Thomson problem
થોમસન સમસ્યાનો ઉદ્દેશ એકમ ગોળાની સપાટી પર મર્યાદિત ઇલેક્ટ્રોનની લઘુતમ વિદ્યુતસ્થૈતિક સંભવિત ઊર્જા રૂપરેખાંકન નક્કી કરવાનો છે જે કુલમ્બના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવેલા બળ સાથે એકબીજાને દૂર કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રી જે. જે. થોમસને 1904માં તટસ્થ રીતે ચાર્જ થયેલા અણુઓમાં નકારાત્મક રીતે ચાર્જ થયેલા ઇલેક્ટ્રોનના અસ્તિત્વના તેમના જ્ઞાનના આધારે પરમાણુ મોડેલની દરખાસ્ત કર્યા પછી આ સમસ્યા ઊભી કરી હતી, જેને પાછળથી પ્લમ પુડિંગ મોડેલ તરીકે ઓળખવામાં આવ્યું હતું. સંબંધિત સમસ્યાઓમાં લઘુતમ ઊર્જા રૂપરેખાંકનની ભૂમિતિ અને લઘુતમ ઊર્જાના મોટા વર્તનનો અભ્યાસ સામેલ છે. ગાણિતિક નિવેદન સમાન ચાર્જના ઇલેક્ટ્રોનની દરેક જોડી (, ઇલેક્ટ્રોનના પ્રાથમિક ચાર્જ સાથે) વચ્ચે થતી સ્થિરવિદ્યુત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા કુલમ્બના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં વિદ્યુત અચળાંક હોય છે અને ગોળાના બિંદુઓ પર સ્થિત ઇલેક્ટ્રોનની દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર હોય છે. અને (કુલમ્બ અચળાંક) ના સરળીકૃત એકમોનો ઉપયોગ સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના થાય છે. પછી, દરેક એન-ઇલેક્ટ્રોન રૂપરેખાંકનની કુલ વિદ્યુતસ્થૈતિક સંભવિત ઊર્જાને પછી તમામ જોડી મુજબની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. થોમસનની સમસ્યા ગણિતશાસ્ત્રી સ્ટીવ સ્મેલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત અઢાર વણઉકેલાયેલી ગણિતની સમસ્યાઓમાંથી સાતમા સાથે સંબંધિત છે-"2-ગોળા પર બિંદુઓનું વિતરણ". મુખ્ય તફાવત એ છે કે સ્મેલની સમસ્યામાં લઘુત્તમ કાર્ય એ વિદ્યુતસ્થૈતિક સંભવિતતા નથી પરંતુ લઘુગણક સંભવિતતા દ્વારા આપવામાં આવેલ બીજો તફાવત એ છે કે સ્મેલનો પ્રશ્ન એ છે કે જ્યારે બિંદુઓની સંખ્યા N અનંત તરફ જાય છે ત્યારે કુલ સંભવિતતાના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન વિશે છે, N ના નક્કર મૂલ્યો માટે નહીં. ઉદાહરણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે થોમસન સમસ્યાનો ઉકેલ ત્યારે મેળવવામાં આવે છે જ્યારે બંને ઇલેક્ટ્રોન મૂળની વિરુદ્ધ બાજુએ શક્ય તેટલા દૂર હોય, અથવા જાણીતા ચોક્કસ ઉકેલો ગાણિતિક રીતે ચોક્કસ લઘુત્તમ ઊર્જા રૂપરેખાંકનોને માત્ર મુઠ્ઠીભર કિસ્સાઓમાં સખત રીતે ઓળખવામાં આવ્યા છે. N = 1 માટે, ઉકેલ તુચ્છ છે. એકલ ઇલેક્ટ્રોન એકમ ગોળાની સપાટી પર કોઈપણ સમયે રહી શકે છે. રૂપરેખાંકનની કુલ ઊર્જાને શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે ચાર્જના અન્ય સ્રોતોને કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ કોઈ વિદ્યુત ક્ષેત્રને આધિન નથી. એન = 2 માટે, શ્રેષ્ઠ રૂપરેખાંકનમાં એન્ટીપોડલ બિંદુઓ પર ઇલેક્ટ્રોનનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રથમ એક-પરિમાણીય ઉકેલ રજૂ કરે છે. N = 3 માટે, ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ મહાન વર્તુળની આસપાસ સમબાહુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહે છે. મોટા વર્તુળને ઘણીવાર ગોળાની આસપાસ વિષુવવૃત્તને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે માનવામાં આવે છે અને સમતલને લંબરૂપ બે બિંદુઓને ઘણીવાર ઘણા-એન ઇલેક્ટ્રોન ઉકેલોના વિદ્યુતસ્થૈતિક રૂપરેખાંકનો વિશેની ચર્ચામાં મદદ કરવા માટે ધ્રુવો ગણવામાં આવે છે. ઉપરાંત, આ પ્રથમ દ્વિ-પરિમાણીય ઉકેલ રજૂ કરે છે. એન = 4 માટે, ઇલેક્ટ્રોન નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ પર રહે છે. રસપ્રદ બાબત એ છે કે આ પ્રથમ ત્રિ-પરિમાણીય ઉકેલ રજૂ કરે છે. એન = 5 માટે, 2010 માં ગાણિતિક રીતે સખત કમ્પ્યુટર-સહાયિત ઉકેલની જાણ કરવામાં આવી હતી જેમાં ત્રિકોણાકાર દ્વિધ્રુવના શિરોબિંદુઓ પર રહેતા ઇલેક્ટ્રોન હતા. રસની વાત એ છે કે, પાંચ કે તેથી વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા કોઈપણ N ઉકેલ માટે ઇલેક્ટ્રોનની તમામ જોડી વચ્ચે વૈશ્વિક સમાન અંતર દર્શાવવું અશક્ય છે. એન = 6 માટે, ઇલેક્ટ્રોન નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનની ટોચ પર રહે છે. આ રૂપરેખાંકનની કલ્પના ચાર ઇલેક્ટ્રોન તરીકે કરી શકાય છે જે વિષુવવૃત્તની આસપાસ ચોરસના ખૂણાઓ પર રહે છે અને બાકીના બે ધ્રુવો પર રહે છે. એન = 12 માટે, ઇલેક્ટ્રોન નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ પર રહે છે. N = 4,6 અને 12 ઇલેક્ટ્રોન માટે થોમસન સમસ્યાના ભૌમિતિક ઉકેલો પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો છે, જેમના મુખ સર્વસમ સમબાહુ ત્રિકોણ છે. N = 8 અને 20 માટેના આંકડાકીય ઉકેલો બાકીના બે પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોના નિયમિત બહિર્મુખ બહુધ્રુવીય રૂપરેખાંકનો નથી, જેમના ચહેરા અનુક્રમે ચોરસ અને પંચકોણીય હોય છે. સામાન્યીકરણ મનસ્વી ક્ષમતાઓ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોની જમીનની સ્થિતિઓ પણ પૂછી શકાય છે. ગાણિતિક રીતે ચોક્કસ બનવા માટે, f એ ઘટતું જતું વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય છે, અને ઊર્જા કાર્યાત્મકતાને પરંપરાગત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેને રીઝ-કર્નલો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. સંકલિત રીઝ કર્નલો માટે લેન્ડકોફનું 1972નું કાર્ય જુઓ. બિન-સંકલિત રીઝ કર્નલો માટે, ખસખસ-બીજ બેગલ પ્રમેય ધરાવે છે, હાર્ડિન અને સેફનું 2004નું કાર્ય જુઓ. નોંધપાત્ર કિસ્સાઓમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ α = ini, ટેમ્સ સમસ્યા (પેકિંગ); α = 1, થોમસન સમસ્યા; α = 0, અંતરના ગુણાકારને મહત્તમ કરવા માટે, જે બાદમાં વ્હાઈટની સમસ્યા તરીકે ઓળખાય છે; α = −1: મહત્તમ સરેરાશ અંતર સમસ્યા. ઉચ્ચ પરિમાણના ગોળા પર N બિંદુઓના રૂપરેખાંકનો પર પણ વિચાર કરી શકાય છે. ગોળાકાર ડિઝાઇન જુઓ. ઉકેલ અલ્ગોરિધમ્સ આ સમસ્યા માટે કેટલાક અલ્ગોરિધમ્સ લાગુ કરવામાં આવ્યા છે. સહસ્ત્રાબ્દીથી ઊર્જા કાર્ય પર લાગુ કરવામાં આવતી સ્થાનિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવામાં આવ્યું છે, જો કે રેન્ડમ વોકએ તેમનો દેખાવ કર્યો છેઃ મર્યાદિત વૈશ્વિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન (અલ્ટ્સચુલર એટ અલ. 1994), સ્ટીપેસ્ટ ડિસેન્ટ (ક્લેક્સટન અને બેન્સન 1966, એર્બર અને હોકની 1991), રેન્ડમ વોક (વેઇનરાચ એટ અલ. 1990), આનુવંશિક અલ્ગોરિધમ (મોરિસ એટ અલ. 1996) જ્યારે તેનો ઉદ્દેશ દરેક એન-ઇલેક્ટ્રોન કેસની વૈશ્વિક ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક સંભવિત ઊર્જાને ઘટાડવાનો છે, ત્યારે કેટલાક એલ્ગોરિધમિક પ્રારંભિક કિસ્સાઓ રસપ્રદ છે. સતત ગોળાકાર શેલ ચાર્જ તેની સપાટી પર વહેંચાયેલા ચાર્જના સતત ગોળાકાર શેલની ઊર્જા દરેક થોમસન સમસ્યાના ઉકેલની ઊર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે તેનાથી વધારે હોય છે. નોંધઃ અહીં N નો ઉપયોગ સતત ચલ તરીકે થાય છે જે ગોળાકાર કવચમાં વહેંચાયેલા અનંત વિભાજ્ય ચાર્જ, Q નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક ગોળાકાર કવચ સમગ્ર કવચમાં એક જ ઇલેક્ટ્રોનના ચાર્જના સમાન વિતરણને રજૂ કરે છે. રેન્ડમલી ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ પોઇન્ટ ચાર્જ ગોળાની સપાટી પર સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ રીતે વિતરિત ઇલેક્ટ્રોનની પ્રણાલીની વૈશ્વિક ઊર્જા દરેક થોમસન સમસ્યાના ઉકેલની ઊર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે તે તેનાથી વધારે હોય છે. અહીં, N એ એક અલગ ચલ છે જે પ્રણાલીમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાની ગણતરી કરે છે. તેમજ, તા. ચાર્જ-કેન્દ્રિત વિતરણ થોમસન સમસ્યાના દરેક Nth ઉકેલ માટે એક th રૂપરેખાંકન છે જેમાં ગોળાના મૂળમાં એક ઇલેક્ટ્રોનનો સમાવેશ થાય છે જેની ઊર્જા ફક્ત Nth ઉકેલની ઊર્જામાં N નો ઉમેરો છે. એટલે કે, આમ, જો બરાબર જાણીતું હોય, તો બરાબર જાણીતું છે. સામાન્ય રીતે, કરતા વધારે છે, પરંતુ તે અને કરતાં દરેક થોમસન સોલ્યુશનની નોંધપાત્ર રીતે નજીક છે. તેથી, ચાર્જ-કેન્દ્રિત વિતરણ અન્ય બે ચાર્જ રૂપરેખાંકનોથી શરૂ થતા અલ્ગોરિધમ્સ કરતાં દરેક થોમસન સમસ્યાના ઉકેલ પર પહોંચવા માટે પાર કરવા માટે નાના "ઊર્જા અંતર" નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. અન્ય વૈજ્ઞાનિક સમસ્યાઓ સાથેના સંબંધો થોમસન સમસ્યા એ જે. જે. થોમસનના પ્લમ પુડિંગ મોડેલનું એક સમાન હકારાત્મક પૃષ્ઠભૂમિ ચાર્જની ગેરહાજરીમાં કુદરતી પરિણામ છે. પ્રાયોગિક પુરાવાઓ થોમસનના પ્લમ પુડિંગ મોડેલને સંપૂર્ણ અણુ મોડેલ તરીકે છોડી દેવા તરફ દોરી ગયા હોવા છતાં, થોમસન સમસ્યાના આંકડાકીય ઊર્જા ઉકેલોમાં જોવા મળતી અનિયમિતતાઓ તત્વોના સમગ્ર સામયિક કોષ્ટકમાં કુદરતી રીતે બનતા અણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોન શેલ-ભરવા સાથે સુસંગત હોવાનું જાણવા મળ્યું છે. થોમસન સમસ્યા અન્ય ભૌતિક નમૂનાઓના અભ્યાસમાં પણ ભૂમિકા ભજવે છે, જેમાં મલ્ટી-ઇલેક્ટ્રોન પરપોટા અને પોલ ટ્રેપ્સમાં મર્યાદિત પ્રવાહી ધાતુના ટીપાંના સપાટી ક્રમનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્યીકૃત થોમસન સમસ્યા ઊભી થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોટીન પેટા એકમોની ગોઠવણી નક્કી કરવામાં કે જેમાં ગોળાકાર વાયરસના શેલો હોય છે. આ એપ્લિકેશનમાં "કણો" એ કવચ પર ગોઠવાયેલા પ્રોટીન પેટા એકમોના સમૂહ છે. અન્ય અનુભૂતિઓમાં કોલોઇડોસોમ્સમાં કોલોઇડ કણોની નિયમિત ગોઠવણીનો સમાવેશ થાય છે, જે દવાઓ, પોષક તત્ત્વો અથવા જીવંત કોષો, કાર્બન અણુઓની ફુલરીન પેટર્ન અને વી. એસ. ઇ. પી. આર. સિદ્ધાંત જેવા સક્રિય ઘટકોના આવરણ માટે પ્રસ્તાવિત છે. લાંબા અંતરની લઘુગણક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું ઉદાહરણ એબ્રિકોસોવ વર્ટિસ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે તેના કેન્દ્રમાં મોટા એકધ્રુવ સાથે સુપરકન્ડક્ટિંગ ધાતુના કવચમાં નીચા તાપમાને રચાય છે. સૌથી નાની જાણીતી ઊર્જાનું રૂપરેખાંકન નીચેના કોષ્ટકમાં રૂપરેખાંકનમાં બિંદુઓ (ચાર્જ) ની સંખ્યા છે, ઊર્જા છે, સમપ્રમાણતાનો પ્રકાર સ્કોનફ્લાય નોટેશનમાં આપવામાં આવ્યો છે (ત્રણ પરિમાણોમાં બિંદુ જૂથો જુઓ), અને ચાર્જની સ્થિતિ છે. મોટાભાગની સમપ્રમાણતાના પ્રકારોમાં સ્થિતિઓનો વેક્ટર સરવાળો (અને આમ વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ) શૂન્ય હોવો જરૂરી છે. બિંદુઓના બહિર્મુખ પત્થરો દ્વારા રચાયેલા પોલિહેડ્રોનને પણ ધ્યાનમાં લેવાની પ્રથા છે. આમ, એ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં ધારની આપેલ સંખ્યા મળે છે, ધારની કુલ સંખ્યા છે, ત્રિકોણાકાર મુખની સંખ્યા છે, ચતુર્ભુજ મુખની સંખ્યા છે, અને નજીકના ચાર્જ જોડી સાથે સંકળાયેલા વેક્ટર દ્વારા સબટેન્ડેડ સૌથી નાનો કોણ છે. નોંધ લો કે ધારની લંબાઈ સામાન્ય રીતે સમાન હોતી નથી. આમ, N = 2,3,4,6,12 અને જીઓડેસિક પોલિહેડ્રા સિવાય, બહિર્મુખ પત્થરો માત્ર ટોપોલોજીકલ રીતે છેલ્લા સ્તંભમાં સૂચિબદ્ધ આંકડાની સમકક્ષ હોય છે. એક અનુમાન અનુસાર, જો p એ m બિંદુઓના બહિર્મુખ આવરણ દ્વારા રચાયેલ બહુધ્રુવીય છે, તો q એ p ના ચતુર્ભુજ મુખની સંખ્યા છે, તો m ઇલેક્ટ્રોન માટેનો ઉકેલ f (m): છે. સંદર્ભ નોંધો. . રૂપરેખાંકનો પુનઃમુદ્રિત થયા. આ વેબપૃષ્ઠમાં પુનઃઉત્પાદિત રૂપરેખાંકનોમાં સૌથી ઓછી જાણીતી ઊર્જા સાથે ઘણા વધુ ઇલેક્ટ્રોન રૂપરેખાંકનો છેઃ https://www.hars.us. ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સ ઇલેક્ટ્રોન સર્કલ પેકિંગ ગણિતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ