Method of dominant balance
ગણિતમાં, પ્રભાવશાળી સંતુલનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ સમીકરણને સંપૂર્ણ રીતે હલ કર્યા વિના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક નક્કી કરવા માટે થાય છે. પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત છે, જેમાં એકવાર પદ્ધતિ કરીને મેળવેલ પરિણામનો ઉપયોગ જ્યારે પદ્ધતિનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે ત્યારે ઇનપુટ તરીકે થઈ શકે છે, જેથી એસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણમાં ઇચ્છિત તેટલા શબ્દો મેળવી શકાય. પ્રક્રિયા નીચે પ્રમાણે છેઃ ધારો કે એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકનું સ્વરૂપ છે વ્યાજ મર્યાદામાં ODE માં કઈ શરતો નગણ્ય હોઈ શકે છે તે અંગે જાણકાર અનુમાન બનાવો. આ શરતોને છોડો અને પરિણામી સરળ ODE ને હલ કરો. તપાસો કે ઉકેલ પગલું 2 સાથે સુસંગત છે. જો આ કિસ્સો હોય, તો પછી કોઈની પાસે એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનનું નિયંત્રણ પરિબળ છે; અન્યથા, તેના બદલે, પગલું 2 માં વિવિધ શબ્દો છોડવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે. ઉકેલમાં અગ્રણી શબ્દ તરીકે ઉપરોક્ત પરિણામ પર આધાર રાખીને, ઉચ્ચ ઓર્ડર માટે પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તન કરો. ઉદાહરણોઃ બહુપદી સમીકરણને ઉકેલવું નાની મર્યાદાએ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આપણે સ્વરૂપનું ક્રમિક વિસ્તરણ કરવાનું વિચારી શકીએ છીએ. જો કે આ સમસ્યાનો સામનો કરે છેઃ જ્યારે, સમીકરણમાં માત્ર એક જ મૂળ હોય છે. જો કે બિન-શૂન્ય માટે સમીકરણમાં 5 મૂળ છે. મુખ્ય મુદ્દો એ છે કે આમાંથી 4 મૂળ અનંત સુધી ભાગી જાય છે. આ પ્રબળ સંતુલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ સૂચવે છે. એટલે કે, નાના માટે, આપણી પાસે હોવું જોઈએ, તેથી આપણે સમીકરણને લગભગ, આપતા તરીકે હલ કરીશું. તેથી પ્લગ ઇન કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ કે ત્યાં પાંચ મૂળ છે, અને દરેક મૂળને પાવર શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરીને, આપણે પાંચ શ્રેણીઓ મેળવીએ છીએઃ ઉદાહરણ તરીકે મનસ્વી અચળાંકો માટે અને, ધ્યાનમાં લો કે આ વિભેદક સમીકરણ બરાબર ઉકેલી શકાતું નથી. જો કે, ઉકેલો મોટા માટે કેવી રીતે વર્તે છે તે ધ્યાનમાં લેવું ઉપયોગી છેઃ તે તારણ આપે છે કે x → φ જેવું વર્તે છે. વધુ સખત રીતે, આપણી પાસે હશે, નહીં. આપણે મોટી મર્યાદાની વર્તણૂકમાં રસ ધરાવીએ છીએ, તેથી આપણે ચલને = exp (S (x)) માં બદલીએ છીએ, અને ODE ને S (x) ની દ્રષ્ટિએ ફરીથી વ્યક્ત કરીએ છીએ, અથવા જ્યાં આપણે ઉત્પાદન નિયમ અને સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કર્યો છે. હવે ધારો કે પહેલા આ ODE નો ઉકેલ x → φ તરીકે સંતોષે છે, જેથી x → φ તરીકે. જો ઉપરોક્ત એસિમ્પ્ટોટિક પરિસ્થિતિઓને સંતોષે છે, તો ઉપરોક્ત ધારણા સુસંગત છે. અમે જે શરતો છોડી દીધી છે તે અમે જે શરતો રાખી છે તેના સંદર્ભમાં નગણ્ય હશે. તે ODE માટે ઉકેલ નથી, પરંતુ તે પ્રબળ એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાં આપણને રસ છે. તપાસો કે આ પસંદગી સુસંગત છે, બધું ખરેખર સુસંગત છે. આમ આપણા ODE ના ઉકેલની પ્રબળ એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક મળી આવી છે, પરંપરા મુજબ, સંપૂર્ણ એસિમ્પ્ટોટિક શ્રેણી લખવામાં આવે છે જેથી આ શ્રેણીની ઓછામાં ઓછી પ્રથમ મુદત મેળવવા માટે આપણે આગળનું પગલું લેવું પડશે કે કેમ તે જોવા માટે કે ત્યાં કોઈ શક્તિ છે કે કેમ. નવા ઉપ-અગ્રણી આશ્રિત ચલ રજૂ કરીને આગળ વધો, અને પછી C (x) માટે એસિમ્પ્ટોટિક ઉકેલો શોધો. S (x) માટે ઉપરોક્ત ODE માં બદલીને આપણે જોઈએ છીએ કે પહેલાની જેમ જ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, આપણે રાખીએ છીએ અને શોધી કાઢીએ છીએ કે અગ્રણી એસિમ્પ્ટોટિક વર્તણૂક પછી એસિમ્પ્ટોટિક વિશ્લેષણ સંદર્ભો એસિમ્પ્ટોટિક વિશ્લેષણ ગાણિતિક શ્રેણી સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો પણ જુઓ.