Toral subalgebra
ગણિતમાં, ટોરલ સબઅલ્જેબ્રા એ સામાન્ય રેખીય લાઈ બીજગણિતનું લાઈ સબઅલ્જેબ્રા છે, જેના તમામ ઘટકો અર્ધ-સરળ (અથવા બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર કર્ણક્ષમ) હોય છે. સમાનરૂપે, લાઈ બીજગણિત ટોરલ છે જો તેમાં કોઈ બિન-શૂન્ય નિલપોટેન્ટ તત્વો ન હોય. બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર, દરેક તોરલ લાઈ બીજગણિત અબેલિયન છે; આમ, તેના ઘટકો એક સાથે વિકર્ણક્ષમ છે. અર્ધ-સરળ અને રિડક્ટિવ લાઈ બીજગણિતમાં અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતના ઉપ-બીજગણિતને ટોરલ કહેવામાં આવે છે જો તેની સંલગ્ન રજૂઆત, ટોરલ ઉપ-બીજગણિત હોય. લાક્ષણિકતા 0 ના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિત અથવા વધુ સામાન્ય રીતે મર્યાદિત-પરિમાણીય ઘટાડેલા લાઈ બીજગણિતનું મહત્તમ ટોરલ લાઈ ઉપ-બીજગણિત એ કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત છે અને તેનાથી ઊલટું. ખાસ કરીને, આ સેટિંગમાં મેક્સિમલ ટોરલ લાઈ સબઅલ્જેબ્રા સ્વ-સામાન્ય છે, તેના સેન્ટ્રલાઈઝર સાથે મેળ ખાય છે, અને પ્રતિબંધિતનું કિલિંગ સ્વરૂપ નોનડિજનરેટ છે. વધુ સામાન્ય લાઈ બીજગણિત માટે, કાર્ટન ઉપ-બીજગણિત મહત્તમ ટોરલ ઉપ-બીજગણિતથી અલગ હોઈ શકે છે. લાક્ષણિકતા શૂન્યના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત-પરિમાણીય અર્ધ-સરળ લાઈ બીજગણિતમાં, ટોરલ ઉપ-બીજગણિત અસ્તિત્વમાં છે. હકીકતમાં, જો તેમાં માત્ર નિલપોટેન્ટ તત્વો હોય, તો તે નિલપોટેન્ટ (એન્જેલનો પ્રમેય) છે, પરંતુ પછી તેનું હત્યાનું સ્વરૂપ સમાન રીતે શૂન્ય છે, જે અર્ધ-સરળતાને વિરોધાભાસી છે. તેથી, એક બિન-શૂન્ય અર્ધ-સરળ તત્વ હોવું જોઈએ, જેમ કે x; x નો રેખીય ગાળો પછી એક તોરલ ઉપ-બીજગણિત છે. લાઈ જૂથોના સિદ્ધાંતમાં મેક્સિમલ ટોરસ પણ જુઓ લાઈ આલ્જેબ્રાના સંદર્ભ ગુણધર્મો