Complete intersection ring
પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, સંપૂર્ણ આંતરછેદ વીંટી એ એક પરિવર્તનીય વીંટી છે જે વિવિધતાના સંકલન વીંટી જેવી જ હોય છે જે સંપૂર્ણ આંતરછેદો હોય છે. અનૌપચારિક રીતે, તેમને આશરે સ્થાનિક રિંગ્સ તરીકે વિચારી શકાય છે જેને સંબંધોની "ન્યૂનતમ શક્ય" સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ્સ માટે, સમાવેશની નીચેની સાંકળ છેઃ વ્યાખ્યા એક સ્થાનિક સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગ એ નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ છે જેની પૂર્ણતા નિયમિત ક્રમ દ્વારા પેદા થયેલ આદર્શ દ્વારા નિયમિત સ્થાનિક રિંગનો ભાગ છે. પૂર્ણ કરવાનું એ એક નાની તકનીકી ગૂંચવણ છે જે એ હકીકતને કારણે થાય છે કે તમામ સ્થાનિક રિંગ્સ નિયમિત રિંગ્સના ભાગ નથી. બીજગણિત ભૂમિતિમાં જોવા મળતી મોટાભાગની સ્થાનિક રિંગ્સને આવરી લેતી નિયમિત સ્થાનિક રિંગ્સના ભાગાકાર ધરાવતી રિંગ્સ માટે, વ્યાખ્યામાં પૂર્ણતા લેવાની જરૂર નથી. એક વૈકલ્પિક આંતરિક વ્યાખ્યા છે જે નિયમિત સ્થાનિક રીંગમાં રીંગને એમ્બેડ કરવા પર આધારિત નથી. જો R એ મહત્તમ આદર્શ m સાથે નોથેરિયન સ્થાનિક વીંટી હોય, તો m/m2 ના પરિમાણને R નું એમ્બેડિંગ પરિમાણ એમ્બ ડિમ (R) કહેવામાં આવે છે. m/m2 ના જનરેટરની ન્યૂનતમ પ્રણાલીના સંદર્ભમાં કોઝુલ સંકુલની સમરૂપતા તરીકે ક્રમિક બીજગણિત H (R) ને વ્યાખ્યાયિત કરો; સમરૂપતા સુધી આ ફક્ત R પર આધાર રાખે છે અને m ના જનરેટરની પસંદગી પર નહીં. H1 (R) નું પરિમાણ ε1 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને R નું પ્રથમ વિચલન કહેવામાં આવે છે; તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R નિયમિત હોય. નોથેરિયન સ્થાનિક વીંટીને સંપૂર્ણ આંતરછેદ વીંટી કહેવામાં આવે છે જો તેનું એમ્બેડિંગ પરિમાણ પરિમાણ અને પ્રથમ વિચલનનો સરવાળો હોયઃ એમ્બ ડિમ (આર) = ડિમ (આર) + ε1 (આર). સ્થાનિક સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગ્સની પુનરાવર્તિત લાક્ષણિકતા પણ છે જેનો ઉપયોગ નીચે મુજબ વ્યાખ્યા તરીકે થઈ શકે છે. ધારો કે R એ સંપૂર્ણ નોથેરિયન સ્થાનિક વીંટી છે. જો R નું પરિમાણ 0 કરતા વધારે હોય અને x એ મહત્તમ આદર્શમાં એક તત્વ છે જે શૂન્ય વિભાજક નથી, તો R એ સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગ છે જો અને માત્ર જો R/(x) હોય. (જો મહત્તમ આદર્શ સંપૂર્ણપણે શૂન્ય વિભાજકનો બનેલો હોય તો R એ સંપૂર્ણ આંતરછેદન રિંગ નથી.) જો R નું પરિમાણ 0 હોય, તો તે દર્શાવે છે કે તે એક સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના મહત્તમ આદર્શનો ફિટિંગ આદર્શ બિન-શૂન્ય હોય. ઉદાહરણો નિયમિત સ્થાનિક વીંટીઓ સંપૂર્ણ આંતરછેદ વીંટીઓ છે, પરંતુ વિપરીત સાચું નથીઃ વીંટી એ 0-પરિમાણીય સંપૂર્ણ આંતરછેદ વીંટી છે જે નિયમિત નથી. સંપૂર્ણ આંતરછેદ નથી સ્થાનિક રીતે સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગનું ઉદાહરણ જે સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગ નથી, તેના દ્વારા લંબાઈ 3 આપવામાં આવે છે કારણ કે તે વેક્ટર સ્પેસ તરીકે આઇસોમોર્ફિક છે. કાઉન્ટરએક્સામ્પલ સંપૂર્ણ આંતરછેદ સ્થાનિક રિંગ્સ ગોરેનસ્ટીન રિંગ્સ છે, પરંતુ વિપરીત સાચું નથીઃ રિંગ એ 0-પરિમાણીય ગોરેનસ્ટીન રિંગ છે જે સંપૂર્ણ આંતરછેદ રિંગ નથી. એક-વેક્ટર જગ્યા તરીકે આ રીંગ સમરૂપ છે, જ્યાં, અને તે દર્શાવે છે કે તે ગોરેનસ્ટીન છે કારણ કે ટોપ-ડિગ્રી ઘટક પરિમાણ છે અને તે પોઇનકેર ગુણધર્મને સંતોષે છે. તે સ્થાનિક સંપૂર્ણ આંતરછેદ વીંટી નથી કારણ કે આદર્શ-નિયમિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, તે શૂન્ય-વિભાજક છે. સંદર્ભો પરિવર્તનીય બીજગણિત