Tensor product of modules
ગણિતમાં, મોડ્યુલોની ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ એક રચના છે જે દ્વિરેખીય નકશા વિશે દલીલોને મંજૂરી આપે છે (દા. ત. ગુણાકાર) રેખીય નકશાની દ્રષ્ટિએ હાથ ધરવામાં આવશે. મોડ્યુલનું બાંધકામ વેક્ટર સ્પેસના ટેન્સર પ્રોડક્ટના નિર્માણ જેવું જ છે, પરંતુ ત્રીજા મોડ્યુલમાં પરિણમતા પરિવર્તનીય રિંગ પર મોડ્યુલોની જોડી માટે અને કોઈપણ રિંગ પર જમણા-મોડ્યુલ અને ડાબા-મોડ્યુલની જોડી માટે પણ કરી શકાય છે, પરિણામે એબેલિયન જૂથ બને છે. અમૂર્ત બીજગણિત, સમરૂપ બીજગણિત, બીજગણિત ટોપોલોજી, બીજગણિત ભૂમિતિ, સંચાલક બીજગણિત અને બિનપરિવર્તનશીલ ભૂમિતિના ક્ષેત્રોમાં ટેન્સર ઉત્પાદનો મહત્વપૂર્ણ છે. વેક્ટર જગ્યાઓના ટેન્સર પ્રોડક્ટનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ અમૂર્ત બીજગણિતમાં વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓ સુધી વિસ્તરે છે. બીજગણિત અને મોડ્યુલના ટેન્સર પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ સ્કેલર્સના વિસ્તરણ માટે થઈ શકે છે. પરિવર્તનીય રીંગ માટે, મોડ્યુલના ટેન્સર પ્રોડક્ટને મોડ્યુલના ટેન્સર બીજગણિતની રચના કરવા માટે પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે, જેનાથી મોડ્યુલમાં ગુણાકારને સાર્વત્રિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સંતુલિત ઉત્પાદન રિંગ R, જમણા R-મોડ્યુલ M, ડાબા R-મોડ્યુલ N, અને અબેલિયન જૂથ G માટે, નકશાને R-સંતુલિત, R-મધ્યમ-રેખીય અથવા R-સંતુલિત ઉત્પાદન કહેવામાં આવે છે જો બધા m માટે, m′ M માં, n, n′ N માં, અને r R માં નીચેની પકડઃ R થી G પરના આવા તમામ સંતુલિત ઉત્પાદનોનો સમૂહ આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે. જો φ, si સંતુલિત ઉત્પાદનો હોય, તો પછી દરેક કામગીરી અને-φ બિંદુ મુજબ વ્યાખ્યાયિત એક સંતુલિત ઉત્પાદન છે. આ સેટને અબેલિયન જૂથમાં ફેરવે છે. એમ અને એન ફિક્સ્ડ માટે, નકશો એ અબેલિયન જૂથોની શ્રેણીમાંથી પોતે જ એક ફંકટર છે. મોર્ફિઝમ ભાગ ફંક્શનમાં જૂથ હોમોમોર્ફિઝમનું મેપિંગ કરીને આપવામાં આવે છે, જે થી માં જાય છે. ટિપ્પણી ગુણધર્મો (Dl) અને (Dr) φની બાયએડિટીવિટી વ્યક્ત કરે છે, જેને φની વધારા પરની વિતરણશીલતા તરીકે ગણી શકાય. સંપત્તિ (A) φ ની કેટલીક સહયોગી સંપત્તિ જેવી લાગે છે. દરેક રીંગ R એ R-બાયમોડ્યુલ છે. તેથી R માં રિંગ ગુણાકાર એ R-સંતુલિત ઉત્પાદન છે. વ્યાખ્યા રિંગ આર માટે, જમણા આર-મોડ્યુલ એમ, ડાબા આર-મોડ્યુલ એન, આર પર ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ સંતુલિત પ્રોડક્ટ (ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ) સાથે મળીને એક અબેલિયન ગ્રુપ છે જે નીચેના અર્થમાં સાર્વત્રિક છેઃ દરેક અબેલિયન ગ્રુપ જી અને દરેક સંતુલિત પ્રોડક્ટ માટે એક અનન્ય ગ્રુપ હોમોમોર્ફિઝમ છે જેમ કે તમામ સાર્વત્રિક ગુણધર્મો સાથે, ઉપરોક્ત ગુણધર્મ એક અનન્ય આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી વિશિષ્ટ રીતે ટેન્સર પ્રોડક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ કોઈપણ અન્ય અબેલિયન ગ્રુપ અને સમાન ગુણધર્મો સાથે સંતુલિત પ્રોડક્ટ આઇસોમોર્ફિક હશે. ખરેખર, મેપિંગને કેનોનિકલ કહેવામાં આવે છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતેઃ ટેન્સર ઉત્પાદનનું કેનોનિકલ મેપિંગ (અથવા સંતુલિત ઉત્પાદન). વ્યાખ્યા અસ્તિત્વને સાબિત કરતી નથી; બાંધકામ માટે નીચે જુઓ. ટેન્સર પ્રોડક્ટને ફંકટર માટે પ્રતિનિધિત્વ કરતી વસ્તુ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે; સ્પષ્ટપણે, આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એક કુદરતી આઇસોમોર્ફિઝમ છેઃ ઉપર આપેલા સાર્વત્રિક મેપિંગ ગુણધર્મને જણાવવાની આ એક સંક્ષિપ્ત રીત છે. (જો પ્રાથમિક વ્યક્તિને આ કુદરતી સમરૂપતા આપવામાં આવે, તો પછી ઓળખ નકશો લઈને અને પછી મેપિંગ કરીને તેને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે.) તેવી જ રીતે, કુદરતી ઓળખને જોતાં, સૂત્ર દ્વારા પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે આ ટેન્સર-હોમ એડજંક્શન તરીકે ઓળખાય છે; આ પણ જુઓ. એમ માં દરેક x માટે, એન માં વાય, એક કેનોનિકલ નકશા હેઠળ (x, y) ની છબી માટે લખે છે. તેને ઘણીવાર શુદ્ધ ટેન્સર કહેવામાં આવે છે. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સાચો સંકેત x′Ry હશે પરંતુ R ને અહીં મૂકવો પરંપરાગત છે. પછી, વ્યાખ્યાથી તરત જ, ત્યાં સંબંધો છેઃ ટેન્સર પ્રોડક્ટના સાર્વત્રિક ગુણધર્મનું નીચેનું મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છેઃ પુરાવોઃ પ્રથમ નિવેદન માટે, L એ પ્રશ્નમાં રહેલા સ્વરૂપના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલું પેટાજૂથ છે, અને q એ ભાગાકારનો નકશો છે. આપણી પાસેઃ તેમજ છે. તેથી, સાર્વત્રિક ગુણધર્મના વિશિષ્ટતા ભાગ દ્વારા, q = 0. બીજું નિવેદન એ છે કે મોડ્યુલ હોમોમોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તેને મોડ્યુલના જનરેટિંગ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પૂરતું છે. ટેન્સર પ્રોડક્ટ્સના સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ મોડ્યુલોના ટેન્સર પ્રોડક્ટ શૂન્ય છે કે કેમ તે નક્કી કરવું વ્યવહારમાં, કેટલીકવાર તે બતાવવું વધુ મુશ્કેલ છે કે આર-મોડ્યુલોના ટેન્સર પ્રોડક્ટ 0 છે તે બતાવવા કરતાં બિન-શૂન્ય છે. સાર્વત્રિક ગુણધર્મ આને ચકાસવા માટે એક અનુકૂળ રીત આપે છે. ટેન્સર પ્રોડક્ટ બિન-શૂન્ય છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, કોઈ એબેલિયન જૂથ માટે આર-બિલિનીયર નકશો બનાવી શકે છે. આ કામ કરે છે કારણ કે જો, તો પછી. ઉદાહરણ તરીકે, તે જોવા માટે, બિન-શૂન્ય છે, અને લો. આ કહે છે કે જ્યાં સુધી બિન-શૂન્ય હોય ત્યાં સુધી શુદ્ધ ટેન્સર. સમકક્ષ મોડ્યુલો માટે દરખાસ્ત કહે છે કે દરેક વખતે સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સીધા જ બોલાવવાને બદલે ટેન્સર ઉત્પાદનોના સ્પષ્ટ ઘટકો સાથે કામ કરી શકાય છે. વ્યવહારમાં આ ખૂબ અનુકૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો R પરિવર્તનીય છે અને મોડ્યુલો પર R દ્વારા ડાબી અને જમણી ક્રિયાઓને સમકક્ષ માનવામાં આવે છે, તો પછી સ્વાભાવિક રીતે અગાઉના પ્રસ્તાવ દ્વારા સમગ્ર સુધી વિસ્તારીને R-સ્કેલર ગુણાકાર સાથે રજૂ કરી શકાય છે (સખત રીતે કહીએ તો, જે જરૂરી છે તે દ્વિમિતીય માળખું છે, વિનિમય નહીં; નીચેનો ફકરો જુઓ). આ આર-મોડ્યુલ માળખાથી સજ્જ, ઉપરોક્ત સમાન સાર્વત્રિક ગુણધર્મને સંતોષે છેઃ કોઈપણ આર-મોડ્યુલ જી માટે, એક કુદરતી આઇસોમોર્ફિઝમ છેઃ જો આર આવશ્યકપણે પરિવર્તનીય ન હોય પરંતુ જો એમ પાસે રિંગ એસ દ્વારા ડાબી ક્રિયા હોય (ઉદાહરણ તરીકે, આર), તો પછી ડાબી એસ-મોડ્યુલ રચના આપી શકાય છે, ઉપરની જેમ, સૂત્ર દ્વારા સમાનરૂપે, જો એન રિંગ એસ દ્વારા જમણી ક્રિયા ધરાવે છે, તો તે જમણી એસ-મોડ્યુલ બની જાય છે. રેખીય નકશાનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ અને બેઝ રિંગમાં ફેરફાર રિંગ આર અને ડાબા મોડ્યુલો પર જમણા મોડ્યુલોના રેખીય નકશાને જોતાં, ત્યાં એક અનન્ય જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ છે બાંધકામનું પરિણામ એ છે કે ટેન્સરિંગ એક ફંકટર છેઃ દરેક જમણા આર-મોડ્યુલ એમ ડાબી મોડ્યુલોની શ્રેણીમાંથી ફંકટરને અબેલિયન જૂથોની શ્રેણીમાં નક્કી કરે છે જે N ને અને મોડ્યુલ હોમોમોર્ફિઝમ f ને જૂથ હોમોમોર્ફિઝમ પર મોકલે છે. જો રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ હોય અને જો M એ જમણું S-મોડ્યુલ અને N એ ડાબી S-મોડ્યુલ હોય, તો ત્યાં કેનોનિકલ સર્જેક્ટિવ હોમોમોર્ફિઝમ છેઃ પ્રેરિત થાય છે. ખાસ કરીને, R ને આ રીતે લેવું એ દર્શાવે છે કે મોડ્યુલનું દરેક ટેન્સર ઉત્પાદન એ અબેલિયન જૂથોના ટેન્સર ઉત્પાદનનો ભાગ છે. કેટલાક મોડ્યુલો (આ વિભાગને અપડેટ કરવાની જરૂર છે. અત્યારે, વધુ સામાન્ય ચર્ચા માટે જુઓ.) સમાન પરિવર્તનીય રિંગ પર કોઈપણ સંખ્યામાં મોડ્યુલોના ટેન્સર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરવી શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ એ છે કે દરેક ત્રિકોણીય નકશો એક અનન્ય રેખીય નકશાને અનુરૂપ છે દ્વિસંગી ટેન્સર ઉત્પાદન સહયોગી છેઃ (M1′ M2) ′ M3 કુદરતી રીતે M1′ (M2′ M3) માટે સમરૂપ છે. ત્રિકોણીય નકશાના સાર્વત્રિક ગુણધર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ત્રણ મોડ્યુલનું ટેન્સર ઉત્પાદન આ બંને પુનરાવર્તિત ટેન્સર ઉત્પાદનો માટે સમરૂપ છે. સામાન્ય રિંગ્સ પરના ગુણધર્મ મોડ્યુલો ચાલો R1, R2, R3, R રિંગ્સ હોય, જરૂરી નથી કે તે પરિવર્તનીય હોય. R1-R2-બાયમોડ્યૂલ M12 અને ડાબી બાજુના R2-મોડ્યુલ M20 માટે, ડાબી બાજુનું R1-મોડ્યુલ છે. જમણા R2-મોડ્યુલ M02 અને R2-R3-બાયમોડલ M23 માટે, જમણા R3-મોડ્યુલ છે. (સહયોગીતા) જમણા R1-મોડ્યુલ M01, R1-R2-બાયમોડલ M12 અને ડાબા R2-મોડ્યુલ M20 માટે આપણી પાસે છેઃ R એ R-R-બાયમોડલ હોવાથી, આપણી પાસે રિંગ ગુણાકારને તેના કેનોનિકલ બેલેન્સ્ડ પ્રોડક્ટ તરીકે છે. પરિવર્તનીય રિંગ્સ પરના મોડ્યુલો ધારો કે R એ પરિવર્તનીય રિંગ છે, અને M, N અને P એ R-મોડ્યુલો છે. પ્રથમ ત્રણ ગુણધર્મો (વત્તા મોર્ફિઝમ્સ પરની ઓળખ) કહે છે કે આર-મોડ્યુલોની શ્રેણી, આર કમ્યુટેટિવ સાથે, સપ્રમાણ મોનોઇડલ શ્રેણી બનાવે છે. આમ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સમપ્રમાણતા હકીકતમાં, સમૂહ {1,., n} ના કોઈપણ ક્રમચય σ માટે, એક અનન્ય સમરૂપતા છેઃ સીધી રકમ પર વિતરણ હકીકતમાં, મનસ્વી કાર્ડિનાલિટીના અનુક્રમણિકા સમૂહ I માટે. મર્યાદિત ઉત્પાદનો મર્યાદિત સીધો સરવાળો સાથે સુસંગત હોવાથી, આ ઉદાહરણ છેઃ મર્યાદિત ઉત્પાદનો પર વિતરણ કોઈપણ મર્યાદિત રીતે ઘણા માટે, બેઝ એક્સ્ટેંશન જો S એ R-બીજગણિત છે, તો લેખન, cf. . એક પરિણામ છેઃ સ્થાનિકીકરણ પર વિતરણ R ના કોઈપણ ગુણાકાર બંધ સબસેટ S માટે,-મોડ્યુલ તરીકે. જો આર-મોડ્યુલોનો ચોક્કસ ક્રમ હોય, તો તે આર-મોડ્યુલોનો ચોક્કસ ક્રમ છે, જ્યાં ટેન્સર-હોમ સંબંધ હોય તો એક કેનોનિકલ આર-રેખીય નકશો છેઃ જે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે જો એમ અથવા પી એ ફાઇનાઈટલી જનરેટેડ પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ હોય (નોન-કોમ્યુટેટિવ કેસ માટે જુઓ); વધુ સામાન્ય રીતે, એક કેનોનિકલ આર-રેખીય નકશો છેઃ જે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે જો ક્યાં તો અથવા ફાઇનાઈટલી જનરેટેડ પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલોની જોડી હોય. વ્યવહારુ ઉદાહરણ આપવા માટે, ધારો કે એમ, એન બેઝ અને સાથે મુક્ત મોડ્યુલો છે. પછી M એ સીધો સરવાળો છે અને N માટે સમાન છે. વિતરણ ગુણધર્મ દ્વારા, એક પાસે છેઃ એટલે કે, ના R-આધાર છે. જો એમ મુક્ત ન હોય તો પણ, ટેન્સર ઉત્પાદનોની ગણતરી કરવા માટે M ની મફત રજૂઆતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ટેન્સર પ્રોડક્ટ, સામાન્ય રીતે, ઊલટું મર્યાદા સાથે મુસાફરી કરતું નથીઃ એક તરફ, (cf. "ઉદાહરણો"). બીજી બાજુ, p-adic પૂર્ણાંકોની વીંટી અને p-adic સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર ક્યાં છે. સમાન ભાવનામાં ઉદાહરણ માટે "પ્રોફાઇનાઇટ ઇન્ટિજર" પણ જુઓ. જો R પરિવર્તનીય ન હોય તો, ટેન્સર ઉત્પાદનોના ક્રમને નીચેની રીતે મહત્વ મળી શકે છેઃ આપણે ટેન્સર ઉત્પાદન રચવા માટે M ની જમણી ક્રિયા અને N ની ડાબી ક્રિયાનો "ઉપયોગ" કરીએ છીએ; ખાસ કરીને, તેને વ્યાખ્યાયિત પણ કરવામાં આવશે નહીં. જો M, N દ્વિ-મોડ્યુલો હોય, તો પછી M ની ડાબી ક્રિયા અને N ની જમણી ક્રિયાથી જમણી ક્રિયા આવે છે; તે ક્રિયાઓ M ની ડાબી અને જમણી ક્રિયાઓ જેવી જ હોવી જરૂરી નથી. એસોસિએટિવિટી સામાન્ય રીતે બિન-પરિવર્તનીય રિંગ્સ માટે વધુ હોય છેઃ જો M એ જમણું R-મોડ્યુલ હોય, તો Na (R, S)-મોડ્યુલ અને P એ ડાબી S-મોડ્યુલ હોય, તો પછી અબેલિયન જૂથ તરીકે. ટેન્સર ઉત્પાદનોના સંલગ્ન સંબંધનું સામાન્ય સ્વરૂપ કહે છેઃ જો R આવશ્યકપણે પરિવર્તનીય ન હોય, તો M એ જમણું R-મોડ્યુલ છે, N એ (R, S)-મોડ્યુલ છે, P એ જમણું S-મોડ્યુલ છે, પછી અબેલિયન જૂથ તરીકે જ્યાં અપૂર્ણાંક ક્ષેત્ર સાથે R-મોડ્યુલના ટેન્સર ઉત્પાદન દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો N એ M નું પેટા મોડ્યુલ છે જે એક વળાંક મોડ્યુલ છે તો પછી R-મોડ્યુલ તરીકે. અંદર, જો અને માત્ર જો અથવા. ખાસ કરીને જ્યાં. જ્યાં મુખ્ય આદર્શ પર મોડ્યુલનું સ્થાનિકીકરણ છે (એટલે કે, બિન-શૂન્ય તત્વોના સંદર્ભમાં સ્થાનિકીકરણ). સ્કેલર્સનું વિસ્તરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં સંલગ્ન સંબંધ એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસ ધરાવે છેઃ કોઈપણ આર-બીજગણિત એસ માટે, એમ એ જમણા આર-મોડ્યુલ, પી એ જમણા એસ-મોડ્યુલ, નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે કુદરતી આઇસોમોર્ફિઝમ છેઃ આ કહે છે કે ફંકટર એ ભૂલી ગયેલા ફંકટરની ડાબી બાજુ છે, જે એસ-એક્શનને આર-એક્શન સુધી મર્યાદિત કરે છે. આ કારણે, તેને ઘણીવાર આર થી એસ સુધીના સ્કેલર્સનું વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં, જ્યારે આર, એસ જૂથ બીજગણિત હોય છે, ત્યારે ઉપરોક્ત સંબંધ ફ્રોબેનિયસ પારસ્પરિકતા બની જાય છે. કોઈપણ આર-બીજગણિત એસ માટેના ઉદાહરણો (એટલે કે, સ્કેલર લંબાવ્યા પછી મુક્ત મોડ્યુલ મુક્ત રહે છે.) પરિવર્તનીય રીંગ અને પરિવર્તનીય R-બીજગણિત S માટે, આપણી પાસેઃ હકીકતમાં, વધુ સામાન્ય રીતે, જ્યાં એક આદર્શ છે. અગાઉના ઉદાહરણ અને ચાઇનીઝ રિમેન્ડર થીયરમનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે રિંગ્સ છે જ્યારે ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ ડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ હોય ત્યારે આ એક ઉદાહરણ આપે છે. ઉદાહરણો એકદમ સામાન્ય મોડ્યુલોના ટેન્સર ઉત્પાદનનું માળખું અણધારી હોઈ શકે છે. ધારો કે G એક અબેલિયન જૂથ છે જેમાં દરેક તત્વ મર્યાદિત ક્રમ ધરાવે છે (એટલે કે G એક વળાંક અબેલિયન જૂથ છે; ઉદાહરણ તરીકે G એક મર્યાદિત અબેલિયન જૂથ અથવા હોઈ શકે છે). પછીઃ ખરેખર, કોઈપણ સ્વરૂપનું છે જો તેનો ક્રમ હોય, તો આપણે ગણતરી કરીએઃ એ જ રીતે, આપણે જોઈએ છીએ કે અહીં ગણતરી માટે ઉપયોગી કેટલીક ઓળખ છેઃ ધારો કે R એ પરિવર્તનીય રીંગ છે, I, J આદર્શો, M, NR-મોડ્યુલો છે. પછી. જો M સપાટ હોય,. (કારણ કે ટેન્સરિંગ બેઝ એક્સ્ટેંશન સાથે મુસાફરી કરે છે). ઉદાહરણોઃ જો G એ અબેલિયન જૂથ છે, તો આ 1 થી અનુસરે છે. ઉદાહરણોઃ; આ 3 માંથી અનુસરે છે. ખાસ કરીને, જૂથોના તત્વોના ક્રમને નિયંત્રિત કરવા માટે અલગ મુખ્ય સંખ્યાઓ p, q, ટેન્સર ઉત્પાદનો લાગુ કરી શકાય છે. ધારો કે G એ અબેલિયન જૂથ છે. પછી 2 ઇંચનો ગુણાંક શૂન્ય હોય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ચાલો એકતાના n-th મૂળનો સમૂહ બનીએ. તે એક ચક્રીય જૂથ છે અને ચક્રીય જૂથોને ક્રમ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. આમ, બિન-પ્રમાણભૂત રીતે, અને આમ, જ્યારે g એ n અને m નો gcd છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ ધ્યાનમાં લો કારણ કે તે મધ્યમાં-રેખીયતા લાદીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી આપણી પાસે સર્જેક્શન છે જેનો કર્નલ એ સ્વરૂપના ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે જ્યાં r, s, x, u પૂર્ણાંકો છે અને s બિન-શૂન્ય છે. કારણ કે કર્નલ ખરેખર અદૃશ્ય થઈ જાય છે; તેથી, જો કે, અને ધ્યાનમાં લો. - વેક્ટર જગ્યા તરીકે, તેનું પરિમાણ 4 છે, પરંતુ તેનું પરિમાણ 2 છે. આમ, અને આઇસોમોર્ફિક નથી. ઉદાહરણોઃ અમે અને ની સરખામણી કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકીએ છીએ. અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, આપણી પાસેઃ અબેલિયન જૂથ તરીકે અને આમ-વેક્ટર જગ્યા તરીકે છે (-વેક્ટર જગ્યાઓ વચ્ચેનો કોઈપણ-રેખીય નકશો-રેખીય છે). - વેક્ટર જગ્યા તરીકે, સાતત્યનું પરિમાણ (પાયાની મુખ્યતા) ધરાવે છે. તેથી, સાતત્યના ગુણાકાર દ્વારા અનુક્રમિત-આધાર હોય છે; આમ તેનું-પરિમાણ સાતત્ય છે. તેથી, પરિમાણના કારણોસર,-વેક્ટર જગ્યાઓનું બિન-કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમ છેઃ ઈરીડ્યુસિબલ બહુપદીઓ માટેના મોડ્યુલો ધ્યાનમાં લો જેમ કે પછી, ઉદાહરણોનો બીજો ઉપયોગી પરિવાર સ્કેલર્સને બદલવાથી આવે છે. નોંધ લો કે આ ઘટનાના સારા ઉદાહરણો એ છે કે જ્યારે બાંધકામ આ રચનાના આધારે મુક્ત અબેલિયન જૂથનો ભાગ લે છે, જેનો ઉપયોગ અહીં ક્રમબદ્ધ જોડીને દર્શાવવા માટે થાય છે, M માં m અને N માં n માટે, સ્વરૂપના તમામ ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ પેટાજૂથ દ્વારા-m િ઱મ (n + n′) + m િ઱મ n + m િ઱મ n′ − (m + m′) િ઱મ n + m િ઱મ n + m′ િ઱મ n (m·r) િ઱મ n − m િ઱મ (r·n) જ્યાં m, m′ M માં, n માં, n′ N માં, અને r R માં. ભાગાકાર નકશો જે કોષમાં લે છે; એટલે કે, સંતુલિત છે. ચીનો સાર્વત્રિક ગુણધર્મ મુક્ત અબેલિયન જૂથ અને ભાગાકારના સાર્વત્રિક ગુણધર્મોને અનુસરે છે. જો S એ રીંગ R ની સબરીંગ હોય, તો તે પેટા જૂથ દ્વારા પેદા થયેલ ભાગાકાર જૂથ છે, જ્યાં નીચેની છબી છે. ખાસ કરીને, R-મોડ્યુલોના કોઈપણ ટેન્સર ઉત્પાદનને, જો ઇચ્છિત હોય તો, R-સંતુલિત ઉત્પાદન ગુણધર્મને લાગુ કરીને અબેલિયન જૂથોના ટેન્સર ઉત્પાદનના ભાગાકાર તરીકે બનાવી શકાય છે. વધુ શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક રીતે, ચાલો σ એ M પર R ની આપેલ જમણી ક્રિયા છે; એટલે કે, σ (m, r) = m·r અને τ એ N ના R ની ડાબી ક્રિયા છે. પછી, જો અબેલિયન જૂથોના ટેન્સર ઉત્પાદનને પહેલેથી જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો M અને N ના ટેન્સર ઉત્પાદનને R પર સહસમાયોજક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ જ્યાં સબસ્ક્રિપ્ટ વિના અબેલિયન જૂથોના ટેન્સર ઉત્પાદનનો સંદર્ભ આપે છે. કોમ્યુટેટિવ રીંગ આર પર ટેન્સર પ્રોડક્ટના નિર્માણમાં, આર-મોડ્યુલ માળખું શરૂઆતથી જ મુક્ત આર-મોડ્યુલના ભાગાકારને સામાન્ય બાંધકામ માટે ઉપર આપેલા ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ પેટા મોડ્યુલ દ્વારા બનાવી શકાય છે, જે ઘટકો દ્વારા વધારવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, સામાન્ય રચનાને જ્યારે આ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય ત્યારે સ્કેલર ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરીને ઝેડ (આર)-મોડ્યુલ માળખું આપી શકાય છે, જે ચોક્કસપણે ત્યારે હોય છે જ્યારે આરનું કેન્દ્ર r bul ઝેડ (આર) હોય છે. એમ અને એનનું સીધું ઉત્પાદન ભાગ્યે જ એમ અને એનના ટેન્સર ઉત્પાદન માટે આઇસોમોર્ફિક હોય છે. જ્યારે આર પરિવર્તનીય ન હોય, ત્યારે ટેન્સર ઉત્પાદન માટે જરૂરી છે કે એમ અને એન વિરુદ્ધ બાજુએ મોડ્યુલ હોય, જ્યારે સીધા ઉત્પાદન માટે તેઓ એક જ બાજુના મોડ્યુલ હોવા જરૂરી છે. તમામ કિસ્સાઓમાં G સુધીનું એકમાત્ર કાર્ય જે રેખીય અને દ્વિરેખીય બંને છે તે શૂન્ય નકશો છે. રેખીય નકશા તરીકે સામાન્ય કિસ્સામાં, વેક્ટર સ્પેસના ટેન્સર પ્રોડક્ટના તમામ ગુણધર્મો મોડ્યુલો સુધી વિસ્તરતા નથી. તેમ છતાં, ટેન્સર પ્રોડક્ટના કેટલાક ઉપયોગી ગુણધર્મો, જે મોડ્યુલ હોમોમોર્ફિઝમ્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે બાકી છે. ડ્યુઅલ મોડ્યુલ જમણા આર-મોડ્યુલ E ના ડ્યુઅલ મોડ્યુલને કેનોનિકલ ડાબા આર-મોડ્યુલ માળખા સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તેને E  ꯁꯦꯜ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. કેનોનિકલ માળખું એ ઉમેરા અને સ્કેલર ગુણાકારની બિંદુ મુજબની કામગીરી છે. આમ, E ≤ એ તમામ R-રેખીય નકશાનો સમૂહ છે (જેને રેખીય સ્વરૂપો પણ કહેવાય છે), કામગીરી સાથે ડાબી બાજુના R-મોડ્યુલના દ્વૈતને સમાન સંકેત સાથે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. E થી તેના બીજા દ્વિગુણ સુધી હંમેશા કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ હોય છે. જો E એ મર્યાદિત રેન્કનું મુક્ત મોડ્યુલ હોય તો તે એક સમરૂપતા છે. સામાન્ય રીતે, જો કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ એક આઇસોમોર્ફિઝમ હોય તો E ને રિફ્લેક્સિવ મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે. દ્વૈત જોડી આપણે તેના બેવડા E ≤ અને જમણા R-મોડ્યુલ E, અથવા ડાબા R-મોડ્યુલ F અને તેના બેવડા F ≤ ની કુદરતી જોડીને સૂચવીએ છીએ. પરિવર્તનીય કેસથી વિપરીત, સામાન્ય કિસ્સામાં ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ આર-મોડ્યુલ નથી, અને તેથી તે સ્કેલર ગુણાકારને ટેકો આપતું નથી. જમણી બાજુએ R-મોડ્યુલ E અને જમણી બાજુએ R-મોડ્યુલ F આપવામાં આવ્યું છે, ત્યાં એક કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ છે જે નકશો છે. ડાબી બાજુએ R-મોડ્યુલ E અને જમણી બાજુએ R-મોડ્યુલ F આપેલ છે, ત્યાં એક કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ છે જે નકશો છે. બંને કિસ્સાઓ સામાન્ય મોડ્યુલો માટે માન્ય છે, અને જો મોડ્યુલો E અને F મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલો (ખાસ કરીને મર્યાદિત રેન્કના મુક્ત મોડ્યુલોમાં) સુધી મર્યાદિત હોય તો તે આઇસોમોર્ફિઝમ બની જાય છે. આમ, રિંગ આર પર મોડ્યુલોના ટેન્સર પ્રોડક્ટનું એક તત્વ આર-રેખીય નકશા પર કેનોનિક રીતે નકશો બનાવે છે, જોકે વેક્ટર જગ્યાઓની જેમ, આ માટે આવા રેખીય નકશાની સંપૂર્ણ જગ્યાની સમકક્ષ હોવા માટે મોડ્યુલો પર મર્યાદાઓ લાગુ પડે છે. જમણી બાજુએ R-મોડ્યુલ E અને ડાબી બાજુએ R-મોડ્યુલ F આપેલ છે, ત્યાં એક કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ છે જે નકશો છે. આમ, ટેન્સર પ્રોડક્ટના એક તત્વને આર-બાયલિનિયર નકશાને જન્મ આપતું અથવા કાર્ય કરતું માનવામાં આવી શકે છે. ટ્રેસ ધારો કે R એ પરિવર્તનીય રિંગ છે અને E એ R-મોડ્યુલ છે. પછી એક કેનોનિકલ આર-રેખીય નકશો છેઃ દ્વારા રેખીયતા દ્વારા પ્રેરિત; તે કુદરતી જોડીને અનુરૂપ અનન્ય આર-રેખીય નકશો છે. જો E એ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પ્રોજેક્ટિવ R-મોડ્યુલ હોય, તો ઉપર ઉલ્લેખિત કેનોનિકલ હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા ઓળખી શકાય છે અને પછી ઉપરનો ટ્રેસ નકશો છેઃ જ્યારે R એક ક્ષેત્ર છે, ત્યારે આ રેખીય પરિવર્તનનું સામાન્ય ટ્રેસ છે. વિભેદક ભૂમિતિમાંથી ઉદાહરણોઃ ટેન્સર ક્ષેત્ર વિભેદક ભૂમિતિમાં મોડ્યુલોના ટેન્સર ઉત્પાદનનું સૌથી અગ્રણી ઉદાહરણ વેક્ટર ક્ષેત્રો અને વિભેદક સ્વરૂપોની જગ્યાઓનું ટેન્સર ઉત્પાદન છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, જો R એ સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ M પર સ્મૂથ ફંક્શન્સની (કોમ્યુટેટિવ) રીંગ છે, તો પછી એક મૂકે છે જ્યાં γ એટલે વિભાગોની જગ્યા અને સુપરસ્ક્રિપ્ટ એટલે R પર p વખત ટેન્સર કરવું. વ્યાખ્યા મુજબ, નું તત્વ એ પ્રકારનું ટેન્સર ક્ષેત્ર (p, q) છે. આર-મોડ્યુલો તરીકે, નોટેશનને હળવું કરવા, મૂકવા વગેરેનું ડ્યુઅલ મોડ્યુલ છે. જ્યારે 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q સાથે દરેક (k, l) માટે p, q ≤ 1 હોય, ત્યારે એક R-બહુપરીમાણીય નકશો હોય છેઃ જ્યાં અર્થ અને ટોપીનો અર્થ થાય છે એક શબ્દ અવગણવામાં આવ્યો છે. સાર્વત્રિક ગુણધર્મ દ્વારા, તે એક અનન્ય આર-રેખીય નકશાને અનુરૂપ છેઃ તેને અનુક્રમણિકા (કે, એલ) માં ટેન્સરનું સંકોચન કહેવામાં આવે છે. સાર્વત્રિક ગુણધર્મ શું કહે છે તે જાણે છેઃ ટિપ્પણીઃ અગાઉની ચર્ચા વિભેદક ભૂમિતિ પરના પાઠ્યપુસ્તકોમાં પ્રમાણભૂત છે (દા. ત., હેલગેસન). એક રીતે, શીફ-સૈદ્ધાંતિક રચના (એટલે કે, મોડ્યુલોના શીફની ભાષા) વધુ કુદરતી અને વધુ સામાન્ય છે; તે માટે, વિભાગ જુઓ. ફ્લેટ મોડ્યુલો સાથે સંબંધ સામાન્ય રીતે, એક બાયફંક્ટર છે જે જમણી અને ડાબી આર મોડ્યુલ જોડીને ઇનપુટ તરીકે સ્વીકારે છે, અને તેમને અબેલિયન જૂથોની શ્રેણીમાં ટેન્સર પ્રોડક્ટને સોંપે છે. જમણા R મોડ્યુલ M ને ફિક્સ કરીને, એક ફંકટર ઊભો થાય છે, અને સમપ્રમાણ રીતે ડાબી બાજુ R મોડ્યુલ N ને ફંકટર બનાવવા માટે ફિક્સ કરી શકાય છે હોમ બાયફંકટરથી વિપરીત ટેન્સર ફંકટર બંને ઇનપુટ્સમાં સહપરિવર્તનશીલ હોય છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે અને તે હંમેશા સાચા ચોક્કસ ફંકટર હોય છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે તે ચોક્કસ હોય (જ્યાં પ્રથમ નકશાનો ગુણાકાર થાય છે, તે ચોક્કસ હોય છે પરંતુ ટેન્સર લીધા પછી નહીં). વ્યાખ્યા મુજબ, જો ચોક્કસ ફંકટર હોય તો મોડ્યુલ T એ સપાટ મોડ્યુલ છે. જો અને અનુક્રમે એમ અને એન માટે સેટ જનરેટ કરી રહ્યા હોય, તો તે માટે જનરેટિંગ સેટ હશે કારણ કે ટેન્સર ફંકટરને કેટલીકવાર ચોક્કસ રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે, આ ન્યૂનતમ જનરેટિંગ સેટ ન પણ હોઈ શકે, ભલે મૂળ જનરેટિંગ સેટ ન્યૂનતમ હોય. જો M એ ફ્લેટ મોડ્યુલ હોય, તો ફંક્શનટર ફ્લેટ મોડ્યુલની ખૂબ જ વ્યાખ્યા દ્વારા ચોક્કસ છે. જો ટેન્સર ઉત્પાદનોને F ક્ષેત્ર પર લેવામાં આવે, તો આપણે ઉપરની જેમ વેક્ટર જગ્યાઓના કિસ્સામાં છીએ. બધા F મોડ્યુલો સપાટ હોવાથી, બાયફંક્ટર બંને સ્થાનોમાં ચોક્કસ હોય છે, અને આપેલ બે જનરેટિંગ સેટ બેઝ હોય છે, પછી ખરેખર વધારાના માળખા માટે આધાર બનાવે છે જો S અને T પરિવર્તનીય R-આલ્જેબ્રા હોય, તો પછી, #For સમકક્ષ મોડ્યુલોની જેમ, એક પરિવર્તનીય R-બીજગણિત પણ હશે, જેમાં ગુણાકાર નકશો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અને રેખીયતા દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવશે. આ સેટિંગમાં, ટેન્સર ઉત્પાદન પરિવર્તનીય આર-આલ્જેબ્રાની શ્રેણીમાં ફાઇબરયુક્ત સહઉત્પાદન બની જાય છે. (પરંતુ તે આર-આલ્જેબ્રાની શ્રેણીમાં સહઉત્પાદન નથી.) જો એમ અને એન બંને પરિવર્તનીય રિંગ પર આર-મોડ્યુલો હોય, તો તેમનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ ફરીથી આર-મોડ્યુલ છે. જો R એ રિંગ છે, તો RM એ ડાબી બાજુનું R-મોડ્યુલ છે, અને R ના કોઈપણ બે ઘટકો r અને s નું કોમ્યુટેટર M ના એનિહિલેટરમાં છે, તો પછી આપણે ભાગાકાર કોમ્યુટેટિવ રિંગની ક્રિયા દ્વારા M પરિબળો પર R ની ક્રિયાને સુયોજિત કરીને M ને જમણા R મોડ્યુલમાં બનાવી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં R ઉપર M નું ટેન્સર પ્રોડક્ટ ફરીથી R-મોડ્યુલ છે. પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં આ એક ખૂબ જ સામાન્ય તકનીક છે. સામાન્યીકરણ મોડ્યુલોના સંકુલોનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ જો X, Y એ R-મોડ્યુલોના સંકુલ હોય (R એ પરિવર્તનીય રીંગ), તો તેમનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ x માટે x માં x અને y માટે yj દ્વારા આપવામાં આવેલ વિભેદક સાથે આપવામાં આવેલ સંકુલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો C એ સપાટ અબેલિયન જૂથોનું સાંકળ સંકુલ છે અને જો G એ અબેલિયન જૂથ છે, તો તેનું સમરૂપતા જૂથ એ G માં ગુણાંક સાથેનું C નું સમરૂપતા જૂથ છે (આ પણ જુઓઃ સાર્વત્રિક ગુણાંક પ્રમેય). મોડ્યુલોના શીવ્ઝનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ મોડ્યુલોના શીવ્ઝનું ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ ખુલ્લા સબસેટ પરના વિભાગોના મોડ્યુલોના ટેન્સર પ્રોડક્ટ્સના પ્રી-શીફ સાથે સંકળાયેલ શીફ છે. આ સુયોજનમાં, ઉદાહરણ તરીકે, એક સરળ મેનીફોલ્ડ M પર ટેન્સર ક્ષેત્રને ટેન્સર ઉત્પાદનના (વૈશ્વિક અથવા સ્થાનિક) વિભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (જેને ટેન્સર બંડલ કહેવાય છે) જ્યાં O એ M પર સરળ કાર્યોની રિંગ્સનો આવરણ છે અને બંડલને M પર સ્થાનિક રીતે મુક્ત આવરણ તરીકે જોવામાં આવે છે. બાહ્ય બંડલના વિભાગો એમ પર વિભેદક સ્વરૂપો છે. એક મહત્વપૂર્ણ કેસ જ્યારે કોઈ બિન-પરિવર્તનીય રિંગ્સના આવરણ પર ટેન્સર પ્રોડક્ટ બનાવે છે ત્યારે ડી-મોડ્યુલોના સિદ્ધાંતમાં દેખાય છે; એટલે કે, વિભેદક ઓપરેટરોના આવરણ પર ટેન્સર પ્રોડક્ટ્સ. આ પણ જુઓ ટોર ફંક્ટર આલ્જેબ્રાનું ટેન્સર ઉત્પાદન ક્ષેત્રોનું ટેન્સર ઉત્પાદન વ્યુત્પન્ન ટેન્સર ઉત્પાદન નોંધો સંદર્ભો. . મોડ્યુલ થિયરી બહુરેખીય બીજગણિત માળખાઓ પર હોમોલોજિકલ બીજગણિત કામગીરી