Ice-type model
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાઓ અથવા છ-વર્ટેક્સ નમૂનાઓ હાઇડ્રોજન બંધ સાથે સ્ફટિક જાળી માટેના શિરોબિંદુ નમૂનાઓનું એક કુટુંબ છે. આ પ્રકારનું પ્રથમ મોડેલ 1935માં લિનસ પૌલિંગ દ્વારા પાણીના બરફના અવશેષ એન્ટ્રોપી માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. ચોક્કસ ફેરોઇલેક્ટ્રિક અને એન્ટીફેરોઇલેક્ટ્રિક સ્ફટિકોના નમૂના તરીકે વિવિધ પ્રકારોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે. 1967માં, ઇલિયટ એચ. લીબે "ચોરસ બરફ" તરીકે ઓળખાતા દ્વિ-પરિમાણીય બરફના નમૂનાનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી કાઢ્યો હતો. ત્રણ પરિમાણોમાં ચોક્કસ ઉકેલ માત્ર એક ખાસ "સ્થિર" સ્થિતિ માટે જાણીતો છે. વર્ણન બરફ-પ્રકારનું મોડેલ એ સંકલન નંબર 4 ના જાળી પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ જાળીનું મોડેલ છે. એટલે કે, જાળીનું દરેક શિરોબિંદુ ચાર "નજીકના પડોશીઓ" સાથે એક ધાર દ્વારા જોડાયેલું છે. મોડેલની સ્થિતિમાં જાળીની દરેક ધાર પર એક તીર હોય છે, જેમ કે દરેક શિરોબિંદુ પર અંદર તરફ નિર્દેશ કરતા તીરની સંખ્યા 2 હોય છે. તીરની ગોઠવણી પરના આ પ્રતિબંધને બરફના નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આલેખ સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિએ, સ્થિતિઓ અંતર્ગત 4-નિયમિત દિશાહીન આલેખની યુલરિયન દિશાઓ છે. પાર્ટીશન ફંક્શન ક્યાંય-શૂન્ય 3-પ્રવાહોની સંખ્યાની પણ ગણતરી કરે છે. દ્વિ-પરિમાણીય નમૂનાઓ માટે, જાળીને ચોરસ જાળી તરીકે લેવામાં આવે છે. વધુ વાસ્તવિક નમૂનાઓ માટે, કોઈ પણ વ્યક્તિ ધ્યાનમાં લેવાતી સામગ્રીને અનુરૂપ ત્રિ-પરિમાણીય જાળીનો ઉપયોગ કરી શકે છે; ઉદાહરણ તરીકે, ષટ્કોણ બરફ જાળીનો ઉપયોગ બરફનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. કોઈપણ શિરોબિંદુ પર, તીરોની છ રચનાઓ હોય છે જે બરફના નિયમને સંતોષે છે ("સિક્સ-વર્ટેક્સ મોડેલ" નામને ન્યાયી ઠેરવે છે). (દ્વિ-પરિમાણીય) ચોરસ જાળી માટે માન્ય રૂપરેખાંકનો નીચે મુજબ છેઃ સ્થિતિની ઊર્જાને દરેક શિરોબિંદુ પરના રૂપરેખાંકનોના કાર્ય તરીકે સમજવામાં આવે છે. ચોરસ જાળી માટે, એક ધારે છે કે કુલ ઊર્જા કેટલાક સ્થિરાંકો દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં અહીં ઉપરની આકૃતિમાંથી th રૂપરેખાંકન સાથે શિરોબિંદુઓની સંખ્યા સૂચવે છે. મૂલ્ય એ શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકન સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ ઊર્જા છે. એકનો ઉદ્દેશ બરફ-પ્રકારનાં મોડેલના પાર્ટીશન ફંક્શનની ગણતરી કરવાનો છે, જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં સરવાળો મોડેલની તમામ સ્થિતિઓ પર લેવામાં આવે છે, તે સ્થિતિની ઊર્જા છે, બોલ્ટઝમેન અચળાંક છે, અને તે સિસ્ટમનું તાપમાન છે. સામાન્ય રીતે, વ્યક્તિને થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં રસ હોય છે જેમાં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા અનંતની નજીક પહોંચે છે. તે કિસ્સામાં, એક તેના બદલે મર્યાદામાં શિરોબિંદુ દીઠ મુક્ત ઊર્જાનું મૂલ્યાંકન કરે છે, જ્યાં સમાનરૂપે આપવામાં આવે છે, એક થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં શિરોબિંદુ દીઠ પાર્ટીશન ફંક્શનનું મૂલ્યાંકન કરે છે, જ્યાં મૂલ્યો અને ભૌતિક સમર્થન દ્વારા સંબંધિત છે હાઇડ્રોજન બંધ સાથેના કેટલાક વાસ્તવિક સ્ફટિકો બરફ અને પોટેશિયમ ડાયહાઇડ્રોજન ફોસ્ફેટ (KDP) સહિત બરફના મોડેલને સંતોષે છે. ખરેખર, આવા સ્ફટિકોએ બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાઓના અભ્યાસને પ્રેરિત કર્યો. બરફમાં, દરેક ઓક્સિજન અણુ અન્ય ચાર ઓક્સિજન સાથે બંધ દ્વારા જોડાયેલ હોય છે, અને દરેક બંધમાં અંતિમ ઓક્સિજન વચ્ચે એક હાઇડ્રોજન અણુ હોય છે. હાઇડ્રોજન સમપ્રમાણતામાં સ્થિત બે સ્થાનોમાંથી એક પર કબજો કરે છે, જેમાંથી કોઈ પણ બંધની મધ્યમાં નથી. પૌલિંગે એવી દલીલ કરી હતી કે હાઇડ્રોજન અણુઓની માન્ય રચના એવી છે કે દરેક ઓક્સિજનની નજીક હંમેશા બરાબર બે હાઇડ્રોજન હોય છે, આમ સ્થાનિક વાતાવરણ પાણીના અણુનું અનુકરણ કરે છે. આમ, જો આપણે ઓક્સિજન પરમાણુઓને જાળીના શિરોબિંદુઓ તરીકે અને હાઇડ્રોજન બંધને જાળીની ધાર તરીકે લઈએ, અને જો આપણે બંધ પર એક તીર દોરીએ જે બંધની બાજુ તરફ નિર્દેશ કરે છે જેના પર હાઇડ્રોજન પરમાણુ બેસે છે, તો બરફ બરફના નમૂનાને સંતોષે છે. સમાન તર્ક એ બતાવવા માટે લાગુ પડે છે કે કેડીપી પણ બરફના નમૂનાને સંતોષે છે. તાજેતરના વર્ષોમાં, બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાઓને પાયરોક્લોર સ્પિન બરફ અને કૃત્રિમ સ્પિન બરફ પ્રણાલીઓના વર્ણન તરીકે શોધવામાં આવ્યા છે, જેમાં દ્વિસ્તરીય ચુંબકીય ક્ષણો ("સ્પિન") વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓમાં ભૌમિતિક હતાશા "બરફ-નિયમ" સ્પિન રૂપરેખાંકનોની તરફેણ તરફ દોરી જાય છે. રીસ એફ-મોડલ દ્વારા સ્પિન-આઇસ સિસ્ટમોનું સચોટ વર્ણન કરી શકાય તેવા સંજોગોને શોધવા માટે તાજેતરમાં આવી સામ્યતાઓને વિસ્તૃત કરવામાં આવી છે. શિરોબિંદુ ઊર્જાની ચોક્કસ પસંદગીઓ ચોરસ જાળી પર, શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકનો 1-6 સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા સ્થિતિઓની સંબંધિત સંભાવનાઓ નક્કી કરે છે, અને આમ સિસ્ટમના મેક્રોસ્કોપિક વર્તનને પ્રભાવિત કરી શકે છે. આ શિરોબિંદુ ઊર્જાઓ માટે નીચેની સામાન્ય પસંદગીઓ છે. બરફનું મોડેલ જ્યારે બરફનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બધા સ્વીકાર્ય શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકનો સમાન રીતે સંભવિત હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, પાર્ટીશન ફંક્શન માન્ય સ્થિતિઓની કુલ સંખ્યા બરાબર છે. આ મોડેલને બરફના નમૂના તરીકે ઓળખવામાં આવે છે (બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાથી વિપરીત). ફેરોઇલેક્ટ્રિક સ્લેટરના કે. ડી. પી. મોડેલમાં એવી દલીલ કરવામાં આવી હતી કે કે. ડી. પી. ને ઊર્જા સાથે બરફ-પ્રકારનાં મોડેલ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે આ મોડેલ માટે (કે. ડી. પી. મોડેલ તરીકે ઓળખાય છે), સૌથી વધુ સંભવિત સ્થિતિ (ઓછામાં ઓછી-ઊર્જા સ્થિતિ) એ જ દિશામાં નિર્દેશ કરતા તમામ આડી તીર ધરાવે છે, અને તેવી જ રીતે તમામ ઊભી તીર માટે. આવી સ્થિતિ એક ફેરોઇલેક્ટ્રિક સ્થિતિ છે, જેમાં તમામ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ તેમના બંધની એક નિશ્ચિત બાજુ માટે પસંદગી ધરાવે છે. એન્ટીફેરોઇલેક્ટ્રિકનું રીસ એફ મોડેલ આ મોડેલ માટે ઓછામાં ઓછી ઊર્જાની સ્થિતિ સુયોજિત કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેમાં શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકનો 5 અને 6 પ્રભુત્વ ધરાવે છે. આવી સ્થિતિ માટે, અડીને આવેલા આડા બંધમાં અનિવાર્યપણે વિરુદ્ધ દિશામાં તીર હોય છે અને તે જ રીતે ઊભી બંધ માટે, તેથી આ સ્થિતિ એક એન્ટીફેરોઇલેક્ટ્રિક સ્થિતિ છે. શૂન્ય ક્ષેત્રની ધારણા જો કોઈ આજુબાજુનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર ન હોય, તો ચાર્જ રિવર્સલ હેઠળ સ્થિતિની કુલ ઊર્જા અપરિવર્તિત રહેવી જોઈએ, એટલે કે. બધા તીર ફ્લીપિંગ હેઠળ. આમ કોઈ સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના ધારી શકે છે કે આ ધારણા શૂન્ય ક્ષેત્ર ધારણા તરીકે ઓળખાય છે, અને બરફ મોડેલ, કેડીપી મોડેલ અને રીસ એફ મોડેલ માટે માન્ય છે. વિલિયમ એફ. ગિયાક અને જે. ડબલ્યુ. સ્ટાઉટ દ્વારા માપવામાં આવેલા બરફના અવશેષ એન્ટ્રોપીને ધ્યાનમાં રાખવા માટે લિનસ પૌલિંગ દ્વારા 1935માં બરફનો નિયમ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. બરફની શેષ એન્ટ્રોપી, સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, તે બરફના ટુકડામાં ઓક્સિજન અણુઓની સંખ્યા છે, જે હંમેશા મોટી (થર્મોડાયનેમિક મર્યાદા) ગણવામાં આવે છે અને પૌલિંગના બરફના નિયમ અનુસાર હાઇડ્રોજન અણુઓની ગોઠવણીની સંખ્યા છે. બરફના નિયમ વિના આપણી પાસે હાઇડ્રોજન અણુઓની સંખ્યા છે અને દરેક હાઇડ્રોજનના બે સંભવિત સ્થાનો છે. પૌલિંગે અંદાજ મૂક્યો હતો કે બરફનો નિયમ આને ઘટાડે છે, જે સંખ્યા ગિયાક-સ્ટાઉટ માપન સાથે અત્યંત સારી રીતે સંમત થશે. એવું કહી શકાય કે પોલિંગની બરફ માટેની ગણતરી એ અત્યાર સુધીમાં બનાવવામાં આવેલા વાસ્તવિક પદાર્થો માટે આંકડાકીય મિકેનિક્સની સૌથી સરળ, છતાં સૌથી સચોટ એપ્લિકેશનોમાંની એક છે. જે પ્રશ્ન બાકી રહ્યો તે એ હતો કે શું, મોડેલને જોતાં, પૌલિંગની ગણતરી, જે ખૂબ જ અંદાજિત હતી, તે સખત ગણતરી દ્વારા ટકાવી રાખવામાં આવશે. સંયોજનમાં આ એક નોંધપાત્ર સમસ્યા બની ગઈ. ત્રિ-પરિમાણીય અને દ્વિ-પરિમાણીય બંને મોડેલોની ગણતરી 1966માં જ્હોન એફ. નાગલે દ્વારા આંકડાકીય રીતે કરવામાં આવી હતી, જેમણે શોધી કાઢ્યું હતું કે તે ત્રિ-પરિમાણીય અને દ્વિ-પરિમાણીય છે. બંને આશ્ચર્યજનક રીતે પૌલિંગની 1.5 ની રફ ગણતરીની નજીક છે. 1967માં, લીબે ત્રણ દ્વિ-પરિમાણીય બરફ-પ્રકારનાં મોડેલોનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી કાઢ્યોઃ બરફનું મોડેલ, રીસ મોડેલ અને કેડીપી મોડેલ. બરફના નમૂના માટેના ઉકેલમાં બે પરિમાણોનું ચોક્કસ મૂલ્ય આપવામાં આવ્યું હતું, જેને લીબના ચોરસ બરફ અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પાછળથી 1967માં, બિલ સુથારલેન્ડે લીબના ત્રણ ચોક્કસ બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાઓના ઉકેલને શૂન્ય ક્ષેત્રની ધારણાને સંતોષતા ચોરસ-જાળીવાળા બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાઓ માટે સામાન્ય ચોક્કસ ઉકેલ માટે સામાન્ય બનાવ્યો. હજુ પણ પાછળથી 1967 માં, સી. પી. યાંગે આડી વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ચોરસ-જાળીવાળા બરફ-પ્રકારનાં નમૂનાઓ માટે ચોક્કસ ઉકેલ માટે સદરલેન્ડના ઉકેલને સામાન્ય બનાવ્યો. 1969માં, જ્હોન નાગલેએ તાપમાનની ચોક્કસ શ્રેણી માટે કે. ડી. પી. મોડેલના ત્રિ-પરિમાણીય સંસ્કરણ માટે ચોક્કસ ઉકેલ મેળવ્યો હતો. આવા તાપમાન માટે, મોડેલ એ અર્થમાં "સ્થિર" છે કે (થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં) શિરોબિંદુ દીઠ ઊર્જા અને શિરોબિંદુ દીઠ એન્ટ્રોપી બંને શૂન્ય છે. ત્રિ-પરિમાણીય બરફ-પ્રકારનાં નમૂના માટે આ એકમાત્ર જાણીતો ચોક્કસ ઉકેલ છે. આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ સાથે સંબંધ આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ, જેને બરાબર ઉકેલવામાં આવ્યું છે, તે (ચોરસ-જાળી) છ-વર્ટેક્સ મોડેલનું સામાન્યીકરણ છેઃ આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલમાંથી છ-વર્ટેક્સ મોડેલને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે, 7 અને 8 થી અનંત માટે શિરોબિંદુ રૂપરેખાંકનો માટે ઊર્જા સેટ કરો. કેટલાક કિસ્સાઓમાં સિક્સ-વર્ટેક્સ મોડેલોને ઉકેલવામાં આવ્યા છે, જેના માટે આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ પાસે નથી; ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય કેડીપી મોડેલ માટે નાગલેનો ઉકેલ અને આડી ક્ષેત્રમાં સિક્સ-વર્ટેક્સ મોડેલનો યાંગનો ઉકેલ. સીમા શરતો આ બરફનું મોડેલ આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં એક મહત્વપૂર્ણ 'પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ' પ્રદાન કરે છેઃ થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં જથ્થાબંધ મુક્ત ઊર્જા સીમા શરતો પર આધારિત હોય છે. આ મોડેલને સમયાંતરે સીમા પરિસ્થિતિઓ, સમયાંતરે વિરોધી, લોહચુંબકીય અને ક્ષેત્રની દિવાલની સીમા પરિસ્થિતિઓ માટે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવામાં આવ્યું હતું. ચોરસ જાળી પર ડોમેન દિવાલની સીમા શરતો સાથેનું છ શિરોબિંદુ મોડેલ સંયોજનમાં ચોક્કસ મહત્વ ધરાવે છે, તે વૈકલ્પિક સંકેત મેટ્રિસીસની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે. આ કિસ્સામાં પાર્ટીશન ફંક્શનને મેટ્રિક્સના નિર્ધારક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે (જેનું પરિમાણ જાળીના કદ જેટલું હોય છે), પરંતુ અન્ય કિસ્સાઓમાં ગણતરી આવા સરળ બંધ સ્વરૂપમાં બહાર આવતી નથી. સ્પષ્ટપણે, સૌથી મોટું મુક્ત સીમા શરતો દ્વારા આપવામાં આવે છે (સીમા પરના રૂપરેખાંકનો પર કોઈ અવરોધ નથી), પરંતુ તે જ થાય છે, થર્મોડાયનેમિક મર્યાદામાં, સામયિક સીમા શરતો માટે, જેનો મૂળ ઉપયોગ મેળવવા માટે થાય છે. જાળીના 3-રંગો જાળીના ચોરસના મર્યાદિત સરળ રીતે જોડાયેલા જોડાણની આંતરિક ધાર પર બરફના પ્રકારનાં મોડેલની સ્થિતિઓની સંખ્યા ચોરસને 3-રંગની રીતની સંખ્યાના એક તૃતીયાંશ જેટલી હોય છે, જેમાં કોઈ પણ બે અડીને આવેલા ચોરસ સમાન રંગ ધરાવતા નથી. રાજ્યો વચ્ચેનો આ પત્રવ્યવહાર એન્ડ્રુ લેનાર્ડને કારણે છે અને તે નીચે મુજબ આપવામાં આવ્યો છે. જો ચોરસનો રંગ i = 0,1, અથવા 2 હોય, તો બાજુના ચોરસની ધાર પરનું તીર ડાબી કે જમણી તરફ જાય છે (ચોરસમાં નિરીક્ષક અનુસાર) તેના આધારે કે બાજુના ચોરસમાં રંગ i + 1 અથવા i − 1 મોડ 3 છે. નિશ્ચિત પ્રારંભિક ચોરસને રંગવાની 3 સંભવિત રીતો છે, અને એકવાર આ પ્રારંભિક રંગ પસંદ કરવામાં આવે તે પછી તે બરફ-પ્રકારની સ્થિતિને સંતોષતા રંગ અને તીરની ગોઠવણી વચ્ચે 1:1 નો પત્રવ્યવહાર આપે છે. આ પણ જુઓ આઠ-વર્ટેક્સ મોડેલ નોંધો વધુ વાંચન બરાબર ઉકેલવા યોગ્ય મોડેલો આંકડાકીય મિકેનિક્સ જાળી મોડેલો બરફ