Krein–Milman theorem
કાર્યાત્મક વિશ્લેષણના ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં, ક્રેઇન-મિલમેન પ્રમેય એ સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યાઓ (ટીવીએસ) માં સઘન બહિર્મુખ સમૂહો વિશેની દરખાસ્ત છે. આ પ્રમેય અનંત-પરિમાણીય જગ્યાઓને સામાન્ય બનાવે છે અને મનસ્વી રીતે સઘન બહિર્મુખ નીચેના મૂળભૂત નિરીક્ષણને સુયોજિત કરે છેઃ એક બહિર્મુખ (એટલે કે. "ભરેલો") ત્રિકોણ, તેની પરિમિતિ અને "તેની અંદરનો વિસ્તાર" સહિત, તેના ત્રણ શિરોબિંદુઓના બહિર્મુખ આવરણની બરાબર છે, જ્યાં આ શિરોબિંદુઓ બરાબર આ આકારના આત્યંતિક બિંદુઓ છે. આ અવલોકન પ્લેન સ્ટેટમેન્ટમાં અન્ય કોઈપણ બહિર્મુખ બહુકોણ માટે પણ છે અને વ્યાખ્યાઓ પ્રારંભિક અને વ્યાખ્યાઓ સમગ્ર, એક વાસ્તવિક અથવા જટિલ વેક્ટર જગ્યા હશે. કોઈપણ ઘટકો માટે અને વેક્ટર જગ્યામાં, સમૂહને અને વચ્ચેનો બંધ અંતરાલ અથવા અને વચ્ચેનો ખુલ્લો અંતરાલ કહેવામાં આવે છે જ્યારે તે સંતુષ્ટ થાય છે અને બિંદુઓ અને આ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. અંતરાલને યોગ્ય અથવા યોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો તેના અંતિમ બિંદુઓ અલગ હોય. અંતરાલો અને હંમેશા તેમના અંતિમ બિંદુઓ ધરાવે છે જ્યારે અને ક્યારેય તેમના અંતિમ બિંદુઓમાંથી કોઈ એકને સમાવતા નથી. જો અને વાસ્તવિક રેખામાં બિંદુઓ હોય તો ઉપરની વ્યાખ્યા બંધ અંતરાલ તરીકેની તેની સામાન્ય વ્યાખ્યા જેવી જ છે. કોઈપણ માટે બિંદુને (સખત રીતે) કહેવામાં આવે છે અને જો તે ખુલ્લી રેખા ખંડ સાથે સંબંધિત હોય તો જો તે કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચે ન હોય તો તેને આત્યંતિક બિંદુ કહેવામાં આવે છે. બંધ એકમ ડિસ્કના ચરમ બિંદુઓ એકમ વર્તુળ છે. દરેક ખુલ્લા અંતરાલ અને અધોગતિગ્રસ્ત બંધ અંતરાલમાં કોઈ આત્યંતિક બિંદુઓ હોતા નથી જ્યારે બિન-અધોગતિગ્રસ્ત બંધ અંતરાલના આત્યંતિક બિંદુઓ હોય છે અને એક સમૂહને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો કોઈ પણ બે બિંદુઓ માટે રેખા ખંડ હોય તો સૌથી નાના બહિર્મુખ સમૂહને બહિર્મુખ હલ કહેવામાં આવે છે અને તેને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહનો બહિર્મુખ આવરણ કાં તો બંધ રેખાખંડ (જો તે સમરેખીય હોય તો) અથવા તેની પરિમિતિ સહિત ઘન (એટલે કે "ભરેલો") ત્રિકોણ બનાવે છે. અને સમતલમાં એકમ વર્તુળ બહિર્મુખ છે પરંતુ બંધ એકમ ડિસ્ક બહિર્મુખ છે અને વધુમાં, આ ડિસ્ક વર્તુળના બહિર્મુખ હલની બરાબર છે. સામાન્ય ધોરણ સાથે સ્ક્વેર-સુમેબલ સિક્વન્સની અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ સ્પેસ એલ. પી. જગ્યામાં કોમ્પેક્ટ સબસેટ હોય છે, જેની કન્વેક્સ હલ બંધ હોય છે અને આમ કોમ્પેક્ટ પણ હોય છે. જો કે, તમામ સંપૂર્ણ હૌસડોર્ફ સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ જગ્યાઓની જેમ, આ સઘન ઉપગણનું બહિર્મુખ આવરણ સઘન હશે. પરંતુ જો હૌસડોર્ફ સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ જગ્યા પૂર્ણ ન હોય તો તે સામાન્ય રીતે બાંયધરી આપે છે કે જ્યારે પણ હોય ત્યારે તે સઘન હશે; એક ઉદાહરણ (બિન-પૂર્ણ) પૂર્વ-હિલ્બર્ટ વેક્ટર સબસ્પેસમાં પણ મળી શકે છે દરેક સઘન સબસેટ સંપૂર્ણપણે બંધાયેલ છે (જેને "પ્રીકોમ્પેક્ટ" પણ કહેવાય છે) અને હૌસડોર્ફ સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ જગ્યાના સંપૂર્ણપણે બંધાયેલ સબસેટના બંધ બહિર્મુખ હલને સંપૂર્ણપણે બંધાયેલ હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે. નિવેદન જ્યાં સઘન સમૂહ પણ બહિર્મુખ હોય તેવા કિસ્સામાં, ઉપરોક્ત પ્રમેય આગામી પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ છે, જેને ઘણીવાર ક્રેઇન-મિલમેન પ્રમેય પણ કહેવામાં આવે છે. આત્યંતિક બિંદુઓના બહિર્મુખ પત્થરો એક બહિર્મુખ સબસેટ બનાવે છે, તેથી સાબિતીનો મુખ્ય બોજ એ બતાવવાનો છે કે ત્યાં પૂરતા આત્યંતિક બિંદુઓ છે જેથી તેમના બહિર્મુખ પત્થરો બધાને આવરી લે. આ કારણોસર, ઉપરોક્ત પ્રમેયના નીચેના પરિણામને ઘણીવાર ક્રેઇન-મિલ્મેન પ્રમેય પણ કહેવામાં આવે છે. આ પ્રમેય અને તેના નિષ્કર્ષની કલ્પના કરવા માટે, ચોક્કસ કેસને ધ્યાનમાં લો જ્યાં બહિર્મુખ બહુકોણ છે. આ કિસ્સામાં, બહુકોણના ખૂણાઓ (જે તેના આત્યંતિક બિંદુઓ છે) બહુભુજ આકારને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે જરૂરી છે. જો બહુકોણ બહિર્મુખ ન હોય તો પ્રમેયનું નિવેદન ખોટું છે, કારણ કે પછી ખૂણા તરીકે બિંદુઓ આપેલા બહુકોણને દોરવાની ઘણી રીતો છે. કન્વેક્સ સેટ કોમ્પેક્ટ હોવાની જરૂરિયાતને થીયરમનું નીચેનું મજબૂત સામાન્યીકરણ સંસ્કરણ આપવા માટે નબળી પાડી શકાય છે. ઉપરની મિલકતને કેટલીકવાર અથવા કહેવામાં આવે છે. કોમ્પેક્ટનેસ બહિર્મુખ કોમ્પેક્ટનેસ સૂચવે છે કારણ કે ટોપોલોજિકલ જગ્યા કોમ્પેક્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો મર્યાદિત આંતરછેદ ગુણધર્મ (એફ. આઈ. પી.) ધરાવતા બંધ ઉપગણના દરેક પરિવારમાં બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય (એટલે કે, તેનો કર્નલ ખાલી ન હોય). બહિર્મુખ સઘનતાની વ્યાખ્યા એફ. આઈ. પી. ની દ્રષ્ટિએ સઘન જગ્યાઓના આ લાક્ષણિકતા જેવી જ છે, સિવાય કે તેમાં ફક્ત તે બંધ ઉપગણોનો સમાવેશ થાય છે જે બહિર્મુખ પણ હોય છે (તમામ બંધ ઉપગણને બદલે). વધુ સામાન્ય સુયોજનો આજુબાજુની જગ્યા માટે સ્થાનિક બહિર્મુખતાની ધારણા જરૂરી છે, કારણ કે બિન-સ્થાનિક બહિર્મુખ જગ્યા માટે એક પ્રતિ-ઉદાહરણનું નિર્માણ કર્યું છે જ્યાં રેખીયતા પણ જરૂરી છે, કારણ કે નિવેદન કેટ (0) જગ્યાઓમાં નબળા કોમ્પેક્ટ બહિર્મુખ સમૂહો માટે નિષ્ફળ જાય છે, જેમ કે સાબિત થાય છે. જો કે, સાબિત થયું કે ક્રેઇન-મિલ્મન પ્રમેય કોમ્પેક્ટ કે. એ. ટી. (0) જગ્યાઓ માટે ધરાવે છે. સંબંધિત પરિણામો અગાઉની ધારણાઓ હેઠળ જો તેનો સબસેટ છે અને બંધ બહિર્મુખ પત્થરો બધા છે તો પછી દરેક આત્યંતિક બિંદુ ક્રેઇન-મિલમેન થીયરમના ક્લોઝર સાથે સંબંધિત છે. ચોક્વેટ-બિશપ-ડી લીયુ પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક બિંદુ પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સાથે સંબંધના આત્યંતિક બિંદુઓના સમૂહ પર સમર્થિત સંભાવના માપનનું બેરિસેન્ટર છે. ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ સમૂહ સિદ્ધાંત (ઝેડએફ) સ્વયંસિદ્ધ માળખા હેઠળ, પસંદગીનું સ્વયંસિદ્ધ (એસી) ઉપર આપેલા ક્રેઇન-મિલમેન પ્રમેયની તમામ આવૃત્તિઓને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે, જેમાં નિવેદન કેએમ અને તેના સામાન્યીકરણ એસકેએમનો સમાવેશ થાય છે. પસંદગીનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત પણ સૂચવે છે, પરંતુ તે બુલિયન મુખ્ય આદર્શ પ્રમેય (BPI) ની સમકક્ષ નથી, જે બનાચ-અલાઓગ્લુ પ્રમેયની સમકક્ષ છે. તેનાથી વિપરીત, ક્રેઇન-મિલ્મન પ્રમેય KM સાથે મળીને બુલિયન મુખ્ય આદર્શ પ્રમેય (BPI) પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને સૂચવે છે. ટૂંકમાં કહીએ તો, જો કે. એમ. અને બી. પી. આઈ. બંને હોય તો જ એસી ચાલે છે. તે અનુસરે છે કે ઝેડએફ હેઠળ, પસંદગીનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત નીચેના નિવેદનની સમકક્ષ છેઃ કોઈપણ વાસ્તવિક પ્રમાણભૂત જગ્યાના સતત બેવડા અવકાશનો બંધ એકમ દડો એક આત્યંતિક બિંદુ ધરાવે છે. વધુમાં, વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાઓ (એચ. બી.) માટે હાન-બનાચ પ્રમેય સાથે એસ. કે. એમ. પણ પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધની સમકક્ષ છે. તે જાણીતું છે કે બી. પી. આઈ. એચ. બી. સૂચવે છે, પરંતુ તે તેની સમકક્ષ નથી (અલગ રીતે કહ્યું, બી. પી. આઈ. એચ. બી. કરતા સખત રીતે મજબૂત છે). ઇતિહાસ દ્વારા સાબિત થયેલ મૂળ નિવેદન અહીં જણાવેલા સ્વરૂપ કરતાં કંઈક અંશે ઓછું સામાન્ય હતું. અગાઉ, સાબિત કર્યું હતું કે જો તે ત્રિ-પરિમાણીય હોય તો તે તેના આત્યંતિક બિંદુઓના સમૂહના બહિર્મુખ આવરણની બરાબર હોય છે. આ દાવા દ્વારા કોઈપણ મર્યાદિત પરિમાણના કિસ્સામાં વિસ્તરણ કરવામાં આવ્યું હતું. ક્રેઇન-મિલમેન પ્રમેય આને મનસ્વી સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ તરીકે સામાન્ય બનાવે છે; જો કે, મર્યાદિતથી અનંત પરિમાણીય જગ્યાઓ સુધી સામાન્ય બનાવવા માટે, ક્લોઝરનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. સાઇટેશન ગ્રંથસૂચિ એન. કે. નિકોલસ્કીજ (એડ.) પણ જુઓ. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ I. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, 1992. એચ. એલ. રોયડેન, વાસ્તવિક વિશ્લેષણ. પ્રેન્ટિસ-હોલ, એન્ગલવુડ ક્લિફ્સ, ન્યૂ જર્સી, 1988. બહિર્મુખ હલ્સ ઓરિએન્ટેડ મેટ્રોઇડ્સ બહિર્મુખ ભૂમિતિમાં પ્રમેયો સંલગ્ન પ્રમેયો સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં પ્રમેયો કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યાઓ