Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
ગણિતમાં, ગ્રોથેન્ડીક-કાટ્ઝ પી-વળાંક અનુમાન એ રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટેનું સ્થાનિક-વૈશ્વિક સિદ્ધાંત છે, જે વિભેદક ગેલોઇસ સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છે અને છૂટક અર્થમાં બહુપદી કેસ તરીકે ગણવામાં આવતા ચેબોટારેવ ઘનતા પ્રમેયના પરિણામ સાથે સમાન છે. તે 1960 ના દાયકાના અંતથી એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકનું અનુમાન છે, અને દેખીતી રીતે તેમના દ્વારા કોઈ પણ સ્વરૂપમાં પ્રકાશિત થયું નથી. તાજેતરની પ્રગતિ હોવા છતાં, સામાન્ય કેસ ઉકેલાયો નથી; તેને બીજગણિત પર્ણસમૂહ સાથે સંકળાયેલી ભૌમિતિક તપાસ સાથે જોડવામાં આવ્યો છે. ફોર્મ્યુલેશન સૌથી સરળ શક્ય નિવેદનમાં અનુમાનને વેક્ટર સિસ્ટમ માટે તેની આવશ્યકતાઓમાં વર્ણવી શકાય છે, જે કદ n ના વેક્ટર v માટે અને બીજગણિત સંખ્યા ગુણાંક સાથે બીજગણિત વિધેયોના n × n મેટ્રિક્સ A માટે લખાયેલ છે. પ્રશ્ન એ છે કે જ્યારે બીજગણિત કાર્ય ઉકેલોનો સંપૂર્ણ સમૂહ હોય, એટલે કે મૂળભૂત મેટ્રિક્સ (એટલે કે. n વેક્ટર ઉકેલો બ્લોક મેટ્રિક્સમાં મૂકવામાં આવે છે). ઉદાહરણ તરીકે, હાયપરજિયોમેટ્રિક સમીકરણ માટે એક શાસ્ત્રીય પ્રશ્ન હતોઃ તેના પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ બીજગણિત ઉકેલોની જોડી ક્યારે હોય છે? આ જવાબ શાસ્ત્રીય રીતે શ્વાર્ઝની સૂચિ તરીકે ઓળખાય છે. મોનોડ્રોમીની દ્રષ્ટિએ, પ્રશ્ન મર્યાદિત મોનોડ્રોમી જૂથના કિસ્સાઓને ઓળખવાનો છે. રિફોર્મ્યુલેશન દ્વારા અને મોટી પ્રણાલીમાં પસાર કરીને, આવશ્યક કેસ એ અને તર્કસંગત સંખ્યા ગુણાંકમાં તર્કસંગત કાર્યો માટે છે. પછી એક જરૂરી શરત એ છે કે લગભગ તમામ મુખ્ય સંખ્યાઓ p માટે, રિડક્શન મોડ્યુલો p દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રણાલીમાં પણ p તત્વો સાથે મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર બીજગણિત ઉકેલોનો સંપૂર્ણ સમૂહ હોવો જોઈએ. ગ્રોથેન્ડીકનું અનુમાન છે કે આ જરૂરી શરતો, લગભગ તમામ પી માટે, પૂરતી હોવી જોઈએ. પી-વળાંક સાથે જોડાણ એ છે કે જણાવેલી મોડ પી શરત એ જ કહે છે કે એ પર પુનરાવર્તન કામગીરી દ્વારા રચાયેલી પી-વળાંક શૂન્ય છે; તેથી તે કહેવાની બીજી રીત એ છે કે લગભગ તમામ પી માટે 0 ની પી-વળાંક મૂળ સમીકરણના પૂરતા બીજગણિત ઉકેલો સૂચવે છે. ગેલોઇસ જૂથ માટે કાટ્ઝની રચના નિકોલસ કાટ્ઝે તન્નાકીયન શ્રેણીની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને બતાવ્યું છે કે આ અનુમાન અનિવાર્યપણે એવું કહેવા જેવું જ છે કે વિભેદક ગેલોઇસ જૂથ G (અથવા બીજગણિત જૂથ G ના લાઈ બીજગણિત g ને કડક રીતે કહીએ તો, જે આ કિસ્સામાં મોનોડ્રોમી જૂથનું ઝારિસ્કી ક્લોઝર છે) ચોક્કસ વિશાળ વર્ગના વિભેદક સમીકરણો માટે મોડ p માહિતી દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. પ્રગતિ બેન્સન ફાર્બ અને માર્ક કિસિન દ્વારા કેસોનો એક વિશાળ વર્ગ સાબિત કરવામાં આવ્યો છે; આ સમીકરણો કેટલાક જૂથ-સૈદ્ધાંતિક પરિસ્થિતિઓને આધિન સ્થાનિક રીતે સપ્રમાણ વિવિધતા X પર છે. આ કાર્ય પિકાર્ડ-ફ્યુચ સમીકરણો માટે કાટ્ઝના અગાઉના પરિણામો (ગૌસ-મેનિન જોડાણના સમકાલીન અર્થમાં) પર આધારિત છે, જે એન્ડ્રે દ્વારા તન્નાકીયન દિશામાં વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું છે. તે ખાસ કરીને અંકગણિત જૂથો માટે અતિશયોક્તિનું સંસ્કરણ પણ લાગુ કરે છે. અન્ય પ્રગતિ અંકગણિત પદ્ધતિઓ દ્વારા થઈ છે. ઇતિહાસ નિકોલસ કાટ્ઝે 1972માં એક પેપરમાં કેટલાક કિસ્સાઓને વિરૂપતા સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત કર્યા હતા, જ્યાં અનુમાન પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. ત્યારથી, સુધારાઓ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. તફાવત સમીકરણો માટે q-એનાલોગની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. 2009ના કોલોક ગ્રોથેન્ડીક ખાતે આ કાર્ય પર કિસિનના પ્રવચનના જવાબમાં, કાટ્ઝે અનુમાનની ઉત્પત્તિની વ્યક્તિગત જાણકારીમાંથી સંક્ષિપ્ત અહેવાલ આપ્યો હતો. ગ્રોથેન્ડીકે તેને વસંત 1969માં જાહેર ચર્ચામાં મૂક્યું હતું, પરંતુ આ વિષય પર કંઇ લખ્યું નહોતું. સ્ફટિકીય કોહોમોલોજીના ક્ષેત્રમાં પાયાના અંતઃપ્રેરણા દ્વારા તેમને આ વિચાર તરફ દોરી જવામાં આવ્યા હતા, જે તે સમયે તેમના વિદ્યાર્થી પિયરે બેર્થેલોટ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. કોઈક રીતે જોડાણોના સિદ્ધાંતમાં "નિલપોટેન્સ" ની કલ્પનાને વિભાજિત શક્તિ માળખા તકનીક સાથે સરખાવવા ઈચ્છતા, જે સ્ફટિકીય સિદ્ધાંતમાં પ્રમાણભૂત બની, ગ્રોથેન્ડીકે ઉપ-ઉત્પાદન તરીકે અનુમાન રજૂ કર્યું. નોંધો સંદર્ભો નિકોલસ એમ. કાટ્ઝ, રિગિડ લોકલ સિસ્ટમ્સ, પ્રકરણ 9. વધુ વાંચન જીન-બેનોઇટ બોસ્ટ, સંખ્યા ક્ષેત્રો પર બીજગણિત પર્ણસમૂહના બીજગણિત પાંદડાઓ, પ્રકાશનો મેથેમેટિક્સ ડી એલ 'આઇએચઇએસ, વોલ્યુમ 93, નંબર 1, સપ્ટેમ્બર 2001 યવેસ એન્ડ્રે, સુર લા અનુમાન ડેસ પી-કોર્બુર્સ ડી ગ્રોથેન્ડીક-કાટ્ઝ એટ અન પ્રોબ્લેમે ડી ડવર્ક, ભૌમિતિક પાસાઓ ઓફ ડવર્ક થિયરી (2004) માં, સંપાદકો એલન એડોલ્ફસન, ફ્રાન્સેસ્કો બાલ્ડાસરી, પિયર બર્થેલોટ, નિકોલસ કાટ્ઝ, ફ્રાન્કોઇસ લોઝર આનંદ પિલ્લે (2006), વિભેદક બીજગણિત અને રેખીય વિભેદક સમીકરણો બીજગણિતના અંકગણિત પર ગ્રોથેન્ડીકના અનુમાનના સામાન્યીકરણ