Bombieri–Lang conjecture
અંકગણિત ભૂમિતિમાં, બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાન એ એક વણઉકેલાયેલી સમસ્યા છે જે એનરિકો બોમ્બેરી અને સર્જ લેંગ દ્વારા સામાન્ય પ્રકારના બીજગણિત વિવિધતાના તર્કસંગત બિંદુઓના સમૂહની ઝારિસ્કી ઘનતા વિશે અનુમાન કરવામાં આવી છે. નિવેદન સપાટીઓ માટે નબળા બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાન જણાવે છે કે જો સંખ્યા ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત સામાન્ય પ્રકારની સરળ સપાટી હોય, તો પછીના બિંદુઓ પર ઝારિસ્કી ટોપોલોજીમાં ગાઢ સમૂહ બનાવતા નથી. બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાનનું સામાન્ય સ્વરૂપ જણાવે છે કે જો સંખ્યા ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત સામાન્ય પ્રકારની હકારાત્મક-પરિમાણીય બીજગણિત વિવિધતા હોય, તો પછીના બિંદુઓ ઝારિસ્કી ટોપોલોજીમાં ગાઢ સમૂહ બનાવતા નથી. બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાનનું શુદ્ધ સ્વરૂપ જણાવે છે કે જો સંખ્યા ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત સામાન્ય પ્રકારની બીજગણિત વિવિધતા હોય, તો તેનો ગાઢ ખુલ્લો સબસેટ એવો હોય છે કે જેમાં તમામ સંખ્યા ક્ષેત્રના વિસ્તરણ માટે, અંદરના બિંદુઓનો સમૂહ મર્યાદિત હોય. ઇતિહાસ બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાન એનરિકો બોમ્બેરી અને સર્જ લેંગ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. યુનિવર્સિટી ઓફ શિકાગો ખાતે 1980ના વ્યાખ્યાનમાં, એનરિકો બોમ્બેરીએ સામાન્ય પ્રકારની સપાટીઓ માટે તર્કસંગત બિંદુઓના અધોગતિ વિશે સમસ્યા ઊભી કરી હતી. 1971 માં શરૂ થયેલા કાગળોની શ્રેણીમાં સ્વતંત્ર રીતે, સર્જ લેંગે તર્કસંગત બિંદુઓના વિતરણ અને બીજગણિત હાયપરબોલિસિટી વચ્ચેના વધુ સામાન્ય સંબંધનું અનુમાન લગાવ્યું હતું, જે બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાનના "શુદ્ધ સ્વરૂપ" માં ઘડવામાં આવ્યું હતું. સામાન્યીકરણ અને અસરો બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાન એ ફાલ્ટિંગ્સ થીયરમની સપાટીઓ માટેનું એનાલોગ છે, જે જણાવે છે કે એક કરતાં વધુ જીનસના બીજગણિત વળાંકમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા તર્કસંગત બિંદુઓ હોય છે. જો સાચું હોય, તો બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાન એર્ડોસ-ઉલામ સમસ્યાનું સમાધાન કરશે, કારણ કે તે સૂચવે છે કે યુક્લિડિયન સમતલના ગાઢ ઉપગણ અસ્તિત્વમાં નથી, જેમના તમામ જોડી મુજબના અંતર તર્કસંગત છે. 1997માં, લુસિયા કેપોરાસો, બેરી મઝુર, જો હેરિસ અને પેટ્રિશિયા પેસેલીએ દર્શાવ્યું હતું કે બોમ્બેરી-લેંગ અનુમાન તર્કસંગત બિંદુઓ માટે એક સમાન બાઉન્ડનેસ અનુમાન સૂચવે છેઃ ત્યાં માત્ર અને તેના પર આધાર રાખીને એક અચળાંક છે કે જે કોઈપણ ડિગ્રી નંબર ક્ષેત્ર પર કોઈપણ જીનસ વળાંકના તર્કસંગત બિંદુઓની સંખ્યા મહત્તમ છે. સંદર્ભો ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ ભૂમિતિમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ ધારણાઓ