Elliptic surface
ગણિતમાં, લંબગોળ સપાટી એ એક એવી સપાટી છે જે લંબગોળ તંતુ ધરાવે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો બીજગણિત વળાંક સાથે જોડાયેલા તંતુઓ સાથે યોગ્ય આકારવાદ છે જેમ કે લગભગ તમામ તંતુઓ જીનસ 1 ના સરળ વળાંક હોય છે. (જટિલ સંખ્યાઓ જેવા બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર, આ તંતુઓ લંબગોળ વળાંક છે, કદાચ પસંદ કરેલ મૂળ વગર.) આ સામાન્ય રેસા જે જીનસ વનનું સરળ વળાંક છે તેની સમકક્ષ છે. આ યોગ્ય આધાર પરિવર્તનથી અનુસરે છે. સપાટી અને આધાર વળાંક બિન-એકાત્મક (સંદર્ભના આધારે જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ અથવા નિયમિત યોજનાઓ) હોવાનું માનવામાં આવે છે. લંબગોળ વળાંક ન હોય તેવા તંતુઓને એકવચન તંતુઓ કહેવામાં આવે છે અને કુનિહિકો કોડાઇરા દ્વારા તેનું વર્ગીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. લંબગોળ અને એકવચન તંતુઓ બંને તાર સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ છે, ખાસ કરીને એફ-સિદ્ધાંતમાં. લંબગોળ સપાટીઓ સપાટીઓનો એક મોટો વર્ગ બનાવે છે જેમાં સપાટીઓના ઘણા રસપ્રદ ઉદાહરણો છે, અને જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ અને સરળ 4-મેનીફોલ્ડ્સના સિદ્ધાંતોમાં પ્રમાણમાં સારી રીતે સમજી શકાય છે. તેઓ સંખ્યા ક્ષેત્રો પર લંબગોળ વળાંક (જેની સાથે સામ્યતા છે) સમાન છે. ઉદાહરણો કોઈપણ વળાંક સાથેના કોઈપણ લંબગોળ વળાંકનું ઉત્પાદન એક લંબગોળ સપાટી છે (જેમાં કોઈ એકવચન તંતુઓ નથી). કોડાઇરા પરિમાણ 1 ની તમામ સપાટીઓ લંબગોળ સપાટીઓ છે. દરેક જટિલ એનરિક સપાટી લંબગોળ હોય છે, અને પ્રોજેક્ટિવ રેખા પર લંબગોળ તંતુ હોય છે. કોડાઇરા સપાટીઓ ડોલગાચેવની સપાટીઓ શીઓડા મોડ્યુલર સપાટીઓ કોડાઇરાના એકવચન રેસાના ટેબલની સપાટીઓ લંબગોળ તંતુના મોટાભાગના તંતુઓ (બિન-એકકોણીય) લંબગોળ વળાંક છે. બાકીના તંતુઓને એકવચન તંતુઓ કહેવામાં આવે છેઃ તેમાંની મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે, અને દરેકમાં તર્કસંગત વળાંકનું જોડાણ હોય છે, સંભવતઃ એકવચન અથવા બિન-શૂન્ય ગુણાકાર સાથે (તેથી તંતુઓ બિન-ઘટાડેલી યોજનાઓ હોઈ શકે છે). કોડાઇરા અને નેરોને સ્વતંત્ર રીતે સંભવિત તંતુઓનું વર્ગીકરણ કર્યું, અને ટેટના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ સંખ્યા ક્ષેત્ર પર લંબગોળ વળાંકના તંતુઓના પ્રકારને શોધવા માટે કરી શકાય છે. નીચેનું કોષ્ટક લઘુત્તમ લંબગોળ તંતુઓના સંભવિત તંતુઓની યાદી આપે છે. ("લઘુતમ" નો અર્થ આશરે એવો થાય છે કે જેને "નાના" દ્વારા પરિબળ કરી શકાતો નથી; ચોક્કસપણે, એકવચન તંતુઓમાં સ્વ-છેદન સંખ્યા −1 સાથે કોઈ સરળ તર્કસંગત વળાંક હોવો જોઈએ નહીં.) તે આપે છેઃ ફાઇબર માટે કોડેરાનું પ્રતીક, ફાઇબર માટે આન્દ્રે નેરોનનું પ્રતીક, ફાઇબરના ઈરીડ્યુસિબલ ઘટકોની સંખ્યા (પ્રકાર I0 સિવાય તમામ તર્કસંગત) ઘટકોની આંતરછેદ મેટ્રિક્સ. આ કાં તો 1 × 1 શૂન્ય મેટ્રિક્સ અથવા એફાઇન કાર્ટન મેટ્રિક્સ છે, જેની ડાયનકિન આકૃતિ આપવામાં આવી છે. દરેક તંતુનો ગુણાકાર ડાયન્કિન આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે મળી શકે છે. ભૌમિતિક દલીલો દર્શાવે છે કે ફાઇબરના ઘટકોનું આંતરછેદ મેટ્રિક્સ નકારાત્મક અર્ધ-અનંત, જોડાયેલ, સપ્રમાણ હોવું જોઈએ અને તેમાં −1 (લઘુતમ દ્વારા) ની બરાબર કોઈ કર્ણ એન્ટ્રીઓ હોવી જોઈએ નહીં. આવા મેટ્રિક્સ એ. ડી. ઈ. પ્રકારનાં એફાઇન ડાયનકિન આકૃતિના કાર્ટન મેટ્રિક્સના 0 અથવા બહુવિધ હોવા જોઈએ. આંતરછેદ મેટ્રિક્સ ત્રણ અપવાદો સાથે ફાઇબરનો પ્રકાર નક્કી કરે છેઃ જો આંતરછેદ મેટ્રિક્સ 0 હોય તો ફાઇબર કાં તો લંબગોળ વળાંક (પ્રકાર I0) હોઈ શકે છે, અથવા બેવડું બિંદુ (પ્રકાર I1) અથવા કસ્પ (પ્રકાર II) હોઈ શકે છે. જો આંતરછેદ મેટ્રિક્સ એ. 1 સાથે સંલગ્ન હોય, તો આંતરછેદ ગુણાકાર 2 સાથે 2 ઘટકો છે. તેઓ ઓર્ડર 1 (પ્રકાર I2) સાથે 2 પોઈન્ટમાં અથવા ઓર્ડર 2 (પ્રકાર III) સાથે એક પોઈન્ટ પર મળી શકે છે. જો આંતરછેદ મેટ્રિક્સ એ 2 ને સંલગ્ન હોય, તો ત્યાં 3 ઘટકો છે જે દરેક અન્ય બેને મળે છે. તેઓ 3 અલગ-અલગ બિંદુઓ (પ્રકાર I3) પર જોડીમાં મળી શકે છે, અથવા બધા એક જ બિંદુ (પ્રકાર IV) પર મળી શકે છે. મોનોડ્રોમી દરેક એકવચન તંતુની આસપાસની મોનોડ્રોમી એ નિર્ધારક 1 સાથે 2 × 2 પૂર્ણાંક મેટ્રિસીસના જૂથ SL (2, Z) માં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સંયુગ્મતા વર્ગ છે. મોનોડ્રોમી એ રીતે વર્ણવે છે કે જે રીતે આપણે એકવચન ફાઇબરની આસપાસ જઈએ છીએ ત્યારે સરળ ફાઇબરનું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ (જે Z2 માટે સમરૂપ છે) બદલાય છે. એકવચન તંતુઓ સાથે સંકળાયેલા આ સંયોગ વર્ગોના પ્રતિનિધિઓ આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ પ્રકાર II, III, IV, I0 *, IV *, III *, અથવા II * ના એકવચન તંતુઓ માટે, મોનોડ્રોમી SL (2, Z) માં મર્યાદિત ક્રમ ધરાવે છે. આ એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે લંબગોળ તંતુઓમાં આવા તંતુઓમાં સંભવિત સારો ઘટાડો થાય છે. એટલે કે, આધાર વળાંકના વિસ્તૃત મર્યાદિત આવરણ પછી, એકવચન તંતુને સરળ લંબગોળ વળાંક દ્વારા બદલી શકાય છે. કયા સરળ વળાંક દેખાય છે તે કોષ્ટકમાં જે-ઇનવેરિયન્ટ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. જટિલ સંખ્યાઓ પર, જે-ઇનવેરિયન્ટ 0 સાથેનું વળાંક એ ક્રમ 6 ના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ સાથેનું અનન્ય લંબગોળ વળાંક છે, અને જે-ઇનવેરિયન્ટ 1728 સાથેનું વળાંક એ ક્રમ 4 ના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ સાથેનું અનન્ય લંબગોળ વળાંક છે. (અન્ય તમામ લંબગોળ વળાંક ક્રમ 2 નું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ધરાવે છે.) વિભાગ સાથેના લંબગોળ તંતુ માટે, જેને જેકોબિયન લંબગોળ તંતુ કહેવાય છે, દરેક તંતુના સરળ સ્થાનમાં જૂથ માળખું હોય છે. એકવચન તંતુઓ માટે, સરળ સ્થાન પર આ જૂથ માળખું કોષ્ટકમાં વર્ણવવામાં આવ્યું છે, એમ ધારીને કે આધાર ક્ષેત્ર જટિલ સંખ્યાઓ છે. (એફાઇન ડાયન્કિન આકૃતિ દ્વારા આપવામાં આવેલ આંતરછેદ મેટ્રિક્સ સાથેના એકવચન ફાઇબર માટે, સરળ લોકસના ઘટકોનું જૂથ અહીં સૂચિબદ્ધ ડાયન્કિન આકૃતિ સાથે સરળ રીતે જોડાયેલા સરળ લાઈ જૂથના કેન્દ્રમાં સમરૂપ છે.) એકવચન તંતુઓના જૂથ માળખાને જાણવું એ લંબગોળ તંતુ (વિભાગોનું જૂથ) ના મોર્ડેલ-વેઇલ જૂથની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગી છે, ખાસ કરીને તેના વળાંક પેટા જૂથ. કેનોનિકલ બંડલ સૂત્ર સપાટીઓના વર્ગીકરણમાં લંબગોળ સપાટીઓ કેવી રીતે બંધબેસે છે તે સમજવા માટે, લઘુત્તમ લંબગોળ સપાટીના કેનોનિકલ બંડલની ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે f: X → S. જટિલ સંખ્યાઓ પર, કોડાઇરાએ નીચેનું કેનોનિકલ બંડલ સૂત્ર સાબિત કર્યુંઃ અહીં f (જો કોઈ હોય તો) ના બહુવિધ તંતુઓ આ રીતે લખવામાં આવે છે, એક પૂર્ણાંક માટે mi ઓછામાં ઓછું 2 અને એક વિભાજક માટે, જેના ગુણાંકમાં 1 ની બરાબર સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક હોય છે, અને L એ સરળ વળાંક S પર કોઈ રેખા બંડલ હોય છે. જો S પ્રોજેક્ટિવ (અથવા સમકક્ષ, કોમ્પેક્ટ) હોય, તો L ની ડિગ્રી X અને S ની હોલોમોર્ફિક યુલર લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા નક્કી થાય છેઃ χ (χ) = χ (χ) કેનોનિકલ બંડલ સૂત્ર સૂચવે છે કે KX એ S પર કેટલાક Q-વિભાજકના પુલબેકની સમકક્ષ Q-રેખીય છે; તે અહીં જરૂરી છે કે લંબગોળ સપાટી X → S ન્યૂનતમ હોય. કેન્જી યુએનોના કાર્યને આધારે, તાકાઓ ફુજીતા (1986) એ કેનોનિકલ બંડલ સૂત્રનો ઉપયોગી પ્રકાર આપ્યો હતો, જે દર્શાવે છે કે કેવી રીતે KX સરળ રેસાની વિવિધતા પર આધાર રાખે છે. એટલે કે, એક ક્યૂ-રેખીય સમાનતા છે જ્યાં વિભેદક વિભાજક બીએસ એ એફના એકવચન તંતુઓ સાથે સંકળાયેલ એસ પર એક સ્પષ્ટ અસરકારક ક્યૂ-વિભાજક છે, અને મોડુલી વિભાજક એમએસ છે, જ્યાં જેઃ એસ → પી 1 એ સરળ તંતુઓના જે-ઇનવેરિયન્ટને આપતું કાર્ય છે. (આમ એમએસ એ વિભાજક વર્ગ જૂથ સીએલ (એસ) અને પિકાર્ડ જૂથ પિક (એસ) વચ્ચેની ઓળખનો ઉપયોગ કરીને ક્યૂ-વિભાજકનો ક્યૂ-રેખીય સમકક્ષ વર્ગ છે.) ખાસ કરીને, એસ પ્રોજેક્ટિવ માટે, મોડ્યુલી વિભાજક એમએસ બિન-નકારાત્મક ડિગ્રી ધરાવે છે, અને તેની ડિગ્રી શૂન્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો લંબગોળ સપાટી આઇસોટ્રીવિઅલ હોય, એટલે કે તમામ સરળ તંતુઓ આઇસોમોર્ફિક હોય. ફુજિતાના સૂત્રમાં વિભેદક વિભાજકને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં c (p) એ લૉગ કેનોનિકલ થ્રેશોલ્ડ છે. આ એકવચન તંતુના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, 0 અને 1 વચ્ચેની સ્પષ્ટ તર્કસંગત સંખ્યા છે. સ્પષ્ટ રીતે, એલ. સી. ટી. એ સ્મૂથ ફાઇબર અથવા પ્રકાર માટે 1 છે, અને તે બહુવિધ ફાઇબર માટે 1/એમ, માટે 1/2, માટે 5/6, માટે III, માટે 3/4, માટે 2/3, માટે 1/3 IV *, માટે 1/4 III *, અને માટે 1/6 II * છે. કેનોનિકલ બંડલ સૂત્ર (ફુજિતાના સ્વરૂપમાં) ને યુજિરો કવામાતા અને અન્ય લોકો દ્વારા કોઈપણ પરિમાણની કાલાબી-યૌ જાતોના પરિવારો માટે સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું છે. લઘુગણક પરિવર્તન લંબગોળ સપાટી અથવા તંતુઓનું લઘુગણક પરિવર્તન (કેન્દ્ર પી સાથે ક્રમ m નું) આધાર જગ્યાના બિંદુ પી પર ગુણાકાર 1 ના તંતુને ગુણાકાર m ના તંતુમાં ફેરવે છે. તેને ઉલટાવી શકાય છે, તેથી ઉચ્ચ ગુણાકારના તંતુઓ બધાને ગુણાકાર 1 ના તંતુઓમાં ફેરવી શકાય છે, અને આનો ઉપયોગ તમામ બહુવિધ તંતુઓને દૂર કરવા માટે થઈ શકે છે. લઘુગણક પરિવર્તન ખૂબ જ હિંસક હોઈ શકે છેઃ તેઓ કોડેરાના પરિમાણને બદલી શકે છે, અને બીજગણિત સપાટીઓને બિન-બીજગણિત સપાટીઓમાં ફેરવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ધારો કે L એ C નું જાળી Z + iZ છે, અને ધારો કે E એ લંબગોળ વળાંક C/L છે. પછી E × C થી C સુધીનો પ્રક્ષેપણ નકશો લંબગોળ તંતુ છે. આપણે બતાવીશું કે 0 થી વધુ ફાઇબરને ગુણાકાર 2 ના ફાઇબરથી કેવી રીતે બદલવું. ક્રમ 2 નું E × C નું ઓટોમોર્ફિઝમ છે જે (c, s) થી (c + 1/2, −s) નો નકશો બનાવે છે. આપણે આ જૂથ ક્રિયા દ્વારા X ને E × C નો ભાગાકાર માનીએ છીએ. આપણે (c, s) થી s2 નું મેપિંગ કરીને X ને C પર ફાઇબર સ્પેસમાં બનાવીએ છીએ. આપણે (c, s) થી (c-log (s)/2πi, s2) નું મેપિંગ કરીને X માઇનસ ફાઈબર ઓવર 0 થી E × C માઇનસ ફાઈબર ઓવર 0 થી આઇસોમોર્ફિઝમ બનાવીએ છીએ. (0 થી ઉપરના બે તંતુઓ બિન-સમરૂપ લંબગોળ વળાંક છે, તેથી તંતુ X ચોક્કસપણે સમગ્ર C પર તંતુ E × C માટે સમરૂપ નથી.) પછી તંતુ X માં 2 થી 0 નો ગુણાકાર હોય છે, અને અન્યથા E × C જેવો દેખાય છે. આપણે કહીએ છીએ કે કેન્દ્ર 0 સાથે ક્રમ 2 થી E × C ના લઘુગણક પરિવર્તનને લાગુ કરીને X મેળવવામાં આવે છે. એનરિક-કોડાઇરા વર્ગીકરણ નેરોન લઘુતમ મોડેલ નોંધો સંદર્ભો જટિલ સપાટીઓ બાયરેશનલ ભૂમિતિ બીજગણિત સપાટીઓ ગાણિતિક વર્ગીકરણ પ્રણાલીઓ પણ જુઓ.