Approximation in algebraic groups
બીજગણિત જૂથ સિદ્ધાંતમાં, અંદાજિત પ્રમેયો એ વૈશ્વિક ક્ષેત્રો પર બીજગણિત જૂથો G માટે ચીની શેષ પ્રમેયનું વિસ્તરણ છે. 1960 અને 1970 ના દાયકામાં વૈશ્વિક ક્ષેત્રો પર અર્ધ-સરળ સરળ રીતે જોડાયેલા બીજગણિત જૂથો માટે મજબૂત અંદાજ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો. સંખ્યા ક્ષેત્રો માટેના પરિણામો અને ને કારણે છે; કાર્ય ક્ષેત્ર કેસ, મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર, અને ને કારણે છે. સંખ્યા ક્ષેત્રના કિસ્સામાં પ્લેટોનોવ પણ સ્થાનિક ક્ષેત્રો પર સંબંધિત પરિણામ સાબિત કરે છે જેને નેસર-ટિટ્સ અનુમાન કહેવાય છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો ધારો કે G એ વૈશ્વિક ક્ષેત્ર k પર એક રેખીય બીજગણિત જૂથ છે, અને A એ k ની એડેલે રીંગ છે. જો S એ k ના સ્થળોનો બિન-ખાલી મર્યાદિત સમૂહ છે, તો આપણે પૂર્ણતાના ગુણાકાર ks માટે AS લખીએ છીએ, મર્યાદિત સમૂહ S માં s માટે. S ની કોઈપણ પસંદગી માટે, G (k) એ G (AS) અને G (AS) માં એમ્બેડ કરે છે. નબળા અંદાજમાં પૂછવામાં આવેલો પ્રશ્ન એ છે કે શું G (AS) માં G (k) ની એમ્બેડિંગ ગાઢ છબી ધરાવે છે. જો જૂથ G જોડાયેલું હોય અને k-તર્કસંગત હોય, તો તે કોઈપણ સમૂહ S ના સંદર્ભમાં નબળા અંદાજને સંતોષે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ જોડાયેલા જૂથ G માટે, k ના મર્યાદિત સ્થળોનો એક મર્યાદિત સમૂહ T હોય છે, જેમ કે G એ T સાથે વિચ્છેદિત કોઈપણ સમૂહ S ના સંદર્ભમાં નબળા અંદાજને સંતોષે છે. ખાસ કરીને, જો k એ બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર હોય તો કોઈપણ જોડાયેલ જૂથ G અનંત સ્થાનોના સમૂહ S = S ≤ ના સંદર્ભમાં નબળા અંદાજને સંતોષે છે. મજબૂત અંદાજમાં પૂછવામાં આવેલો પ્રશ્ન એ છે કે શું G (AS) માં G (k) ની એમ્બેડિંગ ગાઢ છબી ધરાવે છે, અથવા સમકક્ષ રીતે શું સમૂહ G (k) G (AS) એ G (A) માં ગાઢ સબસેટ છે. મજબૂત અંદાજનો મુખ્ય પ્રમેય જણાવે છે કે વૈશ્વિક ક્ષેત્ર k પર બિન-ઉકેલી શકાય તેવું રેખીય બીજગણિત જૂથ G એ મર્યાદિત સમૂહ S માટે મજબૂત અંદાજ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો આમૂલ N એકરૂપ હોય, G/N ફક્ત જોડાયેલ હોય, અને G/N ના દરેક લગભગ સરળ ઘટક H પાસે S માં કેટલાક s માટે બિન-કોમ્પેક્ટ ઘટક Hs હોય (H પર આધાર રાખીને). મજબૂત અંદાજના પુરાવા બીજગણિત જૂથો માટે હાસ સિદ્ધાંત પર આધારિત હતા, જે E8 પ્રકારનાં જૂથો માટે માત્ર કેટલાંક વર્ષો પછી સાબિત થયું હતું. નબળો અંદાજ જૂથોના વ્યાપક વર્ગ માટે લાગુ પડે છે, જેમાં સંલગ્ન જૂથો અને ચેવલે જૂથોના આંતરિક સ્વરૂપોનો સમાવેશ થાય છે, જે દર્શાવે છે કે મજબૂત અંદાજ ગુણધર્મ પ્રતિબંધિત છે. સુપરસ્ટ્રોંગ અંદાજ સંદર્ભો બીજગણિત જૂથો ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ પણ જુઓ.