Oscillatory integral
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ એ વિતરણનો એક પ્રકાર છે. ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ ઘણી સખત દલીલો કરે છે, જે નિષ્કપટ સ્તરે, અલગ ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરતી હોય તેવું લાગે છે. ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ તરીકે ઘણા વિભેદક સમીકરણો માટે અંદાજિત ઉકેલ ઓપરેટરોને રજૂ કરવું શક્ય છે. વ્યાખ્યા એક ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ ઔપચારિક રીતે લખવામાં આવે છે કે જ્યાં અને નીચેના ગુણધર્મો સાથે વ્યાખ્યાયિત કાર્યો છેઃ કાર્ય વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન, ડિગ્રી 1 નું હકારાત્મક-એકરૂપ છે, અને તેનાથી દૂર અનંત રીતે અલગ પાડી શકાય તેવું છે. ઉપરાંત, અમે ધારીએ છીએ કે તેના સમર્થન પર કોઈ નિર્ણાયક મુદ્દાઓ નથી. આવા કાર્યને સામાન્ય રીતે ફેઝ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. કેટલાક સંદર્ભોમાં વધુ સામાન્ય કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે અને હજુ પણ તબક્કાના કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ કાર્ય કેટલાક લોકો માટે પ્રતીક વર્ગોમાંથી એકનું છે. સહજ ભાવે, આ પ્રતીક વર્ગો ડિગ્રીના હકારાત્મક એકરૂપ કાર્યોની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. ફેઝ ફંક્શનની જેમ, કેટલાક કિસ્સાઓમાં ફંક્શનને વધુ સામાન્ય, અથવા માત્ર અલગ, વર્ગોમાં લેવામાં આવે છે. જ્યારે, ઔપચારિક અભિન્ન વ્યાખ્યા બધા માટે એકરૂપ થાય છે, અને તેની વ્યાખ્યાની વધુ ચર્ચાની જરૂર નથી. જો કે, જ્યારે, ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલને હજુ પણ વિતરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ભલે ઇન્ટિગ્રલ કન્વર્જ ન થાય. આ કિસ્સામાં વિતરણને એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે ઘાતાંકીય ક્ષય ધરાવતા કાર્યો દ્વારા અંદાજિત થઈ શકે છે. આવું કરવાની એક સંભવિત રીત એ છે કે સમશીતોષ્ણ વિતરણના અર્થમાં મર્યાદા ક્યાં લેવામાં આવે છે. ભાગો દ્વારા સંકલનનો ઉપયોગ કરીને, તે બતાવવું શક્ય છે કે આ મર્યાદા સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, અને ત્યાં એક વિભેદક સંચાલક અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે શ્વાર્ટઝ અવકાશમાં કોઈપણ પર કાર્યરત પરિણામી વિતરણ તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં આ અભિન્ન સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે. સંચાલક અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ તે એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે જે ફક્ત તબક્કાના કાર્ય, પ્રતીકના ક્રમ અને તેના પર આધાર રાખે છે. હકીકતમાં, કોઈપણ પૂર્ણાંક આપવામાં આવે તો, ઓપરેટર શોધવાનું શક્ય છે જેથી ઉપરનું સંકલન પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે બંધાયેલ હોય. પ્રતીક વર્ગોની વ્યાખ્યાનો આ મુખ્ય હેતુ છે. ઉદાહરણો ઘણા પરિચિત વિતરણોને ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ તરીકે લખી શકાય છે. ફોરિયર ઇન્વર્ઝન થીયરમ સૂચવે છે કે ડેલ્ટા ફંક્શન બરાબર છે જો આપણે ઉપરથી આ ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરવાની પ્રથમ પદ્ધતિ તેમજ ગૌસીયનના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને લાગુ કરીએ, તો આપણે કાર્યોનો એક જાણીતો ક્રમ મેળવીએ છીએ જે ડેલ્ટા ફંક્શનને અંદાજિત કરે છેઃ આ કિસ્સામાં ઓપરેટર ઉદાહરણ તરીકે આપવામાં આવે છે કે વેરિયેબલ્સના સંદર્ભમાં લાપ્લેસીયન ક્યાં છે, અને તે તેના કરતા મોટો કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે. ખરેખર, આની સાથે આપણી પાસે છે અને આ અભિન્ન સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે. કોઈપણ વિભેદક સંચાલકના શ્વાર્ટઝ કર્નલને ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ તરીકે લખી શકાય છે. ખરેખર જો ક્યાં, તો પછી લેગ્રેન્જિયન વિતરણોના સંબંધ દ્વારા કર્નલ આપવામાં આવે છે કોઈપણ લેગ્રેન્જિયન વિતરણને ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ દ્વારા સ્થાનિક રીતે રજૂ કરી શકાય છે, જુઓ. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ એ લગ્રેન્જિયન વિતરણ છે. આ વિતરણના પ્રકારોનું ચોક્કસ વર્ણન આપે છે જેને ઓસિલેટરી ઇન્ટિગ્રલ્સ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ પણ જુઓ રીમાન-લેબેસ્ગ્યુ લેમ્મા વાન ડેર કોર્પુટ લેમ્મા સંદર્ભો ગાણિતિક વિશ્લેષણ સામાન્યીકૃત કાર્યો કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ શ્વાર્ટઝ વિતરણો