Quartic reciprocity
ક્વાર્ટિક અથવા બાયક્વાડ્રેટિક પારસ્પરિકતા એ પ્રાથમિક અને બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયોનો સંગ્રહ છે જે એવી પરિસ્થિતિઓ દર્શાવે છે કે જેના હેઠળ એકરૂપ x4 ષ્ણ p (મોડ q) ઉકેલી શકાય છે; "પારસ્પરિકતા" શબ્દ આમાંના કેટલાક પ્રમેયોના સ્વરૂપમાંથી આવે છે, જેમાં તેઓ એકરૂપ x4 ષ્ણ p (મોડ q) ની સમાધાનક્ષમતાને x4 ષ્ણ q (મોડ p) સાથે સંબંધિત કરે છે. ઇતિહાસ યુલરએ દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા વિશે પ્રથમ અનુમાન લગાવ્યું હતું. ગૌસે દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા પર બે મોનોગ્રાફ પ્રકાશિત કર્યા. પ્રથમ એક (1828) માં તેમણે 2 ના દ્વિઘાત પાત્ર વિશે યુલરના અનુમાનને સાબિત કર્યું. બીજા એકમાં (1832) તેમણે ગૌસીયન પૂર્ણાંકો માટે દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા કાયદો દર્શાવ્યો હતો અને પૂરક સૂત્રોને સાબિત કર્યા હતા. તેમણે કહ્યું કે સામાન્ય પ્રમેયના પુરાવા સાથે ત્રીજો મોનોગ્રાફ આવશે, પરંતુ તે ક્યારેય દેખાયો નહીં. જેકોબીએ 1836-37 ના તેમના કોનિગ્સબર્ગ પ્રવચનોમાં પુરાવા રજૂ કર્યા હતા. પ્રથમ પ્રકાશિત પુરાવા આઇઝેનસ્ટીન દ્વારા હતા. ત્યારથી શાસ્ત્રીય (ગૌસીયન) સંસ્કરણના સંખ્યાબંધ અન્ય પુરાવાઓ તેમજ વૈકલ્પિક નિવેદનો મળી આવ્યા છે. લેમર્મેયર જણાવે છે કે 1970ના દાયકાથી તર્કસંગત પારસ્પરિકતા કાયદામાં રસનો વિસ્ફોટ થયો છે. પૂર્ણાંકો ક્વાર્ટિક અથવા બાયક્વાડ્રેટિક અવશેષ (મોડ પી) એ કોઈ પણ સંખ્યા છે જે પૂર્ણાંકની ચોથી ઘાત (મોડ પી) સાથે સુસંગત છે. જો x4 ષ્ણ a (મોડ p) નો પૂર્ણાંક ઉકેલ ન હોય, તો a એ ક્વાર્ટિક અથવા બાયક્વાડ્રેટિક નોન-રેસિડ્યુ (મોડ p) છે. જેમ કે ઘણીવાર સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં થાય છે તેમ, મોડ્યુલો મુખ્ય સંખ્યાઓ પર કામ કરવું સૌથી સરળ છે, તેથી આ વિભાગમાં તમામ મોડ્યુલી p, q, વગેરેને હકારાત્મક, વિષમ અવિભાજ્ય ગણવામાં આવે છે. ગૌસ પૂર્ણાંકોની રિંગ ઝેડની અંદર કામ કરતી વખતે નોંધ લેવાની પ્રથમ બાબત એ છે કે જો મુખ્ય સંખ્યા q એ ષ્ણ 3 (મોડ 4) હોય તો અવશેષ r એ દ્વિઘાત અવશેષ (મોડ q) છે જો અને માત્ર જો તે દ્વિઘાત અવશેષ (મોડ q) હોય. ખરેખર, વર્ગાત્મક પારસ્પરિકતાનું પ્રથમ પૂરક જણાવે છે કે −1 એ વર્ગાત્મક બિન-અવશેષ (મોડ q) છે, જેથી કોઈપણ પૂર્ણાંક x માટે, x અને −x માંથી એક વર્ગાત્મક અવશેષ છે અને બીજો એક બિન-અવશેષ છે. આમ, જો r ષ્ણ a2 (મોડ q) એ વર્ગાત્મક અવશેષ હોય, તો જો a ષ્ણ b2 એ અવશેષ હોય, તો r ષ્ણ a2 ષ્ણ b4 (મોડ q) એ દ્વિવાર્ષિક અવશેષ છે, અને જો a બિન-અવશેષ હોય, તો − a એ અવશેષ છે, − a ષ્ણ b2, અને ફરીથી, r ષ્ણ (− a) 2 ષ્ણ b4 (મોડ q) એ દ્વિવાર્ષિક અવશેષ છે. તેથી, એકમાત્ર રસપ્રદ કિસ્સો એ છે કે જ્યારે મોડ્યુલસ p ષ્ણ 1 (મોડ 4) હોય. ગૌસે સાબિત કર્યું કે જો p ષ્ણ 1 (મોડ 4) હોય તો બિન-શૂન્ય અવશેષ વર્ગો (મોડ p) ને ચાર સમૂહોમાં વહેંચી શકાય છે, જેમાં દરેકમાં (p − 1)/4 સંખ્યાઓ હોય છે. ધારો કે e એ દ્વિઘાત બિન-અવશેષ છે. પ્રથમ સમૂહ એ ક્વાર્ટિક અવશેષો છે; બીજો સમૂહ એ પ્રથમ સમૂહમાં સંખ્યાઓનો e ગુણો છે, ત્રીજો સમૂહ એ પ્રથમ સમૂહમાં સંખ્યાઓનો e2 ગુણો છે, અને ચોથો સમૂહ એ પ્રથમ સમૂહમાં સંખ્યાઓનો e3 ગુણો છે. આ વિભાજનને વર્ણવવાની બીજી રીત એ છે કે g એ આદિમ મૂળ (મોડ p) છે; પછી પ્રથમ સમૂહ એ તમામ સંખ્યાઓ છે કે જેમના આ મૂળના સંદર્ભમાં સૂચકાંકો ષ્ણ 0 (મોડ 4) છે, બીજો સમૂહ તે બધા છે જેમના સૂચકાંકો ષ્ણ 1 (મોડ 4), વગેરે છે. જૂથ સિદ્ધાંતના શબ્દભંડોળમાં, પ્રથમ સમૂહ એ અનુક્રમણિકા 4 (ગુણાકાર જૂથ Z/pZ ×) નું પેટાજૂથ છે, અને અન્ય ત્રણ તેના કોસેટ છે. પ્રથમ સમૂહ દ્વિઘાત અવશેષો છે, ત્રીજો સમૂહ દ્વિઘાત અવશેષો છે જે ચતુર્થાંશ અવશેષો નથી, અને બીજો અને ચોથો સમૂહ દ્વિઘાત બિન-અવશેષો છે. ગૌસે સાબિત કર્યું કે −1 એ દ્વિઘાત અવશેષ છે જો p ષ્ણ 1 (મોડ 8) અને દ્વિઘાત, પરંતુ દ્વિઘાત અવશેષ નથી, જ્યારે p ષ્ણ 5 (મોડ 8). 2 એ દ્વિઘાત અવશેષ મોડ p છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો p ષ્ણ ±1 (મોડ 8) હોય. p પણ ષ્ણ 1 (મોડ 4) હોવાથી, તેનો અર્થ p ષ્ણ 1 (મોડ 8) થાય છે. આવા દરેક અવિભાજ્ય એક ચોરસ અને બે વાર એક ચોરસનો સરવાળો છે. ગૌસે સાબિત કર્યું કે ધારો કે q = a2 + 2b2 ષ્ણ 1 (મોડ 8) એક મુખ્ય સંખ્યા છે. પછી 2 એ દ્વિઘાત અવશેષ (મોડ q) છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો a ષ્ણ ± 1 (મોડ 8) હોય, અને 2 એ દ્વિઘાત હોય, પરંતુ દ્વિઘાત નહીં, અવશેષ (મોડ q) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો a ષ્ણ ± 3 (મોડ 8) હોય. દરેક અવિભાજ્ય p ષ્ણ 1 (મોડ 4) એ બે વર્ગોનો સરવાળો છે. જો p = a2 + b2 જ્યાં a વિષમ હોય અને b સમ હોય, તો ગૌસે સાબિત કર્યું કે 2 એ ઉપર વ્યાખ્યાયિત પ્રથમ (અનુક્રમે બીજા, ત્રીજા અથવા ચોથા) વર્ગ સાથે સંબંધિત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો b ષ્ણ 0 હોય. 2,4, અથવા 6) (મોડ 8). આનો પ્રથમ કિસ્સો યુલરના અનુમાનોમાંનો એક છેઃ 2 એ અવિભાજ્ય p ષ્ણ 1 (મોડ 4) નું દ્વિસ્તરીય અવશેષ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો p = a2 + 64b2 હોય. ડિરીક્લેટ વિષમ અભાજ્ય સંખ્યા p અને દ્વિઘાત અવશેષ a (મોડ p) માટે, યુલરનો માપદંડ જણાવે છે કે તેથી જો p ષ્ણ 1 (મોડ 4), તો અભાજ્ય p ષ્ણ 1 (મોડ 4) અને દ્વિઘાત અવશેષ a (મોડ p) માટે તર્કસંગત ચતુર્થાંશ અવશેષ પ્રતીકને વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી (નોંધ લો કે i2 ષ્ણ −1 (મોડ p).) હકીકતમાં, ધારો કે p = a2 + b2 = c2 + 2d2 = e2 − 2f2 ષ્ણ 1 (મોડ 8) અવિભાજ્ય છે, અને ધારો કે a વિષમ છે. પછી સામાન્ય લિજેન્ડર પ્રતીક ક્યાં છે? 2 ના અક્ષરથી આગળ વધીને, પ્રાઇમ p = a2 + b2 જ્યાં b સમ હોય, અને q એ પ્રાઇમ એવું હોય કે ક્વાડ્રેટિક પારસ્પરિકતા કહે કે જ્યાં σ2 ષ્ણ p (મોડ q). પછી આ સૂચવે છે કે પ્રથમ થોડા ઉદાહરણો આ પ્રમાણે છેઃ યુલરએ 2,3 અને 5 માટેના નિયમોનું અનુમાન લગાવ્યું હતું, પરંતુ તેમાંથી કોઈ પણ સાબિત કર્યું ન હતું. ડિરીક્લેટે એ પણ સાબિત કર્યું કે જો p ષ્ણ 1 (મોડ 4) અવિભાજ્ય છે અને પછી બ્રાઉન અને લેહમેર દ્વારા તેને 17 થી 17,73,97 અને 193 સુધી લંબાવવામાં આવ્યું છે. બર્ડના તર્કસંગત દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા કાયદાને દર્શાવવાની ઘણી સમાન રીતો છે. તેઓ બધા ધારે છે કે p = a2 + b2 અને q = c2 + d2 એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે જ્યાં b અને d સમ છે, અને ગોસેટનું સંસ્કરણ લેટિંગ i2 ષ્ણ −1 (મોડ p) અને j2 ષ્ણ −1 (મોડ q) છે, ફ્રોલિચનો નિયમ બર્ડ તેના સ્વરૂપમાં જણાવે છેઃ નોંધ કરો કે મિસેલની ચાલો p ષ્ણ q ષ્ણ −1 (મોડ 4) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોઈએ અને ધારીએ. પછી e2 = p f2 + q g2 પાસે બિન-તુચ્છ પૂર્ણાંક ઉકેલો છે, અને ધારો કે p ષ્ણ q ષ્ણ 1 (મોડ 4) અવિભાજ્ય છે અને p = r2 + q s2 ધારો. પછી ધારો કે p = 1 + 4x2 અવિભાજ્ય છે, a એ કોઈ પણ વિષમ સંખ્યા છે જે x ને વિભાજિત કરે છે, અને ધારો કે a * એ દ્વિઘાત અવશેષ (મોડ p) છે. ધારો કે p = a2 + 4b2 = c2 + 2d2 ષ્ણ1 (મોડ 8) અવિભાજ્ય છે. પછી c4 − p a2 ના તમામ વિભાજક દ્વિધ્રુવીય અવશેષો (મોડ p) છે. આ જ બાબત d4 − p b2 ના તમામ વિભાજકો માટે પણ લાગુ પડે છે. ગૌસીયન પૂર્ણાંકો પૃષ્ઠભૂમિ દ્વિસ્તરીય પારસ્પરિકતા પરના તેમના બીજા મોનોગ્રાફમાં ગૌસ કેટલાક ઉદાહરણો દર્શાવે છે અને એવા અનુમાન કરે છે જે નાના અવિભાજ્યના દ્વિસ્તરીય પાત્ર માટે ઉપર સૂચિબદ્ધ પ્રમેયો સૂચવે છે. તે કેટલીક સામાન્ય ટિપ્પણીઓ કરે છે, અને સ્વીકારે છે કે કામ પર કોઈ સ્પષ્ટ સામાન્ય નિયમ નથી. તેઓ આગળ કહે છે કે દ્વિધ્રુવીય અવશેષો પરના પ્રમેયો સૌથી વધુ સરળતા અને વાસ્તવિક સુંદરતા સાથે ત્યારે જ ઝળકે છે જ્યારે અંકગણિતનું ક્ષેત્ર કાલ્પનિક સંખ્યાઓ સુધી લંબાવવામાં આવે છે, જેથી પ્રતિબંધ વિના, a + b સ્વરૂપની સંખ્યાઓ અભ્યાસનો હેતુ બને છે. આપણે આવી સંખ્યાઓને અભિન્ન જટિલ સંખ્યાઓ કહીએ છીએ. [મૂળમાં બોલ્ડ] આ સંખ્યાઓને હવે ગૌસીયન પૂર્ણાંકોની વીંટી કહેવામાં આવે છે, જે Z [i] દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. નોંધ લો કે i એ 1 નું ચોથું મૂળ છે. એક ફૂટનોટમાં તેઓ ઉમેરે છે કે ઘન અવશેષોનો સિદ્ધાંત એ જ રીતે a + bh સ્વરૂપની સંખ્યાઓની વિચારણા પર આધારિત હોવો જોઈએ જ્યાં h એ સમીકરણ h3 = 1 નું કાલ્પનિક મૂળ છે. અને તેવી જ રીતે ઉચ્ચ શક્તિઓના અવશેષોનો સિદ્ધાંત અન્ય કાલ્પનિક જથ્થાની રજૂઆત તરફ દોરી જાય છે. એકતાના ઘનમૂળમાંથી બનેલી સંખ્યાઓને હવે આઇઝેનસ્ટીન પૂર્ણાંકોની વીંટી કહેવામાં આવે છે. "ઉચ્ચ શક્તિઓના અવશેષોના સિદ્ધાંત" માટે જરૂરી "અન્ય કાલ્પનિક જથ્થાઓ" સાયક્લોટોમિક સંખ્યા ક્ષેત્રોના પૂર્ણાંકોની વીંટીઓ છે; ગૌસીયન અને આઈઝેનસ્ટીન પૂર્ણાંકો આનાં સૌથી સરળ ઉદાહરણો છે. હકીકતો અને પરિભાષા ગૌસ "અભિન્ન જટિલ સંખ્યાઓ" નો અંકગણિત સિદ્ધાંત વિકસાવે છે અને દર્શાવે છે કે તે સામાન્ય પૂર્ણાંકોના અંકગણિત સાથે તદ્દન સમાન છે. આ તે જગ્યા છે જ્યાં ગણિતમાં એકમ, સહયોગી, ધોરણ અને પ્રાથમિક શબ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. એકમો એ સંખ્યાઓ છે જે 1 ને વિભાજિત કરે છે. તેઓ 1, i, −1 અને −i છે. તેઓ સામાન્ય પૂર્ણાંકોમાં 1 અને-1 જેવા જ છે, જેમાં તેઓ દરેક સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે. એકમો એ i ની સત્તાઓ છે. સંખ્યા λ = a + b ને જોતાં, તેનો સંયુગ્મ a − b છે અને તેના સહયોગીઓ ચાર સંખ્યાઓ λ = + a + b iλ = − b + i − λ = − a − b − iλ = + b − i છે. જો λ અને μ બે ગૌસીયન પૂર્ણાંકો હોય, તો Nλμ = Nλ Nμ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ધોરણ ગુણાકાર છે. શૂન્યનું ધોરણ શૂન્ય છે, અન્ય કોઈપણ સંખ્યાનું ધોરણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. ε એક એકમ છે જો અને માત્ર જો Nε = 1 હોય. λ ના ધોરણનું વર્ગમૂળ, એક બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા જે ગૌસીયન પૂર્ણાંક ન પણ હોઈ શકે, તે લેમ્બડાનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે. ગૌસ સાબિત કરે છે કે ઝેડ [i] એક અનન્ય ગુણાંકકરણ ક્ષેત્ર છે અને દર્શાવે છે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ત્રણ વર્ગોમાં આવે છેઃ 2 એ એક વિશેષ કેસ છેઃ 2 = i3 (1 + i) 2. તે Z [i] માં અવિભાજ્યના વર્ગ દ્વારા વિભાજીત Z માં એકમાત્ર અવિભાજ્ય છે. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, 2 એ Z [i] માં વિસ્તૃત થાય છે. Z ષ્ણ 3 (મોડ 4) માં પોઝિટિવ પ્રાઈમ પણ Z [i] માં પ્રાઈમ છે. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, આ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ Z [i] માં નિષ્ક્રિય રહે છે. Z ષ્ણ 1 (મોડ 4) માં હકારાત્મક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એ Z [i] માં બે સંયુક્ત અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું ગુણાકાર છે. બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, આ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ Z [i] માં વિભાજિત હોવાનું કહેવાય છે. આમ, નિષ્ક્રિય મૌલિક સંખ્યાઓ 3,7,11,19 છે. અને વિભાજીત મૌલિક સંખ્યાઓનું ગુણાંકકરણ 5 = (2 + i) × (2−i), 13 = (2 + 3i) × (2−3i), 17 = (4 + i) × (4−i), 29 = (2 + 5i) × (2−5i), છે. અવિભાજ્યના સહયોગીઓ અને સંયુગ્મ પણ અવિભાજ્ય છે. નોંધ લો કે નિષ્ક્રિય પ્રાઇમ q નો ધોરણ Nq = q2 ષ્ણ 1 (મોડ 4) છે; આમ 1 + i અને તેના સહયોગીઓ સિવાયના તમામ પ્રાઇમનો ધોરણ ષ્ણ 1 (મોડ 4) છે. ગૌસ એક સંખ્યાને ઝેડ [i] માં વિચિત્ર કહે છે જો તેનો ધોરણ વિષમ પૂર્ણાંક હોય. આમ 1 + i અને તેના સહયોગીઓ સિવાયના તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિચિત્ર હોય છે. બે વિષમ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર વિષમ હોય છે અને વિષમ સંખ્યાના સંયુગ્મ અને સહયોગી વિષમ હોય છે. અનન્ય ફેક્ટરાઇઝેશન પ્રમેય જણાવવા માટે, સંખ્યાના સહયોગીઓમાંથી એકને અલગ પાડવાની રીત હોવી જરૂરી છે. ગૌસ એક વિષમ સંખ્યાને પ્રાથમિક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જો તે ષ્ણ 1 (મોડ (1 + i) 3) હોય. તે બતાવવું સરળ છે કે દરેક વિષમ સંખ્યાનો બરાબર એક પ્રાથમિક સહયોગી હોય છે. જો a + b ષ્ણ a − b ષ્ણ 1 (મોડ 4); એટલે કે, a ષ્ણ 1 અને b ષ્ણ 0, અથવા a ષ્ણ 3 અને b ષ્ણ 2 (મોડ 4) હોય તો વિષમ સંખ્યા λ = a + b પ્રાથમિક છે. બે પ્રાથમિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર પ્રાથમિક છે અને પ્રાથમિક સંખ્યાનો સંયુગ્મ પણ પ્રાથમિક છે. Z [i] માટે યુનિક ફેક્ટરાઇઝેશન થીયરમ છેઃ જો λ ષ્ણુત 0 હોય, તો જ્યાં 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≤ 0 હોય, ત્યાં π એ પ્રાઈમરી પ્રાઈમ હોય છે અને α એ ≤ 1 હોય છે, અને આ રજૂઆત ફેક્ટર્સના ક્રમ સુધી યુનિક છે. એકરૂપતા અને સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજકની કલ્પનાઓને Z [i] માં તે જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે રીતે તે સામાન્ય પૂર્ણાંકો Z માટે હોય છે. કારણ કે એકમો તમામ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરે છે, એક એકરૂપતા (મોડ λ) પણ λ ના કોઈપણ સહયોગી માટે સાચું મોડ્યુલો છે, અને GCD ના કોઈપણ સહયોગી પણ GCD છે. ક્વાર્ટિક અવશેષ અક્ષર ગૌસ ફર્માટના પ્રમેયના એનાલોગને સાબિત કરે છેઃ જો α એક વિષમ અવિભાજ્ય π દ્વારા વિભાજ્ય નથી, તો પછી Nπ ષ્ણ 1 (મોડ 4) થી, અર્થમાં છે, અને એક અનન્ય એકમ ik માટે. આ એકમને α (મોડ π) નું ક્વાર્ટિક અથવા બાયક્વાડ્રેટિક અવશેષ અક્ષર કહેવામાં આવે છે અને તેના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સુસંગતતા Z [i] માં ઉકેલી શકાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યાં બાર જટિલ જોડાણ સૂચવે છે. જો π અને θ સહયોગી હોય, જો α ષ્ણ β (મોડ π) હોય, તો દ્વિવાર્ષિક અક્ષરને "છેદ" માં વિચિત્ર સંયુક્ત સંખ્યાઓ સુધી તે જ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે જે રીતે લિજેન્ડર પ્રતીકને જેકોબી પ્રતીકમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે. જેમ કે તે કિસ્સામાં, જો "છેદ" સંયુક્ત હોય, તો સર્વસંમતિ ઉકેલાય તે વિના પ્રતીક એક સમાન હોઈ શકે છેઃ જ્યાં જો a અને b સામાન્ય પૂર્ણાંકો હોય, તો a ષ્ણાંક 0, |b |> 1, gcd (a, b) = 1, તો પછી ગૌસ પ્રમેયના નિવેદનોએ આ સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત પારસ્પરિકતાનો નિયમ દર્શાવ્યો હતોઃ ધારો કે π અને θ એ Z [i] ના અલગ પ્રાથમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. પછી જો π અથવા θ અથવા બંને ષ્ણ 1 (મોડ 4) હોય, તો પણ જો π અને θ બંને ષ્ણ 3 + 2i (મોડ 4) હોય, તો જેમ લિજેન્ડર પ્રતીક માટેનો દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા નિયમ જેકોબી પ્રતીક માટે પણ સાચો છે, તેવી જ રીતે સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય હોવાની જરૂરિયાત જરૂરી નથી; તે પૂરતું છે કે તેઓ વિષમ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય બિન-એકમો હોય. કદાચ સૌથી જાણીતું નિવેદન છેઃ ચાલો π અને θ પ્રાથમિક પ્રમાણમાં મુખ્ય બિન-એકમો છે. પછી એકમો માટે પૂરક પ્રમેયો છે અને અર્ધ-સમ મુખ્ય 1 + i. જો π = a + b એ પ્રાથમિક મુખ્ય છે, તો પછી અને આમ. જેકોબીએ π = a + b ને પ્રાથમિક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જો a ષ્ણ 1 (મોડ 4) હોય. આ સામાન્યીકરણ સાથે, નિયમ આ સ્વરૂપ લે છે ધારો કે α = a + b અને β = c + d જ્યાં a ષ્ણ c ષ્ણ 1 (મોડ 4) અને b અને d પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય બિન-એકમો પણ છે. પછી નીચેનું સંસ્કરણ ગૌસની અપ્રકાશિત હસ્તપ્રતોમાં જોવા મળ્યું હતું. ધારો કે જ્યાં a અને c વિષમ હોય ત્યાં α = a + 2bi અને β = c + 2di પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય બિન-એકમો હોય. પછી પ્રાથમિકની વિભાવનાનો ઉપયોગ કર્યા વિના નિયમ કહી શકાયઃ જો λ વિષમ હોય, તો ε (λ) એ λ (મોડ (1 + i) 3); એટલે કે, ε (λ) = ik ષ્ણ λ (મોડ 2 + 2i), જ્યાં 0 ≤ k ≤ 3. પછી વિષમ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય α અને β માટે, ન તો એક એકમ, ચાલો વિષમ λ માટે, ચાલો પછી જો λ અને μ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય બિન-એકમો હોય, તો આઈઝેનસ્ટીન સાબિત કરે છે કે ક્વાડ્રેટિક પારસ્પરિકતા ક્યુબિક પારસ્પરિકતા ઓક્ટિક પારસ્પરિકતા આઈઝેનસ્ટીન પારસ્પરિકતા આર્ટિન પારસ્પરિકતા નોંધો A.Here, "તર્કસંગત" નો અર્થ એ છે કે કેટલાક બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્રના પૂર્ણાંકોની દ્રષ્ટિએ સામાન્ય પૂર્ણાંકોની દ્રષ્ટિએ જણાવેલા નિયમો. યુલર, ડિરીક્લેટ અને આઈઝેનસ્ટીનના મૂળ લેખોના સંદર્ભો લેમેર્મેયર અને કોક્સના ગ્રંથસૂચિમાંથી નકલ કરવામાં આવ્યા હતા અને આ લેખની તૈયારીમાં તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો ન હતો. યુલર આ વાસ્તવમાં 1748-1750 લખવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ તે માત્ર મરણોપરાંત પ્રકાશિત થયું હતું; તે વોલ્યુમ V, pp માં છે. ગૌસના 182-283 દ્વિઘાત પારસ્પરિકતા પર પ્રકાશિત થયેલા બે મોનોગ્રાફ ગૌસમાં સતત ક્રમાંકિત વિભાગો છેઃ પ્રથમમાં §§ 1-23 અને બીજામાં §§ 24-76 છે. આનો સંદર્ભ આપતી ફૂટનોટ્સ "ગૌસ, બીક્યુ, §એન" સ્વરૂપની છે. શોધ અંકગણિતનો સંદર્ભ આપતી ફૂટનોટ્સ "ગૌસ, ડી. એ., આર્ટ" સ્વરૂપની છે. એન. " આ ગૌસના વર્ક, વોલ્યુમ II, પીપીમાં છે. 65-92 અને 93-148 જર્મન અનુવાદો pp માં છે. નીચેનામાંથી 511-533 અને 534-586, જેમાં સંખ્યા સિદ્ધાંત પર ડિસક્વિઝિશનસ એરિથમેટિકા અને ગૌસના અન્ય કાગળો પણ છે. આઈઝેનસ્ટીન આ બધા કાગળો તેમના વર્કના પ્રથમ ખંડમાં છે. ડિરીક્લેટ આ બંને તેમના વર્કના પ્રથમ ખંડમાં છે. આધુનિક લેખકો બાહ્ય કડીઓ ફ્રાન્ઝ લેમેર્મેયરના આ બે કાગળો બર્ડના નિયમ અને સંબંધિત પરિણામોના પુરાવા ધરાવે છેઃ તર્કસંગત ચતુર્થાંશ પારસ્પરિકતા તર્કસંગત ચતુર્થાંશ પારસ્પરિકતા II બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં મોડ્યુલર અંકગણિત પ્રમેયો