Rational number
ગણિતમાં, તર્કસંગત સંખ્યા એ એક સંખ્યા છે જેને બે પૂર્ણાંકો, એક અંશ અને બિન-શૂન્ય છેદના ભાગાકાર અથવા અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક પરિમેય સંખ્યા છે, જેમ કે દરેક પૂર્ણાંક છે (દા. ત., તમામ પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ, જેને "પરિમેય" તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, પરિમેય ક્ષેત્ર અથવા પરિમેય સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે બોલ્ડફેસ અથવા બ્લેકબોર્ડ બોલ્ડ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જે તર્કસંગત હોય છે તે તે હોય છે જેનું દશાંશ વિસ્તરણ કાં તો અંકોની મર્યાદિત સંખ્યા પછી સમાપ્ત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકેઃ), અથવા આખરે અંકોના સમાન મર્યાદિત ક્રમનું વારંવાર પુનરાવર્તન કરવાનું શરૂ કરે છે (ઉદાહરણ તરીકેઃ). આ નિવેદન માત્ર આધાર 10 માં જ નહીં, પરંતુ દરેક અન્ય પૂર્ણાંક આધારમાં પણ સાચું છે, જેમ કે દ્વિસંગી અને હેક્સાડેસિમલ (જુઓ). જે વાસ્તવિક સંખ્યા તર્કસંગત નથી તેને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે. અતાર્કિક સંખ્યાઓમાં 2 નું વર્ગમૂળ, અને સુવર્ણ ગુણોત્તર () નો સમાવેશ થાય છે. કારણ કે પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે, અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે, લગભગ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અતાર્કિક છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓને ઔપચારિક રીતે પૂર્ણાંકોની જોડીના સમકક્ષ વર્ગો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જેમાં નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત સમકક્ષ સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકાય છેઃ અપૂર્ણાંક પછી તેના સમકક્ષ વર્ગને સૂચવે છે. ઉમેરા અને ગુણાકાર સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ એક ક્ષેત્ર બનાવે છે જેમાં પૂર્ણાંકો હોય છે અને તે પૂર્ણાંકો ધરાવતા કોઈપણ ક્ષેત્રમાં સમાયેલ હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પરિમેય સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર એ મુખ્ય ક્ષેત્ર છે, અને ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતા શૂન્ય હોય છે જો તેમાં પરિમેય સંખ્યાઓ પેટા ક્ષેત્ર તરીકે હોય. તેના મર્યાદિત વિસ્તરણને બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રો કહેવામાં આવે છે, અને બીજગણિત બંધ એ બીજગણિત સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, તર્કસંગત સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગાઢ સબસેટ બનાવે છે. કૌચી ક્રમ, ડેડેકાઇન્ડ કટ અથવા અનંત દશાંશનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણ કરીને પરિમેય સંખ્યાઓમાંથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું નિર્માણ કરી શકાય છે (વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું નિર્માણ જુઓ). પરિભાષા સમૂહના સંદર્ભમાં તર્કસંગત શબ્દ એ હકીકતનો ઉલ્લેખ કરે છે કે તર્કસંગત સંખ્યા બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે. ગણિતમાં, "તર્કસંગત" નો ઉપયોગ ઘણીવાર સંક્ષિપ્તમાં "તર્કસંગત સંખ્યા" તરીકે થાય છે. કેટલીકવાર તર્કસંગત વિશેષણનો અર્થ એ થાય છે કે ગુણાંક તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગત બિંદુ એ તર્કસંગત કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતો બિંદુ છે (એટલે કે, એક બિંદુ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ તર્કસંગત સંખ્યાઓ હોય છે); તર્કસંગત મેટ્રિક્સ એ તર્કસંગત સંખ્યાઓનો મેટ્રિક્સ છે; તર્કસંગત બહુપદી તર્કસંગત ગુણાંક સાથે બહુપદી હોઈ શકે છે, જો કે "તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ" અને "તર્કસંગત કાર્ય" વચ્ચેની મૂંઝવણને ટાળવા માટે "તર્કસંગત પર બહુપદી" શબ્દને સામાન્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે (બહુપદી એ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ છે અને તર્કસંગત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પછી ભલે તેના ગુણાંક તર્કસંગત સંખ્યા ન હોય). જો કે, તર્કસંગત વળાંક એ તર્કસંગત પર વ્યાખ્યાયિત વળાંક નથી, પરંતુ એક વળાંક છે જેને તર્કસંગત કાર્યો દ્વારા પરિમાણિત કરી શકાય છે. જોકે આજકાલ તર્કસંગત સંખ્યાઓને ગુણોત્તરની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તર્કસંગત શબ્દ એ ગુણોત્તરની વ્યુત્પત્તિ નથી. તેનાથી વિપરીત, તે ગુણોત્તર છે જે તર્કસંગતમાંથી ઉતરી આવ્યો છેઃ તેના આધુનિક અર્થ સાથે ગુણોત્તરનો પ્રથમ ઉપયોગ અંગ્રેજીમાં લગભગ 1660 માં પ્રમાણિત કરવામાં આવ્યો હતો, જ્યારે લાયકાત સંખ્યાઓ માટે તર્કસંગતનો ઉપયોગ લગભગ એક સદી અગાઉ, 1570 માં દેખાયો હતો. તર્કસંગતનો આ અર્થ અતાર્કિકના ગાણિતિક અર્થમાંથી આવ્યો છે, જેનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ 1551 માં કરવામાં આવ્યો હતો, અને તેનો ઉપયોગ "યુક્લિડના અનુવાદો (તેના વિશિષ્ટ ઉપયોગને અનુસરીને)" માં કરવામાં આવ્યો હતો. આ અસામાન્ય ઇતિહાસ એ હકીકતમાં ઉદ્દભવ્યો હતો કે પ્રાચીન ગ્રીકો "તે [અતાર્કિક] લંબાઈને સંખ્યાઓ તરીકે વિચારવાથી પોતાને પ્રતિબંધિત કરીને પાખંડને ટાળે છે". તેથી આવી લંબાઈ અતાર્કિક હતી, અતાર્કિક અર્થમાં, એટલે કે "વિશે બોલવું નહીં" (ગ્રીકમાં). આ વ્યુત્પત્તિ કાલ્પનિક સંખ્યાઓ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જેવી જ છે. અંકગણિત ઇરેડ્યુસિબલ અપૂર્ણાંક દરેક પરિમાણીય સંખ્યાને ઇરેડ્યુસિબલ અપૂર્ણાંક તરીકે અનન્ય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં અને સહમૌલિક પૂર્ણાંકો છે અને. આને ઘણીવાર પરિમેય સંખ્યાનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. તર્કસંગત સંખ્યાથી શરૂ કરીને તેનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ વિભાજન કરીને અને તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક દ્વારા મેળવી શકાય છે, અને, જો, પરિણામી અંશ અને છેદની નિશાનીમાં ફેરફાર કરી શકાય છે. પૂર્ણાંકોનું સમાવેશન કોઈપણ પૂર્ણાંકને પરિમેય સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જે પરિમેય સંખ્યા તરીકે તેનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ છે. સમાનતા જો અને માત્ર જો બંને અપૂર્ણાંકો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં હોય, તો પછીઃ જો અને માત્ર જો અને ક્રમ આપવો જો બંને છેદ હકારાત્મક હોય (ખાસ કરીને જો બંને અપૂર્ણાંકો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં હોય): જો અને માત્ર જો બીજી તરફ, જો કોઈ પણ છેદ નકારાત્મક હોય, તો પછી નકારાત્મક છેદવાળા દરેક અપૂર્ણાંકને પહેલા તેના અંશ અને છેદ બંનેના ચિહ્નોને બદલીને-સકારાત્મક છેદ સાથે સમકક્ષ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. બે અપૂર્ણાંકો નીચે પ્રમાણે ઉમેરવામાં આવે છેઃ જો બંને અપૂર્ણાંકો કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય, તો પરિણામ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય છે જો અને માત્ર જો સહમૌલિક પૂર્ણાંકો હોય. બાદબાકી જો બંને અપૂર્ણાંકો કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય, તો પરિણામ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય છે જો અને માત્ર જો સહમૌલિક પૂર્ણાંકો હોય. ગુણાકાર માટેનો નિયમ છેઃ જ્યાં પરિણામ ઘટાડી શકાય તેવું અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે-ભલે બંને મૂળ અપૂર્ણાંકો કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય. વ્યુત્ક્રમ દરેક પરિમેય સંખ્યા એક યોગાત્મક વ્યુત્ક્રમ ધરાવે છે, જેને ઘણીવાર તેની વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે, જો તે કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય, તો તે તેની વિરુદ્ધ માટે સાચું છે. બિન-શૂન્ય પરિમાણીય સંખ્યા ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ ધરાવે છે, જેને તેનું પારસ્પરિક પણ કહેવાય છે, જો તે કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય, તો તેના પારસ્પરિકનું કેનોનિકલ સ્વરૂપ કાં તો અથવા તેના ચિહ્ન પર આધારિત હોય છે. વિભાજન જો બિન-શૂન્ય હોય, તો વિભાજનનો નિયમ છે આમ, દ્વારા વિભાજન એ ઘાતાંક અને પૂર્ણાંક શક્તિના પારસ્પરિક દ્વારા ગુણાકાર કરવા સમાન છે જો તે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તો પરિણામ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં હોય છે જો તે જ માટે સાચું હોય. નહિંતર, પરિણામનું કેનોનિકલ સ્વરૂપ સતત અપૂર્ણાંક પ્રતિનિધિત્વ છે એક મર્યાદિત સતત અપૂર્ણાંક એ એક અભિવ્યક્તિ છે જેમ કે જ્યાં પૂર્ણાંકો છે. દરેક પરિમેય સંખ્યાને મર્યાદિત સતત અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેના ગુણાંક યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. અન્ય રજૂઆતો સામાન્ય અપૂર્ણાંકઃ મિશ્ર અંકઃ વિન્ક્યુલમનો ઉપયોગ કરીને દશાંશને પુનરાવર્તિત કરવુંઃ કૌંસનો ઉપયોગ કરીને દશાંશને પુનરાવર્તિત કરવુંઃ પરંપરાગત ટાઇપોગ્રાફીનો ઉપયોગ કરીને સતત અપૂર્ણાંકઃ સંક્ષિપ્ત સંકેતલિપીમાં સતત અપૂર્ણાંકઃ ઇજિપ્તીયન અપૂર્ણાંકઃ મુખ્ય શક્તિ વિઘટનઃ અવતરણ સંકેતલિપીઃ સમાન તર્કસંગત મૂલ્યને રજૂ કરવાની વિવિધ રીતો છે. ઔપચારિક રચના તર્કસંગત સંખ્યાઓને પૂર્ણાંકોની ક્રમબદ્ધ જોડીના સમકક્ષ વર્ગો તરીકે બનાવી શકાય છે. વધુ ચોક્કસપણે, ચાલો આવા પૂર્ણાંકોની જોડીનો સમૂહ બનીએ. આ સમૂહ પર સમાનતા સંબંધને સરવાળા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને ગુણાકારને નીચેના નિયમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ આ સમાનતા સંબંધ એક એકરૂપ સંબંધ છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલ સરવાળા અને ગુણાકાર સાથે સુસંગત છે; તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ એ આ સમાનતા સંબંધ દ્વારા નિર્ધારિત ભાગાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ઉપરોક્ત કામગીરીઓ દ્વારા પ્રેરિત સરવાળા અને ગુણાકારથી સજ્જ છે. (આ રચના કોઈપણ અભિન્ન ક્ષેત્ર સાથે કરી શકાય છે અને તેના અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.) જોડીના સમાનતા વર્ગને બે જોડી દર્શાવવામાં આવે છે અને તે સમાન સમાનતા વર્ગ (જે સમકક્ષ હોય છે) સાથે સંબંધિત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આનો અર્થ એ થાય કે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક સમાનતા વર્ગને અનંત જોડી દ્વારા રજૂ કરી શકાય, કારણ કે દરેક સમાનતા વર્ગમાં એક અનન્ય કેનોનિકલ પ્રતિનિધિ તત્વ હોય છે. કેનોનિકલ પ્રતિનિધિ એ સમાનતા વર્ગમાં અનન્ય જોડી છે જેમ કે અને કોપ્રાઇમ છે, અને. તેને પરિમાણીય સંખ્યાની સૌથી નીચી શરતોમાં પ્રતિનિધિત્વ કહેવામાં આવે છે. પૂર્ણાંકોને તર્કસંગત સંખ્યા સાથે પૂર્ણાંકને ઓળખતી તર્કસંગત સંખ્યાઓ ગણી શકાય કુલ ક્રમ તર્કસંગત સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે પૂર્ણાંકોના કુદરતી ક્રમને વિસ્તરે છે. એક પાસે જો ગુણધર્મો છે બધા પરિમાણીય સંખ્યાઓનો સમૂહ, ઉપર દર્શાવેલ ઉમેરા અને ગુણાકાર કામગીરીઓ સાથે મળીને, એક ક્ષેત્ર બનાવે છે. ઓળખ સિવાય અન્ય કોઈ ક્ષેત્ર ઓટોમોર્ફિઝમ નથી. (એક ક્ષેત્ર ઓટોમોર્ફિઝમે 0 અને 1 ને નિશ્ચિત કરવું આવશ્યક છે; કારણ કે તેણે બે નિશ્ચિત તત્વોનો સરવાળો અને તફાવત નક્કી કરવો આવશ્યક છે, તેણે દરેક પૂર્ણાંકને નિશ્ચિત કરવો આવશ્યક છે; કારણ કે તેણે બે નિશ્ચિત તત્વોના ભાગાકારને નિશ્ચિત કરવો આવશ્યક છે, તેણે દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને નિશ્ચિત કરવી આવશ્યક છે, અને આમ તે ઓળખ છે. તે એક મુખ્ય ક્ષેત્ર છે, જે એક એવું ક્ષેત્ર છે જેમાં તેના સિવાય અન્ય કોઈ પેટા ક્ષેત્ર નથી. તર્કસંગત એ લાક્ષણિકતા શૂન્ય સાથેનું સૌથી નાનું ક્ષેત્ર છે. લાક્ષણિકતા શૂન્યનું દરેક ક્ષેત્ર એક અનન્ય પેટાક્ષેત્ર સમરૂપતા ધરાવે છે ઉપર વ્યાખ્યાયિત ક્રમ સાથે, તે એક ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર છે જેમાં તેના સિવાય અન્ય કોઈ પેટાક્ષેત્ર નથી, અને તે સૌથી નાનું ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર છે, એ અર્થમાં કે દરેક ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર એક અનન્ય પેટાક્ષેત્ર સમરૂપતા ધરાવે છે જે પૂર્ણાંકોના અપૂર્ણાંકોનું ક્ષેત્ર છે. તર્કસંગત બહુપદીઓના મૂળનું ક્ષેત્ર એ બીજગણિત સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર છે. તર્કસંગત એક ગાઢ ક્રમબદ્ધ સમૂહ છેઃ કોઈપણ બે તર્કસંગત વચ્ચે, બીજો એક બેસે છે, અને તેથી, અનંત અન્ય ઘણા. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ બે અપૂર્ણાંકો માટે જેમ કે (જ્યાં હકારાત્મક છે), આપણી પાસે કોઈપણ સંપૂર્ણ ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે જે ગણતરીપાત્ર, ગાઢ (ઉપરોક્ત અર્થમાં) છે, અને તેમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે કોઈ ઓછામાં ઓછું અથવા સૌથી મોટું તત્વ નથી જે ક્રમમાં સમરૂપ છે. ગણતરી તમામ પરિમાણીય સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે, જેમ કે જમણી બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. કારણ કે તર્કસંગત સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, તેથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની જેમ ચોરસ જાળી પરના કોઈપણ બિંદુને બે પૂર્ણાંકો સોંપવા શક્ય છે, જેમ કે કોઈપણ ગ્રીડ બિંદુ તર્કસંગત સંખ્યાને અનુરૂપ હોય. જો કે, આ પદ્ધતિ રીડન્ડન્સીનું એક સ્વરૂપ દર્શાવે છે, કારણ કે ઘણા જુદા જુદા ગ્રીડ બિંદુઓ સમાન તર્કસંગત સંખ્યાને અનુરૂપ હશે; આ પૂરી પાડવામાં આવેલ ગ્રાફિક પર લાલ રંગમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે. નીચે જમણી તરફ ત્રાંસા રીતે જતી રેખામાં એક સ્પષ્ટ ઉદાહરણ જોઈ શકાય છે; આવા ગુણોત્તર હંમેશા 1 ની બરાબર રહેશે, કારણ કે કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યાને તેના દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે તો તે હંમેશા એકની બરાબર રહેશે. આવી બિનજરૂરીતાઓ વિના તમામ પરિમેય સંખ્યાઓ પેદા કરવી શક્ય છેઃ ઉદાહરણોમાં કાલ્કિન-વિલ્ફ વૃક્ષ અને સ્ટર્ન-બ્રોકોટ વૃક્ષનો સમાવેશ થાય છે. જેમ કે તમામ પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે, અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ (તેમજ અપરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ) અગણિત છે, પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ એક શૂન્ય સમૂહ છે, એટલે કે, લેબસ્ગ્યુ માપના અર્થમાં લગભગ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અપરિમેય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મો તર્કસંગત એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગાઢ સબસેટ છે; દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા તેની આપખુદ નજીક તર્કસંગત સંખ્યાઓ ધરાવે છે. સંબંધિત ગુણધર્મ એ છે કે પરિમેય સંખ્યાઓ એકમાત્ર એવી સંખ્યાઓ છે જે નિયમિત સતત અપૂર્ણાંકો તરીકે મર્યાદિત વિસ્તરણ ધરાવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સામાન્ય ટોપોલોજીમાં, રેશનલ ન તો ઓપન સેટ હોય છે અને ન તો ક્લોઝ્ડ સેટ. તેમના ક્રમના આધારે, તર્કસંગત ક્રમ ટોપોલોજી ધરાવે છે. પરિમેય સંખ્યાઓ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સબસ્પેસ તરીકે, સબસ્પેસ ટોપોલોજી પણ ધરાવે છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ નિરપેક્ષ તફાવત મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક જગ્યા બનાવે છે અને આ ત્રણેય ટોપોલોજીઓ પર ત્રીજી ટોપોલોજી મેળ ખાય છે અને તર્કસંગતને ટોપોલોજિકલ ક્ષેત્રમાં ફેરવે છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ એ જગ્યાનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ છે જે સ્થાનિક રીતે સઘન નથી. તર્કસંગતને ટોપોલોજીકલ રીતે અલગ બિંદુઓ વિના અનન્ય ગણતરીપાત્ર માપનક્ષમ જગ્યા તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જગ્યા પણ સંપૂર્ણપણે કપાઈ ગઈ છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા બનાવતી નથી, અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ ઉપરના મેટ્રિક હેઠળ પૂર્ણ થાય છે. p-adic સંખ્યાઓ ઉપર ઉલ્લેખિત નિરપેક્ષ મૂલ્ય મેટ્રિક ઉપરાંત, અન્ય મેટ્રિક્સ છે જે ટોપોલોજિકલ ક્ષેત્રમાં ફેરવાય છેઃ ચાલો એક મુખ્ય સંખ્યા બનીએ અને કોઈપણ બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંક માટે, વિભાજીત કરવાની સૌથી વધુ ઘાત ક્યાં છે. મેટ્રિક જગ્યા પૂર્ણ નથી, અને તેની પૂર્ણતા એ-એડિક સંખ્યા ક્ષેત્ર છે, ઓસ્ટ્રોવસ્કીનો પ્રમેય જણાવે છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ પરનું કોઈપણ બિન-તુચ્છ નિરપેક્ષ મૂલ્ય સામાન્ય વાસ્તવિક નિરપેક્ષ મૂલ્ય અથવા-એડિક નિરપેક્ષ મૂલ્યની સમકક્ષ હોય છે. ડાયડિક તર્કસંગત ફ્લોટિંગ પોઇન્ટ પણ જુઓ ફોર્ડ વર્તુળો ગૌસીયન તર્કસંગત નિષ્ક્રીય ઊંચાઈ-સૌથી નીચી મુદતમાં તર્કસંગત સંખ્યાની ઊંચાઈ નિવેનના પ્રમેય તર્કસંગત માહિતી પ્રકાર દૈવી પ્રમાણઃ તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિથી સાર્વત્રિક ભૂમિતિ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ "તર્કસંગત સંખ્યા" ગણિત વિશ્વમાંથી-એક વોલ્ફ્રમ વેબ સંસાધન પ્રાથમિક ગણિત ક્ષેત્ર (ગણિત) અપૂર્ણાંક (ગણિત) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહો