Tietze's graph
આલેખ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, ટિટ્ઝનો આલેખ 12 શિરોબિંદુઓ અને 18 ધાર સાથે દિશાહીન ઘન આલેખ છે. તેનું નામ હેઇનરિચ ફ્રાન્ઝ ફ્રેડરિક ટિટ્ઝના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1910માં દર્શાવ્યું હતું કે મોબિયસ પટ્ટીને છ પ્રદેશોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જે બધા એકબીજાને સ્પર્શ કરે છે-ત્રણ પટ્ટીની સીમા સાથે અને ત્રણ તેની મધ્ય રેખા સાથે-અને તેથી તે આલેખ કે જે મોબિયસ પટ્ટી પર જડિત છે તેને છ રંગોની જરૂર પડી શકે છે. ટિએત્ઝેના પેટાવિભાગના પ્રદેશોના સીમા વિભાગો (મોબિયસ પટ્ટીની સરહદ સાથેના વિભાગો સહિત) ટિએત્ઝેના આલેખનનું એમ્બેડિંગ બનાવે છે. પીટરસન આલેખ સાથેનો સંબંધ ટિટઝેના આલેખની રચના પીટરસન આલેખમાંથી તેના એક શિરોબિંદુને ત્રિકોણ સાથે બદલીને થઈ શકે છે. ટિએત્ઝ આલેખની જેમ, પીટરસન આલેખ છ પરસ્પર સ્પર્શ કરતા પ્રદેશોની સીમા બનાવે છે, પરંતુ મોબિયસ પટ્ટીને બદલે પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન પર. જો કોઈ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના આ પેટાવિભાગમાંથી એક જ શિરોબિંદુની આસપાસના છિદ્રને કાપી નાખે છે, તો ઘેરાયેલા શિરોબિંદુને છિદ્રની આસપાસ પ્રદેશની સીમાઓના ત્રિકોણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે ટિટ્ઝ ગ્રાફની અગાઉ વર્ણવેલ રચના આપે છે. હેમિલ્ટોનસિટી ટિટ્ઝનો આલેખ અને પીટરસનનો આલેખ બંને મહત્તમ રીતે નોનહેમિલ્ટોનિયન છેઃ તેમની પાસે કોઈ હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર નથી, પરંતુ કોઈપણ બે બિન-અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓને હેમિલ્ટોનિયન માર્ગ દ્વારા જોડી શકાય છે. ટિટ્ઝનો આલેખ અને પીટરસનનો આલેખ એ 12 કે તેથી ઓછા શિરોબિંદુઓ સાથે માત્ર 2-વર્ટેક્સ-જોડાયેલા ઘન બિન-હેમિલ્ટોનિયન આલેખ છે. પીટરસન આલેખથી વિપરીત, ટિટ્ઝનો આલેખ હાયપોહેમિલ્ટોનિયન નથીઃ તેના ત્રણ ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓમાંથી એકને દૂર કરવાથી એક નાનો આલેખ બને છે જે બિન-હેમિલ્ટોનિયન રહે છે. ધાર રંગ અને સંપૂર્ણ મેળ ખાતા ધાર રંગ ટિટ્ઝના આલેખ માટે ચાર રંગોની જરૂર પડે છે; એટલે કે, તેનો રંગીન સૂચકાંક 4 છે. સમાનરૂપે, ટિટ્ઝના આલેખની ધારને ચાર મેળમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ તેનાથી ઓછી નહીં. ટિટ્ઝનો આલેખ સ્નાર્કની વ્યાખ્યાના ભાગ સાથે મેળ ખાય છેઃ તે એક ઘન બ્રિજલેસ ગ્રાફ છે જે 3-ધાર-રંગીન નથી. જો કે, મોટાભાગના લેખકો 3-ચક્ર વગરના આલેખમાં સ્નાર્કને પ્રતિબંધિત કરે છે, તેથી ટિટ્ઝના આલેખને સામાન્ય રીતે સ્નાર્ક માનવામાં આવતો નથી. તેમ છતાં, તે ગ્રાફ J3 માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે 1975માં આર. આઇઝેક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલા ફ્લાવર સ્નેર્ક્સના અનંત પરિવારનો એક ભાગ છે. પીટરસન ગ્રાફથી વિપરીત, ટિટ્ઝ ગ્રાફને ચાર સંપૂર્ણ મેળ દ્વારા આવરી શકાય છે. આ ગુણધર્મ એ સાબિતીમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે કે ગ્રાફને ચાર સંપૂર્ણ મેળ દ્વારા આવરી શકાય છે કે કેમ તે ચકાસવું એ એન. પી.-પૂર્ણ છે. વધારાના ગુણધર્મો ટિટ્ઝના આલેખમાં રંગીન સંખ્યા 3, રંગીન અનુક્રમણિકા 4, ઘેરાવો 3 અને વ્યાસ 3 છે. સ્વતંત્રતા સંખ્યા 5 છે. તેનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ક્રમ 12 ધરાવે છે, અને ડાયહેડ્રલ જૂથ D6 માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે ષટ્કોણની સમપ્રમાણતાના જૂથ છે, જેમાં પરિભ્રમણ અને પ્રતિબિંબ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. આ જૂથમાં શિરોબિંદુઓ પર કદ 3 અને કદ 6 ની બે ભ્રમણકક્ષાઓ છે, અને આમ આ આલેખ શિરોબિંદુ-સંક્રમક નથી. ગેલેરી ડ્યુરર આલેખ અને ફ્રેન્કલીન આલેખ પણ જુઓ, અન્ય બે 12-વર્ટેક્સ ઘન આલેખ નોંધો વ્યક્તિગત આલેખ નિયમિત આલેખ