Heston model
નાણામાં, હેસ્ટન મોડેલ, જેનું નામ સ્ટીવન એલ. હેસ્ટનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે એક ગાણિતિક મોડેલ છે જે અંતર્ગત સંપત્તિની અસ્થિરતાના ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે. તે એક સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી મોડેલ છેઃ આવા મોડેલ ધારે છે કે સંપત્તિની વોલેટિલિટી સ્થિર નથી, ન તો નિર્ધારક પણ નથી, પરંતુ એક અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાને અનુસરે છે. મૂળભૂત હેસ્ટન મોડેલ મૂળભૂત હેસ્ટન મોડેલ ધારે છે કે સેન્ટ, સંપત્તિની કિંમત, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં, તાત્કાલિક ભિન્નતા, ફેલર સ્ક્વેર-રૂટ અથવા સી. આઈ. આર. પ્રક્રિયા દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વીનર પ્રક્રિયાઓ (એટલે કે, સતત રેન્ડમ વોક) સહસંબંધ ρ સાથે છે. આ મોડેલમાં પાંચ પરિમાણો છેઃ પ્રારંભિક ભિન્નતા. , ભાવનો લાંબો તફાવત, અથવા લાંબા ગાળાનો સરેરાશ તફાવત; જેમ કે t અનંત તરફ વળે છે, νt નું અપેક્ષિત મૂલ્ય θ તરફ વળે છે, જે બે વીનર પ્રક્રિયાઓનો સહસંબંધ છે. જે દરે νt એ θ પર પાછું ફરે છે, તે વોલેટિલિટીની વોલેટિલિટી અથવા 'વોલ ઓફ વોલ' છે, જે νt ની ભિન્નતા નક્કી કરે છે. જો પરિમાણો નીચેની શરતોનું પાલન કરે છે (ફેલર શરત તરીકે ઓળખાય છે) તો પ્રક્રિયા સખત હકારાત્મક જોખમ-તટસ્થ માપ છે સંપૂર્ણ લેખ માટે જોખમ-તટસ્થ માપ જુઓ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રાઇસિંગમાં મૂળભૂત ખ્યાલ જોખમ-તટસ્થ માપ છે; આ ઉપરના લેખમાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક સમજાવવામાં આવ્યું છે. અમારા હેતુઓ માટે, નીચેની બાબતો નોંધવા માટે પૂરતું છેઃ એવા વ્યુત્પન્નની કિંમત નક્કી કરવા માટે કે જેની ચૂકવણી એક અથવા વધુ અંતર્ગત સંપત્તિઓનું કાર્ય છે, અમે જોખમ-તટસ્થ માપ હેઠળ તેના ડિસ્કાઉન્ટેડ ચૂકવણીના અપેક્ષિત મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ. જોખમ-તટસ્થ માપ, જેને સમકક્ષ માર્ટીંગેલ માપ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે એક છે જે વાસ્તવિક દુનિયાના માપની સમકક્ષ છે, અને જે આર્બિટ્રેજ-મુક્ત છેઃ આવા માપ હેઠળ, દરેક અંતર્ગત અસ્કયામતોની ડિસ્કાઉન્ટેડ કિંમત માર્ટીંગેલ છે. ગિરસાનોવની પ્રમેય જુઓ. બ્લેક-સ્કોલ્સ અને હેસ્ટન માળખામાં (જ્યાં માત્ર વીનર પ્રક્રિયાઓના રેખીય સ્વતંત્ર સમૂહમાંથી ગાળણક્રિયાઓ પેદા થાય છે), કોઈપણ સમકક્ષ માપને દરેક વીનર પ્રક્રિયાઓમાં પ્રવાહ ઉમેરીને ખૂબ જ છૂટક અર્થમાં વર્ણવી શકાય છે. ઉપર વર્ણવેલ પ્રવાહો માટે ચોક્કસ મૂલ્યો પસંદ કરીને, આપણે એક સમકક્ષ માપ મેળવી શકીએ છીએ જે આર્બિટ્રેજ-મુક્ત શરતને પૂર્ણ કરે છે. સામાન્ય પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો જ્યાં આપણી પાસે અંતર્ગત અસ્કયામતો અને વીનર પ્રક્રિયાઓનો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સમૂહ છે. સમકક્ષ માપનો સમૂહ Rm માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે સંભવિત પ્રવાહોની જગ્યા છે. સમકક્ષ માર્ટિંગેલ પગલાંના સમૂહને Rm માં જડિત મેનીફોલ્ડ માટે આઇસોમોર્ફિક ગણાવો; શરૂઆતમાં, એવી પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લો કે જ્યાં આપણી પાસે કોઈ સંપત્તિ નથી અને તે Rm માટે આઇસોમોર્ફિક છે. હવે દરેક અંતર્ગત અસ્કયામતોને સમકક્ષ પગલાંના સમૂહ પર અવરોધ પૂરો પાડવા તરીકે ધ્યાનમાં લો, કારણ કે તેની અપેક્ષિત ડિસ્કાઉન્ટ પ્રક્રિયા અચળાંક (એટલે કે, તેનું પ્રારંભિક મૂલ્ય) ની બરાબર હોવી જોઈએ. એક સમયે એક સંપત્તિ ઉમેરીને, આપણે દરેક વધારાના અવરોધને એક પરિમાણ દ્વારા તેના પરિમાણને ઘટાડવાનું ગણી શકીએ છીએ. તેથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઉપર વર્ણવેલ સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં, સમકક્ષ માર્ટિંગેલ પગલાંના સમૂહનું પરિમાણ છે. બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલમાં, આપણી પાસે એક સંપત્તિ અને એક વીનર પ્રક્રિયા છે. સમકક્ષ માર્ટીંગેલ માપના સમૂહનું પરિમાણ શૂન્ય છે; તેથી તે દર્શાવી શકાય છે કે પ્રવાહ માટે એક જ મૂલ્ય છે, અને આમ એક જ જોખમ-તટસ્થ માપ છે, જેના હેઠળ ડિસ્કાઉન્ટેડ એસેટ માર્ટીંગેલ હશે. હેસ્ટન મોડેલમાં, આપણી પાસે હજુ પણ એક સંપત્તિ છે (અસ્થિરતાને બજારમાં સીધી અવલોકનક્ષમ અથવા વેપારપાત્ર માનવામાં આવતી નથી) પરંતુ હવે આપણી પાસે બે વીનર પ્રક્રિયાઓ છે-પ્રથમ સ્ટોકની કિંમત માટે સ્ટોકેસ્ટિક ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન (એસ. ડી. ઈ.) માં અને બીજું સ્ટોકની કિંમતના તફાવત માટે એસ. ડી. ઈ. માં. અહીં, સમકક્ષ માર્ટીંગેલ પગલાંના સમૂહનું પરિમાણ એક છે; ત્યાં કોઈ અનન્ય જોખમ-મુક્ત માપ નથી. આ અલબત્ત સમસ્યારૂપ છે; જ્યારે કોઈ પણ જોખમ-મુક્ત પગલાંનો ઉપયોગ સૈદ્ધાંતિક રીતે વ્યુત્પન્નની કિંમત નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે, ત્યારે સંભવ છે કે તેમાંથી દરેક અલગ કિંમત આપશે. સિદ્ધાંતમાં, જો કે, આ જોખમ-મુક્ત પગલાંમાંથી માત્ર એક જ વોલેટિલિટી-આધારિત વિકલ્પોના બજાર ભાવ સાથે સુસંગત હશે (ઉદાહરણ તરીકે, યુરોપિયન કૉલ્સ, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ભિન્નતા અદલાબદલી). તેથી આપણે વોલેટિલિટી-આધારિત સંપત્તિ ઉમેરી શકીએ છીએ; આમ કરીને, આપણે વધારાની અવરોધ ઉમેરીએ છીએ, અને આમ એક જોખમ-મુક્ત માપ પસંદ કરીએ છીએ જે બજાર સાથે સુસંગત છે. આ માપનો ઉપયોગ કિંમત નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે. અમલીકરણ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો મૂલ્ય વિકલ્પોમાં ઉપયોગ કાર અને મદન દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો હતો. હેસ્ટન મોડેલના અમલીકરણની ચર્ચા કાહલ અને જેકેલ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. સમય-આધારિત હેસ્ટન મોડેલ માટે બંધ-સ્વરૂપ વિકલ્પ કિંમતોની વ્યુત્પત્તિ બેનહામોઉ એટ અલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. ડબલ હેસ્ટન મોડેલ માટે ક્લોઝ્ડ-ફોર્મ વિકલ્પ કિંમતોની વ્યુત્પત્તિ ક્રિસ્ટોફરસન એટ અલ દ્વારા આપવામાં આવી હતી. અને ગૌથિયર અને પોસમાઇ દ્વારા. સ્ટોકેસ્ટિક વ્યાજ દરો સાથે હેસ્ટન મોડેલનું વિસ્તરણ ગ્રેઝેલેક અને ઓસ્ટરલી દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. હેસ્ટન મોડેલના લાક્ષણિક કાર્યની અભિવ્યક્તિ જે પરિમાણોના સંદર્ભમાં આંકડાકીય રીતે સતત અને સરળતાથી અલગ પાડી શકાય તેવું છે તે કુઈ એટ અલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. સ્થાનિક સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી સંદર્ભમાં મોડેલનો ઉપયોગ વેન ડેર વેઇજસ્ટ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. અસ્થિરતાના સંદર્ભમાં હેસ્ટન ભાવ સમીકરણનો સ્પષ્ટ ઉકેલ કુરિત્ઝિન દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. આને અસ્થિરતાના સમીકરણ માટે જાણીતા નબળા ઉકેલો અને હેસ્ટન મોડેલના સ્પષ્ટ નબળા ઉકેલો ઉત્પન્ન કરવા માટે ગિરસાનોવના પ્રમેય સાથે જોડી શકાય છે. આવા ઉકેલો કાર્યક્ષમ અનુકરણ માટે ઉપયોગી છે. ઉચ્ચ ચોકસાઇ સંદર્ભ કિંમતો એલન લુઈસ દ્વારા બ્લોગ પોસ્ટમાં ઉપલબ્ધ છે. હેસ્ટન મોડેલ (સ્કોનબશર, એસવીઆઈ અને જીએસવીઆઈ) પર આધારિત વોલેટિલિટી સપાટીના થોડા જાણીતા પરિમાણો છે. કેલિબ્રેશન હેસ્ટન મોડેલનું કેલિબ્રેશન ઘણીવાર લઘુત્તમ ચોરસ સમસ્યા તરીકે ઘડવામાં આવે છે, જેમાં ઉદ્દેશ્ય કાર્ય બજારમાં જોવા મળતી કિંમતો અને મોડેલમાંથી ગણવામાં આવતી કિંમતો વચ્ચેના વર્ગ તફાવતને ઘટાડે છે. કિંમતો સામાન્ય રીતે વેનીલા વિકલ્પોની હોય છે. કેટલીકવાર મોડેલને ગુઇલાઉમ અને સ્કાઉટેન્સની જેમ ભિન્નતા સ્વેપ ટર્મ-સ્ટ્રક્ચરમાં પણ માપાંકિત કરવામાં આવે છે. બીજો અભિગમ એ છે કે આગળના સ્મિતને પકડવા માટે આગળના પ્રારંભ વિકલ્પો અથવા અવરોધ વિકલ્પોનો પણ સમાવેશ કરવો. હેસ્ટન મોડેલ હેઠળ, વેનીલા વિકલ્પોની કિંમત વિશ્લેષણાત્મક રીતે આપવામાં આવે છે, પરંતુ અભિન્નની ગણતરી કરવા માટે આંકડાકીય પદ્ધતિની જરૂર પડે છે. લે ફ્લોચે લાગુ કરેલા વિવિધ ચતુર્ભુજનો સારાંશ આપ્યો અને એક કાર્યક્ષમ અનુકૂલનશીલ ફિલોન ચતુર્ભુજનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. માપાંકન માટે સામાન્ય રીતે મોડેલ પરિમાણોના સંદર્ભમાં ઉદ્દેશ્ય કાર્યના ઢાળની જરૂર પડે છે. આની ગણતરી સામાન્ય રીતે મર્યાદિત તફાવત અંદાજ સાથે કરવામાં આવતી હતી, જો કે તે વિશ્લેષણાત્મક ઢાળ કરતાં ઓછી સચોટ, ઓછી કાર્યક્ષમ અને ઓછી ભવ્ય છે કારણ કે પછીની સમજદાર અભિવ્યક્તિ ત્યારે જ ઉપલબ્ધ થઈ જ્યારે કુઈ એટ અલ દ્વારા લાક્ષણિક કાર્યની નવી રજૂઆત રજૂ કરવામાં આવી હતી. 2017 માં. બીજી શક્યતા એ છે કે આપમેળે તફાવતનો આશરો લેવો. ઉદાહરણ તરીકે, એલ્ગોરિધમિક તફાવતનો સ્પર્શક પ્રકાર બેવડી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને સીધી રીતે લાગુ કરી શકાય છે. આ પણ જુઓ સ્ટોકેસ્ટિક વોલેટિલિટી રિસ્ક-ન્યુટ્રલ માપ (સમકક્ષ માર્ટીંગેલ માપ માટેનું બીજું નામ) ગિરસાનોવની થીયરમ માર્ટીંગેલ (સંભાવના સિદ્ધાંત) SABR વોલેટિલિટી મોડેલ MATLAB કોડ કાહલ, જેકેલ અને લોર્ડ રેફરન્સ ડેરિવેટિવ્ઝ (ફાઇનાન્સ) નાણાકીય મોડેલ વિકલ્પો (ફાઇનાન્સ) ગાણિતિક ફાઇનાન્સ