Cauchy formula for repeated integration
પુનરાવર્તિત એકીકરણ માટેનું કોચી સૂત્ર, ઑગસ્ટિન-લુઇસ કોચીના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જે કાર્યના એન એન્ટિડેરિવેટિવ્સને એક અભિન્નમાં સંકુચિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. કોચીનું સૂત્ર). સ્કેલર કેસ ચાલો f એ વાસ્તવિક રેખા પર સતત કાર્ય છે. પછી આધાર-બિંદુ a સાથે f નું nમું પુનરાવર્તિત ઇન્ટિગ્રલ, સિંગલ ઇન્ટિગ્રેશન પ્રૂફ દ્વારા આપવામાં આવે છે. n = 1 સાથેનો બેઝ કેસ તુચ્છ છે, કારણ કે તે આની સમકક્ષ છેઃ હવે, ધારો કે આ n માટે સાચું છે, અને ચાલો તેને n + 1 માટે સાબિત કરીએ. પ્રથમ, લીબનીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, નોંધ લો કે પછી, ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણાને લાગુ કરીને, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે આ નિવેદન બેઝ કેસ માટે સાચું છે. જો નિવેદન સાચું છે, તો તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે નિવેદન સાચું છે. આમ આ નિવેદન તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે સાચું સાબિત થયું છે. આ સાબિતીને પૂર્ણ કરે છે. સામાન્યીકરણ અને ઉપયોગો કોચી સૂત્રને રીમાન-લિઉવિલે સંકલન દ્વારા બિન-પૂર્ણાંક પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, જ્યાં તેને ગામા કાર્ય દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને ફેક્ટોરિયલને ગામા કાર્ય દ્વારા બદલવામાં આવે છે. બંને સૂત્રો ક્યારે સંમત થાય છે. કોચી સૂત્ર અને રીમાન-લિઉવિલે ઇન્ટિગ્રલ બંનેને રીઝ પોટેન્શિયલ દ્વારા મનસ્વી પરિમાણમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક કલનમાં, આ સૂત્રોનો ઉપયોગ એક અલગ સંકલન બનાવવા માટે થઈ શકે છે, જે વ્યક્તિને અપૂર્ણાંક સંખ્યાને ઘણી વખત અલગ પાડવા અથવા સંકલિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. અપૂર્ણાંક સંખ્યાને ઘણી વખત અલગ પાડવું એ અપૂર્ણાંક એકીકરણ દ્વારા પૂર્ણ કરી શકાય છે, પછી પરિણામને અલગ કરી શકાય છે. સંદર્ભો ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચીઃ ટ્રેન્ટે-સિન્ક્વિમે લેકોન. માંઃ એકોલ રોયલ પોલિટેકનિક સુર લે કેલ્ક્યુલ ઇનફિનિટસીમલ. ઇમ્પ્રિમેરી રોયાલે, પેરિસ 1823. પુનઃમુદ્રણઃ યુવર્સ કોમ્પ્લેટ્સ II (4), ગૌથિયર-વિલાર્સ, પેરિસ, પૃષ્ઠ. 5-261. ગેરાલ્ડ બી. ફોલેન્ડ, એડવાન્સ્ડ કેલ્ક્યુલસ, પૃષ્ઠ 193, પ્રેન્ટિસ હોલ (2002). બાહ્ય કડીઓ વિશ્લેષણમાં ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચી સંકલિત કલન પ્રમેયો