Dehn function
ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક વિષયમાં, મેક્સ ડેહનના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલું ડેહન કાર્ય એ મર્યાદિત જૂથ પ્રસ્તુતિ સાથે સંકળાયેલ એક શ્રેષ્ઠ કાર્ય છે, જે તે સંબંધની લંબાઈના સંદર્ભમાં તે જૂથમાં સંબંધના ક્ષેત્રને સીમિત કરે છે (જે જૂથના ઓળખ તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા જનરેટરમાં મુક્તપણે ઘટાડેલો શબ્દ છે) (પીપી જુઓ. 79-80 in). ડેહ્ન કાર્યનો વિકાસ પ્રકાર એ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથનો અર્ધ-સમમિતિ અપરિવર્તનશીલ છે. મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથનું ડેહન કાર્ય પણ જૂથોમાં સમસ્યા શબ્દની બિન-નિર્ધારિત અલ્ગોરિધમિક જટિલતા સાથે નજીકથી જોડાયેલું છે. ખાસ કરીને, મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથમાં હલ કરી શકાય તેવી શબ્દ સમસ્યા હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ જૂથની મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ માટે ડેહ્ન કાર્ય પુનરાવર્તિત હોય (જુઓ પ્રમેય 2.1 ઇંચ). ડેહ્ન કાર્યની કલ્પના ભૂમિતિમાં આઇસોપેરિમેટ્રિક સમસ્યાઓ દ્વારા પ્રેરિત છે, જેમ કે યુક્લિડિયન સમતલ માટે ક્લાસિક આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતા અને, વધુ સામાન્ય રીતે, ભરણ ક્ષેત્ર કાર્યની કલ્પના જે તે સપાટીની સીમા વળાંકની લંબાઈના સંદર્ભમાં રીમાનિયન મેનીફોલ્ડમાં ન્યૂનતમ સપાટીના વિસ્તારનો અંદાજ કાઢે છે. મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ માટે આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્યનો વિચાર 1910ના દાયકામાં મેક્સ ડેહનના કાર્યમાં પાછો જાય છે. ડેહને સાબિત કર્યું કે ઓછામાં ઓછી બે જીનસની બંધ લક્ષી સપાટીના મૂળભૂત જૂથના પ્રમાણભૂત પ્રસ્તુતિ માટે સમસ્યા શબ્દ જેને હવે ડેહ્ન અલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવે છે તેના દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. આ હકીકતનું સીધું પરિણામ એ છે કે આ પ્રસ્તુતિ માટે ડેહ્ન કાર્ય ડેહ્ન (એન) ≤ એન ને સંતોષે છે. આ પરિણામ માર્ટિન ગ્રીન્ડલિંગર દ્વારા 1960 ના દાયકામાં સી '(1/6) નાની રદ કરવાની શરતને સંતોષે છે તે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું. આઇસોપેરિમેટ્રિક ફંક્શન અને ડેહ્ન ફંક્શનની ઔપચારિક કલ્પના જે આજે ઉપયોગમાં લેવાય છે તે 1980 ના દાયકાના અંતમાં-1990 ના દાયકાની શરૂઆતમાં શબ્દ-હાયપરબોલિક જૂથોના સિદ્ધાંતની રજૂઆત અને વિકાસ સાથે દેખાઇ હતી. તેમના 1987 ના મોનોગ્રાફ "હાયપરબોલિક જૂથો" માં ગ્રોમોવે સાબિત કર્યું હતું કે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ શબ્દ-હાયપરબોલિક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે રેખીય આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે, એટલે કે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ જૂથનું ડેહ્ન કાર્ય ફંક્શન f (n) = n ની સમકક્ષ હોય. ગ્રોમોવની સાબિતી મોટા ભાગમાં કોમ્પેક્ટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ માટે ક્ષેત્ર કાર્યોને ભરવા સાથે સામ્યતા દ્વારા જાણ કરવામાં આવી હતી જ્યાં નલ-હોમોટોપિક બંધ વળાંકને બંધ કરતી ન્યૂનતમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તે વળાંકની લંબાઈની દ્રષ્ટિએ બંધાયેલું હોય છે. આઇસોપેરિમેટ્રિક અને ડેહ્ન કાર્યોનો અભ્યાસ ઝડપથી ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં એક અલગ મુખ્ય વિષયમાં વિકસિત થયો, ખાસ કરીને કારણ કે આ કાર્યોના વિકાસના પ્રકારો મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથોના કુદરતી અર્ધ-આઇસોમેટ્રી અપરિવર્તનશીલ છે. આ વિષયના મુખ્ય પરિણામોમાંનું એક સપિર, બિર્જેટ અને રિપ્સ દ્વારા મેળવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે ટ્યુરિંગ મશીનોના મોટાભાગના "વાજબી" સમય જટિલતા કાર્યોને કુદરતી સમાનતા સુધી, મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથોના ડેહ્ન કાર્યો તરીકે અનુભવી શકાય છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચાલો એક મર્યાદિત જૂથ પ્રસ્તુતિ બનીએ જ્યાં X એ મર્યાદિત મૂળાક્ષર છે અને જ્યાં R′F (X) એ ચક્રીય રીતે ઘટાડેલા શબ્દોનો મર્યાદિત સમૂહ છે. સંબંધના ક્ષેત્રફળને ધ્યાનમાં લઈએ તો, W = F (X) એ G માં સંબંધ હોવો જોઈએ, એટલે કે મુક્ત રીતે ઘટાડેલો શબ્દ, જેમ કે G માં W = 1. નોંધ લો કે આ એમ કહેવા સમાન છે કે W એ F (X) માં R ના સામાન્ય બંધ સાથે સંબંધિત છે, એટલે કે, ત્યાં (′) તરીકે W ની રજૂઆત અસ્તિત્વમાં છે જ્યાં m ≤ 0 અને જ્યાં i = 1,, m માટે r ≤ R ± 1. મુક્તપણે ઘટાડેલો શબ્દ ડબલ્યુ. એફ. (એક્સ) જીમાં ડબલ્યુ = 1 ને સંતોષે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પ્રસ્તુતિ સંકુલમાં ડબલ્યુ દ્વારા લેબલ થયેલ લૂપ (જી) માટે અનુરૂપ નલ-હોમોટોપિક હોય. આ હકીકતનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે થઈ શકે છે કે વિસ્તાર (ડબલ્યુ) એ વાન કેમ્પેન આકૃતિમાં (≤) પરની 2-કોષોની સૌથી નાની સંખ્યા છે, જેની સીમા ચક્રને ડબલ્યુ દ્વારા લેબલ કરવામાં આવે છે. આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્ય (≤) એક મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ માટે એક આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્ય એ એક મોનોટોન બિન-ઘટતું કાર્ય છે, જેમ કે જ્યારે પણ ડબલ્યુ. એફ. (એક્સ) એ મુક્ત રીતે ઘટાડેલો શબ્દ છે જે ડબલ્યુ = 1 ને જીમાં સંતોષ આપે છે, ત્યારે વિસ્તાર (ડબલ્યુ) ≤ એફ (<આઇડી1> |), જ્યાં <આઇડી1> | એ શબ્દની લંબાઈ ડબલ્યુ છે. ડેહ્ન કાર્ય પછી મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ (≤) ના ડેહ્ન કાર્યને સમકક્ષ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ડેહ્ન (એન) એ સૌથી નાનું આઇસોપેરિમ્ છે. કાર્યોના વિકાસના પ્રકારો કારણ કે ચોક્કસ ડેહ્ન કાર્ય સામાન્ય રીતે પ્રસ્તુતિ પર આધાર રાખે છે, એક સામાન્ય રીતે તેના એસિમ્પ્ટોટિક વૃદ્ધિ પ્રકારનો અભ્યાસ કરે છે કારણ કે n અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, જે ફક્ત જૂથ પર આધાર રાખે છે. બે મોનોટોન-બિન-ઘટતા કાર્યો માટે એક કહે છે કે જો ત્યાં C ≤ 1 હોય તો f એ g દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે જેમ કે દરેક પૂર્ણાંક n ≤ 0 માટે. કહો કે f ≈ g જો f એ g દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે અને g એ f દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. તો પછી ≈ એક સમાનતા સંબંધ છે અને ડેહ્ન વિધેયો અને આઇસોપેરિમેટ્રિક વિધેયો સામાન્ય રીતે આ સમાનતા સંબંધ સુધી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આમ કોઈપણ a, b> 1 માટે આપણી પાસે ≈ bn છે. તેવી જ રીતે, જો f (n) એ બિન-નકારાત્મક ગુણાંક સાથે ડિગ્રી d (જ્યાં d ≤1 એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે) ની બહુપદી હોય, તો f (n) ≈ nd. ઉપરાંત, 1 ≈ n. જો મર્યાદિત જૂથ રજૂઆત એક આઇસોપેરિમેટ્રિક ફંક્શન f (n) સ્વીકારે છે જે રેખીય (અનુક્રમે, વર્ગાત્મક, ઘન, બહુપદી, ઘાતાંકીય, વગેરે) ની સમકક્ષ છે. n માં કાર્ય, પ્રસ્તુતિને રેખીય (અનુક્રમે, ચતુર્ભુજ, ઘન, બહુપદી, ઘાતાંકીય, વગેરે) ને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે. આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતા. મૂળભૂત ગુણધર્મો જો G અને H અર્ધ-સમમિતિક મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો હોય અને G ની કેટલીક મર્યાદિત રજૂઆતમાં સમમિતિક કાર્ય f (n) હોય તો H ની કોઈપણ મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ માટે f (n) ની સમકક્ષ સમમિતિક કાર્ય છે. ખાસ કરીને, આ હકીકત G = H માટે લાગુ પડે છે, જ્યાં એક જ જૂથ બે અલગ અલગ મર્યાદિત પ્રસ્તુતિઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પરિણામે, મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ માટે તેના ડેહ્ન કાર્યનો વિકાસ પ્રકાર, ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાના અર્થમાં, તે જૂથ માટે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિની પસંદગી પર આધારિત નથી. વધુ સામાન્ય રીતે, જો બે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો અર્ધ-સમમિતીય હોય તો તેમના ડેહ્ન કાર્યો સમકક્ષ હોય છે. મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ દ્વારા આપવામાં આવેલ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ G માટે નીચેની શરતો સમકક્ષ છેઃ G એ (઱્઱ં) ના સંદર્ભમાં પુનરાવર્તિત ડેહ્ન કાર્ય ધરાવે છે. ત્યાં એક રિકર્સિવ આઇસોપેરિમેટ્રિક ફંક્શન f (n) છે જે (઱્઱ં) માટે છે. G જૂથમાં હલ કરી શકાય તેવી શબ્દ સમસ્યા છે. ખાસ કરીને, આ સૂચવે છે કે શબ્દ સમસ્યાનું નિરાકરણ એ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો માટે અર્ધ-સમપ્રમાણતા અપરિવર્તનશીલ છે. સંબંધના ક્ષેત્રફળ (ડબલ્યુ) ને જાણવું એ |w | ની દ્રષ્ટિએ બંધાયેલ કરવાની મંજૂરી આપે છે, માત્ર (′) માં વ્યાખ્યાયિત સંબંધોના સંયોજકોની સંખ્યા જ નહીં પરંતુ સંયુગ્મિત ઘટકોની લંબાઈ પણ. પરિણામે, તે જાણીતું છે કે જો મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ (઱્઱ં) દ્વારા આપવામાં આવેલ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ G માં ગણતરીપાત્ર ડેહ્ન વિધેય ડેહ્ન (n) હોય, તો G માટે સમસ્યા શબ્દ બિન-નિર્ધારિત સમય જટિલતા ડેહ્ન (n) અને નિર્ધારક સમય જટિલતા એક્સ્પ (ડેહ્ન (n)) સાથે ઉકેલી શકાય છે. જો કે, સામાન્ય રીતે સમસ્યા શબ્દની નિર્ધારિત સમયની જટિલતાના સંદર્ભમાં મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથના ડેહન કાર્ય પર કોઈ વાજબી બંધન નથી અને બે કાર્યો વચ્ચેનું અંતર ખૂબ મોટું હોઈ શકે છે. ઉદાહરણો મર્યાદિત જૂથ G ની કોઈપણ મર્યાદિત રજૂઆત માટે આપણી પાસે ડેહ્ન (n) ≈ n છે. જીનસ 2 ની બંધ લક્ષી સપાટી માટે, તેના મૂળભૂત જૂથની પ્રમાણભૂત રજૂઆત ડેહ્ન (n) ≤ n અને ડેહ્ન (n) ≈ n ને સંતોષે છે. દરેક પૂર્ણાંક k ≤ 2 માટે મુક્ત અબેલિયન જૂથમાં ડેહ્ન (n) ≈ n2 હોય છે. બૌમ્સ્લેગ-સોલીટર જૂથમાં ડેહ્ન (n) ≈ 2n છે (જુઓ). ત્રિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર હેઇસેનબર્ગ જૂથ સમઘનને સંતોષે છે પરંતુ કોઈ દ્વિઘાત આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષતું નથી. ઉચ્ચ-પરિમાણીય હેઇસેનબર્ગ જૂથો, જ્યાં k ≤ 2, દ્વિઘાત સમપરિમાણીય અસમાનતાને સંતોષે છે. જો G એ "નોવિકોવ-બૂન જૂથ" છે, એટલે કે, વણઉકેલાયેલી શબ્દ સમસ્યા સાથે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ છે, તો G નું ડેહ્ન કાર્ય કોઈપણ પુનરાવર્તિત કાર્ય કરતાં વધુ ઝડપથી વૃદ્ધિ પામે છે. થોમ્પસન જૂથ F માટે ડેહ્ન કાર્ય દ્વિઘાત છે, એટલે કે, n2 ની સમકક્ષ (જુઓ). કહેવાતા બૌમ્સ્લેગ-ગેર્સ્ટન જૂથમાં ઘાતાંકોના કોઈપણ નિશ્ચિત પુનરાવર્તિત ટાવર કરતાં વધુ ઝડપથી વિકસતા ડેહન કાર્ય છે. ખાસ કરીને, આ જૂથ Dehn (n) ≈ exp (exp (. (exp (1)).)) માટે જ્યાં ઘાતાંકોની સંખ્યા log2 (n) ના અભિન્ન ભાગની બરાબર છે (જુઓ). જાણીતાં પરિણામો મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ શબ્દ-હાયપરબોલિક જૂથ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું ડેહ્ન કાર્ય n ની સમકક્ષ હોય, એટલે કે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ જૂથની દરેક મર્યાદિત રજૂઆત રેખીય આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે. આઇસોપેરિમેટ્રિક ગેપઃ જો મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ સબક્વાડ્રેટિક આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે તો તે શબ્દ-હાયપરબોલિક છે. આમ ડીહ્ન વિધેયો સાથે કોઈ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો નથી કે જે ડી. ઓ. એલ. (1,2) સાથે એન. ડી. ની સમકક્ષ હોય. સ્વયંચાલિત જૂથો અને, વધુ સામાન્ય રીતે, લડાયક જૂથો દ્વિઘાત આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે. મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ નિલપોટેન્ટ જૂથમાં nd ની સમકક્ષ ડેહ્ન કાર્ય હોય છે જ્યાં d ≤ 1 અને તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો d આ રીતે પ્રાપ્ત થાય છે. વધુમાં, દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ નિલપોટેન્ટ જૂથ G ડિગ્રી c + 1 ની બહુપદી આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સ્વીકારે છે, જ્યાં c એ G નો નિલપોટેન્સી વર્ગ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ d ≤ 1 નો સમૂહ, જેમ કે nd ની સમકક્ષ ડેહ્ન કાર્ય સાથે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ અસ્તિત્વમાં છે, તે અંતરાલમાં ગાઢ છે. જો મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથના તમામ એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ સરળ રીતે જોડાયેલા હોય, તો જૂથ બહુપદી આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે. જો મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ વર્ગાત્મક આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે, તો આ જૂથના તમામ એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ સરળતાથી જોડાયેલા છે. જો (M, g) બંધ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોય અને G = π1 (M) હોય તો G નું ડેહન વિધેય મેનીફોલ્ડના ભરણ ક્ષેત્ર વિધેયની સમકક્ષ છે. જો G એ એક જૂથ છે જે કે. એ. ટી. (0) જગ્યા પર આઇસોમેટ્રી દ્વારા યોગ્ય રીતે વિસંગત રીતે અને સહસંયોજિત રીતે કાર્ય કરે છે, તો G એક દ્વિઘાત આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે. ખાસ કરીને, આ તે કિસ્સામાં લાગુ પડે છે જ્યાં G એ બિન-સકારાત્મક વિભાગીય વળાંકના બંધ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડનું મૂળભૂત જૂથ છે (જરૂરી નથી કે તે સ્થિર હોય). SL (m, Z) નું ડેહ્ન વિધેય કોઈપણ m ≤ 3 માટે સૌથી વધુ ઘાતાંકીય હોય છે. SL (3, Z) માટે આ બાઉન્ડ શાર્પ છે અને તે કિસ્સામાં તે જાણીતું છે કે ડેહ્ન ફંક્શન સબએક્સપોનેન્શિયલ અપર બાઉન્ડને સ્વીકારતું નથી. SL (m, Z) માટે ડેહન વિધેયો, જ્યાં m> 4 વર્ગાત્મક છે. થર્સ્ટન દ્વારા SL (4, Z) ના ડેહન વિધેયને દ્વિઘાત હોવાનું અનુમાન કરવામાં આવ્યું છે. આ અને, વધુ સામાન્ય રીતે, ગ્રોમોવની ધારણા કે ઉચ્ચ ક્રમના લાઈ જૂથોમાં જાળીઓમાં દ્વિઘાત ડેહ્ન કાર્ય હોય છે તે લ્યુઝિંગર અને યંગ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું છે. મર્યાદિત પ્રકારની સપાટીઓના મેપિંગ વર્ગ જૂથો આપમેળે હોય છે અને દ્વિઘાત આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે. ઓટો (એફ. કે.) અને આઉટ (એફ. કે.) જૂથો માટેના ડેહ્ન વિધેયો દરેક કે ≤ 3 માટે ઘાતાંકીય છે. ઓટો (એફકે) અને આઉટ (એફકે) માટે ઘાતાંકીય આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાઓ જ્યારે કેઓઆર 3 હેચર અને વોગ્ટમેન દ્વારા મળી આવી હતી. આ સીમાઓ તીક્ષ્ણ છે, અને બ્રિડસન અને વોગ્ટમેન દ્વારા k = 3 માટે અને હેન્ડલ અને મોશર દ્વારા k ≤ 4 માટે બતાવ્યા પ્રમાણે, ઓટો (Fk) અને આઉટ (Fk) જૂથો સબએક્સપોનેન્શિયલ આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષતા નથી. મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મુક્ત જૂથ Fk ના દરેક ઓટોમોર્ફિઝમ φ માટે φ નું મેપિંગ ટોરસ જૂથ દ્વિઘાત આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતાને સંતોષે છે. મોટાભાગના "વાજબી" ગણતરીપાત્ર વિધેયો કે જે n4 છે, તેને મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથોના ડેહ્ન વિધેયો તરીકે સમકક્ષતા સુધી અનુભવી શકાય છે. ખાસ કરીને, જો f (n) ≤n4 એ સુપરએડિટિવ ફંક્શન છે, જેની દ્વિસંગી રજૂઆત ટ્યુરિંગ મશીન દ્વારા સમયસર ગણતરી કરી શકાય છે, તો f (n) એ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથના ડેહ્ન ફંક્શનની સમકક્ષ છે. જો કે કોઈ જૂથની શબ્દ સમસ્યાની જટિલતાના સંદર્ભમાં તેના ડેહ્ન કાર્યને વાજબી રીતે બંધાવી શકતું નથી, તો બિર્ગેટ, ઓલ્શાન્સ્કી, રિપ્સ અને સપિરે નીચેનું પરિણામ મેળવ્યું, જે હિગમેનના એમ્બેડિંગ થીયરમનું દૂરગામી સામાન્યીકરણ પૂરું પાડે છેઃ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથની શબ્દ સમસ્યા બિનનિર્ધારણીય બહુપદી સમયમાં નિર્ણાયક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આ જૂથને બહુપદી આઇસોપરિમેટ્રિક કાર્ય સાથે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથમાં એમ્બેડ કરી શકાય. વધુમાં, સમય T (n) માં ઉકેલી શકાય તેવી સમસ્યા શબ્દ ધરાવતા દરેક જૂથને n2T (n2) 4 ની સમકક્ષ આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્ય ધરાવતા જૂથમાં સમાવી શકાય છે. સામાન્યીકરણ આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્યની કલ્પના સાથે નજીકથી સંબંધિત ઘણી સાથી કલ્પનાઓ છે. આમ આઇસોડાયમેટ્રિક વિધેય વાન કેમ્પેન આકૃતિના સૌથી નાના વ્યાસને (સરળ મેટ્રિકના સંદર્ભમાં જ્યાં દરેક ધારની લંબાઈ એક હોય છે) ચોક્કસ સંબંધ માટે w ની લંબાઈના સંદર્ભમાં બંધાય છે. એક ભરવાની લંબાઈ કાર્ય ચોક્કસ સંબંધ માટે વાન કેમ્પેન આકૃતિની સૌથી નાની ભરવાની લંબાઈ ડબલ્યુ ની લંબાઈના સંદર્ભમાં. અહીં આકૃતિની ભરવાની લંબાઈ એ આકૃતિના તમામ સંયુક્ત નલ-હોમોટોપી પર, આવા નલ-હોમોટોપીઝ સાથે મધ્યવર્તી લૂપ્સની મહત્તમ લંબાઈની લઘુત્તમ છે. ભરણ લંબાઈ કાર્ય મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો માટે સમસ્યા શબ્દની બિન-નિર્ધારિત જગ્યા જટિલતા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. ડેહ્ન કાર્ય, શ્રેષ્ઠ આઇસોડાયમેટ્રિક કાર્ય અને શ્રેષ્ઠ ભરણ લંબાઈ કાર્યને જોડતી ઘણી સામાન્ય અસમાનતાઓ છે, પરંતુ તેમની વચ્ચેનો ચોક્કસ સંબંધ હજુ સુધી સમજી શકાયો નથી. આઇસોપેરિમેટ્રિક અને ડેહ્ન વિધેયોના ઉચ્ચ-પરિમાણીય સામાન્યીકરણ પણ છે. k ≤ 1 માટે જૂથનું k-પરિમાણીય આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્ય (k + 1)-પરિમાણીય k-ગોળાઓના બોલ-ભરણના ન્યૂનતમ સંયોજન વોલ્યુમને K-જોડાયેલ જગ્યામાં મેપ કરે છે, જેના પર જૂથ યોગ્ય રીતે અને સહસંયોજિત રીતે કાર્ય કરે છે; બંધને k-ગોળાના સંયોજન વોલ્યુમના કાર્ય તરીકે આપવામાં આવે છે. આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્યની પ્રમાણભૂત કલ્પના કેસ k = 1 ને અનુરૂપ છે. ક્લાસિકલ કેસની સરખામણીમાં આ ઉચ્ચ પરિમાણીય ભરણ કાર્યો વિશે બહુ ઓછી માહિતી છે. એક મુખ્ય પરિણામ એ છે કે ઉચ્ચ ક્રમના અર્ધ-સરળ લાઈ જૂથોમાં જાળીઓ ક્રમની નીચેના પરિમાણોમાં સૂચિબદ્ધ નથી, એટલે કે. તેઓ તેમની સંકળાયેલ સમપ્રમાણ જગ્યા જેવા જ ભરણ કાર્યોને સંતોષે છે. તેમના મોનોગ્રાફમાં અનંત જૂથોના એસિમ્પ્ટોટિક અપરિવર્તનમાં ગ્રોમોવે ડેહ્ન કાર્યના સંભવિત અથવા સરેરાશ સંસ્કરણની દરખાસ્ત કરી હતી અને સૂચવ્યું હતું કે ઘણા જૂથો માટે સરેરાશ ડેહ્ન કાર્યોમાં પ્રમાણભૂત ડેહ્ન કાર્યો કરતાં સખત ધીમી એસિમ્પ્ટોટિક્સ હોવી જોઈએ. સરેરાશ ડેહ્ન કાર્ય અથવા સરેરાશ ડેહ્ન કાર્યની કલ્પનાની વધુ ચોક્કસ સારવાર પછીથી અન્ય સંશોધકો દ્વારા આપવામાં આવી હતી, જેમણે એ પણ સાબિત કર્યું હતું કે ખરેખર સરેરાશ ડેહ્ન કાર્યો સંખ્યાબંધ કિસ્સાઓમાં (જેમ કે નિલપોટેન્ટ અને અબેલિયન જૂથો) પ્રમાણભૂત ડેહ્ન કાર્યો માટે સબસિમ્પ્ટોટિક છે. આઇસોપેરિમેટ્રિક કાર્યની કલ્પનાનું સંબંધિત સંસ્કરણ પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક જૂથો પ્રત્યે ઓસિનના અભિગમમાં કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવે છે. ગ્રિગોરચુક અને ઇવાનોવે મર્યાદિત રીતે ઘણા જનરેટર પર પરંતુ અનંત રીતે ઘણા વ્યાખ્યાયિત સંબંધો સાથે જૂથ પ્રસ્તુતિઓ માટે ડેહ્ન કાર્યના કેટલાક કુદરતી સામાન્યીકરણોનું સંશોધન કર્યું. વેન કેમ્પેન આકૃતિ શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથ સ્વચાલિત જૂથ નાના રદ સિદ્ધાંત ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત નોંધો વધુ વાંચન નોએલ બ્રેડી, ટિમ રિલે અને હામિશ શોર્ટ જુઓ. મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જૂથો માટે શબ્દ સમસ્યાની ભૂમિતિ. ગણિતમાં અદ્યતન અભ્યાસક્રમો સી. આર. એમ. બાર્સેલોના, બિરખુસર, બાસેલ, 2007. માર્ટિન આર. બ્રિડસન. શબ્દ સમસ્યાની ભૂમિતિ. ભૂમિતિ અને ટોપોલોજી માટે આમંત્રણો, પીપી. 29-91, ગણિતમાં ઓક્સફર્ડ ગ્રેજ્યુએટ ટેક્સ્ટ્સ, 7, ઓક્સફર્ડ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ઓક્સફર્ડ, 2002. બાહ્ય કડીઓ SL (n, Z) માટે આઇસોપેરિમેટ્રિક અસમાનતા. અમેરિકન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ મેથેમેટિક્સ ખાતે સપ્ટેમ્બર 2008ની વર્કશોપ. બ્રિડસનના લેખની પીડીએફ સમસ્યા શબ્દની ભૂમિતિ. ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત ભૌમિતિક ટોપોલોજી શબ્દો પર સંયોજન