Ore condition
ગણિતમાં, ખાસ કરીને રિંગ થિયરી તરીકે ઓળખાતા બીજગણિતના ક્ષેત્રમાં, અયસ્કની સ્થિતિ એ Øયસ્ટીન અયસ્ક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલી સ્થિતિ છે, જે પરિવર્તનીય રિંગ્સથી આગળ વિસ્તરણના પ્રશ્નના સંબંધમાં અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્રની રચના અથવા વધુ સામાન્ય રીતે રિંગનું સ્થાનિકીકરણ છે. રિંગ R ના ગુણાકાર સબસેટ S માટે જમણી ઓર શરત એ છે કે અને, આંતરછેદ. એક (બિન-પરિવર્તનીય) ક્ષેત્ર કે જેના માટે બિન-શૂન્ય તત્વોનો સમૂહ યોગ્ય અયસ્કની સ્થિતિને સંતોષે છે તેને યોગ્ય અયસ્ક ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. ડાબી બાજુના કેસને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય વિચાર ગુણાકાર ઉપગણ S ના સંદર્ભમાં અપૂર્ણાંક R [S−1] ની જમણી રીંગ બનાવવાનો ધ્યેય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે સ્વરૂપના ઘટકો સાથે −1 તરીકે કામ કરવા માંગીએ છીએ અને સમૂહ R [S−1] પર રીંગ માળખું ધરાવીએ છીએ. સમસ્યા એ છે કે ઉત્પાદનનું કોઈ સ્પષ્ટ અર્થઘટન નથી (−1 તરીકે) (bt−1); ખરેખર, આપણને s−1 ને b થી "ખસેડવા" માટે એક પદ્ધતિની જરૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે s − 1b ને ઉત્પાદન b1s1 − 1 તરીકે ફરીથી લખવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. ધારો કે પછી ડાબી બાજુએ s દ્વારા અને જમણી બાજુએ s1 દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે. તેથી આપણે આપેલ a અને s માટે, a1 અને s1 સાથે અને તેના જેવા અસ્તિત્વની જરૂરિયાત જોઈ શકીએ છીએ. એપ્લિકેશન કારણ કે તે સારી રીતે જાણીતું છે કે દરેક ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન એ અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્રની (એમ્બેડિંગ દ્વારા) એવી રીતે સબરીંગ છે કે દરેક તત્વ s નોનઝીરો સાથે rs−1 સ્વરૂપનું હોય, તે પૂછવું સ્વાભાવિક છે કે શું તે જ રચના બિનપરિવર્તનશીલ ડોમેન લઈ શકે છે અને સમાન ગુણધર્મ સાથે ડિવિઝન રિંગ (બિનપરિવર્તનશીલ ક્ષેત્ર) ને સાંકળી શકે છે. તે તારણ આપે છે કે જવાબ કેટલીકવાર "ના" હોય છે, એટલે કે, એવા ડોમેન્સ હોય છે જેમાં સમાન "અપૂર્ણાંકની જમણી વિભાજન રીંગ" હોતી નથી. દરેક જમણા ઓર ડોમેન R માટે, એક અનન્ય (કુદરતી R-આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી) ડિવિઝન રિંગ D હોય છે જેમાં R સબરીંગ તરીકે હોય છે, જેમ કે Dનું દરેક તત્વ Rમાં r માટે rs − 1 અને Rમાં s નોનઝીરોના સ્વરૂપમાં હોય છે. આવી ડિવિઝન રિંગ Dને Rના જમણા અપૂર્ણાંકની રિંગ કહેવામાં આવે છે, અને Rને Dમાં જમણા ક્રમમાં કહેવામાં આવે છે. ડાબા અપૂર્ણાંક અને ડાબા ક્રમની રિંગની કલ્પનાને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં Dના ઘટકો s − 1r સ્વરૂપના હોય છે. એ યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે D માં R એ સાચો ક્રમ હોવાની વ્યાખ્યામાં એવી શરતનો સમાવેશ થાય છે કે D એ સંપૂર્ણપણે rs−1 સ્વરૂપના ઘટકોથી બનેલો હોવો જોઈએ. ઓરે શરતોમાંથી એકને સંતોષતા કોઈપણ ડોમેનને ડિવિઝન રિંગની સબરીંગ ગણી શકાય, જો કે આનો આપમેળે અર્થ એ નથી કે R એ D માં ડાબો ક્રમ છે, કારણ કે તે શક્ય છે કે D પાસે એક તત્વ છે જે s−1r સ્વરૂપનું નથી. આમ આર માટે જમણે નહીં પણ ડાબે ઓર ડોમેન બનવું શક્ય છે. સાહજિક રીતે, D ના તમામ ઘટકો rs−1 સ્વરૂપના હોવાની શરત કહે છે કે R એ D નું "મોટું" R-સબમોડ્યુલ છે. હકીકતમાં શરત એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે RR એ DR નું આવશ્યક સબમોડ્યુલ છે. છેલ્લે, ડિવિઝન રિંગમાં ડોમેનનું એક ઉદાહરણ પણ છે જે ન તો અયસ્કની સ્થિતિને સંતોષે છે (નીચે ઉદાહરણો જુઓ). બીજો સ્વાભાવિક પ્રશ્ન છેઃ "ડિવિઝન રિંગની સબરીંગ ક્યારે બરાબર ઓર હોય છે?" એક લાક્ષણિકતા એ છે કે ડિવિઝન રીંગ D ની સબરીંગ R એ જમણી ઓર ડોમેન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો D એ સપાટ ડાબી બાજુ R-મોડ્યુલ હોય. ઓર શરતોની એક અલગ, મજબૂત આવૃત્તિ સામાન્ય રીતે એવા કેસ માટે આપવામાં આવે છે જ્યાં R એ ડોમેન નથી, એટલે કે u સાથે સામાન્ય બહુવિધ c = au = bv હોવું જોઈએ, v શૂન્ય વિભાજક નહીં. આ કિસ્સામાં, ઓરેનો પ્રમેય (જમણી કે ડાબી) ક્વોટિએન્ટ્સની શાસ્ત્રીય રીંગ તરીકે ઓળખાતી ઓવર-રીંગના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. ઉદાહરણો કોમ્યુટેટિવ ડોમેન્સ આપમેળે ઓર ડોમેન્સ છે, કારણ કે નોનઝીરો a અને b માટે, ab નોનઝીરો છે. જમણા નોથેરિયન ડોમેન્સ, જેમ કે જમણા મુખ્ય આદર્શ ડોમેન્સ, પણ જમણા ઓર ડોમેન્સ તરીકે ઓળખાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, આલ્ફ્રેડ ગોલ્ડીએ સાબિત કર્યું કે ડોમેન આર એ સાચું ઓર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આરઆર મર્યાદિત સમાન પરિમાણ ધરાવે છે. તે પણ સાચું છે કે જમણી બાજુએ બેઝઆઉટ ડોમેન્સ જમણી બાજુએ ઓરે છે. ડિવિઝન રિંગનું સબડોમેન જે જમણી કે ડાબી બાજુએ ઓરે નથીઃ જો F કોઈ ક્ષેત્ર છે, અને બે પ્રતીકો x અને y પર મુક્ત મોનોઈડ છે, તો મોનોઈડ રિંગ કોઈપણ ઓરે શરતને સંતોષતી નથી, પરંતુ તે એક મુક્ત આદર્શ રિંગ છે અને આમ ખરેખર ડિવિઝન રિંગની સબરીંગ છે. ગુણાકાર સમૂહો અયસ્કની સ્થિતિને અન્ય ગુણાકાર ઉપસમૂહોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, અને તેને અને માં પાઠ્યપુસ્તક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. રિંગ R ના સબસેટ S ને જમણો છેદ સમૂહ કહેવામાં આવે છે જો તે દરેક a માટે નીચેની ત્રણ શરતોને સંતોષે, r માં b, અને s માં s, t: S માં st; (સમૂહ S ગુણાકારથી બંધ છે.) aS θ sR ખાલી નથી; (સમૂહ S યોગ્ય પર્મ્યુટેબલ છે.) જો, તો પછી S સાથે કેટલાક u છે; (સમૂહ S બરાબર ઉલટાવી શકાય તેવું છે.) જો S એ જમણો છેદ સમૂહ હોય, તો પછી કોઈ પણ પરિવર્તનીય કેસની જેમ જમણા અપૂર્ણાંકોની આર. એસ.-1 ની રીંગ બનાવી શકે છે. જો S ને નિયમિત તત્વોનો સમૂહ માનવામાં આવે (R માં a એવા તત્વો છે કે જે R માં b બિન-શૂન્ય હોય, તો ab અને b બિન-શૂન્ય હોય), તો યોગ્ય અયસ્કની સ્થિતિ એ છે કે S એ જમણો છેદ સમૂહ હોવો જરૂરી છે. પરિવર્તનીય સ્થાનિકીકરણના ઘણા ગુણધર્મો આ વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં છે. જો S એ R વીંટી માટે જમણો છેદ હોય, તો ડાબી બાજુનું આર-મોડ્યુલ આરએસ-1 સપાટ છે. વધુમાં, જો M એ જમણું R-મોડ્યુલ હોય, તો S-વળાંક, તેના માટે R-સબમોડ્યુલ આઇસોમોર્ફિક છે, અને મોડ્યુલ સ્વાભાવિક રીતે પરિવર્તનીય કેસની જેમ "અપૂર્ણાંકો" ધરાવતા MS-1 મોડ્યુલ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ઓરેની સ્થિતિ પર પ્લેનેટમેથ પૃષ્ઠ ઓરેના પ્રમેય પર પ્લેનેટમેથ પૃષ્ઠ ક્વોટિએન્ટ્સ રિંગ થિયરીની શાસ્ત્રીય રીંગ પર પૃષ્ઠ