Jacobi sum
ગણિતમાં, જેકોબી સરવાળો એ ડિરીક્લેટ અક્ષરો સાથે રચાયેલ અક્ષરોનો સરવાળો છે. સરળ ઉદાહરણો ડિરીક્લેટ અક્ષરો χ માટે જેકોબી સરવાળો J (χ, si) હશે, જે એક મુખ્ય સંખ્યા p છે, જેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં સરવાળો તમામ અવશેષો પર ચાલે છે (જેના માટે ન તો a અને ન તો 0 છે). જેકોબી સરવાળો એ બીટા કાર્યના મર્યાદિત ક્ષેત્રો માટે એનાલોગ છે. આવી રકમ ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં સી. જી. જે. જેકોબી દ્વારા સાયક્લોટોમીના સિદ્ધાંતના સંબંધમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી. જેકોબી સરવાળા J ને સામાન્ય રીતે ગૌસ સરવાળા g ની શક્તિઓના ઉત્પાદનોમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે χsi અક્ષર બિન-તુચ્છ હોય, ત્યારે તે ગામા કાર્યોની દ્રષ્ટિએ બીટા કાર્ય માટેના સૂત્રને અનુરૂપ હોય છે. બિન-તુચ્છ ગૌસ સરવાળા g નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય p હોવાથી, તે અનુસરે છે કે જ્યારે અક્ષરો χsi, χ, si બિન-તુચ્છ હોય ત્યારે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય પણ p હોય છે. જેકોબી સરવાળો J નાના સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોમાં આવેલો છે, જે બિન-તુચ્છ ગૌસ સરવાળો g કરતા વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકેના સરવાળામાં એકતાના કોઈ pth મૂળનો સમાવેશ થતો નથી, પરંતુ તેમાં માત્ર એવા મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે જે એકતાના th મૂળના સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રમાં હોય છે. ગૌસના સરવાળાની જેમ, જેકોબી સરવાળાઓ તેમના સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોમાં મુખ્ય આદર્શ પરિબળોને જાણે છે; જુઓ સ્ટિકલબર્ગરનો પ્રમેય. જ્યારે χ એ લિજેન્ડર પ્રતીક હોય, ત્યારે સામાન્ય રીતે જેકોબી રકમના મૂલ્યો કર્ણ સ્વરૂપોના સ્થાનિક ઝીટા-કાર્યોના સંબંધમાં જોવા મળે છે. લિજેન્ડ્રે પ્રતીક પરનું પરિણામ શંકુ વિભાગ પરના બિંદુઓની સંખ્યા માટેના સૂત્ર જેટલું છે જે પી તત્વોના ક્ષેત્ર પર પ્રક્ષેપાત્મક રેખા છે. 1949ના આન્દ્રે વેઇલના એક પેપરમાં આ વિષયને ખૂબ જ પુનર્જીવિત કરવામાં આવ્યો હતો. ખરેખર, 20મી સદીના અંતમાં હાસ્સ-ડેવનપોર્ટ સંબંધ દ્વારા, ગૌસ રકમની સત્તાઓના ઔપચારિક ગુણધર્મો ફરી એકવાર વર્તમાન બની ગયા હતા. સામાન્ય જેકોબી રકમ દ્વારા કર્ણ અતિસંવેદનશીલતા માટે સ્થાનિક ઝીટા-કાર્યોને લખવાની સંભાવના તરફ ધ્યાન દોરવાની સાથે, વેઇલ (1952) એ જેકોબી રકમના ગુણધર્મોને હેક અક્ષરો તરીકે દર્શાવ્યા હતા. એકવાર અબેલિયન જાતોનો જટિલ ગુણાકાર સ્થાપિત થઈ ગયા પછી આ મહત્વપૂર્ણ બનવાનું હતું. પ્રશ્નમાં હેક અક્ષરો બરાબર તે જ હતા જે ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટ વળાંકના હાસ-વેઇલ એલ-કાર્યોને વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે. આ પાત્રોના ચોક્કસ વાહક, એક પ્રશ્ન જે વેઇલે ખુલ્લો રાખ્યો હતો, તે પછીના કાર્યમાં નક્કી કરવામાં આવ્યા હતા. સંદર્ભો સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રો