Branched covering
ગણિતમાં, શાખાવાળું આવરણ એ એક નકશો છે જે નાના સમૂહ સિવાય લગભગ એક આવરણ નકશો છે. ટોપોલોજીમાં, ટોપોલોજીમાં, નકશો એ શાખાવાળું આવરણ છે જો તે શાખા સમૂહ તરીકે ઓળખાતા ક્યાંય ગાઢ સમૂહ સિવાય દરેક જગ્યાએ આવરણ નકશો હોય. ઉદાહરણોમાં વર્તુળોની ફાચરમાંથી એક જ વર્તુળમાં નકશાનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં નકશો દરેક વર્તુળ પર હોમોમોર્ફિઝમ છે. બીજગણિત ભૂમિતિમાં, બીજગણિત ભૂમિતિમાં, શાખા આવરણ શબ્દનો ઉપયોગ બીજગણિત વિવિધતામાંથી બીજામાં મોર્ફિઝમ્સનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે, જેમાં બે પરિમાણો સમાન હોય છે, અને પરિમાણ 0 ના લાક્ષણિક તંતુ હોય છે. તે કિસ્સામાં, (ઝારિસ્કી ટોપોલોજી માટે) નો એક ખુલ્લો સમૂહ હશે જે ગાઢ છે, જેમ કે (થી, એટલે કે) નું પ્રતિબંધ અનરેમીફાઇડ છે. સંદર્ભના આધારે, આપણે આને મજબૂત ટોપોલોજી માટે સ્થાનિક હોમોમોર્ફિઝમ તરીકે, જટિલ સંખ્યાઓ પર અથવા સામાન્ય રીતે એટેલ મોર્ફિઝમ તરીકે લઈ શકીએ છીએ (કેટલીક થોડી મજબૂત પૂર્વધારણાઓ હેઠળ, સપાટતા અને અલગતા પર). સામાન્ય રીતે, તો પછી, આવા મોર્ફિઝમ ટોપોલોજિકલ અર્થમાં આવરણની જગ્યા જેવું લાગે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો અને બંને કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીઓ હોય, તો આપણને માત્ર તે જ જોઈએ છે જે હોલોમોર્ફિક હોય અને સ્થિર ન હોય, અને પછી ત્યાં બિંદુઓનો મર્યાદિત સમૂહ હોય છે, જેની બહાર આપણને પ્રમાણિક આવરણ મળે છે. રેમિફિકેશન લોકસ પર અપવાદરૂપ બિંદુઓના સમૂહને રેમિફિકેશન લોકસ કહેવામાં આવે છે (એટલે કે. આ સૌથી મોટા સંભવિત ખુલ્લા સમૂહનું પૂરક છે). સામાન્ય રીતે મોનોડ્રોમી આવરણની શીટ્સ પર કામ કરવાના મૂળભૂત જૂથ અનુસાર થાય છે (આ ટોપોલોજિકલ ચિત્રને સામાન્ય આધાર ક્ષેત્રના કિસ્સામાં પણ ચોક્કસ બનાવી શકાય છે). કુમાર એક્સ્ટેંશન શાખા આવરણ સરળતાથી કુમાર એક્સ્ટેંશન તરીકે બનાવવામાં આવે છે, એટલે કે. કાર્ય ક્ષેત્રના બીજગણિત વિસ્તરણ તરીકે. હાયપરલિપ્ટિક વળાંકો પ્રોટોટાઇપિક ઉદાહરણો છે. એક અનરેમિફાઇડ આવરણ પછી ખાલી રેમિફિકેશન લોકસની ઘટના છે. લંબગોળ વળાંકના મોર્ફિઝમ્સના ઉદાહરણો વિસ્તૃત આવરણના ઘણા ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમીકરણનું લંબગોળ વળાંક હોઈએ-અક્ષ પરનું પ્રક્ષેપણ એ રેમિફિકેશન લોકસ સાથેનું એક વિસ્તૃત આવરણ છે જે આ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે કારણ કે ફાઇબરના આ ત્રણ મૂલ્યો માટે ડબલ પોઇન્ટ છે જ્યારે અન્ય કોઈપણ મૂલ્ય માટે, ફાઇબરમાં બે અલગ બિંદુઓ (બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર) હોય છે. આ પ્રક્ષેપણ કાર્ય ક્ષેત્રોની ડિગ્રી બે ના બીજગણિત વિસ્તરણને પ્રેરિત કરે છેઃ ઉપરાંત, જો આપણે અંતર્ગત પરિવર્તનીય રિંગ્સના અપૂર્ણાંક ક્ષેત્રો લઈએ, તો આપણને મોર્ફિઝમ મળે છે. પ્રોજેક્ટિવ લાઇનને અનુરૂપ પ્રોજેક્ટિવ લંબગોળ વળાંકના ડિગ્રી 2 શાખાવાળા આવરણનું નિર્માણ કરવા માટે આને એકરૂપ કરી શકાય છે. પ્લેન બીજગણિત વળાંક અગાઉના ઉદાહરણને નીચેની રીતે કોઈપણ બીજગણિત સમતલ વળાંક માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ચાલો સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલ વળાંક હોઈએ, જ્યાં બે અનિશ્ચિતતામાં અલગ કરી શકાય તેવી અને ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદી છે. જો અંદરની ડિગ્રી હોય, તો ફાઇબરમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો સિવાય અલગ-અલગ બિંદુઓ હોય છે. આમ, આ પ્રક્ષેપણ ડિગ્રીનું શાખાવાળું આવરણ છે. ના અપવાદરૂપ મૂલ્યો એ ગુણાંકના મૂળ છે, અને ના સંદર્ભમાં ડિસ્ક્રિમિનન્ટના મૂળ છે. ડિસ્ક્રિમિનન્ટના મૂળ પર, ઓછામાં ઓછું એક વિસ્તૃત બિંદુ હોય છે, જે કાં તો નિર્ણાયક બિંદુ અથવા એકવચન બિંદુ હોય છે. જો તે અંદરના ગુણાંકનું મૂળ પણ હોય, તો આ વિસ્તૃત બિંદુ "અનંત પર" છે. અંદરના ગુણાંકના મૂળ પર, વળાંકની એક અનંત શાખા હોય છે, અને ફાઇબરમાં બિંદુઓ કરતા ઓછા હોય છે. જો કે, જો કોઈ પ્રક્ષેપણને અને-અક્ષની પ્રોજેક્ટિવ પૂર્ણતા સુધી વિસ્તરે છે, અને જો તે ડિસ્ક્રિમિનન્ટનું મૂળ નથી, તો પ્રક્ષેપણ તેના પડોશ પર આવરણ બની જાય છે. આ પ્રક્ષેપણ ડિગ્રીનું શાખાયુક્ત આવરણ છે તે હકીકત પણ કાર્ય ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લઈને જોઈ શકાય છે. હકીકતમાં, આ પ્રક્ષેપણ ડિગ્રી વેરયિંગ રેમિફિકેશનના ફિલ્ડ એક્સ્ટેંશનને અનુરૂપ છે આપણે વિવિધ રેમિફિકેશન ડિગ્રી સાથે રેખાના શાખાવાળા આવરણને પણ સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ. સ્વરૂપની બહુપદીનો વિચાર કરો કારણ કે આપણે વિવિધ બિંદુઓ પસંદ કરીએ છીએ, જે વિવિધતાના લુપ્ત થતા સ્થાન દ્વારા આપવામાં આવેલા તંતુઓ છે. કોઈપણ તબક્કે જ્યાં ફેક્ટરાઇઝેશનમાં રેખીય શરતોમાંથી એકનો ગુણાકાર એકથી વધે છે, ત્યાં એક શાખા છે. યોજના સૈદ્ધાંતિક ઉદાહરણો લંબગોળ વળાંકની આકાર રચનાઓ યોજનાઓના વિસ્તૃત આવરણના ઘણા ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એફાઇન લંબગોળ વળાંકથી રેખા સુધીનું મોર્ફિઝમ એ રેમિફિકેશન લોકસ સાથેનું વિસ્તૃત આવરણ છે જે તેના દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે. આને પ્રોજેક્ટિવ લંબગોળ વળાંકના મોર્ફિઝમનું નિર્માણ કરવા માટે એકરૂપ કરી શકાય છે. હાયપરએલિપ્ટિક વળાંક એ સ્વરૂપની બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એફાઇન યોજનાને ધ્યાનમાં લઈને એફાઇન રેખાના ઉપરોક્ત ડિગ્રી આવરણનું સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે, જ્યાં એફાઇન રેખાના ઉચ્ચ ડિગ્રી આવરણ માટે આપણે મોર્ફિઝમ લઈને અગાઉના ઉદાહરણને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં કોઈ પુનરાવર્તિત મૂળ નથી. પછી, આપણે અપૂર્ણાંક ક્ષેત્રોનું પ્રેરિત મોર્ફિઝમ મેળવીએ છીએ ત્યાં લક્ષ્યનું-મોડ્યુલ આઇસોમોર્ફિઝમ છે. ઉપરી લંબગોળ વળાંકો એ ઉપરી લંબગોળ વળાંકોનું સામાન્યીકરણ છે અને ઉદાહરણોના અગાઉના કુટુંબની વિશેષતા છે કારણ કે તે સ્વરૂપની બહુપદીઓમાંથી એફાઇન યોજનાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં અને તેમાં કોઈ પુનરાવર્તિત મૂળ નથી. ઉદાહરણોનો બીજો ઉપયોગી વર્ગ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના રેમિફાઇડ આવરણમાંથી આવે છે. સજાતીય બહુપદીને જોતાં આપણે પ્રોજેક્ટિવ યોજનાઓના મોર્ફિઝમને ધ્યાનમાં લઈને રેમિફિકેશન લોકસ સાથે રેમિફાઇડ આવરણ બનાવી શકીએ છીએ. એપ્લિકેશન્સ શાખા આવરણ પરિવર્તનના સમપ્રમાણતા જૂથ સાથે આવે છે. સમપ્રમાણતા જૂથમાં રેમિફિકેશન લોકસના બિંદુઓ પર સ્ટેબિલાઇઝર્સ હોવાથી, શાખાઓવાળા આવરણનો ઉપયોગ ઓર્બિફોલ્ડ્સ અથવા ડેલીગ્ને-મમફોર્ડ સ્ટેક્સના ઉદાહરણો બનાવવા માટે થઈ શકે છે. એટેલ મોર્ફિઝમ ઓર્બિફોલ્ડ સ્ટેક (ગણિત) રેફરન્સ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ બીજગણિત જાતો પણ જુઓ.