Small stellated dodecahedron
ભૂમિતિમાં, નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન કેપ્લર-પોઇન્સોટ પોલિહેડ્રોન છે, જેનું નામ આર્થર કેલે દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, અને તે સ્ક્લાફલી પ્રતીક {, 5} સાથે છે. તે ચાર નોન-કન્વેક્સ નિયમિત પોલિહેડ્રા પૈકીનું એક છે. તે 12 પેન્ટાગ્રામિક ચહેરાઓથી બનેલો છે, જેમાં દરેક શિરોબિંદુ પર પાંચ પેન્ટાગ્રામ મળે છે. તે બહિર્મુખ નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન જેવી જ શિરોબિંદુ ગોઠવણી ધરાવે છે. તે મહાન આઇકોસાહેડ્રોન સાથે સમાન ધારની ગોઠવણી પણ વહેંચે છે, જેની સાથે તે અધોગતિગ્રસ્ત એકસમાન સંયોજન આકૃતિ બનાવે છે. તે ડોડેકાહેડ્રોન (મૂળ ડોડેકાહેડ્રોન સહિત) ના ચાર સ્ટેલેશનમાંથી બીજું છે. નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોનનું નિર્માણ પેન્ટાગ્રામની જેમ કરી શકાય છે, જે તેના દ્વિ-પરિમાણીય એનાલોગ છે, જ્યાં સુધી તેઓ જ્યાં છેદે છે ત્યાં સુધી પહોંચતા નથી ત્યાં સુધી કોર પોલીટોપની કિનારીઓ (1-બાજુઓ) ના વિસ્તરણ દ્વારા. ટોપોલોજી જો પેન્ટાગ્રામિક ચહેરાને 5 ત્રિકોણાકાર ચહેરા તરીકે ગણવામાં આવે છે, તો તે પેન્ટાકિસ ડોડેકાહેડ્રોન જેવી જ સપાટીની ટોપોલોજી વહેંચે છે, પરંતુ વધુ ઊંચા સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના ચહેરાઓ સાથે, પંચકોણીય પિરામિડની ઊંચાઈ સાથે ગોઠવવામાં આવે છે જેથી પેન્ટાગ્રામમાં પાંચ ત્રિકોણ કોપ્લાનર બની જાય. નિર્ણાયક ખૂણો ડોડેકાહેડ્રોન ચહેરાની ઉપર એટાન (2) છે. જો આપણે તેને 12 પેન્ટાગ્રામને ચહેરા તરીકે માનીએ, તો આ પેન્ટાગ્રામ 30 ધાર અને 12 શિરોબિંદુઓ પર મળે છે, તો આપણે યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની જીનસની ગણતરી કરી શકીએ છીએ અને નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ કે નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોનની જીનસ 4 છે. લુઇસ પોઇનસોટે કરેલું આ નિરીક્ષણ શરૂઆતમાં મૂંઝવણભર્યું હતું, પરંતુ ફેલિક્સ ક્લેઇને 1877માં દર્શાવ્યું હતું કે નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોનને દરેક પેન્ટાગ્રામના કેન્દ્રમાં શાખા બિંદુઓ સાથે જીનસ 4ની રીમાન સપાટી દ્વારા રીમાન ગોળાના શાખા આવરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. હકીકતમાં આ રીમાન સપાટી, જેને બ્રિંગ્સ કર્વ કહેવાય છે, તે જીનસ 4 ની કોઈપણ રીમાન સપાટીની સૌથી વધુ સમપ્રમાણતા ધરાવે છેઃ સમપ્રમાણ જૂથ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ તરીકે કામ કરે છે છબીઓ કલામાં એક નાનું સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન સેન્ટ માર્ક બેસિલિકા, વેનિસમાં લગભગ 1430 માં પાઓલો ઉસેલ્લો દ્વારા ફ્લોર મોઝેકમાં જોઈ શકાય છે. સમાન આકાર એમ. સી. એસ્ચર દ્વારા બે લિથોગ્રાફ્સના કેન્દ્રમાં છેઃ કોન્ટ્રાસ્ટ (ઓર્ડર અને કેઓસ) (1950) અને ગ્રેવિટેશન (1952). સંબંધિત પોલિહેડ્રા તેનું બહિર્મુખ આવરણ નિયમિત બહિર્મુખ આઇકોસાહેડ્રોન છે. તે તેની ધારને મહાન આઇકોસાહેડ્રોન સાથે પણ વહેંચે છે; બંને સાથેનું સંયોજન મહાન જટિલ આઇકોસિડોડેકાહેડ્રોન છે. ત્યાં ચાર સંબંધિત એકસમાન પોલિહેડ્રા છે, જે કાપણીની ડિગ્રી તરીકે બાંધવામાં આવે છે. બેવડા એક મહાન ડોડેકાહેડ્રોન છે. ડોડેકાડેકાહેડ્રોન એક સુધારણા છે, જ્યાં ધારને બિંદુઓ સુધી કાપવામાં આવે છે. કાપેલા નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોનને ડીજનરેટ યુનિફોર્મ પોલિહેડ્રોન ગણી શકાય કારણ કે ધાર અને શિરોબિંદુઓ એક સાથે હોય છે, પરંતુ તે સંપૂર્ણતા માટે સમાવવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, તે સપાટી પર નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન જેવું લાગે છે, પરંતુ તેમાં ઓવરલેપિંગ જોડીમાં 24 ચહેરાઓ છે. સ્પાઇક્સને ત્યાં સુધી કાપવામાં આવે છે જ્યાં સુધી તેઓ તેમની નીચે પેન્ટાગ્રામના સમતલ સુધી પહોંચતા નથી. 24 ચહેરાઓ કાપેલા શિરોબિંદુઓમાંથી 12 પંચકોણ અને પ્રથમ 12 પંચકોણને ઓવરલેપ કરતા બમણા ઘાવાળા પંચકોણનું સ્વરૂપ લેતા 12 દશકોણ છે. પછીના ચહેરાઓ મૂળ પેન્ટાગ્રામને કાપીને રચાય છે. જ્યારે એક-ગોન કાપવામાં આવે છે, ત્યારે તે એક-ગોન બની જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાપેલો પંચકોણ દશકોણ બની જાય છે, તેથી પંચકોણને કાપવાથી બમણો ઘા ધરાવતો પંચકોણ બની જાય છે (10 અને 2 વચ્ચેનું સામાન્ય પરિબળ એટલે કે આપણે બહુકોણ પૂર્ણ કરવા માટે દરેક શિરોબિંદુની બે વાર મુલાકાત લઈએ છીએ). આ પણ જુઓ નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન અને મહાન ડોડેકાહેડ્રોન સંદર્ભોનું સંયોજન વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ પોલિહેડ્રલ સ્ટેલેશન નિયમિત પોલિહેડ્રા કેપ્લર-પોઇનસો પોલીહેડ્રા