Ore extension
ગણિતમાં, ખાસ કરીને રિંગ થિયરી તરીકે ઓળખાતા બીજગણિતના ક્ષેત્રમાં, ઓરે એક્સ્ટેંશન, જેનું નામ ઓસ્ટીન ઓરે પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે એક ખાસ પ્રકારનું રિંગ એક્સ્ટેંશન છે, જેના ગુણધર્મો પ્રમાણમાં સારી રીતે સમજી શકાય છે. અયસ્ક વિસ્તરણના તત્વોને અયસ્ક બહુપદીઓ કહેવામાં આવે છે. અયસ્કના વિસ્તરણ કેટલાક કુદરતી સંદર્ભોમાં જોવા મળે છે, જેમાં ત્રાંસા અને વિભેદક બહુપદી રિંગ્સ, પોલીસાયક્લિક જૂથોના જૂથ આલ્જેબ્રા, સોલ્વેબલ લાઈ આલ્જેબ્રાના સાર્વત્રિક આવરણવાળા આલ્જેબ્રા અને ક્વોન્ટમ જૂથોના સંકલન રિંગ્સનો સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યા ધારો કે R એ (જરૂરી નથી કે પરિવર્તનીય) રીંગ છે, તે રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે, અને R નું σ-વ્યુત્પત્તિ છે, જેનો અર્થ છે કે તે સંતોષકારક અબેલિયન જૂથોનું હોમોમોર્ફિઝમ છે. પછી ઓર એક્સ્ટેંશન, જેને સ્ક્યુ બહુપદી રિંગ પણ કહેવાય છે, તે બિનપરિવર્તનશીલ રિંગ છે જે બહુપદીઓની રિંગને ઓળખને આધિન નવો ગુણાકાર આપીને મેળવવામાં આવે છે. જો δ = 0 (એટલે કે, શૂન્ય નકશો છે) તો અયસ્ક વિસ્તરણને R [x; σ] તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. જો σ = 1 (એટલે કે ઓળખ નકશો) હોય તો અયસ્ક વિસ્તરણને R [x, δ] તરીકે સૂચવવામાં આવે છે અને તેને વિભેદક બહુપદી રિંગ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો વેઇલ આલ્જેબ્રા એ ઓર એક્સ્ટેન્શન્સ છે, જેમાં R કોઈપણ પરિવર્તનીય બહુપદી રીંગ, σ ઓળખ રીંગ એન્ડોમોર્ફિઝમ અને δ બહુપદી વ્યુત્પન્ન છે. અયસ્ક બીજગણિત એ યોગ્ય અવરોધો હેઠળ પુનરાવર્તિત અયસ્ક વિસ્તરણોનો એક વર્ગ છે જે ગ્રોબનર પાયાના સિદ્ધાંતના બિનપરિવર્તનશીલ વિસ્તરણને વિકસાવવાની મંજૂરી આપે છે. ગુણધર્મો ડોમેનનું ઓર એક્સ્ટેંશન એ ડોમેન છે. વક્ર ક્ષેત્રનું અયસ્કનું વિસ્તરણ એ બિન-પરિવર્તનીય મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર છે. જો σ એ ઓટોમોર્ફિઝમ છે અને R એ ડાબી બાજુની નોથેરિયન રીંગ છે, તો ઓર એક્સ્ટેંશન R [અને હેરસ્પ; λ; σ, δ] પણ નોથેરિયન બાકી છે. તત્વો અયસ્કની વીંટી R ના એક તત્વ f ને બે બાજુવાળા (અથવા અપરિવર્તનશીલ) કહેવામાં આવે છે, જો R·f = f·R હોય, અને કેન્દ્રીય, જો R માં તમામ g માટે g·f = f·g હોય. બીજગણિત, 20 નંબર 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an: 0754.16014 એઝેડ્ડિન ઓઉરિટ (1994) પી. આઈ. ઓર એક્સ્ટેન્શન્સના જેકોબસન ગુણધર્મ પરની ટિપ્પણી. (એક આઇ. પી. તરીકે જેકબસનના વિસ્તરણની યાદ અપાવે છે.) (ફ્રેન્ચ) Zbl 0819.16024. આર્ક. ગણિત. 63, નંબર 2,136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an: 00687054 સંદર્ભ રિંગ સિદ્ધાંત