Spin (physics)
સ્પિન એ પ્રાથમિક કણો દ્વારા વહન કરાયેલ કોણીય ગતિનું આંતરિક સ્વરૂપ છે, અને આમ હૅડ્રોન, અણુ કેન્દ્રક અને અણુ જેવા સંયુક્ત કણો દ્વારા. સ્પિનની કલ્પના કણના "આંતરિક દળ" ના "પરિભ્રમણ" ને સમાવતી તરીકે થવી જોઈએ નહીં, કારણ કે શબ્દનો સામાન્ય ઉપયોગ સૂચવી શકે છેઃ સ્પિન એ તરંગોનો માત્રાત્મક ગુણધર્મ છે. ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમનું અસ્તિત્વ પ્રયોગોમાંથી અનુમાન કરવામાં આવે છે, જેમ કે સ્ટર્ન-ગેર્લાચ પ્રયોગ, જેમાં ચાંદીના અણુઓ કક્ષીય એંગ્યુલર મોમેન્ટમ ન હોવા છતાં બે સંભવિત અલગ એંગ્યુલર મોમેન્ટમ ધરાવતા હોવાનું જોવા મળ્યું હતું. ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનના અસ્તિત્વનું સૈદ્ધાંતિક રીતે સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમ અને પાઉલી એક્સક્લૂઝન સિદ્ધાંત પરથી પણ અનુમાન કરી શકાય છે-અને તેનાથી ઊલટું, ઇલેક્ટ્રોનના ચોક્કસ સ્પિનને જોતાં, પૌલી એક્સક્લૂઝન સિદ્ધાંત મેળવી શકાય છે. સ્પિનને ગાણિતિક રીતે ફોટોન જેવા કેટલાક કણો માટે વેક્ટર તરીકે અને ઇલેક્ટ્રોન જેવા અન્ય કણો માટે સ્પિનર્સ અને બિસ્પીનર્સ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. સ્પિનર્સ અને બિસ્પીનર્સ વેક્ટરની જેમ જ વર્તે છેઃ તેઓ ચોક્કસ પરિમાણો ધરાવે છે અને પરિભ્રમણ હેઠળ બદલાય છે; જો કે, તેઓ બિનપરંપરાગત "દિશા" નો ઉપયોગ કરે છે. આપેલ પ્રકારના તમામ પ્રાથમિક કણો સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમની સમાન તીવ્રતા ધરાવે છે, જો કે તેની દિશા બદલાઈ શકે છે. આ કણને સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર સોંપીને સૂચવવામાં આવે છે. સ્પિનનો એસ. આઈ. એકમ શાસ્ત્રીય કોણીય વેગ (એટલે કે, એન. એમ. એસ., જે. એસ., અથવા કે. જી. એમ. એસ. −1) જેટલો જ છે. વ્યવહારમાં, સ્પિનને સામાન્ય રીતે સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમને ઘટાડેલા પ્લેન્ક કોન્સ્ટન્ટ દ્વારા વિભાજીત કરીને પરિમાણહીન સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર તરીકે આપવામાં આવે છે, જે એંગ્યુલર મોમેન્ટમ જેવા જ પરિમાણો ધરાવે છે. ઘણીવાર, "સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર" ને ફક્ત "સ્પિન" કહેવામાં આવે છે. શાસ્ત્રીય પરિભ્રમણ સાથે સંબંધ ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન માટેના ખૂબ જ પ્રારંભિક નમૂનાઓએ ફરતા ચાર્જ કરેલા દળની કલ્પના કરી હતી, પરંતુ જ્યારે વિગતવાર તપાસ કરવામાં આવે ત્યારે આ મોડેલ નિષ્ફળ જાય છેઃ જરૂરી જગ્યા વિતરણ ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યા પરની મર્યાદા સાથે મેળ ખાતું નથીઃ જરૂરી પરિભ્રમણ ઝડપ પ્રકાશની ઝડપ કરતાં વધી જાય છે. પ્રમાણભૂત મોડેલમાં, મૂળભૂત કણોને "બિંદુ જેવા" ગણવામાં આવે છેઃ તેમની આસપાસના ક્ષેત્ર દ્વારા તેમની અસરો હોય છે. દળ પરિભ્રમણ પર આધારિત સ્પિન માટેનું કોઈપણ મોડેલ તે મોડેલ સાથે સુસંગત હોવું જરૂરી છે. ક્વોન્ટમ સ્પિન માટેનું શાસ્ત્રીય એનાલોગ એ કણ તરંગ ક્ષેત્રમાં ઊર્જાનું પરિભ્રમણ અથવા વેગ-ઘનતા છેઃ "સ્પિન એ અનિવાર્યપણે તરંગ ગુણધર્મ છે". સ્પિનનો આ જ ખ્યાલ પાણીમાં ગુરુત્વાકર્ષણ તરંગો પર લાગુ કરી શકાય છેઃ "સ્પિન પાણીના કણોની ઉપ-તરંગલંબાઇની ગોળ ગતિ દ્વારા પેદા થાય છે". ફોટોન સ્પિન એ પ્રકાશ ધ્રુવીકરણનું ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક વર્ણન છે, જ્યાં સ્પિન + 1 અને સ્પિન-1 ગોળાકાર ધ્રુવીકરણની બે વિરુદ્ધ દિશાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આમ, વ્યાખ્યાયિત ગોળાકાર ધ્રુવીકરણના પ્રકાશમાં સમાન સ્પિન ધરાવતા ફોટોનનો સમાવેશ થાય છે, ક્યાં તો બધા + 1 અથવા બધા-1. સ્પિન અન્ય વેક્ટર બોસન્સ માટે પણ ધ્રુવીકરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગ સાથે સંબંધ નામ સૂચવે છે તેમ, સ્પિનની મૂળ કલ્પના અમુક અક્ષની આસપાસ કણના પરિભ્રમણ તરીકે કરવામાં આવી હતી. ઐતિહાસિક રીતે કણોની ભ્રમણકક્ષાઓ સાથે સંબંધિત કક્ષીય કોણીય વેગ. જ્યારે યાંત્રિક નમૂનાઓ પર આધારિત નામો બચી ગયા છે, ભૌતિક સમજૂતી નથી. ક્વોન્ટાઇઝેશન મૂળભૂત રીતે સ્પિન અને ઓર્બિટલ એંગ્યુલર મોમેન્ટમ બંનેના પાત્રને બદલે છે. પ્રાથમિક કણો બિંદુ જેવા હોવાથી, સ્વ-પરિભ્રમણ તેમના માટે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો કે, સ્પિન સૂચવે છે કે કણનો તબક્કો, સ્પિન S ની સમાંતર અક્ષની આસપાસ કોણ θ ના પરિભ્રમણ માટે કોણ પર આધાર રાખે છે. આ સ્થિતિમાં તબક્કાની નિર્ભરતા તરીકે વેગના ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક અર્થઘટનની સમકક્ષ છે, અને કોણીય સ્થિતિમાં તબક્કાની નિર્ભરતા તરીકે ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગની સમકક્ષ છે. ફર્મિઓન માટે, ચિત્ર ઓછું સ્પષ્ટ છે. કોણીય વેગ એરેનફેસ્ટ પ્રમેય દ્વારા હેમિલ્ટોનિયનના તેના સંયુક્ત વેગના વ્યુત્પન્નની બરાબર છે, જે કુલ કોણીય વેગ સંચાલક છે. તેથી, જો હેમિલ્ટોનિયન H સ્પિન S પર નિર્ભર હોય, તો dH/dS બિન-શૂન્ય છે, અને સ્પિન કોણીય વેગનું કારણ બને છે, અને તેથી વાસ્તવિક પરિભ્રમણ, એટલે કે. સમય જતાં ફેઝ-એંગલ સંબંધમાં ફેરફાર. જો કે, આ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન માટે માન્ય છે કે કેમ તે અસ્પષ્ટ છે, કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન માટે, S2 અચળ છે, અને તેથી હેમિલ્ટોનિયનમાં આવા શબ્દનો સમાવેશ થાય છે કે કેમ તે અર્થઘટનની બાબત છે. તેમ છતાં, સ્પિન ડીરાક સમીકરણમાં દેખાય છે, અને આમ ઇલેક્ટ્રોનના સાપેક્ષવાદી હેમિલ્ટોનિયન, જેને ડીરાક ક્ષેત્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે, તેને સ્પિન એસમાં અવલંબન સહિત અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ અર્થઘટન હેઠળ, મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પણ સ્વ-પરિભ્રમણ કરે છે, ઝિટર્બવેગંગ અસરને આ પરિભ્રમણ તરીકે સમજવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ નંબર સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમ ક્વોન્ટાઇઝેશનના ગાણિતિક નિયમોનું પાલન કરે છે. સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટાના ચોક્કસ ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ સ્પિન ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ અર્ધ-પૂર્ણાંક મૂલ્યો લઈ શકે છે. જો કે તેના પરિભ્રમણની દિશા બદલી શકાય છે, પ્રાથમિક કણના પરિભ્રમણની તીવ્રતા બદલી શકાતી નથી. ચાર્જ કરેલા કણની સ્પિન ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણ સાથે સંકળાયેલી હોય છે, જેમાં-પરિબળ હોય છે, જે 1થી અલગ હોય છે. (શાસ્ત્રીય સંદર્ભમાં, આ ફરતા પદાર્થ માટે આંતરિક ચાર્જ અને દળ વિતરણને અલગ પાડશે.) સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબરની પરંપરાગત વ્યાખ્યા છે, જ્યાં કોઈપણ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. તેથી માન્ય મૂલ્યો 0,1,2, વગેરે છે. પ્રાથમિક કણો માટેનું મૂલ્ય માત્ર કણોના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે અને તેને કોઈ પણ જાણીતી રીતે બદલી શકાતું નથી (નીચે વર્ણવેલ સ્પિન દિશાથી વિપરીત). કોઈપણ ભૌતિક પ્રણાલીની સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમનું પ્રમાણ નક્કી કરવામાં આવે છે. માન્ય મૂલ્યો એ છે કે જ્યાં પ્લાન્ક અચળાંક છે, અને તે ઘટાડેલ પ્લાન્ક અચળાંક છે. તેનાથી વિપરીત, ભ્રમણકક્ષાની કોણીય ગતિ માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યો પર લઈ શકે છે; એટલે કે, ની સમ-ક્રમાંકિત કિંમતો. ફર્મિઓન અને બોસોન અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવતા કણો, જેમ કે,,, ફર્મિઓન તરીકે ઓળખાય છે, જ્યારે 0,1,2 જેવા પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવતા કણોને બોસોન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કણોના બે પરિવારો જુદા જુદા નિયમોનું પાલન કરે છે અને આપણી આસપાસની દુનિયામાં વ્યાપકપણે અલગ ભૂમિકાઓ ધરાવે છે. બે પરિવારો વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે ફર્મિઓન પૌલી બાકાત સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છેઃ એટલે કે, એક સાથે સમાન ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ ધરાવતા બે સમાન ફર્મિઓન ન હોઈ શકે (એટલે કે, આશરે, સમાન સ્થિતિ, વેગ અને સ્પિન દિશા ધરાવતા). ફર્મિઓન ફર્મિ-ડિરેક આંકડાશાસ્ત્રના નિયમોનું પાલન કરે છે. તેનાથી વિપરીત, બોસન્સ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન આંકડાશાસ્ત્રના નિયમોનું પાલન કરે છે અને તેના પર આવા કોઈ પ્રતિબંધ નથી, તેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાં "એકસાથે સમૂહ" કરી શકે છે. ઉપરાંત, સંયુક્ત કણોમાં તેમના ઘટક કણોથી અલગ સ્પિન હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જમીનની સ્થિતિમાં હિલીયમ-4 અણુમાં સ્પિન 0 હોય છે અને તે બોસોનની જેમ વર્તે છે, તેમ છતાં તેને બનાવતા કવાર્ક અને ઇલેક્ટ્રોન બધા ફર્મિઓન હોય છે. આના કેટલાક ગંભીર પરિણામો છેઃ ક્વાર્ક અને લેપ્ટોન (ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુટ્રિનો સહિત), જે શાસ્ત્રીય રીતે દ્રવ્ય તરીકે ઓળખાય છે તે બનાવે છે, તે બધા સ્પિન સાથેના ફર્મિઓન છે. સામાન્ય વિચાર કે "દ્રવ્ય જગ્યા લે છે" વાસ્તવમાં પૌલી બાકાત સિદ્ધાંતમાંથી આવે છે જે ફર્મિઓનને સમાન ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં રહેવાથી રોકવા માટે આ કણો પર કામ કરે છે. વધુ સંકોચન માટે ઇલેક્ટ્રોનને સમાન ઊર્જા સ્થિતિઓ પર કબજો કરવાની જરૂર પડશે, અને તેથી એક પ્રકારનું દબાણ (કેટલીકવાર ઇલેક્ટ્રોનનું અધોગતિ દબાણ તરીકે ઓળખાય છે) ફર્મિઓન વધુ પડતા નજીક હોવાનો પ્રતિકાર કરવા માટે કાર્ય કરે છે. અન્ય સ્પિન સાથે પ્રાથમિક ફર્મિઓન (,, વગેરે) અસ્તિત્વમાં હોવાનું જાણીતું નથી. પ્રાથમિક કણો કે જેને વહન બળો તરીકે માનવામાં આવે છે તે બધા સ્પિન 1 સાથે બોસોન છે. તેમાં ફોટોનનો સમાવેશ થાય છે, જે વિદ્યુતચુંબકીય બળ, ગ્લુઓન (મજબૂત બળ) અને ડબલ્યુ અને ઝેડ બોસોન (નબળા બળ) ધરાવે છે. સમાન ક્વોન્ટમ સ્થિતિ પર કબજો કરવાની બોસોનની ક્ષમતાનો ઉપયોગ લેસરમાં થાય છે, જે સમાન ક્વોન્ટમ સંખ્યા (સમાન દિશા અને આવર્તન) ધરાવતા ઘણા ફોટોનને સંરેખિત કરે છે, હીલિયમ-4 અણુઓના બોસોન હોવાના પરિણામે સુપરફ્લુઇડ પ્રવાહી હિલીયમ અને સુપરકન્ડક્ટિવિટી, જ્યાં ઇલેક્ટ્રોનની જોડી (જે વ્યક્તિગત રીતે ફર્મિઓન છે) એક સંયુક્ત બોસોન તરીકે કાર્ય કરે છે. અન્ય સ્પિન સાથે પ્રાથમિક બોસન્સ (0,2,3, વગેરે) તેઓ ઐતિહાસિક રીતે અસ્તિત્વમાં હોવાનું જાણીતું ન હતું, જો કે તેમને નોંધપાત્ર સૈદ્ધાંતિક સારવાર મળી છે અને તેઓ તેમના સંબંધિત મુખ્ય પ્રવાહના સિદ્ધાંતોમાં સારી રીતે સ્થાપિત છે. ખાસ કરીને, સિદ્ધાંતવાદીઓએ સ્પિન 2 સાથે ગ્રેવિટોન (કેટલાક ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણ સિદ્ધાંતો દ્વારા અસ્તિત્વમાં હોવાની આગાહી) અને સ્પિન 0 સાથે હિગ્સ બોસોન (ઇલેક્ટ્રોવીક સિમેટ્રી બ્રેકિંગને સમજાવીને) નો પ્રસ્તાવ મૂક્યો છે. 2013 થી, સ્પિન 0 સાથે હિગ્સ બોસોન અસ્તિત્વમાં હોવાનું માનવામાં આવે છે. તે પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં હોવાનું જાણીતું પ્રથમ સ્કેલર પ્રાથમિક કણ (સ્પિન 0) છે. અણુ ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયર સ્પિન હોય છે જે કાં તો અર્ધ-પૂર્ણાંક અથવા પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, જેથી ન્યુક્લિયસ ફર્મિઓન અથવા બોસોન હોઈ શકે છે. સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમ સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમ કણોને બે જૂથોમાં વિભાજિત કરે છેઃ બોસન્સ અને ફર્મિઓન્સ, જ્યાં બોસન્સ બોસ-આઈન્સ્ટાઈન સ્ટેટિસ્ટિક્સનું પાલન કરે છે, અને ફર્મિઓન્સ ફર્મિ-ડિરેક સ્ટેટિસ્ટિક્સનું પાલન કરે છે (અને તેથી પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંત). ખાસ કરીને, સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવતા કણો બોસોન છે, જ્યારે અન્ય તમામ કણોમાં અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન હોય છે અને તે ફર્મિઓન હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઇલેક્ટ્રોનમાં અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન હોય છે અને તે ફર્મિઓન હોય છે જે પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે, જ્યારે ફોટોનમાં પૂર્ણાંક સ્પિન હોય છે અને નથી. આ પ્રમેય ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને વિશેષ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત બંને પર આધાર રાખે છે, અને સ્પિન અને આંકડાશાસ્ત્ર વચ્ચેના આ જોડાણને "વિશેષ સાપેક્ષતા સિદ્ધાંતની સૌથી મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશનોમાંથી એક" કહેવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષણો સ્પિન સાથેના કણો ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણ ધરાવી શકે છે, જેમ કે શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં ફરતી વિદ્યુત ચાર્જ બોડી. આ ચુંબકીય ક્ષણોને પ્રાયોગિક રીતે ઘણી રીતે અવલોકન કરી શકાય છે, દા. ત. સ્ટર્ન-ગેર્લાચ પ્રયોગમાં અસમરૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા કણોના વિક્ષેપણ દ્વારા અથવા કણો દ્વારા પેદા થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રોને માપવા દ્વારા. ચાર્જ, દળ અને સ્પિન એંગ્યુલર મોમેન્ટમ સાથે સ્પિન-કણની આંતરિક ચુંબકીય ક્ષણ, જ્યાં પરિમાણહીન જથ્થાને સ્પિન-ફેક્ટર કહેવામાં આવે છે. માત્ર ભ્રમણકક્ષાના પરિભ્રમણ માટે તે 1 હશે (એમ ધારીને કે દળ અને ચાર્જ સમાન ત્રિજ્યાના ગોળાઓ પર કબજો કરે છે). ઇલેક્ટ્રોન, ચાર્જ થયેલ પ્રાથમિક કણ હોવાથી, બિન-શૂન્ય ચુંબકીય ક્ષણ ધરાવે છે. ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સિદ્ધાંતની એક જીત એ ઇલેક્ટ્રોન-પરિબળની તેની સચોટ આગાહી છે, જેનું મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવામાં આવ્યું છે, જેમાં કૌંસમાંના અંકો એક પ્રમાણભૂત વિચલન પર છેલ્લા બે અંકોમાં માપનની અનિશ્ચિતતાને સૂચવે છે. 2 નું મૂલ્ય ડીરાક સમીકરણમાંથી ઉદ્ભવે છે, જે ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણને તેના વિદ્યુતચુંબકીય ગુણધર્મો સાથે જોડતું મૂળભૂત સમીકરણ છે, અને તેનાથી વિચલન તેના પોતાના ક્ષેત્ર સહિત આસપાસના વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે ઇલેક્ટ્રોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાંથી ઉદ્ભવે છે. સંયુક્ત કણો તેમના સ્પિન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષણો પણ ધરાવે છે. ખાસ કરીને, ન્યુટ્રોન વિદ્યુત તટસ્થ હોવા છતાં બિન-શૂન્ય ચુંબકીય ક્ષણ ધરાવે છે. આ હકીકત એ પ્રારંભિક સંકેત હતો કે ન્યુટ્રોન પ્રાથમિક કણ નથી. હકીકતમાં, તે ક્વોર્કથી બનેલો છે, જે વિદ્યુત ચાર્જ કણો છે. ન્યુટ્રોનની ચુંબકીય ક્ષણ વ્યક્તિગત કવાર્કની સ્પિન અને તેમની ભ્રમણકક્ષાની ગતિમાંથી આવે છે. ન્યુટ્રિનો પ્રાથમિક અને વિદ્યુત તટસ્થ બંને છે. લઘુત્તમ વિસ્તૃત પ્રમાણભૂત મોડેલ કે જે બિન-શૂન્ય ન્યુટ્રિનો દળોને ધ્યાનમાં લે છે તે ન્યુટ્રિનો ચુંબકીય દળોની આગાહી કરે છેઃ જ્યાં ન્યુટ્રિનો ચુંબકીય દળો છે, ન્યુટ્રિનો દળો છે, અને તે બોહર ચુંબક છે. જોકે, ઇલેક્ટ્રોવીક સ્કેલથી ઉપરનું નવું ભૌતિકશાસ્ત્ર નોંધપાત્ર રીતે વધુ ન્યુટ્રિનો ચુંબકીય ક્ષણો તરફ દોરી શકે છે. તે મોડેલ-સ્વતંત્ર રીતે દર્શાવી શકાય છે કે લગભગ 10−14 કરતા મોટી ન્યુટ્રિનો ચુંબકીય ક્ષણો "અકુદરતી" છે કારણ કે તે ન્યુટ્રિનો સમૂહમાં મોટા કિરણોત્સર્ગી યોગદાન તરફ પણ દોરી જશે. ન્યુટ્રિનો સમૂહ સૌથી વધુ લગભગ હોવાનું જાણીતું હોવાથી, કિરણોત્સર્ગી સુધારાઓ દ્વારા ન્યુટ્રિનો સમૂહમાં મોટા યોગદાનને રોકવા માટે ફાઇન-ટ્યુનિંગ જરૂરી રહેશે. ન્યુટ્રિનો ચુંબકીય ક્ષણોના માપન એ સંશોધનનું સક્રિય ક્ષેત્ર છે. પ્રાયોગિક પરિણામોએ ન્યુટ્રિનો ચુંબકીય ક્ષણને ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ક્ષણ કરતાં ઓછી કરી છે. બીજી બાજુ સ્પિન ધરાવતા પરંતુ વિદ્યુત ચાર્જ વિનાના પ્રાથમિક કણો, જેમ કે ફોટોન અથવા ઝેડ બોસોનમાં ચુંબકીય ક્ષણ હોતી નથી. ક્યુરી તાપમાન અને સંરેખણની ખોટ સામાન્ય પદાર્થોમાં, વ્યક્તિગત અણુઓની ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણો ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે જે એકબીજાને રદ કરે છે, કારણ કે દરેક દ્વિધ્રુવ યાદૃચ્છિક દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, જેમાં એકંદર સરેરાશ શૂન્યની નજીક હોય છે. જો કે, તેમના ક્યુરી તાપમાનથી નીચેની ફેરોમૅગ્નેટિક સામગ્રી ચુંબકીય ક્ષેત્રો દર્શાવે છે જેમાં અણુ દ્વિધ્રુવ ક્ષણો સ્વયંભૂ સ્થાનિક રીતે સંરેખિત થાય છે, જે ક્ષેત્રમાંથી મેક્રોસ્કોપિક, બિન-શૂન્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ સામાન્ય "ચુંબક" છે જેનાથી આપણે બધા પરિચિત છીએ. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોમાં, વ્યક્તિગત અણુઓની ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય ક્ષણો આંશિક રીતે બાહ્ય રીતે લાગુ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થશે. બીજી બાજુ, ડાયમેગ્નેટિક પદાર્થોમાં, વ્યક્તિગત અણુઓની ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણો કોઈપણ બાહ્ય રીતે લાગુ કરવામાં આવેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે વિરુદ્ધ રીતે સંરેખિત થાય છે, પછી ભલે તે કરવા માટે ઊર્જાની જરૂર હોય. આવા "સ્પિન મોડેલ્સ" ની વર્તણૂકનો અભ્યાસ એ કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સમાં સંશોધનનું સમૃદ્ધ ક્ષેત્ર છે. દાખલા તરીકે, ઇઝિંગ મોડેલ સ્પિન (દ્વિધ્રુવ) નું વર્ણન કરે છે જેમાં માત્ર બે સંભવિત સ્થિતિઓ હોય છે, ઉપર અને નીચે, જ્યારે હેઇસેનબર્ગ મોડેલમાં સ્પિન વેક્ટરને કોઈપણ દિશામાં નિર્દેશ કરવાની મંજૂરી છે. આ નમૂનાઓમાં ઘણા રસપ્રદ ગુણધર્મો છે, જે તબક્કાના સંક્રમણના સિદ્ધાંતમાં રસપ્રદ પરિણામો તરફ દોરી ગયા છે. દિશા સ્પિન પ્રક્ષેપણ ક્વોન્ટમ સંખ્યા અને ગુણાકાર શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, કણની કોણીય ગતિ માત્ર એક તીવ્રતા (પદાર્થ કેટલો ઝડપથી ફરે છે) જ નહીં, પણ એક દિશા (કણના પરિભ્રમણની ધરી પર ઉપર અથવા નીચે) પણ ધરાવે છે. ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક સ્પિનમાં દિશા વિશેની માહિતી પણ હોય છે, પરંતુ તે વધુ સૂક્ષ્મ સ્વરૂપમાં હોય છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ જણાવે છે કે કોઈપણ દિશામાં માપવામાં આવતા સ્પિન-એસ કણ માટે કોણીય વેગનો ઘટક માત્ર તે જ મૂલ્યોને લઈ શકે છે જ્યાં-th અક્ષ (ક્યાં તો,, અથવા) સાથે સ્પિન ઘટક છે, તે-th અક્ષ સાથે સ્પિન પ્રક્ષેપણ ક્વોન્ટમ નંબર છે, અને તે મુખ્ય સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર છે (અગાઉના વિભાગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે). પરંપરાગત રીતે પસંદ કરેલી દિશા એ અક્ષ છેઃ અક્ષ સાથે સ્પિન ઘટક ક્યાં છે, તે અક્ષ સાથે સ્પિન પ્રક્ષેપણ ક્વોન્ટમ નંબર છે. કોઈ જોઈ શકે છે કે તેના સંભવિત મૂલ્યો છે. "સંખ્યા" એ સ્પિન સિસ્ટમની બહુમતી છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્પિન-કણ માટે માત્ર બે સંભવિત મૂલ્યો છેઃ અને. આ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓને અનુરૂપ છે જેમાં સ્પિન ઘટક અનુક્રમે + z અથવા-z દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, અને તેને ઘણીવાર "સ્પિન અપ" અને "સ્પિન ડાઉન" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ડેલ્ટા બેરિયોન જેવા સ્પિન-કણ માટે, સંભવિત મૂલ્યો +, +, −, − છે. વેક્ટર આપેલ ક્વોન્ટમ સ્થિતિ માટે, કોઈ સ્પિન વેક્ટર વિશે વિચારી શકે છે, જેના ઘટકો દરેક અક્ષ સાથે સ્પિન ઘટકોના અપેક્ષા મૂલ્યો છે, એટલે કે. આ વેક્ટર પછી "દિશા" નું વર્ણન કરશે જેમાં સ્પિન નિર્દેશ કરે છે, જે પરિભ્રમણની અક્ષની શાસ્ત્રીય વિભાવનાને અનુરૂપ છે. તે તારણ આપે છે કે સ્પિન વેક્ટર વાસ્તવિક ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક ગણતરીઓમાં ખૂબ ઉપયોગી નથી, કારણ કે તે સીધી રીતે માપી શકાતું નથીઃ, અને તેમની વચ્ચેના ક્વોન્ટમ અનિશ્ચિતતા સંબંધને કારણે એક સાથે ચોક્કસ મૂલ્યો ધરાવી શકતું નથી. જો કે, સમાન શુદ્ધ ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવેલા કણોના આંકડાકીય રીતે મોટા સંગ્રહ માટે, જેમ કે સ્ટર્ન-ગેર્લાચ ઉપકરણના ઉપયોગ દ્વારા, સ્પિન વેક્ટરનો સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત પ્રાયોગિક અર્થ છેઃ તે સામાન્ય જગ્યામાં દિશા સ્પષ્ટ કરે છે જેમાં સંગ્રહમાં દરેક કણને શોધવાની મહત્તમ સંભવિત સંભાવના (100%) પ્રાપ્ત કરવા માટે અનુગામી ડિટેક્ટર લક્ષી હોવું આવશ્યક છે. સ્પિન-કણો માટે, સ્પિન વેક્ટર અને ડિટેક્ટર વચ્ચેનો કોણ વધે તેમ આ સંભાવના સરળતાથી ઘટી જાય છે, જ્યાં સુધી 180°ના ખૂણા પર-એટલે કે, સ્પિન વેક્ટરની વિરુદ્ધ દિશામાં લક્ષી ડિટેક્ટર્સ માટે-સંગ્રહમાંથી કણો શોધવાની અપેક્ષા ઓછામાં ઓછી 0 ટકા સુધી પહોંચે છે. ગુણાત્મક ખ્યાલ તરીકે, સ્પિન વેક્ટર ઘણીવાર ઉપયોગી હોય છે કારણ કે તેને શાસ્ત્રીય રીતે ચિત્રિત કરવું સરળ છે. દાખલા તરીકે, ક્વોન્ટમ-મિકેનિકલ સ્પિન ક્લાસિકલ જાઇરોસ્કોપિક અસરો જેવી ઘટનાઓનું પ્રદર્શન કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ ઇલેક્ટ્રોનને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકીને તેના પર એક પ્રકારનો "ટોર્ક" લગાવી શકે છે (આ ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનની આંતરિક ચુંબકીય દ્વિધ્રુવ ક્ષણ પર કાર્ય કરે છે-નીચેનો વિભાગ જુઓ). પરિણામ એ છે કે સ્પિન વેક્ટર ક્લાસિકલ જાઇરોસ્કોપની જેમ જ પૂર્વગમનમાંથી પસાર થાય છે. આ ઘટનાને ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન રેઝોનન્સ (ESR) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પરમાણુ કેન્દ્રકમાં પ્રોટોનની સમકક્ષ વર્તણૂકનો ઉપયોગ પરમાણુ ચુંબકીય પ્રતિધ્વનિ (એન. એમ. આર.) સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી અને ઇમેજિંગમાં થાય છે. ગાણિતિક રીતે, ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક સ્પિન સ્થિતિઓને વેક્ટર જેવી વસ્તુઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જેને સ્પિનર્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સંકલન પરિભ્રમણ હેઠળ સ્પિનરો અને વેક્ટરની વર્તણૂક વચ્ચે સૂક્ષ્મ તફાવતો છે. ઉદાહરણ તરીકે, 360° દ્વારા સ્પિન-કણને ફેરવવાથી તે સમાન ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં પાછો આવતો નથી, પરંતુ વિરુદ્ધ ક્વોન્ટમ તબક્કા સાથેની સ્થિતિમાં આવે છે; આ સિદ્ધાંતમાં, હસ્તક્ષેપ પ્રયોગો સાથે શોધી શકાય તેવું છે. કણને તેની ચોક્કસ મૂળ સ્થિતિમાં પાછા લાવવા માટે, 720° પરિભ્રમણની જરૂર પડે છે. (પ્લેટ યુક્તિ અને મોબિયસ પટ્ટી બિન-માત્રાત્મક સામ્યતા આપે છે.) ટોર્ક લાગુ થયા પછી પણ સ્પિન-ઝીરો કણની માત્ર એક જ ક્વોન્ટમ સ્થિતિ હોઈ શકે છે. સ્પિન-2 કણને 180° ફેરવવાથી તે સમાન ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં પાછો આવી શકે છે, અને સ્પિન-4 કણને સમાન ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં પાછા લાવવા માટે તેને 90° ફેરવવો જોઈએ. સ્પિન-2 કણ એક સીધી લાકડી જેવું જ હોઈ શકે છે જે તેને 180° ફેરવ્યા પછી પણ સમાન દેખાય છે, અને સ્પિન-0 કણને ગોળા તરીકે કલ્પના કરી શકાય છે, જે તેને જે પણ ખૂણાથી ફેરવવામાં આવે તે પછી સમાન દેખાય છે. ગાણિતિક રચના ઓપરેટર સ્પિન ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગના સમાન પરિવર્તન સંબંધોનું પાલન કરે છેઃ લેવિ-સિવિટા પ્રતીક ક્યાં છે. તે અનુસરે છે (કોણીય વેગની જેમ) કે અને (કુલ આધારમાં કીટ તરીકે વ્યક્ત) ના આઈગનવેક્ટર્સ આ આઈગનવેક્ટર્સ પર કામ કરતા સ્પિન રાઇઝિંગ અને લોઅરિંગ ઓપરેટર્સ ક્યાં આપે છે. પરંતુ ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગથી વિપરીત, આઈગનવેક્ટર્સ ગોળાકાર હાર્મોનિક્સ નથી. તેઓ અને ના કાર્યો નથી. અને ના અર્ધ-પૂર્ણાંક મૂલ્યોને બાકાત રાખવાનું પણ કોઈ કારણ નથી. તમામ ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક કણો આંતરિક સ્પિન ધરાવે છે (જોકે આ મૂલ્ય શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે). કોઈપણ અક્ષ પર સ્પિનનું પ્રક્ષેપણ ઘટાડેલા પ્લાન્ક અચળાંકના એકમોમાં માપવામાં આવે છે, જેમ કે કણનું સ્થિતિ કાર્ય, કહો, નહીં, પરંતુ, જ્યાં ફક્ત નીચેના અલગ સમૂહના મૂલ્યો લઈ શકાય છેઃ એક બોસન્સ (પૂર્ણાંક સ્પિન) અને ફર્મિઓન્સ (અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન) ને અલગ પાડે છે. ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પ્રક્રિયાઓમાં સંરક્ષિત કુલ કોણીય વેગ એ પછી ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગ અને સ્પિનનો સરવાળો છે. પૌલી મેટ્રિક્સ સ્પિન-ઓબ્ઝર્વેબલ્સ સાથે સંકળાયેલા ક્વોન્ટમ-મિકેનિકલ ઓપરેટર્સ કાર્ટેશિયન ઘટકોમાં સ્પિન-કણોના ખાસ કિસ્સામાં, અને ત્રણ પૌલી મેટ્રિક્સ છેઃ પૌલી બાકાત સિદ્ધાંત સમાન કણોની પ્રણાલીઓ માટે આ પૌલી બાકાત સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છે, જે જણાવે છે કે તેના તરંગ કાર્યને કોઈપણ બે કણોના આંતરપરિવર્તન પર બદલવું આવશ્યક છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં તમામ કણો કાં તો બોસોન અથવા ફર્મિઓન હોય છે. કેટલાક સટ્ટાકીય સાપેક્ષવાદી ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોમાં "સુપરસિમેટ્રિક" કણો પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જ્યાં બોસોનીક અને ફર્મિઓનિક ઘટકોના રેખીય સંયોજનો દેખાય છે. બે પરિમાણોમાં, પ્રિફેક્ટરને પરિમાણ 1 ની કોઈપણ જટિલ સંખ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે જેમ કે કોઈપણ પરિમાણમાં. - કણોની સ્થિતિના કાર્યો માટે ઉપરોક્ત ક્રમચયની ધારણા રોજિંદા જીવનમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિણામો ધરાવે છે, દા. ત. રાસાયણિક તત્વોનું સામયિક કોષ્ટક. ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ જણાવે છે કે કોઈપણ દિશામાં માપવામાં આવતા કોણીય વેગના ઘટકો માત્ર સંખ્યાબંધ અલગ મૂલ્યો જ લઈ શકે છે. તેથી કણોના પરિભ્રમણનું સૌથી અનુકૂળ ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક વર્ણન આપેલ અક્ષ પર તેના આંતરિક કોણીય વેગના પ્રક્ષેપણનું આપેલ મૂલ્ય શોધવાના કંપનવિસ્તારને અનુરૂપ જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે છે. દાખલા તરીકે, સ્પિન-કણ માટે, આપણને બે સંખ્યાઓની જરૂર પડશે, જે કોણીય વેગના પ્રક્ષેપણ સાથે તેને શોધવા માટે કંપનવિસ્તાર આપે છે અને જરૂરિયાતને સંતોષે છે. સ્પિન સાથેના સામાન્ય કણ માટે, આપણને આવા પરિમાણોની જરૂર પડશે. આ સંખ્યાઓ અક્ષની પસંદગી પર આધાર રાખે છે, તેથી જ્યારે આ અક્ષને ફેરવવામાં આવે છે ત્યારે તે બિન-તુચ્છ રીતે એક બીજામાં પરિવર્તિત થાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે પરિવર્તનનો નિયમ રેખીય હોવો જોઈએ, તેથી આપણે દરેક પરિભ્રમણ સાથે મેટ્રિક્સને જોડીને તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકીએ છીએ, અને પરિભ્રમણ A અને B ને અનુરૂપ બે પરિવર્તન મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર પરિભ્રમણ AB નું પ્રતિનિધિત્વ કરતા મેટ્રિક્સની બરાબર (તબક્કા સુધી) હોવો જોઈએ. વધુમાં, પરિભ્રમણ ક્વોન્ટમ-યાંત્રિક આંતરિક ઉત્પાદનને જાળવી રાખે છે, અને તે જ રીતે આપણા પરિવર્તન મેટ્રિસીસ પણ જોઈએઃ ગાણિતિક રીતે કહીએ તો, આ મેટ્રિસીસ પરિભ્રમણ જૂથ SO (3) ની એકાત્મક પ્રક્ષેપાત્મક રજૂઆત રજૂ કરે છે. આવી દરેક રજૂઆત એસ. ઓ. (3) ના આવરણ જૂથની રજૂઆતને અનુરૂપ છે, જે એસ. યુ. (2) છે. દરેક પરિમાણ માટે એસયુ (2) ની એક-પરિમાણીય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છે, જો કે આ રજૂઆત સમ (તેથી વાસ્તવિક પરિમાણ) માટે વિષમ અને-પરિમાણીય સંકુલ માટે-પરિમાણીય વાસ્તવિક છે. સામાન્ય વેક્ટર સાથે સમતલમાં ખૂણા દ્વારા પરિભ્રમણ માટે, જ્યાં, અને સ્પિન ઓપરેટરોના વેક્ટર છે. 3-પરિમાણીય જગ્યામાં સામાન્ય પરિભ્રમણ યુલર કોણનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રકારના સંયોજન સંચાલકો દ્વારા બનાવી શકાય છેઃ સંચાલકોના આ જૂથની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત વિગ્નર ડી-મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં વિગ્નરનું નાનું ડી-મેટ્રિક્સ છે. નોંધ લો કે અને માટે; એટલે કે, અક્ષની આસપાસ સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ, વિગ્નર ડી-મેટ્રિક્સ તત્વો બની જાય છે યાદ કરતા કે સામાન્ય સ્પિન સ્થિતિને નિશ્ચિત સાથે સ્થિતિઓના સુપરપોઝિશન તરીકે લખી શકાય છે, આપણે જોઈએ છીએ કે જો પૂર્ણાંક હોય, તો તેના મૂલ્યો બધા પૂર્ણાંકો છે, અને આ મેટ્રિક્સ ઓળખ સંચાલકને અનુરૂપ છે. જો કે, જો અર્ધ-પૂર્ણાંક હોય, તો તેના મૂલ્યો પણ બધા અર્ધ-પૂર્ણાંકો છે, જે બધા માટે આપે છે, અને તેથી 2 દ્વારા પરિભ્રમણ પર સ્થિતિ બાદબાકી ચિહ્ન પસંદ કરે છે. આ હકીકત સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમની સાબિતીનું નિર્ણાયક તત્વ છે. લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન આપણે સામાન્ય લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન હેઠળ સ્પિનનું વર્તન નક્કી કરવા માટે સમાન અભિગમ અજમાવી શકીએ છીએ, પરંતુ આપણે તરત જ એક મોટો અવરોધ શોધી કાઢીશું. એસ. ઓ. (3) થી વિપરીત, લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તનોનું જૂથ એસ. ઓ. (3,1) બિન-સઘન છે અને તેથી તેમાં કોઈ વફાદાર, એકાત્મક, મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆતો નથી. સ્પિન-કણોના કિસ્સામાં, એવી રચના શોધવી શક્ય છે જેમાં મર્યાદિત-પરિમાણીય રજૂઆત અને સ્કેલર પ્રોડક્ટ બંનેનો સમાવેશ થાય છે જે આ રજૂઆત દ્વારા સંરક્ષિત છે. આપણે દરેક કણ સાથે 4-ઘટક ડીરાક સ્પિનોરને સાંકળીએ છીએ. આ સ્પિનરો લોરેન્ટ્ઝ ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ કાયદા અનુસાર રૂપાંતરિત થાય છે જ્યાં ગામા મેટ્રિક્સ છે, અને તે ટ્રાન્સફોર્મેશનને પેરામેટ્રીઝ કરતી 4 × 4 એન્ટિસિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ છે. તે બતાવી શકાય છે કે સ્કેલર ઉત્પાદન સાચવેલ છે. જોકે, તે હકારાત્મક-નિશ્ચિત નથી, તેથી પ્રતિનિધિત્વ એકાત્મક નથી. , અથવા અક્ષો સાથે સ્પિનનું માપન સ્પિન-કણોના દરેક (હર્મિશિયન) પાઉલી મેટ્રિસીસમાં બે આઈગન વેલ્યુ હોય છે, + 1 અને-1. અનુરૂપ સામાન્યીકૃત આઈગનવેક્ટર્સ છે (કારણ કે કોઈ પણ આઈગનવેક્ટરને અચળાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો તે હજુ પણ આઈગનવેક્ટર છે, એકંદર ચિહ્ન વિશે અસ્પષ્ટતા છે. આ લેખમાં, જો કોઈ નિશાનીમાં અસ્પષ્ટતા હોય તો પ્રથમ તત્વને કાલ્પનિક અને નકારાત્મક બનાવવા માટે પરંપરા પસંદ કરવામાં આવી છે. વર્તમાન પરંપરાનો ઉપયોગ સિમ્પાય જેવા સોફ્ટવેર દ્વારા થાય છે; જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રના ઘણા પાઠ્યપુસ્તકો, જેમ કે સકુરાઇ અને ગ્રિફિથ્સ, તેને વાસ્તવિક અને સકારાત્મક બનાવવાનું પસંદ કરે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના અભિધારણાઓ દ્વારા,, અથવા અક્ષ પર ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનને માપવા માટે રચાયેલ પ્રયોગ માત્ર તે અક્ષ પર અનુરૂપ સ્પિન ઓપરેટર (, અથવા) નું આઈગન વેલ્યુ મેળવી શકે છે, એટલે કે. અથવા. કણોની ક્વોન્ટમ સ્થિતિ (સ્પિનના સંદર્ભમાં), બે-ઘટક સ્પિનોર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ જ્યારે આ કણોની સ્પિન આપેલ અક્ષ (આ ઉદાહરણમાં, અક્ષ) ના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે, ત્યારે તેની સ્પિન ન્યાયી તરીકે માપવામાં આવશે. તદનુસાર, તેની સ્પિનને ન્યાયી તરીકે માપવામાં આવશે તેવી સંભાવના. માપન પછી, કણની સ્પિન સ્થિતિ અનુરૂપ આઈગનસ્ટેટમાં તૂટી પડે છે. પરિણામે, જો આપેલ અક્ષ સાથે કણોના પરિભ્રમણને આપેલ આઈગન વેલ્યુ તરીકે માપવામાં આવ્યું હોય, તો તમામ માપ સમાન આઈગન વેલ્યુ (ત્યારથી, વગેરે) આપશે. ), જો કે સ્પિનનું કોઈ માપ અન્ય અક્ષો સાથે કરવામાં ન આવે. મનસ્વી અક્ષ સાથે સ્પિનનું માપન મનસ્વી અક્ષ દિશા સાથે સ્પિનને માપવા માટે ઓપરેટર પાઉલી સ્પિન મેટ્રિસીસમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે. ચાલો એક આર્બિટરી યુનિટ વેક્ટર બનીએ. પછી આ દિશામાં સ્પિન માટેનો ઓપરેટર ફક્ત સામાન્ય સ્પિન મેટ્રિક્સની જેમ જ ઓપરેટર પાસે આઈગનવેલ્યુ છે. મનસ્વી દિશામાં સ્પિન માટે ઓપરેટર શોધવાની આ પદ્ધતિ ઉચ્ચ સ્પિન સ્થિતિઓને સામાન્ય બનાવે છે, એક ત્રણ-,-,-અક્ષ દિશાઓ માટે ત્રણ ઓપરેટરોના વેક્ટર સાથે દિશાનું ડોટ પ્રોડક્ટ લે છે. સ્પિન-ઇન માટે નોર્મલાઇઝ્ડ સ્પિનોર (જે સ્પિન ડાઉન સિવાયની તમામ સ્પિન સ્થિતિઓ માટે કામ કરે છે, જ્યાં તે આપશે) એ છે ઉપરોક્ત સ્પિનોર સામાન્ય રીતે મેટ્રિક્સને વિકર્ણ કરીને અને આઈગનવેલ્યુને અનુરૂપ આઈગનસ્ટેટ શોધીને મેળવવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, વેક્ટરને "નોર્મલાઇઝ્ડ" કહેવામાં આવે છે જ્યારે નોર્મલાઇઝિંગ પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, જે વેક્ટરની એકતાની લંબાઈમાં પરિણમે છે. સ્પિન માપનની સુસંગતતા પૌલી મેટ્રિસીસ પરિવર્તનશીલ ન હોવાથી, વિવિધ અક્ષો સાથે સ્પિનનું માપન અસંગત છે. આનો અર્થ એ છે કે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આપણે અક્ષ સાથે સ્પિનને જાણીએ છીએ, અને પછી આપણે અક્ષ સાથે સ્પિનને માપીએ છીએ, તો આપણે અક્ષ સ્પિન વિશેના આપણા અગાઉના જ્ઞાનને અમાન્ય કરી દીધું છે. આ આઈગનવેક્ટર્સના ગુણધર્મો પરથી જોઈ શકાય છે (એટલે કે. તેથી જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ અક્ષ સાથે કણના પરિભ્રમણને માપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, કણની પરિભ્રમણ સ્થિતિ આઇગનસ્ટેટમાં તૂટી જાય છે. જ્યારે આપણે પછીથી અક્ષ સાથે કણના સ્પિનને માપીશું, ત્યારે સ્પિન સ્થિતિ હવે સંભાવના સાથે ક્યાં તો અથવા દરેકમાં તૂટી જશે. ચાલો આપણે આપણા ઉદાહરણમાં કહીએ કે આપણે માપીએ છીએ. જ્યારે આપણે હવે અક્ષ સાથે કણોના પરિભ્રમણને ફરીથી માપવા માટે પાછા ફરીએ છીએ, ત્યારે આપણે જે સંભાવનાઓને માપીશું અથવા તે દરેક (એટલે કે. તેઓ અનુક્રમે છે). આ સૂચવે છે કે અક્ષ સાથે સ્પિનનું મૂળ માપ હવે માન્ય નથી, કારણ કે અક્ષ સાથે સ્પિનને હવે સમાન સંભાવના સાથે આઇગન વેલ્યુ તરીકે માપવામાં આવશે. ઉચ્ચ સ્પિન સ્પિન-ઓપરેટર એસયુ (2) ની મૂળભૂત રજૂઆત બનાવે છે. આ રજૂઆતના ક્રોનેકર ઉત્પાદનોને વારંવાર પોતાની સાથે લઈને, કોઈ પણ વ્યક્તિ તમામ ઉચ્ચ ઇરેડ્યુસિબલ રજૂઆતો બનાવી શકે છે. એટલે કે, ત્રણ અવકાશી પરિમાણોમાં ઉચ્ચ-સ્પિન પ્રણાલીઓ માટે પરિણામી સ્પિન ઓપરેટરોની ગણતરી આ સ્પિન ઓપરેટર અને લેડર ઓપરેટર્સનો ઉપયોગ કરીને મનસ્વી રીતે મોટા માટે કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે સ્પિનના ક્રોનેકર ઉત્પાદનને લેવાથી ચાર-પરિમાણીય રજૂઆત મળે છે, જે 3-પરિમાણીય સ્પિન-1 (ત્રિપાઇ સ્થિતિ) અને 1-પરિમાણીય સ્પિન-0 રજૂઆત (એકલ સ્થિતિ) માં અલગ કરી શકાય છે. પરિણામી ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો z-આધારમાં નીચેના સ્પિન મેટ્રિક્સ અને આઈગન વેલ્યુઓ આપે છેઃ બહુવિધ કણો પ્રણાલીઓના ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પણ ઉપયોગી છે, સામાન્ય પૌલી જૂથને પૌલી મેટ્રિક્સના તમામ-ગણો ટેન્સર ઉત્પાદનોનો સમાવેશ કરવા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ સ્પિન માટે પાઉલી મેટ્રિસીસની દ્રષ્ટિએ યુલરના સૂત્રનું એનાલોગ સૂત્ર ટ્રેક્ટેબલ છે, પરંતુ ઓછું સરળ છે. ન્યુક્લી અથવા કણો માટે સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબરના કોષ્ટકોમાં, સ્પિનને ઘણીવાર "+" અથવા "-" દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. આ સમ સમાનતા માટે "+" સાથેની સમાનતાનો સંદર્ભ આપે છે (અવકાશી વ્યુત્ક્રમ દ્વારા તરંગ કાર્યમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી) અને વિષમ સમાનતા માટે "-" (અવકાશી વ્યુત્ક્રમ દ્વારા નકારાયેલ તરંગ કાર્ય). ઉદાહરણ તરીકે, બિસ્મથના આઇસોટોપ્સ જુઓ, જેમાં આઇસોટોપ્સની સૂચિમાં સ્તંભ પરમાણુ સ્પિન અને સમાનતાનો સમાવેશ થાય છે. બીઆઈ-209 માટે, સૌથી લાંબા સમય સુધી ટકી રહેલા આઇસોટોપ માટે, પ્રવેશ 9/2 નો અર્થ એ છે કે પરમાણુ સ્પિન 9/2 છે અને સમાનતા વિચિત્ર છે. એપ્લિકેશન્સ સ્પિનમાં મહત્વપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક અસરો અને વ્યવહારુ ઉપયોગો છે. સ્પિનના સુસ્થાપિત સીધા ઉપયોગોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ રસાયણશાસ્ત્રમાં ન્યુક્લિયર મેગ્નેટિક રેઝોનન્સ (એન. એમ. આર.) સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી; રસાયણશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન રેઝોનન્સ (ઇ. એસ. આર. અથવા ઇ. પી. આર.) સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી; દવામાં મેગ્નેટિક રેઝોનન્સ ઇમેજિંગ (એમ. આર. આઈ.), લાગુ કરાયેલ એન. એમ. આર. નો એક પ્રકાર, જે પ્રોટોન સ્પિન ઘનતા પર આધાર રાખે છે; આધુનિક હાર્ડ ડિસ્કમાં જાયન્ટ મેગ્નેટોરોસિસ્ટિવ (જી. એમ. આર.) ડ્રાઇવ-હેડ ટેકનોલોજી. ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન ચુંબકત્વમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, ઉદાહરણ તરીકે કમ્પ્યુટર મેમરીમાં. રાસાયણિક સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી અને તબીબી ઇમેજિંગમાં રેડિયો-ફ્રિક્વન્સી તરંગો (ન્યુક્લિયર મેગ્નેટિક રેઝોનન્સ) દ્વારા ન્યુક્લિયર સ્પિનની હેરફેર મહત્વપૂર્ણ છે. સ્પિન-ઓર્બિટ જોડાણ અણુ વર્ણપટની સુંદર રચના તરફ દોરી જાય છે, જેનો ઉપયોગ પરમાણુ ઘડિયાળોમાં અને બીજાની આધુનિક વ્યાખ્યામાં થાય છે. ઇલેક્ટ્રોનના-પરિબળના ચોક્કસ માપનએ ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના વિકાસ અને ચકાસણીમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી છે. ફોટોન સ્પિન પ્રકાશના ધ્રુવીકરણ (ફોટોન ધ્રુવીકરણ) સાથે સંકળાયેલ છે. સ્પિન ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં દ્વિસંગી માહિતી વાહક તરીકે સ્પિનનો એક ઊભરતો ઉપયોગ છે. 1990માં પ્રસ્તાવિત મૂળ ખ્યાલ દત્ત-દાસ સ્પિન ટ્રાન્ઝિસ્ટર તરીકે ઓળખાય છે. સ્પિન ટ્રાન્ઝિસ્ટર પર આધારિત ઇલેક્ટ્રોનિક્સને સ્પિન્ટ્રોનિક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મેટલ-ડોપ્ડ ZnO અથવા TiO2 જેવી પાતળા ચુંબકીય સેમિકન્ડક્ટર સામગ્રીમાં સ્પિનની હેરફેર વધુ સ્વતંત્રતા આપે છે અને વધુ કાર્યક્ષમ ઇલેક્ટ્રોનિક્સના બનાવટને સરળ બનાવવાની ક્ષમતા ધરાવે છે. સ્પિનના ઘણા પરોક્ષ ઉપયોગો અને અભિવ્યક્તિઓ અને સંકળાયેલ પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંત છે, જે રસાયણશાસ્ત્રના સામયિક કોષ્ટકથી શરૂ થાય છે. સ્પિનની શોધ સૌપ્રથમ ક્ષારયુક્ત ધાતુઓના ઉત્સર્જન વર્ણપટના સંદર્ભમાં થઈ હતી. 1924માં, વોલ્ફગેંગ પાઉલીએ સૌથી બાહ્ય કવચમાં ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ "શાસ્ત્રીય રીતે વર્ણવી ન શકાય તેવી દ્વિ-મૂલ્યની" રજૂઆત કરી હતી. આનાથી તેમને પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંત ઘડવાની મંજૂરી મળી, જેમાં જણાવ્યું હતું કે કોઈ પણ બે ઇલેક્ટ્રોન એક જ ક્વોન્ટમ પ્રણાલીમાં સમાન ક્વોન્ટમ સ્થિતિ ધરાવી શકતા નથી. પાઉલીની "ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ" નું ભૌતિક અર્થઘટન શરૂઆતમાં અજ્ઞાત હતું. લેન્ડેના એક સહાયક રાલ્ફ ક્રોનિગે 1925ની શરૂઆતમાં સૂચવ્યું હતું કે તે ઇલેક્ટ્રોનના સ્વ-પરિભ્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થયું હતું. જ્યારે પાઉલીએ આ વિચાર વિશે સાંભળ્યું, ત્યારે તેમણે તેની આકરી ટીકા કરી હતી, અને નોંધ્યું હતું કે ઇલેક્ટ્રોનની કાલ્પનિક સપાટીએ પ્રકાશની ઝડપ કરતાં વધુ ઝડપથી આગળ વધવું પડશે જેથી તે જરૂરી કોણીય વેગ પેદા કરવા માટે ઝડપથી ફરે. આ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરશે. મોટે ભાગે પૌલીની ટીકાને કારણે, ક્રોનિગે પોતાનો વિચાર પ્રકાશિત ન કરવાનો નિર્ણય લીધો. 1925ની પાનખરમાં, લીડેન યુનિવર્સિટીના ડચ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ જ્યોર્જ ઉહલેનબેક અને સેમ્યુઅલ ગૌડ્સમિટને પણ આ જ વિચાર આવ્યો હતો. પોલ એહરેનફેસ્ટની સલાહ હેઠળ, તેઓએ તેમના પરિણામો પ્રકાશિત કર્યા. તેને અનુકૂળ પ્રતિસાદ મળ્યો, ખાસ કરીને જ્યારે લેવેલિન થોમસ પ્રાયોગિક પરિણામો અને ઉહલેનબેક અને ગૌડ્સમિટની ગણતરીઓ (અને ક્રોનિગના અપ્રકાશિત પરિણામો) વચ્ચે બે પરિબળોની વિસંગતતાને ઉકેલવામાં સફળ રહ્યા. આ વિસંગતતા તેની સ્થિતિ ઉપરાંત ઇલેક્ટ્રોનની સ્પર્શક ફ્રેમની દિશાને કારણે હતી. ગાણિતિક રીતે કહીએ તો, ફાઇબર બંડલનું વર્ણન જરૂરી છે. સ્પર્શક બંડલ અસર એડિટિવ અને સાપેક્ષ છે; એટલે કે, જો તે અનંત સુધી જાય તો તે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તે સ્પર્શક-અવકાશ દિશાને ધ્યાનમાં લીધા વિના મેળવેલા મૂલ્યનો અડધો ભાગ છે, પરંતુ વિરુદ્ધ સંકેત સાથે. આમ સંયુક્ત અસર બીજા પરિબળથી અલગ પડે છે (થોમસ પ્રેસેશન, જે 1914માં લુડવિક સિલ્બરસ્ટીન દ્વારા જાણીતું હતું). તેમના પ્રારંભિક વાંધાઓ છતાં, પાઉલીએ 1927માં શ્રોડિંગર અને હેઇસેનબર્ગ દ્વારા શોધાયેલા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના આધુનિક સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સ્પિનના સિદ્ધાંતને ઔપચારિક બનાવ્યો હતો. તેમણે સ્પિન ઓપરેટરોની રજૂઆત તરીકે પાઉલી મેટ્રિસીસના ઉપયોગની પહેલ કરી અને બે-ઘટક સ્પિનોર વેવ-ફંક્શન રજૂ કર્યું. ઉહ્લેનબેક અને ગૌડ્સમિટે સ્પિનને શાસ્ત્રીય પરિભ્રમણમાંથી ઉદ્ભવતા હોવાનું માન્યું હતું, જ્યારે પાઉલીએ ભાર મૂક્યો હતો કે સ્પિન એ બિન-શાસ્ત્રીય અને આંતરિક ગુણધર્મ છે. પાઉલીનો સ્પિનનો સિદ્ધાંત બિન-સાપેક્ષવાદી હતો. જો કે, 1928 માં, પોલ ડીરાકે ડીરાક સમીકરણ પ્રકાશિત કર્યું, જેમાં સાપેક્ષતાવાદી ઇલેક્ટ્રોનનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. ડીરાક સમીકરણમાં, ઇલેક્ટ્રોન તરંગ-કાર્ય માટે ચાર-ઘટક સ્પિનોર (જેને "ડીરાક સ્પિનોર" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સાપેક્ષવાદી સ્પિનએ જાઇરોમેગ્નેટિક વિસંગતતાને સમજાવી, જે (ભૂતકાળમાં) સૌપ્રથમ સેમ્યુઅલ જેક્સન બાર્નેટ દ્વારા 1914 માં જોવામાં આવી હતી (આઈન્સ્ટાઈન-ડી હાસ અસર જુઓ). 1940માં, પાઉલીએ સ્પિન-સ્ટેટિસ્ટિક્સ થીયરમ સાબિત કર્યું, જે જણાવે છે કે ફર્મિઓનમાં અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન હોય છે, અને બોસોનમાં પૂર્ણાંક સ્પિન હોય છે. ભૂતકાળમાં, ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનનો પ્રથમ સીધો પ્રાયોગિક પુરાવો 1922નો સ્ટર્ન-ગેર્લાચ પ્રયોગ હતો. જો કે, આ પ્રયોગની સાચી સમજૂતી માત્ર 1927માં જ આપવામાં આવી હતી. આ પણ જુઓ ચિરાલિટી (ભૌતિકશાસ્ત્ર) ડાયનેમિક ન્યુક્લિયર પોલરાઇઝેશન હેલિસિટી (કણ ભૌતિકશાસ્ત્ર) હોલ્સ્ટીન-પ્રિમાકોફ ટ્રાન્સફોર્મેશન ક્રેમર્સ થીયરમ પૌલી સમીકરણ પૌલી-લુબાંસ્કી સ્યુડોવેક્ટર રારીટા-શ્વિંગર સમીકરણ પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત એસયુ (2) પ્રકાશ સ્પિન ઇજનેરીના સ્પિન કોણીય વેગ હાઇડ્રોજન સ્પિન-ભ્રમણકક્ષાની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સ્પિન ટેન્સર સ્પિન તરંગ યાસ્ટના આઇસોમર્સ સંદર્ભો વધુ વાંચન સિન-ઇટિરો ટોમોનાગા, સ્પિનની વાર્તા, 1997 બાહ્ય કડીઓ ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનની શોધ પર ગૌડ્સમિટ. પ્રકૃતિઃ 1896 થી 'સ્પિન' માં સીમાચિહ્નો. ઇસીઈ 495એન વ્યાખ્યાન 36: એસ. દત્ત દ્વારા સ્પિન ઓનલાઇન વ્યાખ્યાન પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત ભૌતિક જથ્થા