Lee–Yang theorem
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, લી-યાંગ પ્રમેય જણાવે છે કે જો લોહચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સાથે આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં ચોક્કસ નમૂનાઓના વિભાજન કાર્યોને બાહ્ય ક્ષેત્રના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે, તો બધા શૂન્ય સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક છે (અથવા ચલ પરિવર્તન પછી એકમ વર્તુળ પર). પ્રથમ સંસ્કરણ ઇસિંગ મોડેલ માટે સાબિત થયું હતું. તેમનું પરિણામ પાછળથી ઘણા લોકો દ્વારા વધુ સામાન્ય નમૂનાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યું હતું. 1970માં અસાનોએ લી-યાંગ પ્રમેયને હેઇસેનબર્ગ મોડેલ સુધી વિસ્તાર્યો અને અસાનો સંકોચનનો ઉપયોગ કરીને એક સરળ પુરાવો પૂરો પાડ્યો. લી-યાંગ પ્રમેયને ઇઝિંગ મોડેલોના સુપરપોઝિશન દ્વારા અંદાજિત કરીને ચોક્કસ સતત સંભાવના વિતરણો સુધી વિસ્તૃત કર્યો. લી-યાંગ થીયરમ લોહચુંબકીય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા માટે ધરાવે છે, જો કે તે શૂન્ય ક્રિયાપ્રતિક્રિયા માટે ધરાવે છે, એમ અંદાજે દર્શાવતો એક સામાન્ય પ્રમેય આપ્યો હતો. આર પરના પગલાંથી લઈને ઉચ્ચ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા પરના પગલાં સુધી ન્યૂમેનના પરિણામને સામાન્ય બનાવ્યું. રીમાન ઝીટા કાર્ય વિશે લી-યાંગ પ્રમેય અને રીમાન પૂર્વધારણા વચ્ચેના સંબંધ વિશે કેટલીક અટકળો કરવામાં આવી છે; જુઓ. સ્ટેટમેન્ટ પ્રિલિમિનરીઝ હેમિલ્ટોનિયનમાં ઔપચારિકરણની સાથે આપવામાં આવે છે જ્યાં Sj સ્પિન ચલ છે, zj બાહ્ય ક્ષેત્ર. જો ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દ Jjk ના તમામ ગુણાંક બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક હોય તો સિસ્ટમને લોહચુંબકીય કહેવામાં આવે છે. પાર્ટીશન કાર્ય એ રીતે આપવામાં આવે છે કે જ્યાં દરેક dμj એ વાસ્તવિક R પર એક સરખું માપ છે જે અનંત સમયે એટલી ઝડપથી ઘટી રહ્યું છે કે તમામ ગૌસીયન કાર્યો સંકલિત છે, એટલે કે. જો તેના ફોરિયર રૂપાંતરણના તમામ શૂન્ય નીચે મુજબ વાસ્તવિક હોય તો વાસ્તવિક પર ઝડપથી ઘટતા માપમાં લી-યાંગ ગુણધર્મ હોવાનું કહેવાય છે. પ્રમેય લી-યાંગ પ્રમેય જણાવે છે કે જો હેમિલ્ટોનિયન લોહચુંબકીય હોય અને તમામ માપ dμj પાસે લી-યાંગ ગુણધર્મ હોય, અને તમામ સંખ્યાઓ zj પાસે હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ હોય, તો વિભાજન કાર્ય બિન-શૂન્ય છે. ખાસ કરીને જો તમામ સંખ્યાઓ zj અમુક સંખ્યા z ની બરાબર હોય, તો પાર્ટીશન ફંક્શનના તમામ શૂન્ય (z ના વિધેય તરીકે ગણવામાં આવે છે) કાલ્પનિક છે. લી અને યાંગ દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા મૂળ ઇસિંગ મોડેલ કેસમાં, તમામ પગલાંઓને 2 બિંદુ સમૂહ −1,1 પર આધાર છે, તેથી પાર્ટીશન કાર્યને ચલ ρ = eπz નું કાર્ય ગણી શકાય. ચલના આ પરિવર્તન સાથે લી-યાંગ પ્રમેય કહે છે કે બધા શૂન્ય ρ એકમ વર્તુળ પર આવેલા છે. લી-યાંગ ગુણધર્મ સાથેના માપના કેટલાક ઉદાહરણો આ પ્રમાણે છેઃ ઇસિંગ મોડેલનું માપ, જેમાં બે બિંદુઓ (સામાન્ય રીતે 1 અને-1) નો આધાર હોય છે, દરેકનું વજન 1/2 હોય છે. લી અને યાંગ દ્વારા વિચારવામાં આવેલો આ મૂળ કેસ છે. સ્પિન n/2 નું વિતરણ, જેનો આધાર n + 1 સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓ ધરાવે છે, દરેકનું વજન 1/(n + 1) છે. આ ઇસિંગ મોડેલ કેસનું સામાન્યીકરણ છે. માપની ઘનતા −1 અને 1 વચ્ચે સમાનરૂપે વહેંચાયેલી છે. ઘનતા હકારાત્મક λ અને વાસ્તવિક b માટેની ઘનતા. આ (φ4) 2 યુક્લિડિયન ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતને અનુરૂપ છે. હકારાત્મક λ માટે ઘનતા હંમેશા લી-યાંગ ગુણધર્મ ધરાવતી નથી. જો dμ પાસે લી-યાંગ ગુણધર્મ હોય, તો કોઈપણ હકારાત્મક b માટે exp (bS2) dμ પણ હોય છે. જો dμ પાસે લી-યાંગ ગુણધર્મ હોય, તો તે જ રીતે કોઈપણ સમ બહુપદી Q માટે Q (S) dμ કરે છે, જેના બધા શૂન્ય કાલ્પનિક હોય છે. લી-યાંગ મિલકત સાથે બે પગલાંના સંકલનમાં પણ લી-યાંગ મિલકત છે. લી-યાંગ સિદ્ધાંત સંદર્ભો યાંગ ચેન-નિંગ ત્સુંગ-દાઓ લી આંકડાકીય મિકેનિક્સ સિદ્ધાંતો પણ જુઓ.