Symmetric derivative
ગણિતમાં, સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન એ સામાન્ય વ્યુત્પન્નને સામાન્ય બનાવતી ક્રિયા છે. તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે મર્યાદા હેઠળની અભિવ્યક્તિને કેટલીકવાર સપ્રમાણ તફાવત ભાગાકાર કહેવામાં આવે છે. એક વિધેયને x બિંદુ પર સપ્રમાણ રીતે વિકલનક્ષમ કહેવામાં આવે છે જો તેનું સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન તે બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં હોય. જો કાર્ય એક બિંદુ પર વિકલનક્ષમ (સામાન્ય અર્થમાં) હોય, તો તે સમપ્રમાણ રીતે વિકલનક્ષમ પણ હોય છે, પરંતુ ઊલટું સાચું નથી. એક જાણીતું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ એ એબ્સોલ્યુટ વેલ્યુ ફંક્શન છે, જે અહીં ડિફરન્શીએબલ નથી, પરંતુ સિમેટ્રિક ડેરિવેટિવ્ઝ 0 સાથે સિમેટ્રિકલી ડિફરન્શીએબલ છે. વિભેદક કાર્યો માટે, સપ્રમાણ તફાવત ભાગાકાર સામાન્ય તફાવત ભાગાકાર કરતાં વ્યુત્પન્નનો વધુ સારો આંકડાકીય અંદાજ પૂરો પાડે છે. આપેલ બિંદુ પર સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન તે બિંદુ પર ડાબી અને જમણી વ્યુત્પન્નના અંકગણિત સરેરાશ બરાબર હોય છે, જો પછીના બે બંને અસ્તિત્વમાં હોય. ન તો રોલનો પ્રમેય કે ન તો સરેરાશ-મૂલ્યનો પ્રમેય સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન માટે માન્ય છે; કેટલાક સમાન પરંતુ નબળા નિવેદનો સાબિત થયા છે. ઉદાહરણો એબ્સોલ્યુટ વેલ્યુ ફંક્શન એબ્સોલ્યુટ વેલ્યુ ફંક્શન માટે, સિમેટ્રિક ડેરિવેટિવ્ઝ માટે નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે તે છે તેથી એબ્સોલ્યુટ વેલ્યુ ફંક્શનનું સિમેટ્રિક ડેરિવેટિવ્ઝ એ શૂન્ય પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે, તેમ છતાં તેનું સામાન્ય ડેરિવેટિવ્ઝ તે સમયે અસ્તિત્વમાં નથી (એ. ટી. ના વળાંકમાં "તીક્ષ્ણ" વળાંકને કારણે). નોંધ લો કે આ ઉદાહરણમાં 0 પર ડાબી અને જમણી બંને વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પરંતુ તેઓ અસમાન છે (એક −1 છે, જ્યારે બીજી + 1 છે); તેમની સરેરાશ અપેક્ષા મુજબ 0 છે. ફંક્શન x − 2 ફંક્શન માટે, આપણી પાસે છે ફરીથી, આ ફંક્શન માટે સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન અહીં અસ્તિત્વમાં છે, જ્યારે તેનું સામાન્ય વ્યુત્પન્ન ત્યાં વળાંકમાં વિસંગતતાને કારણે અસ્તિત્વમાં નથી. વધુમાં, ન તો ડાબી કે જમણી વ્યુત્પન્ન 0 પર મર્યાદિત છે, એટલે કે. આ એક આવશ્યક વિરામ છે. ડિરીક્લેટ કાર્ય ડિરીક્લેટ કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે દરેક પર સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે, પરંતુ કોઈપણ સમયે સપ્રમાણ રીતે વિકલનક્ષમ નથી; એટલે કે. સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન તર્કસંગત સંખ્યાઓ પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે પરંતુ અતાર્કિક સંખ્યાઓ પર નહીં. અર્ધ-અર્થ-મૂલ્ય પ્રમેય સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન સામાન્ય સરેરાશ-મૂલ્ય પ્રમેય (લગરેન્જના) નું પાલન કરતું નથી. પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ તરીકે, ના સપ્રમાણ વ્યુત્પન્નમાં છબી હોય છે, પરંતુ f માટેના સેકન્ટ્સમાં ઢોળાવની વિશાળ શ્રેણી હોઈ શકે છે; દાખલા તરીકે, અંતરાલ પર, સરેરાશ-મૂલ્ય પ્રમેય આદેશ આપશે કે ત્યાં એક બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં (સપ્રમાણ) વ્યુત્પન્ન એ પ્રમેયને રોલના પ્રમેય સાથે કંઈક અંશે સમાન મૂલ્ય લે છે પરંતુ સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન માટે 1967 માં સી. ઇ. ઓલ દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે તેને અર્ધ-રોલ પ્રમેય નામ આપ્યું હતું. જો બંધ અંતરાલ પર સતત હોય અને ખુલ્લા અંતરાલ પર સમપ્રમાણતાથી વિકલનક્ષમ હોય, અને, તો ત્યાં બે બિંદુઓ અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે, અને. આ પ્રમેયના પગથિયા તરીકે ઓલ દ્વારા સ્થાપિત એક સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો તે બંધ અંતરાલ પર સતત હોય અને ખુલ્લા અંતરાલ પર સમપ્રમાણતાથી વિકલનક્ષમ હોય, અને વધુમાં, તો ત્યાં એક બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં સમપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન બિન-નકારાત્મક છે, અથવા ઉપર વપરાયેલ સંકેત સાથે. સમાન રીતે, જો, તો પછી ક્યાં એક બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે. સમપ્રમાણતાવાળા વિકલન માટે અર્ધ-અર્થ-મૂલ્ય પ્રમેય જણાવે છે કે જો બંધ અંતરાલ પર સતત હોય અને ખુલ્લા અંતરાલ પર સમપ્રમાણતાવાળા વિકલનક્ષમ હોય, તો ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે એક એપ્લિકેશન તરીકે, 0 ધરાવતા અંતરાલ માટે અર્ધ-અર્થ-મૂલ્ય પ્રમેય આગાહી કરે છે કે કોઈપણ સેકન્ટનો ઢોળાવ −1 અને 1 ની વચ્ચે છે. જો ના સપ્રમાણ વ્યુત્પન્નમાં ડાર્બોક્સ ગુણધર્મ હોય, તો (તેનું સ્વરૂપ) નિયમિત સરેરાશ-મૂલ્ય પ્રમેય (લગરેન્જનું) ધરાવે છે, એટલે કે. પરિણામે, જો કોઈ વિધેય સતત હોય અને તેનું સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન પણ સતત હોય (આમ તે ડાર્બોક્સ ગુણધર્મ ધરાવે છે), તો તે વિધેય સામાન્ય અર્થમાં વિકલનક્ષમ છે. સામાન્યીકરણ આ કલ્પના ઉચ્ચ-ક્રમના સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન અને એન-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાઓને પણ સામાન્ય બનાવે છે. બીજું સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન બીજા સપ્રમાણ વ્યુત્પન્નને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો (સામાન્ય) બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં હોય, તો બીજું સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને તેની બરાબર છે. જોકે, જ્યારે (સામાન્ય) બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં ન હોય ત્યારે પણ બીજું સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાઇન ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો, જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે સાઇન ફંક્શન શૂન્ય પર સતત નથી, અને તેથી માટે બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. પરંતુ બીજો સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન આના માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છેઃ કેન્દ્રીય ભિન્નતા યોજના પણ જુઓ વ્યુત્પન્નના ઘનતા બિંદુ સામાન્યીકરણ સપ્રમાણ રીતે સતત કાર્ય સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ સપ્રમાણ તફાવત ગુણોત્તર (વોલ્ફ્રેમ પ્રદર્શન પ્રોજેક્ટ) દ્વારા વ્યુત્પન્નની અંદાજિત ગણતરી વિભેદક ગણતરી