Collinearity
ભૂમિતિમાં, બિંદુઓના સમૂહની સમાંતરતા એ એક જ રેખા પર પડેલો તેમનો ગુણધર્મ છે. આ ગુણધર્મ સાથેના બિંદુઓનો સમૂહ કોલિનિયર (કેટલીકવાર કોલિનિયર તરીકે જોડણી) હોવાનું કહેવાય છે. વધુ સામાન્યતામાં, આ શબ્દનો ઉપયોગ સંરેખિત વસ્તુઓ માટે કરવામાં આવે છે, એટલે કે, વસ્તુઓ "રેખામાં" અથવા "હરોળમાં" હોય છે. રેખા પરના બિંદુઓ કોઈપણ ભૂમિતિમાં, રેખા પરના બિંદુઓના સમૂહને સમરેખીય કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં આ સંબંધ "સીધી રેખા" પર હરોળમાં આવેલા બિંદુઓ દ્વારા સહજ ભાવે જોવામાં આવે છે. જો કે, મોટાભાગની ભૂમિતિઓમાં (યુક્લિડિયન સહિત) એક રેખા સામાન્ય રીતે આદિમ (અવ્યાખ્યાયિત) પદાર્થનો પ્રકાર હોય છે, તેથી આવા વિઝ્યુલાઇઝેશન જરૂરી નથી કે તે યોગ્ય હોય. ભૂમિતિ માટેનું એક મોડેલ બિંદુઓ, રેખાઓ અને અન્ય ઑબ્જેક્ટ પ્રકારો એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તેનું અર્થઘટન પ્રદાન કરે છે અને કોલિનિયરિટી જેવી કલ્પનાને તે મોડેલના સંદર્ભમાં અર્થઘટન કરવું આવશ્યક છે. દાખલા તરીકે, ગોળાકાર ભૂમિતિમાં, જ્યાં રેખાઓ ગોળાના મહાન વર્તુળો દ્વારા પ્રમાણભૂત નમૂનામાં રજૂ થાય છે, ત્યાં સમરેખીય બિંદુઓના સમૂહ સમાન મહાન વર્તુળ પર આવેલા હોય છે. આવા બિંદુઓ યુક્લિડિયન અર્થમાં "સીધી રેખા" પર નથી હોતા અને તેમને એક હરોળમાં હોવાનું માનવામાં આવતું નથી. રેખાઓ પર રેખાઓ મોકલે છે તે ભૂમિતિના મેપિંગને કોલિનીશન કહેવામાં આવે છે; તે કોલિનીરિટી ગુણધર્મને સાચવે છે. વેક્ટર જગ્યાઓના રેખીય નકશા (અથવા રેખીય કાર્યો), જેને ભૌમિતિક નકશા તરીકે જોવામાં આવે છે, રેખાઓ પર રેખાઓનો નકશો બનાવે છે; એટલે કે, તેઓ કોલિનિયર બિંદુ સમૂહોને કોલિનિયર બિંદુ સમૂહોમાં મેપ કરે છે અને તેથી, કોલિનીશન છે. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં આ રેખીય મેપિંગ્સને હોમોગ્રાફી કહેવામાં આવે છે અને તે માત્ર એક પ્રકારનું કોલીનશન છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ત્રિકોણના ઉદાહરણો કોઈપણ ત્રિકોણમાં બિંદુઓના નીચેના સમૂહો સમરેખીય હોય છેઃ લંબચોરસ કેન્દ્ર, પરિઘ કેન્દ્ર, કેન્દ્રક, એક્સેટર બિંદુ, ડી લોંગચેમ્પ્સ બિંદુ અને નવ-બિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર સમરેખીય હોય છે, જે તમામ યુલર રેખા તરીકે ઓળખાતી રેખા પર પડે છે. ડી લોંગચેમ્પ્સ પોઇન્ટમાં અન્ય સમરેખાત્મકતાઓ પણ છે. કોઈપણ શિરોબિંદુ, ભ્રમણકક્ષા સાથે વિરુદ્ધ બાજુની સ્પર્શકતા અને નાગેલ બિંદુ ત્રિકોણના સ્પ્લિટર તરીકે ઓળખાતી રેખામાં સમરેખીય હોય છે. કોઈપણ બાજુનું મધ્યબિંદુ, તે બિંદુ કે જે ત્રિકોણની સીમા સાથે બંને દિશામાં તેનાથી સમાન અંતરે છે (તેથી આ બે બિંદુઓ પરિમિતિનું દ્વિભાજન કરે છે), અને સ્પાઈકર વર્તુળનું કેન્દ્ર ત્રિકોણના ક્લીવર તરીકે ઓળખાતી રેખામાં સમરેખીય હોય છે. (સ્પાઈકર વર્તુળ એ મધ્યસ્થ ત્રિકોણનું આંતરિક વર્તુળ છે, અને તેનું કેન્દ્ર ત્રિકોણની પરિમિતિનું દળનું કેન્દ્ર છે.) કોઈપણ શિરોબિંદુ, આંતરિક વર્તુળ સાથે વિરુદ્ધ બાજુની સ્પર્શકતા અને ગેર્ગોને બિંદુ સમરેખીય હોય છે. ત્રિકોણના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુથી, ત્રિકોણની ત્રણ વિસ્તૃત બાજુઓમાંથી દરેક પરના નજીકના બિંદુઓ પરિઘ પરના બિંદુની સિમસન રેખામાં સમરેખીય હોય છે. ઊંચાઈના પગને જોડતી રેખાઓ વિરુદ્ધ બાજુઓને સમરેખીય બિંદુઓ પર છેદે છે. ત્રિકોણનું પ્રેરક, ઊંચાઈનું મધ્યબિંદુ અને તે બાજુના સંબંધિત વર્તુળ સાથે અનુરૂપ બાજુનો સંપર્ક બિંદુ કોલિનિયર હોય છે. મેનેલાઉસનું પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓની બાજુઓ (કેટલાક વિસ્તૃત) પરના ત્રણ બિંદુઓ અનુક્રમે સમરેખીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ખંડની લંબાઈના નીચેના ગુણાકારો સમાન હોયઃ ઇન્સેન્ટર, સેન્ટ્રોઇડ અને સ્પાઈકર વર્તુળનું કેન્દ્ર સમરેખીય હોય. ત્રિકોણનું પરિઘકેન્દ્ર, બ્રોકાર્ડ મધ્યબિંદુ અને લેમોઇન બિંદુ સમરેખીય હોય છે. ત્રિકોણના લંબચોરસ કેન્દ્ર પર છેદતી બે લંબરૂપ રેખાઓ ત્રિકોણની દરેક વિસ્તૃત બાજુઓને છેદે છે. આંતરછેદના આ બિંદુઓની ત્રણ બાજુઓ પરના મધ્યબિંદુઓ ડ્રોઝ-ફર્ની રેખામાં કોલિનિયર છે. ચતુષ્કોણ એવા બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં કે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ અને પર છેદે છે, તેના મધ્યબિંદુઓ સમરેખીય હોય છે અને તેમાંથી પસાર થતી રેખાને ન્યૂટન રેખા (કેટલીકવાર ન્યૂટન-ગૌસ રેખા તરીકે ઓળખાય છે) કહેવામાં આવે છે. જો ચતુર્ભુજ એક સ્પર્શક ચતુર્ભુજ છે, તો તેનો પ્રેરક પણ આ રેખા પર આવેલો છે. બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં, અર્ધવૃત્તાકાર કેન્દ્ર, "ક્ષેત્ર કેન્દ્રક" અને અર્ધવૃત્તાકાર કેન્દ્ર આ ક્રમમાં સમરેખીય હોય છે, અને. (બહિર્મુખ ચતુર્ભુજમાં Quadrilateral#Remarkable બિંદુઓ અને રેખાઓ જુઓ.) સ્પર્શક ચતુર્ભુજની અન્ય સમરેખાઓ સ્પર્શક quadrilateral#Collinear બિંદુઓમાં આપવામાં આવે છે. ચક્રીય ચતુર્ભુજમાં, પરિઘ કેન્દ્ર, શિરોબિંદુ કેન્દ્રક (બે દ્વિધામાંનું આંતરછેદ) અને વિરોધી કેન્દ્ર સમરેખીય હોય છે. ચક્રીય ચતુર્ભુજમાં, વિસ્તાર કેન્દ્રક, શિરોબિંદુ કેન્દ્રક અને કર્ણોનું આંતરછેદ સમરેખીય હોય છે. સ્પર્શક લંબચોરસમાં, બે પાયા સાથેના આંતરિક વર્તુળની સ્પર્શકતાઓ ઇન્સેન્ટર સાથે સમાંતર હોય છે. સ્પર્શક લંબચોરસમાં, પગના મધ્યબિંદુઓ ઇન્સેન્ટર સાથે સમાંતર હોય છે. ષટ્કોણ પાસ્કલની પ્રમેય (જેને હેક્સાગ્રામમ મિસ્ટિકમ પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) જણાવે છે કે જો શંકુ વિભાગ (એટલે કે લંબગોળ, લંબગોળ અથવા હાયપરબોલા) પર મનસ્વી છ બિંદુઓ પસંદ કરવામાં આવે અને ષટ્કોણ બનાવવા માટે કોઈપણ ક્રમમાં રેખા વિભાગો દ્વારા જોડવામાં આવે, તો ષટ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓની ત્રણ જોડી (જો જરૂરી હોય તો વિસ્તૃત) ત્રણ બિંદુઓમાં મળે છે જે સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે, જેને ષટ્કોણની પાસ્કલ રેખા કહેવાય છે. વિપરીત પણ સાચું છેઃ બ્રેકેનરિજ-મેકલૌરિન પ્રમેય જણાવે છે કે જો ષટ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓની ત્રણ જોડીના ત્રણ આંતરછેદ બિંદુઓ એક રેખા પર આવેલા હોય, તો ષટ્કોણના છ શિરોબિંદુઓ શંકુ પર આવેલા હોય છે, જે પેપ્પસના ષટ્કોણ પ્રમેયની જેમ અધોગતિગ્રસ્ત હોઈ શકે છે. કોનિક વિભાગો મોંગેના પ્રમેય અનુસાર, સમતલમાં કોઈપણ ત્રણ વર્તુળો માટે, જેમાંથી કોઈ પણ સંપૂર્ણપણે અન્યમાંથી એકની અંદર નથી, ત્રણ જોડી રેખાઓના ત્રણ આંતરછેદ બિંદુઓ, દરેક બાહ્ય રીતે બે વર્તુળોની સ્પર્શક છે, તે સમરેખીય છે. લંબગોળમાં, કેન્દ્ર, બે કેન્દ્ર અને વક્રતાની સૌથી નાની ત્રિજ્યા ધરાવતા બે શિરોબિંદુઓ સમરેખીય હોય છે, અને વક્રતાની સૌથી મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતા કેન્દ્ર અને બે શિરોબિંદુઓ સમરેખીય હોય છે. હાયપરબોલામાં, કેન્દ્ર, બે કેન્દ્ર અને બે શિરોબિંદુ કોલિનિયર હોય છે. શંકુ સમાન ઘનતાના શંકુ ઘનના દળનું કેન્દ્ર પાયાના કેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીના માર્ગના એક ચતુર્થાંશ ભાગમાં, બંનેને જોડતી સીધી રેખા પર આવેલું છે. ટેટ્રાહેડ્રોન ટેટ્રાહેડ્રોનનું કેન્દ્રબિંદુ તેના મોંગે બિંદુ અને પરિઘ કેન્દ્ર વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ છે. આ બિંદુઓ ટેટ્રાહેડ્રોનની યુલર રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે ત્રિકોણની યુલર રેખાને અનુરૂપ છે. ટેટ્રાહેડ્રોનના બાર-બિંદુ ગોળાનું કેન્દ્ર પણ યુલર રેખા પર આવેલું છે. કોઓર્ડિનેટ ભૂમિતિમાં,-ડાયમેન્શનલ સ્પેસમાં, ત્રણ અથવા વધુ વિશિષ્ટ બિંદુઓનો સમૂહ કોલિનિયર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ, જો આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો મેટ્રિક્સ ક્રમ 1 અથવા તેનાથી ઓછો હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો મેટ્રિક્સ રેન્ક 1 અથવા તેનાથી ઓછું હોય, તો ત્રણ પોઈન્ટ આપવામાં આવે તો પોઈન્ટ કોલિનિયર હોય છે. સમાનરૂપે, દરેક ઉપગણ માટે, જો મેટ્રિક્સ ક્રમ 2 અથવા તેનાથી ઓછું હોય, તો બિંદુઓ સમરેખીય હોય છે. ખાસ કરીને, સમતલ () માં ત્રણ બિંદુઓ માટે, ઉપરોક્ત મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે અને બિંદુઓ સમરેખીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો નિર્ધારક શૂન્ય હોય; કારણ કે તે 3 × 3 નિર્ધારક ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળથી બમણું વત્તા અથવા ઓછા હોય છે અને તે ત્રણ બિંદુઓ શિરોબિંદુઓ હોય છે, આ નિવેદનની સમકક્ષ છે કે ત્રણ બિંદુઓ સમરેખીય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે બિંદુઓ સાથેનો ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ તરીકે શૂન્ય ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે. ઓછામાં ઓછા ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓના સમૂહને સીધો કહેવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તમામ બિંદુઓ સમરેખીય હોય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ, જો તે દરેક ત્રણ બિંદુઓ માટે, કેલે-મેંગર નિર્ધારકનો નીચેનો નિર્ધારક શૂન્ય હોય (જેનો અર્થ અને, વગેરે વચ્ચેનું અંતર થાય છે. ): આ નિર્ધારક, હેરોનના સૂત્ર દ્વારા, બાજુની લંબાઈવાળા ત્રિકોણના વિસ્તારના-16 ગણા ચોરસની બરાબર છે; તેથી આ નિર્ધારક શૂન્ય બરાબર છે કે કેમ તે તપાસવું એ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય છે કે કેમ તે તપાસવા સમાન છે (તેથી શિરોબિંદુઓ સમરેખીય છે). સમાનરૂપે, ઓછામાં ઓછા ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓનો સમૂહ સમરેખીય હોય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ, દરેક ત્રણ બિંદુઓ માટે, જેમાં દરેક અને અને કરતા વધારે અથવા સમાન હોય, ત્રિકોણની અસમાનતા સમાનતા સાથે હોય. સંખ્યા સિદ્ધાંત બે સંખ્યાઓ અને સહમૌલિક નથી-એટલે કે, તેઓ 1 સિવાયના સામાન્ય પરિબળને વહેંચે છે-જો અને માત્ર ત્યારે જ જો શિરોબિંદુઓ સાથે ચોરસ જાળી પર રચાયેલા લંબચોરસ માટે, ઓછામાં ઓછું એક આંતરિક બિંદુ અને સાથે સમરેખીય હોય. સમરૂપતા (સમતલ દ્વિ) વિવિધ સમતલ ભૂમિતિઓમાં "બિંદુઓ" અને "રેખાઓ" ની ભૂમિકાઓને એકબીજા સાથે બદલવાની અને તેમની વચ્ચેના સંબંધને જાળવી રાખવાની કલ્પનાને સમતલ દ્વૈતતા કહેવામાં આવે છે. સમરેખીય બિંદુઓના સમૂહને જોતાં, સમતલ દ્વૈતતા દ્વારા આપણે રેખાઓનો સમૂહ મેળવીએ છીએ જે તમામ એક સામાન્ય બિંદુ પર મળે છે. આ રેખાઓના સમૂહમાં જે ગુણધર્મ હોય છે (સામાન્ય બિંદુ પર મળે છે) તેને સમવર્તી કહેવાય છે, અને રેખાઓને સમવર્તી રેખાઓ કહેવામાં આવે છે. આમ, સમવર્તી ચલણ એ સમરેખાત્મકતા માટે સમતલ દ્વિ કલ્પના છે. કોલીનિયરિટી ગ્રાફ આંશિક ભૂમિતિ આપવામાં આવે છે, જ્યાં બે બિંદુઓ મહત્તમ એક રેખા નક્કી કરે છે, કોલીનિયરિટી ગ્રાફ એ એક આલેખ છે જેના શિરોબિંદુઓ છે, જ્યાં બે શિરોબિંદુઓ અડીને હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ એક રેખા નક્કી કરે. આંકડાશાસ્ત્ર અને અર્થશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્રમાં, સમરેખાત્મકતા એ બે વ્યાખ્યાત્મક ચલ વચ્ચેના રેખીય સંબંધનો સંદર્ભ આપે છે. જો બંને વચ્ચે ચોક્કસ રેખીય સંબંધ હોય તો બે ચલ સંપૂર્ણપણે સમરેખીય હોય છે, તેથી તેમની વચ્ચેનો સહસંબંધ 1 અથવા-1 બરાબર હોય છે. એટલે કે, અને જો ત્યાં પરિમાણો અસ્તિત્વમાં હોય અને જેમ કે, તમામ અવલોકનો માટે, આપણી પાસે હોય તો તે સંપૂર્ણપણે સમરેખીય હોય છે. સંપૂર્ણ મલ્ટીકોલિનિયરિટી એ એવી પરિસ્થિતિનો ઉલ્લેખ કરે છે જેમાં બહુવિધ રીગ્રેસન મોડેલમાં સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલો સંપૂર્ણપણે રેખીય રીતે સંબંધિત હોય છે, તમામ અવલોકનો અનુસાર. વ્યવહારમાં, આપણે ભાગ્યે જ માહિતી સમૂહમાં સંપૂર્ણ બહુપરતાનો સામનો કરીએ છીએ. વધુ સામાન્ય રીતે, જ્યારે બે અથવા વધુ સ્વતંત્ર ચલ વચ્ચે "મજબૂત રેખીય સંબંધ" હોય ત્યારે બહુરેખીયતાનો મુદ્દો ઊભો થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે જ્યાં તફાવત પ્રમાણમાં ઓછો હોય છે. બાજુની સમરેખાત્મકતાનો ખ્યાલ આ પરંપરાગત દૃષ્ટિકોણ પર વિસ્તરે છે, અને સમજૂતી અને માપદંડ (એટલે કે, સમજાવેલ) ચલો વચ્ચેની સમરેખાત્મકતાનો સંદર્ભ આપે છે. અન્ય ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગ એન્ટેના એરે ટેલિકોમ્યુનિકેશન્સમાં, કોલિનિયર (અથવા સહ-રેખીય) એન્ટેના એરે એ દ્વિધ્રુવીય એન્ટેનાની એક શ્રેણી છે જે એવી રીતે માઉન્ટ થયેલ છે કે દરેક એન્ટેનાના અનુરૂપ ઘટકો સમાંતર અને સંરેખિત હોય, એટલે કે તેઓ એક સામાન્ય રેખા અથવા અક્ષ સાથે સ્થિત હોય. કોલિનિયરીટી સમીકરણો એ બે સમીકરણોનો સમૂહ છે, જેનો ઉપયોગ ફોટોગ્રામેટ્રી અને કમ્પ્યુટર સ્ટીરિયો વિઝનમાં થાય છે, જે ઇમેજ (સેન્સર) પ્લેન (બે પરિમાણોમાં) માં કોઓર્ડિનેટ્સને ઓબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ (ત્રણ પરિમાણોમાં) સાથે સંબંધિત કરે છે. ફોટોગ્રાફી સેટિંગમાં, સમીકરણો કેમેરાના ઓપ્ટિકલ કેન્દ્ર દ્વારા ઑબ્જેક્ટના બિંદુના કેન્દ્રિય પ્રક્ષેપણને ઇમેજ (સેન્સર) પ્લેનમાં છબીમાં ધ્યાનમાં લઈને મેળવવામાં આવે છે. ત્રણ બિંદુઓ, ઑબ્જેક્ટ પોઇન્ટ, ઇમેજ પોઇન્ટ અને ઓપ્ટિકલ સેન્ટર, હંમેશા કોલિનિયર હોય છે. આ કહેવાની બીજી રીત એ છે કે ઑબ્જેક્ટ બિંદુઓને તેમના છબી બિંદુઓ સાથે જોડતા રેખા વિભાગો બધા ઓપ્ટિકલ કેન્દ્રમાં સહવર્તી હોય છે. પેપસનો ષટ્કોણ પ્રમેય નંબર-થ્રી-ઇન-લાઇન પ્રોબ્લેમ ઇન્સિડેન્સ (ભૂમિતિ) #Collinearity કોપ્લેનેરિટી નોટ્સ રેફરન્સ ઇન્સિડેન્સ ભૂમિતિ પણ જુઓ.