Join (topology)
ટોપોલોજીમાં, ગણિતના ક્ષેત્રમાં, બે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓનું જોડાણ અને, ઘણીવાર અથવા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે બે જગ્યાઓના અસંબદ્ધ જોડાણને લઈને રચાયેલી ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે, અને દરેક બિંદુને દરેક બિંદુ સાથે જોડતા રેખા વિભાગોને જોડે છે. પોતાની સાથે જગ્યાનું જોડાણ આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો અને તે યુક્લિડિયન અવકાશના ઉપગણ હોય, તોઃ, એટલે કે, અંદરના બિંદુ અને અંદરના બિંદુ વચ્ચેના તમામ રેખા-વિભાગોનો સમૂહ. કેટલાક લેખકો વ્યાખ્યાને જોડાઈ શકે તેવા ઉપગણ સુધી મર્યાદિત કરે છેઃ કોઈપણ બે અલગ-અલગ રેખા-વિભાગો, જે A ના બિંદુને B ના બિંદુ સાથે જોડે છે, તે મોટાભાગે એક સામાન્ય અંતિમ બિંદુ પર મળે છે (એટલે કે, તેઓ તેમના આંતરિક ભાગમાં છેદતા નથી). દરેક બે ઉપગણને "જોડવા યોગ્ય" બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો અંદર છે અને અંદર છે, તો પછી અને તેમાં જોડાઈ શકે છે. ઉપરની આકૃતિ m = n = 1 માટે એક ઉદાહરણ દર્શાવે છે, જ્યાં અને રેખા-વિભાગો છે. ઉદાહરણો બે સરળતાઓનો જોડ એક સરળતા છેઃ એન-પરિમાણીય અને એમ-પરિમાણીય સરળતાનો જોડ એક (એમ + એન + 1)-પરિમાણીય સરળતા છે. કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓ આ પ્રમાણે છેઃ બે અસંબદ્ધ બિંદુઓનો જોડ એક અંતરાલ છે (m = n = 0). બિંદુ અને અંતરાલનો જોડ એ ત્રિકોણ છે (m = 0, n = 1). બે રેખા ખંડોનું જોડાણ ઘન ટેટ્રાહેડ્રોન અથવા ડિસ્પેનોઇડ માટે હોમોમોર્ફિક છે, જે જમણી બાજુની ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે (m = n = 1). એક બિંદુ અને એક (એન-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સનો જોડ એ એન-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ છે. એક બિંદુ અને બહુકોણ (અથવા કોઈપણ બહુપદી) નું જોડાણ એક પિરામિડ છે, જેમ કે એક બિંદુ અને ચોરસનું જોડાણ એક ચોરસ પિરામિડ છે. એક બિંદુ અને સમઘનનું જોડાણ એ ઘન પિરામિડ છે. બિંદુ અને વર્તુળનું જોડાણ એ શંકુ છે, અને બિંદુ અને ગોળાનું જોડાણ એ હાયપરકોન છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ જો અને હોય તો, પછીઃ જ્યાં નળાકાર મૂળ જગ્યાઓ સાથે અને નળાકારના ચહેરાના કુદરતી અંદાજો સાથે જોડાયેલ હોયઃ સામાન્ય રીતે તે ગર્ભિતપણે ધારવામાં આવે છે કે અને ખાલી નથી, આ કિસ્સામાં વ્યાખ્યા ઘણીવાર થોડી અલગ રીતે કરવામાં આવે છેઃ નળાકારના ચહેરાને જગ્યાઓ સાથે જોડવાને બદલે અને, આ ચહેરાઓ ફક્ત જોડાણ અંદાજો દ્વારા સૂચવવામાં આવેલી રીતે તૂટી જાય છેઃ આપણે ભાગાકાર જગ્યા બનાવીએ છીએ જ્યાં સમાનતા સંબંધ દ્વારા પેદા થાય છે. જો અને યુક્લિડિયન અવકાશના બંધાયેલા ઉપગણ હોય, અને અને, જ્યાં તેમની અસંબદ્ધ પતવારનું પરિમાણ (દા. ત.) હોય તેવી અસંબદ્ધ ઉપખંડો છે. બે બિન-છેદતી બિન-સમાંતર રેખાઓ), પછી ટોપોલોજિકલ વ્યાખ્યા ભૌમિતિક વ્યાખ્યામાં ઘટાડો કરે છે, એટલે કે, "ભૌમિતિક જોડાણ" એ "ટોપોલોજિકલ જોડાણ" માટે હોમોમોર્ફિક છેઃ અમૂર્ત સરળ સંકુલ જો અને કોઈપણ અમૂર્ત સરળ સંકુલ હોય, તો પછી તેમનું જોડાણ એક અમૂર્ત સરળ સંકુલ છે જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ શિરોબિંદુ સમૂહ એ અને નું અસંબદ્ધ જોડાણ છે. આની સરળતાઓ એ સિમ્પ્લેક્સના તમામ અસંબદ્ધ જોડાણો છેઃ (ખાસ કિસ્સામાં જેમાં અને અસંબદ્ધ હોય છે, જોડ સરળ હોય છે). ઉદાહરણો ધારો કે અને, એટલે કે, એક જ બિંદુ સાથે બે સમૂહો. પછી, જે રેખા-વિભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. નોંધ લો કે A અને B ના શિરોબિંદુ સમૂહ અસંગત છે; અન્યથા, આપણે તેમને અસંગત બનાવવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં a1 અને a2 એ V (A) માં એક તત્વની બે નકલો છે. ટોપોલોજીકલ રીતે, પરિણામ એક લાઇન-સેગમેન્ટ જેવું જ છે. ધારો કે અને. પછી, જે ત્રિકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ધારો કે અને, એટલે કે, બે અલગ બિંદુઓ સાથે બે સમૂહો. પછી પાસાઓ સાથેનું એક સંકુલ છે, જે "ચોરસ" નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સંયુક્ત વ્યાખ્યા નીચેના અર્થમાં ટોપોલોજિકલ વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છેઃ દરેક બે અમૂર્ત સરળ સંકુલ માટે અને, હોમોમોર્ફિક છે, જ્યાં સંકુલની કોઈપણ ભૌમિતિક અનુભૂતિ સૂચવે છે. નકશા બે નકશા આપવામાં આવ્યા છે અને, તેમના જોડાણને જોડાણમાં દરેક બિંદુની રજૂઆતના આધારે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કેટલાક માટેઃ વિશેષ કિસ્સાઓમાં ટોપોલોજિકલ જગ્યાનો શંકુ, સૂચવવામાં આવે છે, તે એક જ બિંદુ સાથે જોડાય છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યાનું સસ્પેન્શન, સૂચવવામાં આવે છે, તે સાથે જોડાય છે (0-પરિમાણીય ગોળા, અથવા, બે બિંદુઓ સાથેની અલગ જગ્યા). ગુણધર્મો સામ્યવાદ બે જગ્યાઓનો જોડ હોમોમોર્ફિઝમ સુધી પરિવર્તનીય છે, એટલે કે. . એસોસિએટિવિટી તે સાચું નથી કે ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંયુક્ત કામગીરી મનસ્વી ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ માટે હોમોમોર્ફિઝમ સુધી સહયોગી છે. જો કે, સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે આપણી પાસે છે તેથી, કોઈ વ્યક્તિ પોતાની સાથે જગ્યાના કે-ટાઈમ્સ જોડીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, (કે વખત). એક અલગ સંયુક્ત કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે જે સમાન અંતર્ગત સમૂહનો ઉપયોગ કરે છે પરંતુ એક અલગ ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરે છે, અને આ કામગીરી તમામ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ માટે સહયોગી છે. સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે અને, જોડાય છે અને એકરુપ થાય છે. હોમોટોપી સમકક્ષતા જો અને હોમોટોપી સમકક્ષ હોય, તો અને હોમોટોપી સમકક્ષ પણ હોય છે. ઘટાડેલા જોડાણને આધારબિંદુ થયેલ CW સંકુલ આપવામાં આવ્યા છે અને, "ઘટાડેલા જોડાણ" એ સ્મેશ ઉત્પાદનના ઘટાડેલા સસ્પેન્શન માટે હોમોમોર્ફિક છે. પરિણામે, તે સંકોચાય તેવું હોવાથી, ત્યાં એક સમસ્થાનિક સમાનતા છે આ સમાનતા સમરૂપતા સ્થાપિત કરે છે. સમસ્થાનિક જોડાણ બે ત્રિકોણાકાર જગ્યાઓ જોતાં, તેમના જોડાણનું સમસ્થાનિક જોડાણ () ઓછામાં ઓછું તેના ભાગોની જોડણીનો સરવાળો છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બે વિચ્છેદિત બિંદુઓનો સમૂહ બનીએ. બિંદુઓ વચ્ચે 1-પરિમાણીય છિદ્ર છે, તેથી. જોડ એક ચોરસ છે, જે 2-પરિમાણીય છિદ્ર ધરાવતા વર્તુળ માટે હોમોમોર્ફિક છે, તેથી. ત્રીજી નકલ સાથે આ ચોરસનું જોડાણ ઓક્ટાહેડ્રોન છે, જે હોમોમોર્ફિક છે, જેનું છિદ્ર 3-પરિમાણીય છે. સામાન્ય રીતે, અને ની n નકલો નો જોડ હોમોમોર્ફિક હોય છે. અમૂર્ત સંકુલ A નું કાઢી નાંખેલ જોડાણ એ એક અમૂર્ત સંકુલ છે જેમાં A ના અસંબદ્ધ ચહેરાના તમામ અસંબદ્ધ સંઘો છેઃ ઉદાહરણો ધારો કે (એક બિંદુ). પછી, એટલે કે, બે અસંબદ્ધ બિંદુઓ સાથેની એક અલગ જગ્યા (યાદ રાખો કે = અંતરાલ). ધારો કે (બે બિંદુઓ). પછી પાસાઓ (બે અસંબદ્ધ ધાર) સાથેનું એક સંકુલ છે. ધારો કે (એક ધાર). પછી પાસાઓ (એક ચોરસ) સાથેનું સંકુલ છે. યાદ કરો કે જે નક્કર ટેટ્રાહેડ્રોનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ધારો કે A એ (n-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ (n શિરોબિંદુઓ સાથે) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પછી જોડ એ (2n-1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ (2n શિરોબિંદુઓ સાથે) છેઃ તે બિન-નકારાત્મક કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતા તમામ બિંદુઓ (x1,., x2n) નો સમૂહ છે જેમ કે x1 +. + x2n = 1. કાઢી નાખેલા જોડીને આ સિમ્પ્લેક્સના સબસેટ તરીકે ગણી શકાયઃ તે સિમ્પ્લેક્સમાં તમામ બિંદુઓ (x1,., x2n) નો સમૂહ છે, જેમ કે x1,., xn માં માત્ર બિન-શૂન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ કેટલાક k કોઓર્ડિનેટ્સ છે, અને xn + 1,., x2n માં પૂરક n-k કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ગુણધર્મો કાઢી નાંખેલ જોડાણ કામગીરી જોડાણ સાથે મુસાફરી કરે છે. એટલે કે, દરેક બે અમૂર્ત સંકુલ A અને B માટેઃ પુરાવો. ડાબી બાજુના સંકુલમાં દરેક સિમ્પ્લેક્સ સ્વરૂપમાં હોય છે, ક્યાં અને અલગ હોય છે. અસંબદ્ધ સંઘના ગુણધર્મોને કારણે, પછીની શરત આની સમકક્ષ છેઃ અસંબદ્ધ છે અને અસંબદ્ધ છે. જમણી બાજુના સંકુલમાં દરેક સિમ્પ્લેક્સ સ્વરૂપમાં હોય છે, જ્યાં, અને અલગ હોય છે અને અલગ હોય છે. તેથી બંને બાજુઓ પર સરળતાના સમૂહો બરાબર સમાન છે. ખાસ કરીને, એન-ડાયમેન્શનલ સિમ્પ્લેક્સની પોતાની સાથે કાઢી નાખેલી જોડી એ એન-ડાયમેન્શનલ ક્રોસપોલાયટોપ છે, જે એન-ડાયમેન્શનલ ગોળા માટે હોમોમોર્ફિક છે. સામાન્યીકરણ સરળ જટિલ A ના n-ગણો k-મુજબ કાઢી નાખેલા જોડાણને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં "k-મુજબ અલગ" નો અર્થ એ છે કે k ના દરેક સબસેટમાં ખાલી intersection.In વિશિષ્ટ હોય છે, n-ગણો n-મુજબ કાઢી નાખેલા જોડાણમાં n ચહેરાના તમામ અલગ-અલગ જોડાણો હોય છે જેનું આંતરછેદ ખાલી હોય છે, અને n-ગણો 2-મુજબ કાઢી નાખેલો જોડ નાનો હોય છેઃ તેમાં ફક્ત n ચહેરાના અલગ-અલગ જોડાણો હોય છે જે જોડી મુજબ અલગ હોય છે. 2-ગણો 2-મુજબ કાઢી નાખેલો જોડ માત્ર ઉપર વ્યાખ્યાયિત સરળ કાઢી નાખેલો જોડ છે. એમ બિંદુઓ સાથે અલગ જગ્યાના એન-ફોલ્ડ 2-મુજબ કાઢી નાખેલા જોડાણને (એમ, એન)-ચેસબોર્ડ કોમ્પ્લેક્સ કહેવામાં આવે છે. ડિસસ્પેન્શન રેફરન્સ હેચર, એલન, બીજગણિત ટોપોલોજી પણ જુઓ. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ, 2002. xii + 544 પીપી. અને બ્રાઉન, રોનાલ્ડ, ટોપોલોજી અને ગ્રૂપોઇડ્સ વિભાગ 5.7 જોડાય છે. રચનાઓ પર બીજગણિત ટોપોલોજી કામગીરીઓ