Difference set
સંયોજનશાસ્ત્રમાં, તફાવત સમૂહ એ ક્રમના જૂથના કદનો પેટા સમૂહ છે જેમ કે દરેક બિન-ઓળખ તત્વને બરાબર રીતે તત્વોના ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો જૂથમાં અનુરૂપ ગુણધર્મ હોય તો તફાવત સમૂહને ચક્રીય, અબેલિયન, બિન-અબેલિયન વગેરે કહેવામાં આવે છે. સાથે સેટ કરેલ તફાવતને કેટલીકવાર સમતલીય અથવા સરળ કહેવામાં આવે છે. જો એડિટિવ નોટેશનમાં લખાયેલ અબેલિયન જૂથ હોય, તો વ્યાખ્યાયિત કરવાની શરત એ છે કે દરેક બિન-શૂન્ય તત્વને બરાબર રીતે તત્વોના તફાવત તરીકે લખી શકાય છે. "તફાવત સમૂહ" શબ્દ આ રીતે ઊભો થાય છે. મૂળભૂત હકીકતો એક સરળ ગણતરી દલીલ દર્શાવે છે કે તેમાંથી તત્વોની બરાબર જોડી હોય છે જે બિન-ઓળખ તત્વો આપશે, તેથી દરેક તફાવત સમૂહએ સમીકરણને સંતોષવું આવશ્યક છે જો તે તફાવત સમૂહ છે અને પછી તે તફાવત સમૂહ પણ છે, અને તેને અનુવાદ (એડિટિવ નોટેશનમાં) કહેવામાં આવે છે. - તફાવત સમૂહનું પૂરક એ-તફાવત સમૂહ છે. તફાવત સમૂહના તમામ અનુવાદોનો સમૂહ સપ્રમાણ બ્લોક ડિઝાઇન બનાવે છે, જેને વિકાસ કહેવાય છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આવી ડિઝાઇનમાં તત્વો (સામાન્ય રીતે બિંદુઓ કહેવાય છે) અને બ્લોક્સ (સબસેટ્સ) હોય છે. ડિઝાઇનના દરેક બ્લોકમાં બિંદુઓ હોય છે, દરેક બિંદુ બ્લોકમાં સમાયેલ હોય છે. કોઈપણ બે બ્લોકમાં બરાબર સમાન તત્વો હોય છે અને કોઈપણ બે બિંદુઓ એક સાથે બરાબર બ્લોકમાં સમાયેલ હોય છે. આ જૂથ ડિઝાઇનના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ તરીકે કામ કરે છે. તે બિંદુઓ અને બ્લોક બંને પર તીવ્ર રીતે સંક્રમક છે. ખાસ કરીને, જો, તો પછી તફાવત સમૂહ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનને જન્મ આપે છે. જૂથમાં સેટ કરેલ (7,3,1) તફાવતનું ઉદાહરણ સબસેટ છે. આ તફાવત સમૂહના અનુવાદો ફાનો સમતલ બનાવે છે. દરેક તફાવત સમૂહ સપ્રમાણ રચના આપે છે, તેથી પરિમાણ સમૂહએ બ્રૂક-રાયસર-ચૌલા પ્રમેયને સંતોષવો આવશ્યક છે. દરેક સપ્રમાણ રચના તફાવત સમૂહ આપતી નથી. સમકક્ષ અને આઇસોમોર્ફિક તફાવત સમૂહો જૂથ અને જૂથમાં બે તફાવત સમૂહો સમકક્ષ હોય છે જો તેમની વચ્ચે અને કેટલાક લોકો માટે જૂથ આઇસોમોર્ફિઝમ હોય. સમકક્ષ તફાવત સમૂહો સમરૂપ હોય છે, પરંતુ સમરૂપ તફાવત સમૂહોના ઉદાહરણો અસ્તિત્વમાં છે જે સમકક્ષ નથી. ચક્રીય તફાવત સમૂહના કિસ્સામાં, તમામ જાણીતા સમરૂપ તફાવત સમૂહો સમકક્ષ હોય છે. ગુણક જૂથમાં તફાવત સમૂહનો ગુણક એ જૂથ ઓટોમોર્ફિઝમ છે જે કેટલાક લોકો માટે જો અબેલિયન હોય અને ઓટોમોર્ફિઝમ હોય જે નકશો બનાવે છે, તો તેને આંકડાકીય અથવા હોલ મલ્ટિપ્લાયર કહેવામાં આવે છે. એવું અનુમાન કરવામાં આવ્યું છે કે જો p એ અવિભાજ્ય વિભાજન છે અને v ને વિભાજન કરતું નથી, તો પછી જૂથ ઓટોમોર્ફિઝમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ડીના કેટલાક અનુવાદને સુધારે છે (આ ગુણક હોવાની સમકક્ષ છે). તે ક્યારે અબેલિયન જૂથ છે તે માટે સાચું હોવાનું જાણીતું છે, અને આ પ્રથમ ગુણાકાર પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. વધુ સામાન્ય રીતે જાણીતું પરિણામ, સેકન્ડ મલ્ટિપ્લાયર થીયરમ, કહે છે કે જો ઘાતાંકના અબેલિયન જૂથ (દરેક તત્વના ક્રમમાં સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક) માં-તફાવત સેટ હોય, તો ચાલો તેને પૂર્ણાંક સહમૌલ્ય માનીએ. જો એવો કોઈ વિભાજક અસ્તિત્વમાં હોય કે જે m ને વિભાજીત કરતા દરેક મુખ્ય p માટે, તેની સાથે એક પૂર્ણાંક i હોય, તો t એ આંકડાકીય વિભાજક છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2 એ ઉપર ઉલ્લેખિત (7,3,1)-તફાવત સમૂહનો ગુણક છે. એવો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે કે અબેલિયન જૂથમાં સેટ કરેલા તફાવતનો આંકડાકીય ગુણક તેના અનુવાદને નિશ્ચિત કરે છે, પરંતુ તે પણ દર્શાવી શકાય છે કે જેનો અનુવાદ પરિમાણોના તમામ આંકડાકીય ગુણકો દ્વારા નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. જાણીતા તફાવત સમૂહો અથવા તેમના પૂરકમાં નીચેના પરિમાણ સમૂહોમાંથી એક હોય છેઃ-અમુક મુખ્ય ઘાત અને કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે સેટ કરેલ તફાવત. આ શાસ્ત્રીય પરિમાણો તરીકે ઓળખાય છે અને આ પરિમાણો ધરાવતા તફાવત સમૂહોની ઘણી રચનાઓ છે. કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક તફાવત સમૂહો માટેના-તફાવત સમૂહને પેલે-પ્રકારનો તફાવત સમુહો કહેવામાં આવે છે. કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે-તફાવત સેટ આ પરિમાણો સાથે સેટ કરેલ તફાવત એ હેડામાર્ડ તફાવત સેટ છે. મેકફારલેન્ડ પરિમાણો તરીકે ઓળખાતા કેટલાક મુખ્ય પાવર અને કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે-તફાવત સેટ કરેલ છે. સ્પેન્સ પરિમાણો તરીકે ઓળખાતા કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે-તફાવત સેટ કરેલ છે. આ પરિમાણો સાથેના કેટલાક મુખ્ય ઘાત અને કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે નિર્ધારિત-તફાવત તફાવત સમૂહને ડેવિસ-જેડવાબ-ચેન તફાવત સમૂહ કહેવામાં આવે છે. જાણીતા તફાવત સમૂહો તફાવત સમૂહોની ઘણી રચનાઓમાં, ઉપયોગમાં લેવાતા જૂથો મર્યાદિત ક્ષેત્રોના એડિટિવ અને મલ્ટિપ્લિકેટિવ જૂથો સાથે સંબંધિત છે. આ ક્ષેત્રોને દર્શાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સંકેતો શિસ્ત અનુસાર અલગ પડે છે. આ વિભાગમાં, ક્રમમાં ગેલોઇસ ક્ષેત્ર છે જ્યાં મુખ્ય અથવા મુખ્ય શક્તિ છે. ઉમેરા હેઠળના જૂથને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યારે તે બિન-શૂન્ય તત્વોનું ગુણાકાર જૂથ છે. પાલે-તફાવત સમૂહઃ ચાલો એક મુખ્ય શક્તિ બનીએ. જૂથમાં, ચાલો બધા બિન-શૂન્ય ચોરસનો સમૂહ બનીએ. ગાયક-તફાવત સમૂહઃ ચાલો. પછી સમૂહ એક-તફાવત સમૂહ છે, જ્યાં ટ્રેસ ફંક્શન ટ્વીન પ્રાઇમ પાવર-તફાવત સેટ છે જ્યારે અને બંને મુખ્ય શક્તિઓ છેઃ જૂથમાં, ચાલો ઇતિહાસ સમપ્રમાણ બ્લોક ડિઝાઇનના નિર્માણ માટે ચક્રીય તફાવત સમૂહો અને પદ્ધતિઓનો વ્યવસ્થિત ઉપયોગ આર. સી. બોઝ અને 1939 માં તેમના નિર્ણાયક પેપરનો છે. જો કે, આ કરતાં પહેલાં વિવિધ ઉદાહરણો દેખાયા હતા, જેમ કે "પેલી ડિફરન્સ સેટ્સ" જે 1933ની છે. વધુ સામાન્ય જૂથોમાં ચક્રીય તફાવત સમૂહ ખ્યાલનું સામાન્યીકરણ 1955 માં આર. એચ. બ્રુકને કારણે છે. 1947માં માર્શલ હોલ જુનિયર દ્વારા મલ્ટિપ્લાયર રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. એપ્લિકેશન ઝિયા, ઝોઉ અને ગિયાનાકિસ દ્વારા જાણવા મળ્યું છે કે તફાવત સમૂહોનો ઉપયોગ એક જટિલ વેક્ટર કોડબુક બનાવવા માટે થઈ શકે છે જે મહત્તમ ક્રોસ સહસંબંધ કંપનવિસ્તાર પર બંધાયેલ મુશ્કેલ વેલ્ચને પ્રાપ્ત કરે છે. આ કહેવાતી કોડબુક પણ કહેવાતા ગ્રાસમેનિયન મેનીફોલ્ડ બનાવે છે. સામાન્યીકરણ તફાવત પરિવાર એ જૂથના ઉપગણોનો સમૂહ છે જેમ કે ક્રમ છે, કદ બધા માટે છે, અને દરેક બિન-ઓળખ તત્વને કેટલાક માટે તત્વોના ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે (એટલે કે. બંને એક જમાંથી આવે છે) બરાબર રીતે. તફાવત સમૂહ એ તફાવત પરિવાર સાથેનો તફાવત છે ઉપરનું પરિમાણ સમીકરણ તેને સામાન્ય બનાવે છે તફાવત પરિવારનો વિકાસ એ 2-ડિઝાઇન છે. નિયમિત ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ સાથેની દરેક 2-ડિઝાઇન અમુક તફાવત પરિવાર માટે છે. સંયોજનો