Folk theorem (game theory)
રમત સિદ્ધાંતમાં, લોક પ્રમેયો એ પ્રમેયોના એક વર્ગ છે જે પુનરાવર્તિત રમતોમાં નેશ સંતુલન ચૂકવણી રૂપરેખાઓની વિપુલતાનું વર્ણન કરે છે. મૂળ લોક પ્રમેય અનંત પુનરાવર્તિત રમતના તમામ નેશ સંતુલનની ચૂકવણી સાથે સંબંધિત છે. આ પરિણામને લોક પ્રમેય કહેવામાં આવ્યું હતું કારણ કે તે 1950 ના દાયકામાં રમત સિદ્ધાંતવાદીઓમાં વ્યાપકપણે જાણીતું હતું, તેમ છતાં કોઈએ તેને પ્રકાશિત કર્યું ન હતું. ફ્રીડમેનનો (1971) પ્રમેય અનંત પુનરાવર્તિત રમતના ચોક્કસ સબગેમ-સંપૂર્ણ નેશ ઇક્વિલિબ્રિયા (એસપીઈ) ની ચૂકવણીની ચિંતા કરે છે, અને તેથી મજબૂત સંતુલન ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને મૂળ લોક પ્રમેયને મજબૂત બનાવે છેઃ નેશ ઇક્વિલિબ્રિયાને બદલે સબગેમ-સંપૂર્ણ નેશ ઇક્વિલિબ્રિયા. લોક પ્રમેય સૂચવે છે કે જો ખેલાડીઓ પૂરતા ધીરજ અને દૂરદર્શી હોય (એટલે કે. જો ડિસ્કાઉન્ટ પરિબળ), તો પછી પુનરાવર્તિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એસપીઈ સંતુલનમાં વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈપણ સરેરાશ ચૂકવણીમાં પરિણમી શકે છે. "વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈપણ" ને અહીં તકનીકી રીતે "શક્ય" અને "વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સેટઅપ અને વ્યાખ્યાઓ આપણે મૂળભૂત રમતથી શરૂઆત કરીએ છીએ, જેને સ્ટેજ ગેમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જે એન-પ્લેયર ગેમ છે. આ રમતમાં, દરેક ખેલાડી પાસે પસંદ કરવા માટે મર્યાદિત રીતે ઘણી ક્રિયાઓ હોય છે, અને તેઓ એક સાથે અને અન્ય ખેલાડીની પસંદગીઓની જાણકારી વિના તેમની પસંદગીઓ કરે છે. ખેલાડીઓની સામૂહિક પસંદગીઓ ચૂકવણીની રૂપરેખા તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે. દરેક ખેલાડી માટે ચૂકવણી. સામૂહિક પસંદગીઓથી લઈને ચૂકવણીની રૂપરેખાઓ સુધીનું મેપિંગ ખેલાડીઓ માટે જાણીતું છે, અને દરેક ખેલાડીનો હેતુ તેમની ચૂકવણીને મહત્તમ કરવાનો છે. જો સામૂહિક પસંદગી x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તો ખેલાડી i જે ચૂકવણી મેળવે છે, જેને ખેલાડી i ની ઉપયોગિતા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તેને દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. પછી આપણે આ તબક્કાની રમતના પુનરાવર્તનને ઘણી વખત મર્યાદિત અથવા અનંત રીતે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. દરેક પુનરાવર્તનમાં, દરેક ખેલાડી તેમના સ્ટેજ ગેમ વિકલ્પોમાંથી એક પસંદ કરે છે, અને તે પસંદગી કરતી વખતે, તેઓ અગાઉના પુનરાવર્તનોમાં અન્ય ખેલાડીઓની પસંદગીઓને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે. આ પુનરાવર્તિત રમતમાં, ખેલાડીઓમાંથી એક માટે વ્યૂહરચના એ એક નિર્ધારક નિયમ છે જે અગાઉના પુનરાવર્તનોમાં અન્ય તમામ ખેલાડીની પસંદગીઓના આધારે મંચની રમતના દરેક પુનરાવર્તનમાં ખેલાડીની પસંદગીને સ્પષ્ટ કરે છે. દરેક ખેલાડી માટે વ્યૂહરચનાની પસંદગી એ વ્યૂહરચનાની રૂપરેખા છે, અને તે પુનરાવર્તિત રમત માટે ચૂકવણી રૂપરેખા તરફ દોરી જાય છે. આવી વ્યૂહરચના રૂપરેખા નીચે દર્શાવેલ ચૂકવણી રૂપરેખા માં અનુવાદિત કરી શકાય તેવી ઘણી જુદી જુદી રીતો છે. પુનરાવર્તિત રમતની કોઈપણ નેશ સંતુલન ચૂકવણી રૂપરેખાએ બે ગુણધર્મોને સંતોષવા જોઈએઃ વ્યક્તિગત તર્કસંગતતાઃ ચૂકવણી ઘટક તબક્કાની રમતના મિનિમેક્સ ચૂકવણી રૂપરેખા પર નબળી રીતે પ્રભુત્વ ધરાવે છે. એટલે કે, દરેક ખેલાડીની સંતુલન ચૂકવણી ઓછામાં ઓછી તે ખેલાડીની મિનિમેક્સ ચૂકવણી જેટલી મોટી હોવી જોઈએ. આનું કારણ એ છે કે જે ખેલાડી તેમની મિનિમેક્સ ચૂકવણી કરતાં ઓછી હાંસલ કરે છે તે હંમેશા દરેક ઇતિહાસમાં તેમની મિનિમેક્સ વ્યૂહરચના રમીને વિચલિત થવા માટે પ્રોત્સાહન આપે છે. શક્યતાઃ ચૂકવણી સ્ટેજ ગેમની સંભવિત ચૂકવણી રૂપરેખાઓનું બહિર્મુખ સંયોજન હોવું જોઈએ. આનું કારણ એ છે કે પુનરાવર્તિત રમતમાં ચૂકવણી એ મૂળભૂત રમતોમાં ચૂકવણીની ભારિત સરેરાશ છે. લોક પ્રમેયો આંશિક રીતે વિરોધાભાસી દાવાઓ છેઃ તેઓ કહે છે કે, અમુક શરતો હેઠળ (જે દરેક લોક પ્રમેયમાં અલગ હોય છે), દરેક ચૂકવણી રૂપરેખા જે વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત અને શક્ય હોય તે પુનરાવર્તિત રમતના નેશ સંતુલન ચૂકવણી રૂપરેખા તરીકે અનુભવી શકાય છે. વિવિધ લોક પ્રમેયો છે; કેટલાક મર્યાદિત રીતે પુનરાવર્તિત રમતો સાથે સંબંધિત છે જ્યારે અન્ય અનંત પુનરાવર્તિત રમતો સાથે સંબંધિત છે. ડિસ્કાઉન્ટ વિના અનંત પુનરાવર્તિત રમતો બિનહિસાબી મોડેલમાં, ખેલાડીઓ ધીરજ રાખે છે. તેઓ જુદા જુદા સમયગાળામાં ઉપયોગિતાઓ વચ્ચે તફાવત કરતા નથી. તેથી, પુનરાવર્તિત રમતમાં તેમની ઉપયોગિતા મૂળભૂત રમતોમાં ઉપયોગિતાઓના સરવાળા દ્વારા રજૂ થાય છે. જ્યારે રમત અનંત હોય, ત્યારે અનંત પુનરાવર્તિત રમતમાં ઉપયોગિતા માટેનું એક સામાન્ય મોડેલ સરેરાશ ઉપયોગિતાની નીચલી મર્યાદા છેઃ જો રમત પરિણામોના માર્ગમાં પરિણમે છે, જ્યાં પુનરાવર્તન t (t = 0,1,2,.) પર ખેલાડીઓની સામૂહિક પસંદગીઓ સૂચવે છે, તો ખેલાડી i ઉપયોગિતાને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે ખેલાડી i નું મૂળભૂત-રમત ઉપયોગિતા કાર્ય ક્યાં છે. ડિસ્કાઉન્ટ વિના અનંત પુનરાવર્તિત રમતને ઘણીવાર "સુપરગેમ" કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં લોક પ્રમેય ખૂબ જ સરળ છે અને તેમાં કોઈ પૂર્વ-શરતો નથીઃ મૂળભૂત રમતમાં દરેક વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત અને શક્ય ચૂકવણી રૂપરેખા પુનરાવર્તિત રમતમાં નેશ સંતુલન ચૂકવણી રૂપરેખા છે. સાબિતી એક ગંભીર અથવા ગંભીર ટ્રિગર વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ કરે છે. બધા ખેલાડીઓ નિર્ધારિત ક્રિયા રમવાથી શરૂઆત કરે છે અને જ્યાં સુધી કોઈ વિચલિત ન થાય ત્યાં સુધી આમ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. જો ખેલાડી હું વિચલિત થાય છે, તો અન્ય તમામ ખેલાડીઓ ક્રિયા પસંદ કરવા તરફ વળે છે જે ખેલાડીને કાયમ માટે મિનિમેક્સ કરે છે. વિચલનમાંથી એક તબક્કાનો લાભ ખેલાડી i ની કુલ ઉપયોગિતામાં 0 નો ફાળો આપે છે. વિચલન કરનાર ખેલાડીની ઉપયોગિતા તેની મિનિમેક્સ ચૂકવણી કરતાં વધારે ન હોઈ શકે. તેથી બધા ખેલાડીઓ ઇચ્છિત માર્ગ પર રહે છે અને આ ખરેખર એક નેશ સંતુલન છે. સબગેમ સંપૂર્ણતા ઉપરનું નેશ સંતુલન હંમેશા સબગેમ સંપૂર્ણ હોતું નથી. જો સજા કરનારાઓ માટે સજા મોંઘી હોય, તો સજાની ધમકી વિશ્વસનીય નથી. સબગેમ સંપૂર્ણ સંતુલન માટે થોડી વધુ જટિલ વ્યૂહરચનાની જરૂર પડે છે. સજા કાયમ ટકી ન હોવી જોઈએ; તે માત્ર એક મર્યાદિત સમય સુધી ટકી હોવી જોઈએ જે વિચલનમાંથી લાભને ભૂંસી નાખવા માટે પૂરતી છે. તે પછી, અન્ય ખેલાડીઓએ સંતુલન માર્ગ પર પાછા ફરવું જોઈએ. અર્થની મર્યાદા માપદંડ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે કોઈપણ મર્યાદિત સમયની સજાની અંતિમ પરિણામ પર કોઈ અસર થતી નથી. તેથી, મર્યાદિત સમયની સજા એ સબગેમ-સંપૂર્ણ સંતુલન છે. ગઠબંધન સબગેમ-સંપૂર્ણ સંતુલનઃ જો કોઈ ગઠબંધન વિચલનથી લાભ મેળવી ન શકે તો સંતુલનને ગઠબંધન નાશ સંતુલન કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ પણ ગઠબંધન કોઈ પણ ઇતિહાસ પછી વિચલનથી લાભ મેળવી ન શકે તો તેને ગઠબંધન સબગેમ-સંપૂર્ણ સંતુલન કહેવામાં આવે છે. અર્થની મર્યાદા માપદંડ સાથે, વળતર રૂપરેખા ગઠબંધન-નાશ-સંતુલન અથવા ગઠબંધન-સબગેમ-સંપૂર્ણ-સંતુલનમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, જો-અને-માત્ર-જો તે પેરેટો કાર્યક્ષમ અને નબળા-સંકલન-વ્યક્તિગત રીતે-તર્કસંગત હોય. કેટલાક લેખકો દાવો કરે છે કે અર્થની મર્યાદા માપદંડ અવાસ્તવિક છે, કારણ કે તે સૂચવે છે કે કોઈપણ મર્યાદિત સમયગાળામાં ઉપયોગિતાઓ કુલ ઉપયોગિતામાં 0 નું યોગદાન આપે છે. જો કે, જો કોઈ મર્યાદિત સમય-ગાળામાં ઉપયોગિતાઓ હકારાત્મક મૂલ્યમાં ફાળો આપે છે, અને મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવતી નથી, તો અનંત પરિણામ ક્રમમાં મર્યાદિત આંકડાકીય ઉપયોગિતાને શ્રેય આપવું અશક્ય છે. આ સમસ્યાનો સંભવિત ઉકેલ એ છે કે, દરેક અનંત પરિણામ ક્રમ માટે આંકડાકીય ઉપયોગિતાને વ્યાખ્યાયિત કરવાને બદલે, આપણે ફક્ત બે અનંત ક્રમ વચ્ચેના પસંદગી સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. અમે કહીએ છીએ કે એજન્ટ (સખત રીતે) ક્રમ પર પરિણામોના ક્રમને પસંદ કરે છે, જોઃ ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમને ધ્યાનમાં લો અને. અર્થની મર્યાદા માપદંડ અનુસાર, તેઓ ખેલાડી i ને સમાન ઉપયોગિતા પ્રદાન કરે છે, પરંતુ ઓવરટેકિંગ માપદંડ અનુસાર, ખેલાડી i કરતાં વધુ સારી છે. વધુ માહિતી માટે ઓવરટેકિંગ માપદંડ જુઓ. ઓવરટેકિંગ માપદંડ સાથેના લોક પ્રમેયો અર્થની મર્યાદા માપદંડ કરતાં સહેજ નબળા છે. માત્ર એવા પરિણામો પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જે સખત રીતે વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત હોય, જે નેશ સંતુલનમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આનું કારણ એ છે કે, જો કોઈ એજન્ટ વિચલિત થાય છે, તો તે ટૂંકા ગાળામાં લાભ મેળવે છે, અને આ લાભ ત્યારે જ નાબૂદ થઈ શકે છે જ્યારે સજા વિચલન કરનારને કરારના માર્ગ કરતાં સખત રીતે ઓછી ઉપયોગિતા આપે. નીચેના લોક પ્રમેયો ઓવરટેકિંગ માપદંડ માટે જાણીતા છેઃ સખત સ્થિર સંતુલનઃ જો દરેક ખેલાડી સંતુલનમાં પ્રાપ્ત પરિણામોના અનંત ક્રમને સખત રીતે પસંદ કરે તો તેને કડક કહેવામાં આવે છે. જો દરેક સમયગાળામાં પરિણામ સમાન હોય તો નાશ સંતુલનને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. સખત-સ્થિર-સંતુલનમાં પરિણામ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જો-અને-માત્ર-જો દરેક ખેલાડી માટે પરિણામ ખેલાડીના મિનિમેક્સ પરિણામ કરતાં સખત રીતે વધુ સારું હોય. સખત સ્થિર સબગેમ-સંપૂર્ણ સંતુલનઃ સખત-સ્થિર-સબગેમ-સંપૂર્ણ-સંતુલનમાં પરિણામ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, જો દરેક ખેલાડી માટે પરિણામ ખેલાડીના મિનિમેક્સ પરિણામ કરતાં સખત રીતે વધુ સારું હોય (નોંધ લો કે આ "જો-અને-માત્ર-જો" પરિણામ નથી). ઓવરટેકિંગ માપદંડ સાથે સબગેમ-સંપૂર્ણ સંતુલન હાંસલ કરવા માટે, કરારના માર્ગથી વિચલિત થનારા ખેલાડીને જ નહીં, પરંતુ વિચલિત ખેલાડીને સજા કરવામાં સહકાર ન આપતા દરેક ખેલાડીને પણ સજા કરવી જરૂરી છે. "સ્થિર સંતુલન" ખ્યાલને "સામયિક સંતુલન" માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, જેમાં પરિણામોની મર્યાદિત સંખ્યાને સમયાંતરે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, અને સમયગાળામાં ચૂકવણી એ પરિણામોમાં ચૂકવણીનો અંકગણિત સરેરાશ છે. તેનો અર્થ એ કે ચૂકવણી મિનિમેક્સ ચૂકવણીથી સખત રીતે ઉપર હોવી જોઈએ. સખત સ્થિર ગઠબંધન સંતુલનઃ ઓવરટેકિંગ માપદંડ સાથે, જો ગઠબંધન-નાશ-સંતુલનમાં કોઈ પરિણામ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, તો તે પેરેટો કાર્યક્ષમ અને નબળું-સંકલન-વ્યક્તિગત રીતે-તર્કસંગત છે. બીજી બાજુ, જો તે પેરેટો કાર્યક્ષમ અને મજબૂત-એકીકરણ-વ્યક્તિગત-તર્કસંગત હોય તો તે કડક-સ્થિર-એકીકરણ-સંતુલનમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. ડિસ્કાઉન્ટિંગ સાથે અનંત પુનરાવર્તિત રમતો ધારો કે અનંત પુનરાવર્તિત રમતમાં ખેલાડીની ચૂકવણી ડિસ્કાઉન્ટ પરિબળ 0 <δ <1 સાથે સરેરાશ ડિસ્કાઉન્ટેડ માપદંડ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ડિસ્કાઉન્ટ પરિબળ સૂચવે છે કે ખેલાડીઓ કેટલા ધીરજ ધરાવે છે. પરિબળ રજૂ કરવામાં આવે છે જેથી ચૂકવણી ક્યારે બંધાયેલ રહે. આ કિસ્સામાં લોક પ્રમેય માટે જરૂરી છે કે પુનરાવર્તિત રમતમાં ચૂકવણી રૂપરેખા મિનિમેક્સ ચૂકવણી રૂપરેખા પર સખત રીતે પ્રભુત્વ ધરાવે છે (એટલે કે, દરેક ખેલાડી મિનિમેક્સ ચૂકવણી કરતાં સખત રીતે વધુ મેળવે છે). પેઓફ પ્રોફાઇલ યુ સાથે સ્ટેજ ગેમની વ્યૂહરચના રૂપરેખા બનવા દો જે મિનિમેક્સ પેઓફ પ્રોફાઇલ પર સખત પ્રભુત્વ ધરાવે છે. યુ સાથે રમતના નેશ સંતુલનને પરિણામી ચૂકવણી રૂપરેખા તરીકે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ બધા ખેલાડીઓ એ રમવાથી શરૂઆત કરે છે અને જો કોઈ વિચલન ન થાય તો એ રમવાનું ચાલુ રાખે છે. 2. જો કોઈ એક ખેલાડી, જેમ કે ખેલાડી i, વિચલિત થાય છે, તો વ્યૂહરચના રૂપરેખા m વગાડો જે હંમેશા માટે મિનિમેક્સ કરે છે. 3. બહુપક્ષીય વિચલનોને અવગણો. જો ખેલાડી 1 ને અનુસરીને દરેક તબક્કે તેની લઘુતમ ચૂકવણી કરતાં વધુ મેળવે છે, તો સજાથી સંભવિત નુકસાન એ છે કે જો δ 1 ની નજીક હોય, તો આ કોઈપણ મર્યાદિત એક-તબક્કાના લાભ કરતાં વધી જાય છે, જે વ્યૂહરચનાને નેશ સંતુલન બનાવે છે. આ લોક પ્રમેયનું વૈકલ્પિક નિવેદન સંતુલન ચૂકવણી રૂપરેખા યુ ને કોઈપણ વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત શક્ય ચૂકવણી રૂપરેખા બનવાની મંજૂરી આપે છે; તે માટે માત્ર વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત શક્ય ચૂકવણી રૂપરેખા અસ્તિત્વમાં હોવી જરૂરી છે જે મિનિમેક્સ ચૂકવણી રૂપરેખા પર સખત પ્રભુત્વ ધરાવે છે. પછી, લોક પ્રમેય બાંહેધરી આપે છે કે કોઈપણ ઇચ્છિત ચોકસાઇ માટે સંતુલનમાં યુ સુધી પહોંચવું શક્ય છે (દરેક ε માટે એક નેશ સંતુલન અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં ચૂકવણી રૂપરેખા યુથી અંતર ε દૂર છે). સબગેમની સંપૂર્ણતા ડિસ્કાઉન્ટેડ રમતોમાં સબગેમનું સંપૂર્ણ સંતુલન મેળવવું બિનહિસાબી રમતો કરતાં વધુ મુશ્કેલ છે. સજાનો ખર્ચ ઓછો થતો નથી (અર્થની મર્યાદાના માપદંડની જેમ). બિન-સજા કરનારાઓને અવિરત સજા કરવી હંમેશા શક્ય નથી (ઓવરટેકિંગ માપદંડની જેમ) કારણ કે ડિસ્કાઉન્ટ પરિબળ ભવિષ્યમાં દૂરની સજાઓને વર્તમાન માટે અપ્રસ્તુત બનાવે છે. તેથી, એક અલગ અભિગમની જરૂર છેઃ સજા કરનારાઓને પુરસ્કાર મળવો જોઈએ. આ માટે વધારાની ધારણા જરૂરી છે, કે શક્ય ચૂકવણી રૂપરેખાઓનો સમૂહ પૂર્ણ પરિમાણીય છે અને લઘુતમ-મહત્તમ રૂપરેખા તેના આંતરિક ભાગમાં આવેલી છે. વ્યૂહરચના નીચે મુજબ છે. 1. બધા ખેલાડીઓ એ રમવાથી શરૂઆત કરે છે અને જો કોઈ વિચલન ન થાય તો એ રમવાનું ચાલુ રાખે છે. 2. જો કોઈ એક ખેલાડી, જેમ કે ખેલાડી i, વિચલિત થાય છે, તો વ્યૂહરચના રૂપરેખા m વગાડો જે N સમયગાળા માટે i ને લઘુત્તમ બનાવે છે. (એન અને δ તેટલા મોટા પસંદ કરો જેથી કોઈ પણ ખેલાડીને તબક્કા 1 થી વિચલિત થવા માટે પ્રોત્સાહન ન મળે.) 3. જો કોઈ પણ ખેલાડી તબક્કા 2 થી વિચલિત ન થાય, તો તમામ ખેલાડીને કાયમ માટે જે મિનિ-મેક્સ ઉપર ε પુરસ્કાર મળે છે, જ્યારે ખેલાડી i તેની મિનિ-મેક્સ મેળવવાનું ચાલુ રાખે છે. (અહીં પૂર્ણ-પરિમાણીયતા અને આંતરિક ધારણા જરૂરી છે.) 4. જો ખેલાડી જે તબક્કા 2 થી વિચલિત થાય છે, તો બધા ખેલાડીઓ લક્ષ્ય તરીકે જે સાથે તબક્કો 2 ફરી શરૂ કરે છે. 5. બહુપક્ષીય વિચલનોને અવગણો. ખેલાડી જે § આઈ પાસે હવે સજાના તબક્કા 2 થી વિચલિત થવા માટે કોઈ પ્રોત્સાહન નથી. આ સબગેમ સંપૂર્ણ લોક પ્રમેયને સાબિત કરે છે. ડિસ્કાઉન્ટ વિના મર્યાદિત રીતે પુનરાવર્તિત રમતો ધારો કે રમતમાં ખેલાડી i ની ચૂકવણી જે T વખત પુનરાવર્તિત થાય છે તે સરળ અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ કેસ માટે લોક પ્રમેયમાં નીચેની વધારાની આવશ્યકતા છેઃ મૂળભૂત રમતમાં, દરેક ખેલાડી i માટે, એક નેશ-સંતુલન છે જે સખત રીતે વધુ સારું છે, i માટે, તેના મિનિમેક્સ ચૂકવણી કરતાં. આ જરૂરિયાત ડિસ્કાઉન્ટેડ અનંત રમતોની જરૂરિયાત કરતાં વધુ મજબૂત છે, જે બદલામાં બિનહિસાબી અનંત રમતોની જરૂરિયાત કરતાં વધુ મજબૂત છે. છેલ્લા પગલાને કારણે આ જરૂરિયાત જરૂરી છે. છેલ્લા તબક્કામાં, એકમાત્ર સ્થિર પરિણામ મૂળભૂત રમતમાં નાશ-સંતુલન છે. ધારો કે ખેલાડીને નેશ સંતુલનમાંથી કંઈ મળતું નથી (કારણ કે તે તેને માત્ર તેની મિનિમેક્સ ચૂકવણી આપે છે). પછી, તે ખેલાડીને સજા કરવાની કોઈ રીત નથી. બીજી બાજુ, જો દરેક ખેલાડી માટે મૂળભૂત સંતુલન હોય જે મિનિમેક્સ કરતાં સખત રીતે વધુ સારું હોય, તો પુનરાવર્તિત-રમત સંતુલન બે તબક્કામાં બનાવી શકાય છેઃ પ્રથમ તબક્કામાં, ખેલાડીઓ ઇચ્છિત વળતર પ્રોફાઇલનો અંદાજ કાઢવા માટે જરૂરી આવર્તનમાં વૈકલ્પિક વ્યૂહરચનાઓ કરે છે. છેલ્લા તબક્કામાં, ખેલાડીઓ બદલામાં દરેક ખેલાડીનું પસંદગીનું સંતુલન રમે છે. છેલ્લા તબક્કામાં, કોઈ પણ ખેલાડી વિચલિત થતો નથી કારણ કે ક્રિયાઓ પહેલેથી જ મૂળભૂત-રમત સંતુલન છે. જો કોઈ એજન્ટ પ્રથમ તબક્કામાં વિચલિત થાય છે, તો તેને છેલ્લા તબક્કામાં મિનિમેક્સ કરીને સજા થઈ શકે છે. જો રમત પૂરતી લાંબી હોય, તો છેલ્લા તબક્કાની અસર નજીવી હોય છે, તેથી સંતુલન વળતર ઇચ્છિત રૂપરેખા સુધી પહોંચે છે. લોક પ્રમેયોને વિવિધ ક્ષેત્રોમાં લાગુ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ માનવશાસ્ત્રઃ એવા સમુદાયમાં જ્યાં તમામ વર્તણૂક જાણીતી છે, અને જ્યાં સમુદાયના સભ્યો જાણે છે કે તેઓ એકબીજા સાથે વ્યવહાર કરવાનું ચાલુ રાખશે, પછી વર્તનની કોઈપણ રીત (પરંપરાઓ, વર્જનાઓ, વગેરે). જ્યાં સુધી સમુદાયની વ્યક્તિઓ સમુદાય છોડવા કરતાં સમુદાયમાં રહેવાનું વધુ સારું હોય ત્યાં સુધી સામાજિક ધોરણો દ્વારા ટકાવી શકાય છે (મિનિમેક્સ સ્થિતિ). આંતરરાષ્ટ્રીય રાજકારણઃ દેશો વચ્ચેના કરારો અસરકારક રીતે લાગુ કરી શકાતા નથી. જોકે, તેમને જાળવી રાખવામાં આવે છે કારણ કે દેશો વચ્ચેના સંબંધો લાંબા ગાળાના હોય છે અને દેશો એકબીજા સામે "મિનિમેક્સ વ્યૂહરચનાઓ" નો ઉપયોગ કરી શકે છે. આ શક્યતા ઘણીવાર સંબંધિત દેશોના ડિસ્કાઉન્ટ પરિબળ પર આધારિત હોય છે. જો કોઈ દેશ ખૂબ જ અધીરો હોય (ભવિષ્યના પરિણામો પર બહુ ઓછું ધ્યાન આપે છે), તો તેને સજા કરવી (અથવા તેને વિશ્વસનીય રીતે સજા કરવી) મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. બીજી બાજુ, એમ. આઈ. ટી. ના અર્થશાસ્ત્રી ફ્રેન્કલીન ફિશરે નોંધ્યું છે કે લોક પ્રમેય હકારાત્મક સિદ્ધાંત નથી. દાખલા તરીકે, અલ્પજનતંત્રના વર્તનને ધ્યાનમાં લેતા, લોક પ્રમેય અર્થશાસ્ત્રીને કંપનીઓ શું કરશે તે કહેતો નથી, પરંતુ અલ્પજનતંત્રના સામાન્ય સિદ્ધાંત માટે ખર્ચ અને માંગના કાર્યો પૂરતા નથી, અને અર્થશાસ્ત્રીઓએ તે સંદર્ભનો સમાવેશ કરવો જોઈએ કે જેમાં અલ્પજનતંત્ર તેમના સિદ્ધાંતમાં કાર્ય કરે છે. 2007 માં, બોર્ગ્સ એટ અલ. સાબિત કર્યું કે, લોક પ્રમેય હોવા છતાં, સામાન્ય કિસ્સામાં પુનરાવર્તિત રમતો માટે નેશ ઇક્વિલિબ્રિયાની ગણતરી એક-શોટ મર્યાદિત રમતો માટે નેશ ઇક્વિલિબ્રિયાની ગણતરી કરતાં સરળ નથી, જે સમસ્યા PPAD જટિલતા વર્ગમાં છે. આનું વ્યવહારુ પરિણામ એ છે કે કોઈ કાર્યક્ષમ (બહુપદી-સમય) અલ્ગોરિધમ જાણીતું નથી જે સામાન્ય કિસ્સામાં લોક પ્રમેયો દ્વારા જરૂરી વ્યૂહરચનાઓની ગણતરી કરે છે. લોક પ્રમેયોનો સારાંશ નીચેનું કોષ્ટક વિવિધ પાસાંઓમાં વિવિધ લોક પ્રમેયોની સરખામણી કરે છેઃ ક્ષિતિજ-શું મંચની રમતને મર્યાદિત રીતે અથવા અનંત રીતે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે. ઉપયોગિતાઓ-પુનરાવર્તિત રમતમાં ખેલાડીની ઉપયોગિતા સ્ટેજ રમતના પુનરાવર્તનમાં ખેલાડીની ઉપયોગિતાઓથી કેવી રીતે નક્કી થાય છે. જી (સ્ટેજ ગેમ) પરની શરતો-શું કોઈ તકનીકી શરતો છે કે જે પ્રમેયને કામ કરવા માટે એક-શોટની રમતમાં હોવી જોઈએ. x પરની શરતો (પુનરાવર્તિત રમતના લક્ષ્ય ચૂકવણી વેક્ટર)-શું પ્રમેય કોઈપણ વ્યક્તિગત રીતે તર્કસંગત અને શક્ય ચૂકવણી વેક્ટર માટે કામ કરે છે, અથવા ફક્ત આ વેક્ટરના સબસેટ પર કામ કરે છે. સંતુલન પ્રકાર-જો બધી શરતો પૂર્ણ થાય, તો પ્રમેય દ્વારા કેવા પ્રકારના સંતુલનની ખાતરી આપવામાં આવે છે-નેશ અથવા સબગેમ-પરફેક્ટ? સજાનો પ્રકાર-ખેલાડીઓને વિચલિત થતા અટકાવવા માટે કેવા પ્રકારની સજાની વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે? નોંધો સંદર્ભો લોક પ્રમેયની પ્રારંભિક નોંધોનો સમૂહ છે. રમત સિદ્ધાંત સંતુલન વિભાવનાઓ પ્રમેયો