Mild-slope equation
પ્રવાહી ગતિશીલતામાં, હળવા-ઢોળાવનું સમીકરણ બાથમેટ્રી પર ફેલાતા પાણીના તરંગો માટે અને બાજુની સીમાઓને કારણે-જેમ કે બ્રેકવોટર અને દરિયાકિનારાને કારણે વિવર્તન અને રીફ્રેક્શનની સંયુક્ત અસરોનું વર્ણન કરે છે. તે એક અંદાજિત મોડેલ છે, જેનું નામ મૂળરૂપે દરિયાની સપાટીના હળવા ઢોળાવ પર તરંગોના પ્રસાર માટે વિકસાવવામાં આવ્યું છે. હળવા ઢોળાવના સમીકરણનો ઉપયોગ દરિયાકાંઠાના ઇજનેરીમાં બંદરો અને દરિયાકાંઠાની નજીકના તરંગ-ક્ષેત્રના ફેરફારોની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. હળવા ઢોળાવનું સમીકરણ પાણીના મોજાઓના પ્રસાર અને પરિવર્તનનું નમૂના છે, કારણ કે તેઓ વિવિધ ઊંડાઈના પાણીમાંથી પસાર થાય છે અને ખડકો, દરિયાકિનારા, દરિયાઈ દિવાલો અને બ્રેકવોટર જેવી બાજુની સીમાઓ સાથે સંપર્ક કરે છે. પરિણામે, તે તરંગ કંપનવિસ્તાર અથવા સમાન તરંગ ઊંચાઈમાં વિવિધતાઓનું વર્ણન કરે છે. તરંગ કંપનવિસ્તારમાંથી, પાણીની સપાટીની નીચે પ્રવાહ વેગ ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તારની ગણતરી પણ કરી શકાય છે. આ જથ્થાઓ-તરંગ કંપનવિસ્તાર અને પ્રવાહ-વેગ કંપનવિસ્તાર-નો ઉપયોગ પછીથી દરિયાકાંઠાના અને દરિયાકાંઠાના માળખાઓ, જહાજો અને અન્ય તરતા પદાર્થો, કાંપ પરિવહન અને પરિણામે દરિયાની સપાટી અને દરિયાકાંઠાના બાથિમેટ્રિક ફેરફારો, સરેરાશ પ્રવાહ ક્ષેત્રો અને ઓગળેલા અને તરતા પદાર્થોના સામૂહિક સ્થાનાંતરણ પર તરંગ અસરો નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે. મોટેભાગે, હળવા-ઢોળાવનું સમીકરણ સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટર દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે. હળવા-ઢોળાવ સમીકરણનું પ્રથમ સ્વરૂપ એકાર્ટ દ્વારા 1952માં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, અને એક સુધારેલ સંસ્કરણ-તેની શાસ્ત્રીય રચનામાં હળવા-ઢોળાવનું સમીકરણ-1972માં જુરી બર્ખોફ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે મેળવવામાં આવ્યું છે. ત્યારબાદ, ઘણા સુધારેલા અને વિસ્તૃત સ્વરૂપોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે, જેમાં, ઉદાહરણ તરીકેઃ તરંગ-વર્તમાન ક્રિયાપ્રતિક્રિયા, તરંગ બિનરેખીયતા, તીવ્ર દરિયાઈ-તળિયાના ઢોળાવ, પથારી ઘર્ષણ અને તરંગ તોડવાની અસરોનો સમાવેશ થાય છે. કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચ ઘટાડવા માટે હળવા-ઢોળાવના સમીકરણના પેરાબોલિક અંદાજોનો પણ ઘણીવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સ્થિર ઊંડાઈના કિસ્સામાં, હળવા-ઢોળાવનું સમીકરણ તરંગ વિવર્તન માટે હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે. મોનોક્રોમેટિક તરંગ ગતિ માટે ફોર્મ્યુલેશન રેખીય સિદ્ધાંત અનુસાર મોનોક્રોમેટિક તરંગો માટે-મુક્ત સપાટીની ઉંચાઈ તરીકે આપવામાં આવે છે અને સરેરાશ પાણીની ઊંડાઈના પ્રવાહી સ્તર પર ફેલાતા તરંગો સાથે-હળવા ઢોળાવની સમીકરણ છેઃ જ્યાંઃ મુક્ત સપાટીની ઉંચાઈનું જટિલ-મૂલ્યનું કંપનવિસ્તાર આડી સ્થિતિ છે; મોનોક્રોમેટિક તરંગ ગતિની કોણીય આવર્તન છે; કાલ્પનિક એકમ છે; એટલે કૌંસ વચ્ચેના જથ્થાનો વાસ્તવિક ભાગ લેવો; આડી ઢાળ સંચાલક છે; વિચલન સંચાલક છે; તરંગોની તબક્કાની ઝડપ છે અને તરંગોની જૂથ ઝડપ છે. તબક્કો અને જૂથની ઝડપ વિખેરણ સંબંધ પર આધાર રાખે છે, અને એરી તરંગ સિદ્ધાંત પરથી આ રીતે લેવામાં આવે છેઃ પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્યાં છે અને હાયપરબોલિક સ્પર્શક ક્યાં છે. આપેલ કોણીય આવર્તન માટે, તરંગસંખ્યાને પ્રસરણ સમીકરણમાંથી ઉકેલવી પડે છે, જે આ બે જથ્થાને પાણીની ઊંડાઈ સાથે સંબંધિત કરે છે. અસમરૂપી હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણમાં પરિવર્તન પરિવર્તન દ્વારા હળવા ઢોળાવના સમીકરણને અસમરૂપી હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણના સ્વરૂપમાં કાસ્ટ કરી શકાય છેઃ લાપ્લાસ ઓપરેટર ક્યાં છે. પ્રસરણ તરંગો પ્રસરણ તરંગોના અવકાશી સુસંગત ક્ષેત્રોમાં, જટિલ કંપનવિસ્તારને તેના કંપનવિસ્તાર અને તબક્કામાં વિભાજિત કરવા માટે ઉપયોગી છે, બંને વાસ્તવિક મૂલ્યવાન છેઃ ક્યાં કંપનવિસ્તાર અથવા નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે અને તે તરંગ તબક્કો છે, જે તેની દલીલ છે. આ સમીકરણોના નીચેના સમૂહમાં હળવા-ઢોળાવ સમીકરણને પરિવર્તિત કરે છે (જે સ્થાનો એકવચન છે તે સિવાય): જ્યાં એકમ આડા વિસ્તાર દીઠ સરેરાશ તરંગ-ઊર્જા ઘનતા છે (ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા ઘનતાઓનો સરવાળો), તે અસરકારક તરંગ સંખ્યા વેક્ટર છે, જેમાં ઘટકો અસરકારક જૂથ વેગ વેક્ટર છે, તે પ્રવાહી ઘનતા છે, અને તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પ્રવેગ છે. છેલ્લું સમીકરણ દર્શાવે છે કે તરંગ ઊર્જા હળવા-ઢોળાવના સમીકરણમાં સંરક્ષિત છે, અને તે કે તરંગ ઊર્જા તરંગની ટોચ પર સામાન્ય-દિશામાં પરિવહન થાય છે (સરેરાશ પ્રવાહો વિના શુદ્ધ તરંગ ગતિના આ કિસ્સામાં). અસરકારક જૂથની ઝડપ જૂથની ઝડપથી અલગ છે પ્રથમ સમીકરણ જણાવે છે કે અસરકારક તરંગ સંખ્યા ઇર્રોટેશનલ છે, જે એ હકીકતનું સીધું પરિણામ છે કે તે તરંગ તબક્કા, એક સ્કેલર ક્ષેત્રનું વ્યુત્પન્ન છે. બીજું સમીકરણ એકોનલ સમીકરણ છે. તે અસરકારક તરંગ સંખ્યા પર વિવર્તનની અસરો દર્શાવે છેઃ માત્ર વધુ કે ઓછા પ્રગતિશીલ તરંગો માટે, કંપનવિસ્તાર અને તબક્કામાં વિભાજન સાથે અને અને ના સુસંગત-બદલાતા અને અર્થપૂર્ણ ક્ષેત્રો તરફ દોરી જાય છે. નહિંતર, κ2 નકારાત્મક પણ બની શકે છે. જ્યારે વિવર્તન અસરોને સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં આવે છે, ત્યારે અસરકારક તરંગ સંખ્યા κ બરાબર હોય છે, અને તરંગ રીફ્રેક્શન માટે ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સ અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. જ્યારે હળવા-ઢોળાવના સમીકરણમાં ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ એ પરિબળ સિવાય છેઃ હવે આ સમીકરણનો વાસ્તવિક ભાગ અને કાલ્પનિક ભાગ બંને શૂન્યની બરાબર હોવા જોઈએઃ અસરકારક તરંગાંક વેક્ટરને તરંગ તબક્કાના ઢાળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ અને તેની વેક્ટર લંબાઈ એ નોંધ છે કે તે એક ઇર્રોટેશનલ ક્ષેત્ર છે, કારણ કે ઢાળનો વળાંક શૂન્ય છેઃ હવે રૂપાંતરિત હળવા-ઢોળાવના સમીકરણના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો બની જાય છે, પહેલા કાલ્પનિક ભાગને ગુણાકાર કરીનેઃ પ્રથમ સમીકરણ સીધા ઉપરના ઇકોનલ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે બીજું આપે છેઃ જે-નોંધ કરીને કે જેમાં કોણીય આવર્તન સમય-હાર્મોનિક ગતિ માટે સ્થિર છે-તરંગ-ઊર્જા સંરક્ષણ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે. હળવા-ઢોળાવની સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ હળવા-ઢોળાવની સમીકરણ ઘણી પદ્ધતિઓના ઉપયોગ દ્વારા મેળવી શકાય છે. અહીં, આપણે પરિવર્તનશીલ અભિગમનો ઉપયોગ કરીશું. પ્રવાહી અદ્રશ્ય અને અસંપીડ્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે, અને પ્રવાહ અનિયમિત હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ ધારણાઓ સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગો માટે માન્ય છે, કારણ કે વર્ટિસિટી અને સ્નિગ્ધતાની અસરો માત્ર સ્ટોક્સ સીમા સ્તરોમાં (પ્રવાહના ઓસિલેટરી ભાગ માટે) નોંધપાત્ર છે. પ્રવાહ અનિયમિત હોવાથી, તરંગની ગતિને સંભવિત પ્રવાહ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે. લ્યુકનો પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંત લ્યુકની લગ્રેન્જિયન રચના બિન-રેખીય સપાટીના ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગો માટે પરિવર્તનશીલ રચના આપે છે. સ્થિર ઘનતા સાથે આડી રીતે અમર્યાદિત ક્ષેત્રના કિસ્સામાં, લ્યુકના પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંત પર મુક્ત પ્રવાહી સપાટી અને નિશ્ચિત દરિયાની સપાટી લગ્રેન્જિયનનો ઉપયોગ કરે છે જ્યાં આડી લગ્રેન્જિયન ઘનતા છે, જેના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં વેગ સંભવિત છે, જેમાં પ્રવાહ વેગ ઘટકો અનુક્રમે અને અને અને દિશામાં છે. લ્યુકની લગ્રેન્જિયન રચનાને મુક્ત સપાટી પર સપાટીની ઊંચાઈ અને વેગ ક્ષમતાના સંદર્ભમાં હેમિલ્ટોનિયન રચનામાં પણ પુનઃરચના કરી શકાય છે. પોટેન્શિયલ અને સપાટીની ઊંચાઈના સંદર્ભમાં ફેરફારો લેવાથી પ્રવાહીના આંતરિક ભાગ માટે લાપ્લાસ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે, તેમજ લીનિયર વેવ થિયરીમાં બેડ પરની જેમ મુક્ત સપાટી પરની તમામ સીમા શરતો તરફ દોરી જાય છે. સરેરાશ મુક્ત-સપાટીની ઉંચાઈની આસપાસ બીજા સંકલન માટે ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવો અને રેખીય તરંગ ગતિ માટે માત્ર વર્ગાત્મક શરતો જાળવી રાખવી અને લગ્રેન્જિયન ઘનતા ઊભી સંકલનમાં આ શબ્દ પડતો મૂકવામાં આવે છે કારણ કે તે ગતિશીલ રીતે રસહીન બની ગયો છેઃ તે યુલર-લગ્રેન્જ સમીકરણોમાં શૂન્ય યોગદાન આપે છે, જેની ઉપરની સંકલન મર્યાદા હવે નક્કી કરવામાં આવી છે. સંભવિત ઊર્જાના પ્રમાણમાં ઉપેક્ષિત તળિયાની મુદત માટે પણ આ જ સાચું છે. તરંગો આડી સપાટીમાં પ્રસરે છે, જ્યારે સંભવિત માળખું ઊભી દિશામાં તરંગ જેવું નથી. આ સરેરાશ મુક્ત-સપાટીની ઉંચાઈ પર સામાન્યકરણ સાથે સંભવિત સ્વરૂપ પર નીચેની ધારણાનો ઉપયોગ સૂચવે છે અહીં સરેરાશ મુક્ત-સપાટી સ્તર પર વેગ સંભવિત છે આગળ, હળવા-ઢોળાવની ધારણા કરવામાં આવે છે, જેમાં ઊભી આકારનું કાર્ય-સમતલમાં ધીમે ધીમે બદલાય છે, અને પ્રવાહ વેગમાં તેના આડી વ્યુત્પન્નની અવગણના કરી શકાય છે. તેથીઃ પરિણામેઃ આ લેગ્રેન્જિયન ઘનતા માટે યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો સાથે, ક્યાં તો રજૂ કરે છે અથવા હવે પહેલા બરાબર લેવામાં આવે છે અને પછી સમાન લેવામાં આવે છે. આગળનું પગલું એરી વેવ થિયરીમાંથી શેપ ફંક્શન પસંદ કરવાનું અને વર્ટિકલ શેપ ફંક્શન નક્કી કરવાનું છે કારણ કે તેનો ઉદ્દેશ હળવી ઢાળવાળી પથારી પર તરંગોનું વર્ણન છે, શેપ ફંક્શન એરી વેવ થિયરી અનુસાર પસંદ કરવામાં આવે છે. આ સ્થિર ઊંડાણમાં ફેલાતા તરંગોનો રેખીય સિદ્ધાંત છે આકાર કાર્યનું સ્વરૂપ છેઃ હવે સામાન્ય રીતે સ્થિર નથી, પરંતુ સ્થાનિક ઊંડાઈ અને રેખીય પ્રસરણ સંબંધ સાથે અને તેના અનુસાર બદલાવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છેઃ અહીં સતત કોણીય આવર્તન, અભ્યાસ હેઠળના તરંગ ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર પસંદ કરવામાં આવે છે. પરિણામે, સમાકલન અને બનેઃ નીચેના સમય-આધારિત સમીકરણો મુક્ત-સપાટીની ઉંચાઈ અને મુક્ત-સપાટીની ક્ષમતાની ઉત્ક્રાંતિ આપે છે બે ઉત્ક્રાંતિ સમીકરણોમાંથી, એક ચલ અથવા દૂર કરી શકાય તેવું, હળવા-ઢોળાવના સમીકરણનું સમય-આધારિત સ્વરૂપ મેળવવા માટેઃ અને મુક્ત-સપાટીની ક્ષમતાનું અનુરૂપ સમીકરણ સમાન છે, જેની જગ્યાએ મોનોક્રોમેટિક તરંગોની આસપાસ આવર્તનની સાંકડી પટ્ટીમાં તરંગોનું નમૂના બનાવવા માટે સમય-આધારિત હળવા-ઢોળાવ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે જટિલ કંપનવિસ્તાર અને કોણીય આવર્તન સાથે મોનોક્રોમેટિક તરંગોને ધ્યાનમાં લોઃ સાથે અને એકબીજાની સમાન પસંદ કરો, હળવા-ઢોળાવના સમીકરણના સમય-આધારિત સ્વરૂપમાં આનો ઉપયોગ કરીને, સમય માટે શાસ્ત્રીય હળવા-ઢોળાવના સમીકરણને પુનઃપ્રાપ્ત કરો. જો કે, કેટલાક સૂક્ષ્મ પાસાઓ, જેમ કે પ્રતિબિંબિત તરંગોના કંપનવિસ્તાર, સંપૂર્ણપણે ખોટા હોઈ શકે છે, શૂન્ય તરફ જતા ઢોળાવ માટે પણ. આ ગાણિતિક જિજ્ઞાસાનું સામાન્ય રીતે થોડું વ્યવહારુ મહત્વ છે કારણ કે નાના તળિયાના ઢોળાવ માટે આ પ્રતિબિંબ અદ્રશ્ય થઈ જાય છે. નોંધો સંદર્ભો, 2 ભાગો, 967 પૃષ્ઠો. , 740 પૃષ્ઠો. દરિયાકાંઠાની ભૂગોળ પ્રવાહી ગતિશીલતાના સમીકરણો જળ તરંગો