Topological order
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ટોપોલોજિકલ ક્રમ એ દ્રવ્યના શૂન્ય-તાપમાનના તબક્કામાં એક પ્રકારનો ક્રમ છે (જેને ક્વોન્ટમ દ્રવ્ય તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે). મેક્રોસ્કોપિક રીતે, ટોપોલોજિકલ ક્રમને મજબૂત ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ડિજનરેસી અને ડિજનરેટ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ્સના બિન-એબેલિયન ભૌમિતિક તબક્કાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અને વર્ણવવામાં આવે છે. માઇક્રોસ્કોપિક રીતે, ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર લાંબા અંતરની ક્વોન્ટમ ગૂંચવણની પેટર્નને અનુરૂપ છે. વિવિધ ટોપોલોજીકલ ક્રમ (અથવા લાંબા અંતરની ગૂંચવણોની વિવિધ પેટર્ન) ધરાવતા રાજ્યો તબક્કા સંક્રમણ વિના એક બીજામાં બદલાઈ શકતા નથી. વિવિધ ટોપોલોજીકલ ક્રમની સ્થિતિઓમાં રસપ્રદ ગુણધર્મો હોય છે, જેમ કે (1) ટોપોલોજીકલ અધોગતિ અને અપૂર્ણાંક આંકડાશાસ્ત્ર અથવા બિન-એબેલિયન આંકડાશાસ્ત્ર કે જેનો ઉપયોગ ટોપોલોજીકલ ક્વોન્ટમ કોમ્પ્યુટરને સાકાર કરવા માટે થઈ શકે છે; (2) સંપૂર્ણ વાહક ધાર સ્થિતિ જેમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપકરણ ઉપયોગો હોઈ શકે છે; (3) ઊભરતાં ગેજ ક્ષેત્ર અને ફર્મિ આંકડાશાસ્ત્ર કે જે પ્રાથમિક કણોની ક્વોન્ટમ માહિતીની ઉત્પત્તિ સૂચવે છે; (4) ટોપોલોજીકલ ગૂંચવણ એન્ટ્રોપી કે જે ટોપોલોજીકલ ક્રમની ગૂંચવણની ઉત્પત્તિ દર્શાવે છે, વગેરે. ભૂલ-સહિષ્ણુ ક્વોન્ટમ ગણતરી માટે સંભવિત ઉપયોગો સાથે સ્પિન પ્રવાહી અને ક્વોન્ટમ હોલ અસર જેવી કેટલીક ભૌતિક પ્રણાલીઓના અભ્યાસમાં ટોપોલોજિકલ ક્રમ મહત્વપૂર્ણ છે. ટોપોલોજીકલ ઇન્સ્યુલેટર અને ટોપોલોજીકલ સુપરકન્ડક્ટર્સ (1D થી આગળ) ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ ટોપોલોજીકલ ક્રમ ધરાવતા નથી, તેમની ગૂંચવણો માત્ર ટૂંકા અંતરની હોય છે. અણુઓથી બનેલા પૃષ્ઠભૂમિ દ્રવ્યમાં વિવિધ ગુણધર્મો હોઈ શકે છે અને તે વિવિધ સ્વરૂપોમાં દેખાઈ શકે છે, જેમ કે ઘન, પ્રવાહી, સુપરફ્લુઇડ વગેરે. દ્રવ્યના આ વિવિધ સ્વરૂપોને ઘણીવાર દ્રવ્યની સ્થિતિ અથવા તબક્કાઓ કહેવામાં આવે છે. ઘનીકરણ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઉદભવના સિદ્ધાંત અનુસાર, પદાર્થોના વિવિધ ગુણધર્મો સામાન્ય રીતે પદાર્થોમાં અણુઓને જે રીતે ગોઠવવામાં આવે છે તેમાંથી ઉદ્ભવે છે. અણુઓ (અથવા અન્ય કણો) ની તે વિવિધ સંસ્થાઓને ઔપચારિક રીતે સામગ્રીમાં ક્રમ કહેવામાં આવે છે. અણુઓ ઘણી રીતે ગોઠવી શકે છે જે ઘણાં વિવિધ ક્રમ અને ઘણાં વિવિધ પ્રકારની સામગ્રી તરફ દોરી જાય છે. લાન્દાઉ સમપ્રમાણતા-ભંગ સિદ્ધાંત આ વિવિધ ક્રમની સામાન્ય સમજણ પૂરી પાડે છે. તે નિર્દેશ કરે છે કે વિવિધ ક્રમ ખરેખર ઘટક અણુઓની સંસ્થાઓમાં વિવિધ સમપ્રમાણતાઓને અનુરૂપ છે. જેમ જેમ પદાર્થ એક ક્રમથી બીજા ક્રમમાં બદલાય છે (એટલે કે, જેમ જેમ પદાર્થ એક તબક્કાના સંક્રમણમાંથી પસાર થાય છે), તેમ શું થાય છે કે અણુઓની સંસ્થાની સમપ્રમાણતા બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવાહીમાં અણુઓનું અવ્યવસ્થિત વિતરણ હોય છે, તેથી પ્રવાહી તે જ રહે છે જે આપણે મનસ્વી અંતર દ્વારા અણુઓને વિસ્થાપિત કરીએ છીએ. આપણે કહીએ છીએ કે પ્રવાહીમાં સતત અનુવાદ સમપ્રમાણતા હોય છે. તબક્કાના સંક્રમણ પછી, પ્રવાહી સ્ફટિકમાં ફેરવાઈ શકે છે. સ્ફટિકમાં, અણુઓ નિયમિત શ્રેણી (એક જાળી) માં ગોઠવાય છે. જાળી ત્યારે જ અપરિવર્તિત રહે છે જ્યારે આપણે તેને ચોક્કસ અંતર દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરીએ (પૂર્ણાંક ગુણ્યા જાળી અચળાંક), તેથી સ્ફટિકમાં માત્ર અલગ અનુવાદ સમપ્રમાણતા હોય છે. પ્રવાહી અને સ્ફટિક વચ્ચેનું તબક્કાનું સંક્રમણ એ એક સંક્રમણ છે જે સ્ફટિકની સ્વતંત્ર સમપ્રમાણતામાં પ્રવાહીની સતત અનુવાદ સમપ્રમાણતાને ઘટાડે છે. સમપ્રમાણતામાં આવા ફેરફારને સમપ્રમાણતા ભંગ કહેવામાં આવે છે. પ્રવાહી અને સ્ફટિકો વચ્ચેના તફાવતનો સાર એ છે કે અણુઓની સંસ્થાઓ બે તબક્કામાં અલગ-અલગ સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. લાન્દાઉ સમપ્રમાણતા-ભંગ સિદ્ધાંત ખૂબ જ સફળ સિદ્ધાંત રહ્યો છે. લાંબા સમય સુધી, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માનતા હતા કે લાન્દાઉ થિયરી સામગ્રીમાં તમામ સંભવિત ક્રમ અને તમામ સંભવિત (સતત) તબક્કાના સંક્રમણોને વર્ણવે છે. જો કે, 1980 ના દાયકાના અંતથી, તે ધીમે ધીમે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે લાન્દાઉ સમપ્રમાણતા-ભંગ સિદ્ધાંત તમામ સંભવિત ક્રમોનું વર્ણન કરી શકશે નહીં. ઉચ્ચ તાપમાન સુપરકન્ડક્ટિવિટીને સમજાવવાના પ્રયાસમાં કાયરલ સ્પિન સ્થિતિ રજૂ કરવામાં આવી હતી. શરૂઆતમાં, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ હજુ પણ કાયરલ સ્પિન સ્થિતિનું વર્ણન કરવા માટે લાન્દાઉ સમપ્રમાણતા-ભંગ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવા માંગતા હતા. તેઓએ કાયરલ સ્પિન સ્થિતિને એવી સ્થિતિ તરીકે ઓળખી કે જે સમય ઉલટાવી અને સમાનતા સમપ્રમાણતાને તોડે છે, પરંતુ સ્પિન પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને નહીં. લાન્દાઉના ઓર્ડરના સમપ્રમાણતા ભંગ વર્ણન અનુસાર આ વાર્તાનો અંત હોવો જોઈએ. જો કે, તે ઝડપથી સમજાયું કે ત્યાં ઘણી જુદી જુદી કાયરલ સ્પિન સ્થિતિઓ છે જે બરાબર સમાન સમપ્રમાણતા ધરાવે છે, તેથી એકલા સમપ્રમાણતા વિવિધ કાયરલ સ્પિન સ્થિતિઓને લાક્ષણિકતા આપવા માટે પૂરતી ન હતી. આનો અર્થ એ છે કે કાયરલ સ્પિન સ્થિતિઓમાં એક નવો પ્રકારનો ક્રમ હોય છે જે સામાન્ય સમપ્રમાણતા વર્ણનની બહાર હોય છે. સૂચિત, નવા પ્રકારના ક્રમને "ટોપોલોજિકલ ક્રમ" નામ આપવામાં આવ્યું હતું. "ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર" નામ કાયરલ સ્પિન સ્ટેટ્સના ઓછી ઊર્જા અસરકારક સિદ્ધાંત દ્વારા પ્રેરિત છે જે ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી (TQFT) છે. નવી ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ, જેમ કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ડિજનરેસી (જેને બંધ જગ્યા અથવા ગેપ્ડ સીમાઓ સાથે ખુલ્લી જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં એબેલિયન ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર્સ અને નોન-એબેલિયન ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર્સ બંનેનો સમાવેશ થાય છે) અને ડીજનરેટ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ્સનો નોન-એબેલિયન ભૌમિતિક તબક્કો, કિરાલ સ્પિન સ્ટેટ્સમાં વિવિધ ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર્સને લાક્ષણિકતા આપવા અને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. તાજેતરમાં, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરને ટોપોલોજિકલ એન્ટ્રોપી દ્વારા પણ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. પરંતુ પ્રયોગો ટૂંક સમયમાં સૂચવે છે કે કાયરલ સ્પિન સ્થિતિઓ ઉચ્ચ-તાપમાનના સુપરકન્ડક્ટર્સનું વર્ણન કરતી નથી, અને ટોપોલોજિકલ ક્રમનો સિદ્ધાંત કોઈ પ્રાયોગિક અનુભૂતિ વિનાનો સિદ્ધાંત બની ગયો. જો કે, કાયરલ સ્પિન સ્થિતિઓ અને ક્વોન્ટમ હોલ સ્થિતિઓ વચ્ચેની સમાનતા વિવિધ ક્વોન્ટમ હોલ સ્થિતિઓનું વર્ણન કરવા માટે ટોપોલોજિકલ ક્રમના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. કાયરલ સ્પિન સ્ટેટ્સની જેમ, વિવિધ ક્વોન્ટમ હોલ સ્ટેટ્સ બધામાં સમાન સમપ્રમાણતા હોય છે અને તે લેન્ડૌ સમપ્રમાણતા-ભંગ વર્ણનની બહાર હોય છે. એક શોધે છે કે વિવિધ ક્વોન્ટમ હોલ સ્થિતિઓમાં વિવિધ ક્રમને ખરેખર ટોપોલોજિકલ ક્રમ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, તેથી ટોપોલોજિકલ ક્રમમાં પ્રાયોગિક અનુભૂતિઓ હોય છે. અપૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ (એફક્યુએચ) સ્થિતિની શોધ 1982માં 1989માં ટોપોલોજિકલ ક્રમની વિભાવનાની રજૂઆત પહેલાં કરવામાં આવી હતી. પરંતુ એફ. ક્યુ. એચ. સ્થિતિ પ્રાયોગિક રીતે શોધાયેલ પ્રથમ ટોપોલોજીકલ ક્રમબદ્ધ સ્થિતિ નથી. 1911માં શોધાયેલ સુપરકન્ડક્ટર, પ્રથમ પ્રાયોગિક રીતે શોધાયેલ ટોપોલોજીકલ ક્રમની સ્થિતિ છે; તેમાં ઝેડ2 ટોપોલોજીકલ ક્રમ છે. જો કે ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ અવસ્થાઓ સામાન્ય રીતે મજબૂત રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી બોસોન/ફર્મિઓન પ્રણાલીઓમાં દેખાય છે, તેમ છતાં મુક્ત ફર્મિઓન પ્રણાલીઓમાં એક સરળ પ્રકારનો ટોપોલોજીકલ ક્રમ પણ દેખાઈ શકે છે. આ પ્રકારનો ટોપોલોજિકલ ક્રમ અભિન્ન ક્વોન્ટમ હોલ સ્થિતિને અનુરૂપ છે, જે જો આપણે જાળી પર પૂર્ણાંક ક્વોન્ટમ હોલ સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ તો ભરેલા ઊર્જા બેન્ડની ચેરન સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. સૈદ્ધાંતિક ગણતરીઓએ સૂચવ્યું છે કે આવા ચેરન નંબરોને મુક્ત ફર્મિઓન પ્રણાલી માટે પ્રાયોગિક રીતે માપી શકાય છે. તે પણ સારી રીતે જાણીતું છે કે આવી ચેરન સંખ્યાને ધાર સ્થિતિઓ દ્વારા (કદાચ પરોક્ષ રીતે) માપી શકાય છે. ટોપોલોજિકલ ક્રમની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા અંતર્ગત અપૂર્ણાંક ઉત્તેજનાઓ (જેમ કે ઍનોન) અને તેમના ફ્યુઝન સ્ટેટિસ્ટિક્સ અને બ્રેડિંગ સ્ટેટિસ્ટિક્સ (જે બોસન્સ અથવા ફર્મિઓન્સના ક્વોન્ટમ સ્ટેટિસ્ટિક્સથી આગળ વધી શકે છે) હશે. વર્તમાન સંશોધન કાર્યો દર્શાવે છે કે 3 + 1 પરિમાણીય અવકાશકાળમાં ટોપોલોજિકલ ક્રમ માટે લૂપ અને સ્ટ્રિંગ જેવી ઉત્તેજનાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને તેમના બહુ-લૂપ/સ્ટ્રિંગ-બ્રેડિંગ આંકડા 3 + 1 પરિમાણીય ટોપોલોજિકલ ક્રમને ઓળખવા માટે નિર્ણાયક સંકેતો છે. 3 + 1 પરિમાણીય ટોપોલોજિકલ ક્રમના બહુ-લૂપ/સ્ટ્રિંગ-બ્રેડિંગ આંકડાઓને 4 અવકાશ સમય પરિમાણોમાં ચોક્કસ ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના કડી અપરિવર્તન દ્વારા મેળવી શકાય છે. મિકેનિઝમ 2 + 1D ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરનો મોટો વર્ગ સ્ટ્રિંગ-નેટ કન્ડેન્સેશન નામની પદ્ધતિ દ્વારા સાકાર થાય છે. ટોપોલોજીકલ ક્રમના આ વર્ગમાં ગેપ્ડ ધાર હોઈ શકે છે અને તેને એકાત્મક ફ્યુઝન શ્રેણી (અથવા મોનોઈડલ શ્રેણી) સિદ્ધાંત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. એક એવું શોધી કાઢે છે કે સ્ટ્રિંગ-નેટ ઘનીકરણ અનંત વિવિધ પ્રકારના ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર પેદા કરી શકે છે, જે સૂચવી શકે છે કે ઘણા વિવિધ નવા પ્રકારની સામગ્રી શોધવાનું બાકી છે. કન્ડેન્સ્ડ સ્ટ્રિંગ્સની સામૂહિક ગતિઓ સ્ટ્રિંગ-નેટ કન્ડેન્સ્ડ સ્ટેટ્સની ઉપર ઉત્તેજના પેદા કરે છે. તે ઉત્તેજનાઓ ગેજ બોસન્સ બની જાય છે. તારના છેડા એ ખામીઓ છે જે અન્ય પ્રકારની ઉત્તેજનાઓને અનુરૂપ હોય છે. તે ઉત્તેજનાઓ ગેજ ચાર્જ છે અને તે ફર્મી અથવા અપૂર્ણાંક આંકડાઓ લઈ શકે છે. અન્ય વિસ્તૃત પદાર્થો જેમ કે "મેમ્બ્રેન", "બ્રેન-નેટ્સ" અને ફ્રેક્ટલ્સનું ઘનીકરણ પણ ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ તબક્કાઓ અને "ક્વોન્ટમ ગ્લાસીનેસ" તરફ દોરી જાય છે. ગાણિતિક રચના આપણે જાણીએ છીએ કે જૂથ સિદ્ધાંત એ સમપ્રમાણતા તોડનારા ક્રમનો ગાણિતિક પાયો છે. ટોપોલોજિકલ ક્રમનો ગાણિતિક પાયો શું છે? એવું જાણવા મળ્યું હતું કે 2 + 1ડી ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરના પેટા વર્ગ-એબેલિયન ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર-ને કે-મેટ્રિક્સ અભિગમ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. સ્ટ્રિંગ-નેટ ઘનીકરણ સૂચવે છે કે ટેન્સર શ્રેણી (જેમ કે ફ્યુઝન શ્રેણી અથવા મોનોઈડલ શ્રેણી) એ 2 + 1D માં ટોપોલોજિકલ ક્રમના ગાણિતિક પાયાનો ભાગ છે. વધુ તાજેતરના સંશોધનો સૂચવે છે કે (ઇન્વર્ટિબલ ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર સુધી કે જેમાં કોઈ અપૂર્ણાંક ઉત્તેજના નથી): 2 + 1D બોસોનિક ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરને એકાત્મક મોડ્યુલર ટેન્સર વર્ગો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. સમપ્રમાણતા G સાથે 2 + 1D બોસોનિક ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરને G-ક્રોસ ટેન્સર વર્ગો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. સમપ્રમાણતા G સાથે 2 + 1D બોસોનિક/ફર્મિઓનિક ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરને સમપ્રમાણ ફ્યુઝન શ્રેણી પર એકાત્મક બ્રેઇડેડ ફ્યુઝન શ્રેણીઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેમાં મોડ્યુલર એક્સ્ટેન્શન્સ હોય છે. બોસોનીક પ્રણાલીઓ માટે સપ્રમાણ ફ્યુઝન શ્રેણી રેપ (જી) અને ફર્મિઓનિક પ્રણાલીઓ માટે એસ. આર. ઈ. પી. (જી). ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ટોપોલોજીકલ ક્રમ એન-શ્રેણી સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. ક્વોન્ટમ ઓપરેટર બીજગણિત એ ટોપોલોજિકલ ક્રમના અભ્યાસમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક સાધન છે. કેટલાક એવું પણ સૂચવે છે કે ટોપોલોજિકલ ક્રમને ગાણિતિક રીતે વિસ્તૃત ક્વોન્ટમ સમપ્રમાણતા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ઉપયોગો લાન્દાઉ સમપ્રમાણતા તોડવાના સિદ્ધાંત દ્વારા વર્ણવવામાં આવેલી સામગ્રીની ટેકનોલોજી પર નોંધપાત્ર અસર પડી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફેરોમૅગ્નેટિક સામગ્રી કે જે સ્પિન પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને તોડે છે તેનો ઉપયોગ ડિજિટલ માહિતી સંગ્રહના માધ્યમ તરીકે થઈ શકે છે. લોહચુંબકીય સામગ્રીની બનેલી હાર્ડ ડ્રાઇવ ગીગાબાઇટ્સ માહિતીનો સંગ્રહ કરી શકે છે. પ્રવાહી સ્ફટિકો કે જે અણુઓની પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને તોડે છે તે પ્રદર્શન તકનીકમાં વ્યાપક ઉપયોગ શોધે છે. સ્ફટિક જે અનુવાદ સમપ્રમાણતાને તોડે છે તે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ઇલેક્ટ્રોનિક બેન્ડ તરફ દોરી જાય છે જે બદલામાં આપણને ટ્રાન્ઝિસ્ટર જેવા અર્ધચાલક ઉપકરણો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. વિવિધ પ્રકારના ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર વિવિધ પ્રકારના સમપ્રમાણતા-ભંગ કરતા વધુ સમૃદ્ધ હોય છે. આ ઉત્તેજક, નવીન કાર્યક્રમો માટેની તેમની ક્ષમતા સૂચવે છે. ટોપોલોજીકલ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ તરીકે ઓળખાતી તકનીકમાં ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ માટે માધ્યમ તરીકે ટોપોલોજીકલ ક્રમબદ્ધ સ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરવો એ એક સૈદ્ધાંતિક એપ્લિકેશન હશે. ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ સ્થિતિ એ જટિલ બિન-સ્થાનિક ક્વોન્ટમ ગૂંચવણ ધરાવતી સ્થિતિ છે. બિન-સ્થાનનો અર્થ એ છે કે ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ સ્થિતિમાં ક્વોન્ટમ ગૂંચવણ ઘણા જુદા જુદા કણોમાં વહેંચાયેલી હોય છે. પરિણામે, ક્વોન્ટમ ગૂંચવણોની પેટર્ન સ્થાનિક વિક્ષેપો દ્વારા નાશ પામી શકાતી નથી. આ ડીકોહરન્સની અસરને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે. આ સૂચવે છે કે જો આપણે ક્વોન્ટમ માહિતીને એન્કોડ કરવા માટે ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ સ્થિતિમાં વિવિધ ક્વોન્ટમ ગૂંચવણોનો ઉપયોગ કરીએ, તો માહિતી લાંબા સમય સુધી ટકી શકે છે. ટોપોલોજીકલ ક્વોન્ટમ ગૂંચવણો દ્વારા એન્કોડેડ ક્વોન્ટમ માહિતીને એકબીજાની આસપાસ ટોપોલોજીકલ ખામીઓને ખેંચીને પણ હેરફેર કરી શકાય છે. આ પ્રક્રિયા ક્વોન્ટમ ગણતરીઓ કરવા માટે ભૌતિક ઉપકરણ પ્રદાન કરી શકે છે. તેથી, ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ અવસ્થાઓ ક્વોન્ટમ મેમરી અને ક્વોન્ટમ ગણતરી બંને માટે કુદરતી માધ્યમ પ્રદાન કરી શકે છે. ક્વોન્ટમ મેમરી અને ક્વોન્ટમ ગણતરીની આવી અનુભૂતિઓને સંભવિત રીતે દોષ સહિષ્ણુ બનાવી શકાય છે. ટોપોલોજીકલ રીતે ક્રમબદ્ધ રાજ્યો સામાન્ય રીતે એક વિશેષ મિલકત ધરાવે છે જેમાં તેઓ બિન-તુચ્છ સીમા રાજ્યો ધરાવે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, તે સીમા સ્થિતિઓ સંપૂર્ણ વાહક ચેનલ બની જાય છે જે ગરમી ઉત્પન્ન કર્યા વિના વીજળીનું સંચાલન કરી શકે છે. આ ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણોમાં ટોપોલોજિકલ ક્રમનો બીજો સંભવિત ઉપયોગ હોઈ શકે છે. એ જ રીતે ટોપોલોજિકલ ક્રમમાં, ટોપોલોજિકલ ઇન્સ્યુલેટરમાં પણ ગેપલેસ બાઉન્ડ્રી સ્ટેટ હોય છે. ટોપોલોજીકલ ઇન્સ્યુલેટરની સીમા સ્થિતિઓ ટોપોલોજીકલ ઇન્સ્યુલેટરની શોધ અને ઉપયોગમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. આ અવલોકન સ્વાભાવિક રીતે એક પ્રશ્ન તરફ દોરી જાય છેઃ શું ટોપોલોજીકલ ઇન્સ્યુલેટર ટોપોલોજીકલ ક્રમબદ્ધ સ્થિતિઓના ઉદાહરણો છે? હકીકતમાં ટોપોલોજીકલ ઇન્સ્યુલેટર આ લેખમાં વ્યાખ્યાયિત ટોપોલોજીકલ ક્રમબદ્ધ સ્થિતિઓથી અલગ છે. ટોપોલોજિકલ ઇન્સ્યુલેટરમાં માત્ર ટૂંકા અંતરની ગૂંચવણો હોય છે અને તેમાં કોઈ ટોપોલોજિકલ ક્રમ નથી, જ્યારે આ લેખમાં વ્યાખ્યાયિત ટોપોલોજિકલ ક્રમ લાંબા અંતરની ગૂંચવણની પેટર્ન છે. ટોપોલોજિકલ ક્રમ કોઈપણ વિક્ષેપ સામે મજબૂત છે. તેમાં ઇમર્જન્ટ ગેજ થિયરી, ઇમર્જન્ટ ફ્રેક્શનલ ચાર્જ અને ફ્રેક્શનલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ છે. તેનાથી વિપરીત, ટોપોલોજીકલ ઇન્સ્યુલેટર માત્ર તે વિક્ષેપો સામે મજબૂત હોય છે જે સમય-પરિવર્તન અને યુ (1) સમપ્રમાણતાને માન આપે છે. તેમના અર્ધ-કણ ઉત્તેજનામાં કોઈ અપૂર્ણાંક ચાર્જ અને અપૂર્ણાંક આંકડા નથી. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, ટોપોલોજીકલ અવાહક એ સમપ્રમાણતા-સંરક્ષિત ટોપોલોજીકલ (એસ. પી. ટી.) ક્રમનું એક ઉદાહરણ છે, જ્યાં એસ. પી. ટી. ક્રમનું પ્રથમ ઉદાહરણ સ્પિન-1 સાંકળનો હેલ્ડેન તબક્કો છે. પરંતુ સ્પિન-2 સાંકળના હેલ્ડેન તબક્કામાં કોઈ એસપીટી ક્રમ નથી. સંભવિત અસર લેન્ડૌ સમપ્રમાણતા-ભંગ સિદ્ધાંત એ કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્રનો પાયાનો છે. તેનો ઉપયોગ કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય સંશોધનના ક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. ટોપોલોજિકલ ક્રમનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે લેન્ડૌ સમપ્રમાણતા-ભંગ સિદ્ધાંત અત્યાર સુધી સૂચવે છે તેના કરતાં પ્રકૃતિ ઘણી સમૃદ્ધ છે. તેથી ટોપોલોજિકલ ક્રમ કન્ડેન્સ્ડ દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક નવી દિશા ખોલે છે-અત્યંત ગૂંચવાયેલા ક્વોન્ટમ દ્રવ્યની નવી દિશા. આપણે સમજીએ છીએ કે દ્રવ્યના ક્વોન્ટમ તબક્કાઓ (એટલે કે. દ્રવ્યના શૂન્ય-તાપમાનના તબક્કાઓ) ને બે વર્ગોમાં વહેંચી શકાય છેઃ લાંબા અંતરની ગૂંચવાયેલી સ્થિતિ અને ટૂંકા અંતરની ગૂંચવાયેલી સ્થિતિ. ટોપોલોજીકલ ક્રમ એ એવી કલ્પના છે જે લાંબા અંતરની ગૂંચવાયેલી સ્થિતિઓનું વર્ણન કરે છેઃ ટોપોલોજીકલ ક્રમ = લાંબા અંતરની ગૂંચવણોનું સ્વરૂપ. ટૂંકા અંતરની ગૂંચવાયેલી સ્થિતિઓ એ અર્થમાં તુચ્છ છે કે તે બધા એક જ તબક્કાના છે. જો કે, સમપ્રમાણતાની હાજરીમાં, ટૂંકા અંતરની ગૂંચવાયેલી અવસ્થાઓ પણ બિન-તુચ્છ હોય છે અને તે વિવિધ તબક્કાઓની હોઈ શકે છે. તે તબક્કાઓમાં એસ. પી. ટી. ક્રમ હોવાનું કહેવાય છે. એસ. પી. ટી. ક્રમ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી પ્રણાલીઓમાં ટોપોલોજીકલ અવાહકની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. કેટલાક સૂચવે છે કે સ્થાનિક બોસોનિક (સ્પિન) મોડેલોમાં ટોપોલોજિકલ ક્રમ (અથવા વધુ ચોક્કસપણે, સ્ટ્રિંગ-નેટ ઘનીકરણ) આપણા બ્રહ્માંડમાં ફોટોન, ઇલેક્ટ્રોન અને અન્ય પ્રાથમિક કણો માટે એકીકૃત મૂળ પ્રદાન કરવાની ક્ષમતા ધરાવે છે. એ. કે. એલ. ટી. મોડેલ પણ જુઓ ફ્રેક્શનલાઈઝેશન હર્બર્ટસ્મિથાઇટ ઇમ્પ્લિકેટ ઓર્ડર ક્વોન્ટમ ટોપોલોજી સ્પિન લિક્વિડ સ્ટ્રિંગ-નેટ લિક્વિડ સિમેટ્રી-પ્રોટેક્ટેડ ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ટોપોલોજિકલ ડિજનરેસી ટોપોલોજિકલ ડિજનરેસી ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ નંબર ટોપોલોજિકલ સ્ટ્રિંગ થિયરી નોંધો ફ્રેક્શનલ ક્વોન્ટમ હોલ સ્ટેટ્સ સ્ટેટ્સ દ્વારા સંદર્ભો ફ્રેક્શનલ ક્વોન્ટમ હોલ સ્ટેટ્સ ચિરલ સ્પિન સ્ટેટ્સ એફક્યુએચ સ્ટેટ્સની પ્રારંભિક લાક્ષણિકતા ઓફ-ડાયાગોનલ લાંબા-રેન્જ ઓર્ડર, ત્રાંસુ કેદ, અને ફ્રેક્શનલ ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ, એસ. એમ. ગિરવિન અને એ. એચ. મેકડોનાલ્ડ, ફિઝ. રેવ. લેટ., 58,1252 (1987) ફ્રેક્શનલ ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ માટે અસરકારક-ક્ષેત્ર-સિદ્ધાંત મોડેલ, એસ. સી. ઝાંગ અને ટી. એચ. હેન્સન અને એસ. કિવેલસન, ફિઝ. રેવ. લેટ., 62,82 (1989) ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર ઝિયાઓ-ગેંગ વેન, ફિઝ. રેવ. બી, 40,7387 (1989), "વેક્યૂમ ડિજનરેસી ઓફ ચિરલ સ્પિન સ્ટેટ ઇન કોમ્પેક્ટિફાઇડ સ્પેસિસ" ઝિયાઓ-ગેંગ વેન, ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી ઓફ મેની બોડી સિસ્ટમ્સ-ફ્રોમ ધ ઓરિજિન ઓફ સાઉન્ડ ટુ એન ઓરિજિન ઓફ લાઇટ એન્ડ ઇલેક્ટ્રોન, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી. પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ, 2004. ટોપોલોજિકલ ક્રમની લાક્ષણિકતા ડી. અરોવાસ અને જે. આર. શ્રીફર અને એફ. વિલ્ઝેક, ફિઝ. રેવ. લેટ., 53,722 (1984), "ફ્રેક્શનલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ એન્ડ ધ ક્વોન્ટમ હોલ ઇફેક્ટ" ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર મિકેનિઝમ ઓફ ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગનો અસરકારક સિદ્ધાંત ચેતન નાયક, સ્ટીવન એચ. સિમોન, એડી સ્ટર્ન, માઈકલ ફ્રીડમેન, શંકર દાસ શર્મા, http://www.arxiv.org/abs/0707.1889,2007, "નોન-એબેલિયન એનોન્સ એન્ડ ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટેશન", રેવ. મોડ. ફિઝ. 80, 1083 (2008). એડી સ્ટર્ન અને બર્ટ્રાન્ડ આઈ. હેલ્પેરિન, ફિઝ. રેવ. લેટ., 96,016802 (2006), નોન-એબેલિયન ન્યુ = 5/2 ક્વોન્ટમ હોલ સ્ટેટ પ્રાથમિક કણોના ઉદભવની તપાસ કરવા માટે સૂચિત પ્રયોગો ઝિયાઓ-ગેંગ વેન, ફિઝ. રેવ. D68,024501 (2003), સ્ટ્રિંગ-નેટ કન્ડેન્સેશનમાંથી ક્વોન્ટમ ક્રમ અને પ્રકાશ અને દળહીન ફર્મિઓનની ઉત્પત્તિ પણ જુઓ ઝેંગ-ચેંગ ગુ અને ઝિયાઓ-ગેંગ વેન, જીઆર-ક્યુસી/0606100, ગુરુત્વાકર્ષણના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત તરીકે એક જાળી બોસનિક મોડેલ, ક્વોન્ટમ ઓપરેટર બીજગણિત લેન્ડસમેન એન. પી. અને રમઝાન બી., લાઈ આલ્જેબ્રોઇડ્સ સાથે સંકળાયેલા પોઈસન આલ્જેબ્રાનું ક્વોન્ટાઇઝેશન, પ્રોસીમાં. કોન્. ભૌતિકશાસ્ત્ર, વિશ્લેષણ અને ભૂમિતિમાં ગ્રૂપોઇડ્સ પર (બોલ્ડર સી. ઓ., 1999) ', સંપાદકો જે. કામિંકર એટ અલ., 159 {192 કન્ટેમ્પ. ગણિત. 282, આમેર. ગણિત. Soc., પ્રોવિડન્સ RI, 2001, (ગણિત પણ {ph/001005.) નોન-એબેલિયન ક્વોન્ટમ બીજગણિત ટોપોલોજી (એનએક્યુએટી) 20 નવેમ્બર (2008), 87 પૃષ્ઠો, બાયાનુ, આઇ. સી. લેવિન એ. અને ઓલ્શાનેત્સ્કી એમ., હેમિલ્ટોનિયન આલ્જેબ્રોઇડ્સ અને રીમાન વણાંકો પર જટિલ માળખાઓની વિકૃતિઓ, હેપ-th/0301078v1. ઝિયાઓ-ગેંગ વેન, યોંગ-શી વૂ અને વાય. હાત્સુગાઈ., ચિરલ ઓપરેટર પ્રોડક્ટ બીજગણિત અને એફક્યુએચ ડ્રોપલેટ (પીડીએફ) ની ધાર ઉત્તેજના, ન્યુક્લ. ફિઝ. B422,476 (1994): બલ્ક વેવ ફંક્શનનું નિર્માણ કરવા, ટોપોલોજિકલ ઓર્ડરની લાક્ષણિકતા દર્શાવવા અને કેટલાક બિન-એબેલિયન FQH સ્થિતિઓ માટે ધારની સ્થિતિઓની ગણતરી કરવા માટે વપરાયેલ કાયરલ ઓપરેટર પ્રોડક્ટ બીજગણિત. ઝિયાઓ-ગેંગ વેન અને યોંગ-શી વૂ., ચોક્કસ એફક્યુએચ સ્ટેટ્સ (પીડીએફ) માં છુપાયેલ ચિરલ ઓપરેટર પ્રોડક્ટ બીજગણિત, ન્યુક્લ. ફિઝ. B419,455 (1994): દર્શાવ્યું કે બિન-એબેલિયન ટોપોલોજિકલ ઓર્ડર કાયરલ ઓપરેટર પ્રોડક્ટ બીજગણિત (કન્ફોર્મલ ફિલ્ડ થિયરીને બદલે) સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. બિન-એબેલિયન સિદ્ધાંત. . આર. બ્રાઉન, પીજે. હિગિન્સ, પી. જે. અને આર. સિવેરા, "નોનબેલિયન બીજગણિત ટોપોલોજીઃ ફિલ્ટર કરેલી જગ્યાઓ, ક્રોસ કોમ્પ્લેક્સ, ક્યુબિકલ હોમોટોપી ગ્રૂપોઇડ્સ" ગણિતમાં ઇએમએસ ટ્રેક્ટ્સ વોલ્યુમ 15 (2011), સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વર્ગો અને બીજગણિત ટોપોલોજી એપ્લિકેશન્સ માટે ગ્રંથસૂચિ ક્વોન્ટમ બીજગણિત ટોપોલોજી (ક્યુએટી) ક્વોન્ટમ તબક્કાઓ સંક્ષિપ્ત દ્રવ્ય ભૌતિકશાસ્ત્ર આંકડાકીય મિકેનિક્સ