Rathjen's psi function
ગણિતમાં, રથજેનનું પી. એસ. આઈ. કાર્ય એ માઈકલ રથજેન દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલું ક્રમિક પતન કાર્ય છે. તે નબળા મહેલો કાર્ડિનલ્સને તોડી નાખે છે અને મોટી સંખ્યામાં ગણતરીપાત્ર ઓર્ડિનલ્સ પેદા કરે છે. નબળા માહલો કાર્ડિનલ એ કાર્ડિનલ છે જેમ કે નીચે નિયમિત કાર્ડિનલ્સનો સમૂહ (એટલે કે. બંધ કરેલા તમામ સામાન્ય કાર્યો અમુક નિયમિત ક્રમ હેઠળ બંધ કરવામાં આવે છે). રથજેન આનો ઉપયોગ નબળા અપ્રાપ્ય પદાનુક્રમ પર વિકર્ણ કરવા માટે કરે છે. તે સંકળાયેલ ક્રમિક સંકેતને સ્વીકારે છે જેની મર્યાદા (એટલે કે. ઓર્ડિનલ પ્રકાર) છે, જે રથજેન દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ ગણતરીપાત્ર ઓર્ડિનલ્સની મર્યાદા અને બંને કરતાં સખત રીતે વધારે છે. , જેને "સ્મોલ રથજેન ઓર્ડિનલ" કહેવામાં આવે છે, તે ક્રિપ્કે-પ્લેટેક સેટ થિયરીનો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ છે, જે સ્વયંસિદ્ધ યોજના દ્વારા વધારવામાં આવે છે "કોઈપણ-સૂત્રને સંતોષવા માટે, ત્યાં એક સ્વીકાર્ય સંતોષકારક સમૂહ અસ્તિત્વમાં છે". તે રથજેનના કાર્યમાં સમાન છે. વ્યાખ્યા મર્યાદિત અને અગણિત નિયમિત કાર્ડિનલ્સ માટે; કાર્ય માટે ચાલો ડોમેનને સૂચવીએ; ચાલો સૂચવીએ, અને ચાલો ગણતરીને સૂચવીએ. છેલ્લે, એક ઓર્ડિનલ ખૂબ જ નિર્ણાયક હોવાનું કહેવાય છે. માટે અનેઃ જો કેટલાક માટે, અનન્યનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરો. નહિંતર જો કેટલાક માટે, તો પછી અનન્યનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં મૂળ સ્રોતમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવેલા મજબૂત નિર્ણાયક ઓર્ડિનલ્સનો સમૂહ છે. માટેઃ સમજૂતી અગણિત નિયમિત કાર્ડિનલ્સ સુધી મર્યાદિત છે. તે એક અનન્ય વધતા કાર્ય છે જેમ કે ની શ્રેણી બરાબર છે. તે બંધ છે, એટલે કે. , જ્યાં બિન-શૂન્ય મર્યાદા ઓર્ડિનલ્સનો વર્ગ સૂચવે છે. રથજેને મૂળભૂત રીતે કાર્યને વધુ જટિલ રીતે વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું જેથી તેની સાથે સંકળાયેલ ક્રમિક સંકેત બનાવી શકાય. તેથી, તે ચોક્કસ નથી કે ઉપરનું સરળીકૃત ઓ. સી. એફ. ક્રમિક સંકેત આપે છે કે નહીં. રથજેનના મૂળ ઓ. સી. એફ. માં વપરાતા મૂળ કાર્યો પણ સમજવા માટે એટલા સરળ નથી, અને ઉપર વ્યાખ્યાયિત કાર્યોથી અલગ છે. રથજેન અને ઉપર આપેલું સરળીકરણ સમાન ઓ. સી. એફ. નથી. આનું આંશિક કારણ એ છે કે પહેલું ક્રમિક સંકેત સ્વીકારવા માટે જાણીતું છે, જ્યારે પછીનું ક્રમિક સંકેત સ્વીકારવા માટે જાણીતું નથી. રથજેનને ઘણીવાર તેના અન્ય ઓ. સી. એફ. સાથે ભેળસેળ કરવામાં આવે છે જે પ્રતીકનો પણ ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ તે અલગ ધારણાઓ છે. પહેલું એક પ્રકાશિત ઓ. સી. એફ. છે, જ્યારે બીજું એક અપ્રકાશિત ઓ. સી. એફ. સાથે સંકળાયેલ ક્રમિક સંકેતલિપીમાં માત્ર એક કાર્ય પ્રતીક છે. સંદર્ભો ગાણિતિક તર્ક સામાન્ય સંખ્યાઓ કાર્ડિનલ સંખ્યાઓ