Hecke character
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, હેક અક્ષર એ ડિરીક્લેટ અક્ષરનું સામાન્યીકરણ છે, જે એરિક હેક દ્વારા ડિરીક્લેટ એલ-વિધેયો કરતા મોટા એલ-વિધેયોના વર્ગનું નિર્માણ કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, અને ડેડેકિંડ ઝેટા-વિધેયો માટે કુદરતી સેટિંગ અને અમુક અન્ય જે રીમાન ઝેટા-વિધેયોના સમાન કાર્યાત્મક સમીકરણો ધરાવે છે. કેટલીકવાર હેક પાત્ર માટે વપરાતું નામ જર્મન શબ્દ ગ્રૉસેનચારક્ટર (ઘણીવાર ગ્રૉસેનચારક્ટર, ગ્રોસેનચારક્ટર, વગેરે લખવામાં આવે છે) છે. હેડલ્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યા એ હેક અક્ષર એ સંખ્યા ક્ષેત્ર અથવા વૈશ્વિક કાર્ય ક્ષેત્રના આદર્શ વર્ગ જૂથનું પાત્ર છે. તે આદર્શ જૂથના પાત્રને અનન્ય રીતે અનુરૂપ છે, જે પ્રક્ષેપણ નકશા સાથેની રચના દ્વારા મુખ્ય આદર્શો પર તુચ્છ છે. આ વ્યાખ્યા અક્ષરની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે, જે લેખકો વચ્ચે સહેજ બદલાય છેઃ તેને બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓ (જેને "ક્વાસીકારેક્ટર" પણ કહેવાય છે) માટે હોમોમોર્ફિઝમ તરીકે અથવા સી ("એકાત્મક") માં એકમ વર્તુળના હોમોમોર્ફિઝમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. (આદર્શ વર્ગ જૂથના) કોઈપણ ક્વાસીચેરેક્ટરને એકાત્મક અક્ષર ગુણાંક ધોરણની વાસ્તવિક શક્તિ તરીકે અનન્ય રીતે લખી શકાય છે, તેથી બે વ્યાખ્યાઓ વચ્ચે કોઈ મોટો તફાવત નથી. હેક અક્ષર χ નો વાહક સૌથી મોટો આદર્શ m છે જેમ કે χ એ હેક અક્ષર મોડ m છે. અહીં આપણે કહીએ છીએ કે χ એ હેક અક્ષર મોડ m છે જો χ (આદર્શ જૂથ પર એક અક્ષર તરીકે ગણવામાં આવે છે) મર્યાદિત આદર્શોના જૂથ પર તુચ્છ છે, જેનો દરેક v-adic ઘટક 1 + mOv માં આવેલો છે. આદર્શોનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યા હેક અક્ષરની મૂળ વ્યાખ્યા, હેક પર પાછા જતા, અપૂર્ણાંક આદર્શો પરના અક્ષરની દ્રષ્ટિએ હતી. સંખ્યા ક્ષેત્ર K માટે, ધારો કે m = mfm ≤ એ K-મોડ્યુલસ છે, જેમાં mf, "મર્યાદિત ભાગ", K અને m ≤ નો અભિન્ન આદર્શ છે, "અનંત ભાગ", જે K ના વાસ્તવિક સ્થળોનું (ઔપચારિક) ગુણાકાર છે. ચાલો હું K ના અપૂર્ણાંક આદર્શોના જૂથને સાપેક્ષ રીતે અવિભાજ્યથી mf તરીકે સૂચવું છું અને Pm એ મુખ્ય અપૂર્ણાંક આદર્શોના પેટાજૂથને સૂચવે છે (a) જ્યાં a તેના પરિબળોના ગુણાંક અનુસાર m ના દરેક સ્થાન પર 1 ની નજીક હોય છેઃ mf માં દરેક મર્યાદિત સ્થાન v માટે, ઓર્ડવ (a−1) ઓછામાં ઓછું mf માં v માટે ઘાતાંક જેટલું મોટું છે, અને તેમાં જડિત દરેક વાસ્તવિક અંતર્ગત a હકારાત્મક છે. મોડ્યુલસ m સાથેનું હેક અક્ષર એ IM થી બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓમાં એક જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ છે જેમ કે આદર્શો (a) પર Pm માં તેનું મૂલ્ય K ના તમામ આર્કિમિડીયન પૂર્ણતાના ગુણાકાર જૂથોના ગુણાકારમાંથી બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓ માટે સતત હોમોમોર્ફિઝમના મૂલ્ય જેટલું હોય છે જ્યાં હોમોમોર્ફિઝમના દરેક સ્થાનિક ઘટકનો સમાન વાસ્તવિક ભાગ (ઘાતાંકમાં) હોય છે. (અહીં આપણે K પરના વિવિધ આર્કિમિડીયન સ્થાનોને અનુરૂપ એમ્બેડિંગ્સનો ઉપયોગ કરીને K ના આર્કિમિડીયન પૂર્ણતાના ઉત્પાદનમાં a એમ્બેડ કરીએ છીએ.) આમ હેક અક્ષરને રે વર્ગ જૂથ મોડ્યુલો m પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે ભાગાકાર IM/Pm છે. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, હેકે સંપૂર્ણપણે હકારાત્મક જનરેટર સ્વીકારનારાઓ માટે મુખ્ય આદર્શો પર વર્તન વિશે શરત લગાવી હતી. તેથી, ઉપર આપેલી વ્યાખ્યાના સંદર્ભમાં, તેમણે ખરેખર માત્ર મોડુલી સાથે કામ કર્યું હતું જ્યાં તમામ વાસ્તવિક સ્થાનો દેખાયા હતા. અનંત ભાગ m φ ની ભૂમિકા હવે અનંત-પ્રકારની કલ્પના હેઠળ સમાવિષ્ટ છે. વ્યાખ્યાઓ વચ્ચેનો સંબંધ આદર્શ વ્યાખ્યા આદર્શ વ્યાખ્યા કરતાં ઘણી વધુ જટિલ છે, અને તેમની વ્યાખ્યા માટે હેકની પ્રેરણા એલ-વિધેયો (કેટલીકવાર હેક એલ-વિધેયો તરીકે ઓળખાય છે) નું નિર્માણ કરવાની હતી જે ડિરીક્લેટ એલ-વિધેયોની કલ્પનાને તર્કસંગતથી અન્ય સંખ્યા ક્ષેત્રો સુધી વિસ્તરે છે. હેક અક્ષર χ માટે, તેના L-કાર્યને ડિરીક્લેટ શ્રેણી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે હેક અક્ષરના મોડ્યુલસ m ના પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય આદર્શો પર હાથ ધરવામાં આવે છે. સંકેત N (I) નો અર્થ આદર્શ ધોરણ થાય છે. પેટા જૂથો Pm પર હેક અક્ષરોની વર્તણૂકને સંચાલિત કરતી સામાન્ય વાસ્તવિક ભાગની સ્થિતિ સૂચવે છે કે આ ડિરીક્લેટ શ્રેણી અમુક જમણા અર્ધ-સમતલમાં સંપૂર્ણપણે અભિસારી છે. હેકે સાબિત કર્યું કે આ એલ-વિધેયો સમગ્ર જટિલ સમતલમાં મેરોમોર્ફિક સાતત્ય ધરાવે છે, જ્યારે અક્ષર તુચ્છ હોય ત્યારે s = 1 પર ક્રમ 1 ના સરળ ધ્રુવ સિવાય વિશ્લેષણાત્મક હોય છે. આદિમ હેક અક્ષરો માટે (આદિમ ડિરીક્લેટ અક્ષરો જેવી જ રીતે મોડ્યુલસ સાથે સંબંધિત વ્યાખ્યાયિત), હેકે દર્શાવ્યું હતું કે આ એલ-વિધેયો અક્ષરના એલ-વિધેય અને તેના જટિલ સંયુગ્મિત અક્ષરના એલ-વિધેયના મૂલ્યોને લગતા કાર્યાત્મક સમીકરણને સંતોષે છે. આદર્શ વર્ગ જૂથના અક્ષરને ધ્યાનમાં લો, જેને એકમ વર્તુળમાં નકશા તરીકે લેવામાં આવે છે જે મુખ્ય આદર્શો પર 1 છે અને તમામ અનંત સ્થાનો ધરાવતા અપવાદરૂપ મર્યાદિત સમૂહ S પર છે. પછી λ આદર્શ જૂથ IS નું અક્ષર χ ઉત્પન્ન કરે છે, જે S માં ન હોય તેવા મુખ્ય આદર્શો પર મુક્ત અબેલિયન જૂથ છે. S માં ન હોય તેવા દરેક મુખ્ય p માટે એકરૂપ તત્વ π લો અને દરેક p ને આદર્શના વર્ગમાં મેપ કરીને IS થી આદર્શ વર્ગો માટે નકશાને Π વ્યાખ્યાયિત કરો જે p સંકલનમાં π છે અને દરેક જગ્યાએ 1 છે. ધારો કે χ એ Π અને si નું મિશ્રણ છે. પછી χ આદર્શ જૂથ પરના અક્ષર તરીકે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વિરુદ્ધ દિશામાં, IS નું સ્વીકાર્ય અક્ષર χ આપવામાં આવે તો તે એક અનન્ય આદર્શ વર્ગના અક્ષરને અનુરૂપ છે. અહીં સ્વીકાર્ય સમૂહ S પર આધારિત માપાંક m ના અસ્તિત્વનો ઉલ્લેખ કરે છે કે જે આદર્શો પર અક્ષર χ એ 1 છે જે 1 માપાંક m છે. અક્ષરો એ અર્થમાં 'મોટા' છે કે જ્યારે અનંત-પ્રકાર હાજર હોય ત્યારે બિન-તુચ્છ અર્થ થાય છે કે આ અક્ષરો મર્યાદિત ક્રમના નથી. મર્યાદિત ક્રમના હેક અક્ષરો બધા, એક અર્થમાં, વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત દ્વારા જવાબદાર છેઃ તેમના એલ-કાર્યો આર્ટિન એલ-કાર્યો છે, જેમ કે આર્ટિન પારસ્પરિકતા દર્શાવે છે. પરંતુ ગૌસીયન ક્ષેત્ર જેટલું સરળ ક્ષેત્ર પણ હેક અક્ષરો ધરાવે છે જે ગંભીર રીતે મર્યાદિત ક્રમથી આગળ વધે છે (નીચેનું ઉદાહરણ જુઓ). જટિલ ગુણાકાર સિદ્ધાંતમાં પછીના વિકાસ સૂચવે છે કે 'મોટા' અક્ષરોનું યોગ્ય સ્થાન બીજગણિત જાતો (અથવા તો હેતુઓ) ના મહત્વપૂર્ણ વર્ગ માટે હાસ-વેઇલ એલ-કાર્યો પ્રદાન કરવાનું હતું. વિશેષ કિસ્સાઓમાં ડિરીક્લેટ અક્ષર એ મર્યાદિત ક્રમમાં હેક અક્ષર છે. તે સંપૂર્ણપણે હકારાત્મક મુખ્ય આદર્શોના સમૂહ પરના મૂલ્યો દ્વારા નક્કી થાય છે, જે કેટલાક માપાંક m ના સંદર્ભમાં 1 છે. હિલ્બર્ટ અક્ષર એ વાહક 1 નું ડિરીક્લેટ અક્ષર છે. હિલ્બર્ટ અક્ષરોની સંખ્યા એ ક્ષેત્રના વર્ગ જૂથનો ક્રમ છે. વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત હિલ્બર્ટ પાત્રોને હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્રના ગેલોઇસ જૂથના પાત્રો સાથે ઓળખે છે. ઉદાહરણો તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર માટે, આદર્શ વર્ગ જૂથ એ p-adic પૂર્ણાંકોના તમામ એકમ જૂથો સાથે હકારાત્મક વાસ્તવિક R + ના ગુણાકાર માટે સમરૂપ છે. તેથી ક્વાસીકારેક્ટરને ડિરીક્લેટ અક્ષર સાથે ધોરણની શક્તિની પેદાશ તરીકે લખી શકાય છે. વાહક 1 ના ગૌસીયન પૂર્ણાંકોનું હેક અક્ષર χ એ s કાલ્પનિક માટે χ ((a)) = |a |s (a/|a |) 4n અને n પૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ છે, જ્યાં a એ આદર્શ (a) નું જનરેટર છે. એકમાત્ર એકમો એ i ની ઘાત છે, તેથી ઘાતાંકમાં 4 નું પરિબળ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે અક્ષર આદર્શો પર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ટેટના થીસીસ L (s, χ) માટે કાર્યાત્મક સમીકરણના હેકના મૂળ પુરાવાએ સ્પષ્ટ થીટા-ફંક્શનનો ઉપયોગ કર્યો હતો. એમિલ આર્ટિનની દેખરેખ હેઠળ લખાયેલા જ્હોન ટેટના 1950 પ્રિન્સટન ડોક્ટરલ નિબંધમાં, કોઈપણ વિશેષ કાર્યોની જરૂરિયાતને દૂર કરવા માટે, પોન્ટ્રીગિન દ્વૈતતાને વ્યવસ્થિત રીતે લાગુ કરવામાં આવી હતી. આવો જ એક સિદ્ધાંત સ્વતંત્ર રીતે કેન્કીચી ઇવાસાવા દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જે તેમના 1950 ICM પ્રવચનનો વિષય હતો. બોરબાકી સેમિનારમાં પછીના સુધારામાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ટેટના પુરાવાના ભાગોને વિતરણ સિદ્ધાંત દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ વિતરણની જગ્યા (શ્વાર્ટઝ-બ્રુહટ પરીક્ષણ કાર્યો માટે) K ના એડેલે જૂથ પર આપેલ χ દ્વારા આઇડલ્સની ક્રિયા હેઠળ રૂપાંતરિત થાય છે. બીજગણિત હેક અક્ષર એ બીજગણિત મૂલ્યો ધરાવતું હેક અક્ષર છેઃ તેઓ 1947 માં વેઇલ દ્વારા પ્રકાર A0 નામ હેઠળ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. આવા અક્ષરો વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને જટિલ ગુણાકારના સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. ખરેખર E ને કાલ્પનિક દ્વિઘાત ક્ષેત્ર K દ્વારા જટિલ ગુણાકાર સાથે સંખ્યા ક્ષેત્ર F પર વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ વળાંક માની લો, અને ધારો કે K એ F માં સમાયેલ છે. પછી F માટે બીજગણિત હેક અક્ષર χ છે, જેમાં અપવાદરૂપ સમૂહ S એ અનંત સ્થાનો સાથે E ના ખરાબ ઘટાડાના અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. આ અક્ષરમાં એવો ગુણધર્મ છે કે સારા ઘટાડાના મુખ્ય આદર્શ p માટે, મૂલ્ય χ (p) એ ફ્રોબેનિયસ એન્ડોમોર્ફિઝમની લાક્ષણિક બહુપદીનું મૂળ છે. પરિણામે, E માટે હાસ્સ-વેઇલ ઝીટા વિધેય એ χ અને તેના જટિલ સંયુગ્મ માટે બે ડિરીક્લેટ શ્રેણીનું ઉત્પાદન છે. નોંધો સંદર્ભો જે. ટેટ, સંખ્યા ક્ષેત્રોમાં ફોરિયર વિશ્લેષણ અને હેકના ઝીટા કાર્યો (ટેટનો 1950 નો થીસીસ), બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત એડ જે. ડબલ્યુ. એસ. કેસેલ્સ, એ. ફ્રોલિચ (1967) પીપી. 305-347 માં પુનઃમુદ્રિત. સંખ્યા સિદ્ધાંત ઝીટા અને એલ-કાર્યો