Gosper's algorithm
ગણિતમાં, બિલ ગોસ્પરને કારણે ગોસ્પરનું અલ્ગોરિધમ, હાયપરજિયોમેટ્રિક શબ્દોના સરવાળા શોધવાની પ્રક્રિયા છે જે પોતે હાયપરજિયોમેટ્રિક શબ્દો છે. એટલે કેઃ ધારો કે કોઈની પાસે a (1) +. + a (n) = S (n) −S (0) છે, જ્યાં S (n) એ હાયપરજિયોમેટ્રિક શબ્દ છે (એટલે કે, S (n + 1)/S (n) એ n નું તર્કસંગત કાર્ય છે); તો પછી જરૂરી છે કે a (n) પોતે એક હાયપરજિયોમેટ્રિક શબ્દ છે, અને a (n) ગોસ્પરનું અલ્ગોરિધમ સૂત્ર આપવામાં આવે તો તે S (n) માટે શોધે છે. અલ્ગોરિધમનો રૂપરેખા પગલું 1: બહુપદી p એવી રીતે શોધો કે, b (n) = a (n)/p (n) લખીને, b (n)/b (n − 1) ગુણોત્તરમાં q (n)/r (n) સ્વરૂપ હોય જ્યાં q અને r બહુપદીઓ હોય અને કોઈ q (n) માં r (n + j) સાથે જે = 0,1,2 માટે બિન-તુચ્છ પરિબળ ન હોય. (આ હંમેશા શક્ય છે, પછી ભલે શ્રેણી બંધ સ્વરૂપમાં સારાંશક્ષમ હોય કે નહીં.) પગલું 2: એક બહુપદી f શોધો કે જેથી S (n) = q (n + 1)/p (n) f (n) a (n). જો શ્રેણી બંધ સ્વરૂપમાં સરવાળો કરી શકાય તેવું હોય તો સ્પષ્ટ રીતે આ ગુણધર્મ સાથે તર્કસંગત વિધેય f અસ્તિત્વમાં છે; હકીકતમાં તે હંમેશા બહુપદી હોવું જોઈએ, અને તેની ડિગ્રી પર ઉપલી બાઉન્ડ મળી શકે છે. f નક્કી કરવું (અથવા એવું કોઈ f નથી તે શોધવું) એ પછી રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીને ઉકેલવાની બાબત છે. વિલ્ફ-ઝીલબર્ગર જોડી સાથેના સંબંધ ગોસ્પરના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ વિલ્ફ-ઝીલબર્ગર જોડી શોધવા માટે કરી શકાય છે, જ્યાં તેઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ધારો કે F (n + 1, k) − F (n, k) = G (n, k + 1) − G (n, k) જ્યાં F જાણીતું છે પણ G નથી. પછી ગોસ્પરના અલ્ગોરિધમમાં a (k): = F (n + 1, k) − F (n, k) ફીડ કરો. (આને k ના કાર્ય તરીકે ગણશો, જેના ગુણાંક સંખ્યાઓને બદલે n ના કાર્યો હોય છે; અલ્ગોરિધમમાં બધું આ સેટિંગમાં કામ કરે છે.) જો તે સફળતાપૂર્વક S (k) ને S (k) − S (k − 1) = a (k) સાથે શોધે, તો આપણે પૂર્ણ કરી લઈએ છીએઃ આ જરૂરી G છે. જો નહીં, તો એવું કોઈ G નથી. નિશ્ચિત વિરુદ્ધ અનિશ્ચિત સારાંશ ગોસ્પરનું અલ્ગોરિધમ (જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં) હાયપરજિયોમેટ્રિક શરતોના અનિશ્ચિત સરવાળા માટે હાયપરજિયોમેટ્રિક બંધ સ્વરૂપ શોધે છે. એવું બની શકે છે કે આવું કોઈ બંધ સ્વરૂપ નથી, પરંતુ તમામ n પરનો સરવાળો, અથવા n ના મૂલ્યોના અમુક ચોક્કસ સમૂહ, બંધ સ્વરૂપ ધરાવે છે. આ પ્રશ્ન ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ બને છે જ્યારે ગુણાંક પોતે કોઈ અન્ય ચલનાં કાર્યો હોય. તેથી, ધારો કે a (n, k) એ n અને k બંનેમાં હાયપરજિયોમેટ્રિક શબ્દ છેઃ એટલે કે, a (n, k)/a (n − 1, k) અને a (n, k)/a (n, k − 1) એ n અને k ના તર્કસંગત કાર્યો છે. બિલ ગોસ્પરે 1970ના દાયકામાં સેલ અને એમ. આઈ. ટી. ખાતે મેક્સીમા કોમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલી પર કામ કરતી વખતે આ અલ્ગોરિધમનો શોધ કરી હતી. સંદર્ભો કોમ્પ્યુટર બીજગણિત હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો