Proofs of quadratic reciprocity
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, પાયથાગોરિયન પ્રમેયની જેમ દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના કાયદાએ અસામાન્ય રીતે મોટી સંખ્યામાં પુરાવાઓ આપ્યા છે. દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના કાયદાના સેંકડો પુરાવા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. પુરાવા સારાંશ પ્રાથમિક સંયુક્ત પુરાવાઓમાં, બે એવા છે જે બેવડી ગણતરીના પ્રકારોને લાગુ કરે છે. ગોટહોલ્ડ આઈઝેનસ્ટીન દ્વારા એક જાળી બિંદુઓની ગણતરી કરે છે. બીજું ઝોલોટારેવના લેમ્માને લાગુ કરે છે, જે ચાઇનીઝ રિમેન્ડર થીયરમ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને ક્રમચયની સહીની ગણતરી કરે છે. સૌથી ટૂંકો જાણીતો પુરાવો પણ બેવડી ગણતરીના સરળ સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે બેવડું ગણતરી મોડ્યુલો એક નિશ્ચિત અવિભાજ્ય છે. આઇઝેનસ્ટીનનો પુરાવો આઇઝેનસ્ટીનનો દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાનો પુરાવો ગૌસના ત્રીજા પુરાવોની સરળીકરણ છે. તે વધુ ભૌમિતિક રીતે સાહજિક છે અને તેમાં ઓછી તકનીકી હેરફેરની જરૂર પડે છે. પ્રસ્થાનનો મુદ્દો "આઇઝેનસ્ટીનનો લેમ્મા" છે, જે જણાવે છે કે વિશિષ્ટ વિષમ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે p, q, જ્યાં ફ્લોર ફંક્શન (x કરતા ઓછો અથવા બરાબરનો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક) સૂચવે છે, અને જ્યાં સરવાળો સમ પૂર્ણાંકો u = 2,4,6,, p − 1 પર લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ પરિણામ ગૌસના લેમ્મા જેવું જ છે, અને તે સમાન રીતે સાબિત કરી શકાય છે (નીચે આપેલો પુરાવો). (q/p) ની આ રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને, મુખ્ય દલીલ ખૂબ જ ભવ્ય છે. સરવાળો નીચેની આકૃતિમાં ત્રિકોણ ABCના આંતરિક ભાગમાં સમ x-સંકલન સાથે જાળી બિંદુઓની સંખ્યાની ગણતરી કરે છેઃ કારણ કે દરેક સ્તંભમાં સમાન સંખ્યામાં બિંદુઓ હોય છે (એટલે કે q−1 બિંદુઓ), BCYX પ્રદેશમાં આવા જાળી બિંદુઓની સંખ્યા CZY પ્રદેશમાં આવા બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી જ મોડ્યુલો 2 છેઃ પછી બંને અક્ષોમાં આકૃતિને પલટી મારીને, આપણે જોઈએ છીએ કે CZYની અંદર સમ x-સંકલન ધરાવતા બિંદુઓની સંખ્યા એ AXYની અંદર વિષમ x-સંકલન ધરાવતા બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી જ છે. તેની નોંધ લઈને આને ગાણિતિક રીતે ન્યાયી ઠેરવી શકાય છે. નિષ્કર્ષ એ છે કે જ્યાં μ એ AXY ના આંતરિક ભાગમાં જાળી બિંદુઓની કુલ સંખ્યા છે. p અને q ને બદલીને, એ જ દલીલ દર્શાવે છે કે જ્યાં ν એ WIA ના આંતરિક ભાગમાં જાળી બિંદુઓની સંખ્યા છે. કારણ કે રેખા AY પર કોઈ જાળી બિંદુઓ નથી (કારણ કે p અને q પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે), અને લંબચોરસમાં બિંદુઓની કુલ સંખ્યા WYXA હોવાથી આપણે આઇઝેનસ્ટીનના લેમ્માનો પુરાવો મેળવીએ છીએ. સંખ્યાઓ (−1) r (u) r (u), જેને ફરીથી ઓછામાં ઓછા હકારાત્મક અવશેષો મોડ્યુલો p તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે બધા સરખા છે (આપણા ચાલી રહેલા ઉદાહરણમાં, તેઓ 8,6,2,10,4 છે.) વધુમાં, તે બધા અલગ છે, કારણ કે જો (−1) r (u) r (u) ષ્ણ (−1) r (t) r (t) (મૉડ p) હોય, તો આપણે u ષ્ણ ± t (મોડ p) મેળવવા માટે q વડે ભાગાકાર કરી શકીએ છીએ. આ u ષ્ણ t (મોડ p) ને દબાણ કરે છે, કારણ કે u અને t બંને સમ છે, જ્યારે p વિષમ છે. તેમાંના બરાબર (p − 1)/2 હોવાથી અને તેઓ અલગ હોવાથી, તેઓ માત્ર સમ પૂર્ણાંકો 2,4,., p − 1 ની પુનઃગોઠવણી હોવા જોઈએ. તેમને એકસાથે ગુણવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ કે બંને બાજુએ 2,4,., p − 1 દ્વારા ક્રમિક રીતે ભાગાકાર કરવો (જે સ્વીકાર્ય છે કારણ કે તેમાંથી કોઈ પણ p દ્વારા વિભાજીત થતું નથી) અને આપણી પાસે ફરીથી ગોઠવણી છે. છેવટે આ દર્શાવે છે કે આપણે સમાપ્ત થઈ ગયા છીએ કારણ કે ડાબી બાજુ (q/p) માટે માત્ર એક વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિ છે. લેમ્મામાં પરિશિષ્ટ આ લેમ્મા અનિવાર્યપણે જણાવે છે કે બમણી થયા પછી ઓછામાં ઓછા અવશેષોની સંખ્યા જે વિચિત્ર હોય તે (q/p) નું મૂલ્ય આપે છે. આ ગૌસના લેમ્માથી સરળતાથી અનુસરે છે. ઉપરાંત, સૂચવે છે કે અને r (u) કાં તો એકરૂપ મોડ્યુલો 2 છે, અથવા અસંગત છે, જે ફક્ત u ની સમાનતા પર આધારિત છે. આનો અર્થ એ છે કે અવશેષો (માં) એકરૂપ છે, અને તેથી ક્યાં. ઉદાહરણ તરીકે, અગાઉના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, અવશેષો છે અને ફ્લોર ફંક્શન આપે છે. એકરૂપતાની પેટર્ન છે. ચતુર્ભુજ ગૌસ રકમનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો ગૌસ રકમનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ પારસ્પરિકતાનો પુરાવો એ વધુ સામાન્ય અને ક્લાસિક પુરાવાઓમાંનો એક છે. આ પુરાવાઓ બે અલગ અલગ રીતે એક જ મૂલ્યની ગણતરીઓની સરખામણી કરીને કામ કરે છે, એક યુલરના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને અને બીજો દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને. યુલરના માપદંડનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તેના ઉદાહરણ તરીકે, આપણે તેનો ઉપયોગ વિષમ અવિભાજ્ય p માટે નિર્ધારિત કરવાના પ્રથમ પૂરક કેસનો ઝડપી પુરાવો આપવા માટે કરી શકીએ છીએઃ યુલરના માપદંડ દ્વારા, પરંતુ સમાનતાની બંને બાજુઓ ±1 અને p વિષમ હોવાથી, આપણે તે અનુમાન કરી શકીએ છીએ. બીજો પૂરક કેસ ચાલો, એકતા અને સમૂહનું આદિમ 8મું મૂળ છે. ત્યારથી અને આપણે તે જોઈએ છીએ. કારણ કે તે બીજગણિત પૂર્ણાંક છે, જો p એક વિષમ અવિભાજ્ય હોય તો તેના વિશે વાત કરવી અર્થપૂર્ણ છે. (ઔપચારિક રીતે આપણે p દ્વારા પેદા થયેલ આદર્શ સાથે બીજગણિત પૂર્ણાંકોને ફેક્ટરીંગ કરીને રચાયેલી પરિવર્તનીય રીંગને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. કારણ કે તે બીજગણિત પૂર્ણાંક નથી, 1,2,., p એ તેના અલગ ઘટકો છે.) યુલરના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને, તે અનુસરે છે કે આપણે પછી કહી શકીએ કે પરંતુ આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પણ ગણતરી કરી શકીએ છીએ. કારણ કે દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ક્રોસ ટર્મ્સમાં p ના પરિબળો હોય છે, આપણે તે શોધી કાઢીએ છીએ. આપણે આને બે કિસ્સાઓમાં વહેંચીને આનું વધુ ચોક્કસ મૂલ્યાંકન કરી શકીએ છીએ. . પ્રાઇમ મોડ્યુલો 8 માટે આ એકમાત્ર વિકલ્પો છે અને આ બંને કેસોની ગણતરી ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આપણે આને બધા વિષમ અવિભાજ્ય p માટે સંક્ષિપ્તમાં લખી શકીએ છીએ કારણ કે આ બે સમીકરણોને જોડીને અને તેના દ્વારા ગુણાકાર કરીને આપણે તે શોધી શકીએ છીએ. બંને અને ±1 અને 2 ઇન્વર્ટિબલ મોડ્યુલો p હોવાથી, આપણે નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ કે સામાન્ય કેસ સામાન્ય પુરાવો માટેનો વિચાર ઉપરોક્ત પૂરક કેસને અનુસરે છેઃ એક બીજગણિત પૂર્ણાંક શોધો જે કોઈક રીતે p માટે લિજેન્ડર પ્રતીકોને એન્કોડ કરે છે, પછી બે અલગ અલગ રીતે આ બીજગણિત પૂર્ણાંક મોડ્યુલો q ની q મી શક્તિની ગણતરી કરીને લિજેન્ડર પ્રતીકો વચ્ચેનો સંબંધ શોધો, એક યુલરના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને અને બીજો દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને. ચાલો જ્યાં એકતાનું આદિમ pth મૂળ છે. આ એક ચતુર્ભુજ ગૌસનો સરવાળો છે. આ ગૌસની રકમનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે ક્યાં. આને આગામી સાબિતીના સંદર્ભમાં મૂકવા માટે, ગૌસ સરવાળાના વ્યક્તિગત ઘટકો સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રમાં છે પરંતુ ઉપરોક્ત સૂત્ર દર્શાવે છે કે સરવાળો પોતે L માં સમાયેલ અનન્ય દ્વિઘાત ક્ષેત્રનું જનરેટર છે. આ મૂળભૂત સૂત્ર અને યુલરના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે તેથી દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે એ પણ શોધી કાઢીએ છીએ કે, જો આપણે a ને ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ માનીએ, તો આપણે આ સરવાળાને અવેજનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ, જે સરવાળાની શ્રેણીને અસર કરતું નથી. ત્યારથી, આપણે પછી આ બે સમીકરણો માટે લખી શકીએ છીએ, અને દ્વારા ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ કારણ કે ઇન્વર્ટિબલ મોડ્યુલો q છે, અને લિજેન્ડ્રે પ્રતીકો કાં તો ±1 છે, પછી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ કે બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો અહીં રજૂ કરેલ પુરાવો કોઈ પણ રીતે સૌથી સરળ જાણીતો નથી; જો કે, તે એકદમ ઊંડો છે, તે અર્થમાં કે તે આર્ટિન પારસ્પરિકતાના કેટલાક વિચારોને પ્રેરિત કરે છે. સાયક્લોટોમિક ફિલ્ડ સેટઅપ ધારો કે p એ ઓડ પ્રાઈમ છે. ક્રિયા સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રની અંદર થાય છે જ્યાં ζp એ એકતાનું આદિમ pth મૂળ છે. સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત આપણને જાણ કરે છે કે એક કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમ છે જે ઓટોમોર્ફિઝમ σa તત્વને સંતોષ આપે છે. ખાસ કરીને, આ આઇસોમોર્ફિઝમ ઇન્જેક્ટિવ છે કારણ કે ક્ષેત્રનું ગુણાકાર જૂથ એક ચક્રીય જૂથ છેઃ હવે G ના તત્વોના વર્ગના પેટા જૂથ H ને ધ્યાનમાં લો. G ચક્રીય હોવાથી, H એ G માં અનુક્રમણિકા 2 ધરાવે છે, તેથી ગેલોઇસ પત્રવ્યવહાર હેઠળ H ને અનુરૂપ પેટાક્ષેત્ર એ Q નું દ્વિઘાત વિસ્તરણ હોવું જોઈએ. (હકીકતમાં તે એલમાં સમાયેલ ક્યૂનું અનન્ય વર્ગાત્મક વિસ્તરણ છે) ગૌસીયન સમયગાળો સિદ્ધાંત નક્કી કરે છે કે તે કયું છે; તે ક્યાં છે, આ સમયે આપણે આપણા માળખામાંથી ઉભરી રહેલા વર્ગાત્મક પારસ્પરિકતાનો સંકેત જોવાનું શરૂ કરીએ છીએ. એક તરફ, H ની છબીમાં ચોક્કસપણે (બિન-શૂન્ય) વર્ગાત્મક અવશેષો મોડ્યુલો p નો સમાવેશ થાય છે. બીજી તરફ, H એ p (અથવા સંભવતઃ −p) ના વર્ગમૂળને લેવાના પ્રયાસ સાથે સંબંધિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો હવે q એ અવિભાજ્ય છે (p થી અલગ), તો આપણે બતાવ્યું છે કે ફ્રોબેનિયસ ઓટોમોર્ફિઝમ પૂર્ણાંકોની વીંટીમાં, q પર પડેલો કોઈપણ અનરેમિફાઇડ પ્રાઇમ આઇડિયલ β પસંદ કરો, અને β સાથે સંકળાયેલ ફ્રોબેનિયસ ઓટોમોર્ફિઝમ હોવો જોઈએ; તેનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ એ છે કે (આવા ફ્રોબેનિયસ તત્વનું અસ્તિત્વ બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત મશીનરી પર આધાર રાખે છે.) તે વિશેની મુખ્ય હકીકત એ છે કે L ના કોઈપણ પેટાક્ષેત્ર K માટે, ખરેખર, δ એ β ની નીચે (અને તેથી q ની ઉપર) OK નો કોઈપણ આદર્શ હોવો જોઈએ. પછી, કોઈપણ માટે, આપણે જોઈએ છીએ કે તે δ માટે ફ્રોબેનિયસ છે. સંબંધિત પ્રમાણભૂત પરિણામ એ છે કે તેનો ક્રમ અનુરૂપ જડતા ડિગ્રીની બરાબર છે; એટલે કે, ડાબી બાજુ 1 ની બરાબર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો φ K ને નિશ્ચિત કરે, અને જમણી બાજુ એકની બરાબર છે જો અને માત્ર q સંપૂર્ણપણે K માં વિભાજિત થાય, તો આપણે પૂર્ણ કરી લઈએ છીએ. હવે, એકતાના pth મૂળ અલગ મોડ્યુલો β (એટલે કે. બહુપદી Xp−1 લાક્ષણિકતા q) માં અલગ કરી શકાય તેવું છે, આપણી પાસે તે હોવું જોઈએ, જે અગાઉ વ્યાખ્યાયિત ઓટોમોર્ફિઝમ σq સાથે સુસંગત છે. K ને દ્વિઘાત ક્ષેત્ર તરીકે લઈએ જેમાં આપણને રસ છે, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ સાબિતી પૂર્ણ કરીને છેવટે આપણે બતાવવું જોઈએ કે એકવાર આપણે આ કરી લીધા પછી, દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાનો નિયમ તરત જ બહાર આવે છે. છેલ્લી સમાનતા બતાવવા માટે, ધારો કે પહેલા, આ કિસ્સામાં, કેટલાક પૂર્ણાંક x (q દ્વારા વિભાજ્ય નથી) છે જે અમુક પૂર્ણાંક c માટે કહે છે. ચાલો અને K ના આદર્શને ધ્યાનમાં લઈએ. તે ચોક્કસપણે મુખ્ય આદર્શ (q) ને વિભાજિત કરે છે. તે (q) ની બરાબર ન હોઈ શકે, કારણ કે તે q દ્વારા વિભાજ્ય નથી. તે એકમ આદર્શ ન હોઈ શકે, કારણ કે તે પછી q દ્વારા વિભાજ્ય છે, જે ફરીથી અશક્ય છે. તેથી (q) એ K માં વિભાજિત થવું જોઈએ. તેનાથી વિપરીત, ધારો કે (q) વિભાજિત થાય છે, અને ધારો કે β એ q ની ઉપર K નો અવિભાજ્ય છે. પછી આપણે કેટલાક પસંદ કરી શકીએ છીએ ખરેખર, કારણ કે વર્ગાત્મક ક્ષેત્રોનો પ્રાથમિક સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે K ના પૂર્ણાંકોની વીંટી ચોક્કસપણે એવી છે કે a અને b ના છેદ 2 ની બરાબર છે. q ષ્ણાંક 2 હોવાથી, આપણે સુરક્ષિત રીતે a અને b ને 2 વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, અને ધારીએ છીએ કે જ્યાં હવે a અને b Z માં છે. જો કે, q એ b ને વિભાજીત કરી શકતો નથી, ત્યારથી પણ q એ a ને વિભાજીત કરે છે, જે આપણી પસંદગીની વિરોધાભાસી છે. પ્રાથમિક સંખ્યા સિદ્ધાંત પરના દરેક પાઠ્યપુસ્તક (અને બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત પરના ઘણા બધા) પાસે દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાનો પુરાવો છે. બે ખાસ કરીને નોંધપાત્ર છેઃ તેમાં દ્વિઘાત અને ઉચ્ચ-શક્તિ પારસ્પરિકતા કાયદાઓ અને તેમના ઇતિહાસની ચર્ચા બંનેના ઘણા પુરાવા (કેટલાક અભ્યાસોમાં) છે. તેની વિશાળ ગ્રંથસૂચિમાં 196 વિવિધ પ્રકાશિત પુરાવાઓ માટેના સાહિત્યના સંદર્ભોનો સમાવેશ થાય છે. તેમાં દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના ઘણા પુરાવાઓ પણ છે (અને ઘણી કસરતો), અને ઘન અને દ્વિઘાત કિસ્સાઓમાં પણ આવરી લે છે. અભ્યાસ 13.26 (p 202) કહે છે કે તે બધા આ પુસ્તકમાં અત્યાર સુધી આપવામાં આવેલા દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના કાયદાના પુરાવાઓની સંખ્યાને ગણે છે અને બીજું એક તૈયાર કરે છે. બાહ્ય કડીઓ એફ. લેમેર્મેયરનો કાલક્રમ અને ચતુર્ભુજ પારસ્પરિકતા કાયદાના પુરાવાઓની ગ્રંથસૂચિ (332 પુરાવા) બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત લેખ પુરાવા