Mordell curve
બીજગણિતમાં, મોર્ડેલ વળાંક એ y2 = x3 + n સ્વરૂપનું લંબગોળ વળાંક છે, જ્યાં n એ નિશ્ચિત બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંક છે. લુઇસ મોર્ડેલ દ્વારા તેમના પૂર્ણાંક બિંદુઓ નક્કી કરવાના દૃષ્ટિકોણથી આ વળાંકનો નજીકથી અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે દરેક મોર્ડેલ વળાંકમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા પૂર્ણાંક બિંદુઓ (x, y) હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંપૂર્ણ ચોરસ અને સંપૂર્ણ સમઘનનો તફાવત અનંત હોય છે. બેકરની પદ્ધતિ દ્વારા સિદ્ધાંતમાં કેટલી ઝડપથી વ્યવહાર કરવામાં આવ્યો તે પ્રશ્ન. કાલ્પનિક રીતે આ મુદ્દાને માર્શલ હોલના અનુમાન દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. ગુણધર્મો જો (x, y) એ મોર્ડેલ વળાંક પરનો પૂર્ણાંક બિંદુ હોય, તો તે (x,-y) છે. n ના અમુક મૂલ્યો છે જેના માટે અનુરૂપ મોર્ડેલ વળાંકમાં કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલો નથી; આ મૂલ્યો છેઃ 6,7,11,13,14,20,21,23,29,32,34,39,42,. −3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22,. ચોક્કસ કેસ જ્યાં n = −2 એ ફર્માટના સેન્ડવિચ પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખાય છે. ઉકેલોની યાદી |n | ≤25 માટે મોર્ડેલ વળાંક y2 = x3 + n ના ઉકેલોની યાદી નીચે મુજબ છે. માત્ર y ≤0 સાથેના ઉકેલો દર્શાવવામાં આવ્યા છે. 1998માં, જે. ગેબેલ, એ. પેથો, એચ. જી. ઝિમ્મરે 0 <|n | ≤104 માટે તમામ પૂર્ણાંક બિંદુઓ શોધી કાઢ્યા હતા. 2015માં, એમ. એ. બેનેટ અને એ. ગદરમર્ઝીએ 0 <|n | ≤ 107 માટે પૂર્ણાંક બિંદુઓની ગણતરી કરી હતી. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ જે. ગેબેલ,-10000 ≤ એન ≤ 10000 એમ. માટે મોર્ડેલના વળાંક પરની માહિતી બેનેટ,-107 ≤ એન ≤ 107 બીજગણિત વળાંક માટે મોર્ડેલ વળાંક પરની માહિતી ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો લંબગોળ વળાંક