Finite potential well
મર્યાદિત સંભવિત કૂવો (જેને મર્યાદિત ચોરસ કૂવો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો ખ્યાલ છે. તે અનંત સંભવિત કૂવાનું વિસ્તરણ છે, જેમાં એક કણ "બોક્સ" સુધી મર્યાદિત હોય છે, પરંતુ તે મર્યાદિત સંભવિત "દિવાલો" ધરાવે છે. અનંત સંભવિત કૂવામાંથી વિપરીત, બૉક્સની બહાર મળી આવતા કણ સાથે સંકળાયેલ સંભાવના છે. ક્વોન્ટમ યાંત્રિક અર્થઘટન શાસ્ત્રીય અર્થઘટનથી વિપરીત છે, જ્યાં જો કણની કુલ ઊર્જા દિવાલોના સંભવિત ઊર્જા અવરોધ કરતાં ઓછી હોય તો તે બૉક્સની બહાર મળી શકતી નથી. ક્વોન્ટમ અર્થઘટનમાં, જ્યારે કણોની ઊર્જા દિવાલોના સંભવિત ઊર્જા અવરોધ (cf ક્વોન્ટમ ટનલિંગ) કરતા ઓછી હોય ત્યારે પણ કણો બોક્સની બહાર હોવાની બિન-શૂન્ય સંભાવના હોય છે. 1-પરિમાણીય બૉક્સમાં કણ x-અક્ષ પરના 1-પરિમાણીય કેસ માટે, સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિન્જર સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય છેઃ જ્યાં ઘટાડેલો પ્લાન્કનો અચળાંક છે, તે પ્લાન્કનો અચળાંક છે, તે કણનું દળ છે, તે (જટિલ મૂલ્યવાન) તરંગ કાર્ય છે જે આપણે શોધવા માંગીએ છીએ, તે દરેક બિંદુ x પર સંભવિત ઊર્જાનું વર્ણન કરતું કાર્ય છે, અને તે ઊર્જા, એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, જેને કેટલીકવાર આઈજેનર્જી કહેવાય છે. L લંબાઈના 1-પરિમાણીય બૉક્સમાં કણના કિસ્સામાં, પોટેન્શિયલ બોક્સની બહાર હોય છે, અને અને વચ્ચે x માટે શૂન્ય હોય છે. તરંગ વિધેય x ની વિવિધ શ્રેણીઓ પર વિવિધ તરંગ વિધેયોથી બનેલું હોવાનું માનવામાં આવે છે, જે x બોક્સની અંદર છે કે બહાર તેના આધારે છે. તેથી, વેવફંક્શનને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કેઃ બોક્સની અંદર બોક્સની અંદરના પ્રદેશ માટે, V (x) = 0 અને સમીકરણ 1 ઘટાડીને સમીકરણ બની જાય છે. બોક્સની બહાર બોક્સની બહારના પ્રદેશ માટે, કારણ કે પોટેન્શિયલ સ્થિર છે, અને સમીકરણ બને છેઃ ઉકેલોના બે સંભવિત પરિવારો છે, જે તેના પર આધાર રાખે છે કે શું E તેના કરતા ઓછું છે (કણ પોટેન્શિયલમાં બંધાયેલ છે) અથવા E તેના કરતા વધારે છે (કણ મુક્ત છે). મુક્ત કણ માટે, અને અંદરના કૂવાના કેસ જેવા જ દ્રાવણ સ્વરૂપ સાથે ઉત્પાદન કરવા દોઃ આ વિશ્લેષણ બંધાયેલ સ્થિતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરશે, જ્યાં. જ્યાં સામાન્ય ઉકેલ ઘાતાંકીય હોય ત્યાં લેટિંગ ઉત્પન્ન કરે છેઃ તેવી જ રીતે, બૉક્સની બહારના અન્ય પ્રદેશ માટેઃ હવે સમસ્યા માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, આપણે યોગ્ય સીમા શરતો સ્પષ્ટ કરવી જોઈએ અને A, B, F, G, H અને I માટે મૂલ્યો શોધવા જોઈએ જે તે શરતોને સંતોષે છે. બાઉન્ડ સ્ટેટ માટે વેવફંક્શન્સ શોધવું શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલો સતત અને સતત વિકલનક્ષમ હોવા જોઈએ. આ જરૂરિયાતો અગાઉ મેળવેલા વિભેદક સમીકરણો પરની સીમા શરતો છે, એટલે કે કૂવાની અંદર અને બહારના ઉકેલો વચ્ચે મેળ ખાતી શરતો. આ કિસ્સામાં, મર્યાદિત સંભવિત કૂવો સપ્રમાણ હોય છે, તેથી જરૂરી ગણતરીઓ ઘટાડવા માટે સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. અગાઉના વિભાગોનો સારાંશઃ જ્યાં આપણને મળ્યું, અને બનવુંઃ આપણે જોઈએ છીએ કે જેમ જાય છે તેમ, આ શબ્દ અનંત સુધી જાય છે. તેવી જ રીતે, જેમ જાય છે તેમ, શબ્દ અનંત સુધી જાય છે. વેવ ફંક્શનને સ્ક્વેર ઇન્ટિગ્રેબલ બનાવવા માટે, આપણે સેટ કરવું જોઈએ, અને આપણી પાસે છેઃ અને આગળ, આપણે જાણીએ છીએ કે એકંદર ફંક્શન કન્ટિન્યુઅસ અને ડિફરન્શીએબલ હોવું જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિધેયોના મૂલ્યો અને તેમના વ્યુત્પન્ન વિભાજન બિંદુઓ પર મેળ ખાતા હોવા જોઈએઃ આ સમીકરણોમાં બે પ્રકારના ઉકેલો હોય છે, સમપ્રમાણ, જેના માટે અને, અને અસમપ્રમાણ વિરોધી, જેના માટે અને. સમપ્રમાણતા કેસ માટે આપણને ગુણોત્તર લેવાથી મળે છે તે જ રીતે અસમપ્રમાણતા વિરોધી કેસ માટે આપણને યાદ આવે છે કે બંને અને ઊર્જા પર આધાર રાખે છે. આપણે જે શોધી કાઢ્યું છે તે એ છે કે ઊર્જાના મનસ્વી મૂલ્ય માટે સાતત્યની શરતોને સંતોષી શકાતી નથી; કારણ કે તે અનંત સંભવિત વેલ કેસનું પરિણામ છે. આમ, માત્ર અમુક ઊર્જા મૂલ્યોને જ મંજૂરી આપવામાં આવે છે, જે આ બેમાંથી એક અથવા એક સમીકરણનો ઉકેલ છે. તેથી આપણે જોઈએ છીએ કે નીચેની પ્રણાલીનું ઊર્જા સ્તર અલગ છે; અનુરૂપ આઈગનફંક્શન્સ બંધાયેલ સ્થિતિઓ છે. (તેનાથી વિપરીત, ઉપરના ઉર્જાના સ્તરો સતત છે.) ઊર્જા સમીકરણોને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલી શકાતા નથી. તેમ છતાં, આપણે જોઈશું કે સમપ્રમાણતાના કિસ્સામાં, કૂવો ખૂબ જ છીછરો હોય તો પણ હંમેશા ઓછામાં ઓછી એક બંધાયેલ સ્થિતિ અસ્તિત્વમાં હોય છે. ઊર્જા સમીકરણોના ગ્રાફિકલ અથવા આંકડાકીય ઉકેલોને થોડું ફરીથી લખીને મદદ કરવામાં આવે છે. જો આપણે પરિમાણહીન ચલોનો પરિચય આપીએ અને તેની અને તેની વ્યાખ્યાઓમાંથી નોંધ લઈએ, જ્યાં મુખ્ય સમીકરણો વાંચે છે જમણી બાજુના આલેખમાં, કારણ કે, ઉકેલો અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં વાદળી અર્ધવર્તુળ જાંબલી અથવા ભૂખરા વળાંક (અને) ને છેદે છે. દરેક જાંબલી અથવા ભૂખરા રંગનો વળાંક શ્રેણીની અંદર સંભવિત ઉકેલ રજૂ કરે છે. ઉકેલોની કુલ સંખ્યા, (એટલે કે, જાંબલી/ભૂખરા વળાંકની સંખ્યા કે જે વાદળી વર્તુળ દ્વારા છેદવામાં આવે છે) તેથી વાદળી વર્તુળની ત્રિજ્યાને દરેક ઉકેલની શ્રેણી દ્વારા વિભાજીત કરીને અને ફ્લોર અથવા છત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છેઃ આ કિસ્સામાં બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે, કારણ કે. અને, અનુરૂપ ઊર્જાઓ સાથે જો આપણે ઈચ્છીએ તો, આપણે પાછા જઈ શકીએ છીએ અને હવે સમીકરણોમાં સ્થિરાંકોના મૂલ્યો શોધી શકીએ છીએ (આપણે સામાન્યકરણની સ્થિતિ પણ લાદવાની જરૂર છે). જમણી બાજુએ આપણે આ કિસ્સામાં ઊર્જા સ્તર અને તરંગ કાર્યો બતાવીએ છીએ (જ્યાં): આપણે નોંધ્યું છે કે ભલે તે ગમે તેટલું નાનું હોય (કૂવો ગમે તેટલો છીછરો અથવા સાંકડો હોય), ત્યાં હંમેશા ઓછામાં ઓછી એક બંધાયેલ સ્થિતિ હોય છે. બે વિશેષ કિસ્સાઓ નોંધવા યોગ્ય છે. જેમ જેમ પોટેન્શિયલની ઊંચાઈ મોટી થતી જાય છે, તેમ તેમ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા મોટી થતી જાય છે અને મૂળ મૂલ્યોની નજીક અને નજીક આવતા જાય છે, અને આપણે અનંત ચોરસના કેસને સારી રીતે પુનઃપ્રાપ્ત કરીએ છીએ. બીજો કેસ ખૂબ જ સાંકડા, ઊંડા કૂવાનો છે-ખાસ કરીને કેસ અને નિશ્ચિત સાથે. કારણ કે તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને તેથી ત્યાં માત્ર એક જ બંધાયેલ સ્થિતિ હશે. અંદાજિત ઉકેલ પછી છે, અને ઊર્જા તરફ વલણ ધરાવે છે. પરંતુ આ માત્ર શક્તિની ડેલ્ટા ફંક્શન પોટેન્શિયલની બાઉન્ડ સ્થિતિની ઊર્જા છે, જેમ તે હોવી જોઈએ. ઊર્જા સ્તરો માટે એક સરળ ગ્રાફિકલ ઉકેલ દ્વારા ગુણાકાર દ્વારા સંભવિત અને ઊર્જાને સામાન્ય બનાવીને મેળવી શકાય છે. સામાન્યકૃત જથ્થાઓ અનુક્રમે સમ અને વિષમ સમાનતા તરંગ વિધેયો માટે માન્ય યુગલો વચ્ચે સીધો સંબંધ આપે છે. અગાઉના સમીકરણોમાં માત્ર વિધેયોના હકારાત્મક વ્યુત્પન્ન ભાગોને ધ્યાનમાં લેવા પડે છે. મંજૂરી ધરાવતા યુગલોને સીધો દર્શાવતો ચાર્ટ આ આંકડામાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. અનબાઉન્ડ સ્થિતિઓ જો આપણે ઊર્જા માટે સમય-સ્વતંત્ર શ્રોડિંગર સમીકરણને હલ કરીએ, તો ઉકેલો કૂવાની અંદર અને બહાર બંનેમાં ઓસિલેટરી હશે. આમ, ઉકેલ ક્યારેય વર્ગ સંકલનક્ષમ હોતો નથી; એટલે કે, તે હંમેશા બિન-સામાન્ય સ્થિતિ હોય છે. જો કે, આનો અર્થ એ નથી કે ક્વોન્ટમ કણ માટે તેનાથી વધુ ઊર્જા હોવી અશક્ય છે, તેનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ ઉપર સતત વર્ણપટ ધરાવે છે. બિન-સામાન્યીકૃત આઈગનસ્ટેટ ચોરસ સંકલનક્ષમ હોવાની એટલી નજીક છે કે તેઓ હજુ પણ સીમાહીન સંચાલક તરીકે હેમિલ્ટોનિયનના વર્ણપટમાં ફાળો આપે છે. અસમપ્રમાણતાવાળા કૂવા સાથે પોટેન્શિયલ દ્વારા સારી રીતે આપવામાં આવેલ એક-પરિમાણીય અસમપ્રમાણતાવાળા પોટેન્શિયલને ધ્યાનમાં લો. સાથે તરંગ કાર્ય માટે અનુરૂપ ઉકેલ જોવા મળે છે અને ઊર્જા સ્તર એકવાર નીચેના દિવ્ય સમીકરણના મૂળ તરીકે ઉકેલાઈ જાય તે પછી નક્કી કરવામાં આવે છે જ્યાં ઉપરના સમીકરણના મૂળનું અસ્તિત્વ હંમેશા બાંયધરી આપતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે, વ્યક્તિ હંમેશા એટલું નાનું મૂલ્ય શોધી શકે છે, કે અને ના આપેલા મૂલ્યો માટે, ત્યાં કોઈ અલગ ઊર્જા સ્તર અસ્તિત્વમાં નથી. સમપ્રમાણતાવાળા કૂવાના પરિણામો ઉપરના સમીકરણમાંથી સુયોજન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. ગોળાકાર પોલાણ ઉપરના પરિણામોનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે, એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં, ગોળાકાર પોલાણમાં બે બંધાયેલ સ્થિતિઓ હોય છે, કારણ કે ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ કોઈપણ દિશામાં ત્રિજ્યાની સમકક્ષ બનાવે છે. ગોળાકાર સપ્રમાણ ક્ષમતાની જમીનની સ્થિતિ (n = 1) હંમેશા શૂન્ય કક્ષીય કોણીય વેગ (l = n − 1) ધરાવે છે, અને ઘટાડેલું તરંગ કાર્ય સમીકરણને સંતોષે છે જ્યાં તરંગ કાર્યનો ત્રિજ્યા ભાગ છે. નોંધ લો કે (n = 1) કોણીય ભાગ માટે અચળ (l = 0) છે. સીમા શરતો સિવાય આ એક-પરિમાણીય સમીકરણ જેવું જ છે. પહેલાની જેમ, ઉર્જાનું સ્તર એકવાર નીચેના દિવ્ય સમીકરણના મૂળ તરીકે ઉકેલાઈ જાય તે પછી નક્કી થાય છે જ્યાં મૂળથી ઉપરના સમીકરણના અસ્તિત્વની હંમેશા ખાતરી આપવામાં આવે છે. પરિણામો હંમેશા ગોળાકાર સમપ્રમાણતા સાથે હોય છે. તે એવી સ્થિતિને પૂર્ણ કરે છે જ્યાં તરંગને ગોળાની અંદર કોઈ સંભવિતતા મળતી નથીઃ જુદા જુદા વિભેદક સમીકરણો જ્યારે l §0 હોય ત્યારે તેના પર મૂકે છે, તેથી ઉપરના શીર્ષકોની જેમ, અહીં તે છેઃ ઉકેલને ચલ અને કાર્યના કેટલાક ફેરફારો દ્વારા તર્કસંગત બનાવી શકાય છે જેથી બેસલ જેવા વિભેદક સમીકરણ વધે, જેનો ઉકેલ છેઃ અનુક્રમે બેસલ અને ન્યૂમેન ગોળાકાર કાર્યો ક્યાં અને ક્યાં છે, અને પ્રમાણભૂત બેસલ કાર્યના કાર્ય તરીકે પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે. ઊર્જા સ્તર એકવાર નીચેના દિવ્ય સમીકરણના મૂળ તરીકે ઉકેલાઈ જાય તે પછી નક્કી થાય છે જ્યાં મૂળથી ઉપરના સમીકરણના અસ્તિત્વની હંમેશા ખાતરી આપવામાં આવે છે. પરિણામો હંમેશા ગોળાકાર સમપ્રમાણતા સાથે હોય છે. તે એવી સ્થિતિને પૂર્ણ કરે છે જ્યાં તરંગને ગોળાની અંદર કોઈ પોટેન્શિયલ મળતું નથીઃ, પરંતુ તેને નીચેના ટ્રેસેન્ડેંટલ સમીકરણના મૂળ તરીકે ઉકેલવામાં આવે છે, જ્યાંઃ પોટેન્શિયલ વેલ ડેલ્ટા ફંક્શન પોટેન્શિયલ અનંત પોટેન્શિયલ વેલ અર્ધવર્તુળ પોટેન્શિયલ વેલ ક્વોન્ટમ ટનલિંગ લંબચોરસ પોટેન્શિયલ બેરિયર જુઓ. ક્વોન્ટમ યાંત્રિક ક્ષમતાઓ ક્વોન્ટમ મોડેલો બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય મોડેલો