Dictatorship mechanism
સામાજિક પસંદગીના સિદ્ધાંતમાં, સરમુખત્યારશાહી પદ્ધતિ એ એક એવો નિયમ છે, જેના દ્વારા તમામ સંભવિત વિકલ્પોમાંથી, મતદાનના પરિણામો અન્ય મતદારોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, એક પૂર્વ-નિર્ધારિત વ્યક્તિની પસંદગીઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સરમુખત્યારશાહીને વ્યવહારમાં સારી પદ્ધતિ માનવામાં આવતી નથી, પરંતુ તે સૈદ્ધાંતિક રીતે મહત્વપૂર્ણ છેઃ તીરની અશક્યતા પ્રમેય અનુસાર, જ્યારે ઓછામાં ઓછા ત્રણ વિકલ્પો હોય, ત્યારે સરમુખત્યારશાહી એ એકમાત્ર ક્રમાંકિત મતદાન ચૂંટણી પ્રણાલી છે જે અનિયંત્રિત ક્ષેત્ર, પેરેટો કાર્યક્ષમતા અને અપ્રસ્તુત વિકલ્પોની સ્વતંત્રતાને સંતોષે છે. તેવી જ રીતે, ગિબાર્ડના પ્રમેય અનુસાર, જ્યારે ઓછામાં ઓછા ત્રણ વિકલ્પો હોય, ત્યારે સરમુખત્યારશાહી એકમાત્ર વ્યૂહરચના-પ્રતિરોધક નિયમ છે. બિન-સરમુખત્યારશાહી એ વધુ સામાન્ય મતદાન નિયમોની મિલકત છે, જેમાં પરિણામો તમામ વ્યક્તિઓની પસંદગીઓથી પ્રભાવિત હોય છે. આ મિલકત સંતોષાય છે જો વ્યક્તિગત પસંદગી ક્રમ પી સાથે એક પણ મતદાર ન હોય, જેમ કે પી હંમેશા સામાજિક ("વિજેતા") પસંદગી ક્રમ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યક્તિગત i ની પસંદગીઓ હંમેશા પ્રબળ હોવી જોઈએ નહીં. અનામિક મતદાન પ્રણાલી (ઓછામાં ઓછા બે મતદારો સાથે) આપમેળે બિન-સરમુખત્યારશાહી મિલકતને સંતુષ્ટ કરે છે. સરમુખત્યારશાહી શાસનમાં એવા પ્રકારો છે જે વ્યવહારમાં ઉપયોગી છેઃ શ્રેણીબદ્ધ સરમુખત્યારશાહી, શ્રેણીબદ્ધ સરમુખત્યારશાહી અને શ્રેણીબદ્ધ સરમુખત્યારશાહી (નીચે જુઓ). ઔપચારિક વ્યાખ્યા બિન-સરમુખત્યારશાહી એ તીરની અશક્યતા પ્રમેયમાં જરૂરી શરતોમાંની એક છે. સામાજિક પસંદગી અને વ્યક્તિગત મૂલ્યોમાં, કેનેથ એરો બિન-સરમુખત્યારશાહીને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ {1,., n} માં કોઈ મતદાર i નથી, જેમ કે બંધારણના ક્ષેત્રમાં ક્રમના દરેક સમૂહ માટે, અને સામાજિક સ્થિતિઓની દરેક જોડી x અને y, x y એ x P y સૂચવે છે. સ્વાભાવિક રીતે, સરમુખત્યારશાહી એ એક એવો નિયમ છે જે બિન-સરમુખત્યારશાહીને સંતોષતો નથી. ક્રમિક સરમુખત્યારશાહી એક સરમુખત્યારશાહી પદ્ધતિ ત્યારે જ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે સરમુખત્યાર પાસે એક જ શ્રેષ્ઠ પસંદગીનો વિકલ્પ હોય. જ્યારે સરમુખત્યાર બે અથવા વધુ શ્રેષ્ઠ પસંદગીના વિકલ્પો વચ્ચે ઉદાસીન હોય, ત્યારે તેમાંથી એકને મનસ્વી રીતે/અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવું શક્ય છે, પરંતુ આ પેરેટો કાર્યક્ષમ રહેશે નહીં. વધુ કાર્યક્ષમ ઉકેલ એ છે કે બીજા સરમુખત્યારની નિમણૂક કરવી, જેને પ્રથમ સરમુખત્યારના તમામ શ્રેષ્ઠ વિકલ્પોમાંથી પસંદ કરવાનો અધિકાર છે, જેને તેઓ સૌથી વધુ પસંદ કરે છે. જો બીજો સરમુખત્યાર પણ બે અથવા વધુ વિકલ્પો વચ્ચે ઉદાસીન હોય, તો પછી ત્રીજો સરમુખત્યાર તેમાંથી પસંદ કરે છે, અને તેથી વધુ. આ નિયમને ક્રમિક સરમુખત્યારશાહી કહેવામાં આવે છે. તેનું બીજું નામ પ્રાયોરિટી મિકેનિઝમ છે. પ્રાથમિકતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઘણીવાર ઘરની ફાળવણીની સમસ્યાઓમાં થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યાર્થીઓને શયનગૃહના ઓરડાઓની ફાળવણી કરતી વખતે, પૂર્વ-નિર્દિષ્ટ અગ્રતા ક્રમ દ્વારા વિદ્યાર્થીઓને ઓર્ડર આપવો સામાન્ય બાબત છે (દા. ત. ઉંમર, ગ્રેડ, અંતર વગેરે દ્વારા. ), અને તેમાંના દરેકને ઉપલબ્ધ ઓરડાઓમાંથી તેમના સૌથી પસંદગીના ઓરડાઓ પસંદ કરવા દો. રેન્ડમ સરમુખત્યારશાહી અને રેન્ડમ સીરીયલ સરમુખત્યારશાહી સરમુખત્યારશાહી શાસન દેખીતી રીતે અયોગ્ય છે, પરંતુ તેનો એક પ્રકાર છે જે અપેક્ષા મુજબ વાજબી છે. રેન્ડમ સરમુખત્યારશાહી (આર. ડી.) શાસનમાં, મતદારોમાંથી એકને રેન્ડમ રીતે સમાન રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને તે મતદાર દ્વારા સૌથી વધુ પસંદ કરાયેલ વિકલ્પ પસંદ કરવામાં આવે છે. આ અવ્યવસ્થિત સામાજિક પસંદગી માટેના સામાન્ય નિયમોમાંથી એક છે. જ્યારે બહુ-બંધારણીય સંસ્થાઓમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે, ત્યારે તેને કેટલીકવાર રેન્ડમ બેલેટ કહેવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે સરમુખત્યારશાહીમાં, અવ્યવસ્થિત સરમુખત્યારે પણ મતભેદોની શક્યતાને સંભાળવી જોઈએ; સામાન્ય ઉકેલ એ છે કે તેને અવ્યવસ્થિત શ્રેણીબદ્ધ સરમુખત્યારશાહી (આર. એસ. ડી.) સુધી વિસ્તારવામાં આવે, જેને અવ્યવસ્થિત પ્રાથમિકતા પણ કહેવાય છે. આ પદ્ધતિમાં, મતદારોનું યાદૃચ્છિક ક્રમચય પસંદ કરવામાં આવે છે, અને દરેક મતદાર બદલામાં તેઓ જે વિકલ્પોને સૌથી વધુ પસંદ કરે છે તેના વર્તમાન વિકલ્પોને સાંકડી કરે છે, જે હજુ પણ ઉપલબ્ધ છે. એજન્ટો વચ્ચે અવિભાજ્ય વસ્તુઓની ફાળવણીમાં તે એક સામાન્ય પદ્ધતિ છે; રેન્ડમ પ્રાયોરિટી આઇટમ ફાળવણી જુઓ. ગુણધર્મો એલન ગિબાર્ડે રેન્ડમ સરમુખત્યારશાહી સિદ્ધાંત સાબિત કર્યો. તે કહે છે કે, જ્યારે પસંદગીઓ કડક હોય છે, ત્યારે આર. ડી. એ એકમાત્ર નિયમ છે જે નીચેના ત્રણ ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ અનામિકતાઃ લોટરી વિવિધ મતદારો વચ્ચે અગાઉથી ભેદભાવ કરતી નથી. મજબૂત એસ. ડી.-સ્ટ્રેટેજીપ્રૂફનેસઃ એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ દરેક ખોટા અહેવાલનું પરિણામ એવા પરિણામમાં આવે છે જે નબળા પ્રમાણમાં પ્રભુત્વ ધરાવે છે. એક્સ-પોસ્ટ પેરેટો કાર્યક્ષમતાઃ પરિણામ પેરેટો-કાર્યક્ષમ છે. હકીકતમાં, કડક પસંદગીઓ સાથે, આર. ડી. એસ. ડી.-કાર્યક્ષમતા તરીકે ઓળખાતી મજબૂત કાર્યક્ષમતાના ગુણધર્મને સંતોષે છેઃ પરિણામી લોટરીમાં અસ્પષ્ટ રીતે પ્રભુત્વ નથી. નબળી પસંદગીઓ સાથે, આરએસડી પૂર્વ-પોસ્ટ કાર્યક્ષમતાને સંતોષે છે, પરંતુ એસડી-કાર્યક્ષમતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે. સખત પસંદગીઓ સાથે પણ, આર. ડી. પી. સી.-કાર્યક્ષમતા તરીકે ઓળખાતી મજબૂત સંપત્તિનું ઉલ્લંઘન કરે છેઃ પરિણામી લોટરી જોડી મુજબ-સરખામણીના અર્થમાં પ્રભુત્વ ધરાવે છે (દરેક એજન્ટ માટે, અન્ય લોટરી આર. ડી. લોટરી કરતાં વધુ સારો વિકલ્પ આપે તેવી સંભાવના બીજી રીત કરતાં મોટી હોય છે). આર. ડી. કાર્યસૂચિ સુસંગતતા તરીકે ઓળખાતી મિલકતને પણ સંતોષે છે. તે નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષતો એકમાત્ર નિયમ છેઃ મજબૂત સંકોચન સુસંગતતા ("નિયમિતતા"): મનસ્વી વિકલ્પોને દૂર કરતી વખતે સંભાવનાઓ ઘટી શકતી નથી. પૂર્વ-પોસ્ટ કાર્યક્ષમતા. અપ્રસ્તુત વિકલ્પોની સ્વતંત્રતાનું સંભવિત સંસ્કરણ. ત્યારપછીના સંશોધનોએ વૈકલ્પિક પુરાવાઓ તેમજ વિવિધ વિસ્તરણ પૂરા પાડ્યા છે. એક અશક્યતા પરિણામ સિદ્ધાંતને નબળી પસંદગીઓ સુધી વિસ્તારવા સાથે સંબંધિત છે. તે કહે છે કે, નબળી પસંદગીઓ સાથે, જ્યારે ઓછામાં ઓછા 4 એજન્ટો અને 4 વિકલ્પો હોય ત્યારે અનામીતા, એસ. ડી.-કાર્યક્ષમતા અને એસ. ડી.-વ્યૂહરચના-પ્રતિરોધકતાના ગુણધર્મો અસંગત હોય છે. આ પુરાવો એસ. એમ. ટી. સોલ્વરનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવ્યો હતો અને ઇન્ટરેક્ટિવ થીયરમ પ્રોવર ઇસાબેલ/એચ. ઓ. એલ. દ્વારા ચકાસવામાં આવ્યો હતો. આર. ડી. વસ્તી સુસંગતતા તરીકે ઓળખાતા સ્વયંસિદ્ધ અને ક્લોનિંગ-સુસંગતતા તરીકે ઓળખાતા સ્વયંસિદ્ધને સંતોષે છે, પરંતુ રચનાની સુસંગતતાનું ઉલ્લંઘન કરે છે. ગણતરી વ્યવહારમાં આર. ડી. અને આર. એસ. ડી. એમ બંને પદ્ધતિઓનો અમલ કરવો સરળ છેઃ માત્ર રેન્ડમ મતદાર અથવા રેન્ડમ ક્રમચય પસંદ કરો અને દરેક સરમુખત્યારને શ્રેષ્ઠ વિકલ્પ પસંદ કરવા દો. જો કે, કેટલીકવાર કોઈ વ્યક્તિ અગાઉથી ગણતરી કરવા માંગે છે, ચોક્કસ વિકલ્પ પસંદ થવાની સંભાવના કેટલી છે. આર. ડી. સાથે (જ્યારે પસંદગીઓ કડક હોય છે), આ પણ સરળ છેઃ વૈકલ્પિક x પસંદ થવાની સંભાવના એ મતદારોની સંખ્યા જેટલી છે જે x ને પ્રથમ ક્રમ આપે છે, જે મતદારોની કુલ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે. પરંતુ આરએસડી સાથે પરિસ્થિતિ અલગ છે (જ્યારે મતભેદ હોય છે): સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી એ #P-સખત છે; આધારની ગણતરી કરવા માટે એક કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ છે (હકારાત્મક સંભાવના સાથે પસંદ કરેલા વિકલ્પો); ટ્રેક્ટેબલ પેરામીટરાઇઝ્ડ જટિલતા સાથે અલ્ગોરિધમ્સ છે, જ્યાં પરિમાણો છેઃ વસ્તુઓની સંખ્યા, વિકલ્પોની સંખ્યા અને મતદાર પ્રકારોની સંખ્યા. અપૂર્ણાંક મંજૂરી મતદાનના સંદર્ભમાં સંભાવનાઓની ગણતરી કરવા માટે એક ઘાતાંકીય-સમયનું અલ્ગોરિધમ છે. સંદર્ભો મતદાન સિદ્ધાંત સરમુખત્યારશાહી સામાજિક પસંદગી સિદ્ધાંત