Airy wave theory
પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્રમાં, વાયુ તરંગ સિદ્ધાંત (જેને ઘણીવાર રેખીય તરંગ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) એકરૂપ પ્રવાહી સ્તરની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોના પ્રસારનું રેખીય વર્ણન આપે છે. આ સિદ્ધાંત ધારે છે કે પ્રવાહી સ્તર એક સમાન સરેરાશ ઊંડાઈ ધરાવે છે, અને તે પ્રવાહીનો પ્રવાહ અદ્રશ્ય, અસંપીડ્ય અને અનિયમિત છે. આ સિદ્ધાંત સૌપ્રથમ 19મી સદીમાં જ્યોર્જ બિડેલ એરી દ્વારા સાચા સ્વરૂપમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો. વાયુ તરંગ સિદ્ધાંત ઘણીવાર દરિયાઈ ઇજનેરી અને દરિયાકાંઠાના ઇજનેરીમાં અવ્યવસ્થિત દરિયાઈ રાજ્યોના મોડેલિંગ માટે લાગુ કરવામાં આવે છે-જે ઘણા હેતુઓ માટે તરંગ ગતિશાસ્ત્ર અને ઉચ્ચ-પૂરતી ચોકસાઈની ગતિશીલતાનું વર્ણન આપે છે. વધુમાં, સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોના કેટલાક બીજા ક્રમના બિનરેખીય ગુણધર્મો અને તેમના પ્રસારનો અંદાજ તેના પરિણામો પરથી લગાવી શકાય છે. હવાદાર તરંગ સિદ્ધાંત એ દરિયાકાંઠાની નજીક ઊતરી જાય તે પહેલાં સમુદ્રમાં સુનામી તરંગો માટે પણ સારો અંદાજ છે. આ રેખીય સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ઘણીવાર તરંગ લાક્ષણિકતાઓ અને તેમની અસરોનો ઝડપી અને રફ અંદાજ મેળવવા માટે થાય છે. આ અંદાજ તરંગની ઊંચાઈ અને પાણીની ઊંડાઈ (છીછરા પાણીમાં તરંગો માટે) અને તરંગની ઊંચાઈથી તરંગલંબાઇ (ઊંડા પાણીમાં તરંગો માટે) ના નાના ગુણોત્તર માટે સચોટ છે. વાયુ તરંગ સિદ્ધાંત પ્રવાહી સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોની ગતિનું વર્ણન કરવા માટે સંભવિત પ્રવાહ (અથવા વેગ સંભવિત) અભિગમનો ઉપયોગ કરે છે. પાણીના મોજાઓમાં (અદ્રશ્ય અને અનિયમિત) સંભવિત પ્રવાહનો ઉપયોગ નોંધપાત્ર રીતે સફળ છે, કારણ કે તે અન્ય ઘણા પ્રવાહી પ્રવાહોનું વર્ણન કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે, જ્યાં સ્નિગ્ધતા, વર્ટિસિટી, અશાંતિ અથવા પ્રવાહના વિભાજનને ધ્યાનમાં લેવું ઘણીવાર જરૂરી હોય છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે પ્રવાહી ગતિના ઓસિલેટરી ભાગ માટે, તરંગ-પ્રેરિત વર્ટિસિટી પ્રવાહી ક્ષેત્રની સીમાઓ પર કેટલાક પાતળા ઓસિલેટરી સ્ટોક્સ સીમા સ્તરો સુધી મર્યાદિત છે. વાયુ તરંગ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ઘણીવાર મહાસાગર ઇજનેરી અને દરિયાકાંઠાના ઇજનેરીમાં થાય છે. ખાસ કરીને અનિયમિત તરંગો માટે, જેને કેટલીકવાર તરંગ અશાંતિ કહેવામાં આવે છે, તરંગ વર્ણપટ સહિત તરંગ આંકડાઓની ઉત્ક્રાંતિની આગાહી ખૂબ લાંબા અંતર (તરંગલંબાઇની દ્રષ્ટિએ) અને ખૂબ છીછરા પાણીમાં સારી રીતે કરવામાં આવે છે. વિવર્તન એ તરંગ અસરોમાંથી એક છે જેને હવાદાર તરંગ સિદ્ધાંત સાથે વર્ણવી શકાય છે. વધુમાં, ડબલ્યુ. કે. બી. જે. અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, તરંગ શોલિંગ અને રીફ્રેક્શનની આગાહી કરી શકાય છે. સંભવિત પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોનું વર્ણન કરવાના અગાઉના પ્રયાસો લેપલેસ, પોઈસન, કોચી અને કેલેન્ડ દ્વારા કરવામાં આવ્યા હતા. પરંતુ 1841માં સાચી વ્યુત્પત્તિ અને રચના પ્રકાશિત કરનાર એરી પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. ત્યારબાદ તરત જ, 1847માં, સ્ટોક્સ દ્વારા એરીની રેખીય થિયરીને બિન-રેખીય તરંગ ગતિ માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવી હતી-જે સ્ટોક્સના તરંગ સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાય છે-જે તરંગની સ્થિરતામાં ત્રીજા ક્રમ સુધી સાચું છે. એરીની રેખીય થિયરી પહેલાં પણ, ગેર્સ્ટનરે 1802માં બિનરેખીય ટ્રોકોઈડલ તરંગ થિયરી મેળવી હતી, જે જોકે ઇર્રોટેશનલ નથી. હવાદાર તરંગ સિદ્ધાંત એ સંભવિત પ્રવાહની સપાટી પર અને આડી તળિયાની ઉપર તરંગોના પ્રસાર માટેનો એક રેખીય સિદ્ધાંત છે. આડી સ્થિતિ અને સમયના કાર્ય તરીકે એક તરંગ ઘટકની મુક્ત સપાટીની ઉંચાઈ સિનુસોઇડલ છેઃ મીટરમાં તરંગનું કંપનવિસ્તાર ક્યાં છે, તે કોસાઇન કાર્ય છે, મીટર દીઠ રેડિયનમાં કોણીય તરંગ સંખ્યા છે, જે તરંગલંબાઇ સાથે સંબંધિત છે, તે સેકન્ડ દીઠ રેડિયનમાં કોણીય આવર્તન છે, જે સમયગાળો અને આવર્તન સાથે સંબંધિત છે. તરંગો તબક્કાની ઝડપ સાથે પાણીની સપાટી પર પ્રસરે છેઃ કોણીય તરંગ સંખ્યા અને આવર્તન સ્વતંત્ર પરિમાણો નથી (અને આમ તરંગલંબાઇ અને સમયગાળો પણ સ્વતંત્ર નથી), પરંતુ જોડાયેલા છે. પ્રવાહી પર સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગો વિખેરાયેલા તરંગો છે-જે આવર્તન વિખેરણ દર્શાવે છે-જેનો અર્થ છે કે દરેક તરંગસંખ્યાની તેની પોતાની આવૃત્તિ અને તબક્કાની ગતિ હોય છે. નોંધ લો કે ઇજનેરીમાં તરંગની ઊંચાઈ-શિખર અને ગર્ત વચ્ચેની ઊંચાઈમાં તફાવત-નો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છેઃ રેખીય સામયિક તરંગોના વર્તમાન કિસ્સામાં માન્ય છે. સપાટીની નીચે, મુક્ત સપાટીની ગતિ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહી ગતિ છે. જ્યારે સપાટીની ઊંચાઈ પ્રસરણશીલ તરંગ દર્શાવે છે, ત્યારે પ્રવાહી કણો ભ્રમણકક્ષાની ગતિમાં હોય છે. હવાદાર તરંગ સિદ્ધાંતના માળખામાં, ભ્રમણકક્ષાઓ બંધ વળાંક છેઃ ઊંડા પાણીમાં વર્તુળો અને મર્યાદિત ઊંડાણમાં લંબગોળ-પ્રવાહી સ્તરના તળિયે પહોંચતા પહેલા વર્તુળો મરી જાય છે, અને લંબગોળ પ્રવાહી સ્તરના તળિયાની નજીક સપાટ બને છે. તેથી જ્યારે તરંગ પ્રસરે છે, ત્યારે પ્રવાહી કણો તેમની સરેરાશ સ્થિતિની આસપાસ માત્ર ભ્રમણકક્ષા (ઓસિલેટ) કરે છે. પ્રસાર કરતી તરંગ ગતિ સાથે, પ્રવાહી કણો સરેરાશ વેગ વિના, તરંગ પ્રસારની દિશામાં ઊર્જા સ્થાનાંતરિત કરે છે. ભ્રમણકક્ષાનો વ્યાસ મુક્ત સપાટીની નીચે ઊંડાઈ સાથે ઘટે છે. ઊંડા પાણીમાં, અડધા તરંગલંબાઇની ઊંડાઈ પર ભ્રમણકક્ષાનો વ્યાસ તેના મુક્ત-સપાટી મૂલ્યના 4 ટકા જેટલો ઘટી જાય છે. તેવી જ રીતે, મુક્ત સપાટીની નીચે દબાણ ઓસિલેશન પણ હોય છે, જેમાં તરંગ-પ્રેરિત દબાણ ઓસિલેશન મુક્ત સપાટીની નીચે ઊંડાઈ સાથે ઘટે છે-તે જ રીતે પ્રવાહી પાર્સલની ભ્રમણકક્ષાની ગતિ માટે. તરંગ ગતિની ગાણિતિક રચના પ્રવાહ સમસ્યા રચના તરંગો આડી દિશામાં ફેલાય છે, સંકલન સાથે, અને ઉપર મુક્ત સપાટી દ્વારા બંધાયેલ પ્રવાહી ક્ષેત્ર, ઊભી સંકલન (ઉપરની દિશામાં હકારાત્મક) અને સમય હોવા સાથે. આ સ્તર સપાટીની સરેરાશ ઊંચાઈને અનુરૂપ છે. પ્રવાહી સ્તરની નીચે અભેદ્ય પથારી છે. વધુમાં, પ્રવાહને અસંપીડ્ય અને અનિયમિત માનવામાં આવે છે-પ્રવાહી સપાટી પરના તરંગો માટે પ્રવાહીના આંતરિક ભાગમાં પ્રવાહનો સારો અંદાજ-અને પ્રવાહનું વર્ણન કરવા માટે સંભવિત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વેગ ક્ષમતા પ્રવાહ વેગ ઘટકો સાથે અને આડી () અને ઊભી () દિશાઓમાં આના દ્વારા સંબંધિત છેઃ પછી, અસંપીડ્ય પ્રવાહ માટેના સાતત્ય સમીકરણને કારણે, ક્ષમતાને લાપ્લાસ સમીકરણને સંતોષવું પડશેઃ સમીકરણોની પ્રણાલીને બંધ કરવા માટે પથારી અને મુક્ત સપાટી પર સીમા શરતો જરૂરી છે. રેખીય સિદ્ધાંતના માળખામાં તેમની રચના માટે, પ્રવાહની આધાર સ્થિતિ (અથવા શૂન્ય-ક્રમ ઉકેલ) શું છે તે સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી છે. અહીં, આપણે ધારીએ છીએ કે આધાર સ્થિતિ આરામ છે, જે સૂચવે છે કે સરેરાશ પ્રવાહ વેગ શૂન્ય છે. પથારી અભેદ્ય હોવાથી, ગતિશીલ પથારીની સીમા-સ્થિતિ તરફ દોરી જાય છેઃ ઊંડા પાણીના કિસ્સામાં-જેના દ્વારા ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી અનંત પાણીની ઊંડાઈનો અર્થ થાય છે-પ્રવાહ વેગ મર્યાદામાં શૂન્ય પર જવું પડે છે કારણ કે ઊભી કોઓર્ડિનેટ માઇનસ અનંત તરફ જાય છેઃ મુક્ત સપાટી પર, અનંત તરંગો માટે, પ્રવાહની ઊભી ગતિ મુક્ત સપાટીના ઊભી વેગની બરાબર હોવી જોઈએ. આ કાઇનેમેટિક મુક્ત-સપાટીની સીમા-સ્થિતિ તરફ દોરી જાય છેઃ જો મુક્ત સપાટીની ઉંચાઈ એક જાણીતું કાર્ય હોત, તો આ પ્રવાહની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પૂરતું હોત. જો કે, સપાટીની ઊંચાઈ વધારાની અજ્ઞાત છે, જેના માટે વધારાની સીમા શરત જરૂરી છે. આ અસ્થિર સંભવિત પ્રવાહ માટે બર્નૌલીના સમીકરણ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. મુક્ત સપાટીની ઉપરનું દબાણ સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ સતત દબાણને સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના શૂન્યની બરાબર લેવામાં આવે છે, કારણ કે આવા સતત દબાણનું સ્તર પ્રવાહમાં ફેરફાર કરતું નથી. રેખીયકરણ પછી, આ ગતિશીલ મુક્ત-સપાટી સીમા શરત આપે છેઃ કારણ કે આ એક રેખીય સિદ્ધાંત છે, મુક્ત-સપાટી સીમા શરતો બંનેમાં-ગતિમાન અને ગતિશીલ, સમીકરણો () અને ()-નિશ્ચિત સરેરાશ સ્તર પર અને તેનું મૂલ્ય વપરાય છે. પ્રગતિશીલ એકવર્ણી તરંગ માટેનો ઉકેલ એક જ આવર્તનના પ્રસરણશીલ તરંગ માટે-એકવર્ણી તરંગ-સપાટીની ઉંચાઈ આ સ્વરૂપની હોય છેઃ સંકળાયેલ વેગ ક્ષમતા, જે પ્રવાહીના આંતરિક ભાગમાં લાપ્લાસ સમીકરણ (1) ને સંતોષ આપે છે, તેમજ મુક્ત સપાટી (2) અને પથારી (3) પર ગતિમાન સીમા શરતોને સંતોષ આપે છે, તે છેઃ સાથે અને હાયપરબોલિક સાઇન અને હાયપરબોલિક કોસાઇન કાર્ય, અનુક્રમે. પરંતુ અને ગતિશીલ સીમા શરતને પણ સંતોષવી પડશે, જે તરંગ કંપનવિસ્તાર માટે બિન-તુચ્છ (બિન-શૂન્ય) મૂલ્યોમાં પરિણમે છે, જો રેખીય વિક્ષેપ સંબંધ સંતુષ્ટ હોય તો જઃ હાયપરબોલિક સ્પર્શક સાથે. તેથી કોણીય આવર્તન અને તરંગ સંખ્યા-અથવા સમકક્ષ સમયગાળો અને તરંગલંબાઇ-સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરી શકાતી નથી, પરંતુ સંબંધિત છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહી સપાટી પર તરંગ પ્રસાર એ એક આઈગન સમસ્યા છે. પ્રસરણ સંબંધને ક્યારે અને ક્યારે સંતોષાય છે, ત્યારે તરંગ કંપનવિસ્તારને મુક્તપણે પસંદ કરી શકાય છે (પરંતુ એરી તરંગ સિદ્ધાંતને માન્ય અંદાજ આપવા માટે પૂરતો નાનો છે). તરંગ જથ્થાનું કોષ્ટક નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં, વાયુ તરંગ સિદ્ધાંત અનુસાર કેટલાક પ્રવાહ જથ્થા અને પરિમાણો આપવામાં આવ્યા છે. આપેલ જથ્થા ઉપર આપેલા ઉકેલની સરખામણીમાં થોડી વધુ સામાન્ય પરિસ્થિતિ માટે છે. પ્રથમ, તરંગો સમતલમાં મનસ્વી આડી દિશામાં પ્રસરી શકે છે. વેવ નંબર વેક્ટર છે, અને તે વેવ ક્રેસ્ટ્સના કેમ્સને લંબરૂપ છે. બીજું, સરેરાશ પ્રવાહ વેગ માટે, આડી દિશામાં અને (સ્વતંત્ર) ઊંડાઈ પર સમાન ભથ્થું આપવામાં આવે છે. આ પ્રસરણ સંબંધોમાં ડોપ્લર પરિવર્તન રજૂ કરે છે. પૃથ્વી-નિશ્ચિત સ્થાન પર, અવલોકન કરાયેલ કોણીય આવર્તન (અથવા સંપૂર્ણ કોણીય આવર્તન) છે. બીજી બાજુ, સરેરાશ વેગ સાથે આગળ વધતા સંદર્ભની ફ્રેમમાં (તેથી આ સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી જોવા મળેલો સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે), કોણીય આવર્તન અલગ છે. તેને આંતરિક કોણીય આવર્તન (અથવા સંબંધિત કોણીય આવર્તન) કહેવામાં આવે છે, જે સૂચવવામાં આવે છે. તેથી શુદ્ધ તરંગ ગતિમાં, સાથે, બંને આવર્તન અને સમાન છે. તરંગ સંખ્યા (અને તરંગલંબાઇ) સંદર્ભની ફ્રેમથી સ્વતંત્ર છે, અને તેમાં કોઈ ડોપ્લર શિફ્ટ (મોનોક્રોમેટિક તરંગો માટે) નથી. કોષ્ટક માત્ર પ્રવાહના જથ્થાના ઓસિલેટરી ભાગો આપે છે-વેગ, કણ ભ્રમણ અને દબાણ-અને તેમનું સરેરાશ મૂલ્ય અથવા પ્રવાહ નહીં. ઓસિલેટરી કણ ભ્રમણ અને અનુક્રમે ઓસિલેટરી પ્રવાહ વેગના સમય સંકલન છે. પાણીની ઊંડાઈને ત્રણ પ્રણાલીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છેઃ ઊંડા પાણી-અડધા તરંગલંબાઇ કરતાં મોટી પાણીની ઊંડાઈ માટે, તરંગોની તબક્કાની ઝડપ ભાગ્યે જ ઊંડાઈથી પ્રભાવિત થાય છે (સમુદ્ર અને સમુદ્રની સપાટી પરના મોટાભાગના પવન તરંગો માટે આ સ્થિતિ છે), છીછરા પાણી-તરંગલંબાઇના 5 ટકાથી ઓછી પાણીની ઊંડાઈ માટે, તરંગોની તબક્કાની ઝડપ માત્ર પાણીની ઊંડાઈ પર આધારિત છે, અને હવે સમયગાળો અથવા તરંગલંબાઇનું કાર્ય નથી; અને મધ્યવર્તી ઊંડાઈ-અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, જ્યાં પાણીની ઊંડાઈ અને સમયગાળો (અથવા તરંગલંબાઇ) બંને હવાની તરંગ સિદ્ધાંતના ઉકેલ પર નોંધપાત્ર અસર કરે છે. ઊંડા અને છીછરા પાણીના મર્યાદિત કિસ્સાઓમાં, દ્રાવણનો અંદાજ સરળ બનાવી શકાય છે. જ્યારે મધ્યવર્તી ઊંડાઈ માટે, સંપૂર્ણ ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરવો પડશે. સપાટીના તણાવની અસરો સપાટીના તણાવને કારણે, વિખેરણ સંબંધ બદલાય છેઃ પ્રતિ મીટર ન્યૂટનમાં સપાટીના તણાવ સાથે. રેખીય તરંગો માટે ઉપરોક્ત તમામ સમીકરણો સમાન રહે છે, જો ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગક દ્વારા બદલવામાં આવે તો સપાટીના તણાવના પરિણામે, તરંગો ઝડપથી પ્રસરે છે. સપાટીના તણાવનો પ્રભાવ માત્ર ટૂંકા તરંગો પર જ પડે છે, જેમાં પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠના કિસ્સામાં તરંગલંબાઇ થોડા દશાંશ કરતા ઓછી હોય છે. ખૂબ જ ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે-2 મીમી કે તેથી ઓછી, હવા અને પાણી વચ્ચેના ઇન્ટરફેસના કિસ્સામાં-ગુરુત્વાકર્ષણની અસરો નગણ્ય છે. નોંધ લો કે સપાટીના તાણને સર્ફેક્ટન્ટ્સ દ્વારા બદલી શકાય છે. કેશિકા તરંગોનો સમૂહ વેગ-જે સપાટીના તણાવની અસરો દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે-તે તબક્કાના વેગ કરતા વધારે છે. આ સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોની સ્થિતિથી વિપરીત છે (ગુરુત્વાકર્ષણની અસરોની તુલનામાં સપાટીના તણાવ સાથે નગણ્ય) જ્યાં તબક્કાનો વેગ જૂથ વેગ કરતાં વધી જાય છે. ઇન્ટરફેસિયલ તરંગો સપાટીના તરંગો એ ઇન્ટરફેસિયલ તરંગોનો એક ખાસ કેસ છે, જે વિવિધ ઘનતાના બે પ્રવાહી વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પર હોય છે. અનંત ઊંડાઈના બે સ્તરો બે પ્રવાહીને ધ્યાનમાં લો જે ઇન્ટરફેસ દ્વારા અલગ પડે છે, અને વધુ સીમાઓ વગર. પછી તેમનો પ્રસરણ સંબંધ બે પ્રવાહીની ઘનતા અનુક્રમે નીચે () અને ઉપર () ઇન્ટરફેસ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આગળ γ એ ઇન્ટરફેસ પરનું સપાટીનું તાણ છે. ઇન્ટરફેસિયલ તરંગો અસ્તિત્વમાં રહેવા માટે, નીચલા સ્તર ઉપરના સ્તર કરતાં ભારે હોવું જોઈએ. નહિંતર, ઈન્ટરફેસ અસ્થિર છે અને રેલે-ટેલર અસ્થિરતા વિકસે છે. આડી કઠોર સપાટીઓ વચ્ચે બે સ્તરો પ્રવાહીના બે સજાતીય સ્તરો માટે, ઈન્ટરફેસની નીચે અને ઉપરની સરેરાશ જાડાઈ-ગુરુત્વાકર્ષણની ક્રિયા હેઠળ અને આડી કઠોર દિવાલો દ્વારા ઉપર અને નીચે બંધાયેલ છે-ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગો માટેનો વિક્ષેપ સંબંધ આના દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં ફરીથી અને ઈન્ટરફેસની નીચે અને ઉપરની ઘનતા છે, જ્યારે હાયપરબોલિક કોટાન્જેન્ટ કાર્ય છે. શૂન્ય કેસ માટે આ મર્યાદિત ઊંડાઈના પાણી પર સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોના વિક્ષેપ સંબંધમાં ઘટાડો કરે છે. ઉપર મુક્ત સપાટીથી ઘેરાયેલા બે સ્તરો આ કિસ્સામાં વિખેરણ સંબંધ બે સ્થિતિઓ માટે પરવાનગી આપે છેઃ એક બેરોટ્રોપિક સ્થિતિ જ્યાં મુક્ત સપાટીનું કંપનવિસ્તાર ઇન્ટરફેસિયલ તરંગના કંપનવિસ્તારની તુલનામાં મોટું હોય છે, અને એક બેરોક્લિનિક સ્થિતિ જ્યાં વિપરીત સ્થિતિ હોય છે-ઇન્ટરફેસિયલ તરંગ મુક્ત સપાટી તરંગ સાથે એન્ટિફેઝ કરતા વધારે હોય છે. આ કેસ માટે વિખેરણ સંબંધ વધુ જટિલ સ્વરૂપનો છે. સેકન્ડ ઓર્ડર તરંગ ગુણધર્મો કેટલાક સેકન્ડ ઓર્ડર તરંગ ગુણધર્મો, જે તરંગ કંપનવિસ્તારમાં વર્ગાત્મક હોય છે, તે સીધા એરી તરંગ સિદ્ધાંતમાંથી મેળવી શકાય છે. તેઓ ઘણા વ્યવહારુ ઉપયોગોમાં મહત્વપૂર્ણ છે, જેમ કે તરંગની સ્થિતિની આગાહી. ડબલ્યુ. કે. બી. જે. અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, બીજા ક્રમના તરંગ ગુણધર્મો પણ ધીમે ધીમે બદલાતા બાથિમેટ્રી અને પ્રવાહો અને સપાટીની ઊંચાઈના સરેરાશ-પ્રવાહના ફેરફારોના કિસ્સામાં તરંગોનું વર્ણન કરવામાં તેમની ઉપયોગિતાઓ શોધી કાઢે છે. તેમજ તરંગ ક્ષેત્રના જ કંપનવિસ્તાર, આવર્તન, તરંગલંબાઇ અને દિશામાં સમય અને અવકાશ-ભિન્નતાઓને કારણે તરંગ અને સરેરાશ-પ્રવાહની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના વર્ણનમાં. બીજા ક્રમના તરંગ ગુણધર્મોનું કોષ્ટક નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં, કેટલાક બીજા ક્રમના તરંગ ગુણધર્મો-તેમજ ગતિશીલ સમીકરણો જે તેઓ અવકાશ અને સમયની ધીમે ધીમે બદલાતી પરિસ્થિતિઓના કિસ્સામાં સંતોષે છે-આપવામાં આવ્યા છે. આ વિશે વધુ વિગતો નીચે મળી શકે છે. કોષ્ટક એક આડી અવકાશી પરિમાણમાં તરંગ પ્રસાર માટે પરિણામો આપે છે. આગળ આ વિભાગમાં, દ્વિ-પરિમાણીય આડી જગ્યામાં પ્રસારના સામાન્ય કેસ માટે વધુ વિગતવાર વર્ણન અને પરિણામો આપવામાં આવ્યા છે. છેલ્લા ચાર સમીકરણો સરેરાશ પ્રવાહ સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં બાથિમેટ્રી પર ધીમે ધીમે બદલાતી તરંગ ટ્રેનની ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે, અને તે પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંતમાંથી મેળવી શકાય છેઃ વ્હિથમની સરેરાશ લેગ્રેન્જિયન પદ્ધતિ. સરેરાશ આડી-ગતિ સમીકરણમાં, સ્થિર પાણીની ઊંડાઈ છે, એટલે કે, પ્રવાહી સ્તરની નીચેનો પટ અહીં સ્થિત છે. નોંધ લો કે દળ અને વેગના સમીકરણોમાં સરેરાશ-પ્રવાહ વેગ એ દળ પરિવહન વેગ છે, જેમાં તરંગોની આડી દળ પરિવહન પર સ્પ્લેશ-ઝોનની અસરોનો સમાવેશ થાય છે, અને સરેરાશ યુલરિયન વેગ નહીં (ઉદાહરણ તરીકે, નિશ્ચિત પ્રવાહ મીટર સાથે માપવામાં આવે છે). તરંગ ઊર્જા ઘનતા તરંગ ઊર્જા એ પ્રાથમિક રસનો જથ્થો છે, કારણ કે તે એક પ્રાથમિક જથ્થો છે જે તરંગ ટ્રેનો સાથે પરિવહન થાય છે. ઉપર જોઈ શકાય છે તેમ, સપાટીની ઉંચાઈ અને ભ્રમણકક્ષાના વેગ જેવા ઘણા તરંગ જથ્થા શૂન્ય સરેરાશ (રેખીય સિદ્ધાંતના માળખામાં) સાથે પ્રકૃતિમાં ઓસિલેટરી છે. જળ તરંગોમાં, સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું ઊર્જા માપ એકમ આડી વિસ્તાર દીઠ સરેરાશ તરંગ ઊર્જા ઘનતા છે. તે ગતિશીલ અને સંભવિત ઊર્જા ઘનતાનો સરવાળો છે, જે પ્રવાહી સ્તરની ઊંડાઈ પર સંકલિત છે અને તરંગ તબક્કા પર સરેરાશ છે. પ્રાપ્ત કરવા માટે સૌથી સરળ છે સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોના એકમ આડી વિસ્તાર દીઠ સરેરાશ સંભવિત ઊર્જા ઘનતા, જે તરંગોની હાજરીને કારણે સંભવિત ઊર્જાનું વિચલન છેઃ ઓવરબાર સરેરાશ મૂલ્ય સૂચવે છે (જે સામયિક તરંગોના વર્તમાન કિસ્સામાં સમય સરેરાશ અથવા અવકાશમાં એક તરંગલંબાઇ કરતાં સરેરાશ તરીકે લઈ શકાય છે). તરંગ ગતિના એકમ આડા વિસ્તાર દીઠ સરેરાશ ગતિ ઊર્જા ઘનતા એ જ રીતે જોવા મળે છેઃ આંતરિક આવર્તન સાથે, તરંગ જથ્થાનું કોષ્ટક જુઓ. વિક્ષેપ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગોનું પરિણામ છેઃ જેમ જોઈ શકાય છે તેમ, સરેરાશ ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા ઘનતા સમાન છે. આ રૂઢિચુસ્ત પ્રણાલીમાં પ્રગતિશીલ રેખીય તરંગોની ઊર્જા ઘનતાનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે. સંભવિત અને ગતિશીલ યોગદાન ઉમેરવું, અને, તરંગ ગતિના એકમ આડા વિસ્તાર દીઠ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા છેઃ સપાટીના તણાવની અસરો નજીવી ન હોય તેવા કિસ્સામાં, તેમનું યોગદાન સંભવિત અને ગતિ ઊર્જા ઘનતામાં પણ વધારો કરે છે, જે સપાટીના તણાવ સાથે આપે છે. તરંગ ક્રિયા, તરંગ ઊર્જા પ્રવાહ અને કિરણોત્સર્ગ તણાવ સામાન્ય રીતે, તરંગ ગતિ અને સરેરાશ પ્રવાહી ગતિ વચ્ચે ઊર્જા સ્થાનાંતરણ થઈ શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે, તરંગ ઊર્જાની ઘનતા એ તમામ કિસ્સાઓમાં સંરક્ષિત જથ્થો નથી (વિસર્જિત અસરોને અવગણીને), પરંતુ કુલ ઊર્જાની ઘનતા-તરંગ ગતિના એકમ વિસ્તાર દીઠ ઊર્જાની ઘનતા અને સરેરાશ પ્રવાહ ગતિ-નો સરવાળો છે. જો કે, ધીમે ધીમે બદલાતી તરંગ ટ્રેનો માટે છે, જે ધીમે ધીમે બદલાતા બાથિમેટ્રી અને સરેરાશ-પ્રવાહ ક્ષેત્રોમાં પ્રસરે છે, સમાન અને સંરક્ષિત તરંગ જથ્થો, તરંગ ક્રિયાઃ ક્રિયા પ્રવાહ અને જૂથ વેગ વેક્ટર સાથે. ક્રિયા સંરક્ષણ ઘણા પવન તરંગ મોડેલો અને તરંગ અશાંતિ મોડેલો માટેનો આધાર બનાવે છે. તે તરંગ શોલિંગની ગણતરી માટે દરિયાકાંઠાના ઇજનેરી મોડેલોનો પણ આધાર છે. ઉપરોક્ત તરંગ ક્રિયા સંરક્ષણ સમીકરણનું વિસ્તરણ તરંગ ઊર્જા ઘનતા માટે નીચેના ઉત્ક્રાંતિ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છેઃ સાથેઃ સરેરાશ તરંગ ઊર્જા ઘનતા પ્રવાહ છે, કિરણોત્સર્ગ તણાવ ટેન્સર છે અને સરેરાશ-વેગ શીયર રેટ ટેન્સર છે. બિન-સંરક્ષણ સ્વરૂપમાં આ સમીકરણમાં, ફ્રોબેનિયસ આંતરિક ઉત્પાદન એ સ્રોત શબ્દ છે જે સરેરાશ પ્રવાહ સાથે તરંગ ગતિના ઊર્જા વિનિમયનું વર્ણન કરે છે. માત્ર એવા કિસ્સામાં કે જ્યારે સરેરાશ શીયર-રેટ શૂન્ય હોય, ત્યારે સરેરાશ તરંગ ઊર્જાની ઘનતા સંરક્ષિત રહે છે. બે ટેન્સર અને ફોર્મની કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં છેઃ સાથે અને વેવનમ્બર વેક્ટરના ઘટકો અને તે જ રીતે અને સરેરાશ વેગ વેક્ટરના ઘટકો. તરંગ દળ પ્રવાહ અને તરંગ વેગ તરંગ ગતિ દ્વારા પ્રેરિત એકમ વિસ્તાર દીઠ સરેરાશ આડી વેગ-અને તરંગ-પ્રેરિત સમૂહ પ્રવાહ અથવા સામૂહિક પરિવહન પણ-આ છેઃ જે સામયિક પ્રગતિશીલ જળ તરંગો માટે ચોક્કસ પરિણામ છે, જે બિનરેખીય તરંગો માટે પણ માન્ય છે. જો કે, તેની માન્યતા તરંગ વેગ અને દળ પ્રવાહને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેના પર ભારપૂર્વક આધાર રાખે છે. સ્ટોક્સે સમયાંતરે બિનરેખીય તરંગો માટે તબક્કાના વેગની બે સંભવિત વ્યાખ્યાઓ પહેલેથી જ ઓળખી લીધી છેઃ સ્ટોક્સ તરંગ ગતિશીલતાની પ્રથમ વ્યાખ્યા (S1)-તરંગ ગર્તની નીચેની તમામ ઊંચાઈઓ માટે શૂન્યની બરાબર સરેરાશ યુલરિયન પ્રવાહ વેગ સાથે, અને સ્ટોક્સ તરંગ ગતિશીલતાની બીજી વ્યાખ્યા (S2)-શૂન્યની બરાબર સરેરાશ દળ પરિવહન સાથે. તરંગ વેગ અને તરંગ ઊર્જાની ઘનતા વચ્ચેનો ઉપરોક્ત સંબંધ સ્ટોક્સની પ્રથમ વ્યાખ્યાના માળખામાં માન્ય છે. જો કે, દરિયાકિનારાને લંબરૂપ અથવા બંધ પ્રયોગશાળા તરંગ ચેનલમાં તરંગો માટે, બીજી વ્યાખ્યા (S2) વધુ યોગ્ય છે. બીજી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતી વખતે આ તરંગ પ્રણાલીઓમાં શૂન્ય દળ પ્રવાહ અને વેગ હોય છે. તેનાથી વિપરીત, સ્ટોક્સની પ્રથમ વ્યાખ્યા (S1) અનુસાર, તરંગ પ્રસારની દિશામાં તરંગ-પ્રેરિત દળ પ્રવાહ હોય છે, જેને વિરુદ્ધ દિશામાં સરેરાશ પ્રવાહ દ્વારા સંતુલિત કરવો પડે છે-જેને અંડરટો કહેવાય છે. તેથી સામાન્ય રીતે, તેમાં કેટલીક સૂક્ષ્મતાઓ સામેલ હોય છે. તેથી પણ તરંગોના સ્યૂડો-મોમેન્ટમ શબ્દનો ઉપયોગ તરંગ વેગને બદલે થાય છે. દળ અને વેગ ઉત્ક્રાંતિ સમીકરણો ધીમે ધીમે બદલાતા બાથિમેટ્રી, તરંગ અને સરેરાશ-પ્રવાહ ક્ષેત્રો માટે, સરેરાશ પ્રવાહની ઉત્ક્રાંતિને સરેરાશ દળ-પરિવહન વેગની દ્રષ્ટિએ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ નોંધ કરો કે ઊંડા પાણી માટે, જ્યારે સરેરાશ ઊંડાઈ અનંત સુધી જાય છે, ત્યારે સરેરાશ યુલરિયન વેગ અને સરેરાશ પરિવહન વેગ સમાન બને છે. સામૂહિક સંરક્ષણ માટેનું સમીકરણ છેઃ જ્યાં પાણીની સરેરાશ ઊંડાઈ છે, જે ધીમે ધીમે જગ્યા અને સમયમાં બદલાય છે. તેવી જ રીતે, સરેરાશ આડી ગતિ આ રીતે વિકસિત થાય છેઃ સ્થિર-પાણીની ઊંડાઈ સાથે (સમુદ્રની સપાટી પર છે), તરંગ કિરણોત્સર્ગ-તાણ ટેન્સર છે, તે ઓળખ મેટ્રિક્સ છે અને ડાયડિક પ્રોડક્ટ છેઃ નોંધ લો કે નોઇથરના પ્રમેય સાથે સંમતિમાં, જો સમુદ્રની સપાટી આડી હોય (સ્થિર-પાણીની ઊંડાઈ સતત હોય) તો જ આડી ગતિ સંરક્ષિત થાય છે. સમીકરણોની પદ્ધતિ તરંગોના વર્ણન દ્વારા બંધ કરવામાં આવે છે. તરંગ ઊર્જા પ્રસારને તરંગ-ક્રિયા સંરક્ષણ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (વિસર્જિત અને બિનરેખીય તરંગ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ વિના): તરંગ ગતિશાસ્ત્રને તરંગ-ક્રેસ્ટ સંરક્ષણ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છેઃ કોણીય આવર્તન સાથે (કોણીય) તરંગસંખ્યાનું કાર્ય, પ્રસરણ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે. આ શક્ય બનવા માટે, તરંગ ક્ષેત્ર સુસંગત હોવું જોઈએ. વેવ-ક્રેસ્ટ સંરક્ષણનો વળાંક લઈને, તે જોઈ શકાય છે કે શરૂઆતમાં ઇર્રોટેશનલ વેવનમ્બર ક્ષેત્ર ઇર્રોટેશનલ રહે છે. શુદ્ધ તરંગ ગતિ () માં એક કણને અનુસરતી વખતે, રેખીય વાયુ તરંગ સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રથમ અંદાજ પાણીના કણો માટે બંધ લંબગોળ ભ્રમણકક્ષા આપે છે. જો કે, બિનરેખીય તરંગો માટે, કણો સ્ટોક્સ ડ્રિફ્ટ પ્રદર્શિત કરે છે, જેના માટે બીજા ક્રમની અભિવ્યક્તિ એરી તરંગ સિદ્ધાંતના પરિણામોમાંથી મેળવી શકાય છે (બીજા ક્રમના તરંગ ગુણધર્મો પર ઉપરનું કોષ્ટક જુઓ). સ્ટોક્સ ડ્રિફ્ટ વેગ, જે સમયગાળા દ્વારા વિભાજિત એક તરંગ ચક્ર પછી કણ પ્રવાહ છે, તેનો અંદાજ રેખીય સિદ્ધાંતના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છેઃ તેથી તે ઉન્નતિના કાર્ય તરીકે બદલાય છે. આપેલ સૂત્ર સ્ટોક્સ માટે તરંગ ગતિશીલતાની પ્રથમ વ્યાખ્યા છે. જ્યારે ઊંડાઈ પર સંકલિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સરેરાશ તરંગ વેગ માટે અભિવ્યક્તિ પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. છીછરા પાણીમાં તરંગો માટે બિનરેખીય સિદ્ધાંત-બૌસિનેસ્ક અંદાજ (જળ તરંગો) પણ જુઓ. કેશિકા તરંગો-સપાટીના તણાવની ક્રિયા હેઠળ સપાટીના તરંગો-નોઈડલ તરંગો-છીછરા પાણીમાં બિનરેખીય સામયિક તરંગો, કોર્ટેવેગ-ડી વ્રીસ સમીકરણના ઉકેલો હળવા-ઢોળાવ સમીકરણ-વિવિધ ઊંડાઈ પર સપાટીના તરંગોનું રીફ્રેક્શન અને વિવર્તન મહાસાગરની સપાટીના તરંગો-સમુદ્ર અને સમુદ્રમાં જોવા મળતા વાસ્તવિક પાણીના તરંગો સ્ટોક્સ તરંગો-બિન-છીછરા પાણીની તરંગ શક્તિમાં બિનરેખીય સામયિક તરંગો-વીજ ઉત્પાદન માટે સમુદ્ર અને સમુદ્રના તરંગોનો ઉપયોગ કરે છે. નોંધો સંદર્ભો ઐતિહાસિક પણઃ "ત્રિકોણમિતિ, પૃથ્વીની આકૃતિ પર, ભરતી અને તરંગો", 396 પીપી. પુનઃમુદ્રિતઃ વધુ વાંચન બે ભાગો, 967 પૃષ્ઠો. મૂળ રૂપે 1879માં પ્રકાશિત, છઠ્ઠી વિસ્તૃત આવૃત્તિ સૌપ્રથમ 1932માં પ્રકાશિત થઈ હતી. 504 પીપી. બાહ્ય કડીઓ વિકીવેવ્સ પર સમુદ્રની સપાટીના તરંગોના રેખીય સિદ્ધાંતને જોડે છે. એમ. આઈ. ટી. ખાતે પાણીના મોજા. જળ તરંગો તરંગ મિકેનિક્સ