Cayley–Bacharach theorem
ગણિતમાં, કેલે-બચારાચ પ્રમેય એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં ક્યુબિક વણાંકો (ડિગ્રી ત્રણના સમતલ વણાંકો) વિશેનું નિવેદન છે. મૂળ સ્વરૂપ જણાવે છેઃ ધારો કે બે સમઘન અને પ્રક્ષેપક સમતલ નવ (જુદા જુદા) બિંદુઓમાં મળે છે, જેમ કે તેઓ સામાન્ય રીતે બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર મળે છે. પછી દરેક ઘન જે કોઈપણ આઠ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તે પણ નવમા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. કેલે-બચારાચ પ્રમેયનું વધુ આંતરિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ વાંચે છેઃ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પરનો દરેક ઘન વળાંક જે આપેલ આઠ બિંદુઓના સમૂહમાંથી પસાર થાય છે તે પણ નવમા બિંદુ (ગુણાકારની ગણતરી) માંથી પસાર થાય છે જે ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે. કોનિક્સ પર સંબંધિત પરિણામ સૌપ્રથમ ફ્રેન્ચ ભૂમાપક મિશેલ ચેસલ્સ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું અને બાદમાં આર્થર કેલે અને ઇસાક બચારાચ દ્વારા ક્યુબિક્સમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. વિગતો જો સાત બિંદુઓ શંકુ પર આવેલા હોય, તો નવમો બિંદુ તે શંકુ પર પસંદ કરી શકાય છે, કારણ કે તે હંમેશા બેઝઆઉટના પ્રમેયને કારણે સંપૂર્ણ શંકુ ધરાવે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, આપણી પાસે નીચે મુજબ છે. જો તેમાંથી કોઈ સાત બિંદુઓ સહ-શંકુ ન હોય, તો પછી ઘન સજાતીય બહુપદીઓની વેક્ટર જગ્યા કે જે (ના એફાઇન શંકુ) (બેવડા બિંદુઓ માટે ગુણાકાર સાથે) પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે તેનું પરિમાણ બે હોય છે. તે કિસ્સામાં, દરેક ઘન પણ કોઈપણ બે જુદા જુદા સમઘનના આંતરછેદમાંથી પસાર થાય છે, જે બેઝઆઉટના પ્રમેયને કારણે ઓછામાં ઓછા નવ બિંદુઓ (બીજગણિત બંધ પર) ધરાવે છે. આ બિંદુઓને માત્ર તે દ્વારા આવરી શકાતા નથી, જે આપણને આપે છે. ડીજનરેટ શંકુ એ મહત્તમ બે રેખાઓનું જોડાણ હોવાથી, ડીજનરેટ શંકુ પર હંમેશા સાતમાંથી ચાર બિંદુ હોય છે જે કોલિનિયર હોય છે. પરિણામેઃ જો બિન-અધોગામી શંકુ પર કોઈ સાત બિંદુઓ નથી, અને એક રેખા પર કોઈ ચાર બિંદુઓ નથી, તો પછી ક્યુબિક સજાતીય બહુપદીઓની વેક્ટર જગ્યા જે (ના એફાઇન શંકુ) પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે તેનું પરિમાણ બે હોય છે. બીજી બાજુ, ધારો કે કોલિનિયર છે અને તેમાંથી કોઈ સાત બિંદુ સહ-શંકુ નથી. પછી કોઈ પાંચ બિંદુઓ અને કોઈ ત્રણ બિંદુઓ કોલિનિયર નથી. બેઝઆઉટના પ્રમેયને કારણે હંમેશા સમગ્ર રેખા હશે, તેથી (ના એફાઇન શંકુ) પર અદૃશ્ય થઈ જનારી ઘન સજાતીય બહુપદીઓની વેક્ટર જગ્યા એ દ્વિઘાત સજાતીય બહુપદીઓની વેક્ટર જગ્યા માટે આઇસોમોર્ફિક છે જે અદૃશ્ય થઈ જાય છે (ના એફાઇન શંકુ), જેનું પરિમાણ બે છે. બંને પરિમાણ બે પરિણામો માટેની શરતોના સમૂહ અલગ હોવા છતાં, તે બંને સંપૂર્ણ સામાન્ય સ્થિતિ કરતાં સખત રીતે નબળા છેઃ ત્રણ બિંદુઓને સમરેખીય હોવાની મંજૂરી છે, અને છ બિંદુઓને શંકુ પર પડવાની મંજૂરી છે (સામાન્ય રીતે બે બિંદુઓ એક રેખા નક્કી કરે છે અને પાંચ બિંદુઓ શંકુ નક્કી કરે છે). કેલે-બચારાચ પ્રમેય માટે, એક બિંદુને બદલે નવ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમઘનનું કુટુંબ હોવું જરૂરી છે. બેઝાઉટના પ્રમેય અનુસાર, બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર બે અલગ-અલગ ઘન વળાંક કે જેમાં કોઈ સામાન્ય ઈરીડ્યુસિબલ ઘટક નથી, તે બરાબર નવ બિંદુઓમાં મળે છે (ગુણાકાર સાથે ગણવામાં આવે છે). કેલે-બચારાચ પ્રમેય આમ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે જો આઠ આંતરછેદના બિંદુઓ (સાત સહ-શંકુ વિના) પહેલેથી જ સૂચવવામાં આવે તો વળાંકના કુટુંબમાં કોઈપણ બે સભ્યોના આંતરછેદનું છેલ્લું બિંદુ આગળ વધતું નથી. એક ખાસ કિસ્સો પાસ્કલનો પ્રમેય છે, જે કિસ્સામાં પ્રશ્નમાં બે સમઘન બધા અધોગતિ પામે છેઃ શંકુ (ષટ્કોણ) પર છ બિંદુઓ આપવામાં આવે તો, વિરુદ્ધ બાજુઓ લંબાવીને મેળવેલી રેખાઓને ધ્યાનમાં લો-આ ત્રણ રેખાઓના બે સમઘન આપે છે, જે 9 બિંદુઓમાં છેદે છે-શંકુ પરના 6 બિંદુઓ અને અન્ય 3. આ 3 વધારાના બિંદુઓ એક રેખા પર આવેલા છે, કારણ કે શંકુ વત્તા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા એ 8 બિંદુઓમાંથી પસાર થતો ઘન છે. બીજો ઉપયોગ પેપ્પસનું ષટ્કોણ પ્રમેય છે, જે ઉપરોક્ત સમાન છે, પરંતુ છ બિંદુઓ શંકુને બદલે બે રેખાઓ પર છે. છેવટે, લંબગોળ વળાંક બિંદુ ઉમેરાની સહયોગીતા સાબિત કરવા માટે ત્રીજો કેસ જોવા મળે છે. ધારો કે પ્રથમ ઘનમાં ત્રણ રેખાઓ BC, O (A + B) અને A (B + C) હોય; અને બીજી ઘનમાં ત્રણ રેખાઓ AB, O (B + C) અને C (A + B) હોય. નીચેના આઠ બિંદુઓ બંને સમઘન માટે સામાન્ય છેઃ એ, બી, સી, એ + બી,-એ-બી, બી + સી,-બી-સી, ઓ. તેથી તેમના નવમા બિંદુઓ સમાન હોવા જોઈએ-A-(B + C) =-(A + B)-C, જે સહયોગીતા આપે છે. ડાયમેન્શન કાઉન્ટિંગ કેલે-બચારાચ થીયરમને સમજી શકાય છે, અને તે ડાયમેન્શન કાઉન્ટિંગ દ્વારા ડિગ્રી 3 માટે કેમ ઉદ્ભવે છે. સરળ રીતે કહીએ તો, નવ બિંદુઓ ઘનને નિર્ધારિત કરે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે એક અનન્ય ઘનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આમ જો નવ બિંદુઓ એક કરતાં વધુ ઘન પર હોય, સમાનરૂપે બે ઘન (એ. એસ.) ના આંતરછેદ પર હોય, તો તેઓ સામાન્ય સ્થિતિમાં નથી-તેઓ એક પરિમાણ દ્વારા વધુ પડતા નિર્ધારિત થાય છે-અને આમ તેમાંથી પસાર થતા ઘન એક વધારાના અવરોધને સંતોષે છે, જેમ કે "આઠ એટલે નવ" ગુણધર્મમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. સામાન્ય ઘટનાને સુપરબંડન્સ કહેવામાં આવે છે; સપાટીઓ માટે રીમાન-રોક પ્રમેય જુઓ. વિગતો ઔપચારિક રીતે, પ્રથમ યાદ કરો કે ડિગ્રીના બે વળાંક આપવામાં આવે તો, તેઓ વ્યાખ્યાયિત સમીકરણોના પ્રોજેક્ટિવ રેખીય સંયોજનો લઈને ડિગ્રી વળાંકની પેન્સિલ (એક-પરિમાણ રેખીય પ્રણાલી) ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; આ વળાંકના પરિમાણ અવકાશમાં પ્રોજેક્ટિવ રેખા નક્કી કરતા બે બિંદુઓને અનુરૂપ છે, જે ફક્ત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા છે. કેલે-બાચરચ પ્રમેય ઉચ્ચ ડિગ્રી માટે ઉદભવે છે કારણ કે ડિગ્રીના બે વળાંકના આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યા, એટલે કે (બેઝઆઉટના પ્રમેય દ્વારા), ડિગ્રીના વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જરૂરી બિંદુઓની સંખ્યા કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે, જે આ પ્રથમ સંમત થાય છે, તેથી જ કેલે-બાચરચ પ્રમેય ક્યુબિક્સ માટે થાય છે, અને ઉચ્ચ ડિગ્રી માટે વધારે છે, તેથી ઉચ્ચ ડિગ્રી સામાન્યીકરણ થાય છે. વિગતવાર, ડિગ્રીના વળાંકને નિર્ધારિત કરવા માટે જરૂરી બિંદુઓની સંખ્યા એ ડિગ્રીના એકસૂત્રોની સંખ્યા છે, જે પ્રક્ષેપણમાંથી બાદબાકી 1 છે. પ્રથમ થોડા માટે આ ઉપજઃ 2 અને 1: બે બિંદુઓ એક રેખા નક્કી કરે છે, બે રેખાઓ એક બિંદુને છેદે છે, 5 અને 4: પાંચ બિંદુઓ શંકુ નક્કી કરે છે, બે શંકુ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે, 9 અને 9: નવ બિંદુઓ ઘન નક્કી કરે છે, બે સમઘન નવ બિંદુઓ, 14 અને 16 માં છેદે છે. આમ આ પ્રથમ 3 માટે સંમત થાય છે, અને જ્યારે આંતરછેદોની સંખ્યા મોટી હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે બે ક્યુબિક્સના આંતરછેદના 9 બિંદુઓ ક્યુબિક્સના સંદર્ભમાં વિશેષ સ્થિતિમાં હોય છે, ઉચ્ચ ડિગ્રી માટે એક ફોર્ટીઓરી, પરંતુ નીચલા ડિગ્રીથી વિપરીતઃ બે રેખાઓ એક બિંદુને છેદે છે, જે સામાન્ય રીતે રેખીય સ્થિતિમાં તુચ્છ હોય છે, અને બે ચતુર્ભુજ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે, જે (એમ ધારીને કે ચતુર્ભુજ ઇરેડ્યુસિબલ છે તેથી કોઈ ત્રણ બિંદુ કોલિનિયર નથી) સામાન્ય રીતે દ્વિઘાત સ્થિતિમાં હોય છે કારણ કે પાંચ બિંદુઓ દ્વિઘાત નક્કી કરે છે, અને કોઈપણ ચાર બિંદુઓ (સામાન્ય રીતે રેખીય સ્થિતિમાં) તેમના દ્વારા ચતુર્ભુજની પેંસિલ ધરાવે છે, કારણ કે સિસ્ટમ ઓછો નિર્ધારિત છે. ક્યુબિક્સ માટે, નવ બિંદુઓ ક્યુબિક નક્કી કરે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તેઓ એક અનન્ય ક્યુબિક નક્કી કરે છે-આમ બે અલગ અલગ ક્યુબિક્સ તેમાંથી પસાર થાય છે (અને આમ એક પેન્સિલ) વિશેષ છે-સોલ્યુશન સ્પેસ અપેક્ષા કરતા એક પરિમાણ વધારે છે, અને આમ સોલ્યુશન્સ વધારાના અવરોધને સંતોષે છે, એટલે કે "8 એ 9 નો ગુણધર્મ સૂચવે છે". વધુ ચોક્કસપણે, કારણ કે ત્રણ ચલમાં ડિગ્રી ત્રણની સજાતીય બહુપદીઓની વેક્ટર જગ્યા પરિમાણ ધરાવે છે, આઠ (જુદા જુદા) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી ઘન વળાંકની પ્રણાલી પરિમાણની વેક્ટર જગ્યા દ્વારા પરિમાણિત થાય છે (એક બિંદુ પર બહુપદીનું અદ્રશ્ય થવું એક જ રેખીય સ્થિતિ લાદે છે). તે દર્શાવી શકાય છે કે પરિમાણ બરાબર બે છે જો કોઈ ચાર બિંદુઓ સમરેખીય ન હોય અને કોઈ સાત બિંદુઓ શંકુ પર ન હોય. આ હકીકત પરથી કેલે-બચારાચ પ્રમેયનો અંદાજ લગાવી શકાય છે. વિભાજક સંદર્ભોની રેખીય પ્રણાલી પણ જુઓ ફૂટનોટ્સ ગ્રંથસૂચિ મિશેલ ચેસલ્સ, ટ્રેઇટ ડેસ સેક્શન કોનિક્સ, ગૌથિયર-વિલાર્સ, પેરિસ, 1885. એડવર્ડ ડી. ડેવિસ, એન્થોની વી. ગેરામિટા, અને ફેર્રુસિયો ઓરેચિયા, ગોરેનસ્ટીન આલ્જેબ્રાસ અને કેલે-બાચરચ થીયરમ, પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી 93 (1985), 593-597. ડેવિડ આઈસેનબુડ, માર્ક ગ્રીન અને જો હેરિસ, કેલે-બચારાચ પ્રમેયો અને અનુમાન, બુલેટિન ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી 33 (1996), નં. 3, 295-324. બીજગણિત વળાંક પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો બીજગણિત ભૂમિતિમાં પ્રમેયો