Spray (mathematics)
વિભેદક ભૂમિતિમાં, સ્પ્રે એ સ્પર્શક બંડલ TM પરનું વેક્ટર ક્ષેત્ર H છે જે આધાર મેનીફોલ્ડ M પર સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની અર્ધરેખીય બીજા ક્રમની પ્રણાલીને એન્કોડ કરે છે. સામાન્ય રીતે સ્પ્રે એ અર્થમાં સજાતીય હોવો જરૂરી છે કે તેના અભિન્ન વળાંક t → φHt (ω) ω TM હકારાત્મક રિપેરામેટરાઈઝેશનમાં નિયમ φHt (ω) = φHλt (ω) નું પાલન કરે છે. જો આ જરૂરિયાતને પડતી મૂકવામાં આવે, તો H ને અર્ધસ્પ્રે કહેવામાં આવે છે. રીમેનીયન અને ફિન્સલર ભૂમિતિમાં કુદરતી રીતે ભૌમિતિક સ્પ્રે તરીકે સ્પ્રે ઉત્પન્ન થાય છે, જેમના અભિન્ન વળાંક ચોક્કસપણે સ્થાનિક લંબાઈના લઘુતમ વળાંકના સ્પર્શક વળાંક હોય છે. અર્ધસ્પ્રે કુદરતી રીતે લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં એક્શન ઇન્ટિગ્રલ્સના ચરમ વળાંક તરીકે ઉદ્ભવે છે. આ તમામ ઉદાહરણોને સામાન્ય બનાવતા, M પરનું કોઈપણ (સંભવતઃ બિનરેખીય) જોડાણ અર્ધસ્પ્રે H ને પ્રેરિત કરે છે, અને તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ અર્ધસ્પ્રે H, M પર વળાંક-મુક્ત બિનરેખીય જોડાણને પ્રેરિત કરે છે. જો મૂળ જોડાણ વળાંક-મુક્ત હોય તો તે H દ્વારા પ્રેરિત જોડાણ સાથે સુસંગત હોય છે, અને સજાતીય વળાંક-મુક્ત જોડાણો સંપૂર્ણ સ્પ્રે સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં હોય છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ ચાલો M એ વિભેદક મેનીફોલ્ડ અને (TM, πTM, M) તેનું સ્પર્શક બંડલ હોય. પછી TM પર વેક્ટર ક્ષેત્ર H (એટલે કે, ડબલ સ્પર્શક બંડલ TTM નો એક વિભાગ) એ M પર અર્ધસ્પ્રે છે, જો નીચેની ત્રણ સમકક્ષ શરતોમાંથી કોઈપણ હોયઃ (πTM) * Hx = x. JH = V, જ્યાં J એ TM પર સ્પર્શક માળખું છે અને V એ TM પર કેનોનિકલ વેક્ટર ક્ષેત્ર છે. જે ° એચ = એચ, જ્યાં જેઃ TTM → TTM એ કેનોનિકલ ફ્લિપ છે અને એચને મેપિંગ TM → TTM તરીકે જોવામાં આવે છે. M પર અર્ધસ્પ્રે H એ (પૂર્ણ) સ્પ્રે છે જો નીચેની સમકક્ષ શરતોમાંથી કોઈપણ હોયઃ Hλx = λ * (λHx), જ્યાં λ *: TTM → TTM એ λ: TM → TM દ્વારા હકારાત્મક સ્કેલર λ> 0 દ્વારા ગુણાકારનું દબાણ-આગળ છે. કેનોનિકલ વેક્ટર ક્ષેત્ર V સાથે H નો લાઈ-વ્યુત્પન્ન [V, H] = H ને સંતોષે છે. H ના ઇન્ટિગ્રલ વણાંકો t → φHt (φ) ω TM\ 0 કોઈપણ λ> 0 માટે φHt (φ) = φHλt (φ) ને સંતોષે છે. દરેક સ્પર્શક જગ્યા પર સંકલન આધારનો ઉપયોગ કરીને) સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંકળાયેલા સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ બનો. પછી જો તેમાં TM પર દરેક સંકળાયેલ સંકલન પ્રણાલી પર ફોર્મની સ્થાનિક રજૂઆત હોય તો તેના પર અર્ધસ્પ્રે છે. અર્ધસ્પ્રે એચ એક (પૂર્ણ) સ્પ્રે છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સ્પ્રે ગુણાંક જી લેગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં અર્ધસ્પ્રેને સંતુષ્ટ કરે તો એક ભૌતિક પ્રણાલી લેગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં લેગ્રેન્જિયન ફંક્શન એલઃ ટીએમ → આર દ્વારા અમુક રૂપરેખાંકન જગ્યા એમના સ્પર્શક બંડલ પર તૈયાર કરવામાં આવે છે. ગતિશીલ કાયદો હેમિલ્ટોનિયન સિદ્ધાંતમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જે જણાવે છે કે સિસ્ટમની સ્થિતિનું સમય ઉત્ક્રાંતિ γ: [a, b] → M ક્રિયા અભિન્ન માટે સ્થિર છે. TM પરના સંકળાયેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં ક્રિયા ઇન્ટિગ્રલની પ્રથમ વિવિધતા એ રીતે વાંચે છે જ્યાં X: [a, b] → R એ γs ની વિવિધતા સાથે સંકળાયેલ વિવિધતા વેક્ટર ક્ષેત્ર છેઃ [a, b] → M આસપાસ γ (t) = γ0 (t). આ પ્રથમ વિવિધતા સૂત્રને નીચેની વિભાવનાઓ રજૂ કરીને વધુ માહિતીપ્રદ સ્વરૂપમાં પુનઃરચના કરી શકાય છેઃ સાથે કોવેક્ટર એ ની સંયુગ્મિત ગતિ છે. અનુરૂપ એક સ્વરૂપ લેગ્રેન્જિયન સાથે સંકળાયેલ હિલ્બર્ટ-સ્વરૂપ છે. સાથે દ્વિરેખીય સ્વરૂપ એ એટ પર લાગ્રેન્જિયનનું મૂળભૂત ટેન્સર છે. જો મૂળભૂત ટેન્સર દરેક સમયે બિન-ક્ષીણ હોય તો લેગ્રેન્જિયન લેજેન્ડર શરતને સંતોષે છે. પછી ના ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. લાગ્રેન્જિયન સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા છે. જો લીજેન્ડ્રે શરત સંતોષાય છે, તો પછી dα ω2 (TM) એક સિમપ્લેક્ટિક સ્વરૂપ છે, અને TM પર હેમિલ્ટોનિયન કાર્ય E ને અનુરૂપ એક અનન્ય હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્ર H અસ્તિત્વમાં છે. ધારો કે (xi, yi) એ TM પરના સંબંધિત કોઓર્ડિનેટ્સમાં હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ફિલ્ડ H ના ઘટકો છે. પછી અને તેથી આપણે જોઈએ છીએ કે હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્ર H એ સ્પ્રે ગુણાંક સાથે રૂપરેખાંકન જગ્યા M પર અર્ધસ્પ્રે છે હવે પ્રથમ પરિવર્તનશીલ સૂત્રને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે અને આપણે જોઈએ છીએ કે γ [a, b] → M નિશ્ચિત અંત બિંદુઓ સાથે ક્રિયા સંકલન માટે સ્થિર છે જો અને માત્ર જો તેની સ્પર્શક વળાંક γ ': [a, b] → TM હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્ર H માટે અભિન્ન વળાંક હોય. તેથી યાંત્રિક પ્રણાલીઓની ગતિશીલતાને ક્રિયા સંકલનમાંથી ઉદ્ભવતા અર્ધસ્પ્રે દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. જિયોડેસિક સ્પ્રે રીમાનિયન અને ફિન્સલર મેનીફોલ્ડ્સની સ્થાનિક લંબાઈને ઘટાડતા વળાંકને જિયોડેસિક કહેવામાં આવે છે. લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સના માળખાનો ઉપયોગ કરીને આ વળાંકને સ્પ્રે માળખાઓ સાથે વર્ણવી શકાય છે. TM પર લાગ્રેન્જિયન વિધેયને વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં F: TM → R એ ફિન્સલર વિધેય છે. રીમાનિયન કિસ્સામાં F2 (x, ω) = gij (x) ω _ (x) નો ઉપયોગ થાય છે. હવે ઉપરના વિભાગમાંથી વિભાવનાઓનો પરિચય આપો. રીમાનિયન કિસ્સામાં તે તારણ આપે છે કે મૂળભૂત ટેન્સર જી. આઈ. જી. (x, x) એ ફક્ત રીમાનિયન મેટ્રિક જી. આઈ. જી. (x) છે. સામાન્ય કિસ્સામાં ફિન્સલર-વિધેયની એકરૂપતાની સ્થિતિ નીચેના સૂત્રોને સૂચવે છેઃ શાસ્ત્રીય યાંત્રિકની દ્રષ્ટિએ છેલ્લું સમીકરણ જણાવે છે કે પ્રણાલી (M, L) માંની તમામ ઊર્જા ગતિશીલ સ્વરૂપમાં છે. વધુમાં, એક એકરૂપતા ગુણધર્મો મેળવે છે જેમાંથી છેલ્લું કહે છે કે આ યાંત્રિક પ્રણાલી માટે હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્ર H એ સંપૂર્ણ સ્પ્રે છે. અંતર્ગત ફિન્સલર (અથવા રીમાનિયન) મેનીફોલ્ડની સ્થિર ગતિ ભૂગણિતને આ સ્પ્રે દ્વારા નીચેના કારણોસર વર્ણવવામાં આવે છેઃ ફિન્સલર જગ્યાઓ માટે જી-સ્પીન હકારાત્મક ચોક્કસ હોવાથી, કાર્યાત્મક લંબાઈ માટે દરેક ટૂંકા પર્યાપ્ત સ્થિર વળાંક લંબાઈને ઘટાડે છે. ક્રિયા અભિન્ન માટે દરેક સ્થિર વળાંક અચળ ગતિનો હોય છે, કારણ કે ઊર્જા આપમેળે ગતિનો અચળાંક હોય છે. સ્થિર ગતિના કોઈપણ વળાંક માટે ક્રિયા અભિન્ન અને કાર્યાત્મક લંબાઈ આ રીતે સંબંધિત છે તેથી, વળાંક ક્રિયા અભિન્ન માટે સ્થિર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સ્થિર ગતિ અને કાર્યાત્મક લંબાઈ માટે સ્થિર હોય. હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્ર H ને ફિન્સલર મેનીફોલ્ડ (M, F) નો જીઓડેસિક સ્પ્રે કહેવામાં આવે છે અને અનુરૂપ પ્રવાહ φHt (ω) ને જીઓડેસિક પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે. બિનરેખીય જોડાણો સાથે પત્રવ્યવહાર સરળ મેનીફોલ્ડ પર અર્ધસ્પ્રે તેના આડી અને ઊભી ધારણાઓ દ્વારા સ્લિટ સ્પર્શક બંડલ પર એહરેસમેન-જોડાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે TM\0 પરના આ જોડાણમાં હંમેશા અદ્રશ્ય થઈ રહેલો વળાંક ટેન્સર હોય છે, જેને ફ્રોલિચર-નિજેનહુઇસ કૌંસ T = [[J, v] તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ પ્રાથમિક શબ્દોમાં વળાંકને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે TM\0 પર કેનોનિકલ વેક્ટર ક્ષેત્ર V નો પરિચય આપવો અને પ્રેરિત જોડાણની સંલગ્ન રચના θ અર્ધસ્પ્રેના આડા ભાગને hH = θV તરીકે લખી શકાય છે. પ્રથમ સ્પ્રે અપરિવર્તન સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ દ્વારા પ્રેરિત બિન-રેખીય જોડાણના તણાવ સાથે સંબંધિત છે તેથી, પ્રથમ સ્પ્રે અપરિવર્તનશીલ ε (અને તેથી સમગ્ર અર્ધ-સ્પ્રે H) દ્વારા બિન-રેખીય જોડાણમાંથી પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે. સ્પ્રે અને સેમીસ્પ્રેના જેકોબી ક્ષેત્રો સેમીસ્પ્રેના જેકોબી ક્ષેત્રો માટે સારો સ્રોત સેકશન 4.4 છે, જે બુકાટારુ અને મિરોન દ્વારા જાહેરમાં ઉપલબ્ધ પુસ્તક ફિન્સલર-લેગ્રેન્જ ભૂમિતિના સેમીસ્પ્રેના જેકોબી સમીકરણો છે. ખાસ નોંધ એ છે કે ગતિશીલ કોવેરિયન્ટ વ્યુત્પન્નનો તેમનો ખ્યાલ છે. અન્ય પેપર બુકાતારુમાં, કોન્સ્ટેન્ટિનેસ્કુ અને ડાહલ આ ખ્યાલને કોસાંબી બાયડરિવેટિવ ઓપરેટર સાથે સંબંધિત કરે છે. કોસાંબીની પદ્ધતિઓના સારા પરિચય માટે, લેખ જુઓ, કોસાંબી-કાર્ટન-ચેર્ન સિદ્ધાંત શું છે? સંદર્ભો. . વિભેદક ભૂમિતિ ફિન્સલર ભૂમિતિ