Brauer's theorem on induced characters
પ્રેરિત અક્ષરો પર બ્રાઉઅરનો પ્રમેય, જેને ઘણીવાર બ્રાઉઅરના ઇન્ડક્શન પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને રિચાર્ડ બ્રાઉઅરના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે મર્યાદિત જૂથના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની અંદર, અક્ષર સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાતી ગણિતની શાખામાં મૂળભૂત પરિણામ છે. પૃષ્ઠભૂમિ બ્રાઉઅરના ઇન્ડક્શન થીયરમનું પુરોગામી આર્ટીનનું ઇન્ડક્શન થીયરમ હતું, જે જણાવે છે કે |G | ગુણ્યા G ના તુચ્છ અક્ષર એ અક્ષરોનું પૂર્ણાંક સંયોજન છે જે દરેક G ના ચક્રીય પેટાજૂથોના તુચ્છ અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત થાય છે. બ્રાઉઅરનું પ્રમેય પરિબળ |G | ને દૂર કરે છે, પરંતુ ઉપયોગમાં લેવાતા પેટાજૂથોના સંગ્રહને વિસ્તૃત કરવાના ભોગે. બ્રાઉઅરના પ્રમેયની સાબિતીના કેટલાક વર્ષો પછી, જે. એ. ગ્રીને (1955માં) દર્શાવ્યું હતું કે આવી કોઈ ઇન્ડક્શન થીયરમ (રેખીય અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત અક્ષરોના પૂર્ણાંક સંયોજનો સાથે) બ્રાઉઅર પ્રાથમિક પેટાજૂથો કરતા નાના પેટાજૂથોના સંગ્રહ સાથે સાબિત કરી શકાતી નથી. આર્ટીનના ઇન્ડક્શન થીયરમ અને બ્રાઉઅરના ઇન્ડક્શન થીયરમ વચ્ચેનું બીજું પરિણામ, જે બ્રાઉઅરને કારણે પણ છે અને જેને બ્રાઉઅરના થીયરમ અથવા બ્રાઉઅરના લેમ્મા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે તે હકીકત છે કે G ની નિયમિત રજૂઆતને લખી શકાય છે જ્યાં હકારાત્મક તર્કસંગત છે અને તે G ના ચક્રીય પેટાજૂથોના અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત છે. નોંધ કરો કે આર્ટીનના પ્રમેયમાં અક્ષરો ચક્રીય જૂથના તુચ્છ પાત્રમાંથી પ્રેરિત થાય છે, જ્યારે અહીં તેઓ મનસ્વી અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત થાય છે (આર્ટીનના L કાર્યોની એપ્લિકેશનોમાં તે મહત્વપૂર્ણ છે કે જૂથો ચક્રીય હોય અને તેથી તમામ અક્ષરો રેખીય હોય છે જે આપે છે કે અનુરૂપ L કાર્યો વિશ્લેષણાત્મક છે). નિવેદન G ને એક મર્યાદિત જૂથ માની લો અને ચાલો ચાર (G) એ G ના જટિલ-મૂલ્યવાન વર્ગ કાર્યોની રીંગની સબરીંગને સૂચવે છે જેમાં ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષરોના પૂર્ણાંક સંયોજનો હોય છે. ચાર (જી) ને જીના અક્ષર રિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને તેના તત્વોને વર્ચ્યુઅલ અક્ષરો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (વૈકલ્પિક રીતે, સામાન્યીકૃત અક્ષરો તરીકે, અથવા ક્યારેક અલગ અક્ષરો તરીકે). તે એ હકીકતને આધારે એક વીંટી છે કે G ના અક્ષરોનો ગુણાકાર ફરીથી G નો ગુણાકાર છે. તેનો ગુણાકાર વર્ગ કાર્યોના તત્વવાર ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. બ્રાઉઅરનો ઇન્ડક્શન થીયરમ દર્શાવે છે કે અક્ષર રિંગ (અબેલિયન જૂથ તરીકે) સ્વરૂપના પ્રેરિત અક્ષરો દ્વારા પેદા કરી શકાય છે, જ્યાં H એ G ના પેટાજૂથો પર હોય છે અને λ એ H ના રેખીય અક્ષરો (ડિગ્રી 1 ધરાવતા) પર હોય છે. હકીકતમાં, બ્રાઉરે દર્શાવ્યું હતું કે પેટાજૂથો H ને ખૂબ જ પ્રતિબંધિત સંગ્રહમાંથી પસંદ કરી શકાય છે, જેને હવે બ્રાઉઅર પ્રાથમિક પેટાજૂથો કહેવામાં આવે છે. આ ચક્રીય જૂથો અને જૂથોની સીધી પેદાશો છે, જેમનો ક્રમ અવિભાજ્યની શક્તિ છે. પુરાવા બ્રાઉઅરના ઇન્ડક્શન થીયરમનો પુરાવો ચાર (જી) ની રિંગ સ્ટ્રક્ચરનો ઉપયોગ કરે છે (મોટાભાગના પુરાવો થોડી મોટી રિંગ, ચાર * (જી) નો પણ ઉપયોગ કરે છે, જેમાં ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષરોના-સંયોજનોનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં ω એ એકતાનું આદિમ સંકુલ |G |-th રુટ છે). બ્રાઉઅર પ્રાથમિક પેટાજૂથોના રેખીય અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત અક્ષરોના પૂર્ણાંક સંયોજનોનો સમૂહ એ ચાર (જી) નો આદર્શ I (જી) છે, તેથી સાબિતી દર્શાવે છે કે તુચ્છ અક્ષર I (જી) માં છે. આ પ્રમેયની કેટલીક સાબિતીઓ, બ્રાઉઅર અને જ્હોન ટેટને કારણે પુરાવા સાથે શરૂ થાય છે, તે દર્શાવે છે કે તુચ્છ અક્ષર એક સમયે એક મુખ્ય p પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને અને I * (G) ના પૂર્ણાંક-મૂલ્યવાળા તત્વોનું નિર્માણ કરીને, જે p ની પૂરતી ઉચ્ચ શક્તિ દ્વારા (પૂર્ણાંક ગુણાંક) તુચ્છ અક્ષરથી (તત્વની દ્રષ્ટિએ) અલગ પડે છે. એકવાર આ |G | ના દરેક મુખ્ય ભાજક માટે પ્રાપ્ત થઈ જાય પછી, એકરૂપતા અને બીજગણિત પૂર્ણાંકો સાથે કેટલીક હેરફેર, ફરીથી એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે I * (G) એ Ch * (G) નો આદર્શ છે, I (G) માં તુચ્છ અક્ષર મૂકો. અહીં એક સહાયક પરિણામ એ છે કે-વેલ્યુડ ક્લાસ ફંક્શન આદર્શ I * (G) માં આવેલું છે જો તેના તમામ મૂલ્યો |G | દ્વારા વિભાજીત (in) હોય. બ્રાઉઅરનો ઇન્ડક્શન થીયરમ 1946માં સાબિત થયો હતો અને હવે ઘણા વૈકલ્પિક પુરાવાઓ છે. 1986 માં, વિક્ટર સ્નેઇથે ધરમૂળથી અલગ અભિગમ, પ્રકૃતિમાં ટોપોલોજિકલ (લેફશેટ્ઝ ફિક્સ્ડ-પોઇન્ટ થીયરમની એપ્લિકેશન) દ્વારા પુરાવો આપ્યો હતો. બ્રાઉઅરના પ્રમેયના કુદરતી અને સ્પષ્ટ સ્વરૂપો શોધવાના પ્રશ્ન પર સંબંધિત તાજેતરનું કાર્ય કરવામાં આવ્યું છે, ખાસ કરીને રોબર્ટ બોલ્ટજે દ્વારા. ફ્રોબેનિયસ પારસ્પરિકતાનો ઉપયોગ કરીને એપ્લિકેશન્સ, બ્રાઉઅરનો ઇન્ડક્શન થીયરમ સરળતાથી અક્ષરોના તેના મૂળભૂત લાક્ષણિકતા તરફ દોરી જાય છે, જે ભારપૂર્વક જણાવે છે કે G નું જટિલ-મૂલ્યવાન વર્ગ કાર્ય એક વર્ચ્યુઅલ અક્ષર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો G ના દરેક બ્રાઉઅર પ્રાથમિક પેટાજૂથ પર તેનું પ્રતિબંધ વર્ચ્યુઅલ અક્ષર હોય. આ પરિણામ, એ હકીકત સાથે કે વર્ચ્યુઅલ અક્ષર θ એ ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો θ (1)> 0 અને (જ્યાં કોમ્પ્લેક્સ-વેલ્યુડ ક્લાસ ફંક્શન્સની રીંગ પર સામાન્ય આંતરિક ઉત્પાદન છે) સંબંધિત રજૂઆતો સ્પષ્ટ રીતે નિર્માણ કર્યા વિના ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષરોના નિર્માણનું સાધન આપે છે. બ્રાઉઅરના ઇન્ડક્શન થીયરમ માટે પ્રારંભિક પ્રેરણા આર્ટિન એલ-ફંક્શન્સ માટે એપ્લિકેશન હતી. તે દર્શાવે છે કે તે ડિરીક્લેટ એલ-ફંક્શન્સ અથવા વધુ સામાન્ય હેક એલ-ફંક્શન્સમાંથી બનાવવામાં આવ્યા છે. તે એપ્લિકેશન માટે અત્યંત મહત્વપૂર્ણ એ છે કે શું G નું દરેક અક્ષર પેટા જૂથોના રેખીય અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત અક્ષરોનું બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક સંયોજન છે. સામાન્ય રીતે, આ કેસ નથી. હકીકતમાં, તાકેતાના પ્રમેય અનુસાર, જો G ના તમામ અક્ષરો એટલા જ વ્યક્ત કરી શકાય તેવા હોય, તો G એ ઉકેલવા યોગ્ય જૂથ હોવું જોઈએ (જોકે એકલા ઉકેલવાની ક્ષમતા આવી અભિવ્યક્તિઓની બાંયધરી આપતી નથી-ઉદાહરણ તરીકે, ઉકેલવા યોગ્ય જૂથ SL (2,3) ડિગ્રી 2 નું બદલી ન શકાય તેવું જટિલ પાત્ર ધરાવે છે જે પેટા જૂથોના રેખીય અક્ષરોમાંથી પ્રેરિત અક્ષરોના બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતું નથી). બ્રાઉઅરના ઇન્ડક્શન થીયરમના પુરાવાનો એક ઘટક એ છે કે જ્યારે G એક મર્યાદિત નિલપોટેન્ટ જૂથ છે, ત્યારે Gનું દરેક જટિલ ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષર અમુક પેટાજૂથના રેખીય અક્ષરમાંથી પ્રેરિત થાય છે. એકેડેમિક પ્રેસ દ્વારા પ્રકાશિત 1976ની મૂળની સુધારેલી પુનઃમુદ્રણ. વધુ વાંચન નોંધો મર્યાદિત જૂથોનું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો