Köthe conjecture
ગણિતમાં, કોથે અનુમાન એ રીંગ થિયરીમાં એક ખુલ્લી સમસ્યા છે. તે વિવિધ રીતે ઘડવામાં આવે છે. ધારો કે R એક વીંટી છે. અનુમાન વ્યક્ત કરવાની એક રીત એ છે કે જો R પાસે {0} સિવાય કોઈ શૂન્ય આદર્શ ન હોય, તો તેને {0} સિવાય કોઈ શૂન્ય એક તરફી આદર્શ ન હોય. આ પ્રશ્ન 1930માં ગોટફ્રાઇડ કોથે (1905-1989) દ્વારા પૂછવામાં આવ્યો હતો. બહુપદી ઓળખ રિંગ્સ અને જમણી નોથેરિયન રિંગ્સ જેવા રિંગ્સના વિવિધ વર્ગો માટે કોથે અનુમાન સાચું હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે, પરંતુ સામાન્ય ઉકેલ પ્રપંચી રહે છે. સમતુલ્ય ફોર્મ્યુલેશન અનુમાનમાં ઘણા જુદા જુદા ફોર્મ્યુલેશન હોય છેઃ (કોથે અનુમાન) કોઈપણ રિંગમાં, બે શૂન્ય ડાબા આદર્શોનો સરવાળો શૂન્ય હોય છે. કોઈપણ રિંગમાં, બે એકતરફી શૂન્ય આદર્શોનો સરવાળો શૂન્ય હોય છે. કોઈપણ રિંગમાં, રિંગનો દરેક શૂન્ય ડાબો અથવા જમણો આદર્શ રિંગના ઉપલા શૂન્ય રેડિકલમાં સમાયેલો હોય છે. કોઈપણ રિંગ R માટે અને R ના કોઈપણ શૂન્ય આદર્શ J માટે, મેટ્રિક્સ આદર્શ Mn (J) એ દરેક n માટે Mn (R) નો શૂન્ય આદર્શ છે. કોઈપણ રિંગ R માટે અને R ના કોઈપણ શૂન્ય આદર્શ J માટે, મેટ્રિક્સ આદર્શ M2 (J) એ M2 (R) નો શૂન્ય આદર્શ છે. કોઈપણ વીંટી R માટે, Mn (R) નું ઉપલા નિલ્રાડિકલ એ દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક n માટે R ના ઉપલા નિલ્રાડિકલમાંથી એન્ટ્રીઓ સાથે મેટ્રિસીસનો સમૂહ છે. કોઈપણ વીંટી R માટે અને R ના કોઈપણ શૂન્ય આદર્શ J માટે, અનિશ્ચિત x અને J ના ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓ બહુપદી વીંટી R [x] ના જેકોબસન રેડિકલમાં આવેલી હોય છે. કોઈપણ રીંગ R માટે, R [x] ના જેકોબસન રેડિકલમાં R ના ઉપલા નિલ્રાડિકલમાંથી ગુણાંક ધરાવતી બહુપદીઓનો સમાવેશ થાય છે. સંબંધિત સમસ્યાઓ અમિત્સુર દ્વારા એક અનુમાન વાંચે છેઃ "જો J એ R માં શૂન્ય આદર્શ છે, તો J [x] એ બહુપદી રીંગ R [x] નો શૂન્ય આદર્શ છે". આ અનુમાન, જો સાચું હોય, તો ઉપરના સમકક્ષ નિવેદનો દ્વારા કોથે અનુમાન સાબિત થયું હોત, જો કે અગાટા સ્મોકટુનોવિઝ દ્વારા એક પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. કોથે અનુમાનનો અસ્વીકાર ન હોવા છતાં, આ શંકાને ઉત્તેજન આપે છે કે કોથે અનુમાન ખોટું હોઈ શકે છે. કેગલે સાબિત કર્યું કે એક વીંટી જે બે નિલપોટેન્ટ સબરિંગ્સનો સીધો સરવાળો છે તે પોતે નિલપોટેન્ટ છે. પ્રશ્ન ઊભો થયો કે "નિલપોટેન્ટ" ને "સ્થાનિક રીતે નિલપોટેન્ટ" અથવા "નિલ" સાથે બદલી શકાય કે નહીં. આંશિક પ્રગતિ ત્યારે થઈ જ્યારે કેલારેવે એક વીંટીનું ઉદાહરણ રજૂ કર્યું જે શૂન્ય નથી, પરંતુ સ્થાનિક રીતે બે નિલપોટેન્ટ વીંટીઓનો સીધો સરવાળો છે. આ દર્શાવે છે કે "નિલપોટેન્ટ" ની જગ્યાએ "સ્થાનિક રીતે નિલપોટેન્ટ" સાથે કેગેલના પ્રશ્નનો જવાબ નકારાત્મક છે. નિલપોટેન્ટ સબરીંગ અને નિલ સબરીંગનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્લેનેટમેથ પેજ સર્વે પેપર (પીડીએફ) રીંગ થિયરી અનુમાન ગણિતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ