Tate's thesis
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, ટેટનો થીસીસ પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટીમાં એમિલ આર્ટિનની દેખરેખ હેઠળ પૂર્ણ થયેલ 1950નો પીએચડી થીસીસ છે. તેમાં, ટેટે હેક અક્ષર દ્વારા ટ્વિસ્ટેડ ઝેટા ફંક્શનને ઉપાડવા માટે સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ આઇડલ્સના જૂથ પર અનુવાદ અપરિવર્તનશીલ એકીકરણનો ઉપયોગ કર્યો, એટલે કે. એક હેક એલ-ફંક્શન, ઝીટા ઇન્ટિગ્રલ માટે સંખ્યા ક્ષેત્રનું અને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે. હાર્મોનિક વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને, વધુ ચોક્કસપણે પોઈસન સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તેમણે ઝીટા ઇન્ટિગ્રલ અને હેક એલ-ફંક્શનનું કાર્યાત્મક સમીકરણ અને મેરોમોર્ફિક સાતત્ય સાબિત કર્યું. તેમણે ટ્વિસ્ટેડ ઝીટા ફંક્શનના ધ્રુવો પણ શોધી કાઢ્યા હતા. તેમના કાર્યને હેક એલ-ફંક્શનના કાર્યાત્મક સમીકરણના પુરાવા પર એરિક હેકના કાર્યના ભવ્ય અને શક્તિશાળી સુધારા તરીકે જોઈ શકાય છે. એરિક હેકે બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ સામાન્યીકૃત થીટા શ્રેણી અને તેના પૂર્ણાંકોની વીંટીમાં જાળીનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ઇવાસાવા-ટેટ સિદ્ધાંત કેન્કીચી ઇવાસાવાએ સ્વતંત્ર રીતે બીજા વિશ્વ યુદ્ધ દરમિયાન આવશ્યકપણે સમાન પદ્ધતિની શોધ કરી હતી (ટેટના થીસીસમાં સ્થાનિક સિદ્ધાંતના એનાલોગ વિના) અને તેના 1950 ના ઇન્ટરનેશનલ કોંગ્રેસ ઓફ મેથેમેટિસિયન્સ પેપરમાં અને 1952 માં લખેલા જીન ડ્યુડોનને લખેલા પત્રમાં તેની જાહેરાત કરી હતી. તેથી આ સિદ્ધાંતને ઘણીવાર ઇવાસાવા-ટેટ સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે. ઇવાસાવાએ ડીયુડોન્નેને લખેલા તેમના પત્રમાં માત્ર એલ-ફંક્શનનું મેરોમોર્ફિક સાતત્ય અને કાર્યાત્મક સમીકરણ જ નહીં, તેમણે મુખ્ય ગણતરીના તાત્કાલિક આડપેદાશો તરીકે એકમો પર વર્ગ સંખ્યા અને ડિરીક્લેટના પ્રમેયની મર્યાદિતતા પણ સાબિત કરી હતી. સકારાત્મક લાક્ષણિકતાનો સિદ્ધાંત એક દાયકા અગાઉ અર્ન્સ્ટ વિટ, વિલ્ફ્રેડ શ્મિડ અને ઓસ્વાલ્ડ ટેચમુલર દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. ઇવાસાવા-ટેટ સિદ્ધાંત વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાંથી આવતી ઘણી રચનાઓનો ઉપયોગ કરે છે, જો કે તે વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના કોઈ ઊંડા પરિણામનો ઉપયોગ કરતું નથી. સામાન્યીકરણ ઇવાસાવા-ટેટ સિદ્ધાંતને 1972માં રોજર ગોડમેન્ટ અને હર્વે જેક્વેટ દ્વારા બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર અને તેના એડલિક જૂથની ઓટોમોર્ફિક રજૂઆત પર સામાન્ય રેખીય જૂથ GL (n) સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો હતો, જેણે લેંગલેન્ડ્સ પત્રવ્યવહારનો પાયો રચ્યો હતો. ટેટના થીસીસને ગોડમેન્ટ-જેક્વેટના કાર્યના GL (1) કેસ તરીકે જોઈ શકાય છે. મૂળભૂત સંખ્યા સિદ્ધાંત સંદર્ભો વિજ્ઞાન 1950 દસ્તાવેજોમાં બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત ઝેટા અને એલ-કાર્યો 1950 પણ જુઓ.