Noether normalization lemma
ગણિતમાં, નોઇથર નોર્મલાઇઝેશન લેમ્મા એ પરિવર્તનીય બીજગણિતનું પરિણામ છે, જે 1926માં એમી નોઇથર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તે જણાવે છે કે કોઈપણ ક્ષેત્ર k માટે, અને કોઈપણ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ પરિવર્તનીય k-બીજગણિત A માટે, A માં બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર તત્વો y1, y2,., yd એવા અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે A એ બહુપદી વીંટી S = k [y1, y2,., yd] પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ છે. પૂર્ણાંક d એ રિંગ A ના ક્રુલ પરિમાણની બરાબર છે; અને જો A એક અભિન્ન ક્ષેત્ર છે, તો d એ k પર A ના અપૂર્ણાંક ક્ષેત્રની ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી પણ છે. આ પ્રમેય ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે. ધારો કે A એ એફાઇન વેરાયટી X ની કોઓર્ડિનેટ રીંગ છે, અને S ને d-ડાયમેન્શનલ એફાઇન સ્પેસની કોઓર્ડિનેટ રીંગ તરીકે ધ્યાનમાં લો. પછી સમાવેશ નકશો એફાઇન જાતોના સર્જેક્ટિવ મર્યાદિત આકારવાદને પ્રેરિત કરે છેઃ એટલે કે, કોઈપણ એફાઇન વિવિધતા એ એફાઇન જગ્યાનું શાખાયુક્ત આવરણ છે. જ્યારે k અનંત હોય, ત્યારે આવા શાખાવાળા આવરણ નકશાનું નિર્માણ X ધરાવતી એફાઇન જગ્યાથી d-પરિમાણીય સબસ્પેસમાં સામાન્ય પ્રક્ષેપણ લઈને કરી શકાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, યોજનાઓની ભાષામાં, પ્રમેયને સમાનરૂપે આ રીતે વર્ણવી શકાય છેઃ દરેક એફાઇન k-યોજના (મર્યાદિત પ્રકારની) X એ એફાઇન n-પરિમાણીય જગ્યા પર મર્યાદિત છે. આ પ્રમેયને R (સમકક્ષ રીતે, X ના બંધ ઉપગણ) ના આદર્શોની સાંકળનો સમાવેશ કરવા માટે શુદ્ધ કરી શકાય છે, જે અનુરૂપ પરિમાણોના સંલગ્ન સંકલન ઉપક્ષેત્રો પર મર્યાદિત હોય છે. નોઇથર નોર્મલાઇઝેશન લેમ્માનો ઉપયોગ હિલ્બર્ટના નલસ્ટેલેન્સાટ્ઝને સાબિત કરવા માટે એક મહત્વપૂર્ણ પગલું તરીકે થઈ શકે છે, જે શાસ્ત્રીય બીજગણિત ભૂમિતિના સૌથી મૂળભૂત પરિણામોમાંથી એક છે. કે-આલ્જેબ્રા માટે ક્રુલ પરિમાણની કલ્પનાઓને સ્થાપિત કરવા માટે સામાન્યીકરણ પ્રમેય પણ એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. સાબિતી મમફોર્ડના લાલ પુસ્તકને અનુસરીને નીચેનો પુરાવો નાગાતાને કારણે છે. વધુ ભૌમિતિક સાબિતી લાલ પુસ્તકના પાન 127 પર આપવામાં આવી છે. લેમ્મામાં રિંગ એ કેટલાક ઘટકો દ્વારા કે-બીજગણિત તરીકે ઉત્પન્ન થાય છે. આપણે એમ પર સમાવેશ કરીશું. જો, તો પછી દાવો તુચ્છ છે. હવે ધારો. તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે A ની સબરીંગ S છે જે તત્વો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, જેમ કે A એ S પર મર્યાદિત છે. ખરેખર, પ્રેરક પૂર્વધારણા દ્વારા, આપણે S ના બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર તત્વો શોધી શકીએ છીએ જેમ કે S પર મર્યાદિત છે. અન્યથા સાબિત કરવા માટે કંઈ નહીં હોવાથી, આપણે એમ પણ ધારી શકીએ કે k પર m ચલમાં બિન-શૂન્ય બહુપદી f છે. એક પૂર્ણાંક r આપવામાં આવે છે જે પછીથી નક્કી કરવામાં આવે છે, સેટ કરો પછી પહેલું વાંચે છેઃ હવે, જો ઉપરોક્ત સમીકરણની ડાબી બાજુએ ગુણાંક સાથે મોનોમિયલ દેખાય છે, તો ઉત્પાદનને વિસ્તૃત કર્યા પછી સૌથી વધુ પદ એવું લાગે છે કે જ્યારે પણ ઉપરોક્ત ઘાતાંક કોઈ અન્ય મોનોમિયલ દ્વારા ઉત્પાદિત સૌથી વધુ ઘાતાંક સાથે સંમત થાય છે, ત્યારે શક્ય છે કે સૌથી વધુ પદ ઉપરના સ્વરૂપનું ન હોય, કારણ કે તે રદ થવાથી પ્રભાવિત થઈ શકે છે. જો કે, જો r એ f માં દેખાતા કોઈપણ ઘાતાંક કરતા મોટો હોય, તો પછી દરેક એક અનન્ય આધાર r સંખ્યાને એન્કોડ કરે છે, તેથી આ થતું નથી. આમ તે અવિભાજ્ય છે. તે રીંગ પર પણ અભિન્ન હોવાથી, A એ S પર અભિન્ન છે. તે અનુસરે છે કે A એ S પર મર્યાદિત છે, અને કારણ કે S એ m-1 તત્વો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, પ્રેરક પૂર્વધારણા દ્વારા આપણે પૂર્ણ કર્યું છે. જો A એક અભિન્ન ક્ષેત્ર હોય, તો d એ તેના અપૂર્ણાંક ક્ષેત્રની ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી છે. ખરેખર, A અને સમાન ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી (એટલે કે, અપૂર્ણાંકોના ક્ષેત્રની ડિગ્રી) ધરાવે છે કારણ કે A ના અપૂર્ણાંકોનું ક્ષેત્ર S પર બીજગણિત છે (કારણ કે A એ S પર અભિન્ન છે) અને S એ ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી d ધરાવે છે. આમ, તે બહુપદી રિંગ S નું ક્રુલ પરિમાણ દર્શાવવા માટે રહે છે. (આ પણ પરિમાણ સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે.) આપણે ડી પર સમાવેશ કરીએ છીએ, જેમાં કેસ તુચ્છ છે. મુખ્ય આદર્શોની સાંકળ હોવાથી, પરિમાણ ઓછામાં ઓછું d છે. વિપરીત અંદાજ મેળવવા માટે, ચાલો મુખ્ય આદર્શોની સાંકળ બનીએ. જવા દો. આપણે નોઇથર નોર્મલાઇઝેશન લાગુ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ (નોર્મલાઇઝેશન પ્રક્રિયામાં, આપણે પ્રથમ ચલ પસંદ કરવા માટે સ્વતંત્ર છીએ) જેમ કે S એ T પર અભિન્ન છે. ઇન્ડક્ટિવ પૂર્વધારણા દ્વારા, તેનું પરિમાણ d-1 છે. અસંગતતા દ્વારા, તે લંબાઈની સાંકળ છે અને પછી, તે લંબાઈની સાંકળ બની જાય છે. ત્યારથી, આપણી પાસે છે. એટલે, તા. શુદ્ધિકરણ આઈસેનબુડના પુસ્તકમાં નીચેની શુદ્ધિકરણ જોવા મળે છે, જે નાગતાના વિચાર પર આધારિત છેઃ ભૌમિતિક રીતે કહીએ તો, પ્રમેયનો છેલ્લો ભાગ કહે છે કે કોઈપણ સામાન્ય રેખીય પ્રક્ષેપણ માટે મર્યાદિત આકારવાદ (સી. એફ. લીડ); એઇસેનબુડ ઉપરાંત, આ પણ જુઓ. દૃષ્ટાંતરૂપ ઉપયોગઃ સામાન્ય સ્વતંત્રતા નોર્મલાઇઝેશન લેમ્માનો એક લાક્ષણિક બિન-તુચ્છ ઉપયોગ એ સામાન્ય સ્વતંત્રતા પ્રમેય છેઃ ધારો કે રિંગ્સ એવી હોય કે જે નોથેરિયન ઇન્ટિગ્રલ ડોમેન હોય અને ધારો કે ત્યાં એક રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે જે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન બીજગણિત તરીકે પ્રદર્શિત થાય છે. પછી એવા કેટલાક છે જે મુક્ત-મોડ્યુલ છે. આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો અપૂર્ણાંક ક્ષેત્ર હોઈએ. આપણે ક્રુલ પરિમાણ પર ઇન્ડક્શન દ્વારા દલીલ કરીએ છીએ. બેઝ કેસ ત્યારે હોય છે જ્યારે ક્રુલ પરિમાણ હોય; એટલે કે; એટલે કે, જ્યારે એવું કોઈ હોય, તો તે-મોડ્યુલ તરીકે મુક્ત હોય છે. ઇન્ડક્ટિવ સ્ટેપ માટે, નોંધ લો કે તે ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ-બીજગણિત છે. તેથી નોઇથર નોર્મલાઇઝેશન લેમ્મા દ્વારા, બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર તત્વો હોય છે જેમ કે બહુપદી રિંગ પર મર્યાદિત હોય છે. દરેકને ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર કરીને, આપણે ધારી શકીએ કે તેમાં છે. હવે આપણે ધ્યાનમાં લઈએ છીએઃ હવે તે મર્યાદિત ન પણ હોઈ શકે, પરંતુ એક તત્વને નીચે પ્રમાણે ઉલટાવ્યા પછી તે મર્યાદિત થઈ જશે. જો એક તત્વ છે, તો પછી, એક તત્વ તરીકે, તે ઇન્ટિગ્રલ ઓવર છે; એટલે કે, કેટલાક માટે. આમ, કેટલાક ગુણાંકના તમામ છેદને મારી નાખે છે અને તેથી તે અભિન્ન છે. બીજગણિત તરીકે કેટલાક મર્યાદિત રીતે ઘણા જનરેટર પસંદ કરીને અને આ નિરીક્ષણને દરેક જનરેટર પર લાગુ કરીને, આપણે કેટલાક એવા શોધીએ છીએ જે અવિભાજ્ય (આમ મર્યાદિત) છે. દ્વારા બદલો અને પછી આપણે ધારી શકીએ કે તે મર્યાદિત છે. સમાપ્ત કરવા માટે,-સબમોડ્યુલ્સ દ્વારા મર્યાદિત ગાળણને ધ્યાનમાં લો જેમ કે મુખ્ય આદર્શો માટે (આવા ગાળણ સંબંધિત અવિભાજ્ય સિદ્ધાંતો દ્વારા અસ્તિત્વમાં છે). દરેક i માટે, જો, પ્રેરક પૂર્વધારણા દ્વારા, આપણે કેટલાકને પસંદ કરી શકીએ છીએ જે-મોડ્યુલ તરીકે મુક્ત છે, જ્યારે બહુપદી રિંગ છે અને આમ મુક્ત છે. તેથી, સાથે, એક મફત મોડ્યુલ સમાપ્ત થાય છે. નોંધો સંદર્ભો. એનબી ધ લેમ્મા અપડેટ કરેલી ટિપ્પણીઓમાં છે. રોબર્ટઝ, ડી. નું વધુ વાંચનઃ મોનોમિઅલ શંકુ વિઘટન દ્વારા માર્ગદર્શિત નોઇથર નોર્મલાઇઝેશન. જે. પ્રતીકાત્મક ગણતરી. 44 (10), 1359-1373 (2009) બીજગણિત બીજગણિતમાં લેમ્માસની બીજગણિત જાતો બીજગણિત ભૂમિતિ