Wythoff's game
વિથોફની રમત બે ખેલાડીઓની ગાણિતિક બાદબાકીની રમત છે, જે કાઉન્ટરના બે થાંભલાઓ સાથે રમાય છે. ખેલાડીઓ વારાફરતી એક અથવા બંને થાંભલાઓમાંથી કાઉન્ટર દૂર કરે છે; જ્યારે બંને થાંભલાઓમાંથી કાઉન્ટર દૂર કરે છે, ત્યારે દરેક ખૂંટોમાંથી દૂર કરાયેલા કાઉન્ટરની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ. રમત ત્યારે સમાપ્ત થાય છે જ્યારે એક ખેલાડી છેલ્લા કાઉન્ટર અથવા કાઉન્ટરને દૂર કરે છે, આમ જીતે છે. રમતનું સમકક્ષ વર્ણન એ છે કે એક જ ચેસ ક્વીનને ચોરસની મોટી ગ્રીડ પર ક્યાંક મૂકવામાં આવે છે, અને દરેક ખેલાડી રાણીને ગ્રીડના નીચલા ડાબા ખૂણા તરફ ખસેડી શકે છેઃ દક્ષિણ, પશ્ચિમ અથવા દક્ષિણપશ્ચિમ, ગમે તેટલા પગલાં. વિજેતા તે ખેલાડી છે જે રાણીને ખૂણામાં ખસેડે છે. રાણીના બે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ રમતની રચનામાં બે થાંભલાઓના કદને અનુરૂપ છે જેમાં થાંભલાઓમાંથી કાઉન્ટર દૂર કરવાનો સમાવેશ થાય છે. માર્ટિન ગાર્ડનરે સાયન્ટિફિક અમેરિકનમાં તેમના માર્ચ 1977ના "મેથેમેટિકલ ગેમ્સ કોલમ" માં દાવો કર્યો છે કે આ રમત ચીનમાં "પિકિંગ સ્ટોન્સ" નામથી રમવામાં આવી હતી. ડચ ગણિતશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. એ. વાયથોફે 1907માં આ રમતનું ગાણિતિક વિશ્લેષણ પ્રકાશિત કર્યું હતું. શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના રમતની કોઈપણ સ્થિતિને n ≤ m સાથે પૂર્ણાંકોની જોડી (n, m) દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, જે સ્થિતિમાં બંને થાંભલાઓના કદ અથવા રાણીના કોઓર્ડિનેટ્સનું વર્ણન કરે છે. રમતની વ્યૂહરચના ઠંડા સ્થાનો અને ગરમ સ્થાનોની આસપાસ ફરે છેઃ ઠંડા સ્થાને, જે ખેલાડીનો ચાલવાનો વારો છે તે શ્રેષ્ઠ રમત સાથે હારી જશે, જ્યારે ગરમ સ્થિતિમાં, જે ખેલાડીનો ચાલવાનો વારો છે તે શ્રેષ્ઠ રમત સાથે જીતશે. ગરમ સ્થિતિમાંથી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના એ છે કે કોઈપણ પહોંચી શકાય તેવી ઠંડી સ્થિતિ તરફ આગળ વધવું. ગરમી અને ઠંડીમાં સ્થિતિનું વર્ગીકરણ નીચેના ત્રણ નિયમો સાથે પુનરાવર્તિત રીતે કરી શકાય છેઃ (0,0) એ ઠંડી સ્થિતિ છે. કોઈપણ સ્થિતિ કે જ્યાંથી એક જ ચાલમાં ઠંડી સ્થિતિ સુધી પહોંચી શકાય છે તે ગરમ સ્થિતિ છે. જો દરેક ચાલ ગરમ સ્થિતિ તરફ દોરી જાય, તો સ્થિતિ ઠંડી હોય છે. દાખલા તરીકે, નિયમ 2 મુજબ, m> 0 સાથે ફોર્મ (0, m) અને (m, m) ની તમામ સ્થિતિઓ ગરમ હોય છે. જો કે, સ્થિતિ (1,2) ઠંડી છે, કારણ કે તેમાંથી પહોંચી શકાય તેવી એકમાત્ર સ્થિતિ, (0,1), (0,2), (1,0) અને (1,1), બધા ગરમ છે. n અને m ના સૌથી નાના મૂલ્યો સાથે ઠંડા સ્થાનો (n, m) (0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10) અને (8,13) છે. (ક્રમ અને OEIS માં) (એ પણ જુઓ) આ રમતની મિસેરે રમત માટે, (0,1) અને (2,2) ઠંડી સ્થિતિઓ છે, અને m, n> 2 સાથેની સ્થિતિ (n, m) ઠંડી હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સામાન્ય રમતમાં (n, m) ઠંડી હોય. ઠંડા સ્થાનો માટેનું સૂત્ર વિથોફે શોધ્યું કે ઠંડા સ્થાનો સુવર્ણ ગુણોત્તર દ્વારા નિર્ધારિત નિયમિત પેટર્નને અનુસરે છે. ખાસ કરીને, જો k એ કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને જ્યાં φ એ સુવર્ણ ગુણોત્તર છે અને આપણે ફ્લોર ફંક્શનનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ, તો (nk, mk) એ k ઠંડુ સ્થાન છે. સંખ્યાઓના આ બે ક્રમ ઓનલાઇન એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ઇન્ટિજર સિક્વન્સિસમાં અનુક્રમે અને તરીકે નોંધાયેલા છે. બે સિક્વન્સ nk અને mk એ સમીકરણ સાથે સંકળાયેલ બિટી સિક્વન્સ છે જેમ કે સામાન્ય રીતે બિટી સિક્વન્સની જોડી માટે સાચું છે, આ બે સિક્વન્સ પૂરક છેઃ દરેક સકારાત્મક પૂર્ણાંક બંને ક્રમમાં બરાબર એક જ વાર દેખાય છે. નિમ ગ્રાન્ડીની રમત પણ જુઓ ચોરસ વાયથોફ એરેને બાદ કરો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ગાણિતિક રમતો