Eilenberg–Steenrod axioms
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, આઈલેનબર્ગ-સ્ટીનરોડ સ્વયંસિદ્ધ એવા ગુણધર્મો છે જે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સમરૂપતા સિદ્ધાંતોમાં સામાન્ય છે. સમીકરણોને સંતોષતા સમરૂપતા સિદ્ધાંતનું ઉત્કૃષ્ટ ઉદાહરણ એકવચન સમરૂપતા છે, જે સેમ્યુઅલ આઈલેનબર્ગ અને નોર્મન સ્ટીનરોડ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું છે. સમરૂપતા સિદ્ધાંતને આઈલેનબર્ગ-સ્ટીનરોડ સિદ્ધાંતોને સંતોષતા વિધેયોના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સ્વયંસિદ્ધ અભિગમ, જે 1945માં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, તે મેયર-વિએટોરિસ ક્રમ જેવા પરિણામોને સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષતા તમામ સમરૂપતા સિદ્ધાંતો માટે સામાન્ય છે. જો કોઈ પરિમાણ સ્વયંસિદ્ધ (નીચે વર્ણવેલ) ને અવગણે છે, તો બાકીના સ્વયંસિદ્ધ તે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેને અસાધારણ સમરૂપતા સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે. અસાધારણ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો સૌપ્રથમ કે-થિયરી અને કોબોર્ડિઝમમાં ઉભરી આવ્યા હતા. ઔપચારિક વ્યાખ્યા એઇલેનબર્ગ-સ્ટીનરોડ સ્વયંસિદ્ધ ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓની જોડીની શ્રેણીથી લઈને અબેલિયન જૂથોની શ્રેણી સુધીના વિધેયોના ક્રમને લાગુ પડે છે, સાથે સાથે સીમા નકશો તરીકે ઓળખાતા કુદરતી પરિવર્તન સાથે (અહીં માટે લઘુલિપિ છે. સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો છેઃ હોમોટોપીઃ હોમોટોપિક નકશા સમરૂપતામાં સમાન નકશાને પ્રેરિત કરે છે. એટલે કે, જો હોમોટોપિક છે, તો તેમના પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ્સ સમાન છે. એક્સસિશનઃ જો જોડી હોય અને U એ A નો ઉપગણ હોય કે જેથી U નું બંધ એ ના આંતરિક ભાગમાં સમાયેલ હોય, તો સમાવેશ નકશો સમરૂપતામાં સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે. પરિમાણઃ ધારો કે P એ એક-બિંદુ જગ્યા છે; પછી બધા માટે. ઉમેરણઃ જો, ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓના પરિવારનું અસંબદ્ધ જોડાણ હોય, તો ચોકસાઈઃ દરેક જોડી (X, A) સમરૂપતામાં, સમાવેશ દ્વારા એક લાંબો ચોક્કસ ક્રમ પ્રેરિત કરે છે અનેઃ જો P એ એક બિંદુ જગ્યા હોય, તો તેને ગુણાંક જૂથ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એકવચન સમરૂપતા (પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે લેવામાં આવે છે, જે સૌથી સામાન્ય છે) ગુણાંક તરીકે પૂર્ણાંકો ધરાવે છે. પરિણામ સમરૂપતા જૂથો વિશેની કેટલીક હકીકતો સ્વયંસિદ્ધમાંથી સીધી રીતે મેળવી શકાય છે, જેમ કે હોમોટોપિક રીતે સમકક્ષ જગ્યાઓમાં સમરૂપતા સમરૂપતા જૂથો હોય છે. કેટલીક પ્રમાણમાં સરળ જગ્યાઓ, જેમ કે એન-ગોળાઓની સમરૂપતાની ગણતરી સ્વયંસિદ્ધ પરથી સીધી કરી શકાય છે. આમાંથી તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે (n−1)-ગોળા એ n-ડિસ્કનું રીટ્રેક્ટ નથી. આનો ઉપયોગ બ્રોવર ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ થીયરમના પુરાવા તરીકે થાય છે. પરિમાણ સ્વયંસિદ્ધ એ "સમરૂપતા જેવી" થિયરી જે પરિમાણ સ્વયંસિદ્ધ સિવાયના તમામ આઈલેનબર્ગ-સ્ટીનરોડ સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે તેને અસાધારણ સમરૂપતા થિયરી (દ્વિસંગી, અસાધારણ સમરૂપતા થિયરી) કહેવામાં આવે છે. આના મહત્વના ઉદાહરણો 1950 ના દાયકામાં મળી આવ્યા હતા, જેમ કે ટોપોલોજિકલ કે-થિયરી અને કોબોર્ડિઝમ થિયરી, જે અસાધારણ કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો છે, અને તેમના માટે બેવડા સમરૂપતા સિદ્ધાંતો સાથે આવે છે. ઝિગ-ઝાગ લેમ્મા નોટ્સ સંદર્ભો પણ જુઓ હોમોલોજી સિદ્ધાંત ગાણિતિક સિદ્ધાંતો