Vector fields on spheres
ગણિતમાં, ગોળાઓ પર વેક્ટર ક્ષેત્રોની ચર્ચા એ વિભેદક ટોપોલોજીની શાસ્ત્રીય સમસ્યા હતી, જેની શરૂઆત રુવાંટીવાળાં દડાની પ્રમેયથી થઈ હતી અને વિભાજન બીજગણિતના વર્ગીકરણ પર પ્રારંભિક કાર્ય હતું. ખાસ કરીને, પ્રશ્ન એ છે કે-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં ગોળા પર કેટલા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સ્મૂથ ક્યાંય-શૂન્ય વેક્ટર ક્ષેત્રો બનાવી શકાય છે. એક નિશ્ચિત જવાબ 1962માં ફ્રેન્ક એડમ્સ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રાનો ઉપયોગ કરીને સીધા બાંધકામ દ્વારા તે પહેલેથી જ જાણીતું હતું કે ઓછામાં ઓછા આવા ક્ષેત્રો હતા (નીચેની વ્યાખ્યા જુઓ). એડમ્સે હોમોટોપી થિયરી અને ટોપોલોજિકલ કે-થિયરી લાગુ કરી હતી જે સાબિત કરે છે કે કોઈ વધુ સ્વતંત્ર વેક્ટર ક્ષેત્રો મળી શક્યા નથી. તેથી તે બિંદુની દિશામાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર ક્ષેત્રોની ચોક્કસ સંખ્યા છે જે ()-પરિમાણીય ગોળા પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ટેકનિકલ વિગતો વિગતવાર, આ પ્રશ્ન 'ગોળાકાર ગોળાઓ' અને તેમના સ્પર્શક ગઠ્ઠોને લાગુ પડે છેઃ હકીકતમાં તમામ વિદેશી ગોળાઓમાં સમરૂપ સ્પર્શક ગઠ્ઠો હોવાથી, રેડોન-હર્વિટ્ઝ સંખ્યાઓ કોઈપણ સમસ્થાનિક ગોળાના સ્પર્શક ગઠ્ઠોના રેખીય સ્વતંત્ર વિભાગોની મહત્તમ સંખ્યા નક્કી કરે છે. ઓડના કેસની કાળજી પોઇનકેરે-હોપ્ફ ઇન્ડેક્સ થીયરમ દ્વારા લેવામાં આવે છે (જુઓ હેરી બોલ થીયરમ), તેથી કેસ ઇવન તેનું વિસ્તરણ છે. એડમ્સે દર્શાવ્યું હતું કે ()-ગોળા પર સતત (સરળ અહીં અલગ નહીં હોય) બિંદુ મુજબ રેખીય-સ્વતંત્ર વેક્ટર ક્ષેત્રોની મહત્તમ સંખ્યા બરાબર છે. ક્ષેત્રોનું નિર્માણ વાસ્તવિક ક્લિફોર્ડ આલ્જેબ્રા સાથે સંબંધિત છે, જે સામયિક મોડ્યુલો 8 સાથેનો એક સિદ્ધાંત છે જે અહીં પણ દેખાય છે. ગ્રામ-શ્મિટ પ્રક્રિયા દ્વારા, (બિંદુ મુજબ) રેખીય સ્વતંત્રતા અથવા દરેક બિંદુ પર ઓર્થોનોર્મલ આધાર આપતા ક્ષેત્રો માટે પૂછવું સમાન છે. રેડોન-હર્વિટ્ઝ સંખ્યાઓ જોહાન રેડોન (1922) અને એડોલ્ફ હર્વિટ્ઝ (1923) ના અગાઉના કાર્યમાં દ્વિઘાત સ્વરૂપો પર હર્વિટ્ઝ સમસ્યા પર જોવા મળે છે. વિષમ સંખ્યા અને બેની ઘાતના ગુણાકાર તરીકે લખવા માટે, લખો. પછી. (થી) ની પ્રથમ કેટલીક કિંમતો છેઃ 2,4,2,8,2,4,2,9,2,4,2,8,2,4,2,10,. વિચિત્ર માટે, વિધેયની કિંમત એક છે. આ સંખ્યાઓ અન્ય સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં પણ જોવા મળે છે. મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતમાં, રેડોન-હર્વિટ્ઝ સંખ્યા વાસ્તવિક મેટ્રિક્સના રેખીય પેટા જગ્યાના મહત્તમ કદની ગણતરી કરે છે, જેના માટે દરેક બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ સમાનતા પરિવર્તન છે, એટલે કે. ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ અને સ્કેલર મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન. દ્વિઘાત સ્વરૂપોમાં, હર્વિટ્ઝ સમસ્યા દ્વિઘાત સ્વરૂપો વચ્ચે ગુણાકાર ઓળખ માટે પૂછે છે. શાસ્ત્રીય પરિણામોની 1952માં બેનો એકમેન દ્વારા સમીક્ષા કરવામાં આવી હતી. તેઓ હવે કોડિંગ સિદ્ધાંત અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર સહિતના ક્ષેત્રોમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. સંદર્ભો વિભેદક ટોપોલોજી ટોપોલોજીમાં પ્રમેયો