Convection–diffusion equation
સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ એ પ્રસરણ અને સંવહન (એડવેક્શન) સમીકરણોનું સંયોજન છે, અને ભૌતિક ઘટનાઓનું વર્ણન કરે છે જ્યાં કણો, ઊર્જા અથવા અન્ય ભૌતિક જથ્થાને બે પ્રક્રિયાઓને કારણે ભૌતિક પ્રણાલીની અંદર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છેઃ પ્રસરણ અને સંવહન. સંદર્ભના આધારે, સમાન સમીકરણને એડવેક્શન-પ્રસરણ સમીકરણ, ડ્રિફ્ટ-પ્રસરણ સમીકરણ અથવા (સામાન્ય) સ્કેલર પરિવહન સમીકરણ કહી શકાય. સામાન્ય સમીકરણ સામાન્ય સમીકરણ એ છે કે જ્યાં રસનો ચલ છે (દળ સ્થાનાંતરણ માટે પ્રજાતિની સાંદ્રતા, ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ માટે તાપમાન), તે પ્રસરણતા (પ્રસરણ ગુણાંક પણ કહેવાય છે) છે, જેમ કે કણ ગતિ માટે દળ પ્રસરણતા અથવા ઉષ્મા પરિવહન માટે ઉષ્મીય પ્રસરણતા, તે વેગ ક્ષેત્ર છે જેની સાથે જથ્થો આગળ વધી રહ્યો છે. તે સમય અને સ્થાનનું કાર્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એડવેક્શનમાં, નદીમાં મીઠાની સાંદ્રતા હોઈ શકે છે, અને પછી સમય અને સ્થાનના કાર્ય તરીકે પાણીના પ્રવાહનો વેગ હશે. બીજું ઉદાહરણ, શાંત તળાવમાં નાના પરપોટાની સાંદ્રતા હોઈ શકે છે, અને પછી પરપોટાના સમય અને સ્થાનના આધારે ઉછાળા દ્વારા સપાટી તરફ વધતા પરપોટાનો વેગ (નીચે જુઓ) હશે. છિદ્રાળુ માધ્યમોમાં બહુવિધ તબક્કાના પ્રવાહો અને પ્રવાહો માટે, (કાલ્પનિક) સુપરફિસિયલ વેગ છે. જથ્થાના સ્રોતો અથવા સિંકનું વર્ણન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રાસાયણિક પ્રજાતિ માટે, તેનો અર્થ એ છે કે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા વધુ પ્રજાતિઓ બનાવી રહી છે, અને તેનો અર્થ એ છે કે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા પ્રજાતિઓનો નાશ કરી રહી છે. ઉષ્મા પરિવહન માટે, જો ઉષ્મા ઊર્જા ઘર્ષણ દ્વારા ઉત્પન્ન થઈ રહી હોય તો થઈ શકે છે. ઢાળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને વિચલનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ સમીકરણમાં, એકાગ્રતા ઢાળ રજૂ કરે છે. સામેલ શરતોને સમજવી સમીકરણની જમણી બાજુ એ ત્રણ યોગદાનોનો સરવાળો છે. પ્રથમ, પ્રસરણનું વર્ણન કરે છે. કલ્પના કરો કે તે રાસાયણિકની સાંદ્રતા છે. જ્યારે આસપાસના વિસ્તારોની સરખામણીમાં ક્યાંક એકાગ્રતા ઓછી હોય (દા. ત. સ્થાનિક લઘુત્તમ સાંદ્રતા), પદાર્થ આસપાસના વિસ્તારમાંથી પ્રસરે છે, તેથી સાંદ્રતામાં વધારો થશે. તેનાથી વિપરીત, જો આજુબાજુની સરખામણીમાં એકાગ્રતા વધારે હોય (દા. ત. સ્થાનિક મહત્તમ સાંદ્રતા), પછી પદાર્થ ફેલાઈ જશે અને સાંદ્રતામાં ઘટાડો થશે. જો પ્રસરણ સ્થિર હોય તો ચોખ્ખો પ્રસરણ એકાગ્રતાના લેપલેસિયન (અથવા બીજા વ્યુત્પન્ન) ના પ્રમાણમાં હોય છે. બીજું યોગદાન, સંવહન (અથવા એડવેક્શન) નું વર્ણન કરે છે. કલ્પના કરો કે નદીના કિનારે ઊભા રહીને દર સેકંડે પાણીની ખારાશ (મીઠાનું પ્રમાણ) માપી શકાય છે. ઉપરના પ્રવાહમાં, કોઈક મીઠાની એક ડોલ નદીમાં ફેંકી દે છે. થોડા સમય પછી, તમે જોશો કે ખારાશ અચાનક વધે છે, પછી પડે છે, કારણ કે ખારા પાણીનો વિસ્તાર પસાર થાય છે. આમ, પ્રવાહને કારણે આપેલ સ્થાન પર સાંદ્રતામાં ફેરફાર થઈ શકે છે. અંતિમ યોગદાન, જથ્થાની રચના અથવા વિનાશનું વર્ણન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો અણુની સાંદ્રતા હોય, તો તે વર્ણવે છે કે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ દ્વારા અણુ કેવી રીતે બનાવી અથવા નાશ કરી શકાય છે. તે અને અન્ય પરિમાણોનું કાર્ય હોઈ શકે છે. ઘણીવાર ઘણી માત્રાઓ હોય છે, દરેકનું પોતાનું સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ હોય છે, જ્યાં એક જથ્થાનો નાશ બીજા જથ્થાની રચના કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે મિથેન બળી જાય છે, ત્યારે તેમાં માત્ર મિથેન અને ઓક્સિજનનો નાશ થતો નથી, પરંતુ કાર્બન ડાયોક્સાઇડ અને પાણીની વરાળની રચના પણ થાય છે. તેથી, જ્યારે આ દરેક રસાયણોનું પોતાનું સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ હોય છે, ત્યારે તે એકસાથે જોડાયેલા હોય છે અને તેને એક સાથે વિભેદક સમીકરણોની પદ્ધતિ તરીકે ઉકેલવા જોઈએ. સામાન્ય સરળીકરણ સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં, પ્રસરણ ગુણાંક સ્થિર હોય છે, ત્યાં કોઈ સ્રોત અથવા ડૂબકી હોતી નથી, અને વેગ ક્ષેત્ર અસંપીડ્ય પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે (એટલે કે, તેમાં શૂન્ય વિચલન હોય છે). પછી સૂત્ર સરળ બને છેઃ આ સ્વરૂપમાં, સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ પેરાબોલિક અને હાયપરબોલિક આંશિક વિભેદક સમીકરણો બંનેને જોડે છે. બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી સામગ્રીમાં, (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્યની નજીક હોય છે, ત્યારે મંદ વાયુ લગભગ શૂન્ય દળ પ્રસરણ ધરાવે છે), તેથી પરિવહન સમીકરણ સરળ છેઃ અસ્થાયી અને અવકાશી બંને ક્ષેત્રોમાં ફોરિયર પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને (એટલે કે, અભિન્ન કર્નલ સાથે), તેનું લાક્ષણિક સમીકરણ મેળવી શકાય છેઃ જે સામાન્ય ઉકેલ આપે છેઃ જ્યાં કોઈપણ વિભેદક સ્કેલર કાર્ય છે. ટાઈમ ઓફ ફ્લાઇટ પદ્ધતિ દ્વારા નજીકના બોસ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ માટે તાપમાન માપનનો આ આધાર છે. સ્થિર રૂપાંતર સ્થિર સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ સંવહન-પ્રસરણ પ્રણાલીની સ્થિર-સ્થિતિ વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે. સ્થિર સ્થિતિમાં, તેથી સૂત્ર છેઃ વ્યુત્પત્તિ સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ સાતત્ય સમીકરણમાંથી સીધી રીતે મેળવી શકાય છે, જે જણાવે છે કે વિભેદક નિયંત્રણ વોલ્યુમમાં સ્કેલર જથ્થા માટેના ફેરફારનો દર પ્રવાહ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને નિયંત્રણ વોલ્યુમની અંદર કોઈપણ પેઢી અથવા વપરાશ સાથે સિસ્ટમના તે ભાગમાં અને બહાર પ્રસરણ થાય છેઃ કુલ પ્રવાહ ક્યાં છે અને તે માટે ચોખ્ખો વોલ્યુમેટ્રિક સ્રોત છે. આ પરિસ્થિતિમાં પ્રવાહના બે સ્રોત છે. પ્રથમ, પ્રસરણને કારણે પ્રસરણ પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે. આને સામાન્ય રીતે ફિકના પ્રથમ નિયમ દ્વારા અંદાજવામાં આવે છેઃ એટલે કે, પ્રણાલીના કોઈપણ ભાગમાં ફેલાતી સામગ્રી (જથ્થાબંધ ગતિને સંબંધિત) નો પ્રવાહ સ્થાનિક સાંદ્રતા ઢાળના પ્રમાણમાં હોય છે. બીજું, જ્યારે એકંદર સંવહન અથવા પ્રવાહ હોય છે, ત્યારે સંલગ્ન પ્રવાહ હોય છે જેને એડવેક્ટિવ ફ્લક્સ કહેવાય છેઃ કુલ પ્રવાહ (સ્થિર સંકલન પ્રણાલીમાં) આ બંનેના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ સાતત્ય સમીકરણમાં જોડાવુંઃ જટિલ મિશ્રણની ઘટના સામાન્ય રીતે,, અને જગ્યા અને સમય સાથે બદલાઈ શકે છે. એવા કિસ્સાઓમાં કે જેમાં તેઓ એકાગ્રતા પર પણ આધાર રાખે છે, સમીકરણ બિનરેખીય બની જાય છે, જે ઘણી વિશિષ્ટ મિશ્રણ ઘટનાઓને જન્મ આપે છે જેમ કે રેલે-બેનાર્ડ સંવહન જ્યારે ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ રચનામાં તાપમાન અને પ્રતિક્રિયા-પ્રસરણ પેટર્નની રચના પર આધાર રાખે છે જ્યારે સામૂહિક સ્થાનાંતરણ રચનામાં એકાગ્રતા પર આધાર રાખે છે. બળના જવાબમાં વેગ કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સરેરાશ વેગ ક્ષેત્ર બળને કારણે અસ્તિત્વ ધરાવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ પ્રવાહીમાં ઓગળેલા આયનોના પ્રવાહનું વર્ણન કરી શકે છે, જેમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર આયનોને અમુક દિશામાં ખેંચે છે (જેલ ઇલેક્ટ્રોફોરેસિસની જેમ). આ પરિસ્થિતિમાં, તેને સામાન્ય રીતે ડ્રિફ્ટ-ડિફ્યુઝન સમીકરણ અથવા સ્મોલુકોવ્સ્કી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, મેરિયન સ્મોલુકોવ્સ્કી પછી, જેમણે તેને 1915 માં વર્ણવ્યું હતું (આઈન્સ્ટાઈન-સ્મોલુકોવ્સ્કી સંબંધ અથવા સ્મોલુકોવ્સ્કી કોગ્યુલેશન સમીકરણ સાથે મૂંઝવણ ન કરવી). સામાન્ય રીતે, સરેરાશ વેગ લાગુ કરાયેલા બળના સીધા પ્રમાણસર હોય છે, જે સમીકરણ આપે છેઃ બળ ક્યાં છે, અને ઘર્ષણ અથવા ચીકણું ખેંચાણની લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. (વિપરીતને ગતિશીલતા કહેવામાં આવે છે.) આઈન્સ્ટાઈન સંબંધની વ્યુત્પત્તિ જ્યારે બળ સંભવિત ઊર્જા સાથે સંકળાયેલું હોય (રૂઢિચુસ્ત બળ જુઓ), ત્યારે ઉપરોક્ત સમીકરણનો સ્થિર-સ્થિતિ ઉકેલ (એટલે કે) is: (ધારી રહ્યા છીએ અને સતત છે). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યાં ઊર્જા ઓછી હોય ત્યાં વધુ કણો હોય છે. આ સાંદ્રતા રૂપરેખા બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ (વધુ ચોક્કસપણે, ગિબ્સનું માપ) સાથે સહમત થવાની અપેક્ષા છે. આ ધારણા પરથી આઈન્સ્ટાઈનનો સંબંધ સાબિત કરી શકાય છેઃ સ્મોલુકોવ્સ્કી સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ સ્મોલુકોવ્સ્કી સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ એ વધારાના સંવહન પ્રવાહ-ક્ષેત્ર સાથેનું સ્ટોકેસ્ટિક (સ્મોલુકોવ્સ્કી) પ્રસરણ સમીકરણ છે, આ કિસ્સામાં, બળ બે કોલોઇડલ કણો અથવા પ્રવાહીમાં બે અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા બળ વચ્ચેના રૂઢિચુસ્ત આંતરકણ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા બળનું વર્ણન કરે છે, અને તે બાહ્ય રીતે લાદવામાં આવેલા પ્રવાહ વેગ સાથે અસંબંધિત છે. આ સમીકરણનું સ્થિર-સ્થિતિ સંસ્કરણ એ શીયર ફ્લો હેઠળ કોલોઇડલ સસ્પેન્શનના જોડી વિતરણ કાર્ય (જેની સાથે ઓળખી શકાય છે) નું વર્ણન પ્રદાન કરવાનો આધાર છે. આ સમીકરણના સ્થિર-સ્થિતિ સંસ્કરણનો અંદાજિત ઉકેલ મેળ ખાતી એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મળી આવ્યો છે. આ ઉકેલ શીયર પ્રવાહમાં બે અણુઓના પરિવહન-નિયંત્રિત પ્રતિક્રિયા દર માટે એક સિદ્ધાંત પ્રદાન કરે છે, અને શીયર પ્રવાહને આધિન કોલોઇડલ પ્રણાલીઓમાં કોલોઇડલ સ્થિરતાના DLVO સિદ્ધાંતને વિસ્તારવાનો માર્ગ પણ પ્રદાન કરે છે. માઇક્રોફ્લુઇડિક્સમાં, રાસાયણિક રિએક્ટર, પર્યાવરણીય પ્રવાહ). મેળ ખાતા એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા સ્થિર-સ્થિતિ સમીકરણનો સંપૂર્ણ ઉકેલ, એલેસિયો ઝાકોને અને એલ. બેનેટ્ટા દ્વારા શીયર પ્રવાહમાં લેનાર્ડ-જોન્સ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોના જોડી વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યો છે અને ત્યારબાદ શીયર પ્રવાહમાં ચાર્જ-સ્થિર (યુકાવા અથવા ડેબી-હકલ) કોલોઇડલ કણોના જોડી વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે. સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ તરીકે સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ (કોઈ સ્રોત અથવા ડ્રેઇન વિના) ને સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છે, જે પ્રસરણ અને પૂર્વગ્રહ સાથે અવ્યવસ્થિત ગતિનું વર્ણન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ એક જ કણની બ્રાઉનિયન ગતિનું વર્ણન કરી શકે છે, જ્યાં ચલ આપેલ સમયે આપેલ સ્થિતિમાં કણની સંભાવના વિતરણનું વર્ણન કરે છે. સમીકરણનો આ રીતે ઉપયોગ કરી શકાય તેનું કારણ એ છે કે એક કણની સંભાવના વિતરણ અને અનંત સંખ્યાબંધ કણોના સંગ્રહની સાંદ્રતા રૂપરેખા (જ્યાં સુધી કણો એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા નથી) વચ્ચે કોઈ ગાણિતિક તફાવત નથી. લેંગ્વિન સમીકરણ એડવેક્શન, પ્રસરણ અને અન્ય ઘટનાઓને સ્પષ્ટ રીતે સ્ટોકેસ્ટિક રીતે વર્ણવે છે. લેંગ્વિન સમીકરણનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ એ છે કે જ્યારે તેનું "ઘોંઘાટ શબ્દ" ગૌસીયન હોય; આ કિસ્સામાં, લેંગ્વિન સમીકરણ બરાબર સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણની સમકક્ષ હોય છે. જો કે, લેંગ્વિન સમીકરણ વધુ સામાન્ય છે. સંખ્યાત્મક ઉકેલ સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણને ભાગ્યે જ પેન અને કાગળથી ઉકેલી શકાય છે. વધુ વખત, કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ સમીકરણના ઉકેલને આંકડાકીય રીતે અંદાજિત કરવા માટે થાય છે, સામાન્ય રીતે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. વધુ વિગતો અને અલ્ગોરિધમ્સ માટે જુઓઃ સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણનો આંકડાકીય ઉકેલ. અન્ય સંદર્ભોમાં સમાન સમીકરણો સંવહન-પ્રસરણ સમીકરણ એ પ્રમાણમાં સરળ સમીકરણ છે જે પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે, અથવા વૈકલ્પિક રીતે, અસ્થિર રીતે બદલાતી પ્રણાલીનું વર્ણન કરે છે. તેથી, સમાન અથવા સમાન સમીકરણ ઘણા સંદર્ભોમાં ઉદભવે છે જે અવકાશમાંથી વહેતા પ્રવાહ સાથે અસંબંધિત છે. તે ઔપચારિક રીતે કણના વેગ માટે ફોકર-પ્લાન્ક સમીકરણ જેવું જ છે. તે બ્લેક-સ્કોલ્સ સમીકરણ અને નાણાકીય ગણિતના અન્ય સમીકરણો સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. તે નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, કારણ કે પ્રવાહીમાં વેગનો પ્રવાહ ગાણિતિક રીતે દળ અથવા ઊર્જાના પ્રવાહ જેવો જ હોય છે. અસંપીડ્ય ન્યુટોનિયન પ્રવાહીના કિસ્સામાં પત્રવ્યવહાર સ્પષ્ટ છે, આ કિસ્સામાં નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણ છેઃ જ્યાં દરેક બિંદુ પર પ્રવાહીની ગતિ (એકમ વોલ્યુમ દીઠ) (વેગ દ્વારા ગુણાકાર ઘનતા બરાબર), સ્નિગ્ધતા છે, પ્રવાહી દબાણ છે, અને ગુરુત્વાકર્ષણ જેવા અન્ય કોઈપણ શારીરિક બળ છે. આ સમીકરણમાં, ડાબી બાજુનો શબ્દ આપેલ બિંદુ પર વેગમાં ફેરફારનું વર્ણન કરે છે; જમણી બાજુનો પ્રથમ શબ્દ સ્નિગ્ધતા દ્વારા વેગના પ્રસરણનું વર્ણન કરે છે; જમણી બાજુનો બીજો શબ્દ વેગના એડવેક્ટિવ પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે; અને જમણી બાજુના છેલ્લા બે શબ્દો બાહ્ય અને આંતરિક દળોનું વર્ણન કરે છે જે વેગના સ્ત્રોત અથવા ડૂબકી તરીકે કાર્ય કરી શકે છે. સેમિકન્ડક્ટર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સેમિકન્ડક્ટર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આ સમીકરણને ડ્રિફ્ટ-પ્રસરણ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. "ડ્રિફ્ટ" શબ્દ ડ્રિફ્ટ કરંટ અને ડ્રિફ્ટ વેગ સાથે સંબંધિત છે. આ સમીકરણ સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છેઃ ઇલેક્ટ્રોન અને છિદ્રોની સાંદ્રતા (ઘનતા) અનુક્રમે ક્યાં અને ક્યાં છે, તે પ્રાથમિક ચાર્જ છે, અને અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રોન અને છિદ્રોને કારણે વિદ્યુત પ્રવાહો છે, અને અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રોન અને છિદ્રોના અનુરૂપ "કણ પ્રવાહો" છે, જે વાહક ઉત્પાદન અને પુનઃસંયોજનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (ઇલેક્ટ્રોન-છિદ્ર જોડીઓના નિર્માણ માટે, પુનઃસંયોજન માટે). તે વિદ્યુત ક્ષેત્ર વેક્ટર છે અને ઇલેક્ટ્રોન અને છિદ્ર ગતિશીલતા છે. પ્રસરણ ગુણાંક અને ગતિશીલતા ઉપરની જેમ આઈન્સ્ટાઈન સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છેઃ જ્યાં બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને નિરપેક્ષ તાપમાન છે. પ્રવાહ પ્રવાહ અને પ્રસરણ પ્રવાહ એ માટે અભિવ્યક્તિઓમાં બે શબ્દોનો અલગથી ઉલ્લેખ કરે છે, એટલે કેઃ આ સમીકરણને પોઈસનના સમીકરણ સાથે સંખ્યાત્મક રીતે ઉકેલી શકાય છે. ડ્રિફ્ટ ડિફ્યુઝન સમીકરણને ઉકેલવાના પરિણામોનું ઉદાહરણ જમણી બાજુએ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. જ્યારે પ્રકાશ સેમિકન્ડક્ટરના કેન્દ્ર પર ઝળકે છે, ત્યારે વાહક મધ્યમાં ઉત્પન્ન થાય છે અને બે છેડા તરફ ફેલાય છે. આ માળખામાં પ્રવાહ-પ્રસરણ સમીકરણ હલ કરવામાં આવે છે અને ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવે છે. કેન્દ્રથી બે છેડા તરફ વાહકનો ઢાળ જોઈ શકાય છે. એડવાન્સ્ડ સિમ્યુલેશન લાઇબ્રેરી કન્ઝર્વેશન સમીકરણો ઇન્કમ્પ્રેસિબલ નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણો નેર્નસ્ટ-પ્લાન્ક સમીકરણો ડબલ ડિફ્યુસિવ કન્વેક્શન નેચરલ કન્વેક્શન બકલે-લેવરેટ સમીકરણો સંદર્ભો વધુ વાંચન ડિફ્યુઝન પેરાબોલિક પાર્શિયલ ડિફરન્શિયલ સમીકરણો સ્ટોકેસ્ટિક ડિફરન્શિયલ સમીકરણો પરિવહન ઘટના ભૌતિકશાસ્ત્રના સમીકરણો