Sylvester equation
ગણિતમાં, નિયંત્રણ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં, સિલ્વેસ્ટર સમીકરણ એ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સમીકરણ છેઃ તેનું નામ અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી જેમ્સ જોસેફ સિલ્વેસ્ટરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. પછી મેટ્રિસીસ A, B અને C આપવામાં આવે તો, સમસ્યા એ છે કે આ સમીકરણનું પાલન કરતી સંભવિત મેટ્રિસીસ X શોધવી. તમામ મેટ્રિસીસમાં જટિલ સંખ્યાઓમાં ગુણાંક હોવાનું માનવામાં આવે છે. સમીકરણને અર્થપૂર્ણ બનાવવા માટે, મેટ્રિસીસમાં યોગ્ય કદ હોવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે તે બધા સમાન કદના ચોરસ મેટ્રિસીસ હોઈ શકે છે. પરંતુ વધુ સામાન્ય રીતે, A અને B અનુક્રમે n અને m કદના ચોરસ મેટ્રિસીસ હોવા જોઈએ, અને પછી X અને C બંનેમાં n પંક્તિઓ અને m સ્તંભો હોવા જોઈએ. સિલ્વેસ્ટર સમીકરણમાં X માટે એક અનોખો ઉકેલ હોય છે, બરાબર ત્યારે જ્યારે A અને −B ના કોઈ સામાન્ય આઈગન મૂલ્યો ન હોય. વધુ સામાન્ય રીતે, સમીકરણ AX + XB = C ને (સંભવતઃ અનંત-પરિમાણીય) બનાચ જગ્યા પર બંધાયેલા ઓપરેટરોના સમીકરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ઉકેલ X ની વિશિષ્ટતા માટેની શરત લગભગ સમાન છેઃ જ્યારે A અને −B નો સ્પેક્ટ્રા અલગ હોય ત્યારે બરાબર એક અનન્ય ઉકેલ X અસ્તિત્વમાં હોય છે. ઉકેલોનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા ક્રોનેકર પ્રોડક્ટ નોટેશન અને વેક્ટરાઇઝેશન ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સિલ્વેસ્ટરના સમીકરણને તે સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ જ્યાં તે પરિમાણનું હોય, પરિમાણનું હોય, પરિમાણનું હોય અને ઓળખ મેટ્રિક્સ હોય. આ સ્વરૂપમાં, સમીકરણને પરિમાણની રેખીય પ્રણાલી તરીકે જોઈ શકાય છે. પ્રમેય. આપેલ મેટ્રિસીસ અને, સિલ્વેસ્ટર સમીકરણ કોઈપણ માટે એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો અને કોઈ આઈગન વેલ્યુ શેર ન કરે. પુરાવો. આ સમીકરણ એક રેખીય પ્રણાલી છે જેમાં અજ્ઞાત અને સમાન સંખ્યામાં સમીકરણો છે. તેથી તે કોઈપણ માટે અનન્ય રીતે ઉકેલવા યોગ્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સજાતીય સમીકરણ માત્ર તુચ્છ ઉકેલ સ્વીકારે. (i) એમ ધારો અને કોઈ પણ આઈગન વેલ્યુ શેર ન કરો. ચાલો ઉપરોક્ત સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ બનીએ. પછી, જેને ગાણિતિક પ્રેરણ દ્વારા દરેક માટે ઉપાડી શકાય છે. પરિણામે, કોઈપણ બહુપદી માટે. ખાસ કરીને, ચાલો લાક્ષણિક બહુપદી હોઈએ. પછી કેલે-હેમિલ્ટન થીયરમને કારણે; તે દરમિયાન, સ્પેક્ટ્રલ મેપિંગ થીયરમ આપણને જણાવે છે કે મેટ્રિક્સના સ્પેક્ટ્રમને ક્યાં સૂચવે છે. કારણ કે અને કોઈપણ આઈગન વેલ્યુ શેર કરતા નથી, તેમાં શૂન્ય હોતું નથી, અને તેથી તે નોન-સિંગ્યુલર છે. આમ ઈચ્છા પ્રમાણે. આ પ્રમેયના "જો" ભાગને સાબિત કરે છે. (ii) હવે તે ધારો અને આઈગન વેલ્યુ શેર કરો. ચાલો માટે અનુરૂપ જમણા આઈગનવેક્ટર હોઈએ, અને માટે અનુરૂપ ડાબા આઈગનવેક્ટર હોઈએ. પછી, અને તેથી ઉપરોક્ત સજાતીય સમીકરણનો બિન-તુચ્છ ઉકેલ છે, જે પ્રમેયના "માત્ર જો" ભાગને ન્યાયી ઠેરવે છે. ક્યૂ. ઈ. ડી. સ્પેક્ટ્રલ મેપિંગ થીયરમના વિકલ્પ તરીકે, સાબિતીના ભાગ (i) ની નોન-સિંગ્યુલારીટીને કોપ્રાઇમ બહુપદીઓ માટે બેઝઆઉટની ઓળખ દ્વારા પણ દર્શાવી શકાય છે. ચાલો લાક્ષણિક બહુપદી હોઈએ. ત્યારથી અને કોઈપણ આઈગન વેલ્યુ શેર કરતા નથી, અને કોપ્રાઇમ છે. તેથી ત્યાં બહુપદીઓ અને તે જેવી વસ્તુઓ અસ્તિત્વમાં છે. કેલે-હેમિલ્ટન પ્રમેય દ્વારા,. આમ, તેનો અર્થ એ છે કે તે નોનસિંગ્યુલર છે. આ પ્રમેય વાસ્તવિક મેટ્રિસીસ માટે એ ચેતવણી સાથે સાચું રહે છે કે કોઈ વ્યક્તિ તેમના જટિલ આઈગન મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લે છે. "જો" ભાગ માટેનો પુરાવો હજુ પણ લાગુ પડે છે; "માત્ર જો" ભાગ માટે, નોંધ લો કે બંને અને સજાતીય સમીકરણને સંતોષે છે, અને તેઓ એક સાથે શૂન્ય ન હોઈ શકે. રોથનો દૂર કરવાનો નિયમ n અને m કદના બે ચોરસ જટિલ મેટ્રિસીસ A અને B અને n બાય m કદના C મેટ્રિક્સને જોતાં, પછી કોઈ પૂછી શકે છે કે n + m કદના નીચેના બે ચોરસ મેટ્રિસીસ એકબીજા સાથે ક્યારે સમાન છેઃ અને. જવાબ એ છે કે જ્યારે મેટ્રિક્સ X અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે આ બે મેટ્રિક્સ બરાબર સમાન હોય છે જેમ કે AX − XB = C. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, X એ સિલ્વેસ્ટર સમીકરણનો ઉકેલ છે. આને રોથના દૂર કરવાના નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. એક સરળતાથી એક દિશા તપાસે છેઃ જો AX − XB = C હોય તો રોથનો દૂર કરવાનો નિયમ બનાચ જગ્યા પર અનંત-પરિમાણીય બાઉન્ડેડ ઓપરેટરોને સામાન્ય બનાવતો નથી. તેમ છતાં, રોથનો દૂર કરવાનો નિયમ સિલ્વેસ્ટર સમીકરણોની પ્રણાલીઓને સામાન્ય બનાવે છે. આંકડાકીય ઉકેલો સિલ્વેસ્ટર સમીકરણના આંકડાકીય ઉકેલ માટે શાસ્ત્રીય અલ્ગોરિધમ એ બાર્ટેલ્સ-સ્ટીવર્ટ અલ્ગોરિધમ છે, જેમાં ક્યુ. આર. અલ્ગોરિધમ દ્વારા સ્કુર સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરવામાં આવે છે, અને પછી બેક-અવેજી દ્વારા પરિણામી ત્રિકોણાકાર પ્રણાલીને હલ કરવામાં આવે છે. આ અલ્ગોરિધમ, જેની કોમ્પ્યુટેશનલ કિંમત અંકગણિત કામગીરી છે, તેનો ઉપયોગ અન્ય લોકો વચ્ચે, જીએનયુ ઓક્ટેવમાં એલએપીએસીકે અને લાઇપ ફંક્શન દ્વારા થાય છે. તે ભાષામાં સિલ્વેસ્ટર કાર્ય પણ જુઓ. અમુક ચોક્કસ ઇમેજ પ્રોસેસિંગ એપ્લિકેશનમાં, વ્યુત્પન્ન સિલ્વેસ્ટર સમીકરણમાં બંધ સ્વરૂપ ઉકેલ હોય છે. લિયાપુનોવ સમીકરણ પણ જુઓ, જે સિલ્વેસ્ટર સમીકરણ બીજગણિત રિકાતી સમીકરણ નોંધો સંદર્ભોનો એક વિશેષ કેસ છે. સિલ્વેસ્ટર સમીકરણને ઉકેલવા માટે ગણિત કાર્ય MATLAB સિલ્વેસ્ટર સમીકરણને ઉકેલવા માટે કાર્ય મેટ્રિક્સ નિયંત્રણ સિદ્ધાંત