Dirichlet's test
ગણિતમાં, ડિરીક્લેટની કસોટી એ શ્રેણીના અભિસરણ માટે પરીક્ષણની એક પદ્ધતિ છે. તેનું નામ તેના લેખક પીટર ગુસ્તાવ લેજ્યુન ડિરિચલેટના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, અને 1862માં જર્નલ દ મેથેમેટિક્સ પ્યોરસ એટ એપ્લીક્વિઝમાં મરણોપરાંત પ્રકાશિત થયું હતું. નિવેદન પરીક્ષણ જણાવે છે કે જો વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમ અને સંતોષકારક જટિલ સંખ્યાઓનો ક્રમ દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક N માટે એકવિધ હોય, જ્યાં M અમુક અચળાંક હોય, તો શ્રેણી એકરૂપ થાય છે. પ્રૂફ લેટ એન્ડ. ભાગો દ્વારા સરવાળામાંથી, આપણી પાસે તે છે. કારણ કે તે એમ દ્વારા બંધાયેલ છે અને, આમાંથી પ્રથમ શબ્દો શૂન્ય સુધી પહોંચે છે, જેમ કે. આપણી પાસે દરેક k માટે છે. મોનોટોન હોવાથી, તે કાં તો ઘટી રહ્યું છે અથવા વધી રહ્યું છેઃ <Li> જો ઘટી રહ્યું છે, જે એક ટેલીસ્કોપિંગ સરવાળો છે જે બરાબર છે અને તેથી જેમ નજીક આવે છે. આમ, એકરૂપ થાય છે. <Li> જો વધી રહ્યું છે, જે ફરીથી એક ટેલીસ્કોપિંગ સરવાળો છે જે બરાબર છે અને તેથી જેમ નજીક આવે છે. આમ, ફરીથી, એકરૂપ થાય છે. તેથી, એબ્સોલ્યુટ કન્વર્જન્સ ટેસ્ટ દ્વારા શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે. તેથી એકરૂપ થાય છે. ઉપયોગો ડિરીક્લેટ પરીક્ષણનો એક ચોક્કસ કેસ એ કેસ માટે વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી વૈકલ્પિક શ્રેણી પરીક્ષણ છે અન્ય પરિણામ એ છે કે જ્યારે પણ ઘટતો ક્રમ હોય ત્યારે તે એકરૂપ થાય છે જે શૂન્ય તરફ વળે છે. તે બાઉન્ડેડ છે તે જોવા માટે, આપણે સરવાળા સૂત્ર ઇમ્પ્રોપર ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ્સના કન્વર્જન્સ માટેનું એનાલોગસ સ્ટેટમેન્ટ ભાગો દ્વારા ઇન્ટિગ્રેશનનો ઉપયોગ કરીને સાબિત થાય છે. જો ફંક્શન f નું ઇન્ટિગ્રલ બધા અંતરાલો પર સમાન રીતે બંધાયેલ હોય, અને g એ બિન-નકારાત્મક એકવિધ રીતે ઘટતું ફંક્શન હોય, તો પછી fg નું ઇન્ટિગ્રલ એક કન્વર્જન્ટ અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ છે. નોંધો સંદર્ભો હાર્ડી, જી. એચ., એ કોર્સ ઓફ પ્યોર મેથેમેટિક્સ, નવમી આવૃત્તિ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1946. (pp. 379-380). વોક્સમેન, વિલિયમ એલ., એડવાન્સ્ડ કેલ્ક્યુલસઃ એન ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ મોડર્ન એનાલિસિસ, માર્સેલ ડેકર, ઇન્ક., ન્યૂયોર્ક, 1981. (§ 8.B.13-15). બાહ્ય કડીઓ PlanetMath.org કન્વર્જન્સ પરીક્ષણો