Schnyder's theorem
આલેખ સિદ્ધાંતમાં, શ્નાઇડરનો પ્રમેય એ તેમના ઘટના સ્થાનોના ક્રમ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સમતલીય આલેખની લાક્ષણિકતા છે. તેનું નામ વોલ્ટર શ્નાઇડરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1989માં તેનો પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો હતો. શિરોબિંદુ સમૂહ અને ધાર સમૂહ સાથે દિશાહીન આલેખની આપતન સ્થિતિ એ ઊંચાઈ 2 નો આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે જે તેના ઘટકો તરીકે છે. આ આંશિક ક્રમમાં, એક ક્રમ સંબંધ હોય છે જ્યારે એક શિરોબિંદુ હોય, એક ધાર હોય, અને તેના બે અંતિમ બિંદુઓમાંથી એક હોય. આંશિક ક્રમનું ક્રમ પરિમાણ એ કુલ ક્રમની સૌથી નાની સંખ્યા છે જેનું આંતરછેદ આપેલ આંશિક ક્રમ છે; આવા ક્રમના સમૂહને આંશિક ક્રમની અનુભૂતિ કહેવામાં આવે છે. શ્નાઇડરનો પ્રમેય જણાવે છે કે આલેખ સમતલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે ક્રમ પરિમાણ મહત્તમ ત્રણ હોય. એક્સ્ટેન્શન્સ આ પ્રમેયને ઊંચાઈના પરિમાણ પર ચુસ્ત બાઉન્ડ દ્વારા સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યો છે-બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ, ધાર અને ચહેરાઓથી સમાન રીતે રચાયેલા ત્રણ આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહો, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે એમ્બેડેડ પ્લેનર ગ્રાફઃ બંને કિસ્સાઓમાં, સ્થિતિનું ક્રમ પરિમાણ વધુમાં વધુ ચાર હોય છે. જો કે, આ પરિણામને ઉચ્ચ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલીટોપમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાતું નથી, કારણ કે ત્યાં ચાર-પરિમાણીય પોલીટોપ અસ્તિત્વમાં છે જેમના ચહેરાના જાળીમાં અમર્યાદિત ક્રમ પરિમાણ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, અમૂર્ત સરળ સંકુલ માટે, સંકુલના ચહેરાની સ્થિતિનું ક્રમ પરિમાણ વધુમાં વધુ હોય છે, જ્યાં યુક્લિડિયન જગ્યાનું લઘુતમ પરિમાણ હોય છે જેમાં સંકુલ ભૌમિતિક અનુભૂતિ ધરાવે છે. અન્ય આલેખ સ્નાઇડર નિરીક્ષણ કરે છે તેમ, ગ્રાફ G ના ઇન્સિડેન્સ પોસેટમાં ક્રમ પરિમાણ બે હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ગ્રાફ પાથ અથવા પાથનો સબગ્રાફ હોય. કારણ કે, જ્યારે ઇન્સિડેન્સ પોસેટમાં ક્રમ પરિમાણ બે હોય છે, ત્યારે તેના એકમાત્ર સંભવિત રીઅલાઈઝરમાં કુલ બે ક્રમ હોય છે જે (જ્યારે ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ સુધી મર્યાદિત હોય ત્યારે) એકબીજાની વિરુદ્ધ હોય છે. અન્ય કોઈપણ બે ક્રમમાં આંતરછેદ હશે જેમાં બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના ક્રમ સંબંધનો સમાવેશ થાય છે, જેને આપતનાં સ્થાનો માટે મંજૂરી નથી. શિરોબિંદુઓ પરના આ બે ક્રમ માટે, સતત શિરોબિંદુઓ વચ્ચેની ધારને બે ધારના અંતિમ બિંદુઓના પછી તરત જ મૂકીને ક્રમમાં શામેલ કરી શકાય છે, પરંતુ અન્ય કોઈ ધારનો સમાવેશ કરી શકાતો નથી. જો આલેખને ચાર રંગોથી રંગીન કરી શકાય, તો તેની આપતન સ્થિતિ મહત્તમ ચાર ક્રમ પરિમાણ ધરાવે છે. n શિરોબિંદુઓ પર સંપૂર્ણ આલેખની આપતન સ્થિતિ ક્રમ પરિમાણ ધરાવે છે. સંદર્ભો. . . . . . ક્રમ સિદ્ધાંત પ્લાનર આલેખ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેય આલેખ કરે છે