Toda lattice
દ્વારા રજૂ કરાયેલ ટોડા જાળી, ઘન સ્થિતિ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક-પરિમાણીય સ્ફટિક માટેનું એક સરળ મોડેલ છે. તે પ્રખ્યાત છે કારણ કે તે બિન-રેખીય સંપૂર્ણપણે સંકલિત પ્રણાલીના પ્રારંભિક ઉદાહરણોમાંનું એક છે. તે નજીકના પડોશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથેના કણોની સાંકળ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે હેમિલ્ટોનિયન અને ગતિના સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જ્યાં-th કણનું તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપન થાય છે, અને તે તેની ગતિ (દળ) અને ટોડા પોટેન્શિયલ છે. સોલિટોન સોલ્યુશન એ એકાંત તરંગો છે જે તેમના આકાર અને કદમાં કોઈ ફેરફાર વિના સમયસર ફેલાય છે અને એકબીજા સાથે કણ જેવી રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. સમીકરણનો સામાન્ય એન-સોલિટોન ઉકેલ ક્યાં અને ક્યાં સાથે છે. અખંડિતતા ટોડા જાળી એ સંપૂર્ણપણે સંકલિત પ્રણાલીનું એક આદર્શ ઉદાહરણ છે. આ જોવા માટે ફ્લાસ્કાના ચલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેમ કે ટોડા જાળી વાંચે છે તે બતાવવા માટે કે સિસ્ટમ સંપૂર્ણપણે સંકલિત છે, તે એક લક્સ જોડી શોધવા માટે પૂરતું છે, એટલે કે, બે ઓપરેટરો L (t) અને P (t) હિલ્બર્ટ જગ્યામાં ચોરસ સારાંશ ક્રમમાં જેમ કે લક્સ સમીકરણ (જ્યાં [L, P] = LP-પીએલ એ બે ઓપરેટરોના લાઈ કોમ્યુટેટર છે) ફ્લાસ્કાના ચલોના સમય વ્યુત્પન્નની સમકક્ષ છે. પસંદગી જ્યાં f (n + 1) અને f (n-1) શિફ્ટ ઓપરેટરો છે, તે સૂચવે છે કે વિવિધ t માટે ઓપરેટરો L (t) એકાત્મક રીતે સમકક્ષ છે. મેટ્રિક્સમાં એવો ગુણધર્મ છે કે તેના આઈગનવેલ્યુ સમયસર અપરિવર્તનશીલ હોય છે. આ આઈગન વેલ્યુઓ ગતિના સ્વતંત્ર સંકલનની રચના કરે છે, તેથી ટોડા જાળી સંપૂર્ણપણે સંકલનક્ષમ છે. ખાસ કરીને, ટોડા જાળીને જેકોબી ઓપરેટર એલ. માટે ઇન્વર્સ સ્કેટરિંગ ટ્રાન્સફોર્મના આધારે ઉકેલી શકાય છે. મુખ્ય પરિણામ સૂચવે છે કે મોટા ટી માટે સ્વેચ્છાપૂર્વક (પૂરતા પ્રમાણમાં ઝડપી) પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સડી જાય છે જે સોલિટોનના સરવાળા અને સડી રહેલા વિખેરાયેલા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે. આ પણ જુઓ લક્ષ્મી જોડી લાઈ બાયાલજેબ્રા પોઈસન-લાઈ જૂથ સંદર્ભો યુજીન ગુટકિન, એક્સપોનેન્શિયલ પોટેન્શિયલ સાથે ઇન્ટિગ્રેબલ હેમિલ્ટોનિયન્સ, ફિઝિકા 16ડી (1985) 398-404. બાહ્ય કડીઓ સાયન્સવર્લ્ડ જી. ટેશલ ખાતે ઇ. ડબલ્યુ. વેઇઝસ્ટીન, ટોડા લેટીસ, ધ ટોડા લેટીસ જે. ફિઝ ટોડા લેટીસના પચાસ વર્ષ પર એક વિશેષ અંક બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય નમૂનાઓ ઇન્ટિગ્રેબલ સિસ્ટમ્સ સોલિટન્સ લેટીસ મોડેલો