Zeta function regularization
ગણિત અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણ એ નિયમિતકરણ અથવા સારાંશ પદ્ધતિનો એક પ્રકાર છે જે વિવિધ રકમ અથવા ઉત્પાદનોને મર્યાદિત મૂલ્યો સોંપે છે, અને ખાસ કરીને કેટલાક સ્વ-સંલગ્ન સંચાલકોના નિર્ધારકો અને નિશાનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ તકનીક હવે સામાન્ય રીતે ભૌતિકશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેની ઉત્પત્તિ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં દેખાતા બિન-શરતી રકમને ચોક્કસ અર્થ આપવાના પ્રયાસોમાં છે. વ્યાખ્યા સંભવતઃ અલગ શ્રેણીના સરવાળાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણ તરીકે ઓળખાતી ઘણી જુદી જુદી સરવાળા પદ્ધતિઓ છે એક પદ્ધતિ એ છે કે જો આ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તેના ઝીટા નિયમિત રકમને ζA (−1) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવી, જ્યાં ઝીટા કાર્યને મોટા Re (s) માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો આ સરવાળો એકરૂપ થાય છે, અને અન્યત્ર વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા. જ્યારે an = n હોય ત્યારે ઝીટા વિધેય એ સામાન્ય રીમાન ઝીટા વિધેય છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ યુલર દ્વારા શ્રેણી 1 + 2 + 3 + 4 + થી ζ (−1) = − 1/12 નો "સરવાળો" કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. દર્શાવ્યું કે સપાટ જગ્યામાં, જેમાં લેપલેસિયનના આઈગન વેલ્યુઓ જાણીતા છે, પાર્ટીશન ફંક્શનને અનુરૂપ ઝીટા ફંક્શનની સ્પષ્ટ રીતે ગણતરી કરી શકાય છે. તાપમાન T = β−1 પર સપાટ અવકાશ સમયમાં વોલ્યુમ V ના મોટા બૉક્સમાં સમાયેલ સ્કેલર ક્ષેત્ર φ નો વિચાર કરો. પાર્ટીશન ફંક્શનને યુક્લિડિયન જગ્યા પરના તમામ ક્ષેત્રો φ પર પાથ ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે τ = it મૂકીને મેળવવામાં આવે છે, જે બૉક્સની દિવાલો પર શૂન્ય હોય છે અને જે τ માં β સમયગાળા સાથે સામયિક હોય છે. આ પરિસ્થિતિમાં પાર્ટીશન ફંક્શનમાંથી તે ઊર્જા, એન્ટ્રોપી અને ક્ષેત્ર φ ના રેડિયેશનના દબાણની ગણતરી કરે છે. સપાટ જગ્યાઓના કિસ્સામાં ભૌતિક જથ્થામાં દેખાતા આઈગન મૂલ્યો સામાન્ય રીતે જાણીતા હોય છે, જ્યારે વક્ર જગ્યાના કિસ્સામાં તેઓ જાણીતા નથીઃ આ કિસ્સામાં એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ જરૂરી છે. બીજી પદ્ધતિ સંભવતઃ ભિન્ન અનંત ઉત્પાદન a1a2 ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જે exp (− ζ′A (0)) છે. આનો ઉપયોગ આઇગન વેલ્યુ a1, a2,. સાથે પોઝિટિવ સેલ્ફ-એડજોઈન્ટ ઓપરેટર A (તેમની એપ્લિકેશનમાં રીમાનિયન મેનીફોલ્ડનું લાપ્લેસીયન) ના નિર્ધારકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, અને આ કિસ્સામાં ઝીટા ફંક્શન ઔપચારિક રીતે A−s નું ટ્રેસ છે. દર્શાવ્યું હતું કે જો A એ કોમ્પેક્ટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડનું લાપ્લેસીયન છે, તો મિનાક્ષીસુંદરમ-પ્લિજેલ ઝેટા ફંક્શન એકરૂપ થાય છે અને તમામ જટિલ સંખ્યાઓ માટે મેરોમોર્ફિક ફંક્શન તરીકે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય ધરાવે છે, અને તેને કોમ્પેક્ટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ પર લંબગોળ સ્યુડો-ડિફરન્શિયલ ઓપરેટર્સ A સુધી વિસ્તૃત કરે છે. તેથી આવા ઓપરેટરો માટે ઝીટા ફંક્શન નિયમિતકરણનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારકને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. "વિશ્લેષણાત્મક વળાંક" જુઓ. વક્ર અવકાશ સમયમાં પાથ ઇન્ટિગ્રલ્સનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે આ વિચારનો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કર્યું. તેમણે થર્મલ ગ્રેવિટોન માટે વિભાજન કાર્યોની ગણતરી કરવા માટે ઝીટા કાર્ય નિયમિતકરણનો અભ્યાસ કર્યો અને વક્ર પૃષ્ઠભૂમિમાં દ્રવ્યના ક્વાન્ટાની ગણતરી કરી જેમ કે કાળા છિદ્રોના ક્ષિતિજ પર અને ડી સિટર પૃષ્ઠભૂમિ પર ઊષ્મા સમીકરણોના કર્નલના ટ્રેસ સાથે ઇન્વર્સ મેલિન પરિવર્તન દ્વારા સંબંધનો ઉપયોગ કરીને. ઉદાહરણ પ્રથમ ઉદાહરણ જેમાં ઝીટા કાર્યનું નિયમિતકરણ ઉપલબ્ધ છે તે કાસિમિર અસરમાં દેખાય છે, જે ત્રણ અવકાશ પરિમાણોમાં ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રના જથ્થાબંધ યોગદાન સાથે સપાટ જગ્યામાં છે. આ કિસ્સામાં આપણે-3 પર રીમાન ઝીટા વિધેયની કિંમતની ગણતરી કરવી જોઈએ, જે સ્પષ્ટપણે અલગ પડે છે. જો કે, તેને વિશ્લેષણાત્મક રીતે s =-3 સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે જ્યાં આશા છે કે કોઈ ધ્રુવ નથી, આમ અભિવ્યક્તિને મર્યાદિત મૂલ્ય આપે છે. કામ પર આ નિયમિતકરણનું વિગતવાર ઉદાહરણ કાસીમીર અસરના વિગતવાર ઉદાહરણ પરના લેખમાં આપવામાં આવ્યું છે, જ્યાં પરિણામી સરવાળો ખૂબ જ સ્પષ્ટ રીતે રીમાન ઝેટા-ફંક્શન છે (અને જ્યાં દેખીતી રીતે લેગર્ડમેન વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય એક ઉમેરણ અનંતને દૂર કરે છે, ભૌતિક રીતે નોંધપાત્ર મર્યાદિત સંખ્યા છોડી દે છે). ઝીટા-ફંક્શન નિયમિતકરણનું ઉદાહરણ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં કણ ક્ષેત્રની ઊર્જાના શૂન્યાવકાશ અપેક્ષા મૂલ્યની ગણતરી છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ઝીટા-ફંક્શન અભિગમનો ઉપયોગ સપાટ અને વક્ર અવકાશ સમય બંનેમાં સમગ્ર ઊર્જા-ગતિ ટેન્સરને નિયમિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ઊર્જાનું અનિયંત્રિત મૂલ્ય શૂન્યની તમામ ઉત્તેજના સ્થિતિઓના શૂન્ય-બિંદુ ઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ અહીં, ઊર્જા-ગતિ ટેન્સરનો શૂન્ય ઘટક છે અને સરવાળો (જે એક અભિન્ન ભાગ હોઈ શકે છે) તમામ (હકારાત્મક અને નકારાત્મક) ઊર્જા સ્થિતિઓ પર વિસ્તરેલો હોવાનું સમજાય છે; સંપૂર્ણ મૂલ્ય આપણને યાદ અપાવે છે કે ઊર્જાને હકારાત્મક ગણવામાં આવે છે. આ સરવાળો, જેમ લખવામાં આવે છે, તે સામાન્ય રીતે અનંત હોય છે (સામાન્ય રીતે n માં રેખીય હોય છે). સરવાળાને આ રીતે લખીને નિયમિત કરી શકાય છે કે જ્યાં s એ અમુક પરિમાણ છે, જેને જટિલ સંખ્યા તરીકે લેવામાં આવે છે. મોટા માટે, વાસ્તવિક s 4 કરતા વધારે (ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે), સરવાળો સ્પષ્ટ રીતે મર્યાદિત છે, અને તેથી ઘણીવાર સૈદ્ધાંતિક રીતે મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. ઝીટા-રેગ્યુલરાઇઝેશન ઉપયોગી છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર એવી રીતે થઈ શકે છે કે ભૌતિક પ્રણાલીની વિવિધ સમપ્રમાણતા જાળવી રાખવામાં આવે. ઝીટા-ફંક્શન રેગ્યુલરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કન્ફોર્મલ ફિલ્ડ થિયરી, રીનોર્મલાઇઝેશન અને સ્ટ્રિંગ થિયરીના ક્રિટિકલ સ્પેસટાઇમ ડાયમેન્શનને ફિક્સ કરવા માટે થાય છે. અન્ય નિયમિતકરણોનો સંબંધ ઝેટા કાર્ય નિયમિતકરણ એ પરિમાણીય નિયમિતકરણની સમકક્ષ છે, જુઓ. જો કે, ઝીટા નિયમિતકરણનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે જ્યારે પણ પરિમાણીય નિયમિતકરણ નિષ્ફળ જાય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે જો ગણતરીની અંદર મેટ્રિસીસ અથવા ટેન્સર હોય તો ડિરીક્લેટ શ્રેણી સાથેનો સંબંધ ઝીટા-કાર્ય નિયમિતકરણ અંકગણિત કાર્ય f (n) પર કોઈપણ રકમ માટે વિશ્લેષણાત્મક માળખું આપે છે. આવી રકમને ડિરીક્લેટ શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. નિયમિત સ્વરૂપ જટિલ એસ-પ્લેન પર સરવાળાના વિચલનને સરળ ધ્રુવોમાં રૂપાંતરિત કરે છે. આંકડાકીય ગણતરીઓમાં, ઝીટા-કાર્યનું નિયમિતકરણ અયોગ્ય છે, કારણ કે તે એકરૂપ થવામાં અત્યંત ધીમું છે. આંકડાકીય હેતુઓ માટે, વધુ ઝડપથી કન્વર્જિંગ સરવાળો એ ઘાતાંકીય નિયમિતકરણ છે, જે દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ કેટલીકવાર f નું Z-રૂપાંતર કહેવાય છે, જ્યાં z = exp (−t). ઘાતાંકીય અને ઝીટા-નિયમિતકરણનું વિશ્લેષણાત્મક માળખું સંબંધિત છે. ઘાતાંકીય રકમને લોરેન્ટ શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરીને જોવામાં આવે છે કે ઝીટા-શ્રેણીમાં માળખું છે. ઘાતાંકીય અને ઝીટા-નિયમનકારોની રચના મેલિન પરિવર્તન દ્વારા સંબંધિત છે. ગામા કાર્યની અભિન્ન રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને એકને બીજામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છેઃ જે ઘાતાંકીય અને ઝીટા-નિયમનકારોને લગતી ઓળખ તરફ દોરી જાય છે, અને એસ-પ્લેનમાં ધ્રુવોને લોરેન્ટ શ્રેણીમાં અલગ શરતોમાં રૂપાંતરિત કરે છે. ઉષ્મા કર્નલનું નિયમિતકરણ આ સરવાળાને કેટલીકવાર ઉષ્મા કર્નલ અથવા ઉષ્મા-કર્નલ નિયમિત રકમ કહેવામાં આવે છે; આ નામ એ વિચાર પરથી ઉદ્ભવે છે કે તેને કેટલીકવાર ઉષ્મા કર્નલના આઈગન વેલ્યુ તરીકે સમજી શકાય છે. ગણિતમાં, આવા સરવાળાને સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે; સરેરાશ માટે તેનો ઉપયોગ એબેલિયન સરેરાશ તરીકે ઓળખાય છે. તે લાપ્લાસ-સ્ટીલ્ટજેસ ટ્રાન્સફોર્મ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જેમાં એક સ્ટેપ ફંક્શન છે, જેમાં એટના પગલાં છે. આવી શ્રેણીના અભિસરણ માટે સંખ્યાબંધ પ્રમેયો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્ડી-લિટલવુડ ટૌબેરિયન પ્રમેય અનુસાર, જો પછી માટે શ્રેણી અર્ધ-સમતલમાં એકરૂપ થાય છે અને અર્ધ-સમતલના દરેક સઘન સબસેટ પર સમાનરૂપે અભિસારી હોય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રની લગભગ તમામ એપ્લિકેશનોમાં, મોટાભાગનું પ્રારંભિક કાર્ય હીટ કર્નલ અને ઝીટા ફંક્શન નિયમિતકરણ પદ્ધતિઓ સાથે નિયમિત શ્રેણીના અભિસરણ અને સમાનતાને સ્થાપિત કરવા માટે જી. એચ. હાર્ડી અને જે. ઇ. લિટલવુડ દ્વારા 1916માં કરવામાં આવ્યું હતું અને તે કેહેન-મેલિન ઇન્ટિગ્રલના ઉપયોગ પર આધારિત છે. સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં દેખાતા વિવિધ અચોક્કસ વ્યાખ્યાયિત, શરતી અભિસારી રકમ માટે મૂલ્યો મેળવવા માટે આ પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો. ભૌતિક સમસ્યાઓમાં નિયમનકાર તરીકે ઉપયોગની દ્રષ્ટિએ, અગાઉ, જે. સ્ટુઅર્ટ ડાઉકર અને રેમન્ડ ક્રિચલીએ 1976માં ક્વોન્ટમ ભૌતિક સમસ્યાઓ માટે ઝીટા-ફંક્શન નિયમિતકરણ પદ્ધતિની દરખાસ્ત કરી હતી. એમિલિયો એલિઝાલ્ડ અને અન્યોએ પણ સંકલન માટે ઝીટા નિયમિતકરણ પર આધારિત પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો છે, અહીં એક નિયમનકાર છે અને ભિન્ન સંકલન મર્યાદામાં સંખ્યાઓ પર આધાર રાખે છે જુઓ રીનોર્મલાઇઝેશન. પરિમાણીય નિયમિતકરણ અને વિશ્લેષણાત્મક નિયમિતકરણ જેવા અન્ય નિયમિતકરણથી વિપરીત, ઝીટા નિયમિતકરણમાં કોઈ પ્રતિકૂળ શરતો નથી અને તે માત્ર મર્યાદિત પરિણામો આપે છે. સંદર્ભો ટોમ એમ. એપોસ્ટોલ, "મોડ્યુલર ફંક્શન્સ એન્ડ ડિરીક્લેટ સિરીઝ ઇન નંબર થિયરી", "સ્પ્રિંગર-વેરલેગ ન્યૂ યોર્ક" પણ જુઓ. (પ્રકરણ 8 જુઓ.) " એ. બાઇત્સેન્કો, જી. કોગ્નોલા, ઇ. એલિઝાલ્ડે, વી. મોરેટ્ટી અને એસ. ઝર્બિની, "એનાલિટિક એસ્પેક્ટ્સ ઓફ ક્વોન્ટમ ફીલ્ડ્સ", વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક પબ્લિશિંગ, 2003, જી. એચ. હાર્ડી અને જે. ઇ. લિટલવુડ, "કન્ટ્રીબ્યુશન્સ ટુ ધ થિયરી ઓફ ધ રીમેન ઝેટા-ફંક્શન એન્ડ ધ થિયરી ઓફ ધ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ઓફ પ્રાઈમ્સ", એક્ટા મેથેમેટિકા, 41 (1916) પૃષ્ઠ. 119-196. (જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમેય 2.12) વી. મોરેટ્ટી, "ડાયરેક્ટ ઝેડ-ફંક્શન એપ્રોચ એન્ડ રીનોર્મલાઇઝેશન ઓફ વન-લૂપ સ્ટ્રેસ ટેન્સર ઇન કર્વ્ડ સ્પેસટાઇમ્સ, ફિઝ. Rev.D 56,7797 "(1997). ડી. ફર્મી, એલ. પિઝોચેરો, "સ્થાનિક ઝીટા નિયમિતકરણ અને સ્કેલર કાસીમીર અસર. અભિન્ન કર્નલો પર આધારિત એક સામાન્ય અભિગમ, "વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક પબ્લિશિંગ, ISBN: 978-981-3224-99-5 (હાર્ડકવર), ISBN: 978-981-3225-01-5 (ઇબુક). ડીઓઆઈઃ 10.1142/10570 (2017). ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત શબ્દમાળા સિદ્ધાંત ગાણિતિક વિશ્લેષણ ઝીટા અને એલ-કાર્યો સારાંશ પદ્ધતિઓ