Surface states
સપાટીની સ્થિતિઓ એ પદાર્થોની સપાટી પર જોવા મળતી ઇલેક્ટ્રોનિક સ્થિતિઓ છે. તેઓ નક્કર પદાર્થમાંથી તીવ્ર સંક્રમણને કારણે રચાય છે જે સપાટી સાથે સમાપ્ત થાય છે અને માત્ર સપાટીની સૌથી નજીકના અણુ સ્તરો પર જોવા મળે છે. સપાટી સાથેની સામગ્રીની સમાપ્તિ ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાને જથ્થાબંધ સામગ્રીમાંથી શૂન્યાવકાશમાં પરિવર્તન તરફ દોરી જાય છે. સપાટી પરની નબળી ક્ષમતામાં, નવી ઇલેક્ટ્રોનિક સ્થિતિઓ રચાઈ શકે છે, જેને સપાટીની સ્થિતિઓ કહેવાય છે. કન્ડેન્સ્ડ મેટર ઇન્ટરફેસો પર ઉત્પત્તિ બ્લોચના પ્રમેય દ્વારા જણાવ્યા મુજબ, સંપૂર્ણ સામયિક પોટેન્શિયલ સાથે સિંગલ-ઇલેક્ટ્રોન શ્રોડિંગર સમીકરણના આઈગનસ્ટેટ, એક સ્ફટિક, બ્લોચ તરંગો છે. આપેલ પોટેન્શિયલ માટે માન્ય તરંગ સંખ્યાઓ સામાન્ય બોર્ન-વોન કર્મન ચક્રીય સીમા શરતોને લાગુ કરીને મળી આવે છે. સ્ફટિકની સમાપ્તિ, એટલે કે. સપાટીની રચના, દેખીતી રીતે સંપૂર્ણ સમયાંતરે વિચલનનું કારણ બને છે. પરિણામે, જો ચક્રીય સીમા શરતોને સપાટીની સામાન્ય દિશામાં છોડી દેવામાં આવે તો ઇલેક્ટ્રોનનું વર્તન જથ્થાબંધ વર્તનથી વિચલિત થશે અને ઇલેક્ટ્રોનિક માળખામાં કેટલાક ફેરફારોની અપેક્ષા રાખવી પડશે. એક પરિમાણમાં સ્ફટિક ક્ષમતાનું સરળીકૃત મોડેલ આકૃતિ 1 માં બતાવ્યા પ્રમાણે સ્કેચ કરી શકાય છે. સ્ફટિકમાં, પોટેન્શિયલમાં જાળીની સમયાંતરે a હોય છે, જ્યારે સપાટીની નજીક તેને કોઈક રીતે શૂન્યાવકાશ સ્તરનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવું પડે છે. આકૃતિ 1 માં દર્શાવેલ સ્ટેપ પોટેન્શિયલ (નક્કર રેખા) એક અતિશય સરળીકરણ છે જે મોટે ભાગે સરળ મોડેલ ગણતરીઓ માટે અનુકૂળ છે. વાસ્તવિક સપાટી પર પોટેન્શિયલ ઇમેજ ચાર્જ અને સપાટીના દ્વિધ્રુવોની રચનાથી પ્રભાવિત થાય છે અને તે ડૅશ્ડ રેખા દ્વારા સૂચવ્યા મુજબ દેખાય છે. આકૃતિ 1 માં પોટેન્શિયલને જોતાં, તે દર્શાવી શકાય છે કે એક-પરિમાણીય એક-ઇલેક્ટ્રોન શ્રોડિન્જર સમીકરણ બે ગુણાત્મક રીતે અલગ પ્રકારના ઉકેલો આપે છે. પ્રથમ પ્રકારની સ્થિતિઓ (આકૃતિ 2 જુઓ) સ્ફટિકમાં વિસ્તરે છે અને તેમાં બ્લોચ અક્ષર હોય છે. આ પ્રકારના ઉકેલો જથ્થાબંધ સ્થિતિઓને અનુરૂપ હોય છે જે શૂન્યાવકાશમાં પહોંચતી ઝડપથી ક્ષીણ થતી પૂંછડીમાં સમાપ્ત થાય છે. બીજા પ્રકારની સ્થિતિઓ (આકૃતિ 3 જુઓ) શૂન્યાવકાશ અને બલ્ક સ્ફટિક બંનેમાં ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે. આ પ્રકારના ઉકેલો સ્ફટિકની સપાટીની નજીક સ્થિત તરંગ કાર્યો સાથે સપાટીની સ્થિતિને અનુરૂપ હોય છે. પ્રથમ પ્રકારનો ઉકેલ ધાતુઓ અને અર્ધવાહક બંને માટે મેળવી શકાય છે. જોકે સેમિકન્ડક્ટર્સમાં, સંકળાયેલ આઈગેનર્જીઝ માન્ય ઉર્જા બેન્ડમાંથી એકની હોવી જોઈએ. બીજો પ્રકારનો ઉકેલ સેમિકન્ડક્ટર્સના પ્રતિબંધિત ઊર્જા અંતર તેમજ ધાતુઓના અંદાજિત બેન્ડ માળખાના સ્થાનિક અંતરાયોમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. એવું દર્શાવી શકાય છે કે આ તમામ સ્થિતિઓની ઊર્જા બેન્ડ ગેપની અંદર હોય છે. પરિણામે, સ્ફટિકમાં આ સ્થિતિઓ એક કાલ્પનિક તરંગ સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જે જથ્થામાં ઘાતાંકીય ક્ષય તરફ દોરી જાય છે. શૉકલી સ્થિતિઓ અને તમ સ્થિતિઓ સપાટીની સ્થિતિઓની ચર્ચામાં, એક સામાન્ય રીતે શૉકલી સ્થિતિઓ અને તમ સ્થિતિઓ વચ્ચે તફાવત કરે છે, જેનું નામ અમેરિકન ભૌતિકશાસ્ત્રી વિલિયમ શૉકલી અને રશિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી આઇગોર તમના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. બે પ્રકારની સ્થિતિઓ વચ્ચે કોઈ કડક ભૌતિક તફાવત નથી, પરંતુ તેમના વર્ણનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણાત્મક પાત્ર અને ગાણિતિક અભિગમ અલગ છે. ઐતિહાસિક રીતે, સ્વચ્છ અને આદર્શ સપાટીઓ માટે લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અંદાજના માળખામાં શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલ તરીકે ઊભી થતી સપાટીની સ્થિતિઓને શોકલી સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. આમ શોકલી અવસ્થાઓ એવી સ્થિતિઓ છે જે માત્ર સ્ફટિક સમાપ્તિ સાથે સંકળાયેલ ઇલેક્ટ્રોન ક્ષમતામાં ફેરફારને કારણે ઊભી થાય છે. આ અભિગમ સામાન્ય ધાતુઓ અને કેટલાક સાંકડા અંતર અર્ધવાહકોનું વર્ણન કરવા માટે યોગ્ય છે. આકૃતિ 3 શોકલી સ્થિતિનું ઉદાહરણ દર્શાવે છે, જે લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અંદાજનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવી છે. સ્ફટિકની અંદર, શોકલી સ્થિતિઓ ઝડપથી ક્ષીણ થતા બ્લોચ તરંગો જેવી લાગે છે. ચુસ્ત-બંધન મોડેલના માળખામાં ગણવામાં આવતી સપાટીની સ્થિતિઓને ઘણીવાર તમ સ્થિતિઓ કહેવામાં આવે છે. ચુસ્ત બંધન અભિગમમાં, ઇલેક્ટ્રોનિક તરંગ કાર્યોને સામાન્ય રીતે અણુ ભ્રમણકક્ષાઓ (એલ. સી. એ. ઓ.) ના રેખીય સંયોજનો તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. શોકલી સ્થિતિઓનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલથી વિપરીત, તમ સ્થિતિઓ સંક્રમણ ધાતુઓ અને વિશાળ અંતર અર્ધવાહકોનું પણ વર્ણન કરવા માટે યોગ્ય છે. ગુણાત્મક રીતે, તમ અવસ્થાઓ સપાટી પર સ્થાનિક અણુ અથવા પરમાણુ ભ્રમણકક્ષાઓ જેવી જ હોય છે. ટોપોલોજિકલ સપાટી જણાવે છે કે તમામ સામગ્રીને એક જ સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, એક ટોપોલોજિકલ અપરિવર્તનશીલ; આ બલ્ક ઇલેક્ટ્રોનિક તરંગ કાર્યોમાંથી બનાવવામાં આવે છે, જે બ્રિલોઇન ઝોનમાં એકીકૃત થાય છે, તેવી જ રીતે જેમ જીનસની ગણતરી ભૌમિતિક ટોપોલોજીમાં કરવામાં આવે છે. અમુક પદાર્થોમાં જ્યારે અમુક બલ્ક એનર્જી બેન્ડ્સ મજબૂત સ્પિન-ઓર્બિટલ કપ્લિંગને કારણે ઊંધી થાય છે ત્યારે ટોપોલોજીકલ અપરિવર્તનને બદલી શકાય છે. બિન-તુચ્છ ટોપોલોજી સાથેના ઇન્સ્યુલેટર, કહેવાતા ટોપોલોજિકલ ઇન્સ્યુલેટર અને તુચ્છ ટોપોલોજીવાળા ઇન્સ્યુલેટર વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પર, ઇન્ટરફેસ ધાતુયુક્ત બનવું આવશ્યક છે. વધુમાં, સપાટીની સ્થિતિમાં ક્રોસિંગ પોઇન્ટ સાથે રેખીય ડીરાક જેવા વિક્ષેપ હોવો આવશ્યક છે જે સમય ઉલટાવી સમપ્રમાણતા દ્વારા સુરક્ષિત છે. આવી સ્થિતિ અવ્યવસ્થામાં મજબૂત હોવાની આગાહી કરવામાં આવી છે, અને તેથી તેને સરળતાથી સ્થાનિક બનાવી શકાતી નથી. શોકલી જણાવે છે કે ધાતુઓમાં સપાટીની સ્થિતિ ધાતુની સપાટી પર સ્થિતિઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોની વ્યુત્પત્તિ માટેનું એક સરળ મોડેલ સમાન અણુઓની અર્ધ-અનંત સામયિક સાંકળ છે. આ મોડેલમાં, સાંકળની સમાપ્તિ સપાટીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં પોટેન્શિયલ સ્ટેપ ફંક્શનના સ્વરૂપમાં શૂન્યાવકાશનું મૂલ્ય V0 પ્રાપ્ત કરે છે, આકૃતિ 1. સ્ફટિકની અંદર પોટેન્શિયલને જાળીની સામયિકતા a સાથે સામયિક માનવામાં આવે છે. શોકલી સ્થિતિઓ પછી એક-પરિમાણીય એક ઇલેક્ટ્રોન શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલ તરીકે જોવા મળે છે, જેમાં સામયિક ક્ષમતા હોય છે, જ્યાં l એ પૂર્ણાંક હોય છે અને P એ સામાન્યીકરણ પરિબળ હોય છે. ઉકેલ બે ક્ષેત્રો z <0 અને z> 0 માટે સ્વતંત્ર રીતે મેળવવો આવશ્યક છે, જ્યાં ક્ષેત્રની સીમા (z = 0) પર તરંગ કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્નની સાતત્યતા પર સામાન્ય શરતો લાગુ કરવામાં આવે છે. પોટેન્શિયલ સ્ફટિકની અંદર સમયાંતરે ઊંડું હોવાથી, ઇલેક્ટ્રોનિક તરંગ કાર્યો અહીં બ્લોચ તરંગો હોવા જોઈએ. સ્ફટિકમાં ઉકેલ પછી આવતા તરંગ અને સપાટી પરથી પ્રતિબિંબિત તરંગનું રેખીય સંયોજન છે. z> 0 માટે ઉકેલ શૂન્યાવકાશમાં ઝડપથી ઘટવાની જરૂર પડશે ધાતુની સપાટી પર સ્થિતિ માટે તરંગ કાર્ય આકૃતિ 2 માં ગુણાત્મક રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે. તે સ્ફટિકની અંદર એક વિસ્તૃત બ્લોચ તરંગ છે જેની સપાટીની બહાર ઝડપથી ક્ષીણ થતી પૂંછડી છે. પૂંછડીનું પરિણામ સ્ફટિકની અંદર જ નકારાત્મક ચાર્જ ઘનતાની ઉણપ અને સપાટીની બહાર જ નકારાત્મક ચાર્જ ઘનતામાં વધારો છે, જે દ્વિધ્રુવ ડબલ સ્તરની રચના તરફ દોરી જાય છે. દ્વિધ્રુવ સપાટી પરની સંભવિતતાને ખલેલ પહોંચાડે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ધાતુના કાર્ય કાર્યમાં ફેરફાર થાય છે. સેમિકન્ડક્ટર્સમાં સપાટીની સ્થિતિઓ લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અંદાજનો ઉપયોગ સાંકડા અંતર સેમિકન્ડક્ટર્સ માટે સપાટીની સ્થિતિઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો મેળવવા માટે થઈ શકે છે. અર્ધ-અનંત રેખીય સાંકળ મોડેલ પણ આ કિસ્સામાં ઉપયોગી છે. જો કે, હવે અણુ શૃંખલાની સાથે પોટેન્શિયલ કોસાઇન ફંક્શન તરીકે બદલાતું હોવાનું માનવામાં આવે છે જ્યારે સપાટી પર પોટેન્શિયલ ઊંચાઈ V0 ના સ્ટેપ ફંક્શન તરીકે મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે. શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલો બે ક્ષેત્રો z <0 અને z> 0 માટે અલગથી મેળવવાના રહેશે. લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અંદાજના અર્થમાં, z <0 માટે મેળવેલા ઉકેલોમાં બ્રિલોઇન ઝોનની સીમાથી દૂર તરંગ વેક્ટર માટે સમતલ તરંગ પાત્ર હશે, જ્યાં વિક્ષેપ સંબંધ પેરાબોલિક હશે, જેમ કે આકૃતિ 4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. બ્રિલૌઇન ઝોનની સીમાઓ પર, બ્રેગ પ્રતિબિંબ ઊભું થાય છે જેના પરિણામે તરંગ વેક્ટર અને તરંગ વેક્ટર સાથેના તરંગનો સમાવેશ થાય છે. અહીં પારસ્પરિક જાળીનો જાળી વેક્ટર છે (આકૃતિ 4 જુઓ). રસના ઉકેલો બ્રિલૌઇન ઝોનની સીમાની નજીક હોવાથી, આપણે સેટ કરીએ છીએ, જ્યાં κ એ એક નાનો જથ્થો છે. મનસ્વી અચળાંકો A, B શ્રોડિંગર સમીકરણમાં અવેજી દ્વારા જોવા મળે છે. આ બ્રિલોઇન ઝોનની ધાર પર બેન્ડ વિભાજન દર્શાવતા નીચેના આઈગન વેલ્યુ તરફ દોરી જાય છે, જ્યાં પ્રતિબંધિત અંતરની પહોળાઈ 2V દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોનિક તરંગો સ્ફટિકની અંદર ઊંડાણમાં કાર્ય કરે છે, જે વિવિધ બેન્ડને આભારી છે, જ્યાં C એ સામાન્યીકરણ અચળાંક છે. સપાટીની નજીક z = 0 પર, જથ્થાબંધ દ્રાવણને ઝડપથી ક્ષીણ થતા દ્રાવણમાં ફીટ કરવું પડે છે, જે અચળ સંભવિત V0 સાથે સુસંગત હોય છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે દરેક સંભવિત ઊર્જા આઈગન વેલ્યુ માટે મેળ ખાતી શરતો પૂર્ણ કરી શકાય છે જે માન્ય બેન્ડમાં છે. ધાતુઓના કિસ્સામાં, આ પ્રકારનું દ્રાવણ સ્ફટિકમાં વિસ્તરેલા સ્થાયી બ્લોચ તરંગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે સપાટી પરના શૂન્યાવકાશમાં ફેલાય છે. તરંગ કાર્યનો ગુણાત્મક આલેખ આકૃતિ 2 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. જો κ ના કાલ્પનિક મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, એટલે કે. κ =-i·q z ≤ 0 માટે અને એક વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે એક સ્ફટિકમાં ક્ષીણ થતા કંપનવિસ્તાર સાથે ઉકેલો મેળવે છે. ઉપરાંત શ્રેણીમાં સપાટીની સ્થિતિઓની તમામ ઊર્જાઓ પ્રતિબંધિત અંતરમાં આવે છે. સંપૂર્ણ ઉકેલ ફરીથી જથ્થાબંધ દ્રાવણને ઘાતાંકીય રીતે ક્ષીણ થતા વેક્યૂમ દ્રાવણ સાથે સરખાવીને મળી આવે છે. પરિણામ એ છે કે સપાટી પર સ્થાનિક સ્થિતિ સ્ફટિક અને શૂન્યાવકાશ બંનેમાં ક્ષીણ થઈ રહી છે. એક ગુણાત્મક આલેખ આકૃતિ 3 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. ત્રિ-પરિમાણીય સ્ફટિકની સપાટીની સ્થિતિઓ મોનોટોમિક રેખીય સાંકળની સપાટીની સ્થિતિઓ માટેના પરિણામોને ત્રિ-પરિમાણીય સ્ફટિકના કિસ્સામાં સહેલાઈથી સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. સપાટીની જાળીની દ્વિ-પરિમાણીય સામયિકતાને કારણે, બ્લોચની પ્રમેય સપાટીની સમાંતર અનુવાદો માટે હોવી જોઈએ. પરિણામે, સપાટીની સ્થિતિઓને સપાટીની સમાંતર k-મૂલ્યો ધરાવતા બ્લોચ તરંગોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે અને એક-પરિમાણીય સપાટીની સ્થિતિને રજૂ કરતા કાર્ય તરીકે લખી શકાય છે. સ્ફટિકની સપાટી પર મેળ ખાતી પરિસ્થિતિઓ, એટલે કે. ઝેડ = 0 પર, દરેક માટે અલગથી અને દરેક માટે એકને સંતુષ્ટ કરવું પડશે, પરંતુ સામાન્ય રીતે સપાટીની સ્થિતિ માટે અલગ ઊર્જા સ્તર પ્રાપ્ત થાય છે. સાચી સપાટીની સ્થિતિઓ અને સપાટીના પડઘા સપાટીની સ્થિતિ ઊર્જા અને સપાટીની સમાંતર તેના તરંગ વાહક દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જ્યારે જથ્થાબંધ સ્થિતિ બંને અને તરંગ સંખ્યાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. સપાટીના દ્વિ-પરિમાણીય બ્રિલોઇન ઝોનમાં, દરેક મૂલ્ય માટે એક લાકડી બલ્કના ત્રિ-પરિમાણીય બ્રિલોઇન ઝોનમાં વિસ્તરે છે. આ સળિયાઓ દ્વારા કાપવામાં આવતા બલ્ક એનર્જી બેન્ડ્સ સ્ફટિકમાં ઊંડાણમાં પ્રવેશતા રાજ્યોને મંજૂરી આપે છે. તેથી એક સામાન્ય રીતે સાચી સપાટીની સ્થિતિ અને સપાટીના પડઘો વચ્ચે તફાવત કરે છે. સાચી સપાટીની સ્થિતિઓ ઊર્જા પટ્ટાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જે જથ્થાબંધ ઊર્જા પટ્ટાઓ સાથે ક્ષીણ થતી નથી. આ અવસ્થાઓ માત્ર પ્રતિબંધિત ઉર્જા અંતરમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તેથી સપાટી પર સ્થાનિક છે, જે આકૃતિ 3 માં આપેલા ચિત્ર જેવું જ છે. ઊર્જા પર જ્યાં સપાટી અને જથ્થાબંધ સ્થિતિ અધોગતિ પામે છે, સપાટી અને જથ્થાબંધ સ્થિતિ ભળી શકે છે, જે સપાટીના પડઘો બનાવે છે. આવી સ્થિતિ બ્લોચ તરંગોની જેમ જથ્થામાં ઊંડાણમાં પ્રસરી શકે છે, જ્યારે સપાટીની નજીક ઉન્નત કંપનવિસ્તાર જાળવી રાખે છે. તામ સ્થિતિઓ સપાટી સ્થિતિઓ કે જેની ગણતરી ચુસ્ત-બંધન મોડેલના માળખામાં કરવામાં આવે છે તેને ઘણીવાર તામ સ્થિતિઓ કહેવામાં આવે છે. ચુસ્ત બંધન અભિગમમાં, ઇલેક્ટ્રોનિક તરંગ કાર્યોને સામાન્ય રીતે અણુ ભ્રમણકક્ષાઓ (એલ. સી. એ. ઓ.) ના રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, આકૃતિ 5 જુઓ. આ ચિત્રમાં, તે સમજવું સરળ છે કે સપાટીનું અસ્તિત્વ બલ્ક સ્ટેટ્સની ઊર્જાઓથી અલગ ઊર્જાઓ સાથે સપાટીની સ્થિતિઓને જન્મ આપશેઃ કારણ કે સૌથી ઉપરના સપાટીના સ્તરમાં રહેતા અણુઓ એક બાજુ તેમના બંધન ભાગીદારો ખૂટે છે, તેમની ભ્રમણકક્ષાઓ પડોશી અણુઓની ભ્રમણકક્ષાઓ સાથે ઓછી ઓવરલેપ ધરાવે છે. સ્ફટિક બનાવતા અણુઓના ઊર્જા સ્તરનું વિભાજન અને સ્થળાંતર તેથી સપાટી પર જથ્થાની તુલનામાં નાનું હોય છે. જો કોઈ ચોક્કસ ભ્રમણકક્ષા રાસાયણિક બંધન માટે જવાબદાર હોય, દા. ત. સી અથવા જીઇમાં એસપી 3 સંકર, તે સપાટીની હાજરીથી ખૂબ જ પ્રભાવિત થાય છે, બોન્ડ્સ તૂટી જાય છે, અને ભ્રમણકક્ષાના બાકીના લોબ સપાટીથી બહાર નીકળી જાય છે. તેમને લટકતા બંધ કહેવામાં આવે છે. આવા રાજ્યોના ઊર્જાનું સ્તર જથ્થાબંધ મૂલ્યોથી નોંધપાત્ર રીતે બદલાશે તેવી અપેક્ષા છે. શોકલી સ્થિતિઓનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા લગભગ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મોડેલથી વિપરીત, તમ સ્થિતિઓ સંક્રમણ ધાતુઓ અને વાઈડ-બેન્ડગેપ સેમિકન્ડક્ટર્સનું પણ વર્ણન કરવા માટે યોગ્ય છે. બાહ્ય સપાટીની સ્થિતિઓ સ્વચ્છ અને સુવ્યવસ્થિત સપાટીઓમાંથી ઉદ્ભવતા સપાટીની સ્થિતિઓને સામાન્ય રીતે આંતરિક કહેવામાં આવે છે. આ સ્થિતિઓમાં પુનઃનિર્મિત સપાટીઓમાંથી ઉદ્ભવતા અવસ્થાઓનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં દ્વિ-પરિમાણીય અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા સપાટીની k જગ્યામાં બેન્ડ માળખાને જન્મ આપે છે. બાહ્ય સપાટીની સ્થિતિઓને સામાન્ય રીતે એવી સ્થિતિઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે સ્વચ્છ અને સુવ્યવસ્થિત સપાટીમાંથી ઉત્પન્ન થતી નથી. બાહ્ય શ્રેણીમાં બંધબેસતા સપાટીઓ છેઃ ખામીઓ ધરાવતી સપાટીઓ, જ્યાં સપાટીની અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા તૂટી જાય છે. સેમિકન્ડક્ટર-ઓક્સાઇડ અથવા સેમિકન્ડક્ટર-મેટલ ઇન્ટરફેસ જેવા ઘન અને પ્રવાહી તબક્કાઓ વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ જેવા બે પદાર્થો વચ્ચેના ઇન્ટરફેસોને શોષી લે છે. સામાન્ય રીતે, બાહ્ય સપાટીની સ્થિતિઓને તેમના રાસાયણિક, ભૌતિક અથવા માળખાકીય ગુણધર્મોની દ્રષ્ટિએ સરળતાથી વર્ગીકૃત કરી શકાતી નથી. પ્રાયોગિક નિરીક્ષણ એંગલ રિઝોલ્વ્ડ ફોટોઇમિશન સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી સપાટીની સ્થિતિઓના ફેલાવાને માપવા માટેની એક પ્રાયોગિક તકનીક એંગલ રિઝોલ્વ્ડ ફોટોઇમિશન સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી (એઆરપીઇએસ) અથવા એંગલ રિઝોલ્વ્ડ અલ્ટ્રાવાયોલેટ ફોટોઇલેક્ટ્રોન સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી (એઆરયુપીએસ) છે. સ્કેનીંગ ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપી સપાટીની સ્થિતિ વિક્ષેપને સ્કેનીંગ ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે; આ પ્રયોગોમાં, સપાટીની સ્થિતિ ઘનતામાં સામયિક ફેરફાર, જે સપાટીની અશુદ્ધિઓ અથવા પગથિયાંની ધારના વિખેરાઈ જવાથી ઉત્પન્ન થાય છે, તે આપેલ પૂર્વગ્રહ વોલ્ટેજ પર STM ટોચ દ્વારા માપવામાં આવે છે. સપાટીની સ્થિતિ ઇલેક્ટ્રોનનું વેવવેક્ટર વિરુદ્ધ પૂર્વગ્રહ (ઊર્જા) અસરકારક દળ અને સપાટીની સ્થિતિ શરૂઆત ઊર્જા સાથે મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન મોડેલમાં ફિટ થઈ શકે છે. તાજેતરનો નવો સિદ્ધાંત એક સ્વાભાવિક રીતે સરળ પરંતુ મૂળભૂત પ્રશ્ન એ છે કે લંબાઈના એક-પરિમાણીય સ્ફટિકમાં બેન્ડ ગેપમાં કેટલી સપાટીની સ્થિતિઓ છે (સંભવિત સમયગાળો છે, અને તે હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે)? પ્રથમ 1933 માં ફોલ્લર દ્વારા પ્રસ્તાવિત એક સારી રીતે સ્વીકૃત ખ્યાલ, પછી સેઇટ્ઝના ક્લાસિક પુસ્તકમાં લખવામાં આવ્યો હતો કે "મર્યાદિત એક-પરિમાણીય સ્ફટિકમાં સપાટીની સ્થિતિ જોડીમાં થાય છે, એક સ્થિતિ સ્ફટિકના દરેક છેડા સાથે સંકળાયેલી હોય છે". દેખીતી રીતે આવા ખ્યાલ પર ત્યારથી લગભગ એક સદી સુધી ક્યારેય શંકા કરવામાં આવી ન હતી, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, માં. જો કે, તાજેતરની નવી તપાસ સંપૂર્ણપણે અલગ જવાબ આપે છે. તપાસ સામયિક વિભેદક સમીકરણોના ગાણિતિક સિદ્ધાંતના આધારે મર્યાદિત કદના આદર્શ સ્ફટિકોમાં ઇલેક્ટ્રોનિક સ્થિતિઓને સમજવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ સિદ્ધાંત સપાટીની સ્થિતિઓ સહિત તે ઇલેક્ટ્રોનિક સ્થિતિઓની કેટલીક મૂળભૂત નવી સમજણ પૂરી પાડે છે. આ સિદ્ધાંતમાં જાણવા મળ્યું છે કે એક પરિમાણીય મર્યાદિત સ્ફટિકના બે છેડા અને હંમેશા એક જ અને માત્ર એક જ સ્થિતિ હોય છે જેની ઊર્જા અને ગુણધર્મો દરેક બેન્ડ ગેપ પર આધાર રાખે છે પરંતુ તેના પર નહીં. આ સ્થિતિ કાં તો બેન્ડ-એજ સ્થિતિ અથવા બેન્ડ ગેપમાં સપાટીની સ્થિતિ છે (જુઓ, એક-પરિમાણીય જાળીમાં કણ, બૉક્સમાં કણ). આંકડાકીય ગણતરીઓએ આવા તારણોની પુષ્ટિ કરી છે. વધુમાં, આ વર્તણૂકો વિવિધ એક-પરિમાણીય પ્રણાલીઓમાં જોવા મળે છે, જેમ કે ઇન. તેથીઃ સપાટીની સ્થિતિનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે તેનું અસ્તિત્વ અને ગુણધર્મો સામયિક કાપણીના સ્થાન પર આધારિત છે. જાળીની સામયિક ક્ષમતાનું કાપવું બેન્ડ ગેપમાં સપાટીની સ્થિતિ તરફ દોરી શકે છે અથવા ન પણ કરી શકે. બે છેડા સાથે મર્યાદિત લંબાઈના આદર્શ એક-પરિમાણીય સ્ફટિકમાં, દરેક બેન્ડ ગેપમાં એક છેડે વધુમાં વધુ માત્ર એક જ સપાટીની સ્થિતિ હોઈ શકે છે. બહુ-પરિમાણીય કિસ્સાઓમાં વિસ્તૃત વધુ તપાસમાં જાણવા મળ્યું છે કે એક આદર્શ સરળ ત્રિ-પરિમાણીય મર્યાદિત સ્ફટિકમાં શિરોબિંદુ જેવી, ધાર જેવી, સપાટી જેવી અને જથ્થાબંધ જેવી સ્થિતિઓ હોઈ શકે છે. સપાટીની સ્થિતિ હંમેશા બેન્ડ ગેપમાં હોય છે જે માત્ર એક-પરિમાણીય કેસો માટે માન્ય છે. સંદર્ભો સામગ્રી વિજ્ઞાન ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ માળખાં અર્ધચાલક માળખાં