Spanier–Whitehead duality
ગણિતમાં, સ્પેનિઅર-વ્હાઇટહેડ દ્વૈતતા એ હોમોટૉપી સિદ્ધાંતમાં દ્વૈતતા સિદ્ધાંત છે, જે ભૌમિતિક વિચાર પર આધારિત છે કે ટોપોલોજિકલ જગ્યા X ને n-ગોળામાં તેના પૂરક તરીકે દ્વિ ગણી શકાય, જ્યાં n પૂરતો મોટો છે. તેની ઉત્પત્તિ એલેક્ઝાન્ડર દ્વૈત સિદ્ધાંતમાં, સમરૂપતા સિદ્ધાંતમાં, મેનીફોલ્ડ્સમાં પૂરકતા સંબંધિત છે. આ સિદ્ધાંતને એસ-દ્વૈત તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, પરંતુ આ હવે સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંતની એસ-દ્વૈત સાથે સંભવિત મૂંઝવણ પેદા કરી શકે છે. તેનું નામ એડવિન સ્પાનિયર અને જે. એચ. સી. વ્હાઇટહેડના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1955થી કાગળોમાં વિકસાવ્યું હતું. મૂળભૂત મુદ્દો એ છે કે ગોળાકાર પૂરક સમરૂપતા નક્કી કરે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે સમસ્થાનિક પ્રકાર નહીં. જો કે, જે નક્કી કરવામાં આવે છે તે સ્થિર હોમોટૉપી પ્રકાર છે, જેની કલ્પના હોમોટૉપી પ્રકાર માટે પ્રથમ અંદાજ તરીકે કરવામાં આવી હતી. આમ સ્પાનિયર-વ્હાઇટહેડ દ્વૈતતા સ્થિર હોમોટોપી સિદ્ધાંતમાં બંધબેસે છે. નિવેદન X ને કોમ્પેક્ટ નેબરહૂડ રીટ્રેક્ટ ઇન થવા દો. પછી અને એક મોનોઇડલ માળખા તરીકે સ્મેશ પ્રોડક્ટ સાથે પોઇન્ટેડ સ્પેક્ટ્રાની શ્રેણીમાં બેવડા પદાર્થો છે. અહીં અને એક બિંદુનું જોડાણ છે, અને અનુક્રમે ઘટાડેલા અને ન ઘટાડેલા સસ્પેન્શન છે. આઈલેનબર્ગ-મેકલેન વર્ણપટના સંદર્ભમાં સમરૂપતા અને સમરૂપતા લેવાથી ઔપચારિક રીતે એલેક્ઝાન્ડર દ્વૈતતા પુનઃપ્રાપ્ત થાય છે. સંદર્ભો હોમોટોપી સિદ્ધાંત દ્વૈત સિદ્ધાંતો