Fatou–Lebesgue theorem
ગણિતમાં, ફાતોઉ-લેબેસ્ગ્યુ પ્રમેય અપૂર્ણાંકની મર્યાદાના સંકલન (લેબસ્ગ્યુના અર્થમાં) ને લગતી અસમાનતાઓની સાંકળ સ્થાપિત કરે છે અને આ વિધેયોના સંકલનની નીચલી અને શ્રેષ્ઠ મર્યાદા સુધીની વિધેયોના ક્રમની શ્રેષ્ઠ મર્યાદા સ્થાપિત કરે છે. આ પ્રમેયને પિયરે ફાતોઉ અને હેનરી લિયોન લેબસેગ્યુના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે. જો કાર્યોનો ક્રમ બિંદુની દિશામાં એકરૂપ થાય છે, તો અસમાનતાઓ સમાનતામાં ફેરવાય છે અને પ્રમેય લેબસ્ગ્યુના પ્રભુત્વ ધરાવતા અભિસરણ પ્રમેયમાં ઘટાડો કરે છે. પ્રમેયનું નિવેદન ચાલો f1, f2,. માપની જગ્યા (S, β, μ) પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્યના માપી શકાય તેવા વિધેયોના ક્રમને સૂચવે છે. જો S પર કોઈ લેબસેગ્યુ-ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન g અસ્તિત્વમાં હોય, જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં ક્રમ પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ n માટે |fn | ≤ g, તો પછી તમામ fn તેમજ હલકી અને fn કરતા ઉપરની મર્યાદા ઇન્ટિગ્રેબલ છે અને અહીં હલકી અને fn કરતા ઉપરની મર્યાદાને પોઇન્ટવાઇઝ લેવામાં આવે છે. આ મર્યાદિત કાર્યોના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું સંકલન ઉપર g ના સંકલન દ્વારા બંધાયેલ છે. કારણ કે મધ્યમ અસમાનતા (વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમ માટે) હંમેશા સાચી હોય છે, તેથી અન્ય અસમાનતાઓની દિશાઓ યાદ રાખવી સરળ હોય છે. સાબિતી તમામ એફએન તેમજ નીચલી મર્યાદા અને એફએનની ઉપરની મર્યાદા માપી શકાય તેવી છે અને જી દ્વારા નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં પ્રભુત્વ ધરાવે છે, તેથી સંકલનક્ષમ છે. પ્રથમ અસમાનતા બિન-નકારાત્મક કાર્યો fn + g પર ફાતોઉના લેમ્માને લાગુ કરીને અને લેબસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલની રેખીયતાનો ઉપયોગ કરીને અનુસરે છે. છેલ્લી અસમાનતા વિપરીત ફાતોઉ લેમ્મા છે. કારણ કે લેબ્સગ્યુ ઇન્ટિગ્રલની એકવિધતા દ્વારા |fn | ની ઉપરની મર્યાદા પર પણ g પ્રભુત્વ ધરાવે છે. એ જ અંદાજો એફએનની ઉપરની મર્યાદા માટે છે. વિયેના યુનિવર્સિટીના ગેરાલ્ડ ટેશલ દ્વારા વાસ્તવિક અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં સંદર્ભો વિષયો. બાહ્ય કડીઓ વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો માપન સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો પુરાવા ધરાવતા લેખો