Complete intersection
ગણિતમાં, પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં બીજગણિત વિવિધતા V એ સંપૂર્ણ આંતરછેદ છે જો V નો આદર્શ બરાબર કોડીમ V તત્વો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. એટલે કે, જો V નું પરિમાણ m હોય અને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ Pn માં આવેલું હોય, તો ત્યાં n − m સજાતીય બહુપદીઓ અસ્તિત્વમાં હોવી જોઈએઃ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ Xj માં, જે અન્ય તમામ સજાતીય બહુપદીઓ ઉત્પન્ન કરે છે જે V પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ભૌમિતિક રીતે, દરેક Fi એક અતિસંવેદનશીલ સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; આ અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓનું આંતરછેદ V હોવું જોઈએ. અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓનું આંતરછેદ હંમેશા ઓછામાં ઓછું m પરિમાણ ધરાવશે, એમ ધારીને કે સ્કેલરનું ક્ષેત્ર બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર છે જેમ કે જટિલ સંખ્યાઓ. પ્રશ્ન એ છે કે, શું આપણે આંતરછેદમાં કોઈ વધારાના બિંદુઓ વિના પરિમાણને m સુધી નીચે લાવી શકીએ? કોડિમેન્શન પછી તરત જ આ સ્થિતિની તપાસ કરવી એકદમ મુશ્કેલ છે. જ્યારે પછી V આપમેળે અતિસંવેદનશીલ સપાટી બને છે અને સાબિત કરવા માટે કંઈ નથી. ઉદાહરણો સંપૂર્ણ આંતરછેદના સરળ ઉદાહરણો હાયપરસર્ફેસ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે એક બહુપદીના લુપ્ત થતા સ્થાન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્વિન્ટિક થ્રીફોલ્ડનું ઉદાહરણ આપે છે. બે અથવા વધુ સ્પષ્ટ ઉદાહરણો (બેસ્ટિયરી) નો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ પરિમાણીય જાતોના સંપૂર્ણ આંતરછેદના સ્પષ્ટ ઉદાહરણો શોધવાનું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, પરંતુ, બિન-ઉદાહરણ ટ્વિસ્ટેડ ક્યુબિક દ્વારા આપવામાં આવેલા 3 ગણા પ્રકારનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ છે. આનું ઉત્તમ ઉદાહરણ ટ્વિસ્ટેડ ક્યુબિક ઇન છેઃ તે એક સરળ સ્થાનિક સંપૂર્ણ આંતરછેદ છે જેનો અર્થ કોઈપણ ચાર્ટમાં તેને બે બહુપદીઓના લુપ્ત થતા સ્થાન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, પરંતુ વૈશ્વિક સ્તરે તે બેથી વધુ બહુપદીઓના લુપ્ત થતા સ્થાન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. નોંધ લો કે અમે તેને એમ્બેડિંગ આપીને ખૂબ જ પુષ્કળ લાઇન બંડલનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકીએ છીએ. જો આપણે એમ્બેડિંગને નીચેના સંબંધો આપીએઃ તેથી ટ્વિસ્ટેડ ક્યુબિક એ પરિમાણમાં અલગ અલગ જાતોનું જોડાણ છે બિન-સંપૂર્ણ આંતરછેદ બનાવવાની બીજી અનુકૂળ રીત, જે ક્યારેય સ્થાનિક સંપૂર્ણ આંતરછેદ ન હોઈ શકે, તે બે અલગ અલગ જાતોનું જોડાણ લેવું છે જ્યાં તેમના પરિમાણો સહમત ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ પર આંતરછેદ કરતી રેખા અને સમતલનું જોડાણ આ ઘટનાનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે. તે મલ્ટિડિગ્રીન યોજના દ્વારા આપવામાં આવે છે એક સંપૂર્ણ આંતરછેદમાં મલ્ટિડિગ્રીન હોય છે, જે હાયપરસર્ફેસ વ્યાખ્યાયિત કરવાની ડિગ્રીના ટુપલ (યોગ્ય રીતે મલ્ટિસેટ હોવા છતાં) તરીકે લખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફરીથી પી 3 માં ચતુર્ભુજ લેવું, (2,2) એ તેમાંથી બેના સંપૂર્ણ આંતરછેદનું બહુ-હરિત છે, જે જ્યારે તેઓ સામાન્ય સ્થિતિમાં હોય ત્યારે લંબગોળ વળાંક હોય છે. જટિલ સરળ સંપૂર્ણ આંતરછેદોની હોજ સંખ્યાઓ કુનિહિકો કોડાઇરા દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવી હતી. સામાન્ય સ્થિતિ વધુ શુદ્ધ પ્રશ્નો માટે, આંતરછેદના સ્વરૂપને વધુ નજીકથી સંબોધિત કરવું પડશે. અતિસંવેદનશીલતાની સ્થિતિને સંતોષવા માટે અતિસંવેદનશીલતાની જરૂર પડી શકે છે (જેમ કે તેમની સ્પર્શક જગ્યાઓ આંતરછેદ બિંદુઓ પર સામાન્ય સ્થિતિમાં હોય છે). આંતરછેદ યોજના-સૈદ્ધાંતિક હોઈ શકે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો અહીં Fi (X0,., Xn) દ્વારા પેદા થયેલ સજાતીય આદર્શ V નો વ્યાખ્યાયિત આદર્શ હોવો જરૂરી હોઈ શકે છે, અને માત્ર સાચો આમૂલ હોવો જરૂરી નથી. પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, સંપૂર્ણ આંતરછેદનની સ્થિતિને નિયમિત ક્રમની શરતોમાં અનુવાદિત કરવામાં આવે છે, જે સ્થાનિક સંપૂર્ણ આંતરછેદનની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છે, અથવા કેટલાક સ્થાનિકીકરણ પછી આદર્શ નિયમિત ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પરિમાણના સંપૂર્ણ આંતરછેદો હાયપરપ્લેન વિભાગોનું આંતરછેદ હોવાથી, આપણે તે માટે અનુમાન કરવા માટે લેફશેટ્ઝ હાયપરપ્લેન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. વધુમાં, તે ચકાસી શકાય છે કે સાર્વત્રિક ગુણાંક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમરૂપતા જૂથો હંમેશા વળાંક-મુક્ત હોય છે. આ સૂચવે છે કે મધ્યમ સમરૂપતા જૂથ અવકાશની યુલર લાક્ષણિકતા દ્વારા નક્કી થાય છે. યુલર લાક્ષણિકતા હિરઝેબ્રુચે બહુ-ડિગ્રીના તમામ સંપૂર્ણ આંતરછેદોના પરિમાણની ગણતરી કરતા જનરેટિંગ ફંક્શન આપ્યું હતું. તે સાઇટેશન સંદર્ભો વાંચે છે બાહ્ય કડીઓ મેનિફોલ્ડ એટલાસ બીજગણિત ભૂમિતિ પર સંપૂર્ણ આંતરછેદો પરિવર્તનીય બીજગણિત