Theories of iterated inductive definitions
સમૂહ સિદ્ધાંત અને તર્કશાસ્ત્રમાં, બુચોલ્ઝનો ID પદાનુક્રમ એ પ્રથમ ક્રમના અંકગણિતની પેટા પ્રણાલીઓનો પદાનુક્રમ છે. પ્રણાલીઓ/સિદ્ધાંતોને "ν-વખત પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓના ઔપચારિક સિદ્ધાંતો" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. IDν મોનોટોન ઓપરેટરોના ν પુનરાવર્તિત ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુઓ દ્વારા PA ને વિસ્તરે છે. વ્યાખ્યા મૂળ વ્યાખ્યા ઔપચારિક સિદ્ધાંત IDω (અને સામાન્ય રીતે IDν) એ પીનો અંકગણિતનું વિસ્તરણ છે, જે LID ભાષામાં નીચેના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું છેઃ દરેક LID-સૂત્ર F (x) માટે ν § ω સાથેના સિદ્ધાંત IDν ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ દરેક LID-સૂત્ર F (x) માટે અને દરેક u <ν સમજૂતી/વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા ID1 A સમૂહને પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો કોઈ મોનોટોનિક ઓપરેટર માટે, જ્યાં સૌથી ઓછો નિશ્ચિત બિંદુ સૂચવે છે. ID1, ની ભાષા, પ્રથમ ક્રમની સંખ્યા સિદ્ધાંતમાંથી, LN [X] માં દરેક X-સકારાત્મક સૂત્ર A (X, x) માટે સમૂહ (અથવા વિધેય) અચળાંક IA ના ઉમેરા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, જેમાં ફક્ત X (એક નવો સમૂહ ચલ) અને x (એક સંખ્યા ચલ) મુક્ત ચલ તરીકે હોય છે. એક્સ-પોઝિટિવ શબ્દનો અર્થ એ છે કે એક્સ માત્ર એ માં હકારાત્મક રીતે આવે છે (એક્સ ક્યારેય સૂચિતાર્થની ડાબી બાજુએ નથી). આપણે આપણી જાતને થોડો સેટ-સૈદ્ધાંતિક સંકેત આપીએ છીએઃ એટલે કે બે સૂત્રો માટે અને, એટલે. પછી આઇ. ડી. 1 એ પ્રથમ ક્રમની સંખ્યા સિદ્ધાંત (પી. એ.) ના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો ધરાવે છે, જેમાં નવી ભાષામાં વિસ્તૃત ઇન્ડક્શન યોજના તેમજ આ સ્વયંસિદ્ધાંતોઃ જ્યાં તમામ સૂત્રોની શ્રેણી હોય છે. નોંધ લો કે જે વ્યક્ત કરે છે કે અંકગણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા સમૂહ સંચાલક હેઠળ બંધ છે, જ્યારે વ્યક્ત કરે છે કે તે ઓછામાં ઓછું આવું છે (ઓછામાં ઓછું વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા સમૂહોમાં). આમ, તે સૌથી ઓછું પૂર્વ-નિશ્ચિત બિંદુ છે, અને તેથી ઓપરેટરનું સૌથી ઓછું નિશ્ચિત બિંદુ છે. IDν ν-વખત પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓની પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, જ્યાં ν એક ક્રમિક છે, ચાલો ક્રમ પ્રકાર ν નું આદિમ પુનરાવર્તિત વેલ-ઓર્ડરિંગ હોઈએ. આપણે ક્ષેત્રના તત્વોને દર્શાવવા માટે ગ્રીક અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. IDν ની ભાષા, દરેક X-પોઝિટિવ સૂત્ર માટે દ્વિસંગી વિધેય અચળાંક JA ના ઉમેરા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે જેમાં મોટાભાગે દર્શાવેલ મુક્ત ચલ હોય છે, જ્યાં X ફરીથી એક યુનરી (સમૂહ) ચલ છે, અને Y એ એક તાજા દ્વિસંગી વિધેય ચલ છે. તેના બદલે આપણે લખીએ છીએ, પછીના સૂત્રમાં x ને વિશિષ્ટ ચલ તરીકે વિચારીએ છીએ. સિસ્ટમ IDν હવે ફર્સ્ટ-ઓર્ડર નંબર થિયરી (PA) ની સિસ્ટમમાંથી નવી ભાષામાં ઇન્ડક્શન યોજનાનું વિસ્તરણ કરીને અને મનસ્વી સૂત્ર તેમજ સ્વયંસિદ્ધ માટે ટ્રાન્સફાઇનાઇટ ઇન્ડક્શનને વ્યક્ત કરતી યોજનાને ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છેઃ જ્યાં મનસ્વી સૂત્ર છે. અને આપણે સૂત્ર માટે સંક્ષિપ્ત શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો, જ્યાં વિશિષ્ટ ચલ છે. આપણે જોઈએ છીએ કે આ વ્યક્ત કરે છે કે દરેક, માટે, ઓપરેટર માટે સૌથી ઓછું નિશ્ચિત બિંદુ (નિર્ધારિત સમૂહોમાં) છે. નોંધ લો કે કેવી રીતે અગાઉના બધા સમૂહો, માટે, પરિમાણો તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે. પછી આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. વેરિયન્ટ્સ-એક નબળી આવૃત્તિ છે. સિસ્ટમમાં, સમૂહને તેના બદલે પ્રેરક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો કેટલાક મોનોટોનિક ઓપરેટર માટે, ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુને બદલે, એક નિશ્ચિત બિંદુ હોય. આ સૂક્ષ્મ તફાવત પ્રણાલીને નોંધપાત્ર રીતે નબળી બનાવે છેઃ, જ્યારે. તે વધુ નબળી પડી જાય છે. તેમાં, તે માત્ર ઓછામાં ઓછા નિશ્ચિત બિંદુઓને બદલે નિશ્ચિત બિંદુઓનો ઉપયોગ કરતું નથી, અને માત્ર હકારાત્મક સૂત્રો માટે ઇન્ડક્શન ધરાવે છે. આ ફરી એકવાર સૂક્ષ્મ તફાવત સિસ્ટમને વધુ નબળી બનાવે છેઃ, જ્યારે. ડબલ્યુ-પ્રકારોના આધારે તે તમામ પ્રકારોમાં સૌથી નબળો છે. નિયમિત પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓની સરખામણીમાં નબળા પડવાની માત્રા બીજા ક્રમના અંકગણિતની ચોક્કસ પેટા પ્રણાલીને જોતાં બાર ઇન્ડક્શનને દૂર કરવા સમાન છે. , જ્યારે. તે એક "અનફોલ્ડિંગ" મજબૂતીકરણ છે. તે બરાબર પ્રથમ ક્રમની અંકગણિત પ્રણાલી નથી, પરંતુ ν-વખત પુનરાવર્તિત સામાન્યીકૃત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓના આધારે અનુમાનિત તર્ક દ્વારા શું મેળવી શકાય છે તે મેળવે છે. તાકાતમાં વૃદ્ધિની માત્રા થીઃ, જ્યારે સુધીની વૃદ્ધિ જેવી જ છે. પરિણામો ν> 0 દો. જો ω T0માં ω <ω સાથે કોઈ પ્રતીક Dμ ન હોય, તો "aω W0" IDνમાં સાબિત કરી શકાય તેવું છે. IDω તેમાં સમાયેલ છે. જો એક-વાક્ય IDν માં સાબિત કરી શકાય તેવું છે, તો ત્યાં એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો વાક્ય A એ બધા ν <ω માટે IDν માં સાબિત કરી શકાય તેવું છે, તો ત્યાં k ω N અસ્તિત્વમાં છે. પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ્સ ID <ν નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. IDν નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. ફોર નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. ફોર નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. ફોર નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ બરાબર છે. ID1 (બકમેન-હોવર્ડ ઓર્ડિનલ) નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ પણ, અને નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ છે. W-IDω () નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ પણ તેનો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ છે. IDω (ટેકુટી-ફેફરમેન-બુચોલ્ઝ ઓર્ડિનલ) નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ પણ, અને નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ છે. ID <ω ^ ω () નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ પણ પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ છે. ID <ε0 () નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ પણ અને નો પ્રૂફ-થિયોરેટિક ઓર્ડિનલ છે. સંદર્ભો પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓ અને વિશ્લેષણની પેટા પ્રણાલીઓ માટેનું એક સ્વતંત્ર પરિણામઃ તાજેતરના પુરાવા-સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસો પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓના અંતઃપ્રેરણાત્મક સિદ્ધાંત માટે એન. એલ. એ. બી. લેમ્મામાં પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓ પુનરાવર્તિત પ્રેરક વ્યાખ્યાઓ અને એ. જી. ડી. એ. માં મોટા ગણતરીપાત્ર ક્રમિક અને સંખ્યાઓ એન. એલ. એ. બી. માં સામાન્ય વિશ્લેષણ સામાન્ય સંખ્યાઓનો પુરાવો સિદ્ધાંત સુયોજન સિદ્ધાંત ગાણિતિક તર્ક