Covering number
ગણિતમાં, આવરણ સંખ્યા એ આપેલ કદના ગોળાકાર દડાઓની સંખ્યા છે જે આપેલ જગ્યાને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવા માટે જરૂરી છે, જેમાં સંભવિત ઓવરલેપ હોય છે. બે સંબંધિત વિભાવનાઓ પેકિંગ નંબર છે, એક જગ્યામાં બંધબેસતા જુદા જુદા દડાઓની સંખ્યા, અને મેટ્રિક એન્ટ્રોપી, એક જગ્યામાં બંધબેસતા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યારે અમુક નિશ્ચિત લઘુત્તમ અંતર પર અલગ પડવા માટે મર્યાદિત હોય. વ્યાખ્યા ધારો કે (M, d) મેટ્રિક જગ્યા છે, ધારો કે K એ M નો સબસેટ છે, અને ધારો કે r એ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે બી. આર. (x) એ x પર કેન્દ્રિત r ત્રિજ્યાનો દડો દર્શાવે છે. M નો ઉપગણ C એ K નું r-બાહ્ય આવરણ છે જોઃ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો વધુમાં C એ K નો સબસેટ છે, તો તે r-આંતરિક આવરણ છે. K ની બાહ્ય આવરણ સંખ્યા, સૂચવવામાં આવે છે, તે K ના કોઈપણ બાહ્ય આવરણની લઘુતમ મુખ્યતા છે. આંતરિક આવરણ સંખ્યા, સૂચવવામાં આવે છે, તે કોઈપણ આંતરિક આવરણની લઘુતમ મુખ્યતા છે. K નો સબસેટ P એ એક પેકિંગ છે અને સેટ જોડી મુજબ અલગ છે. K નો પેકિંગ નંબર, સૂચવવામાં આવે છે, તે K ના કોઈપણ પેકિંગની મહત્તમ મુખ્યતા છે. જો S માં x અને y બિંદુઓની દરેક જોડી d (x, y) ≤ r ને સંતોષે તો K ના સબસેટ S ને r-વિભાજિત કરવામાં આવે છે. K ની મેટ્રિક એન્ટ્રોપી, સૂચવવામાં આવે છે, તે K ના કોઈપણ r-વિભાજિત સબસેટની મહત્તમ મુખ્યતા છે. ઉદાહરણ ગુણધર્મો નીચેના ગુણધર્મો પ્રમાણભૂત યુક્લિડિયન જગ્યામાં સંખ્યાઓને આવરી લેવા સાથે સંબંધિત છેઃ મશીન લર્નિંગ માટે એપ્લિકેશન ચાલો l-અનંત મેટ્રિક સાથે વાસ્તવિક મૂલ્યના કાર્યોની જગ્યા બનીએ (ઉપરનું ઉદાહરણ 3 જુઓ). ધારો કે બધા કાર્યો વાસ્તવિક અચળાંક દ્વારા બંધાયેલા છે. પછી, કવરિંગ નંબરનો ઉપયોગ લર્નિંગ ફંક્શન્સની સામાન્યીકરણ ભૂલને બાંધવા માટે થઈ શકે છે, જે સ્ક્વેર્ડ લોસને સંબંધિત છેઃ જ્યાં અને તે નમૂનાઓની સંખ્યા છે. ચુંબન સંખ્યાને આવરી લેતા બહુકોણ સંદર્ભો ટોપોલોજી મેટ્રિક ભૂમિતિ પણ જુઓ.