Abel's identity
ગણિતમાં, એબેલની ઓળખ (જેને એબેલનું સૂત્ર અથવા એબેલની વિભેદક સમીકરણ ઓળખ પણ કહેવાય છે) એ એક સમીકરણ છે જે મૂળ વિભેદક સમીકરણના ગુણાંકની દ્રષ્ટિએ સજાતીય બીજા ક્રમના રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણના બે ઉકેલોના વ્રોન્સ્કિયનને વ્યક્ત કરે છે. સંબંધને nમા ક્રમના રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. આ ઓળખ નોર્વેના ગણિતશાસ્ત્રી નીલ્સ હેનરિક એબેલના નામ પરથી રાખવામાં આવી છે. એબેલની ઓળખ વિભેદક સમીકરણના વિવિધ રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો સાથે સંબંધિત હોવાથી, તેનો ઉપયોગ બીજાથી એક ઉકેલ શોધવા માટે થઈ શકે છે. તે ઉકેલોને લગતી ઉપયોગી ઓળખ પૂરી પાડે છે, અને અન્ય તકનીકોના એક ભાગ તરીકે પણ ઉપયોગી છે જેમ કે પરિમાણોની વિવિધતાની પદ્ધતિ. તે ખાસ કરીને બેસલના સમીકરણ જેવા સમીકરણો માટે ઉપયોગી છે જ્યાં ઉકેલો સરળ વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપ ધરાવતા નથી, કારણ કે આવા કિસ્સાઓમાં બ્રોન્સ્કિયનની સીધી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે. સજાતીય રેખીય વિભેદક સમીકરણોની પ્રથમ ક્રમની પ્રણાલીઓનું સામાન્યીકરણ લિઉવિલેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. નિવેદન વાસ્તવિક-અથવા જટિલ-મૂલ્યના સતત વિધેયો p અને q સાથે વાસ્તવિક રેખાના અંતરાલ I પર એક સજાતીય રેખીય બીજા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનો વિચાર કરો. એબેલની ઓળખ જણાવે છે કે બે વાસ્તવિક-અથવા જટિલ-મૂલ્યના ઉકેલો અને આ વિભેદક સમીકરણનું વ્રોન્સ્કિયન, એટલે કે નિર્ધારક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય, દરેક બિંદુ માટેના સંબંધને સંતોષે છે. ટિપ્પણીઓ ખાસ કરીને, જ્યારે વિભેદક સમીકરણ વાસ્તવિક મૂલ્યનું હોય, ત્યારે બ્રોન્સ્કિયન હંમેશા સમાન રીતે શૂન્ય હોય છે, હંમેશા હકારાત્મક હોય છે, અથવા દરેક બિંદુ પર હંમેશા નકારાત્મક હોય છે (નીચેનો પુરાવો જુઓ). પછીના કિસ્સાઓ બે ઉકેલો સૂચવે છે અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે (પુરાવા માટે બ્રોન્સ્કિયન જુઓ). તે ધારવું જરૂરી નથી કે ઉકેલોના બીજા વ્યુત્પન્ન અને સતત છે. એબેલનો પ્રમેય ખાસ કરીને ઉપયોગી છે જો, કારણ કે તે સૂચવે છે કે તે અચળ છે. ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બ્રોન્સ્કિયનને અલગ પાડવાનો પુરાવો આપે છે (ટૂંકાણ માટે દલીલ લખવી અને કાઢી નાખવી) મૂળ વિભેદક સમીકરણમાં ઉકેલવાથી આ પરિણામને બીજા વ્યુત્પન્નને બદલવા માટે બ્રોન્સ્કિયન કાર્યના વ્યુત્પન્નમાં બદલીને મળે છે અને આપે છે આ પ્રથમ ક્રમની રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે, અને તે બતાવવાનું બાકી છે કે એબેલની ઓળખ અનન્ય ઉકેલ આપે છે, જે મૂલ્યને પ્રાપ્ત કરે છે. કાર્ય સતત ચાલુ હોવાથી, તે દરેક બંધ અને બંધાયેલ પેટા અંતરાલ પર બંધાયેલ છે અને તેથી સંકલનક્ષમ છે, તેથી તે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે. બંને બાજુઓને અલગ પાડતા, ઉત્પાદન નિયમ, સાંકળ નિયમ, ઘાતાંકીય વિધેયના વ્યુત્પન્ન અને કલનની મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, માટે વિભેદક સમીકરણને કારણે પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી, સતત ચાલુ રહેવું પડશે, કારણ કે અન્યથા આપણે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો વિરોધાભાસ મેળવી શકીશું (જટિલ મૂલ્યના કિસ્સામાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ પર અલગથી લાગુ). ત્યારથી, એબેલની ઓળખ માટે ની વ્યાખ્યાને હલ કરીને અનુસરે છે. સામાન્યીકરણ અંતરાલ પરના કાર્યોનું બ્રોન્સ્કિયન એ નિર્ધારક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે ક્રમના સજાતીય રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લોઃ વાસ્તવિક-અથવા જટિલ-મૂલ્યના સતત કાર્ય સાથે વાસ્તવિક રેખાના અંતરાલ પર. ચાલો આ nમા ક્રમના વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો દ્વારા. પછી એબેલની ઓળખનું સામાન્યીકરણ જણાવે છે કે આ વ્રોન્સ્કિયન સંબંધને સંતોષે છેઃ દરેક બિંદુ માટે. સીધો પુરાવો સંક્ષિપ્તતા માટે, આપણે દલીલ માટે લખીએ છીએ અને કાઢીએ છીએ. તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે બ્રોન્સ્કિયન પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણને ઉકેલે છે કારણ કે સાબિતીનો બાકીનો ભાગ પછી કેસ માટેના એક સાથે મેળ ખાય છે. આ કિસ્સામાં આપણી પાસે છે અને માટે વિભેદક સમીકરણ માટે એક સાથે એકરુપ થાય છે. તેથી, નીચે પ્રમાણે ધારો. બ્રોન્સ્કિયનનું વ્યુત્પન્ન એ વ્યાખ્યાયિત નિર્ધારકનું વ્યુત્પન્ન છે. તે નિર્ધારકો માટે લીબનીઝ સૂત્રને અનુસરે છે કે આ વ્યુત્પન્નની ગણતરી દરેક હરોળને અલગથી અલગ કરીને કરી શકાય છે, તેથી, નોંધ લો કે વિસ્તરણમાંથી દરેક નિર્ધારકમાં છેલ્લી પંક્તિ સિવાય સમાન પંક્તિઓની જોડી હોય છે. રેખીય રીતે આશ્રિત પંક્તિઓ ધરાવતા નિર્ધારકો 0 ની બરાબર હોવાથી, એક માત્ર છેલ્લા એક સાથે બાકી રહે છેઃ કારણ કે દરેક સામાન્ય વિભેદક સમીકરણને ઉકેલે છે, આપણી પાસે દરેક માટે છે. તેથી, ઉપરોક્ત નિર્ધારકની છેલ્લી હરોળમાં તેની પ્રથમ હરોળનો ગુણાંક, તેની બીજી હરોળનો ગુણાંક, અને તેથી તેની છેલ્લી હરોળની બાજુમાં સુધી, તેના વ્યુત્પન્ન માટેના નિર્ધારકનું મૂલ્ય અપરિવર્તિત રહે છે અને આપણને લિઉવિલેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો મળે છે. સંદર્ભો એબેલ, એન. એચ., "પ્રેસિસ ડી 'ઉન થિયોરી ડેસ ફોન્ક્શન્સ એલિપ્ટિક" જે. રેઇન એન્જેવ. ગણિત., 4 (1829) pp. 309-348. બોયસ, ડબલ્યુ. ઇ. અને ડિપ્રિમા, આર. સી. (1986). પ્રાથમિક વિભેદક સમીકરણો અને સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ, ચોથી આવૃત્તિ. ન્યૂ યોર્કઃ વિલી. ગાણિતિક ઓળખના પુરાવા ધરાવતા લેખો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો નીલ્સ હેનરિક એબેલ