Small cancellation theory
જૂથ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક વિષયમાં, નાના રદ સિદ્ધાંત નાના રદ કરવાની શરતોને સંતોષતા જૂથ પ્રસ્તુતિઓ દ્વારા આપવામાં આવેલા જૂથોનો અભ્યાસ કરે છે, જ્યાં સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવા એકબીજા સાથે "નાના ઓવરલેપ" હોય છે. નાની રદ કરવાની શરતો જૂથના બીજગણિત, ભૌમિતિક અને અલ્ગોરિધમિક ગુણધર્મોને સૂચવે છે. મર્યાદિત રીતે રજૂ કરાયેલા જૂથો પૂરતા પ્રમાણમાં મજબૂત નાની રદ કરવાની શરતોને સંતોષે છે તે શબ્દ હાયપરબોલિક છે અને ડેહ્નના અલ્ગોરિધમ દ્વારા હલ કરી શકાય તેવી શબ્દ સમસ્યા ધરાવે છે. ટાર્સકી રાક્ષસોના નિર્માણ માટે અને બર્નસાઇડની સમસ્યાના ઉકેલ માટે પણ નાની રદ કરવાની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંત અંતર્ગત કેટલાક વિચારો 1910 ના દાયકામાં મેક્સ ડેહનના કાર્યમાં પાછા જાય છે. ડેહને સાબિત કર્યું કે ઓછામાં ઓછી બે જીનસની બંધ દિશા નિર્ધારિત સપાટીઓના મૂળભૂત જૂથોમાં શબ્દની સમસ્યા છે જે હવે ડેહ્નના અલ્ગોરિધમ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. તેમના પુરાવાઓમાં હાયપરબોલિક પ્લેનમાં આવા જૂથનો કેલે ગ્રાફ દોરવાનો અને કેલે ગ્રાફમાં બંધ લૂપ માટે ગૌસ-બોનેટ પ્રમેય દ્વારા વળાંકના અંદાજો કરવાનો સમાવેશ થાય છે, જેથી નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે કે આવા લૂપમાં વ્યાખ્યાયિત સંબંધનો મોટો ભાગ (અડધાથી વધુ) હોવો આવશ્યક છે. તાર્તાકોવ્સ્કીનું 1949નું પેપર નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતનું તાત્કાલિક પુરોગામી હતુંઃ આ પેપર સંયુક્ત પરિસ્થિતિઓના જટિલ સમૂહને સંતોષતા જૂથોના વર્ગ માટે સમસ્યા શબ્દનો ઉકેલ પ્રદાન કરે છે, જ્યાં નાના રદ કરવાના પ્રકારની ધારણાઓએ મુખ્ય ભૂમિકા ભજવી હતી. નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતનું પ્રમાણભૂત સંસ્કરણ, જેનો આજે ઉપયોગ થાય છે, તે માર્ટિન ગ્રીનલિંગર દ્વારા 1960 ના દાયકાની શરૂઆતમાં કાગળોની શ્રેણીમાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે મુખ્યત્વે "મેટ્રિક" નાની રદ કરવાની શરતો સાથે વ્યવહાર કર્યો હતો. ખાસ કરીને, ગ્રીન્ડલિંગરે સાબિત કર્યું કે C′ (1/6) નાની રદ કરવાની સ્થિતિને સંતોષતા મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથોમાં ડેહ્નના અલ્ગોરિધમ દ્વારા હલ કરી શકાય તેવી શબ્દ સમસ્યા છે. લિન્ડન, શુપ અને લિન્ડન-શુપના અનુગામી કાર્યમાં આ સિદ્ધાંતને વધુ શુદ્ધ અને ઔપચારિક બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેમણે બિન-મેટ્રિક નાના રદ કરવાની પરિસ્થિતિઓના કેસની પણ સારવાર કરી હતી અને એકીકૃત મુક્ત ઉત્પાદનો અને એચ. એન. એન.-વિસ્તરણ માટે નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતનું સંસ્કરણ વિકસાવ્યું હતું. નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતને એલેક્ઝાન્ડર ઓલ્શાન્સ્કી દ્વારા વધુ સામાન્ય બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેમણે સિદ્ધાંતનું "શ્રેણીબદ્ધ" સંસ્કરણ વિકસાવ્યું હતું જ્યાં સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો સમૂહ ગાળણક્રિયાથી સજ્જ હોય છે અને જ્યાં કોઈ ચોક્કસ વર્ગના વ્યાખ્યાયિત રિલેટરને ઉચ્ચ વર્ગના વ્યાખ્યાયિત રિલેટર સાથે મોટા ઓવરલેપ કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવે છે. ઓલ્શાસ્કીએ વિવિધ "રાક્ષસ" જૂથોના નિર્માણ માટે શ્રેણીબદ્ધ નાના રદ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો, જેમાં ટાર્સ્કી રાક્ષસનો સમાવેશ થાય છે અને તે પણ એક નવો પુરાવો આપવા માટે કે મોટા વિચિત્ર ઘાતાંકના મુક્ત બર્નસાઇડ જૂથો અનંત છે (આ પરિણામ મૂળરૂપે એડિયન અને નોવિકોવ દ્વારા 1968માં વધુ સંયુક્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું). સ્મોલ કેન્સલેશન થિયરીએ શબ્દ-હાયપરબોલિક જૂથોના સિદ્ધાંત માટે ઉદાહરણો અને વિચારોનો મૂળભૂત સમૂહ પૂરો પાડ્યો હતો, જેને ગ્રોમોવ દ્વારા 1987ના મૂળભૂત મોનોગ્રાફ "હાયપરબોલિક જૂથો" માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. મુખ્ય વ્યાખ્યાઓ નીચેનું પ્રદર્શન મોટે ભાગે Ch ને અનુસરે છે. લિન્ડન અને શુપના પુસ્તકનો વી. ચાલો એક જૂથ પ્રસ્તુતિ બનીએ જ્યાં R′F (X) એ મુક્ત જૂથ F (X) માં મુક્તપણે ઘટાડેલા અને ચક્રીય રીતે ઘટાડેલા શબ્દોનો સમૂહ છે જેમ કે R સમપ્રમાણિત છે, એટલે કે, ચક્રીય ક્રમચયો અને વ્યુત્ક્રમો લેવા હેઠળ બંધ છે. F (X) માં બિન-તુચ્છ મુક્ત રીતે ઘટાડેલા શબ્દ u ને (઱્઱ં) ના સંદર્ભમાં એક ટુકડો કહેવામાં આવે છે જો R માં બે અલગ અલગ ઘટકો r1, r2 અસ્તિત્વમાં હોય જેમાં u મહત્તમ સામાન્ય પ્રારંભિક ભાગ તરીકે હોય. નોંધ લો કે જો જૂથ પ્રસ્તુતિ હોય જ્યાં રિલેટર S ને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો સમૂહ સમપ્રમાણિત ન હોય, તો આપણે હંમેશા S નું સમપ્રમાણિત બંધ R લઈ શકીએ છીએ, જ્યાં R એ S અને S−1 ના તત્વોના તમામ ચક્રીય ક્રમચયો ધરાવે છે. પછી R સમપ્રમાણિત થાય છે અને તે G. મેટ્રિકની નાની રદ કરવાની શરતોની રજૂઆત પણ છે. જો જ્યારે પણ u એ (઱્઱ં) ના સંદર્ભમાં એક ભાગ હોય અને u એ કોઈ r ωR નો ઉપશબ્દ હોય, તો ઉપરની પ્રસ્તુતિ (઱્઱ં) એ C′ (λ) નાની રદ કરવાની શરતને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે, તો પછી |u | <λ |r |. અહીં |v | એ શબ્દ v ની લંબાઈ છે. C′ (λ) શરતને કેટલીકવાર મેટ્રિક સ્મોલ કેન્સલેશન શરત કહેવામાં આવે છે. બિન-મેટ્રિક નાના રદ કરવાની શરતો p ≤ 3 ને પૂર્ણાંક માની લો. જો જ્યારે પણ r ωR હોય અને જ્યાં ui ટુકડાઓ હોય અને જ્યાં ઉપરનું ઉત્પાદન મુક્તપણે લખાયેલું હોય, તો m ωp. એટલે કે, કોઈ વ્યાખ્યાયિત રિલેટરને p ટુકડાઓ કરતાં ઓછા ઘટાડેલા ઉત્પાદન તરીકે લખી શકાતો નથી. ધારો કે q ≤ 3 એક પૂર્ણાંક છે. જો જ્યારે પણ 3 ≤ t <q અને r1,., rt એ R માં એવા હોય કે r1 ≤ r2 − 1,., rt ≤ r1 − 1 હોય, તો પછી ઓછામાં ઓછા એક ઉત્પાદન r1r2,., rt − 1rt, rt1 મુક્તપણે લેખિત તરીકે ઘટાડવામાં આવે, તો ઉપરની જેમ જૂથ પ્રસ્તુતિને T (q) નાની રદ કરવાની શરતને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક રીતે, શરત T (q) નો અનિવાર્ય અર્થ એ છે કે જો D એ (઱્઱ં) ઉપરનો ઘટાડો થયેલ વાન કેમ્પેન આકૃતિ છે, તો પછી ઓછામાં ઓછા ત્રણ ડિગ્રીના D ના દરેક આંતરિક શિરોબિંદુમાં ખરેખર ઓછામાં ઓછી ડિગ્રી q હોય છે. ઉદાહરણો ચાલો બે ક્રમના મુક્ત અબેલિયન જૂથની પ્રમાણભૂત રજૂઆત હોઈએ. પછી આ પ્રસ્તુતિના સમપ્રમાણિત સમાપન માટે માત્ર 1 લંબાઈના શબ્દો છે. આ સમપ્રમાણિત સ્વરૂપ C (4)-T (4) નાની રદ કરવાની શરતો અને કોઈપણ 1> λ> 1/4 માટે C′ (λ) શરતને સંતોષે છે. ધારો કે, જ્યાં k ≤ 2, જીનસ k ની બંધ લક્ષી સપાટીના મૂળભૂત જૂથની પ્રમાણભૂત રજૂઆત છે. પછી આ પ્રસ્તુતિના સમપ્રમાણતા માટે માત્ર ટુકડાઓ લંબાઈ 1 ના શબ્દો છે અને આ સમપ્રમાણતા C′ (1/7) અને C (8) નાની રદ કરવાની શરતોને સંતોષે છે. જવા દો. પછી, વ્યુત્ક્રમ સુધી, આ પ્રસ્તુતિના સમપ્રમાણિત સંસ્કરણ માટેના દરેક ભાગમાં, બાયબજ અથવા બાય સ્વરૂપ હોય છે, જ્યાં 0 ≤ i, j ≤ 100 હોય છે. આ સમપ્રમાણતા C′ (1/20) નાની રદ કરવાની સ્થિતિને સંતોષે છે. જો સમપ્રમાણિત પ્રસ્તુતિ C′ (1/m) શરતને સંતોષે છે તો તે C (m) શરતને પણ સંતોષે છે. ધારો કે r ωF (X) એક બિન-તુચ્છ ચક્રીય રીતે ઘટાડેલો શબ્દ છે જે F (X) માં યોગ્ય શક્તિ નથી અને n ω2 છે. પછી પ્રેઝન્ટેશનનું સમપ્રમાણિત બંધ C (2n) અને C′ (1/n) નાની રદ કરવાની શરતોને સંતોષે છે. નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત પરિણામો ગ્રીન્ડલિંગરનો સિદ્ધાંત મેટ્રિક નાના રદ કરવાની સ્થિતિ સંબંધિત મુખ્ય પરિણામ નીચેનું નિવેદન છે (Ch માં પ્રમેય 4.4 જુઓ. વી ઓફ) જેને સામાન્ય રીતે ગ્રીન્ડલિંગરનો લેમ્મા કહેવામાં આવે છેઃ ચાલો (઱્઱ં) ઉપરની જેમ જૂથ પ્રસ્તુતિ C′ (λ) નાની રદ કરવાની સ્થિતિને સંતોષે છે જ્યાં 0 ≤ λ ≤ 1/6. પછી ત્યાં ડબલ્યુ નો પેટા શબ્દ વી અને વ્યાખ્યાયિત રીલેટર આર છે જેમ કે વી પણ આર નો પેટા શબ્દ છે અને નોંધ લો કે ધારણા λ ≤ 1/6 સૂચવે છે કે (1 − 3λ) ≤ 1/2, જેથી ડબલ્યુ કેટલાક વ્યાખ્યાયિત રીલેટરના અડધાથી વધુ પેટા શબ્દ ધરાવે છે. ગ્રીન્ડલિંગરનો લેમ્મા નીચેના ભૌમિતિક વિધાનના ઉપસંહાર તરીકે મેળવવામાં આવે છેઃ ગ્રીન્ડલિંગરના લેમ્માની ધારણાઓ હેઠળ, ચાલો D એ ચક્રાકાર રીતે ઘટાડેલા સીમા લેબલ સાથે (઱્઱ં) પર ઘટાડેલી વાન કેમ્પેન આકૃતિ હોય, જેમ કે D ઓછામાં ઓછા બે પ્રદેશો ધરાવે છે. પછી D માં બે અલગ અલગ પ્રદેશો D1 અને D2 અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે j = 1,2 માટે પ્રદેશ Dj એ D ની સીમા ચક્ર ષ્ણુદને એક સરળ ચાપમાં છેદે છે જેની લંબાઈ (1 − 3λ) | ષ્ણદ | કરતા મોટી છે. આ પરિણામ બદલામાં ડી માટે બેવડા આકૃતિને ધ્યાનમાં લઈને સાબિત થાય છે. ત્યાં એક વળાંકની સંયુક્ત કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જે, નાની રદ કરવાની ધારણાઓ દ્વારા, દરેક આંતરિક શિરોબિંદુ પર નકારાત્મક હોય છે), અને પછી એક ગૌસ-બોનેટ પ્રમેયની સંયુક્ત આવૃત્તિ મેળવે છે. ગ્રીન્ડલિંગરનો લેમ્મા આ વિશ્લેષણના પરિણામે સાબિત થાય છે અને આ રીતે સાબિતી સપાટી જૂથોના કેસ માટે ડેહ્નના મૂળ સાબિતીના વિચારોને ઉજાગર કરે છે. કોઈ પણ સમપ્રમાણિત જૂથ પ્રસ્તુતિ માટે, નીચેની અમૂર્ત પ્રક્રિયાને ડેહ્નનું અલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવે છેઃ X ±1 પર મુક્તપણે ઘટાડેલા શબ્દને જોતાં, મુક્ત રીતે ઘટાડેલા શબ્દો w = w0, w1, w2 નો ક્રમ નીચે પ્રમાણે બનાવો. ધારો કે ડબલ્યુજે પહેલેથી જ બાંધવામાં આવ્યું છે. જો તે ખાલી શબ્દ હોય, તો અલ્ગોરિધમનો અંત લાવો. નહિંતર તપાસો કે શું ડબલ્યુજેમાં એવો ઉપશબ્દ v છે કે જે v એ કેટલાક વ્યાખ્યાયિત રીલેટર r = vu ωR નો ઉપશબ્દ પણ છે જેમ કે |v |> |r |// 2. જો ના હોય, તો આઉટપુટ ડબલ્યુજે સાથે અલ્ગોરિધમનો અંત લાવો. જો હા, તો v ને wj માં u − 1 દ્વારા બદલો, પછી મુક્તપણે ઘટાડો કરો, પરિણામી મુક્ત રીતે ઘટાડેલા શબ્દને wj + 1 દ્વારા દર્શાવો અને અલ્ગોરિધમનોના આગલા પગલા પર જાઓ. નોંધ લો કે આપણી પાસે હંમેશા |w 0 |> |w1 |> |w 2 |> હોય છે. જે સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા મહત્તમ |w | પગલાંઓમાં સમાપ્ત થવી જોઈએ. વધુમાં, બધા શબ્દો Wj એ G ના સમાન તત્વને રજૂ કરે છે જેમ કે W કરે છે અને તેથી જો પ્રક્રિયા ખાલી શબ્દ સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો W એ G ના ઓળખ તત્વને રજૂ કરે છે. એક કહે છે કે સમપ્રમાણિત પ્રસ્તુતિ માટે (઱્઱ં) ડેહનનું અલ્ગોરિધમ G માં શબ્દ સમસ્યાનું સમાધાન કરે છે જો વિપરીત પણ સાચું હોય, એટલે કે જો F (X) માં કોઈપણ મુક્ત રીતે ઘટાડેલા શબ્દ W માટે આ શબ્દ G ના ઓળખ તત્વને રજૂ કરે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો ડેહનનું અલ્ગોરિધમ, W થી શરૂ થાય છે, ખાલી શબ્દમાં સમાપ્ત થાય છે. ગ્રીન્ડલિંગરનો લેમ્મા સૂચવે છે કે C′ (1/6) પ્રસ્તુતિ માટે ડેહનનું અલ્ગોરિધમ શબ્દ સમસ્યાનું સમાધાન કરે છે. જો C′ (1/6) પ્રસ્તુતિ મર્યાદિત હોય (એટલે કે X અને R બંને મર્યાદિત હોય), તો પુનરાવર્તન સિદ્ધાંતના અર્થમાં ડેહ્નનું અલ્ગોરિધમ એક વાસ્તવિક બિન-નિર્ધારિત અલ્ગોરિધમ છે. જો કે, જો (≤) એક અનંત C′ (1/6) પ્રસ્તુતિ હોય, તો પણ ડેહનનું અલ્ગોરિધમ, એક અમૂર્ત પ્રક્રિયા તરીકે સમજવામાં આવે છે, તે હજુ પણ યોગ્ય રીતે નક્કી કરે છે કે જનરેટર X±1 માંનો કોઈ શબ્દ G ના ઓળખ તત્વને રજૂ કરે છે કે નહીં. R ના લઘુતમ સબસેટ S ને ધ્યાનમાં લો કે જેથી S ની સમપ્રમાણિત બંધ R ની બરાબર હોય. આમ જો r અને s એ S ના અલગ તત્વો હોય તો r એ s ± 1 નું ચક્રીય ક્રમચય નથી અને G માટે અન્ય પ્રસ્તુતિ છે. ચાલો Y આ પ્રસ્તુતિ માટે પ્રસ્તુતિ સંકુલ છે. પછી (જુઓ અને પ્રમેય 13.3 ઇંચ), ઉપરની ધારણાઓ હેઠળ, Y એ G માટે વર્ગીકરણ જગ્યા છે, એટલે કે G = π1 (Y) અને Y નું સાર્વત્રિક આવરણ સંકોચાય તેવું છે. ખાસ કરીને, આ સૂચવે છે કે G વળાંક-મુક્ત છે અને તેનું કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ બે છે. વધુ સામાન્ય વળાંક વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ વેન કેમ્પેન આકૃતિ પર વિવિધ પ્રકારના સ્થાનિક "વળાંક" ને વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે-ખૂબ જ અંદાજિત રીતે-સરેરાશ વધારાની (જે, યુલરના સૂત્ર દ્વારા, કુલ 2 હોવી જોઈએ) અને, ચોક્કસ જૂથમાં, આંતરિક રીતે હંમેશા બિન-સકારાત્મક (અથવા-વધુ સારી રીતે-નકારાત્મક) હોય છે તે દર્શાવીને, દર્શાવે છે કે વળાંક બધા સીમા પર અથવા તેની નજીક હોવો જોઈએ અને આમ સમસ્યા શબ્દનો ઉકેલ મેળવવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. વધુમાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ એવા આકૃતિઓ પર ધ્યાન મર્યાદિત કરી શકે છે જેમાં કોઈ પણ "પ્રદેશો" નો સમૂહ ન હોય જેમ કે સમાન સીમા સાથે "નાનો" પ્રદેશ હોય. નાના રદ જૂથોના અન્ય મૂળભૂત ગુણધર્મો ચાલો (઱્઱ં) એ C′ (1/6) પ્રસ્તુતિ છે. પછી G માં તત્વ g નો ક્રમ n> 1 હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો F (X) માં r = sn સ્વરૂપનો R માં રિલેટર r હોય જેમ કે g એ G માં s સાથે સંયોજિત હોય. ખાસ કરીને, જો R ના તમામ ઘટકો F (X) માં યોગ્ય ઘાત ન હોય તો G વળાંક મુક્ત છે. જો (઱્઱ં) મર્યાદિત C′ (1/6) પ્રસ્તુતિ હોય, તો G જૂથ શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ છે. જો R અને S એ F (X) માં સમાન સામાન્ય બંધ સાથે F (X) ના મર્યાદિત સમપ્રમાણતાવાળા ઉપગણ હોય, જેમ કે બંને પ્રસ્તુતિઓ અને C′ (1/6) શરતને સંતોષે છે, તો R = S. જો મર્યાદિત પ્રસ્તુતિ C′ (1/6), C′ (1/4)-T (4), C (6), C (4)-T (4), C (3)-T (6) માંથી એકને સંતોષે છે, તો G જૂથમાં ઉકેલવા યોગ્ય શબ્દ સમસ્યા અને ઉકેલવા યોગ્ય સંયોગ સમસ્યા છે. મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત C′ (1/6) નાના રદ જૂથો શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથોના મૂળભૂત ઉદાહરણો છે. શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથોની સમકક્ષ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક તે છે જે મર્યાદિત પ્રસ્તુતિઓને સ્વીકારે છે જ્યાં ડેહનનું અલ્ગોરિધમ શબ્દ સમસ્યાનું સમાધાન કરે છે. મર્યાદિત સી (4)-ટી (4) પ્રસ્તુતિઓ દ્વારા આપવામાં આવેલા મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથો જ્યાં દરેક ભાગની લંબાઈ એક હોય તે કે. એ. ટી. (0) જૂથોના મૂળભૂત ઉદાહરણો છેઃ આવી પ્રસ્તુતિ માટે પ્રસ્તુતિ સંકુલનું સાર્વત્રિક આવરણ કે. એ. ટી. (0) ચોરસ સંકુલ છે. નાના રદ સિદ્ધાંતની પ્રારંભિક એપ્લિકેશનોમાં વિવિધ એમ્બેડેબિલિટી પરિણામો મેળવવાનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણોમાં સેસરડોટ અને શુપના 1974 ના પેપરનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં પુરાવા છે કે ઓછામાં ઓછા ત્રણ જનરેટર સાથેનું દરેક એક-રિલેટર જૂથ એસક્યુ-યુનિવર્સલ છે અને શુપના 1976 ના પેપરમાં પુરાવા છે કે દરેક ગણતરીપાત્ર જૂથને ક્રમ બે અને ક્રમ ત્રણના તત્વ દ્વારા પેદા થયેલા સરળ જૂથમાં એમ્બેડ કરી શકાય છે. કહેવાતા રીપ્સ બાંધકામ, એલિયાહુ રીપ્સને કારણે, શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથોના વિવિધ પેટાજૂથ ગુણધર્મો સંબંધિત પ્રતિ-ઉદાહરણોનો સમૃદ્ધ સ્રોત પૂરો પાડે છેઃ મનસ્વી રીતે મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ Q ને જોતાં, બાંધકામ ટૂંકા ચોક્કસ ક્રમ ઉત્પન્ન કરે છે જ્યાં K બે-ઉત્પન્ન થાય છે અને જ્યાં G વળાંક-મુક્ત હોય છે અને મર્યાદિત C′ (1/6)-પ્રસ્તુતિ દ્વારા આપવામાં આવે છે (અને આમ G શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ છે). આ બાંધકામ શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથો માટે ઘણી અલ્ગોરિધમિક સમસ્યાઓના ઉકેલ ન આવવાના પુરાવા આપે છે, જેમાં પેટાજૂથ સભ્યપદની સમસ્યા, પેઢીની સમસ્યા અને ક્રમની સમસ્યા સામેલ છે. ઉપરાંત, કેટલાક અપવાદો સાથે, રીપ્સના નિર્માણમાં જૂથ K મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવું નથી. આ સૂચવે છે કે એવા શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથો અસ્તિત્વમાં છે જે સુસંગત નથી એટલે કે જેમાં એવા પેટા જૂથો હોય છે જે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે પરંતુ મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત કરી શકાતા નથી. નાના રદ કરવાની પદ્ધતિઓ (અનંત પ્રસ્તુતિઓ માટે) નો ઉપયોગ ઓલ્શાન્સ્કી દ્વારા વિવિધ "રાક્ષસ" જૂથો બનાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાં ટાર્સ્કી રાક્ષસનો સમાવેશ થાય છે અને તે પણ સાબિતી આપવા માટે કે મોટા વિચિત્ર ઘાતાંકના મુક્ત બર્નસાઇડ જૂથો અનંત છે (સમાન પરિણામ મૂળરૂપે એડિયન અને નોવિકોવ દ્વારા 1968 માં વધુ સંયુક્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું). આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઓલ્શાન્સ્કી દ્વારા બનાવવામાં આવેલા કેટલાક અન્ય "રાક્ષસ" જૂથોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ એક અનંત સરળ નોથેરિયન જૂથ; એક અનંત જૂથ જેમાં દરેક યોગ્ય પેટાજૂથ મુખ્ય ક્રમ ધરાવે છે અને સમાન ક્રમના કોઈપણ બે પેટાજૂથ સંયુગ્મિત હોય છે; એક બિન-સક્ષમ જૂથ જ્યાં દરેક યોગ્ય પેટાજૂથ ચક્રીય હોય છે; અને અન્ય. બે-જનરેટર જૂથોના સતત ઘણા અર્ધ-સમમિતિ પ્રકારો અસ્તિત્વમાં છે તે સાબિત કરવા માટે બૌડિચે અનંત નાના રદ પ્રસ્તુતિઓનો ઉપયોગ કર્યો હતો. થોમસ અને વેલિકોવિચે બે બિન-હોમોમોર્ફિક એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ સાથે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ જૂથ બનાવવા માટે નાના રદ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો, આમ ગ્રોમોવના પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો. મેકકેમોન્ડ અને વાઈસએ બતાવ્યું કે રીપ્સ બાંધકામ દ્વારા ઉભી થતી મુશ્કેલીઓને કેવી રીતે દૂર કરવી અને નાના રદ જૂથોના મોટા વર્ગો કેવી રીતે પેદા કરવા જે સુસંગત છે (એટલે કે જ્યાં તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા પેટાજૂથોને મર્યાદિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે) અને વધુમાં, સ્થાનિક રીતે ક્વાસીકોનવેક્સ (એટલે કે જ્યાં તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા પેટાજૂથો ક્વાસીકોનવેક્સ છે). "સામાન્ય" અથવા "રેન્ડમ" મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથોના વિવિધ નમૂનાઓના અભ્યાસમાં નાની રદ કરવાની પદ્ધતિઓ મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે (જુઓ). ખાસ કરીને, જનરેટરની નિશ્ચિત સંખ્યા m ≤ 2 અને સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની નિશ્ચિત સંખ્યા t ≤ 1 માટે અને કોઈપણ λ <1 માટે રેન્ડમ m-જનરેટર t-રિલેટર જૂથ C′ (λ) નાની રદ કરવાની સ્થિતિને સંતોષે છે. જો સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની સંખ્યા નિશ્ચિત ન હોય પરંતુ (2m−1) εn તરીકે વધે (જ્યાં ε "રેન્ડમ" જૂથોના ગ્રોમોવના ઘનતા મોડેલમાં નિશ્ચિત ઘનતા પરિમાણ છે, અને વ્યાખ્યાયિત સંબંધોની લંબાઈ ક્યાં છે), તો ε-રેન્ડમ જૂથ ε <1/12 પૂરી પાડવામાં આવેલ C′ (1/6) શરતને સંતોષે છે. ગ્રોમોવે ગ્રાફના સંદર્ભમાં નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતના સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે ઉપયોગ કર્યો હતો જેમાં વિસ્તરણકર્તાઓનો અનંત ક્રમ (યોગ્ય અર્થમાં) "સમાવે છે" અને તેથી હિલ્બર્ટ અવકાશમાં સમાન એમ્બેડિંગને સ્વીકારતું નથી. આ પરિણામ નોવિકોવ અનુમાનના પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો શોધવા માટે દિશા (અત્યાર સુધી ઉપલબ્ધ એકમાત્ર) પ્રદાન કરે છે. ઓસિને પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક જૂથો માટે થર્સ્ટનના હાયપરબોલિક ડેહ્ન સર્જરી થીયરમનું એનાલોગ મેળવવા માટે નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કર્યો હતો. સામાન્યીકરણ એકીકૃત મુક્ત ઉત્પાદનો અને એચ. એન. એન. વિસ્તરણના ભાગાકાર જૂથો માટે નાના રદ સિદ્ધાંતનું સંસ્કરણ સેસરડોટ અને શુપના પેપરમાં અને પછી લિન્ડન અને શુપના પુસ્તકમાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. રિપ્સ અને ઓલ્શાન્સ્કીએ સ્મોલ કેન્સલેશન થિયરીનું "સ્તરીકૃત" સંસ્કરણ વિકસાવ્યું હતું જેમાં રિલેટર્સના સમૂહને સ્તરોના ચડતા જોડાણ તરીકે ફિલ્ટર કરવામાં આવે છે (દરેક સ્તર નાના રદ કરવાની સ્થિતિને સંતોષે છે) અને કેટલાક સ્તરમાંથી રિલેટર r અને ઉચ્ચ સ્તરમાંથી રિલેટર s માટે તેમનું ઓવરલેપ |s | ના સંદર્ભમાં નાનું હોવું જરૂરી છે પરંતુ |r | ના સંદર્ભમાં મોટા હોવાની મંજૂરી છે. આ સિદ્ધાંતે ઓલ્શાન્સ્કીને ટાર્સ્કી રાક્ષસ સહિત વિવિધ "રાક્ષસ" જૂથોનું નિર્માણ કરવાની અને મોટા વિચિત્ર ઘાતાંકના મુક્ત બર્નસાઇડ જૂથો અનંત છે તેનો નવો પુરાવો આપવાની મંજૂરી આપી હતી. ઓલ્શાન્સ્કી અને ડેલ્ઝન્ટે પાછળથી શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથોના અવતરણો માટે નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતની આવૃત્તિઓ વિકસાવી. મેકકેમોન્ડે નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતનું ઉચ્ચ-પરિમાણીય સંસ્કરણ પ્રદાન કર્યું. મેકકેમોન્ડ અને વાઈસએ નાના રદબાતલ પ્રસ્તુતિઓ પર વેન કેમ્પેન આકૃતિઓની ભૂમિતિ સંબંધિત પ્રમાણભૂત નાના રદબાતલ સિદ્ધાંત (જેમ કે ગ્રીન્ડલિંગરના લેમ્મા) ના મૂળભૂત પરિણામોને નોંધપાત્ર રીતે આગળ ધપાવ્યા. ગ્રોમોવે ગ્રાફના સંદર્ભમાં નાના રદ કરવાના સિદ્ધાંતના સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે ઉપયોગ કર્યો હતો જેમાં વિસ્તરણકર્તાઓનો અનંત ક્રમ (યોગ્ય અર્થમાં) "સમાવે છે" અને તેથી હિલ્બર્ટ અવકાશમાં સમાન એમ્બેડિંગને સ્વીકારતું નથી. ઓસિને પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક જૂથોના ક્વોટિયન્સ માટે નાના રદ સિદ્ધાંતનું સંસ્કરણ આપ્યું હતું અને તેનો ઉપયોગ થર્સ્ટનના હાયપરબોલિક ડેહ્ન સર્જરી થીયરમનું પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક સામાન્યીકરણ મેળવવા માટે કર્યો હતો. મૂળભૂત સંદર્ભો રોજર લિન્ડન અને પોલ શુપ, સંયુક્ત જૂથ સિદ્ધાંત. 1977ની આવૃત્તિનું પુનઃમુદ્રણ. ગણિતમાં ક્લાસિક્સ. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન, 2001. એલેક્ઝાન્ડર યુ. ઓલ્શાન્સ્કી, જૂથોમાં સંબંધોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ભૂમિતિ. યુ દ્વારા 1989ના મૂળ રશિયનમાંથી અનુવાદિત. એ. બખ્તુરિન. ગણિત અને તેના ઉપયોગો (સોવિયેત શ્રેણી), 70. ક્લુવર એકેડેમિક પબ્લિશર્સ ગ્રૂપ, ડોર્ડ્રેક્ટ, 1991. રાલ્ફ સ્ટ્રેબેલ, પરિશિષ્ટ. નાના રદ જૂથો. સુર લેસ ગ્રૂપ્સ હાયપરબોલીક ડી 'એપ્રિસ મિખેલ ગ્રોમોવ (બર્ન, 1988), પીપી. 227-273, ગણિતમાં પ્રગતિ, 83, બિર્ખૌસર બોસ્ટન, બોસ્ટન, મેસેચ્યુસેટ્સ, 1990. મિલે ક્રાજેવ્સ્કી, ટિલિંગ્સ ઓફ ધ પ્લેન, હાયપરબોલિક જૂથો અને નાની રદ કરવાની શરતો. મેમોરિઝ ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી, વોલ્યુમ. 154 (2001), નં. 733. આ પણ જુઓ ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત શબ્દ-અતિસંવેદનશીલ જૂથ ટાર્સ્કી રાક્ષસ જૂથ બર્નસાઇડ સમસ્યા મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત જૂથ શબ્દોની સમસ્યાઓ જૂથો માટે વેન કેમ્પેન આકૃતિ નોંધો જૂથ સિદ્ધાંત ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત શબ્દો પર સંયોજન