Grassmann number
ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ગ્રાસમેન સંખ્યા, જેનું નામ હર્મન ગ્રાસમેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે (જેને એન્ટિકમ્યુટિંગ સંખ્યા અથવા સુપરનમ્બર પણ કહેવાય છે), તે જટિલ સંખ્યાઓ પર બાહ્ય બીજગણિતનું એક તત્વ છે. 1-પરિમાણીય બીજગણિતનો વિશેષ કેસ દ્વિ સંખ્યા તરીકે ઓળખાય છે. ગ્રાસમેન સંખ્યાઓનો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ફર્મિઓનિક ક્ષેત્રો માટે પાથ ઇન્ટિગ્રલ રજૂઆતને વ્યક્ત કરવા માટે પ્રારંભિક ઉપયોગ જોવા મળ્યો હતો, જો કે તેઓ હવે સુપરસ્પેસ માટે પાયો તરીકે વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, જેના પર સુપરસિમેટ્રી બનાવવામાં આવે છે. અનૌપચારિક ચર્ચા ગ્રાસમેન નંબરો એન્ટિ-કમ્યુટિંગ તત્વો અથવા પદાર્થો દ્વારા પેદા થાય છે. એન્ટિ-કમ્યુટિંગ ઓબ્જેક્ટ્સનો વિચાર ગણિતના બહુવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉદભવે છેઃ તેઓ સામાન્ય રીતે વિભેદક ભૂમિતિમાં જોવા મળે છે, જ્યાં વિભેદક સ્વરૂપો એન્ટિ-કમ્યુટિંગ હોય છે. વિભેદક સ્વરૂપોને સામાન્ય રીતે મેનીફોલ્ડ પર વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; જો કે, કોઈ વ્યક્તિ એવી પરિસ્થિતિનું ચિંતન કરી શકે છે કે જ્યાં કોઈ પણ અંતર્ગત બહુવિધ અસ્તિત્વને "ભૂલી જાય છે" અથવા "અવગણે છે", અને "ભૂલી જાય છે" અથવા "અવગણે છે" કે સ્વરૂપોને વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા, અને તેના બદલે, ફક્ત એવી પરિસ્થિતિનું ચિંતન કરો કે જ્યાં કોઈ વ્યક્તિ પાસે એવી વસ્તુઓ હોય કે જે પરિવહન વિરોધી હોય, અને તેમાં કોઈ અન્ય પૂર્વ-નિર્ધારિત અથવા પૂર્વ-અનુમાનિત ગુણધર્મો ન હોય. આવા પદાર્થો બીજગણિત બનાવે છે, અને ખાસ કરીને ગ્રાસમેન બીજગણિત અથવા બાહ્ય બીજગણિત. ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ તે બીજગણિતના ઘટકો છે. "સંખ્યા" નું નામકરણ એ હકીકત દ્વારા ન્યાયી ઠેરવવામાં આવે છે કે તેઓ "સામાન્ય" સંખ્યાઓથી વિપરીત વર્તન કરતા નથીઃ તેઓ ઉમેરી શકાય છે, ગુણાકાર કરી શકાય છે અને વિભાજિત કરી શકાય છેઃ તેઓ લગભગ એક ક્ષેત્રની જેમ વર્તે છે. વધુ કરી શકાય છેઃ કોઈ વ્યક્તિ ગ્રાસમેન સંખ્યાઓની બહુપદીઓને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે, જે હોલોમોર્ફિક કાર્યોના વિચાર તરફ દોરી જાય છે. આવા કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ લઈ શકાય છે, અને પછી એન્ટિ-ડેરિવેટિવ્ઝને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. આ દરેક વિચારોને કાળજીપૂર્વક વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને સામાન્ય ગણિતના સમકક્ષ ખ્યાલો સાથે વ્યાજબી રીતે સારી રીતે સુસંગત છે. સામ્યતા ત્યાં અટકતી નથીઃ એક પાસે સુપરમેથેમેટિક્સની સંપૂર્ણ શાખા છે, જ્યાં યુક્લિડિયન સ્પેસનું એનાલોગ સુપરસ્પેસ છે, મેનીફોલ્ડનું એનાલોગ સુપરમેનિફોલ્ડ છે, લાઈ બીજગણિતનું એનાલોગ લાઈ સુપરઅલજેબ્રા છે અને તેથી વધુ. ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ એ અંતર્ગત રચના છે જે આ બધાને શક્ય બનાવે છે. અલબત્ત, કોઈ પણ અન્ય ક્ષેત્ર અથવા તો રિંગ માટે સમાન કાર્યક્રમ ચલાવી શકે છે, અને આ ખરેખર ગણિતમાં વ્યાપક અને સામાન્ય રીતે કરવામાં આવે છે. જો કે, સુપરમેથેમેટિક્સ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિશેષ મહત્વ ધરાવે છે, કારણ કે એન્ટિ-કોમ્યુનિટિંગ વર્તણૂકને ફર્મિઓનની ક્વોન્ટમ-મિકેનિકલ વર્તણૂક સાથે મજબૂત રીતે ઓળખી શકાય છેઃ એન્ટિ-કોમ્યુનિકેશન એ પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતનું છે. આમ, ગ્રાસમેન નંબરો અને સુપરમેથેમેટિક્સનો અભ્યાસ, સામાન્ય રીતે, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમની ઉપયોગિતા દ્વારા મજબૂત રીતે સંચાલિત થાય છે. ખાસ કરીને, ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, અથવા વધુ સંક્ષિપ્તમાં, બીજા ક્વોન્ટાઇઝેશનમાં, એક લેડર ઓપરેટરો સાથે કામ કરે છે જે બહુ-કણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ બનાવે છે. ફર્મિઓન માટે નિસરણી ચલાવનારાઓ ક્ષેત્ર ક્વોન્ટા બનાવે છે જેમાં આવશ્યકપણે સમપ્રમાણતા વિરોધી તરંગ કાર્યો હોવા જોઈએ, કારણ કે આ પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંત દ્વારા ફરજ પાડવામાં આવે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, ગ્રાસમેન સંખ્યા તરત જ અને સીધી રીતે તરંગ કાર્યને અનુરૂપ હોય છે જેમાં કેટલાક (સામાન્ય રીતે અનિશ્ચિત) સંખ્યાબંધ ફર્મિઓન હોય છે. જ્યારે ફર્મિઓનની સંખ્યા નિશ્ચિત અને મર્યાદિત હોય છે, ત્યારે એન્ટિકોમ્યુટેશન સંબંધો અને સ્પિનરો વચ્ચેનો સ્પષ્ટ સંબંધ સ્પિન જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ જૂથને ક્લિફોર્ડ બીજગણિતમાં એકમ-લંબાઈના વેક્ટરના સબસેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને કુદરતી રીતે એન્ટિ-કમ્યુટિંગ વેઇલ સ્પિનર્સમાં ફેક્ટરાઇઝ થાય છે. સ્પિન જૂથ માટે એન્ટિ-કમ્યુટેશન અને સ્પિનર્સ તરીકે અભિવ્યક્તિ બંને કુદરતી રીતે ઉદભવે છે. સારમાં, ગ્રાસમેન નંબરોને સ્પિનથી ઉદ્ભવતા સંબંધોને કાઢી નાખવા અને માત્ર એન્ટિ-કોમ્યુનિકેશનને કારણે સંબંધો રાખવા તરીકે વિચારી શકાય છે. સામાન્ય વર્ણન અને ગુણધર્મો ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ એ વ્યક્તિગત ઘટકો અથવા બાહ્ય બીજગણિતના બિંદુઓ છે જે ગ્રાસમેન ચલ અથવા ગ્રાસમેન દિશાઓ અથવા સુપરચાર્જના સમૂહ દ્વારા પેદા થાય છે, જેમાં સંભવતઃ અનંત હોય છે. "ગ્રાસમેન વેરિયેબલ્સ" શબ્દનો ઉપયોગ ઐતિહાસિક છે; તેઓ વેરિયેબલ્સ નથી; તેઓ યુનિટલ બીજગણિતના પાયાના ઘટકો તરીકે વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે. પરિભાષા એ હકીકત પરથી આવે છે કે પ્રાથમિક ઉપયોગ સંકલનને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો છે, અને એકીકરણનું ચલ ગ્રાસમેન-મૂલ્યવાન છે, અને આમ, ભાષાના દુરુપયોગ દ્વારા, તેને ગ્રાસમેન ચલ કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, દિશાની કલ્પના સુપરસ્પેસની કલ્પનામાંથી આવે છે, જ્યાં સામાન્ય યુક્લિડિયન જગ્યાને વધારાના ગ્રાસમેન-મૂલ્યવાન "દિશાઓ" સાથે વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. ચાર્જની અપીલ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ચાર્જની કલ્પનામાંથી આવે છે, જે ભૌતિક સમપ્રમાણતાના જનરેટરને અનુરૂપ છે (નોઇથરના પ્રમેય દ્વારા). દેખીતી સમપ્રમાણતા એ છે કે એક ગ્રાસમેન ચલ દ્વારા ગુણાકાર ફર્મિઓન અને બોસોન વચ્ચેના ગ્રેડિંગને અદલાબદલી કરે છે; આની નીચે વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે. ગ્રાસમેન ચલ એ વેક્ટર સ્પેસ (પરિમાણ) ના આધાર વાહક છે. તેઓ ક્ષેત્ર પર બીજગણિત બનાવે છે, જેમાં ક્ષેત્રને સામાન્ય રીતે જટિલ સંખ્યાઓ તરીકે લેવામાં આવે છે, જો કે વાસ્તવિક ક્ષેત્રો જેવા અન્ય ક્ષેત્રો પર વિચાર કરી શકાય છે. બીજગણિત એ એક અભિન્ન બીજગણિત છે, અને જનરેટર એ એન્ટિ-કમ્યુટિંગ છેઃ કારણ કે તે જટિલ સંખ્યાઓ પર વેક્ટર સ્પેસના ઘટકો છે, તેઓ વ્યાખ્યા દ્વારા, જટિલ સંખ્યાઓ સાથે પરિવર્તિત થાય છે. એટલે કે, જટિલ માટે, જનરેટરના ચોરસ અદૃશ્ય થઈ જાય છેઃ કારણ કે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગ્રાસમેન ચલ એ શૂન્યનો બિન-શૂન્ય ચોરસ-મૂળ છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ઔપચારિક રીતે, ચાલો આધાર સાથે-પરિમાણીય જટિલ વેક્ટર જગ્યા હોઈએ. ગ્રાસમેન બીજગણિત કે જેના ગ્રાસમેન ચલોને બાહ્ય બીજગણિત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે બાહ્ય ઉત્પાદન ક્યાં છે અને તે સીધો સરવાળો છે. આ બીજગણિતના વ્યક્તિગત તત્વોને પછી ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. એકવાર વ્યાખ્યા સ્થાપિત થઈ જાય પછી ગ્રાસમેન નંબર લખતી વખતે ફાચર પ્રતીકને અવગણવું પ્રમાણભૂત છે. સામાન્ય ગ્રાસમેન નંબરને આ રીતે લખી શકાય છે કે જ્યાં સખત રીતે વધી રહ્યા છે-ટુપલ્સ સાથે, અને તે જટિલ છે, સંપૂર્ણપણે ક્રમના અસમપ્રમાણતા વિરોધી ટેન્સર છે. ફરીથી, અને (વિષય), અને મોટા મર્યાદિત ઉત્પાદનો, અહીં પેટા જગ્યાઓના બેઝિસ વેક્ટરની ભૂમિકા ભજવતા જોઈ શકાય છે. રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ગ્રાસમેન ચલ દ્વારા પેદા થયેલ ગ્રાસમેન બીજગણિત પરિમાણ ધરાવે છે; આ ઉપરોક્ત સરવાળા પર લાગુ દ્વિપદી પ્રમેયને અનુસરે છે, અને હકીકત એ છે કે ઉપરના વિનિમય-વિરોધી સંબંધો દ્વારા ચલોનું-ગણો ગુણાકાર અદૃશ્ય થઈ જવું જોઈએ. નું પરિમાણ પસંદ, દ્વિપદી ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. ના વિશેષ કેસને બેવડી સંખ્યા કહેવામાં આવે છે, અને 1873 માં વિલિયમ ક્લિફોર્ડ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. જો તે અનંત-પરિમાણીય હોય, તો ઉપરોક્ત શ્રેણી સમાપ્ત થતી નથી અને એક વ્યાખ્યાયિત કરે છે સામાન્ય તત્વ હવે છે જ્યાં તેને કેટલીકવાર શરીર અને સુપરનમ્બરના આત્મા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગુણધર્મો મર્યાદિત-પરિમાણીય કિસ્સામાં (સમાન પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીને) આત્મા નિલપોટેન્ટ છે, એટલે કે. પરંતુ અનંત-પરિમાણીય કિસ્સામાં આવું જરૂરી નથી. જો મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય, તો પછી અને જો અનંત-પરિમાણીય હોય તો મર્યાદિત વિ. જનરેટરના ગણતરીપાત્ર સમૂહો સાહિત્યમાં સામાન્ય રીતે બે અલગ પ્રકારના સુપરનમ્બર દેખાય છેઃ જેમની પાસે મર્યાદિત સંખ્યામાં જનરેટર હોય, સામાન્ય રીતે = 1,2,3 અથવા 4, અને જેમની પાસે ગણતરીપાત્ર-અનંત સંખ્યામાં જનરેટર હોય. આ બંને પરિસ્થિતિઓ શરૂઆતમાં જેટલી અસંબદ્ધ લાગે છે તેટલી અસંબંધિત નથી. પ્રથમ, સુપરમેનિફોલ્ડની વ્યાખ્યામાં, એક પ્રકાર અસંખ્ય જનરેટરનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ પછી એક ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરે છે જે પરિમાણને અસરકારક રીતે નાની મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટાડે છે. અન્ય કિસ્સામાં, કોઈ મર્યાદિત સંખ્યામાં જનરેટરથી શરૂઆત કરી શકે છે, પરંતુ બીજા ક્વોન્ટાઇઝેશન દરમિયાન, અનંત સંખ્યામાં જનરેટરની જરૂર પડે છેઃ દરેક સંભવિત વેગ માટે એક જનરેટર જે ફર્મિઓન વહન કરી શકે છે. ઇન્વોલ્યુશન, ક્ષેત્રની પસંદગી જટિલ સંખ્યાઓને સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વિરોધમાં ગ્રાસમેન સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા માટે ક્ષેત્ર તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, કારણ કે જ્યારે જોડાણ અથવા ઇન્વોલ્યુશન રજૂ કરવામાં આવે છે ત્યારે આ કેટલીક વિચિત્ર વર્તણૂકોને ટાળે છે. ગ્રાસમેન નંબરો પર ઓપરેટર * રજૂ કરવું સામાન્ય છે જેમ કેઃ જનરેટર ક્યારે છે, અને એવું કે કોઈ પછી ગ્રાસમેન નંબરો z ને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે, જેના માટે, અને આને (સુપર) વાસ્તવિક શબ્દ આપી શકે છે, જ્યારે જેઓ તેનું પાલન કરે છે તેમને (સુપર) કાલ્પનિક કહેવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યાઓ બરાબર ચાલે છે, ભલે ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો આધાર ક્ષેત્ર તરીકે ઉપયોગ કરે; જો કે, આવા કિસ્સામાં, જો જનરેટરની સંખ્યા 4 કરતા ઓછી હોય તો ઘણા ગુણાંક અદૃશ્ય થવા માટે મજબૂર થાય છે. આમ, પરંપરા મુજબ, ગ્રાસમેન સંખ્યાઓને સામાન્ય રીતે જટિલ સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અન્ય સંમેલનો શક્ય છે; ઉપરોક્તને કેટલીકવાર ડેવિટ સંમેલન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે; રોજર્સ આક્રમણ માટે કામ કરે છે. આ પરંપરામાં, વાસ્તવિક સુપરનમ્બરમાં હંમેશા વાસ્તવિક ગુણાંક હોય છે; જ્યારે ડેવિટ પરંપરામાં, વાસ્તવિક સુપરનમ્બરમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ગુણાંક બંને હોઈ શકે છે. આમ છતાં, સામાન્ય રીતે ડેવિટ સંમેલન સાથે કામ કરવું સૌથી સરળ હોય છે. વિશ્લેષણ ગ્રાસમેન ચલની વિચિત્ર સંખ્યાના ઉત્પાદનો એકબીજા સાથે એન્ટિ-કોમ્યુટ; આવા ઉત્પાદનને ઘણીવાર એ-નંબર કહેવામાં આવે છે. ગ્રાસમેન ચલની સમ સંખ્યાના ઉત્પાદનોની અવરજવર (તમામ ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ સાથે); તેમને ઘણીવાર સી-નંબર્સ કહેવામાં આવે છે. પરિભાષાના દુરૂપયોગ દ્વારા, એ-નંબરને કેટલીકવાર એન્ટિકમ્યુટિંગ સી-નંબર કહેવામાં આવે છે. સમ અને વિષમ પેટા જગ્યામાં આ વિઘટન બીજગણિત પર ગ્રેડિંગ પ્રદાન કરે છે; આમ ગ્રાસમેન આલ્જેબ્રા એ સુપરકોમ્યુટેટિવ આલ્જેબ્રાના પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણો છે. નોંધ લો કે સી-નંબરો ઉપ-બીજગણિત બનાવે છે, પરંતુ એ-નંબરો નથી (તેઓ એક ઉપસ્થાન છે, ઉપ-બીજગણિત નથી). ગ્રાસમેન સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા જટિલ સંખ્યાઓ પરના વિશ્લેષણની સામ્યતામાં ગાણિતિક વિશ્લેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. એટલે કે, કોઈ સુપરહોલોમોર્ફિક વિધેયોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, વ્યુત્પન્નને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, તેમજ સંકલનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. બેવડી સંખ્યાઓ પરના લેખમાં કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓ વધુ વિગતવાર વિકસાવવામાં આવી છે. સામાન્ય નિયમ તરીકે, અનંત સંખ્યામાં જનરેટર સાથે ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીને સામાન્ય ગાણિતિક એકમોના અતિ-સમમિતીય એનાલોગને વ્યાખ્યાયિત કરવું સામાન્ય રીતે સરળ છેઃ મોટાભાગની વ્યાખ્યાઓ સીધી બની જાય છે, અને તેને અનુરૂપ બોસોનીક વ્યાખ્યાઓમાંથી લઈ શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક જ ગ્રાસમેન સંખ્યાને એક-પરિમાણીય જગ્યા પેદા કરવા તરીકે વિચારી શકાય છે. એક વેક્ટર સ્પેસ,-ડાયમેન્શનલ સુપરસ્પેસ, પછી આ એક-ડાયમેન્શનલના-ફોલ્ડ કાર્ટેશિયન પ્રોડક્ટ તરીકે દેખાય છે તે બતાવી શકાય છે કે આ અનિવાર્યપણે જનરેટર સાથેના બીજગણિતની સમકક્ષ છે, પરંતુ આ માટે કાર્યની જરૂર છે. સ્પિનોર સ્પેસ સ્પિનોર સ્પેસને વેઇલ સ્પિનર્સ (અને એન્ટિ-સ્પિનર્સ) ની જગ્યાના ગ્રાસમેન અથવા બાહ્ય બીજગણિત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે n ફર્મિઓનના તરંગ કાર્યો તેમાં આવે છે. ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ પરના સંકલન સંકલનને બેરેઝિન સંકલન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (કેટલીકવાર તેને ગ્રાસમેન સંકલન કહેવામાં આવે છે). ફર્મી ક્ષેત્ર માટે પાથ ઇન્ટિગ્રલનું પુનઃઉત્પાદન કરવા માટે, ગ્રાસમેન ઇન્ટિગ્રેશનની વ્યાખ્યામાં નીચેના ગુણધર્મો હોવા જરૂરી છેઃ રેખીય આંશિક એકીકરણ સૂત્ર વધુમાં, કોઈપણ કાર્યનું ટેલર વિસ્તરણ બે શબ્દો પછી સમાપ્ત થાય છે કારણ કે, અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતને વધુમાં ઇન્ટિગ્રેશન વેરિયેબલ્સના સ્થળાંતર હેઠળ અપરિવર્તનની જરૂર પડે છે જેમ કે આ શરતને સંતોષતું એકમાત્ર રેખીય કાર્ય અચળ (પરંપરાગત રીતે 1) વખત છે, તેથી બેરેઝિને વ્યાખ્યાયિત કર્યું આ ગ્રાસમેન જથ્થાના એકીકરણ માટેના નીચેના નિયમોમાં પરિણમે છેઃ આમ આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે ગ્રાસમેન સંખ્યાના એકીકરણ અને તફાવતની કામગીરી સમાન છે. ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીના પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલેશનમાં ફર્મીયોનિક એન્ટિકોમ્યુટિંગ ક્ષેત્રો માટે ગ્રાસમેન જથ્થાના નીચેના ગૌસીયન ઇન્ટિગ્રલની જરૂર છે, જેમાં A એ N × N મેટ્રિક્સ છેઃ પરંપરાઓ અને જટિલ એકીકરણ બહુવિધ ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ પર સંકલન કરતી વખતે અસ્પષ્ટતા ઊભી થાય છે. કેટલાક લેખકો ઓપરેટરોના હર્મિશિયન સંયોજનની જેમ જ જટિલ સંયોજનને પણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, વધારાના સંમેલન સાથે આપણે સ્વતંત્ર ગ્રાસમેન નંબરો તરીકે ગણી શકીએ છીએ અને અપનાવી શકીએ છીએ. આમ, એક ગૌસીયન અભિન્ન મૂલ્યાંકન કરે છે અને એક પરિબળને અસરકારક રીતે રજૂ કરે છે, જેમ કે એક સામાન્ય ગૌસીયન, એકાત્મકતા સાબિત કર્યા પછી, આપણે સામાન્ય ગૌસીયન અભિન્નનું મૂલ્યાંકન કરી શકીએ છીએ જેમાં હર્મિશિયન મેટ્રિક્સનો સમાવેશ થાય છે જેમાં આઈગનવેલ્યુઝ હોય છે, મેટ્રિક્સ રજૂઆતો ગ્રાસમેન નંબરોને મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ દ્વારા પેદા થયેલ ગ્રાસમેન બીજગણિતનો વિચાર કરો. આ ગ્રાસમેન સંખ્યાઓને 4 × 4 મેટ્રિસીસ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ સામાન્ય રીતે, n જનરેટર પરના ગ્રાસમેન બીજગણિતને 2n × 2n ચોરસ મેટ્રિસીસ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. ભૌતિક રીતે, આ મેટ્રિસીસને વ્યવસાય સંખ્યાના આધારે n સમાન ફર્મિઓનની હિલ્બર્ટ જગ્યા પર કામ કરતા રાઇઝિંગ ઓપરેટર્સ તરીકે વિચારી શકાય છે. દરેક ફર્મિઓન માટે વ્યવસાય સંખ્યા 0 અથવા 1 હોવાથી, ત્યાં 2n સંભવિત આધાર સ્થિતિઓ છે. ગાણિતિક રીતે, આ મેટ્રિસીસને ગ્રાસમેન બીજગણિત પર જ ડાબી બાજુના બાહ્ય ગુણાકારને અનુરૂપ રેખીય સંચાલકો તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. સામાન્યીકરણ ગ્રાસમેન નંબરોમાં કેટલાક સામાન્યીકરણ છે. આના માટે N ચલની દ્રષ્ટિએ નિયમોની જરૂર પડે છે જેમ કેઃ જ્યાં સૂચકાંકોને તમામ ક્રમચયો પર સરવાળો કરવામાં આવે છે જેથી પરિણામેઃ કેટલાક N> 2 માટે. આ એન-ટેન્સરના હાયપરડિટરમિનન્ટ્સની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગી છે જ્યાં એન> 2 અને 2 કરતા મોટી ઘાત માટે બહુપદીઓના ડિસ્ક્રિમિનન્ટ્સની ગણતરી કરવા માટે પણ ઉપયોગી છે. ત્યાં મર્યાદિત કેસ પણ છે કારણ કે એન અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે જેમાં કોઈ વ્યક્તિ સંખ્યાઓ પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, N = 3 ના કિસ્સામાં એક જ ગ્રાસમેન નંબરને મેટ્રિક્સ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ જેથી. બે ગ્રાસમેન સંખ્યાઓ માટે મેટ્રિક્સનું કદ 10 × 10 હશે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ગ્રાસમેન ચલ સાથે N = 3 માટેના નિયમો સૂચવે છેઃ જેથી તે બતાવી શકાય કે અને તેથી જે 2 × 2 × 2 ટેન્સરના હાયપરડિટરમિનન્ટ માટે વ્યાખ્યા આપે છે જેમ કે ગ્રાસમેનિયન હર્મન ગ્રાસમેન (ભાષાશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી) સુપરસ્પેસ બાહ્ય બીજગણિત નોંધો હાયપરકોમ્પ્લેક્સ નંબર્સ સુપરસિમેટ્રી ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી