Barnes integral
ગણિતમાં, બાર્ન્સ ઇન્ટિગ્રલ અથવા મેલિન-બાર્ન્સ ઇન્ટિગ્રલ એ સમોચ્ચ ઇન્ટિગ્રલ છે જેમાં ગામા કાર્યોના ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે. તેમનો પરિચય કરાવ્યો હતો. તેઓ સામાન્યીકૃત હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ઇન્ટિગ્રલને સામાન્ય રીતે સમોચ્ચ સાથે લેવામાં આવે છે, જે  તાઇ (a + s) સ્વરૂપના પરિબળોના તમામ ધ્રુવોની જમણી બાજુએ અને  તાઇ (a − s) સ્વરૂપના પરિબળોના તમામ ધ્રુવોની ડાબી બાજુએ પસાર થતી કાલ્પનિક અક્ષની વિકૃતિ છે. હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યને બાર્ન્સ ઇન્ટિગ્રલ તરીકે પણ આપવામાં આવે છે. આ સમાનતા s = 0,1,2,.. પર અવશેષો ઉપાડતી વખતે સમોચ્ચને જમણી તરફ ખસેડીને મેળવી શકાય છે. માટે, અને અન્યત્ર વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા. યોગ્ય અભિસરણની પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં રાખીને, કોઈ વધુ સામાન્ય બાર્ન્સ ઇન્ટિગ્રલ્સ અને સામાન્યીકૃત હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન્સ pFq ને સમાન રીતે સંબંધિત કરી શકે છે. પ્રથમ બાર્ન્સ લેમ્મા જણાવે છે કે આ ગૌસના 2F1 સારાંશ સૂત્રનું એનાલોગ છે, અને યુલરના બીટા ઇન્ટિગ્રલનું વિસ્તરણ પણ છે. તેમાંના અભિન્નને કેટલીકવાર બાર્ન્સ બીટા અભિન્ન કહેવામાં આવે છે. બીજો બાર્ન્સ લેમ્મા જણાવે છે કે જ્યાં e = a + b + c − d + 1 છે. આ સાલશુટ્ઝના સરવાળા સૂત્રનું એનાલોગ છે. મૂળભૂત હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી માટે બાર્ન્સ ઇન્ટિગ્રલ્સના એનાલોગ છે, અને અન્ય ઘણા પરિણામો પણ આ કિસ્સામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. સંદર્ભો (સાથે 2008નું પેપરબેક છે) વિશેષ કાર્યો હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો