Jeep problem
જીપ સમસ્યા, ડેઝર્ટ ક્રોસિંગ સમસ્યા અથવા સંશોધન સમસ્યા એ ગણિતની સમસ્યા છે જેમાં જીપે આપેલ માત્રામાં બળતણ સાથે રણમાં મુસાફરી કરી શકે તેટલું અંતર વધારવું આવશ્યક છે. જીપ માત્ર એક નિશ્ચિત અને મર્યાદિત માત્રામાં બળતણ લઈ જઈ શકે છે, પરંતુ તે બળતણ છોડી શકે છે અને રણમાં ગમે ત્યાં બળતણના ઢગલા પર બળતણ એકત્રિત કરી શકે છે. આ સમસ્યા સૌપ્રથમ 9મી સદીના સંગ્રહ પ્રપોઝિશન એડ એક્યુએન્ડોસ જુવેન્સ (પ્રોબ્લેમ્સ ટુ શાર્પેન ધ યંગ) માં દેખાઇ હતી, જે એલ્ક્યુઇનને આભારી છે, જેમાં કોયડો મુસાફરી કરતા ઊંટને અનાજ ખાવા વિશે છે. લુકા પેસિઓલીના ડી વિરિબસ ક્વાન્ટિટેટીસ (સી. 1500) માં પણ આ સમસ્યાની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. એન. જે. દ્વારા આધુનિક સારવાર આપવામાં આવી હતી. 1947 માં સારું. સમસ્યાના તફાવતોમાં ઊંટ અને કેળાની સમસ્યા છે જ્યાં વેપારીએ કેળાને ખવડાવતા ઊંટનો ઉપયોગ કરીને બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની સંખ્યાને મહત્તમ કરવી પડે છે, રણની સમસ્યામાં પ્રવાસીઓ જ્યાં સંખ્યાબંધ પ્રવાસીઓએ ગંતવ્ય સુધી પહોંચવું પડે છે અને તેમને છોડવાને બદલે માત્ર પુરવઠાની આપ-લે કરી શકે છે, અને રણની સમસ્યામાં કાર કે જે ફરીથી ફક્ત તેમના બળતણની આપ-લે કરી શકે છે, પરંતુ જ્યાં ખાલી કાર છોડી શકાય છે. આ અંતિમ સમસ્યા મલ્ટીસ્ટેજ રોકેટની કામગીરી સાથે સમાનતા ધરાવે છે. સમસ્યા ઇંધણના n એકમો નિશ્ચિત આધાર પર સંગ્રહિત હોય છે. જીપ કોઈપણ સમયે મહત્તમ 1 યુનિટ બળતણ વહન કરી શકે છે, અને 1 યુનિટ બળતણ પર 1 યુનિટ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે (જીપનો બળતણ વપરાશ સ્થિર હોવાનું માનવામાં આવે છે). સફરના કોઈપણ તબક્કે જીપ બળતણના ડમ્પ પર વહન કરી રહ્યું હોય તેટલું બળતણ છોડી શકે છે, અથવા અગાઉની સફરમાં બળતણના ડમ્પ પર બાકી રહેલું બળતણ એકત્રિત કરી શકે છે, જ્યાં સુધી તેનો બળતણ ભાર ક્યારેય 1 યુનિટથી વધુ ન હોય. સમસ્યાના બે પ્રકારો છેઃ રણનું અન્વેષણ કરવા માટે જીપે દરેક સફરના અંતે બેઝ પર પાછા ફરવું આવશ્યક છે. રણને પાર કરીને જીપે દરેક સફરના અંતે બેઝ પર પાછા ફરવું પડે છે, સિવાય કે અંતિમ સફર માટે, જ્યારે જીપ બળતણ ખતમ થાય તે પહેલાં શક્ય હોય ત્યાં સુધી મુસાફરી કરે છે. બન્ને કિસ્સાઓમાં તેનો ઉદ્દેશ જીપ દ્વારા તેની અંતિમ સફરમાં પસાર કરવામાં આવેલા અંતરને મહત્તમ કરવાનો છે. વૈકલ્પિક રીતે, હેતુ આપેલ અંતરની અંતિમ સફર બનાવવા માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછું બળતણ શોધવાનો હોઈ શકે છે. ભિન્નતા ક્લાસિક સમસ્યામાં જીપમાં અને ઇંધણના ડમ્પ પર બળતણને સતત જથ્થો તરીકે ગણવામાં આવે છે. સમસ્યા પર વધુ જટિલ ફેરફારો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે જેમાં બળતણ માત્ર અલગ માત્રામાં છોડી શકાય છે અથવા એકત્રિત કરી શકાય છે. ઊંટ અને કેળાની સમસ્યામાં, વેપારી પાસે કેળાના n એકમો હોય છે. ઊંટ કોઈપણ સમયે કેળાનું મહત્તમ 1 એકમ લઈ જઈ શકે છે, અને કેળાના 1 એકમ પર 1 એકમ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે. બજાર અંતરના એમ એકમો પર છે. સફરના કોઈપણ તબક્કે ઊંટ કેમ્પ પોસ્ટ પર લઈ જતા કેળાની કોઈપણ માત્રા છોડી શકે છે, અથવા અગાઉની સફરમાં કેમ્પ પોસ્ટ પર બાકી રહેલા કેળાની કોઈપણ માત્રા એકત્રિત કરી શકે છે, જ્યાં સુધી તેનો કેળાનો ભાર ક્યારેય 1 યુનિટથી વધુ ન હોય. સમસ્યા કેળાના મહત્તમ એકમો માટે પૂછે છે જે બજારમાં પરિવહન કરી શકાય છે. રણની સમસ્યાના પ્રવાસીઓમાં, પ્રારંભિક આધાર પુરવઠાના અમર્યાદિત એકમો ધરાવે છે. દરેક પ્રવાસી કોઈપણ સમયે મહત્તમ 1 યુનિટ પુરવઠો લઈ જઈ શકે છે, અને 1 યુનિટ પુરવઠો પર 1 યુનિટ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે. બીજો આધાર અંતરના m એકમો પર છે. અગાઉની બે સમસ્યાઓથી વિપરીત, પ્રવાસીઓ રણમાં પુરવઠો છોડી શકતા નથી; જો કે, સફરના કોઈપણ તબક્કે, સાથે આવતા પ્રવાસીઓ એકબીજા સાથે પુરવઠો ટ્રાન્સફર કરી શકે છે, જ્યાં સુધી દરેક પ્રવાસી ક્યારેય 1 યુનિટથી વધુ પુરવઠો વહન ન કરે. પરત ફરતા દરેક પ્રવાસી પાસે પાછા ફરતી વખતે પૂરતો પુરવઠો હોવો જોઈએ. સમસ્યા અન્ય આધાર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી મુસાફરોની ઓછામાં ઓછી સંખ્યા માટે પૂછે છે. આ સમસ્યાનો એક પ્રકાર ઉપલબ્ધ પ્રવાસીઓની કુલ સંખ્યા આપે છે, અને પહોંચી શકાય તેટલું મહત્તમ અંતર પૂછે છે. રણની સમસ્યાની કારોમાં, પ્રારંભિક આધારમાં ઇંધણના અમર્યાદિત એકમો હોય છે. દરેક કાર કોઈપણ સમયે મહત્તમ 1 યુનિટ પુરવઠો વહન કરી શકે છે, અને 1 યુનિટ ઇંધણ પર 1 યુનિટ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે. બીજો આધાર અંતરના m એકમો પર છે. કાર રણમાં બળતણ છોડી શકતી નથી; જો કે, સફરના કોઈપણ તબક્કે, સાથેની કાર એકબીજા સાથે બળતણ ટ્રાન્સફર કરી શકે છે, જ્યાં સુધી દરેક કાર ક્યારેય 1 યુનિટથી વધુ બળતણ વહન કરતી નથી. બળતણ વિનાની ખાલી ગાડીઓ રણમાં ત્યજી દેવામાં આવે છે. સમસ્યા અન્ય આધાર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી કારની ઓછામાં ઓછી સંખ્યા માટે પૂછે છે. આ સમસ્યાનો એક પ્રકાર ઉપલબ્ધ કારની કુલ સંખ્યા આપે છે, અને મહત્તમ અંતર માટે પૂછે છે જે પહોંચી શકાય છે. ઉકેલ એક વ્યૂહરચના જે "રણનું અન્વેષણ" પ્રકાર માટે અંતિમ સફર પર મુસાફરી કરેલા અંતરને મહત્તમ કરે છે તે નીચે મુજબ છેઃ જીપ સફર કરે છે. દરેક સફર પર તે 1 યુનિટ ઇંધણ સાથે બેઝથી શરૂ થાય છે. પ્રથમ સફર પર જીપ 1/(2n) એકમોનું અંતર કાપે છે અને ઇંધણના ડમ્પ પર (n-1)/n એકમોનું બળતણ છોડે છે. જીપમાં હજુ પણ 1/(2n) યુનિટ બળતણ છે-જે બેઝ પર પાછા ફરવા માટે પૂરતું છે. ત્યારપછીની દરેક n-1 ટ્રીપ પર જીપ બહાર નીકળતા માર્ગમાં આ પ્રથમ ઇંધણના ડમ્પમાંથી 1/(2n) યુનિટ ઇંધણ એકત્રિત કરે છે, જેથી તે 1 યુનિટ ઇંધણ વહન કરતા ઇંધણના ડમ્પને છોડી દે. તે પાછા ફરતી વખતે આ પ્રથમ ઇંધણના ડમ્પમાંથી 1/(2n) યુનિટ બળતણ પણ એકત્રિત કરે છે, જે આધાર પર પાછા ફરવા માટે પૂરતું બળતણ છે. બીજી સફરમાં જીપ પ્રથમ ઇંધણના ડમ્પ અને રિફ્યુઅલ્સ સુધી જાય છે. તે પછી 1/(2n−2) એકમોનું અંતર કાપે છે અને બીજા ઇંધણ ડમ્પ પર (n−2)/(n−1) એકમોનું બળતણ છોડે છે. જીપમાં હજુ પણ 1/(2n−2) યુનિટ બળતણ હોય છે, જે પ્રથમ બળતણ ડમ્પ પર પાછા ફરવા માટે પૂરતું છે. અહીં તે 1/(2n) યુનિટ બળતણ એકત્રિત કરે છે, જે આધાર પર પાછા ફરવા માટે પૂરતું બળતણ છે. ત્યારપછીની દરેક n−2 સફર પર જીપ બહાર નીકળતા રસ્તામાં આ બીજા ઇંધણના ડમ્પમાંથી 1/(2n−2) યુનિટ ઇંધણ એકત્રિત કરે છે, જેથી તે 1 યુનિટ ઇંધણ વહન કરતા ઇંધણના ડમ્પને છોડી દે. તે પાછા ફરતી વખતે બીજા ઇંધણના ડમ્પમાંથી 1/(2n−2) એકમોનું બળતણ પણ એકત્રિત કરે છે, જે પ્રથમ ઇંધણના ડમ્પ પર પાછા ફરવા માટે પૂરતું બળતણ છે. જીપ આ રીતે ચાલુ રહે છે, જેથી સફર k પર તે અગાઉના ઇંધણના ડમ્પથી 1/(2n−2k + 2) એકમોના અંતરે એક નવો kth ઇંધણનો ડમ્પ સ્થાપિત કરે છે અને ત્યાં ઇંધણના એકમો (n−k)/(n−k + 1) છોડી દે છે. ત્યારપછીની દરેક n−k સફર પર તે બહાર નીકળતા સમયે kth ડમ્પમાંથી 1/(2n−2k + 2) યુનિટ બળતણ અને પાછા ફરતા સમયે અન્ય 1/(2n−2k + 2) યુનિટ બળતણ એકત્રિત કરે છે. જ્યારે જીપ તેની અંતિમ સફર શરૂ કરે છે, ત્યારે ત્યાં n-1 ઇંધણનો જથ્થો હોય છે. સૌથી દૂરના ભાગમાં બળતણના એક એકમનો અડધો ભાગ હોય છે, પછીના સૌથી દૂરના ભાગમાં બળતણના એક એકમનો અડધો ભાગ હોય છે, અને તેથી વધુ, અને નજીકના બળતણના ડમ્પમાં માત્ર એક એક એકમ બળતણ બાકી હોય છે. ઇંધણના 1 એકમ સાથે, જેની સાથે તે બેઝથી શરૂ થાય છે, આનો અર્થ એ છે કે જીપ તેની અંતિમ સફર પર કુલ રાઉન્ડ ટ્રીપ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે (રણમાં મુસાફરી કરેલ મહત્તમ અંતર આનો અડધો ભાગ છે). તે બહાર નીકળતા રસ્તામાં દરેક ડમ્પ પર બાકી રહેલું અડધું બળતણ એકત્રિત કરે છે, જે તેની ટાંકી ભરે છે. સૌથી દૂરના ઇંધણના ડમ્પને છોડ્યા પછી તે અડધા યુનિટની મુસાફરી કરીને રણમાં આગળ વધે છે અને પછી સૌથી દૂરના ઇંધણના ડમ્પ પર પાછા ફરે છે. તે પાછા ફરતી વખતે દરેક ઇંધણના ડમ્પમાંથી બાકીનું બળતણ એકત્રિત કરે છે, જે આગલા ઇંધણના ડમ્પ સુધી પહોંચવા માટે અથવા અંતિમ તબક્કામાં, બેઝ પર પાછા ફરવા માટે પૂરતું છે. છેલ્લી સફરમાં જે અંતર કાપવામાં આવ્યું તે nમો હાર્મોનિક નંબર, Hn છે. હાર્મોનિક સંખ્યાઓ અમર્યાદિત હોવાથી, અંતિમ સફર પર આપેલ કોઈપણ અંતરને ઓળંગવું શક્ય છે, કારણ કે આધાર પર પૂરતું બળતણ ઉપલબ્ધ છે. જો કે, જરૂરી ઇંધણની માત્રા અને ઇંધણના ડમ્પની સંખ્યા બંને મુસાફરી કરવાના અંતર સાથે ઝડપથી વધે છે. "ક્રોસિંગ ધ ડેઝર્ટ" વેરિઅન્ટને સમાન વ્યૂહરચના સાથે ઉકેલી શકાય છે, સિવાય કે હવે અંતિમ સફર પર પાછા ફરતી વખતે બળતણ એકત્રિત કરવાની જરૂર નથી. તેથી ટ્રિપ k પર જીપ અગાઉના ઇંધણના ડમ્પથી 1/(2n−2k + 1) એકમોના અંતરે એક નવો kth ઇંધણનો ડમ્પ સ્થાપિત કરે છે અને ત્યાં ઇંધણના એકમો (2n−2k−1)/(2n−2k + 1) છોડી દે છે. આગામી દરેક n − k − 1 સફર પર તે બહાર નીકળતા સમયે kth ડમ્પમાંથી 1/(2n − 2k + 1) એકમ બળતણ અને પાછા ફરતા સમયે અન્ય 1/(2n − 2k + 1) એકમ બળતણ એકત્રિત કરે છે. હવે જ્યારે જીપ તેની અંતિમ સફર શરૂ કરે છે, ત્યારે ત્યાં n-1 ઇંધણનો જથ્થો હોય છે. સૌથી દૂરના ભાગમાં બળતણના એક એકમનો 1/3 ભાગ હોય છે, પછીના સૌથી દૂરના ભાગમાં બળતણના એક એકમનો 1/5 ભાગ હોય છે, અને તેથી વધુ, અને નજીકના બળતણના ડમ્પમાં માત્ર 1/ (2n−1) બળતણના એકમો બાકી હોય છે. ઇંધણના 1 એકમ સાથે, જેની સાથે તે બેઝથી શરૂ થાય છે, આનો અર્થ એ છે કે જીપ તેની અંતિમ સફર પર કુલ એકમોનું અંતર કાપી શકે છે. તે બહાર નીકળતા રસ્તામાં દરેક ડમ્પ પર બાકી રહેલું તમામ બળતણ એકત્રિત કરે છે, જે તેની ટાંકી ભરે છે. સૌથી દૂરના ઇંધણના ડમ્પને છોડ્યા પછી તે 1 યુનિટનું વધુ અંતર કાપે છે. નોંધ લો કે તેથી સિદ્ધાંતમાં આધાર પર પૂરતું બળતણ આપવામાં આવે તો કોઈપણ કદના રણને પાર કરવું શક્ય છે. પહેલાની જેમ, જરૂરી ઇંધણની માત્રા અને ઇંધણના ડમ્પની સંખ્યા બંને મુસાફરી કરવાના અંતર સાથે ઝડપથી વધે છે. સારાંશમાં, એન ટ્રિપ્સમાં (એન-1 મિડવે ઇંધણ ડમ્પ્સ અને કુલ એન યુનિટ ઇંધણનો વપરાશ સાથે) જીપ દ્વારા (કોઈપણ સમયે 1 યુનિટ અંતરની ઇંધણ ક્ષમતા સાથે) પહોંચી શકાય તેવું મહત્તમ અંતર એ છે કે, રણની શોધખોળ માટે જ્યાં જીપે દરેક સફરના અંતે બેઝ પર પાછા ફરવું આવશ્યક છે;, રણને પાર કરવા માટે જ્યાં જીપે અંતિમ સફર સિવાય દરેક સફરના અંતે બેઝ પર પાછા ફરવું આવશ્યક છે, જ્યારે જીપ બળતણ ખતમ થાય તે પહેલાં શક્ય તેટલું દૂર મુસાફરી કરે છે. અહીં nમો હાર્મોનિક નંબર છે. બળતણનો સતત જથ્થો આધાર પર ઉપલબ્ધ બળતણ એકમોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જરૂરી નથી. સામાન્ય કિસ્સામાં, બળતણના એકમો સાથે "રણનું અન્વેષણ કરો" સમસ્યા માટે પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવું મહત્તમ અંતર એ છે કે પ્રથમ બળતણ ડમ્પ પ્રારંભિક આધારથી દૂરના એકમો પર સ્થિત છે, બીજું પ્રથમ બળતણ ડમ્પથી દૂરના એકમો પર, ત્રીજું બીજા બળતણ ડમ્પથી દૂરના એકમો પર, અને તેથી વધુ. અહીંનો અપૂર્ણાંક ભાગ છે. બળતણના એકમો સાથે "ક્રોસ ધ ડેઝર્ટ" સમસ્યા માટે પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવું મહત્તમ અંતર એ છે કે પ્રથમ બળતણ ડમ્પ પ્રારંભિક આધારથી દૂરના એકમો પર સ્થિત છે, બીજું પ્રથમ બળતણ ડમ્પથી દૂરના એકમો પર, ત્રીજું બીજા બળતણ ડમ્પથી દૂરના એકમો પર, અને તેથી વધુ. અહીંનો અપૂર્ણાંક ભાગ છે. સમસ્યાના અન્ય પ્રકારો ઊંટ અને કેળાની સમસ્યામાં, એમ ધારીને કે વેપારી પાસે શરૂઆતના પાયા પર કેળાના કુલ n = 7/3 એકમો છે અને બજાર m એકમો દૂર છેઃ જો, આ સમસ્યાનો કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી; જો પરિવહન માટે કોઈ મિડવે કેમ્પ પોસ્ટની જરૂર નથી, અને અંતર m ઊંટ દ્વારા વારંવાર કરવામાં આવશે, તો બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની મહત્તમ માત્રા છે; જો, કેળાની મહત્તમ માત્રાને પરિવહન કરવા માટે કેટલાક મિડવે કેમ્પ પોસ્ટની જરૂર હોય તોઃ m = 1/4 <(1/3+1 15) માટે, શરૂઆતના પાયાથી દૂર 1/15 એકમોના અંતરે માત્ર એક મિડવે કેમ્પ પોસ્ટ જરૂરી છે, જ્યાં કુલ 2 એકમોનું અંતર છે. કેમ્પ પોસ્ટથી બજાર વચ્ચેનું અંતર (1/4-1 15) છે, જે ઊંટ દ્વારા 3 વખત પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે, અને બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની મહત્તમ માત્રા 2-(1/4-1 15) * 3 = 1.45 યુનિટ છે; m = 1/2> (1/3+1 15) માટે, પ્રથમ કેમ્પ પોસ્ટથી 1/3 યુનિટના અંતરે બીજી મિડવે કેમ્પ પોસ્ટ જરૂરી છે, જ્યાં કેળાનું કુલ 1 યુનિટ જમા થશે. બીજી કેમ્પ પોસ્ટથી બજાર સુધીનું અંતર [1/2 (1/3+1 15)] છે, જે ઊંટ દ્વારા માત્ર એક જ વાર પસાર કરવામાં આવશે, અને બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની મહત્તમ માત્રા 1-[1/2 (1/3+1 15)] * 1 = 0.9 એકમો છે. જો ઊંટને આખરે પ્રારંભિક પાયા પર પાછા ફરવાની જરૂર હોય, તો કાર્ય લાગુ પડે છે (હજી પણ n = 7/3 ધારી રહ્યા છીએ): જો, આ સમસ્યાનો કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી; જો, પરિવહન માટે કોઈ મિડવે કેમ્પ પોસ્ટની જરૂર નથી, અને અંતર m ઊંટ દ્વારા વખત માટે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે, તો બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની મહત્તમ માત્રા છે; જો, કેળાની મહત્તમ માત્રાને પરિવહન કરવા માટે કેટલાક મિડવે કેમ્પ પોસ્ટની જરૂર હોય તોઃ m = 1/4 <(1/4+1 18) માટે, પ્રારંભિક પાયાથી દૂર 1/18 એકમોના અંતરે માત્ર એક મિડવે કેમ્પ પોસ્ટ જરૂરી છે, જ્યાં ઊંટના અંતિમ વળતર માટે કેળાના કુલ 2 એકમો (વત્તા 1/18 એકમો) જરૂરી છે. કેમ્પ પોસ્ટથી બજાર વચ્ચેનું અંતર (1/4-1 18) છે, જે ઊંટ દ્વારા 4 વખત પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે, અને બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની મહત્તમ માત્રા 2-(1/4-1 18) * 4 = 1.22 યુનિટ છે; m = 1/2> (1/4+1 18) માટે, પ્રથમ કેમ્પ પોસ્ટથી 1/4 યુનિટના અંતરે બીજી મિડવે કેમ્પ પોસ્ટ જરૂરી છે, જ્યાં કેળાનું કુલ 1 યુનિટ (વત્તા ઊંટના અંતિમ વળતર માટે 1/4 યુનિટ) જમા થશે. બીજી કેમ્પ પોસ્ટથી બજાર સુધીનું અંતર [1/2 (1/4+1 18)] છે, જે ઊંટ દ્વારા બે વાર પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે, અને બજારમાં પરિવહન કરવામાં આવતા કેળાની મહત્તમ માત્રા 1-[1/2 (1/4+1 18)] * 2 = 0.61 એકમો છે. રણની સમસ્યાના પ્રવાસીઓમાં, ધારો કે n પ્રવાસીઓ પુરવઠાના n એકમો સાથે પ્રારંભિક આધારથી નીકળે છે. અંતરના 1/(એન + 1) એકમો પછી, તેઓએ પહેલેથી જ પુરવઠાના એન/(એન + 1) એકમોનો વપરાશ કર્યો હશે; આ સમયે, પ્રવાસીઓમાંના એકે પુરવઠાના 1/(એન + 1) એકમો સાથે પાછા ફરવું જોઈએ, જૂથને બરાબર (એન-1) એકમો પુરવઠો છોડવો જોઈએ જેથી દરેક બાકીના પ્રવાસી બરાબર એક એકમ પુરવઠો વહન કરે. જૂથ પછી અંતરના અન્ય 1/(એન + 1) એકમોની મુસાફરી કરે છે, જે પુરવઠાના (એન-1)/(એન + 1) એકમોનો વપરાશ કરે છે; આ સમયે, બાકીના પ્રવાસીઓમાંના એક વ્યક્તિએ પુરવઠાના 2/(એન + 1) એકમો સાથે સુરક્ષિત રીતે પ્રારંભિક આધાર પર પાછા ફરવું જોઈએ, જૂથને બરાબર (એન-2) પુરવઠાના એકમો છોડીને. આ જૂથ અંતરના 1/(n + 1) એકમો ખસેડવાનું અને એક પ્રવાસીને ઘટાડવાનું ચાલુ રાખે છે, જ્યાં સુધી પુરવઠાના બરાબર એક એકમ સાથે માત્ર એક જ પ્રવાસી બાકી ન રહે. છેવટે, આ પ્રવાસી સૌથી દૂરના બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે એક એકમ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે. કુલ મળીને, n પ્રવાસીઓ જે સૌથી લાંબુ અંતર સુધી પહોંચી શકે છે તે છે આને m સાથે સરખાવવું, જે અંતરના m એકમોની મુસાફરી કરવા માટે જરૂરી મુસાફરોની ઓછામાં ઓછી સંખ્યા માટે ઉકેલી શકાય છે. નોંધ લો કે ઉકેલો ફક્ત m <2 માટે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો છેલ્લા અને અંતિમ પ્રવાસીને પણ પ્રારંભિક આધાર પર પાછા ફરવાની જરૂર હોય, તો તે માત્ર 1/(એન + 1) એકમ એકલા જ મુસાફરી કરશે જેથી તેની પાસે પાછા ફરવા માટે પુરવઠાના એન/(એન + 1) એકમો હોય, તેથી સૌથી લાંબુ અંતર n પ્રવાસીઓ પહોંચી શકે છે. નોંધ લો કે ઉકેલો ફક્ત m <1 માટે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. રણની સમસ્યાની કારોમાં, ધારો કે n કાર બળતણના n એકમો સાથે પ્રારંભિક આધારથી બહાર નીકળે છે. 1/n યુનિટ અંતર પછી, જૂથ પહેલેથી જ બરાબર એક યુનિટ બળતણનો વપરાશ કરી ચૂક્યું હશે; આ સમયે, તેઓએ તેમની વચ્ચે બળતણ ટ્રાન્સફર કરવું જોઈએ, ખાલી કાર પાછળ છોડી દેવી જોઈએ અને (n-1) કાર વચ્ચે (n-1) યુનિટ બળતણ વહન કરવું જોઈએ. અંતરના અન્ય 1/(એન-1) એકમો પછી, જૂથે બળતણનો બીજો એક એકમ વપરાશ કર્યો હોત; ફરીથી, તેઓએ બળતણ ટ્રાન્સફર કરવું જોઈએ, ખાલી કારને પાછળ છોડી દેવી જોઈએ અને (એન-2) કાર વચ્ચે બળતણના (એન-2) એકમો વહન કરવા જોઈએ. આ જૂથ એક કાર ખસેડવાનું અને ઘટાડવાનું ચાલુ રાખે છે, જ્યાં સુધી ત્યાં માત્ર એક જ કાર બાકી રહે છે જેમાં બરાબર એક એકમ બળતણ હોય. છેવટે, આ કાર સૌથી દૂરના બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે એક એકમ અંતરની મુસાફરી કરી શકે છે. કુલ મળીને, સૌથી લાંબુ અંતર n કાર પહોંચી શકે છે તે nમો હાર્મોનિક નંબર છેઃ આને m સાથે સરખાવીને, અંતરના m એકમોની મુસાફરી કરવા માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછી કારની સંખ્યા માટે ઉકેલ લાવી શકાય છે. ઓર્ડર સ્વતંત્રતા નોંધ લો કે જીપ ટ્રિપ્સનો ક્રમ નિશ્ચિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે સમસ્યાના "એક્સપ્લોરિંગ ધ ડેઝર્ટ" સંસ્કરણમાં, જીપ બેઝ અને પ્રથમ ઇંધણના ડમ્પ વચ્ચે રાઉન્ડ-ટ્રીપ કરી શકે છે, દરેક વખતે ઇંધણના ડમ્પ પર ઇંધણના એકમો છોડી શકે છે અને પછી પ્રથમ ઇંધણના ડમ્પ સુધી વન-વે ટ્રીપ કરી શકે છે, આમ ઉપલબ્ધ ઇંધણના કુલ એકમો સાથે ત્યાં પહોંચી શકે છે. એકમોને ખૂબ જ અંતમાં બેઝ પર પાછા ફરવા માટે સાચવવામાં આવે છે અને બળતણના અન્ય એકમોનો ઉપયોગ પ્રથમ અને બીજા બળતણ ડમ્પ વચ્ચે બળતણ ખસેડવા માટે થાય છે, જેમાં રાઉન્ડ-ટ્રીપનો ઉપયોગ થાય છે અને પછી બીજી બળતણ ડમ્પ પર વન-વે ટ્રીપ થાય છે. અને તેથી પર. વ્યવહારુ ઉપયોગો યુદ્ધ સમયની પરિસ્થિતિઓમાં સમસ્યાનો વ્યવહારુ ઉપયોગ થઈ શકે છે, ખાસ કરીને બળતણ કાર્યક્ષમતાના સંદર્ભમાં. બી-29 દ્વારા બીજા વિશ્વયુદ્ધમાં જાપાન પર બોમ્બ ધડાકાના સંદર્ભમાં, રોબર્ટ મેકનામારા ફિલ્મ ધ ફોગ ઓફ વોરમાં કહે છે કે ઇંધણને આગળના પાયા પર પરિવહન કરવાના કારણે બળતણ કાર્યક્ષમતાના મુદ્દાને સમજવું એ મુખ્ય કારણ હતું કે મુખ્ય ભૂમિ ચીનમાંથી બોમ્બ ધડાકા શરૂ કરવાની વ્યૂહરચના ટાપુ હોપિંગ વ્યૂહરચનાની તરફેણમાં ત્યજી દેવામાં આવી હતીઃ (બીજા વિશ્વયુદ્ધના અંતમાં અણુ બોમ્બ ધડાકા મિશન ઉત્તરી મારિયાનાસ ટાપુઓમાં ટિનિયનના પેસિફિક ટાપુથી બી-29 સુપરફોર્ટ્રેસનો ઉપયોગ કરીને ઉડાડવામાં આવ્યા હતા.) આ વિચારોના અમલીકરણ માટે ઓપરેશન બ્લેક બક પણ જુઓ. ફૉકલેન્ડ યુદ્ધ દરમિયાન હાથ ધરવામાં આવેલા આ અભિયાનોમાં, રોયલ એર ફોર્સે એસેન્શન ટાપુ પર સ્થિત વલ્કન બોમ્બર્સને ફૉકલેન્ડ ટાપુઓમાં લક્ષ્યો પર બોમ્બમારો કરવા સક્ષમ બનાવવા માટે સ્ટેજીંગ ટેન્કરો દ્વારા હવાથી હવામાં ઇંધણ ભરવાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. હાર્મોનિક શ્રેણી (ગણિત) ઓપ્ટિમાઇઝેશન (ગણિત) સંદર્ભો ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન મનોરંજન ગણિત પણ જુઓ.