Hamburger moment problem
ગણિતમાં, હેમ્બર્ગર મોમેન્ટ પ્રોબ્લેમ, જેનું નામ હંસ લુડવિગ હેમ્બર્ગરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છેઃ ક્રમ (m0, m1, m2,.) આપવામાં આવે તો, વાસ્તવિક રેખા પર હકારાત્મક બોરેલ માપ (દાખલા તરીકે, રેન્ડમ વેરિયેબલના સંચિત વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્ધારિત માપ) અસ્તિત્વમાં છે કે જેથી બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમસ્યાના હકારાત્મક જવાબનો અર્થ એ છે કે (m0, m1, m2.) એ કેટલાક હકારાત્મક બોરેલ માપના ક્ષણોની શ્રેણી છે. સ્ટિલ્ટજેસ મોમેન્ટ પ્રોબ્લેમ, વોરોબીયેવ મોમેન્ટ પ્રોબ્લેમ અને હૌસડોર્ફ મોમેન્ટ પ્રોબ્લેમ સમાન છે પરંતુ વાસ્તવિક રેખાને (સ્ટીલ્ટજેસ અને વોરોબીયેવ; પરંતુ વોરોબીયેવ સમસ્યાને મેટ્રિક્સ થિયરીની દ્રષ્ટિએ ઘડી કાઢે છે) અથવા બાઉન્ડેડ ઇન્ટરવલ (હૌસડોર્ફ) દ્વારા બદલે છે. લાક્ષણિકતા હેમ્બર્ગર ક્ષણ સમસ્યા હલ કરી શકાય તેવી છે (એટલે કે, (mn) એ ક્ષણોની શ્રેણી છે) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો પર અનુરૂપ હેન્કેલ કર્નલ હકારાત્મક ચોક્કસ હોય, એટલે કે, દરેક મનસ્વી ક્રમ (cj) માટે જટિલ સંખ્યાઓ કે જે મર્યાદિત હોય (એટલે કે. cj = 0 જે) ના મર્યાદિત રીતે ઘણા મૂલ્યો સિવાય. દાવાઓના "માત્ર જો" ભાગ માટે ફક્ત નોંધ કરો કે જે બિન-નકારાત્મક છે જો બિન-નકારાત્મક છે. આપણે વિપરીત માટે દલીલને સ્કેચ કરીએ છીએ. ધારો કે Z + એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે અને F0 (Z +) એ મર્યાદિત આધાર સાથે જટિલ મૂલ્યવાન શ્રેણીઓના કુટુંબને સૂચવે છે. સકારાત્મક હેન્કેલ કર્નલ એ મર્યાદિત આધાર સાથે જટિલ-મૂલ્યવાન શ્રેણીઓના પરિવાર પર (સંભવતઃ અધોગતિ પામેલ) સેસ્ક્વિલિનિયર ઉત્પાદનને પ્રેરિત કરે છે. આ બદલામાં હિલ્બર્ટ જગ્યા આપે છે જેનું લાક્ષણિક તત્વ [f] દ્વારા સૂચિત સમકક્ષ વર્ગ છે. ધારો કે en એ en (m) = δnm દ્વારા વ્યાખ્યાયિત F0 (Z +) માં તત્વ છે. એક નોંધે છે કે તેથી, "શિફ્ટ" ઓપરેટર T, T [en] = [en + 1] સાથે, સપ્રમાણ છે. બીજી બાજુ, ઇચ્છિત અભિવ્યક્તિ સૂચવે છે કે μ એ સ્વ-સંલગ્ન સંચાલકનું વર્ણપટ માપ છે. (વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, નીચે વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર અને વેક્ટર [1], માટે μ એ વર્ણપટ માપ છે.) જો આપણે "ફંક્શન મોડેલ" શોધી શકીએ કે જેમ કે સપ્રમાણ ઓપરેટર T એ x દ્વારા ગુણાકાર છે, તો પછી T ના સ્વ-સંલગ્ન વિસ્તરણનું વર્ણપટ રીઝોલ્યુશન દાવાને સાબિત કરે છે. ફંક્શન મોડેલ F0 (Z +) થી બહુપદીઓના કુટુંબમાં કુદરતી આઇસોમોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે, એક જ વાસ્તવિક ચલ અને જટિલ ગુણાંકમાંઃ n ≤ 0 માટે, xn સાથે en ને ઓળખો. મોડેલમાં, ઓપરેટર T એ x દ્વારા ગુણાકાર છે અને ગીચ રીતે વ્યાખ્યાયિત સપ્રમાણ ઓપરેટર છે. તે બતાવી શકાય છે કે T હંમેશા સ્વ-સંલગ્ન વિસ્તરણ ધરાવે છે. ચાલો તેમાંથી એક હોઈએ અને તેનું સ્પેક્ટ્રલ માપ એમયુ હોઈએ. તેથી બીજી બાજુ, અસ્તિત્વના વૈકલ્પિક પુરાવા માટે કે જે ફક્ત સ્ટીલ્ટજેસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરે છે, તે પણ જુઓ, ખાસ પ્રમેય 3.2 માં. ઉકેલોની વિશિષ્ટતા ઉકેલો બહિર્મુખ સમૂહ બનાવે છે, તેથી સમસ્યામાં અનંત ઉકેલો અથવા અનન્ય ઉકેલ હોય છે. (n + 1) × (n + 1) હેન્કેલ મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો, A ની હકારાત્મકતાનો અર્થ એ છે કે દરેક n માટે, ડેટ (Δn) ≤0 છે. જો અમુક n માટે ડેટ (Δn) = 0 હોય, તો તે મર્યાદિત-પરિમાણીય હોય છે અને T એ સ્વ-સંલગ્ન હોય છે. તેથી આ કિસ્સામાં હેમ્બર્ગર ક્ષણ સમસ્યાનો ઉકેલ અનન્ય છે અને μ, T નું વર્ણપટ માપ હોવાથી, તેને મર્યાદિત આધાર છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ઉકેલ અનન્ય છે જો ત્યાં સ્થિરાંકો C અને D હોય જેમ કે તમામ n માટે, |mn | ≤ CDnn! . આ વધુ સામાન્ય કાર્લમેનની સ્થિતિને અનુસરે છે. એવા ઉદાહરણો છે જ્યાં ઉકેલ અનન્ય નથી; જુઓ દા. ત. વધુ પરિણામો કોઈ જોઈ શકે છે કે હેમ્બર્ગર ક્ષણ સમસ્યા વાસ્તવિક રેખા પર ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. ગ્રામ-શ્મિટ પ્રક્રિયા ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓનો આધાર આપે છે જેમાં ઓપરેટરઃ ત્રિકોણીય જેકોબી મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે. આ બદલામાં હકારાત્મક હેન્કેલ કર્નલોના ત્રિકોણીય નમૂના તરફ દોરી જાય છે. ટીના કેલે ટ્રાન્સફોર્મની સ્પષ્ટ ગણતરી ડાબા અર્ધ સમતલ પર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના નેવનલિન્ના વર્ગ સાથે જોડાણ દર્શાવે છે. બિન-પરિવર્તનીય સેટિંગમાં પસાર થતાં, આ ક્રેઇનના સૂત્રને પ્રેરિત કરે છે જે આંશિક આઇસોમેટ્રીના વિસ્તરણને પરિમાણ આપે છે. સંચિત વિતરણ કાર્ય અને સંભાવના ઘનતા કાર્ય ઘણીવાર મોમેન્ટ જનરેટિંગ કાર્યમાં ઇન્વર્સ લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરીને શોધી શકાય છે, જો કે આ કાર્ય એકરૂપ થાય છે. સંદર્ભો. સંભાવના સમસ્યાઓ માપન સિદ્ધાંત કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ ક્ષણ (ગણિત) ગાણિતિક સમસ્યાઓ