Absolute Galois group
ગણિતમાં, K ક્ષેત્રનું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ GK એ K પર કેસેપનું ગેલોઇસ જૂથ છે, જ્યાં કેસેપ એ K નું અલગ કરી શકાય તેવું બંધ છે. વૈકલ્પિક રીતે તે K ના બીજગણિત બંધના તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ છે જે K ને ઠીક કરે છે. નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ સુધી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તે એક અનંત જૂથ છે. (જ્યારે K એક સંપૂર્ણ ક્ષેત્ર હોય, ત્યારે Ksep એ K ના બીજગણિત બંધ કાલગ જેવું જ હોય છે. લાક્ષણિકતા શૂન્યના K માટે, અથવા K એ મર્યાદિત ક્ષેત્ર છે.) ઉદાહરણો બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રનું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ તુચ્છ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ એ બે તત્વોનું ચક્રીય જૂથ છે (જટિલ સંયોજન અને ઓળખ નકશો), કારણ કે C એ R અને [C: R] = 2 નું અલગ કરી શકાય તેવું બંધ છે. મર્યાદિત ક્ષેત્ર K નું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ જૂથ માટે સમરૂપ છે (સંકેત માટે, વિપરીત મર્યાદા જુઓ.) ફ્રોબેનિયસ ઓટોમોર્ફિઝમ Fr એ GKનું કેનોનિકલ (ટોપોલોજિકલ) જનરેટર છે. (યાદ કરો કે કાલગમાં તમામ x માટે Fr (x) = xq, જ્યાં q એ K માં તત્વોની સંખ્યા છે.) જટિલ ગુણાંક સાથે તર્કસંગત કાર્યોના ક્ષેત્રનું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ મુક્ત છે (એક અનંત જૂથ તરીકે). આ પરિણામ એડ્રિયન ડૌડીને કારણે છે અને તેની ઉત્પત્તિ રીમેનના અસ્તિત્વ પ્રમેયમાં છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ચાલો C એ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર અને x એ ચલ હોય. પછી K = C (x) નું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ C ની મુખ્યતાની સમકક્ષ ક્રમથી મુક્ત છે. આ પરિણામ ડેવિડ હાર્બેટર અને ફ્લોરિયન પોપને કારણે છે, અને પછીથી ડેન હારન અને મોશે જાર્ડન દ્વારા બીજગણિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પણ સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. ધારો કે K એ p-adic સંખ્યાઓ Qp નું મર્યાદિત વિસ્તરણ છે. પી ષ્ણાંક 2 માટે, તેનું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ [કેઃ ક્યુપી] + 3 ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને જનરેટર અને સંબંધો દ્વારા સ્પષ્ટ વર્ણન ધરાવે છે. આ ઉવે જેનસન અને કે વિંગબર્ગનું પરિણામ છે. કેટલાક પરિણામો p = 2 કિસ્સામાં જાણીતા છે, પરંતુ Q2 માટેનું માળખું જાણીતું નથી. બીજો કિસ્સો જેમાં નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ નક્કી કરવામાં આવ્યું છે તે બીજગણિત સંખ્યાઓના ક્ષેત્રના સૌથી મોટા સંપૂર્ણ વાસ્તવિક પેટાક્ષેત્ર માટે છે. સમસ્યાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓના નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ માટે કોઈ સીધું વર્ણન જાણીતું નથી. આ કિસ્સામાં, તે બેલીના પ્રમેયને અનુસરે છે કે સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ ગ્રોથેન્ડીકના ડેસિન્સ ડી 'એન્ફેન્ટ્સ (સપાટી પરના નકશા) પર વફાદાર ક્રિયા ધરાવે છે, જે આપણને બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રોના ગેલોઇસ સિદ્ધાંતને "જોવા" માટે સક્ષમ બનાવે છે. ધારો કે K એ પરિમેય સંખ્યાઓનું મહત્તમ અબેલિયન વિસ્તરણ છે. પછી શેફારેવિચનું અનુમાન ભારપૂર્વક જણાવે છે કે K નું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ એક મુક્ત પ્રોફાઇનાઇટ જૂથ છે. એક રસપ્રદ સમસ્યા એ છે કે જાન મિનાચ અને ન્ગુયેન ડુય ટેનના ગાયબ થવાના અનુમાનને ઉકેલવું-મેસી ઉત્પાદનો માટે. કેટલાક સામાન્ય પરિણામો દરેક પ્રોફાઇનાઇટ જૂથ કેટલાક ગેલોઇસ વિસ્તરણના ગેલોઇસ જૂથ તરીકે જોવા મળે છે, જો કે દરેક પ્રોફાઇનાઇટ જૂથ સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ તરીકે જોવા મળતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આર્ટિન-શ્રેયર પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે એકમાત્ર મર્યાદિત નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથો કાં તો તુચ્છ અથવા ક્રમ 2 ના છે, એટલે કે માત્ર બે સમરૂપતા વર્ગો છે. દરેક પ્રોજેક્ટિવ પ્રોફાઇનાઇટ જૂથને સ્યુડો બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્રના સંપૂર્ણ ગેલોઇસ જૂથ તરીકે અનુભવી શકાય છે. આ પરિણામ એલેક્ઝાન્ડર લુબોત્ઝકી અને લૌ વાન ડેન ડ્રાયને કારણે છે. સંદર્ભો સ્ત્રોતો ગેલોઇસ સિદ્ધાંત