Whitney's planarity criterion
ગણિતમાં, વ્હિટનીનું પ્લેનરાઇટી માપદંડ એ પ્લેનર ગ્રાફનું મેટ્રોઇડ-સૈદ્ધાંતિક લાક્ષણિકતા છે, જેનું નામ હેસ્લર વ્હિટનીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તે જણાવે છે કે ગ્રાફ જી સમતલીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો ગ્રાફિક મેટ્રોઇડ પણ ગ્રાફિક હોય (એટલે કે, તે અન્ય ગ્રાફિક મેટ્રોઇડનો ડ્યુઅલ મેટ્રોઇડ હોય). શુદ્ધ આલેખ-સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિએ, આ માપદંડને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છેઃ અન્ય (દ્વિ) આલેખ G '= (V', E ') હોવો જોઈએ અને મૂળ આલેખ G ની ધાર E' અને ધાર E વચ્ચે એક ઉદ્દેશ્યપૂર્ણ પત્રવ્યવહાર હોવો જોઈએ, જેમ કે E નો સબસેટ T એ G નું વિસ્તૃત વૃક્ષ બનાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પૂરક સબસેટ E-T ને અનુરૂપ ધાર G 'નું વિસ્તૃત વૃક્ષ બનાવે છે. વ્હિટનીના માપદંડનું સમકક્ષ સ્વરૂપ એ છે કે ગ્રાફ G એ સમતલીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે તેમાં બેવડા ગ્રાફ હોય કે જેના ગ્રાફિક મેટ્રોઇડ G ના ગ્રાફિક મેટ્રોઇડ સાથે બેવડા હોય. એક ગ્રાફ કે જેના ગ્રાફિક મેટ્રોઇડ G ના ગ્રાફિક મેટ્રોઇડ સાથે બેવડા હોય તેને G ના બીજગણિત બેવડા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આમ, વ્હિટનીના સમતલીય માપદંડને સંક્ષિપ્તમાં આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ ગ્રાફ સમતલીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં બીજગણિત બેવડા હોય. જો ગ્રાફને પ્લેન જેવી ટોપોલોજિકલ સપાટીમાં એવી રીતે જડિત કરવામાં આવે કે એમ્બેડિંગનો દરેક ચહેરો ટોપોલોજિકલ ડિસ્ક હોય, તો એમ્બેડિંગના બેવડા ગ્રાફને ગ્રાફ (અથવા કેટલાક કિસ્સાઓમાં મલ્ટિગ્રાફ) એચ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં એમ્બેડિંગના દરેક ચહેરા માટે શિરોબિંદુ હોય છે, અને ચહેરાઓની જોડી વચ્ચેની દરેક નિકટતા માટે ધાર હોય છે. વ્હિટનીના માપદંડ અનુસાર, નીચેની શરતો સમકક્ષ છેઃ જે સપાટી પર એમ્બેડિંગ અસ્તિત્વમાં છે તે ટોપોલોજીકલ રીતે પ્લેન, ગોળા અથવા પંચર પ્લેનની સમકક્ષ છે H એ G નું બીજગણિત દ્વિગુણિત ચક્ર છે G માં દરેક સરળ ચક્ર H માં ન્યૂનતમ કટને અનુરૂપ છે, અને ઊલટું H માં દરેક સરળ ચક્ર G માં ન્યૂનતમ કટને અનુરૂપ છે, અને ઊલટું G માં દરેક સ્પૅનિંગ ટ્રી H માં સ્પૅનિંગ ટ્રીના પૂરકને અનુરૂપ છે, અને ઊલટું. ટોરસ જેવી બિન-સમતલ સપાટીઓ પર જડિત આલેખના બેવડા આલેખને વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે, પરંતુ આ દ્વિચિત્રો સામાન્ય રીતે વ્હિટનીના માપદંડ દ્વારા જરૂરી કાપ, ચક્ર અને ફેલાયેલા વૃક્ષો વચ્ચેનો સંબંધ ધરાવતા નથી. સંદર્ભો મેટ્રોઇડ સિદ્ધાંત પ્લાનર આલેખ