Current (mathematics)
ગણિતમાં, વધુ ખાસ કરીને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ, વિભેદક ટોપોલોજી અને ભૌમિતિક માપન સિદ્ધાંતમાં, જ્યોર્જ ડી રામના અર્થમાં કે-પ્રવાહ એ સંક્ષિપ્ત રીતે સમર્થિત વિભેદક કે-સ્વરૂપોની જગ્યા પર, એક સરળ મેનીફોલ્ડ એમ. પ્રવાહો ઔપચારિક રીતે વિભેદક સ્વરૂપોની જગ્યા પર શ્વાર્ટઝ વિતરણોની જેમ વર્તે છે, પરંતુ ભૌમિતિક સેટિંગમાં, તેઓ સબમેનિફોલ્ડ પર એકીકરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે, ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યને સામાન્ય બનાવી શકે છે, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે એમ. ના સબસેટ સાથે ફેલાયેલા ડેલ્ટા કાર્યો (મલ્ટિપોલ્સ) ના દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન પણ કરી શકે છે. આમ રેખીય કાર્યાત્મક એ m-પરિમાણીય પ્રવાહ છે જો તે નીચેના અર્થમાં સતત હોયઃ જો સરળ સ્વરૂપોનો ક્રમ, બધા એક જ સઘન સમૂહમાં આધારભૂત હોય, તો તે એવો હોય કે જ્યારે તેમના તમામ ગુણાંકના તમામ વ્યુત્પન્ન અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે સમાનરૂપે 0 તરફ વલણ ધરાવે છે, તો તે 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. એમ-ડાયમેન્શનલ પ્રવાહોની જગ્યા એ વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા છે જેની કામગીરી વિતરણના મોટાભાગના સિદ્ધાંત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ઓછામાં ઓછા ગોઠવણો સાથે પ્રવાહોને વહન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવાહના આધારને સૌથી મોટા ખુલ્લા સમૂહના પૂરક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમ કે જ્યારે પણ આધાર (ઉપરના અર્થમાં) સાથે પ્રવાહોની બનેલી રેખીય પેટા જગ્યાને સૂચિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમરૂપ સિદ્ધાંત m પરિમાણના કોમ્પેક્ટ રેક્ટિફાયેબલ ઓરિએન્ટેડ સબમેનિફોલ્ડ M (સીમા સાથે) પર એકીકરણ m-પ્રવાહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે આ રીતે સૂચવવામાં આવે છેઃ જો M ની સીમા ષ્ણુમ સુધારી શકાય તેવી હોય, તો તે પણ એકીકરણ દ્વારા પ્રવાહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને સ્ટોક્સના પ્રમેયને આધારે એક પાસે છેઃ આ બાહ્ય વ્યુત્પન્ન d ને M ની સમરૂપતા પર સીમા સંચાલક ષ્ણુમ સાથે સંબંધિત કરે છે. આ સૂત્રને ધ્યાનમાં રાખીને આપણે મનસ્વી પ્રવાહો પર દ્વૈતતા દ્વારા બાહ્ય વ્યુત્પન્ન દ્વારા સીમા સંચાલકને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. એક શાસ્ત્રીય ઉદાહરણ એ છે કે લિપ્સિટ્ઝ પડોશી રીટ્રેક્ટ્સ પરના અભિન્ન પ્રવાહોનો પેટા વર્ગ છે. ટોપોલોજી અને ધોરણો પ્રવાહોની જગ્યા કુદરતી રીતે નબળા-* ટોપોલોજીથી સંપન્ન છે, જેને આગળ ફક્ત નબળા અભિસરણ કહેવામાં આવશે. પ્રવાહોનો ક્રમ, પ્રવાહમાં એકરૂપ થાય છે જો તમામ પ્રવાહોની જગ્યાના પેટા જગ્યાઓ પર કેટલાક ધોરણો વ્યાખ્યાયિત કરવા શક્ય હોય. આવા એક ધોરણ સામૂહિક ધોરણ છે. જો એમ-સ્વરૂપ હોય, તો તેના કોમાસને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી પ્રવાહના દળને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે પ્રવાહનું દળ સામાન્યીકૃત સપાટીના ભારિત ક્ષેત્રને રજૂ કરે છે. એક એવો પ્રવાહ કે જે M (T) <ini એ રીઝ પ્રતિનિધિત્વ પ્રમેયના સંસ્કરણ દ્વારા નિયમિત બોરેલ માપના એકીકરણ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ સમરૂપ એકીકરણનું પ્રારંભિક બિંદુ છે. મધ્યવર્તી ધોરણ એ વ્હિટનીનું સપાટ ધોરણ છે, જે બે પ્રવાહો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જો તેઓ નાના ભાગથી દૂર હોય તો સામૂહિક ધોરણમાં નજીક હોય છે. બીજી બાજુ, જો તેઓ નાની વિકૃતિ સાથે મેળ ખાય તો તેઓ સપાટ ધોરણની નજીક હોય છે. ઉદાહરણો યાદ રાખો કે જેથી નીચે આપેલા 0-પ્રવાહને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ ખાસ કરીને દરેક હસ્તાક્ષરિત નિયમિત માપ એ 0-પ્રવાહ છેઃ ધારો કે (x, y, z) માં કોઓર્ડિનેટ્સ છે. વિભેદક ટોપોલોજી કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ સામાન્યીકૃત કાર્યો સામાન્યીકૃત મેનીફોલ્ડ્સ શ્વાર્ટઝ વિતરણ