Tate conjecture
સંખ્યા સિદ્ધાંત અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં, ટેટ અનુમાન એ જ્હોન ટેટનું 1963નું અનુમાન છે જે વધુ ગણતરીપાત્ર અપરિવર્તનની દ્રષ્ટિએ વિવિધ પર બીજગણિત ચક્રનું વર્ણન કરશે, જે એટેલ કોહોમોલોજી પર ગેલોઇસ પ્રતિનિધિત્વ છે. બીજગણિત ચક્રના સિદ્ધાંતમાં અનુમાન એ કેન્દ્રિય સમસ્યા છે. તેને હોજ અનુમાનનું અંકગણિત એનાલોગ ગણી શકાય. અનુમાનનું નિવેદન ચાલો V એ ક્ષેત્ર k પર એક સરળ પ્રક્ષેપાત્મક વિવિધતા છે જે તેના મુખ્ય ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. ધારો કે k એ k નું અલગ કરી શકાય તેવું બંધ છે, અને G એ k નું નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ ગાલ (ks/k) છે. એક મુખ્ય સંખ્યા l ને ઠીક કરો જે k માં ઉલટાવી શકાય તેવું છે. V થી ks ના આધાર વિસ્તરણના l-adic કોહોમોલોજી જૂથો (l-adic પૂર્ણાંકો Zl માં ગુણાંક, સ્કેલર પછી l-adic સંખ્યાઓ Ql સુધી વિસ્તૃત) નો વિચાર કરો; આ જૂથો G ની રજૂઆતો છે. કોઈપણ i ≤ 0 માટે, V ની કોડીમેન્શન-i સબવેરીટી (k પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તેવું સમજાય છે) કોહોમોલોજી જૂથનું એક તત્વ નક્કી કરે છે જે G દ્વારા નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. અહીં Ql (i) ith ટેટ ટ્વિસ્ટને સૂચવે છે, જે ટેટ અનુમાન જણાવે છે કે ગેલોઇસ જૂથ G દ્વારા નક્કી કરાયેલ W ની પેટા જગ્યા WG, Ql-વેક્ટર જગ્યા તરીકે, V ની કોડીમેન્શન-i પેટા વિવિધતાઓના વર્ગો દ્વારા ફેલાયેલી છે. બીજગણિત ચક્રનો અર્થ થાય છે પેટા વિવિધતાઓનું મર્યાદિત રેખીય સંયોજન; તેથી સમકક્ષ નિવેદન એ છે કે WG નું દરેક તત્વ એ Ql ગુણાંક સાથે V પર બીજગણિત ચક્રનો વર્ગ છે. જાણીતા કિસ્સાઓ વિભાજક માટે ટેટ અનુમાન (કોડીમેન્શન 1 નું બીજગણિત ચક્ર) એ એક મોટી ખુલ્લી સમસ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે f: X → C એક મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર એક સરળ પ્રક્ષેપાત્મક સપાટીથી એક સરળ પ્રક્ષેપાત્મક વળાંક પર એક આકારવાદ છે. ધારો કે f નો સામાન્ય ફાઇબર F, જે કાર્ય ક્ષેત્ર k (C) પરનો વળાંક છે, તે k (C) પર સરળ છે. પછી X પર વિભાજક માટે ટેટ અનુમાન એફની જેકોબિયન વિવિધતા માટે બિર્ચ અને સ્વિનરટન-ડાયર અનુમાનની સમકક્ષ છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ સરળ જટિલ પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા પર વિભાજક માટે હોજ અનુમાન જાણીતું છે (લેફશેટ્ઝ (1,1)-પ્રમેય). કદાચ સૌથી મહત્વપૂર્ણ જાણીતો કિસ્સો એ છે કે ટેટ અનુમાન એબેલિયન જાતો પરના વિભાજક માટે સાચું છે. આ મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર અબેલિયન જાતો માટે ટેટનો અને સંખ્યા ક્ષેત્રો પર અબેલિયન જાતો માટે ફાલ્ટિંગ્સનો પ્રમેય છે, જે ફાલ્ટિંગ્સના મોર્ડેલ અનુમાનના ઉકેલનો એક ભાગ છે. ઝર્હિને આ પરિણામોને કોઈપણ મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ આધાર ક્ષેત્ર સુધી વિસ્તૃત કર્યા. અબેલિયન જાતો પર વિભાજક માટે ટેટ અનુમાન એ વળાંક C1 ×. × Cn ના કોઈપણ ઉત્પાદન પર વિભાજક માટે ટેટ અનુમાન સૂચવે છે. અબેલિયન જાતો પર વિભાજક માટેનું (જાણીતું) ટેટ અનુમાન અબેલિયન જાતો વચ્ચેના હોમોમોર્ફિઝમ્સ વિશેના શક્તિશાળી નિવેદનની સમકક્ષ છે. એટલે કે, મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર k પરની કોઈપણ અબેલિયન જાતો A અને B માટે, કુદરતી નકશો એક સમરૂપતા છે. ખાસ કરીને, એબેલિયન વિવિધતા એ તેના ટેટ મોડ્યુલ એચ1 (અક્સ, ઝેડએલ) પર ગેલોઇસ પ્રતિનિધિત્વ દ્વારા આઇસોજેની સુધી નક્કી કરવામાં આવે છે. ટેટ અનુમાન 2 નહીં પરંતુ લાક્ષણિકતાના મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન ક્ષેત્રો પર K3 સપાટીઓ માટે પણ માન્ય છે. (સપાટી પર, અનુમાનનો બિન-તુચ્છ ભાગ વિભાજક વિશે છે.) લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં, કે3 સપાટીઓ માટે ટેટ અનુમાન આન્દ્રે અને ટેંકીવ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. 2 નહીં પરંતુ લાક્ષણિકતાના મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર K3 સપાટીઓ માટે, ટેટ અનુમાન નાયગાર્ડ, ઓગસ, ચાર્લ્સ, મડપુસી પેરા અને મૌલિક દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. ટેટ અનુમાનના જાણીતા કેસોનું સર્વેક્ષણ કરે છે. સંબંધિત અનુમાનો ધારો કે X એ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર k પર એક સરળ પ્રક્ષેપાત્મક વિવિધતા છે. અર્ધ-સરળતા અનુમાન આગાહી કરે છે કે X ના l-adic કોહોમોલોજી પર ગેલોઇસ જૂથ G = Gal (ks/k) ની રજૂઆત અર્ધ-સરળ છે (એટલે કે, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતોની સીધી રકમ). લાક્ષણિકતા 0 ના k માટે, દર્શાવ્યું કે ટેટ અનુમાન (ઉપર જણાવ્યા મુજબ) ની અર્ધ-સરળતા સૂચવે છે. હોજ અનુમાનની જેમ, ટેટ અનુમાન બીજગણિત ચક્ર પર ગ્રોથેન્ડીકના મોટાભાગના પ્રમાણભૂત અનુમાન સૂચવે છે. એટલે કે, તે લેફશેટ્ઝ પ્રમાણભૂત અનુમાન સૂચવે છે (કે લેફશેટ્ઝ આઇસોમોર્ફિઝમનું વ્યસ્ત બીજગણિત પત્રવ્યવહાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે); કે કર્ણના કુનેથ ઘટકો બીજગણિત છે; અને બીજગણિત ચક્રની આંકડાકીય સમાનતા અને સમરૂપતા સમાન છે. નોંધો સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ જેમ્સ મિલ્ને, મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર ટેટ અનુમાન (AIM ચર્ચા). બીજગણિત ભૂમિતિના ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ ડાયોફેન્ટાઇન ભૂમિતિ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓનું અનુમાન કરે છે