Enriques surface
ગણિતમાં, એનરિક સપાટીઓ બીજગણિત સપાટીઓ છે જેમ કે અનિયમિતતા q = 0 અને કેનોનિકલ રેખા બંડલ K બિન-તુચ્છ છે પરંતુ તેમાં તુચ્છ વર્ગ છે. એનરિક સપાટીઓ બધી પ્રક્ષેપાત્મક હોય છે (અને તેથી જટિલ સંખ્યાઓ પર કેલર) અને જીનસ 0 ની લંબગોળ સપાટીઓ હોય છે. લાક્ષણિકતા 2 નહીં તેવા ક્ષેત્રો પર તેઓ નિશ્ચિત બિંદુઓ વિના કામ કરતા ક્રમ 2 ના જૂથ દ્વારા K3 સપાટીઓના ભાગાકાર છે અને તેમનો સિદ્ધાંત બીજગણિત K3 સપાટીઓ જેવો જ છે. એનરિક સપાટીઓનો સૌપ્રથમ વિગતવાર અભ્યાસ એ પ્રશ્નના જવાબ તરીકે કરવામાં આવ્યો હતો કે શું q = pg = 0 સાથેની સપાટી આવશ્યકપણે તર્કસંગત છે કે કેમ, જો કે અગાઉ એનરિક સપાટીઓના ઉદાહરણો દ્વારા રજૂ કરાયેલ કેટલાક રેય એકરૂપતાઓ પણ એનરિક સપાટીઓના ઉદાહરણો છે. એનરિક સપાટીઓને અન્ય ક્ષેત્રો પર પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. 2 સિવાયના લાક્ષણિકતાઓના ક્ષેત્રો પર, દર્શાવ્યું કે સિદ્ધાંત જટિલ સંખ્યાઓ પર સમાન છે. લાક્ષણિકતા 2 ના ક્ષેત્રો પર વ્યાખ્યામાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છે, અને ત્યાં બે નવા પરિવારો છે, જેને એકવચન અને સુપરસિંગ્યુલર એનરિક સપાટીઓ કહેવાય છે, જે દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ બે વધારાના પરિવારો લાક્ષણિકતા 2 માં ક્રમ 2 ની બે બિન-અલગ બીજગણિત જૂથ યોજનાઓ સાથે સંબંધિત છે. જટિલ એનરિક સપાટીઓના પરિવર્તનો જો n સમ હોય તો પ્લુરિજેના Pn 1 અને જો n વિષમ હોય તો 0 છે. મૂળભૂત જૂથમાં ક્રમ 2 છે. બીજું કોહોમોલોજી જૂથ H2 (X, Z) એ પરિમાણ 10 અને સહી-8 અને ક્રમ 2 ના જૂથના અનન્ય સમાન એકરૂપ જાળી II1,9 ના સરવાળા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. હોજ ડાયમંડઃ ચિહ્નિત એનરિક સપાટીઓ જોડાયેલ 10-પરિમાણીય કુટુંબ બનાવે છે, જે દર્શાવે છે કે તે તર્કસંગત છે. લાક્ષણિકતા 2 લાક્ષણિકતા 2 માં એનરિક સપાટીઓના કેટલાક નવા પરિવારો છે, જેને કેટલીકવાર અર્ધ એનરિક સપાટીઓ અથવા બિન-શાસ્ત્રીય એનરિક સપાટીઓ અથવા (સુપર) એકવચન એનરિક સપાટીઓ કહેવામાં આવે છે. ("એકવચન" શબ્દનો અર્થ એ નથી કે સપાટીમાં એકત્વ છે, પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે સપાટી કોઈક રીતે "વિશેષ" છે.) લાક્ષણિકતા 2 માં એનરિક સપાટીઓની વ્યાખ્યામાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છેઃ તેમને ન્યૂનતમ સપાટીઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમનો કેનોનિકલ વર્ગ K આંકડાકીય રીતે 0 ની સમકક્ષ હોય છે અને જેની બીજી બેટ્ટી સંખ્યા 10 હોય છે. (2 સિવાયની લાક્ષણિકતાઓમાં આ સામાન્ય વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે.) હવે એનરિક સપાટીઓના 3 પરિવારો છેઃ શાસ્ત્રીયઃ મંદ (H1 (O)) = 0. આ સૂચવે છે કે 2K = 0 પરંતુ K બિન-શૂન્ય છે, અને પિકટી ઝેડ/2ઝેડ છે. સપાટી એ જૂથ યોજના μ2 દ્વારા ઘટાડેલી એકવચન ગોરેનસ્ટીન સપાટીનો ભાગાકાર છે. એકમુખીઃ મંદ (H1 (O)) = 1 અને ફ્રોબેનિયસ એન્ડોમોર્ફિઝમ દ્વારા બિન-તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે. આ સૂચવે છે કે K = 0, અને પિકટો એ μ2 છે. આ સપાટી એ જૂથ યોજના Z/2Z દ્વારા K3 સપાટીનો ભાગાકાર છે. સુપરસિંગ્યુલરઃ મંદ (H1 (O)) = 1 અને ફ્રોબેનિયસ એન્ડોમોર્ફિઝમ દ્વારા તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે. આ સૂચવે છે કે K = 0, અને પિકટો એ α2 છે. સપાટી એ જૂથ યોજના α2 દ્વારા ઘટાડેલી એકવચન ગોરેનસ્ટીન સપાટીનો ભાગાકાર છે. તમામ એનરિક સપાટીઓ લંબગોળ અથવા અર્ધ લંબગોળ હોય છે. ઉદાહરણો રેયે એકરૂપતા એ પી 3 માં આપેલી ત્રિ-પરિમાણીય રેખીય પ્રણાલીના ઓછામાં ઓછા 2 ચતુર્ભુજમાં સમાવિષ્ટ રેખાઓનું કુટુંબ છે. જો રેખીય પ્રણાલી સામાન્ય હોય તો રેયે એકરૂપતા એ એનરિક સપાટી છે. આ દ્વારા મળી આવ્યા હતા, અને એનરિક સપાટીઓના પ્રારંભિક ઉદાહરણો હોઈ શકે છે. ત્રિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યામાં ડિગ્રી 6ની સપાટીને ટેટ્રાહેડ્રોનની કિનારીઓ સાથે બેવડી રેખાઓ સાથે લો, જેમ કે ડિગ્રી 2ની કેટલીક સામાન્ય સજાતીય બહુપદી Q માટે. પછી તેનું સામાન્યીકરણ એનરિક સપાટી છે. આ દ્વારા મળેલા ઉદાહરણોનો પરિવાર છે. નિશ્ચિત બિંદુ મુક્ત આક્રમણ દ્વારા K3 સપાટીનો ભાગાકાર એનરિક સપાટી છે, અને 2 સિવાયની લાક્ષણિકતામાં તમામ એનરિક સપાટીઓ આ રીતે બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો S એ K3 સપાટી w4 + x4 + y4 + z4 = 0 હોય અને T એ ક્રમ 4 ઓટોમોર્ફિઝમ (w, x, y, z) થી (w, ix,-y,-iz) લે છે, તો T2 પાસે આઠ નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. આ આઠ બિંદુઓને ઉડાડીને અને T2 દ્વારા ભાગાકાર લેવાથી નિશ્ચિત-બિંદુ-મુક્ત ઇન્વોલ્યુશન T સાથે K3 સપાટી મળે છે, અને T દ્વારા આનો ભાગાકાર એનરિક સપાટી છે. વૈકલ્પિક રીતે, એનરિક સપાટીનું નિર્માણ 4 ઓટોમોર્ફિઝમ ટી ક્રમ દ્વારા મૂળ સપાટીના ભાગાકારને લઈને અને ભાગાકારના આઠ એકવચન બિંદુઓને ઉકેલીને કરી શકાય છે. બીજું ઉદાહરણ પી. આઈ. (યુ, વી, ડબલ્યુ) + ક્યૂ. આઈ. (એક્સ, વાય, ઝેડ) = 0 સ્વરૂપના 3 ચતુર્ભુજોના આંતરછેદને લઈને અને (યુઃ વીઃ ડબલ્યુઃ એક્સઃ વાયઃ ઝેડ) થી (-એક્સઃ-વાયઃ-ઝેડઃ યુઃ વીઃ ડબલ્યુ) ના અંતર્વેશન દ્વારા ભાગાકાર લઈને આપવામાં આવે છે. સામાન્ય ક્વાડ્રીક્સ માટે આ ઇન્વોલ્યુશન એ K3 સપાટીનું નિશ્ચિત-બિંદુ-મુક્ત ઇન્વોલ્યુશન છે તેથી ભાગાકાર એનરિક સપાટી છે. આ પણ જુઓ બીજગણિત સપાટીઓની યાદી એનરિકસ-કોડાઇરા વર્ગીકરણ સુપરસિંગ્યુલર વિવિધ સંદર્ભો કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સપાટીઓ વુલ્ફ પી. બાર્થ, ક્લાઉસ હુલેક, ક્રિસ એ. એમ. પીટર્સ, એન્ટોનિયસ વાન ડી વેન દ્વારા આ કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ સપાટીઓ માટેનું પ્રમાણભૂત સંદર્ભ પુસ્તક છે. જટિલ સપાટીઓ બાયરેશનલ ભૂમિતિ બીજગણિત સપાટીઓ