Semi-differentiability
ગણિતની એક શાખા, કલનશાસ્ત્રમાં, વાસ્તવિક ચલના વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય f ની એકતરફી ભિન્નતા અને અર્ધ-ભિન્નતાની કલ્પનાઓ ભિન્નતા કરતાં નબળી છે. ખાસ કરીને, ફંક્શન f ને એક બિંદુ a પર જમણી બાજુએ વિકલનક્ષમ કહેવામાં આવે છે, જો, આશરે કહીએ તો, વ્યુત્પન્નને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કારણ કે વિધેયની દલીલ x જમણી બાજુએથી a તરફ જાય છે, અને a પર ડાબી બાજુએ વિકલનક્ષમ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જો વ્યુત્પન્નને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય કે x ડાબી બાજુથી a તરફ જાય છે. એક-પરિમાણીય કેસ ગણિતમાં, ડાબા વ્યુત્પન્ન અને જમણા વ્યુત્પન્ન એ વ્યુત્પન્ન (કાર્યના પરિવર્તનના દર) છે જે કાર્યની દલીલ દ્વારા માત્ર એક દિશામાં (ડાબે અથવા જમણે; એટલે કે, નીચલા અથવા ઉચ્ચ મૂલ્યો) હિલચાલ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યાઓ ચાલો f એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સબસેટ I પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યને સૂચવે છે. જો એક મર્યાદા બિંદુ હોય અને એક બાજુની મર્યાદા વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે અસ્તિત્વમાં હોય, તો f ને a પર જમણી બાજુએ વિકલનક્ષમ કહેવામાં આવે છે અને ષ્ણ + f (a) ની મર્યાદાને a પર f નું જમણી બાજુએ વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે. જો એક મર્યાદા બિંદુ હોય અને એક તરફી મર્યાદા વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે અસ્તિત્વમાં હોય, તો f ને a પર લેફ્ટ ડિફરન્શીએબલ કહેવામાં આવે છે અને ષ્ણુલ-f (a) ને a પર f નું લેફ્ટ ડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે. જો અને નો મર્યાદા બિંદુ હોય અને જો f એ a પર ડાબે અને જમણે વિકલનક્ષમ હોય, તો f ને a પર અર્ધ-વિકલનક્ષમ કહેવામાં આવે છે. જો ડાબી અને જમણી વ્યુત્પન્ન સમાન હોય, તો તેમનું મૂલ્ય સામાન્ય ("દ્વિદિશાત્મક") વ્યુત્પન્ન જેટલું જ હોય છે. કોઈ પણ સપ્રમાણ વ્યુત્પન્નને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, જે ડાબી અને જમણી વ્યુત્પન્ન (જ્યારે તે બંને અસ્તિત્વમાં હોય) ના અંકગણિત સરેરાશની બરાબર હોય છે, તેથી જ્યારે સામાન્ય વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં ન હોય ત્યારે સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. ટિપ્પણીઓ અને ઉદાહરણો એક કાર્ય તેના ક્ષેત્રના આંતરિક બિંદુ a પર વિભેદક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે a પર અર્ધ-વિભેદક હોય અને ડાબી વ્યુત્પન્ન જમણી વ્યુત્પન્નની બરાબર હોય. અર્ધ-વિભેદક વિધેયનું ઉદાહરણ, જે વિભેદક નથી, તે a = 0 પર નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય છે. જો કોઈ વિધેય a બિંદુ પર અર્ધ-વિકલનક્ષમ હોય, તો તે સૂચવે છે કે તે a પર સતત છે. સૂચક કાર્ય 1 [0, ν) દરેક વાસ્તવિક a પર યોગ્ય રીતે વિકલનક્ષમ છે, પરંતુ શૂન્ય પર અસંગત છે (નોંધ લો કે આ સૂચક કાર્યને શૂન્ય પર વિકલનક્ષમ છોડવામાં આવતું નથી). જો વાસ્તવિક-મૂલ્ય ધરાવતું, વિભેદક વિધેય f, જે વાસ્તવિક રેખાના અંતરાલ I પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોય, તે દરેક જગ્યાએ શૂન્ય વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે, તો તે સ્થિર છે, જેમ કે સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય દર્શાવે છે. વિભેદકતાની ધારણાને સાતત્ય અને f ની એકતરફી વિભેદકતા માટે નબળી પાડી શકાય છે. જમણા વિભેદક વિધેયો માટેનું સંસ્કરણ નીચે આપવામાં આવ્યું છે, ડાબા વિભેદક વિધેયો માટેનું સંસ્કરણ સમાન છે. બીજો સામાન્ય ઉપયોગ ઇન્ફિક્સ નોટેશનમાં દ્વિસંગી ઓપરેટરો તરીકે ગણવામાં આવતા ડેરિવેટિવ્ઝનું વર્ણન કરવાનો છે, જેમાં ડેરિવેટિવ્ઝ ડાબી અથવા જમણી ઓપરેન્ડ્સ પર લાગુ કરવાના હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પોઈસન કૌંસના સામાન્યીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે આ ઉપયોગી છે. f અને g વિધેયોની જોડી માટે, ડાબી અને જમણી વ્યુત્પન્નને અનુક્રમે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ-પરિમાણીય કેસ આ ઉપરની વ્યાખ્યાને દિશાત્મક વ્યુત્પન્નના નબળા સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીને Rn ના સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યો f માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ધારો કે a એ f ના ક્ષેત્રનું આંતરિક બિંદુ છે. પછી f ને a બિંદુ પર અર્ધ-વિભેદક કહેવામાં આવે છે જો દરેક દિશા માટે u bul Rn સાથે R સાથેની મર્યાદા વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે અસ્તિત્વમાં હોય. અર્ધ-વિભેદકતા આમ ગેટવેક્સ વિભેદકતા કરતાં નબળી છે, જેના માટે કોઈ વ્યક્તિ માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો સુધી મર્યાદિત કર્યા વિના h → 0 ઉપરની મર્યાદા લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન અર્ધ-વિકલનક્ષમ છે, પરંતુ ત્યાં ગેટવેક્સ વિકલનક્ષમ નથી. ખરેખર, સાથે (નોંધ કરો કે આ સામાન્યીકરણ n = 1 માટેની મૂળ વ્યાખ્યાની સમકક્ષ નથી કારણ કે એકતરફી મર્યાદા બિંદુઓની વિભાવનાને આંતરિક બિંદુઓની મજબૂત વિભાવના સાથે બદલવામાં આવે છે.) ગુણધર્મો Rn ના બહિર્મુખ ખુલ્લા ઉપગણ પર કોઈપણ બહિર્મુખ કાર્ય અર્ધ-વિભેદક છે. જ્યારે કે એક ચલનું દરેક અર્ધ-વિભેદક કાર્ય સતત હોય છે; આ હવે ઘણા ચલ માટે સાચું નથી. વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોને બદલે સામાન્યીકરણ, Rn અથવા બનાચ જગ્યામાં મૂલ્યો લેતા કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. ડેરિવેટિવ્ઝ ડિરેક્શનલ ડેરિવેટિવ્ઝ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ગ્રેડિએન્ટ ગેટૉક્સ ડેરિવેટિવ્ઝ ફ્રેચેટ ડેરિવેટિવ્ઝ ડેરિવેટિવ્ઝ (સામાન્યીકરણ) ડીની ડેરિવેટિવ્ઝ સંદર્ભો વાસ્તવિક વિશ્લેષણ વિભેદક કલન પુરાવાઓ કાર્યો અને મેપિંગ્સ ધરાવતા લેખો