Dolbeault cohomology
ગણિતમાં, ખાસ કરીને બીજગણિત ભૂમિતિ અને વિભેદક ભૂમિતિમાં, ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી (પિયરે ડોલ્બીઓલ્ટના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે) એ જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ માટે ડી રામ કોહોમોલોજીનું એનાલોગ છે. ધારો કે M એ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ છે. પછી ડોલ્બેલ્ટ કોહોમોલોજી જૂથો પૂર્ણાંકો p અને q ની જોડી પર આધાર રાખે છે અને ડિગ્રી (p, q) ના જટિલ વિભેદક સ્વરૂપોની જગ્યાના પેટા ભાગ તરીકે સમજાય છે. કોહોમોલોજી જૂથોની રચના ચાલો ωp, q એ ડિગ્રી (p, q) ના જટિલ વિભેદક સ્વરૂપોનું વેક્ટર બંડલ છે. જટિલ સ્વરૂપો પરના લેખમાં, ડોલ્બીઓલ્ટ ઓપરેટરને સરળ વિભાગો પર વિભેદક ઓપરેટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કારણ કે આ ઓપરેટર પાસે કેટલીક સંકળાયેલ કોહોમોલોજી છે. જો E એ જટિલ મેનીફોલ્ડ X પર હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ હોય, તો તે જ રીતે E ના ડોલોબોલ્ટ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને E ના હોલોમોર્ફિક વિભાગોના આવરણનું ફાઇન રિઝોલ્યુશન વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ખાસ કરીને ના હોલોમોર્ફિક માળખા સાથે સંકળાયેલ ડોલ્બીઓલ્ટ ઓપરેટર છે જે મૂલ્યો સાથે ટુ-ફોર્મ્સના વિભાગો લે છે. આ વિભેદક સ્વરૂપો પર ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટરના સંદર્ભમાં લાક્ષણિકતા લીબનીઝ નિયમને સંતોષે છે, અને તેથી તેને કેટલીકવાર-જોડાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તેથી, જે રીતે વેક્ટર બંડલ પરના જોડાણને બાહ્ય સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, તે જ રીતે ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટરને ઓપરેટર સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે જે વિભાગ દ્વારા કાર્ય કરે છે અને કોઈપણ વિભાગમાં રેખીય રીતે વિસ્તૃત થાય છે. ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટર સંકલનક્ષમતાની સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી ગુણાંક સાથે ડોલબીઓલ્ટ કોહોમોલોજીને ઉપરની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ ડોલબીઓલ્ટ કોહોમોલોજી જૂથો ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટરની હોલોમોર્ફિક માળખા સાથે સુસંગત પસંદગી પર આધાર રાખતા નથી, તેથી સામાન્ય રીતે તેના પરની નિર્ભરતાને છોડીને સૂચવવામાં આવે છે. ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્મા ડોલ્બેલ્ટ આઇસોમોર્ફિઝમ સ્થાપિત કરવા માટે આપણે ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્મા (અથવા-પોઇનકેયર લેમ્મા) સાબિત કરવાની જરૂર છે. પહેલા આપણે-પોઇનકેર લેમ્માનું એક-પરિમાણીય સંસ્કરણ સાબિત કરીએ છીએ; આપણે સરળ કાર્યો માટે કોચી અભિન્ન રજૂઆતના નીચેના સામાન્ય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીશુંઃ દરખાસ્તઃ ત્રિજ્યામાં કેન્દ્રિત ખુલ્લા બોલને ખુલ્લા થવા દો અને પછી લેમ્મા (-જટિલ સમતલ પર પોઇનકેર લેમ્મા): ચાલો પહેલાની જેમ અને સરળ સ્વરૂપ હોઈએ, પછી સાબિતી પર સંતોષ થાય છે. અમારો દાવો એ છે કે ઉપર વ્યાખ્યાયિત એક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સરળ કાર્ય છે અને. આ બતાવવા માટે આપણે એક બિંદુ અને એક ખુલ્લું પડોશી પસંદ કરીએ છીએ, પછી આપણે એક સરળ કાર્ય શોધી શકીએ છીએ જેનો આધાર સઘન છે અને તેમાં રહેલો છે અને પછી આપણે લખી અને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ ત્યારથી તે સ્પષ્ટ રીતે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અને સરળ છે; આપણે નોંધ્યું છે કે જે ખરેખર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અને સરળ છે, તેથી તે જ સાચું છે. હવે આપણે તે બતાવીએ છીએ. કારણ કે તે હોલોમોર્ફિક છે. સામાન્યીકૃત કોચી સૂત્રને લાગુ કરીને આપણે ત્યારથી શોધીએ છીએ, પરંતુ પછી. કારણ કે તે મનસ્વી હતું, લેમ્મા હવે સાબિત થાય છે. ડોલ્બીઓલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્માનો પુરાવો હવે ડોલ્બીઓલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્માને સાબિત કરવા માટે તૈયાર છે; અહીં રજૂ કરાયેલ પુરાવો ગ્રોથેન્ડીકને કારણે છે. આપણે ત્રિજ્યા સાથે કેન્દ્રિત ખુલ્લી પોલીડિસ્ક સાથે સૂચવીએ છીએ. લેમ્મા (ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક): જ્યાં ખુલ્લું હોય અને એવું હોય, ત્યાં એવું અસ્તિત્વ હોય છે જે સંતોષ આપે છેઃ સાબિતી શરૂ કરતા પહેલા આપણે નોંધ્યું છે કે કોઈપણ-ફોર્મને બહુ-સૂચકાંકો તરીકે લખી શકાય છે, તેથી આપણે કેસના સાબિતીને ઘટાડી શકીએ છીએ. પુરાવો. ચાલો સૌથી નાનો અનુક્રમણિકા એવી હોય કે-મોડ્યુલોના આવરણમાં, આપણે ઇન્ડક્શન દ્વારા આગળ વધીએ. કારણ કે આપણી પાસે ત્યારથી છે; આગળ આપણે ધારીએ છીએ કે જો ત્યાં એવું અસ્તિત્વ છે કે જે ચાલુ છે. પછી ધારો કે અને અવલોકન કરો કે આપણે લખી શકીએ છીએ કારણ કે તે બંધ છે તે નીચે મુજબ છે જે ચલમાં હોલોમોર્ફિક છે અને પોલીડિસ્ક પરના બાકીનામાં સ્મૂથ છે. વધુમાં આપણે ખુલ્લા દડા પરના સરળ કાર્યો માટે-પોઇનકેર લેમ્માને લાગુ કરી શકીએ છીએ, તેથી ત્યાં સરળ કાર્યોનો એક પરિવાર અસ્તિત્વમાં છે જે સંતોષે છે અને તેમાં હોલોમોર્ફિક પણ છે. પછી વ્યાખ્યાયિત કરો જેથી આપણે તેના પર ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણાને લાગુ કરી શકીએ, ત્યાં એવું અસ્તિત્વ છે કે જે ઇન્ડક્શન પગલાને સમાપ્ત કરે છે. અગાઉના લેમ્માને પોલીરેડિયસના કેટલાક ઘટકો સાથે પોલીડિસ્ક સ્વીકારીને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. લેમ્મા (વિસ્તૃત ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક). જો અને સાથે ખુલ્લી પોલીડિસ્ક હોય, તો પ્રૂફ. અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએઃ અને. કેસ 1. ચાલો, અને આપણે પોલીડિસ્ક સાથે આવરી લઈએ છીએ, પછી ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્મા દ્વારા આપણે ખુલ્લા પર બાઈડીગ્રીના સ્વરૂપો શોધી શકીએ છીએ જેમ કે; આપણે બતાવવા માંગીએ છીએ કે આપણે ઇન્ડક્શન દ્વારા આગળ વધીએ છીએઃ કેસ જ્યારે અગાઉના લેમ્મા દ્વારા પકડાય છે. દાવાને તેના માટે સાચો થવા દો અને તેની સાથે લેવા દો પછી આપણે તેના ખુલ્લા પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત-સ્વરૂપ શોધીએ છીએ. ચાલો પછી એક ખુલ્લો પડોશી બનીએ અને આપણે ફરીથી ડોલ્બેલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્માને લાગુ કરી શકીએ છીએ જેથી-ફોર્મ શોધી શકાય. હવે, ચાલો એક ઓપન સેટ અને સ્મૂથ ફંક્શન હોઈએ જેમ કેઃ પછી એક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સ્મૂથ ફોર્મ છે જેના પર ફોર્મ કેસ 2 ને સંતોષે છે. જો તેના બદલે આપણે ડોલ્બીઓલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્માને બે વાર લાગુ કરી શકતા નથી; આપણે લઈએ છીએ અને પહેલાની જેમ, આપણે બતાવવા માંગીએ છીએ કે ફરીથી, આપણે ઇન્ડક્શન દ્વારા આગળ વધીએ છીએઃ કારણ કે જવાબ ડોલ્બીઓલ્ટ-ગ્રોથેન્ડીક લેમ્મા દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. આગળ આપણે ધારીએ છીએ કે દાવો સાચો છે. આપણે એવા આવરણો લઈએ છીએ, પછી આપણે એક એવું સ્વરૂપ શોધી શકીએ છીએ જે પણ સંતુષ્ટ કરે છે, એટલે કે. જ્યાં પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે ત્યાં તે એક હોલોમોર્ફિક સ્વરૂપ છે, તેથી સ્ટોન-વેઇઅરસ્ટ્રાસ પ્રમેય દ્વારા આપણે તેને બહુપદીઓ ક્યાં છે તે રીતે લખી શકીએ છીએ અને પરંતુ પછી તે સ્વરૂપ સંતોષ આપે છે જે ઇન્ડક્શન પગલું પૂર્ણ કરે છે; તેથી આપણે એક ક્રમ બનાવ્યો છે જે સમાનરૂપે કેટલાક સ્વરૂપમાં એકરૂપ થાય છે. ક્યૂ. ઈ. ડી. ડોલ્બેલ્ટનો પ્રમેય ડોલ્બેલ્ટનો પ્રમેય એ ડી રામના પ્રમેયનો જટિલ એનાલોગ છે. તે ભારપૂર્વક જણાવે છે કે ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી હોલોમોર્ફિક વિભેદક સ્વરૂપોના આવરણના આવરણ કોહોમોલોજી માટે આઇસોમોર્ફિક છે. ખાસ કરીને, એમ. પર હોલોમોર્ફિક પી સ્વરૂપોનું આવરણ ક્યાં છે. ડોલ્બીઓલ્ટ પ્રમેયની એ આવૃત્તિ પણ હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલમાં ગુણાંક સાથે ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી માટે ધરાવે છે. એટલે કે એકમાં સમરૂપતા છે લઘુગણક સ્વરૂપો માટે એક સંસ્કરણ પણ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે. સાબિતી ચાલો પ્રકારનાં સ્વરૂપોનું સુંદર આવરણ હોઈએ. પછી-પોઇનકેરે લેમ્મા કહે છે કે ક્રમ ચોક્કસ છે. કોઈપણ લાંબા ચોક્કસ ક્રમની જેમ, આ ક્રમ ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમમાં વિભાજિત થાય છે. આને અનુરૂપ કોહોમોલોજીના લાંબા ચોક્કસ ક્રમ પરિણામ આપે છે, એકવાર કોઈ તેનો ઉપયોગ કરે છે કે ફાઇન શીફની ઉચ્ચ કોહોમોલોજી અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ગણતરીનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ-પરિમાણીય જટિલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનું ડોલ્બીઓલ્ટ કોહોમોલોજી એ છે કે આપણે હોજ સિદ્ધાંતમાંથી નીચેની જાણીતી હકીકત લાગુ કરીએ છીએઃ કારણ કે તે કોમ્પેક્ટ કેલર કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ છે. પછી અને વધુમાં આપણે જાણીએ છીએ કે તે કેલર છે, અને ફ્યુબિની-સ્ટડી મેટ્રિક (જે ખરેખર કેલર છે) સાથે સંકળાયેલ મૂળભૂત સ્વરૂપ ક્યાં છે, તેથી અને જ્યારે પણ તે પરિણામ આપે છે. સેરે દ્વૈતતા-લેમ્મા પણ જુઓ, જે કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ્સના સેટિંગમાં-ચોક્કસ વિભેદક સ્વરૂપની ક્ષમતાનું વર્ણન કરે છે. ફૂટનોટ્સ સંદર્ભો કોહોમોલોજી સિદ્ધાંતો કોમ્પ્લેક્સ હોજ સિદ્ધાંતને બહુવિધ બનાવે છે