Length function
ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, લંબાઈ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે જૂથના દરેક તત્વને સંખ્યા સોંપે છે. વ્યાખ્યા G જૂથ પર લંબાઈ કાર્ય L: G → R + સંતોષકારક કાર્ય છેઃ મેટ્રિક અને ફિલ્ટર કરેલ બીજગણિત માટે સ્વયંસિદ્ધ સાથે સરખામણી કરો. શબ્દ મેટ્રિક લંબાઈનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ શબ્દ મેટ્રિક છેઃ જનરેટર અને સંબંધો દ્વારા જૂથની રજૂઆત આપવામાં આવે તો, તત્વની લંબાઈ તેને વ્યક્ત કરતા સૌથી ટૂંકા શબ્દની લંબાઈ છે. કોક્સેટર જૂથો (સપ્રમાણ જૂથ સહિત) સંયુક્ત મહત્વપૂર્ણ લંબાઈના કાર્યો ધરાવે છે, જેમાં જનરેટર તરીકે સરળ પ્રતિબિંબનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (આમ દરેક સરળ પ્રતિબિંબની લંબાઈ 1 હોય છે). આ પણ જુઓઃ વેઇલ જૂથ તત્વની લંબાઈ. કોક્સેટર જૂથનું સૌથી લાંબુ તત્વ સંયોજન સુધી (સરળ પ્રતિબિંબની વિવિધ પસંદગી સુધી) મહત્વપૂર્ણ અને અનન્ય બંને છે. ગુણધર્મો લંબાઈ કાર્ય સાથેનું જૂથ ફિલ્ટર કરેલું જૂથ બનાવતું નથી, એટલે કે પેટા-સ્તરના સમૂહો સામાન્ય રીતે પેટા જૂથો બનાવતા નથી. જો કે, લંબાઈના કાર્યો સાથે જૂથનું જૂથ બીજગણિત ફિલ્ટર કરેલ બીજગણિત બનાવે છેઃ સ્વયંસિદ્ધ ફિલ્ટરેશન સ્વયંસિદ્ધને અનુરૂપ છે. જૂથ સિદ્ધાંત ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત