Beta prime distribution
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, બીટા મુખ્ય વિતરણ (જેને ઊંધી બીટા વિતરણ અથવા બીજા પ્રકારનું બીટા વિતરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ સંપૂર્ણપણે સતત સંભાવના વિતરણ છે. જો બીટા વિતરણ હોય, તો અવરોધો બીટા મુખ્ય વિતરણ ધરાવે છે. વ્યાખ્યાઓ બીટા મુખ્ય વિતરણને સંભાવના ઘનતા કાર્ય ધરાવતા બે પરિમાણો α અને β સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં B એ બીટા કાર્ય છે. સંચિત વિતરણ કાર્ય એ છે કે જ્યાં I એ નિયમિત અપૂર્ણ બીટા કાર્ય છે. અપેક્ષિત મૂલ્ય, ભિન્નતા અને વિતરણની અન્ય વિગતો સાઇડબોક્સમાં આપવામાં આવી છે; કારણ કે, વધારાનું કુર્ટોસિસ છે જ્યારે સંબંધિત બીટા વિતરણ એ બર્નૌલી વિતરણના પરિમાણનું સંયુગ્મિત પૂર્વ વિતરણ છે જે સંભાવના તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, બીટા મુખ્ય વિતરણ એ બર્નૌલી વિતરણના પરિમાણનું સંયુગ્મિત પૂર્વ વિતરણ છે જે અવરોધોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. વિતરણ એ પીઅર્સન પ્રકાર VI વિતરણ છે. વેરાયટી X ની સ્થિતિ જેમ છે તેમ વહેંચવામાં આવે છે. તેનો સરેરાશ છે જો (જો સરેરાશ અનંત હોય, તો બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેનો કોઈ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સરેરાશ નથી) અને તેનો તફાવત છે જો. માટે, k-th મોમેન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે કારણ કે આ સાથે તેને સરળ બનાવે છે cdf ને પણ લખી શકાય છે કે ગૌસનું હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન 2F1 ક્યાં છે. વૈકલ્પિક પરિમાણીકરણ બીટા મુખ્ય વિતરણને તેના સરેરાશ μ> 0 અને ચોકસાઇ ν> 0 પરિમાણો (પૃ. 36) ની દ્રષ્ટિએ પણ પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે. પરિમાણીકરણને ધ્યાનમાં લો μ = α/(β-1) અને ν = β-2, એટલે કે, α = μ (1 + ν) અને β = 2 + ν. આ પરિમાણ હેઠળ E [Y] = μ અને Var [Y] = μ (1 + μ)/ν છે. સામાન્યીકરણ સામાન્યીકૃત બીટા મુખ્ય વિતરણ રચવા માટે વધુ બે પરિમાણો ઉમેરી શકાય છેઃ આકાર (વાસ્તવિક) સ્કેલ (વાસ્તવિક) જે સંભાવના ઘનતા કાર્ય ધરાવે છેઃ સરેરાશ અને સ્થિતિ સાથે નોંધ કરો કે જો p = q = 1 હોય તો સામાન્યીકૃત બીટા મુખ્ય વિતરણ પ્રમાણભૂત બીટા મુખ્ય વિતરણમાં ઘટાડો કરે છે. આ સામાન્યીકરણ નીચેના ઉલટાવી શકાય તેવા પરિવર્તન દ્વારા મેળવી શકાય છે. જો અને માટે, પછી. સંયોજન ગામા વિતરણ સંયોજન ગામા વિતરણ એ બીટા પ્રાઇમનું સામાન્યીકરણ છે જ્યારે સ્કેલ પરિમાણ, q ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ જ્યાં p = 1 છે. તેનું નામ એટલા માટે રાખવામાં આવ્યું છે કારણ કે તે બે ગામા વિતરણોના સંયોજન દ્વારા રચાય છેઃ જ્યાં આકાર અને વ્યસ્ત સ્કેલ સાથે ગામા પી. ડી. એફ. છે. સંયોજન ગામાની સ્થિતિ, સરેરાશ અને ભિન્નતા ઉપરોક્ત ઇન્ફોબોક્સમાં સ્થિતિ અને સરેરાશને q દ્વારા અને તફાવતને q2 દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય છે. સંયોજનને વ્યક્ત કરવાની બીજી રીત છે અને, પછી. (આ સંયોજન ગામા, અથવા બીટા પ્રાઇમ વિતરણો સાથે રેન્ડમ વિવિધતાઓ પેદા કરવાની એક રીત આપે છે. બીજું નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે સ્વતંત્ર ગામા વિવિધતાના ગુણોત્તર દ્વારા છે.) ગુણધર્મો જો તો. જો, અને પછી. તો પછી. જો અને બે આઈ. આઈ. ડી. ચલ હોય, તો અને સાથે, બીટા મુખ્ય વિતરણ તરીકે અનંત રીતે વિભાજ્ય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ચાલો આઈ. આઈ. ડી. ચલ સમાન બીટા મુખ્ય વિતરણને અનુસરે છે, એટલે કે. , પછી અને સાથે સરવાળો. સંબંધિત વિતરણો જો એફ-વિતરણ હોય, તો, અથવા સમકક્ષ,. તો પછી. તો પછી. ગામા વિતરણ પરિમાણો માટે I: જો સ્વતંત્ર હોય, તો. નોંધ એ તેમના સંબંધિત વિતરણ માટેના તમામ સ્કેલ પરિમાણો છે. ગામા વિતરણ પરિમાણ II માટેઃ જો સ્વતંત્ર હોય, તો. આ દર પરિમાણો છે, જ્યારે તે સ્કેલ પરિમાણ છે. જો અને પછી. આ ગામા વિતરણ માટે દર પરિમાણો છે, પરંતુ બીટા પ્રાઇમ માટે સ્કેલ પરિમાણ છે. ડાગુમ વિતરણ સિંઘ-મડાલા વિતરણ. લોગ લોજિસ્ટિક વિતરણ. બીટા પ્રાઇમ વિતરણ એ પ્રકાર 6 પિયરસન વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. જો X પાસે લઘુત્તમ અને આકાર પરિમાણ સાથે પેરેટો વિતરણ હોય, તો પછી. જો X પાસે આકાર પરિમાણ અને સ્કેલ પરિમાણ સાથે લોમેક્સ વિતરણ હોય, જેને પેરેટો પ્રકાર II વિતરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તો પછી. જો X પાસે આકાર પરિમાણ અને અસમાનતા પરિમાણ સાથે પ્રમાણભૂત પેરેટો પ્રકાર IV વિતરણ હોય, તો પછી, અથવા સમકક્ષ રીતે. ઊંધી ડિરીક્લેટ વિતરણ એ બીટા મુખ્ય વિતરણનું સામાન્યીકરણ છે. જો, તો તેમાં સામાન્યીકૃત લોજિસ્ટિક વિતરણ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો, તો સ્કેલ કરેલું અને શિફ્ટ કરેલું સામાન્યીકૃત લોજિસ્ટિક વિતરણ છે. નોંધો સંદર્ભો જ્હોનસન, એન. એલ., કોટ્ઝ, એસ., બાલકૃષ્ણન, એન. (1995). કન્ટિન્યુઅસ યુનિવેરિયેટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન, વોલ્યુમ 2 (બીજી આવૃત્તિ), વિલી. મઠવર્લ્ડ લેખ સતત વિતરણ સંભાવના વિતરણનું સંયોજન