Free Lie algebra
ગણિતમાં, K ક્ષેત્ર પર મુક્ત લાઈ બીજગણિત એ સમૂહ X દ્વારા પેદા થયેલ લાઈ બીજગણિત છે, જેમાં વૈકલ્પિક K-બિલીનીયરિટી અને જેકોબી ઓળખના વ્યાખ્યાયિત સંબંધો સિવાય અન્ય કોઈ લાદવામાં આવેલા સંબંધો નથી. વ્યાખ્યા X સમૂહ દ્વારા પેદા થયેલ મુક્ત લાઈ બીજગણિતની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છેઃ ધારો કે X એ એક સમૂહ છે અને X થી લાઈ બીજગણિત L માં સમૂહો (કાર્ય) નું મોર્ફિઝમ છે. લાઈ બીજગણિત L ને X પર મુક્ત કહેવામાં આવે છે જો તે સાર્વત્રિક મોર્ફિઝમ હોય; એટલે કે, જો કોઈ પણ લાઈ બીજગણિત A માટે સમૂહોના મોર્ફિઝમ સાથે, એક અનન્ય લાઈ બીજગણિત મોર્ફિઝમ હોય તો. X સમૂહને જોતાં, કોઈ બતાવી શકે છે કે X દ્વારા પેદા થયેલ એક અનન્ય મુક્ત લાઈ બીજગણિત અસ્તિત્વમાં છે. શ્રેણી સિદ્ધાંતની ભાષામાં, X દ્વારા પેદા થયેલ લાઈ બીજગણિતમાં સમૂહ X મોકલનાર ફંકટર એ જૂથોની શ્રેણીમાંથી લાઈ બીજગણિતની શ્રેણીમાં મુક્ત ફંકટર છે. એટલે કે, તે ભૂલી ગયેલા ફંકટરની બાજુમાં છોડી દેવામાં આવે છે. X સમૂહ પર મુક્ત લાઈ બીજગણિત કુદરતી રીતે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. મુક્ત લાઈ બીજગણિતનો 1-ક્રમાંકિત ઘટક એ તે સમૂહ પરની ખાલી વેક્ટર જગ્યા છે. વૈકલ્પિક રીતે વેક્ટર સ્પેસ V પર મુક્ત લાઈ બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે ક્ષેત્ર K પર લાઈ આલ્જેબ્રાથી લઈને ક્ષેત્ર K પર વેક્ટર સ્પેસ સુધીના ભૂલી જતા ફંકટરની ડાબી બાજુએ છે-લાઈ બીજગણિત માળખું ભૂલી જવું, પરંતુ વેક્ટર સ્પેસ માળખું યાદ રાખવું. સાર્વત્રિક આવરણ બીજગણિત X સમૂહ પર મુક્ત લાઈ બીજગણિતનું સાર્વત્રિક આવરણ બીજગણિત એ X દ્વારા પેદા થયેલ મુક્ત સહયોગી બીજગણિત છે. પોઇનકેરે-બિર્ખોફ-વિટ પ્રમેય અનુસાર તે મુક્ત લાઈ બીજગણિતના સમપ્રમાણ બીજગણિત જેટલું જ "કદ" છે (એટલે કે જો બંને બાજુઓને X ડિગ્રી 1 ના તત્વો આપીને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે તો તે વર્ગીકૃત વેક્ટર જગ્યાઓ તરીકે સમરૂપ છે). આનો ઉપયોગ કોઈપણ ડિગ્રીના મુક્ત લાઈ બીજગણિતના ભાગના પરિમાણને વર્ણવવા માટે થઈ શકે છે. અર્ન્સ્ટ વિટ્ટે દર્શાવ્યું હતું કે m-તત્વ સમૂહ પર મુક્ત લાઈ બીજગણિતમાં ડિગ્રી k ના મૂળભૂત પરિવર્તકોની સંખ્યા ગળાનો હાર બહુપદી દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં મોબિયસ કાર્ય છે. મર્યાદિત સમૂહ પર મુક્ત લાઈ બીજગણિતના સાર્વત્રિક આવરણ બીજગણિતનું ક્રમિક દ્વૈત એ શફલ બીજગણિત છે. આ અનિવાર્યપણે અનુસરે છે કારણ કે સાર્વત્રિક આવરણવાળા બીજગણિતમાં હોપ્ફ બીજગણિતની રચના હોય છે, અને શફલ ઉત્પાદન આ બીજગણિતમાં ગુણાકારની ક્રિયાનું વર્ણન કરે છે. શફલ પ્રોડક્ટ અને ગુણાકાર વચ્ચેના આંતર-સંબંધના વિગતવાર પ્રદર્શન માટે ટેન્સર બીજગણિત જુઓ. મુક્ત લાઈ બીજગણિતનો સ્પષ્ટ આધાર હોલ સમૂહની દ્રષ્ટિએ આપી શકાય છે, જે X પર મુક્ત મેગ્માની અંદર એક ચોક્કસ પ્રકારનો સબસેટ છે. મુક્ત મેગ્માના ઘટકો દ્વિસંગી વૃક્ષો છે, જેમાં તેમના પાંદડાઓ X ના ઘટકો દ્વારા લેબલ થયેલ છે. જૂથો પર ફિલિપ હોલના કાર્યના આધારે હોલ સેટ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ત્યારબાદ, વિલ્હેલ્મ મેગ્નસે દર્શાવ્યું કે તેઓ નીચલા કેન્દ્રીય શ્રેણી દ્વારા આપવામાં આવેલા મુક્ત જૂથ પર ગાળણક્રિયા સાથે સંકળાયેલા શ્રેણીબદ્ધ લાઈ બીજગણિત તરીકે ઉદ્ભવે છે. આ પત્રવ્યવહાર ફિલિપ હોલ અને વિટને કારણે જૂથ સિદ્ધાંતમાં કોમ્યુટેટર ઓળખ દ્વારા પ્રેરિત હતો. લિન્ડન શબ્દો હોલ શબ્દોનો એક વિશેષ કેસ છે, અને તેથી ખાસ કરીને લિન્ડન શબ્દોને અનુરૂપ મુક્ત લાઈ બીજગણિતનો આધાર છે. આને લિન્ડન આધાર કહેવામાં આવે છે, જેનું નામ રોજર લિન્ડનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. (આને ચેન-ફોક્સ-લિન્ડન આધાર અથવા લિન્ડન-શિર્શોવ આધાર પણ કહેવામાં આવે છે, અને તે અનિવાર્યપણે શિર્શોવ આધાર જેવું જ છે.) ક્રમબદ્ધ મૂળાક્ષરમાં લિન્ડન શબ્દોમાંથી મુક્ત લાઈ બીજગણિતના આધારે એક દ્વિભાજન γ છે જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છેઃ જો શબ્દ w ની લંબાઈ 1 હોય તો (મુક્ત લાઈ બીજગણિતના જનરેટર તરીકે ગણવામાં આવે છે). જો ડબલ્યુ ની લંબાઈ ઓછામાં ઓછી 2 હોય, તો લિન્ડન શબ્દો યુ, વી માટે શક્ય તેટલા લાંબા સમય સુધી વી સાથે લખો ("પ્રમાણભૂત પરિબળકરણ"). પછી. શિર્શોવ-વિટ પ્રમેય અને દર્શાવ્યું કે મુક્ત લાઈ બીજગણિતનું કોઈપણ લાઈ ઉપ-બીજગણિત પોતે જ એક મુક્ત લાઈ બીજગણિત છે. અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત પર સેરનો પ્રમેય જનરેટર અને સંબંધોમાંથી અર્ધ-સરળ બીજગણિત બનાવવા માટે મુક્ત લાઈ બીજગણિતનો ઉપયોગ કરે છે. કડી જૂથના મિલનોર અપરિવર્તન એ કડીના ઘટકો પર મુક્ત લાઈ બીજગણિત સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે તે લેખમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. ઓપેરેડના નિર્માણમાં મુક્ત લાઈ બીજગણિતના ઉપયોગ માટે લાઈ ઓપેરેડ પણ જુઓ. ફ્રી ઓબ્જેક્ટ ફ્રી બીજગણિત ફ્રી ગ્રુપ રેફરન્સ પ્રોપર્ટીઝ ઓફ લાઈ આલ્જેબ્રા ફ્રી બીજગણિત માળખાં પણ જુઓ.