Belyi's theorem
ગણિતમાં, બીજગણિત વળાંક પર બેલીનો પ્રમેય જણાવે છે કે બીજગણિત સંખ્યા ગુણાંક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ બિન-એકવચન બીજગણિત વળાંક સી, કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે રીમાન ગોળાનું વિસ્તૃત આવરણ છે, જે માત્ર ત્રણ બિંદુઓ પર વિસ્તૃત છે. આ 1979થી જી. વી. બેલીનું પરિણામ છે. તે સમયે તે આશ્ચર્યજનક માનવામાં આવતું હતું, અને તે ગ્રોથેન્ડીકને ડેસિન્સ ડી 'એન્ફન્ટનો સિદ્ધાંત વિકસાવવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે, જે સંયુક્ત ડેટાનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિત સંખ્યાઓ પર બિન-એકવચન બીજગણિત વળાંકનું વર્ણન કરે છે. ઉપલા અર્ધ-સમતલના અવતરણો તે અનુસરે છે કે પ્રશ્નમાં રીમાન સપાટીને ભાગાકાર H/ તાઇ તરીકે લઈ શકાય છે (જ્યાં H એ ઉપલા અર્ધ-સમતલ છે અને  તાઇ એ મોડ્યુલર જૂથમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું પેટા જૂથ છે) જે કસ્પ્સ દ્વારા સઘન બને છે. મોડ્યુલર જૂથમાં બિન-સુસંગત પેટા જૂથો હોવાથી, તે નિષ્કર્ષ નથી કે આવા કોઈપણ વળાંક મોડ્યુલર વળાંક છે. બેલી ફંકશન એ કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટી S થી જટિલ પ્રોજેક્ટિવ રેખા P1 (C) સુધીનો હોલોમોર્ફિક નકશો છે, જે માત્ર ત્રણ બિંદુઓ પર વિસ્તૃત છે, જેને મોબિયસ પરિવર્તન પછી લઈ શકાય છે. બેલી કાર્યોને ડેસિન્સ ડી 'એન્ફેન્ટ્સ દ્વારા સંયુક્ત રીતે વર્ણવી શકાય છે. બેલી વિધેયો અને ડેસિન્સ ડી 'એન્ફેન્ટ્સ-પરંતુ બેલીના પ્રમેય નહીં-ઓછામાં ઓછા ફેલિક્સ ક્લેઇનના કાર્યની તારીખ છે; તેમણે તેમના લેખમાં મોનોડ્રોમી જૂથ પી. એસ. એલ. (2,11) સાથે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ રેખાના 11 ગણા આવરણનો અભ્યાસ કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો. એપ્લિકેશન્સ બેલીનો પ્રમેય બેલી કાર્યો માટેનો અસ્તિત્વ પ્રમેય છે, અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત ગેલોઇસ સમસ્યામાં તેનો ઘણો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન બીજગણિત વણાંકો બીજગણિત ભૂમિતિમાં પ્રમેયો