Point-biserial correlation coefficient
બિંદુ દ્વિસંગી સહસંબંધ ગુણાંક (આર. પી. બી.) એ સહસંબંધ ગુણાંક છે જેનો ઉપયોગ જ્યારે એક ચલ (દા. ત.) હોય ત્યારે થાય છે. વાય) દ્વિગુણિત છે; વાય કાં તો "કુદરતી રીતે" દ્વિગુણિત હોઈ શકે છે, જેમ કે કોઈ સિક્કાના માથા અથવા પૂંછડીઓ, અથવા કૃત્રિમ રીતે દ્વિગુણિત ચલ. મોટાભાગની પરિસ્થિતિઓમાં ચલને કૃત્રિમ રીતે દ્વિભાજન કરવાની સલાહ આપવામાં આવતી નથી. જ્યારે નવા ચલને કૃત્રિમ રીતે દ્વિભાજન કરવામાં આવે છે ત્યારે નવા દ્વિભાજન ચલને અંતર્ગત સાતત્ય તરીકે કલ્પના કરી શકાય છે. જો આ કિસ્સો હોય, તો દ્વિસંગી સહસંબંધ વધુ યોગ્ય ગણતરી હશે. બિંદુ-દ્વિસંગી સહસંબંધ ગાણિતિક રીતે પીઅર્સન (ઉત્પાદન ક્ષણ) સહસંબંધની સમકક્ષ છે; એટલે કે, જો આપણી પાસે સતત માપવામાં આવેલ ચલ X અને દ્વિસંગી ચલ Y હોય, તો rXY = rpb. આ દ્વિવિધ ચલને બે અલગ-અલગ આંકડાકીય મૂલ્યો સોંપીને દર્શાવી શકાય છે. ગણતરી rpb ની ગણતરી કરવા માટે, ધારો કે દ્વિગુણિત ચલ Y ની બે કિંમતો 0 અને 1 છે. જો આપણે ડેટાને બે જૂથોમાં વહેંચીએ, જૂથ 1 કે જેણે Y પર "1" મૂલ્ય પ્રાપ્ત કર્યું અને જૂથ 2 કે જેણે Y પર "0" મૂલ્ય પ્રાપ્ત કર્યું, તો પછી બિંદુ-દ્વિપાર્શ્વીય સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી નીચે મુજબ કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં જનસંખ્યાના દરેક સભ્ય માટે ડેટા ઉપલબ્ધ હોય ત્યારે એસ. એન. એ પ્રમાણભૂત વિચલન છેઃ એમ 1 એ જૂથ 1 માં તમામ ડેટા બિંદુઓ માટે સતત ચલ X પરનું સરેરાશ મૂલ્ય છે, અને એમ 0 એ જૂથ 2 માં તમામ ડેટા બિંદુઓ માટે સતત ચલ X પરનું સરેરાશ મૂલ્ય છે. વધુમાં, n1 એ જૂથ 1 માં ડેટા બિંદુઓની સંખ્યા છે, n0 એ જૂથ 2 માં ડેટા બિંદુઓની સંખ્યા છે અને n એ કુલ નમૂનાનું કદ છે. આ સૂત્ર એક કોમ્પ્યુટેશનલ સૂત્ર છે જે ગણતરીમાં પગલાં ઘટાડવા માટે rXY માટેના સૂત્રમાંથી લેવામાં આવ્યું છે; rXY કરતાં ગણતરી કરવી સરળ છે. એક સમકક્ષ સૂત્ર છે જે એસ. એન.-1 નો ઉપયોગ કરે છેઃ જ્યાં એસ. એન.-1 એ પ્રમાણભૂત વિચલન છે જેનો ઉપયોગ જ્યારે માહિતી માત્ર વસ્તીના નમૂના માટે ઉપલબ્ધ હોય ત્યારે થાય છેઃ એસ. એન.-1 નો ઉપયોગ કરીને સૂત્રનું સંસ્કરણ ઉપયોગી છે જો કોઈ પ્રોગ્રામિંગ ભાષામાં અથવા અન્ય વિકાસ વાતાવરણમાં બિંદુ-દ્વિસંગી સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરી રહ્યું હોય જ્યાં એસ. એન.-1 ની ગણતરી માટે કોઈ કાર્ય ઉપલબ્ધ હોય, પરંતુ એસ. એન. ની ગણતરી માટે કોઈ કાર્ય ઉપલબ્ધ ન હોય. ગ્લાસ અને હોપકિન્સના પુસ્તક સ્ટેટિસ્ટિકલ મેથડ્સ ઇન એજ્યુકેશન એન્ડ સાયકોલોજી (ત્રીજી આવૃત્તિ) માં બિંદુ દ્વિસંગી સૂત્રનું સાચું સંસ્કરણ છે. બિંદુ દ્વિસંગી સહસંબંધ ગુણાંકનો વર્ગ પણ લખી શકાય છેઃ આપણે નલ પૂર્વધારણાને ચકાસી શકીએ છીએ કે વસ્તીમાં સહસંબંધ શૂન્ય છે. થોડું બીજગણિત દર્શાવે છે કે સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર, જ્યારે rpb પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે જોડી વગરના t-પરીક્ષણ માટેના સૂત્ર જેવું જ હોય છે અને તેથી વિદ્યાર્થીના t-વિતરણને (n1 + n0−2) ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સાથે અનુસરે છે જ્યારે નલ પૂર્વધારણા સાચી હોય છે. બિંદુ દ્વિસંગી ગુણાંકનો એક ગેરલાભ એ છે કે Yનું વિતરણ જેટલું આગળ 50/50 થી હશે, તેટલું જ ગુણાંક લઈ શકે તેવા મૂલ્યોની શ્રેણી વધુ મર્યાદિત હશે. જો X ને સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલ હોવાનું માની શકાય, તો વધુ સારી વર્ણનાત્મક અનુક્રમણિકા દ્વિસંગી ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં u એ શૂન્ય સરેરાશ અને એકમ ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણનું ક્રમિક બિંદુ છે જે વિતરણને n0/n અને n1/n પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે. આની ગણતરી કરવી સરળ નથી, અને વ્યવહારમાં દ્વિસરીય ગુણાંકનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થતો નથી. દ્વિસંગી સહસંબંધનો ચોક્કસ કેસ ત્યારે થાય છે જ્યારે X એ સંખ્યાબંધ દ્વિસંગી ચલોનો સરવાળો હોય છે, જેમાંથી Y એક હોય છે. આનું એક ઉદાહરણ એ છે કે જ્યાં X એ n દ્વિગુણિત રીતે મેળવેલી વસ્તુઓની બનેલી કસોટી પર વ્યક્તિનો કુલ સ્કોર છે. વ્યાજનું આંકડાકીય (જે ભેદભાવ સૂચકાંક છે) એ આપેલ વસ્તુના પ્રતિભાવો અને અનુરૂપ કુલ પરીક્ષણ સ્કોર્સ વચ્ચેનો સહસંબંધ છે. વ્યાપક ઉપયોગમાં ત્રણ ગણતરીઓ છે, જેને બિંદુ-દ્વિસંગી સહસંબંધ કહેવામાં આવે છેઃ (i) વસ્તુના સ્કોર્સ અને વસ્તુના સ્કોર્સ સહિત કુલ પરીક્ષણ સ્કોર્સ વચ્ચે પીઅર્સન સહસંબંધ, (ii) વસ્તુના સ્કોર્સ અને વસ્તુના સ્કોર્સને બાદ કરતાં કુલ પરીક્ષણ સ્કોર્સ વચ્ચે પીઅર્સન સહસંબંધ, અને (iii) પરીક્ષણના સ્કોર્સમાં વસ્તુના સ્કોર્સના સમાવેશને કારણે થતા પૂર્વગ્રહ માટે સમાયોજિત સહસંબંધ. સહસંબંધ (iii) એ બિંદુ દ્વિસંગી ગુણાંકનું થોડું અલગ સંસ્કરણ છે જે ક્રમ દ્વિસંગી છે જે ત્યાં થાય છે જ્યાં ચલ X માં ક્રમ હોય છે જ્યારે Y દ્વિસંગી હોય છે. આપણે ગુણાંકની ગણતરી એ જ રીતે કરી શકીએ છીએ કે જ્યાં X સતત છે પરંતુ તેમાં એ જ ગેરલાભ હશે કે તે જે મૂલ્યો પર લઈ શકે છે તે શ્રેણી વધુ મર્યાદિત બની જાય છે કારણ કે Y નું વિતરણ વધુ અસમાન બને છે. આને પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે નોંધ્યું છે કે ગુણાંકનું તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય હશે જ્યાં સૌથી નાનો ક્રમ 0 ની વિરુદ્ધમાં હોય છે અને સૌથી મોટો ક્રમ 1 ની વિરુદ્ધમાં હોય છે. તેનું સૌથી નાનું મૂલ્ય ત્યાં થાય છે જ્યાં વિપરીત કેસ હોય છે. આ મૂલ્યો અનુક્રમે વત્તા અને ઓછા (n1 + n0)/2 છે. તેથી આપણે આ મૂલ્યના પારસ્પરિક મૂલ્યનો ઉપયોગ અવલોકન કરેલ સરેરાશ રેન્ક અને વત્તા એકથી ઓછા એક સુધીના અંતરાલ વચ્ચેના તફાવતને ફરીથી મૂલ્યાંકન કરવા માટે કરી શકીએ છીએ. પરિણામ એ છે કે જ્યાં એમ 1 અને એમ 0 અનુક્રમે દ્વિવિધ ચલનાં 1 અને 0 ગુણાંકને અનુરૂપ ક્રમના માધ્યમ છે. આ સૂત્ર, જે કરારો અને વ્યુત્ક્રમોની ગણતરીમાંથી ગણતરીને સરળ બનાવે છે, તે જીન વી ગ્લાસ (1966) ને કારણે છે. જેનો નમૂનો લેવામાં આવ્યો હતો તે વસ્તીમાં શૂન્ય સહસંબંધની નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે આનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. જો rrb ની ગણતરી ઉપર મુજબ કરવામાં આવે તો જ્યારે નલ પૂર્વધારણા સાચી હોય ત્યારે નાના અને નમૂનાના કદ n1 અને n0 સાથે માન-વ્હિટની U તરીકે વહેંચવામાં આવે છે. નોંધો મેકકલમ, રોબર્ટ સી., વગેરે. 2002. માત્રાત્મક ચલોના દ્વિભાજનની પ્રથા પર. મનોવૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિઓ 7 (1): 19-40. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ બિંદુ દ્વિસંગી ગુણાંક (કીથ કાલ્કિન્સ, 2005) સહસંબંધ સૂચકાંકો