3 31 honeycomb
7-પરિમાણીય ભૂમિતિમાં, 331 હનીકોમ્બ એક સમાન હનીકોમ્બ છે, જે સ્ક્લાફલી પ્રતીક {3,3,3,33,1} દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે અને તે 321 અને 7-જટિલ પાસાઓથી બનેલો છે, જેમાં દરેક શિરોબિંદુની આસપાસ અનુક્રમે 56 અને 576 છે. તે 7-પરિમાણીય જગ્યામાં 8 હાયપરપ્લેન અરીસાઓના સમૂહ પર વાયથોફ બાંધકામ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું છે. પાસાની માહિતી તેના કોક્સેટર-ડાયન્કિન આકૃતિમાંથી મેળવી શકાય છે. ટૂંકી શાખા પર નોડને દૂર કરવાથી 6-સરળ પાસું નીકળી જાય છેઃ 3-લંબાઈની શાખાના અંતે નોડને દૂર કરવાથી 321 પાસું નીકળી જાય છેઃ શિરોબિંદુ આકૃતિ રિંગવાળા નોડને દૂર કરીને અને પડોશી નોડને રિંગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આ 233 પોલીટોપ બનાવે છે. ધારની આકૃતિ રિંગવાળા નોડને દૂર કરીને અને પડોશી નોડને રિંગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આ 6-ડેમિક્યુબ (131) બનાવે છે. ચહેરાની આકૃતિ રિંગવાળા નોડને દૂર કરીને અને પડોશી નોડને રિંગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આ સુધારેલ 5-સિમ્પ્લેક્સ (031) બનાવે છે. કોષની આકૃતિ ચહેરાની આકૃતિના રિંગવાળા નોડને દૂર કરીને અને પડોશી ગાંઠોને રિંગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આ ટેટ્રાહેડ્રલ પ્રિઝમ {} × {3,3} બનાવે છે. ચુંબન સંખ્યા આ ટેસેલેશનનું દરેક શિરોબિંદુ 7 પરિમાણોમાં સૌથી વધુ ગીચ પેકિંગમાં 6-ગોળાનું કેન્દ્ર છે; તેની ચુંબન સંખ્યા 126 છે, જે તેના શિરોબિંદુ આકૃતિ 211ના શિરોબિંદુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે. E7 જાળી 331 હનીકોમ્બની શિરોબિંદુ ગોઠવણીને E7 જાળી કહેવામાં આવે છે. તે અનુક્રમણિકા 144 ના પેટાજૂથ તરીકે સમાવે છે. બંને અને તેને વિવિધ ગાંઠોમાંથી એફાઇન એક્સ્ટેંશન તરીકે જોઈ શકાય છેઃ E7 જાળીને બે A7 જાળીઓના શિરોબિંદુઓના જોડાણ તરીકે પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે, જેને A72: = ≤ પણ કહેવાય છે. E7 * જાળીનો વોરોનોઈ કોષ 132 પોલીટોપ છે, અને વોરોનોઈ ટેસેલેશન 133 હનીકોમ્બ છે. E7 * જાળીનું નિર્માણ E7 જાળીના શિરોબિંદુઓની 2 નકલો દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે કોક્સેટર આકૃતિની દરેક લાંબી શાખામાંથી એક છે, અને તેને ચાર A7 * જાળીઓના જોડાણ તરીકે બનાવી શકાય છે, જેને A74: ≤ = ≤ ≤ = દ્વિગુણિત પણ કહેવાય છે. સંબંધિત હનીકોમ્બ્સ તે સમાન પોલીટોપ અને હનીકોમ્બ્સની પરિમાણીય શ્રેણીમાં છે, જેને કોક્સેટર દ્વારા 3k1 શ્રેણી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ડીજનરેટ 4-ડાયમેન્શનલ કેસ 3-ગોળાકાર ટાઇલિંગ તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જે ટેટ્રાહેડ્રલ હોસોહેડ્રોન છે. 8-પોલીટોપ 133 હનીકોમ્બ સંદર્ભો એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, રેગ્યુલર પોલીટોપ્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, ડોવર ન્યૂયોર્ક, 1973 કોક્સેટર ધ બ્યુટી ઓફ જીઓમેટ્રીઃ ટ્વેલ્વ એસેઝ, ડોવર પબ્લિકેશન્સ, 1999, (પ્રકરણ 3: યુનિફોર્મ પોલીટોપ્સ માટે વિથોફનું નિર્માણ) કેલિડોસ્કોપઃ એચ. એસ. એમ. ના પસંદ કરેલા લખાણો પણ જુઓ. કોક્સેટર, એફ. આર્થર શેર્ક, પીટર મેકમુલન, એન્થોની સી. થોમ્પસન દ્વારા સંપાદિત, એશિયા આઇવિક વેઇસ, વિલી-ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિકેશન, 1995, ગૂગલબુક (પેપર 24) એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, નિયમિત અને અર્ધ-નિયમિત પોલીટોપ્સ III, [ગણિત. ઝીરો. 200 (1988) 3-45] આર. ટી. વોર્લી, E7 * નો વોરોનોઈ પ્રદેશ. SIAM J. ડિસ્ક્રીટ મઠ., 1.1 (1988), 134-141. p 124-125,8.2 7-ડાયમેન્સિનોઅલ જાળીઓઃ E7 અને E7 * 8-બહુપદી