Fredholm alternative
ગણિતમાં, ફ્રેડહોલ્મ વૈકલ્પિક, જેનું નામ ઇવર ફ્રેડહોલ્મના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે ફ્રેડહોલ્મના પ્રમેયોમાંનું એક છે અને તે ફ્રેડહોલ્મ સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે. તેને ઘણી રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, રેખીય બીજગણિતના પ્રમેય તરીકે, અભિન્ન સમીકરણોના પ્રમેય તરીકે અથવા ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટરો પરના પ્રમેય તરીકે. પરિણામનો એક ભાગ જણાવે છે કે કોમ્પેક્ટ ઓપરેટરના વર્ણપટમાં બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યા એ આઈગન વેલ્યુ છે. રેખીય બીજગણિત જો V એ n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા છે અને તે એક રેખીય પરિવર્તન છે, તો પછી નીચેનામાંથી એક બરાબર છેઃ V માં દરેક વેક્ટર v માટે V માં એક વેક્ટર u છે જેથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ T એ સર્જેક્ટિવ છે (અને તે જ રીતે બાયજેક્ટિવ પણ, કારણ કે V એ મર્યાદિત-પરિમાણીય છે). મેટ્રિસીસની દ્રષ્ટિએ વધુ પ્રાથમિક રચના નીચે મુજબ છે. m × n મેટ્રિક્સ A અને m × 1 કૉલમ વેક્ટર b આપવામાં આવે તો, નીચે આપેલામાંથી એક બરાબર હોવો જોઈએઃ ક્યાં તોઃ A x = b નો ઉકેલ x છે અથવાઃ AT y = 0 નો ઉકેલ y સાથે yTb  ઒ત્ત 0 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, A x = b નો ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોઈ y માટે જેમ કે AT y = 0 હોય, તો તે yTb = 0 ને અનુસરે છે. ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણો ચાલો એક ઇન્ટિગ્રલ કર્નલ હોઈએ, અને સજાતીય સમીકરણ, ફ્રેડહોલ્મ ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણ અને અસમરૂપ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ. ફ્રેડહોલ્મ વૈકલ્પિક એ નિવેદન છે કે, દરેક બિન-શૂન્ય નિશ્ચિત જટિલ સંખ્યા માટે, પ્રથમ સમીકરણમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે, અથવા બીજા સમીકરણમાં બધા માટે ઉકેલ હોય છે. આ નિવેદન સાચું હોવા માટે પૂરતી શરત એ છે કે લંબચોરસ પર વર્ગ સંકલનક્ષમ હોવું જોઈએ (જ્યાં a અને/અથવા b બાદબાકી અથવા વત્તા અનંત હોઈ શકે છે). આવા K દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટરને હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર કહેવાય છે. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટરો વિશેના પરિણામો આ પરિણામોને અનંત પરિમાણોની પ્રમાણભૂત વેક્ટર જગ્યાઓ પૂર્ણ કરવા માટે સામાન્ય બનાવે છે; એટલે કે, બનાચ જગ્યાઓ. ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણને ઓપરેટર નોટેશનની દ્રષ્ટિએ નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે. વિતરણ અથવા સામાન્યકૃત કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવતા ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યનો અર્થ (કંઈક અંશે અનૌપચારિક રીતે) બે ચલમાં લખો. પછી કોન્વોલ્યુશન દ્વારા, દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેયોની બનાચ જગ્યા પર કામ કરતા રેખીય ઓપરેટરને પ્રેરિત કરે છે. આ ભાષામાં, અભિન્ન સમીકરણો માટેનો ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પ મર્યાદિત-પરિમાણીય રેખીય બીજગણિત માટે ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પ સાથે સમાન હોવાનું જોવામાં આવે છે. ઉપરની જેમ કર્નલ સાથે કોન્વોલ્યુશન દ્વારા આપવામાં આવેલ ઓપરેટર હિલ્બર્ટ-શ્મિટ ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર તરીકે ઓળખાય છે. આવા ઓપરેટરો હંમેશા કોમ્પેક્ટ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જ્યારે કોઈ કોમ્પેક્ટ ઓપરેટર હોય ત્યારે ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પ માન્ય હોય છે. ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પને નીચેના સ્વરૂપમાં પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છેઃ નોનઝીરો કાં તો આઇગન વેલ્યુ છે અથવા તે રિઝોલ્વન્ટ એલિપ્ટિક આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ક્ષેત્રમાં આવેલું છે ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પને રેખીય એલિપ્ટિક સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. મૂળભૂત પરિણામ એ છે કેઃ જો સમીકરણ અને યોગ્ય બનાચ જગ્યાઓ યોગ્ય રીતે ગોઠવવામાં આવી હોય, તો ક્યાં તો (1) સજાતીય સમીકરણનો બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે, અથવા (2) બિન-સજાતીય સમીકરણને માહિતીની દરેક પસંદગી માટે અનન્ય રીતે ઉકેલી શકાય છે. દલીલ નીચે પ્રમાણે છે. એક લાક્ષણિક સરળ-થી-સમજી શકાય તેવું લંબગોળ ઓપરેટર L એ લેપલેસિયન વત્તા કેટલાક નીચલા ક્રમની શરતો હશે. યોગ્ય સીમા શરતો સાથે જોડાઈને અને યોગ્ય બનાચ જગ્યા X પર વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (જે સીમા શરતો અને ઉકેલની ઇચ્છિત નિયમિતતા બંનેને એન્કોડ કરે છે), L એ X થી પોતાની તરફ એક અનબાઉન્ડ ઓપરેટર બની જાય છે, અને એક ઉકેલ લાવવાનો પ્રયાસ કરે છે જ્યાં f bul X એ ડેટા તરીકે સેવા આપતા કેટલાક કાર્ય છે જેના માટે આપણે ઉકેલ જોઈએ છે. ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પ, લંબગોળ સમીકરણોના સિદ્ધાંત સાથે મળીને, આપણને આ સમીકરણના ઉકેલોને ગોઠવવા માટે સક્ષમ બનાવશે. એક નક્કર ઉદાહરણ લંબગોળ સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા હશે જેમ કે સીમા શરત સાથે પૂરક જ્યાં ωRn એ સરળ સીમા સાથે બંધાયેલ ખુલ્લો સમૂહ છે અને h (x) એ એક નિશ્ચિત ગુણાંક કાર્ય છે (શ્રોડિંગર ઓપરેટરના કિસ્સામાં સંભવિત). ફંક્શન f ω X એ ચલ ડેટા છે જેના માટે આપણે સમીકરણને ઉકેલવા માંગીએ છીએ. અહીં કોઈ X ને ω પરના તમામ વર્ગ-સંકલિત વિધેયોની જગ્યા L2 (ω) તરીકે લેશે, અને પછી ડોમ (L) એ સોબોલેવ જગ્યા W 2,2 (ω) ω W (ω) છે, જે ω પરના તમામ વર્ગ-સંકલિત વિધેયોના સમૂહ જેટલું છે, જેમના નબળા પ્રથમ અને બીજા વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને વર્ગ-સંકલિત છે, અને જે ω પર શૂન્ય સીમા શરતને સંતોષે છે. જો X ને યોગ્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય (જેમ કે તે આ ઉદાહરણમાં છે), તો પછી μ0>> 0 માટે ઓપરેટર L + μ0 પોઝિટિવ છે, અને પછી લંબગોળ અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ સાબિત કરી શકે છે કે L + μ0: ડોમ (L) → X એ બાયજેક્શન છે, અને તેનો ઇન્વર્સ કોમ્પેક્ટ છે, X થી X સુધી દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર K છે, જેની છબી ડોમ (L) ની બરાબર છે. આપણે આવા એક μ0 ને ઠીક કરીએ છીએ, પરંતુ તેનું મૂલ્ય મહત્વનું નથી કારણ કે તે માત્ર એક સાધન છે. પછી આપણે કોમ્પેક્ટ ઓપરેટરો માટે ઉપર જણાવેલા ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પને સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા (*)-(* *) ની નિરાકરણક્ષમતા વિશેના નિવેદનમાં રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ. ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પ, ઉપર જણાવ્યા મુજબ, ભારપૂર્વક જણાવે છેઃ દરેક λωR માટે, કાં તો λ એ K નું આઈગન વેલ્યુ છે, અથવા ઓપરેટર K−λ એ X થી પોતે જ બાયજેક્ટિવ છે. ચાલો આપણે બે વિકલ્પોનું અન્વેષણ કરીએ કારણ કે તેઓ સીમા-મૂલ્યની સમસ્યા માટે રમે છે. ધારો કે λ ષ્ણાંક 0 છે. પછી ક્યાં તો (A) λ એ K′ નું આઈગન વેલ્યુ છે, ત્યાં (L + μ0) h = λ − 1h ′-μ0 + λ − 1 નો ઉકેલ h ′ ડોમ (L) એ L નું આઈગન વેલ્યુ છે. (B) ઓપરેટર K − λ: X → X એ બાયજેક્શન ′ (K − λ) (L + μ0) = ID − λ (L + μ0): ડોમ (L) → X એ બાયજેક્શન ′ L + μ0 − λ − 1: ડોમ (L) → X એ બાયજેક્શન છે. - μ0 + λ−1 ને λ દ્વારા બદલીને, અને કેસ λ =-μ0 ને અલગથી સારવાર કરવાથી, લંબગોળ સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા માટે નીચેનો ફ્રેડહોલ્મ વિકલ્પ મળે છેઃ દરેક λ bulR માટે, કાં તો સજાતીય સમીકરણ (L − λ) u = 0 નો બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે, અથવા સજાતીય સમીકરણ (L − λ) u = f દરેક આપેલ ડેટમ f bul X માટે એક અનન્ય ઉકેલ u bul ડોમ (L) ધરાવે છે. પછીનું કાર્ય u ઉપર રજૂ કરાયેલ સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા (*)-(* *) ને હલ કરે છે. આ તે દ્વિભાજન છે જેનો દાવો ઉપર (1)-(2) માં કરવામાં આવ્યો હતો. કોમ્પેક્ટ ઓપરેટરો માટેના સ્પેક્ટ્રલ થીયરમ દ્વારા, એ પણ પ્રાપ્ત થાય છે કે λ નો સમૂહ કે જેના માટે સોલ્વેબિલિટી નિષ્ફળ જાય છે તે R (L ના આઈગનવેલ્યુ) નો એક અલગ સબસેટ છે. આઈગનવેલ્યુ સાથે સંકળાયેલા આઈગનફંક્શન્સને "રેઝોનન્સ" તરીકે વિચારી શકાય છે જે સમીકરણની ઉકેલનીયતાને અવરોધે છે. કોમ્પેક્ટ ઓપરેટરોની સ્પેક્ટ્રલ થિયરી પણ જુઓ ફારકાસના લેમ્મા રેફરન્સ એ. જી. રામ, "એ સિમ્પલ પ્રૂફ ઓફ ધ ફ્રેડહોલ્મ અલ્ટરનેટિવ એન્ડ એ કેરેક્ટરાઇઝેશન ઓફ ધ ફ્રેડહોલ્મ ઓપરેટર્સ", અમેરિકન મેથેમેટિકલ મંથલી, 108 (2001) પૃષ્ઠ 855. ફ્રેડહોલ્મ સિદ્ધાંત રેખીય બીજગણિત