Finding Ellipses
એલિપ્સિસ શોધવીઃ બ્લેશ્કે પ્રોડક્ટ્સ, પોન્સલેટનો પ્રમેય અને ન્યુમેરિકલ રેન્જ નો અબાઉટ એક બીજા એ "જટિલ વિશ્લેષણ, ભૂમિતિ અને રેખીય બીજગણિત વચ્ચેના કેટલાક આશ્ચર્યજનક જોડાણો" પર અને આ ત્રણેય ક્ષેત્રોમાં અભ્યાસના અન્ય વિષયોમાંથી લંબગોળ પેદા થઈ શકે છે તે સંબંધિત રીતો પરનું ગણિતનું પુસ્તક છે. તે ઉલરિચ ડેપ, પામેલા ગોર્કિન, એન્ડ્રુ શેફર અને કાર્લ વોસ દ્વારા લખવામાં આવ્યું હતું અને 2019 માં અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી અને મેથેમેટિકલ એસોસિએશન ઓફ અમેરિકા દ્વારા કારુસ મેથેમેટિકલ મોનોગ્રાફ્સના વોલ્યુમ 34 તરીકે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું, જે ગણિતના તકનીકી વિષયોને વિશાળ પ્રેક્ષકો સમક્ષ રજૂ કરવાના હેતુથી પુસ્તકોની શ્રેણી છે. ફાઇન્ડિંગ એલિપ્સિસ બ્લાસ્કે પ્રોડક્ટ્સ, પોન્સલેટના ક્લોઝર થીયરમ અને મેટ્રિસીસની આંકડાકીય શ્રેણી વચ્ચેના જોડાણનો અભ્યાસ કરે છે. બ્લાસ્ક પ્રોડક્ટ એ એક તર્કસંગત કાર્ય છે જે જટિલ સમતલમાં એકમ ડિસ્કને પોતાની સાથે જ મેપ કરે છે, અને ડિસ્કની અંદર આપેલા કેટલાક બિંદુઓને મૂળમાં મેપ કરે છે. પુસ્તક દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા મુખ્ય કિસ્સામાં, ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ આપવામાં આવ્યા છે, અને, અને તેમના બ્લેશ્કે ઉત્પાદનનું સૂત્ર છે આ કાર્ય માટે, એકમ વર્તુળ પરના દરેક બિંદુને ત્રણ પૂર્વચિત્રો છે, જે એકમ વર્તુળ પર પણ છે. પૂર્વચિત્રોના આ ત્રિકોણો એકમ વર્તુળમાં અંકિત ત્રિકોણ બનાવે છે, અને (તે તારણ આપે છે) તે બધા લંબગોળને કેન્દ્ર અને કેન્દ્ર સાથે ઘેરાય છે. આમ, તેઓ બે શંકુમાં અંકિત અને ઘેરાયેલા બહુકોણની અનંત પ્રણાલી બનાવે છે, જે પોન્સલેટના પ્રમેય દ્વારા વર્ણવવામાં આવેલી પ્રણાલી બરાબર છે. આ પ્રમેય જણાવે છે કે, જ્યારે પણ એક બહુકોણ શંકુમાં અંકિત થાય છે અને બીજા શંકુને ઘેરાય છે, ત્યારે તે સમાન પ્રકારના બહુકોણના અનંત પરિવારનો ભાગ છે, જે બંને શંકુના દરેક બિંદુમાંથી એક છે. બ્લાસ્કે પ્રોડક્ટમાંથી બનેલા ત્રિકોણોનો પરિવાર પોન્સલેટના પ્રમેયના આ અનંત પરિવારોમાંથી એક છે. પુસ્તક દ્વારા સર્વેક્ષણ કરાયેલ જોડાણનો ત્રીજો ભાગ મેટ્રિક્સની આંકડાકીય શ્રેણી છે, એક પ્રદેશ જેમાં મેટ્રિક્સના આઈગનવેલ્યુઝ મળી શકે છે. જટિલ મેટ્રિક્સના કિસ્સામાં, આંકડાકીય શ્રેણી એક લંબગોળ હોય છે, જેના પરિણામે સામાન્ય રીતે લંબગોળ શ્રેણી પ્રમેય કહેવાય છે, જેમાં આઇગનવેલ્યુ તેના કેન્દ્ર તરીકે હોય છે. ચોક્કસ મેટ્રિક્સ માટે કે જેના ગુણાંક આપેલ બે બિંદુઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે, અને આ બિંદુઓ તેના કર્ણ પર હોય છે, આ લંબગોળ એ પોન્સલેટના પ્રમેયના ત્રિકોણ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. વધુમાં, કોઈપણ મેટ્રિક્સની આંકડાકીય શ્રેણી એ તેના એકાત્મક વિસ્તરણની આંકડાકીય શ્રેણીઓનું આંતરછેદ છે, જે આ કિસ્સામાં એકાત્મક મેટ્રિક્સ છે, જેમાં દરેક પોન્સલેટના પ્રમેયના ત્રિકોણમાંથી એકને તેની આંકડાકીય શ્રેણી તરીકે અને ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓને તેના આઈગનવેલ્યુ તરીકે ધરાવે છે. લંબચોરસ શોધવાનું ત્રણ ભાગોમાં ગોઠવવામાં આવે છે. પ્રથમ ભાગ બ્લાસ્કે પ્રોડક્ટ્સના ગણિત, પોન્સલેટના ક્લોઝર થીયરમ અને આંકડાકીય શ્રેણીઓને તેમની વચ્ચેના નજીકના જોડાણોને જાહેર કરતા પહેલા અલગથી વિકસાવે છે. પુસ્તકનો બીજો ભાગ આ વિચારોને ઉચ્ચ ક્રમના બ્લાસ્કે ઉત્પાદનો, મોટા મેટ્રિસીસ અને અનુરૂપ આંકડાકીય શ્રેણીઓ માટે પોન્સલેટ જેવા પરિણામો માટે સામાન્ય બનાવે છે, જે લંબગોળને સામાન્ય બનાવે છે. આ સામાન્યીકરણ ગણિતમાં વધુ અદ્યતન વિષયો સાથે જોડાય છેઃ "લેબસ્ગ્યુ થિયરી, હાર્ડી સ્પેસ, ફંક્શનલ એનાલિસિસ, ઓપરેટર થિયરી અને વધુ". ત્રીજા ભાગમાં વિદ્યાર્થીઓ માટે પ્રોજેક્ટ અને કવાયતોનો સમાવેશ થાય છે જેથી તેઓ પુસ્તકમાં દર્શાવેલી સામગ્રીથી આગળ આ સામગ્રી વિકસાવી શકે. વેબ એપલેટનો ઑનલાઇન સંગ્રહ વિદ્યાર્થીઓને પુસ્તકની રચનાઓ સાથે પ્રયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. પ્રેક્ષકો અને સ્વાગત 'ફાઇન્ડિંગ એલિપ્સિસ' મુખ્યત્વે ગણિતમાં અદ્યતન અંડરગ્રેજ્યુએટ્સને ધ્યાનમાં રાખીને બનાવવામાં આવે છે, જો કે તે અભ્યાસક્રમો માટેના પાઠ્યપુસ્તક કરતાં અંડરગ્રેજ્યુએટ સંશોધન પ્રોજેક્ટ્સ માટે કૂદકો મારવાનું કેન્દ્ર છે. પુસ્તકનો પ્રથમ ભાગ માત્ર પ્રમાણભૂત અંડરગ્રેજ્યુએટ ગણિતનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ બીજો ભાગ વધુ માગણી ધરાવતો છે, અને સમીક્ષક બિલ સેટ્ઝર લખે છે કે "શ્રેષ્ઠ વિદ્યાર્થીઓ પણ જોડાણ બનાવવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે હતાશ અનુભવીને પુસ્તકમાં પછાત અને આગળ જતા જોવા મળે છે". તેમ છતાં, લાઇન બેરીબો લખે છે કે તે "સ્પષ્ટ અને આકર્ષક" છે, અને તેના આધુનિક વિષયોના ઉપયોગમાં આકર્ષક છે. યુનુસ ઝેતુંકુ વધુ હકારાત્મક છે, તેને એક "આનંદ" કહે છે જે શાખાઓના આ સંયોજનને એક સુઘડ પેકેજમાં લાવવાનું "સ્વપ્ન સાકાર કરે છે" જે અંડરગ્રેજ્યુએટ્સ માટે સુલભ છે. સંદર્ભો ગણિત પુસ્તકો 2019 બિન-કાલ્પનિક પુસ્તકો પબ્લિકેશન્સ ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી