Gauss–Legendre quadrature
આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં, ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ એ કાર્યના ચોક્કસ અભિન્ન ભાગને અંદાજિત કરવા માટે ગૌસીયન ચતુર્ભુજનું એક સ્વરૂપ છે. અંતરાલ પર સંકલન કરવા માટે, નિયમ આ સ્વરૂપ લે છેઃ જ્યાં n એ ઉપયોગમાં લેવાતા નમૂના બિંદુઓની સંખ્યા છે, wi એ ચતુર્ભુજ વજન છે, અને xi એ n મી લીજેન્ડર બહુપદીના મૂળ છે. ચતુર્ભુજ વજન વાઈ અને ચતુર્ભુજ ગાંઠો xi ની આ પસંદગી એ અનન્ય પસંદગી છે જે ચતુર્ભુજ નિયમને ડિગ્રી બહુપદીઓને બરાબર સંકલિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ નિયમોની ગણતરી માટે ઘણા અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવામાં આવ્યા છે. 1969 માં રજૂ કરાયેલ ગોલુબ-વેલ્શ અલ્ગોરિધમ નોડ્સ અને વજનની ગણતરીને આઈગનવેલ્યુ સમસ્યામાં ઘટાડે છે જે ક્યુઆર અલ્ગોરિધમ દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે. આ અલ્ગોરિધમ લોકપ્રિય હતું, પરંતુ નોંધપાત્ર રીતે વધુ કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ્સ અસ્તિત્વમાં છે. ન્યૂટન-રેફસન પદ્ધતિ પર આધારિત અલ્ગોરિધમ્સ નોંધપાત્ર રીતે મોટા સમસ્યાના કદ માટે ચતુર્ભુજ નિયમોની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ છે. 2014 માં, ઇગ્નેસ બોગર્ટે ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ વજન અને ગાંઠો માટે સ્પષ્ટ એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્રો રજૂ કર્યા હતા, જે n ≤ 21 ની કોઈપણ પસંદગી માટે ડબલ-પ્રિસિઝન મશીન એપ્સિલોનની અંદર સચોટ છે. આ એક અબજથી વધુના n મૂલ્યો માટે ગાંઠો અને વજનની ગણતરી માટે પરવાનગી આપે છે. ઇતિહાસ કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ નિયમ મેળવનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા, જેમણે 1814માં સતત અપૂર્ણાંકો સાથે ગણતરી દ્વારા આમ કર્યું હતું. તેમણે હાથથી n = 7 ક્રમમાં 16 અંકો સુધી ગાંઠો અને વજનની ગણતરી કરી. કાર્લ ગુસ્તાવ જેકબ જેકોબીએ ચતુર્ભુજ નિયમ અને લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓના ઓર્થોગોનલ પરિવાર વચ્ચેના જોડાણની શોધ કરી. ચતુર્ભુજ વજન અને ગાંઠો માટે કોઈ બંધ-સ્વરૂપ સૂત્ર ન હોવાથી, ઘણા દાયકાઓ સુધી લોકો માત્ર નાના n માટે જ તેમની હાથથી ગણતરી કરી શકતા હતા, અને ચતુર્ભુજની ગણતરી વજન અને નોડ મૂલ્યો ધરાવતા કોષ્ટકોનો સંદર્ભ આપીને કરવી પડતી હતી. 1942 સુધીમાં આ મૂલ્યો માત્ર n = 16 સુધી જ જાણીતા હતા. વ્યાખ્યા એફ ઓવરને ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ સાથે સંકલિત કરવા માટે, સંકળાયેલ ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓ લેજેન્ડર બહુપદીઓ છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. - th બહુપદીને સામાન્ય બનાવવા સાથે, જેથી,-th ગૌસ નોડ, નું-th રુટ છે અને વજન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. સામાન્ય વાસ્તવિક અંતરાલ પર સંકલન માટે, સમસ્યાને સંકલન ઓવરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે અંતરાલમાં ફેરફાર લાગુ કરી શકાય છે. અલ્ગોરિધમ્સ ન્યૂટન-રેફસન પદ્ધતિઓ કેટલાક સંશોધકોએ કાર્યોના મૂળ શોધવા માટે ન્યૂટન-રેફસન પદ્ધતિના આધારે ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ ગાંઠો અને વજનની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવ્યા છે. આ ચોક્કસ સમસ્યા માટે વિવિધ ઓપ્ટિમાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, કેટલીક પદ્ધતિઓ અંતરાલના અંતની નજીક મૂળના સમૂહ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને ટાળવા માટે ગણતરી કરે છે. કેટલીક પદ્ધતિઓ વજનનો અંદાજ કાઢવા માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે અને પછી અંદાજની ભૂલને મશીનની ચોકસાઇથી ઓછી કરવા માટે ન્યૂટન-રેફસનના કેટલાક પુનરાવર્તનોનો ઉપયોગ કરે છે. 1969માં, ગોલુબ અને વેલ્શએ અંતર્ગત ઓર્થોગોનલ બહુપદીઓને સંતોષતા ત્રણ પદ પુનરાવર્તન સંબંધને ધ્યાનમાં રાખીને ગૌસીયન ચતુર્ભુજ નિયમોની ગણતરી માટે તેમની પદ્ધતિ પ્રકાશિત કરી હતી. તેઓ ગૌસીયન ચતુર્ભુજ નિયમના ગાંઠોની ગણતરી કરવાની સમસ્યાને ચોક્કસ સપ્રમાણ ત્રિકોણીય મેટ્રિક્સના આઈગનવેલ્યુ શોધવાની સમસ્યામાં ઘટાડે છે. આ મેટ્રિક્સના આઈગન વેલ્યુ શોધવા માટે ક્યુ. આર. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ થાય છે. સમપ્રમાણ ત્રિકોણીય માળખાનો લાભ લઈને, સામાન્ય આઈગન વેલ્યુ સમસ્યા માટે અપેક્ષિત સમયના વિરોધમાં, આઈગનવેલ્યુની ગણતરી સમયસર કરી શકાય છે. એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્રો વિવિધ પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે જે ગાંઠોની ગણતરી કરવા માટે અંદાજિત બંધ-સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરે છે. ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, કેટલીક પદ્ધતિઓમાં સૂત્રોનો ઉપયોગ ગાંઠોના અંદાજ તરીકે થાય છે, જે પછી અંદાજને સુધારવા માટે કેટલાક ન્યૂટન-રેફસન પુનરાવર્તનો કરવામાં આવે છે. 2014 ના પેપરમાં, ઇગ્નેસ બોગર્ટે નોડ્સ માટે એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્રો મેળવ્યા છે જે મશીનની ચોકસાઇ માટે અને વજન માટે મશીનની ચોકસાઇ સુધી ચોક્કસ છે. આ પદ્ધતિમાં અન્ય પદ્ધતિઓની જેમ કોઈ પણ ન્યુટન-રેફસન પુનરાવર્તન અથવા બેસલ કાર્યોના મૂલ્યાંકનની જરૂર નથી. પેપરમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, પદ્ધતિ 11 સેકન્ડમાં એક અબજ સમસ્યાના કદ પર ગાંઠોની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ હતી. અંતિમ બિંદુઓની નજીકના ગાંઠો આ સમસ્યાના કદ પર એકબીજાની ખૂબ નજીક હોવાથી, ગાંઠોની ગણતરી કરવાની આ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે બેવડી ચોકસાઇવાળા ફ્લોટિંગ પોઇન્ટમાં કોઈપણ વ્યવહારુ એપ્લિકેશન માટે પૂરતી છે. ઉચ્ચ ચોકસાઇ જોહાનસન અને મેઝારોબ્બા મનસ્વી-ચોકસાઇ અંકગણિતમાં ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ નિયમોની ગણતરી કરવાની વ્યૂહરચનાનું વર્ણન કરે છે, જે નાના અને મોટા બંનેને મંજૂરી આપે છે. 1000 અંકોની ચોકસાઇ સાથે ક્રમના નિયમની ગણતરી લગભગ એક સેકન્ડમાં કરી શકાય છે. તેમની પદ્ધતિ લેજેન્ડર બહુપદીઓનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ઘણી જુદી જુદી તકનીકો સાથે મળીને ન્યૂટન-રેફસન પુનરાવર્તનનો ઉપયોગ કરે છે. અલ્ગોરિધમ પ્રમાણિત ભૂલ બાઉન્ડ પણ પ્રદાન કરે છે. ગિલ, સેગુરા અને ટેમે ગૌસ-જેકોબી ચતુર્ભુજ (અને, ખાસ કરીને, ગૌસ-લેજેન્ડર) ની ગણતરી માટે ચોથા ક્રમના અભિસરણ સાથે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનું વર્ણન કરે છે. પદ્ધતિઓને તેના ચોથા ક્રમના અભિસરણની બાંયધરી આપવા માટે ગાંઠોના પ્રાથમિક અંદાજોની જરૂર નથી. લાક્ષણિક લેપટોપમાં લાખો નોડ્સ અને હજારો અંકો સાથે પણ ચતુર્ભુજ નિયમોની ગણતરીઓ શક્ય બને છે. અન્ય ચતુર્ભુજ નિયમો સાથે સરખામણી ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ એ ફંક્શન f ઓવરના સંકલનની ગણતરી માટે ખૂબ જ સાંકડા અર્થમાં શ્રેષ્ઠ છે, કારણ કે અન્ય કોઈ ચતુર્ભુજ નિયમ n નમૂના બિંદુઓનો ઉપયોગ કરતી વખતે તમામ ડિગ્રી બહુપદીઓને બરાબર એકીકૃત કરતો નથી. જો કે, ચોકસાઈનું આ માપ સામાન્ય રીતે ખૂબ જ ઉપયોગી નથી-બહુપદીઓ સંકલિત કરવા માટે ખૂબ જ સરળ છે અને આ દલીલ પોતે અન્ય કાર્યોને એકીકૃત કરવા પર વધુ સારી ચોકસાઈની બાંયધરી આપતી નથી. ક્લેનશો-કર્ટિસ ચતુર્ભુજ ચેબીશેવ ગાંઠો પર બહુપદી અંતર્વેશક દ્વારા અંદાજે f પર આધારિત છે અને જ્યારે n નમૂનાઓ આપવામાં આવે ત્યારે બરાબર n સુધીની ડિગ્રીની બહુપદીઓને એકીકૃત કરે છે. તેમ છતાં તે બહુપદીઓ અથવા અન્ય કાર્યોને એકીકૃત કરતું નથી જે ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ તેમજ ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજમાં વિશ્લેષણાત્મક હોય છે, તેમ છતાં ક્લેન્શો-કર્ટિસ મોટાભાગના (બિન-વિશ્લેષણાત્મક) સંકલન માટે ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ જેટલા જ દરે એકરૂપ થાય છે. ઉપરાંત, ક્લેનશો-કર્ટિસ એ ગુણધર્મોને વહેંચે છે કે જે ગૌસ-લેજેન્ડર ચતુર્ભુજ તમામ સતત સંકલન f માટે અભિસરણ અને આંકડાકીય ગોળાકાર ભૂલો માટે મજબૂતાઈનો આનંદ માણે છે. ક્લેનશો-કર્ટિસ એફ. એફ. ટી. આધારિત પદ્ધતિઓ દ્વારા સમયસર અમલમાં મૂકવા માટે સરળ છે. ન્યુટન-કોટ્સ ચતુર્ભુજ એ બહુપદી અંતર્વેશક દ્વારા સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓ પર અંદાજે f પર આધારિત છે, અને ક્લેનશો-કર્ટિસની જેમ પણ જ્યારે n નમૂનાઓ આપવામાં આવે ત્યારે બરાબર n સુધીની ડિગ્રીની બહુપદીઓને એકીકૃત કરે છે. જો કે, તે રુંગની ઘટનાથી પીડાય છે કારણ કે n વધે છે; ન્યૂટન-કોટ્સ કેટલાક સતત સંકલન f માટે એકરૂપ થતું નથી, અને જ્યારે તે એકરૂપ થાય છે ત્યારે તે આંકડાકીય ગોળાકાર ભૂલોથી પીડાય છે. આમ, ક્લેનશો-કર્ટિસ અને ગૌસ-લેજેન્ડર બંને મધ્યમથી મોટા n માટે ન્યૂટન-કોટ્સ પર નોંધપાત્ર લાભ મેળવે છે. સંદર્ભો સ્ત્રોતો આંકડાકીય એકીકરણ (ચતુર્ભુજ)