Gelfand pair
ગણિતમાં, ગેલફેન્ડ જોડી એ એક જોડી (G, K) છે જેમાં જૂથ G અને પેટા જૂથ K (જેને G નું યુલર પેટા જૂથ કહેવાય છે) નો સમાવેશ થાય છે જે પ્રતિબંધિત રજૂઆતો પર ચોક્કસ ગુણધર્મને સંતોષે છે. ગેલફેન્ડ જોડીનો સિદ્ધાંત વિશેષ કાર્યોના શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતમાં ગોળાકાર કાર્યોના વિષય સાથે અને વિભેદક ભૂમિતિમાં રીમાનિયન સમપ્રમાણ અવકાશના સિદ્ધાંત સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. મોટે ભાગે કહીએ તો, હાર્મોનિક વિશ્લેષણ અને પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ આ સિદ્ધાંતોમાંથી તેમની સામગ્રીને અમૂર્ત કરવા માટે સિદ્ધાંત અસ્તિત્વમાં છે. જ્યારે G એ મર્યાદિત જૂથ હોય ત્યારે સૌથી સરળ વ્યાખ્યા એ છે કે, આશરે કહીએ તો, G પરિવહનમાં (K, K)-ડબલ કોસેટ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, હેક બીજગણિત, G પરના કાર્યોનું બીજગણિત કે જે K દ્વારા બંને બાજુના અનુવાદ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે, તે G પરના કોન્વોલ્યુશન માટે પરિવર્તનીય હોવું જોઈએ. સામાન્ય રીતે, ગેલફેન્ડ જોડીની વ્યાખ્યા એ છે કે G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતના K પરના પ્રતિબંધમાં 1 થી વધુ ગુણાકાર સાથે K ની તુચ્છ રજૂઆત હોય છે. દરેક કિસ્સામાં વ્યક્તિએ માનવામાં આવતી રજૂઆતોનો વર્ગ અને સમાવિષ્ટોનો અર્થ સ્પષ્ટ કરવો જોઈએ. વ્યાખ્યાઓ દરેક ક્ષેત્રમાં, રજૂઆતોના વર્ગ અને રજૂઆતો માટે નિયંત્રણની વ્યાખ્યા થોડી અલગ છે. આવા કેટલાક કિસ્સાઓમાં સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાઓ અહીં આપવામાં આવી છે. મર્યાદિત જૂથ કેસ જ્યારે G એક મર્યાદિત જૂથ હોય ત્યારે નીચેના સમકક્ષ હોય છે (G, K) એક ગેલફેંડ જોડી છે. કોન્વોલ્યુશન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે G પર (K, K)-ડબલ અપરિવર્તનશીલ વિધેયોનું બીજગણિત પરિવર્તનીય છે. G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે, π માં K-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટરની જગ્યા πK એ 1-થી વધુ-પરિમાણીય નથી. G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે, HomK (π, C) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે, જ્યાં C તુચ્છ રજૂઆત સૂચવે છે. K ના કોસેટ્સ પર G ની ક્રમચય રજૂઆત ગુણાકાર-મુક્ત છે, એટલે કે, તે લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં અલગ સંપૂર્ણપણે ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોના સીધા સરવાળામાં વિઘટિત થાય છે. ક્રમચય રજૂઆતનું કેન્દ્રિય બીજગણિત (શુર બીજગણિત) પરિવર્તનીય છે. (G/N, K/N) એ ગેલફેન્ડ જોડી છે, જ્યાં N એ Gનું સામાન્ય પેટાજૂથ છે જે K. કોમ્પેક્ટ ગ્રૂપના કિસ્સામાં સમાયેલ છે જ્યારે G એ કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ જૂથ હોય ત્યારે નીચેની સમકક્ષ હોય છેઃ (G, K) એ ગેલફેન્ડ જોડી છે. કોન્વોલ્યુશન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે G પર (K, K)-ડબલ ઇનવેરિયન્ટ કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ કન્ટિન્યુઅસ માપનો બીજગણિત પરિવર્તનીય છે. G ની કોઈપણ સતત, સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે, π માં K-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટરની જગ્યા πK એ 1-થી વધુ-પરિમાણીય નથી. G ની કોઈપણ સતત, સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે HomK (π, C) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે. G નું પ્રતિનિધિત્વ L2 (G/K) ગુણાકાર મુક્ત છે એટલે કે. તે અલગ એકાત્મક ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોનો સીધો સરવાળો છે. કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ સાથેનું લાઈ ગ્રૂપ જ્યારે G એ લાઈ ગ્રૂપ હોય અને K એ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ હોય ત્યારે નીચેના સમકક્ષ હોય છેઃ (G, K) એ ગેલફેન્ડ જોડી છે. કોન્વોલ્યુશન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે G પર (K, K)-ડબલ ઇનવેરિયન્ટ કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ કન્ટિન્યુઅસ માપનો બીજગણિત પરિવર્તનીય છે. G/K પર K-ઇનવેરિયન્ટ વિભેદક ઓપરેટર્સનો બીજગણિત D (G/K) K પરિવર્તનીય છે. G ની કોઈપણ સતત, સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે, π માં K-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટરની જગ્યા πK એ 1-થી વધુ-પરિમાણીય નથી. G ની કોઈપણ સતત, સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે HomK (π, C) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે. G નું પ્રતિનિધિત્વ L2 (G/K) ગુણાકાર મુક્ત છે એટલે કે. તે અલગ એકાત્મક ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતનું સીધું અભિન્ન અંગ છે. આવી ગેલફેંડ જોડીઓના વર્ગીકરણ માટે જુઓ. આવા ગેલફેન્ડ જોડીઓના શાસ્ત્રીય ઉદાહરણો (G, K) છે, જ્યાં G એ રિડક્ટિવ લાઈ જૂથ છે અને K એ મહત્તમ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ છે. કોમ્પેક્ટ પેટા જૂથ સાથે સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ જૂથ જ્યારે G એ સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ જૂથ છે અને K એ કોમ્પેક્ટ પેટા જૂથ છે ત્યારે નીચેના સમકક્ષ છેઃ (G, K) એ ગેલફેંડ જોડી છે. કોન્વોલ્યુશન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે G પર (K, K)-ડબલ ઇનવેરિયન્ટ કોમ્પેક્ટલી સપોર્ટેડ કન્ટિન્યુઅસ માપનો બીજગણિત પરિવર્તનીય છે. G ની કોઈપણ સતત સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે, π માં K-ઇનવેરિયન્ટ વેક્ટરની જગ્યા πK એ 1-થી વધુ-પરિમાણીય નથી. G ની કોઈપણ સતત, સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π માટે, HomK (π, C) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે. G નું પ્રતિનિધિત્વ L2 (G/K) ગુણાકાર મુક્ત છે એટલે કે. તે અલગ એકાત્મક ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતનું સીધું અભિન્ન અંગ છે. તે સેટિંગમાં, G એ ઇવાસાવા-મોનોડ વિઘટન ધરાવે છે, એટલે કે G = K P એ G ના કેટલાક અનુકૂળ પેટા જૂથ P માટે છે. આ અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોના ઇવાસાવા વિઘટનનું અમૂર્ત એનાલોગ છે. બંધ પેટાજૂથ સાથેનું જૂથો જ્યારે G એ એક બંધ જૂથ હોય અને K એ બંધ પેટાજૂથ હોય, ત્યારે જોડી (G, K) ને સામાન્યીકૃત ગેલફેન્ડ જોડી કહેવામાં આવે છે જો હિલ્બર્ટ જગ્યા પર G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆત π માટે HomK (π, C) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય, જ્યાં π ν સરળ વેક્ટરની પેટા રજૂઆત સૂચવે છે. બંધ પેટા જૂથ સાથે સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર ઘટાડનારું જૂથ જ્યારે G એ સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર ઘટાડનારું જૂથ છે અને K એ બંધ પેટા જૂથ છે, ત્યારે ગેલફેન્ડ જોડીની ત્રણ (સંભવતઃ બિન-સમકક્ષ) કલ્પનાઓ સાહિત્યમાં દેખાય છે. આપણે તેમને અહીં જી. પી. 1, જી. પી. 2 અને જી. પી. 3 કહીશું. જી. પી. 1) જી ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ સ્વીકાર્ય રજૂઆત માટે હોમકે (π, સી) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે. જી. પી. 2) G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ સ્વીકાર્ય રજૂઆત માટે આપણી પાસે π છે, જ્યાં સ્મૂથ ડ્યુઅલ સૂચવે છે. જી. પી. 3) હિલ્બર્ટ જગ્યા પર જીની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆત માટે હોમકે (π, સી) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે. અહીં, સ્વીકાર્ય પ્રતિનિધિત્વ એ સ્વીકાર્ય પ્રતિનિધિત્વની સામાન્ય કલ્પના છે જ્યારે સ્થાનિક ક્ષેત્ર બિન-આર્કિમિડીયન હોય. જ્યારે સ્થાનિક ક્ષેત્ર આર્કિમિડીયન હોય, ત્યારે સ્વીકાર્ય પ્રતિનિધિત્વનો અર્થ મધ્યમ વૃદ્ધિનું સરળ ફ્રેચેટ પ્રતિનિધિત્વ થાય છે, જેમ કે અનુરૂપ હરીશ-ચંદ્ર મોડ્યુલ સ્વીકાર્ય છે. જો સ્થાનિક ક્ષેત્ર આર્કિમિડીયન હોય, તો પછી જી. પી. 3 એ અગાઉના કિસ્સામાં વ્યાખ્યાયિત સામાન્યીકૃત ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ જેવું જ છે. સ્પષ્ટપણે, જી. પી. 1. જી. પી. 2. જી. પી. 3. એક જોડી (G, K) ને મજબૂત ગેલફૅન્ડ જોડી કહેવામાં આવે છે જો જોડી (G × K, δK) એક ગેલફૅન્ડ જોડી હોય, જ્યાં δK ≤ G × K એ વિકર્ણ પેટાજૂથ છેઃ {(k, k) G × K: k માં K}. કેટલીકવાર, આ ગુણધર્મને બહુમતી એક ગુણધર્મ પણ કહેવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત દરેક કિસ્સામાં મજબૂત ગેલફેન્ડ જોડી માટે અનુકૂળ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો G એક મર્યાદિત જૂથ છે. પછી નીચેના સમકક્ષ છે. (જી, કે) એક મજબૂત ગેલફેંડ જોડી છે. K દ્વારા જોડાણના સંદર્ભમાં G અપરિવર્તનશીલ પર કાર્યોનું બીજગણિત (કોન્વોલ્યુશન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગુણાકાર સાથે) પરિવર્તનીય છે. G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π અને K ની τ માટે, જગ્યા HomK (τ, π) એ 1-થી વધુ-પરિમાણીય નથી. G ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત π અને K ની τ માટે, જગ્યા HomK (π, τ) એ 1-થી વધુ-પરિમાણીય નથી. ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ માટેના માપદંડ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ સાથે સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ જૂથ આ કિસ્સામાં ગેલફેન્ડને કારણે જોડી (G, K) માટે ગેલફેન્ડ હોવાનું શાસ્ત્રીય માપદંડ છેઃ ધારો કે ત્યાં G. s. t. નું અનૈચ્છિક એન્ટિ-ઓટોમોર્ફિઝમ σ અસ્તિત્વમાં છે. કોઈપણ (K, K) ડબલ કોસેટ σ અપરિવર્તનશીલ છે. પછી જોડી (જી, કે) એક ગેલફેંડ જોડી છે. આ માપદંડ નીચેના માપદંડની સમકક્ષ છેઃ ધારો કે G નું એક અનૈચ્છિક એન્ટિ-ઓટોમોર્ફિઝમ σ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે G પરનું કોઈપણ કાર્ય જે K દ્વારા જમણા અને ડાબા બંને અનુવાદોના સંદર્ભમાં અપરિવર્તનશીલ છે તે σ અપરિવર્તનશીલ છે. પછી જોડી (જી, કે) એક ગેલફેંડ જોડી છે. બંધ પેટા જૂથ સાથે સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર ઘટાડતું જૂથ આ કિસ્સામાં જી. પી. 2 ને સંતોષવા માટે જોડી (જી, કે) માટે ગેલફાન્ડ અને કાઝદાનને કારણે એક માપદંડ છે. ધારો કે G નું એક અનૈચ્છિક એન્ટિ-ઓટોમોર્ફિઝમ σ અસ્તિત્વમાં છે જેથી G પર કોઈપણ (K, K)-ડબલ અપરિવર્તનશીલ વિતરણ σ-અપરિવર્તનશીલ હોય. પછી જોડી (જી, કે) જી. પી. 2 ને સંતોષે છે. જુઓ. જો ઉપરોક્ત નિવેદન માત્ર હકારાત્મક ચોક્કસ વિતરણ માટે જ હોય તો જોડી જી. પી. 3 ને સંતોષે છે (આગળનો કેસ જુઓ). ગુણધર્મ જી. પી. 1 ઘણીવાર જી. પી. 2 થી અનુસરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો G નું અનૈચ્છિક એન્ટિ-ઓટોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં હોય જે K ને સાચવે છે અને દરેક બંધ જોડાણ વર્ગને સાચવે છે. G = GL (n) માટે ટ્રાન્સપોઝિશન આવા ઇન્વોલ્યુશન તરીકે કામ કરી શકે છે. બંધ પેટા જૂથ સાથે જૂઠું બોલો આ કિસ્સામાં જોડી (G, K) માટે સામાન્યીકૃત ગેલફેન્ડ જોડી માટે નીચેનો માપદંડ છે. ધારો કે જી. એસ. ટી. નું એક અનૈચ્છિક એન્ટિ-ઓટોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે. G પર કોઈપણ K × K અપરિવર્તનશીલ હકારાત્મક ચોક્કસ વિતરણ σ-અપરિવર્તનશીલ છે. પછી જોડી (જી, કે) એક સામાન્યીકૃત ગેલફેંડ જોડી છે. જુઓ. મજબૂત ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ માટેના માપદંડ ઉપરોક્ત તમામ માપદંડોને મજબૂત ગેલફેન્ડ જોડીઓ માટેના માપદંડમાં K × K ની દ્વિ-બાજુવાળા ક્રિયાને K. ટ્વિસ્ટેડ ગેલફેન્ડ જોડીઓની જોડાણ ક્રિયા દ્વારા બદલીને ફેરવી શકાય છે. એટલે કે જોડી (G, K) ને જૂથ K ના અક્ષર χ ના સંદર્ભમાં ટ્વિસ્ટેડ ગેલફેન્ડ જોડી કહેવામાં આવે છે, જો ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ સાચું રહે છે જ્યારે તુચ્છ રજૂઆતને અક્ષર χ સાથે બદલવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે K કોમ્પેક્ટ હોય ત્યારે તેનો અર્થ એ થાય છે કે HomK (π, χ) નું પરિમાણ 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે. ગેલફેન્ડ જોડી માટેના માપદંડને ટ્વિસ્ટેડ ગેલફેન્ડ જોડીના કિસ્સામાં અનુકૂલિત કરી શકાય છે. સમમિતીય જોડી ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ ઘણીવાર સમમિતીય જોડી દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. જોડી (G, K) ને સમપ્રમાણ જોડી કહેવામાં આવે છે જો G ની અનૈચ્છિક ઓટોમોર્ફિઝમ θ એવી રીતે અસ્તિત્વમાં હોય કે K એ θ-અપરિવર્તનશીલ તત્વોના જૂથના જોડાયેલા ઘટકોનું જોડાણ છેઃ Gθ. જો G એ R પર જોડાયેલ રિડક્ટિવ જૂથ છે અને K = Gθ એ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ છે તો (G, K) એ ગેલફેન્ડ જોડી છે. ઉદાહરણોઃ G = GL (n, R) અને K = O (n, R), ઓર્થોગોનલ મેટ્રિસીસનો પેટાજૂથ. સામાન્ય રીતે, તે એક રસપ્રદ પ્રશ્ન છે જ્યારે સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર રિડક્ટિવ જૂથની સમપ્રમાણતાવાળી જોડીમાં ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ હોય છે. ક્રમ એકની સપ્રમાણ જોડી માટે આ પ્રશ્નની તપાસ કરવામાં આવી હતી અને ઉચ્ચ ક્રમની ગેલફેન્ડ સપ્રમાણ જોડીનું ઉદાહરણ છે (GL (n + k), GL (n) × GL (k)). આ બિન-આર્કિમિડીયન સ્થાનિક ક્ષેત્રોમાં અને પછીથી લાક્ષણિકતા શૂન્યના તમામ સ્થાનિક ક્ષેત્રો માટે સાબિત થયું હતું. ઉચ્ચ ક્રમની સમપ્રમાણ જોડીઓ માટે આ પ્રશ્ન પર વધુ વિગતો માટે જુઓ. ગોળાકાર જોડીઓ બીજગણિત જૂથોના સંદર્ભમાં ગેલફેન્ડ જોડીઓના એનાલોગને ગોળાકાર જોડી કહેવામાં આવે છે. એટલે કે, બીજગણિત જૂથોની જોડી (G, K) ને ગોળાકાર જોડી કહેવામાં આવે છે જો નીચેની સમકક્ષ શરતોમાંથી કોઈ એક હોય. G માં એક ઓપન (B, K)-ડબલ કોસેટ અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં B એ G નું બોરેલ પેટાજૂથ છે. G માં (B, K)-ડબલ કોસેટની મર્યાદિત સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં જગ્યા G/H ને ગોળાકાર જગ્યા કહેવામાં આવે છે. એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે સ્થાનિક ક્ષેત્ર પરની કોઈપણ ગોળાકાર જોડી (G, K) ગેલફેન્ડ ગુણધર્મના નીચેના નબળા સંસ્કરણને સંતોષે છેઃ G ની કોઈપણ સ્વીકાર્ય રજૂઆત π માટે, જગ્યા HomK (π, C) મર્યાદિત-પરિમાણીય છે. વધુમાં, આ પરિમાણ માટેની સીમા π પર આધારિત નથી. આ અનુમાન તમામ સમપ્રમાણ જોડીઓ સહિત ગોળાકાર જોડીઓના મોટા વર્ગ માટે સાબિત થાય છે. કાર્યક્રમો વર્ગીકરણ ગેલફેન્ડ જોડીનો ઉપયોગ ઘણીવાર ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોના વર્ગીકરણ માટે નીચેની રીતે થાય છેઃ ચાલો (G, K) એક ગેલફેન્ડ જોડી હોય. જો HomK (π, C) 1-પરિમાણીય હોય તો G ની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત કે-વિશિષ્ટ કહેવાય છે. પ્રતિનિધિત્વ ઇન્ડ (સી) એ તમામ કે-વિશિષ્ટ રજૂઆતો માટે એક મોડેલ છે. કોઈપણ કે-વિશિષ્ટ રજૂઆત ત્યાં ગુણાકાર બરાબર 1 સાથે દેખાય છે. ટ્વિસ્ટેડ ગેલફેંડ જોડી માટે સમાન કલ્પના અસ્તિત્વમાં છે. ઉદાહરણોઃ જો G એ સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર રિડક્ટિવ જૂથ છે અને K એ તેનું મહત્તમ સઘન પેટાજૂથ છે, તો પછી K વિશિષ્ટ રજૂઆતોને ગોળાકાર કહેવામાં આવે છે, આવી રજૂઆતોને સાતક પત્રવ્યવહાર દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ગોળાકાર પ્રતિનિધિત્વની કલ્પના હરીશ-ચંદ્ર મોડ્યુલની કલ્પનાના આધારે છે. ઉદાહરણોઃ જો G એ સ્થાનિક ક્ષેત્ર પર વિભાજિત રિડક્ટિવ જૂથ છે અને K એ તેનું મહત્તમ એકશકિતમાન પેટાજૂથ છે, તો પછી જોડી (G, K) ટ્વિસ્ટેડ ગેલફેન્ડ જોડી ડબલ્યુ. આર. ટી. છે. કોઈપણ બિન-વિકૃત અક્ષર si (જુઓ,). આ કિસ્સામાં કે-વિશિષ્ટ રજૂઆતોને સામાન્ય (અથવા બિન-વિકૃત) કહેવામાં આવે છે અને તેનું વર્ગીકરણ કરવું સરળ છે. લગભગ કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત સામાન્ય છે. ઇન્ડ (si) માટે સામાન્ય રજૂઆતના અનન્ય (સ્કેલર સુધી) સમાવેશને વ્હિટ્ટેકર મોડેલ કહેવામાં આવે છે. G = GL (n) ના કિસ્સામાં ઉપરના પરિણામનું વધુ સારું સંસ્કરણ છે, એટલે કે પેટા જૂથો કી અને અક્ષરો એસ. ટી. નો મર્યાદિત ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે. (જી, કી) ટ્વિસ્ટેડ ગેલફેંડ જોડી ડબલ્યુ. આર. ટી. અને કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ એકાત્મક રજૂઆત બરાબર એક i (જુઓ,) ગેલફેન્ડ-ઝેઇટલિન બાંધકામ માટે અલગ પડે છે કોઈ પણ વ્યક્તિ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો માટે પાયા બનાવવા માટે ગેલફેન્ડ જોડીનો પણ ઉપયોગ કરી શકે છેઃ ધારો કે આપણી પાસે ક્રમ {1} વાય જી1 વાય. વાય. જી. એન. એસ. ટી. છે. (જી. આઈ., જી. આઈ.-1) એક મજબૂત ગેલફેંડ જોડી છે. સરળતા માટે ચાલો ધારીએ કે Gn કોમ્પેક્ટ છે. પછી આ Gn ની કોઈપણ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતનું એક-પરિમાણીય પેટા રજૂઆતનું કેનોનિકલ વિઘટન આપે છે. જ્યારે Gn = U (n) (એકાત્મક જૂથ) હોય ત્યારે આ રચનાને ગેલફાન્ડ ઝીટલીન આધાર કહેવામાં આવે છે. યુ (એન) ની રજૂઆત જીએલ (એન) ની બીજગણિત રજૂઆત જેવી જ હોવાથી આપણે જીએલ (એન) ની કોઈપણ બીજગણિત ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતનો આધાર પણ મેળવીએ છીએ. જો કે કોઈએ ધ્યાન રાખવું જોઈએ કે નિર્મિત આધાર પ્રમાણભૂત નથી કારણ કે તે એમ્બેડિંગ્સ યુ (આઇ) યુ (આઇ + 1) ની પસંદગી પર આધારિત છે. ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપોના સમયગાળાનું વિભાજન ગેલફેન્ડ જોડીનો વધુ તાજેતરનો ઉપયોગ ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપોના સમયગાળાના વિભાજન માટે છે. ધારો કે G એ વૈશ્વિક ક્ષેત્ર F પર વ્યાખ્યાયિત રિડક્ટિવ જૂથ છે અને K એ G નું બીજગણિત પેટાજૂથ છે. ધારો કે F ના કોઈપણ સ્થાન માટે જોડી (G, K) પૂર્ણ થવા પર ગેલફેન્ડ જોડી છે. ધારો કે m એ G પર ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપ છે, પછી તેનો H-સમયગાળો સ્થાનિક પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે વિભાજિત થાય છે. પરિબળો કે જે ફક્ત દરેક સ્થળે m ની વર્તણૂક પર આધાર રાખે છે). હવે ધારો કે આપણને જટિલ પરિમાણો સાથે ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપોનો પરિવાર આપવામાં આવ્યો છે. પછી તે સ્વરૂપોનો સમયગાળો એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે જે સ્થાનિક પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિભાજિત થાય છે. ઘણીવાર આનો અર્થ એ થાય છે કે આ કાર્ય ચોક્કસ L-કાર્ય છે અને આ આ L-કાર્ય માટે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય અને કાર્યાત્મક સમીકરણ આપે છે. ટિપ્પણીઃ સામાન્ય રીતે તે સમયગાળો એકરૂપ થતો નથી અને વ્યક્તિએ તેને નિયમિત કરવો જોઈએ. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનું સામાન્યીકરણ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતનો સંભવિત અભિગમ એ છે કે જૂથ G ના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતને જૂથ G ડબલ્યુ. આર. ટી. પર હાર્મોનિક વિશ્લેષણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવું. ખરેખર, G ની તમામ ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોને જાણવી એ G × G રજૂઆત તરીકે G પર કાર્યોની જગ્યાના વિઘટનને જાણવાની સમકક્ષ છે. આ અભિગમમાં પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતને જોડી (G × G, G) ને કોઈપણ ગોળાકાર જોડી (G, K) દ્વારા બદલીને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. પછી આપણને અવકાશ G/K ડબલ્યુ. આર. ટી. પર હાર્મોનિક વિશ્લેષણના પ્રશ્ન તરફ દોરી જશે. જી. ની ક્રિયા હવે જોડી (જી, કે) માટે ગેલફેન્ડ ગુણધર્મ એ શુરના લેમ્માનું એનાલોગ છે. આ અભિગમનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ વ્યક્તિ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની કોઈપણ વિભાવનાઓ લઈ શકે છે અને તેમને ગોળાકાર જોડીના કિસ્સામાં સામાન્ય બનાવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધિત ટ્રેસ સૂત્ર આ પ્રક્રિયા દ્વારા ટ્રેસ સૂત્રમાંથી મેળવવામાં આવે છે. મર્યાદિત જૂથોના ઉદાહરણો ગેલફેન્ડ જોડીઓના કેટલાક સામાન્ય ઉદાહરણો છેઃ (SIM (n + 1), SIM (n)), n + 1 બિંદુઓ પર કામ કરતું સમપ્રમાણ જૂથ અને એક બિંદુ સ્થિરીકારક જે કુદરતી રીતે n બિંદુઓ પર સમરૂપ છે. (એજીએલ (એન, ક્યૂ), જીએલ (એન, ક્યૂ)), એફાઇન (સામાન્ય રેખીય) જૂથ અને એક બિંદુ સ્ટેબિલાઇઝર જે સામાન્ય રેખીય જૂથ માટે કુદરતી રીતે સમરૂપ છે. જો (G, K) એ ગેલફેન્ડ જોડી હોય, તો (G/N, K/N) એ K ના દરેક G-સામાન્ય પેટાજૂથ N માટે ગેલફેન્ડ જોડી છે. ઘણા હેતુઓ માટે આવા કોઈપણ બિન-ઓળખ સામાન્ય પેટાજૂથ વિના K ને ધ્યાનમાં લેવું પૂરતું છે. K ના કોસેટ્સ પર G ની ક્રિયા આમ વિશ્વાસપાત્ર છે, તેથી પછી કોઈ વ્યક્તિ બિંદુ સ્થિરીકારક K સાથે ક્રમચય જૂથો G ને જોઈ રહ્યું છે. ગેલફેન્ડ જોડી બનવું એ IR (G) માં દરેક χ માટે સમકક્ષ છે. ફ્રોબેનિયસ પારસ્પરિકતા દ્વારા અને તે ક્રમચય ક્રિયાનું પાત્ર હોવાથી, ક્રમચય જૂથ ગેલફેન્ડ જોડીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમચય અક્ષર કહેવાતા ગુણાકાર-મુક્ત ક્રમચય અક્ષર હોય. આવા ગુણાકાર-મુક્ત ક્રમચય અક્ષરો છૂટાછવાયા જૂથો માટે નક્કી કરવામાં આવ્યા હતા. આ ગેલફેન્ડ જોડી સાથેના મર્યાદિત જૂથોના ઉદાહરણોના વર્ગને જન્મ આપે છેઃ 2-સંક્રમક જૂથો. જો કોઈ બિંદુના સ્ટેબિલાઇઝર K બાકીના બિંદુઓ પર સંક્રમણશીલ રીતે કાર્ય કરે તો ક્રમચય જૂથ G એ 2-સંક્રમણશીલ છે. ખાસ કરીને, G એ n + 1 બિંદુઓ પરનું સપ્રમાણ જૂથ છે અને K એ n બિંદુઓ પરનું સપ્રમાણ જૂથ છે જે દરેક n ≤ 1 માટે ગેલફેન્ડ જોડી બનાવે છે. આનું કારણ એ છે કે 2-સંક્રમક ક્રમચય ક્રિયાનું પાત્ર કેટલાક ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષર χ અને તુચ્છ અક્ષર 1 માટે 1 + χ સ્વરૂપનું હોય છે. ખરેખર, જો G એ સંક્રમણશીલ ક્રમચય જૂથ છે, જેનું બિંદુ સ્થિરીકારક K મહત્તમ ચાર ભ્રમણકક્ષાઓ ધરાવે છે (જેમાં માત્ર સ્થિર બિંદુ ધરાવતી તુચ્છ ભ્રમણકક્ષા સામેલ છે), તો તેની શુર વીંટી પરિવર્તનીય છે અને (G, K) એક ગેલફાન્ડ જોડી છે. જો G એ બિંદુ સ્થિરીકારક K સાથે બે વાર અવિભાજ્ય ડિગ્રીનું આદિમ જૂથ છે, તો ફરીથી (G, K) એ ગેલફેંડ જોડી છે. ગેલફેંડ જોડીઓ (સિમ (એન), કે) માં વર્ગીકૃત કરવામાં આવી હતી. આશરે કહીએ તો, K એ નીચેના જૂથોમાંથી એકમાં નાના અનુક્રમણિકાના પેટાજૂથ તરીકે સમાવિષ્ટ હોવું જોઈએ, સિવાય કે n એ 18 કરતા નાનું હોયઃ SIM (n-k) × SIM (k), SIM (n/2) WR SIM (2), SIM (2) WR SIM (n/2) n ઇવન માટે, SIM (n-5) × AGL (1,5), SIM (n-6) × PGL (2,5), અથવા SIM (n-9) × PΠL (2,8). શાસ્ત્રીય જૂથો માટે ગેલફેન્ડ જોડીઓની પણ તપાસ કરવામાં આવી છે. કોમ્પેક્ટ K (GL (n, R), O (n, R)) (GL (n, C), U (n)) (O (n + k, R), O (n, R) × O (k, R)) (U (n + k), U (n) × U (k)) (G, K) સાથે સિમેટ્રિક જોડી જ્યાં G એ રિડક્ટિવ લાઈ જૂથ છે અને K એ મહત્તમ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ છે. સમમિતીય ગેલફેન્ડ અને ક્રમ એકની જોડીઓ ચાલો F એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું સ્થાનિક ક્ષેત્ર હોય. (SL (n + 1, F), GL (n, F)) n> 5 માટે. n> 4 માટે (Sp (2n + 2, F), Sp (2n, F)) × Sp (2, F)). (એસ. ઓ. (વી. એફ.), એસ. ઓ. (વી.)) જ્યાં વી એ બિન-અપક્ષયી વર્ગાત્મક સ્વરૂપ સાથે એફ પર વેક્ટર જગ્યા છે. ઉચ્ચ ક્રમની સમમિતીય જોડીઓ F એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું સ્થાનિક ક્ષેત્ર હોવું જોઈએ. ધારો કે G એ F પર રિડક્ટિવ જૂથ છે. ઉચ્ચ ક્રમની સમપ્રમાણ ગેલફેન્ડ જોડીઓના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છેઃ (G × G, ΔG): શૂર્સના લેમ્માને અનુસરે છે. (GL (n + k, F), GL (n, F) × GL (k, F)). (GL (2n, F), Sp (2n, F)). (ઓ (એન + કે, સી), ઓ (એન, સી) × ઓ (કે, સી)). (GL (n, C), O (n, C)). (GL (n, E), GL (n, F)), જ્યાં E એ F નું વર્ગાત્મક વિસ્તરણ છે. મજબૂત ગેલફેન્ડ જોડીઓ નીચેની જોડીઓ મજબૂત ગેલફેન્ડ જોડીઓ છેઃ (SIM (n + 1), SIM (n)), આ અનૈચ્છિક એન્ટિ-ઓટોમોર્ફિઝમ g′g−1 નો ઉપયોગ કરીને સાબિત થાય છે. (GL (n + 1, F), GL (n, F)) જ્યાં F એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું સ્થાનિક ક્ષેત્ર છે. (O (V ≤ F), O (V)) જ્યાં V એ F પર બિન-અપક્ષયી વર્ગાત્મક સ્વરૂપ સાથે વેક્ટર જગ્યા છે. U (V ≤ E), U (V) જ્યાં E એ F નું વર્ગાત્મક વિસ્તરણ છે અને V એ બિન-અપક્ષયી હર્મિશિયન સ્વરૂપ સાથે E પરની વેક્ટર જગ્યા છે. તે ચાર ઉદાહરણોને નિવેદન તરીકે પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે કે નીચેની ગેલફેન્ડ જોડીઓ છેઃ (સિમ (એન + 1) × સિમ (એન), Δ સિમ (એન)). (GL (n + 1, F) × GL (n, F), α GL (n, F)) (O (V ≤ F) × O (V), α O (V) (U (V ≤ E) × U (V), α U (V)) પણ જુઓ ગોળાકાર કાર્ય સમમિતીય જોડી ગોળાકાર જોડી નોંધો જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત જૂથો હાર્મોનિક વિશ્લેષણ જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત