Poole–Frenkel effect
સોલિડ-સ્ટેટ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર (જેને ફ્રેન્કેલ-પૂલ ઉત્સર્જન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ વિદ્યુત અવાહકમાં ટ્રેપ-આસિસ્ટેડ ઇલેક્ટ્રોન પરિવહનની પદ્ધતિનું વર્ણન કરતું એક મોડેલ છે. તેનું નામ યાકોવ ફ્રેન્કેલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે 1938માં તેના પર એચ. એચ. પૂલ દ્વારા અગાઉ વિકસાવવામાં આવેલા સિદ્ધાંતને વિસ્તૃત કરીને પ્રકાશિત કર્યો હતો. ઇલેક્ટ્રોન નીચેની પ્રક્રિયા દ્વારા અવાહક દ્વારા ધીમે ધીમે આગળ વધી શકે છે. ઇલેક્ટ્રોન સામાન્ય રીતે સ્થાનિક સ્થિતિમાં ફસાયેલા હોય છે (શિથિલ રીતે કહીએ તો, તેઓ એક જ અણુ સાથે "અટવાઇ" જાય છે, અને સ્ફટિકની આસપાસ ફરવા માટે મુક્ત નથી). પ્રસંગોપાત, અનિયમિત થર્મલ વધઘટ ઇલેક્ટ્રોનને તેની સ્થાનિક સ્થિતિ છોડવા માટે પૂરતી ઊર્જા આપશે, અને વહન બેન્ડ તરફ આગળ વધશે. એકવાર ત્યાં પહોંચ્યા પછી, ઇલેક્ટ્રોન સ્ફટિકમાંથી થોડા સમય માટે આગળ વધી શકે છે, અન્ય સ્થાનિક સ્થિતિમાં આરામ કરતા પહેલા (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક અલગ અણુ સાથે "ચોંટતા"). પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર વર્ણવે છે કે કેવી રીતે, મોટા વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં, ઇલેક્ટ્રોનને વહન બેન્ડમાં પ્રમોટ કરવા માટે તેટલી થર્મલ ઊર્જાની જરૂર નથી (કારણ કે આ ઊર્જાનો એક ભાગ વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે), તેથી તેને તેટલા મોટા થર્મલ વધઘટની જરૂર નથી અને તે વધુ વારંવાર ખસેડવા માટે સક્ષમ હશે. સૈદ્ધાંતિક આધારો પર, પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર સ્કોટકી અસર સાથે તુલનાત્મક છે, જે મેટલ-ઇન્સ્યુલેટર ઇન્ટરફેસ પર ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર સાથે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે મેટલ-ઇન્સ્યુલેટર ઊર્જા અવરોધને ઘટાડે છે. જો કે, પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસરથી ઉત્પન્ન થતી વાહકતા જથ્થાબંધ-મર્યાદિત વહનની હાજરીમાં જોવા મળે છે (જ્યારે મર્યાદિત વહન પ્રક્રિયા સામગ્રીના જથ્થામાં થાય છે), જ્યારે સ્કોટકી પ્રવાહ ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે વાહકતા સંપર્ક-મર્યાદિત હોય છે (જ્યારે મર્યાદિત વહન પદ્ધતિ ધાતુ-અવાહક આંતરપૃષ્ઠ પર થાય છે). પૂલ-ફ્રેન્કેલ સમીકરણ ઉચ્ચ વિદ્યુત ક્ષેત્રોની હાજરીમાં ડાઇલેક્ટ્રિક્સ અને સેમિકન્ડક્ટર્સની વિદ્યુત વાહકતા (ઇન્સ્યુલેટર્સ કરતાં વધુ અને સેમિકન્ડક્ટર્સ સુધી) પૂલના નિયમ દ્વારા વર્ણવ્યા મુજબ લગભગ વધે છે (આખરે વિદ્યુત વિરામ તરફ દોરી જાય છે): જ્યાં શૂન્ય-ક્ષેત્ર વિદ્યુત વાહકતા એક સ્થિરાંક છે E એ લાગુ કરેલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે. આ મોડેલમાં વહન સ્વ-સુસંગત સામયિક ક્ષમતામાં ફરતી મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પ્રણાલી દ્વારા વહન કરવામાં આવે તેવું માનવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત, ફ્રેન્કેલે ડાઇલેક્ટ્રિક (અથવા સેમિકન્ડક્ટર) નું વર્ણન કરતું તેમનું સૂત્ર મેળવ્યું હતું, જે ફક્ત તટસ્થ અણુઓ દ્વારા રચાયેલું છે, જે હકારાત્મક રીતે ચાર્જ થયેલ છટકું સ્થિતિઓ તરીકે કામ કરે છે (જ્યારે ખાલી હોય, એટલે કે. જ્યારે અણુઓ આયનીકૃત થાય છે). કુલમ્બ પોટેન્શિયલ સાથે સ્થાનિક ટ્રેપ સ્થિતિઓ માટે, એક અણુથી બીજા અણુમાં જવા માટે ઇલેક્ટ્રોનને જે અવરોધ ઊંચાઈ પાર કરવી પડે છે તે ટ્રેપ પોટેન્શિયલ કૂવાની ઊંડાઈ છે. કોઈપણ બાહ્ય રીતે લાગુ થયેલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર વિના, પોટેન્શિયલનું મહત્તમ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે અને તે ટ્રેપ કેન્દ્રથી અનંત અંતરે સ્થિત હોય છે. જ્યારે બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સંભવિત અવરોધની ઊંચાઈ જાળની એક બાજુએ તે રકમ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે જ્યાંઃ q એ પ્રાથમિક ચાર્જ છે જે ગતિશીલ પારગમ્યતા છે. પ્રથમ યોગદાન લાગુ કરેલા વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે છે, બીજું આયનીય છટકું સ્થળ અને વહન ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થૈતિક આકર્ષણને કારણે છે. કુલમ્બ ટ્રેપ કેન્દ્રથી અંતર પર સંભવિત હવે મહત્તમ છે, જે દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી અને. આ અભિવ્યક્તિ સ્કોટકી અસર માટે મેળવેલ અભિવ્યક્તિ જેવી જ છે. ઘાતાંકમાં પરિબળ 2, જે પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસરમાં અવરોધ ઘટાડાને સ્કોટકી અસર કરતાં બમણો મોટો બનાવે છે, તે સ્કોટકી ઇન્ટરફેસ પર ધાતુમાં પ્રેરિત તેના મોબાઇલ ઇમેજ ચાર્જને બદલે ટ્રેપ સેન્ટર તરીકે કામ કરતા આયનના સ્થિર હકારાત્મક ચાર્જ સાથે ઉષ્મીય રીતે ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે છે. હવે જો, કોઈપણ લાગુ થયેલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર વિના, ઉષ્મીય રીતે આયનીકૃત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા તેના પ્રમાણસર હોય જ્યાંઃ વોલ્ટેજ અવરોધ (શૂન્ય લાગુ થયેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં) છે કે જેને ઇલેક્ટ્રોનને સામગ્રીમાં એક અણુથી બીજા અણુમાં જવા માટે પાર કરવું આવશ્યક છે તે બોલ્ટઝમેનનો અચળાંક T છે, તો પછી, બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રની હાજરીમાં વિદ્યુત વાહકતા તેના પર નિર્ભરતામાં પૂલના નિયમથી અલગ મેળવવાના પ્રમાણસર હશે. દરેક વસ્તુને ધ્યાનમાં રાખીને (બંને આવર્તન કે જેની સાથે ઇલેક્ટ્રોન વહન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત થાય છે, અને એકવાર તેઓ ત્યાં આવે તે પછી તેમની ગતિ), અને ઇલેક્ટ્રોનની ક્ષેત્ર-સ્વતંત્ર ગતિશીલતાને ધારીને, પૂલ-ફ્રેન્કેલ વર્તમાન માટે પ્રમાણભૂત માત્રાત્મક અભિવ્યક્તિ છેઃ જ્યાં J એ વર્તમાન ઘનતા છે. લાગુ વોલ્ટેજ અને તાપમાનના અવલંબનને સ્પષ્ટ બનાવતા, અભિવ્યક્તિ વાંચે છેઃ જ્યાં d એ ડાઇલેક્ટ્રિક જાડાઈ છે. આપેલ ડાઇલેક્ટ્રિક માટે, વિવિધ વહન પ્રક્રિયાઓ વિવિધ વોલ્ટેજ અને તાપમાન શ્રેણીઓમાં પ્રભુત્વ ધરાવે છે. ઉચ્ચ તાપમાન અને ઉચ્ચ ક્ષેત્ર પ્રથાઓ પર Si3N4, Al2O3 અને SiO2 જેવી સામગ્રીઓ માટે, વર્તમાન J સંભવતઃ પૂલ-ફ્રેન્કેલ ઉત્સર્જનને કારણે છે. ડાઇલેક્ટ્રિકમાં મર્યાદિત વહન પ્રક્રિયા તરીકે પૂલ-ફ્રેન્કેલ ઉત્સર્જનની શોધ સામાન્ય રીતે કહેવાતા પૂલ-ફ્રેન્કેલ પ્લોટમાં ઢોળાવનો અભ્યાસ કરીને કરવામાં આવે છે, જ્યાં ક્ષેત્ર () વિરુદ્ધ ક્ષેત્રના વર્ગમૂળ () દ્વારા વિભાજિત વર્તમાન ઘનતાનો લઘુગણક દર્શાવવામાં આવે છે. આવા પ્લોટનો વિચાર પૂલ-ફ્રેન્કેલ વર્તમાન ઘનતાની અભિવ્યક્તિમાંથી ઉદ્ભવે છે, જેમાં આ પ્રમાણસરતા (વિરુદ્ધ) હોય છે, અને આમ આ પ્લોટમાં એક સીધી રેખામાં પરિણમશે. કોઈ પણ લાગુ થયેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં વોલ્ટેજ અવરોધના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે, ઢોળાવ માત્ર એક પરિમાણ દ્વારા પ્રભાવિત થાય છેઃ ડાઇલેક્ટ્રિક પારગમ્યતા. વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા પર વર્તમાન ઘનતાની સમાન કાર્યાત્મક નિર્ભરતા હોવા છતાં, સ્કોટકી વહન પર પૂલ-ફ્રેન્કેલ વહન વચ્ચે તફાવત કરી શકાય છે કારણ કે તે પૂલ-ફ્રેન્કેલ પ્લોટમાં વિવિધ ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાઓમાં પરિણમશે. સૈદ્ધાંતિક ઢોળાવોનું મૂલ્યાંકન સામગ્રીના ઉચ્ચ આવર્તન ડાઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (શૂન્યાવકાશ પારગમ્યતા ક્યાં છે) ને જાણીને કરી શકાય છે, અને પ્રાયોગિક રીતે શોધાયેલ ઢોળાવ સાથે તેની સરખામણી કરી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, સૈદ્ધાંતિક ઢોળાવને પ્રાયોગિક રીતે શોધાયેલ ઢોળાવ સાથે સરખાવવા માટેના મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે, જો કે તે જાણીતું છે કે વાહકતા ઇલેક્ટ્રોડ-મર્યાદિત છે કે જથ્થાબંધ-મર્યાદિત છે. ઉચ્ચ આવર્તન ડાઇલેક્ટ્રિક અચળાંકનું આવું મૂલ્ય પછી સંબંધને અનુરૂપ હોવું જોઈએ, જ્યાં સામગ્રીનો રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સ છે. સુધારેલા પૂલ-ફ્રેન્કેલ મોડેલો ફ્રેન્કેલના શાસ્ત્રીય કાર્ય પછી આ વિષય પર ઘણી પ્રગતિ થઈ હોવા છતાં, પૂલ-ફ્રેન્કેલ સૂત્રનો ઉપયોગ ડાઇલેક્ટ્રિક્સ અને સેમિકન્ડક્ટર્સમાં જોવા મળતા કેટલાક બિન-ઓહમિક પ્રાયોગિક પ્રવાહોનું અર્થઘટન કરવા માટે કરવામાં આવે છે. શાસ્ત્રીય પૂલ-ફ્રેન્કેલ મોડેલની અંતર્ગત ધારણાઓ વિશેની ચર્ચાએ કેટલાક સુધારેલા પૂલ-ફ્રેન્કેલ મોડેલોને જીવન આપ્યું છે. આ પૂર્વધારણાઓ નીચે મુજબ રજૂ કરવામાં આવી છે. ઇલેક્ટ્રોડ્સ પર વિખેરાયેલા ઇલેક્ટ્રોનને ફરીથી ભરવા માટે સક્ષમ ઓહમિક સંપર્કોના અસ્તિત્વને ધારીને માત્ર ઇલેક્ટ્રોન (એક-વાહક) વહનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અને અવકાશ ચાર્જ અસરોને અવગણવામાં આવે છે, એમ ધારીને કે ક્ષેત્ર સમાન છે. આ પછીની ધારણાની સમીક્ષા મળી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મુર્ગાટ્રોઈડ દ્વારા વિકસિત "ફ્રેન્કેલ અસર દ્વારા વધારવામાં આવેલા અવકાશ ચાર્જ મર્યાદિત પ્રવાહના સિદ્ધાંત" માં. વાહકની ગતિશીલતા ક્ષેત્ર-સ્વતંત્ર હોવાનું માનવામાં આવે છે. ડી-ટ્રેપ્ડ કેરિયર્સ માટે દરેક પ્રકારની પ્રસરણ પ્રક્રિયાની અવગણના કરીને, પૂલ-ફ્રેન્કેલ સૂત્રમાં પૂર્વ-ઘાતાંકીય પરિબળ આમ આનુપાતિક છે. આ ચિત્રણ ડાઇલેક્ટ્રિક્સ અથવા સેમિકન્ડક્ટર્સમાં વહનના વર્ણન માટે યોગ્ય રહેશે. જો કે, પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર માત્ર ઓછી ગતિશીલતા મૂલ્યો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ સામગ્રીમાં જોવા મળે તેવી શક્યતા છે, કારણ કે, ઉચ્ચ ગતિશીલતા ઘન પદાર્થોમાં, વાહકના ઘટાડા દ્વારા વાહકનું ફરીથી ફસાવવું ધીમે ધીમે અવરોધિત થશે. તેમ છતાં, ક્ષેત્રમાંથી પૂર્વ-ઘાતાંકીય પરિબળના વિવિધ અવલંબન મળી શકે છેઃ એમ ધારીને કે વાહકોને ફરીથી ફસાવવામાં આવી શકે છે, પ્રમાણસરતા અથવા મેળવવામાં આવે છે, જે નજીકના પડોશી છટકું દ્વારા અથવા પ્રવાહ પછી થતા ઇલેક્ટ્રોન રીટ્રેપિંગ પર આધારિત છે. તદુપરાંત, પૂર્વ-ઘાતાંકીય પરિબળ પ્રમાણસર રેન્ડમ પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓનું પરિણામ હોવાનું જોવા મળે છે, જ્યારે અને પર નિર્ભરતા અનુક્રમે હોપિંગ અને પ્રસરણ પરિવહન પ્રક્રિયાઓનું પરિણામ હોવાનું જાણવા મળે છે. શાસ્ત્રીય પૂલ-ફ્રેન્કેલ સિદ્ધાંતમાં કુલોમ્બિક ટ્રેપ પોટેન્શિયલ ધારવામાં આવે છે, પરંતુ બહુધ્રુવીય ખામીઓ અથવા સ્ક્રીનીંગ હાઇડ્રોજેનિક પોટેન્શિયલ સાથે સંબંધિત તીવ્ર પોટેન્શિયલને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ફાંસોના પ્રકારશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં, સકારાત્મક રીતે ચાર્જ થયેલ છટકું સ્થળો માટે પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર હોવાનું વર્ણવવામાં આવ્યું છે, એટલે કે. એવા જાળ માટે કે જે ખાલી હોય ત્યારે હકારાત્મક હોય અને ભરવામાં આવે ત્યારે તટસ્થ હોય, જેથી ઇલેક્ટ્રોન હકારાત્મક રીતે ચાર્જ થયેલ જાળ સાથેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે કુલોમ્બિક સંભવિત અવરોધનો અનુભવ કરી શકે. દાતાઓ અથવા સ્વીકારનારાઓની સાઇટ્સ અને વેલેન્સ બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોન પણ પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર પ્રદર્શિત કરશે. તેનાથી વિપરીત, એક તટસ્થ છટકું સ્થળ, એટલે કે. એક એવી જગ્યા કે જે ખાલી હોય ત્યારે તટસ્થ હોય અને જ્યારે ભરવામાં આવે ત્યારે ચાર્જ (ઇલેક્ટ્રોન માટે નકારાત્મક) હોય, તે પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર પ્રદર્શિત કરશે નહીં. અન્યમાં, સિમોન્સે છીછરા તટસ્થ ફાંસો અને ઊંડા દાતાઓ સાથે શાસ્ત્રીય મોડેલના વિકલ્પની દરખાસ્ત કરી છે, જે પૂલ-ફ્રેન્કેલ વહન પદ્ધતિની હાજરીમાં પણ સ્કોટકી વિદ્યુત ક્ષેત્રની નિર્ભરતા સાથે જથ્થાબંધ-મર્યાદિત વહન પ્રદર્શિત કરવામાં સક્ષમ છે, આમ Ta2O5 અને SiO ફિલ્મો દ્વારા જાહેર કરાયેલ "વિસંગત પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસર" ને સમજાવે છે. ત્યાં એવા નમૂનાઓ અસ્તિત્વમાં છે જે દાતા અને સ્વીકારનાર બંનેની હાજરીને ધ્યાનમાં લે છે, જેને ફાંસાનું વળતર કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, યરગન અને ટેલરનું મોડેલ, વળતરની વિવિધ ડિગ્રીઓ સહિત શાસ્ત્રીય પૂલ-ફ્રેન્કેલ સિદ્ધાંતને વિસ્તરે છેઃ જ્યારે માત્ર એક જ પ્રકારની જાળને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે પૂલ-ફ્રેન્કેલ પ્લોટમાં વળાંકનો ઢોળાવ સ્કોટકી ઉત્સર્જનમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જોકે અવરોધ ઘટાડવાથી સ્કોટકી અસર બમણી થાય છે; વળતરની હાજરીમાં ઢોળાવ બમણો મોટો હોય છે. આગળની ધારણા તરીકે ફાંસો માટે એક જ ઊર્જા સ્તર ધારવામાં આવે છે. જો કે, વધુ દાતા સ્તરોના અસ્તિત્વની ચર્ચા કરવામાં આવે છે, ભલે તે દરેક ક્ષેત્ર અને તાપમાન શાસન માટે સંપૂર્ણપણે ભરેલા હોવાનું માનવામાં આવે, અને આમ કોઈ વહન વાહક પ્રદાન ન કરે (આ જણાવે છે કે વધારાના દાતા સ્તરને ફર્મી સ્તરની નીચે સારી રીતે મૂકવામાં આવે છે). હાર્ટકેનું સમીકરણ જાળની ઊંડાઈમાં ઘટાડો કરવા માટે કરવામાં આવેલી ગણતરી એક-પરિમાણીય ગણતરી છે, જેના પરિણામે અસરકારક અવરોધ ઘટાડવાનું વધુ પડતું મૂલ્યાંકન થાય છે. હકીકતમાં, માત્ર બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં સંભવિત કૂવાની ઊંચાઈને પૂલ-ફ્રેન્કેલ અભિવ્યક્તિ અનુસાર અંદાજિત રીતે ઘટાડવામાં આવે છે. કોઈપણ દિશાના સંદર્ભમાં ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જનની સંભાવનાઓની સરેરાશ બનાવીને હાર્ટકે દ્વારા કરવામાં આવેલી વધુ સચોટ ગણતરી દર્શાવે છે કે મુક્ત વાહકની સાંદ્રતાની વૃદ્ધિ પૂલ-ફ્રેન્કેલ સમીકરણ દ્વારા આગાહી કરતાં ઓછી તીવ્રતાના ક્રમ વિશે છે. હાર્ટકે સમીકરણ ક્યાં છે તેની સમકક્ષ છે. સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિકોણથી, હાર્ટકેની અભિવ્યક્તિને પૂલ-ફ્રેન્કેલ સમીકરણ કરતાં એ આધાર પર પસંદ કરવી જોઈએ કે ટ્રેપ અવરોધ ઘટાડવાની સમસ્યાની ત્રિ-પરિમાણીયતાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. વધારાના ત્રિ-પરિમાણીય નમૂનાઓ વિકસાવવામાં આવ્યા છે, જે ઉપરની દિશામાં ઉત્સર્જન પ્રક્રિયાની પ્રક્રિયાથી અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઈદા, સાવા અને કાટોએ એક મોડેલ પ્રસ્તાવિત કર્યું છે જેમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રની આગળ અને વિરુદ્ધ બંને દિશામાં અવરોધની વિવિધતાનો સમાવેશ થાય છે. પૂલ-ફ્રેન્કેલ સંતૃપ્તિ ત્યારે થાય છે જ્યારે તમામ ટ્રેપ સાઇટ્સ આયનીકૃત થાય છે, પરિણામે વહન વાહકોની મહત્તમ સંખ્યા થાય છે. અનુરૂપ સંતૃપ્તિ ક્ષેત્ર અવરોધના લુપ્ત થવાનું વર્ણન કરતી અભિવ્યક્તિમાંથી મેળવવામાં આવે છેઃ સંતૃપ્તિ ક્ષેત્ર ક્યાં છે. આમ. કંડક્શન બેન્ડની ધાર પર હોવાથી ટ્રેપ સાઇટ્સ હવે ખાલી છે. હકીકત એ છે કે પૂલ-ફ્રેન્કેલ અસરને વાહકતા (અને વર્તમાન માટે) માટે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જે વધતા ક્ષેત્રો સાથે અલગ પડે છે અને સંતૃપ્તિ અનુભવતી નથી, તે સરળ ધારણાને આભારી છે કે ટ્રેપ વસ્તી મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન આંકડાશાસ્ત્રને અનુસરે છે. ઓંગારો અને પિલોનેટ દ્વારા એક ઉન્નત પૂલ-ફ્રેન્કેલ મોડેલ તૈયાર કરવામાં આવ્યું છે, જે ફર્મી-ડીરાક સૂત્ર સાથે ટ્રેપ સ્ટેટિસ્ટિક્સના વધુ સચોટ વર્ણનનું વ્યાપક અને માત્રાત્મક રીતે સેચ્યુરેશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવામાં સક્ષમ છે. ઇલેક્ટ્રોનિક મેમરી ઉપકરણોમાં પૂલ-ફ્રેન્કેલ પરિવહન ચાર્જ ટ્રેપ ફ્લેશ મેમરીમાં, ચાર્જ ટ્રેપિંગ મટિરિયલમાં સંગ્રહિત થાય છે, સામાન્ય રીતે સિલિકોન-નાઇટ્રાઇડ સ્તર, કારણ કે વર્તમાન ડાઇલેક્ટ્રિકમાંથી વહે છે. પ્રોગ્રામિંગ પ્રક્રિયામાં, દ્વાર પર લાગુ કરવામાં આવેલા મોટા હકારાત્મક પૂર્વગ્રહને કારણે સબસ્ટ્રેટમાંથી ટ્રેપિંગ સ્તર તરફ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે. વર્તમાન પરિવહન એ બે જુદી જુદી વહન પદ્ધતિઓનું પરિણામ છે, જેને શ્રેણીમાં ધ્યાનમાં લેવું જોઈએઃ ઓક્સાઇડ દ્વારા પ્રવાહ ટનલિંગ દ્વારા છે, નાઇટ્રાઇડ દ્વારા વહન પદ્ધતિ પૂલ-ફ્રેન્કેલ પરિવહન છે. ટનલિંગ પ્રવાહને સુધારેલા ફોલ્લર-નોર્ડહેમ ટનલિંગ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, એટલે કે. એક ટનલિંગ સમીકરણ જે ધ્યાનમાં લે છે કે ટનલિંગ અવરોધનો આકાર ત્રિકોણાકાર નથી (ફોલ્લર-નોર્ડહેમ સૂત્ર વ્યુત્પત્તિ માટે ધાર્યા મુજબ), પરંતુ ઓક્સાઇડમાં ટ્રેપેઝોઇડલ અવરોધની શ્રેણી અને નાઇટ્રાઇડમાં ત્રિકોણાકાર અવરોધથી બનેલું છે. પૂલ-ફ્રેન્કેલ પ્રક્રિયા એ ટનલિંગ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવતા ઉચ્ચ પ્રવાહને કારણે મેમરી પ્રોગ્રામિંગ શાસનની શરૂઆતમાં વહનની મર્યાદિત પદ્ધતિ છે. જેમ જેમ ફસાયેલા ઇલેક્ટ્રોન ચાર્જ વધે છે, ક્ષેત્રની તપાસ કરવાનું શરૂ કરે છે, તેમ સંશોધિત ફોલ્લર-નોર્ડહેમ ટનલિંગ મર્યાદિત પ્રક્રિયા બની જાય છે. ઓક્સાઇડ-નાઇટ્રાઇડ આંતરપૃષ્ઠ પર ફસાયેલા ચાર્જની ઘનતા તેના પર વહેતા પૂલ-ફ્રેન્કેલ પ્રવાહના અભિન્ન પ્રમાણસર હોય છે. મેમરી લેખન અને ભૂંસી નાખવાના ચક્રની વધતી સંખ્યા સાથે, નાઇટ્રાઇડમાં વધતી જથ્થાબંધ વાહકતાને કારણે રીટેન્શન લાક્ષણિકતાઓ વધુ ખરાબ થાય છે. સ્કોટકી ઇફેક્ટ ચાર્જ ટ્રેપ ફ્લેશ ઇલેક્ટ્રિકલ બ્રેકડાઉન ડાઇલેક્ટ્રિક સંદર્ભો કન્ડેન્સ્ડ મેટર ફિઝિક્સ સોલિડ સ્ટેટ એન્જિનિયરિંગ પણ જુઓ.