Signed measure
ગણિતમાં, હસ્તાક્ષરિત માપ એ સમૂહ કાર્યને નકારાત્મક મૂલ્યો લેવાની મંજૂરી આપીને (હકારાત્મક) માપની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે, એટલે કે, સંકેત પ્રાપ્ત કરવા માટે. વ્યાખ્યા હસ્તાક્ષરિત માપની બે થોડી અલગ વિભાવનાઓ છે, જે તેના પર આધાર રાખે છે કે કોઈ તેને અનંત મૂલ્યો લેવાની મંજૂરી આપે છે કે નહીં. હસ્તાક્ષરિત પગલાંને સામાન્ય રીતે માત્ર મર્યાદિત વાસ્તવિક મૂલ્યો લેવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે, જ્યારે કેટલાક પાઠ્યપુસ્તકો તેમને અનંત મૂલ્યો લેવાની મંજૂરી આપે છે. મૂંઝવણ ટાળવા માટે, આ લેખ આ બે કેસોને "મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત પગલાં" અને "વિસ્તૃત હસ્તાક્ષરિત પગલાં" કહેશે. માપી શકાય તેવી જગ્યા (એટલે કે, તેના પર σ-બીજગણિત સાથેનો સમૂહ) આપવામાં આવે તો, વિસ્તૃત હસ્તાક્ષરિત માપ એ એક સમૂહ કાર્ય છે જે σ-એડિટિવ છે-એટલે કે, તે સંયુક્ત સમૂહોના કોઈપણ ક્રમ માટે સમાનતાને સંતોષે છે. એક પરિણામ એ છે કે વિસ્તૃત હસ્તાક્ષરિત માપ મૂલ્ય તરીકે લઈ શકે છે, પરંતુ બંને નહીં. અભિવ્યક્તિ અવ્યાખ્યાયિત છે અને તેને ટાળવી જોઈએ. એક મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપ (એ. કે. એ. વાસ્તવિક માપ) એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સિવાય કે તેને માત્ર વાસ્તવિક મૂલ્યો લેવાની મંજૂરી છે. એટલે કે, તે વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા બનાવી શકતા નથી અથવા હસ્તાક્ષરિત પગલાંને મર્યાદિત કરી શકતા નથી, જ્યારે વિસ્તૃત હસ્તાક્ષરિત પગલાં એટલા માટે નથી કારણ કે તેઓ ઉમેરા હેઠળ બંધ નથી. બીજી બાજુ, પગલાં વિસ્તૃત હસ્તાક્ષરિત પગલાં છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત પગલાં નથી. ઉદાહરણો અવકાશ (X, β) પર બિન-નકારાત્મક માપ અને માપી શકાય તેવા કાર્ય f: X → R ને ધ્યાનમાં લો જેથી પછી, β માં તમામ A માટે મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપ આપવામાં આવે. આ હસ્તાક્ષરિત માપ માત્ર મર્યાદિત મૂલ્યો લે છે. તેને + ini મૂલ્ય તરીકે લેવાની મંજૂરી આપવા માટે, f સંપૂર્ણપણે સંકલનક્ષમ હોવાની ધારણાને વધુ આરામદાયક સ્થિતિ સાથે બદલવાની જરૂર છે જ્યાં f − (x) = મહત્તમ (−f (x), 0) એ f નો નકારાત્મક ભાગ છે. ગુણધર્મો નીચે આપેલા બે પરિણામો છે જે સૂચવે છે કે વિસ્તૃત હસ્તાક્ષરિત માપ એ બે બિન-નકારાત્મક પગલાંનો તફાવત છે, અને મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપ એ બે મર્યાદિત બિન-નકારાત્મક પગલાંનો તફાવત છે. હાન વિઘટન પ્રમેય જણાવે છે કે હસ્તાક્ષરિત માપ આપવામાં આવે તો, ત્યાં બે માપી શકાય તેવા સમૂહો P અને N અસ્તિત્વમાં છે જેમ કેઃ P ≤ N = X અને P ≤ N = φ; દરેક E માટે ≤ 0 જેથી E ≤ P-બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, P એ હકારાત્મક સમૂહ છે; દરેક E માટે ≤ 0 જેથી E ≤ N-એટલે કે, N એ નકારાત્મક સમૂહ છે. વધુમાં, આ વિઘટન પી અને એનમાંથી એમયુ-નલ સમૂહોમાં ઉમેરવા/બાદબાકી કરવા માટે અનન્ય છે. પછી બે બિન-નકારાત્મક પગલાં એમયુ + અને એમયુ-ને ધ્યાનમાં લો અને બધા માપી શકાય તેવા સમૂહો ઇ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો, એટલે કે, ઇ ઇન એસયુ. કોઈ એ ચકાસી શકે છે કે એમયુ + અને એમયુ-બંને બિન-નકારાત્મક પગલાં છે, જેમાં એક માત્ર મર્યાદિત મૂલ્યો લે છે, અને તેને અનુક્રમે એમયુનો સકારાત્મક ભાગ અને નકારાત્મક ભાગ કહેવામાં આવે છે. એક પાસે તે μ = μ + − μ − છે. આ માપ |μ | = μ + + μ − ને μ ની વિવિધતા કહેવામાં આવે છે, અને તેનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય, | |μ | = |μ | (X), ને μ ની કુલ વિવિધતા કહેવામાં આવે છે. હાન વિઘટન પ્રમેયના આ પરિણામને જોર્ડન વિઘટન કહેવામાં આવે છે. હહ્ન વિઘટન પ્રમેયમાં પી અને એનની પસંદગીથી પરિમાણો μ +, μ − અને |μ | સ્વતંત્ર છે. હસ્તાક્ષરિત પગલાંની જગ્યા બે મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત પગલાંનો સરવાળો એ એક મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપ છે, જેમ કે વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપનો ગુણાકાર છે-એટલે કે, તેઓ રેખીય સંયોજનો હેઠળ બંધ છે. તે અનુસરે છે કે માપી શકાય તેવી જગ્યા (X, β) પર મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપનો સમૂહ એક વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા છે; આ હકારાત્મક માપથી વિપરીત છે, જે માત્ર શંકુ સંયોજનો હેઠળ બંધ હોય છે, અને આમ બહિર્મુખ શંકુ બનાવે છે પરંતુ વેક્ટર જગ્યા નહીં. વધુમાં, કુલ વિવિધતા એક ધોરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેના સંદર્ભમાં મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત પગલાંની જગ્યા બનાચ જગ્યા બની જાય છે. આ જગ્યા વધુ માળખું ધરાવે છે, જેમાં તેને ડેડેકાઇન્ડ સંપૂર્ણ બનાચ જાળી તરીકે દર્શાવી શકાય છે અને આમ કરવાથી રેડોન-નિકોડીમ પ્રમેયને ફ્રોઈડેન્થલ સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. જો X એ કોમ્પેક્ટ સેપરેબલ સ્પેસ હોય, તો પછી મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત બેયર માપનની જગ્યા એ રીઝ-માર્કોવ-કાકુતાની પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય દ્વારા X પરના તમામ સતત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન વિધેયોની વાસ્તવિક બનાચ સ્પેસની બેવડી છે. કોણીય વિસ્થાપન જટિલ માપ સ્પેક્ટ્રલ માપ વેક્ટર માપ રીસઝ-માર્કોવ-કાકુતાની પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય હસ્તાક્ષરિત ચાપ લંબાઈ હસ્તાક્ષરિત વિસ્તાર હસ્તાક્ષરિત અંતર હસ્તાક્ષરિત વોલ્યુમ કુલ વિવિધતા નોંધો સંદર્ભો સંકલિત કલન માપ (માપ સિદ્ધાંત) વિકિપીડિયા લેખો પ્લેનેટમેથ સાઇન (ગણિત) માંથી લખાણનો સમાવેશ કરે છે