Peetre theorem
ગણિતમાં, (રેખીય) પીતર પ્રમેય, જેને જાક પીતરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે કાર્યાત્મક વિશ્લેષણનું પરિણામ છે જે સામાન્યીકૃત કાર્ય જગ્યાઓ પર તેમની અસરની દ્રષ્ટિએ અને સ્પષ્ટ શબ્દોમાં તફાવતનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના વિભેદક સંચાલકોની લાક્ષણિકતા આપે છે. પીટ્રે પ્રમેય એ મર્યાદિત ક્રમ પ્રમેયનું એક ઉદાહરણ છે જેમાં કાર્ય અથવા ફંકટર, જેને ખૂબ જ સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, હકીકતમાં તેના પર લાદવામાં આવેલી કેટલીક બાહ્ય સ્થિતિ અથવા સમપ્રમાણતાને કારણે બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આ લેખ પીટ્રે પ્રમેયના બે સ્વરૂપોની ચર્ચા કરે છે. પ્રથમ મૂળ સંસ્કરણ છે, જે તેના પોતાના અધિકારમાં ખૂબ ઉપયોગી હોવા છતાં, વાસ્તવમાં મોટાભાગની એપ્લિકેશનો માટે ખૂબ સામાન્ય છે. મૂળ પીટર પ્રમેય ધારો કે M એક સરળ મેનીફોલ્ડ છે અને ધારો કે E અને F એ M પર બે વેક્ટર બંડલ્સ છે. ધારો કે E અને F ના સરળ વિભાગોની જગ્યાઓ છે. ઓપરેટર એ આવરણોનું મોર્ફિઝમ છે જે વિભાગો પર રેખીય છે જેમ કે D નો ટેકો વધતો નથીઃ ધારો કે Ds ધારો કે E ના દરેક સરળ વિભાગ s માટે. મૂળ પીટર પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે, M માં દરેક બિંદુ p માટે, p નો પડોશી U અને પૂર્ણાંક k (U પર આધાર રાખીને) છે, જેમ કે D એ U પર ક્રમ k નો વિભેદક ઓપરેટર છે. આનો અર્થ એ છે કે E ના વિભાગોના k-જેટમાંથી F ના સરળ વિભાગોની જગ્યામાં રેખીય મેપિંગ iD દ્વારા D પરિબળોઃ જ્યાં k-જેટ ઓપરેટર છે અને વેક્ટર બંડલ્સનું રેખીય મેપિંગ છે. પુરાવો સ્થાનિક ડિફિયોમોર્ફિઝમ હેઠળ સમસ્યા અપરિવર્તનશીલ છે, તેથી જ્યારે M એ Rn માં ખુલ્લો સમૂહ છે અને E અને F તુચ્છ બંડલ છે ત્યારે તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે. આ તબક્કે, તે મુખ્યત્વે બે લેમ્મા પર આધાર રાખે છેઃ લેમ્મા 1. જો પ્રમેયની પૂર્વધારણાઓ સંતોષાય છે, તો દરેક x ωM અને C> 0 માટે, x નો પડોશ V અને હકારાત્મક પૂર્ણાંક k અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે કોઈપણ y ωV\ {x} માટે અને E ના કોઈપણ વિભાગ s માટે કે જેનું k-જેટ y (jks (y) = 0) પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, આપણી પાસે |Ds (y) | <C છે. લેમ્મા 2. પ્રથમ લેમ્મા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે પૂરતો છે. આપણે લેમ્મા 1 ના પુરાવાથી શરૂઆત કરીએ છીએ. ધારો કે લેમ્મા ખોટો છે. પછી x માટે વલણ ધરાવતો ક્રમ xk છે, અને xk ની આસપાસ ખૂબ જ અલગ દડાઓ Bk નો ક્રમ છે (જેનો અર્થ છે કે આવા કોઈપણ બે દડા વચ્ચેનું ભૌગોલિક અંતર બિન-શૂન્ય છે), અને દરેક Bk પર E ના વિભાગો Sk જેમ કે jksk (xk) = 0 પરંતુ |Dsk (xk) | ±C> 0. ચાલો ρ (x) મૂળમાં એકમ દડા માટે પ્રમાણભૂત બમ્પ કાર્યને સૂચવે છેઃ એક સરળ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું કાર્ય જે B1/2 (0) પર 1 ની બરાબર હોય છે, જે એકમ દડાની સીમા પર અનંત ક્રમમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે. દરેક અન્ય વિભાગ s2k નો વિચાર કરો. x2k પર, આ j2ks2k (x2k) = 0 ને સંતોષે છે. ધારો કે 2k આપવામાં આવ્યું છે. પછી, આ વિધેયો સરળ હોવાથી અને દરેક j2k (s2k) (x2k) = 0 ને સંતોષે છે, તેથી નાના દડા B′ δ (x2k) નો ઉલ્લેખ કરવો શક્ય છે જેથી ઉચ્ચ ક્રમના વ્યુત્પન્ન નીચેના અંદાજનું પાલન કરેઃ જ્યાં હવે B′ δ (x2k) માં આધારભૂત પ્રમાણભૂત બમ્પ વિધેય છે, અને ઉત્પાદન s2kρ2k નું વ્યુત્પન્ન એવી રીતે બંધાયેલું છે કે પરિણામે, કારણ કે નીચેની શ્રેણી અને તેના વ્યુત્પન્નોનો તમામ આંશિક સરવાળો સમાનરૂપે q (y) એ બધા V પર એક સરળ વિધેય છે. હવે આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે કારણ કે s2k અને 2ks2k એ x2k ના પડોશમાં સમાન છે, તેથી સાતત્ય દ્વારા <ID બીજી બાજુ, કારણ કે Dq (x2k + 1) = 0 કારણ કે q એ B2k + 1 માં સમાન રીતે શૂન્ય છે અને D એ બિન-વૃદ્ધિને ટેકો આપે છે. તો Dq (x) = 0. આ એક વિરોધાભાસ છે. હવે આપણે લેમ્મા 2 સાબિત કરીએ છીએ. પ્રથમ, ચાલો આપણે પ્રથમ લેમ્મામાંથી અચળાંક C ને દૂર કરીએ. આપણે બતાવીએ છીએ કે, લેમ્મા 1 જેવી જ પૂર્વધારણાઓ હેઠળ, |Ds (y) | = 0. V\{x} માં y પસંદ કરો જેથી jks (y) = 0 પરંતુ |Ds (y) | = g> 0. 2C/g ના પરિબળ દ્વારા s ને પુનઃપ્રાપ્ત કરો. પછી જો g બિન-શૂન્ય હોય, તો D ની રેખીયતા દ્વારા, |Ds (y) | = 2C> C, જે લેમ્મા 1 દ્વારા અશક્ય છે. આ પંચર પડોશ V\ {x} માં પ્રમેયને સાબિત કરે છે. હવે, આપણે વિભેદક ઓપરેટરને પંચર પડોશમાં કેન્દ્રિય બિંદુ x સુધી ચાલુ રાખવું જોઈએ. D એ સરળ ગુણાંક સાથેનું એક રેખીય વિભેદક સંચાલક છે. વધુમાં, તે x પર પણ સરળ કાર્યોના જંતુઓને સરળ કાર્યોના જંતુઓ મોકલે છે. આમ D ના ગુણાંક પણ x પર સરળ હોય છે. એક વિશિષ્ટ એપ્લિકેશન એમ કોમ્પેક્ટ સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ (સંભવતઃ સીમા સાથે), અને ઇ અને એફ એમ પર મર્યાદિત પરિમાણીય વેક્ટર બંડલ્સ હોઈ શકે છે. ચાલો ઇ ના સરળ વિભાગોનો સંગ્રહ હોઈએ. ઓપરેટર એક સ્મૂથ ફંક્શન (ફ્રેચેટ મેનીફોલ્ડનું) છે જે તંતુઓ પર રેખીય હોય છે અને એમ પરના આધાર બિંદુને માન આપે છેઃ પીટર થીયરમ ભારપૂર્વક જણાવે છે કે દરેક ઓપરેટર ડી માટે, એક પૂર્ણાંક k અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે ડી એ ક્રમ k નો વિભેદક ઓપરેટર છે. ખાસ કરીને, આપણે વિઘટિત કરી શકીએ છીએ જ્યાં E ના વિભાગોના જેટથી બંડલ F નું મેપિંગ છે. આંતરિક વિભેદક ઓપરેટરો પણ જુઓ. ઉદાહરણ તરીકેઃ લાપ્લેસીયન નીચેના ઓપરેટરને ધ્યાનમાં લોઃ ત્રિજ્યા સાથે ગોળાનું કેન્દ્ર ક્યાં અને ક્યાં છે. આ હકીકતમાં લાપ્લેસીયન છે. અમે બતાવીશું કે પીટ્રેના પ્રમેય દ્વારા એક વિભેદક ઓપરેટર છે. મુખ્ય વિચાર એ છે કે માત્ર નજીકના વર્તનની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે પ્રકૃતિમાં સ્થાનિક છે; ખાસ કરીને, જો સ્થાનિક રીતે શૂન્ય હોય, તો તે છે, અને તેથી આધાર વધી શકતો નથી. ટેકનિકલ પુરાવા નીચે મુજબ છે. ચાલો અને રેન્કના તુચ્છ બંડલ બનો. પછી અને તે ફક્ત સરળ કાર્યોની જગ્યા છે. આવરણ તરીકે, ખુલ્લા સમૂહ પર સરળ કાર્યોનો સમૂહ છે અને પ્રતિબંધ એ કાર્ય પ્રતિબંધ છે. જોવા માટે ખરેખર એક મોર્ફિઝમ છે, આપણે ખુલ્લા સમૂહો અને તે અને તે માટે તપાસ કરવાની જરૂર છે. આ સ્પષ્ટ છે કારણ કે, બંને માટે અને સરળ છે, કારણ કે આખરે બંનેની અંદર અને કોઈપણ રીતે બેસે છે. તે રેખીય છે તે તપાસવું સરળ છેઃ અને છેવટે, આપણે તે અર્થમાં સ્થાનિક છે તે તપાસીએ છીએ. જો, તો પછી એવું કે ત્રિજ્યાના દડા પર કેન્દ્રિત. આમ, માટે, માટે અને તેથી. તેથી, તા. તેથી પીટ્રેના પ્રમેય મુજબ, તે એક વિભેદક સંચાલક છે. સંદર્ભો પીટ્રે, જે., યુએન કેરેક્ટેરિઝેશન એબ્સ્ટ્રેટ ડેસ ઓપેરેટર્સ ડિફેરેન્ટિયલ્સ, મઠ. સ્કેન્ડ. 7 (1959), 211-218. પીટ્રે, જે., રેક્ટિફિકેશન એ એલ 'આર્ટિકલ યુએન કેરેક્ટેરિઝેશન એબ્સ્ટ્રેટ ડેસ ઓપરેટર્સ ડિફ્રેન્ટિયલ્સ, મઠ. સ્કેન્ડ. 8 (1960), 116-120. ટેર્ન્ગ, સી. એલ., નેચરલ વેક્ટર બંડલ્સ અને નેચરલ ડિફરન્શિયલ ઓપરેટર્સ, એમ. જે. ગણિત. 100 (1978), 775-828. પુરાવાઓ ધરાવતા લેખો વિભેદક સંચાલકો કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં પ્રમેયો