Kretschmann scalar
લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ્સના સિદ્ધાંતમાં, ખાસ કરીને સામાન્ય સાપેક્ષતાના ઉપયોગોના સંદર્ભમાં, ક્રેટ્શમેન સ્કેલર એક દ્વિઘાત સ્કેલર અપરિવર્તનશીલ છે. તે એરિક ક્રેશ્ચમેન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. વ્યાખ્યા ક્રેશ્ચમેન અપરિવર્તન એ છે કે જ્યાં રીમાન વળાંક ટેન્સર છે (આ સમીકરણમાં આઈન્સ્ટાઈન સારાંશ પરંપરાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, અને તેનો ઉપયોગ સમગ્ર લેખમાં કરવામાં આવશે). કારણ કે તે ટેન્સર ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો છે, આ એક દ્વિઘાત અપરિવર્તનશીલ છે. કોમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલીના ઉપયોગ માટે વધુ વિગતવાર લેખન અર્થપૂર્ણ છેઃ ઉદાહરણ તરીકે સ્ક્વાર્જસ્ચિલ્ડ બ્લેક હોલ ઓફ માસ માટે, ક્રેશ્ચમેન સ્કેલર એ છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક છે. મેટ્રિક સાથેના સામાન્ય એફ. આર. ડબલ્યુ. અવકાશકાળ માટે ક્રેટ્સમેન સ્કેલર એ અન્ય અપરિવર્તનશીલ સાથેનો સંબંધ છે અન્ય સંભવિત અપરિવર્તનશીલ (જેનો ઉપયોગ ઉદાહરણ તરીકે કેટલાક ઉચ્ચ ક્રમના ગુરુત્વાકર્ષણ સિદ્ધાંતો માટે લાગ્રેન્જિયનના ગુરુત્વાકર્ષણીય શબ્દને લખવામાં કરવામાં આવ્યો છે) જ્યાં વેલ ટેન્સર છે, જે કન્ફોર્મલ કર્વચર ટેન્સર છે, જે રીમાન ટેન્સરનો સંપૂર્ણપણે ટ્રેસલેસ ભાગ પણ છે. પરિમાણોમાં આ ક્રેટ્સમેન અપરિવર્તનશીલ સાથે સંબંધિત છે જ્યાં રિક્કી વળાંક ટેન્સર છે અને તે રિક્કી સ્કેલર વળાંક છે (રીમેન ટેન્સરના ક્રમિક નિશાન લઈને મેળવવામાં આવે છે). રિકસી ટેન્સર વેક્યૂમ સ્પેસટાઇમ્સમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે (જેમ કે ઉપર ઉલ્લેખિત શ્વાર્ઝસ્ચિલ્ડ સોલ્યુશન), અને તેથી ત્યાં રીમેન ટેન્સર અને વેઇલ ટેન્સર એક સાથે આવે છે, જેમ કે તેમના અપરિવર્તનશીલ. ગેજ સિદ્ધાંત અપરિવર્તનશીલ ક્રેટ્સમેન સ્કેલર અને ચેરન-પોન્ટ્રીગિન સ્કેલર, જ્યાં રીમાન ટેન્સરની ડાબી બાજુની જોડી હોય છે, તે ગાણિતિક રીતે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર ટેન્સરના પરિચિત અપરિવર્તનશીલ સમાન છે (અમુક હદ સુધી, શારીરિક રીતે સમાન). અહીં કોવેરિયન્ટ વ્યુત્પન્નનું વળાંક છે, અને તે એક ટ્રેસ સ્વરૂપ છે. ક્રેશ્ચમેન સ્કેલર ફ્રેમ બંડલ પર જોડાણ લેવાથી ઉદભવે છે. કાર્મિનાટી-મેકલેનાઘન અચળાંકો પણ જુઓ, અચળાંકોના સમૂહ માટે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રોના વર્ગીકરણ, વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર ટેન્સર કર્વચર અચળાંકોના અચળાંકો વિશે વધુ જાણવા માટે, રીમાનિયન અને સ્યુડો-રીમાનિયન ભૂમિતિમાં સામાન્ય કર્વચર અચળાંકો (સામાન્ય સાપેક્ષતા) રિક્કી વિઘટનમાં કર્વચર અચળાંકો માટે, રીમાન અને વેલ ટેન્સર સંદર્ભો વિશે વધુ વાંચવા માટે રીમાનિયન ભૂમિતિ લોરેન્ટ્ઝિયન મેનીફોલ્ડ સામાન્ય સાપેક્ષતામાં ટેન્સર