Height function
ઊંચાઈ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે ગાણિતિક પદાર્થોની જટિલતાને માપે છે. ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિમાં, ઊંચાઈ કાર્યો ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણોના ઉકેલોના કદને માપ આપે છે અને સામાન્ય રીતે બીજગણિત જાતો (અથવા બીજગણિત જાતોના સમૂહ) પરના બિંદુઓના સમૂહથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સુધીના કાર્યો છે. દાખલા તરીકે, તર્કસંગત સંખ્યાઓ પરની શાસ્ત્રીય અથવા નિષ્કપટ ઊંચાઈને સામાન્ય રીતે કોઓર્ડિનેટ્સના અંશો અને છેદની મહત્તમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (દા. ત. કોઓર્ડિનેટ્સ માટે), પરંતુ લઘુગણક સ્કેલમાં. મહત્વ ઊંચાઈ કાર્યો ગણિતશાસ્ત્રીઓને પદાર્થોની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેમ કે તર્કસંગત બિંદુઓ, જે અન્યથા માત્રામાં અનંત હોય છે. દાખલા તરીકે, તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત હોવા છતાં કોઈપણ સ્થિરાંકની નીચે નિષ્કપટ ઊંચાઈ (અંશ અને છેદની મહત્તમ જ્યારે સૌથી નીચી શરતોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે) ની તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ મર્યાદિત છે. આ અર્થમાં, ઊંચાઈ કાર્યોનો ઉપયોગ એસિમ્પ્ટોટિક પરિણામોને સાબિત કરવા માટે કરી શકાય છે જેમ કે દિવ્ય સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં બેકરના પ્રમેય દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. અન્ય કિસ્સાઓમાં, ઊંચાઈ કાર્યો કેટલીક વસ્તુઓને તેમની જટિલતાના આધારે અલગ પાડી શકે છે. દાખલા તરીકે, સબસ્પેસ થીયરમ દ્વારા સાબિત થયેલું દર્શાવે છે કે નાની ઊંચાઈના બિંદુઓ (એટલે કે. લઘુ જટિલતા) પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં હાયપરપ્લેનમાં હોય છે અને એસ-યુનિટ સમીકરણના અભિન્ન બિંદુઓ અને ઉકેલ પર સીગલના પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે. ઊંચાઈના કાર્યો અનુક્રમે મોર્ડેલ-વેઇલ પ્રમેય અને ફાલિંગ્સના પ્રમેયના પુરાવા માટે નિર્ણાયક હતા. બીજગણિત જાતો પર તર્કસંગત બિંદુઓની ઊંચાઈ વિશેની કેટલીક બાકી વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ, જેમ કે મેનિન અનુમાન અને વોજ્તાનું અનુમાન, ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજ, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો, અંકગણિત ભૂમિતિ અને ગાણિતિક તર્કમાં સમસ્યાઓ માટે દૂરગામી અસરો ધરાવે છે. ઇતિહાસ ઊંચાઈ કાર્યનું પ્રારંભિક સ્વરૂપ જિઆમ્બાટ્ટિસ્ટા બેનેડેટ્ટી (સી. 1563) દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે દલીલ કરી હતી કે સંગીતના અંતરાલના વ્યંજનને તેના અંશ અને છેદ (ઘટાડેલા સ્વરૂપમાં) ના ગુણાકાર દ્વારા માપી શકાય છે; જુઓ. ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિમાં ઊંચાઈઓ શરૂઆતમાં આન્દ્રે વેઇલ અને ડગ્લાસ નોર્થકોટ દ્વારા 1920ના દાયકાની શરૂઆતમાં વિકસાવવામાં આવી હતી. 1960 ના દાયકામાં નવીનતાઓ નેરોન-ટેટ ઊંચાઈ અને અનુભૂતિ હતી કે ઊંચાઈઓ પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆતો સાથે એ જ રીતે જોડાયેલી હતી જે રીતે બીજગણિત ભૂમિતિના અન્ય ભાગોમાં પૂરતા પ્રમાણમાં રેખાઓ હોય છે. 1970 ના દાયકામાં, સુરેન અરાકેલોવએ અરાકેલોવ સિદ્ધાંતમાં અરાકેલોવ ઊંચાઈઓ વિકસાવી. 1983માં, ફાલ્ટિંગ્સે તેમના ફાલ્ટિંગ્સ થીયરમના સાબિતીમાં ફાલ્ટિંગ્સ હાઇટ્સનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો. ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિમાં ઊંચાઈ કાર્યો નિષ્કપટ ઊંચાઈ શાસ્ત્રીય અથવા નિષ્કપટ ઊંચાઈને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ પર સામાન્ય નિરપેક્ષ મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે સામાન્ય રીતે લઘુગણક સ્કેલ છે અને તેથી તેને "બીજગણિત જટિલતા" અથવા બિંદુને સંગ્રહિત કરવા માટે જરૂરી બિટ્સની સંખ્યાના પ્રમાણસર તરીકે જોઈ શકાય છે. તેને સામાન્ય રીતે સૌથી ઓછા સામાન્ય છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવેલા સહમૌલિક પૂર્ણાંકોના વેક્ટરના મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્યના લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આનો ઉપયોગ Q પર પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં બિંદુ પર ઊંચાઈને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે, અથવા બહુપદીની, જેને ગુણાંકના વેક્ટર તરીકે ગણવામાં આવે છે, અથવા બીજગણિત સંખ્યાની, તેની ન્યૂનતમ બહુપદીની ઊંચાઈથી. તર્કસંગત સંખ્યા x = p/q (સૌથી નીચી શરતોમાં) ની નિષ્કપટ ઊંચાઈ એ ગુણાકાર ઊંચાઈ લઘુગણક ઊંચાઈ છેઃ તેથી, ની નિષ્કપટ ગુણાકાર અને લઘુગણક ઊંચાઈઓ અને છે, ઉદાહરણ તરીકે. લંબગોળ વળાંક E ની નિષ્કપટ ઊંચાઈ H આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નેરોન-ટેટ ઊંચાઈ અથવા કેનોનિકલ ઊંચાઈ એ વૈશ્વિક ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત અબેલિયન વિવિધતાના તર્કસંગત બિંદુઓના મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથ પરનું દ્વિઘાત સ્વરૂપ છે. તેનું નામ આન્દ્રે નેરોનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે સૌપ્રથમ તેને સ્થાનિક ઊંચાઈઓના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું અને જ્હોન ટેટ, જેમણે તેને અપ્રકાશિત કાર્યમાં વૈશ્વિક સ્તરે વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું. માટીની ઊંચાઈ ધારો કે X એ સંખ્યા ક્ષેત્ર K પર પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા છે. ધારો કે L એ X પર લાઇન બંડલ છે. એક નીચે પ્રમાણે L ના સંદર્ભમાં X પર વેઇલ ઊંચાઈને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પ્રથમ, ધારો કે L ખૂબ જ પર્યાપ્ત છે. વૈશ્વિક વિભાગોની જગ્યાના આધારની પસંદગી X થી પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ સુધીના મોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને X પરના તમામ બિંદુઓ p માટે, એક વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યાં h એ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ પર નિષ્કપટ ઊંચાઈ છે. નિશ્ચિત X અને L માટે, વૈશ્વિક વિભાગોનો અલગ આધાર પસંદ કરવાથી બદલાય છે, પરંતુ માત્ર p ના બાઉન્ડેડ ફંક્શન દ્વારા. આમ O (1) ફંક્શનના ઉમેરા સુધી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, કોઈ વ્યક્તિ L ને X પર બે ખૂબ જ વિપુલ લાઇન બંડલ્સ L1 અને L2 ના તફાવત તરીકે લખી શકે છે અને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે કે જે ફરીથી O (1) સુધી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. અરાકેલોવની ઊંચાઈ બીજગણિત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા પર અરાકેલોવની ઊંચાઈ એ વૈશ્વિક ઊંચાઈ કાર્ય છે જેમાં આર્કિમિડીયન ક્ષેત્રો પર ફુબિની-સ્ટડી મેટ્રિક્સમાંથી આવતા સ્થાનિક યોગદાન અને બિન-આર્કિમિડીયન ક્ષેત્રો પર સામાન્ય મેટ્રિક છે. તે એક અલગ મેટ્રિકથી સજ્જ સામાન્ય વેઇલ ઊંચાઈ છે. ફોલ્ટિંગ્સની ઊંચાઈ સંખ્યા ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત અબેલિયન જાતની ફોલ્ટિંગ્સની ઊંચાઈ તેની અંકગણિત જટિલતાનું માપ છે. તે માપેલા રેખા બંડલની ઊંચાઈના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે મોર્ડેલ અનુમાનના તેમના પુરાવા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. બીજગણિતમાં ઊંચાઈના કાર્યો બહુપદીની ઊંચાઈ H (P) ની ઊંચાઈ દ્વારા આપવામાં આવેલ n ડિગ્રીના બહુપદી P માટે તેના ગુણાંકના મહત્તમ પરિમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ કોઈ પણ વ્યક્તિ સમાન રીતે લંબાઈ L (P) ને ગુણાંકના પરિમાણોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છેઃ માહલર માપ સાથેનો સંબંધ P નું માહલર માપ M (P) પણ P ની જટિલતાનું માપ છે. ત્રણ કાર્યો H (P), L (P) અને M (P) અસમાનતાઓ દ્વારા સંબંધિત છે જ્યાં દ્વિપદી ગુણાંક છે. ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપોમાં ઊંચાઈ કાર્યો એડેલિક બીજગણિત જૂથના સામાન્ય રેખીય જૂથ પર ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપની વ્યાખ્યામાંની એક શરત મધ્યમ વૃદ્ધિ છે, જે સામાન્ય રેખીય જૂથ પર ઊંચાઈ કાર્યની વૃદ્ધિ પર એક એસિમ્પ્ટોટિક સ્થિતિ છે જેને એફાઇન વિવિધતા તરીકે જોવામાં આવે છે. અન્ય ઊંચાઈ વિધેયો ઈરીડ્યુસિબલ પરિમાણીય સંખ્યા x = p/q, q> 0 ની ઊંચાઈ છે (આ વિધેયનો ઉપયોગ અને વચ્ચે દ્વિભાજન બનાવવા માટે થાય છે). એ. બી. સી. અનુમાન બિર્ચ અને સ્વિન્નરટન-ડાયર અનુમાન એલિપ્ટિક લેહમર અનુમાન હીથ-બ્રાઉન-મોરોઝ અચલ ઊંચાઈ એક ઔપચારિક જૂથ કાયદો ઊંચાઈ ઝેટા કાર્ય રેનાઉડના આઇસોજેની પ્રમેય વૃક્ષ ઊંચાઈ સંદર્ભો સ્ત્રોતો → ગણિતના વિશ્વ બહુપદી પર બાહ્ય કડીઓ બહુપદી ઊંચાઈનું અંગ્રેજી ભાષાંતર ધરાવે છે એબેલિયન જાતો એલિપ્ટિક વણાંકો ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત બીજગણિત