Opposite ring
ગણિતમાં, ખાસ કરીને અમૂર્ત બીજગણિતમાં, વીંટીની વિરુદ્ધ એ સમાન ઘટકો અને ઉમેરા કામગીરી સાથેની બીજી વીંટી છે, પરંતુ ગુણાકાર વિપરીત ક્રમમાં કરવામાં આવે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, વીંટીની વિરુદ્ધ એ વીંટી છે જેનો ગુણાકાર R માં બધા માટે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિરુદ્ધ વીંટીનો ઉપયોગ મલ્ટીમોડ્યુલ્સને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે, જે બાયમોડ્યુલ્સનું સામાન્યીકરણ છે. તેઓ ડાબા અને જમણા મોડ્યુલો વચ્ચેના સંબંધને સ્પષ્ટ કરવામાં પણ મદદ કરે છે (જુઓ). મોનોઇડ્સ, જૂથો, રિંગ્સ અને આલ્જેબ્રા બધાને એક જ વસ્તુ સાથેની શ્રેણીઓ તરીકે જોઈ શકાય છે. વિરુદ્ધ શ્રેણીનું નિર્માણ વિરુદ્ધ જૂથ, વિરુદ્ધ વીંટી વગેરેને સામાન્ય બનાવે છે. ઓટોમોર્ફિઝમ્સ અને એન્ટીઆઉટોમોર્ફિઝમ્સ સાથેનો સંબંધ આ વિભાગમાં કેટલીક યુનરી કામગીરી સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે, વિરુદ્ધ રિંગમાં ગુણાકાર માટેનું પ્રતીક ફૂદડીથી હીરામાં બદલવામાં આવે છે. આઇસોમોર્ફિક વિરુદ્ધ રીંગ ધરાવતી રીંગને સ્વ-વિરુદ્ધ રીંગ કહેવામાં આવે છે, જે નામ સૂચવે છે કે તે આવશ્યકપણે સમાન છે. તમામ પરિવર્તનીય વીંટીઓ સ્વ-વિરુદ્ધ હોય છે. ચાલો આપણે એન્ટીઆઇસોમોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, ક્યાં માટે. તે ખરેખર એક એન્ટીઆઇસોમોર્ફિઝમ છે. એન્ટીઆઇસોમોર્ફિઝમને સામાન્ય રીતે અર્ધ જૂથો, મોનોઇડ્સ, જૂથો, રિંગ્સ, આરએનજીએસ, આલ્જેબ્રા માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. રિંગ્સ (અને rngs) ના કિસ્સામાં આપણે સામાન્ય સમાનતા મેળવીએ છીએ. રિંગ સ્વ-વિરોધી હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં ઓછામાં ઓછું એક એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ હોય. પુરાવોઃઃ ચાલો સ્વ-વિરોધી બનીએ. જો આઇસોમોર્ફિઝમ હોય, તો પછી, એન્ટીઆઇસોમોર્ફિઝમ અને આઇસોમોર્ફિઝમની રચના હોવાથી, તે પોતે જ એક એન્ટીઆઇસોમોર્ફિઝમ છે, તેથી એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ છે. : જો એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ હોય, તો તે બે એન્ટિઆઇસોમોર્ફિઝમ્સની રચના તરીકે આઇસોમોર્ફિઝમ છે. તે પણ સ્વ-વિરોધી છે. અને જો સ્વ-વિરોધી હોય અને ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું જૂથ મર્યાદિત હોય, તો એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સની સંખ્યા ઓટોમોર્ફિઝમ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે. પુરાવોઃ ધારણા અને ઉપરોક્ત સમાનતા દ્વારા એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સ અસ્તિત્વમાં છે. જો આપણે તેમાંથી એકને પસંદ કરીએ અને તેને સૂચવીએ, તો નકશો, જ્યાંથી પસાર થાય છે, તે સ્પષ્ટ રીતે ઇન્જેક્ટિવ છે પણ સર્જેક્ટિવ પણ છે, કારણ કે કેટલાક ઓટોમોર્ફિઝમ માટે દરેક એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ છે. તે સમાન રીતે સાબિત કરી શકાય છે, કે સમાન ધારણાઓ હેઠળ આઇસોમોર્ફિઝમ્સની સંખ્યા થી ની એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સની સંખ્યાની બરાબર છે. જો કેટલાક એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ પણ ઓટોમોર્ફિઝમ છે, તો પછી દરેક માટે ત્યારથી બધા માટે બાયજેક્ટિવ છે અને, તેથી રિંગ પરિવર્તનીય છે અને તમામ એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ્સ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ છે. કોન્ટ્રાપોઝિશન દ્વારા, જો રિંગ બિનપરિવર્તનશીલ (અને સ્વ-વિરુદ્ધ) હોય, તો કોઈ એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ ઓટોમોર્ફિઝમ નથી. તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથ દ્વારા તમામ એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સ સાથે દર્શાવો. ઉપરોક્ત ટિપ્પણીઓ સૂચવે છે કે, જો રિંગ (અથવા આર. એન. જી.) બિનપરિવર્તનશીલ અને સ્વ-વિરોધી હોય. જો તે પરિવર્તનીય અથવા બિન-સ્વ-વિરોધી હોય, તો પછી. ઉદાહરણો એકતા સાથેની સૌથી નાની બિનપરિવર્તનશીલ વીંટી આવી સૌથી નાની વીંટીમાં આઠ તત્વો હોય છે અને તે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી ક્રમ 8 ની એકતા ધરાવતી 11 વીંટીઓ વચ્ચેની એકમાત્ર બિનપરિવર્તનશીલ વીંટી છે. તેમાં એડિટિવ ગ્રુપ છે. દેખીતી રીતે તે એન્ટીઆઇસોમોર્ફિક છે, જેમ કે હંમેશા કેસ છે, પરંતુ તે પણ આઇસોમોર્ફિક છે. નીચે ઉમેરણ અને ગુણાકારના કોષ્ટકો છે, અને વિરુદ્ધ રિંગમાં ગુણાકાર છે, જે ટ્રાન્સપોઝ્ડ કોષ્ટક છે. બે રિંગ્સ આઇસોમોર્ફિક છે તે સાબિત કરવા માટે, કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવેલ નકશો લો નકશો તત્વોને માત્ર બે જોડીમાં અદલાબદલી કરે છેઃ અને. (દલીલો અને મૂલ્યો) માટે ગુણાકાર કોષ્ટકમાં તત્વોનું તે મુજબ નામ બદલો. આગળ, દલીલોને ચડતા ક્રમમાં પાછા લાવવા માટે પંક્તિઓ અને સ્તંભોને ફરીથી ગોઠવો. કોષ્ટક બરાબર ગુણાકાર કોષ્ટક બની જાય છે. એડિટિવ ગ્રૂપના કોષ્ટકમાં સમાન ફેરફારો સમાન કોષ્ટક આપે છે, તે જ રીતે આ જૂથનું ઓટોમોર્ફિઝમ છે, અને ત્યારથી, તે ખરેખર એક રીંગ આઇસોમોર્ફિઝમ છે. નકશો અનૈચ્છિક છે, એટલે કે , તેથી = અને તે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. તેથી, ક્રમચયને આઇસોમોર્ફિઝમને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ફરીથી અર્થઘટન કરી શકાય છે અને પછી તે જ ક્રમચય દ્વારા આપવામાં આવેલ એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ છે. વીંટીમાં બરાબર બે ઓટોમોર્ફિઝમ્સ છેઃ ઓળખ અને, એટલે કે. તેથી તેના સંપૂર્ણ જૂથમાં ચાર તત્વો છે જેમાંથી બે એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સ છે. એક છે અને બીજું, તેને સૂચવે છે, તેની ગણતરી કરી શકાય છે ક્રમ 4 નું કોઈ તત્વ નથી, તેથી જૂથ ચક્રીય નથી અને તે જૂથ (અથવા ક્લેઈન જૂથ) હોવું જોઈએ, જેની ગણતરી દ્વારા પુષ્ટિ કરી શકાય છે. આ વીંટીનું "સમપ્રમાણતા જૂથ" લંબચોરસના સમપ્રમાણતા જૂથ માટે સમરૂપ છે. 27 ઘટકો સાથેની બિનપરિવર્તનશીલ વીંટી 3 ઘટકો સાથે ક્ષેત્રની ઉપરના ત્રિકોણાકાર 2 x 2 મેટ્રિસીસની વીંટીમાં 27 ઘટકો હોય છે અને તે બિનપરિવર્તનશીલ વીંટી છે. તે આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે, એટલે કે, એકતા ધરાવતી તમામ બિનપરિવર્તનશીલ રિંગ્સ અને 27 તત્વો તેના માટે આઇસોમોર્ફિક છે. "બુક ઓફ ધ રિંગ્સ" માં સૂચિબદ્ધ સૌથી મોટી બિનપરિવર્તનશીલ રીંગમાં 27 તત્વો છે, અને તે આઇસોમોર્ફિક પણ છે. આ વિભાગમાં ના ઘટકો માટે "ધ બુક" માંથી નોટેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. બે બાબતો ધ્યાનમાં રાખવી જોઈએઃ કે જે તત્વ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે તે એકતા છે અને તે એકતા નથી. નું એડિટિવ જૂથ છે. તમામ ઓટોમોર્ફિઝમ્સના જૂથમાં 6 ઘટકો છેઃ સ્વ-વિરુદ્ધ હોવાથી, તેમાં 6 એન્ટિઆટોમોર્ફિઝમ્સ પણ છે. એક સમરૂપતા એ છે કે જેને "ધ બુક" માં કામગીરીના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને ચકાસી શકાય છે, જેમ કે પ્રથમ ઉદાહરણમાં નામ બદલીને અને ફરીથી ગોઠવીને. આ વખતે કામગીરીના મૂળ કોષ્ટકોમાં ફેરફારો કરવા જોઈએ. પરિણામ એ ગુણાકાર કોષ્ટક છે અને ઉમેરા કોષ્ટક યથાવત રહે છે. આમ, એક એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ સમાન ક્રમચય દ્વારા આપવામાં આવે છે. અન્ય પાંચની ગણતરી કરી શકાય છે (ગુણાકાર સંકેતલિપીમાં રચનાનું પ્રતીક છોડી શકાય છે): જૂથમાં ક્રમ 2ના 7 ઘટકો છે (3 ઓટોમોર્ફિઝમ્સ અને 4 એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ્સ) અને તેને ડાયહેડ્રલ જૂથ તરીકે ઓળખી શકાય છે (નાના જૂથોની સૂચિ જુઓ). ભૌમિતિક સામ્યતામાં રિંગમાં 3-એન્ટિપ્રિઝમના સમપ્રમાણતા જૂથ માટે "સમપ્રમાણતા જૂથ" આઇસોમોર્ફિક છે, જે સ્કોનફ્લાય નોટેશનમાં બિંદુ જૂથ છે અથવા ટૂંકમાં 3-પરિમાણીય જગ્યા માટે હર્મન-મૌગુઇન નોટેશન છે. એકતા સાથેની સૌથી નાની બિન-સ્વ-વિરુદ્ધ રિંગ્સ 9 થી 15 સુધીના ક્રમની એકતા ધરાવતી તમામ રિંગ્સ પરિવર્તનીય હોય છે, તેથી તેઓ સ્વ-વિરુદ્ધ હોય છે. રિંગ્સ, જે સ્વ-વિરુદ્ધ નથી, તે ક્રમ 16 ની રિંગ્સમાં પ્રથમ વખત દેખાય છે. કુલ 50 રિંગ્સમાંથી 4 જુદી જુદી બિન-સ્વ-વિરુદ્ધ રિંગ્સ છે, જેમાં 16 તત્વો (37 પરિવર્તનીય અને 13 બિન-પરિવર્તનીય) છે. તેમને એક જોડીમાં એકબીજાની વિરુદ્ધ રિંગ્સની બે જોડીમાં જોડી શકાય છે, અને જરૂરી છે કે તે જ એડિટિવ જૂથ સાથે, કારણ કે રિંગ્સની એન્ટિઆઇસોમોર્ફિઝમ એ તેમના એડિટિવ જૂથોનું આઇસોમોર્ફિઝમ છે. રિંગ્સની એક જોડી અને તેમાં એડિટિવ ગ્રુપ હોય છે અને બીજી જોડી અને ગ્રુપ હોય છે. તેમની કામગીરીની કોષ્ટકો આ લેખમાં રજૂ કરવામાં આવી નથી, કારણ કે તેઓ ટાંકવામાં આવેલા સ્રોતમાં મળી શકે છે, અને તે ચકાસી શકાય છે કે, તેઓ વિરુદ્ધ છે, પરંતુ સમરૂપ નથી. આ જ જોડી માટે સાચું છે અને, જો કે, "ધ બુક ઓફ ધ રિંગ્સ" માં સૂચિબદ્ધ રીંગ સમાન નથી પરંતુ માત્ર તેના માટે આઇસોમોર્ફિક છે. બાકીની 13−4 = 9 બિનપરિવર્તનશીલ વીંટીઓ સ્વ-વિરુદ્ધ છે. બે જનરેટર સાથે મુક્ત બીજગણિત જનરેટર સાથેના ક્ષેત્ર પર મુક્ત બીજગણિત શબ્દોના ગુણાકારથી ગુણાકાર ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પછી વિરુદ્ધ બીજગણિતમાં ગુણાકાર આપવામાં આવે છે જેના દ્વારા સમાન તત્વો નથી. ક્વાટર્નિયન બીજગણિત સાથે ક્ષેત્ર પરનું ક્વાટર્નિયન બીજગણિત એ વિભાજન બીજગણિત છે જે સંબંધો સાથે ત્રણ જનરેટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે બધા ઘટકો એક સ્વરૂપના હોય છે, જ્યાં ઉદાહરણ તરીકે, જો, તો તે સામાન્ય ક્વાટર્નિયન બીજગણિત છે. જો ગુણાકાર સૂચવવામાં આવે, તો તેમાં ગુણાકાર કોષ્ટક {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ કેન્દ્ર" | + છે! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | | | પછી ગુણાકાર સાથે સૂચિત વિરુદ્ધ બીજગણિતમાં કોષ્ટક {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ કેન્દ્ર" | + છે! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | | કોમ્યુટેટિવ રીંગ એ કોમ્યુટેટિવ રીંગ તેની વિરુદ્ધ રીંગ માટે આઇસોમોર્ફિક છે કારણ કે તે બધા માટે અને અંદર છે. તેઓ સમાન છે, કારણ કે તેમની કામગીરી સમાન છે, એટલે કે. . ગુણધર્મો બે રિંગ્સ R1 અને R2 આઇસોમોર્ફિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમની અનુરૂપ વિરુદ્ધ રિંગ્સ આઇસોમોર્ફિક હોય. રિંગની વિરુદ્ધની વિરુદ્ધ સમાન છે, એટલે કે રોપોપ =. વીંટી અને તેની વિરુદ્ધ વીંટી વિરોધી આઇસોમોર્ફિક છે. જો અને માત્ર ત્યારે જ રિંગ પરિવર્તનીય હોય છે જ્યારે તેની કામગીરી તેની વિરુદ્ધ કામગીરી સાથે સુસંગત હોય. વીંટીના ડાબા આદર્શો તેની વિરુદ્ધના જમણા આદર્શો છે. ડિવિઝન રીંગની વિરુદ્ધ રીંગ ડિવિઝન રીંગ છે. રિંગ પર ડાબી બાજુનું મોડ્યુલ તેની વિરુદ્ધ બાજુનું જમણું મોડ્યુલ છે, અને ઊલટું. નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ વિરોધી જૂથ વિરુદ્ધ શ્રેણી રીંગ થિયરી