Indecomposable continuum
પોઇન્ટ-સેટ ટોપોલોજીમાં, એક બિનસંયોજિત સાતત્ય એ એક સાતત્ય છે જે બિનસંયોજિત છે, એટલે કે. જેને તેના કોઈપણ બે યોગ્ય ઉપખંડના જોડાણ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતું નથી. 1910માં, એલ. ઇ. જે. બ્રોવર એ પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમણે અવિભાજ્ય સાતત્યનું વર્ણન કર્યું હતું. ટોપોલોજિસ્ટ્સ દ્વારા પ્રતિકૂળ ઉદાહરણોના સ્ત્રોત તરીકે બિનસંયોજિત સાતત્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. તેઓ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં પણ જોવા મળે છે. વ્યાખ્યાઓ સાતત્ય એ બિન-ખાલી કોમ્પેક્ટ જોડાયેલ મેટ્રિક જગ્યા છે. ચાપ, એન-ગોળા અને હિલ્બર્ટ ક્યુબ પાથ-કનેક્ટેડ સાતત્યના ઉદાહરણો છે; ટોપોલોજિસ્ટનું સાઇન કર્વ એ નોન-પાથ-કનેક્ટેડ સાતત્યનું ઉદાહરણ છે, વોર્સો વર્તુળ એ પાથ-કનેક્ટેડ સાતત્ય છે જે સ્થાનિક રીતે પાથ-કનેક્ટેડ નથી. સાતત્યનું ઉપખંડ એ એક બંધ, જોડાયેલ ઉપગણ છે. જો જગ્યા એક બિંદુની બરાબર ન હોય તો તે બિન-ઉત્પન્ન થાય છે. જો ત્યાં બે ઉપખંડો અસ્તિત્વમાં હોય અને જેમ કે તે અને પરંતુ હોય તો સાતત્ય વિઘટનક્ષમ છે. તે તેને અનુસરે છે અને બિનઉત્પાદિત છે. એક સાતત્ય કે જે વિઘટનક્ષમ નથી તે એક અવિભાજ્ય સાતત્ય છે. એક સાતત્ય જેમાં દરેક ઉપખંડ બિનસંયોજનક્ષમ હોય છે તેને વારસાગત રીતે બિનસંયોજનક્ષમ કહેવામાં આવે છે. અવિભાજ્ય સાતત્યનું સંયોજન એ મહત્તમ સમૂહ છે જેમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ તેના અમુક યોગ્ય ઉપખંડમાં આવેલા હોય છે. એક સાતત્ય અને જો વચ્ચે ઈરીડ્યુસિબલ છે અને કોઈ યોગ્ય ઉપખંડમાં બંને બિંદુઓ નથી. બિન-વ્યુત્પન્ન અભેદ્ય મેટ્રિક સાતત્ય માટે, એક અગણિત સબસેટ અસ્તિત્વમાં છે જે કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે ઈરીડ્યુસિબલ છે. ઇતિહાસ 1910માં એલ. ઇ. જે. બ્રોવરે એક અવિભાજ્ય સાતત્યનું વર્ણન કર્યું હતું જેણે આર્થર મોરિટ્ઝ સ્કોનફ્લાય દ્વારા કરવામાં આવેલા અનુમાનને નકારી કાઢ્યું હતું કે, જો તે ખુલ્લા હોય અને જોડાયેલા હોય, તો બે બંધ, જોડાયેલા યોગ્ય ઉપગણોનું જોડાણ હોવું જોઈએ. ઝિગ્મન્ટ જેનિસઝેવ્સ્કીએ આવા વધુ બિનસંયોજિત સાતત્યનું વર્ણન કર્યું છે, જેમાં ડોલના હેન્ડલના સંસ્કરણનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, જેનિસઝેવ્સ્કીએ આ સાતત્યની અપરિવર્તનીયતા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું. 1917માં કુનિઝો યોનિયામાએ વાડાના તળાવો (ટેકો વાડાના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે) નું વર્ણન કર્યું હતું, જેની સામાન્ય સીમા અવિભાજ્ય છે. 1920ના દાયકામાં વોર્સો સ્કૂલ ઓફ મેથેમેટિક્સ દ્વારા ઇન્ડીકમ્પોઝેબલ કન્ટિન્યુઆનો અભ્યાસ પેથોલોજીકલ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણોને બદલે તેમના પોતાના ખાતર કરવામાં આવ્યો હતો. સ્ટીફન મઝુરકીવિઝ એ પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમણે બિન-સંયોજનક્ષમતાની વ્યાખ્યા આપી હતી. 1922માં બ્રોનિસ્લો નાસ્ટરે સ્યુડો-આર્કનું વર્ણન કર્યું હતું, જે વારસાગત રીતે બિનસંયોજનક્ષમ સાતત્યનું પ્રથમ ઉદાહરણ છે. બકેટ હેન્ડલ ઉદાહરણ તરીકે બિનસંયોજિત સાતત્ય ઘણીવાર માળખાગત આંતરછેદોના ક્રમની મર્યાદા તરીકે અથવા (વધુ સામાન્ય રીતે) સાતત્યના ક્રમની વ્યસ્ત મર્યાદા તરીકે બનાવવામાં આવે છે. બકીથેન્ડલ, અથવા બ્રોવર-જેનિસેવ્સ્કી-નેસ્ટર સાતત્યને ઘણીવાર બિનસંયોજિત સાતત્યનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ માનવામાં આવે છે, અને તેને આમ બનાવી શકાય છે (ઉપર જમણી બાજુ જુઓ). વૈકલ્પિક રીતે, સમતલમાં-અક્ષના અંતરાલ પર પ્રક્ષેપિત કેન્ટોર ત્રિમાસિક સમૂહને લો. ધારો કે કેન્દ્ર સાથે અને અંતિમ બિંદુઓ સાથે (જે આ બિંદુ વિશે સપ્રમાણ હોય છે)-અક્ષની ઉપર અર્ધવર્તુળોનો પરિવાર હોવો જોઈએ. ચાલો અંતરાલના મધ્યબિંદુને કેન્દ્રમાં રાખીને અને અંતિમ બિંદુઓને અંદર રાખીને-અક્ષની નીચે અર્ધવર્તુળોનો પરિવાર બનીએ. ચાલો અંતરાલના મધ્યબિંદુને કેન્દ્રમાં રાખીને અને અંતિમ બિંદુઓને અંદર રાખીને-અક્ષની નીચે અર્ધવર્તુળોનો પરિવાર બનીએ. પછી આવા બધાનું જોડાણ બકેટ હેન્ડલ છે. બકેટ હેન્ડલ કોઈ બોરેલ ટ્રાન્સવર્સલ સ્વીકારતું નથી, એટલે કે દરેક સંયોજનમાંથી બરાબર એક બિંદુ ધરાવતો કોઈ બોરેલ સમૂહ નથી. ગુણધર્મો એક અર્થમાં, 'મોટા ભાગના' સતત અવિભાજ્ય છે. ચાલો મેટ્રિક સાથે એક-કોષ, બધા બિન-ખાલી બંધ ઉપગણોનો સમૂહ, અને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હૌસડોર્ફ મેટ્રિકથી સજ્જ તમામ જોડાયેલા સભ્યોની અતિસંવેદનશીલતા. પછી નોનડિજનરેટ ઇન્ડીકોમ્પોઝેબલ સબકૉન્ટિન્યુઆનો સમૂહ ગાઢ હોય છે. ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં 1932માં જ્યોર્જ બિરખોફે તેમના "નોંધપાત્ર બંધ વળાંક" નું વર્ણન કર્યું હતું, જે એન્યુલસનું હોમોમોર્ફિઝમ હતું જેમાં અપરિવર્તનશીલ સાતત્ય હતું. મેરી ચાર્પેંટિયરે દર્શાવ્યું હતું કે આ સાતત્ય બિન-સંયોજનક્ષમ હતું, જે બિન-સંયોજનક્ષમ સાતત્યથી ગતિશીલ પ્રણાલીઓ સુધીની પ્રથમ કડી હતી. ચોક્કસ સ્મેલ હોર્સશૂ નકશાનો અપરિવર્તનશીલ સમૂહ એ બાલ્ટી હેન્ડલ છે. માર્સી બાર્જ અને અન્યોએ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં અવિભાજ્ય સાતત્યનો વ્યાપક અભ્યાસ કર્યો છે. આ પણ જુઓ ઇન્ડીકમ્પોઝેબિલિટી (રચનાત્મક ગણિત) લેક્સ ઓફ વાડા, પ્લેનના ત્રણ ખુલ્લા સબસેટ, જેની સીમા એક ઇન્ડીકમ્પોઝેબલ સાતત્ય સોલેનોઇડ સિએર્પિન્સ્કી કાર્પેટ સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ બ્રોવરના તેમના ઇન્ડીકમ્પોઝેબલ સાતત્યના ચિત્રને સમજાવે છે જે જર્નલના આગળના કવર પર દેખાય છે. સાતત્ય સિદ્ધાંત