Lagrangian Grassmannian
ગણિતમાં, લાગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયન એ વાસ્તવિક સિમપ્લેક્ટિક વેક્ટર સ્પેસ V ના લાગ્રેન્જિયન સબસ્પેસનું સરળ મેનીફોલ્ડ છે. તેનું પરિમાણ n (n + 1) છે (જ્યાં V નું પરિમાણ 2n છે). તેને સજાતીય જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે, જ્યાં એકાત્મક જૂથ અને ઓર્થોગોનલ જૂથ છે. વ્લાદિમીર આર્નોલ્ડને અનુસરીને તેને λ (n) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. લાગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયન એ V ના સામાન્ય ગ્રાસમેનિયનનું સબમેનિફોલ્ડ છે. એક જટિલ લાગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયન એ પરિમાણ 2n ના જટિલ સિમપ્લેક્ટિક વેક્ટર સ્પેસ V ના લાગ્રેન્જિયન સબસ્પેસનું જટિલ સજાતીય મેનીફોલ્ડ છે. તેને જટિલ પરિમાણ n (n + 1) ની સજાતીય જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે, જ્યાં કોમ્પેક્ટ સિમ્પ્લેક્ટિક જૂથ છે. એક સજાતીય જગ્યા તરીકે લેગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયન λ (n) ને જેની સાથે ઓળખી શકાય છે તે જોવા માટે, નોંધ લો કે તે 2n-પરિમાણીય વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા છે, જેમાં તેના સામાન્ય આંતરિક ઉત્પાદનનો કાલ્પનિક ભાગ તેને સિંપ્લેક્ટિક વેક્ટર જગ્યા બનાવે છે. પછી લાગ્રેન્જિયન પેટા જગ્યાઓ વાસ્તવિક પરિમાણ n ની વાસ્તવિક પેટા જગ્યાઓ છે જેના પર આંતરિક ઉત્પાદનનો કાલ્પનિક ભાગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. એક ઉદાહરણ છે. એકાત્મક જૂથ આ પેટા સ્થાનોના સમૂહ પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે, અને તેનું સ્થિરીકારક ઓર્થોગોનલ જૂથ છે. તે સજાતીય જગ્યાઓના સિદ્ધાંતને અનુસરે છે કે λ (n) ની સજાતીય જગ્યા તરીકે સમરૂપ છે. ટોપોલોજી લેગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયન અને જટિલ લેગ્રેન્જિયન ગ્રાસમેનિયનની સ્થિર ટોપોલોજી સંપૂર્ણપણે સમજી શકાય છે, કારણ કે આ જગ્યાઓ બોટ્ટ પીરિયોડિસિટી થીયરમમાં દેખાય છેઃ, અને-આમ તેઓ અનુક્રમણિકા (પરિમાણ) માં પરિવર્તન સુધી, સ્થિર ઓર્થોગોનલ જૂથના બરાબર હોમોટોપી જૂથો છે. ખાસ કરીને, તેનું મૂળભૂત જૂથ અનંત ચક્રીય છે. તેથી તેનું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ પણ અનંત ચક્રીય છે, જેમ કે તેનું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ છે, જેમાં એકમ વર્તુળના નકશા તરીકે, એકાત્મક મેટ્રિક્સના નિર્ધારકના વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિશિષ્ટ જનરેટર છે. આર્નોલ્ડે દર્શાવ્યું હતું કે આ માસ્લોવ અનુક્રમણિકાના વર્ણન તરફ દોરી જાય છે, જે વી. પી. માસ્લોવ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. V ના લગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ M માટે, હકીકતમાં, એક મેપિંગ છે જે દરેક બિંદુ પર તેની સ્પર્શક જગ્યાને વર્ગીકૃત કરે છે (cf. ગૌસ નકશો). માસ્લોવ અનુક્રમણિકા એ આ નકશા દ્વારા વિશિષ્ટ જનરેટરનું પુલબેક છે. માસ્લોવ અનુક્રમણિકા સિંપ્લેક્ટિક વેક્ટર જગ્યાના સિમ્પ્લેક્ટોમોર્ફિઝમ્સના માર્ગને માસ્લોવ અનુક્રમણિકા સોંપવામાં આવી શકે છે, જેનું નામ વી. પી. માસ્લોવના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે; જો માર્ગ લૂપ હોય તો તે પૂર્ણાંક હશે અને સામાન્ય રીતે અર્ધ-પૂર્ણાંક હશે. જો આ માર્ગ સિમપ્લેક્ટિક મેનીફોલ્ડ પર હેમિલ્ટોનિયન વેક્ટર ક્ષેત્રની સામયિક ભ્રમણકક્ષા પર સિમપ્લેક્ટિક વેક્ટર બંડલને તુચ્છ બનાવવાથી અથવા સંપર્ક મેનીફોલ્ડ પર રીબ વેક્ટર ક્ષેત્રમાંથી ઉદ્ભવે છે, તો તેને કોનલી-ઝેન્ડર અનુક્રમણિકા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે ફ્લોર હોમોલોજીમાં ઉદ્ભવતા કોચી-રીમેન-પ્રકારનાં ઓપરેટરોના વર્ણપટ પ્રવાહની ગણતરી કરે છે. તે મૂળરૂપે ડબલ્યુ. કે. બી. અંદાજના અભ્યાસમાં દેખાયું હતું અને ક્વોન્ટાઇઝેશન, ક્વોન્ટમ કેઓસ ટ્રેસ ફોર્મ્યુલા અને સિમ્પ્લેક્ટિક ભૂમિતિ અને ટોપોલોજીના અભ્યાસમાં વારંવાર જોવા મળે છે. તેને રેખીય લેગ્રેન્જિયન સબમેનિફોલ્ડ્સ માટે માસ્લોવ અનુક્રમણિકાના સંદર્ભમાં ઉપર વર્ણવી શકાય છે. સંદર્ભો વી. આઈ. આર્નોલ્ડ, લાક્ષણિક વર્ગ ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતોમાં પ્રવેશ કરે છે, ફંકશનલ 'ની એનાલિઝ આઈ ઇગો પ્રિલોઝેનીયા, 1967,1,1,1-14,. વી. પી. માસ્લોવ, થિયોરી ડેસ પર્ટર્બેશન્સ એન્ડ મેથોડ્સ એસિમ્પ્ટોટિક્સ. 1972 માસ્લોવ સૂચકાંકને લગતી મિશ્રિત સ્રોત સામગ્રી. સિમપ્લેક્ટિક ભૂમિતિ સજાતીય જગ્યાઓની ટોપોલોજી ગાણિતિક ક્વોન્ટાઇઝેશન