Garside element
ગણિતમાં, ગાર્સાઇડ તત્વ એ મોનોઇડ જેવા બીજગણિત માળખાનું એક તત્વ છે જે ઘણા ઇચ્છનીય ગુણધર્મો ધરાવે છે. ઔપચારિક રીતે, જો M એક મોનોઇડ હોય, તો M ના તત્વને એક ગાર્સાઇડ તત્વ કહેવામાં આવે છે જો α ના તમામ જમણા ભાજકોનો સમૂહ, α ના તમામ ડાબા ભાજકોના સમૂહ જેટલો જ સમૂહ હોય, અને આ સમૂહ M ઉત્પન્ન કરે છે. ગાર્સાઇડ મોનોઇડ અને ગાર્સાઇડ જૂથ એ ગાર્સાઇડ મોનોઇડ એ નીચેના ગુણધર્મો સાથેનો એક મોનોઇડ છેઃ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અને અણુ; રદબાતલ; વિભાજીતતાના આંશિક ક્રમના સંબંધો જાળી છે; ત્યાં એક ગાર્સાઇડ તત્વ અસ્તિત્વમાં છે. ગાર્સાઇડ મોનોઇડ ગુણાકાર સમૂહો માટે અયસ્કની સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી તેના અપૂર્ણાંકોના જૂથમાં સમાવિષ્ટ થાય છેઃ આવા જૂથ ગાર્સાઇડ જૂથ છે. ગાર્સાઇડ જૂથ બાયઆટોમેટિક છે અને તેથી તેમાં દ્રાવ્ય શબ્દ સમસ્યા અને સંયોગની સમસ્યા છે. આવા જૂથોના ઉદાહરણોમાં વેણી જૂથો અને વધુ સામાન્ય રીતે, મર્યાદિત કોક્સેટર પ્રકારનાં આર્ટિન જૂથોનો સમાવેશ થાય છે. મેગડાલેન કોલેજ સ્કૂલ, ઓક્સફર્ડના શિક્ષક ફ્રેન્ક આર્નોલ્ડ ગાર્સાઇડ (1915-1988), જેમણે 1984-1985 માં ઓક્સફર્ડના લોર્ડ મેયર તરીકે સેવા આપી હતી, તેમના વેણી જૂથો માટે જોડાણની સમસ્યા પરના કાર્યને ચિહ્નિત કરવા માટે પેટ્રિક ડેહોર્નોય અને લુઇસ પેરિસ દ્વારા આ નામ આપવામાં આવ્યું હતું. સંદર્ભો બેન્સન ફાર્બ, વર્ગ જૂથો અને સંબંધિત વિષયોના મેપિંગ પરની સમસ્યાઓ (શુદ્ધ ગણિતમાં પરિસંવાદની કાર્યવાહીનું વોલ્યુમ 74) એ. એમ. એસ. બુકસ્ટોર, 2006, પૃષ્ઠ 357 પેટ્રિક ડેહોર્નોય, ગ્રૂપ્સ ડી ગાર્સાઇડ, એનાલેસ સાયન્ટિફિકસ ડી લ 'ઇકોલ નોર્મલ સુપરિયર (4) 35 (2002) 267-306. મેથ્યુ પિકાન્ટિન, "ગાર્સાઇડ મોનોઇડ્સ વિ ડિવિસિબિલિટી મોનોઇડ્સ", ગણિત. સ્ટ્રક્ચર્સ કોમ્પ્યુટ. વિજ્ઞાન. 15 (2005) 231-242.. અમૂર્ત બીજગણિત અર્ધસમૂહ સિદ્ધાંત