Local cohomology
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, સ્થાનિક કોહોમોલોજી એ સંબંધિત કોહોમોલોજીનું બીજગણિત એનાલોગ છે. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકે તેને 1961 માં હાર્વર્ડમાં પરિસંવાદોમાં રજૂ કર્યું હતું, જે IHES ખાતે 1961-2 માં SGA2 તરીકે લખવામાં આવ્યું હતું-, તરીકે ફરીથી પ્રકાશિત થયું હતું. બીજગણિત વિવિધતા (અથવા યોજના) ના ખુલ્લા સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય (વધુ સામાન્ય રીતે, અર્ધ-સુસંગત આવરણનો એક વિભાગ) જોતાં, સ્થાનિક કોહોમોલોજી તે કાર્યને મોટા ક્ષેત્રમાં વિસ્તારવામાં અવરોધને માપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગત કાર્યને માત્ર ક્ષેત્ર પરની એફાઇન રેખાના પૂરક પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તેને સમગ્ર જગ્યા પરના કાર્ય સુધી વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી. સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલ (જ્યાં કોઓર્ડિનેટ રીંગ છે) કોહોમોલોજી વર્ગના નોનવેનિશિંગમાં આને શોધી કાઢે છે. તેવી જ રીતે, એફાઇન પ્લેનમાં અને અક્ષોથી દૂર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેને-અક્ષના પૂરક અથવા એકલા-અક્ષના પૂરક સુધી વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી (ન તો તેને આવા કાર્યોના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે); આ અવરોધ ચોક્કસપણે સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલમાં બિન-શૂન્ય વર્ગને અનુરૂપ છે. બીજગણિત ભૂમિતિ બહાર, સ્થાનિક કોહોમોલોજીએ પરિવર્તનીય બીજગણિત, સંયોજનશાસ્ત્ર અને ચોક્કસ પ્રકારના આંશિક વિભેદક સમીકરણોમાં ઉપયોગો શોધી કાઢ્યા છે. વ્યાખ્યા સિદ્ધાંતના સૌથી સામાન્ય ભૌમિતિક સ્વરૂપમાં, વિભાગોને એબેલિયન જૂથોના આવરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર, બંધ સબસેટમાં આધાર સાથે, સ્થાનિક કોહોમોલોજી જૂથોના વ્યુત્પન્ન પરિબળો સિદ્ધાંતના બીજગણિત સ્વરૂપમાં, અવકાશ X એ પરિવર્તનીય રીંગ R (આ લેખમાં નોથેરિયન હોવાનું માનવામાં આવે છે) નું સ્પેક્ટ્રમ સ્પેક્સ (R) છે અને આવરણ F એ R-મોડ્યુલ M સાથે સંકળાયેલ ક્વાસિકોહરન્ટ આવરણ છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બંધ ઉપગણ Y ને આદર્શ I દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, ફંકટર γY (F) એ I-ટોર્શન ફંકટરને અનુરૂપ છે, જે એનિહિલેટરનું જોડાણ છે એટલે કે, M ના તત્વો કે જે I ની કેટલીક શક્તિ દ્વારા નાશ પામે છે. રાઇટ ડિરાઇવ્ડ ફંકટર તરીકે, I ના સંદર્ભમાં ith સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલ એ સાંકળ સંકુલનું ith કોહોમોલોજી જૂથ છે જે મોડ્યુલના ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનનો I-ટોર્શન ભાગ લેવાથી મેળવવામાં આવે છે. કારણ કે તેમાં આર-મોડ્યુલો અને આર-મોડ્યુલ હોમોમોર્ફિઝમ્સનો સમાવેશ થાય છે, સ્થાનિક કોહોમોલોજી જૂથો દરેકમાં આર-મોડ્યુલની કુદરતી રચના હોય છે. આઇ-ટોર્શન ભાગને વૈકલ્પિક રીતે વર્ણવી શકાય છે અને આ કારણોસર, આર-મોડ્યુલ M ની સ્થાનિક કોહોમોલોજી એક્સ્ટ મોડ્યુલોની સીધી મર્યાદા સાથે સંમત થાય છે, તે આ વ્યાખ્યાઓમાંથી કોઈ એકને અનુસરે છે જે જો સમાન આમૂલ ધરાવતા અન્ય આદર્શ દ્વારા બદલવામાં આવે તો તે અપરિવર્તિત રહેશે. તે એ પણ અનુસરે છે કે સ્થાનિક કોહોમોલોજી I માટે જનરેટરની કોઈપણ પસંદગી પર આધારિત નથી, એક હકીકત જે ચેચ કોમ્પ્લેક્સને સમાવતી નીચેની વ્યાખ્યામાં સુસંગત બને છે. કોઝુલ અને ચેચ સંકુલોનો ઉપયોગ સ્થાનિક કોહોમોલોજીની વ્યુત્પન્ન ફંકટર વ્યાખ્યામાં મોડ્યુલના ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનની જરૂર પડે છે, જે તેને સ્પષ્ટ ગણતરીઓમાં ઉપયોગ માટે અપ્રાપ્ય બનાવી શકે છે. ચેચ સંકુલને અમુક સંદર્ભોમાં વધુ વ્યવહારુ તરીકે જોવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જણાવો કે તેઓ સ્થાનિક કોહોમોલોજીની ચેચ જટિલ વ્યાખ્યા રજૂ કરતા પહેલા "આપેલ મોડ્યુલ માટે આ [ઇન્જેક્ટિવ] પ્રકારનાં ઠરાવોમાંથી કોઈપણ એકનું ઉત્પાદન કરવાની સમસ્યાને" "અનિવાર્યપણે અવગણે છે", અને ચેચ કોહોમોલોજીને "યોજના પર અર્ધ-સુસંગત શીવ્સના કોહોમોલોજીની ગણતરી માટે વ્યવહારુ પદ્ધતિ" તરીકે વર્ણવે છે. અને "ગણતરીઓ માટે સારી રીતે અનુકૂળ" હોવા તરીકે. ચેચ સંકુલને કોઝુલ સંકુલના કોલિમિટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં તે ઉત્પન્ન થાય છે. સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલોને આ રીતે વર્ણવી શકાય છેઃ કોઝુલ સંકુલમાં એવો ગુણધર્મ હોય છે કે જે સાંકળ જટિલ આકારવાદને પ્રેરિત કરીને ગુણાકાર કરે છે જે હોમોટોપિકથી શૂન્ય હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે દ્વારા નાશ પામે છે. સમૂહના કોલિમિટમાં બિન-શૂન્ય નકશામાં તમામ પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા કોસઝુલ સંકુલના નકશા હોય છે, અને જે આદર્શમાં કેટલાક તત્વ દ્વારા નાશ પામતા નથી. કોઝુલ સંકુલનું આ કોલિમિટ ચેચ સંકુલ માટે સમરૂપ છે, જે નીચે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. જ્યાં ith નું સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલ ઉપરોક્ત સાંકળ સંકુલના ith કોહોમોલોજી જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, ત્યાં સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલો (લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં) ની ગણતરીના વ્યાપક મુદ્દાની અને માં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. મૂળભૂત ગુણધર્મો સ્થાનિક કોહોમોલોજીને વ્યુત્પન્ન ફંકટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી આર-મોડ્યુલોના કોઈપણ ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ માટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, સ્થાનિક કોહોમોલોજીમાં એક કુદરતી લાંબો ચોક્કસ ક્રમ છે. X પર વ્યાખ્યાયિત ક્વાસિકોહરન્ટ શીફ F માટે, આનું સ્વરૂપ છે સેટિંગમાં જ્યાં X એ એફાઇન સ્કીમ છે અને Y એ આદર્શ I નો લુપ્ત થતો સમૂહ છે, કોહોમોલોજી જૂથો માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. જો, આ ચોક્કસ ક્રમ તરફ દોરી જાય છે જ્યાં મધ્ય નકશો વિભાગોનું પ્રતિબંધ છે. આ પ્રતિબંધ નકશાના લક્ષ્યને આદર્શ પરિવર્તન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. શીફ કોહોમોલોજી સાથે ઉપરોક્ત આઇસોમોર્ફિઝમને કારણે, સ્થાનિક કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ યોજના પર સંખ્યાબંધ અર્થપૂર્ણ ટોપોલોજિકલ રચનાઓને શુદ્ધ બીજગણિત દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવા માટે થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેયર-વિએટોરિસ ક્રમના સ્થાનિક કોહોમોલોજીમાં X માં ખુલ્લા સમૂહો U અને V ની જોડીના સંદર્ભમાં એક કુદરતી એનાલોગ છે, જે અનુક્રમે આદર્શ I અને J ની જોડીને અનુરૂપ બંધ ઉપશીર્ષકોના પૂરક દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ક્રમ કોઈપણ-મોડ્યુલ માટેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. સ્થાનિક કોહોમોલોજીના લુપ્ત થવાનો ઉપયોગ બીજગણિત સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરવા (સૈદ્ધાંતિક રીતે સેટ કરવા) માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછા સમીકરણો (અંકગણિત ક્રમ તરીકે ઓળખાય છે) ને બાંધવા માટે થઈ શકે છે. જો તે સમાન રેડિકલ ધરાવે છે, અને તત્વો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, તો પછી જનરેટર પરના ચેચ કોમ્પ્લેક્સની ડિગ્રીમાં કોઈ શરતો નથી. બધા આદર્શોમાં જનરેટરની સૌથી ઓછી સંખ્યા જેમ કે અંકગણિત ક્રમ, સૂચવવામાં આવે છે. સ્થાનિક કોહોમોલોજીના સંદર્ભમાં આવા કોઈપણ આદર્શનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે, તેથી તે તેને અનુસરે છે. ગ્રેડેડ લોકલ કોહોમોલોજી અને પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ જ્યારે દ્વારા ગ્રેડેડ કરવામાં આવે છે, તે સજાતીય તત્વો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, અને એક ગ્રેડેડ મોડ્યુલ હોય છે, ત્યારે સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલ પર એક કુદરતી ગ્રેડિંગ હોય છે જે અને ના ગ્રેડિંગ સાથે સુસંગત હોય છે. આ લેખમાં વ્યક્ત કરવામાં આવેલા સ્થાનિક કોહોમોલોજીના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મો શ્રેણીબદ્ધ માળખા સાથે સુસંગત છે. જો મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે અને હકારાત્મક ડિગ્રી ધરાવતા તત્વો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ છે, તો પછી શ્રેણીબદ્ધ ઘટકો મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે અને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. હકારાત્મક ડિગ્રીના તમામ ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ (કેટલીકવાર અપ્રસ્તુત આદર્શ તરીકે ઓળખાય છે) ખાસ કરીને વિશેષ છે, કારણ કે તે પ્રક્ષેપાત્મક ભૂમિતિ સાથેના સંબંધને કારણે છે. આ કિસ્સામાં, એક સમરૂપતા છે જ્યાં પ્રોજેક્ટિવ યોજના સંકળાયેલી છે, અને સેર ટ્વિસ્ટને સૂચવે છે. આ સમરૂપતાને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે તમામ ડિગ્રીમાં આપે છે. આ સમરૂપતા સ્થાનિક સમરૂપતાને પ્રક્ષેપાત્મક યોજનાઓના વૈશ્વિક સમરૂપતા સાથે સંબંધિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેસ્ટેલનુઓવો-મમ્ફોર્ડ નિયમિતતાને સ્થાનિક કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને ઘડવામાં આવી શકે છે જ્યાં તે ઉચ્ચતમ ડિગ્રી સૂચવે છે. સ્થાનિક કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ નિયમિતતાને લગતા ચોક્કસ ઉપલા બાઉન્ડ પરિણામોને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ઉદાહરણો ટોચના સ્થાનિક કોહોમોલોજી ચેચ કોમ્પ્લેક્સનો ઉપયોગ કરીને, જો સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલ અને માટે ઔપચારિક અપૂર્ણાંકની છબીઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. આ અપૂર્ણાંક જો અને માત્ર ત્યારે જ બિન-શૂન્ય તત્વને અનુરૂપ હોય છે જો એવું કોઈ ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો, તો પછી જો એક ક્ષેત્ર હોય અને ચલમાં બહુપદીની વીંટી હોય, તો સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલને વેક્ટર સ્પેસ તરીકે ગણી શકાય, જેના માટે ઇન્વર્સ મોનોમિયલ્સ (કોહોમોલોજી વર્ગોના) દ્વારા આપવામાં આવેલા આધાર સાથે. એક-મોડ્યુલ તરીકે, ગુણાકાર 1 વડે ઓછો થાય છે, જે શરતને આધિન છે કારણ કે ઘટકો સાથે ગુણાકાર કરીને શક્તિઓ વધારી શકાતી નથી, તેથી મોડ્યુલ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થતું નથી. H1 ના ઉદાહરણો જો જાણીતું હોય (ક્યાં), તો મોડ્યુલની ગણતરી કેટલીકવાર સ્પષ્ટ રીતે ક્રમનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. જો અને, પછી અને વેક્ટર જગ્યા તરીકે, પ્રથમ સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલ, દ્વારા પેદા થયેલ 1-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા છે. જો અને, પછી અને, તે જ રીતે અનંત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા મોડ્યુલના અપરિવર્તનશીલ સાથે સંબંધ ધરાવે છે તો મોડ્યુલનું પરિમાણ ડિમઆર (એમ) (તેના આધારના ક્રુલ પરિમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત) સ્થાનિક કોહોમોલોજી મોડ્યુલો માટે ઉપલી સીમા પૂરી પાડે છેઃ જો આર સ્થાનિક હોય અને એમ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય, તો આ સીમા તીક્ષ્ણ હોય છે, એટલે કે. ઊંડાઈ (નિયમિત M-અનુક્રમની મહત્તમ લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત; જેને M ની શ્રેણી તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એક તીક્ષ્ણ નીચલી સીમા પૂરી પાડે છે, એટલે કે, તે સૌથી નાનો પૂર્ણાંક n છે જે આ બે સીમાઓ સાથે મળીને સ્થાનિક રિંગ્સ પર કોહેન-મકાઉલે મોડ્યુલોની લાક્ષણિકતા આપે છેઃ તે ચોક્કસપણે તે મોડ્યુલો છે જ્યાં એક n સિવાય બધા માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સ્થાનિક દ્વૈતતા સ્થાનિક દ્વૈતતા પ્રમેય એ સેરે દ્વૈતતાનું સ્થાનિક એનાલોગ છે. પરિમાણની કોહેન-મેકૉલે સ્થાનિક વીંટી માટે કે જે ગોરેનસ્ટીન સ્થાનિક વીંટીની હોમોમોર્ફિક છબી છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો પૂર્ણ હોય તો), તે જણાવે છે કે કુદરતી જોડી એક સંપૂર્ણ જોડી છે, જ્યાં તેના માટે દ્વિગુણિત મોડ્યુલ છે. માટ્લીસ દ્વૈત ફંકટરની દ્રષ્ટિએ, સ્થાનિક દ્વૈત પ્રમેયને નીચેના સમરૂપતા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. નિવેદન સરળ છે જ્યારે, જે પૂર્વધારણાની સમકક્ષ છે જે ગોરેનસ્ટીન છે. આ કેસ છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો નિયમિત છે. પ્રારંભિક ઉપયોગો લેફશેટ્ઝ હાયપરપ્લેન પ્રમેયોના એનાલોગ માટે હતા. સામાન્ય રીતે આવા સિદ્ધાંતો જણાવે છે કે હોમોલોજી અથવા કોહોમોલોજી બીજગણિત વિવિધતાના હાયપરપ્લેન વિભાગ પર સમર્થિત છે, સિવાય કે કેટલાક 'નુકસાન' કે જેને નિયંત્રિત કરી શકાય છે. આ પરિણામો બીજગણિત મૂળભૂત જૂથ અને પિકાર્ડ જૂથને લાગુ પડે છે. ઉપયોગનો બીજો પ્રકાર કનેક્ટેડનેસ થીયરમ્સ છે જેમ કે ગ્રોથેન્ડીકની કનેક્ટેડનેસ થીયરમ (બર્ટિની થીયરમનું સ્થાનિક એનાલોગ) અથવા અને ને કારણે ફુલ્ટન-હેન્સન કનેક્ટેડનેસ થીયરમ. બાદમાં ભારપૂર્વક જણાવે છે કે બે પ્રોજેક્ટિવ જાતો V અને W માટે બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર, Z = V θ W નું જોડાણ પરિમાણ (એટલે કે, Z ના બંધ સબસેટ T નું ન્યૂનતમ પરિમાણ કે જેને Z માંથી દૂર કરવું પડે છે જેથી પૂરક Z\ T ડિસ્કનેક્ટ થાય) તે c (Z) ± ડિમ V + ડિમ W−r−1 દ્વારા બંધાયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ડિમ V + ડિમ W> r હોય તો ઝેડ જોડાયેલ છે. બહુપરીમાણીય ભૂમિતિમાં, સ્ટેનલીના 1975ના મેકમુલેનના અપર બાઉન્ડ થીયરમના સરળ સ્વરૂપના પુરાવાના મુખ્ય ઘટકમાં એ દર્શાવવાનો સમાવેશ થાય છે કે અનુરૂપ સરળ સંકુલની સ્ટેનલી-રેઇસનર રીંગ કોહેન-મેકૉલે છે, અને હોચસ્ટરના સૂત્ર દ્વારા સ્થાનિક કોહોમોલોજી આ ગણતરીમાં એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. સ્થાનિક સમરૂપતા પણ જુઓ-ટોપોલોજિકલ એનાલોગ આપે છે અને અવકાશના શંકુના સ્થાનિક સમરૂપતાની ગણતરી કરે છે 'એનિહિલેટર પ્રમેય નોંધો પરિચયાત્મક સંદર્ભ હુનેકે, ક્રેગ; ટેલર, એમેલિયા, સ્થાનિક કોહોમોલોજી સંદર્ભો પર વ્યાખ્યાન હાર્ટશોર્ન શીફ સિદ્ધાંત દ્વારા પુસ્તક સમીક્ષા બીજગણિત ભૂમિતિના ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો કોમ્યુટેટિવ બીજગણિત દ્વૈતતા સિદ્ધાંતો