Bilateral hypergeometric series
ગણિતમાં, દ્વિપક્ષી હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી એ એક શ્રેણી છે જે તમામ પૂર્ણાંકો n પર સરખાવવામાં આવે છે, અને એવી રીતે કે બે પદોનો ગુણોત્તર an/an + 1 એ n નું તર્કસંગત કાર્ય છે. સામાન્યીકૃત હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીની વ્યાખ્યા સમાન છે, સિવાય કે નકારાત્મક n સાથેના શબ્દો અદૃશ્ય થઈ જવા જોઈએ; દ્વિપક્ષી શ્રેણીમાં સામાન્ય રીતે હકારાત્મક અને નકારાત્મક n બંને માટે બિન-શૂન્ય શબ્દોની અનંત સંખ્યાઓ હશે. બહુપક્ષીય હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી મોટાભાગના તર્કસંગત કાર્યો માટે એકરૂપ થવામાં નિષ્ફળ જાય છે, જોકે તેને વિશ્લેષણાત્મક રીતે મોટાભાગના તર્કસંગત કાર્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કાર્યમાં ચાલુ રાખી શકાય છે. ત્યાં ઘણા સરવાળા સૂત્રો છે જે વિશેષ મૂલ્યો માટે તેના મૂલ્યો આપે છે જ્યાં તે એકરૂપ થાય છે. વ્યાખ્યા દ્વિપક્ષી હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી pHp એ રાઇઝિંગ ફેક્ટોરિયલ અથવા પોચામર પ્રતીક ક્યાં છે તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે ચલ z ને 1 તરીકે લેવામાં આવે છે, આ કિસ્સામાં તેને સંકેતલિપીમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે. વિવિધ p અને q સાથે શ્રેણી pHq ને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે, પરંતુ આ કાં તો કન્વર્જ કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે અથવા ચલોના ફેરફારો દ્વારા સામાન્ય હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીમાં ઘટાડી શકાય છે. કન્વર્જન્સ અને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય ધારો કે a અથવા b ચલમાંથી કોઈ પણ પૂર્ણાંક નથી, જેથી શ્રેણીની તમામ શરતો મર્યાદિત અને બિન-શૂન્ય હોય. પછી જો |z | <1 હોય તો n <0 સાથેના શબ્દો અલગ પડે છે, અને જો |z |> 1 હોય તો n> 0 સાથેના શબ્દો અલગ પડે છે, તેથી જ્યાં સુધી |z | = 1 ન હોય ત્યાં સુધી શ્રેણી ભેગા થઈ શકતી નથી. જ્યારે |z | = 1 હોય, ત્યારે શ્રેણી એકરૂપ થાય છે જો દ્વિપક્ષી હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સંખ્યાબંધ ચલોના બહુ-મૂલ્યવાન મેરોમોર્ફિક કાર્યમાં ચાલુ રાખી શકાય, જેમની એકવચનતા એ z = 0 અને z = 1 પર શાખા બિંદુઓ છે અને એઆઇ = −1, −2, અને બાય = 0,1,2, પર સરળ ધ્રુવો છે. આ નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છે. ધારો કે a અથવા b ચલમાંથી કોઈ પણ પૂર્ણાંક નથી. n પોઝિટિવ સાથેના શબ્દો |z | <1 માટે z = 0 અને z = 1 પર સિંગ્યુલારીટી સાથે અસમરૂપ રેખીય સમીકરણને સંતોષતા ફંક્શનમાં ભેગા થાય છે, તેથી આ બિંદુઓને શાખા બિંદુઓ તરીકે બહુ-મૂલ્યવાન ફંક્શનમાં ચાલુ રાખી શકાય છે. તેવી જ રીતે n નકારાત્મક સાથેના શબ્દો |z |> 1 માટે z = 0 અને z = 1 પર સિંગ્યુલારીટી સાથે અસમરૂપી રેખીય સમીકરણને સંતોષતા વિધેયમાં ભેગા થાય છે, તેથી આ બિંદુઓને શાખા બિંદુઓ તરીકે બહુપરીમાણીય વિધેયમાં પણ ચાલુ રાખી શકાય છે. આ કાર્યોનો સરવાળો 0 અને 1 સિવાયના ઝેડના તમામ મૂલ્યો માટે દ્વિપક્ષી હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીનું વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય આપે છે, અને હાયપરજિયોમેટ્રિક વિભેદક સમીકરણની જેમ ઝેડમાં રેખીય વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. સારાંશ સૂત્રો ડૌગલનો દ્વિપક્ષી સરવાળો આ કેટલીકવાર સમકક્ષ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે બેલીના સૂત્રએ ડૌગલના સૂત્રનું નીચેનું સામાન્યીકરણ આપ્યું છેઃ જ્યાં મૂળભૂત દ્વિપક્ષી હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી સંદર્ભો (2008 પેપરબેક છે) હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો પણ જુઓ.