Second derivative
કલનમાં, કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન, અથવા બીજા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન, ના વ્યુત્પન્નનું વ્યુત્પન્ન છે. અનૌપચારિક રીતે, બીજા વ્યુત્પન્નને "પરિવર્તનના દરમાં ફેરફારના દર" તરીકે રજૂ કરી શકાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, સમયના સંદર્ભમાં પદાર્થની સ્થિતિનું બીજું વ્યુત્પન્ન પદાર્થનું તાત્કાલિક પ્રવેગક અથવા તે દર છે કે જેના પર પદાર્થનો વેગ સમયના સંદર્ભમાં બદલાઈ રહ્યો છે. લીબનીઝ નોટેશનમાંઃ જ્યાં પ્રવેગ છે, વેગ છે, સમય છે, સ્થિતિ છે, અને d એ તાત્કાલિક "ડેલ્ટા" અથવા ફેરફાર છે. છેલ્લી અભિવ્યક્તિ સમયના સંદર્ભમાં સ્થિતિ () નું બીજું વ્યુત્પન્ન છે. કાર્યના આલેખ પર, બીજો વ્યુત્પન્ન આલેખની વક્રતા અથવા અવતલતાને અનુરૂપ હોય છે. હકારાત્મક દ્વિતીય વ્યુત્પન્ન સાથેના વિધેયનો આલેખ ઉપરની તરફ અંતર્મુખ હોય છે, જ્યારે નકારાત્મક દ્વિતીય વ્યુત્પન્ન વળાંકવાળા વિધેયનો આલેખ વિરુદ્ધ રીતે હોય છે. બીજો વ્યુત્પન્ન શક્તિ નિયમ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન માટેનો શક્તિ નિયમ, જો બે વાર લાગુ કરવામાં આવે, તો તે નીચે પ્રમાણે બીજો વ્યુત્પન્ન શક્તિ નિયમ ઉત્પન્ન કરશેઃ સંકેત વિધેયનો બીજો વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે. એટલે કેઃ વ્યુત્પન્ન માટે લીબનીઝના સંકેતનો ઉપયોગ કરતી વખતે, સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં આશ્રિત ચલનું બીજું વ્યુત્પન્ન લખવામાં આવે છે આ સંકેત નીચેના સૂત્રમાંથી મેળવવામાં આવે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે. એક કાર્ય કે જેનું બીજું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે તે અંતર્મુખ હશે (જેને બહિર્મુખ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે), જેનો અર્થ છે કે સ્પર્શક રેખા કાર્યના આલેખની નીચે હશે. તેવી જ રીતે, જે વિધેયનું બીજું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય તે અવતલ હશે (જેને ફક્ત અવતલ પણ કહેવાય છે), અને તેની સ્પર્શક રેખાઓ વિધેયના આલેખની ઉપર હશે. જો વિધેયનો બીજો વ્યુત્પન્ન સંકેત બદલે છે, તો વિધેયનો આલેખ અંતર્મુખથી અંતર્મુખ ઉપર અથવા તેનાથી ઊલટું બદલાશે. એક બિંદુ જ્યાં આવું થાય છે તેને વળાંક બિંદુ કહેવામાં આવે છે. ધારો કે બીજો વ્યુત્પન્ન સતત છે, તે કોઈપણ વળાંક બિંદુ પર શૂન્યનું મૂલ્ય લેવું આવશ્યક છે, જો કે દરેક બિંદુ જ્યાં બીજો વ્યુત્પન્ન શૂન્ય હોય તે જરૂરી નથી કે તે વળાંકનું બિંદુ હોય. બીજું વ્યુત્પન્ન પરીક્ષણ બીજા વ્યુત્પન્ન અને આલેખ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ એ ચકાસવા માટે કરી શકાય છે કે કાર્ય માટે સ્થિર બિંદુ (એટલે કે, એક બિંદુ જ્યાં) સ્થાનિક મહત્તમ છે કે સ્થાનિક લઘુત્તમ. ખાસ કરીને, જો, તો સ્થાનિક મહત્તમ હોય છે. જો, તો સ્થાનિક લઘુત્તમ હોય છે. જો, બીજી વ્યુત્પન્ન કસોટી બિંદુ વિશે કંઇ કહેતી નથી, તો સંભવિત વળાંક બિંદુ. બીજું વ્યુત્પન્ન આ પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે તેનું કારણ વાસ્તવિક દુનિયાની સામ્યતા દ્વારા જોઈ શકાય છે. એવા વાહનનો વિચાર કરો જે શરૂઆતમાં ખૂબ જ વેગથી આગળ વધી રહ્યું હોય, પરંતુ નકારાત્મક પ્રવેગ સાથે. સ્પષ્ટપણે, જ્યાં વેગ શૂન્ય સુધી પહોંચે છે તે બિંદુ પર વાહનની સ્થિતિ પ્રારંભિક સ્થિતિથી મહત્તમ અંતર હશે-આ સમય પછી, વેગ નકારાત્મક બની જશે અને વાહન વિપરીત થઈ જશે. એ જ લઘુત્તમ માટે સાચું છે, એક વાહન સાથે જે શરૂઆતમાં ખૂબ જ નકારાત્મક વેગ ધરાવે છે પરંતુ હકારાત્મક પ્રવેગક છે. મર્યાદા બીજા વ્યુત્પન્ન માટે એક જ મર્યાદા લખવી શક્ય છેઃ આ મર્યાદાને બીજા સમપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે. નોંધ લો કે જ્યારે (સામાન્ય) બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં ન હોય ત્યારે પણ બીજું સપ્રમાણ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે. જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિને તફાવત ગુણોત્તરના તફાવત ભાગાકાર તરીકે લખી શકાય છેઃ આ મર્યાદાને ક્રમ માટેના બીજા તફાવતની સતત આવૃત્તિ તરીકે જોઈ શકાય છે. જો કે, ઉપરોક્ત મર્યાદાના અસ્તિત્વનો અર્થ એ નથી કે કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન છે. ઉપરની મર્યાદા માત્ર બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની શક્યતા આપે છે-પરંતુ તે કોઈ વ્યાખ્યા પૂરી પાડતી નથી. પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ એ સાઇન ફંક્શન છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ સાઇન ફંક્શન શૂન્ય પર સતત નથી, અને તેથી માટે બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. પરંતુ ઉપરોક્ત મર્યાદા આના માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છેઃ ચતુર્ભુજ અંદાજ જેમ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન રેખીય અંદાજો સાથે સંબંધિત છે, તેમ બીજું વ્યુત્પન્ન કાર્ય માટે શ્રેષ્ઠ ચતુર્ભુજ અંદાજ સાથે સંબંધિત છે. આ તે વર્ગાત્મક કાર્ય છે જેના પ્રથમ અને બીજા વ્યુત્પન્ન આપેલ બિંદુ પરના સમાન હોય છે. બિંદુની આસપાસના વિધેય માટે શ્રેષ્ઠ વર્ગાત્મક અંદાજ માટેનું સૂત્ર છે આ વર્ગાત્મક અંદાજ એ કેન્દ્રમાં રહેલા વિધેય માટે બીજા ક્રમની ટેલર બહુપદી છે. બીજા વ્યુત્પન્નના આઈગન વેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સ સીમા શરતોના ઘણા સંયોજનો માટે બીજા વ્યુત્પન્નના આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સ માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારી રહ્યા છીએ અને સજાતીય ડિરીક્લેટ સીમા શરતો (એટલે કે, જ્યાં આઈગનવેક્ટર છે), આઈગનવેલ્યુ છે અને અનુરૂપ આઈગનવેક્ટર્સ (જેને આઈગનફંક્શન્સ પણ કહેવાય છે) અહીં છે, અન્ય જાણીતા કિસ્સાઓ માટે, બીજા વ્યુત્પન્નના આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સ જુઓ. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્યીકરણ હેસિયન બીજું વ્યુત્પન્ન બીજા આંશિક વ્યુત્પન્નની કલ્પના દ્વારા ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્યીકરણ કરે છે. ફંક્શન માટે, આમાં ત્રણ સેકન્ડ-ઓર્ડર પાર્ટિયલ્સ અને મિશ્ર પાર્ટિયલ્સનો સમાવેશ થાય છે જો ફંક્શનની ઇમેજ અને ડોમેન બંનેમાં પોટેન્શિયલ હોય, તો તે હેસિયન તરીકે ઓળખાતા સપ્રમાણ મેટ્રિક્સમાં એકસાથે બંધબેસે છે. આ મેટ્રિક્સના આઈગન વેલ્યુઝનો ઉપયોગ બીજા વ્યુત્પન્ન પરીક્ષણના મલ્ટીવેરિયેબલ એનાલોગને અમલમાં મૂકવા માટે થઈ શકે છે. (બીજી આંશિક વ્યુત્પન્ન કસોટી પણ જુઓ.) બીજા વ્યુત્પન્નનું બીજું સામાન્ય સામાન્યીકરણ લાપ્લેસીયન છે. આ વિભેદક ઓપરેટર (અથવા) છે જે ફંક્શનના લાપ્લેસીયન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે ઢાળના વિચલન અને હેસિયન મેટ્રિક્સના નિશાનની બરાબર છે. આ પણ જુઓ ચિર્પીનેસ, તાત્કાલિક તબક્કાના મર્યાદિત તફાવતનો બીજો વ્યુત્પન્ન, જેનો ઉપયોગ અંદાજિત બીજા વ્યુત્પન્ન માટે થાય છે બીજા વ્યુત્પન્નની બીજી આંશિક વ્યુત્પન્ન કસોટી સમપ્રમાણતા સંદર્ભો વધુ વાંચન પ્રિન્ટ ઓનલાઇન પુસ્તકો બાહ્ય કડીઓ અસમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓથી બીજા વ્યુત્પન્નને અલગ કરો ગાણિતિક વિશ્લેષણ વિભેદક કલન કાર્યો અને મેપિંગ્સ કલનમાં રેખીય ઓપરેટરો