Riemann–Roch theorem for surfaces
ગણિતમાં, સપાટીઓ માટે રીમાન-રોક પ્રમેય બીજગણિત સપાટી પર રેખીય પ્રણાલીઓના પરિમાણનું વર્ણન કરે છે. તેનું શાસ્ત્રીય સ્વરૂપ સૌપ્રથમ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું, તેના પ્રારંભિક સંસ્કરણો દ્વારા અને દ્વારા મળી આવ્યા હતા. શીફ-સૈદ્ધાંતિક સંસ્કરણ હિરઝેબ્રુકને કારણે છે. નિવેદન રીમાન-રોક પ્રમેયનું એક સ્વરૂપ જણાવે છે કે જો D એ બિન-એકલ પ્રક્ષેપાત્મક સપાટી પર વિભાજક છે, તો જ્યાં χ એ હોલોમોર્ફિક યુલર લાક્ષણિકતા છે, તે બિંદુ છે. તે આંતરછેદ સંખ્યા છે, અને K એ કેનોનિકલ વિભાજક છે. અચળાંક χ (0) એ તુચ્છ બંડલની હોલોમોર્ફિક યુલર લાક્ષણિકતા છે, અને તે 1 + પી. એ. ની બરાબર છે, જ્યાં પી. એ. એ સપાટીની અંકગણિત જાતિ છે. સરખામણી માટે, વળાંક માટે રીમાન-રોક પ્રમેય જણાવે છે કે χ (D) = χ (0) + ડિગ્રી (D). નોઇથરનું સૂત્ર નોઇથરનું સૂત્ર જણાવે છે કે જ્યાં χ = χ (0) એ હોલોમોર્ફિક યુલર લાક્ષણિકતા છે, ત્યાં c12 = (K. K) એ ચેરન સંખ્યા છે અને કેનોનિકલ વર્ગ K ની સ્વ-આંતરછેદ સંખ્યા છે, અને e = c2 એ ટોપોલોજિકલ યુલર લાક્ષણિકતા છે. તેનો ઉપયોગ રીમાન-રોક પ્રમેયમાં χ (0) શબ્દને ટોપોલોજિકલ શબ્દો સાથે બદલવા માટે થઈ શકે છે; આ સપાટીઓ માટે હિરઝેબ્રુક-રીમાન-રોક પ્રમેય આપે છે. હિરઝેબ્રુક-રીમેન-રોક પ્રમેય સાથે સંબંધ સપાટીઓ માટે, હિરઝેબ્રુક-રીમેન-રોક પ્રમેય અનિવાર્યપણે નોઇથર સૂત્ર સાથે જોડાયેલી સપાટીઓ માટે રીમેન-રોક પ્રમેય છે. આ જોવા માટે, યાદ રાખો કે સપાટી પરના દરેક ભાજક D માટે એક ઉલટાવી શકાય તેવું આવરણ L = O (D) હોય છે જેમ કે D ની રેખીય પ્રણાલી લગભગ L ના વિભાગોની જગ્યા હોય છે. સપાટીઓ માટે ટોડ વર્ગ છે, અને આવરણ L નું ચેરન પાત્ર ન્યાયી છે, તેથી હિરઝેબ્રુક-રીમેન-રોક પ્રમેય જણાવે છે કે સદભાગ્યે આને નીચે પ્રમાણે સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. પ્રથમ D = 0 મૂકવું એ દર્શાવે છે કે (નોઇથરનું સૂત્ર) ઇન્વર્ટિબલ શીવ્સ (લાઇન બંડલ્સ) માટે બીજો ચેરન વર્ગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. બીજા કોહોમોલોજી વર્ગોના ઉત્પાદનોને પિકાર્ડ જૂથમાં આંતરછેદ સંખ્યાઓ સાથે ઓળખી શકાય છે, અને આપણને સપાટીઓ માટે રીમાન રોચનું વધુ શાસ્ત્રીય સંસ્કરણ મળે છેઃ જો આપણે ઈચ્છીએ તો, આપણે એચ2 (ઓ (ડી)) ને એચ0 (ઓ (કે-ડી) તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે સેરે દ્વૈતતાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ વળાંકના કેસથી વિપરીત, સામાન્ય રીતે એચ1 (ઓ (ડી)) શબ્દને એવા સ્વરૂપમાં લખવાની કોઈ સરળ રીત નથી જેમાં શીફ કોહોમોલોજીનો સમાવેશ થતો નથી (જોકે વ્યવહારમાં તે ઘણીવાર અદૃશ્ય થઈ જાય છે). પ્રારંભિક આવૃત્તિઓ સપાટીઓ માટે રીમાન-રોક પ્રમેયના પ્રારંભિક સ્વરૂપોને ઘણીવાર સમાનતાને બદલે અસમાનતા તરીકે વર્ણવવામાં આવતા હતા, કારણ કે પ્રથમ કોહોમોલોજી જૂથોનું કોઈ સીધું ભૌમિતિક વર્ણન નહોતું. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે જણાવે છે કે જ્યાં r એ વિભાજક D ની સંપૂર્ણ રેખીય પ્રણાલી |D | નું પરિમાણ છે (તેથી r = h0 (O (D)) −1) n એ D ની વર્ચ્યુઅલ ડિગ્રી છે, જે સ્વ-આંતરછેદ સંખ્યા (D. D) દ્વારા આપવામાં આવે છે π એ D ની વર્ચ્યુઅલ જીનસ છે, જે 1 + (D. D + K. D) ની બરાબર છે/2 પા એ સપાટીની અંકગણિત જીનસ χ (OF) −1 છે i એ D ની વિશેષતાની અનુક્રમણિકા છે, જે મંદ H0 (O (K−D) ની બરાબર છે (જે સેર દ્વૈત દ્વારા મંદ H2 (O (D)) જેવી જ છે). આ અસમાનતાની બે બાજુઓ વચ્ચેના તફાવતને વિભાજક D ની સુપરબંડન્સ s કહેવામાં આવી હતી. આ અસમાનતાને રીમાન-રોક પ્રમેયના શીફ-સૈદ્ધાંતિક સંસ્કરણ સાથે સરખામણી કરવાથી જાણવા મળે છે કે D ની સુપરબંડન્સ s = ડિમ H1 (O (D)) દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિભાજક D ને નિયમિત કહેવામાં આવતું હતું જો i = s = 0 (અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો જો O (D) ના તમામ ઉચ્ચ કોહોમોલોજી જૂથો અદૃશ્ય થઈ જાય) અને જો s> 0 હોય તો સુપરબંડન્ટ. સંદર્ભો ફ્રેડરિક હિરઝેબ્રુક દ્વારા બીજગણિત ભૂમિતિમાં ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ બીજગણિત ભૂમિતિમાં પ્રમેયો બીજગણિત સપાટીઓ બીજગણિત ભૂમિતિના ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ