Proebsting's paradox
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, પ્રોબસ્ટિંગનો વિરોધાભાસ એ એક એવી દલીલ છે જે દર્શાવે છે કે કેલી માપદંડ વિનાશ તરફ દોરી શકે છે. તેમ છતાં તેને ગાણિતિક રીતે ઉકેલી શકાય છે, તે કેલીના વ્યવહારુ ઉપયોગ વિશે કેટલાક રસપ્રદ મુદ્દાઓ ઉઠાવે છે, ખાસ કરીને રોકાણમાં. તેનું નામ અને પ્રથમ ચર્ચા એડવર્ડ ઓ. થોર્પ દ્વારા 2008માં કરવામાં આવી હતી. વિરોધાભાસનું નામ તેના નિર્માતા ટોડ પ્રોબસ્ટિંગના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું હતું. વિરોધાભાસનું નિવેદન જો કોઈ શરત જીતવાની કે હારવાની સમાન સંભાવના હોય, અને જીત માટે બે ગણો હિસ્સો ચૂકવે, તો કેલી શરત છેઃ સંપત્તિ વખત. ઉદાહરણ તરીકે, જો 50/50 શરત 2 થી 1 ચૂકવે છે, તો કેલી 25 ટકા સંપત્તિ પર શરત લગાવવાનું કહે છે. જો 50/50 શરત 5 થી 1 ચૂકવે છે, તો કેલી 40 ટકા સંપત્તિ પર શરત લગાવવાનું કહે છે. હવે ધારો કે એક જુગારીને 2 થી 1 ચૂકવણી અને 25 ટકા દાવની ઓફર કરવામાં આવે છે. જો નવા બેટ્સ પરની ચૂકવણી 5 થી 1 થઈ જાય તો તેણે શું કરવું જોઈએ? તેણે મહત્તમ કરવા માટે એફ * પસંદ કરવું જોઈએઃ કારણ કે જો તે જીતે છે તો તેની પાસે 1.5 (2 થી 1 અવરોધો પર 25 ટકા શરત જીતવાથી 0.5) વત્તા 5એફ * હશે; અને જો તે હારે છે તો તેણે પ્રથમ શરતમાંથી 0.25 અને બીજી શરતમાંથી એફ * ચૂકવવી પડશે. f * ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન લેવાથી અને તેને શૂન્ય પર સેટ કરવાથી મળે છેઃ જેને ફરીથી લખી શકાય છેઃ તો f * = 0.225. વિરોધાભાસ એ છે કે કુલ શરત, 0.25 + 0.225 = 0.475,0.40 કેલી શરત કરતાં મોટી છે જો શરૂઆતથી 5 થી 1 અવરોધો ઓફર કરવામાં આવે. જ્યારે કેટલીક શરત પ્રતિકૂળ અવરોધો પર હોય ત્યારે તમે વધુ શરત લગાવશો તે વિરોધાભાસી છે. ટોડ પ્રોબસ્ટિંગે એડ થોર્પને ઇમેઇલ કરીને આ વિશે પૂછ્યું હતું. એડ થોર્પને સમજાયું કે કેલી શરત લગાવનારને બરબાદ થવાની બિન-શૂન્ય સંભાવના આપવા માટે આ વિચારને વિસ્તૃત કરી શકાય છે. તેમણે બતાવ્યું કે જો જુગારીને 2 થી 1 અવરોધો આપવામાં આવે, તો પછી 4 થી 1, પછી 8 થી 1 અને તેથી વધુ (n = 1 થી અનંત માટે 2n થી 1) કેલી શરત લગાવવાનું કહે છેઃ દરેક વખતે. આ તમામ દાવોનો સરવાળો 1 છે. તેથી કેલી જુગારી પાસે તેની સંપૂર્ણ સંપત્તિ ગુમાવવાની 50 ટકા તક હોય છે. સામાન્ય રીતે, જો શરત લગાવનાર b1ની ચૂકવણી સાથે 50/50 દરખાસ્ત પર કેલી શરત લગાવે છે, અને પછી તેને b2 ઓફર કરવામાં આવે છે, તો તે કુલ શરત લગાવશેઃ પ્રથમ મુદત એ છે કે શરત લગાવનાર શરૂઆતમાં b2 ઓફર કરે તો શરત લગાવશે. જો એફ2> એફ1 હોય તો બીજી મુદત હકારાત્મક છે, એટલે કે જો ચૂકવણીમાં સુધારો થાય, તો કેલી શરત લગાવનાર જો માત્ર બીજી ચૂકવણીની ઓફર કરે તો તે તેના કરતા વધુ શરત લગાવશે, જ્યારે જો ચૂકવણી વધુ ખરાબ થાય તો તે માત્ર બીજી ચૂકવણીની ઓફર કરે તો તે તેના કરતા ઓછી શરત લગાવશે. વ્યવહારુ ઉપયોગ ઘણા બેટ્સમાં એવું લક્ષણ હોય છે કે પરિણામ નક્કી થાય તે પહેલાં ચૂકવણી અને સંભાવનાઓ બદલાઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે રમતગમતની શરતમાં, ઇવેન્ટ યોજાય તે પહેલાં રેખા ઘણી વખત બદલાઈ શકે છે, અને સમાચાર બહાર આવી શકે છે (જેમ કે ઈજા અથવા હવામાનની આગાહી) જે પરિણામની સંભાવનાને બદલે છે. રોકાણમાં, મૂળ શેર દીઠ 20 ડોલરમાં ખરીદવામાં આવેલો શેર હવે 10 ડોલર અથવા 30 ડોલર અથવા અન્ય કોઈ કિંમતે ઉપલબ્ધ હોઈ શકે છે. કેટલીક રમતોમાં શરત લગાવનાર ખેલાડીઓ ઇવેન્ટના પરિણામોની આગાહી કરવાને બદલે લાઇનમાં ફેરફારની અપેક્ષા રાખીને આવક મેળવવાનો પ્રયાસ કરે છે. કેટલાક વેપારીઓ તેની લાંબા ગાળાની મૂળભૂત સંભાવનાઓને બદલે સુરક્ષાની સંભવિત ટૂંકા ગાળાની કિંમતની હિલચાલ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. રોકાણનું ઉત્તમ ઉદાહરણ એ વેપારી છે જેની એક્સપોઝર મર્યાદા હોય છે, કહે છે કે તેને કોઈપણ એક શેરમાં 10 લાખ ડોલરથી વધુનું જોખમ રાખવાની મંજૂરી નથી. તેનો અર્થ એ નથી કે તે 10 લાખ ડોલરથી વધુ ન ગુમાવી શકે. જો તે 20 ડોલરમાં 10 લાખ ડોલરનો શેર ખરીદે અને તે 10 ડોલર સુધી જાય, તો તે વધુ 500,000 ડોલર ખરીદી શકે છે. જો તે પછી 5 ડોલર થાય, તો તે વધુ 500,000 ડોલર ખરીદી શકે છે. જો તે શૂન્ય પર જાય છે, તો તે અનંત રકમ ગુમાવી શકે છે, તેમ છતાં તેની પાસે ક્યારેય 10 લાખ ડોલરથી વધુનું જોખમ નથી. ઠરાવ કોઈ વિરોધાભાસ નથી. કેલીનો માપદંડ વૃદ્ધિનો અપેક્ષિત દર વધારવાનો છે; માત્ર પ્રતિબંધિત પરિસ્થિતિઓમાં જ તે મહત્તમ વૃદ્ધિને અનુરૂપ છે. વિરોધાભાસને નકારી કાઢવાની એક સરળ રીત એ છે કે કેલી ધારે છે કે સંભાવનાઓ બદલાતી નથી. એક કેલી શરત લગાવનાર જે જાણે છે કે અવરોધો બદલાઈ શકે છે તે આને વધુ જટિલ કેલી શરતમાં ફેરવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે કેલી શરત લગાવનારને 2 થી 1 ના અવરોધો પર 50/50 દરખાસ્ત પર શરત લગાવવાની એક વખતની તક આપવામાં આવે છે. તેઓ જાણે છે કે 50 ટકા તક છે કે 5 થી 1 પર બીજી એક વખતની તક આપવામાં આવશે. હવે તેણે મહત્તમ કરવું જોઈએઃ f1 અને f2 બંનેના સંદર્ભમાં. જવાબ 2 થી 1 પર શરત શૂન્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને 5 થી 1 પર શરત લગાવવાની તકની રાહ જુઓ, આ કિસ્સામાં તમે સંપત્તિના 40 ટકા પર શરત લગાવી શકો છો. જો 5 થી 1 ઓડ્સ ઓફર થવાની સંભાવના 50 ટકાથી ઓછી હોય, તો શૂન્ય અને 25 ટકાની વચ્ચેની કેટલીક રકમ 2 થી 1 પર શરત હશે. જો 5 થી 1 અવરોધો ઓફર થવાની સંભાવના 50 ટકાથી વધુ હોય, તો કેલી શરત લગાવનાર વાસ્તવમાં 2 થી 1 અવરોધો પર નકારાત્મક શરત લગાવશે (એટલે કે, જો તે જીતે તો 1⁄2 ની ચૂકવણી સાથે 50/50 પરિણામ પર શરત લગાવશે અને જો તે હારે તો 1 ચૂકવશે). કોઈપણ કિસ્સામાં, જો તક આપવામાં આવે તો, 5 થી 1 અવરોધો પર તેની શરત, તેની 2 થી 1 શરત કરતાં 40 ટકા ઓછા 0.7 ગણી હોય છે. વિરોધાભાસ શું કહે છે, અનિવાર્યપણે, એ છે કે જો કેલી શરત લગાવનારને ભાવિ બેટ્સ ઓફર કરી શકાય તે વિશે ખોટી માન્યતાઓ હોય, તો તે ઓછી પસંદગીઓ કરી શકે છે, અને તૂટી પણ શકે છે. કેલી માપદંડ લાંબા ગાળે કોઈ પણ આવશ્યક રીતે અલગ વ્યૂહરચના કરતાં વધુ સારી રીતે કામ કરે તેવું માનવામાં આવે છે અને જ્યાં સુધી શરત લગાવનાર સંભાવનાઓ અને ચૂકવણી જાણે છે ત્યાં સુધી તેનો નાશ થવાની શક્યતા શૂન્ય છે. આરોન બ્રાઉન દ્વારા સમસ્યાની સ્વતંત્ર વિચારણા દ્વારા મુદ્દાઓ પર વધુ પ્રકાશ પાડવામાં આવ્યો હતો, જેમણે એડ થોર્પને ઇમેઇલ દ્વારા પણ વાતચીત કરી હતી. આ ફોર્મ્યુલેશનમાં, ધારણા એ છે કે શરત લગાવનાર પહેલા પ્રારંભિક શરત વેચી દે છે, પછી બીજી ચૂકવણી પર નવી શરત લગાવે છે. આ કિસ્સામાં તેની કુલ શરત છેઃ જે પ્રોબસ્ટિંગ ફોર્મ્યુલેશન માટે ઉપરના સૂત્ર સાથે ખૂબ સમાન દેખાય છે, સિવાય કે બીજી મુદત પર નિશાની ઉલટાવી દેવામાં આવે છે અને તેને વધારાની મુદત દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2 થી 1 ચૂકવણી પછી 5 થી 1 ચૂકવણીનું મૂળ ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે, આ ફોર્મ્યુલેશનમાં શરત લગાવનાર પહેલા સંપત્તિના 25 ટકા 2 થી 1 પર દાવ લગાવે છે. જ્યારે 5 થી 1 ચૂકવણીની ઓફર કરવામાં આવે છે, ત્યારે શરત લગાવનાર 0.125 ના નુકસાન માટે મૂળ શરત વેચી શકે છે. જો તે જીતે તો તેની 2 થી 1 શરત 0.50 ચૂકવે છે અને જો તે હારે તો 0.25 ચૂકવે છે. નવા 5 થી 1 ચૂકવણી પર, તે શરત મેળવી શકે છે જે 0.625 ચૂકવે છે જો તે જીતે છે અને 0.125 ખર્ચ કરે છે જો તે હારે છે, તો આ 0.125 બંને રાજ્યોમાં તેની મૂળ શરત કરતાં વધુ સારી છે. તેથી તેની મૂળ શરત હવે-0.125 ની કિંમત ધરાવે છે. તેમના નવા સંપત્તિ સ્તર 0.875 ને જોતાં, તેમની 40 ટકા શરત (5 થી 1 ચૂકવણી માટે કેલી રકમ) 0.35 છે. બે ફોર્મ્યુલેશન સમાન છે. મૂળ ફોર્મ્યુલેશનમાં, શરત લગાવનાર પાસે 2 થી 1 પર 0.25 શરત અને 5 થી 1 પર 0.225 શરત હોય છે. જો તે જીતે છે, તો તેને 2.625 મળે છે અને જો તે હારે છે, તો તેની પાસે 0.525 હોય છે. બીજી ફોર્મ્યુલેશનમાં, શરત લગાવનાર પાસે 0.875 અને 5 થી 1 પર 0.35 શરત હોય છે. જો તે જીતે છે, તો તેને 2.625 મળે છે અને જો તે હારે છે, તો તેની પાસે 0.525 હોય છે. બીજી રચના સ્પષ્ટ કરે છે કે વર્તણૂકમાં ફેરફાર એ માર્ક-ટુ-માર્કેટ નુકસાનના પરિણામે થાય છે જે રોકાણકાર જ્યારે નવી ચૂકવણીની ઓફર કરે છે ત્યારે અનુભવે છે. નાણાકીય બાબતોમાં વિચારવાની આ એક કુદરતી રીત છે, જે જુગારી માટે ઓછી સ્વાભાવિક છે. આ અર્થઘટનમાં, ચૂકવણી બમણી કરવાની અનંત શ્રેણી કેલી શરત લગાવનારને ઓવરબેટ કરવા માટે લલચાવીને તેને બરબાદ કરતી નથી, તે તેના નિયંત્રણની બહારના ફેરફારો દ્વારા તેની બધી સંપત્તિ કાઢે છે. સંદર્ભો જુગાર ગણિત માહિતી સિદ્ધાંત આંકડાકીય વિરોધાભાસ ઉપયોગિતા સિદ્ધાંતમાં વિરોધાભાસ