Tight binding
સોલિડ-સ્ટેટ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ચુસ્ત-બંધન મોડેલ (અથવા ટીબી મોડેલ) એ દરેક અણુ સ્થળ પર સ્થિત અલગ અણુઓ માટે તરંગ કાર્યોના સુપરપોઝિશન પર આધારિત તરંગ કાર્યોના અંદાજિત સમૂહનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાની ગણતરી કરવાનો અભિગમ છે. આ પદ્ધતિ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉપયોગમાં લેવાતી એલ. સી. એ. ઓ. પદ્ધતિ (અણુ ભ્રમણકક્ષાની પદ્ધતિનું રેખીય સંયોજન) સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ચુસ્ત બંધનકર્તા નમૂનાઓ વિવિધ પ્રકારના ઘન પદાર્થો પર લાગુ કરવામાં આવે છે. આ મોડેલ ઘણા કિસ્સાઓમાં સારા ગુણાત્મક પરિણામો આપે છે અને અન્ય મોડેલો સાથે જોડી શકાય છે જે વધુ સારા પરિણામો આપે છે જ્યાં ચુસ્ત-બંધનકર્તા મોડેલ નિષ્ફળ જાય છે. ચુસ્ત-બંધન મોડેલ એક-ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ હોવા છતાં, આ મોડેલ વધુ અદ્યતન ગણતરીઓ માટે આધાર પણ પ્રદાન કરે છે જેમ કે સપાટીની સ્થિતિઓની ગણતરી અને વિવિધ પ્રકારની બહુવિધ-શરીરની સમસ્યા અને અર્ધ-કણોની ગણતરીઓ માટે ઉપયોગ. પરિચય આ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ સ્ટ્રક્ચર મોડેલનું નામ "ટાઈટ બાઈન્ડીંગ" સૂચવે છે કે આ ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ મોડેલ ઘન પદાર્થોમાં ટાઈટ બાઉન્ડ ઇલેક્ટ્રોનના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે. આ મોડેલમાં ઇલેક્ટ્રોન જે અણુ સાથે સંબંધિત છે તેની સાથે ચુસ્ત રીતે બંધાયેલા હોવા જોઈએ અને તેઓ ઘનની આસપાસના અણુઓ પરની સ્થિતિઓ અને સંભવિતતા સાથે મર્યાદિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ધરાવતા હોવા જોઈએ. પરિણામે, ઇલેક્ટ્રોનનું તરંગ કાર્ય તે મુક્ત પરમાણુના અણુ ભ્રમણકક્ષા જેવું જ હશે જેની સાથે તે સંબંધિત છે. ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા પણ મુક્ત અણુ અથવા આયનમાં ઇલેક્ટ્રોનની આયનીકરણ ઊર્જાની નજીક હશે કારણ કે પડોશી અણુઓ પર સંભવિતતા અને સ્થિતિઓ સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા મર્યાદિત છે. જો કે એક-કણ ચુસ્ત-બંધનકર્તા હેમિલ્ટોનિયનની ગાણિતિક રચના પ્રથમ નજરમાં જટિલ લાગે છે, તેમ છતાં આ મોડેલ બિલકુલ જટિલ નથી અને તેને સહજ ભાવે સરળતાથી સમજી શકાય છે. માત્ર ત્રણ પ્રકારના મેટ્રિક્સ તત્વો છે જે સિદ્ધાંતમાં નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે. તે ત્રણ પ્રકારનાં તત્વોમાંથી બે શૂન્યની નજીક હોવા જોઈએ અને ઘણીવાર તેની અવગણના કરી શકાય છે. આ નમૂનામાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ ઘટકો આંતરપરમાણ્વિક મેટ્રિક્સ ઘટકો છે, જેને રસાયણશાસ્ત્રી દ્વારા બોન્ડ ઊર્જા કહેવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે આ મોડેલમાં સંખ્યાબંધ અણુ ઊર્જાના સ્તરો અને અણુ ભ્રમણકક્ષાઓ સામેલ છે. આ જટિલ બેન્ડ માળખા તરફ દોરી શકે છે કારણ કે ભ્રમણકક્ષાઓ વિવિધ બિંદુ-જૂથ રજૂઆતો સાથે સંબંધિત છે. પારસ્પરિક જાળી અને બ્રિલોઇન ઝોન ઘણીવાર ઘનના સ્ફટિક કરતાં અલગ અવકાશ જૂથ સાથે સંબંધિત હોય છે. બ્રિલૌઇન ઝોનમાં ઉચ્ચ-સમપ્રમાણતા બિંદુઓ વિવિધ બિંદુ-જૂથ રજૂઆતોને અનુસરે છે. જ્યારે તત્વોના જાળી અથવા સરળ સંયોજનો જેવી સરળ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે ત્યારે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉચ્ચ-સમપ્રમાણતા બિંદુઓમાં આઈગનસ્ટેટની ગણતરી કરવી ઘણીવાર ખૂબ મુશ્કેલ હોતી નથી. તેથી ચુસ્ત બંધન મોડેલ જેઓ જૂથ સિદ્ધાંત વિશે વધુ જાણવા માગે છે તેમના માટે સરસ ઉદાહરણો પ્રદાન કરી શકે છે. ચુસ્ત બંધન મોડેલનો લાંબો ઇતિહાસ છે અને તે ઘણી રીતે અને ઘણા જુદા જુદા હેતુઓ અને વિવિધ પરિણામો સાથે લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. આ મોડેલ તેના પોતાના પર ઊભું નથી. મોડેલના ભાગો અન્ય પ્રકારની ગણતરીઓ અને લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ જેવા મોડેલો દ્વારા ભરી શકાય છે અથવા વિસ્તૃત કરી શકાય છે. મોડેલ પોતે, અથવા તેના ભાગો, અન્ય ગણતરીઓ માટે આધાર તરીકે કામ કરી શકે છે. વાહક પોલિમર, કાર્બનિક સેમિકન્ડક્ટર્સ અને મોલેક્યુલર ઇલેક્ટ્રોનિક્સના અભ્યાસમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ચુસ્ત-બંધન જેવા નમૂનાઓ લાગુ કરવામાં આવે છે જેમાં મૂળ ખ્યાલમાં અણુઓની ભૂમિકાને સંયોજિત પ્રણાલીઓના મોલેક્યુલર ઓર્બિટલ્સ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને જ્યાં ઇન્ટરટોમિક મેટ્રિક્સ તત્વોને ઇન્ટર-અથવા ઇન્ટ્રામોલેક્યુલર હોપિંગ અને ટનલિંગ પરિમાણો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ વાહક લગભગ બધા ખૂબ જ અનિસોટ્રોપિક ગુણધર્મો ધરાવે છે અને કેટલીકવાર લગભગ સંપૂર્ણ રીતે એક-પરિમાણીય હોય છે. ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ 1928 સુધીમાં, મોલેક્યુલર ઓર્બિટલનો વિચાર રોબર્ટ મુલિકેન દ્વારા આગળ વધારવામાં આવ્યો હતો, જેઓ ફ્રેડરિક હંડના કાર્યથી નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત હતા. મોલેક્યુલર ઓર્બિટલ્સનો અંદાજ કાઢવા માટે એલ. સી. એ. ઓ. પદ્ધતિ 1928માં બી. એન. ફિન્ક્લેસ્ટીન અને જી. ઇ. હોરોવિટ્ઝ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી, જ્યારે ઘન પદાર્થો માટે એલ. સી. એ. ઓ. પદ્ધતિ ફેલિક્સ બ્લોચ દ્વારા 1928માં તેમના ડોક્ટરલ નિબંધના ભાગ રૂપે વિકસાવવામાં આવી હતી, જે એલ. સી. એ. ઓ.-એમ. ઓ. અભિગમ સાથે એક સાથે અને તેનાથી સ્વતંત્ર હતી. ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાને અંદાજિત કરવા માટે ઘણી સરળ પ્રક્ષેપણ યોજના, ખાસ કરીને સંક્રમણ ધાતુઓના ડી-બેન્ડ માટે, 1954 માં જ્હોન ક્લાર્ક સ્લેટર અને જ્યોર્જ ફ્રેડ કોસ્ટર દ્વારા કલ્પના કરાયેલ પરિમાણિત ચુસ્ત-બંધન પદ્ધતિ છે, જેને કેટલીકવાર એસ. કે. ચુસ્ત-બંધન પદ્ધતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. એસ. કે. ચુસ્ત-બંધન પદ્ધતિ સાથે, ઘન પર ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાની ગણતરીઓ મૂળ બ્લોચના પ્રમેયની જેમ સંપૂર્ણ સખતાઇ સાથે હાથ ધરવામાં આવવાની જરૂર નથી, પરંતુ, તેના બદલે, પ્રથમ-સિદ્ધાંતોની ગણતરીઓ માત્ર ઉચ્ચ-સમપ્રમાણતા બિંદુઓ પર કરવામાં આવે છે અને બેન્ડ માળખું આ બિંદુઓ વચ્ચેના બાકીના બ્રિલોઇન ઝોનમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે. આ અભિગમમાં, વિવિધ અણુ સ્થાનો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને વિક્ષેપ તરીકે ગણવામાં આવે છે. ત્યાં ઘણી પ્રકારની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ છે જે આપણે ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. સ્ફટિક હેમિલ્ટોનિયન એ માત્ર વિવિધ સ્થળો પર સ્થિત અણુ હેમિલ્ટોનિયનોનો સરવાળો છે અને અણુ તરંગ કાર્યો સ્ફટિકમાં અડીને આવેલા પરમાણુ સ્થળોને ઓવરલેપ કરે છે, અને તેથી તે ચોક્કસ તરંગ કાર્યની સચોટ રજૂઆત નથી. કેટલાક ગાણિતિક સમીકરણો સાથે આગામી વિભાગમાં વધુ સ્પષ્ટતા છે. મજબૂત રીતે સહસંબંધિત સામગ્રી વિશેના તાજેતરના સંશોધનમાં ચુસ્ત બંધન અભિગમ એ મૂળભૂત અંદાજ છે કારણ કે 3-ડી સંક્રમણ ધાતુના ઇલેક્ટ્રોન જેવા અત્યંત સ્થાનિક ઇલેક્ટ્રોન કેટલીકવાર મજબૂત સહસંબંધિત વર્તણૂકો પ્રદર્શિત કરે છે. આ કિસ્સામાં, બહુવિધ-શરીર ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ણનનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની ભૂમિકાને ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. ચુસ્ત-બંધન મોડેલનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સ્થિર શાસનમાં ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખા અને બેન્ડ અંતરાયોની ગણતરી માટે થાય છે. જો કે, રેન્ડમ ફેઝ એપ્રોક્સીમેશન (આર. પી. એ.) મોડેલ જેવી અન્ય પદ્ધતિઓ સાથે સંયોજનમાં, પ્રણાલીઓના ગતિશીલ પ્રતિભાવનો પણ અભ્યાસ કરી શકાય છે. 2019 માં, બનવર્થ એટ અલ. મુખ્યત્વે માળખા અને બિન-સહસંયોજક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાની ગણતરી માટે GFN2-xTB પદ્ધતિ રજૂ કરવામાં આવી હતી. ગાણિતિક રચના આપણે અણુ ભ્રમણકક્ષાઓ રજૂ કરીએ છીએ, જે એક અલગ અણુના હેમિલ્ટોનિયનના આઈગનફંક્શન્સ છે. જ્યારે અણુને સ્ફટિકમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે આ પરમાણુ તરંગ કાર્ય અડીને આવેલા પરમાણુ સ્થળોને ઓવરલેપ કરે છે, અને તેથી તે સ્ફટિક હેમિલ્ટોનિયનનું સાચું આઈગન કાર્ય નથી. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ચુસ્ત રીતે બંધાયેલા હોય ત્યારે ઓવરલેપ ઓછો હોય છે, જે ડિસ્ક્રિપ્ટર "ચુસ્ત-બંધન" નો સ્રોત છે. પ્રણાલીની સાચી હેમિલ્ટોનિયન મેળવવા માટે જરૂરી અણુ ક્ષમતામાં કોઈપણ સુધારા, નાના માનવામાં આવે છેઃ જ્યાં સ્ફટિક જાળીમાં સ્થળ પર સ્થિત એક અણુની પરમાણુ ક્ષમતાને સૂચવે છે. સમય-સ્વતંત્ર એક ઇલેક્ટ્રોન શ્રોડિંગર સમીકરણનો ઉકેલ પછી અણુ ભ્રમણકક્ષાઓના રેખીય સંયોજન તરીકે અંદાજવામાં આવે છેઃ, જ્યાં m-th અણુ ઊર્જા સ્તરનો સંદર્ભ આપે છે. અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા અને સામાન્યીકરણ બ્લોચ પ્રમેય જણાવે છે કે સ્ફટિકમાં તરંગ કાર્ય માત્ર એક તબક્કા પરિબળ દ્વારા અનુવાદ હેઠળ બદલાઈ શકે છેઃ તરંગ કાર્યનું તરંગ વેક્ટર ક્યાં છે. પરિણામે, ગુણાંક સંતોષ આપે છે (જ્યાં RHS માં આપણે ડમી અનુક્રમણિકાને બદલી છે) અથવા તરંગ કાર્યને એકતામાં સામાન્ય બનાવવુંઃ તેથી સામાન્યીકરણ એ રીતે સુયોજિત થાય છે કે જ્યાં αm (Rp) એ અણુ ઓવરલેપ ઇન્ટિગ્રલ્સ છે, જેની વારંવાર અવગણના કરવામાં આવે છે, પરિણામે અને હેમિલ્ટોનિયન ચુસ્ત બંધન તરંગ કાર્ય માટે ચુસ્ત બંધન સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને, અને એમ-th ઊર્જા બેન્ડ માટે માત્ર m-th અણુ ઊર્જા સ્તર મહત્વપૂર્ણ છે એમ ધારીને, બ્લોચ ઊર્જા આ સ્વરૂપની છે. ઊર્જા પછી બને છે જ્યાં એમ એ m-th અણુ સ્તરની ઊર્જા છે, અને, અને નીચે ચર્ચા કરાયેલા ચુસ્ત બંધનકર્તા મેટ્રિક્સ તત્વો છે. ચુસ્ત બંધનકર્તા મેટ્રિક્સ તત્વો તત્વો પડોશી અણુઓ પર સંભવિતતાને કારણે અણુ ઊર્જા પાળી છે. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આ શબ્દ પ્રમાણમાં નાનો છે. જો તે મોટું હોય તો તેનો અર્થ એ છે કે પડોશી અણુઓ પરની સંભવિતતા કેન્દ્રિય અણુની ઊર્જા પર મોટો પ્રભાવ ધરાવે છે. પદોનો આગામી વર્ગ એ નજીકના અણુઓ પર અણુ ભ્રમણકક્ષાઓ m અને l વચ્ચેનું આંતરપરમાણ્વિક મેટ્રિક્સ તત્વ છે. તેને બોન્ડ ઊર્જા અથવા બે કેન્દ્ર અભિન્ન પણ કહેવામાં આવે છે અને તે ચુસ્ત બંધન મોડેલમાં પ્રબળ શબ્દ છે. શબ્દોનો છેલ્લો વર્ગ નજીકના અણુઓ પર અણુ ભ્રમણકક્ષાઓ m અને l વચ્ચેના ઓવરલેપ ઇન્ટિગ્રલ્સને સૂચવે છે. આ પણ, સામાન્ય રીતે નાના હોય છે; જો નહીં, તો પાઉલી પ્રતિકર્ષણ કેન્દ્રીય અણુની ઊર્જા પર બિન-નગણ્ય પ્રભાવ ધરાવે છે. મેટ્રિક્સ તત્વોનું મૂલ્યાંકન અગાઉ જણાવ્યા મુજબ-મેટ્રિક્સ તત્વોના મૂલ્યો આયનીકરણ ઊર્જાની તુલનામાં એટલા મોટા નથી કારણ કે કેન્દ્રીય અણુ પર પડોશી અણુઓની ક્ષમતા મર્યાદિત હોય છે. જો તે પ્રમાણમાં નાનું ન હોય તો તેનો અર્થ એ છે કે કેન્દ્રીય અણુ પર પડોશી અણુની ક્ષમતા પણ ઓછી નથી. તે કિસ્સામાં તે એક સંકેત છે કે ચુસ્ત બંધનકર્તા મોડેલ કોઈ કારણસર બેન્ડ માળખાના વર્ણન માટે ખૂબ સારું મોડેલ નથી. આંતરપરમાણ્વિક અંતર ખૂબ નાનું હોઈ શકે છે અથવા ઉદાહરણ તરીકે જાળીમાં અણુઓ અથવા આયનો પરના ચાર્જ ખોટા છે. આંતરપરમાણ્વિક મેટ્રિક્સ તત્વોની સીધી ગણતરી કરી શકાય છે જો અણુ તરંગ કાર્યો અને ક્ષમતાઓ વિગતવાર જાણવામાં આવે. મોટાભાગે આવું થતું નથી. આ મેટ્રિક્સ ઘટકો માટે પરિમાણો મેળવવાની ઘણી રીતો છે. પરિમાણો રાસાયણિક બંધ ઊર્જા માહિતીમાંથી મેળવી શકાય છે. બ્રિલૌઇન ઝોનમાં કેટલાક ઉચ્ચ સમપ્રમાણતા બિંદુઓ પર ઊર્જા અને આઈગનસ્ટેટનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે અને મેટ્રિક્સ તત્વોમાં મૂલ્યોના સંકલનને અન્ય સ્રોતોમાંથી બેન્ડ સ્ટ્રક્ચર ડેટા સાથે સરખાવી શકાય છે. ઇન્ટરએટોમિક ઓવરલેપ મેટ્રિક્સ તત્વો નાના અથવા અવગણી શકાય તેવા હોવા જોઈએ. જો તેઓ મોટા હોય તો તે ફરીથી એક સંકેત છે કે ચુસ્ત બંધન મોડેલ કેટલાક હેતુઓ માટે મર્યાદિત મૂલ્યનું છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોટા ઓવરલેપ એ ખૂબ ટૂંકા આંતરપરમાણ્વિક અંતર માટે સંકેત છે. ધાતુઓ અને સંક્રમણ ધાતુઓમાં બ્રોડ એસ-બેન્ડ અથવા એસપી-બેન્ડને આગામી-નજીકના-પડોશી મેટ્રિક્સ ઘટકો અને ઓવરલેપ ઇન્ટિગ્રલ્સની રજૂઆત દ્વારા હાલની બેન્ડ સ્ટ્રક્ચર ગણતરીમાં વધુ સારી રીતે ફીટ કરી શકાય છે પરંતુ તે ધાતુના ઇલેક્ટ્રોનિક તરંગ કાર્ય માટે ખૂબ ઉપયોગી મોડેલ આપતું નથી. ગાઢ પદાર્થોમાં પહોળા પટ્ટાને લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ દ્વારા વધુ સારી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે. ચુસ્ત બંધન મોડેલ ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં સારી રીતે કામ કરે છે જ્યાં બેન્ડની પહોળાઈ ઓછી હોય અને ઇલેક્ટ્રોન મજબૂત રીતે સ્થાનિક હોય, જેમ કે ડી-બેન્ડ અને એફ-બેન્ડના કિસ્સામાં. હીરા અથવા સિલિકોન જેવા ખુલ્લા સ્ફટિક માળખાના કિસ્સામાં પણ આ મોડેલ સારા પરિણામો આપે છે, જ્યાં પડોશીઓની સંખ્યા ઓછી હોય છે. આ મોડેલને સરળતાથી સંકર એન. એફ. ઇ.-ટી. બી. મોડેલમાં લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ સાથે જોડી શકાય છે. વાનીયર કાર્યો સાથે જોડાણ બ્લોચ કાર્યો સામયિક સ્ફટિક જાળીમાં ઇલેક્ટ્રોનિક સ્થિતિઓનું વર્ણન કરે છે. બ્લોચ વિધેયોને ફોરિયર શ્રેણી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જ્યાં Rn સામયિક સ્ફટિક જાળીમાં અણુ સ્થળને સૂચવે છે, k એ બ્લોચના કાર્યનું તરંગ વેક્ટર છે, r એ ઇલેક્ટ્રોન સ્થિતિ છે, m એ બેન્ડ અનુક્રમણિકા છે, અને સરવાળો તમામ N અણુ સ્થળો પર છે. બ્લોચનું કાર્ય એ ઊર્જા એમ (કે) ને અનુરૂપ સામયિક સ્ફટિક ક્ષમતામાં ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ કાર્ય માટે ચોક્કસ ઇગેનસોલ્યુશન છે, અને તે સમગ્ર સ્ફટિક કદમાં ફેલાયેલું છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને, m-th એનર્જી બેન્ડ માટે અવકાશી રીતે સ્થાનિક તરંગ કાર્ય બહુવિધ બ્લોચના કાર્યોમાંથી બનાવી શકાય છેઃ આ વાસ્તવિક અવકાશ તરંગ કાર્યોને વેનિઅર કાર્યો કહેવામાં આવે છે, અને તે અણુ સ્થળ Rn સાથે એકદમ નજીકથી સ્થિત થયેલ છે. અલબત્ત, જો આપણી પાસે ચોક્કસ વાનિયર વિધેયો હોય, તો ચોક્કસ બ્લોચ વિધેયો ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. જો કે, બ્લોક ફંક્શન્સ અથવા વેનિઅર ફંક્શન્સની સીધી ગણતરી કરવી સરળ નથી. ઘન પદાર્થોની ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાઓની ગણતરીમાં અંદાજિત અભિગમ જરૂરી છે. જો આપણે અલગ થયેલા અણુઓના આત્યંતિક કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, તો વાનિયર કાર્ય એક અલગ પરમાણુ ભ્રમણકક્ષા બની જશે. તે મર્યાદા પરમાણુ તરંગ કાર્યની પસંદગીને વાનિયર કાર્ય માટે અંદાજિત સ્વરૂપ તરીકે સૂચવે છે, જે કહેવાતા ચુસ્ત બંધનકર્તા અંદાજ છે. બીજું ક્વોન્ટાઇઝેશન ટી-જે મોડેલ અને હૂબાર્ડ મોડેલ જેવી ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાની આધુનિક સ્પષ્ટતા ચુસ્ત બંધન મોડેલ પર આધારિત છે. ચુસ્ત બંધનને બીજી માત્રાત્મક ઔપચારિકતા હેઠળ કામ કરીને સમજી શકાય છે. પાયાની સ્થિતિ તરીકે અણુ ભ્રમણકક્ષાનો ઉપયોગ કરીને, ચુસ્ત બંધન માળખામાં બીજા ક્વોન્ટાઇઝેશન હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટરને આ રીતે લખી શકાય છેઃ,-બનાવટ અને વિનાશ ઓપરેટર્સ-સ્પિન ધ્રુવીકરણ-હોપિંગ ઇન્ટિગ્રલ-નજીકના પડોશી સૂચકાંક-અન્ય શબ્દ (ઓ) નો હર્મિશિયન કોન્જુગેટ અહીં, હોપિંગ ઇન્ટિગ્રલ ચુસ્ત બંધન મોડેલમાં ટ્રાન્સફર ઇન્ટિગ્રલને અનુરૂપ છે. આત્યંતિક કેસોને ધ્યાનમાં લેતા, ઇલેક્ટ્રોન માટે પડોશી સ્થળોમાં કૂદી જવું અશક્ય છે. આ કેસ અલગ અણુ પ્રણાલી છે. જો હોપિંગ શબ્દ ચાલુ હોય તો () ઇલેક્ટ્રોન તેમની ગતિ ઊર્જાને ઘટાડીને બંને સ્થળોએ રહી શકે છે. મજબૂત સહસંબંધિત ઇલેક્ટ્રોન પ્રણાલીમાં, ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે. આ ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં હેમિલ્ટોનિયનમાં સીધી કુલમ્બ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે વિનિમય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે. આ ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જાથી પ્રેરિત ઘણા નવીન ભૌતિકશાસ્ત્ર છે, જેમ કે ધાતુ-અવાહક સંક્રમણો (એમ. આઈ. ટી.), ઉચ્ચ-તાપમાન સુપરકન્ડક્ટિવિટી અને કેટલાક ક્વોન્ટમ તબક્કાના સંક્રમણો. ઉદાહરણ તરીકેઃ એક-પરિમાણીય s-બેન્ડ અહીં ચુસ્ત બંધન મોડેલને અણુ સાઇટ્સ વચ્ચે a અને σ બોન્ડ્સના અંતર સાથે સીધી રેખામાં એક જ s-ઓર્બિટલ સાથે અણુઓની સ્ટ્રિંગ માટે s-બેન્ડ મોડેલ સાથે સચિત્ર કરવામાં આવ્યું છે. હેમિલ્ટોનિયનના અંદાજિત આઈગનસ્ટેટ શોધવા માટે, આપણે અણુ ભ્રમણકક્ષાના રેખીય સંયોજનનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ જ્યાં N = સાઇટ્સની કુલ સંખ્યા અને તેની સાથે વાસ્તવિક પરિમાણ છે. (આ તરંગ કાર્યને અગ્રણી પરિબળ 1/√N દ્વારા એકતામાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે, જો કે અણુ તરંગ કાર્યોના ઓવરલેપને અવગણવામાં આવે છે.) માત્ર નજીકના પડોશી ઓવરલેપ ધારીએ તો, હેમિલ્ટોનિયનના એકમાત્ર બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ તત્વોને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે ઊર્જા Ei એ પસંદ કરેલા અણુ ભ્રમણકક્ષાને અનુરૂપ આયનીકરણ ઊર્જા છે અને U એ પડોશી અણુઓની ક્ષમતાના પરિણામે ભ્રમણકક્ષાનું ઊર્જા પરિવર્તન છે. તત્વો, જે સ્લેટર અને કોસ્ટર ઇન્ટરએટોમિક મેટ્રિક્સ તત્વો છે, તે બોન્ડ ઊર્જા છે. આ એક પરિમાણીય એસ-બેન્ડ મોડેલમાં આપણી પાસે બોન્ડ ઊર્જા સાથે એસ-ઓર્બિટલ્સ વચ્ચે માત્ર-બોન્ડ છે. આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સ્થિતિની ઊર્જા મેળવી શકીએ છીએઃ જ્યાં, ઉદાહરણ તરીકે, અને આમ આ સ્થિતિની ઊર્જાને ઊર્જા પ્રસરણના પરિચિત સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ ઊર્જા માટે છે અને સ્થિતિ તમામ અણુ ભ્રમણકક્ષાઓનો સરવાળો ધરાવે છે. આ સ્થિતિને બંધન ભ્રમણકક્ષાઓની સાંકળ તરીકે જોઈ શકાય છે. ઊર્જા માટે છે અને સ્થિતિમાં અણુ ભ્રમણકક્ષાઓનો સરવાળો હોય છે જે તબક્કાની બહારના પરિબળ છે. આ સ્થિતિને બિન-બંધન કક્ષાની સાંકળ તરીકે જોઈ શકાય છે. છેવટે ઊર્જા માટે છે અને સ્થિતિમાં અણુ ભ્રમણકક્ષાનો વૈકલ્પિક સરવાળો હોય છે. આ સ્થિતિને એન્ટિ-બોન્ડિંગ ઓર્બિટલ્સની સાંકળ તરીકે જોઈ શકાય છે. આ ઉદાહરણ સહેલાઈથી ત્રણ પરિમાણો સુધી વિસ્તૃત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફક્ત n a ની જગ્યાએ નજીકના પડોશી વેક્ટર સ્થાનો રજૂ કરીને શરીર-કેન્દ્રિત ઘન અથવા ચહેરો-કેન્દ્રિત ઘન જાળી. તેવી જ રીતે, દરેક સ્થળ પર બહુવિધ પરમાણુ ભ્રમણકક્ષાનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિને બહુવિધ બેન્ડ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ઉપરની સામાન્ય રચના દર્શાવે છે કે આ વિસ્તરણ કેવી રીતે પૂર્ણ કરી શકાય છે. આંતરપરમાણ્વિક મેટ્રિક્સ તત્વોનું કોષ્ટક 1954 માં જે. સી. સ્લેટર અને જી. એફ. કોસ્ટરએ મુખ્યત્વે સંક્રમણ ધાતુ ડી-બેન્ડ્સની ગણતરી માટે, આંતરપરમાણ્વિક મેટ્રિક્સ તત્વોનું કોષ્ટક પ્રકાશિત કર્યું હતું, જે સીધા જ ઘન હાર્મોનિક ભ્રમણકક્ષાઓમાંથી પણ મેળવી શકાય છે. કોષ્ટક મેટ્રિક્સ તત્વોને નજીકના અણુઓ પર બે ઘન હાર્મોનિક ભ્રમણકક્ષાઓ, i અને j વચ્ચેના LCAO બે-કેન્દ્ર બંધ સંકલનના કાર્યો તરીકે વ્યક્ત કરે છે. બોન્ડ ઇન્ટિગ્રલ્સ ઉદાહરણ તરીકે, અને સિગ્મા, પાઇ અને ડેલ્ટા બોન્ડ્સ માટે છે (નોંધ લો કે આ ઇન્ટિગ્રલ્સ અણુઓ વચ્ચેના અંતર પર પણ આધારિત હોવા જોઈએ, એટલે કે. તેનું કાર્ય છે, તેમ છતાં તે દર વખતે સ્પષ્ટ રીતે જણાવવામાં આવતું નથી.) આંતરપરમાણ્વિક વેક્ટરને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં d એ અણુઓ વચ્ચેનું અંતર છે અને l, m અને n એ પડોશી અણુની દિશા કોસાઇન છે. તમામ આંતરપરમાણ્વિક મેટ્રિક્સ ઘટકો સ્પષ્ટપણે સૂચિબદ્ધ નથી. આ કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ ન હોય તેવા મેટ્રિક્સ ઘટકો કોષ્ટકમાં અન્ય મેટ્રિક્સ તત્વોના સૂચકાંકો અને કોસાઇન દિશાઓના ક્રમચય દ્વારા બનાવી શકાય છે. નોંધ લો કે ભ્રમણકક્ષાના સૂચકાંકોની અદલાબદલી કરવી એ લેવા સમાન છે, એટલે કે. . ઉદાહરણ તરીકે,. ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ સ્ટ્રક્ચર પણ જુઓ લગભગ-મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ બ્લોચના પ્રમેયો ક્રોનિગ-પેની મોડેલ ફર્મિ સરફેસ વેનિઅર ફંક્શન હૂબાર્ડ મોડેલ ટી-જે મોડેલ અસરકારક માસ એન્ડરસનનો નિયમ ડાયનેમિકલ થિયરી ઓફ ડિફ્રક્શન સોલિડ સ્ટેટ ફિઝિક્સ લિનિયર કોમ્બિનેશન ઓફ એટોમિક ઓર્બિટલ્સ મોલેક્યુલર ઓર્બિટલ મેથડ (એલસીએઓ) હોલ્સ્ટીન-હેરિંગ મેથડ પિયર્સ સબસ્ટિટ્યૂશન હકલ મેથડ સંદર્ભો એન. ડબલ્યુ. એશક્રોફ્ટ અને એન. ડી. મર્મિન, સોલિડ સ્ટેટ ફિઝિક્સ (થોમસન લર્નિંગ, ટોરોન્ટો, 1976). સ્ટીફન બ્લન્ડેલ મેગ્નેટિઝમ ઇન કન્ડેન્સ્ડ મેટર (ઓક્સફર્ડ, 2001). S.Maekawa અને અન્ય. ફિઝિક્સ ઓફ ટ્રાન્ઝિશન મેટલ ઓક્સાઇડ (સ્પ્રિંગર-વેરલેગ બર્લિન હીડલબર્ગ, 2004). જ્હોન સિંગલટન બેન્ડ થિયરી એન્ડ ઇલેક્ટ્રોનિક પ્રોપર્ટીઝ ઓફ સોલિડ્સ (ઓક્સફર્ડ, 2001). વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ ક્રિસ્ટલ-ફિલ્ડ થિયરી, ટાઈટ-બાઇન્ડિંગ મેથડ, અને ઇ. પાવારિની, ઇ. કોચ, એફ. એન્ડર્સ અને એમ. જેરેલમાં જાહન-ટેલર ઇફેક્ટ (આવૃત્તિઓ. ): સહસંબંધિત ઇલેક્ટ્રોનઃ નમૂનાઓથી સામગ્રી સુધી, જુલાઈ 2012, ટાઈટ-બાઇન્ડિંગ સ્ટુડિયોઃ ટાઈટ-બાઇન્ડિંગ હેમિલ્ટોનિયન ઇલેક્ટ્રોનિક સ્ટ્રક્ચર પદ્ધતિઓના પરિમાણો શોધવા માટે એક ટેકનિકલ સોફ્ટવેર પેકેજ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ સ્ટ્રક્ચર્સ