Special linear Lie algebra
ગણિતમાં, ક્રમ n (સૂચિત અથવા) નું વિશેષ રેખીય લાઈ બીજગણિત એ ટ્રેસ શૂન્ય અને લાઈ કૌંસ સાથે મેટ્રિસીસનું લાઈ બીજગણિત છે. આ બીજગણિતનો સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને સમજવામાં આવે છે, અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર અન્ય લાઈ બીજગણિતના અભ્યાસ માટે એક નમૂના તરીકે થાય છે. તે જે લાઈ જૂથ પેદા કરે છે તે વિશેષ રેખીય જૂથ છે. લાઈ બીજગણિત વિશેષ સાપેક્ષતા, સામાન્ય સાપેક્ષતા અને સુપરસિમેટ્રીના અભ્યાસ માટે કેન્દ્રિય છેઃ તેની મૂળભૂત રજૂઆત કહેવાતી સ્પિનોર રજૂઆત છે, જ્યારે તેની સંલગ્ન રજૂઆત વિશેષ સાપેક્ષતાના લોરેન્ટ્ઝ જૂથ SO (3,1) ને ઉત્પન્ન કરે છે. બીજગણિત અંધાધૂંધી અને અસ્થિભંગના અભ્યાસમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે, કારણ કે તે મોબિયસ જૂથ SL (2, R) ઉત્પન્ન કરે છે, જે હાયપરબોલિક પ્લેનની ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું વર્ણન કરે છે, જે નકારાત્મક વળાંકની સૌથી સરળ રીમાન સપાટી છે; તેનાથી વિપરીત, SL (2, C) હાયપરબોલિક 3-પરિમાણીય દડાની ઓટોમોર્ફિઝમ્સનું વર્ણન કરે છે. પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત SL2C નો પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત લાઈ બીજગણિત એ ત્રિ-પરિમાણીય જટિલ લાઈ બીજગણિત છે. તેનું વ્યાખ્યાયિત લક્ષણ એ છે કે તેમાં પરિવર્તન સંબંધોને સંતોષતો આધાર છે, અને. આ માટે કાર્ટન-વેલ આધાર છે. તે શૂન્ય ટ્રેસ સાથે બે બાય બે જટિલ મેટ્રિસીસની દ્રષ્ટિએ સ્પષ્ટ અનુભૂતિ ધરાવે છેઃ,,. આ માટે મૂળભૂત અથવા વ્યાખ્યાયિત રજૂઆત છે. લાઈ બીજગણિતને તેના સાર્વત્રિક આવરણ બીજગણિતના સબસ્પેસ તરીકે જોઈ શકાય છે અને તેમાં, ઇન્ડક્શન દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા નીચેના કોમ્યુટેટર સંબંધો છેઃ નોંધ લો કે, અહીં, સત્તાઓ, વગેરે. સત્તાઓને બીજગણિત U ના ઘટકો તરીકે જુઓ, મેટ્રિક્સ શક્તિઓ તરીકે નહીં. પ્રથમ મૂળભૂત હકીકત (જે ઉપરોક્ત કમ્યુટેટર સંબંધોને અનુસરે છે) એ છેઃ આ લેમ્મામાંથી, એક નીચેનું મૂળભૂત પરિણામ કાઢે છેઃ પ્રથમ નિવેદન સાચું છે કારણ કે ક્યાં તો શૂન્ય છે અથવા-આઈગન વેલ્યુ અન્યના આઈગન વેલ્યુથી અલગ છે જે બિન-શૂન્ય છે. તે એક-વજન વેક્ટર છે એમ કહેવું તે એક સાથે એક આઈગનવેક્ટર છે તે કહેવા સમાન છે; એક ટૂંકી ગણતરી પછી દર્શાવે છે કે, તે કિસ્સામાં,-આઈગન વેલ્યુ શૂન્ય છેઃ. આમ, કેટલાક પૂર્ણાંક માટે, અને ખાસ કરીને, પ્રારંભિક લેમ્મા દ્વારા, જે તે સૂચવે છે. તે બતાવવાનું બાકી છે તે ઈરીડ્યુસિબલ છે. જો પેટા રજૂઆત હોય, તો તે આઈગનવેક્ટરને સ્વીકારે છે, જેમાં સ્વરૂપનું આઈગન વેલ્યુ હોવું આવશ્યક છે; આમ તે આનુપાતિક છે. અગાઉના લેમ્મા દ્વારા, આપણી પાસે છે અને આમ. ઉપસંહાર તરીકે, એક અનુમાન કરે છેઃ જો તેનું પરિમાણ મર્યાદિત હોય અને તે ઈરીડ્યુસિબલ હોય, તો v નું-આઈગન વેલ્યુ એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે અને તેનો આધાર છે. તેનાથી વિપરીત, જો નો-આઈગન વેલ્યુ એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય અને તે ઈરીડ્યુસિબલ હોય, તો તેનો આધાર હોય છે; ખાસ કરીને તેનું પરિમાણ મર્યાદિત હોય છે. નો સુંદર વિશેષ કેસ લાઈ આલ્જેબ્રાની ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતો શોધવાની સામાન્ય રીત દર્શાવે છે. એટલે કે, આપણે બીજગણિતને ત્રણ ઉપ-બીજગણિત "એચ" (કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત), "ઇ" અને "એફ" માં વહેંચીએ છીએ, જે લગભગ તેમના નામોની જેમ વર્તે છે. એટલે કે, ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતમાં, આપણી પાસે "h" નો "ઉચ્ચતમ" આઈગનવેક્ટર છે, જેના પર "e" શૂન્ય દ્વારા કાર્ય કરે છે. ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆતનો આધાર "એચ" ના સૌથી વધુ આઈગનવેક્ટર્સ પર "એફ" ની ક્રિયા દ્વારા પેદા થાય છે. સૌથી વધુ વજનનો સિદ્ધાંત જુઓ. એસ. એલ. એન. સી. નું પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત જ્યારે પરિમાણની જટિલ વેક્ટર જગ્યા માટે, દરેક મર્યાદિત-પરિમાણીય ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત ની ટેન્સર શક્તિની પેટા રજૂઆત તરીકે મળી શકે છે. લાઈ બીજગણિતને સ્પષ્ટ રીતે ટ્રેસલેસ મેટ્રિસીસના મેટ્રિક્સ લાઈ બીજગણિત તરીકે અનુભવી શકાય છે. આ માટે મૂળભૂત રજૂઆત છે. એન્ટ્રીમાં એક અને દરેક જગ્યાએ શૂન્ય સાથે મેટ્રિક્સ તરીકે સેટ કરો. પછી તેના માટે એક આધાર બનાવો. આ તકનીકી રીતે સંકેતનો દુરુપયોગ છે, અને આ ખરેખર મૂળભૂત રજૂઆતના આધારની છબી છે. વધુમાં, આ હકીકતમાં કાર્ટાન-વેલ આધાર છે, જેમાં કાર્ટાન ઉપ-બીજગણિત ફેલાયેલું છે. સંકેત રજૂ કરી રહ્યા છીએ જો, અને, પણ જો, હકારાત્મક મૂળ છે અને અનુરૂપ નકારાત્મક મૂળ છે. ફોર દ્વારા સરળ મૂળનો આધાર આપવામાં આવે છે. નોંધો સંદર્ભો ઈટિંગોફ, પાવેલ. "પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત પર વ્યાખ્યાન નોંધો". એ. એલ. ઓનિશ્કિક, ઇ. બી. વિનબર્ગ, વી. વી. ગોર્બાટસેવિચ, લાઈ જૂથો અને લાઈ આલ્જેબ્રાનું માળખું. જૂથો જૂઠું બોલો અને બીજગણિત જૂઠું બોલો, III. મેથેમેટિકલ સાયન્સિસનો જ્ઞાનકોશ, 41. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન, 1994. IV + 248 પીપી. (ગણિતમાં વર્તમાન સમસ્યાઓનો અનુવાદ. મૂળભૂત દિશાઓ. વોલ્યુમ. 41, અકડ. નૌક એસ. એસ. એસ. આર., વેસોયુઝ. ઇન્સ્ટ. નોચન. હું જાણું છું. માહિતી આપો. મોસ્કો, 1990. વી. મિનાચિન દ્વારા અનુવાદ. એ. એલ. ઓનિશચિક અને ઇ. બી. વિનબર્ગ દ્વારા સંપાદિત અનુવાદ) વી. એલ. પોપોવ, ઇ. બી. વિનબર્ગ, ઇનવેરિયન્ટ થિયરી. બીજગણિત ભૂમિતિ. IV. રેખીય બીજગણિત જૂથો. મેથેમેટિકલ સાયન્સિસનો જ્ઞાનકોશ, 55. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન, 1994. vi + 284 pp. (બીજગણિત ભૂમિતિના અનુવાદ. 4, અકડ. નૌક એસ. એસ. એસ. આર. વેસોયુઝ. ઇન્સ્ટ. નોચન. હું જાણું છું. માહિતી આપો. મોસ્કો, 1989. એ. એન. પારશિન અને આઈ. આર. શફારેવિચ દ્વારા સંપાદિત અનુવાદ). એફાઇન વેઇલ જૂથ ફાઈનાઇટ કોક્સેટર જૂથ હાસ્સ આકૃતિ રેખીય બીજગણિત જૂથ નિલપોટેન્ટ ભ્રમણકક્ષા રુટ સિસ્ટમ એસએલ 2-ટ્રિપલ વેઇલ જૂથ લાઈ જૂથો પણ જુઓ.