Moduli of algebraic curves
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, (બીજગણિત) વળાંકની મોડુલી જગ્યા એ ભૌમિતિક જગ્યા (સામાન્ય રીતે એક યોજના અથવા બીજગણિત સમૂહ) છે, જેના બિંદુઓ બીજગણિત વળાંકના સમરૂપતા વર્ગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આમ તે મોડુલી સ્પેસનો એક ખાસ કેસ છે. ગણવામાં આવતા બીજગણિત વળાંકના વર્ગો પર લાગુ કરવામાં આવેલા પ્રતિબંધોના આધારે, અનુરૂપ મોડ્યુલી સમસ્યા અને મોડ્યુલી જગ્યા અલગ છે. એક જ મોડ્યુલી સમસ્યા માટે દંડ અને બરછટ મોડ્યુલી જગ્યાઓ વચ્ચે પણ તફાવત કરે છે. સૌથી મૂળભૂત સમસ્યા એ છે કે નિશ્ચિત જાતિના સરળ સંપૂર્ણ વળાંકના મોડુલીની. જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં આ આપેલ જીનસની સઘન રીમાન સપાટીઓને ચોક્કસપણે અનુરૂપ છે, જેના માટે બર્નહાર્ડ રીમેને મોડુલી જગ્યાઓ વિશેના પ્રથમ પરિણામો સાબિત કર્યા, ખાસ કરીને તેમના પરિમાણો ("પરિમાણોની સંખ્યા જેના પર જટિલ માળખું આધાર રાખે છે"). સ્થિર વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેક્સ મોડ્યુલી સ્ટેક્સ તેમના આઇસોમોર્ફિઝમ્સ સાથે, સરળ પ્રોજેક્ટિવ વળાંકના પરિવારોને વર્ગીકૃત કરે છે. જ્યારે, આ માળખાને નવા "સીમા" બિંદુઓ ઉમેરીને સઘન બનાવી શકાય છે જે સ્થિર નોડલ વળાંક (તેમના સમરૂપતા સાથે) ને અનુરૂપ હોય છે. વળાંક સ્થિર હોય છે જો તે સંપૂર્ણ હોય, જોડાયેલ હોય, બેવડા બિંદુઓ સિવાય અન્ય કોઈ એકલતા ન હોય અને તેમાં ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું મર્યાદિત જૂથ હોય. પરિણામી સ્ટૅક સૂચવવામાં આવે છે. બંને મોડુલી સ્ટેક્સ વળાંકના સાર્વત્રિક પરિવારો ધરાવે છે. ઉપરના બંને સ્ટેક્સમાં પરિમાણ હોય છે; તેથી સ્થિર નોડલ વળાંકને પરિમાણોના મૂલ્યો પસંદ કરીને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, ક્યારે. નીચલી જાતિમાં, ઓટોમોર્ફિઝમ્સના સરળ પરિવારોની હાજરી માટે તેમની સંખ્યાને બાદ કરીને જવાબદાર હોવું જોઈએ. જીનસ શૂન્યનો બરાબર એક જટિલ વળાંક છે, રીમાન ગોળા, અને તેના આઇસોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ પીજીએલ (2) છે. તેવી જ રીતે, જીનસ 1 માં, વળાંકની એક-પરિમાણીય જગ્યા હોય છે, પરંતુ આવા દરેક વળાંકમાં ઓટોમોર્ફિઝમનું એક-પરિમાણીય જૂથ હોય છે. તેથી, સ્ટેકનું પરિમાણ 0 છે. બાંધકામ અને ઇરેડ્યુસિબિલિટી તે એક બિન-તુચ્છ પ્રમેય છે, જે પિયરે ડેલીગ્ને અને ડેવિડ મમફોર્ડ દ્વારા સાબિત થયું છે કે મોડુલી સ્ટેક ઇરેડ્યુસિબલ છે, જેનો અર્થ છે કે તેને બે યોગ્ય સબસ્ટેક્સના જોડાણ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતો નથી. તેઓ હિલ્બર્ટ બહુપદી ધરાવતા ત્રિ-કેનોનિક રીતે જડિત વળાંકની હિલ્બર્ટ યોજનામાં સ્થિર વળાંકના સ્થાનનું વિશ્લેષણ કરીને આ સાબિત કરે છે. પછી, સ્ટૅક એ મોડુલી જગ્યાનું નિર્માણ છે. વિરૂપતા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, ડિલિગ્ને અને મમફોર્ડ દર્શાવે છે કે આ સ્ટેક સરળ છે અને સ્થિર વળાંક વચ્ચે આઇસોમોર્ફિઝમ્સના સ્ટેકનો ઉપયોગ કરે છે, તે બતાવવા માટે કે તેમાં મર્યાદિત સ્ટેબિલાઇઝર્સ છે, તેથી તે ડિલિગ્ને-મમફોર્ડ સ્ટેક છે. વધુમાં, તેઓ જેમ કે એક સ્તરીકરણ શોધે છે, જ્યાં સરળ સ્થિર વળાંકનો સબશીમ છે અને તે એક ઇરેડ્યુસિબલ ઘટક છે. તેઓ (GIT ભાગાકાર તરીકે) ના ઘટકોનું વિશ્લેષણ કરે છે. જો તેમાં બહુવિધ ઘટકો અસ્તિત્વમાં હોત, તો તેમાંથી કોઈ પણ પૂર્ણ ન હોત. ઉપરાંત, તેના કોઈપણ ઘટકમાં બિન-એકકોણીય વળાંક હોવો આવશ્યક છે. પરિણામે, એકવચન લોકસ જોડાયેલું છે, તેથી તે એક ઘટકમાં સમાયેલ છે. વધુમાં, કારણ કે દરેક ઘટક છેદે છે, બધા ઘટકો એક જ ઘટકમાં સમાવિષ્ટ હોવા જોઈએ, તેથી બરછટ જગ્યા ઈરીડ્યુસિબલ છે. બીજગણિત સ્ટેક્સના સામાન્ય સિદ્ધાંત પરથી, આ સૂચવે છે કે સ્ટેક્સનો ભાગાંક ઈરીડ્યુસિબલ છે. ચોકસાઈ, અથવા ઓર્બિફોલ્ડ્સ માટે સઘનતા, વળાંક પર સ્થિર ઘટાડા પરના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે. આ એબેલિયન જાતોના સ્થિર ઘટાડા સંબંધિત ગ્રોથેન્ડીકના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, અને curves.section 5.2 બરછટ મોડ્યુલી જગ્યાઓના સ્થિર ઘટાડા સાથે તેની સમાનતા દર્શાવે છે. આ બરછટ મોડ્યુલી જગ્યાઓનો વાસ્તવમાં મોડ્યુલી સ્ટેકની કલ્પના રજૂ કરવામાં આવી તે પહેલાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. હકીકતમાં, મોડ્યુલી સ્ટેકનો વિચાર ડિલિગ્ને અને મમફોર્ડ દ્વારા બરછટ મોડ્યુલી જગ્યાઓની પ્રક્ષેપકતાને સાબિત કરવાના પ્રયાસમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. તાજેતરના વર્ષોમાં, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે વળાંકનો ઢગલો વાસ્તવમાં વધુ મૂળભૂત પદાર્થ છે. બરછટ મોડ્યુલી જગ્યાઓ જ્યારે સ્ટેક્સ જેવી જ પરિમાણ ધરાવે છે; જો કે, જીનસ શૂન્યમાં બરછટ મોડ્યુલી જગ્યા પરિમાણ શૂન્ય ધરાવે છે, અને જીનસ એકમાં, તેનું પરિમાણ એક હોય છે. નિમ્ન જીનસ મોડ્યુલી જગ્યાઓના ઉદાહરણો જીનસ 0 જીનસ વળાંકની મોડ્યુલી જગ્યાની ભૂમિતિ નક્કી કરીને વિરૂપતા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સ્થાપિત કરી શકાય છે. જીનસ કર્વ માટે મોડુલીની સંખ્યા, દા. ત. , કોહોમોલોજી જૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સેરે ડ્યૂઅલિટી સાથે આ કોહોમોલોજી જૂથ ડ્યૂઅલાઈઝિંગ શીફ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. પરંતુ, રીમેન-રોકનો ઉપયોગ દર્શાવે છે કે કેનોનિકલ બંડલની ડિગ્રી છે, તેથી ડિગ્રી છે, તેથી ત્યાં કોઈ વૈશ્વિક વિભાગો નથી, જેનો અર્થ એ છે કે જીનસ વળાંકની કોઈ વિકૃતિ નથી. આ સાબિત કરે છે કે તે માત્ર એક જ બિંદુ છે, અને માત્ર જીનસ વણાંકો દ્વારા આપવામાં આવે છે. એકમાત્ર તકનીકી મુશ્કેલી એ છે કે ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ એ બીજગણિત જૂથ છે, જે એકવાર ત્રણ બિંદુઓ નિશ્ચિત થઈ જાય તે પછી સખત બને છે, તેથી મોટાભાગના લેખકોનો અર્થ થાય છે. જીનસ 1 કેસ મોડ્યુલી જગ્યાઓના પ્રથમ સારી રીતે સમજી શકાય તેવા કિસ્સાઓમાંનો એક છે, ઓછામાં ઓછા જટિલ સંખ્યાઓ પર, કારણ કે લંબગોળ વળાંકના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોને J-ઇનવેરિયન્ટ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ટોપોલોજીકલ રીતે, તે માત્ર એફાઇન રેખા છે, પરંતુ તેને અનંત પર સ્થિર વળાંક ઉમેરીને અંતર્ગત ટોપોલોજિકલ જગ્યા સાથે એક સમૂહમાં સંકુચિત કરી શકાય છે. આ એક જ કસ્પ સાથે લંબગોળ વળાંક છે. સામાન્ય કેસ ઓવરનું બાંધકામ મૂળરૂપે ડેલીગ્ને અને રેપોપોર્ટ દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવ્યું હતું. નોંધ કરો કે મોટાભાગના લેખકો એક ચિહ્નિત બિંદુ સાથે જીનસ એક વળાંકના કેસને જૂથની ઉત્પત્તિ તરીકે માને છે કારણ કે અન્યથા કાલ્પનિક મોડ્યુલી જગ્યામાં સ્ટેબિલાઇઝર જૂથમાં વળાંક દ્વારા આપવામાં આવેલા બિંદુ પર સ્ટેબિલાઇઝર જૂથ હશે, કારણ કે લંબગોળ વળાંકમાં એબેલિયન જૂથ માળખું હોય છે. આ આ કાલ્પનિક મોડુલી જગ્યામાં બિનજરૂરી તકનીકી જટિલતા ઉમેરે છે. બીજી બાજુ, તે એક સ્મૂથ ડેલીગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટેક છે. જીનસ 2 માં તે એક શાસ્ત્રીય પરિણામ છે કે આવા તમામ વળાંકો હાયપરેલિપ્ટિક છે, પૃષ્ઠ 298 જેથી મોડ્યુલી જગ્યા રીમાન-હર્વિટ્ઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વળાંકની શાખા લોકસમાંથી સંપૂર્ણપણે નક્કી કરી શકાય છે. મનસ્વી જીનસ 2 વળાંક કેટલાક વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત સ્વરૂપની બહુપદી દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી આવા વળાંકો માટે પરિમાણની જગ્યા તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં તે લોકસને અનુરૂપ હોય છે. ભારિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા ભારિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા અને રીમાન-હર્વિટ્ઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, હાયપરલિપ્ટિક વળાંકને તે સ્વરૂપની બહુપદી તરીકે વર્ણવી શકાય છે જ્યાં તેના વિભાગો માટે પરિમાણો છે. પછી, જે વિભાગોમાં ત્રિકોણીય મૂળ ન હોય તેવા સ્થાનોમાં દરેક વળાંક હોય છે જે બિંદુ દ્વારા રજૂ થાય છે. જીનસ 3 આ વળાંકની પ્રથમ મોડ્યુલી જગ્યા છે જેમાં હાયપરેલિપ્ટિક લોકસ અને નોન-હાયપરેલિપ્ટિક લોકસ બંને હોય છે. બિન-લંબગોળ વળાંક બધા ડિગ્રી 4 (જીનસ ડિગ્રી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને) ના સમતલ વળાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે હાઇપરસર્ફેસની હિલ્બર્ટ યોજનામાં સરળ લોકસ દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે. પછી, મોડુલી જગ્યાને સબસ્ટેક્સ દ્વારા સ્તરીકૃત કરવામાં આવે છે. અગાઉના તમામ કિસ્સાઓમાં, મોડ્યુલી જગ્યાઓ યુનિરેશનલ હોવાનું શોધી શકાય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે ત્યાં એક પ્રબળ તર્કસંગત મોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે અને તે લાંબા સમયથી અપેક્ષિત હતું કે આ તમામ જાતિઓમાં સાચું હશે. હકીકતમાં, સેવેરીએ અત્યાર સુધીની જાતિ માટે આ સાચું સાબિત કર્યું હતું. તેમ છતાં, તે તારણ આપે છે કે જીનસ માટે આવી તમામ મોડ્યુલી જગ્યાઓ સામાન્ય પ્રકારની હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકરૂપ નથી. તેઓએ બરછટ મોડુલી જગ્યાઓના કોડાઇરા પરિમાણનો અભ્યાસ કરીને આ પરિપૂર્ણ કર્યું અને તેના માટે શોધ કરી. હકીકતમાં, માટે, અને તેથી તે સામાન્ય પ્રકારનું છે. ભૌમિતિક સૂચિતાર્થ આ ભૌમિતિક રીતે નોંધપાત્ર છે કારણ કે તે સૂચવે છે કે નિયંત્રિત વિવિધતા પરની કોઈપણ રેખીય પ્રણાલી સાર્વત્રિક વળાંક ધરાવી શકતી નથી. સીમાની સ્તરીકરણ મોડ્યુલી જગ્યા સીમા પર કુદરતી સ્તરીકરણ ધરાવે છે જેના બિંદુઓ એકવચન જાતિ વળાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે સ્તરોમાં વિઘટિત થાય છે, ક્યાં માટે. જ્યાં ક્રિયા બે ચિહ્નિત બિંદુઓને પર્મ્યુટ કરે છે. જ્યારે પણ હોય. આ સ્થાનોની ઉપર આવેલા વળાંકો બેવડા બિંદુ પર જોડાયેલા વળાંકની જોડીને અનુરૂપ છે. સિંગલ ડબલ પોઇન્ટ સિંગ્યુલારિટી પર જીનસ કર્વનું સામાન્યીકરણ. સમાન જાતિના વળાંકની જોડી ક્રમચય સુધી બેવડા બિંદુ પર જોડાયેલી હોય છે. જીનસ 2 માટે સ્તરીકરણ જીનસ કેસ માટે, દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્તરીકરણ છે. આ સ્તરોના વધુ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ ચૌ રીંગ પ્રપોઝિશન 9.1 ના જનરેટર આપવા માટે થઈ શકે છે. ચિહ્નિત વળાંકના મોડ્યુલી કોઈ પણ વ્યક્તિ નોડથી જોડી મુજબ અલગ અને અલગ, એન ચિહ્નિત બિંદુઓ સાથે જીનસ જી નોડલ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેકને ધ્યાનમાં લઈને સમસ્યાને સમૃદ્ધ બનાવી શકે છે. આવા ચિહ્નિત વળાંકોને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો ચિહ્નિત બિંદુઓને ઠીક કરતા વળાંક ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું પેટા જૂથ મર્યાદિત હોય. એન ચિહ્નિત બિંદુઓ સાથે સરળ (અથવા સ્થિર) જીનસ જી વળાંકના પરિણામી મોડ્યુલી સ્ટેક્સને સૂચવવામાં આવે છે (અથવા), અને તેનું પરિમાણ હોય છે. ખાસ રસ ધરાવતો કિસ્સો એ છે કે એક ચિહ્નિત બિંદુ સાથે જીનસ 1 વળાંકનો મોડ્યુલી સ્ટેક છે. આ લંબગોળ વળાંકનો ઢગલો છે. સ્તર 1 મોડ્યુલર સ્વરૂપો આ માળખા પર લાઇન બંડલ્સના વિભાગો છે, અને સ્તર N મોડ્યુલર સ્વરૂપો સ્તર N માળખા (આશરે ક્રમ N ના બિંદુઓનું નિશાન) સાથે લંબગોળ વળાંકના માળખા પર લાઇન બંડલ્સના વિભાગો છે. બાઉન્ડ્રી ભૂમિતિ કોમ્પેક્ટેડ મોડ્યુલી જગ્યાઓનો એક મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ એ છે કે તેમની સીમાને જાતિ માટે મોડ્યુલી જગ્યાઓના સંદર્ભમાં વર્ણવી શકાય છે. ચિહ્નિત, સ્થિર, નોડલ વળાંકને જોતાં કોઈ પણ વ્યક્તિ તેના બેવડા આલેખને જોડી શકે છે, જે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો દ્વારા લેબલ થયેલ શિરોબિંદુઓ સાથેનો આલેખ છે અને તેમાં લૂપ્સ, બહુવિધ ધાર અને ક્રમાંકિત અર્ધ-ધાર પણ હોઈ શકે છે. અહીં આલેખના શિરોબિંદુઓ નોડલ વળાંકના ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકોને અનુરૂપ છે, શિરોબિંદુની લેબલિંગ એ અનુરૂપ ઘટકની અંકગણિત જાતિ છે, ધાર વળાંકના ગાંઠોને અનુરૂપ છે અને અડધી ધાર નિશાનોને અનુરૂપ છે. આપેલ બેવડા આલેખ સાથે વળાંકના સ્થાનનું બંધ થવું એ મર્યાદિત જૂથ દ્વારા વળાંકની સઘન મોડ્યુલી જગ્યાઓના ગુણાકારના સ્ટેક ભાગાકાર માટે આઇસોમોર્ફિક છે. ઉત્પાદનમાં શિરોબિંદુ V ને અનુરૂપ પરિબળ લેબલિંગમાંથી લેવામાં આવેલ જીનસ GV ધરાવે છે અને v પર બહારની ધાર અને અડધી ધારની સંખ્યા જેટલી નિશાનીઓની સંખ્યા ધરાવે છે. કુલ જીનસ G એ GV નો સરવાળો અને આલેખમાં બંધ ચક્રની સંખ્યા છે. સ્થિર વળાંકો કે જેમના બેવડા આલેખમાં લેબલ થયેલ શિરોબિંદુ હોય છે (તેથી અન્ય તમામ શિરોબિંદુઓ હોય છે અને આલેખ એક વૃક્ષ હોય છે) તેને "તર્કસંગત પૂંછડી" કહેવામાં આવે છે અને તેમની મોડ્યુલી જગ્યા સૂચવવામાં આવે છે. સ્થિર વળાંક કે જેનો બેવડો આલેખ વૃક્ષ છે તેને "કોમ્પેક્ટ પ્રકાર" કહેવામાં આવે છે (કારણ કે જેકોબિયન કોમ્પેક્ટ છે) અને તેમની મોડ્યુલી જગ્યા સૂચવવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ ચિહ્નિત વળાંકના મોડ્યુલી વિટ્ટન અનુમાન ટોપોલોજિકલ રીંગ ગ્રોથેન્ડીક-રીમેન-રોક પ્રમેય સંદર્ભો ક્લાસિક સંદર્ભો વળાંકના મોડ્યુલી પરના પુસ્તકો કોહોમોલોજી અને આંતરછેદ સિદ્ધાંત બાહ્ય કડીઓ "વળાંકના મોડ્યુલી જગ્યાની ટોપોલોજી અને ભૂમિતિ" "સ્થિર નકશાના મોડ્યુલી, ગ્રોમોવ-વિટ્ટન ઇનવેરિયન્ટ અને ક્વોન્ટમ કોહોમોલોજી" મોડ્યુલી સિદ્ધાંત બીજગણિત જાતો