Runge's theorem
જટિલ વિશ્લેષણમાં, રુંગના પ્રમેય (જેને રુંગના અંદાજિત પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) નું નામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ રુંગના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને સૌપ્રથમ 1885માં સાબિત કર્યું હતું. તે નીચે મુજબ જણાવે છેઃ જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહને C દ્વારા સૂચવતા, K એ C નો સઘન સબસેટ હોવો જોઈએ અને f એ એક એવું વિધેય હોવું જોઈએ જે K ધરાવતા ખુલ્લા સમૂહ પર હોલોમોર્ફિક હોય. જો A એ C\ K ના દરેક બંધાયેલા જોડાયેલા ઘટકમાંથી ઓછામાં ઓછી એક જટિલ સંખ્યા ધરાવતો સમૂહ હોય, તો તર્કસંગત કાર્યોનો એક ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જે K પર સમાનરૂપે f માં એકરૂપ થાય છે અને જેથી કાર્યોના તમામ ધ્રુવો A માં હોય. નોંધ લો કે A માં દરેક જટિલ સંખ્યા ક્રમના દરેક પરિમેય વિધેયનો ધ્રુવ હોવો જરૂરી નથી. આપણે ફક્ત એટલું જ જાણીએ છીએ કે તેના તમામ સભ્યો માટે થાંભલાઓ હોય છે, તે થાંભલાઓ A માં આવેલા હોય છે. એક પાસું જે આ પ્રમેયને એટલું શક્તિશાળી બનાવે છે તે એ છે કે કોઈ વ્યક્તિ સમૂહ A ને મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, C\K ના બંધાયેલા જોડાયેલા ઘટકોમાંથી કોઈપણ જટિલ સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકાય છે અને પ્રમેય માત્ર તે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી ધ્રુવો સાથે તર્કસંગત કાર્યોના ક્રમના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. ખાસ કિસ્સામાં જેમાં C\K એ જોડાયેલ સમૂહ છે (ખાસ કરીને જ્યારે K સરળ રીતે જોડાયેલ હોય), પ્રમેયમાં સમૂહ A સ્પષ્ટ રીતે ખાલી હશે. કોઈ ધ્રુવો વિનાના તર્કસંગત કાર્યો માત્ર બહુપદીઓ હોવાથી, આપણને નીચેનો ઉપસંહાર મળે છેઃ જો K એ C નો કોમ્પેક્ટ સબસેટ છે, જેમ કે C\K એ જોડાયેલ સમૂહ છે, અને f એ K ધરાવતા ખુલ્લા સમૂહ પર હોલોમોર્ફિક ફંક્શન છે, તો ત્યાં બહુપદીઓનો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે જે K પર સમાનરૂપે f સુધી પહોંચે છે (ધારણાઓને હળવા કરી શકાય છે, મર્જેલિયનનો પ્રમેય જુઓ). રુંગનો પ્રમેય નીચે પ્રમાણે સામાન્યીકૃત થાય છેઃ કોઈ પણ વ્યક્તિ A ને રીમાન ગોળા C ≤ {≤} નો સબસેટ તરીકે લઈ શકે છે અને જરૂરી છે કે A પણ K ના અમર્યાદિત જોડાયેલા ઘટકને છેદે (જે હવે ≤ ધરાવે છે). એટલે કે, ઉપર આપેલી રચનામાં, તર્કસંગત વિધેયો અનંત પર ધ્રુવ હોવાનું બહાર આવી શકે છે, જ્યારે વધુ સામાન્ય રચનામાં ધ્રુવને તેના બદલે C\ K ના અમર્યાદિત જોડાયેલા ઘટકમાં ગમે ત્યાં પસંદ કરી શકાય છે. પુરાવો એક પ્રાથમિક પુરાવો, આપવામાં આવે છે, જે નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છે. ખુલ્લા સમૂહમાં એક બંધ પીસવાઇઝ-રેખીય સમોચ્ચ છે, જે તેના આંતરિક ભાગમાં K ધરાવે છે. કે. રીમાનમાં ડબલ્યુ માટે કોચીના અભિન્ન સૂત્ર દ્વારા અંદાજિત રકમનો ઉપયોગ K પર સમોચ્ચ અભિન્નને સમાનરૂપે અંદાજિત કરવા માટે થઈ શકે છે. સરવાળામાં દરેક પદ સમોચ્ચ પરના અમુક બિંદુ z માટે (z−w) −1 નો સ્કેલર ગુણાંક છે. આ જાત પર ધ્રુવો સાથે તર્કસંગત કાર્ય દ્વારા એક સમાન અંદાજ આપે છે. આને K ના પૂરકના દરેક ઘટકમાં ચોક્કસ બિંદુઓ પર ધ્રુવો સાથે અંદાજમાં સુધારવા માટે, તેને (z−w) −1 સ્વરૂપની શરતો માટે તપાસવા માટે પૂરતું છે. જો z0 એ z જેવા જ ઘટકમાં બિંદુ હોય, તો z થી z0 સુધી પીસવાઇઝ-રેખીય માર્ગ લો. જો બે બિંદુઓ માર્ગ પર પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક હોય, તો માત્ર પ્રથમ બિંદુ પર ધ્રુવો સાથેના કોઈપણ તર્કસંગત કાર્યને બીજા બિંદુની આસપાસ લોરેન્ટ શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. તે લોરેન્ટ શ્રેણીને માત્ર K પરના મૂળ વિધેયની સમાન રીતે નજીકના બીજા બિંદુ પર ધ્રુવો સાથે તર્કસંગત કાર્ય આપવા માટે કાપી શકાય છે. z થી z0 સુધીના માર્ગ પરના પગલાઓ દ્વારા આગળ વધતા મૂળ કાર્ય (z−w) −1 ને માત્ર z0 પર ધ્રુવો સાથે તર્કસંગત કાર્ય આપવા માટે ક્રમિક રીતે સુધારી શકાય છે. જો z0 એ અનંત પરનું બિંદુ હોય, તો ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા દ્વારા તર્કસંગત કાર્ય (z−w) −1 ને પ્રથમ R> 0 પર ધ્રુવો સાથે તર્કસંગત કાર્ય g દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે, જ્યાં R એટલો મોટો છે કે K એ w <R માં આવેલું છે.