Convex analysis
બહિર્મુખ વિશ્લેષણ એ ગણિતની શાખા છે જે બહિર્મુખ કાર્યો અને બહિર્મુખ સમૂહોના ગુણધર્મોના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે, ઘણીવાર બહિર્મુખ લઘુતમકરણમાં ઉપયોગો સાથે, જે ઓપ્ટિમાઇઝેશન સિદ્ધાંતનું પેટા ક્ષેત્ર છે. કન્વેક્સ સમૂહો અમુક વેક્ટર જગ્યાનો સબસેટ એ છે કે જો તે નીચેની સમકક્ષ શરતોમાંથી કોઈપણને સંતોષેઃ જો વાસ્તવિક હોય અને પછી જો વાસ્તવિક હોય અને તેની સાથે સમગ્ર, વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં મૂલ્ય ધરાવતો નકશો હશે, જેમાં ડોમેન હશે જે અમુક વેક્ટર જગ્યાનો બહિર્મુખ સબસેટ હશે. જો વ્યાખ્યાયિત અસમાનતા () ને કડક અસમાનતા દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે આ સાચું રહે તો તેને કહેવામાં આવે છે. બહિર્મુખ કાર્યો બહિર્મુખ સમૂહો સાથે સંબંધિત છે. ખાસ કરીને, કાર્ય બહિર્મુખ હોય છે જો અને માત્ર જો તે બહિર્મુખ સમૂહ હોય. વિસ્તૃત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યોના શિલાલેખો બહિર્મુખ વિશ્લેષણમાં ભૂમિકા ભજવે છે જે વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યના આલેખ દ્વારા ભજવવામાં આવેલી ભૂમિકા સાથે સમાન છે. ખાસ કરીને, વિસ્તૃત વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્યનું શિલાલેખ ભૌમિતિક અંતઃપ્રેરણા પ્રદાન કરે છે જેનો ઉપયોગ સૂત્રને મદદ કરવા અથવા અનુમાનોને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ફંક્શનનું ડોમેન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જ્યારે તે સમૂહ છે ફંક્શનને જો અને વૈકલ્પિક રીતે કહેવામાં આવે છે, આનો અર્થ એ છે કે ડોમેનમાં કેટલાક અસ્તિત્વમાં છે જેના પર અને તે સમાન પણ છે શબ્દોમાં કહીએ તો, ફંક્શન એ છે કે જો તેનું ડોમેન ખાલી ન હોય, તો તે ક્યારેય મૂલ્ય લેતું નથી અને તે સમાન રીતે સમાન પણ નથી. કન્વેક્સ કોન્જુગેટ વિસ્તૃત વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેય (જરૂરી નથી કે બહિર્મુખ) નું વિધેય એ (સતત) દ્વિ જગ્યાનું વિધેય છે અને જ્યાં કૌંસ કેનોનિકલ દ્વૈતતા સૂચવે છે. સબડિફરેન્શિયલ સેટ અને ફેન્શલ-યંગ અસમાનતા જો અને પછી છે ઉદાહરણ તરીકે, મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કિસ્સામાં જ્યાં ધોરણ છે, તે બતાવી શકાય છે કે જો પછી આ વ્યાખ્યા નીચે ઘટાડીનેઃ અને કોઈપણ માટે અને જેને કહેવામાં આવે છે. આ અસમાનતા એક સમાનતા છે (એટલે કે) જો અને માત્ર જો તે આ રીતે હોય કે પેટા-વિભેદક સમૂહ બહિર્મુખ સંયુગ્મ બીકોનજુગેટ સાથે સીધો સંબંધિત હોય તો કાર્યનું બીકોનજુગેટ એ સંયુગ્મનું સંયુગ્મ છે, જેને સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે. કોઈપણ માટે અસમાનતા થી અનુસરે છે. યોગ્ય વિધેયો માટે, જો અને માત્ર જો ફેન્શેલ-મોરેઉ પ્રમેય દ્વારા બહિર્મુખ અને નીચલા અર્ધ-સતત હોય. કન્વેક્સ મિનિમાઈઝેશન A () એ કન્વેક્સ ફંક્શન અને કન્વેક્સ સબસેટ બેવડી સમસ્યા આપવામાં આવે ત્યારે શોધવામાં આવતું એક સ્વરૂપ છે. ઓપ્ટિમાઇઝેશન થિયરીમાં, જણાવે છે કે ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓને બેમાંથી કોઈ એક દ્રષ્ટિકોણથી જોઈ શકાય છે, પ્રાથમિક સમસ્યા અથવા બેવડી સમસ્યા. સામાન્ય રીતે બે બેવડી જોડીઓ સ્થાનિક રીતે બહિર્મુખ જગ્યાઓને અલગ કરે છે અને પછી કાર્યને જોતાં આપણે પ્રાથમિક સમસ્યાને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ કે જો ત્યાં અવરોધ શરતો હોય, તો સૂચક કાર્ય ક્યાં છે તે આપીને તેને કાર્યમાં બનાવી શકાય છે. પછી ચાલો એક વિક્ષેપ કાર્ય એ રીતે કરીએ કે પસંદ કરેલા વિક્ષેપ કાર્યના સંદર્ભમાં બંને ચલમાં બહિર્મુખ સંયુગ્મ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો બંને પક્ષો એકબીજાના સમાન હોય, તો સમસ્યા મજબૂત દ્વૈતતાને સંતોષતી હોવાનું કહેવાય છે. મજબૂત દ્વૈતતા માટે ઘણી શરતો છે જેમ કેઃ જ્યાં પ્રાથમિક અને બેવડી સમસ્યાઓને લગતા વિક્ષેપ કાર્ય છે અને તે દ્વિકોણીય છે; પ્રાથમિક સમસ્યા એક રેખીય ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા છે; બહિર્મુખ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા માટે સ્લેટરની સ્થિતિ. અસમાનતાના અવરોધો સાથે બહિર્મુખ લઘુતમ સમસ્યા માટે, લગ્રેન્જિયન બેવડી સમસ્યાને આધિન, જ્યાં ઉદ્દેશ્ય કાર્ય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ લગ્રેન્જ બેવડા કાર્યને આધિન છેઃ નોંધો પણ જુઓ બાહ્ય સંદર્ભો વિશ્લેષણ