Eilenberg–Zilber theorem
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર પ્રમેય એ ઉત્પાદન જગ્યાના સમરૂપતા જૂથો અને જગ્યાઓ અને જગ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધને સ્થાપિત કરવામાં એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે. આ પ્રમેય સૌપ્રથમ 1953માં સેમ્યુઅલ આઈલેનબર્ગ અને જોસેફ એ. ઝિલ્બર દ્વારા અમેરિકન જર્નલ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. સાબિતી માટેનો એક સંભવિત માર્ગ એ એસાયક્લિક મોડેલ થીયરમ છે. પ્રમેયનું નિવેદન પ્રમેયને નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે. ધારો કે અને તે ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓ છે, તો પછી આપણી પાસે ત્રણ સાંકળ સંકુલ છે, અને. (દલીલ સરળ અથવા એકવચન સાંકળ સંકુલને સમાન રીતે લાગુ પડે છે.) આપણી પાસે ટેન્સર પ્રોડક્ટ કોમ્પ્લેક્સ પણ છે, જેનો વિભેદક વ્યાખ્યા દ્વારા, માટે અને તેના પરના વિભેદો છે. પછી પ્રમેય કહે છે કે આપણી પાસે સાંકળ નકશા છે જેમ કે ઓળખ અને ઓળખ માટે સાંકળ-ગતિશીલ છે. વધુમાં, નકશા અને માં કુદરતી છે. પરિણામે બે સંકુલમાં સમાન સમરૂપતા હોવી જોઈએઃ સંયુક્ત નકશાની દ્રષ્ટિએ નિવેદન મૂળ પ્રમેય ચક્રીય નમૂનાઓની દ્રષ્ટિએ સાબિત થયું હતું પરંતુ સ્પષ્ટ નકશાનો ઉપયોગ કરીને આઈલેનબર્ગ અને મેક લેન દ્વારા શબ્દલેખનમાં વધુ માઇલેજ મેળવવામાં આવ્યું હતું. તેઓ જે પ્રમાણભૂત નકશો બનાવે છે તેને પરંપરાગત રીતે એલેક્ઝાન્ડર-વ્હિટની નકશો અને આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર નકશો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. નકશા બંનેમાં કુદરતી અને હોમોટૉપી સુધી વિપરીત છેઃ એકમાં બંનેમાં કુદરતી હોમોટૉપી હોય છે અને તે આગળ, દરેકમાં, અને શૂન્ય હોય છે. આ તે છે જે સંકોચન અથવા હોમોટૉપી રીટ્રેક્ટ ડેટમ તરીકે ઓળખાય છે. કોપ્રોડક્ટ વિકર્ણ નકશો કોચેન સંકુલોનો નકશો પ્રેરિત કરે છે, જે એલેક્ઝાન્ડર-વ્હિટની દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે, જે પ્રમાણભૂત સહઉત્પાદનને પ્રેરિત કરતી સહઉત્પાદન આપે છે. અને પરના આ સહઉત્પાદનોના સંદર્ભમાં, નકશો, જેને આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર નકશો પણ કહેવાય છે, તે વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ કોલજેબ્રાનો નકશો બની જાય છે. સંયોજન પોતે કોલજેબ્રાનો નકશો નથી. કોહોમોલોજીમાં નિવેદન એલેક્ઝાન્ડર-વ્હિટની અને આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર નકશાને (એકતાની સાથે પરિવર્તનીય ગુણાંક રિંગની કોઈપણ પસંદગી પર) નકશાની જોડીમાં દ્વિગુણિત કરે છે, જે દ્વિસંગી સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના સમીકરણોના દ્વિસંગીઓ દ્વારા સાક્ષી છે. સહઉત્પાદન સીધું દ્વિગુણિત થતું નથી, કારણ કે દ્વિગુણન અનંત-જનરેટેડ મોડ્યુલોના ટેન્સર ઉત્પાદનો પર વિતરિત થતું નથી, પરંતુ ગુણાંક રિંગમાં લેવામાં આવતા ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવેલ વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ આલ્જેબ્રાનું કુદરતી ઈન્જેક્શન છે. આ કોહોમોલોજીમાં આઇસોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે, તેથી કોહોમોલોજીમાં ઉત્પાદનને પ્રેરિત કરતા વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ બીજગણિત નકશાઓની વાંકીચૂંકી હોય છે, જેને કપ પ્રોડક્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, કારણ કે અને તે આઇસોમોર્ફિઝમ્સ છે. નકશાને બદલીને બધા એક જ રીતે જાય છે, કોઈને કોચેઇન્સ પર પ્રમાણભૂત કપ ઉત્પાદન મળે છે, જે સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં આવે છે, કારણ કે કોચેન મૂલ્યાંકન અદૃશ્ય થઈ જાય છે, જ્યાં સુધી તે વધુ પરિચિત અભિવ્યક્તિમાં ઘટાડો ન કરે. નોંધ લો કે જો કોચેન સંકુલોનો આ સીધો નકશો હકીકતમાં વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ બીજગણિતનો નકશો હોત, તો કપ ઉત્પાદન પરિવર્તનીય શ્રેણીબદ્ધ બીજગણિત બનાવશે, જે તે નથી. કોલ બીજગણિત નકશો બનવામાં એલેક્ઝાન્ડર-વ્હિટની નકશાની આ નિષ્ફળતા બિન-શૂન્ય લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્રો પર કોહોમોલોજી માટે પરિવર્તનીય કોચેન-સ્તરના મોડેલોની અનુપલબ્ધતાનું એક ઉદાહરણ છે, અને આમ તે એક રીતે સ્થિર હોમોટોપી સિદ્ધાંતમાં મોટાભાગની સૂક્ષ્મતા અને ગૂંચવણ માટે જવાબદાર છે. સામાન્યીકરણ ક્રોસ કોમ્પ્લેક્સનો ઉપયોગ કરીને બિન-એબેલિયન કેસ માટે એક મહત્વપૂર્ણ સામાન્યીકરણ નીચે એન્ડ્રુ ટોન્ક્સ દ્વારા પેપરમાં આપવામાં આવ્યું છે. આ ક્રોસ કરેલા સંકુલની (સરળ) વર્ગીકરણ જગ્યા પર પરિણામની સંપૂર્ણ વિગતો આપે છે, પરંતુ રોનાલ્ડ બ્રાઉન અને ફિલિપ જે. હિગિન્સ દ્વારા વર્ગીકૃત જગ્યાઓ પર પેપરમાં સાબિત કરવામાં આવ્યું નથી. ઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર પ્રમેય એ કુનેથ પ્રમેયની સ્થાપનામાં મુખ્ય ઘટક છે, જે અને ની દ્રષ્ટિએ સમરૂપતા જૂથોને વ્યક્ત કરે છે. આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર પ્રમેયના પ્રકાશમાં, કુનેથ પ્રમેયની સામગ્રીમાં વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે કે કેવી રીતે ટેન્સર પ્રોડક્ટ કોમ્પ્લેક્સની સમરૂપતા પરિબળોની સમરૂપતા સાથે સંબંધિત છે. ચક્રીય નમૂના સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . બીજગણિત ટોપોલોજીમાં હોમોલોજિકલ બીજગણિત પ્રમેયો