Poincaré–Lindstedt method
વિક્ષેપ સિદ્ધાંતમાં, પોઇનકેર-લિન્ડસ્ટેડ પદ્ધતિ અથવા લિન્ડસ્ટેડ-પોઇનકેર પદ્ધતિ એ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સામયિક ઉકેલોને સમાનરૂપે અંદાજિત કરવાની એક તકનીક છે, જ્યારે નિયમિત વિક્ષેપ અભિગમ નિષ્ફળ જાય છે. આ પદ્ધતિ બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દોને દૂર કરે છે-બંધાયેલા વગર વધતા શબ્દો-મર્યાદિત ઓસિલેટરી ઉકેલો સાથે નબળા બિનરેખીય સમસ્યાઓ માટે વિક્ષેપ સિદ્ધાંતના સીધા ઉપયોગમાં ઉદ્ભવતા. આ પદ્ધતિને હેનરી પોઇનકેરે અને એન્ડર્સ લિન્ડસ્ટેડ્ટના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે. આ લેખ કેટલાંક ઉદાહરણો આપે છે. આ સિદ્ધાંત ના પ્રકરણ 10 માં મળી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ડફિંગ સમીકરણ અનડેમ્પ્ડ, અનફોર્સ્ડ ડફિંગ સમીકરણ t> 0 માટે 0 <ε1 સાથે આપવામાં આવે છે. પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓનો વિચાર કરો x (t) = x0 (t) + εx1 (t) +. સ્વરૂપનો વિક્ષેપ-શ્રેણી ઉકેલ માંગવામાં આવે છે. શ્રેણીની પ્રથમ બે શરતો એ છે કે આ અંદાજ સમયની મર્યાદા વિના વધે છે, જે સમીકરણ મોડેલની ભૌતિક પ્રણાલી સાથે અસંગત છે. આ અમર્યાદિત વૃદ્ધિ માટે જવાબદાર શબ્દ, જેને બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દ કહેવાય છે. પોઇનકેરે-લિન્ડસ્ટેડ્ટ પદ્ધતિ નીચે મુજબ એક અંદાજ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે જે બધા સમય માટે સચોટ છે. ઉકેલને એસિમ્પ્ટોટિક શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવા ઉપરાંત, બીજી શ્રેણી બનાવો જેની સાથે સમય t ને માપવા માટેઃ જ્યાં આપણી પાસે અગ્રણી ક્રમ ω0 = 1 છે, કારણ કે જ્યારે, સમીકરણ પાસે ઉકેલ હોય છે. પછી મૂળ સમસ્યા બની જાય છે હવે x (τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) +... સ્વરૂપનો ઉકેલ શોધો. ε માં શૂન્ય અને પ્રથમ ક્રમની સમસ્યા માટે નીચેના ઉકેલો મેળવવામાં આવે છેઃ તેથી બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દને પસંદગી દ્વારા દૂર કરી શકાય છેઃ ω1 =. આ રીતે વિક્ષેપ વિશ્લેષણ ચાલુ રાખીને ચોકસાઈના ઉચ્ચ ક્રમ મેળવી શકાય છે. હમણાં સુધી, અંદાજ-ε માં પ્રથમ ક્રમ સુધી સાચો-ઉદાહરણ છેઃ વેન ડેર પોલ ઓસિલેટર આપણે ફક્ત 2 ક્રમ સુધી જ વેન ડેર પોલ ઓસિલેટરને હલ કરીએ છીએ. આ પદ્ધતિ એ જ રીતે અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે, જ્યાં ક્રમ-એન શબ્દમાં હાર્મોનિક શબ્દ, વત્તા કેટલાક સુપર-હાર્મોનિક શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે. અતિ-હાર્મોનિક શબ્દોના ગુણાંક સીધા ઉકેલવામાં આવે છે, અને હાર્મોનિક શબ્દના ગુણાંક ક્રમ-(n + 1) સુધી વિસ્તારીને અને તેના બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દને દૂર કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. ક્રમ 3 સુધીના વ્યુત્પત્તિ માટે અને ક્રમ 164 સુધીના કોમ્પ્યુટર વ્યુત્પત્તિ માટે પ્રકરણ 10 જુઓ. વેન ડેર પોલ ઓસિલેટરને સમીકરણ સાથે ધ્યાનમાં લો જ્યાં એક નાની હકારાત્મક સંખ્યા છે. બીજા ક્રમમાં અવેજી કરો જ્યાં સમીકરણ મળે છે હવે પ્લગ ઇન કરો, અને આપણી પાસે અનુક્રમે ક્રમ માટે ત્રણ સમીકરણો છેઃ પ્રથમ સમીકરણમાં સામાન્ય ઉકેલ છે. સમયની ઉત્પત્તિ એવી રીતે પસંદ કરો. પછી તેને મેળવવા માટે બીજા સમીકરણમાં મૂકો (કેટલીક ત્રિકોણમિતિ ઓળખ પછી) બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દને દૂર કરવા માટે, આપણે બંને ગુણાંકને શૂન્ય પર સેટ કરવા જોઈએ, આમ આપણી પાસે ઉપજ છે. ખાસ કરીને, આપણે જોયું કે જ્યારે શૂન્યથી નાના હકારાત્મક અચળાંકમાં વધારો થાય છે, ત્યારે તબક્કા અવકાશમાં તમામ ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષાઓ નાશ પામે છે, સિવાય કે ત્રિજ્યા 2 પર. હવે ઉપજ ઉકેલવી. આપણે હંમેશા શબ્દને સમાવી શકીએ છીએ, જેથી આપણે WLOG બરાબર કરી શકીએ. હવે ધર્મનિરપેક્ષ શબ્દને દૂર કરવા માટે બીજા સમીકરણમાં પ્લગ કરો, આપણે સેટ કરીએ છીએ. આમ આપણે તે શોધી કાઢીએ છીએ. ઉદાહરણ-મેથ્યુ સમીકરણ આ પેરામેટ્રિક રેઝોનન્સનું ઉદાહરણ છે. મેથ્યુ સમીકરણનો વિચાર કરો, જ્યાં અચળાંક છે અને તે નાનું છે. સમીકરણના ઉકેલમાં બે સમય-સ્કેલ હશે, એક ક્રમમાં ઝડપથી બદલાય છે, અને બીજો ક્રમમાં ધીમે બદલાય છે. તેથી ઉકેલને વિસ્તૃત કરો હવે મેથ્યુ સમીકરણમાં પ્લગ કરો અને મેળવવા માટે વિસ્તૃત કરો..................................................................................... બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે પરિમાણમાં કોણીય આવર્તન (આ કિસ્સામાં,) મૂળ ઓસિલેટરની કોણીય આવર્તન (આ કિસ્સામાં) ની પૂરતી નજીક હોય છે, ત્યારે ઓસિલેશન અમર્યાદિત રીતે વધે છે, જેમ કે બાળક ઝૂલા પર ઝૂલતું હોય છે જે ચંદ્ર તરફ બધી રીતે પંપીંગ કરે છે. શોહાટ વિસ્તરણ વેન ડેર પોલ ઓસિલેટર માટે, આપણી પાસે મોટા માટે છે, જેથી જેમ જેમ તે મોટું થાય છે, તેમ તેમ વિચલનની દ્રષ્ટિએ ક્રમિક વિસ્તરણ થાય છે અને આપણે તેને બંધાયેલ રાખવા માટે તેની વધુને વધુ શરતો રાખવાની જરૂર પડશે. આ આપણને એક પરિમિતિ સૂચવે છે જે બંધાયેલ છેઃ પછી, ક્રમિક વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને, અને બિનસાંપ્રદાયિક શબ્દોને દૂર કરવાની સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ. કારણ કે, વિસ્તરણ આપણને જમણી બાજુની શ્રેણી માટે મર્યાદિત સંખ્યામાં શરતો લેવાની મંજૂરી આપે છે, અને તે મર્યાદા પર મર્યાદિત મૂલ્યમાં રૂપાંતરિત થશે. પછી આપણી પાસે હશે, જે બરાબર ઇચ્છિત એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન છે. આ શોહાટ વિસ્તરણ પાછળનો વિચાર છે. ચોક્કસ એસિમ્પ્ટોટિક અચળાંક છે, જેનો આપણે જોઈ શકીએ તેમ સંપર્ક કરી શકાય છે. સંદર્ભો અને નોંધો વિક્ષેપ સિદ્ધાંત