Generator (mathematics)
ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જનરેટર અથવા જનરેટિંગ સેટ શબ્દ સંખ્યાબંધ સંબંધિત વિભાવનાઓમાંથી કોઈપણનો ઉલ્લેખ કરી શકે છે. દરેક કિસ્સામાં અંતર્ગત ખ્યાલ પદાર્થોના નાના સમૂહનો હોય છે, જેમાં તેની પર લાગુ કરી શકાય તેવી કામગીરીઓનો સમૂહ હોય છે, જે પેદા થયેલ સમૂહ તરીકે ઓળખાતા પદાર્થોના મોટા સંગ્રહની રચનામાં પરિણમે છે. પછી મોટા સમૂહને નાના સમૂહ દ્વારા પેદા કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે એવું બને છે કે જનરેટિંગ સેટમાં જનરેટેડ સેટ કરતાં ગુણધર્મોનો સરળ સમૂહ હોય છે, આમ તેની ચર્ચા અને તપાસ કરવાનું સરળ બને છે. સામાન્ય રીતે એવું બને છે કે જનરેટિંગ સેટના ગુણધર્મો કોઈક રીતે જનરેશનના કાર્ય દ્વારા સાચવવામાં આવે છે; તેવી જ રીતે, જનરેટેડ સેટના ગુણધર્મો ઘણીવાર જનરેટિંગ સેટમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. જનરેટરની યાદી જનરેટિંગ સેટના ઉદાહરણોની યાદી નીચે મુજબ છે. વેક્ટર સ્પેસનો સમૂહ પેદા કરતો અથવા ફેલાતો સમૂહઃ વેક્ટર સ્પેસમાં ફેલાયેલો સમૂહ જૂથનો સમૂહ પેદા કરતો સમૂહઃ એવા જૂથનો સબસેટ કે જે સમગ્ર જૂથ સિવાયના જૂથના કોઈપણ પેટાજૂથમાં સમાવિષ્ટ ન હોય. રિંગનો સમૂહ પેદા કરતો સમૂહઃ રિંગ Aનો સબસેટ S એ જનરેટ કરે છે જો S ધરાવતી Aની એકમાત્ર સબરિંગ એ જનરેટ કરે છે. રિંગમાં એક આદર્શનો સમૂહ જનરેટ કરે છે. મોડ્યુલનો સમૂહ જનરેટ કરે છે. શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં જનરેટર એ એવી વસ્તુ છે જેનો ઉપયોગ મોર્ફિઝમ્સને અલગ પાડવા માટે થઈ શકે છે. ટોપોલોજીમાં, ટોપોલોજી ઉત્પન્ન કરતા સમૂહોનો સંગ્રહને ટોપોલોજિકલ બીજગણિતનો પેટા આધાર જનરેટ સમૂહ કહેવામાં આવે છેઃ S એ ટોપોલોજિકલ બીજગણિત A નો જનરેટ કરતો સમૂહ છે, જો Aનો સૌથી નાનો બંધ પેટા બીજગણિત S ધરાવે છે. સામાન્ય ખ્યાલ એ છે કે ઘાતાંકીય નકશાનો ઉપયોગ સ્પર્શની જગ્યામાં વાહકને લેવા માટે અને તેમને ભૂગણિત તરીકે, સ્પર્શ બિંદુની આસપાસના ખુલ્લા સમૂહ સુધી વિસ્તારવા માટે થાય છે. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક જગ્યાના તત્વોને મેનીફોલ્ડના જનરેટર કહેવાનું અસામાન્ય નથી. જ્યારે મેનીફોલ્ડમાં અમુક પ્રકારની સમપ્રમાણતા હોય છે, ત્યારે ચાર્જ અથવા કરંટની સંબંધિત કલ્પના પણ હોય છે, જેને કેટલીકવાર જનરેટર પણ કહેવામાં આવે છે, જો કે, સખત રીતે કહીએ તો, ચાર્જ સ્પર્શક જગ્યાના તત્વો નથી. લાઈ જૂથના લાઈ બીજગણિતના તત્વોને કેટલીકવાર "જૂથના જનરેટર" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, ખાસ કરીને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ દ્વારા. લાઈ બીજગણિતને ઘાતાંકીય નકશાના માધ્યમથી ઓછામાં ઓછું સ્થાનિક રીતે જૂથ પેદા કરતા અનંત વેક્ટર તરીકે વિચારી શકાય છે, પરંતુ લાઈ બીજગણિત કડક અર્થમાં જનરેટિંગ સેટ બનાવતા નથી. સ્ટોકેસ્ટિક વિશ્લેષણમાં, ઇટો પ્રસરણ અથવા વધુ સામાન્ય ઇટો પ્રક્રિયામાં અનંત જનરેટર હોય છે. નોઇથરના પ્રમેય દ્વારા સૂચિત કોઈપણ સતત સમપ્રમાણતાનું જનરેટર, લાઈ જૂથના જનરેટર એક વિશેષ કેસ છે. આ કિસ્સામાં, જનરેટરને કેટલીકવાર ચાર્જ અથવા નોઇથર ચાર્જ કહેવામાં આવે છે, ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ પરિભ્રમણના જનરેટર તરીકે કોણીય વેગ, અનુવાદના જનરેટર તરીકે રેખીય વેગ, વિદ્યુત ચાર્જ એ વિદ્યુતચુંબકીયતાના યુ (1) સમપ્રમાણતા જૂથનું જનરેટર છે, ક્વોર્કના રંગ ચાર્જ એ ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સમાં એસયુ (3) રંગ સમપ્રમાણતાના જનરેટર છે, વધુ ચોક્કસપણે, "ચાર્જ" માત્ર લાઈ જૂથની મૂળ પ્રણાલી પર જ લાગુ થવો જોઈએ. આ પણ જુઓ જનરેટિંગ ફંક્શન લાઈ થિયરી સિમેટ્રી (ભૌતિકશાસ્ત્ર) કણ ભૌતિકશાસ્ત્ર સુપરસિમેટ્રી ગેજ થિયરી ક્ષેત્ર (ભૌતિકશાસ્ત્ર) સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ જનરેટિંગ સેટ્સ, કે. કોનરેડ એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિત સાર્વત્રિક બીજગણિત