SIC-POVM
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને ક્વોન્ટમ ઇન્ફોર્મેશન થિયરીના સંદર્ભમાં, સપ્રમાણ, માહિતીપ્રદ રીતે સંપૂર્ણ, હકારાત્મક ઓપરેટર-વેલ્યુડ માપ (એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ.) એ એક ચોક્કસ પ્રકારનું સામાન્યીકૃત માપન (પી. ઓ. વી. એમ.) છે. એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ખાસ કરીને (1) માહિતીપ્રદ રીતે સંપૂર્ણ હોવા; (2) માહિતીપ્રદ સંપૂર્ણતા સાથે સુસંગત પરિણામોની ન્યૂનતમ સંખ્યા હોવા, અને (3) અત્યંત સમપ્રમાણ હોવાના તેમના વ્યાખ્યાયિત લક્ષણોને કારણે નોંધપાત્ર છે. આ સંદર્ભમાં, માહિતીની સંપૂર્ણતા એ પી. ઓ. વી. એમ. ની મિલકત છે જે માપન ડેટામાંથી ઇનપુટ સ્થિતિઓનું સંપૂર્ણ પુનર્ગઠન કરવાની મંજૂરી આપે છે. એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના ગુણધર્મો તેમને "પ્રમાણભૂત ક્વોન્ટમ માપન" માટે એક રસપ્રદ ઉમેદવાર બનાવે છે, જેનો ઉપયોગ પાયાના ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના અભ્યાસમાં થાય છે, ખાસ કરીને ક્યુબિઝમમાં. ક્વોન્ટમ સ્ટેટ ટોમોગ્રાફી અને ક્વોન્ટમ ક્રિપ્ટોગ્રાફીના સંદર્ભમાં એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ની ઘણી ઉપયોગિતાઓ છે, અને હિલ્બર્ટની બારમી સમસ્યા સાથે સંભવિત જોડાણ શોધવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યા પર પી. ઓ. વી. એમ. એ હકારાત્મક-અર્ધ-મર્યાદિત ઓપરેટર્સનો સમૂહ છે જે ઓળખનો સરવાળો કરે છેઃ જો પી. ઓ. વી. એમ. માં ઓછામાં ઓછા ઓપરેટર્સ હોય જે સ્વ-સંલગ્ન ઓપરેટરોની જગ્યા સુધી વિસ્તરે છે, તો તેને માહિતીપ્રદ રીતે સંપૂર્ણ પી. ઓ. વી. એમ. (આઇ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ.) કહેવામાં આવે છે. બરાબર ઘટકો ધરાવતા IC-POVM ને ન્યૂનતમ કહેવામાં આવે છે. રેન્ક-1 પ્રોજેક્ટરનો સમૂહ જે સમાન જોડી મુજબ હિલ્બર્ટ-શ્મિટ આંતરિક ઉત્પાદનો ધરાવે છે, તે એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. તરીકે ઓળખાતા ઘટકો સાથે ન્યૂનતમ આઇ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ગુણધર્મો સમપ્રમાણતા ક્રમ-1 પ્રોજેક્ટરના મનસ્વી સમૂહને ધ્યાનમાં લો જેમ કે પી. ઓ. વી. એમ., અને આમ. પ્રોજેક્ટરને બધા માટે સમાન જોડી મુજબ આંતરિક ઉત્પાદનો રાખવા માટે કહેવાથી, તેનું મૂલ્ય નક્કી થાય છે. આ જોવા માટે, અવલોકન કરો જે તે સૂચવે છે. આમ, આ ગુણધર્મ SIC-POVM ને સપ્રમાણ બનાવે છે; હિલ્બર્ટ-શ્મિટ આંતરિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં, તત્વોની કોઈપણ જોડી અન્ય કોઈપણ જોડીની સમકક્ષ હોય છે. સુપરઓપરેટર એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. તત્વોનો ઉપયોગ કરીને, એક રસપ્રદ સુપરઓપરેટર બનાવી શકાય છે, જે નકશાની જેમ છે. આ ઓપરેટર ગોળાકાર ટી-ડિઝાઇન સાથે એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના સંબંધને ધ્યાનમાં લેવામાં સૌથી વધુ ઉપયોગી છે. નકશાને ધ્યાનમાં લો આ ઓપરેટર SIC-POVM તત્વ પર ઓળખ જેવી જ રીતે કાર્ય કરે છે, પરંતુ SIC-POVM ના તત્વો કોઈપણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિને સંપૂર્ણપણે અને અનન્ય રીતે નિર્ધારિત કરી શકે છે, તેથી આ રેખીય ઓપરેટરને કોઈપણ સ્થિતિના વિઘટન પર લાગુ કરી શકાય છે, જેના પરિણામે નીચેની બાબતો લખવાની ક્ષમતા થાય છેઃ જ્યાંથી, ડાબી બાજુના વ્યસ્તની ગણતરી કરી શકાય છે, અને તેથી એ જ્ઞાન સાથે કે, અર્ધ-સંભાવના વિતરણની દ્રષ્ટિએ સ્થિતિ માટે અભિવ્યક્તિ બનાવી શકાય છે, નીચે મુજબઃ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં જોવામાં આવતા ઘનતા ઓપરેટર માટે ડીરાક નોટેશન ક્યાં છે. આ દર્શાવે છે કે યોગ્ય અર્ધ-સંભાવના વિતરણ (કારણ કે તે નકારાત્મક પરિણામો આપી શકે છે) રાજ્યનું પ્રતિનિધિત્વ એસ. આઈ. સી. સમૂહો શોધવા દ્વારા આપવામાં આવે છે. સૌથી સરળ ઉદાહરણ એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણોને હાથથી ઉકેલી શકાય છે, જે વેક્ટર આપે છે જે બ્લોચ ક્ષેત્રમાં નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુ બનાવે છે. એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ને વ્યાખ્યાયિત કરતા પ્રોજેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના ઘટકો આમ છે. ઉચ્ચ પરિમાણો માટે આ શક્ય નથી, વધુ વ્યવહારદક્ષ અભિગમના ઉપયોગની જરૂર છે. જૂથ સહપ્રસરણ સામાન્ય જૂથ સહપ્રસરણ A SIC-POVM ને જૂથ સહપ્રસરણ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એક-પરિમાણીય એકાત્મક પ્રતિનિધિત્વ સાથેનું જૂથ અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે SIC-POVM માટે શોધ જૂથ સહપ્રસરણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવી શકાય છે. ખરેખર, સમસ્યાને સામાન્યીકૃત ફિડ્યુશિયલ વેક્ટર શોધવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. એ પછી ઓનની જૂથ ક્રિયા દ્વારા પેદા થયેલ સમૂહ છે. Zd × Zd નો કેસ અત્યાર સુધી, મોટાભાગના SIC-POVMs નીચે જૂથ સહપ્રસરણને ધ્યાનમાં લઈને મળી આવ્યા છે. એકાત્મક પ્રતિનિધિત્વનું નિર્માણ કરવા માટે, આપણે ડી-પરિમાણો પર એકાત્મક ઓપરેટરોના જૂથનો નકશો બનાવીએ છીએ. કેટલાક ઓપરેટરોને પહેલા રજૂ કરવા પડશે. ચાલો એક આધાર બનીએ, પછી ફેઝ ઓપરેટર જ્યાં એકતાનું મૂળ છે અને શિફ્ટ ઓપરેટર આ બે ઓપરેટરોને જોડીને વેઇલ ઓપરેટર પેદા કરે છે જે હેઇસેનબર્ગ-વેઇલ જૂથ પેદા કરે છે. આ એક એકાત્મક ઓપરેટર છે કારણ કે તે ચકાસી શકાય છે કે મેપિંગ એક પ્રોજેક્ટિવ એકાત્મક રજૂઆત છે. તે જૂથ સહપરિવર્તન માટેના તમામ ગુણધર્મોને પણ સંતોષે છે, અને SIC સમૂહોની આંકડાકીય ગણતરી માટે ઉપયોગી છે. ઝૌનરનું અનુમાન એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના કેટલાક ઉપયોગી ગુણધર્મોને જોતાં, જો તે હકારાત્મક રીતે જાણવામાં આવે કે આવા સમૂહો મનસ્વી પરિમાણની હિલ્બર્ટ જગ્યામાં બનાવી શકાય છે કે કેમ તે ઉપયોગી થશે. મૂળ રૂપે ઝાનેરના નિબંધમાં પ્રસ્તાવિત, મનસ્વી પરિમાણો માટે વિશ્વાસુ વેક્ટરના અસ્તિત્વ વિશે અનુમાન કરવામાં આવ્યું હતું. વધુ ખાસ રીતે, દરેક પરિમાણ માટે એક SIC-POVM અસ્તિત્વમાં છે, જેના તત્વો વેલ-હેઇસેનબર્ગ જૂથ હેઠળ હકારાત્મક ક્રમ-એક સંચાલકની ભ્રમણકક્ષા છે. વધુ શું છે, જેકોબી જૂથના તત્વ ટી સાથે મુસાફરી કરે છે. મોડ્યુલો કેન્દ્ર પર T ની ક્રિયા ક્રમ ત્રણ ધરાવે છે. જૂથ સહપરિવર્તનની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને, આને આ રીતે પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે કોઈપણ પરિમાણ માટે, ચાલો એક ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનીએ, અને પછી વ્યાખ્યાયિત કરીએ જેથી સમૂહ SIC-POVM હોય. આંશિક પરિણામો મનસ્વી પરિમાણો માટે એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના અસ્તિત્વનો પુરાવો એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે, પરંતુ તે ક્વોન્ટમ માહિતી સમુદાયમાં સંશોધનનું ચાલુ ક્ષેત્ર છે. એસ. આઈ. સી. સમૂહો માટે ચોક્કસ સમીકરણો હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ માટે તમામ પરિમાણો દ્વારા સમાવિષ્ટ, અને કેટલાક ઉચ્ચ પરિમાણોમાં, 115 મૂલ્યો માટે મળી આવ્યા છે. વધુમાં, હાઈસેનબર્ગ ગ્રૂપ કોવેરીઅન્સ ઓનનો ઉપયોગ કરીને, તમામ પૂર્ણાંકો માટે અને કેટલાક મોટા પરિમાણોમાં આંકડાકીય ઉકેલો મળી આવ્યા છે. ગોળાકાર ટી-ડિઝાઇન સાથેનો સંબંધ ગોળાકાર ટી-ડિઝાઇન એ ડી-પરિમાણીય સામાન્યીકૃત અતિસંવેદન પર વાહકોનો સમૂહ છે, જેમ કે કોઈપણ-ક્રમની બહુપદીનું સરેરાશ મૂલ્ય તમામ સામાન્યકૃત વાહકની સરેરાશ જેટલું હોય છે. હિલ્બર્ટ જગ્યાઓના ટી-ફોલ્ડ ટેન્સર પ્રોડક્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને, અને ટી-ફોલ્ડ ટેન્સર પ્રોડક્ટ ફ્રેમ ઓપરેટર તરીકે, તે દર્શાવી શકાય છે કે સામાન્યીકૃત વેક્ટરોનો સમૂહ ગોળાકાર ટી-ડિઝાઇન બનાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે તરત જ અનુસરે છે કે દરેક એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. એ 2-ડિઝાઇન છે, જે ચોક્કસપણે જરૂરી મૂલ્ય છે જે ઉપરોક્ત પ્રમેયને સંતોષે છે. એમયુબી સાથે સંબંધ ડી-ડાયમેન્શનલ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં, બે અલગ પાયા પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોવાનું કહેવાય છે જો આ પ્રકૃતિમાં એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના સમપ્રમાણ ગુણધર્મ સાથે સમાન લાગે છે. વૂટર્સ નિર્દેશ કરે છે કે નિષ્પક્ષ પાયાનો સંપૂર્ણ સમૂહ એક ભૌમિતિક માળખું ઉત્પન્ન કરે છે જેને મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જ્યારે એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. (કોઈપણ પરિમાણમાં જે મુખ્ય શક્તિ છે) એક મર્યાદિત એફાઇન પ્લેન ઉત્પન્ન કરે છે, એક પ્રકારનું માળખું જેની વ્યાખ્યા બિંદુઓ અને રેખાઓની ભૂમિકાઓ સાથે મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનની સમાન હોય છે. આ અર્થમાં, એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. અને પરસ્પર નિષ્પક્ષ આધારોની સમસ્યાઓ એકબીજા સાથે બેવડી છે. પરિમાણમાં, સામ્યતાને આગળ લઈ શકાય છેઃ પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના સંપૂર્ણ સમૂહને સીધા SIC-POVM માંથી બનાવી શકાય છે. એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના 9 વેક્ટર, પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના 12 વેક્ટર સાથે મળીને એક સમૂહ બનાવે છે જેનો ઉપયોગ કોચેન-સ્પેકર પ્રૂફમાં થઈ શકે છે. જો કે, 6-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ અવકાશમાં, એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. જાણીતું છે, પરંતુ પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાનો કોઈ સંપૂર્ણ સમૂહ હજુ સુધી શોધાયો નથી, અને એવું વ્યાપકપણે માનવામાં આવે છે કે આવો કોઈ સમૂહ અસ્તિત્વમાં નથી. આ પણ જુઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓમાં માપન પી. ઓ. વી. એમ. ક્યુ. બિઝમ નોંધો સંદર્ભો ક્વોન્ટમ માપન ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ ગણિતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ સંચાલક સિદ્ધાંત ઘટના ભૂમિતિ યુક્લિડિયન સમતલ ભૂમિતિ બીજગણિત ભૂમિતિ હાયપરગ્રાફ્સ કમ્પ્યુટર-સહાયિત પુરાવા