Azumaya algebra
ગણિતમાં, અઝુમાયા બીજગણિત એ કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિતથી-બીજગણિતનું સામાન્યીકરણ છે જ્યાં ક્ષેત્ર હોવું જરૂરી નથી. આવી કલ્પના ગોરો અઝુમાયાના 1951 ના પેપરમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી, જ્યાં એક પરિવર્તનીય સ્થાનિક રીંગ છે. આ ખ્યાલ રિંગ થિયરીમાં અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં વધુ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જ્યાં એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકે તેને 1964-65 માંથી બોરબાકી પરિસંવાદોમાં બ્રાઉઅર જૂથના તેમના ભૌમિતિક સિદ્ધાંત માટે આધાર બનાવ્યો હતો. હવે મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ સુધી પહોંચવાના ઘણા મુદ્દાઓ છે. વર્તુળ પર પરિવર્તનીય વર્તુળ પરનું અઝુમાયા બીજગણિત એ-બીજગણિત છે જે નીચેની કોઈપણ સમકક્ષ શરતોનું પાલન કરે છેઃ ત્યાં એક-બીજગણિત અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે-આલ્જેબ્રાનું ટેન્સર ઉત્પાદન મોરિતા સમકક્ષ છે. - બીજગણિત મોરિતા સમકક્ષ છે, જ્યાં તેની વિરુદ્ધ બીજગણિત છે. નું કેન્દ્ર છે, અને અલગ કરી શકાય તેવું છે. તે-મોડ્યુલ તરીકે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન, વફાદાર અને પ્રોજેક્ટિવ છે, અને ટેન્સર પ્રોડક્ટ નકશા દ્વારા તેના એન્ડોમોર્ફિઝમ પર મોકલવા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. એક ક્ષેત્ર પરના ઉદાહરણો એક ક્ષેત્ર પર, અઝુમાયા બીજગણિતને સંપૂર્ણપણે આર્ટિન-વેડરબર્ન પ્રમેય દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કારણ કે તે કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત જેવા જ છે. આ કેટલાક વિભાજન બીજગણિત માટે મેટ્રિક્સ રિંગ માટે આલ્જેબ્રા આઇસોમોર્ફિક છે, જેનું કેન્દ્ર બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્થાંશ બીજગણિત કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિતના ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. સ્થાનિક રિંગ્સ પરના ઉદાહરણો સ્થાનિક પરિવર્તનીય રિંગ આપવામાં આવે તો,-બીજગણિત એ અઝુમાયા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે-મોડ્યુલ તરીકે હકારાત્મક મર્યાદિત ક્રમથી મુક્ત હોય, અને બીજગણિત એક કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિત હોય, તેથી તમામ ઉદાહરણો કેન્દ્રીય સરળ બીજગણિતમાંથી આવે છે. ચક્રીય બીજગણિત ચક્રીય બીજગણિત તરીકે ઓળખાતા અઝુમાયા બીજગણિતનો એક વર્ગ છે જે ક્ષેત્ર પર અઝુમાયા બીજગણિતના તમામ સમાનતા વર્ગો પેદા કરે છે, તેથી બ્રાઉઅર જૂથના તમામ ઘટકો (નીચે વ્યાખ્યાયિત). ડિગ્રીના મર્યાદિત ચક્રીય ગેલોઇસ ક્ષેત્રના વિસ્તરણને જોતાં, દરેક અને કોઈપણ જનરેટર માટે એક ટ્વિસ્ટેડ બહુપદી રિંગ હોય છે, જે પણ સૂચવવામાં આવે છે, જે એક તત્વ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને નીચેની પરિવર્તન ગુણધર્મ ધરાવે છેઃ વેક્ટર સ્પેસ તરીકે, નોંધ દ્વારા આપવામાં આવેલ ગુણાકાર સાથે આધાર ધરાવે છે જે ભૌમિતિક રીતે અભિન્ન વિવિધતા આપે છે, ભાગાકાર ક્ષેત્રના વિસ્તરણ માટે સંકળાયેલ ચક્રીય બીજગણિત પણ છે. રિંગનું બ્રાઉઅર જૂથ ક્ષેત્રો પર, એટેલ કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને અઝુમાયા આલ્જેબ્રાનું કોહોમોલોજિકલ વર્ગીકરણ છે. હકીકતમાં, આ જૂથ, જેને બ્રાઉઅર જૂથ કહેવાય છે, તેને રિંગ પર અઝુમાયા આલ્જેબ્રાના સમાનતા વર્ગો તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યાં કેટલીક કુદરતી સંખ્યાઓ માટે રિંગ્સની સમરૂપતા હોય તો રિંગ્સ સમાન હોય છે. પછી, આ સમાનતા હકીકતમાં એક સમાનતા સંબંધ છે, અને જો, તો પછી, બતાવવું એ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કામગીરી છે. આ એવા સમકક્ષતા વર્ગોના સમૂહ પર એક જૂથ માળખું બનાવે છે જેને બ્રાઉર જૂથ કહેવાય છે, જે સૂચવવામાં આવે છે. બીજી વ્યાખ્યા એટેલ કોહોમોલોજી જૂથના ટોર્સિયન પેટાજૂથ દ્વારા આપવામાં આવે છે જેને કોહોમોલોજિકલ બ્રાઉઅર જૂથ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે ક્ષેત્ર હોય ત્યારે આ બે વ્યાખ્યાઓ સંમત થાય છે. ગેલોઇસ કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને બ્રાઉઅર જૂથ ગેલોઇસ કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને બ્રાઉઅર જૂથની અન્ય સમકક્ષ વ્યાખ્યા છે. ક્ષેત્રના વિસ્તરણ માટે કોહોમોલોજીકલ બ્રાઉઅર જૂથને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને કોહોમોલોજીકલ બ્રાઉઅર જૂથને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યાં કોલિમિટને તમામ મર્યાદિત ગેલોઇસ ક્ષેત્રના વિસ્તરણ પર લેવામાં આવે છે. સ્થાનિક ક્ષેત્ર માટે ગણતરી સ્થાનિક બિન-આર્કીમીડિયન ક્ષેત્ર પર, જેમ કે p-adic સંખ્યાઓ, સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અબેલિયન જૂથોની સમરૂપતા આપે છેઃ pg 193 આ એટલા માટે છે કારણ કે અબેલિયન ક્ષેત્રના વિસ્તરણને જોતાં ત્યાં ગેલોઇસ જૂથોનો ટૂંકો ચોક્કસ ક્રમ છે અને સ્થાનિક વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાંથી, નીચેની પરિવર્તનીય આકૃતિ છેઃ જ્યાં ઊભી નકશા સમરૂપતા છે અને આડા નકશાઓ ઈન્જેક્શન છે. ક્ષેત્ર માટે n-વળાંક યાદ કરો કે ક્ષેત્ર માટે કોહોમોલોજીમાં લાંબો ચોક્કસ ક્રમ આપતો કુમેર ક્રમ છે. હિલ્બર્ટનો પ્રમેય 90 સૂચવે છે તેમ, ત્યાં એક સંકળાયેલ ટૂંકો ચોક્કસ ક્રમ છે જે એકતાના th મૂળમાં ગુણાંક સાથે બીજા ઇટેલ કોહોમોલોજી જૂથને દર્શાવે છે તે ક્ષેત્ર પર બ્રાઉઅર જૂથમાં n-ટોર્શન વર્ગોના જનરેટર છે. ગેલોઇસ પ્રતીક, અથવા ધોરણ-અવશેષ પ્રતીક,-ટોર્શન મિલ્નર કે-થિયરી જૂથમાંથી ઇટેલ કોહોમોલોજી જૂથનો નકશો છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તે હિલ્બર્ટના પ્રમેય 90 આઇસોમોર્ફિઝમ સાથે ઇટેલ કોહોમોલોજીમાં કપ પ્રોડક્ટની રચનામાંથી આવે છે તેથી તે આ નકશાના પરિબળોને બહાર કાઢે છે, જેના માટે વર્ગ ચક્રીય બીજગણિત દ્વારા રજૂ થાય છે. કુમેર એક્સ્ટેંશન માટે, ચક્રીય જૂથનું જનરેટર લો અને નિર્માણ કરો. ગેલોઇસ કોહોમોલોજી અને એટેલ કોહોમોલોજી દ્વારા એક વૈકલ્પિક, છતાં સમકક્ષ રચના છે. તુચ્છ-મોડ્યુલોના ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમને ધ્યાનમાં લો લાંબો ચોક્કસ ક્રમ એક નકશો આપે છે સાથે અનન્ય અક્ષર માટે, એક અનન્ય ઉત્થાન છે અને નોંધ કરો કે વર્ગ હિલ્બર્ટ્સ પ્રમેય 90 નકશામાંથી છે. પછી, એકતાનું મૂળ અસ્તિત્વમાં હોવાથી, ત્યાં એક વર્ગ પણ છે તે તારણ આપે છે કે આ ચોક્કસપણે વર્ગ છે. સામાન્ય અવશેષ આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રમેયને કારણે, તે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે અને-ટોર્શન વર્ગો ચક્રીય આલ્જેબ્રા દ્વારા પેદા થાય છે. સ્કોલેમ-નોઇથર થીયરમ એઝુમાયા આલ્જેબ્રા વિશેના મહત્વપૂર્ણ માળખાકીય પરિણામોમાંનું એક સ્કોલેમ-નોઇથર થીયરમ છેઃ સ્થાનિક પરિવર્તનીય રિંગ અને અઝુમાયા બીજગણિત આપવામાં આવે તો, તેના એકમાત્ર ઓટોમોર્ફિઝમ્સ આંતરિક છે. અર્થ, નીચેનો નકશો અનુમાનાત્મક છેઃ આમાં એકમોનું જૂથ ક્યાં છે આ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે યોજના પર અઝુમાયા આલ્જેબ્રાના સમાનતા વર્ગોના કોહોમોલોજિકલ વર્ગીકરણ સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે. ખાસ કરીને, તે સૂચવે છે કે અઝુમાયા બીજગણિતમાં કેટલાક માટે માળખું જૂથ છે, અને ચેચ કોહોમોલોજી જૂથ આવા બંડલનું કોહોમોલોજિકલ વર્ગીકરણ આપે છે. પછી, આ ચોક્કસ ક્રમનો ઉપયોગ કરવા સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે તે તારણ આપે છે કે છબી ટોર્સિયન પેટાજૂથનું પેટાજૂથ છે. એક યોજના પર, મૂળ ગ્રોથેન્ડીક પરિસંવાદ અનુસાર, માળખાકીય આવરણ સાથે યોજના X પરનું અઝુમાયા બીજગણિત એ-આલ્જેબ્રાનું આવરણ છે જે મેટ્રિક્સ બીજગણિત આવરણ માટે સ્થાનિક રીતે આઇસોમોર્ફિક છે; જો કે, દરેક મેટ્રિક્સ બીજગણિત આવરણ હકારાત્મક ક્રમની હોય તેવી શરત ઉમેરવી જોઈએ. આ વ્યાખ્યા અઝુમાયા બીજગણિતને આવરણના 'ટ્વિસ્ટેડ-ફોર્મ' માં બનાવે છે. મિલ્ને, એટેલ કોહોમોલોજી, એ વ્યાખ્યાથી શરૂ થાય છે કે તે-આલ્જેબ્રાનું આવરણ છે, જેની દરેક બિંદુ પરની દાંડી ઉપર આપેલા અર્થમાં સ્થાનિક વીંટી પર અઝુમાયા બીજગણિત છે. બે અઝુમાયા આલ્જેબ્રા અને સમકક્ષ હોય છે જો ત્યાં સ્થાનિક રીતે મુક્ત શીવ્સ અસ્તિત્વમાં હોય અને દરેક બિંદુ પર મર્યાદિત હકારાત્મક ક્રમ હોય, જેમ કે એન્ડોમોર્ફિઝમ શીફ ક્યાં છે. બ્રાઉઅર જૂથ (ક્ષેત્રના બ્રાઉઅર જૂથનું એનાલોગ) એ અઝુમાયા આલ્જેબ્રાના સમકક્ષ વર્ગોનો સમૂહ છે. જૂથ કામગીરી ટેન્સર પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને ઇન્વર્સ વિરુદ્ધ બીજગણિત દ્વારા આપવામાં આવે છે. નોંધ લો કે આ કોહોમોલોજીકલ બ્રાઉઅર જૂથથી અલગ છે જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિશિષ્ટતા પરનું ઉદાહરણ (Z [1/n]) ક્ષેત્ર પર ચતુર્થાંશ બીજગણિતની રચનાને બિનપરિવર્તનશીલ બીજગણિતને ધ્યાનમાં લઈને વૈશ્વિકરણ કરી શકાય છે, પછી, બીજગણિતના આવરણ તરીકે, તે અઝુમાયા બીજગણિતની રચના ધરાવે છે. ઓપન એફાઇન સમૂહ સુધી મર્યાદિત રહેવાનું કારણ એ છે કે ક્વાટર્નિયન બીજગણિત એ બિંદુઓ પરનું વિભાજન બીજગણિત છે અને માત્ર ત્યારે જ હોય છે જ્યારે હિલ્બર્ટ પ્રતીક જે બિલકુલ સાચું હોય પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા અવિભાજ્ય હોય. Pn ઓવર અઝુમાયા આલ્જેબ્રાનું ઉદાહરણ ક્ષેત્ર પર અઝુમાયા બીજગણિત તરીકે બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એન્ડોમોર્ફિઝમ શીફ એ મેટ્રિક્સ શીફ છે, તેથી અઝુમાયા બીજગણિત સાથે ટેન્સર કરેલ આ શીફમાંથી અઝુમાયા બીજગણિત બનાવી શકાય છે, જેમ કે ક્વાટર્નિયન બીજગણિત. યુરી માનિનના કાર્યને અનુસરીને, ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિમાં અઝુમાયા આલ્જેબ્રાના નોંધપાત્ર ઉપયોગો થયા છે. હાસ્સ સિદ્ધાંતમાં મેનિન અવરોધને યોજનાઓના બ્રાઉઅર જૂથનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગેર્બ વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત બીજગણિત કે-સિદ્ધાંત પ્રેરક કોહોમોલોજી નોર્મ અવશેષ આઇસોમોર્ફિઝમ પ્રમેય સંદર્ભો બ્રાઉઅર જૂથ અને અઝુમાયા આલ્જેબ્રા મિલ્ને, જ્હોન પણ જુઓ. ઈટેલ કોહોમોલોજી. "અઝુમાયા આલ્જેબ્રાના સ્પષ્ટ ઉદાહરણો" વિભાગ આલ્જેબ્રાસ રીંગ થિયરી સ્કીમ થિયરી આલ્જેબ્રાસ પર ચો. ચો. ચો. મેથઓવરફ્લો થ્રેડ