War of attrition (game)
રમત સિદ્ધાંતમાં, એટ્રિશનનું યુદ્ધ એ એક ગતિશીલ સમયની રમત છે જેમાં ખેલાડીઓ રોકવા માટે સમય પસંદ કરે છે, અને મૂળભૂત રીતે અન્ય ખેલાડીઓને પાછળ રાખીને વ્યૂહાત્મક લાભ અને સમય જતાં ખર્ચવામાં આવતા વાસ્તવિક ખર્ચનો વેપાર કરે છે. તેની ચોક્કસ વિરુદ્ધ પૂર્વ-મુક્તિ રમત છે, જેમાં ખેલાડીઓ રોકવા માટે સમય પસંદ કરે છે, અને મૂળભૂત રીતે અન્ય ખેલાડીઓથી વ્યૂહાત્મક ખર્ચ અને સમય જતાં વાસ્તવિક લાભનો વેપાર કરે છે. આ મોડેલ મૂળરૂપે જ્હોન મેનાર્ડ સ્મિથ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું; મિશ્ર ઉત્ક્રાંતિવાદી સ્થિર વ્યૂહરચના (ઇએસએસ) બિશપ એન્ડ કેનિંગ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવી હતી. એક ઉદાહરણ બીજી કિંમતની ઓલ-પે હરાજી છે, જેમાં ઇનામ સૌથી વધુ બોલી લગાવનાર ખેલાડીને જાય છે અને દરેક ખેલાડી ગુમાવનારની ઓછી બોલી ચૂકવે છે (તેને ઓલ-પે સીલ્ડ-બિડ સેકન્ડ-પ્રાઇસ હરાજી બનાવે છે). રમતની તપાસ એટ્રિશનનું યુદ્ધ કેવી રીતે કામ કરે છે તે જોવા માટે, તમામ પગારની હરાજીને ધ્યાનમાં લોઃ ધારો કે દરેક ખેલાડી એક વસ્તુ પર બોલી લગાવે છે, અને જે સૌથી વધુ બોલી લગાવે છે તે મૂલ્ય V નો સ્રોત જીતે છે. દરેક ખેલાડી તેની બોલી ચૂકવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો કોઈ ખેલાડી બી બોલી લગાવે છે, તો તેની ચૂકવણી-બી હોય છે જો તે હારે છે, અને વી-બી જો તે જીતે છે. છેવટે, ધારો કે જો બંને ખેલાડીઓ સમાન રકમ b ની બોલી લગાવે છે, તો તેઓ V ની કિંમતને વિભાજિત કરે છે, દરેકને V/2-b મળે છે. છેવટે, બિડ b ને સમય તરીકે વિચારો, અને આ એટ્રિશનનું યુદ્ધ બની જાય છે, કારણ કે ઊંચી બોલી મોંઘી હોય છે, પરંતુ ઊંચી બોલી ઇનામ જીતે છે. ખેલાડીઓ કોઈપણ સંખ્યામાં બોલી લગાવી શકે છે તે આધાર તમામ પગાર, સીલબંધ બોલી, બીજી કિંમતની હરાજીના વિશ્લેષણ માટે મહત્વપૂર્ણ છે. બોલી એ સંસાધનના મૂલ્ય કરતાં પણ વધી શકે છે કે જેના પર વિવાદ કરવામાં આવે છે. આ શરૂઆતમાં અતાર્કિક લાગે છે, કોઈ સંસાધન માટે તેના મૂલ્ય કરતાં વધુ ચૂકવણી કરવી દેખીતી રીતે મૂર્ખામીભર્યું છે; જો કે, યાદ રાખો કે દરેક બોલી લગાવનાર માત્ર ઓછી બોલી ચૂકવે છે. તેથી, સંસાધનના મૂલ્યની બરાબર અથવા તેનાથી ઓછી રકમને બદલે મહત્તમ શક્ય રકમની બોલી લગાવવી એ દરેક ખેલાડીના શ્રેષ્ઠ હિતમાં હોવાનું જણાય છે. જો કે, એક કેચ છે; જો બંને ખેલાડીઓ V કરતા વધુ બોલી લગાવે છે, તો ઊંચી બોલી લગાવનાર એટલો જીતતો નથી જેટલો ઓછો ગુમાવે છે. જે ખેલાડી ઓછી કિંમતની બોલી લગાવે છે તે b ગુમાવે છે અને જે વધુ બોલી લગાવે છે તે b-V ગુમાવે છે (જ્યાં, આ સ્થિતિમાં, b> V). આ પરિસ્થિતિને સામાન્ય રીતે પિર્રિક વિજય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. b> V/2 જેવી ટાઈ માટે, તેઓ બંને b-V/2 ગુમાવે છે. લ્યુસ અને રાઇફાએ પછીની પરિસ્થિતિને "વિનાશક પરિસ્થિતિ" તરીકે વર્ણવી હતી; બંને ખેલાડીઓ પીડાય છે, અને કોઈ વિજેતા નથી. આ સ્યુડો-મેટ્રિક્સમાંથી કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢી શકે છે કે બોલી લગાવવાનું કોઈ મૂલ્ય નથી જે તમામ કિસ્સાઓમાં ફાયદાકારક હોય, તેથી કોઈ પ્રબળ વ્યૂહરચના નથી. જો કે, શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં બહુવિધ અસમપ્રમાણતાવાળા નબળા નેશ ઇક્વિલિબ્રિયા છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ ખેલાડી કોઈપણ બોલી b ≤ V માટે પ્રતિબદ્ધ થઈ શકે છે. અન્ય ખેલાડીનો શ્રેષ્ઠ પ્રતિસાદ શૂન્ય બોલી લગાવવાનો હોય છે કારણ કે એવી કોઈ બોલી નથી કે જેની સાથે તેઓ ઇનામ જીતી શકે અને હકારાત્મક વળતર મેળવી શકે. હકારાત્મક બોલી સાથેનો ખેલાડી સંતુલનમાં કંઈપણ ચૂકવતો નથી. તેથી, તેમની પાસે ઓછી બોલી લગાવવા માટે કોઈ પ્રોત્સાહન નથી. આ સંતુલન સબગેમ સંપૂર્ણ છે. મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં સમપ્રમાણ સંતુલન પણ છે. સમમિતીય નાશ સંતુલન એટ્રિશનના યુદ્ધની અન્ય એક લોકપ્રિય રચના નીચે મુજબ છેઃ બે ખેલાડીઓ વિવાદમાં સામેલ હોય છે. દરેક ખેલાડી માટે ઑબ્જેક્ટનું મૂલ્ય છે. સમયને સતત ચલ તરીકે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે જે શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને અનિશ્ચિત સમય સુધી ચાલે છે. દરેક ખેલાડી નક્કી કરે છે કે બીજા ખેલાડીને ક્યારે વસ્તુ સ્વીકારવી. ટાઇના કિસ્સામાં, દરેક ખેલાડી ઉપયોગિતા મેળવે છે. સમય મૂલ્યવાન છે, દરેક ખેલાડી સમયના સમયગાળા દીઠ ઉપયોગિતાના એક એકમનો ઉપયોગ કરે છે. આ રચના થોડી વધુ જટિલ છે કારણ કે તે દરેક ખેલાડીને ઑબ્જેક્ટને અલગ મૂલ્ય સોંપવાની મંજૂરી આપે છે. અમે ધારીએ છીએ કે બંને ખેલાડીઓ અન્ય ખેલાડીનું મૂલ્યાંકન જાણે છે. આમ, આ રમત સંપૂર્ણ માહિતીની રમત છે. અનન્ય સપ્રમાણ નાશ સંતુલનને t માટે નીચેના સર્વાઇવલ ફંક્શન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ એક ખેલાડી i માટે મૂલ્ય, જેનો વિરોધી સમય t પર સંસાધનને મૂલ્ય આપે છે, તે સંભાવના છે કે t ≤ x. આ વ્યૂહરચના કોઈ પણ ખેલાડીની જીતની બાંયધરી આપતી નથી. તેના બદલે, તે શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના છે કારણ કે તમારો વિરોધી પણ તે જ સ્વરૂપની વ્યૂહરચના રમે છે. નોંધ લો કે જો, તેથી, નીચું મૂલ્ય ધરાવતો ખેલાડી ઉચ્ચ મૂલ્ય ધરાવતા ખેલાડી કરતાં વધુ સમય સુધી ટકી રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે નીચા મૂલ્યવાળા ખેલાડી પાસે યુદ્ધ જીતવાની સંભાવના વધારે હોય છે. નોંધ લો કે ત્યાં કોઈ x અસ્તિત્વમાં નથી કે જે સર્વાઇવલ ફંક્શન શૂન્ય બરાબર હોય. તેથી, બિડના વિતરણને સંપૂર્ણ ટેકો છે. વધુમાં, બંને ખેલાડીઓને શૂન્યની અપેક્ષિત ચૂકવણી મળે છે કારણ કે તેમની ચૂકવણી t = 0 પર શૂન્ય હોય છે અને તેમની અપેક્ષિત ચૂકવણી t ના દરેક મૂલ્ય પર સમાન હોવી જોઈએ. ગતિશીલ રચના અને ઉત્ક્રાંતિથી સ્થિર વ્યૂહરચના અનન્ય ઉત્ક્રાંતિથી સ્થિર વ્યૂહરચના સમપ્રમાણતાવાળા નાશ સંતુલન સાથે મેળ ખાય છે. આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે કોઈપણ ESS એ નાશ સંતુલન હોવું જોઈએ અને એ હકીકત કે કોઈ શુદ્ધ દ્રઢતા સમય ESS ન હોઈ શકે. કોઈ શુદ્ધ દ્રઢતા સમય એ ઇ. એસ. એસ. નથી તે ફક્ત x ની અનુમાનિત ઇ. એસ. એસ. બોલીને ધ્યાનમાં લઈને દર્શાવી શકાય છે, જેને x + ની બોલી દ્વારા હરાવવામાં આવશે. એવું પણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે જો વ્યક્તિઓ માત્ર શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓ જ રમી શકે, તો પણ તમામ વ્યક્તિઓના વ્યૂહરચના મૂલ્યની સમય સરેરાશ ચોક્કસપણે ગણતરી કરેલ ઇ. એસ. એસ. સાથે એકરૂપ થાય છે. આવી સ્થિતિમાં, સ્પર્ધક વ્યક્તિઓના ચક્રીય વર્તનનું અવલોકન કરી શકાય છે. ઇવોલ્યુશનરી ગેમ થિયરી બિશપ-કેનિંગ્સ થિયરમ રુબિનસ્ટીન સોદાબાજી મોડેલ હોક-ડવ ગેમ ડૉલર હરાજી એટ્રિશન વોરફેર સંદર્ભો બિન-સહકારી રમતો પણ જુઓ.