Banach–Tarski paradox
બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ એ સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક ભૂમિતિમાં એક પ્રમેય છે, જે નીચે મુજબ જણાવે છેઃ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં નક્કર દડો આપવામાં આવે તો, ત્યાં મર્યાદિત સંખ્યામાં અસંબદ્ધ ઉપગણમાં દડાની વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે, જેને પછી મૂળ દડાની બે સમાન નકલો મેળવવા માટે અલગ રીતે એકસાથે મૂકી શકાય છે. ખરેખર, ફરીથી જોડવાની પ્રક્રિયામાં માત્ર ટુકડાઓને ફરતે ખસેડવા અને તેમનો આકાર બદલ્યા વિના તેમને ફેરવવાનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, આ ટુકડાઓ સામાન્ય અર્થમાં "ઘન" નથી, પરંતુ બિંદુઓના અનંત છૂટાછવાયા છે. પુનર્નિર્માણ પાંચ જેટલા ઓછા ટુકડાઓ સાથે કામ કરી શકે છે. પ્રમેયનું વૈકલ્પિક સ્વરૂપ જણાવે છે કે કોઈપણ બે "વાજબી" નક્કર પદાર્થો (જેમ કે નાનો દડો અને વિશાળ દડો) આપવામાં આવે તો, એકના કાપેલા ટુકડાઓને બીજામાં ફરીથી જોડી શકાય છે. આને ઘણીવાર અનૌપચારિક રીતે કહેવામાં આવે છે કે "વટાણાને કાપીને સૂર્યમાં ફરીથી જોડી શકાય છે" અને તેને "વટાણા અને સૂર્ય વિરોધાભાસ" કહેવામાં આવે છે. આ પ્રમેયને વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે મૂળભૂત ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાનનો વિરોધાભાસ કરે છે. "બોલને ભાગોમાં વિભાજીત કરીને અને તેને પરિભ્રમણ અને અનુવાદો દ્વારા ફરતે ખસેડીને, કોઈપણ ખેંચાણ, વળાંક અથવા નવા બિંદુઓ ઉમેર્યા વિના, અશક્ય લાગે છે, કારણ કે આ બધી કામગીરીઓ, સહજ ભાવે કહીએ તો, વોલ્યુમ જાળવવા માટે હોવી જોઈએ. આવી કામગીરીઓ વોલ્યુમો જાળવી રાખે છે તે અંતઃપ્રેરણા ગાણિતિક રીતે વાહિયાત નથી અને તે વોલ્યુમોની ઔપચારિક વ્યાખ્યામાં પણ સામેલ છે. જો કે, આ અહીં લાગુ પડતું નથી કારણ કે આ કિસ્સામાં માનવામાં આવતા ઉપગણના જથ્થાને વ્યાખ્યાયિત કરવું અશક્ય છે. તેમને ફરીથી જોડવાથી વોલ્યુમ ધરાવતા સમૂહનું પુનઃઉત્પાદન થાય છે, જે શરૂઆતમાં વોલ્યુમથી અલગ હોય છે. ભૂમિતિના મોટાભાગના પ્રમેયોથી વિપરીત, આ પરિણામનો ગાણિતિક પુરાવો નિર્ણાયક રીતે સમૂહ સિદ્ધાંત માટે સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોની પસંદગી પર આધાર રાખે છે. તે પસંદગીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે, જે બિન-માપી શકાય તેવા સમૂહોના નિર્માણ માટે પરવાનગી આપે છે, એટલે કે, એવા બિંદુઓના સંગ્રહ કે જે સામાન્ય અર્થમાં વોલ્યુમ ધરાવતા નથી, અને જેની રચના માટે અગણિત પસંદગીઓની જરૂર છે. તે 2005 માં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે વિઘટનમાંના ટુકડાઓ એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે તેઓ એક બીજામાં દોડ્યા વિના સતત સ્થાને ખસેડી શકાય. લેરોય અને સિમ્પસન દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યું છે તેમ, જો કોઈ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓને બદલે સ્થાનો સાથે કામ કરે તો બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ વોલ્યુમનું ઉલ્લંઘન કરતું નથી. આ અમૂર્ત સેટિંગમાં, બિંદુ વિના પણ બિન-ખાલી પેટા જગ્યાઓ હોવી શક્ય છે. વિરોધાભાસી વિઘટનના ભાગો સ્થાનોના અર્થમાં ઘણું આંતરછેદ કરે છે, એટલું કે આમાંથી કેટલાક આંતરછેદોને હકારાત્મક દળ આપવું જોઈએ. આ છુપાયેલા જથ્થાને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપતા, સ્થાનોની થિયરી યુક્લિડિયન જગ્યાના તમામ સબસેટ્સ (અને તમામ સબલોકેલ્સ પણ) ને સંતોષકારક રીતે માપવાની મંજૂરી આપે છે. બનાચ અને ટાર્સ્કી પ્રકાશન 1924માં પ્રકાશિત થયેલા એક પેપરમાં, સ્ટીફન બનાચ અને આલ્ફ્રેડ ટાર્સ્કીએ આવા વિરોધાભાસી વિઘટનનું નિર્માણ કર્યું હતું, જે જિયુસેપ વિટાલી દ્વારા એકમ અંતરાલ અને ફેલિક્સ હૌસડોર્ફ દ્વારા ગોળાના વિરોધાભાસી વિઘટન અંગેના અગાઉના કાર્ય પર આધારિત હતું અને વિવિધ પરિમાણોમાં યુક્લિડિયન જગ્યાઓના ઉપગણના વિઘટનને લગતા સંખ્યાબંધ સંબંધિત પ્રશ્નોની ચર્ચા કરી હતી. તેઓએ નીચેના વધુ સામાન્ય નિવેદનને સાબિત કર્યું, બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસનું મજબૂત સ્વરૂપઃ ઓછામાં ઓછા ત્રણ પરિમાણોમાં કોઈપણ બે બંધાયેલા ઉપગણ અને યુક્લિડિયન જગ્યાને જોતાં, જે બંને ખાલી આંતરિક હોય છે, ત્યાં મર્યાદિત સંખ્યામાં અસંબદ્ધ ઉપગણ,,, (કેટલાક પૂર્ણાંક k માટે) ના અને તેમાં વિભાજન હોય છે, જેમ કે અને વચ્ચેના દરેક (પૂર્ણાંક) માટે, સમૂહો અને એકરૂપ હોય છે. હવે ચાલો મૂળ દડો બનીએ અને મૂળ દડાની બે અનુવાદિત નકલોનું જોડાણ બનીએ. પછી પ્રસ્તાવનો અર્થ એ છે કે તમે મૂળ બોલને ચોક્કસ સંખ્યામાં ટુકડાઓમાં વહેંચી શકો છો અને પછી આ ટુકડાઓને એવી રીતે ફેરવી અને અનુવાદિત કરી શકો છો કે પરિણામ એ સંપૂર્ણ સમૂહ હોય, જેમાં બોલની બે નકલો હોય. બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસનું મજબૂત સ્વરૂપ એક અને બે પરિમાણોમાં ખોટું છે, પરંતુ બનાચ અને ટાર્સ્કીએ દર્શાવ્યું હતું કે જો સંખ્યાબંધ ઉપગણને મંજૂરી આપવામાં આવે તો સમાન નિવેદન સાચું રહે છે. એક તરફ 1 અને 2 પરિમાણો અને બીજી તરફ 3 અને તેનાથી વધુ પરિમાણો વચ્ચેનો તફાવત 3 પરિમાણોમાં યુક્લિડિયન ગતિઓના જૂથની સમૃદ્ધ રચનાને કારણે છે. જૂથ માટે ઉકેલવા યોગ્ય છે, પરંતુ તેના માટે બે જનરેટર સાથે મુક્ત જૂથ છે. જ્હોન વોન ન્યુમેને સમાનતાઓના જૂથના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો હતો જે વિરોધાભાસી વિઘટનને શક્ય બનાવે છે, અને અનુકૂળ જૂથોની કલ્પનાની રજૂઆત કરી હતી. તેમણે સમતલમાં વિરોધાભાસનું એક સ્વરૂપ પણ શોધી કાઢ્યું હતું, જે સામાન્ય એકરૂપતાના સ્થાને ક્ષેત્ર-સંરક્ષિત સંબંધ પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરે છે. તારસ્કીએ સાબિત કર્યું કે અનુકૂળ જૂથો ચોક્કસપણે તે છે જેના માટે કોઈ વિરોધાભાસી વિઘટન અસ્તિત્વમાં નથી. બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસમાં માત્ર મુક્ત પેટાજૂથોની જરૂર હોવાથી, આ લાંબા સમયથી ચાલતા વોન ન્યુમેન અનુમાન તરફ દોરી ગયું, જેને 1980માં નકારી કાઢવામાં આવ્યું હતું. ઔપચારિક સારવાર બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ જણાવે છે કે સામાન્ય યુક્લિડિયન અવકાશમાં બોલને માત્ર ઉપગણમાં વિભાજન કરવાની કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને બમણો કરી શકાય છે, એક સમૂહને એકરૂપ સમૂહ સાથે બદલીને અને ફરીથી ભેગા કરી શકાય છે. તેની ગાણિતિક રચના યુક્લિડિયન ગતિઓના જૂથ દ્વારા ભજવવામાં આવેલી ભૂમિકા પર ભાર મૂકીને અને સમતુલ્ય સમૂહો અને વિરોધાભાસી સમૂહની કલ્પનાઓને રજૂ કરીને મોટા પ્રમાણમાં સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. ધારો કે તે સમૂહ પર કામ કરતું જૂથ છે. સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કિસ્સામાં, એક-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યા (અભિન્ન n માટે) છે, અને તેમાં તમામ સમમિતિનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવતા અંતરને જાળવી રાખતા સ્વયંમાં પરિવર્તન. બે ભૌમિતિક આકૃતિઓ કે જેને એક બીજામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે તેને એકરૂપ કહેવામાં આવે છે, અને આ પરિભાષાને સામાન્ય ક્રિયા સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવશે. બે ઉપગણ અને એકને-સમાન સુસંગત, અથવા સમાન સુસંગત કહેવામાં આવે છે, જો અને તેને અનુક્રમે-સુસંગત ટુકડાઓની સમાન મર્યાદિત સંખ્યામાં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ તમામ ઉપગણ વચ્ચે સમાનતા સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ઔપચારિક રીતે, જો ત્યાં બિન-ખાલી સમૂહો અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે અને એવા તત્વો અસ્તિત્વમાં હોય કે જે પછી તે કહી શકાય કે અને-ટુકડાઓનો ઉપયોગ કરીને સમાન છે. જો સમૂહમાં બે અસંબદ્ધ ઉપગણ હોય અને જેમ કે અને, તેમજ અને,-સમકક્ષ હોય, તો તેને વિરોધાભાસી કહેવામાં આવે છે. આ પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીને, બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છેઃ ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન દડો પોતાની બે નકલો સાથે સુસંગત છે. હકીકતમાં, રાફેલ એમ. રોબિન્સનને કારણે આ કિસ્સામાં તીવ્ર પરિણામ આવે છેઃ બોલને બમણો કરવો એ પાંચ ટુકડાઓ સાથે પૂર્ણ કરી શકાય છે, અને પાંચ કરતા ઓછા ટુકડા પૂરતા નહીં હોય. વિરોધાભાસની મજબૂત આવૃત્તિ દાવો કરે છેઃ બિન-ખાલી આંતરિક સાથે 3-પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાના કોઈપણ બે બંધાયેલા ઉપગણ સમાન સુસંગત છે. દેખીતી રીતે વધુ સામાન્ય હોવા છતાં, આ નિવેદન બનાચને કારણે બર્નસ્ટીન-શ્રોએડર પ્રમેયના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીને દડાની બમણીકરણમાંથી સરળ રીતે લેવામાં આવ્યું છે, જે સૂચવે છે કે જો તે ના સબસેટ સાથે સમાન સુસંગત છે અને ના સબસેટ સાથે સમાન સુસંગત છે, તો પછી અને સમાન સુસંગત છે. બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસને સંદર્ભમાં મૂકી શકાય છે કે વિરોધાભાસના મજબૂત સ્વરૂપમાં બે સમૂહો માટે, હંમેશા એક બાયજેક્ટિવ ફંક્શન હોય છે જે એક-થી-એક રીતે બિંદુઓને એક આકારમાં બીજામાં મેપ કરી શકે છે. જ્યોર્જ કેન્ટોરના સમૂહ સિદ્ધાંતની ભાષામાં, આ બે સમૂહો સમાન કાર્ડિનાલિટી ધરાવે છે. આમ, જો કોઈ મનસ્વી બાયજેક્શન્સને મંજૂરી આપવા માટે જૂથને મોટું કરે છે, તો ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક સાથેના તમામ સમૂહો એકરૂપ બની જાય છે. તેવી જ રીતે, એક બોલને ખેંચાઈને અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાનતા પરિવર્તન લાગુ કરીને મોટા કે નાના દડામાં બનાવી શકાય છે. તેથી, જો જૂથ પૂરતું મોટું હોય, તો-સમાન સુસંગત સમૂહો મળી શકે છે જેમના "કદ" અલગ અલગ હોય છે. વધુમાં, ગણતરીપાત્ર સમૂહને પોતાની બે નકલોમાં બનાવી શકાય છે, તેથી કોઈ એવી અપેક્ષા રાખી શકે છે કે સંખ્યાબંધ ટુકડાઓનો ઉપયોગ કોઈક રીતે યુક્તિ કરી શકે છે. બીજી બાજુ, બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસમાં, ટુકડાઓની સંખ્યા મર્યાદિત છે અને માન્ય સમાનતાઓ યુક્લિડિયન એકરૂપ છે, જે વોલ્યુમોને જાળવી રાખે છે. તેમ છતાં, કોઈક રીતે, તેઓ બોલનું કદ બમણું કરે છે! જ્યારે આ ચોક્કસપણે આશ્ચર્યજનક છે, વિરોધાભાસી વિઘટનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક ટુકડાઓ બિન-માપી શકાય તેવા સમૂહો છે, તેથી વોલ્યુમની કલ્પના (વધુ ચોક્કસપણે, લેબસ્ગ્યુ માપ) તેમના માટે વ્યાખ્યાયિત નથી, અને પાર્ટીશનિંગ વ્યવહારુ રીતે પૂર્ણ કરી શકાતું નથી. હકીકતમાં, બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે યુક્લિડિયન ગતિના સંદર્ભમાં અપરિવર્તનશીલ ત્રણ (અને વધુ) પરિમાણોની યુક્લિડિયન જગ્યાના તમામ ઉપગણ પર વ્યાખ્યાયિત મર્યાદિત-ઉમેરણ માપ (અથવા બનાચ માપ) શોધવું અશક્ય છે અને એકમ સમઘન પર એક મૂલ્ય લે છે. તેમના પછીના કાર્યમાં, ટાર્સ્કીએ દર્શાવ્યું હતું કે, તેનાથી વિપરીત, આ પ્રકારના વિરોધાભાસી વિઘટનોનું અસ્તિત્વ મર્યાદિત રીતે-ઉમેરાયેલા અપરિવર્તનશીલ માપનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે. નીચે પ્રસ્તુત વિરોધાભાસના "બોલને બમણો કરવાના" સ્વરૂપનો પુરાવો એ નોંધપાત્ર હકીકત છે કે યુક્લિડિયન આઇસોમેટ્રી (અને તત્વોનું નામ બદલીને) દ્વારા, કોઈ ચોક્કસ સમૂહને (આવશ્યકપણે, એકમ ગોળાની સપાટી) ચાર ભાગોમાં વહેંચી શકે છે, પછી તેમાંથી એકને ફેરવીને તે પોતે અન્ય ભાગોમાંથી વત્તા બે બની શકે છે. આ બે જનરેટર સાથેના મુક્ત જૂથના-પેરાડોક્સિકલ વિઘટનથી સરળતાથી અનુસરે છે. બનાચ અને ટાર્સ્કીનો પુરાવો કેટલાક વર્ષો પહેલા હૌસડોર્ફ દ્વારા શોધાયેલ સમાન હકીકત પર આધાર રાખે છેઃ અવકાશમાં એક એકમ ગોળાની સપાટી ત્રણ સમૂહોના અસંબદ્ધ જોડાણ અને ગણતરીપાત્ર સમૂહ છે, જે એક તરફ, જોડી મુજબ એકરૂપ છે, અને બીજી તરફ, અને ના જોડાણ સાથે એકરૂપ છે. આને ઘણીવાર હૌસડોર્ફ વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે. અગાઉના કાર્ય સાથે જોડાણ અને પસંદગીના સિદ્ધાંતની ભૂમિકા બનાચ અને ટાર્સ્કી સ્પષ્ટપણે જુસેપે વિટાલીના 1905 માં તેમના નામ ધરાવતા સેટના નિર્માણ, હૌસડોર્ફના વિરોધાભાસ (1914) અને બનાચના અગાઉના (1923) પેપરને તેમના કાર્યના પુરોગામી તરીકે સ્વીકારે છે. વિટાલી અને હૌસડોર્ફની રચનાઓ ઝર્મેલોના પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ ("એસી") પર આધાર રાખે છે, જે બનાચ-ટાર્સ્કી પેપર માટે પણ નિર્ણાયક છે, બંને તેમના વિરોધાભાસને સાબિત કરવા માટે અને અન્ય પરિણામના પુરાવા માટેઃ બે યુક્લિડિયન બહુકોણ, જેમાંથી એક સખત રીતે બીજાને સમાવે છે, તે સમાન સુસંગત નથી. તેઓ ટિપ્પણી કરે છેઃ "આપણા તર્કમાં આ સિદ્ધાંત જે ભૂમિકા ભજવે છે તે આપણને ધ્યાન આપવા યોગ્ય લાગે છે" તેઓ નિર્દેશ કરે છે કે જ્યારે બીજું પરિણામ ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન સાથે સંપૂર્ણપણે સંમત થાય છે, ત્યારે તેનો પુરાવો વિરોધાભાસના પુરાવો કરતાં પણ વધુ નોંધપાત્ર રીતે AC નો ઉપયોગ કરે છે. આમ બનાચ અને ટાર્સ્કી સૂચવે છે કે એસીને માત્ર એટલા માટે નકારી ન શકાય કારણ કે તે વિરોધાભાસી વિઘટન પેદા કરે છે, કારણ કે આવી દલીલ ભૌમિતિક રીતે સાહજિક નિવેદનોના પુરાવાને પણ નબળી પાડે છે. જો કે, 1949 માં, એ. પી. મોર્સે દર્શાવ્યું હતું કે યુક્લિડિયન બહુકોણ વિશેનું નિવેદન ઝેડએફ સમૂહ સિદ્ધાંતમાં સાબિત કરી શકાય છે અને તેથી પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધની જરૂર નથી. 1964માં, પોલ કોહેને સાબિત કર્યું કે પસંદગીનો સિદ્ધાંત ઝેડએફથી સ્વતંત્ર છે-એટલે કે, તે ઝેડએફથી સાબિત કરી શકાતો નથી. પસંદગીના સિદ્ધાંતનું નબળું સંસ્કરણ આશ્રિત પસંદગી, ડી. સી. નું સિદ્ધાંત છે, અને તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસને સાબિત કરવા માટે ડી. સી. પૂરતું છે, એટલે કે બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ એ ઝેડએફનો પ્રમેય નથી, ન તો ઝેડએફ + ડીસીનો. મોટા પ્રમાણમાં ગણિતમાં એસીનો ઉપયોગ થાય છે. સ્ટેન વેગન તેમના મોનોગ્રાફના અંતમાં નિર્દેશ કરે છે તેમ, બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ પાયાના પ્રશ્નો કરતાં શુદ્ધ ગણિતમાં તેની ભૂમિકા માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ રહ્યો છેઃ તેણે સંશોધન માટે ફળદાયી નવી દિશા, જૂથોની અનુકૂળતાને પ્રેરિત કરી, જેને પાયાના પ્રશ્નો સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. 1991માં, મેથ્યુ ફોરમેન અને ફ્રેડરિક વેહરુંગના તાજેતરના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, જાનુસ્ઝ પાવ્લિકોવ્સ્કીએ સાબિત કર્યું કે બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ ઝેડએફ વત્તા હાન-બનાચ પ્રમેયને અનુસરે છે. હાન-બનાચ પ્રમેય પસંદગીના સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત પર આધાર રાખતો નથી પરંતુ અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્મા તરીકે ઓળખાતા એસીના નબળા સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. તેથી પાવલીકોવ્સ્કીએ સાબિત કર્યું કે બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસને સાબિત કરવા માટે જરૂરી સમૂહ સિદ્ધાંત, ઝેડએફ કરતાં મજબૂત હોવા છતાં, સંપૂર્ણ ઝેડએફસી કરતાં નબળો છે. સાબિતીનું સ્કેચ અહીં એક સાબિતી સ્કેચ કરવામાં આવી છે જે બનાચ અને તારસ્કી દ્વારા આપવામાં આવેલી સાબિતી જેવી જ છે પરંતુ સમાન નથી. અનિવાર્યપણે, દડાની વિરોધાભાસી વિઘટન ચાર તબક્કામાં પ્રાપ્ત થાય છેઃ બે જનરેટરમાં મુક્ત જૂથનું વિરોધાભાસી વિઘટન શોધો. બે જનરેટરમાં મુક્ત જૂથ માટે 3-ડી સ્પેસ આઇસોમોર્ફિકમાં પરિભ્રમણોનું જૂથ શોધો. ખોખલા એકમ ગોળાનું વિરોધાભાસી વિઘટન ઉત્પન્ન કરવા માટે તે જૂથના વિરોધાભાસી વિઘટન અને પસંદગીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરો. ગોળાના આ વિઘટનને નક્કર એકમ દડાના વિઘટન સુધી વિસ્તૃત કરો. આ પગલાંઓની નીચે વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે. પગલું 1 બે જનરેટર a અને b સાથેનું મુક્ત જૂથ એ તમામ મર્યાદિત શબ્દમાળાઓનો બનેલો છે જે a, a − 1, b અને b − 1 એ ચાર પ્રતીકોમાંથી બનાવી શકાય છે કે જેથી કોઈ a એ a − 1 ની બાજુમાં સીધું દેખાતું નથી અને કોઈ b એ b − 1 ની બાજુમાં સીધું દેખાતું નથી. આવા બે શબ્દમાળાઓને જોડવામાં આવે છે અને ખાલી શબ્દમાળા સાથે "પ્રતિબંધિત" સબસ્ટ્રિંગ્સને વારંવાર બદલીને આ પ્રકારની શબ્દમાળામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. દાખલા તરીકેઃ અબાબ-1એ −1એ સાથે જોડાયેલા અબાબ-1એએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએએ આ ઓપરેશન સાથે તે શબ્દમાળાઓનો સમૂહ ઓળખ તત્વ ખાલી શબ્દમાળા સાથે જૂથ બનાવે છે કે કેમ તે ચકાસી શકાય છે. આ જૂથને F2 કહી શકાય. આ જૂથને નીચે પ્રમાણે "વિરોધાભાસી રીતે વિઘટિત" કરી શકાય છેઃ ધારો કે S (a) એ a થી શરૂ થતા અને S (a−1), S (b) અને S (b−1) ને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરતા તમામ શબ્દમાળાઓનો ઉપગણ છે. સ્પષ્ટ રીતે, પણ અને જ્યાં aS (a−1) નો અર્થ એ છે કે S (a−1) માં તમામ શબ્દમાળાઓ લો અને તેમને a સાથે ડાબી બાજુએ જોડો. આ સાબિતીના મૂળમાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, સેટમાં એક સ્ટ્રિંગ હોઈ શકે છે, જે નિયમની બાજુમાં ન દેખાતો હોવાને કારણે, સ્ટ્રિંગમાં ઘટાડો થાય છે. તેવી જ રીતે, તે બધા શબ્દમાળાઓ ધરાવે છે જે શરૂ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, શબ્દમાળા જે ઘટાડે છે). આ રીતે, તે બધા શબ્દમાળાઓ ધરાવે છે જે અને સાથે શરૂ થાય છે, તેમજ ખાલી શબ્દમાળા. જૂથ F2 ને ચાર ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવ્યું છે (વત્તા સિંગલટન {e}), પછી તેમાંથી બેને a અથવા b સાથે ગુણાકાર કરીને "સ્થાનાંતરિત" કરવામાં આવે છે, પછી એક નકલ બનાવવા માટે બે ટુકડાઓ તરીકે "ફરીથી જોડવામાં આવે છે" અને અન્ય બે તેની બીજી નકલ બનાવવા માટે. બોલ સાથે આવું જ કરવાનો ઈરાદો છે. પગલું 2 3D જગ્યાના પરિભ્રમણનું મુક્ત જૂથ શોધવા માટે, એટલે કે. જે મુક્ત જૂથ F2 ની જેમ વર્તે છે (અથવા "આઇસોમોર્ફિક છે"), બે ઓર્થોગોનલ અક્ષો લેવામાં આવે છે (દા. ત. x અને z અક્ષો). પછી, A ને x અક્ષ વિશેના પરિભ્રમણ તરીકે લેવામાં આવે છે, અને B ને z અક્ષ વિશેના પરિભ્રમણ તરીકે લેવામાં આવે છે (π ના અતાર્કિક ગુણાંકની અન્ય ઘણી યોગ્ય જોડી છે જેનો અહીં પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે). A અને B દ્વારા પેદા થતા પરિભ્રમણના જૂથને H કહેવામાં આવશે. ચાલો H નું એક તત્વ હોઈએ જે z અક્ષની આસપાસ હકારાત્મક પરિભ્રમણ સાથે શરૂ થાય છે, એટલે કે, સાથે સ્વરૂપનું એક તત્વ. તે ઇન્ડક્શન દ્વારા બતાવી શકાય છે જે કેટલાક માટે બિંદુને મેપ કરે છે. વિશ્લેષણ અને મોડ્યુલો 3, તે બતાવી શકે છે. એ જ દલીલનું પુનરાવર્તન (સમસ્યાની સમપ્રમાણતા દ્વારા) માન્ય હોય છે જ્યારે તે z અક્ષ વિશે નકારાત્મક પરિભ્રમણ અથવા x અક્ષ વિશે પરિભ્રમણ સાથે શરૂ થાય છે. આ દર્શાવે છે કે જો એ અને બી માં બિન-તુચ્છ શબ્દ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો પછી. તેથી, H જૂથ એક મુક્ત જૂથ છે, જે F2 માટે સમરૂપ છે. બે પરિભ્રમણ F2 જૂથમાં a અને b તત્વોની જેમ જ વર્તે છેઃ હવે H નું વિરોધાભાસી વિઘટન છે. આ પગલું બે પરિમાણોમાં કરી શકાતું નથી કારણ કે તેમાં ત્રણ પરિમાણોમાં પરિભ્રમણ સામેલ છે. જો એક જ અક્ષની આસપાસ બે પરિભ્રમણ લેવામાં આવે, તો પરિણામી જૂથ એબેલિયન વર્તુળ જૂથ છે અને તેમાં પગલું 1 માં જરૂરી ગુણધર્મ નથી. અભિન્ન ચતુર્થાંશનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથોમાં મુક્ત જૂથોના અસ્તિત્વનો વૈકલ્પિક અંકગણિત પુરાવો પરિભ્રમણ જૂથના વિરોધાભાસી વિઘટન તરફ દોરી જાય છે. પગલું 3 એકમ ગોળા S2 ને આપણા જૂથ H ની ક્રિયા દ્વારા ભ્રમણકક્ષામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છેઃ બે બિંદુઓ એક જ ભ્રમણકક્ષાના હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો H માં પરિભ્રમણ હોય જે પ્રથમ બિંદુને બીજામાં ખસેડે. (નોંધ લો કે બિંદુની ભ્રમણકક્ષા એ S2 માં ગાઢ સમૂહ છે.) પસંદગીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ દરેક ભ્રમણકક્ષામાંથી બરાબર એક બિંદુ પસંદ કરવા માટે થઈ શકે છે; આ બિંદુઓને સમૂહ M માં એકત્રિત કરો. આપેલ ભ્રમણકક્ષા પર H ની ક્રિયા મુક્ત અને સંક્રમણશીલ હોય છે અને તેથી દરેક ભ્રમણકક્ષાને H સાથે ઓળખી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, S2 માં દરેક બિંદુને H થી M માંથી યોગ્ય તત્વ પર યોગ્ય પરિભ્રમણ લાગુ કરીને બરાબર એક રીતે પહોંચી શકાય છે. આ કારણે, H નું વિરોધાભાસી વિઘટન S2 નું વિરોધાભાસી વિઘટન નીચે મુજબ ચાર ટુકડાઓ A1, A2, A3, A4 માં પરિણમે છેઃ જ્યાં આપણે અન્ય સમૂહો માટે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેવી જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, અને જ્યાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ (F2 ના પાંચ "વિરોધાભાસી" ભાગોનો સીધો ઉપયોગ થતો નથી, કારણ કે તેઓ M ને વધારાની તરીકે છોડી દેશે. (મોટાભાગના) ગોળાને હવે ચાર સમૂહોમાં વહેંચવામાં આવ્યો છે (દરેક ગોળ પર ગાઢ હોય છે), અને જ્યારે આમાંથી બે ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ અગાઉની સરખામણીમાં બમણું હોય છેઃ પગલું 4 છેવટે, S2 પરના દરેક બિંદુને અડધા ખુલ્લા ખંડ સાથે મૂળ સાથે જોડો; S2નું વિરોધાભાસી વિઘટન પછી ઘન એકમ દડાની વિરોધાભાસી વિઘટન ઘટાડીને દડાની મધ્યમાં બિંદુ પ્રાપ્ત કરે છે. (આ કેન્દ્રબિંદુને થોડી વધુ કાળજીની જરૂર છે; નીચે જુઓ.) એનબી. આ સ્કેચ કેટલીક વિગતો પર ઝાંખી પાડે છે. ગોળા પરના બિંદુઓના સમૂહ વિશે સાવચેત રહેવું પડે છે જે H માં અમુક પરિભ્રમણની ધરી પર આવેલા હોય છે. જો કે, આવા માત્ર ઘણા જ બિંદુઓ છે, અને દડાની મધ્યમાં બિંદુના કેસની જેમ, તે બધાનો હિસાબ કરવા માટે સાબિતીને પેચ કરવું શક્ય છે. (નીચે જુઓ.) કેટલીક વિગતો બહાર પાડવામાં આવી છે, પગલું 3 માં, ગોળાને આપણા જૂથ H ની ભ્રમણકક્ષાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યો હતો. સાબિતીને સુવ્યવસ્થિત કરવા માટે, અમુક પરિભ્રમણ દ્વારા નિશ્ચિત કરવામાં આવેલા બિંદુઓની ચર્ચા અવગણવામાં આવી હતી; કારણ કે F2 નું વિરોધાભાસી વિઘટન ચોક્કસ ઉપગણને સ્થાનાંતરિત કરવા પર આધાર રાખે છે, હકીકત એ છે કે કેટલાક બિંદુઓ નિશ્ચિત છે તે થોડી મુશ્કેલીનું કારણ બની શકે છે. કારણ કે S2 ના કોઈપણ પરિભ્રમણ (શૂન્ય પરિભ્રમણ સિવાય) બરાબર બે નિશ્ચિત બિંદુઓ ધરાવે છે, અને H, જે F2 માટે સમરૂપ છે, તે ગણી શકાય તેવું હોવાથી, S2 ના ઘણા બિંદુઓ છે જે H માં અમુક પરિભ્રમણ દ્વારા નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. આ નિશ્ચિત બિંદુઓના સમૂહને D તરીકે દર્શાવો. પગલું 3 સાબિત કરે છે કે S2−D વિરોધાભાસી વિઘટનને સ્વીકારે છે. જે બતાવવાનું બાકી છે તે દાવો છેઃ S2 − D એ S2 સાથે સમકક્ષ છે. પુરાવો. ધારો કે λ એ મૂળમાંથી પસાર થતી કોઈ રેખા છે જે D માં કોઈ પણ બિંદુને છેદતી નથી. આ શક્ય છે કારણ કે D ગણતરીપાત્ર છે. ધારો કે J એ ખૂણાઓનો સમૂહ છે, α, જેમ કે અમુક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, અને D માં અમુક P માટે, r (nα) P પણ D માં છે, જ્યાં r (nα) એ nα ના λ ની આસપાસ પરિભ્રમણ છે. પછી J ગણતરીપાત્ર છે. તેથી ત્યાં એક કોણ θ અસ્તિત્વમાં છે જે J માં નથી. ધારો કે ρ એ λ ભાગ્યા θ નું પરિભ્રમણ છે. પછી ρ એ D માં કોઈ નિશ્ચિત બિંદુઓ વિના S2 પર કાર્ય કરે છે, એટલે કે, ρn (D) એ D થી અલગ છે, અને કુદરતી m <n માટે, ρn (D) એ ρm (D) થી અલગ છે. ધારો કે E એ n = 0,1,2,.. પર ρn (D) નું અસંબદ્ધ જોડાણ છે. પછી S2 = E ≤ (S2 − E) ~ ρ (E) ≤ (S2 − E) = (E − D) ≤ (S2 − E) = S2 − D, જ્યાં ~ સૂચવે છે કે "સમાન સુસંગત છે". પગલું 4 માટે, તે પહેલેથી જ દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બોલ માઇનસ એક પોઇન્ટ વિરોધાભાસી વિઘટનને સ્વીકારે છે; તે બતાવવાનું બાકી છે કે બોલ માઇનસ એક પોઇન્ટ બોલ સાથે સમાન છે. દડાની અંદર એક વર્તુળનો વિચાર કરો, જેમાં દડાની મધ્યમાં બિંદુ હોય. દાવાને સાબિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી દલીલનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ જોઈ શકે છે કે સંપૂર્ણ વર્તુળ વર્તુળ માઇનસ બોલની મધ્યમાં બિંદુ સાથે સમાન છે. (મૂળભૂત રીતે, વર્તુળ પરના બિંદુઓના ગણતરીપાત્ર સમૂહને વધુ એક બિંદુ આપવા માટે ફેરવી શકાય છે.) નોંધ લો કે આમાં મૂળ સિવાયના બિંદુ વિશેના પરિભ્રમણનો સમાવેશ થાય છે, તેથી બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસમાં માત્ર SO (3) ને બદલે યુક્લિડિયન 3-જગ્યાના સમમિતિનો સમાવેશ થાય છે. એ હકીકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કે જો A ~ B અને B ~ C હોય, તો A ~ C. A ને B માં લેવા માટે અને B ને C માં લેવા માટે જરૂરી સંખ્યાઓના ગુણાકાર સમાન ટુકડાઓની સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને A નું C માં વિઘટન કરી શકાય છે. ઉપર દર્શાવેલ સાબિતી માટે 2 × 4 × 2 + 8 = 24 ટુકડાઓની જરૂર પડે છે-નિશ્ચિત બિંદુઓને દૂર કરવા માટે 2 નું પરિબળ, પગલું 1 માંથી પરિબળ 4, નિશ્ચિત બિંદુઓને ફરીથી બનાવવા માટે પરિબળ 2 અને બીજા દડાની મધ્ય બિંદુ માટે 8. પરંતુ તબક્કા 1 માં જ્યારે {e} અને સ્વરૂપના તમામ શબ્દમાળાઓ an ને S (a−1) માં ખસેડો, ત્યારે એક સિવાયની તમામ ભ્રમણકક્ષાઓ માટે આ કરો. આ છેલ્લી ભ્રમણકક્ષાના {e} ને બીજા દડાના કેન્દ્ર બિંદુ પર ખસેડો. આ કુલ 16 + 1 ટુકડાઓ સુધી નીચે લાવે છે. વધુ બીજગણિત સાથે, પગલું 1 ની જેમ નિશ્ચિત ભ્રમણકક્ષાઓને 4 સમૂહોમાં વિઘટિત પણ કરી શકાય છે. આ 5 ટુકડાઓ આપે છે અને શક્ય તેટલું શ્રેષ્ઠ છે. બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસનો ઉપયોગ કરીને, યુક્લિડિયન એન-સ્પેસમાં બોલની k નકલો એકમાંથી મેળવવી શક્ય છે, કોઈપણ પૂર્ણાંક n ≤ 3 અને k ≤ 1 માટે, એટલે કે. એક બોલને કે ટુકડાઓમાં કાપી શકાય છે જેથી તેમાંથી દરેક મૂળના સમાન કદના દડા સાથે સરખાવી શકાય. ક્રમ 2નું મુક્ત જૂથ F2 ગણતરીપૂર્વક અનંત ક્રમના મુક્ત પેટાજૂથને સ્વીકારે છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, સમાન પુરાવો આપે છે કે એકમ ગોળા Sn−1 ને ગણતરીપૂર્વક અનંત ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમાંથી દરેક પરિભ્રમણનો ઉપયોગ કરીને Sn−1 સાથે (બે ટુકડાઓ સાથે) સુસંગત છે. પરિભ્રમણ જૂથ SO (n) ના વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, જે એક જોડાયેલ વિશ્લેષણાત્મક લાઈ જૂથ છે, કોઈ વધુ સાબિત કરી શકે છે કે ગોળા Sn−1 ને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (એટલે કે, ટુકડાઓ) જેટલા ટુકડાઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જેથી દરેક ટુકડો પરિભ્રમણનો ઉપયોગ કરીને Sn−1 ના બે ટુકડાઓ સાથે સમાન સુસંગત હોય. આ પરિણામો પછી મૂળથી વંચિત એકમ દડા સુધી વિસ્તરે છે. વેલેરી ચુરકિનનો 2010નો એક લેખ બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસના સતત સંસ્કરણનો નવો પુરાવો આપે છે. યુક્લિડીયન સમતલમાં વોન ન્યુમેન વિરોધાભાસ યુક્લિડીયન સમતલમાં, યુક્લિડીયન ગતિઓના જૂથના સંદર્ભમાં સમાન સુસંગત હોય તેવી બે આકૃતિઓ આવશ્યકપણે સમાન વિસ્તારની હોય છે, અને તેથી, બનાચ-ટાર્સ્કી પ્રકારની ચોરસ અથવા ડિસ્કનું વિરોધાભાસી વિઘટન જે ફક્ત યુક્લિડીયન એકરૂપતાનો ઉપયોગ કરે છે તે અશક્ય છે. સમતલીય અને ઉચ્ચ-પરિમાણીય કિસ્સાઓ વચ્ચેના તફાવતની વૈચારિક સમજૂતી જ્હોન વોન ન્યુમેન દ્વારા આપવામાં આવી હતીઃ ત્રણ પરિમાણોમાં પરિભ્રમણના જૂથ SO (3) થી વિપરીત, સમતલની યુક્લિડિયન ગતિનું જૂથ E (2) ઉકેલવા યોગ્ય છે, જે સૂચવે છે કે E (2) અને R2 પર મર્યાદિત-પૂરક માપનું અસ્તિત્વ છે જે અનુવાદો અને પરિભ્રમણ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે, અને બિન-નગણ્ય સમૂહોના વિરોધાભાસી વિઘટનને નકારી કાઢે છે. વોન ન્યુમેને પછી નીચેનો પ્રશ્ન પૂછ્યોઃ જો કોઈ સમાનતાના મોટા જૂથને મંજૂરી આપે તો શું આવા વિરોધાભાસી વિઘટનનું નિર્માણ થઈ શકે? તે સ્પષ્ટ છે કે જો કોઈ સમાનતાને મંજૂરી આપે, તો સમતલમાં કોઈપણ બે ચોરસ વધુ પેટાવિભાગ વિના પણ સમકક્ષ બની જાય છે. આ ક્ષેત્ર-જાળવણી સંબંધ પરિવર્તનના જૂથ SA2 પર કોઈનું ધ્યાન મર્યાદિત કરવા માટે પ્રેરિત કરે છે. વિસ્તાર સંરક્ષિત હોવાથી, આ જૂથના સંદર્ભમાં ચોરસનું કોઈપણ વિરોધાભાસી વિઘટન દડાની બનાચ-ટાર્સ્કી વિઘટન જેવા જ કારણોસર વિરોધાભાસી હશે. હકીકતમાં, SA2 જૂથ એક પેટા જૂથ તરીકે વિશેષ રેખીય જૂથ SL (2, R) ધરાવે છે, જે તેના બદલામાં પેટા જૂથ તરીકે બે જનરેટર સાથે મુક્ત જૂથ F2 ધરાવે છે. આનાથી તે બુદ્ધિગમ્ય બને છે કે બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસનો પુરાવો સમતલમાં અનુકરણ કરી શકાય છે. અહીં મુખ્ય મુશ્કેલી એ હકીકતમાં છે કે રેખીય જૂથ SL (2, R) ની ક્રિયા હેઠળ એકમ વર્ગ અપરિવર્તનશીલ નથી, તેથી કોઈ પણ જૂથમાંથી વર્ગમાં વિરોધાભાસી વિઘટનને સ્થાનાંતરિત કરી શકતું નથી, જેમ કે બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસના ઉપરોક્ત પુરાવાના ત્રીજા પગલામાં છે. વધુમાં, જૂથના નિશ્ચિત બિંદુઓ મુશ્કેલીઓ રજૂ કરે છે (ઉદાહરણ તરીકે, તમામ રેખીય પરિવર્તન હેઠળ મૂળ નિશ્ચિત હોય છે). આ જ કારણ છે કે વોન ન્યુમેને અનુવાદો સહિત મોટા જૂથ SA2 નો ઉપયોગ કર્યો હતો, અને તેમણે વિસ્તૃત જૂથના સંદર્ભમાં (1929માં) એકમ વર્ગનું વિરોધાભાસી વિઘટન કર્યું હતું. બનાચ-ટાર્સ્કી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ચોરસ માટેના વિરોધાભાસને નીચે પ્રમાણે મજબૂત કરી શકાય છેઃ ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક ભાગો સાથે યુક્લિડિયન સમતલના કોઈપણ બે બંધાયેલા ઉપગણ વિસ્તાર-સંરક્ષિત સંલગ્ન નકશાના સંદર્ભમાં સમાન સુસંગત છે. વોન ન્યુમેન નોંધે છેઃ "ઈન્ફોલગેડેસેન ગિબ્ટ ઇઝ બ્રેઇટ્સ ઇન ડેર ઇબેન કેઇન નિક્ટનેગેટિવ્સ એડિટિવ્સ માસ (વો દાસ આઈનહીટ્સક્વાડ્રેટ દાસ માસ 1 હેટ), દાસ ગેજેન્યુબર એલેન એબિલ્ડુંગેન વોન એ 2 અપરિવર્તનશીલ વેર". "આ અનુસાર, પહેલેથી જ સમતલમાં કોઈ બિન-નકારાત્મક યોગાત્મક માપ નથી (જેના માટે એકમ વર્ગનું માપ 1 છે), જે A2 [વિસ્તાર-સંરક્ષિત એફાઇન પરિવર્તનોનું જૂથ] સાથે જોડાયેલા તમામ પરિવર્તનના સંદર્ભમાં અપરિવર્તનશીલ છે". વધુ સમજાવવા માટે, મર્યાદિત રીતે સંકલિત માપ (જે ચોક્કસ પરિવર્તન હેઠળ સાચવેલ છે) અસ્તિત્વમાં છે કે નહીં તે પ્રશ્ન કયા પરિવર્તનની મંજૂરી છે તેના પર આધાર રાખે છે. સમતલમાં સમૂહોનું બનાચ માપ, જે અનુવાદો અને પરિભ્રમણ દ્વારા સાચવવામાં આવે છે, તે બિન-સમમિતીય પરિવર્તન દ્વારા સાચવવામાં આવતું નથી, પછી ભલે તે બહુકોણના વિસ્તારને જાળવી રાખે. સમતલના બિંદુઓને (મૂળ સિવાયના) બે ગાઢ સમૂહમાં વહેંચી શકાય છે જેને એ અને બી કહી શકાય. જો આપેલ બહુકોણના A બિંદુઓ ચોક્કસ વિસ્તાર-સંરક્ષિત પરિવર્તન દ્વારા અને B બિંદુઓ બીજા દ્વારા રૂપાંતરિત થાય, તો બંને સમૂહો બે નવા બહુકોણમાં A બિંદુઓના ઉપગણ બની શકે છે. નવા બહુકોણોનું ક્ષેત્રફળ જૂના બહુકોણ જેટલું જ હોય છે, પરંતુ બે રૂપાંતરિત સમૂહોમાં પહેલાની જેમ સમાન માપ ન હોઈ શકે (કારણ કે તેમાં એ બિંદુઓનો માત્ર એક ભાગ હોય છે), અને તેથી "કામ કરે છે" એવું કોઈ માપ નથી. બનાચ-ટાર્સ્કી ઘટનાના અભ્યાસ દરમિયાન વોન ન્યુમેન દ્વારા અલગ કરાયેલા જૂથોનો વર્ગ ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રો માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સાબિત થયોઃ આ અનુકૂળ જૂથો છે, અથવા અપરિવર્તનશીલ સરેરાશ ધરાવતા જૂથો છે, અને તેમાં તમામ મર્યાદિત અને તમામ ઉકેલવા યોગ્ય જૂથોનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિરોધાભાસી વિઘટન ત્યારે થાય છે જ્યારે સમતુલ્યતાની વ્યાખ્યામાં સમાનતા માટે વપરાતું જૂથ અનુકૂળ નથી. તાજેતરની પ્રગતિ 2000: વોન ન્યુમેનના પેપરમાં રેખીય જૂથ SL (2, R) (વેગન, પ્રશ્ન 7.4) ના સંદર્ભમાં એકમ ચોરસના આંતરિક ભાગમાં વિરોધાભાસી વિઘટનની શક્યતા ખુલ્લી મુકવામાં આવી હતી. 2000 માં, મિક્લોસ લેક્ઝકોવિચે સાબિત કર્યું કે આવા વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, A એ ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક અને મૂળથી હકારાત્મક અંતરે આવેલા સમતલના તમામ બંધાયેલા ઉપગણોનું કુટુંબ છે, અને B એ તમામ સમતલીય સમૂહોનું કુટુંબ છે જે SL (2, R) ના કેટલાક ઘટકો હેઠળ મર્યાદિત રીતે ઘણા લોકોનું જોડાણ મૂળના પંચર પડોશી ધરાવે છે. પછી કુટુંબ A ના તમામ સમૂહો SL (2, R)-સમાન સુસંગત હોય છે, અને તેવી જ રીતે B ના સમૂહો માટે. તે અનુસરે છે કે બંને પરિવારોમાં વિરોધાભાસી સમૂહોનો સમાવેશ થાય છે. 2003: તે લાંબા સમયથી જાણીતું હતું કે SA2 ના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણ સમતલ વિરોધાભાસી હતું, અને જો ત્યાં SA2 નું સ્થાનિક રીતે પરિવર્તનીય મુક્ત પેટાજૂથ અસ્તિત્વમાં હોય તો ટુકડાઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા ચાર જેટલી હશે. 2003માં કેન્ઝી સાટોએ આવા પેટા જૂથનું નિર્માણ કર્યું હતું, જે પુષ્ટિ કરે છે કે ચાર ટુકડા પૂરતા છે. 2011: લેક્ઝકોવિચના પેપરમાં જો નિશ્ચિત બિંદુઓ વિના પંચર થયેલ ડિસ્ક D પર કામ કરતા પીસવાઇઝ રેખીય પરિવર્તનોનું મુક્ત જૂથ F અસ્તિત્વમાં હોય તો શક્યતા ખુલ્લી છોડી દીધી. ગ્રેઝગોર્ઝ ટોમકોવિઝે આવા જૂથનું નિર્માણ કર્યું હતું, જે દર્શાવે છે કે એકરૂપતાની પ્રણાલી A ≈ B ≈ C ≈ B U C ને F અને D\{0,0} દ્વારા અનુભવી શકાય છે. 2017: તે લાંબા સમયથી જાણીતું છે કે હાયપરબોલિક પ્લેન H2 માં એક સમૂહ E અસ્તિત્વમાં છે જે H2 નો ત્રીજો, ચોથો અને એક-મો ભાગ છે. H2 ની દિશા-જાળવણી આઇસોમેટ્રી દ્વારા જરૂરિયાત સંતોષવામાં આવી હતી. સમાન પરિણામો જ્હોન ફ્રેન્ક એડમ્સ અને જાન માયસીલ્સ્કી દ્વારા મેળવવામાં આવ્યા હતા જેમણે દર્શાવ્યું હતું કે એકમ ગોળા S2 માં સમૂહ E છે જે S2 નો અડધો, ત્રીજો, ચોથો અને એક-મો ભાગ છે. ગ્રેઝગોર્ઝ ટોમકોવિઝે દર્શાવ્યું હતું કે એડમ્સ અને માયસીલ્સ્કી બાંધકામને S2 જેવા જ ગુણધર્મો સાથે H2 નો સમૂહ E મેળવવા માટે સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. 2017: વોન ન્યુમેનનો વિરોધાભાસ યુક્લિડિયન પ્લેનની ચિંતા કરે છે, પરંતુ ત્યાં અન્ય શાસ્ત્રીય જગ્યાઓ પણ છે જ્યાં વિરોધાભાસ શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ પૂછી શકે છે કે શું હાયપરબોલિક પ્લેન H2 માં બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ છે. આ જાન માયસીલ્સ્કી અને ગ્રેઝગોર્ઝ ટોમકોવિઝ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. ટોમકોવિઝે એ પણ સાબિત કર્યું કે મોટાભાગના શાસ્ત્રીય વિરોધાભાસો ગ્રાફના સૈદ્ધાંતિક પરિણામનું સરળ પરિણામ છે અને એ હકીકત કે પ્રશ્નમાં જૂથો પૂરતા પ્રમાણમાં સમૃદ્ધ છે. 2018: 1984 માં, જાન માયસીલ્સ્કી અને સ્ટેન વેગનએ હાયપરબોલિક પ્લેન H2 નું વિરોધાભાસી વિઘટન કર્યું જે બોરેલ સેટનો ઉપયોગ કરે છે. વિરોધાભાસ H2 ના સમમિતિનાં જૂથના યોગ્ય રીતે અસંગત પેટાજૂથના અસ્તિત્વ પર આધાર રાખે છે. સમાન વિરોધાભાસ ગ્રેઝગોર્ઝ ટોમકોવિઝ દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો છે, જેમણે એફાઇન જૂથ SA (3, Z) ના મુક્ત યોગ્ય રીતે અસંગત પેટાજૂથ G નું નિર્માણ કર્યું હતું. આવા જૂથનું અસ્તિત્વ Z3 ના સબસેટ E નું અસ્તિત્વ સૂચવે છે જેમ કે Z3 ના કોઈપણ મર્યાદિત F માટે એક તત્વ અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં અને ના સપ્રમાણ તફાવતને સૂચવે છે. 2019: બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ ડુપ્લિકેશનમાં મર્યાદિત રીતે ઘણા ટુકડાઓનો ઉપયોગ કરે છે. સંખ્યાબંધ ટુકડાઓના કિસ્સામાં, ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક ભાગો સાથેના કોઈપણ બે સમૂહો અનુવાદોનો ઉપયોગ કરીને સુસંગત હોય છે. પરંતુ માત્ર લેબસેગ્યુને માપી શકાય તેવા ટુકડાઓ મેળવવાની મંજૂરી આપવીઃ જો એ અને બી ખાલી ન હોય તેવા આંતરિક ભાગો સાથે આરએનના ઉપગણ હોય, તો તેમની પાસે સમાન લેબસેગ્યુ માપ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ લેબસેગ્યુને માપી શકાય તેવા ટુકડાઓનો ઉપયોગ કરીને ગણવા માટે સમાન સુસંગત હોય. જાન માયસીલ્સ્કી અને ગ્રેઝગોર્ઝ ટોમકોવિઝે આ પરિણામને મર્યાદિત પરિમાણીય લાઈ જૂથો અને બીજા ગણતરીપાત્ર સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ ટોપોલોજિકલ જૂથો સુધી વિસ્તૃત કર્યું જે સંપૂર્ણપણે ડિસ્કનેક્ટ થયેલ છે અથવા ગણનાત્મક રીતે ઘણા જોડાયેલા ઘટકો ધરાવે છે. નોંધો સંદર્ભો એડવર્ડ કાસનર અને જેમ્સ ન્યૂમેન (1940) ગણિત અને કલ્પના, પૃષ્ઠ 205-7, સિમોન અને શુસ્ટર પણ જુઓ. બાહ્ય કડીઓ સ્ટેન વેગન (મેકાલેસ્ટર કોલેજ) દ્વારા બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસ, વોલ્ફ્રેમ પ્રદર્શન પ્રોજેક્ટ. અનિયમિત વેબકૉમિક! ડેવિડ મોર્ગન-માર દ્વારા #2339 વિરોધાભાસની બિન-તકનીકી સમજૂતી પૂરી પાડે છે. તેમાં એકમાંથી બે ગોળા કેવી રીતે બનાવવા તે પગલું-દર-પગલા પ્રદર્શનનો સમાવેશ થાય છે. વિરોધાભાસની મૂળભૂત મૂળભૂત બાબતો પર ઝાંખી આપે છે. બનાચ-ટાર્સ્કી અને અનંત ક્લોનિંગનો વિરોધાભાસ નામસ્ત્રોતીય વિરોધાભાસ જૂથ સિદ્ધાંત માપન સિદ્ધાંત ગણિતના પાયામાં ગાણિતિક વિરોધાભાસ પ્રમેય ભૌમિતિક વિચ્છેદન 1924 પરિચય અનંતના વિરોધાભાસ