Matrix differential equation
વિભેદક સમીકરણ એ એક અથવા અનેક ચલોના અજ્ઞાત કાર્ય માટેનું ગાણિતિક સમીકરણ છે જે કાર્યના મૂલ્યો અને વિવિધ ક્રમના તેના વ્યુત્પન્ન સાથે સંબંધિત છે. મેટ્રિક્સ વિભેદક સમીકરણમાં તેમના વ્યુત્પન્ન સાથે કાર્યોને સંબંધિત મેટ્રિક્સ સાથે વેક્ટર સ્વરૂપમાં એક કરતા વધુ કાર્ય હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ક્રમના મેટ્રિક્સ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ એ છે કે જ્યાં અંતર્ગત ચલનાં કાર્યોનું વેક્ટર હોય, તે આ કાર્યોનાં પ્રથમ વ્યુત્પન્નોનું વેક્ટર હોય અને તે ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ હોય. એવા કિસ્સામાં જ્યાં અચળાંક હોય અને n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર આઈગનવેક્ટર્સ હોય, આ વિભેદક સમીકરણનો નીચેનો સામાન્ય ઉકેલ છે, જ્યાં A ના આઈગનવેલ્યુ છે; A ના સંબંધિત આઈગનવેક્ટર્સ છે; અને અચળાંક છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો તેના અભિન્ન સાથે પરિવર્તન થાય તો મેગ્નસ વિસ્તરણ અગ્રણી ક્રમમાં ઘટાડો કરે છે, અને વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ છે કે જ્યાં એક અચળ વેક્ટર છે. કેલે-હેમિલ્ટન પ્રમેય અને વેન્ડરમોન્ડે-પ્રકારનાં મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરીને, આ ઔપચારિક મેટ્રિક્સ ઘાતાંકીય ઉકેલને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. નીચે, આ ઉકેલ પુટઝરના અલ્ગોરિધમનો સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. મેટ્રિક્સ સિસ્ટમની સ્થિરતા અને સ્થિર સ્થિતિ n × 1 પરિમાણ અચળ વેક્ટર b સાથેનું મેટ્રિક્સ સમીકરણ સ્થિર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અચળ મેટ્રિક્સ A ના તમામ આઈગન મૂલ્યોમાં નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ હોય. સ્થિર સ્થિતિ x * કે જેમાં તે સ્થિર હોય તો એકરૂપ થાય છે તે સેટિંગ દ્વારા જોવા મળે છે, આમ ધારો કે A ઉલટાવી શકાય તેવું છે. આમ, મૂળ સમીકરણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી વિચલનોના સંદર્ભમાં એકરૂપ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, આને વ્યક્ત કરવાની સમકક્ષ રીત એ છે કે x * એ અસમરૂપ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે, જ્યારે તમામ ઉકેલો એકરૂપ સમીકરણ (b = 0) ના ઉકેલ સાથેના સ્વરૂપમાં હોય છે. દ્વિ-સ્થિતિ-ચલ કેસની સ્થિરતા n = 2 કિસ્સામાં (બે સ્થિતિ ચલ સાથે), સ્થિરતા શરતો કે સંક્રમણ મેટ્રિક્સ A ના બે આઈગન વેલ્યુઓ દરેકમાં નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ ધરાવે છે તે શરતોની સમકક્ષ છે કે A નું ટ્રેસ નકારાત્મક હોય અને તેનો નિર્ધારક સકારાત્મક હોય. મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ઉકેલ ઔપચારિક ઉકેલમાં મેટ્રિક્સ ઘાતાંકીય સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન ઘણી બધી તકનીકોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. કમ્પ્યુટિંગ માટે પુટ્ઝર અલ્ગોરિધમ આઇગન વેલ્યુ સાથે મેટ્રિક્સ A આપવામાં આવ્યું છે, જ્યાં માટેના સમીકરણો સરળ પ્રથમ ક્રમના એકરૂપ ODE છે. નોંધ લો કે અલ્ગોરિધમ માટે જરૂરી નથી કે મેટ્રિક્સ A કર્ણાકાર હોય અને સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા જોર્ડન કેનોનિકલ સ્વરૂપોની જટિલતાઓને બાયપાસ કરે. મેટ્રિક્સ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનું વિઘટિત ઉદાહરણ બે વિધેયો x (t) અને y (t) માં પ્રથમ ક્રમના સજાતીય મેટ્રિક્સ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ, જ્યારે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે, ત્યારે તે નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ જ્યાં,, અને કોઈપણ મનસ્વી સ્કેલર હોઈ શકે છે. ઉચ્ચ ક્રમના મેટ્રિક્સ ODE વધુ જટિલ સ્વરૂપ ધરાવી શકે છે. ડીકન્સ્ટ્રક્ટેડ મેટ્રિક્સ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા ઉપરોક્ત સમીકરણોને ઉકેલવાની અને આ ચોક્કસ ક્રમ અને સ્વરૂપના જરૂરી કાર્યો શોધવાની પ્રક્રિયામાં 3 મુખ્ય પગલાંઓનો સમાવેશ થાય છે. આ દરેક પગલાનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન નીચે સૂચિબદ્ધ છેઃ આઈગનવેલ્યુઝ શોધવું આઈગનવેક્ટર્સ શોધવું જરૂરી કાર્યો શોધવું આ પ્રકારના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવાનું અંતિમ, ત્રીજું પગલું સામાન્ય રીતે અગાઉના બે પગલાંઓમાં ગણવામાં આવેલા મૂલ્યોને વિશિષ્ટ સામાન્ય સ્વરૂપ સમીકરણમાં પ્લગ કરીને કરવામાં આવે છે, જેનો આ લેખમાં પછીથી ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. મેટ્રિક્સ ODE નું ઉકેલાયેલું ઉદાહરણ ઉપર વિગતવાર ત્રણ પગલાંઓ અનુસાર મેટ્રિક્સ ODE ને ઉકેલવા માટે, પ્રક્રિયામાં સરળ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો આપણે પ્રથમ ક્રમના નીચેના સજાતીય રેખીય વિભેદક સમીકરણમાં, એક સ્વતંત્ર ચલની દ્રષ્ટિએ એક કાર્ય અને એક કાર્ય બંને શોધીએ, આ ચોક્કસ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે, ઉકેલ પ્રક્રિયાના અમુક તબક્કે, આપણને બે પ્રારંભિક મૂલ્યોના સમૂહની જરૂર પડશે (પ્રારંભિક બિંદુ પર બે સ્થિતિ ચલોને અનુરૂપ). આ કિસ્સામાં, ચાલો પસંદ કરીએ. પ્રથમ પગલું પહેલેથી જ ઉપર ઉલ્લેખિત પ્રથમ પગલું એ વ્યુત્પન્ન સંકેતલિપી x′ વગેરેમાં A ના આઈગન મૂલ્યો શોધવાનું છે. ઉપરના વેક્ટરમાંથી એકમાં જોવા મળતું લેગ્રાન્જના સંકેત તરીકે ઓળખાય છે (સૌપ્રથમ જોસેફ લુઇસ લેગ્રાન્જે રજૂ કર્યું હતું. તે અગાઉના સમીકરણમાં વપરાતા વ્યુત્પન્ન સંકેતલિપી dx/dt ની સમકક્ષ છે, જે ગોટફ્રીડ લીબનીઝના નામનું સન્માન કરતા લીબનીઝના સંકેતલિપી તરીકે ઓળખાય છે.) એકવાર બે ચલોના ગુણાંક ઉપર દર્શાવેલ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ A માં લખાઈ ગયા પછી, કોઈ વ્યક્તિ આઈગન વેલ્યુઓનું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે. તે માટે, કોઈ વ્યક્તિ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શોધી કાઢે છે જે ત્યારે રચાય છે જ્યારે ઓળખ મેટ્રિક્સ, અમુક અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીને, તેની લાક્ષણિક બહુપદી મેળવવા માટે ઉપરોક્ત ગુણાંક મેટ્રિક્સમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે, અને તેના શૂન્ય માટે ઉકેલવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ એડિશન યીલ્ડ્સના વધુ સરળીકરણ અને મૂળભૂત નિયમોનો ઉપયોગ એકલ 2 × 2 મેટ્રિક્સના નિર્ધારકને શોધવાના નિયમોને લાગુ કરવાથી, નીચેનું પ્રાથમિક વર્ગાત્મક સમીકરણ મળે છે, જેને ઉપરનું સરળ સંસ્કરણ મેળવવા માટે વધુ ઘટાડી શકાય છે, હવે બે મૂળ શોધવા, અને ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ લાગુ કરીને આપેલ વર્ગાત્મક સમીકરણમાંથી ઉપજ મળે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, અન્ય મેટ્રિક્સ ODEs કહો, આઈગનવેલ્યુઝ જટિલ હોઈ શકે છે, આ કિસ્સામાં ઉકેલવાની પ્રક્રિયાનું આગળનું પગલું, તેમજ અંતિમ સ્વરૂપ અને ઉકેલ, નાટકીય રીતે બદલાઈ શકે છે. બીજું પગલું ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, આ પગલામાં મૂળ રીતે પૂરી પાડવામાં આવેલી માહિતીમાંથી A ના આઈગનવેક્ટર્સ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. ગણતરી કરેલ દરેક આઈગનવેલ્યુ માટે, આપણી પાસે એક વ્યક્તિગત આઈગનવેક્ટર છે. પ્રથમ આઈગન વેલ્યુ માટે, એટલે કે, આપણે મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ગુણાકાર નિયમો લાગુ કરીને ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી છે, આ બધી ગણતરીઓ ફક્ત છેલ્લી અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે કરવામાં આવી છે, જે આપણા કિસ્સામાં છે. હવે કેટલાક મનસ્વી મૂલ્યને લઈને, સંભવતઃ, એક નાનું નજીવી મૂલ્ય, જેની સાથે કામ કરવું ખૂબ સરળ છે, અથવા (મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, તે ખરેખર વાંધો નથી), અમે તેને તેમાં બદલીએ છીએ. આમ કરવાથી એક સરળ વેક્ટર ઉત્પન્ન થાય છે, જે આ ચોક્કસ આઈગન વેલ્યુ માટે જરૂરી આઈગનવેક્ટર છે. આપણા કિસ્સામાં, આપણે પસંદ કરીએ છીએ, જે બદલામાં તે નક્કી કરે છે અને, પ્રમાણભૂત વેક્ટર નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, આપણું વેક્ટર એવું લાગે છે કે આપણે ગણતરી કરેલ બીજા આઈગન વેલ્યુનો ઉપયોગ કરીને સમાન કામગીરી કરી રહ્યા છીએ, એટલે કે, આપણે આપણું બીજું આઈગનવેક્ટર મેળવીએ છીએ. આ વેક્ટરને બહાર કાઢવાની પ્રક્રિયા બતાવવામાં આવી નથી, પરંતુ અંતિમ પરિણામ એ ત્રીજું પગલું છે આ અંતિમ પગલું આપણને મૂળ રૂપે આપવામાં આવેલા ડેરિવેટિવ્ઝની પાછળ 'છુપાયેલા' જરૂરી કાર્યોને શોધે છે. બે કાર્યો છે, કારણ કે આપણા વિભેદક સમીકરણો બે ચલ સાથે વ્યવહાર કરે છે. જે સમીકરણમાં આપણે અગાઉ શોધી કાઢેલી માહિતીના તમામ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, તે નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ આઈગન વેલ્યુઓ અને આઈગનવેક્ટર્સના મૂલ્યોને બદલીને ઉપજ મળે છે વધુ સરળીકરણ લાગુ કરવું, વધુ સરળ બનાવવું અને કાર્યો માટે સમીકરણો લખવા અને અલગથી, ઉપરોક્ત સમીકરણો હકીકતમાં, સામાન્ય કાર્યો છે, પરંતુ તેઓ તેમના સામાન્ય સ્વરૂપમાં છે (અને ના અચોક્કસ મૂલ્યો સાથે), જ્યારે આપણે ખરેખર તેમના ચોક્કસ સ્વરૂપો અને ઉકેલો શોધવા માંગીએ છીએ. તેથી હવે આપણે સમસ્યાની આપેલ પ્રારંભિક શરતોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (આપેલ પ્રારંભિક શરતો સહિતની સમસ્યા કહેવાતી પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યા છે). ધારો કે આપણને આપવામાં આવ્યું છે, જે આપણા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ માટે પ્રારંભિક બિંદુની ભૂમિકા ભજવે છે; આ શરતોનો ઉપયોગ સ્થિરાંકોને સ્પષ્ટ કરે છે, અને. જેમ આપણે શરતો પરથી જોઈએ છીએ, જ્યારે, ઉપરોક્ત સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ 1 ની બરાબર હોય છે. આમ આપણે રેખીય સમીકરણોની નીચેની પ્રણાલી બનાવી શકીએ છીએ, આ સમીકરણોને હલ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે બંને અચળાંકો અને સમાન 1/3 છે. તેથી આ મૂલ્યોને આ બે કાર્યોના સામાન્ય સ્વરૂપમાં બદલવાથી તેમના ચોક્કસ સ્વરૂપો સ્પષ્ટ થાય છે, જે બે કાર્યોની માંગ છે. મેટ્રિક્સ ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને ઉપરોક્ત સમસ્યાનું સમાધાન મેટ્રિક્સ ઘાતાંકીયના સીધા ઉપયોગથી થઈ શક્યું હોત. એટલે કે, આપણે કહી શકીએ કે (જે કોઈપણ યોગ્ય સાધનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે, જેમ કે MATLAB ના એક્સ્પેમ ટૂલ, અથવા મેટ્રિક્સ ડાયગોનલાઇઝેશન કરીને અને એ ગુણધર્મનો લાભ ઉઠાવીને કે ડાયગોનલ મેટ્રિક્સનું મેટ્રિક્સ એક્સ્પોનેન્શલ તેના તત્વોના તત્વ મુજબના એક્સ્પોનેન્શિયેશન જેવું જ છે) અંતિમ પરિણામ એ છે કે આ અગાઉ બતાવેલ આઈગનવેક્ટર અભિગમ જેવું જ છે. બિન-સજાતીય સમીકરણો પણ જુઓ મેટ્રિક્સ તફાવત સમીકરણ ન્યૂટનનો ઠંડકનો નિયમ ફિબોનાકી ક્રમ તફાવત સમીકરણ તરંગ સમીકરણ સ્વાયત્ત પ્રણાલી (ગણિત) સંદર્ભો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો