Grothendieck spectral sequence
ગણિતમાં, હોમોલોજિકલ બીજગણિતના ક્ષેત્રમાં, એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા તેમના તોહોકુ પેપરમાં રજૂ કરાયેલ ગ્રોથેન્ડીક વર્ણપટ ક્રમ, એક વર્ણપટ ક્રમ છે જે અને ના વ્યુત્પન્ન પરિબળોના જ્ઞાનમાંથી બે પરિબળોની રચનાના વ્યુત્પન્ન પરિબળોની ગણતરી કરે છે. બીજગણિત ભૂમિતિમાં ઘણા વર્ણપટ ક્રમ ગ્રોથેન્ડીક વર્ણપટ ક્રમના ઉદાહરણો છે, ઉદાહરણ તરીકે લેરે વર્ણપટ ક્રમ. નિવેદન જો અને એ એબેલિયન વર્ગો વચ્ચેના બે એડિટિવ અને લેફ્ટ ચોક્કસ ફંકટર હોય, જેમ કે બંનેમાં પૂરતા પ્રમાણમાં ઇન્જેક્ટિવ હોય અને ઇન્જેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સને-એસાયક્લિક ઓબ્જેક્ટ્સમાં લઈ જાય, તો ત્યાં દરેક ઓબ્જેક્ટ માટે એક સ્પેક્ટ્રલ ક્રમ હોય છેઃ જ્યાં p-th જમણી બાજુથી મેળવેલ ફંકટર વગેરે સૂચવે છે, અને જ્યાં તીર "એટલે સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સનો કન્વર્જન્સ. પાંચ શબ્દનો ચોક્કસ ક્રમ નીચા ડિગ્રીનો ચોક્કસ ક્રમ વાંચે છે ઉદાહરણો લેરે વર્ણપટ ક્રમ જો અને તે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ હોય, તો ચાલો અને અનુક્રમે અને તેના પર અબેલિયન જૂથોના આવરણની શ્રેણી બનીએ. સતત નકશા માટે (ડાબે-બરાબર) ડાયરેક્ટ ઈમેજ ફંકટર હોય છે. આપણી પાસે વૈશ્વિક વિભાગ ફંકટર પણ છે અને પછી અને ફંકટર અને પૂર્વધારણાઓને સંતોષે છે (કારણ કે સીધી છબી ફંકટર ચોક્કસ ડાબી બાજુએ હોય છે, ઇન્જેક્ટીવ્સની પુશફોરવર્ડ્સ ઇન્જેક્ટિવ હોય છે અને ખાસ કરીને વૈશ્વિક વિભાગ ફંકટર માટે એસાયક્લિક હોય છે), આ કિસ્સામાં ક્રમ બને છેઃ એબેલિયન જૂથોના આવરણ માટે. લોકલ-ટુ-ગ્લોબલ એક્સ્ટ સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ ગ્લોબલ એક્સ્ટ અને શીફ એક્સ્ટને સંબંધિત એક સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ છેઃ ચાલો એફ, જી રિંગ્ડ સ્પેસ પર મોડ્યુલોના શીવ્સ હોય; દા. ત., એક યોજના. પછી આ ગ્રોથેન્ડીક સ્પેક્ટ્રલ અનુક્રમનું એક ઉદાહરણ છેઃ ખરેખર, અને. વધુમાં, ફ્લાસ્ક શીવ્સ પર ઇન્જેક્ટિવ-મોડ્યુલો મોકલે છે, જે-એસાયક્લિક હોય છે. તેથી, પૂર્વધારણાને સંતોષ મળે છે. વ્યુત્પત્તિ આપણે નીચેના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીશુંઃ પુરાવોઃ ચાલો કર્નલ અને તેની છબી બનીએ. આપણી પાસે કયા વિભાજન છે. આ સૂચવે છે કે દરેક ઇન્જેક્ટિવ છે. આગળ આપણે જોઈએ છીએ કે તે વિભાજિત થાય છે, જે લેમ્માનો પ્રથમ ભાગ સૂચવે છે, તેમજ તેની ચોકસાઈ પણ સૂચવે છે તેવી જ રીતે આપણી પાસે (અગાઉના વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને): બીજો ભાગ હવે અનુસરે છે. હવે આપણે વર્ણપટ ક્રમ બનાવીએ છીએ. ધારો કે A નું ઇન્જેક્ટીવ રિઝોલ્યુશન છે. માટે લખીને, આપણી પાસે છેઃ ઇન્જેક્ટિવ ઠરાવો લો અને પ્રથમ અને ત્રીજી બિન-શૂન્ય શરતો લો. હોર્સશૂ લેમ્મા દ્વારા, તેમનો સીધો સરવાળો એક ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન છે. તેથી, અમને સંકુલનું ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન મળ્યુંઃ જેમ કે દરેક પંક્તિ લેમ્માની પૂર્વધારણાને સંતોષે છે (cf. કાર્ટન-આઈલેનબર્ગ ઠરાવ.) હવે, ડબલ કોમ્પ્લેક્સ બે સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સને જન્મ આપે છે, આડી અને ઊભી, જેની આપણે હવે તપાસ કરવા જઈ રહ્યા છીએ. એક તરફ, વ્યાખ્યા મુજબ, જે હંમેશા શૂન્ય હોય છે સિવાય કે q = 0 કારણ કે પૂર્વધારણા દ્વારા G-ચક્રીય હોય છે. તેથી, અને. બીજી બાજુ, વ્યાખ્યા અને લેમ્મા દ્વારા, કારણ કે એક ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન છે (તે એક રિઝોલ્યુશન છે કારણ કે તેની કોહોમોલોજી તુચ્છ છે), કારણ કે અને સમાન મર્યાદિત શબ્દ હોવાથી, સાબિતી પૂર્ણ છે. નોંધો સંદર્ભો કોમ્પ્યુટેશનલ ઉદાહરણો શાર્પ, એરિક (2003). ડી-બ્રેન્સ અને શીવ્સ (પૃષ્ઠો 18-19), સ્પેક્ટ્રલ સિક્વન્સ પર વ્યાખ્યાન