Class number formula
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, વર્ગ સંખ્યા સૂત્ર સંખ્યા ક્ષેત્રના ઘણા મહત્વપૂર્ણ અચળાંકને તેના ડેડેકિંડ ઝેટા કાર્યના વિશેષ મૂલ્ય સાથે સંબંધિત કરે છે. વર્ગ સંખ્યા સૂત્રનું સામાન્ય નિવેદન આપણે નીચેની માહિતીથી શરૂઆત કરીએ છીએઃ તે એક સંખ્યા ક્ષેત્ર છે. , જ્યાં વાસ્તવિક એમ્બેડિંગની સંખ્યા સૂચવે છે, અને તે જટિલ એમ્બેડિંગની સંખ્યા છે. તે Dedekind zeta ફંક્શન છે. વર્ગ સંખ્યા, ના આદર્શ વર્ગ જૂથમાં તત્વોની સંખ્યા છે. તે નિયમનકાર છે. તેમાં સમાવિષ્ટ એકતાના મૂળની સંખ્યા છે. તે વિસ્તરણનો ભેદભાવ છે. પછીઃ પ્રમેય (વર્ગ સંખ્યા સૂત્ર). સંપૂર્ણપણે માટે એકરૂપ થાય છે અને અવશેષો સાથે માત્ર એક સરળ ધ્રુવ સાથે તમામ સંકુલ માટે વ્યાખ્યાયિત મેરોમોર્ફિક કાર્ય સુધી વિસ્તરે છે આ સૌથી સામાન્ય "વર્ગ સંખ્યા સૂત્ર" છે. ખાસ કિસ્સાઓમાં, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે સાયક્લોટોમિક એક્સ્ટેંશન છે, ત્યાં ચોક્કસ અને વધુ શુદ્ધ વર્ગ સંખ્યા સૂત્રો છે. વર્ગ સંખ્યા સૂત્રના સાબિતીનો વિચાર ત્યારે સૌથી સરળતાથી જોવા મળે છે જ્યારે K = Q (i). આ કિસ્સામાં, K માં પૂર્ણાંકોની વીંટી ગૌસીયન પૂર્ણાંકો છે. પ્રાથમિક હેરફેર દર્શાવે છે કે s = 1 પર ડેડેકિંડ ઝેટા વિધેયનો અવશેષ એ ડેડેકિંડ ઝેટા વિધેયની ડિરીક્લેટ શ્રેણીની રજૂઆતના ગુણાંકની સરેરાશ છે. ડિરીક્લેટ શ્રેણીનો n-th ગુણાંક અનિવાર્યપણે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના બે વર્ગના સરવાળા તરીકે n ની રજૂઆતોની સંખ્યા છે. તેથી રજૂઆતોની સરેરાશ સંખ્યાની ગણતરી કરીને s = 1 પર ડેડેકિંડ ઝેટા કાર્યના અવશેષની ગણતરી કરી શકાય છે. ગૌસ વર્તુળ સમસ્યા પરના લેખની જેમ, મૂળ પર કેન્દ્રિત એક ચતુર્થાંશ વર્તુળની અંદરના જાળી બિંદુઓની સંખ્યાને અંદાજિત કરીને આની ગણતરી કરી શકાય છે, અને નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય છે કે અવશેષ પાઇનો એક ચતુર્થાંશ છે. જ્યારે K એક મનસ્વી કાલ્પનિક દ્વિઘાત સંખ્યા ક્ષેત્ર હોય ત્યારે તેનો પુરાવો ખૂબ સમાન હોય છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, ડિરીક્લેટના એકમ પ્રમેય અનુસાર, K ના પૂર્ણાંકોની વીંટીમાં એકમોનું જૂથ અનંત છે. તેમ છતાં વાસ્તવિક અને જટિલ એમ્બેડિંગના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને અવશેષની ગણતરીને જાળી બિંદુ ગણતરીની સમસ્યામાં ઘટાડી શકાય છે અને સાબિતી પૂર્ણ કરવા માટે પ્રદેશના કદ દ્વારા પ્રદેશમાં જાળી બિંદુઓની સંખ્યાને અંદાજિત કરી શકાય છે. ડિરીક્લેટ વર્ગ સંખ્યા સૂત્ર પીટર ગુસ્તાવ લેજ્યૂન ડિરીક્લેટએ 1839માં વર્ગ સંખ્યા સૂત્રનો પુરાવો પ્રકાશિત કર્યો હતો, પરંતુ તે આદર્શોના વર્ગોને બદલે વર્ગ સંખ્યા સૂત્રની ભાષામાં જણાવવામાં આવ્યું હતું. એવું લાગે છે કે ગૌસ 1801માં આ સૂત્રને પહેલેથી જ જાણતો હતો. આ પ્રદર્શન ડેવનપોર્ટને અનુસરે છે. ધારો કે d એ મૂળભૂત ડિસ્ક્રિમિનન્ટ છે, અને ડિસ્ક્રિમિનન્ટ સાથે દ્વિઘાત સ્વરૂપોના સમકક્ષ વર્ગોની સંખ્યા માટે h (d) લખો. પછી એક ડિરીક્લેટ પાત્ર છે. તેના પર આધારિત ડિરીક્લેટ એલ-સિરીઝ માટે લખો. d> 0 માટે, ધારો કે t> 0, u> 0 એ પેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે જેના માટે u સૌથી નાનું છે, અને લખો (પછી તે વાસ્તવિક વર્ગાત્મક ક્ષેત્રનો મૂળભૂત એકમ અથવા મૂળભૂત એકમનો વર્ગ છે.) d <0 માટે, ડિસ્ક્રિમિનન્ટ d ના વર્ગાત્મક સ્વરૂપોના ઓટોમોર્ફિઝમ્સની સંખ્યા માટે w લખો; એટલે કે, પછી ડિરીક્લેટે દર્શાવ્યું કે આ ઉપરના પ્રમેય 1 નો એક વિશેષ કેસ છેઃ વર્ગાત્મક ક્ષેત્ર K માટે, ડેડેકિંડ ઝેટા ફંક્શન ન્યાયી છે, અને અવશેષો છે. ડિરીક્લેટે એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે એલ-શ્રેણીને મર્યાદિત સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જે વર્ગ સંખ્યા માટે મર્યાદિત સ્વરૂપ આપે છે. ધારો કે તે મુખ્ય વાહક સાથે આદિમ છે. જો K એ Q નું ગેલોઇસ વિસ્તરણ છે, તો આર્ટિન L-કાર્યોનો સિદ્ધાંત તેને લાગુ પડે છે. તેમાં રીમાન ઝીટા કાર્યનું એક પરિબળ છે, જેમાં અવશેષ એકનો ધ્રુવ હોય છે, અને ભાગાકાર s = 1 પર નિયમિત હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે વર્ગ સંખ્યા સૂત્રની જમણી બાજુને ડાબા હાથની બાજુ Π L (1, ρ) મંદ ρ સાથે સરખાવી શકાય છે, જેમાં ρ પરિમાણ મંદ (ρ) ની ગેલ (K/Q) ની બિન-તુચ્છ જટિલ રેખીય રજૂઆતના વર્ગો પર ચાલે છે. તે નિયમિત રજૂઆતના પ્રમાણભૂત વિઘટન અનુસાર છે. આ ઉપરોક્ત કિસ્સો છે, જેમાં ગેલ (કે/ક્યુ) એક અબેલિયન જૂથ છે, જેમાં વાહક તરીકે ઓળખાતા કેટલાક મોડ્યુલસ એફ માટે તમામ ρ ને ડિરીક્લેટ અક્ષરો (વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત દ્વારા) દ્વારા બદલી શકાય છે. તેથી તમામ L (1) મૂલ્યો ડિરીક્લેટ L-કાર્યો માટે આવે છે, જેના માટે લઘુગણકને સમાવતું શાસ્ત્રીય સૂત્ર છે. ક્રોનેકર-વેબર પ્રમેય અનુસાર, વિશ્લેષણાત્મક વર્ગ સંખ્યા સૂત્ર માટે જરૂરી તમામ મૂલ્યો ત્યારે જ થાય છે જ્યારે સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તે કિસ્સામાં વધુ રચના શક્ય છે, જેમ કે કુમેરે બતાવ્યું છે. નિયમનકાર, સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રના એકમોના લઘુગણક દ્વારા વિભાજિત 'લઘુગણક અવકાશ' માં કદની ગણતરી, સાયક્લોટોમિક એકમોના લઘુગણક તરીકે ઓળખી શકાય તેવા L (1) ના જથ્થા સામે સેટ કરી શકાય છે. ત્યાં પરિણામ સૂત્રો જણાવે છે કે વર્ગ સંખ્યા એકમોના સમગ્ર જૂથમાં સાયક્લોટોમિક એકમોના અનુક્રમણિકા દ્વારા નક્કી થાય છે. ઇવાસાવા સિદ્ધાંતમાં, આ વિચારોને આગળ સ્ટિકલબર્ગરના પ્રમેય સાથે જોડવામાં આવ્યા છે. આ પણ જુઓ બ્રુમર-સ્ટાર્ક અનુમાન સ્મિથ-મિન્કોવ્સ્કી-સીગલ સમૂહ સૂત્ર નોંધો સંદર્ભો બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો