Kaplan–Meier estimator
કેપલાન-મેયર અંદાજકાર, જેને ઉત્પાદન મર્યાદા અંદાજકાર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે બિન-પેરામેટ્રિક આંકડાશાસ્ત્ર છે જેનો ઉપયોગ જીવનકાળની માહિતીમાંથી અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્યનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. તબીબી સંશોધનમાં, તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર સારવાર પછી ચોક્કસ સમય માટે જીવતા દર્દીઓના અપૂર્ણાંકને માપવા માટે થાય છે. અન્ય ક્ષેત્રોમાં, કેપલાન-મેયર અંદાજકારોનો ઉપયોગ નોકરી ગુમાવ્યા પછી લોકો કેટલા સમય સુધી બેરોજગાર રહે છે, મશીનના ભાગોની સમય-થી-નિષ્ફળતા, અથવા ફળાહારીઓ દ્વારા દૂર કરવામાં આવે તે પહેલાં છોડ પર માંસલ ફળો કેટલો સમય રહે છે તે માપવા માટે થઈ શકે છે. અંદાજકર્તાનું નામ એડવર્ડ એલ. કેપલાન અને પોલ મેયરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે અમેરિકન સ્ટેટિસ્ટિકલ એસોસિએશનના જર્નલમાં સમાન હસ્તપ્રતો રજૂ કરી હતી. જર્નલના સંપાદક, જ્હોન ટુકીએ તેમને તેમના કાર્યને એક પેપરમાં જોડવા માટે ખાતરી આપી, જે 1958 માં તેના પ્રકાશન પછી 61,800 થી વધુ વખત ટાંકવામાં આવ્યું છે. અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્યનો અંદાજ (જીવન તેના કરતા લાંબુ હોવાની સંભાવના) આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ એવા સમય સાથે જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બની હોય, તે સમયે બનેલી ઘટનાઓની સંખ્યા (દા. ત., મૃત્યુ) અને જાણીતા વ્યક્તિઓ બચી ગયા હોય (હજુ સુધી કોઈ ઘટના બની નથી અથવા સેન્સર કરવામાં આવ્યા નથી). મૂળભૂત વિભાવનાઓ કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાનો પ્લોટ એ ઘટી રહેલા આડા પગલાંની શ્રેણી છે, જે પર્યાપ્ત મોટા નમૂનાના કદ સાથે, તે વસ્તી માટે સાચા અસ્તિત્વ કાર્ય સુધી પહોંચે છે. ક્રમિક અલગ નમૂના અવલોકનો ("ક્લિક") વચ્ચે અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્યનું મૂલ્ય સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે. કેપલાન-મેયર વળાંકનો એક મહત્વપૂર્ણ ફાયદો એ છે કે આ પદ્ધતિ અમુક પ્રકારના સેન્સર કરેલા ડેટાને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે, ખાસ કરીને જમણું-સેન્સર, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ દર્દી અભ્યાસમાંથી પાછો ખેંચી લે છે, ફોલો-અપમાં ખોવાઈ જાય છે, અથવા ઘટના વિના જીવંત હોય છે. પ્લોટ પર, નાના વર્ટિકલ ટિક-માર્ક્સ એવા વ્યક્તિગત દર્દીઓને દર્શાવે છે કે જેમના બચવાનો સમય યોગ્ય રીતે સેન્સર કરવામાં આવ્યો છે. જ્યારે કોઈ કાપણી અથવા સેન્સર થતું નથી, ત્યારે કેપલાન-મેયર વળાંક એ પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યનું પૂરક છે. તબીબી આંકડાશાસ્ત્રમાં, એક લાક્ષણિક એપ્લિકેશનમાં દર્દીઓને શ્રેણીઓમાં જૂથબદ્ધ કરવાનો સમાવેશ થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જીન એ પ્રોફાઇલ ધરાવતા અને જીન બી પ્રોફાઇલ ધરાવતા લોકો. ગ્રાફમાં, જીન બી ધરાવતા દર્દીઓ જીન એ ધરાવતા દર્દીઓ કરતાં વધુ ઝડપથી મૃત્યુ પામે છે. બે વર્ષ પછી, જીન એ ના લગભગ 80 ટકા દર્દીઓ બચી જાય છે, પરંતુ જીન બી ધરાવતા અડધાથી ઓછા દર્દીઓ બચી જાય છે. કેપલાન-મેયર અંદાજકાર પેદા કરવા માટે, દરેક દર્દી (અથવા દરેક વિષય) માટે ઓછામાં ઓછી બે માહિતીની જરૂર પડે છેઃ છેલ્લા નિરીક્ષણની સ્થિતિ (ઘટના ઘટના અથવા યોગ્ય-સેન્સર), અને ઘટનાનો સમય (અથવા સેન્સર કરવાનો સમય). જો બે અથવા વધુ જૂથો વચ્ચેના અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્યોની સરખામણી કરવી હોય, તો ડેટાનો ત્રીજો ભાગ જરૂરી છેઃ દરેક વિષયની જૂથ સોંપણી. સમસ્યાની વ્યાખ્યા ચાલો એક રેન્ડમ વેરિયેબલ હોઈએ, જેને આપણે સંભવિત એક્સપોઝર સમયગાળાની શરૂઆત અને રસની ઘટના બને તે સમય વચ્ચે પસાર થતા સમય તરીકે વિચારીએ છીએ. ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, ધ્યેય અંતર્ગત અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્યનો અંદાજ કાઢવાનો છે. યાદ કરો કે આ કાર્યને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, સમય ક્યાં છે. ચાલો સ્વતંત્ર, સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ હોઈએ, જેનું સામાન્ય વિતરણ છેઃ એ રેન્ડમ સમય છે જ્યારે કોઈ ઘટના બની હોય. અંદાજ માટે ઉપલબ્ધ માહિતી નથી, પરંતુ જોડીની સૂચિ છે જ્યાં માટે, એક નિશ્ચિત, નિર્ધારક પૂર્ણાંક છે, ઘટનાનો સેન્સર સમય અને. ખાસ કરીને, ઘટનાના સમય વિશે ઉપલબ્ધ માહિતી એ છે કે શું ઘટના નિર્ધારિત સમય પહેલાં બની હતી અને જો એમ હોય તો, ઘટનાનો વાસ્તવિક સમય પણ ઉપલબ્ધ છે. આ માહિતીને ધ્યાનમાં રાખીને અંદાજ લગાવવાનો પડકાર છે. કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાની વ્યુત્પત્તિ અહીં, આપણે કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાની બે વ્યુત્પત્તિઓ બતાવીએ છીએ. બંને અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના કાર્યને ફરીથી લખવા પર આધારિત છે જેને કેટલીકવાર જોખમ અથવા મૃત્યુ દર કહેવામાં આવે છે. જો કે, આ કરતા પહેલા નિષ્કપટ અંદાજકર્તાને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે. એક નિષ્કપટ અંદાજકાર કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાની શક્તિને સમજવા માટે, પહેલા અસ્તિત્વ કાર્યના નિષ્કપટ અંદાજકર્તાનું વર્ણન કરવું યોગ્ય છે. ઠીક કરો અને જવા દો. એક મૂળભૂત દલીલ દર્શાવે છે કે નીચેની દરખાસ્ત ધરાવે છેઃ દરખાસ્ત 1: જો ઘટનાનો સેન્સર કરવાનો સમય () કરતાં વધી જાય, તો પછી જો અને માત્ર જો. એવું જ થવા દો. તે ઉપરોક્ત દરખાસ્તને અનુસરે છે કે ચાલો અને માત્ર તે જ ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે. જે ઘટનાઓ માટે સમય પહેલાં પરિણામને સેન્સર કરવામાં આવ્યું ન હતું. ચાલો તેમાં તત્વોની સંખ્યા હોઈએ. નોંધ લો કે સમૂહ અવ્યવસ્થિત નથી અને તેથી ન તો છે. વધુમાં, તે સામાન્ય પરિમાણ સાથે સ્વતંત્ર, સમાન રીતે વિતરિત બર્નૌલી રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ છે. એમ ધારીએ તો, આ બીજી સમાનતા ક્યાં અનુસરે છે તેનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ લગાવવાનું સૂચવે છે કારણ કે સૂચવે છે, જ્યારે છેલ્લી સમાનતા ફક્ત સંકેતલિપીમાં ફેરફાર છે. આ અંદાજની ગુણવત્તા કદ દ્વારા સંચાલિત થાય છે. જ્યારે નાની હોય ત્યારે આ સમસ્યારૂપ બની શકે છે, જે વ્યાખ્યા દ્વારા થાય છે, જ્યારે ઘણી બધી ઘટનાઓ સેન્સર કરવામાં આવે છે. આ અંદાજકર્તાનો ખાસ કરીને અપ્રિય ગુણધર્મ, જે સૂચવે છે કે કદાચ તે "શ્રેષ્ઠ" અંદાજકર્તા નથી, તે એ છે કે તે તમામ અવલોકનોની અવગણના કરે છે જેમનો સેન્સર કરવાનો સમય પહેલા આવે છે. સાહજિક રીતે, આ અવલોકનો હજુ પણ આ વિશેની માહિતી ધરાવે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ઘણી ઘટનાઓ સાથે, પણ ધરાવે છે, ત્યારે આપણે અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે ઘટનાઓ ઘણીવાર વહેલી થાય છે, જે સૂચવે છે કે તે મોટી છે, જેનો અર્થ છે કે તે નાની હોવી જોઈએ. જો કે, આ નિષ્કપટ અંદાજકાર દ્વારા આ માહિતીની અવગણના કરવામાં આવે છે. પછી પ્રશ્ન એ છે કે શું કોઈ અંદાજકાર અસ્તિત્વમાં છે કે જે તમામ ડેટાનો વધુ સારો ઉપયોગ કરે છે. કેપલાન-મેયર અંદાજકાર આ પરિપૂર્ણ કરે છે. નોંધ લો કે જ્યારે સેન્સર થતું નથી ત્યારે નિષ્કપટ અંદાજકર્તામાં સુધારો કરી શકાતો નથી; તેથી સુધારો શક્ય છે કે કેમ તે નિર્ણાયક રીતે સેન્સરની જગ્યાએ છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખે છે. પ્લગ-ઇન અભિગમ પ્રાથમિક ગણતરીઓ દ્વારા, જ્યાં બીજીથી છેલ્લી સમાનતાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે પૂર્ણાંકનું મૂલ્ય છે અને છેલ્લી પંક્તિ માટે આપણે રજૂ કર્યું સમાનતાના પુનરાવર્તિત વિસ્તરણ દ્વારા, આપણને અહીં નોંધ મળે છે. કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાને "પ્લગ-ઇન અંદાજકર્તા" તરીકે જોઈ શકાય છે જ્યાં દરેકનો અંદાજ માહિતીના આધારે કરવામાં આવે છે અને અંદાજકર્તાને આ અંદાજોના ઉત્પાદન તરીકે મેળવવામાં આવે છે. તેનો અંદાજ કેવી રીતે લગાવવો તે સ્પષ્ટ કરવાનું બાકી છે. પ્રપોઝિશન 1 મુજબ, આવા કોઈપણ માટે, અને બંને ધરાવે છે. તેથી, આવા કોઈપણ માટે, સમાન તર્ક દ્વારા જે ઉપરના નિષ્કપટ અંદાજકર્તાની રચના તરફ દોરી જાય છે, આપણે અંદાજકાર પર પહોંચીએ છીએ ("જોખમી દર" ની વ્યાખ્યામાં અંશ અને છેદનો અલગથી અંદાજ કાઢવાનો વિચાર કરો). કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તો પછી લેખની શરૂઆતમાં જણાવેલા અંદાજકર્તાનું સ્વરૂપ કેટલાક વધુ બીજગણિત દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ માટે, એક્ચ્યુરિયલ વિજ્ઞાન પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીને, તે સમયે જાણીતા મૃત્યુની સંખ્યા ક્યાં છે તે લખો, જ્યારે તે સમયે જીવંત (અને સેન્સર ન કરાયેલ) વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે. નોંધ લો કે જો,. આ સૂચવે છે કે આપણે તે તમામ શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરતા ઉત્પાદનને છોડી શકીએ છીએ. પછી, તે સમયને ધ્યાનમાં રાખીએ કે જ્યારે, અને, આપણે લેખની શરૂઆતમાં આપવામાં આવેલા કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાના સ્વરૂપ પર પહોંચીએ છીએઃ નિષ્કપટ અંદાજકર્તાની વિરુદ્ધમાં, આ અંદાજકર્તાને ઉપલબ્ધ માહિતીનો વધુ અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરતા જોઈ શકાય છેઃ અગાઉ ઉલ્લેખિત વિશેષ કિસ્સામાં, જ્યારે ઘણી પ્રારંભિક ઘટનાઓ નોંધવામાં આવે છે, ત્યારે અંદાજકર્તો એકથી નીચેના મૂલ્ય સાથે ઘણા શબ્દોને ગુણાકાર કરશે અને આમ ધ્યાનમાં લેશે કે અસ્તિત્વની સંભાવના મોટી ન હોઈ શકે. મહત્તમ સંભાવના અંદાજકાર કેપલાન-મેયર અંદાજકાર તરીકે વ્યુત્પત્તિ અલગ જોખમી કાર્યના મહત્તમ સંભાવના અંદાજમાંથી મેળવી શકાય છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે ઘટનાઓની સંખ્યા અને તે સમયે જોખમ ધરાવતી કુલ વ્યક્તિઓ તરીકે જોતાં, અલગ જોખમ દરને તે સમયે ઘટના સાથે વ્યક્તિની સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પછી અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાના દરને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ અને સમય સુધી જોખમી કાર્ય માટે સંભાવના કાર્ય છેઃ તેથી લૉગ સંભાવના હશેઃ ઉપજના સંદર્ભમાં મહત્તમ લૉગ સંભાવના શોધવીઃ જ્યાં ટોપીનો ઉપયોગ મહત્તમ સંભાવના અંદાજ દર્શાવવા માટે થાય છે. આ પરિણામને ધ્યાનમાં રાખીને, આપણે લખી શકીએ છીએઃ વધુ સામાન્ય રીતે (સતત તેમજ અલગ અસ્તિત્વ વિતરણ માટે), કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાને બિન-પેરામેટ્રિક મહત્તમ સંભાવના અંદાજકાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. લાભો અને મર્યાદાઓ કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તા અસ્તિત્વના વિશ્લેષણની સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓમાંની એક છે. આ અંદાજ સાજા થવાના દર, મૃત્યુની સંભાવના અને સારવારની અસરકારકતાની તપાસ કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. તે કોવેરિયેટ્સ માટે સમાયોજિત અસ્તિત્વનો અંદાજ કાઢવાની તેની ક્ષમતામાં મર્યાદિત છે; પેરામેટ્રિક અસ્તિત્વના નમૂનાઓ અને કોક્સ પ્રમાણસર જોખમોનું નમૂના કોવેરિયેટ્સ-સમાયોજિત અસ્તિત્વનો અંદાજ કાઢવા માટે ઉપયોગી હોઈ શકે છે. કેપલાન-મેયર અંદાજકાર સીધા નેલ્સન-એલેન અંદાજકાર સાથે સંબંધિત છે અને બંને પ્રયોગમૂલક સંભાવનાને મહત્તમ કરે છે. આંકડાકીય વિચારણાઓ કેપલાન-મેયર અંદાજકાર એક આંકડાકીય છે, અને તેના તફાવતને અંદાજિત કરવા માટે કેટલાક અંદાજકારોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સૌથી સામાન્ય અંદાજકારોમાંનું એક ગ્રીનવુડનું સૂત્ર છેઃ જ્યાં કેસોની સંખ્યા છે અને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, કોઈ વ્યક્તિ વિવિધ કેપલાન-મેયર વળાંકની તુલના કરવા માંગે છે. આ લોગ ક્રમ પરીક્ષણ અને કોક્સ પ્રમાણસર જોખમો પરીક્ષણ દ્વારા કરી શકાય છે. અન્ય આંકડાઓ કે જે આ અંદાજ સાથે ઉપયોગી હોઈ શકે છે તે પોઇન્ટવાઇઝ કોન્ફિડન્સ ઇન્ટરવલ, હોલ-વેલનર બેન્ડ અને સમાન-ચોકસાઇ બેન્ડ છે. સોફ્ટવેર મેથેમેટિકાઃ બિલ્ટ-ઇન ફંક્શન સર્વાઇવલ મોડલફિટ સર્વાઇવલ મોડલ બનાવે છે. એસ. એ. એસ.: કેપલાન-મેયર એસ્ટિમેટરને પ્રોસી લાઇફટેસ્ટ પ્રક્રિયામાં લાગુ કરવામાં આવે છે. આરઃ કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તા સર્વાઇવલ પેકેજના ભાગ રૂપે ઉપલબ્ધ છે. સ્ટેટાઃ આદેશ એસટીએસ કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાને પરત કરે છે. પાયથોનઃ જીવનરેખાઓ અને સ્કિકિટ-સર્વાઇવલ પેકેજો દરેકમાં કેપલાન-મેયર અંદાજનો સમાવેશ થાય છે. MATLAB: 'ફંક્શન', 'સર્વાઇવર' દલીલો સાથેનું ઈ. સી. ડી. એફ. ફંક્શન કેપલાન-મેયર અંદાજકર્તાની ગણતરી અથવા આલેખ કરી શકે છે. સ્ટેટસ્ડાયરેક્ટઃ કેપલાન-મેયર એસ્ટિમેટર સર્વાઇવલ એનાલિસિસ મેનુમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. એસ. પી. એસ. એસ.: કેપલાન-મેયર એસ્ટિમેટર એનાલાઈઝ> સર્વાઇવલ> કેપલાન-મેયર. મેનુમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. જુલિયાઃ Survival.jl પેકેજમાં કેપલાન-મેયર અંદાજનો સમાવેશ થાય છે. ઇપી માહિતીઃ કેપલાન-મેયર એસ્ટિમેટર સર્વાઇવલ કર્વ્સ અને લોગ રેન્ક ટેસ્ટ માટેના પરિણામો KMSURVIVAL આદેશ સાથે મેળવવામાં આવે છે. આ પણ જુઓ સર્વાઇવલ એનાલિસિસ ફ્રિક્વન્સી ઓફ એક્ઝીવન્સ મધ્યસ્થ ઘાતક માત્રા નેલ્સન-એલેન અંદાજ સંદર્ભો વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ અંદાજક એક્ચ્યુરિયલ સાયન્સ સર્વાઇવલ એનાલિસિસ વિશ્વસનીયતા ઇજનેરી