Regiomontanus' angle maximization problem
ગણિતમાં, રેજીયોમોન્ટાનસની કોણ મહત્તમકરણ સમસ્યા, 15મી સદીના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન્સ મુલર (જેને રેજીયોમોન્ટાનસ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલી એક પ્રખ્યાત ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા છે. સમસ્યા નીચે મુજબ છેઃ એક ચિત્ર દિવાલ પર લટકેલું છે. દર્શકોની આંખના સ્તરની ઉપર પેઇન્ટિંગની ઉપર અને નીચેની ઊંચાઈને ધ્યાનમાં રાખીને, પેઇન્ટિંગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા ખૂણાને મહત્તમ કરવા માટે દર્શકે દિવાલથી કેટલું દૂર ઊભા રહેવું જોઈએ અને જેની ટોચ દર્શકની આંખ પર છે? જો દર્શક દિવાલની ખૂબ નજીક અથવા દિવાલથી ખૂબ દૂર ઊભો હોય, તો કોણ નાનો હોય છે; તેની વચ્ચે ક્યાંક શક્ય તેટલું મોટું હોય છે. રગ્બીમાં બોલને લાત મારવા માટે શ્રેષ્ઠ સ્થળ શોધવા માટે આ જ અભિગમ લાગુ પડે છે. તે બાબત માટે, તે જરૂરી નથી કે ચિત્રનું સંરેખણ જમણા ખૂણા પર હોયઃ આપણે કદાચ પિસાના ઝૂકતા ટાવરની બારી તરફ જોઈ રહ્યા હોઈએ અથવા કોઈ રિયલ્ટર ઢાળવાળી એટિક છતમાં આકાશના પ્રકાશના ફાયદાઓ દર્શાવે છે. પ્રાથમિક ભૂમિતિ દ્વારા ઉકેલ પેઇન્ટિંગની ઉપર અને નીચેથી પસાર થતું એક અનોખું વર્તુળ છે અને આંખ-સ્તરની રેખા પર સ્પર્શક છે. પ્રાથમિક ભૂમિતિ દ્વારા, જો દર્શકની સ્થિતિ વર્તુળ સાથે આગળ વધવાની હોય, તો પેઇન્ટિંગ દ્વારા ઘટાડેલ કોણ સ્થિર રહેશે. સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ સિવાય આંખ-સ્તરની રેખા પરની તમામ સ્થિતિઓ વર્તુળની બહાર હોય છે, અને તેથી તે બિંદુઓથી ચિત્ર દ્વારા રજૂ કરાયેલો ખૂણો નાનો હોય છે. ધારો કે a = આંખના સ્તરથી ઉપર ચિત્રના તળિયાની ઊંચાઈ; b = આંખના સ્તરથી ઉપર ચિત્રની ટોચની ઊંચાઈ; વર્તુળના કેન્દ્ર, ચિત્રના કેન્દ્ર અને ચિત્રના તળિયેથી જમણો ત્રિકોણ રચાય છે. હાયપોટેન્યુઝની વર્તુળની ત્રિજ્યાની લંબાઈ a + (b-a)/2 હોય છે, બે પગની લંબાઈ દિવાલથી સ્પર્શક બિંદુ સુધીનું અંતર અને (b-a)/2 અનુક્રમે હોય છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર, દિવાલથી સ્પર્શક બિંદુ સુધીનું અંતર એટલે કે ચિત્રની ઉપર અને નીચેની ઊંચાઈનું ભૌમિતિક સરેરાશ છે. કલન દ્વારા ઉકેલ વર્તમાન સમયમાં, આ સમસ્યા વ્યાપકપણે જાણીતી છે કારણ કે તે ઘણા પ્રથમ વર્ષના કલન પાઠ્યપુસ્તકોમાં (ઉદાહરણ તરીકે સ્ટુઅર્ટની) એક કવાયત તરીકે દેખાય છે. ધારો કે a = આંખના સ્તરની ઉપર પેઇન્ટિંગના તળિયાની ઊંચાઈ; b = આંખના સ્તરની ઉપર પેઇન્ટિંગની ટોચની ઊંચાઈ; x = દિવાલથી દર્શકનું અંતર; α = પેઇન્ટિંગના તળિયાની ઊંચાઈનો કોણ, જે દર્શકની સ્થિતિ પરથી જોવામાં આવે છે; β = પેઇન્ટિંગની ટોચની ઊંચાઈનો કોણ, જે દર્શકની સ્થિતિ પરથી જોવામાં આવે છે. આપણે જે ખૂણો મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ તે β − α છે. જેમ જેમ ખૂણો વધે છે તેમ તેમ કોણની સ્પર્શક વધે છે; તેથી તે મહત્તમ કરવા માટે પૂરતું છે કારણ કે b − a એ હકારાત્મક અચળાંક છે, તેથી આપણે તેને અનુસરતા અપૂર્ણાંકને મહત્તમ કરવાની જરૂર છે. તેથી જેમ જેમ x એ 0 થી આગળ વધે છે તેમ તેમ કોણ વધે છે અને જેમ x વધે છે તેમ ઘટે છે. તેથી જ્યારે x =, a અને b નો ભૌમિતિક સરેરાશ હોય ત્યારે ખૂણો શક્ય તેટલો મોટો હોય છે. બીજગણિત દ્વારા ઉકેલ આપણે જોયું છે કે તે મહત્તમ કરવા માટે પૂરતું છે આ પારસ્પરિકને ઘટાડવાની સમકક્ષ છેઃ અવલોકન કરો કે આ છેલ્લો જથ્થો બરાબર છે. વૈકલ્પિક રીતે, આપણે આને અંકગણિત અને ભૌમિતિક માધ્યમો વચ્ચેની અસમાનતાના ઉદાહરણ તરીકે ટાંકી શકીએ છીએ. સંદર્ભો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળો ગણતરી ગણિતનો ઇતિહાસ ગાણિતિક સમસ્યાઓ