Homography
પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં, સમરૂપતા એ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓનું સમરૂપતા છે, જે વેક્ટર જગ્યાઓના સમરૂપતા દ્વારા પ્રેરિત થાય છે, જેમાંથી પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ ઉદ્ભવે છે. તે એક દ્વિભાજન છે જે રેખાઓ સાથે રેખાઓનો નકશો બનાવે છે, અને આમ એક સંયોજન છે. સામાન્ય રીતે, કેટલાક સંરેખણ સમરૂપતા નથી, પરંતુ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેય ભારપૂર્વક જણાવે છે કે ઓછામાં ઓછા બે પરિમાણોની વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓના કિસ્સામાં એવું નથી. સમાનાર્થી શબ્દોમાં પ્રોજેક્ટિવિટી, પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન અને પ્રોજેક્ટિવ કોલિનેશનનો સમાવેશ થાય છે. ઐતિહાસિક રીતે, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં પરિપ્રેક્ષ્ય અને અંદાજોનો અભ્યાસ કરવા માટે સમરૂપતાઓ (અને પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાઓ) રજૂ કરવામાં આવી છે, અને સમરૂપતા શબ્દ, જેનો વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્રની દ્રષ્ટિએ આશરે અર્થ "સમાન ચિત્ર" થાય છે, તે આ સમયનો છે. 19મી સદીના અંતમાં, પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાઓની ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી, જે અનંત પર બિંદુઓ ઉમેરીને યુક્લિડિયન અથવા એફાઇન જગ્યાઓના વિસ્તરણથી અલગ હતી. "પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન" શબ્દ આ અમૂર્ત રચનાઓમાં ઉદ્ભવ્યો છે. આ રચનાઓ બે વર્ગોમાં વહેંચાયેલી છે જે સમકક્ષ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાને આપેલ ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યાની રેખાઓના સમૂહ તરીકે બનાવી શકાય છે (ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા આ સંસ્કરણ પર આધારિત છે); આ રચના પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સની વ્યાખ્યાને સરળ બનાવે છે અને સમરૂપતાના અભ્યાસ માટે રેખીય બીજગણિતના સાધનોનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. વૈકલ્પિક અભિગમમાં સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ દ્વારા પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં સ્પષ્ટપણે કોઈ ક્ષેત્રનો સમાવેશ થતો નથી (ઘટના ભૂમિતિ, કૃત્રિમ ભૂમિતિ પણ જુઓ); આ સંદર્ભમાં, સમરૂપતાઓને સમરૂપતા કરતાં વ્યાખ્યાયિત કરવી સરળ છે, અને સમરૂપતાઓને ચોક્કસ સમરૂપતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, આમ તેને "પ્રોજેક્ટિવ સમરૂપતા" કહેવામાં આવે છે. સરળતા માટે, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી, આ લેખમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ (પરિવર્તનીય) ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તેવું માનવામાં આવે છે. સમાનરૂપે પપ્પસની ષટ્કોણ પ્રમેય અને ડેસારગ્યુસની પ્રમેય સાચી હોવાનું માનવામાં આવે છે. પરિણામોનો મોટો ભાગ સાચો રહે છે, અથવા પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિઓ માટે સામાન્યીકૃત થઈ શકે છે જેના માટે આ પ્રમેયો નથી. ભૌમિતિક પ્રેરણા ઐતિહાસિક રીતે, હોમોગ્રાફીનો ખ્યાલ દ્રશ્ય પરિપ્રેક્ષ્યને સમજવા, સમજાવવા અને અભ્યાસ કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, અને ખાસ કરીને, વિવિધ દ્રષ્ટિકોણથી જોવામાં આવતી બે સમતલ વસ્તુઓના દેખાવમાં તફાવત. ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં, O બિંદુ (કેન્દ્ર) થી સમતલ P પર કેન્દ્રિય પ્રક્ષેપણ કે જેમાં O ન હોય તે નકશા છે જે બિંદુ A ને રેખા OA અને સમતલ P ના આંતરછેદ (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) પર મોકલે છે. જો બિંદુ A એ O માંથી પસાર થતા સમતલ સાથે સંબંધિત હોય અને P ને સમાંતર હોય તો પ્રક્ષેપણને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી. પ્રક્ષેપાત્મક અવકાશની કલ્પના મૂળરૂપે યુક્લિડિયન અવકાશને લંબાવીને રજૂ કરવામાં આવી હતી, એટલે કે, O સિવાયના દરેક બિંદુ માટે પ્રક્ષેપણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તેમાં અનંત બિંદુઓ ઉમેરીને. અન્ય સમતલ Q આપવામાં આવે છે, જેમાં O નથી, ઉપરોક્ત પ્રક્ષેપણના Q પરના પ્રતિબંધને પરિપ્રેક્ષ્ય કહેવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યાઓ સાથે, પરિપ્રેક્ષ્ય એ માત્ર આંશિક કાર્ય છે, પરંતુ જો પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે તો તે દ્વિભાજન બની જાય છે. તેથી, આ કલ્પનાને સામાન્ય રીતે પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કલ્પનાને કોઈપણ ક્ષેત્ર પર, કોઈપણ પરિમાણની પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાઓ માટે પણ નીચેની રીતે સરળતાથી સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છેઃ જો f એ P થી Q સુધીની પરિપ્રેક્ષ્યતા હોય, અને g એ Q થી P સુધીની પરિપ્રેક્ષ્યતા હોય, તો અલગ કેન્દ્ર સાથે, પછી P થી પોતે એક સમરૂપતા છે, જેને કેન્દ્રિય સંરેખણ કહેવામાં આવે છે, જ્યારે P નું પરિમાણ ઓછામાં ઓછું બે હોય છે. (નીચે અને જુઓ.) મૂળરૂપે, હોમોગ્રાફીને મર્યાદિત સંખ્યામાં પરિપ્રેક્ષ્યોની રચના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી. તે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયનો એક ભાગ છે (નીચે જુઓ) કે આ વ્યાખ્યા પરિચયમાં સ્કેચ કરેલી અને નીચે વિગતવાર વધુ બીજગણિત વ્યાખ્યા સાથે મેળ ખાય છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યાખ્યા અને અભિવ્યક્તિ K ક્ષેત્ર પર પરિમાણ n ની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા P (V) ને પરિમાણના K-વેક્ટર જગ્યા V માં મૂળમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો V નો આધાર નિશ્ચિત કરવામાં આવ્યો હોય, તો V ના બિંદુને Kn + 1 ના બિંદુ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. P (V) નું બિંદુ, V માં એક રેખા હોવાથી, આ રીતે આ રેખાના કોઈપણ બિન-શૂન્ય બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા રજૂ થઈ શકે છે, જેને આમ પ્રોજેક્ટિવ બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવામાં આવે છે. સમાન પરિમાણની બે પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ પી (વી) અને પી (ડબલ્યુ) આપવામાં આવે તો, હોમોગ્રાફી એ પી (વી) થી પી (ડબલ્યુ) નું મેપિંગ છે, જે વેક્ટર જગ્યાઓના આઇસોમોર્ફિઝમ દ્વારા પ્રેરિત થાય છે. આવા સમરૂપતા એ f ની રેખીયતાને કારણે P (V) થી P (W) સુધી દ્વિભાજનને પ્રેરિત કરે છે. આવા બે સમરૂપતા, f અને g, સમાન સમરૂપતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ત્યાં K નું બિન-શૂન્ય તત્વ a હોય. આને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ નીચેની રીતે લખી શકાય છેઃ હોમોગ્રાફી φ ને નોનસિંગ્યુલર મેટ્રિક્સ [એઆઇ, જે] દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેને હોમોગ્રાફીનું મેટ્રિક્સ કહેવાય છે. આ મેટ્રિક્સને K ના બિન-શૂન્ય તત્વ દ્વારા ગુણાકાર સુધી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એક બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેની છબીના કોઓર્ડિનેટ્સ φ દ્વારા સંબંધિત છે જ્યારે પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓને અનંત પર બિંદુઓ ઉમેરીને જગ્યાઓ (પ્રોજેક્ટિવ સમાપ્તિ) ને સંલગ્ન કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ત્યારે અગાઉના સૂત્રો એફીન કોઓર્ડિનેટ્સમાં બની જાય છે, જે આગામી વિભાગના હોમોગ્રાફિક કાર્યની અભિવ્યક્તિને સામાન્ય બનાવે છે. આ એફાઇન જગ્યાઓ વચ્ચે માત્ર આંશિક કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે ફક્ત હાયપરપ્લેનની બહાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં છેદ શૂન્ય હોય છે. K ક્ષેત્ર પરની પ્રક્ષેપાત્મક રેખાને K અને એક બિંદુના જોડાણ સાથે ઓળખી શકાય છે, જેને "અનંત બિંદુ" કહેવામાં આવે છે અને φ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (પ્રક્ષેપાત્મક રેખા જુઓ). પ્રોજેક્ટિવ લાઇનની આ રજૂઆત સાથે, હોમોગ્રાફી એ મેપિંગ્સ છે જેને હોમોગ્રાફિક કાર્યો અથવા રેખીય અપૂર્ણાંક પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. જટિલ પ્રક્ષેપાત્મક રેખાના કિસ્સામાં, જેને રીમાન ગોળા સાથે ઓળખી શકાય છે, સમરૂપતાઓને મોબિયસ પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. આ રીમાન ગોળાના તે દ્વિભાજન સાથે ચોક્કસપણે અનુરૂપ છે જે દિશા જાળવી રાખે છે અને અનુરૂપ છે. સંરેખણના અભ્યાસમાં, નાના પરિમાણને કારણે પ્રક્ષેપાત્મક રેખાઓનો કેસ વિશેષ છે. જ્યારે રેખાને અલગતામાં પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા તરીકે જોવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રોજેક્ટિવ રેખાના બિંદુઓનું કોઈપણ ક્રમચયોતન એક સંરેખણ છે, કારણ કે બિંદુઓનો દરેક સમૂહ સમરેખીય હોય છે. જો કે, જો પ્રોજેક્ટિવ રેખા ઉચ્ચ-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં જડિત હોય, તો તે જગ્યાના ભૌમિતિક માળખાનો ઉપયોગ રેખા પર ભૌમિતિક માળખું લાદવા માટે થઈ શકે છે. આમ, કૃત્રિમ ભૂમિતિમાં, સમરૂપતાઓ અને પ્રોજેક્ટિવ રેખાના સમરૂપતાઓ કે જે ગણવામાં આવે છે તે ઉચ્ચ પરિમાણની જગ્યાઓની સમરૂપતાઓ અને સમરૂપતાની રેખા પરના પ્રતિબંધો દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેય (નીચે જુઓ) એક-પરિમાણીય સેટિંગમાં માન્ય રહે છે. મેપિંગ ક્રોસ-રેશિયો જાળવી રાખે છે એવો આગ્રહ કરીને પ્રોજેક્ટિવ લાઇનની હોમોગ્રાફીને પણ યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમ અને કોઓર્ડિનેટ્સ પરિમાણની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાની પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમ અથવા પ્રોજેક્ટિવ બેઝ એ બિંદુઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે જેમ કે કોઈ હાયપરપ્લેન તેમાં સમાવિષ્ટ નથી. પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમને કેટલીકવાર સિમ્પ્લેક્સ કહેવામાં આવે છે, જો કે પરિમાણની જગ્યામાં સિમ્પ્લેક્સમાં મોટાભાગના શિરોબિંદુઓ હોય છે. પરિવર્તનીય ક્ષેત્ર પર પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓને આ વિભાગમાં ગણવામાં આવે છે, જો કે મોટાભાગના પરિણામોને વિભાજન રિંગ પર પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. ચાલો પરિમાણની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા હોઈએ, જ્યાં પરિમાણની-વેક્ટર જગ્યા છે, અને કેનોનિકલ પ્રક્ષેપણ હોઈ શકે છે જે બિન-શૂન્ય વેક્ટરને વેક્ટર રેખા સાથે મેપ કરે છે જે તેને ધરાવે છે. દરેક ફ્રેમ માટે, એક એવો આધાર અસ્તિત્વમાં છે કે જે ફ્રેમ છે અને આ આધાર તેના તમામ તત્વોના સમાન બિન-શૂન્ય તત્વ દ્વારા ગુણાકાર સુધી અનન્ય છે. તેનાથી વિપરીત, જો તે એક આધાર છે, તો પછી તેની એક ફ્રેમ છે તે અનુસરે છે કે, બે ફ્રેમ આપવામાં આવે છે, ત્યાં બરાબર એક હોમોગ્રાફી છે જે પ્રથમને બીજા પર મેપ કરે છે. ખાસ કરીને, ફ્રેમની બિંદુઓને નિશ્ચિત કરતી એકમાત્ર સમરૂપતા એ ઓળખનો નકશો છે. આ પરિણામ કૃત્રિમ ભૂમિતિમાં વધુ મુશ્કેલ છે (જ્યાં પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓને સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે). તેને કેટલીકવાર પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના પ્રથમ મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. દરેક ફ્રેમ પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છેઃ દરેક બિંદુને આ રીતે લખી શકાય છે; આ ફ્રેમ પરના પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સ આધાર પરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે તે ચકાસવું મુશ્કેલ નથી અને, ફ્રેમ કે પી (વી) ને બદલ્યા વિના, પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સને કે ના સમાન બિન-શૂન્ય તત્વ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં પરિણમે છે. પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં એક કેનોનિકલ ફ્રેમ હોય છે જેમાં છબીનો સમાવેશ થાય છે (જેમાં માત્ર એક બિન-શૂન્ય એન્ટ્રી ધરાવતા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, જે 1 ની બરાબર હોય છે), અને. આ આધાર પર, ના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ ફક્ત ટુપલની એન્ટ્રીઓ (ગુણાંક) છે. સમાન પરિમાણની અન્ય પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા અને તેની ફ્રેમને જોતાં, સમાન પરિમાણની કેનોનિકલ ફ્રેમ પર એક અને માત્ર એક જ હોમોગ્રાફી મેપિંગ છે. ફ્રેમ પરના બિંદુના પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સ એ ફ્રેમની કેનોનિકલ ફ્રેમ પરના એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ છે. કેન્દ્રીય સંરેખણ ઉપરોક્ત વિભાગોમાં, સમરૂપતાઓને રેખીય બીજગણિત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. કૃત્રિમ ભૂમિતિમાં, તેમને પરંપરાગત રીતે એક અથવા અનેક વિશેષ સમરૂપતાઓની રચના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને કેન્દ્રીય સંરેખણ કહેવાય છે. તે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયનો એક ભાગ છે કે બે વ્યાખ્યાઓ સમકક્ષ છે. પરિમાણની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા, P માં, P નું સંરેખણ એ P થી P પરનું દ્વિભાજન છે જે રેખાઓ પર રેખાઓનો નકશો બનાવે છે. કેન્દ્રીય સંરેખણ (પરંપરાગત રીતે આને પરિપ્રેક્ષ્ય કહેવામાં આવતું હતું, પરંતુ આ શબ્દ મૂંઝવણભર્યો હોઈ શકે છે, જેનો બીજો અર્થ હોય છે; પરિપ્રેક્ષ્ય જુઓ) એ P થી P સુધી એક દ્વિભાજન α છે, જેમ કે ત્યાં એક હાયપરપ્લેન H (જેને α ની અક્ષ કહેવાય છે) અસ્તિત્વમાં છે, જે α દ્વારા બિંદુની દિશામાં નિશ્ચિત છે (એટલે કે, H માં તમામ બિંદુઓ X માટે) અને એક બિંદુ O (જેને α નું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે), જે α દ્વારા રેખીય રીતે નિશ્ચિત છે (O દ્વારા કોઈપણ રેખા પોતાને α દ્વારા મેપ કરવામાં આવે છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે બિંદુની દિશામાં). કેન્દ્રીય સંરેખણ બે પ્રકારના હોય છે. ઇલેશન્સ એ કેન્દ્રિય સંરેખણ છે જેમાં કેન્દ્ર અક્ષ સાથે સંલગ્ન હોય છે અને સમરૂપતાઓ તે છે જેમાં કેન્દ્ર અક્ષ સાથે સંલગ્ન નથી. કેન્દ્રીય સંરેખણને તેના કેન્દ્ર, તેની ધરી અને કોઈપણ આપેલ બિંદુ P ની છબી α (P) દ્વારા અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કેન્દ્ર O થી અલગ હોય છે અને અક્ષ સાથે સંબંધિત નથી. (કોઈપણ અન્ય બિંદુ Q ની છબી α (Q) એ O અને Q દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાનું આંતરછેદ છે અને α (P) માંથી પસાર થતી રેખા અને P અને Q દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાના અક્ષ સાથે આંતરછેદ છે.) કેન્દ્રીય સંરેખણ એ (n + 1) × (n + 1) મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમરૂપતા છે જે પરિમાણ n ની આઈગનસ્પેસ ધરાવે છે. તે એક સમરૂપતા છે, જો મેટ્રિક્સમાં અન્ય આઈગન વેલ્યુ હોય અને તેથી તે કર્ણક્ષમ હોય. જો તમામ આઈગન વેલ્યુઓ સમાન હોય અને મેટ્રિક્સ કર્ણાકાર ન હોય તો તે એક આનંદ છે. કેન્દ્રીય સંરેખણનું ભૌમિતિક દૃશ્ય પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં જોવાનું સૌથી સરળ છે. કેન્દ્રીય સંરેખણ α જોતાં, એક રેખા ધ્યાનમાં લો જે કેન્દ્ર O માંથી પસાર થતી નથી, અને તેની છબી α હેઠળ છે. ગોઠવણીમાં, α ની ધરી એ M થી R સુધીની કોઈ રેખા છે. α હેઠળની કોઈપણ બિંદુ A ની છબી સાથે OA નું આંતરછેદ છે. બિંદુ B ની છબી B′ જે તેની સાથે સંબંધિત નથી તે નીચેની રીતે બનાવી શકાય છેઃ ચાલો, પછી. બે કેન્દ્રીય સંરેખણની રચના, જ્યારે હજુ પણ સામાન્ય રીતે એક સમરૂપતા છે, તે કેન્દ્રિય સંરેખણ નથી. હકીકતમાં, દરેક સમરૂપતા એ મર્યાદિત સંખ્યામાં કેન્દ્રીય સંરેખણની રચના છે. કૃત્રિમ ભૂમિતિમાં, આ ગુણધર્મ, જે પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો એક ભાગ છે, તેને સમરૂપતાની વ્યાખ્યા તરીકે લેવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયમાં સમરૂપતાઓ ઉપરાંત સમરૂપતાઓ પણ છે. ખાસ કરીને, F ક્ષેત્રનું કોઈપણ ક્ષેત્ર ઓટોમોર્ફિઝમ બિંદુના તમામ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ (પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમ પર) પર σ લાગુ કરીને F પર દરેક પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાના સંરેખણને પ્રેરિત કરે છે. આ સંરેખણને ઓટોમોર્ફિક સંરેખણ કહેવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયમાં નીચેના ત્રણ પ્રમેયોનો સમાવેશ થાય છે. પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ P ની બે પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમ્સને જોતાં, P ની બરાબર એક હોમોગ્રાફી છે જે પ્રથમ ફ્રેમને બીજા પર મેપ કરે છે. જો પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ P નું પરિમાણ ઓછામાં ઓછું બે હોય, તો P નું દરેક સંરેખણ એ ઓટોમોર્ફિક સંરેખણ અને સમરૂપતાની રચના છે. ખાસ કરીને, વાસ્તવિક પર, ઓછામાં ઓછા બે પરિમાણોની પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાનું દરેક સંયોજન એક સમરૂપતા છે. દરેક સમલેખન એ મર્યાદિત સંખ્યામાં પરિપ્રેક્ષ્યોની રચના છે. ખાસ કરીને, જો ગર્ભિત પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાનું પરિમાણ ઓછામાં ઓછું બે હોય, તો દરેક સમરૂપતા એ મર્યાદિત સંખ્યામાં કેન્દ્રીય સંરેખણની રચના છે. જો પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓને સ્વયંસિદ્ધ (કૃત્રિમ ભૂમિતિ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો ત્રીજો ભાગ ફક્ત એક વ્યાખ્યા છે. બીજી બાજુ, જો પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓને રેખીય બીજગણિત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો પ્રથમ ભાગ વ્યાખ્યાઓનો સરળ પરિણામ છે. તેથી, કૃત્રિમ ભૂમિતિમાં પ્રથમ ભાગનો પુરાવો અને રેખીય બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ ત્રીજા ભાગનો પુરાવો બંને પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવાની બે રીતોની સમાનતાના પુરાવોના મૂળભૂત પગલાં છે. જેમ જેમ દરેક હોમોગ્રાફીમાં ઇન્વર્સ મેપિંગ હોય છે અને બે હોમોગ્રાફીની રચના બીજી હોય છે, તેમ આપેલ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસની હોમોગ્રાફી એક જૂથ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોબિયસ જૂથ એ કોઈપણ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ રેખાનું હોમોગ્રાફી જૂથ છે. જેમ કે સમાન ક્ષેત્ર પર સમાન પરિમાણની તમામ પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ આઇસોમોર્ફિક છે, તે જ તેમના હોમોગ્રાફી જૂથો માટે સાચું છે. તેથી તેમને ઘણી જગ્યાઓ પર કામ કરતા એક જ જૂથ તરીકે ગણવામાં આવે છે, અને સંકેતલિપીમાં માત્ર પરિમાણ અને ક્ષેત્ર દેખાય છે, ચોક્કસ પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યા નહીં. હોમોગ્રાફી જૂથો, જેને પ્રોજેક્ટિવ રેખીય જૂથો પણ કહેવામાં આવે છે, તે ક્ષેત્ર F પર પરિમાણ n ની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા પર કામ કરતી વખતે સૂચવવામાં આવે છે. હોમોગ્રાફીની ઉપરની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે કે તેને ભાગાકાર જૂથ સાથે ઓળખી શકાય છે, જ્યાં ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સનું સામાન્ય રેખીય જૂથ છે, અને F × I એ કદના ઓળખ મેટ્રિક્સના F ના બિન-શૂન્ય તત્વ દ્વારા ઉત્પાદનોનું જૂથ છે. જ્યારે F એ ગેલોઇસ ક્ષેત્ર GF (q) હોય ત્યારે હોમોગ્રાફી જૂથ લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદિત ક્ષેત્ર GF (7) પર પ્રક્ષેપાત્મક રેખામાં આઠ બિંદુઓ પર કાર્ય કરે છે, જ્યારે, જે વૈકલ્પિક જૂથ A5 માટે સમરૂપ છે, તે પાંચ બિંદુઓ સાથે પ્રક્ષેપાત્મક રેખાનું સમરૂપતા જૂથ છે. સમરૂપતા જૂથ એ પરિમાણ n ની પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાના સંરેખણના સંરેખણ જૂથનું પેટા જૂથ છે. જ્યારે પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાના બિંદુઓ અને રેખાઓને બ્લોક ડિઝાઇન તરીકે જોવામાં આવે છે, જેના બ્લોક એક રેખામાં સમાવિષ્ટ બિંદુઓના સમૂહ હોય છે, ત્યારે સંરેખણ જૂથને ડિઝાઇનનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ કહેવાનું સામાન્ય છે. ક્રોસ-રેશિયો ચાર સમરેખીય બિંદુઓનો ક્રોસ-રેશિયો એ સમરૂપતા હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે જે રેખાઓના સમરૂપતાના અભ્યાસ માટે મૂળભૂત છે. ત્રણ અલગ બિંદુઓ, અને ક્ષેત્ર પરની પ્રોજેક્ટિવ રેખા પર આ રેખાના પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમ બનાવે છે. તેથી તે નકશા પર આ લીટીની એક અનન્ય સમરૂપતા છે, 0 અને 1. સમાન રેખા પર ચોથા બિંદુને જોતાં, ચાર બિંદુઓનો ક્રોસ-રેશિયો, અને, સૂચવવામાં આવે છે, તે તેનું તત્વ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો પ્રોજેક્ટિવ ફ્રેમ પર સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો પછી. રિંગ પર ધારો કે A એ રિંગ છે અને U એ તેના એકમોનું જૂથ છે. હોમોગ્રાફી એ, લેખિત પી (એ) પર પ્રોજેક્ટિવ રેખા પર કાર્ય કરે છે, જેમાં પ્રોજેક્ટિવ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. પી (એ) પરની સમરૂપતાઓ મેટ્રિક્સ મેપિંગ્સ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જ્યારે એ એક પરિવર્તનીય રીંગ હોય, ત્યારે સમરૂપતા લખી શકાય છે પરંતુ અન્યથા રેખીય અપૂર્ણાંક પરિવર્તનને સમાનતા તરીકે જોવામાં આવે છેઃ પૂર્ણાંકો ઝેડની રીંગનું સમરૂપતા જૂથ મોડ્યુલર જૂથ છે. રિંગ હોમોગ્રાફીનો ઉપયોગ ક્વાટર્નિયન વિશ્લેષણમાં અને બેવડા ક્વાટર્નિયન સાથે સ્ક્રૂ સિદ્ધાંતને સરળ બનાવવા માટે કરવામાં આવે છે. અવકાશી સમયના અનુરૂપ જૂથને સમરૂપતાઓ સાથે રજૂ કરી શકાય છે જ્યાં A એ દ્વિભાજનોનું રચના બીજગણિત છે. સામયિક સમરૂપતા સમરૂપતા સામયિક હોય છે જ્યારે વીંટી Z/nZ (પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો n) હોય ત્યારથી આર્થર કેલેને 1879 માં પુનરાવર્તનની ગણતરી કરતી વખતે સમયાંતરે રસ હતો. સમલેખનની સમયાંતરે ક્રૂર બળ અભિગમની તેમની સમીક્ષામાં, એચ. એસ. એમ. કોક્સેટરએ આ વિશ્લેષણ આપ્યું હતુંઃ વાસ્તવિક સમલેખન અનૈચ્છિક (સમયગાળો 2) હોય તો અને માત્ર જો. જો તે સમયગાળા સાથે સામયિક હોય, તો તે લંબગોળ હોય છે, અને એવું ધારીને સામાન્યતાની કોઈ ખોટ થતી નથી. લાક્ષણિક મૂળ એ એક્સ્પ (±hπi/m) હોવાથી, જ્યાં, ટ્રેસ છે. એમ. કોલ અને એસ. લેવી દ્વારા 1977ના ફ્રેન્ચ મૂળમાંથી અનુવાદિત ડબલ્યુ-કર્વ નોટ્સ રેફરન્સ, 1987ના અંગ્રેજી અનુવાદની ચોથી પ્રિન્ટિંગ પેટ્રિક ડુ વેલ (1964) હોમોગ્રાફીઝ, ક્વાટર્નિયન્સ એન્ડ રોટેશન, ઓક્સફર્ડ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સ, ક્લેરેન્ડન પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ, પણ જુઓ. ગુંટર ઇવાલ્ડ (1971) ભૂમિતિઃ એક પરિચય, પાનું 263, બેલમોન્ટઃ વેડ્સવર્થ પબ્લિશિંગ. બાહ્ય કડીઓ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ પરિવર્તન (કાર્ય)