Duffing equation
ડફિંગ સમીકરણ (અથવા ડફિંગ ઓસિલેટર), જેને જ્યોર્જ ડફિંગ (1861-1944) ના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે બિન-રેખીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ ભીના અને સંચાલિત ઓસિલેટરના નમૂના બનાવવા માટે થાય છે. સમીકરણ એ રીતે આપવામાં આવે છે કે જ્યાં (અજ્ઞાત) કાર્ય એ સમયે વિસ્થાપન છે, તે સમયના સંદર્ભમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે. વેગ, અને તે એટલે કે બીજો સમય-વ્યુત્પન્ન છે. ત્વરણ. સંખ્યાઓ અને અચળાંકો આપવામાં આવે છે. આ સમીકરણ સરળ હાર્મોનિક ગતિ (જે કેસને અનુરૂપ હોય છે) કરતાં વધુ જટિલ ક્ષમતા સાથે ભીના ઓસિલેટરની ગતિનું વર્ણન કરે છે; ભૌતિક દ્રષ્ટિએ, તે મોડેલ બનાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક સ્થિતિસ્થાપક લોલક કે જેની વસંતની કઠોરતા હૂકના કાયદાનું બરાબર પાલન કરતી નથી. ડફિંગ સમીકરણ એ ગતિશીલ પ્રણાલીનું ઉદાહરણ છે જે અસ્તવ્યસ્ત વર્તન દર્શાવે છે. તદુપરાંત, ડફિંગ સિસ્ટમ આવર્તન પ્રતિક્રિયામાં જમ્પ રેઝોનન્સની ઘટના રજૂ કરે છે જે આવર્તન હિસ્ટ્રેસીસ વર્તનનો એક પ્રકાર છે. પરિમાણો ઉપરોક્ત સમીકરણના પરિમાણો આ પ્રમાણે છેઃ ભીનાશના પ્રમાણને નિયંત્રિત કરે છે, રેખીય જડતાને નિયંત્રિત કરે છે, પુનઃસ્થાપિત બળમાં બિન-રેખીયતાના પ્રમાણને નિયંત્રિત કરે છે; જો ડફિંગ સમીકરણ ભીના અને સંચાલિત સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું વર્ણન કરે છે, તો તે સામયિક પ્રેરક બળનું કંપનવિસ્તાર છે; જો સિસ્ટમ ચાલક બળ વિના હોય, અને સામયિક ચાલક બળની કોણીય આવર્તન હોય. ડફિંગ સમીકરણને બિનરેખીય સ્પ્રિંગ અને રેખીય ડેમ્પર સાથે જોડાયેલા દળના ઓસિલેશનનું વર્ણન કરવા તરીકે જોઈ શકાય છે. બિનરેખીય વસંત દ્વારા પ્રદાન કરાયેલ પુનઃસ્થાપન બળ પછી ક્યારે અને વસંતને સખ્તાઇ વસંત કહેવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, કારણ કે તે એક નરમ વસંત છે (હજુ પણ સાથે). પરિણામે, સખ્તાઇ અને નરમ પાડવાના વિશેષણોનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ડફિંગ સમીકરણના સંદર્ભમાં થાય છે, જે (અને) ના મૂલ્યો પર આધારિત છે. ડફિંગ સમીકરણમાં પરિમાણોની સંખ્યાને સ્કેલિંગ દ્વારા બે ઘટાડી શકાય છે (બકિંગહામ π પ્રમેય અનુસાર), દા. ત. પ્રવાસ અને સમયને આ રીતે માપી શકાય છેઃ અને એમ ધારીને કે તે હકારાત્મક છે (પરિમાણોની વિવિધ શ્રેણીઓ માટે અથવા અભ્યાસ કરવામાં આવેલી સમસ્યામાં અલગ ભાર માટે અન્ય માપણીઓ શક્ય છે). પછીઃ ક્યાં અને બિંદુઓ સંદર્ભમાં તફાવત સૂચવે છે આ દર્શાવે છે કે બળજબરીથી અને ભીના ડફિંગ સમીકરણના ઉકેલોને ત્રણ પરિમાણો (,, અને) અને બે પ્રારંભિક શરતો (એટલે કે. માટે અને). ઉકેલની પદ્ધતિઓ સામાન્ય રીતે, ડફિંગ સમીકરણ ચોક્કસ પ્રતીકાત્મક ઉકેલ સ્વીકારતું નથી. જો કે, ઘણી અંદાજિત પદ્ધતિઓ સારી રીતે કામ કરે છેઃ ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ મનસ્વી ચોકસાઇ માટે ગતિનું સમીકરણ પ્રદાન કરી શકે છે. આ શબ્દ, જેને ડફિંગ શબ્દ પણ કહેવામાં આવે છે, તેને અંદાજિત રીતે નાનો ગણી શકાય અને સિસ્ટમને અવ્યવસ્થિત સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર તરીકે ગણવામાં આવે છે. ફ્રોબેનિયસ પદ્ધતિ એક જટિલ પરંતુ વ્યવહારુ ઉકેલ આપે છે. યુલરની પદ્ધતિ અને રંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ જેવી વિવિધ આંકડાકીય પદ્ધતિઓમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ડફિંગ સમીકરણના અંદાજિત ઉકેલો મેળવવા માટે પણ હોમોટૉપી વિશ્લેષણ પદ્ધતિ (એચએએમ) નો અહેવાલ આપવામાં આવ્યો છે, જે મજબૂત બિનરેખીયતા માટે પણ છે. અનડેમ્પ્ડ () અને અનડ્રાઇવન () ડફિંગ સમીકરણના વિશેષ કિસ્સામાં, જેકોબીના લંબગોળ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઉકેલ મેળવી શકાય છે. અનફોર્સ્ડ ઓસિલેટર માટે ઉકેલની સીમા અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેટર ગુણાકાર અનડેમ્પ્ડ અને અનફોર્સ્ડ ડફિંગ સમીકરણ, સાથે આપે છેઃ અચળાંક સાથે. તેનું મૂલ્ય પ્રારંભિક શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે અને H માં અવેજી દર્શાવે છે કે સિસ્ટમ હેમિલ્ટોનિયન છેઃ જ્યારે બંને અને હકારાત્મક હોય, ત્યારે ઉકેલ બંધાયેલો હોય છેઃ હેમિલ્ટોનિયન હકારાત્મક હોય છે. ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટર એ જ રીતે, ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટર ડેમ્પિંગ માટે લિયાપુનોવ ફંક્શન પદ્ધતિ દ્વારા વૈશ્વિક સ્તરે એકરૂપ થાય છે. ભીના ડફિંગ ઓસિલેટરને દબાણ કર્યા વિના તેના સ્થિર સંતુલન બિંદુ (ઓ) પર સમાપ્ત થશે. સંતુલન બિંદુઓ, સ્થિર અને અસ્થિર, પર હોય છે જો સ્થિર સંતુલન 'જો' પર હોય અને સ્થિર સંતુલન 'અને' આવર્તન પ્રતિસાદ 'પર હોય તો ઘન બિનરેખીયતા સાથે બળજબરીથી ડફિંગ ઓસિલેટરને નીચેના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ આ ઓસિલેટરનો આવર્તન પ્રતિસાદ સમીકરણના સ્થિર સ્થિતિ પ્રતિક્રિયાના કંપનવિસ્તારને વર્ણવે છે (એટલે કે) ઉત્તેજનાની આપેલ આવર્તન પર આવર્તન પ્રતિભાવ સાથે રેખીય ઓસિલેટર માટે પણ રેખીય હોય છે. જો કે, બિન-શૂન્ય ઘન ગુણાંક માટે, આવર્તન પ્રતિસાદ બિનરેખીય બની જાય છે. બિનરેખીયતાના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ડફિંગ ઓસિલેટર સખ્તાઇ, નરમ અથવા મિશ્ર સખતાઇ-નરમ આવર્તન પ્રતિસાદ બતાવી શકે છે. તેમ છતાં, હોમોટૉપી વિશ્લેષણ પદ્ધતિ અથવા હાર્મોનિક સંતુલનનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ નીચેના સ્વરૂપમાં આવર્તન પ્રતિક્રિયા સમીકરણ મેળવી શકે છેઃ ડફિંગ સમીકરણના પરિમાણો માટે, ઉપરોક્ત બીજગણિત સમીકરણ આપેલ ઉત્તેજના આવર્તન પર સ્થિર સ્થિતિ દોલન કંપનવિસ્તાર આપે છે. આવર્તન પ્રતિભાવ માટે ગ્રાફિકલી ઉકેલ આપણે સમતલમાં બે વળાંકના આંતરછેદ તરીકે ગ્રાફિકલી રીતે ઉકેલી શકીએ છીએઃ નિશ્ચિત માટે, બીજો વળાંક એ પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં નિશ્ચિત હાયપરબોલા છે. પ્રથમ વળાંક એ આકાર સાથે પેરાબોલા છે, અને સ્થાન પર ટોચ છે. જો આપણે તેને ઠીક કરીએ અને બદલીએ, તો પેરાબોલાની ટોચ રેખા સાથે આગળ વધે છે. ગ્રાફિકલી રીતે, પછી, આપણે જોઈએ છીએ કે જો મોટી હકારાત્મક સંખ્યા હોય, તો જેમ જેમ બદલાય છે તેમ, પેરાબોલા હાયપરબોલાને એક બિંદુ પર છેદે છે, પછી ત્રણ બિંદુઓ, પછી ફરીથી એક બિંદુ. એ જ રીતે જ્યારે મોટી નકારાત્મક સંખ્યા હોય ત્યારે આપણે કેસનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ. કૂદકો ડફિંગ સમીકરણમાં પરિમાણોની ચોક્કસ શ્રેણીઓ માટે, આવર્તન પ્રતિસાદ હવે દબાણ આવર્તનનું એક-મૂલ્યવાન કાર્ય ન હોઈ શકે સખ્તાઇ સ્પ્રિંગ ઓસિલેટર (અને પૂરતું મોટું હકારાત્મક) માટે આવર્તન પ્રતિસાદ ઉચ્ચ-આવર્તન બાજુ પર અને નરમ વસંત ઓસિલેટર (અને) માટે ઓછી-આવર્તન બાજુ પર ઓવરહેંગ્સ કરે છે. નીચલી ઓવરહેંજિંગ બાજુ અસ્થિર છે-એટલે કે. આવર્તન પ્રતિક્રિયાના આંકડામાં ડેશ-લાઇન ભાગો-અને સતત સમય માટે અનુભવી શકાતા નથી. પરિણામે, કૂદવાની ઘટના દેખાય છેઃ જ્યારે કોણીય આવર્તન ધીમે ધીમે વધે છે (અન્ય પરિમાણો નિશ્ચિત સાથે), ત્યારે પ્રતિક્રિયાનું કંપનવિસ્તાર અચાનક A થી ઘટીને B થઈ જાય છે, જો આવર્તન ધીમે ધીમે ઘટે છે, તો C પર કંપનવિસ્તાર D સુધી કૂદી જાય છે, ત્યારબાદ આવર્તન પ્રતિક્રિયાની ઉપરની શાખાને અનુસરે છે. જમ્પ્સ એ-બી અને સી-ડી એક સાથે નથી આવતા, તેથી સિસ્ટમ ફ્રીક્વન્સી સ્વીપની દિશાને આધારે હિસ્ટ્રેસીસ દર્શાવે છે. અંધાધૂંધીમાં સંક્રમણ ઉપરોક્ત વિશ્લેષણ ધારે છે કે બેઝ ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સ પ્રભુત્વ ધરાવે છે (હાર્મોનિક બેલેન્સ કરવા માટે જરૂરી), અને ઉચ્ચ ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સ નગણ્ય છે. જ્યારે બળ પૂરતા પ્રમાણમાં મજબૂત હોય ત્યારે આ ધારણા જાળવી રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે. ઉચ્ચ ક્રમના સુમેળની અવગણના કરી શકાતી નથી, અને ગતિશીલતા અસ્તવ્યસ્ત બની જાય છે. અંધાધૂંધીમાં વિવિધ સંભવિત સંક્રમણો છે, જે સામાન્ય રીતે ક્રમિક સમયગાળો બમણો કરીને થાય છે. ઉદાહરણો ડફિંગ સમીકરણની સમય શ્રેણી અને તબક્કાના ચિત્રોના કેટલાક લાક્ષણિક ઉદાહરણો, જે સમયગાળા-બમણા વિભાજન દ્વારા સબહાર્મોનિક્સનો દેખાવ દર્શાવે છે-તેમજ અસ્તવ્યસ્ત વર્તન-નીચેની આકૃતિઓમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. બળજબરીથી કંપનવિસ્તાર વધે છે અન્ય પરિમાણોના મૂલ્યો છેઃ અને પ્રારંભિક શરતો છે અને તબક્કાના ચિત્રોમાં લાલ બિંદુઓ અમુક સમયે હોય છે જે સમયગાળાના પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે સંદર્ભો સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ બાહ્ય કડીઓ ડફિંગ ઓસિલેટર ઓન સ્કોલરપીડિયા મેથવર્લ્ડ પેજ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અવ્યવસ્થિત નકશા બિનરેખીય પ્રણાલીઓ વીડિયો ક્લિપ્સ ધરાવતા લેખો