Large set (Ramsey theory)
રેમ્સે સિદ્ધાંતમાં, કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ S ને મોટો સમૂહ માનવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો વેન ડેર વેર્ડેનના પ્રમેયને S માં સામાન્ય તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિના અસ્તિત્વ પર ભાર મૂકવા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. એટલે કે, S મોટો હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કુદરતી સંખ્યાઓના દરેક મર્યાદિત પાર્ટીશનમાં એક કોષ હોય જેમાં મનસ્વી રીતે લાંબા અંકગણિત પ્રગતિઓ હોય જેમાં S માં સામાન્ય તફાવતો હોય. ઉદાહરણો કુદરતી સંખ્યાઓ મોટી હોય છે. આ ચોક્કસપણે વેન ડેર વેર્ડેનના પ્રમેયનો દાવો છે. સમ સંખ્યાઓ મોટી છે. ગુણધર્મો વિશાળતા માટે જરૂરી શરતોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ જો S મોટી હોય, તો કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, S માં n નો ઓછામાં ઓછો એક ગુણાંક (સમકક્ષ, અનંત ગુણાંક) હોવો આવશ્યક છે. બે પર્યાપ્ત શરતો છેઃ જો S એ મનસ્વી રીતે મોટા n માટે n-ક્યુબ્સ ધરાવે છે, તો S મોટો છે. જો જ્યાં સાથે બહુપદી અને હકારાત્મક અગ્રણી ગુણાંક હોય, તો તે મોટો છે. પ્રથમ પર્યાપ્ત શરત સૂચવે છે કે જો S એક જાડા સમૂહ છે, તો S મોટો છે. મોટા સમૂહો વિશેની અન્ય હકીકતોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ જો S મોટો હોય અને F મર્યાદિત હોય, તો S-F મોટો છે. તે વિશાળ છે. જો S મોટો હોય, તો તે પણ મોટો હોય છે. જો તે મોટું છે, તો કોઈપણ માટે, તે મોટું છે. 2-મોટા અને k-મોટા સમૂહો એક સમૂહ k-મોટો હોય છે, કુદરતી સંખ્યા k> 0 માટે, જ્યારે તે વિશાળતા માટેની શરતોને પૂર્ણ કરે છે જ્યારે વેન ડેર વેર્ડેનના પ્રમેયની પુનર્કથન માત્ર k-રંગો સાથે સંબંધિત હોય છે. દરેક સમૂહ કેટલાક મહત્તમ k માટે કાં તો મોટો અથવા k-મોટો હોય છે. આ બે મહત્વપૂર્ણ તથ્યોમાંથી અનુસરે છે, જોકે તુચ્છ રીતે સાચું છેઃ k-વિશાળતા સૂચવે છે (k-1)-k> 1 k માટે વિશાળતા-બધા k માટે મોટીતા સૂચવે છે. તે અજ્ઞાત છે કે ત્યાં 2-મોટા સમૂહો છે કે જે મોટા સમૂહો પણ નથી. બ્રાઉન, ગ્રેહામ અને લેન્ડમેન (1999) અનુમાન કરે છે કે આવા કોઈ સેટ અસ્તિત્વમાં નથી. આ પણ જુઓ સમૂહનું વિભાજન વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ ગણિતઃ વાન ડેર વેર્ડેનની પ્રમેય સમૂહ સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત વિભાવનાઓ સ્વતંત્ર ગણિતમાં રામસે સિદ્ધાંત પ્રમેયો