Abstract algebra
ગણિતમાં, વધુ સ્પષ્ટ રીતે બીજગણિત, અમૂર્ત બીજગણિત અથવા આધુનિક બીજગણિત એ બીજગણિત રચનાઓનો અભ્યાસ છે. બીજગણિત માળખામાં ક્ષેત્ર પરના જૂથો, રિંગ્સ, ક્ષેત્રો, મોડ્યુલો, વેક્ટર જગ્યાઓ, જાળીઓ અને બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે. અમૂર્ત બીજગણિત શબ્દ 20મી સદીની શરૂઆતમાં તેને બીજગણિતના જૂના ભાગોથી અલગ પાડવા માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો, અને ખાસ કરીને પ્રાથમિક બીજગણિતથી, ગણતરી અને તર્કમાં સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે ચલોનો ઉપયોગ. બીજગણિત પરનો અમૂર્ત પરિપ્રેક્ષ્ય અદ્યતન ગણિત માટે એટલો મૂળભૂત બની ગયો છે કે તેને ફક્ત "બીજગણિત" કહેવામાં આવે છે, જ્યારે "અમૂર્ત બીજગણિત" શબ્દનો ઉપયોગ શિક્ષણશાસ્ત્ર સિવાય ભાગ્યે જ થાય છે. બીજગણિત માળખાં, તેમના સંકળાયેલ હોમોમોર્ફિઝમ્સ સાથે, ગાણિતિક વર્ગો બનાવે છે. શ્રેણી સિદ્ધાંત ગુણધર્મો અને રચનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે એક એકીકૃત માળખું આપે છે જે વિવિધ રચનાઓ માટે સમાન છે. સાર્વત્રિક બીજગણિત એ એક સંબંધિત વિષય છે જે એક જ પદાર્થ તરીકે બીજગણિત માળખાના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાર્વત્રિક બીજગણિતમાં જૂથોનું માળખું એક જ પદાર્થ છે, જેને જૂથોની વિવિધતા કહેવામાં આવે છે. ઓગણીસમી સદી પહેલાં, બીજગણિતને બહુપદીઓના અભ્યાસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું હતું. ઓગણીસમી સદી દરમિયાન અમૂર્ત બીજગણિત અસ્તિત્વમાં આવ્યું કારણ કે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ અને ઉકેલ પદ્ધતિઓ વિકસિત થઈ હતી. કોંક્રિટ સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણો સંખ્યા સિદ્ધાંત, ભૂમિતિ, વિશ્લેષણ અને બીજગણિત સમીકરણોના ઉકેલોમાંથી આવ્યા છે. મોટાભાગના સિદ્ધાંતો કે જેને હવે અમૂર્ત બીજગણિતના ભાગો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાંથી અલગ-અલગ હકીકતોના સંગ્રહ તરીકે શરૂ થયા હતા, એક સામાન્ય વિષય પ્રાપ્ત કર્યો હતો જે એક મૂળ તરીકે સેવા આપતો હતો જેની આસપાસ વિવિધ પરિણામોનું જૂથ કરવામાં આવ્યું હતું અને છેવટે સામાન્ય સમૂહના આધારે એકીકૃત થયા હતા. આ એકીકરણ 20મી સદીના પ્રારંભિક દાયકાઓમાં થયું હતું અને તેના પરિણામે જૂથો, વીંટીઓ અને ક્ષેત્રો જેવી વિવિધ બીજગણિત રચનાઓની ઔપચારિક સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યાઓ મળી હતી. આ ઐતિહાસિક વિકાસ લોકપ્રિય પાઠ્યપુસ્તકોમાં જોવા મળતી સારવારથી લગભગ વિપરીત છે, જેમ કે વેન ડેર વેર્ડેનના આધુનિક બીજગણિત, જે દરેક પ્રકરણની શરૂઆત માળખાની ઔપચારિક વ્યાખ્યા સાથે કરે છે અને પછી તેને નક્કર ઉદાહરણો સાથે અનુસરે છે. પ્રાથમિક બીજગણિત બહુપદી સમીકરણો અથવા બીજગણિત સમીકરણોના અભ્યાસનો લાંબો ઇતિહાસ છે. બેબીલોનીઓ શબ્દ સમસ્યાઓ તરીકે નિર્દિષ્ટ દ્વિઘાત સમીકરણોને ઉકેલવામાં સક્ષમ હતા. આ શબ્દ સમસ્યાના તબક્કાને રેટરિકલ બીજગણિત તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યો છે અને તે 16મી સદી સુધી પ્રબળ અભિગમ હતો. મુહમ્મદ ઇબ્ન મુસા અલ-ખ્વારીઝમીએ ઇ. સ. 830 માં "બીજગણિત" શબ્દની શરૂઆત કરી હતી, પરંતુ તેમનું કાર્ય સંપૂર્ણપણે રેટરિકલ બીજગણિત હતું. સંપૂર્ણ પ્રતીકાત્મક બીજગણિત ફ્રાન્કોઇસ વિએટના 1591 નવા બીજગણિત સુધી દેખાયું ન હતું, અને તેમાં પણ કેટલાક જોડણીવાળા શબ્દો હતા જે ડેસકાર્ટેસના 1637 લા જીઓમેટ્રીમાં પ્રતીકો આપવામાં આવ્યા હતા. પ્રતીકાત્મક સમીકરણોને ઉકેલવાના ઔપચારિક અભ્યાસને કારણે લિયોનહાર્ડ યુલર 18મી સદીના અંતમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ અને કાલ્પનિક સંખ્યાઓ જેવા "નોનસેન્સ" મૂળને સ્વીકારવા તરફ દોરી ગયા હતા. જો કે, મોટાભાગના યુરોપીયન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ 19મી સદીના મધ્ય સુધી આ વિભાવનાઓનો વિરોધ કર્યો હતો. જ્યોર્જ પીકોકની 1830ની ટ્રીટાઇઝ ઓફ આલ્જેબ્રા એ બીજગણિતને કડક પ્રતીકાત્મક ધોરણે મૂકવાનો પ્રથમ પ્રયાસ હતો. તેમણે જૂના અંકગણિત બીજગણિતથી અલગ નવા પ્રતીકાત્મક બીજગણિતને અલગ પાડ્યું. જ્યારે અંકગણિત બીજગણિતમાં મર્યાદિત છે, પ્રતીકાત્મક બીજગણિતમાં કામગીરીના તમામ નિયમો કોઈ પ્રતિબંધો વિના હોય છે. આ મોરનો ઉપયોગ કરીને અંદર જવા દેવા જેવા કાયદાઓ દર્શાવી શકાય છે. મોર પોતાની દલીલને યોગ્ય ઠેરવવા માટે સમકક્ષ સ્વરૂપોના કાયમીપણાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતો હતો, પરંતુ તેના તર્કને ઇન્ડક્શનની સમસ્યાનો સામનો કરવો પડ્યો હતો. ઉદાહરણ તરીકે, બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે માન્ય છે, પરંતુ સામાન્ય જટિલ સંખ્યાઓ માટે નહીં. પ્રારંભિક જૂથ સિદ્ધાંત ગણિતના કેટલાક ક્ષેત્રો જૂથોના અભ્યાસ તરફ દોરી ગયા. ક્વિન્ટિક સમીકરણના ઉકેલોના લેગ્રાન્જના 1770 ના અભ્યાસથી બહુપદીના ગેલોઇસ જૂથ તરફ દોરી ગયું. ગૌસના 1801ના ફર્મેટના નાના પ્રમેયના અભ્યાસથી પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો એનની રીંગ, પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો એનનું ગુણાકાર જૂથ અને ચક્રીય જૂથો અને અબેલિયન જૂથોની વધુ સામાન્ય વિભાવનાઓ તરફ દોરી ગયું. ક્લેઇનના 1872 ના એર્લાન્જેન કાર્યક્રમમાં ભૂમિતિ અભ્યાસ કર્યો હતો અને યુક્લિડિયન જૂથ અને પ્રોજેક્ટિવ પરિવર્તનના જૂથ જેવા સમપ્રમાણતા જૂથો તરફ દોરી ગયો હતો. 1874માં લાઈએ લાઈ જૂથોના સિદ્ધાંતની રજૂઆત કરી હતી, જે "વિભેદક સમીકરણોના ગેલોઇસ સિદ્ધાંત" માટે લક્ષ્ય રાખે છે. 1876માં પોઇનકેરે અને ક્લેઇને મોબિયસ પરિવર્તનોનું જૂથ અને તેના પેટાજૂથો જેમ કે મોડ્યુલર જૂથ અને ફ્યુશિયન જૂથની રજૂઆત કરી હતી, જે વિશ્લેષણમાં ઓટોમોર્ફિક કાર્યો પરના કાર્ય પર આધારિત છે. જૂથનો અમૂર્ત ખ્યાલ ઓગણીસમી સદીના મધ્યમાં ધીમે ધીમે ઉભરી આવ્યો. 1832માં ગેલોઇસે સૌપ્રથમ "જૂથ" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જે રચના હેઠળ બંધ થયેલા ક્રમચયોના સંગ્રહને સૂચવે છે. આર્થર કેલેના 1854 ના પેપર ઓન ધ થિયરી ઓફ ગ્રૂપ્સમાં જૂથને સહયોગી રચના કામગીરી અને ઓળખ 1 સાથેના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, જેને આજે મોનોઈડ કહેવામાં આવે છે. 1870 માં ક્રોનેકરે એક અમૂર્ત દ્વિસંગી કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરી હતી જે બંધ, પરિવર્તનીય, સહયોગી હતી અને તેમાં ડાબી રદ કરવાની મિલકત હતી, જે મર્યાદિત અબેલિયન જૂથ માટેના આધુનિક કાયદાઓની જેમ જ હતી. વેબરની જૂથની 1882 ની વ્યાખ્યા એક બંધ દ્વિસંગી કામગીરી હતી જે સહયોગી હતી અને ડાબી અને જમણી બાજુએ રદ કરવામાં આવી હતી. 1882માં વોલ્થેર વોન ડાઇક એ સૌપ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમને જૂથની વ્યાખ્યાના ભાગરૂપે વ્યુત્ક્રમ તત્વોની જરૂર પડી હતી. એકવાર આ અમૂર્ત જૂથ ખ્યાલ ઉભરી આવ્યા પછી, પરિણામોને આ અમૂર્ત સેટિંગમાં સુધારવામાં આવ્યા હતા. ઉદાહરણ તરીકે, સાયલોના પ્રમેયને 1887માં ફ્રોબેનિયસ દ્વારા સીધા મર્યાદિત જૂથના નિયમોમાંથી પુનઃપ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો, જોકે ફ્રોબેનિયસે ટિપ્પણી કરી હતી કે આ પ્રમેય ક્રમચય જૂથો પર કોચીના પ્રમેય અને દરેક મર્યાદિત જૂથ ક્રમચય જૂથનું પેટા જૂથ છે તે હકીકત પરથી અનુસરવામાં આવ્યો હતો. ઓટ્ટો હોલ્ડર આ ક્ષેત્રમાં ખાસ કરીને ફલપ્રદ હતા, તેમણે 1889માં ભાગાકાર જૂથો, 1893માં જૂથ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ તેમજ સરળ જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા હતા. તેમણે જોર્ડન-હોલ્ડર પ્રમેય પણ પૂર્ણ કર્યો હતો. ડેડેકિન્ડ અને મિલરે સ્વતંત્ર રીતે હેમિલ્ટોનિયન જૂથોની લાક્ષણિકતા દર્શાવી હતી અને બે તત્વોના કોમ્યુટેટરની કલ્પના રજૂ કરી હતી. બર્નસાઇડ, ફ્રોબેનિયસ અને મોલિયને ઓગણીસમી સદીના અંતમાં મર્યાદિત જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતની રચના કરી હતી. જે. એ. ડી સેગુઇયરના 1905 ના મોનોગ્રાફ એલિમેન્ટ્સ ઓફ ધ થિયરી ઓફ એબ્સ્ટ્રેક્ટ ગ્રુપે આમાંના ઘણા પરિણામોને અમૂર્ત, સામાન્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કર્યા હતા, જેમાં "કોંક્રિટ" જૂથોને એપેન્ડિક્સમાં ફેરવવામાં આવ્યા હતા, જો કે તે મર્યાદિત જૂથો સુધી મર્યાદિત હતા. મર્યાદિત અને અનંત અમૂર્ત જૂથો બંને પરનો પ્રથમ મોનોગ્રાફ ઓ. કે. શ્મિટનો 1916 એબ્સ્ટ્રેક્ટ થિયરી ઓફ ગ્રૂપ્સ હતો. પ્રારંભિક રીંગ થિયરી નોન-કોમ્યુટેટિવ રીંગ થિયરીની શરૂઆત જટિલ સંખ્યાઓના હાઇપરકોમ્પ્લેક્સ સંખ્યાઓના વિસ્તરણ સાથે થઈ હતી, ખાસ કરીને 1843માં વિલિયમ રોવન હેમિલ્ટનના ક્વાટર્નિયનો. અન્ય ઘણી સંખ્યા પ્રણાલીઓ ટૂંક સમયમાં અનુસરવામાં આવી. 1844માં, હેમિલ્ટને બાયક્વાટર્નિયનો રજૂ કર્યા, કેલેએ ઓક્ટોનીયનો રજૂ કર્યા, અને ગ્રાસમેને બાહ્ય આલ્જેબ્રા રજૂ કર્યા. જેમ્સ કોકલે 1848માં ટેસરીન અને 1849માં કોક્વાટર્નિયન રજૂ કર્યા હતા. વિલિયમ કિંગડન ક્લિફોર્ડે 1873માં સ્પ્લિટ-સર્વવ્યાપકતા રજૂ કરી હતી. વધુમાં કેલેએ 1854માં વાસ્તવિક અને જટિલ સંખ્યાઓ પર જૂથ બીજગણિત અને 1855 અને 1858ના બે કાગળોમાં વર્ગ મેટ્રિસીસ રજૂ કર્યા હતા. એકવાર પૂરતા ઉદાહરણો મળ્યા પછી, તેમનું વર્ગીકરણ કરવાનું બાકી રહ્યું. 1870 ના મોનોગ્રાફમાં, બેન્જામિન પીયર્સે 6 ની નીચે પરિમાણની 150 થી વધુ હાયપરકોમ્પ્લેક્સ સંખ્યા પ્રણાલીઓનું વર્ગીકરણ કર્યું હતું અને સહયોગી બીજગણિતની સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા આપી હતી. તેમણે નિલપોટેન્ટ અને આઈડેમ્પોટેન્ટ તત્વોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા અને સાબિત કર્યું કે કોઈપણ બીજગણિતમાં એક અથવા બીજા તત્વો હોય છે. તેમણે પીયર્સ વિઘટનને પણ વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું. 1878માં ફ્રોબેનિયસ અને 1881માં ચાર્લ્સ સેન્ડર્સ પીયર્સે સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કર્યું કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જટિલ સંખ્યાઓ અને ચતુર્થાંશ એકમાત્ર મર્યાદિત-પરિમાણીય વિભાજન આલ્જેબ્રા હતા. 1880ના દાયકામાં કિલિંગ અને કાર્ટને દર્શાવ્યું હતું કે અર્ધ-સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાને સરળમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, અને તમામ સરળ લાઈ આલ્જેબ્રાને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આનાથી પ્રેરિત થઈને, 1890ના દાયકામાં કાર્ટન, ફ્રોબેનિયસ અને મોલિયને (સ્વતંત્ર રીતે) સાબિત કર્યું કે મર્યાદિત-પરિમાણીય સહયોગી બીજગણિત અથવા અનન્ય રીતે નિલપોટેન્ટ બીજગણિત અને અર્ધ-સરળ બીજગણિતના સીધા સરવાળામાં વિઘટિત થાય છે, જે અમુક સંખ્યામાં સરળ બીજગણિત, વિભાજન બીજગણિત પર ચોરસ મેટ્રિસીસની પેદાશ છે. પ્રત્યક્ષ સરવાળો અને સરળ બીજગણિત જેવી વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરનાર કાર્ટાન સૌપ્રથમ હતા અને આ વિભાવનાઓ ખૂબ પ્રભાવશાળી સાબિત થઈ હતી. 1907માં વેડરબર્ને કાર્ટનના પરિણામોને મનસ્વી ક્ષેત્રમાં વિસ્તૃત કર્યા, જેને હવે વેડરબર્ન મુખ્ય પ્રમેય અને આર્ટિન-વેડરબર્ન પ્રમેય કહેવામાં આવે છે. પરિવર્તનીય રિંગ્સ માટે, ઘણા ક્ષેત્રો એકસાથે પરિવર્તનીય રિંગ થિયરી તરફ દોરી ગયા. 1828 અને 1832 માં બે કાગળોમાં, ગૌસે ગૌસીયન પૂર્ણાંકોની રચના કરી અને દર્શાવ્યું કે તેઓ એક અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન ડોમેન (યુએફડી) બનાવે છે અને દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા કાયદો સાબિત કરે છે. જેકોબી અને આઈઝેનસ્ટીન લગભગ એક જ સમયે આઈઝેનસ્ટીન પૂર્ણાંકો માટે ઘન પારસ્પરિકતા કાયદો સાબિત થયા. ફર્માટના છેલ્લા પ્રમેયનો અભ્યાસ બીજગણિત પૂર્ણાંકો તરફ દોરી ગયો. 1847માં, ગેબ્રિએલ લેમે વિચાર્યું કે તેણે એફ. એલ. ટી. સાબિત કરી દીધું છે, પરંતુ તેનો પુરાવો ખોટો હતો કારણ કે તેણે ધાર્યું હતું કે તમામ સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રો યુ. એફ. ડી. હતા, તેમ છતાં કુમરે ધ્યાન દોર્યું તેમ, તે યુ. એફ. ડી. ન હતું. 1846 અને 1847 માં કુમેરે આદર્શ સંખ્યાઓ રજૂ કરી અને સાયક્લોટોમિક ક્ષેત્રો માટે આદર્શ અવિભાજ્યમાં અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન સાબિત કર્યું. ડેડેકિન્ડે 1871માં આનો વિસ્તાર એ દર્શાવવા માટે કર્યો હતો કે બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોના ક્ષેત્રમાં દરેક બિન-શૂન્ય આદર્શ એ મુખ્ય આદર્શોનું એક અનન્ય ઉત્પાદન છે, જે ડેડેકિન્ડ ક્ષેત્રોના સિદ્ધાંતનું પુરોગામી છે. એકંદરે, ડેડેકિન્ડના કાર્યએ બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતનો વિષય બનાવ્યો. 1850ના દાયકામાં, રીમેને રીમાન સપાટીનો મૂળભૂત ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો. રીમેનની પદ્ધતિઓ ડિરીક્લેટના સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખાતી ધારણા પર આધારિત હતી, જેના પર 1870માં વેઇઅરસ્ટ્રાસ દ્વારા સવાલ ઉઠાવવામાં આવ્યો હતો. ઘણા સમય પછી, 1900માં, હિલ્બર્ટે વિવિધતાના કલનમાં સીધી પદ્ધતિ વિકસાવીને રીમેનના અભિગમને વાજબી ઠેરવ્યો હતો. 1860 અને 1870 ના દાયકામાં, ક્લેબશ, ગોર્ડન, બ્રિલ અને ખાસ કરીને એમ. નોથરે બીજગણિત કાર્યો અને વળાંકનો અભ્યાસ કર્યો હતો. ખાસ કરીને, નોઇથરે અભ્યાસ કર્યો હતો કે બહુપદી માટે બહુપદી રિંગમાં બે બીજગણિત વળાંક દ્વારા પેદા થયેલ આદર્શનું તત્વ બનવા માટે કઈ શરતો જરૂરી હતી, જો કે નોઇથરે આ આધુનિક ભાષાનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો. 1882માં ડેડેકિન્ડ અને વેબર, બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત પર ડેડેકિન્ડના અગાઉના કાર્ય સાથે સામ્યતામાં, બીજગણિત કાર્ય ક્ષેત્રોનો એક સિદ્ધાંત બનાવ્યો જેણે રીમાન સપાટીની પ્રથમ સખત વ્યાખ્યા અને રીમાન-રોક પ્રમેયનો સખત પુરાવો આપ્યો. 1880 ના દાયકામાં ક્રોનેકર, 1890 માં હિલ્બર્ટ, 1905 માં લેસ્કર અને 1913 માં મકાઉલીએ ઇ. નોથરના કાર્યમાં સમાવિષ્ટ બહુપદી રિંગ્સના આદર્શોની વધુ તપાસ કરી. લેસ્કરે લેસ્કર-નોઇથર પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ સાબિત કર્યો, એટલે કે બહુપદી વીંટીમાં દરેક આદર્શ પ્રાથમિક આદર્શોનું મર્યાદિત આંતરછેદ છે. મકાઉલીએ આ વિઘટનની વિશિષ્ટતા સાબિત કરી. એકંદરે, આ કાર્ય બીજગણિત ભૂમિતિના વિકાસ તરફ દોરી ગયું. 1801માં ગૌસે પૂર્ણાંકો પર દ્વિસંગી દ્વિઘાત સ્વરૂપો રજૂ કર્યા અને તેમની સમાનતાને વ્યાખ્યાયિત કરી. તેમણે આગળ આ સ્વરૂપોના વિભેદકને વ્યાખ્યાયિત કર્યા, જે દ્વિસંગી સ્વરૂપનું અપરિવર્તનશીલ છે. 1860 અને 1890ની વચ્ચે અપરિવર્તનશીલ સિદ્ધાંતનો વિકાસ થયો અને તે બીજગણિતનું મુખ્ય ક્ષેત્ર બની ગયું. કેલે, સિલ્વેસ્ટર, ગોર્ડન અને અન્યોએ દ્વિસંગી ક્વાર્ટિક સ્વરૂપો અને ઘન સ્વરૂપો માટે જેકોબિયન અને હેસિયનની શોધ કરી. 1868માં ગોર્ડને સાબિત કર્યું કે જટિલ સંખ્યાઓ પર દ્વિસંગી સ્વરૂપના અપરિવર્તનોનું ક્રમિક બીજગણિત મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયું હતું, એટલે કે, તેનો એક આધાર છે. હિલ્બર્ટે 1885 માં અપરિવર્તનશીલ પર એક થીસીસ લખ્યો હતો અને 1890 માં દર્શાવ્યું હતું કે કોઈપણ ડિગ્રી અથવા ચલની સંખ્યાના કોઈપણ સ્વરૂપનો આધાર હોય છે. તેમણે 1890માં હિલ્બર્ટના બેસિસ થીયરમ સુધી આનો વિસ્તાર કર્યો. એકવાર આ સિદ્ધાંતો વિકસાવવામાં આવ્યા પછી, અમૂર્ત રીંગ ખ્યાલ ઉભરી આવ્યો ત્યાં સુધી તે હજુ પણ ઘણા દાયકાઓ હતા. પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા અબ્રાહમ ફ્રેન્કેલ દ્વારા 1914માં આપવામાં આવી હતી. તેમની વ્યાખ્યા મુખ્યત્વે પ્રમાણભૂત સ્વયંસિદ્ધ હતીઃ બે ઓપરેશન્સ એડિશન સાથેનો સમૂહ, જે જૂથ બનાવે છે (જરૂરી નથી કે પરિવર્તનીય), અને ગુણાકાર, જે સહયોગી છે, એડિશન પર વિતરણ કરે છે, અને એક ઓળખ તત્વ ધરાવે છે. વધુમાં, તેમની પાસે પી-એડિક સંખ્યાઓ પર કામથી પ્રેરિત "નિયમિત ઘટકો" પર બે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો હતા, જેમાં પૂર્ણાંકોની વીંટી જેવી હવે સામાન્ય વીંટીઓને બાકાત રાખવામાં આવી હતી. આનાથી ફ્રેન્કેલને એ સાબિત કરવાની મંજૂરી મળી કે ઉમેરો પરિવર્તનીય હતો. ફ્રેન્કેલના કાર્યનો ઉદ્દેશ સ્ટેનિટ્ઝની 1910ની ક્ષેત્રોની વ્યાખ્યાને રિંગ્સમાં સ્થાનાંતરિત કરવાનો હતો, પરંતુ તે કોંક્રિટ પ્રણાલીઓ પરના હાલના કાર્ય સાથે જોડાયેલું ન હતું. મસાઝો સોનોની 1917 ની વ્યાખ્યા વર્તમાનની સમકક્ષ પ્રથમ હતી. 1920માં, એમી નોઇથરે, ડબલ્યુ. સ્મીડલર સાથે મળીને આદર્શોના સિદ્ધાંત વિશે એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું હતું જેમાં તેમણે રિંગમાં ડાબા અને જમણા આદર્શોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા હતા. તે પછીના વર્ષે તેમણે (ગાણિતિક) આદર્શોના સંદર્ભમાં ચડતી સાંકળની સ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરતા, રિંગબેરીચેન (રિંગ્સમાં આદર્શ સિદ્ધાંત) માં આદર્શ સિદ્ધાંત નામનું એક સીમાચિહ્નરૂપ પેપર પ્રકાશિત કર્યું. આ પ્રકાશનથી "નોથેરિયન રિંગ" શબ્દનો ઉદય થયો અને અન્ય કેટલીક ગાણિતિક વસ્તુઓને નોથેરિયન કહેવામાં આવી. જાણીતા બીજગણિતશાસ્ત્રી ઇરવિંગ કેપ્લાન્સ્કીએ આ કાર્યને "ક્રાંતિકારી" ગણાવ્યું હતું; જે પરિણામો બહુપદી રિંગ્સના ગુણધર્મો સાથે અવિભાજ્ય રીતે જોડાયેલા હોવાનું લાગતું હતું તે એક જ સ્વયંસિદ્ધમાંથી અનુસરવામાં આવ્યું હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. નોઇથરના કાર્યથી પ્રેરિત આર્ટિન અવરોહી સાંકળની સ્થિતિ સાથે આવ્યા હતા. આ વ્યાખ્યાઓ અમૂર્ત રીંગ સિદ્ધાંતના જન્મને ચિહ્નિત કરે છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત 1801માં ગૌસે પૂર્ણાંકો મોડ પી રજૂ કર્યા હતા, જ્યાં પી એ મુખ્ય સંખ્યા છે. ગેલોઇસે 1830માં આને તત્વો સાથેના મર્યાદિત ક્ષેત્રો સુધી વિસ્તાર્યું હતું. 1871 માં રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડે વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહ માટે, જે ચાર અંકગણિત કામગીરી હેઠળ બંધ છે, જર્મન શબ્દ કોર્પર રજૂ કર્યો, જેનો અર્થ થાય છે "શરીર" અથવા "કોર્પસ" (ઓર્ગેનિકલી બંધ અસ્તિત્વ સૂચવવા માટે). અંગ્રેજી શબ્દ "ફિલ્ડ" મૂરે દ્વારા 1893માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. 1881માં લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકરે તર્કસંગતતાના ક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું, જે આધુનિક દ્રષ્ટિએ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું ક્ષેત્ર છે. અમૂર્ત ક્ષેત્રની પ્રથમ સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા 1893 માં હેઇનરિચ માર્ટિન વેબરને કારણે હતી. તેમાં ગુણાકાર માટે સહયોગી નિયમ ખૂટે છે, પરંતુ તેમાં મર્યાદિત ક્ષેત્રો અને બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત અને બીજગણિત ભૂમિતિના ક્ષેત્રોને આવરી લેવામાં આવ્યા છે. 1910માં સ્ટેનિટ્ઝે અત્યાર સુધી સંચિત અમૂર્ત ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના જ્ઞાનનું સંશ્લેષણ કર્યું હતું. તેમણે આધુનિક વ્યાખ્યા સાથે ક્ષેત્રોને સ્વયંસિદ્ધ રીતે વ્યાખ્યાયિત કર્યા, તેમને તેમની લાક્ષણિકતા દ્વારા વર્ગીકૃત કર્યા અને આજે સામાન્ય રીતે જોવા મળતા ઘણા સિદ્ધાંતો સાબિત કર્યા. અન્ય મુખ્ય ક્ષેત્રો રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ, જે રેખીય બીજગણિત તરફ દોરી ગયું આધુનિક બીજગણિત 19મી સદીના અંતમાં અને 20મી સદીની શરૂઆતમાં ગણિતની પદ્ધતિમાં પરિવર્તન જોવા મળ્યું. અમૂર્ત બીજગણિત 20મી સદીની શરૂઆતમાં આધુનિક બીજગણિત નામ હેઠળ ઉભરી આવ્યું હતું. તેનો અભ્યાસ ગણિતમાં વધુ બૌદ્ધિક સખતાઈ માટેના અભિયાનનો એક ભાગ હતો. શરૂઆતમાં, શાસ્ત્રીય બીજગણિતમાં ધારણાઓ, જેના પર સમગ્ર ગણિત (અને કુદરતી વિજ્ઞાનના મોટા ભાગો) આધાર રાખે છે, તેણે સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીઓનું સ્વરૂપ લીધું. નક્કર પદાર્થોના ગુણધર્મો સ્થાપિત કરવાથી સંતુષ્ટ ન થતાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેમનું ધ્યાન સામાન્ય સિદ્ધાંત તરફ ફેરવવાનું શરૂ કર્યું. અમુક બીજગણિત માળખાઓની ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ 19મી સદીમાં બહાર આવવાની શરૂઆત થઈ. ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમચયોના વિવિધ જૂથો વિશેના પરિણામોને સામાન્ય પ્રમેયોના ઉદાહરણો તરીકે જોવામાં આવે છે જે અમૂર્ત જૂથની સામાન્ય કલ્પનાને સંબંધિત છે. વિવિધ ગાણિતિક પદાર્થોની રચના અને વર્ગીકરણના પ્રશ્નો મોખરે આવ્યા હતા. આ પ્રક્રિયાઓ સમગ્ર ગણિતમાં થતી હતી, પરંતુ બીજગણિતમાં ખાસ કરીને ઉચ્ચારવામાં આવતી હતી. જૂથો, વીંટીઓ અને ક્ષેત્રો જેવી ઘણી મૂળભૂત બીજગણિત રચનાઓ માટે આદિમ કામગીરીઓ અને સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા ઔપચારિક વ્યાખ્યા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. તેથી ગ્રુપ થિયરી અને રિંગ થિયરી જેવી બાબતોએ શુદ્ધ ગણિતમાં તેમનું સ્થાન લીધું. અર્ન્સ્ટ સ્ટેનિટ્ઝ દ્વારા સામાન્ય ક્ષેત્રોની બીજગણિત તપાસ અને ડેવિડ હિલ્બર્ટ, એમિલ આર્ટિન અને એમી નોથર દ્વારા પરિવર્તનીય અને પછી સામાન્ય રિંગ્સની, અર્ન્સ્ટ કુમાર, લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકર અને રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડના કામ પર આધારિત, જેમણે પરિવર્તનીય રિંગ્સમાં આદર્શોને ધ્યાનમાં લીધા હતા, અને જ્યોર્જ ફ્રોબેનિયસ અને ઇસાઈ શુર, જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંતને લગતા, અમૂર્ત બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે આવ્યા હતા. 19મી સદીના છેલ્લા ક્વાર્ટર અને 20મી સદીના પ્રથમ ક્વાર્ટરના આ વિકાસને બાર્ટેલ વાન ડેર વેર્ડેનના મોડર્ન બીજગણિતમાં વ્યવસ્થિત રીતે ખુલ્લા પાડવામાં આવ્યા હતા, જે 1930-1931 માં પ્રકાશિત બે-વોલ્યુમ મોનોગ્રાફ છે, જેણે બીજગણિતના વિચારને સમીકરણોના સિદ્ધાંતથી બીજગણિત માળખાના સિદ્ધાંતમાં પુનઃસ્થાપિત કર્યો હતો. મૂળભૂત વિભાવનાઓ વિવિધ માત્રામાં વિગતોને દૂર કરીને, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વિવિધ બીજગણિત માળખાઓને વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે જેનો ઉપયોગ ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રોમાં થાય છે. દાખલા તરીકે, અભ્યાસ કરાયેલી લગભગ તમામ પ્રણાલીઓ સમૂહો છે, જેના પર સમૂહ સિદ્ધાંતના સિદ્ધાંતો લાગુ પડે છે. તે સમૂહો કે જેના પર ચોક્કસ દ્વિસંગી કામગીરી વ્યાખ્યાયિત હોય છે તે મેગ્મા બનાવે છે, જેના પર મેગ્મા સંબંધિત વિભાવનાઓ તેમજ સમૂહો સંબંધિત વિભાવનાઓ લાગુ પડે છે. આપણે બીજગણિત માળખા પર વધારાની મર્યાદાઓ ઉમેરી શકીએ છીએ, જેમ કે સહયોગીતા (અર્ધસમૂહો બનાવવા માટે); ઓળખ, અને વ્યુત્ક્રમ (જૂથો બનાવવા માટે); અને અન્ય વધુ જટિલ રચનાઓ. વધારાની રચના સાથે, વધુ પ્રમેયો સાબિત કરી શકાય છે, પરંતુ વ્યાપકતા ઓછી થાય છે. બીજગણિત પદાર્થોની "પદાનુક્રમ" (સામાન્યતાની દ્રષ્ટિએ) અનુરૂપ સિદ્ધાંતોની પદાનુક્રમ બનાવે છેઃ દાખલા તરીકે, જૂથ સિદ્ધાંતના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ રિંગ્સ (બીજગણિત પદાર્થો કે જે ચોક્કસ સ્વયંસિદ્ધ સાથે બે દ્વિસંગી કામગીરી ધરાવે છે) નો અભ્યાસ કરતી વખતે થઈ શકે છે કારણ કે રિંગ એ તેની એક કામગીરી પરનું જૂથ છે. સામાન્ય રીતે સામાન્યતાની માત્રા અને સિદ્ધાંતની સમૃદ્ધિ વચ્ચે સંતુલન છેઃ વધુ સામાન્ય માળખામાં સામાન્ય રીતે ઓછા બિન-તુચ્છ પ્રમેયો અને ઓછા ઉપયોગો હોય છે. એક દ્વિસંગી કામગીરી સાથે બીજગણિત માળખાના ઉદાહરણો છેઃ મેગ્મા ક્વાસિગ્રુપ મોનોઈડ સેમિગ્રુપ જૂથ અનેક કામગીરીઓને સંડોવતા ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ રિંગ ફિલ્ડ મોડ્યુલ વેક્ટર સ્પેસ બીજગણિત ક્ષેત્ર પર સહયોગી બીજગણિત લાઈ બીજગણિત જાળી બુલિયન બીજગણિત અમૂર્ત બીજગણિતની શાખાઓ જૂથ સિદ્ધાંત એ જૂથ એ "જૂથ ઉત્પાદન", એક દ્વિસંગી કામગીરી સાથેનો સમૂહ છે. જૂથ નીચેના વ્યાખ્યાયિત સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષે છેઃ ઓળખઃ ત્યાં એક તત્વ અસ્તિત્વમાં છે, જેમાં દરેક તત્વ માટે, તે ધરાવે છે. ઊલટુંઃ ના દરેક તત્વ માટે, એક તત્વ અસ્તિત્વમાં છે જેથી. સહયોગીતા ': તત્વોના દરેક ત્રિપુટી માટે, તે ધરાવે છે. રિંગ થિયરી એ બે દ્વિસંગી કામગીરીઓ સાથેનો સમૂહ છે, સરવાળોઃ અને ગુણાકારઃ નીચેના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષતા. તે ઉમેરા હેઠળનું પરિવર્તનીય જૂથ છે. ગુણાકાર હેઠળ એક મોનોઇડ છે. સરવાળાના સંદર્ભમાં ગુણાકાર વિતરણાત્મક છે. તેની સામાન્યતાને કારણે, અમૂર્ત બીજગણિતનો ઉપયોગ ગણિત અને વિજ્ઞાનના ઘણા ક્ષેત્રોમાં થાય છે. દાખલા તરીકે, બીજગણિત ટોપોલોજી ટોપોલોજીનો અભ્યાસ કરવા માટે બીજગણિત પદાર્થોનો ઉપયોગ કરે છે. 2003 માં સાબિત થયેલ પોઇનકેરે અનુમાન, ભારપૂર્વક જણાવે છે કે મેનીફોલ્ડનું મૂળભૂત જૂથ, જે જોડાણ વિશેની માહિતીને એન્કોડ કરે છે, તેનો ઉપયોગ તે નક્કી કરવા માટે કરી શકાય છે કે મેનીફોલ્ડ એક ગોળા છે કે નહીં. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત વિવિધ સંખ્યા રિંગ્સનો અભ્યાસ કરે છે જે પૂર્ણાંકોના સમૂહને સામાન્ય બનાવે છે. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતના સાધનોનો ઉપયોગ કરીને, એન્ડ્રુ વાઇલ્સે ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય સાબિત કર્યું. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જૂથોનો ઉપયોગ સમપ્રમાણતા કામગીરીનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે થાય છે, અને જૂથ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ વિભેદક સમીકરણોને સરળ બનાવી શકે છે. ગેજ સિદ્ધાંતમાં, સ્થાનિક સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાતનો ઉપયોગ પ્રણાલીનું વર્ણન કરતા સમીકરણોને કાઢવા માટે કરી શકાય છે. જે જૂથો તે સમપ્રમાણતાનું વર્ણન કરે છે તે લાઈ જૂથો છે, અને લાઈ જૂથો અને લાઈ આલ્જેબ્રાનો અભ્યાસ ભૌતિક પ્રણાલી વિશે ઘણું જણાવે છે; દાખલા તરીકે, સિદ્ધાંતમાં બળ વાહકોની સંખ્યા લાઈ બીજગણિતના પરિમાણ જેટલી હોય છે, અને જો લાઈ બીજગણિત નોનબેલિયન હોય તો આ બોસન્સ તેઓ મધ્યસ્થી કરે છે તે બળ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. કોડિંગ થિયરી ગ્રુપ થિયરી એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિતમાં પ્રકાશનોની સૂચિ સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ વધુ વાંચન ડબલ્યુ. કીથ નિકોલ્સન (2012) એબ્સ્ટ્રેક્ટ બીજગણિતનો પરિચય, ચોથી આવૃત્તિ, જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ જુઓ. જ્હોન આર. ડર્બિન (1992) મોડર્ન આલ્જેબ્રાઃ એન ઇન્ટ્રોડક્શન, જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ એક્સટર્નલ લિંક્સ ચાર્લ્સ સી. પિન્ટર (1990) [1982] એ બુક ઓફ એબ્સ્ટ્રેક્ટ આલ્જેબ્રા ", બીજી આવૃત્તિ, મેરીલેન્ડ યુનિવર્સિટીમાંથી