CR manifold
ગણિતમાં, સી. આર. મેનીફોલ્ડ, અથવા કોચી-રીમેન મેનીફોલ્ડ, એક જટિલ વેક્ટર જગ્યામાં વાસ્તવિક અતિ સપાટીના નમૂના પર રચાયેલ ભૌમિતિક માળખા સાથે, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે ફાચરની ધાર પર રચાયેલ એક વિભેદક મેનીફોલ્ડ છે. ઔપચારિક રીતે, સી. આર. મેનીફોલ્ડ એ પ્રિફર્ડ કોમ્પ્લેક્સ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન એલ સાથે મળીને ડિફરન્સિએબલ મેનીફોલ્ડ એમ છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો કોમ્પ્લેક્સિફાઇડ સ્પર્શક બંડલનું કોમ્પ્લેક્સ સબબંડલ છે જેમ કે (એલ ઔપચારિક રીતે ઇન્ટિગ્રેબલ છે). સબબંડલ એલને મેનીફોલ્ડ એમ પર સી. આર. માળખું કહેવામાં આવે છે. સંક્ષિપ્ત નામ સી. આર. નો અર્થ "કોચી-રીમેન" અથવા "કોમ્પ્લેક્સ-રિયલ" થાય છે. પરિચય અને પ્રેરણા સી. આર. માળખાની કલ્પના, હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીને જટિલ જગ્યામાં અતિસંવેદનશીલ સપાટી (અથવા ઉચ્ચ કોડિમેન્શનના અમુક વાસ્તવિક સબમેનિફોલ્ડ્સ) હોવાના આંતરિક ગુણધર્મને વર્ણવવાનો પ્રયાસ કરે છે, જે અતિસંવેદનશીલ સપાટીને સ્પર્શ કરે છે. દાખલા તરીકે ધારો કે M એ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અતિશય સપાટી છે જ્યાં z અને w સામાન્ય જટિલ કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ના હોલોમોર્ફિક સ્પર્શક બંડલમાં વેક્ટરના તમામ રેખીય સંયોજનોનો સમાવેશ થાય છે. M પરનું વિતરણ L એ આ વેક્ટરના તમામ સંયોજનોનો સમાવેશ કરે છે જે M ને સ્પર્શક હોય છે. સ્પર્શક વેક્ટરને M માટે વ્યાખ્યાયિત સમીકરણને નાબૂદ કરવું આવશ્યક છે, તેથી L માં M ના જટિલ સ્કેલર ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે. ખાસ કરીને, L માં હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રોનો સમાવેશ થાય છે જે F ને નાબૂદ કરે છે. નોંધ કરો કે L એ M પર CR માળખું આપે છે, [L, L] = 0 માટે (કારણ કે L એક-પરિમાણીય છે) અને કારણ કે ષ્ણ/ષ્ણ અને ષ્ણ/ષ્ણ તેમના જટિલ સંયોજનોથી રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. વધુ સામાન્ય રીતે, ધારો કે M એ સમીકરણ F (z1,., zn) = 0 વ્યાખ્યાયિત કરતી વાસ્તવિક અતિસંવેદનશીલ સપાટી છે. પછી CR માળખું L મૂળભૂત હોલોમોર્ફિક વેક્ટરના તે રેખીય સંયોજનોનો સમાવેશ કરે છેઃ જે વ્યાખ્યાયિત કાર્યને નાબૂદ કરે છે. આ કિસ્સામાં, પહેલાની જેમ જ કારણસર. તદુપરાંત, [L, L] L કારણ કે હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રોના પરિવર્તક F ને નાબૂદ કરે છે તે ફરીથી એક હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્ર છે જે F ને નાબૂદ કરે છે. એમ્બેડેડ અને એબ્સ્ટ્રેક્ટ CR મેનીફોલ્ડ્સ એમ્બેડેડ CR મેનીફોલ્ડ્સ (હાયપરસર્ફેસ અને જટિલ જગ્યામાં વેજની ધાર) અને એબ્સ્ટ્રેક્ટ CR મેનીફોલ્ડ્સ (જે જટિલ વિતરણ L દ્વારા આપવામાં આવે છે) ના સિદ્ધાંતો વચ્ચે તીવ્ર વિરોધાભાસ છે. ઘણી ઔપચારિક ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ સમાન છે. તેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ બહિર્મુખતાની કલ્પના (લેવી સ્વરૂપ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ) એક વિભેદક સંચાલક, જે ડોલ્બેલ્ટ સંચાલક જેવું જ છે, અને સંકળાયેલ કોહોમોલોજી (સ્પર્શક કોચી-રીમેન સંકુલ). એમ્બેડેડ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ કેટલીક વધારાની રચના ધરાવે છે, જોકેઃ કોચી-રીમેન સમીકરણો માટે ન્યુમેન અને ડિરીક્લેટ સમસ્યા. આ લેખ પ્રથમ એમ્બેડેડ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સની ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લે છે, બતાવે છે કે આ માળખાને આંતરિક રીતે કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવી, અને પછી આને અમૂર્ત સેટિંગમાં સામાન્ય બનાવે છે. એમ્બેડેડ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ પ્રારંભિક એમ્બેડેડ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ, પ્રથમ અને અગ્રણી, જટિલ સ્પર્શક બંડલના સબબંડલ્સની જોડીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સબમેનીફોલ્ડ્સ છેઃ તેમાં એન્ટીહોલોમોર્ફિક કાર્યોને નાબૂદ કરતા જટિલ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે. હોલોમોર્ફિક કોઓર્ડિનેટ્સમાંઃ હોલોમોર્ફિક કાર્યોને નાબૂદ કરતા જટિલ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે. કોઓર્ડિનેટ્સમાંઃ ડોલ્બીઓલ્ટ કોમ્પ્લેક્સમાંથી લાક્ષણિકતા વિનાશક પણ સુસંગત છેઃ કોઓર્ડિનેટ્સમાં, કોઓર્ડિનેટ્સમાં, આની બાહ્ય પેદાશો સ્વ-સ્પષ્ટ સંકેત ω (p, q) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને ડોલ્બીઓલ્ટ ઓપરેટર અને આ જગ્યાઓ વચ્ચેના તેના જટિલ સંયુગ્મ નકશા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છેઃ વધુમાં, સામાન્ય બાહ્ય વ્યુત્પન્નનું વિઘટન થાય છે. જટિલ જગ્યાના વાસ્તવિક સબમેનિફોલ્ડ્સ ચાલો એક વાસ્તવિક સબમેનિફોલ્ડ્સ હોઈએ, જેને સ્થાનિક રીતે સરળ વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળા વિધેયોની પ્રણાલીના સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ધારો કે આ પ્રણાલીના વિભેદકનો જટિલ-રેખીય ભાગ મહત્તમ ક્રમ ધરાવે છે, તે અર્થમાં કે ભિન્નતાઓ નીચેની સ્વતંત્રતા શરતને સંતોષે છેઃ નોંધ કરો કે આ શરત ગર્ભિત કાર્ય પ્રમેયને લાગુ કરવા માટે જરૂરી કરતાં સખત રીતે મજબૂત છેઃ ખાસ કરીને, M એ વાસ્તવિક પરિમાણનો મેનીફોલ્ડ છે. આપણે કહીએ છીએ કે M એ CR કોડીમેન્શન k નું સામાન્ય એમ્બેડેડ CR સબમેનિફોલ્ડ છે. વિશેષણ સામાન્ય સૂચવે છે કે સ્પર્શક જગ્યા જટિલ સંખ્યાઓથી વધુની સ્પર્શક જગ્યામાં ફેલાયેલી છે. મોટાભાગની એપ્લિકેશનોમાં, k = 1, આ કિસ્સામાં મેનીફોલ્ડને અતિસંવેદનશીલ પ્રકારનો હોવાનું કહેવાય છે. બધા વ્યાખ્યાયિત કાર્યોને નાબૂદ કરતા વેક્ટરનું સબબંડલ બનવા દો નોંધ લો કે, અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓ પર સંકલિત વિતરણ માટે સામાન્ય વિચારણાઓ દ્વારા, L અનૈચ્છિક છે. વધુમાં, સ્વતંત્રતાની શરત સૂચવે છે કે L એ અચળ ક્રમ n − k નું બંડલ છે. હવેથી, ધારો કે k = 1 (જેથી CR મેનીફોલ્ડ અતિ સપાટી પ્રકારનો હોય), સિવાય કે અન્યથા નોંધ્યું હોય. લેવી સ્વરૂપ ધારો કે એમ એ એક વ્યાખ્યાયિત કાર્ય એફ = 0 સાથે અતિસંવેદનશીલ સપાટી પ્રકારનો સી. આર. મેનીફોલ્ડ છે. એમનું લેવી સ્વરૂપ, જેને યુજેનિયો એલિયા લેવીના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે હર્મિશિયન 2-સ્વરૂપ છે. આ એલ. એમ. પર મેટ્રિક નક્કી કરે છે, જો એચ હકારાત્મક ચોક્કસ હોય (અથવા જો એચ હકારાત્મક અર્ધ-નિશ્ચિત હોય તો સ્યુડોકોનવેક્સ) તો તેને સખત રીતે સ્યુડોકોનવેક્સ (એફ <0 બાજુથી) કહેવામાં આવે છે. સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સના સિદ્ધાંતમાં ઘણા વિશ્લેષણાત્મક અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાના પરિણામો સ્યુડોકોનવેક્સિટી પર આધાર રાખે છે. આ નામકરણ સ્યુડોકોનવેક્સ ડોમેન્સના અભ્યાસમાંથી આવે છેઃ એમ એ (સખત રીતે) સ્યુડોકોનવેક્સ ડોમેનની સીમા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ડોમેનની બાજુથી સી. આર. મેનીફોલ્ડ તરીકે (સખત રીતે) સ્યુડોકોનવેક્સ હોય. (પ્લુરિસુફાર્મોનિક કાર્યો અને સ્ટેઇન મેનીફોલ્ડ જુઓ.) અમૂર્ત CR માળખાં વાસ્તવિક પરિમાણ n ના વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડ M પર અમૂર્ત CR માળખામાં જટિલ સ્પર્શક બંડલના જટિલ સબબંડલ L નો સમાવેશ થાય છે જે ઔપચારિક રીતે સંકલિત છે, તે અર્થમાં કે [L, L] L, જે તેના જટિલ સંયુગ્મ સાથે શૂન્ય આંતરછેદ ધરાવે છે. સી. આર. માળખાનું સી. આર. કોડીમેન્શન એ છે જ્યાં ડિમ એલ એ જટિલ પરિમાણ છે. k = 1ના કિસ્સામાં, CR માળખું અતિસંવેદનશીલ પ્રકારનું હોવાનું કહેવાય છે. અમૂર્ત સી. આર. માળખાના મોટાભાગના ઉદાહરણો અતિસંવેદનશીલ પ્રકારના હોય છે. લેવી સ્વરૂપ અને સ્યુડોકૉન્વેક્સિટી ધારો કે એમ એ હાઇપરસર્ફેસ પ્રકારનું સી. આર. મેનીફોલ્ડ છે. લેવી સ્વરૂપ એ વેક્ટરનું મૂલ્ય ધરાવતું 2-સ્વરૂપ છે, જે L પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જેમાં h દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખા બંડલમાં મૂલ્યો L પર સેસ્ક્વિલિનિયર સ્વરૂપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે કારણ કે તે એકીકરણની સ્થિતિ દ્વારા L ના વિભાગોમાં v અને w કેવી રીતે વિસ્તૃત થાય છે તેના પર આધાર રાખતું નથી. આ સ્વરૂપ સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા બંડલ પરના સંન્યાસી સ્વરૂપ સુધી વિસ્તરે છે. વિસ્તૃત સ્વરૂપને કેટલીકવાર લેવી સ્વરૂપ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. લેવી સ્વરૂપને વૈકલ્પિક રીતે દ્વૈતની દ્રષ્ટિએ વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. જટિલ કોટેનજેન્ટ બંડલના લાઇન સબબંડલને ધ્યાનમાં લો જે V ને નાબૂદ કરે છે દરેક સ્થાનિક વિભાગ માટે α ω (H0M), ચાલો ફોર્મ hα એ α સાથે સંકળાયેલ એક જટિલ-મૂલ્યવાન હર્મિશિયન સ્વરૂપ છે. લેવી સ્વરૂપનું સામાન્યીકરણ ત્યારે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યારે મેનીફોલ્ડ અતિ સપાટીના પ્રકારનું ન હોય, આ કિસ્સામાં ફોર્મ હવે લાઇન બંડલમાં મૂલ્યો ધારણ કરતું નથી, પરંતુ વેક્ટર બંડલમાં. પછી કોઈ વ્યક્તિ લેવી સ્વરૂપની નહીં, પરંતુ માળખા માટે લેવી સ્વરૂપોના સંગ્રહની વાત કરી શકે છે. અમૂર્ત સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ પર, મજબૂત સ્યુડો-કન્વેક્સ પ્રકારના, લેવી સ્વરૂપ સ્યુડો-હર્મિશિયન મેટ્રિકને જન્મ આપે છે. મેટ્રિક માત્ર હોલોમોર્ફિક સ્પર્શક વેક્ટર માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેથી તે અધોગતિ પામે છે. પછી કોઈ જોડાણ અને વળાંક અને સંબંધિત વળાંક ટેન્સરને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે આ મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને રિક્કી વળાંક અને સ્કેલર વળાંક. આ ડેવિડ જેરિસન અને જ્હોન લી દ્વારા સૌપ્રથમ અભ્યાસ કરાયેલ સમાન સી. આર. યામાબે સમસ્યાને જન્મ આપે છે. સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ સાથે સંકળાયેલ જોડાણને સૌપ્રથમ સિડની એમ. વેબસ્ટર દ્વારા સમાનતા સમસ્યાના અભ્યાસ પરના તેમના થીસીસમાં વ્યાખ્યાયિત અને અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો અને સ્વતંત્ર રીતે પણ તનાકા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અને અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. આ વિચારોના અહેવાલો લેખોમાં મળી શકે છે. સી. આર. ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રશ્નોમાંથી એક એ પૂછવાનો છે કે અમૂર્ત સી. આર. માળખાથી સંપન્ન સરળ મેનીફોલ્ડને કેટલાકમાં એમ્બેડેડ મેનીફોલ્ડ તરીકે ક્યારે અનુભવી શકાય છે. આમ આપણે માત્ર મેનીફોલ્ડને જ એમ્બેડ કરી રહ્યા નથી, પરંતુ અમે વૈશ્વિક એમ્બેડિંગની પણ માંગ કરીએ છીએ કે અમૂર્ત મેનીફોલ્ડને એમ્બેડ કરતા નકશામાં એમ્બેડેડ મેનીફોલ્ડની પ્રેરિત સી. આર. રચનાને પાછળ ખેંચવી આવશ્યક છે (તે હકીકત પરથી આવે છે કે તે બેસે છે) જેથી પુલ બેક સી. આર. માળખું અમૂર્ત સી. આર. માળખા સાથે બરાબર સંમત થાય. આમ વૈશ્વિક એમ્બેડિંગ એ બે ભાગની શરત છે. અહીં પ્રશ્ન બે ભાગમાં વહેંચાયેલો છે. કોઈ સ્થાનિક એમ્બેડેબિલિટી અથવા વૈશ્વિક એમ્બેડેબિલિટી માટે પૂછી શકે છે. વૈશ્વિક એમ્બેડેબિલિટી હંમેશા અમૂર્ત રીતે વ્યાખ્યાયિત, કોમ્પેક્ટ સી. આર. સ્ટ્રક્ચર્સ માટે સાચું છે, જે મજબૂત સ્યુડોકોનવેક્સ છે, એટલે કે લેવી સ્વરૂપ હકારાત્મક ચોક્કસ છે, જ્યારે લુઇસ બૌટેટ ડી મોનવેલના પરિણામ દ્વારા મેનીફોલ્ડનું વાસ્તવિક પરિમાણ 5 કે તેથી વધુ હોય છે. પરિમાણ 3 માં, વૈશ્વિક એમ્બેડબિલિટીમાં અવરોધો છે. ત્રણ ગોળા પર પ્રમાણભૂત સી. આર. માળખાના નાના વિક્ષેપોને પરિણામે અમૂર્ત સી. આર. માળખું મળે છે, જે વૈશ્વિક સ્તરે એમ્બેડ કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે. આને કેટલીકવાર રોસી ઉદાહરણ કહેવામાં આવે છે. હકીકતમાં તેનું ઉદાહરણ હંસ ગ્રોઅર્ટ તરફ જાય છે અને એલ્ડો એન્ડ્રોટી અને યમ-ટોંગ સિઉના પેપરમાં પણ જોવા મળે છે. જોસેફ જે. કોહ્નનું પરિણામ જણાવે છે કે વૈશ્વિક એમ્બેડબિલિટી એ શરતની સમકક્ષ છે કે કોહ્ન લેપલેસિયનની બંધ શ્રેણી છે. બંધ શ્રેણીની આ સ્થિતિ સી. આર. અપરિવર્તનશીલ સ્થિતિ નથી. પરિમાણ 3 માં, સાગુન ચાનિલો, હંગ-લિન ચિઉ અને પોલ સી. યાંગ દ્વારા સીઆર અપરિવર્તનશીલ પરિસ્થિતિઓનો બિન-વિક્ષેપકારક સમૂહ મળી આવ્યો છે જે કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ પર વ્યાખ્યાયિત અમૂર્ત મજબૂત સ્યુડો-કન્વેક્સ સીઆર સ્ટ્રક્ચર્સ માટે વૈશ્વિક એમ્બેડેબિલિટીની બાંયધરી આપે છે. આ પૂર્વધારણા હેઠળ કે સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટર બિન-નકારાત્મક છે અને સી. આર. યામાબે અચળાંક હકારાત્મક છે, તેમાં વૈશ્વિક એમ્બેડિંગ છે. બીજી શરત એબ્સ્ટ્રેક્ટ મેનીફોલ્ડની વેબસ્ટર વળાંકને નીચે હકારાત્મક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલ રાખવાની માંગ કરીને બિન-સી. આર. અપરિવર્તનશીલ સ્થિતિમાં નબળી પાડી શકાય છે. તે લેખકોને કોહ્નના લેપલેસિયનના પ્રથમ હકારાત્મક આઈગન વેલ્યુ પર તીવ્ર નીચલા બાઉન્ડ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. નીચલી સીમા એ રીમાનિયન ભૂમિતિમાં કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ્સ માટે લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરના પ્રથમ હકારાત્મક આઈગન વેલ્યુ માટે બંધાયેલ આન્દ્રે લિચનેરોવિઝની સી. આર. ભૂમિતિમાં એનાલોગ છે. પરિમાણ 3 માં સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટરની બિન-નકારાત્મકતા એ સી. આર. અપરિવર્તનશીલ સ્થિતિ છે જે વાસ્તવિક પરિમાણ 3 ના સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ પર સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટરના કન્ફોર્મલ કોવેરિયન્ટ ગુણધર્મો દ્વારા નીચે મુજબ છે, જેનું પ્રથમ અવલોકન કેંગો હિરાકી દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. પેનિટ્ઝ ઓપરેટરનું સી. આર. સંસ્કરણ, કહેવાતા સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટર સૌપ્રથમ સી. રોબિન ગ્રેહામ અને જ્હોન લીના કાર્યમાં દેખાય છે. ઓપરેટર વાસ્તવિક પરિમાણ 5 અને તેનાથી વધુમાં સુસંગત રીતે સહપરિવર્તનશીલ હોવાનું જાણીતું નથી, પરંતુ માત્ર વાસ્તવિક પરિમાણ 3 માં જ છે. તે હંમેશા વાસ્તવિક પરિમાણ 5 અને તેનાથી વધુમાં બિન-નકારાત્મક ઓપરેટર હોય છે. કોઈ પૂછી શકે છે કે શું તમામ કોમ્પેક્ટલી એમ્બેડેડ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સમાં નોન-નેગેટિવ પેનિટ્ઝ ઓપરેટર્સ છે. ઉપર ચર્ચા કરાયેલા એમ્બેડિંગ પ્રમેયો માટે આ એક પ્રકારનો વિપરીત પ્રશ્ન છે. આ દિશામાં જેફરી કેસ, સાગુન ચાનિલો અને પોલ સી. યાંગે સ્થિરતા પ્રમેય સાબિત કર્યો છે. એટલે કે, જો કોઈ વ્યક્તિ કોમ્પેક્ટ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સના પરિવાર સાથે શરૂઆત કરે છે અને કુટુંબનું સી. આર. માળખું પરિમાણના સંદર્ભમાં વાસ્તવિક-વિશ્લેષણાત્મક રીતે બદલાય છે અને મેનીફોલ્ડ્સના પરિવારનો સી. આર. યામાબે અચળાંક નીચે એકસમાન રીતે હકારાત્મક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલો હોય, તો સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટર સમગ્ર પરિવાર માટે બિન-નકારાત્મક રહે છે, જો પરિવારના એક સભ્ય પાસે તેના સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટર બિન-નકારાત્મક હોય. આ વિપરીત પ્રશ્ન આખરે યુયા ટેકુચી દ્વારા હલ કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે સાબિત કર્યું કે એમ્બેડેડ, કોમ્પેક્ટ સી. આર.-3 મેનીફોલ્ડ્સ માટે કે જે સખત રીતે સ્યુડોકોનવેક્સ છે, આ એમ્બેડેડ મેનીફોલ્ડ સાથે સંકળાયેલ સી. આર. પેનિટ્ઝ ઓપરેટર બિન-નકારાત્મક છે. ડેનિયલ બર્ન્સ અને ચાર્લ્સ એપસ્ટીનને કારણે ત્રિ-પરિમાણીય ગોળા માટે પ્રમાણભૂત સીઆર માળખાના નાના વિક્ષેપો માટે વૈશ્વિક એમ્બેડિંગના પરિણામો પણ છે. આ પરિણામો વિક્ષેપ શબ્દના ફોરિયર ગુણાંક પર ધારણાઓ કરે છે. અમૂર્ત સી. આર. મેનીફોલ્ડની અનુભૂતિ કેટલાકમાં સરળ મેનીફોલ્ડ તરીકે જટિલ વિવિધતાને બાંધશે જેમાં સામાન્ય રીતે એકવચનતા હોઈ શકે છે. આ એફ. રીસ હાર્વે અને એચ. બ્લેઇન લૉસન દ્વારા લેખમાં અભ્યાસ કરાયેલ જટિલ ઉચ્ચપ્રદેશ સમસ્યાની સામગ્રી છે. સ્ટીફન એસ. ટી. યાઉ દ્વારા જટિલ ઉચ્ચપ્રદેશની સમસ્યા પર પણ વધુ કામ કરવામાં આવ્યું છે. અમૂર્ત સી. આર. માળખાઓનું સ્થાનિક એમ્બેડિંગ વાસ્તવિક પરિમાણ 3 માં સાચું નથી, કારણ કે લુઇસ નિરેનબર્ગનું ઉદાહરણ (નીચે ઉલ્લેખિત ચેન અને મેઈ-ચી શૉનું પુસ્તક પણ નિરેનબર્ગના સાબિતીની રજૂઆત ધરાવે છે). એલ. નિરેનબર્ગના ઉદાહરણને હંસ લેવીના બિન-ઉકેલાય તેવા જટિલ વેક્ટર ક્ષેત્રના સરળ વિક્ષેપ તરીકે જોવામાં આવી શકે છે. ઉપર વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર ક્ષેત્રમાં બે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પ્રથમ સંકલન હોય છે. એટલે કે સજાતીય સમીકરણના બે ઉકેલો છે, આપણે વાસ્તવિક પરિમાણ ત્રણમાં હોવાથી ઔપચારિક સંકલનની સ્થિતિ સરળ છે, જે સ્વચાલિત છે. નોંધ લો કે લેવી સ્વરૂપ સખત રીતે હકારાત્મક નિશ્ચિત છે કારણ કે એક સરળ ગણતરી આપે છે, જ્યાં હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્ર L દ્વારા આપવામાં આવે છે, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય તેવા પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ્સ આપણને ગ્રાફ તરીકે CR માળખાને સમજવા દે છે. નિરેનબર્ગ મૂળના પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત એક, બિન-લુપ્ત જટિલ વેક્ટર ક્ષેત્રની રચના કરે છે તે પછી બતાવે છે કે જો, તો તે અચળ હોવું જોઈએ. આમ વેક્ટર ફિલ્ડમાં કોઈ પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ નથી. ઉપર દર્શાવેલ હેઇસેનબર્ગ જૂથ માટે એન્ટિ-હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રમાંથી વેક્ટર ક્ષેત્ર બનાવવામાં આવે છે, જે નીચે દર્શાવ્યા મુજબ તેને સરળ જટિલ-મૂલ્યના કાર્ય દ્વારા વિક્ષેપિત કરે છેઃ આમ આ નવું વેક્ટર ક્ષેત્ર P, સ્થિરાંકો સિવાય અન્ય કોઈ પ્રથમ સંકલન ધરાવતું નથી અને તેથી આ વિક્ષેપિત CR માળખાને કોઈપણ રીતે ગ્રાફ તરીકે સમજવું શક્ય નથી. વાસ્તવિક પરિમાણ 9 અને તેનાથી ઉપર, અમૂર્ત કડક રીતે સ્યુડો-કન્વેક્સ સી. આર. માળખાઓનું સ્થાનિક એમ્બેડિંગ માસાટાકે કુરાનિશીના કાર્ય દ્વારા અને વાસ્તવિક પરિમાણ 7 માં અકાહોરીના કાર્ય દ્વારા સાચું છે. સ્થાનિક એમ્બેડિંગની સમસ્યા વાસ્તવિક પરિમાણ 5 માં ખુલ્લી રહે છે. લાક્ષણિક આદર્શો સ્પર્શક કાઉચી-રીમેન સંકુલ (કોહ્ન લેપલેસિયન, કોહ્ન-રોસી સંકુલ) સૌ પ્રથમ સહ-સીમા સંચાલકને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. જટિલ મેનીફોલ્ડ્સની સીમાઓ તરીકે ઉદ્ભવતા સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ માટે, આ ઓપરેટરને આંતરિકથી સીમા સુધીના પ્રતિબંધ તરીકે જોઈ શકાય છે. સબસ્ક્રિપ્ટ બી એ યાદ અપાવવા માટે છે કે આપણે સીમા પર છીએ. સહ-સીમા સંચાલક (0, p) સ્વરૂપોને (0, p + 1) સ્વરૂપોમાં લે છે. અમૂર્ત સી. આર. મેનીફોલ્ડ માટે સહ-સીમા સંચાલકને વ્યાખ્યાયિત પણ કરી શકાય છે, ભલે તે જટિલ વિવિધતાની સીમા ન હોય. આ વેબસ્ટર જોડાણનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. સહ-સીમા સંચાલક એક સંકુલ બનાવે છે, એટલે કે. આ સંકુલને ટેન્જેન્શિયલ કોચી-રીમેન સંકુલ અથવા કોહ્ન-રોસી સંકુલ કહેવામાં આવે છે. આ સંકુલની તપાસ અને આ સંકુલના કોહોમોલોજી જૂથોનો અભ્યાસ જોસેફ જે. કોહ્ન અને હ્યુગો રોસી દ્વારા મૂળભૂત પેપરમાં કરવામાં આવ્યો હતો. ટેંજેન્શિયલ સી. આર. કોમ્પ્લેક્સ સાથે સંકળાયેલું સી. આર. ભૂમિતિ અને કેટલાક કોમ્પ્લેક્સ વેરિયેબલ્સ, કોહ્ન લેપલેસિયનમાં એક મૂળભૂત પદાર્થ છે. તેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ અહીં સી. આર. માળખા સાથે સંકળાયેલા સંપર્ક સ્વરૂપમાંથી વોલ્યુમ સ્વરૂપ ક્યાંથી મેળવી શકાય તેના સંદર્ભમાં ઔપચારિક સંલગ્ન સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે જે. એમ. નું પેપર જુઓ. લીએ અમેરિકન જે. માં નીચે ઉલ્લેખ કર્યો છે. નોંધ લો કે કોહ્ન લેપલેસિયન (0, પી) સ્વરૂપોને (0, પી) સ્વરૂપોમાં લે છે. કોહ્ન લેપલેસિયન દ્વારા નાશ પામેલા કાર્યોને સી. આર. કાર્યો કહેવામાં આવે છે. તેઓ હોલોમોર્ફિક કાર્યોના સીમા એનાલોગ છે. સી. આર. કાર્યોના વાસ્તવિક ભાગોને સી. આર. પ્લુરીહાર્મોનિક કાર્યો કહેવામાં આવે છે. કોહ્ન લેપલેસિયન એક બિન-નકારાત્મક, ઔપચારિક રીતે સ્વ-સંલગ્ન સંચાલક છે. તે અધોગતિ પામે છે અને એક લાક્ષણિક સમૂહ ધરાવે છે જ્યાં તેનું પ્રતીક અદૃશ્ય થઈ જાય છે. કોમ્પેક્ટ, મજબૂત સ્યુડો-કન્વેક્સ એબ્સ્ટ્રેક્ટ સી. આર. મેનીફોલ્ડ પર, તેમાં સ્વતંત્ર હકારાત્મક આઈગન વેલ્યુ હોય છે જે અનંત સુધી જાય છે અને શૂન્ય સુધી પણ પહોંચે છે. કર્નલમાં સી. આર. કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે અને તે અનંત પરિમાણીય છે. જો કોહ્ન લેપલેસિયનના હકારાત્મક આઈગન મૂલ્યો નીચે હકારાત્મક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલા હોય, તો કોહ્ન લેપલેસિયન બંધ શ્રેણી ધરાવે છે અને તેનાથી વિપરીત છે. આમ ઉપર જણાવેલા કોહ્નના પરિણામનો ઉપયોગ કરીને એમ્બેડેડ સી. આર. સ્ટ્રક્ચર્સ માટે, આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે કોમ્પેક્ટ સી. આર. સ્ટ્રક્ચર કે જે મજબૂત સ્યુડોકોનવેક્સ છે તે જો અને માત્ર ત્યારે જ એમ્બેડ કરવામાં આવે છે જો કોહ્ન લેપલેસિયનમાં પોઝિટિવ આઈગનવેલ્યુ હોય જે નીચે પોઝિટિવ કોન્સ્ટન્ટ દ્વારા બંધાયેલ હોય. કોહ્ન લેપલેસિયનમાં હંમેશા સી. આર. કાર્યોને અનુરૂપ આઈગન વેલ્યુ શૂન્ય હોય છે. માટે અંદાજો અને વિવિધ સેટિંગ્સમાં વિવિધ કાર્ય જગ્યાઓમાં મેળવવામાં આવ્યા છે. જ્યારે મેનીફોલ્ડ મજબૂત રીતે સ્યુડોકોનવેક્સ હોય ત્યારે આ અંદાજો મેળવવાનું સૌથી સરળ હોય છે, તે પછી કોઈ વ્યક્તિ મેનીફોલ્ડને હાઈસેનબર્ગ જૂથ સાથે પૂરતા ઊંચા ક્રમમાં ઓસ્ક્યુલેટ કરીને બદલી શકે છે. પછી હાઇસેનબર્ગ જૂથના જૂથ ગુણધર્મ અને પરિચર કન્વોલ્યુશન માળખાનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ વ્યુત્ક્રમ/પરિમાણો અથવા સંબંધિત પરિમાણો લખી શકે છે. ઓપરેટરનું નક્કર ઉદાહરણ હેઇસેનબર્ગ જૂથ પર આપી શકાય છે. સામાન્ય હેઇસેનબર્ગ જૂથને ધ્યાનમાં લો અને એન્ટિહોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લો કે જે જૂથ લેફ્ટ ઇનવેરિયન્ટ પણ છે, પછી ફંક્શન u માટે આપણી પાસે (0,1) સ્વરૂપ છે કારણ કે ફંક્શન્સ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, આપણી પાસે હેઇસેનબર્ગ જૂથ પરના કાર્યો માટે કોહ્ન લેપલેસિયન માટે નીચેનું સૂત્ર પણ છેઃ હેઇસેનબર્ગ જૂથ પર ગ્રુપ લેફ્ટ ઇનવેરિયન્ટ, હોલોમોર્ફિક વેક્ટર ક્ષેત્રો ક્યાં છે. ઉપરના કોહ્ન લેપલેસિયન માટેના અભિવ્યક્તિને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે. પ્રથમ તે સરળતાથી ચકાસી શકાય છે કે આમ આપણી પાસે પ્રાથમિક ગણતરી છેઃ જમણી બાજુનો પ્રથમ સંચાલક વાસ્તવિક સંચાલક છે અને હકીકતમાં તે કોહ્ન લેપલેસિયનનો વાસ્તવિક ભાગ છે. તેને સબ-લેપલેસિયન કહેવામાં આવે છે. તે તેનું પ્રાથમિક ઉદાહરણ છે જેને હોર્મેન્ડર સમ ઓફ સ્ક્વેર ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. તે દેખીતી રીતે બિન-નકારાત્મક છે જે ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા જોઈ શકાય છે. કેટલાક લેખકો પેટા-લેપ્લેશિયનને વિરુદ્ધ સંકેત સાથે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આપણા કિસ્સામાં આપણી પાસે ખાસ છેઃ જ્યાં પ્રતીક એ પેટા-લેપલેસિયન માટેનું પરંપરાગત પ્રતીક છે. આમ ઉદાહરણો કોમ્પેક્ટ સી. આર. મેનીફોલ્ડનું કેનોનિકલ ઉદાહરણ એ સબમેનીફોલ્ડ તરીકે વાસ્તવિક ગોળા છે. ઉપર વર્ણવેલ બંડલ હોલોમોર્ફિક વેક્ટરનું બંડલ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનું વાસ્તવિક સ્વરૂપ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જટિલ માળખાના સંદર્ભમાં ચોક્કસપણે એક બિંદુ પર આપવામાં આવેલ બંડલ, દ્વારા અને લગભગ જટિલ માળખું ફક્ત પ્રતિબંધ છે. ગોળા એ સતત હકારાત્મક વેબસ્ટર વળાંક ધરાવતા અને શૂન્ય વેબસ્ટર વળાંક ધરાવતા સી. આર. મેનીફોલ્ડનું ઉદાહરણ છે. હેઇસેનબર્ગ જૂથ એ શૂન્ય વેબસ્ટર વળાંક અને શૂન્ય વેબસ્ટર વળાંક સાથે બિન-કોમ્પેક્ટ સી. આર. મેનીફોલ્ડનું ઉદાહરણ છે. 1 કરતા સખત રીતે મોટી જાતિ સાથે કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટીઓ પરનું એકમ વર્તુળ બંડલ પણ સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સના ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે જે મજબૂત સ્યુડોકોનવેક્સ છે અને શૂન્ય વેબસ્ટર વળાંક અને સતત નકારાત્મક વેબસ્ટર વળાંક ધરાવે છે. આ જગ્યાઓનો ઉપયોગ ભૂગણિતના અભ્યાસમાં તુલનાત્મક જગ્યાઓ તરીકે અને એચ. ઇ. સમાન શૂન્ય વેબસ્ટર વળાંક સાથે સી. આર. મેનીફોલ્ડ્સ પર વોલ્યુમ સરખામણી પ્રમેયો તરીકે થઈ શકે છે. રીમાનિયન ભૂમિતિમાં રાઉચ સરખામણી પ્રમેય. તાજેતરના વર્ષોમાં, હેઇસેનબર્ગ જૂથ પરના વિશ્લેષણના અન્ય પાસાઓનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જેમ કે હેઇસેનબર્ગ જૂથમાં ન્યૂનતમ સપાટીઓ, હેઇસેનબર્ગ જૂથમાં બર્નસ્ટીન સમસ્યા અને વળાંક પ્રવાહ. યુજેનિયો એલિયા લેવી સ્યુડોકનવેક્સિટી નોટ્સ સંદર્ભો પણ જુઓ. કેટલાક જટિલ ચલોના કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં એક મહત્વપૂર્ણ પેપર. શીર્ષકનો અંગ્રેજી અનુવાદ આ રીતે વાંચે છેઃ "બે અથવા વધુ જટિલ ચલોના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના આવશ્યક એકવચન મુદ્દાઓ પર અભ્યાસ". સરળ મેનીફોલ્ડ્સ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ