Kodaira vanishing theorem
ગણિતમાં, કોડાઇરા લુપ્ત થિયરમ એ જટિલ મેનીફોલ્ડ થિયરી અને જટિલ બીજગણિત ભૂમિતિના મૂળભૂત પરિણામ છે, જે સામાન્ય પરિસ્થિતિઓનું વર્ણન કરે છે જેમાં સૂચકાંકો q> 0 સાથે શીફ કોહોમોલોજી જૂથો આપમેળે શૂન્ય હોય છે. અનુક્રમણિકા q = 0 ધરાવતા જૂથ માટે અસરો સામાન્ય રીતે એ છે કે તેનું પરિમાણ-સ્વતંત્ર વૈશ્વિક વિભાગોની સંખ્યા-હોલોમોર્ફિક યુલર લાક્ષણિકતા સાથે મેળ ખાય છે જેની ગણતરી હિરઝેબ્રુક-રીમેન-રોક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. જટિલ વિશ્લેષણાત્મક કેસ કુનિહિકો કોડેરાના પરિણામનું નિવેદન એ છે કે જો M એ જટિલ પરિમાણ n નું કોમ્પેક્ટ કેલર મેનીફોલ્ડ છે, તો L એ M પરનું કોઈપણ હોલોમોર્ફિક લાઇન બંડલ છે જે પોઝિટિવ છે, અને KM એ કેનોનિકલ લાઇન બંડલ છે, તો q> 0 માટે. અહીં લાઇન બંડલ્સના ટેન્સર પ્રોડક્ટ માટે વપરાય છે. એક સામાન્યીકરણ છે, કોડાઇરા-નાકાનો લુપ્ત પ્રમેય, જેમાં, જ્યાં ωn (L) એ L પરના મૂલ્યો સાથે M પર હોલોમોર્ફિક (n, 0)-સ્વરૂપોના આવરણને સૂચવે છે, તેને ωr (L) દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે L પરના મૂલ્યો સાથે હોલોમોર્ફિક (r, 0)-સ્વરૂપોનું આવરણ છે. પછી જ્યારે પણ q + r> n હોય ત્યારે કોહોમોલોજી જૂથ Hq (M, ωr (L) અદૃશ્ય થઈ જાય છે. બીજગણિત કેસ કોડાઇરા લુપ્ત પ્રમેયને બીજગણિત ભૂમિતિના ભાષામાં કોઈ પણ સંદર્ભ વિના ઘડવામાં આવી શકે છે. લાઇન બંડલ L ની હકારાત્મકતા અનુરૂપ ઇન્વર્ટિબલ આવરણમાં અનુવાદિત થાય છે (એટલે કે, કેટલીક ટેન્સર શક્તિ પ્રોજેક્ટિવ એમ્બેડિંગ આપે છે). બીજગણિત કોડાઇરા-અકિઝુકી-નાકાનો લુપ્ત થિયરમ નીચેનું નિવેદન છેઃ જો k એ લાક્ષણિકતા શૂન્યનું ક્ષેત્ર છે, તો X એ પરિમાણ d ની એક સરળ અને પ્રોજેક્ટિવ k-યોજના છે, અને L એ X પર પૂરતા પ્રમાણમાં ઉલટાવી શકાય તેવું આવરણ છે, પછી જ્યાં ωp સંબંધિત (બીજગણિત) વિભેદક સ્વરૂપોના આવરણને સૂચવે છે (જુઓ કેલર વિભેદક). તે દર્શાવે છે કે આ પરિણામ હંમેશા લાક્ષણિકતા p> 0 ના ક્ષેત્રોને પકડી રાખતું નથી, અને ખાસ કરીને રેનાઉડ સપાટીઓ માટે નિષ્ફળ જાય છે. પાછળથી નોન-લોગ કેનોનિકલ સિંગ્યુલારીટીઝ સાથે એકવચન જાતો માટે પ્રતિ-ઉદાહરણ આપો, અને બિન-ઘટાડેલા સ્ટેબિલાઇઝર્સ સાથે યોગ્ય સજાતીય જગ્યાઓથી પ્રેરિત પ્રાથમિક પ્રતિ-ઉદાહરણો પણ આપ્યા. 1987 સુધી લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં એકમાત્ર જાણીતો પુરાવો જટિલ વિશ્લેષણાત્મક પુરાવો અને જીએજીએ સરખામણી પ્રમેયો પર આધારિત હતો. જો કે, 1987 માં પિયર ડેલીગ્ને અને લુક ઇલુસીએ લુપ્ત થિયરમનો શુદ્ધ બીજગણિત પુરાવો આપ્યો હતો. તેમનો પુરાવો એ દર્શાવવા પર આધારિત છે કે બીજગણિત ડી રામ કોહોમોલોજી માટે હોજ-ડી રામ વર્ણપટ ક્રમ ડિગ્રી 1 માં અધોગતિ પામે છે. આ લાક્ષણિકતા p> 0 થી અનુરૂપ વધુ ચોક્કસ પરિણામ ઉઠાવીને દર્શાવવામાં આવે છે-સકારાત્મક-લાક્ષણિક પરિણામ મર્યાદાઓ વિના નથી પરંતુ સંપૂર્ણ પરિણામ પ્રદાન કરવા માટે ઉપાડી શકાય છે. પરિણામો અને ઉપયોગો ઐતિહાસિક રીતે, કોડાઇરા એમ્બેડિંગ થીયરમ લુપ્ત થિયરમની મદદથી મેળવવામાં આવ્યો હતો. સેર દ્વૈતતાના ઉપયોગ સાથે, વણાંકો અને સપાટીઓના વિવિધ શીફ કોહોમોલોજી જૂથો (સામાન્ય રીતે કેનોનિકલ લાઇન બંડલ સાથે સંબંધિત) નું લુપ્ત થવું જટિલ મેનીફોલ્ડ્સના વર્ગીકરણમાં મદદ કરે છે, દા. ત. એનરિકસ-કોડાઇરા વર્ગીકરણ. આ પણ જુઓ કવામાતા-વિહેવેગ લુપ્ત થિયરમ મમફોર્ડ લુપ્ત થિયરમ રામાનુજમ લુપ્ત થિયરમ નોંધ સંદર્ભો ફિલિપ ગ્રિફિથ્સ અને જોસેફ હેરિસ, જટિલ ભૂમિતિમાં બીજગણિત ભૂમિતિ પ્રમેયોના સિદ્ધાંતો બીજગણિત ભૂમિતિમાં બીજગણિત ભૂમિતિ પ્રમેયોની ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ