Regular singular point
ગણિતમાં, જટિલ સમતલમાં સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, ના બિંદુઓને સામાન્ય બિંદુઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેના પર સમીકરણના ગુણાંક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો હોય છે, અને એકવચન બિંદુઓ, જેના પર કેટલાક ગુણાંકની એકવચનતા હોય છે. પછી એકવચન બિંદુઓ વચ્ચે, નિયમિત એકવચન બિંદુ વચ્ચે એક મહત્વપૂર્ણ તફાવત કરવામાં આવે છે, જ્યાં ઉકેલોની વૃદ્ધિ બીજગણિત કાર્ય દ્વારા (કોઈપણ નાના ક્ષેત્રમાં) બંધાયેલ હોય છે, અને અનિયમિત એકવચન બિંદુ, જ્યાં સંપૂર્ણ ઉકેલ સમૂહને ઉચ્ચ વૃદ્ધિ દરવાળા કાર્યોની જરૂર હોય છે. આ તફાવત, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ નિયમિત એકવચન બિંદુઓ સાથે હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણ અને બેસલ સમીકરણ વચ્ચે થાય છે, જે એક અર્થમાં મર્યાદિત કેસ છે, પરંતુ જ્યાં વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મો નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ વધુ ચોક્કસપણે, મેરોમોર્ફિક કાર્યો સાથે-th ક્રમના સામાન્ય રેખીય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો. શક્ય એકવચન બિંદુ તરીકે અનંત પરના બિંદુને સમાવવા માટે સમીકરણનો રીમાન ગોળા પર અભ્યાસ થવો જોઈએ. જો જરૂરી હોય તો જટિલ સમતલના મર્યાદિત ભાગમાં φ ને ખસેડવા માટે મોબિયસ પરિવર્તન લાગુ કરી શકાય છે, નીચે બેસલ વિભેદક સમીકરણનું ઉદાહરણ જુઓ. પછી સૂચક સમીકરણ પર આધારિત ફ્રોબેનિયસ પદ્ધતિ સંભવિત ઉકેલો શોધવા માટે લાગુ કરી શકાય છે જે પાવર સિરીઝ ગુણ્યા કોમ્પ્લેક્સ પાવર હોય છે જે કોમ્પ્લેક્સ પ્લેનમાં આપેલ કોઈપણ નજીક હોય છે જ્યાં પૂર્ણાંકની જરૂર નથી; આ કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, તેથી, ફક્ત કોઈ પંચર ડિસ્કની રીમાન સપાટી પરથી વિસ્તરેલી શાખાને આભારી છે. આ સામાન્ય મુદ્દા માટે કોઈ મુશ્કેલી રજૂ કરતું નથી (લાઝારસ ફ્યુક્સ 1866). જ્યારે નિયમિત એકવચન બિંદુ હોય છે, જેનો વ્યાખ્યા દ્વારા અર્થ થાય છે કે મહત્તમ ક્રમમાં ધ્રુવ હોય છે, ત્યારે ફ્રોબેનિયસ પદ્ધતિ પણ કામ કરવા માટે અને નજીકમાં સ્વતંત્ર ઉકેલો પ્રદાન કરવા માટે બનાવી શકાય છે. નહિંતર મુદ્દો અનિયમિત એકલતા છે. તે કિસ્સામાં વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા ઉકેલોને સંબંધિત મોનોડ્રોમી જૂથ સામાન્ય રીતે ઓછું કહે છે, અને ઉકેલોનો અભ્યાસ કરવો મુશ્કેલ છે, સિવાય કે તેમના એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણની દ્રષ્ટિએ. અનિયમિત એકત્વની અનિયમિતતાને પોઇનકેરે ક્રમ () દ્વારા માપવામાં આવે છે. નિયમિતતાની સ્થિતિ એ એક પ્રકારની ન્યૂટન બહુકોણની સ્થિતિ છે, એ અર્થમાં કે માન્ય ધ્રુવો એક પ્રદેશમાં હોય છે, જ્યારે તેની સામે દોરવામાં આવે છે, ત્યારે અક્ષો પર 45° પર એક રેખા દ્વારા બંધાયેલા હોય છે. એક સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ કે જેના એકમાત્ર એકવચન બિંદુઓ, અનંત પરના બિંદુ સહિત, નિયમિત એકવચન બિંદુઓ છે, તેને ફ્યુશિયન સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો માટેના ઉદાહરણો આ કિસ્સામાં ઉપરનું સમીકરણ આ રીતે ઘટાડવામાં આવે છેઃ એક નીચેના કિસ્સાઓમાં તફાવત કરે છેઃ બિંદુ એ એક સામાન્ય બિંદુ છે જ્યારે કાર્યો અને વિશ્લેષણાત્મક હોય છે. બિંદુ એ નિયમિત એકવચન બિંદુ છે જો તેની પાસે 1 પર ક્રમમાં ધ્રુવ હોય અને 2 પર ક્રમમાં ધ્રુવ હોય. અન્યથા બિંદુ એ અનિયમિત એકવચન બિંદુ છે. આપણે અવેજી અને સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરી શકીએ છીએ કે અનંત પર અનિયમિત એકવચન બિંદુ છે કે કેમઃ આપણે આ રીતે સમીકરણને સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ, અને તપાસી શકીએ છીએ કે શું થાય છે. જો અને બહુપદીઓના ભાગાકાર હોય, તો અનંત x પર અનિયમિત એકવચન બિંદુ હશે, સિવાય કે છેદમાં બહુપદી તેના અંશની ડિગ્રી કરતાં ઓછામાં ઓછી એક ડિગ્રી વધારે હોય અને છેદ તેના અંશની ડિગ્રી કરતાં ઓછામાં ઓછી બે ડિગ્રી વધારે હોય. નીચે ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે જે એકવચન બિંદુઓ અને જાણીતા ઉકેલો ધરાવે છે. બેસલ વિભેદક સમીકરણ આ બીજા ક્રમનું સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ છે. તે નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં લાપ્લાસના સમીકરણના ઉકેલમાં જોવા મળે છેઃ મનસ્વી વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યા માટે (બેસલ કાર્યનો ક્રમ). સૌથી સામાન્ય અને મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ એ છે કે પૂર્ણાંક ક્યાં છે. આ સમીકરણને x2 વડે વિભાજીત કરવાથી મળે છેઃ આ કિસ્સામાં પ્રથમ ક્રમનો ધ્રુવ છે. જ્યારે, બીજા ક્રમનો ધ્રુવ હોય છે. આમ આ સમીકરણ 0 પર નિયમિત એકલતા ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કોઈએ મોબિયસ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવો પડે ત્યારે શું થાય છે તે જોવા માટે. બીજગણિત કર્યા પછીઃ હવે એટ પાસે પ્રથમ ક્રમનો ધ્રુવ છે, પરંતુ ચોથા ક્રમનો ધ્રુવ છે. આમ, આ સમીકરણમાં φ પર x ને અનુરૂપ અનિયમિત એકત્વ છે. દંતકથા વિભેદક સમીકરણ આ બીજા ક્રમનું સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ છે. તે ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં લાપ્લાસના સમીકરણના ઉકેલમાં જોવા મળે છેઃ ચોરસ કૌંસ ખોલવાથી નીચે મુજબ મળે છેઃ અને આના દ્વારા વિભાજીત કરવાથીઃ આ વિભેદક સમીકરણ ±1 અને φ પર નિયમિત એકવચન બિંદુઓ ધરાવે છે. હર્માઇટ વિભેદક સમીકરણ એક હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે એક-પરિમાણીય સમય સ્વતંત્ર શ્રોડિંગર સમીકરણને ઉકેલવામાં આ સામાન્ય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનો સામનો કરે છે. આ કિસ્સામાં સંભવિત ઊર્જા V (x) છેઃ આ નીચેના સામાન્ય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ તરફ દોરી જાય છેઃ આ વિભેદક સમીકરણ φ પર અનિયમિત એકવચનતા ધરાવે છે. તેના ઉકેલો હર્માઇટ બહુપદીઓ છે. હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણ સમીકરણને બંને બાજુઓને આ રીતે વિભાજીત કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ આ વિભેદક સમીકરણમાં 0,1 અને φ પર નિયમિત એકવચન બિંદુઓ હોય છે. ઉકેલ એ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય છે. સંદર્ભો ઇ. ટી. કોપ્સન, એન ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ ધ થિયરી ઓફ ફંક્શન્સ ઓફ અ કોમ્પ્લેક્સ વેરિયેબલ (1935) એ. આર. ફોર્સીથ થિયરી ઓફ ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન્સ વોલ્યુમ. IV: સામાન્ય રેખીય સમીકરણો (કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1906) એડૌર્ડ ગોરસેટ, એ કોર્સ ઇન મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ, વોલ્યુમ II, ભાગ II: વિભેદક સમીકરણો pp. 128 − ff. (ગિન એન્ડ કંપની, બોસ્ટન, 1917) ઇ. એલ. ઇન્સે, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો, ડોવર પબ્લિકેશન્સ (1944) ટી. એમ. મેક્રોબર્ટ ફંક્શન્સ ઓફ અ કોમ્પ્લેક્સ વેરિયેબલ પી. 243 (મેકમિલન, લંડન, 1917) ઇ. ટી. વ્હિટ્ટેકર અને જી. એન. વોટસન એ કોર્સ ઓફ મોડર્ન એનાલિસિસ પી. પી. 188-એફ. એફ. (કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1915) સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો જટિલ વિશ્લેષણ