Acyclic model
બીજગણિત ટોપોલોજીમાં, ગણિતની અંદરની એક શાખા, એસાયક્લિક મોડેલ્સ થીયરમનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે બે હોમોલોજી સિદ્ધાંતો આઇસોમોર્ફિક છે. આ પ્રમેય ટોપોલોજિસ્ટ સેમ્યુઅલ આઈલેનબર્ગ અને સોન્ડર્સ મેકલેન દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. તેઓએ શોધ્યું કે, જ્યારે ટોપોલોજિસ્ટ વિવિધ સમરૂપતા સિદ્ધાંતોની સમાનતા સ્થાપિત કરવા માટે પુરાવા લખી રહ્યા હતા, ત્યારે પ્રક્રિયાઓમાં અસંખ્ય સમાનતાઓ હતી. ત્યારબાદ આઈલેનબર્ગ અને મેકલેને આ પ્રક્રિયાને સામાન્ય બનાવવા માટે પ્રમેયની શોધ કરી. તેનો ઉપયોગ આઈલેનબર્ગ-ઝિલ્બર પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે; આ મોડેલ શ્રેણીના વિચાર તરફ દોરી જાય છે. પ્રમેયનું નિવેદન ચાલો એક મનસ્વી શ્રેણી હોઈએ અને અમુક રિંગ પર-મોડ્યુલોના સાંકળ સંકુલની શ્રેણી હોઈએ. ચાલો સહપરિવર્તનશીલ ફંકટર બનીએ જેમ કેઃ માટે. એવા માટે છે જેનો આધાર છે, તે જ રીતે એક મફત ફંકટર પણ છે. આ મોડેલો પર-અને-ચક્રીય છે, જેનો અર્થ છે કે બધા અને બધા માટે. પછી નીચેના દાવાઓ છેઃ દરેક કુદરતી પરિવર્તન કુદરતી સાંકળ નકશાને પ્રેરિત કરે છે. જો કુદરતી પરિવર્તન હોય, તો પહેલાની જેમ અને તમામ મોડેલો માટે કુદરતી સાંકળ નકશા હોય, તો પછી અને વચ્ચે એક કુદરતી સાંકળ હોમોટોપી હોય છે. ખાસ કરીને સાંકળ નકશો કુદરતી સાંકળ હોમોટૉપી સુધી અનન્ય છે. સામાન્યીકરણ પ્રોજેક્ટિવ અને એસાયક્લિક કોમ્પ્લેક્સ જે ઉપર છે તે પ્રમેયની પ્રારંભિક આવૃત્તિઓમાંની એક છે. અન્ય સંસ્કરણ એ છે કે જે કહે છે કે જો એબેલિયન શ્રેણીમાં પ્રોજેક્ટિવનું સંકુલ છે અને તે શ્રેણીમાં એસાયક્લિક સંકુલ છે, તો કોઈપણ નકશો સાંકળ નકશા સુધી વિસ્તરે છે, જે હોમોટૉપી સુધી અનન્ય છે. જો કોઈ અબેલિયન શ્રેણી તરીકે ફંકટર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરે તો આ લગભગ ઉપરોક્ત પ્રમેયમાં નિષ્ણાત છે. મુક્ત ફંકટર એ તે શ્રેણીમાં પ્રોજેક્ટિવ ઓબ્જેક્ટ્સ છે. ફંકટર શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ્સ કુદરતી પરિવર્તન છે, તેથી નિર્મિત સાંકળ નકશા અને હોમોટોપીઝ બધા કુદરતી છે. તફાવત એ છે કે ઉપરોક્ત સંસ્કરણમાં, ચક્રીય હોવું એ માત્ર ચોક્કસ પદાર્થો પર ચક્રીય હોવા કરતાં વધુ મજબૂત ધારણા છે. બીજી બાજુ, ઉપરોક્ત સંસ્કરણ લગભગ આ સંસ્કરણને ફક્ત એક જ વસ્તુ સાથે શ્રેણીને મંજૂરી આપીને સૂચવે છે. પછી ફ્રી ફંકટર મૂળભૂત રીતે માત્ર એક ફ્રી (અને તેથી પ્રોજેક્ટિવ) મોડ્યુલ છે. નમૂનાઓ પર ચક્રીય હોવું (ત્યાં માત્ર એક જ છે) નો અર્થ એ છે કે સંકુલ ચક્રીય છે તે સિવાય બીજું કંઈ નથી. ચક્રીય વર્ગો એક ભવ્ય પ્રમેય છે જે ઉપરોક્ત બંનેને એકીકૃત કરે છે. ચાલો એક અબેલિયન શ્રેણી (ઉદાહરણ તરીકે, અથવા). ઉપરના સાંકળ સંકુલના વર્ગને એસાયક્લિક વર્ગ કહેવામાં આવશે જો કેઃ 0 સંકુલ અંદર છે. આ સંકુલ જો અને માત્ર ત્યારે જ સંબંધિત છે જ્યારે તેનું સસ્પેન્શન કરે છે. જો કોમ્પ્લેક્સ અને હોમોટોપિક હોય અને, તો પછી. દરેક સંકુલ એસાયક્લિક છે. જો ડબલ કોમ્પ્લેક્સ હોય, જેની બધી પંક્તિઓ અંદર હોય, તો તેનું કુલ કોમ્પ્લેક્સ તેનું છે. એસાયક્લિક વર્ગોના ત્રણ કુદરતી ઉદાહરણો છે, જોકે અન્ય ચોક્કસપણે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. પ્રથમ હોમોટૉપી કોન્ટ્રાકટિબલ કોમ્પ્લેક્સ છે. બીજું એસાયક્લિક કોમ્પ્લેક્સનું છે. ફંકટર વર્ગોમાં (દા. ત. ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓથી માંડીને અબેલિયન જૂથો સુધીના તમામ ફંકટરની શ્રેણી), ત્યાં સંકુલોનો એક વર્ગ છે જે દરેક પદાર્થ પર સંકોચાય છે, પરંતુ જ્યાં કુદરતી પરિવર્તન દ્વારા સંકોચન આપવામાં ન આવે. બીજું ઉદાહરણ ફરીથી ફંકટર શ્રેણીઓમાં છે પરંતુ આ વખતે સંકુલ માત્ર ચોક્કસ પદાર્થો પર એસાયક્લિક છે. ચાલો સંકુલ વચ્ચેના સાંકળ નકશાના વર્ગને દર્શાવીએ, જેમના મેપિંગ શંકુ સંબંધિત છે. તેમાં જમણા કે ડાબા અપૂર્ણાંકની ગણતરી હોવી જરૂરી નથી, તેમ છતાં તેમાં ડાબા અને જમણા બંને અપૂર્ણાંકોના હોમોટૉપી વર્ગો હોવાના નબળા ગુણધર્મો છે જે તીરને ઊંધી કરીને મેળવેલા વર્ગની રચના કરવાની મંજૂરી આપે છે. ચાલો એક સંવર્ધિત એન્ડોફંક્ટર ચાલુ કરીએ, જેનો અર્થ થાય છે કે ત્યાં એક કુદરતી પરિવર્તન આપવામાં આવ્યું છે (આઇડેન્ટિટી ફંકટર ચાલુ). આપણે કહીએ છીએ કે સાંકળ સંકુલ-પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવું છે જો દરેક માટે, સાંકળ સંકુલ તેની સાથે સંબંધિત હોય. બાઉન્ડ્રી ઓપરેટર દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપણે કહીએ છીએ કે જો સંવર્ધિત સાંકળ સંકુલ સંબંધિત હોય તો સાંકળ સંકુલ ફંકટર-એસાયક્લિક છે. પ્રમેય. ચાલો સાંકળ સંકુલની શ્રેણીમાં એક ચક્રીય વર્ગ અને અનુરૂપ તીર વર્ગ હોઈએ. ધારો કે તે-પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવું છે અને-એસિક્લિક છે. પછી કોઈપણ કુદરતી પરિવર્તન શ્રેણીમાં સાંકળ ફંકટરના કુદરતી પરિવર્તન સુધી વિસ્તરે છે અને આ સાંકળ હોમોટોપી સુધી અનન્ય છે. જો આપણે માની લઈએ કે, વધુમાં, તે-પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવું છે, તે-એસાયક્લિક છે, અને તે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે, તો તે હોમોટોપી સમકક્ષતા છે. ઉદાહરણ અહીં ક્રિયામાં આ છેલ્લા પ્રમેયનું ઉદાહરણ છે. ચાલો ત્રિકોણાકાર જગ્યાઓની શ્રેણી બનીએ અને એબેલિયન જૂથની શ્રેણી બનીએ જેના પર મૂલ્યવાન ફંકટર હોય. ચાલો એકવચન સાંકળ સંકુલ કારક બનીએ અને સરળ સાંકળ સંકુલ કારક બનીએ. ચાલો તે ફંકટર બનો જે દરેક જગ્યાને જગ્યા સોંપે છે. અહીં,-સિમ્પ્લેક્સ છે અને આ ફંકટર દરેક-સિમ્પ્લેક્સની જેટલી નકલો છે તેટલી નકલોના સરવાળાને સોંપે છે. પછી ચાલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ત્યાં એક સ્પષ્ટ વૃદ્ધિ છે અને આ એકને પ્રેરિત કરે છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે બંને અને બંને-પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવા અને-ચક્રીય છે (જે સાબિતી પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવું અને ચક્રીય છે તે સંપૂર્ણપણે સીધું નથી અને સરળ પેટાવિભાગ દ્વારા વળાંકનો ઉપયોગ કરે છે, જેને ઉપરોક્ત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પણ નિયંત્રિત કરી શકાય છે). વર્ગ એ સમરૂપતા સમાનતાનો વર્ગ છે. તે સ્પષ્ટ છે કે અને તેથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે એકવચન અને સરળ સમરૂપતા સમરૂપતા પર છે. બીજગણિત અને ટોપોલોજી બંનેમાં અન્ય ઘણા ઉદાહરણો છે, જેમાંથી કેટલાક સંદર્ભો સ્કોન, આર. "એસાયક્લિક મોડેલ્સ એન્ડ એક્સિશન" માં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. પ્રો. આમેર. ગણિત. સો. 59 (1) (1976) pp.167--168. બીજગણિત ટોપોલોજીમાં હોમોલોજિકલ બીજગણિત પ્રમેયો