Van Aubel's theorem
સમતલ ભૂમિતિમાં, વેન ઔબેલનો પ્રમેય ચતુર્ભુજની બાજુઓ પર બનેલા ચોરસ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. આપેલ બહિર્મુખ ચતુર્ભુજથી શરૂ કરીને, દરેક બાજુએ ચતુર્ભુજની બહાર એક ચોરસ બનાવો. વેન ઔબેલનો પ્રમેય જણાવે છે કે વિરુદ્ધ ચોરસના કેન્દ્રો વચ્ચેના બે રેખાખંડો સમાન લંબાઈના હોય છે અને એકબીજાના સમકોણ પર હોય છે. આ જ વાત કહેવાની બીજી રીત એ છે કે ચાર ચોરસના કેન્દ્ર બિંદુઓ સમકોણ લંબકોણ ચતુર્ભુજના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે. આ પ્રમેયનું નામ બેલ્જિયન ગણિતશાસ્ત્રી હેનરિકસ હ્યુબર્ટસ (હેનરી) વેન ઔબેલ (1830-1906) ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1878માં પ્રકાશિત કર્યું હતું. આ પ્રમેય પુનઃપ્રવેશ ચતુર્ભુજ માટે પણ સાચું છે, અને જ્યારે ચોરસ આપેલ ચતુર્ભુજમાં આંતરિક રીતે બાંધવામાં આવે છે. જટિલ (સ્વ-છેદતા) ચતુર્ભુજ માટે, ચોરસ માટે બાહ્ય અને આંતરિક રચનાઓ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી. આ કિસ્સામાં, જ્યારે રચનાઓ વધુ સામાન્ય રીતે હાથ ધરવામાં આવે ત્યારે પ્રમેય સાચું પડે છેઃ ક્રમિક દિશામાં ચતુર્ભુજ શિરોબિંદુઓને અનુસરો અને આપેલ ચતુર્ભુજની દરેક બાજુની જમણી બાજુએ દરેક ચોરસનું નિર્માણ કરો. સમાન ક્રમિક દિશામાં ચતુર્ભુજ શિરોબિંદુઓને અનુસરો અને આપેલ ચતુર્ભુજની દરેક બાજુની ડાબી બાજુએ દરેક ચોરસ બનાવો. બે વિરુદ્ધ બાજુઓ પર ચતુર્ભુજમાં બાહ્ય રીતે (અથવા આંતરિક રીતે) બાંધવામાં આવેલા ચોરસના કેન્દ્રોને જોડતા વિભાગોને વેન ઔબેલ વિભાગો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બે સમાન અને ઓર્થોગોનલ વેન ઔબેલ સેગમેન્ટ્સ (જ્યારે જરૂરી હોય ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે) ના આંતરછેદના બિંદુઓને વેન ઔબેલ બિંદુઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ બાહ્ય બાંધકામ માટે પ્રથમ અથવા બાહ્ય વેન ઔબેલ બિંદુ, આંતરિક માટે બીજું અથવા આંતરિક વેન ઔબેલ બિંદુ. વેન ઔબેલ પ્રમેયની રૂપરેખાંકન કેટલીક સુસંગત લાક્ષણિકતાઓ રજૂ કરે છે, અન્યમાંઃ વેન ઔબેલ બિંદુઓ ચતુર્ભુજના બે પરિવેષ્ટિત ચોરસના કેન્દ્રો છે. વેન ઔબેલ બિંદુઓ, ચતુર્ભુજ કર્ણના મધ્ય બિંદુઓ અને વેન ઔબેલ સેગમેન્ટ્સના મધ્ય બિંદુઓ સુસંગત છે. આ પ્રમેયના કેટલાક વિસ્તરણ, સમાન લંબચોરસને ધ્યાનમાં રાખીને, આપેલ ચતુર્ભુજની બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા સમાન લંબચોરસ અને સમાન સમાંતર ચતુર્ભુજ, ધ મેથેમેટિકલ ગેઝેટ પર પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. પેટ્ર-ડગ્લાસ-ન્યુમેન પ્રમેય થિબોલ્ટની પ્રમેય નેપોલિયનની પ્રમેય બોટેમાના પ્રમેયને નિર્દેશ કરે છે સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ વેન ઔબેલની ચતુર્ભુજ માટે પ્રમેય અને જય વેરનડોર્ફ દ્વારા ત્રિકોણ માટે વેન ઔબેલની પ્રમેય, ધ વોલ્ફ્રેમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટ પણ જુઓ. યુટાકા નિશિયામા, ઇન્ટરનેશનલ જર્નલ ઓફ પ્યોર એન્ડ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ દ્વારા વેન ઔબેલની સુંદર ભૌમિતિક પ્રમેય. ટિમ બ્રેઝિન્સ્કી દ્વારા ઇન્ટરેક્ટિવ એપ્લેટ જે જીઓજેબ્રાનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલ વેન ઔબેલની પ્રમેય દર્શાવે છે. ડાયનેમિક જીઓમેટ્રી સ્કેચ, ઇન્ટરેક્ટિવ ભૂમિતિ સ્કેચ પર સમાન ચતુર્ભુજ માટે વેન ઔબેલના પ્રમેયના કેટલાક સામાન્યીકરણ. ક્યુજી-2પી6: એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ક્વાડ્રી-ફિગર્સ (ઇક્યુએફ) ખાતે ક્રિસ વાન ટિએનહોવન દ્વારા બાહ્ય અને આંતરિક વાન ઔબેલ પોઇંટ્સ. હેથીટ્રસ્ટ ડિજિટલ લાઈબ્રેરી ખાતે એમ. એચ. વેન ઔબેલ દ્વારા લખાયેલા સંશોધનની નોંધ લો. ચતુર્ભુજ વિશેના પ્રમેયો