Klein paradox
1929માં, ભૌતિકશાસ્ત્રી ઓસ્કર ક્લેઇને સંભવિત અવરોધમાંથી ઇલેક્ટ્રોન સ્કેટરિંગની પરિચિત સમસ્યા પર ડીરાક સમીકરણ લાગુ કરીને આશ્ચર્યજનક પરિણામ મેળવ્યું હતું. બિન-સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ઘાતાંકીય ભીનાશ સાથે અવરોધમાં ઇલેક્ટ્રોન ટનલિંગ જોવા મળે છે. જો કે, ક્લેઇનનું પરિણામ દર્શાવે છે કે જો પોટેન્શિયલ ઓછામાં ઓછું ઇલેક્ટ્રોન માસના ક્રમમાં હોય, તો અવરોધ લગભગ પારદર્શક હોય છે. વધુમાં, જેમ જેમ પોટેન્શિયલ અનંતની નજીક પહોંચે છે, તેમ તેમ પ્રતિબિંબ ઘટતું જાય છે અને ઇલેક્ટ્રોન હંમેશા પ્રસારિત થાય છે. ન્યુટ્રોનની શોધ પહેલાં, ન્યુક્લિયસની અંદરના તટસ્થ કણો માટે રધરફર્ડના પ્રોટોન-ઇલેક્ટ્રોન મોડેલમાં વિરોધાભાસનો તાત્કાલિક ઉપયોગ થયો હતો. વિરોધાભાસ એ ન્યુક્લિયસની અંદર મર્યાદિત ઇલેક્ટ્રોનની કલ્પના સામે ક્વોન્ટમ યાંત્રિક વાંધો રજૂ કર્યો. આ સ્પષ્ટ અને ચોક્કસ વિરોધાભાસ સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનને કોઈ પણ સંભવિત કૂવા દ્વારા ન્યુક્લિયસમાં મર્યાદિત કરી શકાતું નથી. આ વિરોધાભાસનો અર્થ તે સમયે ખૂબ જ ચર્ચાસ્પદ હતો. દળહીન કણો ઊર્જા અને વેગ સાથે ઊંચાઈના સંભવિત પગલાની નજીક પહોંચતા દળહીન સાપેક્ષ કણોને ધ્યાનમાં લો. કણનું તરંગ કાર્ય, સમય-સ્વતંત્ર ડીરાક સમીકરણને અનુસરે છેઃ અને તે પૌલી મેટ્રિક્સ છેઃ ધારો કે કણ ડાબી બાજુથી પ્રસરી રહ્યો છે, તો આપણે બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ-એક પગલું પહેલાં, પ્રદેશમાં (1) અને એક સંભવિત હેઠળ, પ્રદેશમાં (2): જ્યાં ગુણાંક અને જટિલ સંખ્યાઓ છે. આવતા અને પ્રસારિત થતા બંને તરંગ કાર્યો હકારાત્મક જૂથ વેગ (Fig.1 માં વાદળી રેખાઓ) સાથે સંકળાયેલા છે, જ્યારે પ્રતિબિંબિત તરંગ કાર્યો નકારાત્મક જૂથ વેગ સાથે સંકળાયેલા છે. (Fig.1 માં લીલી રેખાઓ) હવે આપણે પ્રસારણ અને પ્રતિબિંબ ગુણાંકની ગણતરી કરવા માંગીએ છીએ, તેઓ સંભાવના કંપનવિસ્તાર પ્રવાહોમાંથી મેળવવામાં આવે છે. ડીરાક સમીકરણ સાથે સંકળાયેલ સંભાવના પ્રવાહની વ્યાખ્યા છેઃ આ કિસ્સામાંઃ પ્રસારણ અને પ્રતિબિંબ ગુણાંક છેઃ તરંગ કાર્યની સાતત્ય, ઉપજઃ અને તેથી પ્રસારણ ગુણાંક 1 છે અને ત્યાં કોઈ પ્રતિબિંબ નથી. વિરોધાભાસનું એક અર્થઘટન એ છે કે સંભવિત પગલું દળહીન સાપેક્ષ કણોના જૂથ વેગની દિશાને ઉલટાવી શકતું નથી. આ સમજૂતી ઉપર દર્શાવેલ એક કણોના ઉકેલને સૌથી વધુ અનુકૂળ છે. ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીના સંદર્ભમાં સાહિત્યમાં અન્ય, વધુ જટિલ અર્થઘટનો સૂચવવામાં આવ્યા છે, જ્યાં પોટેન્શિયલ પર કણ-એન્ટિપાર્ટિકલ જોડીઓના અસ્તિત્વને કારણે અનિયંત્રિત ટનલિંગ થતું હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. વિશાળ કેસ મોટા કેસ માટે, ગણતરીઓ ઉપરોક્ત જેવી જ છે. પરિણામો સામૂહિક કેસ જેટલા જ આશ્ચર્યજનક છે. પ્રસારણ ગુણાંક હંમેશા શૂન્ય કરતા મોટો હોય છે, અને જેમ જેમ સંભવિત પગલું અનંત તરફ જાય છે તેમ તેમ તે 1 સુધી પહોંચે છે. ક્લેઈન ઝોન જો કણની ઊર્જા શ્રેણીમાં હોય, તો કુલ પ્રતિબિંબને બદલે આંશિક પ્રતિબિંબ પરિણમશે. જ્યારે પરંપરાગત રિઝોલ્યુશન ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી (હેન્સેન 1981) ના સંદર્ભમાં કણ-વિરોધી-કણ જોડી ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરે છે, ત્યારે એક સરળ રિઝોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં છે જે અવરોધ હેઠળ નકારાત્મક ઊર્જા ઉકેલોના સ્કેટરિંગ માટે ભૌતિક જોડી ઉત્પાદનને બદલે છે (અલહાઇડારી 2009). આ વ્યૂહરચના અનંત ચોરસ કૂવા માટે ડીરાક સમીકરણના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો મેળવવા માટે પણ લાગુ કરવામાં આવી હતી. અન્ય કિસ્સાઓમાં આ પરિણામોને ઉચ્ચ પરિમાણો સુધી અને અન્ય પ્રકારની ક્ષમતાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા હતા, જેમ કે રેખીય પગલું, ચોરસ અવરોધ, સરળ ક્ષમતા વગેરે. ગ્રેફીનમાં ઇલેક્ટ્રોન પરિવહનના ઘણા પ્રયોગો દળહીન કણો માટે ક્લેઈન વિરોધાભાસ પર આધાર રાખે છે. વિરોધાભાસ સંદર્ભોની યાદી પણ જુઓ વધુ વાંચન ભૌતિક વિરોધાભાસ