Schubert calculus
ગણિતમાં, સ્કબર્ટ કલનશાસ્ત્ર એ ઓગણીસમી સદીમાં હર્મન સ્કબર્ટ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલી બીજગણિત ભૂમિતિની એક શાખા છે, જે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ (ગણનાત્મક ભૂમિતિના ભાગ) ની વિવિધ ગણતરીની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે છે. તે કેટલાક વધુ આધુનિક સિદ્ધાંતોના પુરોગામી હતા, ઉદાહરણ તરીકે લાક્ષણિકતા વર્ગો, અને ખાસ કરીને તેના અલ્ગોરિધમિક પાસાઓ હજુ પણ વર્તમાન રસ ધરાવે છે. સ્કબર્ટ કેલ્ક્યુલસ શબ્દનો ઉપયોગ કેટલીકવાર વેક્ટર સ્પેસની રેખીય પેટા જગ્યાઓની આંકડાકીય ભૂમિતિ માટે થાય છે, જે લગભગ ગ્રાસમેનિયનની કોહોમોલોજી રિંગનું વર્ણન કરવા સમાન છે. કેટલીકવાર તેનો ઉપયોગ બીજગણિત જાતોની વધુ સામાન્ય ગણનાત્મક ભૂમિતિના અર્થમાં થાય છે જે સરળ લાઈ જૂથોની સજાતીય જગ્યાઓ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, શુબર્ટ કલનશાસ્ત્રને સામાન્યીકૃત કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતોમાં સમાન પ્રશ્નોના અભ્યાસને આવરી લેવા માટે ઘણીવાર સમજવામાં આવે છે. સ્કબર્ટ દ્વારા રજૂ કરાયેલ પદાર્થો સ્કબર્ટ કોષો છે, જે ગ્રાસમેનિયનમાં સ્થાનિક રીતે બંધ સમૂહો છે, જે આપેલ ધ્વજ સાથે પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં રેખીય સબસ્પેસની ઘટનાઓની શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ વિગતો માટે સ્કબર્ટ વેરાયટી જુઓ. આ કોષોનું આંતરછેદન સિદ્ધાંત, જેને સંકળાયેલ કોહોમોલોજી વર્ગોના ગ્રાસમેનિયનના કોહોમોલોજી રિંગમાં ઉત્પાદન માળખા તરીકે જોઈ શકાય છે, સિદ્ધાંતમાં એવા કિસ્સાઓની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે કે જ્યાં કોષોના આંતરછેદો બિંદુઓના મર્યાદિત સમૂહમાં પરિણમે છે, જે સંભવિત રીતે આંકડાકીય પ્રશ્નોના નક્કર જવાબો છે. એક મુખ્ય પરિણામ એ છે કે સ્કબર્ટ કોષો (અથવા તેના બદલે, તેમના ઝરીસ્કી બંધ થવાના વર્ગો, સ્કબર્ટ ચક્ર અથવા સ્કબર્ટ જાતો) સમગ્ર કોહોમોલોજી રિંગમાં ફેલાયેલા છે. સંયુક્ત પાસાઓ મુખ્યત્વે સ્કબર્ટ ચક્રના આંતરછેદોની ગણતરીના સંબંધમાં ઉદ્ભવે છે. ગ્રાસમેનિયન, જે એક સજાતીય જગ્યા છે, તેને તેના પર કાર્ય કરતા સામાન્ય રેખીય જૂથમાં ઉઠાવવામાં આવે છે, સમાન પ્રશ્નો બ્રુહટ વિઘટન અને પેરાબોલિક પેટાજૂથોના વર્ગીકરણ (બ્લોક ટ્રેઈંગ્યુલર મેટ્રિસીસ તરીકે) માં સામેલ છે. સ્કબર્ટની પ્રણાલીને સખત પાયા પર મૂકવી એ હિલ્બર્ટની પંદરમી સમસ્યા હતી. બાંધકામ સ્કબર્ટ કલનનું નિર્માણ ગ્રાસમેનિયનના ચાઉ રિંગનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જ્યાં ઉત્પન્ન કરતા ચક્રને ભૌમિતિક રીતે વ્યાખ્યાયિત ડેટા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. નિશ્ચિત-પરિમાણીય વેક્ટર અવકાશમાં-પ્લેનના ગ્રાસમેનિયનને આ રીતે દર્શાવો, અને તેની ચાઉ રિંગને આ રીતે દર્શાવો. નોંધ લો કે કેટલીકવાર જો વેક્ટર જગ્યા સ્પષ્ટ રીતે આપવામાં ન આવે અથવા જેમ કે આજુબાજુની જગ્યા અને તેની-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓ તેમના પ્રક્ષેપણ દ્વારા બદલવામાં આવે તો ગ્રાસમેનિયનને સૂચવવામાં આવે છે. પૂર્ણાંકોના દરેક નબળા ઘટતા-ટુપલ માટે (મનસ્વી) સંપૂર્ણ ધ્વજ પસંદ કરવો, જ્યાં એટલે કે, વજનના દરેક વિભાજન માટે જેની યુવાન આકૃતિ લંબચોરસમાં બંધબેસે છે, અમે સ્કબર્ટ વિવિધતા (અથવા સ્કબર્ટ ચક્ર) ને સાંકળીએ છીએ, જેને આ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બાદમાં અલગ-અલગ સંલગ્ન જગ્યાઓ છે, પરિમાણની, જેનું જોડાણ છે. હોમોલોજી વર્ગ, જેને શુબર્ટ વર્ગ કહેવામાં આવે છે, તે સંપૂર્ણ ધ્વજની પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી, તેથી તેને આ રીતે લખી શકાય છે. સંકળાયેલ આંતરછેદ સિદ્ધાંતને સ્કબર્ટ કલન કહેવામાં આવે છે. સ્કબર્ટ વર્ગ સાથેના આપેલ ક્રમ માટે સામાન્ય રીતે ફક્ત સૂચવવામાં આવે છે. એક જ પૂર્ણાંક (એટલે કે, આડી પાર્ટીશન) દ્વારા આપવામાં આવેલા સ્કબર્ટ વર્ગોને વિશેષ વર્ગો કહેવામાં આવે છે. નીચે આપેલા જિઆમ્બેલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આ વિશેષ વર્ગોમાંથી તમામ સ્કબર્ટ વર્ગો પેદા કરી શકાય છે. કેટલાક સ્રોતોમાં, સ્કબર્ટ કોષો અને સ્કબર્ટ જાતોને અલગ રીતે લેબલ કરવામાં આવે છે, અનુક્રમે તરીકે અને, જ્યાં પૂરક વિભાજન છે, ભાગો સાથે, જેની યુવાન આકૃતિ લંબચોરસની અંદરની એકની પૂરક છે (વિપરીત, આડી અને ઊભી બંને). અને માટે અન્ય લેબલિંગ પરંપરા છે અને, અનુક્રમે, જ્યાં બહુ-સૂચકાંક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અથવા, વૈકલ્પિક રીતે, દ્વારા. સમજૂતી વ્યાખ્યા સમજાવવા માટે, સામાન્ય સમતલનો વિચાર કરો. તેની સાથે માત્ર શૂન્ય આંતરછેદ હશે, જ્યારે ઉદાહરણ તરીકે, એ-પ્લેન એ પાંચ સ્વતંત્ર સજાતીય રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિની ઉકેલ જગ્યા છે. આ સમીકરણો સામાન્ય રીતે જ્યારે સાથે સબસ્પેસ સુધી મર્યાદિત હોય ત્યારે વિસ્તૃત થાય છે, આ કિસ્સામાં ઉકેલની જગ્યા (સાથેનું આંતરછેદ) માત્ર શૂન્ય વેક્ટરનો સમાવેશ કરશે. જો કે, જો, અને આવશ્યકપણે બિન-શૂન્ય આંતરછેદ હશે. ઉદાહરણ તરીકે, અને ના આંતરછેદનું અપેક્ષિત પરિમાણ છે, અને તેનું આંતરછેદ અપેક્ષિત પરિમાણ ધરાવે છે, અને તેથી વધુ. સ્કબર્ટ વેરાયટીની વ્યાખ્યા જણાવે છે કે વિથનું પ્રથમ મૂલ્ય સામાન્ય રીતે પરિમાણ દ્વારા અપેક્ષિત મૂલ્ય કરતાં ઓછું હોય છે. આ અવરોધો દ્વારા આપવામાં આવેલ-પ્લેન પછી તેની વિશેષ પેટા વિવિધતાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ગુણધર્મોનો સમાવેશ બધા-ટુપલ્સ પર આંશિક ક્રમ છે જ્યાં દરેક માટે જો. આ સૂચકાંકોમાં વધારો દર્શાવતી શુબર્ટ જાતોનો સમાવેશ કરે છે જે પેટા પ્રકારોની વધુ વિશેષતાને અનુરૂપ છે. પરિમાણ સૂત્ર એ શુબર્ટ જાતનું પરિમાણ વિભાજનના વજન જેટલું હોય છે. વૈકલ્પિક રીતે, ઉપર દર્શાવેલ નોટેશનલ કન્વેન્શનમાં, તેનું કોડિમેન્શન એ પરિમાણીય લંબચોરસ યંગ આકૃતિમાં પૂરક પાર્ટીશનનું વજન છે. ગ્રાસમેનિયનના સમાવેશ હેઠળ આ સ્થિર છે. એટલે કે, સમાવેશને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે, દરેક-પ્લેનમાં વધારાના આધાર તત્વને ઉમેરીને, એક-પ્લેન આપીને, તેમજ આંતરછેદન ઉત્પાદન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મિલકત અને સમાવેશને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પિયરી સૂત્ર ખાસ કિસ્સામાં, મનસ્વી સ્કબર્ટ વર્ગ સાથેના ગુણાકારનું એક સ્પષ્ટ સૂત્ર છે, જે ક્યાં, પાર્ટીશનોના વજન દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પિયરી સૂત્ર કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે જિઆમ્બેલી સૂત્ર સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે કોઈપણ બે સ્કબર્ટ વર્ગોનું આંતરછેદ ઉત્પાદન નક્કી કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અને કોઈપણ લંબાઈના પાર્ટીશનો માટે જિઆમ્બેલી સૂત્ર સ્કબર્ટ વર્ગોને એન્ટ્રી તરીકે વિશેષ વર્ગો ધરાવતા મેટ્રિક્સના નિર્ધારક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આને જિઆમ્બેલી સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે પ્રથમ જેકોબી-ટ્રુડી ઓળખ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે, જે સંપૂર્ણ સપ્રમાણ કાર્યોની દ્રષ્ટિએ નિર્ધારકો તરીકે મનસ્વી શૂર કાર્યોને વ્યક્ત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અને સામાન્ય કિસ્સામાં સ્કબર્ટ વર્ગોની કોઈપણ જોડી વચ્ચેનું આંતરછેદ ઉત્પાદન લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ગુણાંક ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. પિયરી સૂત્ર આનો એક વિશેષ કેસ છે, જ્યારે તેની લંબાઈ હોય છે. ચેરન વર્ગો સાથેનો સંબંધ બે કુદરતી વેક્ટર બંડલ્સના ચેરન વર્ગોનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાસમેનિયનની કોહોમોલોજી રીંગ અથવા ચાઉ રીંગનું સરળ વર્ણન છે. આપણી પાસે વેક્ટર બંડલ્સનો ચોક્કસ ક્રમ છે કે જ્યાં ટૉટોલોજિકલ બંડલ છે, જેનું ફાઇબર, કોઈપણ તત્વ પર સબસ્પેસ પોતે જ છે, તે રેન્કનું તુચ્છ વેક્ટર બંડલ છે, જેમાં ફાઇબર છે અને તે રેન્કનું ભાગાકાર વેક્ટર બંડલ છે, જેમાં ફાઇબર છે. બંડલ્સના ચેરન વર્ગો અને તે વિભાજન ક્યાં છે જેની યંગ આકૃતિ લંબાઈના એક સ્તંભની બનેલી હોય છે અને ટૉટોલોજિકલ ક્રમ પછી ચૌ રિંગની રજૂઆત આપે છે કારણ કે વિશ્લેષણ કરાયેલ શાસ્ત્રીય ઉદાહરણોમાંનું એક ગ્રાસમેનિયન છે કારણ કે તે રેખાઓને પરિમાણ આપે છે. ચૌ રિંગનો ઉપયોગ કરીને, સ્કબર્ટ કલનનો ઉપયોગ ક્યુબિક સપાટી પરની રેખાઓની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. ચાઉ રીંગ ચાઉ રીંગ પ્રસ્તુતિ ધરાવે છે અને શ્રેણીબદ્ધ એબેલિયન જૂથ તરીકે તે સમઘન સપાટી પર રેખાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે યાદ રાખો કે એક રેખા પરિમાણને બે સબસ્પેસ આપે છે, તેથી તેનું એક તત્વ છે. ઉપરાંત, રેખાનું સમીકરણ એક વિભાગ તરીકે આપી શકાય છે. ક્યુબિક સપાટીને સામાન્ય સજાતીય ક્યુબિક બહુપદી તરીકે આપવામાં આવી હોવાથી, આ સામાન્ય વિભાગ તરીકે આપવામાં આવે છે. એક રેખા એ જો અને માત્ર ત્યારે જ એક પેટા વિવિધતા છે જ્યારે વિભાગ ચાલુ હોય ત્યારે તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી, જ્યાં સામાન્ય વિભાગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે તે બિંદુઓની સંખ્યા મેળવવા માટે યુલર વર્ગને એકીકૃત કરી શકાય છે. યુલર વર્ગ મેળવવા માટે, કુલ ચેરન વર્ગની ગણતરી કરવી આવશ્યક છે, જે વિભાજન સૂત્ર તરીકે આપવામાં આવે છે પછી ઔપચારિક સમીકરણ તરીકે વાંચે છે જ્યાં અને ઔપચારિક રેખા બંડલ્સ માટે. વિભાજન સમીકરણ સંબંધો આપે છે અને. કારણ કે તેને ઔપચારિક રેખા બંડલ્સના સીધા સરવાળા તરીકે જોઈ શકાય છે, જેનો કુલ ચેરન વર્ગ છે, તે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને અનુસરે છે કે અને ત્યારથી તે ટોચનું વર્ગ છે, તેથી સમાકલન પછી સમાકલન છે. એન્યુમરેટિવ ભૂમિતિ ચાઉ રિંગ ઇન્ટરસેક્શન થિયરી ગ્રાસમેનિયન ગિઆમ્બેલીનું સૂત્ર પિયરીનું સૂત્ર ચેરન વર્ગ ક્વિન્ટિક ત્રિપરિમાણીય મિરર સમપ્રમાણતા અનુમાન સંદર્ભો સમર સ્કૂલ નોંધે છે http://homepages.math.uic.edu ~ coskun/poland. એચટીએમએલ ફિલિપ ગ્રિફિથ્સ અને જોસેફ હેરિસ (1978), બીજગણિત ભૂમિતિના સિદ્ધાંતો, પ્રકરણ 1.5 ડેવિડ આઈસેનબડ અને જોસેફ હેરિસ (2016), "3264 અને ઓલ ધેટઃ બીજગણિત ભૂમિતિમાં બીજો અભ્યાસક્રમ". સજાતીય જગ્યાઓની બીજગણિત ભૂમિતિ ટોપોલોજી