Google matrix
ગૂગલ મેટ્રિક્સ એ એક વિશિષ્ટ સ્ટોકેસ્ટિક મેટ્રિક્સ છે જેનો ઉપયોગ ગૂગલના પેજરેંક અલ્ગોરિધમ દ્વારા થાય છે. મેટ્રિક્સ પૃષ્ઠો વચ્ચેની કડીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી ધાર સાથે ગ્રાફનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. દરેક પૃષ્ઠનું પેજરેંક પછી પાવર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગૂગલ મેટ્રિક્સમાંથી પુનરાવર્તિત રીતે બનાવી શકાય છે. જો કે, પાવર પદ્ધતિને કન્વર્જ કરવા માટે, મેટ્રિક્સ સ્ટોકેસ્ટિક, ઈરીડ્યુસિબલ અને એપેરિયોડિક હોવો જોઈએ. એડજેસેન્સી મેટ્રિક્સ A અને માર્કોવ મેટ્રિક્સ S ગૂગલ મેટ્રિક્સ G જનરેટ કરવા માટે, આપણે પહેલા એડજેસેન્સી મેટ્રિક્સ A જનરેટ કરવું જોઈએ જે પૃષ્ઠો અથવા નોડ્સ વચ્ચેના સંબંધોને રજૂ કરે છે. ધારો કે ત્યાં N પૃષ્ઠો છે, તો આપણે નીચે પ્રમાણે કરીને A ભરી શકીએ છીએઃ જો નોડમાં નોડની લિંક હોય તો મેટ્રિક્સ તત્વ 1 થી ભરવામાં આવે છે, અને અન્યથા 0; આ લિંક્સની સંલગ્નતા મેટ્રિક્સ છે. આપેલ નેટવર્કની માર્કોવ સાંકળમાં સંક્રમણોને અનુરૂપ સંબંધિત મેટ્રિક્સ S નું નિર્માણ A થી કૉલમ "j" ના તત્વોને સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીને કરવામાં આવે છે જ્યાં નોડ j થી અન્ય તમામ નોડ્સમાં આઉટગોઇંગ લિંક્સની કુલ સંખ્યા છે. ઝૂલતા ગાંઠોને અનુરૂપ શૂન્ય મેટ્રિક્સ ઘટકો ધરાવતા સ્તંભોને સ્થિર મૂલ્ય 1/N દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આવી પ્રક્રિયા દરેક સિંકમાંથી એક કડી ઉમેરે છે, દરેક અન્ય નોડમાં લટકતી સ્થિતિ. હવે રચના દ્વારા મેટ્રિક્સ S ના કોઈપણ સ્તંભમાં તમામ તત્વોનો સરવાળો એકતાની બરાબર છે. આ રીતે મેટ્રિક્સ S ગાણિતિક રીતે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તે માર્કોવ સાંકળોના વર્ગ અને પેરોન-ફ્રોબેનિયસ ઓપરેટરોના વર્ગ સાથે સંબંધિત છે. તે S ને પેજરેંક અલ્ગોરિધમ માટે યોગ્ય બનાવે છે. ગૂગલ મેટ્રિક્સ G ની રચના પછી અંતિમ ગૂગલ મેટ્રિક્સ G ને S દ્વારા આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ રચના દ્વારા દરેક મેટ્રિક્સ સ્તંભની અંદરના તમામ બિન-નકારાત્મક તત્વોનો સરવાળો એકતાની બરાબર છે. આંકડાકીય ગુણાંકને ભીનાશ પરિબળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે S એક વિરલ મેટ્રિક્સ છે અને આધુનિક નિર્દેશિત નેટવર્ક માટે તેમાં રેખા અથવા સ્તંભમાં માત્ર દસ બિન-શૂન્ય ઘટકો હોય છે, આમ મેટ્રિક્સ G દ્વારા વેક્ટરને ગુણવા માટે માત્ર 10N ગુણાકારની જરૂર પડે છે. (1) એક સરળ નેટવર્કની અંદર 'ચેયરેન્ક "લેખમાં આપવામાં આવ્યું છે. વાસ્તવિક મેટ્રિક્સ માટે, ગૂગલ 0.85 ની આસપાસ ડેમ્પિંગ ફેક્ટરનો ઉપયોગ કરે છે. આ શબ્દ સર્ફરને કોઈપણ પૃષ્ઠ પર અવ્યવસ્થિત રીતે કૂદવાની સંભાવના આપે છે. મેટ્રિક્સ માર્કોવ સાંકળોના પેરોન-ફ્રોબેનિયસ ઓપરેટરોના વર્ગને અનુસરે છે. ગૂગલ મેટ્રિક્સ માળખાના ઉદાહરણો 2009માં વિકિપીડિયા લેખો હાયપરલિંક નેટવર્ક માટે Fig.1 માં નાના પાયે અને 2006માં યુનિવર્સિટી ઓફ કેમ્બ્રિજ નેટવર્ક માટે Fig.2 માં મોટા પાયે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. G મેટ્રિક્સના સ્પેક્ટ્રમ અને આઈગનસ્ટેટ માટે અનુરૂપ જમણા આઈગનવેક્ટર સાથે માત્ર એક જ મહત્તમ આઈગન વેલ્યુ છે જેમાં બિન-નકારાત્મક તત્વો હોય છે જેને સ્થિર સંભાવના વિતરણ તરીકે જોઈ શકાય છે. તેમના ઘટતા મૂલ્યો દ્વારા આદેશિત આ સંભાવનાઓ વેબપૃષ્ઠોને ક્રમ આપવા માટે ગૂગલ શોધ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા પેજરેંક સાથે પેજરેંક વેક્ટર આપે છે. સામાન્ય રીતે વર્લ્ડ વાઇડ વેબ માટે તે હોય છે. એક્સપોનેન્ટની જેમ આપેલ પેજરેંક મૂલ્ય સ્કેલ સાથેના નોડ્સની સંખ્યા. ડાબી બાજુના આઈગનવેક્ટરમાં સ્થિર મેટ્રિક્સ તત્વો હોય છે. તમામ આઈગન વેલ્યુ સાથે મહત્તમ આઈગન વેલ્યુ સિવાય આગળ વધે છે, જે અપરિવર્તિત રહે છે. પેજરેંક વેક્ટર સાથે બદલાય છે પરંતુ અન્ય આઈગનવેક્ટર્સ તેમની સ્થિર ડાબી વેક્ટર પરની ઓર્થોગોનાલિટીને કારણે અપરિવર્તિત રહે છે. અને અન્ય આઈગન વેલ્યુ વચ્ચેનું અંતર મેટ્રિક્સ પર લગભગ 50 ગુણાકાર પછી પેજરેન્કમાં રેન્ડમ પ્રારંભિક વેક્ટરનું ઝડપી અભિસરણ આપે છે. મેટ્રિક્સમાં સામાન્ય રીતે ઘણા ડીજનરેટ આઈગનવેલ્યુ હોય છે (જુઓ દા. ત. [6]). વિવિધ નિર્દેશિત નેટવર્કના ગૂગલ મેટ્રિક્સના આઈગનવેલ્યુ સ્પેક્ટ્રમના ઉદાહરણો Fig.3 થી અને Fig.4 થી દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ગતિશીલ નકશા માટે ઉલમ પદ્ધતિ [8] દ્વારા પેદા થયેલ ઉલમ નેટવર્ક માટે પણ ગૂગલ મેટ્રિક્સ બનાવી શકાય છે. આવા મેટ્રિસીસના વર્ણપટ ગુણધર્મોની ચર્ચા [9,10,11,12,13,15] માં કરવામાં આવી છે. સંખ્યાબંધ કિસ્સાઓમાં વર્ણપટને ફ્રેક્ટલ વેલ નિયમ [10,12] દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ગૂગલ મેટ્રિક્સ અન્ય નિર્દેશિત નેટવર્ક માટે પણ બનાવી શકાય છે, દા. ત. [15] માં રજૂ કરાયેલા લિનક્સ કર્નલ સોફ્ટવેરના પ્રોસિજર કોલ નેટવર્ક માટે. આ કિસ્સામાં ના વર્ણપટને ફ્રેક્ટલ વેઇલ કાયદા દ્વારા ફ્રેક્ટલ પરિમાણ સાથે વર્ણવવામાં આવે છે (જુઓ Fig.5 થી). આંકડાકીય વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે મેટ્રિક્સના આઈગનસ્ટેટ સ્થાનિકકૃત છે (જુઓ Fig.6 માંથી). આર્નોલ્ડી પુનરાવર્તન પદ્ધતિ મોટા કદના [13] મેટ્રિસીસ માટે ઘણા આઈગનવેલ્યુ અને આઈગનવેક્ટર્સની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. મેટ્રિક્સના અન્ય ઉદાહરણોમાં ગૂગલ મેટ્રિક્સ ઓફ બ્રેઇન [17] અને બિઝનેસ પ્રોસેસ મેનેજમેન્ટ [18] નો સમાવેશ થાય છે, આ પણ જુઓ. ડીએનએ સિક્વન્સમાં ગૂગલ મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણની એપ્લિકેશનો [20] માં વર્ણવવામાં આવી છે. આવો ગૂગલ મેટ્રિક્સ અભિગમ વ્યક્તિઓ વિશેના બહુભાષી વિકિપીડિયા લેખોના ક્રમ દ્વારા સંસ્કૃતિઓના ગૂંચવણનું વિશ્લેષણ કરવાની પણ મંજૂરી આપે છે [21] ઐતિહાસિક નોંધો 1998 માં સેર્ગેઈ બ્રિન અને લેરી પેજ દ્વારા ડેમ્પિંગ પરિબળ સાથે ગૂગલ મેટ્રિક્સનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું [22], પેજરેન્ક ઇતિહાસ પરના લેખો પણ જુઓ [23], [24]. આ પણ જુઓ ચીયરેંક આર્નોલ્ડી પુનરાવૃત્તિ માર્કોવ ચેઇન ટ્રાન્સફર ઓપરેટર પેરોન-ફ્રોબેનિયસ પ્રમેય વેબ સર્ચ એન્જિન સંદર્ભો બાહ્ય લિંક્સ ગૂગલ મેટ્રિક્સ એટ સ્કોલરપીડિયા ગૂગલ પીઆર શટ ડાઉન IHES વર્કશોપ ખાતે વીડિયો વ્યાખ્યાન "ગૂગલ મેટ્રિક્સઃ ફંડામેન્ટલ, એપ્લિકેશન્સ એન્ડ બિયોન્ડ", ઑક્ટોબર 2018 મેટ્રિક્સ લિંક વિશ્લેષણ માર્કોવ મોડેલ્સ