Time constant
ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઇજનેરીમાં, સમય અચળાંક, જે સામાન્ય રીતે ગ્રીક અક્ષર (તાઉ) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે પ્રથમ ક્રમ, રેખીય સમય-અપરિવર્તન (એલ. ટી. આઈ.) પ્રણાલીના પગલાના ઇનપુટના પ્રતિભાવને દર્શાવતું પરિમાણ છે. સમય અચળાંક એ પ્રથમ ક્રમની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું મુખ્ય લાક્ષણિક એકમ છે. ટાઇમ ડોમેનમાં, ટાઇમ રિસ્પોન્સ શોધવાની સામાન્ય પસંદગી સ્ટેપ ઇનપુટના સ્ટેપ રિસ્પોન્સ અથવા ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શન ઇનપુટના ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ દ્વારા થાય છે. ફ્રિક્વન્સી ડોમેનમાં (ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટેપ રિસ્પોન્સના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને જોતાં, અથવા ઇનપુટનો ઉપયોગ કરીને કે જે સમયનું સરળ સિનુસોઇડલ કાર્ય છે) ટાઇમ કોન્સ્ટન્ટ ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ટાઇમ-ઇનવેરિયન્ટ સિસ્ટમની બેન્ડવિડ્થ પણ નક્કી કરે છે, એટલે કે, જે ફ્રિક્વન્સી પર આઉટપુટ સિગ્નલ પાવર ઓછી ફ્રિક્વન્સી પર તેના અડધા મૂલ્ય સુધી ઘટી જાય છે. સમય સ્થિરાંકનો ઉપયોગ વિવિધ સંકેત પ્રક્રિયા પ્રણાલીઓના આવર્તન પ્રતિભાવને દર્શાવવા માટે પણ થાય છે-ચુંબકીય ટેપ, રેડિયો ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરો, રેકોર્ડ કટીંગ અને રિપ્લે સાધનો અને ડિજિટલ ફિલ્ટર્સ-જે પ્રથમ ક્રમની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓ દ્વારા મોડેલિંગ અથવા અંદાજિત કરી શકાય છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં અભિન્ન અને વ્યુત્પન્ન ક્રિયા નિયંત્રકો માટે નિયંત્રણ પ્રણાલીઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સમય અચળાંકનો સમાવેશ થાય છે, જે ઘણીવાર વિદ્યુતને બદલે વાયુયુક્ત હોય છે. સમય સ્થિરાંકો એ થર્મલ સિસ્ટમો માટે લમ્પ્ડ સિસ્ટમ વિશ્લેષણ (લમ્પ્ડ ક્ષમતા વિશ્લેષણ પદ્ધતિ) નું એક લક્ષણ છે, જેનો ઉપયોગ જ્યારે પદાર્થો કન્વેક્ટિવ કૂલિંગ અથવા વોર્મિંગના પ્રભાવ હેઠળ સમાન રીતે ઠંડા અથવા ગરમ થાય છે ત્યારે થાય છે. ભૌતિક રીતે, સમય અચળાંક એ સિસ્ટમના શૂન્યમાં ક્ષય થવાના પ્રતિભાવ માટે જરૂરી વીતી ગયેલા સમયને રજૂ કરે છે જો સિસ્ટમ પ્રારંભિક દરે ક્ષય થતી રહી હોત, કારણ કે ક્ષયના દરમાં પ્રગતિશીલ ફેરફારને કારણે પ્રતિસાદ ખરેખર મૂલ્યમાં ઘટાડો થયો હોત. વધતી જતી પ્રણાલીમાં, સમય અચળાંક એ પ્રણાલીના પગલાના પ્રતિભાવ માટે તેના અંતિમ (એસિમ્પ્ટોટિક) મૂલ્ય સુધી પહોંચવાનો સમય છે (કહો કે પગલાના વધારાથી). કિરણોત્સર્ગી ક્ષયમાં સમય અચળાંક ક્ષય અચળાંક (λ) સાથે સંબંધિત હોય છે, અને તે ક્ષય પામતી પ્રણાલીના સરેરાશ જીવનકાળ (જેમ કે અણુ) તે ક્ષીણ થાય તે પહેલાં, અથવા અણુઓના 36.8% સિવાયના બધા માટે તે જે સમય લે છે તે બંનેને રજૂ કરે છે. આ કારણોસર, સમય અચળાંક અર્ધ-જીવન કરતાં લાંબો છે, જે માત્ર 50 ટકા અણુઓના ક્ષયનો સમય છે. વિભેદક સમીકરણ પ્રથમ ક્રમની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓ વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જ્યાં ઘાતાંકીય ક્ષય અચળાંક રજૂ કરે છે અને તે સમયનું કાર્ય છે જમણી બાજુ એ સમયના બાહ્ય સંચાલન કાર્યનું વર્ણન કરતું બળજબરી કાર્ય છે, જેને સિસ્ટમ ઇનપુટ તરીકે ગણી શકાય, જેનો પ્રતિસાદ અથવા સિસ્ટમ આઉટપુટ છે. તેના શાસ્ત્રીય ઉદાહરણો આ પ્રમાણે છેઃ હેવીસાઇડ સ્ટેપ ફંક્શન, જેને ઘણીવાર આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છેઃ ઇમ્પલ્સ ફંક્શન, જેને ઘણીવાર આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને સિનુસોઇડલ ઇનપુટ ફંક્શનઃ અથવા જ્યાં ફોર્સિંગ ફંક્શનનું એમ્પ્લિટ્યુડ છે, તે હર્ટ્ઝમાં આવર્તન છે, અને તે સેકન્ડ દીઠ રેડિયનમાં આવર્તન છે. ઉદાહરણ ઉકેલ પ્રારંભિક મૂલ્ય સાથે વિભેદક સમીકરણનો એક ઉદાહરણ ઉકેલ અને કોઈ ફોર્સિંગ ફંક્શન નથી જ્યાં તેનું પ્રારંભિક મૂલ્ય છે. આમ, પ્રતિભાવ એ સમય અચળાંક સાથે ઘાતાંકીય ક્ષય છે. ચર્ચા ધારો કે આ વર્તણૂકને "ક્ષય" ઘાતાંકીય કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સમય (ટાઉ) ને "સમય અચળાંક" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ (આ કિસ્સામાં) સૂચવવા માટે કરી શકાય છે કે ઘાતાંકીય કાર્ય કેટલી ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે. અહીંઃ સમય છે (સામાન્ય રીતે નિયંત્રણ ઇજનેરીમાં) એ પ્રારંભિક મૂલ્ય છે (નીચે "ચોક્કસ કિસ્સાઓ" જુઓ). ચોક્કસ કિસ્સાઓ દો; પછી, અને તેથી દો; પછી દો, અને તેથી દો; પછી એક સમય અચળાંકના સમયગાળા પછી વિધેય તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના લગભગ 37 ટકા સુધી પહોંચે છે. કેસ 4 માં, પાંચ સમય સ્થિરાંકો પછી વિધેય તેના મૂળ મૂલ્યના 1 ટકાથી ઓછા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં આ 1 ટકા થ્રેશોલ્ડને એવું માનવા માટે પૂરતું માનવામાં આવે છે કે કાર્ય શૂન્ય થઈ ગયું છે-અંગૂઠાના નિયમ તરીકે, નિયંત્રણ ઇજનેરીમાં સ્થિર સિસ્ટમ તે છે જે આવા એકંદર ભીના વર્તનનું પ્રદર્શન કરે છે. બેન્ડવિડ્થ સાથે સમય અચળાંકનો સંબંધ ધારો કે ફોર્સિંગ ફંક્શનને સાઇનસોઇડલ તરીકે પસંદ કરવામાં આવ્યું છે તેથીઃ (વાસ્તવિક કોસાઇન અથવા સાઇન વેવ ઇનપુટનો પ્રતિસાદ યુલરના સૂત્રના આધારે અંતિમ પરિણામનો વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિક ભાગ લઈને મેળવી શકાય છે.) સમય માટે આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ, એમ ધારી રહ્યા છીએ કેઃ લાંબા સમય સુધી ક્ષીણ થતા ઘાતાંકો નગણ્ય બની જાય છે અને સ્થિર-સ્થિતિ ઉકેલ અથવા લાંબા સમયનો ઉકેલ છેઃ આ પ્રતિભાવની તીવ્રતા છેઃ પરંપરા મુજબ, આ પ્રણાલીની બેન્ડવિડ્થ એ આવર્તન છે જ્યાં અડધી કિંમત અથવા જ્યાં ઘટી જાય છે. આ સામાન્ય બેન્ડવિડ્થ પરંપરા છે, જેને આવર્તન શ્રેણી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં પાવર અડધાથી ઓછો (મહત્તમ −3dB) ઘટે છે. રેડિયન/s () ને બદલે હર્ટ્ઝમાં આવર્તનનો ઉપયોગ કરવોઃ સંકેત ડેસિબલમાં શક્તિની અભિવ્યક્તિ અને અવલોકન કે અર્ધ-શક્તિ 1/2 અથવા 3 ડેસિબલના પરિબળ દ્વારા મૂલ્યમાં ઘટાડાને અનુરૂપ છે તેમાંથી ઉદ્ભવે છે. આમ, સમય અચળાંક આ પ્રણાલીની બેન્ડવિડ્થ નક્કી કરે છે. મનસ્વી પ્રારંભિક શરતો સાથે સ્ટેપ રિસ્પોન્સ ધારો કે ફોર્સિંગ ફંક્શનને સ્ટેપ ઇનપુટ તરીકે પસંદ કરવામાં આવ્યું છે તેથીઃ હેવિસાઇડ સ્ટેપ ફંક્શન સાથે. સમય માટે આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ, એમ ધારીને છેઃ (એવું અવલોકન કરી શકાય છે કે આ પ્રતિભાવ એ સાઇનસોઈડલ ઇનપુટના ઉપરોક્ત પ્રતિભાવની મર્યાદા છે.) લાંબા ગાળાનો ઉકેલ સમય સ્વતંત્ર અને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છેઃ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન પ્રણાલી માટે સમય અચળાંક સમાન રહે છે. સરળ રીતે કહીએ તો, સિસ્ટમ તેની અંતિમ, સ્થિર-સ્થિતિની પરિસ્થિતિને સતત દરે પહોંચે છે, પછી ભલે તે કોઈપણ મનસ્વી પ્રારંભિક બિંદુ પર તે મૂલ્યની કેટલી નજીક હોય. ઉદાહરણ તરીકે, એક ઇલેક્ટ્રિક મોટરનો વિચાર કરો જેની શરૂઆત પ્રથમ ક્રમની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલી દ્વારા સારી રીતે કરવામાં આવી છે. ધારો કે જ્યારે મોટર આરામથી શરૂ થાય છે, ત્યારે તેની 100 આર. પી. એમ. અથવા 63 આર. પી. એમ. ની નજીવી ઝડપના 63 ટકા સુધી પહોંચવામાં સેકન્ડનો સમય લાગે છે-37 આર. પી. એમ. ની અછત. પછી તે જાણવા મળશે કે એક સેકન્ડ પછી, મોટરએ વધારાના 23 આર. પી. એમ. નો વેગ વધાર્યો છે, જે તે 37 આર. પી. એમ. ના 63 ટકા જેટલો છે. આ તેને 86 આર. પી. એમ. પર લાવે છે-હજુ પણ 14 આર. પી. એમ. નીચી. સેકન્ડના ત્રીજા ભાગ પછી, મોટર વધારાના 9 આર. પી. એમ. (તે 14 આર. પી. એમ. ના તફાવતનો 63 ટકા) મેળવશે, જે તેને 95 આર. પી. એમ. પર મૂકશે. હકીકતમાં, સેકન્ડ પછીની કોઈપણ પ્રારંભિક ગતિને જોતાં આ ચોક્કસ મોટરને વધારાના ઉદાહરણો મળ્યા હશે વિદ્યુત સર્કિટમાં સમય સ્થિરાંકો એક જ પ્રતિરોધક અને પ્રેરકથી બનેલી RL સર્કિટમાં, સમય સ્થિરાંકો "(સેકંડમાં) એ છે જ્યાં R એ પ્રતિકાર છે (ઓહ્મમાં) અને L એ પ્રેરણ છે (હેનરીમાં). તેવી જ રીતે, સિંગલ રેઝિસ્ટર અને કેપેસિટરથી બનેલી આરસી સર્કિટમાં, સમય અચળાંક (સેકન્ડમાં) છેઃ જ્યાં આર એ પ્રતિકાર છે (ઓહ્મમાં) અને સી એ કેપેસિટન્સ છે (ફરાડ્સમાં). વિદ્યુત પરિપથ ઘણીવાર આ ઉદાહરણો કરતાં વધુ જટિલ હોય છે, અને બહુવિધ સમય સ્થિરાંકો પ્રદર્શિત કરી શકે છે (કેટલાક ઉદાહરણો માટે પગલું પ્રતિસાદ અને ધ્રુવ વિભાજન જુઓ.) એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં પ્રતિસાદ હાજર હોય, સિસ્ટમ અસ્થિર, વધતા દોલન પ્રદર્શિત કરી શકે છે. વધુમાં, ભૌતિક વિદ્યુત સર્કિટ્સ ભાગ્યે જ સાચી રેખીય પ્રણાલીઓ હોય છે સિવાય કે ખૂબ જ ઓછી કંપનવિસ્તાર ઉત્તેજના; જો કે, રેખીયતાના અંદાજનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ડિજિટલ ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટમાં અન્ય એક માપ, એફ. ઓ. 4 નો ઘણીવાર ઉપયોગ થાય છે. આને સમીકરણ દ્વારા સમય અચળ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. થર્મલ સમય અચળાંક એ થર્મલ સિસ્ટમો માટે લમ્પ્ડ સિસ્ટમ વિશ્લેષણ (લમ્પ્ડ ક્ષમતા વિશ્લેષણ પદ્ધતિ) નું એક લક્ષણ છે, જેનો ઉપયોગ જ્યારે પદાર્થો કન્વેક્ટિવ કૂલિંગ અથવા વોર્મિંગના પ્રભાવ હેઠળ સમાન રીતે ઠંડા અથવા ગરમ થાય છે ત્યારે થાય છે. આ કિસ્સામાં, આપેલ સમયે શરીરમાંથી આજુબાજુમાં ગરમીનું સ્થાનાંતરણ શરીર અને આસપાસના વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને પ્રમાણસર હોય છેઃ જ્યાં h એ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ ગુણાંક છે, અને સપાટીના વિસ્તારની જેમ, T એ તાપમાન કાર્ય છે, એટલે કે, T (t) એ સમય t પર શરીરનું તાપમાન છે, અને Ta એ સતત આજુબાજુનું તાપમાન છે. હકારાત્મક સંકેત એ પરંપરાને સૂચવે છે કે જ્યારે ગરમી શરીરમાંથી બહાર નીકળી રહી હોય ત્યારે F હકારાત્મક હોય છે કારણ કે તેનું તાપમાન આસપાસના તાપમાન કરતા વધારે હોય છે (F એ બાહ્ય પ્રવાહ છે). જો ગરમી આજુબાજુમાં ખોવાઈ જાય છે, તો આ ગરમીનું સ્થાનાંતરણ શરીરના તાપમાનમાં ઘટાડા તરફ દોરી જાય છે જે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં ρ = ઘનતા, cp = ચોક્કસ ગરમી અને V એ શરીરનું કદ છે. નકારાત્મક સંકેત સૂચવે છે કે જ્યારે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ શરીરમાંથી બહારની તરફ થાય છે (એટલે કે, જ્યારે F> 0) ત્યારે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે. ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ માટે આ બે સમીકરણોને સરખાવતા, દેખીતી રીતે, આ પ્રથમ ક્રમની એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલી છે જેને આ સ્વરૂપમાં કાસ્ટ કરી શકાય છેઃ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉચ્ચ ઉષ્મા ક્ષમતાઓ સાથે મોટા દળો ρV તાપમાનમાં ધીમા ફેરફારો તરફ દોરી જાય છે (લાંબા સમય સુધી અચળાંક τ), જ્યારે મોટા સપાટીના વિસ્તારો ઉચ્ચ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણની જેમ જ h વધુ ઝડપી તાપમાન પરિવર્તન તરફ દોરી જાય છે (ટૂંકા સમય અચળાંક τ). પ્રારંભિક વિભેદક સમીકરણ સાથે સરખામણી સમય-બદલાતા આજુબાજુના તાપમાન તા માટે સંભવિત સામાન્યીકરણ સૂચવે છે. જો કે, સરળ સતત આજુબાજુના ઉદાહરણને જાળવી રાખીને, ચલ ΔT ષ્ણ (T−ta) ને બદલીને, એક શોધે છેઃ જે પ્રણાલીઓ માટે ઠંડક ઉપરોક્ત ઘાતાંકીય સમીકરણને સંતોષે છે તે ન્યૂટનના ઠંડકના નિયમને સંતોષે છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ સૂચવે છે કે, આવી પ્રણાલીઓમાં, સમય t ના વિધેય તરીકે પ્રણાલીના તાપમાન અને તેની આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત, આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં સમય t = 0 પર પ્રારંભિક તાપમાનનો તફાવત ΔT0 છે. શબ્દોમાં કહીએ તો, શરીર સમય અચળાંક દ્વારા નિર્ધારિત ઝડપથી ધીમા દરે આસપાસના સમાન તાપમાન ધારણ કરે છે. સ્નાયુ અથવા ચેતાકોષ જેવા ઉત્તેજક કોષમાં, પટલની ક્ષમતાનો સમય અચળાંક એ છે કે જ્યાં rm એ પટલની આજુબાજુનો પ્રતિકાર છે અને cm એ પટલની ક્ષમતા છે. પટલમાં પ્રતિકાર એ ખુલ્લી આયન ચેનલોની સંખ્યાનું કાર્ય છે અને કેપેસિટન્સ એ લિપિડ બાયલેયરના ગુણધર્મોનું કાર્ય છે. સમય અચળાંકનો ઉપયોગ પટલના વોલ્ટેજના ઉદય અને પતનને વર્ણવવા માટે થાય છે, જ્યાં ઉદયને આ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે અને પતનને આ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે કે જ્યાં વોલ્ટેજ મિલીવોલ્ટમાં હોય, સમય સેકન્ડમાં હોય અને seconds.Vmax માં હોય, તેને વિશ્રામી ક્ષમતામાંથી મહત્તમ વોલ્ટેજ પરિવર્તન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં rm એ પટલની આજુબાજુનો પ્રતિકાર છે અને I એ પટલનો પ્રવાહ છે. t = માટે સુયોજિત કરવું એ V (t) ને 0.63Vmax ની બરાબર સુયોજિત કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે સમય અચળાંક એ વી. એમ. એ. એક્સ. ના 63 ટકા સુધી પહોંચ્યા પછી વીતી ગયેલો સમય છે. ટી = માટે સુયોજન વી (ટી) = <આઇ. ડી. 1> ની બરાબર હોય છે, એટલે કે સમય અચળાંક એ વી. એમ. એ. એક્સ. ના 37 ટકા સુધી ઘટ્યા પછી વીતી ગયેલો સમય છે. સમયનો અચળાંક જેટલો મોટો હોય છે, ચેતાકોષની ક્ષમતાનો ઉદય અથવા ઘટાડો એટલો જ ધીમો હોય છે. લાંબા સમયનો અચળાંક અસ્થાયી સરવાળો અથવા પુનરાવર્તિત સંભવિતતાનો બીજગણિત સરવાળો પરિણમી શકે છે. ટૂંકા સમયનો અચળાંક તેના બદલે અવકાશી સરવાળા દ્વારા સંયોગ શોધક ઉત્પન્ન કરે છે. કિરણોત્સર્ગી આઇસોટોપ જેવા ઘાતાંકીય ક્ષયમાં, સમય અચળાંકને સરેરાશ જીવનકાળ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. અર્ધ-જીવન ટી. એચ. એલ. અથવા ટી "1/2 એ ઘાતાંકીય ક્ષય અચળાંક સાથે સંબંધિત છે. સમય અચળાંકના પારસ્પરિકને ક્ષય અચળાંક કહેવામાં આવે છે, અને તેને હવામાન સંવેદક તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. સમય અચળાંક એ હવામાનશાસ્ત્રીય સંવેદકને માપમાં ઝડપી પરિવર્તનનો પ્રતિસાદ આપવા માટે જેટલો સમય લે છે, અને જ્યાં સુધી તે સામાન્ય રીતે સંવેદક પાસેથી અપેક્ષિત ચોકસાઈ સહિષ્ણુતામાં મૂલ્યોને માપતો નથી. આ મોટે ભાગે તાપમાન, ઝાકળ-બિંદુ તાપમાન, ભેજ અને હવાના દબાણના માપનને લાગુ પડે છે. રેડિયોસોન્ડ્સ ખાસ કરીને ઊંચાઈમાં તેમના ઝડપી વધારાને કારણે પ્રભાવિત થાય છે. આરસી સમય અચળાંક કટઓફ આવર્તન ઘાતાંકીય ક્ષય લીડ-લેગ કોમ્પેન્સેટર લંબાઈ અચળાંક રાઇઝ ટાઇમ ફોલ ટાઇમ ફ્રીક્વન્સી પ્રતિસાદ ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ સ્ટેપ રિસ્પોન્સ રાઇઝ ટાઇમ સેટલમેન્ટ ટાઇમ નોટ્સ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ સમય અચળાંક τ ને કટઓફ આવર્તન fc માં રૂપાંતર અને ઊલટું સર્કિટ વિશે બધું-વોલ્ટેજ અને વર્તમાન ગણતરીઓ ઊર્જા અને ઇમારતોના થર્મલ સમય અચળાંક શારીરિક અચળાંક ન્યુરોસાયન્સ સમયગાળો