Subharmonic function
ગણિતમાં, સબહાર્મોનિક અને સુપરહાર્મોનિક કાર્યો એ આંશિક વિભેદક સમીકરણો, જટિલ વિશ્લેષણ અને સંભવિત સિદ્ધાંતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યોના મહત્વપૂર્ણ વર્ગો છે. સહજ ભાવે, સબહાર્મોનિક કાર્યો નીચે પ્રમાણે એક ચલનાં બહિર્મુખ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે. જો બહિર્મુખ કાર્યનો આલેખ અને રેખા બે બિંદુઓ પર છેદે છે, તો બહિર્મુખ કાર્યનો આલેખ તે બિંદુઓ વચ્ચેની રેખાની નીચે હોય છે. તેવી જ રીતે, જો સબહાર્મોનિક ફંક્શનના મૂલ્યો બોલની સીમા પર હાર્મોનિક ફંક્શનના મૂલ્યો કરતા મોટા ન હોય, તો સબહાર્મોનિક ફંક્શનના મૂલ્યો બોલની અંદર પણ હાર્મોનિક ફંક્શનના મૂલ્યો કરતા મોટા નથી. સુપરહાર્મોનિક કાર્યોને સમાન વર્ણન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, ફક્ત "મોટા નહીં" ને "નાના નહીં" સાથે બદલી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, સુપરહાર્મોનિક કાર્ય એ સબહાર્મોનિક કાર્યનું માત્ર નકારાત્મક છે, અને આ કારણોસર સબહાર્મોનિક કાર્યોના કોઈપણ ગુણધર્મને સરળતાથી સુપરહાર્મોનિક કાર્યોમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ઔપચારિક રીતે, વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે કહી શકાય. ચાલો યુક્લિડિયન અવકાશનો સબસેટ હોઈએ અને ઉપલા અર્ધ-સતત કાર્ય હોઈએ. પછી, તેને સબહાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે જો કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યાના કોઈપણ બંધ દડા માટે અને તેના પરના દરેક વાસ્તવિક મૂલ્યના સતત કાર્યમાં હાર્મોનિક હોય અને તેની સીમા પરના બધા માટે સંતોષ આપે, તો આપણી પાસે બધા માટે નોંધ છે કે ઉપરોક્ત દ્વારા, જે કાર્ય સમાન રીતે − φ છે તે સબહાર્મોનિક છે, પરંતુ કેટલાક લેખકો વ્યાખ્યા દ્વારા આ કાર્યને બાકાત રાખે છે. જો સબહાર્મોનિક હોય તો કાર્યને સુપરહાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે. ગુણધર્મો એ કાર્ય હાર્મોનિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સબહાર્મોનિક અને સુપરહાર્મોનિક બંને હોય. જો ઓપન સેટ પર C2 (બે વાર સતત વિકલનક્ષમ) હોય, તો પછી સબહાર્મોનિક છે જો અને માત્ર જો કોઈ ચાલુ હોય, તો લેપલેસિયન ક્યાં છે. જ્યાં સુધી કાર્ય સ્થિર ન હોય, જેને મહત્તમ સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે ત્યાં સુધી સબહાર્મોનિક કાર્યનું મહત્તમ તેના ક્ષેત્રના આંતરિક ભાગમાં પ્રાપ્ત કરી શકાતું નથી. જો કે, ઓછામાં ઓછું સબહાર્મોનિક કાર્ય તેના ક્ષેત્રના આંતરિક ભાગમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. સબહાર્મોનિક કાર્યો બહિર્મુખ શંકુ બનાવે છે, એટલે કે, હકારાત્મક ગુણાંક સાથે સબહાર્મોનિક કાર્યોનું રેખીય સંયોજન પણ સબહાર્મોનિક છે. બે સબહાર્મોનિક કાર્યોની બિંદુ મુજબની મહત્તમ સબહાર્મોનિક છે. જો સબહાર્મોનિક વિધેયોની ગણતરીપાત્ર સંખ્યાની બિંદુ મુજબની મહત્તમ સંખ્યા ઉપલા અર્ધ-સતત હોય, તો તે પણ સબહાર્મોનિક છે. સબહાર્મોનિક કાર્યોના ઘટતા ક્રમની મર્યાદા સબહાર્મોનિક (અથવા સમાન રીતે સમાન) છે. સબહાર્મોનિક કાર્યો સામાન્ય ટોપોલોજીમાં સતત હોય તે જરૂરી નથી, જો કે કોઈ વ્યક્તિ ફાઇન ટોપોલોજી રજૂ કરી શકે છે જે તેમને સતત બનાવે છે. ઉદાહરણો જો વિશ્લેષણાત્મક હોય તો તે સબહાર્મોનિક હોય છે. ઉપર સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, મહત્તમ, બહિર્મુખ સંયોજનો અને મર્યાદાઓ લઈને વધુ ઉદાહરણો બનાવી શકાય છે. પરિમાણ 1 માં, તમામ સબહાર્મોનિક કાર્યો આ રીતે મેળવી શકાય છે. રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય જો કોઈ પ્રદેશમાં સબહાર્મોનિક હોય, તો પરિમાણની યુક્લિડિયન જગ્યામાં, તે હાર્મોનિક હોય છે, અને પછી તેને હાર્મોનિક મેજરન્ટ કહેવામાં આવે છે. જો હાર્મોનિક મેજરન્ટ અસ્તિત્વમાં હોય, તો ત્યાં ઓછામાં ઓછું હાર્મોનિક મેજરન્ટ અસ્તિત્વમાં છે, અને જ્યારે પરિમાણ 2 માં, જ્યાં સૌથી ઓછું હાર્મોનિક મેજરન્ટ છે, અને તે બોરેલ માપ છે. આને રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે. જટિલ સમતલ સબહાર્મોનિક કાર્યોમાં સબહાર્મોનિક કાર્યો જટિલ વિશ્લેષણમાં વિશેષ મહત્વ ધરાવે છે, જ્યાં તેઓ હોલોમોર્ફિક કાર્યો સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલા હોય છે. કોઈ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે કે સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત જટિલ ચલ (એટલે કે, બે વાસ્તવિક ચલોનું) નું વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું, સતત કાર્ય સબહાર્મોનિક છે જો અને માત્ર જો કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યાની કોઈપણ બંધ ડિસ્ક માટે એકમાં સહજ ભાવે હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે સબહાર્મોનિક કાર્ય કોઈપણ સમયે તે બિંદુની આસપાસના વર્તુળમાં મૂલ્યોની સરેરાશ કરતા વધારે નથી, એક હકીકત જેનો ઉપયોગ મહત્તમ સિદ્ધાંત મેળવવા માટે કરી શકાય છે. જો હોલોમોર્ફિક ફંક્શન હોય, તો તે સબહાર્મોનિક ફંક્શન છે જો આપણે શૂન્ય પરનું મૂલ્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તે અનુસરે છે કે દરેક α> 0 માટે સબહાર્મોનિક છે. આ અવલોકન હાર્ડી સ્પેસના સિદ્ધાંતમાં ભૂમિકા ભજવે છે, ખાસ કરીને જ્યારે 0 <p <1 હોય ત્યારે H ના અભ્યાસ માટે. જટિલ સમતલના સંદર્ભમાં, બહિર્મુખ કાર્યો સાથેનું જોડાણ એ હકીકત દ્વારા પણ અનુભવી શકાય છે કે કાલ્પનિક દિશામાં સ્થિર હોય તેવા ક્ષેત્ર પર સબહાર્મોનિક કાર્ય વાસ્તવિક દિશામાં બહિર્મુખ હોય છે અને તેનાથી ઊલટું. સબહાર્મોનિક કાર્યોના હાર્મોનિક મુખ્ય ઘટકો જો જટિલ સમતલના પ્રદેશમાં સબહાર્મોનિક હોય, અને તે હાર્મોનિક હોય, તો તે જો અંદર હોય તો તે હાર્મોનિક મુખ્ય ઘટકો છે. આવી અસમાનતાને વૃદ્ધિની સ્થિતિ તરીકે જોઈ શકાય છે. એકમ ડિસ્કમાં સબહાર્મોનિક કાર્યો. રેડિયલ મેક્સિમલ ફંક્શન બંધ એકમ ડિસ્ક D (0,1) ધરાવતા જટિલ સમતલના ખુલ્લા ઉપગણમાં φ સબહાર્મોનિક, સતત અને બિન-નકારાત્મક હોવા જોઈએ. ફંક્શન φ (યુનિટ ડિસ્ક સુધી મર્યાદિત) માટે રેડિયલ મેક્સિમલ ફંક્શનને યુનિટ સર્કલ પર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો PR પોઈસન કર્નલને સૂચવે છે, તો તે સબહાર્મોનીસિટીથી અનુસરે છે કે તે બતાવી શકાય છે કે છેલ્લું ઇન્ટિગ્રલ હાર્ડી-લિટલવુડ મેક્સિમલ ફંક્શન φની e પરની કિંમત કરતાં ઓછું છે, જે યુનિટ સર્કલ T પર φના પ્રતિબંધનું મૂલ્ય છે, જેથી 0 ≤ Mφ ≤ φ ≤. તે જાણીતું છે કે હાર્ડી-લિટલવુડ ઓપરેટર એલ. પી. (ટી.) પર બંધાયેલ છે જ્યારે 1 <પી. તે અનુસરે છે કે કેટલાક સાર્વત્રિક અચળાંક C માટે, જો f એ ω અને 0 <p <φ માં હોલોમોર્ફિક વિધેય હોય, તો અગાઉની અસમાનતા φ = |f | ને લાગુ પડે છે. આ હકીકતો પરથી અનુમાન કરી શકાય છે કે શાસ્ત્રીય હાર્ડી અવકાશ Hpમાં કોઈપણ કાર્ય F સંતોષ આપે છે વધુ કાર્ય સાથે, તે દર્શાવી શકાય છે કે F એકમ વર્તુળ પર લગભગ દરેક જગ્યાએ રેડિયલ મર્યાદા F (e) ધરાવે છે, અને (પ્રભુત્વ ધરાવતા અભિસરણ પ્રમેય દ્વારા) કે Fr, જે Fr (e) = F (r) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે Lp (T) માં F તરફ વલણ ધરાવે છે. રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પરના સબહાર્મોનિક કાર્યોને મનસ્વી રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. વ્યાખ્યાઃ ધારો કે M એ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ અને ઉપલા અર્ધ-સતત કાર્ય છે. ધારો કે કોઈપણ ખુલ્લા સબસેટ માટે, અને U પર કોઈપણ હાર્મોનિક ફંક્શન f1 માટે, જેમ કે U ની સીમા પર, અસમાનતા બધા U પર રહે છે. પછી f ને સબહાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા ઉપર આપેલી વ્યાખ્યા સમાન છે. ઉપરાંત, બે વાર વિભેદક કાર્યો માટે, સબહાર્મોનીસિટી એ અસમાનતાની સમકક્ષ છે, જ્યાં સામાન્ય લેપલેસિયન છે. આ પણ જુઓ પ્લુરિસુબર્મોનિક કાર્ય-કેટલાક જટિલ ચલોનું સામાન્યીકરણ શાસ્ત્રીય ફાઇન ટોપોલોજી નોંધો સંદર્ભો સંભવિત સિદ્ધાંત જટિલ વિશ્લેષણ કાર્યોના પ્રકારો