Plücker formula
ગણિતમાં, જુલિયસ પ્લકરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલું પ્લકર સૂત્ર એ સૂત્રોના પરિવારમાંથી એક છે, જે 1830ના દાયકામાં પ્લકર દ્વારા સૌપ્રથમ વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, જે બીજગણિત વળાંકના ચોક્કસ આંકડાકીય અપરિવર્તનને તેમના બેવડા વળાંકના અનુરૂપ અપરિવર્તન સાથે સંબંધિત કરે છે. જીનસ તરીકે ઓળખાતો અપરિવર્તનશીલ, જે વળાંક અને તેના બેવડા બંને માટે સામાન્ય છે, તે સમાન સૂત્રો દ્વારા અન્ય અપરિવર્તનશીલ સાથે જોડાયેલ છે. આ સૂત્રો, અને હકીકત એ છે કે દરેક અચળાંક હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ, તેમના સંભવિત મૂલ્યો પર એકદમ કડક મર્યાદાઓ મૂકે છે. પ્લકર અપરિવર્તનશીલ અને મૂળભૂત સમીકરણો આ સંદર્ભમાં એક વળાંકને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં બિન-ડિજનરેટ બીજગણિત સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સમતલમાં રેખાઓ દ્વિ પ્રોજેક્ટિવ સમતલમાં બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે અને આપેલ બીજગણિત વળાંક C ને સ્પર્શરેખા રેખાઓ બીજગણિત વળાંક C * માં બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે જેને દ્વિ વળાંક કહેવાય છે. પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન અને તેના ડ્યુઅલ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારમાં, C પરના બિંદુઓ સ્પર્શરેખા C * ને અનુરૂપ હોય છે, તેથી C * ના ડ્યુઅલને C સાથે ઓળખી શકાય છે. પ્લકર ફોર્મ્યુલાઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા પ્રથમ બે અચળાંકો એ વળાંક C ની ડિગ્રી d અને ડિગ્રી d * છે, જેને શાસ્ત્રીય રીતે C નો વર્ગ કહેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક રીતે, d એ આપેલ રેખા C ને યોગ્ય રીતે ગણવામાં આવતી ગુણાકાર સાથે છેદે છે. (આમાં અનંત પરના જટિલ બિંદુઓ અને બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે કારણ કે વળાંકને જટિલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના સબસેટ તરીકે લેવામાં આવે છે.) તેવી જ રીતે, d * એ C માટે સ્પર્શકની સંખ્યા છે જે સમતલ પર આપેલ બિંદુ દ્વારા રેખાઓ છે; તેથી ઉદાહરણ તરીકે શંકુ વિભાગમાં ડિગ્રી અને વર્ગ બંને 2 હોય છે. જો C પાસે કોઈ એકલતા ન હોય, તો પ્રથમ પ્લકર સમીકરણ જણાવે છે કે પરંતુ એકવચન વળાંક માટે આને સુધારવું આવશ્યક છે. C ના બેવડાં બિંદુઓમાંથી, δ એ સામાન્ય સંખ્યા છે, એટલે કે. જે અલગ સ્પર્શક ધરાવે છે (જેને ગાંઠો પણ કહેવામાં આવે છે) અથવા અલગ બિંદુઓ છે, અને κ એ સંખ્યા છે જે cusps છે, એટલે કે. જેમાં એક જ સ્પર્શક (સ્પિનોડ્સ) હોય છે. જો C માં ઉચ્ચ ક્રમની સિંગ્યુલારીટી હોય તો સિંગ્યુલારીટીના સ્વરૂપના વિશ્લેષણ અનુસાર આને બહુવિધ ડબલ પોઇન્ટ તરીકે ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સામાન્ય ત્રિગુણાંકને 3 દ્વિગુણાંક તરીકે ગણવામાં આવે છે. ફરીથી, આ ગણતરીઓમાં અનંત પરના જટિલ બિંદુઓ અને બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. સુધારેલ સ્વરૂપ પ્રથમ પ્લકર સમીકરણનું છે એ જ રીતે, δ * એ સામાન્ય બેવડાં બિંદુઓની સંખ્યા અને κ * એ C * ના કસ્પ્સની સંખ્યા છે. પછી બીજું પ્લકર સમીકરણ જણાવે છે કે C * ના સામાન્ય બેવડું બિંદુનું ભૌમિતિક અર્થઘટન એ એક રેખા છે જે બે બિંદુઓ (બેવડું સ્પર્શક) પર વળાંકને સ્પર્શક છે અને C * ના શિખરનું ભૌમિતિક અર્થઘટન એ વળાંકનું બિંદુ (સ્થિર સ્પર્શક) છે. દાખલા તરીકે, સ્મૂથ ક્યુબિકના કેસને ધ્યાનમાં લોઃ ઉપરનું સૂત્ર દર્શાવે છે કે તેમાં ઇન્ફ્લેક્શન છે. જો ઘન અધોગતિ પામે છે અને બેવડું બિંદુ મેળવે છે, તો પછી 6 બિંદુઓ એકવચન બિંદુ પર ભેગા થાય છે અને એકવચન વળાંક સાથે માત્ર 3 વળાંક રહે છે. જો ક્યુબિક અધોગતિ પામે છે અને કસ્પ મેળવે છે તો માત્ર એક જ વળાંક રહે છે. નોંધ લો કે પ્રથમ બે પ્લકર સમીકરણોની બેવડી આવૃત્તિઓ છેઃ અત્યાર સુધી આપવામાં આવેલા ચાર સમીકરણો હકીકતમાં આશ્રિત છે, તેથી બાકીના એકને મેળવવા માટે કોઈપણ ત્રણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તેમાંથી, છમાંથી કોઈપણ ત્રણ અપરિવર્તનશીલ, d, d *, δ, δ *, κ, κ * આપવામાં આવે તો, બાકીના ત્રણની ગણતરી કરી શકાય છે. છેવટે, C ની જાતિ, જેને શાસ્ત્રીય રીતે C ની ઉણપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેને આ બેવડા જથ્થા બરાબર છે અને તે હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. કુલ મળીને 7 અજ્ઞાતમાં ચાર સ્વતંત્ર સમીકરણો છે, અને તેમની સાથે આમાંથી કોઈપણ ત્રણ અચળાંકનો ઉપયોગ બાકીના ચારની ગણતરી કરવા માટે કરી શકાય છે. નોન-સિંગ્યુલર વળાંક એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ છે જ્યારે વળાંક C નોન-સિંગ્યુલર હોય, અથવા સમકક્ષ δ અને κ 0 હોય, તેથી બાકીના અચળાંકની ગણતરી માત્ર d ની દ્રષ્ટિએ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં પરિણામો આ પ્રમાણે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, નોન-સિંગ્યુલર ક્વાર્ટિક પ્લેન કર્વ જીનસ 3 નો હોય છે અને તેમાં 28 બિટાન્જેન્ટ્સ અને 24 પોઇન્ટ ઓફ ઇન્ફ્લેક્શન હોય છે. વળાંક પ્રકારો વળાંકને તેમના પ્લકર અપરિવર્તન અનુસાર પ્રકારોમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. પ્લકર સમીકરણો એ પ્રતિબંધ સાથે કે પ્લકર અપરિવર્તનશીલ તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ તે આપેલ ડિગ્રીના વળાંક માટે સંભવિત પ્રકારોની સંખ્યાને મોટા પ્રમાણમાં મર્યાદિત કરે છે. પ્રોજેક્ટિવ રીતે સમકક્ષ હોય તેવા વળાંક સમાન પ્રકારના હોય છે, જોકે સમાન પ્રકારના વળાંક સામાન્ય રીતે પ્રોજેક્ટિવ રીતે સમકક્ષ હોતા નથી. ડિગ્રી 2, શંકુ વિભાગોના વળાંક, d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0 દ્વારા આપવામાં આવેલ એક જ પ્રકાર ધરાવે છે. ડિગ્રી 3 ના વળાંક માટે ત્રણ સંભવિત પ્રકારો છે, જે આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ પ્રકારો (ii) અને (iii) ના વળાંક એ તર્કસંગત સમઘન છે અને તેને અનુક્રમે નોડલ અને કુસ્પિડલ કહેવામાં આવે છે. પ્રકાર (i) ના વળાંક એ બિન-કોણીય સમઘન (લંબગોળ વળાંક) છે. ડિગ્રી 4 ના વળાંક માટે 10 સંભવિત પ્રકારો છે, જે આના દ્વારા આપવામાં આવ્યા છેઃ સંદર્ભો સૅલ્મોન, જ્યોર્જ (1879) એ ટ્રીટાઇઝ ઓન ધ હાયર પ્લેન કર્વ્સ pp. 64ff. બીજગણિત વળાંકો