Morley rank
ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં, મોર્લી ક્રમ એ બીજગણિત ભૂમિતિમાં પરિમાણની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવતા સિદ્ધાંતના નમૂનાના સબસેટના કદને માપવાનું એક સાધન છે. વ્યાખ્યા મોડલ M સાથે સિદ્ધાંત T ને ઠીક કરો M ના વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા (પરિમાણો સાથે) સબસેટ S ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સૂત્ર φ નો મોર્લી ક્રમ એક ક્રમિક અથવા −1 અથવા φ છે, જે પ્રથમ પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે સૂત્ર માટે ઓછામાં ઓછો α ક્રમ ધરાવતા મોર્લી ક્રમનો અર્થ શું છે. જો S ખાલી ન હોય તો મોર્લી ક્રમ ઓછામાં ઓછો 0 હોય છે. α માટે અનુગામી ક્રમવાર, મોર્લી ક્રમ ઓછામાં ઓછો α હોય છે જો M ના કેટલાક પ્રાથમિક વિસ્તરણ N માં, સમૂહ S માં અગણિત રીતે ઘણા અસંબદ્ધ વ્યાખ્યાયિત ઉપગણ Si હોય, દરેક ક્રમ ઓછામાં ઓછો α−1 હોય. α બિન-શૂન્ય મર્યાદા ક્રમિક માટે, મોર્લી ક્રમ ઓછામાં ઓછો α હોય છે જો તે α કરતા ઓછા તમામ β માટે ઓછામાં ઓછો β હોય. મોર્લી રેન્કને પછી α તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો તે ઓછામાં ઓછું α હોય પરંતુ ઓછામાં ઓછું α + 1 ન હોય, અને જો તે તમામ ઓર્ડિનલ્સ α માટે ઓછામાં ઓછું α હોય, અને જો S ખાલી હોય તો તેને −1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તેને α તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મોડેલ M ના વ્યાખ્યાયિત સબસેટ માટે (સૂત્ર φ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત) મોર્લી રેન્કને M ના કોઈપણ α0-સંતૃપ્ત પ્રાથમિક વિસ્તરણમાં φ નો મોર્લી રેન્ક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને α0-સંતૃપ્ત મોડેલો માટે સબસેટનો મોર્લી રેન્ક એ સબસેટને વ્યાખ્યાયિત કરતા કોઈપણ સૂત્રનો મોર્લી રેન્ક છે. જો S ને વ્યાખ્યાયિત કરતા φ નો ક્રમ α હોય, અને S નો ક્રમ α ના n <ω ઉપગણ કરતાં વધુ ન હોય, તો φ ને મોર્લી ડિગ્રી n હોવાનું કહેવાય છે. મર્યાદિત સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરતા સૂત્રમાં મોર્લી ક્રમ 0 હોય છે. મોર્લી ક્રમ 1 અને મોર્લી ડિગ્રી 1 સાથેના સૂત્રને મજબૂત ન્યૂનતમ કહેવામાં આવે છે. એક મજબૂત ન્યૂનતમ માળખું એ છે કે જ્યાં તુચ્છ સૂત્ર x = x મજબૂત રીતે ન્યૂનતમ હોય. મોર્લીના વર્ગીકરણ સિદ્ધાંતના પુરાવા અને મોડેલ સૈદ્ધાંતિક સ્થિરતા સિદ્ધાંતના મોટા ક્ષેત્રમાં મોર્લી ક્રમ અને મજબૂત ન્યૂનતમ રચનાઓ મુખ્ય સાધનો છે. ઉદાહરણો ખાલી સમૂહમાં મોર્લી ક્રમ −1 હોય છે, અને તેનાથી વિપરીત મોર્લી ક્રમ −1ની કોઈપણ વસ્તુ ખાલી હોય છે. ઉપગણને મોર્લી ક્રમ 0 હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મર્યાદિત હોય અને ખાલી ન હોય. જો V એ K માં બીજગણિત સમૂહ છે, તો બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર K માટે, પછી V નો મોર્લી ક્રમ તેના સામાન્ય ક્રુલ પરિમાણ જેટલો જ છે. V ની મોર્લી ડિગ્રી એ મહત્તમ પરિમાણના ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકોની સંખ્યા છે; આ બીજગણિત ભૂમિતિમાં તેની ડિગ્રી જેટલી નથી, સિવાય કે જ્યારે તેના મહત્તમ પરિમાણના ઘટકો રેખીય જગ્યાઓ હોય. તર્કસંગત સંખ્યાઓ, જેને ક્રમબદ્ધ સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે છે, તેમાં મોર્લી ક્રમ φ હોય છે, કારણ કે તેમાં પોતાની જાતને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા પેટા સમૂહોના આઇસોમોર્ફિકનું ગણતરીપાત્ર અસંબદ્ધ જોડાણ હોય છે. ચેર્લિન-ઝિલ્બર અનુમાન મર્યાદિત મોર્લી શ્રેણીનું જૂથ સંદર્ભો એલેક્ઝાન્ડર બોરોવિક, અલી નેસિન, "મર્યાદિત મોર્લી શ્રેણીના જૂથો", ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પણ જુઓ. પ્રેસ (1994) બી. હાર્ટ સ્ટેબિલિટી થિયરી એન્ડ ઇટ્સ વેરિઅન્ટ્સ (2000) પીપી. 131-148 મોડલ થિયરી, બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં, ડી. હાસ્કેલ એટ અલ દ્વારા સંપાદિત, ગણિત. વિજ્ઞાન. રે. ઇન્સ્ટ. પ્રકાશક. 39, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ, ન્યૂયોર્ક, 2000. તેમાં મોર્લી રેન્કની ઔપચારિક વ્યાખ્યા છે. ડેવિડ માર્કર મોડલ થિયરી ઓફ ડિફરન્શિયલ ફીલ્ડ્સ (2000) pp. 53-63 મોડલ થિયરી, બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં, ડી. હાસ્કેલ એટ અલ દ્વારા સંપાદિત, ગણિત. વિજ્ઞાન. રે. ઇન્સ્ટ. પ્રકાશક. 39, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ, ન્યૂયોર્ક, 2000. મોડેલ સિદ્ધાંત