Crystal base
- વેક્ટર જગ્યા પર ક્વોન્ટમ જૂથની રજૂઆત માટે સ્ફટિક આધાર એ તે વેક્ટર જગ્યાનો આધાર નથી, પરંતુ તે વેક્ટર જગ્યામાં-જાળી ક્યાં છે તેનો આધાર છે. સ્ફટિકના પાયા કાર્યમાં અને કાર્યમાં પણ દેખાયા હતા. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કેનોનિકલ આધાર તરીકે તેમને વિશેષતા તરીકે જોઈ શકાય છે. વ્યાખ્યા તેના વ્યાખ્યાયિત સંબંધોના પરિણામે, ક્વોન્ટમ જૂથને અનિશ્ચિત q ઓવરના તમામ તર્કસંગત કાર્યોના ક્ષેત્ર પર હોપફ બીજગણિત તરીકે ગણી શકાય, જે સૂચવવામાં આવે છે. સરળ મૂળ અને બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, ઇન્ટિગ્રેબલ મોડ્યુલમાં વ્યાખ્યાયિત કરો, અને વજન માટે, વેક્ટર (એટલે કે. વજન સાથે વેક્ટર) ને અનન્ય રીતે સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાય છે જ્યાં, માત્ર જો, અને માત્ર જો. લીનિયર મેપિંગ્સને આના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે ચાલો તે તમામ તર્કસંગત કાર્યોનું અભિન્ન ક્ષેત્ર હોઈએ જેમાં (એટલે કે. તર્કસંગત વિધેય એ જો અને માત્ર ત્યારે જ એક તત્વ છે જો બહુપદીઓ અસ્તિત્વમાં હોય અને બહુપદી રિંગમાં જેમ કે, અને) હોય. માટે સ્ફટિક આધાર એ એક ક્રમબદ્ધ જોડી છે, જેમ કે તે એક મુક્ત-પેટા મોડ્યુલ છે જે અને, જ્યાં અને અને પર વેક્ટર જગ્યાના-આધાર છે અને અને અને આને વધુ અનૌપચારિક સેટિંગમાં મૂકવા માટે, અને ની ક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે એકીકૃત મોડ્યુલ પર એકવચન છે. રેખીય મેપિંગ્સ અને મોડ્યુલ પર રજૂ કરવામાં આવે છે જેથી મોડ્યુલ પર અને ની ક્રિયાઓ નિયમિત હોય. વજન વેક્ટરનો એક આધાર અસ્તિત્વમાં છે, જેના સંદર્ભમાં ક્રિયાઓ અને બધા માટે નિયમિત છે. મોડ્યુલ પછી બેસિસ દ્વારા પેદા થયેલ ફ્રી-મોડ્યુલ સુધી મર્યાદિત છે, અને બેસિસ વેક્ટર,-સબમોડ્યુલ અને અને ની ક્રિયાઓનું મૂલ્યાંકન અહીં કરવામાં આવે છે. વધુમાં, આધાર એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે, બધા માટે, અને મ્યુચ્યુઅલ ટ્રાન્સપોઝીસ દ્વારા રજૂ થાય છે, અને આધાર વેક્ટરને આધાર વેક્ટર અથવા 0 પર મેપ કરે છે. સ્ફટિક આધારને લેબલ ધાર સાથે નિર્દેશિત આલેખ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આલેખનો દરેક શિરોબિંદુ i દ્વારા લેબલ થયેલ અને શિરોબિંદુથી શિરોબિંદુ તરફ નિર્દેશિત એક નિર્દેશિત ધારના-આધાર તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તે (અને, સમકક્ષ રીતે, તે) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં દ્વારા રજૂ કરાયેલ આધાર તત્વ છે, અને તે દ્વારા રજૂ કરાયેલ આધાર તત્વ છે. આલેખ સંપૂર્ણપણે અને અને ની ક્રિયાઓ નક્કી કરે છે. જો ઇન્ટિગ્રેબલ મોડ્યુલમાં સ્ફટિક આધાર હોય, તો મોડ્યુલ ઈરીડ્યુસિબલ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સ્ફટિક આધારને રજૂ કરતો આલેખ જોડાયેલ હોય (ગ્રાફને "જોડાયેલ" કહેવામાં આવે છે જો શિરોબિંદુઓના સમૂહને બિન-તુચ્છ વિચ્છેદિત ઉપગણના જોડાણમાં વિભાજિત કરી શકાતો નથી અને જેમ કે કોઈ પણ શિરોબિંદુમાં કોઈપણ શિરોબિંદુને જોડતી કોઈ ધાર ન હોય). સ્ફટિક આધાર સાથેના કોઈપણ સંકલિત મોડ્યુલ માટે, સ્ફટિક આધાર માટેનું વજન સ્પેક્ટ્રમ મોડ્યુલ માટેના વજન સ્પેક્ટ્રમ જેટલું જ હોય છે, અને તેથી સ્ફટિક આધાર માટેનું વજન સ્પેક્ટ્રમ યોગ્ય કેએસી-મૂડી બીજગણિતના અનુરૂપ મોડ્યુલ માટે વજન સ્પેક્ટ્રમ જેટલું જ હોય છે. સ્ફટિક આધારમાં વજનનો ગુણાકાર પણ યોગ્ય કેએસી-મૂડી બીજગણિતના અનુરૂપ મોડ્યુલમાં તેમના ગુણાકાર જેટલો જ છે. તે કાશીવારાનો એક સિદ્ધાંત છે કે દરેક સંકલિત ઉચ્ચતમ વજનના મોડ્યુલમાં સ્ફટિક આધાર હોય છે. તેવી જ રીતે, દરેક સંકલિત સૌથી ઓછા વજનના મોડ્યુલમાં સ્ફટિક આધાર હોય છે. સ્ફટિક આધારના ટેન્સર ઉત્પાદનો ચાલો સ્ફટિક આધાર સાથે સંકલિત કરી શકાય તેવું મોડ્યુલ બનીએ અને સ્ફટિક આધાર સાથે સંકલિત કરી શકાય તેવું મોડ્યુલ બનીએ. સ્ફટિક પાયા માટે, દ્વારા આપવામાં આવેલ સહઉત્પાદન અપનાવવામાં આવે છે. ઇન્ટિગ્રેબલ મોડ્યુલ સ્ફટિક આધાર ધરાવે છે, જ્યાં. બેસિસ વેક્ટર માટે, વ્યાખ્યાયિત કરો અને પરની ક્રિયાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉત્પાદનના બે સંકલિત ઉચ્ચતમ વજનના મોડ્યુલનું ઇરેડ્યુસિબલ સબમોડ્યુલ્સમાં વિઘટન સ્ફટિક આધારના આલેખના તેના જોડાયેલા ઘટકોમાં વિઘટન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (એટલે કે. પેટા મોડ્યુલોનું સૌથી વધુ વજન નક્કી કરવામાં આવે છે, અને દરેક સૌથી વધુ વજનની સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે). સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ લાઈ આલ્જેબ્રા પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત ક્વોન્ટમ જૂથો