Banach–Mazur compactum
કાર્યાત્મક વિશ્લેષણના ગાણિતિક અભ્યાસમાં, બનાચ-મઝુર અંતર એ-પરિમાણીય માનક જગ્યાઓના સમૂહ પર અંતરને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક રીત છે. આ અંતર સાથે,-પરિમાણીય માનક જગ્યાઓના આઇસોમેટ્રી વર્ગોનો સમૂહ એક સઘન મેટ્રિક જગ્યા બની જાય છે, જેને બનાચ-મઝુર કોમ્પેક્ટમ કહેવાય છે. વ્યાખ્યાઓ જો અને સમાન પરિમાણ ધરાવતી બે મર્યાદિત-પરિમાણીય પ્રમાણભૂત જગ્યાઓ હોય, તો ચાલો તમામ રેખીય સમરૂપતાઓના સંગ્રહને સૂચવીએ, જે આવા રેખીય નકશાના સંચાલક ધોરણ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે-મહત્તમ પરિબળ જેના દ્વારા તે વેક્ટરને "લંબાવે છે". બનાચ-મઝુર વચ્ચેનું અંતર અને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આપણી પાસે જો અને માત્ર ત્યારે જ હોય જો જગ્યાઓ અને આઇસોમેટ્રિક રીતે આઇસોમોર્ફિક હોય. મેટ્રિક δ થી સજ્જ,-પરિમાણીય પ્રમાણભૂત જગ્યાઓના આઇસોમેટ્રી વર્ગોની જગ્યા એક સઘન મેટ્રિક જગ્યા બની જાય છે, જેને બનાચ-મઝુર કોમ્પેક્ટમ કહેવાય છે. ઘણા લેખકો ગુણાકાર બનાચ-મઝુર અંતર સાથે કામ કરવાનું પસંદ કરે છે જેના માટે અને બહિર્મુખ પદાર્થમાં સમાવિષ્ટ મહત્તમ લંબગોળ પર ગુણધર્મો એફ. જ્હોનની પ્રમેય અંદાજ આપે છેઃ જ્યાં યુક્લિડિયન ધોરણ સાથે સૂચવે છે (જગ્યાઓ પરનો લેખ જુઓ). આમાંથી તે અનુસરે છે કે બધા માટે જો કે, શાસ્ત્રીય જગ્યાઓ માટે, વ્યાસ માટે આ ઉપલા બાઉન્ડનો સંપર્ક કરવામાં આવતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અને વચ્ચેનું અંતર (માત્ર) ક્રમમાં છે (પરિમાણથી સ્વતંત્ર ગુણાકાર અચળાંક સુધી). વ્યાસના અંદાજની દિશામાં એક મોટી સિદ્ધિ ઇ. ગ્લુસ્કિનને કારણે છે, જેમણે 1981માં સાબિત કર્યું હતું કે બનાચ-મઝુર કોમ્પેક્ટમનો (ગુણાકાર) વ્યાસ કેટલાક સાર્વત્રિક ગ્લુસ્કિનની પદ્ધતિ માટે નીચેથી બંધાયેલો છે, જેમાં રેન્ડમ સિમેટ્રિક પોલીટોપ્સનો એક વર્ગ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે અને પ્રમાણભૂત જગ્યાઓ એકમ બોલ તરીકે છે (વેક્ટર જગ્યા છે અને ધોરણ એ માપ છે). પ્રમાણભૂત જગ્યાની બે સ્વતંત્ર નકલો માટે મોટી સંભાવના સાથે જરૂરી અંદાજ સાચો છે તે બતાવવામાં પુરાવો સંપૂર્ણ એક્સ્ટેન્સર છે. બીજી બાજુ, તે હિલ્બર્ટ ક્યુબ માટે હોમોમોર્ફિક નથી. નોંધો સંદર્ભો https://planetmath.org/BanachMazurCompactum સમઘનથી બનાચ-મઝુર અંતર પરની નોંધ બનાચ-મઝુર કોમ્પેક્ટમ એ હિલ્બર્ટ સમઘનનું કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ મેટ્રિક ભૂમિતિ મેટ્રિક જગ્યાઓનું એલેક્ઝાન્ડ્રોફ કોમ્પેક્ટિફિકેશન છે.