Pseudo-arc
સામાન્ય ટોપોલોજીમાં, સ્યુડો-આર્ક એ સૌથી સરળ બિન-આનુવંશિક વારસાગત રીતે બિનસંયોજિત સાતત્ય છે. સ્યુડો-આર્ક એ ચાપ જેવી સજાતીય સાતત્ય છે, અને સજાતીય સમતલીય સાતત્યના વર્ગીકરણમાં કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવી છે. આર. એચ. બિંગે સાબિત કર્યું કે, ચોક્કસ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અર્થમાં, આરએનમાં મોટાભાગના કન્ટિન્યુઆ, એન ≤ 2, સ્યુડો-આર્ક માટે હોમોમોર્ફિક છે. 1920માં, બ્રોનિસ્લો નૅસ્ટર અને કાઝીમીર્ઝ કુરાટોવ્સ્કીએ પૂછ્યું હતું કે શું યુક્લિડિયન સમતલ R2માં બિન-આનુવંશિક સજાતીય સાતત્ય જોર્ડન વળાંક હોવું જોઈએ. 1921માં, સ્ટીફન મઝુરકીવિઝે પૂછ્યું કે શું R2માં નોનડિજનરેટ સાતત્ય કે જે તેના દરેક નોનડિજનરેટ ઉપખંડ માટે હોમોમોર્ફિક છે તે એક ચાપ હોવું જોઈએ. 1922માં, નેસ્ટરે વારસાગત રીતે બિનસંયોજિત સાતત્ય Kનું પ્રથમ ઉદાહરણ શોધ્યું, જેને પાછળથી સ્યુડો-આર્ક નામ આપવામાં આવ્યું, જે મઝુરકીવિઝ પ્રશ્નનો નકારાત્મક જવાબ આપે છે. 1948માં, આર. એચ. બિંગે સાબિત કર્યું કે નેસ્ટરનું સાતત્ય એકરૂપ છે, એટલે કે. તેના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે એકને બીજા પર લઈ જતા હોમોમોર્ફિઝમ છે. તેમ છતાં 1948માં પણ, એડવિન મોઇસે દર્શાવ્યું હતું કે નેસ્ટરનું સાતત્ય તેના દરેક બિન-અપક્ષયી ઉપખંડ માટે હોમોમોર્ફિક છે. ચાપના મૂળભૂત ગુણધર્મ સાથે તેની સામ્યતાને કારણે, એટલે કે, તેના તમામ નોનડિજનરેટ સબકૉન્ટિન્યુઆ માટે હોમોમોર્ફિક હોવાને કારણે, મોઇસે તેમના ઉદાહરણ M ને સ્યુડો-આર્ક કહ્યું. બિંગની રચના એ મોઇઝના M ના નિર્માણમાં ફેરફાર છે, જેનું વર્ણન તેમણે પ્રથમ વખત એક વ્યાખ્યાનમાં સાંભળ્યું હતું. 1951માં, બિંગે સાબિત કર્યું કે તમામ વારસાગત રીતે બિનસંયોજિત ચાપ જેવા સાતત્ય હોમોમોર્ફિક છે-આ સૂચવે છે કે નેસ્ટરનું કે, મોઇઝનું એમ અને બિંગનું બી બધા હોમોમોર્ફિક છે. બિંગે એ પણ સાબિત કર્યું કે સ્યુડો-આર્ક ઓછામાં ઓછા 2 પરિમાણની યુક્લિડિયન જગ્યા અથવા અનંત-પરિમાણીય અલગ પાડી શકાય તેવી હિલ્બર્ટ જગ્યામાં સતત લાક્ષણિક છે. બિંગ અને એફ. બર્ટન જોન્સે એક વિઘટનક્ષમ સમતલીય સાતત્યનું નિર્માણ કર્યું હતું, જે વર્તુળ પર એક ખુલ્લો નકશો સ્વીકારે છે, જેમાં દરેક બિંદુ સ્યુડો-આર્ક માટે હોમોમોર્ફિક હોય છે, જેને સ્યુડો-આર્ક્સનું વર્તુળ કહેવાય છે. બિંગ અને જોન્સે પણ બતાવ્યું કે તે એકરૂપ છે. 2016 માં લોગાન હોહ્ન અને લેક્સ ઓવરસ્ટીજને હોમોમોર્ફિઝમ સુધીના તમામ સમતલીય સજાતીય સાતત્યને વર્તુળ, સ્યુડો-આર્ક અને સ્યુડો-આર્ક્સના વર્તુળ તરીકે વર્ગીકૃત કર્યું. 2019 માં હોહ્ન અને ઓવરસ્ટીજને દર્શાવ્યું હતું કે સ્યુડો-આર્ક ટોપોલોજીકલ રીતે ચાપ સિવાયનો એકમાત્ર, વારસાગત રીતે સમાન સમતલીય સાતત્ય છે, આમ 1921 થી મઝુરકીવિઝની સમસ્યાના સમતલીય કેસનો સંપૂર્ણ ઉકેલ પૂરો પાડે છે. બાંધકામ સ્યુડો-આર્કની નીચેની રચના નીચે મુજબ છે. સ્યુડો-આર્કની વ્યાખ્યાના કેન્દ્રમાં સાંકળ એ સાંકળનો ખ્યાલ છે, જેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ સાંકળ એ મેટ્રિક જગ્યામાં ખુલ્લા સમૂહોનો એક મર્યાદિત સંગ્રહ છે જેમ કે જો અને માત્ર જો સાંકળના તત્વોને તેની કડીઓ કહેવામાં આવે, અને સાંકળને ε-સાંકળ કહેવામાં આવે છે જો તેની દરેક કડીઓનો વ્યાસ ε કરતા ઓછો હોય. ઉપર સૂચિબદ્ધ જગ્યાઓના પ્રકારમાં સૌથી સરળ હોવા છતાં, સ્યુડો-આર્ક વાસ્તવમાં ખૂબ જ જટિલ છે. સાંકળ વાંકી હોવાની વિભાવના (નીચે વ્યાખ્યાયિત) એ છે જે સ્યુડો-આર્કને તેની જટિલતા સાથે સમાપ્ત કરે છે. અનૌપચારિક રીતે, તેને બીજી સાંકળમાં ચોક્કસ પુનરાવર્તિત વાંકીચૂંકી પેટર્નને અનુસરવા માટે સાંકળની જરૂર પડે છે. મોટી સાંકળની mth કડીથી nth તરફ 'ખસેડવા' માટે, નાની સાંકળ પહેલા mth કડીથી (n−1) th કડી તરફ વળાંકવાળી રીતે આગળ વધવી જોઈએ, પછી વળાંકવાળી રીતે (m + 1) th કડી તરફ, અને પછી અંતે nth કડી તરફ. વધુ ઔપચારિક રીતેઃ ચાલો અને એવી સાંકળો બનીએ કે દરેક કડી એ કડીનો સબસેટ હોય, અને કોઈપણ સૂચકાંકો માટે i, j, m, અને n સાથે, અને, ત્યાં સૂચકાંકો અસ્તિત્વમાં છે અને (અથવા) અને અને પછી સ્યુડો-આર્કમાં વળાંકવાળા હોય. ધારો કે પછી પી એક સ્યુડો-આર્ક છે. નોંધો સંદર્ભો સાતત્ય સિદ્ધાંત