Zariski geometry
ગણિતમાં, ઝારિસ્કી ભૂમિતિ એહુદ હ્રુશોવસ્કી અને બોરિસ જિલ્બર દ્વારા રજૂ કરાયેલ એક અમૂર્ત માળખું ધરાવે છે, જેથી બીજગણિત વળાંક પર ઝારિસ્કી ટોપોલોજી અને તેની તમામ શક્તિઓનું લાક્ષણિકતા આપી શકાય. બીજગણિત જાતોના ઉત્પાદન પરની ઝારિસ્કી ટોપોલોજી ખૂબ જ ભાગ્યે જ ઉત્પાદન ટોપોલોજી છે, પરંતુ સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બંધ સમૂહોમાં વધુ સમૃદ્ધ છે જે ચલોના બે સમૂહોને મિશ્રિત કરે છે. વર્ણવેલ પરિણામ તે ખૂબ જ ચોક્કસ અર્થ આપે છે, જે ખાસ કરીને પ્રોજેક્ટિવ વળાંક અને કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીઓને લાગુ પડે છે. વ્યાખ્યા એ. ઝારિસ્કી ભૂમિતિમાં X સમૂહ અને X, X2, X3 દરેક સમૂહ પર ટોપોલોજિકલ માળખું હોય છે. જે ચોક્કસ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે. (એન) દરેક Xn એ નોથેરિયન ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે, જે મહત્તમ n પરિમાણ ધરાવે છે. નોથેરિયન જગ્યાઓ માટે કેટલીક પ્રમાણભૂત પરિભાષા હવે ધારવામાં આવશે. (A) દરેક Xn માં, n-ટુપલમાં સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉપગણ બંધ હોય છે. ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરીને અને અન્યને સ્થિરાંકો તરીકે સુયોજિત કરીને વ્યાખ્યાયિત કરાયેલ મેપિંગ્સ Xm → Xn બધા સતત છે. (બી) પ્રક્ષેપણ પીઃ એક્સએમ → એક્સએન અને એક્સએમના ઈરીડ્યુસિબલ ક્લોઝ્ડ સબસેટ વાય માટે, પી (વાય) તેના ક્લોઝર ઝેડ અને ઝેડ વચ્ચે આવેલું છે જ્યાં ઝેડનો યોગ્ય ક્લોઝ્ડ સબસેટ છે. (આ અમૂર્ત સ્તરે ક્વોન્ટિફાયર નાબૂદી છે.) (C) X ઈરીડ્યુસિબલ છે. (ડી) Xm માં કોઈપણ બંધ સમૂહના પ્રક્ષેપણમાં ફાઇબરના તત્વોની સંખ્યા પર એક સમાન બંધન હોય છે, સિવાય કે જ્યાં ફાઇબર X હોય. (E) પરિમાણ r નો બંધ ઈરીડ્યુસિબલ સબસેટ, જ્યારે વિકર્ણ સબસેટ સાથે છેદે છે, જેમાં s કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન સેટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિમાણના તમામ ઘટકો ઓછામાં ઓછા r − s + 1 હોય છે. વધુ જરૂરી શરતને ખૂબ પર્યાપ્ત કહેવામાં આવે છે (સી. એફ. ખૂબ જ વિશાળ લાઇન બંડલ). એવું માનવામાં આવે છે કે કેટલાક Xm નો ઈરીડ્યુસિબલ ક્લોઝ્ડ સબસેટ P છે, અને P × X2 નો ઈરીડ્યુસિબલ ક્લોઝ્ડ સબસેટ Q, નીચેના ગુણધર્મો સાથેઃ (I) X2 માં આપેલ જોડીઓ (x, y), (,), P માં અમુક t માટે, Q માં (t, u, v) ના સમૂહમાં (t, x, y) નો સમાવેશ થાય છે પરંતુ (t,,) (J) P ના યોગ્ય ક્લોઝ્ડ સબસેટની બહાર t માટે, X2 માં (x, y) નો સમૂહ, (t, x, y) Q એ પરિમાણ 1 નો ઈરીડ્યુસિબલ ક્લોઝ સેટ છે. (કે) યોગ્ય બંધ ઉપગણની બહારથી પસંદ થયેલ X2માં તમામ જોડીઓ (x, y), (,) માટે, Pમાં અમુક t એવું હોય છે કે Qમાં (t, u, v) ના સમૂહમાં (t, x, y) અને (t,,) નો સમાવેશ થાય છે. ભૌમિતિક રીતે આ કહે છે કે બિંદુઓ (I) ને અલગ કરવા અને બિંદુઓ (K) ને જોડવા માટે પૂરતા વળાંક છે; અને આવા વળાંક એક પેરામેટ્રિક પરિવારમાંથી લઈ શકાય છે. પછી હ્રુશોવસ્કી અને જિલ્બર સાબિત કરે છે કે આ પરિસ્થિતિઓમાં બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર K છે, અને બિન-એકકોણીય બીજગણિત વળાંક C છે, જેમ કે તેની શક્તિઓની ઝારિસ્કી ભૂમિતિ અને તેમની ઝારિસ્કી ટોપોલોજી આપેલ એક સાથે સમરૂપ છે. ટૂંકમાં, ભૂમિતિને બીજગણિત કરી શકાય છે. સંદર્ભો નમૂના સિદ્ધાંત બીજગણિત વણાંકો વેક્ટર બંડલ