House monotonicity
ગૃહની એકવિધતા (જેને ગૃહ-કદની એકવિધતા પણ કહેવાય છે) એ વિભાજન પદ્ધતિઓ અને બહુ-વિજેતા મતદાન પ્રણાલીઓનો ગુણધર્મ છે. આ સંઘીય રાજ્યો (અથવા રાજકીય પક્ષો વચ્ચે) વચ્ચે સંસદમાં બેઠકો ફાળવવાની પદ્ધતિઓ છે. મિલકત કહે છે કે, જો "ગૃહ" (સંસદ) માં બેઠકોની સંખ્યા વધે છે, અને પદ્ધતિ ફરીથી સક્રિય થાય છે, તો પછી કોઈ પણ રાજ્યમાં અગાઉની સરખામણીએ ઓછી બેઠકો હોવી જોઈએ નહીં. એક પદ્ધતિ જે ઘર-એકવિધતાને સંતોષવામાં નિષ્ફળ જાય છે તે અલાબામા વિરોધાભાસ હોવાનું કહેવાય છે. હાઉસ મોનોટોનિસિટી એ સેટિંગ માટે સંસાધન મોનોટોનિસિટીનો વિશેષ કેસ છે જેમાં સંસાધનમાં સમાન અલગ વસ્તુઓ (બેઠકો) હોય છે. ઘર-એકતાનતાનું ઉલ્લંઘન કરતી પદ્ધતિઓ ઘર-એકતાનતાનું ઉલ્લંઘન કરતી પદ્ધતિનું ઉદાહરણ એ સૌથી મોટી શેષ પદ્ધતિ છે (= હેમિલ્ટનની પદ્ધતિ). ત્રણ રાજ્યો સાથે નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લોઃ જ્યારે ગૃહમાં એક બેઠક ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે રાજ્ય સીનો હિસ્સો 2 થી ઘટીને 1 થાય છે. આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે બેઠકોની સંખ્યા વધવાથી નાના રાજ્યોની સરખામણીએ મોટા રાજ્યો માટે વાજબી હિસ્સો ઝડપથી વધે છે. ખાસ કરીને, મોટા A અને B નો વાજબી હિસ્સો નાના C કરતા વધુ ઝડપથી વધ્યો હતો. તેથી, A અને B માટેના અપૂર્ણાંક ભાગો C કરતા વધુ ઝડપથી વધ્યા. હકીકતમાં, તેઓ C ના અપૂર્ણાંકને પાછળ છોડી ગયા, જેના કારણે C તેની બેઠક ગુમાવી દે છે, કારણ કે પદ્ધતિ તપાસ કરે છે કે કયા રાજ્યોમાં સૌથી વધુ બાકી રહેલો અપૂર્ણાંક છે. તેની શોધના ઇતિહાસને કારણે આ ઉલ્લંઘનને અલાબામા વિરોધાભાસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. 1880ની વસ્તી ગણતરી પછી, યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ સેન્સસ બ્યુરોના મુખ્ય કારકુન સી. ડબલ્યુ. સીટને 275 અને 350 વચ્ચેના તમામ ગૃહ કદ માટે ફાળવણીની ગણતરી કરી અને શોધ્યું કે અલાબામાને 299ના ગૃહ કદ સાથે આઠ બેઠકો મળશે પરંતુ 300ના ગૃહ કદ સાથે માત્ર સાત બેઠકો મળશે. સિમ્યુલેશન પ્રયોગો દર્શાવે છે કે એકવિધતાનું ઉલ્લંઘન એકદમ સામાન્ય હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, યાદૃચ્છિક ચૂંટણીઓમાં, હેમિલ્ટનની પદ્ધતિમાં એકવિધતાનું ઉલ્લંઘન કરવા માટે 1/18 ની તક હોય છે. ઘરની એકવિધતાને સંતોષતી પદ્ધતિઓ વિભાજન માટેની પદ્ધતિઓ તમામ ઉચ્ચતમ-સરેરાશ પદ્ધતિઓ (= વિભાજક પદ્ધતિઓ) ઘરની એકવિધતાને સંતોષતી હોય છે. વિભાજક પદ્ધતિઓના અમલીકરણને પિકિંગ સિક્વન્સ તરીકે ધ્યાનમાં લેતી વખતે આ જોવાનું સરળ છેઃ જ્યારે સીટ ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે એકમાત્ર ફેરફાર એ છે કે પિકિંગ સિક્વન્સને એક વધારાની પિક સાથે વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. તેથી, તમામ રાજ્યો તેમની અગાઉ પસંદ કરેલી બેઠકો જાળવી રાખે છે. તેવી જ રીતે, રેન્ક-ઇન્ડેક્સ પદ્ધતિઓ, જે વિભાજક પદ્ધતિઓનું સામાન્યીકરણ છે, તે ઘર-એકવિધતાને સંતોષે છે. વધુમાં, કેપ્ડ ડિવાઇઝર પદ્ધતિઓ, જે ડિવાઇઝર પદ્ધતિઓના પ્રકારો છે જેમાં રાજ્યને તેના ઉપલા ક્વોટા કરતાં વધુ બેઠકો ક્યારેય મળતી નથી, તે પણ હાઉસ-એકવિધતાને સંતોષે છે. એક ઉદાહરણ બાલિન્સ્કી-યંગ ક્વોટા પદ્ધતિ છે. દરેક હાઉસ-મોનોટોન પદ્ધતિને ઘરના કદના પુનરાવર્તિત કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઔપચારિક રીતે, વિભાજન પદ્ધતિ હાઉસ-મોનોટોન છે અને જો તે નીચે પ્રમાણે પુનરાવર્તિત રીતે બનાવવામાં આવે તો-અને-માત્ર-બંને ક્વોટાને સંતોષે છે (વ્યાખ્યાઓ અને સંકેતો માટે વિભાજનનું ગણિત જુઓ): જો, તો પછી કોઈ એક રાજ્યને બેઠકો આપીને જોવા મળે છે, જ્યાંઃ રાજ્યોનો સમૂહ છે જે નવા મકાનના કદ માટે તેમના ઉપલા ક્વોટાનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના વધારાની બેઠક મેળવી શકે છે; તે રાજ્યોનો સમૂહ છે જે ભવિષ્યના કેટલાક મકાનના કદ માટે તેમના નીચલા ક્વોટા કરતાં ઓછો પ્રાપ્ત કરી શકે છે. દરેક સુસંગત વિભાજન પદ્ધતિ હાઉસ-મોનોટોન છે. બહુ-વિજેતા મતદાન માટેની પદ્ધતિઓ ફ્રેગમેનના મતદાનના નિયમો, મંજૂરી મતપત્રો અને ક્રમાંકિત મતપત્રો બંને માટે, હાઉસ-મોનોટોન છે. થિએલની ઉમેરા પદ્ધતિ અને થિએલની નાબૂદી પદ્ધતિ માટે પણ આ જ સાચું છે. જો કે, થિએલની ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિ હાઉસ-મોનોટોન નથી. સંસાધન એકવિધતા પણ જુઓ-સંભવતઃ વિવિધ વસ્તુઓ માટે ઘર-એકવિધતાનું સામાન્યીકરણ. એકવિધતાના માપદંડ-એક અલગ માપદંડ, જેનો ઉપયોગ ક્રમાંકિત મતદાન પ્રણાલીઓ માટે થાય છે. સંદર્ભ વિભાજન પદ્ધતિ માપદંડ ચૂંટણી પ્રણાલી માપદંડ