Pépin's test
ગણિતમાં, પેપિનની કસોટી એ પ્રાથમિકતાની કસોટી છે, જેનો ઉપયોગ ફર્મેટ સંખ્યા અવિભાજ્ય છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે. તે પ્રોથના પરીક્ષણનો એક પ્રકાર છે. આ પરીક્ષણનું નામ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી થિયોફાઇલ પેપિનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. પરીક્ષણનું વર્ણન ચાલો nમો ફર્મેટ નંબર હોઈએ. પેપિન્સ ટેસ્ટ જણાવે છે કે n> 0 માટે, અવિભાજ્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન પુનરાવર્તિત વર્ગ દ્વારા મોડ્યુલો કરી શકાય. આ પરીક્ષણને ઝડપી બહુપદી-સમય અલ્ગોરિધમ બનાવે છે. જો કે, ફર્મેટ સંખ્યાઓ એટલી ઝડપથી વધે છે કે વાજબી સમય અને અવકાશમાં માત્ર મુઠ્ઠીભર ફર્મેટ સંખ્યાઓનું પરીક્ષણ કરી શકાય છે. 3 ની જગ્યાએ અન્ય પાયાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ પાયા છેઃ 3,5,6,7,10,12,14,20,24,27,28,39,40,41,45,48,51,54,56,63,65,75,78,80,82,85,90,91,96,102,105,108,112,119,125,126,130,147,150,156,160,. ઉપરોક્ત ક્રમમાં મૌલિક સંખ્યાઓને એલિટ પ્રાઈમ કહેવામાં આવે છે, તેઓ છેઃ 3,5,7,41,15361,23041,26881,61441,87041,163841,544001,604801,6684673,14172161,159318017,446960641,1151139841,3208642561,38126223361,108905103361,171727482881,318093312001,443069456129,912680550401,. પૂર્ણાંક b> 1, આધાર b નો ઉપયોગ ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે માત્ર મર્યાદિત હોય. હકીકતમાં, પેપિનનું પરીક્ષણ ફર્માટ નંબરો માટે યુલર-જેકોબી પરીક્ષણ જેવું જ છે, કારણ કે જેકોબી પ્રતીક −1 છે, એટલે કે. ઉપર સૂચિબદ્ધ આ પાયા માટે યુલર-જેકોબી સ્યુડોપ્રાઇમ હોય તેવી કોઈ ફર્મેટ સંખ્યાઓ નથી. ચોકસાઈનો પુરાવો પર્યાપ્તતાઃ ધારો કે સુસંગતતા ધરાવે છે. પછી, આમ 3 મોડ્યુલોનો ગુણાકાર ક્રમ વિભાજિત થાય છે, જે બેની ઘાત છે. બીજી બાજુ, ક્રમ વિભાજિત થતો નથી, અને તેથી તે સમાન હોવો જોઈએ. ખાસ કરીને, કોપ્રાઇમની નીચે ઓછામાં ઓછી સંખ્યાઓ હોય છે, અને આ ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે તે અવિભાજ્ય હોય. જરૂરિયાતઃ ધારો કે તે મુખ્ય છે. યુલરના માપદંડ મુજબ, લિજેન્ડર પ્રતીક ક્યાં છે. પુનરાવર્તિત વર્ગ દ્વારા, આપણે શોધીએ છીએ કે, આમ, અને. જેમ કે, આપણે દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના નિયમ પરથી તારણ કાઢીએ છીએ. ઐતિહાસિક પેપિન પરીક્ષણો ફર્માટ સંખ્યાઓની અસ્પષ્ટતાને કારણે, પેપિન પરીક્ષણ માત્ર આઠ વખત ચલાવવામાં આવ્યું છે (ફર્માટ સંખ્યાઓ પર જેની પ્રાથમિકતાની સ્થિતિ પહેલેથી જ જાણીતી ન હતી). મેયર, પાપાડોપોલોસ અને ક્રેન્ડલ અનુમાન કરે છે કે હકીકતમાં, હજુ પણ અનિશ્ચિત ફર્મેટ સંખ્યાઓના કદને કારણે, કોઈપણ વધુ પેપિન પરીક્ષણો વાજબી સમયગાળામાં ચલાવી શકાય તે પહેલાં તે તકનીકીમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ કરશે. કોઈ જાણીતું મુખ્ય પરિબળ ન હોય તેવી સૌથી નાની બિનપરીક્ષિત ફર્મેટ સંખ્યા છે જે 2,585,827,973 અંકો ધરાવે છે. નોંધો સંદર્ભો પી. પેપિન, સુર લા ફોર્મ્યુલ, કોમ્પટેસ રેન્ડસ ડી લ 'એકેડેમી ડેસ સાયન્સિસ ડી પેરિસ 85 (1877), પૃષ્ઠ. 329-333. બાહ્ય કડીઓ ધ પ્રાઇમ ગ્લોસરીઃ પેપિન્સ ટેસ્ટ પ્રાઈમલિટી ટેસ્ટ્સ