Product measure
ગણિતમાં, બે માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ અને તેમના પર માપ આપવામાં આવે તો, તે જગ્યા પર ઉત્પાદન માપી શકાય તેવી જગ્યા અને ઉત્પાદન માપ મેળવી શકાય છે. વૈચારિક રીતે, આ સમૂહોના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન અને બે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના ઉત્પાદન ટોપોલોજીને વ્યાખ્યાયિત કરવા જેવું જ છે, સિવાય કે ઉત્પાદન માપ માટે ઘણી કુદરતી પસંદગીઓ હોઈ શકે છે. ચાલો અને બે માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ, એટલે કે, અને અનુક્રમે સિગ્મા આલ્જેબ્રા છે, અને આ જગ્યાઓ પર માપવા દો. ફોર્મના સબસેટ દ્વારા પેદા થયેલ કાર્ટેશિયન પ્રોડક્ટ પર સિગ્મા બીજગણિત દ્વારા દર્શાવો, જ્યાં અને આ સિગ્મા બીજગણિતને પ્રોડક્ટ સ્પેસ પર ટેન્સર-પ્રોડક્ટ σ-બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. ઉત્પાદન માપ (ઘણા લેખકો દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે) ને બધા માટે મિલકતને સંતોષતા માપી શકાય તેવી જગ્યા પરના માપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (ગુણાકાર માપમાં, જેમાંથી કેટલાક અનંત છે, જો કોઈ પરિબળ શૂન્ય હોય તો આપણે ગુણાકારને શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.) હકીકતમાં, જ્યારે જગ્યાઓ-અનંત હોય છે, ત્યારે ઉત્પાદન માપ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને દરેક માપી શકાય તેવા સમૂહ E માટે, જ્યાં અને, જે બંને માપી શકાય તેવા સમૂહ છે. આ માપના અસ્તિત્વની ખાતરી હાન-કોલ્મોગોરોવ પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવી છે. ઉત્પાદન માપની વિશિષ્ટતાની બાંયધરી માત્ર ત્યારે જ આપવામાં આવે છે જ્યારે બંને અને σ-અનંત હોય. યુક્લિડિયન અવકાશ આરએન પર બોરેલ માપ વાસ્તવિક રેખા આર પર બોરેલ માપની એન નકલોના ઉત્પાદન તરીકે મેળવી શકાય છે. જો ઉત્પાદન જગ્યાના બે પરિબળો સંપૂર્ણ માપ જગ્યાઓ હોય, તો પણ ઉત્પાદન જગ્યા ન પણ હોઈ શકે. પરિણામે, બોરેલ માપને લેબસ્ગ્યુ માપમાં વિસ્તારવા માટે, અથવા ઉત્પાદનની જગ્યા પર લેબસ્ગ્યુ માપ આપવા માટે બે લેબસ્ગ્યુ પગલાંના ઉત્પાદનને વિસ્તારવા માટે પૂર્ણ કરવાની પ્રક્રિયા જરૂરી છે. બે માપના ઉત્પાદનની રચનાની વિરુદ્ધ રચના વિઘટન છે, જે અમુક અર્થમાં આપેલ માપને માપના પરિવારમાં "વિભાજિત કરે છે" જેને મૂળ માપ આપવા માટે એકીકૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણો બે માપ જગ્યાઓ આપવામાં આવે છે, તેમના ઉત્પાદન પર હંમેશા એક અનન્ય મહત્તમ ઉત્પાદન માપ હોય છે, જેમાં એ ગુણધર્મ હોય છે કે જો કેટલાક માપી શકાય તેવા સમૂહ એ માટે મહત્તમ (એ) મર્યાદિત હોય, તો કોઈપણ ઉત્પાદન માપ માટે મહત્તમ (એ) = મહત્તમ (એ). ખાસ કરીને કોઈપણ માપી શકાય તેવા સમૂહ પર તેનું મૂલ્ય ઓછામાં ઓછું અન્ય કોઈપણ ઉત્પાદન માપનું હોય છે. આ કેરાથિઓડોરી એક્સ્ટેંશન થીયરમ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ માપ છે. કેટલીકવાર એક અનન્ય ન્યૂનતમ ઉત્પાદન માપ પણ હોય છે, જે માઇક્રોમિન (એસ) = સુપરએએસ, માઇક્રોમૅક્સ (એ) મર્યાદિત માઇક્રોમૅક્સ (એ) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં એ અને એસને માપી શકાય તેવું માનવામાં આવે છે. અહીં એક ઉદાહરણ છે જ્યાં ઉત્પાદનમાં એક કરતાં વધુ ઉત્પાદન માપ હોય છે. ઉત્પાદન X × Y લો, જ્યાં X એ લેબસ્ગ્યુ માપ સાથેનો એકમ અંતરાલ છે, અને Y એ ગણતરી માપ સાથેનો એકમ અંતરાલ છે અને બધા સમૂહો માપી શકાય તેવા છે. પછી ન્યૂનતમ ઉત્પાદન માપ માટે સમૂહનું માપ તેના આડા વિભાગોના માપનો સરવાળો છે, જ્યારે મહત્તમ ઉત્પાદન માપ માટે સમૂહ અનંતને માપે છે સિવાય કે તે A × B સ્વરૂપના ગણતરીપાત્ર સંખ્યાના સમૂહના જોડાણમાં સમાયેલ હોય, જ્યાં ક્યાં તો A પાસે લેબસ્ગ્યુ માપ 0 હોય અથવા B એ એક બિંદુ હોય. (આ કિસ્સામાં માપ મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે.) ખાસ કરીને, કર્ણમાં ન્યૂનતમ ઉત્પાદન માપ માટે માપ 0 હોય છે અને મહત્તમ ઉત્પાદન માપ માટે અનંત માપવામાં આવે છે. ફુબિનીનો પ્રમેય સંદર્ભો માપ (માપ સિદ્ધાંત) સંકલન કલન પણ જુઓ.