Thin set (Serre)
ગણિતમાં, સેરના અર્થમાં પાતળો સમૂહ, જેને જીન-પિયરે સેરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે આપેલ ક્ષેત્ર K પર બીજગણિત ભૂમિતિમાં બાંધવામાં આવેલ ચોક્કસ પ્રકારનો સબસેટ છે, જે ચોક્કસ અર્થમાં 'અસંભવિત' હોય તેવી મંજૂરી આપેલી કામગીરીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. બે મૂળભૂત બાબતો છેઃ બહુપદી સમીકરણને હલ કરવું કે જે કેસ હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે; K ની અંદર એક બહુપદીને હલ કરવી જે હંમેશા ફેક્ટરાઇઝ થતી નથી. એકને મર્યાદિત સંઘ લેવાની પણ મંજૂરી છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, V એ K પર બીજગણિત વિવિધતા છે (અહીં ધારણાઓ છેઃ V એ ઈરીડ્યુસિબલ સમૂહ છે, અર્ધ-પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા છે, અને K ની લાક્ષણિકતા શૂન્ય છે). પ્રકાર I પાતળો સમૂહ એ V (K) નો સબસેટ છે જે ઝારિસ્કી-ગાઢ નથી. તેનો અર્થ એ કે તે બીજગણિત સમૂહમાં આવેલું છે જે d કરતા ઓછા પરિમાણોની બીજગણિત જાતોનું મર્યાદિત જોડાણ છે, જે V નું પરિમાણ છે. A પ્રકાર II પાતળા સમૂહ એ બીજગણિત મોર્ફિઝમ (અનિવાર્યપણે બહુપદી મેપિંગ) φ ની છબી છે, જે કેટલાક અન્ય d-પરિમાણીય બીજગણિત વિવિધતા V′ ના K-બિંદુઓ પર લાગુ થાય છે, જે આવશ્યકપણે ડિગ્રી e> 1 સાથે વિસ્તૃત આવરણ તરીકે V પર નકશો બનાવે છે. આને વધુ તકનીકી રીતે કહીએ તો, પ્રકાર II નો પાતળો સમૂહ એ φ (V′ (K)) નો કોઈપણ સબસેટ છે જ્યાં V′ એ જ ધારણાઓને સંતોષે છે જેમ કે V અને φ સામાન્ય રીતે જિયોમીટરના દૃષ્ટિકોણથી સર્જેક્ટિવ છે. તેથી કાર્ય ક્ષેત્રોના સ્તરે આપણી પાસે [K (V): K (V′)] = e> 1 છે. જ્યારે V નો લાક્ષણિક બિંદુ v એ φ (u) છે અને u એ V′ માં છે, ત્યારે K (V) માં આવેલા v થી આપણે સામાન્ય રીતે માત્ર એ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે u ના કોઓર્ડિનેટ્સ K પર ડિગ્રી e સમીકરણને હલ કરવાથી આવે છે. આ શાસ્ત્રીય હિલ્બર્ટ ઇરેડ્યુસિબિલિટી થીયરમને વધુ ભૌમિતિક દ્રષ્ટિએ સુધારે છે. પાતળો સમૂહ, સામાન્ય રીતે, પ્રકાર I અને II ના પાતળા સમૂહના મર્યાદિત જોડાણનો સબસેટ છે. પાતળી પરિભાષા એ હકીકત દ્વારા વાજબી ઠેરવી શકાય છે કે જો A એ Q પરની રેખાના પાતળા સબસેટ હોય તો મહત્તમ H પર ઊંચાઈના A ના બિંદુઓની સંખ્યા ′H છેઃ મહત્તમ H પર ઊંચાઈના અભિન્ન બિંદુઓની સંખ્યા છે, અને આ પરિણામ શ્રેષ્ઠ શક્ય છે. મોટી ચાળણી પદ્ધતિ પર આધારિત એસ. ડી. કોહેનનું પરિણામ, આ પરિણામને વિસ્તરે છે, ઊંચાઈ કાર્ય દ્વારા બિંદુઓની ગણતરી કરે છે અને મજબૂત અર્થમાં દર્શાવે છે કે પાતળા સમૂહમાં તેમનું પ્રમાણ ઓછું હોય છે (આની ચર્ચા મોર્ડેલ-વેઇલ પ્રમેય પર સેરેના વ્યાખ્યાનમાં કરવામાં આવી છે). ધારો કે A એ Q પર સંલગ્ન n-અવકાશમાં એક પાતળો સમૂહ છે અને ધારો કે N (H) મહત્તમ H પર નિષ્કપટ ઊંચાઈના અભિન્ન બિંદુઓની સંખ્યાને સૂચવે છે. પછી હિલ્બર્ટિયન ક્ષેત્રો A હિલ્બર્ટિયન વિવિધતા V ઉપર K એ એક છે જેના માટે V (K) પાતળું નથીઃ આ V નો દ્વિવાર્ષિક અપરિવર્તનશીલ છે. A હિલ્બર્ટિયન ક્ષેત્ર K એ એક છે જેના માટે K પર હકારાત્મક પરિમાણની હિલ્બર્ટિયન વિવિધતા અસ્તિત્વમાં છેઃ આ શબ્દ 1962 માં લેંગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. જો K હિલ્બર્ટિયન હોય તો K પરની પ્રોજેક્ટિવ રેખા હિલ્બર્ટિયન છે, તેથી આને વ્યાખ્યા તરીકે લઈ શકાય છે. તર્કસંગત સંખ્યા ક્ષેત્ર Q એ હિલ્બર્ટિયન છે, કારણ કે હિલ્બર્ટના ઇરેડ્યુસિબિલિટી થીયરમમાં એક ઉપસંહાર તરીકે છે કે Q પરની પ્રોજેક્ટિવ રેખા હિલ્બર્ટિયન છેઃ ખરેખર, કોઈપણ બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર હિલ્બર્ટિયન છે, ફરીથી હિલ્બર્ટ ઇરેડ્યુસિબિલિટી થીયરમ દ્વારા. વધુ સામાન્ય રીતે હિલ્બર્ટિયન ક્ષેત્રનું મર્યાદિત ડિગ્રી વિસ્તરણ હિલ્બર્ટિયન છે અને કોઈપણ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અનંત ક્ષેત્ર હિલ્બર્ટિયન છે. હિલ્બર્ટિયન ક્ષેત્રોના કાયમીપણાના માપદંડ પર ઘણા પરિણામો છે. નોંધપાત્ર રીતે હિલ્બર્ટિયાનિટી મર્યાદિત અલગ કરી શકાય તેવા એક્સ્ટેન્શન્સ અને અબેલિયન એક્સ્ટેન્શન્સ હેઠળ સંરક્ષિત છે. જો N એ હિલ્બર્ટિયન ક્ષેત્રનું ગેલોઇસ વિસ્તરણ છે, તો N પોતે હિલ્બર્ટિયન હોવું જરૂરી નથી, તેમ છતાં વેઇસૌરના પરિણામો ભારપૂર્વક જણાવે છે કે N નું કોઈપણ યોગ્ય મર્યાદિત વિસ્તરણ હિલ્બર્ટિયન છે. આ દિશામાં સૌથી સામાન્ય પરિણામ હારનનું હીરા પ્રમેય છે. આ પરિણામો અને વધુ પરની ચર્ચા ફ્રીડ-જાર્ડનના ફિલ્ડ એરિથમેટિકમાં જોવા મળે છે. હિલ્બર્ટિયન હોવું એ બીજગણિત રીતે બંધ થવાથી સ્કેલના બીજા છેડે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, જટિલ સંખ્યાઓમાં તમામ સમૂહો પાતળા હોય છે. તેઓ, અન્ય સ્થાનિક ક્ષેત્રો (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, પી-એડિક સંખ્યાઓ) સાથે હિલ્બર્ટિયન નથી. સંખ્યા ક્ષેત્ર પર વિવિધ V માટે WWA ગુણધર્મ (નબળો 'નબળો અંદાજ', sic) નબળો અંદાજ છે (cf. બીજગણિત જૂથોમાં અંદાજ), K ના સ્થાનોના મર્યાદિત સમૂહો માટે આપેલ કેટલાક મર્યાદિત સમૂહોને ટાળીને. ઉદાહરણ તરીકે K = Q લોઃ તે જરૂરી છે કે V (Q) એ મુખ્ય સંખ્યાઓ p ના મર્યાદિત સમૂહો પરના તમામ ઉત્પાદનો માટે ΠV (Qp) માં ગાઢ હોય, જેમાં એકવાર અને બધા માટે આપવામાં આવેલા અમુક સમૂહ {p1,., pM} નો સમાવેશ થતો નથી. એકેડાહલે સાબિત કર્યું છે કે વી માટે ડબ્લ્યુડબ્લ્યુએ સૂચવે છે કે વી હિલ્બર્ટિયન છે. હકીકતમાં કોલિઓટ-થેલીન અનુમાન કરે છે કે ડબ્લ્યુડબ્લ્યુએ કોઈપણ એકરૂપ વિવિધતા માટે ધરાવે છે, જે તેથી એક મજબૂત નિવેદન છે. આ અનુમાન વિપરીત ગેલોઇસ સમસ્યાનો સકારાત્મક જવાબ સૂચવે છે. સંદર્ભો ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ ક્ષેત્ર (ગણિત)