Intersection theory
ગણિતમાં, આંતરછેદ સિદ્ધાંત એ બીજગણિત ભૂમિતિની મુખ્ય શાખાઓમાંની એક છે, જ્યાં તે આપેલ વિવિધતાના બે પેટા પ્રકારોના આંતરછેદ વિશે માહિતી આપે છે. જાતો માટેનો સિદ્ધાંત જૂનો છે, જે વણાંકો અને નાબૂદી સિદ્ધાંત પર બેઝઆઉટના પ્રમેયમાં મૂળ ધરાવે છે. બીજી બાજુ, ટોપોલોજીકલ સિદ્ધાંત વધુ ઝડપથી નિર્ણાયક સ્વરૂપમાં પહોંચ્યો. આંતરછેદ સિદ્ધાંતનો વિકાસ હજુ પણ ચાલુ છે. હાલમાં મુખ્ય ધ્યાન આના પર છેઃ વર્ચ્યુઅલ ફંડામેન્ટલ સાયકલ, ક્વોન્ટમ ઇન્ટરસેક્શન રિંગ્સ, ગ્રોમોવ-વિટન થિયરી અને સ્કીમ્સથી સ્ટેક્સ સુધી ઇન્ટરસેક્શન થિયરીના વિસ્તરણ. ટોપોલોજિકલ આંતરછેદન સ્વરૂપ પરિમાણના જોડાયેલા લક્ષી મેનીફોલ્ડ માટે આંતરછેદન સ્વરૂપને મૂળભૂત વર્ગ પર કપ ઉત્પાદનના મૂલ્યાંકન દ્વારા-th કોહોમોલોજી જૂથ (જેને સામાન્ય રીતે 'મધ્યમ પરિમાણ' કહેવામાં આવે છે) પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સમ (તેથી બમણી સમ) માટે એક સપ્રમાણ સ્વરૂપ છે, જે કિસ્સામાં ની સહીને સ્વરૂપની સહી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને વિષમ માટે વૈકલ્પિક સ્વરૂપ (તેથી એકલ રીતે સમ છે). આને સમાનરૂપે ε-સમમિત સ્વરૂપો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જ્યાં અનુક્રમે સમમિત અને વક્ર-સમમિત સ્વરૂપો માટે. કેટલાક સંજોગોમાં આ સ્વરૂપને-ચતુષ્કોણીય સ્વરૂપમાં સુધારવું શક્ય છે, જોકે આ માટે સ્પર્શક બંડલની રચના જેવી વધારાની માહિતીની જરૂર પડે છે. ઓરિએન્ટેબિલિટીની સ્થિતિને છોડી દેવી અને તેના બદલે ગુણાંક સાથે કામ કરવું શક્ય છે. આ સ્વરૂપો મહત્વપૂર્ણ ટોપોલોજીકલ અપરિવર્તનશીલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, માઈકલ ફ્રીડમેનનો એક સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સરળ રીતે જોડાયેલા કોમ્પેક્ટ 4-મેનિફોલ્ડ્સ (લગભગ) હોમોમોર્ફિઝમ સુધીના તેમના આંતરછેદ સ્વરૂપો દ્વારા નક્કી થાય છે. પોઇનકેરે દ્વૈતતા દ્વારા, તે તારણ આપે છે કે આને ભૌમિતિક રીતે વિચારવાનો એક માર્ગ છે. જો શક્ય હોય તો, અને ના પોઇનકેરે ડ્યૂઅલ માટે પ્રતિનિધિ-પરિમાણીય સબમેનિફોલ્ડ્સ પસંદ કરો. પછી અને ની લક્ષી આંતરછેદ સંખ્યા છે, જે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે પરિમાણો અને કુલ પરિમાણોનો સરવાળો સામાન્ય રીતે અલગ બિંદુઓ પર છેદે છે. આ પરિભાષા આંતરછેદના સ્વરૂપને સમજાવે છે. બીજગણિત ભૂમિતિમાં આંતરછેદન સિદ્ધાંત વિલિયમ ફુલ્ટન આંતરછેદન સિદ્ધાંત (1984) માં લખે છે. જો અને તે બિન-એકાત્મક વિવિધતાની પેટા વિવિધતાઓ હોય, તો આંતરછેદન ઉત્પાદન બીજગણિત ચક્રોનો સમકક્ષ વર્ગ હોવો જોઈએ જે કેવી રીતે સ્થિત છે અને કેવી રીતે સ્થિત છે તેની ભૂમિતિ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. બે આત્યંતિક કિસ્સાઓ સૌથી વધુ પરિચિત છે. જો આંતરછેદ યોગ્ય હોય, એટલે કે. પછી ગુણાંક અને આંતરછેદના ગુણાકાર સાથેના ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકોનું રેખીય સંયોજન છે. બીજી ચરમસીમાએ, જો બિન-એકલ ઉપ-વિવિધતા હોય, તો સ્વ-આંતરછેદન સૂત્ર કહે છે કે તે અંદરના સામાન્ય બંડલના ટોચના ચેરન વર્ગ દ્વારા રજૂ થાય છે. વ્યાખ્યા આપવા માટે, સામાન્ય કિસ્સામાં, આંતરછેદના ગુણાકારની એન્ડ્રે વેઇલના 1946 ના પુસ્તક ફાઉન્ડેશન્સ ઓફ અલજેબ્રિક જીઓમેટ્રીની મુખ્ય ચિંતા હતી. બી. એલ. વાન ડેર વેર્ડેનના 1920 ના દાયકામાં કામ પહેલાથી જ આ પ્રશ્નને સંબોધિત કરી ચૂક્યું હતું; બીજગણિત ભૂમિતિના ઇટાલિયન શાળામાં વિચારો જાણીતા હતા, પરંતુ પાયાના પ્રશ્નોને સમાન ભાવનાથી સંબોધવામાં આવતા ન હતા. ગતિશીલ ચક્ર એ બીજગણિત ચક્રને આંતરછેદ કરવાની સારી રીતે કામ કરતી મશીનરી છે અને તેમાં પ્રશ્નમાં રહેલા ચક્રના માત્ર સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક આંતરછેદને લેવા કરતાં વધુની જરૂર પડે છે. જો બે ચક્ર "સારી સ્થિતિમાં" હોય તો સૂચિત આંતરછેદ ઉત્પાદનમાં બે પેટા પ્રકારોના સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક આંતરછેદનનો સમાવેશ થવો જોઈએ. જો કે ચક્ર ખરાબ સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે, દા. ત. સમતલમાં બે સમાંતર રેખાઓ, અથવા એક રેખા ધરાવતું સમતલ (3-જગ્યામાં છેદે છે). બંને કિસ્સાઓમાં આંતરછેદ એક બિંદુ હોવું જોઈએ, કારણ કે, ફરીથી, જો એક ચક્ર ખસેડવામાં આવે, તો આ આંતરછેદ હશે. બે ચક્રોનું આંતરછેદ અને તેને યોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો (સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક) આંતરછેદનું કોડિમેન્શન અનુક્રમે અને એટલે કે કોડિમેન્શન્સનો સરવાળો હોય. "અપેક્ષિત" મૂલ્ય. તેથી, બીજગણિત ચક્રો પર યોગ્ય સમકક્ષ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને ચક્રોને ખસેડવાની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે. સમાનતા એટલી વ્યાપક હોવી જોઈએ કે કોઈ પણ બે ચક્ર આપવામાં આવે અને, ત્યાં સમકક્ષ ચક્ર હોય અને જેમ કે આંતરછેદ યોગ્ય હોય. અલબત્ત, બીજી બાજુ, બીજા સમકક્ષ માટે અને, તેની સમકક્ષ હોવું જરૂરી છે. આંતરછેદ સિદ્ધાંતના હેતુઓ માટે, તર્કસંગત સમાનતા સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. ટૂંકમાં, વિવિધતા પર દ્વિ-પરિમાણીય ચક્ર તર્કસંગત રીતે સમકક્ષ હોય છે જો-પરિમાણીય ઉપ-વિવિધતા પર તર્કસંગત કાર્ય હોય, એટલે કે. કાર્ય ક્ષેત્રનું એક તત્વ અથવા સમકક્ષ કાર્ય, જેમ કે, જ્યાં ગુણાકાર સાથે ગણવામાં આવે છે. તર્કસંગત સમાનતા ઉપર દર્શાવેલ જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરે છે. આંતરછેદના ગુણાકાર ચક્રના આંતરછેદના ગુણાકારની વ્યાખ્યામાં માર્ગદર્શક સિદ્ધાંત ચોક્કસ અર્થમાં સાતત્ય છે. નીચેના પ્રાથમિક ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લોઃ પેરાબોલા અને અક્ષનું આંતરછેદ હોવું જોઈએ, કારણ કે જો એક ચક્ર ચાલે છે (હજુ સુધી અવ્યાખ્યાયિત અર્થમાં), તો ચોક્કસપણે બે આંતરછેદ બિંદુઓ છે જે જ્યારે ચક્ર દર્શાવેલ સ્થિતિ સુધી પહોંચે છે ત્યારે બંને ભેગા થાય છે. (ચિત્ર ગેરમાર્ગે દોરનારું છે કારણ કે પેરાબોલા અને રેખાના દેખીતી રીતે ખાલી આંતરછેદ ખાલી છે, કારણ કે માત્ર સમીકરણોના વાસ્તવિક ઉકેલો દર્શાવવામાં આવ્યા છે). આંતરછેદના ગુણાકારની પ્રથમ સંપૂર્ણ સંતોષકારક વ્યાખ્યા સેરે દ્વારા આપવામાં આવી હતીઃ આજુબાજુની વિવિધતા સરળ (અથવા તમામ સ્થાનિક વીંટીઓ નિયમિત) હોવી જોઈએ. આગળ ચાલો અને બે (ઈરીડ્યુસિબલ રિડ્યુસ્ડ ક્લોઝ્ડ) પેટા પ્રકારો, જેમ કે તેમનું આંતરછેદ યોગ્ય છે. રચના સ્થાનિક છે, તેથી જાતોને બે આદર્શો દ્વારા અને ની સંકલન રિંગમાં રજૂ કરી શકાય છે. ચાલો સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક આંતરછેદ અને તેના સામાન્ય બિંદુનો ઈરીડ્યુસિબલ ઘટક બનીએ. આંતરછેદના ઉત્પાદનમાં ગુણાકારને પેટા વિવિધતાઓને અનુરૂપ પરિબળ રિંગ્સના ટોર્સિયન જૂથોની સ્થાનિક રિંગ પરની લંબાઈ પર વૈકલ્પિક સરવાળા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ અભિવ્યક્તિને કેટલીકવાર સેરની ટોર-ફોર્મ્યુલા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ટિપ્પણીઓઃ પ્રથમ સારાંશ, ની લંબાઈ એ બહુવિધતાનો "નિષ્કપટ" અંદાજ છે; જો કે, સેરે બતાવે છે તેમ, તે પૂરતું નથી. સરવાળો મર્યાદિત છે, કારણ કે નિયમિત સ્થાનિક વીંટી મર્યાદિત ટોર-પરિમાણ ધરાવે છે. જો અને નું આંતરછેદ યોગ્ય ન હોય, તો ઉપરોક્ત ગુણાકાર શૂન્ય હશે. જો તે યોગ્ય છે, તો તે સખત હકારાત્મક છે. (બંને નિવેદનો વ્યાખ્યામાંથી સ્પષ્ટ નથી). વર્ણપટ અનુક્રમ દલીલનો ઉપયોગ કરીને, તે બતાવી શકાય છે. ચાઉ રિંગ એ બીજગણિત ચક્ર મોડ્યુલો તર્કસંગત સમાનતાનું જૂથ છે જે નીચે આપેલા પરિવર્તનીય આંતરછેદના ઉત્પાદન સાથે જોડાય છેઃ જ્યારે પણ V અને W વિપરીત રીતે મળે છે, ત્યારે સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક આંતરછેદનું ઇરેડ્યુસિબલ ઘટકોમાં વિઘટન ક્યાં થાય છે. સ્વ-આંતરછેદને બે પેટા જાતો આપવામાં આવી છે અને, કોઈ તેમનું આંતરછેદ લઈ શકે છે, પરંતુ તે વધુ સૂક્ષ્મ હોવા છતાં, એક જ પેટા-વિવિધતાના સ્વ-આંતરછેદને વ્યાખ્યાયિત કરવું પણ શક્ય છે. દાખલા તરીકે, સપાટી પરના વળાંકને જોતાં, તેની પોતાની સાથે (સમૂહો તરીકે) તેનું આંતરછેદ પોતે જ છેઃ આ સ્પષ્ટ રીતે સાચું છે, પરંતુ બીજી બાજુ અસંતોષકારક છેઃ સપાટી પરના કોઈપણ બે અલગ વળાંકોને જોતાં (જેમાં કોઈ ઘટક સામાન્ય નથી), તેઓ બિંદુઓના અમુક સમૂહમાં છેદે છે, જેને દાખલા તરીકે કોઈ ગણતરી કરી શકે છે, આંતરછેદ સંખ્યા મેળવી શકે છે, અને આપણે આપેલ વળાંક માટે પણ આવું જ કરવા માંગીએ છીએઃ સામ્યતા એ છે કે અલગ વળાંકને છેદેવું એ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા જેવું છેઃ, જ્યારે સ્વ-છેદન એ એક સંખ્યાને ચોરસ કરવા જેવું છેઃ ઔપચારિક રીતે, સામ્યતાને સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ (ગુણાકાર) અને દ્વિઘાત સ્વરૂપ (વર્ગાકાર) તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. આનો ભૌમિતિક ઉકેલ એ છે કે વળાંકને તેની સાથે નહીં, પરંતુ તેના સહેજ આગળ ધપાયેલા સ્વરૂપ સાથે છેદે છે. સમતલમાં, આનો અર્થ એ છે કે વળાંકને કોઈક દિશામાં અનુવાદિત કરવો, પરંતુ સામાન્ય રીતે એક વળાંક લેવાની વાત કરે છે જે રેખીય રીતે સમકક્ષ હોય છે, અને આંતરછેદને ગણતરી કરે છે, આમ એક આંતરછેદ સંખ્યા પ્રાપ્ત કરે છે, જે સૂચવવામાં આવે છે. નોંધ લો કે અલગ વળાંકો અને આંતરછેદના વાસ્તવિક બિંદુઓથી વિપરીત, વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતા નથી, કારણ કે તેઓ પસંદગી પર આધાર રાખે છે, પરંતુ સ્વ-આંતરછેદના બિંદુઓને સામાન્ય બિંદુઓ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જ્યાં. વધુ યોગ્ય રીતે, સ્વ-છેદન બિંદુ એ સામાન્ય બિંદુ છે, જે ગુણાકાર સાથે લેવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, કોઈ બીજગણિત રીતે આ સમસ્યાને "હલ" કરી શકે છે (અથવા પ્રેરિત કરી શકે છે) અને તેના વર્ગને જોઈને-આ બંને સંખ્યા આપે છે, અને ભૌમિતિક અર્થઘટનનો પ્રશ્ન ઉઠાવે છે. નોંધ લો કે કોહોમોલોજી વર્ગોમાં પસાર થવું એ રેખીય પ્રણાલી દ્વારા વળાંકને બદલવા જેવું છે. નોંધ લો કે સ્વ-છેદન સંખ્યા નકારાત્મક હોઈ શકે છે, જેમ કે નીચેનું ઉદાહરણ સમજાવે છે. ઉદાહરણો પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં એક રેખાને ધ્યાનમાં લોઃ તેમાં સ્વ-આંતરછેદ નંબર 1 હોય છે કારણ કે અન્ય તમામ રેખાઓ તેને એકવાર પાર કરે છેઃ તેથી કોઈ વ્યક્તિ તેની તરફ અને (કોઈપણ પસંદગી માટે) આગળ ધપાવી શકે છે. આંતરછેદના સ્વરૂપોની દ્રષ્ટિએ, આપણે કહીએ છીએ કે સમતલ એક પ્રકારનો હોય છે (ત્યાં રેખાઓનો માત્ર એક જ વર્ગ હોય છે, અને તે બધા એકબીજા સાથે છેદે છે). નોંધ લો કે એફાઇન પ્લેન પર, કોઈ સમાંતર રેખા તરફ આગળ વધી શકે છે, તેથી (ભૌમિતિક રીતે વિચારીને) આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યા પુશ-ઓફની પસંદગી પર આધારિત છે. એક કહે છે કે "એફાઇન પ્લેનમાં સારો આંતરછેદ સિદ્ધાંત નથી", અને બિન-પ્રોજેક્ટિવ જાતો પર આંતરછેદ સિદ્ધાંત વધુ મુશ્કેલ છે. a પરની રેખા (જેને નોન-સિંગ્યુલર ક્વાડ્રિક તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે) સ્વ-આંતરછેદ ધરાવે છે, કારણ કે રેખા પોતે જ ખસેડી શકાય છે. (તે એક નિયંત્રિત સપાટી છે.) આંતરછેદના સ્વરૂપોની દ્રષ્ટિએ, આપણે કહીએ છીએ કે તેનો એક પ્રકાર છે-રેખાઓના બે મૂળભૂત વર્ગો છે, જે એકબીજાને એક બિંદુ () માં છેદે છે, પરંતુ તેમાં શૂન્ય સ્વ-છેદન (ના અથવા શરતો) હોય છે. સ્વ-છેદન સંખ્યાઓનું મુખ્ય ઉદાહરણ એ બ્લો-અપના અસાધારણ વળાંક છે, જે દ્વિવાર્ષિક ભૂમિતિમાં કેન્દ્રિય કામગીરી છે. બીજગણિત સપાટીને જોતાં, એક બિંદુ પર ઊડવાથી વળાંક બને છે. આ વળાંક તેની જાતિ દ્વારા ઓળખી શકાય છે, જે છે, અને તેની સ્વ-આંતરછેદ સંખ્યા, જે છે. (આ સ્પષ્ટ નથી. નોંધ લો કે ઉપસંહાર તરીકે, અને તે ન્યૂનતમ સપાટીઓ છે (તે બ્લો-અપ્સ નથી), કારણ કે તેમાં નકારાત્મક સ્વ-આંતરછેદ સાથે કોઈ વળાંક નથી. હકીકતમાં, કેસ્ટેલનુઓવોના સંકોચન પ્રમેયમાં ઊલટું જણાવવામાં આવ્યું છેઃ દરેક વળાંક એ અમુક ફટકોનો અપવાદરૂપ વળાંક છે (તેને "નીચે ઉડાડી શકાય છે"). ચાઉ જૂથ ગ્રોથેન્ડીક-રીમેન-રોક પ્રમેય પણ જુઓ આંકડાકીય ભૂમિતિ સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ