Complex measure
ગણિતમાં, ખાસ કરીને માપન સિદ્ધાંતમાં, એક જટિલ માપ તેને જટિલ મૂલ્યો આપીને માપનની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક એવા સમૂહને મંજૂરી આપે છે જેનું કદ (લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ, કદ) એક જટિલ સંખ્યા છે. વ્યાખ્યા ઔપચારિક રીતે, માપી શકાય તેવી જગ્યા પરનું જટિલ માપ એક જટિલ-મૂલ્યવાન કાર્ય છે જે સિગ્મા-એડિટિવ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ પણ ક્રમચય (બાયજેક્શન) માટે, તે અનુસરે છે જે બિનશરતી (તેથી સંપૂર્ણપણે) એકરૂપ થાય છે. જટિલ માપના સંદર્ભમાં એકીકરણ જટિલ માપના સંદર્ભમાં જટિલ-મૂલ્યના માપી શકાય તેવા કાર્યના અભિન્નને એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે રીતે બિન-નકારાત્મક માપના સંદર્ભમાં વાસ્તવિક-મૂલ્યના માપી શકાય તેવા કાર્યના લેબસ્ગ્યુ અભિન્નને સરળ કાર્યો સાથે માપી શકાય તેવા કાર્યને અંદાજિત કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જેમ કે સામાન્ય એકીકરણના કિસ્સામાં, આ વધુ સામાન્ય અભિન્ન અસ્તિત્વમાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે, અથવા તેનું મૂલ્ય અનંત (જટિલ અનંત) હોઈ શકે છે. બીજો અભિગમ એ છે કે એકીકરણનો સિદ્ધાંત શરૂઆતથી વિકસાવવો નહીં, પરંતુ બિન-નકારાત્મક માપના સંદર્ભમાં વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યના અભિન્નના પહેલેથી જ ઉપલબ્ધ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરવો. તે માટે, તે એક ઝડપી તપાસ છે કે જટિલ માપના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો μ1 અને μ2 મર્યાદિત-મૂલ્યના હસ્તાક્ષરિત પગલાં છે. આ પગલાંઓમાં હેન-જોર્ડન વિઘટન લાગુ કરી શકાય છે જેથી તેમને આ રીતે વિભાજિત કરી શકાય અને જ્યાં μ1 +, μ1 −, μ2 +, μ2 − એ મર્યાદિત-મૂલ્યના બિન-નકારાત્મક પગલાં છે (જે અમુક અર્થમાં અનન્ય છે). પછી, માપી શકાય તેવા વિધેય f માટે, જે ક્ષણ માટે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવે છે, જ્યાં સુધી જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે ત્યાં સુધી કોઈ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, એટલે કે, તમામ ચાર સંકલન અસ્તિત્વમાં છે અને જ્યારે તેમને ઉમેરવામાં આવે ત્યારે કોઈ અનિશ્ચિત φ − φ નો સામનો કરતું નથી. હવે એક જટિલ મૂલ્યના માપી શકાય તેવા કાર્યને જોતાં, કોઈ વ્યક્તિ તેના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ઘટકોને ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ અલગથી સંકલિત કરી શકે છે અને અપેક્ષા મુજબ, જટિલ માપ અને ધ્રુવીય વિઘટનની વિવિધતાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. સમૂહ A ના માત્ર મર્યાદિત પાર્ટીશનોને માપી શકાય તેવા ઉપગણમાં લઈને, એક સમકક્ષ વ્યાખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે. તે તારણ આપે છે કે |μ | એ બિન-નકારાત્મક મર્યાદિત માપ છે. જે રીતે જટિલ સંખ્યાને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે તે જ રીતે, એક જટિલ માપ માટે ધ્રુવીય વિઘટન હોય છેઃ વાસ્તવિક મૂલ્યો સાથે માપી શકાય તેવું કાર્ય θ અસ્તિત્વમાં છે જેનો અર્થ કોઈપણ સંપૂર્ણપણે સંકલિત માપી શકાય તેવા કાર્ય f માટે થાય છે, એટલે કે, f સંતોષકારક. જટિલ માપનો અવકાશ બે જટિલ માપનો સરવાળો એક જટિલ માપ છે, જેમ કે જટિલ સંખ્યા દ્વારા જટિલ માપનો ગુણાકાર છે. એટલે કે, માપ જગ્યા (X,  નિષ્પ) પરના તમામ જટિલ માપનો સમૂહ જટિલ સંખ્યાઓ પર વેક્ટર જગ્યા બનાવે છે. વધુમાં, તરીકે વ્યાખ્યાયિત કુલ વિવિધતા એક ધોરણ છે, જેના સંદર્ભમાં જટિલ પગલાંની જગ્યા બનાચ જગ્યા છે. આ પણ જુઓ રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેય હસ્તાક્ષરિત માપ વેક્ટર માપ બાહ્ય કડીઓ ગણિત પર જટિલ માપ વિશ્વ માપ (માપ સિદ્ધાંત) જટિલ સંખ્યાઓ