Nil ideal
ગણિતમાં, વધુ સ્પષ્ટ રીતે રિંગ થિયરીમાં, રિંગના ડાબી, જમણી અથવા બે બાજુવાળા આદર્શને શૂન્ય આદર્શ કહેવામાં આવે છે જો તેના દરેક તત્વો નિલપોટેન્ટ હોય. પરિવર્તનીય રિંગનું નિલ્રાડિકલ એ શૂન્ય આદર્શનું ઉદાહરણ છે; હકીકતમાં, તે શૂન્ય હોવાના ગુણધર્મના સંદર્ભમાં રિંગ મેક્સિમલનું આદર્શ છે. કમનસીબે શૂન્ય તત્વોનો સમૂહ હંમેશા બિનપરિવર્તનશીલ રિંગ્સ માટે આદર્શ નથી. નીલ આદર્શો હજુ પણ રસપ્રદ ખુલ્લા પ્રશ્નો સાથે સંકળાયેલા છે, ખાસ કરીને વણઉકેલાયેલા કોથે અનુમાન. પરિવર્તનીય રિંગ્સ પરિવર્તનીય રિંગ્સમાં, શૂન્ય આદર્શો બિન-પરિવર્તનીય રિંગ્સ કરતાં વધુ સારી રીતે સમજી શકાય છે, મુખ્યત્વે કારણ કે પરિવર્તનીય રિંગ્સમાં, નિલપોટેન્ટ તત્વો અને નિલપોટેન્ટ તત્વોનો સરવાળો ધરાવતા ઉત્પાદનો બંને નિલપોટેન્ટ હોય છે. આનું કારણ એ છે કે જો a અને b એ an = 0 અને bm = 0 સાથે R ના નિલપોટેન્ટ તત્વો છે, અને r એ R નું કોઈપણ તત્વ છે, તો પછી (a·r) n = an·rn = 0, અને દ્વિપદી પ્રમેય દ્વારા, (a + b) m + n = 0. તેથી, તમામ નિલપોટેન્ટ તત્વોનો સમૂહ એક આદર્શ બનાવે છે જે રિંગના નિલ રેડિકલ તરીકે ઓળખાય છે. કારણ કે નીલ રેડિકલમાં દરેક નિલપોટેન્ટ તત્વ હોય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ પરિવર્તનીય રિંગનો આદર્શ શૂન્ય હોય છે જો તે શૂન્ય રેડિકલનો સબસેટ હોય, અને તેથી શૂન્ય રેડિકલ બિન-શૂન્ય આદર્શોમાં મહત્તમ હોય છે. વધુમાં, પરિવર્તનીય રીંગ R ના કોઈપણ નિલપોટેન્ટ તત્વ a માટે, આદર્શ aR શૂન્ય છે. જો કે, બિનપરિવર્તનશીલ વીંટી માટે, તે સામાન્ય રીતે સાચું નથી કે નિલપોટેન્ટ તત્વોનો સમૂહ આદર્શ બનાવે છે, અથવા a એ શૂન્ય (એકતરફી) આદર્શ છે, ભલે a એ નિલપોટેન્ટ હોય. નોન-કમ્યુટેટિવ રિંગ્સ નોન-કમ્યુટેટિવ રિંગ થિયરીમાં શૂન્ય આદર્શોનો સિદ્ધાંત મુખ્ય મહત્વ ધરાવે છે. ખાસ કરીને, શૂન્ય રિંગ્સની સમજણ દ્વારા-રિંગ્સ કે જેનું દરેક તત્વ નિલપોટેન્ટ છે-વ્યક્તિ વધુ સામાન્ય રિંગ્સની વધુ સારી સમજણ મેળવી શકે છે. પરિવર્તનીય રિંગ્સના કિસ્સામાં, હંમેશા મહત્તમ શૂન્ય આદર્શ હોય છેઃ રિંગનું નિલરેડિકલ. બિનપરિવર્તનશીલ રિંગ્સના કિસ્સામાં આવા મહત્તમ શૂન્ય આદર્શના અસ્તિત્વની ખાતરી એ હકીકત દ્વારા આપવામાં આવે છે કે શૂન્ય આદર્શોનો સરવાળો ફરીથી શૂન્ય છે. જો કે, બે ડાબા શૂન્ય આદર્શોનો સરવાળો ફરીથી એક ડાબા શૂન્ય આદર્શ છે તે દાવાનું સત્ય પ્રપંચી રહે છે; તે એક ખુલ્લી સમસ્યા છે જે કોથે અનુમાન તરીકે ઓળખાય છે. કોથે અનુમાન સૌપ્રથમ 1930 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું અને હજુ સુધી 2023 સુધી વણઉકેલાયેલી છે. નિલપોટેન્ટ આદર્શો સાથે સંબંધ શૂન્ય આદર્શની કલ્પનાનો નિલપોટેન્ટ આદર્શ સાથે ઊંડો સંબંધ છે, અને રિંગ્સના કેટલાક વર્ગોમાં, બે કલ્પનાઓ એક સાથે આવે છે. જો કોઈ આદર્શ નિલપોટેન્ટ હોય, તો તે ચોક્કસપણે શૂન્ય હોય છે. શૂન્ય આદર્શો નીલપોટેન્ટ હોવા માટે બે મુખ્ય અવરોધો છેઃ તત્વોને નાબૂદ કરવા માટે જરૂરી ઘાતાંક પર ઉપલી સીમા હોવી જરૂરી નથી. મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ઘાતાંકોની જરૂર પડી શકે છે. મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ n માટે n નિલપોટેન્ટ તત્વોનું ગુણાકાર બિન-શૂન્ય હોઈ શકે છે. સ્પષ્ટપણે શૂન્ય આદર્શ માટે આ બંને અવરોધોને ટાળવા જોઈએ જેથી તે નિલપોટેન્ટ તરીકે લાયક ઠરે. જમણી આર્ટીનીયન રીંગમાં, કોઈપણ શૂન્ય આદર્શ નિલપોટેન્ટ હોય છે. આ અવલોકન દ્વારા સાબિત થાય છે કે કોઈપણ શૂન્ય આદર્શ રિંગના જેકોબસન રેડિકલમાં સમાયેલ છે, અને જેકોબસન રેડિકલ એક નિલપોટેન્ટ આદર્શ હોવાથી (આર્ટીનીયન પૂર્વધારણાને કારણે), પરિણામ અનુસરે છે. હકીકતમાં, આને જમણી નોથેરિયન રિંગ્સ માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું છે; પરિણામ લેવિટ્ઝકીના પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. ઉટુમીને કારણે ખાસ કરીને સરળ સાબિતી મળી શકે છે. કોથે અનુમાન નિલપોટેન્ટ આદર્શ નિલરેડિકલ જેકોબ્સન આમૂલ નોંધો સંદર્ભો આદર્શો (રીંગ થિયરી) પણ જુઓ.