Enumerative geometry
ગણિતમાં, ગણનાત્મક ભૂમિતિ એ બીજગણિત ભૂમિતિની શાખા છે જે ભૌમિતિક પ્રશ્નોના ઉકેલોની સંખ્યાઓની ગણતરી સાથે સંબંધિત છે, મુખ્યત્વે આંતરછેદ સિદ્ધાંતના માધ્યમથી. અપોલોનીયસની સમસ્યા એ ગણનાત્મક ભૂમિતિના પ્રારંભિક ઉદાહરણોમાંનું એક છે. આ સમસ્યા એવા વર્તુળોની સંખ્યા અને રચના માટે પૂછે છે જે આપેલ ત્રણ વર્તુળો, બિંદુઓ અથવા રેખાઓને સ્પર્શ કરે છે. સામાન્ય રીતે, આપેલ ત્રણ વર્તુળો માટેની સમસ્યાના આઠ ઉકેલો હોય છે, જેને 23 તરીકે જોઈ શકાય છે, દરેક સ્પર્શક સ્થિતિ વર્તુળોની જગ્યા પર દ્વિઘાત સ્થિતિ લાદતી હોય છે. જો કે, આપેલ વર્તુળોની વિશેષ વ્યવસ્થા માટે, ઉકેલોની સંખ્યા પણ 0 (કોઈ ઉકેલો નહીં) થી છ સુધીની કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે; એવી કોઈ વ્યવસ્થા નથી કે જેના માટે અપોલોનીયસની સમસ્યાના સાત ઉકેલો હોય. મુખ્ય સાધનો પ્રાથમિકથી વધુ અદ્યતન સુધીના સંખ્યાબંધ સાધનોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ બેઝઆઉટના પ્રમેય સ્કબર્ટ કેલ્ક્યુલસની ગણતરી પરિમાણ, અને કોહોમોલોજીમાં વધુ સામાન્ય રીતે લાક્ષણિક વર્ગો કોહોમોલોજી સાથે આંતરછેદોની ગણતરીનું જોડાણ પોઇનકેરે દ્વૈત છે વળાંક, નકશા અને અન્ય ભૌમિતિક પદાર્થોની મોડુલી જગ્યાઓનો અભ્યાસ, કેટલીકવાર ક્વોન્ટમ કોહોમોલોજીના સિદ્ધાંત દ્વારા. ક્વોન્ટમ કોહોમોલોજી, ગ્રોમોવ-વિટન અપરિવર્તન અને દર્પણ સમપ્રમાણતાના અભ્યાસે ક્લેમેન્સના અનુમાનમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ કરી છે. આંકડાકીય ભૂમિતિ આંતરછેદ સિદ્ધાંત સાથે ખૂબ નજીકથી જોડાયેલી છે. સ્કબર્ટ કેલ્ક્યુલસ એન્યુમરેટિવ ભૂમિતિએ ઓગણીસમી સદીના અંતમાં હર્મન સ્કબર્ટના હાથે અદભૂત વિકાસ જોયો. તેમણે આ હેતુ માટે સ્કબર્ટ કલનની રજૂઆત કરી હતી, જેણે વ્યાપક ક્ષેત્રોમાં મૂળભૂત ભૌમિતિક અને ટોપોલોજિકલ મૂલ્ય સાબિત કર્યું છે. 1960 અને 1970 ના દાયકામાં (ઉદાહરણ તરીકે સ્ટીવન ક્લેમેન દ્વારા દર્શાવ્યા મુજબ) ત્યાં સુધી ગણનાત્મક ભૂમિતિની ચોક્કસ જરૂરિયાતો પર ધ્યાન આપવામાં આવ્યું ન હતું. આંતરછેદના નંબરોને સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા (આન્દ્રે વેઇલ દ્વારા તેમના પાયાના કાર્યક્રમ 1942-6 ના ભાગ રૂપે, અને પછીથી), પરંતુ આ ગણનાત્મક પ્રશ્નોના યોગ્ય ક્ષેત્રને સમાપ્ત કરી શક્યું ન હતું. ફજ પરિબળો અને હિલ્બર્ટની પંદરમી સમસ્યા પરિમાણ ગણતરી અને બેઝઆઉટના પ્રમેયની નાઇવ એપ્લિકેશન ખોટા પરિણામો આપે છે, જે નીચેનું ઉદાહરણ દર્શાવે છે. આ સમસ્યાઓના જવાબમાં, બીજગણિત ભૂમિતિઓએ અસ્પષ્ટ "ફજ પરિબળો" રજૂ કર્યા, જે દાયકાઓ પછી જ સખત રીતે ન્યાયી ઠેરવવામાં આવ્યા હતા. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં આપેલ પાંચ રેખાઓ માટે શંકુ વિભાગોને સ્પર્શક ગણાવો. કોનિક્સ પરિમાણ 5 ની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા બનાવે છે, જે તેમના છ ગુણાંકને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લે છે, અને પાંચ બિંદુઓ કોનિક નક્કી કરે છે, જો બિંદુઓ સામાન્ય રેખીય સ્થિતિમાં હોય, કારણ કે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થવાથી રેખીય સ્થિતિ લાદવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, આપેલ રેખા L ની સ્પર્શકતા (સ્પર્શકતા એ ગુણાકાર બે સાથે આંતરછેદ છે) એ એક દ્વિઘાત સ્થિતિ છે, તેથી P5 માં ચતુર્ભુજ નક્કી થાય છે. જો કે, આવા તમામ ચતુષ્કોણની બનેલી વિભાજકની રેખીય પ્રણાલી આધાર સ્થાન વિના નથી. હકીકતમાં આવા દરેક ચતુર્ભુજમાં વેરોનીસ સપાટી હોય છે, જે શંકુ (aX + bY + cZ) 2 = 0 જેને 'બેવડી રેખાઓ' કહેવાય છે તેને પરિમાણ આપે છે. આનું કારણ એ છે કે એક બેવડું રેખા સમતલમાં દરેક રેખાને છેદે છે, કારણ કે પ્રક્ષેપક સમતલમાં રેખાઓ ગુણાકાર બે સાથે છેદે છે, કારણ કે તે બમણી થાય છે, અને આમ તે જ આંતરછેદ સ્થિતિ (ગુણાકાર બેનું આંતરછેદ) ને બિન-ઉત્પન્ન શંકુ તરીકે સંતોષે છે જે રેખા સાથે સ્પર્શક છે. સામાન્ય બેઝઆઉટ પ્રમેય કહે છે કે 5-અવકાશમાં 5 સામાન્ય ચતુર્ભુજ 32 = 25 બિંદુઓમાં છેદે છે. પરંતુ અહીં સંબંધિત ચતુર્ભુજ સામાન્ય સ્થિતિમાં નથી. સાચો જવાબ (ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી), એટલે કે 1 છોડવા માટે, 32 માંથી, 31 ને બાદબાકી કરવી જોઈએ અને વેરોનીઝને આભારી હોવું જોઈએ. આંતરછેદોને 'અધોગતિગ્રસ્ત' કિસ્સાઓ સાથે જોડવાની આ પ્રક્રિયા 'ફજ ફેક્ટર' ની લાક્ષણિક ભૌમિતિક રજૂઆત છે. હિલ્બર્ટની પંદરમી સમસ્યા આ હસ્તક્ષેપોની દેખીતી રીતે મનસ્વી પ્રકૃતિને દૂર કરવાની હતી; આ પાસું સ્કબર્ટ કલનશાસ્ત્રના પાયાના પ્રશ્નની બહાર જાય છે. ક્લેમેન્સ અનુમાન 1984માં એચ. ક્લેમેન્સે ક્વિન્ટિક ત્રણ ગણા પર તર્કસંગત વળાંકની સંખ્યાની ગણતરીનો અભ્યાસ કર્યો અને નીચેના અનુમાન પર પહોંચ્યા. ધારો કે સામાન્ય ક્વિન્ટિક ત્રણ ગણો, એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તો પછી ડિગ્રી સાથે માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં તર્કસંગત વળાંક હોય છે. આ અનુમાન આ કેસમાં ઉકેલી લેવામાં આવ્યું છે, પરંતુ હજુ પણ ઉચ્ચ માટે ખુલ્લું છે. 1991 માં સ્ટ્રિંગ સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિકોણથી ક્વિન્ટિક પર મિરર સમપ્રમાણતા વિશેનું પેપર બધા માટે ડિગ્રી ડી તર્કસંગત વળાંકની સંખ્યા આપે છે. આ પહેલા, બીજગણિત ભૂમિતિશાસ્ત્રીઓ આ સંખ્યાઓની ગણતરી માત્ર આ માટે જ કરી શકતા હતા. ઉદાહરણો બીજગણિત ભૂમિતિમાં ગણતરીના કેટલાક ઐતિહાસિક રીતે મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ 2 અવકાશમાં 4 સામાન્ય રેખાઓને મળતી રેખાઓની સંખ્યા 8 3 સામાન્ય વર્તુળોમાં સ્પર્શક વર્તુળોની સંખ્યા (અપોલોનીયસની સમસ્યા). 27 સરળ સમઘનની સપાટી પરની રેખાઓની સંખ્યા (સૅલ્મોન અને કેલે) 2875 સામાન્ય પંચક પરની રેખાઓની સંખ્યા ત્રણ ગણી 3264 સામાન્ય સ્થિતિમાં 5 સમતલ શંકુની શંકુની સ્પર્શરેખાઓની સંખ્યા (ચેસલ્સ) 609250 સામાન્ય પંચક પર શંકુની સંખ્યા ત્રણ ગણી 4407296 8 સામાન્ય ચતુર્ભુજ સપાટીઓ પર શંકુની સ્પર્શરેખાઓની સંખ્યા 666841088 3-અવકાશમાં સામાન્ય સ્થિતિમાં આપેલ ચતુર્ભુજ સપાટીઓ પર ચતુર્ભુજ સપાટીઓની સ્પર્શરેખાઓની સંખ્યા 5819539783680 3-અવકાશ સંદર્ભો આંતરછેદન સિદ્ધાંત બીજગણિત ભૂમિતિમાં સામાન્ય સ્થિતિમાં 12 આપેલ ચતુર્ભુજ સપાટીઓ પર વક્ર ઘન સ્પર્શરેખાઓની સંખ્યા.