Hyperbolic group
જૂથ સિદ્ધાંતમાં, વધુ ચોક્કસપણે ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં, હાયપરબોલિક જૂથ, જેને શબ્દ હાયપરબોલિક જૂથ અથવા ગ્રોમોવ હાયપરબોલિક જૂથ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે શાસ્ત્રીય હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાંથી અમૂર્ત ચોક્કસ ગુણધર્મોને સંતોષતા શબ્દ મેટ્રિકથી સજ્જ એક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથ છે. હાયપરબોલિક જૂથની કલ્પના દ્વારા રજૂ અને વિકસાવવામાં આવી હતી. પ્રેરણા વિવિધ પ્રવર્તમાન ગાણિતિક સિદ્ધાંતોમાંથી મળી હતીઃ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ પણ નિમ્ન-પરિમાણીય ટોપોલોજી (ખાસ કરીને હાયપરબોલિક રીમાન સપાટીના મૂળભૂત જૂથને લગતા મેક્સ ડેહનના પરિણામો, અને ત્રિ-પરિમાણીય ટોપોલોજીમાં વધુ જટિલ ઘટનાઓ), અને સંયુક્ત જૂથ સિદ્ધાંત. 1987ના એક ખૂબ જ પ્રભાવશાળી (1000 થી વધુ સંદર્ભો) પ્રકરણમાં, ગ્રોમોવે એક વ્યાપક સંશોધન કાર્યક્રમની દરખાસ્ત કરી હતી. અતિશયોક્તિપૂર્ણ જૂથોના સિદ્ધાંતમાં વિચારો અને પાયાની સામગ્રી પણ જ્યોર્જ મોસ્ટો, વિલિયમ થર્સ્ટન, જેમ્સ ડબ્લ્યુ. કેનન, એલિયાહુ રિપ્સ અને અન્ય ઘણા લોકોના કાર્યમાંથી ઉદ્ભવે છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથ હોઈએ, અને જનરેટરના કેટલાક મર્યાદિત સમૂહના સંદર્ભમાં તેનો કેલે ગ્રાફ હોઈએ. સમૂહને તેના આલેખ મેટ્રિકથી સંપન્ન કરવામાં આવે છે (જેમાં ધારની લંબાઈ એક હોય છે અને બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તેમને જોડતા માર્ગમાં ધારની ન્યૂનતમ સંખ્યા હોય છે) જે તેને લંબાઈની જગ્યામાં ફેરવે છે. આ જૂથને પછી હાયપરબોલિક કહેવામાં આવે છે જો તે ગ્રોમોવના અર્થમાં હાયપરબોલિક જગ્યા હોય. ટૂંક સમયમાં, આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એક એવું અસ્તિત્વ છે કે જેમાં કોઈપણ ભૌગોલિક ત્રિકોણ-પાતળું હોય છે, જેમ કે જમણી બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે (જગ્યા પછી-હાયપરબોલિક કહેવાય છે). પ્રાથમિકતા આ વ્યાખ્યા મર્યાદિત જનરેટિંગ સેટની પસંદગી પર આધારિત છે. આ કિસ્સો નથી તે નીચેની બે હકીકતો પરથી અનુસરે છેઃ બે મર્યાદિત જનરેટિંગ સમૂહોને અનુરૂપ કેલે આલેખ હંમેશા એકથી બીજા અર્ધ-સમમિતીય હોય છે; કોઈપણ ભૂગણિત જગ્યા જે ભૂગણિત ગ્રોમોવ-હાયપરબોલિક જગ્યા માટે અર્ધ-સમમિતીય હોય તે પોતે જ ગ્રોમોવ-હાયપરબોલિક હોય છે. આમ આપણે કાયદેસર રીતે પેદા કરતા સમૂહનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથ હાયપરબોલિક હોવાની વાત કરી શકીએ છીએ. બીજી બાજુ, જે જગ્યા-હાયપરબોલિક જગ્યા માટે અર્ધ-આઇસોમેટ્રિક હોય છે તે પોતે જ કેટલાક લોકો માટે-હાયપરબોલિક હોય છે પરંતુ બાદમાં તે મૂળ અને અર્ધ-આઇસોમેટ્રી બંને પર આધાર રાખે છે, આમ-હાયપરબોલિક હોવાની વાત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. સ્વાર્ક-મિલ્નર લેમ્મા જણાવે છે કે જો કોઈ જૂથ યોગ્ય રીતે અસંગત રીતે અને યોગ્ય લંબાઈની જગ્યા પર કોમ્પેક્ટ ભાગાકાર (આવી ક્રિયાને ઘણીવાર ભૌમિતિક કહેવામાં આવે છે) સાથે કાર્ય કરે છે, તો તે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે, અને કોઈપણ કેલે ગ્રાફ માટે અર્ધ-આઇસોમેટ્રિક છે. આમ જૂથ (મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલું અને) અતિસંવેદનશીલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની યોગ્ય અતિસંવેદનશીલ જગ્યા પર ભૌમિતિક ક્રિયા હોય. જો મર્યાદિત અનુક્રમણિકા સાથેનું પેટા જૂથ હોય (એટલે કે, સમૂહ મર્યાદિત છે), તો સમાવેશ કોઈપણ સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત કેલે ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ પર અર્ધ-સમપ્રમાણતાને કોઈપણ સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત કેલે ગ્રાફમાં પ્રેરિત કરે છે. આમ હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર જો તે પોતે જ હોય. વધુ સામાન્ય રીતે, જો બે જૂથો તુલનાત્મક હોય, તો પછી એક હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર જો અન્ય હોય. ઉદાહરણો પ્રાથમિક હાયપરબોલિક જૂથો હાયપરબોલિક જૂથોના સૌથી સરળ ઉદાહરણો મર્યાદિત જૂથો છે (જેમના કેલે આલેખ મર્યાદિત વ્યાસના હોય છે, તેથી આ વ્યાસની બરાબર-હાયપરબોલિક). અન્ય એક સરળ ઉદાહરણ અનંત ચક્રીય જૂથ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છેઃ ઉત્પન્ન સમૂહના સંદર્ભમાં કેલે ગ્રાફ એક રેખા છે, તેથી તમામ ત્રિકોણ રેખા ખંડો છે અને ગ્રાફ-હાયપરબોલિક છે. તે અનુસરે છે કે કોઈપણ જૂથ કે જે વર્ચ્યુઅલ રીતે ચક્રીય હોય (જેમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાની નકલ હોય) તે પણ હાયપરબોલિક હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે અનંત ડાયહેડ્રલ જૂથ. જૂથોના આ વર્ગના સભ્યોને ઘણીવાર પ્રાથમિક હાયપરબોલિક જૂથો કહેવામાં આવે છે (પરિભાષા હાયપરબોલિક પ્લેન પરની ક્રિયાઓથી સ્વીકારવામાં આવે છે). વૃક્ષો પર કામ કરતા મુક્ત જૂથો અને જૂથો ચાલો એક મર્યાદિત સમૂહ બનીએ અને સમૂહ બનાવવા સાથે મુક્ત જૂથ બનીએ. પછી તેના સંદર્ભમાં કેલે ગ્રાફ સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત વૃક્ષ છે અને તેથી 0-હાયપરબોલિક જગ્યા છે. આમ એક હાયપરબોલિક જૂથ છે. વધુ સામાન્ય રીતે આપણે જોઈએ છીએ કે કોઈપણ જૂથ કે જે સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત વૃક્ષ પર યોગ્ય રીતે વિસંગત રીતે કાર્ય કરે છે (આ સંદર્ભમાં આનો અર્થ એ છે કે શિરોબિંદુઓના સ્ટેબિલાઇઝર્સ મર્યાદિત છે) તે હાયપરબોલિક છે. ખરેખર, આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે જેમાં એક અપરિવર્તનશીલ સબટ્રી છે જેના પર તે કોમ્પેક્ટ ભાગાકાર સાથે કામ કરે છે, અને સ્વાર્ક-મિલ્નર લેમ્મા. આવા જૂથો હકીકતમાં વર્ચ્યુઅલ રીતે મફત છે (એટલે કે. તેમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મુક્ત પેટાજૂથ હોય છે), જે તેમની અતિશયોક્તિનો બીજો પુરાવો આપે છે. એક રસપ્રદ ઉદાહરણ મોડ્યુલર જૂથ છેઃ તે હાયપરબોલિક પ્લેનના સંકળાયેલ ટેસેલેશનના 1-સ્કેલેટન દ્વારા આપવામાં આવેલા વૃક્ષ પર કાર્ય કરે છે અને તેમાં અનુક્રમણિકા 6 નું મર્યાદિત અનુક્રમણિકા મુક્ત પેટાજૂથ (બે જનરેટર પર) છે (ઉદાહરણ તરીકે મેટ્રિસીસનો સમૂહ જેમાં ઓળખ મોડ્યુલો 2 માં ઘટાડો થાય છે તે એક જૂથ છે). આ ઉદાહરણની એક રસપ્રદ લાક્ષણિકતા નોંધોઃ તે હાયપરબોલિક જગ્યા (હાયપરબોલિક પ્લેન) પર યોગ્ય રીતે વિસંગત રીતે કાર્ય કરે છે પરંતુ ક્રિયા કોકોમ્પેક્ટ નથી (અને ખરેખર હાયપરબોલિક પ્લેન માટે અર્ધ-આઇસોમેટ્રિક નથી). ફ્યુશિયન જૂથો મોડ્યુલર જૂથના ઉદાહરણને સામાન્ય બનાવતા ફ્યુશિયન જૂથ એ એક જૂથ છે જે હાયપરબોલિક પ્લેન (સમકક્ષ, એક અલગ પેટાજૂથ) પર યોગ્ય રીતે અસંગત ક્રિયાને સ્વીકારે છે. હાયપરબોલિક પ્લેન એ-હાયપરબોલિક જગ્યા છે અને તેથી સ્વાર્ક-મિલ્નોર લેમ્મા આપણને કહે છે કે કોકોમ્પેક્ટ ફ્યુશિયન જૂથો હાયપરબોલિક છે. આવા ઉદાહરણો નકારાત્મક યુલર લાક્ષણિકતાના બંધ સપાટીઓના મૂળભૂત જૂથો છે. ખરેખર, આ સપાટીઓ હાયપરબોલિક પ્લેનના ભાગાકાર તરીકે મેળવી શકાય છે, જે પોઇનકેરે-કોએબે યુનિફોર્માઇઝેશન થીયરમ દ્વારા સૂચિત છે. કોકોમ્પેક્ટ ફ્યુશિયન જૂથોના ઉદાહરણોનો બીજો પરિવાર ત્રિકોણ જૂથો દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બધા પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા હાયપરબોલિક છે. નકારાત્મક વળાંક બંધ સપાટીઓના ઉદાહરણને સામાન્ય બનાવતા, સખત નકારાત્મક વિભાગીય વળાંક સાથે કોમ્પેક્ટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સના મૂળભૂત જૂથો હાયપરબોલિક છે. ઉદાહરણ તરીકે, હસ્તાક્ષરના એક સ્વરૂપના ઓર્થોગોનલ અથવા એકાત્મક જૂથમાં કોકોમ્પેક્ટ જાળીઓ હાયપરબોલિક છે. વધુ સામાન્યીકરણ કે. એ. ટી. (કે) જગ્યા પર ભૌમિતિક ક્રિયાને સ્વીકારતા જૂથો દ્વારા આપવામાં આવે છે. એવા ઉદાહરણો છે જે અગાઉના કોઈપણ બાંધકામોને અનુરૂપ નથી (દાખલા તરીકે હાયપરબોલિક ઇમારતો પર ભૌમિતિક રીતે કામ કરતા જૂથો). નાના રદ જૂથો પ્રસ્તુતિઓ ધરાવતા જૂથો કે જે નાની રદ કરવાની શરતોને સંતોષે છે તે અતિશયોક્તિપૂર્ણ છે. આ એવા ઉદાહરણોનો સ્રોત આપે છે જે ઉપર આપેલા ઉદાહરણોની જેમ ભૌમિતિક મૂળ ધરાવતા નથી. હકીકતમાં હાયપરબોલિક જૂથોના પ્રારંભિક વિકાસ માટેની એક પ્રેરણા નાના રદબાતલનું વધુ ભૌમિતિક અર્થઘટન આપવાની હતી. રેન્ડમ જૂથો અમુક અર્થમાં, મોટા વ્યાખ્યાયિત સંબંધો સાથે "મોટા ભાગના" મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો અતિશયોક્તિપૂર્ણ છે. આનો અર્થ શું છે તેના માત્રાત્મક નિવેદન માટે રેન્ડમ જૂથ જુઓ. બિન-ઉદાહરણો હાયપરબોલિક ન હોય તેવા જૂથનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ ફ્રી રેન્ક 2 અબેલિયન જૂથ છે. ખરેખર, તે યુક્લિડિયન સમતલ માટે અર્ધ-સમમિતીય છે જે સરળતાથી હાયપરબોલિક ન હોવાનું જોવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે હોમોથીટીના અસ્તિત્વને કારણે). વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ જૂથ કે જે પેટાજૂથ તરીકે સમાવે છે તે અતિશયોક્તિપૂર્ણ નથી. ખાસ કરીને, ઉચ્ચ ક્રમના અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોમાં જાળીઓ અને બિન-તુચ્છ ગાંઠ પૂરકના મૂળભૂત જૂથો આ શ્રેણીમાં આવે છે અને તેથી તે હાયપરબોલિક નથી. બંધ હાયપરબોલિક સપાટીઓના વર્ગ જૂથોના મેપિંગ માટે પણ આ કેસ છે. બામસ્લાગ-સોલીટર જૂથો બી (એમ, એન) અને કોઈપણ જૂથ કે જે કેટલાક બી (એમ, એન) માટે પેટા જૂથ સમરૂપતા ધરાવે છે તે હાયપરબોલિક બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે (કારણ કે બી (1,1) =, આ અગાઉના ઉદાહરણને સામાન્ય બનાવે છે). રેન્ક 1 સરળ લાઈ જૂથમાં બિન-સમાન જાળી હાયપરબોલિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો જૂથ આયસોજેનસ હોય (સમકક્ષ રીતે સંકળાયેલ સપ્રમાણ જગ્યા હાયપરબોલિક પ્લેન હોય). આનું ઉદાહરણ હાયપરબોલિક ગાંઠ જૂથો દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજું છે બિયાંચી જૂથો. ગુણધર્મો બીજગણિત ગુણધર્મો હાયપરબોલિક જૂથો ટિટ્સ વિકલ્પને સંતોષે છેઃ તેઓ કાં તો વર્ચ્યુઅલ રીતે ઉકેલવા યોગ્ય છે (આ શક્યતા માત્ર પ્રાથમિક હાયપરબોલિક જૂથો દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે) અથવા તેમની પાસે નોનબેલિયન મુક્ત જૂથ માટે પેટા જૂથ આઇસોમોર્ફિક છે. બિન-તાત્વિક હાયપરબોલિક જૂથો ખૂબ જ મજબૂત અર્થમાં સરળ નથીઃ જો બિન-તાત્વિક હાયપરબોલિક હોય તો ત્યાં એક અનંત પેટાજૂથ અસ્તિત્વમાં છે અને તે બંને અનંત છે. તે જાણીતું નથી કે ત્યાં કોઈ હાયપરબોલિક જૂથ અસ્તિત્વમાં છે કે જે શેષ રૂપે મર્યાદિત નથી. ભૌમિતિક ગુણધર્મો બિન-તાત્વિક (અનંત અને વર્ચ્યુઅલ રીતે ચક્રીય નહીં) હાયપરબોલિક જૂથો હંમેશા ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર ધરાવે છે (આ ટિટ્સ વિકલ્પનું પરિણામ છે). હાયપરબોલિક જૂથો રેખીય આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે. હોમોલોજીકલ ગુણધર્મો હાયપરબોલિક જૂથો હંમેશા મર્યાદિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે. હકીકતમાં કોઈ પણ વ્યક્તિ સ્પષ્ટ રીતે એક સંકુલ (રીપ્સ સંકુલ) બનાવી શકે છે જે સંકોચાય તેવું છે અને જેના પર જૂથ ભૌમિતિક રીતે કાર્ય કરે છે તેથી તે F ≤ પ્રકારનું છે. જ્યારે જૂથ વળાંક-મુક્ત હોય ત્યારે ક્રિયા મુક્ત હોય છે, જે દર્શાવે છે કે જૂથ મર્યાદિત કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ ધરાવે છે. 2002માં, આઈ. મિનેયેવે દર્શાવ્યું હતું કે હાયપરબોલિક જૂથો બરાબર તે મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જૂથો છે, જેના માટે બાઉન્ડેડ કોહોમોલોજી અને સામાન્ય કોહોમોલોજી વચ્ચેનો સરખામણી નકશો તમામ ડિગ્રીમાં, અથવા સમકક્ષ, ડિગ્રી 2માં સર્જેક્ટિવ છે. એલ્ગોરિધમિક ગુણધર્મો હાયપરબોલિક જૂથોમાં ઉકેલી શકાય તેવી શબ્દ સમસ્યા હોય છે. તેઓ બાયઆટોમેટિક અને ઓટોમેટિક છે. ખરેખર, તેઓ મજબૂત રીતે ભૌગોલિક રીતે સ્વચાલિત છે, એટલે કે, જૂથ પર એક સ્વચાલિત માળખું છે, જ્યાં સ્વીકારકર્તા શબ્દ દ્વારા સ્વીકારવામાં આવેલી ભાષા એ તમામ ભૌગોલિક શબ્દોનો સમૂહ છે. 2010 માં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે હાયપરબોલિક જૂથોમાં નિર્ણાયક ચિહ્નિત આઇસોમોર્ફિઝમ સમસ્યા છે. તે નોંધપાત્ર છે કે આનો અર્થ એ છે કે સમરૂપતા સમસ્યા, ભ્રમણકક્ષાની સમસ્યાઓ (ખાસ કરીને સંયુગ્મતા સમસ્યા) અને વ્હાઇટહેડની સમસ્યા બધા નિર્ણાયક છે. કેનન અને સ્વેનસને દર્શાવ્યું છે કે અનંત પર 2-ગોળાવાળા હાયપરબોલિક જૂથો કુદરતી પેટાવિભાગ નિયમ ધરાવે છે. આ તોપના અનુમાન સાથે સંબંધિત છે. સામાન્યીકરણ પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક જૂથો પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક જૂથો એ સામાન્યીકૃત હાયપરબોલિક જૂથો છે. જો તે યોગ્ય હાયપરબોલિક જગ્યા પર યોગ્ય રીતે વિસંગત ક્રિયાને સ્વીકારે છે (જરૂરી નથી કે કોકોમ્પેક્ટ) જે સીમા પર "સરસ" હોય અને જેમ કે સીમા પરના બિંદુઓના સ્ટેબિલાઇઝર્સ પેટા જૂથો હોય તો તે ખૂબ જ સામાન્ય રીતે પેટા જૂથોના સંગ્રહ સાથે સંબંધિત હાયપરબોલિક છે. આ ત્યારે રસપ્રદ બને છે જ્યારે બંને અને ઓનની ક્રિયા પ્રાથમિક ન હોય (ખાસ કરીને અનંત હોયઃ ઉદાહરણ તરીકે દરેક જૂથ એક જ બિંદુ પર તેની ક્રિયા દ્વારા પોતે પ્રમાણમાં અતિશયોક્તિપૂર્ણ હોય!). આ વર્ગના રસપ્રદ ઉદાહરણોમાં ખાસ કરીને ક્રમ 1 અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોમાં બિન-સમાન જાળીનો સમાવેશ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે મર્યાદિત કદના બિન-કોમ્પેક્ટ હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડ્સના મૂળભૂત જૂથો. બિન-ઉદાહરણો ઉચ્ચ ક્રમના લાઈ જૂથો અને મેપિંગ વર્ગ જૂથોમાં જાળી છે. એસિલીન્ડ્રીકલી હાયપરબોલિક જૂથો એ એસિલીન્ડિકલી હાયપરબોલિક જૂથની વધુ સામાન્ય કલ્પના છે. મેટ્રિક જગ્યા પર જૂથની ક્રિયાના સિલીંડ્રિસિટી એ ક્રિયાના યોગ્ય વિરામનું નબળું પડવું છે. એક જૂથને એસિલીન્ડ્રિકલ રીતે હાયપરબોલિક કહેવામાં આવે છે જો તે ગ્રોમોવ-હાયપરબોલિક જગ્યા (જરૂરી નથી કે યોગ્ય) પર બિન-તત્વયુક્ત એસિલીન્ડ્રિકલ ક્રિયાને સ્વીકારે. આ વિચારમાં કર્વ કોમ્પ્લેક્સ પર તેમની ક્રિયાઓ દ્વારા વર્ગ જૂથોનું મેપિંગ સામેલ છે. ઉચ્ચ ક્રમના લાઈ જૂથોમાં જાળીઓ છે (સ્થિર!) એસિલીન્ડ્રિકલ રીતે હાયપરબોલિક નથી. અન્ય દિશામાં ઉપરના ઉદાહરણોમાં વળાંક વિશેની ધારણાને નબળી પાડી શકાય છેઃ કે. એ. ટી. (0) જૂથ એ કે. એ. ટી. (0) જગ્યા પર ભૌમિતિક ક્રિયાને સ્વીકારતું જૂથ છે. આમાં યુક્લિડિયન સ્ફટિકીય જૂથો અને ઉચ્ચ ક્રમના લાઈ જૂથોમાં એકસમાન જાળીનો સમાવેશ થાય છે. તે જાણીતું નથી કે ત્યાં કોઈ હાયપરબોલિક જૂથ અસ્તિત્વમાં છે કે જે કે. એ. ટી. (0) નથી. નોંધો સંદર્ભો વધુ વાંચન ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત મેટ્રિક ભૂમિતિ જૂથોના ગુણધર્મો શબ્દો પર સંયોજન હાયપરબોલિક મેટ્રિક સ્પેસ હાયપરબોલિક ભૂમિતિ