Characteristic function (probability theory)
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડામાં, કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યના રેન્ડમ ચલનું લાક્ષણિક કાર્ય તેના સંભાવના વિતરણને સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો રેન્ડમ વેરિયેબલ સંભાવના ઘનતા કાર્યને સ્વીકારે છે, તો લાક્ષણિક કાર્ય સંભાવના ઘનતા કાર્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. આમ તે સંભાવના ઘનતા કાર્યો અથવા સંચિત વિતરણ કાર્યો સાથે સીધા કામ કરવાની સરખામણીમાં વિશ્લેષણાત્મક પરિણામો માટે વૈકલ્પિક માર્ગ પ્રદાન કરે છે. રેન્ડમ વેરિયેબલ્સના ભારિત સરવાળા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિતરણોના લાક્ષણિક કાર્યો માટે ખાસ કરીને સરળ પરિણામો છે. એકરૂપ વિતરણો ઉપરાંત, લાક્ષણિકતા વિધેયોને વેક્ટર-અથવા મેટ્રિક્સ-મૂલ્યના રેન્ડમ ચલો માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને વધુ સામાન્ય કિસ્સાઓમાં પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. મોમેન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શનથી વિપરીત, જ્યારે વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન દલીલના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે ત્યારે લાક્ષણિકતા કાર્ય હંમેશા અસ્તિત્વમાં રહે છે. વિતરણના લાક્ષણિક કાર્યની વર્તણૂક અને વિતરણના ગુણધર્મો વચ્ચે સંબંધો છે, જેમ કે ક્ષણોના અસ્તિત્વ અને ઘનતા કાર્યનું અસ્તિત્વ. પરિચય લાક્ષણિકતા કાર્ય એ રેન્ડમ ચલનું વર્ણન કરવાની એક રીત છે. લાક્ષણિકતા કાર્ય, t નું કાર્ય, રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણની વર્તણૂક અને ગુણધર્મોને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. લાક્ષણિકતા કાર્ય સંચિત વિતરણ કાર્ય જેવું જ છે, (જ્યાં 1 {X ≤ x} એ સૂચક કાર્ય છે-તે જ્યારે 1 ની બરાબર હોય છે, અને અન્યથા શૂન્ય), જે રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણની વર્તણૂક અને ગુણધર્મોને પણ સંપૂર્ણપણે નક્કી કરે છે. બે અભિગમો એ અર્થમાં સમકક્ષ છે કે એક કાર્યને જાણીને બીજાને શોધવું હંમેશા શક્ય છે, તેમ છતાં તેઓ અવ્યવસ્થિત ચલની વિશેષતાઓને સમજવા માટે વિવિધ આંતરદૃષ્ટિ પ્રદાન કરે છે. વધુમાં, ખાસ કિસ્સાઓમાં, આ કાર્યોને સરળ પ્રમાણભૂત કાર્યોને સમાવતી અભિવ્યક્તિઓ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે કે કેમ તેમાં તફાવત હોઈ શકે છે. જો રેન્ડમ વેરિયેબલ ડેન્સિટી ફંક્શનને સ્વીકારે છે, તો લાક્ષણિકતા ફંક્શન તેનું ફોરિયર ડ્યુઅલ છે, તે અર્થમાં કે તેમાંથી દરેક અન્યનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. જો રેન્ડમ વેરિયેબલમાં મોમેન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શન હોય, તો લાક્ષણિકતા ફંક્શનનું ડોમેન જટિલ પ્લેન સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને જો કે નોંધ લો કે વિતરણનું લાક્ષણિકતા ફંક્શન હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે, પછી ભલે સંભાવના ઘનતા ફંક્શન અથવા મોમેન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શન ન હોય. લાક્ષણિક કાર્ય અભિગમ ખાસ કરીને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના રેખીય સંયોજનોના વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી છેઃ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો શાસ્ત્રીય પુરાવો લાક્ષણિક કાર્યો અને લેવીના સાતત્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. અન્ય મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સની વિઘટનક્ષમતાના સિદ્ધાંત માટે છે. વ્યાખ્યા સ્કેલર રેન્ડમ વેરિયેબલ X માટે લાક્ષણિક કાર્યને EitX ના અપેક્ષિત મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં i એ કાલ્પનિક એકમ છે, અને લાક્ષણિક કાર્યની દલીલ છેઃ અહીં FX એ X નું સંચિત વિતરણ કાર્ય છે, fX એ અનુરૂપ સંભાવના ઘનતા કાર્ય છે, QX (p) એ અનુરૂપ વ્યસ્ત સંચિત વિતરણ કાર્ય છે જેને ક્વોન્ટાઇલ કાર્ય પણ કહેવાય છે, અને સંકલન રીમાન-સ્ટીલ્ટજેસ પ્રકારનાં છે. જો રેન્ડમ વેરિયેબલ X સંભાવના ઘનતા કાર્ય ધરાવે છે, તો લાક્ષણિક કાર્ય એ જટિલ ઘાતાંકીયમાં સાઇન રિવર્સલ સાથે તેનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. લાક્ષણિકતા કાર્યની વ્યાખ્યામાં દેખાતા અચળાંકો માટેનું આ સંમેલન ફોરિયર પરિવર્તન માટેના સામાન્ય સંમેલનથી અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક લેખકો વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે અનિવાર્યપણે પરિમાણમાં ફેરફાર છે. સાહિત્યમાં અન્ય સંકેતો મળી શકે છેઃ સંભાવના માપ p માટે લાક્ષણિકતા કાર્ય તરીકે, અથવા ઘનતા f ને અનુરૂપ લાક્ષણિકતા કાર્ય તરીકે. સામાન્યીકરણ લાક્ષણિકતા કાર્યોની કલ્પના મલ્ટિવેરિયેટ રેન્ડમ ચલો અને વધુ જટિલ રેન્ડમ ઘટકોને સામાન્ય બનાવે છે. લાક્ષણિકતા કાર્યની દલીલ હંમેશા તે જગ્યાના સતત દ્વિગુણ સાથે સંબંધિત રહેશે જ્યાં રેન્ડમ ચલ X તેના મૂલ્યો લે છે. સામાન્ય કિસ્સાઓમાં આવી વ્યાખ્યાઓ નીચે સૂચિબદ્ધ છેઃ જો X એ k-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર છે, તો વેક્ટરનું ટ્રાન્સપોઝ ક્યાં છે, જો X એ k × p-પરિમાણીય રેન્ડમ મેટ્રિક્સ છે, તો પછી ટ્રેસ ઓપરેટર ક્યાં છે, જો X એક જટિલ રેન્ડમ ચલ છે, તો પછી જ્યાં જટિલ સંયુગ્મ છે અને તે જટિલ સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ છે, જો X એ k-પરિમાણીય જટિલ રેન્ડમ વેક્ટર છે, તો પછી વેક્ટરનું સંયુગ્મ ટ્રાન્સપોઝ ક્યાં છે, જો X (s) એક સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા છે, તો પછી તમામ કાર્યો t (s) માટે જેમ કે X ની લગભગ તમામ અનુભૂતિઓ માટે અભિન્ન એકરૂપ થાય છે ઉદાહરણ તરીકે ઓબેરહેટિંગર (1973) લાક્ષણિક કાર્યોની વ્યાપક કોષ્ટકો પ્રદાન કરે છે. ગુણધર્મો વાસ્તવિક મૂલ્યના રેન્ડમ વેરિયેબલનું લાક્ષણિક કાર્ય હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે, કારણ કે તે એવી જગ્યા પર બંધાયેલ સતત કાર્યનું અભિન્ન અંગ છે જેનું માપ મર્યાદિત હોય છે. એક લાક્ષણિક કાર્ય સમગ્ર જગ્યા પર એકસમાન રીતે સતત રહે છે. તે શૂન્યની આસપાસના વિસ્તારમાં લુપ્ત થતું નથીઃ φ (0) = 1. તે બંધાયેલ છેઃ |φ (t) | ≤1. તે હર્મિશિયન છેઃ ખાસ કરીને, સપ્રમાણ (મૂળની આસપાસ) રેન્ડમ વેરિયેબલનું લાક્ષણિક કાર્ય વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન અને સમાન હોય છે. સંભાવના વિતરણ અને લાક્ષણિક કાર્યો વચ્ચે દ્વિભાજન છે. એટલે કે, કોઈપણ બે રેન્ડમ ચલ X1, X2 માટે, બંનેમાં સમાન સંભાવના વિતરણ હોય છે જો અને માત્ર જો. જો રેન્ડમ ચલ X પાસે k-th ક્રમ સુધીની ક્ષણો હોય, તો લાક્ષણિકતા વિધેય φX એ સમગ્ર વાસ્તવિક રેખા પર k વખત સતત વિકલનક્ષમ છે. આ કિસ્સામાં જો લાક્ષણિકતા વિધેય φX શૂન્ય પર k-th વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે, તો પછી રેન્ડમ ચલ X પાસે k સુધીની તમામ ક્ષણો હોય છે જો k સમ હોય, પરંતુ માત્ર ત્યારે જ જો k વિષમ હોય. જો X1,., Xn સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, અને a1,., an કેટલાક અચળાંકો છે, તો પછી xi 's ના રેખીય સંયોજનનું લાક્ષણિક કાર્ય છે એક વિશિષ્ટ કેસ એ બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X1 અને X2 નો સરવાળો છે. અને સ્વતંત્ર છે જો અને માત્ર જો. લાક્ષણિક કાર્યની પૂંછડીની વર્તણૂક અનુરૂપ ઘનતા કાર્યની સરળતા નક્કી કરે છે. રેન્ડમ વેરિયેબલને રેન્ડમ વેરિયેબલનું રેખીય પરિવર્તન માની લો. તેનું લાક્ષણિક કાર્ય છે. રેન્ડમ વેક્ટર માટે અને (જ્યાં A એ કોન્સ્ટન્ટ મેટ્રિક્સ છે અને B એ કોન્સ્ટન્ટ વેક્ટર છે), આપણી પાસે છે. સાતત્ય સંભાવના વિતરણ અને લાક્ષણિક કાર્યો વચ્ચે ઉપર દર્શાવેલ દ્વિભાજન ક્રમિક રીતે સતત છે. એટલે કે, જ્યારે પણ વિતરણ વિધેયો Fj (x) નો ક્રમ અમુક વિતરણ F (x) માં (નબળી રીતે) એકરૂપ થાય છે, ત્યારે લાક્ષણિક વિધેયો φj (t) નો અનુરૂપ ક્રમ પણ એકરૂપ થશે, અને મર્યાદા φ (t) એ નિયમ F ના લાક્ષણિક કાર્યને અનુરૂપ હશે. વધુ ઔપચારિક રીતે, આને લેવીના સાતત્ય પ્રમેય તરીકે વર્ણવવામાં આવે છેઃ n-ચલ રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ Xj વિતરણમાં રેન્ડમ ચલ X માં એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમ φXj બિંદુની દિશામાં કાર્ય φ માં એકરૂપ થાય છે જે મૂળ પર સતત હોય. જ્યાં φ એ X નું લાક્ષણિક કાર્ય છે. આ પ્રમેયનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યાઓના નિયમ અને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે. વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર સંચિત વિતરણ કાર્યો અને લાક્ષણિક કાર્યો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે, તેથી જો આપણે બીજાને જાણતા હોઈએ તો આમાંથી એક કાર્ય શોધવું શક્ય છે. લાક્ષણિકતા કાર્યની વ્યાખ્યામાં સૂત્ર આપણને φ ની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે જ્યારે આપણે વિતરણ કાર્ય F (અથવા ઘનતા f) ને જાણીએ છીએ. જો, બીજી બાજુ, આપણે લાક્ષણિકતા કાર્ય φ ને જાણતા હોઈએ અને અનુરૂપ વિતરણ કાર્ય શોધવા માંગતા હોઈએ, તો પછી નીચેના વ્યુત્ક્રમ પ્રમેયોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. પ્રમેય. જો રેન્ડમ ચલ X નું લાક્ષણિક કાર્ય φX સંકલનક્ષમ હોય, તો FX સંપૂર્ણપણે સતત હોય છે, અને તેથી X સંભાવના ઘનતા કાર્ય ધરાવે છે. અવિભાજ્ય કિસ્સામાં (એટલે કે. જ્યારે X એ સ્કેલર-વેલ્યુડ હોય) ત્યારે ડેન્સિટી ફંક્શન આના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘનતા કાર્ય એ લેબસ્ગ્યુ માપ λ: પ્રમેય (લેવી) ના સંદર્ભમાં વિતરણ μX નું રેડોન-નિકોડીમ વ્યુત્પન્ન છે. જો φX એ વિતરણ કાર્ય FX નું લાક્ષણિક કાર્ય હોય, તો બે બિંદુઓ a <b એવા હોય છે જે μX નો સાતત્ય સમૂહ હોય (અવિભાજ્ય કિસ્સામાં આ સ્થિતિ બિંદુઓ a અને b પર FX ની સાતત્ય સમાન હોય), તો પછી જો X સ્કેલર હોયઃ આ સૂત્રને આંકડાકીય ગણતરી માટે વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ફરીથી દર્શાવી શકાય છે કારણ કે નીચેથી બંધાયેલ રેન્ડમ ચલ માટે કોઈ એવી રીતે મેળવી શકે છે કે અન્યથા, જો રેન્ડમ ચલ નીચેથી બંધાયેલ ન હોય, તો તેની મર્યાદા આપે છે, પરંતુ તે આંકડાકીય રીતે અવ્યવહારુ છે. જો X એ વેક્ટર રેન્ડમ ચલ હોય તોઃ પ્રમેય. જો a એ (સંભવતઃ) X નો અણુ હોય (અવિભાજ્ય કિસ્સામાં આનો અર્થ FX ની વિસંગતતા છે) તો પછી જો X સ્કેલર હોયઃ જો X વેક્ટર રેન્ડમ ચલ હોય તોઃ પ્રમેય (ગિલ-પેલેઝ). અવિભાજ્ય રેન્ડમ ચલ X માટે, જો x એ FX નો સાતત્ય બિંદુ હોય તો જ્યાં જટિલ સંખ્યાનો કાલ્પનિક ભાગ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અને તેનું ડેન્સિટી ફંક્શન છેઃ ઇન્ટિગ્રલ લેબસ્ગ્યુ-ઇન્ટિગ્રેબલ ન પણ હોઈ શકે; ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે X એ ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ વેરિયેબલ છે જે હંમેશા 0 હોય, ત્યારે તે ડિરીક્લેટ ઇન્ટિગ્રલ બની જાય છે. બહુવિધ વિતરણ માટે વ્યુત્ક્રમ સૂત્રો ઉપલબ્ધ છે. લાક્ષણિક કાર્યો માટેના માપદંડ તમામ લાક્ષણિક કાર્યોનો સમૂહ ચોક્કસ કામગીરીઓ હેઠળ બંધ હોય છેઃ મર્યાદિત અથવા લાક્ષણિક કાર્યોની ગણતરીપાત્ર સંખ્યાનું બહિર્મુખ રેખીય સંયોજન (સાથે) પણ એક લાક્ષણિક કાર્ય છે. લાક્ષણિકતા કાર્યોની મર્યાદિત સંખ્યાનું ઉત્પાદન પણ એક લાક્ષણિકતા કાર્ય છે. આ જ બાબત અનંત ઉત્પાદન માટે લાગુ પડે છે, જો કે તે મૂળ પર સતત કાર્યમાં એકરૂપ થાય છે. જો φ એક લાક્ષણિક કાર્ય છે અને α એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, તો પછી, Re (φ), |φ |2, અને φ (αt) પણ લાક્ષણિક કાર્યો છે. તે સારી રીતે જાણીતું છે કે F (− ν) = 0, F (+ ν) = 1 ની મર્યાદાઓ સાથેનું કોઈપણ બિન-ઘટતું કેડ્લેગ ફંક્શન F કેટલાક રેન્ડમ વેરિયેબલના સંચિત વિતરણ ફંક્શનને અનુરૂપ છે. જ્યારે આપેલ ફંક્શન φ કેટલાક રેન્ડમ વેરિયેબલનું લાક્ષણિક કાર્ય હોઈ શકે છે ત્યારે સમાન સરળ માપદંડ શોધવામાં પણ રસ છે. અહીં કેન્દ્રિય પરિણામ બોચ્નરનો પ્રમેય છે, જો કે તેની ઉપયોગિતા મર્યાદિત છે કારણ કે પ્રમેયની મુખ્ય શરત, બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિતતા, ચકાસવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. અન્ય પ્રમેયો પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમ કે ખિનચિન, મેથિયાસ અથવા ક્રેમર, જોકે તેમનો ઉપયોગ પણ એટલો જ મુશ્કેલ છે. બીજી બાજુ, પોલ્યાનું પ્રમેય, એક ખૂબ જ સરળ બહિર્મુખ સ્થિતિ પ્રદાન કરે છે જે પૂરતી છે પરંતુ જરૂરી નથી. લાક્ષણિક કાર્યો કે જે આ સ્થિતિને સંતોષે છે તેને પોલ્યા-પ્રકાર કહેવામાં આવે છે. બોચ્નરનો પ્રમેય. એક આર્બિટરી ફંક્શન φ: Rn → C એ કેટલાક રેન્ડમ વેરિયેબલનું લાક્ષણિક કાર્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો φ હકારાત્મક નિશ્ચિત હોય, મૂળ પર સતત હોય, અને જો φ (0) = 1 હોય. ખિનચિનનો માપદંડ. φ (0) = 1 સાથેનું જટિલ-મૂલ્ય ધરાવતું, સંપૂર્ણપણે સતત કાર્ય φ, એક લાક્ષણિક કાર્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મેથિયસના પ્રમેયની રજૂઆતને સ્વીકારે. φ (0) = 1 સાથે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું, સમ, સતત, સંપૂર્ણપણે સંકલિત કાર્ય φ, એક લાક્ષણિક કાર્ય છે જો અને માત્ર જો n = 0,1,2,., અને બધા p> 0 માટે હોય. અહીં H2n ડિગ્રી 2n ની હર્માઇટ બહુપદી સૂચવે છે. પોલ્યાનું પ્રમેય. જો વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું, સમ, સતત વિધેય જે શરતોને સંતોષે છે, તે માટે બહિર્મુખ છે, તો પછી φ (t) એ 0 ની આસપાસ સંપૂર્ણપણે સતત વિતરણ સમપ્રમાણતાનું લાક્ષણિક વિધેય છે. ઉપયોગો સાતત્ય પ્રમેયને કારણે, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના સૌથી વધુ વારંવાર જોવા મળતા પુરાવાઓમાં લાક્ષણિકતા કાર્યોનો ઉપયોગ થાય છે. લાક્ષણિક કાર્ય સાથે ગણતરી કરવામાં સામેલ મુખ્ય તકનીક એ કાર્યને ચોક્કસ વિતરણના લાક્ષણિક કાર્ય તરીકે ઓળખવાની છે. વિતરણની મૂળભૂત હેરફેર લાક્ષણિક કાર્યો ખાસ કરીને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના રેખીય કાર્યો સાથે વ્યવહાર કરવા માટે ઉપયોગી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સ્વતંત્ર (અને જરૂરી નથી કે સમાન રીતે વિતરિત) રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ હોય, અને જ્યાં એઆઇ અચળાંકો હોય, તો પછી Sn માટેનું લાક્ષણિક કાર્ય ખાસ કરીને, દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ જોવા માટે, લાક્ષણિક કાર્યની વ્યાખ્યા લખોઃ ત્રીજી અને ચોથી અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા સ્થાપિત કરવા માટે X અને Y ની સ્વતંત્રતા જરૂરી છે. સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ માટે રસનો બીજો વિશેષ કેસ એ છે કે ક્યારે અને પછી Sn એ નમૂનાનો સરેરાશ છે. આ કિસ્સામાં, સરેરાશ માટે લખવું, ક્ષણો લાક્ષણિકતા કાર્યોનો ઉપયોગ રેન્ડમ ચલની ક્ષણો શોધવા માટે પણ થઈ શકે છે. જો કે n મોમેન્ટ અસ્તિત્વમાં હોય, તો લાક્ષણિકતા કાર્યને n વખત અલગ કરી શકાય છેઃ આ ઔપચારિક રીતે ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યના વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છેઃ જે મોમેન્ટ સમસ્યાના ઔપચારિક ઉકેલની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે X પ્રમાણભૂત કોચી વિતરણ ધરાવે છે. પછી. આ t = 0 પર વિકલનક્ષમ નથી, જે દર્શાવે છે કે કોચી વિતરણની કોઈ અપેક્ષા નથી. ઉપરાંત, n સ્વતંત્ર અવલોકનોના નમૂનાના સરેરાશના લાક્ષણિક કાર્યમાં લાક્ષણિક કાર્ય છે, જે અગાઉના વિભાગના પરિણામનો ઉપયોગ કરે છે. આ પ્રમાણભૂત કોચી વિતરણનું લાક્ષણિક કાર્ય છેઃ આમ, નમૂનાનું સરેરાશ વસ્તી જેટલું જ વિતરણ ધરાવે છે. વધુ એક ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે X ગૌસીયન વિતરણને અનુસરે છે. . પછી અને એ સમાન ગણતરી દર્શાવે છે અને અપેક્ષા ની વ્યાખ્યાને લાગુ કરવા અને મૂલ્યાંકન કરવા માટે ભાગો દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરવા કરતાં હાથ ધરવાનું સરળ છે. લાક્ષણિક કાર્યનો લઘુગણક એ સંચયી ઉત્પન્ન કાર્ય છે, જે સંચયી કાર્ય શોધવા માટે ઉપયોગી છે; કેટલાક તેના બદલે સંચયી ઉત્પન્ન કાર્યને ક્ષણ-ઉત્પન્ન કાર્યના લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને લાક્ષણિક કાર્યના લઘુગણકને બીજું સંચયી ઉત્પન્ન કાર્ય કહે છે. ડેટા વિશ્લેષણ લાક્ષણિકતા કાર્યોનો ઉપયોગ ડેટાના નમૂનાઓમાં સંભાવના વિતરણને ફિટ કરવા માટેની પ્રક્રિયાઓના ભાગ રૂપે થઈ શકે છે. એવા કિસ્સાઓ કે જ્યાં આ અન્ય શક્યતાઓની તુલનામાં વ્યવહારુ વિકલ્પ પ્રદાન કરે છે તેમાં સ્થિર વિતરણને ફીટ કરવાનો સમાવેશ થાય છે કારણ કે ઘનતા માટે બંધ સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિઓ ઉપલબ્ધ નથી જે મહત્તમ સંભાવના અંદાજના અમલીકરણને મુશ્કેલ બનાવે છે. અંદાજ પ્રક્રિયાઓ ઉપલબ્ધ છે જે સૈદ્ધાંતિક લાક્ષણિકતા કાર્યને પ્રયોગમૂલક લાક્ષણિકતા કાર્ય સાથે મેળ ખાય છે, જેની ગણતરી ડેટામાંથી કરવામાં આવે છે. પોલસન એટ અલ. (1975) અને હીથકોટ (1977) આવી અંદાજ પ્રક્રિયા માટે કેટલીક સૈદ્ધાંતિક પૃષ્ઠભૂમિ પ્રદાન કરે છે. વધુમાં, યુ (2004) સમય શ્રેણીના નમૂનાઓને ફિટ કરવા માટે પ્રયોગમૂલક લાક્ષણિકતા કાર્યોના ઉપયોગોનું વર્ણન કરે છે જ્યાં સંભાવના પ્રક્રિયાઓ અવ્યવહારુ હોય છે. અન્સારી એટ અલ દ્વારા પ્રયોગમૂલક લાક્ષણિકતા કાર્યોનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. (2020) અને લી એટ અલ. (2020) જનરેટિવ એડવર્સરીયલ નેટવર્કને તાલીમ આપવા માટે. ઉદાહરણ સ્કેલ પરિમાણ θ અને આકાર પરિમાણ k સાથેનું ગામા વિતરણ લાક્ષણિકતા કાર્ય ધરાવે છે હવે ધારો કે આપણી પાસે X અને Y એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, અને આપણે જાણવા માંગીએ છીએ કે X + Y નું વિતરણ શું છે. લાક્ષણિક કાર્યો એ છે કે જે સ્વતંત્રતા દ્વારા અને લાક્ષણિક કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો તરફ દોરી જાય છે આ ગામા વિતરણ સ્કેલ પરિમાણ θ અને આકાર પરિમાણ k1 + k2 નું લાક્ષણિક કાર્ય છે, અને તેથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે પરિણામને સમાન સ્કેલ પરિમાણ સાથે n સ્વતંત્ર ગામા વિતરિત રેન્ડમ ચલ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે અને આપણને સંપૂર્ણ લાક્ષણિક કાર્યો મળે છે ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ, લાક્ષણિક કાર્યની દલીલને વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છેઃ જો કે, લાક્ષણિક કાર્યોના સિદ્ધાંતના કેટલાક પાસાઓ વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા જટિલ સમતલમાં વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરીને આગળ વધારવામાં આવે છે, જ્યાં આ શક્ય હોય તેવા કિસ્સાઓમાં. સંબંધિત વિભાવનાઓમાં ક્ષણ-નિર્માણ કાર્ય અને સંભાવના-નિર્માણ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. લાક્ષણિકતા કાર્ય તમામ સંભાવના વિતરણ માટે અસ્તિત્વમાં છે. મોમેન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શન માટે આ કેસ નથી. લાક્ષણિકતા કાર્ય ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સાથે નજીકથી સંબંધિત છેઃ સંભાવના ઘનતા કાર્ય p (x) નું લાક્ષણિકતા કાર્ય એ p (x) ના સતત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું જટિલ સંયોજન છે (સામાન્ય પરંપરા અનુસાર; સતત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ-અન્ય પરંપરાઓ જુઓ). જ્યાં પી (ટી) સંભાવના ઘનતા કાર્ય પી (એક્સ) ના સતત ફોરિયર પરિવર્તનને સૂચવે છે. તેવી જ રીતે, p (x) ને φX (t) માંથી ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છેઃ ખરેખર, જ્યારે રેન્ડમ વેરિયેબલમાં ઘનતા ન હોય ત્યારે પણ, લાક્ષણિક કાર્યને રેન્ડમ વેરિયેબલને અનુરૂપ માપના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે જોઈ શકાય છે. અન્ય સંબંધિત ખ્યાલ એ વિતરણના કર્નલ એમ્બેડિંગ દ્વારા પુનઃઉત્પાદન કર્નલ હિલ્બર્ટ જગ્યાના ઘટકો તરીકે સંભાવના વિતરણની રજૂઆત છે. આ માળખાને કર્નલ કાર્યની ચોક્કસ પસંદગીઓ હેઠળ લાક્ષણિક કાર્યના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. પેટા સ્વતંત્રતા પણ જુઓ, જે સ્વતંત્રતા કરતાં નબળી સ્થિતિ છે, જેને લાક્ષણિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ક્યુમ્યુલન્ટ, ક્યુમ્યુલન્ટ જનરેટિંગ ફંક્શન્સનો એક શબ્દ છે, જે લાક્ષણિક કાર્યોના લોગ છે. નોંધો સંદર્ભો સંદર્ભો સ્ત્રોતો બાહ્ય કડીઓ સંભાવના વિતરણ સંબંધિત કાર્યો