Coherence (fairness)
સુસંગતતા, જેને એકરૂપતા અથવા સુસંગતતા પણ કહેવાય છે, તે વાજબી વિભાજન માટેના નિયમોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનો માપદંડ છે. સુસંગતતા માટે જરૂરી છે કે નિષ્પક્ષતાના નિયમનું પરિણામ માત્ર એકંદર સમસ્યા માટે જ નહીં, પરંતુ દરેક પેટા સમસ્યા માટે પણ વાજબી હોય. ન્યાયી વિભાજનનો દરેક ભાગ ન્યાયી હોવો જોઈએ. સુસંગતતાની જરૂરિયાતનો પ્રથમ અભ્યાસ વિભાજનના સંદર્ભમાં કરવામાં આવ્યો હતો. આ સંદર્ભમાં, સુસંગતતાને સંતોષવામાં નિષ્ફળતાને નવા રાજ્યોનો વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છેઃ જ્યારે નવું રાજ્ય સંઘમાં પ્રવેશ કરે છે, અને આ નવા રાજ્યને ફાળવવામાં આવેલી બેઠકોની સંખ્યાને સમાવવા માટે ગૃહનું કદ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે કેટલાક અન્ય અસંબંધિત રાજ્યોને અસર થાય છે. સુસંગતતા અન્ય વાજબી વિભાજન સમસ્યાઓ માટે પણ સુસંગત છે, જેમ કે નાદારીની સમસ્યાઓ. વ્યાખ્યા ફાળવણી કરવા માટે એક સંસાધન છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે પ્રતિનિધિઓના ગૃહમાં બેઠકોની સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. કેટલાક એજન્ટો વચ્ચે સંસાધનોની ફાળવણી થવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આ સંઘીય રાજ્યો અથવા રાજકીય પક્ષો હોઈ શકે છે. એજન્ટો પાસે વિવિધ હક છે, જે વેક્ટર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટીઆઈ એ પક્ષ i દ્વારા જીતવામાં આવેલા મતોનો અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. ફાળવણી એ સાથે વેક્ટર છે. ફાળવણી નિયમ એ એક નિયમ છે કે, કોઈપણ અને હકદાર વેક્ટર માટે, ફાળવણી વેક્ટર પરત કરે છે. ફાળવણીના નિયમને સુસંગત (અથવા એકરૂપ) કહેવામાં આવે છે, જો એજન્ટોના દરેક સબસેટ S માટે, જો નિયમ સંસાધનના સબસેટ પર અને હકદાર વેક્ટર પર સક્રિય હોય, તો પરિણામ એ ફાળવણી વેક્ટર છે. એટલે કેઃ જ્યારે એજન્ટોના સબસેટ પર નિયમ સક્રિય થાય છે, ત્યારે તેમને મળેલા સંસાધનોના સબસેટ સાથે, તેમના માટે પરિણામ સમાન હોય છે. સંબંધોનું સંચાલન સામાન્ય રીતે, ફાળવણીનો નિયમ એક કરતાં વધુ ફાળવણી (ટાઇના કિસ્સામાં) પરત કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં, વ્યાખ્યાને અપડેટ કરવી જોઈએ. ફાળવણીના નિયમને સંસાધનો અને હકદાર વેક્ટર દ્વારા પરત કરવામાં આવેલા ફાળવણી વેક્ટરના સમૂહ દ્વારા દર્શાવો અને દર્શાવો. આ નિયમને સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો દરેક ફાળવણી વેક્ટર અને એજન્ટોના કોઈપણ સબસેટ S માટે નીચે મુજબ હોયઃ એટલે કે, મહાન સમસ્યાના દરેક સંભવિત ઉકેલનો દરેક ભાગ, ઉપ-સમસ્યાનો સંભવિત ઉકેલ છે. દરેક માટે અને આપણી પાસે છે. એટલે કે, જો પેટા-સમસ્યાઓના અન્ય (બંધાયેલા) ઉકેલો હોય, તો પછી પેટા-સમસ્યાઓના મૂળ ઉકેલોને બદલે તેમને મૂકવાથી મોટી સમસ્યાના અન્ય (બંધાયેલા) ઉકેલો મળે છે. ફાળવણીમાં સુસંગતતા ફાળવણીની સમસ્યાઓમાં, ફાળવણી કરવા માટેનો સ્રોત અલગ છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંસદમાં બેઠકો. તેથી, દરેક એજન્ટને પૂર્ણાંક ફાળવણી મળવી આવશ્યક છે. બિન-સુસંગત પદ્ધતિઓઃ નવો રાજ્ય વિરોધાભાસ સંસદમાં બેઠકોની વહેંચણી માટેના સૌથી વધુ સાહજિક નિયમોમાંથી એક સૌથી મોટી શેષ પદ્ધતિ (એલ. આર. એમ.) છે. આ પદ્ધતિ સૂચવે છે કે હકદારી વેક્ટરને એવી રીતે સામાન્ય બનાવવો જોઈએ કે હકદારીનો સરવાળો (ફાળવવા માટેની બેઠકોની કુલ સંખ્યા) બરાબર હોય. પછી દરેક એજન્ટે તેની સામાન્યકૃત હકદારી (જેને ઘણીવાર ક્વોટા કહેવાય છે) મેળવવી જોઈએ. જો ત્યાં બાકી બેઠકો હોય, તો તે એજન્ટોને ફાળવવામાં આવવી જોઈએ, જેમાં સૌથી વધુ બાકીનો હિસ્સો હકનો સૌથી મોટો ભાગ છે. આશ્ચર્યજનક રીતે, આ નિયમ સુસંગત નથી. એક સરળ ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે એલિસ, બોબ અને ચાનાના સામાન્ય અધિકારો અનુક્રમે 0.4,1.35,3.25 છે. પછી એલ. આર. એમ. દ્વારા પરત કરવામાં આવેલી અનન્ય ફાળવણી 1,1,3 છે (પ્રારંભિક ફાળવણી 0,1,3 છે, અને વધારાની બેઠક એલિસને જાય છે, કારણ કે તેની બાકીની 0.4 સૌથી મોટી છે). હવે, ધારો કે આપણે એકલા એલિસ અને બોબ પર સમાન નિયમ સક્રિય કરીએ છીએ, તેમની 2 ની સંયુક્ત ફાળવણી સાથે. સામાન્યકૃત હક હવે 0.4/1.75 × 2 ≈ 0.45 અને 1.35/1.75 × 2 ≈ 1.54 છે. તેથી, એલ. આર. એમ. દ્વારા પરત કરવામાં આવેલી અનન્ય ફાળવણી 1,1 ને બદલે 0,2 છે. આનો અર્થ એ છે કે ગ્રાન્ડ સોલ્યુશન 1,1,3 માં, એલિસ અને બોબ વચ્ચેનું આંતરિક વિભાજન સૌથી મોટા અવશેષોના સિદ્ધાંતને અનુસરતું નથી, તે સુસંગત નથી. આ બિન-સુસંગતતાને જોવાની બીજી રીત નીચે મુજબ છે. ધારો કે ઘરનું કદ 2 છે, અને ક્વોટા 0.4,1.35 સાથે બે સ્થિતિઓ A, B છે. પછી LRM દ્વારા આપવામાં આવેલી અનન્ય ફાળવણી 0,2 છે. હવે, 3.25 ક્વોટા સાથે નવું રાજ્ય સી સંઘમાં જોડાય છે. તેમાં 3 બેઠકો ફાળવવામાં આવી છે, અને આ નવી બેઠકોને સમાવવા માટે મકાનનું કદ વધારીને 5 કરવામાં આવ્યું છે. આ ફેરફાર વર્તમાન રાજ્યો એ અને બી ને અસર ન કરવો જોઈએ. હકીકતમાં, એલ. આર. એમ. સાથે, પ્રવર્તમાન રાજ્યો પ્રભાવિત થાય છેઃ રાજ્ય એ એક બેઠક મેળવે છે, જ્યારે રાજ્ય બી એક બેઠક ગુમાવે છે. આને ન્યૂ સ્ટેટ પેરાડોક્સ કહેવામાં આવે છે. નવો રાજ્ય વિરોધાભાસ વાસ્તવમાં 1907માં જોવા મળ્યો હતો, જ્યારે ઓક્લાહોમા એક રાજ્ય બન્યું હતું. તેને 5 ટકા બેઠકો આપવામાં આવી હતી અને કુલ બેઠકોની સંખ્યા 386 થી વધીને 391 સભ્યો થઈ હતી. વિભાજનના પુનઃગણતરીએ અન્ય રાજ્યોને કારણે બેઠકોની સંખ્યાને અસર કરીઃ ન્યૂ યોર્ક એક બેઠક હારી ગયું, જ્યારે મૈને એક બેઠક જીતી. સુસંગત પદ્ધતિઓ દરેક વિભાજક પદ્ધતિ સુસંગત છે. આ તેમના વર્ણનમાંથી સીધા જ પિકિંગ સિક્વન્સ તરીકે અનુસરે છેઃ દરેક પુનરાવર્તન સમયે, વસ્તુ પસંદ કરવા માટેનો આગામી એજન્ટ સૌથી વધુ ગુણોત્તર (હકદાર/વિભાજક) ધરાવતો હોય છે. તેથી, જો આપણે એજન્ટોના ઉપગણને ધ્યાનમાં લઈએ તો પણ એજન્ટો વચ્ચે સંબંધિત પ્રાથમિકતા ક્રમ સમાન છે. સુસંગત પદ્ધતિઓના ગુણધર્મો જ્યારે સુસંગતતાને અન્ય કુદરતી જરૂરિયાતો સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તે વિભાજન પદ્ધતિઓના સંરચિત વર્ગની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. આ પ્રકારની લાક્ષણિકતાઓ વિવિધ લેખકો દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી. બધા પરિણામો ધારે છે કે નિયમો એકરૂપ ("યોગ્ય") છે. હાઈલેન્ડે સાબિત કર્યું કે જો સુસંગત યોગ્ય વિભાજન નિયમ સંતુલિત અને સુસંગત હોય, તો તે વિભાજક પદ્ધતિ સાથે સુસંગત છે. બાલિન્સ્કી અને યંગે સાબિત કર્યું કે જો સુસંગત યોગ્ય વિભાજન નિયમ અનામી અને સંતુલિત હોય, તો તે રેન્ક-ઇન્ડેક્સ પદ્ધતિ (વિભાજક પદ્ધતિઓનો સુપર-ક્લાસ) છે. તેનાથી વિપરીત પણ સાચું છેઃ અનામી અને સંતુલિત પદ્ધતિઓમાં, એક પદ્ધતિ સુસંગત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે રેન્ક-ઇન્ડેક્સ પદ્ધતિ હોય. બાલિન્સ્કી અને યંગે સાબિત કર્યું કે જો સુસંગત યોગ્ય વિભાજન નિયમ અનામી, સુસંગત અને નબળો ચોક્કસ હોય, તો તે વિભાજક પદ્ધતિ છે. બાલિન્સ્કી અને રાચેવે સાબિત કર્યું કે જો સુસંગત યોગ્ય વિભાજન નિયમ અનામી, ક્રમ-જાળવણી, નબળી રીતે ચોક્કસ અને સંપૂર્ણ હોય, તો તે વિભાજક પદ્ધતિ છે. પાલોમેરેસ, પુકેલશેઇમ અને રામિરેઝે સાબિત કર્યું કેઃ જો સુસંગત યોગ્ય વિભાજન નિયમ અનામી અને સંતુલિત હોય, તો તે હાઉસ-મોનોટોન છે; જો વધુમાં, તે સુસંગત પણ હોય, તો તે મત-ગુણોત્તર મોનોટોન છે; જો વધુમાં, તે પણ મજબૂત રીતે ચોક્કસ હોય, તો તે વિભાજક પદ્ધતિ સાથે સુસંગત છે (એટલે કે, તે વિભાજક પદ્ધતિ દ્વારા પરત કરવામાં આવેલી ફાળવણીનો સબસેટ પરત કરે છે); જો વધુમાં, તે પણ પૂર્ણ છે, તો તે વિભાજક પદ્ધતિ છે. યંગે સાબિત કર્યું કે અનન્ય વિભાજન પદ્ધતિ જે નજીકના પૂર્ણાંકને ગોળાકાર કરવાના કુદરતી બે-પક્ષીય વિભાજન નિયમનું સુસંગત વિસ્તરણ છે તે વેબસ્ટર પદ્ધતિ છે. નાદારીની સમસ્યાઓમાં સુસંગતતા નાદારીની સમસ્યાઓમાં, ફાળવણી માટે સંસાધન સતત હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, દેવાદાર દ્વારા બાકી રહેલા નાણાંની રકમ. દરેક એજન્ટ સંસાધનનો કોઈપણ ભાગ મેળવી શકે છે. જો કે, હકનો સરવાળો સામાન્ય રીતે કુલ બાકી રહેલા સંસાધનો કરતાં મોટો હોય છે. આવી સમસ્યાઓનું સમાધાન કરવા માટેનો સૌથી વધુ સાહજિક નિયમ પ્રમાણસર નિયમ છે, જેમાં દરેક એજન્ટને તેના હકના પ્રમાણસર સંસાધનનો એક ભાગ મળે છે. આ નિયમ ચોક્કસપણે સુસંગત છે. જો કે, તે એકમાત્ર સુસંગત નિયમ નથીઃ વિવાદિત વસ્ત્રોના તાલમુદિક નિયમને સુસંગત વિભાજન નિયમ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. અંગોની ફાળવણીમાં સુસંગતતા મોટાભાગના દેશોમાં, અંગ પ્રત્યારોપણની રાહ જોઈ રહેલા દર્દીઓની સંખ્યા ઉપલબ્ધ અંગોની સંખ્યા કરતાં ઘણી વધારે છે. તેથી, મોટાભાગના દેશો કેટલાક અગ્રતા-આદેશ દ્વારા અંગ કોને ફાળવવું તે પસંદ કરે છે. આશ્ચર્યજનક રીતે, વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક અગ્રતા ક્રમ સુસંગત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ભૂતકાળમાં યુ. એન. ઓ. એસ. દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતો એક નિયમ નીચે મુજબ હતોઃ દરેક દર્દીને અમુક તબીબી માહિતીના આધારે વ્યક્તિગત સ્કોર સોંપવામાં આવે છે. દરેક દર્દીને બોનસ આપવામાં આવે છે, જે તેના કરતા ઓછી રાહ જોનારા દર્દીઓના અપૂર્ણાંક કરતાં 10 ગણું વધારે છે. એજન્ટોને તેમના સ્કોર + બોનસની રકમ દ્વારા પ્રાથમિકતા આપવામાં આવે છે. ધારો કે કેટલાક ચાર દર્દીઓ A, B, C, D ના વ્યક્તિગત ગુણાંક 16,21,20,23 છે. ધારો કે તેમનો રાહ જોવાનો સમય A> B> C> D છે. તદનુસાર, તેમના બોનસ 10,7,5,2.5 છે. તેથી તેમની રકમ 26,28.5,25,25.5 છે, અને અગ્રતાનો ક્રમ B> A> D> C છે. હવે, B ને અંગ પ્રાપ્ત થયા પછી, A, C, D નો વ્યક્તિગત સ્કોર સમાન રહે છે, પરંતુ બોનસ 10,667,333 માં બદલાય છે, તેથી રકમ 26,26.67,26.33 છે, અને અગ્રતાનો ક્રમ C> D> A છે. આ ત્રણેય એજન્ટો વચ્ચેના ક્રમને ઉલટાવી દે છે. સુસંગત પ્રાધાન્યતા ક્રમ રાખવા માટે, પ્રાથમિકતા માત્ર વ્યક્તિગત લક્ષણો દ્વારા નક્કી થવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, બોનસની ગણતરી દર્દીઓના અપૂર્ણાંકને બદલે કતારમાં રહેલા મહિનાઓની સંખ્યા દ્વારા કરી શકાય છે. વિભાજન વિરોધાભાસ સંદર્ભો નિષ્પક્ષતા માપદંડ વિભાજન પદ્ધતિ માપદંડ પણ જુઓ.