Atom (measure theory)
ગણિતમાં, માપ સિદ્ધાંતમાં વધુ ચોક્કસપણે, અણુ એ માપી શકાય તેવો સમૂહ છે જે હકારાત્મક માપ ધરાવે છે અને તેમાં નાના હકારાત્મક માપનો કોઈ સમૂહ નથી. જે માપમાં અણુ ન હોય તેને અણુવિરહિત અથવા અણુવિરહિત કહેવાય છે. વ્યાખ્યા માપી શકાય તેવી જગ્યા અને તે જગ્યા પરના માપને જોતાં, એક સમૂહને અણુ કહેવામાં આવે છે જો અને સમૂહ સાથેના કોઈપણ માપી શકાય તેવા ઉપગણ માટે માપ શૂન્ય હોય, એટલે કે. . જો અણુ હોય, તો-સમકક્ષ વર્ગના તમામ ઉપગણ અણુઓ છે, અને તેને અણુ વર્ગ કહેવામાં આવે છે. જો-અનંત માપ હોય, તો સંખ્યાબંધ અણુ વર્ગો છે. ઉદાહરણો X = {1,2,., 9,10} સમૂહને ધ્યાનમાં લો અને સિગ્મા-બીજગણિતને X નો ઘાત સમૂહ થવા દો. સમૂહના માપને તેની મુખ્યતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો, એટલે કે સમૂહમાં તત્વોની સંખ્યા. પછી, દરેક સિંગલેટોન {i}, i = 1,2,., 9,10 માટે અણુ છે. વાસ્તવિક રેખા પર લેબસ્ગ્યુ માપનો વિચાર કરો. આ માપમાં કોઈ અણુ નથી. જો હકારાત્મક માપના દરેક માપી શકાય તેવા સમૂહમાં અણુ હોય તો માપી શકાય તેવી જગ્યા પર A-અનંત માપને અણુ અથવા શુદ્ધ અણુ કહેવામાં આવે છે. આ કહેવાની સમકક્ષ છે કે શૂન્ય સમૂહ સુધી અણુઓ દ્વારા રચાયેલ ગણતરીપાત્ર વિભાજન છે. - સમાપ્તિની ધારણા આવશ્યક છે. અન્યથા તે જગ્યાને ધ્યાનમાં લો જ્યાં ગણતરી માપ સૂચવે છે. આ જગ્યા પરમાણુ છે, જેમાં તમામ અણુઓ એકલ હોય છે, તેમ છતાં આ જગ્યાને સંખ્યાબંધ અસંબદ્ધ અણુઓના અસંબદ્ધ જોડાણમાં વિભાજિત કરી શકાતી નથી, અને એક શૂન્ય સમૂહ કારણ કે એકલ અણુઓનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ એ ગણતરીપાત્ર સમૂહ છે, અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની અગણિતતા દર્શાવે છે કે પૂરક અગણિત હોવું જોઈએ, તેથી તેનું માપ અનંત હશે, તે શૂન્ય સમૂહ હોવાના વિરોધાભાસમાં. - અનંત જગ્યાઓ માટેના પરિણામની માન્યતા મર્યાદિત માપ જગ્યાઓ માટેના પુરાવા પરથી અનુસરવામાં આવે છે, જેમાં અવલોકન કરવામાં આવે છે કે ગણતરીપાત્ર જોડાણોનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ ફરીથી ગણતરીપાત્ર જોડાણ છે, અને નલ સમૂહોના ગણતરીપાત્ર જોડાણ શૂન્ય છે. જો કોઈ પણ પરમાણુ વર્ગના અણુઓનું આંતરછેદ ખાલી ન હોય તો A-અનંત પરમાણુ માપને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે. તે કહેવાની સમકક્ષ છે કે તે ગણતરીના ઘણા ડીરાક માપનો ભારિત સરવાળો છે, એટલે કે, તેમાં બિંદુઓનો ક્રમ છે, અને હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (વજન) નો ક્રમ છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક માટે. આપણે દરેક બિંદુને-th અણુ વર્ગમાં અણુઓના સામાન્ય બિંદુ તરીકે પસંદ કરી શકીએ છીએ. એક અલગ માપ અણુ છે પરંતુ વિપરીત સૂચિતાર્થ નિષ્ફળ જાય છેઃ ગણતરીપાત્ર ઉપગણમાં અને સહ-ગણતરીપાત્ર ઉપગણમાં, ગણતરીપાત્ર અને સહ-ગણતરીપાત્ર ઉપગણોનું-બીજગણિત લો. પછી એક જ અણુ વર્ગ છે, જે સહ-ગણતરીપાત્ર ઉપગણ દ્વારા રચાય છે. માપ અણુ છે પરંતુ અનન્ય અણુ વર્ગમાં અણુઓનું આંતરછેદ ખાલી છે અને તેને ડીરાક માપના સરવાળા તરીકે મૂકી શકાતું નથી. જો દરેક અણુ સિંગલટનની સમકક્ષ હોય, તો જો તે અણુ હોય તો તે અલગ છે. આ કિસ્સામાં ઉપરોક્ત અણુ સિંગલેટોન છે, તેથી તેઓ અનન્ય છે. બોરેલ સમૂહો સાથે પૂરી પાડવામાં આવેલ અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યામાં કોઈપણ મર્યાદિત માપ આ શરતને સંતોષે છે. બિન-પરમાણુ માપ એ માપ કે જેમાં કોઈ અણુ નથી તેને અથવા a કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ માપ બિન-અણુ છે જો ત્યાં કોઈપણ માપી શકાય તેવા સમૂહ માટે માપી શકાય તેવા ઉપગણ અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે ઓછામાં ઓછા એક હકારાત્મક મૂલ્યવાળા બિન-પરમાણુ માપમાં અનંત સંખ્યામાં અલગ મૂલ્યો હોય છે, જેમ કે એક સાથે સમૂહથી શરૂ કરીને માપી શકાય તેવા સમૂહોનો ઘટતો ક્રમ બનાવી શકાય છે, જેમ કે આ અણુઓ ધરાવતા પગલાં માટે સાચું ન પણ હોઈ શકે; ઉપરનું પ્રથમ ઉદાહરણ જુઓ. તે તારણ આપે છે કે બિન-પરમાણુ પગલાં ખરેખર મૂલ્યોની સાતત્ય ધરાવે છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે જો તે બિન-પરમાણુ માપ છે અને તેની સાથે માપી શકાય તેવો સમૂહ છે, તો સંતોષકારક કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે એક માપી શકાય તેવો સબસેટ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે આ પ્રમેય વાક્લો સિયેરપિન્સ્કીને કારણે છે. તે સતત કાર્યો માટે મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેયની યાદ અપાવે છે. બિન-પરમાણુ માપ પર સિએરપિન્સ્કીના પ્રમેયના પુરાવાનું સ્કેચ. સહેજ મજબૂત નિવેદન, જે જોકે સાબિતીને સરળ બનાવે છે, તે એ છે કે જો બિન-પરમાણુ માપ જગ્યા હોય અને ત્યાં એક કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોય જે સમાવેશના સંદર્ભમાં મોનોટોન હોય, અને તેનો જમણો-વિપરીત હોય તો, ત્યાં માપી શકાય તેવા સમૂહોના એક-પરિમાણ પરિવાર અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે બધા માટે સાબિતી સરળતાથી ઝોર્નના લેમ્માને અનુસરે છે જે તમામ મોનોટોન આંશિક વિભાગોના સમૂહ પર લાગુ થાય છેઃ આલેખના સમાવેશ દ્વારા ક્રમબદ્ધ, તે પછી બતાવવા માટે પ્રમાણભૂત છે કે દરેક સાંકળમાં ઉપરની સીમા હોય છે અને કોઈપણ મહત્તમ તત્વ પાસે દાવાને સાબિત કરતું ડોમેન હોય છે. આ પણ જુઓ અણુ (ક્રમ સિદ્ધાંત)-ક્રમ સિદ્ધાંતમાં એક સમાન ખ્યાલ ડીરાક ડેલ્ટા કાર્ય પ્રાથમિક ઘટના, જેને અણુ ઘટના તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે નોંધો સંદર્ભો ધ એન્સાયક્લોપીડિયા ઓફ મેથેમેટિક્સ મેઝર થિયરી ખાતે અણુ સાથે બાહ્ય જોડાણ