Associahedron
ગણિતમાં, એસોસીએહેડ્રોન એ એક-પરિમાણીય બહિર્મુખ પોલીટોપ છે જેમાં દરેક શિરોબિંદુ અક્ષરોની સ્ટ્રિંગમાં યોગ્ય રીતે શરૂઆત અને બંધ કૌંસ દાખલ કરવાની રીતને અનુરૂપ હોય છે, અને ધાર એસોસિએટિવિટી નિયમના એક જ ઉપયોગને અનુરૂપ હોય છે. સમાનરૂપે, એસોસીએહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ બાજુઓ સાથેના નિયમિત બહુકોણના ત્રિકોણને અનુરૂપ હોય છે અને ધાર ધાર પલટીઓને અનુરૂપ હોય છે જેમાં ત્રિકોણમાંથી એક જ કર્ણ દૂર કરવામાં આવે છે અને તેના સ્થાને એક અલગ વિકર્ણ મૂકવામાં આવે છે. એસોસીએહેડ્રાને જિમ સ્ટેશેફના કામ પછી સ્ટેશેફ પોલીટોપ પણ કહેવામાં આવે છે, જેમણે ડોવ તામારી દ્વારા અગાઉના કામ પછી 1960 ના દાયકાની શરૂઆતમાં તેમની પુનઃ શોધ કરી હતી. ઉદાહરણો એક-પરિમાણીય એસોસીએહેડ્રોન K3 ત્રણ પ્રતીકોના બે કૌંસ ((xy) z) અને (x (yz)) અથવા ચોરસના બે ત્રિકોણને રજૂ કરે છે. તે પોતે એક લાઇન સેગમેન્ટ છે. દ્વિ-પરિમાણીય એસોસીએહેડ્રોન K4 ચાર પ્રતીકોના પાંચ કૌંસ અથવા નિયમિત પંચકોણના પાંચ ત્રિકોણને રજૂ કરે છે. તે પોતે એક પંચકોણ છે અને તે એકવિધ શ્રેણીના પંચકોણ આકૃતિ સાથે સંબંધિત છે. ત્રિ-પરિમાણીય એસોસીએહેડ્રોન K5 એ નવ ચહેરાઓ (ત્રણ અસંબદ્ધ ચતુર્ભુજ અને છ પેન્ટાગોન) અને ચૌદ શિરોબિંદુઓ સાથેનું એક એનનિયાહેડ્રોન છે, અને તેનું દ્વિ ત્રિભુજ ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ છે. અનુભૂતિ શરૂઆતમાં જિમ સ્ટેશેફે આ વસ્તુઓને વક્રરેખીય પોલીટોપ તરીકે ગણાવી હતી. ત્યારબાદ, તેમને વિવિધ રીતે બહિર્મુખ બહુપદી તરીકે કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવ્યા હતા; સર્વેક્ષણ માટે પરિચય જુઓ. એસોસિયાહેડ્રોનની અનુભૂતિ કરવાની એક પદ્ધતિ નિયમિત બહુકોણના ગૌણ બહુપદી તરીકે છે. આ રચનામાં, n + 1 બાજુઓવાળા નિયમિત બહુકોણનું દરેક ત્રિકોણ (n + 1)-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં એક બિંદુને અનુરૂપ હોય છે, જેનું ith સંકલન એ બહુકોણના ith શિરોબિંદુ પર ત્રિકોણની ઘટનાનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે. દાખલા તરીકે, એકમ વર્ગના બે ત્રિકોણ આ રીતે કોઓર્ડિનેટ્સ (1,1/2,1,1/2) અને (1/2,1/2,1) સાથે બે ચાર પરિમાણીય બિંદુઓને જન્મ આપે છે. આ બે બિંદુઓનું બહિર્મુખ આવરણ એ એસોસીએહેડ્રોન K3 ની અનુભૂતિ છે. જો કે તે 4-પરિમાણીય જગ્યામાં રહે છે, તે તે જગ્યામાં એક રેખા ખંડ (1-પરિમાણીય પોલીટોપ) બનાવે છે. તેવી જ રીતે, એસોસીએહેડ્રોન K4 ને આ રીતે પાંચ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં નિયમિત પંચકોણ તરીકે અનુભવી શકાય છે, જેના શિરોબિંદુઓ વેક્ટર (1,2 + φ, 1,1 + φ, 1 + φ) ના ચક્રીય ક્રમચયો છે જ્યાં φ સુવર્ણ ગુણોત્તર સૂચવે છે. કારણ કે નિયમિત ષટ્કોણની અંદર સંભવિત ત્રિકોણમાં એવા ક્ષેત્રો હોય છે જે એકબીજાના પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે, આ રચનાનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય એસોસીએહેડ્રોન K5 ને પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ (છ પરિમાણોમાં) આપવા માટે થઈ શકે છે; જો કે (K4 નું ઉદાહરણ પહેલેથી જ દર્શાવે છે) આ રચના સામાન્ય રીતે કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે અતાર્કિક સંખ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે. જીન-લુઇસ લોડેને કારણે અન્ય અનુભૂતિ, એન-પર્ણ મૂળ ધરાવતા દ્વિસંગી વૃક્ષો સાથે એસોસીએહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓના પત્રવ્યવહાર પર આધારિત છે, અને સીધા (એન-2)-પરિમાણીય અવકાશમાં પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે. લોડેની અનુભૂતિનો ith સંકલન aibi છે, જ્યાં ai એ વૃક્ષના ith આંતરિક નોડ (ડાબેથી જમણે ક્રમમાં) ના ડાબા બાળકના પાંદડાના વંશજોની સંખ્યા છે અને b એ જમણા બાળકના પાંદડાના વંશજોની સંખ્યા છે. એસોસીએહેડ્રોનને સીધા (n−2)-પરિમાણીય અવકાશમાં પોલીટોપ તરીકે પ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે, જેના માટે તમામ સામાન્ય ફેસ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ 0, + 1 અથવા −1 હોય છે. આ કરવા માટે ઘાતાંકીય રીતે ઘણી સંયુક્ત રીતે અલગ રીતો છે. કારણ કે K5 એ માત્ર શિરોબિંદુઓ સાથેનું પોલિહેડ્રોન છે જેમાં 3 ધાર એક સાથે આવે છે, તેથી હાઇડ્રોકાર્બન અસ્તિત્વમાં હોવું શક્ય છે (પ્લેટોનિક હાઇડ્રોકાર્બન જેવું જ) જેની રાસાયણિક રચના K5 ના હાડપિંજર દ્વારા રજૂ થાય છે. આ "એસોસીએહેડ્રન" C14H14માં સ્માઇલ્સ નોટેશન હશેઃ C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. તેની ધાર લગભગ સમાન લંબાઈની હશે, પરંતુ દરેક ચહેરાના શિરોબિંદુઓ સહ-સમતલ હોવા જરૂરી નથી. ખરેખર, K5 એ લગભગ મિસ જોનસન ઘન છેઃ એવું લાગે છે કે ચોરસ અને નિયમિત પેન્ટાગોનમાંથી બનાવવું શક્ય છે, પરંતુ તે નથી. કાં તો શિરોબિંદુઓ તદ્દન કોપ્લાનર નહીં હોય, અથવા ચહેરાઓને નિયમિતતાથી સહેજ દૂર વિકૃત કરવા પડશે. n (Kn + 1) ક્રમના એસોસીએહેડ્રોનના (n − k)-પરિમાણીય ચહેરાની સંખ્યા જમણી બાજુએ દર્શાવેલ સંખ્યા ત્રિકોણ (n, k) દ્વારા આપવામાં આવે છે. Kn + 1 માં શિરોબિંદુઓની સંખ્યા એ n-th કતલાન સંખ્યા (ત્રિકોણમાં જમણી કર્ણ) છે. Kn + 1 (n ≤ 2 માટે) માં પાસાઓની સંખ્યા એ n-th ત્રિકોણાકાર સંખ્યા બાદબાકી એક (ત્રિકોણમાં બીજી કોલમ) છે, કારણ કે દરેક પાસા n પદાર્થોના 2-સબસેટને અનુરૂપ છે, જેમના જૂથો તામારી જાળી Tn બનાવે છે, સિવાય કે 2-સબસેટ જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લું તત્વ હોય છે. તમામ પરિમાણોના ચહેરાની સંખ્યા (એસોસીએહેડ્રોન પોતે એક ચહેરો તરીકે, પરંતુ ખાલી સમૂહ સહિત નહીં) એ શ્રોડર-હિપ્પાર્કસ સંખ્યા (ત્રિકોણની હરોળનો સરવાળો) છે. વ્યાસ 1980 ના દાયકાના અંતમાં, પરિભ્રમણ અંતરની સમસ્યાના સંબંધમાં, ડેનિયલ સ્લેટર, રોબર્ટ ટાર્જન અને વિલિયમ થર્સ્ટને પુરાવો આપ્યો હતો કે n-પરિમાણીય એસોસીએહેડ્રોન Kn + 2 નો વ્યાસ અનંત સંખ્યાબંધ n માટે વધુમાં વધુ 2n−4 છે અને n ના તમામ "મોટા પર્યાપ્ત" મૂલ્યો માટે. તેઓએ એ પણ સાબિત કર્યું કે જ્યારે n પૂરતો મોટો હોય ત્યારે આ ઉપલી સીમા ચુસ્ત હોય છે, અને અનુમાન લગાવ્યું કે "મોટા પર્યાપ્ત" નો અર્થ "સખત રીતે 9 કરતા મોટો" થાય છે. આ અનુમાન 2012માં લિયોનેલ પોર્નિન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. સ્કેટરિંગ એમ્પ્લિટ્યુડ્સ 2017 માં, મિઝેરા અને અર્કાની-હમેદ વગેરે. દર્શાવે છે કે દ્વિ-સંયુક્ત ઘન સ્કેલર સિદ્ધાંત માટે સ્કેટરિંગ એમ્પ્લિટ્યુડના સિદ્ધાંતમાં એસોસિઆહેડ્રોન કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવે છે. ખાસ કરીને, સ્કેટરિંગ કિનેમેટિક્સની જગ્યામાં એક એસોસીએહેડ્રોન અસ્તિત્વમાં છે, અને વૃક્ષ સ્તરનું સ્કેટરિંગ એમ્પ્લિટ્યુડ એ ડ્યુઅલ એસોસીએહેડ્રોનનું કદ છે. એસોસીએહેડ્રોન સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં ખુલ્લા અને બંધ તારના સ્કેટરિંગ એમ્પ્લિટ્યુડ વચ્ચેના સંબંધોને સમજાવવામાં પણ મદદ કરે છે. સાયક્લોહેડ્રોન પણ જુઓ, એક પોલીટોપ જેની વ્યાખ્યા કૌંસને ચક્રીય ક્રમમાં લપેટી લેવાની મંજૂરી આપે છે. ફેરવો આલેખ, એસોસીએહેડ્રોનના 1-કંકાલનું સામાન્યીકરણ. પર્મ્યુટોહેડ્રોન, એક પોલીટોપ છે જે કોમ્યુટવિટીમાંથી એસોસીએહેડ્રોનની વ્યાખ્યા જેવી જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પર્મ્યુટોએસોસિએહેડ્રોન, એક પોલીટોપ જેના શિરોબિંદુઓ કૌંસવાળા ક્રમચયો છે. તામારી જાળી, એક જાળી જેનો આલેખ એસોસીએહેડ્રોનનું હાડપિંજર છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ સ્ટ્રેન્જ એસોસિએશન્સ-એસોસિયાહેડ્રોન પર એસોસિયાહેડ્રા ઝિગલરનું વ્યાખ્યાન વિશે એ. એમ. એસ. કોલમ. 2009 માં બાર્સેલોનાની સ્વાયત્ત યુનિવર્સિટી ખાતે ગુંટર ઝિગલર દ્વારા વ્યાખ્યાનની નોંધો. એસોસીએડ્રા અને સાયક્લોહેડ્રા પર વ્યાખ્યાન. MSRI વ્યાખ્યાન નોંધે છે. પોલીટોપ