Four-tensor
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ખાસ કરીને વિશેષ સાપેક્ષતા અને સામાન્ય સાપેક્ષતા માટે, ચાર-ટેન્સર એ ચાર-પરિમાણીય અવકાશકાળમાં ટેન્સરનું સંક્ષિપ્ત નામ છે. સામાન્યતા સામાન્ય ચાર-ટેન્સર સામાન્ય રીતે ટેન્સર અનુક્રમણિકાના સંકેતલિપીમાં લખવામાં આવે છે જેમ કે સૂચકાંકો 0 થી 3 સુધી પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે, જેમાં સમય સમાન ઘટકો માટે 0 અને અવકાશ સમાન ઘટકો માટે 1,2,3 હોય છે. ત્યાં n વિરોધાભાસી સૂચકાંકો અને m સહપરિવર્તન સૂચકાંકો છે. વિશેષ અને સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, રસના ઘણા ચાર-ટેન્સર પ્રથમ ક્રમ (ચાર-વેક્ટર) અથવા બીજા ક્રમના હોય છે, પરંતુ ઉચ્ચ ક્રમના ટેન્સર થાય છે. ઉદાહરણો આગળ સૂચિબદ્ધ છે. વિશેષ સાપેક્ષતામાં, વેક્ટર આધારને ઓર્થોનોર્મલ હોવા સુધી મર્યાદિત કરી શકાય છે, જે કિસ્સામાં તમામ ચાર-ટેન્સર લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન હેઠળ પરિવર્તિત થાય છે. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, વધુ સામાન્ય સંકલન પરિવર્તન જરૂરી છે કારણ કે આવા પ્રતિબંધ સામાન્ય રીતે શક્ય નથી. ઉદાહરણો ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ટેન્સર સ્પેશ્યલ રિલેટિવિટીમાં, ફોર-ટેન્સરના સૌથી સરળ બિન-તુચ્છ ઉદાહરણોમાંનું એક છે ફોર-ડિસ્પ્લેસમેન્ટ એ ફોર-ટેન્સર જેમાં કોન્ટ્રાવેરીઅન્ટ ક્રમ 1 અને કોવેરિયન્ટ ક્રમ 0 છે. આ પ્રકારના ફોર-ટેન્સર સામાન્ય રીતે ફોર-વેક્ટર તરીકે ઓળખાય છે. અહીં ઘટક x0 = ct સમયે પદાર્થનું વિસ્થાપન આપે છે (સંકલન સમય t ને પ્રકાશ c ની ઝડપ સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે જેથી x0 લંબાઈના પરિમાણો ધરાવે છે). ચાર વિસ્થાપનના બાકીના ઘટકો અવકાશી વિસ્થાપન વેક્ટર x = (x1, x2, x3) બનાવે છે. મોટા અથવા દળહીન કણો માટે ચાર-મોમેન્ટમ તેની ઊર્જા (c દ્વારા વિભાજિત) p0 = E/c અને 3-મોમેન્ટમ p = (p1, p2, p3) નું સંયોજન છે. અપરિવર્તનશીલ દળવાળા કણ માટે, જેને વિશ્રામી દળ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, ચાર વેગને કણના યોગ્ય સમય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સાપેક્ષ દ્રવ્યમાન લોરેન્ટ્ઝ પરિબળ બીજા ક્રમના ટેન્સર સાથે છે (− + + +) પરંપરા માટે ઓર્થોનોર્મલ આધાર સાથે મિન્કોવ્સ્કી મેટ્રિક ટેન્સરનો ઉપયોગ રેખા તત્વની ગણતરી કરવા અને સૂચકાંકોને વધારવા અને ઘટાડવા માટે થાય છે. ઉપરોક્ત કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને લાગુ પડે છે. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, મેટ્રિક ટેન્સર વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે વધુ સામાન્ય અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સાપેક્ષ દળ m અને સાપેક્ષ વેગ p (પ્રયોગશાળાના માળખામાં નિરીક્ષક દ્વારા માપવામાં આવે છે) સાથેના કણની કોણીય ગતિ ઘટકો સાથે સાપેક્ષ કોણીય વેગ ટેન્સરમાં અન્ય વેક્ટર જથ્થા (પ્રમાણભૂત નામ વિના) સાથે જોડાય છે સાતત્ય અથવા ક્ષેત્રનો તણાવ-ઊર્જા ટેન્સર સામાન્ય રીતે બીજા ક્રમના ટેન્સરનું સ્વરૂપ લે છે, અને સામાન્ય રીતે ટી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સમય સમાન ઘટક ઊર્જા ઘનતા (એકમ વોલ્યુમ દીઠ ઊર્જા), વેગ ઘનતા (એકમ વોલ્યુમ દીઠ વેગ) માટે મિશ્ર અવકાશ સમય ઘટકોને અનુરૂપ છે, અને 3 ડી તણાવ ટેન્સર માટે શુદ્ધ અવકાશી ભાગો. વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર ટેન્સર વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને E અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર B ને જોડે છે વિદ્યુતચુંબકીય વિસ્થાપન ટેન્સર વિદ્યુત વિસ્થાપન ક્ષેત્ર D અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા H ને નીચે પ્રમાણે જોડે છે ચુંબકીયકરણ-ધ્રુવીકરણ ટેન્સર P અને M ક્ષેત્રોને જોડે છે ત્રણ ક્ષેત્ર ટેન્સર સંબંધિત છે જેના દ્વારા D અને H ક્ષેત્રોની વ્યાખ્યાઓની સમકક્ષ છે. કણોની વિદ્યુત દ્વિધ્રુવ ક્ષણ d અને ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણ μ એક જ ટેન્સરમાં એકીકૃત થાય છે. ઉચ્ચ ક્રમના ટેન્સર સામાન્ય સાપેક્ષતામાં, વક્રતા ટેન્સર હોય છે જે ઉચ્ચ ક્રમના હોય છે, જેમ કે રીમાન વક્રતા ટેન્સર અને વેઇલ વક્રતા ટેન્સર જે બંને ચોથા ક્રમના ટેન્સર હોય છે. સ્પિન ટેન્સર ટેટ્રાડ (સામાન્ય સાપેક્ષતા) સંદર્ભો ટેન્સર સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત વિશેષ સાપેક્ષતા સામાન્ય સાપેક્ષતા પણ જુઓ.