Hp-FEM
એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. એ ચલ કદ (એચ) અને બહુપદી ડિગ્રી (પી) ના તત્વોનો ઉપયોગ કરીને પીસવાઇઝ-બહુપદી અંદાજોના આધારે આંશિક વિભેદક સમીકરણોને સંખ્યાત્મક રીતે ઉકેલવા માટે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ (એફ. ઇ. એમ.) નું સામાન્યીકરણ છે. એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. બાર્ના એ. સ્ઝાબો અને ઇવો બાબુસ્કા દ્વારા કરવામાં આવેલી શોધ પરથી ઉદ્ભવે છે કે જ્યારે મેશને એચ-રિફિનમેન્ટ્સ (તત્વોને નાના ભાગોમાં વિભાજીત કરીને) અને પી-રિફિનમેન્ટ્સ (તેમની બહુપદી ડિગ્રીમાં વધારો કરીને) ના યોગ્ય સંયોજનનો ઉપયોગ કરીને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે ત્યારે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ ઝડપથી એકરૂપ થાય છે. એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ના ઘાતાંકીય અભિસરણનું અસંખ્ય સ્વતંત્ર સંશોધકો દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવ્યું છે. ઘણી સમસ્યાઓ પર, એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. બીજગણિત દરે એકરૂપ થતી મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓ કરતાં વધુ ઝડપી હોઈ શકે છે. પ્રમાણભૂત એફ. ઇ. એમ. થી તફાવતો એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ઘણા પાસાઓમાં પ્રમાણભૂત (નિમ્ન-ક્રમ) એફ. ઇ. એમ. થી અલગ પડે છે. ઉચ્ચ-ક્રમના આકાર કાર્યોની પસંદગીઃ ઘટકોમાં ઉચ્ચ-ડિગ્રી બહુપદીઓ આકાર કાર્યોના વિવિધ સમૂહોનો ઉપયોગ કરીને પેદા કરી શકાય છે. આવા સમૂહની પસંદગી નાટકીય રીતે કઠોરતા મેટ્રિક્સની સ્થિતિને પ્રભાવિત કરી શકે છે, અને બદલામાં સમગ્ર ઉકેલ પ્રક્રિયાને પ્રભાવિત કરી શકે છે. આ સમસ્યાનું દસ્તાવેજીકરણ સૌપ્રથમ બાબુસ્કા એટ અલ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. સ્વયંસંચાલિત એચ. પી.-અનુકૂલનક્ષમતાઃ એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. માં, તત્વને ઘણી જુદી જુદી રીતે એચ. પી.-શુદ્ધ કરી શકાય છે, જેમ કેઃ તેને અવકાશમાં પેટા વિભાજિત કર્યા વિના તેની બહુપદી ડિગ્રીમાં વધારો કરવો, અથવા તત્વને ભૌમિતિક રીતે પેટા વિભાજિત કરવું, જ્યાં પેટા ઘટકો પર વિવિધ બહુપદી ડિગ્રી લાગુ કરી શકાય છે. તત્વ શુદ્ધિકરણ ઉમેદવારોની સંખ્યા સરળતાથી બે પરિમાણોમાં 100 અને ત્રણ પરિમાણોમાં 1000 સુધી પહોંચે છે. તત્વમાં ભૂલનું કદ સૂચવતી એક સંખ્યા સ્વચાલિત એચપી-અનુકૂલનશીલતાને માર્ગદર્શન આપવા માટે પૂરતી નથી (પ્રમાણભૂત એફઇએમમાં અનુકૂલનશીલતાના વિરોધમાં). દરેક તત્વમાં ભૂલના આકાર વિશે વધુ માહિતી મેળવવા માટે સંદર્ભ ઉકેલો અથવા વિશ્લેષણાત્મક વિચારણાઓ જેવી અન્ય તકનીકોનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. એસેમ્બલિંગ અને સોલ્યુશન સીપીયુ સમયનો ગુણોત્તરઃ પ્રમાણભૂત એફઇએમમાં, જડતા મેટ્રિક્સ સામાન્ય રીતે ઝડપથી એસેમ્બલ થાય છે પરંતુ તે ખૂબ મોટી હોય છે. સામાન્ય રીતે, અલગ સમસ્યાનું સમાધાન એકંદર કમ્પ્યુટિંગ સમયનો સૌથી મોટો ભાગ લે છે. તેનાથી વિપરીત, એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. માં કઠોરતા મેટ્રિક્સ સામાન્ય રીતે ઘણા નાના હોય છે, પરંતુ (સમાન મેટ્રિક્સ કદ માટે) તેમની એસેમ્બલી પ્રમાણભૂત એફ. ઇ. એમ. કરતાં વધુ સમય લે છે. આ મુખ્યત્વે આંકડાકીય ચતુર્થાંશના કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચને કારણે છે, જેમાં વધુ ચોકસાઇ હોવી જોઈએ, અને તેથી ઝડપી કન્વર્જન્સ દરનો લાભ લેવા માટે પ્રમાણભૂત FEMની તુલનામાં ઉચ્ચ ક્રમની હોવી જોઈએ. વિશ્લેષણાત્મક પડકારો એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ને સામાન્ય રીતે પ્રમાણભૂત એફ. ઇ. એમ. કરતાં વિશ્લેષણાત્મક દ્રષ્ટિકોણથી સમજવું વધુ મુશ્કેલ માનવામાં આવે છે. આ સંખ્યાબંધ તકનીકો સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે લંબગોળ સમસ્યાઓ માટે સ્વતંત્ર મહત્તમ સિદ્ધાંતો (ડીએમપી). આ પરિણામો જણાવે છે કે, સામાન્ય રીતે જાળી પર કેટલીક મર્યાદિત ધારણાઓ સાથે, પીસવાઇઝ-બહુપદી FEM અંદાજ અંતર્ગત લંબગોળ PDE તરીકે સમાન મહત્તમ સિદ્ધાંતોનું પાલન કરે છે. આવા પરિણામો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તેઓ બાંહેધરી આપે છે કે અંદાજ ભૌતિક રીતે સ્વીકાર્ય રહે છે, જેનાથી નકારાત્મક ઘનતા, નકારાત્મક સાંદ્રતા અથવા નકારાત્મક નિરપેક્ષ તાપમાનની ગણતરી કરવાની કોઈ શક્યતા રહેતી નથી. ડી. એમ. પી. સૌથી નીચા ક્રમના એફ. ઇ. એમ. માટે સારી રીતે સમજી શકાય છે પરંતુ બે કે તેથી વધુ પરિમાણોમાં એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. માટે સંપૂર્ણપણે અજ્ઞાત છે. એક અવકાશી પરિમાણમાં પ્રથમ ડીએમપી તાજેતરમાં ઘડવામાં આવ્યું હતું. પ્રોગ્રામિંગ પડકારો એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. સોલ્વરનો અમલ પ્રમાણભૂત એફ. ઇ. એમ. કોડ કરતાં વધુ મુશ્કેલ છે. બહુવિધ મુદ્દાઓ કે જેને દૂર કરવાની જરૂર છે તેમાં સમાવેશ થાય છે (પરંતુ તે મર્યાદિત નથી): ઉચ્ચ-ક્રમના ચતુર્ભુજ સૂત્રો, ઉચ્ચ-ક્રમના આકાર કાર્યો, જોડાણ અને ભૌતિક ક્ષેત્રમાં આધાર કાર્યો સાથે સંદર્ભ ક્ષેત્ર પર આકાર કાર્યોને લગતી દિશા માહિતી, વગેરે. ફિચેરા સમસ્યા ફિચેરા સમસ્યા (જેને ફિચેરા કોર્નર સમસ્યા પણ કહેવાય છે) એ અનુકૂલનશીલ FEM કોડ્સ માટે પ્રમાણભૂત બેન્ચમાર્ક સમસ્યા છે. તેનો ઉપયોગ પ્રમાણભૂત એફ. ઇ. એમ. અને એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ની કામગીરીમાં નાટકીય તફાવત દર્શાવવા માટે કરી શકાય છે. સમસ્યાની ભૂમિતિ ગુમ થયેલા ખૂણાઓ સાથેનો સમઘન છે ચોક્કસ ઉકેલ કેન્દ્રમાં એકવચન ઢાળ (અનંત તાણની સામ્યતા) ધરાવે છે. ચોક્કસ ઉકેલનું જ્ઞાન અંદાજની ભૂલની બરાબર ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને આમ વિવિધ આંકડાકીય પદ્ધતિઓની તુલના કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અનુકૂલનશીલ FEM ની ત્રણ જુદી જુદી આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું સમાધાન કરવામાં આવ્યું હતુંઃ રેખીય ઘટકો, દ્વિઘાત ઘટકો અને hp-FEM. અભિસરણ આલેખ અંદાજિત ભૂલને ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ (ડી. ઓ. એફ.) ની સંખ્યાના કાર્ય તરીકે દર્શાવે છે. ડીઓએફ એ અજ્ઞાત પરિમાણોનો સંદર્ભ આપે છે જે અંદાજને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જરૂરી છે, અને ડીઓએફની સંખ્યા જડતા મેટ્રિક્સના કદ જેટલી છે. વાચક આલેખમાં જોઈ શકે છે કે એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. નું અભિસરણ અન્ય બંને પદ્ધતિઓના અભિસરણ કરતાં ઘણું ઝડપી છે. કામગીરીનું અંતર એટલું મોટું છે કે રેખીય એફ. ઇ. એમ. બિલકુલ (વાજબી સમયમાં) એકરૂપ ન થઈ શકે અને દ્વિઘાત એફ. ઇ. એમ. ને આશરે 17,000 ડી. ઓ. એફ. સાથે પ્રાપ્ત એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ની ચોકસાઈ સુધી પહોંચવા માટે સેંકડો હજારો અથવા કદાચ લાખો ડી. ઓ. એફ. ની જરૂર પડશે. પ્રમાણમાં ઓછી માત્રામાં સ્વતંત્રતાનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ જ સચોટ પરિણામો મેળવવું એ એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ની મુખ્ય તાકાત છે. એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. સ્મૂથ ફંક્શન્સની કાર્યક્ષમતાને નાના પીસવાઇઝ-રેખીય કરતાં મોટા ઉચ્ચ-ક્રમના તત્વોનો ઉપયોગ કરીને વધુ અસરકારક રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે. આ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જ્યાં શૂન્ય ડિરીક્લેટ સીમા શરતો સાથેનું એક-પરિમાણીય પોઈસન સમીકરણ બે અલગ-અલગ જાળી પર હલ કરવામાં આવે છે. ચોક્કસ ઉકેલ એ સાઇન કાર્ય છે. ડાબેઃ બે રેખીય તત્વોની બનેલી જાળી. જમણેઃ એક દ્વિઘાત તત્વ ધરાવતી જાળી. જ્યારે બંને કિસ્સાઓમાં અજ્ઞાતની સંખ્યા સમાન છે (1 ડીઓએફ), અનુરૂપ ધોરણમાં ભૂલો અનુક્રમે 0.68 અને 0.20 છે. આનો અર્થ એ થયો કે દ્વિઘાત અંદાજ પીસવાઇઝ રેખીય અંદાજ કરતાં આશરે 3.5 ગણો વધુ કાર્યક્ષમ હતો. જ્યારે આપણે એક પગલું આગળ વધીએ અને (એ) ચાર રેખીય તત્વોની તુલના (બી) એક ચતુર્થાંશ તત્વ (પી = 4) સાથે કરીએ, ત્યારે બંને સ્વતંત્ર સમસ્યાઓમાં ત્રણ ડીઓએફ હશે, પરંતુ ચતુર્થાંશ અંદાજ લગભગ 40 ગણો વધુ કાર્યક્ષમ હશે. તેનાથી વિપરીત, નાના નિમ્ન-ક્રમના ઘટકો મોટા ઉચ્ચ-ક્રમના ઘટકો કરતાં વધુ સારી રીતે એકલતા જેવી નાના પાયે સુવિધાઓ મેળવી શકે છે. એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. આ બે અભિગમોના શ્રેષ્ઠ સંયોજન પર આધારિત છે જે ઘાતાંકીય અભિસરણ તરફ દોરી જાય છે. નોંધ લો કે આ ઘાતાંકીય અભિસરણ ભૂલની અક્ષ વિરુદ્ધ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીમાં વ્યક્ત થાય છે. વાસ્તવિક જીવનની એપ્લિકેશનો માટે, આપણે સામાન્ય રીતે ચોકસાઈના સમાન સ્તર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી કોમ્પ્યુટેશનલ સમયને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આ પ્રદર્શન સૂચક માટે એચ-અને એચપી-સુધારણા સમાન પરિણામો પ્રદાન કરી શકે છે, દા. ત. (વેબ આર્કાઇવ લિંક) પર અંતિમ આંકડો જુઓ. જલદી એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ની સરખામણીમાં એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. ને પ્રોગ્રામ અને સમાંતર બનાવવું મુશ્કેલ બને છે, ત્યારે એચ. પી.-રિફાઇનમેન્ટની કન્વર્જન્સ શ્રેષ્ઠતા અવ્યવહારુ બની શકે છે. એચ. પી.-અનુકૂલનશીલતા કેટલીક એફ. ઇ. એમ. સાઇટો એચ. પી.-અનુકૂલનશીલતાને એચ.-અનુકૂલનશીલતા (બહુપદીની ડિગ્રી નિશ્ચિત રાખીને અવકાશમાં તત્વોનું વિભાજન) અને પી.-અનુકૂલનશીલતા (માત્ર તેમની બહુપદીની ડિગ્રીમાં વધારો) ના સંયોજન તરીકે વર્ણવે છે. આ સંપૂર્ણપણે સચોટ નથી, કારણ કે એચપી-અનુકૂલનશીલતા એચ-અને પી-અનુકૂલનશીલતા બંનેથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે કારણ કે તત્વની એચપી-સુધારણા ઘણી અલગ અલગ રીતે કરી શકાય છે. પી-સુધારણા ઉપરાંત, તત્વને અવકાશમાં વિભાજિત કરી શકાય છે (એચ-અનુકૂલનની જેમ), પરંતુ પેટા-ઘટકો પર બહુપદી ડિગ્રી માટે ઘણા સંયોજનો છે. આ જમણી બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્રિકોણાકાર અથવા ચતુર્ભુજ તત્વને ચાર પેટા-ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જ્યાં બહુપદીની ડિગ્રી મહત્તમ બે દ્વારા બદલવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે, તો આ 3 ^ 4 = 81 રિફાઇનમેન્ટ ઉમેદવાર આપે છે (બહુપદીની રીતે અનિસોટ્રોપિક ઉમેદવારોને ધ્યાનમાં લીધા વગર). સમાન રીતે, ષટ્કોણને આઠ પેટા-ઘટકોમાં વિભાજીત કરીને અને તેમની બહુપદીની ડિગ્રીમાં મહત્તમ બે દ્વારા ફેરફાર કરવાથી 3 ^ 8 = 6,561 શુદ્ધિકરણ ઉમેદવાર મળે છે. પ્રમાણભૂત FEM ભૂલ અંદાજો જે તત્વ દીઠ એક અચળ સંખ્યા પૂરી પાડે છે તે સ્વચાલિત એચપી-અનુકૂલનશીલતાને માર્ગદર્શન આપવા માટે પૂરતું નથી. ઉચ્ચ-ક્રમ આકાર કાર્યો પ્રમાણભૂત FEMમાં એક માત્ર ગ્રીડ શિરોબિંદુઓ (કહેવાતા શિરોબિંદુ કાર્યો) સાથે સંકળાયેલા આકાર કાર્યો સાથે કામ કરે છે. તેનાથી વિપરીત, એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. નો ઉપયોગ કરતી વખતે, એજ ફંક્શન્સ (તત્વની ધાર સાથે સંકળાયેલ), ફેસ ફંક્શન્સ (તત્વના મુખને અનુરૂપ-માત્ર 3ડી), અને બબલ ફંક્શન્સ (ઉચ્ચ ક્રમની બહુપદીઓ જે તત્વની સીમાઓ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે) ને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. નીચેની છબીઓ આ કાર્યો દર્શાવે છે (એક જ તત્વ સુધી મર્યાદિત): નોંધઃ આ તમામ કાર્યો સમગ્ર આંતરિક તત્વમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઓપન સોર્સ એચપી-એફઇએમ કોડ્સ Deal.II: Deal.II એ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આંશિક વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે એક મુક્ત, ઓપન સોર્સ લાઇબ્રેરી છે. વિભાવનાઓઃ લંબગોળ સમીકરણો માટે C/C + + hp-FEM/DGFEM/BEM પુસ્તકાલય SAM, ETH ઝુરિચ (સ્વિટ્ઝર્લૅન્ડ) અને TU બર્લિન (જર્મની) ખાતે K. શ્મિટના જૂથમાં વિકસાવવામાં આવ્યું છે. 2dhp90,3dhp90: લંબગોળ સમસ્યાઓ માટે ફોરટ્રાન કોડ અને આઇસીઇએસ, યુટી ઓસ્ટિન ખાતે એલ. ડેમકોવિઝ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલા મેક્સવેલના સમીકરણો. પી. એચ. એ. એમ. એલ.: સમાંતર શ્રેણીબદ્ધ અનુકૂલનશીલ બહુસ્તરીય પરિયોજના. એડેપ્ટિવ મેશ રિફાઇનમેન્ટ અને મલ્ટી-ગ્રીડ સોલ્યુશન તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ મેમરી પેરેલલ કમ્પ્યુટર્સ અને મલ્ટી-કોર કમ્પ્યુટર્સ પર 2ડી લંબગોળ આંશિક વિભેદક સમીકરણોના આંકડાકીય ઉકેલ માટે નેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર સ્ટાન્ડર્ડ્સ એન્ડ ટેકનોલોજી, યુએસએ ખાતે ફાઈનાઇટ એલિમેન્ટ સોફ્ટવેર વિકસાવવામાં આવ્યું છે. હર્મેસ પ્રોજેક્ટઃ નેવાડા યુનિવર્સિટી, રેનો (યુએસએ), ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ થર્મો-મિકેનિક્સ, પ્રાગ (ચેક રિપબ્લિક) અને પિલ્સન (ચેક રિપબ્લિક) માં યુનિવર્સિટી ઓફ વેસ્ટ બોહેમિયા દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી વિવિધ પ્રકારની પીડીઇ અને મલ્ટિફિઝિક્સ પીડીઇ સિસ્ટમો માટે સ્પેસ-અને સ્પેસ-ટાઇમ અનુકૂલનશીલ એચપી-એફઇએમ સોલવર્સના ઝડપી પ્રોટોટાઇપિંગ માટે સી/સી + +/પાયથોન લાઇબ્રેરી-હર્મેસ લાઇબ્રેરીની ટોચ પર એગ્રોસ 2 ડી એન્જિનિયરિંગ સોફ્ટવેર સાથે. PHG: PHG એ સમાંતર અનુકૂલનશીલ મર્યાદિત તત્વ કાર્યક્રમો વિકસાવવા માટેનું એક ટૂલબોક્સ છે. તે એચ-, પી-અને એચપી-ફેમ માટે યોગ્ય છે. PHG હાલમાં સ્ટેટ કી લેબોરેટરી ઓફ સાયન્ટિફિક એન્ડ એન્જિનિયરિંગ કમ્પ્યુટિંગ, ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સ અને ચાઇનીઝ એકેડેમી ઓફ સાયન્સિસ (LSEC, CAS, ચાઇના) ના સાયન્ટિફિક/એન્જિનિયરિંગ કમ્પ્યુટિંગમાં સક્રિય વિકાસ હેઠળ છે. પી. એચ. જી. અનુરૂપ ટેટ્રાહેડ્રલ મેશ સાથે કામ કરે છે અને અનુકૂલનશીલ સ્થાનિક મેશ રિફાઇનમેન્ટ માટે દ્વિભાજન અને સંદેશ પસાર કરવા માટે એમ. પી. આઈ. નો ઉપયોગ કરે છે. PHG એક ઓબ્જેક્ટ-ઓરિએન્ટેડ ડિઝાઇન ધરાવે છે જે સમાંતર વિગતોને છુપાવે છે અને અમૂર્ત રીતે મેશ અને મર્યાદિત તત્વ કાર્યો પર સામાન્ય કામગીરી પ્રદાન કરે છે, જે વપરાશકર્તાઓને તેમના આંકડાકીય અલ્ગોરિધમ્સ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. એમ. ઓ. એફ. ઇ. એમ. એ એક મર્યાદિત તત્વ વિશ્લેષણ કોડ છે જે અંદાજના મનસ્વી સ્તરો અને જાળીદાર શુદ્ધિકરણના વિવિધ સ્તરો સાથે બહુ-ભૌતિક સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે તૈયાર કરવામાં આવ્યો છે અને ઉચ્ચ-પ્રદર્શન કમ્પ્યુટિંગ માટે અનુકૂળ છે. તે એલ2, એચ1, એચ-ડિવ અને એચ-કર્લ જગ્યાઓ માટે અંદાજોના વિજાતીય ક્રમ સાથે સંબંધિત જટિલતાઓને સંચાલિત કરવામાં સક્ષમ થવા માટે રચાયેલ છે. સ્પાર્સેલિઝાર્ડ એ મલ્ટિ-ફિઝિક્સ, એચપી-એડપ્ટિવ, વપરાશકર્તા-મૈત્રીપૂર્ણ, ઓપન-સોર્સ સી + + ફાઇનાઇટ એલિમેન્ટ લાઇબ્રેરી છે જે હાલમાં ફિનલેન્ડની ટેમ્પેરે યુનિવર્સિટીમાં વિકસાવવામાં આવી છે. તે સામાન્ય સ્થિર અને ક્ષણિક એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. માટે મનસ્વી ક્રમમાં અધિક્રમિક એચ1 અને એચ-કર્લ કાર્ય જગ્યાઓ સાથે 3ડી ટેટ્રાહેડ્રલ અને 2ડી ત્રિકોણ/ચતુષ્કોણ અનુરૂપ જાળીદાર શુદ્ધિકરણને જોડે છે. વાણિજ્યિક એચ. પી.-એફ. ઇ. એમ. સોફ્ટવેર સ્ટ્રેસચેક એ વિગતવાર માળખાકીય વિશ્લેષણ તરફ લક્ષી ક્ષમતાઓ સાથેનું મર્યાદિત તત્વ વિશ્લેષણ સાધન છે. સંદર્ભો મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ