Complex torus
ગણિતમાં, જટિલ ટોરસ એ એક ચોક્કસ પ્રકારનો જટિલ મેનીફોલ્ડ એમ છે જેની અંતર્ગત સરળ મેનીફોલ્ડ સામાન્ય અર્થમાં ટોરસ છે (એટલે કે. અમુક સંખ્યા N વર્તુળોનું કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન). અહીં N એ સમ સંખ્યા 2n હોવી જોઈએ, જ્યાં n એ M નું જટિલ પરિમાણ છે. આવી તમામ જટિલ રચનાઓ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છેઃ વેક્ટર જગ્યા V માં જાળી λ ને વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા તરીકે ગણવામાં આવતા Cn માટે આઇસોમોર્ફિક લો; પછી ભાગાકાર જૂથ એક સઘન જટિલ મેનીફોલ્ડ છે. આઇસોમોર્ફિઝમ સુધીના તમામ જટિલ તોરી આ રીતે મેળવવામાં આવે છે. n = 1 માટે આ લંબગોળ વળાંકની શાસ્ત્રીય સમયગાળાની જાળીની રચના છે. એન> 1 માટે બર્નહાર્ડ રીમેને જટિલ ટોરસ માટે બીજગણિત વિવિધતા માટે જરૂરી અને પૂરતી શરતો શોધી કાઢી હતી; જે જાતો છે તે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં જડિત કરી શકાય છે, અને એબેલિયન જાતો છે. જ્યારે n> 1 હોય ત્યારે વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ એમ્બેડિંગ્સ જટિલ હોય છે (એબેલિયન જાતોને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણો જુઓ), અને ખરેખર કેટલાક જટિલ ચલ (નિશ્ચિત મોડ્યુલસ સાથે) ના થીટા-કાર્યોના સિદ્ધાંત સાથે સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે. n = 1 માટે ઘન વળાંક વર્ણન જેટલું સરળ કંઈ નથી. કોમ્પ્યુટર બીજગણિત નાના n માટેના કેસોને વ્યાજબી રીતે સારી રીતે સંભાળી શકે છે. ચાઉના પ્રમેય મુજબ, અબેલિયન જાતો સિવાય અન્ય કોઈ જટિલ ટોરસ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં 'ફિટ' થઈ શકતા નથી. વ્યાખ્યા જટિલ તોરીને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક રીત કોમ્પેક્ટ જોડાયેલ જટિલ લાઈ જૂથ તરીકે છે. આ લાઈ જૂથો છે જ્યાં માળખાના નકશા જટિલ મેનીફોલ્ડ્સના હોલોમોર્ફિક નકશા છે. તે તારણ આપે છે કે આવા તમામ કોમ્પેક્ટ જોડાયેલા લાઈ જૂથો પરિવર્તનીય છે, અને તેમના લાઈ બીજગણિતના ભાગાકાર માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જેનો આવરણ નકશો તેના સંકળાયેલ લાઈ જૂથ માટે લાઈ બીજગણિતનો ઘાતાંકીય નકશો છે. આ નકશાનો કર્નલ એક જાળી છે અને. તેનાથી વિપરીત, એક જટિલ વેક્ટર જગ્યા અને મહત્તમ ક્રમની જાળીને જોતાં, ભાગાકાર સંકુલ મેનીફોલ્ડમાં એક જટિલ લાઈ જૂથ માળખું હોય છે, અને તે સઘન અને જોડાયેલ પણ હોય છે. આ સૂચવે છે કે જટિલ તોરી માટેની બે વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે. જટિલ ટોરસનું પિરિયડ મેટ્રિક્સ જી-ડાયમેન્શનલ જટિલ ટોરસનું વર્ણન કરવાની એક રીત એ છે કે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરવો, જેના સ્તંભો જાળીના આધારને અનુરૂપ હોય છે, જેનો ઉપયોગ કરીને તેને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. જો આપણે મેટ્રિક્સ પસંદ કરીને વિપરીત દિશામાં જઈએ, તો તે પિરિયડ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોમ્પ્લેક્સ કોન્જુગેટ મેટ્રિક્સને અડીને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે, તો તે નોનસિંગ્યુલર હોય. આ જાળીની લંબાઇના સ્તંભ વેક્ટરની બાંયધરી આપે છે, તેથી તે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ દ્વિ-પરિમાણીય જટિલ ટોરસ માટે, તેમાં સ્વરૂપનો સમયગાળો મેટ્રિક્સ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ સમયગાળો મેટ્રિક્સ બનાવે છે કારણ કે સંકળાયેલ સમયગાળો મેટ્રિક્સમાં નિર્ધારક 4 હોય છે. નોર્મલાઇઝ્ડ પિરિયડ મેટ્રિક્સ પરિમાણના કોઈપણ જટિલ ટોરસ માટે તેમાં ઓળખ મેટ્રિક્સ ક્યાં અને ક્યાં છે તે સ્વરૂપનો સમયગાળો મેટ્રિક્સ હોય છે. આપણે ઉપરના સ્વરૂપનો બ્લોક મેટ્રિક્સ આપીને વેક્ટર જગ્યાના આધારમાં ફેરફાર કરીને આ મેળવી શકીએ છીએ. અનુરૂપ-મેટ્રિક્સને જોવા માટે નીચેની શરતો છે કારણ કે આ નોન-સિંગ્યુલર મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ. આનું કારણ એ છે કે જો આપણે બ્લોક મેટ્રિક્સના નિર્ધારકની ગણતરી કરીએ, તો આ ફક્ત તે જ છે જે સૂચિતાર્થ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે 2-પરિમાણીય જટિલ ટોરસ માટે નોર્મલાઇઝ્ડ પિરિયડ મેટ્રિક્સ લખી શકીએ છીએ કારણ કે આવા એક ઉદાહરણ નોર્મલાઇઝ્ડ પિરિયડ મેટ્રિક્સ છે કારણ કે નો નિર્ધારક નોનઝીરો છે, જે બરાબર છે. એબેલિયન જાતોના સમયગાળો મેટ્રિક્સ સમયગાળો મેટ્રિક્સ મેળવવા માટે જે પ્રોજેક્ટિવ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ આપે છે, તેથી બીજગણિત વિવિધતા, સમયગાળો મેટ્રિક્સને રીમાન દ્વિપાર્શ્વ સંબંધોને વધુ સંતોષવાની જરૂર છે. જટિલ તોરીના હોમોમોર્ફિઝમ્સ જો આપણી પાસે જટિલ તોરી અને પરિમાણો હોય તો જટિલ તોરીનું હોમોમોર્ફિઝમ એ એક એવું કાર્ય છે કે જે જૂથ માળખું જાળવી રાખે છે. આના સંખ્યાબંધ પરિણામો છે, જેમ કે દરેક હોમોમોર્ફિઝમ તેમની આવરણ જગ્યાઓનો નકશો પ્રેરિત કરે છે જે તેમના આવરણ નકશા સાથે સુસંગત છે. વધુમાં, કારણ કે તે જૂથ હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે, તે જાળીઓના મોર્ફિઝમ સુધી મર્યાદિત હોવું જોઈએ. ખાસ કરીને, ત્યાં ઇન્જેક્શન હોય છે અને જેને હોમોમોર્ફિઝમની જગ્યાની વિશ્લેષણાત્મક અને તર્કસંગત રજૂઆત કહેવામાં આવે છે. આ એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ વિશે કેટલીક માહિતી નક્કી કરવા માટે ઉપયોગી છે જે તર્કસંગત પરિમાણ ધરાવે છે. જટિલ તોરીના હોલોમોર્ફિક નકશા જટિલ તોરી વચ્ચેના હોમોમોર્ફિક નકશાના વર્ગમાં ખૂબ જ સરળ રચના હોય છે. અલબત્ત, દરેક હોમોમોર્ફિઝમ હોલોમોર્ફિક નકશાને પ્રેરિત કરે છે, પરંતુ દરેક હોલોમોર્ફિક નકશો હોમોમોર્ફિઝમ સાથે વિશિષ્ટ પ્રકારના હોલોમોર્ફિક નકશાની રચના છે. પછી, જો જટિલ ટોરી વચ્ચેનો હોલોમોર્ફિક નકશો હોય, તો એક અનોખો હોમોમોર્ફિઝમ છે જેમ કે હોલોમોર્ફિક નકશા દર્શાવતા જટિલ ટોરીના હોમોમોર્ફિઝમ્સના સમૂહ કરતા ઘણા મોટા નથી. આઇસોજેનીઝ જટિલ ટોરીના હોમોમોર્ફિઝમ્સના એક અલગ વર્ગને આઇસોજેનીઝ કહેવામાં આવે છે. આ બિન-શૂન્ય કર્નલ સાથે જટિલ તોરીના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે પૂર્ણાંક માનીએ, તો ત્યાં એક સંકળાયેલ નકશો મોકલવામાં આવે છે જેમાં કર્નલ આઇસોમોર્ફિક હોય છે. આઇસોમોર્ફિક કોમ્પ્લેક્સ ટોરી વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા પર જટિલ માળખાઓનું આઇસોમોર્ફિઝમ છે અને સમૂહ અને આઇસોમોર્ફિક ટોરી તેમના જાળીઓના આધારે ફેરફાર દ્વારા આપી શકાય છે, તેથી તેમાં મેટ્રિક્સ છે. આ પરિમાણના જટિલ તોરીના સમરૂપતા વર્ગોનો સમૂહ આપે છે, જેમ કે ડબલ કોસેટ જગ્યા નોંધ કરો કે વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડ તરીકે, આ પરિમાણ ધરાવે છે આ એબેલિયન જાતોના મોડુલીના પરિમાણોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે મહત્વપૂર્ણ છે, જે દર્શાવે છે કે એબેલિયન જાતો કરતાં ઘણી વધુ જટિલ તોરી છે. લાઇન બંડલ્સ અને ઓટોમોર્ફિક સ્વરૂપો જટિલ મેનીફોલ્ડ્સ માટે, ખાસ કરીને જટિલ તોરીમાં, હોલોમોર્ફિક લાઇન બંડલ્સને લગતી એક રચના છે, જેનું પુલબેક જૂથના કોહોમોલોજીનો ઉપયોગ કરીને તુચ્છ છે. સદનસીબે જટિલ તોરી માટે, દરેક જટિલ લાઇન બંડલ તુચ્છ બની જાય છે. ઓટોમોર્ફીના પરિબળો પ્રથમ જૂથ કોહોમોલોજી જૂથથી શરૂ કરીને આપણે યાદ કરીએ છીએ કે તેના તત્વોને કેવી રીતે રજૂ કરી શકાય છે. તેના પર ક્રિયાઓ તેના તમામ આવરણો પર પ્રેરિત ક્રિયા છે, તેથી-ક્રિયા પછી હોલોમોર્ફિક નકશા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ નકશો કોસાઈકલની સ્થિતિને સંતોષે છે જો દરેક અને માટે. 1-કોષોના અબેલિયન જૂથને ઓટોમોર્ફીના પરિબળોનું જૂથ કહેવામાં આવે છે. નોંધ લો કે આવા કાર્યોને માત્ર પરિબળો પણ કહેવામાં આવે છે. જટિલ તોરી પર જટિલ તોરી માટે, આ કાર્યો એવા કાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે જે કોસાઇકલની સ્થિતિને અનુસરે છે. આ ઓટોમોર્ફિક કાર્યો છે, વધુ ચોક્કસપણે, થીટા કાર્યો માટેના પરિવર્તન નિયમોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા ઓટોમોર્ફિક કાર્યો. ઉપરાંત, આવા કોઈપણ નકશાને લખી શકાય છે જેના માટે સંકળાયેલ લાઇન બંડલ સાથે સંબંધિત અપરિવર્તનની ગણતરી માટે ઉપયોગી છે. ઓટોમોર્ફીના પરિબળોમાંથી લાઇન બંડલ ઓટોમોર્ફીના પરિબળને જોતાં આપણે નીચે પ્રમાણે લાઇન બંડલને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએઃ તુચ્છ લાઇન બંડલમાં પરિબળ માટે-ક્રિયા આપવામાં આવે છે. આ ક્રિયા મુક્ત અને યોગ્ય રીતે અસંગત હોવાથી, ભાગાકાર બંડલ એક જટિલ બહુવિધ છે. વધુમાં, આવરણ પ્રક્ષેપણમાંથી પ્રેરિત પ્રક્ષેપણ. આ એક નકશો આપે છે જે ઇચ્છિત પરિણામ આપતા સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે. જટિલ તોરી માટે જટિલ તોરીના કિસ્સામાં, આપણી પાસે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે જે સંકળાયેલ જૂથ કોહોમોલોજીમાં 1-કોષો તરીકે જટિલ તોરી પર રેખા બંડલ્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરતી જાળી તરીકે લખવું લાક્ષણિક છે, તેથી તેમાં લાઇન બંડલ્સના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગો શામેલ છે. જટિલ તોરી પર લાઇન બંડલ્સનો પ્રથમ ચેર્ન વર્ગ ઘાતાંકીય ચોક્કસ ક્રમમાંથી કનેક્ટિંગ મોર્ફિઝમ એ પ્રથમ ચેર્ન વર્ગનો નકશો છે, જે તેની સાથે સંકળાયેલા પ્રથમ ચેર્ન વર્ગમાં લાઇન બંડલના આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગને મોકલે છે. તે તારણ આપે છે કે જાળી પર વૈકલ્પિક સ્વરૂપોના મોડ્યુલ અને વચ્ચે એક સમરૂપતા છે. તેથી, તેને વૈકલ્પિક-મૂલ્યવાન 2-ફોર્મ તરીકે ગણી શકાય. જો તેમાં ઓટોમોર્ફીનું પરિબળ હોય તો વૈકલ્પિક સ્વરૂપને અને તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ પ્રમાણભૂત આધારનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરવામાં આવેલા સામાન્ય સમયગાળાના મેટ્રિક્સ માટે આપણી પાસે જાળીને વ્યાખ્યાયિત કરતા કોલમ વેક્ટર છે. પછી, કોઈપણ વૈકલ્પિક ફોર્મ તે સ્વરૂપનું હોય છે જ્યાં સંખ્યાબંધ સુસંગતતાની શરતો સંતોષવી આવશ્યક હોય છે. રેખા બંડલના વિભાગો અને થીટા કાર્યો ઓટોમોર્ફીના પરિબળ દ્વારા આપવામાં આવેલા રેખા બંડલ માટે, તેથી અને, જ્યાં ખુલ્લા હોય ત્યાં વિભાગોનો સંકળાયેલ આવરણ હોય છે. પછી, વૈશ્વિક વિભાગો પર મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે, આ હોલોમોર્ફિક કાર્યોનો સમૂહ છે જેમ કે જે બરાબર સમતલ પરના થીટા કાર્યો છે. તેનાથી વિપરીત, આ પ્રક્રિયા પાછળની તરફ કરી શકાય છે જ્યાં થીટા કાર્યમાં ઓટોમોર્ફિક પરિબળ હકીકતમાં જટિલ ટોરસ પર લાઇન બંડલને વ્યાખ્યાયિત કરતું ઓટોમોર્ફિનું પરિબળ છે. હર્મિશિયન સ્વરૂપો અને એપેલ-હમ્બર્ટ પ્રમેય લાઇન બંડલ સાથે સંકળાયેલા વૈકલ્પિક-મૂલ્યવાન 2-સ્વરૂપ માટે, તેને-મૂલ્યવાન તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. પછી, તે તારણ આપે છે કે કોઈપણ માટે નીચેની શરતોને સંતોષતું કોઈપણ મૂલ્યવાન વૈકલ્પિક સ્વરૂપ લાઇન બંડલના કેટલાક પ્રથમ ચેરન વર્ગનું વિસ્તરણ છે. વધુમાં, એક સંકળાયેલ હર્મિશિયન સ્વરૂપ છે જે કોઈપણ માટે સંતોષકારક છે. નેરોન-સેવેરી જૂથ એક જટિલ ટોરસ માટે આપણે નેરોન-સર્વેરી જૂથને હર્મિશિયન સ્વરૂપોના જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, તે સમાનરૂપે, તે પ્રથમ ચેરન વર્ગના હોમોમોર્ફિઝમની છબી છે. આપણે તેને વૈકલ્પિક વાસ્તવિક મૂલ્યના વૈકલ્પિક સ્વરૂપોના જૂથ સાથે પણ ઓળખી શકીએ છીએ. લંબગોળ વળાંક પર હર્મિશિયન સ્વરૂપનું ઉદાહરણ જાળી દ્વારા આપવામાં આવેલા લંબગોળ વળાંક માટે જ્યાં આપણે સામાન્ય વૈકલ્પિક મેટ્રિક્સને જોઈને અને તેને અપેક્ષા મુજબ વર્તવા માટે યોગ્ય સુસંગતતા શરતો શોધીને અભિન્ન સ્વરૂપ શોધી શકીએ છીએ. જો આપણે વાસ્તવિક વેક્ટર જગ્યા (તેથી) તરીકે પ્રમાણભૂત આધારનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણે વૈકલ્પિક મેટ્રિક્સ લખી શકીએ છીએ અને તેની સાથે સંકળાયેલા વેક્ટર પર સંકળાયેલ ઉત્પાદનોની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. પછી, આ વેક્ટરના આંતરિક ઉત્પાદનોને (પ્રમાણભૂત આંતરિક ઉત્પાદન સાથે) આપણને મળતા વેક્ટર સાથે લઈએ તો, પછી આપણે સીધા જ ચકાસી શકીએ છીએ, જે ઉપરના મેટ્રિક્સ માટે માન્ય છે. નિશ્ચિત માટે, આપણે અભિન્ન સ્વરૂપને આ રીતે લખીશું. પછી, એક સંકળાયેલ હર્મિશિયન સ્વરૂપ આપવામાં આવ્યું છે જ્યાં હર્મિશિયન સ્વરૂપો માટે અર્ધ-અક્ષર જોડીઓ હર્મિશિયન સ્વરૂપ માટે અર્ધ-અક્ષર એ એક નકશો છે જેથી નકશો હર્મિશિયન સ્વરૂપ દ્વારા વળાંકવાળા અક્ષરની જેમ વર્તે છે. નોંધ લો કે જો તેમાં શૂન્ય તત્વ હોય, તો તે તુચ્છ રેખા બંડલને અનુરૂપ હોય છે, પછી સંકળાયેલ અર્ધ-અક્ષરો એ અક્ષરોના જૂથ છે. તે તારણ કાઢશે કે આ તેના ડ્યુઅલ ટોરસ પર અથવા તેની સમકક્ષ ડિગ્રી લાઇન બંડલ્સના જૂથને અનુરૂપ છે, જે અક્ષરોના જૂથની ગણતરી કરીને જોઈ શકાય છે, જેના તત્વોને નકશા તરીકે પરિબળ બનાવી શકાય છે જે દર્શાવે છે કે અક્ષર અમુક નિશ્ચિત ડ્યુઅલ લેટીસ વેક્ટરના સ્વરૂપનું છે. આ વાસ્તવિક ટોરસ સાથેના અક્ષરોના સમૂહની સમરૂપતા આપે છે. અર્ધ-પાત્રોની તમામ જોડીનો સમૂહ અને તેમની સાથે સંકળાયેલ હર્મિશિયન સ્વરૂપ અથવા અર્ધ-પાત્ર જોડી, એક જૂથ બનાવે છે જ્યાં આ જૂથ માળખું અર્ધ-પાત્રો માટે અગાઉના પરિવર્તન કાયદાને નવા અર્ધ-પાત્રમાં લાગુ કરવાથી આવે છેઃ તે તારણ આપે છે કે આ જૂથ ઉપર આવે છે અને તેમાં કર્નલ હોય છે, જે ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ આપે છે. અર્ધ-અક્ષર જોડી અને રેખા બંડલ અર્ધ-અક્ષર જોડી માટે આપણે નકશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત 1-ચક્ર બનાવી શકીએ છીએ. તેથી કોસાઈકલ એક લાઇન બંડલ નક્કી કરે છે જ્યાં-ક્રિયા નોંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે આ ક્રિયાનો ઉપયોગ તે બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે લાઇન બંડલના વિભાગો ઓટોમોર્ફીના પરિબળ સાથે થીટા કાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે. કેટલીકવાર, આને ઓટોમોર્ફીનું કેનોનિકલ પરિબળ કહેવામાં આવે છે. નોંધ લો કે કારણ કે દરેક લાઇન બંડલમાં સંકળાયેલ હર્મિશિયન સ્વરૂપ હોય છે, અને ઓટોમોર્ફીના પરિબળનો ઉપયોગ કરીને અર્ધ-અક્ષરનું નિર્માણ કરી શકાય છે, તેથી આપણને સરજેક્શન મળે છે. આ તમામ હકીકતો નીચે આપેલા પરિવર્તનીય આકૃતિમાં સારાંશિત કરી શકાય છે જ્યાં ઊભી તીર સમરૂપતા અથવા સમાનતા છે. આ આકૃતિને સામાન્ય રીતે એપેલ-હમ્બર્ટ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે. ડ્યુઅલ કોમ્પ્લેક્સ ટોરસ અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, જાળી પરના અક્ષરને અમુક નિશ્ચિત ડ્યુઅલ વેક્ટર માટેના કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો આપણે બધા અક્ષરોના વાસ્તવિક ટોરસ પર એક જટિલ માળખું મૂકવા માંગીએ છીએ, તો આપણે એક જટિલ વેક્ટર જગ્યાથી શરૂઆત કરવાની જરૂર છે જે તેમાં જડિત થાય છે. તે તારણ આપે છે કે જટિલ એન્ટિલિનિયર નકશાની જટિલ વેક્ટર જગ્યા, વાસ્તવિક ડ્યુઅલ વેક્ટર જગ્યા માટે આઇસોમોર્ફિક છે, જે અક્ષરો લખવા માટેના ફેક્ટરાઇઝેશનનો એક ભાગ છે. વધુમાં, ત્યાં એક સંકળાયેલ જાળી છે જેને ડ્યુઅલ જાળી કહેવાય છે. પછી, આપણે બેવડા જટિલ ટોરસની રચના કરી શકીએ છીએ જેનો વિશેષ ગુણધર્મ છે કે બેવડા જટિલ ટોરસની તે બેવડી મૂળ જટિલ ટોરસ છે. વધુમાં, ઉપરની ચર્ચા પરથી, આપણે દ્વિ-જટિલ ટોરસને પિકાર્ડ જૂથ સાથે ઓળખી શકીએ છીએ, જેમાં આપણે દ્વિ-જટિલ ટોરસ દ્વારા કયા પરિબળોને ધ્યાનમાં રાખીને નકશો આપવા માટે એક વિરોધી રેખીય દ્વિ વેક્ટર મોકલી શકીએ છીએ. એબેલિયન જાતોના સિદ્ધાંતની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને બેવડા જટિલ ટોરસની અન્ય રચનાઓ છે. અનિવાર્યપણે, એક જટિલ ટોરસ (અથવા એબેલિયન વિવિધતા) પર એક રેખા બંડલ લઈને, જ્યાં તેમના અનુવાદો અપરિવર્તનશીલ હોય તેવા બિંદુઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. પછી, બેવડા જટિલ ટોરસને આઇસોજેની તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાથી તેના સાર્વત્રિક ગુણધર્મોને સંતોષ મળે છે, તેથી હકીકતમાં તે દ્વિ જટિલ ટોરસ (અથવા એબેલિયન વિવિધતા) છે. ડ્યુઅલ કોમ્પ્લેક્સ ટોરસના નિર્માણમાંથી, એવું સૂચવવામાં આવે છે કે ટોરસ અને તેના ડ્યુઅલના ઉત્પાદન પર એક લાઇન બંડલ હોવું જોઈએ જેનો ઉપયોગ ડિગ્રી 0 લાઇન બંડલ્સના તમામ આઇસોમોર્ફિઝમ વર્ગોને રજૂ કરવા માટે થઈ શકે છે. આપણે આ વર્તણૂકને નીચેના બે ગુણધર્મો સાથે એન્કોડ કરી શકીએ છીએ, જે કોઈપણ બિંદુ માટે લાઇન બંડલને એક તુચ્છ લાઇન બંડલ આપે છે જ્યાં પ્રથમ ઉપર ચર્ચા કરાયેલ ગુણધર્મ છે, અને બીજું સામાન્યીકરણ ગુણધર્મ તરીકે કાર્ય કરે છે. આપણે નીચેના હર્મિશિયન સ્વરૂપ અને અર્ધ-અક્ષરનો ઉપયોગ કરીને રચના કરી શકીએ છીએ. આ માહિતી દર્શાવવાથી સંબંધિત કેનોનિકલ પરિબળને જોઈને અને વિવિધ પ્રતિબંધો પર તેના વર્તનનું નિરીક્ષણ કરીને ઇચ્છિત ગુણધર્મો સાથે એક લાઇન બંડલ બને છે. પોઇનકેર બંડલ કોમ્પ્લેક્સ લાઈ ગ્રુપ ઓટોમોર્ફિક ફંક્શન ઇન્ટરમીડિએટ જેકોબિયન એલિપ્ટિક ગામા ફંક્શન સંદર્ભો કોમ્પ્લેક્સ 2-પરિમાણીય તોરી-જટિલ તોરી પર એબેલિયન જાતો ગેરબ્સ ન હોય તેવી જટિલ તોરી શોધવા માટે સાધનો આપે છે-જાળી પર વૈકલ્પિક સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર વિસ્તરે છે, જટિલ ટોરસ પર ગેર્બ્સ બાંધવા માટે-જટિલ તોરી પર ગેર્બ્સના ઉદાહરણોનો સમાવેશ કરે છે-જટિલ તોરી પી-એડિક તોરી પી-એડિક એબેલિયન ઇન્ટિગ્રલ્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છેઃ થિયરીથી પ્રેક્ટિસ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ જટિલ સપાટીઓ એબેલિયન જાતો