Rotating spheres
આઇઝેક ન્યૂટનની ફરતા ગોળાઓની દલીલ એ દર્શાવવાનો પ્રયાસ કરે છે કે બે સમાન ગોળાઓને જોડતા તારમાં તણાવનું નિરીક્ષણ કરીને સાચી ફરતી ગતિને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. દલીલનો આધાર એ છે કે તમામ નિરીક્ષકો બે અવલોકનો કરે છેઃ પદાર્થોને જોડતા તારમાં તણાવ (જે તમામ નિરીક્ષકો માટે સમાન હોય છે) અને ગોળાઓના પરિભ્રમણનો દર (જે પરિભ્રમણના અલગ દર ધરાવતા નિરીક્ષકો માટે અલગ હોય છે). માત્ર સાચા અર્થમાં બિન-ફરતા નિરીક્ષક માટે જ તારમાં તણાવને માત્ર ફરવાના અવલોકન દરનો ઉપયોગ કરીને સમજાવવામાં આવશે. અન્ય તમામ નિરીક્ષકો માટે એક "સુધારણા" (એક કેન્દ્રત્યાગી બળ) જરૂરી છે, જે પરિભ્રમણના અવલોકન દરનો ઉપયોગ કરીને અપેક્ષિત કરતાં અલગ ગણાતા તણાવ માટે જવાબદાર છે. તે સાચી ગતિ અને વિશ્રામના "ગુણધર્મો, કારણો અને અસરો" માંથી પાંચ દલીલોમાંની એક છે જે તેમની દલીલને સમર્થન આપે છે કે, સામાન્ય રીતે, સાચી ગતિ અને વિશ્રમને અન્ય પદાર્થોની તુલનામાં ગતિ અથવા વિશ્રામના વિશેષ ઉદાહરણો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી, પરંતુ તેના બદલે માત્ર નિરપેક્ષ જગ્યાના સંદર્ભ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, આ પ્રયોગો "સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ" નો અર્થ શું છે તેની કાર્યકારી વ્યાખ્યા પ્રદાન કરે છે, અને "શું સંબંધિત પરિભ્રમણ" ના પ્રશ્નને સંબોધવાનો ઢોંગ કરતા નથી? સામાન્ય સાપેક્ષતા નિરપેક્ષ અવકાશ સાથે અને ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે વિતરણ કરે છે, જેનું કારણ સિસ્ટમ માટે બાહ્ય છે, અવકાશ સમયના ભૂગણિતની વિભાવના સાથે. પૃષ્ઠભૂમિ ન્યૂટન એ સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે ચિંતિત હતા કે કેવી રીતે આપણે પ્રાયોગિક રીતે પદાર્થોની સાચી ગતિ નક્કી કરી શકીએ છીએ એ હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને કે નિરપેક્ષ અવકાશ એવી વસ્તુ નથી કે જેને સમજી શકાય. તેઓ કહે છે કે, આવા નિર્ધારણને ગતિના કારણો (એટલે કે બળો) નું નિરીક્ષણ કરીને પૂર્ણ કરી શકાય છે, માત્ર એકબીજાની સાપેક્ષ પદાર્થોની સ્પષ્ટ ગતિનું નહીં (જેમ કે બકેટ દલીલમાં). એક ઉદાહરણ તરીકે જ્યાં કારણોનું અવલોકન કરી શકાય છે, જો અવકાશમાં તરતા બે ગોળા દોરી દ્વારા જોડાયેલા હોય, દોરીમાં તણાવની માત્રાને માપતા હોય, પરિસ્થિતિનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કોઈ અન્ય સંકેતો ન હોય, તો એકલા જ તે સૂચવવા માટે પૂરતું છે કે બે પદાર્થો સમૂહના સામાન્ય કેન્દ્રની આસપાસ કેટલી ઝડપથી ફરે છે. (આ પ્રયોગમાં બળ, તણાવનું નિરીક્ષણ સામેલ છે). ઉપરાંત, પરિભ્રમણનો અર્થ-પછી ભલે તે ઘડિયાળની દિશામાં હોય કે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં-ગોળાકારની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર બળો લાગુ કરીને શોધી શકાય છે અને તે નક્કી કરી શકાય છે કે શું આ દોરીના તણાવમાં વધારો અથવા ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે (ફરીથી બળ સાથે). વૈકલ્પિક રીતે, પરિભ્રમણનો અર્થ પદાર્થોની પૃષ્ઠભૂમિ પ્રણાલીના સંદર્ભમાં ગ્લોબ્સની સ્પષ્ટ ગતિને માપવા દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે, જે અગાઉની પદ્ધતિઓ અનુસાર, પરિભ્રમણની સ્થિતિમાં ન હોવાનું પહેલેથી જ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે, ઉદાહરણ તરીકે ન્યૂટનના સમયથી, સ્થિર તારાઓ. 1846 માં એન્ડ્રુ મોટ્ટેએ ન્યૂટનના શબ્દોના અનુવાદમાં કહ્યુંઃ આ દરખાસ્તનો સારાંશ આપવા માટે, અહીં બોર્નનું એક અવતરણ છેઃ મેકે દલીલ સાથે થોડો મુદ્દો ઉઠાવ્યો, નિર્દેશ કર્યો કે ફરતા ગોળાનો પ્રયોગ ક્યારેય ખાલી બ્રહ્માંડમાં કરી શકાતો નથી, જ્યાં સંભવતઃ ન્યૂટનના નિયમો લાગુ પડતા નથી, તેથી પ્રયોગ ખરેખર દર્શાવે છે કે જ્યારે ગોળાઓ આપણા બ્રહ્માંડમાં ફરે છે ત્યારે શું થાય છે, અને તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, બ્રહ્માંડના સમગ્ર સમૂહની તુલનામાં માત્ર પરિભ્રમણ સૂચવી શકે છે. એક અર્થઘટન કે જે આ સંઘર્ષને ટાળે છે તે કહે છે કે ફરતા ગોળાઓનો પ્રયોગ ખરેખર કોઈ પણ વસ્તુની સાપેક્ષમાં પરિભ્રમણને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી (ઉદાહરણ તરીકે, નિરપેક્ષ અવકાશ અથવા નિશ્ચિત તારાઓ); તેના બદલે પ્રયોગ એ નિરપેક્ષ પરિભ્રમણ તરીકે ઓળખાતી ગતિ દ્વારા શું અર્થ થાય છે તેની કાર્યકારી વ્યાખ્યા છે. દલીલની રચના આ ગોળાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ ન્યુટન પોતે નિરપેક્ષ જગ્યાના સંબંધમાં પરિભ્રમણની શોધની ચર્ચા કરવા માટે કર્યો હતો. તારમાં તણાવને ધ્યાનમાં લેવા માટે જરૂરી કાલ્પનિક બળની તપાસ કરવી એ નિરીક્ષક માટે તે નક્કી કરવાની એક રીત છે કે તેઓ ફરતા હોય કે નહીં-જો કાલ્પનિક બળ શૂન્ય હોય, તો તેઓ ફરતા નથી. (અલબત્ત, ગ્રેવિટ્રોન મનોરંજન સવારી જેવા આત્યંતિક કિસ્સામાં, તમારે વધુ ખાતરી કરવાની જરૂર નથી કે તમે ફરતા હોવ છો, પરંતુ પૃથ્વીની સપાટી પર ઊભા રહીને, દ્રવ્ય વધુ સૂક્ષ્મ છે.) નીચે, આ નિરીક્ષણ પાછળની ગાણિતિક વિગતો રજૂ કરવામાં આવી છે. આકૃતિ 1 બે સમાન ગોળાઓ દર્શાવે છે જે તેમને જોડતી દોરીના કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. પરિભ્રમણની ધરીને જમણા હાથના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવેલી દિશા અને પરિભ્રમણના દરની સમાન તીવ્રતા સાથે વેક્ટર ω તરીકે દર્શાવવામાં આવી છેઃ |Ω | = ω. પરિભ્રમણનો કોણીય દર ω સમય (સમાન ગોળ ગતિ) થી સ્વતંત્ર માનવામાં આવે છે. પરિભ્રમણને કારણે, દોરી તણાવ હેઠળ છે. (પ્રતિક્રિયાશીલ કેન્દ્રત્યાગી બળ જુઓ.) આગળ આ પ્રણાલીનું વર્ણન જડતા માળખાના દૃષ્ટિકોણથી અને સંદર્ભની ફરતી માળખાથી રજૂ કરવામાં આવે છે. જડતા ફ્રેમ સ્ટ્રિંગના મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત જડતા ફ્રેમને અપનાવો. દડા આપણી સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિ વિશે એક વર્તુળમાં ફરે છે. પહેલા બે દડાઓમાંથી એકને જુઓ. ગોળાકાર માર્ગમાં મુસાફરી કરવા માટે, જે સતત વેગ સાથે સમાન ગતિ નથી, પરંતુ સતત ઝડપે ગોળાકાર ગતિ છે, તેના માટે દડા પર કાર્ય કરવા માટે બળની જરૂર પડે છે જેથી તેના વેગની દિશા સતત બદલાઈ શકે. આ બળ તારની દિશામાં અંદરની તરફ નિર્દેશિત થાય છે અને તેને કેન્દ્રગામી બળ કહેવામાં આવે છે. અન્ય દડાની સમાન જરૂરિયાત હોય છે, પરંતુ દોરીના વિરુદ્ધ છેડે હોવાને કારણે, સમાન કદના કેન્દ્રગામી બળની જરૂર પડે છે, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં. આકૃતિ 2 જુઓ. આ બે બળો દોરી દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવે છે, જે દોરીને તાણમાં મૂકે છે, જે આકૃતિ 2 માં પણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ફરતી ફ્રેમ દોરીના મધ્યબિંદુ પર ફરતી ફ્રેમ અપનાવો. ધારો કે ફ્રેમ દડાની જેમ જ કોણીય દરે ફરે છે, તેથી દડા આ ફરતી ફ્રેમમાં સ્થિર દેખાય છે. કારણ કે દડા હલતા નથી, નિરીક્ષકો કહે છે કે તેઓ આરામમાં છે. જો તેઓ હવે ન્યૂટનના જડતાના નિયમને લાગુ કરે, તો તેઓ કહેશે કે દડા પર કોઈ બળ કાર્ય કરતું નથી, તેથી દોરીને હળવા કરવી જોઈએ. જો કે, તેઓ સ્પષ્ટપણે જુએ છે કે દોરી તણાવમાં છે. (ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ દોરીને વિભાજિત કરી શકે છે અને તેના કેન્દ્રમાં એક સ્પ્રિંગ મૂકી શકે છે, જે ખેંચાઈ જશે.) આ તણાવને ધ્યાનમાં રાખીને, તેઓ દરખાસ્ત કરે છે કે તેમની ફ્રેમમાં એક કેન્દ્રત્યાગી બળ બે દડા પર કામ કરે છે, તેમને અલગ કરે છે. આ બળ ક્યાંયથી ઉત્પન્ન થતું નથી-તે આ ફરતી દુનિયામાં માત્ર "જીવનની હકીકત" છે, અને માત્ર આ ક્ષેત્રો જ નહીં, પરંતુ તેઓ જે અવલોકન કરે છે તેના પર કાર્ય કરે છે. આ સર્વવ્યાપક કેન્દ્રત્યાગી બળનો પ્રતિકાર કરવામાં, ગોળાઓ સ્થિર હોવા છતાં, તેમના નિરીક્ષણને ધ્યાનમાં રાખીને, તારને તણાવ હેઠળ મૂકવામાં આવે છે. કોરિઓલિસ બળ જો ગોળાઓ જડતા માળખામાં ફરતા ન હોય (સ્ટ્રિંગ તણાવ શૂન્ય હોય) તો શું? પછી ફરતી ફ્રેમમાં સ્ટ્રિંગ ટેન્શન પણ શૂન્ય હોય છે. પણ એવું કઈ રીતે બની શકે? ફરતી ફ્રેમમાં ગોળાઓ હવે ફરતા હોય તેવું લાગે છે અને તે કરવા માટે આંતરિક બળની જરૂર હોવી જોઈએ. એકસમાન ગોળાકાર ગતિના વિશ્લેષણ અનુસારઃ જ્યાં uR એ એક એકમ વેક્ટર છે જે પરિભ્રમણની અક્ષથી એક ગોળા તરફ નિર્દેશ કરે છે, અને ω એ કોણીય પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો વેક્ટર છે, જેની તીવ્રતા ω છે અને જમણા હાથના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવેલા પરિભ્રમણના સમતલની દિશા સામાન્ય છે, m એ દડાની દળ છે, અને R એ પરિભ્રમણની અક્ષથી ગોળાઓ સુધીનું અંતર છે (વિસ્થાપન વેક્ટરની તીવ્રતા, |xB | = R, એક અથવા બીજા ગોળાને સ્થિત કરે છે). ફરતા નિરીક્ષકના જણાવ્યા અનુસાર, શું તારમાં તણાવ પહેલા કરતા બમણો ન હોવો જોઈએ (કેન્દ્રત્યાગી બળમાંથી તણાવ વત્તા પરિભ્રમણના કેન્દ્રત્યાગી બળને પ્રદાન કરવા માટે જરૂરી વધારાનું તણાવ)? ફરતા નિરીક્ષક શૂન્ય તાણ જુએ છે તેનું કારણ ફરતા વિશ્વમાં અન્ય એક કાલ્પનિક બળ, કોરિઓલિસ બળ છે, જે ગતિશીલ પદાર્થના વેગ પર આધાર રાખે છે. આ શૂન્ય-તણાવના કિસ્સામાં, ફરતા નિરીક્ષક અનુસાર, ગોળાઓ હવે આગળ વધી રહ્યા છે, અને કોરિઓલિસ બળ (જે વેગ પર આધાર રાખે છે) સક્રિય થાય છે. લેખ કાલ્પનિક બળ અનુસાર, કોરિઓલિસ બળ છેઃ જ્યાં R એ પરિભ્રમણના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર છે, અને vB એ કોરિઓલિસ બળને આધિન પદાર્થનો વેગ છે, |vB | = ωR. આ ઉદાહરણની ભૂમિતિમાં, આ કોરિઓલિસ બળ સર્વવ્યાપક કેન્દ્રત્યાગી બળની બમણી તીવ્રતા ધરાવે છે અને તે દિશામાં બરાબર વિરુદ્ધ છે. તેથી, તે પ્રથમ ઉદાહરણમાં જોવા મળતા સર્વવ્યાપક કેન્દ્રત્યાગી બળને રદ કરે છે, અને સમાન ગોળાકાર ગતિ દ્વારા માંગવામાં આવતા કેન્દ્રત્યાગી બળને બરાબર પ્રદાન કરવા માટે એક પગલું આગળ વધે છે, તેથી ફરતું નિરીક્ષક ગણતરી કરે છે કે તારમાં તણાવની કોઈ જરૂર નથી-કોરિઓલિસ બળ દરેક વસ્તુની સંભાળ રાખે છે. સામાન્ય કિસ્સામાં શું થાય છે જો ગોળાઓ એક કોણીય દરે ફરે, જેમ કે ωI (I = જડતા), અને ફ્રેમ અલગ દરે ફરે છે ωR (R = પરિભ્રમણ)? જડતા નિરીક્ષકો ગોળાકાર ગતિ જુએ છે અને તારમાં તણાવ આ ગોળાઓ પર કેન્દ્રિય આંતરિક બળ મૂકે છેઃ આ બળ ફરતા નિરીક્ષકો દ્વારા જોવામાં આવતા તણાવને કારણે પણ બળ છે. ફરતા નિરીક્ષકો ગોળાને કોણીય દર ωS = ωI − ωR (S = ગોળા) સાથે ગોળ ગતિમાં જુએ છે. એટલે કે, જો ફ્રેમ ગોળાઓ કરતાં વધુ ધીમે ફરે છે, તો ωS> 0 અને ગોળાઓ વર્તુળની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધે છે, જ્યારે વધુ ઝડપથી ચાલતી ફ્રેમ માટે, ωS <0, અને ગોળાઓ વર્તુળની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં પીછેહઠ કરતા દેખાય છે. બંને કિસ્સાઓમાં, ફરતા નિરીક્ષકો ગોળાકાર ગતિ જુએ છે અને તેમને ચોખ્ખા આંતરિક કેન્દ્રગામી બળની જરૂર પડે છેઃ જો કે, આ બળ તારમાં તણાવ નથી. તેથી પરિભ્રમણ નિરીક્ષકો નિષ્કર્ષ કાઢે છે કે એક બળ અસ્તિત્વમાં છે (જેને જડતા નિરીક્ષકો કાલ્પનિક બળ કહે છે) જેથીઃ અથવા, કાલ્પનિક બળ ωI અને ωS માંથી કયું વધારે છે તેના આધારે સંકેત બદલે છે. સંકેત પરિવર્તનનું કારણ એ છે કે જ્યારે ωI> ωS, ત્યારે ગોળાઓ વાસ્તવમાં ફરતા નિરીક્ષકોના માપ કરતાં વધુ ઝડપથી આગળ વધી રહ્યા હોય છે, તેથી તેઓ તારમાં તણાવને માપે છે જે વાસ્તવમાં તેમની અપેક્ષા કરતા મોટો હોય છે; તેથી, કાલ્પનિક બળએ તણાવમાં વધારો કરવો જ જોઇએ (બહાર તરફ નિર્દેશ કરવો). જ્યારે ωI <ωS, વસ્તુઓ ઉલટાવી દેવામાં આવે છે તેથી કાલ્પનિક બળને તણાવ ઘટાડવો પડે છે, અને તેથી તેની વિરુદ્ધ નિશાની (અંદરની તરફના બિંદુઓ) હોય છે. શું કાલ્પનિક બળ કામચલાઉ છે? એફ. એફ. આઈ. ટી. ની રજૂઆત રોટેશનલ નિરીક્ષકો અને જડતા નિરીક્ષકોને સ્ટ્રિંગમાં તણાવ પર સહમત થવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, આપણે પૂછી શકીએ છીએઃ "શું આ ઉકેલ અન્ય પરિસ્થિતિઓ સાથેના સામાન્ય અનુભવ સાથે બંધબેસે છે, અથવા તે માત્ર" રાંધેલા "કામચલાઉ ઉકેલ છે?" તે પ્રશ્નનો જવાબ એ જોઈને આપવામાં આવે છે કે FFict માટે આ મૂલ્ય સામાન્ય પરિણામ સાથે કેવી રીતે ચોરસ થાય છે (કાલ્પનિક બળમાં મેળવેલ): સબસ્ક્રિપ્ટ B એ બિન-જડતા સંકલન પ્રણાલીને સંદર્ભિત જથ્થાનો સંદર્ભ આપે છે. સંપૂર્ણ સાંકેતિક વિગતો કાલ્પનિક બળમાં છે. પરિભ્રમણના સતત કોણીય દર માટે છેલ્લી મુદત શૂન્ય છે. અન્ય પદોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે આપણને એક ગોળાની સ્થિતિની જરૂર છેઃ અને આ ગોળાનો વેગ જે ફરતી ફ્રેમમાં જોવા મળે છેઃ જ્યાં uθ એ ગતિની દિશામાં નિર્દેશ કરતા uR ને લંબરૂપ એકમ વેક્ટર છે. ફ્રેમ ωR ના દરે ફરે છે, તેથી પરિભ્રમણનું વેક્ટર ω = ωR uz (z-દિશામાં એક એકમ વેક્ટર), અને ω × uR = ωR (uz × uR) = ωR uθ; ω × uθ = − ωR uR છે. કેન્દ્રત્યાગી બળ પછી છેઃ જે સ્વાભાવિક રીતે માત્ર માળખાના પરિભ્રમણના દર પર આધાર રાખે છે અને હંમેશા બાહ્ય હોય છે. કોરિઓલિસ બળ ચિહ્નને બદલવાની ક્ષમતા ધરાવે છે અને ધરાવે છે, જ્યારે ગોળાઓ ફ્રેમ (ωS> 0) કરતા વધુ ઝડપથી આગળ વધે છે ત્યારે બહારની તરફ હોય છે અને જ્યારે ગોળાઓ ફ્રેમ (ωS <0) કરતા ધીમી ગતિએ આગળ વધે છે ત્યારે અંદરની તરફ હોય છે. શબ્દોનું સંયોજનઃ પરિણામે, ગોળાને ફેરવવાની આ સમસ્યા માટે ઉપર જોવા મળતું કાલ્પનિક બળ સામાન્ય પરિણામ સાથે સુસંગત છે અને આ એક જ ઉદાહરણ માટે સમજૂતી લાવવા માટે માત્ર "રાંધેલું" કામચલાઉ ઉકેલ નથી. વધુમાં, તે કોરિઓલિસ બળ છે જે કાલ્પનિક બળ માટે ωI, ωS માંથી કયું વધારે છે તેના આધારે ચિહ્ન બદલવાનું શક્ય બનાવે છે, કારણ કે કેન્દ્રત્યાગી બળનું યોગદાન હંમેશા બાહ્ય હોય છે. પરિભ્રમણ અને કોસ્મિક પૃષ્ઠભૂમિ કિરણોત્સર્ગ કોસ્મિક પૃષ્ઠભૂમિ કિરણોત્સર્ગની આઇસોટ્રોપી એ અન્ય સૂચક છે કે બ્રહ્માંડ ફરતું નથી. આ પણ જુઓ બકેટ દલીલ કેન્દ્રત્યાગી બળ (ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમ) કાલ્પનિક બળ મેકનો સિદ્ધાંત સમતલીય કણ ગતિની મિકેનિક્સ સેગનેક અસર વિલ્કિન્સન માઇક્રોવેવ અનિસોટ્રોપી પ્રોબ સંદર્ભો અને નોંધો આઇઝેક ન્યૂટન ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિચાર પ્રયોગો