Eight-vertex model
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ એ બરફ-પ્રકાર (છ-વર્ટેક્સ) મોડેલનું સામાન્યીકરણ છે; તેની ચર્ચા સદરલેન્ડ અને ફેન એન્ડ વુ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, અને શૂન્ય-ક્ષેત્રના કિસ્સામાં બેક્સટર દ્વારા ઉકેલવામાં આવી હતી. વર્ણન બરફ-પ્રકારનાં મોડેલોની જેમ, આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ એક ચોરસ જાળીનું મોડેલ છે, જ્યાં દરેક સ્થિતિ શિરોબિંદુ પર તીરોની ગોઠવણી છે. માન્ય શિરોબિંદુઓમાં શિરોબિંદુ તરફ નિર્દેશ કરતા તીરની સંખ્યા સરખી હોય છે; તેમાં બરફ-પ્રકારના નમૂનામાંથી વારસામાં મળેલા છ (1-6), અને સિંક અને સ્રોત (7,8) નો સમાવેશ થાય છે. આપણે શિરોબિંદુઓ અને ધારવાળા જાળીને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સામયિક સીમા શરતો લાદવા માટે જરૂરી છે કે 7 અને 8 સ્થિતિઓ 5 અને 6 સ્થિતિઓની જેમ સમાન રીતે વારંવાર થાય, અને તેથી સમાન ઊર્જા હોવાનું માની શકાય છે. શૂન્ય-ક્ષેત્રના કિસ્સામાં સ્થિતિઓની અન્ય બે જોડી માટે પણ આ જ સાચું છે. દરેક શિરોબિંદુમાં સંકળાયેલ ઊર્જા અને બોલ્ટ્ઝમેન વજન હોય છે, જે જાળી પર પાર્ટીશન ફંક્શન આપે છે, જ્યાં જાળીમાં શિરોબિંદુઓના તમામ માન્ય રૂપરેખાંકનો પર સરવાળો હોય છે. આ સામાન્ય સ્વરૂપમાં પાર્ટીશન કાર્ય ઉકેલાયેલું રહે છે. શૂન્ય-ક્ષેત્રના કિસ્સામાં ઉકેલ મોડેલનો શૂન્ય-ક્ષેત્રનો કેસ ભૌતિક રીતે બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રોની ગેરહાજરીને અનુરૂપ છે. તેથી, તમામ તીરના ઉલટાવા હેઠળ મોડેલ અપરિવર્તિત રહે છે; 1 અને 2, અને 3 અને 4 સ્થિતિઓ, પરિણામે જોડી તરીકે થવી જોઈએ. શિરોબિંદુઓને મનસ્વી વજન સોંપી શકાય છે ઉકેલ એ નિરીક્ષણ પર આધારિત છે કે ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ આ ચાર બોલ્ટ્ઝમેન વજનના ચોક્કસ પરિમાણો માટે મુસાફરી કરે છે. આ છ-વર્ટેક્સ મોડેલ માટે વૈકલ્પિક ઉકેલના ફેરફાર તરીકે આવ્યું; તે લંબગોળ થીટા કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે. કમ્યુટિંગ ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ સાબિતી એ હકીકત પર આધાર રાખે છે કે ક્યારે અને, જથ્થા માટે ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ અને (વજન,,, અને,,, સાથે સંકળાયેલ) કમ્યુટિંગ. તારા-ત્રિકોણ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, બેક્સટરે આ સ્થિતિને નિશ્ચિત માપાંક અને ચલ માટે આપવામાં આવેલા વજનના પરિમાણની સમકક્ષ તરીકે પુનઃરચના કરી. અહીં એસ. એન. એચ. એ એસ. એન. નું હાયપરબોલિક એનાલોગ છે, જે મોડ્યુલસના થીટા કાર્યો દ્વારા અને અને દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ રીતે સંકળાયેલ ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ એકલાનું કાર્ય છે; બધા માટે, મેટ્રિક્સ કાર્ય ઉકેલનો બીજો નિર્ણાયક ભાગ એ નોન-સિંગ્યુલર મેટ્રિક્સ-વેલ્યુડ ફંક્શનનું અસ્તિત્વ છે, જેમ કે તમામ કોમ્પ્લેક્સ માટે મેટ્રિક્સ એકબીજા સાથે અને ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ સાથે કમ્યુટ કરે છે, અને જ્યાં સંતુષ્ટ થાય છે. સ્પષ્ટ ઉકેલ () માં મેટ્રિસીસની રૂપાંતર તેમને વિકર્ણિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને આમ આઈગનવેલ્યુ શોધી શકાય છે. પાર્ટીશન ફંક્શનની ગણતરી મહત્તમ આઈગન વેલ્યુથી કરવામાં આવે છે, જેના પરિણામે જ્યાં અને મોડુલીના સંપૂર્ણ લંબગોળ સંકલન માટે સાઇટ દીઠ મુક્ત ઊર્જા મળે છે. આઠ શિરોબિંદુ મોડેલને પણ ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સમાં ઉકેલવામાં આવ્યું હતું. આઇસિંગ મોડેલ સાથે સમાનતા આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ અને 2-સ્પિન અને 4-સ્પિન નજીકના પડોશી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે આઇસિંગ મોડેલ વચ્ચે કુદરતી પત્રવ્યવહાર છે. આ મોડેલની સ્થિતિઓ ચોરસ જાળીના ચહેરા પર ફરતી હોય છે. આઠ-શિરોબિંદુ મોડેલમાં 'ધાર' નું એનાલોગ એ અડીને આવેલા ચહેરાઓ પર સ્પિનના ઉત્પાદનો છેઃ આ મોડેલ માટે ઊર્જાનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ એ છે કે જ્યાં,, આડી, ઊભી અને બે કર્ણ 2-સ્પિન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે, અને શિરોબિંદુ પર ચાર ચહેરાઓ વચ્ચેની 4-સ્પિન ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરે છે; સરવાળો સમગ્ર જાળી પર હોય છે. અમે આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલમાં અનુક્રમે આડી અને ઊભી સ્પિન (ધાર પર તીર) સૂચવીએ છીએ, અને ઉપર અને જમણે હકારાત્મક દિશાઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. શિરોબિંદુ સ્થિતિઓ પર પ્રતિબંધ એ છે કે શિરોબિંદુ પર ચાર ધારોનો ગુણાકાર 1 છે; આ આપમેળે ઇઝિંગ 'ધાર' માટે લાગુ પડે છે. દરેક રૂપરેખાંકન પછી એક અનન્ય, રૂપરેખાંકનને અનુરૂપ હોય છે, જ્યારે દરેક, રૂપરેખાંકન રૂપરેખાંકનની બે પસંદગીઓ આપે છે. દરેક શિરોબિંદુ માટે બોલ્ટ્ઝમેન વજનના સામાન્ય સ્વરૂપોને સરખાવતા, અને,,, વચ્ચેના નીચેના સંબંધો, જાળીના નમૂનાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ તે અનુસરે છે કે આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલના શૂન્ય-ક્ષેત્રના કિસ્સામાં, અનુરૂપ ઇસિંગ મોડેલમાં આડી અને ઊભી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આ સંબંધો આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલના પાર્ટીશન કાર્યો અને 2,4-સ્પિન ઇઝિંગ મોડેલ વચ્ચે સમાનતા આપે છે. પરિણામે કોઈ પણ મોડેલમાં ઉકેલ તરત જ બીજામાં ઉકેલ તરફ દોરી જશે. સિક્સ-વર્ટેક્સ મોડેલ ટ્રાન્સફર-મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ આઇસિંગ મોડેલ નોંધો સંદર્ભો બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય મોડેલો આંકડાકીય મિકેનિક્સ જાળી મોડેલો પણ જુઓ.