Domain of holomorphy
ગણિતમાં, કેટલાક જટિલ ચલોના કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં, હોલોમોર્ફીનું ક્ષેત્ર એ એક ક્ષેત્ર છે જે એ અર્થમાં મહત્તમ છે કે આ ક્ષેત્ર પર એક હોલોમોર્ફિક કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે જેને મોટા ક્ષેત્ર સુધી વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી. ઔપચારિક રીતે, એન-ડાયમેન્શનલ કોમ્પ્લેક્સ સ્પેસમાં ઓપન સેટને હોલોમોર્ફીનું ડોમેન કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં ખાલી ન હોય તેવા ઓપન સેટ અસ્તિત્વમાં ન હોય અને જ્યાં જોડાયેલા હોય, અને જેમ કે ત્યાં દરેક હોલોમોર્ફિક ફંક્શન માટે એક હોલોમોર્ફિક ફંક્શન અસ્તિત્વમાં હોય. આ હવે સાચું નથી, કારણ કે તે હાર્ટોગ્સના લેમ્માને અનુસરે છે. સમતુલ્ય શરતો ડોમેન માટે નીચેની શરતો સમકક્ષ છેઃ શું હોલોમોર્ફીનું ડોમેન હોલોમોર્ફિકલી બહિર્મુખ છે સ્યુડોકોનવેક્સ લેવી બહિર્મુખ છે-વિશ્લેષણાત્મક સઘન સપાટીઓના દરેક ક્રમ માટે જેમ કે આપણી પાસે કેટલાક સમૂહ માટે (વિશ્લેષણાત્મક સપાટીઓના ક્રમ દ્વારા "અંદરથી સ્પર્શ કરી શકાતો નથી") સ્થાનિક લેવી ગુણધર્મ ધરાવે છે-દરેક બિંદુ માટે ત્યાં એક પડોશી અને હોલોમોર્ફિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે કોઈ પણ પડોશ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી. મુખ્ય મુશ્કેલી સાબિત કરવામાં છે, એટલે કે. વૈશ્વિક હોલોમોર્ફિક કાર્યનું નિર્માણ જે ફક્ત સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત બિન-વિસ્ત્તૃત કાર્યોમાંથી કોઈ વિસ્તરણ સ્વીકારતું નથી. આને લેવી સમસ્યા (ઇ. ઇ. લેવી પછી) કહેવામાં આવે છે અને તેને પહેલા કિયોશી ઓકા દ્વારા અને પછી લાર્સ હોર્મેન્ડર દ્વારા કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ અને આંશિક વિભેદક સમીકરણો (-સમસ્યાનું પરિણામ) ની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવી હતી. ગુણધર્મો જો હોલોમોર્ફીના ક્ષેત્રો હોય, તો તેમનું આંતરછેદ પણ હોલોમોર્ફીનું ક્ષેત્ર છે. જો હોલોમોર્ફીના ક્ષેત્રોનો ચડતો ક્રમ હોય, તો તેમનું જોડાણ પણ હોલોમોર્ફીનું ક્ષેત્ર છે (બેહ્નકે-સ્ટીન પ્રમેય જુઓ). જો અને તે હોલોમોર્ફીના ક્ષેત્રો છે, તો તે હોલોમોર્ફીનું ક્ષેત્ર છે. પ્રથમ પિતરાઈની સમસ્યા હંમેશા હોલોમોર્ફીના ક્ષેત્રમાં ઉકેલી શકાય છે; બીજી પિતરાઈની સમસ્યા માટે વધારાની ટોપોલોજિકલ ધારણાઓ સાથે આ પણ સાચું છે. બેહ્નકે-સ્ટીન પ્રમેય લેવી સ્યુડોકૉન્વેક્સ ઉકેલ લેવી સમસ્યાનું સ્ટેઇન મેનીફોલ્ડ સંદર્ભો સ્ટીવન જી. ક્રેન્ટ્ઝ પણ જુઓ. કેટલાક જટિલ ચલોનું કાર્ય સિદ્ધાંત, એએમએસ ચેલ્સિયા પબ્લિશિંગ, પ્રોવિડન્સ, રૉડ આઇલેન્ડ, 1992. બોરિસ વ્લાદિમિરોવિચ શબાટ, જટિલ વિશ્લેષણનો પરિચય, એ. એમ. એસ., 1992 કેટલાક જટિલ ચલ