Smoluchowski coagulation equation
આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સ્મોલુકોવ્સ્કી કોગ્યુલેશન સમીકરણ એ વસ્તી સંતુલન સમીકરણ છે જે મેરીયન સ્મોલુકોવ્સ્કી દ્વારા 1916ના પ્રારંભિક પ્રકાશનમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જેમાં કણોની સંખ્યા ઘનતાના સમય ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે કારણ કે તેઓ સમય t પર x કદમાં કોગ્યુલેટ થાય છે (આ સંદર્ભમાં "એકસાથે ક્લમ્પિંગ"). એક સાથે કોગ્યુલેશન (અથવા એકત્રીકરણ) પોલિમરાઇઝેશન, એરોસોલ્સની સુસંગતતા, પ્રવાહી મિશ્રણ, ફ્લોક્કુલેશનને લગતી પ્રક્રિયાઓમાં જોવા મળે છે. સમીકરણ પ્રણાલીના તમામ કણોના આંતરસંબંધ અનુસાર કણોના કદનું વિતરણ સમય જતાં બદલાય છે. તેથી, સ્મોલુકોવ્સ્કી કોગ્યુલેશન સમીકરણ એ કણ-કદના વિતરણનું સંકલિત વિભેદક સમીકરણ છે. જ્યારે કોગ્યુલેટેડ કણોના કદ સતત ચલ હોય, ત્યારે સમીકરણમાં એક અભિન્ન ભાગનો સમાવેશ થાય છેઃ જો dy ને અલગ માપ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે, એટલે કે. જ્યારે કણો અલગ કદમાં જોડાય છે, ત્યારે સમીકરણનું અલગ સ્વરૂપ એક સરવાળો છેઃ પસંદ કરેલા કર્નલ કાર્ય માટે એક અનન્ય ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે. કોગ્યુલેશન કર્નલ ઓપરેટર, K, કોગ્યુલેશન કર્નલ તરીકે ઓળખાય છે અને તે દરનું વર્ણન કરે છે કે જેના પર કદના કણો કદના કણો સાથે કોગ્યુલેટ થાય છે. સમીકરણના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો ત્યારે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યારે કર્નલ ત્રણ સરળ સ્વરૂપોમાંથી એક લે છેઃ જે અનુક્રમે અચળાંક, યોજક અને ગુણાકાર કર્નલ તરીકે ઓળખાય છે. આ કેસ માટે તે ગાણિતિક રીતે સાબિત થઈ શકે છે કે સ્મોલુકોવ્સ્કી કોગ્યુલેશન સમીકરણોના ઉકેલમાં એસિમ્પ્ટોટિકલી ડાયનેમિક સ્કેલિંગ પ્રોપર્ટી છે. આ સ્વ-સમાન વર્તણૂક સ્કેલ ઇનવેરિયન્સ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે જે તબક્કા સંક્રમણનું લાક્ષણિક લક્ષણ હોઈ શકે છે. જો કે, મોટાભાગના વ્યવહારુ ઉપયોગોમાં કર્નલ નોંધપાત્ર રીતે વધુ જટિલ સ્વરૂપ લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મુક્ત-મોલેક્યુલર કર્નલ જે પાતળા ગેસ-તબક્કાની પ્રણાલીમાં અથડામણનું વર્ણન કરે છે, કેટલાક કોગ્યુલેશન કર્નલ ક્લસ્ટરોના ચોક્કસ ફ્રેક્ટલ પરિમાણ માટે જવાબદાર છે, જેમ કે પ્રસરણ-મર્યાદિત એકત્રીકરણઃ અથવા પ્રતિક્રિયા-મર્યાદિત એકત્રીકરણઃ જ્યાં ક્લસ્ટરોના ફ્રેક્ટલ પરિમાણો છે, તે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, તાપમાન છે, ફ્યુક્સ સ્થિરતા ગુણોત્તર છે, સતત તબક્કાની સ્નિગ્ધતા છે, અને ઉત્પાદન કર્નલનો ઘાતાંક છે, જેને સામાન્ય રીતે ફિટિંગ પરિમાણ માનવામાં આવે છે. વાદળ માટે, વાદળના કણોના કોગ્યુલેશન માટેના કર્નલને સામાન્ય રીતે આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં અને ક્યાં વાદળના કણોની ત્રિજ્યા અને પતનની ઝડપ સામાન્ય રીતે પાવર લૉનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે કોગ્યુલેશન સમીકરણો કે જે આવા ભૌતિક રીતે વાસ્તવિક કર્નલોમાંથી પરિણમે છે તે ઉકેલવા યોગ્ય નથી, અને તેથી, આંકડાકીય પદ્ધતિઓને અપીલ કરવી જરૂરી છે. મોટાભાગની નિર્ધારક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ત્યારે થઈ શકે છે જ્યારે રસનો માત્ર એક જ કણ ગુણધર્મ (x) હોય, બે મુખ્ય ક્ષણોની પદ્ધતિ અને વિભાગીય પદ્ધતિઓ હોય. બહુ-પ્રકારનાં કિસ્સામાં, જો કે, જ્યારે બે અથવા વધુ ગુણધર્મો (જેમ કે કદ, આકાર, રચના, વગેરે) રજૂ કરવામાં આવે છે, વ્યક્તિએ વિશેષ અંદાજ પદ્ધતિઓ શોધવી પડે છે જે પરિમાણીયતાના શ્રાપથી ઓછી પીડાય છે. ગૌસીયન રેડિયલ બેસિસ ફંક્શન્સ પર આધારિત અંદાજ એક કરતાં વધુ પરિમાણોમાં કોગ્યુલેશન સમીકરણ પર સફળતાપૂર્વક લાગુ કરવામાં આવ્યો છે. જ્યારે દ્રાવણની ચોકસાઈ પ્રાથમિક મહત્વની નથી, ત્યારે સ્ટોકેસ્ટિક કણ (મોન્ટે કાર્લો) પદ્ધતિઓ એક આકર્ષક વિકલ્પ છે. ઘનીકરણ-સંચાલિત એકત્રીકરણ એકત્રીકરણ ઉપરાંત, કણો ઘનીકરણ, જમા અથવા સંચય દ્વારા કદમાં પણ વધી શકે છે. હસન અને હસને તાજેતરમાં ઘનીકરણ-સંચાલિત એકત્રીકરણ (સી. ડી. એ.) મોડેલની દરખાસ્ત કરી હતી, જેમાં અથડામણ દરમિયાન ભેગા થતા કણો સતત વધતા રહે છે. સીડીએ મોડેલને નીચેની પ્રતિક્રિયા યોજના દ્વારા સમજી શકાય છે જ્યાં તે સમયે કદનો એકંદર સૂચવે છે અને તે વીતી ગયેલો સમય છે. આ પ્રતિક્રિયા યોજનાને નીચે આપેલા સામાન્યીકૃત સ્મોલુકોવ્સ્કી સમીકરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, તે ધ્યાનમાં લેતા કે કદનું કણો અથડામણના સમય વચ્ચેના ઘનીકરણને કારણે વધે છે, જે રકમ દ્વારા વિપરીત સમાન હોય છે. જે ગતિશીલ સ્કેલિંગ દર્શાવે છે તે આપવા માટે સતત કર્નલ માટે સામાન્યીકૃત સ્મોલુકોવ્સ્કી સમીકરણને હલ કરી શકાય છે. એક સરળ ફ્રેક્ટલ વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે ઘનીકરણ-સંચાલિત એકત્રીકરણને પરિમાણના ફ્રેક્ટલનું શ્રેષ્ઠ વર્ણન કરી શકાય છે. આ પ્રકારનો સંરક્ષણ કાયદો કેન્ટોર સેટમાં પણ જોવા મળ્યો છે. આઈન્સ્ટાઈન-સ્મોલુકોવ્સ્કી સંબંધ પણ જુઓ ફ્લોક્કુલેશન સ્મોલુકોવ્સ્કી પરિબળ વિલિયમ્સ સ્પ્રે સમીકરણ સંદર્ભો વિભેદક સમીકરણો આંકડાકીય મિકેનિક્સ