Plethystic exponential
ગણિતમાં, પ્લેથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શલ એ (ઔપચારિક) પાવર સિરીઝ પર વ્યાખ્યાયિત ચોક્કસ ઓપરેટર છે, જે સામાન્ય એક્સ્પોનેન્શલ ફંક્શનની જેમ, વધારાને ગુણાકારમાં અનુવાદિત કરે છે. આ એક્સ્પોનેન્શલ ઓપરેટર સપ્રમાણ કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં કુદરતી રીતે દેખાય છે, જે ઘણા ચલમાં પ્રાથમિક, સંપૂર્ણ અને શક્તિ સરવાળા સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદીઓ માટે ઉત્પન્ન કરતી શ્રેણી વચ્ચેના સંક્ષિપ્ત સંબંધ તરીકે દેખાય છે. તેનું નામ કહેવાતા લેમ્બડા રિંગ્સના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત પ્લેથિઝમ નામના ઓપરેશન પરથી આવ્યું છે. સંયોજનશાસ્ત્રમાં, પૂર્ણાંક ઘાતાંકીય એ પૂર્ણાંકો, બહુપદીઓ અથવા પાવર શ્રેણીના ઘણા સારી રીતે અભ્યાસ કરાયેલા ક્રમ માટે ઉત્પન્ન થતું કાર્ય છે, જેમ કે પૂર્ણાંક પાર્ટીશનોની સંખ્યા. તે લેબલ વગરના આલેખ અને અન્ય ઘણી સંયુક્ત વસ્તુઓના ગણનાત્મક સંયોજનમાં પણ એક મહત્વપૂર્ણ તકનીક છે. ભૂમિતિ અને ટોપોલોજીમાં, જગ્યાના ચોક્કસ ભૌમિતિક/ટોપોલોજિક અપરિવર્તનશીલનું પ્લિથિસ્ટિક ઘાતાંક, તેના સપ્રમાણ ઉત્પાદનોના અનુરૂપ અપરિવર્તનશીલને નિર્ધારિત કરે છે. વ્યાખ્યા, મુખ્ય ગુણધર્મો અને મૂળભૂત ઉદાહરણો ચાલો ચલમાં ઔપચારિક પાવર શ્રેણીની રીંગ બનીએ, જેમાં પરિવર્તનીય રીંગમાં ગુણાંક હોય. સ્થિર પદ વગરની શક્તિ શ્રેણી ધરાવતા આદર્શ દ્વારા દર્શાવો. પછી, આપેલ છે કે, તેનું પ્લેથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શલ સામાન્ય એક્સ્પોનેન્શલ ફંક્શન ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે સહેલાઈથી ચકાસી શકાય છે કે (ચલ સમજાય ત્યારે જ લખવું): કેટલાક મૂળભૂત ઉદાહરણો છેઃ આ છેલ્લા ઉદાહરણમાં, તેના પાર્ટીશનોની સંખ્યા છે. પુષ્કળ ઘાતાંકને ઘણા ચલમાં પાવર શ્રેણીની રિંગ્સ માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉત્પાદન-સરવાળો સૂત્ર પુષ્કળ ઉત્પાદન-સરવાળો ઓળખ પ્રદાન કરવા માટે પુષ્કળ ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ પ્લેથિસ્ટિક એક્સપોનેન્શિયલ્સ માટે ઉત્પાદન સૂત્રનું પરિણામ છે. જો વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે ઔપચારિક પાવર શ્રેણી સૂચવે છે, તો તે બતાવવું મુશ્કેલ નથી કેઃ એનાલોગસ પ્રોડક્ટ એક્સપ્રેશન ઘણા ચલ કેસમાં પણ ધરાવે છે. એક ખાસ કરીને રસપ્રદ કિસ્સો પૂર્ણાંક પાર્ટીશનો અને સપ્રમાણ જૂથના ચક્ર અનુક્રમણિકા સાથેનો તેનો સંબંધ છે. સપ્રમાણ કાર્યો સાથેનો સંબંધ ચલ સાથે કામ કરતા, સંપૂર્ણ સજાતીય સપ્રમાણ બહુપદી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જે ચલમાં ડિગ્રી k ની તમામ એકવિધતાઓનો સરવાળો છે, અને પ્રાથમિક સપ્રમાણ બહુપદીઓ દ્વારા. પછી, ધ અને ધ પાવર સમ બહુપદીઓ સાથે સંબંધિત છેઃ ન્યૂટનની ઓળખ દ્વારા, જેને સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે, પ્લેથિસ્ટિક એક્સ્પોનેન્શિયલ્સનો ઉપયોગ કરીને, જેમ કેઃ સમપ્રમાણતાવાળા ઉત્પાદનો માટે મેકડોનાલ્ડનું સૂત્ર ચાલો X એ પરિમાણ d નું મર્યાદિત CW સંકુલ છે, જેમાં પોઇનકેરે બહુપદી છે જ્યાં તેનો kth બેટ્ટી નંબર છે. પછી X ના nમા સપ્રમાણ ઉત્પાદનની પોઇનકેયર બહુપદી, જે સૂચવવામાં આવે છે, તે શ્રેણીના વિસ્તરણમાંથી મેળવવામાં આવે છેઃ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પુષ્કળ કાર્યક્રમ લેખોની શ્રેણીમાં, બો ફેંગ, અમિહાય હનાની અને યાંગ-હુઈ સહિત સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રીઓના એક જૂથે સુપરસિમેટ્રિક ગેજ સિદ્ધાંતોના સિંગલ અને મલ્ટી-ટ્રેસ ગેજ અપરિવર્તનશીલ ઓપરેટરોની પદ્ધતિસર ગણતરી માટે એક કાર્યક્રમની દરખાસ્ત કરી હતી. કેલાબી-યુ એકત્વની તપાસ કરતા ડી-બ્રેન્સના ક્વિવર ગેજ સિદ્ધાંતોના કિસ્સામાં, આ ગણતરીને એકત્વની હિલ્બર્ટ શ્રેણીના પુષ્કળ ઘાતાંકીયમાં સંહિતાબદ્ધ કરવામાં આવે છે. સંદર્ભો સમમિતીય કાર્યો