Direct image functor
ગણિતમાં, ડાયરેક્ટ ઇમેજ ફંકટર એ શીફ થિયરીમાં એક રચના છે જે સંબંધિત કેસમાં વૈશ્વિક વિભાગોના ફંકટરને સામાન્ય બનાવે છે. તે ટોપોલોજી અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં મૂળભૂત મહત્વ ધરાવે છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યા X પર વ્યાખ્યાયિત આવરણ F અને સતત નકશો f: X → Y આપવામાં આવે તો, આપણે Y પર એક નવા આવરણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જેને ડાયરેક્ટ ઇમેજ આવરણ અથવા f સાથે Fનું પુશફોરવર્ડ આવરણ કહેવામાં આવે છે, જેમ કે f ના વૈશ્વિક વિભાગો F ના વૈશ્વિક વિભાગો દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સોંપણી X પર આવરણની શ્રેણીમાંથી Y પર આવરણની શ્રેણીમાં એક કારક f ir ને જન્મ આપે છે, જેને ડાયરેક્ટ ઇમેજ કારક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અન્ય ઘણા બીજગણિત અને ભૌમિતિક સંદર્ભોમાં સમાન રચનાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમાં યોજના પર અર્ધ-સુસંગત શીવ્સ અને એટેલ શીવ્સનો સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યા f: X → Y એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓનો સતત નકશો છે, અને Sh (-) એ ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર અબેલિયન જૂથોના આવરણની શ્રેણીને સૂચવે છે. ડાયરેક્ટ ઈમેજ ફંકટર X પર એક આવરણ F ને તેની સીધી છબી માટે મોકલે છે, જે Y પર છે, જેને Y ના ખુલ્લા ઉપગણ U પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ Y પર આવરણ હોવાનું બહાર આવે છે, અને તેને F સાથે F નું ડાયરેક્ટ ઈમેજ આવરણ અથવા પુશફોરવર્ડ આવરણ કહેવામાં આવે છે. કારણ કે આવરણ φ: F → G નું X પર મોર્ફિઝમ એક સ્પષ્ટ રીતે Y પર આવરણ f િ઱ (φ): f િ઱ (F) → f િ઱ (G) ના મોર્ફિઝમને જન્મ આપે છે, આપણી પાસે ખરેખર તે f િ઱ એક કાર્યકારક છે. ઉદાહરણ જો Y એ એક બિંદુ છે, અને f: X → Y એ અનન્ય સતત નકશો છે, તો પછી Sh (Y) એ અબેલિયન જૂથોની શ્રેણી Ab છે, અને ડાયરેક્ટ ઇમેજ ફંકટર f ≤: Sh (X) → Ab એ વૈશ્વિક વિભાગોના ફંકટરની બરાબર છે. જો અબેલિયન જૂથોના આવરણને બદલે સમૂહના આવરણ સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે, તો તે જ વ્યાખ્યા લાગુ પડે છે. તેવી જ રીતે, જો f: (X, OX) → (Y, OY) એ રિંગ્ડ જગ્યાઓનું મોર્ફિઝમ હોય, તો આપણે OX-મોડ્યુલોના શીવ્સની શ્રેણીમાંથી OY-મોડ્યુલોના શીવ્સની શ્રેણીમાં ડાયરેક્ટ ઇમેજ ફંકટર f ≤: Sh (X, OX) → Sh (Y, OY) મેળવીએ છીએ. વધુમાં, જો f હવે અર્ધ-કોમ્પેક્ટ અને અર્ધ-અલગ યોજનાઓનું મોર્ફિઝમ છે, તો f ≤ અર્ધ-સુસંગત હોવાના ગુણધર્મને જાળવી રાખે છે, તેથી આપણે અર્ધ-સુસંગત આવરણની શ્રેણીઓ વચ્ચે સીધો ઇમેજ ફંકટર મેળવીએ છીએ. આવી જ વ્યાખ્યા ટોપોઈ પરના શીવ્સને લાગુ પડે છે, જેમ કે એટેલ શીવ્સ. ત્યાં, ઉપરોક્ત પ્રિમેજ f−1 (U) ને બદલે, Y પર U અને X ના ફાઇબર પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ થાય છે. આવરણની શ્રેણીઓ બનાવતા ગુણધર્મો અને ડાયરેક્ટ ઇમેજ ફંકટર પોતે જ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણીમાંથી શ્રેણીઓની શ્રેણીમાં ફંકટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ સતત નકશા f: X → Y અને g: Y → Z આપવામાં આવે તો, આપણી પાસે (gf) િ઱ = g િ઱ f િ઱ છે. ડાયરેક્ટ ઇમેજ ફંકટર ઇન્વર્સ ઇમેજ ફંકટરની જમણી બાજુએ છે, જેનો અર્થ છે કે X, Y પર અનુક્રમે કોઈપણ સતત અને આવરણ માટે, એક કુદરતી સમરૂપતા છેઃ જો f એ બંધ સબસ્પેસ X વાયનો સમાવેશ હોય તો f ≤ ચોક્કસ છે. વાસ્તવમાં, આ કિસ્સામાં f * એ X પરની શીવ્સની શ્રેણી અને X પર સપોર્ટેડ Y પરની શીવ્સની શ્રેણી વચ્ચેની સમાનતા છે. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે દાંડી જો છે અને અન્યથા શૂન્ય છે (અહીં Y માં X ની બંધનો ઉપયોગ થાય છે). જો f એ રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા નિર્ધારિત એફાઇન યોજનાઓનું મોર્ફિઝમ હોય, તો અર્ધ-સુસંગત શીવ્સ પરનો સીધો ઈમેજ ફંકટર f ≤ એ φ સાથે સ્કેલર ફંકટરના પ્રતિબંધ સાથે ઓળખાય છે. ઉચ્ચ સીધી છબીઓ ડાયરેક્ટ ઇમેજ ફંકટરને ચોક્કસ છોડી દેવામાં આવે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે બરાબર ચોક્કસ નથી. તેથી કોઈ પણ વ્યક્તિ સીધી છબીના યોગ્ય વ્યુત્પન્ન પરિબળોને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. તેમને ઉચ્ચ સીધી છબીઓ કહેવામાં આવે છે અને Rq f ઱્઱ં સૂચવવામાં આવે છે. કોઈ બતાવી શકે છે કે ઉચ્ચ સીધી છબીઓ માટે ઉપરની જેમ સમાન અભિવ્યક્તિ છેઃ X પર શીફ F માટે, શીફ Rq f િ઱ (F) એ પ્રીશીફ સાથે સંકળાયેલ શીફ છે, જ્યાં Hq શીફ કોહોમોલોજી સૂચવે છે. બીજગણિત ભૂમિતિના સંદર્ભમાં અને અર્ધ-કોમ્પેક્ટ અને અર્ધ-વિભાજિત યોજનાઓના મોર્ફિઝમના સંદર્ભમાં, તેવી જ રીતે અર્ધ-સુસંગત આવરણની (અમર્યાદિત) વ્યુત્પન્ન શ્રેણીઓ વચ્ચેના ફંકટર તરીકે યોગ્ય વ્યુત્પન્ન ફંકટર હોય છે. આ પરિસ્થિતિમાં, હંમેશા યોગ્ય સંલગ્ન સ્વીકારે છે. આ નજીકથી સંબંધિત છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે અસાધારણ ઇન્વર્સ ઇમેજ ફંકટરની સમકક્ષ નથી, સિવાય કે તે પણ યોગ્ય હોય. યોગ્ય આધાર પરિવર્તન પ્રમેય સંદર્ભો, ખાસ કરીને જુઓ. વિભાગ II. 4 શીફ સિદ્ધાંત સતત કાર્યોનો સિદ્ધાંત