Gibbs measure
ગણિતમાં, ગિબ્સનું માપ, જેનું નામ જોસિયાહ વિલાર્ડ ગિબ્સનાં નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાકીય મિકેનિક્સની ઘણી સમસ્યાઓમાં વારંવાર જોવા મળતું સંભાવના માપ છે. તે અનંત પ્રણાલીઓમાં કેનોનિકલ એન્સેમ્બલનું સામાન્યીકરણ છે. કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ સિસ્ટમ X ની સ્થિતિ x માં હોવાની સંભાવના આપે છે (સમકક્ષ રીતે, રેન્ડમ વેરિયેબલ X નું મૂલ્ય x છે) કારણ કે અહીં, સ્થિતિઓની જગ્યાથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સુધીનું કાર્ય છે; ભૌતિકશાસ્ત્રના ઉપયોગોમાં, રૂપરેખાંકન x ની ઊર્જા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. પરિમાણ એ મુક્ત પરિમાણ છે; ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, તે વ્યસ્ત તાપમાન છે. નોર્મલાઇઝિંગ કોન્સ્ટન્ટ એ પાર્ટીશન ફંક્શન છે. જો કે, અનંત પ્રણાલીઓમાં, કુલ ઊર્જા હવે મર્યાદિત સંખ્યા નથી અને કેનોનિકલ એન્સેમ્બલની સંભાવના વિતરણની પરંપરાગત રચનામાં તેનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પરંપરાગત અભિગમોએ સઘન ગુણધર્મોની મર્યાદાનો અભ્યાસ કર્યો કારણ કે મર્યાદિત પ્રણાલીનું કદ અનંત (થર્મોડાયનેમિક મર્યાદા) સુધી પહોંચે છે. જ્યારે ઊર્જા કાર્યને શબ્દોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે જેમાં દરેકમાં મર્યાદિત પેટા પ્રણાલીમાંથી માત્ર ચલોનો સમાવેશ થાય છે, ત્યારે ગિબ્સ માપનની કલ્પના વૈકલ્પિક અભિગમ પ્રદાન કરે છે. ગિબ્સના પગલાં ડોબ્રુશિન, લેનફોર્ડ અને રુએલ જેવા સંભાવના સિદ્ધાંતવાદીઓ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા હતા અને મર્યાદિત પ્રણાલીઓની મર્યાદા લેવાને બદલે, અનંત પ્રણાલીઓનો સીધો અભ્યાસ કરવા માટે એક માળખું પૂરું પાડ્યું હતું. એક માપ એ ગિબ્સનું માપ છે જો તે દરેક મર્યાદિત સબસિસ્ટમ પર પ્રેરિત શરતી સંભાવનાઓ સુસંગતતાની સ્થિતિને સંતોષેઃ જો મર્યાદિત સબસિસ્ટમની બહારની તમામ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ સ્થિર હોય, તો આ સીમા શરતોને આધિન સબસિસ્ટમ માટે કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ ગિબ્સનું માપ ફ્રીઝન ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ પર શરતી સંભાવનાઓ સાથે મેળ ખાય છે. હેમર્સલી-ક્લિફફોર્ડ પ્રમેય સૂચવે છે કે કોઈપણ સંભાવના માપ કે જે માર્કોવ ગુણધર્મને સંતોષે છે તે (સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત) ઊર્જા કાર્યની યોગ્ય પસંદગી માટે ગિબ્સનું માપ છે. તેથી, ગિબ્સનું માપ ભૌતિકશાસ્ત્રની બહારની વ્યાપક સમસ્યાઓને લાગુ પડે છે, જેમ કે હોપફિલ્ડ નેટવર્ક, માર્કોવ નેટવર્ક, માર્કોવ લોજિક નેટવર્ક અને રમત સિદ્ધાંત અને અર્થશાસ્ત્રમાં મર્યાદિત રીતે તર્કસંગત સંભવિત રમતો. સ્થાનિક (મર્યાદિત-શ્રેણી) ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથેની પ્રણાલીમાં ગિબ્સનું માપ આપેલ અપેક્ષિત ઊર્જા ઘનતા માટે એન્ટ્રોપી ઘનતાને મહત્તમ કરે છે; અથવા, સમકક્ષ રીતે, તે મુક્ત ઊર્જાની ઘનતાને ઘટાડે છે. અનંત પ્રણાલીનું ગિબ્સનું માપ અનન્ય હોવું જરૂરી નથી, જે મર્યાદિત પ્રણાલીના કેનોનિકલ એન્સેમ્બલથી વિપરીત છે, જે અનન્ય છે. એક કરતાં વધુ ગિબ્સ માપનનું અસ્તિત્વ સમપ્રમાણતા ભંગ અને તબક્કાના સહઅસ્તિત્વ જેવી આંકડાકીય ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલું છે. આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર સિસ્ટમ પર ગિબ્સના માપનો સમૂહ હંમેશા બહિર્મુખ હોય છે, તેથી ત્યાં એક અનન્ય ગિબ્સ માપ હોય છે (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમને "એર્ગોડિક" કહેવામાં આવે છે), અથવા અનંત સંખ્યાબંધ હોય છે (અને સિસ્ટમને "નોનર્ગોડિક" કહેવામાં આવે છે). નોનર્ગોડિક કિસ્સામાં, ગિબ્સના માપને "શુદ્ધ અવસ્થાઓ" તરીકે ઓળખાતા વિશેષ ગિબ્સ માપની ઘણી ઓછી સંખ્યાના બહિર્મુખ સંયોજનોના સમૂહ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે (ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં શુદ્ધ અવસ્થાઓની સંબંધિત પરંતુ અલગ કલ્પના સાથે મૂંઝવણ ન કરવી). ભૌતિક ઉપયોગોમાં, હેમિલ્ટોનિયન (ઊર્જા કાર્ય) સામાન્ય રીતે સ્થાનની થોડી સમજ ધરાવે છે, અને શુદ્ધ સ્થિતિઓમાં ક્લસ્ટર વિઘટન ગુણધર્મ હોય છે જે "દૂરથી અલગ થયેલ પેટા પ્રણાલીઓ" સ્વતંત્ર હોય છે. વ્યવહારમાં, ભૌતિક રીતે વાસ્તવિક પ્રણાલીઓ આ શુદ્ધ સ્થિતિઓમાંથી એકમાં જોવા મળે છે. જો હેમિલ્ટોનિયન સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, તો એક અનન્ય (એટલે કે. એર્ગોડિક) ગિબ્સનું માપ સમપ્રમાણતા હેઠળ અનિવાર્યપણે અપરિવર્તનશીલ રહેશે. પરંતુ બહુવિધ કિસ્સામાં (એટલે કે. નોનર્ગોડિક) ગિબ્સ માપ, હેમિલ્ટોનિયનની સમપ્રમાણતા હેઠળ શુદ્ધ અવસ્થાઓ સામાન્ય રીતે અપરિવર્તનશીલ હોતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, નિર્ણાયક તાપમાનની નીચે અનંત ફેરોમેગ્નેટિક આઈસિંગ મોડેલમાં, બે શુદ્ધ સ્થિતિઓ છે, "મોટે ભાગે-ઉપર" અને "મોટે ભાગે-નીચે" સ્થિતિઓ, જે મોડેલની સમપ્રમાણતા હેઠળ એકબીજા સાથે અદલાબદલી થાય છે. માર્કોવ મિલકત માર્કોવ મિલકતનું ઉદાહરણ ઇઝિંગ મોડેલના ગિબ્સ માપમાં જોઈ શકાય છે. આપેલ સ્પિન s સ્થિતિમાં હોવાની સંભાવના, સિદ્ધાંતમાં, સિસ્ટમમાં અન્ય તમામ સ્પિનની સ્થિતિ પર આધારિત હોઈ શકે છે. આમ, આપણે સંભાવનાને આ રીતે લખી શકીએ છીએ. જો કે, માત્ર મર્યાદિત-શ્રેણીની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, નજીકના-પાડોશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ) સાથે ઇસિંગ મોડેલમાં, આપણી પાસે ખરેખર છે, જ્યાં સ્થળનો પડોશી છે. એટલે કે, સ્થળ પરની સંભાવના માત્ર મર્યાદિત પડોશમાં સ્પિન પર આધાર રાખે છે. આ છેલ્લું સમીકરણ સ્થાનિક માર્કોવ મિલકતના સ્વરૂપમાં છે. આ ગુણધર્મ સાથેના પગલાંને કેટલીકવાર માર્કોવ રેન્ડમ ક્ષેત્રો કહેવામાં આવે છે. વધુ મજબૂત રીતે, વિપરીત પણ સાચું છેઃ માર્કોવ ગુણધર્મ ધરાવતા કોઈપણ હકારાત્મક સંભાવના વિતરણ (દરેક જગ્યાએ બિન-શૂન્ય ઘનતા) ને યોગ્ય ઊર્જા કાર્ય માટે ગિબ્સ માપ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ હેમર્સલી-ક્લિફોર્ડ પ્રમેય છે. જાળી પર ઔપચારિક વ્યાખ્યા જે નીચે મુજબ છે તે જાળી પર રેન્ડમ ક્ષેત્રના વિશેષ કેસ માટેની ઔપચારિક વ્યાખ્યા છે. ગિબ્સ માપનો વિચાર, જોકે, આના કરતાં ઘણો વધુ સામાન્ય છે. જાળી પર ગિબ્સ રેન્ડમ ક્ષેત્રની વ્યાખ્યામાં કેટલીક પરિભાષાની જરૂર પડે છેઃ જાળીઃ એક ગણતરીપાત્ર સમૂહ. સિંગલ-સ્પિન સ્પેસઃ સંભાવના જગ્યા. રૂપરેખાંકન જગ્યાઃ, ક્યાં અને. રૂપરેખાંકન અને સબસેટને જોતાં, to નું પ્રતિબંધ છે. જો અને, તો પછી રૂપરેખાંકન એ રૂપરેખાંકન છે જેના પ્રતિબંધો અનુક્રમે અને અને છે. ના તમામ મર્યાદિત ઉપગણોનો સમૂહ. દરેક સબસેટ માટે, વિધેયોના પરિવાર દ્વારા પેદા થયેલ-બીજગણિત છે, જ્યાં. આ આલ્જેબ્રાનું જોડાણ જેમ જેમ બદલાય છે તેમ તે જાળી પરના નળાકાર સમૂહોનું બીજગણિત છે. સંભવિતઃ કાર્યોનો એક પરિવાર જેમ કે દરેક માટે-માપી શકાય તેવું છે, એટલે કે તે ફક્ત પ્રતિબંધ પર આધાર રાખે છે (અને તે માપી શકાય તેવું કરે છે). બધા માટે અને, નીચેની શ્રેણી અસ્તિત્વમાં છેઃ આપણે મર્યાદિત સમૂહ A ના તમામ બિંદુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સાથે સંકળાયેલ કુલ ઊર્જા (હેમિલ્ટોનિયન) માં યોગદાન તરીકે અર્થઘટન કરીએ છીએ. પછી તમામ મર્યાદિત સમૂહો A ની કુલ ઊર્જામાં યોગદાન તરીકે મળે છે. નોંધ લો કે કુલ ઊર્જા સામાન્ય રીતે અનંત હોય છે, પરંતુ જ્યારે આપણે દરેકને "સ્થાનિક" કરીએ છીએ ત્યારે તે મર્યાદિત હોઈ શકે છે, આપણે આશા રાખીએ છીએ. સીમા શરતો સાથે હેમિલ્ટોનિયન, સંભવિત માટે, ક્યાં દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સીમા શરતો અને વ્યસ્ત તાપમાન (પોટેન્શિયલ અને માટે) સાથે પાર્ટીશન ફંક્શન એ ઉત્પાદન માપ A પોટેન્શિયલ ક્યાં છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે-સ્વીકાર્ય છે જો બધા માટે મર્યાદિત હોય અને. જો તે બધા માટે ડોબ્રુશિન-લેનફોર્ડ-રુએલ (ડી. એલ. આર.) સમીકરણને સંતોષે તો-સ્વીકાર્ય સંભવિતતા માટે ગિબ્સનું માપ સંભાવના માપ છે. એક ઉદાહરણ ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓને સમજવામાં મદદ કરવા માટે, અહીં નજીકના-પડોશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ (જોડાણ અચળાંક) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર () સાથે આઇસિંગ મોડેલના મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણમાં અનુરૂપ જથ્થાઓ છેઃ સિંગલ-સ્પિન સ્પેસ એ પોટેન્શિયલ બોલ્ટ્ઝમેન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન એક્સપોનેન્શિયલ ફેમિલી ગિબ્સ અલ્ગોરિધમ ગિબ્સ સેમ્પલિંગ ઇન્ટરેક્ટિંગ પાર્ટિકલ સિસ્ટમ પોટેન્શિયલ ગેમ સોફ્ટમેક્સ સ્ટોકેસ્ટિક સેલ્યુલર ઓટોમેટા સંદર્ભો દ્વારા આપવામાં આવે છે વધુ વાંચન પગલાં (માપ સિદ્ધાંત) આંકડાકીય મિકેનિક્સ રમત સિદ્ધાંત સંતુલન વિભાવનાઓ