Biharmonic equation
ગણિતમાં, બાયહાર્મોનિક સમીકરણ એ ચોથા ક્રમનું આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે જે સાતત્ય મિકેનિક્સના ક્ષેત્રોમાં ઉદભવે છે, જેમાં રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત અને સ્ટોક્સ પ્રવાહના ઉકેલનો સમાવેશ થાય છે. ખાસ કરીને, તેનો ઉપયોગ પાતળા માળખાના મોડેલિંગમાં થાય છે જે બાહ્ય દળો પર સ્થિતિસ્થાપક રીતે પ્રતિક્રિયા આપે છે. સંકેતન તેને અથવા અથવા ક્યાં તરીકે લખવામાં આવે છે, જે ડેલ ઓપરેટરની ચોથી શક્તિ છે અને લાપ્લેસીયન ઓપરેટર (અથવા) નો વર્ગ, બાયહાર્મોનિક ઓપરેટર અથવા બિલાપ્લેસીયન ઓપરેટર તરીકે ઓળખાય છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં, તેને પરિમાણોમાં આ રીતે લખી શકાય છેઃ કારણ કે અહીં સૂત્રમાં સૂચકાંકોનો સરવાળો છે, ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ સંકેતોને પસંદ કરે છે કારણ કે પહેલું સ્પષ્ટ કરે છે કે ચાર નાબલા ઓપરેટરોના સૂચકાંકોમાંથી કયા પર સંકોચાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં બાયહાર્મોનિક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે અન્ય એક ઉદાહરણ તરીકે, n-પરિમાણીય વાસ્તવિક કોઓર્ડિનેટ સ્પેસમાં મૂળ વિના, જ્યાં દર્શાવે છે કે, n = 3 અને n = 5 માટે જ, બાયહાર્મોનિક સમીકરણનો ઉકેલ છે. બાયહાર્મોનિક સમીકરણના ઉકેલને બાયહાર્મોનિક કાર્ય કહેવામાં આવે છે. કોઈપણ હાર્મોનિક કાર્ય બાયહાર્મોનિક હોય છે, પરંતુ તેનાથી વિપરીત હંમેશા સાચું હોતું નથી. દ્વિ-પરિમાણીય ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, બાયહાર્મોનિક સમીકરણ એ છે જે ચલને અલગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. પરિણામ મિશેલ સોલ્યુશન છે. 2-પરિમાણીય અવકાશ 2-પરિમાણીય કેસનો સામાન્ય ઉકેલ એ છે કે જ્યાં, અને હાર્મોનિક કાર્યો છે અને તે એક હાર્મોનિક સંયોજન છે. જેમ 2 ચલમાં હાર્મોનિક કાર્યો જટિલ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે, તેવી જ રીતે 2 ચલમાં હાર્મોનિક કાર્યો પણ છે. 2 ચલમાં બાયહાર્મોનિક કાર્યનું સામાન્ય સ્વરૂપ ક્યાં અને વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો તરીકે પણ લખી શકાય છે. હાર્મોનિક કાર્ય સંદર્ભો એરિક ડબલ્યુ વેઇઝસ્ટીન, સી. આર. સી. કન્સાઇઝ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ મેથેમેટિક્સ, સી. આર. સી. પ્રેસ, 2002 પણ જુઓ. એસ. આઈ. હાયેક, વિજ્ઞાન અને ઇજનેરીમાં અદ્યતન ગાણિતિક પદ્ધતિઓ, માર્સેલ ડેકર, 2000. બાહ્ય કડીઓ લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણો