Serre spectral sequence
ગણિતમાં, સેર વર્ણપટ ક્રમ (કેટલીકવાર લેરે વર્ણપટ ક્રમમાં જીન લેરેના અગાઉના કાર્યને સ્વીકારવા માટે લેરે-સેર વર્ણપટ ક્રમ) એ બીજગણિત ટોપોલોજીમાં એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. તે હોમોલોજિકલ બીજગણિતની ભાષામાં, બેઝ સ્પેસ બી અને ફાઇબર એફના (સહ) સમરૂપતાના સંદર્ભમાં (સેર) તંતુના કુલ જગ્યા X ની એકવચન (સહ) સમરૂપતાને વ્યક્ત કરે છે. પરિણામ જીન-પિયરે સેરના તેમના ડોક્ટરલ નિબંધને કારણે છે. કોહોમોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ ચાલો ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓનું સેરે ફાઇબ્રેશન હોઈએ, અને F ને (પાથ-કનેક્ટેડ) ફાઇબર હોઈએ. સેરે કોહોમોલોજી વર્ણપટ ક્રમ નીચે મુજબ છેઃ અહીં, ઓછામાં ઓછી પ્રમાણભૂત સરળીકરણ શરતો હેઠળ,-પદમાં ગુણાંક જૂથ એ F નું q-th અભિન્ન કોહોમોલોજી જૂથ છે, અને બાહ્ય જૂથ એ તે જૂથમાં ગુણાંક સાથે B નું એકવચન કોહોમોલોજી છે. સખત રીતે કહીએ તો, વિવિધ તંતુઓના કોહોમોલોજી દ્વારા આપવામાં આવેલ B પરની સ્થાનિક ગુણાંક પ્રણાલીના સંદર્ભમાં કોહોમોલોજીનો અર્થ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે ધારીએ તો, બી ફક્ત જોડાયેલ છે, આ સામાન્ય કોહોમોલોજીમાં તૂટી જાય છે. પાથ સાથે જોડાયેલા આધાર માટે, તમામ જુદા જુદા તંતુઓ હોમોટૉપી સમકક્ષ હોય છે. ખાસ કરીને, તેમની કોહોમોલોજી આઇસોમોર્ફિક છે, તેથી "ધ" ફાઇબરની પસંદગી કોઈ અસ્પષ્ટતા આપતી નથી. નિકટતાનો અર્થ કુલ જગ્યા X ની અભિન્ન સમરૂપતા થાય છે. આ વર્ણપટ ક્રમ જોડીના કોહોમોલોજીના લાંબા ચોક્કસ ક્રમમાંથી બનેલા ચોક્કસ દંપતીમાંથી મેળવી શકાય છે, જ્યાં બી ના પી-સ્કેલેટન પર તંતુઓનું પ્રતિબંધ છે. વધુ ચોક્કસપણે, આ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, f ને દરેક ભાગને મર્યાદિત કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, g ને જોડીના લાંબા ચોક્કસ ક્રમમાં કોબાઉન્ડરી નકશાનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને h ને મર્યાદિત કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. હોમોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ એ જ રીતે કોહોમોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ માટે, હોમોલોજી માટે એક છેઃ જ્યાં સંકેતો ઉપરના સંકેતો સાથે બેવડા હોય છે. ઉદાહરણ ગણતરીઓ હોપફ ફાઇબ્રેશન યાદ રાખો કે હોપફ ફાઇબ્રેશન આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. Leray-Serre Spectral અનુક્રમનું-પાનું વાંચે છે કે વિભેદક નીચે અને જમણી તરફ જાય છે. આમ એકમાત્ર તફાવત જે જરૂરી નથી તે છે, કારણ કે બાકીના પાસે ડોમેન અથવા કોડોમેન 0 છે (કારણ કે તેઓ E2-પૃષ્ઠ પર છે). ખાસ કરીને, આ ક્રમ E2 = E ≤ પર અધોગતિ પામે છે. E3-પાનું વર્ણપટ ક્રમ એટલે કે વાંચે છે. રસપ્રદ ભાગો પર મૂલ્યાંકન કરતા, આપણી પાસે છે અને બંનેની કોહોમોલોજી જાણવી શૂન્ય છે, તેથી વિભેદક એક સમરૂપતા છે. જટિલ પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા પર ગોળાકાર બંડલ જટિલ એન-ડાયમેન્શનલ પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતાને જોતાં એમ્બેડિંગમાંથી આવવા માટે લાઇન બંડલનો એક કેનોનિકલ પરિવાર છે. આ વૈશ્વિક વિભાગો દ્વારા આપવામાં આવે છે જે મોકલે છે જો આપણે એક રેન્ક વેક્ટર બંડલ બનાવીએ જે વેક્ટર બંડલનો મર્યાદિત વ્હાઇટની સરવાળો છે તો આપણે એક ગોળાકાર બંડલ બનાવી શકીએ છીએ જેના તંતુઓ ગોળા છે. પછી, આપણે ઇન્ટિગ્રલ કોહોમોલોજીની ગણતરી કરવા માટે યુલર વર્ગ સાથે સેર સ્પેક્ટ્રલ ક્રમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. દ્વારા-પાનું આપવામાં આવ્યું છે. આપણે જોઈએ છીએ કે માત્ર બિન-તુચ્છ તફાવતો-પૃષ્ઠ પર આપવામાં આવે છે અને યુલર વર્ગ સાથે કપ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં તે ટોચના ચેરન વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, K3 સપાટી માટે વેક્ટર બંડલને ધ્યાનમાં લો. પછી, વર્ણપટ ક્રમ આ રીતે વાંચે છે 'માટે વિભેદક એ લેફશેટ્ઝ વર્ગનો વર્ગ છે. આ કિસ્સામાં, એકમાત્ર બિન-તુચ્છ તફાવત એ છે કે આપણે આ ગણતરીને માત્ર બિન-તુચ્છ કોહોમોલોજી જૂથોની નોંધ લઈને સમાપ્ત કરી શકીએ છીએ જે મૂળભૂત પાથસ્પેસ ફાઇબ્રેશન છે આપણે પહેલા મૂળભૂત ઉદાહરણથી શરૂઆત કરીએ છીએ; પાથ સ્પેસ ફાઇબ્રેશનને ધ્યાનમાં લઈએ. આ એવા કેસનું ઉદાહરણ છે જ્યાં આપણે E2 પૃષ્ઠ પર શું થઈ શકે છે તે નિયંત્રિત કરવા માટે E ≤ પૃષ્ઠ (કુલ જગ્યાની સમરૂપતા) નો ઉપયોગ કરીને તંતુના સમરૂપતાનો અભ્યાસ કરી શકીએ છીએ. તેથી યાદ રાખો કે આ રીતે આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે q = 0 હોય, ત્યારે આપણે ફક્ત નિયમિત પૂર્ણાંક મૂલ્યના સમરૂપતા જૂથો Hp (Sn + 1) ને જોઈ રહ્યા છીએ જેનું મૂલ્ય 0 અને n + 1 ડિગ્રીમાં હોય છે અને દરેક જગ્યાએ મૂલ્ય 0 હોય છે. જો કે, પાથ સ્પેસ સંકોચાય તેવી હોવાથી, આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે ક્રમ E ≤ સુધી પહોંચે છે, ત્યારે p = q = 0 પરના જૂથ સિવાય બધું જ 0 થઈ જાય છે. આવું થવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે જો બીજા જૂથમાં આઇસોમોર્ફિઝમ હોય. જો કે, જૂથ બિન-શૂન્ય હોઈ શકે તેવા એકમાત્ર સ્થાનો p = 0 અથવા p = n + 1 સ્તંભોમાં છે, તેથી આ સમરૂપતા કોડોમેન સાથે પૃષ્ઠ En + 1 પર થવી જોઈએ. આ પ્રક્રિયાને પ્રેરક રીતે પુનરાવર્તન કરવાથી જાણવા મળે છે કે HI (ωSn + 1) નું મૂલ્ય n અને 0 ના પૂર્ણાંક ગુણાંક પર દરેક જગ્યાએ હોય છે. જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસની કોહોમોલોજી રીંગ આપણે ફાઇબ્રેશનનો ઉપયોગ કરવાની કોહોમોલોજીની ગણતરી કરીએ છીએઃ હવે, E2 પૃષ્ઠ પર, 0,0 કોઓર્ડિનેટમાં આપણી પાસે રીંગની ઓળખ છે. 0, 1 કોઓર્ડિનેટમાં, આપણી પાસે એક એલિમેન્ટ i છે જે જનરેટ કરે છે જો કે, આપણે જાણીએ છીએ કે લિમિટ પેજ દ્વારા, માત્ર 2n + 1 ડિગ્રીમાં નોનટ્રિવિયલ જનરેટર હોઈ શકે છે જે આપણને કહે છે કે જનરેટર i એ 2,0 કોઓર્ડિનેટમાં અમુક એલિમેન્ટ x નું ઉલ્લંઘન કરવું જોઈએ. હવે, આ આપણને કહે છે કે 2,1 કોઓર્ડિનેટમાં એક તત્વ ix હોવું આવશ્યક છે. પછી આપણે જોઈએ છીએ કે લીબનીઝ નિયમ દ્વારા d (ix) = x2 આપણને કહે છે કે 4,0 સંકલન x2 હોવું જોઈએ કારણ કે ડિગ્રી 2n + 1 સુધી કોઈ બિન-તુચ્છ સમરૂપતા હોઈ શકે નહીં. આ દલીલને 2n + 1 સુધી પ્રેરક રીતે પુનરાવર્તિત કરવાથી 2n સંકલનમાં ixn મળે છે, જે પછી તે ડિગ્રીમાં એકમાત્ર જનરેટર હોવું જોઈએ, આમ આપણને કહે છે કે 2n + 1,0 સંકલન 0 હોવું જોઈએ. સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સની આડી નીચેની હરોળને વાંચવાથી આપણને કોહોમોલોજી રિંગ મળે છે અને તે આપણને કહે છે કે જવાબ છે અનંત જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના કિસ્સામાં, મર્યાદા લેવાથી જવાબ મળે છે ત્રણ-ગોળાનું ચોથું હોમોટૉપી જૂથ સેરે સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સની વધુ વ્યવહારદક્ષ એપ્લિકેશન એ ગણતરી છે આ ચોક્કસ ઉદાહરણ એક વ્યવસ્થિત તકનીકને સમજાવે છે જેનો ઉપયોગ ગોળાના ઉચ્ચ હોમોટૉપી જૂથો વિશેની માહિતી મેળવવા માટે કરી શકાય છે. નીચેના તંતુઓનો વિચાર કરો જે આઈલેનબર્ગ-મેક્લેન જગ્યા ક્યાં છે તેના પર એક સમરૂપતા છે. પછી આપણે નકશાને ફાઇબરશનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ; તે સામાન્ય જ્ઞાન છે કે પુનરાવર્તિત ફાઇબર એ બેઝ સ્પેસની લૂપ સ્પેસ છે તેથી આપણા ઉદાહરણમાં આપણે મેળવીએ છીએ કે ફાઇબર છે. કુલ કોહોમોલોજીમાં ડિગ્રી 3 માં કંઈ નથી, તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે આને આઇસોમોર્ફિઝમ દ્વારા મારવું આવશ્યક છે. પરંતુ એકમાત્ર તત્વ કે જે તેને મેપ કરી શકે છે તે કોહોમોલોજી રિંગનું જનરેટર a છે, તેથી આપણી પાસે છે. તેથી કપ ઉત્પાદન માળખા દ્વારા, ડિગ્રી 4 માં જનરેટર, 2 દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા જનરેટરનો નકશો બનાવે છે અને ડિગ્રી 6 માં કોહોમોલોજીનો જનરેટર 3 દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા નકશો બનાવે છે, વગેરે. ખાસ કરીને આપણે જોઈએ છીએ કે પરંતુ હવે આપણે પુનરાવર્તિત તંતુઓનો ઉપયોગ કરીને X ના નીચલા સમસ્થાનિક જૂથો (એટલે કે, 4 કરતા ઓછી ડિગ્રીમાં જૂથો) ને મારી નાખ્યા હોવાથી, આપણે જાણી શકીએ છીએ કે હ્યુરેવિઝ પ્રમેય દ્વારા, આપણને કહે છે કે કોરોલેરીઃ પુરાવોઃ હોપ્ફ તંતુઓ માટે સમસ્થાનિક જૂથોની લાંબી ચોક્કસ શ્રેણી લો. ગિસિન ક્રમ સંદર્ભો પણ જુઓ બીજગણિત ટોપોલોજી પરના મોટાભાગના પાઠ્યપુસ્તકોમાં સેરે વર્ણપટ ક્રમ આવરી લેવામાં આવ્યો છે, દા. ત. એલન હેચર, સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સિસ એડવિન સ્પાનિયર, બીજગણિત ટોપોલોજી, સ્પ્રિંગર ઉપરાંત જેમ્સ ડેવિસ, પોલ કિર્ક, બીજગણિત ટોપોલોજીમાં વ્યાખ્યાન નોંધો સેરે વર્ણપટ ક્રમની ઘણી સરસ એપ્લિકેશનો આપે છે. એક ભવ્ય બાંધકામ એન્ડ્રેસ ડ્રેસ, ઝુર સ્પેકટ્રાલસીક્વેન્ઝ ઇનર ફેસરંગ, ઇન્વેન્શન્સ મેથેમેટિકા 3 (1967), 172-178, EuDML ને કારણે છે. સરળ સમૂહોના કેસને પોલ ગોઅર્સ, રિક જાર્ડિન, સરળ હોમોટોપી સિદ્ધાંત, બિર્ખૌઝર બીજગણિત ટોપોલોજી સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સમાં ગણવામાં આવે છે.