Finite type invariant
ગાંઠોના ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં, એક મર્યાદિત પ્રકારનો અપરિવર્તનશીલ, અથવા વાસિલીવ અપરિવર્તનશીલ (જેને વિક્ટર એનાટોલીવિચ વાસિલીવના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે), એક ગાંઠ અપરિવર્તનશીલ છે જેને ચોક્કસ એકવચન ગાંઠોના અપરિવર્તનશીલ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે (ચોક્કસ રીતે વર્ણવી શકાય છે) જે m + 1 એકવચન સાથે એકવચન ગાંઠો પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને 'm' એકવચન સાથે કોઈ એકવચન ગાંઠ પર અદૃશ્ય થઈ જતું નથી. પછી તે પ્રકાર અથવા ક્રમ m હોવાનું કહેવાય છે. અમે ગૌસરોવ અને (સ્વતંત્ર રીતે) જોન બિરમેન અને ઝિયાઓ-સોંગ લિનને કારણે મર્યાદિત પ્રકાર અપરિવર્તનની સંયુક્ત વ્યાખ્યા આપીએ છીએ. ધારો કે V એ ગાંઠ અપરિવર્તનશીલ છે. એક ત્રાંસા એકત્વ સાથે ગાંઠ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે V1 ને વ્યાખ્યાયિત કરો. ગાંઠ K ને વર્તુળનું સરળ એમ્બેડિંગ ગણશો. K ને એક ત્રાંસા બેવડાં બિંદુ સાથે વર્તુળનું સરળ નિમજ્જન થવા દો. પછી, જ્યાં એક સ્ટ્રાન્ડને બીજાની ઉપર ધકેલીને ડબલ પોઇન્ટને ઉકેલવાથી K મેળવવામાં આવે છે, અને K _-એ જ રીતે વિરુદ્ધ સ્ટ્રાન્ડને બીજાની ઉપર ધકેલીને મેળવવામાં આવે છે. આપણે ઉપરોક્ત સંબંધનો ઉપયોગ કરીને બે ત્રાંસા બેવડાં બિંદુઓ, ત્રણ ત્રાંસા બેવડાં બિંદુઓ વગેરેવાળા નકશા માટે આ કરી શકીએ છીએ. V માટે મર્યાદિત પ્રકારનો ચોક્કસ અર્થ એ છે કે ત્યાં એક હકારાત્મક પૂર્ણાંક m હોવો આવશ્યક છે કે જેથી V ત્રાંસા બેવડાં બિંદુઓ સાથે નકશા પર અદૃશ્ય થઈ જાય. વધુમાં, નોંધ લો કે એકલતા સાથે ગાંઠોની સમાનતા ત્રાંસા બેવડાં બિંદુઓ હોવાની કલ્પના છે અને વીએ આ સમાનતાને માન આપવું જોઈએ. 3-મેનિફોલ્ડ્સ માટે મર્યાદિત પ્રકારના અપરિવર્તનશીલની કલ્પના પણ છે. ઉદાહરણો ગાંઠોના સૌથી સરળ બિન-તુચ્છ વાસિલીવ અપરિવર્તનને એલેક્ઝાન્ડર-કોનવે બહુપદીના દ્વિઘાત શબ્દના ગુણાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે ક્રમ બેનો અપરિવર્તનશીલ છે. મોડ્યુલો બે, તે આર્ફ અપરિવર્તનની બરાબર છે. કોન્ટ્સેવિચ અચળાંકનો કોઈપણ ગુણાંક એ મર્યાદિત પ્રકારનો અચળાંક છે. મિલ્નર અચળાંકો સ્ટ્રિંગ લિંક્સના મર્યાદિત પ્રકારનાં અચળાંકો છે. પરિવર્તનશીલ પ્રતિનિધિ માઈકલ પોલિયાક અને ઓલેગ વીરોએ ગૌસ આકૃતિ રજૂઆતો દ્વારા ક્રમ 2 અને 3 ના પ્રથમ બિન-તુચ્છ પરિવર્તનશીલોનું વર્ણન આપ્યું હતું. મિખાઇલ એન. ગૌસરોવે સાબિત કર્યું છે કે તમામ વાસિલીવ અપરિવર્તનશીલને તે રીતે રજૂ કરી શકાય છે. 1993માં, મેક્સિમ કોન્ટ્સેવિચે વેસીલીવ અપરિવર્તન વિશે નીચેના મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયને સાબિત કર્યોઃ દરેક ગાંઠ માટે એક અભિન્નની ગણતરી કરી શકાય છે, જેને હવે કોન્ટ્સેવિચ અભિન્ન કહેવાય છે, જે એક સાર્વત્રિક વેસીલીવ અપરિવર્તન છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક વેસીલીવ અપરિવર્તન યોગ્ય મૂલ્યાંકન દ્વારા તેમાંથી મેળવી શકાય છે. હાલમાં તે જાણીતું નથી કે કોન્ટ્સેવિચ અભિન્ન, અથવા વેસીલીવ અપરિવર્તનની સંપૂર્ણતા, સંપૂર્ણ ગાંઠ અપરિવર્તનશીલ છે કે કેમ. કોન્ટેસેવિચ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી, જે તાર આકૃતિઓના બીજગણિતમાં મૂલ્યો ધરાવે છે, તે મુશ્કેલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે અને અત્યાર સુધી માત્ર થોડા વર્ગોના ગાંઠો માટે જ કરવામાં આવ્યું છે. 11 કરતા ઓછી ડિગ્રીનો કોઈ મર્યાદિત પ્રકારનો અચળાંક નથી જે મ્યુટન્ટ ગાંઠોને અલગ પાડે છે. વિલર્ટનની માછલીના સંદર્ભો પણ જુઓ વિક્ટર એ. વેસીલીવ, ગાંઠની જગ્યાઓનું કોહોમોલોજી. એકલતા અને તેના ઉપયોગોનો સિદ્ધાંત, 23-69, એડ. સોવિયેત મઠ, 1, અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, પ્રોવિડન્સ, આર. આઈ., 1990. જોન બિરમન અને ઝિયાઓ-સોંગ લિન, નોટ બહુપદીઓ અને વેસીલીવના અપરિવર્તન ". શોધ ગણિત, 111,225-270 (1993) બાહ્ય કડીઓ ગાંઠ અપરિવર્તન 3-મેનિફોલ્ડ્સ નથી