Cluster expansion
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, ક્લસ્ટર વિસ્તરણ (જેને ઉચ્ચ તાપમાન વિસ્તરણ અથવા હોપિંગ વિસ્તરણ પણ કહેવાય છે) એ એક મોડેલની આસપાસ આંકડાકીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના વિભાજન કાર્યનું શક્તિ શ્રેણી વિસ્તરણ છે જે બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ 0-પરિમાણીય ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતોનું જોડાણ છે. ક્લસ્ટર વિસ્તરણના કાર્યમાં ઉદ્ભવ થયો. સામાન્ય વિક્ષેપ વિસ્તરણ જે સામાન્ય રીતે અલગ એસિમ્પ્ટોટિક શ્રેણી તરફ દોરી જાય છે તેનાથી વિપરીત, ક્લસ્ટર વિસ્તરણ બિન-તુચ્છ પ્રદેશમાં ભેગા થઈ શકે છે, ખાસ કરીને જ્યારે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા નાની અને ટૂંકા અંતરની હોય. ક્લાસિકલ કેસ જનરલ થિયરી આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયાશીલ કણોની પ્રણાલીના ગુણધર્મોને પાર્ટીશન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવવામાં આવે છે. એન બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણો માટે, પ્રણાલીને હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, અને વિભાજન કાર્યની ગણતરી (શાસ્ત્રીય કેસ માટે) આ રીતે કરી શકાય છે. વિભાજન કાર્યમાંથી, કોઈ વ્યક્તિ હેલ્મહોલ્ટ્ઝ મુક્ત ઊર્જાની ગણતરી કરી શકે છે અને તેમાંથી, પ્રણાલીના તમામ થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મો, જેમ કે એન્ટ્રોપી, આંતરિક ઊર્જા, રાસાયણિક સંભવિતતા વગેરે. જ્યારે સિસ્ટમના કણો ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે, ત્યારે પાર્ટીશન કાર્યની ચોક્કસ ગણતરી સામાન્ય રીતે શક્ય નથી. ઓછી ઘનતા માટે, ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને બે-કણ સંભવિતતાના સરવાળા સાથે અંદાજિત કરી શકાય છેઃ આ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિતતા માટે, પાર્ટીશન કાર્યને આ રીતે લખી શકાય છે, અને મુક્ત ઊર્જા છે, જ્યાં Q એ રૂપરેખાંકન અભિન્ન છેઃ રૂપરેખાંકન અભિન્નની ગણતરી સામાન્ય જોડી સંભવિતતા માટે રૂપરેખાંકન અભિન્નની વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગણતરી કરી શકાતી નથી. આશરે પોટેન્શિયલની ગણતરી કરવાની એક રીત મેયર ક્લસ્ટર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવાનો છે. આ વિસ્તરણ એ અવલોકન પર આધારિત છે કે સમીકરણમાં ઘાતાંકને સ્વરૂપના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. આગળ, મેયર ફંક્શનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો. અવેજી પછી, રૂપરેખાંકન સંકલન માટેનું સમીકરણ બને છેઃ ઉપરોક્ત સમીકરણમાં ગુણાકારની ગણતરી શરતોની શ્રેણીમાં દોરી જાય છે; પ્રથમ એકની બરાબર છે, બીજી મુદત શરતોના i અને j પરના સરવાળા જેટલી છે, અને જ્યાં સુધી તમામ ઉચ્ચ ક્રમની શરતોની ગણતરી કરવામાં ન આવે ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે. દરેક શબ્દ માત્ર એક જ વાર આવવો જોઈએ. આ વિસ્તરણ સાથે સામેલ કણોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં વિવિધ ક્રમની શરતો શોધવાનું શક્ય છે. પ્રથમ શબ્દ બિન-ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દ છે (કણો વચ્ચે કોઈ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને અનુરૂપ નથી), બીજો શબ્દ બે-કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને અનુરૂપ છે, ત્રીજો 4 (જરૂરી નથી કે અલગ) કણો વચ્ચેની બે-કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને અનુરૂપ છે, અને તેથી વધુ. આ ભૌતિક અર્થઘટન જ કારણ છે કે આ વિસ્તરણને સમૂહ વિસ્તરણ કહેવામાં આવે છેઃ સરવાળાને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે જેથી દરેક શબ્દ ચોક્કસ સંખ્યામાં કણોના સમૂહની અંદરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે. રૂપરેખાંકન માટે ઉત્પાદનના વિસ્તરણને અભિવ્યક્તિમાં પાછું બદલીને અભિન્ન પરિણામો માટે શ્રેણી વિસ્તરણમાં પરિણમે છેઃ મુક્ત ઊર્જા માટેના સમીકરણમાં બદલીને, ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોની પ્રણાલી માટે સ્થિતિનું સમીકરણ મેળવવું શક્ય છે. સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે, જેને વાયરિયલ સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને ઘટકો વાયરિયલ ગુણાંક છે. દરેક વાયરિયલ ગુણાંક ક્લસ્ટર વિસ્તરણમાંથી એક પદને અનુરૂપ છે (બે-કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દ છે, ત્રણ-કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શબ્દ છે અને તેથી વધુ). માત્ર બે-કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને ધ્યાનમાં રાખીને, તે દર્શાવી શકાય છે કે ક્લસ્ટર વિસ્તરણ, કેટલાક અંદાજો સાથે, વેન ડેર વાલ્સનું સમીકરણ આપે છે. આને આગળ વાયુઓ અને પ્રવાહી દ્રાવણના મિશ્રણ પર લાગુ કરી શકાય છે. સંદર્ભો, પ્રકરણ 9. આંકડાકીય મિકેનિક્સ