Quantum t-design
ક્વોન્ટમ ટી-ડિઝાઇન એ શુદ્ધ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ અથવા એકાત્મક ઓપરેટરો પર સંભાવના વિતરણ છે જે ડિગ્રી ટી અથવા તેનાથી ઓછી બહુપદીઓ માટે હાર માપ પર સંભાવના વિતરણના ગુણધર્મોની નકલ કરી શકે છે. ખાસ કરીને, ડિઝાઇન પર ડિગ્રી t ના કોઈપણ બહુપદી કાર્યની સરેરાશ બરાબર હાર માપ પરની સરેરાશ જેટલી જ હોય છે. અહીં હાર માપ એ તમામ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ અથવા તમામ એકાત્મક ઓપરેટરો પર એક સમાન સંભાવના વિતરણ છે. ક્વોન્ટમ ટી-ડિઝાઇન એટલા માટે કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે શાસ્ત્રીય આંકડાશાસ્ત્રમાં ટી-ડિઝાઇન જેવી જ છે, જે પ્રયોગોની ડિઝાઇનની સમસ્યાના સંબંધમાં ઐતિહાસિક રીતે ઊભી થઈ હતી. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં બે ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ પ્રકારની ટી-ડિઝાઇન પ્રોજેક્ટિવ અને એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન છે. ગોળાકાર રચના એ એકમ ગોળા પરના બિંદુઓનો સંગ્રહ છે, જેના માટે બાઉન્ડેડ ડિગ્રીની બહુપદીઓની સરેરાશ કરી શકાય છે, જેથી ગોળા પર સપાટીના માપને એકીકૃત કરવાથી જે મૂલ્ય મળે છે તે જ મૂલ્ય મેળવી શકાય છે. ગોળાકાર અને પ્રોજેક્ટિવ ટી-ડિઝાઇન 1970 ના દાયકાના અંતમાં ડેલસાર્ટે, ગોથલ્સ અને સીડેલના કાર્યો પરથી તેમના નામો મેળવે છે, પરંતુ આ પદાર્થોએ સંખ્યાત્મક એકીકરણ અને સંખ્યા સિદ્ધાંત સહિત ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં અગાઉની ભૂમિકાઓ ભજવી હતી. આ પદાર્થોના વિશિષ્ટ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંત, ક્વોન્ટમ ક્રિપ્ટોગ્રાફી અને અન્ય સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં જોવા મળે છે. એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન ગોળાકાર ડિઝાઇન જેવી જ હોય છે જેમાં તેઓ એકાત્મક મેટ્રિસીસના મર્યાદિત સંગ્રહ દ્વારા સમગ્ર એકાત્મક જૂથનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે. એકાત્મક 2-ડિઝાઇનનો સિદ્ધાંત 2006 માં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ કામગીરીમાં ભૂલોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કાર્યક્ષમ અને સ્કેલેબલ રેન્ડમાઇઝ્ડ બેંચમાર્કિંગના વ્યવહારુ માધ્યમો હાંસલ કરવા માટે, જેને ગેટ્સ કહેવાય છે. ત્યારથી એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગના અન્ય ક્ષેત્રોમાં અને વધુ વ્યાપક રીતે ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગી હોવાનું જણાયું છે અને બ્લેક હોલ માહિતી વિરોધાભાસ સુધી પહોંચતી સમસ્યાઓને લાગુ પડે છે. યુનિટરી ટી-ડિઝાઇન ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગમાં રેન્ડમાઇઝેશન કાર્યો માટે સુસંગત છે કારણ કે આદર્શ કામગીરી સામાન્ય રીતે યુનિટરી ઓપરેટરો દ્વારા રજૂ થાય છે. ડી-ડાયમેન્શનલ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં જ્યારે તમામ ક્વોન્ટમ શુદ્ધ અવસ્થાઓ પર સરેરાશ હોય ત્યારે કુદરતી જૂથ એસયુ (ડી) હોય છે, જે પરિમાણનું વિશેષ એકાત્મક જૂથ છે ડી. હાર માપ, વ્યાખ્યા દ્વારા, અનન્ય જૂથ-અપરિવર્તન માપ છે, તેથી તેનો ઉપયોગ સરેરાશ ગુણધર્મો માટે થાય છે જે તમામ અવસ્થાઓ પર અથવા તમામ એકકો પર એકાત્મક રીતે અપરિવર્તનશીલ નથી. આનું ખાસ કરીને વ્યાપકપણે વપરાતું ઉદાહરણ સ્પિન સિસ્ટમ છે. આ પ્રણાલી માટે સંબંધિત જૂથ એ એસયુ (2) છે જે નિર્ધારક 1 સાથે તમામ 2x2 એકાત્મક સંચાલકોનું જૂથ છે. એસયુ (2) માં દરેક સંચાલક બ્લોચ ગોળાનું પરિભ્રમણ હોવાથી, સ્પિન-1/2 કણો માટેનું હાર માપ બ્લોચ ગોળાના તમામ પરિભ્રમણ હેઠળ અપરિવર્તનીય છે. આ સૂચવે છે કે હાર માપ એ બ્લોચ ગોળા પર પરિભ્રમણની રીતે અપરિવર્તનશીલ માપ છે, જેને ગોળાની સપાટી પર સતત ઘનતા વિતરણ તરીકે વિચારી શકાય છે. જટિલ પ્રોજેક્ટિવ ટી-ડિઝાઇનનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ, સપ્રમાણ માહિતીપ્રદ રીતે સંપૂર્ણ હકારાત્મક ઓપરેટર-મૂલ્યવાન પગલાં પી. ઓ. વી. એમ. છે, જે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ 2-ડિઝાઇન છે. આવી 2-ડિઝાઇનમાં ઓછામાં ઓછા ઘટકો હોવા આવશ્યક હોવાથી, એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. એ ન્યૂનતમ કદની જટિલ 2-ડિઝાઇન છે. ગોળાકાર ટી-ડિઝાઇન જટિલ પ્રોજેક્ટિવ ટી-ડિઝાઇનનો ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંતમાં ક્વોન્ટમ ટી-ડિઝાઇન તરીકે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આ એકમ ક્ષેત્રમાં વેક્ટરની ગોળાકાર 2 ટી-ડિઝાઇન સાથે નજીકથી સંબંધિત છે જેમાં જ્યારે કુદરતી રીતે જડિત થાય છે ત્યારે જટિલ પ્રોજેક્ટિવ ટી-ડિઝાઇનને જન્મ આપે છે. ઔપચારિક રીતે, આપણે ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ પર સંભાવના વિતરણને એક જટિલ પ્રોજેક્ટિવ ટી-ડિઝાઇન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જો અહીં, ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ પર ચોક્કસ ટી-ડિઝાઇનમાં એકમ ગોળા પર હાર માપ પર અવિભાજ્ય સ્થિતિઓ લેવામાં આવે છે, જ્યારે સંભાવના વિતરણમાંથી સ્થિતિની ટી-નકલોનો ઉપયોગ કરતી વખતે તમામ સ્થિતિઓ પર સમાન સંભાવના વિતરણથી અલગ કરી શકાતી નથી. જો કે વ્યવહારમાં ટી-ડિઝાઇનની ગણતરી કરવી પણ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. આ કારણોસર અંદાજિત ટી-ડિઝાઇન ઉપયોગી છે. અંદાજિત ટી-ડિઝાઇન અસરકારક રીતે અમલમાં મૂકવાની તેમની ક્ષમતાને કારણે સૌથી વધુ ઉપયોગી છે. એટલે કે. સમયની સંભાવના વિતરણ અનુસાર વિતરિત ક્વોન્ટમ સ્થિતિ પેદા કરવી શક્ય છે. આ કાર્યક્ષમ બાંધકામ એ પણ સૂચવે છે કે ઓપરેટરોના પી. ઓ. વી. એમ. નો સમયસર અમલ કરી શકાય છે. અંદાજિત ટી-ડિઝાઇનની તકનીકી વ્યાખ્યા છેઃ જો અને પછી એ-નિકટવર્તી ટી-ડિઝાઇન છે. તે શક્ય છે, જો કે કદાચ બિનકાર્યક્ષમ હોવા છતાં, નિશ્ચિત t માટે ક્વોન્ટમ શુદ્ધ સ્થિતિઓ ધરાવતી-નિકટવર્તી t-ડિઝાઇન શોધવી. સુવિધા માટે રચના d એ 2 ની ઘાત હોવાનું માનવામાં આવે છે. એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે કોઈપણ d માટે વિધેયો {0,., d-1} {0,., d-1} નો સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે કોઈપણ વિશિષ્ટ {0,., d-1} માટે f હેઠળની છબી, જ્યાં f ને S માંથી રેન્ડમ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તે {0,., d-1} ના N તત્વોના ટપલ્સ પર બરાબર સમાન વિતરણ છે. ચાલો હાર માપમાંથી દોરવામાં આવે. ચાલો અને દોની સંભાવનાનું વિતરણ કરીએ. જો આપણે સંભાવના અને સંભાવના સાથે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તોઃ વિષમ જે માટે અને સમ જે માટે. આ અને ગૌસીયન ચતુર્ભુજનો ઉપયોગ કરીને આપણે રચના કરી શકીએ છીએ જેથી તે એક અંદાજિત ટી-ડિઝાઇન હોય. એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન ગોળાકાર ડિઝાઇન જેવી જ હોય છે જેમાં તેઓ એકાત્મક મેટ્રિસીસના મર્યાદિત સંગ્રહ દ્વારા સમગ્ર એકાત્મક જૂથનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે. એકાત્મક 2-ડિઝાઇનનો સિદ્ધાંત 2006 માં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ કામગીરીમાં ભૂલોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કાર્યક્ષમ અને સ્કેલેબલ રેન્ડમાઇઝ્ડ બેંચમાર્કિંગના વ્યવહારુ માધ્યમો હાંસલ કરવા માટે, જેને ગેટ્સ કહેવાય છે. ત્યારથી એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગના અન્ય ક્ષેત્રોમાં અને વધુ વ્યાપક રીતે ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંતમાં અને બ્લેક હોલ ભૌતિકશાસ્ત્ર સુધી પહોંચતા ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગી હોવાનું જણાયું છે. યુનિટરી ટી-ડિઝાઇન ખાસ કરીને ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગમાં રેન્ડમાઇઝેશન કાર્યો માટે સુસંગત છે કારણ કે આદર્શ કામગીરી સામાન્ય રીતે યુનિટરી ઓપરેટરો દ્વારા રજૂ થાય છે. એકાત્મક ટી-ડિઝાઇનના ઘટકો એકાત્મક જૂથના ઘટકો છે, યુ (ડી), એકાત્મક મેટ્રિસીસના જૂથ. એકાત્મક ઓપરેટરોની ટી-ડિઝાઇન સ્ટેટ્સની ટી-ડિઝાઇન પેદા કરશે. ધારો કે તે એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન છે (એટલે કે. એકાત્મક ઓપરેટર્સનો સમૂહ). પછી કોઈપણ શુદ્ધ સ્થિતિ માટે દો. પછી હંમેશા રાજ્યો માટે ટી-ડિઝાઇન હશે. ઔપચારિક રીતે એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન, X ને વ્યાખ્યાયિત કરો, જો અવલોકન કરો કે U ની તમામ પસંદગીઓ પર મેટ્રિસીસ દ્વારા રેખીય રીતે ફેલાયેલી જગ્યા પ્રતિબંધ સમાન છે અને આ નિરીક્ષણ એકાત્મક ડિઝાઇન અને એકાત્મક કોડ વચ્ચેના દ્વૈત વિશેના નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે. ક્રમચય નકશાનો ઉપયોગ કરીને સીધી રીતે ચકાસી શકાય છે કે એકાત્મક મેટ્રિસીસનો સમૂહ ટી-ડિઝાઇન બનાવે છે. આનું એક સીધું પરિણામ એ છે કે કોઈપણ મર્યાદિત માટે સમાનતા સાથે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો X એ ટી-ડિઝાઇન હોય. 1 અને 2-ડિઝાઇનની કેટલીક વિગતવાર તપાસ કરવામાં આવી છે અને X, |X | ના પરિમાણ માટે સંપૂર્ણ સીમાઓ મેળવવામાં આવી છે. એકાત્મક રચનાઓ માટેની સીમાઓ ડિગ્રી t ઇંચના સજાતીય અને ડિગ્રી t ઇંચના સજાતીય કાર્યોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો, પછી જો દરેક માટેઃ તો X એ એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન છે. આપણે આગળ કાર્યો માટે આંતરિક ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને આના સરેરાશ મૂલ્ય તરીકેઃ અને કોઈપણ મર્યાદિત સબસેટના સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે અનુસરે છે કે X એક એકાત્મક ટી-ડિઝાઇન છે જો અને માત્ર જો. ઉપરથી તે દર્શાવી શકાય છે કે જો X એ ટી-ડિઝાઇન હોય તો તે ડિઝાઇન માટે સંપૂર્ણ બંધાયેલ છે. આ એકાત્મક ડિઝાઇનના કદ પર ઉપલી સીમા લાદે છે. આ બાઉન્ડ એ સંપૂર્ણ અર્થ છે કે તે ફક્ત ડિઝાઇનની તાકાત અથવા કોડની ડિગ્રી પર આધાર રાખે છે, અને સબસેટ, X માં અંતર પર નહીં. એકાત્મક કોડ એ એકાત્મક જૂથનો મર્યાદિત સબસેટ છે જેમાં તત્વો વચ્ચે થોડા આંતરિક ઉત્પાદન મૂલ્યો જોવા મળે છે. ખાસ કરીને, એકાત્મક કોડને મર્યાદિત સબસેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો X માં બધા માટે માત્ર અલગ મૂલ્યો લે છે. તે અનુસરે છે અને જો યુ અને એમ ઓર્થોગોનલ હોય તોઃ ગોળાકાર ડિઝાઇન સમભુજ રેખાઓ વેલ્ચ બાઉન્ડ્સ સંદર્ભો ક્વોન્ટમ માહિતી વિજ્ઞાન માહિતી સિદ્ધાંત ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંત પણ જુઓ.