Schur polynomial
ગણિતમાં, ઇસાઈ શુરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલી શુર બહુપદીઓ, n ચલમાં અમુક સપ્રમાણ બહુપદીઓ છે, જે પાર્ટીશનો દ્વારા અનુક્રમિત થાય છે, જે પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ અને સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓને સામાન્ય બનાવે છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં તેઓ સામાન્ય રેખીય જૂથોની બહુપદી ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોના અક્ષરો છે. શુર બહુપદીઓ તમામ સપ્રમાણ બહુપદીઓની જગ્યા માટે રેખીય આધાર બનાવે છે. શુર બહુપદીઓના કોઈપણ ગુણાકારને બિન-નકારાત્મક અભિન્ન ગુણાંક સાથે શુર બહુપદીઓના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે; આ ગુણાંકના મૂલ્યો લિટલવુડ-રિચાર્ડસન નિયમ દ્વારા સંયુક્ત રીતે આપવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, સ્ક્યુ શૂર બહુપદીઓ પાર્ટીશનોની જોડી સાથે સંકળાયેલી હોય છે અને તેમાં શૂર બહુપદીઓ જેવા જ ગુણધર્મો હોય છે. વ્યાખ્યા (જેકોબીનું દ્વિસ્તરીય સૂત્ર) શુર બહુપદીઓને પૂર્ણાંક પાર્ટીશનો દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે. પાર્ટીશનને જોતાં, જ્યાં, અને દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, વિધેયો નિર્ધારકના ગુણધર્મો દ્વારા બહુપદીઓને વૈકલ્પિક કરે છે. બહુપદી વૈકલ્પિક હોય છે જો તે ચલોના કોઈપણ સ્થાનાંતરણ હેઠળ ચિહ્ન બદલે છે. તેઓ વૈકલ્પિક હોવાથી, તેઓ બધા વેન્ડરમોન્ડે નિર્ધારક દ્વારા વિભાજીત થાય છે શુર બહુપદીઓને ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આ જેકોબીના દ્વિસ્તરીય સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છે. તે વેલ અક્ષર સૂત્રનો એક વિશેષ કેસ છે. આ એક સપ્રમાણ કાર્ય છે કારણ કે અંશ અને છેદ બંને વૈકલ્પિક છે, અને બહુપદી છે કારણ કે તમામ વૈકલ્પિક બહુપદીઓ વેન્ડરમોન્ડે નિર્ધારક દ્વારા વિભાજીત થાય છે. ગુણધર્મો ચલમાં ડિગ્રી શુર બહુપદીઓ ચલમાં સજાતીય ડિગ્રી સપ્રમાણ બહુપદીઓની જગ્યા માટે એક રેખીય આધાર છે. પાર્ટીશન માટે, શુર બહુપદી એ એકસૂત્રોનો સરવાળો છે, જ્યાં સરવાળો આકારની તમામ અર્ધ-માનક યુવાન ઝાંખીઓ પર હોય છે. ઘાતાંકો વજન આપે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો દરેક અંદરની સંખ્યાની ઘટનાઓની ગણતરી કરે છે. આને લિન્ડસ્ટ્રોમ-ગેસલ-વિએનોટ લેમ્મા (તે પૃષ્ઠ પર દર્શાવેલ) નો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ ગિઆમ્બેલી સૂત્રની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ દર્શાવી શકાય છે. શુર બહુપદીઓને બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે એકવિધ સપ્રમાણ વિધેયોના રેખીય સંયોજનો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જેને કોસ્ટકા સંખ્યાઓ કહેવાય છે, કોસ્ટકા સંખ્યાઓ અર્ધ-માનક યુવાન ઝાંખીની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે જેનો આકાર λ અને વજન μ છે. જેકોબી-ટ્રુડી ઓળખ પ્રથમ જેકોબી-ટ્રુડી સૂત્ર શુર બહુપદીને સંપૂર્ણ એકરૂપ સપ્રમાણ બહુપદીઓના સંદર્ભમાં નિર્ધારક તરીકે વ્યક્ત કરે છે, જ્યાં. બીજું જેકોબી-ટ્રુડી સૂત્ર શુર બહુપદીને પ્રાથમિક સમપ્રમાણ બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ નિર્ધારક તરીકે વ્યક્ત કરે છે, જ્યાં અને તે સંયુક્ત પાર્ટીશન છે. બંને ઓળખમાં, નકારાત્મક સબસ્ક્રિપ્ટ સાથેના કાર્યોને શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જિઆમ્બેલી ઓળખ અન્ય નિર્ણાયક ઓળખ જિઆમ્બેલીનું સૂત્ર છે, જે યંગ આકૃતિમાં સમાવિષ્ટ હૂક પાર્ટીશનોના સંદર્ભમાં મનસ્વી પાર્ટીશન માટે શુર કાર્યને વ્યક્ત કરે છે. ફ્રોબેનિયસના સંકેતલિપીમાં, વિભાજન સૂચવવામાં આવે છે જ્યાં, દરેક કર્ણ ઘટકની સ્થિતિ માટે, તે જ હરોળમાં જમણી બાજુના બોક્સની સંખ્યા સૂચવે છે અને તે જ સ્તંભમાં તેની નીચે બોક્સની સંખ્યા સૂચવે છે (હાથ અને પગની લંબાઈ, અનુક્રમે). જિઆમ્બેલી ઓળખ હૂક પાર્ટીશનો માટેના નિર્ધારક તરીકે આ પાર્ટીશનને અનુરૂપ શુર કાર્યને વ્યક્ત કરે છે. કૌચી ઓળખ શૂર વિધેયો માટે કૌચી ઓળખ (હવે અનંત ઘણા ચલમાં), અને તેની બેવડી સ્થિતિ કે અને જ્યાં સરવાળો તમામ પાર્ટીશનો λ પર લેવામાં આવે છે, અને, અનુક્રમે સંપૂર્ણ સપ્રમાણ કાર્યો અને પ્રાથમિક સપ્રમાણ કાર્યોને સૂચવે છે. જો સરવાળાને ચલમાં શુર બહુપદીઓના ગુણાકાર પર લેવામાં આવે, તો સરવાળામાં માત્ર લંબાઈના પાર્ટીશનનો સમાવેશ થાય છે કારણ કે અન્યથા શુર બહુપદીઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સપ્રમાણ કાર્યોના અન્ય પરિવારોમાં આ ઓળખના ઘણા સામાન્યીકરણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ, સ્કબર્ટ બહુપદીઓ અને ગ્રોથેન્ડીક બહુપદીઓ કોચી જેવી ઓળખને સ્વીકારે છે. વધુ ઓળખ સ્કુર બહુપદીની ગણતરી હોલ-લિટલવુડ બહુપદીઓ માટેના સૂત્રની વિશેષતા દ્વારા પણ કરી શકાય છે, જ્યાં ક્રમચયોના પેટા જૂથ છે જેમ કે તમામ i, અને w માટે સૂચકાંકોને ક્રમમાં મૂકીને ચલ પર કાર્ય કરે છે. મુરનાઘન-નાકાયામા નિયમ મુરનાઘન-નાકાયામા નિયમ શુર બહુપદીની દ્રષ્ટિએ શૂર બહુપદી સાથે પાવર-સમપ્રમાણ કાર્યના ગુણાકારને વ્યક્ત કરે છેઃ જ્યાં સરવાળો તમામ પાર્ટીશનો પર હોય છે, જેમ કે μ/λ એ r કદનો રિમ-હુક છે અને ht (μ/λ) એ આકૃતિમાં પંક્તિઓની સંખ્યા છે. લિટલવુડ-રિચાર્ડસન નિયમ અને પિયેરીનું સૂત્ર લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ગુણાંક ત્રણ પાર્ટીશનો પર આધાર રાખે છે, જેમ કે, જેમાંથી શુર કાર્યોને ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને તેનું વર્ણન કરે છે, અને શુર કાર્ય આપે છે જેનો આ રેખીય સંયોજનમાં ગુણાંક છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેઓ એવા ગુણાંક છે જેમ કે લિટલવુડ-રિચાર્ડસન નિયમ જણાવે છે કે તે વક્ર આકાર અને વજનની લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ઝાંખીની સંખ્યા સમાન છે. પિયેરીનું સૂત્ર લિટલવુડ-રિચાર્ડસન નિયમનો એક વિશેષ કેસ છે, જે ઉત્પાદનને શુર બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરે છે. બેવડી આવૃત્તિ શુર બહુપદીઓની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છે. વિશેષતાઓ શુર બહુપદીનું મૂલ્યાંકન કરવાથી તેમાં પ્રવેશો સાથે આકારની અર્ધ-માનક યુવાન ઝાંખીઓની સંખ્યા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વેલ અક્ષર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોઈ બતાવી શકે છે કે, આ સૂત્રમાં, યંગ ડાયાગ્રામની દરેક હરોળની પહોળાઈ સૂચવતી ટુપલ, જ્યાં સુધી તેની લંબાઈ ન હોય ત્યાં સુધી સ્પષ્ટ રીતે શૂન્ય સાથે વિસ્તૃત છે. તત્વોનો સરવાળો છે. હૂક લંબાઈ સૂત્ર પણ જુઓ જે નિશ્ચિત λ માટે સમાન જથ્થાની ગણતરી કરે છે. ઉદાહરણ નીચેના વિસ્તૃત ઉદાહરણથી આ વિચારોને સ્પષ્ટ કરવામાં મદદ મળવી જોઈએ. n = 3, d = 4 નો કેસ ધ્યાનમાં લો. ફેરર્સ આકૃતિઓ અથવા અન્ય કોઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે મહત્તમ ત્રણ ભાગોમાં 4 ના માત્ર ચાર પાર્ટીશનો છે. આપણી પાસે અને તેથી વધુ છે, જ્યાં વેન્ડરમોન્ડે નિર્ધારક છે. સારાંશઃ ત્રણ ચલમાં દરેક સજાતીય ડિગ્રી-ચાર સપ્રમાણ બહુપદીને આ ચાર શુર બહુપદીઓના અનન્ય રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને આ સંયોજન ફરીથી યોગ્ય નાબૂદી ક્રમ માટે ગ્રોબનર આધારનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, દેખીતી રીતે એક સપ્રમાણ બહુપદી છે જે ડિગ્રી ચારની સજાતીય છે, અને આપણી પાસે પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સાથે સંબંધ છે. વેઇલ અક્ષર સૂત્ર સૂચવે છે કે શુર બહુપદીઓ સામાન્ય રેખીય જૂથોની મર્યાદિત-પરિમાણીય ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોના અક્ષરો છે, અને શુરના કાર્યને અન્ય સઘન અને અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોમાં સામાન્ય બનાવવામાં મદદ કરે છે. આ સંબંધ માટે અનેક સમીકરણો ઉદ્ભવે છે, જેમાંથી એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે સપ્રમાણ શક્તિ વિધેયોની દ્રષ્ટિએ શુર વિધેયો sλ નું વિસ્તરણ. જો આપણે પાર્ટીશન ρ દ્વારા અનુક્રમિત ચક્ર પ્રકારનાં ઘટકો પર મૂલ્યાંકન કરાયેલ પાર્ટીશન λ દ્વારા અનુક્રમિત સપ્રમાણ જૂથના પ્રતિનિધિત્વના અક્ષર માટે χ લખીએ, તો જ્યાં ρ = (1r1,2r2,3r3,.) નો અર્થ એ છે કે પાર્ટીશન ρ પાસે લંબાઈ k ના rk ભાગો છે. આનો પુરાવો R. સ્ટેનલીના એન્યુમરેટિવ કોમ્બિનેટોરિક્સ વોલ્યુમ 2, કોરોલરી 7.17.5 માં મળી શકે છે. પૂર્ણાંકો χ ની ગણતરી મુરનાઘન-નકાયમા નિયમનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. શુર પોઝિટિવિટી પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સાથેના જોડાણને કારણે, એક સપ્રમાણ કાર્ય જે શૂર કાર્યોમાં હકારાત્મક રીતે વિસ્તરે છે તે ખાસ રસ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ક્યુ શૂર વિધેયો સામાન્ય શૂર વિધેયોમાં હકારાત્મક રીતે વિસ્તરે છે, અને ગુણાંક લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ગુણાંક છે. આનો એક ખાસ કિસ્સો એ છે કે શૂર વિધેયોમાં સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ વિધેયો hλ નું વિસ્તરણ. આ વિઘટન પ્રતિબિંબિત કરે છે કે કેવી રીતે ક્રમચય મોડ્યુલ ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતોમાં વિઘટિત થાય છે. શુર પોઝિટિવિટીને સાબિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ આપેલ સપ્રમાણ કાર્ય એફની શુર પોઝિટિવિટીને સાબિત કરવા માટે ઘણા અભિગમો છે. જો એફને સંયુક્ત રીતે વર્ણવવામાં આવે, તો સીધો અભિગમ અર્ધ-માનક યુવાન ઝાંખીઓ સાથે દ્વિભાજન ઉત્પન્ન કરવાનો છે. એડલમેન-ગ્રીન પત્રવ્યવહાર અને રોબિન્સન-શેન્સ્ટેડ-નુથ પત્રવ્યવહાર આવા દ્વિભાજનના ઉદાહરણો છે. વધુ માળખું ધરાવતું બાયજેક્શન એ કહેવાતા સ્ફટિકોનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા છે. આ પદ્ધતિને અંતર્ગત સંયુક્ત પદાર્થો પર સ્થાનિક નિયમો સાથે વર્ણવેલ ચોક્કસ આલેખ માળખાને વ્યાખ્યાયિત કરવા તરીકે વર્ણવી શકાય છે. એક સમાન વિચાર બેવડી સમાનતાની કલ્પના છે. આ અભિગમ આલેખ માળખાનો પણ ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ મૂળભૂત અર્ધસમમિતીય ધોરણે વિસ્તરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી વસ્તુઓ પર. તે આરએસકે-પત્રવ્યવહાર સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. સામાન્યીકરણ સ્ક્યુ શૂર વિધેયો સ્ક્યુ શૂર વિધેયો sλ/μ બે પાર્ટીશનો λ અને μ પર આધાર રાખે છે, અને ગુણધર્મ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અહીં, આંતરિક ઉત્પાદન હોલ આંતરિક ઉત્પાદન છે, જેના માટે સ્કુર બહુપદીઓ ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે. સામાન્ય શુર બહુપદીઓની જેમ, આની ગણતરી કરવાની ઘણી રીતો છે. અનુરૂપ જેકોબી-ટ્રુડી ઓળખ સ્ક્યુ શુર બહુપદીઓનું સંયુક્ત અર્થઘટન પણ છે, એટલે કે તે સ્ક્યુ આકારની તમામ અર્ધ-માનક યંગ ટેબ્લો (અથવા સ્તંભ-કડક ટેબ્લો) નો સરવાળો છે. સ્ક્યુ શૂર બહુપદીઓ શુર બહુપદીઓમાં હકારાત્મક રીતે વિસ્તરે છે. ગુણાંક માટેનો નિયમ લિટલવુડ-રિચાર્ડસન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. ડબલ શૂર બહુપદીઓ ડબલ શૂર બહુપદીઓને સ્થાનાંતરિત શૂર બહુપદીઓના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. આ બહુપદીઓ ફેક્ટોરિયલ શુર બહુપદીઓ સાથે પણ નજીકથી સંબંધિત છે. પાર્ટીશન અને ક્રમને જોતાં, બેવડા શુર બહુપદીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે કે જ્યાં સરવાળો તમામ વિપરીત અર્ધ-માનક આકારની નાની ઝાંખીઓ પર લેવામાં આવે છે, અને તેમાં પૂર્ણાંકની એન્ટ્રીઓ હોય છે. અહીં બૉક્સમાં મૂલ્ય સૂચવે છે અને તે બૉક્સની સામગ્રી છે. લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ગુણાંક (ક્રમ a પર આધાર રાખીને) માટે સંયુક્ત નિયમ એ. આઈ. મોલેવ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. ખાસ કરીને, આ સૂચવે છે કે સ્થાનાંતરિત શુર બહુપદીઓમાં બિન-નકારાત્મક લિટલવુડ-રિચાર્ડસન ગુણાંક હોય છે. સ્થાનાંતરિત શુર બહુપદીઓ ડબલ શુર બહુપદીઓમાંથી અને વિશેષતા દ્વારા મેળવી શકાય છે. ડબલ શુર બહુપદીઓ ડબલ શુબર્ટ બહુપદીઓના વિશેષ કિસ્સાઓ છે. ફેક્ટરીયલ શુર બહુપદીઓ ફેક્ટરીયલ શુર બહુપદીઓને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પાર્ટીશન λ, અને બમણો અનંત ક્રમ., a−1, a0, a1,. આપેલ હોય તો કોઈ પણ ફેક્ટોરિયલ શુર બહુપદી sλ (x|a) ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે જ્યાં સરવાળો તમામ અર્ધ-માનક યંગ ટેબ્લો T આકાર λ પર લેવામાં આવે છે, અને 1,., n માં પૂર્ણાંક એન્ટ્રીઓ. અહીં T (α) બોક્સમાં α ની કિંમત સૂચવે છે અને c (α) એ બોક્સની સામગ્રી છે. એક નિર્ધારક સૂત્ર પણ છે, જ્યાં (y|a) k = (y−a1). (y−ak). તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે બધા i માટે દોડીએ, તો આપણે સામાન્ય શુર બહુપદી sλ પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ. બેવડાં શુર બહુપદીઓ અને n ચલમાં ફેક્ટરીયલ શુર બહુપદીઓ ઓળખ sλ (x | |a) = sλ (x|u) દ્વારા સંબંધિત છે જ્યાં − i + 1 = ui છે. અન્ય સામાન્યીકરણ સ્કુર બહુપદીઓના અસંખ્ય સામાન્યીકરણ છેઃ હોલ-લિટલવુડ બહુપદીઓ શિફ્ટેડ સ્કુર બહુપદીઓ ફ્લેગ્ડ સ્કુર બહુપદીઓ સ્કબર્ટ બહુપદીઓ સ્ટેનલી સપ્રમાણ વિધેયો (સ્થિર સ્કબર્ટ બહુપદીઓ તરીકે પણ ઓળખાય છે) કી બહુપદીઓ (જેને ડિમૅઝર અક્ષરો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) રો-સ્ટ્રિક્ટ સ્કુર બહુપદીઓ જેક બહુપદીઓ મોડ્યુલર સ્કુર બહુપદીઓ લૂપ સ્કુર વિધેયો મેકડોનાલ્ડ બહુપદીઓ સ્કુર બહુપદીઓ સિમ્લેક્ટિક અને ઓર્થોગોનલ જૂથ માટે. કે-શુર વિધેયો ગ્રોથેન્ડીક બહુપદીઓ (કે-શુર બહુપદીઓનું સૈદ્ધાંતિક એનાલોગ) એલ. એલ. ટી. બહુપદીઓ પણ જુઓ શુર ફંક્શન લિટલવુડ-રિચાર્ડસન નિયમ, જ્યાં કોઈને શુર બહુપદીઓ સાથે સંકળાયેલી કેટલીક ઓળખ મળે છે. સંદર્ભો સજાતીય બહુપદીઓ અપરિવર્તન સિદ્ધાંત મર્યાદિત જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત સમમિતીય કાર્યો ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ