Weierstrass–Enneper parameterization
ગણિતમાં, ન્યૂનતમ સપાટીઓનું વેઇઅરસ્ટ્રાસ-એનેપર પરિમાણીકરણ એ વિભેદક ભૂમિતિના શાસ્ત્રીય ભાગ છે. આલ્ફ્રેડ એનેપર અને કાર્લ વેઇઅરસ્ટ્રાસે 1863 સુધી ઓછામાં ઓછી સપાટીઓનો અભ્યાસ કર્યો હતો. ચાલો અને સમગ્ર જટિલ સમતલ અથવા એકમ ડિસ્ક પર વિધેયો હોઈએ, જ્યાં મેરોમોર્ફિક હોય અને વિશ્લેષણાત્મક હોય, જેમ કે જ્યાં પણ ક્રમનો ધ્રુવ હોય, ત્યાં ક્રમનો શૂન્ય હોય (અથવા સમકક્ષ, જેમ કે ઉત્પાદન હોલોમોર્ફિક હોય), અને સ્થિરાંકો હોવા જોઈએ. પછી કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેની સપાટી ન્યૂનતમ હોય છે, જ્યાં જટિલ ઇન્ટિગ્રલના વાસ્તવિક ભાગનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, નીચે પ્રમાણેઃ વિપરીત પણ સાચું છેઃ સરળ રીતે જોડાયેલા ડોમેન પર વ્યાખ્યાયિત દરેક નોનપ્લેનર ન્યૂનતમ સપાટીને આ પ્રકારનું પરિમાણ આપી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એન્નેપરની સપાટી પાસે, છે. જટિલ ચલની પેરામેટ્રિક સપાટી વીયરસ્ટ્રાસ-એનેપર મોડેલ જટિલ સમતલ () પર ન્યૂનતમ સપાટી () ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ધારો કે (અવકાશ તરીકે જટિલ સમતલ), સપાટીના જેકોબિયન મેટ્રિક્સને જટિલ એન્ટ્રીઓના સ્તંભ તરીકે લખી શકાય છેઃ ક્યાં અને ક્યાં હોલોમોર્ફિક કાર્યો છે. જેકોબિયન સપાટીના બે ઓર્થોગોનલ સ્પર્શક વાહકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છેઃ સપાટી નોર્મલ જેકોબિયન સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો તરફ દોરી જાય છે. પુરાવા શર્માના નિબંધમાં મળી શકે છેઃ ધ વેયરસ્ટ્રાસ રજૂઆત હંમેશા ન્યૂનતમ સપાટી આપે છે. ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ પ્રથમ મૂળભૂત સ્વરૂપ મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે થઈ શકે છેઃ અને બીજું મૂળભૂત સ્વરૂપ મેટ્રિક્સ છેવટે, જટિલ સમતલ પરનો એક બિંદુ ન્યૂનતમ સપાટી પરના બિંદુ પર નકશો બનાવે છે જ્યાં કોસ્ટાની ન્યૂનતમ સપાટી સિવાય આ કાગળમાં તમામ ન્યૂનતમ સપાટીઓ માટે ક્યાં છે. એમ્બેડેડ ન્યૂનતમ સપાટીઓ અને ઉદાહરણો મર્યાદિત ટોપોલોજી સાથે એમ્બેડેડ સંપૂર્ણ ન્યૂનતમ સપાટીઓના શાસ્ત્રીય ઉદાહરણોમાં પ્લેન, કેટેનોઇડ, હેલિકોઇડ અને કોસ્ટાની ન્યૂનતમ સપાટીનો સમાવેશ થાય છે. કોસ્ટાની સપાટીમાં વેઇઅરસ્ટ્રાસનું લંબગોળ કાર્ય સામેલ છેઃ જ્યાં અચળાંક છે. હેલિકેટેનોઇડ કાર્યોની પસંદગી અને, ન્યૂનતમ સપાટીઓનું એક પરિમાણ કુટુંબ પ્રાપ્ત થાય છે. સપાટીના પરિમાણોને આ રીતે પસંદ કરવુંઃ ચરમસીમાએ, સપાટી કેટેનોઇડ અથવા હેલિકોઇડ હોય છે. નહિંતર, મિશ્રણ કોણ રજૂ કરે છે. પરિણામી સપાટી, સ્વ-આંતરછેદને રોકવા માટે પસંદ કરેલ ડોમેન સાથે, હેલિકલ ફેશનમાં અક્ષની આસપાસ ફરતી કેટનેરી છે. વળાંકની રેખાઓ એક બીજા મૂળભૂત મેટ્રિક્સના દરેક તત્વને અને ના કાર્ય તરીકે ફરીથી લખી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે અને પરિણામે બીજા મૂળભૂત સ્વરૂપ મેટ્રિક્સને સરળ બનાવી શકાય છે કારણ કે તેના આઈગનવેક્ટર્સમાંથી એક છે જે જટિલ ડોમેનમાં મુખ્ય દિશાને રજૂ કરે છે. તેથી, અવકાશમાં બે મુખ્ય દિશાઓ એસોસિએટ ફેમિલી બ્રાયન્ટ સપાટી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જે હાયપરબોલિક અવકાશ સંદર્ભોમાં સમાન પરિમાણ દ્વારા મળી આવે છે.