Degree of a continuous mapping
ટોપોલોજીમાં, સમાન પરિમાણના બે કોમ્પેક્ટ ઓરિએન્ટેડ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના સતત મેપિંગની ડિગ્રી એ એક સંખ્યા છે જે મેપિંગ હેઠળ ડોમેન મેનીફોલ્ડ શ્રેણી મેનીફોલ્ડની આસપાસ કેટલી વાર લપેટે છે તે રજૂ કરે છે. ડિગ્રી હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે, પરંતુ દિશાઓના આધારે તે હકારાત્મક કે નકારાત્મક હોઈ શકે છે. નકશાની માત્રાને સૌપ્રથમ બ્રોવર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે ડિગ્રી એ હોમોટોપી અપરિવર્તનશીલ (હોમોટોપીઝમાં અપરિવર્તનશીલ) છે, અને તેનો ઉપયોગ બ્રોવર નિશ્ચિત બિંદુ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. આધુનિક ગણિતમાં, નકશાની ડિગ્રી ટોપોલોજી અને ભૂમિતિમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સતત નકશાની ડિગ્રી (દાખલા તરીકે અવકાશમાંથી કોઈ ક્રમના પરિમાણ સમૂહનો નકશો) એ ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ નંબરનું એક ઉદાહરણ છે. Sn થી Sn સુધીની ડિગ્રીની વ્યાખ્યાઓ સૌથી સરળ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસ એ છે કે-ગોળાથી પોતાની તરફ સતત નકશાની ડિગ્રી (આ કિસ્સામાં, આને વળાંક સંખ્યા કહેવામાં આવે છે): ચાલો સતત નકશો બનીએ. પછી હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે, જ્યાં th હોમોલોજી જૂથ છે. એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે, આપણે જોઈએ છીએ કે તે અમુક નિશ્ચિત માટે સ્વરૂપનું હોવું જોઈએ. આને પછી ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે બીજગણિત ટોપોલોજી ચાલો X અને Y બંધ જોડાયેલા લક્ષી m-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સ હોય. મેનીફોલ્ડની ઓરિએન્ટેબિલિટી સૂચવે છે કે તેનું ટોચનું હોમોલોજી જૂથ Z માટે આઇસોમોર્ફિક છે. અભિગમ પસંદ કરવાનો અર્થ એ છે કે ટોચના સમરૂપતા જૂથનું જનરેટર પસંદ કરવું. સતત નકશો f: X → Y એ હોમોમોર્ફિઝમ f ≤ ને Hm (X) થી Hm (Y) સુધી પ્રેરિત કરે છે. ચાલો [X], રેસ્પ. [વાય] એ એચએમ (એક્સ), રેસ્પનું પસંદ કરેલ જનરેટર છે. એચએમ (વાય) (અથવા એક્સ, વાયનો મૂળભૂત વર્ગ). પછી f ની ડિગ્રીને f * ([X]) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો Y માં y અને f − 1 (y) એક મર્યાદિત સમૂહ હોય, તો f ની ડિગ્રીની ગણતરી f − 1 (y) માં દરેક બિંદુ પર X ના m-th સ્થાનિક સમરૂપતા જૂથોને ધ્યાનમાં લઈને કરી શકાય છે. વિભેદક ટોપોલોજી વિભેદક ટોપોલોજીની ભાષામાં, સરળ નકશાની માત્રાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ જો f એક સરળ નકશો હોય, જેનું ડોમેન કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ હોય અને p એ fનું નિયમિત મૂલ્ય હોય, તો મર્યાદિત સમૂહને ધ્યાનમાં લો. ડિફિયોમોર્ફિઝમ્સ ક્યાં તો ઓરિએન્ટેશન પ્રિઝર્વેશન અથવા ઓરિએન્ટેશન રિવર્સિંગ હોઈ શકે છે. ધારો કે r એ બિંદુઓની સંખ્યા xi છે જેના પર f ઓરિએન્ટેશન પ્રિઝર્વેશન છે અને s એ સંખ્યા છે જેના પર f ઓરિએન્ટેશન રિવર્સિંગ છે. જ્યારે f નો કોડોમેન જોડાયેલો હોય, ત્યારે r − s સંખ્યા p ની પસંદગીથી સ્વતંત્ર હોય છે (જોકે n નથી!) અને એક f ની ડિગ્રીને r − s તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ વ્યાખ્યા ઉપરની બીજગણિત ટોપોલોજિકલ વ્યાખ્યા સાથે મેળ ખાય છે. આ જ વ્યાખ્યા બાઉન્ડ્રી સાથે કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ માટે કામ કરે છે પરંતુ પછી f એ X ની બાઉન્ડ્રીને Y ની બાઉન્ડ્રી પર મોકલવી જોઈએ. કોઈ પણ ડિગ્રી મોડ્યુલો 2 (ડી. જી. 2 (એફ)) ને પહેલાની જેમ જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે પરંતુ ઝેડ 2 સમરૂપતામાં મૂળભૂત વર્ગ લઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં ડીગ2 (એફ) એ ઝેડ2 (બે ઘટકો સાથેનું ક્ષેત્ર) નું એક તત્વ છે, મેનીફોલ્ડ્સને દિશા નિર્દેશિત કરવાની જરૂર નથી અને જો એન એ પહેલાની જેમ પીની પૂર્વચિત્રોની સંખ્યા હોય તો ડીગ2 (એફ) એ એન મોડ્યુલો 2 છે. વિભેદક સ્વરૂપોનું એકીકરણ (સી-) એકવચન સમરૂપતા અને ડી રામ સમરૂપતા વચ્ચેની જોડી આપે છેઃ, જ્યાં એક ચક્ર દ્વારા રજૂ કરાયેલ સમરૂપતા વર્ગ અને ડી રામ સમરૂપતા વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું બંધ સ્વરૂપ છે. ઓરિએન્ટેબલ m-મેનિફોલ્ડ્સ વચ્ચેના સરળ નકશા f: X → Y માટે, એક હોય છે જ્યાં અનુક્રમે સાંકળો અને સ્વરૂપો પર f િ઱ અને f િ઱ પ્રેરિત નકશા હોય છે. આપણી પાસે Y પર કોઈપણ m-સ્વરૂપ માટે ω છે, કારણ કે f ≤ [X] = ડિગ f· [Y] છે. બંધ પ્રદેશમાંથી નકશા જો એક બંધાયેલ પ્રદેશ હોય, તો સરળ, અને નું નિયમિત મૂલ્ય હોય, તો પછી ડિગ્રીને સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં જેકબિયન મેટ્રિક્સ છે. ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સ્વાભાવિક રીતે બિન-નિયમિત મૂલ્યો માટે વિસ્તૃત થઈ શકે છે જેમ કે જ્યાં નજીકનું બિંદુ હોય. ડિગ્રી નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ જો, તો તે અસ્તિત્વમાં છે. બધા માટે. વિઘટન ગુણધર્મઃ જો અને ના અસંબદ્ધ ભાગો હોય. હોમોટોપી ઇનવેરિયન્સઃ જો અને હોમોટૉપી દ્વારા હોમોટૉપી સમકક્ષ હોય તો અને, પછી કાર્ય સ્થાનિક રીતે સ્થિર હોય છે આ ગુણધર્મો ડિગ્રીને વિશિષ્ટ રીતે વર્ગીકૃત કરે છે અને ડિગ્રીને તેમના દ્વારા સ્વયંસિદ્ધ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. તેવી જ રીતે, આપણે સીમા સાથે કોમ્પેક્ટ ઓરિએન્ટેડ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેના નકશાની માત્રાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. ગુણધર્મો નકશાની ડિગ્રી એ હોમોટૉપી અપરિવર્તનશીલ છે; વધુમાં ગોળાથી પોતાના સુધી સતત નકશા માટે તે સંપૂર્ણ હોમોટૉપી અપરિવર્તનશીલ છે, એટલે કે. બે નકશા હોમોટોપિક છે જો અને માત્ર જો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ડિગ્રી એ અને વચ્ચેની સમરૂપતા છે. વધુમાં, હોપ્ફ પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ-પરિમાણીય બંધ લક્ષી મેનીફોલ્ડ M માટે, બે નકશા હોમોટોપિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો n-ગોળાનો સ્વ-નકશો n + 1-દડાથી n-ગોળા સુધીના નકશા સુધી વિસ્તારી શકાય જો અને માત્ર જો. (અહીં કાર્ય F એ અર્થમાં f ને વિસ્તરે છે કે f એ F નું પ્રતિબંધ છે.) ડિગ્રીની ગણતરી એન-ડાયમેન્શનલ બોક્સ બી (એન અંતરાલોનું ગુણાકાર) થી સતત કાર્ય એફના ટોપોલોજિકલ ડિગ્રી ડીગ (એફ, બી, 0) ની ગણતરી કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે, જ્યાં એફ અંકગણિત અભિવ્યક્તિઓના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે. અલ્ગોરિધમનો અમલ ટોપડેગમાં ઉપલબ્ધ છે-ડિગ્રી (એલજીપીએલ-3) ની ગણતરી માટે એક સોફ્ટવેર સાધન. કવરિંગ નંબર પણ જુઓ, જે સમાન નામના શબ્દ છે. નોંધ લો કે તે વળાંકની સંખ્યાને સામાન્ય બનાવતી નથી પરંતુ દડાઓની ઘનતા (પોલીટોપ) દ્વારા સમૂહના આવરણનું વર્ણન કરે છે, જે પોલિહેડ્રલ એનાલોગ ટોપોલોજિકલ ડિગ્રી થિયરી નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ચાલો રેડ ટી. ઝિવાલ્જેવિક દ્વારા મેપિંગ ડિગ્રી સાથે પરિચિત થઈએ. બીજગણિત ટોપોલોજી વિભેદક ટોપોલોજી સતત કાર્યોનો સિદ્ધાંત