Coadjoint representation
ગણિતમાં, લાઈ જૂથની સંયુક્ત રજૂઆત એ સંલગ્ન રજૂઆતની દ્વિગુણિત રજૂઆત છે. જો લાઈ બીજગણિત સૂચવે છે, તો તેની અનુરૂપ ક્રિયા, બેવડી જગ્યા થી, કોએજૉઇન્ટ ક્રિયા કહેવાય છે. ભૌમિતિક અર્થઘટન એ જમણી-અવિભાજ્ય 1-સ્વરૂપોની જગ્યા પર ડાબી-અનુવાદ દ્વારા ક્રિયા તરીકે છે. કોએડજોઈન્ટ પ્રતિનિધિત્વના મહત્વ પર એલેક્ઝાન્ડર કિરિલોવના કાર્ય દ્વારા ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે નિલપોટેન્ટ લાઈ જૂથો માટે તેમના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ભૂમિકા કોએડજોઈન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ દ્વારા ભજવવામાં આવે છે. ભ્રમણકક્ષાઓની કિરિલોવ પદ્ધતિમાં, ભ્રમણકક્ષાઓની રજૂઆતો કોએજૉઇન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓથી શરૂ કરીને ભૌમિતિક રીતે બનાવવામાં આવે છે. અમુક અર્થમાં તે સંયુગ્મ વર્ગો માટે અવેજી ભૂમિકા ભજવે છે, જે ફરીથી જટિલ હોઈ શકે છે, જ્યારે ભ્રમણકક્ષાઓ પ્રમાણમાં ટ્રેક્ટેબલ છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચાલો એક લાઈ જૂથ હોઈએ અને તેનું લાઈ બીજગણિત હોઈએ. ચાલો તેની સંલગ્ન રજૂઆતને દર્શાવીએ. પછી કોએજૉઇન્ટ રજૂઆત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં વેક્ટર પર રેખીય વિધેયાત્મક મૂલ્ય સૂચવે છે. ચાલો લાઈ જૂથની સંયુક્ત રજૂઆત દ્વારા પ્રેરિત લાઈ બીજગણિતની રજૂઆતને દર્શાવીએ. પછી માટે વ્યાખ્યાયિત સમીકરણનું અનંત સંસ્કરણ વાંચે છેઃ લાઈ બીજગણિતની સંલગ્ન રજૂઆત ક્યાં છે. સહ-સંયુક્ત ભ્રમણકક્ષા માટે સહ-સંયુક્ત ભ્રમણકક્ષાને ક્યાં તો બાહ્ય રીતે, અંદરની વાસ્તવિક ભ્રમણકક્ષા તરીકે, અથવા આંતરિક રીતે સજાતીય અવકાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જ્યાં સહ-સંયુક્ત ક્રિયાના સંદર્ભમાં સ્થિરતા છે; આ તફાવત બનાવવા યોગ્ય છે કારણ કે ભ્રમણકક્ષાનું એમ્બેડિંગ જટિલ હોઈ શકે છે. કોએડજોઈન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓ સબમેનિફોલ્ડ્સ છે અને કુદરતી સિમ્લેક્ટિક માળખું ધરાવે છે. દરેક ભ્રમણકક્ષા પર, નીચેની રીતે વારસામાં મળેલું બંધ બિન-વિકૃત-અપરિવર્તનશીલ 2-સ્વરૂપ હોય છેઃ નીચેની હકીકતોમાંથી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત, બિન-અધોગતિ અને અનુસરવાની-ભિન્નતાઃ (i) સ્પર્શક જગ્યાને ઓળખી શકાય છે, જ્યાં લાઈ બીજગણિત છે. (ii) નકશાનો કર્નલ બરાબર છે. (iii) દ્વિરેખીય સ્વરૂપ નીચે અપરિવર્તનશીલ છે. તે પણ બંધ છે. કેનોનિકલ 2-સ્વરૂપને કેટલીકવાર કોએજૉઇન્ટ ભ્રમણકક્ષા પર કિરિલોવ-કોસ્ટન્ટ-સોરિયાઉ સિમ્પ્લેક્ટિક સ્વરૂપ અથવા કેકેએસ સ્વરૂપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કોએજૉઇન્ટ ભ્રમણકક્ષાઓના ગુણધર્મો કોએજૉઇન્ટ ભ્રમણકક્ષા પરની કોએજૉઇન્ટ ક્રિયા એ હેમિલ્ટોનિયન-ક્રિયા છે જે સમાવેશ દ્વારા આપવામાં આવેલા વેગના નકશા સાથે છે. ઉદાહરણો પણ જુઓ બોરેલ-બોટ-વેઇલ પ્રમેય, એક સઘન જૂથ માટે કિરિલોવ અક્ષર સૂત્ર કિરિલોવ ભ્રમણકક્ષા સિદ્ધાંત સંદર્ભો કિરિલોવ, એ. એ., લેક્ચર્સ ઓન ધ ઓર્બિટ મેથડ, ગ્રેજ્યુએટ સ્ટડીઝ ઇન મેથેમેટિક્સ, વોલ્યુમ. 64, અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, બાહ્ય કડીઓ લાઈ જૂથોની પ્રતિકાત્મક ભૂમિતિના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત