Langmuir adsorption model
લેંગમુઇર એડસોર્પ્શન મોડેલ એ ધારીને એડસોર્પ્શનને સમજાવે છે કે એડસોર્બેટ આઇસોથર્મલ પરિસ્થિતિઓમાં આદર્શ ગેસ તરીકે વર્તે છે. મોડેલ મુજબ, શોષણ અને શોષણ એ ઉલટાવી શકાય તેવી પ્રક્રિયાઓ છે. આ મોડેલ દબાણની અસરને પણ સમજાવે છે. આ પરિસ્થિતિઓમાં અધિશોષકનું આંશિક દબાણ, તેના કદ સાથે સંબંધિત હોય છે, જે નક્કર અધિશોષક પર અધિશોષિત થાય છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અધિશોષક, અધિશોષકને બાંધવા માટે સક્ષમ અલગ અલગ સ્થળોની શ્રેણીથી બનેલી એક આદર્શ નક્કર સપાટી હોવાનું માનવામાં આવે છે. અધિશોષિત બંધનને અધિશોષિત વાયુ પરમાણુ અને ખાલી સોર્પશન સાઇટ વચ્ચેની રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ પ્રતિક્રિયા સંકળાયેલ સંતુલન અચળાંક સાથે શોષિત પ્રજાતિઓ પેદા કરે છેઃ A _ {g} {} + S <=> A _ {ad} આ મૂળભૂત પૂર્વધારણાઓમાંથી લેંગમુઇર શોષણ આઇસોથર્મની ગાણિતિક રચના વિવિધ સ્વતંત્ર અને પૂરક રીતે મેળવી શકાય છેઃ ક્રમશઃ ગતિશાસ્ત્ર, થર્મોડાયનેમિક્સ અને આંકડાકીય મિકેનિક્સ અભિગમો દ્વારા (વિવિધ પ્રદર્શનો માટે નીચે જુઓ). લેંગમુઇર શોષણ સમીકરણ નીચે મુજબ છેઃ જ્યાં શોષણ સ્થળોનો અપૂર્ણાંક કબજો છે, એટલે કે, ઘન પર શોષાયેલા ગેસના જથ્થાનો ગુણોત્તર, ઘનની સમગ્ર સપાટીને આવરી લેતા અને સંપૂર્ણપણે શોષક દ્વારા કબજે કરેલા વાયુ પરમાણુઓના મોનોલેયરનું પ્રમાણ. સજાતીય સપાટ ઘન સપાટીને આવરી લેતા અધિશોષિત અણુઓનું સતત એક સ્તર આ અધિશોષણ મોડેલ માટેનો વૈચારિક આધાર છે. પૃષ્ઠભૂમિ અને પ્રયોગો 1916 માં, ઇરવિંગ લેંગમુઇરે સરળ સપાટીઓ પર પ્રજાતિઓના શોષણ માટે તેમનું મોડેલ રજૂ કર્યું હતું. લેંગમુઇરને સપાટીના રસાયણશાસ્ત્રને લગતા તેમના કાર્ય માટે 1932માં નોબેલ પુરસ્કાર એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. તેમણે ધારણા કરી હતી કે આપેલ સપાટીમાં ચોક્કસ સંખ્યામાં સમકક્ષ સ્થળો હોય છે, જેમાં એક પ્રજાતિ ભૌતિક શોષણ અથવા રસાયણ શોષણ દ્વારા "ચોંટી" શકે છે. તેમનો સિદ્ધાંત ત્યારે શરૂ થયો જ્યારે તેમણે એવું માન્યું કે વાયુયુક્ત અણુઓ સપાટી પરથી સ્થિતિસ્થાપક રીતે પાછા ફરતા નથી, પરંતુ નક્કર પદાર્થોમાં અણુઓના જૂથોની જેમ જ તેના દ્વારા પકડવામાં આવે છે. લેંગમુઇરે બે કાગળો પ્રકાશિત કર્યા હતા જેણે એવી ધારણાની પુષ્ટિ કરી હતી કે શોષિત ફિલ્મો જાડાઈમાં એક અણુથી વધુ હોતી નથી. પ્રથમ પ્રયોગમાં વાયુઓમાં ગરમ તંતુઓમાંથી ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જનનું નિરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું. બીજો, વધુ સીધો પુરાવો, શોષક સપાટીના સ્તર પર પ્રવાહીની ફિલ્મોનું પરીક્ષણ અને માપન કરે છે. તેમણે એ પણ નોંધ્યું હતું કે સામાન્ય રીતે સપાટી અને શોષિત પદાર્થના પ્રથમ સ્તર વચ્ચેની આકર્ષક તાકાત પ્રથમ અને બીજા સ્તર વચ્ચેની તાકાત કરતાં ઘણી વધારે હોય છે. જો કે, એવા કિસ્સાઓ છે કે જ્યાં તાપમાન અને દબાણના યોગ્ય સંયોજનને ધ્યાનમાં રાખીને અનુગામી સ્તરો ઘનીકરણ કરી શકે છે. આ મોડેલની અંતર્ગત મોડેલની મૂળભૂત ધારણાઓ, નીચેની ધારણાઓ ખાસ કરીને સરળ કેસ માટે માન્ય છેઃ ઘનની સપાટી પર સમકક્ષ સાઇટ્સની શ્રેણી પર એક જ શોષકનું શોષણ. એડસોર્બિંગ સાઇટ્સ ધરાવતી સપાટી સંપૂર્ણપણે સપાટ સમતલ છે જેમાં કોઈ લહેર નથી (ધારો કે સપાટી એકરૂપ છે). જો કે, રાસાયણિક રીતે વિજાતીય સપાટીઓને સજાતીય ગણી શકાય જો શોષક સપાટી પર માત્ર એક જ પ્રકારના કાર્યાત્મક જૂથો સાથે બંધાયેલ હોય. શોષી લેતો ગેસ સ્થિર સ્થિતિમાં શોષાઈ જાય છે. બધી સાઇટ્સ ઊર્જાની દ્રષ્ટિએ સમાન છે અને તમામ સાઇટ્સ માટે શોષણની ઊર્જા સમાન છે. દરેક સાઇટ એ નો મહત્તમ એક અણુ (માત્ર મોનો-લેયર કવરેજ) રાખી શકે છે. નજીકના સ્થળો પર અધિશોષિત અણુઓ વચ્ચે કોઈ (અથવા આદર્શ) ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ નથી. જ્યારે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ આદર્શ હોય છે, ત્યારે સપાટીના કબજાને ધ્યાનમાં લીધા વિના તમામ સ્થળો માટે બાજુ-થી-બાજુની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓની ઊર્જા સમાન હોય છે. લેંગમુઇર શોષણ આઇસોથર્મની વ્યુત્પત્તિ લેંગમુઇર શોષણ આઇસોથર્મની ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ જેમાં માત્ર એક જ સોર્બિંગ પ્રજાતિ સામેલ છે તે વિવિધ રીતે દર્શાવી શકાય છેઃ અનુક્રમે ગતિશાસ્ત્ર અભિગમ, થર્મોડાયનેમિક્સ અભિગમ અને આંકડાકીય મિકેનિક્સ અભિગમ. બે સ્પર્ધાત્મક શોષિત પ્રજાતિઓના કિસ્સામાં, સ્પર્ધાત્મક શોષણ મોડેલ જરૂરી છે જ્યારે જ્યારે સોર્બ્ડ પ્રજાતિ બે અલગ અલગ ઘટકોમાં વિખેરાય છે, ત્યારે વિઘટનકારી શોષણ મોડેલનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. કાઇનેટિક વ્યુત્પત્તિ આ વિભાગ એક જ એડસોર્બેટ કેસ માટે કાઇનેટિક વ્યુત્પત્તિ પ્રદાન કરે છે. ગતિશીલ વ્યુત્પત્તિ ગેસ તબક્કાના શોષણને લાગુ પડે છે. જો કે, તેને ઉકેલો પર ભૂલથી લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. બહુવિધ શોષણ કેસ સ્પર્ધાત્મક શોષણ પેટા વિભાગમાં આવરી લેવામાં આવ્યો છે. આ મોડેલ પ્રાથમિક પ્રક્રિયાઓ તરીકે શોષણ અને શોષણને ધારે છે, જ્યાં શોષણ રેડનો દર અને શોષણ rd નો દર આપવામાં આવે છે જ્યાં pA એ સપાટી પર A નું આંશિક દબાણ છે, [S] એ સંખ્યા/m2 માં મુક્ત સાઇટ્સની સાંદ્રતા છે, [AD] એ અણુઓ/m2 (કબજે કરેલી સાઇટ્સની સાંદ્રતા) માં A ની સપાટીની સાંદ્રતા છે, અને કાડ અને કેડી ઉપરોક્ત પ્રતિક્રિયાઓમાં આગળના શોષણ પ્રતિક્રિયા અને પછાત શોષણ પ્રતિક્રિયાના સ્થિરાંકો છે. સંતુલન પર, શોષણનો દર શોષણના દર જેટલો હોય છે. રેડ = આરડી સુયોજિત કરીને અને ફરીથી ગોઠવીને, આપણે મેળવીએ છીએ સાઇટ્સની સાંદ્રતા એડોસોર્બન્ટના વિસ્તાર દ્વારા સમગ્ર સપાટીને આવરી લેતી સાઇટ્સ (S0) ની કુલ સંખ્યાને વિભાજીત કરીને આપવામાં આવે છે (a): પછી આપણે મુક્ત સાઇટ્સ [S] અને કબજે કરેલી સાઇટ્સની સાંદ્રતાનો સરવાળો કરીને તમામ સાઇટ્સની સાંદ્રતાની ગણતરી કરી શકીએ છીએઃ આને સંતુલન સમીકરણ સાથે જોડીને, આપણે મેળવીએ છીએ. થર્મોડાયનેમિક સંતુલનને નીચે મુજબ વર્ણવવામાં આવે છેઃ દ્રાવક (બંધાયેલ) + દ્રાવક (મુક્ત) ુમ૆ન્ન દ્રાવક (મુક્ત) + દ્રાવક (બંધાયેલ) જો આપણે સબસ્ક્રિપ્ટ "1" દ્વારા દ્રાવકને અને દ્રાવણને "2" દ્વારા અને સુપરસ્ક્રિપ્ટ "s" (સપાટી/બંધાયેલ) દ્વારા બંધાયેલ સ્થિતિને અને "b" (જથ્થાબંધ દ્રાવણ/મુક્ત) દ્વારા મુક્ત સ્થિતિને નિયુક્ત કરીએ, તો સંતુલન અચળાંકને પ્રતિક્રિયાકારકો પર ઉત્પાદનોની પ્રવૃત્તિઓ વચ્ચેના ગુણોત્તર તરીકે લખી શકાય છેઃ મંદ દ્રાવણ માટે જથ્થાબંધ દ્રાવણમાં દ્રાવકની પ્રવૃત્તિ અને પ્રવૃત્તિ ગુણાંક () ને પણ સપાટી પર આદર્શ માનવામાં આવે છે. આમ,, અને. (: પ્રવૃત્તિ,: મોલ અપૂર્ણાંક) સંતુલન અચળાંકને ફરીથી લખો અને તેના માટે ઉકેલોઃ નોંધ લો કે દ્રાવ્ય અધિશોષકની સાંદ્રતાનો ઉપયોગ પ્રવૃત્તિ ગુણાંકને બદલે કરી શકાય છે. જો કે, સંતુલન અચળાંક હવે પરિમાણહીન રહેશે નહીં અને તેના બદલે 1/સાંદ્રતા એકમોના એકમો હશે. લેંગમુઇર મોડેલની ગતિ અને ઉષ્માગતિકીય વ્યુત્પત્તિ વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે ઉષ્માગતિકીય પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે પ્રવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરે છે જ્યારે ગતિ વ્યુત્પત્તિ પ્રતિક્રિયાના દરનો ઉપયોગ કરે છે. થર્મોડાયનેમિક વ્યુત્પત્તિ તેમના બંધાયેલા અને મુક્ત સ્થિતિમાં અધિશોષકોના પ્રવૃત્તિ ગુણાંકને સમાવવા માટે પરવાનગી આપે છે. થર્મોડાયનેમિક વ્યુત્પત્તિને સામાન્ય રીતે "લેંગમુઇર જેવા સમીકરણ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આંકડાકીય યાંત્રિક વ્યુત્પત્તિ આંકડાકીય મિકેનિક્સ પર આધારિત આ વ્યુત્પત્તિ મૂળરૂપે વોલ્મર અને મહનેર્ટ દ્વારા 1925માં પૂરી પાડવામાં આવી હતી. કેનોનિકલ એન્સેમ્બલમાં સપાટી પર શોષાયેલા શોષક પદાર્થોની મર્યાદિત સંખ્યાનું પાર્ટીશન ફંક્શન, એક જ શોષિત અણુનું પાર્ટીશન ફંક્શન ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે, તે શોષણ સ્થળોની સંખ્યા છે (બંને કબજામાં છે અને ખાલી છે), અને તે શોષિત અણુઓની સંખ્યા છે જે તેનાથી ઓછી અથવા સમાન હોવી જોઈએ. કૌંસમાંના શબ્દો વ્યક્તિગત પાર્ટીશન કાર્યોનું ઉત્પાદન લઈને શોષાયેલા અણુઓનું કુલ પાર્ટીશન કાર્ય આપે છે (પેટા પ્રણાલીઓના પાર્ટીશન કાર્યનો સંદર્ભ લો). આ પરિબળ અધિશોષકોની અવિભાજ્ય પ્રકૃતિને કારણે થતી વધુ પડતી ગણતરી માટે જવાબદાર છે. ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ પાર્ટીશન ફંક્શન દ્વારા આપવામાં આવે છે તે શોષિત પરમાણુની રાસાયણિક ક્ષમતા છે. હવે, સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે, એટલે કે, શોષાયેલા અણુઓની રાસાયણિક સંભવિતતા વાયુ તબક્કામાં અણુઓની સમાન છે, આપણી પાસે આદર્શ વાયુની રાસાયણિક સંભવિતતા એ છે કે જ્યાં આદર્શ વાયુની હેલ્મહોલ્ટ્ઝ મુક્ત ઊર્જા તેના વિભાજન કાર્ય સાથે હોય છે તે કદમાં એક કણનું વિભાજન કાર્ય છે (ફક્ત અહીં અનુવાદની સ્વતંત્રતાને ધ્યાનમાં લો). આમ આપણી પાસે છે, જ્યાં આપણે સ્ટર્લિંગના અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અભિવ્યક્તિને પ્લગ કરીને, આપણી પાસે જે કવરેજ આપે છે ઓળખને વ્યાખ્યાયિત કરીને અને તેનો ઉપયોગ કરીને, છેવટે, આપણી પાસે તે આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે એડસોર્બન્ટ્સના આંશિક દબાણ સાથે સપાટીનું આવરણ ખૂબ ઝડપથી વધે છે, પરંતુ પી પી 0 સુધી પહોંચ્યા પછી સ્તર બંધ થાય છે. સ્પર્ધાત્મક શોષણ અગાઉની વ્યુત્પત્તિઓ ધારે છે કે માત્ર એક જ પ્રજાતિ છે, એ, જે સપાટી પર શોષાય છે. જ્યારે સિસ્ટમમાં બે અલગ અલગ એડસોર્બેટ્સ હાજર હોય ત્યારે આ વિભાગ કેસને ધ્યાનમાં લે છે. બે પ્રજાતિઓ A અને B નો વિચાર કરો જે સમાન શોષણ સ્થળો માટે સ્પર્ધા કરે છે. નીચેની પૂર્વધારણાઓ અહીં કરવામાં આવી છેઃ તમામ સ્થળો સમાન છે. દરેક સાઇટ એ નો મહત્તમ એક અણુ અથવા બી નો એક અણુ રાખી શકે છે, પરંતુ બંને એક સાથે નહીં. નજીકના સ્થળો પર અધિશોષિત અણુઓ વચ્ચે કોઈ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા થતી નથી. ગતિશીલ વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે તેમ, A અને B બંને માટે સંતુલન સ્થિરાંકો દ્વારા આપવામાં આવે છે અને સાઇટ સંતુલન જણાવે છે કે કુલ સાઇટ્સ [S0] ની સાંદ્રતા મુક્ત સાઇટ્સ, A દ્વારા કબજો કરાયેલ સાઇટ્સ અને B દ્વારા કબજો કરાયેલ સાઇટ્સના સરવાળા જેટલી છેઃ સંતુલન સમીકરણો દાખલ કરીને અને આપણે એક-પ્રજાતિના શોષણ માટે જે રીતે કર્યું તે જ રીતે ફરીથી ગોઠવીને, આપણને θA અને θB બંને માટે સમાન અભિવ્યક્તિઓ મળે છેઃ ડિસોસીએટિવ એડસોર્પ્શન જ્યારે અણુ D2 શોષણ પર બે અણુઓમાં વિખેરાય છે ત્યારે વિશેષ મહત્વનો બીજો કેસ છે. અહીં, નીચેની ધારણાઓને માન્ય ગણવામાં આવશેઃ D2 શોષણ પર D ના બે અણુઓ સાથે સંપૂર્ણપણે અલગ પડે છે. ડી અણુઓ ઘનની સપાટી પર અલગ અલગ સ્થળો પર શોષાય છે અને પછી આસપાસ ફરે છે અને સંતુલન કરે છે. બધી સાઇટ્સ સમાન છે. દરેક સ્થળ વધુમાં વધુ એક ડી પરમાણુ ધરાવી શકે છે. નજીકના સ્થળો પર અધિશોષિત અણુઓ વચ્ચે કોઈ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા થતી નથી. સમાન ગતિવિષયક વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ pD2 પરનો અડધોઅડધ ઘાતાંક ઊભો થાય છે કારણ કે એક વાયુ તબક્કાનો અણુ બે શોષિત પ્રજાતિઓ ઉત્પન્ન કરે છે. ઉપર મુજબ સ્થળ સંતુલન લાગુ કરવું, એન્ટ્રોપિક વિચારણાઓ સપાટી પર શોષણ દ્વારા લેંગમુઇર મોનોલેયર્સની રચના પરમાણુ પ્રણાલીની એન્ટ્રોપીને નાટ્યાત્મક રીતે ઘટાડે છે. એન્ટ્રોપીમાં ઘટાડો શોધવા માટે, જ્યારે આપણે શોષિત સ્થિતિમાં હોઈએ ત્યારે અણુનું એન્ટ્રોપી શોધીએ છીએ. સ્ટર્લિંગના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે આદર્શ વાયુના અણુનો એન્ટ્રોપી છે જ્યાં વાયુ અણુની થર્મલ ડી બ્રોગલી તરંગલંબાઇ છે. આ મોડેલની મર્યાદાઓ લેંગમુઇર શોષણ મોડેલ ઘણા કિસ્સાઓમાં નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે, મુખ્યત્વે કારણ કે તે શોષકની સપાટીની કઠોરતાને ધ્યાનમાં લેવામાં નિષ્ફળ જાય છે. રફ અસમરૂપ સપાટીઓમાં શોષણ માટે બહુવિધ સાઇટ-પ્રકારો ઉપલબ્ધ હોય છે, જેમાં કેટલાક પરિમાણો સાઇટથી સાઇટ પર બદલાય છે, જેમ કે શોષણની ગરમી. વધુમાં, ચોક્કસ સપાટી વિસ્તાર એ સ્કેલ આધારિત જથ્થો છે અને આ પરિમાણ માટે કોઈ એક સાચું મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી. આમ, વૈકલ્પિક પ્રોબ અણુઓનો ઉપયોગ ઘણીવાર સપાટી વિસ્તાર માટે વિવિધ મેળવેલા આંકડાકીય મૂલ્યોમાં પરિણમી શકે છે, જે સરખામણીને સમસ્યારૂપ બનાવે છે. આ મોડેલ અધિશોષક/અધિશોષક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને પણ અવગણે છે. પ્રાયોગિક રીતે, શોષણ ડેટાની ગરમીમાં શોષણ/શોષણ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ માટે સ્પષ્ટ પુરાવા છે. એડસોર્બેટ/એડસોર્બેટ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના બે પ્રકાર છેઃ સીધી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અને પરોક્ષ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા. સીધી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ નજીકના અધિશોષિત અણુઓ વચ્ચે હોય છે, જે અન્ય અધિશોષિત અણુની નજીક અધિશોષણને વધુ કે ઓછું અનુકૂળ બનાવી શકે છે અને ઉચ્ચ-આવરણ વર્તણૂકને મોટા પ્રમાણમાં અસર કરે છે. પરોક્ષ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓમાં, અધિશોષક અધિશોષિત સ્થળની આસપાસની સપાટીને બદલે છે, જે બદલામાં નજીકના અન્ય અધિશોષિત અણુઓના અધિશોષણને અસર કરે છે. ફેરફારો આ ફેરફારો ઉપરના વિભાગમાં ઉલ્લેખિત બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયાસ કરે છે જેમ કે સપાટીની કઠોરતા, અસમરૂપતા અને શોષક-શોષક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ. બે-મિકેનિઝમ લેંગમુઇર-જેવું સમીકરણ (ટી. એમ. એલ. એલ. ઇ.) બે સાઇટ લેંગમુઇર સમીકરણ તરીકે પણ ઓળખાય છે. આ સમીકરણ બે અથવા વધુ અલગ અલગ પ્રકારની શોષણ સાઇટ્સમાં એક શોષણના શોષણનું વર્ણન કરે છે. દરેક બંધનકર્તા સ્થળને તેની પોતાની લેંગમુઇર અભિવ્યક્તિ સાથે વર્ણવી શકાય છે જ્યાં સુધી દરેક બંધનકર્તા સ્થળના પ્રકાર પર શોષણ બાકીનાથી સ્વતંત્ર હોય. : આપેલ અધિશોષક સાંદ્રતામાં શોષણ કરાયેલ કુલ રકમઃ સ્થળ પ્રકાર 1 ની મહત્તમ ક્ષમતાઃ સ્થળ પ્રકાર 2 ની મહત્તમ ક્ષમતાઃ સ્થળ પ્રકાર 1 નું સંતુલન (આકર્ષણ) સ્થિરાંકઃ સ્થળ પ્રકાર 2 નું સંતુલન (આકર્ષણ) સ્થિરાંકઃ સંતુલન ખાતે દ્રાવણમાં અધિશોષક પ્રવૃત્તિ આ સમીકરણ કેટલાક દવાના અણુઓને સક્રિય કાર્બનમાં શોષણ કરવા માટે સારી રીતે કામ કરે છે જેમાં કેટલાક અધિશોષક અણુઓ હાઇડ્રોજન બંધન સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે જ્યારે અન્ય હાઇડ્રોફોબિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ (હાઇડ્રોફોબિક અસર) દ્વારા સપાટીના અલગ ભાગ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. હાઇડ્રોફોબિક અસર (જેને એન્ટ્રોપી-સંચાલિત શોષણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) માટે સમીકરણમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો હતોઃ ત્યારથી હાઇડ્રોફોબિક અસર સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે. તેથી, હાઇડ્રોફોબિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ () માટે શોષકની ક્ષમતા ફિટિંગથી પ્રાયોગિક માહિતી સુધી મેળવી શકાય છે. એન્ટ્રોપી-સંચાલિત શોષણ એડસોર્બેટ દ્વારા જથ્થાબંધ પાણીના અણુઓની ટ્રાન્સલેશનલ ગતિના પ્રતિબંધમાંથી ઉદ્દભવે છે, જે શોષણ પર ઘટાડવામાં આવે છે. ફ્રોન્ડલિચ એડસોર્પ્શન આઇસોથર્મ ફ્રોન્ડલિચ આઇસોથર્મ એ ખરબચડી સપાટીઓ માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ મલ્ટી-સાઇટ એડસોર્પ્શન આઇસોથર્મ છે. જ્યાં αF અને CF ફિટિંગ પરિમાણો છે. આ સમીકરણ સૂચવે છે કે જો કોઈ શોષણ ડેટાનો લોગ-લોગ પ્લોટ બનાવે છે, તો ડેટા એક સીધી રેખામાં ફિટ થશે. ફ્રોન્ડલિચ આઇસોથર્મમાં બે પરિમાણો હોય છે જ્યારે લેંગમુઇરના સમીકરણોમાં માત્ર એક જ પરિમાણ હોય છેઃ પરિણામે, તે ઘણીવાર લેંગમુઇરના સમીકરણો કરતાં ખરબચડી સપાટી પરના ડેટાને વધુ સારી રીતે બંધબેસે છે. જો કે, ફ્રોન્ડલિચ સમીકરણ અનન્ય છે; પરિણામે, જો માહિતી સમીકરણમાં બંધબેસે છે, તો તે માત્ર સંભવિત છે, પરંતુ સાબિત થતું નથી, કે સપાટી વિજાતીય છે. સપાટીની વિજાતીયતાની પુષ્ટિ કેલરીમેટ્રી દ્વારા કરી શકાય છે. સજાતીય સપાટીઓ (અથવા વિજાતીય સપાટીઓ કે જે સજાતીય શોષણ (એક સાઇટ) દર્શાવે છે)% સાઇટ્સના કાર્ય તરીકે શોષણનો અચળાંક ધરાવે છે. બીજી બાજુ, વિજાતીય શોષણ (બહુ-સ્થળ) માં શોષણનું ચલ પ્રમાણ હોય છે, જે કબજે કરેલી સાઇટ્સની ટકાવારી પર આધારિત હોય છે. જ્યારે શોષક દબાણ (અથવા સાંદ્રતા) ઓછું હોય છે, ત્યારે ઉચ્ચ ઉર્જા સ્થળો પર કબજો કરવામાં આવશે; અને જેમ જેમ દબાણ (અથવા સાંદ્રતા) વધે છે, ઓછી ઉર્જા સ્થળો પર કબજો કરવામાં આવશે જેના પરિણામે શોષણ ઓછું થશે. સંબંધિત સમીકરણ ટોથ સમીકરણ છે. લેંગમુઇર સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીને, કોઈ પ્રાપ્ત કરી શકે છેઃ ટોથ સમીકરણને ઘડવા માટે બે પરિમાણો, αT0 અને CT0 ઉમેરીને આ સમીકરણમાં ફેરફાર કર્યોઃ ટેમકિન શોષણ આઇસોથર્મ આ આઇસોથર્મ શોષણ આઇસોથર્મ્સ પર પરોક્ષ શોષણ-શોષણ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને ધ્યાનમાં લે છે. ટેમકિને પ્રાયોગિક રીતે નોંધ્યું હતું કે વધતા આવરણ સાથે વધવા કરતાં શોષણની ગરમીમાં વધુ ઘટાડો થશે. શોષણની ઉષ્માને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ તેમણે એવું ધારીને એક મોડેલ મેળવ્યું હતું કે જેમ જેમ સપાટી શોષક પદાર્થથી ભરેલી હોય છે, તેમ તેમ સ્તરમાંના તમામ અણુઓના શોષણની ઉષ્મા શોષક-શોષક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને કારણે આવરણ સાથે રેખીય રીતે ઘટશેઃ જ્યાં αT એક ફિટિંગ પરિમાણ છે. લેંગમુઇર એડસોર્પ્શન આઇસોથર્મને હજુ પણ શોષિત સ્તર પર લાગુ કરવામાં આવે છે એમ ધારીએ તો, તે કવરેજ સાથે નીચે પ્રમાણે બદલાય તેવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છેઃ લેંગમુઇરના આઇસોથર્મને આ સ્વરૂપમાં ફરીથી ગોઠવી શકાય છેઃ સંતુલન અચળાંકની અભિવ્યક્તિને બદલીને અને કુદરતી લઘુગણક લઈનેઃ BET સમીકરણ બ્રુનોઅર, એમ્મેટ અને ટેલર (BET) એ બહુસ્તરીય શોષણ માટે પ્રથમ આઇસોથર્મ મેળવ્યું. તે એવી સાઇટ્સનું અવ્યવસ્થિત વિતરણ ધારે છે જે ખાલી છે અથવા જે એક મોનોલેયર, બે સ્તરો અને તેથી વધુ દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે, જેમ કે સાથે સચિત્ર છે. આ નમૂનાનું મુખ્ય સમીકરણ છેઃ જ્યાં અને [A] એ સપાટી પરના અણુઓની કુલ સાંદ્રતા છે, જે આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં [A] 0 એ ખાલી સ્થળોની સંખ્યા છે, અને [A] i એ i અણુઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલી સપાટીની જગ્યાઓની સંખ્યા છે. ઘન પર દ્વિસંગી પ્રવાહીનું શોષણ આ વિભાગ સપાટીના આવરણનું વર્ણન કરે છે જ્યારે શોષક પ્રવાહી તબક્કામાં હોય છે અને દ્વિસંગી મિશ્રણ હોય છે. આદર્શ બંને તબક્કાઓ માટે-કોઈ બાજુની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ નહીં, સજાતીય સપાટી-નક્કર સપાટીના સંપર્કમાં દ્વિસંગી પ્રવાહી પ્રણાલી માટે સપાટી તબક્કાની રચના ક્લાસિક એવરેટ આઇસોથર્મ સમીકરણ (લેંગમુઇર સમીકરણનું સરળ એનાલોગ હોવાથી) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં ઘટકો વિનિમયક્ષમ હોય છે (એટલે કે. "સમીકરણ સ્વરૂપમાં ફેરફાર કર્યા વિના" "1" "ને" "2" "માં બદલી શકાય છેઃ જ્યાં બહુ-ઘટક પ્રણાલીની સામાન્ય વ્યાખ્યા નીચે મુજબ માન્ય છેઃ સરળ પુનઃગોઠવણી દ્વારા, આપણને મળે છે આ સમીકરણ ઘટકો" "1" "અને" "2" "ની સ્પર્ધાનું વર્ણન કરે છે". હિલ સમીકરણ (બાયોકેમિસ્ટ્રી) માઈકલિસ-મેન્ટન ગતિશાસ્ત્ર (સમાન ગાણિતિક સ્વરૂપ સાથેનું સમીકરણ) મોનોડ સમીકરણ (સમાન ગાણિતિક સ્વરૂપ સાથેનું સમીકરણ) સપાટીઓ પરની પ્રતિક્રિયાઓ સંદર્ભો ઘન અને પ્રવાહીનું બંધારણ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો પણ જુઓ. ભાગ I. ઘન. ઇરવિંગ લેંગમુઇર; જે. એમ. કેમ. સો. 38, 2221-95 1916 બાહ્ય કડીઓ લેંગમુઇર આઇસોથર્મ ફ્રોમ ક્વીન મેરી, યુનિવર્સિટી ઓફ લંડન LMMપ્રો, લેંગમુઇર સમીકરણ-ફિટિંગ સોફ્ટવેર સપાટી વિજ્ઞાન સામગ્રી વિજ્ઞાન