Tate module
ગણિતમાં, અબેલિયન જૂથનું ટેટ મોડ્યુલ, જેનું નામ જ્હોન ટેટ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે અબેલિયન જૂથ A થી બનેલું મોડ્યુલ છે. ઘણીવાર, આ રચના નીચેની પરિસ્થિતિમાં કરવામાં આવે છેઃ G એ K ક્ષેત્ર પરની પરિવર્તનીય જૂથ યોજના છે, Ks એ K નું અલગ કરી શકાય તેવું બંધ છે, અને A = G (Ks) (G ના Ks-મૂલ્યના બિંદુઓ). આ કિસ્સામાં, A નું ટેટ મોડ્યુલ K ના સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથની ક્રિયાથી સજ્જ છે, અને તેને G ના ટેટ મોડ્યુલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા એબેલિયન જૂથ A અને મુખ્ય સંખ્યા p આપવામાં આવે તો, A નું p-adic ટેટ મોડ્યુલ એ છે જ્યાં A [pn] એ A નું pn વળાંક છે (એટલે કે. ગુણાકાર-દ્વારા-pn નકશાનો કર્નલ), અને વિપરીત મર્યાદા ગુણાકાર-દ્વારા-p નકશા A [pn + 1] → A [pn] દ્વારા આપવામાં આવેલા સંક્રમણ મોર્ફિઝમ્સ સાથે હકારાત્મક પૂર્ણાંકો n પર છે. આમ, ટેટ મોડ્યુલ એ ના તમામ પી-પાવર વળાંકને એન્કોડ કરે છે. તે ઉદાહરણો દ્વારા Zp-મોડ્યુલની રચનાથી સજ્જ છે ટેટ મોડ્યુલ જ્યારે અબેલિયન જૂથ A એ K ના અલગ કરી શકાય તેવા બંધ Ks માં એકતાના મૂળનું જૂથ છે, ત્યારે A ના p-adic ટેટ મોડ્યુલને કેટલીકવાર ટેટ મોડ્યુલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (જ્યાં p અને K ની પસંદગીને મૌન રીતે સમજવામાં આવે છે). તે કે ના સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ GK ની રેખીય ક્રિયા સાથે Zp પર મુક્ત ક્રમ એક મોડ્યુલ છે. આમ, તે એક ગેલોઇસ રજૂઆત છે જેને K ના p-adic સાયક્લોટોમિક પાત્ર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તેને ગુણાકાર જૂથ યોજના Gm, K ઓવર K ના ટેટ મોડ્યુલ તરીકે પણ ગણી શકાય. અબેલિયન વિવિધતાનું ટેટ મોડ્યુલ ક્ષેત્ર K પર અબેલિયન વિવિધતા G આપવામાં આવે તો, G ના Ks-મૂલ્યવાન બિંદુઓ અબેલિયન જૂથ છે. G નું p-adic ટેટ મોડ્યુલ Tp (G) એ ગેલોઇસ પ્રતિનિધિત્વ છે (સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ, GK, K નું). અબેલિયન જાતો પરના શાસ્ત્રીય પરિણામો દર્શાવે છે કે જો K પાસે લાક્ષણિકતા શૂન્ય હોય, અથવા લાક્ષણિકતા l હોય જ્યાં મુખ્ય સંખ્યા p  ઒ત્ત l હોય, તો Tp (G) એ 2d ક્રમના Zp પર મુક્ત મોડ્યુલ છે, જ્યાં d એ G નું પરિમાણ છે. અન્ય કિસ્સામાં, તે હજુ પણ મુક્ત છે, પરંતુ ક્રમ 0 થી d સુધી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે હેસે-વિટ મેટ્રિક્સ જુઓ). એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં p એ K ની લાક્ષણિકતા બરાબર નથી, G નું p-adic ટેટ મોડ્યુલ એ એટેલ કોહોમોલોજીનું દ્વિગુણિત છે. ટેટ અનુમાનનો એક ખાસ કિસ્સો ટેટ મોડ્યુલોના સંદર્ભમાં રજૂ કરી શકાય છે. ધારો કે K તેના મુખ્ય ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે (દા. ત. એક મર્યાદિત ક્ષેત્ર, એક બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર, વૈશ્વિક કાર્ય ક્ષેત્ર), જે p થી અલગ લાક્ષણિકતા ધરાવે છે, અને A અને B એ K પર બે અબેલિયન જાતો છે. ટેટ અનુમાન પછી આગાહી કરે છે કે જ્યાં HomK (A, B) એ A થી B સુધીના અબેલિયન જાતોના મોર્ફિઝમ્સનું જૂથ છે, અને જમણી બાજુ એ Tp (A) થી Tp (B) સુધીના GK-રેખીય નકશાનું જૂથ છે. કે એક મર્યાદિત ક્ષેત્ર છે તે કેસ પોતે ટેટ દ્વારા 1960ના દાયકામાં સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. ગર્ડ ફાલ્ટિંગ્સે તેમના પ્રખ્યાત "મોર્ડેલ પેપર" માં કેસ સાબિત કર્યો કે જ્યાં કે એક સંખ્યા ક્ષેત્ર છે. લાક્ષણિકતા અવિભાજ્ય થી p ના મર્યાદિત ક્ષેત્ર k પર વળાંક C પર જેકોબિયનના કિસ્સામાં, ટેટ મોડ્યુલને સંયુક્ત વિસ્તરણના ગેલોઇસ જૂથ સાથે ઓળખી શકાય છે જ્યાં એકતાના તમામ p-પાવર મૂળ ધરાવતા k નું વિસ્તરણ છે અને A (p) એ મહત્તમ અનરેમિફાઇડ અબેલિયન p-વિસ્તરણ છે. સંખ્યા ક્ષેત્રનું ટેટ મોડ્યુલ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પરના વળાંકના કાર્ય ક્ષેત્ર માટે ટેટ મોડ્યુલનું વર્ણન બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રના ટેટ મોડ્યુલની વ્યાખ્યા સૂચવે છે, જે વૈશ્વિક ક્ષેત્રનો અન્ય વર્ગ છે, જે કેન્કીચી ઇવાસાવા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. સંખ્યા ક્ષેત્ર K માટે આપણે કિલોમીટરને એકતાના પી. એમ.-પાવર મૂળ, કિલોમીટરનું જોડાણ અને A (p) ના મહત્તમ અનરેમિફાઇડ અબેલિયન પી-એક્સ્ટેંશન દ્વારા વિસ્તરણ સૂચવીએ છીએ. ચાલો પછી ટી. પી. (કે) એ પ્રો-પી. જૂથ છે અને તેથી ઝેડ. પી.-મોડ્યુલ છે. વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને કોઈ વ્યક્તિ Tp (K) ને ધોરણ હેઠળ Km ના વર્ગ જૂથો Cm ની વ્યસ્ત મર્યાદાની સમરૂપતા તરીકે વર્ણવી શકે છે. ઇવાસાવાએ પૂર્ણ Zp [[T]] પર એક મોડ્યુલ તરીકે Tp (K) નું પ્રદર્શન કર્યું અને આ ફોર્મના વર્ગ જૂથો Cm ના ક્રમમાં p ના ઘાતાંક માટેનું સૂત્ર સૂચવે છે. ટેટ અનુમાન ટેટ ટ્વિસ્ટ ઇવાસાવા સિદ્ધાંત નોંધો સંદર્ભો એબેલિયન જાતોની કલમ 13 પણ જુઓ.