Enriques–Kodaira classification
ગણિતમાં, એનરિક-કોડાઇરા વર્ગીકરણ એ સઘન જટિલ સપાટીઓનું દસ વર્ગોમાં વર્ગીકરણ છે. આ દરેક વર્ગો માટે, વર્ગની સપાટીઓને મોડુલી જગ્યા દ્વારા પરિમાણિત કરી શકાય છે. મોટાભાગના વર્ગો માટે મોડ્યુલી જગ્યાઓ સારી રીતે સમજી શકાય છે, પરંતુ સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓના વર્ગ માટે મોડ્યુલી જગ્યાઓ સ્પષ્ટપણે વર્ણવવા માટે ખૂબ જટિલ લાગે છે, જોકે કેટલાક ઘટકો જાણીતા છે. મેક્સ નોએથરે બીજગણિત સપાટીઓનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ શરૂ કર્યો, અને ગુઇડો કેસ્ટેલનુઓવોએ વર્ગીકરણના મહત્વપૂર્ણ ભાગો સાબિત કર્યા. જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક સપાટીઓના વર્ગીકરણનું વર્ણન કર્યું. બાદમાં બિન-બીજગણિત સઘન સપાટીઓનો સમાવેશ કરવા માટે વર્ગીકરણને વિસ્તૃત કર્યું. હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં સપાટીઓનું સમાન વર્ગીકરણ દ્વારા શરૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને તેના દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવ્યું હતું; તે લાક્ષણિકતા 0 પ્રોજેક્ટિવ કેસ જેવું જ છે, સિવાય કે એક પણ લાક્ષણિકતા 2 માં એકવચન અને સુપરસિંગ્યુલર એનરિક સપાટીઓ અને લાક્ષણિકતાઓ 2 અને 3 માં અર્ધ-લંબગોળ સપાટીઓ મેળવે છે. વર્ગીકરણનું નિવેદન કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સપાટીઓનું એનરિકસ-કોડાઇરા વર્ગીકરણ જણાવે છે કે દરેક નોનસિંગ્યુલર ન્યૂનતમ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સપાટી આ પૃષ્ઠ પર સૂચિબદ્ધ 10 પ્રકારોમાંથી બરાબર એક છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે તર્કસંગત, શાસિત (જીનસ> 0), પ્રકાર VII, K3, એનરિકસ, કોડાઇરા, ટોરિક, હાયપરેલિપ્ટિક, યોગ્ય રીતે અર્ધ-લંબગોળ અથવા સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓમાંથી એક છે. સામાન્ય પ્રકાર સિવાયની સપાટીઓના 9 વર્ગો માટે, બધી સપાટીઓ કેવી દેખાય છે તેનું એકદમ સંપૂર્ણ વર્ણન છે (જે વર્ગ VII માટે વૈશ્વિક ગોળાકાર શેલ અનુમાન પર આધારિત છે, જે હજુ પણ 2009 માં અપ્રમાણિત છે). સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓ માટે તેમના સ્પષ્ટ વર્ગીકરણ વિશે વધુ માહિતી નથી, તેમ છતાં ઘણા ઉદાહરણો મળી આવ્યા છે. હકારાત્મક લાક્ષણિકતા (,) માં બીજગણિત સપાટીઓનું વર્ગીકરણ લાક્ષણિકતા 0 માં બીજગણિત સપાટીઓ જેવું જ છે, સિવાય કે ત્યાં કોઈ કોડાઇરા સપાટીઓ અથવા પ્રકાર VII ની સપાટીઓ નથી, અને લાક્ષણિકતા 2 માં એનરિક સપાટીઓના કેટલાક વધારાના પરિવારો છે, અને લાક્ષણિકતાઓ 2 અને 3 માં હાયપરેલિપ્ટિક સપાટીઓ છે, અને લાક્ષણિકતાઓ 2 અને 3 માં કોડાઇરા પરિમાણ 1 માં પણ અર્ધ-લંબગોળ તંતુઓને મંજૂરી આપે છે. આ વધારાના પરિવારોને નીચે પ્રમાણે સમજી શકાય છેઃ લાક્ષણિકતા 0 માં આ સપાટીઓ મર્યાદિત જૂથો દ્વારા સપાટીઓના ગુણોત્તર છે, પરંતુ મર્યાદિત લાક્ષણિકતાઓમાં મર્યાદિત જૂથ યોજનાઓ દ્વારા ગુણોત્તર લેવાનું પણ શક્ય છે જે étale નથી. ઓસ્કાર ઝરીસ્કીએ કેટલીક સપાટીઓનું નિર્માણ હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં કર્યું છે જે અવિભાજ્ય વિસ્તરણ (ઝરીસ્કી સપાટીઓ) માંથી મેળવેલ છે, જે એકરૂપ છે પરંતુ તર્કસંગત નથી. હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં સેરેએ દર્શાવ્યું હતું કે તે તેનાથી અલગ હોઈ શકે છે, અને ઇગુસાએ દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે તેઓ સમાન હોય ત્યારે પણ તેઓ અનિયમિતતા (પિકાર્ડ વિવિધતાનું પરિમાણ) કરતા વધારે હોઈ શકે છે. હોજ સંખ્યાઓ અને કોડાઇરા પરિમાણની સપાટીઓના પરિવર્તનો વર્ગીકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાતી સઘન જટિલ સપાટીઓના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિવર્તનો વિવિધ સુસંગત શીફ કોહોમોલોજી જૂથોના પરિમાણોના સંદર્ભમાં આપી શકાય છે. મૂળભૂત સંખ્યાઓ પ્લુરિજેનેરા અને હોજ સંખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છેઃ K એ કેનોનિકલ લાઇન બંડલ છે જેના વિભાગો હોલોમોર્ફિક 2-સ્વરૂપો છે. તેમને પ્લુરિજેનેરા કહેવામાં આવે છે. તેઓ દ્વિવાર્ષિક અપરિવર્તનશીલ છે, એટલે કે, ઉડાડવા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. સેઇબર્ગ-વિટન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, રોબર્ટ ફ્રીડમેન અને જ્હોન મોર્ગને દર્શાવ્યું હતું કે જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ માટે તેઓ માત્ર અંતર્ગત લક્ષી સરળ 4-મેનીફોલ્ડ પર આધાર રાખે છે. નોન-કેલર સપાટીઓ માટે પ્લુરિજનરા મૂળભૂત જૂથ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, પરંતુ કેલર સપાટીઓ માટે એવી સપાટીઓના ઉદાહરણો છે જે હોમોમોર્ફિક હોય છે પરંતુ તેમાં વિવિધ પ્લુરિજનરા અને કોડાઇરા પરિમાણો હોય છે. વ્યક્તિગત પ્લુરિજેનેરાનો વારંવાર ઉપયોગ થતો નથી; તેમના વિશેની સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે તેમનો વૃદ્ધિ દર, કોડાઇરા પરિમાણ દ્વારા માપવામાં આવે છે. કોડાઇરા પરિમાણ છેઃ તે (કેટલીકવાર −1 લખવામાં આવે છે) જો પ્લુરિજનરા બધા 0 હોય, અને અન્યથા તે સૌથી નાની સંખ્યા (સપાટીઓ માટે 0,1, અથવા 2) હોય જે બંધાયેલ હોય. એનરિકેસે આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો ન હતોઃ તેના બદલે તેમણે અને ના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આ નીચે આપેલા પત્રવ્યવહારને ધ્યાનમાં રાખીને કોડાઇરા પરિમાણ નક્કી કરે છેઃ હોલોમોર્ફિક આઈ-સ્વરૂપોનું આવરણ ક્યાં છે, હોજ સંખ્યાઓ ક્યાં છે, જે ઘણીવાર હોજ હીરામાં ગોઠવાયેલી હોય છેઃ સેરે દ્વૈતતા અને જટિલ સપાટીની હોજ સંખ્યાઓ માત્ર સપાટીની લક્ષી વાસ્તવિક કોહોમોલોજી રિંગ પર આધાર રાખે છે, અને દ્વિવાર્ષિક પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે, સિવાય કે જે એક બિંદુને ઉડાડવા હેઠળ 1 નો વધારો કરે છે. જો સપાટી કેલર હોય તો ત્યાં માત્ર ત્રણ સ્વતંત્ર હોજ સંખ્યાઓ છે. જો સપાટી સઘન હોય તો હોજ સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત સમતુલ્ય અથવા અપરિવર્તનશીલ એવા ઘણા અપરિવર્તનશીલ છે કે જેને (ઓછામાં ઓછા જટિલ સપાટીઓ માટે) હોજ સંખ્યાઓના રેખીય સંયોજનો તરીકે લખી શકાય છે, જે નીચે મુજબ છેઃ બેટ્ટી સંખ્યાઓઃ લાક્ષણિકતા પી> 0 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બેટ્ટી સંખ્યાઓને એલ-એડિક કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને આ સંબંધોને સંતોષવાની જરૂર નથી. યુલર લાક્ષણિકતા અથવા યુલર સંખ્યાઃ અનિયમિતતાને પિકાર્ડ વિવિધતા અને આલ્બનીઝ વિવિધતાના પરિમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેને q દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જટિલ સપાટીઓ માટે (પરંતુ હંમેશા મુખ્ય લાક્ષણિકતા ધરાવતી સપાટીઓ માટે નહીં) ભૌમિતિક જાતિઃ અંકગણિત જાતિઃ તુચ્છ બંડલની હોલોમોર્ફિક યુલર લાક્ષણિકતા (સામાન્ય રીતે ઉપર વ્યાખ્યાયિત યુલર સંખ્યા ઇથી અલગ હોય છે): નોઇથરના સૂત્ર દ્વારા તે ટોડ જાતિ સમાન પણ છે જટિલ સપાટીઓ માટે બીજા કોહોમોલોજી જૂથની સહી આ રીતે સૂચવવામાં આવે છેઃ c2 = e અને ચેરન સંખ્યાઓ છે, જેને મેનીફોલ્ડ પર ચેરન વર્ગોમાં વિવિધ બહુપદીઓના સંકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અન્ય અપરિવર્તનશીલ કોમ્પેક્ટ જટિલ સપાટીઓના વધુ અપરિવર્તનશીલ છે જેનો વર્ગીકરણમાં એટલો ઉપયોગ થતો નથી. તેમાં બીજગણિત અપરિવર્તનોનો સમાવેશ થાય છે જેમ કે વિભાજક મોડ્યુલો રેખીય સમાનતાના પિકાર્ડ જૂથ પિક (એક્સ), તેનો ભાગાકાર પિકાર્ડ નંબર ρ સાથે નેરોન-સેવેરી જૂથ એનએસ (એક્સ), મૂળભૂત જૂથ π1 અને અભિન્ન સમરૂપતા અને સમરૂપતા જૂથો જેવા ટોપોલોજીકલ અપરિવર્તન, અને અંતર્ગત સરળ 4-મેનીફોલ્ડના અપરિવર્તન જેમ કે સેઇબર્ગ-વિટન અપરિવર્તન અને ડોનાલ્ડસન અપરિવર્તન. લઘુતમ નમૂનાઓ અને કોઈપણ સપાટીને ઉડાડવી એ બિન-એકવચની સપાટી માટે દ્વિસંગી છે, તેથી મોટાભાગના હેતુઓ માટે તે બિન-એકવચની સપાટીઓને વર્ગીકૃત કરવા માટે પૂરતી છે. સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુને જોતાં, આપણે આ બિંદુને ઉડાવીને નવી સપાટી બનાવી શકીએ છીએ, જેનો અર્થ છે કે આપણે તેને પ્રોજેક્ટિવ લાઇનની નકલ દ્વારા બદલીએ છીએ. આ લેખના હેતુ માટે, નોન-સિંગ્યુલર સપાટી X ને મિનિમલ કહેવામાં આવે છે જો તે કોઈ બિંદુને ઉડાવીને અન્ય નોન-સિંગ્યુલર સપાટી પરથી મેળવી શકાતી નથી. કેસ્ટેલનુઓવોના સંકોચન પ્રમેય અનુસાર, આ એવું કહેવા સમાન છે કે X પાસે કોઈ (−1)-વળાંક (સ્વ-છેદન સંખ્યા −1 સાથે સરળ તર્કસંગત વળાંક) નથી. (મિનિમલ મોડેલ પ્રોગ્રામની વધુ આધુનિક પરિભાષામાં, જો તેનું કેનોનિકલ લાઇન બંડલ કેએક્સ એનઇએફ હોય તો સ્મૂથ પ્રોજેક્ટિવ સરફેસ એક્સને મિનિમલ કહેવામાં આવશે. એક સરળ પ્રોજેક્ટિવ સપાટી તે મજબૂત અર્થમાં ન્યૂનતમ મોડેલ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું કોડાઇરા પરિમાણ બિન-નકારાત્મક હોય.) દરેક સપાટી X ન્યૂનતમ બિન-એકકોણીય સપાટી માટે દ્વિસંગી હોય છે, અને આ ન્યૂનતમ બિન-એકકોણીય સપાટી અનન્ય હોય છે જો X પાસે કોડાઇરા પરિમાણ ઓછામાં ઓછું 0 હોય અથવા બીજગણિત ન હોય. કોડાઇરા પરિમાણની બીજગણિત સપાટીઓ એક કરતાં વધુ ન્યૂનતમ બિન-એકલ સપાટી માટે દ્વિસંગી હોઈ શકે છે, પરંતુ આ ન્યૂનતમ સપાટીઓ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરવું સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ પર ફૂંકાતા P1 × P1 એ બે વાર ફૂંકાતા P2 માટે આઇસોમોર્ફિક છે. તેથી તમામ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સપાટીઓને બાયરેશનલ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી વર્ગીકૃત કરવા માટે તે (વધુ કે ઓછું) ન્યૂનતમ નોન-સિંગ્યુલર સપાટીઓને વર્ગીકૃત કરવા માટે પૂરતું છે. કોડાઇરા પરિમાણની સપાટીઓ-કોડાઇરા પરિમાણની બીજગણિત સપાટીઓને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. જો q> 0 હોય તો આલ્બનીઝ જાતના નકશામાં રેસા હોય છે જે પ્રક્ષેપાત્મક રેખાઓ હોય છે (જો સપાટી ન્યૂનતમ હોય તો) તેથી સપાટી એક નિયંત્રિત સપાટી હોય છે. જો q = 0 હોય તો આ દલીલ કામ કરતી નથી કારણ કે આલ્બનીઝ વિવિધતા એક બિંદુ છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં કેસ્ટેલનુઓવોના પ્રમેય સૂચવે છે કે સપાટી તર્કસંગત છે. બિન-બીજગણિત સપાટીઓ માટે કોડેરાને સપાટીઓનો એક વધારાનો વર્ગ મળ્યો, જેને પ્રકાર VII કહેવાય છે, જે હજુ પણ સારી રીતે સમજી શકાયા નથી. તર્કસંગત સપાટીઓ તર્કસંગત સપાટીનો અર્થ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન P2 માટે સપાટી દ્વિસંગી છે. આ બધા બીજગણિત છે. ન્યુનત્તમ તર્કસંગત સપાટીઓ P2 પોતે છે અને હિરઝેબ્રુક સપાટીઓ n = 0 અથવા n ≤ 2 માટે σn છે. (હિરઝેબ્રુક સપાટી એ O (0) + O (n) શીફ સાથે સંકળાયેલ P1 પરનું P1 બંડલ છે. સપાટી β0 એ P1 × P1 માટે સમરૂપ છે, અને β1 એ P2 માટે સમરૂપ છે જે એક બિંદુ પર ફૂંકાય છે તેથી તે ન્યૂનતમ નથી.) અપરિવર્તનશીલઃ પ્લુરિજેનેરા બધા 0 છે અને મૂળભૂત જૂથ તુચ્છ છે. હોજ ડાયમન્ડઃ ઉદાહરણોઃ પી2, પી1 × પી1 = એસઇ0, હિરઝેબ્રુક સપાટીઓ એસઇએન, ક્વાડ્રીક્સ, ક્યુબિક સપાટીઓ, ડેલ પેઝો સપાટીઓ, વેરોનીસ સપાટી. આમાંના ઘણા ઉદાહરણો બિન-લઘુત્તમ છે. જીનસ જીની જીનસ> 0 રૂલ્ડ સપાટીઓની રૂલ્ડ સપાટીઓ જીનસ જીના વળાંક માટે સરળ મોર્ફિઝમ ધરાવે છે, જેના તંતુઓ રેખાઓ પી 1 છે. તે બધા બીજગણિત છે. (જીનસ 0 ની સપાટીઓ હિરઝેબ્રુક સપાટીઓ છે અને તર્કસંગત છે.) કોઈપણ શાસિત સપાટી અનન્ય વળાંક C માટે દ્વિસંગી રીતે P1 × C ની સમકક્ષ હોય છે, તેથી દ્વિસંગી સમાનતા સુધી શાસિત સપાટીઓનું વર્ગીકરણ અનિવાર્યપણે વળાંકના વર્ગીકરણ જેવું જ છે. P1 × P1 માટે આઇસોમોર્ફિક ન હોય તેવી શાસિત સપાટી એક અનન્ય ચુકાદો ધરાવે છે (P1 × P1 પાસે બે હોય છે). અપરિવર્તનશીલઃ પ્લુરિજેનેરા બધા 0 છે. હોજ ડાયમંડઃ ઉદાહરણોઃ P1 સાથે જીનસ> 0 ના કોઈપણ વળાંકનું ઉત્પાદન. સાતમા વર્ગની સપાટીઓ આ સપાટીઓ ક્યારેય બીજગણિત અથવા કેલર હોતી નથી. b2 = 0 સાથેના લઘુત્તમને બોગોમોલોવ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા છે, અને તે હોપ્ફ સપાટીઓ અથવા ઇનોઉ સપાટીઓ છે. હકારાત્મક બીજી બેટ્ટી સંખ્યાના ઉદાહરણોમાં ઇનોઉ-હર્ઝેબ્રુક સપાટીઓ, એનોકી સપાટીઓ અને વધુ સામાન્ય રીતે કાટો સપાટીઓનો સમાવેશ થાય છે. વૈશ્વિક ગોળાકાર કવચ અનુમાન સૂચવે છે કે હકારાત્મક બીજી બેટ્ટી સંખ્યા ધરાવતી તમામ ન્યૂનતમ વર્ગ VII સપાટીઓ કાટો સપાટીઓ છે, જે લગભગ પ્રકાર VII સપાટીઓનું વર્ગીકરણ પૂર્ણ કરશે. પરિવર્તનોઃ q = 1, h1,0 = 0. બધા પ્લુરિજનરા 0 છે. હોજ ડાયમંડઃ કોડાઇરા પરિમાણ 0 ની સપાટીઓ આ સપાટીઓને નોઇથરના સૂત્રથી શરૂ કરીને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કોડાઇરા પરિમાણ 0 માટે, K પાસે પોતાની સાથે શૂન્ય આંતરછેદ સંખ્યા છે, તેથી આપણે અહીં પહોંચીએ છીએઃ વધુમાં κ = 0 હોવાથી આપણી પાસેઃ આને અગાઉના સમીકરણ સાથે જોડવાથી મળે છેઃ સામાન્ય રીતે 2h0,1 ≤ b1, તેથી ડાબી બાજુના ત્રણ શબ્દો બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે અને આ સમીકરણના માત્ર થોડા જ ઉકેલો છે. બીજગણિત સપાટીઓ માટે 2h0,1 − b1 એ 0 અને 2 pg વચ્ચેનો સમ પૂર્ણાંક છે. કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સપાટીઓ માટે 2h0,1 − b1 = 0 અથવા 1. કહલર સપાટીઓ માટે 2h0,1 − b1 = 0 અને h1,0 = h0,1. આ પરિસ્થિતિઓના મોટાભાગના ઉકેલો સપાટીઓના વર્ગોને અનુરૂપ છે, જેમ કે નીચેના કોષ્ટકમાં છેઃ K3 સપાટીઓ આ q = 0 અને તુચ્છ કેનોનિકલ લાઇન બંડલ સાથે કોડાઇરા પરિમાણ 0 ની ન્યૂનતમ સઘન જટિલ સપાટીઓ છે. તે બધા કેલર મેનીફોલ્ડ્સ છે. તમામ K3 સપાટીઓ ડિફિયોમોર્ફિક છે, અને તેમનો ડિફિયોમોર્ફિઝમ વર્ગ સરળ રીતે જોડાયેલા 4-મેનીફોલ્ડ સ્પિનનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ છે. અપરિવર્તનશીલઃ બીજું કોહોમોલોજી જૂથ H2 (X, Z) પરિમાણ 22 અને સહી −16 ના અનન્ય સમ એકરૂપ જાળી II3,19 માટે સમરૂપ છે. હોજ ડાયમંડઃ ઉદાહરણોઃ પી 3 (સી) કમર સપાટીઓમાં ડિગ્રી 4 હાયપરસર્ફેસ. આ ઓટોમોર્ફિઝમ a → − a દ્વારા અબેલિયન સપાટીને ભાગાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, પછી 16 એકવચન બિંદુઓને ઉડાડે છે. ચિહ્નિત K3 સપાટી એ II3,19 થી H2 (X, Z) સુધીના સમરૂપતા સાથે K3 સપાટી છે. ચિહ્નિત K3 સપાટીઓની મોડુલી જગ્યા પરિમાણ 20ની બિન-હૌસડોર્ફ સરળ વિશ્લેષણાત્મક જગ્યા સાથે જોડાયેલી છે. બીજગણિત K3 સપાટીઓ તેના 19-પરિમાણીય પેટા પ્રકારોનો ગણતરીપાત્ર સંગ્રહ બનાવે છે. અબેલિયન સપાટીઓ અને દ્વિ-પરિમાણીય જટિલ તોરી દ્વિ-પરિમાણીય જટિલ તોરીમાં અબેલિયન સપાટીઓનો સમાવેશ થાય છે. એક-પરિમાણીય જટિલ તોરી એ માત્ર લંબગોળ વળાંક છે અને તે બધા બીજગણિત છે, પરંતુ રીમેને શોધ્યું કે પરિમાણ 2 ની સૌથી જટિલ તોરી બીજગણિત નથી. બીજગણિત રાશિઓ બરાબર 2-પરિમાણીય અબેલિયન જાતો છે. તેમનો મોટાભાગનો સિદ્ધાંત ઉચ્ચ-પરિમાણીય તોરી અથવા અબેલિયન જાતોના સિદ્ધાંતનો એક વિશેષ કેસ છે. ઓગણીસમી સદીમાં બે લંબગોળ વળાંક (આઇસોજેની સુધી) નું ઉત્પાદન હોવાનું માપદંડ એક લોકપ્રિય અભ્યાસ હતો. અપરિવર્તનશીલઃ પ્લુરિજેનેરા બધા 1 છે. સપાટી S1 × S1 × S1 × S1 માટે ડિફિયોમોર્ફિક છે તેથી મૂળભૂત જૂથ Z4 છે. હોજ ડાયમંડઃ ઉદાહરણોઃ બે લંબગોળ વળાંકનું ઉત્પાદન. જીનસ 2 વળાંકનો જેકોબિયન. જાળી દ્વારા C2 નો કોઈપણ ભાગાકાર. કોડાઇરા સપાટીઓ આ ક્યારેય બીજગણિત નથી, તેમ છતાં તેઓ બિન-સ્થિર મેરોમોર્ફિક કાર્યો ધરાવે છે. તેમને સામાન્ય રીતે બે પેટા પ્રકારોમાં વહેંચવામાં આવે છેઃ પ્રાથમિક કોડાઇરા સપાટીઓ તુચ્છ કેનોનિકલ બંડલ સાથે, અને ગૌણ કોડાઇરા સપાટીઓ જે 2,3,4, અથવા 6 ક્રમના મર્યાદિત જૂથો દ્વારા આના ભાગ છે, અને જેમાં બિન-તુચ્છ કેનોનિકલ બંડલ હોય છે. ગૌણ કોડાઇરા સપાટીઓનો પ્રાથમિક સપાટીઓ સાથે સમાન સંબંધ હોય છે જે એનરિક સપાટીઓનો K3 સપાટીઓ સાથે હોય છે, અથવા બાયેલિપ્ટિક સપાટીઓનો અબેલિયન સપાટીઓ સાથે હોય છે. અપરિવર્તનશીલઃ જો સપાટી k = 1,2,3,4,6 ક્રમના જૂથ દ્વારા પ્રાથમિક કોડાઇરા સપાટીનો ભાગાકાર હોય, તો જો n એ k દ્વારા વિભાજ્ય હોય અને અન્યથા 0 હોય તો પ્લુરિજેનેરા Pn 1 છે. હોજ ડાયમંડઃ ઉદાહરણોઃ લંબગોળ વળાંક પર બિન-તુચ્છ રેખા બંડલ લો, શૂન્ય વિભાગને દૂર કરો, પછી અમુક જટિલ સંખ્યા ઝેડની શક્તિઓ દ્વારા ગુણાકાર તરીકે Z દ્વારા રેસાને ભાગાકાર કરો. આ પ્રાથમિક કોડાઇરા સપાટી આપે છે. એનરિક સપાટીઓ આ જટિલ સપાટીઓ છે જેમ કે q = 0 અને કેનોનિકલ લાઇન બંડલ બિન-તુચ્છ છે, પરંતુ તેમાં તુચ્છ ચોરસ છે. એનરિક સપાટીઓ તમામ બીજગણિત છે (અને તેથી કેલર). તેઓ ક્રમ 2 ના જૂથ દ્વારા K3 સપાટીઓના ભાગાકાર છે અને તેમનો સિદ્ધાંત બીજગણિત K3 સપાટીઓ જેવો જ છે. અપરિવર્તનશીલઃ જો n સમ હોય તો પ્લુરિજેનેરા Pn 1 અને જો n વિષમ હોય તો 0 છે. મૂળભૂત જૂથમાં ક્રમ 2 છે. બીજું કોહોમોલોજી જૂથ H2 (X, Z) એ પરિમાણ 10 અને સિગ્નેચર −8 અને ક્રમ 2 ના જૂથના અનન્ય સમાન એકરૂપ જાળી II1,9 ના સરવાળા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. હોજ ડાયમંડઃ ચિહ્નિત એનરિક સપાટીઓ જોડાયેલ 10-પરિમાણીય કુટુંબ બનાવે છે, જેનું સ્પષ્ટ વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. લાક્ષણિકતા 2 માં એનરિક સપાટીઓના કેટલાક વધારાના પરિવારો છે જેને એકવચન અને સુપરસિંગ્યુલર એનરિક સપાટીઓ કહેવાય છે; વિગતો માટે એનરિક સપાટીઓ પરનો લેખ જુઓ. હાયપરેલિપ્ટિક (અથવા બાયેલિપ્ટિક) સપાટીઓ જટિલ સંખ્યાઓ પર આ ઓટોમોર્ફિઝમ્સના મર્યાદિત જૂથ દ્વારા બે લંબગોળ વળાંકના ઉત્પાદનના ભાગ છે. મર્યાદિત જૂથ Z/2Z, Z/2Z + Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z + Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z + Z/2Z, અથવા Z/6Z હોઈ શકે છે, જે આવી સપાટીઓના સાત પરિવારો આપે છે. લાક્ષણિકતાઓ 2 અથવા 3 ના ક્ષેત્રોમાં બિન-ધાતુ જૂથ યોજના દ્વારા ક્વોટિએન્ટ લઈને કેટલાક વધારાના પરિવારો આપવામાં આવ્યા છે; વિગતો માટે હાયપરલિપ્ટિક સપાટીઓ પરનો લેખ જુઓ. હોજ ડાયમંડઃ કોડાઇરા પરિમાણની સપાટી 1 લંબગોળ સપાટી એ લંબગોળ તંતુથી સજ્જ સપાટી છે (વળાંક બી માટે એક સર્જેક્ટિવ હોલોમોર્ફિક નકશો કે જે તમામ મર્યાદિત રીતે ઘણા તંતુઓ જીનસ 1 ના સરળ ઇરેડ્યુસિબલ વળાંક છે). આવા તંતુઓમાં સામાન્ય તંતુ એ બી ના કાર્ય ક્ષેત્ર પર જીનસ 1 વળાંક છે. તેનાથી વિપરીત, વળાંકના કાર્ય ક્ષેત્ર પર જીનસ 1 વળાંક આપવામાં આવે તો, તેનું સંબંધિત ન્યૂનતમ મોડેલ લંબગોળ સપાટી છે. કોડાઇરા અને અન્યોએ તમામ લંબગોળ સપાટીઓનું એકદમ સંપૂર્ણ વર્ણન આપ્યું છે. ખાસ કરીને, કોડાઇરાએ સંભવિત એકવચન રેસાની સંપૂર્ણ યાદી આપી. લંબગોળ સપાટીઓનો સિદ્ધાંત સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન રિંગ્સ (દા. ત., પી-એડિક પૂર્ણાંકોની રીંગ) અને ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સ (દા. ત., સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોની રીંગ) પર લંબગોળ વળાંકના યોગ્ય નિયમિત નમૂનાઓના સિદ્ધાંતને અનુરૂપ છે. મર્યાદિત લાક્ષણિકતા 2 અને 3 માં કોઈ અર્ધ-લંબગોળ સપાટીઓ પણ મેળવી શકે છે, જેના તંતુઓ લગભગ બધા એક જ નોડ સાથે તર્કસંગત વળાંક હોઈ શકે છે, જે "અધોગતિગ્રસ્ત લંબગોળ વળાંક" છે. કોડાઇરા પરિમાણ 1 ની દરેક સપાટી લંબગોળ સપાટી છે (અથવા લાક્ષણિકતાઓ 2 અથવા 3 માં અર્ધ-લંબગોળ સપાટી), પરંતુ વિપરીત સાચું નથીઃ લંબગોળ સપાટીમાં કોડાઇરા પરિમાણ, 0 અથવા 1 હોઈ શકે છે. તમામ એનરિક સપાટીઓ, તમામ લંબગોળ સપાટીઓ, તમામ કોડેરાની સપાટીઓ, કેટલીક કે3 સપાટીઓ, કેટલીક અબેલિયન સપાટીઓ અને કેટલીક તર્કસંગત સપાટીઓ લંબગોળ સપાટીઓ છે, અને આ ઉદાહરણોમાં કોડેરાનું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું છે. એક લંબગોળ સપાટી કે જેનો આધાર વળાંક B ઓછામાં ઓછો 2 વંશનો હોય છે તે હંમેશા કોડાઇરા પરિમાણ 1 ધરાવે છે, પરંતુ કોડાઇરા પરિમાણ 0 અથવા 1 વંશના B સાથે કેટલીક લંબગોળ સપાટીઓ માટે પણ 1 હોઈ શકે છે. અપરિવર્તનશીલઃ ઉદાહરણોઃ જો E એ લંબગોળ વળાંક હોય અને B એ ઓછામાં ઓછું 2 જાતિનું વળાંક હોય, તો E × B એ કોડાઇરા પરિમાણ 1 ની લંબગોળ સપાટી છે. કોડાઇરા પરિમાણ 2 ની સપાટીઓ (સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓ) આ તમામ બીજગણિત છે, અને અમુક અર્થમાં મોટાભાગની સપાટીઓ આ વર્ગમાં છે. ગીસેકરે દર્શાવ્યું હતું કે સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓ માટે એક બરછટ મોડ્યુલી યોજના છે; આનો અર્થ એ છે કે ચેરન સંખ્યાઓ c અને c2 ના કોઈપણ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે, તે ચેરન સંખ્યાઓ સાથે સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓનું વર્ગીકરણ કરતી અર્ધ-પ્રોજેક્ટિવ યોજના છે. જો કે આ યોજનાઓનું સ્પષ્ટ રીતે વર્ણન કરવું ખૂબ જ મુશ્કેલ સમસ્યા છે, અને ચેરન નંબરોની બહુ ઓછી જોડી છે જેના માટે આ કરવામાં આવ્યું છે (સિવાય કે જ્યારે યોજના ખાલી હોય!) પરિવર્તનોઃ એવી ઘણી શરતો છે કે જે સામાન્ય પ્રકારની ન્યૂનતમ જટિલ સપાટીની ચેરન સંખ્યાઓને સંતોષવી આવશ્યક છેઃ (બોગોમોલોવ-મિયાઓકા-યુ અસમાનતા) (નોઇથર અસમાનતા) આ શરતોને સંતોષતા પૂર્ણાંકોની મોટાભાગની જોડીઓ સામાન્ય પ્રકારની કેટલીક જટિલ સપાટી માટે ચેરન સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણોઃ સૌથી સરળ ઉદાહરણો જીનસ ઓછામાં ઓછા 2 ના બે વળાંકનું ઉત્પાદન છે, અને પી 3 માં ઓછામાં ઓછા 5 ડિગ્રીની અતિસંવેદનશીલતા છે. ત્યાં મોટી સંખ્યામાં અન્ય બાંધકામો જાણીતા છે. જો કે, એવી કોઈ જાણીતી રચના નથી કે જે મોટી ચેરન સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય પ્રકારની "લાક્ષણિક" સપાટીઓનું ઉત્પાદન કરી શકે; હકીકતમાં તે જાણીતું પણ નથી કે સામાન્ય પ્રકારની "લાક્ષણિક" સપાટીનો કોઈ વાજબી ખ્યાલ છે કે કેમ. મોટાભાગના હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર સપાટીઓ, નકલી પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન, બાર્લો સપાટીઓ વગેરે સહિત અન્ય ઘણા ઉદાહરણો મળી આવ્યા છે. બીજગણિત સપાટીઓના સંદર્ભોની યાદી પણ જુઓ-સઘન જટિલ સપાટીઓ માટેનું પ્રમાણભૂત સંદર્ભ પુસ્તક; (સોફ્ટકવર)-જેમાં વર્ગીકરણની વધુ પ્રાથમિક રજૂઆતનો સમાવેશ થાય છે બાહ્ય કડીઓ લે સુપરફીસી આલ્જેબ્રીચ એ એનરિકનું ઇન્ટરેક્ટિવ વિઝ્યુલાઇઝેશન છે-કોડેયરા વર્ગીકરણ, પીટર બેલમેન્સ અને જોહાન કોમેલિન કોમ્પ્લેક્સ સપાટીઓ દ્વારા બાયરેશનલ ભૂમિતિ બીજગણિત સપાટીઓ ગાણિતિક વર્ગીકરણ પ્રણાલીઓ