Fenchel's theorem
વિભેદક ભૂમિતિમાં, ફેન્શેલનો પ્રમેય એ બંધ સરળ અવકાશ વળાંકની કુલ સંપૂર્ણ વળાંક પરની અસમાનતા છે, જે જણાવે છે કે તે હંમેશા ઓછામાં ઓછું હોય છે. સમાનરૂપે, સરેરાશ વળાંક ઓછામાં ઓછો છે, જ્યાં વળાંકની લંબાઈ છે. આ પ્રકારના એકમાત્ર વળાંકો કે જેમની કુલ સંપૂર્ણ વળાંક સમાન હોય છે અને જેમની સરેરાશ વળાંક સમાન હોય છે તે સમતલ બહિર્મુખ વળાંકો છે. આ પ્રમેયનું નામ વર્નર ફેન્શેલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1929માં પ્રકાશિત કર્યું હતું. ફેન્શલ પ્રમેયને ફેરી-મિલ્નર પ્રમેય દ્વારા વધારવામાં આવે છે, જે કહે છે કે જો બંધ સરળ અવકાશ વળાંક બિન-તુચ્છ રીતે ગૂંથાયેલો હોય, તો કુલ નિરપેક્ષ વળાંક તેના કરતા વધારે હોય છે. પુરાવો એકમ ઝડપ સાથે બંધ સરળ વળાંક આપવામાં આવે તો, વેગ પણ બંધ સરળ વળાંક છે. કુલ સંપૂર્ણ વળાંક તેની લંબાઈ છે. વળાંક ખુલ્લા ગોળાર્ધમાં નથી હોતો. જો એમ હોય તો, ત્યાં એક વિરોધાભાસ છે. આ એ પણ દર્શાવે છે કે જો બંધ ગોળાર્ધમાં આવેલું હોય, તો તે જ રીતે સમતલ વળાંક પણ છે. એક એવા બિંદુને ધ્યાનમાં લો કે જે વળાંક ધરાવે અને તેની લંબાઈ સમાન હોય. ગોળાને ફેરવીને, આપણે ધારી શકીએ છીએ અને ધ્રુવો દ્વારા અક્ષ વિશે સમપ્રમાણતાવાળા હોઈએ છીએ. અગાઉના ફકરા મુજબ, બે વળાંકમાંથી ઓછામાં ઓછો એક વળાંક અને અમુક સમયે વિષુવવૃત્ત સાથે છેદે છે. આપણે આ વળાંકને દ્વારા સૂચવીએ છીએ. પછી. આપણે સમતલમાં, અને ઉત્તર ધ્રુવ દ્વારા પ્રતિબિંબિત કરીએ છીએ, જે લંબાઈ સાથે એન્ટીપોડલ બિંદુઓ ધરાવતો બંધ વળાંક બનાવે છે. જોડતા વળાંકની ઓછામાં ઓછી લંબાઈ હોય છે, જે વચ્ચેના મોટા અર્ધવર્તુળની લંબાઈ હોય છે. તેથી, અને જો સમાનતા જાળવી રાખવામાં આવે તો તે વિષુવવૃત્તને પાર કરતું નથી. તેથી, અને જો સમાનતા જાળવી રાખવામાં આવે તો તે બંધ ગોળાર્ધમાં આવેલું છે, અને આમ તે સમતલ વળાંક છે. સંદર્ભો; ખાસ કરીને સમીકરણ 13, પાનું 49 જુઓ વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રમેયો સમતલ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો વળાંક વિશે પ્રમેયો વક્રતા (ગણિત)