Small Latin squares and quasigroups
લેટિન ચોરસ અને અર્ધસમૂહો સમકક્ષ ગાણિતિક પદાર્થો છે, જો કે પહેલાની સંયુક્ત પ્રકૃતિ ધરાવે છે જ્યારે બાદમાં વધુ બીજગણિત છે. નીચેની સૂચિ કેટલાક ખૂબ જ નાના ક્રમના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેશે, જે ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે, અથવા સમકક્ષ અર્ધસમૂહમાં તત્વોની સંખ્યા છે. સમાનતા તત્વો સાથેના અર્ધસમૂહને જોતાં, તેનું કેલે કોષ્ટક (લગભગ સાર્વત્રિક રીતે તેનું ગુણાકાર કોષ્ટક કહેવાય છે) એ એક કોષ્ટક છે જેમાં સરહદો શામેલ છે; સ્તંભ શીર્ષકોની ટોચની પંક્તિ અને પંક્તિ શીર્ષકોની ડાબી સ્તંભ. સરહદોને દૂર કરવાથી લેટિન ચોરસ હોય છે. આ પ્રક્રિયાને ઉલટાવી શકાય છે, લેટિન ચોરસથી શરૂ કરીને, અર્ધસમૂહનું ગુણાકાર કોષ્ટક મેળવવા માટે સરહદી પંક્તિ અને સ્તંભ રજૂ કરી શકાય છે. જ્યારે આ સરહદ કેવી રીતે કરવામાં આવે છે તેમાં સંપૂર્ણ મનસ્વીતા છે, ત્યારે વિવિધ પસંદગીઓ દ્વારા મેળવેલા અર્ધસમૂહો કેટલીકવાર નીચે આપેલા અર્થમાં સમકક્ષ હોય છે. સમસ્થાનિક અને સમરૂપતા બે લેટિન ચોરસ, કદના 1 અને 2 સમસ્થાનિક છે જો 1 ની પંક્તિઓ, સ્તંભો અને પ્રતીકોમાંથી અનુક્રમે 2 ની પંક્તિઓ, સ્તંભો અને પ્રતીકો પર ત્રણ દ્વિભાજન હોય, જે 1 થી 2 નો નકશો બનાવે છે. આઇસોટોપી એ એક સમાનતા સંબંધ છે અને સમાનતા વર્ગોને આઇસોટોપી વર્ગો કહેવામાં આવે છે. સમાનતાનું એક મજબૂત સ્વરૂપ અસ્તિત્વમાં છે. બે લેટિન ચોરસ, સામાન્ય પ્રતીક સમૂહ સાથે બાજુના 1 અને 2 જે દરેક ચોરસની પંક્તિઓ અને સ્તંભો માટે અનુક્રમણિકા સમૂહ પણ છે, જો ત્યાં કોઈ બાયજેક્શન હોય તો તે આઇસોમોર્ફિક છે. આઇસોમોર્ફિક લેટિન ચોરસને વ્યાખ્યાયિત કરવાની વૈકલ્પિક રીત એ છે કે આઇસોટોપિક લેટિન ચોરસની જોડી આઇસોમોર્ફિક છે જો તેઓ આઇસોટોપિક છે તે બતાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ત્રણ બાયજેક્શન્સ હકીકતમાં સમાન હોય. આઇસોમોર્ફિઝમ પણ એક સમાનતા સંબંધ છે અને તેના સમાનતા વર્ગોને આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો કહેવામાં આવે છે. લેટિન ચોરસની વૈકલ્પિક રજૂઆત ઓર્થોગોનલ એરે દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્રમના લેટિન ચોરસ માટે આ લેબલવાળા સ્તંભો સાથેનું 2 × 3 મેટ્રિક્સ છે, અને જેની પંક્તિઓ લેટિન ચોરસની એક જ સ્થિતિને અનુરૂપ છે, એટલે કે, સ્થિતિની પંક્તિ, સ્થિતિની સ્તંભ અને સ્થિતિમાં પ્રતીક. આમ ક્રમ ત્રણ લેટિન ચોરસ માટે, ઓર્થોગોનલ એરે આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ લેટિન ચોરસને રજૂ કરવા માટે યોગ્ય કદના મેટ્રિક્સ માટેની શરત એ છે કે કોઈપણ બે સ્તંભો માટે તે સ્તંભોમાં પંક્તિઓ દ્વારા નિર્ધારિત ક્રમાંકિત જોડીઓ 1 ≤ સાથે તમામ જોડીઓ () હોય છે, દરેક એક વાર. આ ગુણધર્મ ત્રણ સ્તંભોને ક્રમબદ્ધ કરીને (પરંતુ લેબલ નહીં) ખોવાઈ જતો નથી, તેથી અન્ય ઓર્થોગોનલ એરે (અને આમ, અન્ય લેટિન ચોરસ) મેળવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ બે સ્તંભોને ક્રમબદ્ધ કરીને, જે ચોરસને સ્થાનાંતરિત કરવા (તેના મુખ્ય કર્ણ વિશે પ્રતિબિંબિત કરે છે) ને અનુરૂપ હોય છે, તે અન્ય લેટિન ચોરસ આપે છે, જે મૂળ માટે સમસ્થાનિક હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. આ કિસ્સામાં, જો આ લેટિન વર્ગને અનુરૂપ અર્ધસમૂહ પરિવર્તનીય કાયદાને સંતોષે છે, તો નવો લેટિન વર્ગ મૂળ વર્ગ જેવો જ છે. કુલ મળીને "કંઇ ન કરો" સહિત છ શક્યતાઓ છે, જે મૂળ ચોરસના કોન્જ્યુગેટ્સ (પેરાસ્ટ્રોફ્સ પણ) તરીકે ઓળખાતા વધુમાં વધુ છ લેટિન ચોરસ આપે છે. બે લેટિન ચોરસ પેરાટોપિક હોવાનું કહેવાય છે, જે મુખ્ય વર્ગના આઇસોટોપિક પણ છે, જો તેમાંથી એક બીજાના સંયુગ્મ માટે આઇસોટોપિક હોય. મુખ્ય વર્ગો, પ્રજાતિઓ અથવા પેરાટોપી વર્ગો તરીકે ઓળખાતા સમાનતા વર્ગો સાથે પણ આ એક સમાનતા સંબંધ છે. દરેક મુખ્ય વર્ગમાં છ આઇસોટોપી વર્ગો હોય છે. મુખ્ય વર્ગ એ આઇસોટોપી વર્ગોનું સંયુક્ત જોડાણ છે અને આઇસોટોપી વર્ગ એ આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોનું સંયુક્ત જોડાણ છે. સમસ્થાનિક અર્ધસમૂહો દો અને બે અર્ધસમૂહો બનો. ઉપરથી બાયજેક્શન્સના ક્રમબદ્ધ ત્રણ ગણોને ઉપરના બધા માટે જો એક આઇસોટોપિઝમ કહેવામાં આવે છે. આવા અર્ધસમૂહો આઇસોટોપિક હોવાનું કહેવાય છે. જો ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં ક્વાસિગ્રુપને આઇસોમોર્ફિક કહેવામાં આવે છે. લેટિન ચોરસ સાથેની પરિસ્થિતિથી વિપરીત, જ્યારે બે સમસ્થાનિક અર્ધસમૂહો કેલે કોષ્ટકો (સરહદી લેટિન ચોરસ) દ્વારા રજૂ થાય છે, ત્યારે ક્રમચયો અને માત્ર સરહદી શીર્ષકો પર કામ કરે છે અને સ્તંભો અને પંક્તિઓને ખસેડતા નથી, જ્યારે ટેબલના મુખ્ય ભાગ પર કામ કરે છે. કેલે કોષ્ટકની પંક્તિઓ અને સ્તંભોને ક્રમબદ્ધ કરવાથી (શીર્ષકો સહિત) તે વ્યાખ્યાયિત કરેલા અર્ધસમૂહમાં ફેરફાર થતો નથી, જો કે, આ કોષ્ટક સાથે સંકળાયેલ લેટિન વર્ગને સમસ્થાનિક લેટિન વર્ગમાં ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવશે. આમ, કેલે કોષ્ટકને સામાન્ય બનાવવું (હેડિંગ્સ સહિત પંક્તિઓ અને સ્તંભોને ક્રમબદ્ધ કરીને કેટલાક નિશ્ચિત પૂર્વનિર્ધારિત ક્રમમાં સરહદી હેડિંગ્સ મૂકવા) સંબંધિત લેટિન ચોરસના આઇસોટોપી વર્ગને સાચવે છે. વધુમાં, જો બે સામાન્યીકૃત કેલે કોષ્ટકો આઇસોમોર્ફિક ક્વાસિગ્રુપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો તેમના સંબંધિત લેટિન ચોરસ પણ આઇસોમોર્ફિક છે. તેથી, આપેલ ક્રમના અલગ અર્ધસમૂહોની સંખ્યા એ તે ક્રમના લેટિન વર્ગના સમરૂપતા વર્ગોની સંખ્યા છે. લેટિન ચોરસ (અથવા ક્વાસીગ્રુપ) માં વપરાતા પ્રતીકોનો સમૂહ મનસ્વી છે અને વ્યક્તિગત પ્રતીકો કોઈ અર્થ ધરાવતા નથી, પછી ભલે તે અન્ય સંદર્ભોમાં અર્થ ધરાવતા હોય. આમ, ચિહ્ન સમૂહ} અથવા} નો ઉપયોગ થતો જોવો સૌથી સામાન્ય હોવાથી, યાદ રાખવું જોઈએ કે આ પ્રતીકો કોઈ આંકડાકીય અર્થ ધરાવતા નથી. આ મુદ્દા પર ભાર મૂકવા માટે, નાના લેટિન ચોરસ ક્યારેક પ્રતીક સમૂહ તરીકે મૂળાક્ષરના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરે છે. લેટિન ચોરસની ગણતરી લેટિન ચોરસ એક સંયુક્ત પદાર્થ હોવાથી, ચોરસ લખવા માટે વપરાતો પ્રતીક સમૂહ અભૌતિક છે. આમ, લેટિન ચોરસ તરીકે, આને સમાન ગણવા જોઈએઃ અને તે જ રીતે, અને તે જ કારણસર, અને તે જ રીતે વિચારવું જોઈએ. આમ, અને તેને વિવિધ લેટિન ચોરસ તરીકે વિચારી શકાતા નથી. આ સાહજિક દલીલને વધુ ચોક્કસ બનાવી શકાય છે. લેટિન ચોરસ અને ઘણી રીતે સમસ્થાનિક છે. ધારો કે () એ સમૂહ પર અનૈચ્છિક ક્રમચય છે, જેને મોકલવું અને મોકલવું. પછી આઇસોટોપી} પ્રથમ વર્ગની બે હરોળને બદલીને બીજો વર્ગ (ઓળખ ક્રમચયો) આપશે. પરંતુ,} જે બે સ્તંભોને અદલાબદલી કરે છે તે પણ એક આઇસોટોપી છે, જે બે પ્રતીકોને અદલાબદલી કરે છે. જો કે,} એ બે ચોરસ વચ્ચેની આઇસોટોપી પણ છે, અને તેથી, ચોરસની આ જોડી આઇસોમોર્ફિક છે. ઘટાડેલા ચોરસ આપેલ લેટિન ચોરસના સમરૂપતા વર્ગને શોધવો એ મોટા ક્રમના ચોરસ માટે મુશ્કેલ ગણતરીની સમસ્યા હોઈ શકે છે. સમસ્યાને કંઈક અંશે ઘટાડવા માટે, લેટિન ચોરસને હંમેશા ઘટાડેલા ચોરસ તરીકે ઓળખાતા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં મૂકી શકાય છે. ઘટાડેલા ચોરસમાં તેની ટોચની હરોળના ઘટકો પ્રતીક સમૂહ માટે અમુક કુદરતી ક્રમમાં લખાયેલા હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, વધતા ક્રમમાં પૂર્ણાંકો અથવા મૂળાક્ષર ક્રમમાં અક્ષરો). ડાબી સ્તંભની એન્ટ્રીઓ સમાન ક્રમમાં મૂકવામાં આવે છે. જેમ કે આ પંક્તિ અને સ્તંભ ક્રમચયો દ્વારા કરી શકાય છે, દરેક લેટિન ચોરસ ઘટાડેલા ચોરસ માટે સમસ્થાનિક છે. આમ, દરેક આઇસોટોપી વર્ગમાં ઘટાડેલો લેટિન ચોરસ હોવો આવશ્યક છે, જો કે, લેટિન ચોરસમાં એક કરતાં વધુ ઘટાડેલો ચોરસ હોઈ શકે છે જે તેના માટે આઇસોટોપિક છે. હકીકતમાં, આપેલ સમરૂપતા વર્ગમાં એક કરતાં વધુ ઘટાડેલા વર્ગ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ ચારના ઘટાડેલા લેટિન ચોરસ, અને બંને આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગમાં છે જેમાં ઘટાડો થયેલ ચોરસ પણ છે આ અનુક્રમે આઇસોમોર્ફિઝમ્સ {(3,4), (3,4), (3,4)} અને {(2,3), (2,3), (2,3)} દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. આઇસોટોપી વર્ગો અલગ હોવાથી, ઘટાડેલા લેટિન ચોરસની સંખ્યા આઇસોટોપી વર્ગોની સંખ્યા પર ઉપલી મર્યાદા આપે છે. ઉપરાંત, લેટિન ચોરસની કુલ સંખ્યા ઘટાડેલા ચોરસની સંખ્યાના ગણી છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ ઘટાડેલા લેટિન ચોરસની જેમ અર્ધસમૂહના કેલે કોષ્ટકને સામાન્ય બનાવી શકે છે. પછી ઘટાડેલા લેટિન ચોરસ સાથે સંકળાયેલા અર્ધસમૂહમાં (બે બાજુનું) ઓળખ તત્વ હોય છે (એટલે કે, પંક્તિ શીર્ષકોમાં પ્રથમ તત્વ). બે બાજુવાળા ઓળખવાળા અર્ધસમૂહને લૂપ કહેવામાં આવે છે. કેટલાક, પરંતુ બધા નહીં, લૂપ્સ જૂથો છે. એક જૂથ બનવા માટે, સહયોગી કાયદો પણ હોવો જોઈએ. આઇસોટોપી અપરિવર્તન લેટિન ચોરસમાં વિવિધ સબસ્ટ્રક્ચર્સની ગણતરીઓ તેમને એકબીજાથી અલગ પાડવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. આમાંની કેટલીક ગણતરીઓ લેટિન ચોરસના દરેક આઇસોટોપ માટે સમાન હોય છે અને તેને આઇસોટોપી અપરિવર્તન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આવા એક અપરિવર્તનશીલ 2 × 2 ઉપવર્ગોની સંખ્યા છે, જેને ઇન્ટરકલેટ્સ કહેવાય છે. બીજું છે ટ્રાન્સવર્સલની કુલ સંખ્યા, ક્રમના લેટિન ચોરસમાં સ્થિતિનો સમૂહ, દરેક હરોળમાં એક અને દરેક સ્તંભમાં એક, જેમાં બે વાર કોઈ તત્વ ન હોય. આ ગણતરીઓ માટે વિવિધ મૂલ્યો ધરાવતા લેટિન ચોરસ વિવિધ આઇસોટોપી વર્ગોમાં હોવા જોઈએ. ઇન્ટરકલેટ્સની સંખ્યા પણ મુખ્ય વર્ગ અપરિવર્તનશીલ છે. ક્રમ 1 ક્રમ 1 માટે પ્રતીક 1 સાથે માત્ર એક જ લેટિન ચોરસ છે અને અંતર્ગત સમૂહ {1} સાથે એક અર્ધસમૂહ છે; તે એક જૂથ છે, તુચ્છ જૂથ. ક્રમ 2 ક્રમ 2 નો માત્ર એક ઘટાડો લેટિન વર્ગ છે (અને કુલ માત્ર બે), એટલે કે આ ક્રમમાં માત્ર એક ઘટાડો વર્ગ હોવાથી, ત્યાં માત્ર એક જ આઇસોટોપી વર્ગ છે. હકીકતમાં, આ આઇસોટોપી વર્ગ પણ એક આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગ છે (ઉપર બતાવેલ). લેટિન વર્ગોનો માત્ર એક જ સમરૂપતા વર્ગ હોવાથી, ક્રમ બે (સમરૂપતા સુધી) નો માત્ર એક જ અર્ધસમૂહ હોય છે અને તે સામાન્ય રીતે ક્રમ બેનું ચક્રીય જૂથ Z/2Z દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ક્રમ 3 (12 માંથી) ક્રમ ત્રણનો માત્ર એક ઘટાડેલો લેટિન વર્ગ પણ છે, આમ, ત્યાં માત્ર એક જ આઇસોટોપી વર્ગ છે. જો કે, આ આઇસોટોપી વર્ગ પાંચ આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોનું જોડાણ છે. પાંચમાંથી ત્રણ સમરૂપતા વર્ગોમાં દરેકમાં ત્રણ લેટિન ચોરસ હોય છે, એકમાં બે હોય છે અને એકમાં માત્ર એક હોય છે. ઘટાડો થયેલ ચોરસ ત્રણ ઘટકો સાથે સમરૂપતા વર્ગમાં છે અને તેથી અનુરૂપ અર્ધસમૂહ એક લૂપ છે, હકીકતમાં તે એક જૂથ છે, Z/3Z, ક્રમ ત્રણનું ચક્રીય જૂથ છે. આ દરેક સમરૂપતા વર્ગોના લેટિન વર્ગ પ્રતિનિધિ દ્વારા આપવામાં આવે છે (દરેકની નીચેની સંખ્યા અનુરૂપ સમરૂપતા વર્ગમાં ચોરસની સંખ્યા છે): ક્રમ 4 ક્રમ ચારના ચાર ઘટાડેલા લેટિન ચોરસ છે (576 ચોરસમાંથી). આ છેઃ આમાંથી છેલ્લા ત્રણ સમરૂપ છે (ઉપર જુઓ). બે મુખ્ય વર્ગો છે, બે આઇસોટોપી વર્ગો અને 35 આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો. 35 ક્વાસિગ્રુપ્સમાંથી, માત્ર બે લૂપ્સ છે, અને હકીકતમાં તે જૂથો છે. ઉપરના પ્રથમ ચોરસને અનુરૂપ ક્લેઈન ચાર જૂથ છે, જ્યારે અન્ય ત્રણ ચોરસમાંથી કોઈપણને અનુરૂપ ચક્રીય જૂથ Z/4Z છે. પ્રથમ ચોરસમાં આઠ ટ્રાન્સવર્સલ અને 12 ઇન્ટરકલેટ્સ છે, જ્યારે અન્ય દરેકમાં કોઈ ટ્રાન્સવર્સલ અને ચાર ઇન્ટરકલેટ્સ નથી. ક્લેઈન ચાર જૂથના સમરૂપતા વર્ગમાં ચાર સભ્યો હોય છે, જ્યારે ચક્રીય જૂથના સમરૂપતા વર્ગમાં 12 સભ્યો હોય છે. 576 લેટિન ચોરસમાંથી, 288 સુડોકુના 4×4 સંસ્કરણના ઉકેલો છે, જેને કેટલીકવાર શી ડોકુ કહેવામાં આવે છે. ક્રમ 5 ક્રમ પાંચના 161,280 લેટિન ચોરસમાંથી, ત્યાં 56 ઘટાડેલા ચોરસ છે. બે મુખ્ય વર્ગો અને માત્ર બે આઇસોટોપી વર્ગો છે, પરંતુ 1,411 આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો છે. ત્યાં છ સમરૂપતા વર્ગો છે જેમાં ઘટાડેલા ચોરસ હોય છે, એટલે કે, ત્યાં છ લૂપ્સ છે, જેમાંથી માત્ર એક જૂથ છે, ક્રમ પાંચનું ચક્રીય જૂથ. નીચે ક્રમ પાંચના બે ઘટાડેલા લેટિન ચોરસ છે, દરેક આઇસોટોપી વર્ગમાંથી એક. પ્રથમ ચોરસમાં 15 ટ્રાન્સવર્સલ છે, કોઈ ઇન્ટરકલેટ્સ નથી અને તે ચક્રીય જૂથ ઝેડ/5ઝેડનું સીમાવિહીન કેલે ટેબલ છે. બીજા ચોરસમાં ત્રણ ટ્રાન્સવર્સલ અને ચાર ઇન્ટરકલેટ્સ છે. તે એક લૂપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે જૂથ નથી, કારણ કે, દાખલા તરીકે, 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2, જ્યારે (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, તેથી સહયોગી કાયદો ધરાવતો નથી. ઓર્ડર 6 થી 10 લેટિન ચોરસની સંખ્યા, જેમ જેમ ક્રમ વધે છે, તેમ તેમ સંયોજન વિસ્ફોટ તરીકે ઓળખાતી ઘટના દર્શાવે છે; કદમાં નાના વધારા માટે પણ જાતોમાં ભારે વધારો થાય છે. મૂળભૂત ગણતરીઓ આગામી બે કોષ્ટકોમાં આપવામાં આવી છે, અને અહીં જે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે તેનાથી વધુ ચોક્કસતા સાથે જાણીતું નથી. ઇતિહાસ આ અહેવાલ નીચે મુજબ છે. લેટિન ચોરસની ગણતરીનો લાંબો ઇતિહાસ છે, પરંતુ પ્રકાશિત અહેવાલોમાં ઘણી ભૂલો છે. 1782માં યુલર અને 1890માં કેલી, બંને પાંચ ક્રમ સુધીના ઘટાડેલા લેટિન ચોરસની સંખ્યાને જાણતા હતા. 1915માં, મેકમોહનએ સમસ્યાનો અલગ રીતે સંપર્ક કર્યો હતો, પરંતુ શરૂઆતમાં પાંચ ક્રમ માટે ખોટી કિંમત મેળવી હતી. 1890માં M.Frolov અને 1901માં ટેરિએ ક્રમ છના ઘટાડેલા ચોરસની સંખ્યા શોધી કાઢી હતી. એમ. ફ્રોલોવે ક્રમ સાતના ઘટાડેલા ચોરસની ખોટી ગણતરી આપી હતી. આર. એ. ફિશર અને એફ. યેટ્સ, ઇ. સ્કોનહાર્ટ્ટના અગાઉના કાર્યથી અજાણ હતા, તેમણે છ સુધીના સમસ્થાનિક વર્ગોની સંખ્યા આપી હતી. 1939માં, એચ. ડબલ્યુ. નોર્ટને સાત ક્રમના 562 આઇસોટોપી વર્ગો શોધી કાઢ્યા હતા, પરંતુ સ્વીકાર્યું હતું કે તેમની પદ્ધતિ અપૂર્ણ હતી. એ. સાડે, 1951 માં, પરંતુ ખાનગી રીતે 1948 માં અગાઉ પ્રકાશિત થયું હતું, અને પી. એન. સક્સેનાએ વધુ વર્ગો શોધી કાઢ્યા હતા અને 1966 માં, ડી. એ. પ્રીસે નોંધ્યું હતું કે આનાથી નોર્ટનના પરિણામને 564 આઇસોટોપી વર્ગોમાં સુધારવામાં આવ્યું હતું. જો કે, 1968માં, જે. ડબલ્યુ. બ્રાઉને 563ની ખોટી કિંમતની જાહેરાત કરી હતી, જેનું વારંવાર પુનરાવર્તન કરવામાં આવ્યું છે. તેમણે આઠ ક્રમના આઇસોટોપી વર્ગોની ખોટી સંખ્યા પણ આપી હતી. ક્રમ આઠના ઘટાડેલા ચોરસની સાચી સંખ્યા એમ. બી. દ્વારા પહેલેથી જ મળી આવી હતી. 1967માં વેલ્સ, અને 1990માં જી. કોલેસોવા, સી. ડબલ્યુ. એચ. દ્વારા આઇસોટોપી વર્ગોની સંખ્યા. લામ અને એલ. થીલ. ક્રમ નવ માટે ઘટાડેલા ચોરસની સંખ્યા એસ. ઇ. બેમેલ અને જે. રોથસ્ટીન દ્વારા, ક્રમ 10 માટે બી. ડી. મેકકે અને ઇ. રોગોયસ્કી દ્વારા અને ક્રમ 11 માટે બી. ડી. મેકકે અને આઈ. એમ. વાનલેસ દ્વારા મેળવવામાં આવી હતી. આ પણ જુઓ નાના જૂથોની યાદી નોંધો સંદર્ભો બિન-સહયોગી બીજગણિત લેટિન ચોરસ