Gonality of an algebraic curve
ગણિતમાં, બીજગણિત વળાંક C ની ગતિશીલતાને C થી પ્રક્ષેપાત્મક રેખા સુધીના બિન-સ્થિર તર્કસંગત નકશાની સૌથી નીચી ડિગ્રી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ બીજગણિત શબ્દોમાં, જો C ને K ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને K (C) એ C ના કાર્ય ક્ષેત્રને સૂચવે, તો એક વિધેય f દ્વારા પેદા થયેલ તેના પેટા ક્ષેત્રો પર કાર્ય ક્ષેત્રના K (C)/K (f) ક્ષેત્ર વિસ્તરણની ડિગ્રી દ્વારા લેવામાં આવેલું લઘુત્તમ મૂલ્ય છે. જો K બીજગણિત રીતે બંધ હોય, તો જીનસ 0 ના વળાંક માટે નિશ્ચિતપણે 1 છે. જીનસ 1 (લંબગોળ વળાંક) ના વળાંક માટે અને હાયપરલિપ્ટિક વળાંક માટે (આમાં જીનસ 2 ના તમામ વળાંકનો સમાવેશ થાય છે) ગોનાલિટી 2 છે. જીનસ જી ≤ 3 માટે હવે એવું નથી કે જીનસ ગોનાલિટી નક્કી કરે છે. જીનસ જી ના સામાન્ય વળાંકની ગોનાલિટી એ (જી + 3)/2 નું ફ્લોર ફંક્શન છે. ત્રિકોણીય વળાંકો એ છે કે જે ગોનાલિટી 3 ધરાવે છે, અને આ કેસ સામાન્ય રીતે નામને જન્મ આપે છે. ત્રિકોણીય વળાંકમાં જીનસ ત્રણના પિકાર્ડ વળાંકનો સમાવેશ થાય છે અને y3 = Q (x) સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં Q ડિગ્રી 4 નો હોય છે. એમ. ગ્રીન અને આર. લેઝરફેલ્ડના ગોનાલિટી અનુમાનમાં આગાહી કરવામાં આવી છે કે બીજગણિત વળાંક સીની ગોનાલિટીની ગણતરી હોમોલોજિકલ બીજગણિત દ્વારા કરી શકાય છે, જેનો અર્થ થાય છે ઉચ્ચ ડિગ્રીના ઉલટાવી શકાય તેવા આવરણના ન્યૂનતમ રીઝોલ્યુશનથી. ઘણા કિસ્સાઓમાં ગોનાલિટી ક્લિફોર્ડ ઇન્ડેક્સ કરતાં બે વધુ હોય છે. ગ્રીન-લેઝર્સફેલ્ડ અનુમાન એ વંશના સંદર્ભમાં ડી મોટા માટે, આર પરિમાણોમાં ડિગ્રી ડી એમ્બેડિંગ માટે વર્ગીકૃત બેટ્ટી સંખ્યાઓના સંદર્ભમાં એક ચોક્કસ સૂત્ર છે. b (C) લખીને, આપેલ C ના એમ્બેડિંગ અને તેની સજાતીય કોઓર્ડિનેટ રીંગ માટે ન્યૂનતમ મુક્ત રીઝોલ્યુશનના સંદર્ભમાં, લઘુત્તમ અનુક્રમણિકા i માટે જેના માટે βi, i + 1 શૂન્ય છે, પછી ગોનાલિટી માટેનું અનુમાનિત સૂત્ર r + 1 − b (C) છે. ફેડરિકો એમોડિયોની 1900 ICM ચર્ચા અનુસાર, આ કલ્પના (પરંતુ પરિભાષા નહીં) રીમેનના થિયરી ઓફ એબેલિયન ફંક્શન્સના વિભાગ V માં ઉદ્ભવી હતી. અમોડિયોએ 1893ની શરૂઆતમાં "ગોનાલિટા" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો. સંદર્ભો બીજગણિત વણાંકો હોમોલોજિકલ બીજગણિત