Spin-1/2
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, સ્પિન એ તમામ પ્રાથમિક કણોની આંતરિક મિલકત છે. બધા જાણીતા ફર્મિઓન, કણો કે જે સામાન્ય દ્રવ્યની રચના કરે છે, તેની સ્પિન હોય છે. સ્પિન નંબર વર્ણવે છે કે એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં કણના કેટલા સમપ્રમાણતાવાળા પાસાઓ હોય છે; એક સ્પિનનો અર્થ એ છે કે જ્યારે તે શરૂ થયું હતું તે જ રૂપરેખાંકન હોય તે પહેલાં કણને બે પૂર્ણ વળાંક (720 ° દ્વારા) દ્વારા ફેરવવો આવશ્યક છે. નેટ સ્પિન ધરાવતા કણોમાં પ્રોટોન, ન્યુટ્રોન, ઇલેક્ટ્રોન, ન્યુટ્રિનો અને ક્વાર્કનો સમાવેશ થાય છે. સ્પિન-ઓબ્જેક્ટ્સની ગતિશીલતાને શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને સચોટ રીતે વર્ણવી શકાતી નથી; તે સૌથી સરળ પ્રણાલીઓમાંની એક છે જેને વર્ણવવા માટે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની જરૂર પડે છે. જેમ કે, સ્પિન-સિસ્ટમ્સના વર્તનનો અભ્યાસ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો કેન્દ્રિય ભાગ બનાવે છે. સ્ટર્ન-ગેર્લાચ પ્રયોગ અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન રજૂ કરવાની જરૂરિયાત પ્રાયોગિક રીતે સ્ટર્ન-ગેર્લાચ પ્રયોગના પરિણામો પર પાછા જાય છે. અણુઓનો એક બીમ મજબૂત વિજાતીય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે, જે પછી અણુઓના આંતરિક કોણીય વેગના આધારે એન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. એવું જાણવા મળ્યું હતું કે ચાંદીના અણુઓ માટે, બીમ બે ભાગમાં વહેંચાયેલો હતો-તેથી જમીનની સ્થિતિ પૂર્ણાંક ન હોઈ શકે, કારણ કે જો અણુઓની આંતરિક કોણીય ગતિ શક્ય તેટલી નાની (બિન-શૂન્ય) પૂર્ણાંક હોય તો પણ, 1, બીમ 3 ભાગોમાં વહેંચાયેલી હશે, જે Lz = −1, + 1 અને 0 સાથેના અણુઓને અનુરૂપ હશે, જેમાં 0 એ ફક્ત −1 અને + 1 વચ્ચે આવવા માટે જાણીતું મૂલ્ય છે, જ્યારે તે સંપૂર્ણ-પૂર્ણાંક પણ છે, અને આમ આ કિસ્સામાં માન્ય માત્રાત્મક સ્પિન નંબર છે. બે ધ્રુવીકૃત ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ વચ્ચેના આ કાલ્પનિક "વધારાના પગલા" ના અસ્તિત્વ માટે ત્રીજી ક્વોન્ટમ સ્થિતિ જરૂરી છે; ત્રીજી બીમ, જે પ્રયોગમાં જોવા મળતી નથી. નિષ્કર્ષ એ હતો કે ચાંદીના અણુઓમાં ચોખ્ખો આંતરિક કોણીય વેગ હતો. સામાન્ય ગુણધર્મો સ્પિન-ઓબ્જેક્ટ્સ એ બધા ફર્મિઓન છે (સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમ દ્વારા સમજાવવામાં આવેલી હકીકત) અને પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતને સંતોષે છે. સ્પિન-કણો તેમના સ્પિનની દિશામાં કાયમી ચુંબકીય ક્ષણ ધરાવી શકે છે, અને આ ચુંબકીય ક્ષણ સ્પિન પર આધારિત ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને જન્મ આપે છે. આવી જ એક અસર જે સ્પિનની શોધમાં મહત્વપૂર્ણ હતી તે છે ઝીમન અસર, જે સ્થિર ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં વર્ણપટ રેખાને અનેક ઘટકોમાં વિભાજિત કરે છે. વધુ જટિલ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક પ્રણાલીઓથી વિપરીત, સ્પિન-પાર્ટિકલની સ્પિનને માત્ર બે આઈગનસ્ટેટ અથવા આઈગનસ્પિનર્સના રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આને પરંપરાગત રીતે સ્પિન અપ અને સ્પિન ડાઉન તરીકે લેબલ કરવામાં આવે છે. આ કારણે, ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક સ્પિન ઓપરેટરોને સરળ 2 × 2 મેટ્રિસીસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ મેટ્રિસીસને પૌલી મેટ્રિસીસ કહેવામાં આવે છે. સ્પિન-ઓબ્જેક્ટ્સ માટે સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટરો બનાવી શકાય છે; આ અન્ય કોણીય ગતિ ઓપરેટરોની જેમ જ પરિવર્તન સંબંધોનું પાલન કરે છે. અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત સાથે જોડાણ સામાન્યીકૃત અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંતનું એક પરિણામ એ છે કે સ્પિન પ્રોજેક્શન ઓપરેટર્સ (જે x, y, અથવા z જેવી આપેલ દિશામાં સ્પિનને માપે છે) ને એક સાથે માપી શકાતા નથી. ભૌતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે જે અક્ષની આસપાસ કણ ફરતો હોય તે ખોટી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે. સ્પિનના ઝેડ-ઘટકનું માપ x-અને y-ઘટકો વિશેની કોઈપણ માહિતીનો નાશ કરે છે જે અગાઉ મેળવી શકાઇ હોત. ગાણિતિક વર્ણન સ્પિન-કણને સ્પિન s માટે કોણીય વેગ ક્વોન્ટમ સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. શ્રોડિંગર સમીકરણના ઉકેલોમાં, કોણીય વેગને આ સંખ્યા અનુસાર માપવામાં આવે છે, જેથી કુલ સ્પિન કોણીય વેગ જો કે, જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને એક અક્ષ સાથે જોવામાં આવે છે, જેમ કે ઝેડ-અક્ષ, ત્યારે અવલોકન કરાયેલ દંડ માળખું ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબરની દ્રષ્ટિએ માપવામાં આવે છે, જેને આ કુલ કોણીય વેગના વેક્ટર ઘટકના પરિમાણ તરીકે જોઈ શકાય છે, જેમાં માત્ર મૂલ્યો હોઈ શકે છે. નોંધ લો કે કોણીય વેગ માટે આ મૂલ્યો માત્ર ઘટાડેલા પ્લાન્ક અચળાંક (કોઈપણ ફોટોનની કોણીય વેગ) ના કાર્યો છે, જેમાં દળ અથવા ચાર્જ પર કોઈ નિર્ભરતા નથી. જટિલ તબક્કો ગાણિતિક રીતે, ક્વોન્ટમ યાંત્રિક સ્પિનને શાસ્ત્રીય કોણીય વેગની જેમ વેક્ટર દ્વારા વર્ણવવામાં આવતું નથી. તે સ્પિનોર તરીકે ઓળખાતા બે ઘટકો સાથે જટિલ-મૂલ્યવાન વેક્ટર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. સંકલન પરિભ્રમણ હેઠળ સ્પિનરો અને વેક્ટરની વર્તણૂક વચ્ચે સૂક્ષ્મ તફાવતો છે, જે જટિલ ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યાના વર્તનથી ઉદ્ભવે છે. જ્યારે સ્પિનોરને 360° (એક પૂર્ણ વળાંક) દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે તે તેના નકારાત્મકમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને પછી 360°ના વધુ પરિભ્રમણ પછી તે ફરીથી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યમાં પરિવર્તિત થાય છે. આનું કારણ એ છે કે ક્વોન્ટમ થિયરીમાં કણ અથવા સિસ્ટમની સ્થિતિને જટિલ સંભાવના કંપનવિસ્તાર (તરંગ કાર્ય) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, અને જ્યારે સિસ્ટમ માપવામાં આવે છે, ત્યારે સિસ્ટમને સ્થિતિમાં શોધવાની સંભાવના si બરાબર હોય છે, જે કંપનવિસ્તારનો નિરપેક્ષ વર્ગ (નિરપેક્ષ મૂલ્યનો વર્ગ) છે. ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ, ક્વોન્ટમ હિલ્બર્ટ અવકાશ પરિભ્રમણ જૂથ SO (3) ની પ્રક્ષેપાત્મક રજૂઆત ધરાવે છે. ધારો કે એક ડિટેક્ટર કે જેને ફેરવી શકાય છે તે એક કણને માપે છે જેમાં અમુક સ્થિતિ શોધવાની સંભાવનાઓ ડિટેક્ટરના પરિભ્રમણથી પ્રભાવિત થાય છે. જ્યારે પ્રણાલીને 360° દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે અવલોકન કરેલ આઉટપુટ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર શરૂઆતમાં સમાન હોય છે પરંતુ સ્પિન-કણ માટે કંપનવિસ્તારને −1 ના પરિબળ અથવા 360° ના અડધા તબક્કાના પાળી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. જ્યારે સંભાવનાઓની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે −1 નો વર્ગ થાય છે, (−1) 2 = 1, તેથી અનુમાનિત ભૌતિકશાસ્ત્ર પ્રારંભિક સ્થિતિ જેવું જ છે. ઉપરાંત, સ્પિન-કણમાં માત્ર બે સ્પિન સ્થિતિઓ હોય છે અને બંને માટે કંપનવિસ્તાર સમાન −1 પરિબળ દ્વારા બદલાય છે, તેથી હસ્તક્ષેપ અસરો સમાન હોય છે, જે ઉચ્ચ સ્પિનના કેસથી વિપરીત હોય છે. જટિલ સંભાવના કંપનવિસ્તાર એ સૈદ્ધાંતિક રચનાનું કંઈક છે જેનું સીધું નિરીક્ષણ કરી શકાતું નથી. જો સંભાવના કંપનવિસ્તાર ડિટેક્ટરની સમાન માત્રામાં ફરે છે, તો જ્યારે ઉપકરણને 180° ફેરવવામાં આવે છે ત્યારે તે −1ના પરિબળ દ્વારા બદલાઈ જાય છે, જે જ્યારે વર્ગ કરવામાં આવે છે ત્યારે શરૂઆતમાં સમાન ઉત્પાદનની આગાહી કરે છે, પરંતુ પ્રયોગો દર્શાવે છે કે આ ખોટું છે. જો ડિટેક્ટરને 180° ફેરવવામાં આવે, તો સ્પિન-કણો સાથેનું પરિણામ જો ફેરવવામાં ન આવે તો તે જે હશે તેનાથી અલગ હોઈ શકે છે, તેથી સિદ્ધાંતની આગાહીઓ પ્રયોગો સાથે મેળ ખાતી હોય તે માટે અડધા પરિબળ જરૂરી છે. વધુ સીધા પુરાવાના સંદર્ભમાં, ન્યુટ્રોન ઇન્ટરફેરોમેટ્રીમાં ક્લાસિક પ્રયોગોમાં 720°ની સરખામણીમાં 360° દ્વારા સ્પિન-કણના પરિભ્રમણ વચ્ચેના તફાવતની ભૌતિક અસરો પ્રાયોગિક રીતે જોવા મળી છે. ખાસ કરીને, જો સ્પિન-ઓરિએન્ટેડ સ્પિન-કણોની બીમ વિભાજિત થાય છે, અને તેમાંથી માત્ર એક બીમ તેની ગતિની દિશાના અક્ષની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે અને પછી મૂળ બીમ સાથે ફરીથી જોડાય છે, તો પરિભ્રમણના ખૂણાના આધારે વિવિધ હસ્તક્ષેપ અસરો જોવા મળે છે. 360° દ્વારા પરિભ્રમણના કિસ્સામાં, રદ કરવાની અસરો જોવા મળે છે, જ્યારે 720° દ્વારા પરિભ્રમણના કિસ્સામાં, બીમ પરસ્પર મજબૂત હોય છે. NRQM (બિન-સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ) સ્પિન-કણની ક્વોન્ટમ સ્થિતિને સ્પિનોર તરીકે ઓળખાતા બે-ઘટક જટિલ-મૂલ્યના વેક્ટર દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. જ્યારે સ્પિનર્સનો ઉપયોગ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે, ત્યારે ત્રણ સ્પિન ઓપરેટરો (Sx, Cy, Sz) ને 2 × 2 મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે જેને પાઉલી મેટ્રિક્સ કહેવાય છે, જેમના આઈગન વેલ્યુ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્પિન પ્રોજેક્શન ઓપરેટર Sz એ Z દિશામાં સ્પિનના માપનને અસર કરે છે. Sz ના બે આઈગન વેલ્યુ, પછી નીચેના આઈગનસ્પિનર્સને અનુરૂપ છેઃ આ વેક્ટર સ્પિન-પાર્ટિકલનું વર્ણન કરતા હિલ્બર્ટ સ્પેસ માટે સંપૂર્ણ આધાર બનાવે છે. આમ, આ બે સ્થિતિઓના રેખીય સંયોજનો x-અને y-દિશાઓ સહિત સ્પિનની તમામ સંભવિત સ્થિતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. નિસરણીના સંચાલકો છેઃ ત્યારથી, તે તેને અનુસરે છે અને. આમઃ તેમના સામાન્યીકૃત ઇગેનસ્પિનર્સ સામાન્ય રીતે મળી શકે છે. Sx માટે, તેઓ છેઃ Cy માટે, તેઓ છેઃ RQM (સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ) જ્યારે NRQM હિલ્બર્ટ અવકાશમાં 2 પરિમાણો સાથે સ્પિનને 3-પરિમાણીય અવકાશ અને સમયમાં વર્ણવેલ ગતિશીલતા સાથે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં 4 પરિમાણો અને 4-પરિમાણીય અવકાશ-સમય દ્વારા વર્ણવેલ ગતિશીલતા સાથે સ્પિનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. અવલોકનક્ષમ સાપેક્ષતામાં અવકાશ-સમયની ચાર-પરિમાણીય પ્રકૃતિના પરિણામે, સાપેક્ષવાદી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ સ્પિન ઓપરેટરો અને અવલોકનક્ષમોનું વર્ણન કરવા માટે 4 × 4 મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરે છે. ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત અને વિશેષ સાપેક્ષતાના સંયોજનના પરિણામે સ્પિન જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રી પોલ ડીરાકે શ્રોડિંગર સમીકરણમાં ફેરફાર કરવાનો પ્રયાસ કર્યો જેથી તે આઈન્સ્ટાઈનના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત હોય, ત્યારે તેમણે શોધી કાઢ્યું કે તે પરિણામી ડીરાક સમીકરણમાં મેટ્રિસીસનો સમાવેશ કરીને જ શક્ય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તરંગમાં સ્પિન તરફ દોરી જતા બહુવિધ ઘટકો હોવા જોઈએ. પ્રોજેક્ટિવ રજૂઆત નોંધો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ ત્રણ પરિમાણોમાં પરિભ્રમણ ક્વોન્ટમ મોડેલો પણ જુઓ.