Lentz's algorithm
ગણિતમાં, લેન્ટ્ઝનું અલ્ગોરિધમ એ સતત અપૂર્ણાંકોનું મૂલ્યાંકન કરવા અને ગોળાકાર બેસલ કાર્યોના કોષ્ટકોની ગણતરી કરવા માટેનું એક અલ્ગોરિધમ છે. હવે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું સંસ્કરણ થોમ્પસન અને બાર્નેટને કારણે છે. આ વિચાર 1973માં વિલિયમ જે. લેન્ટ્ઝ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને 1982માં તેમના દ્વારા તેને સરળ બનાવવામાં આવ્યો હતો. લેન્ટ્ઝે સૂચવ્યું હતું કે જટિલ દલીલોના ગોળાકાર બેસલ કાર્યોના ગુણોત્તરની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. તેમણે સતત ક્રમના ગોળાકાર બેસલ વિધેયોના ગુણોત્તરની ગણતરી કરવા માટે એક નવી સતત અપૂર્ણાંક તકનીક વિકસાવી. આ પદ્ધતિ અન્ય પદ્ધતિઓની સરખામણીમાં એક સુધારો હતો કારણ કે તે પૂંછડીને બદલે સતત અપૂર્ણાંકની શરૂઆતથી શરૂ થઈ હતી, તેમાં કન્વર્જન્સ માટે બિલ્ટ-ઇન ચેક હતું અને તે આંકડાકીય રીતે સ્થિર હતી. મૂળ અલ્ગોરિધમ અંશ અથવા છેદમાં શૂન્યને બાયપાસ કરવા માટે બીજગણિતનો ઉપયોગ કરે છે. અનિચ્છનીય શૂન્ય શરતોને દૂર કરવા માટેના સરળ સુધારાઓમાં 1981માં જેસ્કેલેનેન અને રુસ્કેનન દ્વારા સૂચવવામાં આવેલ બદલાયેલ પુનરાવર્તન સંબંધ અથવા 1986માં થોમ્પસન અને બાર્નેટ દ્વારા સૂચવવામાં આવેલ ખૂબ જ નાની સંખ્યા દ્વારા છેદનું સરળ પરિવર્તન સામેલ છે. પ્રારંભિક કાર્ય આ સિદ્ધાંત શરૂઆતમાં મી સ્કેટરિંગ માટે જરૂરી ગોળાકાર બેસલ કાર્યના ગુણોત્તરની સચોટ ગણતરી માટે લેન્ટ્ઝની જરૂરિયાત દ્વારા પ્રેરિત હતો. તેમણે એક નવું સતત અપૂર્ણાંક અલ્ગોરિધમ બનાવ્યું જે સતત અપૂર્ણાંકની શરૂઆતથી શરૂ થાય છે અને પૂંછડીના અંતથી નહીં. આ કન્વર્જન્સ માટે સતત અપૂર્ણાંકની કેટલી શરતો જરૂરી છે તે અનુમાનને દૂર કરે છે. વધુમાં, બેસલ વિધેયોના ગુણોત્તર અને ક્રમિક ક્રમના ગોળાકાર બેસલ વિધેયો બંને માટે સતત અપૂર્ણાંક રજૂઆતોની ગણતરી લેન્ટ્ઝના અલ્ગોરિધમ સાથે કરી શકાય છે. અલ્ગોરિધમે સૂચવ્યું હતું કે જ્યારે પ્રમાણમાં નાનું હોય ત્યારે સતત અપૂર્ણાંકોનું મૂલ્યાંકન સમાપ્ત કરવું શક્ય છે. એલ્ગોરિધમ લેન્ટ્ઝનું અલ્ગોરિધમ વોલિસ-યુલર સંબંધો પર આધારિત છે. જો વગેરે, અથવા બિગ-કે નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, જો th કન્વર્જન્ટ હોય તો ક્યાં અને વોલિસ-યુલર પુનરાવર્તન સંબંધો દ્વારા આપવામાં આવે છે, લેન્ટ્ઝની પદ્ધતિ વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે જેથી th કન્વર્જન્ટ છે અને પુનરાવર્તન સંબંધોનો ઉપયોગ કરે છે જ્યારે ઉત્પાદન વધવાની સાથે એકતાની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે એવી આશા રાખવામાં આવે છે કે તે કન્વર્જ થઈ ગયું છે. એપ્લિકેશન્સ લેન્ટ્ઝના અલ્ગોરિધમનો વીસમી સદીના અંતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. એવું સૂચન કરવામાં આવ્યું હતું કે તેમાં ભૂલ પ્રસારનું કોઈ સખત વિશ્લેષણ નથી. જો કે, કેટલાક પ્રયોગમૂલક પરીક્ષણો સૂચવે છે કે તે ઓછામાં ઓછી અન્ય પદ્ધતિઓ જેટલી જ સારી છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે ઘાતાંકીય અભિન્ન કાર્યોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું. આ એપ્લિકેશનને પછી મોડિફાઇડ લેન્ટ્ઝ અલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવતું હતું. એવું પણ કહેવામાં આવ્યું છે કે લેન્ટ્ઝ અલ્ગોરિધમ દરેક ગણતરી માટે લાગુ પડતું નથી, અને કેટલાક સતત અપૂર્ણાંકો માટે અભિસરણ ખૂબ ઝડપી હોઈ શકે છે અને અન્ય લોકો માટે ઊલટું હોઈ શકે છે. સંદર્ભો વિશેષ હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યો