Projective object
શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, પ્રોજેક્ટિવ ઑબ્જેક્ટની કલ્પના પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવે છે. અબેલિયન વર્ગોમાં પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સનો ઉપયોગ હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં થાય છે. પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટની બેવડી કલ્પના ઇન્જેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટની છે. વ્યાખ્યા શ્રેણીમાં એક વસ્તુ પ્રોજેક્ટિવ હોય છે જો કોઈ પણ એપિમોર્ફિઝમ અને મોર્ફિઝમ માટે, એવી મોર્ફિઝમ હોય કે, એટલે કે. નીચેની આકૃતિ પરિવર્તિત થાય છેઃ એટલે કે, દરેક મોર્ફિઝમ દરેક એપિમોર્ફિઝમ દ્વારા પરિબળો બનાવે છે. જો સી સ્થાનિક રીતે નાનું હોય, એટલે કે, ખાસ કરીને સીમાં કોઈપણ ઑબ્જેક્ટ X માટેનો સમૂહ હોય, તો આ વ્યાખ્યા એ શરતની સમકક્ષ છે કે હોમ ફંકટર (જેને કોર પ્રેઝન્ટેબલ ફંકટર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એપિમોર્ફિઝમ્સને સાચવે છે. જો શ્રેણી સી એ અબેલિયન શ્રેણી છે જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, અબેલિયન જૂથોની શ્રેણી, તો પછી પી પ્રોજેક્ટિવ છે જો અને માત્ર જો ચોક્કસ ફંકટર હોય, જ્યાં એબી એ અબેલિયન જૂથોની શ્રેણી છે. એક અબેલિયન શ્રેણીમાં પૂરતા પ્રોજેક્ટિવ હોવાનું કહેવાય છે, જો દરેક ઑબ્જેક્ટ માટે, એક પ્રોજેક્ટિવ ઑબ્જેક્ટ હોય અને P થી A સુધી એક એપિમોર્ફિઝમ હોય અથવા, સમકક્ષ રીતે, એક ટૂંકો ચોક્કસ ક્રમ આ વ્યાખ્યાનો હેતુ એ સુનિશ્ચિત કરવાનો છે કે કોઈપણ ઑબ્જેક્ટ A પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનને સ્વીકારે છે, એટલે કે, એક (લાંબો) ચોક્કસ ક્રમ જ્યાં ઓબ્જેક્ટ પ્રોજેક્ટિવ હોય. પ્રતિબંધિત વર્ગોના સંદર્ભમાં પ્રોજેક્ટિવિટી કહેવાતા દ્વિશ્રેણી સાથે સંબંધિત પ્રોજેક્ટિવ (અને દ્વિ-ઇન્જેક્ટિવ) પદાર્થોની કલ્પનાની ચર્ચા કરે છે, જેમાં આપેલ શ્રેણી સીમાં "ઇન્જેક્શન" અને "સર્જેક્શન" ની પેટા શ્રેણીઓની જોડીનો સમાવેશ થાય છે. આ પેટા શ્રેણીઓ ચોક્કસ ઔપચારિક ગુણધર્મોને આધિન છે, જેમાં કોઈ પણ સર્જેક્શન એ એપિમોર્ફિઝમ છે. પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ (સર્જેક્શનના નિશ્ચિત વર્ગને સંબંધિત) પછી એક ઓબ્જેક્ટ પી છે જેથી હોમ (પી,-) સર્જેક્શનના નિશ્ચિત વર્ગને (તમામ એપિમોર્ફિઝમ્સના વિરોધમાં) સમૂહોના સર્જેક્શનમાં (સામાન્ય અર્થમાં) ફેરવે છે. ગુણધર્મો બે પ્રક્ષેપાત્મક પદાર્થોનું સહઉત્પાદન પ્રક્ષેપાત્મક હોય છે. પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટનું રીટ્રેક્ટ પ્રોજેક્ટિવ હોય છે. ઉદાહરણો તમામ સમૂહો પ્રોજેક્ટિવ છે તે નિવેદન પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધની સમકક્ષ છે. અબેલિયન જૂથોની શ્રેણીમાં પ્રક્ષેપાત્મક પદાર્થો મુક્ત અબેલિયન જૂથો છે. ઓળખ સાથે વીંટી બનવા દો. ડાબી બાજુના મોડ્યુલની (અબેલિયન) શ્રેણી-મોડનો વિચાર કરો. - મોડમાં પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સ ચોક્કસપણે પ્રોજેક્ટિવ લેફ્ટ આર-મોડ્યુલો છે. પરિણામે, તે પોતે-મોડમાં પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ છે. બંને રીતે,-મોડમાં ઇન્જેક્ટીવ ઓબ્જેક્ટ્સ બરાબર ઇન્જેક્ટીવ લેફ્ટ આર-મોડ્યુલો છે. ડાબી (જમણી)-મોડ્યુલોની શ્રેણીમાં પણ પૂરતા પ્રોજેક્ટિવ હોય છે. આ સાચું છે કારણ કે, દરેક ડાબી (જમણી)-મોડ્યુલ માટે, આપણે મુક્ત (અને તેથી પ્રોજેક્ટિવ)-મોડ્યુલ તરીકે લઈ શકીએ છીએ જે જનરેટિંગ સેટ દ્વારા પેદા થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે આપણે લઈ શકીએ છીએ). પછી કેનોનિકલ પ્રક્ષેપણ એ જરૂરી સર્જેક્શન છે. કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓની શ્રેણીમાં પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સ ચોક્કસપણે અત્યંત ડિસ્કનેક્ટ કરેલી જગ્યાઓ છે. આ પરિણામ દ્વારા આપવામાં આવેલા સરળ પુરાવા સાથે કારણે છે. બનાચ જગ્યાઓ અને સંકોચનની શ્રેણીમાં (એટલે કે, વિધેયો કે જેનું ધોરણ મહત્તમ 1 છે), એપિમોર્ફિઝમ્સ ચોક્કસપણે ગાઢ છબીવાળા નકશા છે. તે દર્શાવે છે કે શૂન્ય જગ્યા આ શ્રેણીમાં એકમાત્ર પ્રક્ષેપાત્મક પદાર્થ છે. જોકે, ત્યાં બિન-તુચ્છ જગ્યાઓ છે, જે સર્જેક્ટિવ સંકોચનના વર્ગના સંદર્ભમાં પ્રોજેક્ટિવ છે. સંકોચન સાથે પ્રમાણભૂત વેક્ટર જગ્યાઓની શ્રેણીમાં (અને "સર્જેક્શન" તરીકે સર્જેક્ટિવ નકશા), પ્રોજેક્ટિવ પદાર્થો ચોક્કસપણે-જગ્યાઓ છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ 'હોમોલોજિકલ બીજગણિત ઓબ્જેક્ટ્સ (શ્રેણી સિદ્ધાંત)