Satisfaction equilibrium
રમત સિદ્ધાંતમાં, સંતોષ સંતુલન એ બિન-સહકારી રમતોના વર્ગ માટે એક ઉકેલ ખ્યાલ છે, એટલે કે સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો. સંતોષમાં રમતો પ્રતિકૃતિ પરિસ્થિતિઓ બનાવે છે જેમાં ખેલાડીઓ આપેલ વ્યક્તિગત અવરોધને સંતોષવાનું લક્ષ્ય રાખે છે, દા. ત., પ્રદર્શન મેટ્રિક આપેલ થ્રેશોલ્ડ કરતા નાનું અથવા મોટું હોવું જોઈએ. જ્યારે કોઈ ખેલાડી પોતાની મર્યાદાને સંતોષે છે, ત્યારે ખેલાડી સંતુષ્ટ હોવાનું કહેવાય છે. સંતોષ સંતુલન, જો અસ્તિત્વમાં હોય, તો ત્યારે ઊભું થાય છે જ્યારે રમતના તમામ ખેલાડીઓ સંતુષ્ટ હોય છે. ઇતિહાસ સંતોષ સંતુલન (એસઇ) શબ્દનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ એવા ખેલાડીઓ વચ્ચે ગતિશીલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના સ્થિર બિંદુને સંદર્ભિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો જે ક્રિયાઓ કરીને અને તેમના પોતાના વળતરનું નિરીક્ષણ કરીને સંતુલન શીખી રહ્યા છે. સંતુલન સંતોષના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે, જે નિર્ધારિત કરે છે કે જે એજન્ટ તેની વર્તમાન ચૂકવણીથી સંતુષ્ટ છે તે તેની વર્તમાન ક્રિયામાં ફેરફાર કરતું નથી. પાછળથી, સંતોષ સંતુલનની કલ્પનાને સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો માટે ઉકેલ ખ્યાલ તરીકે રજૂ કરવામાં આવી હતી. વાયરલેસ એડ હૉક નેટવર્કમાં સેવાની ગુણવત્તા (ક્યુ. ઓ. એસ.) ના વિશ્લેષણ માટે ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગના ક્ષેત્રમાં આવા ઉકેલની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી હતી. આ સંદર્ભમાં, રેડિયો ઉપકરણો (નેટવર્ક ઘટકો) ને એવા ખેલાડીઓ તરીકે તૈયાર કરવામાં આવે છે જે કેટલાક લક્ષિત QoS ને સંતોષવા માટે તેમની પોતાની ઓપરેટિંગ રૂપરેખાંકનો નક્કી કરે છે. ઊર્જા કાર્યક્ષમતા, સ્પેક્ટ્રમ શેરિંગ અને ટ્રાન્સમિટ પાવર કંટ્રોલની સમસ્યાનો સામનો કરવા માટે સેલ્યુલર કોમ્યુનિકેશન્સ (5G) ની પાંચમી પેઢીના સંદર્ભમાં સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો અને સંતોષ સંતુલનની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. સ્માર્ટ ગ્રીડમાં, ડેટા ઈન્જેક્શન એટેકની સમસ્યાનું મોડેલિંગ કરવા માટે સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો સંપૂર્ણ, સંપૂર્ણ માહિતીની સ્થિર રમતોમાં, રમતનું સંતોષ સ્વરૂપ પ્રતિનિધિત્વ એ ખેલાડીઓના સમૂહ, ખેલાડીઓના ક્રિયા સમૂહો અને તેમની પસંદગીઓનું સ્પષ્ટીકરણ છે. આપેલ ખેલાડી માટેની પસંદગીઓ મેપિંગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જેને ઘણીવાર પસંદગીના મેપિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અન્ય તમામ ખેલાડીઓના એક્શન સેટના કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનથી લઈને આપેલ ખેલાડીની ક્રિયાઓના પાવર સેટ સુધી. એટલે કે, અન્ય તમામ ખેલાડીઓ દ્વારા અપનાવવામાં આવેલી ક્રિયાઓને ધ્યાનમાં રાખીને, પસંદગીનું મેપિંગ ક્રિયાઓના ઉપગણને નિર્ધારિત કરે છે જેનાથી ખેલાડી સંતુષ્ટ થાય છે. વ્યાખ્યા [સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો] સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતને ટુપલ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જ્યાં, સેટ, સાથે, ખેલાડીઓના સમૂહને રજૂ કરે છે; સેટ, સાથે અને, ક્રિયાઓના સમૂહને રજૂ કરે છે જે ખેલાડી રમી શકે છે. પસંદગીનું મેપિંગ અન્ય તમામ ખેલાડીઓ દ્વારા ભજવવામાં આવેલી ક્રિયાઓને ધ્યાનમાં રાખીને કઈ ક્રિયાઓથી ખેલાડી સંતુષ્ટ છે તે નક્કી કરે છે. સેટ એ પાવર સેટ છે. અન્ય હાલની રમત રચનાઓથી વિપરીત, દા. ત., સામાન્ય સ્વરૂપ અને મર્યાદિત ક્રિયા સમૂહો સાથેનું સામાન્ય સ્વરૂપ, પ્રદર્શન ઓપ્ટિમાઇઝેશનની કલ્પના, એટલે કે, ઉપયોગિતા મહત્તમકરણ અથવા ખર્ચ ઘટાડવાની કલ્પના હાજર નથી. સંતોષ-સ્વરૂપ મોડેલમાં રમતો એ કેસ છે જેમાં ખેલાડીઓ અન્ય તમામ ખેલાડીઓ દ્વારા અપનાવવામાં આવેલી ક્રિયાઓને ધ્યાનમાં રાખીને ચોક્કસ વ્યક્તિગત અવરોધને સંતોષવાના હેતુથી તેમની ક્રિયાઓ અપનાવે છે. એક મહત્વપૂર્ણ ટિપ્પણી એ છે કે, અન્ય ખેલાડીઓ તેમની વ્યક્તિગત મર્યાદાઓને સંતોષી શકે છે કે નહીં તે અંગે ખેલાડીઓ બેદરકાર હોવાનું માનવામાં આવે છે. સંતોષ સંતુલન એક ક્રિયા રૂપરેખા એક ટુપલ છે. એક્શન પ્રોફાઇલ જેમાં તમામ ખેલાડીઓ સંતુષ્ટ હોય છે તે સંતોષ સ્વરૂપમાં અનુરૂપ રમતનું સંતુલન છે. સંતોષ સંતુલન પર, ખેલાડીઓ તેની વર્તમાન ક્રિયાને બદલવામાં કોઈ ખાસ રસ દર્શાવતા નથી. વ્યાખ્યા [શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલન] ક્રિયા રૂપરેખા એ રમત માટે શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલન છે. મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલન બધા માટે, સેટ પરની તમામ સંભવિત સંભાવના વિતરણોના સમૂહને સૂચવે છે. ખેલાડી દ્વારા તેની ક્રિયાઓ પસંદ કરવા માટે અપનાવવામાં આવેલી સંભાવના વિતરણ (મિશ્ર વ્યૂહરચના) દ્વારા દર્શાવો. બધા માટે, તે સંભાવનાને રજૂ કરે છે જેની સાથે ખેલાડી ક્રિયા પસંદ કરે છે. નોટેશન ખેલાડી સિવાયના તમામ ખેલાડીઓની મિશ્ર વ્યૂહરચનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વ્યાખ્યા [સંતોષ સ્વરૂપની મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓનું વિસ્તરણ] રમતની મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં વિસ્તરણ ટુપલ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જ્યાં પત્રવ્યવહાર તમામ સંભવિત સંભાવના વિતરણોનો સમૂહ નક્કી કરે છે જે ખેલાડીને એવી ક્રિયા પસંદ કરવાની મંજૂરી આપે છે જે સંભાવના સાથે તેની વ્યક્તિગત શરતોને સંતોષે છે, એટલે કે, મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલન નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વ્યાખ્યા [મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલન] મિશ્ર વ્યૂહરચના રૂપરેખા મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં એસઇ છે જો બધા માટે,. ખેલાડીની-th ક્રિયા, એટલે કે, એકાત્મક વેક્ટર સાથે સંકળાયેલી હોવી જોઈએ, જ્યાં, તેના-th ઘટક સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે, જે એકની બરાબર છે. વેક્ટર અધોગતિગ્રસ્ત સંભાવના વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યાં ક્રિયા નિર્ધારિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. આ દલીલનો ઉપયોગ કરીને, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે રમતની શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં દરેક સંતોષ સંતુલન પણ રમતની મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલન છે. રમતના એસઇ ખાતે, ખેલાડીઓ સંભાવના વિતરણને અનુસરીને તેમની ક્રિયાઓ પસંદ કરે છે જેમ કે માત્ર ક્રિયા રૂપરેખાઓ કે જે તમામ ખેલાડીઓને એક સાથે તેમની વ્યક્તિગત પરિસ્થિતિઓને સંતોષવા માટે પરવાનગી આપે છે અને સંભાવના સાથે એક સકારાત્મક સંભાવના સાથે રમવામાં આવે છે. તેથી, જે કિસ્સામાં શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં એક એસઇ અસ્તિત્વમાં નથી, તે પછી, તે રમતમાં મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં એસઇ અસ્તિત્વમાં નથી. ε-સંતોષ સંતુલન અમુક પરિસ્થિતિઓમાં, મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓ બનાવવી હંમેશા શક્ય છે જે ખેલાડીઓને સંભાવનાથી સંતુષ્ટ થવા દે છે, કેટલાક માટે. આ અવલોકન સમાધાનની વિભાવનાની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે જે-સંતોષ સંતુલન (-SE) તરીકે ઓળખાય છે. વ્યાખ્યાઃ [ε-સંતોષ સંતુલન] સંતોષવા દો. મિશ્ર વ્યૂહરચના રૂપરેખા એ રમતનું એપ્સિલોન-સંતોષ સંતુલન (-એસઇ) છે, જો બધા માટે, તે તેને અનુસરે છે, જ્યાં ઉપરની વ્યાખ્યામાંથી, તે સૂચિત કરી શકાય છે કે જો મિશ્ર વ્યૂહરચના રૂપરેખા-એસઇ છે, તો તે માને છે કે, એટલે કે, ખેલાડીઓ સંભાવનાથી અસંતુષ્ટ છે. - એસઇની સુસંગતતા એ છે કે તે એ હકીકતને રજૂ કરે છે કે ખેલાડીઓ ચોક્કસ અસંતોષના સ્તરે સહિષ્ણુ હોઈ શકે છે. આપેલ-એસઇમાં, કોઈ પણ ખેલાડી તેની મિશ્ર વ્યૂહરચના રૂપરેખા બદલવામાં રસ ધરાવતો નથી, જ્યાં સુધી તે કેટલાક માટે તેના કરતા વધારે અથવા તેની બરાબર સંભાવનાથી સંતુષ્ટ હોય. શુદ્ધ અથવા મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં એસઈના અસ્તિત્વ માટેની શરતોથી વિપરીત,-એસઈના અસ્તિત્વ માટેની શરતો હળવી હોય છે. પ્રપોઝિશન [એક-એસઇનું અસ્તિત્વ] સંતોષ સ્વરૂપમાં એક મર્યાદિત રમત બનવા દો. પછી, જો બધા માટે, ત્યાં હંમેશા એક ક્રિયા રૂપરેખા અસ્તિત્વમાં હોય છે, તો પછી હંમેશા એક વ્યૂહરચના રૂપરેખા અસ્તિત્વમાં હોય છે અને વાસ્તવિક, જેમ કે, એક-એસઇ છે. સંતુલન પસંદગી સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો ઘણા સંતોષ સંતુલન પ્રદર્શિત કરી શકે છે. આવા કિસ્સામાં, ખેલાડીઓ તેમની પોતાની દરેક ક્રિયા સાથે આવી ક્રિયા રમવાના પ્રયાસ અથવા ખર્ચનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું મૂલ્ય જોડી શકે છે. આ દ્રષ્ટિકોણથી, જો ઘણા એસઇ અસ્તિત્વમાં હોય, તો ખેલાડીઓ સૌથી ઓછા (વૈશ્વિક અથવા વ્યક્તિગત) પ્રયાસ અથવા ખર્ચની જરૂર હોય તે પસંદ કરી શકે છે. આ પસંદગીનું મોડેલ બનાવવા માટે, સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો દરેક ખેલાડી માટે કિંમતના કાર્યોથી સજ્જ હોઈ શકે છે. બધા માટે, કાર્યને તેની દરેક ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરવા માટે ખેલાડી દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલા પ્રયાસ અથવા ખર્ચને નિર્ધારિત કરવા દો. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ક્રિયાઓની જોડી આપવામાં આવે તો, ખેલાડી દ્વારા ક્રિયા સામે પસંદગી આપવામાં આવે છે જો નોંધ લો કે ખેલાડી માટેની આ પસંદગી અન્ય તમામ ખેલાડીઓ દ્વારા અપનાવવામાં આવેલી ક્રિયાઓથી સ્વતંત્ર છે. વ્યાખ્યાઃ [કાર્યક્ષમ સંતોષ સંતુલન (ESE)] સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતની શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં સંતોષ સંતુલનનો સમૂહ બનવા દો. વ્યૂહરચનાની રૂપરેખા એક કાર્યક્ષમ સંતોષ સંતુલન છે જો બધા માટે, તે તેને અનુસરે છે. તુચ્છ કિસ્સામાં જેમાં બધા કાર્ય માટે અચળ કાર્ય હોય છે, ESE નો સમૂહ અને SE નો સમૂહ સમાન હોય છે. આ તમામ વર્તમાન સંતુલન વચ્ચે એક (સંતોષ) સંતુલન પસંદ કરવા માટે એક અથવા બીજી ક્રિયા રમવાના પ્રયાસને અલગ પાડવાની ખેલાડીઓની ક્ષમતાની સુસંગતતાને પ્રકાશિત કરે છે. સંતોષ સંતુલનના ખાલી સમૂહો સાથે સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતોમાં, જ્યારે બધા ખેલાડીઓ તેની ક્રિયાઓ માટે જુદા જુદા ખર્ચ સોંપે છે, એટલે કે, બધા માટે અને બધા માટે, તે માને છે કે, હંમેશા એક ESE અસ્તિત્વમાં હોય છે. તેમ છતાં, તે આવશ્યકપણે અનન્ય નથી, જે સૂચવે છે કે વ્યક્તિગત ખર્ચ કાર્યોની કલ્પનાની બહાર અન્ય સંતુલન સુધારાઓ માટે હજુ પણ જગ્યા છે. સામાન્યીકરણ સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતો કે જેના માટે તે એક એક્શન પ્રોફાઇલ અસ્તિત્વમાં નથી જેમાં તમામ ખેલાડીઓ સંતુષ્ટ હોય, તે સંતોષ સંતુલન ધરાવતી નથી. આ કિસ્સામાં, એક એક્શન પ્રોફાઇલ સેટ અને દ્વારા રચાયેલા સેટના પાર્ટીશનને પ્રેરિત કરે છે. એક તરફ ખેલાડીઓ સંતુષ્ટ છે. બીજી બાજુ, ખેલાડીઓ અસંતુષ્ટ છે. જો સેટમાંના ખેલાડીઓ અન્ય તમામ ખેલાડીઓની ક્રિયાઓને ધ્યાનમાં રાખીને તેની કોઈપણ ક્રિયાથી સંતુષ્ટ ન થઈ શકે, તો આ ખેલાડીઓને તેની વર્તમાન ક્રિયા બદલવામાં રસ નથી. આ સૂચવે છે કે ક્રિયા રૂપરેખાઓ કે જે આ સ્થિતિને સંતોષે છે તે પણ સંતુલન છે. આનું કારણ એ છે કે કોઈ પણ ખેલાડી ખાસ કરીને તેમની વર્તમાન ક્રિયાઓ બદલવામાં રસ ધરાવતો નથી, તે પણ જેઓ અસંતુષ્ટ છે. આ તર્ક સામાન્યીકૃત સંતોષ સંતુલન (જી. એસ. ઈ.) તરીકે ઓળખાતા અન્ય ઉકેલ ખ્યાલ તરફ દોરી ગયો. આ સામાન્યીકરણ એક નવીન રમત રચનાના સંદર્ભમાં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું છે, એટલે કે સામાન્યીકૃત સંતોષ સ્વરૂપ. વ્યાખ્યાઃ [સામાન્યીકૃત સંતોષ સ્વરૂપ] સામાન્યીકૃત સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતને ટુપલ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જ્યાં, સેટ, સાથે, ખેલાડીઓના સમૂહને રજૂ કરે છે; સેટ, સાથે અને, ક્રિયાઓના સમૂહને રજૂ કરે છે જે ખેલાડી રમી શકે છે; અને પસંદગીનું મેપિંગ, સમર્થન સાથે સંભાવના સમૂહ કાર્યો (મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓ) નો સમૂહ નક્કી કરે છે જે અન્ય તમામ ખેલાડીઓ દ્વારા અપનાવવામાં આવેલી મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓને ધ્યાનમાં રાખીને ખેલાડીને સંતુષ્ટ કરે છે. સામાન્યીકૃત સંતોષ સંતુલન નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વ્યાખ્યાઃ [સામાન્યકૃત સંતોષ સંતુલન (જી. એસ. ઈ.)] મિશ્ર વ્યૂહરચના રૂપરેખા એ સામાન્યીકૃત સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતનું સામાન્યીકૃત સંતોષ સંતુલન છે જો સમૂહો દ્વારા રચાયેલા સમૂહનું વિભાજન અસ્તિત્વમાં હોય અને નીચે મુજબ હોયઃ (i) બધા માટે, અને (ii) બધા માટે, નોંધ લો કે જી. એસ. ઈ. સંતોષ સ્વરૂપમાં રમતના-એસ. ઈ. ની કલ્પના પર ઉકળે છે જ્યારે, અને બધા માટે, પત્રવ્યવહાર પસંદ કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, જી. એસ. ઈ. મિશ્ર વ્યૂહરચનાઓમાં ક્યારે અને ક્યારે એસ. ઈ. ની કલ્પના પર ઉકળે છે. છેવટે, નોંધ લો કે કોઈપણ SE એ GSE છે, પરંતુ તેનાથી વિપરીત સાચું નથી. સંદર્ભો રમત સિદ્ધાંત સંતુલન વિભાવનાઓ