Corner transfer matrix
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ જાળીમાં ચતુર્થાંશ ઉમેરવાની અસરનું વર્ણન કરે છે. 1968માં રોડની બેક્સટર દ્વારા ક્રેમર્સ-વેનિઅર રો-ટુ-રો ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સના વિસ્તરણ તરીકે રજૂ કરાયેલ, તે જાળીના નમૂનાઓનો અભ્યાસ કરવાની એક શક્તિશાળી પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે. કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ સાથેની ગણતરીઓએ 1980માં બેક્સટરને સખત ષટ્કોણ મોડેલના ચોક્કસ ઉકેલ તરફ દોરી હતી. વ્યાખ્યા આઈ. આર. એફ. (ક્રિયાપ્રતિક્રિયા-રાઉન્ડ-એ-ફેસ) મોડેલનો વિચાર કરો, એટલે કે. દરેક સાઇટ i ને સોંપેલ સ્પિન σi સાથેનું ચોરસ જાળી મોડેલ અને સામાન્ય ચહેરાની આસપાસ સ્પિન સુધી મર્યાદિત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ. દરેક બાજુ માટે આસપાસની સાઇટ્સ i, j, k અને l ને નીચે પ્રમાણે ગોઠવવામાં આવે છે તેના દ્વારા કુલ ઊર્જા આપવામાં આવેઃ N સાઇટ્સ સાથેની જાળી માટે, પાર્ટીશન ફંક્શન એ છે જ્યાં સરવાળો તમામ સંભવિત સ્પિન રૂપરેખાંકનો પર હોય છે અને w એ બોલ્ટ્ઝમેન વજન છે. જ્યારે જાળી પરના તમામ સ્પિનનું મૂલ્ય + 1 હોય ત્યારે કુલ ઊર્જા ઓછી થાય છે. આપણે એમ પણ ધારીએ છીએ કે જાળીમાં 4 ગણી પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા (સીમા શરતો સુધી) હોય છે અને તે પ્રતિબિંબ-અપરિવર્તનશીલ હોય છે. આ સરળ ધારણાઓ નિર્ણાયક નથી, અને વ્યાખ્યાને સામાન્ય કેસ સુધી લંબાવવી પ્રમાણમાં સીધી છે. હવે નીચે દર્શાવેલ જાળીના ચતુર્થાંશને ધ્યાનમાં લોઃ ત્રિકોણ દ્વારા ચિહ્નિત બાહ્ય સીમા સ્થાનોને તેમની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ સ્પિન (આ કિસ્સામાં + 1) સોંપવામાં આવે છે. ખુલ્લા વર્તુળો દ્વારા ચિહ્નિત સ્થળો ચતુર્થાંશની આંતરિક સીમાઓ બનાવે છે; તેમના સંકળાયેલ સ્પિન સમૂહોને {σ1,., σm} અને {σ '1,., σ' m} તરીકે લેબલ કરવામાં આવે છે, જ્યાં σ1 = σ '1 છે. દરેક આંતરિક સીમા માટે 2 મીટર શક્ય રૂપરેખાંકનો છે, તેથી આપણે 2 મીટર × 2 મીટર મેટ્રિક્સને એન્ટ્રી મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. બાહ્ય બાઉન્ડ્રી સ્પિન નિશ્ચિત હોવાથી અને સરવાળો તમામ આંતરિક સ્પિન પર હોવાથી, A ની દરેક એન્ટ્રી આંતરિક બાઉન્ડ્રી સ્પિનનું કાર્ય છે. અભિવ્યક્તિમાં ક્રોનેકર ડેલ્ટા એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે σ1 = σ '1, તેથી રૂપરેખાંકનોને યોગ્ય રીતે ક્રમ આપીને આપણે A ને બ્લોક વિકર્ણ મેટ્રિક્સ તરીકે કાસ્ટ કરી શકીએ છીએઃ કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ સરળ રીતે પાર્ટીશન ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે. અમારા સરળ ઉદાહરણમાં, અમે જાળીના ચતુર્થાંશની ચાર ફરતી નકલોમાંથી સંપૂર્ણ જાળી બનાવીએ છીએ, જ્યાં આંતરિક સીમા સ્પિન સમૂહો σ, σ ', σ' અને σ 'ને અલગ કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છેઃ પાર્ટીશન ફંક્શન પછી કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ A ની દ્રષ્ટિએ ચર્ચા પુનરાવર્તન સંબંધ તરીકે લખવામાં આવે છે કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ A2m (m × m ચતુર્થાંશ માટે વ્યાખ્યાયિત) ને નાના કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ A2m-1 અને A2m-2 (અનુક્રમે ઘટાડેલા (m-1) × (m-1) અને (m-2) × (m-2) ચતુર્થાંશ માટે વ્યાખ્યાયિત) ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ પુનરાવર્તન સંબંધ, સિદ્ધાંતમાં, મર્યાદિત કદના કોઈપણ જાળી ચતુર્થાંશ માટે કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સની પુનરાવર્તિત ગણતરીને મંજૂરી આપે છે. તેમના પંક્તિ-થી-પંક્તિ સમકક્ષોની જેમ, કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સને ફેસ ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે, જે જાળીમાં એક જ ચહેરો ઉમેરવાને અનુરૂપ છે. અગાઉ આપેલા જાળીના ચતુર્થાંશ માટે, ફેસ ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સનું કદ 2 મીટર × 2 મીટર હોય છે અને પ્રવેશ મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં 2 ≤ i ≤ m + 1 હોય છે. બાહ્ય સીમાની નજીક, ખાસ કરીને, આપણી પાસે છે તેથી કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ A ફેક્ટરાઇઝ થાય છે જ્યાં ગ્રાફિકલી રીતે, આ તેને અનુરૂપ છેઃ આપણને 2m × 2m મેટ્રિક્સ A * અને A * * ની પણ જરૂર છે, જે એન્ટ્રી મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં A મેટ્રિક્સ જેની એન્ટ્રીઓ RHS પર દેખાય છે તે અનુક્રમે 2m-1 × 2m-1 અને 2m-2 × 2m-2 કદના હોય છે. હવે A, A *, A * *, Ui અને Fj ની વ્યાખ્યાઓમાંથી, આપણી પાસે A2m-1 અને A2m-2 ની દ્રષ્ટિએ A2m માટે પુનરાવર્તન સંબંધ છે. કર્ણ સ્વરૂપ ગણતરી કરવા માટે કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તેના બદલે તેમના કર્ણ સ્વરૂપો સાથે કામ કરવું વિશ્લેષણાત્મક અને આંકડાકીય રીતે અનુકૂળ છે. આને સરળ બનાવવા માટે, પુનરાવર્તન સંબંધને એ, એ * અને એ * * ના કર્ણ સ્વરૂપો અને આઈગનવેક્ટર મેટ્રિસીસની દ્રષ્ટિએ સીધો ફરીથી લખી શકાય છે. યાદ કરતા કે આપણા ઉદાહરણમાં જાળી પ્રતિબિંબ-અપરિવર્તનશીલ છે, તે અર્થમાં કે આપણે જોઈએ છીએ કે A એ સમપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે (એટલે કે. તે ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ દ્વારા ત્રાંસા કરી શકાય છે). તેથી આપણે લખીએ છીએ કે જ્યાં એડ એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે (સામાન્યીકૃત કે તેની આંકડાકીય રીતે સૌથી મોટી એન્ટ્રી 1 છે), αm એ A નું સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ છે, અને PTP = I. તેવી જ રીતે એ * અને એ * * માટે, આપણી પાસે છે જ્યાં એડ *, એડ * *, પી * અને પી * * ને એ * અને એ * *, એટલે કે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. A2m-1 અને A2m-2 ના નાના (સામાન્યીકૃત) કર્ણ સ્વરૂપો અને (ઓર્થોગોનલ) આઈગનવેક્ટર મેટ્રિસીસની દ્રષ્ટિએ. આ વિકર્ણાંકને પુનરાવર્તન સંબંધમાં બદલીને, આપણે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ જ્યાં હવે એટ પણ સપ્રમાણ છે, અને જો એડ *, એડ * * અને આર * જાણીતા હોય તો તેની ગણતરી કરી શકાય છે; વિકર્ણકરણ એટ પછી તેનું સામાન્યીકૃત વિકર્ણ સ્વરૂપ એડ, તેનું સૌથી મોટું આઈગન વેલ્યુ κ, અને તેના ઓર્થોગોનલ આઈગનવેક્ટર મેટ્રિક્સ આર. એપ્લિકેશન્સ સ્પિન અપેક્ષા મૂલ્ય કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ (અથવા તેમના વિકર્ણ સ્વરૂપો) નો ઉપયોગ જાળીની અંદર ઊંડા ચોક્કસ સ્થળ પર સ્પિન અપેક્ષા મૂલ્ય જેવા જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. અગાઉ આપવામાં આવેલ સંપૂર્ણ જાળી માટે, કેન્દ્રીય સાઇટ પર સ્પિન અપેક્ષા મૂલ્ય આના દ્વારા આપવામાં આવે છે અગાઉની જેમ એ બ્લોક વિકર્ણ હોય તેવી ગોઠવણીઓ સાથે, આપણે 2 મી × 2 મી વિકર્ણ મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જેમ કે સાઇટ દીઠ પાર્ટીશન ફંક્શન જાળી મોડેલો માટે અન્ય મહત્વપૂર્ણ જથ્થો એ સાઇટ દીઠ પાર્ટીશન ફંક્શન છે, જેનું મૂલ્યાંકન થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં કરવામાં આવે છે અને આ રીતે લખવામાં આવે છે. વધુમાં, ચહેરાની સંખ્યા 2m (m + 1) થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં સાઇટ્સની સંખ્યા N સુધી પહોંચે છે, તેથી આપણી પાસે જે અગાઉના સમીકરણ સાથે સુસંગત છે જે κ ને At માટે સૌથી મોટા આઈગન વેલ્યુ તરીકે આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સાઇટ દીઠ પાર્ટીશન ફંક્શન થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં કોર્નર ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ માટે ત્રાંસા પુનરાવર્તન સંબંધ દ્વારા બરાબર આપવામાં આવે છે; આ મોટા જાળી માટે એડની ગણતરી કરવાની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા દ્વારા κ ને અંદાજિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. જોકે, તેમાં સામેલ મેટ્રિસીસ કદમાં ઝડપથી વૃદ્ધિ પામે છે અને વાસ્તવિક આંકડાકીય ગણતરીઓમાં તેમને દરેક તબક્કે કાપી નાખવા જોઈએ. આવું કરવાની એક રીત એ છે કે કેટલાક નિશ્ચિત n માટે દરેક પગલા પર n સૌથી મોટા આઈગન મૂલ્યો રાખવા. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, n = 1,2,3 લઈને મેળવેલા અંદાજોનો ક્રમ,. ઝડપથી અને ચોક્કસ મૂલ્ય (બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય મોડેલ માટે) સાથે એકરૂપ થાય છે. ટ્રાન્સફર-મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ સંદર્ભો પણ જુઓ બરાબર ઉકેલી શકાય તેવા નમૂનાઓ જાળીના નમૂનાઓ મેટ્રિક્સ આંકડાકીય મિકેનિક્સ