Eilenberg–Niven theorem
આઈલેનબર્ગ-નિવેન પ્રમેય એ એક પ્રમેય છે જે બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયને ચતુર્થાંશ બહુપદીઓમાં, એટલે કે ચતુર્થાંશ ગુણાંક અને ચલ સાથેની બહુપદીઓમાં સામાન્ય બનાવે છે. તે સેમ્યુઅલ આઈલેનબર્ગ અને ઇવાન એમ. નિવેનને કારણે છે. નિવેદન ધારો કે જ્યાં x, a0, a1,., an એ બિન-શૂન્ય ચતુર્થાંશ છે અને φ (x) એ પ્રથમ પદની સમાન પરંતુ n કરતા ઓછી ડિગ્રી ધરાવતી એકવિધતાઓનો મર્યાદિત સરવાળો છે. તો પછી P (x) = 0 નો ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય છે. સામાન્યીકરણ જો ઉચ્ચતમ ડિગ્રી સાથે બહુવિધ એકસૂત્રોને મંજૂરી આપવામાં આવે, તો પ્રમેય માન્ય નથી, અને P (x) = x + ixi + 1 = 0 એ કોઈ ઉકેલો વિનાનું પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ છે. આઈલેનબર્ગ-નિવેન પ્રમેયને ઓક્ટોનીયનોમાં પણ સામાન્યીકૃત કરી શકાય છેઃ ઉચ્ચ ડિગ્રીની અનન્ય એકવિધતા ધરાવતી તમામ ઓક્ટોનીયોનિક બહુપદીઓમાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય છે, જે કૌંસના ક્રમથી સ્વતંત્ર હોય છે (ઓક્ટોનીયનો બિન-સહયોગી બીજગણિત છે). જો કે, ચતુર્થાંશથી અલગ, મોનિક અને નોન-મોનિક ઓક્ટોનિઓનિક બહુપદીઓમાં હંમેશા શૂન્યનો સમાન સમૂહ હોતો નથી. બહુપદીઓ વિશે સંદર્ભ પ્રમેય