Kuiper's theorem
ગણિતમાં, કુઇપરનો પ્રમેય (નિકોલાસ કુઇપર પછી) એ અનંત-પરિમાણીય, જટિલ હિલ્બર્ટ અવકાશ H પર ઓપરેટરોની ટોપોલોજી પરનું પરિણામ છે. તે જણાવે છે કે H ના ઇન્વર્ટિબલ બાઉન્ડેડ એન્ડોમોર્ફિઝમ્સની જગ્યા GL (H) એવી છે કે ઓપરેટરો પરના સામાન્ય ટોપોલોજી માટે કોઈપણ મર્યાદિત સંકુલ Y થી GL (H) સુધીના તમામ નકશા અચળાંક માટે હોમોટોપિક છે. એક નોંધપાત્ર પરિણામ, જેને કુઇપરના પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે છે કે આ જૂથ નબળું સંકોચાય તેવું છે, એટલે કે. તેના તમામ હોમોટૉપી જૂથો તુચ્છ છે. આ પરિણામ ટોપોલોજિકલ કે-થિયરીમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો ધરાવે છે. સામાન્ય રેખીય જૂથની સામાન્ય ટોપોલોજી મર્યાદિત પરિમાણીય H માટે, આ જૂથ એક જટિલ સામાન્ય રેખીય જૂથ હશે અને બિલકુલ સંકોચાય તેવું નહીં હોય. હકીકતમાં તે તેના મહત્તમ કોમ્પેક્ટ પેટાજૂથ, H નું એકાત્મક જૂથ U ની સમકક્ષ હોમોટૉપી છે. જટિલ સામાન્ય રેખીય જૂથ અને એકાત્મક જૂથ સમાન હોમોટૉપી પ્રકાર ધરાવે છે તેનો પુરાવો ગ્રામ-શ્મિટ પ્રક્રિયા દ્વારા અથવા મેટ્રિક્સ ધ્રુવીય વિઘટન દ્વારા છે, અને અલગ કરી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યાના અનંત-પરિમાણીય કિસ્સામાં વહન કરે છે, મૂળભૂત રીતે કારણ કે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની જગ્યા સંકોચાય તેવી છે જે તદ્દન સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકાય છે. અંતર્ગત ઘટના એ છે કે અનંત ઘણા પરિમાણો સુધી પસાર થવાથી એકાત્મક જૂથોની મોટાભાગની ટોપોલોજિકલ જટિલતા અદૃશ્ય થઈ જાય છે; પરંતુ બોટના એકાત્મક જૂથ પરનો વિભાગ જુઓ, જ્યાં અનંત તરફનો માર્ગ વધુ મર્યાદિત છે, અને પરિણામી જૂથમાં બિન-તુચ્છ હોમોટોપી જૂથો છે. ઐતિહાસિક સંદર્ભ અને ગોળાઓની ટોપોલોજી એ એક આશ્ચર્યજનક હકીકત છે કે અનંત-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ અવકાશ H માં એકમ ગોળા, જેને કેટલીકવાર S ≤ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તે સંકોચાય તેવી જગ્યા છે, જ્યારે કોઈ મર્યાદિત-પરિમાણીય ગોળા સંકોચાય તેવા નથી. આ પરિણામ, જે ચોક્કસપણે કુઇપરના દાયકાઓ પહેલાં જાણીતું હતું, તેને ગાણિતિક લોકકથાઓનો દરજ્જો હોઈ શકે છે, પરંતુ તે ઘણી વાર ટાંકવામાં આવે છે. હકીકતમાં વધુ સાચું છેઃ S φ એ H માટે ડિફિયોમોર્ફિક છે, જે તેની બહિર્મુખતા દ્વારા ચોક્કસપણે સંકોચાય છે. એક પરિણામ એ છે કે એચમાં એકમ દડા માટે બ્રોવર નિશ્ચિત-બિંદુ પ્રમેયના વિસ્તરણ માટે સરળ પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો છે. આવા પ્રતિકૂળ ઉદાહરણોનું અસ્તિત્વ જે હોમોમોર્ફિઝમ્સ છે તે 1943માં શિઝુઓ કાકુતાની દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે કદાચ પ્રથમ વખત એકમ ગોળાની સંકોચનક્ષમતાનો પુરાવો લખ્યો હશે. પરંતુ પરિણામ કોઈપણ રીતે અનિવાર્યપણે જાણીતું હતું (1935માં એન્ડ્રી નિકોલાયેવિચ ટાયચોનોફે દર્શાવ્યું હતું કે એકમ ગોળા એકમ દડાની પીછેહઠ હતી). બાઉન્ડેડ ઓપરેટર્સના જૂથ પરનું પરિણામ ડચ ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાસ કુઇપર દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યાના કિસ્સામાં; અલગ પાડવાનું પ્રતિબંધ પાછળથી દૂર કરવામાં આવ્યું હતું. સમાન પરિણામ, પરંતુ સામાન્ય ટોપોલોજીને બદલે મજબૂત ઓપરેટર ટોપોલોજી માટે, 1963 માં જેક્સ ડિક્સમીયર અને એડ્રિયન ડૌડી દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું. ગોળા અને સંચાલકોના જૂથનો ભૌમિતિક સંબંધ એ છે કે એકમ ગોળા એ એકાત્મક જૂથ U માટે એક સમાન જગ્યા છે. એકમ ગોળાના એક વેક્ટર v નું સ્ટેબિલાઇઝર એ v ના ઓર્થોગોનલ પૂરકનું એકાત્મક જૂથ છે; તેથી હોમોટૉપી લાંબો ચોક્કસ ક્રમ આગાહી કરે છે કે એકમ ગોળાના તમામ હોમોટૉપી જૂથો તુચ્છ હશે. આ નજીકના ટોપોલોજિકલ સંબંધને દર્શાવે છે, પરંતુ તે પોતાનામાં પૂરતું નથી, કારણ કે એક બિંદુનો સમાવેશ માત્ર એક નબળી હોમોટૉપી સમાનતા હશે, અને તે ફક્ત સીડબ્લ્યુ સંકુલ માટે સીધી સંકોચનક્ષમતા સૂચવે છે. કુઇપરના બે વર્ષ પછી પ્રકાશિત થયેલા એક પેપરમાં, રિચાર્ડ પેલેસે આ મુદ્દાને ઉકેલવા માટે પૂરતા અનંત-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સ પર તકનીકી પરિણામો પ્રદાન કર્યા હતા. બોટનું એકાત્મક જૂથ અન્ય એક અનંત-પરિમાણીય એકાત્મક જૂથ છે, જે હોમોટૉપી સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય મહત્વ ધરાવે છે, જેના પર બોટ્ટ પિરિયડિસિટી થીયરમ લાગુ પડે છે. તે ચોક્કસપણે કરારપાત્ર નથી. કુઇપરના જૂથમાંથી તફાવતને સમજાવી શકાય છેઃ બોટનું જૂથ એ પેટા જૂથ છે જેમાં આપેલ સંચાલક માત્ર નિશ્ચિત ઓર્થોનોર્મલ આધાર {ei} ના પ્રથમ N દ્વારા ફેલાયેલ પેટા જગ્યા પર બિન-તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે, કેટલાક N માટે, જે બાકીના આધાર વેક્ટર પરની ઓળખ છે. ફાઇબર બંડલના સામાન્ય સિદ્ધાંતને જોતાં તાત્કાલિક પરિણામ એ છે કે દરેક હિલ્બર્ટ બંડલ એક તુચ્છ બંડલ છે. S ≤ ની સંકોચનક્ષમતા પરનું પરિણામ તેના પર મુક્તપણે કાર્ય કરતા ચોક્કસ જૂથો માટે ખાલી જગ્યાઓનું વર્ગીકરણ કરવાની ભૌમિતિક રચના આપે છે, જેમ કે બે ઘટકો સાથેનું ચક્રીય જૂથ અને વર્તુળ જૂથ. બોટના અર્થમાં એકાત્મક જૂથ U જટિલ વેક્ટર બંડલ્સ માટે વર્ગીકરણ જગ્યા BU ધરાવે છે (જુઓ U (n) માટે વર્ગીકરણ જગ્યા). કુઇપરના પ્રમેયમાંથી આવતા ઊંડા ઉપયોગ એ અતિયાહ-જેનિચ પ્રમેય (ક્લાઉસ જેનિચ અને માઇકલ અતિયાહ પછી) નો પુરાવો છે, જે જણાવે છે કે H પર ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટરોની જગ્યા, સામાન્ય ટોપોલોજી સાથે, ફંક્શન K (.) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. હોમોટૉપી સિદ્ધાંતના અર્થમાં ટોપોલોજીકલ (જટિલ) કે-સિદ્ધાંત. આ અતિયા દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે. બનાચ જગ્યાઓનો કેસ અનંત પરિમાણની કોઈપણ બનાચ જગ્યા પર ઇન્વર્ટિબલ ઓપરેટરો વિશે સમાન પ્રશ્ન પૂછવામાં આવી શકે છે. અહીં માત્ર આંશિક પરિણામો છે. કેટલીક શાસ્ત્રીય અનુક્રમ જગ્યાઓમાં સમાન ગુણધર્મ હોય છે, એટલે કે ઇન્વર્ટિબલ ઓપરેટર્સનું જૂથ સંકોચાય તેવું હોય છે. બીજી બાજુ, એવા ઉદાહરણો છે કે જ્યાં તે જોડાયેલ જગ્યા બનવામાં નિષ્ફળ જાય છે. જ્યાં તમામ હોમોટૉપી જૂથો તુચ્છ હોવાનું જાણીતું છે, ત્યાં કેટલાક કિસ્સાઓમાં સંકોચન અજ્ઞાત રહી શકે છે. સંદર્ભો કે-થિયરી ઓપરેટર થિયરી હિલ્બર્ટ લાઈ જૂથોના ટોપોલોજી ટોપોલોજીમાં સમીકરણોને સ્થાન આપે છે