Alexander duality
ગણિતમાં, એલેક્ઝાન્ડર દ્વૈત એ 1915માં જે. ડબલ્યુ. એલેક્ઝાન્ડરના પરિણામ દ્વારા શરૂ કરવામાં આવેલા દ્વૈત સિદ્ધાંતનો ઉલ્લેખ કરે છે, અને ત્યારબાદ ખાસ કરીને પાવેલ એલેક્ઝાન્ડ્રોવ અને લેવ પોન્ટ્રીગિન દ્વારા વધુ વિકસિત કરવામાં આવ્યો હતો. તે યુક્લિડિયન અવકાશ, ગોળા અથવા અન્ય મેનીફોલ્ડમાં સબસ્પેસ X ના પૂરકના સમરૂપતા સિદ્ધાંતના ગુણધર્મોને લાગુ પડે છે. તે સ્પેનિઅર-વ્હાઇટહેડ દ્વૈત દ્વારા સામાન્યીકૃત છે. ગોળાઓ માટેનું સામાન્ય નિવેદન પરિમાણ n ના ગોળાનું કોમ્પેક્ટ, સ્થાનિક રીતે સંકોચાય તેવું સબસ્પેસ હોવું જોઈએ. પછી જો ઘટાડેલા સમરૂપતા અથવા ઘટાડેલા સમરૂપતા માટે વપરાય છે, તો આપેલ અબેલિયન જૂથમાં ગુણાંક સાથે, બધા માટે એક સમરૂપતા છે. નોંધ લો કે જો આપણે ચેચ કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીએ, જે સ્થાનિક પેથોલોજી સાથે વ્યવહાર કરવા માટે રચાયેલ છે, તો આપણે પૂર્વધારણાના ભાગ રૂપે સ્થાનિક સંકોચનક્ષમતાને છોડી શકીએ છીએ. એપ્લિકેશન્સ આ ગાંઠ અને કડી પૂરકની કોહોમોલોજીની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગી છે. યાદ કરો કે ગાંઠ એ એમ્બેડિંગ છે અને કડી એ બોરોમિયન રિંગ્સ જેવી ગાંઠોનું અસંબદ્ધ જોડાણ છે. પછી, જો આપણે કડી/ગાંઠ લખીએ, તો આપણી પાસે કોહોમોલોજી જૂથોની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ છે. પછી, મેસી પ્રોડક્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ લિંક્સ વચ્ચે તફાવત કરવો શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બોરોમિયન રિંગ્સ માટે, હોમોલોજી જૂથો રચનાત્મક શીવ્સ માટે એલેક્ઝાન્ડર દ્વૈત છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, જો આપણે એક સ્મૂથ મેનીફોલ્ડને દર્શાવીએ અને આપણે એક બંધ સબસ્પેસ (જેમ કે ચક્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી સબસ્પેસ, અથવા સબમેનીફોલ્ડ) ને સમાવેશ દ્વારા રજૂ કરીએ, અને જો તે ક્ષેત્ર હોય, તો જો-વેક્ટર સ્પેસનો શીફ હોય તો આપણી પાસે નીચેનું આઇસોમોર્ફિઝમ છે, જ્યાં ડાબી બાજુનું કોહોમોલોજી જૂથ કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ કોહોમોલોજી છે. તેનો અર્થ શું છે તેની વધુ સારી સમજણ મેળવવા માટે આપણે આ નિવેદનને આગળ ખોલી શકીએ છીએ. પ્રથમ, જો સતત આવરણ હોય અને તે એક સરળ સબમેનિફોલ્ડ હોય, તો આપણે મેળવીએ છીએ, જ્યાં જમણી બાજુનું કોહોમોલોજી જૂથ સ્થાનિક કોહોમોલોજીને ટેકો આપે છે. વધુ ઘટાડા દ્વારા, સમરૂપતાને સમરૂપતા સાથે ઓળખવી શક્ય છે. આ બીજગણિત ભૂમિતિમાં પ્રોજેક્ટિવ જાતોના કોહોમોલોજી જૂથોની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગી છે, અને જેકોબિયન રિંગનો ઉપયોગ કરીને ડિગ્રીના હાયપરસર્ફેસની હોજ રચનાનો આધાર બનાવવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. એલેક્ઝાન્ડરનું 1915નું પરિણામ એલેક્ઝાન્ડરના મૂળ કાર્યનો ઉલ્લેખ કરતા, એવું માનવામાં આવે છે કે X એ એક સરળ સંકુલ છે. એલેક્ઝાન્ડર પાસે આધુનિક ઉપકરણ ઓછું હતું, અને તેનું પરિણામ માત્ર બેટ્ટી સંખ્યાઓ માટે હતું, જેમાં ગુણાંક મોડ્યુલો 2 લેવામાં આવ્યા હતા. શું અપેક્ષા રાખવી તે ઉદાહરણો પરથી આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3-ગોળામાં ક્લિફોર્ડ ટોરસની રચના દર્શાવે છે કે નક્કર ટોરસનું પૂરક અન્ય નક્કર ટોરસ છે; જે જો બીજો બંધ હોય તો ખુલ્લો રહેશે, પરંતુ આ તેની સમરૂપતાને અસર કરતું નથી. દરેક નક્કર તોરી હોમોટૉપી દૃષ્ટિકોણથી એક વર્તુળ છે. જો આપણે વર્તુળના બેટ્ટી નંબરો 1,1,0,0 લખીએ (સુધી, કારણ કે આપણે 3-ગોળામાં છીએ), તો પછી 0,0,1,1 તરીકે ઉલટાવીએ અને પછી 0,1,1,0 મેળવવા માટે એકને ડાબી તરફ ખસેડીએ તો મુશ્કેલી છે, કારણ કે આપણે જેની શરૂઆત કરી હતી તે મેળવી રહ્યા નથી. બીજી બાજુ એ જ પ્રક્રિયા ઘટાડેલી બેટ્ટી સંખ્યાઓ પર લાગુ થાય છે, જેના માટે પ્રારંભિક બેટ્ટી સંખ્યા 1 દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તે 0,1,0,0 થી શરૂ થાય છે અને 0,0,1,0 આપે છે જ્યાંથી 0,1,0,0 થાય છે. પૂરકની ઓછી બેટ્ટી સંખ્યાઓની આગાહી કરીને આ કામ કરે છે. અહીં પ્રોટોટાઇપ જોર્ડન કર્વ થીયરમ છે, જે ટોપોલોજીકલ રીતે રીમાન ગોળામાં વર્તુળના પૂરક સાથે સંબંધિત છે. તે પણ એ જ વાર્તા કહે છે. આપણી પાસે વર્તુળના પ્રમાણિક બેટ્ટી નંબરો 1,1,0 છે, અને તેથી ઉપર ફેરવીને 0,1,1 અને ડાબી તરફ ખસેડીને 1,1,0 છે. આ જોર્ડન પ્રમેય જે જણાવે છે તેનાથી કંઈક અલગ પાછું આપે છે, જે એ છે કે ત્યાં બે ઘટકો છે, દરેક સંકોચાય છે (સ્કોનફ્લાય પ્રમેય, અહીં શું વપરાય છે તે વિશે સચોટ છે). એટલે કે પ્રામાણિક બેટ્ટી આંકડામાં સાચો જવાબ 2,0,0 છે. ફરી એકવાર, તે ઓછી બેટ્ટી સંખ્યાઓ છે જે કામ કરે છે. તે સાથે, આપણે 0,1,0 થી શરૂ કરીએ છીએ અને 1,0,0 સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ. આ બે ઉદાહરણો પરથી, તેથી, એલેક્ઝાન્ડરની રચનાનું અનુમાન કરી શકાય છેઃ ઘટાડેલી બેટ્ટી સંખ્યાઓ દ્વારા પૂરકમાં સંબંધિત છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન બીજગણિત ટોપોલોજી દ્વૈત સિદ્ધાંતો