Maxwell stress tensor
મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સર (જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે) એ વિદ્યુતચુંબકીય દળો અને યાંત્રિક વેગ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને રજૂ કરવા માટે શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીયતામાં વપરાતો સપ્રમાણ બીજા ક્રમનો ટેન્સર છે. સરળ પરિસ્થિતિઓમાં, જેમ કે એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્તપણે ફરતા બિંદુ ચાર્જમાં, લોરેન્ટ્ઝ બળ નિયમમાંથી ચાર્જ પરના બળોની ગણતરી કરવી સરળ છે. જ્યારે પરિસ્થિતિ વધુ જટિલ બને છે, ત્યારે આ સામાન્ય પ્રક્રિયા અવ્યવહારુ રીતે મુશ્કેલ બની શકે છે, જેમાં સમીકરણો બહુવિધ રેખાઓ સુધી ફેલાયેલા હોય છે. તેથી મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સરમાં આમાંના ઘણા શબ્દો એકત્રિત કરવા અને હાથમાં રહેલી સમસ્યાનો જવાબ શોધવા માટે ટેન્સર અંકગણિતનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમની સાપેક્ષ રચનામાં, મેક્સવેલનો ટેન્સર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્ટ્રેસ-એનર્જી ટેન્સરના એક ભાગ તરીકે દેખાય છે, જે કુલ સ્ટ્રેસ-એનર્જી ટેન્સરનો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઘટક છે. બાદમાં અવકાશકાળમાં ઊર્જા અને વેગની ઘનતા અને પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે. પ્રેરણા નીચે દર્શાવ્યા મુજબ, વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને ના સંદર્ભમાં લખવામાં આવે છે. વેક્ટર કલન અને મેક્સવેલના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, સમપ્રમાણતા અને ધરાવતી શરતોમાં માંગવામાં આવે છે, અને મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સર રજૂ કરવાથી પરિણામ સરળ બને છે. મોમેન્ટમના સંરક્ષણ માટેના ઉપરોક્ત સંબંધમાં, મોમેન્ટમ ફ્લક્સ ડેન્સિટી છે અને તે પોઇન્ટિંગના પ્રમેય જેવી જ ભૂમિકા ભજવે છે. ઉપરોક્ત વ્યુત્પત્તિ બંને અને (મુક્ત અને બાઉન્ડેડ ચાર્જ અને પ્રવાહ બંને) નું સંપૂર્ણ જ્ઞાન ધારે છે. બિનરેખીય પદાર્થોના કિસ્સામાં (જેમ કે બી. એચ.-વળાંક સાથે ચુંબકીય આયર્ન), બિનરેખીય મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સરનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. સમીકરણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સર એ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્ટ્રેસ ટેન્સર છે. એસ. આઈ. એકમોમાં ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ, તે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ, જ્યાં વિદ્યુત અચળાંક છે અને ચુંબકીય અચળાંક છે, તે વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને ક્રોનેકરનો ડેલ્ટા છે. ગૌસીયન સી. જી. એસ. એકમમાં, તે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર ક્યાં છે. આ ટેન્સરને વ્યક્ત કરવાની વૈકલ્પિક રીત છેઃ ડાયડિક પ્રોડક્ટ ક્યાં છે, અને છેલ્લો ટેન્સર એકમ ડાયડ છેઃ મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સરનું તત્વ એકમ સમય દીઠ ક્ષેત્રફળના એકમ દીઠ વેગના એકમો ધરાવે છે અને સમયના એકમ દીઠ સામાન્ય સપાટીને પાર કરતા th અક્ષને સમાંતર વેગનો પ્રવાહ આપે છે. આ એકમોને ક્ષેત્રફળના એકમ દીઠ બળના એકમો (નકારાત્મક દબાણ) તરીકે પણ જોઈ શકાય છે, અને ટેન્સરના તત્વને ક્ષેત્રફળના એકમ દીઠ સપાટીના સામાન્ય અને th અક્ષ દ્વારા ભોગવવામાં આવતા th અક્ષની સમાંતર બળ તરીકે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે. ખરેખર, કર્ણ તત્વો અનુરૂપ અક્ષને સામાન્ય વિભેદક ક્ષેત્ર તત્વ પર કામ કરતા તણાવ (ખેંચાણ) આપે છે. આદર્શ વાયુના દબાણને કારણે થતા બળોથી વિપરીત, વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એક ક્ષેત્ર તત્વ પણ એવી દિશામાં બળ અનુભવે છે જે તત્વ માટે સામાન્ય નથી. આ શીયર સ્ટ્રેસ ટેન્સરના ઓફ-ડાયાગોનલ તત્વો દ્વારા આપવામાં આવે છે. મેગ્નેટોસ્ટેટિક્સમાં જો ક્ષેત્ર માત્ર ચુંબકીય હોય (જે મોટા ભાગે મોટરમાં સાચું હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે), તો કેટલાક શબ્દો બહાર નીકળી જાય છે, અને એસ. આઈ. એકમોમાં સમીકરણ બની જાય છેઃ મોટરના રોટર જેવા નળાકાર પદાર્થો માટે, આને વધુ સરળ બનાવવામાં આવે છેઃ રેડિયલ (નળાકારથી બહાર) દિશામાં શીયર ક્યાં છે, અને સ્પર્શક (નળાકારની આસપાસ) દિશામાં શીયર ક્યાં છે. તે સ્પર્શક બળ છે જે મોટરને ફરે છે. રેડિયલ દિશામાં ફ્લક્સ ઘનતા છે, અને સ્પર્શક દિશામાં ફ્લક્સ ઘનતા છે. ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સમાં ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સમાં ચુંબકત્વની અસરો હાજર નથી. આ કિસ્સામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, એટલે કે. અને આપણે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સર મેળવીએ છીએ. તે ઘટક સ્વરૂપમાં અને પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે જ્યાં સામાન્ય રીતે યોગ્ય ઓળખ ટેન્સર હોય છે. આઈગન વેલ્યુ મેક્સવેલ સ્ટ્રેસ ટેન્સરના આઈગન વેલ્યુ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ આઈગનવેલ્યુ શેરમન-મોરિસન સૂત્ર સાથે મેટ્રિક્સ ડિટરમિનન્ટ લેમ્માને પુનરાવર્તિત રીતે લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે. લાક્ષણિકતા સમીકરણ મેટ્રિક્સ, એ નોંધતા કે જ્યાં આપણે સેટ કરીએ છીએ ત્યાં લખી શકાય છે મેટ્રિક્સ ડિટરમિનન્ટ લેમ્માને એકવાર લાગુ કરવું, આ આપણને આપે છે તેને ફરીથી લાગુ કરવાથી ઉપજ મળે છે, RHS પરના છેલ્લા ગુણાકારમાંથી, આપણે તરત જ જોઈએ છીએ કે તે આઈગનવેલ્યુમાંથી એક છે. તેનો વ્યુત્ક્રમ શોધવા માટે, આપણે શેરમન-મોરિસન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએઃ નિર્ધારકમાં એક શબ્દને ફેક્ટર કરીને, આપણે તર્કસંગત કાર્યના શૂન્ય શોધવા માટે બાકી રહીએ છીએઃ આમ, એકવાર આપણે ઉકેલ લાવીએ તો આપણે અન્ય બે આઈગનવેલ્યુ મેળવીએ છીએ. રિચી કલન વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની ઊર્જા ઘનતા પોઇન્ટિંગ વેક્ટર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્ટ્રેસ-એનર્જી ટેન્સર મેગ્નેટિક પ્રેશર મેગ્નેટિક ટેન્શન ફોર્સ સંદર્ભો ડેવિડ જે. ગ્રિફિથ્સ, "ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સનો પરિચય" પીપી પણ જુઓ. 351-352, બેન્જામિન કમિંગ્સ ઇન્ક., 2008 જ્હોન ડેવિડ જેક્સન, "ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ. ", જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ઇન્ક., 1999. રિચાર્ડ બેકર, "ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફીલ્ડ્સ એન્ડ ઇન્ટરેક્શન્સ", ડોવર પબ્લિકેશન્સ ઇન્ક., 1964. ટેન્સર ભૌતિક જથ્થાઓ વિદ્યુતચુંબકીયતા જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલ