Pseudoreflection
ગણિતમાં, સ્યુડોરેફ્લેક્શન એ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનું ઉલટાવી શકાય તેવું રેખીય પરિવર્તન છે જેમ કે તે ઓળખ પરિવર્તન નથી, મર્યાદિત (ગુણાકાર) ક્રમ ધરાવે છે, અને હાયપરપ્લેનને સુધારે છે. સ્યુડોરેફ્લેક્શનનો ખ્યાલ પ્રતિબિંબ અને જટિલ પ્રતિબિંબની વિભાવનાઓને સામાન્ય બનાવે છે અને કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા તેને ફક્ત પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે. તે ચેવલે-શેફર્ડ-ટોડ પ્રમેય સહિત મર્યાદિત જૂથોના પરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ધારો કે V એ ક્ષેત્ર K પરની વેક્ટર જગ્યા છે, જેનું પરિમાણ મર્યાદિત સંખ્યા n છે. સ્યુડોરેફ્લેક્શન એ એક ઉલટાવી શકાય તેવું રેખીય પરિવર્તન છે જેમ કે g નો ક્રમ મર્યાદિત હોય છે અને V માં g દ્વારા નિશ્ચિત તમામ વેક્ટરની નિશ્ચિત સબસ્પેસનું પરિમાણ n-1 હોય છે. એક સ્યુડોરેફ્લેક્શન g માં ગુણાકાર n-1 નું આઈગન વેલ્યુ 1 અને ગુણાકાર 1 નું બીજું આઈગન વેલ્યુ r હોય છે. g નો ક્રમ મર્યાદિત હોવાથી, આઈગન વેલ્યુ r એ K ક્ષેત્રમાં એકતાનું મૂળ હોવું જોઈએ. શક્ય છે કે r = 1 હોય (ટ્રાન્સવેક્શન્સ જુઓ). જો g નો ક્રમ p માટે સહમૌલિક હોય તો g એ વિકર્ણક્ષમ છે અને વિકર્ણ મેટ્રિક્સ ડાયગ (1,, 1, r) = દ્વારા રજૂ થાય છે જ્યાં r એ એકતાનું મૂળ છે જે 1 ની બરાબર નથી. આમાં એવા કેસનો સમાવેશ થાય છે જ્યારે K એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું ક્ષેત્ર હોય, જેમ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર અને જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર. વિકર્ણીય સ્યુડોરફ્લેક્શનને કેટલીકવાર અર્ધ-સરળ પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ જ્યારે K એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર હોય, ત્યારે સ્યુડોરેફ્લેક્શનમાં મેટ્રિક્સ ફોર્મ ડાયગ (1,., 1,-1) હોય છે. આવા મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ સાથેના સ્યુડોરેફ્લેક્શનને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે. જો જે જગ્યા પર આ પરિવર્તન કાર્ય કરે છે તે સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપને સ્વીકારે છે જેથી વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય, તો પરિવર્તન એ સાચું પ્રતિબિંબ છે. જટિલ પ્રતિબિંબ જ્યારે K એ જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર હોય, ત્યારે સ્યુડોરેફ્લેક્શનને જટિલ પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે, જેને વિકર્ણ મેટ્રિક્સ ડાયગ (1,., 1, r) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં r એ એકતાનું જટિલ મૂળ છે જે 1 થી અસમાન છે. ટ્રાન્સવેક્શન્સ જો સ્યુડોરેફ્લેક્શન g કર્ણક્ષમ ન હોય તો r = 1 અને g જોર્ડનનું સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છે. સ્યુડોરેફ્લેક્શન g એ ટ્રાન્સવેક્શન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો K ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતા p હકારાત્મક હોય અને g નો ક્રમ p હોય. ટ્રાન્સવેક્શન્સ મર્યાદિત ભૂમિતિઓના અભ્યાસમાં અને તેમના ગતિ જૂથોના વર્ગીકરણમાં ઉપયોગી છે. સંદર્ભો કાર્યો અને નકશાઓ