Lie product formula
ગણિતમાં, સોફુસ લાઈ (1875) માટે નામ આપવામાં આવેલું લાઈ ઉત્પાદન સૂત્ર, પણ વ્યાપક રીતે ટ્રોટર ઉત્પાદન સૂત્ર તરીકે પણ ઓળખાય છે, જેનું નામ હેલ ટ્રોટરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, તે જણાવે છે કે મનસ્વી m × m વાસ્તવિક અથવા જટિલ મેટ્રિસીસ A અને B માટે, જ્યાં eA એ A ની મેટ્રિક્સ ઘાતાંકીય સૂચવે છે. લાઈ-ટ્રોટર પ્રોડક્ટ ફોર્મ્યુલા અને ટ્રોટર-કાટો થીયરમ આને અમુક અનબાઉન્ડ રેખીય ઓપરેટરો A અને B સુધી વિસ્તરે છે. આ સૂત્ર શાસ્ત્રીય ઘાતાંકીય કાયદાનું અનુરૂપ છે જે તમામ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ x અને y માટે માન્ય છે. જો x અને y ને મેટ્રિસીસ A અને B સાથે બદલવામાં આવે, અને ઘાતાંકને મેટ્રિક્સ એક્સ્પોનેન્શલ સાથે બદલવામાં આવે, તો સામાન્ય રીતે A અને B માટે નિયમ હજુ પણ જાળવી રાખવા માટે પરિવર્તન કરવું જરૂરી છે. જો કે, લાઈ ઉત્પાદન સૂત્ર એ અને બી એ તમામ મેટ્રિસીસ માટે લાગુ પડે છે, તે પણ જે પરિવહન કરતા નથી. લાઈ ઉત્પાદન સૂત્ર કલ્પનાત્મક રીતે બેકર-કેમ્પબેલ-હૌસડોર્ફ સૂત્ર સાથે સંબંધિત છે, જેમાં બંને ક્લાસિકલ એક્સ્પોનેન્શલ લૉ માટે નોન-કોમ્યુટિંગ ઓપરેટર્સના સંદર્ભમાં રિપ્લેસમેન્ટ છે. સૂત્રમાં ઉપયોગો છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના પાથ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ્યુલેશનમાં. તે શ્રોડિંગર ઇવોલ્યુશન ઓપરેટર (પ્રોપેગેટર) ને ગતિશીલ અને સંભવિત ઓપરેટરો (સુઝુકી-ટ્રોટર વિઘટન, ટ્રોટર અને માસુઓ સુઝુકી પછી) ના વૈકલ્પિક વૃદ્ધિમાં અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ જ વિચારનો ઉપયોગ વિભેદક સમીકરણોના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે વિભાજન પદ્ધતિઓના નિર્માણમાં થાય છે. વધુમાં, લાઈ પ્રોડક્ટ થીયરમ ફેનમેન-કાક સૂત્રને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે. ટ્રોટર-કાટો પ્રમેયનો ઉપયોગ રેખીય C0-અર્ધ જૂથોના અંદાજ માટે થઈ શકે છે. સમય-વિકસતા બ્લોક ડિસીમેશન સંદર્ભો સોફસ લાઈ અને ફ્રેડરિક એન્ગલ (1888,1890,1893) પણ જુઓ. થિયોરી ડેર ટ્રાન્સફોર્મેશન્સગ્રુપેન (પ્રથમ આવૃત્તિ, લેઇપઝિગ; બીજી આવૃત્તિ, એએમએસ ચેલ્સિયા પબ્લિશિંગ, 1970). , પૃ. 99. મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંત જૂઠ જૂથો