Final value theorem
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય (એફ. વી. ટી.) એ સંખ્યાબંધ સમાન પ્રમેયોમાંથી એક છે જેનો ઉપયોગ આવર્તન ક્ષેત્રની અભિવ્યક્તિઓને સમય ક્ષેત્રની વર્તણૂક સાથે સંબંધિત કરવા માટે થાય છે કારણ કે સમય અનંતની નજીક પહોંચે છે. ગાણિતિક રીતે, જો સતત સમયમાં (એકપક્ષીય) લાપ્લાસ પરિવર્તન હોય, તો અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય એવી શરતો સ્થાપિત કરે છે કે જેના હેઠળ, તેવી જ રીતે, જો સ્વતંત્ર સમયમાં (એકપક્ષીય) ઝેડ-પરિવર્તન હોય, તો અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય એવી શરતો સ્થાપિત કરે છે કે જેના હેઠળ એબેલિયન અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ગણતરી કરવા માટે (અથવા) ના સમય-ક્ષેત્ર વર્તન વિશે ધારણાઓ કરે છે. તેનાથી વિપરીત, ટૌબેરિયન અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય (અથવા) ની ગણતરી કરવા માટે આવર્તન-ક્ષેત્રની વર્તણૂક વિશે ધારણાઓ કરે છે (અભિન્ન પરિવર્તન માટે એબેલિયન અને ટૌબેરિયન પ્રમેયો જુઓ). લાપ્લાસ પરિવર્તન માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયો ડિડ્યુસિંગ નીચેના નિવેદનોમાં, નોટેશન "નો અર્થ એ છે કે જે 0 ની નજીક પહોંચે છે, જ્યારે" નો અર્થ એ છે કે જે હકારાત્મક સંખ્યાઓ દ્વારા 0 ની નજીક પહોંચે છે. પ્રમાણભૂત અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે દરેક ધ્રુવ કાં તો ખુલ્લા ડાબા અડધા સમતલમાં અથવા મૂળમાં છે, અને તેના મૂળમાં વધુમાં વધુ એક ધ્રુવ છે. પછી જેમ, અને. વ્યુત્પન્નના લાપ્લાસ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે અને બંનેમાં લાપ્લાસ રૂપાંતરણો છે જે બધા માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો અસ્તિત્વમાં છે અને અસ્તિત્વમાં છે તો. ટિપ્પણી પ્રમેયને જાળવી રાખવા માટે બંને મર્યાદાઓ અસ્તિત્વમાં હોવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો પછી અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ. સુધારેલ ટૌબેરિયન કન્વર્ઝ અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે તે બંધાયેલ અને વિભેદક છે, અને તે પણ બંધાયેલ છે. જો એમ હોય તો. વિસ્તૃત અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે દરેક ધ્રુવ ખુલ્લા ડાબા અર્ધ-સમતલમાં અથવા મૂળમાં છે. પછી નીચેનામાંથી એક થાય છેઃ તરીકે, અને. તરીકે, અને તરીકે. તરીકે, અને તરીકે. ખાસ કરીને, જો બહુવિધ ધ્રુવ હોય તો કેસ 2 અથવા 3 લાગુ પડે છે (અથવા). સામાન્યીકૃત અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે તે લાપ્લાસ પરિવર્તનક્ષમ છે. જવા દો. જો અસ્તિત્વમાં હોય અને અસ્તિત્વમાં હોય તો ક્યાં ગામા કાર્ય સૂચવે છે. કાર્યક્રમો મેળવવા માટેના અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયોનો ઉપયોગ પ્રણાલીની લાંબા ગાળાની સ્થિરતા સ્થાપિત કરવા માટે થાય છે. એબેલિયન અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયને સમજવું ધારો કે તે બંધાયેલ અને માપી શકાય તેવું છે અને. પછી બધા માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને. પ્રાથમિક સાબિતી ધારો કે સગવડ માટે તે ચાલુ કરો, અને દો. ચાલો, અને પસંદ કરો જેથી બધા માટે. ત્યારથી, દરેક માટે આપણી પાસે હવે દરેક માટે આપણી પાસે છે. બીજી બાજુ, કારણ કે તે નિશ્ચિત છે તે સ્પષ્ટ છે કે, અને તેથી જો તે પૂરતું નાનું છે. વ્યુત્પન્નના લાપ્લાસ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે નીચેની તમામ શરતો સંતોષાય છેઃ સતત વિકલનક્ષમ છે અને બંને અને લાપ્લાસ રૂપાંતરણ સંપૂર્ણપણે સંકલિત છે-એટલે કે, મર્યાદિત અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને મર્યાદિત છે. ટિપ્પણી સાબિતી પ્રભુત્વ ધરાવતા અભિસરણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે. કાર્યના સરેરાશ માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ચાલો એક સતત અને બંધાયેલ કાર્ય હોઈએ જેથી નીચેની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં રહે. સામયિક કાર્યોના એસિમ્પ્ટોટિક સરવાળા માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ધારો કે તે તેમાં સતત અને સંપૂર્ણપણે સંકલિત છે. ધારો કે તે એસિમ્પ્ટોટિકલી સામયિક કાર્યોના મર્યાદિત સરવાળાની બરાબર છે, જ્યાં તે સંપૂર્ણપણે સંકલિત છે અને અનંત સમયે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. પછી. અનંત તરફ વળતા વિધેય માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય ચાલો અને તેનું લાપ્લાસ રૂપાંતર બનીએ. ધારો કે તે નીચેની તમામ શરતોને સંતોષે છેઃ શૂન્ય પર અનંત રીતે વિકલનક્ષમ છે તે તમામ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે લાપ્લાસ પરિવર્તન ધરાવે છે કારણ કે તે પછી અનંત તરફ જાય છે. અયોગ્ય રીતે સંકલનક્ષમ વિધેયો માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય (સંકલન માટે એબેલનો પ્રમેય) માપી શકાય તેવું અને એવું હોવું જોઈએ કે (સંભવતઃ અયોગ્ય) સંકલન તેના માટે એકરૂપ થાય. પછી આ એબેલના પ્રમેયની આવૃત્તિ છે. આ જોવા માટે, તેની નોંધ લો અને ભાગો દ્વારા એકીકરણ પછી અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય લાગુ કરો. કારણ કે, અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય દ્વારા, ડાબી બાજુ માટે એકરૂપ થાય છે. વ્યવહારમાં અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલનું કન્વર્જન્સ સ્થાપિત કરવા માટે, અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ માટે ડિરીક્લેટનું પરીક્ષણ ઘણીવાર મદદરૂપ થાય છે. એક ઉદાહરણ ડિરીક્લેટ ઇન્ટિગ્રલ છે. એપ્લિકેશન્સ પ્રાપ્ત કરવા માટેના અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયોમાં રેન્ડમ વેરિયેબલની ક્ષણોની ગણતરી કરવા માટે સંભાવના અને આંકડાશાસ્ત્રમાં ઉપયોગો છે. ચાલો સતત રેન્ડમ ચલનું સંચિત વિતરણ કાર્ય હોઈએ અને તેનું લાપ્લાસ-સ્ટીલ્ટજેસ ટ્રાન્સફોર્મ હોઈએ. પછી-th ક્ષણની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છે વ્યૂહરચના એ લખવાની છે કે ક્યાં સતત છે અને દરેક માટે, કાર્ય માટે. દરેક માટે, ઇન્વર્સ લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે મૂકો, મેળવવા માટે, અને અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય લાગુ કરો. પછી અને તેથી પ્રાપ્ત થાય છે. ઉદાહરણો જ્યાં એફ. વી. ટી. ધરાવે છે ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રાન્સફર ફંક્શન દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમ માટે ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ કન્વર્જ થાય છે એટલે કે, ટૂંકા ઇમ્પલ્સ દ્વારા ખલેલ પહોંચાડ્યા પછી સિસ્ટમ શૂન્ય પર પરત આવે છે. જો કે, યુનિટ સ્ટેપ રિસ્પોન્સનું લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ છે અને તેથી સ્ટેપ રિસ્પોન્સ કન્વર્જ થાય છે. ટ્રાન્સફર ફંક્શન દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમ માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય આવેગ પ્રતિભાવનું અંતિમ મૂલ્ય 0 અને પગલાના પ્રતિભાવનું અંતિમ મૂલ્ય 1 હોવાની આગાહી કરે છે. જો કે, ન તો સમય-ક્ષેત્રની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે, અને તેથી અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયની આગાહીઓ માન્ય નથી. હકીકતમાં, ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ અને સ્ટેપ રિસ્પોન્સ બંને ઓસિલેટ થાય છે, અને (આ વિશેષ કિસ્સામાં) અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય સરેરાશ મૂલ્યોનું વર્ણન કરે છે જેની આસપાસ રિસ્પોન્સ ઓસિલેટ થાય છે. નિયંત્રણ સિદ્ધાંતમાં બે તપાસ કરવામાં આવે છે જે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેય માટે માન્ય પરિણામોની પુષ્ટિ કરે છેઃ છેદના તમામ બિન-શૂન્ય મૂળમાં નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગો હોવા આવશ્યક છે. મૂળમાં એકથી વધુ થાંભલા ન હોવા જોઈએ. આ ઉદાહરણમાં નિયમ 1 સંતુષ્ટ ન હતો, જેમાં છેદના મૂળ અને છે. Z પરિવર્તન માટે અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયો જો અસ્તિત્વમાં હોય અને અસ્તિત્વમાં હોય તો અંતિમ મૂલ્ય પ્રમેયને ઘટાડે છે. સતત-સમય એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીઓનું અંતિમ મૂલ્ય કંપનવિસ્તાર સાથેના પગલાના ઇનપુટના જવાબમાં પ્રણાલીનું અંતિમ મૂલ્ય છેઃ નમૂના-ડેટા પ્રણાલીઓ એપેરિયોડિક નમૂના સમય પર ઉપરોક્ત સતત-સમય એલ. ટી. આઈ. પ્રણાલીનું નમૂના-ડેટા પ્રણાલી એ અલગ-સમય પ્રણાલી છે જ્યાં અને, કંપનવિસ્તાર સાથેના પગલાના ઇનપુટના જવાબમાં આ પ્રણાલીનું અંતિમ મૂલ્ય તેની મૂળ સતત-સમય પ્રણાલીના અંતિમ મૂલ્ય જેટલું જ છે. પ્રારંભિક મૂલ્ય પ્રમેય ઝેડ-ટ્રાન્સફોર્મ લાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ એબેલિયન અને ટૌબેરિયન પ્રમેયો નોંધો બાહ્ય કડીઓ https://web.archive.org/web/20101225034508/http:// વિકિઝ. કંટ્રોલથિઓરીપ્રો. કોમ/અનુક્રમણિકા. પી. પી. શીર્ષક = અંતિમ _ મૂલ્ય _ પ્રમેય http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html: લાપ્લાસ માટે અંતિમ મૂલ્ય https://web.archive.org/web/20110719222313/http:// www. ngr. iupui. edu/~ skoskie/ECE595s7/handouts/fvt. પ્રૂફ. પી. ડી. એફ.: ફોરિયર વિશ્લેષણમાં ઝેડ-ટ્રાન્સફોર્મસ માટે અંતિમ મૂલ્ય પુરાવો તેઃ ટિયોરમા ડેલ વેલોર ઇનિઝિયલ