Thomas–Fermi model
થોમસ-ફર્મી (TF) મોડેલ, જેનું નામ લેવેલિન થોમસ અને એનરિકો ફર્મીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે શ્રોડિંગર સમીકરણની રજૂઆત પછી ટૂંક સમયમાં અર્ધશાસ્ત્રીય રીતે વિકસિત ઘણી-શરીર પ્રણાલીઓના ઇલેક્ટ્રોનિક માળખા માટેનો ક્વોન્ટમ યાંત્રિક સિદ્ધાંત છે. તે તરંગ કાર્ય સિદ્ધાંતથી અલગ છે કારણ કે તે માત્ર ઇલેક્ટ્રોનિક ઘનતાની દ્રષ્ટિએ ઘડવામાં આવે છે અને તેથી તેને આધુનિક ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતના પુરોગામી તરીકે જોવામાં આવે છે. થોમસ-ફર્મી મોડેલ માત્ર અનંત પરમાણુ ચાર્જની મર્યાદામાં જ સાચું છે. વાસ્તવિક પ્રણાલીઓ માટે અંદાજનો ઉપયોગ કરવાથી નબળી માત્રાત્મક આગાહીઓ મળે છે, જે ઘનતાના કેટલાક સામાન્ય લક્ષણો જેમ કે અણુઓમાં શેલ માળખું અને ઘન પદાર્થોમાં ફ્રીડેલ ઓસિલેશનનું પુનઃઉત્પાદન કરવામાં પણ નિષ્ફળ જાય છે. જો કે, તેણે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગુણાત્મક વલણોને બહાર કાઢવાની ક્ષમતા દ્વારા અને મોડેલને સરળતાથી ઉકેલી શકાય તે રીતે ઘણા ક્ષેત્રોમાં આધુનિક ઉપયોગો શોધી કાઢ્યા છે. થોમસ-ફર્મી સિદ્ધાંતની ગતિ ઊર્જા અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ આધુનિક ભ્રમણકક્ષા-મુક્ત ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતમાં ગતિ ઊર્જાના વધુ સુસંસ્કૃત ઘનતાના અંદાજમાં એક ઘટક તરીકે પણ થાય છે. સ્વતંત્ર રીતે કામ કરતા, થોમસ અને ફર્મીએ 1927માં અણુમાં ઇલેક્ટ્રોનના વિતરણનો અંદાજ કાઢવા માટે આ આંકડાકીય નમૂનાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અણુમાં ઇલેક્ટ્રોન બિન-સમાનરૂપે વહેંચાયેલા હોવા છતાં, એક અંદાજ કરવામાં આવ્યો હતો કે ઇલેક્ટ્રોન દરેક નાના કદના તત્વ ΔV (એટલે કે ઇલેક્ટ્રોન) માં સમાનરૂપે વહેંચાયેલા હોય છે. સ્થાનિક રીતે) પરંતુ ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા હજુ પણ એક નાના કદના તત્વથી બીજામાં બદલાઈ શકે છે. ગતિ ઊર્જા નાના કદના તત્વ માટે, અને અણુ માટે તેની જમીનની સ્થિતિમાં, આપણે ગોળાકાર વેગ અવકાશ વોલ્યુમ VF ને ફર્મી વેગ pF સુધી ભરી શકીએ છીએ, અને આમ, δV માં બિંદુની સ્થિતિ વેક્ટર ક્યાં છે. અનુરૂપ ફેઝ સ્પેસ વોલ્યુમ એ છે કે αVph માં ઇલેક્ટ્રોન આ ફેઝ સ્પેસ વોલ્યુમના બે ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ એચ 3 સાથે સમાનરૂપે વહેંચાયેલા હોય છે, જ્યાં એચ એ પ્લેન્કનો અચળાંક છે. પછી αVph માં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે αV માં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન નંબરની ઘનતા છે. P અને p + dp વચ્ચે વેગ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો અપૂર્ણાંક, દળ સાથે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા માટે શાસ્ત્રીય અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, અણુના ઇલેક્ટ્રોન માટે એકમ વોલ્યુમ દીઠ ગતિ ઊર્જા છે, જ્યાં સંબંધિત અગાઉની અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે અને, તમામ જગ્યા પર એકમ વોલ્યુમ દીઠ ગતિ ઊર્જાને એકીકૃત કરવાથી, ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ગતિ ઊર્જામાં પરિણમે છે, આ પરિણામ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ગતિ ઊર્જાને થોમસ-ફર્મી મોડેલ અનુસાર માત્ર અવકાશી રીતે બદલાતી ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. જેમ કે, તેઓ પરમાણુ-ઇલેક્ટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ (જે બંનેને ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાના સંદર્ભમાં પણ રજૂ કરી શકાય છે) માટે શાસ્ત્રીય અભિવ્યક્તિઓ સાથે જોડાયેલી ગતિ ઊર્જા માટે આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને અણુની ઊર્જાની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ હતા. સંભવિત ઊર્જા હકારાત્મક રીતે ચાર્જ કરેલા ન્યુક્લિયસના વિદ્યુત આકર્ષણને કારણે અણુના ઇલેક્ટ્રોનની સંભવિત ઊર્જા છે, જ્યાં ન્યુક્લિયસના વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોનની સંભવિત ઊર્જા છે. ચાર્જ Z પર કેન્દ્રિત ન્યુક્લિયસના કિસ્સામાં, જ્યાં Z એ હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે અને e એ પ્રાથમિક ચાર્જ છે, તેમના પરસ્પર વિદ્યુત પ્રતિકર્ષણને કારણે ઇલેક્ટ્રોનની સંભવિત ઊર્જા છે, કુલ ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા તેમની ગતિ અને સંભવિત ઊર્જાનો સરવાળો છે, થોમસ-ફર્મી સમીકરણ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને સ્થિર રાખીને ઊર્જા E ને ઘટાડવા માટે, આપણે ફોર્મની લેગ્રેન્જ ગુણક શબ્દ E ને ઉમેરીએ છીએ. જો આપણે ત્યાં સુધીમાં કુલ પોટેન્શિયલને વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો જો ન્યુક્લિયસને મૂળ પર ચાર્જ Z સાથેનો બિંદુ માનવામાં આવે, તો પછી અને બંને માત્ર ત્રિજ્યાના કાર્યો હશે, અને આપણે φ (r) ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જ્યાં a0 એ બોહર ત્રિજ્યા છે. ઉપરોક્ત સમીકરણોનો ઉપયોગ ગૌસના નિયમ સાથે મળીને કરવાથી, φ (r) ને થોમસ-ફર્મી સમીકરણને સંતોષતા જોઈ શકાય છે. વાદળની ધાર એ છે જ્યાં φ (r) = 0 છે. μ> 0 માટે, તેને સંકુચિત પરમાણુના નમૂના તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જેથી નકારાત્મક ચાર્જને નાની જગ્યામાં સંકોચાઈ જાય છે. આ કિસ્સામાં અણુ r ત્રિજ્યા પર સમાપ્ત થાય છે જ્યાં dφ/dr = φ/r. અચોક્કસતાઓ અને સુધારાઓ જોકે આ એક મહત્વપૂર્ણ પ્રથમ પગલું હતું, થોમસ-ફર્મી સમીકરણની ચોકસાઈ મર્યાદિત છે કારણ કે ગતિ ઊર્જા માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિ માત્ર અંદાજિત છે, અને કારણ કે પદ્ધતિ પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતના નિષ્કર્ષ તરીકે અણુની વિનિમય ઊર્જાને રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરતી નથી. 1930માં ડીરાક દ્વારા વિનિમય ઊર્જા માટે એક શબ્દ ઉમેરવામાં આવ્યો હતો. જો કે, થોમસ-ફર્મી-ડીરાક સિદ્ધાંત મોટાભાગના ઉપયોગો માટે અચોક્કસ રહ્યો હતો. ભૂલનો સૌથી મોટો સ્રોત ગતિ ઊર્જાની રજૂઆતમાં હતો, ત્યારબાદ વિનિમય ઊર્જામાં ભૂલો અને ઇલેક્ટ્રોન સહસંબંધની સંપૂર્ણ ઉપેક્ષાને કારણે. 1 9 62 માં, એડવર્ડ ટેલરે દર્શાવ્યું હતું કે થોમસ-ફર્મી સિદ્ધાંત પરમાણુ બંધનનું વર્ણન કરી શકતો નથી-TF સિદ્ધાંત સાથે ગણવામાં આવેલા કોઈપણ અણુની ઊર્જા ઘટક અણુઓની ઊર્જાના સરવાળા કરતા વધારે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જ્યારે બંધની લંબાઈ સમાનરૂપે વધારવામાં આવે છે ત્યારે અણુની કુલ ઊર્જા ઘટે છે. ગતિ ઊર્જા માટે અભિવ્યક્તિમાં સુધારો કરીને આને દૂર કરી શકાય છે. થોમસ-ફર્મી ગતિ ઊર્જામાં એક નોંધપાત્ર ઐતિહાસિક સુધારો વેઇઝસેકર (1935) કરેક્શન છે, જે ભ્રમણકક્ષા-મુક્ત ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતનો અન્ય નોંધપાત્ર નિર્માણ ખંડ છે. થોમસ-ફર્મી મોડેલમાં ગતિ ઊર્જાના અચોક્કસ મોડેલિંગની સમસ્યા, તેમજ અન્ય ભ્રમણકક્ષા-મુક્ત ઘનતા વિધેયો, કોહ્ન-શામ ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંતમાં બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ઇલેક્ટ્રોનની કાલ્પનિક પ્રણાલી સાથે અવરોધિત છે, જેની ગતિ ઊર્જા અભિવ્યક્તિ જાણીતી છે. થોમસ-ફર્મી સ્ક્રીનીંગ થોમસ-ફર્મી અંદાજ રાજ્યોની અધોગતિ માટે વધુ વાંચન આર. પી. ફેનમેન, એન. મેટ્રોપોલિસ અને ઇ. ટેલર જુઓ. "સામાન્યીકૃત થોમસ-ફર્મી સિદ્ધાંત પર આધારિત તત્વોની સ્થિતિનું સમીકરણ". ભૌતિક સમીક્ષા 75, #10 (15 મે, 1949), pp. 1561-1573. સંદર્ભો અણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર ઘનતા કાર્યાત્મક સિદ્ધાંત