Torsion of a curve
ત્રણ પરિમાણોમાં વળાંકની વિભેદક ભૂમિતિમાં, વળાંકનું વળાંક માપે છે કે તે ઓસ્ક્યુલેટિંગ પ્લેનમાંથી કેટલી ઝડપથી બહાર આવી રહ્યું છે. એકસાથે લેવામાં આવે તો, અવકાશ વળાંકની વળાંક અને વળાંક સમતલ વળાંકની વળાંક સમાન હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ ફ્રેનેટ-સેરેટ સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવેલ ફ્રેનેટ ફ્રેમ માટે વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીમાં ગુણાંક છે. વ્યાખ્યા ચાલો ચાપની લંબાઈ દ્વારા અને એકમ સ્પર્શક વેક્ટર સાથે પરિમાણિત અવકાશ વળાંક હોઈએ. જો કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર વેક્ટરની વળાંક શૂન્ય ન હોય તો તે બિંદુ પર મુખ્ય નોર્મલ વેક્ટર અને બાયનોર્મલ વેક્ટર અનુક્રમે એકમ વેક્ટર છે, જ્યાં મુખ્ય પરિમાણના સંદર્ભમાં વેક્ટરના વ્યુત્પન્નને સૂચવે છે. વળાંક આપેલ બિંદુ પર દ્વિસંગી વેક્ટરના પરિભ્રમણની ઝડપને માપે છે. તે સમીકરણમાંથી જોવા મળે છે જેનો અર્થ એ છે કે, આ તેની સમકક્ષ છે. ટિપ્પણીઃ બાયનોર્મલ વેક્ટરનું વ્યુત્પન્ન બાયનોર્મલ અને સ્પર્શક બંનેને લંબરૂપ હોય છે, તેથી તે મુખ્ય સામાન્ય વેક્ટરના પ્રમાણસર હોવું જોઈએ. નકારાત્મક સંકેત એ ફક્ત પરંપરાની બાબત છેઃ તે વિષયના ઐતિહાસિક વિકાસનું આડપેદાશ છે. ભૌમિતિક સુસંગતતાઃ આ વળાંક બાયનૉર્મલ વેક્ટરના વળાંકને માપે છે. વળાંક જેટલો મોટો હોય છે, તેટલી ઝડપથી દ્વિસંગી વેક્ટર સ્પર્શક વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવેલી ધરીની આસપાસ ફરે છે (ગ્રાફિકલ ચિત્રો જુઓ). એનિમેટેડ આકૃતિમાં દ્વિસામાન્ય વેક્ટરનું પરિભ્રમણ વળાંક કાર્યના શિખરો પર સ્પષ્ટ રીતે દેખાય છે. ગુણધર્મો બિન-લુપ્ત થતા વળાંકવાળા સમતલ વળાંકમાં તમામ બિંદુઓ પર શૂન્ય વળાંક હોય છે. તેનાથી વિપરીત, જો બિન-લુપ્ત થતા વળાંક સાથે નિયમિત વળાંકનું વળાંક સમાન રીતે શૂન્ય હોય, તો આ વળાંક નિશ્ચિત સમતલ સાથે સંબંધિત છે. હેલિક્સની વળાંક અને વળાંક સતત રહે છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ અવકાશ વળાંક કે જેની વળાંક અને વળાંક બંને અચળ અને બિન-શૂન્ય હોય તે હેલિક્સ છે. જમણા હાથના હેલિક્સ માટે વળાંક હકારાત્મક છે અને ડાબા હાથના હેલિક્સ માટે નકારાત્મક છે. વૈકલ્પિક વર્ણન ચાલો અવકાશ વળાંકનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ હોઈએ. ધારો કે આ એક નિયમિત પરિમાણ છે અને વળાંકની વળાંક અદૃશ્ય થતી નથી. વિશ્લેષણાત્મક રીતે, મૂલ્યો સાથે ત્રણ ગણું વિકલનક્ષમ કાર્ય છે અને વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. પછી ટોર્સિયનની ગણતરી નીચેના સૂત્રમાંથી કરી શકાય છેઃ અહીં પ્રાઈમ સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ સૂચવે છે અને ક્રોસ ક્રોસ પ્રોડક્ટ સૂચવે છે. કારણ કે, ઘટકોમાં સૂત્ર નોંધો સંદર્ભો વિભેદક ભૂમિતિ વળાંક વળાંક (ગણિત) છે.