Dual polygon
ભૂમિતિમાં, બહુકોણ જોડીમાં સંકળાયેલા હોય છે જેને ડ્યુઅલ કહેવાય છે, જ્યાં એકના શિરોબિંદુઓ બીજાની ધારને અનુરૂપ હોય છે. ગુણધર્મો નિયમિત બહુકોણ સ્વ-દ્વૈત છે. આઇસોગોનલ (શિરોબિંદુ-સંક્રમક) બહુકોણનો દ્વિગુણ એક આઇસોટોક્સલ (ધાર-સંક્રમક) બહુકોણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, (આઇસોગોનલ) લંબચોરસ અને (આઇસોટોક્સલ) લંબચોરસ દ્વિગુણિત છે. ચક્રીય બહુકોણમાં, લાંબી બાજુઓ દ્વિ (એક સ્પર્શક બહુકોણ) માં મોટા બાહ્ય ખૂણાઓને અનુરૂપ હોય છે, અને નાની બાજુઓ નાના ખૂણાઓને અનુરૂપ હોય છે. વધુમાં, મૂળ બહુકોણમાં એકરૂપ બાજુઓ દ્વિમાં એકરૂપ ખૂણા આપે છે, અને તેનાથી વિપરીત. ઉદાહરણ તરીકે, અત્યંત તીવ્ર સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણનો દ્વિગુણ એક લંબ સમદ્વિબાહુ ત્રિકોણ છે. ડોર્મન લ્યુક બાંધકામમાં, બેવડા બહુપત્નીકોણનો દરેક ચહેરો અનુરૂપ શિરોબિંદુ આકૃતિનો બેવડા બહુકોણ છે. ચતુર્ભુજમાં દ્વૈતતા બહુકોણની બાજુ-ખૂણા દ્વૈતતાના ઉદાહરણ તરીકે આપણે ચક્રીય અને સ્પર્શક ચતુર્ભુજના ગુણધર્મોની તુલના કરીએ છીએ. આ દ્વૈતતા કદાચ પતંગ સાથે સમદ્વિબાહુ લંબચોરસની સરખામણી કરતી વખતે વધુ સ્પષ્ટ છે. દ્વૈત સુધારણાના પ્રકાર દ્વૈત બહુકોણની સૌથી સરળ ગુણાત્મક રચના એ સુધારણાની કામગીરી છે, જ્યાં બહુકોણની કિનારીઓ દરેક મૂળ ધારની મધ્યમાં શિરોબિંદુઓ સુધી કાપવામાં આવે છે. આ નવા શિરોબિંદુઓ વચ્ચે નવી ધાર રચાય છે. આ બાંધકામ ઉલટાવી શકાય તેવું નથી. એટલે કે, તેને બે વાર લગાવવાથી પેદા થતો બહુકોણ સામાન્ય રીતે મૂળ બહુકોણ જેવો હોતો નથી. ધ્રુવીય પારસ્પરિકતા દ્વિ બહુપથની જેમ, વ્યક્તિ એક વર્તુળ લઈ શકે છે (પછી તે અંકિત વર્તુળ હોય, પરિવેષ્ટિત વર્તુળ હોય, અથવા જો બંને અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેમનું મધ્ય વર્તુળ હોય) અને તેમાં ધ્રુવીય પારસ્પરિકતા કરી શકે છે. પ્રક્ષેપાત્મક દ્વૈતતા પ્રક્ષેપાત્મક દ્વૈતતા હેઠળ, એક બિંદુનું દ્વૈત એ એક રેખા છે, અને એક રેખા એ એક બિંદુ છે-આમ બહુકોણનું દ્વૈત એ બહુકોણ છે, જેમાં મૂળની ધાર દ્વૈતના શિરોબિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે અને તેનાથી વિપરીત હોય છે. બેવડા વળાંકના દૃષ્ટિકોણથી, જ્યાં વળાંક પરના દરેક બિંદુને તે બિંદુએ તેની સ્પર્શક રેખા સાથે જોડી શકાય છે, પ્રોજેક્ટિવ ડ્યુઅલનું અર્થઘટન આ રીતે કરી શકાય છેઃ બહુકોણની બાજુના દરેક બિંદુ પર સમાન સ્પર્શક રેખા હોય છે, જે બાજુ સાથે જ સંમત થાય છે-આમ તે બધા એક શિરોબિંદુ પર બેવડા બહુકોણમાં સમાન શિરોબિંદુ પર નકશો બનાવે છે, તે શિરોબિંદુ પરની "સ્પર્શક રેખાઓ" તે બિંદુથી પસાર થતી બધી રેખાઓ છે જે બે ધાર વચ્ચેના ખૂણા સાથે હોય છે-આ રેખાઓ માટેના બેવડા બિંદુઓ પછી બેવડા બહુકોણની ધાર હોય છે. સંયુક્ત રીતે, એક બહુકોણને શિરોબિંદુઓના સમૂહ, ધારોના સમૂહ અને ઘટના સંબંધ (જે શિરોબિંદુઓ અને ધાર સ્પર્શ કરે છે) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ બે અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ ધાર નક્કી કરે છે, અને દ્વિસંગી રીતે, બે અડીને આવેલા કિનારાઓ શિરોબિંદુ નક્કી કરે છે. પછી બેવડો બહુકોણ ફક્ત શિરોબિંદુઓ અને ધારને બદલીને મેળવવામાં આવે છે. આમ શિરોબિંદુઓ (A, B, C) અને ધારો (AB, BC, CA) ધરાવતા ત્રિકોણ માટે, દ્વિ ત્રિકોણમાં શિરોબિંદુઓ (AB, BC, CA) અને ધાર (B, C, A) હોય છે, જ્યાં B, AB અને BC વગેરેને જોડે છે. આ ખાસ કરીને ફળદાયી માર્ગ નથી, કારણ કે સંયુક્ત રીતે, બહુકોણનો એક જ પરિવાર છે (બાજુઓની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે); બહુકોણની ભૌમિતિક દ્વૈતતા વધુ વૈવિધ્યસભર છે, જેમ કે સંયુક્ત દ્વિ બહુપદી છે. ડ્યુઅલ કર્વ ડ્યુઅલ પોલિહેડ્રોન સેલ્ફ-ડ્યુઅલ બહુકોણ સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ડોન હેચ બહુકોણ દ્વારા ડ્યુઅલ બહુકોણ એપ્લેટ પણ જુઓ.