Infinity
અનંત એવી વસ્તુ છે જે અમર્યાદિત, અનંત અથવા કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતાં મોટી છે. તેને ઘણીવાર અનંત પ્રતીક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પ્રાચીન ગ્રીકોના સમયથી, અનંતની દાર્શનિક પ્રકૃતિ ફિલસૂફો વચ્ચે ઘણી ચર્ચાઓનો વિષય હતો. 17મી સદીમાં, અનંત પ્રતીક અને અનંત કલનની રજૂઆત સાથે, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ અનંત શ્રેણી સાથે કામ કરવાનું શરૂ કર્યું અને જેને કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓ (એલ 'હોપિટાલ અને બર્નૌલી સહિત) અનંત નાના જથ્થા તરીકે માનતા હતા, પરંતુ અનંત અનંત પ્રક્રિયાઓ સાથે સંકળાયેલું રહ્યું. ગણિતશાસ્ત્રીઓ કલનશાસ્ત્રના પાયા સાથે સંઘર્ષ કરી રહ્યા હોવાથી, તે અસ્પષ્ટ રહ્યું કે અનંતને સંખ્યા અથવા પરિમાણ તરીકે ગણી શકાય કે નહીં અને જો એમ હોય તો, આ કેવી રીતે કરી શકાય. 19મી સદીના અંતમાં, જ્યોર્જ કેન્ટરે અનંત સમૂહો અને અનંત સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કરીને અનંતના ગાણિતિક અભ્યાસને વિસ્તૃત કર્યો, જે દર્શાવે છે કે તેઓ વિવિધ કદના હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ રેખાને તેના તમામ બિંદુઓના સમૂહ તરીકે જોવામાં આવે, તો તેમની અનંત સંખ્યા (એટલે કે, રેખાની મુખ્યતા) પૂર્ણાંકોની સંખ્યા કરતાં મોટી હોય છે. આ ઉપયોગમાં, અનંત એ એક ગાણિતિક ખ્યાલ છે, અને અનંત ગાણિતિક પદાર્થોનો અભ્યાસ કરી શકાય છે, હેરફેર કરી શકાય છે અને અન્ય કોઈપણ ગાણિતિક પદાર્થની જેમ તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. અનંતનો ગાણિતિક ખ્યાલ જૂના દાર્શનિક ખ્યાલને સુધારે છે અને વિસ્તૃત કરે છે, ખાસ કરીને અનંત સમૂહોના અનંત વિવિધ કદની રજૂઆત કરીને. ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ સમૂહ સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાં, જેના પર મોટાભાગના આધુનિક ગણિતનો વિકાસ કરી શકાય છે, તે અનંતનો સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત છે, જે અનંત સમૂહોના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે છે. અનંતની ગાણિતિક વિભાવના અને અનંત સમૂહોની હેરફેરનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, સંયોજનશાસ્ત્ર જેવા ક્ષેત્રોમાં પણ કે જેને તેમની સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફર્માટના છેલ્લા પ્રમેયનો વાઇલ્સનો પુરાવો પ્રાથમિક અંકગણિતની દ્રષ્ટિએ જણાવેલી લાંબા સમયથી ચાલતી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ગ્રોથેન્ડીક બ્રહ્માંડો, ખૂબ મોટા અનંત સમૂહોના અસ્તિત્વ પર પરોક્ષ રીતે આધાર રાખે છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને બ્રહ્માંડશાસ્ત્રમાં, બ્રહ્માંડ અવકાશી રીતે અનંત છે કે કેમ તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે. ઇતિહાસ પ્રાચીન સંસ્કૃતિઓમાં અનંતની પ્રકૃતિ વિશે વિવિધ વિચારો હતા. પ્રાચીન ભારતીયો અને ગ્રીકોએ આધુનિક ગણિતની જેમ ચોક્કસ ઔપચારિકતામાં અનંતને વ્યાખ્યાયિત કર્યું ન હતું, અને તેના બદલે એક દાર્શનિક ખ્યાલ તરીકે અનંતનો સંપર્ક કર્યો હતો. પ્રારંભિક ગ્રીક ગ્રીસમાં અનંતનો સૌથી પહેલો નોંધાયેલો વિચાર એનાક્સિમેન્ડર (ઇ. સ. પૂ. 610-ઇ. સ. પૂ. 546) નો હોઈ શકે છે, જે પૂર્વ-સોક્રેટિક ગ્રીક ફિલસૂફ હતા. તેમણે એપેરોન શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો, જેનો અર્થ થાય છે "અમર્યાદિત", "અનિશ્ચિત" અને કદાચ તેનો અનુવાદ "અનંત" તરીકે થઈ શકે છે. એરિસ્ટોટલ (350 બી. સી.) એ સંભવિત અનંતને વાસ્તવિક અનંતથી અલગ પાડ્યું હતું, જેને તે પેદા કરતા હોય તેવા વિવિધ વિરોધાભાસને કારણે અશક્ય ગણતો હતો. એવી દલીલ કરવામાં આવી છે કે, આ દ્રષ્ટિકોણને અનુરૂપ, હેલેનિસ્ટીક ગ્રીકોમાં "અનંતની ભયાનકતા" હતી, જે ઉદાહરણ તરીકે, સમજાવશે કે શા માટે યુક્લિડ (ઇ. સ. પૂ. 300) એ કહ્યું ન હતું કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંતતા છે, પરંતુ તેના બદલે "મુખ્ય સંખ્યાઓ કોઈ પણ નિર્ધારિત સંખ્યાઓની સંખ્યા કરતાં વધુ છે". તે પણ જાળવવામાં આવ્યું છે કે, મુખ્ય સંખ્યાઓની અનંતતાને સાબિત કરવામાં, યુક્લિડ "અનંતની ભયાનકતાને દૂર કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા". યુક્લિડની સમાંતર પૂર્વધારણા અંગે સમાન વિવાદ છે, જેનો કેટલીકવાર અનુવાદ કરવામાં આવે છેઃ જોકે, અન્ય અનુવાદકો "બે સીધી રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય માટે રજૂ કરવામાં આવે તો" અનુવાદને પસંદ કરે છે, આમ યુક્લિડ અનંતની કલ્પના સાથે આરામદાયક હતા તે સૂચિતાર્થને ટાળે છે. છેવટે, એવું જાળવવામાં આવ્યું છે કે અનંત પરનું પ્રતિબિંબ, "અનંતની ભયાનકતા" મેળવવાની જગ્યાએ, તમામ પ્રારંભિક ગ્રીક ફિલસૂફીને રેખાંકિત કરે છે અને એરિસ્ટોટલની "સંભવિત અનંતતા" એ આ સમયગાળાના સામાન્ય વલણમાંથી એક વિચલન છે. ઝેનોઃ એચિલીસ અને એલિયાના કાચબા ઝેનો (495-430 બી. સી.) એ અનંત વિશે કોઈ મંતવ્યો રજૂ કર્યા ન હતા. તેમ છતાં, તેમના વિરોધાભાસ, ખાસ કરીને "એચિલીસ અને કાચબો", મહત્વપૂર્ણ યોગદાન હતા કારણ કે તેઓએ લોકપ્રિય વિભાવનાઓની અપર્યાપ્તતાને સ્પષ્ટ કરી હતી. આ વિરોધાભાસને બર્ટ્રાન્ડ રસેલ દ્વારા "અતિશય સૂક્ષ્મ અને ગહન" તરીકે વર્ણવવામાં આવ્યા હતા. એચિલીસ કાચબાને દોડે છે, જે પછીના કાચબાને સારી શરૂઆત આપે છે. પગલું #1: એચિલીસ કાચબાના પ્રારંભિક બિંદુ સુધી દોડે છે જ્યારે કાચબો આગળ ચાલે છે. પગલું #2: એચિલીસ પગલું #1 ના અંતે જ્યાં કાચબો હતો ત્યાં આગળ વધે છે જ્યારે કાચબો હજી આગળ વધે છે. પગલું #3: એચિલીસ પગલું #2 ના અંતે જ્યાં કાચબો હતો ત્યાં આગળ વધે છે જ્યારે કાચબો હજી આગળ વધે છે. પગલું #4: એચિલીસ પગલું #3 ના અંતે જ્યાં કાચબો હતો ત્યાં આગળ વધે છે જ્યારે કાચબો હજી આગળ વધે છે. વગેરે. દેખીતી રીતે, એચિલીસ કાચબાને ક્યારેય પાછળ છોડતો નથી, કારણ કે તે ગમે તેટલા પગલાં ભરે, કાચબો તેની આગળ રહે છે. ઝેનો અનંત વિશે કોઈ મુદ્દો બનાવવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો ન હતો. ગતિને ભ્રમ તરીકે ગણતી એલિટિક્સ સ્કૂલના સભ્ય તરીકે, તેમણે એવું માનવું ભૂલ તરીકે જોયું કે એચિલીસ બિલકુલ દોડી શકે છે. પછીના વિચારકોએ, આ ઉકેલને અસ્વીકાર્ય ગણાવીને, દલીલમાં અન્ય નબળાઈઓ શોધવા માટે બે સહસ્ત્રાબ્દીથી વધુ સમય સુધી સંઘર્ષ કર્યો. છેવટે, 1821 માં, ઓગસ્ટિન-લુઇસ કોચીએ મર્યાદાની સંતોષકારક વ્યાખ્યા અને સાબિતી બંને પ્રદાન કરી હતી કે, ધારો કે એચિલીસ 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપે દોડે છે, કાચબો 0.1 મીટર પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપે ચાલે છે, અને બાદમાં 100 મીટર હેડ સ્ટાર્ટ ધરાવે છે. પીછો કરવાનો સમયગાળો કોચીની પેટર્નને અને સાથે બંધબેસે છે. એચિલીસ કાચબાને પાછળ છોડી દે છે; તે તેને પ્રારંભિક ભારતીય લે છે જૈન ગાણિતિક લખાણ સૂર્ય પ્રજ્ઞપ્તિ (ઇ. સ. પૂ. ચોથી-ત્રીજી સદી) તમામ સંખ્યાઓને ત્રણ સમૂહોમાં વર્ગીકૃત કરે છેઃ ગણનાપાત્ર, અસંખ્ય અને અનંત. આમાંના દરેકને વધુ ત્રણ ક્રમમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા હતાઃ સૌથી નીચો, મધ્યવર્તી અને સૌથી વધુ અસંખ્યઃ લગભગ અસંખ્ય, ખરેખર અસંખ્ય અને અસંખ્ય અસંખ્ય અનંતઃ લગભગ અનંત, ખરેખર અનંત, અનંત અનંત 17મી સદીમાં, યુરોપિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વ્યવસ્થિત રીતે અનંત સંખ્યાઓ અને અનંત અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. 1655 માં, જ્હોન વોલિસે સૌપ્રથમ તેમના ડી સેક્શનિબસ કોનિસિસમાં આવી સંખ્યા માટે સંકેતનો ઉપયોગ કર્યો હતો, અને વિસ્તારની ગણતરીમાં તેનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રદેશને પહોળાઈની અનંત પટ્ટીઓમાં વિભાજીત કર્યો હતો. પરંતુ એરિથમેટિકા ઇન્ફિનિટોરમ (1656) માં, તેઓ અનંત શ્રેણી, અનંત પેદાશો અને અનંત સતત અપૂર્ણાંકોને થોડા શબ્દો અથવા પરિબળો લખીને સૂચવે છે અને પછી "& c"., જેમ કે "1,6,12,18,24, અને c". માં ઉમેર્યા છે. 1699 માં, આઇઝેક ન્યૂટને તેમના કાર્ય ડી એનાલિસિસ પર ઇક્વેશન્સ ન્યુમેરો ટર્મિનોરમ ઇન્ફિનિટાસમાં અનંત સંખ્યામાં શબ્દો સાથે સમીકરણો વિશે લખ્યું હતું. ગણિત હર્મન વેઇલે 1930માં આ રીતે ગણિત-દાર્શનિક સરનામું ખોલ્યું હતુંઃ પ્રતીક અનંત પ્રતીક (કેટલીકવાર તેને લેમનિસ્કેટ પણ કહેવાય છે) એ અનંતની વિભાવનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું ગાણિતિક પ્રતીક છે. પ્રતીકને યુનિકોડમાં અને લેટેક્સમાં \infty તરીકે એન્કોડ કરવામાં આવ્યું છે. તે જ્હોન વોલિસ દ્વારા 1655 માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, અને તેની શરૂઆત થઈ ત્યારથી, તેનો ઉપયોગ આધુનિક રહસ્યવાદ અને સાહિત્યિક પ્રતીકવાદમાં ગણિતની બહાર પણ કરવામાં આવે છે. અનંત કલનશાસ્ત્રના સહ-શોધકોમાંના એક કેલ્ક્યુલસ ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝે અનંત સંખ્યાઓ અને ગણિતમાં તેમના ઉપયોગ વિશે વ્યાપકપણે અનુમાન લગાવ્યું હતું. લીબનીઝ માટે, અનંત અને અનંત જથ્થા બંને આદર્શ ઘટકો હતા, જે પ્રશંસનીય જથ્થાઓ સમાન પ્રકૃતિના ન હતા, પરંતુ સાતત્યના નિયમ અનુસાર સમાન ગુણધર્મોનો આનંદ માણી રહ્યા હતા. વાસ્તવિક વિશ્લેષણ વાસ્તવિક વિશ્લેષણમાં, "અનંત" તરીકે ઓળખાતા પ્રતીકનો ઉપયોગ અમર્યાદિત મર્યાદાને દર્શાવવા માટે થાય છે. નોટેશનનો અર્થ એ છે કે બાઉન્ડ વગર વધે છે, અને તેનો અર્થ એ છે કે બાઉન્ડ વગર ઘટે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો દરેક માટે, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે મર્યાદિત વિસ્તારને બંધાવતો નથી એટલે કે નીચેનો વિસ્તાર અનંત છે. તેનો અર્થ એ છે કે નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ મર્યાદિત છે, અને અનંત શ્રેણીનું વર્ણન કરવા માટે પણ તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે નીચે મુજબ છેઃ એટલે કે અનંત શ્રેણીનો સરવાળો અમુક વાસ્તવિક મૂલ્યમાં એકરૂપ થાય છે, જેનો અર્થ એ છે કે અનંત શ્રેણીનો સરવાળો યોગ્ય રીતે અનંત તરફ જાય છે, એ અર્થમાં કે આંશિક સરવાળો બંધાયેલા વગર વધે છે. મર્યાદાને વ્યાખ્યાયિત કરવા ઉપરાંત, અનંતનો ઉપયોગ વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યા પ્રણાલીમાં મૂલ્ય તરીકે પણ થઈ શકે છે. બિંદુઓને લેબલ કરવામાં આવે છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં ઉમેરી શકાય છે, જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું બે-બિંદુ સંકોચન ઉત્પન્ન કરે છે. આમાં બીજગણિત ગુણધર્મો ઉમેરવાથી આપણને વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ મળે છે. આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના એક-બિંદુ કોમ્પેક્ટિફિકેશન તરફ દોરી જઇએ છીએ, જે વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ રેખા છે. પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ એ સમતલ ભૂમિતિમાં અનંત પરની રેખા, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં અનંત પરનું સમતલ અને સામાન્ય પરિમાણો માટે અનંત પર હાયપરપ્લેનનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે, જેમાં દરેક અનંત પર બિંદુઓ ધરાવે છે. જટિલ વિશ્લેષણ જટિલ વિશ્લેષણમાં "અનંત" તરીકે ઓળખાતું પ્રતીક સહી વગરની અનંત મર્યાદાને સૂચવે છે. અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ છે કે ની તીવ્રતા કોઈપણ નિર્ધારિત મૂલ્યથી વધી જાય છે. લેબલ થયેલ બિંદુને જટિલ સમતલમાં ટોપોલોજિકલ જગ્યા તરીકે ઉમેરી શકાય છે જે જટિલ સમતલનું એક-બિંદુ સંકોચન આપે છે. જ્યારે આ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામી જગ્યા એક-પરિમાણીય જટિલ મેનીફોલ્ડ અથવા રીમાન સપાટી છે, જેને વિસ્તૃત જટિલ સમતલ અથવા રીમાન ગોળા કહેવાય છે. વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે ઉપર આપેલી સમાન અંકગણિત કામગીરીઓને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જો કે ચિહ્નોમાં કોઈ તફાવત નથી (જે એક અપવાદ તરફ દોરી જાય છે કે અનંતને પોતાની સાથે ઉમેરી શકાતું નથી). બીજી બાજુ, આ પ્રકારની અનંતતા શૂન્ય દ્વારા વિભાજનને સક્ષમ કરે છે, એટલે કે કોઈપણ બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યા માટે. આ સંદર્ભમાં, મેરોમૉર્ફિક વિધેયોને ધ્રુવો પરની કિંમત લેતા રીમાન ગોળામાં નકશા તરીકે ધ્યાનમાં લેવા માટે ઘણીવાર ઉપયોગી છે. કોમ્પ્લેક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શનનું ક્ષેત્ર અનંત પરના બિંદુને પણ સમાવવા માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આવા કાર્યોનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ મોબિયસ પરિવર્તનોનું જૂથ છે (મોબિયસ પરિવર્તન § ઝાંખી જુઓ). બિન-માનક વિશ્લેષણ આઇઝેક ન્યૂટન અને ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝ દ્વારા અનંત કલનની મૂળ રચનામાં અનંત જથ્થાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. 20મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આ સારવારને વિવિધ તાર્કિક પ્રણાલીઓ દ્વારા સખત ધોરણે મૂકી શકાય છે, જેમાં સરળ અનંત વિશ્લેષણ અને બિન-માનક વિશ્લેષણનો સમાવેશ થાય છે. બાદમાં, અનંત સમીકરણો ઉલટાવી શકાય તેવા છે, અને તેમના વ્યુત્ક્રમો અનંત સંખ્યાઓ છે. આ અર્થમાં અનંતતા અતિ વાસ્તવિક ક્ષેત્રનો એક ભાગ છે; કેન્ટોરિયન ટ્રાન્સફાઇનાઇટ્સની જેમ તેમની વચ્ચે કોઈ સમાનતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આ અર્થમાં H એક અનંત સંખ્યા છે, તો H + H = 2H અને H + 1 અલગ અનંત સંખ્યાઓ છે. બિન-માનક કલન માટેનો આ અભિગમ સંપૂર્ણપણે વિકસાવવામાં આવ્યો છે. સમૂહ સિદ્ધાંત "અનંત" નું એક અલગ સ્વરૂપ સમૂહ સિદ્ધાંતની ક્રમિક અને મુખ્ય અનંતતા છે-જે જ્યોર્જ કેન્ટોર દ્વારા સૌપ્રથમ વિકસાવવામાં આવેલી અનંત સંખ્યાઓની પ્રણાલી છે. આ પ્રણાલીમાં, પ્રથમ ટ્રાન્સફાઇનાઇટ કાર્ડિનલ એ એલેફ-નલ (α0) છે, જે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહની કાર્ડિનાલિટી છે. માત્રાત્મક અનંતની આ આધુનિક ગાણિતિક વિભાવના 19મી સદીના અંતમાં કેન્ટોર, ગોટલોબ ફ્રેજ, રિચાર્ડ ડેડેકિંડ અને અન્ય લોકો દ્વારા સંગ્રહો અથવા સમૂહોના વિચારનો ઉપયોગ કરીને વિકસાવવામાં આવી હતી. ડેડેકિન્ડનો અભિગમ અનિવાર્યપણે સમૂહના કદની સરખામણી કરવા માટે પ્રમાણભૂત તરીકે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારના વિચારને અપનાવવાનો હતો, અને ગેલિલિયો (યુક્લિડમાંથી મેળવેલ) ના દૃષ્ટિકોણને નકારી કાઢવાનો હતો કે સંપૂર્ણ ભાગ સમાન કદનો ન હોઈ શકે. (જો કે, ગેલિલિયોનો વિરોધાભાસ જુઓ જ્યાં ગેલિલિયો નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોની સરખામણી હકારાત્મક વર્ગ પૂર્ણાંકોના સબસેટ સાથે કરી શકાતી નથી કારણ કે બંને અનંત સમૂહો છે.) અનંત સમૂહને ફક્ત તેના યોગ્ય ભાગોમાંથી ઓછામાં ઓછા એક સમાન કદ ધરાવતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે; અનંતની આ કલ્પનાને ડેડેકાઇન્ડ અનંત કહેવામાં આવે છે. જમણી બાજુની આકૃતિ એક ઉદાહરણ આપે છેઃ રેખાઓને બિંદુઓના અનંત સમૂહ તરીકે જોવી, નીચલી વાદળી રેખાના ડાબા અડધા ભાગને એક-થી-એક રીતે (લીલા પત્રવ્યવહાર) ઉચ્ચ વાદળી રેખા સાથે અને બદલામાં, સમગ્ર નીચલી વાદળી રેખા (લાલ પત્રવ્યવહાર) સાથે મેપ કરી શકાય છે; તેથી સમગ્ર નીચલી વાદળી રેખા અને તેના ડાબા અડધા ભાગમાં સમાન મુખ્યતા હોય છે, એટલે કે. "કદ". કેન્ટરે બે પ્રકારની અનંત સંખ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીઃ ક્રમિક સંખ્યાઓ અને મુખ્ય સંખ્યાઓ. ક્રમિક સંખ્યાઓ સારી રીતે ક્રમાંકિત સમૂહોની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે, અથવા કોઈપણ વિરામ બિંદુ પર ગણતરી કરવામાં આવે છે, જેમાં અનંત સંખ્યા પછીના બિંદુઓ પહેલેથી જ ગણવામાં આવ્યા છે. મર્યાદિત અને (સામાન્ય) અનંત સિક્વન્સને સામાન્ય બનાવવું જે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોમાંથી નકશા છે જે ક્રમિક સંખ્યાઓથી ટ્રાન્સફાઇનાઇટ સિક્વન્સ તરફ દોરી જાય છે. કાર્ડિનલ સંખ્યાઓ સમૂહોના કદને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તેમાં કેટલા સભ્યો છે, અને તે કદની કાર્ડિનલ સંખ્યાને રજૂ કરવા માટે ચોક્કસ કદની પ્રથમ ક્રમિક સંખ્યાને પસંદ કરીને પ્રમાણિત કરી શકાય છે. સૌથી નાનું ક્રમિક અનંત એ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનું છે, અને કોઈપણ સમૂહ કે જે પૂર્ણાંકોની મુખ્યતા ધરાવે છે તે ગણનાત્મક રીતે અનંત છે. જો કોઈ સમૂહ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં મૂકવા માટે ખૂબ મોટો હોય, તો તેને અગણિત કહેવામાં આવે છે. કેન્ટોરના મંતવ્યો પ્રચલિત થયા અને આધુનિક ગણિત વાસ્તવિક અનંતને સુસંગત અને સુસંગત સિદ્ધાંતના ભાગ રૂપે સ્વીકારે છે. કેટલીક વિસ્તૃત સંખ્યા પ્રણાલીઓ, જેમ કે અતિ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, સામાન્ય (મર્યાદિત) સંખ્યાઓ અને વિવિધ કદની અનંત સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે. કેન્ટોરના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિણામો પૈકીનું એક એ હતું કે સાતત્યની મુખ્યતા પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કરતાં વધારે છે; એટલે કે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કરતાં વધુ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. એટલે કે, કેન્ટરે તે બતાવ્યું. સાતત્ય પૂર્વધારણા જણાવે છે કે વાસ્તવિકની મુખ્યતા અને કુદરતી સંખ્યાઓની મુખ્યતા વચ્ચે કોઈ મુખ્ય સંખ્યા નથી, એટલે કે. આ પૂર્વધારણાને વ્યાપક રીતે સ્વીકૃત ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ સમૂહ સિદ્ધાંતમાં સાબિત અથવા નકારી શકાય નહીં, પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને ધારીને પણ. કાર્ડિનલ અંકગણિતનો ઉપયોગ માત્ર એ જ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાની રેખામાં બિંદુઓની સંખ્યા તે રેખાના કોઈપણ ભાગમાં બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી છે, પણ તે પણ કે આ સમતલ પરના બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી છે અને, ખરેખર, કોઈપણ મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યામાં. આમાંના પ્રથમ પરિણામો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પર્શક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈને સ્પષ્ટ થાય છે, જે અંતરાલ () and.The વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર પ્રદાન કરે છે, બીજું પરિણામ 1878 માં કેન્ટોર દ્વારા સાબિત થયું હતું, પરંતુ 1890 માં જ સહજ ભાવે સ્પષ્ટ બન્યું હતું, જ્યારે જિયુસેપ પીનોએ જગ્યા ભરવાના વળાંક, વક્ર રેખાઓ રજૂ કરી હતી જે ટ્વિસ્ટ કરે છે અને કોઈપણ ચોરસ, અથવા ક્યુબ, અથવા હાયપરક્યુબ, અથવા મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાને ભરવા માટે પૂરતી ફેરવે છે. આ વળાંકનો ઉપયોગ ચોરસની એક બાજુના બિંદુઓ અને ચોરસના બિંદુઓ વચ્ચેના એક-થી-એક પત્રવ્યવહારને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. 19મી સદીના અંત સુધી, ભૂમિતિમાં અનંતની ભાગ્યે જ ચર્ચા કરવામાં આવતી હતી, સિવાય કે પ્રક્રિયાઓના સંદર્ભમાં જે કોઈપણ મર્યાદા વિના ચાલુ રાખી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખા હતી જેને હવે લાઇન સેગમેન્ટ કહેવામાં આવે છે, જેમાં એવી જોગવાઈ હતી કે કોઈ તેને ઇચ્છે ત્યાં સુધી લંબાવી શકે છે; પરંતુ તેને અનંત રીતે લંબાવવાનો પ્રશ્ન જ નહોતો. તેવી જ રીતે, એક રેખાને સામાન્ય રીતે અનંત સંખ્યાબંધ બિંદુઓથી બનેલી માનવામાં આવતી ન હતી, પરંતુ તે એક એવું સ્થાન હતું જ્યાં એક બિંદુ મૂકી શકાય. જો ત્યાં અનંત સંખ્યાબંધ સંભવિત સ્થાનો હોય તો પણ, એક રેખા પર માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં બિંદુઓ મૂકી શકાય છે. આનો સાક્ષી અભિવ્યક્તિ છે "એક બિંદુનું સ્થાન જે અમુક ગુણધર્મને સંતોષે છે" (એકવચન), જ્યાં આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે "ગુણધર્મ ધરાવતા બિંદુઓનો સમૂહ" (બહુવચન) કહે છે. વાસ્તવિક અનંતને સંડોવતા ગાણિતિક ખ્યાલના દુર્લભ અપવાદોમાંની એક પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ હતી, જ્યાં અનંત પરના બિંદુઓને યુક્લિડિયન અવકાશમાં પરિપ્રેક્ષ્ય અસરનું મોડેલિંગ કરવા માટે ઉમેરવામાં આવે છે જે "અનંત પર" છેદતી સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે. ગાણિતિક રીતે, અનંત પરના બિંદુઓને કેટલાક વિશેષ કિસ્સાઓને ધ્યાનમાં ન લેવાની મંજૂરી આપવાનો ફાયદો છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં, બે અલગ-અલગ રેખાઓ બરાબર એક બિંદુએ છેદે છે, જ્યારે અનંત પર બિંદુઓ વિના, સમાંતર રેખાઓ માટે કોઈ આંતરછેદ બિંદુઓ નથી. તેથી, સમાંતર અને બિન-સમાંતર રેખાઓનો શાસ્ત્રીય ભૂમિતિમાં અલગથી અભ્યાસ કરવો આવશ્યક છે, જ્યારે તેમને પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં અલગ પાડવાની જરૂર નથી. ગણિતના પાયા માટે સમૂહ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા પહેલા, બિંદુઓ અને રેખાઓને અલગ અસ્તિત્વ તરીકે જોવામાં આવતા હતા, અને એક બિંદુને રેખા પર સ્થિત કરી શકાય છે. ગણિતમાં સમૂહ સિદ્ધાંતના સાર્વત્રિક ઉપયોગ સાથે, દૃષ્ટિકોણ નાટ્યાત્મક રીતે બદલાઈ ગયો છેઃ એક રેખાને હવે તેના બિંદુઓના સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે છે, અને એક કહે છે કે એક બિંદુ રેખા પર સ્થિત હોવાને બદલે એક રેખાને અનુસરે છે (જો કે, પછીનો શબ્દસમૂહ હજુ પણ વપરાય છે). ખાસ કરીને, આધુનિક ગણિતમાં, રેખાઓ અનંત સમૂહો છે. શાસ્ત્રીય ભૂમિતિમાં જોવા મળતી વેક્ટર જગ્યાઓ હંમેશા મર્યાદિત પરિમાણ ધરાવે છે, સામાન્ય રીતે બે કે ત્રણ. જો કે, આ વેક્ટર જગ્યાની અમૂર્ત વ્યાખ્યા દ્વારા ગર્ભિત નથી, અને અનંત પરિમાણની વેક્ટર જગ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. આ સામાન્ય રીતે કાર્યાત્મક વિશ્લેષણનો કેસ છે જ્યાં કાર્ય જગ્યાઓ સામાન્ય રીતે અનંત પરિમાણની વેક્ટર જગ્યાઓ હોય છે. ટોપોલોજીમાં, કેટલીક રચનાઓ અનંત પરિમાણની ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પેદા કરી શકે છે. ખાસ કરીને, આ પુનરાવર્તિત લૂપ સ્પેસનો કેસ છે. અસ્થિભંગ અસ્થિભંગ પદાર્થની રચના તેના વિસ્તૃતીકરણમાં પુનરાવર્તિત થાય છે. ફ્રેક્ટલ્સને તેમની રચના ગુમાવ્યા વિના અને "સરળ" બન્યા વિના અનિશ્ચિત સમય માટે મોટું કરી શકાય છે; તેઓ અનંત પરિમિતિ ધરાવે છે, અને અનંત અથવા મર્યાદિત ક્ષેત્રો ધરાવી શકે છે. અનંત પરિમિતિ અને મર્યાદિત વિસ્તાર સાથેનો આવો જ એક ફ્રેક્ટલ વળાંક કોચ સ્નોફ્લેક છે. અનંત વિનાનું ગણિત લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકર અનંતની કલ્પના અને 1870 અને 1880 ના દાયકામાં તેમના સાથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી રહ્યા હતા તે અંગે શંકાસ્પદ હતા. આ સંશયવાદનો વિકાસ ગણિતની ફિલસૂફીમાં થયો હતો જેને ફિનિટિઝમ કહેવાય છે, જે રચનાત્મકતા અને અંતર્જ્ઞાનવાદની સામાન્ય ફિલોસોફિકલ અને ગાણિતિક શાળાઓમાં ગાણિતિક ફિલસૂફીનું આત્યંતિક સ્વરૂપ છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના અંદાજનો ઉપયોગ સતત માપન માટે થાય છે અને કુદરતી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ અલગ માપન (એટલે કે ગણતરી) માટે થાય છે. અનંત સમતલ તરંગ જેવી અનંત વસ્તુઓની વિભાવનાઓ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તેમને ઉત્પન્ન કરવા માટે કોઈ પ્રાયોગિક માધ્યમ નથી. બ્રહ્માંડ અનંત છે એવી પ્રથમ પ્રકાશિત દરખાસ્ત 1576માં થોમસ ડિગેસ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. આઠ વર્ષ પછી, 1584 માં, ઇટાલિયન ફિલસૂફ અને ખગોળશાસ્ત્રી જિઓર્ડાનો બ્રુનોએ અનંત બ્રહ્માંડ અને વિશ્વ પર એક અમર્યાદિત બ્રહ્માંડની દરખાસ્ત કરીઃ "અસંખ્ય સૂર્ય અસ્તિત્વમાં છે; અસંખ્ય પૃથ્વી આ સૂર્યની આસપાસ એ રીતે ફરે છે જે રીતે સાત ગ્રહો આપણા સૂર્યની આસપાસ ફરે છે. આ જગતમાં જીવંત પ્રાણીઓ વસે છે. બ્રહ્માંડશાસ્ત્રીઓએ લાંબા સમયથી આપણા ભૌતિક બ્રહ્માંડમાં અનંત અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે કેમ તે શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો છેઃ શું તારાઓની સંખ્યા અનંત છે? શું બ્રહ્માંડમાં અનંત કદ છે? શું અવકાશ "કાયમ માટે ચાલે છે"? આ હજુ પણ બ્રહ્માંડશાસ્ત્રનો ખુલ્લો પ્રશ્ન છે. અનંત હોવાનો પ્રશ્ન તાર્કિક રીતે સીમાઓ હોવાના પ્રશ્નથી અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીની દ્વિ-પરિમાણીય સપાટી મર્યાદિત છે, છતાં તેની કોઈ ધાર નથી. પૃથ્વીના વળાંકના સંદર્ભમાં સીધી રેખામાં મુસાફરી કરીને, વ્યક્તિ આખરે તે ચોક્કસ સ્થળ પર પાછા ફરશે જ્યાંથી તેણે શરૂઆત કરી હતી. બ્રહ્માંડમાં, ઓછામાં ઓછું સિદ્ધાંતમાં, સમાન ટોપોલોજી હોઈ શકે છે. જો એમ હોય તો, બ્રહ્માંડમાં લાંબા સમય સુધી સીધી રેખામાં મુસાફરી કર્યા પછી વ્યક્તિ આખરે પોતાના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા આવી શકે છે. બ્રહ્માંડની વળાંકને કોસ્મિક પૃષ્ઠભૂમિ કિરણોત્સર્ગના વર્ણપટમાં બહુધ્રુવીય ક્ષણો દ્વારા માપી શકાય છે. આજની તારીખે, ડબલ્યુએમએપી અવકાશયાન દ્વારા નોંધાયેલ કિરણોત્સર્ગ પેટર્નનું વિશ્લેષણ સૂચવે છે કે બ્રહ્માંડમાં સપાટ ટોપોલોજી છે. આ અનંત ભૌતિક બ્રહ્માંડ સાથે સુસંગત હશે. જો કે, બ્રહ્માંડ મર્યાદિત હોઈ શકે છે, ભલે તેની વળાંક સપાટ હોય. આને સમજવાની એક સરળ રીત એ છે કે દ્વિ-પરિમાણીય ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેવું, જેમ કે વિડિયો ગેમ્સ જ્યાં સ્ક્રીનની એક ધાર છોડી દે તેવી વસ્તુઓ બીજી બાજુ ફરીથી દેખાય છે. આવી રમતોની ટોપોલોજી ટોરોઇડલ છે અને ભૂમિતિ સપાટ છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે ઘણી સંભવિત બંધાયેલ, સપાટ શક્યતાઓ પણ અસ્તિત્વમાં છે. અનંતનો ખ્યાલ મલ્ટીવર્સ પૂર્વધારણા સુધી પણ વિસ્તરે છે, જે જ્યારે મિચિઓ કાકૂ જેવા એસ્ટ્રોફિઝિસ્ટ્સ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, ત્યારે એવું માને છે કે બ્રહ્માંડની અનંત સંખ્યા અને વિવિધતા છે. ઉપરાંત, ચક્રીય નમૂનાઓ અનંત સંખ્યામાં મહાવિસ્ફોટ દર્શાવે છે, જે અનંત ચક્રમાં દરેક મહાવિસ્ફોટની ઘટના પછી બ્રહ્માંડની અનંત વિવિધતામાં પરિણમે છે. તર્કશાસ્ત્રમાં, અનંત પીછેહઠ દલીલ એ "એક વિશિષ્ટ રીતે દાર્શનિક પ્રકારની દલીલ છે જે દર્શાવે છે કે થીસીસ ખામીયુક્ત છે કારણ કે તે અનંત શ્રેણી પેદા કરે છે જ્યારે (ફોર્મ એ) આવી કોઈ શ્રેણી અસ્તિત્વમાં નથી અથવા (ફોર્મ બી) અસ્તિત્વમાં હોય, તો થીસીસમાં ભૂમિકા (દા. ત., સમર્થનની) નો અભાવ હશે જે તે ભજવશે તેવું માનવામાં આવે છે". IEEE ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ સ્ટાન્ડર્ડ (IEEE 754) હકારાત્મક અને નકારાત્મક અનંત મૂલ્ય (અને અનિશ્ચિત મૂલ્યો પણ) સ્પષ્ટ કરે છે. આને અંકગણિત ઓવરફ્લો, શૂન્ય દ્વારા વિભાજન અને અન્ય અપવાદરૂપ કામગીરીના પરિણામ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કેટલીક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ, જેમ કે જાવા અને જે, પ્રોગ્રામરને ભાષાના સ્થિરાંકો તરીકે હકારાત્મક અને નકારાત્મક અનંત મૂલ્યોની સ્પષ્ટ પહોંચ આપે છે. આનો ઉપયોગ સૌથી મોટા અને ઓછામાં ઓછા ઘટકો તરીકે થઈ શકે છે, કારણ કે તેઓ અન્ય તમામ મૂલ્યો કરતાં (અનુક્રમે) મોટા અથવા ઓછા મૂલ્યોની સરખામણી કરે છે. તેઓ સૉર્ટિંગ, સર્ચિંગ અથવા વિન્ડોઇંગને સમાવતા અલ્ગોરિધમ્સમાં સેન્ટીનલ મૂલ્યો તરીકે ઉપયોગ કરે છે. જે ભાષાઓમાં સૌથી વધુ અને ઓછામાં ઓછા ઘટકો ન હોય, પરંતુ રિલેશનલ ઓપરેટરોને ઓવરલોડિંગની મંજૂરી આપે છે, તેમાં પ્રોગ્રામર માટે સૌથી વધુ અને ઓછામાં ઓછા ઘટકો બનાવવાનું શક્ય છે. એવી ભાષાઓમાં કે જે પ્રોગ્રામની પ્રારંભિક સ્થિતિથી આવા મૂલ્યોની સ્પષ્ટ પહોંચ પ્રદાન કરતી નથી, પરંતુ ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ ડેટા પ્રકારનો અમલ કરે છે, અનંત મૂલ્યો હજુ પણ ચોક્કસ કામગીરીના પરિણામે સુલભ અને ઉપયોગી હોઈ શકે છે. પ્રોગ્રામિંગમાં, અનંત લૂપ એ એક લૂપ છે જેની બહાર નીકળવાની સ્થિતિ ક્યારેય સંતોષાતી નથી, આમ અનિશ્ચિત સમય સુધી ચલાવવામાં આવે છે. કલા, રમતો અને જ્ઞાનાત્મક વિજ્ઞાન પરિપ્રેક્ષ્ય કલાકૃતિ અદ્રશ્ય થઈ રહેલા બિંદુઓના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે, જે નિરીક્ષકથી અનંત અંતરે સ્થિત અનંત પર ગણિતીય બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે. આ કલાકારોને ચિત્રો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે જે વાસ્તવિક રીતે જગ્યા, અંતર અને સ્વરૂપોને પ્રસ્તુત કરે છે. કલાકાર એમ. સી. એસ્ચર ખાસ કરીને તેમના કાર્યમાં અનંતની વિભાવનાને આ અને અન્ય રીતે લાગુ કરવા માટે જાણીતા છે. અમર્યાદિત બોર્ડ પર રમાયેલી ચેસની વિવિધતાઓને અનંત ચેસ કહેવામાં આવે છે. જ્ઞાનાત્મક વૈજ્ઞાનિક જ્યોર્જ લાકોફ ગણિત અને વિજ્ઞાનમાં અનંતની વિભાવનાને રૂપક માને છે. આ પરિપ્રેક્ષ્ય અનંત (બીએમઆઈ) ના મૂળભૂત રૂપક પર આધારિત છે, જેને સતત વધતા ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ 0.999. આલેફ સંખ્યા અનંત ઘાતાંક અનિશ્ચિત સ્વરૂપ અનંત વાનર પ્રમેય અનંત સમૂહ અનંત વિરોધાભાસ સુપરટાસ્ક અતિવાસ્તવિક સંખ્યા સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ સ્ત્રોતો ડી. પી. અગ્રવાલ (2000). પ્રાચીન જૈન ગણિતઃ એક પરિચય, અનંત પાયો. બેલ, જે. એલ. : સાતત્ય અને અનંતતા. સ્ટેનફોર્ડ એન્સાયક્લોપેડિયા ઓફ ફિલોસોફી. 2009 માં સુધારેલ.. જૈન, એલ. સી. (1973). "સેટ થિયરી ઇન ધ જૈન સ્કૂલ ઓફ મેથેમેટિક્સ", ઇન્ડિયન જર્નલ ઓફ હિસ્ટ્રી ઓફ સાયન્સ. એચ. જેરોમ કેઇસ્લરઃ એલિમેન્ટરી કેલ્ક્યુલસઃ એન એપ્રોચ યુઝિંગ ઇન્ફિનિટસિમલ્સ. પ્રથમ આવૃત્તિ 1976; બીજી આવૃત્તિ 1986. આ પુસ્તક હવે આઉટ ઓફ પ્રિન્ટ છે. પ્રકાશકે કૉપિરાઇટ લેખકને પરત કરી દીધો છે, જેમણે બીજી આવૃત્તિ. પી. ડી. એફ. ફોર્મેટમાં ડાઉનલોડ કરવા માટે http://www.math.wisc.edu ~ કીસ્લર/કેલ્ક. એચ. ટી. એમ. એલ. ઓ 'કોનોર, જ્હોન જે. અને એડમન્ડ એફ. રોબર્ટસન (1998) પર ઉપલબ્ધ કરાવી છે. 'જ્યોર્જ ફર્ડિનાન્ડ લુડવિગ ફિલિપ કેન્ટોર', મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ. ઓ 'કોનોર, જ્હોન જે. અને એડમન્ડ એફ. રોબર્ટસન (2000). 'જૈના મેથેમેટિક્સ', મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ. પીયર્સ, ઇયાન. (2002). 'જૈનિઝમ', મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ. બાહ્ય કડીઓ પીટર સુબર દ્વારા અનંત સમૂહોના ગણિતમાં એક ક્રેશ કોર્સ. સેન્ટ જ્હોનની સમીક્ષામાંથી, XLIV, 2 (1998) 1-59. અનંત પ્રતિબિંબોનું એકલું પરિશિષ્ટ, નીચે. કેન્ટોરના અનંત સમૂહોના ગણિતનો સંક્ષિપ્ત પરિચય. પીટર સુબેર દ્વારા અનંત પ્રતિબિંબે. કેવી રીતે કેન્ટોરનું અનંતનું ગણિત અનંતની મુઠ્ઠીભર પ્રાચીન દાર્શનિક સમસ્યાઓનું સમાધાન કરે છે. સેન્ટ જ્હોનની સમીક્ષામાંથી, XLIV, 2 (1998) 1-59. હોટેલ ઇન્ફિનિટી જ્હોન જે. ઓ 'કોનોર અને એડમન્ડ એફ. રોબર્ટસન (1998). 'જ્યોર્જ ફર્ડિનાન્ડ લુડવિગ ફિલિપ કેન્ટોર', મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ. જ્હોન જે. ઓ 'કોનોર અને એડમન્ડ એફ. રોબર્ટસન (2000). 'જૈના મેથેમેટિક્સ', મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ. ઇયાન પીયર્સ (2002). 'જૈનિઝમ', મેકટ્યુટર હિસ્ટ્રી ઓફ મેથેમેટિક્સ આર્કાઇવ. ધ મિસ્ટ્રી ઓફ ધ એલેફઃ મેથેમેટિક્સ, ધ કબ્બાલાહ, એન્ડ ધ સર્ચ ફોર ઇન્ફિનિટી ડિક્શનરી ઓફ ધ ઇન્ફિનિટી (ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગણિત અને ફિલસૂફીમાં અનંત વિશેના લેખોનું સંકલન) તર્કશાસ્ત્રમાં વિભાવનાઓ ગણિતના ગાણિતિક પદાર્થોની ફિલસૂફી