Supersingular elliptic curve
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક અસામાન્ય રીતે મોટા એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ્સ સાથે લાક્ષણિકતા p> 0 ના ક્ષેત્ર પર લંબગોળ વળાંકનો ચોક્કસ વર્ગ બનાવે છે. આવા ક્ષેત્રો પર લંબગોળ વળાંક કે જે સુપરસિંગ્યુલર નથી તેને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે અને લંબગોળ વળાંકના આ બે વર્ગો ઘણા પાસાઓમાં મૂળભૂત રીતે અલગ રીતે વર્તે છે. લંબગોળ વળાંક માટે રીમાન પૂર્વધારણા પરના તેમના કાર્ય દરમિયાન સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકની શોધ કરવામાં આવી હતી, જેમાં અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે હકારાત્મક લાક્ષણિકતા લંબગોળ વળાંકમાં અસામાન્ય રીતે મોટા ક્રમ 4 ની એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ્સ હોઈ શકે છે, અને તેમનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો. "સુપરસિંગ્યુલર" શબ્દને વળાંકના એકવચન બિંદુઓ સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી, અને તમામ સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક નોન-સિંગ્યુલર હોય છે. તે જે-ઇનવેરિયન્ટના મૂલ્યો માટે ઉપયોગમાં લેવાતા "જે-ઇનવેરિયન્ટના એકવચન મૂલ્યો" શબ્દસમૂહમાંથી આવે છે, જેના માટે જટિલ લંબગોળ વળાંકમાં જટિલ ગુણાકાર હોય છે. જટિલ ગુણાકાર સાથેના જટિલ લંબગોળ વળાંક એ છે કે જેના માટે એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ મહત્તમ સંભવિત ક્રમ 2 ધરાવે છે. હકારાત્મક લાક્ષણિકતામાં એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ વધુ મોટી હોવી શક્ય છેઃ તે પરિમાણ 4 ના ક્વાટર્નિયન બીજગણિતમાં એક ક્રમ હોઈ શકે છે, જે કિસ્સામાં લંબગોળ વળાંક સુપરસિંગ્યુલર હોય છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p એવી હોય છે કે લાક્ષણિકતા p માં દરેક સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકને સુપરસિંગ્યુલર પ્રાઈમ્સ કહેવાને બદલે પ્રાઇમ સબફિલ્ડ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ઘણી અલગ પરંતુ સમકક્ષ રીતો છે જેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવાની કેટલીક રીતો નીચે આપવામાં આવી છે. ધારો કે બીજગણિત બંધ ક્ષેત્ર અને E એ K પર લંબગોળ વળાંક ધરાવતું ક્ષેત્ર છે.-મૂલ્ય ધરાવતા બિંદુઓ અબેલિયન જૂથની રચના ધરાવે છે. દરેક n માટે, આપણી પાસે ગુણાકાર નકશો છે. તેના કર્નલ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. હવે ધારો કે K ની લાક્ષણિકતા p> 0 છે. પછી કોઈ બતાવી શકે છે કે r = 1,2,3, માટે. પ્રથમ કિસ્સામાં, E ને સુપરસિંગ્યુલર કહેવામાં આવે છે. નહિંતર તેને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લંબગોળ વળાંક સુપરસીંગ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમ p ના ભૌમિતિક બિંદુઓનું જૂથ તુચ્છ હોય. સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક બીજગણિત બંધ પર ઘણા એન્ડોમોર્ફિઝમ ધરાવે છે, એ અર્થમાં કે લંબગોળ વળાંક સુપરસિંગ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિત (ઉપર) ચતુર્થાંશ બીજગણિતમાં ક્રમ હોય. આમ, તેમના એન્ડોમોર્ફિઝમ બીજગણિત (ઉપર) નો ક્રમ 4 છે, જ્યારે દરેક અન્ય લંબગોળ વળાંકના એન્ડોમોર્ફિઝમ જૂથનો ક્રમ માત્ર 1 અથવા 2 છે. સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકની એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગનો ક્રમ 4 કરતા ઓછો હોઈ શકે છે, અને એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ 4 નો ક્રમ બનાવવા માટે બેઝ ફિલ્ડ K નું મર્યાદિત વિસ્તરણ કરવું જરૂરી હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને મુખ્ય ક્રમના ક્ષેત્ર પર લંબગોળ વળાંકની એન્ડોમોર્ફિઝમ રિંગ ક્યારેય ક્રમ 4 ની હોતી નથી, પછી ભલે લંબગોળ વળાંક સુપરસીંગ્યુલર હોય. ધારો કે G એ E સાથે સંકળાયેલ ઔપચારિક જૂથ છે. K એ હકારાત્મક લાક્ષણિકતા ધરાવતું હોવાથી, આપણે તેની ઊંચાઈ ht (G) વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જે 2 છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો E સુપરસીંગ્યુલર હોય અને અન્યથા 1 હોય. આપણી પાસે ફ્રોબેનિયસ મોર્ફિઝમ છે, જે કોહોમોલોજીમાં નકશાને પ્રેરિત કરે છે. લંબગોળ વળાંક E સુપરસીંગ્યુલર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે 0 બરાબર હોય. આપણી પાસે વર્શીબંગ ઓપરેટર છે, જે વૈશ્વિક 1-સ્વરૂપો પર નકશાને પ્રેરિત કરે છે. લંબગોળ વળાંક E સુપરસીંગ્યુલર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે 0 બરાબર હોય. લંબગોળ વળાંક સુપરસિન્ગ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો હેઝ અપરિવર્તન 0 હોય. લંબગોળ વળાંક સુપરસીંગ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ક્રમ p ના બિંદુઓની જૂથ યોજના જોડાયેલી હોય. જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ફ્રોબેનિયસ નકશાનું દ્વૈત સંપૂર્ણપણે અવિભાજ્ય હોય તો લંબગોળ વળાંક સુપરસીંગ્યુલર હોય છે. લંબગોળ વળાંક સુપરસીંગ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો "p દ્વારા ગુણાકાર" નકશો સંપૂર્ણપણે અવિભાજ્ય હોય અને વળાંકનો j-અપરિવર્તન K ના મુખ્ય ક્ષેત્રના વર્ગાત્મક વિસ્તરણમાં હોય, જે ક્રમ p2 નું મર્યાદિત ક્ષેત્ર હોય. ધારો કે E લીજેન્ડર સ્વરૂપમાં છે, જે સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને p વિચિત્ર છે. પછી માટે, જો અને માત્ર જો સરવાળો અદૃશ્ય થઈ જાય તો જ E સુપરસિંગ્યુલર છે, ક્યાં. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે કે K પર (સમરૂપતા સુધી) માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકો છે. ધારો કે E એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં સમરૂપ ઘન બહુપદી f (x, y, z) દ્વારા આપવામાં આવેલ ઘન વળાંક તરીકે આપવામાં આવે છે. જો fp-1 માં (xyz) p-1 નો ગુણાંક શૂન્ય હોય તો જ E સુપરસિંગ્યુલર છે. જો ક્ષેત્ર K એ ક્રમ q નું મર્યાદિત ક્ષેત્ર હોય, તો પછી K પર લંબગોળ વળાંક સુપરસીંગ્યુલર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો q-પાવર ફ્રોબેનિયસ એન્ડોમોર્ફિઝમનું ટ્રેસ શૂન્ય મોડ્યુલો p સાથે એકરૂપ હોય. જ્યારે q = p એ 3 કરતા મોટો પ્રાઇમ હોય ત્યારે આ ફ્રોબેનિયસનું ટ્રેસ શૂન્યની બરાબર (હાસ્સ બાઉન્ડ દ્વારા) હોવાની સમકક્ષ હોય છે; આ p = 2 અથવા 3 માટે નથી. ઉદાહરણો જો K એ લાક્ષણિકતા 2 નું ક્ષેત્ર હોય, તો a3 બિન-શૂન્ય સાથેના સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દરેક વળાંક એ સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક છે, અને તેનાથી વિપરીત દરેક સુપરસિંગ્યુલર વળાંક આ સ્વરૂપમાંથી એક માટે આઇસોમોર્ફિક છે (જુઓ વોશિંગ્ટન 2003, પૃષ્ઠ 122). 2 તત્વો સાથે ક્ષેત્ર પર કોઈપણ સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક 1,3 અને 5 બિંદુઓ સાથે બરાબર એક સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક માટે આઇસોમોર્ફિક છે. આ વિવિધ સંખ્યાબંધ બિંદુઓ સાથે મુખ્ય ક્ષેત્ર પર સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકના ઉદાહરણો આપે છે. લાક્ષણિકતા 2 ના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર (સમરૂપતા સુધી) બરાબર એક સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક હોય છે, જે જે-ઇનવેરિયન્ટ 0 દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેની એન્ડોમોર્ફિઝમની રીંગ એ હર્વિટ્ઝ ક્વાટર્નિયનોની રીંગ છે, જે બે ઓટોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા પેદા થાય છે અને જ્યાં એકતાનું આદિમ સમઘન મૂળ છે. તેનું ઓટોમોર્ફિઝમનું જૂથ હર્વિટ્ઝ ક્વાટર્નિયનોના એકમોનું જૂથ છે, જે 24 ક્રમ ધરાવે છે, જેમાં ક્વાટર્નિયન જૂથ માટે ક્રમ 8 આઇસોમોર્ફિકનું સામાન્ય પેટાજૂથ હોય છે, અને તે દ્વિસંગી ટેટ્રાહેડ્રલ જૂથ છે. જો K એ લાક્ષણિકતા 3 નું ક્ષેત્ર હોય, તો દરેક વળાંકને a4 નોનઝીરો સાથેના સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે એક સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક છે, અને તેનાથી વિપરીત દરેક સુપરસિંગ્યુલર વળાંક આ સ્વરૂપમાંથી એક માટે આઇસોમોર્ફિક છે (જુઓ વોશિંગ્ટન 2003, પૃષ્ઠ 122). 3 તત્વો સાથે ક્ષેત્ર પર કોઈપણ સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક બરાબર એક સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક માટે આઇસોમોર્ફિક છે. લાક્ષણિકતા 3 ના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી) બરાબર એક સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક હોય છે, જે જે-ઇનવેરિયન્ટ 0 દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેની એન્ડોમોર્ફિઝમ્સની રીંગ એ a અને b આઈઝેનસ્ટીન પૂર્ણાંકો સાથે a + bj સ્વરૂપના ચતુર્થાંશની રીંગ છે. , બે ઓટોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને જ્યાં i એ એકતાનું આદિમ ચોથું મૂળ છે. તેનું ઓટોમોર્ફિઝમનું જૂથ આ ચતુર્થાંશના એકમોનું જૂથ છે, જે ક્રમ 12 ધરાવે છે અને ક્રમ 4 ના ચક્રીય જૂથ સાથે ભાગાકાર સાથે ક્રમ 3 નું સામાન્ય પેટાજૂથ ધરાવે છે. પી> 3 માટે જે-ઇનવેરિયન્ટ 0 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ વળાંક સુપરસિન્ગ્યુલર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ અને જે-ઇનવેરિયન્ટ 1728 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ વળાંક સુપરસિન્ગ્યુલર હોય તો જ (જુઓ વોશિંગ્ટન 2003,4.35). દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળ વળાંક માટે બિન-કોણીય છે. તે p = 23 માટે સુપરસીંગ્યુલર છે અને દરેક અન્ય માટે સામાન્ય છે (હાર્ટશોર્ન 1977,4.23.6 જુઓ). મોડ્યુલર વળાંક X0 (11) એ જે-ઇનવેરિયન્ટ −21211 −5313 ધરાવે છે, અને તે y2 + y = x3 − x2 − 10x−20 વળાંક માટે સમરૂપ છે. જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે તે સુપરસીંગ્યુલર છે તે તે છે કે જેના માટે η (τ) 2η (11τ) 2 માં qp નો ગુણાંક મોડ p ને અદૃશ્ય કરી દે છે, અને સૂચિ 2,39,29,199,569,809,1289,1439,2539,3319,3559,3919,5519,9419,9539,9929, દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો તર્કસંગત પર લંબગોળ વળાંક જટિલ ગુણાકાર ધરાવે છે, તો જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે તે સુપરસીંગ્યુલર છે તેની ઘનતા 1/2 હોય છે. જો તેમાં જટિલ ગુણાકાર ન હોય તો સેરએ દર્શાવ્યું કે જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે તે સુપરસિંગ્યુલર છે તેની ઘનતા શૂન્ય છે. દર્શાવ્યું હતું કે તર્કસંગત પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ લંબગોળ વળાંક અનંત સંખ્યામાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે સુપરસીંગ્યુલર છે. વર્ગીકરણ દરેક હકારાત્મક લાક્ષણિકતા માટે સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકના સંભવિત જે-પરિવર્તનોની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે. બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર K પર લંબગોળ વળાંક તેના જે-ઇનવેરિયન્ટ દ્વારા નક્કી થાય છે, તેથી ત્યાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક હોય છે. જો આવા દરેક વળાંકને 1/|Aut (E) | વડે ભારિત કરવામાં આવે તો સુપરસિંગ્યુલર વળાંકનું કુલ વજન (p-1)/24 છે. લંબગોળ વળાંકમાં ક્રમ 2 ના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો હોય છે સિવાય કે તેમનો જે-ઇનવેરિયન્ટ 0 અથવા 1728 હોય, તેથી સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંકને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. ક્રમ 2 ના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો સાથે બરાબર પી/12 પી સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક છે. વધુમાં જો પી ષ્ણ 3 મોડ 4 હોય તો એક સુપરસિન્ગ્યુલર લંબગોળ વળાંક (જે-ઇનવેરિયન્ટ 1728 સાથે) હોય છે, જેનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ચક્રીય અથવા ક્રમ 4 હોય છે, સિવાય કે પી = 3 હોય તો તે ક્રમ 12 ધરાવે છે, અને જો પી ષ્ણ 2 મોડ 3 હોય તો એક સુપરસિન્ગ્યુલર લંબગોળ વળાંક (જે-ઇનવેરિયન્ટ 0 સાથે) હોય છે, જેનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ક્રમ 6 નું ચક્રીય હોય છે, સિવાય કે પી = 2 હોય તો તે ક્રમ 24 હોય. 307 સુધીના અવિભાજ્ય માટે સુપરસિન્ગ્યુલર વળાંકના તમામ જે-ઇનવેરિયન્ટનું કોષ્ટક આપો. પ્રથમ થોડા અવિભાજ્ય માટે સુપરસિંગ્યુલર લંબગોળ વળાંક નીચે મુજબ આપવામાં આવ્યા છે. 0 અથવા 1728 સિવાયના j ના સુપરસિંગ્યુલર મૂલ્યોની સંખ્યા એ (p−1)/12 નો પૂર્ણાંક ભાગ છે. સુપરસિંગ્યુલર પ્રાઇમ (બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત) સુપરસિંગ્યુલર પ્રાઇમ (ચંદ્રશાઇન સિદ્ધાંત) સુપરસિંગ્યુલર વિવિધતા સંદર્ભો રોબિન હાર્ટશોર્ન (1977), બીજગણિત ભૂમિતિ, સ્પ્રિંગર પણ જુઓ. જોસેફ એચ. સિલ્વરમેન (2009), ધ એરિથમેટિક ઓફ એલિપ્ટિક કર્વ્સ, સ્પ્રિંગર. લોરેન્સ સી. વોશિંગ્ટન (2003), એલિપ્ટિક કર્વ્સ, ચેપમેન એન્ડ હોલ. લંબગોળ વળાંક