Kloosterman sum
ગણિતમાં, ક્લૂસ્ટરમેન સરવાળો એ ચોક્કસ પ્રકારનો ઘાતાંકીય સરવાળો છે. તેમનું નામ ડચ ગણિતશાસ્ત્રી હેન્ડ્રિક ક્લૂસ્ટરમેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1926માં હાર્ડી-લિટલવુડ વર્તુળ પદ્ધતિની રજૂઆત કરી હતી, જેમાં તેમણે પાંચ કે તેથી વધુ ચલોના વિરોધમાં ચારમાં હકારાત્મક ચોક્કસ કર્ણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાનો સામનો કરવા માટે હાર્ડી-લિટલવુડ વર્તુળ પદ્ધતિ અપનાવી હતી, જેની તેમણે 1924માં તેમના નિબંધમાં ચર્ચા કરી હતી. ચાલો કુદરતી સંખ્યાઓ. પછી અહીં x * એ મોડ્યુલોનો વ્યસ્ત છે. ક્લૂસ્ટરમેન સરવાળો એ બેસલ વિધેયોની મર્યાદિત રીંગ એનાલોગ છે. તેઓ (ઉદાહરણ તરીકે) મોડ્યુલર સ્વરૂપોના ફોરિયર વિસ્તરણમાં થાય છે. રીમાન ઝીટા કાર્ય, ટૂંકા અંતરાલોમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અંકગણિત પ્રગતિમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, ઓટોમોર્ફિક કાર્યોનો વર્ણપટ સિદ્ધાંત અને સંબંધિત વિષયોને સંડોવતા મૂલ્યોનો અર્થ કરવા માટે એપ્લિકેશનો છે. ક્લૂસ્ટરમેનના ગુણધર્મોનો સરવાળો જો અથવા તો ક્લૂસ્ટરમેનનો સરવાળો રામાનુજનનો સરવાળો થઈ જાય છે. તે ફક્ત અવશેષ વર્ગ અને મોડ્યુલો પર આધાર રાખે છે. વધુમાં અને જો. સાથે દો અને કોપ્રાઇમ કરો. પસંદ કરો અને તે અને. પછી આ ક્લૂસ્ટરમેનના મૂલ્યાંકનને ઘટાડે છે, જે મુખ્ય સંખ્યા અને પૂર્ણાંક માટેના કિસ્સામાં સરવાળો કરે છે. નું મૂલ્ય હંમેશા બીજગણિત વાસ્તવિક સંખ્યા હોય છે. હકીકતમાં તે પેટાક્ષેત્રનું એક તત્વ છે જે ક્ષેત્રોનું સંયોજન છે જ્યાં તે અને સાથે જેવા તમામ વિચિત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પર હોય છે. સેલબર્ગ ઓળખઃ એટલ સેલબર્ગ દ્વારા જણાવવામાં આવી હતી અને સૌપ્રથમ કુઝનેત્સોવ દ્વારા મોડ્યુલર સ્વરૂપોના વર્ણપટ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવી હતી. આજકાલ આ ઓળખના પ્રાથમિક પુરાવા જાણીતા છે. વિષમ અવિભાજ્ય માટે, કોઈ જાણીતું સરળ સૂત્ર નથી, અને સાટો-ટેટ અનુમાન સૂચવે છે કે કોઈ અસ્તિત્વમાં નથી. જોકે, નીચે આપેલા ઉપાડના સૂત્રો ઘણીવાર સ્પષ્ટ મૂલ્યાંકન જેટલા જ સારા હોય છે. જો એક પણ મહત્વપૂર્ણ પરિવર્તન ધરાવે છેઃ જ્યાં જેકોબી પ્રતીક સૂચવે છે. પ્રાઇમ સાથે દો અને ધારો. પછીઃ ક્યાં પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે (નોંધ કરો કે તે વિચિત્ર છે): આ સૂત્ર સૌપ્રથમ હંસ સેલી દ્વારા શોધાયું હતું અને સાહિત્યમાં ઘણા સરળ પુરાવા છે. અંદાજો કારણ કે ક્લૂસ્ટરમેનનો સરવાળો મોડ્યુલર સ્વરૂપોના ફોરિયર વિસ્તરણમાં થાય છે, ક્લૂસ્ટરમેન માટેના અંદાજો મોડ્યુલર સ્વરૂપોના ફોરિયર ગુણાંક માટે પણ ઉપજના અંદાજોનો સરવાળો કરે છે. સૌથી પ્રસિદ્ધ અંદાજ આન્દ્રે વેઇલને કારણે છે અને જણાવે છેઃ અહીં હકારાત્મક વિભાજકોની સંખ્યા છે. ક્લૂસ્ટરમેનના ગુણાકાર ગુણધર્મોને કારણે આ અંદાજોને અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય તેવા કિસ્સામાં ઘટાડી શકાય છે. વેઇલની મૂળભૂત તકનીક સ્થાનિક ઝીટા-કાર્યો પરના તેના પરિણામોના અંદાજને ઘટાડે છે જ્યારે એ. બી. §0 હોય. ભૌમિતિક રીતે સરવાળો 'હાયપરબોલા' XY = ab સાથે લેવામાં આવે છે અને આપણે આને તત્વો સાથે મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર બીજગણિત વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા તરીકે માનીએ છીએ. આ વળાંકમાં વિસ્તૃત આર્ટિન-શ્રેયર આવરણ છે, અને વેઇલે દર્શાવ્યું હતું કે સ્થાનિક ઝેટા-કાર્યનું પરિબળકરણ છે; આ વૈશ્વિક ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં આર્ટિન એલ-કાર્ય સિદ્ધાંત છે જે કાર્ય ક્ષેત્રો છે, જેના માટે વેઇલ સંદર્ભ તરીકે જે. વેઇસિંગરનું 1938નું પેપર આપે છે (પછીના વર્ષે તેમણે વિચાર માટે અગાઉના સંદર્ભ તરીકે હાસ્સનું 1935નું પેપર આપ્યું હતું; વેઇલની વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંતવાદીઓની ક્ષમતાઓ પર અપમાનજનક ટિપ્પણીને ધ્યાનમાં રાખીને, તેમના કલેક્ટેડ પેપર્સમાં, આ વિચારો સંભવતઃ ખૂબ લાંબા સમયથી 'લોકકથાઓ' હતા). બિન-ધ્રુવીય પરિબળો પ્રકારનાં હોય છે, જ્યાં ક્લૂસ્ટરમેન સરવાળો હોય છે. આ અંદાજ વેઇલના 1940ના મૂળભૂત કાર્યને અનુસરે છે. હકીકતમાં આ તકનીક વધુ સામાન્ય રીતે દર્શાવે છે કે સંપૂર્ણ ઘાતાંકીય સરવાળા 'સાથે' બીજગણિત જાતો સારા અંદાજો ધરાવે છે, જે પરિમાણ> 1 માં વેઇલ અનુમાનો પર આધારિત છે. તેને પિયરે ડેલીગ્ને, ગેરાર્ડ લૉમોન અને નિકોલસ કાટ્ઝ દ્વારા ઘણું આગળ ધપાવવામાં આવ્યું છે. ટૂંકા ક્લૂસ્ટરમેન સરવાળા ટૂંકા ક્લૂસ્ટરમેન સરવાળાઓને એવા સ્વરૂપના ત્રિકોણમિતીય સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી પસાર થાય છે, સહમૌલ્ય થી, તત્વોની સંખ્યા જેમાં આવશ્યકપણે તેના કરતા નાની હોય છે, અને પ્રતીક એકરૂપ વર્ગને સૂચવે છે, જે મોડ્યુલોથી વિપરીત છેઃ 1990 ના દાયકાની શરૂઆત સુધી, આ પ્રકારના સરવાળા માટેના અંદાજો મુખ્યત્વે એવા કિસ્સામાં જાણીતા હતા જ્યાં સરવાળાઓની સંખ્યા તેના કરતા વધારે હતી. આવા અંદાજો એચ. ડી. ક્લૂસ્ટરમેન, આઈ. એમ. વિનોગ્રાદોવ, એચ. સેલી, એલ. કાર્લિટ્ઝ, એસ. ઉચિયામા અને એ. વેઇલને કારણે હતા. એકમાત્ર અપવાદ સ્વરૂપના વિશેષ મોડ્યુલો હતા, જ્યાં એક નિશ્ચિત અવિભાજ્ય છે અને ઘાતાંક અનંત સુધી વધે છે (આ કેસનો અભ્યાસ એ. જી. પોસ્ટનિકોવ દ્વારા ઇવાન મેટવેવિચ વિનોગ્રાદોવની પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો). 1990ના દાયકામાં એનાટોલી એલેક્સીવિચ કરાત્સુબાએ ટૂંકા ક્લૂસ્ટરમેન રકમનો અંદાજ કાઢવાની નવી પદ્ધતિ વિકસાવી હતી. કારાત્સુબાની પદ્ધતિ ક્લોસ્ટરમેનના સરવાળાનો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે, જેમાં સરવાળાની સંખ્યા વધી નથી, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં તો, જ્યાં મનસ્વી રીતે નાની નિશ્ચિત સંખ્યા છે. આ વિષય પર એ. એ. કરાત્સુબાનું છેલ્લું પેપર તેમના મૃત્યુ પછી પ્રકાશિત થયું હતું. કારાત્સુબાની પદ્ધતિના વિવિધ પાસાઓ વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંતની નીચેની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે ઉપયોગી છેઃ સ્વરૂપના અપૂર્ણાંક ભાગોના સરવાળાના અસિંપ્ટોટિક્સ શોધવા માટેઃ જ્યાં સ્થિતિને સંતોષતા પૂર્ણાંકો દ્વારા એક પછી એક ચાલે છે, અને અવિભાજ્યમાંથી પસાર થાય છે જે મોડ્યુલને વિભાજિત કરતા નથી (A.A.Karatsuba); સ્વરૂપની અસમાનતાઓના ઉકેલોની સંખ્યા માટે નીચલી સીમા શોધવીઃ પૂર્ણાંકોમાં, સહમૌલ્યમાં, (A. A. કરાત્સુબા); સ્વરૂપના અપૂર્ણાંક ભાગો દ્વારા સેગમેન્ટમાં મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાના અંદાજની ચોકસાઇઃ જ્યાં (A. A. કરાત્સુબા); બ્રુન-ટિચમાર્શ પ્રમેયમાં વધુ ચોક્કસ અચળાંકઃ જ્યાં (ડી. આર. હીથ-બ્રાઉન); સાબિત કરે છે કે સ્વરૂપના અનંત સંખ્યાબંધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છેઃ (જે. ફ્રીડલેન્ડર, એચ. ઇવાનિયેક); સંખ્યાઓના સમૂહના સંયુક્ત ગુણધર્મો (A.A.Glibichuk): ક્લૂસ્ટરમેનના સરવાળાને ઉપાડવો જોકે ક્લૂસ્ટરમેનના સરવાળાની સામાન્ય રીતે ગણતરી કરી શકાતી નથી, તેમ છતાં તેમને બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રોમાં "ઉપાડ" કરી શકાય છે, જે ઘણીવાર વધુ અનુકૂળ સૂત્રો આપે છે. ધારો કે આપણી પાસે કોઈપણ મુખ્ય પરિબળ છે તો પછી બધા પૂર્ણાંકો a, b માટે આપણી પાસે સહમૌલ્ય સંખ્યા છે. જમણી બાજુના સરવાળાને ક્ષેત્રમાં બીજગણિત પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે ફરીથી અર્થઘટન કરી શકાય છે આ સૂત્ર યાંગબો યેને કારણે છે, જે ડોન ઝાગિયર દ્વારા પ્રેરિત છે અને હર્વે જેક્વેટ અને યેના સંબંધિત ટ્રેસ સૂત્ર પરના કાર્યને વિસ્તરે છે. ખરેખર, વધુ સામાન્ય ઘાતાંકીય રકમ ઉપાડી શકાય છે. કુઝનેત્સોવ ટ્રેસ સૂત્ર કુઝનેત્સોવ અથવા સંબંધિત ટ્રેસ સૂત્ર ક્લોસ્ટરમેનના સરવાળાને ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપોના વર્ણપટ સિદ્ધાંત સાથે ઊંડા સ્તરે જોડે છે. શરૂઆતમાં આ નીચે પ્રમાણે કહી શકાયું હોત. ચાલો પૂરતું "સારી વર્તણૂક" નું કાર્ય હોઈએ. પછી કોઈ નીચેના પ્રકારનાં કુઝનેત્સોવ ટ્રેસ સૂત્રની ઓળખ કરે છેઃ અભિન્ન પરિવર્તન ભાગ એ gનું અમુક અભિન્ન પરિવર્તન છે અને વર્ણપટ ભાગ એ ફોરિયર ગુણાંકનો સરવાળો છે, જે હોલોમોર્ફિક અને નોન-હોલોમોર્ફિક મોડ્યુલર સ્વરૂપોની જગ્યાઓ પર લેવામાં આવે છે, જે g ના કેટલાક અભિન્ન પરિવર્તન સાથે ટ્વિસ્ટેડ હોય છે. વજન શૂન્ય ઓટોમોર્ફિક કાર્યોની વૃદ્ધિનો અભ્યાસ કરતી વખતે કુઝનેત્સોવ દ્વારા કુઝનેત્સોવ ટ્રેસ સૂત્ર મળી આવ્યું હતું. ક્લૂસ્ટરમેનના સરવાળા પરના અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને તેઓ એવા કિસ્સાઓમાં મોડ્યુલર સ્વરૂપોના ફોરિયર ગુણાંક માટેના અંદાજો મેળવી શક્યા હતા જ્યાં પિયર ડેલીગ્નેના વેઇલ અનુમાનોનો પુરાવો લાગુ પડતો ન હતો. પાછળથી જેક્વેટ દ્વારા તેનું પ્રતિનિધિત્વ સૈદ્ધાંતિક માળખામાં ભાષાંતર કરવામાં આવ્યું હતું. ચાલો સંખ્યા ક્ષેત્ર F પર રિડક્ટિવ જૂથ બનીએ અને પેટા જૂથ બનીએ. જ્યારે સામાન્ય ટ્રેસ સૂત્ર G પર હાર્મોનિક વિશ્લેષણનો અભ્યાસ કરે છે, ત્યારે સંબંધિત ટ્રેસ સૂત્ર એ સપ્રમાણ જગ્યા પર હાર્મોનિક વિશ્લેષણનો અભ્યાસ કરવા માટેનું એક સાધન છે. ઝાંખી અને અસંખ્ય કાર્યક્રમો માટે સંદર્ભો જુઓ. ઇતિહાસ વેઇલના અંદાજનો અભ્યાસ હવે ડબલ્યુ. એમ. શ્મિટ, મર્યાદિત ક્ષેત્રો પરના સમીકરણોઃ એક પ્રાથમિક અભિગમ, બીજી આવૃત્તિમાં કરી શકાય છે. (કેન્ડ્રિક પ્રેસ, 2004). અહીં અંતર્ગત વિચારો એસ. સ્ટેપાનોવને કારણે છે અને ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજમાં એક્સેલ થ્યુના કાર્યમાંથી પ્રેરણા મેળવે છે. ક્લૂસ્ટરમેન સમ અને મોડ્યુલર સ્વરૂપો વચ્ચે ઘણા જોડાણો છે. હકીકતમાં આ રકમ સૌપ્રથમ 1912માં હેનરી પોઇનકેરેના મોડ્યુલર સ્વરૂપો પરના પેપરમાં (નામ બાદ કરતાં) દેખાઇ હતી. હંસ સાલેએ ક્લૂસ્ટરમેન રકમનું એક સ્વરૂપ રજૂ કર્યું જે ડિરીક્લેટ અક્ષર દ્વારા વળાંક આપવામાં આવે છેઃ આવા સાલે રકમમાં પ્રાથમિક મૂલ્યાંકન હોય છે. 1979માં કુઝનેત્સોવ દ્વારા ક્લોસ્ટરમેનના સરવાળાને બિન-હોલોમોર્ફિક મોડ્યુલર સ્વરૂપો સાથે જોડતા મહત્વપૂર્ણ સૂત્રોની શોધ પછી, જેમાં વર્ગમૂળના અંદાજ કરતાં કેટલીક 'સરેરાશ બચત' હતી, ઇવાનિક અને ડેશોઉઇલર દ્વારા ઇન્વેન્શન્સ મેથેમેટિકા (1982) માં એક નિર્ણાયક પેપરમાં વધુ વિકાસ થયો હતો. સંખ્યાબંધ લેખકો, ખાસ કરીને બોમ્બેરી, ફૌવરી, ફ્રીડલેન્ડર અને ઇવાનીક દ્વારા વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત માટે અનુગામી કાર્યક્રમો તૈયાર કરવામાં આવ્યા હતા. આ ક્ષેત્ર કંઈક અંશે દુર્ગમ રહે છે. કુઝનેત્સોવ સૂત્રોને સમજવા માટે જરૂરી વર્ણપટ સિદ્ધાંતનો વિગતવાર પરિચય આર. સી. બેકર, ક્લૂસ્ટરમેન સમ અને માસ ફોર્મ્સ, વોલ્યુમમાં આપવામાં આવ્યો છે. આઇ (કેન્ડ્રિક પ્રેસ, 2003). આ ક્ષેત્રમાં રસ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ અને સંશોધકો માટે પણ તે સુસંગત છે. યિતાંગ ઝાંગે મૌલિક સંખ્યાઓ વચ્ચેના બંધાયેલા અંતરાયોના પુરાવા તરીકે ક્લૂસ્ટરમેન રકમનો ઉપયોગ કર્યો હતો. હાસની બાઉન્ડ નોટ્સ સંદર્ભો પણ જુઓ બાહ્ય કડીઓ વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત