Bézout domain
ગણિતમાં, બેઝઆઉટ ડોમેન એ પ્રુફર ડોમેનનું એક સ્વરૂપ છે. તે એક અભિન્ન ક્ષેત્ર છે જેમાં બે મુખ્ય આદર્શોનો સરવાળો ફરીથી એક મુખ્ય આદર્શ છે. આનો અર્થ એ છે કે તત્વોની દરેક જોડી માટે બેઝઆઉટ ઓળખ ધરાવે છે, અને દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ મુખ્ય છે. કોઈપણ મુખ્ય આદર્શ ડોમેન (પી. આઈ. ડી.) એ બેઝઆઉટ ડોમેન છે, પરંતુ બેઝઆઉટ ડોમેન નોથેરિયન રિંગ હોવું જરૂરી નથી, તેથી તેમાં બિન-મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શો હોઈ શકે છે (જે દેખીતી રીતે પી. આઈ. ડી. ને બાકાત રાખે છે); જો એમ હોય તો, તે એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન (યુ. એફ. ડી.) નથી, પરંતુ તેમ છતાં તે જી. સી. ડી. ડોમેન છે. બેઝઆઉટ ડોમેન્સનો સિદ્ધાંત નોથેરિયન મિલકતની જરૂર વગર પી. આઈ. ડી. ના ઘણા ગુણધર્મોને જાળવી રાખે છે. બેઝઆઉટ ક્ષેત્રોનું નામ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી એટીન બેઝઆઉટના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણો તમામ પી. આઈ. ડી. બેઝઆઉટ ડોમેન્સ છે. બેઝઆઉટ ડોમેન્સના ઉદાહરણો કે જે પી. આઈ. ડી. નથી તેમાં સમગ્ર કાર્યોની રીંગ (સમગ્ર જટિલ સમતલ પર હોલોમોર્ફિક કાર્યો) અને તમામ બીજગણિત પૂર્ણાંકોની રીંગનો સમાવેશ થાય છે. સંપૂર્ણ કાર્યોના કિસ્સામાં, માત્ર ઈરીડ્યુસિબલ તત્વો ડિગ્રી 1 ના બહુપદી કાર્ય સાથે સંકળાયેલા કાર્યો છે, તેથી તત્વનું ફેક્ટરાઇઝેશન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે તેમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા શૂન્ય હોય. બીજગણિત પૂર્ણાંકોના કિસ્સામાં કોઈ પણ ઈરીડ્યુસિબલ તત્વો હોતા નથી, કારણ કે કોઈપણ બીજગણિત પૂર્ણાંક માટે તેનું વર્ગમૂળ (દાખલા તરીકે) પણ બીજગણિત પૂર્ણાંક હોય છે. આ બંને કિસ્સાઓમાં દર્શાવે છે કે વીંટી યુએફડી નથી, અને તેથી ચોક્કસપણે પીઆઇડી નથી. મૂલ્યાંકન રિંગ્સ બેઝઆઉટ ડોમેન્સ છે. કોઈપણ નોન-નોએથેરિયન મૂલ્યાંકન રિંગ નોન-નોએથેરિયન બેઝઆઉટ ડોમેનનું ઉદાહરણ છે. નીચેની સામાન્ય રચના બેઝઆઉટ ડોમેન S ઉત્પન્ન કરે છે જે કોઈપણ બેઝઆઉટ ડોમેન R માંથી UFD નથી જે ક્ષેત્ર નથી, ઉદાહરણ તરીકે PID માંથી; આ કેસ ધ્યાનમાં રાખવાનું મૂળભૂત ઉદાહરણ છે. ધારો કે F એ R ના અપૂર્ણાંકોનું ક્ષેત્ર છે, અને મૂકો, R માં અચળ પદ સાથે F [X] માં બહુપદીઓની સબરીંગ. આ રિંગ નોથેરિયન નથી, કારણ કે શૂન્ય અચળ પદ ધરાવતા X જેવા તત્વને R ના બિન-પરિવર્તનીય ઘટકો દ્વારા અનિશ્ચિત સમય માટે વિભાજિત કરી શકાય છે, જે હજુ પણ S માં બિન-પરિવર્તનીય છે, અને આ તમામ અવતરણો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થતો નથી (અને તેથી X નું S માં કોઈ ગુણાંક નથી). એક નીચે પ્રમાણે બતાવે છે કે S એ બેઝઆઉટ ડોમેન છે. તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે S માં દરેક જોડી a, b માટે S માં s, t અસ્તિત્વમાં છે જે a અને b બંનેને વિભાજિત કરે છે. જો a અને b પાસે સામાન્ય ભાજક d હોય, તો તે a/d અને b/d માટે આ સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે, કારણ કે તે જ s, t કરશે. આપણે બહુપદી a અને b બિન-શૂન્ય ધારી શકીએ છીએ; જો બંને શૂન્ય અચળ પદ ધરાવે છે, તો પછી n એ ન્યૂનતમ ઘાતાંક હોવો જોઈએ કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક Xn નો બિન-શૂન્ય ગુણાંક હોય; કોઈ વ્યક્તિ F માં f શોધી શકે છે જેથી fXn એ a અને b નો સામાન્ય ભાજક હોય અને તેના દ્વારા વિભાજીત થાય. તેથી આપણે ધારી શકીએ કે a, b માંથી ઓછામાં ઓછો એક બિન-શૂન્ય અચળ પદ ધરાવે છે. જો a અને b ને F [X] ના ઘટકો તરીકે જોવામાં આવે તો પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય ન હોય, તો આ UFD માં a અને b નો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે જે અચળ પદ 1 ધરાવે છે, અને તેથી S માં આવેલું છે; આપણે આ પરિબળ દ્વારા ભાગાકાર કરી શકીએ છીએ. તેથી આપણે એમ પણ ધારી શકીએ કે a અને b એ F [X] માં પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, જેથી 1 અંદર આવે છે, અને R માં અમુક અચળ બહુપદી r અંદર આવે છે. ઉપરાંત, R એ બેઝઆઉટ ડોમેન હોવાથી, સ્થિરાંકો a0 અને b0 ની R માં gcd d તેમાં આવેલું છે. અચળ પદ વિનાનું કોઈપણ તત્વ, જેમ કે અથવા, કોઈપણ બિન-શૂન્ય અચળાંક દ્વારા વિભાજ્ય હોવાથી, અચળાંક d એ a અને b ના S માં એક સામાન્ય ભાજક છે; આપણે તે દર્શાવે છે કે તે હકીકતમાં સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે. a0 અને b0 ના સંદર્ભમાં d માટે અનુક્રમે a અને b ને બેઝઆઉટ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી સ્થિર પદ d સાથે બહુપદી p મળે છે. પરંતુ પછી d પણ કરે છે, જે સાબિતીને પૂર્ણ કરે છે. ગુણધર્મો રિંગ એ બેઝઆઉટ ડોમેન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે એક અભિન્ન ડોમેન હોય જેમાં કોઈપણ બે ઘટકો પાસે સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક હોય જે તેમનું રેખીય સંયોજન હોયઃ આ નિવેદનની સમકક્ષ છે કે બે ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ પણ એક તત્વ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, અને ઇન્ડક્શન દર્શાવે છે કે તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શો મુખ્ય છે. રેખીય સંયોજન તરીકે પી. આઈ. ડી. ના બે તત્વોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકની અભિવ્યક્તિને ઘણીવાર બેઝઆઉટની ઓળખ કહેવામાં આવે છે, જ્યાંથી પરિભાષા આવે છે. નોંધ લો કે ઉપરોક્ત જી. સી. ડી. સ્થિતિ માત્ર જી. સી. ડી. ના અસ્તિત્વ કરતાં વધુ મજબૂત છે. એક અભિન્ન ડોમેન જ્યાં કોઈપણ બે ઘટકો માટે જી. સી. ડી. અસ્તિત્વમાં હોય તેને જી. સી. ડી. ડોમેન કહેવામાં આવે છે અને આમ બેઝઆઉટ ડોમેન જી. સી. ડી. ડોમેન છે. ખાસ કરીને, બેઝઆઉટ ડોમેનમાં, ઈરીડ્યુસિબલ્સ મુખ્ય હોય છે (પરંતુ બીજગણિત પૂર્ણાંક ઉદાહરણ દર્શાવે છે તેમ, તેઓ અસ્તિત્વમાં હોવાની જરૂર નથી). બેઝઆઉટ ડોમેન R માટે, નીચેની શરતો બધી સમકક્ષ છેઃ R એ મુખ્ય આદર્શ ડોમેન છે. આર નોથેરિયન છે. આર એ એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન (યુએફડી) છે. R એ મુખ્ય આદર્શો (ACCP) પર ચડતી સાંકળની સ્થિતિને સંતોષે છે. આર પરિબળોમાં દરેક બિન-શૂન્ય બિન-એકમ ઈરીડ્યુસિબલ્સના ગુણાકારમાં પરિણમે છે (આર એ અણુ ક્ષેત્ર છે). (1) અને (2) ની સમાનતા ઉપર નોંધવામાં આવી હતી. બેઝઆઉટ ડોમેન એ GCD ડોમેન હોવાથી, તે તરત જ અનુસરે છે કે (3), (4) અને (5) સમકક્ષ છે. છેવટે, જો R નોથેરિયન ન હોય, તો ત્યાં મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા આદર્શોની અનંત ચડતી સાંકળ અસ્તિત્વમાં છે, તેથી બેઝઆઉટ ડોમેનમાં મુખ્ય આદર્શોની અનંત ચડતી સાંકળ છે. (4) અને (2) આમ સમકક્ષ છે. બેઝઆઉટ ડોમેન એ પ્રુફર ડોમેન છે, એટલે કે, એક ડોમેન જેમાં દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ આદર્શ ઉલટાવી શકાય તેવું છે, અથવા બીજી રીતે, એક પરિવર્તનીય અર્ધ-વારસાગત ડોમેન કહેવાય છે.) પરિણામે, કોઈ વ્યક્તિ "બેઝઆઉટ ડોમેન આઇએફએફ પ્રુફર ડોમેન અને જીસીડી-ડોમેન" ને વધુ પરિચિત "પીઆઇડી આઇએફએફ ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન અને યુએફડી" ની સમાનતા તરીકે જોઈ શકે છે. પ્રુફર ડોમેન્સને અભિન્ન ડોમેન્સ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જેમના તમામ મુખ્ય (સમકક્ષ, તમામ મહત્તમ) આદર્શો પર સ્થાનિકીકરણ મૂલ્યાંકન ડોમેન્સ છે. તેથી મુખ્ય આદર્શ પર બેઝઆઉટ ડોમેનનું સ્થાનિકીકરણ એ મૂલ્યાંકન ડોમેન છે. સ્થાનિક રિંગમાં ઇન્વર્ટિબલ આઇડિયલ મુખ્ય હોવાથી, સ્થાનિક રિંગ એ બેઝઆઉટ ડોમેન છે જો તે મૂલ્યાંકન ડોમેન છે. તદુપરાંત, બિન-ચક્રીય (સમકક્ષ બિન-સ્વતંત્ર) મૂલ્ય જૂથ સાથેનું મૂલ્યાંકન ક્ષેત્ર નોથેરિયન નથી, અને દરેક સંપૂર્ણ રીતે ક્રમબદ્ધ અબેલિયન જૂથ એ કેટલાક મૂલ્યાંકન ક્ષેત્રનું મૂલ્ય જૂથ છે. આ બિન-નોથેરિયન બેઝઆઉટ ક્ષેત્રોના ઘણા ઉદાહરણો આપે છે. બિનપરિવર્તનશીલ બીજગણિતમાં, જમણા બેઝઆઉટ ડોમેન્સ એ ડોમેન્સ છે કે જેમના મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જમણા આદર્શો મુખ્ય જમણા આદર્શો છે, એટલે કે, R માં અમુક x માટે xR સ્વરૂપનું. એક નોંધપાત્ર પરિણામ એ છે કે જમણા બેઝઆઉટ ડોમેન એ જમણા ઓર ડોમેન છે. આ હકીકત પરિવર્તનીય કિસ્સામાં રસપ્રદ નથી, કારણ કે દરેક પરિવર્તનીય ડોમેન એક ઓર ડોમેન છે. જમણા બેઝઆઉટ ડોમેન્સ પણ જમણા અર્ધ-વારસાગત રિંગ્સ છે. બેઝઆઉટ ડોમેન પરના મોડ્યુલો પી. આઈ. ડી. પરના મોડ્યુલો વિશેની કેટલીક હકીકતો બેઝઆઉટ ડોમેન પરના મોડ્યુલો સુધી વિસ્તરે છે. ધારો કે R એ બેઝઆઉટ ડોમેન છે અને M એ R પર ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ મોડ્યુલ છે. પછી M સપાટ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વળાંક-મુક્ત હોય. સેમીફિર પણ જુઓ (એક પરિવર્તનીય સેમીફિર ચોક્કસપણે બેઝઆઉટ ડોમેન છે.) બેઝઆઉટ રીંગ સંદર્ભો પરિવર્તનીય બીજગણિત રીંગ સિદ્ધાંત