Hilbert class field
બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, સંખ્યા ક્ષેત્ર K નું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર E એ K નું મહત્તમ અબેલિયન અનરેમિફાઇડ વિસ્તરણ છે. K પરની તેની ડિગ્રી K ની વર્ગ સંખ્યા બરાબર છે અને K પર E નું ગેલોઇસ જૂથ K માં મુખ્ય આદર્શો માટે ફ્રોબેનિયસ તત્વોનો ઉપયોગ કરીને K ના આદર્શ વર્ગ જૂથ માટે પ્રમાણભૂત રીતે આઇસોમોર્ફિક છે. આ સંદર્ભમાં, K નું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર માત્ર મર્યાદિત સ્થળોએ (શાસ્ત્રીય આદર્શ સૈદ્ધાંતિક અર્થઘટન) અનરેમિફાઇડ નથી પણ K ના અનંત સ્થાનો પર પણ છે. એટલે કે, K નું દરેક વાસ્તવિક એમ્બેડિંગ E ના વાસ્તવિક એમ્બેડિંગ (E ના જટિલ એમ્બેડિંગને બદલે) સુધી વિસ્તરે છે. ઉદાહરણો જો K ના પૂર્ણાંકોની વીંટી એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન છે, ખાસ કરીને જો, તો પછી K તેનું પોતાનું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર છે. ભેદભાવ થવા દો. આ ક્ષેત્રમાં ભેદભાવ છે અને તે જ રીતે દરેક જગ્યાએ K નું અનરેમિફાઇડ વિસ્તરણ છે, અને તે અબેલિયન છે. મિન્કોવ્સ્કી બાઉન્ડનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ બતાવી શકે છે કે K નો વર્ગ નંબર 2 છે. તેથી, તેનું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર છે. K નો બિન-મુખ્ય આદર્શ (2, (1 +)/2) છે, અને L માં આ મુખ્ય આદર્શ ((1 +)/2) બની જાય છે. આ ક્ષેત્રનો વર્ગ નંબર 3 છે. તેનું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર x3-x-1 ના મૂળને અડીને બનાવી શકાય છે, જેમાં ડિસ્ક્રિમિનન્ટ-23 છે. આર્કિમિડીયન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પર વિભાજનને શા માટે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ તે જોવા માટે, 3 થી Q ના વર્ગમૂળને અડીને મેળવેલા વાસ્તવિક વર્ગાત્મક ક્ષેત્ર K ને ધ્યાનમાં લો. આ ક્ષેત્રમાં વર્ગ નંબર 1 અને ડિસ્ક્રિમિનન્ટ 12 છે, પરંતુ ડિસ્ક્રિમિનન્ટ 9 = 32 નું વિસ્તરણ K (i)/K એ K માં તમામ મુખ્ય આદર્શો પર અનરેમિફાઇડ છે, તેથી K એ 1 કરતા વધુ ડિગ્રીના મર્યાદિત અબેલિયન વિસ્તરણને સ્વીકારે છે જેમાં K ના તમામ મર્યાદિત અવિભાજ્ય અનરેમિફાઇડ છે. આ K ના હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્રના પોતે K હોવાના વિરોધાભાસી નથીઃ K ના દરેક યોગ્ય મર્યાદિત અબેલિયન વિસ્તરણને કોઈક જગ્યાએ વિસ્તૃત કરવું આવશ્યક છે, અને K (i)/K વિસ્તરણમાં આર્કિમિડીયન સ્થળોએ વિસ્તરણ છેઃ K ના વાસ્તવિક એમ્બેડિંગ્સ K (i) ના જટિલ (વાસ્તવિકને બદલે) એમ્બેડિંગ્સ સુધી વિસ્તરે છે. જટિલ ગુણાકારના સિદ્ધાંત દ્વારા, કાલ્પનિક વર્ગાત્મક ક્ષેત્રનું હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર પૂર્ણાંકોની વીંટી (ઝેડ-મોડ્યુલ તરીકે) માટે જનરેટર પર લંબગોળ મોડ્યુલર કાર્યના મૂલ્ય દ્વારા પેદા થાય છે. આપેલ સંખ્યા ક્ષેત્ર K માટે (સાંકડી) હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્રનું અસ્તિત્વ ફિલિપ ફર્ટેવાંગલર દ્વારા અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું અને સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્રનું અસ્તિત્વ એ આપેલ ક્ષેત્રના આદર્શ વર્ગ જૂથના માળખાના અભ્યાસમાં એક મૂલ્યવાન સાધન છે. વધારાના ગુણધર્મો હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર E પણ નીચેનાને સંતોષે છેઃ E એ K અને [E: K] = hK નું મર્યાદિત ગેલોઇસ વિસ્તરણ છે, જ્યાં hK એ K ની વર્ગ સંખ્યા છે. K નું આદર્શ વર્ગ જૂથ K ઉપર E ના ગેલોઇસ જૂથ માટે સમરૂપ છે. OK નો દરેક આદર્શ રિંગ વિસ્તરણ OE (મુખ્ય આદર્શ પ્રમેય) ના મુખ્ય આદર્શ સુધી વિસ્તરે છે. OK નો દરેક મુખ્ય આદર્શ P, OE માં hK/f મુખ્ય આદર્શોના ગુણાકારમાં વિઘટિત થાય છે, જ્યાં f એ OK ના આદર્શ વર્ગ જૂથમાં [P] નો ક્રમ છે. હકીકતમાં, E એ અનન્ય ક્ષેત્ર છે જે પ્રથમ, બીજા અને ચોથા ગુણધર્મોને સંતોષે છે. સ્પષ્ટ રચનાઓ જો K કાલ્પનિક વર્ગાત્મક હોય અને A એ K ના પૂર્ણાંકોની વીંટી દ્વારા જટિલ ગુણાકાર સાથેનો લંબગોળ વળાંક હોય, તો પછી A થી K ના જે-ઇનવેરિયન્ટને અડીને હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર મળે છે. સામાન્યીકરણ વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, આપેલ મોડ્યુલસના સંદર્ભમાં કિરણ વર્ગ ક્ષેત્રનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જે મુખ્ય આદર્શો (સંભવતઃ આર્કિમિડીયન સહિત) નું ઔપચારિક ઉત્પાદન છે. કિરણોત્સર્ગી વર્ગ ક્ષેત્ર એ મહત્તમ અબેલિયન વિસ્તરણ છે જે અવિભાજ્યની બહાર અનરેમિફાઇડ છે જે મોડ્યુલસને વિભાજિત કરે છે અને મોડ્યુલસને વિભાજિત કરતા અવિભાજ્ય પર ચોક્કસ શાખાની સ્થિતિને સંતોષે છે. હિલ્બર્ટ વર્ગ ક્ષેત્ર પછી તુચ્છ મોડ્યુલસ 1 ના સંદર્ભમાં કિરણ વર્ગ ક્ષેત્ર છે. સાંકડા વર્ગનું ક્ષેત્ર એ તમામ અનંત અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ધરાવતા મોડ્યુલસના સંદર્ભમાં કિરણ વર્ગનું ક્ષેત્ર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરની દલીલ દર્શાવે છે કે તેનું સાંકડી વર્ગ ક્ષેત્ર છે. નોંધો સંદર્ભો જે. એસ. મિલ્ને, વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત (અભ્યાસક્રમ નોંધો http://www.jmilne.org/math પર ઉપલબ્ધ છે). નોંધોનો પરિચય પ્રકરણ જુઓ, ખાસ કરીને પાનું 4. વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત