Lonely runner conjecture
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, ખાસ કરીને ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજના અભ્યાસમાં, એકલા દોડવીરનું અનુમાન એ ગોળાકાર માર્ગ પર દોડવીરોની લાંબા ગાળાની વર્તણૂક વિશેનું અનુમાન છે. તે જણાવે છે કે એકમ લંબાઈના ટ્રેક પર દોડવીરો, સતત ગતિ સાથે એકબીજાથી અલગ હોય છે, દરેક સમયે એકલા હશે-ઓછામાં ઓછા એકમો અન્ય બધાથી દૂર હશે. આ અનુમાન સૌપ્રથમ 1967 માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જોર્ગ એમ. વિલ્સ દ્વારા શુદ્ધ સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિએ અને સ્વતંત્ર રીતે 1974 માં ટી. ડબલ્યુ. કુસિક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું; તેની દૃષ્ટાંતરૂપ અને હવે લોકપ્રિય રચના 1998 ની છે. આ અનુમાન 7 કે તેથી ઓછા દોડવીરો માટે સાચું હોવાનું જાણીતું છે, પરંતુ સામાન્ય કેસ ઉકેલાયો નથી. અનુમાનની અસરોમાં દૃશ્ય-અવરોધ સમસ્યાઓના ઉકેલો અને ચોક્કસ આલેખના રંગીન સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત ગુણધર્મો પરની સીમાઓનો સમાવેશ થાય છે. ફોર્મ્યુલેશન એકમ લંબાઈના ગોળાકાર ટ્રેક પર દોડવીરોને ધ્યાનમાં લો. પ્રારંભિક સમયે, બધા દોડવીરો એક જ સ્થાને હોય છે અને દોડવા લાગે છે; દોડવીરોની ઝડપ સ્થિર હોય છે, બધી અલગ હોય છે અને નકારાત્મક હોઈ શકે છે. દોડવીરને તે સમયે એકલા કહેવામાં આવે છે જો તે ઓછામાં ઓછા દરેક અન્ય દોડવીરથી અંતર (વર્તુળ સાથે માપવામાં આવે છે) પર હોય. એકલા દોડવીરનો અંદાજ જણાવે છે કે દરેક દોડવીર કોઈક સમયે એકલા હોય છે, ભલે ગમે તે ઝડપની પસંદગી હોય. અનુમાનની આ દ્રશ્ય રચના સૌપ્રથમ 1998માં પ્રકાશિત થઈ હતી. ઘણા ફોર્મ્યુલેશનમાં, જોર્ગ એમ. વિલ્સ દ્વારા મૂળ સહિત, કેટલાક સરળીકરણ કરવામાં આવે છે. એકલા દોડવીર 0 (શૂન્ય ગતિ સાથે) પર સ્થિર હોય છે, અને તેથી બિન-શૂન્ય ગતિ ધરાવતા અન્ય દોડવીરોને ગણવામાં આવે છે. ફરતા દોડવીરો માત્ર હકારાત્મક ગતિ સુધી મર્યાદિત હોઈ શકે છેઃ સમપ્રમાણતા દ્વારા, ઝડપ ધરાવતા દોડવીરો અને દરેક સમયે 0 થી સમાન અંતર ધરાવતા હોય છે, અને તેથી તે અનિવાર્યપણે સમકક્ષ હોય છે. કોઈપણ સ્થિર દોડવીર માટે પરિણામ સાબિત કરવું એ તમામ દોડવીરો માટે સામાન્ય પરિણામ સૂચવે છે, કારણ કે તેમને શૂન્ય ગતિ સાથે છોડીને, તમામ દોડવીરોમાંથી તેમની ગતિને બાદ કરીને સ્થિર બનાવી શકાય છે. અનુમાન પછી જણાવે છે કે, હકારાત્મક, વિશિષ્ટ ગતિના કોઈપણ સંગ્રહ માટે, અમુક સમય એવો અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જ્યાં તેનો અપૂર્ણાંક ભાગ સૂચવે છે. દૃષ્ટિની રીતે અર્થઘટન કરવામાં આવે તો, જો દોડવીરો ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડે છે, તો અસમાનતાની મધ્યમ મુદત એ સમયે મૂળથી છઠ્ઠા દોડવીર વચ્ચેનું અંતર છે, જે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે. આ પરંપરાનો ઉપયોગ આ લેખના બાકીના ભાગ માટે થાય છે. વિલ્સનું અનુમાન ડાયોફેન્ટાઇન અંદાજમાં તેમના કાર્યનો એક ભાગ હતો, અપૂર્ણાંકો કેટલી નજીકથી અતાર્કિક સંખ્યાઓનો અંદાજ લગાવી શકે છે તેનો અભ્યાસ. અસરો ધારો કે તે-પરિમાણીય જગ્યા () માં બાજુની લંબાઈનો-હાયપરક્યુબ છે. દરેક બિંદુ પર અર્ધ-પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સની કેન્દ્રિત નકલ મૂકો. મૂળમાંથી એક કિરણ ક્યાં તો તેની તમામ નકલો ચૂકી શકે છે, આ કિસ્સામાં એક (અનંત) અંતર હોય છે, અથવા ઓછામાં ઓછી એક નકલ હિટ કરી શકે છે. આ સંદર્ભમાં એકલા દોડવીરના અનુમાનની સ્વતંત્ર રચના કરવામાં આવી; અનુમાન સૂચવે છે કે જો અને માત્ર ત્યારે જ અંતરાય હોય, જો કોઈ એક સંકલન હાયપરપ્લેનમાં પડેલા કિરણોની અવગણના કરવામાં આવે. ઉદાહરણ તરીકે, 2-પરિમાણીય જગ્યામાં મૂકવામાં આવે છે, બાજુની લંબાઈ કરતા નાના ચોરસ, બતાવ્યા પ્રમાણે અંતર છોડશે, અને બાજુની લંબાઈ અથવા તેનાથી મોટા ચોરસ દરેક કિરણોને અવરોધે છે જે અક્ષની સમાંતર નથી. આ અનુમાન આ અવલોકનને કોઈપણ સંખ્યામાં પરિમાણોમાં સામાન્ય બનાવે છે. આલેખ સિદ્ધાંતમાં, પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર અંતર આલેખ, અને હકારાત્મક પૂર્ણાંક અંતરના કેટલાક મર્યાદિત સમૂહનો ઉપયોગ કરીને, જો અને માત્ર જો વચ્ચેની ધાર ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સમ પૂર્ણાંકો અને વિષમ પૂર્ણાંકોની દરેક ક્રમિક જોડી અડીને હોય, તો બધા મળીને બે જોડાયેલા ઘટકો બનાવે છે. પગલું સાથે પૂર્ણાંકોનો એ-નિયમિત રંગ દરેક પૂર્ણાંકને મોડ્યુલોના અવશેષોના આધારે એક રંગ સોંપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો રંગ દરેક પૂર્ણાંકોનું પુનરાવર્તન કરે અને પૂર્ણાંકોની દરેક જોડી સમાન રંગની હોય. જો એમ હોય તો, એકલું દોડવીર અનુમાન સૂચવે છે કે અમુક પગલા મૂલ્ય માટે યોગ્ય-નિયમિત રંગ (એટલે કે, દરેક નોડ તેની નિકટતા કરતાં અલગ રંગીન હોય છે) સ્વીકારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વારા પેદા થયેલ અંતર આલેખ પર યોગ્ય રંગ પેદા કરે છે. (તે નિયમિત રંગીન સંખ્યા તરીકે ઓળખાય છે.) નિર્દેશિત આલેખને જોતાં, સહયોગીઓ પર ક્યાંય-શૂન્ય પ્રવાહ દરેક ધાર પર હકારાત્મક મૂલ્ય ધરાવે છે, જેમ કે દરેક નોડમાંથી બહારની તરફનો પ્રવાહ અંદરની તરફના પ્રવાહ જેટલો હોય છે. લોનલી રનર અનુમાન સૂચવે છે કે, જો સૌથી અલગ પૂર્ણાંક મૂલ્યો સાથે ક્યાંય-શૂન્ય પ્રવાહ હોય, તો પછી માત્ર મૂલ્યો સાથે ક્યાંય-શૂન્ય પ્રવાહ હોય છે (સંભવતઃ કેટલાક ચાપની દિશાઓને ઉલટાવ્યા પછી). આ પરિણામ અલગ પદ્ધતિઓ દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને કારણ કે એકલા દોડવીર અનુમાનના નાના કિસ્સાઓ ઉકેલાઈ ગયા છે, તેથી સંપૂર્ણ પ્રમેય સાબિત થાય છે. જાણીતા પરિણામો દોડવીરોની આપેલ ગોઠવણી માટે, ચાલો દોડવીરોના એકલતાના મહત્તમ અંતરમાંથી સૌથી નાનું સૂચવીએ, અને એકલતાનું અંતર દોડવીરો સાથેના તમામ ગોઠવણીમાં લઘુત્તમ સૂચવે છે. આ સંકેતલિપીમાં, અનુમાન ભારપૂર્વક જણાવે છે કે, એક બંધન જે, જો સાચું હોય, તો તેમાં સુધારો કરી શકાતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો એકલા રહેવાનો દોડવીર સ્થિર હોય અને ઝડપ પસંદ કરવામાં આવે, તો એવો કોઈ સમય નથી કે જેના પર તેઓ અન્ય બધાથી એકમોથી વધુ દૂર હોય, જે દર્શાવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, આ નિષ્કર્ષ ઝડપથી ડિરીક્લેટ અંદાજ પ્રમેયમાંથી મેળવી શકાય છે. સરળ લોઅર બાઉન્ડ માટે સંભાવના દલીલ દ્વારા મેળવી શકાય છે. દોડવીરોની ઝડપને હકારાત્મક પૂર્ણાંકો સુધી મર્યાદિત કરવા માટે અનુમાન ઘટાડી શકાય છેઃ જો પૂર્ણાંક ઝડપ ધરાવતા દોડવીરો માટે અનુમાન સાચું છે, તો તે વાસ્તવિક ઝડપ ધરાવતા દોડવીરો માટે સાચું છે. સખત સીમાઓ નીચલા સીમા પર હળવા સુધારાઓ જાણીતા છે. તેના માટે દર્શાવ્યું કે જો અવિભાજ્ય છે, તો, અને જો અવિભાજ્ય છે, તો. પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે બિનશરતી દર્શાવ્યું જે વર્તમાનમાં સૌથી વધુ જાણીતું એસિમ્પ્ટોટિક પરિણામ સાબિત કરે છેઃ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે, કેટલાક અચળાંક માટે. તેમણે એ પણ દર્શાવ્યું કે સંપૂર્ણ અનુમાન કદની પૂર્ણાંક ઝડપ માટેના અનુમાનને સાબિત કરીને ગર્ભિત છે (મોટા ઓ નોટેશન જુઓ). આ સૂચિતાર્થ સૈદ્ધાંતિક રીતે કેસોના મર્યાદિત સમૂહને ચકાસીને આપેલા અનુમાનને સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ કેસોની સંખ્યા વ્યવહારુ હોવા માટે ખૂબ ઝડપથી વધે છે. દોડવીરોની ઝડપ પર ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ આ અનુમાન સાબિત થયું છે. પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે, તે સાચું પડે છે જો બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો ઝડપ ઝડપથી વધે તો મોટા માટે અનુમાન સાચું પડે છે. જો અચળાંક 22 ને 33 સાથે બદલવામાં આવે, તો પછી અનુમાન માટે સાચું છે. પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે સમાન પરિણામ માટે માત્ર સમાન ધારણા જરૂરી છે. બિનશરતી રીતે, અનુમાન સાચું છે જો બધા માટે. ચોક્કસ માટે અનુમાન દોડવીરો માટે સાચું છે. પુરાવાઓ પ્રાથમિક છે; આ કેસ 1972માં સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો. 1984, 2001 અને 2008માં અનુક્રમે કેસોનું સમાધાન કરવામાં આવ્યું હતું. તેનો પ્રથમ પુરાવો કોમ્પ્યુટર-સહાયિત હતો, પરંતુ ત્યારથી તમામ કિસ્સાઓ પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ સાથે સાબિત થયા છે. કેટલાક લોકો માટે, ઉપર આપેલા ઉદાહરણ ઉપરાંત મહત્તમ વિભાજન સાથે છૂટાછવાયા ઉદાહરણો અસ્તિત્વમાં છે. કારણ કે, એકમાત્ર જાણીતું ઉદાહરણ (શિફ્ટ અને સ્કેલિંગ સુધી) છે; કારણ કે એકમાત્ર જાણીતું ઉદાહરણ છે; અને જાણીતા ઉદાહરણો માટે છે અને. આવા છૂટાછવાયા કેસોનો એક સ્પષ્ટ અનંત પરિવાર અસ્તિત્વમાં છે. લગભગ સમાનતાના કેસોને સંબોધતા અનુમાનનું વધુ તીક્ષ્ણ સંસ્કરણ ઘડવામાં આવ્યું હતું. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે અનુમાન કરે છે કે ગતિના આપેલ સમૂહ માટે, ક્યાં તો કેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે, અથવા, તે સુયોજનનું એકલતાનું અંતર ક્યાં છે. તેમણે કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓ માટે આ અનુમાનની પુષ્ટિ કરી હતી. દોડવીરને એકલા પડવા માટે જરૂરી સમયના કદના પ્રશ્નને સંબોધિત કર્યો. તેમણે એક મજબૂત અનુમાન ઘડ્યું હતું જેમાં જણાવ્યું હતું કે દરેક પૂર્ણાંક માટે એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય છે કે જે હકારાત્મક, અલગ ગતિના કોઈપણ સંગ્રહ માટે, એવો સમય અસ્તિત્વમાં હોય છે કે જે રિફફોર્ડ સાથે આ અનુમાનની પુષ્ટિ કરે છે અને દર્શાવે છે કે દરેક કિસ્સામાં ન્યૂનતમ માટે અને માટે દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછીનું પરિણામ (માટે) દર્શાવે છે કે જો આપણે છ દોડવીરોને એક સમયે સતત અને વિશિષ્ટ અને સકારાત્મક ગતિ સાથે શરૂ કરતા ધ્યાનમાં લઈએ તો સ્થિર દોડવીરને સૌથી ધીમા બિન-સ્થિર દોડવીરના પ્રથમ બે રાઉન્ડ દરમિયાન (પરંતુ પ્રથમ રાઉન્ડ દરમિયાન જરૂરી નથી) ઓછામાં ઓછા અન્યથી અંતર દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે. અન્ય પરિણામો અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી ગતિ માટે વધુ મજબૂત પરિણામ અસ્તિત્વમાં છેઃ સ્થિર-દોડવીર પરંપરાનો ઉપયોગ કરીને, જો અને નિશ્ચિત હોય અને બિન-શૂન્ય ગતિવાળા દોડવીરોને એકસરખી રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો પછી જેમ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અનિયમિત ગતિ ધરાવતા દોડવીરો અમુક સમયે "ખૂબ જ એકલા" હોવાની શક્યતા છે-નજીકના અન્ય દોડવીરોથી લગભગ એકમો. સંપૂર્ણ અનુમાન સાચું છે જો "એકલતા" ને "લગભગ એકલતા" સાથે બદલવામાં આવે, જેનો અર્થ થાય છે કે મહત્તમ એક અન્ય દોડવીર આપેલ દોડવીરની અંદર છે. આ અનુમાનને બીજગણિત કાર્ય ક્ષેત્રોમાં એનાલોગમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવ્યું છે. નોંધો અને સંદર્ભો નોંધો સાઇટેશન વર્ક્સએ ઓપન પ્રોબ્લેમ ગાર્ડન નં. 4, 551-562. ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓનું અનુમાન કરે છે