Ternary Golay code
કોડિંગ થિયરીમાં, ત્રિમાસિક ગોલે કોડ એ બે નજીકથી સંબંધિત ભૂલ-સુધારણા કોડ છે. સામાન્ય રીતે ત્રિકોણીય ગોલે કોડ તરીકે ઓળખાતો કોડ એક-કોડ છે, એટલે કે, તે ત્રિકોણીય મૂળાક્ષર પર એક રેખીય કોડ છે; કોડનું સંબંધિત અંતર તે સંભવતઃ ત્રિકોણીય કોડ માટે હોઈ શકે તેટલું મોટું છે, અને તેથી, ત્રિકોણીય ગોલે કોડ એક સંપૂર્ણ કોડ છે. વિસ્તૃત ત્રિમાસિક ગોલે કોડ એ [11,6,5] કોડમાં શૂન્ય-રકમ ચેક અંક ઉમેરીને મેળવેલ [12,6,6] રેખીય કોડ છે. મર્યાદિત જૂથ સિદ્ધાંતમાં, વિસ્તૃત ત્રિમાસિક ગોલે કોડને કેટલીકવાર ત્રિમાસિક ગોલે કોડ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ગુણધર્મો ટર્નરી ગોલે કોડ ટર્નરી ગોલે કોડમાં 36 = 729 કોડવર્ડ્સનો સમાવેશ થાય છે. તેનો પેરિટી ચેક મેટ્રિક્સ એ છે કે કોઈપણ બે અલગ અલગ કોડવર્ડ્સ ઓછામાં ઓછા 5 સ્થાનોમાં અલગ પડે છે. લંબાઈ 11 ના દરેક ત્રિકોણીય શબ્દમાં બરાબર એક કોડવર્ડથી વધુમાં વધુ 2 નું અંતર હોય છે. આ કોડને મર્યાદિત ક્ષેત્ર F3 (એટલે કે, ગેલોઇસ ક્ષેત્ર GF (3)) પર લંબાઈ 11ના દ્વિઘાત અવશેષ કોડ તરીકે પણ બનાવી શકાય છે. 11 રમતો સાથે ફૂટબોલ પૂલમાં વપરાતો, ત્રિમાસિક ગોલે કોડ 729 બેટ્સને અનુરૂપ છે અને મહત્તમ 2 ખોટા પરિણામો સાથે બરાબર એક શરતની બાંયધરી આપે છે. હેમિંગ વજન 5 સાથે કોડવર્ડ્સનો સમૂહ 3-(11,5,4) ડિઝાઇન છે. ગોલે દ્વારા આપવામાં આવેલ જનરેટર મેટ્રિક્સ (1949, કોષ્ટક 1.) (મૂળ) ત્રિકોણીય ગોલે કોડનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ મેથ્યુ જૂથ M11 છે, જે છૂટાછવાયા સરળ જૂથોમાં સૌથી નાનું છે. વિસ્તૃત ત્રિકોણીય ગોલે કોડ વિસ્તૃત ત્રિકોણીય ગોલે કોડનું સંપૂર્ણ વજન ગણક છે વિસ્તૃત ત્રિકોણીય ગોલે કોડનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ 2.M12 છે, જ્યાં M12 એ મેથ્યુ જૂથ M12 છે. વિસ્તૃત ત્રિકોણીય ગોલે કોડને F3 ક્ષેત્ર પર ક્રમ 12ના હેડમર્ડ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓના ગાળા તરીકે બનાવી શકાય છે. વિસ્તૃત કોડના તમામ કોડવર્ડ્સનો વિચાર કરો જેમાં માત્ર છ બિન-શૂન્ય અંકો છે. સ્થાનોના સમૂહ કે જેના પર આ બિન-શૂન્ય અંકો આવે છે તે સ્ટેઇનર સિસ્ટમ એસ (5,6,12) બનાવે છે. આ જનરેટર મેટ્રિક્સ માટે અનુરૂપ પેરિટી ચેક મેટ્રિક્સ છે, જ્યાં મેટ્રિક્સના ટ્રાન્સપોઝને સૂચવે છે. આ કોડ માટે વૈકલ્પિક જનરેટર મેટ્રિક્સ છે અને તેનો પેરિટી ચેક મેટ્રિક્સ છે. અંતર્ગત મર્યાદિત ક્ષેત્રના ત્રણ ઘટકો અહીં દ્વારા રજૂ કરવાને બદલે દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. તે પણ સમજી શકાય છે કે (એટલે કે, 1 નો ઍડિટિવ ઇન્વર્સ) અને. આ મર્યાદિત ક્ષેત્ર તત્વોના ગુણાકાર પૂર્ણાંકો જેવા જ હોય છે. પંક્તિ અને સ્તંભના સરવાળાનું મૂલ્યાંકન મોડ્યુલો 3 કરવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સની પંક્તિઓના રેખીય સંયોજનો અથવા વેક્ટર ઉમેરા કોડમાં સમાવિષ્ટ તમામ સંભવિત શબ્દો ઉત્પન્ન કરે છે. આને પંક્તિઓના ગાળા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જનરેટર મેટ્રિક્સની કોઈપણ બે હરોળનો આંતરિક ગુણાકાર હંમેશા શૂન્ય થશે. આ પંક્તિઓ અથવા વાહક ઓર્થોગોનલ હોવાનું કહેવાય છે. જનરેટર અને પેરિટી-ચેક મેટ્રિસીસનો મેટ્રિક્સ પ્રોડક્ટ, તમામ શૂન્યનો મેટ્રિક્સ છે, અને ઉદ્દેશ દ્વારા. ખરેખર, આ તેના જનરેટર મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં કોઈપણ પેરિટી ચેક મેટ્રિક્સની ખૂબ જ વ્યાખ્યાનું ઉદાહરણ છે. ઇતિહાસ અને એપ્લિકેશન્સ ધ ટરનરી ગોલે કોડ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. તેની સ્વતંત્ર રીતે બે વર્ષ અગાઉ ફિનિશ ફૂટબોલ પૂલના ઉત્સાહી જુહાની વર્ચાકાલિયો દ્વારા શોધ કરવામાં આવી હતી, જેમણે તેને 1947માં ફૂટબોલ મેગેઝિન વેક્કાજાના 27,28 અને 33 અંકમાં પ્રકાશિત કરી હતી. ત્રિકોણીય ગોલે કોડ ભૂલ-સહિષ્ણુ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગના અભિગમ માટે ઉપયોગી હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે જેને મેજિક સ્ટેટ ડિસ્ટિલેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ બર્લેકેમ્પ-વાન લિન્ટ-સીડેલ આલેખ દ્વિસંગી ગોલે કોડ સંદર્ભો વધુ વાંચન કોડિંગ સિદ્ધાંત મર્યાદિત ક્ષેત્રો જાઃ 3