Vickrey–Clarke–Groves auction
વિકરી-ક્લાર્ક-ગ્રોવ્સ (વી. સી. જી.) હરાજી એ બહુવિધ વસ્તુઓની સીલબંધ-બોલી હરાજીનો એક પ્રકાર છે. બોલી લગાવનાર બોલી રજૂ કરે છે જે અન્ય બોલી લગાવનારની બોલી જાણ્યા વિના વસ્તુઓ માટે તેમના મૂલ્યાંકનની જાણ કરે છે. હરાજી પ્રણાલી વસ્તુઓને સામાજિક રીતે શ્રેષ્ઠ રીતે સોંપે છેઃ તે દરેક વ્યક્તિ પાસેથી તેઓ અન્ય બોલી લગાવનારને જે નુકસાન પહોંચાડે છે તે વસૂલ કરે છે. તે બોલી લગાવનારને તેમના સાચા મૂલ્યાંકન માટે બોલી લગાવવા માટે પ્રોત્સાહન આપે છે, તેની ખાતરી કરીને કે દરેક બોલી લગાવનાર માટે શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના વસ્તુઓના તેમના સાચા મૂલ્યાંકન માટે બોલી લગાવવાની છે; બોલી લગાવનારની મિલીભગત દ્વારા અને ખાસ કરીને કેટલાક સંજોગોમાં એક બોલી લગાવનાર દ્વારા વિવિધ નામો હેઠળ બહુવિધ બોલી લગાવવાથી તેને નબળી પાડી શકાય છે. તે બહુવિધ વસ્તુઓ માટે વિક્રિની હરાજીનું સામાન્યીકરણ છે. આ હરાજીનું નામ વિલિયમ વિકરી, એડવર્ડ એચ. ક્લાર્ક અને થિયોડોર ગ્રોવ્સના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે આ વિચારને ક્રમિક રીતે સામાન્ય બનાવ્યો હતો. વીસીજી હરાજી એ વધુ સામાન્ય વીસીજી પદ્ધતિનો ચોક્કસ ઉપયોગ છે. જ્યારે વીસીજી હરાજી વસ્તુઓની સામાજિક રીતે શ્રેષ્ઠ ફાળવણી કરવાનો પ્રયાસ કરે છે, ત્યારે વીસીજી પદ્ધતિઓ સંભવિત પરિણામોના સમૂહમાંથી સામાજિક રીતે શ્રેષ્ઠ પરિણામની પસંદગી માટે પરવાનગી આપે છે. જો બોલી લગાવનાર વચ્ચે સાંઠગાંઠ થવાની સંભાવના હોય, તો વી. સી. જી. વિક્રેતા માટે ઉત્પાદિત આવક અને ફાળવણીની કાર્યક્ષમતા બંને માટે સામાન્યકૃત બીજી કિંમતની હરાજીને પાછળ છોડી દે છે. સાહજિક વર્ણન હરાજીનો વિચાર કરો જ્યાં સમાન ઉત્પાદનોનો સમૂહ વેચવામાં આવે છે. બોલી લગાવનાર N ઉત્પાદનો મેળવવા માટે તેઓ જે મહત્તમ કિંમત ચૂકવવા તૈયાર છે તેની જાહેરાત કરીને હરાજીમાં ભાગ લઈ શકે છે. દરેક ખરીદદારને એકથી વધુ બિડ જાહેર કરવાની છૂટ છે, કારણ કે એકમ દીઠ ચૂકવણી કરવાની તેની ઇચ્છા તે મેળવનારા એકમોની કુલ સંખ્યાના આધારે અલગ હોઈ શકે છે. બોલી લગાવનાર કોઈ પણ સમયે અન્ય લોકોની બોલી જોઈ શકતા નથી કારણ કે તે સીલ કરવામાં આવી છે (માત્ર હરાજી પ્રણાલીને જ દેખાય છે). એકવાર બધી બિડ થઈ જાય પછી, હરાજી બંધ થઈ જાય છે. પછી હરાજી પ્રણાલી દ્વારા હરાજીના તમામ સંભવિત સંયોજનોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અને હરાજીની કુલ રકમને મહત્તમ કરતી હરાજીને આ શરત સાથે રાખવામાં આવે છે કે તે ઉપલબ્ધ ઉત્પાદનોની કુલ રકમ કરતાં વધી ન જાય અને દરેક બોલી લગાવનાર પાસેથી મહત્તમ એક બોલીનો ઉપયોગ કરી શકાય. સફળ બોલી લગાવનાર બોલીદાતાઓ પછી તેમની બોલીમાં નિર્દિષ્ટ ઉત્પાદનની માત્રા પ્રાપ્ત કરે છે. જોકે, બદલામાં તેઓ જે કિંમત ચૂકવે છે તે શરૂઆતમાં તેમણે કરેલી બોલીની રકમ નથી, પરંતુ તેમની બોલીથી અન્ય બોલી લગાવનારને માત્ર નજીવું નુકસાન થયું છે (જે તેમની મૂળ બોલી જેટલું ઊંચું છે). આ સીમાંત નુકસાન અન્ય સહભાગીઓને થાય છે (એટલે કે. સફળ બોલી સાથે દરેક વ્યક્તિ દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલી અંતિમ કિંમત) ની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છેઃ (વિચારણા હેઠળના સહભાગીને બાદ કરતાં બોલીના શ્રેષ્ઠ સંયોજનમાંથી હરાજીની બોલીનો સરવાળો)-(વર્તમાન (શ્રેષ્ઠ) બોલીના સંયોજનમાં અન્ય વિજેતા બોલીદાતાઓએ શું બોલી લગાવી છે). જો બિડના બીજા શ્રેષ્ઠ સંયોજનની બિડનો સરવાળો શ્રેષ્ઠ સંયોજનની બિડ જેટલો જ હોય, તો ખરીદદારો દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલી કિંમત તેમની પ્રારંભિક બિડ જેટલી જ હશે. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, ખરીદદારો દ્વારા ચૂકવવામાં આવતી કિંમત ઓછી હશે. હરાજીના અંતે, કુલ ઉપયોગિતા મહત્તમ કરવામાં આવી છે કારણ કે તમામ માલસામાનની ચૂકવણી કરવાની સૌથી વધુ સંયુક્ત ઇચ્છા ધરાવતા લોકોને આભારી છે. જો એજન્ટો સંપૂર્ણપણે તર્કસંગત હોય અને સાંઠગાંઠની ગેરહાજરીમાં હોય, તો અમે ધારી શકીએ છીએ કે ચૂકવણી કરવાની ઇચ્છાની જાણ પ્રામાણિકપણે કરવામાં આવી છે કારણ કે દરેક સહભાગીને અન્ય બોલી લગાવનારને માત્ર નજીવું નુકસાન જ થશે, જે સાચું રિપોર્ટિંગને નબળી-પ્રબળ વ્યૂહરચના બનાવે છે. જો કે, આ પ્રકારની હરાજી વેચનારની આવકને મહત્તમ નહીં કરે, સિવાય કે બિડના બીજા શ્રેષ્ઠ સંયોજનની બિડનો સરવાળો બિડના શ્રેષ્ઠ સંયોજનની બિડના સરવાળા જેટલો હોય. ઔપચારિક વર્ણન નોટેશન હરાજી કરાયેલી વસ્તુઓના કોઈપણ સમૂહ અને બોલી લગાવનારના કોઈપણ સમૂહ માટે, આપેલ બોલી-સંયોજન માટે વીસીજી હરાજીનું સામાજિક મૂલ્ય હોવું જોઈએ. એટલે કે, દરેક વ્યક્તિ તેણે હમણાં જ જીતેલી વસ્તુઓને કેટલું મહત્વ આપે છે, તે દરેકમાં ઉમેરાય છે. જો તેઓ જીતી ન જાય તો વસ્તુનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. બોલી લગાવનાર અને વસ્તુ માટે, વસ્તુ માટે બોલી લગાવનારની બોલી હોવી જોઈએ. સંકેતનો અર્થ એ છે કે A ના તત્વોનો સમૂહ જે B ના તત્વો નથી. સોંપણી બોલી લગાવનાર કે જેની વસ્તુ માટેની બોલી "ઓવરબીડ" છે, એટલે કે, તે વસ્તુ જીતે છે, પરંતુ ચૂકવણી કરે છે, જે તેમની જીતની સામાજિક કિંમત છે જે બાકીના એજન્ટો દ્વારા કરવામાં આવે છે. સમજૂતી ખરેખર, તે સિવાયના બિડર્સનો સમૂહ છે. જ્યારે વસ્તુ ઉપલબ્ધ હોય, ત્યારે તેઓ કલ્યાણ પ્રાપ્ત કરી શકે છે વસ્તુની જીત ઉપલબ્ધ વસ્તુઓના સમૂહને ઘટાડીને, તેથી પ્રાપ્ય કલ્યાણ હવે છે. કલ્યાણના બે સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે બાકીની બોલી લગાવનાર દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવા કલ્યાણમાં નુકસાન થયું છે, જેમ કે આગાહી કરવામાં આવી છે, જો કે વિજેતાને વસ્તુ મળી છે. આ જથ્થો બાકીના એજન્ટોની ઓફર પર આધાર રાખે છે અને એજન્ટ માટે અજાણ છે. વિજેતાની ઉપયોગિતા વિજેતા બોલી લગાવનાર કે જેની બોલી વસ્તુ માટે સાચું મૂલ્ય છે, તે મહત્તમ ઉપયોગિતા મેળવે છે ઉદાહરણ તરીકે બે વસ્તુઓ, ત્રણ બોલી લગાવનાર ધારો કે ત્રણ બોલી લગાવનાર વચ્ચે બે સફરજનની હરાજી થઈ રહી છે. બોલી લગાવનાર એ ને એક સફરજન જોઈએ છે અને તે સફરજન માટે 5 ડોલર ચૂકવવા તૈયાર છે. બોલી લગાવનાર બીને એક સફરજન જોઈએ છે અને તે તેના માટે 2 ડોલર ચૂકવવા તૈયાર છે. બોલી લગાવનાર સી બે સફરજન ઇચ્છે છે અને તે બંને ખરીદવા માટે 6 ડોલર ચૂકવવા તૈયાર છે પરંતુ તે બીજા વિના માત્ર એક જ સફરજન ખરીદવામાં રસ ધરાવતો નથી. પ્રથમ, હરાજીનું પરિણામ મહત્તમ બોલી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છેઃ સફરજન બોલી લગાવનાર એ અને બોલી લગાવનાર બી પાસે જાય છે, કારણ કે તેમની $5 + $2 = $7ની સંયુક્ત બોલી બોલી લગાવનાર સી દ્વારા બે સફરજન માટેની બોલી કરતાં વધારે છે, જે માત્ર $6 ચૂકવવા તૈયાર છે. આમ, હરાજી પછી, બોલી લગાવનાર એ દ્વારા પ્રાપ્ત મૂલ્ય $5 છે, બોલી લગાવનાર બી દ્વારા $2 છે, અને બોલી લગાવનાર સી દ્વારા $0 છે (કારણ કે બોલી લગાવનાર સીને કંઈ મળતું નથી). નોંધ લો કે વિજેતાઓનું નિર્ધારણ અનિવાર્યપણે એક ઝપાઝપીની સમસ્યા છે. આગળ, ચૂકવણી નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર આપે છેઃ બોલી લગાવનાર A માટેઃ A જીતવા માટે જરૂરી ચુકવણી નીચે મુજબ નક્કી કરવામાં આવે છેઃ પ્રથમ, બોલી લગાવનાર A ને બાકાત રાખતી હરાજીમાં, સામાજિક-કલ્યાણ મહત્તમ પરિણામ બંને સફરજન બોલી લગાવનાર C ને કુલ સામાજિક મૂલ્ય $6 માટે સોંપશે. આગળ, A ના મૂલ્યને બાદ કરતાં મૂળ હરાજીનું કુલ સામાજિક મૂલ્ય $7 − $5 = $2 તરીકે ગણવામાં આવે છે. છેવટે, પ્રથમ મૂલ્યમાંથી બીજા મૂલ્યને બાદ કરો. આમ, A માટે જરૂરી ચુકવણી $6 − $2 = $4 છે. બોલી લગાવનાર બી માટેઃ ઉપરોક્ત જેવી જ, બોલી લગાવનાર બી ને બાકાત રાખનાર હરાજી માટેનું શ્રેષ્ઠ પરિણામ બોલી લગાવનાર સીને બંને સફરજન 6 ડોલરમાં સોંપે છે. મૂળ હરાજી બાદ બી ના ભાગનું કુલ સામાજિક મૂલ્ય $5 છે. આમ, B માટે જરૂરી ચુકવણી $6 − $5 = $1 છે. છેવટે, બોલી લગાવનાર C માટે ચુકવણી (($5 + $2) − ($5 + $2)) = $0 છે. હરાજી પછી, A પહેલા કરતા 1 ડોલર વધુ સારો છે (5 ડોલરની ઉપયોગિતા મેળવવા માટે 4 ડોલર ચૂકવીને), B પહેલા કરતા 1 ડોલર વધુ સારો છે (2 ડોલરની ઉપયોગિતા મેળવવા માટે 1 ડોલર ચૂકવીને), અને C તટસ્થ છે (કંઈપણ જીત્યું નથી). બે બોલી લગાવનાર ધારે છે કે બે બોલી લગાવનાર છે, અને, બે વસ્તુઓ, અને, અને દરેક બોલી લગાવનારને એક વસ્તુ મેળવવાની મંજૂરી છે. આપણે વસ્તુ માટે બોલી લગાવનારનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ. ધારો,, અને. આપણે જોઈએ છીએ કે બંને વસ્તુ પ્રાપ્ત કરવાનું પસંદ કરે છે; જો કે, સામાજિક રીતે શ્રેષ્ઠ સોંપણી બોલી લગાવનારને વસ્તુ આપે છે (તેથી તેમનું પ્રાપ્ત મૂલ્ય છે) અને બોલી લગાવનારને વસ્તુ આપે છે (તેથી તેમનું પ્રાપ્ત મૂલ્ય છે). તેથી, કુલ પ્રાપ્ત મૂલ્ય છે, જે શ્રેષ્ઠ છે. જો વ્યક્તિ હરાજીમાં ન હોત, તો પણ વ્યક્તિને સોંપવામાં આવી હોત, અને તેથી વ્યક્તિ વધુ કંઇ મેળવી શકતી નથી. વર્તમાન પરિણામ છે; તેથી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. જો વ્યક્તિ હરાજીમાં ન હોત, તો તેને સોંપવામાં આવશે, અને તેનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવશે. વર્તમાન પરિણામ 3 છે; તેથી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ #3 બોલી લગાવનારને મકાનોની હરાજીનો વિચાર કરો, જેમને દરેકને ઘર મળે છે. , ઘર માટે ખેલાડીના મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સંભવિત પરિણામો લોકો સાથે ઘરોની જોડી બનાવતા દ્વિપક્ષી મેળ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જો આપણે મૂલ્યોને જાણતા હોઈએ, તો પછી સામાજિક કલ્યાણને મહત્તમ કરવાથી મહત્તમ વજનની ગણતરીમાં ઘટાડો થાય છે. જો આપણે મૂલ્યો જાણતા નથી, તો અમે તેના બદલે બિડ માંગીએ છીએ, દરેક ખેલાડીને પૂછીએ છીએ કે તેઓ ઘર માટે કેટલી બોલી લગાવવા માંગે છે. નક્કી કરો કે બોલી લગાવનારને મેચિંગમાં ઘર મળે છે કે નહીં. હવે ગણતરી કરો, બિડના સંદર્ભમાં મહત્તમ વજન દ્વિપક્ષી મેળ ખાય છે, અને ગણતરી કરો. પ્રથમ પદ અન્ય મહત્તમ વજન દ્વિપક્ષી મેળ ખાતું છે, અને બીજા પદની ગણતરી સરળતાથી કરી શકાય છે. સાચું બોલી લગાવવાની શ્રેષ્ઠતા નીચેની બાબતો એ વાતનો પુરાવો છે કે હરાજી કરાયેલી વસ્તુઓ માટે બોલી લગાવવી એ પોતાનું સાચું મૂલ્યાંકન શ્રેષ્ઠ છે. દરેક બોલી લગાવનાર માટે, એક વસ્તુનું તેમનું સાચું મૂલ્યાંકન હોવું જોઈએ, અને ધારો કે (સામાન્યતાને ગુમાવ્યા વિના) જે તેમનું સાચું મૂલ્યાંકન સબમિટ કરવા પર જીતે છે. પછી જે ચોખ્ખી ઉપયોગિતા પ્રાપ્ત થાય છે તે તેઓ જે વસ્તુ જીત્યાં છે તેના પોતાના મૂલ્યાંકન દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે તેમણે ચૂકવેલ કિંમત બાદબાકી કરે છેઃ જેમ સ્વતંત્ર છે તેમ, ચોખ્ખી ઉપયોગિતાનું મહત્તમકરણ જાહેર કરાયેલી બોલી માટે કોર્પોરેટ કુલ ઉપયોગિતાના મહત્તમકરણ સાથે પદ્ધતિ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. તેને વધુ સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો આપણે સાચી બોલી દ્વારા મેળવેલી વસ્તુની ચોખ્ખી ઉપયોગિતા અને સાચી ઉપયોગિતા પર મેળવેલી વસ્તુ માટે બિન-સાચી બોલી હેઠળ બોલી લગાવનારની ચોખ્ખી ઉપયોગિતા વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ. તે બિન-સત્ય બોલી સાથે મેળવવામાં આવેલી કોર્પોરેટ કુલ ઉપયોગિતા છે. પરંતુ જે ફાળવણી સોંપવામાં આવે છે તે ફાળવણી કરતાં અલગ છે જેને મહત્તમ (સાચું) કુલ કોર્પોરેટ ઉપયોગિતા મળે છે. તેથી અને q. e. d. વિક્રે-ક્લાર્ક-ગ્રોવ્સ મિકેનિઝમ વિક્રે હરાજી પસંદગી સાક્ષાત્કાર સંદર્ભો હરાજીના પ્રકારો પણ જુઓ.