Optimal apportionment
શ્રેષ્ઠ વિભાજન એ વિભાજન માટેનો એક અભિગમ છે જે ગાણિતિક અનુકૂલન પર આધારિત છે. વિભાજનની સમસ્યામાં, ફાળવવા માટે એક સંસાધન છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે પ્રતિનિધિઓના ગૃહમાં બેઠકોની સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. કેટલાક એજન્ટો વચ્ચે સંસાધનોની ફાળવણી થવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આ સંઘીય રાજ્યો અથવા રાજકીય પક્ષો હોઈ શકે છે. એજન્ટો પાસે વિવિધ અધિકારો હોય છે, જે 1 ના સરવાળા સાથે અપૂર્ણાંકોના વેક્ટર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટીઆઈ એ પક્ષ i દ્વારા જીતવામાં આવેલા મતોનો અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. ધ્યેય એ ફાળવણી શોધવાનું છે-સાથે વેક્ટર. એજન્ટ i માટે આદર્શ હિસ્સો તેનો ક્વોટા છે, જેને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો દરેક એજન્ટને તેનો ક્વોટા આપવો શક્ય હોય, તો ફાળવણી મહત્તમ વાજબી છે. જો કે, ચોક્કસ નિષ્પક્ષતા સામાન્ય રીતે અપ્રાપ્ય હોય છે, કારણ કે ક્વોટા પૂર્ણાંકો નથી અને ફાળવણી પૂર્ણાંકો હોવી જોઈએ. આ મુશ્કેલીનો સામનો કરવા માટે વિવિધ અભિગમો છે (વિભાજનનું ગણિત જુઓ). ઓપ્ટિમાઇઝેશન-આધારિત અભિગમનો ઉદ્દેશ, ઉદાહરણ તરીકે, આ ઉદાહરણ માટે "શક્ય તેટલી વાજબી" ફાળવણી પ્રાપ્ત કરવાનો છે. ફાળવણી "વાજબી" છે જો તમામ એજન્ટો માટે એટલે કે, દરેક એજન્ટની ફાળવણી તેના હકના બરાબર પ્રમાણમાં હોય. આ કિસ્સામાં, અમે કહીએ છીએ કે ફાળવણીની "અન્યાય" 0 છે. જો આ સમાનતાનું ઉલ્લંઘન થવું જ જોઈએ, તો કોઈ વ્યક્તિ "સંપૂર્ણ અન્યાય" ના માપદંડને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે અને તેને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરી શકે છે. અન્યાયનો સરવાળો ઓછો કરવો સૌથી કુદરતી માપ એ વ્યક્તિગત એજન્ટો માટે અન્યાયનો સરવાળો છે, જેમ કે ઉપયોગિતાવાદી નિયમમાંઃ કોઈ પણ તફાવતોનો સરવાળો અથવા વર્ગોનો સરવાળો ઘટાડી શકે છે. બંને લઘુતમ સમસ્યાઓ હેમિલ્ટનની પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે. વસ્તી દ્વારા અથવા સમકક્ષ ક્વોટા દ્વારા સરવાળામાં તત્વોનું વજન કરી શકાય છે, અને તેને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરી શકાય છે. આ વેબસ્ટરની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ ગુણોત્તરના તફાવતોના સરવાળાને અથવા ચોરસના સરવાળાને ઘટાડી શકે છે. આ ઉદ્દેશો બે અલગ અલગ પદ્ધતિઓ આપે છે. ફાળવણી દ્વારા સરવાળામાં તત્વોનું વજન કરી શકાય છે, અને તેને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરી શકાય છે. આ હિલની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. સૌથી મોટા અન્યાયનો લઘુતમ ઉપયોગ કોઈ પણ વ્યક્તિ સૌથી મોટા અન્યાયનો લઘુતમ કરી શકે છે, જેમ કે સમતાવાદી નિયમમાંઃ લેક્સિમિન ક્રમનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ વ્યક્તિ આગામી સૌથી મોટા અન્યાયનો લઘુતમ કરી શકે છે અને તેને ઓછો કરવા માટે આગળ વધી શકે છે. આનાથી એક પદ્ધતિ મળે છે જેને લેક્સિમિન વિભાજન પદ્ધતિ કહેવાય છે. તે સૌપ્રથમ બીરો, કોઝી અને સિક્લિ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું, જેમણે તેની ગણતરી કરવા માટે એક કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ રજૂ કર્યું હતું. તેનો મુખ્ય ધ્યેય વેનિસ કમિશનની જરૂરિયાતને સંતોષવાનો છે, કે એજન્ટો વચ્ચે વસ્તુઓની સમાન વહેંચણીમાંથી મહત્તમ પ્રસ્થાન શક્ય તેટલું નાનું હોવું જોઈએ. તેનો ગેરલાભ એ છે કે તે ક્વોટાના નિયમ અને તમામ એકવિધતાના માપદંડોનું ઉલ્લંઘન કરે છે. બર્ટ એન્ડ હેરિસ (1963) એ તેને ઘટાડવાનું સૂચન કર્યું હતું. મિનિમાઇઝિંગ એડમ્સની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. મિનિમાઇઝિંગ જેફરસનની પદ્ધતિ તરફ દોરી જાય છે. મહત્તમ અથવા સમકક્ષ રીતે ઘટાડવું પણ શક્ય છે. આ પદ્ધતિ બંને ક્વોટાને સંતોષે છે. મિનિમેક્સ પદ્ધતિને નિષ્પક્ષતાના માપદંડ પર કોઈપણ પસંદ કરેલ અગ્રતા ક્રમમાં સામાન્ય બનાવી શકાય છે. સંદર્ભ વિભાજન પદ્ધતિ માપદંડ વિભાજન (રાજકારણ) ગાણિતિક ઓપ્ટિમાઇઝેશન સામાજિક પસંદગી સિદ્ધાંત નિષ્પક્ષતા માપદંડ