Vector area
ત્રિ-પરિમાણીય ભૂમિતિ અને વેક્ટર કલનમાં, ક્ષેત્ર સદિશ એ એક સદિશ છે જે ક્ષેત્રના જથ્થાને દિશા સાથે જોડે છે, આમ ત્રણ પરિમાણોમાં લક્ષી ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ત્રણ પરિમાણોમાં દરેક બંધાયેલ સપાટી તેના વેક્ટર વિસ્તાર તરીકે ઓળખાતા અનન્ય વિસ્તાર વેક્ટર સાથે સંકળાયેલી હોઈ શકે છે. તે સપાટીના નોર્મલ સરફેસ ઇંટીગ્રલની બરાબર છે, અને સામાન્ય (સ્કેલર) સપાટી વિસ્તારથી અલગ છે. વેક્ટર વિસ્તારને બે પરિમાણોમાં હસ્તાક્ષરિત વિસ્તારના ત્રિ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. વ્યાખ્યા સ્કેલર વિસ્તાર અને એકમ નોર્મલની મર્યાદિત સમતલીય સપાટી માટે, વેક્ટર વિસ્તારને વિસ્તાર દ્વારા માપવામાં આવેલા એકમ નોર્મલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ સપાટ બાજુના વિસ્તારોના સમૂહથી બનેલી ઓરિએન્ટેબલ સપાટી માટે, સપાટીનો વેક્ટર વિસ્તાર તે વિસ્તારનો એકમ નોર્મલ વેક્ટર ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંધાયેલ, લક્ષી વક્ર સપાટીઓ માટે કે જે પૂરતા પ્રમાણમાં સારી રીતે વર્તવામાં આવે છે, આપણે હજી પણ વેક્ટર વિસ્તારને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. પ્રથમ, અમે સપાટીને અનંત તત્વોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, જેમાંથી દરેક અસરકારક રીતે સપાટ છે. વિસ્તારના દરેક અનંત તત્વ માટે, આપણી પાસે એક ક્ષેત્ર વેક્ટર છે, જે અનંત પણ છે. જ્યાં સ્થાનિક એકમ વેક્ટર લંબ છે. સંકલન સપાટી માટે વેક્ટર વિસ્તાર આપે છે. ગુણધર્મો સપાટીના વેક્ટર વિસ્તારને તે સમતલમાં સપાટીના (હસ્તાક્ષરિત) અંદાજિત વિસ્તાર અથવા "છાયા" તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જેમાં તે સૌથી મોટો છે; તેની દિશા તે સમતલના નોર્મલ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વક્ર અથવા પાસાદાર માટે (એટલે કે. બિન-સમતલીય) સપાટી, વેક્ટર વિસ્તાર વાસ્તવિક સપાટી વિસ્તાર કરતાં તીવ્રતામાં નાનો છે. એક આત્યંતિક ઉદાહરણ તરીકે, બંધ સપાટી આપખુદ રીતે વિશાળ વિસ્તાર ધરાવી શકે છે, પરંતુ તેનો વાહક વિસ્તાર શૂન્ય હોવો જરૂરી છે. જે સપાટીઓ સરહદ વહેંચે છે તેમાં ખૂબ જ અલગ વિસ્તારો હોઈ શકે છે, પરંતુ તેમાં સમાન વેક્ટર વિસ્તાર હોવો આવશ્યક છે-વેક્ટર વિસ્તાર સંપૂર્ણપણે સીમા દ્વારા નક્કી થાય છે. આ સ્ટોક્સના પ્રમેયના પરિણામો છે. સમાંતર ચતુર્ભુજનું વેક્ટર ક્ષેત્રફળ બે વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે જે તેને ફેલાવે છે; તે સમાન વેક્ટર દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના (વેક્ટર) ક્ષેત્રફળથી બમણું છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણ સપાટીના વેક્ટર વિસ્તારની ગણતરી સપાટીના ત્રિકોણાકારકરણને અનુરૂપ ક્રોસ પ્રોડક્ટ્સની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જેની સીમા સીધી રેખાના ભાગોનો ક્રમ (બે પરિમાણોમાં બહુકોણની સમાન) ધરાવે છે. આ શૂલેસ સૂત્રનું ત્રણ પરિમાણોનું સામાન્યીકરણ છે. યોગ્ય રીતે પસંદ કરેલા વેક્ટર ક્ષેત્ર પર લાગુ કરવામાં આવેલા સ્ટોક્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, વેક્ટર વિસ્તાર માટે સીમા અભિન્ન મેળવી શકાય છેઃ જ્યાં તેની સીમા છે, એટલે કે. એક અથવા વધુ લક્ષી બંધ જગ્યા વળાંક. આ ગ્રીનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બે પરિમાણીય ક્ષેત્રની ગણતરી જેવું જ છે. એપ્લિકેશન્સ એરિયા વેક્ટરનો ઉપયોગ સપાટીના સંકલનની ગણતરી કરતી વખતે થાય છે, જેમ કે સપાટી દ્વારા વેક્ટર ક્ષેત્રનો પ્રવાહ નક્કી કરતી વખતે. ફ્લક્સ ક્ષેત્રના ડોટ પ્રોડક્ટ અને (અનંત) એરિયા વેક્ટરના અભિન્ન અંગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે ક્ષેત્ર સપાટી પર અચળ હોય ત્યારે સંકલન ક્ષેત્રના બિંદુ ઉત્પાદન અને સપાટીના વેક્ટર વિસ્તારને સરળ બનાવે છે. સમતલ પર ક્ષેત્રનું પ્રક્ષેપણ સમતલ પર અંદાજિત ક્ષેત્ર વેક્ટર ક્ષેત્ર S અને લક્ષ્ય સમતલ એકમ નોર્મલના ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, સમતલ પર અંદાજિત ક્ષેત્ર વેક્ટર ક્ષેત્રના-ઘટકની સમકક્ષ હોય છે, અને તે સમતલ નોર્મલ અને-અક્ષ વચ્ચેનો કોણ ક્યાં છે તેની પણ બરાબર હોય છે. બીવેક્ટર પણ જુઓ, જે કોઈપણ સંખ્યામાં પરિમાણો ડી ગુઆના પ્રમેયમાં લક્ષી ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે ઓર્થોગોનલ ઘટકોમાં વેક્ટર ક્ષેત્રના વિઘટન પર ક્રોસ પ્રોડક્ટ સપાટી સામાન્ય સપાટી અભિન્ન નોંધો ક્ષેત્ર વેક્ટર (ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર) વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ