Möbius configuration
ભૂમિતિમાં, મોબિયસ રૂપરેખાંકન અથવા મોબિયસ ટેટ્રાડ્સ એ યુક્લિડિયન જગ્યા અથવા પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં એક ચોક્કસ રૂપરેખાંકન છે, જેમાં બે ટેટ્રાહેડ્રાનો સમાવેશ થાય છે જે પરસ્પર અંકિત છેઃ એક ટેટ્રાહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ અન્ય ટેટ્રાહેડ્રોનના ફેસ પ્લેન પર આવેલું છે અને તેનાથી ઊલટું. આમ, આઠ બિંદુઓ અને આઠ સમતલની પરિણામી પ્રણાલી માટે, દરેક બિંદુ ચાર સમતલ પર આવેલું છે (ત્રણ સમતલ તેને ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને અન્ય ચતુષ્કોણથી ચોથું સમતલ કે જેના પર તે આવેલું છે), અને દરેક સમતલમાં ચાર બિંદુઓ હોય છે (તેના ચહેરાના ત્રણ ચતુષ્કોણ શિરોબિંદુઓ અને તેના પર આવેલા અન્ય ચતુષ્કોણનું શિરોબિંદુ). મોબિયસના પ્રમેય રૂપરેખાંકનનું નામ ઓગસ્ટ ફર્ડિનાન્ડ મોબિયસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1828માં સાબિત કર્યું હતું કે, જો બે ટેટ્રાહેડ્રામાં એ ગુણધર્મ હોય કે તેમના સાત શિરોબિંદુ અન્ય ટેટ્રાહેડ્રોનના અનુરૂપ ફેસ પ્લેન પર આવેલા હોય, તો આઠમું શિરોબિંદુ પણ તેના અનુરૂપ ફેસના પ્લેન પર આવેલું છે, જે આ પ્રકારનું રૂપરેખાંકન બનાવે છે. આ ઘટના પ્રમેય ત્રિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ અવકાશમાં વધુ સામાન્ય રીતે સાચું છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પપ્પસનું પ્રમેય તે જગ્યા (રીડેમેઇસ્ટર, સ્કોનહાર્ટ) માટે હોય, અને તે વિભાજન રિંગ પર રચાયેલ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ માટે સાચું છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો રિંગ પરિવર્તનીય કાયદાને સંતોષે અને તેથી તે એક ક્ષેત્ર (અલ-ધાહિર) હોય. પ્રક્ષેપાત્મક દ્વૈતતા દ્વારા, મોબિયસનું પરિણામ એ નિવેદનની સમકક્ષ છે કે, જો બે ટેટ્રાહેડ્રાના આઠ ફેસ પ્લેનમાંથી સાતમાં અન્ય ટેટ્રાહેડ્રોનના અનુરૂપ શિરોબિંદુઓ હોય, તો આઠમા ફેસ પ્લેનમાં પણ સમાન શિરોબિંદુ હોય છે. બાંધકામ રૂપરેખાંકન માટે સરળ બાંધકામનું વર્ણન કરે છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં મનસ્વી બિંદુ p થી શરૂ કરીને, ધારો કે A, B, C અને D એ p દ્વારા ચાર સમતલ છે, જેમાંથી કોઈ ત્રણ સમાન આંતરછેદ રેખા શેર કરતા નથી, અને છ બિંદુઓ q, r, s, t, u અને v ને આ સમતલોના જોડીવાર આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલી છ રેખાઓ પર એવી રીતે મૂકો કે આમાંથી કોઈ પણ ચાર બિંદુ કોપ્લાનર ન હોય. દરેક સમતલ A, B, C અને D માટે, સાતમાંથી ચાર બિંદુઓ p, q, r, s, t, u અને v તે સમતલ પર આવેલા છે અને તેમાંથી ત્રણ વિચ્છેદિત છે; એ ', બી', સી 'અને ડી' એ અનુક્રમે એ, બી, સી અને ડીથી વિચ્છેદિત બિંદુઓના ત્રિપુટીઓ દ્વારા સમતલ એ ', બી', સી 'અને ડી' બનાવે છે. પછી, મોબિયસના પ્રમેયના બેવડા સ્વરૂપ દ્વારા, આ ચાર નવા સમતલ એક જ બિંદુ ડબલ્યુ માં મળે છે. આઠ બિંદુઓ પી, ક્યૂ, આર, એસ, ટી, યુ, વી, અને ડબલ્યુ અને આઠ સમતલ એ, બી, સી, ડી, એ ', બી', સી 'અને ડી' મોબિયસના રૂપરેખાંકનનું ઉદાહરણ બનાવે છે. સંબંધિત રચનાઓ (સંદર્ભો વિના) જણાવે છે કે દરેક સમતલ પર ચાર બિંદુઓ સાથે આઠ બિંદુઓ અને આઠ સમતલ ધરાવતા પાંચ રૂપરેખાંકનો છે અને ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવા દરેક બિંદુ દ્વારા ચાર સમતલ છેઃ આવા રૂપરેખાંકનોમાં લઘુલિપિ સંકેત હોય છે. તેઓએ આ લેખમાંથી તેમની માહિતી મેળવી હોવી જોઈએ. આ વાસ્તવમાં, 'અને' ના પરિણામો પર આધાર રાખીને જણાવે છે કે, મિલકત સાથે પાંચ રૂપરેખાંકનો છે કે જેમાં વધુમાં વધુ બે વિમાનોમાં બે બિંદુઓ સામાન્ય હોય છે, અને દ્વિસંગી રીતે વધુમાં વધુ બે બિંદુઓ બે વિમાનોમાં સામાન્ય હોય છે. (આ સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે દર ત્રણ બિંદુઓ બિન-સમરેખીય હોઈ શકે છે અને દ્વિસંગી રીતે ત્રણ સમતલમાં એક રેખા ન પણ હોઈ શકે.) જો કે, ત્યાં દસ અન્ય રૂપરેખાંકનો છે જેમાં આ સ્થિતિ નથી, અને તમામ પંદર રૂપરેખાંકનો વાસ્તવિક ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં વાસ્તવિક છે. રસની રૂપરેખાંકનો તે છે જે બે ટેટ્રાહેડ્રા ધરાવે છે, દરેક બીજાને લખે છે અને ઘેરો કરે છે, અને આ ચોક્કસપણે તે છે જે ઉપરોક્ત ગુણધર્મને સંતોષે છે. આમ, ટેટ્રાહેડ્રા સાથે પાંચ રૂપરેખાંકનો છે, અને તે સપ્રમાણ જૂથના પાંચ સંયોગ વર્ગોને અનુરૂપ છે. એક ટેટ્રાહેડ્રોન S = ABCD ના ચાર બિંદુઓમાંથી નીચે પ્રમાણે ક્રમચય પ્રાપ્ત થાય છેઃ S નો દરેક બિંદુ P એ બીજા ટેટ્રાહેડ્રોન T ના ત્રણ બિંદુઓ ધરાવતા સમતલ પર હોય છે. આ T ના બીજા બિંદુને છોડી દે છે, જે S ના સમતલના ત્રણ બિંદુઓ પર હોય છે, અને S નો બીજો બિંદુ Q છોડી દે છે, અને તેથી ક્રમચય P → Q ને નકશો કરે છે. પાંચ સંયોગ વર્ગોમાં પ્રતિનિધિઓ e, (12) (34), (12), (123), (1234) છે અને આમાંથી મોબિયસ રૂપરેખાંકન સંયોગ વર્ગ e ને અનુરૂપ છે. તેને Ke તરીકે સૂચવી શકાય છે. સ્ટેનિટ્ઝ દ્વારા જણાવવામાં આવ્યું છે કે જો કે ના પૂરક ટેટ્રાહેડ્રામાંથી બે હોય, અને પછી આઠ સમતલ વિષમ સાથે આપવામાં આવે છે, જ્યારે સમ સરવાળો અને તેમના પૂરક પૂરક ટેટ્રાહેડ્રાની તમામ જોડીને અનુરૂપ છે જે કે ના નમૂનામાં અંદર અને ઘેરાયેલા છે. એવું પણ કહેવામાં આવ્યું છે કે સ્ટેનિટ્ઝ દ્વારા માત્ર એક જ ભૌમિતિક પ્રમેય મોબિયસ રૂપરેખાંકન છે. જો કે તે વિવાદિત છેઃ કમ્પ્યુટર શોધ અને સાબિતીઓનો ઉપયોગ કરીને બતાવે છે કે ત્યાં ચોક્કસપણે બે છે જે વાસ્તવમાં "પ્રમેયો" છેઃ મોબિયસ રૂપરેખાંકન અને એક અન્ય. બાદમાં (જે ઉપરના સંયુગ્મ વર્ગ (12) (34) ને અનુરૂપ છે) એ ક્ષેત્ર પરની તમામ ત્રિ-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ માટે પણ એક પ્રમેય છે, પરંતુ સામાન્ય વિભાજન રિંગ પર નહીં. બે રૂપરેખાંકનો વચ્ચે અન્ય નજીકની સામ્યતાઓ છે, જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે બંને મેટ્રોઇડ દ્વૈતતા હેઠળ સ્વ-દ્વૈત છે. અમૂર્ત શબ્દોમાં, પછીના રૂપરેખાંકનમાં "બિંદુઓ" 0,., 7 અને "પ્લેન" 0125 + i, (i = 0,., 7) છે, જ્યાં આ પૂર્ણાંકો મોડ્યુલો આઠ છે. આ રૂપરેખાંકન, મોબિયસની જેમ, બે ટેટ્રાહેડ્રા તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે, જે પરસ્પર અંકિત અને પરિવેષ્ટિત છેઃ પૂર્ણાંક રજૂઆતમાં ટેટ્રાહેડ્રા 0347 અને 1256 હોઈ શકે છે. જો કે, આ બે રૂપરેખાંકનો બિન-આઇસોમોર્ફિક છે, કારણ કે મોબિયસમાં વિચ્છેદિત સમતલની ચાર જોડી હોય છે, જ્યારે પછીનામાં કોઈ વિચ્છેદિત સમતલ નથી. સમાન કારણોસર (અને કારણ કે વિમાનોની જોડી અધોગતિગ્રસ્ત દ્વિઘાત સપાટીઓ છે), મોબિયસ રૂપરેખાંકન પછીના રૂપરેખાંકન કરતાં ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાની વધુ દ્વિઘાત સપાટીઓ પર છે. મોબિયસ રૂપરેખાંકનના લેવી આલેખમાં 16 શિરોબિંદુઓ છે, જે દરેક બિંદુ અથવા રૂપરેખાંકનના સમતલ માટે એક છે, જેમાં દરેક ઘટના બિંદુ-સમતલ જોડી માટે ધાર છે. તે 16-વર્ટેક્સ હાયપરક્યુબ ગ્રાફ Q4 માટે આઇસોમોર્ફિક છે. નજીકથી સંબંધિત રૂપરેખાંકન, બે પરસ્પર અંકિત ચતુર્ભુજ દ્વારા રચાયેલ મોબિયસ-કેન્ટોર રૂપરેખાંકન, તેના લેવી આલેખ તરીકે મોબિયસ-કેન્ટોર આલેખ ધરાવે છે, જે ક્યુ 4 નો પેટા આલેખ છે. સંદર્ભો. . . . . . . ગેસમેલ્ટે વર્ક (1886) માં, વોલ્યુમ. 1, pp. 439-446. . . . . રૂપરેખાંકનો (ભૂમિતિ)