Mechanics of planar particle motion
સમતલીય કણોની ગતિનું મિકેનિક્સ એ કણોની ગતિનું વિશ્લેષણ છે, જે બિન-જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી જોવા મળે છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા એકબીજા તરફ આકર્ષાય છે, અને આ સમસ્યાનું ગ્રહોની ગતિમાં સામાન્યીકરણ છે. (કેન્દ્રત્યાગી બળ, બે શરીરની સમસ્યા, ભ્રમણકક્ષા અને કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના નિયમો જુઓ.) આ સમસ્યાઓ વિશ્લેષણાત્મક ગતિશીલતાના સામાન્ય ક્ષેત્રમાં આવે છે, જે આપેલ બળ નિયમોમાંથી ભ્રમણકક્ષાઓ નક્કી કરે છે. આ લેખ સમતલીય ગતિની આસપાસના ગતિવિષયક મુદ્દાઓ પર વધુ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, જે કણના માર્ગને ધ્યાનમાં રાખીને ચોક્કસ માર્ગમાં પરિણમી શકે તે માટે જરૂરી બળોનું નિર્ધારણ છે. કાલ્પનિક બળોમાં પ્રસ્તુત સામાન્ય પરિણામો ગતિશીલ કણોના અવલોકનો પર લાગુ કરવામાં આવે છે, જે કેટલીક ચોક્કસ બિન-જડતા ફ્રેમમાંથી જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સ્થાનિક ફ્રેમ (એક ગતિશીલ કણ સાથે બંધાયેલ છે જેથી તે સ્થિર દેખાય), અને એક સહ-ફરતી ફ્રેમ (એક મનસ્વી રીતે સ્થિત પરંતુ નિશ્ચિત અક્ષ સાથે અને પરિભ્રમણનો દર જે કણને માત્ર રેડિયલ ગતિ અને શૂન્ય અઝીમુથલ ગતિ ધરાવતો દેખાય છે). આ સાથે, કાલ્પનિક દળો પ્રત્યે લાગ્રેન્જિયન અભિગમ રજૂ કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતચુંબકીય બળો જેવા વાસ્તવિક બળોથી વિપરીત, કાલ્પનિક બળો પદાર્થો વચ્ચેની ભૌતિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓમાંથી ઉત્પન્ન થતા નથી. કાલ્પનિક શક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કાલ્પનિક શક્તિઓનો દેખાવ સામાન્ય રીતે સંદર્ભની બિન-જડતા માળખાના ઉપયોગ સાથે અને સંદર્ભની જડતા માળખાના ઉપયોગ સાથે તેમની ગેરહાજરી સાથે સંકળાયેલો હોય છે. જડતા માળખા અને કાલ્પનિક બળો (જેને જડતા બળો અથવા સ્યુડો-ફોર્સ પણ કહેવાય છે) વચ્ચેનું જોડાણ અર્નોલ્ડ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છેઃ આ વિષય પર થોડો અલગ મત ઇરો દ્વારા આપવામાં આવ્યો છેઃ કાલ્પનિક બળો ગતિના સમીકરણોમાં સંદર્ભની જડતા માળખામાં દેખાતા નથી. જડતા માળખામાં, પદાર્થની ગતિ વાસ્તવિક પ્રભાવિત દળો દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે. ફરતી ફ્રેમ જેવી બિન-જડતા ફ્રેમમાં, જો કે, ન્યૂટનના પ્રથમ અને બીજા નિયમોનો ઉપયોગ હજુ પણ સચોટ ભૌતિક આગાહીઓ કરવા માટે થઈ શકે છે, જો કે કાલ્પનિક બળોને વાસ્તવિક બળો સાથે સમાવવામાં આવે. બિન-જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં મિકેનિક્સની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, કાલ્પનિક શક્તિઓને વાસ્તવિક શક્તિઓની જેમ વર્તો અને એક જડત્વીય ફ્રેમમાં હોવાનો ઢોંગ કરો. એ ઉલ્લેખ કરવો જોઇએ કે "કાલ્પનિક શક્તિઓને વાસ્તવિક શક્તિઓની જેમ વર્તવું" નો અર્થ એ છે કે કાલ્પનિક શક્તિઓ, જેમ કે ચોક્કસ બિન-જડતા માળખામાં જોવામાં આવે છે, તે માળખામાં કરવામાં આવેલા સંકલન પરિવર્તન હેઠળ વાહક તરીકે પરિવર્તિત થાય છે, જેમ કે વાસ્તવિક શક્તિઓ. આગળ, એવું જોવા મળ્યું છે કે સમયના બદલાતા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ સંદર્ભના જડતા અને બિન-જડતા બંને માળખામાં થાય છે, તેથી સમયના બદલાતા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ નિરીક્ષકના ફેરફાર સાથે મૂંઝવણમાં ન આવવો જોઈએ, અને તે માત્ર નિરીક્ષકની પસંદગીના વર્ણનમાં ફેરફાર છે. સંદર્ભની ફ્રેમ અને સંકલન પ્રણાલી સંદર્ભની ફ્રેમ શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર ખૂબ જ વ્યાપક અર્થમાં થાય છે, પરંતુ વર્તમાન ચર્ચા માટે તેનો અર્થ નિરીક્ષકની ગતિની સ્થિતિ, એટલે કે સંદર્ભની જડતા ફ્રેમ અથવા સંદર્ભની બિન-જડતા ફ્રેમ સુધી મર્યાદિત છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ શબ્દનો ઉપયોગ ગતિનું વર્ણન કરવા માટે ચલોના સમૂહ માટે વિવિધ સંભવિત પસંદગીઓ વચ્ચે તફાવત કરવા માટે થાય છે, કોઈપણ નિરીક્ષક માટે ઉપલબ્ધ પસંદગીઓ, તેમની ગતિની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વગર. ઉદાહરણોમાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને (વધુ સામાન્ય રીતે) વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ છે. અહીં "ગતિની સ્થિતિ" અને "સંકલન પ્રણાલી" સંબંધિત બે અવતરણો છેઃ સમય બદલાતી સંકલન પ્રણાલીઓ સામાન્ય સંકલન પ્રણાલીમાં, નિર્દેશાંક માટેના આધાર વેક્ટર નિશ્ચિત સ્થાનો પર સમય પ્રમાણે બદલાઈ શકે છે, અથવા તેઓ નિશ્ચિત સમયે સ્થિતિ અનુસાર બદલાઈ શકે છે, અથવા બંને. એ નોંધવું જોઈએ કે જડતા ફ્રેમ અને બિન-જડતા ફ્રેમ બંને સાથે જોડાયેલી સંકલન પ્રણાલીઓમાં આધાર વેક્ટર હોઈ શકે છે જે સમય, જગ્યા અથવા બંનેમાં બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં માર્ગનું વર્ણન જે જડતા ફ્રેમમાંથી જોવામાં આવે છે અથવા ફરતી ફ્રેમમાંથી જોવામાં આવે છે. અવલોકનોનું સમય-આધારિત વર્ણન સંદર્ભની ફ્રેમમાં ફેરફાર કરતું નથી જેમાં અવલોકનો કરવામાં આવે છે અને નોંધવામાં આવે છે. સ્થાનિક સંકલન પ્રણાલીમાં કાલ્પનિક બળો વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં ફરતા કણની ચર્ચામાં, સંદર્ભની જડતા માળખામાં, કેન્દ્રગામી અને સ્પર્શક બળોને ઓળખી શકાય છે. કેટલાક કાલ્પનિક બળો, જેને સામાન્ય રીતે કેન્દ્રત્યાગી અને યુલર બળ કહેવામાં આવે છે, તે શબ્દભંડોળમાં આ પરિવર્તનને રેખાંકિત કરે છે, અને તે જડતા માળખામાંથી સંદર્ભની નિરીક્ષણ માળખામાં પરિવર્તન છે, જ્યાં કેન્દ્રત્યાગી અને સ્પર્શક બળો અર્થપૂર્ણ બને છે, સંદર્ભની ફરતી માળખામાં જ્યાં કણ સ્થિર અને કાલ્પનિક કેન્દ્રત્યાગી દેખાય છે અને યુલર બળોને અમલમાં લાવવું પડે છે. એક પ્રશ્ન જે સામાન્ય રીતે પાઠ્યપુસ્તકમાં પૂછવામાં આવે છે તે છે "જો કોઈ વ્યક્તિ સામાન્ય સમતલીય ગતિમાં કણ પર બેસે (માત્ર એક ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષા નહીં), તો કાલ્પનિક કેન્દ્રત્યાગી અને યુલર દળોને રજૂ કરવા માટે ટોપીઓના ફેરફારને કયા વિશ્લેષણ આધાર આપે છે?" તે પ્રશ્નનું અન્વેષણ કરવા માટે, સંદર્ભની જડતા માળખામાં પ્રારંભ કરો. આકૃતિ 1 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, સમતલીય ગતિમાં સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, કહેવાતી સ્થાનિક સંકલન પ્રણાલી, પ્રક્ષેપવક્રના સામાન્ય કેન્દ્રગામી આંતરિક બળ (આકૃતિ 1 માં યુ. એન. ની વિરુદ્ધ દિશામાં), અને પ્રક્ષેપવક્રની સમાંતર સ્પર્શક બળ (દિશા યુ. ટી. માં) માટે સૂત્રોને ઓળખવા માટે સરળ બને છે, જે આગળ બતાવ્યા પ્રમાણે છે. આકૃતિ 1 માં દર્શાવેલ સ્થાનિક સંકલન પ્રણાલીના એકમ વેક્ટરને રજૂ કરવા માટે, એક અભિગમ જડતા માળખામાં કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં શરૂ કરવાનો અને આ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ સ્થાનિક કોઓર્ડિનેટ્સનું વર્ણન કરવાનો છે. આકૃતિ 1 માં, ચાપની લંબાઈ s એ અંતર છે જે કણોએ તેના માર્ગ પર સમય t માં પસાર કર્યું છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઘટકો x (t), y (t) સાથેનો માર્ગ r (t) ચાપની લંબાઈ s (t) નો ઉપયોગ કરીને વર્ણવવામાં આવ્યો છેઃ s ના ઉપયોગને જોવાની એક રીત એ છે કે કણોના માર્ગને અવકાશમાં બેઠેલા તરીકે વિચારવું, જેમ કે સ્કાયરાઈટર દ્વારા છોડવામાં આવેલી પગેરું, સમયથી સ્વતંત્ર છે. આ માર્ગ પરની કોઈપણ સ્થિતિને માર્ગ પરના કોઈ પ્રારંભિક બિંદુથી તેનું અંતર દર્શાવીને વર્ણવવામાં આવે છે. પછી ds માર્ગ સાથે વૃદ્ધિશીલ વિસ્થાપનને આ રીતે વર્ણવવામાં આવે છેઃ જ્યાં s ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન સૂચવવા માટે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ રજૂ કરવામાં આવે છે. આ વિસ્થાપનની તીવ્રતા ds છે, જે દર્શાવે છે કેઃ આ વિસ્થાપન જરૂરી રીતે s પર વળાંકને સ્પર્શક હોય છે, જે દર્શાવે છે કે વળાંક માટે એકમ વેક્ટર સ્પર્શક છેઃ જ્યારે વળાંક માટે બાહ્ય એકમ વેક્ટર નોર્મલ ઓર્થોગોનાલિટી છે જે વેક્ટર ડોટ પ્રોડક્ટને શૂન્ય બતાવીને ચકાસી શકાય છે. આ વેક્ટરની એકમ તીવ્રતા આનું પરિણામ છે. એક બાજુએ, નોંધ લો કે કાર્ટેશિયન xy-અક્ષ સાથે સંરેખિત ન હોય તેવા એકમ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરવાનો અર્થ એ નથી કે તે હવે જડતા માળખામાં નથી. તેનો અર્થ એ છે કે કહેવાતી વ્યક્તિ એકમ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરી રહી છે જે પાથને વર્ણવવા માટે s સાથે બદલાય છે, પરંતુ હજુ પણ જડતા ફ્રેમમાંથી ગતિનું નિરીક્ષણ કરે છે. સ્પર્શક વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને, વળાંકને સ્પર્શકનો કોણ, જેમ કે θ, આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ અને વળાંકની ત્રિજ્યા સંપૂર્ણપણે ઔપચારિક રીતે (ભૌમિતિક અર્થઘટનની જરૂર વગર) રજૂ કરવામાં આવે છેઃ θ નું વ્યુત્પન્ન sin θ માટે તેમાંથી શોધી શકાય છેઃ હવેઃ જેમાં છેદ Eq અનુસાર એકતા છે. 1. સાઇનના વ્યુત્પન્ન માટેના આ સૂત્ર સાથે, વળાંકની ત્રિજ્યા બને છેઃ જ્યાં સ્વરૂપોની સમાનતા Eq ના તફાવતમાંથી ઉદ્ભવે છે. 1: s માટે તેના સંકળાયેલ મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ માર્ગ પરની કોઈપણ સ્થિતિનું વર્ણન સ્થાપિત કર્યા પછી, અને આ વર્ણનની દ્રષ્ટિએ માર્ગના ગુણધર્મો શોધી કાઢ્યા પછી, કણની ગતિ કોઈપણ સમયે t પર કણની સ્થિતિને અનુરૂપ મૂલ્ય s (t) તરીકે દર્શાવીને રજૂ કરવામાં આવે છે. s ના સંદર્ભમાં પાથ ગુણધર્મો માટે ઉપરોક્ત પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, કણના માર્ગના સામાન્ય અને સ્પર્શક ઘટકોની દ્રષ્ટિએ વર્ણવ્યા મુજબ જડતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં પ્રવેગક કાર્ય s (t) અને તેના વિવિધ સમય વ્યુત્પન્ન (પહેલાની જેમ, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ s ના સંદર્ભમાં તફાવત સૂચવે છે) ની દ્રષ્ટિએ મળી શકે છેઃ જેમ કે એકમ વેક્ટર અને સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લઈને ચકાસી શકાય છે. પ્રવેગ માટેનું આ પરિણામ ત્રિજ્યા ρ પર આધારિત ગોળ ગતિ જેવું જ છે. જડતા માળખામાં આ સંકલન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીને, ગતિના સામાન્ય બળને કેન્દ્રગામી બળ તરીકે અને ગતિના સમાંતર બળને સ્પર્શક બળ તરીકે ઓળખવું સરળ છે. આગળ, વ્યક્તિએ અવલોકનની ફ્રેમ બદલવી પડશે. કણ પર બેસીને, વ્યક્તિએ બિન-જડતા માળખું અપનાવવું જોઈએ જ્યાં કણ સ્થિર હોય (શૂન્ય વેગ). આ ફ્રેમ સતત બદલાતી મૂળ ધરાવે છે, જે સમયે t એ સમય t પર પાથના વળાંકનું કેન્દ્ર (આકૃતિ 1 માં ઓસ્યુલેટિંગ વર્તુળનું કેન્દ્ર) છે, અને જેનો પરિભ્રમણ દર તે સમયે તે મૂળ વિશે કણની ગતિનો કોણીય દર છે. આ બિન-જડતા ફ્રેમ પણ પ્રક્ષેપવક્રને સામાન્ય અને તેની સમાંતર એકમ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરે છે. આ માળખાનો કોણીય વેગ એ સમય t પર વળાંકના કેન્દ્રની આસપાસ કણનો કોણીય વેગ છે. જડતા માળખાના કેન્દ્રગામી બળને બિન-જડતા માળખામાં અર્થઘટન કરવામાં આવે છે જ્યાં પદાર્થ કેન્દ્રત્યાગી બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ તરીકે સ્થિર હોય છે. તેવી જ રીતે, જડતા માળખામાં જોવા મળતા માર્ગ પર ગતિના કોઈપણ પ્રવેગનું કારણ બને છે તે બળ બિન-જડતા માળખામાં યુલર બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ બની જાય છે જ્યાં કણ સ્થિર હોય છે. ફ્રેમમાં શૂન્ય કોરિઓલિસ બળ છે કારણ કે આ ફ્રેમમાં કણનો વેગ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિમાનના પાયલોટ માટે, આ કાલ્પનિક શક્તિઓ પ્રત્યક્ષ અનુભવની બાબત છે. જો કે, આ કાલ્પનિક બળો કણ સિવાયના સંદર્ભની સરળ નિરીક્ષણ માળખા સાથે સંબંધિત ન હોઈ શકે, સિવાય કે તે વર્તુળની જેમ ખાસ કરીને સરળ માર્ગમાં હોય. તેણે કહ્યું હતું કે, ગુણાત્મક દ્રષ્ટિકોણથી, વિમાનનો માર્ગ મર્યાદિત સમય માટે વર્તુળની ચાપ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે, અને મર્યાદિત સમય માટે વળાંકની ચોક્કસ ત્રિજ્યા લાગુ પડે છે, કેન્દ્રત્યાગી અને યુલર બળોનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. આગળ, નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમની વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવે છે. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં કાલ્પનિક બળો બિન-કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રણાલીઓમાં કણ ગતિનું વર્ણન ઘણીવાર સરળ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ. જ્યારે ગતિના સમીકરણો કોઈપણ વક્રરેખીય સંકલન પ્રણાલીની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે વધારાના શબ્દો દેખાય છે જે નિર્દેશાંકો બદલાતા આધાર વેક્ટર કેવી રીતે બદલાય છે તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ શબ્દો ધ્રુવીય (અથવા નળાકાર) કોઓર્ડિનેટ્સમાં પરિવર્તન પર આપમેળે ઉદ્ભવે છે અને આમ કાલ્પનિક બળો નથી, પરંતુ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં પ્રવેગમાં ફક્ત શબ્દો ઉમેરવામાં આવે છે. શુદ્ધ ગાણિતિક સારવારમાં, સંકલન પ્રણાલી (જડતા અથવા બિન-જડતા) સાથે સંકળાયેલી ફ્રેમને ધ્યાનમાં લીધા વિના, વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરતી વખતે અવલોકન કરેલા કણના પ્રવેગમાં વધારાના શબ્દો દેખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં પ્રવેગક આના દ્વારા આપવામાં આવે છે (વિગતો માટે નીચે જુઓ): જેમાં કોઓર્ડિનેટ્સના માત્ર ડબલ ટાઇમ ડેરિવેટિવ્ઝ જ નહીં પરંતુ વધારાના શબ્દો પણ હોય છે. આ ઉદાહરણ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ વધુ સામાન્ય રીતે ઉમેરાયેલા શબ્દો કયા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (એટલે કે, ધ્રુવીય, લંબગોળ અથવા અન્ય કોઈપણ સિસ્ટમ) પસંદ કરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે. કેટલીકવાર આ સંકલન-પ્રણાલી આધારિત શબ્દોને "કાલ્પનિક બળો" તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, જે "કાલ્પનિક બળો" માટે બીજો અર્થ રજૂ કરે છે, એ હકીકત હોવા છતાં કે આ શબ્દોમાં બળોથી અપેક્ષિત વેક્ટર પરિવર્તન ગુણધર્મો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, શંકર અને હિલ્ડેબ્રાન્ડ જુઓ. આ પરિભાષા અનુસાર, કાલ્પનિક બળો અંશતઃ સંકલન પ્રણાલી દ્વારા જ નક્કી કરવામાં આવે છે, પછી ભલે તે ફ્રેમ સાથે જોડાયેલ હોય, એટલે કે, સંકલન પ્રણાલી જડતા અથવા બિન-જડતા સંદર્ભ ફ્રેમ સાથે જોડાયેલ હોય કે કેમ તે ધ્યાનમાં લીધા વગર. તેનાથી વિપરીત, નિરીક્ષકની ગતિની સ્થિતિની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કાલ્પનિક બળો સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આ બે પરિભાષાઓને અલગ પાડવા માટે, કાલ્પનિક બળો કે જે સંદર્ભની જડતા માળખામાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે, ન્યુટોનિયન મિકેનિક્સના જડતા બળોને આ લેખમાં "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો કહેવામાં આવે છે અને જે ચોક્કસ સંકલન પ્રણાલીઓમાં સમય વ્યુત્પન્નના અર્થઘટનમાં ઉત્પન્ન થાય છે તેને "સંકલન" કાલ્પનિક બળો કહેવામાં આવે છે. ધારો કે તે સ્પષ્ટ છે કે "ગતિની સ્થિતિ" અને "સંકલન પ્રણાલી" અલગ છે, તે અનુસરે છે કે "ગતિની સ્થિતિ" પર કેન્દ્રત્યાગી બળની નિર્ભરતા (આ લેખની જેમ) અને "સંકલન પ્રણાલી" થી તેની સ્વતંત્રતા, જે બરાબર વિરુદ્ધ નિર્ભરતા સાથે "સંકલન" સંસ્કરણ સાથે વિરોધાભાસી છે, તે સૂચવે છે કે બે અલગ-અલગ વિચારોને "કાલ્પનિક બળ" પરિભાષા દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે. વર્તમાન લેખ આ બે વિચારોમાંથી એક ("ગતિ-સ્થિતિ") પર ભાર મૂકે છે, જોકે બીજાનું પણ વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. નીચે, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ (પ્રથમ) સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાં અને પછી (બીજું) સંદર્ભની ફરતી ફ્રેમમાં ઉપયોગ માટે રજૂ કરવામાં આવે છે. "કાલ્પનિક બળ" શબ્દના બે અલગ-અલગ ઉપયોગો તરફ ધ્યાન દોરવામાં આવ્યું છે. જોકે, પ્રથમ, કાલ્પનિક બળ માટે "સંકલન" પરિભાષા કેવી રીતે ઊભી થઈ છે તે વધુ સમજાવવા માટે સંક્ષિપ્ત વિષયાંતરને અનુસરે છે. "ગાણિતિક સગવડ" ના સંદર્ભ કરતાં વધુ દ્વારા "સંકલન" જડતા બળોની રજૂઆતને પ્રેરિત કરવા માટે, આ બળો કેટલાક લેખકો દ્વારા "સામાન્યીકૃત" કાલ્પનિક બળો અથવા "સામાન્યીકૃત જડતા બળો" તરીકે ઓળખાતા દળોને અનુરૂપ છે તે બતાવવા માટે નીચેનું એક વિષયાંતર છે. આ બળો સામાન્ય રીતે {qk} તરીકે દર્શાવવામાં આવતા સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા પ્રણાલીનું વર્ણન કરવા પર આધારિત મિકેનિક્સ માટે લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સ અભિગમ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. આ કોઓર્ડિનેટ્સ પરની એકમાત્ર જરૂરિયાત એ છે કે તેઓ સિસ્ટમની સ્થિતિને અનન્ય રીતે દર્શાવવા માટે જરૂરી અને પૂરતા છેઃ તેઓ સિસ્ટમમાં કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ હોવા જરૂરી નથી (જોકે તેઓ હોઈ શકે છે). તેના બદલે, તેઓ ઉદાહરણ તરીકે, રોબોટ આર્મમાં લિંક્સના ખૂણા અને વિસ્તરણ હોઈ શકે છે. જો યાંત્રિક પ્રણાલીમાં N કણો હોય અને ત્યાં m સ્વતંત્ર ગતિવિષયક શરતો લાદવામાં આવે, તો પ્રણાલીને n = 3N-m સ્વતંત્ર સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ {qk} દ્વારા અનન્ય રીતે લાક્ષણિકતા આપવી શક્ય છે. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, લેગ્રેન્જિયનને સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે તેની સંભવિત ઊર્જાને બાદ કરે છે. પ્રતીકોમાં, લેગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં આપવામાં આવેલી શરતો હેઠળ, જો સિસ્ટમનો લેગ્રેન્જિયન જાણીતો હોય, તો સિસ્ટમની ગતિના સમીકરણો, આંશિક વિભેદક સમીકરણોના ચોક્કસ પરિવાર, યુલર-લેગ્રેન્જ સમીકરણમાં લેગ્રેન્જિયન માટે અભિવ્યક્તિની સીધી અવેજી દ્વારા મેળવી શકાય છે. અહીં કેટલીક વ્યાખ્યાઓ છેઃ વ્યાખ્યાઃ શું લેગ્રેન્જ કાર્ય અથવા લેગ્રેન્જિયન છે, qi એ સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ છે, સામાન્યીકૃત વેગ છે, સામાન્યીકૃત મોમેન્ટા છે, સામાન્યીકૃત બળો છે, લેગ્રેન્જના સમીકરણો છે. અહીં લેગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેની રૂપરેખા આપવાનો હેતુ નથી. રસ ધરાવતા વાચક આ અભિગમને સમજાવતા અન્ય લેખો જોઈ શકે છે. આ ક્ષણે, ધ્યેય ફક્ત એ બતાવવાનો છે કે લાગ્રેન્જિયન અભિગમ "સામાન્યીકૃત કાલ્પનિક દળો" તરફ દોરી શકે છે જે જડતા માળખામાં અદૃશ્ય થતા નથી. અહીં જે સુસંગત છે તે એ છે કે એક કણના કિસ્સામાં, લાગ્રેન્જિયન અભિગમને હમણાં જ રજૂ કરાયેલા "સંકલન" કાલ્પનિક દળોને બરાબર પકડવા માટે ગોઠવી શકાય છે. આગળ વધવા માટે, એક કણને ધ્યાનમાં લો અને સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સને {qk} = (r, θ) તરીકે રજૂ કરો. પછી હિલ્ડેબ્રાન્ડ qk = (r, θ) સાથે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં "સામાન્યીકૃત મોમેન્ટા" દર્શાવે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્યીકૃત બળ તરફ દોરી જાય છેઃ પ્રભાવિત રેડિયલ બળ સાથે. "સામાન્યીકૃત બળો" અને ન્યુટોનિયન બળો વચ્ચેનું જોડાણ કોઓર્ડિનેટ્સની પસંદગી સાથે બદલાય છે. આ લગ્રેન્જિયન રચના ઉપર ઉલ્લેખિત કાલ્પનિક દળોના બરાબર "સંકલન" સ્વરૂપનો પરિચય આપે છે જે જડતા માળખામાં "કાલ્પનિક" (સામાન્યીકૃત) દળોને મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, હિલ્ડેબ્રાન્ડનું સાવચેત વાંચન શબ્દ દર્શાવે છે કે તે "સંદર્ભની જડતા માળખા" ની ભૂમિકાની ચર્ચા કરતું નથી, અને હકીકતમાં, કહે છે કે "[જડતા દળોની] હાજરી અથવા ગેરહાજરી હાથ પરની ચોક્કસ સમસ્યા પર નહીં પરંતુ પસંદ કરેલી સંકલન પ્રણાલી પર આધાર રાખે છે". કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દ્વારા સંભવતઃ {qk} ની પસંદગી થાય છે. પાછળથી તેઓ કહે છે કે "જો સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંકળાયેલ પ્રવેગક મુખ્ય રસ ધરાવતા હોય (સામાન્ય રીતે થાય છે તેમ), તો [બિન-પ્રવેગક] શબ્દોને સરળતાથી જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે. અને વધારાના (સામાન્યીકૃત) જડતા બળો તરીકે ગણવામાં આવે છે. આવા જડતા બળો ઘણીવાર કોરિઓલિસ પ્રકારના હોવાનું કહેવાય છે. ટૂંકમાં, કેટલાક લેખકો દ્વારા કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ પર ભાર મૂકવો અને સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાં અદૃશ્ય ન થાય તેવા (સામાન્યીકૃત) કાલ્પનિક દળોની તેમની રજૂઆત એ લાગ્રેન્જિયન મિકેનિક્સમાં સામાન્યીકૃત કોઓર્ડિનેટ્સના ઉપયોગનો વિકાસ છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેકક્વેરી હિલ્ડેબ્રાન્ડ અને વોન શ્વેરિન જુઓ. નીચે રોબોટિક મેનિપ્યુલેટરની રચનામાં ઉપયોગમાં લેવાતા આ ઉપયોગનું ઉદાહરણ છેઃ રોબોટ મેનિપ્યુલેટર માટે, સમીકરણોને ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો γijk (નીચે વધુ ચર્ચા) નો ઉપયોગ કરીને એક સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ જ્યાં M એ "મેનિપ્યુલેટર જડતા મેટ્રિક્સ" છે અને V એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સંભવિત ઊર્જા છે (ઉદાહરણ તરીકે), અને સંયુક્ત i પર સામાન્યીકૃત બળો છે. તેથી ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો સાથે સંકળાયેલા શબ્દો "સામાન્યીકૃત કેન્દ્રત્યાગી" અને "સામાન્યીકૃત કોરિઓલિસ" શબ્દો નક્કી કરે છે. સામાન્યીકૃત કાલ્પનિક શક્તિઓનો પરિચય ઘણીવાર સૂચના વિના અને "સામાન્યીકૃત" શબ્દને સ્પષ્ટ કર્યા વિના કરવામાં આવે છે. પરિભાષાનો આ ઉપયોગ મૂંઝવણ તરફ દોરી શકે છે કારણ કે સામાન્યીકૃત કાલ્પનિક શક્તિઓ, પ્રમાણભૂત "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક શક્તિઓથી વિપરીત, સંદર્ભના જડતા માળખામાં અદૃશ્ય થતી નથી. સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાં ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે, કણનું પ્રવેગક ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને જડતા ફ્રેમમાં જોવા મળે છે. વ્યાખ્યા મુજબ, જડતા માળખામાં કોઈ "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો નથી. તે પ્રસ્તુતિને અનુસરીને, "સંકલન" કાલ્પનિક દળોની વિરોધાભાસી પરિભાષા રજૂ કરવામાં આવે છે અને આ "દળો" ની બિન-વાહક પરિવર્તન વર્તણૂકના આધારે તેની ટીકા કરવામાં આવે છે. જડતા માળખામાં, ચાલો ગતિશીલ કણોની સ્થિતિ વેક્ટર બનીએ. તેના કાર્ટેશિયન ઘટકો (x, y) છેઃ સમય t પર આધાર રાખીને ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ r અને θ સાથે. એકમ વેક્ટરને ત્રિજ્યાત્મક રીતે બાહ્ય દિશામાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ અને જમણા ખૂણા પરની દિશામાંઃ આ એકમ વેક્ટર સમય સાથે દિશામાં બદલાય છેઃ અનેઃ આ વ્યુત્પન્નોનો ઉપયોગ કરીને, સ્થિતિના પ્રથમ અને બીજા વ્યુત્પન્ન છેઃ અને જ્યાં ડોટ-ઓવરમાર્કિંગ સમય તફાવત સૂચવે છે. પ્રવેગક માટેના આ સ્વરૂપ સાથે, સંદર્ભની જડતા માળખામાં ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વ્યક્ત કરાયેલ ન્યૂટનનો બીજો નિયમ છેઃ જ્યાં F એ કણ પરનું ચોખ્ખું વાસ્તવિક બળ છે. કોઈ કાલ્પનિક બળો દેખાતા નથી કારણ કે જડતા માળખામાં વ્યાખ્યા દ્વારા તમામ કાલ્પનિક બળો શૂન્ય હોય છે. જો કે, ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, કેટલીકવાર આ સમીકરણની જમણી બાજુએ માત્ર બીજા ક્રમના વ્યુત્પન્નને મૂકવું સરળ છે; એટલે કે આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણને શબ્દોની પુનઃગોઠવણી દ્વારા આ રીતે લખીએ છીએઃ જ્યાં "પ્રવેગક" નું "સંકલન" સંસ્કરણ રજૂ કરવામાં આવે છેઃ જેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ r અને θ ના માત્ર બીજા ક્રમના સમય વ્યુત્પન્નોનો સમાવેશ થાય છે. સમીકરણની બળ-બાજુએ ખસેડવામાં આવેલા શબ્દોને હવે વધારાના "કાલ્પનિક બળો" તરીકે ગણવામાં આવે છે અને ગૂંચવણભરી રીતે, પરિણામી બળોને "કેન્દ્રત્યાગી" અને "કોરિઓલિસ" બળ પણ કહેવામાં આવે છે. આ નવા વ્યાખ્યાયિત "બળો" જડતા માળખામાં બિન-શૂન્ય હોય છે, અને તેથી ચોક્કસપણે અગાઉ ઓળખાયેલ કાલ્પનિક બળો જેવા નથી જે જડતા માળખામાં શૂન્ય હોય છે અને બિન-જડતા માળખામાં માત્ર બિન-શૂન્ય હોય છે. આ લેખમાં, આ નવા વ્યાખ્યાયિત દળોને "ગતિ-સ્થિતિ" દળોથી અલગ કરવા માટે "સંકલન" કેન્દ્રત્યાગી બળ અને "સંકલન" કોરિઓલિસ બળ કહેવામાં આવે છે. મૂળમાં ફેરફાર અહીં એક ઉદાહરણ છે જે દર્શાવે છે કે "કેન્દ્રત્યાગી શબ્દ" સાચા બળ તરીકે પરિવર્તિત થતો નથી. ધારો કે ફ્રેમ S માં એક કણ સ્થિર વેગથી મૂળથી ત્રિજ્યીય રીતે દૂર જાય છે. આકૃતિ 2 જુઓ. ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ અનુસાર કણ પરનું બળ શૂન્ય છે. હવે આપણે એ જ વસ્તુને ફ્રેમ S 'માંથી જોઈએ છીએ, જે સમાન છે, પરંતુ મૂળમાં વિસ્થાપિત છે. S 'માં કણ હજી પણ સતત ઝડપે સીધી રેખાની ગતિમાં હોય છે, તેથી ફરીથી બળ શૂન્ય હોય છે. જો કોઈ બે ફ્રેમમાં ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે તો શું? ફ્રેમ S માં રેડિયલ ગતિ સ્થિર હોય છે અને કોઈ કોણીય ગતિ હોતી નથી. તેથી, પ્રવેગ છેઃ અને દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય છે કારણ કે અને. ફ્રેમ S માં કોઈ બળ નથી, ફ્રેમ S માં કોઈ બળ નથી, તેમ છતાં, આપણી પાસે છેઃ આ કિસ્સામાં અઝીમુથલ શબ્દ શૂન્ય છે, જે કોણીય વેગના પરિવર્તનનો દર છે. રેડિયલ દિશામાં શૂન્ય પ્રવેગ મેળવવા માટે, જો કે, આપણને જરૂર છેઃ જમણી બાજુ બિન-શૂન્ય છે, કારણ કે ન તો શૂન્ય છે અને ન તો શૂન્ય છે. એટલે કે, જો આપણે માત્ર પ્રવેગક તરીકે જાળવી રાખીએ તો આપણે શૂન્ય બળ (શૂન્ય) મેળવી શકતા નથી; આપણને બંને શરતોની જરૂર છે. ઉપરોક્ત હકીકતો હોવા છતાં, ધારો કે કોઈએ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ અપનાવવા જોઈએ, અને તે "કેન્દ્રત્યાગી બળ" છે, અને "પ્રવેગક" તરીકે ફરીથી અર્થઘટન કરવું જોઈએ (કોઈપણ સંભવિત સમર્થન પર ધ્યાન આપ્યા વિના). જ્યારે કોઈ માને છે કે ભૌતિકશાસ્ત્રની યોગ્ય રચના ભૂમિતિ અને સંકલન-સ્વતંત્ર છે ત્યારે આ નિર્ણય કેવી રીતે કામ કરે છે? સામાન્ય સહપરિવર્તન પરનો લેખ જુઓ. સહપરિવર્તન અભિવ્યક્તિ રચવાનો પ્રયાસ કરવા માટે, આ કહેવાતા કેન્દ્રત્યાગી "બળ" ને વેક્ટર નોટેશનમાં આ રીતે મૂકી શકાય છેઃ સાથેઃ અને ગતિના સમતલ માટે એકમ વેક્ટર નોર્મલ. કમનસીબે, જો કે આ અભિવ્યક્તિ ઔપચારિક રીતે વેક્ટર જેવી દેખાય છે, જ્યારે નિરીક્ષક ફેરફારોના મૂળ મૂલ્યમાં ફેરફાર કરે છે (આકૃતિ 2 જુઓ), તેથી વિવિધ શેરી ખૂણાઓ પર ઊભેલા સંદર્ભના સમાન માળખામાં નિરીક્ષકો વિવિધ "બળો" જુએ છે, તેમ છતાં તેઓ જે વાસ્તવિક ઘટનાઓ જુએ છે તે સમાન છે. ભૌતિક બળ (તે કાલ્પનિક હોય કે વાસ્તવિક) એક ફ્રેમ S માં શૂન્ય કેવી રીતે હોઈ શકે, પરંતુ બીજી ફ્રેમ S માં બિન-શૂન્ય સમાન, પરંતુ થોડા ફૂટ દૂર કેવી રીતે હોઈ શકે? બરાબર સમાન કણોની વર્તણૂક માટે પણ સંદર્ભની દરેક ફ્રેમમાં અભિવ્યક્તિ અલગ હોય છે, ફ્રેમ વચ્ચેના ખૂબ જ તુચ્છ તફાવતો માટે પણ. ટૂંકમાં, જો આપણે "કેન્દ્રત્યાગી બળ" તરીકે લઈએ, તો તેનું સાર્વત્રિક મહત્વ નથીઃ તે ભૌતિક નથી. આ સમસ્યા ઉપરાંત, વાસ્તવિક પ્રભાવિત ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે. (સતત ઝડપે સીધી રેખાના ગતિમાં કોઈ વાસ્તવિક પ્રભાવિત બળ નથી). જો કોઈ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ અપનાવવા માંગતા હોય, અને તે "કેન્દ્રત્યાગી બળ" હોવાનું કહેવા માંગતા હોય, અને "પ્રવેગક" તરીકે પુનઃવ્યાખ્યાયિત કરવા માંગતા હોય, તો વિષમતા ફ્રેમ S 'માં પરિણમે છે કે સતત ઝડપે સીધી રેખાના ગતિ માટે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં ચોખ્ખા બળની જરૂર પડે છે, પરંતુ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં નહીં. તદુપરાંત, આ ગૂંચવણ ફ્રેમ S માં લાગુ પડે છે, પરંતુ ફ્રેમ S માં નહીં. ની વર્તણૂક સૂચવે છે કે કોઈએ કહેવું જોઈએ કે તે કેન્દ્રત્યાગી બળ નથી, પરંતુ પ્રવેગકમાં ફક્ત બે શબ્દોમાંથી એક છે. આ દ્રષ્ટિકોણ, કે પ્રવેગ બે શબ્દોથી બનેલો છે, તે ફ્રેમ-સ્વતંત્ર છેઃ કોઈપણ અને દરેક જડતા ફ્રેમમાં શૂન્ય કેન્દ્રત્યાગી બળ હોય છે. તે સંકલન-પ્રણાલીથી સ્વતંત્ર પણ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈ કાર્ટેશિયન, ધ્રુવીય અથવા અન્ય કોઈપણ વક્રરેખીય પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરી શકે છે કારણ કે તે બધા શૂન્ય ઉત્પન્ન કરે છે. ઉપરોક્ત ભૌતિક દલીલો ઉપરાંત, અલબત્ત, ઉપરની વ્યુત્પત્તિ, ભિન્નતાના ગાણિતિક નિયમોના ઉપયોગ પર આધારિત છે, તે દર્શાવે છે કે રેડિયલ પ્રવેગ ખરેખર બે શબ્દો ધરાવે છે. એવું કહેવાય છે કે, આગામી પેટા વિભાગ દર્શાવે છે કે આ કેન્દ્રત્યાગી અને કોરિઓલિસ શબ્દો અને કાલ્પનિક દળો વચ્ચે જોડાણ છે જે સંદર્ભની ચોક્કસ ફરતી ફ્રેમ (જડતા ફ્રેમથી અલગ) સાથે સંબંધિત છે. સહ-ફરતી ફ્રેમ કણોની સમતલીય ગતિના કિસ્સામાં, ઉપર જોવા મળતી "સંકલન" કેન્દ્રત્યાગી અને કોરિઓલિસ પ્રવેગક શરતો જડત્વીય ફ્રેમમાં બિન-શૂન્ય હોવાનું "સ્થિતિ-ગતિ" કેન્દ્રત્યાગી અને કોરિઓલિસ શરતોના નકારાત્મક તરીકે દર્શાવી શકાય છે જે ખૂબ જ ચોક્કસ બિન-જડત્વીય સહ-ફરતી ફ્રેમમાં દેખાય છે (આગામી પેટા વિભાગ જુઓ). આકૃતિ 3 જુઓ. સહ-ફરતી ફ્રેમને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, પહેલા એક મૂળ પસંદ કરવામાં આવે છે જેમાંથી કણનું અંતર r (t) વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પરિભ્રમણની એક ધરી સ્થાપિત કરવામાં આવે છે જે કણોની ગતિના સમતલને લંબરૂપ હોય છે અને આ મૂળમાંથી પસાર થાય છે. પછી, પસંદ કરેલી ક્ષણ t પર, સહ-ફરતી ફ્રેમ ω ના પરિભ્રમણનો દર આ અક્ષની આસપાસ કણના પરિભ્રમણના દર, dθ/dt સાથે મેળ કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે. સહ-ફરતી ફ્રેમ માત્ર એક ક્ષણ માટે લાગુ પડે છે, અને કણની હિલચાલ સાથે સતત ફરીથી પસંદ થવી જોઈએ. વધુ વિગત માટે, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ, કેન્દ્રત્યાગી અને કોરિઓલિસ શરતો જુઓ. સંદર્ભની ફરતી ફ્રેમમાં ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ આગળ, સમાન અભિગમનો ઉપયોગ (બિન-જડતા) ફરતી ફ્રેમની કાલ્પનિક શક્તિઓ શોધવા માટે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ફરતી ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અવલોકનની ફરતી ફ્રેમમાં ઉપયોગ માટે અપનાવવામાં આવે છે, બંને ઘડિયાળની ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન અચળ દરે ફરે છે, તો આ ફ્રેમમાં ગતિનાં સમીકરણો નીચે મુજબ શોધી શકાય છેઃ ફરતી ફ્રેમમાં રેડિયલ કોઓર્ડિનેટ r તરીકે લેવામાં આવે છે, પરંતુ ફરતી ફ્રેમમાં કોણ θ 'સમય સાથે બદલાય છેઃ પરિણામે, અગાઉના વિભાગના એકમ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને આ પરિણામને પ્રવેગકમાં પ્લગ કરવુંઃ અગ્રણી બે શબ્દો જડતા ફ્રેમમાં સમાન સ્વરૂપ છે, અને જો ફ્રેમ ફરતી ન હોય તો તે એકમાત્ર શબ્દો છે, એટલે કે, જો ω = 0 હોય. જો કે, આ ફરતી ફ્રેમમાં આપણી પાસે વધારાની શરતો છેઃ રેડિયલ શબ્દ ω2 r એ ω ના દરે સિસ્ટમના પરિભ્રમણને કારણે એકમ દળ દીઠ કેન્દ્રત્યાગી બળ છે અને રેડિયલ શબ્દ એ એકમ દળ દીઠ કોરિઓલિસ બળનો રેડિયલ ઘટક છે, જ્યાં ફરતી ફ્રેમમાં જોવા મળતા કણ વેગનો સ્પર્શક ઘટક છે. આ શબ્દ એકમ દળ દીઠ કોરિઓલિસ બળનો કહેવાતા અઝીમુથલ ઘટક છે. હકીકતમાં, આ વધારાની શરતોનો ઉપયોગ ω માપવા માટે થઈ શકે છે અને ફ્રેમ ફરતી હોય કે નહીં તે જોવા માટે એક પરીક્ષણ પ્રદાન કરી શકાય છે, જેમ કે સમાન ગોળાઓ ફરવાના ઉદાહરણમાં સમજાવવામાં આવ્યું છે. જો નિરીક્ષક દ્વારા કણોની ગતિનું વર્ણન ન્યૂટનના ગતિના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આ ω-આધારિત શરતો વિના કરી શકાય, તો નિરીક્ષક સંદર્ભની જડતા માળખામાં હોય છે જ્યાં ω = 0 હોય છે. કણોના પ્રવેગમાં આ "વધારાની શરતો" આ ફરતી ફ્રેમ માટે "ગતિની સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો છે, જે કોણીય દરે ફ્રેમના પરિભ્રમણ દ્વારા રજૂ કરાયેલા બળો છે. આ ફરતી ફ્રેમમાં, કાલ્પનિક "સંકલન" દળો શું છે? પહેલાની જેમ, ધારો કે આપણે ન્યૂટનના નિયમની જમણી બાજુએ માત્ર સેકન્ડ ઓર્ડર ટાઇમ ડેરિવેટિવ્ઝ મૂકવાનું પસંદ કરીએ છીએઃ જો કોઈએ "પ્રવેગક" તરીકે ગણવા માટે, સુવિધા માટે, પસંદ કરવું હોય, તો પછી શબ્દો કહેવાતા "કાલ્પનિક બળ" માં ઉમેરવામાં આવે છે, જે "ગતિની સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો નથી, પરંતુ વાસ્તવમાં બળના ઘટકો છે જે ω = 0 હોય ત્યારે પણ ચાલુ રહે છે, એટલે કે, કાલ્પનિક સ્રોતો સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાં પણ રહે છે. કારણ કે આ વધારાના શબ્દો ઉમેરવામાં આવ્યા છે, "સંકલન" કાલ્પનિક બળ "ગતિની સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળ જેવું નથી. આ વધારાની શરતોને કારણે, "સંકલન" કાલ્પનિક બળ સંદર્ભની જડતા માળખામાં પણ શૂન્ય નથી. જો કે, ફરતી ફ્રેમનો કેસ જે કણ જેટલો જ કોણીય દર ધરાવે છે, જેથી કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે ω = dθ/dt (એટલે કે, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ આકૃતિ 3 ની તાત્કાલિક, બિન-જડતા સહ-ફરતી ફ્રેમમાં ગોઠવવામાં આવે છે). આ કિસ્સામાં, આ ક્ષણે, dθ '/dt = 0. આ સહ-ફરતી બિન-જડતા ફ્રેમમાં આ ક્ષણે "સંકલન" કાલ્પનિક બળો માત્ર તે જ છે જે ફ્રેમની ગતિને કારણે છે, એટલે કે, તેઓ "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો જેવા જ છે, જેમ કે અગાઉના વિભાગમાં આકૃતિ 3 ની સહ-ફરતી ફ્રેમ વિશેની ટિપ્પણીમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં કાલ્પનિક બળો બુલ્લો અને લેવિસને ટાંકવા માટેઃ "માત્ર અપવાદરૂપ સંજોગોમાં જ વેક્ટર સ્પેસમાં વેક્ટર દ્વારા લગ્રેન્જિયન સિસ્ટમની ગોઠવણીનું વર્ણન કરી શકાય છે. કુદરતી ગાણિતિક સેટિંગમાં, સિસ્ટમની રૂપરેખાંકન જગ્યાને ઢીલી રીતે વક્ર જગ્યા તરીકે, અથવા વધુ સચોટ રીતે વિભેદક મેનીફોલ્ડ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને બદલે, જ્યારે ગતિના સમીકરણો વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો આ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યક્ત કરાયેલા કણના પ્રવેગમાં દેખાય છે, જેમ કે નીચે વધુ વિગતવાર વર્ણવેલ છે. વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંદર્ભની જડતા માળખાના દૃષ્ટિકોણથી કણ ગતિનું વર્ણન ધ્યાનમાં લો. ધારો કે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં બિંદુ P ની સ્થિતિ (x, y, z) છે અને વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં (q1, q2) છે. q3). પછી એવા કાર્યો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે આ વર્ણનોને સંબંધિત કરે છેઃ અને તેથી આગળ. (પરિમાણોની સંખ્યા ત્રણ કરતાં મોટી હોઈ શકે છે.) આવી સંકલન પ્રણાલીઓનું એક મહત્વપૂર્ણ પાસું ચાપની લંબાઈનું તત્વ છે જે અંતર નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો વક્રરેખીય કોઓર્ડિનેટ્સ ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવે છે, તો ચાપ લંબાઈ ds નું તત્વ આ રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ જ્યાં જથ્થા hk ને સ્કેલ પરિબળો કહેવામાં આવે છે. qk માં ફેરફાર dqk એ qk માટે સંકલન રેખા સાથે વિસ્થાપન hk dqk નું કારણ બને છે. એક બિંદુ P પર, આપણે એકમ વેક્ટરને દરેક સ્પર્શકને ચલ qk ની સંકલન રેખા પર મૂકીએ છીએ. પછી કોઈપણ વેક્ટરને આ બેસિસ વેક્ટરની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાંથી, સ્થિતિ P પર સમય t પર સ્થિત ગતિશીલ કણ r નું સ્થિતિ વેક્ટર બને છેઃ જ્યાં qk એ r અને ek નું વેક્ટર ડોટ પ્રોડક્ટ છે. P પર કણનો વેગ v, P પર આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં vk એ v અને ekનું વેક્ટર ડોટ પ્રોડક્ટ છે, અને બિંદુઓ પર સમયનો તફાવત સૂચવે છે. બેસિસ વેક્ટરના સમય વ્યુત્પન્નને ઉપર રજૂ કરાયેલા સ્કેલ પરિબળોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ અથવા, સામાન્ય રીતે જેમાં એકમ વેક્ટરના ગુણાંક સંકલન પ્રણાલી માટે ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો છે. ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો માટે સામાન્ય સંકેતો અને સૂત્રો છેઃ અને જ્યારે બધા સૂચકાંકો અલગ હોય ત્યારે પ્રતીક શૂન્ય હોય છે. તેનાથી વિપરીત દેખાવ હોવા છતાં, ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો ટેન્સરના ઘટકોની રચના કરતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં શૂન્ય છે, પરંતુ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં નહીં. આના જેવા સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને, જે તમામ સમયના વ્યુત્પન્નોનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વેગ માટેઃ કૌંસ સંકેતનાં સ્થાને ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો માટે γ-સંકેતન સાથે. સમાન અભિગમનો ઉપયોગ કરીને, પ્રવેગક પછી પ્રવેગક માટેના સંબંધને જોતા, પ્રથમ સરવાળામાં વેગના સમય વ્યુત્પન્નોનો સમાવેશ થાય છે, જે પ્રવેગક સાથે સંકળાયેલ હશે જો આ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, અને બીજા સરવાળામાં (ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકો સાથેનું) સમય સાથે એકમ વેક્ટર જે રીતે બદલાય છે તેનાથી સંબંધિત શબ્દો હોય છે. "સ્ટેટ-ઓફ-મોશન" વિરુદ્ધ "કોઓર્ડિનેટ" કાલ્પનિક શક્તિઓ અગાઉ આ લેખમાં બે પરિભાષાઓ વચ્ચેનો તફાવત રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, કાલ્પનિક શક્તિઓ કે જે સંદર્ભની જડતા માળખામાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે તેને આ લેખમાં "સ્ટેટ-ઓફ-મોશન" કાલ્પનિક શક્તિઓ કહેવામાં આવે છે અને જે ચોક્કસ સંકલન પ્રણાલીમાં તફાવતમાંથી ઉદ્ભવે છે તેને "સંકલન" કાલ્પનિક શક્તિઓ કહેવામાં આવે છે. ઉપરના પ્રવેગક માટે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, સંદર્ભની જડતા ફ્રેમમાં ન્યૂટનનો ગતિનો નિયમ બને છેઃ જ્યાં F એ કણ પરનું ચોખ્ખું વાસ્તવિક બળ છે. કોઈ "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો હાજર નથી કારણ કે માળખું જડત્વીય છે, અને વ્યાખ્યા મુજબ, "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો જડત્વીય માળખામાં શૂન્ય હોય છે. ઉપરના ન્યૂટનના નિયમનો "સંકલન" અભિગમ એ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ {qk} ના બીજા ક્રમના સમય વ્યુત્પન્નને આ સમીકરણની જમણી બાજુના એકમાત્ર શબ્દો તરીકે જાળવી રાખવા, જે ભૌતિકશાસ્ત્ર કરતાં ગાણિતિક સગવડ દ્વારા વધુ પ્રેરિત છે. તે માટે, બળના નિયમને ફરીથી લખી શકાય છે, સમીકરણની બળ-બાજુએ બીજા સરવાળાને આ રીતે લઈ જઈ શકાય છેઃ પરંપરા સાથે કે "પ્રવેગક" હવે છેઃ ઉપરની અભિવ્યક્તિમાં, સમીકરણની બળ-બાજુએ ઉમેરવામાં આવેલા સરવાળાને હવે એવું માનવામાં આવે છે કે જો ઉમેરવામાં આવેલા "બળો" હાજર હતા. આ સારાંશ શબ્દોને પરંપરાગત રીતે આ "સંકલન" અભિગમમાં કાલ્પનિક બળો કહેવામાં આવે છે, જો કે સંદર્ભની આ જડતા માળખામાં તમામ "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળો સમાન રીતે શૂન્ય હોય છે. વધુમાં, આ "બળો" વેક્ટર તરીકે સંકલન પરિવર્તન હેઠળ રૂપાંતરિત થતા નથી. આમ, સરવાળાની શરતોને "કાલ્પનિક બળો" તરીકે ઓળખાવવી એ આ પરિભાષાનો ઉપયોગ એવા યોગદાન માટે કરે છે જે કોઈપણ વાસ્તવિક બળથી સંપૂર્ણપણે અલગ હોય અને "ગતિની સ્થિતિ" કાલ્પનિક બળોથી અલગ હોય. આ મૂંઝવણમાં જે ઉમેરો થાય છે તે એ છે કે આ "સંકલન" કાલ્પનિક શક્તિઓને બે જૂથોમાં વહેંચવામાં આવે છે અને "ગતિ-સ્થિતિ" કાલ્પનિક શક્તિઓ જેવા જ નામો આપવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ "કેન્દ્રત્યાગી" અને "કોરિઓલિસ" શબ્દોમાં વહેંચાયેલા છે, તેમ છતાં તેઓ એવા શબ્દોનો સમાવેશ કરે છે જે "ગતિ-સ્થિતિ" કેન્દ્રત્યાગી અને કોરિઓલિસ શબ્દો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આ "સંકલન" કેન્દ્રત્યાગી અને કોરિઓલિસ શબ્દો સંદર્ભની જડતા માળખામાં પણ બિન-શૂન્ય હોઈ શકે છે જ્યાં "ગતિ-સ્થિતિ" કેન્દ્રત્યાગી બળ (આ લેખનો વિષય) અને કોરિઓલિસ બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે. જો ફ્રેમ જડતા ન હોય, ઉદાહરણ તરીકે, સંદર્ભની ફરતી ફ્રેમમાં, "સ્ટેટ-ઓફ-મોશન" કાલ્પનિક બળો ઉપરોક્ત "સંકલન" કાલ્પનિક બળ અભિવ્યક્તિમાં શામેલ છે. ઉપરાંત, જો વેગના પ્રથમ ક્રમના સમય વ્યુત્પન્નની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરાયેલ "પ્રવેગક" એવા શબ્દોમાં પરિણમે છે જે સમયના કોઓર્ડિનેટ્સ {qk} ના માત્ર બીજા ક્રમના વ્યુત્પન્ન નથી, તો પછી આ શબ્દો કે જે બીજા ક્રમના નથી તે પણ સમીકરણની બળ-બાજુ પર લાવવામાં આવે છે અને કાલ્પનિક બળો સાથે સમાવવામાં આવે છે. લાગ્રેન્જિયન રચનાના દૃષ્ટિકોણથી, તેમને સામાન્યીકૃત કાલ્પનિક દળો કહી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, હિલ્ડેબ્રાન્ડ જુઓ. ક્રિસ્ટોફેલ પ્રતીકોની દ્રષ્ટિએ ગતિશીલતાની રચના અને કાલ્પનિક દળોના "સંકલન" સંસ્કરણનો ઉપયોગ ગતિના સમીકરણોની લગ્રેન્જિયન રચનાના સંબંધમાં રોબોટ્સની રચનામાં થાય છે. નોંધો અને સંદર્ભો પ્રિન્સિપિયા સેન્ટ્રીફ્યુગલ રિએક્શન ફોર્સ-કોલંબિયા ઇલેક્ટ્રોનિક જ્ઞાનકોશ એમ. એલોન્સો અને ઇ. જે. માં ન્યૂટનનું વધુ વાંચન. ફિન, ફંડામેન્ટલ યુનિવર્સિટી ફિઝિક્સ, એડિસન-વેસ્લી સેન્ટ્રિપેટલ ફોર્સ વિ. સેન્ટ્રીફ્યુગલ ફોર્સ-ઓસ્વેગો સિટી સ્કૂલ ડિસ્ટ્રિક્ટ સેન્ટ્રીફ્યુગલ ફોર્સ દ્વારા ઓનલાઇન રીજેન્ટ્સ એક્ઝામ ફિઝિક્સ ટ્યુટોરિયલમાંથી હાયપરફિઝિક્સ કન્સેપ્ટ્સ સાઇટ પર બ્લેક હોલ સેન્ટ્રીફ્યુગલ ફોર્સની નજીક અંદરની તરફ કાર્ય કરે છે રસપ્રદ લિંક્સની સૂચિ બ્રાયન ફિડલર (ઓક્લાહોમા યુનિવર્સિટીના સ્કૂલ ઓફ મેટિયોરોલોજીમાંથી) દ્વારા સપાટ સપાટી પરની ગતિ જાવા ફિઝલેટ કાલ્પનિક દળોને દર્શાવે છે. ફિઝલેટ ફરતા અને બિન-ફરતા બંને દ્રષ્ટિકોણથી જોવામાં આવે છે. કાલ્પનિક દળોને દર્શાવતા બ્રાયન ફિડલર (યુનિવર્સિટી ઓફ ઓક્લાહોમા ખાતે સ્કૂલ ઓફ મેટિયોરોલોજીમાંથી) દ્વારા પેરાબોલિક સપાટી પર જાવા ફિઝલેટ પર ગતિ. ફિઝલેટ ફરતા દ્રષ્ટિકોણથી જોવામાં આવે છે અને બિન-ફરતા દ્રષ્ટિકોણથી જોવામાં આવે છે. કોરિઓલિસ અને કેન્દ્રત્યાગી દળોની કલ્પના કરતી એનિમેશન ક્લિપ, જડતા ફ્રેમ અને સંદર્ભની ફરતી ફ્રેમ બંનેમાંથી જોવામાં આવતા દ્રશ્યો દર્શાવે છે. મેથપેજીસ ખાતે કેન્દ્રત્યાગી અને કેન્દ્રત્યાગી બળો H2g2 પર કેન્દ્રત્યાગી બળ જ્હોન બૈઝઃ શું કેન્દ્રત્યાગી બળ ચંદ્રને ઉપર રાખે છે? સંબંધિત કેન્દ્રત્યાગી બળની ગણતરી કરો કોરિઓલિસ બળ કોરિઓલિસ અસર (દ્રષ્ટિ) સમતુલ્યતા સિદ્ધાંત સંદર્ભની માળખું સંદર્ભની જડતા સંદર્ભની ગતિ યુલર બળ-એક બળ જે ત્યારે દેખાય છે જ્યારે માળખું કોણીય પરિભ્રમણ દર કેન્દ્રત્યાગી બળ પ્રતિક્રિયાશીલ કેન્દ્રત્યાગી બળમાં બદલાય છે-એક બળ જે કેન્દ્રત્યાગી બળ કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે પ્રતિક્રિયા તરીકે થાય છે-એક બળ જે સંદર્ભ જી-બળ ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ્સની ફ્રેમને બદલીને અદૃશ્ય થઈ શકે છે.