Bauer–Fike theorem
ગણિતમાં, બાઉર-ફિક પ્રમેય એ જટિલ-મૂલ્યના કર્ણાત્મક મેટ્રિક્સના આઈગન વેલ્યુના વિક્ષેપ સિદ્ધાંતનું પ્રમાણભૂત પરિણામ છે. તેના પદાર્થમાં, તે ચોક્કસ મેટ્રિક્સના યોગ્ય રીતે પસંદ કરેલા આઈગન મૂલ્યમાંથી એક વિક્ષેપિત મેટ્રિક્સ આઈગન મૂલ્યના વિચલન માટે એક સંપૂર્ણ ઉપલી સીમા દર્શાવે છે. અનૌપચારિક રીતે કહીએ તો, તે જે કહે છે તે એ છે કે આઈગનવેલ્યુની સંવેદનશીલતાનો અંદાજ આઈગનવેક્ટર્સના મેટ્રિક્સની સ્થિતિ સંખ્યા દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ પ્રમેય ફ્રેડરિક એલ. બાઉર અને સી. ટી. ફિક દ્વારા 1960માં સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. નીચે આપેલી બાબતોમાં આપણે ધારીએ છીએ કેઃ એક કર્ણક્ષમ મેટ્રિક્સ છે; તે નોન-સિંગ્યુલર આઈગનવેક્ટર મેટ્રિક્સ છે, જ્યાં એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે. જો ઉલટાવી શકાય તેવું હોય, તો તેની સ્થિતિ સંખ્યા-નોર્મ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ બાઉર-સમાન પ્રમેય બાઉર-સમાન પ્રમેય. ચાલો એક આઈગન વેલ્યુ હોઈએ. પછી એવું છે કેઃ પુરાવો. આપણે ધારી શકીએ છીએ, અન્યથા લઈ શકીએ છીએ અને પરિણામ તુચ્છ રીતે સાચું છે. જો કે આપણી ધારણા, સૂચવે છે કેઃ અને તેથી આપણે લખી શકીએ છીએઃ આ એક આઈગન વેલ્યુ હોવાનું દર્શાવે છે કારણ કે તમામ-ધોરણો સુસંગત મેટ્રિક્સ ધોરણો છે, આપણી પાસે જ્યાં એક આઈગન વેલ્યુ છે. આ ઉદાહરણમાં આ આપણને આપે છેઃ પરંતુ તે એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે, જેનો-ધોરણ સરળતાથી ગણવામાં આવે છેઃ જ્યાંથીઃ એક વૈકલ્પિક રચના પ્રમેયને વધુ સારી રીતે અનુકૂળ આંકડાકીય પદ્ધતિઓ માટે પણ સુધારી શકાય છે. હકીકતમાં, વાસ્તવિક આઈગેનસિસ્ટમ સમસ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે, ઘણીવાર ચોક્કસ મેટ્રિક્સ હોય છે, પરંતુ માત્ર એક અંદાજિત આઈગેનવેલ્યુ-આઈગેનવેક્ટર જોડી જાણે છે, અને ભૂલને બાંધવાની જરૂર છે. નીચેનું સંસ્કરણ મદદે આવે છે. બાઉર-સમાન પ્રમેય (વૈકલ્પિક રચના). ચાલો એક અંદાજિત આઈગનવેલ્યુ-આઈગનવેક્ટર જોડી, અને. પછી એવું છે કેઃ પુરાવો. આપણે ધારી શકીએ છીએ, અન્યથા લઈ શકીએ છીએ અને પરિણામ તુચ્છ રીતે સાચું છે. તેથી અસ્તિત્વમાં છે, તેથી આપણે લખી શકીએ છીએઃ કારણ કે તે કર્ણક્ષમ છે; બંને બાજુના-નોર્મને લઈને, આપણે મેળવીએ છીએઃ જો કે તે એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે અને તેના-નોર્મની ગણતરી સરળતાથી કરવામાં આવે છેઃ જ્યાંથીઃ એક સંબંધિત બાઉન્ડ બાઉન્ડર-ફિક પ્રમેયની બંને રચનાઓ એક સંપૂર્ણ બાઉન્ડ આપે છે. જ્યારે પણ સંબંધિત બાઉન્ડની જરૂર પડે ત્યારે નીચેનો પરિણામ ઉપયોગી થાય છેઃ કોરોલરી. ધારો કે તે ઇન્વર્ટિબલ છે અને તે તેનું આઈગન વેલ્યુ છે. પછી એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કેઃ નોંધ. જેમ તેની સાપેક્ષ વિવિધતા છે, તેવી જ રીતે તેને ઔપચારિક રીતે તેની સાપેક્ષ વિવિધતા તરીકે જોઈ શકાય છે. પુરાવો. કારણ કે તે એક આઈગન વેલ્યુ છે અને, ડાબેથી ગુણાકાર કરીને આપણી પાસે છેઃ જો આપણે સુયોજિત કરીએઃ તો આપણી પાસે છેઃ જેનો અર્થ છે કે તે આઈગનવેક્ટર તરીકેનું આઈગનવેલ્યુ છે. હવે, ના આઈગનવેલ્યુ છે, જ્યારે તે સમાન આઈગનવેક્ટર મેટ્રિક્સ ધરાવે છે. બાઉર-ફિક પ્રમેયને આઈગન વેલ્યુ સાથે લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છેઃ સામાન્ય મેટ્રિક્સનો કેસ જો સામાન્ય હોય, તો તે એકાત્મક મેટ્રિક્સ છે, તેથીઃ જેથી. બાઉર-ફિક પ્રમેય પછી બને છેઃ અથવા વૈકલ્પિક રચનામાંઃ જે દેખીતી રીતે સાચું રહે છે જો તે હર્મિશિયન મેટ્રિક્સ હોય. આ કિસ્સામાં, જો કે, વધુ મજબૂત પરિણામ ધરાવે છે, જે આઈગનવેલ્યુઝ પર વેલના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. હર્મિશિયન કિસ્સામાં કોઈ પણ વ્યક્તિ બાઉર-ફિક પ્રમેયને તે સ્વરૂપમાં પુનરાવર્તિત કરી શકે છે કે જે નકશો મેટ્રિક્સને તેના વર્ણપટમાં મેપ કરે છે તે તેના કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સના સમૂહ પર હૌસડોર્ફ અંતરના સંદર્ભમાં બિન-વિસ્તૃત કાર્ય છે. સંદર્ભો વર્ણપટ સિદ્ધાંત વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો પુરાવા ધરાવતા લેખો