Dual curve
પ્રક્ષેપાત્મક ભૂમિતિમાં, આપેલ સમતલ વળાંકનો દ્વિ વળાંક એ દ્વિ પ્રક્ષેપાત્મક સમતલમાં એક વળાંક છે જેમાં સ્પર્શરેખા રેખાઓનો સમૂહ હોય છે. વળાંકથી તેના દ્વૈત સુધી એક નકશો છે, જે દરેક બિંદુને તેની સ્પર્શરેખા રેખા પર દ્વૈત બિંદુ પર મોકલે છે. જો બીજગણિત હોય તો તેનું દ્વિગુણ પણ છે અને દ્વિગુણની માત્રાને મૂળ વળાંકના વર્ગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. રેખા કોઓર્ડિનેટ્સમાં આપવામાં આવેલ દ્વિગુણનું સમીકરણ, ના સ્પર્શક સમીકરણ તરીકે ઓળખાય છે. દ્વૈત એ એક સંલગ્નતા છેઃ દ્વૈતનું દ્વૈત એ મૂળ વળાંક છે. હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સના સંદર્ભમાં લિજેન્ડર પરિવર્તન માટે બેવડા વળાંકનું નિર્માણ ભૌમિતિક આધાર છે. સમીકરણો ચાલો પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન પર સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વળાંકનું સમીકરણ હોઈએ. ચાલો એક રેખાનું સમીકરણ હોઈએ, જેમાં તેના રેખા કોઓર્ડિનેટ્સને બેવડા પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. રેખા વળાંકને સ્પર્શક હોય તેવી સ્થિતિને તે સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે જે વળાંકનું સ્પર્શક સમીકરણ છે. વળાંક પરના એક બિંદુ પર, સ્પર્શક દ્વારા આપવામાં આવે છે તેથી તે વળાંક માટે એક સ્પર્શક છે જો દૂર કરવું,,, અને આ સમીકરણોમાંથી, સાથે સાથે, અને બેવડા વળાંકનું સમીકરણ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો શંકુ હોઈએ. દ્વૈત સમીકરણોને દૂર કરીને,, અને સમીકરણોમાંથી જોવા મળે છે પ્રથમ ત્રણ સમીકરણો સરળતાથી,, માટે ઉકેલાય છે, અને છેલ્લા સમીકરણમાં અવેજીથી છેદમાંથી ક્લિયરિંગ ઉત્પન્ન થાય છે, દ્વૈતનું સમીકરણ પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સમાં પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત વળાંકને ધ્યાનમાં લો. તેની પ્રોજેક્ટિવ સ્પર્શક રેખા એ એક રેખીય સમતલ છે જે સ્પર્શક બિંદુ અને સ્પર્શક વેક્ટર દ્વારા ફેલાયેલું છે, જેમાં ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલા રેખીય સમીકરણ ગુણાંક છેઃ જે એફાઇન કોઓર્ડિનેટ્સમાં છેઃ એક વળાંક બિંદુની દ્વિ એક કસ્પ આપશે અને સમાન સ્પર્શક રેખા વહેંચતા બે બિંદુઓ દ્વિ પર સ્વ-વિચ્છેદન બિંદુ આપશે. પ્રોજેક્ટિવ વર્ણનમાંથી, કોઈ દ્વિગુણની ગણતરી કરી શકે છેઃ જે પ્રોજેક્ટિવ રીતે મૂળ વળાંકની સમકક્ષ છે. બેવડા વળાંકના ગુણધર્મો મૂળ વળાંકના ગુણધર્મો બેવડા વળાંક પરના બેવડા ગુણધર્મોને અનુરૂપ છે. પરિચયની છબીમાં, લાલ વળાંકમાં ત્રણ એકવચનતા હોય છે-કેન્દ્રમાં એક નોડ, અને નીચલા જમણા અને નીચલા ડાબી બાજુએ બે કસ્પ. કાળા વળાંકમાં કોઈ એકલતા નથી પરંતુ તેમાં ચાર વિશિષ્ટ બિંદુઓ છેઃ બે ટોચના-સૌથી વધુ બિંદુઓ નોડ (ડબલ પોઇન્ટ) ને અનુરૂપ છે, કારણ કે તે બંને સમાન સ્પર્શક રેખા ધરાવે છે, તેથી બેવડા વળાંકમાં સમાન બિંદુ પર નકશો બનાવે છે, જ્યારે બે વળાંક બિંદુઓ ક્યુસ્પેસને અનુરૂપ છે, કારણ કે સ્પર્શક રેખાઓ પહેલા એક તરફ જાય છે અને પછી બીજી તરફ જાય છે (ઢોળાવ વધે છે, પછી ઘટે છે). તેનાથી વિપરીત, સરળ, બહિર્મુખ વળાંક પર સ્પર્શક રેખાનો કોણ એકવિધ રીતે બદલાય છે, અને પરિણામી દ્વિ વળાંક પણ સરળ અને બહિર્મુખ હોય છે. વધુમાં, ઉપરના બંને વળાંકમાં પ્રતિબિંબીત સમપ્રમાણતા હોય છેઃ પ્રોજેક્ટિવ દ્વૈતતા પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાની સમપ્રમાણતાને જાળવી રાખે છે, તેથી બેવડા વળાંકમાં સમાન સમપ્રમાણતા જૂથ હોય છે. આ કિસ્સામાં બંને સમપ્રમાણતાઓને ડાબી-જમણી પ્રતિબિંબ તરીકે સમજવામાં આવે છે; આ જગ્યા અને બેવડી જગ્યાને કેવી રીતે ઓળખવામાં આવી છે તેની એક કલાકૃતિ છે-સામાન્ય રીતે આ વિવિધ જગ્યાઓની સમપ્રમાણતા છે. ડિગ્રી જો સમતલ બીજગણિત વળાંક હોય, તો દ્વૈતની ડિગ્રી એ દ્વૈત સમતલમાં એક રેખા સાથે આંતરછેદના બિંદુઓની સંખ્યા છે. ડ્યુઅલ પ્લેનમાં એક રેખા પ્લેનમાં એક બિંદુને અનુરૂપ હોવાથી, ડ્યુઅલની ડિગ્રી એ આપેલ બિંદુ દ્વારા દોરી શકાય તેવી સ્પર્શકની સંખ્યા છે. જે બિંદુઓ પર આ સ્પર્શરેખાઓ વળાંકને સ્પર્શે છે તે આપેલ બિંદુના સંદર્ભમાં વળાંક અને ધ્રુવીય વળાંક વચ્ચેના આંતરછેદના બિંદુઓ છે. જો વળાંકની ડિગ્રી હોય તો ધ્રુવીયની ડિગ્રી હોય છે અને તેથી આપેલ બિંદુ દ્વારા દોરી શકાય તેવી સ્પર્શકની સંખ્યા સૌથી વધુ હોય છે. રેખાની દ્વિ (ડિગ્રી 1 નો વળાંક) આનો અપવાદ છે અને તેને દ્વિ અવકાશમાં એક બિંદુ (એટલે કે મૂળ રેખા) તરીકે લેવામાં આવે છે. એક જ બિંદુના દ્વૈતને બિંદુ હોવા છતાં રેખાઓનો સંગ્રહ માનવામાં આવે છે; આ દ્વૈત જગ્યામાં એક રેખા બનાવે છે જે મૂળ બિંદુને અનુરૂપ છે. જો તે સરળ હોય (કોઈ એકવચન બિંદુ ન હોય) તો તેના દ્વૈતમાં મહત્તમ ડિગ્રી હોય છે. આ સૂચવે છે કે શંકુની દ્વિ પણ શંકુ છે. ભૌમિતિક રીતે, શંકુથી તેના દ્વિ સુધીનો નકશો એક-થી-એક છે (કારણ કે કોઈ પણ રેખા શંકુના બે બિંદુઓને સ્પર્શ કરતી નથી, કારણ કે તેને ડિગ્રી 4 ની જરૂર હોય છે), અને સ્પર્શરેખા સરળતાથી બદલાય છે (કારણ કે વળાંક બહિર્મુખ હોય છે, તેથી સ્પર્શરેખા રેખાનો ઢોળાવ એકવિધ રીતે બદલાય છેઃ દ્વૈતમાં ક્યુસ્પેસને મૂળ વળાંકમાં વળાંક બિંદુની જરૂર હોય છે, જેને ડિગ્રી 3 ની જરૂર હોય છે). એકવચન બિંદુઓવાળા વળાંક માટે, આ બિંદુઓ વળાંક અને તેના ધ્રુવીય આંતરછેદ પર પણ આવેલા હશે અને આ સંભવિત સ્પર્શક રેખાઓની સંખ્યાને ઘટાડે છે. પ્લકર સૂત્રો d ની દ્રષ્ટિએ દ્વિગુણની ડિગ્રી અને એકવચન બિંદુઓની સંખ્યા અને પ્રકારો આપે છે. ધ્રુવીય પારસ્પરિક દ્વૈતને ધ્રુવીય પારસ્પરિક સ્વરૂપમાં સમતલમાં સ્થાન તરીકે જોઈ શકાય છે. આને નિશ્ચિત શંકુના સંદર્ભમાં વળાંકની સ્પર્શક રેખાઓના ધ્રુવોના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. શંકુને લગભગ હંમેશા વર્તુળ તરીકે લેવામાં આવે છે, તેથી ધ્રુવીય પારસ્પરિક એ ના પેડલનો વ્યસ્ત છે. સામાન્યીકરણ ઉચ્ચ પરિમાણો એ જ રીતે, ઉચ્ચ પરિમાણોને સામાન્ય બનાવવું, અતિસંવેદનશીલતાને જોતાં, દરેક બિંદુ પરની સ્પર્શક જગ્યા અતિસંવેદનશીલનું કુટુંબ આપે છે, અને આમ દ્વિ અવકાશમાં દ્વિ અતિસંવેદનશીલતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં કોઈપણ બંધ સબવેરીટી માટે, અમુક બિંદુ સુધી બધા હાયપરપ્લેન સ્પર્શકનો સમૂહ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાના ડ્યુઅલની બંધ સબવેરીટી છે, જેને ડ્યુઅલ વેરાયટી ઓફ કહેવાય છે. ઉદાહરણો જો એક સજાતીય બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હાયપરસર્ફેસ હોય, તો તેની બેવડી વિવિધતા એ ઢાળ નકશા દ્વારા છબી છે જે બેવડી પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યામાં ઉતરે છે. એક બિંદુની બેવડી વિવિધતા હાયપરપ્લેન ડ્યુઅલ બહુકોણ છે આ બેવડા વળાંકની રચના ત્યારે પણ કામ કરે છે જ્યારે વળાંક પીસવાઇઝ રેખીય અથવા પીસવાઇઝ ડિફરન્શિયેબલ હોય, પરંતુ પરિણામી નકશો અધોગતિગ્રસ્ત (જો ત્યાં રેખીય ઘટકો હોય) અથવા અસ્પષ્ટ (જો ત્યાં એકવચન બિંદુઓ હોય) હોય. બહુકોણના કિસ્સામાં, દરેક ધાર પરના તમામ બિંદુઓ એક જ સ્પર્શક રેખા વહેંચે છે, અને આમ દ્વિના સમાન શિરોબિંદુ પર નકશો બનાવે છે, જ્યારે શિરોબિંદુની સ્પર્શક રેખા ખોટી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય છે, અને તેને બે ધાર વચ્ચેના ખૂણા સાથે તેમાંથી પસાર થતી તમામ રેખાઓ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ પ્રક્ષેપાત્મક દ્વૈતતા (રેખાઓ બિંદુઓ પર નકશો બનાવે છે, અને રેખાઓ પર નિર્દેશ કરે છે), અને કોઈ રેખીય ઘટક વિના સરળ વળાંકની મર્યાદા બંને સાથે સુસંગત છેઃ જેમ જેમ વળાંક ધાર પર સપાટ થાય છે, તેમ તેમ તેની સ્પર્શક રેખાઓ નજીકના અને નજીકના બિંદુઓ પર નકશો બનાવે છે; જેમ જેમ વળાંક શિરોબિંદુ તરફ તીક્ષ્ણ થાય છે, તેમ તેમ તેની સ્પર્શક રેખાઓ વધુ દૂર ફેલાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન અથવા શંકુ બહુપરીમાણીય દ્વિ હોય છે, અને સીમા અતિસંવેદનશીલ સપાટી H સાથે કોઈપણ બહિર્મુખ સમૂહ X પાસે બહિર્મુખ સંયુગ્મ X * હોય છે જેની સીમા દ્વિ વિવિધતા H * હોય છે. આ પણ જુઓ હોફ ટ્રાન્સફોર્મ ગૌસ નકશો નોંધો સંદર્ભ વક્ર પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ વિભેદક ભૂમિતિ