Scheinerman's conjecture
ગણિતમાં, શીનરમેનનું અનુમાન, જે હવે એક પ્રમેય છે, જણાવે છે કે દરેક સમતલીય આલેખ એ સમતલમાં રેખાખંડોના સમૂહનો આંતરછેદ આલેખ છે. આ અનુમાન ઇ. આર. શાઈનરમેન દ્વારા તેમના પીએચ. ડી. થીસીસ (1984) માં ઘડવામાં આવ્યું હતું, અગાઉના પરિણામોને અનુસરીને કે દરેક સમતલીય આલેખને સમતલમાં સરળ વળાંકના સમૂહના આંતરછેદ આલેખ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. દ્વારા તે સાબિત થયું હતું. દાખલા તરીકે, નીચે ડાબી બાજુએ બતાવેલ ગ્રાફ G ને નીચે જમણી બાજુએ બતાવેલ સેગમેન્ટ્સના સમૂહના આંતરછેદ ગ્રાફ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અહીં, G ના શિરોબિંદુઓ સીધી રેખાના ભાગો દ્વારા રજૂ થાય છે અને G ની ધાર આંતરછેદ બિંદુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે. શીનરમેને એવું પણ અનુમાન લગાવ્યું હતું કે માત્ર ત્રણ દિશાઓ ધરાવતા વિભાગો 3-રંગીન આલેખ રજૂ કરવા માટે પૂરતા હશે, અને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે સમાન રીતે દરેક સમતલીય આલેખને ચાર દિશાઓનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે. જો ગ્રાફને માત્ર k દિશાઓ ધરાવતા સેગમેન્ટ્સ સાથે રજૂ કરવામાં આવે અને કોઈ બે સેગમેન્ટ્સ એક જ રેખાના ન હોય, તો ગ્રાફને k રંગોનો ઉપયોગ કરીને રંગીન કરી શકાય છે, દરેક દિશા માટે એક રંગ. તેથી, જો દરેક સમતલીય આલેખને આ રીતે માત્ર ચાર દિશાઓ સાથે રજૂ કરી શકાય, તો ચાર રંગ પ્રમેય અનુસરે છે. અને સાબિત કર્યું કે દરેક દ્વિપક્ષી સમતલીય આલેખને આડી અને ઊભી રેખા ખંડોના આંતરછેદ આલેખ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે; આ પરિણામ માટે પણ જુઓ. સાબિત થયું કે દરેક ત્રિકોણ-મુક્ત સમતલીય આલેખને માત્ર ત્રણ દિશાઓ ધરાવતા રેખા ખંડોના આંતરછેદ આલેખ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે; આ પરિણામ ગ્રોટ્ઝસ્કના પ્રમેયને સૂચવે છે કે ત્રિકોણ-મુક્ત સમતલીય આલેખને ત્રણ રંગોથી રંગીન કરી શકાય છે. સાબિત થયું કે જો સમતલીય આલેખ G એ એવી રીતે 4-રંગીન હોઈ શકે કે કોઈ અલગ ચક્ર તમામ ચાર રંગોનો ઉપયોગ ન કરે, તો G વિભાગોના આંતરછેદ આલેખ તરીકે રજૂ થાય છે. તે સાબિત કરે છે કે સમતલીય આલેખ 1-સ્ટ્રિંગમાં છે, જે સમતલમાં સરળ વળાંકના આંતરછેદ આલેખનો વર્ગ છે જે દરેક જોડી દીઠ વધુમાં વધુ એક ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર એકબીજાને છેદે છે. આ વર્ગ શીનરમેનના અનુમાનમાં દેખાતા વિભાગોના આંતરછેદ આલેખ અને એરલિચ એટ અલના પરિણામમાંથી અનિયંત્રિત સરળ વળાંકના આંતરછેદ આલેખ વચ્ચે મધ્યવર્તી છે. તેને વર્તુળ પેકિંગ પ્રમેયના સામાન્યીકરણ તરીકે પણ જોઈ શકાય છે, જે વળાંકને સ્પર્શકમાં છેદવાની મંજૂરી આપવામાં આવે ત્યારે સમાન પરિણામ દર્શાવે છે. દ્વારા અનુમાનનો પુરાવો આ પરિણામના સુધારા પર આધારિત હતો. સંદર્ભો. . . . . . . . . . . સમતલીય આલેખ સિદ્ધ થયેલા અનુમાનો