Cartan's criterion
ગણિતમાં, કાર્ટનનો માપદંડ લાક્ષણિકતા 0માં આવેલા લાઈ બીજગણિતને ઉકેલવા માટે શરતો આપે છે, જે લાઈ બીજગણિતને અર્ધ-સરળ બનાવવા માટે સંબંધિત માપદંડ સૂચવે છે. તે હત્યાના સ્વરૂપની કલ્પના પર આધારિત છે, જે સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે જ્યાં 'ટીઆર' એક રેખીય સંચાલકના નિશાનને સૂચવે છે. દ્વારા માપદંડ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. સોલ્વેબિલિટી માટે કાર્ટનનું માપદંડ સોલ્વેબિલિટી માટે કાર્ટનનું માપદંડ જણાવે છેઃ લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સનો લાઈ સબઅલજેબ્રા ઉકેલવા યોગ્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે પણ સોલ્વેબલ કિસ્સામાં લાઈના પ્રમેયને અનુસરે છે જે જમીન ક્ષેત્રના બીજગણિત બંધ પર ઉપલા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં મૂકે છે (ટ્રેસની ગણતરી જમીન ક્ષેત્રને વિસ્તૃત કર્યા પછી કરી શકાય છે). જોર્ડન-ચેવલી વિઘટનના આધારે નિલપોટેન્સી માપદંડમાંથી વિપરીત અનુમાન કરી શકાય છે (પુરાવા માટે, લિંકને અનુસરો). સંલગ્ન રજૂઆત માટે કાર્ટનના માપદંડને લાગુ કરવાથી મળે છેઃ લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત ઉકેલી શકાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ (જ્યાં K એ હત્યાનું સ્વરૂપ છે). અર્ધ-સરળતા માટે કાર્ટનનો માપદંડ કાર્ટનનો અર્ધ-સરળતા માટેનો માપદંડ જણાવે છેઃ લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત અર્ધ-સરળ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કિલિંગ સ્વરૂપ બિન-વિકૃત હોય. તેમણે ખૂબ જ ટૂંકો પુરાવો આપ્યો કે જો મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત (કોઈપણ લાક્ષણિકતામાં) બિન-અપક્ષયી દ્વિરેખીય સ્વરૂપ ધરાવે છે અને કોઈ બિન-શૂન્ય અબેલિયન આદર્શો નથી, અને ખાસ કરીને જો તેનું હત્યાનું સ્વરૂપ બિન-અપક્ષયી હોય, તો તે સરળ લાઈ બીજગણિતનો સરવાળો છે. તેનાથી વિપરીત, તે ઉકેલવા માટેના કાર્ટનના માપદંડથી સરળતાથી અનુસરે છે કે અર્ધ-સરળ બીજગણિત (લાક્ષણિકતા 0 માં) બિન-વિકૃત હત્યાનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. કાર્ટનના માપદંડ લાક્ષણિકતામાં નિષ્ફળ જાય છે; ઉદાહરણ તરીકેઃ લાઈ બીજગણિત સરળ છે જો કે લાક્ષણિકતા 2 નથી અને અદ્રશ્ય થતું કિલિંગ સ્વરૂપ ધરાવે છે, જો કે તેના દ્વારા આપવામાં આવેલ બિન-શૂન્ય અપરિવર્તનશીલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ હોય છે. લાઈ બીજગણિત માટે આધાર અને કૌંસ [એઆઇ, એજે] = (આઇ-જે) એઆઇ + જે માટે સરળ છે પરંતુ તેમાં કોઈ બિન-શૂન્ય અપરિવર્તનશીલ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ નથી. જો કે લાક્ષણિકતા 2 ધરાવે છે, તો અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન જીએલ2 (કે). કે2 એ ઉકેલવા યોગ્ય લાઈ બીજગણિત છે, પરંતુ કિલિંગ ફોર્મ તેના વ્યુત્પન્ન બીજગણિત એસએલ2 (કે). કે2 પર સમાન રીતે શૂન્ય નથી. જો મર્યાદિત-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત નિલપોટેન્ટ હોય, તો કિલિંગ સ્વરૂપ સમાન રીતે શૂન્ય હોય છે (અને વધુ સામાન્ય રીતે કિલિંગ સ્વરૂપ કોઈપણ નિલપોટેન્ટ આદર્શ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે). ઊલટું ખોટું છેઃ બિન-નિલપોટેન્ટ લાઈ આલ્જેબ્રા છે જેનું હત્યાનું સ્વરૂપ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. એક ઉદાહરણ એબેલિયન લાઈ બીજગણિત V ના અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં 1-પરિમાણીય લાઈ બીજગણિત V પર એન્ડોમોર્ફિઝમ b તરીકે કાર્ય કરે છે, જેમ કે b એ નિલપોટેન્ટ નથી અને Tr (b2) = 0 છે. લાક્ષણિકતા 0 માં, દરેક રિડક્ટિવ લાઈ બીજગણિત (જે અબેલિયન અને સરળ લાઈ બીજગણિતનો સરવાળો છે) બિન-ડિજનરેટ અપરિવર્તનશીલ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ ધરાવે છે. જો કે ઊલટું ખોટું છેઃ બિન-અપક્ષયી સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સાથેનું લાઈ બીજગણિત સરળ અને અબેલિયન લાઈ બીજગણિતનો સરવાળો હોવો જરૂરી નથી. એક લાક્ષણિક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ G = L [t]/tnL [t] છે જ્યાં n> 1, L એ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ (,) સાથેનો એક સરળ જટિલ લાઈ બીજગણિત છે, અને G પરનું દ્વિરેખીય સ્વરૂપ C [t]-મૂલ્યના દ્વિરેખીય સ્વરૂપના tn − 1 ના ગુણાંકને G પર L પરના સ્વરૂપ દ્વારા પ્રેરિત કરીને આપવામાં આવે છે. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ બિન-વિકૃત છે, પરંતુ લાઈ બીજગણિત એ સરળ અને અબેલિયન લાઈ બીજગણિતનો સરવાળો નથી. નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ મોડ્યુલર લાઈ બીજગણિત લાઈ આલ્જેબ્રા