Morass (set theory)
સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ સિદ્ધાંતમાં, એક ગાણિતિક શિસ્તમાં, કળણ એક અનંત સંયોજન માળખું છે, જેનો ઉપયોગ "નાની" સંખ્યાના "નાના" અંદાજોમાંથી "મોટી" રચનાઓ બનાવવા માટે થાય છે. તેમની શોધ રોનાલ્ડ જેનસન દ્વારા તેમના પુરાવા માટે કરવામાં આવી હતી કે કાર્ડિનલ ટ્રાન્સફર પ્રમેયો રચનાત્મકતાના સ્વયંસિદ્ધ હેઠળ છે. વેલમેન દ્વારા સરળ મોરાસ તરીકે ઓળખાતો ઘણો ઓછો જટિલ પરંતુ સમકક્ષ પ્રકાર રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, અને મોરાસ શબ્દનો ઉપયોગ હવે ઘણીવાર આ સરળ રચનાઓનો અર્થ કરવા માટે થાય છે. ઝાંખી જ્યારે એન> 1 માટે કહેવાતા ગેપ-એન મોરાસિસને વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે, ત્યારે તે એટલા જટિલ છે કે ધ્યાન સામાન્ય રીતે ચોક્કસ કાર્યક્રમો સિવાય ગેપ-1 કેસ સુધી મર્યાદિત હોય છે. "અંતર" એ અનિવાર્યપણે ઉપયોગમાં લેવાતા "નાના અંદાજો" ના કદ અને અંતિમ માળખાના કદ વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત છે. અગણિત નિયમિત કાર્ડિનલ κ (જેને a (κ, 1)-મોરાસ પણ કહેવાય છે) પર A (ગેપ-1) મોરાસમાં κ + 1 ઊંચાઈના વૃક્ષનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં ટોચના સ્તર પર κ +-ઘણા ગાંઠો હોય છે. ગાંઠોને ઓર્ડિનલ્સ તરીકે લેવામાં આવે છે, અને આ ઓર્ડિનલ્સ વચ્ચેના કાર્યો વૃક્ષ ક્રમમાં ધાર સાથે સંકળાયેલા છે. તે જરૂરી છે કે ટોચના સ્તરના ગાંઠોની ક્રમિક રચના નકશા π દ્વારા તે નોડની શાખામાં ક્રમિકની સીધી મર્યાદા તરીકે "બિલ્ટ અપ" હોય, તેથી નીચલા સ્તરના ગાંઠોને (મોટા) ટોચના સ્તરના ગાંઠોના અંદાજ તરીકે વિચારી શકાય છે. આ ખાસ કરીને "સરસ" રીતે થાય તે માટે વધુ સ્વયંસિદ્ધોની લાંબી સૂચિ લાદવામાં આવી છે. વેરિયન્ટ્સ અને સમકક્ષ વેલેમેન અને શેલાહ અને સ્ટેનલીએ સ્વતંત્ર રીતે બિન-નિષ્ણાતો દ્વારા તેમના ઉપયોગને સરળ બનાવવા માટે દલદલના અસ્તિત્વની સમકક્ષ ફોર્સિંગ સ્વયંસિદ્ધ વિકસાવ્યા હતા. આગળ જતાં, વેલેમેને દર્શાવ્યું કે દલદલનું અસ્તિત્વ સરળ મડાગાંઠની સમકક્ષ છે, જે અત્યંત સરળ રચનાઓ છે. જો કે, ગોડેલના રચનાત્મક બ્રહ્માંડમાં સરળીકૃત દલદલનું એકમાત્ર જાણીતું નિર્માણ દલદલના માધ્યમથી છે, તેથી મૂળ કલ્પના રસ જાળવી રાખે છે. દલદલી જમીન પરના અન્ય પ્રકારો, સામાન્ય રીતે વધારાના માળખા સાથે, પણ વર્ષોથી દેખાયા છે. આમાં સાર્વત્રિક કાદવનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં κ નો દરેક સબસેટ કાદવની શાખાઓ, મેંગ્રોવ, જે સ્તર (મંગલ) માં સ્તરીકૃત દલદલી છે, જેના પર દરેક શાખામાં નોડ હોવો આવશ્યક છે, અને કાદવ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. સરળીકૃત મોરાસ વેલેમેને ગેપ-1 સરળીકૃત મોરાસીસને વ્યાખ્યાયિત કરી છે જે ગેપ-1 મોરાસીસ કરતાં ઘણી સરળ છે, અને દર્શાવ્યું છે કે ગેપ-1 મોરાસીસનું અસ્તિત્વ ગેપ-1 સરળ મોરાસીસના અસ્તિત્વની સમકક્ષ છે. આશરે કહીએ તોઃ a (κ, 1)-સરળીકૃત મોરાસ M = <φ →, F ુણ> માં φ → = <φβ: β ≤ κ> ઓર્ડિનલ્સનો ક્રમ છે જેમ કે φβ <κ માટે φβ <κ અને φκ = κ +, અને ડબલ ક્રમ F ુણ = <Fα, β: α <β ≤ κ> જ્યાં Fα, β એ ચોક્કસ (સરળ પરંતુ મહત્વપૂર્ણ) શરતો સાથે α <β ≤ κ માટે φα થી φβ સુધીના મોનોટોન મેપિંગ્સનો સંગ્રહ છે. વેલેમેનની સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા અહીં મળી શકે છે, જ્યાં તેમણે ઝેડએફસીમાં (ω0,1) સરળ મડાગાંઠનું નિર્માણ પણ કર્યું હતું. માં તેમણે ગેપ-2 સરળ મડાગાંઠ માટે સમાન સરળ વ્યાખ્યાઓ આપી હતી, અને માં તેમણે ZFC માં (ω0,2) સરળ મડગાંઠનું નિર્માણ કર્યું હતું. મોર્ગન અને સઝાલકાઈ દ્વારા કોઈપણ n ≤ 1 માટે ઉચ્ચ અંતર સરળીકૃત દલદલની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી હતી. આશરે કહીએ તોઃ a (κ, n + 1)-સરળીકૃત મોરાસ (સ્ઝાલકાઈનો) M = <M →, F ુણ> માં β <κ અને Mκ a (κ +, n)-સરળીકૃત મોરાસ માટે M → = <Mβ: β ≤ κ>-સરળીકૃત મોરાસ જેવી રચનાઓ અને ડબલ ક્રમ F ુણ = <Fα, β: α <β ≤ κ> જ્યાં Fα, β એ ચોક્કસ શરતો સાથે α <β ≤ κ માટે Mα થી Mβ સુધીના મેપિંગ્સનો સંગ્રહ છે. સંદર્ભ વૃક્ષો (સમૂહ સિદ્ધાંત)