Interval finite element
આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં, અંતરાલ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ (અંતરાલ FEM) એ એક મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ છે જે અંતરાલ પરિમાણોનો ઉપયોગ કરે છે. અંતરાલ FEM એ પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ કરી શકાય છે જ્યાં માળખાની વિશ્વસનીય સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ મેળવવી શક્ય નથી. કોંક્રિટ માળખાઓ, લાકડાના માળખાઓ, જિયોમિકેનિક્સ, સંયુક્ત માળખાઓ, બાયોમિકેનિક્સ અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં આ મહત્વપૂર્ણ છે. અંતરાલ મર્યાદિત તત્વનો ધ્યેય મોડેલની વિવિધ લાક્ષણિકતાઓની ઉપલી અને નીચલી સીમાઓ શોધવાનો છે (દા. ત. તણાવ, વિસ્થાપન, ઉપજ સપાટી વગેરે) અને ડિઝાઇન પ્રક્રિયામાં આ પરિણામોનો ઉપયોગ કરો. આને સૌથી ખરાબ કેસ ડિઝાઇન કહેવામાં આવે છે, જે મર્યાદા સ્થિતિ ડિઝાઇન સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. સૌથી ખરાબ કેસ ડિઝાઇન માટે સંભવિત ડિઝાઇન કરતાં ઓછી માહિતીની જરૂર પડે છે જો કે પરિણામો વધુ રૂઢિચુસ્ત છે [કોયલોગ્લુ અને એલિશાકોફ 1998]. અનિશ્ચિતતાના પ્રતિરૂપણ માટે અંતરાલ પરિમાણોના ઉપયોગો નીચેના સમીકરણનો વિચાર કરો જ્યાં a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને. ઘણી વાર, a અને b પરિમાણોના ચોક્કસ મૂલ્યો અજ્ઞાત હોય છે. ચાલો ધારીએ કે અને. આ કિસ્સામાં, નીચેના સમીકરણને ઉકેલવું જરૂરી છે અંતરાલ પરિમાણો સાથે આ સમીકરણના ઉકેલ સમૂહની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે. આ અભિગમમાં ઉકેલ નીચેનો સમૂહ છે આ અંતરાલ સમીકરણનો સૌથી લોકપ્રિય ઉકેલ સમૂહ છે અને આ ઉકેલ સમૂહ આ લેખમાં લાગુ કરવામાં આવશે. બહુ-પરિમાણીય કિસ્સામાં સંયુક્ત ઉકેલ સમૂહ વધુ જટિલ હોય છે. રેખીય અંતરાલ સમીકરણોની નીચેની પદ્ધતિનો ઉકેલ સમૂહ નીચેના ચિત્ર પર દર્શાવવામાં આવ્યો છે ચોક્કસ ઉકેલ સમૂહ ખૂબ જ જટિલ છે, તેથી સૌથી નાનો અંતરાલ શોધવો જરૂરી છે જેમાં ચોક્કસ ઉકેલ સમૂહ હોય અથવા ફક્ત જ્યાં અંતરાલ રેખીય પ્રણાલીનો પરિમાણ-આધારિત ઉકેલ સમૂહ પણ જુઓ અંતરાલ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ માટે સમીકરણોની પરિમાણ-આધારિત પ્રણાલીના ઉકેલની જરૂર પડે છે (સામાન્ય રીતે સમપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથે). સમીકરણોની સામાન્ય પરિમાણ આધારિત પ્રણાલીના ઉકેલ સમૂહનું ઉદાહરણ નીચે આપેલા ચિત્ર પર દર્શાવવામાં આવ્યું છે. બીજગણિત ઉકેલ આ અભિગમમાં x એ અંતરાલ સંખ્યા છે જેના માટે સમીકરણ સંતુષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમીકરણની ડાબી બાજુ સમીકરણની જમણી બાજુ બરાબર છે. આ ચોક્કસ કિસ્સામાં ઉકેલ એ છે કે જો અનિશ્ચિતતા વધારે હોય, એટલે કે. , પછી કારણ કે જો અનિશ્ચિતતા વધુ મોટી હોય, એટલે કે. પછી ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી. બીજગણિત અંતરાલ ઉકેલ સમૂહનું ભૌતિક અર્થઘટન શોધવું ખૂબ જ જટિલ છે. આમ, એપ્લિકેશન્સમાં, યુનાઇટેડ સોલ્યુશન સેટ સામાન્ય રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિ PDE ને અંતરાલ પરિમાણો સાથે ધ્યાનમાં લો જ્યાં પરિમાણોનો વેક્ટર છે જે આપેલ અંતરાલો સાથે સંબંધિત છે ઉદાહરણ તરીકે, ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ સમીકરણ જ્યાં અંતરાલ પરિમાણો છે (એટલે કે. ). સમીકરણ () નો ઉકેલ નીચેની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે ઉદાહરણ તરીકે, ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ સમીકરણના કિસ્સામાં ઉકેલ ખૂબ જ જટિલ છે કારણ કે વ્યવહારમાં તે સૌથી નાનો શક્ય અંતરાલ શોધવાનું વધુ રસપ્રદ છે જેમાં ચોક્કસ ઉકેલ સમૂહ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ સમીકરણના કિસ્સામાં મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ બીજગણિત સમીકરણોની નીચેની પરિમાણ આધારિત પ્રણાલી તરફ દોરી જાય છે જ્યાં જડતા મેટ્રિક્સ છે અને જમણી બાજુ છે. ઇન્ટરવલ સોલ્યુશનને મલ્ટીવેલ્યુડ ફંક્શન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે ઉપરના સૌથી સરળ કિસ્સામાં સિસ્ટમને રેખીય અંતરાલ સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય. અંતરાલ ઉકેલને નીચેની ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાના ઉકેલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું પણ શક્ય છે બહુ-પરિમાણીય કિસ્સામાં અંતરાલ ઉકેલને અંતરાલ ઉકેલ વિરુદ્ધ સંભવિત ઉકેલ તરીકે લખી શકાય છે તે જાણવું મહત્વપૂર્ણ છે કે અંતરાલ પરિમાણો સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો કરતાં અલગ પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે. અંતરાલ પરિમાણ તમામ સંભવિત સંભાવના વિતરણ (માટે) ને ધ્યાનમાં લે છે. અંતરાલ પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે માત્ર ઉપલા અને નીચલા બાઉન્ડને જાણવું જરૂરી છે. સંભવિત લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી માટે ઘણા પ્રાયોગિક પરિણામોનું જ્ઞાન જરૂરી છે. તે બતાવવું શક્ય છે કે n અંતરાલ સંખ્યાઓનો સરવાળો યોગ્ય સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળા કરતા બમણો વિશાળ છે. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ X ને ધ્યાનમાં લો કે સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલનો સરવાળો નીચેની લાક્ષણિકતાઓ સાથે સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ છે (જુઓ સિક્સ સિગ્મા) આપણે ધારી શકીએ કે સંભવિત પરિણામની પહોળાઈ 6 સિગ્માની બરાબર છે (છ સિગ્માની સરખામણી કરો). હવે આપણે અંતરાલ પરિણામની પહોળાઈ અને સંભવિત પરિણામની તુલના કરી શકીએ છીએ કારણ કે અંતરાલ મર્યાદિત તત્વ (અથવા સામાન્ય રીતે સૌથી ખરાબ-કેસ વિશ્લેષણમાં) ના પરિણામો સ્ટોકેસ્ટિક ફીમ વિશ્લેષણની તુલનામાં વધુ પડતા અંદાજિત હોઈ શકે છે (અનિશ્ચિતતાનો પ્રસાર પણ જુઓ). જો કે, બિન-સંભવિત અનિશ્ચિતતાના કિસ્સામાં શુદ્ધ સંભવિત પદ્ધતિઓ લાગુ કરવી શક્ય નથી. કારણ કે તે કિસ્સામાં સંભવિત લાક્ષણિકતા બરાબર જાણીતી નથી (એલિશાકોફ 2000). અંતરાલ પરિમાણો (દા. ત. રેન્ડમ અને ફઝી રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ) સાથે રેન્ડમ (અને ફઝી રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ) ને ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય છે. અંતરાલ સરેરાશ, ભિન્નતા વગેરે સાથે). કેટલાક સંશોધકો આંકડાકીય ગણતરીઓમાં અંતરાલ (અસ્પષ્ટ) માપનો ઉપયોગ કરે છે (દા. ત. ). આવી ગણતરીઓના પરિણામે આપણને કહેવાતી અચોક્કસ સંભાવના મળશે. અચોક્કસ સંભાવનાને ખૂબ વ્યાપક અર્થમાં સમજવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ તમામ ગાણિતિક નમૂનાઓને આવરી લેવા માટે સામાન્ય શબ્દ તરીકે થાય છે જે તીવ્ર આંકડાકીય સંભાવનાઓ વિના તક અથવા અનિશ્ચિતતાને માપે છે. તેમાં ગુણાત્મક (તુલનાત્મક સંભાવના, આંશિક પસંદગી ક્રમ) અને માત્રાત્મક સ્થિતિઓ (અંતરાલ સંભાવનાઓ, માન્યતા કાર્યો, ઉપલા અને નીચલા પૂર્વધારણાઓ) બંનેનો સમાવેશ થાય છે. જ્યાં સંબંધિત માહિતી દુર્લભ, અસ્પષ્ટ અથવા વિરોધાભાસી હોય અને નિર્ણયની સમસ્યાઓ જ્યાં પસંદગીઓ પણ અપૂર્ણ હોઈ શકે છે ત્યાં અનુમાન સમસ્યાઓમાં અચોક્કસ સંભાવના મોડેલની જરૂર પડે છે. સરળ ઉદાહરણોઃ મોડેલિંગ તણાવ, સંકોચન, તાણ અને તણાવ) 1-પરિમાણ ઉદાહરણ તણાવ-સંકોચન સમસ્યામાં, નીચેનું સમીકરણ વિસ્થાપન અને બળ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છેઃ જ્યાં લંબાઈ છે, ક્રોસ-સેક્શનનું ક્ષેત્રફળ છે, અને યંગનું મોડ્યુલસ છે. જો યંગનું માપાંક અને બળ અનિશ્ચિત હોય, તો પછી વિસ્થાપનની ઉપરની અને નીચેની સીમાઓ શોધવા માટે, નીચે આપેલા આંશિક વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો. વિસ્થાપનના આત્યંતિક મૂલ્યોની ગણતરી નીચે આપેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો. વિસ્થાપનમાંથી વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને તાણના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો. વિસ્થાપનના આત્યંતિક મૂલ્યોની ગણતરી નીચે મુજબ કરો. વિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને તાણના આત્યંતિક મૂલ્યોની ગણતરી કરવી પણ શક્ય છે. અંતરાલ FEM બહુ-પરિમાણીય કિસ્સાઓમાં [પોઉનુક 2004] ખૂબ સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. જો કે, બહુ-પરિમાણીય કિસ્સાઓમાં અનિશ્ચિત પરિમાણો અને ઉકેલ વચ્ચેનો સંબંધ હંમેશા મોનોટોન હોતો નથી. તે કિસ્સાઓમાં, વધુ જટિલ ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓ લાગુ કરવી પડશે. બહુ-પરિમાણીય ઉદાહરણ તણાવ-સંકોચન સમસ્યાના કિસ્સામાં સંતુલન સમીકરણનું નીચેનું સ્વરૂપ હોય છે જ્યાં વિસ્થાપન, યંગનું માપાંક હોય છે, ક્રોસ-સેક્શનનું ક્ષેત્ર હોય છે, અને તે વિતરિત ભાર હોય છે. અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે યોગ્ય સીમા શરતો ઉમેરવી જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે. જો યંગનું મોડ્યુલસ અને અનિશ્ચિત હોય તો અંતરાલ ઉકેલને નીચેની રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે દરેક FEM તત્વ માટે સમીકરણને પરીક્ષણ કાર્ય દ્વારા ગુણાકાર કરવો શક્ય છે જ્યાં ભાગો દ્વારા એકીકરણ કર્યા પછી આપણે સમીકરણને નબળા સ્વરૂપમાં મેળવીશું જ્યાં ચાલો ગ્રીડ બિંદુઓનો સમૂહ રજૂ કરીએ, જ્યાં સંખ્યાબંધ ઘટકો છે, અને દરેક FEM તત્વ માટે રેખીય આકારના કાર્યો જ્યાં તત્વનો ડાબો અંતિમ બિંદુ, તત્વ નંબર "e" નો ડાબો અંતિમ બિંદુ છે. "e"-th તત્વમાં અંદાજિત ઉકેલ એ આકાર કાર્યોનું રેખીય સંયોજન છે સમીકરણના નબળા સ્વરૂપમાં અવેજી પછી આપણે સમીકરણોની નીચેની પદ્ધતિ અથવા મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં મેળવીશું વૈશ્વિક જડતા મેટ્રિક્સને ભેગા કરવા માટે દરેક નોડમાં સંતુલન સમીકરણો ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે. તે પછી સમીકરણમાં નીચેનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ છે જ્યાં વૈશ્વિક જડતા મેટ્રિક્સ છે, ઉકેલ વેક્ટર છે, જમણી બાજુ છે. તણાવ-સંકોચન સમસ્યાના કિસ્સામાં જો આપણે વિતરિત ભારની અવગણના કરીએ તો સીમાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા પછી જડતા મેટ્રિક્સનું નીચેનું સ્વરૂપ છે જમણી બાજુ નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે ચાલો ધારીએ કે યંગનું મોડ્યુલસ, ક્રોસ-સેક્શનનું ક્ષેત્રફળ અને ભાર અનિશ્ચિત છે અને કેટલાક અંતરાલો સાથે સંબંધિત છે અંતરાલ ઉકેલને નીચેની રીતે ગણતરી કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અંતરાલ વેક્ટરની ગણતરી સામાન્ય રીતે એન. પી.-હાર્ડ હોય છે, જો કે ચોક્કસ કિસ્સાઓમાં ઉકેલની ગણતરી કરવી શક્ય છે જેનો ઉપયોગ ઘણા ઇજનેરી કાર્યક્રમોમાં થઈ શકે છે. ગણતરીઓના પરિણામો અંતરાલ વિસ્થાપન છે ચાલો ધારીએ કે સ્તંભમાં વિસ્થાપન અમુક આપેલ મૂલ્ય (સલામતીને કારણે) કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. જો અંતરાલ ઉકેલ તમામ સલામતી શરતોને સંતોષે તો અનિશ્ચિત પ્રણાલી સલામત છે. આ ચોક્કસ કિસ્સામાં અથવા સરળ પોસ્ટપ્રોસેસિંગમાં અંતરાલ તાણ, અંતરાલ તાણ અને અંતરાલ મર્યાદા સ્થિતિ કાર્યોની ગણતરી કરવી અને ડિઝાઇન પ્રક્રિયામાં આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. અંતરાલ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ એ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે લાગુ કરી શકાય છે જેમાં માળખાઓની વિશ્વસનીય સંભવિત લાક્ષણિકતા બનાવવા માટે પૂરતી માહિતી નથી (એલિશાકોફ 2000). અંતરાલ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ અચોક્કસ સંભાવનાના સિદ્ધાંતમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે. અંતિમ બિંદુ સંયોજન પદ્ધતિ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓના તમામ સંભવિત સંયોજનો માટે સમીકરણને ઉકેલવું શક્ય છે. અંતરાલના તમામ શિરોબિંદુઓની સૂચિ આ રીતે લખી શકાય છે. ઉકેલની ઉપરની અને નીચલી બાઉન્ડની ગણતરી નીચેની રીતે કરી શકાય છે એન્ડપોઇન્ટ્સ સંયોજન પદ્ધતિ ઉકેલ આપે છે જે સામાન્ય રીતે ચોક્કસ હોય છે; કમનસીબે પદ્ધતિમાં ઘાતાંકીય ગણતરીની જટિલતા હોય છે અને તે ઘણા અંતરાલ પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ પર લાગુ કરી શકાતી નથી. ટેલર વિસ્તરણ પદ્ધતિ ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને કાર્યને વિસ્તૃત કરી શકાય છે. સૌથી સરળ કિસ્સામાં ટેલર શ્રેણી માત્ર રેખીય અંદાજનો ઉપયોગ કરે છે ઉકેલની ઉપરની અને નીચલી મર્યાદાની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે પદ્ધતિ ખૂબ જ કાર્યક્ષમ છે જો કે તે ખૂબ સચોટ નથી. ચોકસાઈમાં સુધારો કરવા માટે ઉચ્ચ ક્રમના ટેલર વિસ્તરણ [પોઉનુક 2004] લાગુ કરવું શક્ય છે. આ અભિગમ અંતરાલ મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિ અને અંતરાલ સીમા તત્વ પદ્ધતિમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે. ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ જો ડેરિવેટિવ્ઝનું ચિહ્ન સ્થિર હોય તો કાર્યો મોનોટોન હોય છે અને ચોક્કસ ઉકેલની ગણતરી ખૂબ જ ઝડપથી કરી શકાય છે. જો એમ હોય તો ઉકેલના એક્સ્ટ્રીમ મૂલ્યોની ગણતરી નીચેની રીતે કરી શકાય છે ઘણા માળખાકીય ઇજનેરી કાર્યક્રમોમાં પદ્ધતિ ચોક્કસ ઉકેલ આપે છે. જો ઉકેલ મોનોટોન ન હોય તો ઉકેલ સામાન્ય રીતે વાજબી હોય છે. પદ્ધતિની ચોકસાઈમાં સુધારો કરવા માટે એકવિધતા પરીક્ષણો અને ઉચ્ચ ક્રમ સંવેદનશીલતા વિશ્લેષણ લાગુ કરવું શક્ય છે. આ પદ્ધતિ કોમ્પ્યુટેશનલ મિકેનિક્સ [પોઉનુક 2004] ની રેખીય અને બિનરેખીય સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે લાગુ કરી શકાય છે. સિવિલ એન્જિનિયરિંગ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે સંવેદનશીલતા વિશ્લેષણ પદ્ધતિની એપ્લિકેશનો નીચેના પેપરમાં મળી શકે છે [એમ. વી. રામા રાવ, એ. પોઉનુક અને આઈ. સ્કાલના 2008]. આ અભિગમ અંતરાલ મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિ અને અંતરાલ સીમા તત્વ પદ્ધતિમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે. એલિમેન્ટ બાય એલિમેન્ટ પદ્ધતિ મુહન્ના અને મુલેનએ અંતરાલ પરિમાણો સાથે મર્યાદિત એલિમેન્ટ સમીકરણના ઉકેલમાં એલિમેન્ટ બાય એલિમેન્ટ ફોર્મ્યુલેશન લાગુ કર્યું. તે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ટ્રસ અને ફ્રેમ માળખાના કિસ્સામાં બાંયધરીકૃત ચોકસાઈ સાથે ઉકેલ મેળવવો શક્ય છે. વિક્ષેપ પદ્ધતિઓ વિક્ષેપ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલની જડતા મેટ્રિક્સ અને લોડ વેક્ટરને વિસ્તૃત કરી શકાય છે. વિક્ષેપ સિદ્ધાંત અંતરાલ ઉકેલના અંદાજિત મૂલ્ય તરફ દોરી જાય છે. આ પદ્ધતિ ખૂબ જ કાર્યક્ષમ છે અને કોમ્પ્યુટેશનલ મિકેનિક્સની મોટી સમસ્યાઓ પર લાગુ કરી શકાય છે. પ્રતિક્રિયા સપાટી પદ્ધતિ પ્રતિક્રિયા સપાટીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનો અંદાજ લગાવવો શક્ય છે. પછી અંતરાલ ઉકેલ મેળવવા માટે પ્રતિક્રિયા સપાટીનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે. પ્રતિસાદ સપાટી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કોમ્પ્યુટેશનલ મિકેનિક્સની ખૂબ જ જટિલ સમસ્યાનું સમાધાન કરવું શક્ય છે. શુદ્ધ અંતરાલ પદ્ધતિઓ કેટલાક લેખકોએ અંતરાલ પરિમાણો સાથે મર્યાદિત તત્વની સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે શુદ્ધ અંતરાલ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. કેટલાક કિસ્સાઓમાં ખૂબ જ રસપ્રદ પરિણામો મેળવવાનું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે. [પોપોવા, યાન્કોવ, બોનેવ 2008]. જો કે, સામાન્ય રીતે આ પદ્ધતિ ખૂબ જ વધુ પડતા અંદાજિત પરિણામો ઉત્પન્ન કરે છે. પેરામેટ્રિક અંતરાલ પ્રણાલીઓ પોપોવા અને સ્કાલ્નાએ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીના ઉકેલ માટેની પદ્ધતિઓ રજૂ કરી હતી જેમાં ગુણાંક અંતરાલ પરિમાણોના રેખીય સંયોજનો છે. આ કિસ્સામાં નિશ્ચિત ચોકસાઈ સાથે અંતરાલ સમીકરણોનો ખૂબ જ સચોટ ઉકેલ મેળવવો શક્ય છે. અંતરાલ સીમા તત્વ પદ્ધતિ અંતરાલ (ગણિત) અંતરાલ અંકગણિત અચોક્કસ સંભાવના બહુમુલ્ય કાર્ય વિભેદક સમાવેશ અવલોકન ભૂલ રેન્ડમ કોમ્પેક્ટ સેટ વિશ્વસનીયતા (આંકડાશાસ્ત્ર) આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શ્રેષ્ઠ, સૌથી ખરાબ અને સરેરાશ કેસ સંભાવનાત્મક ડિઝાઇન અનિશ્ચિતતાનું પ્રસાર પ્રાયોગિક અનિશ્ચિતતા વિશ્લેષણ વિક્ષેપ સિદ્ધાંત સાતત્ય મિકેનિક્સ ટ્રસ સ્પેસ ફ્રેમ સામગ્રીની રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા શક્તિ સંદર્ભો ડેમ્પસ્ટર, એ. પી. (1967). "બહુ-મૂલ્યવાન નકશા દ્વારા પ્રેરિત ઉપલા અને નીચલા સંભાવનાઓ". ધ એનલ્સ ઓફ મેથેમેટિકલ સ્ટેટિસ્ટિક્સ 38 (2): 325-339. . મેળવેલ 2009-09-23 સિવિલ એન્જિનિયરિંગમાં અનિશ્ચિતતાનું વિશ્લેષણ, ડબલ્યુ. ફેલિન, એચ. લેસ્મેન, એમ. ઓબર્ગગેનબર્ગર અને આર. વાઈડર દ્વારા (આવૃત્તિઓ. ), સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન, 2005 આઇ. એલિશાકોફ, ઇજનેરીમાં સંભવિત પદ્ધતિઓની સંભવિત મર્યાદાઓ. એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ સમીક્ષાઓ, Vol.53, નંબર 2, pp. 19-25,2000. હ્લાવેસેક, આઈ., ક્લેબોઉન, જે., બાબુસ્કા, આઈ.: અનિશ્ચિત ઇનપુટ ડેટા સમસ્યાઓ અને સૌથી ખરાબ દૃશ્ય પદ્ધતિ. એલ્સેવિયર, એમ્સ્ટર્ડમ (2004) કોઈલોગ્લુ, યુ., આઇઝેક એલિશાકોફ; અનિશ્ચિત કઠોરતા ગુણધર્મો સાથે શીયર ફ્રેમ્સ પર લાગુ કરાયેલ સ્ટોકેસ્ટિક અને અંતરાલ મર્યાદિત તત્વોની સરખામણી, કમ્પ્યુટર અને સ્ટ્રક્ચર્સ વોલ્યુમઃ 67, અંકઃ 1-3, એપ્રિલ 1,1998, પીપી. 91-98 D. મોન્સ અને D. વાન્ડેપિટ્ટે, અંતરાલ સંવેદનશીલતા સિદ્ધાંત અને અનિશ્ચિત માળખાઓના આવર્તન પ્રતિસાદ પરબિડીયું વિશ્લેષણ માટે તેનો ઉપયોગ. કોમ્પ્યુટર મેથડ્સ ઇન એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ એન્ડ એન્જિનિયરિંગ વોલ્યુમ. 196, નં. 21-24,1 એપ્રિલ 2007, pp. 2486-2496. મોલર, બી., બીયર, એમ., ફઝી રેન્ડમનેસ-સિવિલ એન્જિનિયરિંગ અને કોમ્પ્યુટેશનલ મિકેનિક્સમાં અનિશ્ચિતતા, સ્પ્રિંગર, બર્લિન, 2004. ઇ. પોપોવા, આર. યાન્કોવ, ઝેડ. બોનેવઃ તમામ પરિમાણોમાં અનિશ્ચિતતા સાથે યાંત્રિક માળખાના પ્રતિભાવને બંધ કરવો. R.L.Muhannah, R.L.Mullen (Eds): પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ NSF વર્કશોપ ઓન રિલાઇબલ એન્જિનિયરિંગ કમ્પ્યુટિંગ (REC), સ્વાન્નાહ, જ્યોર્જિયા USA, ફેબ્રુઆરી. 22-24,2006,245-265 A. પોઉનુક, ફઝી પાર્શિયલ ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશનના ન્યુમેરિકલ સોલ્યુશન્સ અને કોમ્પ્યુટેશનલ મિકેનિક્સમાં તેનો ઉપયોગ, ફઝી પાર્શિયલ ડિફરન્શિયલ ઇક્વેશન્સ એન્ડ રિલેશનલ ઇક્વેશન્સઃ રિઝર્વોઇર કેરેક્ટરાઇઝેશન એન્ડ મોડેલિંગ (એમ. નિક્રવેશ, એલ. ઝાદેહ અને વી. કોરોટકિખ, એડ. ), સ્ટડીઝ ઇન ફઝીનેસ એન્ડ સોફ્ટ કમ્પ્યુટિંગ, ફિઝિકા-વેરલેગ, 2004, પીપી. 308-347 A. Pownuk, સંવેદનશીલતા વિશ્લેષણ પર આધારિત અંતરાલ પરિમાણો સાથે મોટા પાયે ઇજનેરી સમસ્યાઓના ઉકેલની કાર્યક્ષમ પદ્ધતિ, વિશ્વસનીય ઇજનેરી કમ્પ્યુટિંગ પર NSF વર્કશોપની કાર્યવાહી, સપ્ટેમ્બર 15-17,2004, સવાન્ના, જ્યોર્જિયા, USA, pp. 305-316 એમ. વી. રામા રાવ, એ. પોઉનુક અને આઈ. સ્કાલના, સ્ટ્રેસ એનાલિસિસ ઓફ એ સિંગલી રિઇનફોર્સ્ડ કોંક્રિટ બીમ વિથ અનસર્ટેન સ્ટ્રક્ચરલ પેરામીટર્સ, એનએસએફ વર્કશોપ ઓન રિલાયબલ એન્જિનિયરિંગ કમ્પ્યુટિંગ, ફેબ્રુઆરી 20-22,2008, સવાન્ના, જ્યોર્જિયા, યુએસએ, પીપી. 459-478 બર્નાર્ડિની, આલ્બર્ટો, ટોનન, ફુલ્વિયો, બાઉન્ડિંગ અનસર્ટેનિટી ઇન સિવિલ એન્જિનિયરિંગ, સ્પ્રિંગર 2010 બેન-હેમ વાય., એલિશાકોફ I., 1990, કન્વેક્સ મોડલ્સ ઓફ અનસર્ટેનિટી ઇન એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ. એલ્સેવિયર સાયન્સ પબ્લિશર્સ, ન્યૂયોર્ક વલ્લિયપ્પન એસ., ફેમ ટી. ડી., 1993, ફઝી ફાઈનાઇટ એલિમેન્ટ એનાલિસિસ ઓફ એ ફાઉન્ડેશન ઓન ઇલાસ્ટિક સોઇલ મીડિયમ. ઇન્ટરનેશનલ જર્નલ ફોર ન્યુમેરિકલ એન્ડ એનાલિટીકલ મેથડ્સ ઇન જીઓમિકેનિક્સ, Vol.17, pp. 771-789 એલિશાકોફ I., લી વાય. ડબલ્યુ., સ્ટાર્નેસ જે. એચ., 1994, સંયુક્ત માળખાઓના બકલિંગ પર અજ્ઞાત-પરંતુ-બાઉન્ડેડ સ્થિતિસ્થાપક મોડુલીની અસરની આગાહી કરવા માટે એક નિર્ધારક પદ્ધતિ. એપ્લાઇડ મિકેનિક્સ અને એન્જિનિયરિંગમાં કમ્પ્યુટર પદ્ધતિઓ, Vol.111, pp. 155-167 વલ્લિયપ્પન એસ. ફામ ટી. ડી., 1995, ફઝી પરિમાણો સાથે ઇલાસ્ટો-પ્લાસ્ટિક ફાઇનાઇટ એલિમેન્ટ એનાલિસિસ. ઇન્ટરનેશનલ જર્નલ ફોર ન્યુમેરિકલ મેથડ્સ ઇન એન્જિનિયરિંગ, 38, પીપી. 531-548 રાવ એસ. એસ., સોયર જે. પી., 1995, અસ્પષ્ટ રીતે નિર્ધારિત પ્રણાલીઓના વિશ્લેષણ માટે ફઝી ફાઈનાઇટ એલિમેન્ટ એપ્રોચ. AIAA જર્નલ, Vol.33, No.12, pp. 2364-2370 કોઇલુઓગ્લુ એચ. યુ., કાકમાક એ., નીલ્સન એસ. આર. કે., 1995, સ્ટ્રક્ચરલ મિકેનિક્સમાં ઇન્ટરવલ મેપિંગ. માંઃ સ્પાનોસ, એડ. કોમ્પ્યુટેશનલ સ્ટોકેસ્ટિક મિકેનિક્સ. 125-133. બાલ્કેમા, રોટરડેમ મુહન્ના, આર. એલ. અને આર. એલ. મુલેન (1995). અનિશ્ચિતતા મોડેલિંગ અને વિશ્લેષણ પરની ત્રીજી આંતરરાષ્ટ્રીય પરિસંવાદની કાર્યવાહીમાં "સાતત્ય મિકેનિક્સમાં અસ્પષ્ટતા માટે અંતરાલ આધારિત પદ્ધતિઓનો વિકાસ" અને નોર્થ અમેરિકન ફઝી ઇન્ફર્મેશન પ્રોસેસિંગ સોસાયટીની વાર્ષિક પરિષદ (ઇસુમા-એનએએફઆઇપીએસ '95), આઇ. ઇ. ઇ. ઇ., <આઇ. ડી. 1> બાહ્ય કડીઓ વિશ્વસનીય ઇજનેરી કમ્પ્યુટિંગ, જ્યોર્જિયા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજી, સવાન્ના, યુએસએ અંતરાલ ગણતરીઓ વિશ્વસનીય કમ્પ્યુટિંગ (જર્નલ) અંતરાલ સમીકરણો (સંદર્ભોનો સંગ્રહ) અંતરાલ મર્યાદિત તત્વ વેબ એપ્લિકેશનો ઇ. પોપોવા, અંતરાલ રેખીય પ્રણાલીનો પેરામેટ્રિક સોલ્યુશન સેટ અસ્પષ્ટ સંભાવના માટેની સોસાયટીઃ સિદ્ધાંતો અને એપ્લિકેશનો મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ