Kerala school of astronomy and mathematics
કેરળ ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતની શાળા અથવા કેરળ શાળા એ ભારતના કેરળના મલપ્પુરમના તિરુરમાં સંગમગ્રામના માધવ દ્વારા સ્થાપિત ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રની શાળા હતી, જેમાં તેના સભ્યોમાં પરમેશ્વર, નીલકાંત સોમયાજી, જ્યેષ્ઠદેવ, અચ્યુત પિશારતી, મેલપથુર નારાયણ ભટ્ટથિરી અને અચ્યુત પણિક્કરનો સમાવેશ થતો હતો. આ શાળા 14મી અને 16મી સદીની વચ્ચે વિકાસ પામી હતી અને તેની મૂળ શોધો નારાયણ ભટ્ટથિરી (1559-1632) સાથે સમાપ્ત થઈ હોવાનું જણાય છે. ખગોળશાસ્ત્રીય સમસ્યાઓ હલ કરવાના પ્રયાસમાં, કેરળ શાળાએ સ્વતંત્ર રીતે સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક વિભાવનાઓની શોધ કરી હતી. તેમના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિણામો-ત્રિકોણમિતીય કાર્યો માટે શ્રેણીબદ્ધ વિસ્તરણ-નીલકાંત દ્વારા તંત્રસંગ્રહ નામના પુસ્તકમાં સંસ્કૃત શ્લોકમાં વર્ણવવામાં આવ્યા હતા, અને ફરીથી અજ્ઞાત લેખકત્વની તંત્રસંગ્રહ-વખ્યા નામની આ કૃતિ પરની ટિપ્પણીમાં વર્ણવવામાં આવ્યા હતા. સિદ્ધાંતો પુરાવા વિના જણાવવામાં આવ્યા હતા, પરંતુ સાઇન, કોસાઇન અને ઇન્વર્સ સ્પર્શક માટેની શ્રેણી માટેના પુરાવાઓ એક સદી પછી મલયાલમમાં લખાયેલી કૃતિ યુક્તિબાસા () માં, જ્યેષ્ઠદેવ દ્વારા અને તંત્રસંગ્રહ પરની ટિપ્પણીમાં પણ આપવામાં આવ્યા હતા. તેમનું કાર્ય, યુરોપમાં કલનની શોધના બે સદીઓ પહેલાં પૂર્ણ થયું હતું, જે હવે શક્તિ શ્રેણી (ભૌમિતિક શ્રેણી સિવાય) નું પ્રથમ ઉદાહરણ માનવામાં આવે છે. પૃષ્ઠભૂમિ ઈસ્લામિક વિદ્વાનોએ ઈ. સ. 1000 સુધીમાં બહુપદીઓના સંકલન શોધવા માટે લગભગ એક સામાન્ય સૂત્ર વિકસાવ્યું હતું-અને દેખીતી રીતે તેઓ જેમાં રસ ધરાવતા હોય તે કોઈપણ બહુપદી માટે આવા સૂત્ર શોધી શક્યા હતા. પરંતુ, એવું લાગે છે કે, તેઓ ચારથી વધુ ડિગ્રીની કોઈપણ બહુપદીમાં રસ ધરાવતા ન હતા, ઓછામાં ઓછું આપણી પાસે આવેલી કોઈપણ સામગ્રીમાં. બીજી બાજુ, ભારતીય વિદ્વાનો, વર્ષ 1600 સુધીમાં, તેઓ જે કાર્યોમાં રસ ધરાવતા હતા તે માટે શક્તિ શ્રેણીની ગણતરીમાં મનસ્વી અભિન્ન શક્તિઓ માટે ઇબ્ન અલ-હેથમના સરવાળા સૂત્ર જેવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શક્યા હતા. તે જ સમય સુધીમાં, તેઓ આ કાર્યોના તફાવતોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે પણ જાણતા હતા. તેથી કલનશાસ્ત્રના કેટલાક મૂળભૂત વિચારો ન્યૂટનની ઘણી સદીઓ પહેલાં ઇજિપ્ત અને ભારતમાં જાણીતા હતા. જો કે, એવું લાગતું નથી કે ઇસ્લામિક અથવા ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ કેટલાક અલગ-અલગ વિચારોને જોડવાની જરૂરિયાત જોઈ હતી જેનો આપણે કલન નામ હેઠળ સમાવેશ કરીએ છીએ. તેઓ દેખીતી રીતે માત્ર ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં જ રસ ધરાવતા હતા જેમાં આ વિચારોની જરૂર હતી. યોગદાન અનંત શ્રેણી અને કલન કેરળ શાળાએ અનંત શ્રેણી અને કલનનાં ક્ષેત્રોમાં સંખ્યાબંધ યોગદાન આપ્યું છે. આમાં નીચેની અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીઓનો સમાવેશ થાય છેઃ કેરળ શાળાએ ગાણિતિક પ્રેરણાનો સાહજિક ઉપયોગ કર્યો હતો, જોકે પ્રેરક પૂર્વધારણાને હજુ સુધી સિદ્ધાંતોમાં ઘડવામાં આવી ન હતી અથવા તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો ન હતો. તેઓએ પરિણામનો અર્ધ-કઠોર પુરાવો શોધવા માટે આનો ઉપયોગ કર્યોઃ મોટા n માટે. તેઓએ, અને માટે (ટેલર-મેકલૌરિન) અનંત શ્રેણી મેળવવા માટે (જે બનવાનું હતું) વિભેદક અને અભિન્ન કલનમાંથી વિચારોનો ઉપયોગ કર્યો. તંત્રસંગ્રહ-વાખ્ય આ શ્રેણીને શ્લોકમાં આપે છે, જેનો જ્યારે ગાણિતિક સંકેતલિપીમાં અનુવાદ થાય છે, ત્યારે તેને આ રીતે લખી શકાય છેઃ જ્યાં, શ્રેણી માટે આ ત્રિકોણમિતીય કાર્યો માટે પ્રમાણભૂત શક્તિ શ્રેણીમાં ઘટાડો થાય છે, ઉદાહરણ તરીકેઃ (કેરળ શાળાએ "ફેક્ટોરિયલ" પ્રતીકવાદનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો.) કેરળ શાળાએ આ પરિણામોનો પુરાવો આપવા માટે વર્તુળની ચાપના સુધારણા (લંબાઈની ગણતરી) નો ઉપયોગ કર્યો હતો. (લીબનીઝની પાછળની પદ્ધતિ, ચતુર્ભુજનો ઉપયોગ કરીને (એટલે કે. વર્તુળની ચાપ હેઠળના વિસ્તારની ગણતરી), હજુ સુધી વિકસાવવામાં આવી ન હતી.) તેઓએ શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ અનંત શ્રેણી અભિવ્યક્તિ (પાછળથી ગ્રેગરી શ્રેણી તરીકે ઓળખાતી) મેળવવા માટે પણ કર્યો હતોઃ તેમની શ્રેણીના મર્યાદિત સરવાળા માટે ભૂલનો તેમનો તર્કસંગત અંદાજ ખાસ રસ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણી માટે ભૂલ, (n વિષમ માટે, અને i = 1,2,3): તેઓએ આંશિક અપૂર્ણાંક વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને શરતોને હેરફેર કરીઃ વધુ ઝડપથી કન્વર્જિંગ શ્રેણી મેળવવા માટેઃ તેઓએ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે સુધારેલી શ્રેણીનો ઉપયોગ કર્યો, નવ દશાંશ સ્થાનો સુધી સુધારવા માટે, એટલે કે. . તેઓએ આ પરિણામોની ગણતરી કરવા માટે મર્યાદાની સાહજિક કલ્પનાનો ઉપયોગ કર્યો. કેરળ શાળાના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ કેટલાક ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના તફાવતની અર્ધ-કઠોર પદ્ધતિ પણ આપી હતી, જોકે વિધેય અથવા ઘાતાંકીય અથવા લઘુગણકીય વિધેયોની કલ્પના હજુ સુધી ઘડવામાં આવી ન હતી. 1825માં જ્હોન વોરેને દક્ષિણ ભારતમાં સમયના વિભાજન પર એક સંસ્મરણ પ્રકાશિત કર્યું હતું, જેને કલા સંહિતા કહેવાય છે, જેમાં કેરળના ખગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અનંત શ્રેણીની શોધનો ટૂંકમાં ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. કેરળ સ્કૂલની કૃતિઓ સૌપ્રથમ 1835માં અંગ્રેજ સી. એમ. વ્હિશ દ્વારા પશ્ચિમી વિશ્વ માટે લખવામાં આવી હતી. વિશના જણાવ્યા અનુસાર, કેરળના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ "પ્રવાહોની સંપૂર્ણ પદ્ધતિનો પાયો નાખ્યો હતો" અને આ કૃતિઓ "વિદેશી દેશોના કોઈ પણ કાર્યમાં જોવા મળતા પ્રવાહરૂપ સ્વરૂપો અને શ્રેણીઓથી ભરપૂર હતી". જો કે, એક સદીથી વધુ સમય પછી, જ્યારે સી. ટી. રાજગોપાલ અને તેમના સહયોગીઓ દ્વારા કેરળ સ્કૂલની શોધની ફરીથી તપાસ કરવામાં આવી ત્યાં સુધી, વ્હિશના પરિણામોની લગભગ સંપૂર્ણપણે અવગણના કરવામાં આવી હતી. તેમના કાર્યમાં બે કાગળોમાં આપવામાં આવેલા યુક્તિબાસમાં આર્ક્ટન શ્રેણીના પુરાવાઓ પરની ટિપ્પણીઓ, સાઇન અને કોસાઇન શ્રેણીના યુક્તિબાસના પુરાવા પરની ટિપ્પણી અને બે કાગળો કે જે આર્ક્ટન, સિન અને કોસાઇન (અંગ્રેજી અનુવાદ અને ભાષ્ય સાથે) માટે શ્રેણી માટે તંત્રસંગ્રહવખ્યા સંસ્કૃત પંક્તિઓ પ્રદાન કરે છે. 1952માં ઓટો ન્યુગેબૌરે તમિલ ખગોળશાસ્ત્ર પર લખ્યું હતું. 1972માં કે. વી. સરમાએ તેમની એ હિસ્ટ્રી ઓફ ધ કેરળ સ્કૂલ ઓફ હિન્દુ એસ્ટ્રોનોમી પ્રકાશિત કરી હતી, જેમાં 13મીથી 17મી સદી સુધી જ્ઞાન પ્રસારની સાતત્યતા જેવી શાળાની વિશેષતાઓનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતુંઃ ગોવિંદ ભટ્ટથિરીથી પરમેશ્વર, દામોદર, નીલકંઠ સોમયાજીથી જ્યેષ્ઠદેવથી અચ્યુત પિસારતી. શિક્ષકથી વિદ્યાર્થીમાં પ્રસારણ "ખગોળશાસ્ત્ર જેવી વ્યવહારુ, નિદર્શનશીલ શાખામાં એવા સમયે જ્ઞાનનું સંરક્ષણ કરે છે જ્યારે મુદ્રિત પુસ્તકો અને જાહેર શાળાઓનો પ્રસાર થતો ન હતો". 1994માં એવી દલીલ કરવામાં આવી હતી કે સૂર્યકેન્દ્રી મોડેલ કેરળમાં લગભગ 1500 એ. ડી. માં અપનાવવામાં આવ્યું હતું. કેરળના શાળાના પરિણામોનું યુરોપમાં સંભવિત પ્રસારણ એ. કે. બાગે 1979માં સૂચવ્યું હતું કે આ પરિણામોનું જ્ઞાન વેપારીઓ અને જેસ્યુટ મિશનરીઓ દ્વારા કેરળથી વેપાર માર્ગ દ્વારા યુરોપમાં પ્રસારિત કરવામાં આવ્યું હશે. કેરળ ચીન, અરેબિયા અને યુરોપ સાથે સતત સંપર્કમાં હતું. કેટલાક સંદેશાવ્યવહાર માર્ગો અને કેટલાક વિદ્વાનો દ્વારા કાલક્રમનું સૂચન આવા પ્રસારણની શક્યતા બનાવી શકે છે; જો કે, સંબંધિત હસ્તપ્રતો દ્વારા કોઈ સીધો પુરાવો નથી કે આવા પ્રસારણ થયું હતું. ડેવિડ બ્રેસૌડના જણાવ્યા અનુસાર, "ઓગણીસમી સદી સુધી શ્રેણીની ભારતીય કૃતિઓ ભારતની બહાર અથવા કેરળની બહાર પણ જાણીતી હતી તેના કોઈ પુરાવા નથી". વી. જે. કાટ્ઝે નોંધ્યું છે કે કેરળ સ્કૂલના કેટલાક વિચારો 11મી સદીના ઇરાકી વિદ્વાન ઇબ્ન અલ-હેથમના કાર્ય સાથે સમાનતા ધરાવે છે, જે ઇસ્લામિક ગણિતમાંથી કેરળમાં વિચારોનું સંભવિત પ્રસારણ સૂચવે છે. આરબ અને ભારતીય બંને વિદ્વાનોએ 17મી સદી પહેલાં શોધો કરી હતી જેને હવે કલનનો એક ભાગ માનવામાં આવે છે. કાટ્ઝના જણાવ્યા અનુસાર, તેઓએ હજુ સુધી "વ્યુત્પન્ન અને અભિન્નના બે એકીકૃત વિષયો હેઠળ ઘણા જુદા જુદા વિચારોને જોડવા, બંને વચ્ચેનું જોડાણ દર્શાવવું અને કેલ્ક્યુલસને આજે આપણી પાસેના મહાન સમસ્યાનું નિરાકરણ સાધનમાં ફેરવવાનું" હતું, જેમ કે ન્યૂટન અને લીબનીઝ. ન્યૂટન અને લીબનીઝ બંનેની બૌદ્ધિક કારકિર્દી સારી રીતે દસ્તાવેજીકૃત છે અને તેમનું કાર્ય તેમનું પોતાનું ન હોવાના કોઈ સંકેત નથી; જો કે, તે નિશ્ચિતતા સાથે જાણી શકાયું નથી કે ન્યૂટન અને લીબનીઝના તાત્કાલિક પુરોગામીઓ, "ખાસ કરીને, ફર્મેટ અને રોબર્વલ સહિત, ઇસ્લામિક અને ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓના કેટલાક વિચારો વિશે શીખ્યા કે જેના સ્રોતો દ્વારા આપણે હવે પરિચિત નથી". આ વર્તમાન સંશોધનનું સક્રિય ક્ષેત્ર છે, ખાસ કરીને સ્પેન અને માઘરેબની હસ્તપ્રત સંગ્રહોમાં, સંશોધન જે હવે અન્ય સ્થળોની સાથે, પેરિસમાં સેન્ટર નેશનલ ડે લા રિસર્ચ સાયન્ટિફિક ખાતે કરવામાં આવી રહ્યું છે. ભારતીય ખગોળશાસ્ત્ર ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ ગણિતનો ઇતિહાસ નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. ગુપ્તા, આર. સી. (1969) "સેકન્ડ ઓર્ડર ઓફ ઇન્ટરપોલેશન ઓફ ઇન્ડિયન મેથેમેટિક્સ", ઇન્ડિયન જર્નલ ઓફ હિસ્ટ્રી ઓફ સાયન્સ 4:92-94. . . પરમેશ્વરન, એસ. (1992) "વ્હિશ્ઝ શોરૂમ રીવિઝીટેડ", મેથેમેટિકલ ગેઝેટ 76, નં. 475 પૃષ્ઠો 28-36. . . સી. કે. રાજુ 'કમ્પ્યુટર્સ, ગણિત શિક્ષણ, અને યુકતિભાસમાં કલનશાસ્ત્રનું વૈકલ્પિક જ્ઞાનમીમાંસા', ફિલોસોફી ઇસ્ટ એન્ડ વેસ્ટ 51, યુનિવર્સિટી ઓફ હવાઈ પ્રેસ, 2001. . ટાચી વેન્ટુરી. 'લેટર બાય મેટ્ટેઓ રિક્કી ટુ પેટ્રી માફી ઓન 1 ડિસેમ્બર 1581', મેટ્ટેઓ રિક્કી એસ. આઈ., લે લેટ્રે ડલ્લા સિના 1580-1610, વોલ્યુમ. 2, મેકેરાટા, 1613. બાહ્ય કડીઓ ભારતીય ગણિતનું વિહંગાવલોકન, મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ, 2002. ભારતીય ગણિતઃ સંતુલનનું નિવારણ, મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ, 2002. કેરળ ગણિત, મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ, 2002. યુરોપમાં કેરળના ગણિતનું સંભવિત પ્રસારણ, મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ, 2002. "ભારતીયોએ ન્યૂટનની 'શોધ' ને 250 વર્ષ અગાઉ કરી હતી" phys.org, 2007 ભારતમાં ગણિતની ભારતીય ગણિત શાળાઓ ખગોળશાસ્ત્ર હિંદુ ખગોળશાસ્ત્ર ગણિતનો ઇતિહાસ કેરળનો ઇતિહાસ મધ્યયુગીન કેરળ કેરળમાં વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજી