Point groups in two dimensions
ભૂમિતિમાં, દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથ અથવા રોઝેટ્ટ જૂથ એ ભૌમિતિક સમપ્રમાણતા (આઇસોમેટ્રી) નું જૂથ છે જે સમતલમાં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ નિશ્ચિત રાખે છે. આવા દરેક જૂથ ઓર્થોગોનલ જૂથ ઓ (2) નું પેટા જૂથ છે, જેમાં ઓ (2) નો પણ સમાવેશ થાય છે. તેના ઘટકો પરિભ્રમણ અને પ્રતિબિંબ છે, અને માત્ર પરિભ્રમણ ધરાવતું આવું દરેક જૂથ SO (2) સહિત વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ SO (2) નું પેટા જૂથ છે. તે જૂથ R/Z માટે સમરૂપ છે અને પ્રથમ એકાત્મક જૂથ, U (1), એક જૂથ છે જેને વર્તુળ જૂથ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથો અક્ષીય ત્રિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથો માટે આધાર તરીકે મહત્વપૂર્ણ છે, જેમાં અક્ષીય સંકલનમાં પ્રતિબિંબનો ઉમેરો થાય છે. તેઓ સ્ટારફિશ અને જેલીફિશ જેવા સજીવો અને ફૂલો જેવા જીવતંત્રના ભાગોની સમપ્રમાણતામાં પણ મહત્વપૂર્ણ છે. અલગ જૂથો અલગ દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુ જૂથોના બે પરિવારો છે, અને તેઓ n પરિમાણ સાથે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જે જૂથમાં પરિભ્રમણના જૂથનો ક્રમ છે. ઇન્ટલ હર્મન-મૌગુઇન નોટેશન અથવા આંતરરાષ્ટ્રીય નોટેશનનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સ્ફટિકશાસ્ત્રમાં થાય છે. અનંત મર્યાદામાં, આ જૂથો એક-પરિમાણીય રેખા જૂથો બની જાય છે. જો કોઈ જૂથ દ્વિ-પરિમાણીય જાળી અથવા ગ્રીડની સમપ્રમાણતા હોય, તો સ્ફટિકશાસ્ત્રીય પ્રતિબંધ પ્રમેય બંને પરિવારો માટે n ની કિંમતને 1,2,3,4 અને 6 સુધી મર્યાદિત કરે છે. આમ 10 દ્વિ-પરિમાણીય સ્ફટિકીય બિંદુ જૂથો છેઃ C1, C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4, D6 જૂથો નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છેઃ Cn. Cn તરીકે પણ ઓળખાતા તત્વ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, જે કોણ 2π/n દ્વારા પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે. તેના ઘટકો E (ઓળખ), Cn, Cn2,., Cnn−1 છે, જે પરિભ્રમણ ખૂણા 0,2π/n, 4π/n,., 2 (n−1) π/n ને અનુરૂપ છે. ડીએન. તત્વ Cn અને પ્રતિબિંબ σ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેના ઘટકો Cn જૂથના ઘટકો છે, જેમાં ઘટકો σ, Cnσ, Cn2σ,., Cnn−1σ ઉમેરવામાં આવ્યા છે. આ વધારાના ખૂણાઓ દિશા ખૂણા 0, π/n, 2π/n,., (n−1) π/n સાથે રેખાઓ પરના પ્રતિબિંબને અનુરૂપ છે. આમ Dn એ Cn અને જૂથ (E, σ) નું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. C2 અને D1 સિવાય આ તમામ જૂથોમાં અલગ અમૂર્ત જૂથો છે, જે અમૂર્ત જૂથ Z2 ધરાવે છે. બધા ચક્રીય જૂથો અબેલિયન અથવા પરિવર્તનીય છે, પરંતુ માત્ર બે ડાયહેડ્રલ જૂથો છેઃ D1 ~ Z2 અને D2 ~ Z2 × Z2. હકીકતમાં, D3 એ સૌથી નાનું નોનબેલિયન જૂથ છે. સમ n માટે, હર્મન-મૌગુઇન પ્રતીક nm એ સંપૂર્ણ પ્રતીક nmm નું ટૂંકું નામ છે, જે નીચે સમજાવેલ છે. H-M પ્રતીકમાં n એ n-ગણો પરિભ્રમણ સૂચવે છે, જ્યારે m એ પ્રતિબિંબ અથવા મિરર પ્લેન સૂચવે છે. વધુ સામાન્ય જૂથો આ જૂથો સરળતાથી દ્વિ-પરિમાણીય ઓર્થોગોનલ મેટ્રિસીસ સાથે બાંધવામાં આવે છે. સતત ચક્રીય જૂથ SO (2) અથવા C φ અને તેના પેટાજૂથોમાં એવા ઘટકો હોય છે જે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ હોય છેઃ જ્યાં SO (2) પાસે કોઈપણ સંભવિત θ હોય છે. આશ્ચર્યની વાત નથી કે, SO (2) અને તેના પેટા જૂથો બધા અબેલિયન છે; પરિભ્રમણ ખૂણાઓનો ઉમેરો થાય છે. અલગ ચક્રીય જૂથો Cn માટે, ઘટકો Cnk = R (2πk/n) સતત ડાયહેડ્રલ જૂથ O (2) અથવા D φ અને પ્રતિબિંબ સાથેના તેના પેટાજૂથોમાં એવા ઘટકો હોય છે જેમાં માત્ર પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ જ નહીં, પણ પ્રતિબિંબ મેટ્રિક્સ પણ શામેલ હોય છેઃ જ્યાં O (2) માં કોઈ સંભવિત θ હોય છે. જો કે, પ્રતિબિંબ સાથે ઓ (2) ના એકમાત્ર અબેલિયન પેટાજૂથો ડી 1 અને ડી 2 છે. અલગ ડાયહેડ્રલ જૂથો Dn માટે, તત્વો Cnkσ = S (2πk/n) જ્યારે કોઈ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે, ત્યારે આ જૂથોનો એક-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથો સાથેનો સંબંધ સ્પષ્ટ થાય છે. એસ. ઓ. (2) ના પેટાજૂથોના પ્રકારઃ મર્યાદિત ચક્રીય પેટાજૂથો સી. એન. (એન. ઓ. આર. 1); દરેક એન. માટે એક આઇસોમેટ્રી જૂથ છે, અમૂર્ત જૂથ પ્રકાર ઝેડ. એન. દ્વારા મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથો, દરેક આઇસોમોર્ફિક સ્વરૂપોમાંથી એક માટે ઝેડ. એમ. ઝેડ. એન. દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને એમ. સ્વતંત્ર પરિભ્રમણ વારાઓની અતાર્કિક સંખ્યા સાથે, અને એમ., એન. ઓ. આર. 1; દરેક જોડી (એમ., એન.) માટે અસંખ્ય આઇસોમેટ્રી જૂથો છે, જે બધા અમૂર્ત જૂથ જેવા જ છે; જોડી (1,1) માટે જૂથ ચક્રીય છે. અન્ય ગણતરીપાત્ર પેટા જૂથો. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંક n માટે, સંખ્યાબંધ વળાંકના તમામ પરિભ્રમણ દ્વારા પેદા થયેલ જૂથ, જે SO (2) સહિત n અગણિત પેટાજૂથોની નકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિની બરાબર હોય છે, SO (2) ના દરેક પેટાજૂથો માટે O (2) ના પેટાજૂથોના અનુરૂપ અગણિત વર્ગ હોય છે જે અમૂર્ત જૂથ તરીકે પરસ્પર સમરૂપ હોય છેઃ એક વર્ગના દરેક પેટાજૂથો પ્રથમ ઉલ્લેખિત પેટાજૂથો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને મૂળ દ્વારા રેખામાં એક જ પ્રતિબિંબ હોય છે. આ (સામાન્યીકૃત) ડાયહેડ્રલ જૂથો છે, જેમાં અમૂર્ત જૂથ પ્રકાર ડિહ્નના મર્યાદિત Dn (n ≤ 1) નો સમાવેશ થાય છે. n = 1 માટે સામાન્ય સંકેત Cs છે, અમૂર્ત જૂથ પ્રકાર Z2 નો. ઓ (2) ના ટોપોલોજિકલ પેટાજૂથો તરીકે, માત્ર મર્યાદિત આઇસોમેટ્રી જૂથો અને એસ. ઓ. (2) અને ઓ (2) બંધ છે. આ જૂથો બે અલગ અલગ પરિવારોમાં આવે છે, તેના આધારે કે તેઓ માત્ર પરિભ્રમણ ધરાવે છે, અથવા પ્રતિબિંબનો સમાવેશ કરે છે. ચક્રીય જૂથો, Cn (અમૂર્ત જૂથ પ્રકાર Zn), 360°/n દ્વારા પરિભ્રમણ અને તમામ પૂર્ણાંક ગુણાંક ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર પગવાળું સ્ટૂલ સમપ્રમાણતા જૂથ C4 ધરાવે છે, જેમાં 0°, 90°, 180° અને 270° દ્વારા પરિભ્રમણનો સમાવેશ થાય છે. ચોરસનું સમપ્રમાણતા જૂથ ડાયહેડ્રલ જૂથો, Dn (અમૂર્ત જૂથ પ્રકાર ડાયહ્ન) ના પરિવાર સાથે સંબંધિત છે, જેમાં પરિભ્રમણ જેટલા પ્રતિબિંબનો સમાવેશ થાય છે. વર્તુળની અનંત પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા પણ પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા સૂચવે છે, પરંતુ ઔપચારિક રીતે વર્તુળ જૂથ S1 દિહ (S1) થી અલગ છે કારણ કે બાદમાં સ્પષ્ટપણે પ્રતિબિંબનો સમાવેશ થાય છે. અનંત જૂથ સતત હોવું જરૂરી નથી; ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે 360°/દ્વારા પરિભ્રમણના તમામ પૂર્ણાંકોના ગુણાંકનો સમૂહ છે, જેમાં 180° દ્વારા પરિભ્રમણનો સમાવેશ થતો નથી. તેના ઉપયોગના આધારે, ત્રાંસા દિશામાં વિગતવાર મનસ્વી રીતે સૂક્ષ્મ સ્તર સુધીની સજાતીયતાને તે દિશામાં સંપૂર્ણ સજાતીયતાની સમકક્ષ ગણી શકાય, આ કિસ્સામાં આ સમપ્રમાણતા જૂથોને અવગણી શકાય છે. n = 1,2,3,4 અને 6 માટે Cn અને Dn ને અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા સાથે જોડી શકાય છે, કેટલીકવાર એકથી વધુ રીતે. આમ આ 10 જૂથો 17 વોલપેપર જૂથોને જન્મ આપે છે. સમપ્રમાણતા જૂથો 2D સમપ્રમાણતા જૂથો સમપ્રમાણતા જૂથોને અનુરૂપ છે, સિવાય કે O (2) અને SO (2) અનુસાર સમપ્રમાણતા માત્ર વેક્ટર ક્ષેત્રો માટે લાગુ સામાન્યીકૃત સમપ્રમાણતા ખ્યાલમાં અલગ કરી શકાય છે. ઉપરાંત, ઉપયોગના આધારે, ત્રાંસા દિશામાં મનસ્વી રીતે બારીક વિગતો સુધીની એકરૂપતાને તે દિશામાં સંપૂર્ણ એકરૂપતાની સમકક્ષ ગણી શકાય. આ વર્ગીકરણને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છેઃ આપણે આપણી જાતને ઓ (2) ના બંધ ટોપોલોજિકલ પેટાજૂથો સુધી મર્યાદિત કરી શકીએ છીએઃ મર્યાદિત અને ઓ (2) (ગોળાકાર સમપ્રમાણતા), અને વેક્ટર ક્ષેત્રો માટે એસ. ઓ. (2). આ જૂથો એક-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથોને પણ અનુરૂપ હોય છે, જ્યારે વર્તુળમાં આવરિત હોય છે. અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા સાથેના સંયોજનો E (2) એ O (2) અને અનુવાદ જૂથ T નું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, O (2) એ E (2) નું પેટા જૂથ છે જે E (2) ના ભાગાકાર જૂથ માટે T: O (2) E (2)/T દ્વારા સમરૂપ છે. E (2) ના દરેક પેટાજૂથ માટે આપણે તેની છબીને p હેઠળ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએઃ એક બિંદુ જૂથ જેમાં કોસેટનો સમાવેશ થાય છે જેમાં પેટાજૂથનાં ઘટકો સંબંધિત હોય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમમિતિનાં અનુવાદાત્મક ભાગોને અવગણીને મેળવેલ બિંદુ જૂથ. E (2) ના દરેક સ્વતંત્ર પેટાજૂથ માટે, સ્ફટિકશાસ્ત્રીય પ્રતિબંધ પ્રમેયને કારણે, આ બિંદુ જૂથ કાં તો Cn છે અથવા n = 1,2,3,4 અથવા 6 માટે Dn પ્રકારનું છે. n = 1,2,3,4 અને 6 માટે Cn અને Dn ને અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા સાથે જોડી શકાય છે, કેટલીકવાર એકથી વધુ રીતે. આમ આ 10 જૂથો 17 વોલપેપર જૂથોને જન્મ આપે છે, અને n = 1 અને 2 સાથેના ચાર જૂથો પણ 7 ફ્રીઝ જૂથોને જન્મ આપે છે. દરેક વોલપેપર જૂથો માટે p1, p2, p3, p4, p6, તમામ આઇસોમેટ્રી જૂથોની p હેઠળની છબી (એટલે કે. E (2)/T અથવા O (2) પરના "અંદાજો" બધા અનુરૂપ Cn સમાન છે; બે ફ્રીઝ જૂથો પણ C1 અને C2 ને અનુરૂપ છે. p6m ના આઇસોમેટ્રી જૂથો દરેકને પ્રકાર D6 ના બિંદુ જૂથોમાંથી એકમાં મેપ કરવામાં આવે છે. અન્ય 11 વોલપેપર જૂથો માટે, દરેક આઇસોમેટ્રી જૂથને D1, D2, D3, અથવા D4 પ્રકારોના બિંદુ જૂથોમાંથી એકમાં મેપ કરવામાં આવે છે. પાંચ ફ્રીઝ જૂથો પણ D1 અને D2 ને અનુરૂપ છે. આપેલ ષટ્કોણ અનુવાદ જાળી માટે બે અલગ અલગ જૂથો D3 છે, જે P31m અને p3m1 ને જન્મ આપે છે. દરેક પ્રકાર D1, D2 અને D4 માટે અનુક્રમે 3,4 અને 2 વોલપેપર જૂથો વચ્ચેનો તફાવત, જૂથમાં દરેક પ્રતિબિંબ સાથે સંકળાયેલા અનુવાદ વેક્ટર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છેઃ કારણ કે સમપ્રમાણતા અનુવાદાત્મક ઘટકોને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન કોસેટમાં હોય છે, તેથી સમાન અરીસા સાથે પ્રતિબિંબ અને ગ્લાઇડ પ્રતિબિંબ સમાન કોસેટમાં હોય છે. આમ, આઇસોમેટ્રી જૂથો દા. ત. પ્રકાર p4m અને p4g બંનેને પ્રકાર D4 ના બિંદુ જૂથોમાં મેપ કરવામાં આવ્યા છે. આપેલ આઇસોમેટ્રી જૂથ માટે, જૂથના ઘટકો દ્વારા જૂથમાં અનુવાદના સંયોજનો અનુવાદ જૂથ (એક જાળી) પેદા કરે છે-તે આઇસોમેટ્રી જૂથનું પેટા જૂથ છે જે ફક્ત આપણે જે અનુવાદ સાથે શરૂઆત કરી હતી તેના પર અને આઇસોમેટ્રી જૂથ સાથે સંકળાયેલ બિંદુ જૂથ પર આધાર રાખે છે. આનું કારણ એ છે કે ગ્લાઇડ પ્રતિબિંબ દ્વારા અનુવાદનો સંયોજન અનુરૂપ પ્રતિબિંબ દ્વારા સમાન છેઃ અનુવાદ વેક્ટર પ્રતિબિંબિત થાય છે. જો આઇસોમેટ્રી જૂથમાં n-ગણો પરિભ્રમણ હોય તો જાળીમાં સમ n માટે n-ગણો સમપ્રમાણતા અને વિષમ n માટે 2n-ગણો સમપ્રમાણતા હોય છે. જો, અનુવાદ ધરાવતા સ્વતંત્ર આઇસોમેટ્રી જૂથના કિસ્સામાં, આપણે આને લઘુત્તમ લંબાઈના અનુવાદ માટે લાગુ કરીએ, તો પછી, બે અડીને આવેલી દિશાઓમાં અનુવાદોના વેક્ટર તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા, તે n ≤ 6 ને અનુસરે છે, અને વિષમ n માટે કે 2n ≤ 6, તેથી n = 1,2,3,4, અથવા 6 (સ્ફટિકશાસ્ત્રીય પ્રતિબંધ પ્રમેય). ત્રણ પરિમાણોમાં બિંદુ જૂથ જૂથો પણ જુઓ લાન્સ ડ્રેગર દ્વારા ચાર પરિમાણોમાં બિંદુ જૂથો એક-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથ બાહ્ય કડીઓ, ભૌમિતિક પરિવર્તન અને વોલપેપર જૂથોઃ ભૌમિતિક પેટર્નની સમપ્રમાણતા (સમપ્રમાણતાના અલગ જૂથો). પોઇન્ટ ગ્રૂપ્સ એન્ડ ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ્સ, યી-શુ વેઇ દ્વારા, પૃ. 4-5 ભૂમિતિ કેન્દ્રઃ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ (બે પરિમાણો) યુક્લિડિયન સમપ્રમાણતામાં સમપ્રમાણતા માટે 2 સૂત્રો જૂથ સિદ્ધાંત