Maximum entropy thermodynamics
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, મહત્તમ એન્ટ્રોપી થર્મોડાયનેમિક્સ (બોલચાલની ભાષામાં, મેક્સએન્ટ થર્મોડાયનેમિક્સ) સંતુલન થર્મોડાયનેમિક્સ અને આંકડાકીય મિકેનિક્સને અનુમાન પ્રક્રિયાઓ તરીકે જુએ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, મેક્સએન્ટ શેનોન માહિતી સિદ્ધાંત, બાયેસિયન સંભાવના અને મહત્તમ એન્ટ્રોપીના સિદ્ધાંતમાં મૂળ ધરાવતી અનુમાન તકનીકોને લાગુ કરે છે. આ તકનીકો અપૂર્ણ અથવા અપૂરતી માહિતી (દા. ત., છબી પુનર્નિર્માણ, સંકેત પ્રક્રિયા, વર્ણપટ વિશ્લેષણ અને વિપરીત સમસ્યાઓ) થી આગાહીની જરૂર હોય તેવી કોઈપણ પરિસ્થિતિ સાથે સંબંધિત છે. મેક્સએન્ટ થર્મોડાયનેમિક્સની શરૂઆત 1957ની ફિઝિકલ રિવ્યૂમાં પ્રકાશિત એડવિન ટી. જેન્સના બે કાગળોથી થઈ હતી. મહત્તમ શેનોન એન્ટ્રોપી સેન્ટ્રલ ટુ મેક્સએન્ટ થીસીસ એ મહત્તમ એન્ટ્રોપીનો સિદ્ધાંત છે. તે કેટલાક અંશતઃ નિર્દિષ્ટ મોડેલ અને મોડેલ સંબંધિત કેટલાક નિર્દિષ્ટ ડેટાની માંગ કરે છે. તે મોડેલનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે પસંદગીના સંભાવના વિતરણને પસંદ કરે છે. આપેલ માહિતી સંભાવના વિતરણ વિશે "ચકાસી શકાય તેવી માહિતી" જણાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે ચોક્કસ અપેક્ષા મૂલ્યો, પરંતુ તે પોતાને અનન્ય રીતે નિર્ધારિત કરવા માટે પૂરતા નથી. સિદ્ધાંત જણાવે છે કે વ્યક્તિએ વિતરણને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ જે શેનોન માહિતી એન્ટ્રોપીને મહત્તમ કરે છે, આ ગિબ્સ અલ્ગોરિધમ તરીકે ઓળખાય છે, જે 1878 માં જે. વિલાર્ડ ગિબ્સ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જે સંતુલન પર થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમોના ગુણધર્મોની આગાહી કરવા માટે આંકડાકીય સમૂહની સ્થાપના કરે છે. તે સંતુલન પ્રણાલીઓના થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મોના આંકડાકીય યાંત્રિક વિશ્લેષણનો પાયાનો છે (વિભાજન કાર્ય જુઓ). આમ સંતુલન થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી એસટીએચ, દબાણ, કદ, તાપમાન વગેરેની સ્થિતિ કાર્ય અને મહત્તમ અનિશ્ચિતતા સાથે અનુમાનિત વિતરણ માટે માહિતી એન્ટ્રોપી વચ્ચે સીધો સંબંધ બનાવવામાં આવે છે, જે ફક્ત તે ચલની અપેક્ષા મૂલ્યો પર આધારિત છેઃ કે. બી., બોલ્ટઝમેન અચળાંક, અહીં કોઈ મૂળભૂત ભૌતિક મહત્વ ધરાવતો નથી, પરંતુ ક્લોસિયસ (1865) દ્વારા એન્ટ્રોપીની અગાઉની ઐતિહાસિક વ્યાખ્યા સાથે સુસંગતતા જાળવી રાખવા માટે જરૂરી છે (જુઓ બોલ્ટઝમેન અચળાંક). જો કે, મેક્સએન્ટ સ્કૂલ દલીલ કરે છે કે મેક્સએન્ટ અભિગમ એ આંકડાકીય અનુમાનની એક સામાન્ય તકનીક છે, જેની એપ્લિકેશનો તેનાથી ઘણી આગળ છે. તેથી તેનો ઉપયોગ મહત્તમ કરીને "સમયના સમયગાળા દરમિયાન" "માર્ગ" માટે વિતરણની આગાહી કરવા માટે પણ થઈ શકે છેઃ આ "માહિતી એન્ટ્રોપી" જરૂરી નથી કે થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી સાથે સરળ પત્રવ્યવહાર ધરાવે. પરંતુ તેનો ઉપયોગ નોનક્વિલિબ્રિયમ થર્મોડાયનેમિક પ્રણાલીઓની લાક્ષણિકતાઓની આગાહી કરવા માટે થઈ શકે છે કારણ કે તે સમય જતાં વિકસિત થાય છે. બિન-સંતુલન દૃશ્યો માટે, સ્થાનિક થર્મોડાયનેમિક સંતુલન ધારણ કરતા અંદાજમાં, મહત્તમ એન્ટ્રોપી અભિગમ સાથે, ઓન્સેજર પારસ્પરિક સંબંધો અને ગ્રીન-કુબો સંબંધો સીધા જ બહાર આવે છે. આ અભિગમ સંતુલનથી દૂરના દૃશ્યોના કેટલાક ખૂબ જ ખાસ કેસોના અભ્યાસ માટે એક સૈદ્ધાંતિક માળખું પણ બનાવે છે, જે એન્ટ્રોપી ઉત્પાદન વધઘટ પ્રમેયની વ્યુત્પત્તિને સીધી બનાવે છે. બિન-સંતુલન પ્રક્રિયાઓ માટે, જેમ કે મેક્રોસ્કોપિક વર્ણનો માટે છે, માઇક્રોસ્કોપિક આંકડાકીય યાંત્રિક ખાતાઓ માટે એન્ટ્રોપીની સામાન્ય વ્યાખ્યાનો પણ અભાવ છે. તકનીકી નોંધઃ લેખ વિભેદક એન્ટ્રોપીમાં ચર્ચા કરાયેલા કારણો માટે, શેનોન એન્ટ્રોપીની સરળ વ્યાખ્યા સતત સંભાવના વિતરણ કાર્યો સાથે રેન્ડમ ચલો માટે સીધી લાગુ પડતી નથી. તેના બદલે મહત્તમ કરવા માટે યોગ્ય જથ્થો "સંબંધિત માહિતી એન્ટ્રોપી" છે, એચસી એ કુલબેક-લીબલર વિચલનનું નકારાત્મક છે, અથવા p (x) થી m (x) ની ભેદભાવ માહિતી છે, જ્યાં m (x) એ ચલ (ઓ) માટે પૂર્વ અપરિવર્તનશીલ માપ છે. સંબંધિત એન્ટ્રોપી એચસી હંમેશા શૂન્ય કરતા ઓછી હોય છે, અને તેને એમ (એક્સ) ને બદલે પી (એક્સ) પર ફિક્સિંગ દ્વારા ગુમાવેલી અનિશ્ચિતતાના બિટ્સની સંખ્યા (નકારાત્મક) તરીકે વિચારી શકાય છે. શેનોન એન્ટ્રોપીથી વિપરીત, સંબંધિત એન્ટ્રોપી એચસી સતત x માટે મર્યાદિત અને સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત રહેવાનો ફાયદો ધરાવે છે, અને 1 થી 1 સંકલન પરિવર્તન હેઠળ અપરિવર્તનશીલ રહે છે. બે સમીકરણો અલગ સંભાવના વિતરણ માટે સુસંગત છે, જો કોઈ એવી ધારણા કરી શકે કે m (xi) એકસમાન છે-એટલે કે. સમાન એ-પ્રાયોરી સંભાવનાનો સિદ્ધાંત, જે આંકડાકીય થર્મોડાયનેમિક્સને આધાર આપે છે. મેક્સએન્ટ દ્રષ્ટિકોણના અનુયાયીઓ થર્મોડાયનેમિક્સના કેટલાક વૈચારિક/દાર્શનિક પ્રશ્નો પર સ્પષ્ટ સ્થિતિ લે છે. આ સ્થિતિ નીચે દર્શાવેલ છે. આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં સંભાવનાઓની પ્રકૃતિ જેન્સ (1985,2003, એટ પાસિમ) એ સંભાવનાના ખ્યાલની ચર્ચા કરી. મેક્સએન્ટ દૃષ્ટિકોણ અનુસાર, આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં સંભાવનાઓ બે પરિબળો દ્વારા સંયુક્ત રીતે નક્કી કરવામાં આવે છેઃ અંતર્ગત સ્થિતિ જગ્યા માટે અનુક્રમે નિર્દિષ્ટ ચોક્કસ નમૂનાઓ દ્વારા (દા. ત. લિઉવિલિયન ફેઝ સ્પેસ); અને અનુક્રમે સિસ્ટમના ચોક્કસ આંશિક વર્ણનો દ્વારા (મેક્સએન્ટ સંભાવના સોંપણીને મર્યાદિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી સિસ્ટમનું મેક્રોસ્કોપિક વર્ણન). સંભાવનાઓ એ અર્થમાં ઉદ્દેશ્યપૂર્ણ છે કે, આ ઇનપુટ્સને જોતાં, વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત સંભાવના વિતરણનું પરિણામ દરેક તર્કસંગત તપાસકર્તા માટે સમાન હશે, જે ચોક્કસ વ્યક્તિઓની વ્યક્તિલક્ષીતા અથવા મનસ્વી અભિપ્રાયથી સ્વતંત્ર હશે. સંભાવનાઓ એ અર્થમાં જ્ઞાનાત્મક છે કે તેઓ ચોક્કસ માહિતીની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે માહિતીમાંથી અનુમાનના ચોક્કસ અને ઉદ્દેશ્ય નિયમો દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, જે દરેક તર્કસંગત તપાસકર્તા માટે સમાન છે. અહીં જ્ઞાનાત્મક શબ્દ, જે ઉદ્દેશ્ય અને અવૈયક્તિક વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનનો સંદર્ભ આપે છે, દરેક બુદ્ધિગમ્ય તપાસકર્તા માટે સમાન છે, તેનો ઉપયોગ એ અર્થમાં થાય છે જે તેને અભિપ્રાય સાથે વિરોધાભાસી બનાવે છે, જે ચોક્કસ વ્યક્તિઓની વ્યક્તિલક્ષી અથવા મનસ્વી માન્યતાઓનો સંદર્ભ આપે છે; આ વિરોધાભાસ પ્લેટો અને એરિસ્ટોટલ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાયો હતો, અને આજે તે વિશ્વસનીય છે. જેન્સે આ સંદર્ભમાં 'વ્યક્તિલક્ષી' શબ્દનો પણ ઉપયોગ કર્યો હતો કારણ કે અન્ય લોકોએ આ સંદર્ભમાં તેનો ઉપયોગ કર્યો છે. તેમણે સ્વીકાર્યું કે એક અર્થમાં, જ્ઞાનની સ્થિતિનું એક વ્યક્તિલક્ષી પાસું હોય છે, કારણ કે તે વિચારને સંદર્ભિત કરે છે, જે એક માનસિક પ્રક્રિયા છે. પરંતુ તેમણે ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે મહત્તમ એન્ટ્રોપીનો સિદ્ધાંત માત્ર એવા વિચારને સંદર્ભિત કરે છે જે વિચારશીલ અને ઉદ્દેશ્યપૂર્ણ હોય, જે વિચારકના વ્યક્તિત્વથી સ્વતંત્ર હોય. સામાન્ય રીતે, ફિલોસોફિકલ દ્રષ્ટિકોણથી, 'વ્યક્તિલક્ષી' અને 'ઉદ્દેશ્ય' શબ્દો વિરોધાભાસી નથી; ઘણીવાર અસ્તિત્વમાં વ્યક્તિલક્ષી અને ઉદ્દેશ્ય બંને પાસાં હોય છે. જેન્સે કેટલાક લેખકોની ટીકાને સ્પષ્ટપણે નકારી કાઢી હતી કે, માત્ર એટલા માટે કે કોઈ એમ કહી શકે કે વિચારનું વ્યક્તિલક્ષી પાસું હોય છે, વિચાર આપમેળે બિન-ઉદ્દેશ્યપૂર્ણ હોય છે. તેમણે વૈજ્ઞાનિક તર્ક, વિજ્ઞાનના જ્ઞાનમીમાંસા માટેના આધાર તરીકે વ્યક્તિલક્ષીતાને સ્પષ્ટપણે નકારી કાઢી હતી; તેમણે જરૂરી હતું કે વૈજ્ઞાનિક તર્કનો સંપૂર્ણ અને કડક રીતે વસ્તુનિષ્ઠ આધાર હોય. તેમ છતાં, ટીકાકારો જેન્સ પર હુમલો કરવાનું ચાલુ રાખે છે, અને આક્ષેપ કરે છે કે તેમના વિચારો "વ્યક્તિલક્ષી" છે. એક લેખક ત્યાં સુધી જાય છે કે જેન્સના અભિગમને "અલ્ટ્રાસબ્જેક્ટિવિસ્ટ" તરીકે લેબલ કરે છે, અને "ભૌતિકશાસ્ત્રીઓમાં વ્યક્તિવાદ શબ્દ દ્વારા સર્જાયેલી ગભરાટ" નો ઉલ્લેખ કરે છે. સંભાવનાઓ ડેટામાં જ્ઞાનની માત્રા અને માહિતીનો અભાવ અને સિસ્ટમના વિશ્લેષકના મેક્રોસ્કોપિક વર્ણનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મોડેલ અને તે ડેટા અંતર્ગત વાસ્તવિકતાની પ્રકૃતિ વિશે શું કહે છે તે બંનેનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સંભાવનાઓની યોગ્યતા તેના પર નિર્ભર કરે છે કે શું નિર્દિષ્ટ મેક્રોસ્કોપિક મોડેલની મર્યાદાઓ પ્રાયોગિક રીતે પુનઃઉત્પાદિત કરી શકાય તેવી તમામ વર્તણૂકને પકડવા માટે પ્રણાલીનું પૂરતું સચોટ અને/અથવા સંપૂર્ણ વર્ણન છે કે કેમ. આની બાંયધરી આપી શકાતી નથી, એક પ્રાથમિકતા. આ કારણોસર મેક્સએન્ટના સમર્થકો પદ્ધતિને આગાહીયુક્ત આંકડાકીય મિકેનિક્સ પણ કહે છે. આગાહીઓ નિષ્ફળ થઈ શકે છે. પરંતુ જો તેઓ કરે, તો આ માહિતીપ્રદ છે, કારણ કે તે સિસ્ટમમાં પુનઃઉત્પાદનક્ષમ વર્તણૂકને પકડવા માટે જરૂરી નવા અવરોધોની હાજરીનો સંકેત આપે છે, જેને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી ન હતી. શું એન્ટ્રોપી "વાસ્તવિક" છે? થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી (સંતુલન પર) એ મોડેલ વર્ણનના સ્થિતિ ચલોનું કાર્ય છે. તેથી તે મોડેલના વર્ણનમાં અન્ય ચલની જેમ "વાસ્તવિક" છે. જો સંભાવના સોંપણીમાં મોડેલની મર્યાદાઓ "સારું" વર્ણન હોય, જેમાં પુનઃઉત્પાદનક્ષમ પ્રાયોગિક પરિણામોની આગાહી કરવા માટે જરૂરી તમામ માહિતી હોય, તો તેમાં શાસ્ત્રીય થર્મોડાયનેમિક્સમાંથી એન્ટ્રોપીને સંડોવતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આગાહી કરી શકાય તેવા તમામ પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે. તે હદ સુધી, મેક્સએન્ટ એસટીએચ એ ક્લાસિકલ થર્મોડાયનેમિક્સમાં એન્ટ્રોપી જેટલું જ "વાસ્તવિક" છે. અલબત્ત, વાસ્તવમાં સિસ્ટમની માત્ર એક જ વાસ્તવિક સ્થિતિ છે. એન્ટ્રોપી એ તે સ્થિતિનું સીધું કાર્ય નથી. તે માત્ર (વ્યક્તિલક્ષી રીતે પસંદ કરેલ) મેક્રોસ્કોપિક મોડેલ વર્ણન દ્વારા વાસ્તવિક સ્થિતિનું કાર્ય છે. શું એર્ગોડિક સિદ્ધાંત સુસંગત છે? ગિબ્સિયન એન્સેમ્બલ એક જ પ્રણાલી પર વારંવાર નહીં પણ વિવિધ પ્રણાલીઓ પર વારંવાર પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરવાની કલ્પનાને આદર્શ બનાવે છે. તેથી વીસમી સદીના પ્રથમ ભાગમાં લાંબા ગાળાની સરેરાશ અને એર્ગોડિક પૂર્વધારણા, તેમાં તીવ્ર રસ હોવા છતાં, સખત રીતે કહીએ તો તે સ્થિતિ માટે સંભાવના સોંપણી સાથે સંબંધિત નથી જેમાં સિસ્ટમ મળી શકે છે. જો કે, માપનના થોડા સમય પહેલા સિસ્ટમ ચોક્કસ રીતે તૈયાર કરવામાં આવી રહી છે તે વધારાની જાણકારી હોય તો આ બદલાય છે. પછી કોઈએ વિચારવું જોઈએ કે શું આ વધુ માહિતી આપે છે જે માપન સમયે હજુ પણ સુસંગત છે. સિસ્ટમના વિવિધ ગુણધર્મોનું 'ઝડપથી મિશ્રણ' કેવી રીતે થાય છે તે પ્રશ્ન ખૂબ જ રસપ્રદ બની જાય છે. સંયુક્ત પ્રણાલીની કેટલીક માત્રામાં સ્વતંત્રતા વિશેની માહિતી ખૂબ જ ઝડપથી બિનઉપયોગી બની શકે છે; પ્રણાલીના અન્ય ગુણધર્મો વિશેની માહિતી નોંધપાત્ર સમય માટે સુસંગત રહી શકે છે. જો બીજું કંઇ ન હોય તો, સિસ્ટમના મધ્યમ અને લાંબા ગાળાના સમયના સહસંબંધ ગુણધર્મો પોતાને પ્રયોગ માટે રસપ્રદ વિષયો છે. તેમની સચોટ આગાહી કરવામાં નિષ્ફળતા એ એક સારો સૂચક છે કે સંબંધિત મેક્રોસ્કોપિક રીતે નિર્ધારિત ભૌતિકશાસ્ત્ર મોડેલમાંથી ખૂટે છે. હેમિલ્ટોનિયન ડાયનેમિક્સ માટે લિઉવિલેના પ્રમેય અનુસાર, જેમ જેમ સિસ્ટમ વિકસિત થાય છે તેમ તેમ ફેઝ સ્પેસમાં બિંદુઓના વાદળનું અતિ-કદ સ્થિર રહે છે. તેથી, માહિતી એન્ટ્રોપી પણ સ્થિર રહેવી જોઈએ, જો આપણે મૂળ માહિતી પર શરત લગાવીએ, અને પછી તે દરેક માઇક્રોસ્ટેટ્સને સમયસર આગળ અનુસરીએઃ જો કે, જેમ જેમ સમય વિકસિત થાય છે, તેમ તેમ આપણી પાસેની પ્રારંભિક માહિતી ઓછી સીધી સુલભ બને છે. સિસ્ટમના મેક્રોસ્કોપિક વર્ણનમાં સરળતાથી સારાંશિત કરવાને બદલે, તે વ્યક્તિગત અણુઓની સ્થિતિ અને મોમેન્ટા વચ્ચેના ખૂબ જ સૂક્ષ્મ સહસંબંધો સાથે વધુને વધુ સંબંધિત છે. (બોલ્ટ્ઝમેનના એચ-પ્રમેય સાથે સરખામણી કરો.) સમાનરૂપે, તેનો અર્થ એ છે કે સમગ્ર સિસ્ટમ માટે સંભાવના વિતરણ, 6N-પરિમાણીય તબક્કાની જગ્યામાં, વધુને વધુ અનિયમિત બને છે, જે શક્યતાઓના પ્રારંભિક કડક રીતે વ્યાખ્યાયિત જથ્થાને બદલે લાંબી પાતળી આંગળીઓમાં ફેલાય છે. ક્લાસિકલ થર્મોડાયનેમિક્સ એ ધારણા પર બાંધવામાં આવ્યું છે કે એન્ટ્રોપી એ મેક્રોસ્કોપિક ચલોનું સ્થિતિ કાર્ય છે-એટલે કે, સિસ્ટમનો કોઈ પણ ઇતિહાસ મહત્વ ધરાવતો નથી, જેથી તે બધાને અવગણી શકાય. વિસ્તૃત, કુશળ, વિકસિત સંભાવના વિતરણ, જે હજુ પણ પ્રારંભિક શેનોન એન્ટ્રોપી STh (1) ધરાવે છે, તે સમય t2 પર અવલોકન કરાયેલા મેક્રોસ્કોપિક ચલોના અપેક્ષા મૂલ્યોને પુનઃઉત્પાદિત કરવું જોઈએ. જો કે તે હવે તે નવા મેક્રોસ્કોપિક વર્ણન માટે મહત્તમ એન્ટ્રોપી વિતરણ હોવું જરૂરી નથી. બીજી બાજુ, નવી થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી STh (2) નિશ્ચિતપણે બાંધકામ દ્વારા મહત્તમ એન્ટ્રોપી વિતરણને માપશે. તેથી, આપણે અપેક્ષા રાખીએ છીએઃ અમૂર્ત સ્તરે, આ પરિણામ સૂચવે છે કે સિસ્ટમ વિશે આપણી પાસે મૂળ માહિતી મેક્રોસ્કોપિક સ્તરે "હવે ઉપયોગી નથી". 6N-પરિમાણીય સંભાવના વિતરણના સ્તરે, આ પરિણામ બરછટ દાણાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે-એટલે કે, ખૂબ જ સૂક્ષ્મ-સ્કેલ વિગતોને સરળ બનાવીને માહિતીની ખોટ. દલીલ સાથે ચેતવણીઓ ઉપરોક્ત સાથે કેટલીક ચેતવણીઓ ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. 1. મેક્સએન્ટ સ્કૂલ અનુસાર તમામ આંકડાકીય યાંત્રિક પરિણામોની જેમ, થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપીમાં આ વધારો માત્ર એક આગાહી છે. તે ખાસ કરીને ધારે છે કે પ્રારંભિક મેક્રોસ્કોપિક વર્ણનમાં પછીની મેક્રોસ્કોપિક સ્થિતિની આગાહી કરવા માટે સંબંધિત તમામ માહિતી છે. આ કેસ ન પણ હોઈ શકે, ઉદાહરણ તરીકે જો પ્રારંભિક વર્ણન સિસ્ટમની તૈયારીના કેટલાક પાસાને પ્રતિબિંબિત કરવામાં નિષ્ફળ જાય જે પછીથી સુસંગત બને છે. તે કિસ્સામાં મેક્સએન્ટ આગાહીની "નિષ્ફળતા" આપણને કહે છે કે ત્યાં કંઈક વધુ છે જે સુસંગત છે જેને આપણે સિસ્ટમના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અવગણ્યું હશે. કેટલીકવાર એવું પણ સૂચવવામાં આવે છે કે ક્વોન્ટમ માપન, ખાસ કરીને ડિકોહરન્સ અર્થઘટનમાં, આ દલીલ મુજબ એન્ટ્રોપીમાં દેખીતી રીતે અણધારી ઘટાડો આપી શકે છે, કારણ કે તેમાં મેક્રોસ્કોપિક માહિતી ઉપલબ્ધ થતી હોય તેવું લાગે છે જે અગાઉ અપ્રાપ્ય હતી. (જો કે, ક્વોન્ટમ માપનનું એન્ટ્રોપી એકાઉન્ટિંગ મુશ્કેલ છે, કારણ કે સંપૂર્ણ વિસંગતતા મેળવવા માટે કોઈ વ્યક્તિ અનંત એન્ટ્રોપી સાથે અનંત વાતાવરણ ધારણ કરી શકે છે). 2. અત્યાર સુધીની દલીલ વધઘટના પ્રશ્ન પર ઝાંખી પડી ગઈ છે. તેણે એ પણ સ્પષ્ટ રીતે ધાર્યું છે કે સમય t1 પર t2 પર ચલ માટે આગાહી કરવામાં આવેલી અનિશ્ચિતતા માપનની ભૂલ કરતાં ઘણી ઓછી હશે. પરંતુ જો માપન પ્રણાલી વિશેના આપણા જ્ઞાનને અર્થપૂર્ણ રીતે અપડેટ કરે છે, તો તેની સ્થિતિ વિશેની આપણી અનિશ્ચિતતા ઓછી થઈ જાય છે, જે એક નવો એસ. આઈ. (2) આપે છે જે એસ. આઈ. (1) કરતા ઓછો છે. (નોંધ લો કે જો આપણે લેપલેસના રાક્ષસની ક્ષમતાઓને મંજૂરી આપીએ, તો આ નવી માહિતીના પરિણામોને પણ પાછળની તરફ મેપ કરી શકાય છે, તેથી સમય t1 પર ગતિશીલ સ્થિતિ વિશેની આપણી અનિશ્ચિતતા પણ હવે એસ. આઈ. (1) થી ઘટીને એસ. આઈ. (2) થઈ ગઈ છે). આપણે જાણીએ છીએ કે એસટીએચ (2)> એસઆઈ (2); પરંતુ હવે આપણે ખાતરીપૂર્વક કહી શકતા નથી કે તે એસટીએચ (1) = એસઆઈ (1) કરતા વધારે છે. આ પછી એસટીએચમાં વધઘટની શક્યતા ખુલ્લી રહે છે. થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી "નીચે" તેમજ ઉપર પણ જઈ શકે છે. વધુ સુસંસ્કૃત વિશ્લેષણ એન્ટ્રોપી ફ્લકચ્યુએશન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સમય-આધારિત મેક્સએન્ટ ચિત્રના પરિણામે સ્થાપિત કરી શકાય છે. 3. હમણાં જ સૂચવ્યા મુજબ, મેક્સએન્ટ અનુમાન વિપરીત રીતે સમાન રીતે ચાલે છે. તેથી કોઈ ચોક્કસ અંતિમ સ્થિતિને જોતાં, આપણે પૂછી શકીએ છીએ કે, અગાઉની સ્થિતિઓ વિશેના આપણા જ્ઞાનને સુધારવા માટે આપણે શું "પાછું નિર્ણય" કરી શકીએ? જો કે ઉપરના બીજા કાયદાની દલીલ પણ વિપરીત રીતે ચાલે છેઃ સમય t2 પર મેક્રોસ્કોપિક માહિતી આપવામાં આવે તો, આપણે અપેક્ષા રાખવી જોઈએ કે તે પણ ઓછી ઉપયોગી બને. બે પ્રક્રિયાઓ સમય-સમપ્રમાણ છે. પરંતુ હવે માહિતી અગાઉના અને પહેલાના સમયમાં ઓછી અને ઓછી ઉપયોગી બનશે. (લોશ્મિડ્ટના વિરોધાભાસ સાથે સરખામણી કરો.) મેક્સએન્ટ અનુમાન આગાહી કરશે કે હાલમાં ઓછી-એન્ટ્રોપી સ્થિતિનું સૌથી સંભવિત મૂળ અગાઉની ઉચ્ચ એન્ટ્રોપી સ્થિતિથી સ્વયંસ્ફુરિત વધઘટ તરીકે હશે. પરંતુ આપણે જે બન્યું છે તે સાથે આ વિરોધાભાસ છે, એટલે કે એન્ટ્રોપી સતત વધી રહી છે, ભૂતકાળમાં પણ. આ અંગે મેક્સએન્ટ સમર્થકોનો પ્રતિસાદ એ હશે કે મેક્સએન્ટ અનુમાનની આગાહીમાં આવી વ્યવસ્થિત નિષ્ફળતા એ "સારી" બાબત છે. તેનો અર્થ એ છે કે આ રીતે સ્પષ્ટ પુરાવા છે કે સમસ્યાના સ્પષ્ટીકરણમાં કેટલીક મહત્વપૂર્ણ ભૌતિક માહિતી ચૂકી ગઈ છે. જો તે સાચું છે કે ગતિશીલતા સમય-સમમિતીય છે, તો એવું લાગે છે કે આપણે હાથથી અગાઉથી સંભાવના મૂકવાની જરૂર છે કે નીચા થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી સાથેના પ્રારંભિક રૂપરેખાંકનો ઉચ્ચ થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી સાથેના પ્રારંભિક રૂપરેખાંકનો કરતાં વધુ સંભવિત છે. આને તાત્કાલિક ગતિશીલતા દ્વારા સમજાવી શકાતું નથી. સંભવતઃ, તે બ્રહ્માંડના પ્રમાણ પર બ્રહ્માંડના સ્પષ્ટ સમય-અસમપ્રમાણ ઉત્ક્રાંતિના પ્રતિબિંબ તરીકે ઉદભવે છે (સમયનું તીર જુઓ). ટીકાઓ મહત્તમ એન્ટ્રોપી થર્મોડાયનેમિક્સમાં કેટલાક મહત્વપૂર્ણ વિરોધ છે, જે અંશતઃ મેક્સએન્ટ સ્કૂલમાંથી પ્રકાશિત પરિણામોની સાપેક્ષ અછતને કારણે છે, ખાસ કરીને સંતુલનથી દૂર નવી પરીક્ષણક્ષમ આગાહીઓના સંદર્ભમાં. આંતરિક સુસંગતતાના આધારે પણ આ સિદ્ધાંતની ટીકા કરવામાં આવી છે. દાખલા તરીકે, રાડુ બાલેસ્કુ મેક્સએન્ટ સ્કૂલ અને જેન્સના કાર્યની આકરી ટીકા કરે છે. બાલેસ્કુ જણાવે છે કે જેન્સ અને સહકાર્યકરોની થિયરી બિન-સંક્રમક ઉત્ક્રાંતિ કાયદા પર આધારિત છે જે અસ્પષ્ટ પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે. સિદ્ધાંતની કેટલીક મુશ્કેલીઓ દૂર કરી શકાય તેમ હોવા છતાં, સિદ્ધાંતમાં "નક્કર પાયાનો અભાવ છે" અને "કોઈ નવા નક્કર પરિણામ તરફ દોરી ગયો નથી". જો કે મહત્તમ એન્ટ્રોપી અભિગમ સીધા માહિતીપ્રદ એન્ટ્રોપી પર આધારિત છે, તે ભૌતિકશાસ્ત્રને ત્યારે જ લાગુ પડે છે જ્યારે એન્ટ્રોપીની સ્પષ્ટ ભૌતિક વ્યાખ્યા હોય. બિન-સંતુલન પ્રણાલીઓ માટે એન્ટ્રોપીની કોઈ સ્પષ્ટ અનન્ય સામાન્ય ભૌતિક વ્યાખ્યા નથી, જે થર્મોડાયનેમિક સંતુલનની પોતાની આંતરિક સ્થિતિમાં થર્મોડાયનેમિક પ્રણાલીઓને બદલે પ્રક્રિયા દરમિયાન ગણવામાં આવતી સામાન્ય ભૌતિક પ્રણાલીઓ છે. તે અનુસરે છે કે જ્યાં સુધી એન્ટ્રોપીની સ્પષ્ટ ભૌતિક વ્યાખ્યા ન મળે ત્યાં સુધી મહત્તમ એન્ટ્રોપી અભિગમ બિન-સંતુલન પ્રણાલીઓને લાગુ પડશે નહીં. આ સમસ્યા એ હકીકત સાથે સંબંધિત છે કે જ્યારે સ્થાનિક થર્મોડાયનેમિક સંતુલન ન હોય ત્યારે પણ ગરમીને ગરમમાંથી ઠંડા ભૌતિક પ્રણાલીમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે જેથી કોઈ પણ પ્રણાલીમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત તાપમાન ન હોય. ક્લાસિકલ એન્ટ્રોપીને થર્મોડાયનેમિક સંતુલનની પોતાની આંતરિક સ્થિતિમાં સિસ્ટમ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે કોઈ બિન-શૂન્ય ફ્લક્સ વિના સ્થિતિ ચલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેથી ફ્લક્સ ચલો સ્થિતિ ચલો તરીકે દેખાતા નથી. પરંતુ મજબૂત બિન-સંતુલન પ્રણાલી માટે, પ્રક્રિયા દરમિયાન, સ્થિતિ ચલમાં બિન-શૂન્ય ફ્લક્સ ચલોનો સમાવેશ થવો આવશ્યક છે. એન્ટ્રોપીની શાસ્ત્રીય ભૌતિક વ્યાખ્યાઓ આ કેસને આવરી લેતી નથી, ખાસ કરીને જ્યારે ફ્લક્સ સ્થાનિક થર્મોડાયનેમિક સંતુલનને નષ્ટ કરવા માટે પૂરતા મોટા હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય રીતે બિન-સંતુલન પ્રણાલીઓ માટે એન્ટ્રોપી માટે, વ્યાખ્યામાં ઓછામાં ઓછા શાસ્ત્રીય સ્થિર થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિ ચલની બહાર, બિન-શૂન્ય પ્રવાહો સહિત પ્રક્રિયાના સ્પષ્ટીકરણને સામેલ કરવાની જરૂર પડશે. 'એન્ટ્રોપી' કે જે મહત્તમ છે તેને હાથમાં રહેલી સમસ્યા માટે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. જો અયોગ્ય 'એન્ટ્રોપી' મહત્તમ કરવામાં આવે, તો ખોટું પરિણામ આવવાની શક્યતા છે. સિદ્ધાંતમાં, મહત્તમ એન્ટ્રોપી થર્મોડાયનેમિક્સ સંકુચિત રીતે અને માત્ર શાસ્ત્રીય થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપીનો સંદર્ભ આપતું નથી. તે ભૌતિકશાસ્ત્ર પર લાગુ થતી માહિતીપ્રદ એન્ટ્રોપી વિશે છે, જે સ્પષ્ટપણે સમસ્યા ઘડવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી માહિતી પર આધારિત છે. એટાર્ડના જણાવ્યા અનુસાર, મજબૂત બિન-સંતુલન થર્મોડાયનેમિક્સ દ્વારા વિશ્લેષણ કરાયેલ ભૌતિક સમસ્યાઓ માટે, ઘણા ભૌતિક રીતે અલગ પ્રકારના એન્ટ્રોપીને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, જેમાં તેઓ જેને બીજી એન્ટ્રોપી કહે છે તેનો સમાવેશ થાય છે. એટાર્ડ લખે છેઃ "આપેલ પ્રારંભિક મેક્રોસ્ટેટમાં માઇક્રોસ્ટેટ પર બીજી એન્ટ્રોપીને મહત્તમ કરવાથી સૌથી વધુ સંભવિત લક્ષ્ય મેક્રોસ્ટેટ મળે છે". ભૌતિક રીતે વ્યાખ્યાયિત બીજી એન્ટ્રોપીને માહિતીના દૃષ્ટિકોણથી પણ ગણી શકાય. એડવિન થોમ્પસન જેન્સ થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ લઘુત્તમ ભેદભાવ માહિતી કુલબેક-લીબલર વિચલન ક્વોન્ટમ સંબંધિત એન્ટ્રોપી માહિતી સિદ્ધાંત અને માપન સિદ્ધાંત એન્ટ્રોપી શક્તિ અસમાનતા સંદર્ભો ગટ્ટમેન, વાય. એમ. (1999). આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સંભાવનાનો ખ્યાલ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, કેમ્બ્રિજ યુકે. આગળનું વાંચન દિવારની વ્યુત્પત્તિઓની અયોગ્યતા દર્શાવે છે (એ) સંતુલન પ્રણાલીઓથી દૂરના વધઘટ પ્રમેયમાંથી મહત્તમ એન્ટ્રોપી ઉત્પાદન (એમ. એસ. ઇ. પી.), અને (બી) એમ. એસ. ઇ. પી. અને સ્વ-સંગઠિત નિર્ણાયકતા વચ્ચે દાવો કરાયેલ કડી. ગ્રાન્ડી, ડબ્લ્યુ. ટી., 1987. આંકડાકીય મિકેનિક્સના પાયા. વોલ્યુમ 1: સંતુલન સિદ્ધાંત; વોલ્યુમ. 2: નોનક્વિલિબ્રિયમ ઘટના. ડોર્ડ્રેક્ટઃ ડી. રીડેલ. વોલ્યુમ. 1: વોલ્યુમ. 2: ઇ. ટી. દ્વારા વધુ કાગળોની વિસ્તૃત આર્કાઇવ સંભાવના અને ભૌતિકશાસ્ત્ર પર જેન્સ. ઘણા આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં એકત્રિત કરવામાં આવે છે થર્મલ અને આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રનું તત્વજ્ઞાન બિન-સંતુલન થર્મોડાયનેમિક્સ માહિતી સિદ્ધાંત થર્મોડાયનેમિક્સ થર્મોડાયનેમિક એન્ટ્રોપી