Boustrophedon transform
ગણિતમાં, બોસ્ટ્રોફેડન પરિવર્તન એ એક પ્રક્રિયા છે જે એક ક્રમને બીજામાં મેપ કરે છે. રૂપાંતરિત ક્રમની ગણતરી "એડિશન" ઓપરેશન દ્વારા કરવામાં આવે છે, જેનો અમલ "રાસ્ટર સ્કેન" સોટૂથ જેવી રીતના વિરોધમાં ત્રિકોણાકાર એરેને બોસ્ટ્રોફેડન (વાંકીચૂંકી-અથવા સર્પાકાર જેવી) રીતે ભરવાની જેમ કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા બોસ્ટ્રોફિડોન પરિવર્તન એ આંકડાકીય, અનુક્રમ ઉત્પન્ન કરતું પરિવર્તન છે, જે "ઉમેરા" ક્રિયા દ્વારા નક્કી થાય છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ક્રમ આપવામાં આવે છેઃ, બોસ્ટ્રોફેડન રૂપાંતર અન્ય ક્રમ આપે છેઃ, જ્યાં સંભવિત રીતે તેની સમકક્ષ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આકૃતિ 1 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રિકોણને ભરીને સંપૂર્ણ પરિવર્તનની કલ્પના (અથવા કલ્પના) કરી શકાય છે. બૌસ્ટ્રોફેડન ત્રિકોણ આંકડાકીય સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ (આકૃતિ 1) ને ભરવા માટે, તમે ઇનપુટ ક્રમથી શરૂઆત કરો અને બૉસ્ટ્રોફેડન સ્કેન (વાંકીચૂંકી અથવા સર્પાકાર જેવા) અભિગમનો ઉપયોગ કરીને પંક્તિ દીઠ એક મૂલ્ય (ઇનપુટ ક્રમમાંથી) મૂકો. ત્રિકોણનું ટોચનું શિરોબિંદુ ઇનપુટ મૂલ્ય હશે, જે આઉટપુટ મૂલ્યની સમકક્ષ હશે, અને આપણે આ ટોચની પંક્તિને પંક્તિ 0 તરીકે ક્રમાંકિત કરીએ છીએ. અનુગામી પંક્તિઓ (ત્રિકોણના આધાર સુધી નીચે જતી) ને સતત (0 થી) પૂર્ણાંકો તરીકે ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે-ચાલો હાલમાં ભરવામાં આવી રહેલી પંક્તિની સંખ્યાને સૂચવીએ. આ પંક્તિઓ પંક્તિ સંખ્યા () અનુસાર નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છેઃ તમામ પંક્તિઓ માટે, ક્રમાંકિત, પંક્તિમાં બરાબર મૂલ્યો હશે. જો તે વિચિત્ર હોય, તો પછી મૂલ્યને હરોળના જમણા હાથના છેડે મૂકો. આ પંક્તિના આંતરિક ભાગને જમણેથી ડાબે ભરો, જ્યાં દરેક મૂલ્ય (અનુક્રમણિકાઃ) એ મૂલ્યથી જમણે (અનુક્રમણિકાઃ) અને ઉપર જમણે (અનુક્રમણિકાઃ) મૂલ્ય વચ્ચેના "ઉમેરા" નું પરિણામ છે. આઉટપુટ મૂલ્ય વિષમ હરોળના ડાબી બાજુના છેડે હશે (જ્યાં વિષમ છે). જો સરખું હોય, તો પછી ઇનપુટ મૂલ્યને હરોળના ડાબા હાથના છેડે મૂકો. આ પંક્તિના આંતરિક ભાગને ડાબેથી જમણે ભરો, જ્યાં દરેક મૂલ્ય (અનુક્રમણિકાઃ) તેની ડાબી બાજુના મૂલ્ય (અનુક્રમણિકાઃ) અને તેની ઉપરની ડાબી બાજુના મૂલ્ય (અનુક્રમણિકાઃ) વચ્ચેના "ઉમેરા" નું પરિણામ છે. આઉટપુટ મૂલ્ય સમ હરોળના જમણા હાથના છેડા પર હશે (જ્યાં સમ છે). આ "એડિશન" કામગીરીઓની દ્રશ્ય રજૂઆત માટે આકૃતિ 1 માં તીરોનો સંદર્ભ લો. મૂલ્યોના આપેલ, મર્યાદિત ઇનપુટ-ક્રમ માટે, ત્રિકોણમાં બરાબર પંક્તિઓ હશે, જેમ કે તે શ્રેણીમાં પૂર્ણાંક છેઃ (વિશિષ્ટ). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, છેલ્લી પંક્તિ છે. પુનરાવર્તન સંબંધ વધુ ઔપચારિક વ્યાખ્યા પુનરાવર્તન સંબંધનો ઉપયોગ કરે છે. સંખ્યાઓને (k ≤ n ≤ 0 સાથે) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી રૂપાંતરિત ક્રમ (માટે અને મોટા સૂચકાંકો) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા અનુસાર, જોડી પરના પ્રતિબંધો (ઉપરના સંબંધમાંથી) ની બહારના મૂલ્યો માટે નીચેની વ્યાખ્યાઓની નોંધ લોઃ વિશેષ કિસ્સાઓમાં a0 = 1, an = 0 (n> 0) ના કિસ્સામાં, પરિણામી ત્રિકોણને સીડેલ-એન્ટ્રીન્જર-અર્નોલ્ડ ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે અને સંખ્યાઓને એન્ટ્રીન્જર સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં રૂપાંતરિત ક્રમ bn માં સંખ્યાઓને યુલર અપ/ડાઉન સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. આ ઇન્ટિજર સિક્વન્સિસના ઓન-લાઇન જ્ઞાનકોશ પરનો ક્રમ A000111 છે. આ n અક્ષરો પર વૈકલ્પિક ક્રમચયોની સંખ્યાની ગણતરી કરે છે અને યુલર સંખ્યાઓ અને બર્નૌલી સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત છે. બીજગણિત વ્યાખ્યા (ઓ) બોસ્ટ્રોફેડન રૂપાંતરની ભૌમિતિક રચના પરથી નિર્માણ કરીને, ઇનપુટ મૂલ્યો () થી આઉટપુટ મૂલ્યો () વચ્ચેના સંબંધની બીજગણિત વ્યાખ્યાઓને વિવિધ બીજગણિત ("આંકડાકીય ક્ષેત્રો") માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. યુક્લિડિયન (વાસ્તવિક) મૂલ્યો યુક્લિડિયન () આલ્જેબ્રા ફોર રિયલ ()-વેલ્યુડ સ્કેલર્સમાં, બોસ્ટ્રોફિડોન રૂપાંતરિત રિયલ-વેલ્યુ ઇનપુટ મૂલ્ય સાથે સંબંધિત છે, જેમ કેઃ, રિવર્સ સંબંધ (આઉટપુટમાંથી ઇનપુટ) સાથે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ, જ્યાં "ઉપર/નીચે" સંખ્યાઓનો ક્રમ છે-જેને સેકન્ટ અથવા સ્પર્શક સંખ્યાઓ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. ઘાતાંકીય જનરેટિંગ કાર્ય અનુક્રમ (an) નું ઘાતાંકીય જનરેટિંગ કાર્ય આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે બોસ્ટ્રોફેડન પરિવર્તન (bn) નું ઘાતાંકીય જનરેટિંગ કાર્ય મૂળ ક્રમ (an) સાથે સંબંધિત છે.