Local-density approximation
સ્થાનિક-ઘનતા અંદાજો (એલડીએ) એ ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંત (ડીએફટી) માં વિનિમય-સહસંબંધ (એક્સસી) કાર્યાત્મક ઊર્જાના અંદાજોનો એક વર્ગ છે જે અવકાશમાં દરેક બિંદુ પર ઇલેક્ટ્રોનિક ઘનતાના મૂલ્ય પર જ આધાર રાખે છે (અને, ઉદાહરણ તરીકે, ઘનતાના વ્યુત્પન્ન અથવા કોહ્ન-શામ ભ્રમણકક્ષાઓ પર નહીં). ઘણા અભિગમો XC ઊર્જાના સ્થાનિક અંદાજો આપી શકે છે. જો કે, ખૂબ જ સફળ સ્થાનિક અંદાજો તે છે જે સજાતીય ઇલેક્ટ્રોન ગેસ (HEG) મોડેલમાંથી મેળવવામાં આવ્યા છે. આ સંબંધમાં, એલડીએ સામાન્ય રીતે એચ. ઇ. જી. અંદાજ પર આધારિત કાર્યોનો પર્યાય છે, જે પછી વાસ્તવિક પ્રણાલીઓ (અણુઓ અને ઘન) પર લાગુ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, સ્પિન-અનપોલરાઇઝ્ડ સિસ્ટમ માટે, વિનિમય-સહસંબંધ ઊર્જા માટે સ્થાનિક-ઘનતા અંદાજ લખવામાં આવે છે જ્યાં ρ એ ઇલેક્ટ્રોનિક ઘનતા છે અને εxc એ ચાર્જ ઘનતા ρ ના સજાતીય ઇલેક્ટ્રોન ગેસના કણ દીઠ વિનિમય-સહસંબંધ ઊર્જા છે. વિનિમય-સહસંબંધ ઊર્જાને વિનિમય અને સહસંબંધની શરતોમાં રેખીય રીતે વિઘટિત કરવામાં આવે છે, જેથી Ex અને Ec માટે અલગ અભિવ્યક્તિઓ માંગવામાં આવે. વિનિમય શબ્દ HEG માટે એક સરળ વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપ લે છે. માત્ર સહસંબંધ ઘનતા માટે મર્યાદિત અભિવ્યક્તિઓ બરાબર જાણીતી છે, જે εc માટે અસંખ્ય વિવિધ અંદાજો તરફ દોરી જાય છે. સ્થાનિક-ઘનતા અંદાજો વિનિમય-સહસંબંધ ઊર્જાના વધુ સુસંસ્કૃત અંદાજોના નિર્માણમાં મહત્વપૂર્ણ છે, જેમ કે સામાન્યીકૃત ઢાળ અંદાજો (જી. જી. એ.) અથવા વર્ણસંકર વિધેયો, કારણ કે કોઈપણ અંદાજિત વિનિમય-સહસંબંધ કાર્યની ઇચ્છનીય મિલકત એ છે કે તે બિન-બદલાતી ઘનતા માટે એચ. ઈ. જી. ના ચોક્કસ પરિણામોનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે. જેમ કે, એલડીએ ઘણીવાર આવા કાર્યોનો સ્પષ્ટ ઘટક હોય છે. સ્થાનિક-ગીચતા અંદાજ સૌપ્રથમ 1965માં વોલ્ટર કોહ્ન અને લુ જેઉ શામ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. સેમિકન્ડક્ટિંગ ઓક્સાઇડ અને સ્પિન્ટ્રોનિક્સ સહિત સેમિકન્ડક્ટર સામગ્રીમાં ઇલેક્ટ્રોનિક અને ચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું અર્થઘટન કરવા માટે જી. જી. એ. ની જેમ સ્થાનિક ઘનતાના અંદાજોનો ઉપયોગ સોલિડ સ્ટેટ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ દ્વારા એબ-ઇનિશિયો ડી. એફ. ટી. અભ્યાસોમાં વ્યાપકપણે કરવામાં આવે છે. આ કોમ્પ્યુટેશનલ અભ્યાસોનું મહત્વ સિસ્ટમની જટિલતાઓમાંથી ઉદ્ભવે છે જે પ્રથમ-સિદ્ધાંતો આધારિત વિશ્લેષણને જરૂરી બનાવતા સંશ્લેષણ પરિમાણો પ્રત્યે ઉચ્ચ સંવેદનશીલતા લાવે છે. ડોપ્ડ સેમિકન્ડક્ટિંગ ઓક્સાઇડમાં ફર્મી સ્તર અને બેન્ડ માળખાની આગાહી ઘણીવાર CASTEP અને DMol3 જેવા સિમ્યુલેશન પેકેજોમાં સમાવિષ્ટ LDA નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. જો કે ઘણીવાર એલડીએ અને જીજીએ અંદાજો સાથે સંકળાયેલા બેન્ડ ગેપ મૂલ્યોમાં ઓછો અંદાજ આવી સિસ્ટમોમાં અશુદ્ધિ મધ્યસ્થી વાહકતા અને/અથવા વાહક મધ્યસ્થી ચુંબકત્વની ખોટી આગાહીઓ તરફ દોરી શકે છે. 1998 માં શરૂ કરીને, આઈગનવેલ્યુઝ માટે રેલેય થીયરમની અરજી એલડીએ પોટેન્શિયલનો ઉપયોગ કરીને સામગ્રીના મોટે ભાગે સચોટ, ગણતરી કરેલ બેન્ડ ગેપ તરફ દોરી ગઈ છે. ડી. એફ. ટી. ના બીજા પ્રમેયની ગેરસમજણ એલ. ડી. એ. અને જી. જી. એ. ગણતરીઓ દ્વારા બેન્ડ ગેપના મોટાભાગના ઓછો અંદાજને સમજાવે છે, જે ડી. એફ. ટી. ના બે પ્રમેયોના નિવેદનોના સંબંધમાં ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતના વર્ણનમાં સમજાવવામાં આવ્યું છે. εxc માટે સજાતીય ઇલેક્ટ્રોન ગેસ અંદાજ માત્ર ઘનતા પર આધાર રાખીને અસંખ્ય રીતે વિકસાવી શકાય છે. સૌથી સફળ અભિગમ સજાતીય ઇલેક્ટ્રોન ગેસ પર આધારિત છે. આ સિસ્ટમને તટસ્થ રાખીને હકારાત્મક પૃષ્ઠભૂમિ ચાર્જ સાથે વોલ્યુમ, V માં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા N ઇલેક્ટ્રોનને મૂકીને બનાવવામાં આવે છે. પછી N અને V ને એવી રીતે અનંત પર લઈ જવામાં આવે છે જે ઘનતા (ρ = N/V) ને મર્યાદિત રાખે છે. આ એક ઉપયોગી અંદાજ છે કારણ કે કુલ ઊર્જામાં માત્ર ગતિ ઊર્જા, વિદ્યુતસ્થૈતિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ઊર્જા અને વિનિમય-સહસંબંધ ઊર્જાના યોગદાનનો સમાવેશ થાય છે, અને તે કે તરંગ કાર્ય ગ્રહોની તરંગોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, સ્થિર ઘનતા ρ માટે, વિનિમય ઊર્જાની ઘનતા ρ1⁄3 ના પ્રમાણમાં હોય છે. વિનિમય કાર્યાત્મક HEG ની વિનિમય-ઊર્જા ઘનતા વિશ્લેષણાત્મક રીતે જાણીતી છે. વિનિમય માટે એલડીએ આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ અંદાજ હેઠળ કરે છે કે જ્યાં ઘનતા એકરૂપ ન હોય તેવી પ્રણાલીમાં વિનિમય-ઊર્જા, એચઇજીના પરિણામોને બિંદુવાર લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જે અભિવ્યક્તિ આપે છે એચઇજીની સહસંબંધ ઊર્જા માટે સહસંબંધ કાર્યાત્મક વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓ અનંત-નબળા અને અનંત-મજબૂત સહસંબંધને અનુરૂપ ઉચ્ચ અને નીચી-ઘનતા મર્યાદામાં ઉપલબ્ધ છે. ઘનતા ρ ધરાવતા HEG માટે, સહસંબંધ ઊર્જા ઘનતાની ઉચ્ચ-ઘનતા મર્યાદા છે અને નીચી મર્યાદા જ્યાં વિગ્નર-સેઇટ્ઝ પરિમાણ પરિમાણહીન છે. તેને ગોળાની ત્રિજ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે બરાબર એક ઇલેક્ટ્રોનને આવરી લે છે, જેને બોહર ત્રિજ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. વિગ્નર-સેઇટ્ઝ પરિમાણ ઘનતા સાથે સંબંધિત છે કારણ કે ઘનતાની સંપૂર્ણ શ્રેણી માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ બહુવિધ-શરીર વિક્ષેપ સિદ્ધાંતના આધારે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે. ગણતરી કરેલ સહસંબંધ ઊર્જા ક્વોન્ટમ મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશનના પરિણામો સાથે 2 મિલી-હાર્ટ્રીની અંદર સંમત થાય છે. HEG ની ઊર્જા માટે ચોક્કસ ક્વોન્ટમ મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન ઘનતાના કેટલાક મધ્યવર્તી મૂલ્યો માટે કરવામાં આવ્યા છે, જે બદલામાં સહસંબંધ ઊર્જા ઘનતાના સચોટ મૂલ્યો પૂરા પાડે છે. સ્પિન ધ્રુવીકરણ સ્પિન-ધ્રુવીકૃત પ્રણાલીઓમાં ઘનતા વિધેયોનું વિસ્તરણ વિનિમય માટે સીધું છે, જ્યાં ચોક્કસ સ્પિન-સ્કેલિંગ જાણીતું છે, પરંતુ સહસંબંધ માટે વધુ અંદાજોનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. ડી. એફ. ટી. માં સ્પિન ધ્રુવીકૃત પ્રણાલી બે સ્પિન-ઘનતાનો ઉપયોગ કરે છે, ρα અને ρβ સાથે ρ = ρα + ρβ, અને સ્થાનિક-સ્પિન-ઘનતા અંદાજ (એલ. એસ. ડી. એ.) નું સ્વરૂપ છે વિનિમય ઊર્જા માટે, ચોક્કસ પરિણામ (માત્ર સ્થાનિક ઘનતા અંદાજો માટે નહીં) સ્પિન-અનપોલરાઇઝ્ડ કાર્યાત્મક દ્રષ્ટિએ જાણીતું છેઃ સહસંબંધ ઊર્જા ઘનતાની સ્પિન-નિર્ભરતાને સંબંધિત સ્પિન-ધ્રુવીકરણ રજૂ કરીને સંપર્ક કરવામાં આવે છેઃ સમાન અને સ્પિન ઘનતા સાથે ડાયમેગ્નેટિક સ્પિન-અનપોલરાઇઝ્ડ પરિસ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યારે એક સ્પિન ઘનતા અદૃશ્ય થઈ જાય છે તે ફેરોમેગ્નેટિક પરિસ્થિતિને અનુરૂપ છે. કુલ ઘનતા અને સંબંધિત ધ્રુવીકરણના આપેલ મૂલ્યો માટે સ્પિન સહસંબંધ ઊર્જા ઘનતા, εc (ρ, ς), આત્યંતિક મૂલ્યોને ઇન્ટરપોલેટ કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે. એલડીએ સહસંબંધ કાર્યો સાથે જોડાણમાં કેટલાક સ્વરૂપો વિકસાવવામાં આવ્યા છે. વિનિમય-સહસંબંધ સંભવિત સ્થાનિક ઘનતા અંદાજ માટે વિનિમય-સહસંબંધ ઊર્જાને અનુરૂપ વિનિમય-સહસંબંધ સંભવિતતા દ્વારા આપવામાં આવે છે મર્યાદિત પ્રણાલીઓમાં, એલડીએ સંભવિત ઘાતાંકીય સ્વરૂપ સાથે એસિમ્પ્ટોટિક રીતે ક્ષીણ થાય છે. આ પરિણામ ભૂલભરેલું છે; સાચું વિનિમય-સહસંબંધ સંભવિત કૂલમ્બિક રીતે ઘણી ધીમી ગતિએ ક્ષીણ થાય છે. કૃત્રિમ રીતે ઝડપી સડો પોતે કોહ્ન-શામ ભ્રમણકક્ષાઓની સંખ્યામાં પ્રગટ થાય છે જે સંભવિત રીતે બાંધી શકે છે (એટલે કે, કેટલા ભ્રમણકક્ષાઓ શૂન્ય કરતા ઓછી ઊર્જા ધરાવે છે). એલ. ડી. એ. ક્ષમતા રાયડબર્ગ શ્રેણીને ટેકો આપી શકતી નથી અને જે સ્થિતિઓ તે બાંધે છે તેમાં ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે. આના પરિણામે સૌથી વધુ ઓક્યુપાઇડ મોલેક્યુલર ઓર્બિટલ (HOMO) ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે, જેથી કૂપમન્સના પ્રમેય પર આધારિત આયનીકરણ ક્ષમતા માટેની કોઈપણ આગાહીઓ નબળી હોય છે. વધુમાં, એલડીએ એનાયન જેવી ઇલેક્ટ્રોન-સમૃદ્ધ પ્રજાતિઓનું નબળું વર્ણન પૂરું પાડે છે જ્યાં તે ઘણીવાર વધારાના ઇલેક્ટ્રોનને બાંધવામાં અસમર્થ હોય છે, ભૂલથી પ્રજાતિઓને અસ્થિર હોવાનું આગાહી કરે છે. સ્પિન ધ્રુવીકરણના કિસ્સામાં, વિનિમય-સહસંબંધ ક્ષમતા સ્પિન સૂચકાંકો પ્રાપ્ત કરે છે. જો કે, જો કોઈ માત્ર વિનિમય-સહસંબંધના વિનિમય ભાગને ધ્યાનમાં લે છે, તો તે સ્પિન સૂચકાંકોમાં વિકર્ણ ક્ષમતા મેળવે છેઃ સંદર્ભો ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંત