Whitehead product
ગણિતમાં, વ્હાઇટહેડ પ્રોડક્ટ એ જગ્યાના હોમોટૉપી જૂથો પર વર્ગીકૃત અર્ધ-લી બીજગણિત માળખું છે. તેની વ્યાખ્યા જે. એચ. સી. વ્હાઇટહેડ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. સંબંધિત MSC કોડ છેઃ 55Q15, વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદનો અને સામાન્યીકરણ. વ્યાખ્યા આપેલ ઘટકો, વ્હાઇટહેડ કૌંસને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ ઉત્પાદનને ફાચરની રકમ સાથે-કોષને જોડીને મેળવી શકાય છે; જોડતો નકશો એ નકશાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને નકશા દ્વારા અને પછી જોડતા નકશા સાથે તેમના ફાચરની રચના કરે છે, કારણ કે પરિણામી નકશાનો હોમોટૉપી વર્ગ પ્રતિનિધિઓની પસંદગીઓ પર આધાર રાખતો નથી, અને આમ કોઈ વ્યક્તિ ગ્રેડિંગનું સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત તત્વ મેળવે છે. આમ દરેક શ્રેણીબદ્ધ ઘટક પર કાર્ય કરે છે. ગુણધર્મો વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદન નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ બિલિનિયરિટી. ક્રમિક સમપ્રમાણતા. ગ્રેડેડ જેકોબી ઓળખ. કેટલીકવાર વ્હાઇટહેડ પ્રોડક્ટ ઓપરેશન સાથે જગ્યાના હોમોટૉપી જૂથોને ગ્રેડેડ અર્ધ-લી બીજગણિત કહેવામાં આવે છે; આ મેસી ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ દ્વારા સાબિત થાય છે. જો, પછી વ્હાઇટહેડ કૌંસની ક્રિયા સાથેનો સંબંધ સામાન્ય ક્રિયા સાથે સંબંધિત છે જ્યાં દ્વારા દ્વારા ના જોડાણને સૂચવે છે. કારણ કે, આ ઘટાડે છે જે સામાન્ય કોમ્યુટેટર છે. આ અવલોકન કરીને પણ જોઈ શકાય છે કે ટોરસનું-કોષ-કંકાલમાં કોમ્યુટેટર સાથે જોડાયેલું છે. એચ-સ્પેસ પર વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદનો એચ-સ્પેસ સાથે જોડાયેલા પાથ માટે, તમામ વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદનો અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અગાઉના પેટા વિભાગ દ્વારા, આ બંને હકીકતોની સામાન્યીકરણ છે કે એચ-સ્પેસના મૂળભૂત જૂથો અબેલિયન છે, અને એચ-સ્પેસ સરળ છે. સસ્પેન્શન વર્ગોના તમામ વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદનો, સસ્પેન્શન હોમોમોર્ફિઝમના કર્નલમાં આવેલા છે ઉદાહરણો, જ્યાં હોપ્ફ નકશો છે. આ નિરીક્ષણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે કે હોપ્ફ અપરિવર્તન એક સમરૂપતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને સ્પષ્ટપણે રજૂ કરતા નકશાના કોફાઇબરની કોહોમોલોજી રિંગની ગણતરી કરે છે. પોન્ટ્રીગિન-થોમ બાંધકામનો ઉપયોગ કરીને એક સીધી ભૌમિતિક દલીલ છે, જેમાં એ હકીકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કે નિયમિત બિંદુની પૂર્વધારણા એ હોપ્ફ લિંકની નકલ છે. φ-ગ્રૂપોઇડ્સ માટેના ઉપયોગો યાદ રાખો કે φ-ગ્રૂપોઇડ્સ એ ગ્રૂપોઇડ્સનું એક-શ્રેણીનું સામાન્યીકરણ છે જે બીજગણિત ઔપચારિકતામાં હોમોટૉપી પ્રકારનાં ડેટાને એન્કોડ કરવા માટે અનુમાન કરવામાં આવે છે. પદાર્થો અવકાશમાં બિંદુઓ છે, મોર્ફિઝમ્સ એ બિંદુઓ વચ્ચેના માર્ગોના હોમોટૉપી વર્ગો છે, અને ઉચ્ચ મોર્ફિઝમ્સ તે બિંદુઓની ઉચ્ચ હોમોટૉપીઝ છે. વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદનનું અસ્તિત્વ એ મુખ્ય કારણ છે કે શા માટે ini-ગ્રૂપોઇડ્સની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરવી એ આવા માગણી કાર્ય છે. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે કોઈપણ કડક ini-ગ્રૂપોઇડમાં માત્ર તુચ્છ વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદનો હોય છે, તેથી કડક ગ્રૂપોઇડ્સ ક્યારેય હોમોટોપી પ્રકારનાં ગોળાઓનું મોડેલ બનાવી શકતા નથી, જેમ કે. સામાન્યીકૃત વ્હાઇટહેડ ઉત્પાદન મેસી ઉત્પાદન ટોડા કૌંસ સંદર્ભો હોમોટોપી સિદ્ધાંત લાઈ આલ્જેબ્રા પણ જુઓ.