Saddle-node bifurcation
દ્વિભાજન સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં સેડલ-નોડ દ્વિભાજન, સ્પર્શક દ્વિભાજન અથવા ગણો દ્વિભાજન એ એક સ્થાનિક દ્વિભાજન છે જેમાં ગતિશીલ પ્રણાલીના બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (અથવા સંતુલન) ટકરાય છે અને એકબીજાનો નાશ કરે છે. 'સેડલ-નોડ દ્વિભાજન' શબ્દનો ઉપયોગ મોટાભાગે સતત ગતિશીલ પ્રણાલીઓના સંદર્ભમાં થાય છે. અલગ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં, સમાન વિભાજનને ઘણીવાર તેના બદલે ગણો વિભાજન કહેવામાં આવે છે. બે નિશ્ચિત બિંદુઓની અચાનક રચનાના સંદર્ભમાં બીજું નામ વાદળી આકાશનું વિભાજન છે. જો તબક્કાની જગ્યા એક-પરિમાણીય હોય, તો સંતુલન બિંદુઓમાંથી એક અસ્થિર (કાઠી) હોય છે, જ્યારે અન્ય સ્થિર (નોડ) હોય છે. સેડલ-નોડનું વિભાજન હિસ્ટ્રેસીસ લૂપ્સ અને આપત્તિઓ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. સામાન્ય સ્વરૂપ સેડલ-નોડ દ્વિભાજન સાથે વિભેદક સમીકરણનું એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ છેઃ અહીં સ્થિતિ ચલ છે અને દ્વિભાજન પરિમાણ છે. જો ત્યાં બે સંતુલન બિંદુઓ હોય, તો સ્થિર સંતુલન બિંદુ અને અસ્થિર બિંદુ. (દ્વિભાજન બિંદુ) પર બરાબર એક સંતુલન બિંદુ છે. આ બિંદુએ નિશ્ચિત બિંદુ હવે હાયપરબોલિક નથી. આ કિસ્સામાં નિશ્ચિત બિંદુને સેડલ-નોડ નિશ્ચિત બિંદુ કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ સંતુલન બિંદુઓ ન હોય. હકીકતમાં, આ સેડલ-નોડ દ્વિભાજનનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે. એક સ્કેલર વિભેદક સમીકરણ કે જેની સાથે નિશ્ચિત બિંદુ હોય તે સ્થાનિક રીતે ટોપોલોજીકલ રીતે સમકક્ષ હોય છે, જો કે તે અને ને સંતોષે છે. પ્રથમ સ્થિતિ નોનડિજનરેસી સ્થિતિ છે અને બીજી સ્થિતિ ટ્રાન્સ્વર્સલિટી સ્થિતિ છે. બે પરિમાણોમાં ઉદાહરણ બે પરિમાણોમાં સેડલ-નોડના વિભાજનનું ઉદાહરણ દ્વિ-પરિમાણીય ગતિશીલ પ્રણાલીમાં જોવા મળે છેઃ જેમ કે પરિમાણમાં ફેરફાર કરીને તબક્કાના ચિત્રોને ગોઠવીને મેળવેલા એનિમેશન દ્વારા જોઈ શકાય છે, જ્યારે નકારાત્મક હોય, ત્યારે કોઈ સંતુલન બિંદુઓ હોતા નથી. જ્યારે, ત્યાં એક સેડલ-નોડ બિંદુ હોય છે. જ્યારે હકારાત્મક હોય, ત્યારે બે સંતુલન બિંદુઓ હોય છેઃ એટલે કે, એક કાઠી બિંદુ અને એક નોડ (કાં તો એક આકર્ષક અથવા પ્રતિકારક). અન્ય ઉદાહરણો જૈવિક સ્વીચના મોડેલિંગમાં છે. તાજેતરમાં, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે અમુક શરતો હેઠળ, સામાન્ય સાપેક્ષતાના આઈન્સ્ટાઈન ક્ષેત્ર સમીકરણો ફોલ્ડ દ્વિભાજન જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે. સેડલ-નોડ વિભાજનનું બિન-સ્વાયત્ત સંસ્કરણ (એટલે કે. પરિમાણ સમય આધારિત છે) નો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. પિચફોર્ક દ્વિભાજન ટ્રાન્સક્રિટિકલ દ્વિભાજન હોપ્ફ દ્વિભાજન સેડલ પોઇન્ટ નોંધો સંદર્ભો દ્વિભાજન સિદ્ધાંત વીડિયો ક્લિપ્સ ધરાવતા લેખો પણ જુઓ.