Fenchel's duality theorem
ગણિતમાં, ફેન્શેલની દ્વૈતતા પ્રમેય એ વર્નર ફેન્શેલના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલા બહિર્મુખ કાર્યોના સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે. ધારો કે f એ Rn પર યોગ્ય બહિર્મુખ કાર્ય છે અને g એ Rn પર યોગ્ય અંતર્મુખ કાર્ય છે. પછી, જો નિયમિતતાની શરતો સંતોષાય છે, જ્યાં f * એ f નું બહિર્મુખ સંયુગ્મ છે (જેને ફેન્શેલ-લેજેન્ડર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) અને g * એ g નું અંતર્મુખ સંયુગ્મ છે. એટલે કે, ગાણિતિક પ્રમેય X અને Y એ બનાચ જગ્યાઓ છે, અને બહિર્મુખ કાર્યો છે અને બંધાયેલ રેખીય નકશો છે. પછી ફેન્શલ સમસ્યાઓઃ નબળા દ્વૈતને સંતોષવું, એટલે કે. . નોંધ લો કે જે અનુક્રમે f, g ના બહિર્મુખ સંયોજનો છે, અને સંલગ્ન સંચાલક છે. આ બેવડી સમસ્યા માટેનું વિક્ષેપ કાર્ય આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે f, g અને A ક્યાં તો f અને g ને સંતોષે છે અને તે નીચલા અર્ધ-સતત છે અને બીજગણિત આંતરિક ક્યાં છે અને, જ્યાં h એ કોઈ કાર્ય છે, તે સમૂહ છે, અથવા જ્યાં બિંદુઓ છે જ્યાં કાર્ય સતત છે. પછી મજબૂત દ્વૈતતા રહે છે, એટલે કે . જો પછી સર્વોચ્ચતા પ્રાપ્ત થાય છે. એક-પરિમાણીય ચિત્ર નીચેની આકૃતિમાં, સમીકરણની ડાબી બાજુએ લઘુતમ સમસ્યા સચિત્ર છે. એક x ને એવી રીતે બદલવા માંગે છે કે x પર બહિર્મુખ અને અંતર્મુખ વળાંક વચ્ચેનું ઊભી અંતર શક્ય તેટલું નાનું હોય. આકૃતિમાં ઊભી રેખાની સ્થિતિ (અંદાજિત) મહત્તમ છે. આગળનો આંકડો ઉપરોક્ત સમીકરણની જમણી બાજુએ મહત્તમકરણની સમસ્યાને સમજાવે છે. બે વળાંકોમાંથી દરેક પર સ્પર્શક એવી રીતે દોરવામાં આવે છે કે બંને સ્પર્શક સમાન ઢાળ ધરાવે છે p. સમસ્યા એ છે કે p ને એવી રીતે સમાયોજિત કરવી કે જેથી બે સ્પર્શક એકબીજાથી શક્ય તેટલા દૂર હોય (વધુ ચોક્કસપણે, જેમ કે જ્યાં તેઓ y-અક્ષને છેદે છે તે બિંદુઓ એકબીજાથી શક્ય તેટલા દૂર હોય). બે સ્પર્શકની કલ્પના કરો કે તેમની વચ્ચે ઊભી ઝરણાઓ સાથે ધાતુની પટ્ટીઓ છે જે તેમને અલગ કરે છે અને બે પેરાબોલાની સામે છે જે સ્થાને નિશ્ચિત છે. ફેન્શલનો પ્રમેય જણાવે છે કે બંને સમસ્યાઓનો ઉકેલ એક જ છે. લઘુત્તમ વર્ટિકલ સેપરેશન ધરાવતા બિંદુઓ પણ મહત્તમ રીતે અલગ થયેલ સમાંતર સ્પર્શક માટે સ્પર્શક બિંદુઓ છે. લિજેન્ડ્રે ટ્રાન્સફોર્મેશન કન્વેક્સ કન્જુગેટ મોરોની થીયરમ વોલ્ફ ડ્યુઅલિટી વર્નર ફેન્શેલ રેફરન્સ થીઅર્મ્સ ઇન એનાલિસિસ કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન પણ જુઓ.