Steinitz's theorem
ગણિતની એક શાખા, પોલિહેડ્રલ સંયોજનશાસ્ત્રમાં, સ્ટેનિટ્ઝનો પ્રમેય એ ત્રિ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાની ધાર અને શિરોબિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા દિશાહીન આલેખની લાક્ષણિકતા છેઃ તે બરાબર 3-વર્ટેક્સ સાથે જોડાયેલા સમતલીય આલેખ છે. એટલે કે, દરેક બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન 3-જોડાયેલ સમતલીય આલેખ બનાવે છે, અને દરેક 3-જોડાયેલા સમતલીય આલેખને બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનના આલેખ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ કારણોસર, 3-જોડાયેલા સમતલીય આલેખને પોલિહેડ્રલ આલેખ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. આ પરિણામ ત્રિ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા માટે વર્ગીકરણ પ્રમેય પ્રદાન કરે છે, જે ઉચ્ચ પરિમાણોમાં જાણીતું નથી. તે આ પોલિહેડ્રાના આલેખનું સંપૂર્ણ અને સંપૂર્ણ સંયુક્ત વર્ણન પ્રદાન કરે છે, જે તેમના પર અન્ય પરિણામોને મંજૂરી આપે છે, જેમ કે આપેલ પ્રકારના ચહેરાઓ સાથે પોલિહેડ્રાની અનુભૂતિ પર એબરહાર્ડના પ્રમેય, આ આકારોની ભૂમિતિના સંદર્ભ વિના વધુ સરળતાથી સાબિત થઈ શકે છે. વધુમાં, તે અમૂર્ત આલેખના ત્રિ-પરિમાણીય વિઝ્યુલાઇઝેશન બનાવવાની રીત તરીકે ગ્રાફ ડ્રોઇંગમાં લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. બ્રાન્કો ગ્રુનબૌમે આ પ્રમેયને "3-બહુપદી પરનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને સૌથી ઊંડું જાણીતું પરિણામ" ગણાવ્યું છે. આ પ્રમેય અર્ન્સ્ટ સ્ટેનિટ્ઝના 1922ના પ્રકાશનમાં જોવા મળે છે, જેમના નામ પર તેનું નામ રાખવામાં આવ્યું છે. તે ગાણિતિક ઇન્ડક્શન દ્વારા (સ્ટેનિટ્ઝે કર્યું તેમ), દ્વિ-પરિમાણીય સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લઘુતમ-ઊર્જા સ્થિતિ શોધીને અને પરિણામને ત્રણ પરિમાણોમાં ઉઠાવીને અથવા વર્તુળ પેકિંગ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. પ્રમેયના કેટલાક વિસ્તરણ જાણીતા છે, જેમાં આપેલ આલેખની અનુભૂતિ કરનાર બહુપતિફલકમાં વધારાની મર્યાદાઓ હોય છે; દાખલા તરીકે, દરેક બહુપતિફલક આલેખ એ પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બહિર્મુખ બહુપતિફલકનો આલેખ હોય છે, અથવા બહિર્મુખ બહુપતિફલકનો આલેખ હોય છે, જેની તમામ ધાર સામાન્ય મધ્ય ગોળાને સ્પર્શ કરતી હોય છે. પ્રમેયની વ્યાખ્યાઓ અને નિવેદન દિશાહીન આલેખ એ શિરોબિંદુઓ અને ધારની પ્રણાલી છે, દરેક ધાર બે શિરોબિંદુઓને જોડે છે. આલેખ સિદ્ધાંતમાં સામાન્ય છે તેમ, સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયના હેતુઓ માટે આ આલેખ મર્યાદિત હોવા સુધી મર્યાદિત છે (શિરોબિંદુઓ અને ધાર મર્યાદિત સમૂહો છે) અને સરળ (કોઈ બે ધાર સમાન બે શિરોબિંદુઓને જોડતી નથી, અને કોઈ ધાર શિરોબિંદુને પોતાની સાથે જોડતી નથી). કોઈપણ પોલિહેડ્રોનમાંથી ગ્રાફના શિરોબિંદુઓને પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓને અનુરૂપ બનાવીને અને જ્યારે પણ અનુરૂપ બે પોલિહેડ્રોન શિરોબિંદુઓ પોલિહેડ્રોનની ધારના અંતિમ બિંદુઓ હોય ત્યારે કોઈપણ બે ગ્રાફ શિરોબિંદુઓને ધાર દ્વારા જોડીને ગ્રાફ બનાવી શકાય છે. આ આલેખ પોલિહેડ્રોનના હાડપિંજર તરીકે ઓળખાય છે. ગ્રાફ સમતલ હોય છે જો તેને યુક્લિડિયન સમતલમાં બિંદુઓ તરીકે તેના શિરોબિંદુઓ સાથે દોરવામાં આવે, અને તેની ધારને વળાંક તરીકે જે આ બિંદુઓને જોડે છે, જેમ કે કોઈ બે ધાર વળાંક એકબીજાને પાર કરતા નથી અને એવું કે શિરોબિંદુને રજૂ કરતો બિંદુ વળાંક પર હોય છે જે ધારને રજૂ કરે છે જ્યારે શિરોબિંદુ એ ધારનો અંતિમ બિંદુ હોય. ફેરીના પ્રમેય મુજબ, દરેક સમતલીય ચિત્રને સીધું કરી શકાય છે જેથી કિનારીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વળાંકો રેખાખંડ હોય. ગ્રાફ 3-જોડાયેલ હોય છે જો તેમાં ત્રણથી વધુ શિરોબિંદુઓ હોય અને તેના કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓને દૂર કર્યા પછી, શિરોબિંદુઓની અન્ય કોઈપણ જોડી પાથ દ્વારા જોડાયેલ રહે છે. સ્ટેનિટ્ઝનો પ્રમેય જણાવે છે કે આ બે શરતો ત્રિ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાના હાડપિંજરને લાક્ષણિકતા આપવા માટે જરૂરી અને પૂરતી બંને છેઃ આપેલ આલેખ એ બહિર્મુખ ત્રિ-પરિમાણીય પોલિહેડ્રોનનો આલેખ છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સમતલીય અને 3-વર્ટેક્સ-જોડાયેલ હોય. પુરાવા સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયની એક દિશા (સાબિત કરવાની સરળ દિશા) જણાવે છે કે દરેક બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનનો આલેખ સમતલીય અને 3-જોડાયેલ છે. ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, શ્લેગલ આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને સમતોલતા દર્શાવી શકાય છેઃ જો કોઈ પ્રકાશ સ્રોતને પોલિહેડ્રોનના એક મુખની નજીક અને બીજી બાજુ એક સમતલ મૂકે, તો પોલિહેડ્રોન ધારની છાયા એક સમતોલ આલેખ બનાવશે, જે એવી રીતે જડિત હશે કે ધાર સીધી રેખાના ભાગો હોય. પોલિહેડ્રલ ગ્રાફની 3-જોડાણ એ બાલિન્સ્કીના પ્રમેયનો એક ખાસ કિસ્સો છે કે કોઈપણ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિટોપનો ગ્રાફ-જોડાયેલ છે. પોલીટોપનાં આલેખની જોડાણ, તેના કોઈપણ શિરોબિંદુઓને દૂર કર્યા પછી, વધુ એક શિરોબિંદુ પસંદ કરીને, શિરોબિંદુઓના પરિણામી સમૂહ પર શૂન્ય હોય તેવું રેખીય કાર્ય શોધીને અને દરેક શિરોબિંદુને રેખીય કાર્યના બે આત્યંતિક શિરોબિંદુઓમાંથી એક સાથે જોડવા માટે સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ દ્વારા પેદા થયેલા માર્ગોને અનુસરીને સાબિત કરી શકાય છે, જેમાં પસંદ કરેલ શિરોબિંદુ બંને સાથે જોડાયેલ હોય છે. સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયની બીજી, વધુ મુશ્કેલ દિશા જણાવે છે કે દરેક સમતલીય 3-જોડાયેલ આલેખ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનનો આલેખ છે. આ ભાગ માટે ત્રણ પ્રમાણભૂત અભિગમો છેઃ ઇન્ડક્શન દ્વારા પુરાવા, મેક્સવેલ-ક્રેમોના પત્રવ્યવહારનો ઉપયોગ કરીને દ્વિ-પરિમાણીય ટુટ્ટ એમ્બેડિંગને ત્રણ પરિમાણોમાં ઉઠાવવી, અને કેનોનિકલ પોલિહેડ્રોન પેદા કરવા માટે વર્તુળ પેકિંગ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની પદ્ધતિઓ. ઇન્ડક્શન સ્ટેનિટ્ઝનો મૂળ પુરાવો આલેખ સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો ન હતો, તેમ છતાં તેને તે શરતોમાં ફરીથી લખી શકાય છે, અને તેમાં α-Y અને Y-α રૂપાંતરોનો ક્રમ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે જે કોઈપણ 3-જોડાયેલા સમતલીય આલેખને ટેટ્રાહેડ્રોનના આલેખમાં ઘટાડે છે. જો તે ધાર પહેલેથી અસ્તિત્વમાં ન હોય તો તેના તમામ ભૂતપૂર્વ પડોશીઓ વચ્ચેની ધારને ઉમેરીને, વાય-વાય રૂપાંતર આલેખમાંથી ડિગ્રી-ત્રણ શિરોબિંદુને દૂર કરે છે; વિપરીત પરિવર્તન, એક વાય રૂપાંતર, આલેખમાંથી ત્રિકોણની ધારને દૂર કરે છે અને તે જ ત્રણ શિરોબિંદુઓને અડીને નવા ડિગ્રી-ત્રણ શિરોબિંદુ દ્વારા તેનું સ્થાન લે છે. એકવાર આવો ક્રમ મળી જાય પછી, તેને ઉલટાવી શકાય છે અને ભૌમિતિક કામગીરીમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે જે ટેટ્રાહેડ્રોનથી શરૂ કરીને તબક્કાવાર ઇચ્છિત પોલિહેડ્રોનનું નિર્માણ કરે છે. વિપરીત ક્રમમાં દરેક Y-δ રૂપાંતર બહુપત્નીત્વમાંથી ડિગ્રી-3 શિરોબિંદુને કાપીને ભૌમિતિક રીતે કરી શકાય છે. વિપરીત અનુક્રમમાં δ-Y પરિવર્તન બહુપથમાંથી ત્રિકોણાકાર ચહેરાને દૂર કરીને અને તેના પડોશી ચહેરાને જ્યાં તેઓ મળે ત્યાં સુધી લંબાવીને ભૌમિતિક રીતે કરી શકાય છે, પરંતુ ત્યારે જ જ્યારે ત્રણ પડોશી ચહેરાનું તે ત્રિપું આંતરછેદ બિંદુ બહુફલકમાંથી દૂર કરવામાં આવેલા ચહેરાની દૂરની બાજુએ હોય. જ્યારે ત્રિપલ આંતરછેદ બિંદુ આ ચહેરાની દૂરની બાજુએ ન હોય, ત્યારે પોલિહેડ્રોનનું પ્રોજેક્ટિવ પરિવર્તન તેને જમણી બાજુએ ખસેડવા માટે પૂરતું છે. તેથી, આપેલ આલેખને ઘટાડવા માટે જરૂરી α-Y અને Y-α રૂપાંતરની સંખ્યા પર ઇન્ડક્શન દ્વારા, દરેક પોલિહેડ્રલ ગ્રાફને પોલિહેડ્રોન તરીકે અનુભવી શકાય છે. એપિફાનોવના પછીના કાર્યોએ સ્ટેનિટ્ઝના સાબિતીને મજબૂત બનાવી કે દરેક પોલિહેડ્રલ ગ્રાફને δ-Y અને Y-δ રૂપાંતર દ્વારા ઘટાડી શકાય છે. એપિફાનોવે સાબિત કર્યું કે જો સમતલીય આલેખમાં બે શિરોબિંદુઓ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે, તો પછી શ્રેણી-સમાંતર ઘટાડા સાથે α-Y અને Y-α રૂપાંતરણોને જોડીને આલેખને તે ટર્મિનલો વચ્ચેની એક ધાર સુધી ઘટાડી શકાય છે. એપિફાનોવની સાબિતી જટિલ અને બિન-રચનાત્મક હતી, પરંતુ તેને ટ્રુમપર દ્વારા ગ્રાફ માઇનર્સ પર આધારિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવવામાં આવી હતી. ટ્રુમ્પરે અવલોકન કર્યું હતું કે દરેક ગ્રીડ ગ્રાફ આ રીતે α-Y દ્વારા ઘટાડી શકાય છે અને Y-α આ રીતે પરિવર્તિત થાય છે, કે આ ઘટાડવાની ક્ષમતા નાના ગ્રાફ દ્વારા સાચવવામાં આવે છે, અને દરેક સમતલીય ગ્રાફ ગ્રીડ ગ્રાફનો નાનો છે. આ વિચારનો ઉપયોગ સ્ટેનિટ્ઝના લેમ્માને બદલવા માટે થઈ શકે છે કે ઘટાડો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે. આ રિપ્લેસમેન્ટ પછી, બાકીનો પુરાવો સ્ટેનિટ્ઝના મૂળ પુરાવોની જેમ જ ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આ પુરાવાઓ માટે, α-Y અને Y-α રૂપાંતરના ક્રમ શોધવાની કોઈપણ રીતનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, ત્યાં પોલિહેડ્રલ આલેખ અસ્તિત્વમાં છે જેને બિનરેખીય પગલાંની જરૂર હોય છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, દરેક સમતલીય આલેખને મહત્તમ પ્રમાણસર સંખ્યાબંધ પગલાંનો ઉપયોગ કરીને ઘટાડી શકાય છે, અને અનંત ઘણા આલેખ માટે ઓછામાં ઓછા પ્રમાણસર સંખ્યાબંધ પગલાંની જરૂર પડે છે, જ્યાં આલેખમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે. ઇન્ડક્શન પ્રૂફનું વૈકલ્પિક સ્વરૂપ ધારને દૂર કરવા (અને ડિગ્રી-બે શિરોબિંદુઓને સંકુચિત કરવા કે જે આ દૂર કર્યા પછી બાકી રહી શકે છે) અથવા સાંકડી ધાર પર આધારિત છે અને આપેલ સમતલીય આલેખનો નાનો ભાગ બનાવે છે. કોઈપણ પોલિહેડ્રલ ગ્રાફને આ કામગીરીની રેખીય સંખ્યા દ્વારા ઘટાડી શકાય છે, અને ફરીથી કામગીરીને ઉલટાવી શકાય છે અને વિપરીત કામગીરી ભૌમિતિક રીતે કરી શકાય છે, જે ગ્રાફની પોલિહેડ્રલ અનુભૂતિ આપે છે. જો કે, જ્યારે તે સાબિત કરવું સરળ છે કે આ પ્રકારની દલીલ માટે ઘટાડાનો ક્રમ અસ્તિત્વમાં છે, અને ઘટાડાનો ક્રમ ટૂંકો છે, ત્યારે ક્રમને ઉલટાવવા માટે જરૂરી ભૌમિતિક પગલાં વધુ જટિલ છે. જો સમતલમાં સીધી રેખાની ધાર સાથે આલેખ દોરવામાં આવે, તો સંતુલન તણાવને ધાર પર બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (વજન) ની સોંપણી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં દરેક શિરોબિંદુ તેના પડોશીઓની ભારિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવેલી સ્થિતિમાં હોય છે. મેક્સવેલ-ક્રેમોના પત્રવ્યવહાર અનુસાર, સંતુલન તણાવને ટુકડાઓમાં રેખીય સતત ત્રિ-પરિમાણીય સપાટી પર ઉઠાવી શકાય છે, જેમ કે સપાટીના સપાટ ભાગો વચ્ચેની સીમાઓ બનાવતી કિનારીઓ આપેલ રેખાંકન પર પ્રક્ષેપિત થાય છે. દરેક ધારનું વજન અને લંબાઈ ધારની બંને બાજુના ઢોળાવોમાં તફાવત નક્કી કરે છે, અને દરેક શિરોબિંદુ તેના પડોશીઓ સાથે સંતુલનમાં હોવાની સ્થિતિ એ શરતની સમકક્ષ છે કે આ ઢોળાવના તફાવતો સપાટીને શિરોબિંદુના પડોશમાં પોતાની સાથે યોગ્ય રીતે મળવાનું કારણ બને છે. હકારાત્મક વજન પીસવાઇઝ રેખીય સપાટીના બે ચહેરાઓ વચ્ચેના બહિર્મુખ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓમાં અનુવાદિત થાય છે, અને નકારાત્મક વજન અંતર્મુખ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓમાં અનુવાદિત થાય છે. તેનાથી વિપરીત, દરેક સતત પીસવાઇઝ-રેખીય સપાટી આ રીતે સંતુલન તણાવમાંથી આવે છે. જો મર્યાદિત સમતલીય આલેખ દોરવામાં આવે અને સંતુલન તણાવ એવી રીતે આપવામાં આવે કે ચિત્રની તમામ આંતરિક કિનારીઓ હકારાત્મક વજન ધરાવે અને તમામ બાહ્ય કિનારીઓ નકારાત્મક વજન ધરાવે, તો પછી આ તાણને આ રીતે ત્રિ-પરિમાણીય સપાટીમાં અનુવાદિત કરીને, અને પછી તે જ સમતલમાં તેના પૂરક દ્વારા આલેખની બાહ્ય પ્રતિનિધિત્વ કરતી સપાટ સપાટીને બદલીને, વ્યક્તિ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન મેળવે છે, જેમાં વધારાની મિલકત છે કે સમતલ પર તેના લંબરૂપ પ્રક્ષેપણમાં કોઈ ક્રોસિંગ નથી. મેક્સવેલ-ક્રેમોના પત્રવ્યવહારનો ઉપયોગ પોલિહેડ્રલ આલેખની પોલિહેડ્રલ અનુભૂતિઓ મેળવવા માટે કરવામાં આવ્યો છે, તેને ડબલ્યુ. ટી. ટુટ્ટે, ટુટ્ટે એમ્બેડિંગની પ્લાનર ગ્રાફ ડ્રોઇંગ પદ્ધતિ સાથે જોડવામાં આવે છે. ટુટ્ટેની પદ્ધતિ બહુપરીમાણીય આલેખના એક ચહેરાને સમતલમાં બહિર્મુખ સ્થિતિમાં ગોઠવીને શરૂ થાય છે. આ ચહેરો આલેખના ચિત્રનો બાહ્ય ચહેરો બની જશે. આ પદ્ધતિ શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી સ્થાપિત કરીને ચાલુ રહે છે, જે મુજબ દરેક બાકી રહેલા શિરોબિંદુને તેના પડોશીઓની સરેરાશ પર મૂકવા જોઈએ. પછી ટુટ્ટેએ બતાવ્યું તેમ, સમીકરણોની આ પ્રણાલીનો એક અનોખો ઉકેલ હશે જેમાં આલેખનો દરેક ચહેરો બહિર્મુખ બહુકોણ તરીકે દોરવામાં આવે છે. સહજ ભાવે, આ ઉકેલ એ પેટર્નનું વર્ણન કરે છે જે ગ્રાફની આંતરિક ધારને આદર્શ ઝરણાઓ દ્વારા બદલીને અને તેમને તેમની લઘુત્તમ-ઊર્જા સ્થિતિમાં સ્થાયી થવા દેવાથી પ્રાપ્ત થશે. પરિણામ લગભગ એક સંતુલન તણાવ છેઃ જો કોઈ દરેક આંતરિક ધારને એક વજન સોંપે, તો પછી રેખાંકનનું દરેક આંતરિક શિરોબિંદુ સંતુલનમાં હોય છે. જો કે, બાહ્ય ધાર પર નકારાત્મક સંખ્યાઓ સોંપવી હંમેશા શક્ય નથી જેથી તેઓ પણ સંતુલનમાં હોય. જ્યારે બાહ્ય ચહેરો ત્રિકોણ હોય ત્યારે આવી સોંપણી હંમેશા શક્ય છે, અને તેથી આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્રિકોણાકાર ચહેરો ધરાવતા કોઈપણ પોલિહેડ્રલ ગ્રાફને સાકાર કરવા માટે થઈ શકે છે. જો પોલિહેડ્રલ ગ્રાફમાં ત્રિકોણાકાર ચહેરો ન હોય, તો તેના બેવડા ગ્રાફમાં ત્રિકોણ હોય છે અને તે પોલિહેડ્રલ પણ હોય છે, તેથી કોઈ વ્યક્તિ આ રીતે બેવડાને અનુભવી શકે છે અને પછી મૂળ ગ્રાફને બેવડા સાક્ષાત્કારના ધ્રુવીય પોલિહેડ્રોન તરીકે અનુભવી શકે છે. લિફ્ટિંગનો ઉપયોગ કરીને પોલિહેડ્રાને સાકાર કરવાની વૈકલ્પિક પદ્ધતિ બાહ્ય ચહેરો તરીકે મહત્તમ પાંચ શિરોબિંદુઓ સાથે કોઈપણ ચહેરાને પસંદ કરીને દ્વૈતતાને ટાળે છે. દરેક પોલિહેડ્રલ ગ્રાફમાં આવો ચહેરો હોય છે, અને આ ચહેરાના નિશ્ચિત આકારને વધુ કાળજીપૂર્વક પસંદ કરીને, બાકીના ગ્રાફના ટુટ્ટે એમ્બેડિંગને ઉપાડી શકાય છે. સર્કલ પેકિંગ વર્તુળ પેકિંગ પ્રમેયના એક પ્રકાર અનુસાર, દરેક પોલિહેડ્રલ ગ્રાફ માટે, સમતલમાં અથવા કોઈપણ ગોળા પર વર્તુળોની એક પદ્ધતિ અસ્તિત્વમાં છે, જે ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ અને ચહેરાને રજૂ કરે છે, જેથીઃ ગ્રાફના દરેક બે અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ સ્પર્શક વર્તુળો દ્વારા રજૂ થાય છે, ગ્રાફના દરેક બે અડીને આવેલા ચહેરાઓ સ્પર્શક વર્તુળ દ્વારા રજૂ થાય છે, શિરોબિંદુની દરેક જોડી અને તે જે ચહેરાને સ્પર્શ કરે છે તે વર્તુળો દ્વારા રજૂ થાય છે જે જમણા ખૂણા પર પાર કરે છે, અને વર્તુળોની અન્ય તમામ જોડીઓ એકબીજાથી અલગ પડે છે. વર્તુળોની સમાન પ્રણાલી શિરોબિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વર્તુળો અને ચહેરાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વર્તુળોની ભૂમિકાઓની અદલાબદલી કરીને બેવડા આલેખની રજૂઆત કરે છે. ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં જડિત ગોળા પરની આવી કોઈપણ રજૂઆતમાંથી, કોઈ પણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન બનાવી શકે છે જે આપેલ આલેખની સંયુક્ત રીતે સમકક્ષ છે, અર્ધ-જગ્યાઓના આંતરછેદ તરીકે જેની સીમાઓ ચહેરાના વર્તુળોમાંથી પસાર થાય છે. આ પોલિહેડ્રોનના દરેક શિરોબિંદુમાંથી, ગોળા પરની ક્ષિતિજ, જે તે શિરોબિંદુથી દેખાય છે, તે વર્તુળ છે જે તેને રજૂ કરે છે. આ ક્ષિતિજ ગુણધર્મ દરેક શિરોબિંદુની ત્રિ-પરિમાણીય સ્થિતિ નક્કી કરે છે, અને પોલિહેડ્રોનને આ રીતે સ્થિત શિરોબિંદુઓના બહિર્મુખ આવરણ તરીકે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ગોળા અનુભૂતિના મધ્યક્ષેત્ર બની જાય છેઃ બહુધ્રુવની દરેક ધાર ગોળાને સ્પર્શક હોય છે, તે બિંદુ પર જ્યાં બે સ્પર્શક શિરોબિંદુ વર્તુળો બે સ્પર્શક ચહેરાના વર્તુળોને પાર કરે છે. વધારાના ગુણધર્મો સાથેની અનુભૂતિ પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયના મજબૂત સ્વરૂપને સાબિત કરવું શક્ય છે, કે કોઈપણ પોલિહેડ્રલ ગ્રાફને બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન દ્વારા અનુભવી શકાય છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંકો છે. દાખલા તરીકે, સ્ટેનિટ્ઝના મૂળ ઇન્ડક્શન-આધારિત પુરાવાને આ રીતે મજબૂત કરી શકાય છે. જો કે, સ્ટેનિટ્ઝની રચનાના પરિણામે જે પૂર્ણાંકો આવશે તે આપેલ પોલિહેડ્રલ ગ્રાફના શિરોબિંદુઓની સંખ્યામાં બમણા ઘાતાંકીય છે. દ્વિસંગી સંકેતલિપીમાં આ તીવ્રતાની સંખ્યાઓ લખવા માટે બિટ્સની ઘાતાંકીય સંખ્યાની જરૂર પડશે. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે પોલિહેડ્રોનની કેટલીક વિશેષતાઓનું કદ અન્ય કરતા બમણું ઘાતાંકીય રીતે મોટું હોઈ શકે છે, જે ગ્રાફ ડ્રોઇંગમાં એપ્લિકેશનો માટે આ પદ્ધતિમાંથી મેળવેલી અનુભૂતિઓને સમસ્યારૂપ બનાવે છે. અનુગામી સંશોધકોએ લિફ્ટિંગ-આધારિત અનુભૂતિ અલ્ગોરિધમ્સ શોધી કાઢ્યા છે જે શિરોબિંદુ દીઠ બિટ્સની માત્ર રેખીય સંખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે. કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંકો હોવાની જરૂરિયાતને હળવી કરવી પણ શક્ય છે, અને કોઓર્ડિનેટ્સને એવી રીતે સોંપવું શક્ય છે કે શિરોબિંદુઓના-કોઓર્ડિનેટ્સ 0 થી લઈને એકમ અંતરાલમાં અલગ પૂર્ણાંકો હોય અને અન્ય બે કોઓર્ડિનેટ્સ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, જેથી દરેક ધારની લંબાઈ ઓછામાં ઓછી એક હોય, જ્યારે એકંદર પોલિહેડ્રોનમાં રેખીય કદ હોય. કેટલાક પોલિહેડ્રલ આલેખ માત્ર બહુપદી કદના ગ્રિડ પર વાસ્તવિક હોવાનું જાણીતું છે; ખાસ કરીને આ પિરામિડ (વ્હીલ ગ્રાફની અનુભૂતિ), પ્રિઝમ (પ્રિઝમ ગ્રાફની અનુભૂતિ) અને સ્ટેક્ડ પોલિહેડ્રા (એપોલોનિયન નેટવર્કની અનુભૂતિ) માટે સાચું છે. પૂર્ણાંક અનુભૂતિઓના અસ્તિત્વને જણાવવાની બીજી રીત એ છે કે દરેક ત્રિ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન સંયુક્ત રીતે સમકક્ષ પૂર્ણાંક પોલિહેડ્રોન ધરાવે છે. દાખલા તરીકે, નિયમિત પંચકોણ ચહેરાને કારણે નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન પોતે એક પૂર્ણાંક પોલિહેડ્રોન નથી, પરંતુ તેને સમકક્ષ પૂર્ણાંક પાયરિટોહેડ્રોન તરીકે અનુભવી શકાય છે. આ હંમેશા ઉચ્ચ પરિમાણોમાં શક્ય નથી, જ્યાં કોઈ પૂર્ણાંક સમકક્ષ ન હોય તેવા બહુપદી (જેમ કે પર્લ્સ રૂપરેખાંકનમાંથી બનેલા) અસ્તિત્વમાં હોય. સમાન ઢોળાવો હેલિન આલેખ એ પોલિહેડ્રલ આલેખનો એક વિશેષ કેસ છે, જે વૃક્ષના પાંદડાઓને ચક્રમાં જોડીને સમતલીય-જડિત વૃક્ષ (કોઈ ડિગ્રી-બે શિરોબિંદુ વિના) થી બનેલો છે. હેલિન આલેખ માટે, કોઈ પણ વ્યક્તિ એક ખાસ પ્રકારની પોલિહેડ્રલ અનુભૂતિઓ પસંદ કરી શકે છેઃ બાહ્ય ચક્ર એક આડી બહિર્મુખ આધાર ચહેરો બનાવે છે, અને દરેક અન્ય ચહેરો સીધા આધાર ચહેરાની ઉપર સ્થિત છે (જેમ કે લિફ્ટિંગ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ પોલિહેડ્રામાં), આ તમામ ઉપલા ચહેરાઓ સમાન ઢોળાવ ધરાવે છે. કોઈપણ આધાર બહુકોણ (જરૂરી નથી કે બહિર્મુખ) પર સમાન-ઢોળાવની સપાટીઓ ધરાવતી બહુપત્નીકીય સપાટીઓ બહુકોણના સીધા હાડપિંજરમાંથી બનાવી શકાય છે, અને આ અનુભૂતિને વર્ણવવાની સમકક્ષ રીત એ છે કે આધાર ચહેરા પર વૃક્ષનું દ્વિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ તેના સીધા હાડપિંજર બનાવે છે. આ પરિણામનો પુરાવો ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરે છેઃ કોઈપણ મૂળ ધરાવતું વૃક્ષ આંતરિક નોડમાંથી પાંદડા દૂર કરીને નાના વૃક્ષમાં ઘટાડો કરી શકે છે, જેના તમામ બાળકો પાંદડા છે, નાના વૃક્ષમાંથી રચાયેલ હેલિન ગ્રાફ ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા અનુભૂતિ ધરાવે છે, અને વૃક્ષ નોડમાં કોઈપણ સંખ્યામાં પાંદડાના બાળકોને ઉમેરવા માટે આ અનુભૂતિમાં ફેરફાર કરવો શક્ય છે, જેમના બાળકોને દૂર કરવામાં આવ્યા હતા. ચહેરાના આકારને સ્પષ્ટ કરવો કોઈપણ પોલિહેડ્રોનમાં કે જે આપેલ પોલિહેડ્રલ ગ્રાફને રજૂ કરે છે, તેના ચહેરાઓ બરાબર તે ચક્ર છે જે બે ઘટકોમાં અલગ નથીઃ એટલે કે, ચહેરાના ચક્રને દૂર કરવાથી બાકીનું જોડાયેલ સબગ્રાફ તરીકે રહે છે. આવા ચક્રોને પરિધીય ચક્ર કહેવામાં આવે છે. આમ, ચહેરાની સંયુક્ત રચના (પરંતુ તેમના ભૌમિતિક આકારો નહીં) ગ્રાફ માળખા પરથી વિશિષ્ટ રીતે નક્કી થાય છે. બાર્નેટ અને ગ્રુનબૌમ દ્વારા સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયને વધુ મજબૂત બનાવતા, જણાવે છે કે કોઈપણ પોલિહેડ્રલ ગ્રાફ, ગ્રાફના કોઈપણ ચહેરા અને તે ચહેરાને રજૂ કરતા કોઈપણ બહિર્મુખ બહુકોણ માટે, નિયુક્ત ચહેરા માટે ચોક્કસ આકાર ધરાવતા સમગ્ર ગ્રાફની પોલિહેડ્રલ અનુભૂતિ શોધવી શક્ય છે. આ ટુટ્ટેના એક પ્રમેય સાથે સંબંધિત છે, કે કોઈપણ પોલિહેડ્રલ આલેખ સમતલમાં તમામ મુખ બહિર્મુખ અને તેના બાહ્ય મુખ માટે કોઈપણ ચોક્કસ આકાર સાથે દોરી શકાય છે. જો કે, ટુટ્ટેની પદ્ધતિ દ્વારા ઉત્પાદિત સમતલીય આલેખ રેખાંકનો બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા તરફ વધે તે જરૂરી નથી. તેના બદલે, બાર્નેટ અને ગ્રુનબૌમ પ્રેરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ પરિણામ સાબિત કરે છે. પોલિહેડ્રલ ગ્રાફ અને મનસ્વી ચક્રને જોતાં, એક અનુભૂતિ શોધવી પણ હંમેશા શક્ય છે, જેના માટે સમાંતર પ્રક્ષેપણ હેઠળ અનુભૂતિનું સિલુએટ રચાય છે. વર્તુળ પેકિંગ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પોલિહેડ્રાની અનુભૂતિ સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયને વધુ મજબૂત બનાવે છેઃ દરેક 3-જોડાયેલા સમતલીય આલેખને બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન તરીકે એવી રીતે રજૂ કરી શકાય છે કે તેની તમામ કિનારીઓ એક જ એકમ ગોળાની, પોલિહેડ્રોનના મધ્ય ગોળાની સ્પર્શક હોય. વર્તુળ પેકિંગને પોલિહેડ્રોનમાં રૂપાંતરિત કરતા પહેલા કાળજીપૂર્વક પસંદ કરેલ મોબિયસ પરિવર્તન કરીને, પોલિહેડ્રલ અનુભૂતિ શોધવી શક્ય છે જે અંતર્ગત ગ્રાફની તમામ સમપ્રમાણતાઓને અનુભવે છે, તે અર્થમાં કે દરેક ગ્રાફ ઓટોમોર્ફિઝમ પોલિહેડ્રલ અનુભૂતિની સમપ્રમાણતા છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો પોલિહેડ્રલ આલેખ હોય અને કોઈપણ સરળ ત્રિ-પરિમાણીય બહિર્મુખ પદાર્થ હોય, તો પોલિહેડ્રલ રજૂઆત શોધવાનું શક્ય છે જેમાં તમામ ધાર સ્પર્શરેખા હોય. વર્તુળ પેકિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ પોલિહેડ્રાના આલેખની લાક્ષણિકતા દર્શાવવા માટે પણ થઈ શકે છે, જે તેમના તમામ શિરોબિંદુઓમાંથી એક પરિઘ ધરાવે છે, અથવા તેમના તમામ ચહેરાઓ પર એક અંતઃક્ષેત્ર સ્પર્શરેખા ધરાવે છે. (પરિઘ સાથેનો બહુપત્નીમંડળ હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં પણ આદર્શ બહુપત્નીમંડળ તરીકે નોંધપાત્ર છે.) બંને કિસ્સાઓમાં, ગોળાનું અસ્તિત્વ ગ્રાફની દરેક ધાર સાથે સંકળાયેલ હકારાત્મક વાસ્તવિક ચલ પર રેખીય અસમાનતાઓની પ્રણાલીની ઉકેલનીયતાની સમકક્ષ છે. ઇન્સ્ફિયરના કિસ્સામાં, આ ચલોનો સરવાળો આલેખના દરેક ફેસ ચક્ર પર બરાબર એક હોવો જોઈએ, અને દરેક નોન-ફેસ ચક્ર પર એકથી વધુ હોવો જોઈએ. બેવડું, પરિઘ માટે, ચલોનો સરવાળો દરેક શિરોબિંદુ પર એક હોવો જોઈએ, અને કટની દરેક બાજુએ બે અથવા વધુ શિરોબિંદુઓ સાથે દરેક કટમાં એકથી વધુ હોવો જોઈએ. તેમ છતાં સંતોષવા માટે ઘાતાંકીય રીતે ઘણી રેખીય અસમાનતાઓ હોઈ શકે છે, એક ઉકેલ (જો અસ્તિત્વમાં હોય તો) લંબગોળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બહુપદી સમયમાં શોધી શકાય છે. ઉકેલમાંથી ચલોના મૂલ્યો વર્તુળ પેકિંગમાં વર્તુળોની જોડી વચ્ચેના ખૂણા નક્કી કરે છે, જેના અનુરૂપ પોલિહેડ્રોન તેના ગોળા સાથે ઇચ્છિત સંબંધ ધરાવે છે. સંબંધિત પરિણામો ત્રણ કરતા વધુ કોઈપણ પરિમાણમાં, એલ્ગોરિધમિક સ્ટેનિટ્ઝ સમસ્યામાં તે નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે કે આપેલ જાળી બહિર્મુખ પોલીટોપનું ચહેરાનું જાળી છે કે કેમ. બહુપદી સમય જટિલતા હોવાની શક્યતા નથી, કારણ કે તે એન. પી.-સખત છે અને રિક્ટર-ગેબર્ટના સાર્વત્રિકતા પ્રમેય દ્વારા, ચાર-પરિમાણીય બહુપદી માટે પણ, વાસ્તવિક અસ્તિત્વના સિદ્ધાંત માટે વધુ મજબૂત રીતે પૂર્ણ છે. અહીં, વાસ્તવિક અસ્તિત્વનો સિદ્ધાંત એ ગણતરીની સમસ્યાઓનો એક વર્ગ છે જે બહુપદી સમીકરણો અને અસમાનતાઓની આપેલ પ્રણાલીને સંતોષતા વાસ્તવિક ચલો શોધવાની દ્રષ્ટિએ ઘડવામાં આવી શકે છે. એલ્ગોરિધમિક સ્ટેનિટ્ઝ સમસ્યા માટે, આવી સમસ્યાના ચલો પોલીટોપનાં શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ હોઈ શકે છે, અને સમીકરણો અને અસમાનતાઓનો ઉપયોગ આપેલ ચહેરાના જાળીમાં દરેક ચહેરાની સપાટતા અને ચહેરાઓ વચ્ચેના દરેક ખૂણાની બહિર્મુખતાને સ્પષ્ટ કરવા માટે થઈ શકે છે. સંપૂર્ણતાનો અર્થ એ છે કે આ વર્ગની દરેક અન્ય સમસ્યાને બહુપદી સમયમાં એલ્ગોરિધમિક સ્ટેનિટ્ઝ સમસ્યાના સમકક્ષ ઉદાહરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આવા પરિવર્તનનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે, જો એલ્ગોરિધમિક સ્ટેનિટ્ઝ સમસ્યામાં બહુપદી સમય ઉકેલ હોય, તો વાસ્તવિક અસ્તિત્વના સિદ્ધાંતમાં દરેક સમસ્યા અને એન. પી. માં દરેક સમસ્યા પણ થાય છે. જો કે, આપેલ આલેખ એક કરતાં વધુ ચહેરાના જાળીને અનુરૂપ હોઈ શકે છે, તેથી આ સંપૂર્ણતાના પરિણામને 4-બહુપદીના આલેખને ઓળખવાની સમસ્યા સુધી લંબાવવું મુશ્કેલ છે. આ આલેખ ઓળખની સમસ્યાની ગણતરીની જટિલતાને નિર્ધારિત કરવી ખુલ્લી રહે છે. સંશોધકોએ ત્રિ-પરિમાણીય બિન-બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા અને ચાર-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલિટોપોનાં ચોક્કસ વિશેષ વર્ગોના આલેખની આલેખ-સૈદ્ધાંતિક લાક્ષણિકતાઓ પણ શોધી કાઢી છે. જોકે, બંને કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય સમસ્યા વણઉકેલાયેલી રહે છે. ખરેખર, કયા સંપૂર્ણ આલેખ બિન-બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાના આલેખ છે (ટેટ્રાહેડ્રોન અને સેઝર પોલિહેડ્રોન સિવાય) તે નક્કી કરવાની સમસ્યા પણ વણઉકેલાયેલી રહે છે. એબરહાર્ડનો પ્રમેય આંશિક રીતે બહુકોણના બહુવિધ સમૂહોને લાક્ષણિકતા આપે છે જેને સંયુક્ત રીતે બહિર્મુખ બહુભુજની સપાટીઓ બનાવી શકાય છે. તે બહુકોણ ચહેરાના આપેલ સમૂહ સાથે 3-જોડાયેલ સમતલીય આલેખ બનાવીને સાબિત કરી શકાય છે, અને પછી તે આલેખનું બહુસ્તરીય અનુભૂતિ શોધવા માટે સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયને લાગુ કરી શકાય છે. લેઝલો લોવેઝે સમાન આલેખોના કોલિન ડી વર્ડીયર આલેખ અપરિવર્તનને સમજીને આલેખો અને મેટ્રિસીસની પોલિહેડ્રલ રજૂઆતો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર દર્શાવ્યો છે. પોલીહેડ્રલ આલેખ માટે અપ્રસ્તુત હોય તેવી કેટલીક વધારાની શરતો હેઠળ, કોલિન ડી વર્ડીયર અપરિવર્તન એ આલેખના ભારિત સંલગ્નતા મેટ્રિક્સનો મહત્તમ કોરાંક છે. આ શિરોબિંદુઓ દ્વારા અનુક્રમિત ચોરસ સમપ્રમાણ મેટ્રિસીસ છે, જેમાં કર્ણ ગુણાંકમાં શિરોબિંદુના વજન સાથે અને કર્ણ બહારના ગુણાંકમાં ધારના વજન સાથે અને. જ્યારે શિરોબિંદુઓ અને અડીને ન હોય ત્યારે ગુણાંક શૂન્ય હોવો જરૂરી છે. આ અપરિવર્તન મહત્તમ ત્રણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આલેખ સમતલીય આલેખ હોય. લોવેઝ બતાવે છે તેમ, જ્યારે આલેખ બહુધ્રુવીય હોય છે, ત્યારે તેની બહુધ્રુવીય તરીકેની રજૂઆત કોરાંક ત્રણના ભારિત સંલગ્નતા મેટ્રિક્સને શોધીને, તેના નલસ્પેસ માટે આધાર બનાવતા ત્રણ વેક્ટરને શોધીને, આ વેક્ટરના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે મેળવી શકાય છે, અને આ શિરોબિંદુઓને યોગ્ય રીતે સ્કેલ કરી શકાય છે. સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયનો ઇતિહાસ વર્ણવવામાં આવ્યો છે, જેમણે અર્ન્સ્ટ સ્ટેનિટ્ઝના પ્રકાશનમાં ગુપ્ત સ્વરૂપમાં તેના પ્રથમ દેખાવની નોંધ લીધી છે, જે મૂળરૂપે 1916 માં લખવામાં આવ્યો હતો. સ્ટેનિટ્ઝે તેમના 1928 ના મૃત્યુ પછી પ્રકાશિત થયેલા પછીના વ્યાખ્યાન નોંધોમાં વધુ વિગતો પ્રદાન કરી હતી. સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયની આધુનિક સારવારો તેને પોલિહેડ્રાના ગ્રાફ-સૈદ્ધાંતિક લાક્ષણિકતા તરીકે વર્ણવે છે, તેમ છતાં સ્ટેનિટ્ઝે ગ્રાફની ભાષાનો ઉપયોગ કર્યો નથી. પ્રમેયની આલેખ-સૈદ્ધાંતિક રચના 1960ના દાયકાની શરૂઆતમાં બ્રાન્કો ગ્રુનબૌમ અને થિયોડોર મોત્ઝકિન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી, તેના પુરાવા સાથે ગ્રુનબૌમના 1967ના લખાણ કન્વેક્સ પોલીટોપ્સમાં પણ આલેખ સિદ્ધાંતમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવ્યા હતા. સ્ટેનિટ્ઝના સાબિતીને મજબૂત બનાવતા α-Y અને Y-α રૂપાંતરણો પર એપિફાનોવનું કાર્ય, પોલિહેડ્રાના લાક્ષણિકતા સિવાયની અન્ય સમસ્યાઓ દ્વારા પ્રેરિત હતું. સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેય માટે આ કાર્યની સુસંગતતાનું નિરીક્ષણ કરવા માટે ગ્રુનબૌમને શ્રેય આપવામાં આવે છે. સ્ટ્રેસ ડાયાગ્રામ અને પોલિહેડ્રલ લિફ્ટિંગ વચ્ચેનો મેક્સવેલ-ક્રેમોના પત્રવ્યવહાર 1864 થી 1870 સુધી જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલ દ્વારા પેપરની શ્રેણીમાં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જે પિયર વેરિગ્નન, વિલિયમ રેન્કિન અને અન્યના અગાઉના કાર્ય પર આધારિત હતો અને 19મી સદીના અંતમાં લુઇગી ક્રેમોના દ્વારા તેને લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યો હતો. અવલોકન કે આ પત્રવ્યવહારનો ઉપયોગ સ્ટેનિટ્ઝના પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે ટુટ્ટે એમ્બેડિંગ સાથે થઈ શકે છે; તે પણ જુઓ. વર્તુળ પેકિંગ પ્રમેય 1936માં પોલ કોબે દ્વારા અને (સ્વતંત્ર રીતે) 1970માં ઇ. એમ. એન્ડ્રીવ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો; તેને 1980ના દાયકાના મધ્યમાં વિલિયમ થર્સ્ટન દ્વારા લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેમને (કોબે અને એન્ડ્રીવને ટાંક્યા હોવા છતાં) ઘણીવાર તેના શોધકોમાંના એક તરીકે શ્રેય આપવામાં આવે છે. એન્ડ્રીવની પ્રમેયની આવૃત્તિ પહેલેથી જ હાયપરબોલિક અવકાશમાં ચોક્કસ પોલિહેડ્રા માટે સ્ટેનિટ્ઝ જેવી લાક્ષણિકતા તરીકે ઘડવામાં આવી હતી, અને મધ્ય ગોળાઓ સાથે પોલિહેડ્રાને સાકાર કરવા માટે વર્તુળ પેકિંગનો ઉપયોગ થર્સ્ટનના કાર્યમાંથી આવે છે. અંકિત અથવા ઘેરાયેલા ગોળાઓ સાથે પોલિહેડ્રાને લાક્ષણિકતા આપવાની સમસ્યા, આખરે વર્તુળ પેકિંગ અનુભૂતિઓ પર આધારિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, તે રેને ડેસકાર્ટેસના લગભગ 1630 અને 1832 માં જેકબ સ્ટેઇનરના અપ્રકાશિત કાર્ય પર પાછા જાય છે; પોલિહેડ્રાના પ્રથમ ઉદાહરણો કે જે પરિઘ અથવા અંતઃક્ષેત્ર સાથે કોઈ અનુભૂતિ ધરાવતા નથી તે 1928 માં સ્ટેનિટ્ઝ દ્વારા આપવામાં આવ્યા હતા. પ્લેનર આલેખ ભૌમિતિક આલેખ સિદ્ધાંત પોલિહેડ્રલ સંયોજન આલેખ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો સ્વતંત્ર ભૂમિતિમાં પ્રમેયો