Dynamic mode decomposition
ડાયનેમિક મોડ ડીકમ્પોઝિશન (ડીએમડી) એ 2008માં પીટર જે. શ્મિડ અને જોર્ન સેસ્ટરહેન દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલ પરિમાણીયતા ઘટાડવાનું અલ્ગોરિધમ છે. માહિતીની સમય શ્રેણીને ધ્યાનમાં રાખીને, ડીએમડી સ્થિતિઓના સમૂહની ગણતરી કરે છે, જેમાંથી દરેક નિશ્ચિત દોલન આવર્તન અને ક્ષય/વૃદ્ધિ દર સાથે સંકળાયેલ છે. ખાસ કરીને રેખીય પ્રણાલીઓ માટે, આ સ્થિતિઓ અને આવૃત્તિઓ પ્રણાલીના સામાન્ય સ્થિતિઓ જેવી જ હોય છે, પરંતુ વધુ સામાન્ય રીતે, તેઓ રચના સંચાલક (જેને કૂપમેન સંચાલક પણ કહેવાય છે) ના સ્થિતિઓ અને આઈગનવેલ્યુઝના અંદાજો છે. દરેક સ્થિતિ સાથે સંકળાયેલ આંતરિક અસ્થાયી વર્તણૂકોને કારણે, ડીએમડી મુખ્ય ઘટક વિશ્લેષણ જેવી પરિમાણીયતા ઘટાડવાની પદ્ધતિઓથી અલગ છે, જે પૂર્વનિર્ધારિત અસ્થાયી વર્તણૂકોનો અભાવ ધરાવતા ઓર્થોગોનલ સ્થિતિઓની ગણતરી કરે છે. કારણ કે તેની સ્થિતિઓ ઓર્થોગોનલ નથી, તેથી પી. સી. એ. દ્વારા પેદા થતી રજૂઆતો કરતાં ડીએમડી-આધારિત રજૂઆતો ઓછી અસ્પષ્ટ હોઈ શકે છે. જો કે, તેઓ શારીરિક રીતે વધુ અર્થપૂર્ણ પણ હોઈ શકે છે કારણ કે દરેક સ્થિતિ સમયસર ભીની (અથવા સંચાલિત) સાઇનસોઇડલ વર્તણૂક સાથે સંકળાયેલી હોય છે. ઝાંખી ડાયનેમિક મોડ વિઘટન સૌપ્રથમ શ્મિડ દ્વારા પ્રવાહ ડેટામાંથી ડાયનેમિકલ સુવિધાઓ કાઢવા માટેની આંકડાકીય પ્રક્રિયા તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ડેટા સ્નેપશોટ અનુક્રમનું સ્વરૂપ લે છે જ્યાં પ્રવાહ ક્ષેત્રનો-th સ્નેપશોટ છે, અને ડેટા મેટ્રિક્સ છે જેની કૉલમ વ્યક્તિગત સ્નેપશોટ છે. આ સ્નેપશોટ રેખીય મેપિંગ દ્વારા સંબંધિત હોવાનું માનવામાં આવે છે જે રેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે નમૂનાના સમયગાળાના સમયગાળા દરમિયાન લગભગ સમાન રહે છે. મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખાયેલું, આ સૂચવે છે કે અવશેષોનું વેક્ટર ક્યાં છે જે વર્તણૂકો માટે જવાબદાર છે જેને,,, અને દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ણવી શકાતું નથી. અભિગમને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ડીએમડીનું આઉટપુટ એ આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સ છે, જેને અનુક્રમે ડીએમડી આઈગનવેલ્યુ અને ડીએમડી મોડ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અલ્ગોરિધમ આ આઈગનવેલ્યુ અને સ્થિતિઓ મેળવવા માટે બે પદ્ધતિઓ છે. પ્રથમ આર્નોલ્ડી જેવું છે, જે ક્રાયલોવ પદ્ધતિઓ સાથેના જોડાણને કારણે સૈદ્ધાંતિક વિશ્લેષણ માટે ઉપયોગી છે. બીજું એક એકવચન મૂલ્ય વિઘટન (એસ. વી. ડી.) આધારિત અભિગમ છે જે ડેટામાં ઘોંઘાટ અને આંકડાકીય ભૂલો માટે વધુ મજબૂત છે. આર્નોલ્ડી અભિગમ પ્રવાહી કાર્યક્રમોમાં, સ્નેપશોટનું કદ, સ્નેપશોટની સંખ્યા કરતાં ઘણું મોટું હોવાનું માનવામાં આવે છે, તેથી તેની ઘણી સમાન માન્ય પસંદગીઓ છે. મૂળ ડીએમડી અલ્ગોરિધમ પસંદ કરે છે જેથી દરેક સ્નેપશોટને સ્નેપશોટના રેખીય સંયોજનો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય. કારણ કે મોટાભાગના સ્નેપશોટ બંને ડેટા સમૂહોમાં દેખાય છે, આ રજૂઆત સિવાયના તમામ સ્નેપશોટ માટે ભૂલ મુક્ત છે, જે એમ લખવામાં આવે છે કે જ્યાં ગુણાંકનો સમૂહ છે ડીએમડીએ ઓળખવો જ જોઇએ અને તે શેષ છે. કુલ મળીને, કમ્પેનિયન મેટ્રિક્સ ક્યાં છે વેક્ટરની ગણતરી ઓછામાં ઓછા વર્ગની સમસ્યાને હલ કરીને કરી શકાય છે, જે એકંદર અવશેષને ઘટાડે છે. ખાસ કરીને જો આપણે તેનું ક્યુ. આર. વિઘટન લઈએ, તો. આ સ્વરૂપમાં, ડીએમડી એ આર્નોલ્ડી પદ્ધતિનો એક પ્રકાર છે, અને તેથી ના આઈગનવેલ્યુ એ ના આઈગનવેલ્યુના અંદાજો છે. વધુમાં, જો એક આઈગનવેક્ટર છે, તો તે એક અંદાજિત આઈગનવેક્ટર છે. ઇગેનડેકમ્પોઝિશન તેના બદલે તેના પર કરવામાં આવે છે કારણ કે તે તેના કરતા ઘણું નાનું છે, તેથી ડીએમડીની કોમ્પ્યુટેશનલ કિંમત સ્નેપશોટના કદને બદલે સ્નેપશોટની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. એસવીડી-આધારિત અભિગમ સાથી મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાને બદલે, એસવીડી-આધારિત અભિગમ મેટ્રિક્સ આપે છે જે સમાનતા પરિવર્તન દ્વારા સંબંધિત છે. આ કરવા માટે, ધારો કે આપણી પાસે SVD છે. પછી આર્નોલ્ડી-આધારિત અભિગમ દ્વારા કરવામાં આવેલી ધારણાને સમકક્ષ, આપણે એવી રીતે પસંદ કરીએ છીએ કે જેમાં સ્નેપશોટને સ્તંભોની રેખીય સુપરપોઝિશન તરીકે લખી શકાય, જે તેમને પી. ઓ. ડી. સ્થિતિઓના સુપરપોઝિશન તરીકે લખી શકાય તે જરૂરી છે. આ પ્રતિબંધ સાથે, અવશેષને ઓછું કરવા માટે જરૂરી છે કે તે પી. ઓ. ડી. આધાર (એટલે કે,) માટે ઓર્થોગોનલ હોય. પછી ઉપરના સમીકરણની બંને બાજુઓને ઉપજ દ્વારા ગુણાકાર કરવો, જેને મેળવવા માટે હેરફેર કરી શકાય છે કારણ કે અને સમાનતા પરિવર્તન દ્વારા સંબંધિત છે, તેના આઈગનવેલ્યુ એ આઈગનવેલ્યુ છે, અને જો તે આઈગનવેક્ટર છે, તો તે એક આઈગનવેક્ટર છે. સારાંશમાં, SVD-આધારિત અભિગમ નીચે મુજબ છેઃ માહિતીની સમય શ્રેણીને બે મેટ્રિસીસમાં વિભાજિત કરો અને. ની SVD ની ગણતરી કરો. મેટ્રિક્સ બનાવો, અને તેના આઈગનવેલ્યુઝ અને આઈગનવેક્ટર્સની ગણતરી કરો. - th DMD આઈગન વેલ્યુ છે અને-th DMD મોડ છે. આર્નોલ્ડી જેવા અભિગમ પર એસવીડી આધારિત અભિગમનો ફાયદો એ છે કે ડેટામાં ઘોંઘાટ અને આંકડાકીય કાપણીના મુદ્દાઓને એસવીડીને કાપીને સરભર કરી શકાય છે. જેમ કે પ્રથમ દંપતી સ્થિતિઓ અને આઈગનવેલ્યુ કરતાં વધુની સચોટ ગણતરીમાં નોંધ્યું છે કે આ કાપણી પગલા વિના પ્રાયોગિક ડેટા સમૂહો પર મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. સૈદ્ધાંતિક અને અલ્ગોરિધમિક પ્રગતિઓ 2010 માં તેની શરૂઆત થઈ ત્યારથી, નોંધપાત્ર પ્રમાણમાં કાર્ય ડીએમડીને સમજવા અને સુધારવા પર કેન્દ્રિત છે. રાઉલી એટ અલ દ્વારા ડીએમડીના પ્રથમ વિશ્લેષણમાંથી એક. ડીએમડી અને કૂપમેન સંચાલક વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કર્યું, અને બિનરેખીય પ્રણાલીઓ પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે ડીએમડીના ઉત્પાદનને સમજાવવામાં મદદ કરી. ત્યારથી, સંખ્યાબંધ ફેરફારો વિકસાવવામાં આવ્યા છે જે કાં તો આ જોડાણને વધુ મજબૂત બનાવે છે અથવા અભિગમની મજબૂતાઈ અને ઉપયોગીતામાં વધારો કરે છે. ઓપ્ટિમાઇઝ્ડ ડીએમડીઃ ઓપ્ટિમાઇઝ્ડ ડીએમડી એ મૂળ ડીએમડી અલ્ગોરિધમનો ફેરફાર છે જે તે અભિગમની બે મર્યાદાઓને સરભર કરવા માટે રચાયેલ છેઃ (i) ડીએમડી મોડ પસંદગીની મુશ્કેલી, અને (ii) સમય શ્રેણીના છેલ્લા સ્નેપશોટમાં અવાજ અથવા અન્ય ભૂલો માટે ડીએમડીની સંવેદનશીલતા. ઓપ્ટિમાઇઝ્ડ ડીએમડી ડીએમડી પ્રક્રિયાને ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા તરીકે પુનઃસ્થાપિત કરે છે જ્યાં ઓળખાયેલ રેખીય ઓપરેટરનો નિશ્ચિત ક્રમ હોય છે. વધુમાં, ડીએમડી જે છેલ્લા સિવાયના તમામ સ્નેપશોટને સંપૂર્ણ રીતે પુનઃઉત્પાદિત કરે છે તેનાથી વિપરીત, ઓપ્ટિમાઇઝ્ડ ડીએમડી પુનર્નિર્માણ ભૂલોને સમગ્ર ડેટા સેટમાં વિતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે વ્યવહારમાં અભિગમને વધુ મજબૂત બનાવે છે. ઓપ્ટિમલ મોડ ડીકમ્પોઝિશનઃ ઓપ્ટિમલ મોડ ડીકમ્પોઝિશન (ઓએમડી) ડીએમડી પ્રક્રિયાને ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા તરીકે પુનઃસ્થાપિત કરે છે અને વપરાશકર્તાને ઓળખાયેલ સિસ્ટમનો ક્રમ સીધો લાદવાની મંજૂરી આપે છે. જો આ ક્રમ યોગ્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવે તો, ઓ. એમ. ડી. કૃત્રિમ અને પ્રાયોગિક ડેટા સમૂહો બંને પર નાની શેષ ભૂલો અને વધુ સચોટ આઈગનવેલ્યુ સાથે રેખીય નમૂનાઓનું ઉત્પાદન કરી શકે છે. ચોક્કસ ડીએમડીઃ ચોક્કસ ડીએમડી અલ્ગોરિધમ મૂળ ડીએમડી અલ્ગોરિધમને બે રીતે સામાન્ય બનાવે છે. પ્રથમ, મૂળ ડીએમડી અલ્ગોરિધમમાં ડેટા સ્નેપશોટની સમય શ્રેણી હોવી જોઈએ, પરંતુ એક્ઝેક્ટ ડીએમડી સ્નેપશોટ જોડીના ડેટા સમૂહને સ્વીકારે છે. જોડીમાં સ્નેપશોટ નિશ્ચિત દ્વારા અલગ હોવા જોઈએ, પરંતુ એક જ સમય શ્રેણીમાંથી દોરવાની જરૂર નથી. ખાસ કરીને, ચોક્કસ ડીએમડી બહુવિધ પ્રયોગોના ડેટાને એક જ ડેટા સેટમાં એકત્રિત કરવાની મંજૂરી આપી શકે છે. બીજું, મૂળ ડીએમડી અલ્ગોરિધમ અસરકારક રીતે પી. ઓ. ડી. સ્થિતિઓના સમૂહ પર પ્રક્ષેપિત કરીને ડેટાની પૂર્વ પ્રક્રિયા કરે છે. ચોક્કસ ડીએમડી અલ્ગોરિધમ આ પૂર્વ-પ્રક્રિયા પગલાને દૂર કરે છે, અને ડીએમડી સ્થિતિઓ ઉત્પન્ન કરી શકે છે જેને પી. ઓ. ડી. સ્થિતિઓના સુપરપોઝિશન તરીકે લખી શકાતી નથી. ડી. એમ. ડી. ને પ્રોત્સાહન આપતી સ્પાર્સિટીઃ ડી. એમ. ડી. ને પ્રોત્સાહન આપતી સ્પાર્સિટી એ ડી. એમ. ડી. પદ્ધતિ અને આઈગનવેલ્યુ પસંદગી માટેની પ્રક્રિયા પછીની પ્રક્રિયા છે. ડીએમડીને પ્રોત્સાહન આપતી યુનિવર્સિટી મહત્વપૂર્ણ ડીએમડી સ્થિતિઓના નાના સમૂહને ઓળખવા માટે દંડનો ઉપયોગ કરે છે, અને ડીએમડી સ્થિતિ પસંદગી સમસ્યાનો વૈકલ્પિક અભિગમ છે જેને બહિર્મુખ ઓપ્ટિમાઇઝેશન તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને અસરકારક રીતે ઉકેલી શકાય છે. મલ્ટી-રિઝોલ્યુશન ડી. એમ. ડી.: મલ્ટી-રિઝોલ્યુશન ડી. એમ. ડી. (એમ. આર. ડી. એમ. ડી.) એ ચોક્કસ ડી. એમ. ડી. સાથે મલ્ટી-રિઝોલ્યુશન વિશ્લેષણમાં ઉપયોગમાં લેવાતી તકનીકોનું સંયોજન છે, જે બહુવિધ ટાઇમસ્કેલ ધરાવતા ડેટા સમૂહોમાંથી મજબૂત રીતે ડી. એમ. ડી. સ્થિતિઓ અને આઈગન વેલ્યુઓ કાઢવા માટે રચાયેલ છે. એમઆરડીએમડી અભિગમ વૈશ્વિક સપાટીના તાપમાનના ડેટા પર લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો, અને અલ નિનો વર્ષો દરમિયાન દેખાતા ડીએમડી મોડને ઓળખે છે. વિસ્તૃત ડી. એમ. ડી.: વિસ્તૃત ડી. એમ. ડી. એ ચોક્કસ ડી. એમ. ડી. નો ફેરફાર છે જે ડી. એમ. ડી. અને કૂપમેન સંચાલક વચ્ચેનું જોડાણ મજબૂત કરે છે. નામ સૂચવે છે તેમ, વિસ્તૃત ડીએમડી એ ડીએમડીનું વિસ્તરણ છે જે કૂપમેન ઓપરેટરના વધુ સચોટ અંદાજો ઉત્પન્ન કરવા માટે અવલોકનક્ષમ કાર્યોના સમૃદ્ધ સમૂહનો ઉપયોગ કરે છે. આ વિસ્તૃત સમૂહને પ્રાથમિકતા તરીકે પસંદ કરી શકાય છે અથવા માહિતીમાંથી શીખી શકાય છે. તે ડીએમડીનું પણ પ્રદર્શન કરે છે અને સંબંધિત પદ્ધતિઓ વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા આઈગનવેલ્યુઝ અને મોડ્સ ઉપરાંત કૂપમેન આઈગનફંક્શન્સના અંદાજો ઉત્પન્ન કરે છે. અવશેષ ડીએમડીઃ અવશેષ ડીએમડી ડીએમડી અને વિસ્તૃત ડીએમડીની પ્રક્ષેપણ ભૂલોને નિયંત્રિત કરવા માટે એક સાધન પૂરું પાડે છે જે કૂપમેન ઓપરેટરના મર્યાદિત-પરિમાણીય અંદાજોમાંથી ઉદ્ભવે છે. આ પદ્ધતિ સમાન સ્નેપશોટ ડેટાનો ઉપયોગ કરે છે પરંતુ વધારાના મર્યાદિત મેટ્રિક્સનો પરિચય આપે છે જે અનંત-પરિમાણીય અવશેષોને બરાબર મોટી ડેટા મર્યાદામાં મેળવે છે. આ વપરાશકર્તાઓને વર્ણપટ પ્રદૂષણ (નકલી સ્થિતિઓ) ને દૂર કરવા, કૂપમેન સ્થિતિ વિઘટન અને શીખ્યા શબ્દકોશોને ચકાસવા અને સતત વર્ણપટની ગણતરી કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. વધુમાં, આ પદ્ધતિ ડીએમડી અને કૂપમેન ઓપરેટર વચ્ચેના જોડાણને વધુ મજબૂત બનાવે છે, જે દર્શાવે છે કે કેવી રીતે પછીની સ્પેક્ટ્રલ સામગ્રીની ચકાસણી અને ભૂલ નિયંત્રણ સાથે ગણતરી કરી શકાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર-જાણકાર ડીએમડીઃ ભૌતિકશાસ્ત્ર-જાણકાર ડીએમડી એક પ્રોક્રસ્ટ સમસ્યા બનાવે છે જે સ્વીકાર્ય મોડેલોના પરિવારને મેટ્રિક્સ મેનીફોલ્ડ સુધી મર્યાદિત કરે છે જે સિસ્ટમની ભૌતિક રચનાને માન આપે છે. આ ભૌતિક માળખાને ડીએમડીમાં જોડવાની મંજૂરી આપે છે. આ અભિગમ ઓવરફિટિંગ માટે ઓછો સંવેદનશીલ હોય છે, તેને ઓછી તાલીમ માહિતીની જરૂર પડે છે, અને ઘણીવાર પ્રમાણભૂત ડીએમડી મોડેલો કરતાં બનાવવા માટે ઓછા કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચાળ હોય છે. મેઝર-પ્રિઝર્વિંગ ઇ. ડી. એમ. ડી.: મેઝર-પ્રિઝર્વિંગ એક્સટેન્ડેડ ડી. એમ. ડી. (એમ. પી. ઇ. ડી. એમ. ડી.) ગેલર્કિન પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે, જેની ઇગેનડેકમ્પોઝિશન સામાન્ય માપ-પ્રિઝર્વિંગ ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સ માટે કૂપમેન ઓપરેટરોની સ્પેક્ટ્રલ માત્રામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ પદ્ધતિ ડીએમડી અને વિસ્તૃત ડીએમડીમાં ઓર્થોગોનલ પ્રોક્રસ્ટ્સ સમસ્યા (અનિવાર્યપણે ધ્રુવીય વિઘટન) નો ઉપયોગ કરે છે. અભિસરણ ઉપરાંત, એમ. પી. ઇ. ડી. એમ. ડી. ભૌતિક સંરક્ષણ કાયદાને જાળવી રાખે છે, અને ઘોંઘાટમાં ઉન્નત મજબૂતાઈ તેમજ લાંબા ગાળાની વર્તણૂકમાં સુધારો દર્શાવે છે. નિયંત્રણ સાથે ડીએમડીઃ નિયંત્રણ સાથે ગતિશીલ સ્થિતિ વિઘટન (ડીએમડીસી) એ ઇનપુટ આઉટપુટ સિસ્ટમોમાંથી મેળવેલા ડેટા માટે રચાયેલ ડીએમડી પ્રક્રિયામાં ફેરફાર છે. ડીએમડીસીનું એક અનોખું લક્ષણ એ છે કે ઓપન લૂપ ડાયનેમિક્સમાંથી સિસ્ટમ એક્ચ્યુએશનની અસરોને અસ્પષ્ટ કરવાની ક્ષમતા છે, જે એક્ચ્યુએશનની હાજરીમાં ડેટા મેળવવામાં આવે ત્યારે ઉપયોગી છે. ટોટલ લીસ્ટ સ્ક્વેર્સ ડીએમડીઃ ટોટલ લીસ્ટ સ્ક્વેર્સ ડીએમડી એ ચોક્કસ ડીએમડીનો તાજેતરનો ફેરફાર છે જેનો હેતુ ડેટામાં અવાજ માપવા માટે મજબૂતાઈના મુદ્દાઓને સંબોધવાનો છે. માં, લેખકો એક્ઝેક્ટ ડીએમડીને રીગ્રેસન સમસ્યા તરીકે અર્થઘટન કરે છે જે સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ (ઓએલએસ) નો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જે ધારે છે કે રીગ્રેસર અવાજ મુક્ત છે. આ ધારણા ડીએમડી આઈગનવેલ્યુઝમાં પૂર્વગ્રહ પેદા કરે છે જ્યારે તે પ્રાયોગિક ડેટા સમૂહો પર લાગુ કરવામાં આવે છે જ્યાં તમામ અવલોકનો ઘોંઘાટીયા હોય છે. કુલ લઘુતમ ચોરસ ડીએમડી ઓએલએસ સમસ્યાને કુલ લઘુતમ ચોરસ સમસ્યા સાથે બદલે છે, જે આ પૂર્વગ્રહને દૂર કરે છે. ડાયનેમિક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડીકમ્પોઝિશનઃ ડીડીડી સતત સમયમાં આગળની સમસ્યા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, એટલે કે ટ્રાન્સફર ઓપરેટર. જો કે વિકસિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ સતત સમયમાં ડીએમડી સમસ્યાઓને ફિટ કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. અહીં સૂચિબદ્ધ અલ્ગોરિધમ્સ ઉપરાંત, સમાન એપ્લિકેશન-વિશિષ્ટ તકનીકો વિકસાવવામાં આવી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડીએમડીની જેમ, પ્રોનીની પદ્ધતિ ભીના સિનુસોઈડ્સના સુપરપોઝિશન તરીકે સંકેતને રજૂ કરે છે. આબોહવા વિજ્ઞાનમાં, રેખીય ઇન્વર્સ મોડેલિંગ પણ ડીએમડી સાથે મજબૂત રીતે જોડાયેલું છે. વધુ વ્યાપક યાદી માટે, તુ એટ અલ જુઓ. ઉદાહરણો પ્રોફાઇલની પાછળની ધાર પ્રવાહમાં અવરોધના પગલે કાર્મેન વમળ શેરી વિકસી શકે છે. Fig.1 પ્રોફાઇલની પાછળની ધારની પાછળ વમળનું ધોવાણ દર્શાવે છે. ડીએમડી-વિશ્લેષણ 90 ક્રમિક એન્ટ્રોપી ક્ષેત્રો પર લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું અને નીચે દર્શાવ્યા મુજબ અંદાજિત આઈગનવેલ્યુ-સ્પેક્ટ્રમ પ્રાપ્ત કરે છે. સંચાલિત સમીકરણોનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના વિશ્લેષણ આંકડાકીય પરિણામો પર લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું. પ્રોફાઇલ સફેદ રંગમાં જોવા મળે છે. સફેદ ચાપ એ પ્રોસેસરની સીમાઓ છે કારણ કે ગણતરી વિવિધ કોમ્પ્યુટેશનલ બ્લોકનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર કમ્પ્યુટર પર કરવામાં આવી હતી. લગભગ સ્પેક્ટ્રમનો ત્રીજો ભાગ અત્યંત ભીનો (મોટો, નકારાત્મક) હતો અને તે દર્શાવવામાં આવ્યો નથી. પ્રબળ શેડિંગ સ્થિતિ નીચેના ચિત્રોમાં દર્શાવવામાં આવી છે. ડાબી બાજુની છબી વાસ્તવિક ભાગ છે, જમણી બાજુની છબી, આઈગનવેક્ટરનો કાલ્પનિક ભાગ છે. ફરીથી, આ ચિત્રમાં એન્ટ્રોપી-આઈગનવેક્ટર દર્શાવવામાં આવ્યું છે. સમાન મોડની એકોસ્ટિક સામગ્રી આગામી પ્લોટના તળિયે અડધા ભાગમાં જોવા મળે છે. ટોચનો અડધો ભાગ ઉપરની જેમ એન્ટ્રોપી સ્થિતિને અનુરૂપ છે. મુસાફરી પેટર્નનું કૃત્રિમ ઉદાહરણ ડીએમડી વિશ્લેષણ એ સ્વરૂપની પેટર્ન ધારે છે જ્યાં સમસ્યાના કોઈપણ સ્વતંત્ર ચલ હોય, પરંતુ અગાઉથી પસંદ કરવી પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે પૂર્વનિર્ધારિત ઘાતાંકીય પરિબળ તરીકે સમય સાથે પેટર્ન લો. એક નમૂનો નીચેની આકૃતિમાં, અને સાથે આપવામાં આવ્યો છે. ડાબી બાજુનું ચિત્ર પેટર્ન વિના બતાવે છે, જમણી બાજુએ ઘોંઘાટ ઉમેરવામાં આવ્યો છે. રેન્ડમ અવાજનું કંપનવિસ્તાર પેટર્ન જેવું જ છે. ડીએમડી વિશ્લેષણ સમય અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને કૃત્રિમ રીતે ઉત્પન્ન થયેલ 21 ક્ષેત્રો સાથે કરવામાં આવે છે, જે વિશ્લેષણને સમય અંતરાલ સુધી મર્યાદિત કરે છે. સ્પેક્ટ્રમ સમપ્રમાણ છે અને ત્રણ લગભગ અનડેમ્પ્ડ સ્થિતિઓ (નાના નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ) દર્શાવે છે, જ્યારે અન્ય સ્થિતિઓ ભારે ભીની હોય છે. તેમના આંકડાકીય મૂલ્યો અનુક્રમે છે. વાસ્તવિક એક ક્ષેત્રના સરેરાશને અનુરૂપ છે, જ્યારે તેની સાથે લાદવામાં આવેલી પેટર્નને અનુરૂપ છે. − 1/1000 ની સાપેક્ષ ભૂલ પ્રાપ્ત કરી રહ્યા છીએ. અવાજને સિગ્નલ મૂલ્યના 10 ગણો વધારવાથી લગભગ સમાન ભૂલ મળે છે. પછીના બે આઈગનમોડમાંથી એકનો વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ પણ જુઓ પ્રાયોગિક માહિતીના અન્ય કેટલાક વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે. જો સંચાલિત સમીકરણો ઉપલબ્ધ હોય, તો આઈગન વેલ્યુ વિઘટન શક્ય બની શકે છે. આઈગન વેલ્યુ વિઘટન પ્રાયોગિક સ્થિતિ વિઘટન વૈશ્વિક સ્થિતિ સામાન્ય સ્થિતિ યોગ્ય ઓર્થોગોનલ વિઘટન એકવચન-મૂલ્ય વિઘટન સંદર્ભો શ્મિડ, પી. જે. & સેસ્ટરહેન, જે. એલ. 2008 ડાયનેમિક મોડ આંકડાકીય અને પ્રાયોગિક ડેટાનું વિઘટન. બુલમાં. આમેર. ફિઝ. એસ. સી., 61મી એ. પી. એસ. બેઠક, પૃષ્ઠ 208. સાન એન્ટોનિયો. હાસેલમેન, કે., 1988. પી. ઓ. પી અને પી. આઈ. પી. મુખ્ય ઓસિલેશન અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને જટિલ ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં ઘટાડો. જે. જીઓફિઝ. રેસ., 93 (D9): 10975-10988. પ્રાયોગિક ભૌતિકશાસ્ત્ર સમય શ્રેણી મેટ્રિક્સ વિઘટન