Berezinian
ગણિત અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બેરેઝિનિયન અથવા સુપરડિટરમિનન્ટ એ સુપરમેટ્રિક્સના કિસ્સામાં નિર્ધારકનું સામાન્યીકરણ છે. તેનું નામ ફેલિક્સ બેરેઝિનનું છે. સુપરમેનિફોલ્ડ પર એકીકરણ માટે સંકલન ફેરફારોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે બેરેઝિનિયન નિર્ધારકની સમાન ભૂમિકા ભજવે છે. વ્યાખ્યા બેરેઝિનીયન વિશિષ્ટ રીતે બે વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી થાય છેઃ જ્યાં એઆર (એક્સ) એ એક્સના સુપરટ્રેસને સૂચવે છે. શાસ્ત્રીય નિર્ધારકથી વિપરીત, બેરેઝિનિયનને માત્ર ઇન્વર્ટિબલ સુપરમેટ્રિક્સ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ધ્યાનમાં લેવાનો સૌથી સરળ કેસ એ ક્ષેત્ર K માં એન્ટ્રીઓ સાથે સુપરમેટ્રિક્સનો બેરેઝિનિયન છે. આવા સુપરમેટ્રિક્સ K પર સુપર વેક્ટર જગ્યાના રેખીય પરિવર્તનોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. એક વિશિષ્ટ સમ સુપરમેટ્રિક્સ એ સ્વરૂપનો બ્લોક મેટ્રિક્સ છે. આવા મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો A અને D બંને K પર ઉલટાવી શકાય તેવા મેટ્રિક્સ હોય. X નો બેરેઝિનિયન દ્વારા આપવામાં આવે છે. નકારાત્મક ઘાતાંકની પ્રેરણા માટે વિચિત્ર કિસ્સામાં અવેજી સૂત્ર જુઓ. વધુ સામાન્ય રીતે, સુપરકોમ્યુટેટિવ બીજગણિત આરમાં એન્ટ્રીઓ સાથે મેટ્રિસીસને ધ્યાનમાં લો. પછી સમ સુપરમેટ્રિક્સ એ સ્વરૂપનું હોય છે જ્યાં એ અને ડીમાં સમ એન્ટ્રીઓ હોય છે અને બી અને સીમાં વિષમ એન્ટ્રીઓ હોય છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ આવા મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે જો A અને D બંને પરિવર્તનીય રીંગ R0 (R ના સમ ઉપ-બીજગણિત) માં ઉલટાવી શકાય તેવું હોય. આ કિસ્સામાં બેરેઝિનીયન દ્વારા અથવા, સમકક્ષ રીતે, દ્વારા આપવામાં આવે છે આ સૂત્રો સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે આપણે માત્ર મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો લઈ રહ્યા છીએ જેમની એન્ટ્રીઓ પરિવર્તનીય રીંગ R0 માં છે. જો સમ પરિમાણોની સંખ્યા વિષમ પરિમાણોની સંખ્યા જેટલી હોય તો જ વિષમ મેટ્રિક્સ X ઉલટાવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, X ની ઇન્વર્ટિબિલિટી એ JX ની ઇન્વર્ટિબિલિટીની સમકક્ષ છે, જ્યાં પછી X ના બેરેઝિનિયનને ગુણધર્મો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જ્યાં સુપરટ્રાન્સપોઝ સૂચવે છે. બેરેઝિનિયન મોડ્યુલ મુક્ત મોડ્યુલ M ના એન્ડોમોર્ફિઝમના નિર્ધારકને M ની 1-પરિમાણીય સૌથી વધુ બાહ્ય શક્તિ પર પ્રેરિત ક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સુપરસિમેટ્રિક કિસ્સામાં કોઈ સૌથી વધુ બાહ્ય શક્તિ નથી, પરંતુ હજુ પણ નીચે પ્રમાણે બેરેઝિનિયનની સમાન વ્યાખ્યા છે. ધારો કે M એ R પર પરિમાણ (p, q) નું મુક્ત મોડ્યુલ છે. ધારો કે A એ M ના બેવડા M * નું (સુપર) સપ્રમાણ બીજગણિત S * (M *) છે. પછી M નું ઓટોમોર્ફિઝમ ext મોડ્યુલ પર કાર્ય કરે છે (જેનું પરિમાણ (1,0) જો q સમ હોય અને પરિમાણ (0,1) જો q વિષમ હોય તો)) બેરેઝિનીયન દ્વારા ગુણાકાર તરીકે. બેરેઝિન એકીકરણ સંદર્ભો સુપર રેખીય બીજગણિત નિર્ધારકો પણ જુઓ.