Large set (combinatorics)
સંયુક્ત ગણિતમાં, હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો મોટો સમૂહ એ છે કે પારસ્પરિકનો અનંત સરવાળો અલગ પડે છે. એક નાનો સમૂહ એ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો કોઈપણ સબસેટ છે જે મોટો નથી; એટલે કે, જેનો પારસ્પરિક સરવાળો એકરૂપ થાય છે. મુંટ્ઝ-ઝાસ્ઝ પ્રમેયમાં અને અંકગણિત પ્રગતિ પરના એર્ડોસ અનુમાનમાં મોટા સમૂહો જોવા મળે છે. ઉદાહરણો હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો દરેક મર્યાદિત સબસેટ નાનો છે. તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો સમૂહ એક મોટો સમૂહ છે; આ નિવેદન હાર્મોનિક શ્રેણીના વિચલનની સમકક્ષ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ (એટલે કે, એક + બી સ્વરૂપના તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ જેમાં a ≤1, b ≤1 અને n = 0,1,2,3.) એ એક મોટો સમૂહ છે. વર્ગ સંખ્યાઓનો સમૂહ નાનો છે (બેસલ સમસ્યા જુઓ). તેવી જ રીતે સમઘન સંખ્યાઓનો સમૂહ, ચોથી ઘાતોનો સમૂહ, વગેરે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ડિગ્રી 2 અથવા તેનાથી મોટી કોઈપણ બહુપદીના હકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સમૂહ એક નાનો સમૂહ બનાવે છે. 2 ની ઘાતોનો સમૂહ {1,2,4,8,.} એ એક નાનો સમૂહ છે, અને તે જ રીતે કોઈપણ ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ છે (એટલે કે, એ. બી. એન. સ્વરૂપની સંખ્યાઓનો સમૂહ જેમાં એ. એ. આર. 1, બી. એ. આર. 2 અને એન = 0,1,2,3.). મુખ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ મોટો હોય છે. જોડિયા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ નાનો છે (જુઓ બ્રુનનો અચળાંક). અવિભાજ્ય શક્તિઓનો સમૂહ કે જે અવિભાજ્ય નથી (એટલે કે, n ≤ 2 અને p અવિભાજ્ય સાથે pn સ્વરૂપની તમામ સંખ્યાઓ) નાની હોય છે, જો કે અવિભાજ્ય મોટી હોય છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વારંવાર થાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, સંપૂર્ણ શક્તિઓનો સમૂહ નાનો હોય છે; શક્તિશાળી સંખ્યાઓનો સમૂહ પણ નાનો હોય છે. સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેનું આપેલ આધારમાં વિસ્તરણ આપેલ અંકને બાકાત રાખે છે તે નાનો છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકોનો સમૂહ કે જેના દશાંશ વિસ્તરણમાં અંક 7નો સમાવેશ થતો નથી તે નાનો છે. આવી શ્રેણીઓને કેમ્પનર શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. કોઈપણ સમૂહ કે જેની ઉપલી એસિમ્પ્ટોટિક ઘનતા બિન-શૂન્ય હોય, તે મોટો હોય છે. ગુણધર્મો નાના સમૂહનો દરેક સબસેટ નાનો હોય છે. મર્યાદિત રીતે ઘણા નાના સમૂહોનું જોડાણ નાનું છે, કારણ કે બે અભિસારી શ્રેણીઓનો સરવાળો એક અભિસારી શ્રેણી છે. (સમૂહ સૈદ્ધાંતિક પરિભાષામાં, નાના સમૂહો આદર્શ બનાવે છે.) દરેક નાના સમૂહનું પૂરક મોટું હોય છે. મુંટ્ઝ-ઝાસ્ઝ પ્રમેય જણાવે છે કે સમૂહ ત્યારે જ મોટો હોય છે જ્યારે અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે દ્વારા ફેલાયેલ બહુપદીઓનો સમૂહ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં બંધ અંતરાલ પર સતત વિધેયોના સમાન ધોરણ ટોપોલોજીમાં ગાઢ હોય. આ સ્ટોન-વેઇઅરસ્ટ્રાસ થીયરમનું સામાન્યીકરણ છે. મોટા સમૂહો સાથે સંકળાયેલી ખુલ્લી સમસ્યાઓ પોલ એર્ડસે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે તમામ મોટા સમૂહોમાં મનસ્વી રીતે લાંબી અંકગણિત પ્રગતિ હોય છે. તેમણે તેમના અન્ય કોઈપણ અનુમાન કરતાં વધુ પુરાવા માટે 3000 ડોલરનું ઇનામ આપવાની રજૂઆત કરી હતી અને મજાકમાં કહ્યું હતું કે આ ઇનામની રજૂઆત લઘુતમ વેતન કાયદાનું ઉલ્લંઘન કરે છે. પ્રશ્ન હજુ પણ ખુલ્લો છે. આપેલ સમૂહ સામાન્ય રીતે મોટો કે નાનો છે તે કેવી રીતે ઓળખવું તે જાણીતું નથી. પરિણામે, એવા ઘણા સમૂહો છે જે મોટા કે નાના હોવાનું જાણીતું નથી. નોંધો સંદર્ભો એ. ડી. વાધવા (1975) ની પારસ્પરિક રકમની સૂચિ પણ જુઓ. હાર્મોનિક શ્રેણીની એક રસપ્રદ પેટા શ્રેણી. અમેરિકન મેથેમેટિકલ મંથલી 82 (9) 931-933 કોમ્બિનેટોરિક્સ પૂર્ણાંક ક્રમ ગાણિતિક શ્રેણી