Von Neumann paradox
ગણિતમાં, વોન ન્યુમેન વિરોધાભાસ, જેનું નામ જ્હોન વોન ન્યુમેનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે વિચાર છે કે કોઈ વ્યક્તિ એકમ ચોરસ જેવી સમતલીય આકૃતિને બિંદુઓના સમૂહમાં તોડી શકે છે અને દરેક સમૂહને ક્ષેત્ર-સંરક્ષિત સંલગ્ન પરિવર્તનને આધિન કરી શકે છે, જેમ કે પરિણામ મૂળ સમાન કદના બે સમતલીય આકૃતિઓ હોય છે. આ 1929માં જ્હોન વોન ન્યુમેન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, જે પસંદગીના સિદ્ધાંતને ધારણ કરે છે. તે અગાઉના બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ પર આધારિત છે, જે હૌસડોર્ફ વિરોધાભાસ પર આધારિત છે. બનાચ અને ટાર્સ્કીએ સાબિત કર્યું હતું કે, સમમિતિય પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને, દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિને અલગ કરવા અને ફરીથી જોડવાનું પરિણામ આવશ્યકપણે મૂળ જેટલું જ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું હશે. આ એકમાંથી બે એકમ ચોરસ બનાવવાનું અશક્ય બનાવશે. પરંતુ વોન ન્યુમેનને સમજાયું કે આવા કહેવાતા વિરોધાભાસી વિઘટનની યુક્તિ પરિવર્તનના જૂથનો ઉપયોગ હતો જેમાં પેટા જૂથ તરીકે બે જનરેટર સાથે મુક્ત જૂથનો સમાવેશ થાય છે. વિસ્તાર-જાળવણી પરિવર્તનોનું જૂથ (પછી ભલે તે વિશેષ રેખીય જૂથ હોય કે વિશેષ એફાઇન જૂથ) આવા પેટા જૂથો ધરાવે છે, અને આ તેમના ઉપયોગથી વિરોધાભાસી વિઘટન કરવાની શક્યતા ખોલે છે. પદ્ધતિનું રેખાચિત્ર વોન ન્યુમેન દ્વારા શોધાયેલી પદ્ધતિનું અનૌપચારિક વર્ણન નીચે મુજબ છે. ધારો કે આપણી પાસે બે પરિવર્તન, σ અને τ દ્વારા પેદા થયેલ ક્ષેત્ર-સંરક્ષિત રેખીય પરિવર્તનોનું મુક્ત જૂથ H છે, જે ઓળખ તત્વથી દૂર નથી. મુક્ત જૂથ હોવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ તત્વોને અમુક n ના સ્વરૂપમાં અનન્ય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યાં સંભવતઃ પ્રથમ અને છેલ્લા સિવાય s અને s બધા બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંકો છે. આપણે આ જૂથને બે ભાગોમાં વહેંચી શકીએ છીએઃ જે ડાબી બાજુએ σ થી શરૂ થાય છે અને કેટલીક બિન-શૂન્ય શક્તિ (આપણે આ સમૂહને A કહીએ છીએ) અને જે τ થી શરૂ થાય છે અને અમુક શક્તિ (એટલે કે, શૂન્ય છે-આપણે આ સમૂહને B કહીએ છીએ, અને તેમાં ઓળખનો સમાવેશ થાય છે). જો આપણે યુક્લિડિયન 2-અવકાશમાં H ના વિવિધ ઘટકો દ્વારા કોઈપણ બિંદુ પર કામ કરીએ તો આપણને તે બિંદુની ભ્રમણકક્ષા મળે છે. આ રીતે સમતલના તમામ બિંદુઓને ભ્રમણકક્ષામાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જેમાંથી સાતત્યની મુખ્યતા સાથે અનંત સંખ્યા હોય છે. પસંદગીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દરેક ભ્રમણકક્ષામાંથી એક બિંદુ પસંદ કરી શકીએ છીએ અને આ બિંદુઓના સમૂહને એમ કહી શકીએ છીએ. આપણે મૂળને બાકાત રાખીએ છીએ, જે એચમાં એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. જો આપણે પછી એચના તમામ ઘટકો દ્વારા એમ પર કાર્ય કરીએ, તો આપણે સમતલના દરેક બિંદુ (મૂળ સિવાય) બરાબર એક જ વાર ઉત્પન્ન કરીએ છીએ. જો આપણે A અથવા B ના તમામ ઘટકો દ્વારા M પર કામ કરીએ, તો આપણને બે અસંબદ્ધ સમૂહો મળે છે, જેનું જોડાણ બધા બિંદુઓ છે પરંતુ મૂળ છે. હવે આપણે યુનિટ સ્ક્વેર અથવા યુનિટ ડિસ્ક જેવી કેટલીક આકૃતિ લઈએ છીએ. પછી આપણે તેની અંદર સંપૂર્ણપણે બીજી આકૃતિ પસંદ કરીએ છીએ, જેમ કે એક નાનો ચોરસ, જે મૂળમાં કેન્દ્રિત છે. આપણે મોટી આકૃતિને નાની આકૃતિની ઘણી નકલો સાથે આવરી શકીએ છીએ, જોકે કેટલાક મુદ્દાઓ બે અથવા વધુ નકલો દ્વારા આવરી લેવામાં આવ્યા છે. પછી આપણે મોટી આકૃતિનો દરેક બિંદુ નાની આકૃતિની નકલોમાંથી એકને સોંપી શકીએ છીએ. ચાલો આપણે દરેક નકલને અનુરૂપ સમૂહોને કૉલ કરીએ. હવે આપણે માત્ર વિસ્તાર-સંરક્ષિત પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરીને, મોટી આકૃતિમાં દરેક બિંદુને તેના આંતરિક ભાગમાં એક બિંદુ સુધી એક-થી-એક મેપિંગ બનાવીશું. આપણે સંબંધિત બિંદુઓ લઈએ છીએ અને તેમનું ભાષાંતર કરીએ છીએ જેથી ચોરસનું કેન્દ્ર મૂળ સ્થાને હોય. પછી આપણે તેમાં તે બિંદુઓ લઈએ છીએ જે ઉપર વ્યાખ્યાયિત સમૂહ A માં છે અને તેમના પર ક્ષેત્ર-જાળવણી કામગીરી στ દ્વારા કાર્ય કરે છે. આ તેમને સમૂહ B માં મૂકે છે. પછી આપણે B સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ લઈએ છીએ અને તેમના પર σ2 સાથે કામ કરીએ છીએ. તેઓ હવે હજુ પણ બીમાં હશે, પરંતુ આ બિંદુઓનો સમૂહ અગાઉના સમૂહથી અલગ હશે. આપણે આ રીતે આગળ વધીએ છીએ, C2 માંથી A બિંદુઓ પર σ3τ (તેને કેન્દ્રિત કર્યા પછી) અને તેના B બિંદુઓ પર σ4 નો ઉપયોગ કરીને, અને તેથી વધુ. આ રીતે, અમે મોટા આંકડામાંથી (કેટલાક નિશ્ચિત બિંદુઓ સિવાય) તમામ બિંદુઓને એક-થી-એક રીતે કેન્દ્રથી ખૂબ દૂર ન હોય તેવા બી પ્રકારનાં બિંદુઓ સાથે અને મોટા આંકડાની અંદર મેપ કર્યા છે. પછી આપણે એ પ્રકારનાં બિંદુઓનું બીજું મેપિંગ કરી શકીએ છીએ. આ તબક્કે આપણે કેન્ટોર-બર્નસ્ટીન-શ્રોએડર પ્રમેયની પદ્ધતિ લાગુ કરી શકીએ છીએ. આ પ્રમેય આપણને જણાવે છે કે જો આપણી પાસે સમૂહ D માંથી E ને સુયોજિત કરવા માટે ઈન્જેક્શન હોય (જેમ કે મોટી આકૃતિથી તેમાં A પ્રકારનાં બિંદુઓ), અને E થી D સુધી ઈન્જેક્શન હોય (જેમ કે આકૃતિમાં A પ્રકારનાં બિંદુઓથી પોતાને ઓળખવાનું મેપિંગ), તો પછી D અને E વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોટી આકૃતિથી તેમાંના A બિંદુઓના સબસેટ સુધીનું મેપિંગ હોય, તો આપણે મોટી આકૃતિથી તેનામાંના તમામ A બિંદુઓ સુધી મેપિંગ (બાયજેક્શન) કરી શકીએ છીએ. (કેટલાક પ્રદેશોમાં બિંદુઓને પોતાની સાથે મેપ કરવામાં આવે છે, અન્યમાં તેમને અગાઉના ફકરામાં વર્ણવેલ મેપિંગનો ઉપયોગ કરીને મેપ કરવામાં આવે છે.) તેવી જ રીતે આપણે મોટી આકૃતિથી લઈને તેના તમામ બી બિંદુઓ સુધીનું મેપિંગ બનાવી શકીએ છીએ. તેથી આને બીજી રીતે જોતાં, આપણે આકૃતિને તેના એ અને બી બિંદુઓમાં અલગ કરી શકીએ છીએ, અને પછી આ દરેકને સંપૂર્ણ આકૃતિમાં પાછા મેપ કરી શકીએ છીએ (એટલે કે, બંને પ્રકારના બિંદુઓ ધરાવે છે)! આ સ્કેચ કેટલીક બાબતો પર ગ્લોસ કરે છે, જેમ કે નિશ્ચિત બિંદુઓને કેવી રીતે હેન્ડલ કરવા. તે તારણ આપે છે કે આની આસપાસ કામ કરવા માટે વધુ મેપિંગ અને વધુ સેટ જરૂરી છે. પરિણામો ચોરસ માટેના વિરોધાભાસને નીચે પ્રમાણે મજબૂત કરી શકાય છેઃ ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક ભાગો સાથે યુક્લિડિયન સમતલના કોઈપણ બે બંધાયેલા ઉપગણ વિસ્તાર-સંરક્ષિત સંલગ્ન નકશાના સંદર્ભમાં સમાન સુસંગત છે. આ માપની સમસ્યાને લગતી અસરો ધરાવે છે. વોન ન્યુમેન નોંધે છે તેમ, "ઈન્ફોલગેડેસેન ગિબ્ટ એ ડેર ઇબેન કેઇન નિક્ટનેગેટિવ્સ એડિટિવ્સ માસ (વો દાસ આઈનહીટ્સક્વાડ્રેટ દાસ માસ 1 હેટ), દાસ [એસ. આઈ. સી.] ગેજેન્યુબર એલેન એબિલ્ડુંગેન વોન એ 2 અપરિવર્તનશીલ વેર" માં વંચિત છે. "આ અનુસાર, પહેલાથી જ સમતલમાં કોઈ બિન-નકારાત્મક યોગાત્મક માપ નથી (જેના માટે એકમ વર્ગનું માપ 1 છે), જે A2 [વિસ્તાર-સંરક્ષિત એફાઇન પરિવર્તનોનું જૂથ] સાથે જોડાયેલા તમામ પરિવર્તનના સંદર્ભમાં અપરિવર્તનશીલ છે". આને થોડી વધુ સમજાવવા માટે, ચોક્કસ પરિવર્તન હેઠળ સંરક્ષિત મર્યાદિત રીતે ઉમેરણ માપ અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ તે પ્રશ્ન, કયા પરિવર્તનની મંજૂરી છે તેના પર આધાર રાખે છે. સમતલમાં સમૂહોનું બનાચ માપ, જે અનુવાદો અને પરિભ્રમણ દ્વારા સાચવવામાં આવે છે, તે બિન-સમમિતીય પરિવર્તન દ્વારા સાચવવામાં આવતું નથી, પછી ભલે તે બહુકોણના વિસ્તારને જાળવી રાખે. ઉપર સમજાવ્યા મુજબ, સમતલના બિંદુઓને (મૂળ સિવાયના) બે ગાઢ સમૂહોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જેને આપણે A અને B કહી શકીએ છીએ. જો આપેલ બહુકોણના A બિંદુઓ ચોક્કસ વિસ્તાર-સંરક્ષિત પરિવર્તન દ્વારા અને B બિંદુઓ બીજા દ્વારા રૂપાંતરિત થાય, તો બંને સમૂહો બે નવા બહુકોણમાં B બિંદુઓના ઉપગણ બની શકે છે. નવા બહુકોણોનું ક્ષેત્રફળ જૂના બહુકોણ જેટલું જ હોય છે, પરંતુ બે રૂપાંતરિત સમૂહોમાં પહેલાની જેમ સમાન માપ ન હોઈ શકે (કારણ કે તેમાં બી બિંદુઓનો માત્ર એક ભાગ હોય છે), અને તેથી "કામ કરે છે" એવું કોઈ માપ નથી. બનાચ-ટાર્સ્કી ઘટનાના અભ્યાસ દરમિયાન વોન ન્યુમેન દ્વારા અલગ કરાયેલા જૂથોનો વર્ગ ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રો માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સાબિત થયોઃ આ અનુકૂળ જૂથો છે, અથવા અપરિવર્તનશીલ સરેરાશ ધરાવતા જૂથો છે, અને તેમાં તમામ મર્યાદિત અને તમામ ઉકેલવા યોગ્ય જૂથોનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિરોધાભાસી વિઘટન ત્યારે થાય છે જ્યારે સમતુલ્યતાની વ્યાખ્યામાં સમાનતા માટે વપરાયેલ જૂથ અનુકૂળ નથી. તાજેતરની પ્રગતિ વોન ન્યુમેનના પેપરમાં રેખીય જૂથ SL (2, R) (વેગન, પ્રશ્ન 7.4) ના સંદર્ભમાં એકમ ચોરસના આંતરિક ભાગમાં વિરોધાભાસી વિઘટનની શક્યતા ખુલ્લી પડી છે. 2000 માં, મિક્લોસ લેક્ઝકોવિચે સાબિત કર્યું કે આવા વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, A એ ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક અને મૂળથી હકારાત્મક અંતરે આવેલા સમતલના તમામ બંધાયેલા ઉપગણોનું કુટુંબ છે, અને B એ તમામ સમતલીય સમૂહોનું કુટુંબ છે, જે SL (2, R) ના કેટલાક ઘટકો હેઠળ મર્યાદિત રીતે ઘણા સંયોજનનો અનુવાદ કરે છે, જે મૂળના છિદ્રિત પડોશ ધરાવે છે. પછી કુટુંબ A ના તમામ સમૂહો SL (2, R)-સમાન સુસંગત હોય છે, અને તેવી જ રીતે B ના સમૂહો માટે. તે અનુસરે છે કે બંને પરિવારો વિરોધાભાસી સમૂહો ધરાવે છે. આ પણ જુઓ સંદર્ભો જૂથ સિદ્ધાંત માપ સિદ્ધાંત ગણિતના પાયામાં ગાણિતિક વિરોધાભાસ પ્રમેયો