PDIFF
ભૌમિતિક ટોપોલોજીમાં, પી. ડી. આઈ. એફ. એફ., પીસવાઇઝ ડિફરન્શીયેબલ માટે, તેમની વચ્ચેના પીસવાઇઝ-સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ્સ અને પીસવાઇઝ-સ્મૂથ નકશાની શ્રેણી છે. તેમાં યોગ્ય રીતે ડી. આઈ. એફ. એફ. (તેમની વચ્ચે સરળ મેનીફોલ્ડ્સ અને સરળ કાર્યોની શ્રેણી) અને પી. એલ. (તેમની વચ્ચે પીસવાઇઝ રેખીય મેનીફોલ્ડ્સ અને પીસવાઇઝ રેખીય નકશાની શ્રેણી) નો સમાવેશ થાય છે, અને તેને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું કારણ એ છે કે આ બે વર્ગોને સંબંધિત કરવાની મંજૂરી આપવી. વધુમાં, સ્પ્લાઇન અને બહુકોણીય સાંકળો જેવા પીસવાઇઝ કાર્યો ગણિતમાં સામાન્ય છે, અને પી. ડી. આઈ. એફ. એફ. તેમની ચર્ચા કરવા માટે એક શ્રેણી પ્રદાન કરે છે. પ્રેરણા પી. ડી. આઈ. એફ. એફ. મોટે ભાગે એક તકનીકી મુદ્દો છેઃ સરળ નકશા પીસવાઇઝ રેખીય નથી (જ્યાં સુધી રેખીય ન હોય), અને પીસવાઇઝ રેખીય નકશા સરળ નથી (જ્યાં સુધી વૈશ્વિક રીતે રેખીય ન હોય)-આંતરછેદ રેખીય નકશા છે, અથવા વધુ ચોક્કસપણે એફાઇન નકશા છે (કારણ કે આધારિત નથી)-તેથી તેઓ સીધા સંબંધિત ન હોઈ શકેઃ તેઓ એફાઇન નકશાની કલ્પનાના અલગ સામાન્યીકરણ છે. જો કે, જ્યારે સરળ મેનીફોલ્ડ એ પી. એલ. મેનીફોલ્ડ નથી, તે કેનોનિકલ પી. એલ. માળખું ધરાવે છે-તે અનન્ય રીતે ત્રિકોણાકાર છે; તેનાથી વિપરીત, દરેક પી. એલ. મેનીફોલ્ડ સરળ નથી. સરળ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના ચોક્કસ સરળ મેનીફોલ્ડ અથવા સરળ નકશા માટે, આને મેનીફોલ્ડને નાના પર્યાપ્ત ટુકડાઓમાં વિભાજીત કરીને અને પછી દરેક ટુકડા પરના મેનીફોલ્ડ અથવા નકશાને રેખીય બનાવીને બતાવી શકાય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, સમતલમાં વર્તુળને ત્રિકોણ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ 2-ગોન દ્વારા નહીં, કારણ કે આ પછીનું રેખીય રીતે જડિત કરી શકાતું નથી. જો કે, તફાવત અને પી. એલ. વચ્ચેના આ સંબંધ માટે પસંદગીઓની જરૂર છે, અને બંને વર્ગોને મોટી શ્રેણીમાં સામેલ કરીને વધુ સ્વાભાવિક રીતે દર્શાવવામાં આવે છે અને સમજવામાં આવે છે, અને પછી દર્શાવે છે કે પી. એલ. નો સમાવેશ એક સમાનતા છેઃ દરેક સરળ મેનીફોલ્ડ અને દરેક પી. એલ. મેનીફોલ્ડ એ પી. ડી. એફ. મેનીફોલ્ડ છે. આમ, ડિફથી પી. ડી. આઈ. એફ. અને પી. એલ. થી પી. ડી. આઈ. એફ. જવું સ્વાભાવિક છે-તે માત્ર સમાવેશ છે. પી. એલ. થી પી. ડી. આઈ. એફ. નો નકશો, જ્યારે સમાનતા નથી-દરેક પીસવાઇઝ સ્મૂથ ફંક્શન પીસવાઇઝ રેખીય નથી-તે એક સમાનતા છેઃ કોઈ પણ વ્યક્તિ રેખીય ટુકડાઓ દ્વારા પાછળની તરફ જઈ શકે છે. આમ તેને કેટલાક હેતુઓ માટે ઊંધું કરી શકાય છે, અથવા આઇસોમોર્ફિઝમ તરીકે ગણવામાં આવે છે, જે નકશો આપે છે આ તમામ વર્ગો ટોચની અંદર બેસે છે, જે તેમની વચ્ચેના ટોપોલોજીકલ મેનીફોલ્ડ અને સતત નકશાની શ્રેણી છે. સારાંશમાં, પી. ડી. આઈ. એફ. ડિફ કરતાં વધુ સામાન્ય છે કારણ કે તે ટુકડાઓ (ખૂણાઓ) ને મંજૂરી આપે છે, અને કોઈ સામાન્ય રીતે સરળ ખૂણાઓમાં ન હોઈ શકે, જ્યારે પી. એલ. એ પી. ડી. આઈ. એફ. કરતા ઓછું સામાન્ય નથી કારણ કે કોઈ વ્યક્તિ ટુકડાઓને રેખીય બનાવી શકે છે (વધુ ચોક્કસપણે, કોઈએ તેમને નાના ટુકડાઓમાં તોડવાની જરૂર પડી શકે છે અને પછી રેખીય બનાવવાની જરૂર પડી શકે છે, જે પી. ડી. આઈ. એફ. માં માન્ય છે). ઇતિહાસ કે દરેક સરળ (ખરેખર, સી 1) મેનીફોલ્ડમાં એક અનન્ય પી. એલ. માળખું હોય છે જે મૂળ રૂપે સાબિત થયું હતું. એક વિગતવાર પ્રદર્શન પુરાવો આપવામાં આવ્યો છે. પરિણામ વિગતવાર સાબિત કરવા માટે પ્રાથમિક અને તેના બદલે તકનીકી છે, તેથી તે સામાન્ય રીતે ફક્ત આધુનિક ગ્રંથોમાં જ સ્કેચ કરવામાં આવે છે, જેમ કે સંક્ષિપ્ત સાબિતી રૂપરેખા આપવામાં આવી છે. એક ખૂબ જ ટૂંકી રૂપરેખા આપવામાં આવી છે, જ્યારે એક ટૂંકો પરંતુ વિગતવાર પુરાવો આપવામાં આવ્યો છે. સંદર્ભો ભૌમિતિક ટોપોલોજી