Inductive dimension
ટોપોલોજીના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, ટોપોલોજિકલ સ્પેસ X નું પ્રેરક પરિમાણ બે મૂલ્યોમાંથી એક છે, નાના પ્રેરક પરિમાણ ઇન્ડ (X) અથવા મોટા પ્રેરક પરિમાણ ઇન્ડ (X). આ અવલોકન પર આધારિત છે કે, n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ Rn માં, (n−1)-પરિમાણીય ગોળાઓ (એટલે કે, n-પરિમાણીય દડાઓની સીમાઓ) નું પરિમાણ n−1 હોય છે. તેથી યોગ્ય ખુલ્લા સમૂહોની સીમાઓના પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ અવકાશના પરિમાણને પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય હોવું જોઈએ. નાના અને મોટા પ્રેરક પરિમાણો એ ટોપોલોજિકલ જગ્યા માટે "પરિમાણ" ની કલ્પનાને પકડવાની ત્રણ સૌથી સામાન્ય રીતોમાંથી બે છે, જે માત્ર ટોપોલોજી પર આધાર રાખે છે (અને મેટ્રિક જગ્યાના ગુણધર્મો પર નહીં). બીજું લેબસ્ગ્યુ આવરણ પરિમાણ છે. "ટોપોલોજિકલ પરિમાણ" શબ્દ સામાન્ય રીતે લેબસ્ગ્યુ આવરણ પરિમાણનો સંદર્ભ આપવા માટે સમજવામાં આવે છે. "પર્યાપ્ત સરસ" જગ્યાઓ માટે, પરિમાણના ત્રણ માપ સમાન છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે બિંદુનું પરિમાણ 0 હોય, અને બિંદુની ખાલી સીમા હોય, તેથી આપણે તેની સાથે શરૂઆત કરીએ. (જો X એ યુક્લિડિયન n-પરિમાણીય જગ્યા હોય, તો V ને x પર કેન્દ્રિત n-પરિમાણીય દડો તરીકે પસંદ કરી શકાય છે.) મોટા ઇન્ડક્ટિવ ડાયમેન્શન માટે, આપણે V ની પસંદગીને હજી વધુ પ્રતિબંધિત કરીએ છીએ; Ind (X) એ સૌથી નાનો n છે કે, X ના દરેક ખુલ્લા સબસેટ U ના દરેક બંધ સબસેટ F માટે, વચ્ચે એક ખુલ્લો V હોય છે (એટલે કે, F એ V નો સબસેટ છે અને V નો ક્લોઝર એ U નો સબસેટ છે), જેમ કે V ની બાઉન્ડ્રીમાં n − 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર મોટું ઇન્ડક્ટિવ ડાયમેન્શન હોય છે. પરિમાણો વચ્ચેનો સંબંધ ચાલો લેબસ્ગ્યુ આવરણ પરિમાણ બનીએ. કોઈપણ ટોપોલોજિકલ જગ્યા X માટે, આપણી પાસે જો અને માત્ર ત્યારે જ હોય જો યુરીસોહ્નનો પ્રમેય જણાવે કે જ્યારે X એ ગણતરીપાત્ર આધાર સાથે સામાન્ય જગ્યા હોય, તો આવી જગ્યાઓ બરાબર અલગ કરી શકાય તેવી અને માપી શકાય તેવી X હોય (યુરીસોહ્નની માપન પ્રમેય જુઓ). નોબેલિંગ-પોન્ટ્રીગિન પ્રમેય પછી જણાવે છે કે મર્યાદિત પરિમાણ ધરાવતી આવી જગ્યાઓ તેમની સામાન્ય ટોપોલોજી સાથે યુક્લિડિયન જગ્યાઓની પેટા જગ્યાઓ તરીકે હોમોમોર્ફિઝમ સુધી વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. મેંગર-નોબલિંગ થીયરમ (1932) જણાવે છે કે જો કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક અલગ કરી શકાય તેવું અને પરિમાણનું હોય, તો તે પરિમાણની યુક્લિડિયન જગ્યાના સબસ્પેસ તરીકે સમાવિષ્ટ થાય છે. (જ્યોર્જ નોબલિંગ કાર્લ મેંગરના વિદ્યાર્થી હતા. તેમણે નોબેલિંગ સ્પેસની રજૂઆત કરી, જે ઓછામાં ઓછા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે અતાર્કિક સંખ્યાઓ ધરાવતા બિંદુઓનો સમાવેશ કરતી સબસ્પેસ છે, જે પરિમાણની જગ્યાઓને એમ્બેડ કરવા માટે સાર્વત્રિક ગુણધર્મો ધરાવે છે.) માત્ર X માપનક્ષમ ધારીએ તો આપણી પાસે (મિરોસ્લાવ કેટેટોવ) ઇન્ડ X ≤ Ind X = ડિમ X છે; અથવા X કોમ્પેક્ટ અને હૌસડોર્ફ (P. S. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ) ડિમ X ≤ ind X ≤ Ind X ધારીએ તો. ક્યાં તો અહીં અસમાનતા કડક હોઈ શકે છે; વ્લાદિમીર વી. ફિલિપોવનું ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે બે પ્રેરક પરિમાણો અલગ હોઈ શકે છે. એક અલગ કરી શકાય તેવી મેટ્રિક જગ્યા X એ અસમાનતાને સંતોષે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો જગ્યાના દરેક બંધ પેટા-જગ્યા અને દરેક સતત મેપિંગ માટે સતત વિસ્તરણ અસ્તિત્વમાં હોય. વધુ વાંચન સંદર્ભો ક્રિલી, ટોની, 2005, "પોલ યુરીસોહ્ન અને કાર્લ મેંગરઃ પરિમાણ સિદ્ધાંત પરના કાગળો" ઇન ગ્રેટન-ગિનીઝ, I., આવૃત્તિ., લેન્ડમાર્ક રાઇટિંગ્સ ઇન વેસ્ટર્ન મેથેમેટિક્સ. એલ્સેવિયરઃ 844-55. આર. એન્જેલ્કિંગ, પરિમાણોનો સિદ્ધાંત. મર્યાદિત અને અનંત, હેલ્ડરમેન વેર્લાગ (1995). વી. વી. ફેડોરચુક, ધ ફંડામેન્ટલ્સ ઓફ ડાયમેન્શન થિયરી, એન્સાયક્લોપીડિયા ઓફ મેથેમેટિકલ સાયન્સિસ, વોલ્યુમ 17, જનરલ ટોપોલોજી I, (1993) એ. વી. અર્ખાન્જેલસ્કી અને એલ. એસ. પોન્ટ્રીગિન (એડ. ), સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન. વી. વી. ફિલિપોવ, બાયકોમ્પેક્ટાના ઉત્પાદનના પ્રેરક પરિમાણ પર, સોવિયેત. ગણિત. ડોકલ., 13 (1972), એન °1,250-254. એ. આર. પિયર્સ, ડાયમેન્શન થિયરી ઓફ જનરલ સ્પેસ, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ (1975). પરિમાણ સિદ્ધાંત