Reflection principle
સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, ગણિતની એક શાખામાં, પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત કહે છે કે એવા સમૂહો શોધવાનું શક્ય છે કે જે, આપેલ કોઈપણ ગુણધર્મના સંદર્ભમાં, તમામ સમૂહોના વર્ગને મળતા આવે. "સામ્યતા" નો અર્થ શું છે તેના આધારે પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતના ઘણા જુદા જુદા સ્વરૂપો છે. પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતના નબળા સ્વરૂપો ZF સમૂહ સિદ્ધાંતના પ્રમેયો છે, જ્યારે મજબૂત સ્વરૂપો સમૂહ સિદ્ધાંત માટે નવા અને ખૂબ શક્તિશાળી સ્વયંસિદ્ધ હોઈ શકે છે. "પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત" નામ એ હકીકત પરથી આવ્યું છે કે બ્રહ્માંડના તમામ સમૂહોના ગુણધર્મો નાના સમૂહમાં "પ્રતિબિંબિત" થાય છે. પ્રેરણા પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતનું નિષ્કપટ સંસ્કરણ જણાવે છે કે "બ્રહ્માંડના તમામ સમૂહોના કોઈપણ ગુણધર્મ માટે આપણે સમાન ગુણધર્મ સાથે સમૂહ શોધી શકીએ છીએ". આ તાત્કાલિક વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છેઃ તમામ સમૂહોના બ્રહ્માંડમાં તમામ સમૂહો હોય છે, પરંતુ તે ગુણધર્મ સાથે કોઈ સમૂહ નથી કે જેમાં તમામ સમૂહો હોય. ઉપયોગી (અને બિન-વિરોધાભાસી) પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતો મેળવવા માટે આપણે "મિલકત" નો અર્થ શું છે અને આપણે કયા ગુણધર્મોને મંજૂરી આપીએ છીએ તે વિશે વધુ સાવચેત રહેવાની જરૂર છે. પ્રતિબિંબના સિદ્ધાંતો એ વિચારને ઘડવાના પ્રયાસો સાથે સંકળાયેલા છે કે કોઈ એક કલ્પના, વિચાર અથવા નિવેદન સમૂહોના બ્રહ્માંડના આપણા સંપૂર્ણ દૃષ્ટિકોણને પકડી શકતું નથી. કર્ટ ગોડેલ તેને નીચે પ્રમાણે વર્ણવે છેઃ જ્યોર્જ કેન્ટરે સંપૂર્ણ અનંત પર સમાન મંતવ્યો વ્યક્ત કર્યાઃ આ સંખ્યામાં તમામ કાર્ડિનાલિટી ગુણધર્મો સંતુષ્ટ છે, જેમાં નાના કાર્ડિનલ દ્વારા રાખવામાં આવે છે. બિન-વિરોધાભાસી પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતો શોધવા માટે આપણે અનૌપચારિક રીતે નીચે પ્રમાણે દલીલ કરી શકીએ છીએ. ધારો કે આપણી પાસે સમૂહ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓનો અમુક સંગ્રહ A છે (ઉદાહરણ તરીકે, પાવરસેટ, સબસેટ, રિપ્લેસમેન્ટનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત વગેરે). આપણે આ બધી પદ્ધતિઓને વારંવાર લાગુ કરીને મેળવેલા તમામ સમૂહો લેવાની કલ્પના કરી શકીએ છીએ, અને આ સમૂહોને વર્ગ X માં બનાવી શકીએ છીએ, જેને અમુક સમૂહ સિદ્ધાંતના નમૂના તરીકે વિચારી શકાય છે. પરંતુ આ દ્રષ્ટિકોણના પ્રકાશમાં, V એ મુઠ્ઠીભર કામગીરીઓ દ્વારા સમાપ્ત થતું નથી, અન્યથા તે નીચેથી સરળતાથી વર્ણવી શકાય છે, આ સિદ્ધાંતને અક્ષયતા (V ની) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પરિણામે, V એ X કરતા મોટો છે. સમૂહ X પર જ A માં પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાથી V કરતા નાનો સંગ્રહ પણ થશે, કારણ કે A માં કામગીરી હેઠળ X ની છબીમાંથી V સમાપ્ત થતું નથી. પછી આપણે સમૂહ બનાવવા માટે નીચેનો નવો સિદ્ધાંત રજૂ કરી શકીએ છીએઃ "સંગ્રહ A માં બધી પદ્ધતિઓને વારંવાર લાગુ કરીને અમુક સમૂહમાંથી મેળવેલા તમામ સમૂહોનો સંગ્રહ પણ એક સમૂહ છે". આ સિદ્ધાંતને A માં ઉમેર્યા પછી, V હજુ પણ આ નવા A માં કામગીરી દ્વારા સમાપ્ત થતું નથી. આ પ્રક્રિયાને વધુ અને વધુ પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે, સમૂહ A માં વધુને વધુ કામગીરી ઉમેરી શકાય છે અને મોટા અને મોટા મોડેલો X મેળવી શકાય છે. દરેક X એ અર્થમાં V જેવું લાગે છે કે તે A માં કામગીરી હેઠળ બંધ થવાની મિલકતને V સાથે વહેંચે છે. આપણે આ અનૌપચારિક દલીલનો બે રીતે ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આપણે તેને (કહો) ઝેડએફ સમૂહ સિદ્ધાંતમાં ઔપચારિક બનાવવાનો પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ; આ કરીને આપણે ઝેડએફ સમૂહ સિદ્ધાંતના કેટલાક પ્રમેયો મેળવીએ છીએ, જેને પ્રતિબિંબ પ્રમેયો કહેવાય છે. વૈકલ્પિક રીતે આપણે આ દલીલનો ઉપયોગ સમૂહ સિદ્ધાંત માટે નવા સિદ્ધાંતો રજૂ કરવા માટે પ્રેરિત કરી શકીએ છીએ, જેમ કે મોટા કાર્ડિનલ્સના અસ્તિત્વ પર ભાર મૂકતા કેટલાક સિદ્ધાંતો. ZF સમૂહ સિદ્ધાંતમાં અગાઉના વિભાગના પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત માટેની દલીલને ઔપચારિક બનાવવાના પ્રયાસમાં, ગુણધર્મો A ના સંગ્રહ વિશે કેટલીક શરતો ઉમેરવી જરૂરી હોવાનું બહાર આવ્યું છે (ઉદાહરણ તરીકે, A મર્યાદિત હોઈ શકે છે). આમ કરવાથી ઘણા નજીકથી સંબંધિત "પ્રતિબિંબ પ્રમેયો" ઉત્પન્ન થાય છે, જે તમામ જણાવે છે કે આપણે એક સમૂહ શોધી શકીએ છીએ જે લગભગ ZFCનું એક મોડેલ છે. મજબૂત પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતોથી વિપરીત, આ ZFC માં સાબિત કરી શકાય છે. ઝેડએફસી માટે સૌથી સામાન્ય પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતોમાંથી એક પ્રમેય યોજના છે જેને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છેઃ પરિમાણો સાથેના કોઈપણ સૂત્ર માટે, જો સાચું હોય (સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક બ્રહ્માંડમાં), તો ત્યાં સંચિત પદાનુક્રમનું એક સ્તર છે જેમ કે. આને લેવી-મોન્ટેગ પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત અથવા લેવી પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેની મુખ્યત્વે અને માં તપાસ કરવામાં આવી છે. આ પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતનું બીજું સંસ્કરણ કહે છે કે ZFC ના સૂત્રોની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યા માટે આપણે સંચિત પદાનુક્રમમાં એક સમૂહ શોધી શકીએ છીએ જેમ કે સમૂહમાંના તમામ સૂત્રો નિરપેક્ષ છે (જેનો અર્થ એ છે કે તેઓ જો અને માત્ર ત્યારે જ પકડી રાખે છે જો તેઓ બધા સમૂહોના બ્રહ્માંડમાં ધરાવે છે). તેથી આ કહે છે કે સમૂહ તમામ સમૂહોના બ્રહ્માંડ જેવો દેખાય છે, ઓછામાં ઓછું જ્યાં સુધી સૂત્રોની આપેલ મર્યાદિત સંખ્યાની વાત છે. ઝેડએફસી માટે અન્ય પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત એ પ્રમેય યોજના છે જેને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છેઃ ચાલો મહત્તમ મુક્ત ચલ સાથે સૂત્ર બનીએ. પછી ZFC એ સાબિત કરે છે કે જ્યાં થી ના સાપેક્ષકરણને સૂચવે છે (એટલે કે, ફોર્મમાં અને અનુક્રમે અને દ્વારા દેખાતા તમામ પરિમાણોને બદલે છે). ઝેડ. એફ. સી. માં પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતનું બીજું સ્વરૂપ કહે છે કે ઝેડ. એફ. સી. ના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહ માટે આપણે આ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષતા ગણતરીપાત્ર સંક્રમક મોડેલ શોધી શકીએ છીએ. (ખાસ કરીને આ સાબિત કરે છે કે, જ્યાં સુધી અસંગત ન હોય ત્યાં સુધી, ઝેડએફસી મર્યાદિત રીતે સ્વયંસિદ્ધ નથી કારણ કે જો તે હોત તો તે પોતાના નમૂનાનું અસ્તિત્વ સાબિત કરશે, અને તેથી તેની પોતાની સુસંગતતા સાબિત કરશે, જે ગોડેલના બીજા અપૂર્ણતા પ્રમેયની વિરોધાભાસી છે.) પ્રતિબિંબ પ્રમેયની આ આવૃત્તિ લોવેનહેમ-સ્કોલેમ પ્રમેય સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. જો મજબૂત અપ્રાપ્ય કાર્ડિનલ હોય, તો તેનો એક બંધ અમર્યાદિત સબસેટ હોય છે, જેમ કે દરેક માટે, થી થી ઓળખ કાર્ય એ પ્રાથમિક એમ્બેડિંગ છે. અંકગણિત માટે પ્રતિબિંબના સિદ્ધાંતોને અંકગણિતના સિદ્ધાંતો માટે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે જે સામાન્ય રીતે ZFC કરતા ઘણા નબળા હોય છે. કારણ કે, એક-મોડલ એ એક મોડેલ છે જે નિવેદનોના સાચા સત્ય મૂલ્યો ધરાવે છે, જ્યાં તે વિશ્લેષણાત્મક પદાનુક્રમના દસમા સ્તર પર છે. બીજા ક્રમના અંકગણિતની પેટા પ્રણાલીના ગણતરીપાત્ર-નમૂનામાં કુદરતી સંખ્યાઓના ગણતરીપાત્ર સમૂહનો સમાવેશ થાય છે, જેને તેના ઉપગણ તરીકે એન્કોડ કરી શકાય છે. આ સિદ્ધાંત-મોડેલના અસ્તિત્વને સાબિત કરે છે, જેને-model.Theorem VII.2.16 તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે સૂત્રો માટેનો-મોડેલ પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત જણાવે છે કે કોઈપણ સૂત્ર માટે તેના એકમાત્ર મુક્ત સમૂહ ચલ તરીકે, બધા માટે, જો તે ધરાવે છે, તો ત્યાં એક ગણતરીપાત્ર કોડેડ-મોડેલ છે જ્યાં તે છે. આશ્રિત પસંદગીની યોજના દ્વારા વિસ્તરણ સ્વયંસિદ્ધ છે. કોઈપણ માટે, સિસ્ટમ formulas.Theorem VII.7.6 માટે-રિફ્લેક્શનની સમકક્ષ છે-મોડલ રિફ્લેક્શન સેટ-થિયોરેટિક રિફ્લેક્શન સાથે જોડાણ ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે નબળા સેટ થિયરી કેપી પર,-સૂત્રોના પ્રતિબિંબની યોજનાને સંક્રમક સમૂહોમાં (તમામ સૂત્રો માટે) ઉમેરવાથી સૂત્રો માટે સમાન-પરિમાણો વત્તા-મોડલ રિફ્લેક્શનની યોજના મળે છે. નવા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો બર્નેઝના વર્ગ સિદ્ધાંત તરીકે પોલ બર્નેસે સમૂહ સિદ્ધાંતના એક સંસ્કરણ માટે સ્વયંસિદ્ધ તરીકે પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો હતો (વોન ન્યુમેન-બર્નેઝ-ગોડેલ સમૂહ સિદ્ધાંત નહીં, જે એક નબળો સિદ્ધાંત છે). તેમના પ્રતિબિંબના સિદ્ધાંતે આશરે જણાવ્યું હતું કે જો કોઈ ગુણધર્મ ધરાવતો વર્ગ હોય, તો કોઈ વ્યક્તિ "બ્રહ્માંડ" ના સબસેટ તરીકે ગણવામાં આવે ત્યારે સમાન ગુણધર્મ ધરાવતો સંક્રમક સમૂહ શોધી શકે છે. આ તદ્દન શક્તિશાળી સ્વયંસિદ્ધ છે અને અપ્રાપ્ય કાર્ડિનલ્સ જેવા કેટલાક નાના મોટા કાર્ડિનલ્સનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. (આશરે કહીએ તો, ઝેડએફસીમાં તમામ ઓર્ડિનલ્સનો વર્ગ એ હકીકત સિવાય અપ્રાપ્ય કાર્ડિનલ છે કે તે સમૂહ નથી, અને પછી પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે એક સમૂહ છે જેનો સમાન ગુણધર્મ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તે અપ્રાપ્ય કાર્ડિનલ છે.) કમનસીબે, આને સીધું ઝેડએફસીમાં સ્વયંસિદ્ધ કરી શકાતું નથી, અને સામાન્ય રીતે મોર્સ-કેલી સમૂહ સિદ્ધાંત જેવા વર્ગ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. બર્નેઝના પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતની સુસંગતતા ω-એર્ડોસ કાર્ડિનલના અસ્તિત્વ દ્વારા ગર્ભિત છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, બર્નેઝના વર્ગ સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો છેઃ વિસ્તરણ વર્ગ સ્પષ્ટીકરણઃ મુક્ત વગરના કોઈપણ સૂત્ર માટે, ઉપગણઃ પ્રતિબિંબઃ કોઈપણ સૂત્ર માટે, પાયાની પસંદગી જ્યાં પાવરસેટ સૂચવે છે. અકિહિરો કાનામોરીના જણાવ્યા અનુસાર, 1961ના એક પેપરમાં, બર્નેસે મુક્ત વગરના કોઈપણ સૂત્ર માટે પ્રતિબિંબ યોજનાને ધ્યાનમાં લીધી હતી, જ્યાં દાવો કરવામાં આવે છે કે તે સંક્રમક છે. અવલોકનથી શરૂ કરીને કે સેટ પરિમાણો દેખાઈ શકે છે અને તેમને સમાવવા માટે જરૂરી હોઈ શકે છે, બર્નેસે આ યોજના સાથે જોડી, જોડાણ, અનંત અને રિપ્લેસમેન્ટની સ્થાપના કરી છે, જે અસરકારક રીતે ઝેડએફની નોંધપાત્ર આર્થિક રજૂઆત પ્રાપ્ત કરે છે. અન્ય એકરમેન સમૂહ સિદ્ધાંતની કેટલીક રચનાઓ પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. એકરમેનનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત જણાવે છે કે, કોઈપણ સૂત્રનો ઉલ્લેખ ન કરવા માટે, પીટર કોએલનરે દર્શાવ્યું હતું કે "આંતરિક રીતે ન્યાયી" માનવામાં આવતા પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતોનો સામાન્ય વર્ગ કાં તો અસંગત અથવા નબળો છે, જેમાં તેઓ એર્ડોસ કાર્ડિનલ સાથે સુસંગત છે. જો કે, વધુ શક્તિશાળી પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતો છે, જે વિવિધ મોટા મુખ્ય સિદ્ધાંતો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. લગભગ દરેક જાણીતા મોટા મુખ્ય સ્વયંસિદ્ધ માટે એક જાણીતું પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંત છે જે તેને સૂચવે છે, અને તેનાથી વિપરીત બધા પરંતુ સૌથી શક્તિશાળી જાણીતા પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતો જાણીતા મોટા મુખ્ય સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા ગર્ભિત છે. આનું એક ઉદાહરણ સંપૂર્ણતા સ્વયંસિદ્ધ છે, જે તમામ મર્યાદિત n માટે સુપર-એન-વિશાળ કાર્ડિનલ્સનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે અને તેની સુસંગતતા I3 રેન્ક-ઇન-રેન્ક કાર્ડિનલ દ્વારા ગર્ભિત છે. એક સ્વયંસિદ્ધ કહેવત ઉમેરો કે ઓર્ડ એ મહેલો કાર્ડિનલ છે-ઓર્ડિનલ્સ સી (પરિમાણો સાથેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત) ના દરેક બંધ અમર્યાદિત વર્ગ માટે, સીમાં નિયમિત ઓર્ડિનલ છે. આ વ્યક્તિને મજબૂત અપ્રાપ્ય કાર્ડિનલ્સ અને કોઈપણ ઓર્ડિનલ પર ઘણું બધું મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. સંદર્ભો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ મિઝાર પ્રણાલી પુરાવોઃ http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html ગાણિતિક સિદ્ધાંતો નક્કી કરો