Superellipsoid
ગણિતમાં, સુપરેલિપ્સૉઇડ (અથવા સુપર-એલિપ્સૉઇડ) એ એક ઘન છે જેના આડા વિભાગો સમાન વર્ગાકાર પરિમાણ સાથે સુપરેલિપ્સ (લેમે વણાંકો) છે, અને જેના કેન્દ્રમાંથી ઊભી વિભાગો વર્ગાકાર પરિમાણ સાથે સુપરેલિપ્સ છે. તે લંબગોળનું સામાન્યીકરણ છે, જે એક ખાસ કેસ છે જ્યારે. કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ પ્રિમિટિવ્સ તરીકે સુપરલિપ્સૉઇડ્સને એલન એચ. બાર દ્વારા લોકપ્રિય બનાવવામાં આવ્યા હતા (જેમણે સુપરલિપ્સૉઇડ્સ અને સુપરટોરોઇડ્સ બંનેનો સંદર્ભ આપવા માટે "સુપરક્વાડ્રિક્સ" નામનો ઉપયોગ કર્યો હતો). આધુનિક કોમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ અને રોબોટિક્સ સાહિત્યમાં, સુપરક્વાડ્રિક્સ અને સુપરલિપ્સૉઇડ્સનો એકબીજાના બદલે ઉપયોગ થાય છે, કારણ કે સુપરલિપ્સૉઇડ્સ એ તમામ સુપરક્વાડ્રિક્સમાં સૌથી વધુ પ્રતિનિધિ અને વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા આકાર છે. સુપરેલિપ્સૉઇડ્સ સમૃદ્ધ આકારના શબ્દભંડોળ ધરાવે છે, જેમાં ક્યુબોઇડ્સ, સિલિન્ડર્સ, લંબગોળ, ઓક્ટાહેડ્રા અને તેમના મધ્યસ્થીઓનો સમાવેશ થાય છે. તે કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ, રોબોટિક્સ અને ભૌતિક સિમ્યુલેશનમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતી એક મહત્વપૂર્ણ ભૌમિતિક આદિમ બની જાય છે. પદાર્થો અને સુપરેલિપ્સૉઇડ્સ સાથેના વાતાવરણનું વર્ણન કરવાનો મુખ્ય ફાયદો તેની સંક્ષિપ્તતા અને આકારમાં અભિવ્યક્તિ છે. વધુમાં, બે સુપરેલિપ્સૉઇડ્સ વચ્ચે મિન્કોવ્સ્કી રકમની બંધ-સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ ઉપલબ્ધ છે. આ તેને રોબોટને પકડવા, અથડામણની શોધ અને ગતિ આયોજન માટે ઇચ્છનીય ભૌમિતિક આદિમ બનાવે છે. સુપરક્વાડ્રિક વિઝ્યુલાઇઝેશન, સેમ્પલિંગ અને રિકવરી માટે ઉપયોગી સાધનો અને અલ્ગોરિધમ્સ અહીં ઓપન સોર્સ છે. વિશિષ્ટ કિસ્સાઓમાં મુઠ્ઠીભર નોંધપાત્ર ગાણિતિક આંકડાઓ મૂલ્યોના સાચા સમૂહને ધ્યાનમાં રાખીને સુપરલિપ્સૉઇડ્સના વિશેષ કિસ્સાઓ તરીકે ઊભી થઈ શકે છે, જે ઉપરના ગ્રાફિકમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છેઃ સિલિન્ડર સ્ફીઅર સ્ટેઇનમેટ્ઝ સોલિડ બાયકોન રેગ્યુલર ઓક્ટાહેડ્રોન ક્યુબ, એક મર્યાદિત કેસ તરીકે જ્યાં ઘાતાંકો અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે પીટ હેઇનના સુપરરેગ્સ પણ સુપરલિપ્સૉઇડ્સના વિશેષ કિસ્સાઓ છે. ફોર્મ્યુલા બેઝિક (નોર્મલાઇઝ્ડ) સુપરેલિપ્સૉઇડ બેઝિક સુપરેલિપ્સૉઇડને ઇમ્પ્લિસિટ ફંક્શન પરિમાણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે આકારની ચોરસનેસને નિયંત્રિત કરે છે. સુપરેલિપ્સૉઇડની સપાટીને સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ કોઈપણ બિંદુ માટે, બિંદુ સુપરેલિપ્સૉઇડની અંદર હોય છે, અને બહાર હોય છે. સુપરએલિપ્સૉઇડની કોઈપણ "અક્ષાંશની સમાંતર" (-1 અને + 1 વચ્ચેના કોઈપણ અચળ z પર એક આડી વિભાગ) એ ઘાતાંક સાથે લામ વળાંક છે, જે દ્વારા માપવામાં આવે છે, જે કોઈપણ "રેખાંશનું મેરિડીયન" (મૂળ દ્વારા કોઈપણ ઊભી સપાટી દ્વારા એક વિભાગ) એ ઘાતાંક સાથે લામ વળાંક છે, જે પરિબળ દ્વારા આડી રીતે ખેંચાય છે જે વિભાજન સમતલ પર આધાર રાખે છે. એટલે કે, જો અને, આપેલ માટે, પછી વિભાગ એ છે જ્યાં ખાસ કરીને, જો 1 હોય, તો આડી ક્રોસ-સેક્શન વર્તુળો છે, અને ઊભી વિભાગોનું આડી ખેંચાણ તમામ સમતલ માટે 1 છે. તે કિસ્સામાં, સુપરેલિપ્સૉઇડ એ પરિભ્રમણનું ઘન છે, જે ઊભી અક્ષની આસપાસ ઘાતાંક સાથે લેમે વળાંકને ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. ઉપરનો મૂળભૂત આકાર દરેક સંકલન અક્ષ સાથે −1 થી + 1 સુધી વિસ્તરે છે. પરિણામી ઘનના અર્ધ-વ્યાસના પરિબળો દ્વારા દરેક અક્ષ સાથે મૂળભૂત આકારને સ્કેલ કરીને સામાન્ય સુપરેલિપ્સૉઇડ મેળવવામાં આવે છે. ગર્ભિત કાર્ય છે. તેવી જ રીતે, સુપરેલિપ્સૉઇડની સપાટીને સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કોઈપણ બિંદુ માટે, બિંદુ સુપરેલિપ્સૉઇડની અંદર હોય છે, અને બહાર હોય છે. તેથી, ગર્ભિત કાર્યને સુપરેલિપ્સૉઇડનું અંદર-બહારનું કાર્ય પણ કહેવામાં આવે છે. સુપરેલિપ્સૉઇડ સપાટીના પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ પેરામેટ્રિક રજૂઆત ધરાવે છે. કોમ્પ્યુટર વિઝન અને રોબોટિક એપ્લિકેશન્સમાં, 3D યુક્લિડિયન જગ્યામાં સામાન્ય મુદ્રા સાથે સુપરેલિપ્સૉઇડ સામાન્ય રીતે વધુ રસ ધરાવે છે. વિશ્વની ફ્રેમની સાપેક્ષમાં સુપરેલિપ્સૉઇડ ફ્રેમના આપેલ યુક્લિડિયન પરિવર્તન માટે, વિશ્વની ફ્રેમને વ્યાખ્યાયિત કરતી સામાન્ય ઊભી સુપરેલિપ્સૉઇડ સપાટીનું ગર્ભિત કાર્ય એ છે કે જ્યાં પરિવર્તન કામગીરી છે જે વિશ્વની ફ્રેમમાં બિંદુને કેનોનિકલ સુપરેલિપ્સૉઇડ ફ્રેમમાં મેપ કરે છે. સુપરેલિપ્સૉઇડનું કદ સુપરેલિપ્સૉઇડ સપાટી દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલ કદને બીટા કાર્યોની દ્રષ્ટિએ અથવા ગામા કાર્ય સાથે સમકક્ષ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, કારણ કે ડેટામાંથી પુનઃપ્રાપ્તિ કાચા ડેટામાંથી સુપરેલિપ્સૉઇડ (અથવા સુપરક્વાડ્રિક્સ) પ્રતિનિધિત્વને પુનઃપ્રાપ્ત કરવું (દા. ત., પોઇન્ટ ક્લાઉડ, મેશ, છબીઓ અને વોક્સેલ્સ) એ કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ, રોબોટિક્સ અને ભૌતિક સિમ્યુલેશનમાં એક મહત્વપૂર્ણ કાર્ય છે. પરંપરાગત કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓ સમસ્યાને ઓછામાં ઓછી ચોરસ સમસ્યા તરીકે રજૂ કરે છે. ધ્યેય સુપરેલિપ્સૉઇડ પરિમાણોનો શ્રેષ્ઠ સમૂહ શોધવાનો છે જે એક ઉદ્દેશ્ય કાર્યને નાનું બનાવે છે. આકારના પરિમાણો સિવાય, વિશ્વ સંકલનના સંદર્ભમાં સુપરેલિપ્સૉઇડ ફ્રેમની મુદ્રા છે. બે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા ઉદ્દેશ્ય કાર્યો છે. પ્રથમનું નિર્માણ સીધા જ ગર્ભિત કાર્યના આધારે કરવામાં આવ્યું છે ઉદ્દેશ્ય કાર્યનું લઘુતમકરણ તમામ ઇનપુટ બિંદુઓની શક્ય તેટલી નજીક પુનઃપ્રાપ્ત સુપરલિપ્સૉઇડ પ્રદાન કરે છે. સરેરાશ સમયે, સ્કેલર મૂલ્ય સુપરેલિપ્સૉઇડના કદના હકારાત્મક પ્રમાણમાં હોય છે, અને આમ તે કદને ઘટાડવાની અસર પણ ધરાવે છે. અન્ય ઉદ્દેશ્ય કાર્ય બિંદુઓ અને સુપરેલિપ્સૉઇડ વચ્ચેના રેડિયલ અંતરને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરે છે. એટલે કે, જ્યાં ઇ. એમ. એસ. નામની સંભવિત પદ્ધતિ ઘોંઘાટ અને બાહ્ય સંકેતો સાથે વ્યવહાર કરવા માટે રચાયેલ છે. આ પદ્ધતિમાં, સુપરેલિપ્સૉઇડ પુનઃપ્રાપ્તિને મહત્તમ સંભાવના અંદાજની સમસ્યા તરીકે સુધારવામાં આવે છે, અને સુપરેલિપ્સૉઇડ્સની ભૌમિતિક સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને સ્થાનિક મિનિમાને ટાળવા માટે ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિની દરખાસ્ત કરવામાં આવે છે. એક સાથે બહુવિધ સુપરેલિપ્સૉઇડ્સ પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે બિનપરામેટ્રિક બાયેસિયન તકનીકો સાથે મોડેલિંગ દ્વારા પદ્ધતિને વધુ વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ બાર, "સુપરક્વાડ્રિક્સ અને એન્ગલ-પ્રિઝર્વિંગ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ", IEEE કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ અને એપ્લિકેશન્સમાં, વોલ્યુમ. 1, ના. 1, પીપી. 11-23, જાન્યુઆરી 1981, ડોઈઃ 10.1109/MCG.1981.1673799. અલેસ જેક્લિચ, અલેસ લિયોનાર્ડિસ, ફ્રાંક સોલિના, સેગમેન્ટેશન એન્ડ રિકવરી ઓફ સુપરક્વાડ્રિક્સ. ક્લુવર એકેડેમિક પબ્લિશર્સ, ડોર્ડ્રેક્ટ, 2000. અલેસ જેક્લિચ, ફ્રાન્ક સોલિના (2003) મોમેન્ટ્સ ઓફ સુપરલિપ્સૉઇડ્સ એન્ડ ધેર એપ્લિકેશન ટુ રેન્જ ઈમેજ રજિસ્ટ્રેશન. સિસ્ટમો, મેન અને સાયબર્નેટિક્સ પર IEEE ટ્રાન્ઝેક્શન્સ, 33 (4). પીપી. 648-657 ડબલ્યુ. લિયુ, વાય. વુ, એસ. રુઆન અને જી. એસ. ચિરિકજિયાન, "રોબસ્ટ એન્ડ એક્યુરેટ સુપરક્વાડ્રિક રિકવરીઃ એ પ્રોબેબિલિસ્ટિક એપ્રોચ", 2022 IEEE/CVF કોન્ફરન્સ ઓન કમ્પ્યુટર વિઝન એન્ડ પેટર્ન રેકગ્નિશન (સીવીપીઆર), ન્યૂ ઓર્લિયન્સ, એલએ, યુએસએ, 2022, પીપી. 2666-2675, ડોઈઃ 10.1109/CVPR52688.2022.00270. બાહ્ય કડીઓ ગ્રંથસૂચિઃ સુપરક્વાડ્રિક પ્રતિનિધિત્વ સુપરક્વાડ્રિક ટેન્સર ગ્લિફ્સ સુપરક્વાડ્રિક એલિપ્સૉઇડ્સ અને ટોરોઇડ્સ, ઓપનજીએલ લાઇટિંગ, અને રોબર્ટ ક્રેગલર દ્વારા ટાઇમિંગ સુપરક્વાડ્રેટિક્સ, ધ વોલ્ફ્રેમ ડેમોન્સ્ટ્રેશન પ્રોજેક્ટ. પાયથોન અને મેટલેબમાં સુપરક્વાડ્રિક્સ પુનઃપ્રાપ્તિ અલ્ગોરિધમ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ રોબોટિક્સ કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિમાં ભૂમિતિ ભૂમિતિ