Hilbert modular variety
ગણિતમાં, હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર સપાટી અથવા હિલ્બર્ટ-બ્લુમેન્થલ સપાટી એ એક બીજગણિત સપાટી છે જે હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર જૂથ દ્વારા ઉપલા અર્ધ-સમતલની બે નકલોના ગુણાકારનો ભાગ લઈને મેળવવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર વિવિધતા એ એક બીજગણિત વિવિધતા છે જે હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર જૂથ દ્વારા ઉપલા અર્ધ-સમતલની બહુવિધ નકલોના ઉત્પાદનનો ભાગ લઈને મેળવવામાં આવે છે. હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર સપાટીઓનું વર્ણન સૌપ્રથમ 10 વર્ષ પહેલાં ડેવિડ હિલ્બર્ટ દ્વારા લખાયેલી કેટલીક અપ્રકાશિત નોંધોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યું હતું. વ્યાખ્યાઓ જો R એ વાસ્તવિક વર્ગાત્મક ક્ષેત્રની પૂર્ણાંકોની વીંટી હોય, તો હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર જૂથ SL2 (R) ઉપલા અડધા સમતલ H ની બે નકલોના ગુણાકાર H × H પર કાર્ય કરે છે. આ ક્રિયા સાથે સંબંધિત ઘણી દ્વિસંગી સમકક્ષ સપાટીઓ છે, જેમાંથી કોઈપણને હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર સપાટીઓ કહી શકાયઃ સપાટી X એ SL2 (R) દ્વારા H × H નો ભાગાકાર છે; તે સઘન નથી અને સામાન્ય રીતે બિન-તુચ્છ આઇસોટ્રોપી જૂથો સાથેના બિંદુઓમાંથી આવતી ભાગાકાર એકવચનતા ધરાવે છે. ક્રિયાના કસ્પ્સને અનુરૂપ મર્યાદિત સંખ્યામાં બિંદુઓ ઉમેરીને X માંથી સપાટી X * મેળવવામાં આવે છે. તે કોમ્પેક્ટ છે, અને તેમાં માત્ર X ની ભાગાકાર સિંગ્યુલારીટી જ નથી, પરંતુ તેના કસ્પ્સ પર સિંગ્યુલારીટી પણ છે. એકલતાઓને ન્યૂનતમ રીતે ઉકેલવાથી X * માંથી સપાટી Y મેળવવામાં આવે છે. તે કોમ્પેક્ટ સ્મૂથ બીજગણિત સપાટી છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે ન્યૂનતમ નથી. Y માંથી સપાટી Y0 અમુક અપવાદરૂપ −1-વળાંકોને નીચે ઉડાડીને મેળવવામાં આવે છે. તે સરળ અને સઘન હોય છે, અને ઘણીવાર (પરંતુ હંમેશા નહીં) ન્યૂનતમ હોય છે. આ રચનાની ઘણી ભિન્નતાઓ છેઃ હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર જૂથને મર્યાદિત અનુક્રમણિકાના કેટલાક પેટાજૂથ દ્વારા બદલી શકાય છે, જેમ કે એકરૂપ પેટાજૂથ. હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર જૂથને ક્રમ 2 ના જૂથ દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જે ગેલોઇસ ક્રિયા દ્વારા હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર જૂથ પર કાર્ય કરે છે અને ઉપલા અડધા સમતલની બે નકલોની આપ-લે કરે છે. એકલતાઓએ ભાગાકારની એકતાને કેવી રીતે ઉકેલવી તે દર્શાવ્યું, અને તેમની કસ્પની એકતાને કેવી રીતે ઉકેલવી તે દર્શાવ્યું. સપાટીઓનું વર્ગીકરણ કાગળો, અને બીજગણિત સપાટીઓના વર્ગીકરણમાં તેમના પ્રકારને ઓળખી કાઢ્યા. તેમાંની મોટાભાગની સપાટીઓ સામાન્ય પ્રકારની હોય છે, પરંતુ કેટલીક તર્કસંગત સપાટીઓ હોય છે અથવા K3 સપાટીઓ અથવા લંબગોળ સપાટીઓને ઉડાવી દે છે. ઉદાહરણો ઉદાહરણોનું લાંબુ કોષ્ટક આપે છે. ક્લેબ્શ સપાટી તેના 10 એકાર્ડ પોઇન્ટ પર ઉડાવી દેવામાં આવી છે જે હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર સપાટી છે. ચતુર્ભુજ ક્ષેત્રના વિસ્તરણ સાથે સંકળાયેલ ત્યાં એક સંકળાયેલ હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર વિવિધતા છે જે ચોક્કસ ભાગાકાર વિવિધતાને સંક્ષિપ્ત કરીને અને તેની એકલતાને ઉકેલવાથી મેળવવામાં આવે છે. ચાલો ઉપલા અડધા સમતલને સૂચવીએ અને જ્યાં પણ ગેલોઇસ સંયુગ્મ હોય ત્યાં કાર્ય કરીએ. સંકળાયેલ ભાગાકાર વિવિધતાને સૂચવવામાં આવે છે અને તેને વિવિધતામાં સંકલિત કરી શકાય છે, જેને કસ્પ્સ કહેવાય છે, જે આદર્શ વર્ગો સાથે દ્વિભાજનમાં હોય છે. તેની એકલતાને ઉકેલવાથી ક્ષેત્ર વિસ્તરણની હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર વિવિધતા કહેવાય છે. બેઇલી-બોરેલ કોમ્પેક્ટિફિકેશન થીયરમમાંથી, આ સપાટીને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં એમ્બેડ કરવામાં આવી છે. હિલ્બર્ટ મોડ્યુલર ફોર્મ પિકાર્ડ મોડ્યુલર સપાટી સીગલ મોડ્યુલર વિવિધતા સંદર્ભો પણ જુઓ બાહ્ય કડીઓ બીજગણિત સપાટીઓ જટિલ સપાટીઓ