Petal projection
ગાંઠ સિદ્ધાંતમાં, ગાંઠની પાંખડીનું પ્રક્ષેપણ એ એક જ ક્રોસિંગ સાથે ગાંઠની આકૃતિ છે, જેના પર બિન-નેસ્ટેડ ચાપ ("પાંખડીઓ") ની વિચિત્ર સંખ્યા બધા મળે છે. કારણ કે આ ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર ગાંઠની શાખાઓ વચ્ચેનો ઉપર-નીચેનો સંબંધ આકૃતિના દેખાવથી સ્પષ્ટ નથી, તેથી શાખાઓના ઉપર-થી-નીચે ક્રમને વર્ણવતા ક્રમચય તરીકે તેને અલગથી સ્પષ્ટ કરવું આવશ્યક છે. દરેક ગાંઠ અથવા કડીમાં પાંખડીનું પ્રક્ષેપણ હોય છે; આવા પ્રક્ષેપણમાં પાંખડીઓની લઘુતમ સંખ્યા ગાંઠની અપરિવર્તનશીલ, પાંખડીની સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પાંખડીના અંદાજોનો ઉપયોગ પેટાલુમા મોડેલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે, જે પાંખડીઓની આપેલ સંખ્યા સાથે ગાંઠો પર સંભાવના વિતરણનું એક કુટુંબ છે, જે પાંખડીના આકૃતિની શાખાઓ માટે અવ્યવસ્થિત ક્રમચય પસંદ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પાંખડી પ્રક્ષેપણ એ ગાંઠનું વર્ણન એક ખાસ પ્રકારની ગાંઠ આકૃતિ તરીકે છે, જે ગાંઠને ત્રણ પરિમાણોથી નીચે સમતલ સુધી પ્રક્ષેપિત કરીને રચાયેલ દ્વિ-પરિમાણીય સ્વ-પાર વળાંક છે. પાંખડીના પ્રક્ષેપણમાં, આ આકૃતિમાં માત્ર એક જ ક્રોસિંગ પોઇન્ટ છે, જે ટોપોલોજિકલ ગુલાબ બનાવે છે. વળાંકની દરેક બે શાખાઓ જે આ બિંદુ પરથી પસાર થાય છે તે ત્યાં એકબીજાને પાર કરે છે; જે શાખાઓ પાર કર્યા વિના સ્પર્શથી મળે છે તેને મંજૂરી નથી. વળાંકની કમાનો દ્વારા રચાયેલી "પાંખડીઓ" કે જે બહાર નીકળે છે અને પછી આ ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર પાછા ફરે છે તે તમામ બિન-નેસ્ટેડ, બાઉન્ડિંગ ક્લોઝ્ડ ડિસ્ક છે જે ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર તેમના સામાન્ય આંતરછેદ સિવાય અલગ પડે છે. આ ટોપોલોજિકલ વર્ણન ઉપરાંત, વળાંકનો ચોક્કસ આકાર મહત્ત્વનો નથી. દાખલા તરીકે, આ પ્રકારના વળાંકને બીજગણિત રીતે ચોક્કસ ગુલાબના વળાંક તરીકે અનુભવી શકાય છે. જો કે, પાંખડીઓ બનાવવા માટે સરળ વળાંક દ્વારા તેમના અંતિમ બિંદુઓ પર જોડાયેલા ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર સીધી રેખાના ભાગોનો ઉપયોગ કરીને પાંખડીના પ્રક્ષેપણને દોરવાનું સામાન્ય છે. ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર વળાંકની શાખાઓના ઉપર-નીચે સંબંધને સ્પષ્ટ કરવા માટે, દરેક શાખાને 1 થી શાખાઓની સંખ્યા સુધી પૂર્ણાંક સાથે લેબલ કરવામાં આવે છે, જે શાખાઓના ઉપર-નીચે ક્રમમાં તેની સ્થિતિ આપે છે જે અંદાજિત આકૃતિ ઉપરના ત્રિ-પરિમાણીય દૃષ્ટિકોણથી જોવામાં આવશે. આ પૂર્ણાંકોનું ચક્રીય ક્રમચય, ક્રોસિંગ પોઇન્ટની આસપાસની શાખાઓના રેડિયલ ક્રમમાં, પાંખડીના પ્રક્ષેપણના શુદ્ધ સંયુક્ત વર્ણન તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે. પાંખડીને બદલે એક ગાંઠ રચવા માટે, પાંખડીના પ્રક્ષેપણમાં તેના ક્રોસિંગ પોઇન્ટ પર શાખાઓની વિચિત્ર સંખ્યા હોવી આવશ્યક છે. દરેક ગાંઠને પાંદડીઓના પ્રક્ષેપણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે પાંદડીઓની પૂરતી મોટી સંખ્યા ધરાવતા આકૃતિઓ માટે છે. આપેલ ગાંઠની પાંખડીના પ્રક્ષેપણમાં પાંખડીઓની ઓછામાં ઓછી શક્ય સંખ્યા ગાંઠના અપરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેને તેની પાંખડી સંખ્યા કહેવાય છે. પેટાલુમા મોડેલ પેટાલુમા મોડેલ એ ગાંઠો પર રેન્ડમ વિતરણ છે, જે પાંખડી આકૃતિમાં પાંખડીઓની વિચિત્ર સંખ્યા દ્વારા પરિમાણિત છે, અને તેની શાખાઓ પર સમાન રીતે રેન્ડમ ક્રમચયનો ઉપયોગ કરીને પાંખડીઓની આ સંખ્યા સાથે પાંખડી આકૃતિ બનાવીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પેટલ અંદાજો અને પેટેલુમા મોડેલને જોડવા માટેનું સામાન્યીકરણ, ગાંઠોથી લિંક્સ સુધી સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. જો કે, આ સામાન્યીકરણ માટે, હવે બાંહેધરી આપવી શક્ય નથી કે બધી પાંખડીઓ બિન-માળાવાળી છે. તેના બદલે, કડીઓ માટેના સામાન્યીકૃત પાંખડીના અંદાજોમાં એક અલગ પ્રકારની પ્રમાણભૂત આકૃતિ હોય છે જે પાંખડીઓના કેટલાક માળાને મંજૂરી આપે છે. સંદર્ભ ગાંઠ સિદ્ધાંત