Theta divisor
ગણિતમાં, થીટા વિભાજક એ બીજગણિત ભૂમિતિના અર્થમાં વિભાજક છે જે સંકળાયેલ રીમાન થીટા-કાર્યના શૂન્ય સ્થાન દ્વારા જટિલ સંખ્યાઓ (અને મુખ્યત્વે ધ્રુવીકૃત) પર અબેલિયન વિવિધતા A પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તેથી તે મંદ A−1 પરિમાણની A ની બીજગણિત પેટા વિવિધતા છે. શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંત બર્નહાર્ડ રીમેનના શાસ્ત્રીય પરિણામો બીજી રીતે વર્ણવે છે, એ કિસ્સામાં કે A એ બીજગણિત વળાંક (સઘન રીમેન સપાટી) C ની જેકોબિયન વિવિધતા J છે. C પર આધાર બિંદુ P ની પસંદગી માટે, C થી J નું પ્રમાણભૂત મેપિંગ છે, જે ડિગ્રી 0 ના C પરના વિભાજકોના રેખીય સમકક્ષ વર્ગો તરીકે J ના અર્થઘટન દ્વારા છે. એટલે કે, Q પર C એ Q − P ના વર્ગમાં નકશો બનાવે છે. પછી J એ બીજગણિત જૂથ હોવાથી, C ને J પર k વખત ઉમેરવામાં આવી શકે છે, જે Wk ની પેટા વિવિધતાઓને જન્મ આપે છે. જો g એ C ની જાતિ છે, તો રીમેને સાબિત કર્યું કે θ એ Wg−1 ના J પર અનુવાદિત છે. તેમણે એ પણ વર્ણવ્યું કે Wg−1 પરના કયા બિંદુઓ બિન-એકકોણીય છેઃ તેઓ સ્થિરાંકો સિવાય અન્ય કોઈ સંબંધિત મેરોમોર્ફિક કાર્યો સાથે ડિગ્રી g−1 ના અસરકારક ભાજકો D ને અનુરૂપ છે. વધુ શાસ્ત્રીય ભાષામાં, આ D એ C પર વિભાજકની રેખીય પ્રણાલીમાં આગળ વધતા નથી, એ અર્થમાં કે તેઓ અચળ કાર્યના ધ્રુવીય વિભાજક પર પ્રભુત્વ ધરાવતા નથી. રીમેને રીમેન સિંગ્યુલારીટી થીયરમને વધુ સાબિત કરી, Wg−1 પર બિંદુ p = વર્ગ (D) ની ગુણાકારને D દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવતા ધ્રુવ વિભાજક સાથે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર મેરોમોર્ફિક વિધેયોની સંખ્યા તરીકે ઓળખાવી, અથવા સમકક્ષ રીતે h0 (O (D) તરીકે ઓળખાવી, C પર કાર્ટિયર વિભાજક તરીકે D સાથે સંકળાયેલા હોલોમોર્ફિક લાઇન બંડલના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વૈશ્વિક વિભાગોની સંખ્યા. પછીના કાર્ય રીમેન સિંગ્યુલારીટી થીયરમને જ્યોર્જ કેમ્પફ દ્વારા 1973 માં વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું, જે ડેવિડ મમફોર્ડ અને એન્ડ્રેઓટી-મેયરના કાર્ય પર આધારિત હતું, જે 1 ≤ k ≤ g − 1 માટે Wk પર બિંદુ p = વર્ગ (D) ની સિંગ્યુલારીટીનું વર્ણન કરે છે. ખાસ કરીને તેમણે તેમની ગુણાકારની ગણતરી ડી (રીમાન-કેમ્પફ સિંગ્યુલારીટી થીયરમ) સાથે સંકળાયેલા સ્વતંત્ર મેરોમોર્ફિક વિધેયોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં પણ કરી હતી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, કેમ્પ્ફે J ને સ્થાનિક રીતે p ની નજીક ચોક્કસ ક્રમમાંથી આવતા મેટ્રિસીસના કુટુંબમાં મેપ કર્યું છે, જે h0 (O (D)) ની ગણતરી કરે છે, એવી રીતે કે Wk મહત્તમ ક્રમ કરતા ઓછા મેટ્રિસીસના સ્થાનને અનુરૂપ હોય છે. પછી ગુણાકાર અનુરૂપ ક્રમના સ્થાન પરના બિંદુ સાથે સંમત થાય છે. સ્પષ્ટ રીતે, જો h0 (O (D)) = r + 1 હોય, તો વર્ગ (D) પર Wk નો ગુણાકાર એ દ્વિપદી ગુણાંક છે જ્યારે k = g − 1 હોય, તો આ r + 1, રીમાનનું સૂત્ર છે. નોંધો સંદર્ભો થીટા વિધેયો બીજગણિત વણાંકો બર્નહાર્ડ રીમેન