J-homomorphism
ગણિતમાં, જે-હોમોમોર્ફિઝમ એ વિશિષ્ટ ઓર્થોગોનલ જૂથોના હોમોટૉપી જૂથોમાંથી ગોળાઓના હોમોટૉપી જૂથો માટેનું મેપિંગ છે. તેની વ્યાખ્યા બાંધકામના વિસ્તરણ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. વ્યાખ્યા વ્હાઇટહેડના મૂળ હોમોમોર્ફિઝમને ભૌમિતિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને પૂર્ણાંકો q માટે અબેલિયન જૂથોનું હોમોમોર્ફિઝમ આપે છે, અને. (હોપ્ફે આને વિશેષ કેસ માટે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે.) જે-હોમોમોર્ફિઝમને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ SO (q) ના તત્વને નકશા તરીકે ગણી શકાય અને હોમોટૉપી જૂથ) માં r-ગોળાથી SO (q) સુધીના નકશાના હોમોટૉપી વર્ગોનો સમાવેશ થાય છે. આમ એક તત્વને નકશા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે જેમાં હોપ્ફ રચનાને લાગુ કરીને એક નકશો આપવામાં આવે છે, જેને વ્હાઇટહેડે જે-હોમોમોર્ફિઝમ હેઠળના તત્વની છબી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે. જેમ q અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તેમ મર્યાદા લેવાથી સ્થિર હોમોટોપી સિદ્ધાંતમાં સ્થિર J-હોમોમોર્ફિઝમ મળે છેઃ જ્યાં અનંત વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથ છે, અને જમણી બાજુ ગોળાના સ્થિર હોમોટોપી જૂથોનું r-th સ્થિર સ્ટેમ છે. જે-હોમોમોર્ફિઝમની છબી જે-હોમોમોર્ફિઝમની છબી દ્વારા વર્ણવવામાં આવી હતી, એમ ધારીને કે એડમ્સનું અનુમાન નીચે પ્રમાણે સાબિત થયું હતું. જૂથ બોટ્ટ સામયિકતા દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે હંમેશા ચક્રીય હોય છે; અને જો r હકારાત્મક હોય, તો તે ક્રમ 2 નો હોય છે જો r એ 0 અથવા 1 મોડ્યુલો 8 હોય, તો અનંત જો r એ 3 અથવા 7 મોડ્યુલો 8 હોય, અને અન્યથા ક્રમ 1 હોય. ખાસ કરીને સ્થિર જે-હોમોમોર્ફિઝમની છબી ચક્રીય છે. સ્થિર હોમોટોપી જૂથો એ જે-હોમોમોર્ફિઝમની (ચક્રીય) છબીનો સીધો સરવાળો છે, અને એડમ્સ ઇ-ઇનવેરિયન્ટનો કર્નલ છે, જે સ્થિર હોમોટોપી જૂથોમાંથી એક હોમોમોર્ફિઝમ છે. જો r એ 0 અથવા 1 મોડ 8 અને હકારાત્મક હોય, તો છબીનો ક્રમ 2 છે (તેથી આ કિસ્સામાં J-હોમોમોર્ફિઝમ ઇન્જેક્ટિવ છે). જો r એ 3 અથવા 7 મોડ 8 હોય, તો છબી એ છેદની બરાબર ક્રમનું ચક્રીય જૂથ છે, જ્યાં બર્નૌલી સંખ્યા છે. બાકીના કિસ્સાઓમાં જ્યાં r એ 2,4,5, અથવા 6 મોડ 8 છે ત્યાં છબી તુચ્છ છે કારણ કે તે તુચ્છ છે. {| વર્ગ = "વિકિટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ કેન્દ્ર; પૃષ્ઠભૂમિ-રંગઃ સફેદ" |-! શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે; પહોળાઈઃ 10 ટકા" | આર! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 0! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 1! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 2! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 3! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 4! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 5! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 6! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 7! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 8! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 9! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 10! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 11! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 12! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 13! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 14! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 15! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 16! શૈલી = "પહોળાઈઃ 5 ટકા" | 17 |-! શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે" | | 1 | | 2 | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | | 2 | | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | 2 | | | 2 |-! શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે" | | 1 | | 2 | | 1 | | 24 | | | 1 | | | 1 | | | 240 | | 2 | | | 1 | | 504 | | | 1 | | 1 | | | 1 | | | 480 | | | 2 | | | 2 |-! શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ જમણે" | | | 2 | | 2 | | 24 | | 1 | | | 2 | | 240 | | 22 | | 23 | | 6 | | 504 | | 1 | | 3 | | 22 | | | 480 × 2 | | 22 | | | 24 |-! | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | જે-હોમોમોર્ફિઝમનું કોકર્નલ ઓરિએન્ટેડ હોમોટૉપી એન-સ્ફીઅર્સ () ના એચ-કોબોર્ડિઝમ વર્ગોના જૂથમાં દેખાય છે. સંદર્ભો. હોમોટોપી થિયરી લાઈ જૂથોની ટોપોલોજી