Følner sequence
ગણિતમાં, જૂથ માટે ફોલનર ક્રમ એ ચોક્કસ શરતને સંતોષતા સમૂહોનો ક્રમ છે. જો કોઈ જૂથ પોતાની પોતાની ક્રિયાના સંદર્ભમાં ફોલનર ક્રમ ધરાવે છે, તો તે જૂથ અનુકૂળ છે. ફોલનર જાળીની વધુ સામાન્ય કલ્પનાને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને તે અગણિત જૂથોના અભ્યાસ માટે યોગ્ય છે. ફોલનર સિક્વન્સને એર્લિંગ ફોલનર માટે નામ આપવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા એક જૂથ આપવામાં આવે છે જે ગણતરીપાત્ર સમૂહ પર કાર્ય કરે છે, ક્રિયા માટે ફોલનર ક્રમ એ મર્યાદિત ઉપગણોનો ક્રમ છે જેનો નિકાલ થાય છે અને જે કોઈપણ જૂથ તત્વ દ્વારા કાર્ય કરતી વખતે "ખૂબ આગળ વધતું નથી". ચોક્કસપણે, દરેક માટે, કેટલાક એવા છે કે જે બધા માટે, અને તમામ જૂથ ઘટકો માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ઉપર વપરાયેલ સંકેતલિપીનું સમજૂતીઃ એ સેટ દ્વારા ડાબી બાજુએ કાર્ય કરવાનું પરિણામ છે. તેમાં બધા માટે સ્વરૂપના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. સપ્રમાણ તફાવત સંચાલક છે, એટલે કે, બરાબર એક સમૂહમાં તત્વોનો સમૂહ છે અને. તે સમૂહની મુખ્યતા છે. આમ, આ વ્યાખ્યા જે કહે છે તે એ છે કે કોઈપણ જૂથ તત્વ માટે, તેના તત્વોનું પ્રમાણ જેમ જેમ મોટું થાય તેમ તેમ 0 પર જાય છે. માપન જગ્યા પર કામ કરતા સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથના સેટિંગમાં વધુ સામાન્ય વ્યાખ્યા છે. મર્યાદિત હોવાને બદલે, સમૂહોમાં મર્યાદિત, બિન-શૂન્ય માપ હોવું જરૂરી છે, અને તેથી ફોલનરની જરૂરિયાત તે હશે, જે અલગ કેસની સમાન હશે. પ્રમાણભૂત કેસ એ છે કે જે જૂથ ડાબી બાજુથી અનુવાદ દ્વારા પોતાની જાત પર કામ કરે છે, તે કિસ્સામાં પ્રશ્નમાં માપ સામાન્ય રીતે હાર માપ માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણો કોઈપણ મર્યાદિત જૂથમાં તુચ્છ રીતે દરેક માટે ફોલનર ક્રમ હોય છે. પૂર્ણાંકોના જૂથનો વિચાર કરો, જે ઉમેરા દ્વારા પોતાની રીતે કાર્ય કરે છે. ચાલો અને વચ્ચે પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ કરીએ. પછી અને વચ્ચે પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે. મોટા માટે, સપ્રમાણ તફાવત કદ ધરાવે છે, જ્યારે કદ ધરાવે છે. પરિણામી ગુણોત્તર છે, જે જેમ જેમ મોટો થાય તેમ તેમ 0 પર જાય છે. ફોલનર ક્રમની મૂળ વ્યાખ્યા સાથે, જૂથમાં ફોલનર ક્રમ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ગણતરીપાત્ર અને અનુકૂળ હોય. સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથમાં ફોલનર ક્રમ હોય છે (સામાન્યીકૃત વ્યાખ્યા સાથે) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે અનુકૂળ હોય અને બીજા ક્રમાંકિત હોય. અનુકૂળતાનો પુરાવો આપણી પાસે એક જૂથ અને એક ફોલનર ક્રમ છે, અને આપણે એક માપને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે, જે ફિલોસોફિકલ રીતે કહીએ તો કોઈ પણ સબસેટ કેટલું લે છે. કુદરતી વ્યાખ્યા કે જે આપણા ફોલનર ક્રમનો ઉપયોગ કરે છે તે હશે અલબત્ત, આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોવી જરૂરી નથી. આ તકનીકીતાને દૂર કરવા માટે, આપણે કુદરતી સંખ્યાઓ પર અલ્ટ્રાફિલ્ટર લઈએ છીએ જેમાં અંતરાલ હોય છે. પછી આપણે નિયમિત મર્યાદાને બદલે અલ્ટ્રાલિમિટનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ તે તારણ આપે છે કે અલ્ટ્રાલિમિટમાં આપણને જરૂરી તમામ ગુણધર્મો છે. એટલે કે, તે સંભાવના માપ છે. એટલે કે, જ્યારે અલ્ટ્રાલીમિટ અસ્તિત્વમાં હોય ત્યારે તે નિયમિત મર્યાદા સાથે મેળ ખાય છે. તે મર્યાદિત રીતે ઉમેરવામાં આવે છે. આનું કારણ એ છે કે નિયમિત મર્યાદાઓની જેમ જ અતિ મર્યાદાઓ વધારા સાથે મુસાફરી કરે છે. તે અપરિવર્તનશીલ રહે છે. આ ત્યારથી ફોલનર સિક્વન્સની વ્યાખ્યા દ્વારા છે. સંદર્ભો ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત