Nearly free electron model
સોલિડ-સ્ટેટ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ (અથવા એન. એફ. ઇ. મોડેલ અને અર્ધ-મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ) એ ઇલેક્ટ્રોનના ભૌતિક ગુણધર્મોનું ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ છે જે ઘનના સ્ફટિક જાળીમાંથી લગભગ મુક્તપણે આગળ વધી શકે છે. આ મોડેલ વધુ વૈચારિક ખાલી જાળી અંદાજ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આ મોડેલ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાઓ, ખાસ કરીને ધાતુઓની સમજણ અને ગણતરીને સક્ષમ કરે છે. આ મોડેલ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલનો તાત્કાલિક સુધારો છે, જેમાં ધાતુને બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ઇલેક્ટ્રોન ગેસ તરીકે ગણવામાં આવતી હતી અને આયનોને સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં આવતા હતા. ગાણિતિક રચના લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલ એ મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન ગેસ મોડેલનો એક ફેરફાર છે જેમાં નબળા સામયિક વિક્ષેપનો સમાવેશ થાય છે જેનો હેતુ સ્ફટિકીય ઘનમાં વહન ઇલેક્ટ્રોન અને આયનો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને મોડેલ કરવાનો છે. આ મોડેલ, મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન મોડેલની જેમ, ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લેતું નથી; એટલે કે, સ્વતંત્ર ઇલેક્ટ્રોન અંદાજ હજુ પણ અમલમાં છે. બ્લોચના પ્રમેય દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે, શ્રોડિંગર સમીકરણમાં સામયિક ક્ષમતાનો પરિચય આપવાથી તે સ્વરૂપના તરંગ કાર્યમાં પરિણમે છે જ્યાં કાર્ય જાળીની સમાન આવર્તન ધરાવે છેઃ (જ્યાં જાળી અનુવાદ વેક્ટર છે.) કારણ કે તે લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અંદાજ છે, આપણે ધારી શકીએ કે જ્યાં નિશ્ચિત ત્રિજ્યાની સ્થિતિઓનું કદ સૂચવે છે (ગિબ્સ વિરોધાભાસમાં વર્ણવ્યા મુજબ). આ સ્વરૂપના ઉકેલને શ્રોડિંગર સમીકરણમાં જોડી શકાય છે, જેના પરિણામે કેન્દ્રીય સમીકરણ બને છેઃ જ્યાં ગતિ ઊર્જા આપવામાં આવે છે, જેના દ્વારા ભાગ્યા પછી, જો આપણે ધારીએ કે તે લગભગ સ્થિર છે તો તે ઘટી જાય છે અને પારસ્પરિક પરિમાણો અને અનુક્રમે તરંગ કાર્ય અને સ્ક્રીનીંગ સંભવિત ઊર્જાના ફોરિયર ગુણાંક છેઃ વેક્ટર એ પારસ્પરિક જાળી વેક્ટર છે, અને તેના અલગ મૂલ્યો વિચારણા હેઠળની જાળીની સીમા શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કોઈપણ વિક્ષેપ વિશ્લેષણમાં, વ્યક્તિએ પાયાના કેસને ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ કે જેના પર વિક્ષેપ લાગુ કરવામાં આવે છે. અહીં, બેઝ કેસ સાથે છે, અને તેથી પોટેન્શિયલના તમામ ફોરિયર ગુણાંક પણ શૂન્ય છે. આ કિસ્સામાં કેન્દ્રીય સમીકરણ આ સ્વરૂપમાં ઘટી જાય છે આ ઓળખનો અર્થ એ છે કે દરેક માટે, નીચેના બે કિસ્સાઓમાંનો એક હોવો આવશ્યક છેઃ, જો ના મૂલ્યો બિન-વિકૃત હોય, તો બીજો કેસ માત્ર એક મૂલ્ય માટે થાય છે, જ્યારે બાકીના માટે, ફોરિયર વિસ્તરણ ગુણાંક શૂન્ય હોવો આવશ્યક છે. આ બિન-ડીજનરેટ કિસ્સામાં, પ્રમાણભૂત મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ગેસનું પરિણામ પુનઃપ્રાપ્ત થાય છેઃ ડીજનરેટ કિસ્સામાં, જો કે, તેની સાથે જાળી વેક્ટરનો સમૂહ હશે. જ્યારે ઊર્જા આ મૂલ્યની બરાબર હોય, ત્યારે ત્યાં સ્વતંત્ર સમતલ તરંગ ઉકેલો હશે જેમાંથી કોઈપણ રેખીય સંયોજન પણ એક ઉકેલ છેઃ બિન-અપક્ષયી અને અપક્ષયી વિક્ષેપ સિદ્ધાંતને આ બે કિસ્સાઓમાં તરંગ કાર્યના ફોરિયર ગુણાંક (પ્રથમ ક્રમમાં સાચા) અને ઊર્જા આઈગન મૂલ્ય (બીજા ક્રમમાં સાચા) માટે ઉકેલવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. આ વ્યુત્પન્નનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિણામ એ છે કે કોઈ અધોગતિના કિસ્સામાં ઊર્જામાં કોઈ પ્રથમ ક્રમની પાળી નથી, જ્યારે લગભગ અધોગતિના કિસ્સામાં છે, જે સૂચવે છે કે આ વિશ્લેષણમાં પછીનો કેસ વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, બ્રિલૌઇન ઝોનની સીમા પર (અથવા, સમકક્ષ રીતે, બ્રેગ પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુ પર), વ્યક્તિને બમણી ઊર્જા અધોગતિ જોવા મળે છે જે આ દ્વારા આપવામાં આવેલી ઊર્જામાં પરિવર્તનમાં પરિણમે છેઃ બ્રિલૌઇન ઝોન વચ્ચેના આ ઊર્જા અંતરને બેન્ડ ગેપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેની તીવ્રતા. પરિણામો આ નબળા વિક્ષેપનો પરિચય શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલ પર નોંધપાત્ર અસરો ધરાવે છે, જે સૌથી નોંધપાત્ર રીતે વિવિધ બ્રિલોઇન ઝોનમાં તરંગ વેક્ટર વચ્ચે બેન્ડ ગેપમાં પરિણમે છે. આ મોડેલમાં, એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે વહન ઇલેક્ટ્રોન અને આયન કોર વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને "નબળા" વિક્ષેપકારક ક્ષમતાના ઉપયોગ દ્વારા મોડેલ કરી શકાય છે. આ એક ગંભીર અંદાજ જેવું લાગે છે, કારણ કે વિપરીત ચાર્જના આ બે કણો વચ્ચેનું કુલમ્બ આકર્ષણ ટૂંકા અંતર પર ખૂબ નોંધપાત્ર હોઈ શકે છે. જોકે, ક્વોન્ટમ યાંત્રિક પ્રણાલીના બે મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોની નોંધ લઈને તેને આંશિક રીતે ન્યાયી ઠેરવી શકાય છેઃ આયનો અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું બળ ખૂબ જ ઓછા અંતરે સૌથી વધુ હોય છે. જો કે, પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતને કારણે વહન ઇલેક્ટ્રોનને આયન કોરની આટલી નજીક જવાની મંજૂરી નથીઃ આયન કોરની સૌથી નજીકની ભ્રમણકક્ષાઓ પહેલેથી જ કોર ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે. તેથી, વહન ઇલેક્ટ્રોન ક્યારેય તેમના સંપૂર્ણ બળને અનુભવવા માટે આયન કોરની નજીક જતા નથી. વધુમાં, મુખ્ય ઇલેક્ટ્રોન વહન ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા "જોવામાં આવેલ" આયન ચાર્જની તીવ્રતાને રક્ષણ આપે છે. પરિણામ એ વહન ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પરમાણુ ચાર્જ છે જે વાસ્તવિક પરમાણુ ચાર્જથી નોંધપાત્ર રીતે ઓછો થાય છે. ખાલી જાળીનો અંદાજ પણ જુઓ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખું ચુસ્ત બંધન મોડેલ બ્લોચની પ્રમેય ક્રોનિગ-પેની મોડેલ સંદર્ભો ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાં ક્વોન્ટમ મોડેલ