીં પ્રેરિત ગાળણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મિશ્ર હોજ માળખાં એબેલિયન શ્રેણી બનાવે છે. આ શ્રેણીમાં કર્નલો અને કોકર્નલો વેક્ટર સ્પેસની શ્રેણીમાં સામાન્ય કર્નલો અને કોકર્નલો સાથે પ્રેરિત ગાળણક્રિયા સાથે મેળ ખાય છે. કોમ્પેક્ટ કહલર મેનીફોલ્ડની કુલ કોહોમોલોજી મિશ્ર હોજ માળખું ધરાવે છે, જ્યાં વજન ગાળણ Wn ની n મી જગ્યા એ n કરતા ઓછી અથવા સમાન ડિગ્રીના કોહોમોલોજી જૂથો (તર્કસંગત ગુણાંક સાથે) નો સીધો સરવાળો છે. તેથી, કોમ્પેક્ટ, જટિલ કેસમાં ક્લાસિકલ હોજ થિયરીને જટિલ કોહોમોલોજી જૂથ પર ડબલ ગ્રેડિંગ પ્રદાન કરવા તરીકે વિચારી શકાય છે, જે વધતા ગાળણ Fp અને ઘટતા ગાળણ Wn ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે ચોક્કસ રીતે સુસંગત છે. સામાન્ય રીતે, કુલ કોહોમોલોજી જગ્યામાં હજુ પણ આ બે ગાળણ હોય છે, પરંતુ તેઓ હવે સીધા સરવાળા વિઘટનમાંથી આવતા નથી. શુદ્ધ હોજ માળખાની ત્રીજી વ્યાખ્યાના સંબંધમાં, કોઈ કહી શકે છે કે મિશ્ર હોજ માળખું જૂથની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાતું નથી. ડિલિગ્નેની એક મહત્વપૂર્ણ સમજ એ છે કે મિશ્ર કિસ્સામાં વધુ જટિલ બિનપરિવર્તનશીલ પ્રોલજેબ્રિક જૂથ છે જેનો ઉપયોગ તન્નાકીયન ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ કરીને સમાન અસર માટે કરી શકાય છે. વધુમાં, (મિશ્ર) હોજ માળખાઓની શ્રેણી ટેન્સર ઉત્પાદનની સારી કલ્પનાને સ્વીકારે છે, જે જાતોના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે, તેમજ આંતરિક હોમ અને બેવડા પદાર્થની સંબંધિત વિભાવનાઓને સ્વીકારે છે, જે તેને તન્નાકીયન શ્રેણીમાં બનાવે છે. તન્નાકા-ક્રેઇન ફિલસૂફી અનુસાર, આ શ્રેણી ચોક્કસ જૂથની મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતોની શ્રેણીની સમકક્ષ છે, જે ડીલિગ્ને, મિલ્ને અને એટ એલ છે. સ્પષ્ટપણે વર્ણવેલ છે, જુઓ અને. આ જૂથનું વર્ણન વધુ ભૌમિતિક દ્રષ્ટિએ પુનઃરચના કરવામાં આવ્યું હતું. તર્કસંગત શુદ્ધ ધ્રુવીકરણ હોજ માળખાઓ માટે અનુરૂપ (વધુ સામેલ) વિશ્લેષણ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. કોહોમોલોજીમાં મિશ્ર હોજ માળખું (ડેલીગ્નેનો પ્રમેય) ડેલીગ્ને સાબિત કર્યું છે કે મનસ્વી બીજગણિત વિવિધતાના nમા કોહોમોલોજી જૂથમાં કેનોનિકલ મિશ્ર હોજ માળખું છે. આ માળખું કાર્યાત્મક છે, અને જાતોના ઉત્પાદનો (કુનેથ આઇસોમોર્ફિઝમ) અને કોહોમોલોજીમાં ઉત્પાદન સાથે સુસંગત છે. સંપૂર્ણ નોન-સિંગ્યુલર વિવિધતા X માટે આ માળખું વજન n નું શુદ્ધ છે, અને હોજ ગાળણને કાપેલા ડી રામ સંકુલના હાયપરકોહોમોલોજી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સાબિતીમાં આશરે બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, જે બિન-કોમ્પેક્ટનેસ અને સિંગ્યુલારીટીનું ધ્યાન રાખે છે. બંને ભાગો અનિવાર્ય રીતે (હિરોનાકાને કારણે) એકતાના સંકલ્પનો ઉપયોગ કરે છે. એકવચન કિસ્સામાં, જાતોને સરળ યોજનાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે વધુ જટિલ સમરૂપ બીજગણિત તરફ દોરી જાય છે, અને સંકુલ પર હોજ માળખાની તકનીકી કલ્પનાનો ઉપયોગ થાય છે (કોહોમોલોજીના વિરોધમાં). હેતુઓના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, અભિન્ન ગુણાંક સાથે તર્કસંગત ગુણાંક સાથે કોહોમોલોજી પર વજન ગાળણને સુધારવું શક્ય છે. ઉદાહરણો ટેટ-હોજ માળખું એ હોજ માળખું છે જે (એક પેટાજૂથ) દ્વારા આપવામાં આવેલ અંતર્ગત મોડ્યુલ સાથે છે, તેથી તે વ્યાખ્યા દ્વારા વજન −2નું શુદ્ધ છે અને તે આઇસોમોર્ફિઝમ્સ સુધી વજન −2નું અનન્ય 1-પરિમાણીય શુદ્ધ હોજ માળખું છે. વધુ સામાન્ય રીતે, તેની n મી ટેન્સર શક્તિ તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જે 1-પરિમાણીય અને શુદ્ધ વજન −2n છે. કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડની કોહોમોલોજી હોજ માળખું ધરાવે છે, અને nth કોહોમોલોજી જૂથ વજન n નું શુદ્ધ છે. જટિલ વિવિધતા (સંભવતઃ એકવચન અથવા બિન-યોગ્ય) ની કોહોમોલોજી મિશ્ર હોજ માળખું ધરાવે છે. આ દ્વારા અને સામાન્ય રીતે દ્વારા સરળ જાતો માટે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. સામાન્ય ક્રોસિંગ સિંગ્યુલારીટી સાથે પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા માટે ડીજનરેટ E2-પૃષ્ઠ સાથે વર્ણપટ ક્રમ હોય છે જે તેની તમામ મિશ્ર હોજ રચનાઓની ગણતરી કરે છે. E1-પાનામાં સ્પષ્ટ શબ્દો છે જે એક સરળ સમૂહમાંથી આવતા તફાવત સાથે આવે છે. કોઈપણ સ્મૂથ વેરાયટી X સામાન્ય ક્રોસિંગ વિભાજકના પૂરક સાથે સ્મૂથ કોમ્પેક્ટિફિકેશન સ્વીકારે છે. અનુરૂપ લઘુગણક સ્વરૂપોનો ઉપયોગ X ના કોહોમોલોજી પર મિશ્ર હોજ માળખાને સ્પષ્ટપણે વર્ણવવા માટે થઈ શકે છે. ડિગ્રીના સરળ પ્રોજેક્ટિવ હાઇપરસર્ફેસ માટે હોજ માળખું ગ્રિફિથ્સ દ્વારા તેમના "પીરિયડ ઇન્ટિગ્રલ્સ ઓફ આલ્જેબ્રિક મેનિફોલ્ડ્સ" પેપરમાં સ્પષ્ટપણે તૈયાર કરવામાં આવ્યું હતું. જો બહુપદી હાયપરસર્ફેસને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તો ગ્રેડેડ જેકોબિયન કોશન્ટ રિંગમાં મધ્ય કોહોમોલોજીની તમામ માહિતી હોય છે. તે બતાવે છે કે ઉદાહરણ તરીકે, દ્વારા આપવામાં આવેલી K3 સપાટીને ધ્યાનમાં લો, તેથી અને. પછી, ગ્રેડેડ જેકોબિયન રીંગ એ પ્રિમિટિવ કોહોમોલોજી જૂથો માટે આઇસોમોર્ફિઝમ છે અને પછી તેને વાંચીને નોંધ લો કે તે વેક્ટર સ્પેસ છે જે 19-પરિમાણીય છે. લેફશેટ્ઝ વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવેલ એક વધારાનું વેક્ટર છે. લેફશેટ્ઝ હાયપરપ્લેન થીયરમ અને હોજ ડ્યૂઅલિટીમાંથી, બાકીની કોહોમોલોજી-પરિમાણીય છે. તેથી હોજ ડાયમંડ વાંચે છે કે આપણે ડિગ્રી પ્લેન કર્વની જીનસને ચકાસવા માટે અગાઉના આઇસોમોર્ફિઝમનો પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. કારણ કે તે એક સરળ વળાંક છે અને એહરેસમેન ફાઇબ્રેશન થીયરમ બાંહેધરી આપે છે કે જીનસનું દરેક અન્ય સરળ વળાંક ડિફિયોમોર્ફિક છે, આપણી પાસે તે જ જીનસ છે. તેથી, જેકોબિયન રિંગના ગ્રેડેડ ભાગ સાથે પ્રિમિટિવ કોહોમોલોજીના આઇસોમોર્ફિઝમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે આ સૂચવે છે કે પરિમાણ ઇચ્છિત છે. સંપૂર્ણ આંતરછેદ માટે હોજ સંખ્યાઓ પણ સહેલાઈથી ગણતરીપાત્ર છેઃ ફ્રેડરિક હિરઝેબ્રુક દ્વારા એક સંયુક્ત સૂત્ર મળી આવ્યું છે. એપ્લિકેશન્સ હોજની રચના અને મિશ્ર હોજની રચનાની કલ્પનાઓ પર આધારિત મશીનરી એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા કલ્પના કરાયેલા હેતુઓના હજી પણ મોટા પ્રમાણમાં અનુમાનિત સિદ્ધાંતનો એક ભાગ બનાવે છે. નોન-સિંગ્યુલર બીજગણિત વિવિધતા X માટે અંકગણિત માહિતી, જે તેના l-adic કોહોમોલોજી પર કામ કરતા ફ્રોબેનિયસ તત્વોના આઈગન વેલ્યુ દ્વારા એન્કોડ કરવામાં આવે છે, તે જટિલ બીજગણિત વિવિધતા તરીકે ગણવામાં આવતા X માંથી ઉદ્ભવતા હોજ માળખા સાથે કંઈક સામાન્ય છે. સર્ગેઇ ગેલફાન્ડ અને યુરી મનિને 1988ની આસપાસ તેમના મેથોડ્સ ઓફ હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં ટિપ્પણી કરી હતી કે, અન્ય કોહોમોલોજી જૂથો પર કામ કરતી ગેલોઇસ સમપ્રમાણતાઓથી વિપરીત, "હોજ સમપ્રમાણતા" નું મૂળ ખૂબ જ રહસ્યમય છે, જો કે ઔપચારિક રીતે, તેઓ ડી રામ કોહોમોલોજી પર એકદમ સરળ જૂથની ક્રિયા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. ત્યારથી, અરીસાની સમપ્રમાણતાની શોધ અને ગાણિતિક રચના સાથે રહસ્ય વધુ ઊંડું થયું છે. હોજ માળખાની વિવિધતા હોજ માળખાની વિવિધતા (,,) એ જટિલ મેનીફોલ્ડ X દ્વારા પરિમાણિત હોજ માળખાઓનું એક કુટુંબ છે. વધુ ચોક્કસપણે જટિલ મેનીફોલ્ડ X પર વજન n ના હોજની રચનાની વિવિધતામાં X પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા અબેલિયન જૂથોના સ્થાનિક રીતે સ્થિર આવરણ S નો સમાવેશ થાય છે, સાથે સાથે S′OX પર ઘટતા હોજ ગાળણ F સાથે, નીચેની બે શરતોને આધિન છેઃ ગાળણ આવરણ S (ગ્રિફિથ્સ ટ્રાન્સવર્સાલિટી) ના દરેક દાંડી પર વજન n નું હોજ માળખું પ્રેરિત કરે છે. આ કુદરતી સપાટ જોડાણ ગૌસ-મેનિન જોડાણ છે અને તેને પિકાર્ડ-ફ્યુચ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. મિશ્ર હોજ માળખાની વિવિધતાને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં ગ્રેડિંગ અથવા ફિલ્ટરેશન W ને S માં ઉમેરી શકાય છે. લાક્ષણિક ઉદાહરણો બીજગણિત મોર્ફિઝમ્સમાંથી મળી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેમાં તંતુઓ હોય છે જે જીનસ 10 માટે સરળ સમતલ વળાંક હોય છે અને એકવચન વળાંકમાં અધોગતિ પામે છે. હોજ મોડ્યુલો એ જટિલ મેનીફોલ્ડ પર હોજ માળખાઓની વિવિધતાનું સામાન્યીકરણ છે. તેમને અનૌપચારિક રીતે હોજ માળખાના આવરણ જેવા કંઈક તરીકે ગણી શકાય; ચોક્કસ વ્યાખ્યા તેના બદલે તકનીકી અને જટિલ છે. મિશ્ર હોજ મોડ્યુલો અને એકવચનતા સાથે મેનીફોલ્ડ્સ માટે સામાન્યીકરણ છે. દરેક સરળ જટિલ વિવિધતા માટે, તેની સાથે સંકળાયેલા મિશ્ર હોજ મોડ્યુલોની એક અબેલિયન શ્રેણી છે. આ ઔપચારિક રીતે મેનીફોલ્ડ્સ પર શીવ્સની શ્રેણીઓની જેમ વર્તે છે; ઉદાહરણ તરીકે, મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે f મોર્ફિઝમ્સ f *, f *, f!, f! શીવ્સ માટેના સમાન મિશ્ર હોજ મોડ્યુલો વચ્ચે (વ્યુત્પન્ન શ્રેણીઓ). મિશ્ર હોજ માળખું હોજ અનુમાન જેકોબિયન આદર્શ હોજ-ટેટ માળખું પણ જુઓ, જે હોજ માળખાઓનું પી-એડિક એનાલોગ છે. નોંધો પ્રારંભિક સંદર્ભો (શીફ કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને હોજ નંબરોની ગણતરી કરવા માટે સાધનો આપે છે) મિશ્ર હોજ થિયરી માટે નિષ્કપટ માર્ગદર્શિકા (ભારિત સજાતીય બહુપદીના એફાઇન મિલ્નર ફાઇબરની મિશ્ર હોજ સંખ્યાઓ માટે સૂત્ર અને જનરેટર આપે છે, અને ભારિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં ભારિત સજાતીય બહુપદીઓના પૂરક માટેનું સૂત્ર પણ આપે છે.) સર્વેક્ષણ લેખો સંદર્ભો આ જટિલ વિવિધતાના કોહોમોલોજી પર મિશ્ર હોજ માળખું બનાવે છે. આ જટિલ વિવિધતાના કોહોમોલોજી પર મિશ્ર હોજ માળખું બનાવે છે. આ જટિલ વિવિધતાના કોહોમોલોજી પર મિશ્ર હોજ માળખું બનાવે છે. . આ લેખની ટિપ્પણીવાળી આવૃત્તિ જે. મિલ્નેના હોમપેજ પર મળી શકે છે. હોમોલોજિકલ બીજગણિત હોજ સિદ્ધાંત બહુવિધ રચનાઓ