Rotation system
સંયુક્ત ગણિતમાં, પરિભ્રમણ પ્રણાલીઓ (જેને સંયુક્ત એમ્બેડિંગ અથવા સંયુક્ત નકશા પણ કહેવાય છે) દરેક શિરોબિંદુની આસપાસ આલેખની કિનારીઓના ગોળાકાર ક્રમનું વર્ણન કરીને દિશા નિર્ધારિત સપાટીઓ પર આલેખના એમ્બેડિંગને એન્કોડ કરે છે. પરિભ્રમણ પ્રણાલીની વધુ ઔપચારિક વ્યાખ્યામાં ક્રમચયોની જોડીનો સમાવેશ થાય છે; આવી જોડી બહુવિજ્ઞાન, સપાટી અને સપાટી પર બહુવિજ્ઞાનના 2-કોષ એમ્બેડિંગને નિર્ધારિત કરવા માટે પૂરતી છે. દરેક પરિભ્રમણ યોજના બંધ લક્ષી સપાટી પર (અભિગમ-જાળવણી ટોપોલોજિકલ સમાનતા સુધી) જોડાયેલા બહુવિજ્ઞાનના અનન્ય 2-સેલ એમ્બેડિંગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેનાથી વિપરીત, ઓરિએન્ટેડ બંધ સપાટી પર જોડાયેલ મલ્ટીગ્રાફ G નું કોઈપણ એમ્બેડિંગ G ને તેની અંતર્ગત મલ્ટીગ્રાફ તરીકે ધરાવતી અનન્ય પરિભ્રમણ પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પરિભ્રમણ પ્રણાલીઓ અને 2-સેલ-એમ્બેડિંગ્સ વચ્ચેની આ મૂળભૂત સમાનતા સૌપ્રથમ 1890ના દાયકામાં લોથર હેફ્ટર દ્વારા બેવડા સ્વરૂપમાં સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી અને 1950ના દાયકા દરમિયાન રિંગેલ દ્વારા તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સ્વતંત્ર રીતે, એડમન્ડ્સે પ્રમેયનું પ્રાથમિક સ્વરૂપ આપ્યું હતું અને તેમના અભ્યાસની વિગતો યંગ્સ દ્વારા લોકપ્રિય કરવામાં આવી છે. મલ્ટીગ્રાફનું સામાન્યીકરણ ગ્રોસ અને એલ્પર્ટ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. પરિભ્રમણ પ્રણાલીઓ રીંગોલ્ડ એટ અલ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા પરિભ્રમણ નકશા સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ તે સમાન નથી. (2002) આલેખના વાંકાચૂકા ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે. પરિભ્રમણ પ્રણાલી દરેક શિરોબિંદુની આસપાસની કિનારીઓના ગોળાકાર ક્રમને સ્પષ્ટ કરે છે, જ્યારે પરિભ્રમણ નકશો દરેક શિરોબિંદુ પર કિનારીઓના (બિન-ગોળાકાર) ક્રમચયને સ્પષ્ટ કરે છે. વધુમાં, કોઈપણ આલેખ માટે પરિભ્રમણ પ્રણાલીઓને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યારે રીંગોલ્ડ એટ અલ તરીકે. તેમને વ્યાખ્યાયિત કરો પરિભ્રમણ નકશા નિયમિત આલેખ સુધી મર્યાદિત છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ઔપચારિક રીતે, પરિભ્રમણ પ્રણાલીને જોડી (σ, θ) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં σ અને θ એ સમાન ગ્રાઉન્ડ સેટ B પર કાર્ય કરતા ક્રમચયો છે, θ એ નિશ્ચિત-બિંદુ-મુક્ત આક્રમણ છે, અને σ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ જૂથ <σ, θ> અને θ એ B પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે છે. ઓરિએન્ટેડ સપાટી પર જોડાયેલ મલ્ટીગ્રાફ G ના 2-સેલ એમ્બેડિંગમાંથી પરિભ્રમણ પ્રણાલી મેળવવા માટે, ચાલો B માં G ના ડાર્ટ્સ (અથવા ફ્લેગ્સ અથવા અડધી ધાર) નો સમાવેશ થાય છે; એટલે કે, G ની દરેક ધાર માટે આપણે B ના બે ઘટકો બનાવીએ છીએ, જે ધારના દરેક અંતિમ બિંદુ માટે એક છે. જ્યારે ધાર તેના બંને અંતિમ બિંદુઓ જેવી જ હોય, ત્યારે પણ આપણે તે ધાર માટે બે ડાર્ટ્સ બનાવીએ છીએ. આપણે θ (b) ને b જેવી જ ધારથી રચાયેલ અન્ય ડાર્ટ માનીએ છીએ; આ સ્પષ્ટ રીતે કોઈ નિશ્ચિત બિંદુઓ સાથેનું ઇન્વોલ્યુશન છે. આપણે σ (b) ને ઘડિયાળની દિશામાં એ જ શિરોબિંદુ પરની કિનારીઓના ચક્રીય ક્રમમાં b થી ડાર્ટ માનીએ છીએ, જ્યાં "ઘડિયાળની દિશામાં" સપાટીની દિશા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો બહુવિજ્ઞાન દિશા નિર્દેશિત પરંતુ બિન-દિશા નિર્દેશિત સપાટી પર જડિત હોય, તો તે સામાન્ય રીતે બે પરિભ્રમણ પ્રણાલીઓને અનુરૂપ હોય છે, જે સપાટીના બે દિશાઓમાંથી દરેક માટે એક હોય છે. આ બે પરિભ્રમણ પ્રણાલીઓમાં સમાન ઇન્વોલ્યુશન θ હોય છે, પરંતુ એક પરિભ્રમણ પ્રણાલી માટે ક્રમચય σ એ અન્ય પરિભ્રમણ પ્રણાલી માટે અનુરૂપ ક્રમચયનો વ્યસ્ત છે. પરિભ્રમણ પ્રણાલીમાંથી એમ્બેડિંગને પુનઃપ્રાપ્ત કરવું પરિભ્રમણ પ્રણાલીમાંથી બહુવિજ્ઞાનને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે, આપણે σ ની દરેક ભ્રમણકક્ષા માટે એક શિરોબિંદુ અને θ ની દરેક ભ્રમણકક્ષા માટે એક ધાર બનાવીએ છીએ. જો આ બે ભ્રમણકક્ષાઓ ખાલી આંતરછેદ ધરાવતી ન હોય તો શિરોબિંદુ ધાર સાથે અથડાય છે. આમ, શિરોબિંદુ દીઠ ઘટનાઓની સંખ્યા ભ્રમણકક્ષાનું કદ છે, અને ધાર દીઠ ઘટનાઓની સંખ્યા બરાબર બે છે. જો પરિભ્રમણ પ્રણાલી જોડાયેલ બહુવિધ આલેખ G ના 2-કોષ એમ્બેડિંગમાંથી મેળવવામાં આવે છે, તો પરિભ્રમણ પ્રણાલીમાંથી મેળવેલ ગ્રાફ G માટે સમરૂપ છે. પરિભ્રમણ પ્રણાલીમાંથી મેળવેલ ગ્રાફને સપાટી પર એમ્બેડ કરવા માટે, σθ ની દરેક ભ્રમણકક્ષા માટે એક ડિસ્ક બનાવો, અને જ્યારે પણ e ને અનુરૂપ બે ડાર્ટ્સ આ ડિસ્કને અનુરૂપ બે ભ્રમણકક્ષાઓ સાથે સંબંધિત હોય ત્યારે ધાર e સાથે બે ડિસ્કને એકસાથે ગુંદર કરો. પરિણામ એ તારવેલા બહુવિજ્ઞાનનું 2-કોષ એમ્બેડિંગ છે, જેમાંથી બે કોષો σθ ની ભ્રમણકક્ષાને અનુરૂપ ડિસ્ક છે. આ એમ્બેડિંગની સપાટીને એવી રીતે ઓરિએન્ટેડ કરી શકાય છે કે દરેક શિરોબિંદુની આસપાસની કિનારીઓનો ઘડિયાળની દિશામાં ક્રમ σ દ્વારા આપવામાં આવેલા ઘડિયાળની દિશામાં ક્રમ જેટલો જ હોય. એમ્બેડિંગની સપાટીની લાક્ષણિકતા યુલર સૂત્ર અનુસાર આપણે પરિભ્રમણ પ્રણાલી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બંધ ઓરિએન્ટેબલ સપાટીની જીનસ g શોધી શકીએ છીએ (એટલે કે, તે સપાટી કે જેના પર અંતર્ગત મલ્ટીગ્રાફ 2-સેલ એમ્બેડેડ છે). તેની નોંધ લો, અને. આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યાં ક્રમચયની ભ્રમણકક્ષાના સમૂહને સૂચવે છે. સંયુક્ત નકશો નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. ટોપોલોજીકલ ગ્રાફ થિયરી