Wirtinger's inequality for functions
વિર્ટિંગરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલી અન્ય અસમાનતાઓ માટે, વિર્ટિંગરની અસમાનતા જુઓ. વિશ્લેષણના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, વિર્ટિંગર અસમાનતા એ એક જ ચલનાં કાર્યો માટેની એક મહત્વપૂર્ણ અસમાનતા છે, જેનું નામ વિલ્હેલ્મ વિર્ટિંગરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તેનો ઉપયોગ એડોલ્ફ હર્વિટ્ઝ દ્વારા 1901માં સમતલમાં વળાંક માટે આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાના નવા પુરાવા આપવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. નજીકથી સંબંધિત વિવિધ પરિણામો આજે વિર્ટિંગરની અસમાનતા તરીકે ઓળખાય છે, જે તમામને પોઇનકેર અસમાનતાના ચોક્કસ સ્વરૂપો તરીકે જોઈ શકાય છે. પ્રમેય વિર્ટિંગર અસમાનતાની ઘણી અસમાન આવૃત્તિઓ છેઃ ચાલો અંતરાલ પર સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય અને સાથે સતત અને વિભેદક વિધેય હોઈએ. પછી અને સમાનતા જો અને માત્ર ત્યારે જ રહે છે જો અમુક સંખ્યાઓ માટે અને. સાથે અંતરાલ પર સતત અને વિભેદક વિધેય હોઈ દો. પછી અને સમાનતા જો અને માત્ર જો અમુક સંખ્યા માટે હોય તો જ રહે છે. ચાલો સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય સાથે અંતરાલ પર સતત અને વિભેદક વિધેય હોઈએ. પછી અને સમાનતા જો અને માત્ર જો અમુક સંખ્યા માટે હોય તો જ રહે છે. તેમના તફાવતો હોવા છતાં, આ એકબીજા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જે વર્ણપટ ભૂમિતિના સંદર્ભમાં નીચે આપેલા અહેવાલમાંથી જોઈ શકાય છે. તે બધાને પોઇનકેર અસમાનતાના વિવિધ સ્વરૂપોના વિશેષ કિસ્સાઓ તરીકે પણ ગણી શકાય, જેમાં શ્રેષ્ઠ પોઇનકેર અચળાંક સ્પષ્ટપણે ઓળખવામાં આવે છે. મધ્યમ સંસ્કરણ પણ ફ્રેડરિકની અસમાનતાનો એક વિશેષ કેસ છે, જેમાં ફરીથી શ્રેષ્ઠ અચળાંકની ઓળખ કરવામાં આવી છે. પુરાવા વિર્ટિન્જર અસમાનતાની ત્રણ આવૃત્તિઓ વિવિધ માધ્યમો દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. ઉપર આપેલી ત્રણ વિર્ટિંગર અસમાનતાઓમાંથી દરેક માટે અલગ-અલગ પ્રકારના પુરાવા દ્વારા આ નીચે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. દરેક કિસ્સામાં, સામેલ ઇન્ટિગ્રલ્સમાં ચલોના રેખીય ફેરફાર દ્વારા, માત્ર એક ચોક્કસ પસંદગી માટે પ્રમેયને સાબિત કરવામાં સામાન્યતાની કોઈ ખોટ નથી. ફોરિયર શ્રેણી ઉપર આપેલી પ્રથમ વર્ટિન્જર અસમાનતાનો વિચાર કરો. બનો. ડિરીક્લેટની શરતો પૂરી થઈ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ છીએ અને સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય છે તેનો અર્થ એ છે કે. પાર્સેવલની ઓળખ દ્વારા, અને અને બધા સરવાળા બિન-નકારાત્મક હોવાથી, વિર્ટિંગર અસમાનતા સાબિત થાય છે. વધુમાં એવું જોવામાં આવે છે કે સમાનતા જો અને માત્ર જો બધા માટે હોય તો જ રહે છે, જેનો અર્થ એ છે કે. આ ત્રિકોણમિતીય ઉમેરા સૂત્રોના ઉપયોગ દ્વારા જણાવેલી સ્થિતિની સમકક્ષ છે. ભાગો દ્વારા એકીકરણ ઉપર આપેલી બીજી વિર્ટિન્જર અસમાનતાનો વિચાર કરો. બનો. કોઈપણ વિભેદક વિધેય કલનની મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઓળખ સંકલનને સંતોષે છે અને પછી સીમા શરતો દર્શાવે છે કે આ વિર્ટિન્જર અસમાનતાને સાબિત કરે છે, કારણ કે બીજો અભિન્ન સ્પષ્ટપણે બિન-નકારાત્મક છે. વધુમાં, વિર્ટિંગર અસમાનતામાં સમાનતા સમાન હોવાનું જોવામાં આવે છે, જેનો સામાન્ય ઉકેલ (ચલોના વિભાજન દ્વારા ગણવામાં આવે છે) મનસ્વી સંખ્યા માટે છે. કલનની મૂળભૂત પ્રમેયની ઉપરની અરજીમાં એક સૂક્ષ્મતા છે, કારણ કે તે દરેક કાર્ય માટે સતત વિસ્તરે છે તેવું નથી. આને નીચે પ્રમાણે ઉકેલવામાં આવે છે. તે હોલ્ડર અસમાનતાને અનુસરે છે અને જે દર્શાવે છે કે જ્યાં સુધી મર્યાદિત છે, ત્યાં સુધી શૂન્યમાં રૂપાંતરિત થવાની મર્યાદા શૂન્ય છે. નાના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે, તે સ્ક્વિઝ થીયરમને અનુસરે છે જે શૂન્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે. બરાબર એ જ રીતે, તે સાબિત કરી શકાય છે કે તે શૂન્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ ઉપર આપેલી ત્રીજી વિર્ટિન્જર અસમાનતાનો વિચાર કરો. બનો. સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય પર સતત કાર્યને જોતાં, ચાલો તે કાર્યને દર્શાવીએ કે જેના પર સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય છે, અને અને સાથે. અચળ ગુણાંક સાથેના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના મૂળભૂત વિશ્લેષણમાંથી, ના આઈગન વેલ્યુઓ બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંકો માટે છે, જેમાંથી સૌથી મોટા પછી છે. કારણ કે તે બાઉન્ડેડ અને સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટર છે, તે બધા સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય માટે અનુસરે છે, જ્યાં સમાનતા ભાગો દ્વારા એકીકરણને કારણે છે. છેવટે, સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય પર કોઈપણ સતત વિકલનક્ષમ વિધેય માટે, ચાલો કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ સતત વિકલનક્ષમ વિધેયોનો ક્રમ બનીએ, જેના પર તે એકરૂપ થાય છે. પછી વ્યાખ્યાયિત કરો પછી દરેકનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે, જે બદલામાં સૂચવે છે કે સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય છે. તેથી ઉપરોક્ત અસમાનતાનો ઉપયોગ કાયદેસર છે અને દર્શાવે છે કે તેના દ્વારા બદલવું શક્ય છે, અને તે રીતે વિર્ટિંગર અસમાનતાને સાબિત કરે છે, જેમ તે ચકાસવામાં આવે છે કે તે તેમાં એકરૂપ થાય છે. હોલ્ડર અથવા જેનસનની અસમાનતાઓ લખીને અને લાગુ કરીને આ પ્રમાણભૂત રીતે ચકાસવામાં આવે છે. આ વિર્ટિંગર અસમાનતાને સાબિત કરે છે. જે કિસ્સામાં તે એક કાર્ય છે જેના માટે વિર્ટિંગર અસમાનતામાં સમાનતા હોય છે, તો પછી વિવિધતાના કલનશાસ્ત્રમાં એક પ્રમાણભૂત દલીલ કહે છે કે તે યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણનો નબળો ઉકેલ હોવો જોઈએ, અને આવા સમીકરણોની નિયમિતતા સિદ્ધાંત, પછી સતત ગુણાંક સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોનું સામાન્ય વિશ્લેષણ, તે દર્શાવે છે કે અમુક સંખ્યા માટે. આ દલીલને સંપૂર્ણપણે ઔપચારિક અને ચોક્કસ બનાવવા માટે, પ્રશ્નમાં કાર્ય જગ્યાઓ વિશે વધુ સાવચેત રહેવું જરૂરી છે. વર્ણપટ ભૂમિતિ વર્ણપટ ભૂમિતિની ભાષામાં, ઉપરની વિર્ટિંગર અસમાનતાની ત્રણ આવૃત્તિઓને વિવિધ એક-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરના પ્રથમ આઈગન વેલ્યુ અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ વિશેના પ્રમેયો તરીકે પુનરાવર્તિત કરી શકાય છેઃ લંબાઈના રીમાનિયન વર્તુળ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું પ્રથમ આઈગનવેલ્યુ છે, અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ એ બે સંકલન કાર્યોના રેખીય સંયોજનો છે. અંતરાલ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું પ્રથમ ડિરીક્લેટ આઈગન વેલ્યુ છે અને સંબંધિત આઈગનફંક્શન્સ મનસ્વી બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંતરાલ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું પ્રથમ ન્યુમેન આઈગન વેલ્યુ છે અને સંબંધિત આઈગનફંક્શન્સ મનસ્વી બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યાઓ વિશેના નિવેદનો સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રીમાનિયન વર્તુળને ગોળા, વાસ્તવિક પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા અથવા ટોરસ (મનસ્વી પરિમાણ) ના એક-પરિમાણીય સંસ્કરણ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે. અહીં આપેલા પ્રથમ સંસ્કરણમાં, વિર્ટિંગર અસમાનતાને પછી નીચેનામાંથી કોઈપણના કેસ તરીકે જોઈ શકાય છેઃ એકમ-ત્રિજ્યા-પરિમાણીય ગોળા પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું પ્રથમ આઈગન વેલ્યુ છે, અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ એ સંકલન કાર્યોના રેખીય સંયોજનો છે. લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું-પરિમાણીય વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા પરનું પ્રથમ આઈગન વેલ્યુ (એકમ-ત્રિજ્યા ગોળાથી આવરણ નકશા દ્વારા આપવામાં આવેલા સામાન્યકરણ સાથે) છે, અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ એ એકમ ગોળા (અને પછી વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા) પર સજાતીય ચતુર્ભુજ બહુપદીઓના પ્રતિબંધો છે. - પરિમાણીય ટોરસ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું પ્રથમ આઈગન વેલ્યુ (તેની સાથે લંબાઈના વર્તુળના-ગણો ગુણાકાર તરીકે આપવામાં આવે છે) છે, અને અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ વર્તુળો પરના આઈગનફંક્શન્સના-ગણો ગુણાકારોના મનસ્વી રેખીય સંયોજનો છે. વિર્ટિંગર અસમાનતાના બીજા અને ત્રીજા સંસ્કરણોને યુક્લિડિયન અવકાશમાં મેટ્રિક દડાઓ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલકના પ્રથમ ડિરીક્લેટ અને ન્યુમેન આઈગન મૂલ્યો વિશેના નિવેદનો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ એકમ દડા પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી સંચાલકનું પ્રથમ ડિરીક્લેટ આઈગન મૂલ્ય એ પ્રથમ પ્રકારના બેસેલ કાર્યના સૌથી નાના હકારાત્મક શૂન્યનો વર્ગ છે. યુનિટ બોલ પર લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનું પ્રથમ ન્યુમેન આઈગન વેલ્યુ એ પ્રથમ પ્રકારના બેસલ ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નના સૌથી નાના હકારાત્મક શૂન્યનો વર્ગ છે. આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતા માટે અરજી ઉપર આપેલા પ્રથમ સ્વરૂપમાં, વિર્ટિંગર અસમાનતાનો ઉપયોગ સમતલમાં વળાંક માટે આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે, જેમ કે એડોલ્ફ હર્વિટ્ઝે 1901માં શોધી કાઢ્યું હતું. ચાલો સમતલમાં વર્તુળનું વિભેદક એમ્બેડિંગ કરીએ. વર્તુળને એવા પરિમાણમાં વિભાજીત કરવું કે જેથી તેની ગતિ સ્થિર રહે, વળાંકની લંબાઈ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે અને વળાંક દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર (સ્ટોક્સ પ્રમેયને કારણે) આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. વળાંકના ક્ષેત્રફળ અથવા લંબાઈને બદલ્યા વિના, અમુક સંખ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે, જેથી સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય. પછી વિર્ટિંગર અસમાનતા એ જોવા માટે લાગુ કરી શકાય છે કે બીજો અભિન્ન પણ બિન-નકારાત્મક છે, અને તેથી જે આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતા છે. વધુમાં, આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતામાં સમાનતા એ વિર્ટિંગર અસમાનતામાં સમાનતા અને સમાનતા બંને સૂચવે છે, જે મનસ્વી સંખ્યાઓ માટે અને પછી સમાન છે. આ સમીકરણોનો અર્થ એ છે કે ની છબી સમતલમાં ગોળાકાર વર્તુળ છે. સંદર્ભો ફોરિયર વિશ્લેષણ અસમાનતાઓ વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો