Plimpton 322
પ્લિમ્પ્ટન 322 એ બેબીલોનીયન માટીની તકતી છે, જે બેબીલોનીયન ગણિતનું ઉદાહરણ ધરાવે છે. જી. એ. માં તેનો નંબર 322 છે. કોલંબિયા યુનિવર્સિટી ખાતે પ્લિમ્પ્ટન કલેક્શન. આ ટેબ્લેટ, જે ઇ. સ. પૂર્વે 1800 ની આસપાસ લખવામાં આવ્યું હોવાનું માનવામાં આવે છે, તે સમયગાળાની ક્યૂનિફોર્મ લિપિમાં ચાર સ્તંભો અને સંખ્યાઓની 15 પંક્તિઓનું કોષ્ટક છે. આ કોષ્ટક ત્રણમાંથી બે સંખ્યાઓની યાદી આપે છે જેને હવે પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, પૂર્ણાંકો અને સંતોષકારક. આધુનિક દ્રષ્ટિકોણથી, આવા ત્રિપુટીઓના નિર્માણ માટેની પદ્ધતિ એક નોંધપાત્ર પ્રારંભિક સિદ્ધિ છે, જે ગ્રીક અને ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ સમસ્યાના ઉકેલો શોધ્યા તેના ઘણા સમય પહેલા જાણીતી હતી. તે જ સમયે, યાદ રાખવું જોઈએ કે ટેબ્લેટનો લેખક વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીને બદલે લેખક હતો; એવું સૂચવવામાં આવ્યું છે કે તેમનું એક લક્ષ્ય શાળાની સમસ્યાઓ માટે ઉદાહરણો તૈયાર કરવાનું હોઈ શકે છે. ટેબ્લેટની પ્રકૃતિ અને હેતુ પર નોંધપાત્ર વિદ્વતાપૂર્ણ ચર્ચા થઈ છે. આ ટેબ્લેટની વાંચી શકાય તેવી લોકપ્રિય સારવારો માટે ગણિતમાં એક્સપોઝીટરી શ્રેષ્ઠતા માટે લેસ્ટર આર. ફોર્ડ એવોર્ડ મેળવનાર અથવા વધુ ટૂંકમાં જુઓ. વ્યાપક ગ્રંથસૂચિ સાથે ટેબ્લેટની સંખ્યાઓના અર્થઘટનની વધુ વિગતવાર અને તકનીકી ચર્ચા છે. પ્લિમ્પ્ટન 322 અંશતઃ તૂટી ગયું છે, આશરે 13 સે. મી. પહોળું, 9 સે. મી. ઊંચું અને 2 સે. મી. જાડું છે. ન્યૂયોર્કના પ્રકાશક જ્યોર્જ આર્થર પ્લિમ્પ્ટને પુરાતત્વીય વેપારી એડગર જે. પાસેથી ટેબ્લેટ ખરીદ્યું હતું. બેંકોએ લગભગ 1922માં, અને 1930ના દાયકાના મધ્યમાં તેમના બાકીના સંગ્રહ સાથે તેને કોલંબિયા યુનિવર્સિટીને વારસામાં આપ્યો હતો. બેંક્સના જણાવ્યા અનુસાર, ટેબ્લેટ દક્ષિણ ઇરાકના પ્રાચીન શહેર લાર્સાને અનુરૂપ સ્થળ સેનકેરેહથી આવ્યું હતું. એવું માનવામાં આવે છે કે ટેબ્લેટ 1800 બી. સી. ની આસપાસ, મધ્ય કાલક્રમનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવ્યું હતું, જે તેની ક્યૂનિફોર્મ લિપિ માટે ઉપયોગમાં લેવાતી હસ્તલેખનની શૈલી પર આધારિત છેઃ લખે છે કે આ હસ્તલેખન "વર્ષો પહેલાંના 4000-3500 ના દક્ષિણ ઇરાકના દસ્તાવેજોની લાક્ષણિકતા છે". વધુ સ્પષ્ટ રીતે, લાર્સાની અન્ય ગોળીઓ કે જેના પર સ્પષ્ટ તારીખો લખેલી હોય તેની સાથે ફોર્મેટિંગની સમાનતાના આધારે, પ્લિમ્પ્ટન 322 કદાચ 1822-1784 BC સમયગાળાની હોઈ શકે છે. રોબ્સન નિર્દેશ કરે છે કે પ્લિમ્પ્ટન 322 એ સમયગાળાના ગાણિતિક દસ્તાવેજોને બદલે અન્ય વહીવટી દસ્તાવેજોની જેમ જ લખવામાં આવ્યું હતું. સામગ્રી પ્લિમ્પ્ટન 322 ની મુખ્ય સામગ્રી બેબીલોનીયન સેક્સાજેસિમલ નોટેશનમાં ચાર સ્તંભો અને પંદર પંક્તિઓ સાથે સંખ્યાઓનું કોષ્ટક છે. ચોથી કોલમ માત્ર એક પંક્તિ સંખ્યા છે, જે 1 થી 15 સુધીના ક્રમમાં છે. હયાત ટેબ્લેટમાં બીજા અને ત્રીજા સ્તંભો સંપૂર્ણપણે દૃશ્યમાન છે. જો કે, પ્રથમ સ્તંભની ધારને તોડી નાખવામાં આવી છે, અને ગુમ થયેલ અંકો શું હોઈ શકે તે માટે બે સુસંગત એક્સ્ટ્રાપોલેશન છે; આ અર્થઘટનો માત્ર એ બાબતમાં અલગ પડે છે કે દરેક સંખ્યા 1 ની બરાબર વધારાના અંકથી શરૂ થાય છે કે નહીં. કૌંસમાં દર્શાવવામાં આવેલા જુદા જુદા એક્સ્ટ્રાપોલેશન સાથે, પ્રથમ અને ચોથા સ્તંભોના ક્ષતિગ્રસ્ત ભાગો કે જેની સામગ્રી ત્રાંસા અક્ષરોમાં દર્શાવવામાં આવી છે, અને નીચે ચોરસ કૌંસમાં સામાન્ય રીતે સૂચિત સુધારાઓ સાથે બોલ્ડફેસમાં દર્શાવવામાં આવેલી છ અનુમાનિત ભૂલો સાથે, આ સંખ્યાઓ પંક્તિ 15 માં સુધારણા માટે બે સંભવિત વિકલ્પો દર્શાવવામાં આવ્યા છેઃ ત્રીજા સ્તંભમાં 53 ને તેના બમણા મૂલ્ય સાથે બદલવું જોઈએ, 1.46, અથવા બીજા સ્તંભમાં 56 ને તેના અડધા મૂલ્ય સાથે બદલવું જોઈએ, 28. શક્ય છે કે આ સ્તંભોની ડાબી બાજુએ ટેબ્લેટના તૂટેલા ભાગમાં વધારાના સ્તંભો હાજર હતા. બેબીલોનીયન સેક્સાજેસિમલ નોટેશનમાં દરેક સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાની 60 ની શક્તિનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો નથી, જે આ સંખ્યાઓનું અર્થઘટન અસ્પષ્ટ બનાવે છે. બીજા અને ત્રીજા સ્તંભની સંખ્યાઓને સામાન્ય રીતે પૂર્ણાંક તરીકે લેવામાં આવે છે. પ્રથમ સ્તંભની સંખ્યાઓને માત્ર અપૂર્ણાંક તરીકે સમજી શકાય છે, અને તેમના તમામ મૂલ્યો 1 અને 2 ની વચ્ચે હોય છે (પ્રારંભિક 1 હાજર છે એમ ધારીને-જો તે ગેરહાજર હોય તો તે 0 અને 1 ની વચ્ચે હોય છે). આ અપૂર્ણાંકો ચોક્કસ હોય છે, કાપણી અથવા ગોળાકાર અંદાજો નહીં. આ ધારણાઓ હેઠળ ટેબ્લેટનો દશાંશ અનુવાદ નીચે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. પ્રથમ સ્તંભમાં મોટાભાગના ચોક્કસ સેક્સાજેસિમલ અપૂર્ણાંકોમાં દશાંશ વિસ્તરણ સમાપ્ત થતું નથી અને સાત દશાંશ સ્થાનો પર ગોળાકાર કરવામાં આવ્યા છે. * પહેલાની જેમ, પંક્તિ 15માં વૈકલ્પિક સંભવિત સુધારામાં બીજા સ્તંભમાં 28 અને ત્રીજા સ્તંભમાં 53 છે. સંભવતઃ પંક્તિ 15 સિવાયની અન્ય તમામ પંક્તિઓથી વિપરીત, પંક્તિ 11ના બીજા અને ત્રીજા સ્તંભની એન્ટ્રીઓમાં એક સામાન્ય પરિબળ છે. શક્ય છે કે 45 અને 1.15 ને 3/4 અને 5/4 તરીકે સમજવામાં આવે, જે બેબીલોનીયન ગણિતમાં પરિચિત (3,4,5) જમણા ત્રિકોણના પ્રમાણભૂત (0.75,1,1.25) સ્કેલિંગ સાથે સુસંગત છે. દરેક હરોળમાં, બીજા સ્તંભની સંખ્યાને જમણા ત્રિકોણની ટૂંકી બાજુ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, અને ત્રીજા સ્તંભની સંખ્યાને ત્રિકોણના હાયપોટેન્યુઝ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. તમામ કિસ્સાઓમાં, લાંબી બાજુ પણ એક પૂર્ણાંક છે, જે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલના બે ઘટકો બનાવે છે. પ્રથમ સ્તંભમાં સંખ્યા કાં તો અપૂર્ણાંક છે (જો "1" શામેલ નથી) અથવા (જો "1" શામેલ છે). દરેક કિસ્સામાં, લાંબી બાજુ એ નિયમિત સંખ્યા છે, એટલે કે, 60 ની શક્તિનો પૂર્ણાંક વિભાજક અથવા, સમકક્ષ, 2,3 અને 5 ની શક્તિનો ગુણાકાર. આ જ કારણ છે કે પ્રથમ સ્તંભમાં સંખ્યાઓ ચોક્કસ હોય છે, કારણ કે નિયમિત સંખ્યા દ્વારા પૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવાથી સમાપ્ત થતી સેક્સાજેસિમલ સંખ્યા ઉત્પન્ન થાય છે. દાખલા તરીકે, કોષ્ટકની રેખા 1 ને ટૂંકી બાજુ 119 અને હાયપોટેન્યુઝ 169 સાથે ત્રિકોણનું વર્ણન કરવા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જે લાંબી બાજુ સૂચવે છે, જે નિયમિત સંખ્યા (23·3·5) છે. સ્તંભ 1 માં સંખ્યા કાં તો (169/120) 2 અથવા (119/120) 2 છે. સ્તંભ શીર્ષકો દરેક સ્તંભમાં એક શીર્ષક હોય છે, જે અક્કાડીયન ભાષામાં લખાયેલું હોય છે. કેટલાક શબ્દો સુમેરિયન લોગોગ્રામ છે, જે વાચકો દ્વારા અક્કાડીયન શબ્દોના પ્રતીક તરીકે સમજવામાં આવ્યા હશે. આમાં ÍB.SI8, અકાડિયન મિથાર્ટમ ("ચોરસ") માટે, MU.BI.IM, અકાડિયન સુમસુ ("તેની રેખા") માટે, અને SAG, અકાડિયન પુટમ ("પહોળાઈ") માટે સમાવેશ થાય છે. ચોથા સ્તંભમાં દરેક સંખ્યા સુમેરોગ્રામ KI દ્વારા આગળ આવે છે, જે, "તેમને ક્રમિક સંખ્યાઓનું અક્ષર આપે છે". ઉપરના સેક્સાજેસિમલ કોષ્ટકમાં, ત્રાંસા શબ્દો અને શબ્દોના ભાગો લખાણના એવા ભાગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ટેબ્લેટને નુકસાન અથવા ગેરકાયદેસરતાને કારણે વાંચી ન શકાય અને આધુનિક વિદ્વાનો દ્વારા તેનું પુનઃનિર્માણ કરવામાં આવ્યું છે. ÍB.SI8 અને ટેકિલ્ટમ શબ્દોનો અનુવાદ કરવામાં આવ્યો નથી કારણ કે તેમના ચોક્કસ અર્થ વિશે ચર્ચા ચાલી રહી છે. સ્તંભ 2 અને 3 ના શીર્ષકોને "પહોળાઈનો વર્ગ" અને "કર્ણનો વર્ગ" તરીકે અનુવાદિત કરી શકાય છે, પરંતુ (pp. 173-174) દલીલ કરે છે કે ÍB.SI8 શબ્દ ચોરસના વિસ્તાર અથવા ચોરસની બાજુનો સંદર્ભ આપી શકે છે, અને આ કિસ્સામાં તેને 'ચોરસ-બાજુ' અથવા કદાચ 'વર્ગમૂળ' તરીકે સમજવું જોઈએ. તેવી જ રીતે (પૃ. 526) અવલોકન કરે છે કે આ શબ્દ ઘણીવાર એવી સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે કે જ્યાં વર્ગ પૂર્ણ કરવાનો ઉપયોગ હવે દ્વિઘાત સમીકરણો તરીકે સમજાય છે તે ઉકેલવા માટે થાય છે, જે સંદર્ભમાં તે પૂર્ણ થયેલ વર્ગની બાજુનો સંદર્ભ આપે છે, પરંતુ તે "રેખીય પરિમાણ અથવા રેખા ખંડનો અર્થ છે" તે સૂચવવા માટે પણ કામ કરી શકે છે. (પીપી. 35, 39), બીજી બાજુ, એવા ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે જ્યાં આ શબ્દ વિવિધ ગાણિતિક કામગીરીઓના પરિણામોનો સંદર્ભ આપે છે અને "પહોળાઈ (અથવા કર્ણ) ની સંખ્યાને ઉકેલવી" અનુવાદની દરખાસ્ત કરે છે. તેવી જ રીતે, (પૃ. 300) "મૂળ" અનુવાદની દરખાસ્ત કરે છે. સ્તંભ 1 માં, મથાળાની બંને રેખાઓના પ્રથમ ભાગોને નુકસાન થયું છે. પ્રથમ શબ્દને તકિલ્તી (તકિલ્ટમનું એક સ્વરૂપ) તરીકે પુનઃનિર્મિત કર્યો, જે વાંચન મોટાભાગના અનુગામી સંશોધકો દ્વારા સ્વીકારવામાં આવ્યું છે. રેખા 2 ના તૂટેલા ભાગમાં 1 દાખલ કરવાની દરખાસ્ત ન થાય ત્યાં સુધી શીર્ષકને સામાન્ય રીતે અનુવાદ ન કરી શકાય તેવું માનવામાં આવતું હતું અને ઉપરોક્ત કોષ્ટકમાં આપેલું વાંચન ઉત્પન્ન કરીને ગેરકાયદેસર અંતિમ શબ્દને સમજવામાં સફળ રહ્યું હતું. વિગતવાર ભાષાકીય વિશ્લેષણના આધારે, રોબસન ટેકિલ્ટમને "હોલ્ડિંગ સ્ક્વેર" તરીકે અનુવાદિત કરવાની દરખાસ્ત કરે છે. જૂના બેબીલોનીયન ગણિતમાં આ શબ્દની પ્રમાણમાં ઓછી જાણીતી ઘટનાઓનું સર્વેક્ષણ કરો. જ્યારે તેઓ નોંધે છે કે, લગભગ તમામ કિસ્સાઓમાં, તે ચોરસને પૂર્ણ કરવાની પ્રક્રિયામાં આકૃતિમાં ઉમેરવામાં આવેલા સહાયક ચોરસના રેખીય પરિમાણનો સંદર્ભ આપે છે, અને તે વર્ગાકાર ઉકેલવાના છેલ્લા તબક્કામાં બાદ કરવામાં આવેલ જથ્થો છે, તેઓ રોબસન સાથે સંમત થાય છે કે આ કિસ્સામાં તેને ચોરસના વિસ્તારનો ઉલ્લેખ તરીકે સમજવું જોઈએ. બીજી બાજુ, સૂચવે છે કે શીર્ષકના તૂટેલા ભાગમાં ટેકિલ્ટમ એ-શા ("વિસ્તાર") થી આગળ હોઈ શકે છે. હવે વ્યાપક સંમતિ છે કે મથાળું લંબાઇ (લાંબી બાજુ) સાથે લંબચોરસની પહોળાઈ (ટૂંકી બાજુ) પરના ચોરસ અને વિકર્ણ વચ્ચેના સંબંધને વર્ણવે છેઃ વિકર્ણ પરના ચોરસમાંથી 1 વિસ્તારને બાદ કરવો (ફાડવો) ચોરસના વિસ્તારને પહોળાઈ પર છોડી દે છે. ભૂલો ઉપરના કોષ્ટકમાં દર્શાવ્યા મુજબ, મોટાભાગના વિદ્વાનો માને છે કે ટેબ્લેટમાં છ ભૂલો છે, અને પંક્તિ 15 માં બે સંભવિત સુધારાઓને બાદ કરતાં, સાચા મૂલ્યો શું હોવા જોઈએ તે અંગે વ્યાપક સમજૂતી છે. ભૂલો કેવી રીતે થઈ અને ટેબ્લેટની ગણતરીની પદ્ધતિના સંદર્ભમાં તેઓ શું સૂચવે છે તે અંગે ઓછી સંમતિ છે. ભૂલોનો સારાંશ નીચે મુજબ છે. પંક્તિ 2, સ્તંભ 1 (ગેરહાજર 1 અને 10 માટે 50 અને 6 વચ્ચે જગ્યા છોડવાની અવગણના) અને પંક્તિ 9, સ્તંભ 2 (8 માટે 9 લખવું) માંની ભૂલોને સાર્વત્રિક રીતે વર્ક ટેબ્લેટમાંથી (અથવા સંભવતઃ ટેબલની અગાઉની નકલમાંથી) નકલ કરવામાં નાની ભૂલો તરીકે ગણવામાં આવે છે. પંક્તિ 8, સ્તંભ 1 (બે સેક્સાજેસિમલ અંકો 45 14 ને તેમના સરવાળા, 59 દ્વારા બદલીને) માં ભૂલ ટેબ્લેટ પરના કેટલાક પ્રારંભિક કાગળોમાં નોંધવામાં આવી હોય તેવું લાગતું નથી. તેને કેટલીકવાર (ઉદાહરણ તરીકે) વર્ક ટેબ્લેટમાંથી નકલ કરવાની પ્રક્રિયામાં લેખક દ્વારા કરવામાં આવેલી સરળ ભૂલ તરીકે ગણવામાં આવે છે. જો કે, તેમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેમ, સંખ્યાબંધ વિદ્વાનોએ સૂચવ્યું છે કે આ ભૂલને સંખ્યા તરફ દોરી જતી ગણતરીમાં ભૂલ તરીકે વધુ વાજબી રીતે સમજાવવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાકાર કરતી વખતે લેખક મધ્યસ્થ શૂન્ય (શૂન્ય અંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી ખાલી જગ્યા) ની અવગણના કરે છે. ભૂલનું આ સમજૂતી કોષ્ટકના નિર્માણની પદ્ધતિ માટેની બંને મુખ્ય દરખાસ્તો સાથે સુસંગત છે. (નીચે જુઓ.) બાકીની ત્રણ ભૂલો ટેબ્લેટની ગણતરીની રીત પર અસર કરે છે. પંક્તિ 13, સ્તંભ 2 માં સંખ્યા 7.12.1 એ સાચા મૂલ્યનો વર્ગ છે, 2.41. સ્તંભ 2 ની લંબાઈની ગણતરી અનુરૂપ ચોરસના વિસ્તારના વર્ગમૂળને લઈને કરવામાં આવી હતી, અથવા લંબાઈ અને વિસ્તારની ગણતરી એકસાથે કરવામાં આવી હતી એમ ધારીને, આ ભૂલને વર્ગમૂળ લેવાની અવગણના તરીકે અથવા વર્ક ટેબ્લેટમાંથી ખોટી સંખ્યાની નકલ તરીકે સમજાવી શકાય છે. જો પંક્તિ 15 માં ભૂલને સ્તંભ 2 માં 28 ને બદલે 56 લખવામાં આવી હોવાનું સમજાય છે, તો પછી ભૂલને પાછળના ભાગ અલ્ગોરિધમનો અયોગ્ય ઉપયોગના પરિણામે સમજાવી શકાય છે, જે જરૂરી છે જો કોષ્ટકની ગણતરી નીચે વર્ણવ્યા મુજબ પારસ્પરિક જોડીઓ દ્વારા કરવામાં આવી હોય. આ ભૂલ કૉલમ 2 અને 3 માં સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય નિયમિત પરિબળોને દૂર કરવા માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને લાગુ કરવા સમાન છે, જે કૉલમમાંથી એકમાં અયોગ્ય સંખ્યા છે. પંક્તિ 2, સ્તંભ 3 માંની સંખ્યાનો સાચી સંખ્યા સાથે કોઈ સ્પષ્ટ સંબંધ નથી, અને આ સંખ્યા કેવી રીતે મેળવવામાં આવી હતી તેની તમામ સમજૂતીઓ બહુવિધ ભૂલોને ધારણ કરે છે. અવલોકન કર્યું કે 3.12.01 એ 3.13 ની સરળ ખોટી નકલ હોઈ શકે છે. જો આ કિસ્સો હોય, તો પછી ખોટી સંખ્યા 3.13 માટેનું સમજૂતી પંક્તિ 15 માં ભૂલના સમજૂતી જેવું જ છે. સામાન્ય સર્વસંમતિ માટે એક અપવાદ એ છે કે, જ્યાં, તે જ લેખક () દ્વારા અગાઉના વિશ્લેષણથી પ્રસ્થાનમાં, એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે પંક્તિ 15 માં સંખ્યાઓ ભૂલમાં નથી, પરંતુ હેતુ મુજબ લખવામાં આવી હતી, અને પંક્તિ 2, કૉલમ 3 માં એકમાત્ર ભૂલ 3.13 ને 3.12.01 તરીકે ખોટી રીતે લખી રહી હતી. આ પૂર્વધારણા હેઠળ, કૉલમ 2 અને 3 ને "આગળના અને કર્ણના પરિબળ-ઘટાડેલા કોર" તરીકે ફરીથી અર્થઘટન કરવું જરૂરી છે. સંખ્યાનું પરિબળ-ઘટાડેલું મૂળ એ સંપૂર્ણ-ચોરસ નિયમિત પરિબળોને દૂર કરવામાં આવેલી સંખ્યા છે; પરિબળ-ઘટાડેલા કોરની ગણતરી એ જૂના બેબીલોનીયન ગણિતમાં વર્ગમૂળોની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયાનો એક ભાગ હતો. ફ્રીબર્ગના જણાવ્યા અનુસાર, "પ્લિમ્પ્ટન 322 ના લેખકનો ઈરાદો ક્યારેય તેના સામાન્ય કર્ણ ત્રિકોણની શ્રેણી (દરેક ત્રિકોણમાં 1 ની બરાબર લંબાઈ સાથે) ને આદિમ કર્ણ ત્રિકોણની અનુરૂપ શ્રેણી (આગળ, લંબાઈ અને સામાન્ય પરિબળો વિના પૂર્ણાંકોની બરાબર કર્ણ) સુધી ઘટાડવાનો નહોતો". ટેબલની રચના વિદ્વાનો હજુ પણ આ સંખ્યાઓ કેવી રીતે પેદા કરવામાં આવી હતી તેના પર અલગ પડે છે. અને બંને ટેબલના નિર્માણની પદ્ધતિ માટે બે મુખ્ય દરખાસ્તોને ઓળખે છેઃ જોડી બનાવવાની પદ્ધતિ, પ્રસ્તાવિત, અને પારસ્પરિક જોડીની પદ્ધતિ, જે બ્રુઇન્સ દ્વારા પ્રસ્તાવિત અને વોઇલ્સ દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવી હતી, અને ફ્રીબર્ગ. જોડી બનાવવી આધુનિક પરિભાષાનો ઉપયોગ કરવા માટે, જો p અને q એ p> q જેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય તો (p2 − q2,2pq, p2 + q2) પાયથાગોરિયન ત્રિપાઇ બનાવે છે. ત્રિપુટી આદિમ છે, એટલે કે ત્રણ ત્રિકોણ બાજુઓમાં કોઈ સામાન્ય પરિબળ નથી, જો p અને q સહમૌલિક હોય અને બંને વિષમ ન હોય. ન્યુગેબાઉર અને સૅશ સૂચવે છે કે ટેબ્લેટ પી અને ક્યૂને સહમૌલિક નિયમિત સંખ્યાઓ તરીકે પસંદ કરીને બનાવવામાં આવી હતી (પરંતુ બંને વિચિત્ર હોઈ શકે છે-પંક્તિ 15 જુઓ) અને ગણતરી ડી = પી 2 + ક્યૂ 2, એસ = પી 2 − ક્યૂ 2, અને એલ = 2 પી ક્યુ (જેથી એલ પણ નિયમિત સંખ્યા છે). ઉદાહરણ તરીકે, રેખા 1 એ p = 12 અને q = 5 સુયોજિત કરીને પેદા થશે. બક અને રોબસન બંને નોંધે છે કે આ દરખાસ્તમાં સ્તંભ 1 ની હાજરી રહસ્યમય છે, કારણ કે તે બાંધકામમાં કોઈ ભૂમિકા ભજવતું નથી, અને તે દરખાસ્ત સમજાવતું નથી કે ટેબલની પંક્તિઓ શા માટે ક્રમમાં છે, તેના બદલે, કહો, અથવા, જે, આ પૂર્વધારણા હેઠળ, ટેબ્લેટના તૂટેલા ભાગમાં ડાબી બાજુના સ્તંભો પર સૂચિબદ્ધ થઈ શકે છે. રોબ્સન એવી પણ દલીલ કરે છે કે દરખાસ્ત એ સમજાવતી નથી કે કોષ્ટકમાં ભૂલો કેવી રીતે વાજબી રીતે ઊભી થઈ શકે છે અને તે તે સમયની ગાણિતિક સંસ્કૃતિને અનુરૂપ નથી. પારસ્પરિક જોડી પારસ્પરિક જોડી દરખાસ્તમાં, પ્રારંભિક બિંદુ તેના પારસ્પરિક, 1/x સાથે એક નિયમિત સેક્સાજેસિમલ અપૂર્ણાંક x છે. "નિયમિત સેક્સાજેસિમલ અપૂર્ણાંક" નો અર્થ એ છે કે x એ 2,3 અને 5 ની (સંભવતઃ નકારાત્મક) શક્તિઓનું ગુણાકાર છે. જથ્થાઓ (x−1/x)/2,1, અને (x + 1/x)/2 પછી રચાય છે જેને હવે તર્કસંગત પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ કહેવામાં આવશે. વધુમાં, ત્રણેય બાજુઓ મર્યાદિત લૈંગિક પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે. આ દરખાસ્તના હિમાયતીઓ નિર્દેશ કરે છે કે નિયમિત પારસ્પરિક જોડીઓ (x, 1/x) પ્લિમ્પ્ટન 322 જેવા લગભગ સમાન સમય અને સ્થાનથી અલગ સમસ્યામાં દેખાય છે, એટલે કે વિસ્તાર 1 ના લંબચોરસની બાજુઓ શોધવાની સમસ્યા, જેની લાંબી બાજુ તેની ટૂંકી બાજુને આપેલ લંબાઈ c દ્વારા ઓળંગે છે (જે આજકાલ દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલ તરીકે ગણતરી કરી શકાય છે). ટેબ્લેટ, YBC 6967 નું વિશ્લેષણ કરે છે, જેમાં આવી સમસ્યાનું સમાધાન મધ્યવર્તી મૂલ્યો v1 = c/2, v2 = v12, v3 = 1 + v2, અને v4 = v 31/2 ના ક્રમની ગણતરી કરીને કરવામાં આવે છે, જેમાંથી કોઈ વ્યક્તિ x = v4 + v1 અને 1/x = v4 − v1 ની ગણતરી કરી શકે છે. જ્યારે v3 ના વર્ગમૂળની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાત, સામાન્ય રીતે એવા જવાબોમાં પરિણમશે કે જેમાં મર્યાદિત લૈંગિક પ્રતિનિધિત્વ ન હોય, ત્યારે YBC 6967 પર સમસ્યા સેટ કરવામાં આવી હતી-જેનો અર્થ છે કે c નું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું-એક સરસ જવાબ આપવા માટે. હકીકતમાં, આ ઉપરના સ્પષ્ટીકરણનું મૂળ છે કે x એ નિયમિત સેક્સાજેસિમલ અપૂર્ણાંક છેઃ આ રીતે x પસંદ કરવાથી ખાતરી થાય છે કે x અને 1/x બંને મર્યાદિત સેક્સાજેસિમલ રજૂઆતો ધરાવે છે. એક સરસ જવાબ સાથે સમસ્યાનું ઇજનેરીકરણ કરવા માટે, સમસ્યા સુયોજિત કરનારને ફક્ત આવા x ને પસંદ કરવાની જરૂર પડશે અને પ્રારંભિક ડેટમ c ને x−1/x ની બરાબર થવા દો. આડઅસર તરીકે, આ પગ v1 અને 1 અને હાયપોટેન્યુઝ v4 સાથે તર્કસંગત પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ ઉત્પન્ન કરે છે. એ તરફ ધ્યાન દોરવું જોઈએ કે YBC 6967 પરની સમસ્યા ખરેખર સમીકરણને ઉકેલે છે, જેમાં ઉપરના v3 માટે અભિવ્યક્તિને v3 = 60 + v2 સાથે બદલવાનો સમાવેશ થાય છે. તર્કસંગત ત્રિપાઇ મેળવવાની આડઅસર ત્યાં ખોવાઈ જાય છે કારણ કે બાજુઓ v1,, અને v4 બની જાય છે. આ દરખાસ્તમાં એવું માનવું આવશ્યક છે કે બેબીલોનીઓ સમસ્યાના બંને પ્રકારોથી પરિચિત હતા. રોબ્સન દલીલ કરે છે કે પ્લિમ્પ્ટન 322 ના સ્તંભોનું અર્થઘટન આ રીતે કરી શકાય છેઃ પ્રથમ સ્તંભમાં v3 = ((x + 1/x)/2) 2 = 1 + (c/2) 2, બીજા સ્તંભમાં યોગ્ય ગુણક a માટે a·v1 = a· (x−1/x)/2, અને ત્રીજા સ્તંભમાં a·v4 = a· (x + 1/x)/2. આ અર્થઘટનમાં, x અને 1/x (અથવા સંભવતઃ v1 અને v4) ટેબ્લેટ પર પ્રથમ સ્તંભની ડાબી બાજુના તૂટેલા ભાગમાં દેખાયા હશે. તેથી કૉલમ 1 ની હાજરીને ગણતરીમાં મધ્યવર્તી પગલું તરીકે સમજાવવામાં આવે છે, અને પંક્તિઓનો ક્રમ x (અથવા v1) ના ઉતરતા મૂલ્યો દ્વારા છે. કૉલમ 2 અને 3 માં મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણક a, જેને બાજુની લંબાઈના પુનર્વેચાણ તરીકે વિચારી શકાય છે, તે "ટ્રેઇલિંગ પાર્ટ અલ્ગોરિધમ" ની અરજીમાંથી ઉદભવે છે, જેમાં બંને મૂલ્યોને વારંવાર બંનેના છેલ્લા સેક્સાજેસિમલ અંકો માટે સામાન્ય કોઈપણ નિયમિત પરિબળના પારસ્પરિક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, જ્યાં સુધી આવું કોઈ સામાન્ય પરિબળ ન રહે. ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ, ટેબ્લેટની બધી ભૂલો પારસ્પરિક-જોડી દરખાસ્તમાં કુદરતી સ્પષ્ટતા ધરાવે છે. બીજી બાજુ, રોબ્સન નિર્દેશ કરે છે કે સ્તંભ 2 અને 3 ની ભૂમિકા અને ગુણકની જરૂરિયાત આ દરખાસ્ત દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી, અને સૂચવે છે કે ટેબ્લેટના લેખકનો ધ્યેય YBC 6967 પર ઉકેલાયેલા પ્રકારની દ્વિઘાત સમસ્યાઓ માટે નહીં, પરંતુ "અમુક પ્રકારની જમણી-ત્રિકોણ સમસ્યાઓ માટે" પરિમાણો પ્રદાન કરવાનો હતો. તેણી એ પણ નોંધે છે કે ટેબલ બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ અને જેનો હેતુ તેનો હતો તે સમાન હોવો જરૂરી નથી. ટેબ્લેટ પરની સંખ્યાઓ પારસ્પરિક જોડીનો ઉપયોગ કરીને પેદા કરવામાં આવી હતી તે વિચાર માટે મજબૂત વધારાનો ટેકો સ્કોયેન સંગ્રહમાંથી બે ટેબ્લેટ, એમએસ 3052 અને એમએસ 3971 માંથી આવે છે. જોરેન ફ્રીબર્ગે બે ગોળીઓનું ભાષાંતર અને વિશ્લેષણ કર્યું અને શોધ્યું કે બંનેમાં પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે પારસ્પરિક જોડીનો ઉપયોગ કરીને લંબચોરસની કર્ણ અને બાજુની લંબાઈની ગણતરીના ઉદાહરણો છે. બે ગોળીઓ જૂની બેબીલોનીયન છે, જે લગભગ પ્લિમ્પ્ટન 322 જેટલી જ ઉંમરની છે, અને બંને લાર્સા નજીક ઉરુકથી આવી હોવાનું માનવામાં આવે છે. બે ગોળીઓનું વધુ વિશ્લેષણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. એમએસ 3971 પાંચ સમસ્યાઓની યાદી ધરાવે છે, જેમાંથી ત્રીજી "પાંચ કર્ણ જોવા માટે" થી શરૂ થાય છે અને "પાંચ કર્ણ" સાથે સમાપ્ત થાય છે. સમસ્યાના પાંચ ભાગોમાંથી દરેક માટે આપવામાં આવેલી માહિતીમાં પારસ્પરિક જોડીનો સમાવેશ થાય છે. દરેક ભાગ માટે લંબચોરસની કર્ણ અને પહોળાઈ (ટૂંકી બાજુ) બંનેની લંબાઈની ગણતરી કરવામાં આવે છે. લંબાઈ (લાંબી બાજુ) જણાવવામાં આવી નથી પરંતુ ગણતરી સૂચવે છે કે તેને 1 તરીકે લેવામાં આવે છે. આધુનિક શબ્દોમાં, ગણતરી નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છેઃ આપેલ x અને 1/x, પ્રથમ ગણતરી (x + 1/x)/2, કર્ણ. પછી પહોળાઈની ગણતરી કરો. પાંચ ભાગોમાંથી પ્રથમ ભાગ ધરાવતા ટેબ્લેટના ભાગને નુકસાન થવાના કારણે, પ્રારંભિક ડેટાના નિશાન અને ઉકેલ સિવાય, આ ભાગ માટે સમસ્યાનું નિવેદન ખોવાઈ ગયું છે. અન્ય ચાર ભાગો મોટાભાગે અકબંધ છે, અને બધામાં ખૂબ સમાન લખાણ છે. કર્ણને પારસ્પરિક જોડીનો અડધો સરવાળો લેવાનું કારણ અખંડ લખાણમાં જણાવવામાં આવ્યું નથી. પહોળાઈની ગણતરી (x−1/x)/2 ની સમકક્ષ છે, પરંતુ ગણતરીની આ વધુ સીધી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો નથી, તેથી કર્ણના વર્ગને બાજુઓના વર્ગના સરવાળા સાથે સંબંધિત નિયમ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે. એમએસ 3052 ની બીજી સમસ્યાના લખાણને પણ ખરાબ રીતે નુકસાન થયું છે, પરંતુ જે બાકી છે તે એમએસ 3971, સમસ્યા 3 ના પાંચ ભાગોની જેમ જ રચાયેલ છે. સમસ્યામાં એક આકૃતિ છે, જે, ફ્રીબર્ગના જણાવ્યા અનુસાર, સંભવતઃ "કોઈપણ કર્ણ વિનાનો લંબચોરસ" છે. ભારપૂર્વક જણાવો કે લખાણના સંરક્ષિત ભાગો સ્પષ્ટ રીતે લંબાઈ 1 હોવાનું જણાવે છે અને લંબાઈના ચોરસ તરીકે પહોળાઈની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયામાં કર્ણના ચોરસમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે તે 1 ની સ્પષ્ટપણે ગણતરી કરે છે. બે ગોળીઓ પરની છ સમસ્યાઓ માટે પ્રારંભિક માહિતી અને ગણતરી કરેલ પહોળાઈ અને કર્ણ નીચે કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. ટેબ્લેટને થયેલા નુકસાનને કારણે MS 3971 §3a ના પરિમાણો અનિશ્ચિત છે. એમએસ 3052 માંથી સમસ્યાના પરિમાણો પ્રમાણભૂત (3,4,5) જમણા ત્રિકોણના પુનઃનિર્ધારણને અનુરૂપ છે, જે પ્લિમ્પ્ટન 322 ની પંક્તિ 11 તરીકે દેખાય છે. એમએસ 3971 ની સમસ્યાઓમાંના કોઈ પણ પરિમાણો પ્લિમ્પ્ટન 322 ની કોઈપણ પંક્તિઓ સાથે મેળ ખાતા નથી. નીચે ચર્ચા કર્યા મુજબ, પ્લિમ્પ્ટન 322 ની તમામ હરોળમાં x ≤ 9/5 છે, જ્યારે MS 3971 પરની તમામ સમસ્યાઓમાં x <9/5 છે. એમ. એસ. 3971 ના પરિમાણો, જો કે, બધા ડી સોલ્લા પ્રાઈસના પ્લિમ્પ્ટન 322 ના કોષ્ટકના સૂચિત વિસ્તરણની પંક્તિઓને અનુરૂપ છે, જેની પણ નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. એ વાત પર ભાર મૂકવો આવશ્યક છે કે વાયબીસી 6967 પરની સમસ્યામાં પારસ્પરિક જોડીની ભૂમિકા એમએસ 3052 અને એમએસ 3971 (અને વિસ્તરણ દ્વારા, પ્લિમ્પ્ટન 322 પર) કરતાં અલગ છે. YBC 6967 ની સમસ્યામાં, પારસ્પરિક જોડીના સભ્યો વિસ્તાર 1 ના લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ છે. x અને 1/x નો ભૌમિતિક અર્થ MS 3052 અને MS 3971 પર સમસ્યાઓના હયાત લખાણમાં જણાવવામાં આવ્યો નથી. ધ્યેય મર્યાદિત સેક્સાજેસિમલ પહોળાઈ અને કર્ણ સાથે લંબચોરસ ઉત્પન્ન કરવા માટે જાણીતી પ્રક્રિયા લાગુ કરવાનું હોવાનું જણાય છે. એ પણ ધ્યાન દોરવું જોઈએ કે આ સમસ્યાઓમાં બાજુની લંબાઈને ફરીથી માપવા માટે ટ્રેઇલિંગ પોઇન્ટ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો ન હતો. દરખાસ્તોની સરખામણી પારસ્પરિક-જોડી દરખાસ્તમાં x જથ્થો ઉત્પાદન-જોડી દરખાસ્તમાં p/q ગુણોત્તરને અનુરૂપ છે. ખરેખર, જ્યારે બે દરખાસ્તો ગણતરીની પદ્ધતિમાં અલગ પડે છે, ત્યારે પરિણામો વચ્ચે થોડો ગાણિતિક તફાવત છે કારણ કે બંને સમાન ત્રણ ગુણ પેદા કરે છે, સિવાય કે 2 ના એકંદર પરિબળ સિવાય, જ્યાં p અને q બંને વિષમ હોય. (કમનસીબે, ટેબ્લેટમાં આવું થાય છે તે એકમાત્ર સ્થાન પંક્તિ 15 માં છે, જેમાં ભૂલ છે અને તેથી તેનો ઉપયોગ દરખાસ્તો વચ્ચે તફાવત કરવા માટે કરી શકાતો નથી.) પારસ્પરિક જોડી દરખાસ્તના સમર્થકો x ની ગણતરી અંતર્ગત p અને q માંથી કરવામાં આવી હતી કે કેમ તેના પર અલગ પડે છે, પરંતુ માત્ર ટેબ્લેટોની ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા p/q અને q/p સંયોજનો સાથે અથવા x સીધા અન્ય સ્રોતોમાંથી મેળવવામાં આવ્યો હતો કે કેમ, જેમ કે પારસ્પરિક કોષ્ટકો. પછીની પૂર્વધારણામાં એક મુશ્કેલી એ છે કે x અથવા 1/x ના કેટલાક જરૂરી મૂલ્યો ચાર-સ્થાનની લૈંગિક સંખ્યાઓ છે, અને કોઈ ચાર-સ્થાનની પારસ્પરિક કોષ્ટકો જાણીતી નથી. ન્યુગેબાવર અને સાક્સે હકીકતમાં, તેમના મૂળ કાર્યમાં પારસ્પરિક જોડીનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવનાની નોંધ લીધી હતી અને આ કારણોસર તેને નકારી કાઢી હતી. જો કે, રોબસન દલીલ કરે છે કે જૂના બેબીલોનીયન સમયગાળાના જાણીતા સ્રોતો અને ગણતરીની પદ્ધતિઓ ઉપયોગમાં લેવાતા x ના તમામ મૂલ્યો માટે જવાબદાર હોઈ શકે છે. જોડીની પસંદગી ન્યુગેબાવર અને સૅશ નોંધે છે કે ટેબ્લેટમાં ત્રિકોણ પરિમાણો લગભગ સમદ્વિબાહુ જમણા ત્રિકોણ (ટૂંકા પગ સાથે, 119, લગભગ લાંબા પગની બરાબર, 120) થી લઈને 30° અને 60° ની નજીકના તીવ્ર ખૂણાઓ સાથે જમણા ત્રિકોણ સુધી હોય છે, અને કોણ લગભગ 1° ના પગલાંઓમાં એકદમ સમાન રીતે ઘટે છે. તેઓ સૂચવે છે કે p, q જોડીઓ આ ધ્યેયને ધ્યાનમાં રાખીને ઇરાદાપૂર્વક પસંદ કરવામાં આવી હતી. જનરેટિંગ-પેઅર માળખામાં કામ કરતા, દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે કોષ્ટકની દરેક પંક્તિ q દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે જે 1 ≤ q <60 ને સંતોષે છે, એટલે કે, q હંમેશા એક આંકડાની સેક્સાજેસિમલ સંખ્યા છે. p/q ગુણોત્તર કોષ્ટકની પંક્તિ 1 માં તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય, 12/5 = 2.4 લે છે, અને તેથી તે હંમેશા તેના કરતા ઓછું હોય છે, જે એવી શરતની બાંયધરી આપે છે કે p2 − q2 એ લાંબો પગ છે અને 2pq એ ત્રિકોણનો ટૂંકો પગ છે અને જે, આધુનિક શબ્દોમાં, સૂચવે છે કે p2 − q2 લંબાઈના પગની સામેનો કોણ 45° કરતા ઓછો છે. આ ગુણોત્તર પંક્તિ 15માં સૌથી ઓછો છે જ્યાં લગભગ 31.9°ના ખૂણા માટે p/q = 9/5 છે. વધુમાં, 9/5 અને 12/5 વચ્ચે બરાબર 15 નિયમિત ગુણોત્તર છે, જેમાં q એ એક આંકડાની સેક્સાજેસિમલ સંખ્યા છે, અને આ ટેબ્લેટની પંક્તિઓ સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં છે. તેઓ એ પણ નિર્દેશ કરે છે કે સંખ્યાઓનું સરખું અંતર ડિઝાઇન દ્વારા ન પણ હોઈ શકેઃ તે કોષ્ટકમાં ગણવામાં આવતી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં નિયમિત-સંખ્યા ગુણોત્તરની ઘનતામાંથી પણ ઉદ્ભવી શકે છે. ડી સોલા પ્રાઈસ દ્વારા એવી દલીલ કરવામાં આવી હતી કે ગુણોત્તર માટે કુદરતી નીચલી સીમા 1 હશે, જે 0°ના ખૂણાને અનુરૂપ છે. તેમણે શોધી કાઢ્યું કે, q એ એક આંકડાની સેક્સાજેસિમલ સંખ્યા હોવાની જરૂરિયાતને જાળવી રાખીને, કુલ 38 જોડીઓ માટે ટેબ્લેટ દ્વારા રજૂ કરાયેલ સંખ્યા ઉપરાંત 23 જોડીઓ છે. તેઓ નોંધે છે કે ટેબ્લેટ પરના સ્તંભો વચ્ચે ઊભું સ્કોરિંગ પાછળની બાજુએ ચાલુ રાખવામાં આવ્યું છે, જે સૂચવે છે કે લેખક ટેબલને લંબાવવાનો ઇરાદો ધરાવતો હોઈ શકે છે. તેઓ દાવો કરે છે કે ઉપલબ્ધ જગ્યા 23 વધારાની પંક્તિઓને યોગ્ય રીતે સમાવશે. પારસ્પરિક જોડી દરખાસ્તના સમર્થકોએ પણ આ યોજનાની હિમાયત કરી છે. આ દરખાસ્તને સીધી રીતે સંબોધતી નથી, પરંતુ તે સંમત થાય છે કે ટેબલ "ભરેલું" ન હતું. તેણી નોંધે છે કે પારસ્પરિક-જોડી દરખાસ્તમાં, ટેબ્લેટમાં રજૂ કરાયેલ દરેક x મહત્તમ ચાર-સ્થાનની પારસ્પરિક સાથે મહત્તમ ચાર-સ્થાનની લૈંગિક સંખ્યા છે, અને x અને 1/x માં એકસાથે સ્થાનોની કુલ સંખ્યા ક્યારેય 7 થી વધુ નથી. જો આ ગુણધર્મોને જરૂરિયાતો તરીકે લેવામાં આવે, તો ટેબ્લેટમાંથી x "ગુમ" ની બરાબર ત્રણ કિંમતો છે, જે તેણી દલીલ કરે છે કે તે અવગણવામાં આવી હોઈ શકે છે કારણ કે તે વિવિધ રીતે અપ્રિય છે. તેણી આ યોજનાની "આઘાતજનક રીતે કામચલાઉ" પ્રકૃતિને સ્વીકારે છે, જે મુખ્યત્વે ટેબ્લેટના લેખકના પસંદગીના માપદંડને વિભાજિત કરવાના તમામ પ્રયાસોની ટીકા કરવા માટે એક રેટરિકલ ઉપકરણ તરીકે કામ કરે છે. હેતુ અને લેખકે સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક અર્થઘટન માટે દલીલ કરી હતી, પરંતુ એવું પણ માન્યું હતું કે કોષ્ટકમાંની એન્ટ્રીઓ ઇરાદાપૂર્વકની પસંદગી પ્રક્રિયાનું પરિણામ છે જેનો હેતુ અમુક ચોક્કસ મર્યાદામાં કોલમ 1 માં મૂલ્યોમાં એકદમ નિયમિત ઘટાડો હાંસલ કરવાનો છે. અને બંને ત્રિકોણમિતીય સમજૂતીના અસ્તિત્વનો ઉલ્લેખ કરે છે, જે રોબ્સન વિવિધ સામાન્ય ઇતિહાસ અને અપ્રકાશિત કાર્યોના લેખકોને આભારી છે, પરંતુ જે અવલોકનમાંથી મેળવી શકાય છે કે પ્રથમ સ્તંભના મૂલ્યોને દરેક પંક્તિ દ્વારા વર્ણવેલ જમણા ત્રિકોણની ટૂંકી બાજુની વિરુદ્ધ ખૂણાના ચોરસ સેકન્ટ અથવા સ્પર્શક (ગુમ થયેલ અંક પર આધાર રાખીને) તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, અને પંક્તિઓ આ ખૂણાઓ દ્વારા આશરે એક-ડિગ્રી વૃદ્ધિમાં ગોઠવવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તમે પ્રથમ સ્તંભમાં સંખ્યા લો, (1) ને ડિસ્કાઉન્ટ કરો, અને તેનું વર્ગમૂળ મેળવો, અને પછી તેને સ્તંભ બેમાં સંખ્યામાં વિભાજીત કરો, તો પરિણામ ત્રિકોણની લાંબી બાજુની લંબાઈ હશે. પરિણામે, પ્રથમ સ્તંભમાં સંખ્યાના વર્ગમૂળ (બાદબાકી) ને આપણે આજે ટૂંકી બાજુની વિરુદ્ધ કોણની સ્પર્શક કહીશું. જો (1) નો સમાવેશ કરવામાં આવે, તો તે સંખ્યાનું વર્ગમૂળ સેકન્ટ છે. ટેબ્લેટની આ અગાઉની સમજૂતીઓ સાથે વિરોધાભાસમાં, દાવો કરે છે કે ઐતિહાસિક, સાંસ્કૃતિક અને ભાષાકીય પુરાવાઓ દર્શાવે છે કે ટેબ્લેટ "નિયમિત પારસ્પરિક જોડીઓની સૂચિ" માંથી બનાવવામાં આવી હોવાની શક્યતા વધુ છે. રોબ્સન ભાષાકીય આધારો પર દલીલ કરે છે કે ત્રિકોણમિતીય સિદ્ધાંત "કલ્પનાત્મક રીતે કાલાતીત" છેઃ તે અન્ય ઘણા વિચારો પર આધાર રાખે છે જે તે સમયથી બેબીલોનીયન ગણિતના રેકોર્ડમાં હાજર નથી. 2003માં, એમએએએ રોબ્સનને તેમના કામ માટે લેસ્ટર આર. ફોર્ડ એવોર્ડથી સન્માનિત કર્યા હતા, જેમાં જણાવ્યું હતું કે "પ્લિમ્પ્ટન 322ના લેખક વ્યાવસાયિક અથવા કલાપ્રેમી ગણિતશાસ્ત્રી હોવાની શક્યતા ઓછી છે. વધુ શક્યતા છે કે તેઓ શિક્ષક હતા અને પ્લિમ્પ્ટન 322 કસરતોનો સમૂહ હતો. રોબ્સન એક અભિગમ અપનાવે છે જે આધુનિક શબ્દોમાં બીજગણિત તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવશે, જો કે તે તેને નક્કર ભૌમિતિક શબ્દોમાં વર્ણવે છે અને દલીલ કરે છે કે બેબીલોનીઓએ પણ આ અભિગમને ભૌમિતિક રીતે અર્થઘટન કર્યું હશે. આમ, ટેબ્લેટને વર્કઆઉટ કસરતોનો ક્રમ આપવા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. તે તે સમયની લેખકીય શાળાઓની લાક્ષણિક ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે, અને તે તે સમયગાળામાં સંચાલકો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા દસ્તાવેજ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. તેથી, રોબસન દલીલ કરે છે કે લેખક કદાચ એક લેખક, લાર્સામાં એક અમલદાર હતો. ટેબ્લેટની પુનરાવર્તિત ગાણિતિક રચના, અને બીએમ 80209 જેવી સમાન ટેબ્લેટ, શિક્ષકને એકબીજાના સમાન સ્વરૂપમાં પરંતુ અલગ ડેટા સાથે સમસ્યાઓ સેટ કરવાની મંજૂરી આપવામાં ઉપયોગી થઈ હોત. આઇએમ 67118 મોસ્કો મેથેમેટિકલ પેપિરસ રિન્ડ મેથેમેટિકલ પેપિરસ વાયબીસી 7289 નોટ્સ રેફરન્સ પણ જુઓ. . . . . . . . . . . . . . બાહ્ય કડીઓ ઉચ્ચ ગુણવત્તાની ડિજિટલ છબીઓ સહિત ક્યુનિફોર્મ ડિજિટલ લાઇબ્રેરી ઇનિશિયેટિવ (સીડીએલઆઈ) સૂચિમાં પ્રવેશઃ પ્લિમ્પ્ટન 322, સીડીએલઆઈ વિકી લેખ વાયબીસી 6967 એમએસ 3052 એમએસ 3971 વધુ વાંચન. . . પ્રદર્શનો "પાયથાગોરસ પહેલાંઃ જૂના બેબીલોનીયન ગણિતની સંસ્કૃતિ", ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર ધ સ્ટડી ઓફ ધ એન્શિયન્ટ વર્લ્ડ, ન્યૂયોર્ક યુનિવર્સિટી, નવેમ્બર 12-ડિસેમ્બર 17,2010. તેમાં પ્લિમ્પ્ટન 322 નો ફોટો અને વર્ણન સામેલ છે). . "બિફોર પાયથાગોરસ" પ્રદર્શનની સમીક્ષા, પ્લિમ્પ્ટન 322 પરના વિવાદનો ઉલ્લેખ કરે છે. "જ્વેલ્સ ઇન હર ક્રાઉનઃ ટ્રેઝર્સ ફ્રોમ ધ સ્પેશિયલ કલેક્શન્સ ઓફ કોલંબિયાઝ લાઇબ્રેરીઝ", દુર્લભ પુસ્તક અને હસ્તપ્રત પુસ્તકાલય, કોલંબિયા યુનિવર્સિટી, ઓક્ટોબર 8,2004-જાન્યુઆરી 28,2005. ફોટો અને આઇટમ 158 નું વર્ણનઃ પ્લિમ્પ્ટન ક્યૂનિફોર્મ 322. બેબીલોનીયન ગણિતની ગણિતની હસ્તપ્રતો ક્લે ટેબ્લેટ્સ 18મી સદી બી. સી. કામ કરે છે 1922 ઇરાકમાં 1922 પુરાતત્વીય શોધો કોલંબિયા યુનિવર્સિટી પુસ્તકાલયો ધી કાર ગવર્નરેટ