Imprecise probability
અચોક્કસ સંભાવના આંશિક સંભાવના સ્પષ્ટીકરણોને મંજૂરી આપવા માટે સંભાવના સિદ્ધાંતને સામાન્ય બનાવે છે, અને જ્યારે માહિતી દુર્લભ, અસ્પષ્ટ અથવા વિરોધાભાસી હોય ત્યારે લાગુ પડે છે, આ કિસ્સામાં અનન્ય સંભાવના વિતરણને ઓળખવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. આમ, આ સિદ્ધાંતનો ઉદ્દેશ ઉપલબ્ધ જ્ઞાનને વધુ સચોટ રીતે રજૂ કરવાનો છે. અચોક્કસતા નિષ્ણાત નિષ્કર્ષ સાથે વ્યવહાર કરવા માટે ઉપયોગી છે, કારણ કેઃ લોકો પાસે તેમની પોતાની વ્યક્તિલક્ષી સંભાવનાઓ નક્કી કરવાની મર્યાદિત ક્ષમતા હોય છે અને તેઓ શોધી શકે છે કે તેઓ માત્ર એક અંતરાલ પ્રદાન કરી શકે છે. અંતરાલ અભિપ્રાયોની શ્રેણી સાથે સુસંગત હોવાથી, વિશ્લેષણ વિવિધ લોકો માટે વધુ ભરોસાપાત્ર હોવું જોઈએ. પરિચય અનિશ્ચિતતા પરંપરાગત રીતે સંભાવના વિતરણ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે, જેમ કે કોલ્મોગોરોવ, લાપ્લાસ, ડી ફિનેટ્ટી, રામસે, કોક્સ, લિન્ડલી અને અન્ય ઘણા લોકો દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું છે. જો કે, વૈજ્ઞાનિકો, આંકડાશાસ્ત્રીઓ અને સંભાવનાશાસ્ત્રીઓ દ્વારા આને સર્વસંમતિથી સ્વીકારવામાં આવ્યું નથીઃ એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે સંભાવના સિદ્ધાંતમાં થોડો ફેરફાર અથવા વિસ્તરણ જરૂરી છે, કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિ હંમેશા દરેક ઘટના માટે સંભાવના પ્રદાન કરી શકશે નહીં, ખાસ કરીને જ્યારે માત્ર થોડી માહિતી અથવા માહિતી ઉપલબ્ધ હોય-આવી ટીકાનું પ્રારંભિક ઉદાહરણ લાપ્લાસના કાર્યની બુલની ટીકા છે-અથવા જ્યારે આપણે કોઈ એક વ્યક્તિની તુલનામાં જૂથ સંમત થાય તેવી સંભાવનાઓનું મોડેલ બનાવવા માંગીએ છીએ. કદાચ સૌથી સામાન્ય સામાન્યીકરણ એ છે કે એક જ સંભાવના સ્પષ્ટીકરણને અંતરાલ સ્પષ્ટીકરણ સાથે બદલવું. નીચલા અને ઉપલા સંભાવનાઓ, અને, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, નીચલા અને ઉપલા અપેક્ષાઓ (પૂર્વધારણાઓ) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, આ અંતરને ભરવાનું લક્ષ્ય રાખે છે. ઓછી સંભાવના કાર્ય સુપરએડિટિવ છે પરંતુ જરૂરી નથી કે તે એડિટિવ હોય, જ્યારે ઉચ્ચ સંભાવના સબએડિટિવ હોય છે. સિદ્ધાંતની સામાન્ય સમજણ મેળવવા માટે, ધ્યાનમાં લોઃ તમામ ઘટનાઓ માટેનો વિશેષ કેસ ચોક્કસ સંભાવનાની સમકક્ષ છે અને તમામ બિન-તુચ્છ ઘટનાઓ માટે તેના સ્પષ્ટીકરણ પર કોઈ અવરોધ રજૂ કરતું નથી. કેટલાક અભિગમો, બિન-પૂરક સંભાવનાઓ નામ હેઠળ સારાંશિત, આ સમૂહ કાર્યોમાંથી એકનો સીધો ઉપયોગ કરે છે, અન્યને કુદરતી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમ કે પૂરક સાથે. અન્ય સંબંધિત વિભાવનાઓ તમામ ઘટનાઓ માટે અનુરૂપ અંતરાલને મૂળભૂત અસ્તિત્વ તરીકે સમજે છે. અચોક્કસ સંભાવનાનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર લાંબો ઇતિહાસ ધરાવે છે. પ્રથમ ઔપચારિક સારવાર ઓછામાં ઓછી ઓગણીસમી સદીના મધ્યમાં જ્યોર્જ બૂલ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેનો હેતુ તર્ક અને સંભાવનાના સિદ્ધાંતોને સમાધાન કરવાનો હતો. 1920ના દાયકામાં, એ ટ્રીટાઇઝ ઓન પ્રોબેબિલિટીમાં, કીન્સે સંભાવના માટે સ્પષ્ટ અંતરાલ અંદાજ અભિગમ ઘડ્યો અને લાગુ કર્યો. અચોક્કસ સંભાવના મોડેલો પર કામ સમગ્ર 20મી સદીમાં યોગ્ય રીતે આગળ વધ્યું, જેમાં બર્નાર્ડ કૂપમેન, સી. એ. બી. ના મહત્વપૂર્ણ યોગદાન હતા. સ્મિથ, આઇ. જે. ગુડ, આર્થર ડેમ્પસ્ટર, ગ્લેન શેફર, પીટર એમ. વિલિયમ્સ, હેનરી કિબર્ગ, આઇઝેક લેવી અને ટેડી સેઇડેનફેલ્ડ. 1990ના દાયકાની શરૂઆતમાં, પીટર વાલીના પુસ્તક સ્ટેટિસ્ટિકલ રિઝનિંગ વિથ ઇમ્પ્રિસાઇઝ પ્રોબેબિલિટીઝના પ્રકાશન સાથે આ ક્ષેત્રે થોડો વેગ મેળવવાનું શરૂ કર્યું (જ્યાં "અચોક્કસ સંભાવના" શબ્દનો ઉદ્ભવ પણ થાય છે). 1990 ના દાયકામાં કુઝનેત્સોવ અને વેઇસેલબર્ગર દ્વારા મહત્વપૂર્ણ કૃતિઓ પણ જોવા મળી હતી, જે બંને અંતરાલ સંભાવના શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે. વાલીનો સિદ્ધાંત જુગારની ખરીદી અને વેચાણ કિંમતો દ્વારા પરંપરાગત વ્યક્તિલક્ષી સંભાવના સિદ્ધાંતને વિસ્તરે છે, જ્યારે વેઇસેલબર્ગરનો અભિગમ કોઈ અર્થઘટન લાદ્યા વિના કોલ્મોગોરોવના સિદ્ધાંતોને સામાન્ય બનાવે છે. પ્રમાણભૂત સુસંગતતા શરતો ઉપલા અને નીચલા સંભાવના સોંપણીઓને સંભાવના વિતરણના બિન-ખાલી બંધ બહિર્મુખ સમૂહો સાથે સંબંધિત કરે છે. તેથી, આવકારદાયક પેટા-ઉત્પાદન તરીકે, આ સિદ્ધાંત મજબૂત આંકડાશાસ્ત્ર અને બિન-પેરામેટ્રિક આંકડાશાસ્ત્રમાં ઉપયોગમાં લેવાતા નમૂનાઓ માટે ઔપચારિક માળખું પણ પ્રદાન કરે છે. તેમાં ચોક્વેટ એકીકરણ પર આધારિત વિભાવનાઓ પણ સામેલ છે, અને કહેવાતી બે-મોનોટોન અને સંપૂર્ણપણે મોનોટોન ક્ષમતાઓ, જે નામ (ડેમ્પસ્ટર-શેફર) માન્યતા કાર્યો હેઠળ કૃત્રિમ બુદ્ધિમાં ખૂબ જ લોકપ્રિય બની છે. વધુમાં, શેફર અને વોવકની રમત-સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાની કલ્પના સાથે મજબૂત જોડાણ છે. ગાણિતિક નમૂનાઓ "અચોક્કસ સંભાવના" શબ્દ કંઈક અંશે ભ્રામક છે કારણ કે ચોકસાઈને ઘણીવાર ચોકસાઈ માટે ભૂલથી લેવામાં આવે છે, જ્યારે અચોક્કસ રજૂઆત તીવ્ર ચોક્કસ રજૂઆત કરતાં વધુ સચોટ હોઈ શકે છે. કોઈ પણ સંજોગોમાં, આ શબ્દ 1990 ના દાયકામાં સ્થાપિત થયો હોવાનું જણાય છે, અને સંભાવનાના સિદ્ધાંતના વિસ્તરણની વિશાળ શ્રેણીને આવરી લે છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ પ્રમાણભૂત સમૂહો, અથવા સંભાવના વિતરણના સમૂહો પૂર્વધારણાઓ રેન્ડમ સેટ સિદ્ધાંત ડેમ્પસ્ટર-શેફર પુરાવા સિદ્ધાંત નીચલા અને ઉપલા સંભાવનાઓ, અથવા અંતરાલ સંભાવનાઓ માન્યતા કાર્યો સંભાવના અને આવશ્યકતાને માપે છે નીચલા અને ઉપલા પૂર્વધારણાઓ તુલનાત્મક સંભાવના ક્રમ આંશિક પસંદગી ક્રમમાં ઇચ્છનીય જુગાર પી-બોક્સ મજબૂત બેયસ પદ્ધતિઓનું સમૂહ અચોક્કસ સંભાવનાઓનું અર્થઘટન ઉપરોક્ત અચોક્કસ સંભાવના સિદ્ધાંતોના એકીકરણની દરખાસ્ત વાલી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જો કે આ કોઈ પણ રીતે અચોક્કસ સંભાવનાઓને ઔપચારિક બનાવવાનો પ્રથમ પ્રયાસ નથી. સંભાવના અર્થઘટનોની દ્રષ્ટિએ, વોલીની અચોક્કસ સંભાવનાઓની રચના સંભાવનાના બાયેસિયન અર્થઘટનના વ્યક્તિલક્ષી પ્રકાર પર આધારિત છે. વોલી ઉપલા અને નીચલા સંભાવનાઓને ઉપલા અને નીચલા વલણના વિશેષ કિસ્સાઓ અને બ્રુનો ડી ફિનેટ્ટી દ્વારા વિકસિત જુગાર માળખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, નિર્ણય લેનારાની નીચી ધારણા એ સૌથી વધુ કિંમત છે જેના પર નિર્ણય લેનારને ખાતરી છે કે તે અથવા તેણી જુગાર ખરીદશે, અને ઉપરની ધારણા એ સૌથી ઓછી કિંમત છે જેના પર નિર્ણય લેનારને ખાતરી છે કે તે અથવા તેણી જુગારની વિરુદ્ધ ખરીદી કરશે (જે મૂળ જુગાર વેચવા સમાન છે). જો ઉપલા અને નીચલા ધોરણો સમાન હોય, તો તેઓ સંયુક્ત રીતે જુગાર માટે નિર્ણય લેનારની વાજબી કિંમતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તે કિંમત કે જેના પર નિર્ણય લેનાર જુગારની બંને બાજુ લેવા તૈયાર હોય છે. વાજબી કિંમતનું અસ્તિત્વ ચોક્કસ સંભાવનાઓ તરફ દોરી જાય છે. અચોક્કસતા માટેનું ભથ્થું, અથવા નિર્ણય લેનારના ઉપલા અને નીચલા સિદ્ધાંતો વચ્ચેનું અંતર, ચોક્કસ અને અચોક્કસ સંભાવના સિદ્ધાંતો વચ્ચેનો પ્રાથમિક તફાવત છે. સટ્ટાબાજીના બજારોમાં આવા અંતર કુદરતી રીતે ઊભું થાય છે જે અસમપ્રમાણ માહિતીને કારણે આર્થિક રીતે અસ્થિર હોય છે. આ અંતર હેનરી કિબર્ગે તેમની અંતરાલની સંભાવનાઓ માટે પણ વારંવાર આપ્યું છે, જોકે તેઓ અને આઇઝેક લેવી અંતરાલો અથવા વિતરણના સમૂહો માટે અન્ય કારણો પણ આપે છે, જે માન્યતાની સ્થિતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. અચોક્કસ સંભાવનાઓ સાથેના મુદ્દાઓ અચોક્કસ સંભાવનાઓ સાથેનો એક મુદ્દો એ છે કે વ્યાપક અથવા સાંકડા અંતરાલને બદલે, એક અંતરાલના ઉપયોગમાં ઘણીવાર સ્વતંત્ર સ્તરની સાવધાની અથવા હિંમત સહજ હોય છે. આ વિશ્વાસની માત્રા, અસ્પષ્ટ સભ્યપદની માત્રા અથવા સ્વીકૃતિની મર્યાદા હોઈ શકે છે. સંભાવના વિતરણોના સમૂહમાંથી મેળવેલા નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ ધરાવતા અંતરાલો માટે આ એટલી સમસ્યા નથી, દા. ત., સમૂહના દરેક સભ્ય પર શરતીકરણ દ્વારા અનુસરવામાં આવતા પ્રાયોરોનો સમૂહ. જો કે, તે પ્રશ્ન તરફ દોરી શકે છે કે શા માટે કેટલાક વિતરણો પ્રાયોરના સમૂહમાં શામેલ છે અને કેટલાક નથી. બીજો મુદ્દો એ છે કે શા માટે કોઈ એક સંખ્યા, એક બિંદુ સંભાવનાને બદલે બે સંખ્યાઓ, નીચલી બાઉન્ડ અને ઉપલી બાઉન્ડ વિશે ચોક્કસ હોઈ શકે છે. આ મુદ્દો માત્ર રેટરિકલ હોઈ શકે છે, કારણ કે અંતરાલો સાથે મોડેલની મજબૂતાઈ સ્વાભાવિક રીતે બિંદુ-મૂલ્યવાન સંભાવનાઓ સાથે મોડેલ કરતા વધારે છે. તે અંતિમ બિંદુઓ પર ચોકસાઈના અયોગ્ય દાવાઓ તેમજ બિંદુ મૂલ્યો વિશે ચિંતા ઉભી કરે છે. વધુ વ્યવહારુ મુદ્દો એ છે કે કયા પ્રકારનો નિર્ણય સિદ્ધાંત અચોક્કસ સંભાવનાઓનો ઉપયોગ કરી શકે છે. અસ્પષ્ટ પગલાં માટે, રોનાલ્ડ આર. યાગરનું કામ છે. વિતરણના બહિર્મુખ સમૂહો માટે, લેવીની કૃતિઓ ઉપદેશક છે. બીજો અભિગમ પૂછે છે કે શું અંતરાલની હિંમતને નિયંત્રિત કરવાની મર્યાદા માત્ર સરેરાશ લેવા અથવા હર્વિઝ નિર્ણય નિયમનો ઉપયોગ કરવા કરતાં નિર્ણય માટે વધુ મહત્વની છે. અન્ય અભિગમ સાહિત્યમાં જોવા મળે છે. અસ્પષ્ટતા તિરસ્કાર મજબૂત નિર્ણય લેવો અચોક્કસ ડિરીક્લેટ પ્રક્રિયા સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ અચોક્કસ સંભાવના માટે સોસાયટીઃ સિદ્ધાંતો અને એપ્લિકેશન્સ અચોક્કસ સંભાવનાઓ પર આધારિત વર્ગીકરણનું ઓપન સોર્સ અમલીકરણ I. D. S. I. A. સ્ટેનફોર્ડ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફીના અચોક્કસ સંભાવના જૂથ અચોક્કસ સંભાવનાઓ સંભાવના સિદ્ધાંત આંકડાકીય અંદાજો પર લેખ