F(R) gravity
{{DISPLAYTITLE: f (R) gravity}} () એ સંશોધિત ગુરુત્વાકર્ષણ સિદ્ધાંતનો એક પ્રકાર છે જે આઈન્સ્ટાઈનની સામાન્ય સાપેક્ષતાને સામાન્ય બનાવે છે. () ગુરુત્વાકર્ષણ વાસ્તવમાં સિદ્ધાંતોના પરિવાર છે, દરેકને રિક્કી સ્કેલરના અલગ કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સૌથી સરળ કિસ્સો એ છે કે કાર્ય સ્કેલરની બરાબર છે; આ સામાન્ય સાપેક્ષતા છે. મનસ્વી કાર્યની રજૂઆતના પરિણામે, શ્યામ ઊર્જા અથવા શ્યામ દ્રવ્યના અજ્ઞાત સ્વરૂપોને ઉમેર્યા વિના બ્રહ્માંડના ઝડપી વિસ્તરણ અને માળખાની રચનાને સમજાવવાની સ્વતંત્રતા હોઈ શકે છે. કેટલાક કાર્યાત્મક સ્વરૂપો ગુરુત્વાકર્ષણના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતમાંથી ઉદ્ભવતા સુધારાઓથી પ્રેરિત હોઈ શકે છે. () ગુરુત્વાકર્ષણની દરખાસ્ત સૌપ્રથમ 1970માં હંસ એડોલ્ફ બુકડાલ દ્વારા કરવામાં આવી હતી (જોકે તેનો ઉપયોગ મનસ્વી કાર્યના નામને બદલે કરવામાં આવ્યો હતો). કોસ્મિક ઇન્ફ્લેશન પર સ્ટારોબિન્સ્કી દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યને પગલે તે સંશોધનનું સક્રિય ક્ષેત્ર બની ગયું છે. આ સિદ્ધાંતમાંથી વિવિધ કાર્યો અપનાવીને ઘટનાઓની વિશાળ શ્રેણી ઉત્પન્ન કરી શકાય છે; જો કે, ઘણા કાર્યાત્મક સ્વરૂપોને હવે નિરીક્ષણના આધારે અથવા પેથોલોજીકલ સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓના કારણે નકારી શકાય છે. પરિચય () ગુરુત્વાકર્ષણમાં, આઈન્સ્ટાઈન-હિલ્બર્ટ ક્રિયાના લગ્રેન્જિયનને સામાન્ય બનાવવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવે છેઃ મેટ્રિક ટેન્સરનો નિર્ધારક ક્યાં છે, અને તે રિક્કી સ્કેલરનું અમુક કાર્ય છે. પરિવર્તનની અસરને ટ્રેક કરવાની બે રીતો છે, એટલે કે, સિદ્ધાંત ક્ષેત્ર સમીકરણો મેળવવા માટે. પ્રથમ મેટ્રિક ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ કરવો અને બીજું પેલેટિની ઔપચારિકતાનો ઉપયોગ કરવો. જ્યારે બે ઔપચારિકતાઓ સામાન્ય સાપેક્ષતા માટે સમાન ક્ષેત્ર સમીકરણો તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે, જ્યારે, ક્ષેત્ર સમીકરણો ક્યારે અલગ થઈ શકે છે. મેટ્રિક () ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમીકરણોની વ્યુત્પત્તિ મેટ્રિક () ગુરુત્વાકર્ષણમાં, વ્યક્તિ મેટ્રિકના સંદર્ભમાં ક્રિયામાં ફેરફાર કરીને અને જોડાણને સ્વતંત્ર રીતે સારવાર ન કરીને ક્ષેત્ર સમીકરણો પર પહોંચે છે. સંપૂર્ણતા માટે હવે આપણે ક્રિયાના વિવિધતાના મૂળભૂત પગલાંનો ટૂંકમાં ઉલ્લેખ કરીશું. મુખ્ય પગલાંઓ આઈન્સ્ટાઈન-હિલ્બર્ટ ક્રિયાના પરિવર્તનના કિસ્સામાં સમાન છે (વધુ વિગતો માટે લેખ જુઓ) પરંતુ કેટલાક મહત્વપૂર્ણ તફાવતો પણ છે. નિર્ધારકની વિવિધતા હંમેશની જેમ છેઃ રિક્કી સ્કેલરને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેથી, ઇન્વર્સ મેટ્રિકના સંદર્ભમાં તેની ભિન્નતા આના દ્વારા આપવામાં આવે છે બીજા પગલા માટે આઈન્સ્ટાઈન-હિલ્બર્ટ ક્રિયા વિશેનો લેખ જુઓ. બે જોડાણોનો તફાવત હોવાથી, તે ટેન્સર તરીકે રૂપાંતરિત થવું જોઈએ. તેથી, તેને ઉપરના સમીકરણમાં અવેજી તરીકે લખી શકાય છેઃ જ્યાં સહપરિવર્તન વ્યુત્પન્ન છે અને ડી 'એલેમ્બર્ટ સંચાલક છે. સૂચવતા, ક્રિયામાં વિવિધતા વાંચે છેઃ બીજા અને ત્રીજા શબ્દો (અને સીમા યોગદાનની અવગણના) પર ભાગો દ્વારા એકીકરણ કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએઃ મેટ્રિકની વિવિધતા હેઠળ ક્રિયા અપરિવર્તનશીલ રહે તેવી માંગ કરીને, વ્યક્તિ ક્ષેત્ર સમીકરણો મેળવે છેઃ ઊર્જા-વેગ ટેન્સર ક્યાં છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં દ્રવ્ય લેગ્રેન્જિયન છે. સામાન્યીકૃત ફ્રીડમેન સમીકરણો સ્કેલ પરિબળ સાથે રોબર્ટસન-વૉકર મેટ્રિક ધારીએ તો આપણે સામાન્યીકૃત ફ્રીડમેન સમીકરણો શોધી શકીએ છીએ (એકમોમાં જ્યાં): જ્યાં હબલ પરિમાણ છે, બિંદુ કોસ્મિક સમયના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન છે, અને m અને rad શબ્દો અનુક્રમે દ્રવ્ય અને કિરણોત્સર્ગની ઘનતાને રજૂ કરે છે; આ સાતત્ય સમીકરણોને સંતોષે છેઃ ન્યૂટનના સતત ફેરફાર આ સિદ્ધાંતોની એક રસપ્રદ વિશેષતા એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક સમય અને સ્કેલ આધારિત છે. આ જોવા માટે, મેટ્રિકમાં (ન્યુટોનિયન ગેજમાં) એક નાનો સ્કેલર વિક્ષેપ ઉમેરોઃ ન્યુટોનિયન પોટેન્શિયલ ક્યાં અને ક્યાં છે અને પ્રથમ ક્રમમાં ક્ષેત્ર સમીકરણોનો ઉપયોગ કરો. કેટલીક લાંબી ગણતરીઓ કર્યા પછી, ફોરિયર અવકાશમાં પોઈસન સમીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને જમણી બાજુએ દેખાતા વધારાના શબ્દોને અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણીય અચળાંક ઇ. એફ. સાથે જોડી શકાય છે. આમ કરવાથી, આપણને ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષમતા (પેટા-ક્ષિતિજ સ્કેલ પર માન્ય) મળે છેઃ જ્યાં m એ દ્રવ્યની ઘનતામાં વિક્ષેપ છે, તે ફોરિયર સ્કેલ છે અને ઇ. એફ. એ વિશાળ ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગો સાથે છેઃ સિદ્ધાંતોનો આ વર્ગ જ્યારે રેખીય બને છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગો માટે ત્રણ ધ્રુવીકરણ સ્થિતિઓ દર્શાવે છે, જેમાંથી બે દળહીન ગુરુત્વાકર્ષણ (હેલિસિટી ± 2) ને અનુરૂપ હોય છે અને ત્રીજો (સ્કેલર) એ હકીકત પરથી આવે છે કે જો આપણે અનુરૂપ પરિવર્તનને ધ્યાનમાં લઈએ, તો ચોથો ક્રમ સિદ્ધાંત () સામાન્ય સાપેક્ષતા વત્તા સ્કેલર ક્ષેત્ર બની જાય છે. આ જોવા માટે, વિક્ષેપ સિદ્ધાંતના પ્રથમ ક્રમમાં કામ કરવા માટે ઉપરના ક્ષેત્ર સમીકરણોને ઓળખો અને તેનો ઉપયોગ કરો અને કેટલાક કંટાળાજનક બીજગણિત પછી, મેટ્રિક વિક્ષેપ માટે ઉકેલ લાવી શકાય છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણીય તરંગોને અનુરૂપ છે. એક ચોક્કસ આવર્તન ઘટક,-દિશામાં ફેલાતા તરંગ માટે, આ રીતે લખી શકાય છે કે જ્યાં g () = d/d એ તરંગ-વાહક પર કેન્દ્રિત તરંગ સમૂહનો સમૂહ વેગ છે. પ્રથમ બે શબ્દો સામાન્ય સાપેક્ષતાના સામાન્ય અનુપ્રસ્થ ધ્રુવીકરણને અનુરૂપ છે, જ્યારે ત્રીજા શબ્દો () સિદ્ધાંતોના નવા વિશાળ ધ્રુવીકરણ સ્થિતિને અનુરૂપ છે. આ સ્થિતિ માસલેસ ટ્રાન્સવર્સ બ્રીદિંગ મોડ (પરંતુ ટ્રેસલેસ નહીં) અને મેસિવ લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્કેલર મોડનું મિશ્રણ છે. ત્રાંસા અને ટ્રેસલેસ સ્થિતિઓ (જેને ટેન્સર સ્થિતિઓ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) પ્રકાશની ઝડપે પ્રસરે છે, પરંતુ વિશાળ સ્કેલર સ્થિતિ G <1 ઝડપે આગળ વધે છે (એકમોમાં જ્યાં = 1), આ સ્થિતિ વિખેરાયેલી હોય છે. જો કે, () ગુરુત્વાકર્ષણ મેટ્રિક ઔપચારિકતામાં, મોડેલ માટે (જેને શુદ્ધ મોડેલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે), ત્રીજી ધ્રુવીકરણ સ્થિતિ એ શુદ્ધ શ્વાસ લેવાની રીત છે અને અવકાશકાળમાં પ્રકાશની ગતિ સાથે પ્રસરે છે. સમકક્ષ ઔપચારિકતા અમુક વધારાની શરતો હેઠળ આપણે સહાયક ક્ષેત્ર રજૂ કરીને () સિદ્ધાંતોના વિશ્લેષણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ. બધા માટે ધારીએ તો, ચાલો () એ () નું લિજેન્ડ્રે રૂપાંતર છે જેથી અને. પછી, ઓ 'હેનલોન (1972) ક્રિયા પ્રાપ્ત થાય છેઃ આપણી પાસે યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણો છે જે દૂર કરે છે, આપણે પહેલાંની જેમ જ સમીકરણો મેળવીએ છીએ. જો કે, વ્યુત્પન્નમાં સમીકરણો ચોથા ક્રમને બદલે માત્ર બીજા ક્રમના હોય છે. અમે હાલમાં જોર્ડન ફ્રેમ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. કન્ફોર્મલ રીસ્કેલિંગ કરીને આપણે આઈન્સ્ટાઈન ફ્રેમમાં પરિવર્તિત થઈએ છીએઃ ભાગો દ્વારા સંકલન કર્યા પછી. વ્યાખ્યાયિત કરવું અને બદલવું આ વાસ્તવિક સ્કેલર ક્ષેત્ર સાથે જોડાયેલી સામાન્ય સાપેક્ષતાઃ પ્રવેગક બ્રહ્માંડનું વર્ણન કરવા માટે () સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરવો એ વ્યવહારીક રીતે સર્વોત્કૃષ્ટતાનો ઉપયોગ કરવા સમાન છે. (ઓછામાં ઓછું, એ ચેતવણીની સમકક્ષ કે આપણે હજી સુધી દ્રવ્ય જોડાણોનો ઉલ્લેખ કર્યો નથી, તેથી (ઉદાહરણ તરીકે) () ગુરુત્વાકર્ષણ જેમાં દ્રવ્યને મેટ્રિક સાથે ઓછામાં ઓછું જોડવામાં આવે છે (એટલે કે, જોર્ડન ફ્રેમમાં) તે એક ઉત્કૃષ્ટતા સિદ્ધાંતની સમકક્ષ છે જેમાં સ્કેલર ક્ષેત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ શક્તિ સાથે પાંચમા બળની મધ્યસ્થી કરે છે.) પલાતિની () ગુરુત્વાકર્ષણ પલાતિની () ગુરુત્વાકર્ષણમાં, મેટ્રિક અને જોડાણને સ્વતંત્ર રીતે ગણવામાં આવે છે અને તેમાંના દરેકના સંદર્ભમાં ક્રિયાને અલગથી બદલાય છે. આ બાબત લગ્રેન્જિયન જોડાણથી સ્વતંત્ર હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ સિદ્ધાંતો સાથે બ્રાન્સ-ડિક સિદ્ધાંતની સમકક્ષ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. સિદ્ધાંતની રચનાને કારણે, જોકે, પલાતિની () સિદ્ધાંતો પ્રમાણભૂત મોડેલ સાથે વિરોધાભાસી હોવાનું જણાય છે, સૌરમંડળના પ્રયોગોનું ઉલ્લંઘન કરી શકે છે, અને અનિચ્છનીય એકત્વ પેદા કરે છે. મેટ્રિક-એફાઇન () ગુરુત્વાકર્ષણ મેટ્રિક-એફાઇન () ગુરુત્વાકર્ષણમાં, એક વસ્તુ વસ્તુને વધુ સામાન્ય બનાવે છે, મેટ્રિક અને જોડાણ બંનેને સ્વતંત્ર રીતે ગણવામાં આવે છે, અને એમ ધારી રહ્યા છીએ કે દ્રવ્ય લેગ્રેન્જિયન પણ જોડાણ પર આધાર રાખે છે. અવલોકન પરીક્ષણો ગુરુત્વાકર્ષણના ઘણા સંભવિત સ્વરૂપો હોવાથી, સામાન્ય પરીક્ષણો શોધવાનું મુશ્કેલ છે. વધુમાં, સામાન્ય સાપેક્ષતાથી દૂર વિચલનોને કેટલાક કિસ્સાઓમાં મનસ્વી રીતે નાના બનાવી શકાય છે, તેથી કેટલાક ફેરફારોને નિર્ણાયક રીતે બાકાત રાખવા અશક્ય છે. ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા કાર્ય () માટે નક્કર સ્વરૂપ ધારણ કર્યા વિના થોડી પ્રગતિ કરી શકાય છે પ્રથમ પદ બ્રહ્માંડ સંબંધી અચળાંક જેવું છે અને તે નાનું હોવું જોઈએ. આગામી ગુણાંક 1 ને સામાન્ય સાપેક્ષતાની જેમ એક પર સેટ કરી શકાય છે. મેટ્રિક () ગુરુત્વાકર્ષણ માટે (પલાતિની અથવા મેટ્રિક-એફાઇન () ગુરુત્વાકર્ષણના વિરોધમાં), વર્ગાત્મક શબ્દ પાંચમા બળ માપન દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે મર્યાદિત છે, કારણ કે તે ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષમતામાં યુકાવા સુધારણા તરફ દોરી જાય છે. શ્રેષ્ઠ વર્તમાન સીમાઓ અથવા તેની સમકક્ષ ન્યૂટોનિયન પછીની ઔપચારિકતા ગુરુત્વાકર્ષણના સામાન્ય સુધારેલા સિદ્ધાંતોને મર્યાદિત કરવામાં સક્ષમ થવા માટે રચાયેલ છે. જો કે, () ગુરુત્વાકર્ષણ સામાન્ય સાપેક્ષતાના ઘણા સમાન મૂલ્યોને વહેંચે છે, અને તેથી આ પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરીને તેને અલગ કરી શકાતું નથી. ખાસ કરીને પ્રકાશમાં વળાંક બદલાતો નથી, તેથી () ગુરુત્વાકર્ષણ, સામાન્ય સાપેક્ષતાની જેમ, કેસિની ટ્રેકિંગની સીમા સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે. સ્ટારોબિન્સ્કી ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં દળના પરિમાણો હોય છે. સ્ટારબિન્સ્કી ગુરુત્વાકર્ષણ વૈશ્વિક ફુગાવા માટે એક પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે, જ્યારે મહાવિસ્ફોટ હજુ પણ મોટો હતો. જો કે, તે વર્તમાન બ્રહ્માંડના પ્રવેગનું વર્ણન કરવા માટે યોગ્ય નથી કારણ કે હાલમાં તે ખૂબ જ નાનું છે. આ સૂચવે છે કે વર્ગાત્મક શબ્દ નગણ્ય છે, એટલે કે, જે શૂન્ય બ્રહ્માંડ સંબંધી અચળાંક સાથે સામાન્ય સાપેક્ષતા છે. ગોગોઈ-ગોસ્વામી ગુરુત્વાકર્ષણ ગોગોઈ-ગોસ્વામી ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે જ્યાં અને બે પરિમાણહીન હકારાત્મક અચળાંકો છે અને તે એક લાક્ષણિક વક્રતા અચળાંકો છે. અગાઉના વિભાગોમાં રજૂ કરાયેલ ટેન્સોરિયલ જનરલાઈઝેશન () ગુરુત્વાકર્ષણ એ સામાન્ય સાપેક્ષતાના સ્કેલર ફેરફાર છે. વધુ સામાન્ય રીતે, આપણી પાસે રિક્કી ટેન્સર અને વેઇલ ટેન્સરના અપરિવર્તનશીલોનો સમાવેશ કરતું જોડાણ હોઈ શકે છે. વિશેષ કિસ્સાઓમાં () ગુરુત્વાકર્ષણ, અનુરૂપ ગુરુત્વાકર્ષણ, ગૌસ-બોનેટ ગુરુત્વાકર્ષણ અને લવલોક ગુરુત્વાકર્ષણ છે. નોંધ લો કે કોઈપણ બિન-તુચ્છ ટેન્સોરિયલ અવલંબન સાથે, આપણી પાસે સામાન્ય રીતે માસલેસ ગ્રેવિટોન અને વિશાળ સ્કેલર ઉપરાંત વધારાની વિશાળ સ્પિન-2 ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ હોય છે. એક અપવાદ ગૌસ-બોનેટ ગુરુત્વાકર્ષણ છે જ્યાં સ્પિન-2 ઘટકો માટે ચોથા ક્રમની શરતો રદ થાય છે. ગૌસ-બોનેટ ગુરુત્વાકર્ષણના વિસ્તૃત સિદ્ધાંતો પણ જુઓ લવલોક ગુરુત્વાકર્ષણ સંદર્ભો વધુ વાંચન ક્લિનેર્ટ, એચ. (2016), વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક (સિંગાપોર, 2016) (ઓનલાઇન પણ ઉપલબ્ધ) સાલ્વાટોર કેપોઝીલો અને મારિયાફેલિસિયા ડી લોરેન્ટિસ, (2015) "ગુરુત્વાકર્ષણના એફ (આર) સિદ્ધાંતો" દ્વારા "કણો અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્રો" પરના પાઠ્યપુસ્તકમાં પ્રકરણ 29 જુઓ. સ્કોલરપીડિયા, ડોઈઃ 10.4249/scholarpedia.31422 કલ્વકોટા, વૈભવ આર., (2021) "ઇન્વેસ્ટિગેટિંગ એફ (આર)" ગુરુત્વાકર્ષણ અને બ્રહ્માંડ ". મેથેમેટિકલ ફિઝિક્સ પ્રીપ્રિન્ટ આર્કાઇવ, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf S. I. ક્રુગ્લોવ (2014). "બ્રહ્માંડ સંબંધી અચળાંકની નકલ કરતા સંશોધિત આર્ક્ટન-ગુરુત્વાકર્ષણ મોડેલ". Phys.Rev.D 89,6,064004 [arXiv: 1310.6915]. એસ. આઈ. ક્રુગ્લોવ (2013). "ઘાતાંકીય સંશોધિત ગુરુત્વાકર્ષણ પર". Int.J.Mod.Phys.A 28,24,1350119 [arXiv: 1204.6709]. એસ. આઈ. ક્રુગ્લોવ (2016). "બોર્ન-ઇનફેલ્ડ જેવા સંશોધિત ગુરુત્વાકર્ષણ પર નોંધો". Astrophys.Space વિજ્ઞાન. 361, 2, 73 [arXiv: 1403.0675]. એસ. આઈ. ક્રુગ્લોવ (2015). "એક નવું (એફ (આર)-ગુરુત્વાકર્ષણ મોડેલ". Astrophys.Space વિજ્ઞાન. 358, 2, 48 [arXiv: 1502.00659]. એસ. આઈ. ક્રુગ્લોવ (2023), "લઘુગણક ગુરુત્વાકર્ષણ મોડેલ". Int.J.Mod.Phys. D 32,06,2350037 [arXiv: 2304.09106]. બાહ્ય કડીઓ f (R) ગુરુત્વાકર્ષણ પર arxiv.org ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતોના વિસ્તૃત સિદ્ધાંતો