Octal game
ઓક્ટલ ગેમ્સ એ બે ખેલાડીઓની રમતોનો એક વર્ગ છે જેમાં ટોકનના ઢગલામાંથી ટોકન્સ (રમતના ટુકડાઓ અથવા પથ્થરો) દૂર કરવાનો સમાવેશ થાય છે. નિમ, કેયલ્સ અને સમાન રમતોના સામાન્યીકરણ તરીકે સંયુક્ત રમત સિદ્ધાંતમાં તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. ઓક્ટલ રમતો નિષ્પક્ષ હોય છે જેનો અર્થ થાય છે કે એક ખેલાડી માટે ઉપલબ્ધ દરેક ચાલ બીજા ખેલાડી માટે પણ ઉપલબ્ધ હોય છે. તેઓ એકબીજાથી ટોકનની સંખ્યામાં અલગ પડે છે જે એક જ ચાલમાં દૂર કરી શકાય છે, અને (આ સંખ્યાના આધારે) શું તેને સંપૂર્ણ ઢગલાને દૂર કરવાની, ઢગલાનું કદ ઘટાડવાની, અથવા ઢગલાને બે ઢગલામાં વહેંચવાની મંજૂરી છે. આ નિયમોના ફેરફારોને ઓક્ટલ અંકોનો ઉપયોગ કરીને કોડિંગ સિસ્ટમ દ્વારા સઘન રીતે વર્ણવી શકાય છે. રમતની વિશિષ્ટતા ઓક્ટલ રમત ટોકેનોને ઢગલામાં વિભાજીત કરીને રમવામાં આવે છે. જ્યાં સુધી કોઈ ચાલ શક્ય ન હોય ત્યાં સુધી બે ખેલાડીઓ વારાફરતી આગળ વધે છે. દરેક ચાલમાં માત્ર એક ઢગલાને પસંદ કરવાનો સમાવેશ થાય છે, અને કાં તો ઢગલામાં રહેલા તમામ ટોકન્સને દૂર કરવા, કોઈ ઢગલું ન છોડવું, કેટલાકને દૂર કરવા પરંતુ તમામને નહીં, એક નાનો ઢગલું છોડવું, અથવા કેટલાક ટોકન્સને દૂર કરવા અને બાકીના ટોકન્સને બે બિન-ખાલી ઢગલામાં વહેંચવાનો સમાવેશ થાય છે. પસંદ કરેલા ઢગલા સિવાયના ઢગલાઓ યથાવત રહે છે. સામાન્ય રમતમાં ચાલનાર છેલ્લો ખેલાડી જીતે છે. આ રમત મિસરે પ્લેમાં પણ રમી શકાય છે, જેમાં ચાલનાર છેલ્લો ખેલાડી હારી જાય છે. આ રીતે ઢગલાઓ સાથે રમાતી રમતો, જેમાં દરેક ઢગલા માટે માન્ય ચાલ મૂળ ઢગલાના કદ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેને સાહિત્યમાં ટેકિંગ એન્ડ બ્રેકિંગ ગેમ્સ કહેવામાં આવે છે. ઓક્ટલ રમતો એ લેવાની અને તોડવાની રમતોનો એક ઉપગણ છે જેમાં માન્ય ચાલ ઢગલામાંથી દૂર કરવામાં આવેલા ટોકન્સની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. રમત માટેનો ઓક્ટલ કોડ 0 તરીકે સ્પષ્ટ થયેલ છે. d1 d2 d3 d4., જ્યાં અષ્ટક અંક dn સ્પષ્ટ કરે છે કે ખેલાડીને ઢગલામાંથી n ટોકન્સ દૂર કર્યા પછી શૂન્ય, એક કે બે ઢગલા છોડવાની મંજૂરી છે કે કેમ. જો શૂન્ય ઢગલાને છોડવાની મંજૂરી હોય તો અંક dn એ 1 નો સરવાળો છે, અન્યથા 0; જો એક ઢગલાને છોડવાની મંજૂરી હોય તો 2, અન્યથા 0; અને જો બે ઢગલાને છોડવાની મંજૂરી હોય તો 4, અન્યથા 0. શૂન્ય ટોકન્સને ઢગલા તરીકે ગણવામાં આવતા નથી. આમ જો એન ટોકન્સનો ઢગલો સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાય, અને અન્યથા પણ, તો અંક ડી. એન. વિચિત્ર છે. ડીએનમાં એક-ઢગલાના પરિણામોનું સ્પષ્ટીકરણ એન કરતાં વધુના ઢગલામાંથી એન ટોકન્સને દૂર કરવા માટે લાગુ પડે છે. ડીએનમાં બે-ઢગલાના પરિણામો ઓછામાં ઓછા એન + 2 ના ઢગલામાંથી એન ટોકન્સને દૂર કરવા અને બાકીનાને બે બિન-ખાલી ઢગલામાં અલગ કરવા માટે લાગુ પડે છે. ઓક્ટલ રમતો દશાંશ બિંદુની ડાબી બાજુના અંક 4 નો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ ટોકનને દૂર કર્યા વિના ઢગલાને બે ભાગોમાં વહેંચવાની મંજૂરી આપી શકે છે. આ ગ્રાન્ડીની રમતની ચાલ જેવું જ છે, જે ઢગલાને બે અસમાન ભાગોમાં વહેંચવાનું છે. જો કે, પ્રમાણભૂત ઓક્ટલ ગેમ નોટેશનમાં અસમાન ભાગોના અવરોધને વ્યક્ત કરવાની શક્તિ નથી. માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં બિન-શૂન્ય અંકો ધરાવતી ઓક્ટલ રમતોને મર્યાદિત ઓક્ટલ રમતો કહેવામાં આવે છે. ખાસ ઓક્ટલ રમતો નિમ સંયુક્ત રમત સિદ્ધાંતમાં સૌથી મૂળભૂત રમત નિમ છે, જેમાં કોઈ પણ સંખ્યામાં ટોકન્સને ઢગલામાંથી દૂર કરી શકાય છે, શૂન્ય અથવા એક ઢગલાને પાછળ છોડી શકાય છે. નિમ માટેનો ઓક્ટલ કોડ 0.333 છે, જે પ્રકાશિત સાહિત્યમાં પુનરાવર્તિત દશાંશની જેમ પુનરાવર્તિત ભાગને સૂચવવા માટે દેખાય છે. જો કે, એ સમજવું અગત્યનું છે કે પુનરાવર્તિત ભાગ ઓક્ટલ અપૂર્ણાંકોની જેમ સમાન ભૂમિકા ભજવતો નથી, જેમાં ઓક્ટલ અપૂર્ણાંકો તરીકે તેમની સમાનતા હોવા છતાં રમતો અને સમાન નથી. Kayles રમત Kayles સામાન્ય રીતે n પિનની પંક્તિ સાથે રમાય છે તેમ જોવામાં આવે છે, પરંતુ તે n કાઉન્ટર્સના ઢગલા દ્વારા મોડેલિંગ કરી શકાય છે. એકને ઢગલામાંથી એક કે બે ટોકન્સ દૂર કરવાની અને બાકીનાને શૂન્ય, એક કે બે ઢગલામાં ગોઠવવાની મંજૂરી છે. કેયલ્સ માટે ઓક્ટલ કોડ 0.77 છે. ડોસનની ચેસ-ડોસનની ચેસ એ થોમસ રેનર ડોસન દ્વારા 1938માં કૈસાના વાઇલ્ડ રોઝીસમાં રજૂ કરવામાં આવેલી ચેસ પઝલમાંથી ઉદભવેલી રમત છે. પઝલને એક જ ક્રમ દ્વારા અલગ કરાયેલ પ્યાદાઓની વિરોધી પંક્તિઓ તરીકે રજૂ કરવામાં આવી હતી. જો કે પઝલને નિષ્પક્ષ રમત તરીકે રજૂ કરવામાં આવતી નથી, તેમ છતાં કેપ્ચર્સ ફરજિયાત છે તેવી ધારણા સૂચવે છે કે કોઈ પણ ફાઇલમાં ખેલાડીની હિલચાલ માત્ર તે ફાઇલ અને તેના પડોશીઓ (જો કોઈ હોય તો) ને વધુ વિચારણાથી દૂર કરવામાં પરિણમે છે, જેમાં વિરોધી ખેલાડીને ખસેડવું પડે છે. આને એન ટોકન્સના ઢગલા તરીકે મોડેલિંગ કરીને, ખેલાડી એક, બે અથવા ત્રણ ટોકન્સના સંપૂર્ણ ઢગલાને દૂર કરી શકે છે, કોઈપણ ઢગલાને બે અથવા ત્રણ ટોકન્સ દ્વારા ઘટાડી શકે છે, અથવા ત્રણ ટોકન્સને દૂર કર્યા પછી ઢગલાને બે ભાગોમાં વહેંચી શકે છે. આમ ડોસનની ચેસ ઓક્ટલ કોડ 0.137 દ્વારા રજૂ થાય છે. ડોસનની કેયલ્સ 0.07 રમતમાં, જેને ડોસનની કેયલ્સ કહેવાય છે, એક પગલું એ છે કે ઢગલામાંથી બરાબર બે ટોકન્સ દૂર કરવા અને બાકીનાને શૂન્ય, એક અથવા બે ઢગલામાં વહેંચવા. ડોસનની કાયલ્સનું નામ ડોસનની ચેસ સાથે તેની (બિન-સ્પષ્ટ) સમાનતા માટે રાખવામાં આવ્યું છે, જેમાં ડોસનની કાયલ્સનો n + 1 ટોકન્સનો ઢગલો બરાબર ડોસનના એન ટોકન્સના ચેસ ઢગલાની જેમ કામ કરે છે. ડોસનની કેયલ્સ ડોસનની ચેસની પ્રથમ પિતરાઈ હોવાનું કહેવાય છે. અન્ય પાયામાં સામાન્યીકરણ ઓક્ટલ રમતો જેમ કે નિમ, જેમાં દરેક ચાલ ઢગલાને શૂન્ય અથવા એક ઢગલામાં પરિવર્તિત કરે છે, તેને ચતુર્થાંશ રમતો કહેવામાં આવે છે કારણ કે માત્ર 0,1,2 અને 3 અંકો જ દેખાય છે. ઓક્ટલ નોટેશનને હેક્સાડેસિમલ રમતોનો સમાવેશ કરવા માટે પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે, જેમાં અંકો ઢગલાને ત્રણ ભાગોમાં વહેંચવાની મંજૂરી આપે છે. હકીકતમાં, મનસ્વી રીતે મોટા પાયા શક્ય છે. ચતુર્ભુજ, ઓક્ટલ અને હેક્સાડેસિમલ રમતોનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે રમતના આ વર્ગો એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, અને મોટા પાયાના વર્તનની એટલી તપાસ કરવામાં આવી નથી. નિમ-ક્રમ સ્પ્રેગ-ગ્રાન્ડી પ્રમેય સૂચવે છે કે માપ n નો ઢગલો આપેલ કદના નિમ ઢગલાની સમકક્ષ હોય છે, જે સામાન્ય રીતે G (n) તરીકે નોંધાય છે. અષ્ટક રમતના વિશ્લેષણમાં પછી વધતા કદના ઢગલા માટે નિમ-મૂલ્યોનો ક્રમ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. આ ક્રમ G (0), G (1), G (2). ને સામાન્ય રીતે રમતનો નિમ-ક્રમ કહેવામાં આવે છે. અત્યાર સુધી વિશ્લેષણ કરાયેલી તમામ મર્યાદિત ઓક્ટલ રમતોએ નિમ-ક્રમ આખરે સામયિક દર્શાવ્યો છે, અને તમામ મર્યાદિત ઓક્ટલ રમતો આખરે સામયિક છે કે કેમ તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે. તેને રિચાર્ડ ગાય દ્વારા સંયુક્ત રમતોના ક્ષેત્રમાં એક મહત્વપૂર્ણ સમસ્યા તરીકે સૂચિબદ્ધ કરવામાં આવી છે. ગણતરી નોંધે છે ઓક્ટલ રમતનું સંપૂર્ણ વિશ્લેષણ તેના નિમ-સિક્વન્સનો સમયગાળો અને પૂર્વકાળ શોધવામાં પરિણમે છે. તે તમારા ગાણિતિક નાટકો માટે જીતવાની રીતોમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે મર્યાદિત અષ્ટક રમત સામયિક છે તે સાબિત કરવા માટે નિમ-ક્રમના મૂલ્યોની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યાની જરૂર છે, જેણે કમ્પ્યુટર્સ સાથેની ગણતરીઓનો દરવાજો ખોલ્યો હતો. વર્ષોથી મહત્તમ 3 ઓક્ટલ-અંકો ધરાવતી ઓક્ટલ રમતોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. 79 બિન-તુચ્છ ઓક્ટલ રમતો છે, જેમાંથી 14 હલ કરવામાં આવી છેઃ 1967માં જેક કેન્યોન દ્વારા................................................................................................................................................................................. સંદર્ભો સંયુક્ત રમત સિદ્ધાંત ગાણિતિક રમતો