Borda–Carnot equation
પ્રવાહી ગતિશીલતામાં બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ એ (અચાનક) પ્રવાહના વિસ્તરણને કારણે પ્રવાહીના યાંત્રિક ઊર્જાના નુકસાનનું પ્રયોગમૂલક વર્ણન છે. તે વર્ણવે છે કે નુકસાનને કારણે કુલ માથું કેવી રીતે ઘટે છે. આ બર્નૌલીના અપવ્યય વિનાના પ્રવાહ (ઉલટાવી ન શકાય તેવા નુકસાન વિના) ના સિદ્ધાંતથી વિપરીત છે, જ્યાં કુલ માથું એક પ્રવાહરેખા સાથે સતત હોય છે. આ સમીકરણનું નામ જીન-ચાર્લ્સ ડી બોર્ડા (1733-1799) અને લેઝારે કાર્નોટ (1753-1823) પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. આ સમીકરણનો ઉપયોગ ખુલ્લી ચેનલના પ્રવાહ તેમજ પાઇપના પ્રવાહ બંને માટે થાય છે. પ્રવાહના કેટલાક ભાગોમાં જ્યાં ઉલટાવી ન શકાય તેવી ઊર્જાની ખોટ નજીવી હોય છે, ત્યાં બર્નૌલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ફોર્મ્યુલેશન બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ એ છે કે જ્યાં δE એ પ્રવાહીની યાંત્રિક ઊર્જા ખોટ છે, β એ પ્રયોગમૂલક નુકસાન ગુણાંક છે, જે પરિમાણહીન છે અને શૂન્ય અને એક વચ્ચે મૂલ્ય ધરાવે છે, 0 ≤ β ≤ 1, ρ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, v1 અને v2 એ વિસ્તરણ પહેલાં અને પછી સરેરાશ પ્રવાહ વેગ છે. અચાનક અને વ્યાપક વિસ્તરણના કિસ્સામાં, નુકસાન ગુણાંક એક બરાબર છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, નુકસાન ગુણાંક અન્ય માધ્યમો દ્વારા નક્કી કરવો પડે છે, મોટેભાગે પ્રયોગમૂલક સૂત્રો (પ્રયોગો દ્વારા મેળવેલા ડેટાના આધારે) થી. બોર્ડા-કાર્નોટ લોસ સમીકરણ માત્ર ઘટતા વેગ, v1> v2 માટે માન્ય છે, અન્યથા વધારાના બાહ્ય દળો દ્વારા યાંત્રિક કાર્ય વિના ΔE નું નુકસાન શૂન્ય છે, ત્યાં પ્રવાહીની યાંત્રિક ઊર્જામાં લાભ થઈ શકતો નથી. નુકસાનના ગુણાંકને સુવ્યવસ્થિત કરીને પ્રભાવિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાઇપના વિસ્તરણના કિસ્સામાં, ધીમે ધીમે વિસ્તરતા વિસારકનો ઉપયોગ યાંત્રિક ઊર્જાના નુકસાનને ઘટાડી શકે છે. કુલ હેડ અને બર્નૌલીના સિદ્ધાંત સાથેનો સંબંધ બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ બર્નૌલી સમીકરણના અચળાંકમાં ઘટાડો આપે છે. અસંપીડ્ય પ્રવાહ માટે પરિણામ 1 અને 2 લેબલવાળા બે સ્થાનો માટે હોય છે, જેમાં સ્થાન 2 પ્રવાહરેખા સાથે ડાઉનસ્ટ્રીમથી 1 સુધી હોય છેઃ p1 અને p2 સાથે સ્થાન 1 અને 2 પર દબાણ, z1 અને z2 સાથે પ્રવાહી કણની ઊભી ઉંચાઈ (કેટલાક સંદર્ભ સ્તરથી ઉપર), g એ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગક છે. સમાન ચિહ્નની બંને બાજુએ પ્રથમ ત્રણ શબ્દો અનુક્રમે દબાણ, પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જા ઘનતા અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સંભવિત ઊર્જા ઘનતા છે. જેમ જોઈ શકાય છે તેમ, દબાણ સંભવિત ઊર્જાના એક સ્વરૂપ તરીકે અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે. ઉચ્ચ દબાણવાળી નળીના પ્રવાહના કિસ્સામાં, જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણીય અસરોને અવગણી શકાય છે, ત્યારે δE એ નુકસાન (p + ρv2/2) ની બરાબર છેઃ ઓપન-ચેનલ પ્રવાહ માટે, δE એ કુલ હેડ લોસ સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે H એ કુલ હેડ છેઃ જ્યાં h એ હાઇડ્રોલિક હેડ છે, સંદર્ભ ડેટમની ઉપર મુક્ત સપાટીની ઉંચાઈઃ h = z + p/(ρg). ઉદાહરણો પાઇપનું અચાનક વિસ્તરણ બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ આડી પાઇપના અચાનક વિસ્તરણ દ્વારા પ્રવાહ પર લાગુ થાય છે. ક્રોસ સેક્શન 1 પર, સરેરાશ પ્રવાહ વેગ v1 બરાબર હોય છે, દબાણ p1 હોય છે અને ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર A1 હોય છે. ક્રોસ સેક્શન 2 પર અનુરૂપ પ્રવાહની માત્રા-વિસ્તરણ (અને અલગ પ્રવાહના પ્રદેશો) થી ઘણી પાછળ-અનુક્રમે v2, p2 અને A2 છે. વિસ્તરણ સમયે, પ્રવાહ અલગ થાય છે અને ત્યાં યાંત્રિક ઊર્જા નુકસાન સાથે તોફાની પુનરાવર્તિત પ્રવાહ ઝોન હોય છે. આ અચાનક વિસ્તરણ માટે લોસ કોએફિશિયન્ટ x લગભગ એક બરાબર છેઃ x ≈ 1. દળ સંરક્ષણને કારણે, સ્થિર પ્રવાહી ઘનતા ρ ધારીને, બંને ક્રોસ સેક્શન 1 અને 2 દ્વારા વોલ્યુમેટ્રિક પ્રવાહ દર સમાન હોવો જોઈએઃ તેથી પરિણામે-બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ અનુસાર-આ અચાનક વિસ્તરણમાં યાંત્રિક ઊર્જાની ખોટ છેઃ કુલ હેડ αH ની અનુરૂપ ખોટ છેઃ આ કિસ્સામાં ω = 1 સાથે, બે ક્રોસ સેક્શન વચ્ચેની ગતિ ઊર્જામાં કુલ ફેરફાર વિખેરાઈ જાય છે. પરિણામે, બંને ક્રોસ સેક્શન વચ્ચે દબાણમાં ફેરફાર થાય છે (ગુરુત્વાકર્ષણ અસરો વિના આ આડી પાઇપ માટે): અને હાઇડ્રોલિક હેડ h = z + p/(ρg) માં ફેરફારઃ જમણી બાજુની બાજુઓની સામે ઓછા સંકેતો, એટલે કે પાઇપના વિસ્તરણ પછી દબાણ (અને હાઇડ્રોલિક હેડ) વધારે છે. પાઇપના વિસ્તરણ પહેલાં અને પછી દબાણ (અને હાઇડ્રોલિક હેડ) માં આ ફેરફાર, ઊર્જાના ઘટાડાને અનુરૂપ છે તે બર્નૌલીના સિદ્ધાંતના પરિણામો સાથે સરખામણી કરતી વખતે સ્પષ્ટ થાય છે. આ અપવ્યય વિનાના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રવાહની ગતિમાં ઘટાડો એ વર્તમાન કિસ્સામાં યાંત્રિક ઊર્જાના નુકસાનની સરખામણીએ દબાણમાં ઘણો મોટો વધારો સાથે સંકળાયેલ છે. પાઇપનું અચાનક સંકોચન પાઇપના વ્યાસમાં અચાનક ઘટાડો થવાના કિસ્સામાં, સુવ્યવસ્થિત કર્યા વિના, પ્રવાહ સાંકડી પાઇપમાં તીક્ષ્ણ વળાંકને અનુસરવામાં સક્ષમ નથી. પરિણામે, ત્યાં પ્રવાહનું વિભાજન થાય છે, જે સાંકડી પાઇપના પ્રવેશદ્વાર પર પુનરાવર્તિત વિભાજન ઝોન બનાવે છે. મુખ્ય પ્રવાહ અલગ પ્રવાહ વિસ્તારો વચ્ચે સંકોચાય છે, અને પછીથી સંપૂર્ણ પાઇપ વિસ્તારને આવરી લેવા માટે ફરીથી વિસ્તરે છે. સંકોચન પહેલાં ક્રોસ સેક્શન 1 અને ક્રોસ સેક્શન 3, વેના કોન્ટ્રાકટા કે જેના પર મુખ્ય પ્રવાહ સૌથી વધુ સંકોચાય છે તેની વચ્ચે વધુ માથું નુકસાન થતું નથી. પરંતુ ક્રોસ સેક્શન 3 થી 2 સુધીના પ્રવાહના વિસ્તરણમાં નોંધપાત્ર નુકસાન છે. આ હેડ લોસને બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, સંકોચન ગુણાંકના ઉપયોગ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ A3 સાથે સૌથી મજબૂત મુખ્ય પ્રવાહ સંકોચન 3 ના સ્થાન પર ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર, અને A2 પાઇપના સાંકડા ભાગનો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર. A3 ≤ A2 હોવાથી, સંકોચનનો ગુણાંક એક કરતાં ઓછો છેઃ μ ≤ 1. ફરીથી દળનું સંરક્ષણ છે, તેથી ત્રણ ક્રોસ સેક્શનમાં વોલ્યુમ ફ્લક્સ અચળ છે (અચળ પ્રવાહી ઘનતા ρ માટે): v1, v2 અને v3 સાથે સંકળાયેલ ક્રોસ સેક્શનમાં સરેરાશ પ્રવાહ વેગ. પછી, બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ અનુસાર (લોસ કોએફિસિઅન્ટ ω = 1 સાથે), પ્રવાહીના જથ્થાના એકમ દીઠ અને પાઇપના સંકોચનને કારણે ઊર્જાની ખોટ α = α/(ρg) છેઃ કુલ હેડ αHની અનુરૂપ ખોટ α = α/(ρg) તરીકે ગણી શકાય. વેઇસબાચના માપ અનુસાર, તીક્ષ્ણ ધારવાળા સંકોચન માટે સંકોચન ગુણાંક આશરે છેઃ અચાનક વિસ્તરણ માટે વેગ સંતુલનમાંથી વ્યુત્પત્તિ પાઇપમાં અચાનક વિસ્તરણ માટે, ઉપરની આકૃતિ જુઓ, બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ પ્રવાહના દળ અને વેગ સંરક્ષણમાંથી મેળવી શકાય છે. વેગ પ્રવાહ S (એટલે કે. પાઇપ અક્ષની સમાંતર પ્રવાહી વેગ ઘટક માટે)-યુલર સમીકરણો અનુસાર વિસ્તાર A ના ક્રોસ સેક્શન દ્વારાઃ વિસ્તરણના ઉપરના ભાગમાં ક્રોસ સેક્શન 1 દ્વારા બંધાયેલ નિયંત્રણ વોલ્યુમ માટે દળ અને વેગના સંરક્ષણને ધ્યાનમાં લો, ક્રોસ સેક્શન 2 ડાઉનસ્ટ્રીમ જ્યાં પ્રવાહ ફરીથી પાઇપ દિવાલ સાથે જોડાય છે (વિસ્તરણ સમયે પ્રવાહ અલગ થયા પછી), અને પાઇપ દિવાલ. પ્રવાહ પર નિયંત્રણ વોલ્યુમનો વેગ S1 નો લાભ અને પ્રવાહ પર નુકસાન S2 છે. આ ઉપરાંત, વિસ્તરણની દિવાલ (પાઇપ અક્ષને લંબરૂપ) દ્વારા લાદવામાં આવેલા પ્રવાહી પરના દબાણ દ્વારા બળ F નું યોગદાન પણ છેઃ જ્યાં એવું માનવામાં આવે છે કે દબાણ નજીકથી ઉપરના દબાણ p1 જેટલું છે. યોગદાન ઉમેરતા, ક્રોસ સેક્શન 1 અને 2 વચ્ચેના નિયંત્રણ વોલ્યુમ માટે વેગ સંતુલન આપે છેઃ પરિણામે, સામૂહિક સંરક્ષણ દ્વારાઃ ઉપરના ઉદાહરણમાં દબાણમાં ઘટાડા સાથે સંમત થાય છે. યાંત્રિક ઊર્જા નુકશાન ΔE છેઃ જે બોર્ડા-કાર્નોટ સમીકરણ છે (φ = 1 સાથે). ડાર્સી-વેઇસબેક સમીકરણ પ્રોની સમીકરણ નોંધો સંદર્ભો, 634 પીપી પણ જુઓ. , 634 પીપી. , 706 પીપી. પ્રવાહી ગતિશીલતાના સમીકરણો પ્રવાહી ગતિશીલતા હાઇડ્રોલિક્સ પાઇપિંગ