Character sum
ગણિતમાં, અક્ષરનો સરવાળો એ ડિરીક્લેટ અક્ષર χ મોડ્યુલો N ના મૂલ્યોનો સરવાળો છે, જે n ના મૂલ્યોની આપેલ શ્રેણી પર લેવામાં આવે છે. આવા સરવાળો સંખ્યાબંધ પ્રશ્નોમાં મૂળભૂત છે, ઉદાહરણ તરીકે વર્ગાત્મક અવશેષોના વિતરણમાં, અને ખાસ કરીને ઓછામાં ઓછા વર્ગાત્મક બિન-અવશેષ મોડ્યુલો N માટે ઉપલી સીમા શોધવાના શાસ્ત્રીય પ્રશ્નમાં. અક્ષરનો સરવાળો ઘણીવાર ગૌસ સરવાળા દ્વારા ઘાતાંકીય સરવાળા સાથે નજીકથી જોડાયેલો હોય છે (આ એક મર્યાદિત મેલિન રૂપાંતર જેવું છે). ધારો કે χ એ મોડ્યુલસ એન માટે બિન-મુખ્ય ડિરીક્લેટ અક્ષર છે. શ્રેણીઓ પરનો સરવાળો તમામ અવશેષ વર્ગો મોડ એન પર લેવામાં આવેલો સરવાળો પછી શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે વ્યાજના કિસ્સાઓ પ્રમાણમાં ટૂંકી શ્રેણીઓ પર સરવાળા હશે, લંબાઈ આર <એન કહો, તુચ્છ અંદાજ પર મૂળભૂત સુધારો પોલ્યા-વિનોગ્રાદોવ અસમાનતા છે, જે જ્યોર્જ પોલ્યા અને આઈ. એમ. વિનોગ્રાદોવ દ્વારા 1918 માં સ્વતંત્ર રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવી હતી, જેમાં મોટા ઓ નોટેશનમાં જણાવ્યું હતું કે સામાન્યીકૃત રીમાન પૂર્વધારણાને ધારીને, હ્યુગ મોન્ટગોમેરી અને આર. સી. વોનએ દર્શાવ્યું છે કે વધુ સુધારો સારાંશ બહુપદીઓ અન્ય નોંધપાત્ર પ્રકારનો અક્ષર સરવાળો છે જે કેટલાક કાર્ય એફ દ્વારા રચાય છે, સામાન્ય રીતે બહુપદી. શાસ્ત્રીય પરિણામ એ ચતુર્ભુજનો કેસ છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને χ એ લિજેન્ડ્રે પ્રતીક છે. અહીં સરવાળાનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે (−1 તરીકે), જે પરિણામ શંકુ વિભાગના સ્થાનિક ઝીટા-કાર્ય સાથે જોડાયેલું છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જેકોબી પ્રતીક માટેના આવા સરવાળા લંબગોળ વળાંક અને લંબગોળ વળાંકના સ્થાનિક ઝીટા-કાર્યો સાથે સંબંધિત છે; આનો અર્થ એ છે કે એન્ડ્રે વેઇલના પરિણામો દ્વારા, N = p એ મુખ્ય સંખ્યા માટે, બિન-તુચ્છ સીમાઓ છે. વેઇલના પરિણામો પણ બર્ગેસ બાઉન્ડ તરફ દોરી ગયા, પોલ્યા-વિનોગ્રાદોવની બહાર બિન-તુચ્છ પરિણામો આપવા માટે અરજી કરી, R માટે 1/4 કરતા વધારે N ની શક્તિ. ધારો કે માપાંક N એ અવિભાજ્ય છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક r ≤ 3 માટે. નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ પોલ્યા-વિનોગ્રાદોવ અસમાનતા વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત પર પ્લેનેટમેથ લેખ