Primary ideal
ગણિતમાં, ખાસ કરીને પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, પરિવર્તનીય વીંટી A ના યોગ્ય આદર્શ Q ને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે જો જ્યારે પણ xy એ Q નું તત્વ હોય તો x અથવા yn પણ અમુક n> 0 માટે Q નું તત્વ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકો Z ની રિંગમાં, જો p એ મુખ્ય સંખ્યા હોય તો (pn) એ પ્રાથમિક આદર્શ છે. કોમ્યુટેટિવ રિંગ થિયરીમાં પ્રાથમિક આદર્શોની કલ્પના મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે નોથેરિયન રિંગના દરેક આદર્શમાં પ્રાથમિક વિઘટન હોય છે, એટલે કે, તેને મર્યાદિત રીતે ઘણા પ્રાથમિક આદર્શોના આંતરછેદ તરીકે લખી શકાય છે. આ પરિણામ લેસ્કર-નોઇથર પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. પરિણામે, નોથેરિયન રિંગનો ઈરીડ્યુસિબલ આઇડિયલ પ્રાથમિક છે. બિનપરિવર્તનશીલ રિંગ્સ માટે પ્રાથમિક આદર્શોને સામાન્ય બનાવવાની વિવિધ પદ્ધતિઓ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ આ વિષયનો મોટાભાગે વિનિમયાત્મક રિંગ્સ માટે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેથી, આ લેખમાંની રિંગ્સ ઓળખ સાથે પરિવર્તનીય રિંગ્સ હોવાનું માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણો અને ગુણધર્મો વ્યાખ્યાને વધુ સપ્રમાણ રીતે પુનરાવર્તિત કરી શકાય છેઃ એક આદર્શ પ્રાથમિક છે જો, જ્યારે પણ, આપણી પાસે અથવા હોય. (અહીં આમૂલ સૂચવે છે.) R નો આદર્શ Q પ્રાથમિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R/Q માં દરેક શૂન્ય વિભાજક નિલપોટેન્ટ હોય. (આની સરખામણી મુખ્ય આદર્શોના કિસ્સામાં કરો, જ્યાં R/P માં દરેક શૂન્ય વિભાજક ખરેખર શૂન્ય હોય તો જ P મુખ્ય હોય છે.) કોઈપણ અભાજ્ય આદર્શ પ્રાથમિક હોય છે, અને વધુમાં એક આદર્શ અભાજ્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે પ્રાથમિક અને અર્ધ-અભાજ્ય હોય (જેને પરિવર્તનીય કિસ્સામાં આમૂલ આદર્શ પણ કહેવાય છે). દરેક પ્રાથમિક આદર્શ પ્રાથમિક છે. જો Q એ પ્રાથમિક આદર્શ છે, તો પછી Q નો આમૂલ એ આવશ્યકપણે મુખ્ય આદર્શ P છે, અને આ આદર્શને Q નો સંકળાયેલ મુખ્ય આદર્શ કહેવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં, ક્યૂને પી-પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, એક આદર્શ કે જેની આમૂલ અવિભાજ્ય હોય તે જરૂરી નથી કે તે પ્રાથમિક હોયઃ ઉદાહરણ તરીકે, જો, અને, તો તે અવિભાજ્ય છે અને, પરંતુ આપણી પાસે છે, અને બધા n> 0 માટે, તેથી તે પ્રાથમિક નથી. તેનું પ્રાથમિક વિઘટન છે; અહીં-પ્રાથમિક અને-પ્રાથમિક છે. એક આદર્શ જેની આમૂલ મહત્તમ હોય છે, તેમ છતાં, તે પ્રાથમિક છે. આમૂલ સાથેનો દરેક આદર્શ સૌથી નાના-પ્રાથમિક આદર્શમાં સમાયેલો છેઃ બધા તત્વો જેમ કે કેટલાક માટે. સૌથી નાના-પ્રાથમિક આદર્શને ની મી પ્રતીકાત્મક શક્તિ કહેવામાં આવે છે. જો P એ મહત્તમ મૌલિક આદર્શ હોય, તો P ની ઘાત ધરાવતો કોઈપણ આદર્શ P-પ્રાથમિક છે. બધા P-પ્રાથમિક આદર્શો P ની ઘાત હોય તે જરૂરી નથી, પરંતુ ઓછામાં ઓછું તેઓ P ની ઘાત ધરાવે છે; ઉદાહરણ તરીકે આદર્શ (x, y2) રિંગ k [x, y] માં આદર્શ P = (x, y) માટે P-પ્રાથમિક છે, પરંતુ તે P ની ઘાત નથી, જો કે તેમાં P2 હોય છે. જો A એ નોથેરિયન રિંગ છે અને P એ મુખ્ય આદર્શ છે, તો પછી A થી P પર A ના સ્થાનિકીકરણ સુધીના નકશાનો કર્નલ એ તમામ P-પ્રાથમિક આદર્શોનું આંતરછેદ છે. - પ્રાથમિક આદર્શોનું મર્યાદિત બિન-ખાલી ગુણાકાર-પ્રાથમિક છે પરંતુ-પ્રાથમિક આદર્શોનું અનંત ગુણાકાર-પ્રાથમિક ન પણ હોઈ શકે; કારણ કે ઉદાહરણ તરીકે, મહત્તમ આદર્શ સાથે નોથેરિયન સ્થાનિક વર્તુળમાં, (ક્રુલ આંતરછેદ પ્રમેય) જ્યાં દરેક-પ્રાથમિક છે, ઉદાહરણ તરીકે સ્થાનિક વર્તુળનું મહત્તમ (અને તેથી મુખ્ય અને તેથી પ્રાથમિક) આદર્શનું અનંત ગુણાકાર શૂન્ય આદર્શ આપે છે, જે આ કિસ્સામાં પ્રાથમિક નથી (કારણ કે શૂન્ય ભાજક નિલપોટેન્ટ નથી). હકીકતમાં, નોથેરિયન રિંગમાં,-પ્રાથમિક આદર્શોનો બિન-ખાલી ગુણાકાર-પ્રાથમિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં આવા કોઈ પૂર્ણાંક અસ્તિત્વમાં હોય. ફૂટનોટ્સ સંદર્ભો પ્રાથમિક આદર્શો પર, લેડિસ્લાસ ફ્યુક્સ બાહ્ય લિંક્સ પ્રાથમિક આદર્શ ગણિતના જ્ઞાનકોશમાં પરિવર્તનીય બીજગણિત આદર્શો (રીંગ થિયરી)