Symmetric product of an algebraic curve
ગણિતમાં, બીજગણિત વળાંક C નો n-ગણો સપ્રમાણ ગુણાકાર એ n-ગણો કાર્ટેશિયન ગુણાકાર C × C ×. × C અથવા Cn નો ભાગાકાર અવકાશ છે, જે પરિબળોને ક્રમચય કરતા n અક્ષરો પર સપ્રમાણ જૂથ Sn ની જૂથ ક્રિયા દ્વારા થાય છે. તે એક સરળ બીજગણિત વિવિધતા તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે σnC દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો C એ કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટી હોય, તો σnC એ એક જટિલ મેનીફોલ્ડ છે. વળાંકની શાસ્ત્રીય ભૂમિતિના સંબંધમાં તેનો રસ એ છે કે તેના બિંદુઓ ડિગ્રી n ના C પરના અસરકારક ભાજકોને અનુરૂપ છે, એટલે કે, બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના બિંદુઓના ઔપચારિક સરવાળા. C માટે પ્રક્ષેપાત્મક રેખા (જેમ કે રીમાન ગોળા ≤ {≤} ≈ S2), તેના nમા સપ્રમાણ ઉત્પાદન σnC ને પરિમાણ n ની જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે. જો G પાસે જીનસ g ≤ 1 હોય તો σnC એ C ની જેકોબિયન વિવિધતા J સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. વધુ સચોટ રીતે n ને g સુધી મૂલ્યો લેવા માટે તેઓ નીચેથી J ના અંદાજોનો ક્રમ બનાવે છેઃ J માં તેમની છબીઓ J પર ઉમેરા હેઠળ (થીટા-વિભાજક જુઓ) પરિમાણ n ધરાવે છે અને J ને ભરે છે, જેમાં ખાસ વિભાજક દ્વારા થતી કેટલીક ઓળખ છે. g = n માટે આપણી પાસે σgC છે જે વાસ્તવમાં દ્વિસંગી રીતે J ની સમકક્ષ છે; જેકોબિયન એ સમપ્રમાણતાવાળા ઉત્પાદનને નીચે ફેંકવું છે. તેનો અર્થ એ કે કાર્ય ક્ષેત્રોના સ્તરે C ના કાર્ય ક્ષેત્રની રેખીય રીતે વિચ્છેદિત નકલો લઈને અને તેમના સંયોજનની અંદર સપ્રમાણ જૂથના નિશ્ચિત પેટાક્ષેત્રને લઈને J નું નિર્માણ કરવું શક્ય છે. આ એન્ડ્રે વેઇલની 'બાયરેશનલ ડેટા' માંથી અમૂર્ત વિવિધતા તરીકે J બનાવવાની તકનીકનો સ્રોત છે. J ને બનાવવાની અન્ય રીતો, ઉદાહરણ તરીકે પિકાર્ડ વિવિધતા તરીકે, હવે પસંદ કરવામાં આવે છે પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે CF (x1) + પર કોઈપણ તર્કસંગત કાર્ય F માટે. + F (xg) J પર તર્કસંગત કાર્ય તરીકે અર્થપૂર્ણ બને છે, xi માટે F ના ધ્રુવોથી દૂર રહેવું. n> g માટે σnC થી J સુધીનું મેપિંગ તેને J ઉપર ઉમેરે છે; જ્યારે n પૂરતું મોટું હોય (લગભગ બમણો ગ્રામ) ત્યારે આ એક પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ બંડલ (પિકાર્ડ બંડલ) બની જાય છે. તેનો વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, ઉદાહરણ તરીકે કેમ્પફ અને મુકાઈ દ્વારા. બેટ્ટી સંખ્યાઓ અને સપ્રમાણ ઉત્પાદનની યુલર લાક્ષણિકતા ચાલો C એ જટિલ સંખ્યાઓ C પર જીનસ g નું સરળ પ્રક્ષેપાત્મક વળાંક હોય. તમામ n = 0,1,2, માટે સપ્રમાણ ઉત્પાદનોના બેટ્ટી સંખ્યાઓ દ્વિ (σnC). ઉત્પન્ન કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેમની યુલર લાક્ષણિકતાઓ e (σnC) ઉત્પન્ન કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં આપણે અગાઉના સૂત્રમાં u =-1 અને y =-p સેટ કર્યું છે. નોંધો સંદર્ભો બીજગણિત વણાંકો સમમિતીય કાર્યો