Equilateral pentagon
ભૂમિતિમાં, સમબાહુ પંચકોણ એ યુક્લિડિયન સમતલમાં સમાન લંબાઈની પાંચ બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે. તેના પાંચ શિરોબિંદુ ખૂણા મૂલ્યોના સમૂહની શ્રેણી લઈ શકે છે, આમ તેને પેન્ટાગોનનું કુટુંબ રચવાની મંજૂરી આપે છે. તેનાથી વિપરીત, નિયમિત પંચકોણ અનન્ય છે, કારણ કે તે સમબાહુ છે અને વધુમાં તે સમભુજાકાર છે (તેના પાંચ ખૂણા સમાન છે; માપ 108 ડિગ્રી છે). બંધ સાંકળમાં ગોઠવાયેલા ચાર આંતરછેદના સમાન વર્તુળો બહિર્મુખ સમબાહુ પંચકોણ નક્કી કરવા માટે પૂરતા છે. દરેક વર્તુળનું કેન્દ્ર પંચકોણના ચાર શિરોબિંદુઓમાંથી એક છે. બાકીનું શિરોબિંદુ સાંકળના પ્રથમ અને છેલ્લા વર્તુળના આંતરછેદ બિંદુઓમાંથી એક દ્વારા નક્કી થાય છે. બહિર્મુખ સમબાહુ પંચકોણના આંતરિક ખૂણાઓના ઉદાહરણો જ્યારે બહિર્મુખ સમબાહુ પંચકોણને ત્રિકોણમાં વિચ્છેદિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાંથી બે સમદ્વિબાહુ (નારંગી અને વાદળીમાં ત્રિકોણ) તરીકે દેખાય છે જ્યારે બીજો વધુ સામાન્ય (લીલા રંગમાં ત્રિકોણ) હોય છે. આપણે ધારીએ છીએ કે આપણને અડીને આવેલા ખૂણા આપવામાં આવ્યા છે અને. સાઇનના નિયમ અનુસાર લીલા અને વાદળી ત્રિકોણને વિભાજિત કરતી રેખાની લંબાઈ છેઃ નારંગી અને લીલા ત્રિકોણને વિભાજિત કરતી રેખાની લંબાઈનો વર્ગ છેઃ કોસાઇનના નિયમ અનુસાર, δ ની કોસાઇન આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છેઃ સરળ બનાવતા, δ એ α અને β ના કાર્ય તરીકે મેળવવામાં આવે છેઃ પંચકોણના બાકીના ખૂણાઓ ભૌમિતિક રીતે શોધી શકાય છેઃ નારંગી અને વાદળી ત્રિકોણના બાકીના ખૂણાઓ સહેલાઈથી નોંધવામાં આવે છે કે સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન છે જ્યારે ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો 180° થાય છે. પછી અને લીલા ત્રિકોણના બાકીના બે ખૂણા ચાર સમીકરણોમાંથી મળી શકે છે જે દર્શાવે છે કે પંચકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 540° છે, લીલા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, ખૂણો તેના ત્રણ ઘટકોનો સરવાળો છે, અને ખૂણો તેના બે ઘટકોનો સરવાળો છે. ચક્રીય પંચકોણ સમભુજાકાર હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની બાજુઓ સમાન હોય અને આમ તે નિયમિત હોય. તેવી જ રીતે, સ્પર્શક પંચકોણ સમબાહુ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના ખૂણા સમાન હોય અને આમ તે નિયમિત હોય. ટાઇલિંગ સમબાહુ બહિર્મુખ પેન્ટાગોનના બે અનંત પરિવારો છે જે સમતલને ટાઇલ કરે છે, એકમાં બે સંલગ્ન પૂરક ખૂણા હોય છે અને બીજામાં બે બિન-સંલગ્ન પૂરક ખૂણા હોય છે. તેમાંથી કેટલાક પંચકોણ એકથી વધુ રીતે ટાઇલ કરી શકે છે, અને સમબાહુ પંચકોણનું એક છૂટાછવાયા ઉદાહરણ છે જે સમતલને ટાઇલ કરી શકે છે પરંતુ તે બેમાંથી કોઈ પણ પરિવાર સાથે સંબંધિત નથી; તેના ખૂણા આશરે 89°16 ', 144°32.5', 70°55 ', 135°22' અને 99°54.5 'છે, કોઈ બે પૂરક નથી. દ્વિ-પરિમાણીય નકશા સમબાહુ પંચકોણ પોતાને કાં તો બિલકુલ નહીં, એક વાર, બે વાર અથવા પાંચ વખત છેદે છે. જે પોતાને છેદતા નથી તેમને સરળ કહેવામાં આવે છે, અને તેમને બહિર્મુખ અથવા અંતર્મુખ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આપણે અહીં "સ્ટેલેટેડ" શબ્દનો ઉપયોગ એવા શબ્દોનો ઉલ્લેખ કરવા માટે કરીએ છીએ જે પોતાને બે કે પાંચ વખત છેદે છે. અમે આ વિભાગમાં, સમબાહુ પંચકોણને નકારી કાઢીએ છીએ જે પોતાને ચોક્કસપણે એક જ વાર છેદે છે. આપેલ છે કે આપણે પેન્ટાગોનને નકારી કાઢીએ છીએ જે પોતાને એકવાર છેદે છે, આપણે બાકીનાને દ્વિ-પરિમાણીય સમતલમાં બે ચલોના કાર્ય તરીકે આલેખ કરી શકીએ છીએ. મૂલ્યોની દરેક જોડી (α, β) સમતલના એક બિંદુ પર નકશો બનાવે છે અને એક પંચકોણ પર પણ નકશો બનાવે છે. α અને β ના મૂલ્યોની સમયાંતરે અને α ≤ β ≤ δ શરત મેપિંગના કદને મર્યાદિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. સંકલન અક્ષો α અને β સાથેના સમતલમાં, સમીકરણ α = β એ સમતલને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરતી રેખા છે (ચિત્રમાં નારંગી રંગમાં દર્શાવેલ દક્ષિણ સરહદ). સમીકરણ δ = β વળાંક તરીકે સમતલને વિવિધ વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે (ઉત્તર સરહદ વાદળી રંગમાં દર્શાવવામાં આવી છે). બંને સરહદો સમતલના સતત પ્રદેશને ઘેરી લે છે, જેના બિંદુઓ અનન્ય સમબાહુ પંચકોણનો નકશો બનાવે છે. પ્રદેશની બહારના બિંદુઓ માત્ર પુનરાવર્તિત પેન્ટાગોનનો નકશો બનાવે છે-એટલે કે, પેન્ટાગોન કે જે જ્યારે ફેરવવામાં આવે છે અથવા પ્રતિબિંબિત થાય છે ત્યારે તે પહેલાથી વર્ણવેલ અન્ય સાથે મેળ ખાય છે. પેન્ટાગોન્સ કે જે તે સરહદો પર બરાબર નકશો બનાવે છે તેમાં સમપ્રમાણતાની રેખા હોય છે. અનન્ય નકશાના પ્રદેશની અંદર ત્રણ પ્રકારના પેન્ટાગોન છેઃ સ્ટેલેટેડ, અંતર્મુખ અને બહિર્મુખ, જે નવી સરહદો દ્વારા અલગ પડે છે. સ્ટેલેટેડ પેન્ટાગોન્સની બાજુઓ અન્ય દ્વારા છેદે છે. આ પ્રકારના પંચકોણનું સામાન્ય ઉદાહરણ પંચકોણ છે. પંચકોણને તારાંકિત કરવા અથવા સ્વ-છેદવા માટેની શરત 2α + β ≤ 180° હોવી જોઈએ. તેથી, નકશામાં, રેખા 2α + β = 180° (ઉત્તરમાં નારંગીમાં બતાવેલ) એ સ્ટેલેટેડ અને નોન-સ્ટેલેટેડ પેન્ટાગોનના પ્રદેશો વચ્ચેની સરહદ છે. પેન્ટાગોન્સ જે આ સરહદ પર બરાબર નકશો બનાવે છે તે બીજી બાજુને સ્પર્શતા શિરોબિંદુ ધરાવે છે. અંતર્મુખ અંતર્મુખ પેન્ટાગોન્સ એ નોન-સ્ટેલેટેડ પેન્ટાગોન્સ છે જેનો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 180° કરતા વધારે હોય છે. પ્રથમ ખૂણો જે 180° કરતા વધુ પહોળો ખુલે છે તે γ છે, તેથી સમીકરણ γ = 180° (જમણી બાજુએ લીલા રંગમાં દર્શાવેલ સરહદ) એ એક વળાંક છે જે અંતર્મુખ પેન્ટાગોન અને અન્ય પ્રદેશોની સરહદ છે, જેને બહિર્મુખ કહેવાય છે. પેન્ટાગોન્સ કે જે આ સરહદ પર બરાબર નકશો બનાવે છે તેની ઓછામાં ઓછી બે સળંગ બાજુઓ બેવડી લંબાઈની બાજુ તરીકે દેખાય છે, જે ચતુર્ભુજમાં અધોગતિ પામેલા પંચકોણ જેવી લાગે છે. બહિર્મુખ પંચકોણ તેમના તમામ પાંચ ખૂણા 180° કરતા નાના હોય છે અને અન્યને છેદતી કોઈ બાજુઓ હોતી નથી. આ પ્રકારના પંચકોણનું સામાન્ય ઉદાહરણ નિયમિત પંચકોણ છે. સંદર્ભો બહુકોણના પ્રકારો