Notation for differentiation
વિભેદક કલનમાં, વિભેદન માટે કોઈ એકસમાન સંકેત નથી. તેના બદલે, વિવિધ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કાર્ય અથવા ચલના વ્યુત્પન્ન માટે વિવિધ સંકેતો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે. દરેક સંકેતલિપીની ઉપયોગીતા સંદર્ભ સાથે બદલાય છે, અને આપેલ સંદર્ભમાં એક કરતાં વધુ સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કરવો કેટલીકવાર ફાયદાકારક છે. તફાવત માટેના સૌથી સામાન્ય સંકેતો (અને તેની વિરુદ્ધ કામગીરી, તફાવત વિરોધી અથવા અનિશ્ચિત એકીકરણ) નીચે સૂચિબદ્ધ છે. લીબનીઝ નોટેશન ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા મૂળ નોટેશનનો ઉપયોગ સમગ્ર ગણિતમાં થાય છે. તે ખાસ કરીને સામાન્ય છે જ્યારે સમીકરણને આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ચલ વચ્ચેના કાર્યાત્મક સંબંધ તરીકે ગણવામાં આવે છે. લીબનીઝનું સંકેતન વ્યુત્પન્નને આ રીતે લખીને આ સંબંધને સ્પષ્ટ કરે છે વધુમાં, એટનું વ્યુત્પન્ન એટલે કે ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન આ રીતે લખવામાં આવે છે આ એક સૂચક સંકેતાત્મક ઉપકરણ છે જે પ્રતીકોની ઔપચારિક હેરફેરમાંથી આવે છે, જેમ કે, એક બિંદુ પરના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય લીબનીઝના સંકેતનો ઉપયોગ કરીને બે રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ લીબનીઝ નોટેશન વ્યક્તિને તફાવત (છેદમાં) માટે ચલનો ઉલ્લેખ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આંશિક વ્યુત્પન્નોનો વિચાર કરતી વખતે આ ખાસ કરીને મદદરૂપ થાય છે. તે સાંકળના નિયમને યાદ રાખવા અને ઓળખવા માટે પણ સરળ બનાવે છેઃ વિભેદન માટે લીબનીઝના સંકેત માટે અથવા (વિભેદક તરીકે ઓળખાતા) જેવા પ્રતીકોને તેમના પોતાના પર અર્થ સોંપવાની જરૂર નથી, અને કેટલાક લેખકો આ પ્રતીકોને અર્થ સોંપવાનો પ્રયાસ કરતા નથી. લીબનીઝે આ પ્રતીકોને અનંત તરીકે ગણાવ્યા હતા. પછીના લેખકોએ તેમને અન્ય અર્થો સોંપ્યા છે, જેમ કે બિન-માનક વિશ્લેષણમાં અનંત અથવા બાહ્ય વ્યુત્પન્ન. સામાન્ય રીતે, તેને અવ્યાખ્યાયિત અથવા તેની સાથે સરખાવવામાં આવે છે, જ્યારે તેને સમીકરણના સંદર્ભમાં અર્થ સોંપવામાં આવે છે, જે લખી પણ શકાય છે, દા. ત. (નીચે જુઓ). આવા સમીકરણો કેટલાક ગ્રંથોમાં જોવા મળતી પરિભાષાને જન્મ આપે છે જેમાં વ્યુત્પન્નને "વિભેદક ગુણાંક" (એટલે કે ગુણાંક) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કેટલાક લેખકો અને સામયિકો વિભેદક પ્રતીકને ત્રાંસા અક્ષરોને બદલે રોમન પ્રકારમાં સુયોજિત કરે છેઃ ISO/IEC 80000 વૈજ્ઞાનિક શૈલી માર્ગદર્શિકા આ શૈલીની ભલામણ કરે છે. એન્ટિડિફરેન્શિયેશન માટે લીબનીઝના સંકેતે એનાલીસિયોસ ટેટ્રાગોનિસ્ટીક પાર્સ સેકુન્ડા અને મેથોડી ટેન્જેન્ટિયમ ઇન્વર્સ ઉદાહરણ (બંને 1675 થી) માં અભિન્ન પ્રતીક રજૂ કર્યું હતું. તે હવે એકીકરણ માટેનું પ્રમાણભૂત પ્રતીક છે. વિભેદન માટેના સૌથી સામાન્ય આધુનિક સંકેતોમાંથી એકનું નામ જોસેફ લુઇસ લેગ્રાન્જના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તેમ છતાં તે વાસ્તવમાં યુલર દ્વારા શોધાયું હતું અને માત્ર ભૂતપૂર્વ દ્વારા લોકપ્રિય બન્યું હતું. લેગ્રાન્જના સંકેતલિપીમાં, મુખ્ય ચિહ્ન વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે. જો f એ વિધેય હોય, તો તેનું x પર મૂલ્યાંકન કરેલું વ્યુત્પન્ન લખવામાં આવે છે. તે સૌપ્રથમ 1749માં છાપવામાં આવ્યું હતું. ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન વધારાના મુખ્ય ગુણોનો ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છે, જેમ કે બીજા વ્યુત્પન્ન માટે અને ત્રીજા વ્યુત્પન્ન માટે. પુનરાવર્તિત મુખ્ય ગુણોનો ઉપયોગ આખરે અયોગ્ય બની જાય છે. કેટલાક લેખકો રોમન અંકોનો ઉપયોગ કરવાનું ચાલુ રાખે છે, સામાન્ય રીતે નાના કિસ્સામાં, જેમ કે ચોથા, પાંચમા, છઠ્ઠા અને ઉચ્ચ ક્રમના વ્યુત્પન્ન સૂચવે છે. અન્ય લેખકો કૌંસમાં અરબી આંકડાનો ઉપયોગ કરે છે, જેમ કે આ સંકેતલિપી nમા વ્યુત્પન્નનું વર્ણન કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે, જ્યાં n એ ચલ છે. જ્યારે ફંક્શન f (x, y) માટે બે સ્વતંત્ર ચલ હોય, ત્યારે નીચેની પરંપરાને અનુસરી શકાય છેઃ એન્ટિડિફરેન્શિયેશન માટે લેગ્રાન્જની નોટેશન જ્યારે એન્ટિડેરિવેટીવ લે છે, ત્યારે લેગ્રાન્જે લીબનીઝની નોટેશનને અનુસર્યુંઃ જો કે, કારણ કે એકીકરણ એ તફાવતની વ્યસ્ત કામગીરી છે, ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ માટે લેગ્રાન્જની નોટેશન ઇંટીગ્રલ્સ સુધી પણ વિસ્તરે છે. f ના પુનરાવર્તિત ઇન્ટિગ્રલ્સને પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ માટે (આ સરળતાથી ઇન્વર્સ ફંક્શન સાથે મૂંઝવણમાં આવે છે), બીજા ઇન્ટિગ્રલ માટે, ત્રીજા ઇન્ટિગ્રલ માટે અને nમા ઇન્ટિગ્રલ માટે લખી શકાય છે. ડી-નોટેશન આ નોટેશનને કેટલીકવાર કહેવામાં આવે છે, જો કે તે લુઇસ ફ્રાન્કોઇસ એન્ટોઇન અર્બોગાસ્ટ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, અને એવું લાગે છે કે લિયોનહાર્ડ યુલર તેનો ઉપયોગ કરતા ન હતા. આ સંકેત (ડી ઓપરેટર) અથવા (ન્યૂટન-લીબનીઝ ઓપરેટર) તરીકે દર્શાવવામાં આવેલા વિભેદક ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરે છે. જ્યારે ફંક્શન પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેને ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે D ની "ઘાત" તરીકે સૂચવવામાં આવે છે (જ્યાં સુપરસ્ક્રિપ્ટ્સ D ની પુનરાવર્તિત રચનાને સૂચવે છે), જેમ કે બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ માટે, ત્રીજા ડેરિવેટિવ્ઝ માટે અને nth ડેરિવેટિવ્ઝ માટે. ડી-નોટેશન એ વેરિયેબલને ગર્ભિત કરે છે જેના સંદર્ભમાં તફાવત કરવામાં આવી રહ્યો છે. જો કે, આ ચલને તેનું નામ સબસ્ક્રિપ્ટ તરીકે મૂકીને પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છેઃ જો f એ ચલ x નું વિધેય હોય, તો આ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન માટે, બીજા વ્યુત્પન્ન માટે, ત્રીજા વ્યુત્પન્ન માટે અને n મા વ્યુત્પન્ન માટે લખીને કરવામાં આવે છે. જ્યારે f એ બહુવિધ ચલોનું વિધેય હોય, ત્યારે "" ને બદલે "ષ્ણ" નો ઉપયોગ કરવો સામાન્ય છે, જે એક ઢબના વળાંકવાળા લોઅર-કેસ d છે. ઉપરની જેમ, સબ્સ્ક્રિપ્ટ્સ લેવામાં આવતા ડેરિવેટિવ્ઝને સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિધેયના બીજા આંશિક વ્યુત્પન્ન આ પ્રમાણે છેઃ જુઓ. ડી-નોટેશન વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસમાં અને વિભેદક બીજગણિતમાં ઉપયોગી છે. એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ માટે ડી-નોટેશનનો ઉપયોગ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ માટે એ જ રીતે થઈ શકે છે જે રીતે પ્રથમ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ માટે, બીજા એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ માટે અને nમા એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ માટે લેગ્રેન્જનું નોટેશન નીચે મુજબ છે. ન્યુટનનું વિભેદન માટેનું સંકેત આઇઝેક ન્યુટનનું વિભેદન (જેને ડોટ નોટેશન, ફ્લક્સિયન્સ અથવા કેટલીકવાર, અસ્પષ્ટ રીતે, વિભેદન માટેનું ફ્લાયસ્પેક નોટેશન પણ કહેવાય છે) આશ્રિત ચલ પર બિંદુ મૂકે છે. એટલે કે, જો y એ t નું વિધેય હોય, તો t ના સંદર્ભમાં y નું વ્યુત્પન્ન ઉચ્ચ વ્યુત્પન્ન બહુવિધ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમ કે ન્યૂટને આ વિચારને ખૂબ દૂર સુધી લંબાવ્યો હતોઃ ન્યુટનના સંકેત સાથે સંબંધિત યુનિકોડ અક્ષરોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ બે વાર "સંયોજન ડાયેરેસિસ" દ્વારા બદલવામાં આવ્યું. ન્યુટન નોટેશનનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્વતંત્ર ચલ સમય સૂચવે છે. જો સ્થાન એ t નું વિધેય હોય, તો તે વેગ સૂચવે છે અને પ્રવેગ સૂચવે છે. આ સંકેત ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં લોકપ્રિય છે. તે વિભેદક સમીકરણો જેવા ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે જોડાયેલા ગણિતના ક્ષેત્રોમાં પણ જોવા મળે છે. આશ્રિત ચલ y = f (x) નું વ્યુત્પન્ન લેતી વખતે, વૈકલ્પિક સંકેત અસ્તિત્વમાં છેઃ ન્યૂટને વક્ર X (x) પર બાજુ-બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને નીચેના આંશિક વિભેદક ઓપરેટરો વિકસાવ્યા. વ્હાઇટસાઇડ દ્વારા આપવામાં આવેલી વ્યાખ્યાઓ નીચે મુજબ છેઃ એકીકરણ માટે ન્યૂટનના સંકેતે તેમના ક્વાડ્રટુરા કર્વરમ (1704) અને પછીના કાર્યોમાં એકીકરણ માટે ઘણા જુદા જુદા સંકેતો વિકસાવ્યા હતાઃ તેમણે આશ્રિત ચલ () ની ઉપર એક નાનો ઊભી પટ્ટી અથવા મુખ્ય, એક ઉપસર્ગ લંબચોરસ (), અથવા પ્રવાહી અથવા સમયના અભિન્ન (અભાવ) ને દર્શાવવા માટે લંબચોરસ () માં શબ્દનો સમાવેશ લખ્યો હતો. બહુવિધ ઇન્ટિગ્રલ્સને દર્શાવવા માટે, ન્યૂટને બે નાના વર્ટિકલ બાર અથવા પ્રાઇમ (), અથવા અગાઉના પ્રતીકોના સંયોજનનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જે સેકન્ડ ટાઇમ ઇન્ટિગ્રલ (એબ્સિટી) ને સૂચવે છે. ઉચ્ચ ક્રમના સમયના સંકલન નીચે મુજબ હતાઃ આ ગાણિતિક સંકેતન છાપકામની મુશ્કેલીઓ અને લીબનીઝ-ન્યુટન કલન વિવાદને કારણે વ્યાપક બન્યું ન હતું. આંશિક વ્યુત્પન્ન જ્યારે વધુ ચોક્કસ પ્રકારના તફાવત જરૂરી હોય છે, જેમ કે મલ્ટિવેરિયેટ કલન અથવા ટેન્સર વિશ્લેષણમાં, અન્ય સંકેતો સામાન્ય છે. એક સ્વતંત્ર ચલ x ના વિધેય f માટે, આપણે સ્વતંત્ર ચલની સબસ્ક્રિપ્ટનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્નને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએઃ આ પ્રકારનું સંકેતન ખાસ કરીને વિવિધ ચલોના વિધેયના આંશિક વ્યુત્પન્ન લેવા માટે ઉપયોગી છે. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સામાન્ય રીતે સામાન્ય ડેરિવેટિવ્ઝથી અલગ પડે છે, જેમાં વિભેદક ઓપરેટર d ને "su" પ્રતીક સાથે બદલવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x ના સંદર્ભમાં x ના આંશિક વ્યુત્પન્નને સૂચવી શકીએ છીએ, પરંતુ y અથવા z ને નહીં, ઘણી રીતેઃ આ તફાવતને જે બાબત મહત્વપૂર્ણ બનાવે છે તે એ છે કે સંદર્ભના આધારે, જ્યારે તમામ ચલને એક સાથે બદલવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે તેના સંબંધમાં ફેરફારના દર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જ્યારે આંશિક વ્યુત્પન્ન સાથે જેમ કે તે સ્પષ્ટ છે કે માત્ર એક જ ચલ બદલવો જોઈએ. અન્ય સંકેતો ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરીના વિવિધ પેટા ક્ષેત્રોમાં મળી શકે છે; ઉદાહરણ તરીકે થર્મોડાયનેમિક્સના મેક્સવેલ સંબંધો જુઓ. પ્રતીક એ વોલ્યુમ V ના સંદર્ભમાં તાપમાન T નું વ્યુત્પન્ન છે જ્યારે એન્ટ્રોપી (સબસ્ક્રિપ્ટ) S ને સતત રાખે છે, જ્યારે દબાણ P ને સ્થિર રાખીને વોલ્યુમના સંદર્ભમાં તાપમાનનું વ્યુત્પન્ન છે. આ એવી પરિસ્થિતિઓમાં જરૂરી બને છે જ્યાં ચલની સંખ્યા ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ કરતાં વધી જાય છે, જેથી વ્યક્તિએ પસંદ કરવું પડે કે કયા અન્ય ચલ સ્થિર રાખવા જોઈએ. એક ચલના સંદર્ભમાં ઉચ્ચ ક્રમના આંશિક વ્યુત્પન્નને આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. મિશ્ર આંશિક વ્યુત્પન્નને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે આ છેલ્લા કિસ્સામાં ચલ બે સંકેતો વચ્ચે વ્યસ્ત ક્રમમાં લખવામાં આવે છે, જેને નીચે મુજબ સમજાવવામાં આવે છેઃ કહેવાતા બહુ-અનુક્રમણિકા સંકેતનો ઉપયોગ એવી પરિસ્થિતિઓમાં થાય છે જ્યારે ઉપરોક્ત સંકેતો બોજારૂપ અથવા અપૂરતા અભિવ્યક્ત બને છે. કાર્યોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, અમે બહુ-અનુક્રમણિકાને બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોની ક્રમબદ્ધ સૂચિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએઃ પછી આપણે સંકેતો માટે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ આ રીતે કેટલાક પરિણામો (જેમ કે લીબનીઝ નિયમ) કે જે અન્ય રીતે લખવા માટે કંટાળાજનક છે તે સંક્ષિપ્તમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે-કેટલાક ઉદાહરણો બહુ-સૂચકાંકો પરના લેખમાં મળી શકે છે. વેક્ટર કેલ્ક્યુલસ વેક્ટર કેલ્ક્યુલસમાં નોટેશન વેક્ટર અથવા સ્કેલર ક્ષેત્રોના તફાવત અને એકીકરણ સાથે સંબંધિત છે. ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના કિસ્સામાં ચોક્કસ કેટલાક સંકેતો સામાન્ય છે. ધારો કે તે આપેલ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ છે, કે A એ ઘટકો સાથેનું વેક્ટર ક્ષેત્ર છે, અને તે એક સ્કેલર ક્ષેત્ર છે. વિલિયમ રોવન હેમિલ્ટન દ્વારા રજૂ કરાયેલ વિભેદક ઓપરેટર, જે લખાયેલું છે અને જેને ડેલ અથવા નાબલા કહેવાય છે, તેને પ્રતીકાત્મક રીતે વેક્ટરના સ્વરૂપમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં પરિભાષા પ્રતીકાત્મક રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે કે ઓપરેટરને પણ સામાન્ય વેક્ટર તરીકે ગણવામાં આવશે. ઢાળઃ સ્કેલર ક્ષેત્રનો ઢાળ એક વેક્ટર છે, જે પ્રતીકાત્મક રીતે ρ અને સ્કેલર ક્ષેત્રના ગુણાકાર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, વિચલનઃ વેક્ટર ક્ષેત્ર A નું વિચલન એક સ્કેલર છે, જે પ્રતીકાત્મક રીતે ρ અને વેક્ટર A ના ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, લાપ્લેસીયનઃ સ્કેલર ક્ષેત્રનું લાપ્લેસીયન એક સ્કેલર છે, જે પ્રતીકાત્મક રીતે ρ2 અને સ્કેલર ક્ષેત્ર φ ના સ્કેલર ગુણાકાર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, પરિભ્રમણઃ વેક્ટર ક્ષેત્ર A નું પરિભ્રમણ અથવા પરિભ્રમણ એક વેક્ટર છે, જે પ્રતીકાત્મક રીતે ρ અને વેક્ટર A ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, વ્યુત્પન્નની ઘણી પ્રતીકાત્મક કામગીરીઓને સીધી રીતે સામાન્ય કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિંગલ-વેરિયેબલ પ્રોડક્ટ નિયમ ગ્રેડિયન્ટ ઓપરેટર લાગુ કરીને સ્કેલર ક્ષેત્રોના ગુણાકારમાં સીધો એનાલોગ ધરાવે છે, જેમ કે સિંગલ વેરિયેબલ કેલ્ક્યુલસના અન્ય ઘણા નિયમોમાં ગ્રેડિયન્ટ, ડાયવર્જન્સ, કર્લ અને લેપલેસિયન માટે વેક્ટર કેલ્ક્યુલસ એનાલોગ હોય છે. વધુ વિચિત્ર પ્રકારની જગ્યાઓ માટે વધુ સંકેતો વિકસાવવામાં આવ્યા છે. મિન્કોવ્સ્કી જગ્યામાં ગણતરીઓ માટે, ડી 'એલેમ્બર્ટ ઓપરેટર, જેને ડી' એલેમ્બર્ટિયન, વેવ ઓપરેટર અથવા બોક્સ ઓપરેટર પણ કહેવામાં આવે છે, તેને લેપલેસિયનના પ્રતીક સાથે વિરોધાભાસી ન હોય ત્યારે તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. ઓપરેશનલ કેલ્ક્યુલસ રેફરન્સ બાહ્ય કડીઓ જેફ મિલર () દ્વારા જાળવવામાં આવેલ કેલ્ક્યુલસના પ્રતીકોના પ્રારંભિક ઉપયોગો પણ જુઓ. વિભેદક કલન ગાણિતિક સંકેત