Population balance equation
આધુનિક વિજ્ઞાનની ઘણી શાખાઓમાં વસ્તી સંતુલન સમીકરણો (પી. બી. ઈ.) રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, મુખ્યત્વે રાસાયણિક ઇજનેરીમાં, કણોની વસ્તીના ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરવા માટે. આમાં સ્ફટિકીકરણ, લીચિંગ (ધાતુશાસ્ત્ર), પ્રવાહી-પ્રવાહી નિષ્કર્ષણ, જળ વિદ્યુત વિચ્છેદન, પ્રવાહી-પ્રવાહી પ્રતિક્રિયાઓ, સંચાર, એરોસોલ ઇજનેરી, જીવવિજ્ઞાન (જ્યાં અલગ ઘટકો તેમના કદ અથવા અંતઃકોશિકીય પ્રોટીનના આધારે કોષો હોય છે), પોલિમરાઇઝેશન વગેરે જેવા વિષયો સામેલ છે. વસ્તી સંતુલન સમીકરણોને સ્મોલુકોવ્સ્કી કોગ્યુલેશન સમીકરણના વિસ્તરણ તરીકે મેળવી શકાય છે જે માત્ર કણોના સંયોજનનું વર્ણન કરે છે. પી. બી. ઈ., વધુ સામાન્ય રીતે, વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે સમય જતાં ચોક્કસ ગુણધર્મોમાં અલગ એકમોની વસ્તી કેવી રીતે વિકસે છે. તેઓ સંકલિત-આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો સમૂહ છે જે સ્થાનિક પરિસ્થિતિઓમાં એક કણના વર્તનના વિશ્લેષણમાંથી કણોની વસ્તીનું સરેરાશ-ક્ષેત્ર વર્તન આપે છે. કણ પ્રણાલીઓ કણોના જન્મ અને મૃત્યુ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, વરસાદની પ્રક્રિયા (પ્રવાહી દ્રાવણમાંથી ઘનની રચના) ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં ઉપપ્રક્રિયાઓ ન્યુક્લિએશન, એકત્રીકરણ, ભંગાણ વગેરે હોય છે, જે ચોક્કસ ત્રિજ્યાના કણોની સંખ્યામાં વધારો અથવા ઘટાડો કરે છે (ગોળાકાર કણોની રચના ધારે છે). વસ્તી સંતુલન એ કોઈ ચોક્કસ રાજ્યના કણોની સંખ્યા (આ ઉદાહરણમાં, કદ) પરનું સંતુલન સિવાય બીજું કંઈ નથી. પી. બી. ઈ. ની રચના કણોની સ્થિતિ વેક્ટર (x, r) દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા કણોના ગુણધર્મો ધરાવતા કણોની સરેરાશ સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો (જ્યાં x કણોના કદ, ઘનતા વગેરે જેવા કણોના ગુણધર્મોને અનુરૂપ હોય છે. આંતરિક કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે પણ ઓળખાય છે અને, r અવકાશી સ્થિતિ અથવા બાહ્ય કોઓર્ડિનેટ્સને અનુરૂપ છે) જે ફેઝ વેક્ટર Y (r, t) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સતત તબક્કામાં વિખેરાય છે (જે ફરીથી આવા તમામ વેક્ટરનું કાર્ય છે જે વિવિધ સ્થળોએ ફેઝના ગુણધર્મોને સૂચવે છે) તેને f (x, r, t) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેથી તે ગુણધર્મ અને અવકાશ ક્ષેત્રોમાં કણ લાક્ષણિકતાઓ આપે છે. ધારો કે h (x, r, Y, t) કણ સ્થિતિ જગ્યાના એકમ કદ દીઠ કણોના જન્મ દરને સૂચવે છે, તેથી સંખ્યા સંરક્ષણને આ રીતે લખી શકાય છે. આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે મુખ્યત્વે પી. બી. ઈ. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓનો ઉકેલ, વિવેચનાત્મક પદ્ધતિઓ અને ક્ષણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. પસંદગી એપ્લિકેશન અને કમ્પ્યુટિંગ ઇન્ફ્રાસ્ટ્રક્ચર પર આધારિત છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણો ગાણિતિક અને સૈદ્ધાંતિક જીવવિજ્ઞાન