Parallelizable manifold
ગણિતમાં, પરિમાણ n ના વિભેદક મેનીફોલ્ડને સમાંતર કહેવાય છે જો મેનીફોલ્ડ પર સરળ વેક્ટર ક્ષેત્રો અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે સ્પર્શક વેક્ટરના દરેક બિંદુ પર સ્પર્શક જગ્યાનો આધાર પૂરો પાડે છે. તેવી જ રીતે, સ્પર્શક બંડલ એક તુચ્છ બંડલ છે, જેથી રેખીય ફ્રેમની સંકળાયેલ મુખ્ય બંડલ પર વૈશ્વિક વિભાગ હોય. ઉદાહરણો સાથે એક ઉદાહરણ વર્તુળ છેઃ આપણે V1 ને એકમ સ્પર્શક વેક્ટર ક્ષેત્ર તરીકે લઈ શકીએ છીએ, જેમ કે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશ કરવો. પરિમાણનું ટોરસ પણ સમાંતર છે, જેમ કે તેને વર્તુળોની કાર્ટેશિયન પ્રોડક્ટ તરીકે વ્યક્ત કરીને જોઈ શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, દરેક બિંદુ પર બે સ્પર્શક દિશાઓનો ખ્યાલ મેળવવા માટે, ગ્રાફ પેપરના ચોરસમાંથી વિરુદ્ધ ધાર સાથે ટોરસ લો અને બનાવો. વધુ સામાન્ય રીતે, દરેક લાઈ જૂથ G સમાંતર છે, કારણ કે ઓળખ તત્વ પર સ્પર્શક જગ્યા માટેનો આધાર G પર G ના અનુવાદ જૂથની ક્રિયા દ્વારા ફરતે ખસેડી શકાય છે (દરેક અનુવાદ એક ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે અને તેથી આ અનુવાદો G માં બિંદુઓની સ્પર્શક જગ્યાઓ વચ્ચે રેખીય સમરૂપતાને પ્રેરિત કરે છે). એક શાસ્ત્રીય સમસ્યા એ નક્કી કરવાની હતી કે કયા ગોળાઓ Sn સમાંતર છે. શૂન્ય-પરિમાણીય કેસ S0 તુચ્છ રીતે સમાંતર છે. કેસ S1 એ વર્તુળ છે, જે પહેલેથી જ સમજાવવામાં આવ્યું છે તેમ સમાંતર છે. રુવાંટીવાળું બોલ પ્રમેય દર્શાવે છે કે S2 સમાંતર નથી. જો કે S3 સમાંતર છે, કારણ કે તે લાઈ જૂથ એસયુ (2) છે. એકમાત્ર અન્ય સમાંતર ગોળા S7 છે; આ 1958 માં ફ્રેડરિક હિરઝેબ્રુક, મિશેલ કેર્વાયર અને રાઉલ બોટ અને જ્હોન મિલ્નર દ્વારા સ્વતંત્ર કાર્યમાં સાબિત થયું હતું. સમાંતર કરી શકાય તેવા ગોળાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જટિલ સંખ્યાઓ, ચતુર્થાંશ અને અષ્ટકોણના પ્રમાણભૂત વિભાજન બીજગણિતમાં એકમ ધોરણના તત્વોને ચોક્કસપણે અનુરૂપ છે, જે દરેક માટે સમાંતરતા બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. અન્ય ગોળાઓ સમાંતર નથી તે સાબિત કરવું વધુ મુશ્કેલ છે, અને બીજગણિત ટોપોલોજીની જરૂર છે. સમાંતર મેનીફોલ્ડ્સનો ગુણાકાર સમાંતર છે. દરેક ઓરિએન્ટેબલ બંધ ત્રિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ સમાંતર છે. ટિપ્પણીઓ કોઈપણ સમાંતર મેનીફોલ્ડ ઓરિએન્ટેબલ છે. ફ્રેમ્ડ મેનીફોલ્ડ (ક્યારેક રિગ્ડ મેનીફોલ્ડ) શબ્દ સામાન્ય રીતે સામાન્ય બંડલના આપેલ તુચ્છકરણ સાથે એમ્બેડેડ મેનીફોલ્ડ પર લાગુ થાય છે, અને સ્પર્શક બંડલના આપેલ સ્થિર તુચ્છકરણ સાથે અમૂર્ત (એટલે કે, બિન-એમ્બેડેડ) મેનીફોલ્ડ માટે પણ લાગુ પડે છે. સંબંધિત કલ્પના એ π-મેનીફોલ્ડનો ખ્યાલ છે. એક સરળ મેનીફોલ્ડને π-મેનીફોલ્ડ કહેવામાં આવે છે જો, જ્યારે ઉચ્ચ પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યામાં જડિત હોય, ત્યારે તેનું સામાન્ય બંડલ તુચ્છ હોય. ખાસ કરીને, દરેક સમાંતર મેનીફોલ્ડ એ π-મેનીફોલ્ડ છે. આ પણ જુઓ ચાર્ટ (ટોપોલોજી) વિભેદક મેનીફોલ્ડ ફ્રેમ બંડલ કર્વાયર અપરિવર્તનશીલ ઓર્થોનોર્મલ ફ્રેમ બંડલ મુખ્ય બંડલ જોડાણ (ગણિત) જી-માળખું નોંધો સંદર્ભો વિભેદક ટોપોલોજી ફાઇબર બંડલ વેક્ટર બંડલને મેનિફોલ્ડ કરે છે