Tverberg's theorem
સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં, ટવેરબર્ગનો પ્રમેય, જે સૌપ્રથમ 1966માં હેલ્જ ટવેરબર્ગ દ્વારા જણાવવામાં આવ્યો હતો, તે પરિણામ છે કે ડી-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં પૂરતા પ્રમાણમાં ઘણા બિંદુઓને છેદતા બહિર્મુખ પત્થરો સાથે ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો d, r અને બિંદુઓના કોઈપણ સમૂહ માટે એક બિંદુ x (આપેલ બિંદુઓમાંથી એક જરૂરી નથી) અને આપેલ બિંદુઓનું r ઉપગણમાં વિભાજન અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે x એ તમામ ઉપગણના બહિર્મુખ પત્થરો સાથે સંબંધિત છે. આ પ્રમેયના પરિણામે થયેલાં પાર્ટીશનને ટ્વેરબર્ગ પાર્ટીશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વિશેષ કેસ r = 2 અગાઉ રેડોન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો, અને તે રેડોનના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. ઉદાહરણો કેસ d = 1 જણાવે છે કે વાસ્તવિક રેખા પરના કોઈપણ 2r-1 બિંદુઓને છેદતા બહિર્મુખ પત્થરો સાથે r ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. ખરેખર, જો બિંદુઓ x1 <x2 <. <x2r <x2r-1 હોય, તો પછી 1,., r માં i માટે AI = {xi, x2r-i} માં વિભાજન આ શરતને સંતોષે છે (અને તે અનન્ય છે). r = 2 માટે, ટવેરબર્ગનો પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ d + 2 બિંદુઓને બહિર્મુખ પત્થરોને છેદતા બે ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ રેડોનના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય સ્થિતિમાં બિંદુઓ માટે, પાર્ટીશન અનન્ય છે. કેસ r = 3 અને d = 2 જણાવે છે કે સમતલમાં કોઈપણ સાત બિંદુઓને છેદતા બહિર્મુખ પત્થરો સાથે ત્રણ ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ ચિત્ર એક ઉદાહરણ દર્શાવે છે જેમાં સાત બિંદુઓ નિયમિત અષ્ટકોણની શિરોબિંદુઓ છે. ઉદાહરણ બતાવે છે તેમ, બિંદુઓના સમાન સમૂહના ઘણા જુદા જુદા ટવેરબર્ગ પાર્ટીશનો હોઈ શકે છે; આ સાત બિંદુઓને સાત જુદી જુદી રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે જે એકબીજાના પરિભ્રમણ દ્વારા અલગ પડે છે. ટોપોલોજિકલ ટવેરબર્ગ પ્રમેય ટવેરબર્ગના પ્રમેયની સમકક્ષ રચના છેઃ ધારો કે d, r હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે, અને ધારો કે N: = (d + 1) (r-1). જો f એ N-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ ΔN થી Rd સુધીનું કોઈપણ એફાઇન ફંક્શન હોય, તો પછી ΔN ના r જોડી મુજબના-વિચ્છેદિત ચહેરાઓ હોય છે જેમની છબીઓ f આંતરછેદ હેઠળ હોય છે. એટલે કેઃ ત્યાં F1,., Fr ઓફ ΔN જેવા ચહેરાઓ અસ્તિત્વમાં છે અને. તેઓ સમકક્ષ છે કારણ કે સિમ્પ્લેક્સ પરનું કોઈપણ એફાઇન કાર્ય તેના શિરોબિંદુઓની છબીઓ દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે. ઔપચારિક રીતે, ચાલો f એ ΔN થી Rd સુધી એક એફાઇન ફંક્શન છે. ચાલો ΔN ના શિરોબિંદુઓ હોઈએ, અને તેમની છબીઓ f હેઠળ હોઈએ. મૂળ રચના દ્વારા, r ને અસંબદ્ધ ઉપગણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, દા. ત. ((xi) i એ. જે. માં) જે. [આર.] માં ઓવરલેપિંગ કન્વેક્સ હલ સાથે. કારણ કે f એ એફાઇન છે, એ. જે. માં (xi) i નું બહિર્મુખ આવરણ એ [r] માં તમામ જે માટે એ. જે. માં શિરોબિંદુઓ (vi) i દ્વારા ફેલાયેલ ચહેરાની છબી છે. આ ચહેરાઓ જોડી મુજબ-અલગ છે, અને તેમની છબીઓ f આંતરછેદ હેઠળ છે-જેમ કે નવી રચના દ્વારા દાવો કરવામાં આવ્યો છે. ટોપોલોજીકલ ટવેરબર્ગ થીયરમ આ ફોર્મ્યુલાઇઝેશનને સામાન્ય બનાવે છે. તે f ને કોઈપણ સતત વિધેય બનવાની મંજૂરી આપે છે-જરૂરી નથી કે તે સંલગ્ન હોય. પરંતુ, હાલમાં તે માત્ર તે જ કિસ્સામાં સાબિત થાય છે જ્યાં r એ મુખ્ય ઘાત છેઃ ધારો કે d એ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને ધારો કે r એ મુખ્ય સંખ્યાનો ઘાત છે. ધારો કે N: = (d + 1) (r-1). જો f એ N-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ ΔN થી Rd સુધીનું કોઈ પણ સતત કાર્ય હોય, તો પછી ΔN ના r જોડી મુજબ-વિચ્છેદિત ચહેરાઓ હોય છે, જેની છબીઓ f આંતરછેદ હેઠળ હોય છે. એટલે કેઃ ત્યાં F1,., Fr of ΔN જેવા ચહેરાઓ અસ્તિત્વમાં છે અને. પુરાવા ટોપોલોજીકલ ટવેરબર્ગ પ્રમેય બારાની, શ્લોસમેન અને સઝુકસ દ્વારા મુખ્ય r માટે સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. માટોસેક કાઢી નાંખેલ જોડીઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી રજૂ કરે છે. આ પ્રમેયને ઓઝેદીન દ્વારા અને બાદમાં વોલોવિકોવ અને સરકારિયા દ્વારા આર એ પ્રાઇમ-પાવર માટે સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. રોટાના પાયાના અનુમાન ટ્વેરબર્ગ-પ્રકારનાં પ્રમેયો અને ફ્રેક્શનલ હેલી પ્રોપર્ટી પણ જુઓ. બહિર્મુખ ભૂમિતિમાં સમીકરણો સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં સમીકરણો ભૌમિતિક ટ્રાન્સવર્સલ સિદ્ધાંત કન્વેક્સ હલ