Order dimension
ગણિતમાં, આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ (પોસેટ) નું પરિમાણ એ કુલ ક્રમની સૌથી નાની સંખ્યા છે જેનું આંતરછેદ આંશિક ક્રમને જન્મ આપે છે. આ ખ્યાલને કેટલીકવાર ક્રમ પરિમાણ અથવા આંશિક ક્રમનું દુશનિક-મિલર પરિમાણ પણ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ અભ્યાસ કરેલ ક્રમ પરિમાણ; અહીં આપેલા કરતાં આ વિષયની વધુ વિગતવાર સારવાર માટે, જુઓ. ઔપચારિક વ્યાખ્યા મર્યાદિત સ્થિતિ P નું પરિમાણ એ સૌથી નાનો પૂર્ણાંક t છે, જેના માટે P ના રેખીય વિસ્તરણોનો પરિવાર અસ્તિત્વમાં છે, જેથી P માં દરેક x અને y માટે, x એ P માં y થી આગળ હોય, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે તમામ રેખીય વિસ્તરણમાં y થી આગળ હોય. એટલે કે, ક્રમ પરિમાણની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા એ કુલ ઓર્ડરની ન્યૂનતમ સંખ્યા છે જેમ કે પી તેમના ઉત્પાદનમાં ઘટક મુજબના ક્રમ સાથે એમ્બેડ કરે છે. જો અને માત્ર જો બધા માટે i (,). જો એમ કહી શકાય કે X માં કોઈપણ x અને y માટે, x <Py ચોક્કસપણે જ્યારે x <1y, x <2y,., અને x <ty હોય, તો X પર રેખીય ક્રમના કુટુંબને સ્થિતિ P = (X, <P) નું અનુભૂતિકર્તા કહેવામાં આવે છે. આમ, પોસેટ P ની સમકક્ષ વ્યાખ્યા "P ની વાસ્તવિકતાની લઘુતમ મુખ્યતા" છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે રેખીય વિસ્તરણોનું કોઈપણ બિન-ખાલી કુટુંબ R એ મર્યાદિત આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ P નું વાસ્તવિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ, P ની દરેક નિર્ણાયક જોડી (x, y) માટે, y <ix R માં કોઈ ક્રમ માટે <i. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો n એ હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોઈએ, અને P એ તત્વ i અને b (1 ≤ i ≤ n માટે) પર આંશિક ક્રમ હોઈ શકે જેમાં જ્યારે પણ i ≤ bj હોય, પરંતુ અન્ય કોઈ જોડી તુલનાત્મક ન હોય. ખાસ કરીને, AI અને Bi એ P માં અજોડ છે; P ને ક્રાઉન ગ્રાફના લક્ષી સ્વરૂપ તરીકે જોઈ શકાય છે. આ ચિત્ર n = 4 માટે આ પ્રકારનો ક્રમ દર્શાવે છે. પછી, દરેક i માટે, કોઈપણ રિયલાઇઝરમાં એક રેખીય ક્રમ હોવો આવશ્યક છે જે એઆઇ (અમુક ક્રમમાં) સિવાયના તમામ એજે સાથે શરૂ થાય છે, પછી બીઆઇ, પછી એઆઇનો સમાવેશ કરે છે, અને બાકીના તમામ બીજે સાથે સમાપ્ત થાય છે. આનું કારણ એ છે કે જો ત્યાં કોઈ રિયલાઇઝર હોય જેમાં આવા ક્રમનો સમાવેશ થતો ન હોય, તો તે રિયલાઇઝરના ઓર્ડરના આંતરછેદમાં એઆઇ પૂર્વવર્તી બાય હશે, જે પી માં એઆઇ અને બાયની અસંગતતા સાથે વિરોધાભાસી હશે. અને તેનાથી વિપરીત, રેખીય ઓર્ડરના કોઈપણ પરિવાર કે જેમાં દરેક માટે આ પ્રકારનો એક ક્રમ શામેલ છે, તેમાં તેના આંતરછેદ તરીકે પી છે. આમ, P નું પરિમાણ બરાબર n છે. હકીકતમાં, P એ પરિમાણ n ની સ્થિતિનું પ્રમાણભૂત ઉદાહરણ તરીકે ઓળખાય છે, અને તેને સામાન્ય રીતે Sn દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ક્રમ પરિમાણ બે ક્રમ પરિમાણ બે સાથેના આંશિક ક્રમને આંશિક ક્રમ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જેની તુલનાત્મક ગ્રાફ એ અલગ આંશિક ક્રમના તુલનાત્મક ગ્રાફનું પૂરક છે. એટલે કે, P એ ક્રમ પરિમાણ બે સાથેનો આંશિક ક્રમ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તત્વોના સમાન સમૂહ પર આંશિક ક્રમ Q અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે અલગ-અલગ તત્વોની દરેક જોડી x, y આ બે આંશિક ક્રમમાંથી બરાબર એકમાં તુલનાત્મક હોય. જો P ને બે રેખીય વિસ્તરણ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે, તો પછી P ના પૂરક આંશિક ક્રમ Q ને બે રેખીય વિસ્તરણમાંથી એકને ઉલટાવીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. તેથી, પરિમાણ બે ના આંશિક ક્રમના તુલનાત્મક આલેખ બરાબર ક્રમચય આલેખ છે, આલેખ જે પોતે તુલનાત્મક આલેખ છે અને તુલનાત્મક આલેખના પૂરક છે. ક્રમ પરિમાણ બે ના આંશિક ક્રમમાં શ્રેણી-સમાંતર આંશિક ક્રમનો સમાવેશ થાય છે. તેઓ બરાબર આંશિક ક્રમ છે જેમના હાસ્સ આકૃતિઓમાં પ્રભુત્વ રેખાંકનો હોય છે, જે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે વાસ્તવિકતાના બે ક્રમચયોમાં સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા બહુપદી સમયમાં નક્કી કરવું શક્ય છે કે આપેલ મર્યાદિત આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહમાં મહત્તમ બે ક્રમ પરિમાણો છે કે કેમ, ઉદાહરણ તરીકે, આંશિક ક્રમનો તુલનાત્મક ગ્રાફ ક્રમચય આલેખ છે કે કેમ તે ચકાસીને. જો કે, કોઈપણ k ≤ 3 માટે, ક્રમ પરિમાણ મહત્તમ k છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે તે NP-પૂર્ણ છે. આલેખની ઘટના સ્થિતિ કોઈપણ દિશાહીન આલેખ G ની ઘટના સ્થિતિ તેના ઘટકો તરીકે G ના શિરોબિંદુઓ અને ધાર ધરાવે છે; આ સ્થિતિમાં, x ≤ y જો x = y અથવા x એક શિરોબિંદુ હોય, તો y એક ધાર છે, અને x એ y નો અંતિમ બિંદુ છે. અમુક પ્રકારના આલેખને તેમની ઘટના સ્થિતિના ક્રમ પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છેઃ આલેખ એ માર્ગ આલેખ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની ઘટના સ્થિતિના ક્રમ પરિમાણ મહત્તમ બે હોય, અને શ્નાઇડરના પ્રમેય અનુસાર તે એક સમતલીય આલેખ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની ઘટના સ્થિતિના ક્રમ પરિમાણ મહત્તમ ત્રણ હોય. n શિરોબિંદુઓ પરના સંપૂર્ણ આલેખ માટે, આપતન સ્થિતિનું ક્રમ પરિમાણ છે. તે અનુસરે છે કે તમામ સરળ એન-વર્ટેક્સ આલેખમાં ક્રમ પરિમાણ સાથે આપતનાં સ્થાનો હોય છે. k-પરિમાણ અને 2-પરિમાણ પરિમાણનું સામાન્યીકરણ એ k-પરિમાણ (લેખિત) ની કલ્પના છે જે મહત્તમ k પર લંબાઈની સાંકળોની ન્યૂનતમ સંખ્યા છે, જેના ગુણાકારમાં આંશિક ક્રમને સમાવી શકાય છે. ખાસ કરીને, ઓર્ડરના 2-પરિમાણને સૌથી નાના સમૂહના કદ તરીકે જોઈ શકાય છે જેમ કે ઓર્ડર આ સમૂહ પર સમાવેશ ક્રમમાં એમ્બેડ કરે છે. અંતરાલ પરિમાણ સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . . . . . . ક્રમ સિદ્ધાંત પરિમાણ સિદ્ધાંત