Torsion (algebra)
ગણિતમાં, ખાસ કરીને રિંગ થિયરીમાં, વળાંક તત્વ એ મોડ્યુલનું એક તત્વ છે જે રિંગના કેટલાક બિન-શૂન્ય-વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય આપે છે. મોડ્યુલનું ટોર્સિયન સબમોડ્યુલ એ ટોર્સિયન તત્વો દ્વારા રચાયેલ સબમોડ્યુલ છે. ટોર્સિયન મોડ્યુલ એ એક મોડ્યુલ છે જે તેના ટોર્સિયન સબમોડ્યુલની સમકક્ષ છે. મોડ્યુલ વળાંક-મુક્ત હોય છે જો તેના વળાંક પેટા મોડ્યુલમાં માત્ર શૂન્ય તત્વ હોય. આ પરિભાષાનો ઉપયોગ વધુ સામાન્ય રીતે ડોમેન પરના મોડ્યુલો માટે થાય છે, એટલે કે, જ્યારે રિંગના નિયમિત ઘટકો તેના તમામ બિન-શૂન્ય ઘટકો હોય છે. આ પરિભાષા અબેલિયન જૂથોને લાગુ પડે છે ("મોડ્યુલ" અને "સબમોડ્યુલ" ને "જૂથ" અને "પેટા જૂથ" દ્વારા બદલવામાં આવે છે). આને એ હકીકત દ્વારા મંજૂરી આપવામાં આવે છે કે અબેલિયન જૂથો પૂર્ણાંકોની વીંટી પરના મોડ્યુલો છે (હકીકતમાં, આ પરિભાષાનું મૂળ છે, જે મોડ્યુલોમાં સામાન્યીકૃત થતાં પહેલાં અબેલિયન જૂથો માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે). બિનપરિવર્તનશીલ જૂથોના કિસ્સામાં, વળાંક તત્વ એ મર્યાદિત ક્રમનું તત્વ છે. પરિવર્તનીય કેસથી વિપરીત, વળાંક તત્વો સામાન્ય રીતે પેટા જૂથ બનાવતા નથી. વ્યાખ્યા રિંગ R પર મોડ્યુલ M ના તત્વ m ને મોડ્યુલનું વળાંક તત્વ કહેવામાં આવે છે જો રિંગનું નિયમિત તત્વ r અસ્તિત્વમાં હોય (એક તત્વ જે ન તો ડાબે કે ન તો જમણે શૂન્ય વિભાજક હોય) જે m નો નાશ કરે છે, એટલે કે, એક અભિન્ન ડોમેનમાં (શૂન્ય વિભાજક વિનાની પરિવર્તનીય રિંગ), દરેક બિન-શૂન્ય તત્વ નિયમિત હોય છે, તેથી અભિન્ન ડોમેન પર મોડ્યુલનું વળાંક તત્વ અભિન્ન ડોમેનના બિન-શૂન્ય તત્વ દ્વારા નાશ પામે છે. કેટલાક લેખકો આનો ઉપયોગ વળાંક તત્વની વ્યાખ્યા તરીકે કરે છે, પરંતુ આ વ્યાખ્યા વધુ સામાન્ય રિંગ્સ પર સારી રીતે કામ કરતી નથી. રિંગ R પરનું મોડ્યુલ M ને ટોર્સિયન મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ ઘટકો ટોર્સિયન તત્વો હોય, અને જો શૂન્ય એકમાત્ર ટોર્સિયન તત્વ હોય તો ટોર્સિયન-મુક્ત. જો વીંટી R પરિવર્તનીય હોય તો તમામ વળાંક તત્વોનો સમૂહ M નું પેટા મોડ્યુલ બનાવે છે, જેને M નું વળાંક પેટા મોડ્યુલ કહેવાય છે, જેને કેટલીકવાર T (M) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. જો R પરિવર્તનીય ન હોય, તો T (M) પેટા મોડ્યુલ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. તેમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે R એ જમણી ઓર રિંગ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો T (M) એ બધા જમણા R-મોડ્યુલો માટે M નું પેટા મોડ્યુલ હોય. જમણા નોથેરિયન ડોમેન્સ ઓર હોવાથી, જ્યારે R એ જમણા નોથેરિયન ડોમેન્સ હોય ત્યારે આ કેસને આવરી લે છે (જે પરિવર્તનીય ન પણ હોઈ શકે). વધુ સામાન્ય રીતે, ધારો કે M એ રિંગ R પરનું મોડ્યુલ છે અને S એ R નો ગુણાકાર બંધ સબસેટ છે. M ના તત્વ m ને S-વળાંક તત્વ કહેવામાં આવે છે જો S માં કોઈ તત્વ s અસ્તિત્વમાં હોય કે જે m ને નષ્ટ કરે છે, એટલે કે, ખાસ કરીને, કોઈ વ્યક્તિ રિંગ R ના નિયમિત તત્વોનો સમૂહ S માટે લઈ શકે છે અને ઉપરની વ્યાખ્યાને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકે છે. જૂથ G ના તત્વ g ને જૂથનું વળાંક તત્વ કહેવામાં આવે છે જો તેનો ક્રમ મર્યાદિત હોય, એટલે કે, જો ત્યાં કોઈ હકારાત્મક પૂર્ણાંક m હોય જેમ કે gm = e, જ્યાં e એ જૂથની ઓળખ તત્વને સૂચવે છે, અને gm એ g ની m નકલોના ગુણાકારને સૂચવે છે. એક જૂથને વળાંક (અથવા સામયિક) જૂથ કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ ઘટકો વળાંક તત્વો હોય, અને જો તેનું એકમાત્ર વળાંક તત્વ ઓળખ તત્વ હોય. કોઈપણ અબેલિયન જૂથને પૂર્ણાંકોની રીંગ ઝેડ પર મોડ્યુલ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે, અને આ કિસ્સામાં વળાંકની બે કલ્પનાઓ એક સાથે આવે છે. ઉદાહરણો એમ કોઈપણ રીંગ આર પર મુક્ત મોડ્યુલ છે. પછી તે વ્યાખ્યાઓથી તરત જ અનુસરે છે કે એમ વળાંક મુક્ત છે (જો રીંગ આર ડોમેન નથી તો પછી વળાંકને આરના બિન-શૂન્ય-વિભાજકોના સમૂહ એસના સંદર્ભમાં ગણવામાં આવે છે). ખાસ કરીને, કોઈપણ મુક્ત અબેલિયન જૂથ વળાંક-મુક્ત હોય છે અને જ્યારે K પર મોડ્યુલ તરીકે જોવામાં આવે ત્યારે K ક્ષેત્ર પરની કોઈપણ વેક્ટર જગ્યા વળાંક-મુક્ત હોય છે. ઉદાહરણ 1 થી વિપરીત, કોઈપણ મર્યાદિત જૂથ (અબેલિયન અથવા નહીં) સામયિક અને મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. બર્નસાઇડની સમસ્યા, તેનાથી વિપરીત, પૂછે છે કે શું કોઈપણ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ સામયિક જૂથ મર્યાદિત હોવું જોઈએ? જવાબ સામાન્ય રીતે "ના" છે, ભલે સમયગાળો નિશ્ચિત હોય. ક્ષેત્રના ગુણાકાર જૂથના વળાંક તત્વો તેના એકતાના મૂળ છે. મોડ્યુલર જૂથમાં, 2 × 2 પૂર્ણાંક મેટ્રિસીસના જૂથ SL (2, Z) માંથી એકમ નિર્ધારક સાથે તેના કેન્દ્રને ફેક્ટરીંગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, કોઈપણ બિન-તુચ્છ વળાંક તત્વ કાં તો ક્રમ બે ધરાવે છે અને તત્વ S સાથે સંયુગ્મિત હોય છે અથવા ક્રમ ત્રણ ધરાવે છે અને તત્વ ST સાથે સંયુગ્મિત હોય છે. આ કિસ્સામાં, વળાંક તત્વો પેટા જૂથ બનાવતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, S·ST = T, જે અનંત ક્રમ ધરાવે છે. અબેલિયન જૂથ ક્યૂ/ઝેડ, જેમાં પરિમેય સંખ્યા મોડ્યુલો 1 નો સમાવેશ થાય છે, તે સામયિક છે, એટલે કે. દરેક તત્વનો મર્યાદિત ક્રમ હોય છે. સમાન રીતે, એક ચલમાં બહુપદીઓના R = K [t] રિંગ પરનું મોડ્યુલ K (t)/K [t] શુદ્ધ વળાંક છે. આ બંને ઉદાહરણોને નીચે પ્રમાણે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ જો R એ એક અભિન્ન ક્ષેત્ર છે અને Q એ તેનું અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર છે, તો Q/R એ વળાંક R-મોડ્યુલ છે. (આર/ઝેડ, +) નું વળાંક ઉપસમૂહ (ક્યૂ/ઝેડ, +) છે જ્યારે જૂથો (આર, +) અને (ઝેડ, +) વળાંક મુક્ત છે. જ્યારે પેટા જૂથ શુદ્ધ પેટા જૂથ હોય ત્યારે પેટા જૂથ દ્વારા વળાંક-મુક્ત અબેલિયન જૂથનો ભાગાકાર બરાબર વળાંક-મુક્ત હોય છે. જો આપણે V ને કુદરતી રીતે F [L]-મોડ્યુલ તરીકે જોઈએ, તો (ઘણી વસ્તુઓના પરિણામે, કાં તો ફક્ત મર્યાદિત-પરિમાણીયતા દ્વારા અથવા કેલે-હેમિલ્ટન પ્રમેયના પરિણામે), V એ વળાંક F [L]-મોડ્યુલ છે. પ્રિન્સિપલ આઇડિયલ ડોમેનનો કેસ ધારો કે R એ (પરિવર્તનીય) પ્રિન્સિપલ આઇડિયલ ડોમેન છે અને M એ ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ R-મોડ્યુલ છે. પછી પ્રિન્સિપલ આઇડિયલ ડોમેન પર ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ મોડ્યુલો માટેનો સ્ટ્રક્ચર થીયરમ, મોડ્યુલ M થી લઈને આઇસોમોર્ફિઝમ સુધીનું વિગતવાર વર્ણન આપે છે. ખાસ કરીને, તે દાવો કરે છે કે જ્યાં F એ મર્યાદિત શ્રેણીનું મુક્ત R-મોડ્યુલ છે (ફક્ત M પર આધાર રાખે છે) અને T (M) એ M નું વળાંક પેટા મોડ્યુલ છે. આ પરિણામ વધુ સામાન્ય પરિવર્તનીય ડોમેન્સ માટે નથી, R = K [x, y] માટે પણ, બે ચલમાં બહુપદીઓની વીંટી. નોન-ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ મોડ્યુલો માટે, ઉપરોક્ત સીધું વિઘટન સાચું નથી. અબેલિયન જૂથનું વળાંક ઉપસમૂહ તેનો સીધો સરવાળો ન પણ હોઈ શકે. વળાંક અને સ્થાનિકીકરણ ધારો કે R એ પરિવર્તનીય ક્ષેત્ર છે અને M એ R-મોડ્યુલ છે. ધારો કે Q એ રિંગ R નું ભાગાકાર ક્ષેત્ર છે. પછી સ્કેલર્સના વિસ્તરણ દ્વારા M માંથી મેળવેલા Q-મોડ્યુલને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. ક્યૂ એક ક્ષેત્ર હોવાથી, ક્યૂ પરનું મોડ્યુલ એક વેક્ટર સ્પેસ છે, સંભવતઃ અનંત-પરિમાણીય. M થી MQ સુધીના અબેલિયન જૂથોનું કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ છે, અને આ હોમોમોર્ફિઝમનું કર્નલ ચોક્કસપણે ટોર્સિયન સબમોડ્યુલ T (M) છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો S એ રિંગ R નો ગુણાકાર બંધ સબસેટ છે, તો આપણે R-મોડ્યુલ M ના સ્થાનિકીકરણને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ, જે સ્થાનિકીકરણ આરએસ પરનું મોડ્યુલ છે. એમ થી એમએસ સુધી એક કેનોનિકલ નકશો છે, જેનો કર્નલ ચોક્કસપણે એમ નું એસ-ટોર્શન સબમોડ્યુલ છે. આમ એમ ના ટોર્શન સબમોડ્યુલને તત્વોના સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જે "સ્થાનિકીકરણમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે". આ જ અર્થઘટન અયસ્કની સ્થિતિને સંતોષતી રિંગ્સ માટે બિન-પરિવર્તનીય સેટિંગમાં ચાલુ રહે છે, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે કોઈપણ જમણા છેદ સમૂહ S અને જમણા R-મોડ્યુલ M માટે. હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં ટોર્સિયન હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં ટોર્સિયનની વિભાવના મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. જો એમ અને એન પરિવર્તનીય ડોમેન આર પર બે મોડ્યુલો હોય (ઉદાહરણ તરીકે, બે અબેલિયન જૂથો, જ્યારે આર = ઝેડ), તો ટોર ફંકટર આર-મોડ્યુલો ટોરી (એમ, એન) નું કુટુંબ આપે છે. આર-મોડ્યુલ M નું એસ-વળાંક ટોરઆર * ના ચોક્કસ ક્રમ દ્વારા ટોરઆર1 (એમ, આરએસ/આર) માટે પ્રમાણભૂત રીતે આઇસોમોર્ફિક છેઃ આર-મોડ્યુલોનો ટૂંકો ચોક્કસ ક્રમ ચોક્કસ ક્રમ આપે છે, તેથી તે એમ ના સ્થાનિકીકરણ નકશાનો કર્નલ છે. આ જ પરિણામ બિન-પરિવર્તનીય રિંગ્સ માટે તેમજ જ્યાં સુધી સમૂહ S એ જમણો છેદ સમૂહ હોય ત્યાં સુધી લાગુ પડે છે. અબેલિયન જાતો અબેલિયન જાતના વળાંક તત્વો વળાંક બિંદુઓ અથવા જૂની પરિભાષામાં વિભાજન બિંદુઓ છે. લંબગોળ વળાંક પર તેમની ગણતરી વિભાજન બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ થઈ શકે છે. વિશ્લેષણાત્મક વળાંક એરિથમેટિક ડાયનેમિક્સ ફ્લેટ મોડ્યુલ એનિહિલેટર (રીંગ થિયરી) મોડ્યુલનું સ્થાનિકીકરણ રે-સિંગર વળાંક-મુક્ત અબેલિયન જૂથનો ક્રમ સાર્વત્રિક ગુણાંક પ્રમેય સંદર્ભો અર્ન્સ્ટ કુંઝ, "પરિવર્તનીય બીજગણિત અને બીજગણિત ભૂમિતિ પરિચય", બિરખૌઝર 1985, ઇરવિંગ કેપ્લાન્સ્કી, "અનંત અબેલિયન જૂથો", મિશિગન યુનિવર્સિટી, 1954. એબેલિયન ગ્રુપ થિયરી મોડ્યુલ થિયરી હોમોલોજિકલ બીજગણિત