Taubes's Gromov invariant
ગણિતમાં, ક્લિફોર્ડ ટૌબ્સની ગ્રોમોવ અપરિવર્તનશીલ ગણતરીઓ સિંપ્લેક્ટિક 4-મેનીફોલ્ડમાં જડિત (સંભવતઃ ડિસ્કનેક્ટ થયેલ) સ્યુડોહોલોમોર્ફિક વળાંક ધરાવે છે, જ્યાં વળાંક સહાયક સુસંગત લગભગ જટિલ માળખાના સંદર્ભમાં હોલોમોર્ફિક હોય છે. (સ્વ-છેદ 0 સાથે 2-ટોરીના બહુવિધ આવરણો પણ ગણવામાં આવે છે.) ટૌબેસે ચાર લાંબા કાગળોની શ્રેણીમાં સાબિત કર્યું કે આ અપરિવર્તનમાં રહેલી માહિતી સેઇબર્ગ-વિટન સમીકરણોમાંથી મેળવેલા અપરિવર્તનની સમકક્ષ છે. આ અપરિવર્તનશીલ સાથે જોડાયેલી મોટાભાગની વિશ્લેષણાત્મક જટિલતા યોગ્ય રીતે ગુણાકારથી ઢંકાયેલા સ્યુડોહોલોમોર્ફિક વળાંકની ગણતરીમાંથી આવે છે જેથી પરિણામ લગભગ જટિલ માળખાની પસંદગીમાં અપરિવર્તનશીલ હોય. મુખ્ય બિંદુ એ સ્યુડોહોલોમોર્ફિક વળાંક માટે ટોપોલોજીકલ રીતે વ્યાખ્યાયિત અનુક્રમણિકા છે જે જડિતતાને નિયંત્રિત કરે છે અને ફ્રેડહોલ્મ અનુક્રમણિકાને સીમિત કરે છે. એમ્બેડેડ કોન્ટેક્ટ હોમોલોજી એ માઈકલ હચિંગ્સના આ કાર્યને કારણે ફોર્મના બિન-કોમ્પેક્ટ ચાર-મેનીફોલ્ડનું વિસ્તરણ છે, જ્યાં વાય એ કોમ્પેક્ટ કોન્ટેક્ટ 3-મેનીફોલ્ડ છે. ઇસીએચ એ સિમપ્લેક્ટિક ફિલ્ડ થિયરી જેવી અપરિવર્તનશીલ છે; એટલે કે, તે વાય પર સંપર્ક સ્વરૂપની રીબ ભ્રમણકક્ષાઓના ચોક્કસ સંયોજનો દ્વારા પેદા થયેલ સાંકળ સંકુલની સમરૂપતા છે, અને જેની વિભેદક ગણતરીઓ ચોક્કસ જડિત સ્યુડોહોલોમોર્ફિક વળાંકો અને "ઇસીએચ ઇન્ડેક્સ" 1 સાથે આવરી લેવામાં આવેલા સ્યુડોહોલોમોર્ફિક સિલિન્ડરોને ગુણાકાર કરે છે. ઇસીએચ અનુક્રમણિકા એ નળાકાર કેસ માટે ટૌબ્સ અનુક્રમણિકાનું એક સંસ્કરણ છે, અને ફરીથી, વળાંક યોગ્ય લગભગ જટિલ માળખાના સંદર્ભમાં સ્યુડોહોલોમોર્ફિક છે. પરિણામ એ Y નું ટોપોલોજિકલ અપરિવર્તન છે, જે ટૌબેસે સાબિત કર્યું છે કે તે મોનોપોલ ફ્લોર હોમોલોજી માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે Y માટે સેઇબર્ગ-વિટન હોમોલોજીનું વર્ઝન છે.