Fair division among groups
જૂથો (અથવા પરિવારો) વચ્ચે વાજબી વિભાજન એ વાજબી વિભાજન સમસ્યાઓનો એક વર્ગ છે, જેમાં સંસાધનો વ્યક્તિગત એજન્ટોને બદલે એજન્ટોના જૂથોમાં ફાળવવામાં આવે છે. વિભાજન પછી, દરેક જૂથના તમામ સભ્યો સમાન હિસ્સાનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ તેમની પસંદગીઓ અલગ હોઈ શકે છે; તેથી, એક જ જૂથના જુદા જુદા સભ્યો ફાળવણી વાજબી છે કે નહીં તે અંગે અસંમત હોઈ શકે છે. જૂથ મેળાના વિભાજનના કેટલાક ઉદાહરણો આ પ્રમાણે છેઃ કેટલાક ભાઈ-બહેનોને તેમના માતાપિતા પાસેથી કેટલાક મકાનો વારસામાં મળ્યા છે અને તેમને વહેંચવા પડે છે. દરેક ભાઈ-બહેનનો એક પરિવાર હોય છે, જેના સભ્યોના કયા ઘર વધુ સારું છે તે અંગે જુદા જુદા મંતવ્યો હોઈ શકે છે. ભાગીદારીનું વિસર્જન થાય છે અને તેની અસ્કયામતો ભાગીદારોમાં વહેંચવી જોઈએ. ભાગીદારો પેઢીઓ છે; દરેક પેઢીમાં ઘણા શેરધારકો હોય છે, જેઓ કઈ સંપત્તિ વધુ મહત્વપૂર્ણ છે તે અંગે અસંમત હોઈ શકે છે. યુનિવર્સિટી મેનેજમેન્ટ તેના વિભાગોમાં કેટલાક મીટિંગ રૂમ ફાળવવા માંગે છે. દરેક વિભાગમાં ઘણા ફેકલ્ટી સભ્યો હોય છે, જેમાં કયા રૂમ વધુ સારા છે તે અંગે જુદા જુદા મંતવ્યો હોય છે. બે પડોશી દેશો તેમની વચ્ચે વિવાદિત પ્રદેશને વહેંચવા માંગે છે. દરેક દેશના નાગરિકો આ પ્રદેશના કયા ભાગો વધુ મહત્વપૂર્ણ છે તેના પર અલગ પડે છે. આંતરરાષ્ટ્રીય વિવાદોને ઉકેલવામાં આ એક સામાન્ય અવરોધ છે. "એજન્ટોનું જૂથ" પણ એક વ્યક્તિની વિવિધ વિરોધાભાસી પસંદગીઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. વર્તણૂકીય અર્થશાસ્ત્રમાં જોવા મળે છે તેમ, લોકો ઘણીવાર મનની વિવિધ રચનાઓ અથવા વિવિધ મનોદશાઓ અનુસાર તેમની પસંદગીઓ બદલી નાખે છે. આવા લોકોને એજન્ટોના જૂથ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી દરેકની અલગ પસંદગી હોય છે. ઉપરોક્ત તમામ ઉદાહરણોમાં જૂથો અગાઉથી નક્કી કરવામાં આવ્યા છે. કેટલીક સેટિંગ્સમાં, જૂથોને કામચલાઉ રીતે નક્કી કરી શકાય છે, એટલે કે, લોકોને તેમની પસંદગીઓના આધારે જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે. આવા સેટિંગનું ઉદાહરણ છેઃ લગભગ 30 લોકો સ્થાનિક બાસ્કેટબોલ કોર્ટનો ઉપયોગ કરવા માગે છે. દરેક રમતમાં 10 ખેલાડીઓનો સમાવેશ થાય છે જેમની પસંદગીઓ અલગ અલગ હોય છે કે કયો સમય વધુ સારો છે. દિવસના સમયને 3 ભાગોમાં વહેંચવો અને ખેલાડીઓને 3 જૂથોમાં વહેંચવા અને દરેક ટાઇમ-સ્લોટ માટે એક જૂથ સોંપવું જરૂરી છે. નિષ્પક્ષતાના માપદંડ પ્રમાણસરતા અને ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા જેવા સામાન્ય નિષ્પક્ષતાના માપદંડ, એક જ એજન્ટના દૃષ્ટિકોણથી, એક જ પસંદગીના સંબંધ સાથે વિભાજનનું મૂલ્યાંકન કરે છે. જૂથો વચ્ચે વાજબી વિભાજન માટે આ માપદંડોને વિસ્તારવાની ઘણી રીતો છે. સર્વસંમત નિષ્પક્ષતા માટે જરૂરી છે કે ફાળવણીને તમામ જૂથોના તમામ એજન્ટોની નજરમાં વાજબી ગણવામાં આવે. ઉદાહરણ તરીકેઃ વિભાગને સર્વસંમતિથી પ્રમાણસર કહેવામાં આવે છે જો દરેક જૂથમાં દરેક એજન્ટ તેના/તેણીના જૂથના હિસ્સાને કુલ મૂલ્યના ઓછામાં ઓછા 1/k તરીકે મૂલ્ય આપે છે, જ્યાં k એ જૂથોની સંખ્યા છે. વિભાજનને સર્વસંમતિથી ઈર્ષ્યા-મુક્ત કહેવામાં આવે છે જો દરેક જૂથમાં દરેક એજન્ટ તેના/તેણીના જૂથના હિસ્સાને ઓછામાં ઓછું અન્ય કોઈ જૂથના હિસ્સા જેટલું મૂલ્ય આપે છે. સર્વસંમત નિષ્પક્ષતા એ એક મજબૂત જરૂરિયાત છે, અને ઘણીવાર તેને સંતોષી શકાતી નથી. એકંદર નિષ્પક્ષતા દરેક જૂથને ચોક્કસ એકંદર કાર્ય સોંપે છે, જેમ કેઃ સરવાળો, ઉત્પાદન, અંકગણિત સરેરાશ અથવા ભૌમિતિક સરેરાશ. તે જરૂરી છે કે આ એકંદર કાર્ય અનુસાર ફાળવણી વાજબી ગણવામાં આવે. ઉદાહરણ તરીકેઃ વિભાજનને સરેરાશ-પ્રમાણસર કહેવામાં આવે છે, જો દરેક જૂથ માટે, એજન્ટોના મૂલ્યો અને જૂથના હિસ્સાનું અંકગણિત સરેરાશ કુલ મૂલ્યના ઓછામાં ઓછું 1/k હોય. વિભાજનને ઉત્પાદન-ઈર્ષ્યા-મુક્ત કહેવામાં આવે છે, જો દરેક જૂથ માટે, જૂથ હિસ્સાના એજન્ટોના મૂલ્યોનું ઉત્પાદન ઓછામાં ઓછું અન્ય કોઈ જૂથના હિસ્સાના તેમના મૂલ્યોનું ઉત્પાદન હોય. લોકશાહી નિષ્પક્ષતા માટે જરૂરી છે કે, દરેક જૂથમાં, એજન્ટોના ચોક્કસ અપૂર્ણાંક સંમત થાય કે વિભાજન વાજબી છે; પ્રાધાન્યમાં આ અપૂર્ણાંક ઓછામાં ઓછો અડધો ભાગ હોવો જોઈએ. એક વ્યવહારુ પરિસ્થિતિ જેમાં આવી જરૂરિયાત ઉપયોગી થઈ શકે છે તે છે જ્યારે બે લોકશાહી દેશો તેમની વચ્ચે ચોક્કસ વિવાદિત જમીનને વહેંચવા માટે સંમત થાય છે, અને કરારને બંને દેશોમાં લોકમત દ્વારા મંજૂરી આપવી જોઈએ. સર્વસંમતિથી નિષ્પક્ષતા એ એકંદર-નિષ્પક્ષતા અને લોકશાહી-નિષ્પક્ષતા બંને સૂચવે છે. એકંદર નિષ્પક્ષતા અને લોકશાહી નિષ્પક્ષતા સ્વતંત્ર છે-તેમાંથી કોઈ પણ બીજાને સૂચવતું નથી. પેરેટો કાર્યક્ષમતા એ અન્ય એક મહત્વપૂર્ણ માપદંડ છે જે નિષ્પક્ષતા ઉપરાંત જરૂરી છે. તેને સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ કોઈ ફાળવણી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિગત એજન્ટ માટે વધુ સારી નથી અને ઓછામાં ઓછી તમામ વ્યક્તિગત એજન્ટો માટે સારી છે. વિભાજીત સંસાધનો માટેના પરિણામો વાજબી કેક કાપવાના સંદર્ભમાં, નીચેના પરિણામો જાણીતા છે (જ્યાં k એ જૂથોની સંખ્યા છે, અને n એ તમામ જૂથોમાં એજન્ટોની સંખ્યા છે). સર્વસંમત નિષ્પક્ષતાઃ સર્વસંમત-પ્રમાણસર અને સર્વસંમત-ઈર્ષ્યા-મુક્ત ફાળવણી હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો કે, તેઓ ડિસ્કનેક્ટ થઈ શકે છેઃ ઓછામાં ઓછા n જોડાયેલા ઘટકોની જરૂર પડી શકે છે. બે જૂથો સાથે, n ઘટકો હંમેશા પૂરતા હોય છે. કે> 2 જૂથો સાથે, ઓ (એન લોગ કે) ઘટકો હંમેશા સર્વસંમત-પ્રમાણસર ફાળવણી માટે પૂરતા હોય છે, અને ઓ (એન કે) ઘટકો હંમેશા સર્વસંમત-ઈર્ષ્યા-મુક્ત ફાળવણી માટે પૂરતા હોય છે. તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે કે n ઘટકો હંમેશા પૂરતા હોય છે કે નહીં. એકંદર નિષ્પક્ષતાઃ સરેરાશ-પ્રમાણસર અને સરેરાશ-ઈર્ષ્યા-મુક્ત ફાળવણી હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને માત્ર k જોડાયેલા ઘટકોની જરૂર પડે છે (એટલે કે, દરેક જૂથને જોડાયેલ ભાગ મળી શકે છે). જો કે, તેઓ રોબર્ટસન-વેબ ક્વેરી મોડેલમાં મર્યાદિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાતા નથી. લોકશાહી નિષ્પક્ષતાઃ અડધી લોકશાહી પ્રમાણસર અને અડધી લોકશાહી ઈર્ષા મુક્ત ફાળવણી હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બે જૂથો સાથે, એવી ફાળવણીઓ અસ્તિત્વમાં છે જે પણ જોડાયેલ છે, અને તે બહુપદી સમયમાં મળી શકે છે. કે> 2 જૂથો સાથે, જોડાયેલ 1/2-લોકશાહી વાજબી ફાળવણી અસ્તિત્વમાં ન હોઈ શકે, પરંતુ જરૂરી ઘટકોની સંખ્યા સર્વસંમત-પ્રમાણસર ફાળવણી કરતા ઓછી છે. નિષ્પક્ષતા અને કાર્યક્ષમતાઃ પ્રમાણસરતાના ત્રણેય પ્રકારો કોઈપણ સંખ્યામાં જૂથો માટે પેરેટો-કાર્યક્ષમતા સાથે સુસંગત છે. સર્વસંમત-ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા 2 જૂથો માટે પેરેટો-કાર્યક્ષમતા સાથે સુસંગત છે, પરંતુ 3 અથવા વધુ જૂથો માટે નહીં. 1/2 લોકશાહી ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા 2 જૂથો માટે પેરેટો-કાર્યક્ષમતા સાથે સુસંગત છે, પરંતુ 5 કે તેથી વધુ જૂથો માટે નહીં. તે ખુલ્લું છે કે શું તેઓ 3 અથવા 4 જૂથો માટે સુસંગત છે. વિભાજનની સમસ્યા ત્યારે સરળ બને છે જ્યારે એજન્ટોને તેમની પસંદગીઓના આધારે કામચલાઉ જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, દરેક જૂથમાં કોઈપણ સંખ્યામાં જૂથો અને કોઈપણ સંખ્યામાં એજન્ટો માટે સર્વસંમત ઈર્ષ્યા-મુક્ત જોડાયેલ ફાળવણી અસ્તિત્વમાં છે. સર્વસંમત પ્રમાણસરતા અને ચોક્કસ વિભાજન ચોક્કસ વિભાજનમાં (જેને સર્વસંમતિ વિભાજન પણ કહેવાય છે), n એજન્ટો હોય છે, અને ધ્યેય કેકને k ટુકડાઓમાં વહેંચવાનો હોય છે જેથી તમામ એજન્ટો તમામ ટુકડાઓનું મૂલ્ય બરાબર 1/k કરે. તે જાણીતું છે કે n (k-1) સાથે ચોક્કસ વિભાજન હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે. જો કે, k = 2 માટે પણ, n કટ સાથે ચોક્કસ વિભાજન શોધવું એ FIXP-હાર્ડ છે, અને n કટ સાથે અંદાજિત ચોક્કસ વિભાજન શોધવું એ PPA-પૂર્ણ છે (વધુ માહિતી માટે ચોક્કસ વિભાજન જુઓ). તે સાબિત કરી શકાય છે કે સર્વસંમત-પ્રમાણસરતા એ નીચેના અર્થમાં સર્વસંમતિ વિભાજનની સમકક્ષ છેઃ દરેક n અને k માટે, k પરિવારોમાં જૂથબદ્ધ n (k-1) + 1 એજન્ટો વચ્ચે સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજનનો ઉકેલ k ટુકડાઓ સાથે n એજન્ટો વચ્ચે સર્વસંમતિ વિભાજનનો ઉકેલ સૂચવે છે. ખાસ કરીને, તે સૂચવે છે કે સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજન માટે ઓછામાં ઓછા એન-1 કટ (એન ઘટકો) ની જરૂર પડે છે, એન-1 કટ સાથે સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજન શોધવું એ ફિક્સ-હાર્ડ છે, અને એન-1 કટ સાથે અંદાજે સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજન શોધવું એ પીપીએ-હાર્ડ છે. દરેક n અને k માટે, n એજન્ટો અને k ટુકડાઓ વચ્ચે ચોક્કસ-વિભાજનનો ઉકેલ k પરિવારોમાં જૂથબદ્ધ n + 1 એજન્ટો વચ્ચે સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજનનો ઉકેલ સૂચવે છે. ખાસ કરીને, તે સૂચવે છે કે ચોક્કસ સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજન (એન-1) (કે-1) કાપ સાથે કરી શકાય છે, અને અંદાજે સર્વસંમત-પ્રમાણસર વિભાજન શોધવું પી. પી. એ. માં છે. કાપની સંખ્યા k = 2 પરિવારો માટે ચુસ્ત છે પરંતુ k> 2 માટે નહીં. અવિભાજ્ય વસ્તુઓ માટેના પરિણામો વાજબી વસ્તુની ફાળવણીના સંદર્ભમાં, નીચેના પરિણામો જાણીતા છે. સર્વસંમત અંદાજિત મહત્તમ-શેર નિષ્પક્ષતાઃ જ્યારે બે જૂથો હોય, ત્યારે જો જૂથોમાં એજન્ટોની સંખ્યા (1, એન-1) અથવા (2,2) અથવા (2,3) હોય તો એમ. એમ. એસ.-નિષ્પક્ષતા માટે હકારાત્મક ગુણાકાર અંદાજની ખાતરી આપી શકાય છે. સકારાત્મક પરિણામો બહુપદી-સમયના અલ્ગોરિધમ્સ દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, એવા ઉદાહરણો છે જેમાં હકારાત્મક એમ. એમ. એસ. ધરાવતા ઓછામાં ઓછા એક એજન્ટને તમામ ફાળવણીમાં શૂન્ય મૂલ્ય મળે છે. જ્યારે ત્રણ કે તેથી વધુ જૂથો હોય, ત્યારે એમ. એમ. એસ.-નિષ્પક્ષતા માટે હકારાત્મક ગુણાકાર અંદાજ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જો કે-1 જૂથોમાં એક જ એજન્ટ હોય; તેનાથી વિપરીત, જો તમામ જૂથોમાં 2 એજન્ટો હોય અને એક જૂથમાં ઓછામાં ઓછા 5 એજન્ટો હોય, તો કોઈ હકારાત્મક અંદાજ શક્ય નથી. સર્વસંમત અંદાજિત ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતાઃ જ્યારે દ્વિસંગી એડિટિવ વેલ્યુએશન ધરાવતા એજન્ટોના બે જૂથો હોય, ત્યારે જો જૂથના કદ (1,5) અથવા (2,3) હોય તો સર્વસંમતિથી-EF1 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે, પરંતુ જો જૂથના કદ (1,6) અથવા (2,4) અથવા (3,3) હોય તો અસ્તિત્વમાં ન પણ હોય. સામાન્ય રીતે, જો જૂથના કદ હોય તો ઇ. એફ. સી. ફાળવણી અસ્તિત્વમાં નથી. નોંધ લો કે, દ્વિસંગી મૂલ્યાંકન સાથે, EF1 એ EFXની સમકક્ષ છે, પરંતુ EFX0 કરતા નબળું છે. જો જૂથના કદ (1,2) હોય તો સર્વસંમતિથી-EFX0 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં ન હોઈ શકે; આ વ્યક્તિગત એજન્ટોની સ્થિતિથી વિપરીત છે, એટલે કે, જૂથના કદ (1,1), જ્યાં મોનોટોન મૂલ્યાંકન માટે પણ EFX0 ફાળવણી હંમેશા અસ્તિત્વમાં હોય છે. આપેલ ઉદાહરણ સર્વસંમતિથી-EF1 ફાળવણીને સ્વીકારે છે કે નહીં તે નક્કી કરવું NP-મુશ્કેલ છે. જ્યારે પ્રતિભાવશીલ મૂલ્યાંકન સાથે એજન્ટોના બે જૂથો હોય છે (એડિટિવ વેલ્યુએશનનું સુપરસેટ), જો જૂથનું કદ (1,2) હોય તો સર્વસંમતિથી-EF1 સંતુલિત ફાળવણી અસ્તિત્વમાં છે. જો નેસર આલેખ પર ચોક્કસ અનુમાન સાચું હોય, તો જૂથ કદ (1,4), (2,3) અને મનસ્વી મોનોટોન મૂલ્યાંકન માટે પણ સર્વસંમતિથી-EF1 સંતુલિત ફાળવણી અસ્તિત્વમાં છે. જો જૂથનું કદ (1,2) હોય તો સર્વસંમતિથી-ઇ. એફ. એક્સ. ફાળવણી અસ્તિત્વમાં ન હોઈ શકે. બે એડ-હૉક જૂથો માટે, મનસ્વી મોનોટોન મૂલ્યાંકનવાળા એજન્ટોની કોઈપણ સંખ્યા સાથે, સર્વસંમતિથી-EF1 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં છે. એજન્ટોનું સંતુલિત વિભાજન અને માલની સર્વસંમતિથી-EF1 સંતુલિત ફાળવણી પણ અસ્તિત્વમાં છે. એડિટિવ વેલ્યુએશન સાથે પણ EF1 ને EFX સુધી મજબૂત કરી શકાતું નથી. કે એડ-હોક જૂથો માટે, એડિટિવ વેલ્યુએશન સાથે કોઈપણ સંખ્યામાં એજન્ટો સાથે, સર્વસંમતિથી-PROP * 1 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં છે. કે જૂથોમાં આપખુદ રીતે વિભાજિત એન એજન્ટો માટે, હંમેશા એક ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે જે સી વસ્તુઓ સુધી ઈર્ષ્યા મુક્ત હોય છે, જ્યાં. સી વસ્તુઓની પ્રમાણસરતા માટે પણ આ જ સાચું છે. સર્વસંમતિ વિભાજન માટે સીમાઓ છે. જ્યારે જૂથોની સંખ્યા સ્થિર હોય ત્યારે તમામ સીમાઓ લક્ષણવિહીન રીતે ચુસ્ત હોય છે. પુરાવાઓ વિસંગતતા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. ઉચ્ચ સંભાવના સાથે સર્વસંમત ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતાઃ જ્યારે તમામ કે જૂથોમાં સમાન સંખ્યામાં એજન્ટો હોય છે, અને તેમનું મૂલ્યાંકન અવ્યવસ્થિત રીતે કરવામાં આવે છે, ત્યારે જો માલની સંખ્યા હોય તો ઉચ્ચ સંભાવના સાથે ઈર્ષ્યા-મુક્ત ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે, અને લોભી અલ્ગોરિધમ દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જે ઉપયોગિતાઓનો સરવાળો મહત્તમ કરે છે. પરિણામોને વિવિધ કદના બે જૂથો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. એક સાચી પદ્ધતિ પણ છે જે ઉચ્ચ સંભાવના સાથે લગભગ-ઈર્ષ્યા-મુક્ત ફાળવણી પ્રાપ્ત કરે છે. જો માલની સંખ્યા n કરતા ઓછી હોય, તો ઉચ્ચ સંભાવના સાથે, ઈર્ષ્યા મુક્ત ફાળવણી અસ્તિત્વમાં નથી. લોકશાહી નિષ્પક્ષતાઃ દ્વિસંગી એડિટિવ વેલ્યુએશન (કોઈપણ સંખ્યામાં એજન્ટો સાથે) ધરાવતા બે જૂથો માટે, હંમેશા 1/2-લોકશાહી ઈર્ષ્યા-મુક્ત-સિવાય-1 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે. જો આપણે કોઈપણ અચળાંક c માટે ઈર્ષ્યા-મુક્ત-અપવાદ-c ફાળવણીને મંજૂરી આપીએ તો પણ અચળાંક 1/2 ચુસ્ત હોય છે. આ જ પ્રમાણસરતા-સિવાય-c માટે પણ સાચું છે. એક અલગ નિષ્પક્ષતા કલ્પના, જે દરેક જૂથના 1/2 થી વધુ એજન્ટો માટે બાંયધરી આપી શકાય છે, તે ક્રમિક મહત્તમ-શેર અંદાજ છે. દરેક પૂર્ણાંક c માટે, એક-લોકશાહી 1-આઉટ-ઓફ-c MMS-ન્યાયી ફાળવણી અસ્તિત્વમાં છે. આ ફાળવણી રાઉન્ડ-રોબિન વસ્તુની ફાળવણીના પ્રકારનો ઉપયોગ કરીને અસરકારક રીતે શોધી શકાય છે, જેમાં દરેક જૂથની અંદર ભારિત મંજૂરી મતદાન થાય છે. એજન્ટોના અપૂર્ણાંક પરની ઉપલી સીમા કે જે તેમની શ્રેષ્ઠ સી વસ્તુઓમાંથી 1 (1-આઉટ-ઓફ-સી એમએમએસ કરતાં નબળી મિલકત) ની બાંયધરી આપી શકાય છે. કારણ કે, 1-આઉટ-ઓફ-બેસ્ટ-સી ફાળવણી માટે નીચલી મર્યાદાને 1/2 થી સુધારીને 3/5 કરી શકાય છે; તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે કે શું 3/4 ની ઉપરની મર્યાદાને હંમેશા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. દરેક એજન્ટને હકારાત્મક ઉપયોગિતા આપતી ફાળવણીને આપેલ ઉદાહરણ સ્વીકારે છે કે નહીં તે નક્કી કરવું એન. પી.-મુશ્કેલ છે. સામાન્ય મોનોટોન મૂલ્યાંકન ધરાવતા બે જૂથો માટે, હંમેશા 1/2-લોકશાહી ઈર્ષ્યા-મુક્ત-સિવાય-1 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે, અને તે એક કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ દ્વારા શોધી શકાય છે. દ્વિસંગી ઉમેરણ મૂલ્યાંકન ધરાવતા ત્રણ કે તેથી વધુ જૂથો માટે, હંમેશા 1/કે-લોકશાહી ઈર્ષ્યા-મુક્ત-અપવાદ-1 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે; સામાન્ય એકવિધ મૂલ્યાંકન સાથે, હંમેશા 1/કે-લોકશાહી ઈર્ષ્યા-મુક્ત-અપવાદ-2 ફાળવણી અસ્તિત્વમાં હોય છે. કોઈપણ અચળાંક સી માટે ઈર્ષ્યા-મુક્ત-અપવાદ-સી ફાળવણી માટે પરિબળ 1/કે ચુસ્ત છે. જો ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતાને પ્રમાણસરતા અથવા મહત્તમ-શેરમાં હળવા કરવામાં આવે, તો બહુપદી-સમય અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમાન બાંયધરીઓ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. એડિટિવ વેલ્યુએશન ધરાવતા જૂથો માટે, 1/3-લોકશાહી 1-આઉટ-ઓફ-બેસ્ટ-કે ફાળવણી શોધવા માટે રાઉન્ડ-રોબિન આઇટમ ફાળવણીના પ્રકારનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વસ્તુઓ અને નાણાંની સામૂહિક વાજબી વહેંચણી ભાડાની સુસંગતતા (રૂમ અને ભાડાની ઈર્ષા મુક્ત વહેંચણી) ના સંદર્ભમાં, નીચેના પરિણામો જાણીતા છે. જ્યારે ખર્ચ વહેંચણી નીતિ સમાન અથવા પ્રમાણસર હોય ત્યારે સર્વસંમત ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા (કાગળમાં મજબૂત ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા કહેવાય છે) અસ્તિત્વમાં ન પણ હોઈ શકે, પરંતુ હંમેશા મફત ખર્ચ વહેંચણી નીતિ સાથે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વધુમાં, મફત ખર્ચની વહેંચણી સાથે સર્વસંમતિથી-ઈર્ષ્યા-મુક્ત ફાળવણી જે કુલ ભાડાને મહત્તમ કરે છે તે બહુપદી સમયમાં મળી શકે છે. કામચલાઉ જૂથો સાથે, સમાન ખર્ચ વહેંચણી નીતિ સાથે પણ સર્વસંમત ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા અસ્તિત્વમાં છે. જ્યારે ખર્ચ વહેંચણી નીતિ સમાન અથવા પ્રમાણસર અથવા મુક્ત હોય ત્યારે સરેરાશ ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા (કાગળમાં એકંદર ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા કહેવાય છે) હંમેશા અસ્તિત્વમાં રહે છે. ટિકિટ લોટરીઓનું વાજબી વિભાજન જૂથો વચ્ચે વાજબી વિભાજનનો વ્યવહારુ ઉપયોગ મર્યાદિત ક્ષમતા સાથે ઉદ્યાનો અથવા અન્ય અનુભવોની ટિકિટોનું વિભાજન છે. ઘણીવાર ટિકિટોને અવ્યવસ્થિત રીતે વહેંચવામાં આવે છે. જ્યારે લોકો જાતે જ આવે છે, ત્યારે તમામ ઉમેદવારોમાં એક સરળ સમાન-યાદૃચ્છિક લોટરી એ યોગ્ય ઉકેલ છે. પરંતુ લોકો ઘણીવાર પરિવારો અથવા મિત્રોના જૂથોમાં આવે છે, જેઓ એકસાથે પ્રવેશવા માંગે છે. આ લોટરીની રચના કેવી રીતે કરવી તે અંગે વિવિધ વિચારણાઓ તરફ દોરી જાય છે. નીચેના પરિણામો જાણીતા છેઃ જે સેટિંગમાં જૂથના તમામ સભ્યોની અગાઉથી ઓળખ કરવામાં આવે છે, તે માટે ગ્રુપ લોટરી મિકેનિઝમ યાદૃચ્છિક રીતે એકસમાન રીતે જૂથોને ઓર્ડર આપે છે, અને જ્યાં સુધી ઉપલબ્ધ ક્ષમતા હોય ત્યાં સુધી તેમને ક્રમિક રીતે પ્રક્રિયા કરે છે. આ કુદરતી પદ્ધતિ અયોગ્ય અને બિનકાર્યક્ષમ હોઈ શકે છે; કેટલાક વધુ સારા વિકલ્પો છે. જો એજન્ટો તેમના જૂથના સભ્યોને ઓળખ્યા વિના બહુવિધ ટિકિટની વિનંતી કરી શકે છે, તો વ્યક્તિગત લોટરી મિકેનિઝમ એજન્ટોને એકસરખી રીતે ઓર્ડર આપે છે અને જ્યાં સુધી ક્ષમતા ઉપલબ્ધ હોય ત્યાં સુધી દરેકને તેમની વિનંતીનો પુરસ્કાર આપે છે. આ સામાન્ય પદ્ધતિ મનસ્વી રીતે અયોગ્ય અને બિનકાર્યક્ષમ પરિણામો આપી શકે છે. ભારિત વ્યક્તિગત લોટરી એ એક વૈકલ્પિક પદ્ધતિ છે જેમાં પ્રક્રિયા આદેશ નાની વિનંતીઓ સાથે એજન્ટોની તરફેણ કરવા માટે પક્ષપાતી છે. તે લગભગ વાજબી અને લગભગ કાર્યક્ષમ છે. પુનરાવર્તિત સંભાવના મહત્તમકરણ અલ્ગોરિધમ એક લોટરી શોધે છે જે સૌથી નાની ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરે છે (સમતાવાદી નિયમ અને લેક્સિમિન ક્રમ પર આધારિત). તે જૂથ વ્યૂહરચના પ્રતિરોધક છે, અને મહત્તમ ઉપયોગનો 1/2-પરિબળ અંદાજ પ્રાપ્ત કરે છે. તે પેરેટો-કાર્યક્ષમ, ઈર્ષ્યા મુક્ત અને અનામી પણ છે. તેના ગુણધર્મો એ અર્થમાં મહત્તમ છે કે બીજાને નુકસાન પહોંચાડ્યા વિના એક મિલકતમાં સુધારો કરવો અશક્ય છે. સંબંધિત વિભાવનાઓ જૂથ ઈર્ષ્યા-સ્વતંત્રતા એ વ્યક્તિગત એજન્ટો વચ્ચે વાજબી વિભાજન માટે નિષ્પક્ષતાનો માપદંડ છે. તે કહે છે કે, દરેક વ્યક્તિગત એજન્ટને તેનો ખાનગી હિસ્સો મળ્યા પછી, એજન્ટોના કોઈ પણ ગઠબંધનને સમાન કદના અન્ય ગઠબંધનની ઈર્ષ્યા થતી નથી. ક્લબ ગુડ એ એક એવું સંસાધન છે જેનો ઉપયોગ એક જ જૂથ ("ક્લબ") ના તમામ સભ્યો દ્વારા એક સાથે કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેને અન્ય જૂથોના સભ્યોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે. જૂથ વાજબી વિભાજનની સમસ્યામાં, તમામ ફાળવેલ માલ એ જૂથમાં ક્લબ માલ છે જેને તેઓ ફાળવવામાં આવે છે. સંમત પેટા સમૂહ એ વસ્તુઓનો પેટા સમૂહ છે જે ચોક્કસ જૂથના તમામ લોકો દ્વારા ઓછામાં ઓછા તેના પૂરક જેટલા જ સારા માનવામાં આવે છે. સંદર્ભો વાજબી વિભાગ મતદાન