Fixed points of isometry groups in Euclidean space
આઇસોમેટ્રી જૂથનો નિશ્ચિત બિંદુ એ એક બિંદુ છે જે જૂથમાં દરેક આઇસોમેટ્રી માટે નિશ્ચિત બિંદુ છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં કોઈપણ આઇસોમેટ્રી જૂથ માટે નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ કાં તો ખાલી હોય છે અથવા એફાઇન જગ્યા હોય છે. ઑબ્જેક્ટ માટે, કોઈપણ અનન્ય કેન્દ્ર અને, વધુ સામાન્ય રીતે, ઑબ્જેક્ટના સંદર્ભમાં અનન્ય ગુણધર્મો ધરાવતો કોઈપણ બિંદુ તેના સમપ્રમાણતા જૂથનો નિશ્ચિત બિંદુ છે. ખાસ કરીને આ આકૃતિના કેન્દ્રક માટે લાગુ પડે છે, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય. ભૌતિક પદાર્થના કિસ્સામાં, જો સમપ્રમાણતા માટે માત્ર આકાર જ નહીં પણ ઘનતાને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો તે દળના કેન્દ્રને લાગુ પડે છે. જો કોઈ પદાર્થના સમપ્રમાણતા જૂથના નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ સિંગલટન હોય તો પદાર્થનું સમપ્રમાણતાનું ચોક્કસ કેન્દ્ર હોય છે. કેન્દ્ર અને દળનું કેન્દ્ર, જો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો, આ બિંદુ છે. "સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર" નો બીજો અર્થ એ એક બિંદુ છે જેના સંદર્ભમાં વ્યુત્ક્રમ સમપ્રમાણતા લાગુ થાય છે. આવા બિંદુ અનન્ય હોવાની જરૂર નથી; જો તે ન હોય તો, ત્યાં અનુવાદાત્મક સમપ્રમાણતા છે, તેથી આવા અનંત ઘણા બિંદુઓ છે. બીજી બાજુ, ઉદાહરણ તરીકે. C3h અને D2 સમપ્રમાણતા પ્રથમ અર્થમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે, પરંતુ કોઈ વ્યુત્ક્રમ નથી. જો કોઈ પદાર્થના સમપ્રમાણતા જૂથમાં કોઈ નિશ્ચિત બિંદુ ન હોય તો તે પદાર્થ અનંત હોય છે અને તેનું કેન્દ્ર અને દળનું કેન્દ્ર અવ્યાખ્યાયિત હોય છે. જો કોઈ પદાર્થના સમપ્રમાણતા જૂથના નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ એક રેખા અથવા સમતલ હોય તો પદાર્થનું કેન્દ્રક અને દળનું કેન્દ્ર, જો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો, અને અન્ય કોઈપણ બિંદુ કે જે પદાર્થના સંદર્ભમાં અનન્ય ગુણધર્મો ધરાવે છે, તે આ રેખા અથવા સમતલ પર હોય છે. 1D રેખા માત્ર તુચ્છ સમમિતિનું જૂથ જ સમગ્ર રેખાને સ્થિર રાખે છે. બિંદુ પ્રતિબિંબ દ્વારા પેદા થતા જૂથો એક નિશ્ચિત બિંદુ છોડી દે છે. 2D પ્લેન માત્ર તુચ્છ આઇસોમેટ્રી જૂથ C1 આખા પ્લેનને સ્થિર રાખે છે. કોઈપણ રેખાના સંદર્ભમાં રેખા સી તે રેખાને સ્થિર રાખે છે. કોઈ પણ બિંદુના સંદર્ભમાં બે પરિમાણોમાં બિંદુ જૂથો તે બિંદુને સ્થિર રાખે છે. 3D જગ્યા માત્ર તુચ્છ આઇસોમેટ્રી જૂથ C1 સમગ્ર જગ્યાને સ્થિર રાખે છે. પ્લેનના સંદર્ભમાં પ્લેન Cs તે પ્લેનને સ્થિર રાખે છે. નિશ્ચિત રેખાને છોડીને જતા રેખા સમમિતિ જૂથો એ સમમિતિઓ છે જે તે રેખાને લંબરૂપ દરેક સમતલમાં રેખા અને સમતલના આંતરછેદના બિંદુના સંદર્ભમાં બે પરિમાણોમાં સામાન્ય 2D બિંદુ જૂથો ધરાવે છે. Cn (n> 1) અને Cnv (n> 1) અક્ષની લંબ સપાટીમાં પ્રતિબિંબ સમપ્રમાણતા વિના નળાકાર સમપ્રમાણતા એવા કિસ્સાઓમાં જેમાં સમપ્રમાણતા જૂથ નળાકાર સમપ્રમાણતા બિંદુનો અનંત સબસેટ છે ત્રણ પરિમાણોમાં અન્ય તમામ બિંદુ જૂથો કોઈ નિશ્ચિત બિંદુઓ નથી આઇસોમેટ્રી જૂથમાં અનુવાદ અથવા સ્ક્રૂ ઓપરેશન હોય છે. આર્બિટ્રરી ડાયમેન્શન પોઇન્ટ આઇસોમેટ્રી ગ્રૂપનું એક ઉદાહરણ, જે દરેક પરિમાણમાં લાગુ પડે છે, તે બિંદુમાં વ્યુત્ક્રમ દ્વારા પેદા થાય છે. એન-ડાયમેન્શનલ પેરેલલપાઇપ્ડ એ આવા વ્યુત્ક્રમ હેઠળ વસ્તુ અપરિવર્તનશીલનું ઉદાહરણ છે. સંદર્ભો સ્લાવિક વી. જબલાન, સિમેટ્રી, ઓર્નામેન્ટ એન્ડ મોડ્યુલરિટી, નોટ્સ એન્ડ એવરીથિંગ, વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક, 2002 પર કે એન્ડ ઇ સિરીઝનું વોલ્યુમ 30. યુક્લિડિયન સમપ્રમાણતા સમૂહ સિદ્ધાંત નિશ્ચિત બિંદુઓ (ગણિત) ભૌમિતિક કેન્દ્રો