Zolotarev's lemma
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, ઝોલોટારેવની લેમ્મા જણાવે છે કે એક પૂર્ણાંક માટે લીજેન્ડ્રે પ્રતીક a મોડ્યુલો એક વિચિત્ર મુખ્ય સંખ્યા p, જ્યાં p એ a ને વિભાજિત કરતું નથી, તેને ક્રમચયની નિશાની તરીકે ગણી શકાયઃ જ્યાં ε એ ક્રમચયની સહી સૂચવે છે અને πa એ a દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા પ્રેરિત બિન-શૂન્ય અવશેષ વર્ગો મોડ p નું ક્રમચય છે. ઉદાહરણ તરીકે, a = 2 અને p = 7 લો. બિન-શૂન્ય વર્ગ મોડ 7 એ 1,2 અને 4 છે, તેથી (2|7) = 1 અને (6|7) = −1. બિન-શૂન્ય સંખ્યા મોડ 7 પર 2 વડે ગુણાકારમાં ચક્ર વિઘટન (1,2,4) (3,6,5) હોય છે, તેથી આ ક્રમચયની નિશાની 1 છે, જે (2|7) છે. બિન-શૂન્ય સંખ્યા મોડ 7 પર 6 વડે ગુણાકારમાં ચક્ર વિઘટન (1,6) (2,5) (3,4) હોય છે, જેનું ચિહ્ન −1 છે, જે (6|7) છે. પુરાવો સામાન્ય રીતે, ક્રમ n ના કોઈપણ મર્યાદિત જૂથ G માટે, G ના તત્વ g દ્વારા ડાબા ગુણાકાર દ્વારા કરવામાં આવેલા ક્રમચય πg ની સહી નક્કી કરવી સરળ છે. ક્રમચય πg સમ હશે, સિવાય કે સમ કદની ભ્રમણકક્ષાઓની વિષમ સંખ્યા હોય. n સમ ધારીએ તો, તેથી, πg માટે વિચિત્ર ક્રમચય હોવાની શરત, જ્યારે g નો ક્રમ k હોય, ત્યારે તે છે કે n/k વિચિત્ર હોવું જોઈએ, અથવા g દ્વારા પેદા થયેલ પેટાજૂથ <g> માં વિષમ અનુક્રમણિકા હોવી જોઈએ. આપણે આને બિન-શૂન્ય સંખ્યા મોડ p ના જૂથ પર લાગુ કરીશું, જે ક્રમ p − 1 નું ચક્રીય જૂથ છે. આદિમ રુટ મોડ્યુલો p ની jth ઘાત સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક i = (j, p − 1) હશે. બિન-શૂન્ય સંખ્યા મોડ p માટે દ્વિઘાત બિન-અવશેષ હોવાની શરત એ આદિમ મૂળની વિષમ શક્તિ હોવી જોઈએ. તેથી લેમ્મા એ કહેવા માટે નીચે આવે છે કે જ્યારે જે ઓડ હોય ત્યારે i ઓડ હોય છે, જે સાચું છે એ ફોર્ટીઓરી હોય છે, અને જ્યારે i ઓડ હોય ત્યારે j ઓડ હોય છે, જે સાચું છે કારણ કે p − 1 ઇવન છે (p ઓડ છે). બીજો પુરાવો ઝોલોટારેવના લેમ્માને ગૌસના લેમ્મા અને તેનાથી ઊલટું સરળતાથી અનુમાન કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એટલે કે. a = 3 અને p = 11 સાથેનું લીજેન્ડ્રે પ્રતીક (a/p), સાબિતી કેવી રીતે જાય છે તે સમજાવશે. સમૂહ {1,2,.... થી પ્રારંભ કરો. , p − 1} ને બે પંક્તિઓના મેટ્રિક્સ તરીકે ગોઠવવામાં આવે છે, જેમ કે કોઈપણ સ્તંભમાં બે તત્વોનો સરવાળો શૂન્ય મોડ p હોય, કહોઃ ક્રમચય લાગુ કરોઃ સ્તંભોમાં હજુ પણ એવો ગુણધર્મ છે કે એક સ્તંભમાં બે તત્વોનો સરવાળો શૂન્ય મોડ p છે. હવે ક્રમચય V લાગુ કરો જે કોઈપણ જોડીને અદલાબદલી કરે છે જેમાં ઉપલા સભ્ય મૂળ રીતે નીચલા સભ્ય હતાઃ અંતે, ક્રમચય W લાગુ કરો જે મૂળ મેટ્રિક્સને પાછું મેળવે છેઃ આપણી પાસે W − 1 = VU છે. ઝોલોટારેવની લેમ્મા કહે છે કે (a/p) = 1 જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમચય U સરખો હોય. ગૌસનું લેમ્મા કહે છે કે (a/p) = 1 iff V સમ છે. પરંતુ W સમ છે, તેથી બે લેમ્મા એ આપેલ (પરંતુ મનસ્વી) a અને p માટે સમકક્ષ છે. જેકોબી પ્રતીક ક્રમચયની નિશાની તરીકે લિજેન્ડ્રે પ્રતીકનું આ અર્થઘટન જેકોબી પ્રતીક સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે જ્યાં a અને n વિષમ n> 0 સાથે પ્રમાણમાં મુખ્ય પૂર્ણાંકો છેઃ a એ ઉલટાવી શકાય તેવું મોડ n છે, તેથી Z/nZ પર a દ્વારા ગુણાકાર એ ક્રમચય છે અને ઝોલોટારેવના લેમ્માનું સામાન્યીકરણ એ છે કે ઉપરનું જેકોબી પ્રતીક આ ક્રમચયની નિશાની છે. ઉદાહરણ તરીકે, Z/21Z પર 2 વડે ગુણાકારમાં ચક્ર વિઘટન (0) (1,2,4,8,16,11) (3,6,12) (5,10,20,19,17,13) (7,14) (9,18,15) હોય છે, તેથી આ ક્રમચયની નિશાની (1) (−1) (1) (−1) (1) = −1 છે અને જેકોબી પ્રતીક (2|21) −1 છે. (નોંધ લો કે એકમ મોડ 21 પર 2 નો ગુણાકાર એ બે 6-ચક્રોનું ગુણાકાર છે, તેથી તેનું ચિહ્ન 1 છે. આમ યોગ્ય ક્રમચયને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે માત્ર એકમો મોડ એન નહીં પણ તમામ પૂર્ણાંકો મોડ એનનો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.) જ્યારે n = p એ વિષમ અવિભાજ્ય છે અને a એ p વડે વિભાજીત થતું નથી, ત્યારે 0 મોડ p દ્વારા ગુણાકાર થાય છે, તેથી તમામ સંખ્યાઓ પર a વડે ગુણાકારની નિશાની મોડ p અને એકમો મોડ p પર સમાન નિશાની ધરાવે છે. પરંતુ સંયુક્ત n માટે તે કેસ નથી, જેમ આપણે ઉપરના ઉદાહરણમાં જોઈએ છીએ. ઇતિહાસ આ લેમ્માને યેગોર ઇવાનોવિચ ઝોલોટારેવ દ્વારા 1872 માં દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના પુરાવા તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ પ્લાનેટમૅથ લેખ ઝોલોટારેવના લેમ્મા પર; તેમાં તેમની દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાના પુરાવાનો સમાવેશ થાય છે લેખ જેમાં સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં લેમ્માસના પુરાવા છે ક્રમચયો સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં દ્વિઘાત અવશેષો ચોરસ