Free Boolean algebra
ગણિતમાં, મુક્ત બુલિયન બીજગણિત એ તત્વોના વિશિષ્ટ સમૂહ સાથેનું બુલિયન બીજગણિત છે, જેને જનરેટર કહેવાય છે, જેમ કેઃ બુલિયન બીજગણિતના દરેક તત્વને બુલિયન કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને જનરેટરના મર્યાદિત સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને જનરેટર શક્ય તેટલા સ્વતંત્ર છે, એ અર્થમાં કે તેમની વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી (ફરીથી બુલિયન કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદિત અભિવ્યક્તિઓના સંદર્ભમાં) જે દરેક બુલિયન બીજગણિતમાં કોઈ પણ તત્વ પસંદ કરવામાં આવે તે રીતે નથી. એક સરળ ઉદાહરણ મુક્ત બુલિયન બીજગણિતના જનરેટર સ્વતંત્ર દરખાસ્તોનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "જ્હોન ઊંચો છે" અને "મેરી સમૃદ્ધ છે" પ્રસ્તાવનો વિચાર કરો. આ ચાર અણુઓ સાથે બુલિયન બીજગણિત ઉત્પન્ન કરે છે, એટલે કેઃ જ્હોન ઊંચો છે, અને મેરી સમૃદ્ધ છે; જ્હોન ઊંચો છે, અને મેરી સમૃદ્ધ નથી; જ્હોન ઊંચો નથી, અને મેરી સમૃદ્ધ છે; જ્હોન ઊંચો નથી, અને મેરી સમૃદ્ધ નથી. બુલિયન બીજગણિતના અન્ય ઘટકો પછી અણુઓના તાર્કિક વિચ્છેદ છે, જેમ કે "જ્હોન ઊંચો છે અને મેરી સમૃદ્ધ નથી, અથવા જ્હોન ઊંચો નથી અને મેરી સમૃદ્ધ છે". આ ઉપરાંત એક વધુ તત્વ છે, FALSE, જેને ખાલી વિચ્છેદન તરીકે વિચારી શકાય છે; એટલે કે, કોઈ અણુનું વિચ્છેદન નહીં. આ ઉદાહરણ 16 તત્વો સાથે બુલિયન બીજગણિત આપે છે; સામાન્ય રીતે, મર્યાદિત n માટે, n જનરેટર સાથે મુક્ત બુલિયન બીજગણિતમાં 2n અણુ હોય છે, અને તેથી તત્વો હોય છે. જો ત્યાં અનંત સંખ્યામાં જનરેટર હોય, તો આવી જ સ્થિતિ પ્રવર્તે છે સિવાય કે હવે ત્યાં કોઈ અણુ નથી. બુલિયન બીજગણિતનું દરેક તત્વ મર્યાદિત રીતે ઘણા ઉત્પન્ન પ્રસ્તાવોનું સંયોજન છે, જો આવા બે તત્વો તાર્કિક રીતે સમકક્ષ હોય તો તે સમાન માનવામાં આવે છે. એન-તત્વ સમૂહ પર મુક્ત બુલિયન બીજગણિતમાં તત્વો શા માટે છે તે જોવાની બીજી રીત એ છે કે દરેક તત્વ એ એન બિટ્સથી એક સુધીનું વિધેય છે. આવા કાર્ય માટે સંભવિત ઇનપુટ્સ છે અને કાર્ય દરેક ઇનપુટ માટે આઉટપુટ માટે 0 અથવા 1 પસંદ કરશે, તેથી સંભવિત કાર્યો છે. શ્રેણી-સૈદ્ધાંતિક વ્યાખ્યા શ્રેણી સિદ્ધાંતની ભાષામાં, મુક્ત બુલિયન બીજગણિતને સમૂહો અને કાર્યોની શ્રેણી, સમૂહ અને બુલિયન બીજગણિત અને બુલિયન બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ્સ, બી. એ. ની શ્રેણી વચ્ચેના જોડાણની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હકીકતમાં, આ અભિગમ સાર્વત્રિક બીજગણિતના માળખામાં વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ બીજગણિત માળખાને સામાન્ય બનાવે છે. ઉપર, આપણે કહ્યું કે મુક્ત બુલિયન બીજગણિત એ જનરેટરના સમૂહ સાથે બુલિયન બીજગણિત છે જે ચોક્કસ રીતે વર્તે છે; વૈકલ્પિક રીતે, કોઈ એક સમૂહથી શરૂઆત કરી શકે છે અને પૂછી શકે છે કે તે કયા બીજગણિતને ઉત્પન્ન કરે છે. દરેક સમૂહ X બીજગણિત તરીકે વ્યાખ્યાયિત મુક્ત બુલિયન બીજગણિત FX ઉત્પન્ન કરે છે જેમ કે દરેક બીજગણિત B અને કાર્ય f: X → B માટે, એક અનન્ય બુલિયન બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ f′: FX → B છે જે f ને વિસ્તરે છે. આકૃતિગત રીતે, જ્યાં iX એ સમાવેશ છે, અને ડેશ કરેલ તીર વિશિષ્ટતા સૂચવે છે. વિચાર એ છે કે એકવાર X ના તત્વોને ક્યાં મોકલવા તે પસંદ કર્યા પછી, બુલિયન બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ્સ માટેના નિયમો નક્કી કરે છે કે મુક્ત બીજગણિત FX માં બાકીનું બધું ક્યાં મોકલવું. જો FX માં X ના તત્વોના સંયોજન તરીકે અવર્ણનીય તત્વો હોય, તો f′ અનન્ય ન હોત, અને જો X ના તત્વો પૂરતા પ્રમાણમાં સ્વતંત્ર ન હોત, તો f′ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ન હોત! તે સરળતાથી બતાવવામાં આવે છે કે એફએક્સ અનન્ય છે (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી), તેથી આ વ્યાખ્યા અર્થપૂર્ણ છે. તે પણ સહેલાઈથી દર્શાવવામાં આવે છે કે મૂળભૂત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરાયેલ સમૂહ X ઉત્પન્ન કરતી મુક્ત બુલિયન બીજગણિત, FX માટે સમરૂપ છે, તેથી બંને વ્યાખ્યાઓ સંમત થાય છે. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાની એક ખામી એ છે કે આકૃતિ એ નથી જાણતી કે f′ એ હોમોમોર્ફિઝમ છે; કારણ કે તે સેટમાં એક આકૃતિ છે, દરેક તીર માત્ર એક કાર્ય સૂચવે છે. આપણે તેને બે આકૃતિઓમાં વિભાજીત કરીને ઠીક કરી શકીએ છીએ, એક બીએમાં અને એક સેટમાં. બંનેને સંબંધિત કરવા માટે, અમે એક ફંકટર U: BA → સેટ રજૂ કરીએ છીએ જે બીજગણિત માળખાને "ભૂલી જાય છે", બીજગણિત અને હોમોમોર્ફિઝમ્સને તેમના અંતર્ગત સમૂહો અને કાર્યો સાથે મેપિંગ કરે છે. જો આપણે બી. એ. માં ઉપરના તીરને આકૃતિ તરીકે અને નીચેના ત્રિકોણને સમૂહમાં આકૃતિ તરીકે અર્થઘટન કરીએ, તો આ આકૃતિ યોગ્ય રીતે વ્યક્ત કરે છે કે દરેક કાર્ય f: X → UB એક અનન્ય બુલિયન બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ f′: FX → B સુધી વિસ્તરે છે. ફંકટર U ને હોમોમોર્ફિઝમ f′ ને સેટમાં પાછું ખેંચવા માટેના ઉપકરણ તરીકે વિચારી શકાય છે જેથી તે f સાથે સંબંધિત હોઈ શકે. આનું નોંધપાત્ર પાસું એ છે કે જ્યારે બે ફંકટર સંલગ્ન હોય ત્યારે પછીની આકૃતિ વિવિધ (સમકક્ષ) વ્યાખ્યાઓમાંથી એક છે. અમારું F સરળતાથી ફંકટર સમૂહ → BA સુધી વિસ્તરે છે, અને મુક્ત બુલિયન બીજગણિત FX ઉત્પન્ન કરતી X ની અમારી વ્યાખ્યા ચોક્કસપણે એ છે કે U પાસે ડાબી બાજુ સંલગ્ન F છે. ટોપોલોજિકલ અનુભૂતિ κ જનરેટર સાથે મુક્ત બુલિયન બીજગણિત, જ્યાં κ એક મર્યાદિત અથવા અનંત મુખ્ય સંખ્યા છે, તેને {0,1} κ ના તમામ ક્લોપેન સબસેટ્સના સંગ્રહ તરીકે અનુભવી શકાય છે, ઉત્પાદન ટોપોલોજીને ધ્યાનમાં રાખીને એમ ધારી શકાય છે કે {0,1} પાસે અલગ ટોપોલોજી છે. દરેક α <κ માટે, αth જનરેટર એ {0,1} κ ના તમામ તત્વોનો સમૂહ છે, જેનો αth સંકલન 1 છે. ખાસ કરીને, જનરેટર સાથેનું મુક્ત બુલિયન બીજગણિત એ કેન્ટોર જગ્યાના તમામ ક્લોપન ઉપગણોનો સંગ્રહ છે, જેને કેટલીકવાર કેન્ટોર બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. આ સંગ્રહ ગણવા યોગ્ય છે. હકીકતમાં, જ્યારે n જનરેટર સાથેના મુક્ત બુલિયન બીજગણિતમાં, n મર્યાદિત, મુખ્યતા હોય છે, ત્યારે જનરેટર સાથેના મુક્ત બુલિયન બીજગણિતમાં, જનરેટર સાથેના કોઈપણ મુક્ત બીજગણિતની જેમ અને ઘણી મર્યાદિત કામગીરીઓમાં પણ મુખ્યતા હોય છે. મુક્ત બુલિયન બીજગણિત માટે આ ટોપોલોજિકલ અભિગમ વિશે વધુ જાણવા માટે, બુલિયન બીજગણિત માટે સ્ટોનનું પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય જુઓ. બુલિયન બીજગણિત (માળખું) જનરેટિંગ સેટ રેફરન્સ સ્ટીવ ઓવોડી (2006) કેટેગરી થિયરી (ઓક્સફર્ડ લોજિક ગાઈડ્સ 49) પણ જુઓ. ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ. પોલ હેલ્મોસ અને સ્ટીવન ગિવન્ટ (1998) બીજગણિત તરીકે તર્કશાસ્ત્ર. મેથેમેટિકલ એસોસિએશન ઑફ અમેરિકા. સોન્ડર્સ મેક લેન (1998) વર્કીંગ મેથેમેટિસિયન માટેની શ્રેણીઓ. બીજી આવૃત્તિ. (ગણિતમાં સ્નાતક પાઠ 5). સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. સોન્ડર્સ મેક લેન (1999) બીજગણિત, 3d. એડ. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી. . રોબર્ટ આર. સ્ટોલ, 1963. સેટ થિયરી એન્ડ લોજિક, chpt. 6. 7. ડોવર પુનઃમુદ્રણ 1979. બુલિયન બીજગણિત મુક્ત બીજગણિત રચનાઓ