Padé approximant
ગણિતમાં, પેડે અંદાજ એ આપેલ ક્રમના તર્કસંગત કાર્ય દ્વારા ચોક્કસ બિંદુની નજીકના કાર્યનું "શ્રેષ્ઠ" અંદાજ છે. આ તકનીક હેઠળ, અંદાજિત શક્તિ શ્રેણી તે અંદાજિત કાર્યની શક્તિ શ્રેણી સાથે સંમત થાય છે. આ તકનીક હેનરી પેડે દ્વારા 1890 ની આસપાસ વિકસાવવામાં આવી હતી, પરંતુ જ્યોર્જ ફ્રોબેનિયસ પર પાછા જાય છે, જેમણે આ વિચાર રજૂ કર્યો હતો અને પાવર સિરીઝના તર્કસંગત અંદાજોની લાક્ષણિકતાઓની તપાસ કરી હતી. પેડે અંદાજ ઘણીવાર તેની ટેલર શ્રેણીને કાપવા કરતાં કાર્યનો વધુ સારો અંદાજ આપે છે, અને તે હજુ પણ ત્યાં કામ કરી શકે છે જ્યાં ટેલર શ્રેણી એકરૂપ થતી નથી. આ કારણોસર કમ્પ્યુટરની ગણતરીમાં પેડે અંદાજનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. તેમનો ઉપયોગ ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજ અને દિવ્ય સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં સહાયક કાર્યો તરીકે પણ કરવામાં આવ્યો છે, જોકે તીક્ષ્ણ પરિણામો માટે એડ હૉક પદ્ધતિઓ-અમુક અર્થમાં પેડે સિદ્ધાંતથી પ્રેરિત-સામાન્ય રીતે તેમને બદલે છે. પેડે અંદાજ એ તર્કસંગત કાર્ય હોવાથી, કૃત્રિમ એકવચન બિંદુ અંદાજ તરીકે આવી શકે છે, પરંતુ બોરેલ-પેડે વિશ્લેષણ દ્વારા આને ટાળી શકાય છે. બહુ-બિંદુ સરવાળા પદ્ધતિના દૃષ્ટિકોણથી પેડ અંદાજ કાપતી ટેલર શ્રેણી કરતાં વધુ સારો અંદાજ હોવાનું કારણ સ્પષ્ટ છે. એવા ઘણા કિસ્સાઓ છે જેમાં અનંત પર એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ 0 અથવા અચળાંક બને છે, તેને "અપૂર્ણ બે-બિંદુ પેડે અંદાજ" તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જેમાં સામાન્ય પેડે અંદાજ ટેલર શ્રેણીને કાપવાની પદ્ધતિમાં સુધારો કરે છે. વ્યાખ્યા f અને બે પૂર્ણાંકો m ≤ 0 અને n ≤ 1 આપેલ છે, ક્રમ [m/n] નો પેડે અંદાજ એ તર્કસંગત કાર્ય છે જે f (x) સાથે ઉચ્ચતમ સંભવિત ક્રમમાં સંમત થાય છે, જે સમાનરૂપે, જો મેકલૌરિન શ્રેણી (0 પર ટેલર શ્રેણી) માં વિસ્તૃત કરવામાં આવે, તો તેની પ્રથમ શરતો ની પ્રથમ શરતોની બરાબર હશે, અને આમ જ્યારે તે અસ્તિત્વમાં હોય, ત્યારે પેડે અંદાજ આપેલ m અને n માટે ઔપચારિક પાવર શ્રેણી તરીકે અનન્ય છે. ઉપર વ્યાખ્યાયિત પેડે અંદાજને ગણતરી તરીકે પણ સૂચવવામાં આવે છે આપેલ x માટે, પેડે અંદાજોની ગણતરી વિનના એપ્સિલોન અલ્ગોરિધમ દ્વારા કરી શકાય છે અને તેમાંથી અન્ય અનુક્રમ પરિવર્તન પણ કરી શકાય છે. પૅડે અંદાજની ગણતરી કરવાની એક રીત બહુપદીના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક માટે વિસ્તૃત યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ દ્વારા છે. આ સંબંધ કેટલાક પરિબળના અસ્તિત્વની સમકક્ષ છે જેમ કે જેને બહુપદીઓના વિસ્તૃત સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકની ગણતરીમાં એક પગલાની બેઝઆઉટ ઓળખ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. યાદ કરો કે, બે બહુપદીઓ p અને q ના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકની ગણતરી કરવા માટે, એક લાંબા વિભાજન દ્વારા બાકીનો ક્રમ k = 1,2,3,. સાથે, ત્યાં સુધી ગણતરી કરે છે. વિસ્તૃત સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકની બેઝઆઉટ ઓળખ માટે દરેક પગલામાં બેઝઆઉટ ઓળખ મેળવવા માટે એક સાથે બે બહુપદી ક્રમની ગણતરી કરવામાં આવે છે. [m/n] અંદાજ માટે, એક આમ વિસ્તૃત યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો અમલ કરે છે અને તેને છેલ્લી ક્ષણે અટકાવે છે જેની ડિગ્રી n અથવા નાની હોય છે. પછી બહુપદીઓ [m/n] પૅડે અંદાજ આપે છે. જો કોઈ વિસ્તૃત સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક ગણતરીના તમામ પગલાંની ગણતરી કરે, તો તે પેડે કોષ્ટકનો વિરોધી કર્ણ મેળવશે. રીમાન-પેડે ઝેટા કાર્ય અલગ શ્રેણીના પુનઃસમારંભનો અભ્યાસ કરવા માટે, કહો કે તે પેડે અથવા ફક્ત તર્કસંગત ઝેટા કાર્યને રજૂ કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે કારણ કે ફંક્શન f (x) ના ક્રમ (m, n) નો પેડે અંદાજ ક્યાં છે. s = 0 પર ઝીટા નિયમિતકરણ મૂલ્યને અલગ શ્રેણીનો સરવાળો ગણવામાં આવે છે. આ પેડે ઝેટા વિધેય માટેનું કાર્યાત્મક સમીકરણ એ છે કે જ્યાં પેડે અંદાજમાં aj અને bj ગુણાંક છે. સબસ્ક્રિપ્ટ '0' નો અર્થ એ છે કે પેડે ક્રમમાં [0/0] છે અને તેથી, આપણી પાસે રીમાન ઝેટા કાર્ય છે. ડી. એલ. ઓ. જી. પેડે પદ્ધતિ પેડે અંદાજનો ઉપયોગ નિર્ણાયક બિંદુઓ અને કાર્યોના ઘટકોને બહાર કાઢવા માટે થઈ શકે છે. થર્મોડાયનેમિક્સમાં, જો કોઈ વિધેય f (x) એ x = r જેવા બિંદુની નજીક બિન-વિશ્લેષણાત્મક રીતે વર્તે છે, તો તે x = r ને નિર્ણાયક બિંદુ અને p ને f નો સંકળાયેલ નિર્ણાયક ઘાતાંક કહે છે. જો f ની શ્રેણીના વિસ્તરણની પૂરતી શરતો જાણીતી હોય, તો તે લગભગ નિર્ણાયક બિંદુઓ અને નિર્ણાયક ઘાતાંકોને અનુક્રમે પેડ અંદાજોના ધ્રુવો અને અવશેષોમાંથી બહાર કાઢી શકે છે, જ્યાં. સામાન્યીકરણ એ પેડે અંદાજિત એક ચલમાં વિધેયનો અંદાજ આપે છે. બે ચલમાં એક અંદાજને ચિશોલ્મ અંદાજ (જે. એસ. આર. ચિશોલ્મ પછી) કહેવામાં આવે છે, બહુવિધ ચલમાં કેન્ટરબરી અંદાજ (કેન્ટ યુનિવર્સિટીમાં ગ્રેવ્સ-મોરિસ પછી). બે-બિંદુઓ પેડે અંદાજ પરંપરાગત પેડે અંદાજ આપેલ ક્રમ સુધી મેકલૌરિન વિસ્તરણનું પુનઃઉત્પાદન કરવા માટે નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, વિસ્તરણ બિંદુ સિવાય મૂલ્ય પર અંદાજ નબળો હોઈ શકે છે. આને 2-બિંદુ પેડે અંદાજ દ્વારા ટાળવામાં આવે છે, જે એક પ્રકારની બહુવિધ સારાંશ પદ્ધતિ છે. પર, એક કેસ ધ્યાનમાં લો કે જે કાર્ય એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક દ્વારા વ્યક્ત થાય છેઃ અને પર, વધારાના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકઃ મુખ્ય વર્તણૂકને પસંદ કરીને, અંદાજિત કાર્યો જેમ કે એક સાથે પેડે અંદાજ વિકસાવીને એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકનું પ્રજનન વિવિધ કિસ્સાઓમાં મળી શકે છે. પરિણામે, જ્યાં અંદાજની ચોકસાઈ સામાન્ય પેડે અંદાજમાં સૌથી ખરાબ હોઈ શકે છે, ત્યાં 2-બિંદુ પેડે અંદાજની સારી ચોકસાઈની ખાતરી આપવામાં આવે છે. તેથી, 2-બિંદુ પેડે અંદાજ એક એવી પદ્ધતિ હોઈ શકે છે જે વૈશ્વિક સ્તરે તેના માટે સારો અંદાજ આપે છે. એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં બહુપદીઓ અથવા નકારાત્મક શક્તિઓની શ્રેણી, ઘાતાંકીય કાર્ય, લઘુગણક કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અથવા, આપણે 2-બિંદુ પેડ અંદાજિત લાગુ કરી શકીએ છીએ. ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે વિભેદક સમીકરણનો અંદાજિત ઉકેલ આપવા માટે આનો ઉપયોગ કરવાની એક પદ્ધતિ છે. ઉપરાંત, રીમાન ઝીટા કાર્યના બિન-તુચ્છ શૂન્ય માટે, પ્રથમ બિન-તુચ્છ શૂન્યનો અંદાજ વાસ્તવિક અક્ષ પરના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનથી થોડી ચોકસાઈ સાથે લગાવી શકાય છે. બહુ-બિંદુ પેડે અંદાજ 2-બિંદુ પેડે અંદાજનું વધુ વિસ્તરણ એ બહુ-બિંદુ પેડે અંદાજ છે. આ પદ્ધતિ કાર્યના એકલતા બિંદુઓને ધ્યાનમાં લે છે જેનો અંદાજ લગાવવાનો છે. એવા કિસ્સાઓનો વિચાર કરો જ્યારે વિધેયની એકલતાઓને અનુક્રમણિકા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે 2-બિંદુ પેડે અંદાજ ઉપરાંત, જેમાં માહિતીનો સમાવેશ થાય છે, આ પદ્ધતિ પર વિચલનના ગુણધર્મને ઘટાડવા માટે અંદાજિત છે. પરિણામે, કાર્યની વિશિષ્ટતાની માહિતી મેળવવામાં આવે છે, તેથી કાર્યનો અંદાજ વધુ ચોકસાઈ સાથે કરી શકાય છે. ઉદાહરણો જેકોબી બેસેલ ફ્રેસ્નલ પાડે કોષ્ટક પણ જુઓ ભાસ્કર પ્રથમનું સાઇન અંદાજ સૂત્ર સંદર્ભો સાહિત્ય બેકર, જી. એ., જુનિયર; અને ગ્રેવ્સ-મોરિસ, પી. પાડે એપ્રોક્સિમેન્ટ્સ. કેમ્બ્રિજ યુ. પી., 1996 બેકર, જી. એ., જુનિયર પેડે અંદાજિત, સ્કોલરપેડિયા, 7 (6): 9756. બ્રેઝિન્સ્કી, સી.; રેડીવો ઝાગ્લિયા, એમ. એક્સ્ટ્રાપોલેશન પદ્ધતિઓ. સિદ્ધાંત અને વ્યવહાર. નોર્થ-હોલેન્ડ, 1991.. ફ્રોબેનિયસ, જી.;, [જર્નલ ફર ડાઈ રેઇન એન્ડ એન્જેવાન્ડે મેથેમેટિક (ક્રેલેઝ જર્નલ)]. વોલ્યુમ 1881, અંક 90, પૃષ્ઠો 1-17. ગ્રેગ, ડબલ્યુ. બી.; ધ પેડ ટેબલ એન્ડ ઇટ્સ રિલેશન ટુ સર્ટન અલ્ગોરિધમ્સ ઓફ ન્યુમેરિકલ એનાલિસિસ [એસ. આઈ. એ. એમ. રિવ્યૂ], વોલ્યુમ. 14, નં. 1, 1972, પૃષ્ઠ. 1-62. પાડે, એચ.;, થીસીસ, [એન. ઇકોલ નો. (3), 9,1892, પૃ. 1-93 પૂરક. . બાહ્ય કડીઓ પેડે એપ્રોક્સિમેન્ટ્સ, ઓલેક્સાન્ડર પાવલિક, ધ વોલ્ફ્રેમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટ. ડેટા એનાલિસિસ બ્રીફબુકઃ પેડ એપ્રોક્સીમેશન, રુડોલ્ફ કે. બોક યુરોપિયન લેબોરેટરી ફોર પાર્ટિકલ ફિઝિક્સ, સીઇઆરએન. સિનવેવ, સ્કોટ ડેટાલો, છેલ્લે એક્સેસ કરેલ 2010-11-11. સમય વિલંબ સાથે મોડેલોના પેડે અંદાજ માટે MATLAB કાર્ય. સતત અપૂર્ણાંકો આંકડાકીય વિશ્લેષણ તર્કસંગત કાર્યો