Oseen equations
પ્રવાહી ગતિશીલતામાં, ઓસીન સમીકરણો (અથવા ઓસીન પ્રવાહ) 1910માં કાર્લ વિલ્હેમ ઓસીન દ્વારા ઘડવામાં આવેલા નાના રેનોલ્ડ્સ નંબરો પર ચીકણું અને અસંપીડ્ય પ્રવાહીના પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે. સ્ટોક્સના પ્રવાહની સરખામણીમાં, સંવહન પ્રવેગના (આંશિક) સમાવેશ સાથે, દૃશ્યમાન પ્રવાહ એ આ પ્રવાહોનું સુધારેલું વર્ણન છે. ઓસીનનું કાર્ય જી. જી. ના પ્રયોગો પર આધારિત છે. સ્ટોક્સ, જેમણે સ્નિગ્ધ પ્રવાહી દ્વારા ગોળાના પતનનો અભ્યાસ કર્યો હતો. તેમણે એક સુધારણા શબ્દ વિકસાવ્યો, જેમાં સ્ટોક્સના વિરોધાભાસ તરીકે ઓળખાતી સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે સ્ટોક્સની ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રવાહ વેગ માટે જડતા પરિબળોનો સમાવેશ થતો હતો. તેના અંદાજથી સ્ટોક્સની ગણતરીમાં સુધારો થાય છે. સમીકરણો દ્રાવણમાંથી સ્થિર પ્રવાહ વેગ U સાથે આગળ વધતા પદાર્થના કિસ્સામાં-જે પદાર્થથી દૂર આરામ પર હોય છે-અને પદાર્થ સાથે જોડાયેલ સંદર્ભની ફ્રેમમાંઃ જ્યાં u એ ગતિશીલ પદાર્થ દ્વારા પ્રેરિત પ્રવાહ વેગમાં વિક્ષેપ છે, એટલે કે. પદાર્થ સાથે ફરતા સંદર્ભની ફ્રેમમાં કુલ પ્રવાહ વેગ −U + u છે, p એ દબાણ છે, ρ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, μ એ ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા છે, R એ ઢાળ સંચાલક છે, અને R2 એ લાપ્લાસ સંચાલક છે. કઠોર પદાર્થની આસપાસ ઓસીનના પ્રવાહ માટેની સીમા શરતો આ પ્રમાણે છેઃ પદાર્થના કેન્દ્રથી અંતર r સાથે, અને પદાર્થથી દૂર અવિરત દબાણ p ≤. અનુદૈર્ધ્ય અને અનુપ્રસ્થ તરંગો ઓસીનના સમીકરણનો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે સામાન્ય ઉકેલને અનુદૈર્ધ્ય અને અનુપ્રસ્થ તરંગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. ઉકેલ એ સમાંતર તરંગ છે જો વેગ અનિયમિત હોય અને તેથી ચીકણું શબ્દ બહાર નીકળી જાય. સમીકરણો બને છે પરિણામે વેગ સંભવિત સિદ્ધાંતમાંથી મેળવવામાં આવે છે અને દબાણ રેખીય બર્નૌલીના સમીકરણોમાંથી મેળવવામાં આવે છે. ઉકેલ એ ટ્રાન્સવર્સલ તરંગ છે જો દબાણ સમાન રીતે શૂન્ય હોય અને વેગ ક્ષેત્ર સોલેનોઇડલ હોય. સમીકરણો છે પછી સંપૂર્ણ ઓસીન ઉકેલ હોરેસ લેમ્બને કારણે વિભાજન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો અનંત (કહો) પરની શરતો નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે તો વિભાજન અનન્ય છે. અમુક ઓસીન પ્રવાહો માટે, ટ્રાન્સવર્સલ તરંગનું ઇર્રોટેશનલ અને રોટેશનલ ઘટકમાં વધુ વિભાજન શક્ય છે. ન તો અથવા પોતે જ ટ્રાન્સવર્સલ છે, પરંતુ ટ્રાન્સવર્સલ છે. તેથી, એકમાત્ર પરિભ્રમણ ઘટક છે. મૂળભૂત ઉકેલો ઓસીન પ્રવાહમાં જડિત એકવચન બિંદુ બળને કારણે મૂળભૂત ઉકેલ ઓસીનલેટ છે. ન્યુટોનિયન અને માઇક્રોપોલર પ્રવાહી માટે મનસ્વી સમય-આધારિત અનુવાદાત્મક અને પરિભ્રમણ ગતિ સાથે સંકળાયેલા સામાન્યીકૃત અસ્થિર સ્ટોક્સ અને ઓસીન પ્રવાહ માટે બંધ સ્વરૂપના મૂળભૂત ઉકેલો મેળવવામાં આવ્યા છે. ઓસીન સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, હોરેસ લેમ્બ 1911માં ગોળાની આસપાસ ચીકણું પ્રવાહ માટે સુધારેલ અભિવ્યક્તિઓ મેળવવામાં સક્ષમ હતા, જેનાથી સ્ટોક્સના કાયદામાં કંઈક અંશે વધુ રેનોલ્ડ્સ સંખ્યાઓ તરફ સુધારો થયો હતો. ઉપરાંત, લેમ્બએ-પ્રથમ વખત-ગોળાકાર નળાકારની આસપાસ ચીકણું પ્રવાહ માટેનો ઉકેલ મેળવ્યો. જ્યારે કોઈ બાહ્ય સીમાઓ હાજર ન હોય ત્યારે એકવચન બળના પ્રતિભાવનો ઉકેલ આ રીતે લખવામાં આવે છે જો, બિંદુ પર કેન્દ્રિત એકવચન બળ ક્યાં છે અને તે એક મનસ્વી બિંદુ છે અને આપેલ વેક્ટર છે, જે એકવચન બળની દિશા આપે છે, તો સીમાઓની ગેરહાજરીમાં, વેગ અને દબાણ મૂળભૂત ટેન્સર અને મૂળભૂત વેક્ટરમાંથી મેળવવામાં આવે છે. મૂળમાં લેવામાં આવેલી સામાન્યતાની ખોટ વિના દ્વિ-પરિમાણીય અને. પછી મૂળભૂત ટેન્સર અને વેક્ટર એ છે કે જ્યાં બીજા પ્રકારના ઓર્ડર શૂન્યનું સુધારેલ બેસલ ફંક્શન છે. ત્રિ-પરિમાણીય ઉત્પત્તિ પર લેવામાં આવેલી સામાન્યતાની ખોટ વિના અને. પછી મૂળભૂત ટેન્સર અને વેક્ટર એ છે જ્યાં ગણતરીઓ ઓસીન ગોળાને સ્થિર માને છે અને પ્રવાહીને ગોળામાંથી અનંત અંતરે પ્રવાહ વેગ () સાથે વહેતું માને છે. સ્ટોક્સની ગણતરીમાં જડતા શબ્દોની અવગણના કરવામાં આવી હતી. જ્યારે રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા શૂન્ય તરફ જાય છે ત્યારે તે એક મર્યાદિત ઉકેલ છે. જ્યારે રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા નાની અને મર્યાદિત હોય છે, જેમ કે 0.1, ત્યારે જડતા પદ માટે સુધારણા જરૂરી છે. ઓસેને નીચેના પ્રવાહ વેગ મૂલ્યોને નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોમાં બદલ્યા. આને નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણોમાં દાખલ કરવાથી અને પ્રાથમિક જથ્થામાં વર્ગાત્મક શબ્દોની અવગણના કરવાથી ઓસીનના અંદાજની વ્યુત્પત્તિ તરફ દોરી જાય છેઃ કારણ કે ગતિ અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય છે અને વર્ટિસિટી વેક્ટરનું વિચલન હંમેશા શૂન્ય હોય છે, તેથી આપણે મેળવીએ છીએઃ કાર્યને યોગ્ય કાર્યમાં ઉમેરીને દૂર કરી શકાય છે, તે વર્ટિસિટી કાર્ય છે, અને અગાઉના કાર્યને આ રીતે લખી શકાય છેઃ અને કેટલાક એકીકરણ દ્વારા ઉકેલ છેઃ આમ તે "વિશેષાધિકૃત દિશા" ઉત્પન્ન કરે છેઃ પછી ત્રણ સીમા શરતોને લાગુ કરીને આપણે હવે નવો સુધારેલ ડ્રેગ ગુણાંક મેળવીએ છીએઃ અને છેવટે, જ્યારે સ્ટોક્સના ઉકેલને ઓસીનના અંદાજના આધારે હલ કરવામાં આવ્યો હતો, ત્યારે તે દર્શાવે છે કે એટલે કેઃ જડતા શબ્દ આ શબ્દ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છેઃ ભૂલ પછી ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ 1 માટે અમર્યાદિત બની જાય છે, તેથી જડતાને દૂરના ક્ષેત્રમાં અવગણી શકાતી નથી. કર્લ લઈને, સ્ટોક્સનું સમીકરણ આપે છે કારણ કે શરીર વર્ટિસિટીનો સ્રોત છે, તે મોટા માટે અમર્યાદિત લઘુગણક બનશે આ ચોક્કસપણે અનફિઝિકલ છે અને સ્ટોક્સના વિરોધાભાસ તરીકે ઓળખાય છે. અસંપીડ્ય પ્રવાહીમાં ફરતા ગોળા માટેનો ઉકેલ સ્થિર પ્રવાહીમાં સ્થિર વેગ સાથે ફરતા નક્કર ગોળાના કેસને ધ્યાનમાં લો. પ્રવાહીને અસંપીડ્ય પ્રવાહી તરીકે તૈયાર કરવામાં આવે છે (એટલે કે. સતત ઘનતા સાથે), અને સ્થિર હોવાનો અર્થ એ છે કે તેનો વેગ શૂન્ય તરફ વળે છે કારણ કે ગોળાથી અંતર અનંતની નજીક પહોંચે છે. વાસ્તવિક પદાર્થ માટે તેની ગતિ શરૂ થતાં જ તેના પ્રવેગને કારણે ક્ષણિક અસર થશે; જો કે પૂરતા સમય પછી તે શૂન્ય તરફ વળશે, જેથી દરેક જગ્યાએ પ્રવાહીનો વેગ કાલ્પનિક કિસ્સામાં મેળવેલા વેગની નજીક પહોંચશે જેમાં પદાર્થ પહેલેથી જ અનંત સમય માટે આગળ વધી રહ્યો છે. આમ આપણે ત્રિજ્યાના ગોળાને અચળ વેગથી આગળ વધી રહ્યો હોવાનું ધારીએ છીએ, એક અસંપીડ્ય પ્રવાહીમાં જે અનંત પર સ્થિર હોય છે. આપણે એવા કોઓર્ડિનેટ્સમાં કામ કરીશું જે ગોળાના કેન્દ્રમાં સ્થિત સંકલન કેન્દ્ર સાથે ગોળાની સાથે આગળ વધે છે. આપણી પાસે છેઃ કારણ કે આ સીમા શરતો, તેમજ ગતિનું સમીકરણ, સમય અપરિવર્તનશીલ છે (એટલે કે. તેઓ સમય બદલવાથી બદલાતા નથી) જ્યારે કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉકેલ ફક્ત આ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સમય પર આધાર રાખે છે. ગતિના સમીકરણો વિશ્રામી ફ્રેમ કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યાખ્યાયિત નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણો છે. જ્યારે અવકાશી વ્યુત્પન્ન બંને સંકલન પ્રણાલીઓમાં સમાન હોય છે, ત્યારે સમીકરણોમાં દેખાતા સમય વ્યુત્પન્ન સંતોષ આપે છેઃ જ્યાં વ્યુત્પન્ન ગતિશીલ કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં હોય છે. હવેથી આપણે એમ સબસ્ક્રિપ્ટને કાઢી નાખીએ છીએ. ઓસીનનો અંદાજ બિન-રેખીય શબ્દની અવગણના કરવા જેટલો છે. આમ અસંપીડ્ય નેવિયર-સ્ટોક્સ સમીકરણો બને છેઃ ઘનતા ρ ધરાવતા પ્રવાહી માટે અને ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા ν = μ/ρ (ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા હોવાથી). પી એ દબાણ છે. અસંપીડ્ય પ્રવાહી માટે સાતત્ય સમીકરણને કારણે, ઉકેલ વેક્ટર પોટેન્શિયલનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ દિશા તરફ નિર્દેશિત હોવાનું બહાર આવ્યું છે અને તેની તીવ્રતા દ્વિ-પરિમાણીય સમસ્યાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રવાહ કાર્યની સમકક્ષ છે. તે બહાર આવ્યું છેઃ ગોળાની નજીકના પ્રવાહ માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર ક્યાં છે. નોંધ લો કે કેટલાક સંકેતો દ્વારા બદલવામાં આવે છે જેથી થી વ્યુત્પત્તિ દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં (ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં) પ્રવાહ કાર્યમાંથી તેના વ્યુત્પત્તિ સાથે વધુ સમાન હોય. વિસ્તરણ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ ક્યાંઃ, જેથી. આ પ્રકારના વેક્ટરનો વેક્ટર લેપલેસિયન વાંચે છેઃ આમ તેની ગણતરી કરી શકાય છે કેઃ તેથીઃ આમ વર્ટિસિટી છેઃ જ્યાં આપણે વેક્ટર લેપલેસિયન અને ડબલ કર્લને સંબંધિત કરવા માટે વિચલનના લુપ્ત થવાનો ઉપયોગ કર્યો છે. ગતિની ડાબી બાજુનું સમીકરણ નીચેનાનો વળાંક છેઃ આપણે દરેક પદ માટે અલગથી વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ. નોંધ લો કેઃ અને આ પણઃ આપણી પાસે આ પ્રમાણે છેઃ આપણી પાસેની તમામ શરતોને જોડીનેઃ વળાંક લેતા, આપણને એક અભિવ્યક્તિ મળે છે જે નીચેના કાર્યના ઢાળના ગુણ્યા બરાબર છે, જે દબાણ છેઃ જ્યાં અનંત પર દબાણ છે, તે ધ્રુવીય કોણ છે જે આગળના સ્થિરતા બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુથી ઉદ્દભવ્યું છે (જ્યાં આગળનો સ્થિરતા બિંદુ છે). ઉપરાંત, વેગ આ વળાંક લઈને મેળવવામાં આવે છેઃ આ p અને u ગતિના સમીકરણને સંતોષે છે અને આમ ઓસીનના અંદાજનો ઉકેલ બનાવે છે. જો કે, કોઈ પ્રશ્ન કરી શકે છે કે શું સુધારણા શબ્દ તક દ્વારા પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો, કારણ કે ગોળાની સાથે ફરતા સંદર્ભની ફ્રેમમાં, ગોળાની નજીકનું પ્રવાહી લગભગ સ્થિર હોય છે, અને તે પ્રદેશમાં જડતા બળ નગણ્ય હોય છે અને સ્ટોક્સનું સમીકરણ સારી રીતે ન્યાયી છે. ગોળાથી દૂર, પ્રવાહ વેગ યુ સુધી પહોંચે છે અને ઓસીનનો અંદાજ વધુ સચોટ છે. પરંતુ સમગ્ર પ્રવાહ ક્ષેત્ર માટે સમીકરણ લાગુ કરીને ઓસીનનું સમીકરણ મેળવવામાં આવ્યું હતું. આ પ્રશ્નનો જવાબ પ્રાઉડમેન અને પીયર્સન દ્વારા 1957માં આપવામાં આવ્યો હતો, જેમણે નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોને હલ કર્યા હતા અને ગોળાના પડોશમાં સ્ટોક્સનો સુધારેલો ઉકેલ આપ્યો હતો અને અનંત પર ઓસીનનો સુધારેલો ઉકેલ આપ્યો હતો, અને તેમની માન્યતાના માનવામાં આવતા સામાન્ય ક્ષેત્રમાં બે ઉકેલો સાથે મેળ ખાતા હતા. તેઓએ મેળવેલઃ ઉપયોગો ખૂબ જ ઓછી રેનોલ્ડ્સ સંખ્યા પર પ્રવાહના વિશ્લેષણ માટેની પદ્ધતિ અને રચના મહત્વપૂર્ણ છે. બાયો-એન્જિનિયરિંગમાં પ્રવાહીમાં નાના કણોની ધીમી ગતિ સામાન્ય છે. ઓસીનના ડ્રેગ ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ વિવિધ વિશેષ પરિસ્થિતિઓમાં પ્રવાહીના પ્રવાહના સંબંધમાં થઈ શકે છે, જેમ કેઃ કણો ધરાવતા, કણોના સેડિમેન્ટેશન, સેન્ટ્રીફ્યુગેશન અથવા ટ્યુમર અને એન્ટિજેન્સને અલગ કરીને સસ્પેન્શન, કોલોઇડ્સ અને લોહીનું અલ્ટ્રાસેન્ટ્રીફ્યુગેશન. પ્રવાહી પ્રવાહી પણ હોવું જરૂરી નથી, અને કણો ઘન હોવા જરૂરી નથી. તેનો ઉપયોગ ધુમ્મસની રચના અને પ્રવાહીના પરમાણુકરણ જેવા સંખ્યાબંધ ઉપયોગોમાં થઈ શકે છે. રુધિરવાહિનીઓ જેવી નાની વાહિનીઓમાં લોહીનો પ્રવાહ નાના રેનોલ્ડ્સ અને વોમર્સલી નંબરો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. રક્તના પ્રવાહ, સ્નિગ્ધતા, ઘનતા અને હૃદયના ધબકારા સાથે વ્યાસના જહાજમાં રેનોલ્ડ્સ નંબર 0.005 અને વોમર્સલી નંબર 0.0126 હશે. આ નાના રેનોલ્ડ્સ અને વોમર્સલી નંબરો પર, પ્રવાહીની ચીકણું અસરો પ્રબળ બને છે. આ કણોની હિલચાલને સમજવી દવા વિતરણ અને કેન્સરની મેટાસ્ટેસિસ હિલચાલનો અભ્યાસ કરવા માટે જરૂરી છે. નોંધો સંદર્ભો પ્રવાહી ગતિશીલતાના પ્રવાહી ગતિશીલતાના સમીકરણો