Polar action
ગણિતમાં, ધ્રુવીય ક્રિયા એ સંપૂર્ણ રીમેનીયન મેનીફોલ્ડ M પર આવેલા લાઈ જૂથ Gની યોગ્ય અને સમમિતિય ક્રિયા છે, જેના માટે એક સંપૂર્ણ સબમેનીફોલ્ડ અસ્તિત્વમાં છે જે તમામ ભ્રમણકક્ષાઓને મળે છે અને તેમને હંમેશા ઓર્થોગોનલી રીતે મળે છે; આવા સબમેનીફોલ્ડને વિભાગ કહેવામાં આવે છે. એક વિભાગ સંપૂર્ણપણે ભૌમિતિક હોવો જરૂરી છે. જો ધ્રુવીય ક્રિયાના વિભાગો પ્રેરિત મેટ્રિકના સંદર્ભમાં સપાટ હોય, તો તે ક્રિયાને હાયપરપોલર કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન જગ્યાઓ પર રેખીય ઓર્થોગોનલ ક્રિયાઓના કિસ્સામાં, ધ્રુવીય ક્રિયાઓને ધ્રુવીય રજૂઆત કહેવામાં આવે છે. રીમાનિયન સપ્રમાણ જગ્યાઓની આઇસોટ્રોપી રજૂઆતો ધ્રુવીય રજૂઆતોના મૂળભૂત ઉદાહરણો છે. તેનાથી વિપરીત, દાદોકે યુક્લિડિયન જગ્યાઓ પર કોમ્પેક્ટ લાઈ જૂથોની ધ્રુવીય રજૂઆતોને વર્ગીકૃત કરી છે, અને તે તેના વર્ગીકરણ પરથી અનુસરે છે કે આવી રજૂઆત સમપ્રમાણ અવકાશની આઇસોટ્રોપી રજૂઆત જેવી જ ભ્રમણકક્ષા ધરાવે છે. સંદર્ભો બર્ન્ડ્ટ, જે; ઓલ્મોસ, સી; કન્સોલ, એસ. (2003). "સબમેનિફોલ્ડ્સ એન્ડ હોલોનોમી", ચેપમેન એન્ડ હોલ/સી. આર. સી., ગણિતમાં સંશોધન નોંધો, 434, વિભેદક ભૂમિતિ