Berezin integral
ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, બેરેઝિન ઇન્ટિગ્રલ, જેનું નામ ફેલિક્સ બેરેઝિનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, (જેને હર્મન ગ્રાસમેન પછી ગ્રાસમેન ઇન્ટિગ્રલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે), તે ગ્રાસમેન ચલ (બાહ્ય બીજગણિતના ઘટકો) ના કાર્યો માટે એકીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક રીત છે. તે લેબસ્ગ્યુ અર્થમાં અભિન્ન નથી; "અભિન્ન" શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે બેરેઝિન અભિન્નમાં લેબસ્ગ્યુ અભિન્ન સમાન ગુણધર્મો છે અને કારણ કે તે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પથ અભિન્નને વિસ્તરે છે, જ્યાં તેનો ઉપયોગ ફર્મિઓન માટે ઇતિહાસના સરવાળા તરીકે થાય છે. વ્યાખ્યા ચાલો જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર એન્ટિકોમ્યુટિંગ તત્વોમાં બહુપદીઓનું બાહ્ય બીજગણિત હોઈએ. (જનરેટરનો ક્રમ નિશ્ચિત છે અને બાહ્ય બીજગણિતની દિશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.) એક ચલ એકમાત્ર ગ્રાસમેન ચલ પર બેરેઝિન અભિન્નને એક રેખીય કાર્યાત્મક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કેઃ આ ગુણધર્મો અભિન્નને અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને સૂચવે છે. બહુવિધ ચલ બેરેઝિન ઇન્ટિગ્રલ ઓનને નીચેના ગુણધર્મો સાથે અનન્ય રેખીય વિધેયાત્મક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ કોઈપણ માટે ડાબી કે જમણી આંશિક વ્યુત્પન્નનો અર્થ થાય છે. આ ગુણધર્મો અભિન્નને અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. નોંધ લો કે સાહિત્યમાં વિવિધ પરંપરાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છેઃ કેટલાક લેખકો તેના બદલે વ્યાખ્યાયિત કરે છે સૂત્ર ફુબિની કાયદાને વ્યક્ત કરે છે. જમણી બાજુએ, મોનોમિયલનું આંતરિક ઇન્ટિગ્રલ ક્યાં સેટ કરેલું છે; ઇન્ટિગ્રલ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ના સંદર્ભમાં ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી સમાન રીતે કરવામાં આવે છે અને તેથી વધુ. ગ્રાસમેન ચલોનો ફેરફાર ચાલો કેટલાક અસમપ્રમાણતા વિરોધી ચલમાં વિષમ બહુપદીઓ હોઈએ. જેકોબિયન એ મેટ્રિક્સ છે જ્યાં જમણા વ્યુત્પન્ન () નો સંદર્ભ આપે છે. સંકલન પરિવર્તન માટેનું સૂત્ર વાંચે છે સમ અને વિષમ ચલોનું સંકલન વ્યાખ્યા હવે વાસ્તવિક આવનજાવન ચલોનાં કાર્યોનું બીજગણિત અને પ્રતિપરિવર્તન ચલોનું બીજગણિત ધ્યાનમાં લો (જેને પરિમાણનું મુક્ત સુપરઅલજેબ્રા કહેવામાં આવે છે). સહજ ભાવે, ફંક્શન એ m ઇવન (બોસોનીક, કમ્યુટિંગ) વેરિયેબલ્સ અને n ઓડ (ફર્મિઓનિક, એન્ટિ-કમ્યુટિંગ) વેરિયેબલ્સનું ફંક્શન છે. વધુ ઔપચારિક રીતે, તત્વ એ દલીલનું એક કાર્ય છે જે બીજગણિતમાં મૂલ્યો સાથે ખુલ્લા સમૂહમાં બદલાય છે ધારો કે આ કાર્ય સતત છે અને કોમ્પેક્ટ સમૂહના પૂરકમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે બેરેઝિન ઇન્ટિગ્રલ એ સંખ્યા છે સમ અને વિષમ ચલોનો ફેરફાર ચાલો એક સંકલન પરિવર્તન આ રીતે આપીએ કે જ્યાં સમ છે અને સમ ચલ પર આધાર રાખીને વિચિત્ર બહુપદીઓ છે. કર્ણ બ્લોકની એન્ટ્રીઓ અને સમ છે અને કર્ણ બહારના બ્લોકની એન્ટ્રીઓ વિચિત્ર કાર્યો છે, જ્યાં ફરીથી યોગ્ય વ્યુત્પન્નનો અર્થ થાય છે. હવે આપણને મેટ્રિક્સના બેરેઝિનિયન (અથવા સુપરડિટરમિનન્ટ) ની જરૂર છે, જે ફંક્શન ઇન્વર્ટિબલ હોય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું ઇવન ફંક્શન છે ધારો કે વાસ્તવિક ફંક્શન્સ ઓપન સેટના સ્મૂથ ઇન્વર્ટિબલ નકશાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને નકશાનો રેખીય ભાગ દરેક માટે ઇન્વર્ટિબલ છે. ઉપયોગી સૂત્રો ગૌસીયન સંકલન માટેના નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ ઘણીવાર ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના પાથ ઇન્ટિગ્રલ રચનામાં થાય છેઃ જટિલ મેટ્રિક્સ હોવા સાથે. એક જટિલ સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ હોવા સાથે, અને ના ફાફિયન હોવા સાથે, જે પૂર્ણ કરે છે. ઉપરોક્ત સૂત્રોમાં સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે. આ સૂત્રોમાંથી, અન્ય ઉપયોગી સૂત્રો અનુસરે છે (પરિશિષ્ટ A જુઓ): એક ઉલટાવી શકાય તેવું મેટ્રિક્સ હોવા સાથે. નોંધ લો કે આ બધા સંકલન પાર્ટીશન કાર્યના સ્વરૂપમાં છે. ફેલિક્સ બેરેઝિન દ્વારા પરિવહન અને આગમન વિરોધી ચલ સાથે સંકલનના ગાણિતિક સિદ્ધાંતની શોધ અને વિકાસ કરવામાં આવ્યો હતો. અગાઉની કેટલીક મહત્વપૂર્ણ આંતરદૃષ્ટિ 1956માં ડેવિડ જ્હોન કેન્ડલીન દ્વારા કરવામાં આવી હતી. અન્ય લેખકોએ આ વિકાસમાં ફાળો આપ્યો હતો, જેમાં ભૌતિકશાસ્ત્રી ખાલતનિકોવ (જોકે તેમના પેપરમાં ભૂલો છે), મેથ્યુઝ અને સલામ અને માર્ટિનનો સમાવેશ થાય છે. આ પણ જુઓ સુપરમેનિફોલ્ડ બેરેઝિનિયન સંદર્ભો વધુ વાંચન થિયોડોર વોરોનોવઃ સુપરમેનિફોલ્ડ્સ પર ભૌમિતિક એકીકરણ સિદ્ધાંત, હારવુડ એકેડેમિક પ્રકાશક, બેરેઝિન, ફેલિક્સ એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચઃ સુપરએનાલિસિસનો પરિચય, સ્પ્રિંગર નેધરલેન્ડ્સ, બહુરેખીય બીજગણિત વિભેદક સ્વરૂપો ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ મેથેમેટિકલ ફિઝિક્સ ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરી સુપરસિમેટ્રી