Kelly criterion
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, કેલી માપદંડ (અથવા કેલી વ્યૂહરચના અથવા કેલી શરત) એ શરતને માપવા માટેનું સૂત્ર છે. કેલી બીઇટીનું કદ સંપત્તિના લઘુગણકના અપેક્ષિત મૂલ્યને મહત્તમ કરીને જોવા મળે છે, જે અપેક્ષિત ભૌમિતિક વૃદ્ધિ દરને મહત્તમ કરવા સમાન છે. તે ધારે છે કે અપેક્ષિત વળતર જાણીતું છે અને શરત લગાવનાર માટે શ્રેષ્ઠ છે જે તેમની સંપત્તિને લઘુગણકીય રીતે મૂલ્ય આપે છે. બેલ લેબ્સના સંશોધક જે. એલ. કેલી જુનિયરએ 1956માં આ માપદંડનું વર્ણન કર્યું હતું. જણાવેલી ધારણાઓ હેઠળ, કેલી માપદંડ લાંબા ગાળે અન્ય કોઈપણ વ્યૂહરચના કરતાં વધુ સંપત્તિ તરફ દોરી જાય છે (એટલે કે, સૈદ્ધાંતિક મહત્તમ વળતર કારણ કે બેટ્સની સંખ્યા અનંત સુધી જાય છે). સૂત્રનો વ્યવહારુ ઉપયોગ જુગાર માટે દર્શાવવામાં આવ્યો છે, અને આ જ વિચારનો ઉપયોગ રોકાણ વ્યવસ્થાપનમાં વૈવિધ્યકરણને સમજાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. 2000ના દાયકામાં, કેલી-શૈલીનું વિશ્લેષણ મુખ્ય પ્રવાહના રોકાણ સિદ્ધાંતનો એક ભાગ બની ગયું અને એવો દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે વોરેન બફેટ અને બિલ ગ્રોસ સહિતના જાણીતા સફળ રોકાણકારો કેલી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે. ઇન્ટરટેમ્પોરલ પોર્ટફોલિયો પસંદગી પણ જુઓ. જુગારનું સૂત્ર જ્યાં શરત ગુમાવવામાં સંપૂર્ણ શરત ગુમાવવાનો સમાવેશ થાય છે, ત્યાં કેલી શરત છેઃ જ્યાંઃ શરત લગાવવા માટે વર્તમાન બેંકરોલનો અપૂર્ણાંક છે. તે જીતવાની સંભાવના છે. નુકસાનની સંભાવના () છે. જીત સાથે મેળવેલી શરતનું પ્રમાણ છે. દા. ત., જો 2-થી-1 ઓડ્સ શરત પર 10 ડોલરની શરત લગાવાય (જીત પર તમને 30 ડોલર પરત કરવામાં આવે છે, તમને 20 ડોલર જીતવામાં આવે છે), તો પછી. ઉદાહરણ તરીકે, જો જુગારમાં જીતવાની 60 ટકા તક હોય (,), અને જુગારીને જીતવાની શરત () પર 1 થી 1 તક મળે, તો પછી બેંકરોલના લાંબા ગાળાના વિકાસ દરને વધારવા માટે, જુગારીએ દરેક તક () પર બેંકરોલના 20 ટકા પર શરત લગાવવી જોઈએ. જો જુગારી પાસે શૂન્ય ધાર હોય, એટલે કે, જો, તો પછી માપદંડ જુગારીને કંઈપણ શરત લગાવવાની ભલામણ કરે છે. જો ધાર નકારાત્મક () હોય તો સૂત્ર નકારાત્મક પરિણામ આપે છે, જે સૂચવે છે કે જુગારીએ શરતની બીજી બાજુ લેવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, અમેરિકન રુલેટમાં, શરત લગાવનારને લાલ રંગ પર સરખી રકમની ચૂકવણી () આપવામાં આવે છે, જ્યારે ચક્ર પર 18 લાલ સંખ્યાઓ અને 20 બિન-લાલ સંખ્યાઓ હોય છે. કેલી શરત છે, એટલે કે જુગારીએ તેમના બૅન્કરોલની ઓગણીસમી શરત લગાવવી જોઈએ કે લાલ રંગ નહીં આવે. રૂલેટમાં તુલનાત્મક અવરોધો સાથે કોઈ સ્પષ્ટ લાલ-વિરોધી શરત આપવામાં આવતી નથી, તેથી કેલી જુગારી કંઈપણ શરત લગાવી શકતો નથી. રોકાણ સૂત્ર કેલી સૂત્રનું વધુ સામાન્ય સ્વરૂપ આંશિક નુકસાન માટે પરવાનગી આપે છે, જે રોકાણો માટે સુસંગત છેઃ જ્યાંઃ જામીનગીરી પર લાગુ કરવા માટે સંપત્તિનો અપૂર્ણાંક છે. રોકાણના મૂલ્યમાં વધારો થવાની સંભાવના છે. તે સંભાવના છે કે રોકાણ મૂલ્ય () માં ઘટે છે. તે અપૂર્ણાંક છે જે નકારાત્મક પરિણામમાં ખોવાઈ જાય છે. જો જામીનગીરીની કિંમત 10 ટકા ઘટે છે, તો તે સકારાત્મક પરિણામમાં મેળવેલ અપૂર્ણાંક છે. જો જામીનગીરીની કિંમત 10 ટકા વધે છે, તો પછી. નોંધ લો કે કેલી માપદંડ માત્ર જાણીતા પરિણામની સંભાવનાઓ માટે જ માન્ય છે, જે રોકાણના કિસ્સામાં નથી. જોખમથી દૂર રહેનારા રોકાણકારોએ સંપૂર્ણ કેલી અપૂર્ણાંકનું રોકાણ ન કરવું જોઈએ. સામાન્ય સ્વરૂપને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે જ્યાંઃ જીત-હારની સંભાવના (ડબલ્યુએલપી) ગુણોત્તર છે, જે દાવ જીતવા અને હારવાનો ગુણોત્તર છે. તે શરત પરિણામોનો જીત-હારનો ગુણોત્તર (ડબલ્યુએલઆર) છે, જે જીતનો વળાંક છે. તે સ્પષ્ટ છે કે, ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ અથવા ધાર (તેથી) રાખવા માટે 1 કરતા મોટું હોવું જરૂરી છે. તે પણ શક્ય છે કે જીત-હારની સંભાવના ગુણોત્તર પ્રતિકૂળ હોય, પરંતુ જ્યાં સુધી શક્ય હોય ત્યાં સુધી એક ધાર હોય. કેલી સૂત્ર સરળતાથી 1 કરતા વધારે અપૂર્ણાંકોમાં પરિણમી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કદ ગુમાવવું (અને ના પરિબળો સાથે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ જુઓ). આ કંઈક અંશે પ્રતિકૂળ રીતે થાય છે, કારણ કે કેલી અપૂર્ણાંક સૂત્ર શરતના મોટા કદ દ્વારા વળતર આપે છે. પરંતુ, મોટાભાગની વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં, કેલી સૂત્રમાં પ્રવેશતા તમામ પરિમાણો વિશે મોટી અનિશ્ચિતતા છે. 1 કરતા વધારે કેલી અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, માર્જિન પર વધારાની જામીનગીરીઓ ખરીદવા માટે લીવરેજનો ઉપયોગ કરવો તે સૈદ્ધાંતિક રીતે ફાયદાકારક છે. શરત લગાવવાનું ઉદાહરણ-વર્તણૂકીય પ્રયોગ એક અભ્યાસમાં, દરેક સહભાગીને $25 આપવામાં આવ્યા હતા અને સિક્કા પર સમાન-મની બેટ્સ મૂકવા માટે કહેવામાં આવ્યું હતું જે 60 ટકા સમય હેડ કરશે. સહભાગીઓ પાસે રમવા માટે 30 મિનિટ હતી, તેથી લગભગ 300 બેટ્સ મૂકી શકતા હતા, અને ઇનામો $250 સુધી મર્યાદિત હતા. પરંતુ પરીક્ષણ વિષયોની વર્તણૂક શ્રેષ્ઠ ન હતીઃ {{blockquote|Remarkably, 28 ટકા સહભાગીઓ બસ્ટ ગયા, અને સરેરાશ ચૂકવણી માત્ર $91 હતી. માત્ર 21 ટકા સહભાગીઓ મહત્તમ સુધી પહોંચ્યા હતા. 61માંથી 18 સહભાગીઓ એક ટોસ પર દરેક વસ્તુ પર દાવ લગાવે છે, જ્યારે બે તૃતિયાંશ ભાગ પ્રયોગના અમુક તબક્કે પૂંછડીઓ પર જુગાર રમે છે. કેલી માપદંડનો ઉપયોગ કરીને અને પ્રયોગમાં અવરોધોને આધારે ($250ની મર્યાદા અને પરીક્ષણના મર્યાદિત સમયગાળાને અવગણીને), યોગ્ય અભિગમ એ હશે કે સિક્કાની દરેક ટોસ પર વ્યક્તિના બૅન્કરોલના 20 ટકા પર દાવ લગાવવો, જે દરેક રાઉન્ડમાં સરેરાશ 2.034% લાભ માટે કામ કરે છે. આ એક ભૌમિતિક સરેરાશ છે, 4 ટકા (r = 0.2 x (0.6-0.4) = 0.14) નો અંકગણિત દર નથી. જો તે મર્યાદિત ન હોય તો 300 રાઉન્ડ પછી સૈદ્ધાંતિક અપેક્ષિત સંપત્તિ $10,505 () થાય છે. આ ચોક્કસ રમતમાં, કેપને કારણે, દરેક ટૉસ પર માત્ર 12 ટકા પોટ પર શરત લગાવવાની વ્યૂહરચના વધુ સારા પરિણામો આપશે (કેપ સુધી પહોંચવાની 95 ટકા સંભાવના અને $242.03 ની સરેરાશ ચૂકવણી). કેલી માપદંડના પુરાવા હ્યુરિસ્ટિક પુરાવા સીધા છે. કેલી માપદંડ સંપત્તિના લઘુગણકના અપેક્ષિત મૂલ્યને મહત્તમ બનાવે છે (દરેક ચોક્કસ પરિણામની સંભાવનાને તે પરિણામની સ્થિતિમાં કાર્યના મૂલ્ય સાથે ગુણાકાર કરવાની તમામ સંભવિત પરિણામોના સરવાળા દ્વારા કાર્યનું અપેક્ષિત મૂલ્ય આપવામાં આવે છે). આપણે સંપત્તિના 1 એકમથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને તે સંપત્તિના એક અપૂર્ણાંકને એવા પરિણામ પર દાવ લગાવીએ છીએ જે સંભાવના સાથે આવે છે અને સંભવિતતાના અવરોધો રજૂ કરે છે. જીતવાની સંભાવના છે, અને તે કિસ્સામાં પરિણામી સંપત્તિ બરાબર છે. ગુમાવવાની સંભાવના છે, અને તે કિસ્સામાં પરિણામી સંપત્તિ સમાન છે. તેથી, અપેક્ષિત ભૌમિતિક વૃદ્ધિ દર છેઃ આપણે આ વળાંકનો મહત્તમ r શોધવા માંગીએ છીએ (f ના વિધેય તરીકે), જેમાં સમીકરણનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. દરેક બાજુનો લઘુગણક પહેલા લઈને આ વધુ સરળતાથી પૂર્ણ થાય છે. પરિણામી સમીકરણ છેઃ લઘુગણક સંપત્તિ વૃદ્ધિ સૂચવવા સાથે. જે મૂલ્ય માટે વૃદ્ધિ દર મહત્તમ કરવામાં આવે છે તે શોધવા માટે, આપણે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિને અલગ પાડીએ છીએ અને તેને શૂન્યની બરાબર સેટ કરીએ છીએ. આ આપે છેઃ મૂલ્ય માટે ઉકેલવા માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવવાથી કેલી માપદંડ મળે છેઃ નોંધ લો કે આ અભિવ્યક્તિ સરળ જુગાર સૂત્રમાં ઘટાડો કરે છે જ્યારે, જ્યારે નુકસાન હોડની સંપૂર્ણ ખોટમાં પરિણમે છે. બર્નૌલીએ 1738ના એક લેખમાં, ડેનિયલ બર્નૌલીએ સૂચવ્યું હતું કે, જ્યારે કોઈની પાસે દાવ અથવા રોકાણની પસંદગી હોય, ત્યારે તેણે પરિણામોના ઉચ્ચતમ ભૌમિતિક સરેરાશ સાથે તે પસંદ કરવું જોઈએ. આ ગાણિતિક રીતે કેલી માપદંડની સમકક્ષ છે, જોકે પ્રેરણા અલગ છે (બર્નૌલી સેન્ટ પીટર્સબર્ગ વિરોધાભાસને ઉકેલવા માંગતા હતા). બર્નૌલી લેખનો અંગ્રેજી અનુવાદ 1954 સુધી પ્રકાશિત થયો ન હતો, પરંતુ આ કાર્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને અર્થશાસ્ત્રીઓમાં સારી રીતે જાણીતું હતું. શેર બજારમાં ઉપયોગ ગાણિતિક નાણામાં, જો સુરક્ષા ભાર અપેક્ષિત ભૌમિતિક વૃદ્ધિ દરને મહત્તમ કરે છે (જે લોગ સંપત્તિને મહત્તમ કરવા સમાન છે), તો પોર્ટફોલિયો વૃદ્ધિ માટે શ્રેષ્ઠ છે. વૃદ્ધિના શ્રેષ્ઠ પોર્ટફોલિયોની ગણતરીઓ પ્રચંડ કચરો સહન કરી શકે છે, સમસ્યાઓ દૂર કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના કિસ્સાઓમાં અસ્કયામતોના અપેક્ષિત વળતર અને સહપરિવર્તન માળખાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, પરંતુ આ પરિમાણો શ્રેષ્ઠ અંદાજો અથવા નમૂનાઓ છે જે નોંધપાત્ર અનિશ્ચિતતા ધરાવે છે. જો પોર્ટફોલિયો વજન મોટે ભાગે અંદાજની ભૂલોનું કાર્ય હોય, તો વૃદ્ધિ-શ્રેષ્ઠ પોર્ટફોલિયોની પૂર્વ-પોસ્ટ કામગીરી પૂર્વ-એ. એન. ટી. આગાહીથી અદભૂત રીતે અલગ હોઈ શકે છે. પોર્ટફોલિયો સિદ્ધાંતમાં પરિમાણ અનિશ્ચિતતા અને અંદાજની ભૂલો એક મોટો વિષય છે. અજ્ઞાત જોખમનો સામનો કરવાનો અભિગમ એ છે કે કેલી માપદંડ (દા. ત., અડધું) કરતાં ઓછું રોકાણ કરવું. રફ અંદાજો હજુ પણ ઉપયોગી છે. જો આપણે વધારાનું વળતર 4 ટકા અને વોલેટિલિટી 16 ટકા લઈએ, તો વાર્ષિક શાર્પ રેશિયો અને કેલી રેશિયો 25 ટકા અને 150% ગણવામાં આવે છે. દૈનિક શાર્પ ગુણોત્તર અને કેલી ગુણોત્તર 1.7% અને 150% છે. શાર્પ રેશિયો એ પી = (50 ટકા + 1.7%/4) ની દૈનિક જીતની સંભાવના સૂચવે છે, જ્યાં આપણે ધારણા કરી હતી કે સંભાવના બેન્ડવિડ્થ છે. હવે આપણે ઉપરના માટે અલગ કેલી સૂત્ર લાગુ કરી શકીએ છીએ, અને આપણને કેલી અપૂર્ણાંક માટે બીજો રફ અંદાજ મળે છે. કેલી અપૂર્ણાંકના આ બંને અંદાજો એકદમ વાજબી લાગે છે, તેમ છતાં એક સમજદાર અભિગમ સૂચવે છે કે કેલી ગુણોત્તરનો 50 ટકા જેટલો વધુ ગુણાકાર થાય છે. અર્ધ-કેલી). એડવર્ડ ઓ. થોર્પ અને સહ-લેખકના વિગતવાર પેપરમાં અમેરિકન શેરબજારના એસ. પી. 500 સૂચકાંક માટે કેલી અપૂર્ણાંક <આઇ. ડી. 1> હોવાનો અંદાજ છે. ઇક્વિટી બજારો માટે નોંધપાત્ર નકારાત્મક પૂંછડી-જોખમ એ કેલી અપૂર્ણાંકને નિષ્કપટ અંદાજમાંથી ઘટાડવાનું બીજું કારણ છે (દાખલા તરીકે, અડધા કેલી સુધી ઘટાડવું). ટીકા જોકે કેલી વ્યૂહરચનાનું લાંબા ગાળે અન્ય કોઈપણ વ્યૂહરચના કરતાં વધુ સારું પ્રદર્શન કરવાનું વચન આકર્ષક લાગે છે, કેટલાક અર્થશાસ્ત્રીઓએ તેની સામે સખત દલીલ કરી છે, મુખ્યત્વે કારણ કે વ્યક્તિની ચોક્કસ રોકાણની મર્યાદાઓ શ્રેષ્ઠ વિકાસ દરની ઇચ્છાને ઓવરરાઇડ કરી શકે છે. પરંપરાગત વિકલ્પ અપેક્ષિત ઉપયોગિતા સિદ્ધાંત છે જે કહે છે કે પરિણામની અપેક્ષિત ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરવા માટે દાવનું કદ હોવું જોઈએ (લઘુગણક ઉપયોગિતા ધરાવતી વ્યક્તિ માટે, કેલી શરત અપેક્ષિત ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરે છે, તેથી કોઈ વિરોધાભાસ નથી; વધુમાં, કેલીનું મૂળ પેપર સ્પષ્ટપણે જુગારની રમતોના કિસ્સામાં ઉપયોગિતા કાર્યની જરૂરિયાત દર્શાવે છે જે મર્યાદિત રીતે ઘણી વખત રમાય છે). કેલીના સમર્થકો પણ સામાન્ય રીતે વિવિધ વ્યવહારુ કારણોસર અપૂર્ણાંક કેલી (કેલી દ્વારા ભલામણ કરાયેલ રકમના નિશ્ચિત અપૂર્ણાંક પર દાવ લગાવવા) માટે દલીલ કરે છે, જેમ કે વોલેટિલિટી ઘટાડવાની ઇચ્છા, અથવા તેમના લાભ (ધાર) ગણતરીઓમાં બિન-નિર્ધારિત ભૂલો સામે રક્ષણ. બોલચાલની ભાષામાં, કેલી માપદંડને સચોટ સંભાવના મૂલ્યોની જરૂર છે, જે વાસ્તવિક દુનિયાના ઘટના પરિણામો માટે હંમેશા શક્ય નથી. જ્યારે કોઈ જુગારી જીતવાની તેમની સાચી સંભાવનાને વધુ પડતો અંદાજ આપે છે, ત્યારે ગણતરી કરાયેલ માપદંડ મૂલ્ય શ્રેષ્ઠથી અલગ થઈ જશે, જેનાથી વિનાશનું જોખમ વધશે. કેલી સૂત્રને 'સમય વૈવિધ્યકરણ' તરીકે વિચારી શકાય છે, જે વિવિધ ક્રમિક સમયગાળા દરમિયાન સમાન જોખમ લે છે (સંપત્તિ વૈવિધ્યકરણ માટે વિવિધ સંપત્તિઓમાં સમાન જોખમ લેવાના વિરોધમાં). સમય વૈવિધ્યકરણ અને સંપત્તિ વૈવિધ્યકરણ વચ્ચે સ્પષ્ટ તફાવત છે, જે પોલ એ. સેમ્યુઅલ્સન દ્વારા ઉઠાવવામાં આવ્યો હતો. એન્સેમ્બલ-એવરેજિંગ (યુટિલિટી ગણતરી) અને ટાઇમ-એવરેજિંગ (વાસ્તવિક જીવનમાં એક જ સમય માર્ગ પર કેલી મલ્ટી-પિરિયડ સટ્ટાબાજી) વચ્ચે પણ તફાવત છે. એર્ગોડિસિટી બ્રેકિંગને પ્રોત્સાહિત કરીને ચર્ચા ફરી શરૂ કરવામાં આવી હતી. તેમ છતાં એર્ગોડિસિટી બ્રેકિંગ અને નાઈટીયન અનિશ્ચિતતા વચ્ચેનો તફાવત ઓળખવો જોઈએ. અદ્યતન ગણિત સખત અને સામાન્ય પુરાવા માટે, કેલીનું મૂળ પેપર અથવા નીચે સૂચિબદ્ધ કેટલાક અન્ય સંદર્ભો જુઓ. કેટલાક સુધારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. અમે સામાન્ય વિચાર દર્શાવવા અને કેટલીક આંતરદૃષ્ટિ પ્રદાન કરવા માટે (50:50 "ઇવન મની" શરત) સાથે કેસ માટે નીચેની બિન-સખત દલીલ આપીએ છીએ. જ્યારે, કેલી શરત લગાવનાર તેમની પ્રારંભિક સંપત્તિ પર દાવ લગાવે છે, જે ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે છે. જો તેઓ જીતે છે, તો તેમની પાસે એક પછી એક શરત છે. જો તેઓ હારશે તો તેમની પાસે છે. ધારો કે તેઓ આ પ્રકારના દાવ લગાવે છે, અને દાવની આ શ્રેણીમાંથી સમય જીતે છે. પરિણામી સંપત્તિ હશેઃ નોંધ લો કે જીત અને હારનો ક્રમ પરિણામી સંપત્તિને અસર કરતું નથી. ધારો કે અન્ય શરત લગાવનાર અમુક મૂલ્ય માટે અલગ રકમનો દાવ લગાવે છે (જ્યાં તે હકારાત્મક કે નકારાત્મક હોઈ શકે છે). તેમની પાસે જીત પછી અને હાર પછી હશે. કેલી શરત લગાવનારની જેમ જીત અને હારની સમાન શ્રેણી પછી, તેમની પાસે હશેઃ આના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન લો અને મેળવોઃ જ્યારે આ વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે કાર્ય મહત્તમ થાય છે, જે અહીં થાય છેઃ જે સૂચવે છે કે પરંતુ જીતવાના દાવનું પ્રમાણ આખરે મોટી સંખ્યાના નબળા કાયદા અનુસારઃ માં એકરૂપ થશે. તેથી લાંબા ગાળે, અંતિમ સંપત્તિને શૂન્ય પર સેટ કરીને મહત્તમ કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કેલી વ્યૂહરચનાને અનુસરવી. આ દર્શાવે છે કે કેલીમાં નિર્ધારક અને સ્ટોકેસ્ટિક બંને ઘટકો છે. જો કોઈ વ્યક્તિ કે અને એન જાણે છે અને દરેક વખતે શરત લગાવવા માટે સંપત્તિનો સતત અપૂર્ણાંક પસંદ કરવા માંગે છે (અન્યથા કોઈ વ્યક્તિ છેતરપિંડી કરી શકે છે અને, ઉદાહરણ તરીકે, કેથ જીત પછી શૂન્ય શરત લગાવી શકે છે એ જાણીને કે બાકીના બેટ્સ ગુમાવશે), જો કોઈ એક શરત લગાવશે તો સૌથી વધુ પૈસા મળશેઃ દરેક વખતે. આ વાત સાચી છે, પછી ભલે તે નાની હોય કે મોટી. કેલીનો "લાંબા ગાળાનો" ભાગ જરૂરી છે કારણ કે K અગાઉથી જાણીતું નથી, જેમ જેમ તે મોટું થાય છે, તેમ તે નજીક આવશે. કોઈ વ્યક્તિ જે કેલી કરતાં વધુ દાવ લગાવે છે તે વધુ સારી રીતે કરી શકે છે જો ખેંચાણ માટે; જે વ્યક્તિ કેલી કરતા ઓછો દાવ લગાવે છે તે વધુ સારી રીતે કરી શકે છે જો ખેંચાણ માટે, પરંતુ લાંબા ગાળે, કેલી હંમેશા જીતે છે. સામાન્ય કેસ માટેનો સંશોધનાત્મક પુરાવો નીચે મુજબ આગળ વધે છે. એક જ અજમાયશમાં, જો તમે તમારી મૂડીનો અપૂર્ણાંક રોકાણ કરો છો, જો તમારી વ્યૂહરચના સફળ થાય છે, તો અજમાયશના અંતે તમારી મૂડી પરિબળ દ્વારા વધે છે, અને તેવી જ રીતે, જો વ્યૂહરચના નિષ્ફળ જાય છે, તો તમારી મૂડી પરિબળ દ્વારા ઘટી જાય છે. આમ પરીક્ષણોના અંતે (સફળતાઓ અને નિષ્ફળતાઓ સાથે), $1ની પ્રારંભિક મૂડી મહત્તમ ઉપજ આપે છે, અને પરિણામે, ઇચ્છિત પરિણામ તરફ દોરી જવાના સંદર્ભમાં એડવર્ડ ઓ. થોર્પે સામાન્ય કેસ માટે આ સૂત્રની વધુ વિગતવાર ચર્ચા પૂરી પાડી હતી. ત્યાં, એવું જોઈ શકાય છે કે પરીક્ષણોની સંખ્યા અને "સફળતાઓ" ની સંખ્યાના ગુણોત્તર માટે અવેજી સૂચવે છે કે પરીક્ષણોની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોવી જોઈએ, કારણ કે તેને આ ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે પરીક્ષણોની સંખ્યા અનંત સુધી જાય છે. ટૂંકમાં કહીએ તો, દરેક વખતે શરત લગાવવાથી સંપત્તિ વૃદ્ધિ દરમાં વધારો થવાની સંભાવના માત્ર એવા કિસ્સામાં થશે કે જ્યાં ટ્રાયલની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોય અને દરેક ટ્રાયલ માટે સમાન હોય. વ્યવહારમાં, આ એક જ રમતને વારંવાર રમવાની બાબત છે, જ્યાં જીતવાની સંભાવના અને ચૂકવણીની શક્યતાઓ હંમેશા સમાન હોય છે. ઉપરના સંશોધનાત્મક પુરાવાઓમાં, સફળતાઓ અને નિષ્ફળતાઓ માત્ર ખૂબ મોટા માટે જ થવાની સંભાવના છે. બહુવિધ પરિણામો કેલીના માપદંડને ઘણા પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામો પર જુગાર પર સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જેમ કે હોર્સ રેસમાં. ધારો કે ત્યાં ઘણા પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામો છે. - th ઘોડો રેસ જીતે તેવી સંભાવના છે,-th ઘોડા પર મૂકવામાં આવેલા બેટ્સની કુલ રકમ છે, અને ચૂકવણીની અવરોધો ક્યાં છે. , એ ડિવિડન્ડ દર છે જ્યાં ટ્રેક ટેક અથવા ટેક્સ છે, તે ટ્રેકની કપાત પછીનો આવક દર છે જ્યારે-th ઘોડો જીતે છે. - th ઘોડા પર શરત લગાવવા માટે શરત લગાવનારના ભંડોળનો અપૂર્ણાંક છે. બહુવિધ પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામો સાથે જુગાર માટે કેલીનો માપદંડ પરિણામોનો શ્રેષ્ઠ સમૂહ શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ આપે છે જેના પર શરત લગાવવી વાજબી છે અને તે શ્રેષ્ઠ સમૂહમાં સમાવિષ્ટ પરિણામો પર શરત લગાવવા માટે શરત લગાવનારની સંપત્તિના શ્રેષ્ઠ અપૂર્ણાંકો શોધવા માટે સ્પષ્ટ સૂત્ર આપે છે. પરિણામોના શ્રેષ્ઠ સમૂહ માટેના અલ્ગોરિધમમાં ચાર પગલાંઓનો સમાવેશ થાય છેઃ તમામ સંભવિત (અથવા માત્ર કેટલાક સૌથી આશાસ્પદ) પરિણામો માટે અપેક્ષિત આવક દરની ગણતરી કરવીઃ પરિણામોને ફરીથી ક્રમબદ્ધ કરો જેથી નવો ક્રમ ન વધે. આમ શ્રેષ્ઠ શરત હશે. સુયોજિત કરો (ખાલી સમૂહ),. આમ શ્રેષ્ઠ શરતને પહેલા ગણવામાં આવશે. પુનરાવર્તનઃ જો પછી સમૂહમાં-th પરિણામ દાખલ કરો, સૂત્ર અનુસાર ફરીથી ગણતરી કરો અને પછી સેટ કરો, અન્યથા, પુનરાવર્તન સેટ કરો અને બંધ કરો. જો શ્રેષ્ઠ સેટ ખાલી હોય તો બિલકુલ શરત ન લગાવશો. જો શ્રેષ્ઠ પરિણામોનો સમૂહ ખાલી ન હોય, તો પછી-th પરિણામ પર શરત લગાવવા માટે શ્રેષ્ઠ અપૂર્ણાંકની ગણતરી આ સૂત્રમાંથી કરી શકાય છેઃ કોઈ વ્યક્તિ સાબિત કરી શકે છે કે જ્યાં જમણી બાજુએ અનામત દર છે. તેથી, જરૂરિયાતનું અર્થઘટન નીચે મુજબ થઈ શકે છેઃ-પરિણામને શ્રેષ્ઠ પરિણામોના સમૂહમાં સામેલ કરવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે તેનો અપેક્ષિત આવક દર અનામત દર કરતા વધારે હોય. શ્રેષ્ઠ અપૂર્ણાંક માટેના સૂત્રનું અર્થઘટન એ રીતે થઈ શકે છે કે, '-th' ઘોડાના અપેક્ષિત આવક દરને '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો જીતે ત્યારે '-th' ઘોડો દ્વિસંગી વૃદ્ધિ સૂચક છે અને બમણો થવાનો સમય છે શ્રેષ્ઠ બેટ્સની પસંદગીની આ પદ્ધતિ ત્યારે પણ લાગુ કરી શકાય છે જ્યારે સંભાવનાઓ માત્ર કેટલાક સૌથી આશાસ્પદ પરિણામો માટે જાણીતી હોય, જ્યારે બાકીના પરિણામો જીતવાની કોઈ તક ધરાવતા ન હોય. આ કિસ્સામાં તે અને હોવું જોઈએ. શેર રોકાણો બીજા ક્રમની ટેલર બહુપદીનો ઉપયોગ મુખ્ય માપદંડના સારા અંદાજ તરીકે થઈ શકે છે. મુખ્યત્વે, તે શેરના રોકાણ માટે ઉપયોગી છે, જ્યાં રોકાણ માટે સમર્પિત અપૂર્ણાંક સરળ લાક્ષણિકતાઓ પર આધારિત હોય છે જેનો અંદાજ હાલની ઐતિહાસિક માહિતી-અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા પરથી સરળતાથી લગાવી શકાય છે. આ અંદાજ એવા પરિણામો તરફ દોરી જાય છે જે મજબૂત હોય છે અને મૂળ માપદંડ જેવા જ પરિણામો આપે છે. એકલ અસ્કયામતો (સ્ટોક, ઇન્ડેક્સ ફંડ, વગેરે) માટે. ), અને જોખમ મુક્ત દર, ભૌમિતિક બ્રાઉનિયન ગતિ દ્વારા રોકાણ કરવા માટે શ્રેષ્ઠ અપૂર્ણાંક મેળવવાનું સરળ છે. સમય () પર સામાન્ય રીતે વિતરિત સંપત્તિની ઉત્ક્રાંતિને સંચાલિત કરતું સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ છે, જેનો ઉકેલ એ છે કે જ્યાં વીનર પ્રક્રિયા છે, અને (ટકાવારી પ્રવાહ) અને (ટકાવારીની અસ્થિરતા) સ્થિરાંકો છે. લઘુગણકની અપેક્ષાઓ રાખવીઃ પછી અપેક્ષિત લોગ વળતર એ છે કે એસેટ અને જોખમ મુક્ત દર ચૂકવતા બોન્ડના બનેલા પોર્ટફોલિયોને ધ્યાનમાં લો, જેમાં બોન્ડમાં અને તેમાં અપૂર્ણાંક રોકાણ કરવામાં આવે છે. માટે ઉપરોક્ત સમીકરણ આ અપૂર્ણાંક દ્વારા સુધારવું આવશ્યક છે, એટલે કે, સંકળાયેલ ઉકેલ સાથે અપેક્ષિત એક-સમયગાળાનું વળતર દ્વારા આપવામાં આવે છે. થોર્પ સમાન પરિણામ પર આવ્યા પરંતુ એક અલગ વ્યુત્પત્તિ દ્વારા. યાદ રાખો કે તે એસેટ લોગ રિટર્નથી અલગ છે. કેલી માપદંડ વિશે વાત કરતી વેબસાઇટ્સ અને લેખો દ્વારા કરવામાં આવતી આ એક સામાન્ય ભૂલ છે. બહુવિધ અસ્કયામતો માટે, સ્ટોકેસ્ટિક વળતર સાથે સહસંબંધિત શેરો સાથેના બજાર અને વળતર સાથે જોખમ વિનાના બોન્ડનો વિચાર કરો. રોકાણકાર તેમની મૂડીનો એક ભાગ મૂકે છે અને બાકીનું બોન્ડમાં રોકાણ કરવામાં આવે છે. સામાન્યતાની ખોટ વિના, ધારો કે રોકાણકારની પ્રારંભિક મૂડી 1 ની બરાબર છે. કેલી માપદંડ અનુસાર કોઈએ મહત્તમ કરવું જોઈએ ટેલર શ્રેણી સાથે આનું વિસ્તરણ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ આમ આપણે ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને દ્વિઘાત પ્રોગ્રામિંગમાં ઘટાડીએ છીએ અને અનિયંત્રિત ઉકેલ એ છે કે જ્યાં અને તે માધ્યમોનું વેક્ટર છે અને વધારાના વળતરની બીજી મિશ્ર બિન-કેન્દ્રીય ક્ષણોના મેટ્રિક્સ છે. અપૂર્ણાંક કેલી વ્યૂહરચનાઓ માટે અને કોઈ લાભ વિના અને ટૂંકા વેચાણની મર્યાદાઓ વિના શ્રેષ્ઠ ઉકેલ માટે આંકડાકીય અલ્ગોરિધમ પણ છે. આ પણ જુઓ જુગારના વિનાશનું જોખમ અને માહિતી સિદ્ધાંત પ્રોબસ્ટિંગનો વિરોધાભાસ મર્ટનની પોર્ટફોલિયો સમસ્યા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ શ્રેષ્ઠ નિર્ણયો જુગાર ગણિત માહિતી સિદ્ધાંત દાવાબાજી પુરાવા ધરાવતા લેખો 1956 પરિચય પોર્ટફોલિયો સિદ્ધાંતો