Mutually unbiased bases
ક્વોન્ટમ માહિતી સિદ્ધાંતમાં, હિલ્બર્ટ અવકાશ સી. ડી. માં પાયાના સમૂહનો અર્થ પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોવાનું કહેવાય છે, કે, જો કોઈ પ્રણાલી એક પાયાની આઈગન સ્થિતિમાં તૈયાર કરવામાં આવે, તો અન્ય પાયાના સંદર્ભમાં માપનના તમામ પરિણામો 1/d ની સમાન સંભાવના સાથે થવાની આગાહી કરવામાં આવે છે. પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાની કલ્પના સૌપ્રથમ 1960 માં શ્વિંગર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી, અને પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના ઉપયોગોને ધ્યાનમાં લેનાર પ્રથમ વ્યક્તિ ક્વોન્ટમ સ્થિતિ નિર્ધારણની સમસ્યામાં ઇવાનોવિક હતા. એમયુબી અને તેમના અસ્તિત્વની સમસ્યા, હવે ગણિત અને ક્વોન્ટમ વિજ્ઞાનની કેટલીક અન્ય શાખાઓમાં ઘણી નજીકથી સંબંધિત સમસ્યાઓ અને સમકક્ષ અવતારો માટે જાણીતી છે, જેમ કે એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ., મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ/એફાઇન પ્લેન, જટિલ હદામર્ડ મેટ્રિસીસ વગેરે. [જુઓઃ વિગતો માટે નીચે આપેલા સંબંધિત સમસ્યાઓ અને બાંધકામ વિભાગો] ક્વોન્ટમ કી વિતરણ માટે એમ. યુ. બી. મહત્વપૂર્ણ છે, ખાસ કરીને સુરક્ષિત ક્વોન્ટમ કી વિનિમયમાં. પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાનો ઉપયોગ ઘણા પ્રોટોકોલમાં થાય છે કારણ કે જ્યારે રાજ્ય તૈયાર કરવામાં આવ્યું હતું તેના નિષ્પક્ષ ધોરણે માપ કરવામાં આવે ત્યારે પરિણામ અવ્યવસ્થિત હોય છે. જ્યારે બે દૂરસ્થ પક્ષો બે બિન-ઓર્થોગોનલ ક્વોન્ટમ સ્થિતિઓ વહેંચે છે, ત્યારે ઈવ્ઝડ્રોપર દ્વારા માપન દ્વારા આ વચ્ચે તફાવત કરવાના પ્રયાસો પ્રણાલીને અસર કરશે અને આ શોધી શકાય છે. જ્યારે ઘણા ક્વોન્ટમ ક્રિપ્ટોગ્રાફી પ્રોટોકોલો 1-ક્વિબિટ તકનીકો પર આધાર રાખે છે, ત્યારે ઉચ્ચ-પરિમાણીય સ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરીને, જેમ કે કુત્રિટ્સ, જાસૂસી સામે વધુ સારી સુરક્ષા માટે પરવાનગી આપે છે. આ ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યાઓમાં પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના અભ્યાસને પ્રેરિત કરે છે. પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના અન્ય ઉપયોગોમાં ક્વોન્ટમ સ્થિતિ પુનર્નિર્માણ, ક્વોન્ટમ ભૂલ સુધારણા કોડ, ક્વોન્ટમ ગૂંચવણની શોધ અને કહેવાતા "મીન કિંગની સમસ્યા" નો સમાવેશ થાય છે. વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો ઓર્થોનોર્મલ પાયાની જોડી અને હિલ્બર્ટ અવકાશમાં સી. ડી. પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોવાનું કહેવાય છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કોઈ પણ આધાર સ્થિતિઓ વચ્ચેના આંતરિક ઉત્પાદનની તીવ્રતાના વર્ગ અને પરિમાણના વ્યસ્ત સમાન હોય d: આ પાયા નીચેના અર્થમાં નિષ્પક્ષ છેઃ જો કોઈ એક પાયાની સ્થિતિમાં સિસ્ટમ તૈયાર કરવામાં આવે, તો અન્ય પાયાના સંદર્ભમાં માપનના તમામ પરિણામો સમાન સંભાવના સાથે થવાની આગાહી કરવામાં આવે છે. d = 2 માટેનું ઉદાહરણ ત્રણ પાયા C2 માં પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ પ્રદાન કરે છે. ઉપરોક્ત પાયા અનુક્રમે પાઉલી સ્પિન મેટ્રિક્સના આઈગનવેક્ટર્સ અને તેમના ઉત્પાદનથી બનેલા છે. d = 4 માટે ઉદાહરણ, d = 4 માટે, d + 1 = 5 પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાનું ઉદાહરણ જ્યાં દરેક પાયાને Mj, 0 ≤ j ≤ 4 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છેઃ અસ્તિત્વ સમસ્યા ચાલો d-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યા Cd માં પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાની મહત્તમ સંખ્યાને સૂચવીએ. તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે કે મનસ્વી d માટે, Cd માં કેટલા પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા મળી શકે છે. સામાન્ય રીતે, જો d નું મુખ્ય-ઘાત ગુણાંકકરણ હોય, તો પછી પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની મહત્તમ સંખ્યા કે જેનું નિર્માણ કરી શકાય છે તે સંતોષે છે. આ અગાઉના સમીકરણમાં જોઈ શકાય છે, કારણ કે d નું મુખ્ય સંખ્યા વિઘટન સરળ છે. તેથી, આમ, પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની મહત્તમ સંખ્યા ત્યારે ઓળખાય છે જ્યારે d એ મુખ્ય સંખ્યાની પૂર્ણાંક શક્તિ હોય, પરંતુ તે મનસ્વી d માટે જાણીતું નથી. સંબંધિત સમસ્યાઓ એમ. યુ. બી. ની સમસ્યા પ્રકૃતિમાં SIC _ POVM ના સમપ્રમાણ ગુણધર્મ જેવી જ લાગે છે. વૂટર્સ નિર્દેશ કરે છે કે નિષ્પક્ષ પાયાનો સંપૂર્ણ સમૂહ એક ભૌમિતિક માળખું ઉત્પન્ન કરે છે જેને મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જ્યારે એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. (કોઈપણ પરિમાણમાં જે મુખ્ય શક્તિ છે) એક મર્યાદિત એફાઇન પ્લેન ઉત્પન્ન કરે છે, એક પ્રકારનું માળખું જેની વ્યાખ્યા બિંદુઓ અને રેખાઓની ભૂમિકાઓ સાથે મર્યાદિત પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનની સમાન હોય છે. આ અર્થમાં, એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. અને પરસ્પર નિષ્પક્ષ આધારોની સમસ્યાઓ એકબીજા સાથે બેવડી છે. પરિમાણમાં, સામ્યતાને આગળ લઈ શકાય છેઃ પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના સંપૂર્ણ સમૂહને સીધા SIC-POVM માંથી બનાવી શકાય છે. એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. ના 9 વેક્ટર, પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના 12 વેક્ટર સાથે મળીને એક સમૂહ બનાવે છે જેનો ઉપયોગ કોચેન-સ્પેકર પ્રૂફમાં થઈ શકે છે. જો કે, 6-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ અવકાશમાં, એસ. આઈ. સી.-પી. ઓ. વી. એમ. જાણીતું છે, પરંતુ પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાનો કોઈ સંપૂર્ણ સમૂહ હજુ સુધી શોધાયો નથી, અને એવું વ્યાપકપણે માનવામાં આવે છે કે આવો કોઈ સમૂહ અસ્તિત્વમાં નથી. પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ વેઇલ જૂથ પદ્ધતિ ચાલો હિલ્બર્ટ જગ્યા સીડીમાં બે એકાત્મક ઓપરેટરો હોઈએ જેમ કે કેટલાક તબક્કા પરિબળ માટે. જો એકતાનું આદિમ મૂળ હોય, ઉદાહરણ તરીકે, તો અને ના આઈગનબેઝ પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોય છે. પ્રમાણભૂત આધાર તરીકેના આઈગનબેસિસને પસંદ કરીને, આપણે ફોરિયર મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને તેના માટે નિષ્પક્ષ બીજો આધાર પેદા કરી શકીએ છીએ. ફોરિયર મેટ્રિક્સના ઘટકો અન્ય પાયા દ્વારા આપવામાં આવે છે જે પ્રમાણભૂત આધાર અને ફોરિયર મેટ્રિક્સ દ્વારા પેદા થયેલ આધાર બંને માટે નિષ્પક્ષ હોય છે જે વેઇલ જૂથોનો ઉપયોગ કરીને પેદા કરી શકાય છે. વેઇલ જૂથોનો ઉપયોગ કરીને પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના સમૂહ પેદા કરતી વખતે હિલ્બર્ટ જગ્યાનું પરિમાણ મહત્વપૂર્ણ છે. જ્યારે d એ મુખ્ય સંખ્યા હોય, ત્યારે સામાન્ય d + 1 પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા વેઇલ જૂથોનો ઉપયોગ કરીને પેદા કરી શકાય છે. જ્યારે d એ મુખ્ય સંખ્યા ન હોય, ત્યારે શક્ય છે કે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પેદા કરી શકાય તેવા પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની મહત્તમ સંખ્યા 3 હોય. મર્યાદિત ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને એકાત્મક સંચાલકોની પદ્ધતિ જ્યારે d = p અવિભાજ્ય હોય, ત્યારે આપણે એકાત્મક સંચાલકોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને જ્યાં પ્રમાણભૂત આધાર છે અને તે એકતાનું મૂળ છે. પછી નીચેના d + 1 ઓપરેટરોના આઈગનબેઝ પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોય છેઃ વિષમ d માટે, ઓપરેટરનો t-th આઈગનવેક્ટર સ્પષ્ટ રીતે આ રીતે આપવામાં આવે છે. અમે મર્યાદિત ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરીને સી. ડી. ના કોમ્પ્યુટેશનલ પાયાના તત્વોને લેબલ કરીએ છીએઃ આપણે ઓપરેટરોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને નીચેની રીતે જ્યાં ક્ષેત્ર પર એક એડિટિવ અક્ષર છે અને કીટમાં ઉમેરો અને ગુણાકાર છે અને તે છે. પછી આપણે આવનજાવન કરતા એકાત્મક ઓપરેટરોના ડી + 1 સમૂહ બનાવીએ છીએઃ અને દરેક માટે એક સમૂહમાં ઓપરેટરોના સંયુક્ત આઈગનબેઝ અન્ય કોઈપણ સમૂહ સાથે પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોય છે. આમ આપણી પાસે d + 1 પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા છે. હેડમર્ડ મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં એક આધાર પ્રમાણભૂત આધાર છે તે જોતાં, આ આધારના સંદર્ભમાં નિષ્પક્ષ હોય તેવા તમામ આધારોને જટિલ હેડમર્ડ મેટ્રિક્સના સ્તંભો દ્વારા સામાન્યીકરણ પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીને રજૂ કરી શકાય છે. d = 3 માટે આ મેટ્રિસીસનું સ્વરૂપ હશે k + 1 પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના સમૂહને શોધવાની સમસ્યા તેથી k પરસ્પર નિષ્પક્ષ જટિલ હેડામાર્ડ મેટ્રિસીસને શોધવા સાથે સંબંધિત છે. 4-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ અવકાશમાં હેડામર્ડ મેટ્રિસીસના એક પરિમાણ પરિવારનું ઉદાહરણ એ છે કે જ્યારે d = 6 હોય ત્યારે એમ. યુ. બી. નો મહત્તમ સમૂહ શોધવાની સમસ્યા એ સૌથી નાનું પરિમાણ કે જે અવિભાજ્યની પૂર્ણાંક શક્તિ નથી તે d = 6 છે. આ સૌથી નાનું પરિમાણ પણ છે જેના માટે પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની સંખ્યા જાણીતી નથી. જ્યારે d એ અવિભાજ્ય સંખ્યાની પૂર્ણાંક શક્તિ હોય ત્યારે પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ આ કિસ્સામાં કરી શકાતો નથી. જ્યારે d = 6 હોય ત્યારે ચાર પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના સમૂહની શોધ, બંને હેડામાર્ડ મેટ્રિસીસ અને આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને અસફળ રહી છે. સામાન્ય માન્યતા એ છે કે d = 6 માટે પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની મહત્તમ સંખ્યા છે. એન્ટ્રોપિક અનિશ્ચિતતા સંબંધો અને એમ. યુ. બી. પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાની વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતા છે જે તેમને અનિશ્ચિતતા સંબંધોની દ્રષ્ટિએ માને છે. એન્ટ્રોપિક અનિશ્ચિતતા સંબંધો હેઇસેનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંતને અનુરૂપ છે, અને માસેન અને ઉફિન્કને જાણવા મળ્યું કે કોઈપણ બે પાયા માટે અનેઃ ક્યાં અને અને તે પાયાની સંબંધિત એન્ટ્રોપી છે અને, આપેલ સ્થિતિને માપતી વખતે. એન્ટ્રોપિક અનિશ્ચિતતા સંબંધો ઘણીવાર હેઇસેનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત કરતાં વધુ સારી હોય છે, કારણ કે તેઓ માપવા માટેની સ્થિતિના સંદર્ભમાં નથી, પરંતુ સી. ક્વોન્ટમ કી વિતરણ જેવા દૃશ્યોમાં, આપણે માપન પાયા માટે લક્ષ્ય રાખીએ છીએ જેથી એક પાયાના સંદર્ભમાં સ્થિતિનું સંપૂર્ણ જ્ઞાન અન્ય પાયાના સંદર્ભમાં સ્થિતિનું ન્યૂનતમ જ્ઞાન સૂચવે. આ માપન પરિણામોની ઉચ્ચ એન્ટ્રોપી સૂચવે છે, અને આમ આપણે આ મજબૂત એન્ટ્રોપિક અનિશ્ચિતતા સંબંધો કહીએ છીએ. બે પાયા માટે, અનિશ્ચિતતા સંબંધની નીચલી સીમા મહત્તમ થાય છે જ્યારે માપન પાયા પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોય છે, કારણ કે પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા મહત્તમ રીતે અસંગત હોય છેઃ જે આધારમાં સ્થિતિ તૈયાર કરવામાં આવે છે તેના આધારે કરવામાં આવેલા માપનનું પરિણામ સંપૂર્ણપણે અવ્યવસ્થિત હોય છે. હકીકતમાં, d-પરિમાણીય જગ્યા માટે, આપણી પાસેઃ પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની કોઈપણ જોડી માટે અને. આ બાઉન્ડ શ્રેષ્ઠ છેઃ જો આપણે એક બેઝમાંથી સ્થિતિને માપીએ તો પરિણામમાં તે બેસિસમાં એન્ટ્રોપી 0 અને બીજામાં એન્ટ્રોપી હોય છે. જો જગ્યાનું પરિમાણ એક મુખ્ય શક્તિ હોય, તો આપણે d + 1 એમયુબી બનાવી શકીએ છીએ, અને પછી એવું જાણવા મળ્યું છે કે જે સમૂહની જોડી બનાવીને અને પછી માસેન અને ઉફિન્ક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આપણને મળતા સંબંધ કરતાં વધુ મજબૂત છે. આમ આપણી પાસે d + 1 પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાની લાક્ષણિકતા છે, જેના માટે અનિશ્ચિતતા સંબંધો સૌથી મજબૂત છે. બે પાયા અને ડી + 1 પાયા માટેના કેસનો સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હોવા છતાં, અન્ય સંજોગોમાં પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા માટેના અનિશ્ચિતતા સંબંધો વિશે બહુ ઓછી માહિતી છે. બે કરતાં વધુ અને બે કરતાં ઓછા પાયાને ધ્યાનમાં લેતી વખતે તે જાણીતું છે કે પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાના મોટા સમૂહો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે બહુ ઓછી અનિશ્ચિતતા દર્શાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે માત્ર પરસ્પર નિષ્પક્ષ રહેવાથી ઉચ્ચ અનિશ્ચિતતા તરફ દોરી જતું નથી, સિવાય કે જ્યારે માત્ર બે પાયાઓમાં માપને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે. તેમ છતાં એવા અન્ય માપ અસ્તિત્વમાં છે જે ખૂબ જ અનિશ્ચિત છે. જ્યારે અનંત પરિમાણ હિલ્બર્ટ અવકાશમાં પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયાઓની તપાસ કરવામાં આવી છે, ત્યારે તેમનું અસ્તિત્વ એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે. એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે સતત હિલ્બર્ટ અવકાશમાં, બે ઓર્થોનોર્મલ પાયા અને પરસ્પર નિષ્પક્ષ હોવાનું કહેવાય છે જો સામાન્યીકૃત સ્થિતિ અને વેગ માટે આઈગનસ્ટેટ અને, k નું મૂલ્ય છે. સ્થિતિ સ્થિતિઓ અને વેગ સ્થિતિઓ અનુક્રમે હર્મિશિયન ઓપરેટરોના આઈગનવેક્ટર્સ છે. વેઇગર્ટ અને વિલ્કિન્સને સૌપ્રથમ નોંધ્યું હતું કે આ ઓપરેટરોના રેખીય સંયોજનમાં પણ આઈગનબેઝ હોય છે, જે પરસ્પર નિષ્પક્ષ પાયા માટે લાક્ષણિક કેટલીક લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે. ઓપરેટર પાસે સાથે અને અનુરૂપ આઈગન મૂલ્યોના પ્રમાણસર આઈગનફંક્શન્સ હોય છે. જો આપણે પેરામેટ્રીઝ કરીએ અને અને તરીકે, રેખીય સંયોજનની કોઈપણ આઈગનસ્ટેટ અને પોઝિશન ઓપરેટરની કોઈપણ આઈગનસ્ટેટ (બંને સ્થિતિઓ ડીરાક ડેલ્ટા માટે સામાન્ય) વચ્ચે ઓવરલેપ સ્થિર હોય છે, પરંતુ તેના પર નિર્ભર છેઃ ક્યાં અને અને ના આઈગનફંક્શન્સ માટે ક્યાં છે. આ પણ જુઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં માપન POVM SIC-POVM QBism સંદર્ભો ક્વોન્ટમ માપન ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ ગણિતમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ હિલ્બર્ટ સ્પેસ ઓપરેટર થિયરી ઘટના ભૂમિતિ યુક્લિડિયન પ્લેન ભૂમિતિ બીજગણિત ભૂમિતિ હાયપરગ્રાફ્સ કમ્પ્યુટર-સહાયિત પુરાવા