Unbiased estimation of standard deviation
આંકડાશાસ્ત્રમાં અને ખાસ કરીને આંકડાકીય સિદ્ધાંતમાં, પ્રમાણભૂત વિચલનનો નિષ્પક્ષ અંદાજ એ મૂલ્યોની વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલન (આંકડાકીય પ્રસરણનું માપ) ના અંદાજિત મૂલ્યના આંકડાકીય નમૂનામાંથી એવી રીતે ગણતરી કરવામાં આવે છે કે ગણતરીનું અપેક્ષિત મૂલ્ય સાચા મૂલ્યની બરાબર હોય. કેટલીક મહત્વપૂર્ણ પરિસ્થિતિઓ સિવાય, પછીથી દર્શાવેલ, આ કાર્ય આંકડાકીય ઉપયોગો માટે બહુ ઓછું સુસંગત છે કારણ કે તેની જરૂરિયાત પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ટાળવામાં આવે છે, જેમ કે મહત્વ પરીક્ષણો અને વિશ્વાસ અંતરાલોનો ઉપયોગ અથવા બાયેસિયન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને. જો કે, આંકડાકીય સિદ્ધાંત માટે, તે અંદાજ સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં એક ઉદાહરણરૂપ સમસ્યા પ્રદાન કરે છે જે જણાવવા માટે સરળ છે અને જેના માટે પરિણામો બંધ સ્વરૂપમાં મેળવી શકાતા નથી. તે એક ઉદાહરણ પણ પૂરું પાડે છે જ્યાં નિષ્પક્ષ અંદાજ માટેની જરૂરિયાતને લાગુ કરવી એ કોઈ વાસ્તવિક લાભ વિના માત્ર અસુવિધા ઉમેરવા તરીકે જોવામાં આવી શકે છે. આંકડાશાસ્ત્રમાં, સંખ્યાઓની વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ ઘણીવાર વસ્તીમાંથી લેવામાં આવેલા અવ્યવસ્થિત નમૂનામાંથી કરવામાં આવે છે. આ નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે, જે નમૂના ક્યાં છે (ઔપચારિક રીતે, રેન્ડમ વેરિયેબલ X માંથી અનુભૂતિ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે નમૂનાનો સરેરાશ છે. આ વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનનો પક્ષપાતી અંદાજકાર છે તે જોવાની એક રીત એ છે કે જો તે તફાવત અસ્તિત્વમાં હોય અને નમૂનાના મૂલ્યો સ્વતંત્ર રીતે બદલવામાં આવે તો S2 એ અંતર્ગત વસ્તીના તફાવત σ2 માટે નિષ્પક્ષ અંદાજકાર છે. વર્ગમૂળ એ બિનરેખીય કાર્ય છે, અને અપેક્ષા સાથે માત્ર રેખીય કાર્યો જ પરિવર્તિત થાય છે. વર્ગમૂળ એ કડક રીતે અંતર્મુખ કાર્ય હોવાથી, તે જેનસનની અસમાનતાને અનુસરે છે કે નમૂનાના તફાવતનો વર્ગમૂળ ઓછો અંદાજ છે. નમૂનાના તફાવત માટેના સૂત્રમાં n ને બદલે n − 1 નો ઉપયોગ બેસલના સુધારા તરીકે ઓળખાય છે, જે વસ્તીના ભિન્નતાના અંદાજમાં પૂર્વગ્રહને સુધારે છે, અને કેટલાક, પરંતુ વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનના અંદાજમાં તમામ પૂર્વગ્રહને નહીં. વસ્તીના તમામ વિતરણ માટે નિષ્પક્ષ હોય તેવા પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ શોધવો શક્ય નથી, કારણ કે પૂર્વગ્રહ ચોક્કસ વિતરણ પર આધાર રાખે છે. નીચેનાનો મોટાભાગનો હિસ્સો સામાન્ય વિતરણ ધારણ કરીને કરવામાં આવેલા અંદાજ સાથે સંબંધિત છે. બાયસ કરેક્શન સામાન્ય વિતરણ માટે પરિણામો જ્યારે રેન્ડમ ચલ સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે, ત્યારે પૂર્વગ્રહને દૂર કરવા માટે એક નાનો સુધારો અસ્તિત્વમાં છે. સુધારો મેળવવા માટે, નોંધ લો કે સામાન્ય રીતે વિતરિત X માટે, કોચરાનનો પ્રમેય સૂચવે છે કે ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે ચી વર્ગ વિતરણ ધરાવે છે અને આમ તેના વર્ગમૂળમાં ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે ચી વિતરણ છે. પરિણામે, આ છેલ્લી અભિવ્યક્તિની અપેક્ષાઓની ગણતરી કરવી અને સ્થિરાંકોને ફરીથી ગોઠવવું, જ્યાં સુધારણા પરિબળ એ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે ચી વિતરણનો સ્કેલ સરેરાશ છે. આ નમૂનાના કદ n પર આધાર રાખે છે, અને નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં κ (·) એ ગામા કાર્ય છે. દ્વારા ભાગાકાર કરીને σ નો નિષ્પક્ષ અંદાજ મેળવી શકાય છે. જેમ જેમ તે મોટું થાય છે તેમ તેમ તે 1 ની નજીક પહોંચે છે, અને નાના મૂલ્યો માટે પણ સુધારો નાનો હોય છે. આ આકૃતિ વિરુદ્ધ નમૂનાના કદનો આલેખ દર્શાવે છે. નીચેનું કોષ્ટક કેટલાક મૂલ્યો માટે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો અને બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ આપે છે; વધુ સંપૂર્ણ કોષ્ટકો આંકડાકીય ગુણવત્તા નિયંત્રણ પરના મોટાભાગના પાઠ્યપુસ્તકોમાં મળી શકે છે. તે ધ્યાનમાં રાખવું અગત્યનું છે કે આ સુધારો ફક્ત સામાન્ય રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત X માટે નિષ્પક્ષ અંદાજકાર પેદા કરે છે. જ્યારે આ શરત સંતોષાય છે, ત્યારે s સામેલ કરવા વિશેનું બીજું પરિણામ એ છે કે s ની પ્રમાણભૂત ભૂલ છે, જ્યારે નિષ્પક્ષ અંદાજકર્તાની પ્રમાણભૂત ભૂલ સામાન્ય વિતરણ માટે અંગૂઠાનો નિયમ છે જો કાર્ય c4 (n) ની ગણતરી ખૂબ મુશ્કેલ લાગે, તો અંદાજકર્તાને લેવા માટે અંગૂઠાનો એક સરળ નિયમ છે. આ અભિવ્યક્તિ માત્ર અંદાજિત છે; હકીકતમાં, પૂર્વગ્રહ પ્રમાણમાં નાનો છેઃ કહો, કારણ કે તે 2.3 ટકાની બરાબર છે, અને પૂર્વગ્રહ માટે પહેલેથી જ 0.1 ટકા છે. અન્ય વિતરણો એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર માહિતી સામાન્ય વિતરણ સિવાયના વિતરણોના પેરામેટ્રિક પરિવાર દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે, વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન, જો અસ્તિત્વમાં હોય, તો તે મોડેલના પરિમાણોનું કાર્ય હશે. અંદાજ માટે એક સામાન્ય અભિગમ મહત્તમ સંભાવના હશે. વૈકલ્પિક રીતે, પ્રમાણભૂત વિચલનનો સારો અંદાજ શોધવા માટેના માર્ગ તરીકે રાવ-બ્લેકવેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો શક્ય બની શકે છે. બંનેમાંથી કોઈ પણ કિસ્સામાં મેળવેલા અંદાજો સામાન્ય રીતે નિષ્પક્ષ હોતા નથી. કલ્પનાત્મક રીતે, સૈદ્ધાંતિક ગોઠવણો નિષ્પક્ષ અંદાજો તરફ દોરી જવા માટે પ્રાપ્ય હોઈ શકે છે પરંતુ, સામાન્ય વિતરણથી વિપરીત, આ સામાન્ય રીતે અંદાજિત પરિમાણો પર આધાર રાખે છે. જો જરૂરિયાત માત્ર અંદાજિત પ્રમાણભૂત વિચલનના પૂર્વગ્રહને ઘટાડવાની હોય, તો તેને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરવાને બદલે, પછી બે વ્યવહારુ અભિગમો ઉપલબ્ધ છે, બંને ફરીથી નમૂનાના સંદર્ભમાં. આ જેકનીફિંગ અને બૂટસ્ટ્રેપિંગ છે. બંનેને પ્રમાણભૂત વિચલનના પેરામેટ્રિકલી આધારિત અંદાજો અથવા નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલન પર લાગુ કરી શકાય છે. બિન-સામાન્ય વિતરણો માટે પ્રમાણભૂત વિચલનના નિષ્પક્ષ અંદાજકાર માટે અંદાજિત (ઓ (એન-1) શરતો સુધી) સૂત્ર છે જ્યાં γ2 વસ્તી વધારાની કુર્ટોસિસ સૂચવે છે. વધારાની કુર્ટોસિસ કાં તો ચોક્કસ વિતરણ માટે અગાઉથી જાણી શકાય છે, અથવા ડેટા પરથી અંદાજવામાં આવી શકે છે. સ્વ-સહસંબંધની અસર (ક્રમિક સહસંબંધ) ઉપરોક્ત સામગ્રી, મુદ્દા પર ફરીથી ભાર મૂકવા માટે, ફક્ત સ્વતંત્ર માહિતીને જ લાગુ પડે છે. જો કે, વાસ્તવિક દુનિયાની માહિતી ઘણીવાર આ જરૂરિયાતને પૂર્ણ કરતી નથી; તે સ્વયંસંબંધિત છે (જેને ક્રમિક સહસંબંધ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે). એક ઉદાહરણ તરીકે, માપન સાધનના ક્રમિક વાંચન કે જેમાં અમુક પ્રકારની "સ્મૂથિંગ" (વધુ યોગ્ય રીતે, લો-પાસ ફિલ્ટરિંગ) પ્રક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે તે સ્વયંસંબંધિત હશે, કારણ કે કોઈપણ ચોક્કસ મૂલ્યની ગણતરી અગાઉના અને પછીના વાંચનના કેટલાક સંયોજનમાંથી કરવામાં આવે છે. ઑટોકોરિલેટેડ ડેટાના તફાવત અને પ્રમાણભૂત વિચલનના અંદાજો પક્ષપાતી રહેશે. નમૂનાના ભિન્નતાનું અપેક્ષિત મૂલ્ય એ છે કે જ્યાં n એ નમૂનાનું કદ (માપની સંખ્યા) છે અને તે ડેટાનું સ્વ-સહસંબંધ કાર્ય (ACF) છે. (નોંધ લો કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ ફક્ત વાંચન માટે સરેરાશ અપેક્ષિત સ્વ-સંબંધને બાદ કરતાં એક છે.) જો ACF હકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે, તો તફાવતનો અંદાજ (અને તેના વર્ગમૂળ, પ્રમાણભૂત વિચલન) ઓછો પક્ષપાતી હશે. એટલે કે, ડેટાની વાસ્તવિક પરિવર્તનશીલતા અચોક્કસ ભિન્નતા અથવા પ્રમાણભૂત વિચલન ગણતરી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે તેના કરતા વધારે હશે. તે ઓળખવું જરૂરી છે કે, જો આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ પૂર્વગ્રહને સુધારવા માટે કરવો હોય, તો ઉપરના કૌંસમાં જથ્થા દ્વારા અંદાજને વિભાજીત કરીને, પછી ACF વિશ્લેષણાત્મક રીતે જાણવું આવશ્યક છે, ડેટામાંથી અંદાજ દ્વારા નહીં. આનું કારણ એ છે કે અંદાજિત ACF પોતે પક્ષપાતી હશે. પ્રમાણભૂત વિચલનમાં પૂર્વગ્રહનું ઉદાહરણ પ્રમાણભૂત વિચલનમાં પૂર્વગ્રહની તીવ્રતાને સમજાવવા માટે, એક ડેટાસેટને ધ્યાનમાં લો જેમાં ચોક્કસ ડિજિટલ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરતા સાધનમાંથી ક્રમિક વાંચનનો સમાવેશ થાય છે, જેનું ACF જ્યાં α ફિલ્ટરનું પરિમાણ છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને તે શૂન્યથી એકતા સુધી મૂલ્યો લે છે. આમ ACF હકારાત્મક છે અને ભૌમિતિક રીતે ઘટતું જાય છે. આ આંકડો તેના જાણીતા મૂલ્ય સાથે અંદાજિત પ્રમાણભૂત વિચલનનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે (જે આ ડિજિટલ ફિલ્ટર માટે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગણતરી કરી શકાય છે), નમૂના કદ n ના કાર્ય તરીકે α ની ઘણી સેટિંગ્સ માટે. α ને બદલવાથી ફિલ્ટરના ભિન્નતા ઘટાડાના ગુણોત્તરમાં ફેરફાર થાય છે, જે એટલા માટે જાણીતું છે કે જેથી α ના નાના મૂલ્યો વધુ ભિન્નતા ઘટાડામાં પરિણમે છે, અથવા "સ્મૂથિંગ" થાય છે. પૂર્વગ્રહ એકતાથી અલગ ઊભી અક્ષ પરના મૂલ્યો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે; એટલે કે, જો કોઈ પૂર્વગ્રહ ન હોય તો, જાણીતા પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજિત ગુણોત્તર એકતા હશે. સ્પષ્ટપણે, સામાન્ય નમૂનાના કદ માટે નોંધપાત્ર પૂર્વગ્રહ (બે અથવા વધુનું પરિબળ) હોઈ શકે છે. સરેરાશનો તફાવત વસ્તીના તફાવતને બદલે અંદાજિત સરેરાશના તફાવત અથવા પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ લગાવવો ઘણીવાર રસપ્રદ હોય છે. જ્યારે ડેટા ઓટો-કોરિલેટેડ હોય છે, ત્યારે આની સીધી અસર નમૂનાના સરેરાશના સૈદ્ધાંતિક ભિન્નતા પર પડે છે, જે σ2 ના અંદાજને બદલીને નમૂનાના સરેરાશના તફાવતનો અંદાજ લગાવી શકાય છે. આવો એક અંદાજ ઉપર આપેલા E [s2] ના સમીકરણમાંથી મેળવી શકાય છે. પહેલા નીચેના સ્થિરાંકોને વ્યાખ્યાયિત કરો, એમ ધારીને કે, ફરીથી, એક જાણીતું ACF: જેથી આ કહે છે કે અવલોકન કરેલ નમૂનાના તફાવતને સુધારણા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરીને મેળવેલા જથ્થાનું અપેક્ષિત મૂલ્ય તફાવતનો નિષ્પક્ષ અંદાજ આપે છે. તેવી જ રીતે, સરેરાશના તફાવત માટે ઉપરની અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીને, અને અવલોકન કરેલ નમૂનાના તફાવત અને જાણીતા જથ્થાના સંદર્ભમાં સરેરાશના તફાવતનો નિષ્પક્ષ અંદાજ આપનાર માટેના અંદાજને બદલીને. જો સ્વ-સહસંબંધો સમાન રીતે શૂન્ય હોય, તો આ અભિવ્યક્તિ સ્વતંત્ર માહિતી માટે સરેરાશના તફાવત માટે જાણીતા પરિણામમાં ઘટાડો કરે છે. આ અભિવ્યક્તિઓમાં અપેક્ષા સંચાલકની અસર એ છે કે સમાનતા સરેરાશ (એટલે કે સરેરાશ) માં રહે છે. વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ વસ્તીના તફાવતને સમાવતી ઉપરની અભિવ્યક્તિઓ અને તે વસ્તીના સરેરાશના અંદાજને ધ્યાનમાં રાખીને, સંબંધિત પ્રમાણભૂત વિચલનોના નિષ્પક્ષ અંદાજો મેળવવા માટે આ અભિવ્યક્તિઓના વર્ગમૂળને સરળ રીતે લેવું તાર્કિક લાગશે. જો કે તે કેસ છે કે, અપેક્ષાઓ ઇંટીગ્રલ હોવાથી, તેના બદલે, ધારો કે ફંક્શન θ અસ્તિત્વમાં છે જેથી પ્રમાણભૂત વિચલનનો નિષ્પક્ષ અંદાજ લખી શકાય અને θ નમૂનાના કદ n અને ACF પર આધાર રાખે છે. એન. આઈ. ડી. (સામાન્ય રીતે અને સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત) ડેટાના કિસ્સામાં, રેડિકંડ એ એકતા છે અને θ એ ઉપરના પ્રથમ વિભાગમાં આપવામાં આવેલ માત્ર c4 કાર્ય છે. c4ની જેમ, જેમ જેમ નમૂનાનું કદ વધે છે તેમ તેમ θ એકતાનો સંપર્ક કરે છે (જેમ કે γ1 કરે છે). તે સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે કે θ (એટલે કે, તેને એકતા તરીકે લેવું) ને અવગણીને અને તેનો ઉપયોગ કરવાથી સ્વ-સહસંબંધને કારણે થતા પૂર્વગ્રહના થોડા ટકા સિવાય બધાને દૂર કરવામાં આવે છે, જે તેને નિષ્પક્ષ અંદાજકર્તાને બદલે ઘટાડેલા-પૂર્વગ્રહ અંદાજકાર બનાવે છે. વ્યવહારુ માપન પરિસ્થિતિઓમાં, પૂર્વગ્રહમાં આ ઘટાડો નોંધપાત્ર અને ઉપયોગી હોઈ શકે છે, ભલે કેટલાક પ્રમાણમાં નાના પૂર્વગ્રહ રહે. ઉપરની આકૃતિ, પ્રમાણભૂત વિચલન વિરુદ્ધ નમૂનાના કદમાં પૂર્વગ્રહનું ઉદાહરણ દર્શાવે છે, તે આ અંદાજ પર આધારિત છે; વાસ્તવિક પૂર્વગ્રહ તે આલેખમાં દર્શાવેલ કરતાં કંઈક મોટો હશે કારણ કે પરિવર્તન પૂર્વગ્રહ θ ત્યાં શામેલ નથી. નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ લગાવવાનો અર્થ એ છે કે વસ્તીના તફાવત અને ACF ની દ્રષ્ટિએ સરેરાશની નિષ્પક્ષ ભિન્નતા દ્વારા આપવામાં આવે છે અને અહીં કોઈ અપેક્ષિત મૂલ્યો ન હોવાથી, આ કિસ્સામાં વર્ગમૂળ લઈ શકાય છે, જેથી σ માટે ઉપરના નિષ્પક્ષ અંદાજ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, સરેરાશના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ પછી હશે. ડગ્લાસ સી. મોન્ટગોમેરી અને જ્યોર્જ સી. રુંગર, એપ્લાઇડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ એન્ડ પ્રોબેબિલિટી ફોર એન્જિનિયર્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, વિલી એન્ડ સન્સ, 2003. (વિભાગો 7-2.2 અને 16-5 જુઓ) બાહ્ય કડીઓ જાવા ઇન્ટરેક્ટિવ ગ્રાફિક જે હેલ્મર્ટ પીડીએફ દર્શાવે છે જેમાંથી પૂર્વગ્રહ સુધારણા પરિબળો મેળવવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત વિચલનના નિષ્પક્ષ અંદાજ માટે મોન્ટે-કાર્લો સિમ્યુલેશન ડેમો. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc32.htm ચલ નિયંત્રણ ચાર્ટ શું છે? અંદાજ પદ્ધતિઓ સારાંશ આંકડાશાસ્ત્ર સુસંગતતા અને સહસંબંધ