Fano variety
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, ગિનો ફાનો દ્વારા રજૂ કરાયેલ ફાનો વિવિધતા એ સંપૂર્ણ વિવિધતા X છે, જેનું એન્ટિકેનોનીકલ બંડલ KX * પુષ્કળ છે. આ વ્યાખ્યામાં, કોઈ એવું માની શકે છે કે X એક ક્ષેત્ર પર સરળ છે, પરંતુ ન્યૂનતમ મોડેલ પ્રોગ્રામ પણ વિવિધ પ્રકારની સિંગ્યુલારીટી સાથે ફેનો જાતોના અભ્યાસ તરફ દોરી ગયો છે, જેમ કે ટર્મિનલ અથવા klt સિંગ્યુલારીટી. તાજેતરમાં વિભેદક ભૂમિતિમાં તકનીકો જટિલ સંખ્યાઓ પર ફેનોની જાતોના અભ્યાસ માટે લાગુ કરવામાં આવી છે, અને ફેનોની જાતોના મોડ્યુલી જગ્યાઓનું નિર્માણ કરવામાં અને ફેનોની જાતોની કે-સ્થિરતાના અભ્યાસ દ્વારા તેમના પર કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેટ્રિક્સના અસ્તિત્વને સાબિત કરવામાં સફળતા મળી છે. ઉદાહરણો ફેનો જાતોનું મૂળભૂત ઉદાહરણ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ છેઃ ક્ષેત્ર k પર Pnનું એન્ટિકેનોનીકલ લાઇન બંડલ O (n + 1) છે, જે ખૂબ જ વિપુલ છે (જટિલ સંખ્યાઓ પર, તેની વળાંક ફુબિની-સ્ટડી સિમ્પ્લેક્ટિક સ્વરૂપની n + 1 ગણી છે). ધારો કે D એ Pn માં સ્મૂથ કોડિમેન્શન-1 સબવેરાઇટી છે. સંલગ્ન સૂત્ર સૂચવે છે કે KD = (KX + D) |D = (− (n + 1) H + ડિગ (D) H) |D, જ્યાં H એ હાયપરપ્લેનનો વર્ગ છે. તેથી જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ડિગ્રી (ડી) <એન + 1 હોય તો હાઇપરસર્ફેસ ડી એ ફેનો છે. વધુ સામાન્ય રીતે, n-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ અવકાશમાં અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓનું સરળ સંપૂર્ણ આંતરછેદ ફાનો છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમની ડિગ્રીનો સરવાળો મહત્તમ n હોય. ભારિત પ્રક્ષેપણ અવકાશ P (a0,., an) એકવચન (klt) ફાનો વિવિધતા છે. આ શ્રેણીબદ્ધ બહુપદી વીંટી સાથે સંકળાયેલી પ્રોજેક્ટિવ યોજના છે, જેના જનરેટરની ડિગ્રી a0,., an હોય છે. જો આ સારી રીતે રચાયેલું હોય, તો એ અર્થમાં કે સંખ્યાઓમાંથી કોઈ પણ n એ 1 કરતા વધારે સામાન્ય પરિબળ ધરાવતું નથી, તો હાયપરસર્ફેસનો કોઈપણ સંપૂર્ણ આંતરછેદ જેમ કે તેમની ડિગ્રીનો સરવાળો a0 + + an કરતા ઓછો હોય તો તે એક ફેનો વિવિધતા છે. લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં દરેક પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા કે જે રેખીય બીજગણિત જૂથ હેઠળ સજાતીય છે તે ફેનો છે. કેટલાક ગુણધર્મો X પર કેટલાક પૂરતા લાઇન બંડલનું અસ્તિત્વ એ X એ પ્રોજેક્ટિવ વેરાયટી હોવા સમાન છે, તેથી ફેનો વેરાયટી હંમેશા પ્રોજેક્ટિવ હોય છે. જટિલ સંખ્યાઓ પર ફેનોનો પ્રકાર X માટે, કોડાઇરા લુપ્ત થિયરમ સૂચવે છે કે માળખાના આવરણના આવરણ કોહોમોલોજી જૂથો માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ખાસ કરીને, ટોડ જીનસ આપમેળે 1 બરાબર થાય છે. આ અદ્રશ્ય થઈ રહેલા નિવેદનના કિસ્સાઓ આપણને એ પણ જણાવે છે કે પ્રથમ ચેરન વર્ગ સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે. કાલાબી અનુમાનના યાઉના ઉકેલ દ્વારા, એક સરળ જટિલ વિવિધતા સકારાત્મક રિક્કી વળાંકના કેલર મેટ્રિક્સને સ્વીકારે છે જો અને માત્ર જો તે ફેનો હોય. માયર્સનો પ્રમેય આપણને કહે છે કે ફેનો મેનીફોલ્ડનું સાર્વત્રિક આવરણ સઘન છે, અને તેથી તે માત્ર મર્યાદિત આવરણ હોઈ શકે છે. જો કે, આપણે હમણાં જ જોયું છે કે ફેનો મેનીફોલ્ડની ટોડ જાતિ 1 ની બરાબર હોવી જોઈએ. કારણ કે આ મેનીફોલ્ડના સાર્વત્રિક આવરણને પણ લાગુ પડશે, અને ટોડ જીનસ મર્યાદિત આવરણ હેઠળ ગુણાકાર હોવાથી, તે અનુસરે છે કે કોઈપણ ફેનો મેનીફોલ્ડ સરળતાથી જોડાયેલ છે. એક વધુ સરળ હકીકત એ છે કે દરેક ફાનો જાતમાં કોડાઇરા પરિમાણ − ≤ હોય છે. કેમ્પાના અને કોલ્લર-મિયાઓકા-મોરીએ દર્શાવ્યું હતું કે બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર એક સરળ ફેનોનો પ્રકાર તર્કસંગત રીતે સાંકળમાં જોડાયેલ છે; એટલે કે, કોઈપણ બે બંધ બિંદુઓને તર્કસંગત વળાંકની સાંકળ દ્વારા જોડી શકાય છે. કોલ્લર-મિયાઓકા-મોરીએ એ પણ દર્શાવ્યું હતું કે લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર આપેલ પરિમાણની સરળ ફેનો જાતો એક બંધાયેલ કુટુંબ બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ મર્યાદિત રીતે ઘણા બીજગણિત જાતોના બિંદુઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, દરેક પરિમાણની ફેનો જાતોના માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા વિકૃતિ વર્ગો છે. આ અર્થમાં, સામાન્ય પ્રકારની જાતો જેવી જાતોના અન્ય વર્ગો કરતાં ફેનોની જાતો વધુ વિશિષ્ટ છે. નાના પરિમાણોમાં વર્ગીકરણ નીચેની ચર્ચા જટિલ સંખ્યાઓ પર સરળ ફેનો જાતોને લગતી છે. ફેનો વળાંક પ્રોજેક્ટિવ રેખા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. ફેનો સપાટીને ડેલ પેઝો સપાટી પણ કહેવામાં આવે છે. દરેક ડેલ પેઝો સપાટી P1 × P1 અથવા મહત્તમ આઠ બિંદુઓ પર ફૂંકાતા પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન માટે આઇસોમોર્ફિક હોય છે, જે સામાન્ય સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ. પરિણામે, તેઓ બધા તર્કસંગત છે. પરિમાણ 3 માં, ત્યાં સરળ જટિલ ફેનો જાતો છે જે તર્કસંગત નથી, ઉદાહરણ તરીકે પી 4 માં ક્યુબિક 3-ફોલ્ડ્સ (ક્લેમેન્સ-ગ્રિફિથ્સ દ્વારા) અને પી 4 માં ક્વાર્ટિક 3-ફોલ્ડ્સ (ઇસ્કોવ્સ્કીખ-માનિન દ્વારા). બીજા બેટ્ટી નંબર 1 સાથે સરળ ફેનો 3-ફોલ્ડ્સને 17 વર્ગોમાં વર્ગીકૃત કર્યા, અને 88 વિરૂપતા વર્ગો શોધીને, બીજા બેટ્ટી નંબર ઓછામાં ઓછા 2 સાથે સરળ ફોલ્ડ્સને વર્ગીકૃત કર્યા. સ્મૂથ ફેનો 3-ફોલ્ડ્સના વર્ગીકરણનો વિગતવાર સારાંશ અહીં આપવામાં આવ્યો છે. ફાનોની તમામ જાતોને ત્રણ, ચાર અને પાંચ પરિમાણોમાં વર્ગીકૃત કરવા માટેના પ્રોજેક્ટ આકારોનું સામયિક કોષ્ટક પણ જુઓ. નોંધો બાહ્ય કડીઓ ફેનોગ્રાફી-ત્રિ-પરિમાણીય ફેનોની જાતોના વર્ગીકરણનો દૃષ્ટિની રીતે અભ્યાસ કરવા માટેનું એક સાધન. સંદર્ભો બીજગણિત ભૂમિતિ 3-ગણો