Bartlett's bisection theorem
બાર્ટલેટનો દ્વિભાજન પ્રમેય એ નેટવર્ક વિશ્લેષણમાં વિદ્યુત પ્રમેય છે જે આલ્બર્ટ ચાર્લ્સ બાર્ટલેટને આભારી છે. આ પ્રમેય દર્શાવે છે કે કોઈપણ સપ્રમાણ દ્વિ-બંદર નેટવર્કને જાળી નેટવર્કમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ પ્રમેય ઘણીવાર ફિલ્ટર થિયરીમાં જોવા મળે છે જ્યાં જાળી નેટવર્કને કેટલીકવાર ફિલ્ટર એક્સ-સેક્શન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે સામાન્ય ફિલ્ટર થિયરી પ્રેક્ટિસને અનુસરે છે જેમાં વિભાગોને આલ્ફાબેટિક અક્ષરો પછી નામ આપવામાં આવે છે જેની સાથે તેઓ સામ્યતા ધરાવે છે. બાર્ટલેટ દ્વારા મૂળ રૂપે જણાવેલા પ્રમેયમાં નેટવર્કના બે અર્ધભાગ ટોપોલોજીકલ રીતે સપ્રમાણ હોવા જરૂરી હતા. આ પ્રમેયને પાછળથી વિલ્હેલ્મ કાઉર દ્વારા વિદ્યુત રીતે સપ્રમાણતા ધરાવતા તમામ નેટવર્ક પર લાગુ કરવા માટે વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો હતો. એટલે કે નેટવર્કનું ભૌતિક અમલીકરણ કોઈ સુસંગતતા ધરાવતું નથી. તે માત્ર એટલું જ જરૂરી છે કે બંને ભાગમાં તેનો પ્રતિસાદ સમપ્રમાણ હોય. એપ્લિકેશન્સ લેટીસ ટોપોલોજી ફિલ્ટર્સ ખૂબ સામાન્ય નથી. આનું કારણ એ છે કે તેમને અન્ય ડિઝાઇન કરતાં વધુ ઘટકો (ખાસ કરીને ઇન્ડક્ટર્સ) ની જરૂર પડે છે. લેડર ટોપોલોજી વધુ લોકપ્રિય છે. જો કે, તેઓ આંતરિક રીતે સંતુલિત હોવાની મિલકત ધરાવે છે અને અન્ય ટોપોલોજીનું સંતુલિત સંસ્કરણ, જેમ કે ટી-વિભાગો, વાસ્તવમાં વધુ ઇન્ડક્ટર્સનો ઉપયોગ કરી શકે છે. એક એપ્લિકેશન સંતુલિત ટેલિકમ્યુનિકેશન લાઇનો પર ઓલ-પાસ ફેઝ કરેક્શન ફિલ્ટર્સ માટે છે. આ પ્રમેય આર. એફ. આવર્તન પર સ્ફટિક ગાળકોની રચનામાં પણ દેખાય છે. અહીં નિસરણી ટોપોલોજીમાં કેટલાક અનિચ્છનીય ગુણધર્મો છે, પરંતુ એક સામાન્ય ડિઝાઇન વ્યૂહરચના તેની સરળતાને કારણે નિસરણીના અમલીકરણથી શરૂ કરવાની છે. બાર્ટલેટના પ્રમેયનો ઉપયોગ અંતિમ અમલીકરણ તરફના પગલા તરીકે ડિઝાઇનને મધ્યવર્તી તબક્કામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે થાય છે (જાળી ટોપોલોજીનું અસંતુલિત સંસ્કરણ બનાવવા માટે ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરીને). વ્યાખ્યા અને સાબિતી વ્યાખ્યા બે બંદરો વચ્ચેના સમપ્રમાણતાના સમતલ સાથે બે બંદર નેટવર્ક, એન સાથે પ્રારંભ કરો. આગળ N ને તેના સમપ્રમાણતાના સમતલમાંથી કાપીને બે નવા સમાન બે-બંદરો, 1⁄2N બનાવો. બે સમાન વોલ્ટેજ જનરેટરને એનના બે બંદરો સાથે જોડો. તે સમપ્રમાણતાથી સ્પષ્ટ છે કે સમપ્રમાણતાના સમતલમાંથી પસાર થતી કોઈપણ શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. આ સંજોગોમાં N ના બંદરમાં માપવામાં આવેલ અવરોધ એ માપવામાં આવેલ અવરોધ જેટલો જ હશે જો સમપ્રમાણતાના સમતલમાંથી પસાર થતી તમામ શાખાઓ ખુલ્લી સર્કિટ હોય. તેથી તે 1⁄2N ના ઓપન સર્કિટ અવરોધ જેટલો જ અવરોધ છે. ચાલો આપણે તેને અવરોધ કહીએ. હવે પોર્ટ સાથે જોડાયેલા બે સમાન વોલ્ટેજ જનરેટર સાથે પરંતુ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે નેટવર્ક N ને ધ્યાનમાં લો. જેમ અગાઉના કિસ્સામાં સમપ્રમાણતાના સમતલ પર શાખાઓ દ્વારા પ્રવાહોની સુપરપોઝિશન શૂન્ય હોવી જોઈએ, તેવી જ રીતે સમાનતા દ્વારા અને દ્વૈતતાના સિદ્ધાંતને લાગુ કરીને, સમપ્રમાણતાના સમતલ પર ગાંઠો વચ્ચે વોલ્ટેજનું સુપરપોઝિશન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આમ ઇનપુટ ઇમ્પિડન્સ 1⁄2 એનના શોર્ટ સર્કિટ ઇમ્પિડન્સ જેટલું જ છે. ચાલો આપણે તેને અવરોધ કહીએ. બાર્ટલેટનો દ્વિભાજન પ્રમેય જણાવે છે કે નેટવર્ક એન એ શ્રેણીબદ્ધ શાખાઓ અને ક્રોસ શાખાઓ સાથે જાળી નેટવર્કની સમકક્ષ છે. પુરાવા દરેક બંદર સાથે જોડાયેલા સમાન જનરેટર, ઇ સાથે દર્શાવેલ જાળી નેટવર્કનો વિચાર કરો. સમપ્રમાણતા અને સુપરપોઝિશન પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શ્રેણી શાખાઓમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. આમ તે શાખાઓને દૂર કરી શકાય છે અને બાકીની સર્કિટ પર કોઈ અસર કર્યા વિના ખુલ્લી સર્કિટ છોડી શકાય છે. આ 2E ના વોલ્ટેજ અને લૂપમાં કરંટ આપવાનો અવરોધ સાથે સર્કિટ લૂપને છોડે છે; અને ઇનપુટ અવરોધ; કારણ કે તે મૂળ બે-પોર્ટની સમાનતા માટે જરૂરી છે. તેવી જ રીતે, જનરેટરમાંથી એકને ઉલટાવવાથી, સમાન દલીલ દ્વારા, ઇમ્પીડન્સ અને ઇનપુટ ઇમ્પીડન્સ સાથે લૂપમાં પરિણામ મળે છે; યાદ કરીને કે આ જનરેટર રૂપરેખાંકનો એ ચોક્કસ રીત છે જેમાં અને મૂળ બે-પોર્ટમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી તે સાબિત થાય છે કે જાળી તે બે કિસ્સાઓ માટે સમકક્ષ છે. તે સાબિત થાય છે કે અન્ય તમામ ઇનપુટ અને આઉટપુટ શરતોને પહેલેથી જ સાબિત થયેલા બે કેસોની રેખીય સુપરપોઝિશન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણો વિપરીતમાં બાર્ટલેટ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે; એટલે કે, સમપ્રમાણતાવાળા જાળી નેટવર્કને અન્ય સમપ્રમાણતાવાળા ટોપોલોજીમાં રૂપાંતરિત કરવું. ઉપર દર્શાવેલા ઉદાહરણો સમાન રીતે વિપરીત રીતે દર્શાવવામાં આવી શકે છે. જો કે, ઉપરના ઉદાહરણોથી વિપરીત, પરિણામ હંમેશા રેખીય નિષ્ક્રિય ઘટકો સાથે ભૌતિક રીતે સાકાર થતું નથી. આનું કારણ એ છે કે રિવર્સ ટ્રાન્સફોર્મ નકારાત્મક મૂલ્યોવાળા ઘટકો પેદા કરે તેવી શક્યતા છે. નકારાત્મક જથ્થાને માત્ર નેટવર્કમાં હાજર સક્રિય ઘટકો સાથે ભૌતિક રીતે પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. થીયરમનું વિસ્તરણ બાર્ટલેટના થીયરમનું વિસ્તરણ છે જે સમાન ઇનપુટ અને આઉટપુટ ઇમ્પિડન્સ ટર્મિનેશન વચ્ચે કાર્યરત સપ્રમાણ ફિલ્ટર નેટવર્કને અસમાન સ્રોત અને લોડ ઇમ્પિડન્સ માટે સંશોધિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પ્રોટોટાઇપ ફિલ્ટરના ઇમ્પિડન્સ સ્કેલિંગનું ઉદાહરણ છે. સમપ્રમાણ નેટવર્ક તેના સમપ્રમાણતાના સમતલ સાથે દ્વિભાજિત થાય છે. એક અડધો ભાગ ઈનપુટ ઈમ્પિડન્સ માટે ઈમ્પિડન્સ-સ્કેલ્ડ છે અને બીજો આઉટપુટ ઈમ્પિડન્સ માટે સ્કેલ્ડ છે. ફિલ્ટરનો પ્રતિસાદ આકાર સમાન રહે છે. આ ઇમ્પીડન્સ મેચિંગ નેટવર્ક જેટલું નથી, નેટવર્ક પોર્ટ પર દેખાતા ઇમ્પીડન્સ ટર્મિનેશન ઇમ્પીડન્સ સાથે કોઈ સંબંધ ધરાવતા નથી. આનો અર્થ એ છે કે બાર્ટલેટના પ્રમેય દ્વારા રચાયેલ નેટવર્ક, બરાબર ફિલ્ટર પ્રતિસાદની આગાહી કરતી વખતે, ફિલ્ટર પ્રતિસાદ ઉપરાંત સતત ક્ષીણતા પણ ઉમેરે છે. ઇમ્પિડન્સ મેચિંગ નેટવર્કમાં, સામાન્ય ડિઝાઇન માપદંડ પાવર ટ્રાન્સફરને મહત્તમ કરવાનો છે. ઇનપુટને ચલાવતા સૈદ્ધાંતિક આદર્શ જનરેટરના વોલ્ટેજની તુલનામાં આઉટપુટ પ્રતિસાદ "સમાન આકાર" છે. તે વાસ્તવિક ઇનપુટ વોલ્ટેજ સાથે સંબંધિત નથી જે સૈદ્ધાંતિક આદર્શ જનરેટર દ્વારા તેના ભાર અવરોધ દ્વારા વિતરિત કરવામાં આવે છે. ઇનપુટ અને આઉટપુટ અવરોધમાં તફાવતને કારણે સતત લાભ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે; નોંધ લો કે આ માટે એકતા કરતાં વધુ હોવું શક્ય છે, એટલે કે, વોલ્ટેજ લાભ શક્ય છે, પરંતુ શક્તિ હંમેશા ખોવાઈ જાય છે. સંદર્ભો રેખીય ગાળકો ફિલ્ટર સિદ્ધાંત એનાલોગ સર્કિટ્સ ઇલેક્ટ્રોનિક ડિઝાઇન