Moduli scheme
ગણિતમાં, મોડુલી યોજના એ મોડુલી જગ્યા છે જે એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી યોજનાઓની શ્રેણીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બીજગણિત ભૂમિતિના કેટલાક મહત્વપૂર્ણ મોડ્યુલી મુદ્દાઓને માત્ર યોજના સિદ્ધાંત દ્વારા સંતોષકારક રીતે ઉકેલી શકાય છે, જ્યારે અન્યને 'ભૌમિતિક પદાર્થ' ખ્યાલ (બીજગણિત જગ્યાઓ, માઇકલ આર્ટિનના બીજગણિત સ્ટેક્સ) ના કેટલાક વિસ્તરણની જરૂર પડે છે. ગ્રોથેન્ડીક અને ડેવિડ મમફોર્ડના ઇતિહાસના કાર્ય (જુઓ ભૌમિતિક અપરિવર્તન સિદ્ધાંત) એ 1960ના દાયકાની શરૂઆતમાં આ ક્ષેત્રને ખોલ્યું હતું. મોડ્યુલી સમસ્યાઓ માટે વધુ બીજગણિત અને અમૂર્ત અભિગમ એ છે કે તેમને પ્રતિનિધિત્વક્ષમ ફંકટર પ્રશ્ન તરીકે સેટ કરવો, પછી એક માપદંડ લાગુ કરો જે યોજનાઓ માટે પ્રતિનિધિત્વક્ષમ ફંકટરને અલગ કરે છે. જ્યારે આ પ્રોગ્રામેટિક અભિગમ કામ કરે છે, ત્યારે પરિણામ એક સરસ મોડુલી યોજના છે. વધુ ભૌમિતિક વિચારોના પ્રભાવ હેઠળ, યોગ્ય ભૌમિતિક બિંદુઓ આપતી યોજના શોધવી પૂરતી છે. આ શાસ્ત્રીય વિચાર જેવું જ છે કે મોડુલી સમસ્યા એ છે કે કુદરતી રીતે સમૂહ સાથે આવતા બીજગણિત માળખાને વ્યક્ત કરવી (લંબગોળ વળાંકના સમરૂપતા વર્ગો વિશે કહો). પરિણામ પછી એક બરછટ મોડુલી યોજના છે. તેના શુદ્ધિકરણનો અભાવ, આશરે કહીએ તો, તે વસ્તુઓના પરિવારો માટે બાંયધરી આપતું નથી કે જે ફાઇન મોડુલી યોજનામાં સહજ છે. જેમ કે મમફોર્ડે તેમના પુસ્તક જીઓમેટ્રિક ઇનવેરિયન્ટ થિયરીમાં ધ્યાન દોર્યું છે, કોઈ વ્યક્તિ પાસે સારું સંસ્કરણ હોવું જોઈએ, પરંતુ એક તકનીકી સમસ્યા (સ્તરનું માળખું અને અન્ય 'નિશાનો') છે જેને આવા જવાબની તક સાથે પ્રશ્ન મેળવવા માટે સંબોધિત કરવો આવશ્યક છે. તેરુહિસા માત્સુસાકાએ એક પરિણામ સાબિત કર્યું, જે હવે માત્સુસાકાના મોટા પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે, જે બરછટ મોડુલી યોજનાના અસ્તિત્વ માટે મોડુલી સમસ્યા પર જરૂરી શરત સ્થાપિત કરે છે. ઉદાહરણો મમફોર્ડે સાબિત કર્યું કે જો g> 1 હોય, તો જીનસ g ના સરળ વળાંકની બરછટ મોડુલી યોજના અસ્તિત્વમાં છે, જે અર્ધ-પ્રક્ષેપાત્મક છે. જાનોસ કોલ્લરના તાજેતરના સર્વેક્ષણ અનુસાર, તેમાં "સમૃદ્ધ અને રસપ્રદ આંતરિક ભૂમિતિ છે જે ગણિત અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની ઘણી શાખાઓમાં મુખ્ય પ્રશ્નો સાથે સંબંધિત છે". બ્રોંગાર્ડે પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો છે કે શું બેલીના પ્રમેયને બીજગણિત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર ઉચ્ચ પરિમાણોની જાતો માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, તે રચના સાથે કે તેઓ સામાન્ય રીતે વળાંકની મોડુલી જગ્યાના મર્યાદિત એટેલ આવરણ માટે દ્વિસાંતીય હોય છે. સ્થિર વેક્ટર બંડલની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ સરળ જટિલ વિવિધતા પર વેક્ટર બંડલ માટે બરછટ મોડુલી યોજનાઓ અસ્તિત્વમાં હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે, અને અર્ધ-પ્રોજેક્ટિવ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છેઃ નિવેદન અર્ધસ્થાયીતાના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે. અમુક કિસ્સાઓમાં, કોનિક્સની શાસ્ત્રીય ભૂમિતિમાં પદાર્થો સાથે, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ખાસ ઇન્સ્ટન્ટોન બંડલ્સની બરછટ મોડુલી જગ્યાને ઓળખવી શક્ય છે. સંદર્ભો નોંધો મોડુલી સિદ્ધાંત પ્રતિનિધિત્વક્ષમ પરિબળો