Esquisse d'un Programme
"એસ્ક્વિસ ડી 'ઉન પ્રોગ્રામ" (એક પ્રોગ્રામનું સ્કેચ) એ 1984માં જર્મનમાં જન્મેલા ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા લાંબા ગાળાના ગાણિતિક સંશોધન માટે કરવામાં આવેલી એક પ્રસિદ્ધ દરખાસ્ત છે. તેમણે 1984 થી 1988 સુધી તેમના મહત્વપૂર્ણ પ્રોજેક્ટ પ્રસ્તાવમાં તાર્કિક રીતે જોડાયેલા વિચારોના ક્રમને અનુસર્યો, પરંતુ તેમનું પ્રસ્તાવિત સંશોધન અદ્યતન ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં આજે પણ મુખ્ય રસ ધરાવે છે. ગ્રોથેન્ડીકની દ્રષ્ટિ આજે ગણિતના ઘણા વિકાસ માટે પ્રેરણા પૂરી પાડે છે જેમ કે ગેલોઇસ સિદ્ધાંતનું વિસ્તરણ અને સામાન્યીકરણ, જે હાલમાં તેમની મૂળ દરખાસ્તના આધારે વિસ્તૃત કરવામાં આવી રહ્યું છે. 1984 માં રજૂ કરાયેલ સંક્ષિપ્ત ઇતિહાસ, એસ્ક્વિસ ડી 'ઉન પ્રોગ્રામ એ એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા સેન્ટર નેશનલ ડે લા રિસર્ચ સાયન્ટિફિક ખાતે પદ માટે રજૂ કરાયેલ દરખાસ્ત હતી. આ દરખાસ્ત સફળ થઈ ન હતી, પરંતુ ગ્રોથેન્ડીકે એક વિશેષ પદ મેળવ્યું હતું, જ્યાં મોન્ટપેલિયર યુનિવર્સિટીમાં તેમનું જોડાણ જાળવી રાખીને, તેમને સી. એન. આર. એસ. દ્વારા ચૂકવણી કરવામાં આવી હતી અને તેમની શિક્ષણની જવાબદારીઓમાંથી મુક્ત કરવામાં આવ્યા હતા. ગ્રોથેન્ડીકે 1984થી 1988 સુધી આ પદ સંભાળ્યું હતું. આ દરખાસ્ત 1997 સુધી ઔપચારિક રીતે પ્રકાશિત થઈ ન હતી, કારણ કે લેખક "મળી શક્યો ન હતો, તેમની પરવાનગીની વિનંતી ઘણી ઓછી હતી". આ હસ્તપ્રતમાં સમાવિષ્ટ ડેસિન્સ ડી 'એન્ફેન્ટ્સ અથવા "બાળકોના રેખાંકનો" અને "એનાબેલિયન ભૂમિતિ" ની રૂપરેખા સંશોધનને પ્રેરણા આપવાનું ચાલુ રાખે છે; આમ, "એનાબેલિયન ભૂમિતિ એ ગણિતમાં પ્રસ્તાવિત સિદ્ધાંત છે, જે બીજગણિત વિવિધતા V ના બીજગણિત મૂળભૂત જૂથ G, અથવા કેટલાક સંબંધિત ભૌમિતિક પદાર્થનું વર્ણન કરે છે, તે નક્કી કરે છે કે કેવી રીતે V ને અન્ય ભૌમિતિક પદાર્થ W માં મેપ કરી શકાય છે, એવી ધારણા હેઠળ કે G એ એબેલિયન જૂથ નથી, મજબૂત બિનપરિવર્તનશીલ હોવાના અર્થમાં. એનાબેલિયન શબ્દ (એક આલ્ફા ખાનગી અન-પહેલાં એબેલિયન) એસ્ક્વિસ ડી 'ઉન પ્રોગ્રામમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. જ્યારે ગ્રોથેન્ડીકનું કાર્ય ઘણા વર્ષોથી અપ્રકાશિત હતું, અને પરંપરાગત ઔપચારિક વિદ્વતાપૂર્ણ ચેનલો દ્વારા અનુપલબ્ધ હતું, ત્યારે સૂચિત સિદ્ધાંતની રચના અને આગાહીઓએ સંખ્યાબંધ ગણિતશાસ્ત્રીઓના હાથે ઘણું ધ્યાન ખેંચ્યું હતું અને કેટલાક ફેરફારો કર્યા હતા. જેમણે આ ક્ષેત્રમાં સંશોધન કર્યું છે તેમણે કેટલાક અપેક્ષિત અને સંબંધિત પરિણામો મેળવ્યા છે, અને 21મી સદીમાં આવા સિદ્ધાંતની શરૂઆત ઉપલબ્ધ થવા લાગી. ગ્રોથેન્ડીકના કાર્યક્રમનો સારાંશ ("સોમમેર") 1. દરખાસ્ત અને સાહસ ("એનવોઈ"). 2. "ટેકમુલરની લેગો-ગેમ અને ક્યૂ ઓવર ક્યૂનું ગેલોઇસ જૂથ" ("અન જેયુ ડી" લેગો-ટેકમુલર એટ લે ગ્રુપ ડી ગેલોઇસ ડી ક્યૂ સુર ક્યૂ "). 3. ડેઝિન્સ ડી 'એન્ફન્ટ "સાથે સંકળાયેલ સંખ્યા ક્ષેત્રો. ("કોર્પ્સ ડી નોમ્બર્સ એસોસિએટ્સ એ અન ડેસિન ડી 'એન્ફન્ટ"). 4. મર્યાદિત ક્ષેત્રો પર નિયમિત પોલિહેડ્રા ("પોલિએડ્રેસ રેગ્યુલિયર્સ સુર લેસ કોર્પ્સ ફિનિસ"). 5. સામાન્ય ટોપોલોજી અથવા 'મોડરેટેડ ટોપોલોજી' ('હારો સુર લા ટોપોલોજી ડાઇટે' જનરલ ', અને રિફ્લેક્શન્સ હ્યુરિસ્ટિક્સ વર્ઝ યુ ટોપોલોજી ડાઇટે' મોડેરી '). 6. વિભેદક સિદ્ધાંતો અને મધ્યસ્થ સિદ્ધાંતો ("થિયરીઝ ડિફરેન્ટિએબલ્સ" (એ લા નેશ) અને "થિયરીઝ મોડરીઝ"). 7. પર્સ્યૂઇંગ સ્ટેક્સ ("એ લા પોર્સ્યુઇટ ડેસ ચેમ્પ્સ"). 8. દ્વિ-પરિમાણીય ભૂમિતિ ("ડિગ્રેશન્સ ડી જીઓમેટ્રી બાઇડિમેન્શનનેલે"). 9. સૂચિત અભ્યાસોનો સારાંશ ("બિલાન દ 'ઉન એક્ટિવિટી એન્સેગ્નેન્ટ"). 10. ઉપસંહાર. રસ ધરાવતા ગાણિતિક વાચક માટે સૂચવેલ વધુ વાંચન સંદર્ભ વિભાગમાં આપવામાં આવ્યું છે. જૂથો માટે ગેલોઇસના સિદ્ધાંતના વિસ્તરણઃ ગેલોઇસ ગ્રૂપોઇડ્સ, વર્ગો અને કાર્યકર્તાઓએ ગણિતમાં એક શક્તિશાળી, મૂળભૂત બીજગણિત સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો જે જૂથોના બીજગણિત ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ બીજગણિત સમસ્યાઓ માટે ખૂબ જ કાર્યક્ષમ ગણતરીઓ પ્રદાન કરે છે, જે હવે ગેલોઇસ જૂથોના સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાય છે; આવી ગણતરીઓ પહેલાં શક્ય ન હતી, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં જૂથોનો ઉપયોગ કર્યા વિના 'સીધી' ગણતરીઓ કરતાં વધુ અસરકારક છે. શરૂ કરવા માટે, એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકે તેમની દરખાસ્તમાં જણાવ્યું હતું કેઃ "આમ, ગેલોઇસના જૂથને નક્કર, અનંત તરફી જૂથના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ તરીકે જોવામાં આવે છે જે આ જૂથ માટે જરૂરી ચોક્કસ માળખાને માન આપે છે". ગણિતમાં આ મૂળભૂત, ગેલોઇસ જૂથ સિદ્ધાંતને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે, શરૂઆતમાં ગ્રૂપોઇડ્સ સુધી-જેમ કે એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકના એસ્ક્વિસ ડી 'અન પ્રોગ્રામ (એડપી) માં પ્રસ્તાવિત છે-અને હવે પહેલાથી જ આંશિક રીતે ગ્રૂપોઇડ્સ માટે હાથ ધરવામાં આવે છે; બાદમાં હવે ગણિતશાસ્ત્રીઓના કેટલાક જૂથો દ્વારા ગ્રૂપોઇડ્સથી આગળ વર્ગોમાં વિકસાવવામાં આવે છે. અહીં, આપણે ગેલોઇસના સિદ્ધાંતના સુસ્થાપિત અને સંપૂર્ણ માન્ય વિસ્તરણ પર જ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું. આમ, ઇ. ડી. પી. એ 1960ના દાયકામાં યોજાયેલા અગાઉના એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકના આઇ. એચ. ઇ. એસ. પરિસંવાદો (એસ. જી. એ. 1 થી એસ. જી. એ. 4) ની સાથે, વર્ગો, કાર્યો અને કુદરતી પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને જૂથો માટે મૂળ ગેલોઇસના સિદ્ધાંતના વધુ શક્તિશાળી વિસ્તરણનો વિકાસ તેમજ એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીકના વંશ સિદ્ધાંતમાં રજૂ કરાયેલા વિચારોના અનેકવિધ વિસ્તરણનો પણ પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો અને તેની અપેક્ષા રાખી હતી. હેતુની કલ્પનાને પણ સક્રિય રીતે અનુસરવામાં આવી છે. આને પ્રેરક ગેલોઇસ જૂથ, ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી અને ગ્રોથેન્ડીક શ્રેણીમાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. આવા વિકાસ તાજેતરમાં બીજગણિત ટોપોલોજીમાં પ્રતિનિધિત્વક્ષમ ફંકટર અને મૂળભૂત ગ્રૂપોઇડ ફંકટર દ્વારા વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યા હતા. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક દ્વારા એનાબેલિયન ભૂમિતિ ગ્રોથેન્ડીકનો ગેલોઇસ સિદ્ધાંત ગ્રોથેન્ડીકનો સેમિનાઇર ડી જીઓમેટ્રી આલ્જેબ્રિક સ્તરીકૃત અવકાશ સંદર્ભો સંબંધિત કાર્યો પણ જુઓ. 1971, રેવેટેમેન્ટ્સ ઈટાલેસ એટ ગ્રૂપ ફૉન્ડામેન્ટલ (એસ. જી. એ. 1), પ્રકરણ VI: કેટેગોરીઝ ફાઈબ્રીઝ એટ ડિસેન્ટે, ગણિતમાં વ્યાખ્યાન નોંધો. 224, સ્પ્રિંગર-વેરલેગઃ બર્લિન. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક. 1957, સુર ક્વેલ્કીસ પોઇંટ્સ ડી 'એલ્ગેબ્રે હોમોલોજિક, ટોહોકુ મેથેમેટિક્સ જર્નલ, 9,119-221. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક અને જીન ડ્યુડોન. : 1960, એલિમેન્ટ્સ ડી જીઓમેટ્રી આલ્જેબ્રિક., પબ્લિશ. ઇન્સ્ટ. ડેસ હૌટ્સ ઇટ્યુડ્સ સાયન્ટિફિકસ, (આઇ. એચ. ઇ. એસ), 4. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક અને અન્ય, 1971. સેમિનાઅર ડી જીઓમેટ્રી અલ્જેબ્રિક ડુ બોઇસ-મેરી, વોલ્યુમ. 1-7, બર્લિનઃ સ્પ્રિંગર-વેરલેગ. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક. 1962. સેમિનેર્સ એન જીઓમેટ્રી અલ્જેબ્રિક ડુ બોઇસ-મેરી, વોલ્યુમ. 2-કોહોમોલોજી લોકેલ ડેસ ફેઇસેઓક્સ કોહેરેન્ટ્સ એટ થિયોરેમ્સ ડી લેફશેટ્ઝ લોકોક્સ એટ ગ્લોબોક્સ, પૃષ્ઠ 287. (એમ. એમ. એ. દ્વારા વધારાના યોગદાનના ખુલાસા સાથે. મિશેલ રેનાઉડ). (ટાઇપ કરેલી હસ્તપ્રત ફ્રેન્ચમાં ઉપલબ્ધ છે; અંગ્રેજી સંદર્ભોમાં સંક્ષિપ્ત સારાંશ પણ જુઓ. 1964 માં. કોહોમોલોજી ગેલોસીએન, સ્પ્રિંગર-વેરલેગઃ બર્લિન. જે. એલ. વર્ડિયર. 1965. વિષયો અને વિષયોની શ્રેણીઓ. નોર્થ હોલેન્ડ પબ્લ. સી). એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક એટ અલ. વધુ વિગતવાર અને મોટી સંખ્યામાં પરિણામો માટે Séminaires en Géometrie Algèbrique-4, ટોમ 1, એક્સપોઝ 1 (અથવા 'એન. બોરબાકી દ્વારા એક્સપોઝી 1 નું પરિશિષ્ટ). એ. જી. 4 ફ્રેન્ચમાં મુક્તપણે ઉપલબ્ધ છે; અંગ્રેજીમાં એક વ્યાપક સારાંશ પણ ઉપલબ્ધ છે. એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક, 1984. "એસ્ક્વિસ ડી 'ઉન પ્રોગ્રામ", (1984 હસ્તપ્રત), આખરે "જીઓમેટ્રિક ગેલોઇસ એક્શન્સ", એલ. સ્નેપ્સ, પી. લોચક, આવૃત્તિઓ., લંડન મઠમાં પ્રકાશિત થયું. સો. વ્યાખ્યાન નોંધો 242, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1997, પૃ. 5-48; અંગ્રેજી અનુવાદ., ibid., pp. 243-283. . એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક, "લા લોંગ્યુ માર્ચ ઇન એ ટ્રાવર્સ લા થિયોરી ડી ગેલોઇસ". = "ધ લોંગ માર્ચ ટુવર્ડ્સ/એક્રોસ ધ થિયરી ઓફ ગેલોઇસ", 1981 હસ્તપ્રત, યુનિવર્સિટી ઓફ મોન્ટપેલિયર પ્રીપ્રિન્ટ શ્રેણી 1996, જે. માલગોઇર દ્વારા સંપાદિત. અન્ય સંબંધિત પ્રકાશનો. . બાહ્ય કડીઓ ફંડામેન્ટલ ગ્રૂપોઇડ ફંક્ટર્સ, પ્લેનેટ ફિઝિક્સ. અત્યાર સુધીની સૌથી વધુ નકારી કાઢવામાં આવેલી દરખાસ્ત, નેવર એન્ડિંગ બુક્સ, લીવન લે બ્રુઇન નોટ્સ એનાબેલિયન્સ, એ. ગ્રોથેન્ડીક. સમૂહ સિદ્ધાંત બીજગણિત ભૂમિતિ શ્રેણી સિદ્ધાંત બીજગણિત ટોપોલોજી ગણિતના કાગળો 1983 દસ્તાવેજો