Fuzzy sphere
ગણિતમાં, અસ્પષ્ટ ગોળા એ બિન-વિનિમયક્ષમ ભૂમિતિના સૌથી સરળ અને સૌથી પ્રમાણભૂત ઉદાહરણોમાંનું એક છે. સામાન્ય રીતે, ગોળા પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યો આવનજાવન બીજગણિત બનાવે છે. એક અસ્પષ્ટ ગોળા સામાન્ય ગોળાથી અલગ હોય છે કારણ કે તેના પર કાર્યોનું બીજગણિત પરિવર્તનીય નથી. તે ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે જેની સ્પિન l મહત્તમ અમુક j ની બરાબર હોય છે. બે ગોળાકાર હાર્મોનિક્સના ગુણાકારની શરતો કે જેમાં જે કરતાં વધુ સ્પિન સાથે ગોળાકાર હાર્મોનિક્સનો સમાવેશ થાય છે તે ફક્ત ઉત્પાદનમાં અવગણવામાં આવે છે. આ કાપણી એક-પરિમાણીય બિન-પરિવર્તનીય બીજગણિત દ્વારા અનંત-પરિમાણીય પરિવર્તનીય બીજગણિતને બદલે છે. આ ગોળાને જોવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે અમુક મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા પર મેટ્રિક્સ બીજગણિત તરીકે કાર્યોના આ કાપેલા બીજગણિતને સાકાર કરવું. ત્રણ જે-પરિમાણીય મેટ્રિસીસ લો જે લાઈ બીજગણિત સુ (2) ની જે પરિમાણીય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત માટે આધાર બનાવે છે. તેઓ સંબંધોને સંતોષે છે, જ્યાં સાથે સંપૂર્ણપણે અસમપ્રમાણ પ્રતીક છે, અને મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ દ્વારા જે પરિમાણીય મેટ્રિક્સના બીજગણિતને ઉત્પન્ન કરે છે. આ રજૂઆતમાં સુ (2) કાસીમીર ઓપરેટરનું મૂલ્ય એ છે કે જ્યાં I એ જે-પરિમાણીય ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. આમ, જો આપણે 'કોઓર્ડિનેટ્સ' ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ જ્યાં r એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને k એ એક પરિમાણ છે, જે r અને j દ્વારા સંબંધિત છે, તો પછી કાસીમીર ઓપરેટરને લગતા ઉપરોક્ત સમીકરણને ફરીથી લખી શકાય છે, જે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં જડિત ત્રિજ્યા r ના ગોળા પરના કોઓર્ડિનેટ્સ માટેનો સામાન્ય સંબંધ છે. આ જગ્યા પર ઇન્ટિગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં F એ ફંક્શન f ને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, યુનિટીનું ઇન્ટિગ્રલ, જે પરિવર્તનીય કિસ્સામાં ગોળાની સપાટી આપે છે તે અહીં બરાબર છે જે ગોળાની સપાટીના મૂલ્ય સાથે એકરૂપ થાય છે જો કોઈ વ્યક્તિ j ને અનંત પર લઈ જાય. નોટ્સ જેન્સ હોપે, "મેમ્બ્રેન્સ એન્ડ મેટ્રિક્સ મોડલ્સ", 'ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી-ફ્રોમ અ હેમિલ્ટોનિયન પોઇન્ટ ઓફ વ્યૂ' પર ઉનાળુ શાળા દરમિયાન પ્રસ્તુત વ્યાખ્યાન, ઓગસ્ટ 2-9,2000, જ્હોન મેડોર, એન ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ નોનકોમ્યુટેટિવ ડિફરન્શિયલ જીઓમેટ્રી એન્ડ ઇટ્સ ફિઝિકલ એપ્લિકેશન્સ, લંડન મેથેમેટિકલ સોસાયટી લેક્ચર નોટ સિરીઝ. 257, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ 2002 રેફરન્સ જે. હોપે, માસલેસ રિલેટિવિસ્ટિક સરફેસ અને દ્વિ-પરિમાણીય બાઉન્ડ સ્ટેટ પ્રોબ્લેમનો ક્વોન્ટમ થિયરી. પીએચડી થીસિસ, મેસેચ્યુસેટ્સ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજી, 1982. ગાણિતિક ક્વોન્ટાઇઝેશન બિનપરિવર્તનશીલ ભૂમિતિ