Bring radical
બીજગણિતમાં, વાસ્તવિક સંખ્યા a નું આમૂલ અથવા અતિરેકી લાવો એ બહુપદીનું અનન્ય વાસ્તવિક મૂળ છે જટિલ સંખ્યા a નું આમૂલ લાવો એ કાં તો ઉપરોક્ત બહુપદીના પાંચ મૂળમાંથી કોઈપણ છે (તે આમ બહુ-મૂલ્યવાન છે), અથવા ચોક્કસ મૂળ છે, જે સામાન્ય રીતે એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે વાસ્તવિક a માટે આમૂલ લાવો વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન છે અને તે વાસ્તવિક રેખાના પડોશમાં એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે. ચાર શાખા બિંદુઓના અસ્તિત્વને કારણે, રેડિકલ લાવો એ કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી જે સમગ્ર જટિલ સમતલ પર સતત હોય, અને તેના સાતત્યના ક્ષેત્રમાં ચાર શાખા કટને બાકાત રાખવા જોઈએ. જ્યોર્જ જેરાર્ડે દર્શાવ્યું હતું કે કેટલાક ક્વિન્ટિક સમીકરણોને રેડિકલનો ઉપયોગ કરીને બંધ સ્વરૂપમાં ઉકેલી શકાય છે અને રેડિકલ લાવો, જે એરલેન્ડ બ્રિંગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. આ લેખમાં, a નું આમૂલ લાવો સૂચવવામાં આવે છે વાસ્તવિક દલીલ માટે, તે વિચિત્ર, એકવિધ રીતે ઘટતું અને અમર્યાદિત છે, જેમાં મોટા માટે એસિમ્પ્ટોટિક વર્તન છે. સામાન્ય સ્વરૂપો ક્વિન્ટિક સમીકરણ તેના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં પાંચ સ્વતંત્ર ગુણાંક સાથે સીધા માટે ઉકેલો મેળવવાનું મુશ્કેલ છેઃ ક્વિન્ટિકને ઉકેલવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓ જે વિકસાવવામાં આવી છે તે સામાન્ય રીતે સ્વતંત્ર ગુણાંકની સંખ્યાને ઘટાડવા માટે ત્સ્ચિરન્હોસ પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને ક્વિન્ટિકને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરે છે. મુખ્ય ક્વિન્ટિક સ્વરૂપ સામાન્ય ક્વિન્ટિકને મુખ્ય ક્વિન્ટિક સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે, જેમાં ક્વાર્ટિક અને ક્યુબિક શબ્દો દૂર કરવામાં આવે છેઃ જો સામાન્ય ક્વિન્ટિક અને મુખ્ય ક્વિન્ટિકના મૂળ દ્વિઘાત ટીશર્નહૌસ પરિવર્તન દ્વારા સંબંધિત હોય તો ગુણાંક α અને β પરિણામીનો ઉપયોગ કરીને અથવા મૂળના પાવર સરવાળા અને ન્યૂટનની ઓળખ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. આ α અને β માં સમીકરણોની પ્રણાલી તરફ દોરી જાય છે જેમાં દ્વિઘાત અને રેખીય સમીકરણ હોય છે, અને ઉકેલોના બે સમૂહોમાંથી કોઈ એકનો ઉપયોગ મુખ્ય પંચક સ્વરૂપના અનુરૂપ ત્રણ ગુણાંક મેળવવા માટે થઈ શકે છે. આ સ્વરૂપનો ઉપયોગ ફેલિક્સ ક્લેઇનના પંચકના દ્રાવણ દ્વારા થાય છે. બ્રિંગ-જેરાર્ડ નોર્મલ ફોર્મ ક્વિન્ટિકને વધુ સરળ બનાવવું અને દ્વિઘાત શબ્દને દૂર કરવું શક્ય છે, જે બ્રિંગ-જેરાર્ડ નોર્મલ ફોર્મ્યુલાનું નિર્માણ કરે છેઃ પાવર-સમ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી ક્યુબિક ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે કામ કરતું નથી, કારણ કે સમીકરણોની પરિણામી પ્રણાલી છઠ્ઠા-ડિગ્રી સમીકરણમાં પરિણમે છે. પરંતુ 1796માં બ્રિંગે મુખ્ય ક્વિન્ટિકના મૂળને બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિકના મૂળ સાથે સાંકળવા માટે ક્વાર્ટિક ત્સ્કિરન્હૌસ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને આની આસપાસ એક માર્ગ શોધી કાઢ્યોઃ આ ચોથા ક્રમના પરિવર્તન દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ વધારાના પરિમાણો બ્રિંગને અન્ય પરિમાણોની માત્રામાં ઘટાડો કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ છ અજ્ઞાત સમીકરણોમાં પાંચ સમીકરણોની પ્રણાલી તરફ દોરી જાય છે, જેને પછી ઘન અને દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલની જરૂર પડે છે. આ પદ્ધતિની શોધ પણ જેરાર્ડ દ્વારા 1852માં કરવામાં આવી હતી, પરંતુ સંભવ છે કે તેઓ આ ક્ષેત્રમાં બ્રિંગના અગાઉના કાર્યથી અજાણ હતા. મેથેમેટિકા અથવા મેપલ જેવા કોમ્પ્યુટર બીજગણિત પેકેજનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ પરિવર્તન સરળતાથી પૂર્ણ કરી શકાય છે. આ પરિવર્તનની જટિલતા પરથી અપેક્ષા કરી શકાય છે તેમ, પરિણામી અભિવ્યક્તિઓ પ્રચંડ હોઈ શકે છે, ખાસ કરીને જ્યારે નીચા ડિગ્રી સમીકરણો માટે રેડિકલમાં ઉકેલોની સરખામણી કરવામાં આવે છે, જે પ્રતીકાત્મક ગુણાંક સાથે સામાન્ય ક્વિન્ટિક માટે ઘણા મેગાબાઇટ્સ સંગ્રહ લે છે. બીજગણિત કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે, બે ચલોનો સમાવેશ કરવાના ઉકેલો, d1 અને d0; જો કે, ઘટાડો વાસ્તવમાં એક ચલના બીજગણિત કાર્ય માટે છે, જે રેડિકલમાં ઉકેલ સાથે ખૂબ સમાન છે, કારણ કે આપણે બ્રિંગ-જેરાર્ડ સ્વરૂપને વધુ ઘટાડી શકીએ છીએ. જો આપણે દાખલા તરીકે સેટ કરીએ તો આપણે સમીકરણને તે સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ જેમાં એક ચલના બીજગણિત કાર્ય તરીકે z નો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં. આ સ્વરૂપ હર્માઇટ-ક્રોનેકર-બ્રિયોશી પદ્ધતિ, ગ્લાસરની પદ્ધતિ અને નીચે વર્ણવેલ વિભેદક ઉકેલોની કોકલ-હાર્લી પદ્ધતિ દ્વારા જરૂરી છે. એક વૈકલ્પિક ફોર્મ સેટિંગ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે જેથી ક્યાં. આ ફોર્મનો ઉપયોગ નીચે લાવો રેડિકલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. બ્રિઓશી સામાન્ય સ્વરૂપ ક્વિન્ટિક સમીકરણ માટે અન્ય એક-પરિમાણ સામાન્ય સ્વરૂપ છે, જેને બ્રિઓશી સામાન્ય સ્વરૂપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે સામાન્ય ક્વિન્ટિકના મૂળને બ્રિઓશી ક્વિન્ટિક સાથે સંબંધિત કરવા માટે તર્કસંગત ત્સ્કિરન્હૌસ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. પરિમાણોના મૂલ્યો અને રીમાન ગોળા પર પોલિહેડ્રલ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, અને તે આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાના પદાર્થના ટેટ્રાહેડ્રલ સમપ્રમાણતાના પાંચ પદાર્થોમાં વિભાજન સાથે સંબંધિત છે. મુખ્ય પંચકને બ્રિંગ-જેરાર્ડ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા મુશ્કેલ કરતાં આ ત્સ્ચિરન્હૌસનું પરિવર્તન સરળ છે. આ સામાન્ય સ્વરૂપનો ઉપયોગ ડોયલ-મેકમુલેન પુનરાવર્તન પદ્ધતિ અને કીપર્ટ પદ્ધતિ દ્વારા થાય છે. શ્રેણી પ્રતિનિધિત્વ રેડિકલ લાવવા માટે ટેલર શ્રેણી, તેમજ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ રજૂઆત નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે. સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય છે કારણ કે ઇચ્છિત ઉકેલ સેટ કરીને તે વિચિત્ર છે. માટે શ્રેણી પછી (જે સરળ છે) માટે ટેલર શ્રેણીને ઉલટાવીને મેળવી શકાય છે, જ્યાં ગુણાંકના નિરપેક્ષ મૂલ્યો OEIS માં ક્રમ A002294 બનાવે છે. શ્રેણીના અભિસરણની ત્રિજ્યા હાયપરજિયોમેટ્રિક સ્વરૂપમાં, રેડિકલ લાવો તરીકે લખી શકાય છે ગ્લાસરની વ્યુત્પત્તિ અને વિભેદક ઉકેલોની પદ્ધતિમાં નીચે ઉદ્ભવતા હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો સાથે સરખામણી કરવી રસપ્રદ હોઈ શકે છે. સામાન્ય ક્વિન્ટિકનો ઉકેલ બહુપદીના મૂળને બ્રિંગ રેડિકલ્સ અને તેના ચાર સંયોજનોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. સમસ્યાને હવે ઉકેલવા યોગ્ય બહુપદી સમીકરણોની દ્રષ્ટિએ બ્રિંગ-જેરાર્ડ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવી છે, અને મૂળમાં બહુપદી અભિવ્યક્તિઓને સમાવતા પરિવર્તનોનો ઉપયોગ માત્ર ચોથા ડિગ્રી સુધી કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે આમૂલમાં ઉકેલવા યોગ્ય બહુપદીના મૂળને શોધીને પરિવર્તનને ઉલટાવી શકાય છે. આ પ્રક્રિયા બાહ્ય ઉકેલો આપે છે, પરંતુ જ્યારે સાચા ઉકેલો આંકડાકીય માધ્યમો દ્વારા મળી આવે છે, ત્યારે પંચકના મૂળને વર્ગમૂળ, ઘનમૂળ અને મૂળ લાવો ના સંદર્ભમાં લખી શકાય છે, જે તેથી એક જ ચલના બીજગણિત કાર્યોની દ્રષ્ટિએ બીજગણિત ઉકેલ છે (મોટે ભાગે આમૂલ લાવવા માટે વ્યાખ્યાયિત)-સામાન્ય પંચકનો બીજગણિત ઉકેલ. અન્ય લાક્ષણિકતાઓ રેડિકલ લાવવાની અન્ય ઘણી લાક્ષણિકતાઓ વિકસાવવામાં આવી છે, જેમાંથી પ્રથમ 1858 માં ચાર્લ્સ હર્માઇટ દ્વારા "લંબગોળ પાર" (લંબગોળ અને મોડ્યુલર કાર્યો સાથે સંબંધિત) ની દ્રષ્ટિએ છે, અને પછીથી અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા વધુ પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે. હર્માઇટ-ક્રોનેકર-બ્રિયોસ્કી લાક્ષણિકતા 1858 માં, ચાર્લ્સ હર્માઇટે "લંબગોળ પાર" ની દ્રષ્ટિએ સામાન્ય ક્વિન્ટિક સમીકરણનો પ્રથમ જાણીતો ઉકેલ પ્રકાશિત કર્યો, અને તે જ સમયે ફ્રાન્સેસ્કો બ્રિયોસ્કી અને લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકર સમકક્ષ ઉકેલો પર આવ્યા. હર્માઇટ ત્રિકોણમિતીય કાર્યોની દ્રષ્ટિએ ઘન સમીકરણના જાણીતા ઉકેલને સામાન્ય બનાવીને આ ઉકેલ પર પહોંચ્યા અને બ્રિંગ-જેરાર્ડ સ્વરૂપમાં ક્વિન્ટિકનો ઉકેલ શોધી કાઢે છેઃ જેમાં બતાવ્યા પ્રમાણે કોઈપણ ક્વિન્ટિક સમીકરણને ત્સ્કિરન્હૌસ પરિવર્તન દ્વારા ઘટાડી શકાય છે. તેમણે અવલોકન કર્યું હતું કે લંબગોળ વિધેયો બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિકના ઉકેલમાં સમાન ભૂમિકા ભજવે છે, જેમ કે ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ક્યુબિક માટે ભજવે છે. તેમને પ્રથમ પ્રકારના સંપૂર્ણ લંબગોળ પૂર્ણાંકો તરીકે લખો અને લખોઃ જ્યાં બે "લંબગોળ ઉત્કૃષ્ટાંકો" ની વ્યાખ્યા આપોઃ તેમને અનંત શ્રેણી દ્વારા સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ જો n એક મુખ્ય સંખ્યા હોય, તો આપણે બે મૂલ્યોને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઃ અને જ્યારે n એક વિષમ અવિભાજ્ય હોય, ત્યારે પરિમાણો અને ડિગ્રી n + 1 ઇંચના સમીકરણ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે, જેને મોડ્યુલર સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેમાં n + 1 મૂળ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ અને જ્યાં 1 અથવા-1 છે તેના આધારે 2 એ અનુક્રમે વર્ગાત્મક અવશેષ મોડ્યુલો n છે કે નહીં, અને. n = 5 માટે, આપણી પાસે મોડ્યુલર સમીકરણ છેઃ ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે છ મૂળ સાથે. n = 5 સાથેનું મોડ્યુલર સમીકરણ મોડ્યુલર સમીકરણના છ મૂળના નીચેના કાર્ય દ્વારા બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિક સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે (હર્માઇટના સુર લા થિયોરી ડેસ એક્વેશન્સ મોડ્યુલિયર્સ એટ લા રિઝોલ્યુશન ડી લ 'એક્વેશન ડુ સિન્ક્વિમે ડિગ્રીમાં, પ્રથમ પરિબળ ખોટી રીતે આપવામાં આવ્યું છે): વૈકલ્પિક રીતે, સૂત્ર તેના આંકડાકીય મૂલ્યાંકન માટે ઉપયોગી છે. હર્માઇટ અનુસાર, વિસ્તરણનો ગુણાંક દરેક માટે શૂન્ય છે. પાંચ જથ્થાઓ,,, એ ગુણાંક સાથે પંચક સમીકરણના મૂળ છે જેમાં ગુણોત્તર તર્કસંગત છેઃ જેને અવેજી દ્વારા સરળતાથી બ્રિંગ-જેરાર્ડ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છેઃ બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિક તરફ દોરી જાય છેઃ જ્યાં હર્માઇટ-ક્રોનકર-બ્રિયોશી પદ્ધતિ પછી તેના મૂલ્યને અનુરૂપ મૂલ્ય શોધવા માટે સમાન છે, અને પછી અનુરૂપ મોડ્યુલર સમીકરણના મૂળ મેળવવા માટે તે મૂલ્યનો ઉપયોગ કરે છે. આપણે સમીકરણમાંથી શોધવા માટે રુટ ફાઇન્ડિંગ એલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ (એટલે કે. ) ની આંશિક ઊલટાની ગણતરી કરો. સ્ક્વેર (*) માત્ર (ઉપયોગ કરીને) ક્વાર્ટિક આપે છે. (*) નો દરેક ઉકેલ (in) એ ક્વાર્ટિકનો ઉકેલ છે પરંતુ ક્વાર્ટિકનો દરેક ઉકેલ (*) નો ઉકેલ નથી. બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિકના મૂળ પછી આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ માટે. એક વૈકલ્પિક, "ઇન્ટિગ્રલ" અભિગમ નીચે મુજબ છેઃ ક્યાં છે તે ધ્યાનમાં લો પછી ક્યાં છે તેનો ઉકેલ છેઃ ક્યાં (નોંધ લો કે કેટલાક મહત્વપૂર્ણ સંદર્ભો તેને ભૂલથી આ રીતે આપે છે). આમાંથી એક મૂળનો ઉપયોગ લંબગોળ માપાંક તરીકે થઈ શકે છે. બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિકના મૂળ પછી આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ માટે. તે જોઈ શકાય છે કે આ પ્રક્રિયા nમા મૂળના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરે છે, જેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ અથવા વધુ બિંદુ સુધી, કારણ કે હર્માઇટ-ક્રોનકર-બ્રિયોશી પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે "લંબગોળ ઉત્કૃષ્ટ" દ્વારા ઘાતાંકને બદલે છે, અને અભિન્ન (અથવા વાસ્તવિક રેખા પરનો વ્યસ્ત) લંબગોળ અભિન્ન (અથવા "લંબગોળ ઉત્કૃષ્ટ" ના આંશિક વ્યસ્ત દ્વારા) દ્વારા. ક્રોનેકરે વિચાર્યું કે આ સામાન્યીકરણ હજી વધુ સામાન્ય પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ છે, જે મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોને લાગુ પડશે. આ પ્રમેય, જેને થોમેના સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે 1984માં હિરોશી ઉમેમુરા દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે ઘાતાંકીય/લંબગોળ પારના સ્થાને સીગલ મોડ્યુલર સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને અભિન્નને હાયપરેલિપ્ટિક ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા બદલ્યો હતો. ગ્લાસરની વ્યુત્પત્તિ એમ. એલ. ગ્લાસરને કારણે આ વ્યુત્પત્તિ સ્વરૂપના કોઈપણ ત્રિકોણીય સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે આ લેખમાં અગાઉ રજૂ કરવામાં આવેલી શ્રેણી પદ્ધતિને સામાન્ય બનાવે છેઃ ખાસ કરીને, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે ત્સ્કિરન્હૌસ પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને ક્વિન્ટિક સમીકરણને આ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. ચાલો, સામાન્ય સ્વરૂપ બને છેઃ જ્યાં લેગ્રાન્જને કારણે A સૂત્ર જણાવે છે કે કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય માટે, રૂપાંતરિત સામાન્ય સમીકરણના મૂળની પડોશમાં, ઉપરના સંદર્ભમાં, અનંત શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જો આપણે આ સૂત્રને આપીએ, તો આપણે મૂળ સાથે આવી શકીએ છીએઃ ગૌસ ગુણાકાર પ્રમેયના ઉપયોગ દ્વારા ઉપરની અનંત શ્રેણીને હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોની મર્યાદિત શ્રેણીમાં વિભાજિત કરી શકાય છેઃ અને સ્વરૂપની ત્રિમાસિકમાં મૂળ હોય છે આમ સમીકરણના મૂળને મહત્તમ N−1 હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોના સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિને ઘટાડેલા બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિક પર લાગુ કરીને, નીચેના કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરો જે ઉપરના શ્રેણી સૂત્રમાં દેખાતા હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો છે. ક્વિન્ટિકના મૂળ આ રીતે છેઃ આ અનિવાર્યપણે નીચેની પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ સમાન પરિણામ છે. વિભેદક ઉકેલોની પદ્ધતિ જેમ્સ કોકલ અને રોબર્ટ હાર્લીએ 1860માં વિકસાવી હતી, જે વિભેદક સમીકરણોના માધ્યમથી પંચકને ઉકેલવાની પદ્ધતિ હતી. તેઓ મૂળને ગુણાંકના કાર્યો માને છે અને આ સમીકરણોના આધારે વિભેદક દ્રાવકની ગણતરી કરે છે. બ્રિંગ-જેરાર્ડ ક્વિન્ટિકને એક કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ અને કાર્યને એવી રીતે નક્કી કરવાનું હોય છે કેઃ કાર્યએ નીચેના ચાર વિભેદક સમીકરણોને પણ સંતોષવા જોઈએઃ આને વિસ્તૃત કરવાથી અને તેમને એકસાથે જોડવાથી વિભેદક ઉકેલ મળે છેઃ વિભેદક ઉકેલનો ઉકેલ, ચોથા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ હોવાથી, એકીકરણના ચાર સ્થિરાંકો પર આધાર રાખે છે, જેને મૂળ ક્વિન્ટિકને સંતોષવા માટે પસંદ કરવો જોઈએ. આ હાયપરજિયોમેટ્રિક પ્રકારનું ફ્યુશિયન સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ છે, જેનો ઉકેલ ઉપર ગ્લાસરની વ્યુત્પત્તિમાં ઉદ્ભવેલા હાયપરજિયોમેટ્રિક વિધેયોની શ્રેણી સાથે સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આ પદ્ધતિને મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોમાં પણ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જેમાં વિભેદક ઉકેલો હોય છે જે આંશિક વિભેદક સમીકરણો હોય છે, જેના ઉકેલોમાં અનેક ચલોનાં હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. મનસ્વી અવિભાજ્ય બહુપદીઓના વિભેદક ઉકેલો માટેનું સામાન્ય સૂત્ર નાહયના પાવરસમ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડોયલ-મેકમુલેન પુનરાવર્તન 1989માં, પીટર ડોયલ અને કર્ટ મેકમુલેનએ એક પુનરાવર્તન પદ્ધતિ વિકસાવી હતી જે બ્રિઓશી સામાન્ય સ્વરૂપમાં ક્વિન્ટિકને ઉકેલે છેઃ પુનરાવર્તન અલ્ગોરિધમ નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છેઃ તર્કસંગત કાર્યની ગણતરી કરો જ્યાં નીચે આપેલ બહુપદી કાર્ય છે, અને જ્યાં સુધી તે એકરૂપ ન થાય ત્યાં સુધી રેન્ડમ પ્રારંભિક અનુમાન પર ઇટરેટના સંદર્ભમાં તેનું વ્યુત્પન્ન છે. મર્યાદા બિંદુ પર કૉલ કરો અને જવા દો. ગણતરી કરો જ્યાં નીચે આપેલ બહુપદી કાર્ય છે. અને બંને માટે આ કરો. છેવટે, માટે ગણતરી કરો. આ બ્રિઓશી ક્વિન્ટિકના બે મૂળ છે. બે બહુપદી કાર્યો અને તે નીચે મુજબ છેઃ આ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ પંચકના બે મૂળ ઉત્પન્ન કરે છે. બાકીના ત્રણ મૂળને બે મૂળને વિભાજિત કરવા માટે કૃત્રિમ વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, જે ઘન સમીકરણ ઉત્પન્ન કરે છે. પુનરાવર્તન જે રીતે ઘડવામાં આવે છે તેના કારણે, જ્યારે બધા ક્વિન્ટિક ગુણાંક વાસ્તવિક હોય અને પ્રારંભિક અનુમાન વાસ્તવિક હોય ત્યારે પણ આ પદ્ધતિ હંમેશા ક્વિન્ટિકના બે જટિલ સંયુક્ત મૂળ શોધતી હોય તેવું લાગે છે. આ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ આઇકોસાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતામાંથી લેવામાં આવી છે અને ફેલિક્સ ક્લેઈન તેમના પુસ્તકમાં વર્ણવે છે તે પદ્ધતિ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આ પણ જુઓ સમીકરણોના સિદ્ધાંત સંદર્ભો નોંધો અન્ય સ્રોતો બાહ્ય કડીઓ સમીકરણો બહુપદી વિશેષ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો