Bulirsch–Stoer algorithm
આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં, બુલીર્શ-સ્ટૉર અલ્ગોરિધમ એ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના આંકડાકીય ઉકેલ માટેની એક પદ્ધતિ છે જે ત્રણ શક્તિશાળી વિચારોને જોડે છેઃ રિચાર્ડસન એક્સ્ટ્રાપોલેશન, રિચાર્ડસન-પ્રકારની એપ્લિકેશનોમાં તર્કસંગત કાર્ય એક્સ્ટ્રાપોલેશનનો ઉપયોગ, અને સુધારેલ મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ, ઉચ્ચ ચોકસાઈ અને તુલનાત્મક રીતે ઓછા ગણતરીત્મક પ્રયાસ સાથે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ODE) ના આંકડાકીય ઉકેલો મેળવવા માટે. તેનું નામ રોલેન્ડ બુલિર્શ અને જોસેફ સ્ટૉરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વિલિયમ બી. ગ્રેગને કારણે સુધારેલી મધ્યબિંદુ પદ્ધતિના ભૂલ કાર્ય વિશેના પરિણામના મહત્વને કારણે તેને કેટલીકવાર ગ્રેગ-બુલિર્શ-સ્ટૉર (જીબીએસ) અલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવે છે. રિચર્ડસન એક્સ્ટ્રાપોલેશનનો વિચાર આંકડાકીય ગણતરીને ધ્યાનમાં લેવાનો છે, જેની ચોકસાઈ સ્ટેપસાઇઝ એચના (અજ્ઞાત) વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય તરીકે વપરાયેલ સ્ટેપસાઇઝ એચ પર આધાર રાખે છે, એચના વિવિધ મૂલ્યો સાથે આંકડાકીય ગણતરી કરે છે, પરિણામી બિંદુઓ પર (પસંદ કરેલ) વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને ફિટ કરે છે, અને પછી એચ = 0 માટે ફિટિંગ કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે, આમ ગણતરીના પરિણામને અનંત દંડ પગલાં સાથે અંદાજિત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. બુલીર્શ અને સ્ટોઇરે સ્વીકાર્યું હતું કે આંકડાકીય એકીકરણમાં રિચાર્ડસન એક્સ્ટ્રાપોલેશન માટે ફિટિંગ ફંક્શન્સ તરીકે તર્કસંગત કાર્યોનો ઉપયોગ કરવો એ બહુપદી કાર્યોનો ઉપયોગ કરવા કરતાં બહેતર છે કારણ કે તર્કસંગત કાર્યો ધ્રુવો સાથેના કાર્યોને સારી રીતે અંદાજવામાં સક્ષમ છે (બહુપદી કાર્યોની તુલનામાં), જો કે નજીકના ધ્રુવોને ધ્યાનમાં રાખવા માટે છેદમાં પૂરતા પ્રમાણમાં ઉચ્ચ-શક્તિ શબ્દો છે. જ્યારે બહુપદી અંતર્વેશન અથવા બહિર્વેશન માત્ર ત્યારે જ સારા પરિણામો આપે છે જો નજીકના ધ્રુવ જટિલ સમતલમાં જાણીતા ડેટા બિંદુઓની આસપાસના વર્તુળની બહાર હોય, તર્કસંગત કાર્ય અંતર્વેશન અથવા બહિર્વેશન નજીકના ધ્રુવોની હાજરીમાં પણ નોંધપાત્ર ચોકસાઈ ધરાવી શકે છે. સુધારેલી મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ પોતે જ બીજા ક્રમની પદ્ધતિ છે, અને તેથી સામાન્ય રીતે ચોથા ક્રમની પદ્ધતિઓ જેવી કે ચોથા ક્રમની રુંગ-કુટ્ટા પદ્ધતિ કરતાં હલકી ગુણવત્તાવાળી છે. જો કે, તેને સબસ્ટેપ દીઠ માત્ર એક જ વ્યુત્પન્ન મૂલ્યાંકનની જરૂર પડે છે (મોટી સંખ્યામાં સબસ્ટેપ માટે એસિમ્પ્ટોટિક રીતે), અને વધુમાં, ગ્રેગે શોધ્યું તેમ, કદ H ના સુધારેલા મધ્યબિંદુ પગલાની ભૂલ, જેમાં દરેક કદ h = H/n ના n સબસ્ટેપનો સમાવેશ થાય છે, અને h માં પાવર સિરીઝ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તેમાં માત્ર h ની સમ શક્તિઓ હોય છે. આ સુધારેલી મધ્યબિંદુ પદ્ધતિને બુલિર્શ-સ્ટૉર પદ્ધતિ માટે અત્યંત ઉપયોગી બનાવે છે કારણ કે ચોકસાઈ એક સમયે બે ક્રમમાં વધારો કરે છે જ્યારે અંતરાલ H ને પાર કરવાના અલગ પ્રયાસોના પરિણામો સબસ્ટેપની વધતી સંખ્યા સાથે જોડવામાં આવે છે. પદ્ધતિની તેમની ચર્ચામાં, કહે છે કે આ કિસ્સામાં તર્કસંગત બહિર્વેશન બહુપદી અંતર્વેશન કરતાં લગભગ ક્યારેય સુધારો નથી. વધુમાં, સુધારેલી મધ્યબિંદુ પદ્ધતિ એ તેને વધુ સ્થિર બનાવવા માટે નિયમિત મધ્યબિંદુ પદ્ધતિનો ફેરફાર છે, પરંતુ એક્સ્ટ્રાપોલેશનને કારણે આ ખરેખર વાંધો નથી. સંદર્ભો. . . બાહ્ય કડીઓ ODEX.F, અર્ન્સ્ટ હેરર અને ગેરહાર્ડ વેનર દ્વારા બુલર્શ-સ્ટોર અલ્ગોરિધમનો અમલ (અન્ય દિનચર્યાઓ અને લાઇસન્સ શરતો માટે, તેમના ફોરટ્રાન અને મેટલેબ કોડ્સ પૃષ્ઠ જુઓ). બૂસ્ટ લાઈબ્રેરી, C + + માં અમલીકરણ. અપાચે કોમન્સ મઠ, જાવામાં અમલીકરણ. આંકડાકીય એકીકરણ (ચતુર્ભુજ)