Mathematics of apportionment
વિભાજનનું ગણિત વિવિધ અધિકારો ધરાવતા પક્ષો વચ્ચે સમાન વસ્તુઓની વાજબી ફાળવણી માટે ગાણિતિક સિદ્ધાંતો અને અલ્ગોરિધમ્સનું વર્ણન કરે છે. આવા સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ સંઘીય રાજ્યો અથવા રાજકીય પક્ષો વચ્ચે સંસદમાં બેઠકો વહેંચવા માટે થાય છે. વિભાજન સંબંધિત વધુ નક્કર સિદ્ધાંતો અને મુદ્દાઓ માટે વિભાજન (રાજકારણ) અને વિશ્વભરમાં ઉપયોગમાં લેવાતી વ્યવહારુ પદ્ધતિઓ માટે દેશ દ્વારા વિભાજન જુઓ. ગાણિતિક રીતે, વિભાજન પદ્ધતિ એ અપૂર્ણાંકોને પૂર્ણાંકો સાથે ગોળાકાર કરવાની એક પદ્ધતિ છે. તે જેટલું સરળ લાગે છે, ગોળાકાર માટેની દરેક પદ્ધતિ એક અથવા વધુ વિરોધાભાસથી પીડાય છે. વિભાજનના ગાણિતિક સિદ્ધાંતનો ઉદ્દેશ એ નક્કી કરવાનો છે કે કયા વિરોધાભાસને ટાળી શકાય છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિભાજન પદ્ધતિમાંથી કયા ગુણધર્મોની અપેક્ષા રાખી શકાય છે. વિભાજનના ગાણિતિક સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ 1907ની શરૂઆતમાં ગણિતશાસ્ત્રી એગ્નર ક્રારુપ એર્લાંગ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. પાછળથી તેને ગણિતશાસ્ત્રી મિશેલ બાલિન્સ્કી અને અર્થશાસ્ત્રી પેટન યંગ દ્વારા વિસ્તૃત રીતે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. રાજકીય પક્ષોને લાગુ કરવા ઉપરાંત, જ્યારે એજન્ટો પાસે વિવિધ હક હોય ત્યારે તે વાજબી વસ્તુની ફાળવણી માટે પણ લાગુ પડે છે. તે માનવબળ આયોજનમાં પણ સુસંગત છે-જ્યાં શ્રમ સમૂહની લાક્ષણિકતાઓના પ્રમાણમાં નોકરીઓ ફાળવવી જોઈએ, આંકડાઓ માટે-જ્યાં ટકાવારીની નોંધાયેલ ગોળાકાર સંખ્યા 100% સુધી હોવી જોઈએ, અને નાદારીની સમસ્યાઓ માટે. વ્યાખ્યાઓ ઇનપુટ વિભાજન પદ્ધતિના ઇનપુટ્સ આ પ્રમાણે છેઃ એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક જે ફાળવવા માટેની વસ્તુઓની કુલ સંખ્યાને રજૂ કરે છે. તેને ઘરનું કદ પણ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે ઘણા કિસ્સાઓમાં, ફાળવવાની વસ્તુઓ પ્રતિનિધિઓના ગૃહમાં બેઠકો હોય છે. હકારાત્મક પૂર્ણાંક એજન્ટોની સંખ્યાને રજૂ કરે છે જેને વસ્તુઓ ફાળવવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આ સંઘીય રાજ્યો અથવા રાજકીય પક્ષો હોઈ શકે છે. હકદારીનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી સંખ્યાઓનો વાહક-એજન્ટના હકદારીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે, વસ્તુઓની રકમ કે જેના માટે હકદાર છે (કુલમાંથી). આ હકદારીઓને ઘણીવાર એવી રીતે સામાન્ય કરવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, તેમને સામાન્ય બનાવી શકાય છે જેથી તેમનો સરવાળો હોય; આ કિસ્સામાં હકદારીને ક્વોટા કહેવામાં આવે છે અને તેને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ક્યાં અને ક્યાં. વૈકલ્પિક રીતે, એકને વસ્તીનો વાહક આપવામાં આવે છે; અહીં, એજન્ટનો હક છે. આઉટપુટ એ પૂર્ણાંકોનો વેક્ટર છે, જેને એપોર્શમેન્ટ ઓફ કહેવાય છે, જ્યાં એજન્ટ i ને ફાળવવામાં આવેલી વસ્તુઓની સંખ્યા છે. દરેક એજન્ટ માટે, વાસ્તવિક સંખ્યાને ક્વોટા કહેવામાં આવે છે, અને તે વસ્તુઓની ચોક્કસ સંખ્યા સૂચવે છે જેને આપવી જોઈએ. સામાન્ય રીતે, "વાજબી" ફાળવણી એ છે જેમાં દરેક ફાળવણી ક્વોટાની શક્ય તેટલી નજીક હોય છે. વિભાજન પદ્ધતિ વિભાજન વેક્ટરનો સમૂહ પરત કરી શકે છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ તે બહુ-મૂલ્યવાન કાર્ય છે). આ જરૂરી છે, કારણ કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં બે સંભવિત ઉકેલો વચ્ચે તફાવત કરવાની કોઈ યોગ્ય રીત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો (અથવા અન્ય કોઈ વિષમ સંખ્યા) અને, તો (50,51) અને (51,50) બંને સમાન રીતે વાજબી ઉકેલો છે, અને એકને બીજા પર પસંદ કરવાની કોઈ ગાણિતિક રીત નથી. વ્યવહારમાં આવા સંબંધો અત્યંત દુર્લભ હોવા છતાં, સિદ્ધાંત તેમના માટે જવાબદાર હોવો જોઈએ (વ્યવહારમાં, જ્યારે વિભાજન પદ્ધતિ બહુવિધ આઉટપુટ આપે છે, ત્યારે તેમાંથી એકને કેટલાક બાહ્ય અગ્રતા નિયમો દ્વારા અથવા સિક્કા પલટીને પસંદ કરી શકાય છે, પરંતુ આ ગાણિતિક વિભાજન સિદ્ધાંતના અવકાશની બહાર છે). વિભાજન પદ્ધતિને બહુ-મૂલ્યવાન કાર્ય દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે; ચોક્કસ-ઉકેલ એ એક-મૂલ્યવાન કાર્ય છે જે તેમાંથી એક વિભાજન પસંદ કરે છે. આંશિક વિભાજન પદ્ધતિ એ અને ના ચોક્કસ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે વિભાજન પદ્ધતિ છે; તે એક બહુ-મૂલ્યવાન કાર્ય છે જે ફક્ત-વેક્ટરને સ્વીકારે છે. કેટલીકવાર, ઇનપુટમાં લઘુતમ જરૂરિયાતોને રજૂ કરતા પૂર્ણાંકોનો વેક્ટર પણ હોય છે-એજન્ટને તેની હકદારીને ધ્યાનમાં લીધા વિના પ્રાપ્ત થવી જોઈએ તેવી વસ્તુઓની સૌથી નાની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. તેથી આઉટપુટ પર વધારાની જરૂરિયાત છેઃ બધા માટે. જ્યારે એજન્ટો રાજકીય પક્ષો હોય છે, ત્યારે આ સંખ્યાઓ સામાન્ય રીતે 0 હોય છે, તેથી આ વાહક અવગણવામાં આવે છે. પરંતુ જ્યારે એજન્ટો રાજ્યો અથવા જિલ્લાઓ હોય છે, ત્યારે આ સંખ્યાઓ ઘણીવાર હકારાત્મક હોય છે જેથી ખાતરી કરી શકાય કે બધાનું પ્રતિનિધિત્વ થાય છે. તેઓ બધા એજન્ટો માટે સમાન હોઈ શકે છે (દા. ત. યુએસએ રાજ્યો માટે 1, ફ્રાન્સના જિલ્લાઓ માટે 2), અથવા અલગ (દા. ત. કેનેડા અથવા યુરોપિયન સંસદમાં). કેટલીકવાર મહત્તમ આવશ્યકતાઓનો વેક્ટર પણ હોય છે, પરંતુ તે ઓછો સામાન્ય હોય છે. મૂળભૂત જરૂરિયાતો એવા મૂળભૂત ગુણધર્મો છે જે કોઈપણ વાજબી વિભાજન પદ્ધતિ દ્વારા સંતુષ્ટ થવા જોઈએ. તેમને જુદા જુદા લેખકો દ્વારા જુદા જુદા નામો આપવામાં આવ્યા હતાઃ ડાબી બાજુના નામો પુકેલશીમના છે; જમણી બાજુના કૌંસમાંના નામો બાલિન્સ્કી અને યંગના છે. અનામિકતા (= સમપ્રમાણતા) નો અર્થ એ છે કે વિભાજન એજન્ટોના નામ અથવા સૂચકાંકો પર આધારિત નથી. ઔપચારિક રીતે, જો કોઈ ક્રમચય હોય, તો પછી તેમાંના વિભાગો બરાબર તેમાંના વિભાગોના અનુરૂપ ક્રમચયો છે. આ જરૂરિયાત ત્યારે અર્થપૂર્ણ બને છે જ્યારે કોઈ ન્યૂનતમ જરૂરિયાતો ન હોય, અથવા જ્યારે જરૂરિયાતો સમાન હોય; જો તે સમાન ન હોય, તો પછી અનામીતા જરૂરિયાતો સંતોષવાને આધિન હોવી જોઈએ. સંતુલન (= સંતુલન) નો અર્થ એ છે કે જો બે એજન્ટો પાસે સમાન હક હોય, તો તેમની ફાળવણી વધુમાં વધુ 1 થી અલગ હોવી જોઈએઃ સૂચવે છે. સમન્વય (= નબળી વસ્તી એકવિધતા) નો અર્થ એ છે કે સખત રીતે ઉચ્ચ હક ધરાવતા એજન્ટને ઓછામાં ઓછી ઘણી વસ્તુઓ મળે છેઃ શિષ્ટાચાર (= એકરૂપતા) નો અર્થ એ છે કે હકદારી વેક્ટરને માપવાથી પરિણામમાં ફેરફાર થતો નથી. ઔપચારિક રીતે, દરેક અચળાંક c માટે (જો વિભાજન પદ્ધતિમાં ઇનપુટ સામાન્ય હોય તો આ આપમેળે સંતુષ્ટ થાય છે). ચોક્કસતા (= નબળા પ્રમાણસરતા) નો અર્થ એ છે કે જો કોઈ સંપૂર્ણ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેને પસંદ કરવો જ જોઇએ. ઔપચારિક રીતે, જો દરેક એજન્ટનો ક્વોટા પૂર્ણાંક નંબર હોય, તો તેમાં એક અનન્ય વેક્ટર હોવો આવશ્યક છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો એચ-વિભાજન બરાબર પ્રમાણસર હોય, તો તે તેનું અનન્ય તત્વ હોવું જોઈએ. મજબૂત ચોકસાઈનો અર્થ એ છે કે ચોકસાઈ પણ "મર્યાદામાં" છે. એટલે કે, જો હકદાર વેક્ટરનો ક્રમ પૂર્ણાંક ક્વોટા વેક્ટરમાં એકરૂપ થાય છે, તો ક્રમના તમામ ઘટકોમાં એકમાત્ર ફાળવણી વેક્ટર છે. નબળી ચોકસાઈથી તફાવત જોવા માટે, નીચેના નિયમનો વિચાર કરો. (અ) દરેક એજન્ટને તેનો ક્વોટા પૂર્ણાંક આપો; (બ) બાકીની બેઠકો વારંવાર સૌથી મોટા પક્ષોને આપો. આ નિયમ નબળો ચોક્કસ છે, પરંતુ મજબૂત રીતે ચોક્કસ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે h = 6 અને ક્વોટા વેક્ટર (4 + 1/k, 2-1/k) નો ક્રમ ધ્યાનમાં લો. ઉપરોક્ત નિયમ તમામ k માટે ફાળવણી (5,1) આપે છે, તેમ છતાં જ્યારે k → φ પૂર્ણાંક વેક્ટર (4,2) હોય ત્યારે મર્યાદા હોય છે. મજબૂત પ્રમાણસરતાનો અર્થ એ છે કે, વધુમાં, જો, અને, અને ત્યાં અમુક એચ-વિભાજન છે જે બરાબર પ્રમાણસર છે, તો તે તેનું અનન્ય તત્વ હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો એક ઉકેલ (3,3) હોય, તો એકમાત્ર ઉકેલ (2,2) હોવો જોઈએ. સંપૂર્ણતાનો અર્થ એ છે કે, જો પાત્રતા વેક્ટરના કન્વર્જિંગ ક્રમ માટે અમુક વિભાજન પરત કરવામાં આવે, તો પછી તેમની મર્યાદા વેક્ટર માટે પણ પરત કરવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમૂહ-હકદાર વેક્ટરોનો સમૂહ જેના માટે સંભવિત વિભાજન છે-તે ટોપોલોજીકલ રીતે બંધ છે. જો અને માત્ર જો તે ક્રમમાં દરેક હકદારી સાથે સંબંધિત હોય તો અપૂર્ણ પદ્ધતિને કોઈપણ મર્યાદા હકદારીમાં ફાળવણી ઉમેરીને "પૂર્ણ" કરી શકાય છે. સમપ્રમાણ અને પ્રમાણસર વિભાજન પદ્ધતિની પૂર્ણતા સંપૂર્ણ, સમપ્રમાણ અને પ્રમાણસર છે. વ્યવહારમાં ઘણા દેશો દ્વારા કરવામાં આવે છે તેમ, બાહ્ય ટાઈ-બ્રેકિંગ નિયમ લાગુ કરતી પદ્ધતિઓ દ્વારા સંપૂર્ણતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે. ટાઈ-બ્રેકિંગ નિયમ માત્ર મર્યાદાના કિસ્સામાં લાગુ પડે છે, તેથી તે સંપૂર્ણતાને તોડી શકે છે. સંપૂર્ણતા અને નબળાઈ-ચોકસાઈ એકસાથે મજબૂત-ચોકસાઈ સૂચવે છે. જો યોગ્ય ટાઈ-બ્રેકિંગ નિયમ ઉમેરીને સંપૂર્ણ અને નબળી રીતે-ચોક્કસ પદ્ધતિમાં ફેરફાર કરવામાં આવે, તો પરિણામી નિયમ હવે પૂર્ણ નથી, પરંતુ તે હજુ પણ મજબૂત રીતે-ચોક્કસ છે. અન્ય વિચારણાઓ ફાળવણીની પ્રમાણસરતાને બેઠકો-થી-મતોના ગુણોત્તર અને ગલાઘેર સૂચકાંક દ્વારા માપી શકાય છે. ચૂંટણીની મર્યાદાઓ સાથે વહેંચણીની પ્રમાણસરતા રાજકીય વિભાજન અને રાજકીય સ્પર્ધામાં પ્રવેશ માટેના અવરોધને અસર કરે છે. સામાન્ય વિભાજન પદ્ધતિઓ ઘણી વિભાજન પદ્ધતિઓ છે, અને તેમને ઘણા અભિગમોમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. સૌથી મોટી શેષ પદ્ધતિઓ નીચે ગોળાકાર ક્વોટાના વેક્ટરની ગણતરી કરીને શરૂ થાય છે, એટલે કે. જો આ ગોળાકાર મૂલ્યોનો સરવાળો બરાબર હોય, તો આ વેક્ટર અનન્ય વિભાજન તરીકે પરત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, રકમ તેના કરતા નાની હોય છે. આ કિસ્સામાં, બાકીની વસ્તુઓ એજન્ટો વચ્ચે તેમના અવશેષો અનુસાર ફાળવવામાં આવે છેઃ સૌથી વધુ બાકી રહેલા એજન્ટને એક બેઠક મળે છે, પછી બીજા સૌથી મોટા બાકી રહેલા એજન્ટને એક બેઠક મળે છે, અને તેથી વધુ, જ્યાં સુધી બધી વસ્તુઓ ફાળવવામાં ન આવે ત્યાં સુધી. કયા ક્વોટાનો ઉપયોગ થાય છે તેના આધારે એલ. આર. પદ્ધતિના ઘણા પ્રકારો છેઃ સરળ ક્વોટા, જેને હરે ક્વોટા પણ કહેવાય છે. હરે ક્વોટા સાથે એલ. આર. નો ઉપયોગ હેમિલ્ટનની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. હેગેનબેક-બિસ્કોફ ક્વોટા, જેને ચોક્કસ ડ્રૂપ ક્વોટા પણ કહેવાય છે. આ પદ્ધતિમાં ક્વોટા મોટા હોય છે, તેથી ઓછી વસ્તુઓ બાકી રહે છે. સિદ્ધાંતમાં, શક્ય છે કે રાઉન્ડ-ડાઉન ક્વોટાનો સરવાળો તેના કરતા મોટો હોય, પરંતુ વ્યવહારમાં આવું ભાગ્યે જ થાય છે. શાહી ક્વોટા છે. આ ક્વોટા ઓછો સામાન્ય છે, કારણ કે ત્યાં વધુ સંભાવના છે કે રાઉન્ડ-ડાઉન ક્વોટાનો સરવાળો તેના કરતા મોટો હશે. વિભાજક પદ્ધતિઓ, ક્વોટામાં નિશ્ચિત ગુણકનો ઉપયોગ કરવાને બદલે (જેમ કે અથવા), ગુણક એવી રીતે પસંદ કરો કે ગોળાકાર ક્વોટાનો સરવાળો બરાબર સમાન હોય, જેથી ફાળવવા માટે કોઈ બાકી વસ્તુઓ ન રહે. ઔપચારિક રીતે. વિભાજક પદ્ધતિઓ ગોળાકાર કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિથી અલગ પડે છે. વિભાજક પદ્ધતિને વિભાજક કાર્ય દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે જે દરેક પૂર્ણાંક માટે અંતરાલમાં વાસ્તવિક સંખ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે. તેનો અર્થ એ છે કે અંદરની તમામ સંખ્યાઓને ગોળાકાર કરવી જોઈએ, અને અંદરની તમામ સંખ્યાઓને ગોળાકાર કરવી જોઈએ. ગોળાકાર કાર્ય દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તે પૂર્ણાંક આપે છે. સંખ્યા પોતે ઉપર અને નીચે બંને ગોળાકાર કરી શકાય છે, તેથી ગોળાકાર કાર્ય બહુ-મૂલ્યવાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, એડમ્સની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે, જે ગોળાકારને અનુરૂપ છે; ડી 'હોન્ડ/જેફરસન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે, જે ગોળાકારને અનુરૂપ છે; અને વેબસ્ટર/સેઇન્ટ-લાગુ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે, જે નજીકના પૂર્ણાંકને ગોળાકારને અનુરૂપ છે. વિભાજક પદ્ધતિની ગણતરી પણ પુનરાવર્તિત રીતે કરી શકાય છેઃ શરૂઆતમાં, તમામ પક્ષો માટે 0 પર સેટ કરવામાં આવે છે. પછી, દરેક પુનરાવર્તન પર, આગામી બેઠક એવા પક્ષને ફાળવવામાં આવે છે જે ગુણોત્તરને મહત્તમ કરે છે. ક્રમ-અનુક્રમણિકા પદ્ધતિઓ એક કાર્ય દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે જે ઘટતું જાય છે. વિભાજનની ગણતરી પુનરાવર્તિત રીતે કરવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં, બધા પક્ષો માટે 0 પર સેટ કરો. પછી, દરેક પુનરાવર્તન પર, એજન્ટને આગામી બેઠક ફાળવો જે મહત્તમ કરે છે. વિભાજક પદ્ધતિઓ એ ક્રમ-અનુક્રમણિકા પદ્ધતિઓનો એક વિશેષ કેસ છેઃ વિભાજક કાર્ય સાથેની વિભાજક પદ્ધતિ ક્રમ-અનુક્રમણિકા સાથેની ક્રમ-અનુક્રમણિકા પદ્ધતિની સમકક્ષ હોય છે. ઓપ્ટિમાઇઝેશન-આધારિત પદ્ધતિઓ દરેક ઉદાહરણ માટે, આ ઉદાહરણ માટે "શક્ય તેટલી વાજબી" ફાળવણી પ્રાપ્ત કરવાનું લક્ષ્ય રાખે છે. ફાળવણી "વાજબી" છે જો તમામ એજન્ટો માટે i; આ કિસ્સામાં, આપણે કહીએ છીએ કે ફાળવણીની "અન્યાય" 0 છે. જો આ સમાનતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો કોઈ વ્યક્તિ "સંપૂર્ણ અન્યાય" ના માપદંડને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે અને તેને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરી શકે છે. અન્યાયનો સરવાળો અથવા મહત્તમ અન્યાયનો સ્તર ઘટાડી શકાય છે. દરેક ઓપ્ટિમાઇઝેશન માપદંડ અલગ નિયમ તરફ દોરી જાય છે. ક્વોટામાં રહેવું એજન્ટનો ચોક્કસ ક્વોટા છે. વિભાજન પદ્ધતિની મૂળભૂત જરૂરિયાત એ છે કે જો તે પૂર્ણાંક હોય તો તે દરેક એજન્ટને તેનો ક્વોટા ફાળવે છે; અન્યથા, તેણે તેને એક પૂર્ણાંક ફાળવવો જોઈએ જે ચોક્કસ ક્વોટાની નજીક હોય, એટલે કે, તેનો નીચલો ક્વોટા અથવા તેનો ઉપલો ક્વોટા. આપણે કહીએ છીએ કે વિભાજન પદ્ધતિ-જો બધા માટે હોય તો ઓછા ક્વોટાને સંતોષ આપે છે (આ આઇએફએફ ધરાવે છે). જો બધા માટે હોય તો ઉપલા ક્વોટાને સંતોષ આપે છે (આ આઇએફએફ ધરાવે છે). જો ઉપરોક્ત બંને શરતો લાગુ પડે (આ આઇ. એફ. એફ. ધરાવે છે) તો બંને ક્વોટાને સંતોષ આપે છે. હેમિલ્ટનની સૌથી મોટી-બાકીની પદ્ધતિ બાંધકામ દ્વારા નીચલા ક્વોટા અને ઉપલા ક્વોટા બંનેને સંતોષે છે. વિભાજક પદ્ધતિઓ માટે આ લાગુ પડતું નથીઃ જ્યારે 2 એજન્ટો હોય ત્યારે તમામ વિભાજક પદ્ધતિઓ બંને ક્વોટાને સંતોષે છે; વેબસ્ટરની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર વિભાજક પદ્ધતિ છે જે 3 એજન્ટો માટે બંને ક્વોટાને સંતોષે છે; એડમ્સની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર વિભાજક પદ્ધતિ છે જે કોઈપણ સંખ્યામાં એજન્ટો માટે ઉપલા ક્વોટાને સંતોષે છે; જેફરસનની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર વિભાજક પદ્ધતિ છે જે કોઈપણ સંખ્યામાં એજન્ટો માટે નીચલા ક્વોટાને સંતોષે છે; કોઈ વિભાજક પદ્ધતિ એક સાથે એક એજન્ટ માટે ઉપલા ક્વોટાનું ઉલ્લંઘન કરતી નથી અને અન્ય એજન્ટ માટે નીચલા ક્વોટાનું ઉલ્લંઘન કરે છે. તેથી, કોઈ પણ વિભાજક પદ્ધતિ કોઈપણ સંખ્યામાં એજન્ટો માટે ઉપલા ક્વોટા અને નીચલા ક્વોટા બંનેને સંતોષે નહીં. જેફરસન અને એડમ્સની વિશિષ્ટતા રેન્ક-ઇન્ડેક્સ પદ્ધતિઓના ઘણા મોટા વર્ગમાં પણ છે. આને વિભાજક પદ્ધતિઓના ગેરલાભ તરીકે જોઈ શકાય છે, પરંતુ તેને ક્વોટાના માપદંડનો ગેરલાભ પણ ગણી શકાયઃ "ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટક 10.1 માં 25 બેઠકોને બદલે D 26 આપવાનો અર્થ એ થશે કે નાના રાજ્યો A, B અથવા C માંથી એકમાંથી બેઠક લેવી. આવા જ ઉદાહરણો શોધી શકાય છે જેમાં કેટલાક રાજ્યોને તેના ઉપલા ક્વોટા કરતાં વધુ વ્યાજબી રીતે મળી શકે છે. એવી દલીલ કરી શકાય છે કે ક્વોટામાં રહેવું એ પ્રમાણસરતાના વિચાર સાથે ખરેખર સુસંગત નથી, કારણ કે તે મોટા રાજ્યોની સરખામણીમાં નાના રાજ્યોના માથાદીઠ પ્રતિનિધિત્વમાં ઘણો મોટો તફાવત આપે છે. "મોન્ટે-કાર્લો સિમ્યુલેશનમાં, વેબસ્ટરની પદ્ધતિ ખૂબ જ ઊંચી સંભાવના સાથે બંને ક્વોટાને સંતોષે છે. વધુમાં, વેસબેટરની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર વિભાજન પદ્ધતિ છે જે ક્વોટાની નજીક સંતોષ આપે છેઃ એવા કોઈ એજન્ટ નથી કે જે બેઠકને એકથી બીજી તરફ ખસેડીને તે બંનેને તેમના ક્વોટાની નજીક લાવેઃ. જેફરસનની પદ્ધતિને બંને ક્વોટાને સંતોષવા માટે સુધારી શકાય છે, જે ક્વોટા-જેફરસન પદ્ધતિ આપે છે. વધુમાં, બંને ક્વોટાને સંતોષવા માટે કોઈપણ વિભાજક પદ્ધતિમાં ફેરફાર કરી શકાય છે. આનાથી ક્વોટા-વેબસ્ટર પદ્ધતિ, ક્વોટા-હિલ પદ્ધતિ વગેરે મળે છે. પદ્ધતિઓના આ કુટુંબને ઘણીવાર ક્વોટાટોન પદ્ધતિઓ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે ક્વોટા અને ઘર-એકવિધતા બંનેને સંતોષે છે. જોડી મુજબની અસમાનતાને ઓછી કરવી વિભાજન પદ્ધતિઓનું મૂલ્યાંકન કરવાની એક રીત એ છે કે શું તેઓ એજન્ટોની જોડી વચ્ચેની અસમાનતાને ઘટાડે છે. સ્પષ્ટપણે, અસમાનતાએ વિવિધ અધિકારોને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએઃ જો પછી એજન્ટો સાથે "સમાન" વ્યવહાર કરવામાં આવે (ડબલ્યુ. આર. ટી. તેમના હક માટે); અન્યથા, જો એજન્ટની તરફેણ કરવામાં આવે છે, અને જો પછી એજન્ટની તરફેણ કરવામાં આવે છે. જો કે, સમાનતાને ફરીથી ગોઠવવાની 16 રીતો હોવાથી, અનુરૂપ રીતે અસમાનતાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવી ઘણી રીતો છે. . વેબસ્ટરની પદ્ધતિ એ અનન્ય વિભાજન પદ્ધતિ છે, જેમાં એજન્ટોની દરેક જોડી માટે અને આ તફાવતને ઓછો કરવામાં આવે છે (એટલે કે, બેઠકને ત્યાંથી અથવા તેનાથી વિપરીત ખસેડવાથી તફાવત ઓછો નહીં થાય). આ એડમ્સની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. માટે. આ જેફરસનની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. . આ ડીનની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. . આ હંટીંગ્ટન-હિલ પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. આ વિશ્લેષણ હન્ટિંગ્ટન દ્વારા 1920ના દાયકામાં કરવામાં આવ્યું હતું. કેટલીક શક્યતાઓ સ્થિર ઉકેલ તરફ દોરી જતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે અસમાનતાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો એવા ઉદાહરણો છે કે જેમાં, કોઈપણ ફાળવણી માટે, બેઠકને એક એજન્ટથી બીજા એજન્ટમાં ખસેડવાથી તેમની જોડી મુજબની અસમાનતામાં ઘટાડો થઈ શકે છે. વસ્તી (737,534,329) અને 16 બેઠકો ધરાવતા 3 રાજ્યોનું એક ઉદાહરણ છે. મોટા/નાના એજન્ટો પ્રત્યે પક્ષપાત જ્યારે એજન્ટો સંઘીય રાજ્યો હોય, ત્યારે મોટા રાજ્યો અને નાના રાજ્યો વચ્ચે પક્ષપાત ટાળવો ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. આ પૂર્વગ્રહને ઔપચારિક રીતે માપવાની ઘણી રીતો છે. તમામ માપ એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે કે જેફરસનની પદ્ધતિ મોટા રાજ્યોની તરફેણમાં પક્ષપાતી છે, એડમ્સની પદ્ધતિ નાના રાજ્યોની તરફેણમાં પક્ષપાતી છે, અને વેબસ્ટરની પદ્ધતિ ઓછામાં ઓછી પક્ષપાતી વિભાજક પદ્ધતિ છે. સુસંગતતા ગુણધર્મો એ એવા ગુણધર્મો છે જે ચોક્કસ વિભાજનને બદલે વિભાજન પદ્ધતિને લાક્ષણિકતા આપે છે. દરેક સુસંગતતા ગુણધર્મ વિવિધ ઇનપુટ્સ પર ચોક્કસ પદ્ધતિના પરિણામોની સરખામણી કરે છે. આવા કેટલાક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. રાજ્ય-વસ્તી એકવિધતાનો અર્થ એ છે કે, જો એજન્ટનો હક વધે છે, તો તેની વહેંચણીમાં ઘટાડો થવો જોઈએ નહીં. આ નામ તે સેટિંગ પરથી આવ્યું છે જ્યાં એજન્ટો સંઘીય રાજ્યો છે, જેમના અધિકારો તેમની વસ્તી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ મિલકતના ઉલ્લંઘનને વસ્તી વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે. આ મિલકતના ઘણા પ્રકારો છે. એક પ્રકાર-જોડી મુજબ પીએમ-ફક્ત વિભાજક પદ્ધતિઓ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. એટલે કે, વિભાજન પદ્ધતિ જો-અને-માત્ર-જો તે વિભાજક પદ્ધતિ હોય તો તે જોડી મુજબ પીએમ છે. ક્યારે અને ક્યારે કોઈ આંશિક વિભાજન પદ્ધતિ જોડી મુજબ-પીએમ, નીચલા ક્વોટા અને ઉપલા ક્વોટાને સંતોષે નહીં. અગાઉના નિવેદનો સાથે જોડાઈને, તે સૂચવે છે કે કોઈ વિભાજક પદ્ધતિ બંને ક્વોટાને સંતોષે નહીં. હાઉસ મોનોટોનિકતાનો અર્થ એ છે કે, જ્યારે બેઠકોની કુલ સંખ્યા વધે છે, ત્યારે કોઈ એજન્ટ બેઠક ગુમાવતો નથી. આ મિલકતના ઉલ્લંઘનને અલાબામા વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે. યુ. એસ. એ. ના શરૂઆતના દિવસોમાં તે ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવતું હતું, જ્યારે દર દસ વર્ષે કોંગ્રેસનું કદ વધતું હતું. ગૃહ-એકવિધતા જોડીવાર-પીએમ કરતાં નબળી છે. તમામ ક્રમ-અનુક્રમણિકા પદ્ધતિઓ (તેથી બધી વિભાજક પદ્ધતિઓ) હાઉસ-મોનોટોન છે-આ સ્પષ્ટ રીતે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાંથી અનુસરે છે. વિભાજક પદ્ધતિઓ ઉપરાંત, અન્ય હાઉસ-મોનોટોન પદ્ધતિઓ પણ છે, અને તેમાંથી કેટલીક બંને ક્વોટાને પણ સંતોષે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બાલિન્સ્કી અને યંગની ક્વોટા પદ્ધતિ બાંધકામ દ્વારા ઘર-એકવિધતા અને ઉપલા ક્વોટાને સંતોષે છે, અને તે સાબિત કરી શકાય છે કે તે નીચલા ક્વોટાને પણ સંતોષે છે. તેને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ એક સામાન્ય અલ્ગોરિધમ છે જે તમામ વિભાજન પદ્ધતિઓ આપે છે જે બંને હાઉસ-મોનોટોન છે અને બંને ક્વોટાને સંતોષે છે. જો કે, આ તમામ ક્વોટા આધારિત પદ્ધતિઓ (ક્વોટા-જેફરસન, ક્વોટા-હિલ, વગેરે) જોડી મુજબ ઉલ્લંઘન કરી શકે છે-પીએમઃ એવા ઉદાહરણો છે જેમાં એક એજન્ટ વસ્તીમાં લાભ મેળવે છે પરંતુ બેઠકો ગુમાવે છે. એકરૂપતા (જેને સુસંગતતા પણ કહેવાય છે) નો અર્થ એ છે કે, જો આપણે એજન્ટોના કેટલાક સબસેટને લઈએ અને તેમની સંયુક્ત ફાળવણીમાં સમાન પદ્ધતિ લાગુ કરીએ, તો પરિણામ વેક્ટર છે. તમામ ક્રમ-અનુક્રમણિકા પદ્ધતિઓ (તેથી બધી વિભાજક પદ્ધતિઓ) એકસમાન હોય છે, કારણ કે તેઓ એજન્ટોને પૂર્વ-નિર્ધારિત પદ્ધતિમાં બેઠકો સોંપે છે-દ્વારા નિર્ધારિત, અને આ ક્રમ અન્ય એજન્ટોની હાજરી અથવા ગેરહાજરી પર આધારિત નથી. વધુમાં, દરેક સમાન પદ્ધતિ જે અનામી અને સંતુલિત પણ હોય તે રેન્ક-ઇન્ડેક્સ પદ્ધતિ હોવી જોઈએ. દરેક સમાન પદ્ધતિ કે જે અનામી, નબળી-ચોક્કસ અને સુસંગત (= સૂચવે છે) પણ છે તે વિભાજક પદ્ધતિ હોવી જોઈએ. વધુમાં, તમામ અનામી પદ્ધતિઓમાંઃ જેફરસનની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર સમાન પદ્ધતિ છે જે નીચલા ક્વોટાને સંતોષ આપે છે; એડમ્સની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર સમાન પદ્ધતિ છે જે ઉપલા ક્વોટાને સંતોષ આપે છે; વેબસ્ટરની પદ્ધતિ એ એકમાત્ર સમાન પદ્ધતિ છે જે ક્વોટાની નજીક છે; કોઈ સમાન પદ્ધતિ બંને ક્વોટાને સંતોષતી નથી. ખાસ કરીને, હેમિલ્ટનની પદ્ધતિ અને ક્વોટા પદ્ધતિ એકસમાન નથી. જો કે, ક્વોટા પદ્ધતિ એ અનન્ય પદ્ધતિ છે જે ઘર-એકવિધતા અને "ક્વોટા-સુસંગતતા" ઉપરાંત ક્વોટા બંનેને સંતોષે છે, જે એકરૂપતાનું નબળું સ્વરૂપ છે. ગઠબંધનને પ્રોત્સાહન જ્યારે એજન્ટો રાજકીય પક્ષો હોય છે, ત્યારે તેઓ ઘણીવાર વિભાજિત થાય છે અથવા ભળી જાય છે. આ પ્રકારનું વિભાજન/વિલિનીકરણ વિભાજનને કેવી રીતે અસર કરે છે તે રાજકીય વિભાજનને અસર કરશે. ધારો કે ચોક્કસ વિભાજન પદ્ધતિ બે એજન્ટોને અનુક્રમે કેટલીક બેઠકો આપે છે, અને પછી આ બે એજન્ટો ગઠબંધન બનાવે છે, અને પદ્ધતિ ફરીથી સક્રિય થાય છે. જો ગઠબંધનને ઓછામાં ઓછી બેઠકો મળે તો વિભાજન પદ્ધતિ ગઠબંધનને પ્રોત્સાહન આપે છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે વિભાજન-પ્રતિરોધક છે-પક્ષ વિભાજન દ્વારા બેઠક મેળવી શકતો નથી). જો ગઠબંધનને મોટાભાગની બેઠકો મળે તો વિભાજન પદ્ધતિ મતભેદને પ્રોત્સાહન આપે છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે મર્જ-પ્રૂફ છે-બે પક્ષો મર્જ કરીને બેઠક મેળવી શકતા નથી). વિભાજક પદ્ધતિઓમાંઃ જેફરસનની પદ્ધતિ એ અનન્ય વિભાજક પદ્ધતિ છે જે ગઠબંધનને પ્રોત્સાહન આપે છે; એડમ્સની પદ્ધતિ એ અનન્ય વિભાજક પદ્ધતિ છે જે મતભેદને પ્રોત્સાહન આપે છે. વેબસ્ટરની પદ્ધતિ ન તો સ્પ્લિટ-પ્રૂફ છે અને ન તો મર્જ-પ્રૂફ, પરંતુ તે "ગઠબંધન તટસ્થ" છેઃ જ્યારે મત અવ્યવસ્થિત રીતે વહેંચવામાં આવે છે, ત્યારે ગઠબંધનને બેઠક ગુમાવવા કરતાં બેઠક મળવાની સમાન સંભાવના હોય છે. આ જુદી જુદી પદ્ધતિઓ હોવાથી, કોઈ વિભાજક પદ્ધતિ દરેક ગઠબંધનને બરાબર બેઠકો આપતી નથી. વધુમાં, આ વિશિષ્ટતાને રેન્ક-ઇન્ડેક્સ પદ્ધતિઓના ઘણા મોટા વર્ગ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. એક નબળો ગુણ, જેને "ગઠબંધન-સ્થિરતા" કહેવામાં આવે છે, તે એ છે કે દરેક ગઠબંધનને અને વચ્ચે બેઠકો મળવી જોઈએ; જેથી એક પક્ષ વિલિનીકરણ/વિભાજન દ્વારા મહત્તમ એક બેઠક મેળવી શકે છે. હેમિલ્ટન પદ્ધતિ ગઠબંધનની રીતે સ્થિર છે. વિભાજક સાથેની વિભાજક પદ્ધતિ ગઠબંધન-સ્થિર આઇ. એફ. એફ. છે; આ તમામ પાંચ પ્રમાણભૂત વિભાજક પદ્ધતિઓ માટે લાગુ પડે છે. વધુમાં, બંને ક્વોટાને સંતોષતી દરેક પદ્ધતિ "લગભગ ગઠબંધન-સ્થિર" છે-તે દરેક ગઠબંધનને અને બેઠકો વચ્ચે આપે છે. સારાંશ કોષ્ટક પણ જુઓ પ્રમાણસર પ્રતિનિધિત્વ બહુ-લક્ષણ પ્રમાણસર પ્રતિનિધિત્વ. જ્યારે વસ્તી ગણતરીમાં ભૂલો હોય ત્યારે વિભાજન. વિવિધ અધિકારો સાથે પ્રમાણસર કેક કાપવી વાજબી વસ્તુ ફાળવણી સંદર્ભો ફાળવણી (રાજકારણ) ગાણિતિક સિદ્ધાંતો ફાળવણી પદ્ધતિ માપદંડ