Sum of normally distributed random variables
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલના સરવાળાની ગણતરી એ રેન્ડમ વેરિયેબલના અંકગણિતનું ઉદાહરણ છે. આને સામાન્ય વિતરણોના સરવાળા સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ જે મિશ્રણ વિતરણ બનાવે છે. ચાલો X અને Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ હોય જે સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે (અને તેથી સંયુક્ત રીતે પણ), તો પછી તેમનો સરવાળો પણ સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે. એટલે કે, જો તો આનો અર્થ એ છે કે બે સ્વતંત્ર સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો સામાન્ય છે, તેનો સરેરાશ બે માધ્યમોનો સરવાળો છે, અને તેની ભિન્નતા બે ભિન્નતાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે, પ્રમાણભૂત વિચલનનો વર્ગ એ પ્રમાણભૂત વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો છે). આ પરિણામને જાળવી રાખવા માટે, X અને Y સ્વતંત્ર છે તેવી ધારણાને નકારી શકાય નહીં, જો કે તે એવી ધારણાથી નબળી પડી શકે છે કે X અને Y અલગથી વહેંચવાને બદલે સામાન્ય રીતે સંયુક્ત રીતે વહેંચવામાં આવે છે. (ઉદાહરણ માટે અહીં જુઓ.) સરેરાશ વિશેનું પરિણામ તમામ કિસ્સાઓમાં હોય છે, જ્યારે ભિન્નતા માટેના પરિણામ માટે અસંબંધિતતાની જરૂર હોય છે, પરંતુ સ્વતંત્રતાની નહીં. લાક્ષણિકતા કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને પુરાવો બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y ના સરવાળાનું લાક્ષણિકતા કાર્ય એ માત્ર બે અલગ લાક્ષણિકતા કાર્યોનું ઉત્પાદન છેઃ X અને Y. અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા σ2 સાથે સામાન્ય વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય છે તેથી આ અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય છે. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, Z = X + Y નું વિતરણ fZ એ fX અને fY ના રૂપાંતરની બરાબર છેઃ આપેલ છે કે fX અને fY સામાન્ય ઘનતા છે, જે રૂપાંતરમાં અવેજી છેઃ વ્યાખ્યાયિત કરવું અને વર્ગ પૂર્ણ કરવોઃ સંકલનમાં અભિવ્યક્તિ એ x પર સામાન્ય ઘનતા વિતરણ છે, અને તેથી સંકલન 1 નું મૂલ્યાંકન કરે છે. ઇચ્છિત પરિણામ નીચે મુજબ છેઃ કોન્વોલ્યુશન થીયરમનો ઉપયોગ કરીને તે દર્શાવી શકાય છે કે ગૌસીયનનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ, કોન્વોલ્યુશન થીયરમ દ્વારા છેઃ ભૌમિતિક પુરાવો પ્રથમ સામાન્યીકૃત કેસને ધ્યાનમાં લો જ્યારે X, Y ~ N (0,1) હોય, જેથી તેમની PDF હોય અને ધારો કે Z = X + Y. પછી Z માટે CDF હશે આ ઇન્ટિગ્રલ અર્ધ-સમતલ પર છે જે x + y = z રેખા હેઠળ આવેલું છે. મુખ્ય અવલોકન એ છે કે કાર્ય ત્રિજ્યીય રીતે સપ્રમાણ છે. તેથી આપણે મૂળ વિશે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનને ફેરવીએ છીએ, નવા કોઓર્ડિનેટ પસંદ કરીએ છીએ જેથી રેખા x + y = z એ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જ્યાં ભૌમિતિક રીતે નક્કી થાય છે. રેડિયલ સમપ્રમાણતાને કારણે, આપણી પાસે છે, અને Z માટે CDF છે આ સંકલન કરવું સરળ છે; આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે Z માટે CDF છે મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, નોંધ લો કે આપણે સમતલને ફેરવ્યું છે જેથી રેખા x + y = z હવે c ની બરાબર x-ઇન્ટરસેપ્ટ સાથે ઊભી રીતે ચાલે છે. તેથી અંતર છે, અને Z માટે CDF છે, એટલે કે, હવે, જો a, b કોઈ વાસ્તવિક અચળાંકો છે (બંને શૂન્ય નથી) તો સંભાવના જે ઉપરની જેમ સમાન અભિન્ન દ્વારા જોવા મળે છે, પરંતુ સીમા રેખા સાથે. સમાન પરિભ્રમણ પદ્ધતિ કામ કરે છે, અને આ વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે મૂળની રેખા પરનો સૌથી નજીકનો બિંદુ (હસ્તાક્ષરિત) અંતર દૂર સ્થિત છે, જેથી ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સમાન દલીલ દર્શાવે છે કે જો પછી આપણે આવશ્યકપણે પૂર્ણ કરી લીધું છે, કારણ કે તેથી સામાન્ય રીતે, જો પછી સહસંબંધિત રેન્ડમ ચલો X અને Y ચલો સામાન્ય રીતે સંયુક્ત રીતે રેન્ડમ ચલો વહેંચવામાં આવે છે, તો X + Y હજી પણ સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે (મલ્ટિવેરિયેટ સામાન્ય વિતરણ જુઓ) અને સરેરાશ એ માધ્યમોનો સરવાળો છે. જો કે, સહસંબંધને કારણે ભિન્નતાઓ એડિટિવ નથી. ખરેખર, જ્યાં ρ એ સહસંબંધ છે. ખાસ કરીને, જ્યારે પણ ρ <0 હોય, ત્યારે તફાવત X અને Y ના તફાવતોના સરવાળા કરતા ઓછો હોય છે. પુરાવો આ કિસ્સામાં (X અને Y પાસે શૂન્ય માધ્યમ છે), વ્યક્તિએ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે ઉપરની જેમ, કોઈ વ્યક્તિ અવેજી બનાવે છે આ સંકલન વિશ્લેષણાત્મક રીતે સરળ બનાવવા માટે વધુ જટિલ છે, પરંતુ પ્રતીકાત્મક ગણિત પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી કરી શકાય છે. સંભાવના વિતરણ fZ (z) આ કિસ્સામાં આપવામાં આવે છે જ્યાં તેના બદલે જો કોઈ Z = X − Y ને ધ્યાનમાં લે છે, તો તે મેળવે છે જેને પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણની તુલનામાં દરેક વિતરણના પ્રમાણભૂત વિચલનો સ્પષ્ટ છે. સંદર્ભો પણ જુઓ અનિશ્ચિતતાનો પ્રસાર સ્થિર વિતરણનું બીજગણિત સ્થિર વિતરણ પ્રમાણભૂત ભૂલ (આંકડા) ઉત્પાદન વિતરણ ગુણોત્તર સ્લેશ વિતરણ સંભાવના વિતરણના કોન્વોલ્યુશનની સૂચિ સામાન્ય વિતરણ