Binary icosahedral group
ગણિતમાં, દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ 2I અથવા 120 ક્રમનો ચોક્કસ નોનબેલિયન જૂથ છે. તે ક્રમ 2 ના ચક્રીય જૂથ દ્વારા ક્રમ 60 ના આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ I અથવા (2,3,5) નું વિસ્તરણ છે, અને સ્પિન જૂથ દ્વારા વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથના હોમોમોર્ફિઝમને આવરી લેતા 2:1 હેઠળ આઇકોસાહેડ્રલ જૂથની પૂર્વધારણા છે. તે અનુસરે છે કે દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ એ 120 ક્રમના સ્પિન (3) નું એક અલગ પેટાજૂથ છે. તેને સંપૂર્ણ આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ, જે 120 ક્રમનો એક અલગ જૂથ છે, અને તેના બદલે ઓર્થોગોનલ જૂથ O (3) નું પેટા જૂથ છે. દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથને આઇસોમોર્ફિઝમ હેઠળ એકમ ક્વાટર્નિયનોના સ્વતંત્ર પેટાજૂથ તરીકે સૌથી સરળતાથી સ્પષ્ટ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે, જ્યાં Sp (1) એ એકમ ક્વાટર્નિયનોના ગુણાકાર જૂથ છે. (આ હોમોમોર્ફિઝમના વર્ણન માટે ચતુર્થાંશ અને અવકાશી પરિભ્રમણ પરનો લેખ જુઓ.) તત્વો સ્પષ્ટ રીતે, દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથને નીચેના વેક્ટરના તમામ સમ ક્રમચયોના જોડાણ તરીકે આપવામાં આવે છેઃ 16 સમ ક્રમચયોના 96 સમ ક્રમચયોના 8 સમ ક્રમચયો અહીં સુવર્ણ ગુણોત્તર છે. કુલ 120 તત્વો છે, એટલે કે એકમ આઈકોસિયન્સ. તે બધામાં એકમ તીવ્રતા હોય છે અને તેથી તે એકમ ચતુર્થાંશ જૂથ એસ. પી. (1) માં આવેલા છે. 4-પરિમાણીય અવકાશમાં 120 તત્વો 120 શિરોબિંદુઓ સાથે 600-કોષ સાથે મેળ ખાય છે, જે એક નિયમિત 4-બહુપદી છે. ગુણધર્મો કેન્દ્રીય વિસ્તરણ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ, જેને 2I દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે આઇકોસાહેડ્રલ જૂથનું સાર્વત્રિક સંપૂર્ણ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ છે, અને આમ તે અર્ધ-સરળ છેઃ તે એક સરળ જૂથનું સંપૂર્ણ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ છે. સ્પષ્ટ રીતે, તે ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમમાં બંધબેસે છે આ ક્રમ વિભાજિત થતો નથી, એટલે કે 2I એ I દ્વારા {±1} નું અર્ધ-પરોક્ષ ઉત્પાદન નથી. હકીકતમાં, I માટે 2I આઇસોમોર્ફિકનું કોઈ પેટાજૂથ નથી. 2I નું કેન્દ્ર એ પેટા જૂથ {±1} છે, જેથી આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ I માટે આઇસોમોર્ફિક છે. સંપૂર્ણ ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ S5 (5 અક્ષરો પરનું સપ્રમાણ જૂથ) માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જેમ કે-2I નું કોઈપણ ઓટોમોર્ફિઝમ કેન્દ્ર () ના બિન-તુચ્છ તત્વને સુધારે છે, તેથી I ના ઓટોમોર્ફિઝમ તરફ ઉતરી જાય છે, અને તેનાથી વિપરીત, I નું કોઈપણ ઓટોમોર્ફિઝમ 2I ના ઓટોમોર્ફિઝમ તરફ દોરી જાય છે, કારણ કે I ના જનરેટરની લિફ્ટ 2I ના જનરેટર છે (વિવિધ લિફ્ટ્સ સમાન ઓટોમોર્ફિઝમ આપે છે). સુપરપરફેક્ટ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સંપૂર્ણ છે, જેનો અર્થ છે કે તે તેના કોમ્યુટેટર પેટાજૂથની બરાબર છે. હકીકતમાં, 2I એ 120 ક્રમનો અનન્ય સંપૂર્ણ સમૂહ છે. તે અનુસરે છે કે 2I ઉકેલવા યોગ્ય નથી. વધુમાં, દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સુપરપરફેક્ટ છે, જેનો અમૂર્ત અર્થ એ છે કે તેના પ્રથમ બે જૂથ સમરૂપતા જૂથો અદ્રશ્ય થઈ જાય છેઃ ચોક્કસપણે, આનો અર્થ એ છે કે તેનું અબેલિયનકરણ તુચ્છ છે (તેમાં કોઈ બિન-તુચ્છ અબેલિયન અવતરણ નથી) અને તેનો શુર ગુણક તુચ્છ છે (તેમાં કોઈ બિન-તુચ્છ સંપૂર્ણ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ નથી). હકીકતમાં, દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સૌથી નાનું (બિન-તુચ્છ) સુપરપરફેક્ટ જૂથ છે. દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ એસાયક્લિક નથી, જો કે, Hn (2I, Z) એ n = 4k + 3 માટે 120 ક્રમનો ચક્રીય છે, અને અન્યથા n> 0 માટે તુચ્છ છે. આઇસોમોર્ફિઝમ્સ ચોક્કસપણે, દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સ્પિન (3) નું પેટા જૂથ છે, અને આઇકોસાહેડ્રલ જૂથને આવરી લે છે, જે SO (3) નું પેટા જૂથ છે. અમૂર્ત રીતે, આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ 4-સિમ્પ્લેક્સની સમપ્રમાણતા માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે SO (4) નું પેટા જૂથ છે, અને દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સ્પિન (4) માં આના બેવડા આવરણ માટે આઇસોમોર્ફિક છે. નોંધ લો કે સમપ્રમાણ જૂથમાં 4-પરિમાણીય રજૂઆત હોય છે (-સિમ્પ્લેક્સની સંપૂર્ણ સમપ્રમાણતા તરીકે તેની સામાન્ય સૌથી ઓછી-પરિમાણીય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત), અને 4-સિમ્પ્લેક્સની સંપૂર્ણ સમપ્રમાણતા આમ સંપૂર્ણ આઈકોસાહેડ્રલ જૂથ નથી (આ 120 ક્રમના બે અલગ-અલગ જૂથો છે). દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથને વૈકલ્પિક જૂથના બેવડા આવરણ તરીકે ગણી શકાય, જે સૂચવે છે કે આ આઇસોમોર્ફિઝમ વૈકલ્પિક જૂથ સાથે આઇકોસાહેડ્રલ જૂથના આઇસોમોર્ફિઝમને આવરી લે છે. જેમ એક અલગ પેટાજૂથ છે, તે ડબલ ઓવરનું એક અલગ પેટાજૂથ છે, એટલે કે. ત્યારથી અત્યાર સુધી 2-1 હોમોમોર્ફિઝમ 2-1 હોમોમોર્ફિઝમ સુધી મર્યાદિત છે. કોઈ એવું બતાવી શકે છે કે દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ વિશિષ્ટ રેખીય જૂથ SL (2,5) માટે આઇસોમોર્ફિક છે-એકમ નિર્ધારક સાથે મર્યાદિત ક્ષેત્ર F5 પરના તમામ 2 × 2 મેટ્રિસીસનો સમૂહ; આ પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથ પી. એસ. એલ. (2,5) સાથે અસાધારણ આઇસોમોર્ફિઝમને આવરી લે છે. અસાધારણ સમરૂપતાની પણ નોંધ લો, જે ક્રમ 120નો એક અલગ સમૂહ છે, જેમાં એસ. એલ., જી. એલ., પી. એસ. એલ., પી. જી. એલ. નો પરિવર્તનીય વર્ગ પરિવર્તનીય વર્ગ માટે સમરૂપ છે, જેમાંથી સ્પિન (4), પિન (4), એસ. ઓ. (4), ઓ. (4) ના પરિવર્તનીય વર્ગના પેટાજૂથો માટે સમરૂપ છે. પ્રસ્તુતિ જૂથ 2I માં અથવા તેના સમકક્ષ પ્રસ્તુતિ આપવામાં આવી છે, આ સંબંધો સાથેના જનરેટર પેટા જૂથો દ્વારા આપવામાં આવે છે 2I નું એકમાત્ર યોગ્ય સામાન્ય પેટા જૂથ કેન્દ્ર {±1} છે. ત્રીજા સમરૂપતા પ્રમેય અનુસાર, 2I ના પેટા જૂથો અને I ના પેટા જૂથો વચ્ચે એક ગેલોઇસ જોડાણ છે, જ્યાં 2I ના પેટા જૂથો પર ક્લોઝર ઓપરેટરનો ગુણાકાર {±1} થાય છે. ક્રમ 2 નું એકમાત્ર તત્વ છે, તેથી તે સમ ક્રમના તમામ પેટાજૂથોમાં સમાયેલું છેઃ આમ 2I નું દરેક પેટાજૂથ કાં તો વિષમ ક્રમનું હોય છે અથવા I ના પેટાજૂઠનું પૂર્વચિત્ર હોય છે. વિવિધ ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચક્રીય જૂથો ઉપરાંત (જે વિષમ ક્રમમાં હોઈ શકે છે), 2I ના માત્ર અન્ય પેટા જૂથો (સંયોજન સુધી) આ પ્રમાણે છેઃ દ્વિસંગી દ્વિધ્રુવીય જૂથો, Dic5 = Q20 = ̃ 2,2,5 ω, ક્રમ 20 અને Dic3 = Q12 = ̃ 2,2,3 ω ક્રમ 12 નું ચતુર્થાંશ જૂથ, 8 લિપ્સિટ્ઝ એકમોનું બનેલું ચતુર્થાંશ જૂથ, સૂચકાંક 15 નું પેટા જૂથ બનાવે છે, જે દ્વિસંગી જૂથ Dic2 પણ છે; આ ધારના સ્થિરીકારકને આવરી લે છે. 24 હર્વિટ્ઝ એકમો દ્વિસંગી ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથ તરીકે ઓળખાતા અનુક્રમણિકા 5 પેટાજૂથ બનાવે છે; આ કાયરલ ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથને આવરી લે છે. આ જૂથ સ્વ-સામાન્ય છે તેથી તેના સંયોગ વર્ગમાં 5 સભ્યો છે (આ એક નકશો આપે છે જેની છબી છે). 4-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથો સાથે સંબંધ આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા જૂથ Ih નું 4-પરિમાણીય એનાલોગ એ 600-કોષનું સમપ્રમાણતા જૂથ છે (તે પણ તેના દ્વિ, 120-કોષનું). જે રીતે પહેલું H3 પ્રકારનું કોક્સેટર જૂથ છે, તે જ રીતે પછીનું H4 પ્રકારનું કોક્સેટર જૂથ છે, જેને [3,3,5] પણ સૂચવવામાં આવે છે. તેનું પરિભ્રમણશીલ પેટાજૂથ, જેને [3,3,5] + તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તે SO (4) માં રહેતા ક્રમ 7200નું જૂથ છે. જે રીતે સ્પિન (3) એ એસ. ઓ. (3) નું ડબલ કવર છે તે જ રીતે એસ. ઓ. (4) પાસે સ્પિન (4) નામનું ડબલ કવર છે. સમરૂપતા સ્પિન (3) = એસપી (1) ની જેમ, સ્પિન (4) જૂથ એસપી (1) × એસપી (1) માટે સમરૂપ છે. સ્પિન (4) (2I નું ચાર-પરિમાણીય એનાલોગ) માં [3,3,5] + ની પ્રિમેજ ચોક્કસપણે 14400 ક્રમના ઉત્પાદન જૂથ 2I × 2I છે. 600-કોષનું પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા જૂથ પછી [3,3,5] + = (2I × 2I)/{±1} છે. અન્ય વિવિધ 4-પરિમાણીય સમપ્રમાણતા જૂથો 2I થી બનાવી શકાય છે. વિગતો માટે જુઓ (કોનવે અને સ્મિથ, 2003). એપ્લિકેશન્સ કોસેટ સ્પેસ સ્પિન (3)/2I = S3/2I એ ગોળાકાર 3-મેનીફોલ્ડ છે જેને પોઇનકેરે હોમોલોજી ગોળા કહેવાય છે. તે સમરૂપતા ક્ષેત્રનું ઉદાહરણ છે, એટલે કે. 3-મેનીફોલ્ડ જેમના સમરૂપતા જૂથો 3-ગોળાના સમાન હોય છે. પોઇનકેરે ગોળાનું મૂળભૂત જૂથ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ માટે આઇસોમોર્ફિક છે, કારણ કે પોઇનકેરે ગોળા એ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ દ્વારા 3-ગોળાનો ભાગાકાર છે. દ્વિસંગી પોલિહેડ્રલ જૂથ દ્વિસંગી ચક્રીય જૂથ પણ જુઓ, 2n દ્વિસંગી ડાયહેડ્રલ જૂથ ક્રમમાં, 2n દ્વિસંગી ડાયહેડ્રલ જૂથ ક્રમમાં, 2n દ્વિસંગી ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથ ક્રમમાં, 4n દ્વિસંગી ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથ ક્રમમાં, 2T = ± 2,3,3 ω ક્રમમાં, 24 દ્વિસંગી ઓક્ટાહેડ્રલ જૂથ ક્રમમાં, 2O = ± 2,3,4 ω ક્રમમાં, 48 સંદર્ભો ક્રમમાં 6.5 દ્વિસંગી પોલિહેડ્રલ જૂથો, પૃષ્ઠ 68 નોંધો ઇકોસાહેડ્રલ