2 22 honeycomb
{{DISPLAYTITLE: 22 હનીકોમ્બ}} ભૂમિતિમાં, 222 હનીકોમ્બ એ છ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાનું એક સમાન ટેસેલેશન છે. તેને શ્લાફલી પ્રતીક {3,3,32,2} દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. તે 221 પાસાઓમાંથી બનાવવામાં આવ્યું છે અને તેમાં 122 શિરોબિંદુઓની આકૃતિ છે, જેમાં દરેક શિરોબિંદુની આસપાસ 54,221 પોલીટોપ છે. તેની શિરોબિંદુ ગોઠવણી E6 જાળી છે, અને E6 લાઈ જૂથની મૂળ પ્રણાલી છે તેથી તેને E6 હનીકોમ્બ પણ કહી શકાય. તે 6-પરિમાણીય જગ્યામાં 7 હાયપરપ્લેન અરીસાઓના સમૂહ પર વાયથોફ બાંધકામ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું છે. પાસાની માહિતી તેના કોક્સેટર-ડાયન્કિન આકૃતિમાંથી મેળવી શકાય છે. 2-નોડ શાખાઓમાંથી એકના અંતમાં નોડને દૂર કરવાથી 221, તેના એકમાત્ર પાસાના પ્રકારને છોડી દે છે, શિરોબિંદુ આકૃતિ રિંગવાળા નોડને દૂર કરીને અને પડોશી નોડને રિંગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આ 122 બનાવે છે. ધારની આકૃતિ એ શિરોબિંદુ આકૃતિની શિરોબિંદુ આકૃતિ છે, જે અહીં નિર્દેશિત 5-સિમ્પ્લેક્સ, t2 {34} છે. ચહેરાની આકૃતિ એ ધારની આકૃતિની શિરોબિંદુ આકૃતિ છે, અહીં ત્રિકોણાકાર દ્વિરૂપતા છે, {3} × {3},. ચુંબન સંખ્યા આ ટેસેલેશનનું દરેક શિરોબિંદુ 6 પરિમાણોમાં સૌથી વધુ જાણીતા પેકિંગમાં 5-ગોળાનું કેન્દ્ર છે, જેમાં ચુંબન સંખ્યા 72 છે, જે તેના શિરોબિંદુ આકૃતિ 122 ના શિરોબિંદુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે. E6 જાળી 222 હનીકોમ્બની શિરોબિંદુ ગોઠવણીને E6 જાળી કહેવામાં આવે છે. E62 જાળી, [[3,3,32,2]] સમપ્રમાણતા સાથે, બે E6 જાળીઓના જોડાણ દ્વારા બનાવી શકાય છેઃ [[3,32,2,2]] સમપ્રમાણતા સાથે E6 * જાળી (અથવા E63). E6 * જાળીનો વોરોનોઈ કોષ સુધારેલ 122 પોલીટોપ છે, અને વોરોનોઈ ટેસેલેશન એક બિટ્રન્કેટેડ 222 હનીકોમ્બ છે. તેનું નિર્માણ E6 જાળીના શિરોબિંદુઓની 3 નકલો દ્વારા કરવામાં આવ્યું છે, જે કોક્સેટર આકૃતિની ત્રણ શાખાઓમાંથી દરેકમાંથી એક છે. ≤ = ડ્યુઅલ થી. ભૌમિતિક ફોલ્ડિંગ આ જૂથ ભૌમિતિક ફોલ્ડિંગ દ્વારા સંબંધિત છે, તેથી આ હનીકોમ્બને 4-પરિમાણીય 16-સેલ હનીકોમ્બમાં રજૂ કરી શકાય છે. સંબંધિત હનીકોમ્બ 222 હનીકોમ્બ સમપ્રમાણતા સાથે 127 સમાન હનીકોમ્બ (39 અનન્ય) માંથી એક છે. તેમાંથી 24માં 2 સમાન રીંગવાળી શાખાઓ સાથે બમણી સમપ્રમાણતા [[3,3,32,2]] છે, અને 7માં વિભાજીત (3!) છે. તમામ 3 શાખાઓ પર સમાન રિંગ્સ સાથે સમપ્રમાણતા [[3,32,2,2]]. તેના કોક્સેટર આકૃતિ બિનરેખીય આલેખ હોવાથી પરિવારમાં કોઈ નિયમિત હનીકોમ્બ નથી, પરંતુ 222 અને બાયરેક્ટિફાઇડ 222 આઇસોટોપિક છે, જેમાં માત્ર એક પ્રકારનું પાસું છેઃ 221, અને સુધારેલ 122 પોલીટોપ અનુક્રમે છે. બાયરેક્ટિફાઇડ 222 હનીકોમ્બ બાયરેક્ટિફાઇડ 222 હનીકોમ્બ, 1 22 પોલીટોપ પાસાઓ, અને એક પ્રોપ્રિઝમ {3} × {3} × {3} શિરોબિંદુ આકૃતિને સુધારે છે. તેના પાસાઓ E6 * જાળીની શિરોબિંદુ ગોઠવણી પર કેન્દ્રિત છે, જેમ કેઃ નિર્માણ પાસાની માહિતી તેના કોક્સેટર-ડિંકિન આકૃતિમાંથી કાઢી શકાય છે. શિરોબિંદુ આકૃતિ રિંગવાળા નોડને દૂર કરીને અને પડોશી નોડને રિંગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આ એક પ્રોપ્રિઝમ {3} × {3} × {3}, બનાવે છે. 3-નોડ શાખાઓમાંથી એકના અંતમાં નોડને દૂર કરવાથી 122, તેનો એકમાત્ર પાસાનો પ્રકાર, નીકળી જાય છે. સેકન્ડ એન્ડ નોડને દૂર કરવાથી 2 પ્રકારના 5-ફેસ વ્યાખ્યાયિત થાય છેઃ બાયરેક્ટિફાઇડ 5-સિમ્પ્લેક્સ, 022 અને બાયરેક્ટિફાઇડ 5-ઓર્થોપ્લેક્સ, 0211. ત્રીજા છેડાના નોડને દૂર કરવાથી 2 પ્રકારની 4-બાજુઓ વ્યાખ્યાયિત થાય છેઃ સુધારેલ 5-કોષ, 021, અને 24-કોષ, 0111. ચોથા છેડાના નોડને દૂર કરવાથી 2 પ્રકારના કોષો વ્યાખ્યાયિત થાય છેઃ ઓક્ટાહેડ્રોન, 011, અને ટેટ્રાહેડ્રોન, 020. k22 પોલીટોપ્સ 222 હનીકોમ્બ, સમાન પોલીટોપ્સની પરિમાણીય શ્રેણીમાં ચોથું છે, જેને કોક્સેટર દ્વારા k22 શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. અંતિમ પેરાકોમ્પેક્ટ હાયપરબોલિક હનીકોમ્બ, 322 છે. દરેક પ્રગતિશીલ એકસમાન પોલીટોપ તેના શિરોબિંદુ આકૃતિ તરીકે અગાઉનાથી બનાવવામાં આવે છે. 222 હનીકોમ્બ અન્ય પરિમાણીય શ્રેણી 22k માં ત્રીજા ક્રમે છે. નોંધો સંદર્ભો કોક્સેટર ધ બ્યુટી ઓફ જીઓમેટ્રીઃ ટ્વેલ્વ એસેઝ, ડોવર પબ્લિકેશન્સ, 1999, (પ્રકરણ 3: યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ માટે વિથોફનું નિર્માણ) કોક્સેટર રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ (1963), મેકમિલન કંપની રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, (1973), ડોવર આવૃત્તિ, (પ્રકરણ 5: ધ કેલિડોસ્કોપ) કેલિડોસ્કોપઃ એચ. એસ. એમ. ના પસંદ કરેલા લખાણો. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, ગૂગલબુક (પેપર 24) એચ. એસ. એમ. દ્વારા સંપાદિત. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ III, [ગણિત. ઝીરો. 200 (1988) 3-45] આર. ટી. વર્લી, E6 * નો વોરોનોઈ પ્રદેશ. જે. ઑસ્ટ્રેલિયા. ગણિત. સો. સર. A, 43 (1987), 268-278. p 125-126,8.3 6-પરિમાણીય જાળીઓઃ E6 અને E6 * 7-બહુપદી