Microstate (statistical mechanics)
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, માઇક્રોસ્ટેટ એ સિસ્ટમની ચોક્કસ ગોઠવણી છે જે સિસ્ટમને બનાવતા તમામ વ્યક્તિગત કણો અથવા ઘટકોની ચોક્કસ સ્થિતિ અને ક્ષણોનું વર્ણન કરે છે. દરેક માઇક્રોસ્ટેટ સિસ્ટમના થર્મલ વધઘટ દરમિયાન થવાની ચોક્કસ સંભાવના ધરાવે છે. તેનાથી વિપરીત, સિસ્ટમની મેક્રોસ્ટેટ તેના તાપમાન, દબાણ, કદ અને ઘનતા જેવા મેક્રોસ્કોપિક ગુણધર્મોનો સંદર્ભ આપે છે. આંકડાકીય મિકેનિક્સ પરની સારવારો મેક્રોસ્ટેટને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ ઊર્જાના મૂલ્યોનો ચોક્કસ સમૂહ, કણોની સંખ્યા અને અલગ થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમનો જથ્થો તેના ચોક્કસ મેક્રોસ્ટેટને સ્પષ્ટ કરે છે. આ વર્ણનમાં, માઇક્રોસ્ટેટ્સ વિવિધ સંભવિત રીતો તરીકે દેખાય છે જે સિસ્ટમ ચોક્કસ મેક્રોસ્ટેટ પ્રાપ્ત કરી શકે છે. મેક્રોસ્ટેટ એ તમામ માઇક્રોસ્ટેટના ચોક્કસ આંકડાકીય સમૂહમાં સંભવિત સ્થિતિઓના સંભાવના વિતરણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. આ વિતરણ ચોક્કસ માઇક્રોસ્ટેટમાં સિસ્ટમ શોધવાની સંભાવનાને વર્ણવે છે. થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં, તેના વધઘટ દરમિયાન મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમ દ્વારા મુલાકાત લેવાયેલા માઇક્રોસ્ટેટ્સમાં બધા સમાન મેક્રોસ્કોપિક ગુણધર્મો ધરાવે છે. ક્વોન્ટમ પ્રણાલીમાં, માઇક્રોસ્ટેટ એ માત્ર તરંગ કાર્યનું મૂલ્ય છે. થર્મોડાયનેમિક વિભાવનાઓની માઇક્રોસ્કોપિક વ્યાખ્યાઓ આંકડાકીય મિકેનિક્સ સિસ્ટમના પ્રયોગમૂલક થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોને માઇક્રોસ્ટેટ્સના સમૂહના આંકડાકીય વિતરણ સાથે જોડે છે. સિસ્ટમના તમામ મેક્રોસ્કોપિક થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોની ગણતરી પાર્ટીશન ફંક્શનમાંથી કરી શકાય છે જે તેના તમામ માઇક્રોસ્ટેટ્સનો સરવાળો કરે છે. કોઈપણ ક્ષણે સિસ્ટમ માઇક્રોસ્ટેટ્સના સમૂહમાં વહેંચાયેલી હોય છે, દરેકને દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે, અને વ્યવસાયની સંભાવના અને ઊર્જા હોય છે. જો માઇક્રોસ્ટેટ્સ ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક પ્રકૃતિના હોય, તો આ માઇક્રોસ્ટેટ્સ ક્વોન્ટમ આંકડાકીય મિકેનિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક અલગ સમૂહ બનાવે છે, અને તે પ્રણાલીનું ઊર્જા સ્તર છે. આંતરિક ઊર્જા મેક્રોસ્ટેટની આંતરિક ઊર્જા એ પ્રણાલીની ઊર્જાના તમામ માઇક્રોસ્ટેટ્સ પર સરેરાશ છે આ થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ સાથે સંકળાયેલ ઊર્જાની કલ્પનાનું સૂક્ષ્મ નિવેદન છે. એન્ટ્રોપી કેનોનિકલ એન્સેમ્બલના વધુ સામાન્ય કેસ માટે, સંપૂર્ણ એન્ટ્રોપી સંપૂર્ણપણે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંભાવનાઓ પર આધાર રાખે છે અને તેને બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક ક્યાં છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. માઇક્રોકેનોનિકલ એન્સેમ્બલ માટે, જેમાં મેક્રોસ્ટેટની ઊર્જાની સમાન ઊર્જા ધરાવતા માત્ર તે જ માઇક્રોસ્ટેટ્સનો સમાવેશ થાય છે, આ માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા સાથે સરળ બને છે. એન્ટ્રોપી માટેનું આ સ્વરૂપ વિયેનામાં લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેનની કબર પર દેખાય છે. થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ વર્ણવે છે કે કેવી રીતે અલગ પ્રણાલીની એન્ટ્રોપી સમય જતાં બદલાય છે. થર્મોડાયનેમિક્સનો ત્રીજો નિયમ આ વ્યાખ્યા સાથે સુસંગત છે, કારણ કે શૂન્ય એન્ટ્રોપીનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમની મેક્રોસ્ટેટ એક જ માઇક્રોસ્ટેટમાં ઘટાડો કરે છે. જો આપણે પ્રણાલીની અંતર્ગત ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લઈએ તો ઉષ્મા અને કાર્યને અલગ કરી શકાય છે. બંધ પ્રણાલી માટે (દ્રવ્યનું કોઈ સ્થાનાંતરણ નહીં), આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં ઉષ્મા એ પ્રણાલી પર અવ્યવસ્થિત, સૂક્ષ્મ ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ ઊર્જા સ્થાનાંતરણ છે, જે પ્રણાલીના ક્વોન્ટમ ઊર્જા સ્તરોના વ્યવસાયની સંખ્યામાં કૂદકા સાથે સંકળાયેલ છે, ઊર્જા સ્તરોના મૂલ્યોમાં ફેરફાર કર્યા વિના. કાર્ય એ સિસ્ટમ પર ક્રમબદ્ધ, મેક્રોસ્કોપિક ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ ઊર્જા સ્થાનાંતરણ છે. જો આ ક્રિયા ખૂબ જ ધીમેથી કાર્ય કરે છે, તો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો એડિયાબેટિક પ્રમેય સૂચવે છે કે આ સિસ્ટમના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે કૂદકો નહીં કરે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમની આંતરિક ઊર્જા માત્ર સિસ્ટમના ઉર્જા સ્તરોમાં ફેરફારને કારણે બદલાય છે. ઉષ્મા અને કાર્યની સૂક્ષ્મ, ક્વોન્ટમ વ્યાખ્યાઓ નીચે મુજબ છેઃ જેથી ઉષ્મા અને કાર્યની ઉપરોક્ત બે વ્યાખ્યાઓ આંકડાકીય મિકેનિક્સની કેટલીક અભિવ્યક્તિઓમાંની એક છે જ્યાં ક્વોન્ટમ કેસમાં વ્યાખ્યાયિત થર્મોડાયનેમિક જથ્થાને શાસ્ત્રીય મર્યાદામાં કોઈ સમાન વ્યાખ્યા મળતી નથી. તેનું કારણ એ છે કે ક્લાસિકલ માઇક્રોસ્ટેટ્સને ચોક્કસ સંકળાયેલ ક્વોન્ટમ માઇક્રોસ્ટેટના સંબંધમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતા નથી, જેનો અર્થ એ છે કે જ્યારે કાર્ય સિસ્ટમના ક્લાસિકલ માઇક્રોસ્ટેટ્સ વચ્ચે વિતરણ માટે ઉપલબ્ધ કુલ ઊર્જામાં ફેરફાર કરે છે, ત્યારે માઇક્રોસ્ટેટ્સના ઊર્જા સ્તર (એટલે કે બોલવું) આ ફેરફારને અનુસરતા નથી. ફેઝ સ્પેસ ક્લાસિકલ ફેઝ સ્પેસમાં માઇક્રોસ્ટેટ F ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમની ક્લાસિકલ સિસ્ટમનું વર્ણન 2F પરિમાણીય ફેઝ સ્પેસની દ્રષ્ટિએ કહી શકાય, જેની કોઓર્ડિનેટ અક્ષોમાં સિસ્ટમના F સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ qi અને તેના F સામાન્યીકૃત મોમેન્ટા પાઈનો સમાવેશ થાય છે. આવી પ્રણાલીની માઇક્રોસ્ટેટ તબક્કાની જગ્યામાં એક જ બિંદુ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવશે. પરંતુ મોટી સંખ્યામાં ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ ધરાવતી સિસ્ટમ માટે તેની ચોક્કસ માઇક્રોસ્ટેટ સામાન્ય રીતે મહત્વપૂર્ણ નથી. તેથી તબક્કાની જગ્યાને h0 = αqiαπ ના કદના કોષોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, દરેકને માઇક્રોસ્ટેટ તરીકે ગણવામાં આવે છે. હવે માઇક્રોસ્ટેટ્સ અલગ અને ગણતરીપાત્ર છે અને આંતરિક ઊર્જા U નું હવે ચોક્કસ મૂલ્ય નથી પરંતુ તે U અને U + δU ની વચ્ચે છે. માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા જે બંધ સિસ્ટમ કબજે કરી શકે છે તે તેના ફેઝ સ્પેસ વોલ્યુમના પ્રમાણસર છેઃ જ્યાં સૂચક કાર્ય છે. તે 1 છે જો હેમિલ્ટન વિધેય H (x) તબક્કા અવકાશમાં x = (q, p) બિંદુ પર U અને U + δU વચ્ચે હોય અને જો નહીં તો 0 હોય. અચળાંક ω (U) ને પરિમાણહીન બનાવે છે. આદર્શ ગેસ માટે છે. આ વર્ણનમાં, કણો અલગ પાડી શકાય તેવા છે. જો બે કણોની સ્થિતિ અને વેગની આપ-લે થાય, તો નવી સ્થિતિ તબક્કાની જગ્યામાં એક અલગ બિંદુ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં એક બિંદુ માઇક્રોસ્ટેટનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. જો એમ કણોના સબસેટ એકબીજાથી અલગ ન હોય, તો એમ! આ કણોના સંભવિત ક્રમચયો અથવા સંભવિત વિનિમયને એક જ માઇક્રોસ્ટેટના ભાગ તરીકે ગણવામાં આવશે. સંભવિત માઇક્રોસ્ટેટ્સનો સમૂહ થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમ પરના અવરોધોમાં પણ પ્રતિબિંબિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વોલ્યુમ V ના ક્યુબમાં સમાવિષ્ટ કુલ ઊર્જા U ધરાવતા N કણોના સરળ ગેસના કિસ્સામાં, જેમાં ગેસના નમૂનાને પ્રાયોગિક માધ્યમો દ્વારા અન્ય કોઈપણ નમૂનાથી અલગ કરી શકાતો નથી, માઇક્રોસ્ટેટમાં ઉપરોક્ત N હશે! તબક્કાની જગ્યામાં બિંદુઓ, અને માઇક્રોસ્ટેટ્સના સમૂહને બૉક્સની અંદર આવેલા તમામ સ્થિતિ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે મર્યાદિત કરવામાં આવશે, અને ત્રિજ્યા U ના વેગ કોઓર્ડિનેટ્સમાં હાયપરસ્ફેરિકલ સપાટી પર આવેલા મોમેન્ટા. જો બીજી બાજુ, સિસ્ટમમાં બે જુદા જુદા વાયુઓનું મિશ્રણ હોય, જેમના નમૂનાઓ એકબીજાથી અલગ કરી શકાય છે, જેમ કે A અને B, તો પછી માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યામાં વધારો થાય છે, કારણ કે બે બિંદુઓ જેમાં A અને B કણો તબક્કા અવકાશમાં વિનિમય થાય છે તે હવે એક જ માઇક્રોસ્ટેટનો ભાગ નથી. તેમ છતાં, સમાન બે કણો, ઉદાહરણ તરીકે, તેમના સ્થાનના આધારે અલગ પાડી શકાય છે. (રૂપરેખાંકન એન્ટ્રોપી જુઓ.) જો બૉક્સમાં સમાન કણો હોય અને તે સંતુલનમાં હોય, અને વોલ્યુમને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીને પાર્ટીશન દાખલ કરવામાં આવે, તો એક બૉક્સમાંના કણો હવે બીજા બૉક્સમાંના કણોથી અલગ પડે છે. તબક્કાની જગ્યામાં, દરેક બૉક્સમાં N/2 કણો હવે વોલ્યુમ V/2 સુધી મર્યાદિત છે, અને તેમની ઊર્જા U/2 સુધી મર્યાદિત છે, અને એક માઇક્રોસ્ટેટનું વર્ણન કરતા બિંદુઓની સંખ્યા બદલાશેઃ તબક્કાની જગ્યાનું વર્ણન સમાન નથી. ગિબ્સ વિરોધાભાસ અને બોલ્ટ્ઝમેનની યોગ્ય ગણતરી બંનેમાં આની અસરો છે. બોલ્ટ્ઝમેનની ગણતરીના સંદર્ભમાં, તે તબક્કાની જગ્યામાં બિંદુઓની સંખ્યા છે જે અસરકારક રીતે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યાને ઘટાડે છે અને એન્ટ્રોપીને વ્યાપક બનાવે છે. ગિબ્સ વિરોધાભાસના સંદર્ભમાં, મહત્વપૂર્ણ પરિણામ એ છે કે પાર્ટીશનના નિવેશના પરિણામે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યામાં વધારો (અને આમ એન્ટ્રોપીમાં વધારો) દરેક કણને ઉપલબ્ધ કદમાં ઘટાડાના પરિણામે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યામાં ઘટાડો (અને આમ એન્ટ્રોપીમાં ઘટાડો) સાથે બરાબર મેળ ખાય છે, જે શૂન્યનો ચોખ્ખો એન્ટ્રોપી ફેરફાર આપે છે. ક્વોન્ટમ આંકડાકીય મિકેનિક્સ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ (ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર) એર્ગોડિક પૂર્વધારણા તબક્કો અવકાશ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ માઇક્રોસ્ટેટ્સ વિ. મેક્રોસ્ટેટ્સના કેટલાક ચિત્રો આંકડાકીય મિકેનિક્સ