Three-dimensional space
ભૂમિતિમાં, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા (3D જગ્યા, 3-જગ્યા અથવા, ભાગ્યે જ, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા) એ એક ગાણિતિક જગ્યા છે જેમાં બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે ત્રણ મૂલ્યો (કોઓર્ડિનેટ્સ) જરૂરી છે. સૌથી સામાન્ય રીતે, તે ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા છે, પરિમાણ n = 3 ની યુક્લિડિયન n-જગ્યા જે ભૌતિક જગ્યાનું મોડેલ બનાવે છે. વધુ સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાઓને 3-મેનિફોલ્ડ્સ કહેવામાં આવે છે. આ શબ્દ બોલચાલની ભાષામાં જગ્યાના સબસેટ, ત્રિ-પરિમાણીય પ્રદેશ (અથવા 3D ડોમેન), એક નક્કર આકૃતિનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકે છે. તકનીકી રીતે, સંખ્યાઓના ટુપલને-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં સ્થાનના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે સમજી શકાય છે. આ-ટુપલ્સનો સમૂહ સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે અને તેને-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ અને કાર્ટેશિયન સંકલન પ્રણાલી દ્વારા રચાયેલી જોડી સાથે ઓળખી શકાય છે. જ્યારે, આ જગ્યાને ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા કહેવામાં આવે છે (અથવા જ્યારે સંદર્ભ સ્પષ્ટ હોય ત્યારે ફક્ત "યુક્લિડિયન જગ્યા"). તે ભૌતિક બ્રહ્માંડના નમૂના તરીકે કામ કરે છે (જ્યારે સાપેક્ષતા સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતો નથી), જેમાં તમામ જાણીતા દ્રવ્ય અસ્તિત્વમાં છે. જ્યારે કે આ જગ્યા વિશ્વને તેના અનુભવ પ્રમાણે મોડેલ બનાવવાની સૌથી આકર્ષક અને ઉપયોગી રીત છે, તે 3-મેનિફોલ્ડ્સ તરીકે ઓળખાતા ત્રણ પરિમાણોમાં વિશાળ વિવિધતાની જગ્યાઓનું માત્ર એક ઉદાહરણ છે. આ શાસ્ત્રીય ઉદાહરણમાં, જ્યારે ત્રણ મૂલ્યો જુદી જુદી દિશાઓ (કોઓર્ડિનેટ્સ) માં માપનો સંદર્ભ આપે છે, ત્યારે કોઈપણ ત્રણ દિશાઓ પસંદ કરી શકાય છે, જો કે આ દિશામાં વેક્ટર બધા એક જ 2-સ્પેસ (પ્લેન) માં ન હોય. વધુમાં, આ કિસ્સામાં, આ ત્રણ મૂલ્યોને પહોળાઈ/પહોળાઈ, ઊંચાઈ/ઊંડાઈ અને લંબાઈ શબ્દોમાંથી પસંદ કરેલા ત્રણના કોઈપણ સંયોજન દ્વારા લેબલ કરી શકાય છે. યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સના ઇતિહાસ પુસ્તકો XI થી XIII ત્રિ-પરિમાણીય ભૂમિતિ સાથે વ્યવહાર કરે છે. પુસ્તક XI ઓર્થોગોનાલિટી અને રેખાઓ અને વિમાનોની સમાંતરતાની કલ્પનાઓ વિકસાવે છે, અને સમાંતર પાઇપ, પિરામિડ, પ્રિઝમ, ગોળા, ઓક્ટાહેડ્રા, આઈકોસાહેડ્રા અને ડોડેકાહેડ્રા સહિત ઘન પદાર્થોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પુસ્તક XII ઘન પદાર્થોની સમાનતાની કલ્પનાઓ વિકસાવે છે. પુસ્તક XIII ગોળામાં પાંચ નિયમિત પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોના નિર્માણનું વર્ણન કરે છે. 17મી સદીમાં, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વર્ણવવામાં આવ્યો હતો, જેમાં રેને ડેસકાર્ટેસ દ્વારા તેમના કાર્ય લા જીઓમેટ્રી અને પિયર ડી ફર્મેટ દ્વારા વિકસિત વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના આગમન સાથે એડ લોકોસ પ્લેનોસ એટ સોલિડોસ ઇસાગોગ (પ્લેન અને સોલિડ લોસીનો પરિચય) હસ્તપ્રતમાં, જે ફર્મેટના જીવનકાળ દરમિયાન અપ્રકાશિત હતી. જો કે, માત્ર ફર્મેટનું કાર્ય ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા સાથે સંકળાયેલું હતું. 19મી સદીમાં, વિલિયમ રોવન હેમિલ્ટનના ચતુર્થાંશના વિકાસ સાથે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની ભૂમિતિના વિકાસ થયા. હકીકતમાં, તે હેમિલ્ટન જ હતા જેમણે સ્કેલર અને વેક્ટર શબ્દોની રચના કરી હતી, અને તેમને સૌપ્રથમ ક્વાટર્નિયનો માટે તેમના ભૌમિતિક માળખામાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાને પછી ક્વાટર્નિયનો દ્વારા વર્ણવી શકાય છે જેમાં અદ્રશ્ય થઈ રહેલા સ્કેલર ઘટક હતા, એટલે કે. હેમિલ્ટન દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો ન હોવા છતાં, આ પરોક્ષ રીતે આધારની કલ્પનાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી, જે અહીં ક્વાટર્નિયન તત્વો દ્વારા આપવામાં આવી છે, તેમજ ડોટ પ્રોડક્ટ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટ, જે સ્કેલર ભાગ (નકારાત્મક) અને બે વેક્ટર ક્વાટર્નિયનોના ઉત્પાદનના વેક્ટર ભાગને અનુરૂપ છે. જોસિયાહ વિલાર્ડ ગિબ્સ સુધી આ બે ઉત્પાદનોને તેમના પોતાના અધિકારમાં ઓળખવામાં આવ્યા ન હતા, અને બિંદુ અને ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટેના આધુનિક સંકેતો તેમની વર્ગખંડની શિક્ષણ નોંધોમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, જે ગિબ્સના પ્રવચનો પર આધારિત એડવિન બિડવેલ વિલ્સન દ્વારા લખાયેલા 1901 ના પાઠ્યપુસ્તક વેક્ટર એનાલિસિસમાં પણ જોવા મળે છે. 19મી સદી દરમિયાન હર્મન ગ્રાસમેન અને જિયુસેપ પીનોના કાર્ય સાથે વેક્ટર સ્પેસની અમૂર્ત ઔપચારિકતામાં વિકાસ થયો, જેમાંથી જિયુસેપ પીનોએ સૌપ્રથમ બીજગણિત માળખા તરીકે વેક્ટર સ્પેસની આધુનિક વ્યાખ્યા આપી હતી. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ સંકલન પ્રણાલીઓમાં ગણિતમાં, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ (જેને કાર્ટેશિયન ભૂમિતિ પણ કહેવાય છે) ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં દરેક બિંદુને ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વર્ણવે છે. ત્રણ સંકલન અક્ષો આપવામાં આવ્યા છે, દરેક મૂળ બિંદુ પર અન્ય બેને લંબરૂપ છે, જે બિંદુ પર તેઓ પાર કરે છે. તેઓ સામાન્ય રીતે લેબલ થયેલ હોય છે, અને. આ અક્ષોના સંબંધમાં, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુની સ્થિતિ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ ત્રણ ગણા દ્વારા આપવામાં આવે છે, દરેક સંખ્યા આપેલ અક્ષ સાથે માપવામાં આવેલા મૂળથી તે બિંદુનું અંતર આપે છે, જે અન્ય બે અક્ષો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલથી તે બિંદુના અંતરની બરાબર છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બિંદુના સ્થાનનું વર્ણન કરવાની અન્ય લોકપ્રિય પદ્ધતિઓમાં નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ અને ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સનો સમાવેશ થાય છે, જો કે અસંખ્ય સંભવિત પદ્ધતિઓ છે. વધુ માહિતી માટે, યુક્લિડિયન જગ્યા જુઓ. નીચે ઉપરોક્ત પ્રણાલીઓના ચિત્રો છે. રેખાઓ અને સમતલ બે અલગ બિંદુઓ હંમેશા (સીધી) રેખા નક્કી કરે છે. ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ કાં તો સમરેખીય હોય છે અથવા એક અનન્ય સમતલ નક્કી કરે છે. બીજી બાજુ, ચાર અલગ-અલગ બિંદુઓ કોલિનિયર, કોપ્લાનર અથવા સમગ્ર જગ્યા નક્કી કરી શકે છે. બે અલગ રેખાઓ કાં તો એકબીજાને છેદે છે, સમાંતર હોઈ શકે છે અથવા વક્ર હોઈ શકે છે. બે સમાંતર રેખાઓ, અથવા બે આંતરછેદ રેખાઓ, એક અનન્ય સમતલમાં આવેલી હોય છે, તેથી વક્ર રેખાઓ એવી રેખાઓ છે જે સામાન્ય સમતલમાં મળતી નથી અને આવતી નથી. બે અલગ અલગ સમતલ કાં તો એક સામાન્ય રેખામાં મળી શકે છે અથવા સમાંતર હોઈ શકે છે (એટલે કે, મળતા નથી). ત્રણ અલગ અલગ સમતલ, જેમાંથી કોઈ જોડી સમાંતર નથી, તે કાં તો એક સામાન્ય રેખામાં મળી શકે છે, એક અનન્ય સામાન્ય બિંદુમાં મળી શકે છે, અથવા તેનો કોઈ સામાન્ય અર્થ નથી. છેલ્લા કિસ્સામાં, વિમાનોની દરેક જોડીના આંતરછેદના ત્રણ રેખાઓ પરસ્પર સમાંતર હોય છે. એક રેખા આપેલ સમતલમાં હોઈ શકે છે, તે સમતલને એક અનન્ય બિંદુએ છેદે છે, અથવા સમતલની સમાંતર હોઈ શકે છે. છેલ્લા કિસ્સામાં, સમતલમાં એવી રેખાઓ હશે જે આપેલ રેખાને સમાંતર હશે. હાયપરપ્લેન એ પૂર્ણ જગ્યાના પરિમાણ કરતાં ઓછા એક પરિમાણનું સબસ્પેસ છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના હાયપરપ્લેન એ દ્વિ-પરિમાણીય સબસ્પેસ છે, એટલે કે પ્લેન. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ, હાયપરપ્લેનના બિંદુઓ એક જ રેખીય સમીકરણને સંતોષે છે, તેથી આ 3-જગ્યામાં વિમાનોને રેખીય સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. એક રેખાને સ્વતંત્ર રેખીય સમીકરણોની જોડી દ્વારા વર્ણવી શકાય છે-દરેક આ રેખાને સામાન્ય આંતરછેદ તરીકે ધરાવતા સમતલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વેરિગ્નનનો પ્રમેય જણાવે છે કે R3માં કોઈપણ ચતુર્ભુજના મધ્યબિંદુઓ સમાંતર ચતુર્ભુજ બનાવે છે, અને તેથી સહ-સમતલ છે. ગોળા અને દડા 3-અવકાશમાં એક ગોળા (જેને 2-ગોળા પણ કહેવાય છે કારણ કે તે 2-પરિમાણીય પદાર્થ છે) માં કેન્દ્રિય બિંદુથી નિશ્ચિત અંતરે 3-અવકાશમાં તમામ બિંદુઓનો સમૂહ હોય છે. ગોળાથી ઘેરાયેલા ઘનને દડો (અથવા વધુ ચોક્કસપણે 3-દડો) કહેવામાં આવે છે. બોલનું કદ અને ગોળાનું સપાટી વિસ્તાર દ્વારા આપવામાં આવે છે અન્ય પ્રકારનો ગોળા 4-દડાથી ઉદ્ભવે છે, જેની ત્રિ-પરિમાણીય સપાટી 3-ગોળા છેઃ યુક્લિડિયન જગ્યાના મૂળથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓ. જો કોઈ બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, તો તે મૂળ પર કેન્દ્રિત એકમ 3-ગોળા પરના તે બિંદુઓને લાક્ષણિકતા આપે છે. આ 3-ગોળા એ 3-મેનીફોલ્ડનું ઉદાહરણ છેઃ એક જગ્યા જે 3-ડી જગ્યા જેવી 'સ્થાનિક રીતે દેખાય છે'. ચોક્કસ ટોપોલોજિકલ દ્રષ્ટિએ, 3-ગોળાના દરેક બિંદુ પાસે એક પડોશ હોય છે જે 3-D જગ્યાના ખુલ્લા સબસેટ માટે હોમોમોર્ફિક હોય છે. પોલીટોપ્સ ત્રણ પરિમાણોમાં, નવ નિયમિત પોલીટોપ્સ છેઃ પાંચ બહિર્મુખ પ્લેટોનિક ઘન અને ચાર બિન-બહિર્મુખ કેપ્લર-પોઇનસોત પોલીહેડ્રા. ક્રાંતિની સપાટીઓ તેના સમતલમાં એક નિશ્ચિત રેખા વિશે સમતલ વળાંકને અક્ષ તરીકે ફેરવીને પેદા થતી સપાટીને ક્રાંતિની સપાટી કહેવામાં આવે છે. સમતલ વળાંકને સપાટીનું જનરેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. સપાટીનો એક ભાગ, જે સપાટીને અક્ષ સાથે લંબરૂપ (ઓર્થોગોનલ) સમતલ સાથે છેદે છે, તે એક વર્તુળ છે. જ્યારે જનરેટ્રિક્સ એક રેખા હોય ત્યારે સરળ ઉદાહરણો જોવા મળે છે. જો જનરેટ્રિક્સ રેખા અક્ષ રેખાને છેદે છે, તો પરિભ્રમણની સપાટી જમણી ગોળાકાર શંકુ છે, જેમાં શિરોબિંદુ (ટોચ) આંતરછેદનું બિંદુ છે. જો કે, જો જનરેટ્રિક્સ અને અક્ષ સમાંતર હોય, તો પરિભ્રમણની સપાટી ગોળાકાર નળાકાર હોય છે. ચતુર્ભુજ સપાટીઓ શંકુ વિભાગો સાથે સામ્યતામાં, બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ સેકન્ડ ડિગ્રીના સામાન્ય સમીકરણને સંતોષે છે, એટલે કે, જ્યાં અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને બધી નહીં અને શૂન્ય છે, તેને ચતુર્ભુજ સપાટી કહેવામાં આવે છે. બિન-અધોગામી ચતુર્ભુજ સપાટીઓ છ પ્રકારની હોય છેઃ એક શીટની લંબગોળ હાયપરબોલોઇડ બે શીટ્સની લંબગોળ હાયપરબોલોઇડ અધોગામી ચતુર્ભુજ સપાટીઓ ખાલી સમૂહ, એક બિંદુ, એક રેખા, એક સમતલ, વિમાનોની જોડી અથવા દ્વિઘાત નળાકાર (સમતલમાં બિન-અધોગામી શંકુ વિભાગ ધરાવતી સપાટી અને તે શંકુની તમામ રેખાઓ જે સામાન્ય હોય છે) હોય છે. લંબગોળ શંકુને કેટલીકવાર અધોગતિગ્રસ્ત ચતુર્ભુજ સપાટીઓ પણ માનવામાં આવે છે. એક શીટના હાયપરબોલોઇડ અને હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ બંને નિયંત્રિત સપાટીઓ છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ સીધી રેખાઓના પરિવારમાંથી બની શકે છે. હકીકતમાં, દરેક કુટુંબમાં રેખાઓ ઉત્પન્ન કરવાના બે પરિવારો હોય છે, દરેક પરિવારના સભ્યો અલગ હોય છે અને દરેક સભ્ય એક પરિવાર છેદે છે, માત્ર એક અપવાદ સાથે, અન્ય પરિવારના દરેક સભ્ય. દરેક પરિવારને રેગ્યુલસ કહેવામાં આવે છે. રેખીય બીજગણિતમાં ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશને જોવાની બીજી રીત રેખીય બીજગણિતમાં જોવા મળે છે, જ્યાં સ્વતંત્રતાનો વિચાર નિર્ણાયક છે. અવકાશમાં ત્રણ પરિમાણો છે કારણ કે બૉક્સની લંબાઈ તેની પહોળાઈ અથવા પહોળાઈથી સ્વતંત્ર છે. રેખીય બીજગણિતની તકનીકી ભાષામાં, અવકાશ ત્રિ-પરિમાણીય છે કારણ કે અવકાશમાં દરેક બિંદુને ત્રણ સ્વતંત્ર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ડોટ પ્રોડક્ટ, ખૂણો અને લંબાઈ A વેક્ટરને તીર તરીકે ચિત્રિત કરી શકાય છે. વેક્ટરની તીવ્રતા તેની લંબાઈ છે, અને તેની દિશા તીર બિંદુઓની દિશા છે. વેક્ટરને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ ત્રણ ગણા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ સંખ્યાઓને વેક્ટરના ઘટકો કહેવામાં આવે છે. બે વેક્ટરનું ડોટ પ્રોડક્ટ અને તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ વેક્ટરની તીવ્રતા આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. પોતાની સાથે વેક્ટરનું ડોટ પ્રોડક્ટ એ છે જે વેક્ટરની યુક્લિડિયન લંબાઈ માટેનું સૂત્ર આપે છે. વેક્ટરના ઘટકોના સંદર્ભ વિના, બે બિન-શૂન્ય યુક્લિડિયન વેક્ટરનું ડોટ પ્રોડક્ટ અને અને વચ્ચેનો કોણ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ ક્રોસ પ્રોડક્ટ અથવા વેક્ટર પ્રોડક્ટ એ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં બે વેક્ટર પર દ્વિસંગી કામગીરી છે અને તેને x પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. A અને B વેક્ટરનું ક્રોસ પ્રોડક્ટ A × B એ એક વેક્ટર છે જે બંનેને લંબરૂપ છે અને તેથી તેમને સમાવતી સપાટી માટે નોર્મલ છે. તેની ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરીમાં ઘણી ઉપયોગિતાઓ છે. કાર્ય ભાષામાં, ક્રોસ પ્રોડક્ટ એ એક કાર્ય છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટના ઘટકો છે, અને ઘટકોમાં પણ લખી શકાય છે, આઈન્સ્ટાઈન સારાંશ પરંપરાનો ઉપયોગ કરીને જ્યાં લેવી-સિવિટા પ્રતીક છે. તેની પાસે તે સંપત્તિ છે. તેની તીવ્રતા ઓળખ અને ઓળખ વચ્ચેના ખૂણા સાથે સંબંધિત છે અવકાશ અને ઉત્પાદન ક્ષેત્ર પર બીજગણિત બનાવે છે, જે પરિવર્તનીય કે સહયોગી નથી, પરંતુ તે લાઈ બીજગણિત છે જેમાં ક્રોસ પ્રોડક્ટ લાઈ કૌંસ છે. ખાસ કરીને, ઉત્પાદન સાથે જગ્યા, ત્રિ-પરિમાણીય પરિભ્રમણના લાઈ બીજગણિત માટે સમરૂપ છે, જે સૂચવવામાં આવે છે. લાઈ બીજગણિતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષવા માટે, સહયોગીતાને બદલે ક્રોસ પ્રોડક્ટ જેકોબી ઓળખને સંતોષે છે. કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર માટે અને n પરિમાણોમાં એક વેક્ટરનો ગુણાકાર લઈને તે બધાને લંબરૂપ વેક્ટર ઉત્પન્ન કરી શકે છે. પરંતુ જો ઉત્પાદન વેક્ટર પરિણામો સાથે બિન-તુચ્છ દ્વિસંગી ઉત્પાદનો સુધી મર્યાદિત હોય, તો તે માત્ર ત્રણ અને સાત પરિમાણોમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. અમૂર્ત વર્ણન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા તરીકે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાને વર્ણવવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. આ સૂક્ષ્મ રીતે અલગ પડે છે. વ્યાખ્યા મુજબ, તેના માટે એક આધાર છે. આ અને વચ્ચેની સમરૂપતાને અનુરૂપ છેઃ સમરૂપતા માટેની રચના અહીં જોવા મળે છે. જો કે, તેના માટે કોઈ 'પ્રિફર્ડ' અથવા 'કેનોનિકલ બેઝ' નથી. બીજી બાજુ, એક પસંદગીનો આધાર છે, જે તેની નકલોના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન તરીકેના વર્ણનને કારણે છે, એટલે કે,. આ કેનોનિકલ અંદાજોની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છે, જ્યાં. ઉદાહરણ તરીકે,. આ પછી ક્રોનેકર ડેલ્ટા ક્યાં છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રમાણભૂત આધારની વ્યાખ્યાને મંજૂરી આપે છે. સંપૂર્ણ રીતે લખાયેલ, પ્રમાણભૂત આધાર છે તેથી આધારની પસંદગીના વધારાના માળખા સાથે, અમૂર્ત વેક્ટર જગ્યા તરીકે જોઈ શકાય છે. તેનાથી વિપરીત, કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન માળખાને શરૂ કરીને અને 'ભૂલીને' અથવા સમાનરૂપે આધારની પ્રમાણભૂત પસંદગી દ્વારા મેળવી શકાય છે. સામાન્ય વેક્ટર જગ્યાના વિરોધમાં, જગ્યાને કેટલીકવાર સંકલન જગ્યા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ભૌતિક રીતે, જો તે કોઈ ચોક્કસ સમસ્યાના પરિમાણો દ્વારા આપવામાં ન આવે તો શક્ય તેટલું ઓછું માળખું ધારણ કરવા માટે અમૂર્ત ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ કરવો તે કલ્પનાત્મક રીતે ઇચ્છનીય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા સાથેની સમસ્યામાં, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના વધુ નક્કર વર્ણન સાથે કામ કરવું એ આધારની પસંદગી ધારે છે, જે અક્ષોના સમૂહને અનુરૂપ છે. પરંતુ પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતામાં, અક્ષોના એક સમૂહને મનસ્વી રીતે ફેરવવામાં આવેલા અક્ષોના સમાન સમૂહને કહેવાનું પસંદ કરવાનું કોઈ કારણ નથી. બીજી રીતે કહીએ તો, અક્ષોની પસંદગી ભૌતિક જગ્યાના પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને તોડે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ રીતે, નક્કર ગણતરીઓ કરવા માટે વધુ નક્કર વર્ણન સાથે કામ કરવું જરૂરી છે. એફાઇન વર્ણન વધુ અમૂર્ત વર્ણન હજુ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર ત્રિ-પરિમાણીય એફાઇન જગ્યા તરીકે ભૌતિક જગ્યાનું મોડેલ બનાવવાનું છે. આ એફાઇન આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે. તેને કેટલીકવાર ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જેમ વેક્ટર જગ્યાનું વર્ણન 'પસંદગીના આધારને ભૂલી જવાથી' આવ્યું છે, તેમ એફાઇન જગ્યાનું વર્ણન વેક્ટર જગ્યાના 'મૂળને ભૂલી જવાથી' આવે છે. યુક્લિડિયન વેક્ટર જગ્યાઓથી અલગ પાડવા માટે યુક્લિડિયન જગ્યાઓને કેટલીકવાર યુક્લિડિયન એફાઇન જગ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. આ શારીરિક રીતે આકર્ષક છે કારણ કે તે ભૌતિક જગ્યાના અનુવાદને અપ્રગટ બનાવે છે. પસંદગીનું મૂળ અનુવાદાત્મક અસ્થિરતાને તોડે છે. આંતરિક ઉત્પાદન જગ્યા ઉપરોક્ત ચર્ચામાં ડોટ પ્રોડક્ટનો સમાવેશ થતો નથી. ડોટ પ્રોડક્ટ એ આંતરિક પ્રોડક્ટનું ઉદાહરણ છે. ભૌતિક જગ્યાને વેક્ટર સ્પેસ તરીકે મોડેલિંગ કરી શકાય છે જે વધુમાં આંતરિક ઉત્પાદનની રચના ધરાવે છે. આંતરિક ઉત્પાદન લંબાઈ અને ખૂણાની કલ્પનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (અને તેથી ખાસ કરીને ઓર્થોગોનાલિટીની કલ્પના). કોઈપણ આંતરિક ઉત્પાદન માટે, એવા પાયા અસ્તિત્વમાં છે કે જેના હેઠળ આંતરિક ઉત્પાદન બિંદુ ઉત્પાદન સાથે સંમત થાય છે, પરંતુ ફરીથી, ઘણા જુદા જુદા સંભવિત પાયા છે, જેમાંથી કોઈ પણ પસંદ કરવામાં આવતું નથી. તેઓ એકબીજાથી પરિભ્રમણ દ્વારા અલગ પડે છે, જે પરિભ્રમણ SO (3) ના જૂથનું એક તત્વ છે. લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં, (વિભેદક) વિધેયનો ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને અનુક્રમણિકા સંકેતલિપીમાં લખવામાં આવે છે. (વિભેદક) વેક્ટર ક્ષેત્ર F = U i + V j + W k નું વિચલન, એટલે કે, એક વિધેય, સ્કેલર-વેલ્યુડ વિધેયની બરાબર છેઃ અનુક્રમણિકા સંકેતલિપીમાં, આઈન્સ્ટાઈન સારાંશ પરંપરા સાથે, આ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં વિસ્તૃત થાય છે (ગોળાકાર અને નળાકાર સંકલન રજૂઆતો માટે નળાકાર અને ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં ડેલ જુઓ), કર્લ ρ × F એ [Fx, Fy, Fz] થી બનેલા F માટે છેઃ જ્યાં i, j અને k એકમ વેક્ટર છે. આ નીચે પ્રમાણે વિસ્તરે છેઃ અનુક્રમણિકા સંકેતલિપીમાં, આઈન્સ્ટાઈન સરવાળા સંમેલન સાથે આ તે છે જ્યાં સંપૂર્ણપણે અસમપ્રમાણતા વિરોધી પ્રતીક, લેવી-સિવિટા પ્રતીક છે. રેખા, સપાટી અને કદ સંકલન કેટલાક સ્કેલર ક્ષેત્ર f: U rn → R માટે, પીસવાઇઝ સ્મૂથ કર્વ C r U સાથે લાઇન ઇંટીગ્રલને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં r: [a, b] → C એ કર્વ C નું મનસ્વી બાયજેક્ટિવ પરિમાણ છે જેમ કે r (a) અને r (b) એ C અને ના અંતિમ બિંદુઓ આપે છે. વેક્ટર ક્ષેત્ર F: U rn → Rn માટે, r ની દિશામાં પીસવાઇઝ સ્મૂથ કર્વ C r U સાથે લાઇન ઇંટીગ્રલને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં· એ ડોટ પ્રોડક્ટ છે અને r: [a, b] → C એ કર્વ C નું બાયજેક્ટિવ પેરામીટ્રીઝેશન છે જેમ કે r (a) અને r (b) એ C ના અંતિમ બિંદુઓ આપે છે. તેને લાઇન ઇંટીગ્રલના ડબલ ઇંટીગ્રલ એનાલોગ તરીકે વિચારી શકાય છે. સરફેસ ઇંટીગ્રલ માટે સ્પષ્ટ સૂત્ર શોધવા માટે, આપણે S પર વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સની પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લઈને, ગોળાકાર અક્ષાંશ અને રેખાંશની જેમ, રસની સપાટી, S ને પરિમાણિત કરવાની જરૂર છે. ધારો કે આવા પરિમાણ x (s, t) છે, જ્યાં સમતલમાં અમુક પ્રદેશ T માં (s, t) બદલાય છે. પછી, સરફેસ ઇન્ટિગ્રલ એ રીતે આપવામાં આવે છે કે જ્યાં જમણી બાજુના બાર વચ્ચેની અભિવ્યક્તિ x (s, t) ના આંશિક વ્યુત્પન્નના ક્રોસ પ્રોડક્ટની તીવ્રતા છે, અને તે સરફેસ એલિમેન્ટ તરીકે ઓળખાય છે. S પર વેક્ટર ક્ષેત્ર v આપેલ છે, જે એક કાર્ય છે જે S a વેક્ટર v (x) માં દરેક x ને સોંપે છે, સરફેસ ઇન્ટિગ્રલને સ્કેલર ક્ષેત્રની સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની વ્યાખ્યા અનુસાર ઘટક મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે; પરિણામ વેક્ટર છે. વોલ્યુમ ઇન્ટિગ્રલ એ ત્રિ-પરિમાણીય ક્ષેત્ર અથવા પ્રદેશ પરનું ઇન્ટિગ્રલ છે. જ્યારે સંકલન તુચ્છ (એકતા) હોય છે, ત્યારે કદ સંકલન એ ફક્ત ક્ષેત્રનું કદ હોય છે. તેનો અર્થ ફંક્શનના R3 માં D પ્રદેશની અંદર ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ પણ હોઈ શકે છે અને તેને સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છેઃ લાઇન ઇન્ટિગ્રલ્સનો ફંડામેન્ટલ થીયરમ લાઇન ઇન્ટિગ્રલ્સનો ફંડામેન્ટલ થીયરમ કહે છે કે ગ્રેડિયન્ટ ફિલ્ડ દ્વારા લાઇન ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્યાંકન વળાંકના અંતિમ બિંદુઓ પર મૂળ સ્કેલર ફિલ્ડનું મૂલ્યાંકન કરીને કરી શકાય છે. જવા દો. પછી સ્ટોક્સ 'થીયરમ સ્ટોક્સ' થીયરમ યુક્લિડિયન થ્રી-સ્પેસમાં સપાટી પર વેક્ટર ફિલ્ડ Fના કર્લના સરફેસ ઇન્ટિગ્રલને તેની સીમા પર વેક્ટર ફિલ્ડના લાઇન ઇન્ટિગ્રલ સાથે સંબંધિત કરે છેઃ ડાયવર્જન્સ થીયરમ ધારો કે તે (3D સ્પેસમાં વોલ્યુમ રજૂ કરવાના કિસ્સામાં) નો સબસેટ છે જે કોમ્પેક્ટ છે અને તેની પીસવાઇઝ સ્મૂથ બાઉન્ડ્રી છે (સાથે પણ સૂચવવામાં આવે છે). જો સતત વિકલનક્ષમ વેક્ટર ક્ષેત્રના પડોશ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો વિચલન પ્રમેય કહે છેઃ ડાબી બાજુ એ કદ પરનું કદ અભિન્ન છે, જમણી બાજુ એ કદની સીમા પરનું સપાટી અભિન્ન છે. બંધ મેનીફોલ્ડ એ સામાન્ય રીતે બાહ્ય-પોઇન્ટિંગ નોર્મલ્સ દ્વારા લક્ષી સીમા છે, અને તે સીમાની બાહ્ય પોઇન્ટિંગ એકમ સામાન્ય ક્ષેત્ર છે. (માટે લઘુલિપિ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે.) ટોપોલોજીમાં ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સંખ્યાબંધ ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો છે જે તેને અન્ય પરિમાણ સંખ્યાઓની જગ્યાઓથી અલગ પાડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, દોરીના ટુકડામાં ગાંઠ બાંધવા માટે ઓછામાં ઓછા ત્રણ પરિમાણો જરૂરી છે. વિભેદક ભૂમિતિમાં સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાઓ 3-મેનીફોલ્ડ હોય છે, જે સ્થાનિક રીતે સમાન હોય છે. મર્યાદિત ભૂમિતિમાં પરિમાણના ઘણા વિચારોને મર્યાદિત ભૂમિતિ સાથે ચકાસી શકાય છે. સૌથી સરળ ઉદાહરણ પીજી (3,2) છે, જે તેની 2-પરિમાણીય પેટા જગ્યાઓ તરીકે ફેનો પ્લેન ધરાવે છે. તે ગેલોઇસ ભૂમિતિના એક ઉદાહરણ છે, જે મર્યાદિત ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના અભ્યાસ છે. આમ, કોઈપણ ગેલોઇસ ક્ષેત્ર GF (q) માટે, ત્રણ પરિમાણોની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા PG (3, q) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પીજી (3, ક્યૂ) માં કોઈપણ ત્રણ વક્ર રેખાઓ બરાબર એક નિયમનમાં સમાયેલી હોય છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ ત્રિ-પરિમાણીય આલેખ ઘન ભૂમિતિ દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશ નોંધો સંદર્ભો આર્ફકેન, જ્યોર્જ બી. અને હંસ જે. વેબર. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માટે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ, એકેડેમિક પ્રેસ; 6 આવૃત્તિ (જૂન 21,2005). . બાહ્ય કડીઓ પ્રાથમિક રેખીય બીજગણિત-પ્રકરણ 8: ક્વીન્સલેન્ડ યુનિવર્સિટીમાંથી ત્રિ-પરિમાણીય ભૂમિતિ કીથ મેથ્યુઝ, 1991 વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ બહુ-પરિમાણીય ભૂમિતિ ત્રિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીઓ 3 (સંખ્યા) અવકાશ