Lie bracket of vector fields
વિભેદક ટોપોલોજીના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, વેક્ટર ક્ષેત્રોનું લાઈ કૌંસ, જેને જેકોબી-લાઈ કૌંસ અથવા વેક્ટર ક્ષેત્રોના કોમ્યુટેટર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે એક ઓપરેટર છે જે કોઈપણ બે વેક્ટર ક્ષેત્રો X અને Y ને સરળ મેનીફોલ્ડ M પર સોંપે છે. વૈચારિક રીતે, લાઈ કૌંસ એ X દ્વારા પેદા થતા પ્રવાહ સાથે Y નું વ્યુત્પન્ન છે, અને કેટલીકવાર તેને સૂચવવામાં આવે છે ("X સાથે Y નું વ્યુત્પન્ન"). આ X દ્વારા પેદા થતા પ્રવાહ સાથે કોઈપણ ટેન્સર ક્ષેત્રના લાઈ વ્યુત્પન્નને સામાન્ય બનાવે છે. લાઈ કૌંસ એ આર-બાયલિનિયર કામગીરી છે અને મેનીફોલ્ડ એમ પરના તમામ સરળ વેક્ટર ક્ષેત્રોના સમૂહને (અનંત-પરિમાણીય) લાઈ બીજગણિતમાં ફેરવે છે. લાઈ કૌંસ વિભેદક ભૂમિતિ અને વિભેદક ટોપોલોજીમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, ઉદાહરણ તરીકે ફ્રોબેનિયસ સંકલન સિદ્ધાંતમાં, અને બિનરેખીય નિયંત્રણ પ્રણાલીઓના ભૌમિતિક સિદ્ધાંતમાં પણ મૂળભૂત છે. વ્યાખ્યાઓ લાઈ કૌંસને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ત્રણ વિભાવનાત્મક રીતે અલગ પરંતુ સમકક્ષ અભિગમો છેઃ વ્યુત્પત્તિ તરીકે વેક્ટર ક્ષેત્રો મેનીફોલ્ડ M પરના દરેક સરળ વેક્ટર ક્ષેત્રને જ્યારે આપણે અન્ય વિધેય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ ત્યારે સરળ વિધેયો (જ્યાં અને વર્ગના) પર કામ કરતા વિભેદક સંચાલક તરીકે ગણી શકાય, જેનું મૂલ્ય એક બિંદુ પર x (p) ની દિશામાં p પર f નું દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન છે. આ રીતે, દરેક સરળ વેક્ટર ક્ષેત્ર X એ C ≤ (M) પર વ્યુત્પત્તિ બને છે. વધુમાં, C ≤ (M) પરની કોઈપણ વ્યુત્પત્તિ એક અનન્ય સરળ વેક્ટર ક્ષેત્ર X માંથી ઉદ્ભવે છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે વ્યુત્પત્તિઓનું કોમ્યુટેટર અને ફરીથી વ્યુત્પત્તિ છે, જ્યાં ઓપરેટરોની રચનાને સૂચવે છે. આનો ઉપયોગ લાઈ કૌંસને કોમ્યુટેટર વ્યુત્પત્તિને અનુરૂપ વેક્ટર ક્ષેત્ર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છેઃ પ્રવાહ અને મર્યાદાઓ ચાલો વેક્ટર ક્ષેત્ર X સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ હોઈએ, અને ચાલો D સ્પર્શરેખા નકશા વ્યુત્પન્ન સંચાલકને સૂચવે. પછી બિંદુ પર X અને Y ના લાઈ કૌંસને લાઈ વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ આ બિંદુ x પર પાછા ફરવા માટે ક્રમિક દિશામાં પ્રવાહની નિષ્ફળતાને પણ માપે છેઃ કોઓર્ડિનેટ્સમાં જોકે લાઈ કૌંસની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ આંતરિક છે (મેનીફોલ્ડ M પર કોઓર્ડિનેટ્સની પસંદગીથી સ્વતંત્ર), વ્યવહારમાં ઘણીવાર વ્યક્તિ ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમની દ્રષ્ટિએ કૌંસની ગણતરી કરવા માંગે છે. આપણે સ્પર્શક બંડલના સંકળાયેલ સ્થાનિક આધાર માટે લખીએ છીએ, જેથી સામાન્ય વેક્ટર ક્ષેત્રો લખી શકાય અને સરળ કાર્યો માટે. પછી લાઈ કૌંસની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છેઃ જો M એ (Rn નો ખુલ્લો સબસેટ) હોય, તો વેક્ટર ક્ષેત્રો X અને Y ને ફોર્મ અને અને ના સરળ નકશા તરીકે લખી શકાય છે, અને લાઈ કૌંસ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં અને જેકોબિયન મેટ્રિસીસ (અને અનુક્રમે અનુક્રમણિકા સંકેતનો ઉપયોગ કરીને) કૉલમ વેક્ટર X અને Y નો ગુણાકાર કરે છે. ગુણધર્મો વેક્ટર ક્ષેત્રોનું લાઈ કૌંસ M (એટલે કે, સ્પર્શક બંડલના સરળ વિભાગો) પરના તમામ વેક્ટર ક્ષેત્રોની વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાને લાઈ બીજગણિતની રચના સાથે સજ્જ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે [1] એ એક નકશો છેઃ R-બિલીનીયરિટી એન્ટિ-સિમેટ્રી, જેકોબી ઓળખ, બીજા ગુણધર્મનું તાત્કાલિક પરિણામ એ છે કે કોઈપણ માટે. વધુમાં, લાઈ કૌંસ માટે "ઉત્પાદન નિયમ" છે. M પર સ્મૂથ (સ્કેલર-વેલ્યુડ) ફંક્શન f અને M પર વેક્ટર ફિલ્ડ Y જોતાં, આપણે દરેક બિંદુ પર વેક્ટર Yx ને સ્કેલર f (x) થી ગુણાકાર કરીને નવું વેક્ટર ફિલ્ડ fY મેળવીએ છીએ. પછીઃ જ્યાં આપણે સ્કેલર ફંક્શન X (f) ને વેક્ટર ફિલ્ડ Y સાથે અને સ્કેલર ફંક્શન f ને વેક્ટર ફિલ્ડ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આ લાઈ કૌંસ સાથેના વેક્ટર ક્ષેત્રોને લાઈ આલ્જેબ્રોઇડમાં ફેરવે છે. X અને Y ના લાઈ કૌંસના અદ્રશ્ય થવાનો અર્થ એ છે કે આ દિશાઓમાં પ્રવાહને અનુસરવાથી M માં જડિત સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં X અને Y સંકલન વેક્ટર ક્ષેત્રો છેઃ પ્રમેયઃ iff X અને Y નો પ્રવાહ સ્થાનિક રીતે પરિવહન કરે છે, જેનો અર્થ બધા માટે અને પૂરતા પ્રમાણમાં નાના s, t. આ ફ્રોબેનિયસ સંકલન સિદ્ધાંતનો એક વિશેષ કેસ છે. લાઈ જૂથ G માટે ઉદાહરણો, અનુરૂપ લાઈ બીજગણિત એ ઓળખ પરની સ્પર્શક જગ્યા છે, જેને G પર ડાબી અચળ વેક્ટર ક્ષેત્રોની વેક્ટર જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. બે ડાબી અચળ વેક્ટર ક્ષેત્રોની લાઈ કૌંસ પણ અચળ રહે છે, જે જેકોબી-લાઈ કૌંસ કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. મેટ્રિક્સ લાઈ જૂથ માટે, જેના ઘટકો મેટ્રિક્સ છે, દરેક સ્પર્શક જગ્યાને મેટ્રિક્સ તરીકે રજૂ કરી શકાય છેઃ, જ્યાં મેટ્રિક્સ ગુણાકાર થાય છે અને I એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. અનુરૂપ અપરિવર્તનશીલ વેક્ટર ક્ષેત્ર આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને ગણતરી દર્શાવે છે કે લાઈ કૌંસ મેટ્રિસીસના સામાન્ય કોમ્યુટેટરને અનુરૂપ છેઃ સામાન્યીકરણ ઉપર જણાવ્યા મુજબ, લાઈ વ્યુત્પન્નને લાઈ કૌંસના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. લાઈ કૌંસનું બીજું સામાન્યીકરણ (વેક્ટર-મૂલ્યવાન વિભેદક સ્વરૂપો માટે) ફ્રોલિચર-નિજેનહુઇસ કૌંસ છે. સંદર્ભો લાઈ કૌંસ અને લાઈ ડેરિવેટિવ્ઝના સામાન્ય સિદ્ધાંતની વિસ્તૃત ચર્ચા. અનંત પરિમાણો સુધી સામાન્યીકરણ માટે. બિલિનિયર નકશા વિભેદક ભૂમિતિ વિભેદક ટોપોલોજી રીમાનિયન ભૂમિતિ