Euler method
ગણિત અને કોમ્પ્યુટેશનલ વિજ્ઞાનમાં, યુલર પદ્ધતિ (જેને ફોરવર્ડ યુલર પદ્ધતિ પણ કહેવાય છે) એ આપેલ પ્રારંભિક મૂલ્ય સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ODE) ને ઉકેલવા માટેની પ્રથમ ક્રમની આંકડાકીય પ્રક્રિયા છે. તે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સંખ્યાત્મક એકીકરણ માટેની સૌથી મૂળભૂત સ્પષ્ટ પદ્ધતિ છે અને રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિની સૌથી સરળ પદ્ધતિ છે. યુલર પદ્ધતિનું નામ લિયોનહાર્ડ યુલરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે સૌપ્રથમ તેના પુસ્તક ઇન્સ્ટિટ્યુશનમ કેલ્કુલી ઇન્ટિગ્રેલિસ (પ્રકાશિત 1768-1770) માં તેનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. યુલર પદ્ધતિ એ પ્રથમ ક્રમની પદ્ધતિ છે, જેનો અર્થ છે કે સ્થાનિક ભૂલ (પગલું દીઠ ભૂલ) પગલાના કદના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે, અને વૈશ્વિક ભૂલ (આપેલ સમયે ભૂલ) પગલાના કદના પ્રમાણમાં હોય છે. યુલર પદ્ધતિ ઘણીવાર વધુ જટિલ પદ્ધતિઓ બનાવવા માટેના આધાર તરીકે કામ કરે છે, દા. ત., આગાહી કરનાર-સુધારક પદ્ધતિ. ભૌમિતિક વર્ણન હેતુ અને તે શા માટે કાર્ય કરે છે અજ્ઞાત વળાંકના આકારની ગણતરી કરવાની સમસ્યાનો વિચાર કરો જે આપેલ બિંદુથી શરૂ થાય છે અને આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. અહીં, વિભેદક સમીકરણને એક સૂત્ર તરીકે વિચારી શકાય છે, જેના દ્વારા એકવાર તે બિંદુની સ્થિતિની ગણતરી થઈ જાય તે પછી વળાંક પરના કોઈપણ બિંદુ પર સ્પર્શરેખા રેખાના ઢોળાવની ગણતરી કરી શકાય છે. વિચાર એ છે કે જ્યારે વળાંક શરૂઆતમાં અજ્ઞાત છે, ત્યારે તેનું પ્રારંભિક બિંદુ, જેના દ્વારા આપણે સૂચવીએ છીએ તે જાણીતું છે (આકૃતિ 1 જુઓ). પછી, વિભેદક સમીકરણમાંથી, વળાંક તરફના ઢોળાવની ગણતરી કરી શકાય છે, અને તેથી, સ્પર્શક રેખા. એક બિંદુ સુધી તે સ્પર્શક રેખા સાથે એક નાનું પગલું લો આ નાના પગલાની સાથે, ઢોળાવ ખૂબ બદલાતો નથી, તેથી વળાંકની નજીક હશે. જો આપણે ઢોંગ કરીએ કે તે હજુ પણ વળાંક પર છે, તો ઉપરના બિંદુ માટે સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. કેટલાંક પગલાંઓ પછી, બહુકોણીય વળાંક () ની ગણતરી કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, આ વળાંક મૂળ અજ્ઞાત વળાંકથી ખૂબ દૂર જતો નથી, અને જો પગલાનું કદ પૂરતું નાનું હોય અને ગણતરીનું અંતરાલ મર્યાદિત હોય તો બે વળાંક વચ્ચેની ભૂલને નાની કરી શકાય છે. પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા જ્યારે અને માટે મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, અને તેનું વ્યુત્પન્ન એ આપેલ કાર્ય છે અને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. સેટિંગ દ્વારા પ્રક્રિયા શરૂ કરો. આગળ, ટી-અક્ષ સાથેના દરેક પગલાના કદ માટે મૂલ્ય પસંદ કરો, અને સેટ કરો (અથવા સમકક્ષ). હવે, યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ અને માંથી શોધવા માટે થાય છેઃ નું મૂલ્ય એ સમયે ઉકેલનો અંદાજ છે, એટલે કે,. યુલર પદ્ધતિ સ્પષ્ટ છે, એટલે કે. ઉકેલ એ માટે એક સ્પષ્ટ કાર્ય છે. ઉચ્ચ ક્રમની પ્રક્રિયા જ્યારે યુલર પદ્ધતિ પ્રથમ ક્રમના ODE ને એકીકૃત કરે છે, ત્યારે ક્રમના કોઈપણ ODE ને પ્રથમ ક્રમના ODE ની પ્રણાલી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. જ્યારે વ્યાખ્યાયિત ક્રમની ODE આપવામાં આવે છે તેમજ, અને, જ્યાં સુધી આપણે ઇચ્છિત સમયે ODE ના ઉકેલના અંદાજ સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે નીચેના સૂત્રનો અમલ કરીએ છીએઃ આ પ્રથમ ક્રમની પ્રણાલીઓને યુલરની પદ્ધતિ દ્વારા અથવા હકીકતમાં, પ્રથમ ક્રમની પ્રણાલીઓ માટેની અન્ય કોઈપણ યોજના દ્વારા નિયંત્રિત કરી શકાય છે. પ્રથમ ક્રમનું ઉદાહરણ પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને આપણે અંદાજિત કરવા માટે યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માંગીએ છીએ. 1 () ની બરાબર સ્ટેપ સાઈઝનો ઉપયોગ કરીને યુલર પદ્ધતિ એ છે કે આપણે પહેલા ગણતરી કરવી જોઈએ. આ સરળ વિભેદક સમીકરણમાં, કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપણી પાસે ઉપરોક્ત પગલું કરીને, આપણે તે રેખાનો ઢાળ શોધી કાઢ્યો છે જે બિંદુ પર દ્રાવણ વળાંકને સ્પર્શક છે. યાદ કરો કે ઢોળાવને અથવા માં ફેરફાર દ્વારા વિભાજિત ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આગળનું પગલું ઉપરોક્ત મૂલ્યને પગલાના કદથી ગુણાકાર કરવાનું છે, જે આપણે અહીં એકની બરાબર લઈએ છીએઃ પગલાનું કદ એ ફેરફાર હોવાથી, જ્યારે આપણે પગલાના કદ અને સ્પર્શકના ઢોળાવનો ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણને મૂલ્યમાં ફેરફાર મળે છે. આ મૂલ્ય પછી ગણતરીઓ માટે ઉપયોગમાં લેવા માટે આગામી મૂલ્ય મેળવવા માટે પ્રારંભિક મૂલ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે. અને શોધવા માટે ઉપરોક્ત પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું જોઈએ. આ અલ્ગોરિધમની પુનરાવર્તિત પ્રકૃતિને કારણે, ભૂલો કરવાનું ટાળવા માટે, નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે, ચાર્ટ સ્વરૂપમાં ગણતરીઓ ગોઠવવી મદદરૂપ થઈ શકે છે. {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" |-! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે, તેથી. જો કે આ ચોક્કસ કિસ્સામાં યુલર પદ્ધતિનો અંદાજ ખૂબ ચોક્કસ ન હતો, ખાસ કરીને મોટા મૂલ્યના પગલાના કદને કારણે, તેનું વર્તન આકૃતિ દર્શાવે છે તેમ ગુણાત્મક રીતે સાચું છે. પરિચયમાં સૂચવ્યા મુજબ, જો પગલાનું કદ નાનું હોય તો યુલર પદ્ધતિ વધુ સચોટ છે. નીચેનું કોષ્ટક વિવિધ પગલાંના કદ સાથે પરિણામ દર્શાવે છે. ટોચની પંક્તિ અગાઉના વિભાગમાં ઉદાહરણને અનુરૂપ છે, અને બીજી પંક્તિ આકૃતિમાં સચિત્ર છે. {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" |-! પગલું કદ! ! યુલરની પદ્ધતિનું પરિણામ! ! ભૂલ |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | કોષ્ટકના તળિયે, પગલાનું કદ અગાઉની હરોળના પગલાનું કદ અડધું છે, અને ભૂલ પણ અગાઉની હરોળની ભૂલની લગભગ અડધી છે. આ સૂચવે છે કે ભૂલ આશરે પગલાના કદના પ્રમાણમાં છે, ઓછામાં ઓછા પગલાના કદના એકદમ નાના મૂલ્યો માટે. આ સામાન્ય રીતે સાચું છે, અન્ય સમીકરણો માટે પણ; વધુ વિગતો માટે વિભાગ ગ્લોબલ ટ્રંકેશન એરર જુઓ. અન્ય પદ્ધતિઓ, જેમ કે મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ પણ આંકડામાં સચિત્ર છે, વધુ અનુકૂળ રીતે વર્તે છેઃ મધ્યબિંદુ પદ્ધતિની વૈશ્વિક ભૂલ આશરે પગલાના કદના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. આ કારણોસર, યુલર પદ્ધતિને પ્રથમ ક્રમની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે, જ્યારે મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ બીજા ક્રમની પદ્ધતિ છે. આપણે ઉપરોક્ત કોષ્ટકમાંથી અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર સાચો જવાબ મેળવવા માટે જરૂરી પગલાનું કદ લગભગ 0.00001 છે, એટલે કે આપણને 400,000 પગલાંની જરૂર છે. આ મોટી સંખ્યામાં પગલાંઓ ઊંચા કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચનો સમાવેશ કરે છે. આ કારણોસર, ઉચ્ચ ક્રમની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેમ કે રુંગે-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ અથવા રેખીય બહુસ્તરીય પદ્ધતિઓ, ખાસ કરીને જો ઉચ્ચ ચોકસાઈ ઇચ્છિત હોય. આ ત્રીજા ક્રમના ઉદાહરણ માટે, ધારો કે નીચેની માહિતી આપવામાં આવી છેઃ આમાંથી આપણે સમીકરણ મેળવવા માટે 'y' ને અલગ કરી શકીએ છીએઃ તેનો ઉપયોગ કરીને આપણે આનો ઉકેલ મેળવી શકીએ છીએઃ અને માટે ઉકેલનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આનો ઉકેલ મેળવી શકીએ છીએઃ આપણે આ પ્રક્રિયાને જ્યાં સુધી જરૂરી હોય ત્યાં સુધી તે જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાલુ રાખી શકીએ છીએ જેથી જે ઇચ્છે તે શોધી શકાય. વ્યુત્પત્તિ યુલર પદ્ધતિ ઘણી રીતે મેળવી શકાય છે. (1) સૌપ્રથમ, ઉપર ભૌમિતિક વર્ણન છે. (2) બીજી શક્યતા એ છે કે આસપાસ કાર્યના ટેલર વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લેવુંઃ વિભેદક સમીકરણ જણાવે છે કે. જો આને ટેલર વિસ્તરણમાં બદલવામાં આવે અને દ્વિઘાત અને ઉચ્ચ ક્રમની શરતોને અવગણવામાં આવે, તો યુલર પદ્ધતિ ઊભી થાય છે. ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ યુલર પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવેલી ભૂલનું વિશ્લેષણ કરવા માટે નીચે કરવામાં આવ્યો છે, અને તેને રુંગે-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ બનાવવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. (3) નજીકથી સંબંધિત વ્યુત્પત્તિ એ વિકલન સમીકરણમાં વિકલન માટે આગળના મર્યાદિત તફાવત સૂત્રને બદલવાનું છે. ફરીથી, આ યુલર પદ્ધતિ આપે છે. સમાન ગણતરી મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ અને પછાત યુલર પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. (4) છેવટે, વિભેદક સમીકરણને થી માં સંકલિત કરી શકાય છે અને તેને મેળવવા માટે કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયને લાગુ કરી શકાય છેઃ હવે ડાબા હાથની લંબચોરસ પદ્ધતિ દ્વારા (માત્ર એક જ લંબચોરસ સાથે) સમાકલનનો અંદાજ કાઢોઃ બંને સમીકરણોને જોડીને, વ્યક્તિને ફરીથી યુલર પદ્ધતિ મળે છે. આ વિચારધારાને વિવિધ રેખીય બહુસ્તરીય પદ્ધતિઓ સુધી પહોંચવા માટે ચાલુ રાખી શકાય છે. સ્થાનિક કાપણી ભૂલ યુલર પદ્ધતિની સ્થાનિક કાપણી ભૂલ એ એક જ પગલામાં કરવામાં આવેલી ભૂલ છે. તે એક પગલું પછીના આંકડાકીય ઉકેલ અને તે સમયે ચોક્કસ ઉકેલ વચ્ચેનો તફાવત છે. ચોક્કસ ઉકેલ માટે, આપણે ઉપરના વ્યુત્પત્તિ વિભાગમાં ઉલ્લેખિત ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ યુલર પદ્ધતિ દ્વારા રજૂ કરાયેલ સ્થાનિક કાપણી ભૂલ (LTE) આ સમીકરણો વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ પરિણામ માન્ય છે જો તેમાં બંધાયેલ ત્રીજું વ્યુત્પન્ન હોય. આ દર્શાવે છે કે નાના માટે, સ્થાનિક કાપણી ભૂલ લગભગ સમાનુપાતી હોય છે. આ યુલર પદ્ધતિને રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ અને રેખીય મલ્ટીસ્ટેપ પદ્ધતિઓ જેવી ઉચ્ચ-ક્રમની તકનીકો કરતાં ઓછી સચોટ બનાવે છે, જેના માટે સ્થાનિક કાપણી ભૂલ પગલાના કદની ઉચ્ચ શક્તિના પ્રમાણમાં હોય છે. સ્થાનિક કાપણીની ભૂલ માટે થોડી અલગ રચના ટેલરના પ્રમેયમાં બાકીની મુદત માટે લેગ્રેન્જ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. જો સતત બીજું વ્યુત્પન્ન હોય, તો ત્યાં એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે ભૂલ માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિઓમાં, અજ્ઞાત ચોક્કસ ઉકેલના બીજા વ્યુત્પન્નને વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુને સમાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે. ખરેખર, તે સમીકરણ પરથી અનુસરે છે કે વૈશ્વિક કાપણી ભૂલ વૈશ્વિક કાપણી ભૂલ એ નિશ્ચિત સમયે ભૂલ છે, જો કે પ્રારંભિક સમયથી તે સમય સુધી પહોંચવા માટે પદ્ધતિને ઘણા પગલાં લેવાની જરૂર છે. વૈશ્વિક કાપણી ભૂલ એ દરેક પગલામાં કરવામાં આવેલી સ્થાનિક કાપણી ભૂલોની સંચિત અસર છે. પગલાંઓની સંખ્યા સરળતાથી નક્કી કરવામાં આવે છે, જે પ્રમાણસર હોય છે, અને દરેક પગલામાં કરવામાં આવેલી ભૂલ પ્રમાણસર હોય છે (અગાઉનો વિભાગ જુઓ). આમ, એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે કે વૈશ્વિક કાપણીની ભૂલ તેના પ્રમાણસર હશે. આ સાહજિક તર્કને ચોક્કસ બનાવી શકાય છે. જો ઉકેલમાં બાઉન્ડેડ સેકન્ડ ડેરિવેટિવ્ઝ હોય અને તેની બીજી દલીલમાં લિપ્સિટ્ઝ કન્ટિન્યુઅસ હોય, તો વૈશ્વિક કાપણી ભૂલ (તરીકે સૂચવવામાં આવે છે) આપેલ અંતરાલ પરના બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ પર ઉપલા બાઉન્ડ દ્વારા બંધાયેલ છે અને તે ના લિપ્સિટ્ઝ અચળાંક છે. અથવા વધુ સરળ રીતે, ક્યારે, મૂલ્ય (જેમ કે જેને સ્થિરાંક તરીકે ગણવામાં આવે છે). તેનાથી વિપરીત, જ્યાં કાર્ય એ ચોક્કસ ઉકેલ છે જે ફક્ત ચલ ધરાવે છે. આ બંધનું ચોક્કસ સ્વરૂપ ઓછું વ્યવહારુ મહત્વ ધરાવે છે, કારણ કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં બંધન યુલર પદ્ધતિ દ્વારા કરવામાં આવેલી વાસ્તવિક ભૂલને વધુ પડતો અંદાજ આપે છે. મહત્વની બાબત એ છે કે તે દર્શાવે છે કે વૈશ્વિક કાપણીની ભૂલ (આશરે) તેના પ્રમાણસર છે. આ કારણોસર, યુલર પદ્ધતિને પ્રથમ ક્રમ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ જો આપણી પાસે વિભેદક સમીકરણ અને ચોક્કસ ઉકેલ હોય, અને આપણે શું શોધવું અને ક્યારે શોધવું. આમ આપણે t = 2.5 અને h = 0.5 પર બંધાયેલ ભૂલ શોધી શકીએ છીએઃ નોંધ લો કે t0 એ 2 ની બરાબર છે કારણ કે તે t માટે નીચલી બંધાયેલ છે. આંકડાકીય સ્થિરતા યુલર પદ્ધતિ આંકડાકીય રીતે પણ અસ્થિર હોઈ શકે છે, ખાસ કરીને સખત સમીકરણો માટે, એટલે કે જ્યાં ચોક્કસ ઉકેલ ન હોય તેવા સમીકરણો માટે આંકડાકીય ઉકેલ ખૂબ મોટો થાય છે. આને રેખીય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સચિત્ર કરી શકાય છે ચોક્કસ ઉકેલ છે, જે શૂન્ય તરીકે ક્ષીણ થાય છે. જો કે, જો યુલર પદ્ધતિ આ સમીકરણ પર પગલાના કદ સાથે લાગુ કરવામાં આવે, તો સંખ્યાત્મક ઉકેલ ગુણાત્મક રીતે ખોટો છેઃ તે દોલન કરે છે અને વધે છે (આકૃતિ જુઓ). અસ્થિર હોવાનો આ અર્થ થાય છે. દાખલા તરીકે, જો નાના પગલાના કદનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો આંકડાકીય ઉકેલ શૂન્ય થઈ જાય છે. જો યુલર પદ્ધતિ રેખીય સમીકરણ પર લાગુ કરવામાં આવે, તો સંખ્યાત્મક ઉકેલ અસ્થિર છે જો ઉત્પાદન જમણી બાજુએ દર્શાવેલ પ્રદેશની બહાર હોય. આ પ્રદેશને (રેખીય) સ્થિરતા પ્રદેશ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણમાં, તેથી જો પછી જે સ્થિરતા ક્ષેત્રની બહાર છે, અને આમ આંકડાકીય ઉકેલ અસ્થિર છે. આ મર્યાદા-તેની સાથે ભૂલના ધીમા અભિસરણ સાથે-તેનો અર્થ એ છે કે યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઘણીવાર થતો નથી, સિવાય કે આંકડાકીય એકીકરણના સરળ ઉદાહરણ તરીકે. યુલર પદ્ધતિના પગલામાં, ગોળાકાર ભૂલ આશરે મશીન એપ્સિલોનની તીવ્રતાની હોય છે. એમ ધારીને કે ગોળાકાર ભૂલો સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, અપેક્ષિત કુલ ગોળાકાર ભૂલ તેના પ્રમાણસર છે. આમ, પગલાના કદના અત્યંત નાના મૂલ્યો માટે કાપણીની ભૂલ નાની હશે પરંતુ ગોળાકાર ભૂલની અસર મોટી હોઈ શકે છે. જો યુલર પદ્ધતિ માટેના સૂત્રમાં વળતર સારાંશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો ગોળાકાર ભૂલની મોટાભાગની અસર સરળતાથી ટાળી શકાય છે. ફેરફારો અને વિસ્તરણ યુલર પદ્ધતિનો એક સરળ ફેરફાર જે ઉપર નોંધાયેલી સ્થિરતાની સમસ્યાઓને દૂર કરે છે તે પછાત યુલર પદ્ધતિ છેઃ આ (પ્રમાણભૂત અથવા આગળ) યુલર પદ્ધતિથી અલગ છે જેમાં કાર્યનું મૂલ્યાંકન પ્રારંભિક બિંદુને બદલે પગલાના અંતિમ બિંદુ પર કરવામાં આવે છે. પછાત યુલર પદ્ધતિ એ એક ગર્ભિત પદ્ધતિ છે, જેનો અર્થ છે કે પછાત યુલર પદ્ધતિ માટેનું સૂત્ર બંને બાજુએ હોય છે, તેથી પછાત યુલર પદ્ધતિ લાગુ કરતી વખતે આપણે સમીકરણ ઉકેલવું પડશે. આ અમલીકરણને વધુ ખર્ચાળ બનાવે છે. યુલર પદ્ધતિના અન્ય ફેરફારો કે જે સ્થિરતામાં મદદ કરે છે તે ઘાતાંકીય યુલર પદ્ધતિ અથવા અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ આપે છે. વધુ જટિલ પદ્ધતિઓ ઉચ્ચ ક્રમ (અને વધુ ચોકસાઈ) પ્રાપ્ત કરી શકે છે. એક શક્યતા એ છે કે વધુ કાર્ય મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ કરવો. આ મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ દ્વારા સચિત્ર છે જેનો આ લેખમાં પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છેઃ આ રુંગે-કુટ્ટા પદ્ધતિઓના પરિવાર તરફ દોરી જાય છે. બીજી શક્યતા એ છે કે વધુ ભૂતકાળના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવો, જેમ કે બે-પગલાંની એડમ્સ-બેશફોર્થ પદ્ધતિ દ્વારા સચિત્ર છેઃ આ રેખીય બહુ-પગલાંની પદ્ધતિઓના પરિવાર તરફ દોરી જાય છે. અન્ય ફેરફારો છે જે મેમરીનો વપરાશ ઘટાડવા માટે કોમ્પ્રેસિવ સેન્સિંગની તકનીકોનો ઉપયોગ કરે છે લોકપ્રિય સંસ્કૃતિમાં ફિલ્મ હિડન ફિગર્સમાં, કેથરિન ગોબલે પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષામાંથી અવકાશયાત્રી જ્હોન ગ્લેનના પુનઃપ્રવેશની ગણતરીમાં યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો છે. આ પણ જુઓ ક્રેન્ક-નિકોલ્સન પદ્ધતિ ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ એ જ રીતે મર્યાદિત પગલાંનો ઉપયોગ કરે છે, અહીં ફંક્શન્સની મિનિમા શોધવા માટે રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓની સૂચિ રેખીય મલ્ટીસ્ટેપ પદ્ધતિ આંકડાકીય એકીકરણ (ચોક્કસ સંકલનની ગણતરી માટે) સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓ નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ યુલર પદ્ધતિ રોઝેટા કોડ દ્વારા વિવિધ ભાષાઓમાં અમલીકરણ આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ પ્રથમ ક્રમ પદ્ધતિઓ લિયોનહાર્ડ યુલર લેખો ઉદાહરણ તરીકે R કોડ સાથે લેખો MATLAB/ઓક્ટેવ કોડ