Operad
ગણિતમાં, ઓપેરેડ એ એક માળખું છે જેમાં અમૂર્ત કામગીરીઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં દરેકમાં નિશ્ચિત મર્યાદિત સંખ્યામાં ઇનપુટ્સ (દલીલો) અને એક આઉટપુટ હોય છે, તેમજ આ કામગીરીઓ કેવી રીતે લખવી તેનું સ્પષ્ટીકરણ પણ હોય છે. ઓપેરેડને જોતાં, બીજગણિતને આ સમૂહ પર નક્કર કામગીરીઓ સાથે એક સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે તેની અમૂર્ત કામગીરીની જેમ વર્તે છે. દાખલા તરીકે, એક લાઈ ઓપેરેડ છે જેમ કે ઉપરના આલ્જેબ્રા ચોક્કસપણે લાઈ આલ્જેબ્રા છે; એક અર્થમાં અમૂર્ત રીતે તે કામગીરીને એન્કોડ કરે છે જે તમામ લાઈ આલ્જેબ્રા માટે સામાન્ય છે. એક ઓપેરેડ તેના આલ્જેબ્રા માટે છે કારણ કે એક જૂથ તેની જૂથ રજૂઆત માટે છે. હિસ્ટ્રી ઓપરેડ્સ બીજગણિત ટોપોલોજીમાં ઉદ્દભવે છે; તેઓ 1968માં જે. માઈકલ બોર્ડમેન અને રેનર એમ. વોગ્ટ દ્વારા અને 1972માં જે. પીટર મે દ્વારા પુનરાવર્તિત લૂપ સ્પેસની લાક્ષણિકતા દર્શાવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. માર્ટિન માર્કલ, સ્ટીવ શ્નાઇડર અને જિમ સ્ટેશેફ ઓપેરેડ્સ પરના તેમના પુસ્તકમાં લખે છેઃ "ઓપેરેડ નામ અને ઔપચારિક વ્યાખ્યા સૌપ્રથમ 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં જે. પીટર મેના" ધ જીઓમેટ્રી ઓફ ઇટરેટેડ લૂપ સ્પેસ "માં જોવા મળે છે, પરંતુ એક વર્ષ કે તેથી વધુ સમય પહેલાં, બોર્ડમેન અને વોગેટે એડમ્સ અને મેક લેનના PROPs અને PACTs દ્વારા પ્રેરિત પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઓપરેટરોની નામ શ્રેણીઓ હેઠળ સમાન ખ્યાલ વર્ણવ્યો હતો. હકીકતમાં, પ્રાગૈતિહાસિક ઇતિહાસ પુષ્કળ પ્રમાણમાં છે. વેઇબેલ [વેઇ] નિર્દેશ કરે છે કે આ ખ્યાલ સૌપ્રથમ સદી પહેલા એ. એન. માં ઉદ્ભવ્યો હતો. વ્હાઇટહેડનું "એ ટ્રીટાઇઝ ઓન યુનિવર્સલ આલ્જેબ્રા", 1898માં પ્રકાશિત થયું હતું. "ઓપેરાડ" શબ્દ મે દ્વારા "ઓપરેશન્સ" અને "મોનાડ" (અને તેની માતા ઓપેરા ગાયિકા હતી) ના સંયોજન તરીકે બનાવવામાં આવ્યો હતો. 90 ના દાયકાની શરૂઆતમાં ઓપેરાડ્સમાં રસ નોંધપાત્ર રીતે નવેસરથી શરૂ થયો હતો, જ્યારે મેક્સિમ કોન્ટ્સેવિચ, વિક્ટર ગિન્ઝબર્ગ અને મિખાઇલ કપ્રાનોવની પ્રારંભિક આંતરદૃષ્ટિના આધારે શોધ્યું હતું કે તર્કસંગત હોમોટોપી સિદ્ધાંતમાં કેટલીક દ્વૈત ઘટનાઓને ઓપેરાડ્સના કોઝુલ દ્વૈતતાનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે. ત્યારથી ઓપેરેડ્સને ઘણી એપ્લિકેશનો મળી છે, જેમ કે મેક્સિમ કોન્ટેસેવિચ અને થોમસ વિલવેચરના કાર્યમાં પોઈસન મેનીફોલ્ડ્સના વિરૂપતા ક્વોન્ટાઇઝેશન, ડેલીગ્ને અનુમાન અથવા ગ્રાફ હોમોલોજી. અંતઃપ્રેરણા ધારો કે તે એક સમૂહ છે અને આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, કાર્ટેશિયન પ્રોડક્ટમાંથી તમામ કાર્યોનો સમૂહ. આપણે આ કાર્યોની રચના કરી શકીએ છીએઃ આપેલ, કાર્યને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ માંથી આપેલી દલીલો, આપણે તેમને બ્લોકમાં વહેંચીએ છીએ, પ્રથમમાં દલીલો હોય છે, બીજી દલીલો, વગેરે, અને પછી પ્રથમ બ્લોક પર, બીજા બ્લોક પર લાગુ થાય છે, વગેરે. પછી આપણે આ રીતે મેળવેલા મૂલ્યોની સૂચિ પર લાગુ કરીએ છીએ. આપણે દલીલોને પણ પર્મ્યુટ કરી શકીએ છીએ, એટલે કે. આપણી પાસે સમપ્રમાણ જૂથની યોગ્ય ક્રિયા છે, જે માટે, અને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. નીચે આપેલી સપ્રમાણ ઓપેરેડની વ્યાખ્યા આ બે કામગીરીના આવશ્યક ગુણધર્મોને મેળવે છે અને. વ્યાખ્યા બિન-સમમિતીય ઓપેરાડ એક બિન-સમમિતીય ઓપેરાડ (કેટલીકવાર ક્રમચયો વિના ઓપેરાડ અથવા બિન-અથવા સાદા ઓપેરાડ તરીકે ઓળખાય છે) માં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સમૂહોનો ક્રમ, જેના તત્વોને-એરી ઓપરેશન્સ કહેવામાં આવે છે, જે તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે ઓળખ તરીકે ઓળખાય છે, એક રચના કાર્ય જે નીચેના સુસંગતતા સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષ આપે છેઃ ઓળખઃ સહયોગીતાઃ સમમિતીય ઓપેરાડ એક સમમિતીય ઓપેરાડ (ઘણીવાર ફક્ત ઓપેરાડ તરીકે ઓળખાય છે) એ ઉપરની જેમ બિન-સમમિતીય ઓપેરાડ છે, જે સમમિતીય જૂથની જમણી ક્રિયા સાથે, સમતુલ્યતા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને સંતોષકારક સમતુલ્યતા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છેઃ એક ક્રમચયો આપવામાં આવે છે, (જ્યાં જમણી બાજુ સંદર્ભ આપે છે) આ વ્યાખ્યામાં ક્રમચય ક્રિયાઓ મોટાભાગની એપ્લિકેશનો માટે મહત્વપૂર્ણ છે, જેમાં લૂપ સ્પેસ માટે મૂળ એપ્લિકેશનનો સમાવેશ થાય છે. મોર્ફિઝમ્સ ઓપેરેડ્સના મોર્ફિઝમમાં એક ક્રમનો સમાવેશ થાય છે જેઃ ઓળખને જાળવી રાખે છેઃ રચનાને જાળવી રાખે છેઃ દરેક એન-એરી કામગીરી અને કામગીરી માટે, ક્રમચય ક્રિયાઓને જાળવી રાખે છેઃ ઓપેરેડ્સ તેથી દ્વારા સૂચવવામાં આવેલી શ્રેણી બનાવે છે. અન્ય વર્ગોમાં અત્યાર સુધી ઓપેરાડ્સને માત્ર સેટની શ્રેણીમાં જ ગણવામાં આવ્યા છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ સપ્રમાણ મોનોઇડલ શ્રેણી સીમાં ઓપેરાડ્સને વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે. તે કિસ્સામાં, દરેક C નો પદાર્થ છે, રચના C માં મોર્ફિઝમ છે (જ્યાં મોનોઈડલ શ્રેણીના ટેન્સર પ્રોડક્ટને સૂચવે છે), અને સપ્રમાણ જૂથ તત્વોની ક્રિયાઓ C માં આઇસોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે. એક સામાન્ય ઉદાહરણ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ અને સતત નકશાની શ્રેણી છે, જેમાં કાર્ટેશિયન પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલ મોનોઈડલ પ્રોડક્ટ છે. આ કિસ્સામાં, ટોપોલોજિકલ ઓપેરેડ જગ્યાઓના ક્રમ (સમૂહને બદલે) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઓપેરેડના માળખાના નકશા (રચના અને સપ્રમાણ જૂથોની ક્રિયાઓ) પછી સતત હોવાનું માનવામાં આવે છે. પરિણામને ટોપોલોજિકલ ઓપેરેડ કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, ઓપેરેડ્સના મોર્ફિઝમની વ્યાખ્યામાં, એવું માનવું જરૂરી છે કે તેમાં સામેલ નકશા સતત છે. ઓપેરેડ્સને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે અન્ય સામાન્ય સેટિંગ્સમાં, ઉદાહરણ તરીકે, પરિવર્તનીય રિંગ પર મોડ્યુલો, સાંકળ સંકુલ, ગ્રૂપોઇડ્સ (અથવા તો શ્રેણીઓની શ્રેણી પણ), કોલજેબ્રા વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. બીજગણિત વ્યાખ્યા કોમ્યુટેટિવ રીંગ Rને જોતાં આપણે R પર મોડ્યુલોની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. R પર ઓપેરેડને એન્ડોફંક્ટર્સની મોનોઈડલ શ્રેણીમાં મોનોઈડ ઓબ્જેક્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (તે એક મોનાડ છે) જે કેટલીક મર્યાદિત સ્થિતિને સંતોષે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "બહુપદી એન્ડોફંક્ટર્સ" ની શ્રેણીમાં એક મોનોઇડ ઓબ્જેક્ટ એક ઓપેરેડ છે. તેવી જ રીતે, સપ્રમાણ ઓપેરેડને-ઓબ્જેક્ટ્સની શ્રેણીમાં મોનોઇડ ઓબ્જેક્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં તેનો અર્થ સપ્રમાણ જૂથ થાય છે. સંયુક્ત પ્રજાતિઓની શ્રેણીમાં એક મોનોઇડ ઓબ્જેક્ટ એ મર્યાદિત સમૂહોમાં ઓપેરેડ છે. ઉપરોક્ત અર્થમાં ઓપેરેડને કેટલીકવાર સામાન્યીકૃત રીંગ તરીકે માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિકોલાઈ દુરોવ તેમના સામાન્યીકૃત રિંગ્સને ફિલ્ટર કરેલા કોલિમિટ્સ સાથે તે મુસાફરી પર એન્ડોફંક્ટર્સની મોનોઈડલ શ્રેણીમાં મોનોઈડ ઓબ્જેક્ટ્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ રીંગનું સામાન્યીકરણ છે કારણ કે દરેક સામાન્ય રીંગ R એક મોનાડને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે X દ્વારા પેદા થયેલ મુક્ત R-મોડ્યુલના અંતર્ગત સમૂહને X સમૂહ મોકલે છે. સ્વયંસિદ્ધ એસોસિએટિવિટી સ્વયંસિદ્ધ "એસોસિએટિવિટી" ને સમજવાનો અર્થ એ છે કે કામગીરીની રચના સહયોગી છે (કાર્ય સહયોગી છે), જે શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં સ્વયંસિદ્ધ સમાન છે; તેનો અર્થ એ નથી કે કામગીરી પોતે કામગીરી તરીકે સહયોગી છે. નીચે આપેલા સહયોગી નાટક સાથે સરખામણી કરો. ઓપેરેડ થિયરીમાં સહયોગીતાનો અર્થ એ છે કે અભિવ્યક્તિઓ અવગણવામાં આવેલી રચનાઓમાંથી અસ્પષ્ટતા વિના કામગીરીને સંડોવતા લખી શકાય છે, જેમ કે કામગીરી માટે સહયોગીતા ઉત્પાદનોને અવગણવામાં આવેલા કૌંસમાંથી અસ્પષ્ટતા વિના લખવાની મંજૂરી આપે છે. દાખલા તરીકે, જો દ્વિસંગી ક્રિયા છે, જેને અથવા તરીકે લખવામાં આવે છે. જેથી તે સહયોગી હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે. પછી જે સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે તે સ્પષ્ટ રીતે ઓપેરેડિક રીતે લખવામાં આવે છે. આ મોકલે છે (પ્રથમ બે પર લાગુ કરો, અને ત્રીજા પરની ઓળખ), અને પછી ડાબી બાજુએ "ગુણાકાર" થાય છે. જ્યારે વૃક્ષ તરીકે દર્શાવવામાં આવે ત્યારે આ વધુ સ્પષ્ટ થાય છેઃ જે 3-એરિ ઓપરેશન આપે છેઃ જો કે, અભિવ્યક્તિ એક પ્રાથમિક અસ્પષ્ટ છેઃ તેનો અર્થ એ હોઈ શકે કે, જો આંતરિક રચનાઓ પહેલા કરવામાં આવે, અથવા તેનો અર્થ એ હોઈ શકે કે, જો બાહ્ય રચનાઓ પહેલા કરવામાં આવે (કામગીરીઓ જમણેથી ડાબે વાંચવામાં આવે છે). લખવું, આ વિરુદ્ધ છે. એટલે કે, વૃક્ષમાં "ઊભી કૌંસ" ખૂટે છેઃ જો કામગીરીની ટોચની બે પંક્તિઓ પહેલા રચાય છે (રેખા પર ઉપરની તરફ કૌંસ મૂકે છે; આંતરિક રચના પહેલા કરે છે), તો નીચેના પરિણામો આવે છેઃ જે પછી 4-એરી કામગીરી મેળવવા માટે સ્પષ્ટ રીતે મૂલ્યાંકન કરે છે. ટિપ્પણી કરેલ અભિવ્યક્તિ તરીકેઃ જો કામગીરીની નીચેની બે પંક્તિઓ પહેલા રચાય છે (રેખા પર નીચેની તરફ કૌંસ મૂકે છે; બાહ્ય રચના પહેલા કરે છે), તો નીચેના પરિણામો આવે છેઃ જે પછી 4-એરી કામગીરી મેળવવા માટે સ્પષ્ટ રીતે મૂલ્યાંકન કરે છેઃ સહયોગીતાનું ઓપેરેડ સ્વયંસિદ્ધ એ છે કે આ સમાન પરિણામ આપે છે, અને આમ અભિવ્યક્તિ સ્પષ્ટ છે. ઓળખ સ્વયંસિદ્ધ ઓળખ સ્વયંસિદ્ધ (દ્વિસંગી કામગીરી માટે) ને વૃક્ષમાં આ રીતે જોઈ શકાય છેઃ જેનો અર્થ થાય છે કે મેળવેલી ત્રણ કામગીરીઓ સમાન છેઃ ઓળખ સાથે પૂર્વ-અથવા પછી-રચના કરવાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. વર્ગો માટે, તે ઓળખ સ્વયંસિદ્ધનો ઉપસંહાર છે. ઉદાહરણો સમૂહો અને ઓપેરેડ આલ્જેબ્રામાં એન્ડોમોર્ફિઝમ ઓપેરેડ સૌથી મૂળભૂત ઓપેરેડ તે છે જે ઉપરના "અંતર્જ્ઞાન" પરના વિભાગમાં આપવામાં આવ્યા છે. કોઈપણ સમૂહ માટે, આપણે તમામ કાર્યોનો સમાવેશ કરતું એન્ડોમોર્ફિઝમ ઓપરેડ મેળવીએ છીએ. આ ઓપેરાડ્સ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તેઓ ઓપેરાડ આલ્જેબ્રાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કામ કરે છે. જો ઓપેરેડ હોય, તો ઓપેરેડ બીજગણિત સમૂહ અને ઓપેરેડ મોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સહજ ભાવે, આવા આકારવાદ દરેક "અમૂર્ત" કામગીરીને સમૂહ પર "કોંક્રિટ"-એરી કામગીરીમાં ફેરવે છે. આમ ઓપેરેડ બીજગણિતમાં કોંક્રિટ કામગીરીઓ સાથે એક સમૂહનો સમાવેશ થાય છે જે ઓપેરેડ દ્વારા અમૂર્ત રીતે નિર્દિષ્ટ નિયમોનું પાલન કરે છે. વેક્ટર જગ્યાઓ અને ઓપરેડ બીજગણિતમાં એન્ડોમોર્ફિઝમ ઓપરેડ જો k એક ક્ષેત્ર હોય, તો આપણે k પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ; આ k પર સામાન્ય ટેન્સર પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને એક મોનોઈડલ શ્રેણી બની જાય છે. ધારો કે V એ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા છે V ના એન્ડોમોર્ફિઝમ ઓપરેડમાં = રેખીય નકશાની જગ્યા, (રચના) આપવામાં આવે છે,,,, તેમની રચના નકશા દ્વારા આપવામાં આવે છે, (ઓળખ) ઓળખ તત્વ એ ઓળખ નકશો છે, (સપ્રમાણ જૂથ ક્રિયા) ટેન્સરના ઘટકોને ક્રમમાં પરિવર્તિત કરીને કાર્ય કરે છે. જો ઓપેરેડ હોય, તો K-રેખીય ઓપેરેડ બીજગણિત પર મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા V ઉપર k અને ઓપેરેડ મોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે; આ V પર કોંક્રિટ બહુરેખીય કામગીરીને સ્પષ્ટ કરવા સમાન છે જે તેની કામગીરીની જેમ વર્તે છે. (ઓપેરેડ્સ અને ઓપેરેડ આલ્જેબ્રા અને રિંગ્સ અને મોડ્યુલો વચ્ચેની સામ્યતાની નોંધ લોઃ રિંગ R પરનું મોડ્યુલ રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ સાથે અબેલિયન જૂથ M દ્વારા આપવામાં આવે છે.) ઉપયોગો પર આધાર રાખીને, ઉપરોક્ત વિવિધતાઓ શક્ય છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, તેમની વચ્ચે વેક્ટર જગ્યાઓ અને ટેન્સર ઉત્પાદનોને બદલે, તેમની વચ્ચે (વાજબી) ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ અને કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનોનો ઉપયોગ થાય છે. "લિટલ સમથિંગ" ઓપેરેડ્સ લિટલ 2-ડિસ્ક ઓપેરેડ એક ટોપોલોજિકલ ઓપેરેડ છે જેમાં મૂળ પર કેન્દ્રિત એકમ ડિસ્કની અંદર એન ડિસજોઈન્ટ ડિસ્કની ક્રમબદ્ધ સૂચિ હોય છે. સપ્રમાણ જૂથ નાની ડિસ્કની સૂચિને ક્રમબદ્ધ કરીને આવા રૂપરેખાંકનો પર કાર્ય કરે છે. નાની ડિસ્ક માટે ઓપેરેડિક રચના જમણી બાજુની સાથેની આકૃતિમાં સચિત્ર છે, જ્યાં એક તત્વ એક તત્વ સાથે બનેલું હોય છે જે રૂપરેખાંકનને સંકોચાઈને અને તેને માટે ની i-th ડિસ્કમાં દાખલ કરીને મેળવેલ તત્વ આપે છે. સમાન રીતે, એકમના એકમના બોલની અંદર અલગ-અલગ એન-બોલની રૂપરેખાંકનોને ધ્યાનમાં લઈને નાની એન-ડિસ્ક ઓપરેડને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. મૂળભૂત રીતે નાના એન-ક્યુબ્સ ઓપેરેડ અથવા નાના અંતરાલો ઓપેરેડ (શરૂઆતમાં નાના એન-ક્યુબ્સ પી. આર. ઓ. પી. તરીકે ઓળખાતા) ને માઈકલ બોર્ડમેન અને રેનર વોગ્ટ દ્વારા સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા, એકમ હાયપરક્યુબની અંદર અલગ અક્ષ-સંરેખિત એન-પરિમાણીય હાયપરક્યુબ્સ (એન-પરિમાણીય અંતરાલો) ની ગોઠવણીના સંદર્ભમાં. પાછળથી મે સુધીમાં તેને નાના બહિર્મુખ પદાર્થો માટે સામાન્ય બનાવવામાં આવ્યું હતું, અને "નાની ડિસ્ક" એ "નાના બહિર્મુખ પદાર્થો" માંથી મેળવેલ "લોકકથા" નો કેસ છે. મૂળવાળા વૃક્ષો આલેખ સિદ્ધાંતમાં, મૂળવાળા વૃક્ષો કુદરતી ઓપેરાડ બનાવે છે. અહીં, n પાંદડાવાળા તમામ મૂળવાળા વૃક્ષોનો સમૂહ છે, જ્યાં પાંદડાઓને 1 થી n સુધી ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. જૂથ પાંદડાના લેબલને ક્રમબદ્ધ કરીને આ સમૂહ પર કાર્ય કરે છે. કાર્યરત રચના i-th વૃક્ષના મૂળ દ્વારા i-th પાંદડાને બદલીને આપવામાં આવે છે, કારણ કે, આમ n વૃક્ષોને જોડીને અને મોટા વૃક્ષની રચના કરવામાં આવે છે, જેનું મૂળ તેના મૂળ જેટલું જ લેવામાં આવે છે અને જેના પાંદડા ક્રમમાં ક્રમાંકિત હોય છે. સ્વિસ-ચીઝ ઓપેરડ સ્વિસ-ચીઝ ઓપેરડ એ બે રંગનું ટોપોલોજિકલ ઓપેરડ છે જે એકમ એન-સેમિડિસ્ક અને એન-ડાયમેન્શનલ સેમિડિસ્કની અંદર અલગ એન-ડાયમેન્શનલ ડિસ્કની ગોઠવણીના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે એકમ સેમિડિસ્કના આધાર પર કેન્દ્રિત હોય છે અને તેની અંદર બેસે છે. ઓપરેડિક રચના યુનિટ ડિસ્કની અંદર "લિટલ" ડિસ્કના અન્ય યુનિટ સેમીડિસ્કમાં "લિટલ" ડિસ્કમાં ગ્લુઇંગ રૂપરેખાંકનોમાંથી આવે છે અને યુનિટ સેમીડિસ્કની અંદર "લિટલ" ડિસ્ક અને સેમીડિસ્કના અન્ય યુનિટ સેમીડિસ્કમાં રૂપરેખાંકનોમાંથી આવે છે. સ્વિસ-ચીઝ ઓપેરાડની વ્યાખ્યા એલેક્ઝાન્ડર એ. વોરોનોવ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. તેનો ઉપયોગ મેક્સિમ કોન્ટ્સેવિચ દ્વારા હોચસ્ચિલ્ડ કોહોમોલોજી પર ડેલીગ્નેના અનુમાનના સ્વિસ-ચીઝ સંસ્કરણને ઘડવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. કોન્ટ્સેવિચનું અનુમાન આંશિક રીતે પો હુ, આઇગોર ક્રિઝ અને એલેક્ઝાન્ડર એ. વોરોનોવ દ્વારા અને પછી જસ્ટિન થોમસ દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે સાબિત થયું હતું. એસોસિએટિવ ઓપેરેડ ઓપેરેડના ઉદાહરણોનો બીજો વર્ગ એ છે કે જે સહયોગી આલ્જેબ્રા, પરિવર્તનીય આલ્જેબ્રા અને લાઈ આલ્જેબ્રા જેવા બીજગણિત માળખાઓની રચનાઓને મેળવે છે. દ્વિસંગી કામગીરી દ્વારા પેદા થયેલા આ ત્રણમાંથી દરેકમાં, આમાંના દરેકને મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત ઓપેરેડ તરીકે પ્રદર્શિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એસોસિએટિવ ઓપેરેડ એ દ્વિસંગી કામગીરી દ્વારા પેદા થયેલ સપ્રમાણ ઓપેરેડ છે, જે ફક્ત આ શરતને આધિન છે કે આ શરત દ્વિસંગી કામગીરીની એસોસિએટિવિટીને અનુરૂપ છે; ગુણાકારમાં લખવું, ઉપરોક્ત શરત છે. ઓપરેશનની આ સહયોગીતાને રચનાની સહયોગીતા સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ જે કોઈપણ ઓપરેડમાં ધરાવે છે; ઉપરની સહયોગીતાના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત જુઓ. સહયોગી ઓપેરેડમાં, દરેક સપ્રમાણ જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેના પર જમણા ગુણાકાર દ્વારા કાર્ય કરે છે. કમ્પોઝિટ તેના ઇનપુટ્સને બ્લોક્સ અનુસાર અને બ્લોક્સની અંદર યોગ્ય અનુસાર ક્રમબદ્ધ કરે છે. સહયોગી ઓપેરાડની ઉપરના આલ્જેબ્રા ચોક્કસપણે અર્ધસમૂહો છેઃ એક દ્વિસંગી સહયોગી કામગીરી સાથે એકસાથે સુયોજિત થાય છે. સહયોગી ઓપેરાડની ઉપરના કે-રેખીય આલ્જેબ્રા ચોક્કસપણે સહયોગી કે-આલ્જેબ્રા છે. ટર્મિનલ સપ્રમાણ ઓપેરાડ એ ઓપેરાડ છે જે દરેક એન માટે એક જ એન-એરી કામગીરી ધરાવે છે, જેમાં દરેક તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે. આ ઓપેરેડ પરના આલ્જેબ્રા એ પરિવર્તનીય અર્ધસમૂહો છે; કે-રેખીય આલ્જેબ્રા એ પરિવર્તનીય સહયોગી કે-આલ્જેબ્રા છે. વેણી જૂથોમાંથી કામ કરે છે તેવી જ રીતે, એક નોન-ઓપેરેડ છે જેના માટે દરેક આર્ટિન વેણી જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વધુમાં, આ નોન-ઓપેરેડમાં બ્રેઇડેડ ઓપેરેડનું માળખું હોય છે, જે ઓપેરેડની કલ્પનાને સમપ્રમાણથી વેણી જૂથો સુધી સામાન્ય બનાવે છે. રેખીય બીજગણિતમાં, વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યાઓને તમામ રેખીય સંયોજનોના ઓપેરેડ પર આલ્જેબ્રા ગણી શકાય. આ ઓપેરેડને ક્રમચય ઘટકોની સ્પષ્ટ ક્રિયા અને વેક્ટરના સંયોજન દ્વારા આપવામાં આવેલી રચના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં. દાખલા તરીકે વેક્ટર 2,3,-5,0, ગુણાંક સાથે રેખીય સંયોજન બનાવવાની કામગીરીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ દ્રષ્ટિકોણ એ કલ્પનાને ઔપચારિક બનાવે છે કે રેખીય સંયોજનો એ વેક્ટર સ્પેસ પરની સૌથી સામાન્ય પ્રકારની કામગીરી છે-એમ કહીને કે વેક્ટર સ્પેસ એ રેખીય સંયોજનોના ઓપેરેડ પરનું બીજગણિત છે તે ચોક્કસપણે નિવેદન છે કે વેક્ટર સ્પેસમાં તમામ સંભવિત બીજગણિત કામગીરીઓ રેખીય સંયોજનો છે. વેક્ટર એડિશન અને સ્કેલર ગુણાકારની મૂળભૂત કામગીરીઓ એ તમામ રેખીય સંયોજનોના ઓપેરેડ માટે જનરેટિંગ સેટ છે, જ્યારે રેખીય સંયોજનો ઓપેરેડ વેક્ટર સ્પેસ પર તમામ સંભવિત કામગીરીઓને કેનોનિક રીતે એન્કોડ કરે છે. તેવી જ રીતે, એફાઇન સંયોજનો, શંકુ સંયોજનો અને બહિર્મુખ સંયોજનોને પેટા-ઓપેરેડ્સને અનુરૂપ ગણી શકાય જ્યાં વેક્ટરની શરતો 1 નો સરવાળો કરે છે, શરતો બધા અનુક્રમે બિન-નકારાત્મક અથવા બંને હોય છે. ચિત્રાત્મક રીતે, આ અનંત અફાઇન હાયપરપ્લેન, અનંત હાયપર-ઓક્ટન્ટ અને અનંત સિમ્પ્લેક્સ છે. આ પ્રમાણભૂત સિમ્પ્લેક્સને મોડેલ સ્પેસ હોવાનો અર્થ શું છે તે ઔપચારિક બનાવે છે, અને આવા અવલોકનો જેમ કે દરેક બંધાયેલ બહિર્મુખ પોલીટોપ એ સિમ્પ્લેક્સની છબી છે. અહીં સબઓપરેડ્સ વધુ પ્રતિબંધિત કામગીરીને અનુરૂપ છે અને આમ વધુ સામાન્ય સિદ્ધાંતો છે. કોમ્યુટેટિવ-રિંગ ઓપેરેડ અને લાઈ ઓપેરેડ કોમ્યુટેટિવ-રિંગ ઓપેરેડ એક ઓપેરેડ છે જેની આલ્જેબ્રા કોમ્યુટેટિવ રિંગ્સ છે. તેને ચલ માટે બહુપદીઓને (ફરીથી ક્રમાંકિત ચલ સાથે) બદલીને આપવામાં આવેલી સ્પષ્ટ ક્રિયા અને ઓપરેડિક રચના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સમાન ઓપેરેડને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમના આલ્જેબ્રા કેટલાક નિશ્ચિત આધાર ક્ષેત્ર પર સહયોગી, પરિવર્તનીય આલ્જેબ્રા છે. આ ઓપેરેડનું કોઝુલ-યુગલ લાઈ ઓપેરેડ છે (જેની આલ્જેબ્રા લાઈ આલ્જેબ્રા છે), અને તેનાથી ઊલટું. મુક્ત ઓપેરેડ્સ લાક્ષણિક બીજગણિત રચનાઓ (દા. ત. મુક્ત બીજગણિત રચના) ને ઓપેરેડ્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ચાલો તે શ્રેણીને દર્શાવીએ કે જેના પદાર્થો સમૂહ છે જેના પર જૂથ કાર્ય કરે છે. પછી એક ભૂલી ગયેલા ફંકટર છે, જે ફક્ત ઓપેરેડિક રચનાને ભૂલી જાય છે. આ ભૂલી ગયેલા ફંકટરની ડાબી બાજુએ એક જોડાણ બનાવવું શક્ય છે (આ ફ્રી ફંકટરની સામાન્ય વ્યાખ્યા છે). ઓપરેશન્સ E ના સંગ્રહને જોતાં, ઇ પર મુક્ત ઓપેરેડ છે. જૂથ અથવા રિંગની જેમ, મુક્ત બાંધકામ જનરેટર અને સંબંધોની દ્રષ્ટિએ ઓપેરેડને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઓપેરેડની મુક્ત રજૂઆત દ્વારા, અમારો અર્થ એ છે કે મુક્ત ઓપેરેડના ભાગાકાર તરીકે લખવું જ્યાં ઇ જનરેટરનું વર્ણન કરે છે અને એપિમોર્ફિઝમનું કર્નલ સંબંધોનું વર્ણન કરે છે. એ (સપ્રમાણ) ઓપેરેડને દ્વિઘાત કહેવામાં આવે છે જો તેમાં મુક્ત પ્રસ્તુતિ હોય જેમ કે જનરેટર અને સંબંધ તેમાં સમાયેલ હોય. ક્લોન ક્લોન એ ઓપેરેડનો ખાસ કેસ છે જે એકસાથે દલીલોને ઓળખવા (કેટલાક ડેટાનો "ફરીથી ઉપયોગ") હેઠળ પણ બંધ કરવામાં આવે છે. ક્લોન્સને સમાન રીતે ઓપેરેડ્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે મિનિયન (અથવા ક્લોનૉઇડ) પણ છે. હોમોટૉપી થિયરીમાં કામ કરે છે માં, સ્ટેશેફ લખે છેઃ ઓપેરેડ્સ ખાસ કરીને "હોમોટૉપી" ની સારી કલ્પના ધરાવતી શ્રેણીઓમાં મહત્વપૂર્ણ અને ઉપયોગી છે, જ્યાં તેઓ ઉચ્ચ હોમોટૉપીના પદાનુક્રમને ગોઠવવામાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. ઓપેરેડ હાયર-ઓર્ડર ઓપેરેડ પર PRO (શ્રેણી સિદ્ધાંત) બીજગણિત પણ જુઓ E ≤-ઓપેરેડ સ્યુડોઅલજેબ્રા મલ્ટિકેટેગરી નોટ્સ સાઇટેશન્સ સંદર્ભો મિગ્યુએલ એ. મેન્ડેઝ (2015). કોમ્બિનેટોરિક્સ અને કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં ઓપેરેડ્સ સેટ કરો. ગણિતમાં સ્પ્રિંગર બ્રીફ્સ. . સેમ્યુલ ગિરૌડો (2018). કોમ્બિનેટોરિક્સમાં નોનસિમેટ્રિક ઓપરેડ્સ. સ્પ્રિંગર ઇન્ટરનેશનલ પબ્લિશિંગ. . બાહ્ય કડીઓ https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિત શ્રેણી સિદ્ધાંત