Floquet theory
ફ્લોક્વેટ થિયરી એ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતની એક શાખા છે, જે સમયગાળા સાથે પીસવાઇઝ સતત સામયિક કાર્ય સાથે સ્વરૂપના સામયિક રેખીય વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોના વર્ગને સંબંધિત છે અને ઉકેલોની સ્થિરતાની સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ફ્લોક્વેટ થિયરીનો મુખ્ય પ્રમેય, ફ્લોક્વેટ્સ થીયરમ, આ સામાન્ય રેખીય પ્રણાલીના દરેક મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ઉકેલ માટે કેનોનિકલ સ્વરૂપ આપે છે. તે એક સંકલન પરિવર્તન આપે છે જે સામયિક પ્રણાલીને સતત, વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે પરંપરાગત રેખીય પ્રણાલીમાં પરિવર્તિત કરે છે. જ્યારે સામયિક સંભવિતતા ધરાવતી ભૌતિક પ્રણાલીઓ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, જેમ કે કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સ્ફટિકો, ત્યારે પરિણામ બ્લોચના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. નોંધ લો કે રેખીય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો વેક્ટર સ્પેસ બનાવે છે. જો તમામ સ્તંભો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય તો મેટ્રિક્સને મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સને મુખ્ય મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે જો તમામ સ્તંભો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય અને ત્યાં એવી ઓળખ અસ્તિત્વમાં હોય જે ઓળખ છે. મૂળભૂત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય મૂળભૂત મેટ્રિક્સનું નિર્માણ કરી શકાય છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ એ છે કે કોઈપણ મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ઉકેલ ક્યાં છે. ફ્લોક્વેટનો પ્રમેય ચાલો એક રેખીય પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ હોઈએ, જ્યાં લંબાઈનો સ્તંભ વેક્ટર અને સમયગાળો (એટલે કે તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે) સાથે સામયિક મેટ્રિક્સ છે. ચાલો આ વિભેદક સમીકરણનો મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ઉકેલ બનીએ. પછી, બધા માટે, અહીં મોનોડ્રોમી મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખાય છે. વધુમાં, દરેક મેટ્રિક્સ માટે (સંભવતઃ જટિલ) જેમ કે ત્યાં એક સામયિક (સમયગાળો) મેટ્રિક્સ ફંક્શન હોય છે જેમ કે, ત્યાં એક વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ અને વાસ્તવિક સામયિક (સમયગાળો-) મેટ્રિક્સ ફંક્શન હોય છે જેમ કે ઉપરોક્તમાં, અને મેટ્રિક્સ છે. પરિણામો અને ઉપયોગો આ નકશા નિર્દેશાંકો () ના સમય-આધારિત પરિવર્તનને જન્મ આપે છે, જેના હેઠળ આપણી મૂળ પ્રણાલી વાસ્તવિક અચળ ગુણાંક સાથે એક રેખીય પ્રણાલી બની જાય છે. તે સતત અને સામયિક હોવાથી તે બંધાયેલ હોવું જોઈએ. આમ અને માટે શૂન્ય ઉકેલની સ્થિરતા તેના આઈગનવેલ્યુ દ્વારા નક્કી થાય છે. પ્રતિનિધિત્વને મૂળભૂત મેટ્રિક્સ માટે ફ્લોક્વેટ સામાન્ય સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. ના આઈગન વેલ્યુને સિસ્ટમના લાક્ષણિક ગુણક કહેવામાં આવે છે. તેઓ (રેખીય) પોઇનકેરે નકશાના આઈગનવેલ્યુ પણ છે. ફ્લોક્વેટ એક્સપોનેન્ટ (કેટલીકવાર લાક્ષણિકતા એક્સપોનેન્ટ તરીકે ઓળખાય છે) એ એક જટિલ છે જે સિસ્ટમનો લાક્ષણિક ગુણક છે. નોંધ લો કે ફ્લોક્વેટ ઘાતાંકો અનન્ય નથી, કારણ કે, પૂર્ણાંક ક્યાં છે. ફ્લોક્વેટ ઘાતાંકોના વાસ્તવિક ભાગોને લિયાપુનોવ ઘાતાંકો કહેવામાં આવે છે. જો બધા લિયાપુનોવ ઘાતાંકો નકારાત્મક હોય તો શૂન્ય ઉકેલ એસિમ્પ્ટોટિકલી સ્થિર હોય છે, જો લિયાપુનોવ ઘાતાંકો બિન-સકારાત્મક હોય અને અન્યથા અસ્થિર હોય તો લિયાપુનોવ સ્થિર હોય છે. ફ્લોક્વેટ સિદ્ધાંત ગતિશીલ પ્રણાલીઓના અભ્યાસ માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, જેમ કે મેથ્યુ સમીકરણ. ફ્લોક્વેટ સિદ્ધાંત હિલ વિભેદક સમીકરણ (જ્યોર્જ વિલિયમ હિલ દ્વારા રજૂ કરાયેલ) માં સ્થિરતા દર્શાવે છે, જે સામયિક ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રમાં હાર્મોનિક ઓસિલેટર તરીકે ચંદ્રની ગતિનો અંદાજ આપે છે. તીવ્ર લેસર ક્ષેત્રોમાં બોન્ડ નરમ પડવું અને બોન્ડ સખત બનવાનું ફ્લોક્વેટ પ્રમેયમાંથી મેળવેલા ઉકેલોની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાય છે. સંદર્ભો સી. ચિકોન. એપ્લિકેશન્સ સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, ન્યૂ યોર્ક 1999. એમ. એસ. પી. ઇસ્ટમ, "સામયિક વિભેદક સમીકરણોનો વર્ણપટ સિદ્ધાંત", ટેક્સ્ટ્સ ઇન મેથેમેટિક્સ, સ્કોટિશ એકેડેમિક પ્રેસ, એડિનબર્ગ, 1973. , મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સનો અનુવાદ, 19,294p. ડબ્લ્યુ. મેગ્નસ, એસ. વિંકલર. હિલનું સમીકરણ, ડોવર-ફોનિક્સ આવૃત્તિઓ,. એન. ડબલ્યુ. મેકલાચલાન, થિયરી એન્ડ એપ્લિકેશન ઓફ મેથ્યુ ફંક્શન્સ, ન્યૂ યોર્કઃ ડોવર, 1964. બાહ્ય કડીઓ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ