Polymer field theory
પોલિમર ફિલ્ડ થિયરી એ આંકડાકીય ક્ષેત્ર થિયરી છે જે તટસ્થ અથવા ચાર્જ પોલિમર સિસ્ટમના આંકડાકીય વર્તનનું વર્ણન કરે છે. તે હૂબાર્ડ-સ્ટ્રેટોનોવિચ પરિવર્તન અથવા ડેલ્ટા-કાર્યાત્મક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સહાયક ક્ષેત્ર કાર્ય પર કાર્યાત્મક અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વમાં સ્વતંત્રતાના કણોની ડિગ્રી પર તેના પ્રમાણભૂત બહુ-પરિમાણીય અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વમાંથી પાર્ટીશન કાર્યને પરિવર્તિત કરીને મેળવી શકાય છે. પોલિમર ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો પર આધારિત કમ્પ્યુટર સિમ્યુલેશન ઉપયોગી પરિણામો આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે પોલિમર સોલ્યુશન્સ (બેયુર્લે 2007, શ્મિડ 1998), પોલિમર મેલ્ટ્સ (શ્મિડ 1998, માત્સેન 2002, ફ્રેડરિકસન 2002) અને થર્મોપ્લાસ્ટિક્સ (બેયુર્લે 2006) ની રચનાઓ અને ગુણધર્મોની ગણતરી કરવા માટે. કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ પાર્ટિકલ રિપ્રેઝન્ટેશન ઓફ કેનોનિકલ પાર્ટીશન ફંક્શન એડવર્ડ્સ (એડવર્ડ્સ 1965) દ્વારા રજૂ કરાયેલ ફ્લેક્સિબલ પોલિમરનું પ્રમાણભૂત સાતત્ય મોડેલ, રેખીય મોનોડિસ્પર્સ હોમોપોલિમરથી બનેલા ઉકેલને બરછટ દાણાવાળા પોલિમરની પ્રણાલી તરીકે વર્તે છે, જેમાં સાંકળોના આંકડાકીય મિકેનિક્સને સતત ગૌસીયન થ્રેડ મોડેલ (બેયુર્લે 2007) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે અને દ્રાવકને સ્પષ્ટ રીતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ગૌસીયન થ્રેડ મોડેલને સ્વતંત્ર ગૌસીયન સાંકળ મોડેલની સાતત્ય મર્યાદા તરીકે જોઈ શકાય છે, જેમાં પોલિમરને સતત, રેખીય રીતે સ્થિતિસ્થાપક તંતુઓ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. આવી પ્રણાલીનું કેનોનિકલ પાર્ટીશન કાર્ય, જે વ્યસ્ત તાપમાને રાખવામાં આવે છે અને કદમાં મર્યાદિત હોય છે, તેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે કે જ્યાં દ્વારા આપવામાં આવેલ સરેરાશ બળની ક્ષમતા છે, જે વિભાગો વચ્ચે દ્રાવક-મધ્યસ્થ બિન-બંધાયેલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યારે સાંકળોની હાર્મોનિક બંધન ઊર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પછીનું ઊર્જા યોગદાન આંકડાકીય સેગમેન્ટની લંબાઈ અને પોલિમરાઇઝેશન ઇન્ડેક્સ ક્યાં છે તે રીતે ઘડી શકાય છે. ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક પરિવર્તન કેનોનિકલ પાર્ટીશન કાર્યની મૂળભૂત ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રજૂઆત મેળવવા માટે, પોલિમર સિસ્ટમના સેગમેન્ટ ડેન્સિટી ઓપરેટરનો પરિચય નીચે મુજબ આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, Eq ને ફરીથી લખી શકાય છે. (2) આગળ, હૂબાર્ડ-સ્ટ્રેટોનોવિચ ટ્રાન્સફોર્મેશન અથવા ડેલ્ટા-ફંક્શનલ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને મોડેલને ફિલ્ડ થિયરીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે જ્યાં કાર્યાત્મક છે અને સહાયક ક્ષેત્ર કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરીને આપવામાં આવેલ ડેલ્ટા કાર્યાત્મક છે. અહીં આપણે નોંધ્યું છે કે, ફોરિયર શ્રેણીમાં ફિલ્ડ ફંક્શનનું વિસ્તરણ, સૂચવે છે કે સામયિક સીમા શરતો તમામ દિશાઓમાં લાગુ કરવામાં આવે છે અને-વેક્ટર સુપરસેલના પારસ્પરિક જાળી વેક્ટરને નિયુક્ત કરે છે. Eqs નો ઉપયોગ કરીને કેનોનિકલ પાર્ટીશન ફંક્શનની મૂળભૂત ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રજૂઆત. (3), (4) અને (5), આપણે Eq માં કેનોનિકલ પાર્ટીશન ફંક્શનને ફરીથી બનાવી શકીએ છીએ. (1) ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રજૂઆતમાં, જે બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ પોલિમરના આદર્શ વાયુ માટે વિભાજન કાર્ય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે અને સ્થિતિસ્થાપક ઊર્જા સાથે શૂન્ય ક્ષેત્રમાં મુક્ત પોલિમરનો માર્ગ અભિન્ન છે. વધુમાં, Eq માં. (6) એક પોલિમરનું વિભાજન કાર્ય, ક્ષેત્રને આધિન, ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ દ્વારા આપવામાં આવે છે ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ પાર્ટીશન કાર્યની મૂળભૂત ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રજૂઆત ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ પાર્ટીશન કાર્ય મેળવવા માટે, આપણે કેનોનિકલ પાર્ટીશન કાર્ય સાથે તેના પ્રમાણભૂત થર્મોડાયનેમિક સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે રાસાયણિક સંભવિતતા ક્યાં છે અને Eq દ્વારા આપવામાં આવે છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. (6). સરવાળો કરવાથી, આ ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ પાર્ટીશન ફંક્શનનું ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક પ્રતિનિધિત્વ પ્રદાન કરે છે, જ્યાં Eq દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ ક્રિયા છે. (8) અને અચળાંક વધુમાં, રાસાયણિક સંભવિતતા સાથે સંબંધિત પરિમાણ Eq દ્વારા ક્યાં પ્રદાન કરવામાં આવે છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. (7). પોલિમર ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો માટે પ્રમાણભૂત અંદાજ વ્યૂહરચના એ સરેરાશ ક્ષેત્ર (એમ. એફ.) અંદાજ છે, જેમાં ક્રિયામાં બહુવિધ-શરીરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દને એક શબ્દ દ્વારા બદલવામાં આવે છે જ્યાં સિસ્ટમના તમામ પદાર્થો સરેરાશ અસરકારક ક્ષેત્ર સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. આ અભિગમ કોઈપણ મલ્ટી-બોડી સમસ્યાને અસરકારક વન-બોડી સમસ્યામાં ઘટાડે છે એમ ધારીને કે મોડેલનું પાર્ટીશન ફંક્શન અભિન્ન એક ક્ષેત્ર રૂપરેખાંકન દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. એમ. એફ. અંદાજ સાથે સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવાનો અથવા સામાન્ય રીતે સ્વ-સુસંગત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત (એસ. સી. એફ. ટી.) તરીકે ઓળખાતા તેના આંકડાકીય અમલીકરણનો મોટો ફાયદો એ છે કે તે ઘણીવાર પ્રમાણમાં ઓછા કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચે જટિલ બહુવિધ-શરીર પ્રણાલીઓના ગુણધર્મો અને વર્તનમાં કેટલીક ઉપયોગી આંતરદૃષ્ટિ પ્રદાન કરે છે. આ અંદાજ વ્યૂહરચનાના સફળ ઉપયોગો પોલિમર અને જટિલ પ્રવાહીની વિવિધ પ્રણાલીઓ માટે મળી શકે છે, જેમ કે. ઉચ્ચ પરમાણુ વજનના મજબૂત રીતે અલગ બ્લોક કોપોલિમર, અત્યંત કેન્દ્રિત તટસ્થ પોલિમર સોલ્યુશન્સ અથવા અત્યંત કેન્દ્રિત બ્લોક પોલિલેક્ટ્રોલાઇટ (PE) સોલ્યુશન્સ (શ્મિડ 1998, માત્સેન 2002, ફ્રેડરિકસન 2002). જો કે, એવા ઘણા કિસ્સાઓ છે કે જેના માટે એસ. સી. એફ. ટી. અચોક્કસ અથવા તો ગુણાત્મક રીતે ખોટા પરિણામો પ્રદાન કરે છે (બેયુર્લે 2006એ). તેમાં પાતળા અને અર્ધ-પાતળા સાંદ્રતા પ્રણાલીઓમાં તટસ્થ પોલિમર અથવા પોલિલેક્ટ્રોલાઇટ દ્રાવણોનો સમાવેશ થાય છે, તેમના ક્રમ-વિકાર સંક્રમણની નજીક બ્લોક કોપોલિમર, તેમના તબક્કાના સંક્રમણની નજીક પોલિમર મિશ્રણ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. આવી પરિસ્થિતિઓમાં ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરતું વિભાજન કાર્ય અભિન્ન સંપૂર્ણપણે એક એમ. એફ. રૂપરેખાંકન દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવતું નથી અને તેનાથી દૂર ક્ષેત્ર રૂપરેખાંકનો મહત્વપૂર્ણ યોગદાન આપી શકે છે, જેમાં અંદાજના એમ. એફ. સ્તરની બહાર વધુ વ્યવહારદક્ષ ગણતરી તકનીકોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડે છે. ઉચ્ચ ક્રમના સુધારા સમસ્યાનો સામનો કરવાની એક શક્યતા એ છે કે એમ. એફ. અંદાજમાં ઉચ્ચ ક્રમના સુધારાઓની ગણતરી કરવી. ત્સોન્ચેવ એટ અલ. અગ્રણી (એક-લૂપ) ક્રમમાં વધઘટ સુધારાઓ સહિત આવી વ્યૂહરચના વિકસાવી, જેણે મર્યાદિત PE ઉકેલોના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નવી આંતરદૃષ્ટિ મેળવવાની મંજૂરી આપી (ત્સોન્ચેવ 1999). જો કે, એવી પરિસ્થિતિઓમાં કે જ્યાં એમ. એફ. અંદાજ ખરાબ હોય, ઘણા કોમ્પ્યુટેશનલ રીતે ઇન્ટિગ્રલમાં ઉચ્ચ-ક્રમના સુધારાઓની માંગ કરે છે, તે ઇચ્છિત ચોકસાઈ મેળવવા માટે જરૂરી છે. રીનોર્મલાઇઝેશન તકનીકો ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોમાં થતી મજબૂત વધઘટની સમસ્યાઓનો સામનો કરવા માટે એક વૈકલ્પિક સૈદ્ધાંતિક સાધન 1940 ના દાયકાના અંતમાં રીનોર્મલાઇઝેશનની વિભાવના દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવ્યું છે, જે મૂળરૂપે ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો (ક્યુએફટી) માં ઉદ્ભવતા કાર્યાત્મક સંકલનની ગણતરી કરવા માટે તૈયાર કરવામાં આવ્યું છે. ક્યુ. એફ. ટી. માં પ્રમાણભૂત અંદાજ વ્યૂહરચના એ છે કે પર્ટર્બેશન થિયરીનો ઉપયોગ કરીને કપલિંગ કોન્સ્ટન્ટમાં પાવર સિરીઝમાં ફંક્શનલ ઇન્ટિગ્રલ્સનું વિસ્તરણ કરવું. કમનસીબે, સામાન્ય રીતે મોટાભાગની વિસ્તરણ શરતો અનંત હોવાનું બહાર આવે છે, જે આવી ગણતરીઓને અવ્યવહારુ બનાવે છે (શિર્કોવ 2001). ક્યુ. એફ. ટી. માંથી અનંતતાને દૂર કરવાની એક રીત એ છે કે રીનોર્મલાઇઝેશન (બેયુર્લે 2007) ની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરવો. તેમાં મુખ્યત્વે કપલિંગ પરિમાણોના એકદમ મૂલ્યોને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે. વિદ્યુત ચાર્જ અથવા દળો, પુનરાવર્તિત જોડાણ પરિમાણો દ્વારા અને આ પરિવર્તન હેઠળ ભૌતિક જથ્થામાં ફેરફાર ન થાય તે જરૂરી છે, જેનાથી વિક્ષેપના વિસ્તરણમાં મર્યાદિત શરતો તરફ દોરી જાય છે. પુનઃસામાન્યકરણની પ્રક્રિયાનું એક સરળ ભૌતિક ચિત્ર શાસ્ત્રીય વિદ્યુત ચાર્જના ઉદાહરણમાંથી દોરી શકાય છે, જે ધ્રુવીકરણ માધ્યમમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, જેમ કે ઇલેક્ટ્રોલાઇટ સોલ્યુશનમાં. માધ્યમના ધ્રુવીકરણને કારણે ચાર્જથી અંતર પર, તેનું કુલમ્બ ક્ષેત્ર અસરકારક રીતે કાર્ય પર આધાર રાખશે, એટલે કે. એકદમ વિદ્યુત ચાર્જને બદલે અસરકારક (પુનઃનિર્ધારિત) ચાર્જ. 1970ના દાયકાની શરૂઆતમાં, કે. જી. વિલ્સને આંકડાકીય પ્રણાલીઓની નિર્ણાયક ઘટનાઓની તપાસ કરવા માટે રીનોર્મલાઇઝેશન ગ્રુપ (આરજી) સિદ્ધાંતની ઔપચારિકતા વિકસાવીને રીનોર્મલાઇઝેશન વિભાવનાઓની શક્તિની પહેલ કરી (વિલ્સન 1971). રીનોર્મલાઇઝેશન ગ્રૂપ થિયરી આરજી થિયરી આરજી પરિવર્તનની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં દરેકમાં બરછટ-ગ્રેનિંગ પગલું અને ત્યારબાદ સ્કેલમાં ફેરફાર (વિલ્સન 1974) નો સમાવેશ થાય છે. આંકડાકીય-યાંત્રિક સમસ્યાઓના કિસ્સામાં, વિચારણા હેઠળના મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરતી પાર્ટીશન સમ અથવા ઇન્ટિગ્રલમાં ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમને ક્રમિક રીતે દૂર કરીને અને પુનઃપ્રાપ્ત કરીને પગલાં અમલમાં મૂકવામાં આવે છે. ડી ગેન્સે આ વ્યૂહરચનાનો ઉપયોગ તબક્કાના સંક્રમણની નજીક ફેરોમૅગ્નેટિઝમના શૂન્ય-ઘટક શાસ્ત્રીય વેક્ટર મોડેલની વર્તણૂક અને જાળી પર અનંત લંબાઈની પોલિમર સાંકળની સ્વ-અવગણના રેન્ડમ વોક વચ્ચેની સામ્યતા સ્થાપિત કરવા માટે કર્યો હતો, જેથી પોલિમર બાકાત વોલ્યુમ ઘટકોની ગણતરી કરી શકાય (ડી ગેન્સ 1972). આ વિભાવનાને ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક કાર્યાત્મક સંકલનમાં સ્વીકારવું, વિભાજન કાર્ય અભિન્ન (વિલ્સન 1974) માંથી ચોક્કસ સંખ્યામાં સ્વતંત્રતાને દૂર કરતી વખતે અને પુનઃપ્રાપ્ત કરતી વખતે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત મોડેલ કેવી રીતે બદલાય છે તેનો વ્યવસ્થિત રીતે અભ્યાસ કરવાનું સૂચવે છે. એક વૈકલ્પિક અભિગમને હાર્ટ્રી અંદાજ અથવા સ્વ-સુસંગત એક-લૂપ અંદાજ (અમિત 1984) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે-ક્રમ એમ. એફ. યોગદાનમાં ગૌસીયન વધઘટ સુધારણાનો લાભ લે છે, મોડેલ પરિમાણોને ફરીથી સામાન્ય બનાવવા અને નિર્ણાયક સાંદ્રતા પ્રથાઓમાં સાંદ્રતાના વધઘટની પ્રબળ લંબાઈ સ્કેલને સ્વ-સુસંગત રીતે બહાર કાઢવા માટે. વધુ તાજેતરના કાર્યમાં એફિમોવ અને નોગોવિટ્સિને દર્શાવ્યું હતું કે ટેડપોલ રીનોર્મલાઇઝેશનની વિભાવના પર આધારિત ક્યુએફટીમાંથી ઉદ્દભવતી વૈકલ્પિક રીનોર્મલાઇઝેશન તકનીક, શાસ્ત્રીય બહુવિધ-કણ પ્રણાલીઓ (એફિમોવ 1996) ના આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં ઉદ્ભવતા કાર્યાત્મક સંકલનની ગણતરી માટે ખૂબ જ અસરકારક અભિગમ હોઈ શકે છે. તેઓએ દર્શાવ્યું હતું કે ક્લાસિકલ પાર્ટીશન ફંક્શન ઇન્ટિગ્રલ્સમાં મુખ્ય યોગદાન લો-ઓર્ડર ટેડપોલ-ટાઇપ ફેનમેન આકૃતિઓ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, જે કણ સ્વ-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે અલગ યોગદાન માટે જવાબદાર છે. આ અભિગમમાં કરવામાં આવતી રીનોર્મલાઇઝેશન પ્રક્રિયા ચાર્જના સ્વ-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના યોગદાન પર અસર કરે છે (જેમ કે. એક ઇલેક્ટ્રોન અથવા આયન), જે તે ચાર્જની હાજરીને કારણે શૂન્યાવકાશમાં પ્રેરિત સ્થિર ધ્રુવીકરણના પરિણામે થાય છે (બેયુર્લે 2007). એફિમોવ અને ગાનબોલ્ડ દ્વારા અગાઉના કાર્ય (એફિમોવ 1991) માં પુરાવા મળ્યા મુજબ, વિભાજન કાર્યની મૂળભૂત ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રજૂઆતની ક્રિયામાંથી વિચલનને દૂર કરવા માટે ટેડપોલ રીનોર્મલાઇઝેશનની પ્રક્રિયાનો ખૂબ જ અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરી શકાય છે અને વૈકલ્પિક કાર્યાત્મક અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વ તરફ દોરી જાય છે, જેને ગૌસીયન સમકક્ષ પ્રતિનિધિત્વ (GER) કહેવાય છે. તેઓએ દર્શાવ્યું કે પ્રક્રિયા વિશ્લેષણાત્મક વિક્ષેપ ગણતરીઓ માટે નોંધપાત્ર રીતે સુધારેલા અભિસરણ ગુણધર્મો સાથે કાર્યાત્મક સંકલન પ્રદાન કરે છે. ત્યારપછીના કાર્યોમાં બેયુર્લે એટ અલ. ટેડપોલ રીનોર્મલાઇઝેશન પ્રક્રિયાના આધારે અસરકારક ઓછી કિંમતની અંદાજ પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે, જે પ્રોટોટાઇપ પોલિમર અને પીઇ સોલ્યુશન્સ (બેયુર્લે 2006એ, બેયુર્લે 2006બી, બેયુર્લે 2007એ) માટે ઉપયોગી પરિણામો આપે છે. આંકડાકીય સિમ્યુલેશન બીજી શક્યતા એ છે કે મોન્ટે કાર્લો (એમસી) અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરવો અને ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રચનામાં અભિન્ન સંપૂર્ણ પાર્ટીશન ફંક્શનનો નમૂનો લેવો. પરિણામી પ્રક્રિયાને પછી પોલિમર ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક અનુકરણ કહેવામાં આવે છે. જો કે, તાજેતરના એક કાર્યમાં, બેયુર્લેએ દર્શાવ્યું હતું કે કહેવાતી આંકડાકીય સંકેત સમસ્યા (બેયુર્લે 2002) ને કારણે મૂળભૂત ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક રજૂઆત સાથે એમસી નમૂનાનું સંયોજન અવ્યવહારુ છે. મુશ્કેલી પરિણામી વિતરણ કાર્યની જટિલ અને દોલનશીલ પ્રકૃતિ સાથે સંબંધિત છે, જે ઇચ્છિત થર્મોડાયનેમિક અને માળખાકીય જથ્થાના સમૂહની સરેરાશના ખરાબ આંકડાકીય અભિસરણનું કારણ બને છે. આવા કિસ્સાઓમાં આંકડાકીય અભિસરણને વેગ આપવા માટે વિશેષ વિશ્લેષણાત્મક અને આંકડાકીય તકનીકો જરૂરી છે (બેયુર્લે 2003, બેયુર્લે 2003એ, બેયુર્લે 2004). સરેરાશ ક્ષેત્ર પ્રતિનિધિત્વ પદ્ધતિને ગણતરી માટે અનુકૂળ બનાવવા માટે, બાયર્લેએ કાઉચીના અભિન્ન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સજાતીય એમ. એફ. ઉકેલ દ્વારા પાર્ટીશન ફંક્શનના અભિન્ન એકીકરણના સમોચ્ચને બદલવાની દરખાસ્ત કરી હતી, જે તેની કહેવાતી સરેરાશ-ક્ષેત્રની રજૂઆત પૂરી પાડે છે. આ વ્યૂહરચનાનો અગાઉ બેયર એટ અલ દ્વારા સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ક્ષેત્ર-સૈદ્ધાંતિક ઇલેક્ટ્રોનિક માળખાની ગણતરીમાં (બેયર 1998). બેયુર્લે દર્શાવી શકે છે કે આ તકનીક એમસી સેમ્પલિંગ પ્રક્રિયા (બેયુર્લે 2002, બેયુર્લે 2002એ) માં એન્સેમ્બલ એવરેજના આંકડાકીય એકત્રીકરણનું નોંધપાત્ર પ્રવેગ પ્રદાન કરે છે. ગૌસીયન સમકક્ષ પ્રતિનિધિત્વ અનુગામી કાર્યોમાં બેયુર્લે એટ અલ. (બેયુર્લે 2002, બેયુર્લે 2002એ, બેયુર્લે 2003, બેયુર્લે 2003એ, બેયુર્લે 2004) એ ટેડપોલ રીનોર્મલાઇઝેશનની વિભાવનાને લાગુ કરી, જે ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ એન્સેમ્બલમાં અદ્યતન એમસી તકનીકો સાથે જોડાણમાં પાર્ટીશન ફંક્શન ઇન્ટિગ્રલની ગૌસીયન સમકક્ષ રજૂઆત તરફ દોરી જાય છે. તેઓ ખાતરીપૂર્વક દર્શાવી શકે છે કે આ વ્યૂહરચના ઇચ્છિત સમૂહ સરેરાશ (બેયુર્લે 2002) ના આંકડાકીય અભિસરણમાં વધુ પ્રોત્સાહન પૂરું પાડે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ યુનિવર્સિટી ઓફ રેગેન્સબર્ગ રિસર્ચ ગ્રુપ ઓન થિયરી એન્ડ કમ્પ્યુટેશન ઓફ એડવાન્સ્ડ મટિરીયલ્સ સ્ટેટિસ્ટિકલ ફિલ્ડ થિયરીઝ