Holomorphic functional calculus
ગણિતમાં, હોલોમોર્ફિક કાર્યાત્મક કલન એ હોલોમોર્ફિક કાર્યો સાથેનું કાર્યાત્મક કલન છે. એટલે કે, કોમ્પ્લેક્સ આર્ગ્યુમેંટ z અને ઓપરેટર T ના હોલોમોર્ફિક ફંક્શન f ને જોતાં, તેનો ઉદ્દેશ ઓપરેટર, f (T) નું નિર્માણ કરવાનો છે, જે સ્વાભાવિક રીતે કોમ્પ્લેક્સ આર્ગ્યુમેંટથી ઓપરેટર આર્ગ્યુમેંટ સુધી ફંક્શન f ને વિસ્તરે છે. વધુ ચોક્કસપણે, કાર્યાત્મક કલન T ના વર્ણપટના પડોશ પરના હોલોમોર્ફિક વિધેયોથી બાઉન્ડેડ ઓપરેટરો સુધી સતત બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ લેખ એ કેસની ચર્ચા કરશે કે જ્યાં T એ અમુક બનાચ જગ્યા પર બંધાયેલ રેખીય સંચાલક છે. ખાસ કરીને, T એ જટિલ એન્ટ્રીઓ સાથેનું ચોરસ મેટ્રિક્સ હોઈ શકે છે, જેનો ઉપયોગ કાર્યાત્મક કલનને સમજાવવા અને સામાન્ય રચનામાં સામેલ ધારણાઓ માટે કેટલીક સંશોધનાત્મક આંતરદૃષ્ટિ પ્રદાન કરવા માટે કરવામાં આવશે. સામાન્ય કાર્યાત્મક કલન માટે પ્રેરણાની જરૂરિયાત આ વિભાગ T માં જટિલ એન્ટ્રીઓ સાથે n × n મેટ્રિક્સ હોવાનું માનવામાં આવશે. જો આપેલ વિધેય f ચોક્કસ વિશિષ્ટ પ્રકારનું હોય, તો f (T) ને વ્યાખ્યાયિત કરવાની કુદરતી રીતો છે. દાખલા તરીકે, જો એક જટિલ બહુપદી હોય, તો કોઈ વ્યક્તિ ફક્ત Z માટે T ને બદલી શકે છે અને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે કે T0 = I, ઓળખ મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. આ બહુપદી કાર્યાત્મક કલન છે. તે બહુપદીઓની વીંટીથી લઈને n × n મેટ્રિસીસની વીંટી સુધીનું હોમોમોર્ફિઝમ છે. બહુપદીઓથી સહેજ વિસ્તરે તો, જો f: C → C દરેક જગ્યાએ હોલોમોર્ફિક હોય, એટલે કે. એક સંપૂર્ણ કાર્ય, બહુપદી કેસની નકલ કરતી મેકલૌરિન શ્રેણી સાથે સૂચવે છે કે આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કારણ કે મેકલૌરિન શ્રેણી દરેક જગ્યાએ એકરૂપ થાય છે, તેથી ઉપરોક્ત શ્રેણી પસંદ કરેલા ઓપરેટર ધોરણમાં એકરૂપ થશે. આનું ઉદાહરણ મેટ્રિક્સનું ઘાતાંકીય છે. એફ (ઝેડ) = ઇઝેડની મેકલૌરિન શ્રેણીમાં ઝેડને ટી દ્વારા બદલવાથી એ જરૂરિયાત મળે છે કે એફની મેકલૌરિન શ્રેણી દરેક જગ્યાએ એકરૂપ થાય છે જેને કંઈક અંશે હળવા કરી શકાય છે. ઉપરથી એ સ્પષ્ટ થાય છે કે જે ખરેખર જરૂરી છે તે એ છે કે મેકલૌરિન શ્રેણીના અભિસરણની ત્રિજ્યા ટીના સંચાલક ધોરણ ટી કરતાં વધારે હોય છે. આ કંઈક અંશે એફના કુટુંબને વિસ્તૃત કરે છે જેના માટે ઉપરના અભિગમનો ઉપયોગ કરીને એફ (ટી) ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જોકે તે સંતોષકારક નથી. દાખલા તરીકે, મેટ્રિક્સ થિયરીમાંથી તે હકીકત છે કે દરેક નોન-સિંગ્યુલર T પાસે લઘુગણક S એ અર્થમાં હોય છે કે eS = T. બિન-સિંગ્યુલર T માટે, ln (T) ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પરવાનગી આપે તેવું કાર્યાત્મક કલન હોવું ઇચ્છનીય છે, જેમ કે તે S સાથે મેળ ખાય છે. આ પાવર સિરીઝ દ્વારા કરી શકાતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે લઘુગણક શ્રેણી માત્ર ઓપન યુનિટ ડિસ્ક પર જ એકરૂપ થાય છે. શ્રેણીમાં Z માટે T ને બદલીને, ઇન્વર્ટિબલ T + I માટે ln (T + I) માટે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અભિવ્યક્તિ આપવામાં નિષ્ફળ જાય છે. આમ વધુ સામાન્ય કાર્યાત્મક કલન જરૂરી છે. કાર્યાત્મક કલન અને વર્ણપટ એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે કે f (T) ને અર્થમાં લાવવા માટે જરૂરી શરત એ છે કે તેને T ના વર્ણપટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય મેટ્રિસીસ માટે વર્ણપટ પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક સામાન્ય મેટ્રિક્સ એકાત્મક રીતે વિકર્ણક્ષમ છે. જ્યારે T નોર્મલ હોય ત્યારે આ f (T) ની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે. જો f (λ) ને T ના અમુક આઈગન વેલ્યુ λ માટે વ્યાખ્યાયિત ન કરવામાં આવે તો મુશ્કેલીઓનો સામનો કરવો પડે છે. અન્ય સંકેતો એ વિચારને પણ મજબૂત કરે છે કે f (T) ને ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યારે f ને T ના વર્ણપટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે. જો T ઉલટાવી શકાય તેવું ન હોય, તો (યાદ કરો કે T એ n x n મેટ્રિક્સ છે) 0 એ આઈગન વેલ્યુ છે. કુદરતી લઘુગણક 0 પર અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી, કોઈ એવી અપેક્ષા રાખશે કે ln (T) ને કુદરતી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી. આ ખરેખર કિસ્સો છે. અન્ય એક ઉદાહરણ તરીકે, f (T) ની ગણતરી કરવાની વાજબી રીત હશે તેમ જણાય છે, જો જમણી બાજુના વ્યુત્ક્રમો અસ્તિત્વમાં ન હોય તો આ અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતી નથી, એટલે કે, જો 2 અથવા 5 T ના આઈગન મૂલ્યો હોય. આપેલ મેટ્રિક્સ T માટે, T ના આઈગન મૂલ્યો નક્કી કરે છે કે f (T) ને કેટલી હદે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે; એટલે કે, f (λ) ને T ના તમામ આઈગન મૂલ્યો λ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે. સામાન્ય બાઉન્ડેડ ઓપરેટર માટે આ શરત "f ને T ના સ્પેક્ટ્રમ પર વ્યાખ્યાયિત કરવી આવશ્યક છે". આ ધારણા એક સક્ષમ સ્થિતિ સાબિત થાય છે જેમ કે કાર્યાત્મક કલન નકશો, f → f (T), ચોક્કસ ઇચ્છનીય ગુણધર્મો ધરાવે છે. બાઉન્ડેડ ઓપરેટર માટે કાર્યાત્મક કલન ધારો કે X એક જટિલ બનાચ જગ્યા છે, અને L (X) એ X પર બાઉન્ડેડ ઓપરેટરોના કુટુંબને સૂચવે છે. ક્લાસિકલ ફંક્શન થિયરીમાંથી કોચી ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલાને યાદ કરો. ધારો કે f: C → C એ અમુક ખુલ્લા સમૂહ D વાય C પર હોલોમોર્ફિક છે, અને γ એ D માં સુધારી શકાય તેવો જોર્ડન વળાંક છે, એટલે કે, સ્વ-આંતરછેદો વિના મર્યાદિત લંબાઈનો બંધ વળાંક. ધારો કે બિંદુઓનો સમૂહ U એ જાતની અંદર આવેલો છે, એટલે કે. જેમ કે ઝેડ વિશેની વાયન્ડિંગ સંખ્યા 1 છે, જે ડી. માં સમાયેલી છે. યુ. માં કોઈપણ ઝેડ માટે કોચી ઇન્ટિગ્રલ સૂત્ર જણાવે છે. આ સૂત્રને બનાચ જગ્યા L (X) માં મૂલ્યો લેતા કાર્યો સુધી વિસ્તારવાનો વિચાર છે. કોચીનું અભિન્ન સૂત્ર નીચેની વ્યાખ્યા સૂચવે છે (સંપૂર્ણ રીતે ઔપચારિક, હમણાં માટે): જ્યાં (ζ−T) −1 એ ζ પર Tનું દ્રાવક છે. આ બનાચ સ્પેસ-વેલ્યુડ ઇન્ટિગ્રલને યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે એમ ધારીએ તો, આ સૂચિત કાર્યાત્મક કલન નીચેની જરૂરી શરતોને સૂચવે છેઃ જેમ કે કોચીના ઇન્ટિગ્રલ સૂત્રનું સ્કેલર વર્ઝન હોલોમોર્ફિક f ને લાગુ પડે છે, અમે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે બનાચ સ્પેસ કેસ માટે પણ આવું જ છે, જ્યાં બનાચ સ્પેસ L (X) માં મૂલ્યો લેતા કાર્યો માટે હોલોમોર્ફીની યોગ્ય કલ્પના હોવી જોઈએ. જેમ કે ટી, σ (T) ના વર્ણપટ પર રિઝોલ્વન્ટ મેપિંગ ζ → (ζ−T) −1 અવ્યાખ્યાયિત છે, તેથી જોર્ડન વળાંક κ એ σ (T) ને છેદવું જોઈએ નહીં. હવે, રિઝોલ્વન્ટ મેપિંગ σ (T) ના પૂરક પર હોલોમોર્ફિક હશે. તેથી બિન-તુચ્છ કાર્યાત્મક કલન મેળવવા માટે, κ એ σ (T) નો (ઓછામાં ઓછો ભાગ) સંલગ્ન કરવો આવશ્યક છે. કાર્યાત્મક કલન એ અર્થમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોવું જોઈએ કે f (T) એ જાતથી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ. કાર્યાત્મક કલનની સંપૂર્ણ વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છેઃ T ω L (X) માટે, વ્યાખ્યાયિત કરો કે જ્યાં f એ એક હોલોમોર્ફિક કાર્ય છે જે ખુલ્લા સમૂહ D ω C પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જેમાં σ (T) હોય છે, અને γ = {γ1,., γm} એ D માં અસંબદ્ધ જોર્ડન વળાંકનો સંગ્રહ છે જે "અંદર" સમૂહ U ને બાંધે છે, જેમ કે σ (T) U માં આવેલું છે, અને દરેક γi સીમા અર્થમાં લક્ષી છે. ઓપન સેટ D એ f સાથે બદલાઈ શકે છે અને જમણી બાજુના આંકડાઓ દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે તેને જોડવાની અથવા ફક્ત જોડવાની જરૂર નથી. નીચેના પેટા વિભાગો વ્યાખ્યામાં લાગુ કરવામાં આવેલી કલ્પનાઓને ચોક્કસ બનાવે છે અને દર્શાવે છે કે આપેલ ધારણાઓ હેઠળ એફ (ટી) ખરેખર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. બનાચ સ્પેસ-વેલ્યુડ ઇન્ટિગ્રલ Cf. બોચ્નર ઇન્ટિગ્રલ સતત કાર્ય માટે g ને γ ના ખુલ્લા પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને L (X) માં મૂલ્યો લે છે, સમોચ્ચ ઇન્ટિગ્રલ γ એ સ્કેલર કેસની જેમ જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક અંતરાલ [a, b] દ્વારા દરેક γi ω ને પેરામેટ્રીઝ કરી શકાય છે, અને ઇન્ટિગ્રલ એ [a, b] ના એવર-ફાઈનર પાર્ટીશનોમાંથી મેળવેલા રીમાન રકમની મર્યાદા છે. રીમાન સમ યુનિફોર્મ ઓપરેટર ટોપોલોજીમાં ભેગા થાય છે. આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કાર્યાત્મક કલનની વ્યાખ્યામાં, f એ જાતના ખુલ્લા પડોશમાં હોલોમોર્ફિક હોવાનું માનવામાં આવે છે. તે નીચે બતાવવામાં આવશે કે રિઝોલ્વન્ટ સમૂહ પર રિઝોલ્વન્ટ મેપિંગ હોલોમોર્ફિક છે. તેથી, અભિન્ન અર્થમાં છે. રિઝોલ્વન્ટ મેપિંગ ζ → (ζ−T) −1 મેપિંગને T નું રિઝોલ્વન્ટ મેપિંગ કહેવામાં આવે છે. તેને σ (T) ના પૂરક પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને T નો રિઝોલ્વન્ટ સેટ કહેવામાં આવે છે અને તેને ρ (T) દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. હોલોમોર્ફિક ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસ સમાન છે જેમાં રિઝોલ્વન્ટ મેપિંગ સરસ ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસમાંથી જરૂરી ગુણધર્મો મેળવવામાં નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે. આ પેટા વિભાગ દ્રાવક નકશાના ગુણધર્મોની રૂપરેખા આપે છે જે આ સંદર્ભમાં આવશ્યક છે. પ્રથમ રિઝોલ્વન્ટ સૂત્ર ડાયરેક્ટ કેલ્ક્યુલેશન બતાવે છે કે, z1 માટે, આ સમીકરણને પ્રથમ રિઝોલ્વન્ટ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. સૂત્ર (z1−T) −1 અને (z2−T) −1 પરિવર્તન દર્શાવે છે, જે એ હકીકત તરફ સંકેત આપે છે કે કાર્યાત્મક કલનની છબી પરિવર્તનીય બીજગણિત હશે. z2 → z1 લેટિંગ દર્શાવે છે કે રિઝોલ્વન્ટ નકશો દરેક z1 bulρ (T) પર (જટિલ-) વિકલનક્ષમ છે; તેથી કાર્યાત્મક કલનની અભિવ્યક્તિમાં અભિન્ન L (X) માં એકરૂપ થાય છે. વિભેદક નકશાના સંદર્ભમાં વિભેદકતા કરતાં વિશ્લેષણાત્મકતા વધુ મજબૂત નિવેદન કરી શકાય છે. રિઝોલ્વન્ટ સમૂહ ρ (T) વાસ્તવમાં એક ખુલ્લો સમૂહ છે જેના પર રિઝોલ્વન્ટ નકશો વિશ્લેષણાત્મક છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કાર્યાત્મક કલન માટે અનુગામી દલીલોમાં કરવામાં આવશે. આ દાવાને ચકાસવા માટે, ચાલો z1 bulρ (T) જોઈએ અને ઔપચારિક અભિવ્યક્તિની નોંધ લઈએ જે સૂચવે છે કે આપણે (z2−T) −1 માટે વિચારણા કરીએ છીએ. ઉપરોક્ત શ્રેણી L (X) માં એકરૂપ થાય છે, જે (z2−T) −1 નું અસ્તિત્વ સૂચવે છે, જો તેથી, રિઝોલ્વન્ટ સમૂહ ρ (T) ખુલ્લો છે અને z1−ρ (T) પર કેન્દ્રિત ખુલ્લી ડિસ્ક પર પાવર શ્રેણી અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે રિઝોલ્વન્ટ નકશો ρ (T) પર વિશ્લેષણાત્મક છે. ન્યુમેન શ્રેણી (z−T) −1 માટે અન્ય અભિવ્યક્તિ પણ ઉપયોગી થશે. ઔપચારિક અભિવ્યક્તિ વ્યક્તિને ધ્યાનમાં લેવા તરફ દોરી જાય છે આ શ્રેણી, ન્યુમેન શ્રેણી, (z−T) −1 માં એકરૂપ થાય છે જો σ (T) ની સઘનતા હોય તો રિઝોલ્વન્ટના છેલ્લા બે ગુણધર્મોમાંથી આપણે ધારી શકીએ કે બાઉન્ડેડ ઓપરેટર T નું સ્પેક્ટ્રમ σ (T) એ C નો કોમ્પેક્ટ સબસેટ છે. તેથી, કાર્યાત્મક કલનની વ્યાખ્યા માટે, ખરેખર જોર્ડન વળાંકનો એક યોગ્ય પરિવાર દરેક એફ માટે મળી શકે છે જે અમુક ડી પર હોલોમોર્ફિક છે. સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અગાઉની ચર્ચાએ દર્શાવ્યું છે કે અભિન્ન અર્થમાં છે, એટલે કે. દરેક f માટે જોર્ડન વળાંકનો યોગ્ય સંગ્રહ અસ્તિત્વમાં છે અને અભિન્ન યોગ્ય અર્થમાં એકરૂપ થાય છે. જે બતાવવામાં આવ્યું નથી તે એ છે કે કાર્યાત્મક કલનની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ છે, એટલે કે. તે કુલુની પસંદગી પર આધારિત નથી. આ મુદ્દાને હવે આપણે ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. એક પ્રારંભિક હકીકત જોર્ડન વણાંકોના સંગ્રહ માટે γ = {γ1,., γm} અને એક બિંદુ a ωC, a ના સંદર્ભમાં γ ની વળાંક સંખ્યા એ તેના તત્વોની વળાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. જો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તોઃ નીચેના પ્રમેય કૌચી દ્વારા છેઃ પ્રમેય. જો g: G → C એ હોલોમોર્ફિક હોય, અને G ના પૂરકમાં બધા a માટે, n (જાત, a) = 0 હોય, તો પછી જાત પર g નું સમોચ્ચ અભિન્ન શૂન્ય છે. જ્યારે g એ L (X) માં મૂલ્યો લે છે ત્યારે આપણને આ પરિણામના વેક્ટર-મૂલ્યના એનાલોગની જરૂર પડશે. આ માટે, ધારો કે g: G → L (X) એ હોલોમોર્ફિક છે, અને તે જ ધારણાઓ સાથે. વિચાર એ છે કે L (X) ની બેવડી જગ્યા L (X) * નો ઉપયોગ કરો અને સ્કેલર કેસ માટે કોચીના પ્રમેય પર જાઓ. ઇન્ટિગ્રલનો વિચાર કરો જો આપણે બતાવી શકીએ કે આ ઇન્ટિગ્રલ પર બધા φωL (X) * અદૃશ્ય થઈ જાય તો ઇન્ટિગ્રલ પોતે શૂન્ય હોવું જોઈએ. કારણ કે φ બાઉન્ડેડ છે અને ઇન્ટિગ્રલ નોર્મમાં કન્વર્જ થાય છે, આપણી પાસે છેઃ પરંતુ g એ હોલોમોર્ફિક છે, તેથી રચના φ (g): G ρC → C હોલોમોર્ફિક છે અને તેથી કોચીના પ્રમેય દ્વારા મુખ્ય દલીલ કાર્યાત્મક કલનની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિતતા હવે એક સરળ પરિણામ તરીકે અનુસરે છે. ધારો કે D એ σ (T) ધરાવતો ખુલ્લો સમૂહ છે. ધારો કે જોર્ડન વળાંકના બે (મર્યાદિત) સંગ્રહો છે જે કાર્યાત્મક કલન માટે આપવામાં આવેલી ધારણાને સંતોષે છે. આપણે બતાવવા માંગીએ છીએ કે ચાલો ω′ દરેક ωj ની દિશાને ઉલટાવીને ω થી મેળવવામાં આવે, પછી બે સંગ્રહોના જોડાણને ધ્યાનમાં લો. γ ω ′ અને σ (T) બંને કોમ્પેક્ટ છે. તેથી ત્યાં કેટલાક ખુલ્લા સમૂહ U છે જેમાં γ ω ′ છે જેમ કે σ (T) એ U ના પૂરકમાં આવેલું છે. U ના પૂરકમાં કોઈપણ a નો વળાંક નંબર n ( તાઇમ, a) = 0 છે અને કાર્ય U પર હોલોમોર્ફિક છે. તેથી કોચીના પ્રમેયની વેક્ટર-મૂલ્યવાળી આવૃત્તિ આપે છે. તેથી કાર્યાત્મક કલન સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. પરિણામે, જો f1 અને f2 એ σ (T) ના પડોશ D1 અને D2 પર વ્યાખ્યાયિત બે હોલોમોર્ફિક વિધેયો હોય અને તેઓ σ (T) ધરાવતા ખુલ્લા સમૂહ પર સમાન હોય, તો f1 (T) = f2 (T). વધુમાં, D1 એ D2 ન પણ હોઈ શકે, તેમ છતાં સંચાલક (f1 + f2) (T) સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. એ જ (f1·f2) (T) ની વ્યાખ્યા માટે લાગુ પડે છે. આ ધારણા પર કે f એ σ (T) ના ખુલ્લા પડોશ પર હોલોમોર્ફિક છે, અત્યાર સુધી આ ધારણાની સંપૂર્ણ શક્તિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો નથી. ઇન્ટિગ્રલના કન્વર્જન્સ માટે, માત્ર સાતત્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થવા માટે, આપણને માત્ર  તાઇપેટીઓ ધરાવતા ખુલ્લા સમૂહ U પર હોલોમોર્ફિક બનવા માટે f ની જરૂર હતી, પરંતુ જરૂરી નથી કે σ (T) હોય. આ ધારણા કાર્યાત્મક કલનની હોમોમોર્ફિઝમ મિલકત દર્શાવવા માટે તેની સંપૂર્ણતામાં લાગુ કરવામાં આવશે. ગુણધર્મો બહુપદી કેસ નકશાની રેખીયતા f′f (T) અભિન્નના અભિસરણથી અનુસરે છે અને બનાચ જગ્યા પરની રેખીય કામગીરી સતત હોય છે. આપણે બહુપદી કાર્યાત્મક કલનને ત્યારે પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ જ્યારે f (z) = σ0 ≤ i ≤ mii એ બહુપદી હોય. આ સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે, k ≤ 0 અને f (z) = zk માટે, તે સાચું છે કે f (T) = Tk, એટલે કે. σ (T) ને આવરી લેતા કોઈપણ યોગ્ય γ માટે. ઉપર જણાવ્યા મુજબ, જેમ કે ઉપર જણાવ્યા મુજબ, રિઝોલ્વન્ટ નકશો પાવર સિરીઝની રજૂઆતને સ્વીકારે છે જે આપે છે જે δ એ ક્રોનેકર ડેલ્ટા પ્રતીક છે. હોમોમોર્ફિઝમ ગુણધર્મ કોઈપણ f1 અને f2 માટે યોગ્ય ધારણાઓને સંતોષવા માટે, હોમોમોર્ફિઝમ ગુણધર્મ જણાવે છે કે આપણે એક દલીલને સ્કેચ કરીએ છીએ જે પ્રથમ રિઝોલ્વન્ટ સૂત્ર અને f પર મૂકવામાં આવેલી ધારણાઓને આમંત્રણ આપે છે. આનું કારણ નીચે સ્પષ્ટ થશે. સીધી ગણતરી કરીને પ્રારંભ કરો છેલ્લી લીટી એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે ω ω γ2 એ γ1 ની બહાર આવેલું છે અને f1 એ σ (T) ના કેટલાક ખુલ્લા પડોશ પર હોલોમોર્ફિક છે અને તેથી બીજી ટર્મ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી, આપણી પાસે છેઃ કોમ્પેક્ટ કન્વર્જન્સના સંદર્ભમાં સાતત્ય ચાલો GRC એ σ (T) ρG સાથે ખુલ્લું રહે. ધારો કે G પર હોલોમોર્ફિક કાર્યોનો ક્રમ {fk} G ના કોમ્પેક્ટ સબસેટ પર સમાનરૂપે કન્વર્જ થાય છે (આને કેટલીકવાર કોમ્પેક્ટ કન્વર્જન્સ કહેવામાં આવે છે). પછી {fk (T)} એ L (X) માં કન્વર્જન્ટ છેઃ સરળતા માટે ધારો કે જાત માત્ર એક જ જોર્ડન વળાંક ધરાવે છે. આપણે એકસમાન અભિસરણ ધારણા અને વિવિધ સાતત્ય વિચારણાઓને જોડીને અંદાજ લગાવીએ છીએ કે, આપણે જોઈએ છીએ કે ઉપરોક્ત k, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, તેથી {fk (T)} એ કૌચી છે, તેથી અભિસારી છે. વિશિષ્ટતા સારાંશ આપવા માટે, આપણે હોલોમોર્ફિક કાર્યાત્મક કલન દર્શાવ્યું છે, f → f (T), તેમાં નીચેના ગુણધર્મો છેઃ તે બહુપદી કાર્યાત્મક કલનને વિસ્તરે છે. તે σ (T) થી L (X) ના પડોશ પર વ્યાખ્યાયિત હોલોમોર્ફિક કાર્યોના બીજગણિતમાંથી બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે ઉપરોક્ત ગુણધર્મોને સંતોષતી ગણતરી અનન્ય છે. આપણે નોંધ્યું છે કે, જો બાઉન્ડેડ ઓપરેટર્સ L (X) ના કુટુંબને બનાચ બીજગણિત A દ્વારા બદલવામાં આવે તો અત્યાર સુધી ચર્ચા કરવામાં આવેલી દરેક બાબત શબ્દશઃ છે. એ. સ્પેક્ટ્રલ વિચારણાઓ સ્પેક્ટ્રલ મેપિંગ પ્રમેયમાં તત્વ માટે કાર્યાત્મક કલનને બરાબર એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે તે જાણીતું છે કે વર્ણપટ મેપિંગ પ્રમેય બહુપદી કાર્યાત્મક કલન માટે ધરાવે છેઃ કોઈપણ બહુપદી p માટે, σ (p (T)) = p (σ (T)). આને હોલોમોર્ફિક કલન સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. f (σ (T)) ρ (f (T)) બતાવવા માટે, કોઈપણ જટિલ સંખ્યા μ હોવી જોઈએ. જટિલ વિશ્લેષણના પરિણામે, σ (T) ના પડોશ પર એક કાર્ય g હોલોમોર્ફિક અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે હોમોમોર્ફિઝમ ગુણધર્મ અનુસાર, f (T) − f (μ) = (T − μ) g (T). તેથી, μ ω (T) એ f (μ) ω (f (T)) સૂચવે છે. અન્ય સમાવેશ માટે, જો μ એ f (σ (T)) માં ન હોય, તો કાર્યાત્મક કલન g (T) (f (T) − μ) = I ને લાગુ પડે છે. તેથી, μ એ σ (f (T)) માં નથી. સ્પેક્ટ્રલ અંદાજો અંતર્ગત વિચાર નીચે મુજબ છે. ધારો કે K એ σ (T) અને U નો સબસેટ છે, V એ અનુક્રમે K અને σ (T) \K ના અલગ પડોશ છે. e એ [e (z)] 2 = e (z) સાથેનું હોલોમોર્ફિક વિધેય છે અને તેથી, યોગ્ય સમોચ્ચ માટે જે U ≤ V માં આવેલું છે અને જે σ (T) ને ઘેરી લે છે, રેખીય સંચાલક એક બંધાયેલ પ્રક્ષેપણ હશે જે T સાથે મુસાફરી કરે છે અને ઘણી ઉપયોગી માહિતી પ્રદાન કરે છે. તે સ્પષ્ટ કરે છે કે આ દૃશ્ય ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે σ (T) પર સબસ્પેસ ટોપોલોજીમાં K ખુલ્લું અને બંધ બંને હોય. તદુપરાંત, સમૂહ V ને સુરક્ષિત રીતે અવગણી શકાય છે કારણ કે તેના પર e શૂન્ય છે અને તેથી અભિન્નમાં કોઈ યોગદાન આપતું નથી. પ્રક્ષેપણ e (T) ને K પર T નું વર્ણપટ પ્રક્ષેપણ કહેવામાં આવે છે અને તેને P (K; T) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આમ σ (T) ના દરેક સબસેટ K કે જે સબસ્પેસ ટોપોલોજીમાં ખુલ્લા અને બંધ બંને હોય છે તેના દ્વારા આપવામાં આવેલ સંકળાયેલ વર્ણપટ પ્રક્ષેપણ હોય છે જ્યાં γ એ એક સમોચ્ચ છે જે K ને ઘેરી લે છે પરંતુ σ (T) ના અન્ય કોઈ બિંદુઓ નથી. પી = પી (કે; ટી) બંધાયેલ હોવાથી અને ટી સાથે મુસાફરી કરે છે તે ટીને યુ. વી. સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવા સક્ષમ બનાવે છે જ્યાં યુ = <આઇ. ડી. 1> અને વી = ટી | (1 − પી) એક્સ. PX અને (1−P) X બંને Tની અપરિવર્તનશીલ પેટા જગ્યાઓ છે, વધુમાં σ (U) = K અને σ (V) = σ (T) \K. એક મુખ્ય ગુણધર્મ પરસ્પર ઓર્થોગોનાલિટી છે. જો L એ σ (T) પર સબસ્પેસ ટોપોલોજીમાં બીજો ખુલ્લો અને બંધ સમૂહ હોય તો P (K; T) P (L; T) = P (L; T) P (K; T) = P (K θ L; T) જે જ્યારે પણ K અને L અલગ હોય ત્યારે શૂન્ય હોય છે. સ્પેક્ટ્રલ પ્રોજેક્શન્સમાં અસંખ્ય ઉપયોગો છે. σ (T) નું કોઈપણ અલગ બિંદુ સબસ્પેસ ટોપોલોજીમાં ખુલ્લું અને બંધ બંને હોય છે અને તેથી તે સંકળાયેલ વર્ણપટ પ્રક્ષેપણ ધરાવે છે. જ્યારે X પાસે મર્યાદિત પરિમાણ હોય ત્યારે σ (T) અલગ બિંદુઓ ધરાવે છે અને પરિણામી વર્ણપટ અંદાજો જોર્ડન સામાન્ય સ્વરૂપના એક પ્રકાર તરફ દોરી જાય છે જેમાં સમાન આઈગન વેલ્યુને અનુરૂપ તમામ જોર્ડન બ્લોક્સ એકીકૃત થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો વિશિષ્ટ આઈગન વેલ્યુ દીઠ ચોક્કસપણે એક બ્લોક છે. આગળનો વિભાગ આ વિઘટનને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લે છે. કેટલીકવાર વર્ણપટ અંદાજો તેમના મૂળ ઓપરેટરો પાસેથી ગુણધર્મો મેળવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો T એ વર્ણપટ ત્રિજ્યા r સાથેનો હકારાત્મક મેટ્રિક્સ છે, તો પેરોન-ફ્રોબેનિયસ પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે r bul σ (T). સંકળાયેલ વર્ણપટ પ્રક્ષેપણ P = P (r; T) પણ હકારાત્મક છે અને પરસ્પર ઓર્થોગોનાલિટી દ્વારા અન્ય કોઈ વર્ણપટ પ્રક્ષેપણમાં હકારાત્મક પંક્તિ અથવા સ્તંભ હોઈ શકે નહીં. હકીકતમાં ટી. પી. = આર. પી. અને (ટી./આર.) એન. → પી. ને એન. →. એન. તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી આ પ્રક્ષેપણ પી. (જેને પેરોન પ્રક્ષેપણ કહેવામાં આવે છે) જેમ જેમ એન વધે છે તેમ તેમ (ટી./આર.) એન. નો અંદાજ કાઢે છે, અને તેના દરેક સ્તંભો ટી. ના આઈગનવેક્ટર છે. વધુ સામાન્ય રીતે જો ટી કોમ્પેક્ટ ઓપરેટર હોય તો σ (ટી) માં તમામ બિન-શૂન્ય બિંદુઓ અલગ પડે છે અને તેથી તેમના કોઈપણ મર્યાદિત સબસેટનો ઉપયોગ ટી. ને વિઘટિત કરવા માટે થઈ શકે છે. સંકળાયેલ વર્ણપટ પ્રક્ષેપણ હંમેશા મર્યાદિત ક્રમ ધરાવે છે. એલ (એક્સ) માં સમાન વર્ણપટ લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતા ઓપરેટરોને રીઝ ઓપરેટર્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. રીઝ ઓપરેટરોના ઘણા વર્ગો (કોમ્પેક્ટ ઓપરેટરો સહિત) એલ (એક્સ) માં આદર્શ છે અને સંશોધન માટે સમૃદ્ધ ક્ષેત્ર પ્રદાન કરે છે. જો કે જો X એ હિલ્બર્ટ જગ્યા હોય તો રીઝ ઓપરેટરો અને મર્યાદિત ક્રમના લોકો વચ્ચે બરાબર એક બંધ આદર્શ છે. ઉપરોક્ત મોટાભાગની ચર્ચાને જટિલ બનાચ બીજગણિતના વધુ સામાન્ય સંદર્ભમાં સેટ કરી શકાય છે. અહીં સ્પેક્ટ્રલ પ્રોજેક્શન્સને સ્પેક્ટ્રલ આઈડેમ્પોટન્ટ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તેમના માટે હવે પ્રોજેક્ટ કરવા માટે જગ્યા ન હોઈ શકે. જો વર્ણપટ σ (T) જોડાયેલ ન હોય, તો X ને કાર્યાત્મક કલનનો ઉપયોગ કરીને T ની અપરિવર્તનશીલ પેટા જગ્યામાં વિઘટિત કરી શકાય છે. ધારો કે σ (T) એક અસંબદ્ધ સંઘ છે, અમુક પડોશમાં Ei ને 1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જેમાં ફક્ત ઘટક Fi અને અન્યત્ર 0 છે. હોમોમોર્ફિઝમ ગુણધર્મ દ્વારા, એઇ (ટી) એ બધા i માટે એક પ્રક્ષેપણ છે. હકીકતમાં તે માત્ર ઉપર વર્ણવેલ વર્ણપટ પ્રક્ષેપણ P (Fi; T) છે. સંબંધ એઇ (ટી) ટી = ટી એઇ (ટી) નો અર્થ થાય છે દરેક એઇ (ટી) ની શ્રેણી, જે ઝી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે ટીની અપરિવર્તનશીલ પેટા જગ્યા છે. કારણ કે એક્સને આ પૂરક પેટા જગ્યાઓના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ તેવી જ રીતે, જો ટીઆઈ એ ઝી સુધી મર્યાદિત હોય, તો સીધો સરવાળો ધ્યાનમાં લો ધોરણ X 'સાથે બનાચ જગ્યા છે. મેપિંગ R: X '→ X દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બનાચ સ્પેસ આઇસોમોર્ફિઝમ છે, અને આપણે જોઈએ છીએ કે આને T ના બ્લોક વિકર્ણકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. જ્યારે X મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય, ત્યારે σ (T) = {λi} એ જટિલ સમતલમાં બિંદુઓનો મર્યાદિત સમૂહ છે. સ્પેક્ટ્રમમાંથી માત્ર λi ધરાવતી ખુલ્લી ડિસ્ક પર Ei ને 1 તરીકે પસંદ કરો. અનુરૂપ બ્લોક-ડાયાગોનલ મેટ્રિક્સ એ ટી. સંબંધિત પરિણામોનું જોર્ડન કેનોનિકલ સ્વરૂપ છે. મજબૂત ધારણાઓ સાથે, જ્યારે ટી હિલ્બર્ટ જગ્યા પર કામ કરતો સામાન્ય ઓપરેટર હોય, ત્યારે કાર્યાત્મક કલનનું ક્ષેત્ર વિસ્તૃત કરી શકાય છે. બે પરિણામોની સરખામણી કરતી વખતે, સામાન્ય મેટ્રિસીસ માટે વર્ણપટ પ્રમેય અને જોર્ડન કેનોનિકલ સ્વરૂપ વચ્ચેના સંબંધ સાથે રફ સામ્યતા કરી શકાય છે. જ્યારે T એક સામાન્ય સંચાલક હોય, ત્યારે સતત કાર્યાત્મક કલન મેળવી શકાય છે, એટલે કે, σ (T) પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય તરીકે f સાથે f (T) નું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. માપન સિદ્ધાંતની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આને માત્ર માપી શકાય તેવા કાર્યો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે (બોરેલ કાર્યાત્મક કલન જુઓ). તે સંદર્ભમાં, જો E′σ (T) એ બોરેલ સમૂહ છે અને 1E એ E નું લાક્ષણિક કાર્ય છે, તો પ્રક્ષેપણ સંચાલક 1E (T) એ ઉપર ચર્ચા કરાયેલ Ei (T) નું શુદ્ધિકરણ છે. બોરેલ ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસ હિલ્બર્ટ સ્પેસ પર અનબાઉન્ડ સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટરો સુધી વિસ્તરે છે. થોડી વધુ અમૂર્ત ભાષામાં, હોલોમોર્ફિક કાર્યાત્મક કલનને બનાચ બીજગણિતના કોઈપણ તત્વ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જેમાં આવશ્યકપણે ઉપરની સમાન દલીલોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તેવી જ રીતે, સતત કાર્યાત્મક કલન કોઈપણ C *-બીજગણિતમાં સામાન્ય ઘટકો માટે અને કોઈપણ વોન ન્યુમેન બીજગણિતમાં સામાન્ય ઘટકો માટે માપી શકાય તેવું કાર્યાત્મક કલન ધરાવે છે. અનબાઉન્ડ ઓપરેટર્સ હોલોમોર્ફિક ફંક્શનલ કેલ્ક્યુલસને નોન-એમ્પ્ટી રિઝોલ્વન્ટ સેટ સાથે અનબાઉન્ડ ક્લોઝ્ડ ઓપરેટર્સ માટે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. રિઝોલ્વન્ટ ફોર્માલિઝમ જોર્ડન કેનોનિકલ ફોર્મ પણ જુઓ, જ્યાં મર્યાદિત-પરિમાણીય કેસની થોડી વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે. સંદર્ભો એન. ડનફોર્ડ અને જે. ટી. શ્વાર્ટઝ, લીનિયર ઓપરેટર્સ, ભાગ I: જનરલ થિયરી, ઇન્ટરસાયન્સ, 1958. સ્ટીવન જી. ક્રેન્ટ્ઝ. બીજગણિત, અંકગણિત અને ત્રિકોણમિતિ શબ્દકોશ. સીઆરસી પ્રેસ, 2000. ઇઝરાયેલ ગોહબર્ગ, સીમોર ગોલ્ડબર્ગ અને મેરિનસ એ. કાશોએક, ક્લાસિસ ઓફ લીનિયર ઓપરેટર્સઃ વોલ્યુમ 1. બિરખૌસર, 1991.. હોલોમોર્ફિક કાર્યો