Adjunction formula
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિત ભૂમિતિ અને જટિલ મેનીફોલ્ડ્સના સિદ્ધાંતમાં, સંલગ્ન સૂત્ર વિવિધતાના કેનોનિકલ બંડલ અને તે વિવિધતાની અંદરના અતિસંવેદનશીલતાને સંબંધિત કરે છે. તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ જેવી સારી વર્તણૂકવાળી જગ્યાઓમાં જડિત જાતો વિશેની હકીકતો શોધવા માટે અથવા ઇન્ડક્શન દ્વારા પ્રમેયોને સાબિત કરવા માટે થાય છે. સરળ જાતો માટે સંયોજન સરળ પેટા વિવિધતા માટે સૂત્ર ચાલો X એક સરળ બીજગણિત વિવિધતા અથવા સરળ જટિલ મેનીફોલ્ડ હોય અને Y એ X ની સરળ પેટા વિવિધતા હોય. સમાવેશ નકશાને i દ્વારા અને X માં Y ના આદર્શ આવરણને x દ્વારા દર્શાવો. i માટે કોન્ઓર્મલ ચોક્કસ ક્રમ એ છે કે જ્યાં ω એ કોટેનજેન્ટ બંડલ સૂચવે છે. આ ચોક્કસ ક્રમનો નિર્ધારક એક કુદરતી સમરૂપતા છે જ્યાં રેખા બંડલના દ્વૈતને સૂચવે છે. સ્મૂથ વિભાજકનો ચોક્કસ કેસ ધારો કે D એ X પર સ્મૂથ વિભાજક છે. તેનું સામાન્ય બંડલ X પર એક રેખા બંડલ સુધી વિસ્તરે છે, અને D નું આદર્શ આવરણ તેના દ્વિને અનુરૂપ છે. કોનોનિકલ બંડલ છે, જે ઉપરના સૂત્ર સાથે જોડાઈને આપે છે. કેનોનિકલ વર્ગોના સંદર્ભમાં, આ કહે છે કે આ બંને સૂત્રોને સંલગ્ન સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો ડિગ્રી ડી હાયપરસર્ફેસ એક સરળ ડિગ્રી હાયપરસર્ફેસ આપવામાં આવે તો આપણે સંલગ્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના કેનોનિકલ અને એન્ટી-કેનોનિકલ બંડલ્સની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આ એવું વાંચે છે જે આઇસોમોર્ફિક છે. સંપૂર્ણ આંતરછેદો ડિગ્રીના સરળ સંપૂર્ણ આંતરછેદ માટે, કોનૉર્મલ બંડલ આઇસોમોર્ફિક છે, તેથી નિર્ધારક બંડલ છે અને તેનું ડ્યુઅલ છે, જે દર્શાવે છે કે આ તમામ સંપૂર્ણ આંતરછેદો માટે સમાન રીતે સામાન્ય બને છે. ચતુષ્કોણ સપાટીમાં વળાંક બિન-એકાત્મક સમપ્રમાણ મેટ્રિક્સમાંથી આવતા ચતુષ્કોણ બહુપદીના અદ્રશ્ય થઈ રહેલા સ્થાન દ્વારા આપવામાં આવેલી ચતુષ્કોણ સપાટી તરીકે જડિત થાય છે. પછી આપણે આપણું ધ્યાન વળાંક પર મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ. આપણે દરેક પર કોટેનજેન્ટ બંડલના સીધા સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને કોટેનજેન્ટ બંડલની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, તેથી તે છે. પછી, કેનોનિકલ શીફ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે વેક્ટર બંડલ્સના સીધા સરવાળાના વેજના વિઘટનનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. પછી, સંલગ્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, વિભાગના લુપ્ત થતા સ્થાન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંકની ગણતરી પોઇનકેરે અવશેષ તરીકે કરી શકાય છે પ્રતિબંધ નકશાને પોઇનકેરે અવશેષ કહેવામાં આવે છે. ધારો કે X એ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ છે. પછી વિભાગો પર, પોઇનકેરે અવશેષો નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે. એક ખુલ્લો સમૂહ U નક્કી કરો કે જેના પર D એ વિધેય f ના લુપ્ત થવાથી આપવામાં આવે છે. U પરનો કોઈપણ વિભાગ s/f તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં s એ U પર હોલોમોર્ફિક વિધેય છે. ધારો કે η એ ωX ના U પરનો વિભાગ છે. પોઇનકેર અવશેષ એ નકશો છે કે, તે વેક્ટર ક્ષેત્રને વોલ્યુમ સ્વરૂપ η પર લાગુ કરીને રચાય છે, પછી હોલોમોર્ફિક ફંક્શન s દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. જો U સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સ z1,., zn ને સ્વીકારે છે, જેમ કે કેટલાક i, ષ્ણૂ f/ષ્ણૂ zi §0 માટે, તો આને આ રીતે પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે પોઇનકેર અવશેષોને જોવાની બીજી રીત પહેલા સંલગ્ન સૂત્રને સમરૂપતા તરીકે ફરીથી અર્થઘટન કરે છે પહેલાની જેમ ખુલ્લા સમૂહ U પર, એક વિભાગ એ સ્વરૂપ સાથે હોલોમોર્ફિક ફંક્શન s નું ઉત્પાદન છે. પોઇનકેરે અવશેષ એ નકશો છે જે ωD ના વિભાગ અને ωD ના વિભાગનું ફાચર ઉત્પાદન લે છે. સંયોજનનું વ્યુત્ક્રમ સંયોજન સૂત્ર ત્યારે ખોટું હોય છે જ્યારે સામાન્ય ચોક્કસ ક્રમ ટૂંકો ચોક્કસ ક્રમ ન હોય. જો કે, આ નિષ્ફળતાનો ઉપયોગ X ની એકવચનતાને D ની એકવચનતા સાથે સાંકળવા માટે શક્ય છે. આ પ્રકારના પ્રમેયોને સંલગ્નતાનું વ્યુત્ક્રમ કહેવામાં આવે છે. તેઓ આધુનિક દ્વિવાર્ષિક ભૂમિતિમાં એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. પ્લેન વળાંકનો કેનોનિકલ ડિવાઇઝર ચાલો એક સરળ પ્લેન વળાંક હોઈએ જે ડિગ્રી સજાતીય બહુપદી દ્વારા કાપવામાં આવે છે. આપણે દાવો કરીએ છીએ કે કેનોનિકલ વિભાજક એ છે જ્યાં હાયપરપ્લેન વિભાજક છે. એફાઇન ચાર્ટમાં પ્રથમ કામ કરો. સમીકરણ ક્યાં અને બને છે. આપણે સ્પષ્ટપણે વિભેદકના વિભાજકની ગણતરી કરીશું કોઈપણ સમયે ક્યાં તો તે સ્થાનિક પરિમાણ છે અથવા તો તે સ્થાનિક પરિમાણ છે. બંને કિસ્સાઓમાં બિંદુ પર અદ્રશ્ય થવાનો ક્રમ શૂન્ય છે. આમ વિભાજકમાં તમામ યોગદાન અનંત રેખા પર હોય છે. હવે રેખા પર જુઓ. ધારો કે તેથી તે કોઓર્ડિનેટ્સ અને સાથે ચાર્ટમાં જોવા માટે પૂરતું છે. વળાંકનું સમીકરણ લુપ્ત થવાના ક્રમ સાથે આમ બને છે. તેથી જે સંલગ્ન સૂત્ર સાથે સંમત થાય છે. વણાંકો માટેના ઉપયોગ સમતલ વણાંકો માટેનું જીનસ-ડિગ્રી સૂત્ર સંલગ્ન સૂત્રમાંથી તારવી શકાય છે. ધારો કે C′P2 એ ડિગ્રી d અને જીનસ g નો સરળ સમતલ વળાંક છે. ધારો કે H એ P2 માં હાયપરપ્લેનનો વર્ગ છે, એટલે કે રેખાનો વર્ગ. P2 નો કેનોનિકલ વર્ગ −3H છે. પરિણામે, સંલગ્ન સૂત્ર કહે છે કે C નું પ્રતિબંધ C ના કેનોનિકલ વર્ગની બરાબર છે. આ પ્રતિબંધ C માટે પ્રતિબંધિત આંતરછેદ ઉત્પાદન જેવું જ છે, અને તેથી C ના કેનોનિકલ વર્ગની ડિગ્રી છે. રીમાન-રોક પ્રમેય અનુસાર, g−1 = (d−3) d−g + 1, જે સૂત્ર સૂચવે છે. P1 × P1 પરનું આંતરછેદન સ્વરૂપ દ્વિધ્રુવીય અને દ્વિધ્રુવીયતાની વ્યાખ્યા દ્વારા છે, તેથી રીમાન-રોક લાગુ કરવાથી મળે છે અથવા વળાંક C ની જાતિ જે P3 માં બે સપાટીઓ D અને E નું સંપૂર્ણ આંતરછેદ છે તેની ગણતરી પણ સંલગ્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. ધારો કે d અને e એ અનુક્રમે D અને E ની ડિગ્રી છે. D ને સંલગ્ન સૂત્ર લાગુ કરવું દર્શાવે છે કે તેનો કેનોનિકલ વિભાજક છે, જે અને D નું આંતરછેદ ગુણાકાર છે. E સાથે ફરીથી આવું કરવું, જે શક્ય છે કારણ કે C એ સંપૂર્ણ આંતરછેદ છે, તે દર્શાવે છે કે કેનોનિકલ વિભાજક C એ ગુણાકાર છે, એટલે કે તેની ડિગ્રી છે. રીમાન-રોક પ્રમેય મુજબ, આ સૂચવે છે કે C ની જાતિ વધુ સામાન્ય રીતે, જો C એ Pn માં ડિગ્રીના અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓનું સંપૂર્ણ આંતરછેદ હોય, તો પ્રેરક ગણતરી દર્શાવે છે કે C નો કેનોનિકલ વર્ગ છે. રીમાન-રોક પ્રમેય સૂચવે છે કે આ વળાંકની જાતિ નિમ્ન પરિમાણીય ટોપોલોજીમાં છે ચાલો S એક જટિલ સપાટી (ખાસ કરીને 4-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ) હોય અને તે એક સરળ (બિન-એકકોણીય) જોડાયેલ જટિલ વળાંક હોય. પછી સી ની જાતિ ક્યાં છે, સ્વ-આંતરછેદો સૂચવે છે અને ક્રોનેકર જોડી સૂચવે છે. લોગરિથમિક સ્વરૂપ પોઇનકેર અવશેષ થોમ અનુમાન સંદર્ભો આંતરછેદ સિદ્ધાંત બીજી આવૃત્તિ, વિલિયમ ફુલ્ટન, સ્પ્રિંગર, ઉદાહરણ 3.2.12 પણ જુઓ. બીજગણિત ભૂમિતિના સિદ્ધાંતો, ગ્રિફિથ્સ અને હેરિસ, વિલી ક્લાસિક લાઇબ્રેરી, pp 146-147. બીજગણિત ભૂમિતિ, રોબિન હાર્ટશોર્ન, સ્પ્રિંગર GTM 52, પ્રપોઝિશન II.8.20. બીજગણિત ભૂમિતિ