Hard hexagon model
આંકડાકીય મિકેનિક્સમાં, સખત ષટ્કોણ મોડેલ એ ગેસનું 2-પરિમાણીય જાળી મોડેલ છે, જ્યાં કણોને ત્રિકોણાકાર જાળીના શિરોબિંદુઓ પર રહેવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે પરંતુ કોઈ બે કણો અડીને ન હોઈ શકે. આ મોડેલ દ્વારા ઉકેલવામાં આવ્યું હતું, જેમણે શોધી કાઢ્યું હતું કે તે રોજર્સ-રામાનુજન ઓળખ સાથે સંબંધિત છે. સખત ષટ્કોણ મોડેલનું વિભાજન કાર્ય સખત ષટ્કોણ મોડેલ ગ્રાન્ડ કેનોનિકલ એન્સેમ્બલના માળખામાં જોવા મળે છે, જ્યાં કણોની કુલ સંખ્યા ("ષટ્કોણ") ને કુદરતી રીતે બદલવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે, અને રાસાયણિક સંભવિતતા દ્વારા નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. સખત ષટ્કોણ મોડેલમાં, તમામ માન્ય સ્થિતિઓમાં શૂન્ય ઊર્જા હોય છે, અને તેથી એકમાત્ર મહત્વપૂર્ણ થર્મોડાયનેમિક નિયંત્રણ ચલ એ રાસાયણિક સંભવિતતા અને તાપમાનનો ગુણોત્તર છે. આ ગુણોત્તરના ઘાતાંકીય, z = exp (μ/(kT)) ને પ્રવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે અને મોટા મૂલ્યો લગભગ ગાઢ રૂપરેખાંકનોને અનુરૂપ હોય છે. એન સાઇટ્સ સાથેના ત્રિકોણાકાર જાળી માટે, ગ્રાન્ડ પાર્ટીશન ફંક્શન એ છે કે જ્યાં જી (એન, એન) એ અલગ જાળી સાઇટ્સ પર એન કણો મૂકવાની રીતોની સંખ્યા છે જેમ કે નંબર 2 અડીને છે. કાર્ય κ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી લોગ (κ) એ એકમ સાઇટ દીઠ મુક્ત ઊર્જા છે. સખત ષટ્કોણ મોડેલને ઉકેલવાનો અર્થ થાય છે (આશરે) z ના વિધેય તરીકે κ માટે ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ શોધવી. જાળીના શિરોબિંદુઓ 1,2 અને 3 ક્રમાંકિત 3 વર્ગોમાં આવે છે, જે સખત ષટ્કોણોથી જગ્યા ભરવાની 3 જુદી જુદી રીતો દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્થાનોના 3 વર્ગોને અનુરૂપ 3 સ્થાનિક ઘનતા ρ1, ρ2, ρ3 છે. જ્યારે પ્રવૃત્તિ મોટી હોય ત્યારે સિસ્ટમ આ 3 પેકેજિંગમાંથી એકનો અંદાજ કાઢે છે, તેથી સ્થાનિક ઘનતા અલગ પડે છે, પરંતુ જ્યારે પ્રવૃત્તિ નિર્ણાયક બિંદુથી નીચે હોય ત્યારે ત્રણ સ્થાનિક ઘનતા સમાન હોય છે. ઓછી-પ્રવૃત્તિના સજાતીય તબક્કાને ઉચ્ચ-પ્રવૃત્તિના ક્રમબદ્ધ તબક્કાથી અલગ પાડતો નિર્ણાયક બિંદુ સુવર્ણ ગુણોત્તર φ સાથે છે. નિર્ણાયક બિંદુની ઉપર સ્થાનિક ઘનતા અલગ પડે છે અને તબક્કામાં જ્યાં મોટાભાગના ષટ્કોણ પ્રકાર 1 ની સાઇટ્સ પર હોય છે તેને ઉકેલ તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે ઉકેલ z <zc ના નાના મૂલ્યો માટે આપવામાં આવે છે જ્યાં મોટા z> zc માટે ઉકેલ (તબક્કામાં જ્યાં મોટાભાગની કબજે કરેલી સાઇટ્સ પ્રકાર 1 ધરાવે છે) દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો x = e2πiτ હોય, તો x − 1/60 G (x), x 11/60 H (x), x − 1/24 P (x), z, κ, ρ, ρ1, ρ2 અને ρ3 એ τ ના મોડ્યુલર વિધેયો છે, જ્યારે x 1/24 Q (x) એ 1/2 વજનનું મોડ્યુલર સ્વરૂપ છે. કોઈપણ બે મોડ્યુલર વિધેયો બીજગણિત સંબંધ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, આ સૂચવે છે કે κ, z, R, ρ વિધેયો એકબીજાના તમામ બીજગણિત વિધેયો છે (એકદમ ઉચ્ચ ડિગ્રીના). ખાસ કરીને, κ (1) નું મૂલ્ય, જેને એરિક વેઇસસ્ટેઇન સખત ષટ્કોણ એન્ટ્રોપી અચળાંક તરીકે ઓળખાવે છે, તે 1.395485972 ની બરાબર 24 ડિગ્રીની બીજગણિત સંખ્યા છે. સંબંધિત મોડેલો સખત ષટ્કોણ મોડેલને ચોરસ અને હનીકોમ્બ જાળી પર સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આમાંથી કોઈ પણ મોડેલ માટે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ જાણી શકાયો નથી, પરંતુ ચોરસ જાળી અને હનીકોમ્બ જાળી માટે નિર્ણાયક બિંદુ zc નજીક છે; κ (1) ચોરસ જાળી માટે લગભગ 1.503048082. () અને હનીકોમ્બ જાળી માટે 1.546440708 છે. સંદર્ભો એક્ઝોન, એચ. (1983), ક્યૂ-હાયપરજિયોમેટ્રિક ફંક્શન્સ એન્ડ એપ્લિકેશન્સ, ન્યૂ યોર્કઃ હેલસ્ટેડ પ્રેસ, ચિચેસ્ટરઃ એલિસ હોર્વુડ બાહ્ય કડીઓ બરાબર ઉકેલાય તેવા નમૂનાઓ આંકડાકીય મિકેનિક્સ જાળીના નમૂનાઓ બીજગણિત સંખ્યાઓ બનાવે છે.