Functional (mathematics)
ગણિતમાં, કાર્યાત્મક એ ચોક્કસ પ્રકારનું કાર્ય છે. શબ્દની ચોક્કસ વ્યાખ્યા પેટાક્ષેત્ર (અને કેટલીકવાર લેખક પણ) ના આધારે બદલાય છે. રેખીય બીજગણિતમાં, તે રેખીય સ્વરૂપનો પર્યાય છે, જે વેક્ટર અવકાશમાંથી તેના સ્કેલર્સના ક્ષેત્રમાં રેખીય મેપિંગ છે (એટલે કે, તે બેવડી જગ્યાનું એક તત્વ છે) કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ અને સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં, તે સામાન્ય રીતે અવકાશમાંથી વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં મેપિંગનો સંદર્ભ આપે છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં, આ શબ્દ રેખીય સ્વરૂપનો પર્યાય છે; એટલે કે, તે સ્કેલર-વેલ્યુડ રેખીય નકશો છે. લેખકના આધારે, આવા મેપિંગ્સ રેખીય હોવાનું માનવામાં આવે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે, અથવા સમગ્ર જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં, તે ઉચ્ચ-ક્રમના કાર્યનો પર્યાય છે, જે એક કાર્ય છે જે એક અથવા વધુ કાર્યોને દલીલો તરીકે લે છે અથવા તેમને પરત કરે છે. આ લેખ મુખ્યત્વે બીજા ખ્યાલ સાથે સંબંધિત છે, જે 18મી સદીની શરૂઆતમાં વિવિધતાની ગણતરીના ભાગ રૂપે ઉભરી આવ્યો હતો. પ્રથમ ખ્યાલ, જે વધુ આધુનિક અને અમૂર્ત છે, તેની એક અલગ લેખમાં રેખીય સ્વરૂપ નામ હેઠળ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે. ત્રીજી વિભાવના ઉચ્ચ ક્રમના કાર્યો પર કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન લેખમાં વિગતવાર છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં જગ્યા એ કાર્યોની જગ્યા છે, કાર્યાત્મક એ "કાર્યનું કાર્ય" છે, અને કેટલાક જૂના લેખકો વાસ્તવમાં "કાર્યાત્મક" શબ્દને "કાર્યનું કાર્ય" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો કે, હકીકત એ છે કે કાર્યોની જગ્યા એ ગાણિતિક રીતે આવશ્યક નથી, તેથી આ જૂની વ્યાખ્યા હવે પ્રચલિત નથી. આ શબ્દ વિવિધતાના કલનમાંથી ઉદ્દભવે છે, જ્યાં કોઈ એવા કાર્યની શોધ કરે છે જે આપેલ કાર્યને ન્યૂનતમ (અથવા મહત્તમ) કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક ખાસ મહત્વનો ઉપયોગ એવી પ્રણાલીની સ્થિતિની શોધ છે જે ક્રિયાને ઘટાડે છે (અથવા મહત્તમ કરે છે), અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો લેગ્રેન્જિયનનો સમય અભિન્ન છે. વિગતો દ્વૈતતા મેપિંગ એ એક કાર્ય છે, જ્યાં કાર્યની દલીલ છે તે જ સમયે, એક બિંદુ પર કાર્યના મૂલ્ય પર કાર્યનું મેપિંગ એક કાર્યાત્મક છે; અહીં, એક પરિમાણ છે. જો કે તે વેક્ટર સ્પેસથી અંતર્ગત સ્કેલર ક્ષેત્ર સુધીનું રેખીય કાર્ય છે, તો ઉપરના રેખીય નકશા એકબીજા સાથે બેવડા છે, અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં બંનેને રેખીય વિધેયો કહેવામાં આવે છે. નિશ્ચિત અભિન્ન સમાકલન જેમ કે વિધેયોનો એક વિશેષ વર્ગ બનાવે છે. તેઓ કાર્યને વાસ્તવિક સંખ્યામાં મેપ કરે છે, જો કે તે વાસ્તવિક મૂલ્યનું હોય. ઉદાહરણોમાં 2-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં વળાંકની લંબાઇ ધરાવતા સમૂહ પરના વિધેયના હકારાત્મક વિધેય ધોરણના આલેખની નીચેના વિસ્તારનો સમાવેશ થાય છે. આંતરિક ઉત્પાદન અવકાશ અને નિશ્ચિત વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. શૂન્ય જેવા વેક્ટરોનો સમૂહ એ વેક્ટર સબસ્પેસ છે જેને નલ સ્પેસ અથવા કાર્યાત્મક કર્નલ કહેવાય છે, અથવા સૂચિતનું ઓર્થોગોનલ પૂરક છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિશ્ચિત વિધેય સાથે આંતરિક ઉત્પાદન લેવાથી સ્થાનિકતા પર વર્ગ સંકલનક્ષમ વિધેયોના હિલ્બર્ટ અવકાશ પર (રેખીય) વિધેય વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો કાર્યાત્મક મૂલ્યની ગણતરી ઇનપુટ વળાંકના નાના ભાગો માટે કરી શકાય અને પછી કુલ મૂલ્ય શોધવા માટે સારાંશ કરી શકાય, તો કાર્યાત્મકને સ્થાનિક કહેવામાં આવે છે. અન્યથા તેને બિન-સ્થાનિક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ સ્થાનિક છે જ્યારે બિન-સ્થાનિક છે. આ સામાન્ય રીતે ત્યારે થાય છે જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગણતરી જેવા સમીકરણના અંશ અને છેદમાં સંકલન અલગથી થાય છે. કાર્યાત્મક સમીકરણો પરંપરાગત ઉપયોગ ત્યારે પણ લાગુ પડે છે જ્યારે કોઈ કાર્યાત્મક સમીકરણ વિશે વાત કરે છે, જેનો અર્થ થાય છે વિધેયો વચ્ચેનું સમીકરણઃ વિધેયો વચ્ચેના સમીકરણને 'ઉકેલવા માટેના સમીકરણ' તરીકે વાંચી શકાય છે, જેમાં ઉકેલો પોતે કાર્યો હોય છે. આવા સમીકરણોમાં ચલ અજ્ઞાતોના ઘણા સમૂહો હોઈ શકે છે, જેમ કે જ્યારે એવું કહેવામાં આવે છે કે એડિટિવ નકશો એ કોચીના કાર્યાત્મક સમીકરણને સંતોષ આપે છેઃ વ્યુત્પન્ન અને એકીકરણ કાર્યાત્મક વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં થાય છે. તેઓ વિધેયોના વ્યુત્પન્ન છે; એટલે કે, જ્યારે ઇનપુટ કાર્ય થોડી માત્રામાં બદલાય છે ત્યારે કાર્યાત્મક કેવી રીતે બદલાય છે તેની માહિતી તેઓ વહન કરે છે. રિચાર્ડ ફેનમેને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના ઇતિહાસની રચના પરના તેમના સરવાળામાં કેન્દ્રીય વિચાર તરીકે કાર્યાત્મક સંકલનોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ ઉપયોગ અમુક કાર્ય જગ્યા પર લેવામાં આવેલ અભિન્ન સૂચવે છે. સંદર્ભો પણ જુઓ કાર્યોના પ્રકારો