Weierstrass point
ગણિતમાં, જટિલ સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત બિન-કોણીય બીજગણિત વળાંક પર વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુ એ એક એવો બિંદુ છે કે જેના પર રીમાન-રોક પ્રમેય દ્વારા આગાહી કરવામાં આવે તેના કરતાં વધુ કાર્યો હોય છે, જેમાં તેમના ધ્રુવો માત્ર મર્યાદિત હોય છે. આ વિભાવનાનું નામ કાર્લ વેઇઅરસ્ટ્રાસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વેક્ટર જગ્યાઓનો વિચાર કરો જ્યાં મેરોમોર્ફિક વિધેયોની જગ્યા છે જેના ક્રમમાં ઓછામાં ઓછા અને અન્ય કોઈ ધ્રુવો નથી. આપણે ત્રણ બાબતો જાણીએ છીએઃ પરિમાણ ઓછામાં ઓછું 1 છે, કારણ કે સતત વિધેયો ચાલુ છે; તે બિન-ઘટતું જાય છે; અને રીમાન-રોક પ્રમેયમાંથી પરિમાણ આખરે બરાબર 1 વધે છે કારણ કે આપણે જમણી તરફ આગળ વધીએ છીએ. હકીકતમાં જો જીનસ છે, તો-th ટર્મનું પરિમાણ ક્રમ વિશેના આપણા જ્ઞાન માટે જાણીતું છે તેથી આપણે તેના વિશે શું જાણીએ છીએ? એન્ટ્રીઓ એ છે કે તેઓ દરેક વખતે વધુમાં વધુ 1 નો વધારો કરી શકે છે (આ એક સરળ દલીલ છેઃ તેનું પરિમાણ સૌથી વધુ 1 છે કારણ કે જો અને ધ્રુવનો ક્રમ સમાન હોય, તો પછી જો અગ્રણી પદને રદ કરવા માટે અચળાંક પસંદ કરવામાં આવે તો તેમાં નીચલા ક્રમનો ધ્રુવ હશે). અહીં પ્રશ્નચિહ્નો છે, તેથી કેસો અથવા વધુ ચર્ચાની જરૂર નથી અને વેઇઅરસ્ટ્રાસ મુદ્દાઓને જન્મ આપતા નથી. તેથી ધારો. ત્યાં પગલાંઓ હશે, અને પગલાંઓ હશે જ્યાં કોઈ વૃદ્ધિ નથી. નોન-વેઇઅરસ્ટ્રાસ પોઇન્ટ ત્યારે થાય છે જ્યારે વૃદ્ધિ શક્ય તેટલી જમણી તરફ હોયઃ એટલે કે. ક્રમ જેવો દેખાય છે કે અન્ય કોઈ પણ કેસ વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુ છે. માટે વેઇઅરસ્ટ્રાસ ગેપ એ એવી કિંમત છે કે જેના પર કોઈ પણ કાર્યમાં બરાબર-fold ધ્રુવ હોતો નથી. અંતર ક્રમ બિન-વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુ માટે છે. વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુ માટે તેમાં ઓછામાં ઓછી એક મોટી સંખ્યા હોય છે. (વેઇઅરસ્ટ્રાસ ગેપ થીયરમ અથવા લુકેન્સાટ્ઝ એ નિવેદન છે કે ત્યાં અંતર હોવું જોઈએ.) હાયપરલિપ્ટિક વળાંક માટે, ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે માત્ર ડબલ પોલ સાથેનું કાર્ય હોઈ શકે છે. તેની શક્તિઓમાં ક્રમના ધ્રુવો વગેરે હોય છે. તેથી, આવા a માં અંતર ક્રમ હોય છે સામાન્ય રીતે જો અંતર ક્રમ એ વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુનું વજન હોય તો તે છે આ ગણતરીના પ્રમેયને કારણે રજૂ કરવામાં આવે છેઃ રીમાન સપાટી પર વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુઓના વજનનો સરવાળો છે. હાયપરલિપ્ટિક વળાંકથી પ્રોજેક્ટિવ રેખા સુધીના ડિગ્રી બે ના વિસ્તૃત આવરણના રેમિફિકેશન બિંદુઓ બધા હાયપરલિપ્ટિક વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુઓ છે અને આ જીનસના હાયપરલિપ્ટિક વળાંક પરના તમામ વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુઓને બહાર કાઢે છે. અંતરાયો પર વધુ માહિતી ક્લિફોર્ડના પ્રમેયને લાગુ કરવાથી મળે છે. કાર્યોનો ગુણાકાર બિન-અંતરને આંકડાકીય અર્ધસમૂહ માળખું આપે છે, અને એડોલ્ફ હર્વિટ્ઝના જૂના પ્રશ્નમાં અર્ધસમૂહની લાક્ષણિકતા માટે પૂછવામાં આવ્યું હતું. આર. ઓ. દ્વારા એક નવી જરૂરી શરત મળી આવી હતી. 1980માં બુકવિટ્ઝ અને તેમણે 16 અંતરવાળા બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના અર્ધસમૂહનું ઉદાહરણ આપ્યું હતું જે જીનસ 16ના વળાંક પરના એક બિંદુ પર બિન-અંતરના અર્ધસમૂહ તરીકે થતું નથી (જુઓ). હકારાત્મક લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્ર પર બિન-કોણીય વળાંક માટે વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુની વ્યાખ્યા 1939માં એફ. કે. શ્મિટ દ્વારા આપવામાં આવી હતી. હકારાત્મક લાક્ષણિકતા વધુ સામાન્ય રીતે, લાક્ષણિકતાના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત બિન-કોણીય બીજગણિત વળાંક માટે, બધા માટે અંતર સંખ્યાઓ પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા બિંદુઓ એક નિશ્ચિત ક્રમ છે આ બિંદુઓને બિન-વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. જે તમામ બિંદુઓનો અંતર ક્રમ અલગ હોય તેમને વેઇઅરસ્ટ્રાસ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. જો પછી વળાંકને શાસ્ત્રીય વળાંક કહેવામાં આવે છે. નહિંતર, તેને બિન-શાસ્ત્રીય કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં, તમામ વળાંક શાસ્ત્રીય હોય છે. હર્મિશિયન વળાંક એ બિન-શાસ્ત્રીય વળાંકનું ઉદાહરણ છે. આ સમીકરણ દ્વારા મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત પ્રોજેક્ટિવ વળાંક છે, જ્યાં એક મુખ્ય શક્તિ છે. નોંધો સંદર્ભો બીજગણિત વળાંક રીમાન સપાટીઓ