Étale morphism
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, એટેલ મોર્ફિઝમ () એ યોજનાઓનું મોર્ફિઝમ છે જે ઔપચારિક રીતે એટેલ અને સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિનું હોય છે. આ જટિલ વિશ્લેષણાત્મક ટોપોલોજીમાં સ્થાનિક સમરૂપતાની કલ્પનાનું બીજગણિત અનુરૂપ છે. તેઓ ગર્ભિત કાર્ય પ્રમેયની પૂર્વધારણાઓને સંતોષે છે, પરંતુ ઝારિસ્કી ટોપોલોજીમાં ખુલ્લા સમૂહો એટલા મોટા હોવાથી, તે જરૂરી નથી કે સ્થાનિક સમરૂપતા હોય. આમ છતાં, એટેલ નકશા સ્થાનિક વિશ્લેષણાત્મક સમરૂપતાના ઘણા ગુણધર્મોને જાળવી રાખે છે, અને બીજગણિત મૂળભૂત જૂથ અને એટેલ ટોપોલોજીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં ઉપયોગી છે. એટેલ શબ્દ એક ફ્રેન્ચ વિશેષણ છે, જેનો અર્થ થાય છે "સુસ્ત", જેમ કે "સુસ્ત ભરતી", અથવા, લાક્ષણિક રીતે, શાંત, સ્થિર, સ્થાયી થવા માટે કંઈક બાકી છે. વ્યાખ્યા ચાલો રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ હોઈએ. આ-બીજગણિત બનાવે છે. મોનીક બહુપદી અને બહુપદી એવી રીતે પસંદ કરો કે જેનો વ્યુત્પન્ન એકમ હોય. આપણે કહીએ છીએ કે તે પ્રમાણભૂત étale છે અને તેને પસંદ કરી શકાય છે જેથી તે-બીજગણિત તરીકે આઇસોમોર્ફિક હોય અને તે કેનોનિકલ નકશો હોય. ચાલો યોજનાઓનું મોર્ફિઝમ બનીએ. આપણે કહીએ છીએ કે તે étale છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં નીચેનામાંથી કોઈપણ સમકક્ષ ગુણધર્મો હોયઃ તે સપાટ અને અનરેમીફાઇડ હોય. તે એક સ્મૂથ મોર્ફિઝમ અને અનરેમિફાઇડ છે. તે સપાટ હોય છે, સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિનું હોય છે, અને દરેક ઇન માટે, ફાઇબર એ બિંદુઓનું અસંબદ્ધ જોડાણ છે, જેમાંથી દરેક અવશેષ ક્ષેત્રના મર્યાદિત અલગ કરી શકાય તેવા ક્ષેત્રના વિસ્તરણનું સ્પેક્ટ્રમ છે. તે સપાટ હોય છે, સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિનું હોય છે, અને અવશેષ ક્ષેત્રના દરેક બીજગણિત બંધ માટે, ભૌમિતિક તંતુ એ બિંદુઓનું અસંબદ્ધ જોડાણ છે, જેમાંથી દરેક બિંદુઓ માટે સમરૂપ છે. તે સાપેક્ષ પરિમાણ શૂન્યનું સરળ આકારવાદ છે. તે એક સ્મૂથ મોર્ફિઝમ અને સ્થાનિક રીતે અર્ધ-મર્યાદિત મોર્ફિઝમ છે. તે સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિનું છે અને સ્થાનિક રીતે પ્રમાણભૂત એટેલ મોર્ફિઝમ છે, એટલે કે, દરેક માટે, ચાલો. પછી ત્યાં એક ઓપન એફાઇન પડોશી અને એક ઓપન એફાઇન પડોશી છે જે તેમાં સમાયેલ છે અને જેમ કે રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા પ્રેરિત પ્રમાણભૂત étale છે. સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિનું છે અને ઔપચારિક રીતે étale છે. તે સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિનું છે અને સ્થાનિક રિંગ્સના નકશા માટે ઔપચારિક રીતે étale છે, એટલે કેઃ ચાલો એક સ્થાનિક રિંગ બનીએ અને તેનો આદર્શ બનીએ. સેટ કરો અને, અને કેનોનિકલ ક્લોઝ્ડ નિમજ્જન થવા દો. ચાલો બંધ બિંદુને દર્શાવીએ. ચાલો અને તે રીતે મોર્ફિઝમ્સ બનો. પછી ત્યાં એક અનન્ય-આકારવાદ અસ્તિત્વમાં છે. ધારો કે તે સ્થાનિક રીતે નોથેરિયન છે અને f સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રકારનો છે. અંદર જવા માટે, પૂર્ણ થયેલ સ્થાનિક રિંગ્સ પર પ્રેરિત નકશો બનવા દો. પછી નીચેના સમકક્ષ છેઃ étale છે. દરેક ઇન માટે, પૂર્ણ થયેલ સ્થાનિક રિંગ્સ પરનો પ્રેરિત નકશો ઔપચારિક રીતે એડિક ટોપોલોજી માટે étale છે. દરેક ઇન માટે, એક મુક્ત-મોડ્યુલ છે અને ફાઇબર એ એક ક્ષેત્ર છે જે અવશેષ ક્ષેત્રનું મર્યાદિત અલગ કરી શકાય તેવું ક્ષેત્ર વિસ્તરણ છે. (અહીંનો મહત્તમ આદર્શ છે.) નીચેના વધારાના ગુણધર્મો સાથે સ્થાનિક રિંગ્સના નકશા માટે ઔપચારિક રીતે étale છે. સ્થાનિક વીંટીને આર્ટિનિયન માની શકાય છે. જો મહત્તમ આદર્શ હોય, તો તેને સંતોષકારક માની શકાય છે. છેવટે, અવશેષ ક્ષેત્રો પરના આકારવાદને સમરૂપતા માનવામાં આવી શકે છે. જો વધુમાં અવશેષ ક્ષેત્રો પરના તમામ નકશા આઇસોમોર્ફિઝમ્સ હોય, અથવા જો અલગથી બંધ હોય, તો પછી જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક ઇન માટે, પૂર્ણ થયેલ સ્થાનિક રિંગ્સ પર પ્રેરિત નકશો એક આઇસોમોર્ફિઝમ હોય. ઉદાહરણો કોઈપણ ખુલ્લું નિમજ્જન એટેલ છે કારણ કે તે સ્થાનિક રીતે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આવરી લેતી જગ્યાઓ એટેલ મોર્ફિઝમના ઉદાહરણો બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો રિંગમાં ઇન્વર્ટિબલ ઇન્ટિજર હોય તો તે ડિગ્રી એટેલ મોર્ફિઝમ છે. કોઈપણ રેમિફાઇડ આવરણમાં એક અનરેમિફાઇડ લોકસ હોય છે જે એટેલ હોય છે. મર્યાદિત અલગ કરી શકાય તેવા ક્ષેત્રના વિસ્તરણ દ્વારા પ્રેરિત મોર્ફિઝમ્સ એટેલ છે-તેઓ દ્વારા આપવામાં આવેલા તૂતક પરિવર્તનના જૂથ સાથે અંકગણિત આવરણ જગ્યાઓ બનાવે છે. ફોર્મની કોઈપણ રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ, જ્યાં તમામ બહુપદીઓ છે, અને જ્યાં જેકોબિયન નિર્ધારક એકમ છે, તે étale છે. ઉદાહરણ તરીકે મોર્ફિઝમ ઈટેલ છે અને ડેક ટ્રાન્સફોર્મેશનના જૂથ સાથે જગ્યાને આવરી લેતી ડિગ્રીને અનુરૂપ છે. અગાઉના ઉદાહરણ પર વિસ્તરણ કરતા, ધારો કે આપણી પાસે સરળ જટિલ બીજગણિત જાતોનું મોર્ફિઝમ છે. તે સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવ્યું હોવાથી, આપણે તેને જટિલ મેનીફોલ્ડ્સના નકશા તરીકે અર્થઘટન કરી શકીએ છીએ. જ્યારે પણ નો જેકોબિયન નોનઝીરો હોય, ત્યારે તે ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન થીયરમ દ્વારા કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડનું સ્થાનિક આઇસોમોર્ફિઝમ હોય છે. અગાઉના ઉદાહરણ મુજબ, બિન-શૂન્ય જેકોબિયન હોવું એ étale હોવા સમાન છે. ચાલો X, Y સ્થાનિક રીતે નોથેરિયન, ઈરીડ્યુસિબલ અને Y નોર્મલ સાથે મર્યાદિત પ્રકારનું પ્રબળ મોર્ફિઝમ હોઈએ. જો f અનરેમીફાઇડ હોય, તો તે étale છે. K ક્ષેત્ર માટે, કોઈપણ K-બીજગણિત A આવશ્યકપણે સપાટ હોય છે. તેથી, A એ ઈટેલ બીજગણિત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે અનરેમીફાઇડ હોય, જે ક્ષેત્ર K નું અલગ કરી શકાય તેવું બંધ ક્યાં છે તેની સમકક્ષ પણ છે અને જમણી બાજુ એક મર્યાદિત સીધો સરવાળો છે, જેનો તમામ સરવાળો છે. એટેલ કે-આલ્જેબ્રાસનું આ લાક્ષણિકતા શાસ્ત્રીય ગેલોઇસ સિદ્ધાંતનું પુનઃઅર્થઘટન કરવા માટેનું એક પગથિયું છે (ગ્રોથેન્ડીકનો ગેલોઇસ સિદ્ધાંત જુઓ). ગુણધર્મો એટેલ મોર્ફિઝમ્સ રચના અને આધાર પરિવર્તન હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. ઇટેલ મોર્ફિઝમ્સ સ્ત્રોત પર અને આધાર પર સ્થાનિક છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો અને માત્ર ત્યારે જ ખુલ્લા ઉપશીર્ષકોના દરેક આવરણ માટે આવરણના દરેક ખુલ્લા ઉપશીર્ષકો પર પ્રતિબંધ હોય, અને જો અને માત્ર ત્યારે જ ખુલ્લા ઉપશીર્ષકોના દરેક આવરણ માટે પ્રેરિત મોર્ફિઝમ્સ આવરણના દરેક ઉપશીર્ષકો માટે હોય. ખાસ કરીને, ઓપન એફાઇન્સ પર étale હોવાના ગુણધર્મનું પરીક્ષણ કરવું શક્ય છે. એટેલ મોર્ફિઝમ્સના મર્યાદિત પરિવારનું ઉત્પાદન એટેલ છે. મોર્ફિઝમ્સના મર્યાદિત કુટુંબને જોતાં, ડિસજોઈન્ટ યુનિયન એટેલ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક એટેલ હોય. ચાલો અને, અને ધારો કે તે અનરેમિફાઇડ છે અને એટેલ છે. પછી એટેલ છે. ખાસ કરીને, જો અને એટેલ ઓવર હોય, તો અને વચ્ચેની કોઈપણ-મોર્ફિઝમ એટેલ છે. અર્ધ-કોમ્પેક્ટ એટેલ મોર્ફિઝમ્સ અર્ધ-અનંત છે. મોર્ફિઝમ એ એક ખુલ્લું નિમજ્જન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે એટેલ અને રેડિકલ હોય. જો એટેલ અને સર્જેક્ટિવ હોય, તો (મર્યાદિત અથવા અન્યથા). વ્યુત્ક્રમ કાર્ય પ્રમેય એટેલ મોર્ફિઝમ્સ f: X → Y એ સ્થાનિક ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સના બીજગણિત પ્રતિરૂપ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, સરળ જાતો વચ્ચેનું મોર્ફિઝમ એ બિંદુ પર étale છે જો અનુરૂપ સ્પર્શક જગ્યાઓ વચ્ચેનું તફાવત એ આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આ ચોક્કસપણે એ સુનિશ્ચિત કરવા માટે જરૂરી શરત છે કે મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેનો નકશો સ્થાનિક ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે, એટલે કે. કોઈપણ બિંદુ y ω Y માટે, x નો એક ખુલ્લો પડોશ U છે જેમ કે f થી U નું પ્રતિબંધ એક ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. આ નિષ્કર્ષ બીજગણિત ભૂમિતિમાં નથી, કારણ કે ટોપોલોજી ખૂબ બરછટ છે. ઉદાહરણ તરીકે, y-અક્ષ પર પેરાબોલા y = x2 ના પ્રક્ષેપણ f ને ધ્યાનમાં લો. આ મોર્ફિઝમ મૂળ (0,0) સિવાય દરેક બિંદુ પર étale છે, કારણ કે વિભેદક 2x દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે આ બિંદુઓ પર અદૃશ્ય થતું નથી. જો કે, f નો કોઈ (ઝારિસ્કી-) સ્થાનિક વ્યસ્ત નથી, કારણ કે વર્ગમૂળ એ બીજગણિત નકશો નથી, બહુપદીઓ દ્વારા આપવામાં આવતો નથી. જો કે, એટેલ ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરીને આ પરિસ્થિતિ માટે એક ઉપાય છે. ચોક્કસ નિવેદન નીચે મુજબ છેઃ જો étale અને મર્યાદિત હોય, તો Y માં આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે, તેની છબીમાં y ધરાવતું étale મોર્ફિઝમ V → Y હોય છે (V ને y ના étale ખુલ્લા પડોશી તરીકે વિચારી શકાય છે), જેમ કે જ્યારે આપણે f થી V ને આધાર બદલીએ છીએ, ત્યારે (પ્રથમ સભ્ય V ની પૂર્વ-છબી હશે જો V એ Zariski ખુલ્લા પડોશી હોત) એ V માટે આઇસોમોર્ફિક ખુલ્લા ઉપગણોનું મર્યાદિત અસંગત જોડાણ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, Y માં étale-સ્થાનિક રીતે, મોર્ફિઝમ f એ ટોપોલોજિકલ મર્યાદિત આવરણ છે. સાપેક્ષ પરિમાણ n ના સરળ આકારવાદ માટે, સ્થાનિક રીતે X માં અને Y માં, f એ એફાઇન જગ્યામાં ખુલ્લું નિમજ્જન છે. આ સબમર્ઝન પરના સ્ટ્રક્ચર થીયરમનું એટેલ એનાલોગ વર્ઝન છે. શુદ્ધતા (બીજગણિત ભૂમિતિ) સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ જે. એસ. મિલ્ને (2008) પણ જુઓ. ઈટેલ કોહોમોલોજી મોર્ફિઝમ્સ ઓફ સ્કીમ્સ પર વ્યાખ્યાન