Discriminant of an algebraic number field
ગણિતમાં, બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રનો વિભેદક એ આંકડાકીય અપરિવર્તનશીલ છે, જે ઢીલી રીતે કહીએ તો, બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રના (પૂર્ણાંકોની વીંટી) કદને માપે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, તે પૂર્ણાંકોની વીંટીના મૂળભૂત ક્ષેત્રના ચોરસ કદના પ્રમાણમાં હોય છે, અને તે કયા અવિભાજ્યને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે તેનું નિયમન કરે છે. ડિસ્ક્રિમિનન્ટ એ સંખ્યા ક્ષેત્રના સૌથી મૂળભૂત અચળાંકોમાંનું એક છે, અને કેટલાક મહત્વપૂર્ણ વિશ્લેષણાત્મક સૂત્રોમાં જોવા મળે છે જેમ કે K ના ડેડેકિંડ ઝેટા કાર્યનું કાર્યાત્મક સમીકરણ, અને K માટે વિશ્લેષણાત્મક વર્ગ સંખ્યા સૂત્ર. હર્માઇટનો A પ્રમેય જણાવે છે કે મર્યાદિત રીતે મર્યાદિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટના ઘણા સંખ્યા ક્ષેત્રો છે, જો કે આ જથ્થો નક્કી કરવો એ હજુ પણ એક ખુલ્લી સમસ્યા છે, અને વર્તમાન સંશોધનનો વિષય છે. K ના ડિસ્ક્રિમિનન્ટને સંખ્યા ક્ષેત્રોના વિસ્તરણ K/L ના સંબંધિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટથી અલગ પાડવા માટે K ના સંપૂર્ણ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બાદમાં L ના પૂર્ણાંકોની રીંગમાં એક આદર્શ છે, અને નિરપેક્ષ ડિસ્ક્રિમિનન્ટની જેમ તે સૂચવે છે કે K/L માં કયા અવિભાજ્ય શ્રેણીબદ્ધ છે. તે એબ્સોલ્યુટ ડિસ્ક્રિમિનન્ટનું સામાન્યીકરણ છે જે L ને Q કરતા મોટું હોવાની મંજૂરી આપે છે; હકીકતમાં, જ્યારે L = Q, ત્યારે K/Q નો સંબંધિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ એ K ના એબ્સોલ્યુટ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ દ્વારા પેદા થયેલ Z નો મુખ્ય આદર્શ છે. ધારો કે b1,., bn બરાબરનો અભિન્ન આધાર છે (એટલે કે. Z-મોડ્યુલ તરીકે આધાર), અને ચાલો {σ1,., σn} એ જટિલ સંખ્યાઓમાં K ના એમ્બેડિંગનો સમૂહ છે (એટલે કે. ઇન્જેક્ટીવ રીંગ હોમોમોર્ફિઝમ્સ K → C). K નો વિભેદક એ n બાય n મેટ્રિક્સ B ના નિર્ધારકનો વર્ગ છે, જેની (i, j)-એન્ટ્રી σi (bj) છે. પ્રતીકાત્મક રીતે, સમાનરૂપે, K થી Q સુધીના નિશાનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, ટ્રેસ ફોર્મને મેટ્રિક્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જેની (i, j)-એન્ટ્રી એ TrK/Q (bibj) છે. આ મેટ્રિક્સ બીટીબી બરાબર છે, તેથી K ના ડિસ્ક્રિમિનન્ટનો વર્ગ આ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક છે. અભિન્ન આધાર b1,., bn સાથે K માં ક્રમના વિભેદકને તે જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ચતુર્ભુજ સંખ્યા ક્ષેત્રોના ઉદાહરણોઃ ચાલો d એ વર્ગ-મુક્ત પૂર્ણાંક હોય, તો તેનો વિભેદક એ એક પૂર્ણાંક છે જે દ્વિઘાત સંખ્યા ક્ષેત્રના વિભેદક તરીકે થાય છે તેને મૂળભૂત વિભેદક કહેવામાં આવે છે. સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોઃ ધારો કે n> 2 એ પૂર્ણાંક છે, ધારો કે ζn એ એકતાનું આદિમ nમું મૂળ છે, અને ધારો કે Kn = Q (ζn) એ nમું સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્ર છે. Kn નો ડિસ્ક્રિમિનન્ટ યુલરનું ટોશિયેન્ટ ફંક્શન ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને છેદમાં ગુણાકાર એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p પર n ને વિભાજીત કરે છે. પાવર બેઝઃ જ્યાં પૂર્ણાંકોની રિંગનો પાવર ઇન્ટિગ્રલ બેઝ હોય છે, એટલે કે, તેને OK = Z [α] તરીકે લખી શકાય છે, ત્યારે K નો ડિસ્ક્રિમિનન્ટ એ α ની ન્યૂનતમ બહુપદીના ડિસ્ક્રિમિનન્ટની બરાબર છે. આ જોવા માટે, કોઈ પણ b1 = 1, b2 = α, b3 = α2,., bn = αn−1 તરીકે OK નો અભિન્ન આધાર પસંદ કરી શકે છે. પછી, વ્યાખ્યામાં મેટ્રિક્સ એ αi = σi (α) સાથે સંકળાયેલ વેન્ડરમોન્ડે મેટ્રિક્સ છે, જેનો નિર્ધારક વર્ગ છે જે બરાબર ન્યૂનતમ બહુપદીના ડિસ્ક્રિમિનન્ટની વ્યાખ્યા છે. ધારો કે K = Q (α) એ બહુપદી x3 − x2 − 2x − 8 ના મૂળ α ને અડીને મેળવેલ સંખ્યા ક્ષેત્ર છે. આ રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડનું સંખ્યા ક્ષેત્રનું મૂળ ઉદાહરણ છે, જેની પૂર્ણાંકોની વીંટી પાવર બેઝિસ ધરાવતી નથી. એક અભિન્ન આધાર {1, α, α (α + 1)/2} દ્વારા આપવામાં આવે છે અને K નો વિભેદક −503 છે. પુનરાવર્તિત વિભેદકઃ દ્વિઘાત ક્ષેત્રનો વિભેદક તેને અનન્ય રીતે ઓળખે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે, ઉચ્ચ-ડિગ્રી સંખ્યા ક્ષેત્રો માટે આ સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ડિસ્ક્રિમિનન્ટ 3969 ના બે નોન-આઇસોમોર્ફિક ક્યુબિક ક્ષેત્રો છે. તેઓ અનુક્રમે બહુપદીના મૂળને અડીને મેળવવામાં આવે છે. મૂળભૂત પરિણામો બ્રિલની થીયરમઃ ડિસ્ક્રિમિનન્ટની નિશાની (−1) r2 છે જ્યાં r2 એ K ના જટિલ સ્થાનોની સંખ્યા છે. સ્ટિકલબર્ગરનો થીયરમઃ મિન્કોવ્સ્કીની બાઉન્ડઃ ચાલો n એ વિસ્તરણ K/Q ની ડિગ્રી અને r2 એ K ના જટિલ સ્થળોની સંખ્યાને સૂચવે, તો મિન્કોવ્સ્કીનો થીયરમઃ જો K એ Q નથી, તો |ΔK |> 1 (આ સીધા મિન્કોવ્સ્કી બાઉન્ડથી અનુસરે છે). હર્માઇટ-મિન્કોવ્સ્કી થીયરમઃ ધારો કે N એ હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. |ΔK | <N સાથે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા (સમરૂપતા સુધી) બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રો K છે. ફરીથી, આ હર્માઇટના પ્રમેય સાથે જોડાયેલા મિન્કોવ્સ્કીથી અનુસરે છે (કે નિર્ધારિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ સાથે માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રો છે). સામાન્ય બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર, K, ના વિભેદકની વ્યાખ્યા 1871 માં ડેડેકિન્ડ દ્વારા આપવામાં આવી હતી. આ તબક્કે, તેઓ પહેલેથી જ ભેદભાવ અને અસર વચ્ચેના સંબંધને જાણતા હતા. હર્માઇટનો પ્રમેય ડિસ્ક્રિમિનન્ટની સામાન્ય વ્યાખ્યાની આગાહી કરે છે અને ચાર્લ્સ હર્માઇટે 1857માં તેનો પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો હતો. 1877 માં, એલેક્ઝાન્ડર વોન બ્રિલે ભેદભાવની નિશાની નક્કી કરી. લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકરે સૌપ્રથમ 1882માં મિન્કોવ્સ્કીના પ્રમેયનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો, જોકે પ્રથમ પુરાવો 1891માં હર્મન મિન્કોવ્સ્કી દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. તે જ વર્ષે, મિન્કોવ્સ્કીએ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ પર તેની બાઉન્ડ પ્રકાશિત કરી. ઓગણીસમી સદીના અંતની નજીક, લુડવિગ સ્ટિકલબર્ગરએ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ મોડ્યુલો ફોરના અવશેષો પર પોતાનો પ્રમેય મેળવ્યો. રિલેટિવ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ ઉપર વ્યાખ્યાયિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટને કેટલીકવાર K ના સંપૂર્ણ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે જેથી તેને સંખ્યા ક્ષેત્રો K/L ના વિસ્તરણના સંબંધિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ ΔK/L થી અલગ પાડી શકાય, જે OL માં આદર્શ છે. સાપેક્ષ વિભેદકને નિરપેક્ષ વિભેદકની જેમ જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે કે OL માં આદર્શો મુખ્ય ન પણ હોઈ શકે અને OK નો OL આધાર ન પણ હોઈ શકે. ધારો કે {σ1,., σn} એ C માં K ના એમ્બેડિંગ્સનો સમૂહ છે જે L પરની ઓળખ છે. જો b1,., bn એ L પર K નો કોઈ આધાર હોય, તો d (b1,., bn) એ n બાય n મેટ્રિક્સના નિર્ધારકનો વર્ગ હોવો જોઈએ, જેની (i, j)-એન્ટ્રી એ σi (bj) છે. પછી, K/L નો સાપેક્ષ વિભેદક એ d (b1,., bn) દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ છે કારણ કે {b1,., bn} K/L ના તમામ અભિન્ન પાયા પર બદલાય છે. (એટલે કે. એવા ગુણધર્મ સાથે આધાર રાખે છે કે જે બધા i માટે b ω બરાબર છે.) વૈકલ્પિક રીતે, K/L નું સાપેક્ષ વિભેદક એ K/L ના ભિન્નતાનું ધોરણ છે. જ્યારે L = Q હોય, ત્યારે સાપેક્ષ વિભેદક αK/Q એ નિરપેક્ષ વિભેદક αK દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ Z નો મુખ્ય આદર્શ છે. ક્ષેત્રોના ટાવરમાં K/L/F સંબંધિત ભેદભાવ સંબંધિત ધોરણ સૂચવે છે તેના દ્વારા સંબંધિત છે. રેમિફિકેશન સંબંધિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ ક્ષેત્ર વિસ્તરણ K/L ના રેમિફિકેશન ડેટાને નિયંત્રિત કરે છે. L નો પ્રાઇમ આઇડિયલ p, K માં વિસ્તૃત થાય છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ, જો તે સંબંધિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ ΔK/L ને વિભાજિત કરે. એક્સ્ટેંશનને અનરેમિફાઇડ કરવામાં આવે છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ જો, ડિસ્ક્રિમિનન્ટ એકમ આદર્શ હોય. ઉપર બંધાયેલ મિન્કોવ્સ્કી દર્શાવે છે કે ક્યૂના કોઈ બિન-તુચ્છ અનરેમિફાઇડ એક્સ્ટેન્શન્સ નથી. Q કરતા મોટા ક્ષેત્રોમાં અનરેમીફાઇડ એક્સ્ટેંશન હોઈ શકે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, એક કરતા વધુ વર્ગ સંખ્યા ધરાવતા કોઈપણ ક્ષેત્ર માટે, તેનું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર બિન-તુચ્છ અનરેમીફાઇડ એક્સ્ટેંશન છે. રૂટ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ ડિગ્રી n નંબર ફિલ્ડ K ના રૂટ ડિસ્ક્રિમિનન્ટને સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ક્ષેત્રોના ટાવરમાં સંબંધિત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે કે રુટ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ અનરેમિફાઇડ એક્સ્ટેંશનમાં બદલાતો નથી. બિન-નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ ρ અને σ, બંને 0 નહીં, અને એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક n કે જે જોડી (r, 2s) = (ρn, σn) Z × 2Zમાં હોય, તેને જોતાં αn (ρ, σ) એ rdKનું અનંત હોવું જોઈએ કારણ કે K એ r વાસ્તવિક એમ્બેડિંગ્સ અને 2s જટિલ એમ્બેડિંગ્સ સાથે ડિગ્રી n સંખ્યા ક્ષેત્રો પર હોય છે, અને ચાલો α (ρ, σ) = લિમિન્ફન → αn (ρ, σ). પછી, અને સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણા સૂચવે છે કે મજબૂત બાઉન્ડ ત્યાં એક નીચલી બાઉન્ડ પણ છે જે તમામ ડિગ્રીમાં ધરાવે છે, માત્ર એસિમ્પ્ટોટિક રીતે નહીં કેઃ સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક ક્ષેત્રો માટે, 1229 અપવાદો સાથે, રુટ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ> 14 છે. બીજી બાજુ, અનંત વર્ગ ક્ષેત્ર ટાવરનું અસ્તિત્વ α (ρ, σ) ના મૂલ્યો પર ઉચ્ચ સીમાઓ આપી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, m = 3·5·7·11·19 સાથે Q () પરનો અનંત વર્ગ ફિલ્ડ ટાવર 2 ≈ 296.276, એટલે કે α (0,1) <296.276 સાથે મનસ્વી રીતે મોટા ડિગ્રીના ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે. ટેમ્લી રેમિફાઇડ ટાવર્સનો ઉપયોગ કરીને, હાજિર અને માયરેએ દર્શાવ્યું છે કે α (1,0) <954.3 અને α (0,1) <82.2, માર્ટિનેટની અગાઉની સીમાઓ પર સુધારો કરે છે. અન્ય જથ્થાઓ સાથેનો સંબંધ જ્યારે તેમાં જડિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે OK ના મૂળભૂત ડોમેનનું કદ છે (કેટલીકવાર એક અલગ માપનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે અને મેળવેલ કદ છે, જ્યાં r2 એ K ના જટિલ સ્થાનોની સંખ્યા છે). આ વોલ્યુમમાં તેના દેખાવને કારણે, ડિસ્ક્રિમિનન્ટ K ના ડેડેકિંડ ઝેટા ફંક્શનના કાર્યાત્મક સમીકરણમાં પણ દેખાય છે, અને તેથી વિશ્લેષણાત્મક વર્ગ સંખ્યા સૂત્રમાં, અને બ્રાઉઅર-સીગલ પ્રમેયમાં. કે/એલનો સાપેક્ષ વિભેદક એ કે/એલના ગેલોઇસ જૂથની નિયમિત રજૂઆતનો આર્ટિન વાહક છે. આ કે/એલના ગેલોઇસ જૂથના અક્ષરોના આર્ટિન વાહક સાથે સંબંધ પૂરો પાડે છે, જેને વાહક-ભેદભાવ સૂત્ર કહેવાય છે. નોંધો સંદર્ભો પ્રાથમિક સ્રોતો ગૌણ સ્રોતો બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત વધુ વાંચન