Hasse–Witt matrix
ગણિતમાં, મર્યાદિત ક્ષેત્ર F પર બિન-એકકોણીય બીજગણિત વળાંક C નો હેસ્સે-વિટ મેટ્રિક્સ H એ પ્રથમ પ્રકારના તફાવતો માટેના આધારના સંદર્ભમાં ફ્રોબેનિયસ મેપિંગ (p-th પાવર મેપિંગ જ્યાં F પાસે q તત્વો છે, q એ મુખ્ય સંખ્યા p ની શક્તિ છે) નો મેટ્રિક્સ છે. તે એક g × g મેટ્રિક્સ છે જ્યાં C પાસે જીનસ g છે. હાસ્સ-વિટ મેટ્રિક્સનો ક્રમ હાસ્સ અથવા હાસ્સ-વિટ અપરિવર્તનશીલ છે. વ્યાખ્યાનો અભિગમ પરિચયમાં આપવામાં આવેલી આ વ્યાખ્યા શાસ્ત્રીય દ્રષ્ટિએ સ્વાભાવિક છે અને તે હેલ્મુટ હાસે અને અર્ન્સ્ટ વિટ (1936) ને કારણે છે. તે સી ની જેકોબિયન વિવિધતા જે ના પી-રેન્કના પ્રશ્નનો ઉકેલ પૂરો પાડે છે; પી-રેન્ક એચ ના રેન્ક દ્વારા બંધાયેલ છે, ખાસ કરીને તે પોતે જી વખત સાથે બનેલા ફ્રોબેનિયસ મેપિંગનો ક્રમ છે. તે એક એવી વ્યાખ્યા પણ છે જે સૈદ્ધાંતિક રીતે અલ્ગોરિધમિક છે. ક્રિપ્ટોગ્રાફી માટે વ્યવહારુ એપ્લિકેશન તરીકે આમાં નોંધપાત્ર તાજેતરનો રસ રહ્યો છે, સી એ હાયપરેલિપ્ટિક વળાંકના કિસ્સામાં. જો H = 0 હોય તો વળાંક C વિશેષ છે. તે વ્યાખ્યામાં ઓછામાં ઓછી બે ચેતવણીઓની જરૂર છે. પ્રથમ, ફ્રોબેનિયસ મેપિંગ્સ વિશે એક પરંપરા છે, અને આધુનિક સમજણ હેઠળ એચ માટે જે જરૂરી છે તે ફ્રોબેનિયસનું ટ્રાન્સપોઝ છે (વધુ ચર્ચા માટે અંકગણિત અને ભૌમિતિક ફ્રોબેનિયસ જુઓ). બીજું, ફ્રોબેનિયસ મેપિંગ એ F-રેખીય નથી; તે F માં મુખ્ય ક્ષેત્ર Z/pZ પર રેખીય છે. તેથી મેટ્રિક્સ લખી શકાય છે પરંતુ સીધા અર્થમાં રેખીય મેપિંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું નથી. શીફ કોહોમોલોજી માટેનું અર્થઘટન આ છેઃ પી-પાવર નકશો એચ 1 (સી, ઓસી) પર કાર્ય કરે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેની રચનાના શીફમાં ગુણાંક સાથે સીની પ્રથમ કોહોમોલોજી. પિયરે કાર્ટિયર અને યુરી મેનિન માટે આને હવે કાર્ટિયર-મેનિન ઓપરેટર (ક્યારેક માત્ર કાર્ટિયર ઓપરેટર) કહેવામાં આવે છે. હેસ્સે-વિટ વ્યાખ્યા સાથેનો સંબંધ સેરે દ્વૈતતાના માધ્યમથી છે, જે વળાંક માટે તે જૂથને H0 (C, ωC) સાથે સંબંધિત કરે છે જ્યાં ωC = ωC એ C. એબેલિયન જાતો અને તેમના p-ક્રમ પર કેલર ભિન્નતાઓનું આવરણ છે. તે 0 થી d સુધી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે, જે A નું પરિમાણ છે; તેનાથી વિપરીત અન્ય કોઈપણ મુખ્ય સંખ્યા l માટે A [l] માં l2d બિંદુઓ છે. પી-ક્રમ ઓછો હોવાનું કારણ એ છે કે એ પર પી દ્વારા ગુણાકાર એ એક અવિભાજ્ય આઇસોજેની છેઃ વિભેદક એ પી છે જે કે માં 0 છે. એક જૂથ યોજના તરીકે કર્નલને જોઈને વધુ સંપૂર્ણ માળખું મેળવી શકાય છે (સંદર્ભ ડેવિડ મમફોર્ડ એબેલિયન જાતો પીપી. 146-7); પરંતુ જો ઉદાહરણ તરીકે વિભાજન સમીકરણના રિડક્શન મોડ p ને જોવામાં આવે, તો ઉકેલોની સંખ્યામાં ઘટાડો થવો જોઈએ. કાર્ટિયર-મેનિન ઓપરેટર અથવા હાસ્સ-વિટ મેટ્રિક્સનો ક્રમ, તેથી પી-ક્રમ માટે ઉપલી સીમા આપે છે. પી-ક્રમ એ ફ્રોબેનિયસ ઓપરેટરનો ક્રમ છે જે પોતે જી વખત સાથે બનેલો છે. હાસ્સ અને વિટના મૂળ પેપરમાં સમસ્યાને સી માટે આંતરિક શબ્દોમાં રજૂ કરવામાં આવી છે, જે જે પર આધાર રાખતી નથી. ફંક્શન ફિલ્ડ F (C) (કુમ્મર થિયરીના આ કિસ્સામાં એનાલોગ) ના સંભવિત આર્ટિન-શ્રેયર એક્સ્ટેન્શન્સને વર્ગીકૃત કરવાનો પ્રશ્ન છે. જીનસ 1 નો કેસ એલિપ્ટિક વળાંકનો કેસ હેસે દ્વારા 1934 માં તૈયાર કરવામાં આવ્યો હતો. જીનસ 1 હોવાથી, મેટ્રિક્સ H માટે એકમાત્ર શક્યતાઓ છેઃ H એ શૂન્ય છે, હાસ્સ અપરિવર્તનશીલ 0, p-ક્રમ 0, સુપરસિંગ્યુલર કેસ; અથવા H બિન-શૂન્ય, હાસ્સ અપરિવર્તનશીલ 1, p-ક્રમ 1, સામાન્ય કેસ. અહીં એક એકરૂપ સૂત્ર છે જે કહે છે કે H એ F પર C પરના બિંદુઓની સંખ્યા N માટે એકરૂપ મોડ્યુલો p છે, ઓછામાં ઓછું જ્યારે q = p. લંબગોળ વળાંક પર હાસ્સના પ્રમેયને કારણે, N મોડ્યુલો p જાણવાથી p ≤ 5 માટે N નક્કી થાય છે. સ્થાનિક ઝીટા-કાર્યો સાથેના આ જોડાણની ઊંડાણપૂર્વક તપાસ કરવામાં આવી છે. ક્યુબિક f (X, Y, Z) = 0 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલ વળાંક માટે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો fp−1 માં (XYZ) p−1 નો ગુણાંક શૂન્ય હોય તો જ હાસ અચળાંક શૂન્ય હોય છે. નોંધો સંદર્ભો (રશિયન મૂળનું અંગ્રેજી ભાષાંતર) બીજગણિત વણાંકો મર્યાદિત ક્ષેત્રો મેટ્રિક કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સ