Method of moments (electromagnetics)
મોમેન્ટ્સની પદ્ધતિ (એમઓએમ), જેને મોમેન્ટ પદ્ધતિ અને ભારિત અવશેષોની પદ્ધતિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે કોમ્પ્યુટેશનલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સમાં આંકડાકીય પદ્ધતિ છે. તેનો ઉપયોગ કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સમાં થાય છે જે દ્રવ્ય સાથે રેડિયો તરંગો જેવા વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું અનુકરણ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે એનઇસી જેવા એન્ટેના સિમ્યુલેશન પ્રોગ્રામ્સ કે જે એન્ટેનાની કિરણોત્સર્ગ પેટર્નની ગણતરી કરે છે. સામાન્ય રીતે ફ્રિક્વન્સી-ડોમેન પદ્ધતિ હોવાથી, તેમાં યોગ્ય સીમા શરતો લાગુ કરીને રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીમાં અભિન્ન સમીકરણનું પ્રક્ષેપણ સામેલ છે. આ ઘણીવાર સપાટી માટે મર્યાદિત તફાવત અને મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓની જેમ અલગ જાળીનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. ઉકેલોને પૂર્વ-નિર્ધારિત આધાર કાર્યોના રેખીય સંયોજન સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે; સામાન્ય રીતે, આ આધાર કાર્યોના ગુણાંક ઇચ્છિત અજ્ઞાત છે. ગ્રીનના કાર્યો અને ગેલર્કિન પદ્ધતિ ક્ષણોની પદ્ધતિમાં કેન્દ્રિય ભૂમિકા ભજવે છે. ઘણી એપ્લિકેશનો માટે, ક્ષણોની પદ્ધતિ સીમા તત્વ પદ્ધતિ જેવી જ હોય છે. તે માઇક્રોવેવ અને એન્ટેના ઇજનેરીમાં સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિઓમાંની એક છે. વિવિધ ઇજનેરી કાર્યક્રમો માટે સીમા તત્વ પદ્ધતિ અને અન્ય સમાન પદ્ધતિઓનો વિકાસ 1960ના દાયકામાં ડિજિટલ કમ્પ્યુટિંગના આગમન સાથે સંકળાયેલો છે. આ પહેલા, બીજા વિશ્વયુદ્ધના સમય સુધીમાં માઇક્રોવેવ ફ્રીક્વન્સીઝ પર ઇજનેરી સમસ્યાઓ પર વિવિધ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવામાં આવી હતી. જ્યારે જુલિયન શ્વિંગર અને નાથન માર્કુવિટ્ઝે અનુક્રમે આ કૃતિઓને વ્યાખ્યાન નોંધો અને પાઠ્યપુસ્તકોમાં સંકલિત કરી છે, ત્યારે વિક્ટર એચ. રમ્સેએ 1954માં આ પદ્ધતિઓને "પ્રતિક્રિયા ખ્યાલ" માં ઘડી છે. આ ખ્યાલ પાછળથી ગેલર્કિન પદ્ધતિની સમકક્ષ હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. 1950 ના દાયકાના અંતમાં, ઇલિનોઇસ યુનિવર્સિટી ખાતે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક થિયરીમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓ પરના અભ્યાસક્રમમાં યુએન ત્ઝે લો દ્વારા ક્ષણોની પદ્ધતિનું પ્રારંભિક સંસ્કરણ રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. 1960ના દાયકામાં, આ પદ્ધતિ પર પ્રારંભિક સંશોધન કાર્ય કે. મેઈ અને જે. વેન બ્લેડેલ. અને જે. એચ. રિચમંડ. તે જ દાયકામાં, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સમાં ક્ષણોની પદ્ધતિ માટેના વ્યવસ્થિત સિદ્ધાંતને મોટે ભાગે રોજર એફ. હેરિંગ્ટન દ્વારા ઔપચારિક બનાવવામાં આવ્યો હતો. જ્યારે "ક્ષણોની પદ્ધતિ" શબ્દ અગાઉ લિયોનીદ કેન્ટોરોવિચ અને ગ્લેબ પી. અકિલોવ દ્વારા સમાન આંકડાકીય ઉપયોગો માટે રચવામાં આવ્યો હતો, ત્યારે હેરિંગ્ટને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રચના માટે આ શબ્દને સ્વીકાર્યો છે. હેરિંગ્ટને 1968માં 'ફિલ્ડ કમ્પ્યુટેશન બાય મોમેન્ટ મેથડ્સ ઓન ધ મોમેન્ટ મેથડ્સ "પુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું હતું. પદ્ધતિના વિકાસ અને રડાર અને એન્ટેના એન્જિનિયરિંગમાં તેના સંકેતોએ રસ આકર્ષિત કર્યો; એમઓએમ સંશોધનને ત્યારબાદ યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ સરકારને ટેકો આપવામાં આવ્યો હતો. આ પદ્ધતિને ન્યુમેરિકલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સ કોડ જેવા સામાન્યીકૃત એન્ટેના મોડેલિંગ કોડની રજૂઆત દ્વારા વધુ લોકપ્રિય બનાવવામાં આવી હતી, જે 1980 ના દાયકાના અંતમાં યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ સરકાર દ્વારા જાહેર ડોમેનમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી. 1990ના દાયકામાં, ઝડપી બહુધ્રુવીય અને બહુસ્તરીય ઝડપી બહુધ્રુવીય પદ્ધતિઓની રજૂઆત લાખો અજ્ઞાત સમસ્યાઓ માટે કાર્યક્ષમ એમઓએમ ઉકેલોને સક્ષમ બનાવે છે. આરએફ અને માઇક્રોવેવ એન્જિનિયરિંગમાં સૌથી સામાન્ય સિમ્યુલેશન તકનીકોમાંની એક હોવાથી, ક્ષણોની પદ્ધતિ ફેકો જેવા ઘણા વ્યાપારી ડિઝાઇન સોફ્ટવેરનો આધાર બનાવે છે. વિવિધ અભિજાત્યપણુના ઘણા બિનવ્યાવસાયિક અને જાહેર ડોમેન કોડ પણ ઉપલબ્ધ છે. વિદ્યુત ઇજનેરીમાં તેના ઉપયોગ ઉપરાંત, ક્ષણોની પદ્ધતિ પ્રકાશના સ્કેટરિંગ અને પ્લાઝમોનિક સમસ્યાઓ પર લાગુ કરવામાં આવી છે. પૃષ્ઠભૂમિ મૂળભૂત વિભાવનાઓ એક અસમરૂપ અભિન્ન સમીકરણને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છેઃ જ્યાં એક રેખીય સંચાલકને સૂચવે છે, જાણીતા દબાણ કાર્યને સૂચવે છે અને અજ્ઞાત કાર્યને સૂચવે છે. આધાર વિધેયોની મર્યાદિત સંખ્યા દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે (): રેખીયતા દ્વારા, સમીકરણ ઉપજમાં આ અભિવ્યક્તિનું સ્થાનાંતરઃ આપણે આ અભિવ્યક્તિ માટે અવશેષને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જે વાસ્તવિક અને અંદાજિત ઉકેલ વચ્ચેના તફાવતને સૂચવે છેઃ ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉદ્દેશ આ અવશેષને ઘટાડવાનો છે, જે યોગ્ય ભાર અથવા પરીક્ષણ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, તેથી ભારિત અવશેષોની નામ પદ્ધતિ. સમસ્યા માટે યોગ્ય આંતરિક ઉત્પાદન નક્કી કર્યા પછી, અભિવ્યક્તિ પછી બને છેઃ આમ, અભિવ્યક્તિને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છેઃ પરિણામી મેટ્રિક્સને ઘણીવાર અવરોધ મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બેસિસ ફંક્શનના ગુણાંક મેટ્રિક્સને ઊંધી કરીને મેળવી શકાય છે. મોટી સંખ્યામાં અજ્ઞાત મોટા મેટ્રિસીસ માટે, પ્રવેગ માટે સંયુગ્મ ઢાળ પદ્ધતિ જેવી પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વાસ્તવિક ક્ષેત્ર વિતરણ ગુણાંક અને સંબંધિત સંકલનમાંથી મેળવી શકાય છે. એમઓએમમાં દરેક પાયાના કાર્ય વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ સિસ્ટમના ગ્રીનના કાર્ય દ્વારા સુનિશ્ચિત થાય છે. આધાર અને પરીક્ષણ કાર્યો ડોમેનમાં અજ્ઞાત કાર્યની અપેક્ષિત વર્તણૂકનું મોડેલ બનાવવા માટે વિવિધ આધાર કાર્યો પસંદ કરી શકાય છે; આ કાર્યો કાં તો પેટા વિભાગીય અથવા વૈશ્વિક હોઈ શકે છે. પાયાના કાર્ય તરીકે ડીરાક ડેલ્ટા કાર્યની પસંદગીને બિંદુ-મેળ અથવા કોલોકેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ અલગ બિંદુઓ પર સીમાની શરતોને લાગુ કરવા માટે અનુરૂપ છે અને જ્યારે આંતરિક ઉત્પાદન કામગીરી કરવા માટે બોજારૂપ હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ અંદાજિત ઉકેલો મેળવવા માટે થાય છે. અન્ય પેટા વિભાગીય પાયાના કાર્યોમાં પલ્સ, પીસવાઇઝ ત્રિકોણાકાર, પીસવાઇઝ સાઇનસોઇડલ અને રૂફટોપ કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. એસ. રાવ, ડી. વિલ્ટન અને એ. ગ્લિસન દ્વારા 1982માં રજૂ કરાયેલા ત્રિકોણીય પેચો આરડબલ્યુજી આધારિત કાર્યો તરીકે ઓળખાય છે અને એમઓએમમાં તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ગણતરીને વેગ આપવા અને મેટ્રિક્સ સમીકરણને ઘટાડવા માટે લાક્ષણિકતા આધારિત કાર્યો પણ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. પરીક્ષણ અને પાયાના કાર્યોને ઘણીવાર સમાન તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે; આ ગેલર્કિન પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાય છે. એપ્લિકેશન અને અભ્યાસિત માળખાના આધારે, અભિસરણ અને ચોકસાઈની ખાતરી કરવા તેમજ સંભવિત ઉચ્ચ ક્રમની બીજગણિત એકતાને રોકવા માટે પરીક્ષણ અને આધાર કાર્યોને યોગ્ય રીતે પસંદ કરવા જોઈએ. ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણો એપ્લિકેશન અને માંગેલા ચલ પર આધાર રાખીને, એમઓએમમાં વિવિધ ઇન્ટિગ્રલ અથવા ઇન્ટિગ્રો-ડિફરન્શિયલ સમીકરણોનો ઉપયોગ થાય છે. ઘણા પ્રકારના એન્ટેના જેવા પાતળા વાયર માળખાઓ દ્વારા કિરણોત્સર્ગ અને સ્કેટરિંગને વિશિષ્ટ સમીકરણો દ્વારા મોડેલિંગ કરી શકાય છે. સપાટીની સમસ્યાઓ માટે, સામાન્ય અભિન્ન સમીકરણ રચનાઓમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (ઇ. એફ. આઇ. ઇ.), ચુંબકીય ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (એમ. એફ. આઇ. ઇ.) અને મિશ્ર-સંભવિત અભિન્ન સમીકરણ (એમ. પી. આઇ. ઇ.) નો સમાવેશ થાય છે. પાતળા-વાયર સમીકરણો જેમ ઘણા એન્ટેના માળખાને વાયર તરીકે અંદાજિત કરી શકાય છે, તેમ પાતળા વાયર સમીકરણો એમઓએમ એપ્લિકેશન્સમાં રસ ધરાવે છે. બે સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા પાતળા-તાર સમીકરણો પોકલિંગ્ટન અને હેલન સંકલિત-વિભેદક સમીકરણો છે. પોકલિંગ્ટનનું સમીકરણ કોમ્પ્યુટેશનલ તકનીકોથી આગળ છે, જે હેનરી કેબોર્ન પોકલિંગ્ટન દ્વારા 1897માં રજૂ કરવામાં આવી હતી. મૂળ પર કેન્દ્રિત અને ઝેડ-અક્ષ સાથે સંરેખિત રેખીય વાયર માટે, સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય છેઃ જ્યાં અને અનુક્રમે કુલ લંબાઈ અને જાડાઈ સૂચવે છે. ખાલી જગ્યા માટે ગ્રીનનું કાર્ય છે. આ સમીકરણને ચુંબકીય ફ્રિલ્સ સહિત વિવિધ ઉત્તેજના યોજનાઓમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. 1938માં ઇ. હેલન દ્વારા પ્રકાશિત હેલન ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણને આ રીતે આપી શકાય છેઃ આ સમીકરણ, પોકલિંગ્ટનના સમીકરણ કરતાં વધુ સારી રીતે વર્તવામાં આવ્યું હોવા છતાં, સામાન્ય રીતે એન્ટેના ફીડ પોઇન્ટ પર ડેલ્ટા-ગેપ વોલ્ટેજ ઉત્તેજના સુધી મર્યાદિત છે, જેને પ્રભાવિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (ઇ. એફ. આઇ. ઇ.) વિદ્યુત ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (ઇ. એફ. આઇ. ઇ.) નું સામાન્ય સ્વરૂપ આ રીતે લખી શકાય છેઃ આપતિ અથવા પ્રભાવિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ક્યાં છે. તે હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણ માટેનું ગ્રીન ફંક્શન છે અને તરંગ અવરોધ રજૂ કરે છે. સીમાની શરતો નિર્ધારિત પીઇસી સપાટી પર પૂરી થાય છે. ઇ. એફ. આઇ. ઇ. એ પ્રથમ પ્રકારનું ફ્રેડહોલ્મ અભિન્ન સમીકરણ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (એમ. એફ. આઈ. ઈ.) એમ. ઓ. એમ. માં અન્ય સામાન્ય રીતે વપરાતું અભિન્ન સમીકરણ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (એમ. એફ. આઈ. ઈ.) છે, જેને આ રીતે લખી શકાય છેઃ એમ. એફ. આઈ. ઈ. ને ઘણીવાર બીજા પ્રકારના ફ્રેડહોલ્મ અભિન્ન સમીકરણ તરીકે ઘડવામાં આવે છે અને તે સામાન્ય રીતે સારી સ્થિતિમાં હોય છે. તેમ છતાં, રચનામાં બંધ સપાટીઓનો ઉપયોગ જરૂરી છે, જે તેના ઉપયોગને મર્યાદિત કરે છે. અન્ય ફોર્મ્યુલેશન એમઓએમ માટે ઘણા જુદા જુદા સપાટી અને કદના અભિન્ન ફોર્મ્યુલેશન અસ્તિત્વમાં છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, ઇ. એફ. આઇ. ઇ. ને લોરેન્ઝ ગેજ સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને મિશ્ર સંભવિત અભિન્ન સમીકરણો (એમ. એફ. આઇ. ઇ.) માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે; આનો હેતુ ચુંબકીય વેક્ટર અને સ્કેલર વિદ્યુત ક્ષમતાના ઉપયોગ દ્વારા એકતાના ક્રમને ઘટાડવાનો છે. ડાઇલેક્ટ્રિક સ્કેટરિંગ ગણતરીઓમાં આંતરિક પ્રતિધ્વનિ સમસ્યાને બાયપાસ કરવા માટે, સંયુક્ત-ક્ષેત્ર અભિન્ન સમીકરણ (સી. એફ. આઈ. ઈ.) અને પોગિયો-મિલર-ચાંગ-હેરિંગ્ટન-વુ-સાઈ (પી. એમ. સી. એચ. ડબલ્યુ. ટી.) ફોર્મ્યુલેશનનો પણ ઉપયોગ થાય છે. બીજો અભિગમ, વોલ્યુમેટ્રિક ઇન્ટિગ્રલ સમીકરણ, વોલ્યુમ તત્વોના પૃથક્કરણની જરૂર પડે છે અને તે ઘણીવાર ગણતરીત્મક રીતે ખર્ચાળ હોય છે. એમ. ઓ. એમ. ને ભૌતિક ઓપ્ટિક્સ સિદ્ધાંત અને મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ સાથે પણ સંકલિત કરી શકાય છે. ગ્રીનના કાર્યો માઇક્રોસ્ટ્રિપ્સ અથવા પેચ એન્ટેના જેવી સમતલીય-સ્તરીકૃત રચનાઓનું સંપૂર્ણ તરંગ વિશ્લેષણ, અવકાશી-ક્ષેત્ર ગ્રીનના કાર્યોની વ્યુત્પત્તિ જરૂરી બનાવે છે જે આ ભૂમિતિઓ માટે વિશિષ્ટ છે. તેમ છતાં, આમાં સ્પેક્ટ્રલ ગ્રીન ફંક્શનનું ઇન્વર્સ હેન્કેલ ટ્રાન્સફોર્મ સામેલ છે, જે સોમરફેલ્ડ એકીકરણ માર્ગ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ ઇન્ટિગ્રલનું વિશ્લેષણાત્મક રીતે મૂલ્યાંકન કરી શકાતું નથી, અને ઓસિલેટરી કર્નલો અને ઇન્ટિગ્રલની ધીમે ધીમે રૂપાંતરિત પ્રકૃતિને કારણે તેનું આંકડાકીય મૂલ્યાંકન ઘણીવાર ગણતરીત્મક રીતે ખર્ચાળ હોય છે. અર્ધ-સ્થિર અને સપાટીના ધ્રુવ ઘટકોના નિષ્કર્ષણ પછી, આ સંકલનને પ્રોનીની પદ્ધતિ અથવા સામાન્યીકૃત પેન્સિલ-ઓફ-ફંક્શન પદ્ધતિ દ્વારા બંધ-સ્વરૂપ જટિલ ઘાતાંકો તરીકે અંદાજિત કરી શકાય છે; આમ, અવકાશી ગ્રીનના કાર્યો સોમરફેલ્ડ ઓળખ જેવી યોગ્ય ઓળખના ઉપયોગ દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ પદ્ધતિ કોમ્પ્યુટેશનલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સ સાહિત્યમાં ડિસ્ક્રીટ કોમ્પ્લેક્સ ઇમેજ મેથડ (ડીસીઆઈએમ) તરીકે ઓળખાય છે, કારણ કે ગ્રીનનું કાર્ય અસરકારક રીતે જટિલ અંતરની અંદર સ્થિત ઇમેજ ડાયપોલ્સની અલગ સંખ્યા સાથે અંદાજવામાં આવે છે. સંકળાયેલ ગ્રીનના કાર્યોને ક્લોઝ્ડ-ફોર્મ ગ્રીનના કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. નળાકાર સ્તરવાળી રચનાઓ માટે પણ આ પદ્ધતિનો વિસ્તાર કરવામાં આવ્યો છે. તર્કસંગત-કાર્ય ફિટિંગ પદ્ધતિ, તેમજ ડીસીઆઈએમ સાથેના તેના સંયોજનોનો ઉપયોગ બંધ-સ્વરૂપ ગ્રીનના કાર્યોને અંદાજિત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. વૈકલ્પિક રીતે, બંધ-સ્વરૂપ ગ્રીનના કાર્યને સૌથી તીવ્ર વંશની પદ્ધતિ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે. તબક્કાવાર એરે જેવી સામયિક રચનાઓ માટે, ઇવાલ્ડ સરવાળાનો ઉપયોગ ઘણીવાર સામયિક ગ્રીનના કાર્યની ગણતરીને વેગ આપવા માટે થાય છે. બાઉન્ડ્રી એલિમેન્ટ પદ્ધતિ પણ જુઓ લાક્ષણિકતા પદ્ધતિ વિશ્લેષણ અલગ દ્વિધ્રુવ અંદાજ ઝડપી બહુધ્રુવ પદ્ધતિ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ બહુસ્તરીય ઝડપી બહુધ્રુવ પદ્ધતિ નોંધો સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ કોમ્પ્યુટેશનલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક્સ આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો