Generic point
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, બીજગણિત વિવિધતા X નો સામાન્ય બિંદુ P એ સામાન્ય સ્થિતિમાં એક બિંદુ છે, જેના પર તમામ સામાન્ય ગુણધર્મો સાચા હોય છે, એક સામાન્ય ગુણધર્મ એ ગુણધર્મ છે જે લગભગ દરેક બિંદુ માટે સાચો હોય છે. શાસ્ત્રીય બીજગણિત ભૂમિતિમાં, એફાઇન અથવા પ્રોજેક્ટિવ બીજગણિત વિવિધ પરિમાણ d નો સામાન્ય બિંદુ એ એવો બિંદુ છે કે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા પેદા થયેલ ક્ષેત્ર વિવિધતાના સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા પેદા થયેલ ક્ષેત્ર પર ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી d ધરાવે છે. યોજના સિદ્ધાંતમાં, અભિન્ન ક્ષેત્રના વર્ણપટમાં એક અનોખો સામાન્ય બિંદુ હોય છે, જે શૂન્ય આદર્શ છે. ઝારિસ્કી ટોપોલોજી માટે આ બિંદુને બંધ કરવું એ સમગ્ર વર્ણપટ હોવાથી, વ્યાખ્યાને સામાન્ય ટોપોલોજી સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે, જ્યાં ટોપોલોજિકલ જગ્યા X નો સામાન્ય બિંદુ એ એક બિંદુ છે જેનું બંધ X છે. વ્યાખ્યા અને પ્રેરણા ટોપોલોજિકલ અવકાશ X નો સામાન્ય બિંદુ એ એક બિંદુ P છે જેનું બંધ તમામ X છે, એટલે કે, એક બિંદુ જે X માં ગાઢ છે. આ પરિભાષા ઝારિસ્કી ટોપોલોજીના બીજગણિત સમૂહની પેટા વિવિધતાઓના સમૂહમાંથી ઉદ્ભવે છેઃ બીજગણિત સમૂહ ઈરીડ્યુસિબલ છે (એટલે કે, તે બે યોગ્ય બીજગણિત ઉપગણોનું જોડાણ નથી) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પેટા વિવિધતાઓની ટોપોલોજિકલ જગ્યા સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. ઉદાહરણો એકમાત્ર હૌસડોર્ફ જગ્યા કે જે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે તે સિંગલટન સમૂહ છે. કોઈપણ ઇન્ટિગ્રલ સ્કીમમાં (અનન્ય) સામાન્ય બિંદુ હોય છે; એફાઇન ઇન્ટિગ્રલ સ્કીમના કિસ્સામાં (એટલે કે, ઇન્ટિગ્રલ ડોમેનનું મુખ્ય વર્ણપટ) સામાન્ય બિંદુ એ મુખ્ય આદર્શ (0) સાથે સંકળાયેલ બિંદુ છે. ઇતિહાસ એન્ડ્રે વેઇલના ફાઉન્ડેશન ઓફ આલ્જેબ્રિક જીઓમેટ્રીમાં વિકસાવવામાં આવેલા પાયાના અભિગમમાં, સામાન્ય મુદ્દાઓએ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી હતી, પરંતુ તેને અલગ રીતે નિયંત્રિત કરવામાં આવ્યા હતા. K ક્ષેત્ર પર બીજગણિત વિવિધતા V માટે, V ના સામાન્ય બિંદુઓ એ V ના બિંદુઓનો એક સંપૂર્ણ વર્ગ હતો જે સાર્વત્રિક ડોમેન ω માં મૂલ્યો લે છે, જે K ધરાવતું બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર છે પણ તાજા અનિશ્ચિતતાનો અનંત પુરવઠો પણ છે. આ અભિગમ વી (કે-ઝારિસ્કી ટોપોલોજી, એટલે કે) ની ટોપોલોજી સાથે સીધો વ્યવહાર કરવાની કોઈ જરૂર વગર કામ કરતો હતો, કારણ કે વિશેષતાઓની ચર્ચા ક્ષેત્ર સ્તરે થઈ શકે છે (જેમ કે બીજગણિત ભૂમિતિના મૂલ્યાંકન સિદ્ધાંતના અભિગમમાં, જે 1930ના દાયકામાં લોકપ્રિય હતો). આ સમાન સામાન્ય બિંદુઓનો વિશાળ સંગ્રહ હોવાની કિંમત પર હતું. બીજા વિશ્વયુદ્ધ પછી સાઓ પાઉલો ખાતે વેઇલના સહયોગી ઓસ્કાર ઝરીસ્કીએ હંમેશા આગ્રહ રાખ્યો હતો કે સામાન્ય મુદ્દાઓ અનન્ય હોવા જોઈએ. (આને ટોપોલોજિસ્ટની શરતોમાં મૂકી શકાય છેઃ વેઇલનો વિચાર કોલ્મોગોરોવને જગ્યા આપવામાં નિષ્ફળ જાય છે અને ઝારિસ્કી કોલ્મોગોરોવના ભાગની દ્રષ્ટિએ વિચારે છે.) 1950ના દાયકાના ઝડપી પાયાના ફેરફારોમાં વેઇલનો અભિગમ અપ્રચલિત બની ગયો. યોજના સિદ્ધાંતમાં, જોકે, 1957 થી, સામાન્ય મુદ્દાઓ પાછા ફર્યા હતાઃ આ વખતે એ લા ઝારિસ્કી. ઉદાહરણ તરીકે R માટે એક સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન રિંગ, Spec (R) માં બે બિંદુઓ હોય છે, એક સામાન્ય બિંદુ (મુખ્ય આદર્શ {0} માંથી આવતા) અને એક બંધ બિંદુ અથવા વિશિષ્ટ મહત્તમ આદર્શમાંથી આવતા વિશેષ બિંદુ. મોર્ફિઝમ્સથી સ્પેક (આર) માટે, વિશેષ બિંદુની ઉપરનું ફાઇબર એ વિશેષ ફાઇબર છે, જે ઉદાહરણ તરીકે રિડક્શન મોડ્યુલો પી, મોનોડ્રોમી થિયરી અને અધોગતિ વિશેના અન્ય સિદ્ધાંતોમાં એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ છે. સમાન રીતે, સામાન્ય ફાઇબર એ સામાન્ય બિંદુથી ઉપરનું ફાઇબર છે. અધોગતિની ભૂમિતિ મોટે ભાગે સામાન્યથી વિશેષ તંતુઓ તરફના માર્ગ વિશે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો પરિમાણોની વિશેષતા બાબતોને કેવી રીતે અસર કરે છે. (સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકન રિંગ માટે પ્રશ્નમાં ટોપોલોજિકલ જગ્યા એ ટોપોલોજિસ્ટ્સની સિએર્પિન્સ્કી જગ્યા છે. અન્ય સ્થાનિક વીંટીઓમાં અનન્ય સામાન્ય અને વિશેષ બિંદુઓ હોય છે, પરંતુ વધુ જટિલ વર્ણપટ હોય છે, કારણ કે તે સામાન્ય પરિમાણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ હેતુઓ માટે સ્વતંત્ર મૂલ્યાંકનનો કેસ જટિલ એકમ ડિસ્ક જેવો જ છે.) સંદર્ભો બીજગણિત ભૂમિતિ સામાન્ય ટોપોલોજી