Hahn decomposition theorem
ગણિતમાં, ઑસ્ટ્રિયન ગણિતશાસ્ત્રી હંસ હાનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ હાન વિઘટન પ્રમેય જણાવે છે કે-બીજગણિત પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ માપી શકાય તેવી જગ્યા અને કોઈપણ હસ્તાક્ષરિત માપ માટે, બે માપી શકાય તેવા સમૂહો અસ્તિત્વમાં છે, અને, જેમ કેઃ અને. આવા દરેક માટે, જેની પાસે, એટલે કે, એક સકારાત્મક સમૂહ છે. આવા દરેક માટે, એક છે, એટલે કે, માટે નકારાત્મક સમૂહ છે. વધુમાં, આ વિઘટન અનિવાર્યપણે અનન્ય છે, જેનો અર્થ એ છે કે ઉપરની ત્રણ શરતોને પૂર્ણ કરવાના-માપી શકાય તેવા ઉપગણની અન્ય કોઈપણ જોડી માટે, સપ્રમાણ તફાવતો અને-શૂન્ય એ મજબૂત અર્થમાં સુયોજિત કરે છે કે તેમાંના દરેક-માપી શકાય તેવા ઉપગણમાં શૂન્ય માપ હોય છે. આ જોડીને પછી હસ્તાક્ષરિત માપનું હાન વિઘટન કહેવામાં આવે છે. જોર્ડન માપન વિઘટન હેહ્ન વિઘટન પ્રમેયનું પરિણામ છે, જે જણાવે છે કે તેના પર વ્યાખ્યાયિત દરેક હસ્તાક્ષરિત માપ બે હકારાત્મક માપના તફાવતમાં એક અનન્ય વિઘટન ધરાવે છે, અને, જેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક મર્યાદિત છે, જેમ કે દરેક-માપી શકાય તેવા સબસેટ માટે અને દરેક-માપી શકાય તેવા સબસેટ માટે, તેના કોઈપણ હેહ્ન વિઘટન માટે. આપણે તેને અનુક્રમે સકારાત્મક અને નકારાત્મક ભાગ કહીએ છીએ. આ જોડીને જોર્ડન વિઘટન (અથવા ક્યારેક હાન-જોર્ડન વિઘટન) કહેવામાં આવે છે. બે પગલાંને દરેક અને કોઈપણ હાન વિઘટન માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. નોંધ લો કે જોર્ડન વિઘટન અનન્ય છે, જ્યારે હાન વિઘટન માત્ર આવશ્યકપણે અનન્ય છે. જોર્ડન વિઘટનનો નીચેનો પરિણામ છેઃ મર્યાદિત હસ્તાક્ષરિત માપના જોર્ડન વિઘટનને જોતાં, કોઈ પણ અંદર હોય છે. વધુમાં, જો મર્યાદિત બિન-નકારાત્મક પગલાંની જોડી માટે, તો પછી છેલ્લી અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ છે કે જોર્ડન વિઘટન એ બિન-નકારાત્મક પગલાંના તફાવતમાં ન્યૂનતમ વિઘટન છે. આ જોર્ડન વિઘટનનો લઘુતમ ગુણધર્મ છે. જોર્ડન વિઘટનનો પુરાવોઃ જોર્ડન માપન વિઘટનના અસ્તિત્વ, વિશિષ્ટતા અને લઘુતમતાના પ્રાથમિક પુરાવા માટે ફિશર (2012) જુઓ. હાન વિઘટન પ્રમેયની તૈયારીનો પુરાવોઃ ધારો કે તે મૂલ્ય નથી લેતું (અન્યથા તે મુજબ વિઘટન થાય છે). ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, નકારાત્મક સમૂહ એ એક એવો સમૂહ છે જે દરેક માપી શકાય તેવા ઉપગણ માટે હોય છે. દાવોઃ ધારો કે તે સંતોષ આપે છે. પછી ત્યાં એક નકારાત્મક સમૂહ છે. દાવાનો પુરાવોઃ વ્યાખ્યાયિત કરો. પ્રેરક રીતે ધારો કે તે માટે નિર્માણ કરવામાં આવ્યું છે. ચાલો તમામ-માપી શકાય તેવા ઉપગણોનું સર્વોચ્ચતા દર્શાવીએ. આ સર્વોચ્ચતા અનંત હોઈ શકે છે. જેમ કે ખાલી સમૂહ એ આપણી પાસે છે, અને તરીકેની વ્યાખ્યામાં સંભવિત ઉમેદવાર છે. ની વ્યાખ્યા અનુસાર, ત્યાં પછી ઇન્ડક્શન પગલું પૂર્ણ કરવા માટે સંતોષકારક સમૂહ-માપી શકાય તેવો સબસેટ અસ્તિત્વમાં છે. છેવટે, વ્યાખ્યાયિત કરો કારણ કે સમૂહો અલગ-અલગ ઉપસમૂહો છે, તે હસ્તાક્ષરિત માપની સિગ્મા ઉમેરણને અનુસરે છે જે આ દર્શાવે છે. ધારો કે તે નકારાત્મક સમૂહ ન હતો. આનો અર્થ એ છે કે એક-માપી શકાય તેવો ઉપગણ અસ્તિત્વમાં હશે જે સંતોષ આપે છે. પછી દરેક માટે, તેથી જમણી બાજુની શ્રેણીને અલગ કરવી પડશે, જે સૂચવે છે કે, જે એક વિરોધાભાસ છે. તેથી, નકારાત્મક સમૂહ હોવો જોઈએ. વિઘટનનું નિર્માણઃ સુયોજિત કરો. ઇન્ડક્ટિવલી, આપેલ, ના તમામ-માપી શકાય તેવા ઉપગણના અનંત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. આ અનંત પ્રાથમિકતા હોઈ શકે છે. જેમ કે, અને તરીકેની વ્યાખ્યામાં સંભવિત ઉમેદવાર છે, આપણી પાસે છે. તેથી, ત્યાં એક-માપી શકાય તેવો સબસેટ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે ઉપરના દાવા દ્વારા, એક નકારાત્મક સમૂહ છે. ઇન્ડક્શન પગલું પૂર્ણ કરવા માટે સુયોજિત કરો. છેવટે, વ્યાખ્યાયિત કરો કારણ કે સમૂહો અસંબદ્ધ છે, આપણી પાસે દરેક-માપી શકાય તેવા સબસેટ માટે છે જે સિગ્મા એડિટિવિટી દ્વારા છે. ખાસ કરીને, આ દર્શાવે છે કે તે નકારાત્મક સમૂહ છે. આગળ, વ્યાખ્યાયિત કરો. જો હકારાત્મક સમૂહ ન હોત, તો તેની સાથે-માપી શકાય તેવો ઉપગણ અસ્તિત્વમાં હોત. પછી બધા માટે અને જેની મંજૂરી નથી. તેથી, તે એક સકારાત્મક સમૂહ છે. વિશિષ્ટતાના નિવેદનનો પુરાવોઃ ધારો કે તે આનું બીજું હાન વિઘટન છે. પછી એક સકારાત્મક સમૂહ છે અને નકારાત્મક સમૂહ પણ છે. તેથી, તેના દરેક માપી શકાય તેવા ઉપગણનું માપ શૂન્ય છે. એ જ વાત લાગુ પડે છે. જેમ આ સાબિતી પૂર્ણ કરે છે. ક્યૂ. ઈ. ડી. સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ પ્લેનેટમેથ ખાતે હાન વિઘટન પ્રમેય. માપન સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો પુરાવા ધરાવતા લેખો