Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
ગણિતમાં, સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ્સ માટે રીમેન-રોક થીયરમ એ હિરઝેબ્રુક-રીમેન-રોક થીયરમ અથવા ગ્રોથેન્ડીક-રીમેન-રોક થીયરમ (જી. આર. આર.) જેવા પરિણામોનું એક સંસ્કરણ છે, જેમાં કોઈ પૂર્વધારણા વિના સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ્સ એક જટિલ માળખું ધરાવે છે. આ પ્રકારના પરિણામો માઈકલ અતિયા અને ફ્રેડરિક હિરઝેબ્રુચે 1959માં મેળવ્યા હતા, જેનાથી જરૂરિયાતોને સ્પિન માળખા જેવી કંઈક કરી દેવામાં આવી હતી. ફોર્મ્યુલેશન ચાલો X અને Y ઓરિએન્ટેડ સ્મૂથ ક્લોઝ્ડ મેનીફોલ્ડ્સ હોય, અને f: X → Y એ સતત નકશો હોય. ચાલો કે-જૂથ K (X) માં vf = f * (TY) − TX. જો મંદ (X) ષ્ણ મંદ (Y) મોડ 2 હોય, તો જ્યાં ch એ ચેરન અક્ષર છે, d (vf) અભિન્ન સમરૂપતા જૂથ H2 (Y, Z) નું એક તત્વ છે જે d (vf) ષ્ણ f * w2 (TY)-w2 (TX) મોડ 2 ને સંતોષ આપે છે, fK * કે-સિદ્ધાંત માટે ગિસિન હોમોમોર્ફિઝમ, અને fH * કોહોમોલોજી માટે ગિસિન હોમોમોર્ફિઝમ. આ પ્રમેય સૌપ્રથમ અતિયા અને હિરઝેબ્રુચે સાબિત કર્યો હતો. આ પ્રમેય કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓને ધ્યાનમાં લઈને સાબિત થાય છે. જો Y એ X પર વેક્ટર બંડલ V ની થોમ જગ્યા હોય, તો ગિસિન નકશા માત્ર થોમ આઇસોમોર્ફિઝમ છે. પછી, વિભાજન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, લાઇન બંડલ્સ માટે સ્પષ્ટ ગણતરી દ્વારા પ્રમેયને તપાસવું પૂરતું છે. જો f: X → Y એ એમ્બેડિંગ હોય, તો Y માં X ના સામાન્ય બંડલની થોમ જગ્યાને Y માં X ના ટ્યુબ્યુલર પડોશી તરીકે જોઈ શકાય છે, અને એક્ઝિશન નકશો આપે છે અને. કે-થિયરી/કોહોમોલોજી માટે ગિસિન નકશાને આ નકશાઓ સાથે થોમ આઇસોમોર્ફિઝમની રચના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ પ્રમેય નકશા માટે X થી N ની થોમ જગ્યા સુધી માન્ય હોવાથી, અને ચેરન અક્ષર u અને v સાથે પરિવર્તિત થતું હોવાથી, આ પ્રમેય એમ્બેડિંગ માટે પણ સાચું છે. f: X → Y. છેવટે, આપણે સામાન્ય નકશાને પરિબળ બનાવી શકીએ છીએ f: X → Y એમ્બેડિંગ અને પ્રક્ષેપણમાં આ પ્રમેય એમ્બેડિંગ માટે સાચું છે. પ્રક્ષેપણ માટેનો ગિસિન નકશો બોટ્ટ-પિરીયોડિસિટી આઇસોમોર્ફિઝમ છે, જે ચેરન અક્ષર સાથે પરિવર્તિત થાય છે, તેથી આ સામાન્ય કિસ્સામાં પણ આ પ્રમેય માન્ય છે. કોરોલરીઝ અતિયાહ અને હિરઝેબ્રુચે પછી X = a બિંદુના કિસ્સામાં વિશેષતા અને શુદ્ધિકરણ કર્યું, જ્યાં સ્થિતિ Y પર સ્પિન સ્ટ્રક્ચરનું અસ્તિત્વ બની જાય છે. કોરોલરીઝ પોન્ટ્રીગિન વર્ગો અને J-હોમોમોર્ફિઝમ પર છે. વિભેદક ભૂમિતિમાં પ્રમેયોની નોંધ કરે છે બીજગણિત સપાટીઓ બર્નહાર્ડ રીમેન