Pseudoconvex function
બહિર્મુખ વિશ્લેષણ અને વિવિધતાના કલનમાં, ગણિતની બંને શાખાઓમાં, સ્યુડોકોનવેક્સ કાર્ય એ એક એવું કાર્ય છે જે તેના સ્થાનિક લઘુત્તમ શોધવાના સંદર્ભમાં બહિર્મુખ કાર્યની જેમ વર્તે છે, પરંતુ વાસ્તવમાં બહિર્મુખ હોવું જરૂરી નથી. અનૌપચારિક રીતે, એક વિભેદક કાર્ય સ્યુડોકોનવેક્સ છે જો તે કોઈ પણ દિશામાં વધી રહ્યું હોય જ્યાં તે હકારાત્મક દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે. મિલકત તમામ ફંક્શન ડોમેનમાં હોવી જોઈએ, અને માત્ર નજીકના બિંદુઓ માટે નહીં. ઔપચારિક વ્યાખ્યા મર્યાદિત-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના (બિન-ખાલી) બહિર્મુખ ખુલ્લા સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવેલા વિભેદક કાર્યને ધ્યાનમાં લો. જો નીચેનો ગુણધર્મ હોય તો આ કાર્યને સ્યુડોકોનવેક્સ કહેવામાં આવે છેઃ સમાનરૂપેઃ અહીં ગ્રેડિયન્ટ છે, જેની વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે છેઃ નોંધ લો કે વ્યાખ્યા વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવેલી દિશામાં, દિશાત્મક વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ પણ કહી શકાય છે. આનું કારણ એ છે કે, જેમ કે વિકલનક્ષમ છે, આ દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ગુણધર્મો અન્ય પ્રકારના "બહિર્મુખતા" સાથેનો સંબંધ દરેક બહિર્મુખ કાર્ય સ્યુડોકોનવેક્સ છે, પરંતુ વિપરીત સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય સ્યુડોકોનવેક્સ છે પરંતુ બહિર્મુખ નથી. તેવી જ રીતે, કોઈપણ સ્યુડોકોનવેક્સ કાર્ય ક્વાસીકોનવેક્સ છે; પરંતુ વિપરીત સાચું નથી, કારણ કે કાર્ય ક્વાસીકોનવેક્સ છે પરંતુ સ્યુડોકોનવેક્સ નથી. આને યોજનાકીય રીતે આ રીતે સારાંશિત કરી શકાય છેઃ તે સ્યુડોકોનવેક્સ નથી તે જોવા માટે, તેના વ્યુત્પન્નને અહીં ધ્યાનમાં લોઃ પછી, જો સ્યુડોકોનવેક્સ હતું, તો આપણી પાસે હોવું જોઈએઃ ખાસ કરીને તે માટે સાચું હોવું જોઈએ. પણ એવું નથી. પર્યાપ્ત શ્રેષ્ઠતાની સ્થિતિ કોઈપણ વિકલનક્ષમ કાર્ય માટે, આપણી પાસે ફર્માટના પ્રમેયની શ્રેષ્ઠતાની જરૂરી શરત છે, જે જણાવે છે કેઃ જો ઓપન ડોમેનમાં સ્થાનિક લઘુત્તમ હોય, તો તે (એટલે કેઃ) નો સ્થિર બિંદુ હોવો જોઈએ. સ્યુડોકૉન્વેક્સિટી ઓપ્ટિમાઇઝેશનના ક્ષેત્રમાં ખૂબ જ રસ ધરાવે છે, કારણ કે કોઈપણ સ્યુડોકૉન્વેક્સ કાર્ય માટે વિપરીત પણ સાચું છે. એટલે કેઃ જો સ્યુડોકોનવેક્સ કાર્યનું સ્થિર બિંદુ હોય, તો તે વૈશ્વિક લઘુત્તમ હોય છે. એ પણ નોંધ લો કે પરિણામ વૈશ્વિક લઘુત્તમ (માત્ર સ્થાનિક નહીં) ની બાંયધરી આપે છે. આ છેલ્લું પરિણામ બહિર્મુખ કાર્ય માટે પણ સાચું છે, પરંતુ તે ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્ય માટે સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે ક્વાસીકોનવેક્સ કાર્યને ધ્યાનમાં લોઃ આ કાર્ય સ્યુડોકોનવેક્સ નથી, પરંતુ તે ક્વાસીકોનવેક્સ છે. ઉપરાંત, મુદ્દો એ એક નિર્ણાયક મુદ્દો છે. જો કે, તેમાં વૈશ્વિક લઘુતમ (સ્થાનિક લઘુતમ પણ નહીં) નથી. છેવટે, નોંધ લો કે સ્યુડોકોનવેક્સ કાર્યમાં કોઈ નિર્ણાયક બિંદુ ન પણ હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે સ્યુડોકોનવેક્સ કાર્યને લોઃ, જેનું વ્યુત્પન્ન હંમેશા હકારાત્મક હોય છેઃ. ઉદાહરણો એવા કાર્યનું ઉદાહરણ કે જે સ્યુડોકોનવેક્સ છે, પરંતુ બહિર્મુખ નથી, તે છેઃ આકૃતિ આ કાર્યને તે કેસ માટે બતાવે છે જ્યાં. આ ઉદાહરણને બે ચલમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ અગાઉના ઉદાહરણમાં એવા કાર્યને મેળવવા માટે ફેરફાર કરી શકાય છે જે બહિર્મુખ નથી, ન તો સ્યુડોકોનવેક્સ છે, પરંતુ ક્વાસીકોનવેક્સ છેઃ આકૃતિ આ કાર્યને તે કેસ માટે દર્શાવે છે જ્યાં. જેમ જોઈ શકાય છે તેમ, કોન્કેવિટીને કારણે આ કાર્ય બહિર્મુખ નથી, અને તે સ્યુડોકોનવેક્સ નથી કારણ કે તે પર અવકલનીય નથી. બિનવિભેદક કાર્યોમાં સામાન્યીકરણ સ્યુડોકૉન્વેક્સિટીની કલ્પનાને નીચે મુજબ બિનવિભેદક કાર્યોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. કોઈપણ કાર્યને જોતાં, આપણે ઉપલા દીની વ્યુત્પન્નને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઃ જ્યાં u એ કોઈપણ એકમ વેક્ટર છે. આ કાર્યને સ્યુડોકોનવેક્સ કહેવામાં આવે છે જો તે કોઈ પણ દિશામાં વધી રહ્યું હોય જ્યાં ઉપલા દીની વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હોય. વધુ ચોક્કસપણે, આને નીચે પ્રમાણે સબડિફરેન્શિયલની દ્રષ્ટિએ દર્શાવવામાં આવે છેઃ જ્યાં x અને y ને અડીને આવેલા રેખા ખંડને સૂચવે છે. સંબંધિત ધારણાઓ A એ એક એવું કાર્ય છે જેનું નકારાત્મક એ સ્યુડોકોનવેક્સ છે. એ એ એક એવું કાર્ય છે જે સ્યુડોકોનવેક્સ અને સ્યુડોકોનકેવ બંને છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય-અપૂર્ણાંક કાર્યક્રમો સ્યુડોલીનિયર ઉદ્દેશ્ય કાર્યો અને રેખીય-બિન-ગુણવત્તાની મર્યાદાઓ ધરાવે છે. આ ગુણધર્મો અપૂર્ણાંક-રેખીય સમસ્યાઓને સિમ્પ્લેક્સ અલ્ગોરિધમ (જ્યોર્જ બી. ડેન્ટઝિગના) ના એક પ્રકાર દ્વારા હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. વેક્ટર-વેલ્યુડ ફંક્શનને જોતાં,-સ્યુડોકન્વેક્સિટી અને-સ્યુડોલિનિયરિટીની વધુ સામાન્ય કલ્પના છે; જેમાં ક્લાસિકલ સ્યુડોકન્વેક્સિટી અને સ્યુડોલિનિયરિટી કેસ સાથે સંબંધિત છે જ્યારે. સ્યુડોકૉન્વેક્સિટી કન્વેક્સ ફંક્શન ક્વાસીકોનવેક્સ ફંક્શન ઇન્વેક્સ ફંક્શન નોટ્સ રેફરન્સ પણ જુઓ. . કન્વેક્સ વિશ્લેષણ કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સામાન્યીકૃત કન્વેક્સિટી કાર્યોના પ્રકારો