Appell series
ગણિતમાં, એપેલ શ્રેણી એ બે ચલની ચાર હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીઓ F1, F2, F3, F4 નો સમૂહ છે જે ગૌસની એક ચલની હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણી 2F1 દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી અને તેને સામાન્ય બનાવે છે. એપેલે આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સમૂહની સ્થાપના કરી જેમાંથી આ કાર્યો ઉકેલો છે, અને એક ચલની હાયપરજિયોમેટ્રિક શ્રેણીના સંદર્ભમાં આ શ્રેણીના વિવિધ ઘટાડાના સૂત્રો અને અભિવ્યક્તિઓ શોધી કાઢી. વ્યાખ્યાઓ એપેલ શ્રેણી F1 એ |x | <1, |y | <1 માટે બેવડી શ્રેણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં પોચેમર પ્રતીક છે. x અને y ના અન્ય મૂલ્યો માટે કાર્ય F1 ને વિશ્લેષણાત્મક સાતત્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એ જ રીતે, ફંક્શન F2 ને શ્રેણી દ્વારા |x | + |y | <1 માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે બતાવી શકાય છે કે |x | <1, |y | <1 માટે ફંક્શન F3 ને શ્રેણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને |x | 1⁄2 + |y | 1⁄2 <1 માટે ફંક્શન F4 ને શ્રેણી પુનરાવર્તન સંબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એપેલના F1 માટે આવા સંબંધોનો મૂળભૂત સમૂહ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ F1 માટે માન્ય અન્ય કોઈપણ સંબંધ આ ચારમાંથી મેળવી શકાય છે. તેવી જ રીતે, એપેલના F3 માટેના તમામ પુનરાવર્તન સંબંધો પાંચ સમૂહમાંથી અનુસરે છેઃ વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક સમીકરણો એપેલના F1 માટે, બેવડી શ્રેણી દ્વારા વ્યાખ્યામાંથી નીચેના વ્યુત્પન્નોનું પરિણામ આવે છેઃ તેની વ્યાખ્યા પરથી, એપેલના F1 આગળ બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની નીચેની પ્રણાલીને સંતોષવા માટે જોવા મળે છેઃ F2 માટે એક પ્રણાલી આંશિક વિભેદક સમીકરણો છે. જો કે, શોધ્યું કે એપેલના એફ 1 ને એક-પરિમાણીય યુલર-પ્રકારનાં સંકલન તરીકે પણ લખી શકાય છેઃ આ રજૂઆતને સંકલનના ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા ચકાસી શકાય છે, ત્યારબાદ શબ્દવાર એકીકરણ દ્વારા. વિશેષ કિસ્સાઓમાં પિકાર્ડનું અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વ સૂચવે છે કે અપૂર્ણ લંબગોળ સંકલન F અને E તેમજ સંપૂર્ણ લંબગોળ સંકલન Π એ એપેલના F1: સંબંધિત શ્રેણીના વિશેષ કિસ્સાઓ છે. આમાંથી પ્રથમ 1920માં પિયર હમ્બર્ટ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. એપેલ શ્રેણીના સમાન ચાર વિધેયોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા હતા, પરંતુ તે માત્ર બે ચલ x અને yને બદલે ઘણા ચલ પર આધાર રાખે છે. આ શ્રેણીઓનો અભ્યાસ એપેલ દ્વારા પણ કરવામાં આવ્યો હતો. તેઓ અમુક આંશિક વિભેદક સમીકરણોને સંતોષે છે, અને યુલર-પ્રકારનાં સંકલન અને સમોચ્ચ સંકલનની દ્રષ્ટિએ પણ આપી શકાય છે. સંદર્ભો (સી. આર. એકેડમાં "સુર લા સિરી F3 (α, α ', β, β', γ; x, y)" પણ જુઓ. વિજ્ઞાન. 90, પીપી. 977-980) (પાનું 14 જુઓ) (પાનું 224 જુઓ) (C. R. Acad પણ જુઓ. વિજ્ઞાન. 90 (1880), પૃ. 1119-1121 અને 1267-1269) (તેની સાથે 2008ની પેપરબેક છે) બાહ્ય કડીઓ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો ગાણિતિક શ્રેણી