Generalized Jacobian
બીજગણિત ભૂમિતિમાં સામાન્યીકૃત જેકોબિયન એ વિભાજક સાથેના વળાંક સાથે સંકળાયેલ પરિવર્તનશીલ બીજગણિત જૂથ છે, જે સંપૂર્ણ વળાંકની જેકોબિયન વિવિધતાને સામાન્ય બનાવે છે. તેઓ મેક્સવેલ રોસેનલિચ દ્વારા 1954 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, અને તેનો ઉપયોગ અબેલિયન ગેલોઇસ જૂથ સાથે વળાંકના વિસ્તૃત આવરણનો અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે. વળાંકના સામાન્યીકૃત જેકોબિયન્સ એ પરિવર્તનીય એફાઇન બીજગણિત જૂથ દ્વારા વળાંકના જેકોબિયનનું વિસ્તરણ છે, જે ચેવલલીના માળખાના પ્રમેયના બિન-તુચ્છ ઉદાહરણો આપે છે. વ્યાખ્યા ધારો કે C એ સંપૂર્ણ નોન-સિંગ્યુલર વળાંક છે, m એ C પર અસરકારક વિભાજક છે, S એ m નો આધાર છે, અને P એ C પર એક નિશ્ચિત આધાર બિંદુ છે જે S માં નથી. સામાન્યીકૃત જેકોબિયન Jm એ C થી Jm સુધીના તર્કસંગત નકશા સાથે એક પરિવર્તનીય બીજગણિત જૂથ છે જેમ કેઃ f એ P ને Jm ની ઓળખ પર લઈ જાય છે. f એ S. ની બહાર નિયમિત હોય છે. f (D) = 0 જ્યારે પણ D એ C પરના પરિમાણીય વિધેય g નો વિભાજક હોય છે જેમ કે g ષ્ણ 1 મૉડ m. વધુમાં Jm એ આ ગુણધર્મો સાથેનું સાર્વત્રિક જૂથ છે, તે અર્થમાં કે C થી કોઈ પણ પરિમાણીય નકશો Jm દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે ઉપરના ગુણધર્મો ધરાવતા જૂથમાં. જૂથ Jm આધાર બિંદુ P ની પસંદગી પર આધારિત નથી, જો કે P બદલવાથી અનુવાદ દ્વારા f નકશામાં ફેરફાર થાય છે. સામાન્યીકૃત જેકોબિયનની રચના m = 0 માટે સામાન્યીકૃત જેકોબિયન Jm એ માત્ર સામાન્ય જેકોબિયન J છે, જે પરિમાણ g ની અબેલિયન વિવિધતા છે, જે C ની જાતિ છે. તેથી આપણી પાસે એક ચોક્કસ ક્રમ 0 → Lm → Jm → J → 0 છે Lm જૂથ એ અંતર્ગત ક્ષેત્રના ગુણાકાર જૂથ Gm દ્વારા સમૂહ Ri ના ગુણાકારનો ભાગાકાર 0 → Gm → ΠUPI (ni) → Lm → 0 છે. ઉત્પાદન m ના આધારમાં પાઇ બિંદુઓ પર ચાલે છે, અને યુપીઆઈ (એનઆઈ) જૂથ એ સ્થાનિક રીંગ મોડ્યુલોના ઇન્વર્ટિબલ તત્વોનું જૂથ છે જે 1 મોડ પિની છે. યુ. પી. આઈ. (એન. આઈ.) જૂથનું પરિમાણ એન. આઈ. છે, જે એમ. માં કેટલી વાર પી. આઈ. આવે છે તેની સંખ્યા છે. તે ગુણાકાર જૂથ જી. એમ. નો ગુણાકાર પરિમાણ એન. આઈ.-1ના એકશકિત જૂથ દ્વારા થાય છે, જે લાક્ષણિકતા 0માં એન. આઈ.-1 યોગાત્મક જૂથોના ગુણાકાર માટે સમરૂપ છે. જટિલ સંખ્યાઓ પર, સામાન્યીકૃત જેકોબિયનનું બીજગણિત માળખું સામાન્યીકૃત જેકોબિયનનું વિશ્લેષણાત્મક માળખું નક્કી કરે છે જે તેને એક જટિલ લાઈ જૂથ બનાવે છે. સામાન્યીકૃત જેકોબિયન અંતર્ગત વિશ્લેષણાત્મક પેટાજૂથને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છે. (આ હંમેશા બીજગણિત માળખું નક્કી કરતું નથી કારણ કે બે બિન-આઇસોમોર્ફિક પરિવર્તનીય બીજગણિત જૂથો વિશ્લેષણાત્મક જૂથો તરીકે આઇસોમોર્ફિક હોઈ શકે છે.) ધારો કે C એ S આધાર સાથે અસરકારક વિભાજક m સાથેનું વળાંક છે. એક કુદરતી નકશો છે જેમાં સમરૂપતા જૂથ H1 (C−S) થી જટિલ વેક્ટર જગ્યા ω (−m) (m પર ધ્રુવો સાથે 1-સ્વરૂપો) ના દ્વિ ω (−m) * સુધી 1-ચક્ર પર 1-સ્વરૂપના અભિન્ન દ્વારા પ્રેરિત છે. વિશ્લેષણાત્મક સામાન્યીકૃત જેકોબિયન પછી ભાગાકાર જૂથ ω (−m) */H1 (C −S) છે. સંદર્ભો બીજગણિત જૂથો બીજગણિત વળાંક