Resolution (algebra)
ગણિતમાં, અને વધુ ખાસ રીતે સમરૂપ બીજગણિતમાં, ઠરાવ (અથવા ડાબી બાજુની રીઝોલ્યુશન; દ્વિસંગી રીતે કોરેસોલ્યુશન અથવા જમણી બાજુની રીઝોલ્યુશન) એ મોડ્યુલો (અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, અબેલિયન શ્રેણીના પદાર્થો) નો ચોક્કસ ક્રમ છે, જેનો ઉપયોગ આ શ્રેણીના ચોક્કસ મોડ્યુલ અથવા ઑબ્જેક્ટની રચનાને દર્શાવતા અચળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. જ્યારે, સામાન્ય રીતે, તીર જમણી તરફ હોય છે, ત્યારે ક્રમ (ડાબી) ઠરાવો માટે ડાબી બાજુએ અનંત અને જમણી ઠરાવો માટે જમણી બાજુએ અનંત હોવાનું માનવામાં આવે છે. જો કે, મર્યાદિત રીઝોલ્યુશન તે છે જ્યાં અનુક્રમમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા પદાર્થો બિન-શૂન્ય હોય છે; તે સામાન્ય રીતે મર્યાદિત ચોક્કસ ક્રમ દ્વારા રજૂ થાય છે જેમાં સૌથી ડાબી બાજુની વસ્તુ (રિઝોલ્યુશન માટે) અથવા સૌથી જમણી બાજુની વસ્તુ (કોરેસોલ્યુશન માટે) શૂન્ય-વસ્તુ હોય છે. સામાન્ય રીતે, અનુક્રમમાં વસ્તુઓ અમુક ગુણધર્મ પી (ઉદાહરણ તરીકે મુક્ત હોવા) માટે પ્રતિબંધિત હોય છે. આમ કોઈ પી ઠરાવની વાત કરે છે. ખાસ કરીને, દરેક મોડ્યુલમાં ફ્રી રિઝોલ્યુશન, પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન અને ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન હોય છે, જેમાં અનુક્રમે ફ્રી મોડ્યુલ, પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ અથવા ફ્લેટ મોડ્યુલનો સમાવેશ થાય છે. તેવી જ રીતે દરેક મોડ્યુલમાં ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન હોય છે, જે ઇન્જેક્ટિવ મોડ્યુલ્સ ધરાવતા યોગ્ય રિઝોલ્યુશન હોય છે. મોડ્યુલોના રિઝોલ્યુશન વ્યાખ્યા રિંગ R પર મોડ્યુલ M આપવામાં આવે તો, M નું ડાબી બાજુનું રિઝોલ્યુશન (અથવા ફક્ત રિઝોલ્યુશન) એ R-મોડ્યુલોના ચોક્કસ ક્રમ (સંભવતઃ અનંત) છે. નકશા ε ને વૃદ્ધિ નકશો કહેવામાં આવે છે. સંક્ષિપ્તતા માટે, ઉપરના ઠરાવને આ રીતે લખી શકાય છે બેવડી કલ્પના એ યોગ્ય ઠરાવ (અથવા સહ-ઠરાવ, અથવા ફક્ત ઠરાવ) ની છે. ખાસ કરીને, રિંગ આર પર મોડ્યુલ એમ આપવામાં આવે તો, સાચો રીઝોલ્યુશન એ આર-મોડ્યુલનો સંભવતઃ અનંત ચોક્કસ ક્રમ છે જ્યાં દરેક સી. આઈ. એ આર-મોડ્યુલ છે (રિઝોલ્યુશનમાંના પદાર્થો પર સુપરસ્ક્રિપ્ટનો ઉપયોગ કરવો સામાન્ય છે અને તેમની વચ્ચેના નકશામાં આવા રિઝોલ્યુશનની બેવડી પ્રકૃતિ સૂચવવામાં આવે છે). સંક્ષિપ્તતા માટે, ઉપરોક્ત રીઝોલ્યુશનને એ (કો) રિઝોલ્યુશન તરીકે લખી શકાય છે, જો તેમાં સામેલ ઘણા મોડ્યુલો મર્યાદિત રીતે બિન-શૂન્ય હોય તો તેને મર્યાદિત કહેવાય છે. મર્યાદિત રીઝોલ્યુશનની લંબાઈ એ મહત્તમ અનુક્રમણિકા n છે જે મર્યાદિત રીઝોલ્યુશનમાં બિન-શૂન્ય મોડ્યુલને લેબલ કરે છે. મુક્ત, પ્રોજેક્ટિવ, ઇન્જેક્ટિવ અને ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન ઘણા સંજોગોમાં આપેલ મોડ્યુલ M ને ઉકેલતા મોડ્યુલ Ei પર શરતો લાદવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોડ્યુલ M નું ફ્રી રિઝોલ્યુશન એ લેફ્ટ રિઝોલ્યુશન છે જેમાં તમામ મોડ્યુલ Ei ફ્રી R-મોડ્યુલ્સ છે. તેવી જ રીતે, પ્રોજેક્ટિવ અને ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન એ લેફ્ટ રિઝોલ્યુશન છે જેમ કે તમામ Ei અનુક્રમે પ્રોજેક્ટિવ અને ફ્લેટ R-મોડ્યુલો છે. ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન એ યોગ્ય રિઝોલ્યુશન છે, જેના તમામ સી. આઈ. ઇન્જેક્ટિવ મોડ્યુલો છે. દરેક આર-મોડ્યુલમાં ફ્રી લેફ્ટ રિઝોલ્યુશન હોય છે. તેથી, દરેક મોડ્યુલ પ્રોજેક્ટિવ અને ફ્લેટ રિઝોલ્યુશનને પણ સ્વીકારે છે. સાબિતીનો વિચાર E0 ને M ના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ મુક્ત R-મોડ્યુલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનો છે, અને પછી E1 ને કુદરતી નકશા E0 → M વગેરેના કર્નલના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ મુક્ત R-મોડ્યુલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનો છે. બેવડું, દરેક આર-મોડ્યુલ ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન ધરાવે છે. પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન (અને, વધુ સામાન્ય રીતે, ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન) નો ઉપયોગ ટોર ફંકટરની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. મોડ્યુલ M નું પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન સાંકળ હોમોટૉપી સુધી અનન્ય છે, એટલે કે, M ના બે પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન P0 → M અને P1 → M આપવામાં આવે તો તેમની વચ્ચે સાંકળ હોમોટૉપી અસ્તિત્વમાં છે. ઠરાવોનો ઉપયોગ સમરૂપ પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. મોડ્યુલ M ના મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનની ન્યૂનતમ લંબાઈને તેનું પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ કહેવામાં આવે છે અને તેને pd (M) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોડ્યુલમાં પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ શૂન્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલ હોય. જો એમ મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન સ્વીકારતું નથી, તો પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણ અનંત છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિવર્તનીય સ્થાનિક રીંગ R માટે, પ્રક્ષેપાત્મક પરિમાણ મર્યાદિત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો R નિયમિત હોય અને આ કિસ્સામાં તે R ના ક્રુલ પરિમાણ સાથે સુસંગત હોય. સમાન રીતે, ઇન્જેક્ટિવ પરિમાણ ID (M) અને સપાટ પરિમાણ fd (M) મોડ્યુલો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઇન્જેક્ટિવ અને પ્રોજેક્ટિવ પરિમાણોનો ઉપયોગ જમણા આર મોડ્યુલોની શ્રેણી પર કરવામાં આવે છે, જે આર માટે સમરૂપ પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેને આરનું જમણું વૈશ્વિક પરિમાણ કહેવાય છે. તેવી જ રીતે, સપાટ પરિમાણનો ઉપયોગ નબળા વૈશ્વિક પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. આ પરિમાણોનું વર્તન વીંટીની લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રિંગનું વૈશ્વિક પરિમાણ 0 હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે અર્ધ-સરળ રિંગ હોય, અને રિંગનું વૈશ્વિક પરિમાણ 0 નબળું હોય જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વોન ન્યુમેન નિયમિત રિંગ હોય. ગ્રેડેડ મોડ્યુલો અને આલ્જેબ્રા ચાલો એમ એ ગ્રેડેડ બીજગણિત પર ગ્રેડેડ મોડ્યુલ છે, જે તેના હકારાત્મક ડિગ્રીના તત્વો દ્વારા ક્ષેત્ર પર ઉત્પન્ન થાય છે. પછી M પાસે એક મુક્ત રીઝોલ્યુશન હોય છે જેમાં મુક્ત મોડ્યુલો Ei ને એવી રીતે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે કે જે Di અને ε ને શ્રેણીબદ્ધ રેખીય નકશા હોય. આ શ્રેણીબદ્ધ મુક્ત ઠરાવો પૈકી, ન્યૂનતમ મુક્ત ઠરાવો એ છે કે જેના માટે દરેક Ei ના આધાર તત્વોની સંખ્યા ન્યૂનતમ છે. ગ્રેડેડ મોડ્યુલના તમામ ન્યૂનતમ મુક્ત ઠરાવો માટે દરેક Ei અને તેમની ડિગ્રીના આધાર ઘટકોની સંખ્યા સમાન હોય છે. જો I એ કોઈ ક્ષેત્ર પર બહુપદી રિંગમાં સજાતીય આદર્શ હોય, તો I દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રોજેક્ટિવ બીજગણિત સમૂહની કેસ્ટેલનુવોવો-મમ્ફોર્ડ નિયમિતતા એ ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક r છે કે I ના ન્યૂનતમ મુક્ત રીઝોલ્યુશનમાં Ei ના આધાર તત્વોની ડિગ્રી r-i કરતા ઓછી હોય છે. ઉદાહરણો મુક્ત રીઝોલ્યુશનનું ઉત્તમ ઉદાહરણ સ્થાનિક વર્તુળમાં નિયમિત ક્રમના કોઝુલ સંકુલ દ્વારા અથવા ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ શ્રેણીબદ્ધ બીજગણિતમાં સજાતીય નિયમિત ક્રમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. X ને એસફેરિકલ જગ્યા માની લો, એટલે કે, તેનું સાર્વત્રિક આવરણ E સંકોચાય તેવું છે. પછી E નું દરેક એકવચન (અથવા સરળ) સાંકળ સંકુલ માત્ર રિંગ Z પર જ નહીં પરંતુ ગ્રુપ રિંગ Z [π1 (X)] પર પણ મોડ્યુલ Z નું મુક્ત રીઝોલ્યુશન છે. અબેલિયન શ્રેણીઓમાં રિઝોલ્યુશન અબેલિયન શ્રેણી A માં ઑબ્જેક્ટ M ના રિઝોલ્યુશનની વ્યાખ્યા ઉપરની જેમ જ છે, પરંતુ Ei અને Ci એ A માં ઓબ્જેક્ટ છે, અને તેમાં સામેલ તમામ નકશા A માં મોર્ફિઝમ છે. પ્રોજેક્ટિવ અને ઇન્જેક્ટિવ મોડ્યુલોની સમાન કલ્પના પ્રોજેક્ટિવ અને ઇન્જેક્ટિવ પદાર્થો છે, અને તે મુજબ, પ્રોજેક્ટિવ અને ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન છે. જો કે, આવા ઠરાવો સામાન્ય અબેલિયન શ્રેણી A માં અસ્તિત્વમાં હોવાની જરૂર નથી. જો A ના દરેક પદાર્થમાં પ્રોજેક્ટિવ (રેસ્પ) હોય. ઇન્જેક્ટીવ) રિઝોલ્યુશન, પછી A પાસે પૂરતા પ્રમાણમાં પ્રોજેક્ટીવ (રેસ્પ) હોવાનું કહેવાય છે. પૂરતી ઇન્જેક્શન). જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો પણ, આવા ઠરાવો સાથે કામ કરવું ઘણીવાર મુશ્કેલ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ, દરેક આર-મોડ્યુલમાં ઇન્જેક્ટીવ રિઝોલ્યુશન હોય છે, પરંતુ આ રિઝોલ્યુશન ફંક્શનલ નથી, એટલે કે, હોમોમોર્ફિઝમ એમ. એમ. 'આપવામાં આવે છે, ઇન્જેક્ટીવ રિઝોલ્યુશન સાથે સામાન્ય રીતે અને વચ્ચે નકશો મેળવવાની કોઈ ફંક્શનલ રીત નથી. સામાન્ય રીતે પ્રોજેક્ટિવ ઠરાવો વિનાની એબેલિયન શ્રેણીઓ પ્રોજેક્ટિવ ઠરાવો વિનાની એબેલિયન શ્રેણીઓના ઉદાહરણોનો એક વર્ગ એ યોજના પર સુસંગત આવરણોની શ્રેણીઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા હોય, તો કોઈપણ સુસંગત આવરણમાં ચોક્કસ ક્રમ દ્વારા પ્રસ્તુતિ આપવામાં આવે છે. પરંતુ, બંને શબ્દો સ્થાનિક રીતે મુક્ત અને સ્થાનિક રીતે સપાટ છે. શીવ્સના બંને વર્ગોનો ઉપયોગ ચોક્કસ ગણતરીઓ માટે થઈ શકે છે, જે કેટલાક વ્યુત્પન્ન ફંકટરની ગણતરી માટે પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશનને બદલે છે. એસાયક્લિક રિઝોલ્યુશન ઘણા કિસ્સાઓમાં વ્યક્તિને રિઝોલ્યુશનમાં દેખાતી વસ્તુઓમાં ખરેખર રસ હોતો નથી, પરંતુ આપેલ ફંકટરના સંદર્ભમાં રિઝોલ્યુશનની વર્તણૂકમાં રસ હોય છે. તેથી, ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, એસાયક્લિક રિઝોલ્યુશનની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છેઃ બે અબેલિયન વર્ગો વચ્ચે ડાબી બાજુએ ચોક્કસ ફંકટર F: A → B આપવામાં આવે તો, A ના ઑબ્જેક્ટ M ના રિઝોલ્યુશનને F-એસાયક્લિક કહેવામાં આવે છે, જો વ્યુત્પન્ન ફંકટર RiF (En) બધા i> 0 અને n ≤ 0 માટે અદૃશ્ય થઈ જાય. બંને રીતે, ડાબી બાજુનું રિઝોલ્યુશન જમણી બાજુના ચોક્કસ ફંકટરના સંદર્ભમાં ચક્રીય હોય છે જો તેના વ્યુત્પન્ન ફંકટર રિઝોલ્યુશનના પદાર્થો પર અદૃશ્ય થઈ જાય. ઉદાહરણ તરીકે, આર મોડ્યુલ એમ આપવામાં આવે તો, ટેન્સર પ્રોડક્ટ એ સાચો ચોક્કસ ફંકટર મોડ (આર) → મોડ (આર) છે. આ ફંકટરના સંદર્ભમાં દરેક ફ્લેટ રિઝોલ્યુશન એસાયક્લિક છે. સપાટ રીઝોલ્યુશન દરેક એમ દ્વારા ટેન્સર પ્રોડક્ટ માટે એસાયક્લિક છે. એ જ રીતે, તમામ ફંકટર હોમ (⋅, એમ) માટે એસાયક્લિક રિઝોલ્યુશન પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન છે અને જે ફંકટર હોમ (એમ, ⋅) માટે એસાયક્લિક છે તે ઇન્જેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન છે. કોઈપણ ઇન્જેક્ટિવ (પ્રોજેક્ટિવ) રિઝોલ્યુશન કોઈપણ ડાબા ચોક્કસ (જમણા ચોક્કસ, અનુક્રમે) ફંકટર માટે એફ-એસાયક્લિક છે. એસાયક્લિક રિઝોલ્યુશનનું મહત્વ એ હકીકતમાં રહેલું છે કે વ્યુત્પન્ન ફંક્ટર્સ (ડાબી બાજુના ચોક્કસ ફંક્ટરના, અને તેવી જ રીતે જમણી બાજુના ચોક્કસ ફંક્ટરના LiF) ને F-એસાયક્લિક રિઝોલ્યુશનના સમરૂપતા તરીકે મેળવી શકાય છેઃ ઑબ્જેક્ટ M નું એસાયક્લિક રિઝોલ્યુશન આપવામાં આવે તો, આપણી પાસે જ્યાં જમણી બાજુ એ કોમ્પ્લેક્સનો i-th સમરૂપતા પદાર્થ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિર આવરણ R માટે વિભેદક મેનીફોલ્ડ M પર સરળ વિભેદક સ્વરૂપોના આવરણ દ્વારા ઉકેલી શકાય છેઃ આવરણ બારીક આવરણ હોય છે, જે વૈશ્વિક વિભાગ ફંકટરના સંદર્ભમાં ચક્રીય હોવાનું જાણીતું છે. તેથી, શીફ કોહોમોલોજી, જે વૈશ્વિક વિભાગ ફંકટરના વ્યુત્પન્ન ફંકટર છે, તેની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે તેવી જ રીતે વૈશ્વિક વિભાગોના ફંકટરના સંદર્ભમાં ગોડમેન્ટ રિઝોલ્યુશન ચક્રીય હોય છે. સ્ટાન્ડર્ડ રિઝોલ્યુશન હિલ્બર્ટ-બર્ચ થીયરમ હિલ્બર્ટ સિઝીજી થીયરમ ફ્રી પ્રેઝન્ટેશન મેટ્રિક્સ ફેક્ટરાઇઝેશન (બીજગણિત) નોંધો સંદર્ભો હોમોલોજિકલ બીજગણિત મોડ્યુલ થિયરી પણ જુઓ.