Optical phase space
ક્વોન્ટમ ઓપ્ટિક્સમાં, ઓપ્ટિકલ ફેઝ સ્પેસ એ એક ફેઝ સ્પેસ છે જેમાં ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમની તમામ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓનું વર્ણન કરવામાં આવે છે. ઓપ્ટિકલ ફેઝ સ્પેસમાં દરેક બિંદુ ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમની અનન્ય સ્થિતિને અનુરૂપ છે. આવી કોઈપણ પ્રણાલી માટે, એકબીજાની સામે ચતુર્ભુજનો આલેખ, સંભવતઃ સમયના કાર્યો તરીકે, તબક્કાની આકૃતિ કહેવાય છે. જો ચતુર્ભુજ સમયના કાર્યો હોય તો ઓપ્ટિકલ તબક્કો આકૃતિ સમય સાથે ક્વોન્ટમ ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમની ઉત્ક્રાંતિ બતાવી શકે છે. ઓપ્ટિકલ ફેઝ ડાયાગ્રામ સિસ્ટમના ગુણધર્મો અને વર્તણૂકોની સમજ આપી શકે છે જે અન્યથા સ્પષ્ટ ન પણ હોઈ શકે. આ સિસ્ટમના એવા ગુણો તરફ સંકેત કરી શકે છે જે ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરતી વ્યક્તિ માટે રસપ્રદ હોઈ શકે છે જે અન્યથા તારણ કાઢવું ખૂબ જ મુશ્કેલ હશે. ઓપ્ટિકલ ફેઝ ડાયાગ્રામ માટેનો બીજો ઉપયોગ એ છે કે તે ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમની સ્થિતિની ઉત્ક્રાંતિ દર્શાવે છે. આનો ઉપયોગ કોઈપણ સમયે ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે. પૃષ્ઠભૂમિ માહિતી પ્રકાશના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતની ચર્ચા કરતી વખતે, વિદ્યુતચુંબકીય ઓસિલેટરનો ઉપયોગ એક નમૂના તરીકે કરવો ખૂબ જ સામાન્ય છે. વિદ્યુતચુંબકીય ઓસિલેટર વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઓસિલેશનનું વર્ણન કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્રના પરિવર્તનના દરના પ્રમાણસર હોવાથી, આ પણ દોલન કરે છે. આવા ઓસિલેશન પ્રકાશનું વર્ણન કરે છે. આવા ઓસિલેટરથી બનેલી પ્રણાલીઓને ઓપ્ટિકલ ફેઝ સ્પેસ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ધારો કે u (x, t) એ વિદ્યુતચુંબકીય ઓસિલેટરના એક મોડનું વર્ણન કરતું વેક્ટર કાર્ય છે. સરળતા માટે, એવું માનવામાં આવે છે કે આ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેટર શૂન્યાવકાશમાં છે. એક ઉદાહરણ એ છે કે જ્યાં u0 એ ધ્રુવીકરણ વેક્ટર છે, k એ તરંગ વેક્ટર છે, આવર્તન છે, અને AB એ વેક્ટર A અને B વચ્ચેના બિંદુ ઉત્પાદનને સૂચવે છે. આ સમતલ તરંગ માટેનું સમીકરણ છે અને આવા વિદ્યુતચુંબકીય ઓસિલેટરનું સરળ ઉદાહરણ છે. જે ઓસિલેટરની તપાસ કરવામાં આવી રહી છે તે કાં તો અવકાશમાં મુક્ત તરંગો હોઈ શકે છે અથવા અમુક પોલાણમાં સમાયેલ અમુક સામાન્ય સ્થિતિ હોઈ શકે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેટરનો એક જ પ્રકાર બાકીની સિસ્ટમથી અલગ કરવામાં આવે છે અને તેની તપાસ કરવામાં આવે છે. આવા ઓસિલેટરનું જ્યારે પ્રમાણ નક્કી કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું વર્ણન ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ગણિત દ્વારા કરવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ ઓસિલેટરનું વર્ણન સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટર્સ અને નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યું છે. ભૌતિક જથ્થાઓ, જેમ કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની શક્તિ, પછી ક્વોન્ટમ ઓપરેટરો બની જાય છે. ભૌતિક જથ્થાને તેનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ ઓપરેટરથી અલગ પાડવા માટે, ઓપરેટર પ્રતીકો પર "ટોપી" નો ઉપયોગ થાય છે. આમ, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર (એક ઘટક) નું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે, ત્યાં પ્રતીક ક્વોન્ટમ-મિકેનિકલ ઓપરેટરને સૂચવે છે જે વર્ણવે છે. આ પરંપરાનો ઉપયોગ આ સમગ્ર લેખમાં થાય છે, પરંતુ વધુ અદ્યતન ગ્રંથોમાં સામાન્ય ઉપયોગમાં નથી, જે ટોપીને ટાળે છે, કારણ કે તે ફક્ત લખાણને અવ્યવસ્થિત કરે છે. ક્વોન્ટમ ઓસિલેટર મોડમાં, ભૌતિક જથ્થાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા મોટાભાગના ઓપરેટરોને સામાન્ય રીતે સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટરોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ ઉદાહરણમાં, વિદ્યુતક્ષેત્રની શક્તિ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ (જ્યાં xi એ x, સ્થિતિનો એક ઘટક છે). ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેટર માટે હેમિલ્ટોનિયન આ ઓસિલેટર માટે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રના જથ્થા દ્વારા જોવા મળે છે અને સૂત્ર આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં (સ્પેટીયો-ટેમ્પોરલ) મોડની આવર્તન છે. એનિહિલેશન ઓપરેટર એ બોસોનિક એનિહિલેશન ઓપરેટર છે અને તેથી તે આના દ્વારા આપવામાં આવેલા કેનોનિકલ કમ્યુટેશન સંબંધનું પાલન કરે છેઃ એનિહિલેશન ઓપરેટરના આઈગનસ્ટેટને સુસંગત સ્થિતિઓ કહેવામાં આવે છેઃ એ નોંધવું મહત્વપૂર્ણ છે કે એનિહિલેશન ઓપરેટર હર્મિશિયન નથી; તેથી તેના આઈગનવેલ્યુ જટિલ હોઈ શકે છે. આની નોંધપાત્ર અસરો છે. છેવટે, ફોટોન નંબર ઓપરેટર દ્વારા આપવામાં આવે છે જે આપેલ (અવકાશી-અસ્થાયી) સ્થિતિમાં ફોટોનની સંખ્યા આપે છે. ક્વાડ્રેચર ઓપરેટર્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેમને ક્વાડ્રેચર કહેવામાં આવે છે અને તેઓ દ્વારા રજૂ કરાયેલા જટિલ કંપનવિસ્તારના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. બે ચતુષ્કોણ વચ્ચેના પરિવર્તન સંબંધની સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છેઃ આ સ્થિતિ અને વેગ પ્રચાલકના પરિવર્તન સંબંધ સાથે ખૂબ સમાન દેખાય છે. આમ, ચતુર્થાંશને ઓસિલેટરની સ્થિતિ અને વેગ તરીકે વિચારવું અને તેની સારવાર કરવી ઉપયોગી થઈ શકે છે, જો કે હકીકતમાં તે "અવકાશી-અસ્થાયી સ્થિતિના વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપનવિસ્તારના તબક્કામાં અને તબક્કાની બહારના ઘટકો" અથવા યુ છે, અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેટરની સ્થિતિ અથવા વેગ સાથે ખરેખર કોઈ લેવાદેવા નથી (કારણ કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેટર માટે સ્થિતિ અને વેગનો અર્થ શું છે તે વ્યાખ્યાયિત કરવું મુશ્કેલ છે). ક્વાડ્રેચરના ગુણધર્મો ક્વાડ્રેચર ઓપરેટરોના આઈગનસ્ટેટ અને તેને ક્વાડ્રેચર સ્ટેટ્સ કહેવામાં આવે છે. તેઓ સંબંધોને સંતોષ આપે છેઃ અને અને આ સંપૂર્ણ આધાર સમૂહો બનાવે છે. મહત્વપૂર્ણ પરિણામ નીચેના એક મહત્વપૂર્ણ સંબંધ છે જે ઉપરોક્તમાંથી મેળવી શકાય છે જે આપણા અર્થઘટનને ન્યાયી ઠેરવે છે કે ચતુર્ભુજ એ સંકુલના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો છે (એટલે કે. વિદ્યુતચુંબકીય ઓસિલેટરના ઇન-ફેઝ અને આઉટ-ઓફ-ફેઝના ઘટકો) નીચેનો સંબંધ છે જેનો ઉપયોગ ઉપરોક્ત મૂલ્યાંકન કરવામાં મદદ કરવા માટે કરી શકાય છે અને તે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ આ આપણને આપે છેઃ ઉપરની સમાન પદ્ધતિ દ્વારા. આમ, તે માત્ર ચતુર્ભુજની રચના છે. સુસંગત રાજ્યોનો બીજો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ આ ઔપચારિકતામાં ખૂબ જ સ્પષ્ટ થાય છે. સુસંગત સ્થિતિ એ ઓપ્ટિકલ ફેઝ સ્પેસમાં એક બિંદુ નથી પરંતુ તેના પરનું વિતરણ છે. આ અને દ્વારા જોઈ શકાય છે. આ માત્ર રાજ્યના અને રાજ્ય માટે અપેક્ષિત મૂલ્યો છે. એવું દર્શાવી શકાય છે કે ચતુર્ભુજ હાયસેનબર્ગના અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છેઃ (જ્યાં અને અનુક્રમે q અને p ના વિતરણની ભિન્નતાઓ છે) આ અસમાનતાને સંતૃપ્ત કરવાની જરૂર નથી અને આવા રાજ્યોનું સામાન્ય ઉદાહરણ સંકોચાયેલી સુસંગત સ્થિતિઓ છે. સુસંગત સ્થિતિઓ એ આસપાસ સ્થાનિકકૃત તબક્કાની જગ્યા પર ગૌસીયન સંભાવના વિતરણ છે. તબક્કાની જગ્યા પરના ઓપરેટરો તબક્કાની જગ્યાની આસપાસ સુસંગત સ્થિતિને ખસેડવા માટે ઓપરેટરોને વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે. આ નવી સુસંગત સ્થિતિઓ પેદા કરી શકે છે અને આપણને તબક્કાની જગ્યાની આસપાસ ફરવા દે છે. ફેઝ-શિફ્ટિંગ ઓપરેટર ફેઝ-શિફ્ટિંગ ઓપરેટર ઓપ્ટિકલ ફેઝ સ્પેસમાં એક ખૂણા દ્વારા સુસંગત સ્થિતિને ફરે છે. આ સંચાલક આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ મહત્વપૂર્ણ સંબંધ નીચે પ્રમાણે મેળવવામાં આવે છેઃ અને આ વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવાથી ઇચ્છિત પરિણામ મળે છે. આમ, ઉપરોક્તનો ઉપયોગ કરીને તે સ્પષ્ટ થાય છે કે, અથવા ફેઝ સ્પેસમાં સુસંગત સ્થિતિ પર કોણ થીટા દ્વારા પરિભ્રમણ. નીચેની બાબતો આને વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવે છેઃ (જે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે કે ફેઝ-શિફ્ટિંગ ઓપરેટર એકાત્મક છે. આમાંથી તે જોવાનું શક્ય છે કે જે આઈગનપેયરને વ્યક્ત કરવાની બીજી રીત છે જે સુસંગત સ્થિતિઓ પર ફેઝ-શિફ્ટિંગ ઓપરેટરની અસરોને વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવે છે. વિસ્થાપન સંચાલક વિસ્થાપન સંચાલક એક એકાત્મક સંચાલક છે જે સુસંગત સ્થિતિ લે છે અને તેને અન્ય સુસંગત સ્થિતિમાં ફેરવે છે. ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ઓપરેટર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેનું નામ એક મહત્વપૂર્ણ સંબંધ પરથી આવે છે. ખરેખર, ચાલો અસ્થાયી રૂપે વાસ્તવિક સાથે પરિચય કરાવીએ અને 0 થી 1 માં ફેરફાર થાય ત્યારે તે કેવી રીતે બદલાય છે તે ધ્યાનમાં લઈએ. આના સંદર્ભમાં તફાવત કરતા, આપણે એવું શોધી કાઢીએ છીએ કે સુસંગત અવસ્થાઓ એ સંખ્યા દ્વારા વિનાશ ઓપરેટર અને ગુણાકારના ઓપરેટર બંનેના આઈગનસ્ટેટ હોવાથી, તે જોવાનું સરળ છે કે, ખરેખર, વિસ્થાપન ઓપરેટર સુસંગત સ્થિતિઓને ખસેડે છે, અથવા, વધુ ચોક્કસપણે, ખરેખર, ઉપર મેળવેલા સંબંધને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે, પછી આઈગન વેલ્યુ સાથે વિનાશ ઓપરેટરની આઈગનસ્ટેટ છે, તેથી. ખાસ કરીને, જે તરફ દોરી જાય છે. આ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે દર્શાવે છે કે તમામ સુસંગત સ્થિતિઓ જમીનની સ્થિતિના વિસ્થાપન તરીકે મેળવી શકાય છે, જે ઓપ્ટિક્સમાં પણ શૂન્યાવકાશ સ્થિતિ છે. આ પણ જુઓ નોનક્લાસિકલ લાઇટ રોટેશન ઓપરેટર (ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ) ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર ક્વાસીપ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન હુસિમી ક્યૂ પ્રતિનિધિત્વ સ્ક્વિઝ્ડ સુસંગત સ્થિતિ વિગ્નર ક્વાસીપ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સંદર્ભો ક્વોન્ટમ ઓપ્ટિક્સ