Higher-dimensional algebra
ગણિતમાં, ખાસ કરીને (ઉચ્ચ) શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, ઉચ્ચ-પરિમાણીય બીજગણિત એ વર્ગીકૃત માળખાઓનો અભ્યાસ છે. તે નોનબેલિયન બીજગણિત ટોપોલોજીમાં ઉપયોગો ધરાવે છે, અને અમૂર્ત બીજગણિતને સામાન્ય બનાવે છે. ઉચ્ચ-પરિમાણીય શ્રેણીઓ ઉચ્ચ પરિમાણીય બીજગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરવાની દિશામાં પ્રથમ પગલું એ ઉચ્ચ શ્રેણી સિદ્ધાંતની 2-શ્રેણીની વિભાવના છે, ત્યારબાદ બેવડી શ્રેણીની વધુ 'ભૌમિતિક' વિભાવના છે. આમ ઉચ્ચ સ્તરની વિભાવનાને શ્રેણીઓની શ્રેણી અથવા સુપર-શ્રેણી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે શ્રેણીની કલ્પનાને ઉચ્ચ પરિમાણોમાં સામાન્ય બનાવે છે-જેને કોઈપણ માળખા તરીકે ગણવામાં આવે છે જે અમૂર્ત શ્રેણીઓના પ્રાથમિક સિદ્ધાંત (ઇ. ટી. એ. સી.) ના લોવેરના સિદ્ધાંતોનું અર્થઘટન છે. આમ, સુપરકેટેગરી અને સુપરકેટેગરીને મેટા-કેટેગરી, મલ્ટીકેટેગરી અને મલ્ટી-ગ્રાફ, કે-પાર્ટાઇટ ગ્રાફ અથવા રંગીન ગ્રાફની વિભાવનાઓના કુદરતી વિસ્તરણ તરીકે ગણી શકાય (રંગ આકૃતિ જુઓ, અને ગ્રાફ સિદ્ધાંતમાં તેની વ્યાખ્યા પણ જુઓ). સુપરકેટેગરીઓ સૌપ્રથમ 1970 માં રજૂ કરવામાં આવી હતી, અને ત્યારબાદ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર (ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત અને ટોપોલોજિકલ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત) અને ગાણિતિક જીવવિજ્ઞાન અથવા ગાણિતિક બાયોફિઝિક્સમાં ઉપયોગ માટે વિકસાવવામાં આવી હતી. ઉચ્ચ-પરિમાણીય બીજગણિતમાં અન્ય માર્ગોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છેઃ દ્વિ-વર્ગો, દ્વિ-વર્ગોના હોમોમોર્ફિઝમ્સ, ચલ વર્ગો (અનુક્રમિત અથવા પેરામેટ્રીઝ્ડ વર્ગો તરીકે પણ ઓળખાય છે), ટોપોઈ, અસરકારક વંશ અને સમૃદ્ધ અને આંતરિક વર્ગો. ઉચ્ચ-પરિમાણીય બીજગણિત (એચડીએ) માં, ડબલ ગ્રુપોઇડ એ એક-પરિમાણીય ગ્રુપોઇડથી બે પરિમાણોનું સામાન્યીકરણ છે, અને પછીના ગ્રુપોઇડને તમામ ઉલટાવી શકાય તેવા તીર અથવા મોર્ફિઝમ્સ સાથે શ્રેણીના વિશેષ કેસ તરીકે ગણી શકાય. ડબલ ગ્રૂપોઇડ્સનો ઉપયોગ ઘણીવાર ઉચ્ચ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સ (અથવા એન-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સ) જેવી ભૌમિતિક વસ્તુઓ વિશેની માહિતી મેળવવા માટે થાય છે. સામાન્ય રીતે, એન-ડાયમેન્શનલ મેનીફોલ્ડ એ એવી જગ્યા છે જે સ્થાનિક રીતે એન-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન જગ્યા જેવી લાગે છે, પરંતુ જેની વૈશ્વિક રચના બિન-યુક્લિડિયન હોઈ શકે છે. ડબલ ગ્રૂપોઇડ્સ સૌપ્રથમ રોનાલ્ડ બ્રાઉન દ્વારા ડબલ ગ્રૂપોઇડ્સ અને ક્રોસ મોડ્યુલો (1976) માં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, અને નોનબેલિયન બીજગણિત ટોપોલોજીમાં કાર્યક્રમો તરફ આગળ વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. એક સંબંધિત, 'બેવડા' ખ્યાલ એ બેવડા અલ્જેબ્રૉઇડનો છે, અને આર-અલ્જેબ્રૉઇડનો વધુ સામાન્ય ખ્યાલ છે. નોનબેલિયન બીજગણિત ટોપોલોજી જુઓ નોનબેલિયન બીજગણિત ટોપોલોજી એપ્લિકેશન્સ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં, ક્વોન્ટમ શ્રેણીઓ અસ્તિત્વમાં છે. અને ક્વોન્ટમ ડબલ ગ્રૂપોઇડ્સ. ક્વોન્ટમ ડબલ ગ્રૂપોઇડ્સને 2-ફંકટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મૂળભૂત ગ્રૂપોઇડ્સ તરીકે ગણી શકાય, જે વ્યક્તિને બાયકેટેગરી સ્પાન (ગ્રૂપોઇડ્સ) ની દ્રષ્ટિએ ક્વોન્ટમ ફંડામેન્ટલ ગ્રૂપોઇડ્સ (ક્યુ. એફ. જી.) ના શારીરિક રીતે રસપ્રદ કેસ વિશે વિચારવાની મંજૂરી આપે છે, અને પછી મેનીફોલ્ડ્સ અને કોબોર્ડિઝમ્સ માટે 2-હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ અને 2-રેખીય નકશાઓનું નિર્માણ કરે છે. આગળના તબક્કામાં, આવા 2-પરિબળોના કુદરતી પરિવર્તન દ્વારા ખૂણાઓ સાથે કોબોર્ડિઝમ પ્રાપ્ત થાય છે. ત્યારબાદ એવો દાવો કરવામાં આવ્યો હતો કે, ગેજ જૂથ એસયુ (2) સાથે, "વિસ્તૃત ટીક્યુએફટી, અથવા ઇટીક્યુએફટી, ક્વોન્ટમ ગુરુત્વાકર્ષણના પોન્ઝાનો-રેગ મોડેલની સમકક્ષ સિદ્ધાંત આપે છે"; તેવી જ રીતે, તુરાએવ-વીરો મોડેલ પછી એસયુક્યુ (2) ની રજૂઆત સાથે મેળવવામાં આવશે. તેથી, ગેજ સિદ્ધાંતની સ્થિતિ જગ્યાનું વર્ણન કરી શકાય છે-અથવા ઘણા પ્રકારના ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતો (ક્યુ. એફ. ટી.) અને સ્થાનિક ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર, સમપ્રમાણતા દ્વારા આપવામાં આવેલા પરિવર્તન જૂથોની દ્રષ્ટિએ, ઉદાહરણ તરીકે ગેજ સિદ્ધાંતના કિસ્સામાં, સ્થિતિઓ પર કામ કરતા ગેજ પરિવર્તન દ્વારા, જે આ કિસ્સામાં, જોડાણો છે. ક્વોન્ટમ જૂથો સાથે સંબંધિત સમપ્રમાણતાના કિસ્સામાં, 2-વેક્ટર જગ્યાઓ કે જે ગ્રૂપોઇડ્સની પ્રતિનિધિત્વ શ્રેણીઓ છે તેના બદલે, એવી રચનાઓ પ્રાપ્ત થશે જે ક્વોન્ટમ ગ્રૂપોઇડ્સની પ્રતિનિધિત્વ શ્રેણીઓ છે. ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર પણ જુઓ નોંધો વધુ વાંચન (ડાઉનલોડ કરી શકાય તેવી પીડીએફ ઉપલબ્ધ) આ ગ્રૂપોઇડ્સના કેટલાક ઇતિહાસ આપે છે, એટલે કે હેઇનરિચ બ્રાન્ડ્ટના વર્ગાત્મક સ્વરૂપો પરના કાર્યની ઉત્પત્તિ, અને 160 સંદર્ભો સાથે 1987 સુધીના પછીના કાર્યનો સંકેત. ઘણા સંદર્ભો સાથેનો એક વેબ લેખ સમજાવે છે કે કેવી રીતે ગ્રૂપોઇડ ખ્યાલ ઉચ્ચ-પરિમાણીય ગ્રૂપોઇડ્સની કલ્પનાઓ તરફ દોરી ગયો છે, જે ગ્રૂપ થિયરીમાં ઉપલબ્ધ નથી, હોમોટોપી થિયરી અને ગ્રૂપ કોહોમોલોજીમાં એપ્લિકેશનો સાથે. અગાઉ 1968 અને 1988માં પ્રકાશિત થયેલા પુસ્તકની સુધારેલી અને વિસ્તૃત આવૃત્તિ. ઇ-સંસ્કરણ વેબસાઇટ પરથી ઉપલબ્ધ છે. ગેલોઇસ સિદ્ધાંતના સામાન્યીકરણ કેવી રીતે ગેલોઇસ ગ્રૂપોઇડ્સ તરફ દોરી જાય છે તે દર્શાવે છે. . ઉચ્ચ શ્રેણી સિદ્ધાંત શ્રેણી સિદ્ધાંત બીજગણિત ટોપોલોજી બીજગણિત તર્ક શ્રેણી તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ શ્રેણીબદ્ધ તર્ક ડીઃ