Baum–Sweet sequence
ગણિતમાં બાઉમ-સ્વીટ ક્રમ એ નિયમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત 0s અને 1s નો અનંત સ્વચાલિત ક્રમ છેઃ bn = 1 જો n ની દ્વિસંગી રજૂઆતમાં વિષમ લંબાઈના સતત 0s નો કોઈ બ્લોક ન હોય તો; bn = 0 અન્યથા; n ≤ 0 માટે. ઉદાહરણ તરીકે, b4 = 1 કારણ કે 4 ની દ્વિસંગી રજૂઆત 100 છે, જેમાં માત્ર 2 લંબાઈના સળંગ 0s નો એક બ્લોક છે; જ્યારે b5 = 0 કારણ કે 5 ની દ્વિસંગી રજૂઆત 101 છે, જેમાં 1 લંબાઈના સળંગ 0s નો બ્લોક છે. n = 0 થી શરૂ કરીને, બાઉમ-સ્વીટ ક્રમની પ્રથમ કેટલીક શરતો છેઃ 1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,1. ઐતિહાસિક પ્રેરણા આ શ્રેણીના ગુણધર્મોનો પ્રથમ અભ્યાસ લિયોનાર્ડ ઇ. બાઉમ અને મેલ્વિન એમ. સ્વીટ દ્વારા 1976માં કરવામાં આવ્યો હતો. 1949માં, ખિનચિને અનુમાન લગાવ્યું હતું કે તેના સતત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણમાં મર્યાદિત આંશિક અંશો ધરાવતી બિન-ચતુષ્કોણીય બીજગણિત વાસ્તવિક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી. આ અનુમાનનું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ હજુ સુધી જાણી શકાયું નથી. બાઉમ અને સ્વીટના પેપરમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બીજગણિત શક્તિ શ્રેણી માટે સમાન અપેક્ષા પૂરી થતી નથી. તેમણે ક્યુબિક પાવર સિરીઝનું ઉદાહરણ આપ્યું જેમાં આંશિક ભાગ બંધાયેલ છે. (બાઉમ અને સ્વીટના પરિણામમાં શક્તિ શ્રેણીની માત્રા ખિંચિનના અનુમાનમાં બીજગણિત વાસ્તવિક સાથે સંકળાયેલ ક્ષેત્ર વિસ્તરણની માત્રાને અનુરૂપ છે.) બૌમ અને સ્વીટના પેપરમાં ગણવામાં આવેલી શ્રેણીઓમાંથી એક તેનું મૂળ છે. લેખકો દર્શાવે છે કે હેન્સેલના લેમ્મા દ્વારા, તેમાં એક અનોખું મૂળ છે કારણ કે મોડ્યુલોના વ્યાખ્યાયિત સમીકરણને ઘટાડવાથી, તેઓ જે પરિબળો આપે છે તે સાબિત કરે છે કે આ અનન્ય મૂળમાં ડિગ્રીના આંશિક અંશો છે. આમ કરતા પહેલા, તેઓ જણાવે છે (પ્રમેય 2, પૃષ્ઠ 598 પછીની ટિપ્પણીમાં) કે મૂળને ક્યાં અને માટે અને માત્ર ત્યારે જ લખી શકાય છે જો દ્વિસંગી વિસ્તરણમાં 's' ના માત્ર સમ લંબાઈના ખંડો હોય. આ બૌમ-મીઠી શ્રેણીનું મૂળ છે. મકાઉર અને યાઓએ સાબિત કર્યું કે ઉપરના માટે સતત અપૂર્ણાંકના આંશિક ભાગ સ્વયંસંચાલિત ક્રમ બનાવતા નથી. જો કે, આંશિક અવતરણોનો ક્રમ બિન-સમાન આકારવાદ દ્વારા પેદા કરી શકાય છે. ગુણધર્મો બાઉમ-સ્વીટ ક્રમ 3-સ્ટેટ ઓટોમેટન દ્વારા પેદા કરી શકાય છે. બાઉમ-સ્વીટ ક્રમમાં bn શબ્દનું મૂલ્ય નીચે પ્રમાણે પુનરાવર્તિત રીતે મળી શકે છે. જો n = m·4k, જ્યાં m એ 4 વડે વિભાજીત થતું નથી (અથવા 0 છે), તો આમ b76 = b9 = b4 = b0 = 1, જે અવલોકન કરીને ચકાસી શકાય છે કે 76 ની દ્વિસંગી રજૂઆત, જે 1001100 છે, તેમાં વિષમ લંબાઈ સાથે 0 ના કોઈ ક્રમિક બ્લોક નથી. બાઉમ-સ્વીટ શબ્દ 1101100101001001., જે બાઉમ-સ્વીટ સિક્વન્સની શરતોને સંયોજિત કરીને બનાવવામાં આવ્યો છે, તે મોર્ફિઝમ અથવા સ્ટ્રિંગ અવેજી નિયમોનું એક નિશ્ચિત બિંદુ છે જે નીચે મુજબ છેઃ 11 → 1101 → 11011001 → 11011001 → 1101100101001001 → 1101100101001000001001001001. મોર્ફિઝમ નિયમો પરથી જોઈ શકાય છે કે બાઉમ-સ્વીટ શબ્દ કોઈપણ લંબાઈના ક્રમિક 0s ના બ્લોક્સ ધરાવે છે (bn = 0 એ શ્રેણીમાં તમામ 2k પૂર્ણાંકો માટે 5.2k ≤ n <6.2k). વધુ સંક્ષિપ્તમાં, કોભમના નાના પ્રમેય દ્વારા બૌમ-સ્વીટ શબ્દને એક સમાન આકારવાદના નિશ્ચિત બિંદુ પર લાગુ કોડિંગ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ખરેખર, મોર્ફિઝમ અને કોડિંગ તે રીતે શબ્દ ઉત્પન્ન કરે છે. નોંધો સંદર્ભો દ્વિસંગી ક્રમ