Linear inequality
ગણિતમાં રેખીય અસમાનતા એ એક અસમાનતા છે જેમાં રેખીય કાર્ય સામેલ છે. એક રેખીય અસમાનતા અસમાનતાના પ્રતીકોમાંથી એક ધરાવે છેઃ <ઓછી> ≤ કરતા વધારે અથવા ≤ કરતા વધારે અથવા ≤ ની બરાબર એક રેખીય અસમાનતા બરાબર રેખીય સમીકરણ જેવી દેખાય છે, જેમાં અસમાનતા ચિહ્ન સમાનતાના ચિહ્નને બદલે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની રેખીય અસમાનતાઓ દ્વિ-પરિમાણીય રેખીય અસમાનતાઓ એ સ્વરૂપના બે ચલમાં અભિવ્યક્તિઓ છેઃ જ્યાં અસમાનતાઓ કાં તો કડક હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. આવી અસમાનતાના ઉકેલ સમૂહને યુક્લિડિયન સમતલમાં અર્ધ-સમતલ (નિશ્ચિત રેખાના એક બાજુ પરના તમામ બિંદુઓ) દ્વારા ગ્રાફિકલી રીતે રજૂ કરી શકાય છે. જ્યારે અસમાનતા કડક હોય ત્યારે અર્ધ-સમતલ (અક્ષ + દ્વારા = સી) નક્કી કરતી રેખા ઉકેલ સમૂહમાં શામેલ નથી. ઉકેલ સમૂહમાં કયું અર્ધ-સમતલ છે તે નક્કી કરવાની એક સરળ પ્રક્રિયા એ છે કે અક્ષ + ની કિંમતની ગણતરી એક બિંદુ (x0, y0) પર કરવી જે રેખા પર નથી અને અવલોકન કરવું કે અસમાનતા સંતોષાય છે કે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, x + 3y <9 નો ઉકેલ સમૂહ દોરવા માટે, પહેલા એક બિંદુવાળી રેખા તરીકે સમીકરણ x + 3y = 9 સાથે રેખા ખેંચે છે, જે સૂચવે છે કે રેખા ઉકેલ સમૂહમાં શામેલ નથી કારણ કે અસમાનતા કડક છે. પછી, એક અનુકૂળ બિંદુ પસંદ કરો જે રેખા પર ન હોય, જેમ કે (0,0). 0 + 3 (0) = 0 <9 હોવાથી, આ બિંદુ ઉકેલ સમૂહમાં છે, તેથી આ બિંદુ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ (રેખાની "નીચે" અર્ધ-સમતલ) આ રેખીય અસમાનતાનો ઉકેલ સમૂહ છે. સામાન્ય પરિમાણોમાં રેખીય અસમાનતાઓ Rn રેખીય અસમાનતાઓ એ અભિવ્યક્તિઓ છે જે સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે અથવા જ્યાં f એ રેખીય સ્વરૂપ છે (જેને રેખીય કાર્યાત્મક પણ કહેવાય છે), અને b એ અચળ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. વધુ ચોક્કસપણે, આને આ રીતે લખી શકાય છે અથવા અહીં અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે, અને તેને ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, આને આ રીતે લખી શકાય છે અથવા જ્યાં g એ એફાઇન ફંક્શન છે. એટલે કે અથવા નોંધ લો કે "મોટા કરતાં" અથવા "મોટા કરતાં અથવા સમાન" ચિહ્ન ધરાવતી કોઈપણ અસમાનતાને "ઓછા કરતાં" અથવા "ઓછા કરતાં અથવા સમાન" ચિહ્ન સાથે ફરીથી લખી શકાય છે, તેથી તે સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને રેખીય અસમાનતાને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર નથી. રેખીય અસમાનતાની પ્રણાલીઓ રેખીય અસમાનતાની પ્રણાલી એ સમાન ચલમાં રેખીય અસમાનતાનો સમૂહ છેઃ અહીં અજ્ઞાત છે, પ્રણાલીના ગુણાંક છે, અને સતત શરતો છે. આને સંક્ષિપ્તમાં મેટ્રિક્સ અસમાનતા તરીકે લખી શકાય છે જ્યાં A એ m × n મેટ્રિક્સ છે, x એ ચલોનો n × 1 કોલમ વેક્ટર છે, અને b એ સ્થિરાંકોનો m × 1 કોલમ વેક્ટર છે. ઉપરોક્ત પ્રણાલીઓમાં કડક અને બિન-કડક બંને અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. રેખીય અસમાનતાની તમામ પ્રણાલીઓમાં ઉકેલો હોતા નથી. ફોરિયર-મોત્ઝકિન નાબૂદીનો ઉપયોગ કરીને ચલને રેખીય અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓમાંથી દૂર કરી શકાય છે. એપ્લિકેશન્સ પોલિહેડ્રા વાસ્તવિક રેખીય અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ 'એન'-પરિમાણીય વાસ્તવિક જગ્યાના અર્ધ-અવકાશની રચના કરે છે, જે અનુરૂપ રેખીય સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બેમાંથી એક છે. રેખીય અસમાનતાઓની પ્રણાલીના ઉકેલોનો સમૂહ વ્યક્તિગત અસમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-જગ્યાઓના આંતરછેદને અનુરૂપ છે. તે બહિર્મુખ સમૂહ છે, કારણ કે અર્ધ-જગ્યાઓ બહિર્મુખ સમૂહ છે, અને બહિર્મુખ સમૂહોનું આંતરછેદ પણ બહિર્મુખ છે. બિન-અપક્ષયી કિસ્સાઓમાં આ બહિર્મુખ સમૂહ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન છે (સંભવતઃ અનબાઉન્ડ, દા. ત., અડધી જગ્યા, બે સમાંતર અડધી જગ્યાઓ વચ્ચેનો સ્લેબ અથવા પોલિહેડ્રલ શંકુ). તે ખાલી પણ હોઈ શકે છે અથવા n-પરિમાણીય જગ્યા Rn ના એફાઇન સબસ્પેસ સુધી મર્યાદિત નીચલા પરિમાણનું બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન પણ હોઈ શકે છે. રેખીય પ્રોગ્રામિંગ એક રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા ચલ પર સંખ્યાબંધ અવરોધોને આધિન કાર્ય (જેને ઉદ્દેશ્ય કાર્ય કહેવાય છે) ને શ્રેષ્ઠ બનાવવા (મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ મૂલ્ય શોધવા) માંગે છે, જે સામાન્ય રીતે રેખીય અસમાનતાઓ છે. અવરોધોની સૂચિ એ રેખીય અસમાનતાઓની એક પ્રણાલી છે. સામાન્યીકરણ ઉપરોક્ત વ્યાખ્યામાં સરવાળા, ગુણાકાર અને સરખામણીની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કામગીરીની જરૂર છે; તેથી, રેખીય અસમાનતાની કલ્પનાને ક્રમબદ્ધ રિંગ્સ સુધી અને ખાસ કરીને ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્રો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. સંદર્ભો સ્રોત બાહ્ય કડીઓ ખાન અકાદમીઃ રેખીય અસમાનતાઓ, મફત ઓનલાઇન સૂક્ષ્મ વ્યાખ્યાન રેખીય બીજગણિત રેખીય પ્રોગ્રામિંગ પોલિહેડ્રા