Étale fundamental group
એટેલ અથવા બીજગણિત મૂળભૂત જૂથ એ બીજગણિત ભૂમિતિમાં, યોજનાઓ માટે, ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સામાન્ય મૂળભૂત જૂથનું એનાલોગ છે. ટોપોલોજિકલ એનાલોગ/અનૌપચારિક ચર્ચા બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, પોઇન્ટેડ ટોપોલોજિકલ સ્પેસના મૂળભૂત જૂથને લૂપ્સના હોમોટૉપી વર્ગોના જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા વાસ્તવિક અને જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ જેવી જગ્યાઓ માટે સારી રીતે કામ કરે છે, પરંતુ ઝારિસ્કી ટોપોલોજી સાથે બીજગણિત વિવિધતા માટે અનિચ્છનીય પરિણામો આપે છે. આવરણ જગ્યાઓના વર્ગીકરણમાં, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે મૂળભૂત જૂથ બરાબર સાર્વત્રિક આવરણ જગ્યાના તૂતક પરિવર્તનોનું જૂથ છે. આ વધુ આશાસ્પદ છેઃ બીજગણિત જાતોના મર્યાદિત એટેલ મોર્ફિઝમ્સ એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની જગ્યાઓને આવરી લેવા માટે યોગ્ય એનાલોગ છે. કમનસીબે, બીજગણિત વિવિધતા ઘણીવાર "સાર્વત્રિક આવરણ" રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે જે મર્યાદિત હોય છે, તેથી વ્યક્તિએ તેના મર્યાદિત એટેલ આવરણની સમગ્ર શ્રેણીને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. પછી કોઈ વ્યક્તિ étale મૂળભૂત જૂથને મર્યાદિત ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથોની વ્યસ્ત મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચાલો એક જોડાયેલ અને સ્થાનિક રીતે નોથેરિયન યોજના હોઈએ, ચાલો એક ભૌમિતિક બિંદુ હોઈએ અને જોડીઓની શ્રેણી હોઈએ જે એક યોજનામાંથી મર્યાદિત étale મોર્ફિઝમ છે આ શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ્સ ઉપરની યોજનાઓ તરીકે મોર્ફિઝમ્સ છે આ શ્રેણી સમૂહની શ્રેણી માટે કુદરતી ફંકટર ધરાવે છે, એટલે કે ભૌમિતિક રીતે ફંકટર આ ઓવરનું ફાઇબર છે અને અમૂર્ત રીતે તે ઉપરની યોજનાઓની શ્રેણીમાં રજૂ થયેલ યોનેડા ફંકટર છે. ફંકટર સામાન્ય રીતે પ્રતિનિધિત્વપાત્ર નથી; જો કે, તે હકીકતમાં ગેલોઇસના કવર દ્વારા પ્રતિનિધિત્વપાત્ર છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણી પાસે એક પ્રોજેક્ટિવ સિસ્ટમ છે, જે નિર્દેશિત સમૂહ દ્વારા અનુક્રમિત છે, જ્યાં ગેલોઇસ આવરી લે છે, એટલે કે, તેના પર મર્યાદિત étale યોજનાઓ. તેનો અર્થ એ પણ છે કે આપણે ફંક્ટરનું આઇસોમોર્ફિઝમ આપ્યું છે. ખાસ કરીને, આપણી પાસે પ્રોજેક્ટિવ સિસ્ટમનો એક નોંધપાત્ર મુદ્દો છે. આવા બે માટે નકશો જૂથ હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે જે પ્રોજેક્ટિવ સિસ્ટમમાંથી ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથોની પ્રોજેક્ટિવ સિસ્ટમ ઉત્પન્ન કરે છે. પછી આપણે નીચેની વ્યાખ્યા કરીએ છીએઃ એટ નું étale મૂળભૂત જૂથ એ વ્યસ્ત મર્યાદા ટોપોલોજી સાથે વ્યસ્ત મર્યાદા છે. ફંકટર હવે મર્યાદિત અને સતત-સમૂહોની શ્રેણીમાં એક ફંકટર છે, અને મર્યાદિત અને સતત-સમૂહોની શ્રેણી વચ્ચેની શ્રેણીઓની સમાનતા સ્થાપિત કરે છે. ઉદાહરણો અને પ્રમેયો તેનું સૌથી મૂળભૂત ઉદાહરણ છે, ક્ષેત્રનું étale મૂળભૂત જૂથ. મૂળભૂત રીતે વ્યાખ્યા દ્વારા, ના મૂળભૂત જૂથને નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક દર્શાવી શકાય છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, ભૌમિતિક બિંદુની પસંદગી અલગથી બંધ વિસ્તરણ ક્ષેત્ર આપવા સમાન છે, અને તે આધાર બિંદુના સંદર્ભમાં étale મૂળભૂત જૂથ ગેલોઇસ જૂથ સાથે ઓળખાય છે. ગેલોઇસ જૂથના આ અર્થઘટનને ગ્રોથેન્ડીકના ગેલોઇસ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ક્ષેત્ર પરની કોઈપણ ભૌમિતિક રીતે જોડાયેલ વિવિધતા માટે (એટલે કે, તે એવી છે જે જોડાયેલ હોય છે) લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર અનંત જૂથો યોજનાઓનો ચોક્કસ ક્રમ હોય છે. બીજગણિત મૂળભૂત જૂથ, જેને સામાન્ય રીતે આ કિસ્સામાં કહેવામાં આવે છે, તે તેની અનંત પૂર્ણતા છે. આ રીમાન અસ્તિત્વ પ્રમેયનું પરિણામ છે, જે કહે છે કે તમામ મર્યાદિત étale આવરણો એકમાંથી ઉદભવે છે. ખાસ કરીને, જેમ કે (એટલે કે, ખુલ્લી રીમાન સપાટીઓ) ઉપરના સરળ વળાંકનું મૂળભૂત જૂથ સારી રીતે સમજી શકાય છે; આ બીજગણિત મૂળભૂત જૂથ નક્કી કરે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, લાક્ષણિકતા શૂન્યના કોઈપણ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર યોગ્ય યોજનાનું મૂળભૂત જૂથ જાણીતું છે, કારણ કે બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રોનું વિસ્તરણ સમરૂપ મૂળભૂત જૂથોને પ્રેરિત કરે છે. હકારાત્મક લાક્ષણિકતા અને શાંત મૂળભૂત જૂથના ક્ષેત્ર પર યોજનાઓ હકારાત્મક લાક્ષણિકતાના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર માટે, પરિણામો અલગ છે, કારણ કે આ પરિસ્થિતિમાં આર્ટિન-શ્રેયર આવરણ અસ્તિત્વમાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, એફાઇન રેખાનું મૂળભૂત જૂથ ટોપોલોજીકલ રીતે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થતું નથી. કેટલીક યોજના U નું શાંત મૂળભૂત જૂથ એ સામાન્ય મૂળભૂત જૂથનો એક ભાગ છે, જેમાં ફક્ત એવા આવરણોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જે વ્યવસ્થિત રીતે વિસ્તૃત હોય છે, જ્યાં થોડું સંકોચન હોય છે અને તે અંદરનું પૂરક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એફાઇન રેખાનું શાંત મૂળભૂત જૂથ શૂન્ય છે. લાક્ષણિકતા p ના ક્ષેત્ર પર એફાઇન યોજનાઓ તે તારણ આપે છે કે દરેક એફાઇન યોજના એક-જગ્યા છે, તે અર્થમાં કે ઇટેલ હોમોટૉપીનો પ્રકાર સંપૂર્ણપણે તેના ઇટેલ હોમોટૉપી જૂથ દ્વારા નક્કી થાય છે. નોંધ લો કે ભૌમિતિક બિંદુ ક્યાં છે. વધુ વિષયો શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિકોણથી, મૂળભૂત જૂથ એક ફંકટર {પોઇન્ટેડ બીજગણિત જાતો} → {પ્રોફાઇનાઇટ જૂથો} છે. વિપરીત ગેલોઇસ સમસ્યા પૂછે છે કે મૂળભૂત જૂથો (અથવા ક્ષેત્ર વિસ્તરણના ગેલોઇસ જૂથો) તરીકે કયા જૂથો ઉદ્ભવી શકે છે. એનાબેલિયન ભૂમિતિ, ઉદાહરણ તરીકે ગ્રોથેન્ડીકનો વિભાગ અનુમાન, જાતોના વર્ગોને ઓળખવા માંગે છે જે તેમના મૂળભૂત જૂથો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. યોજનાના એટેલ હોમોટૉપી પ્રકાર દ્વારા ઉચ્ચ એટેલ હોમોટૉપી જૂથોનો અભ્યાસ કરે છે. પ્રો-એટેલ મૂળભૂત જૂથે પ્રો-એટેલ મૂળભૂત જૂથ તરીકે ઓળખાતા એટેલ મૂળભૂત જૂથનો એક પ્રકાર રજૂ કર્યો છે. તે મર્યાદિત étale આવરણને બદલે, નકશાને ધ્યાનમાં લઈને બનાવવામાં આવે છે, જે બંને étale છે અને યોગ્યતાના મૂલ્યના માપદંડને સંતોષે છે. ભૌમિતિક રીતે એક શાખા યોજનાઓ (દા. ત., સામાન્ય યોજનાઓ) માટે, બે અભિગમો સંમત થાય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે પ્રો-એટેલ મૂળભૂત જૂથ એક વધુ સારું અપરિવર્તનશીલ છેઃ તેની અનંત પૂર્ણતા એ એટેલ મૂળભૂત જૂથ છે. એટેલ મોર્ફિઝમ પણ જુઓ મૂળભૂત જૂથ મૂળભૂત જૂથ યોજના નોંધો સંદર્ભ યોજના સિદ્ધાંત બીજગણિત ભૂમિતિના ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ