Serial relation
સમૂહ સિદ્ધાંતમાં ક્રમિક સંબંધ એ એક સજાતીય સંબંધ છે જે અનુક્રમના તત્વનું નીચેના તત્વ સાથે જોડાણ વ્યક્ત કરે છે. કુદરતી સંખ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પીનો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતું અનુગામી કાર્ય એ ક્રમિક સંબંધ માટેનું પ્રોટોટાઇપ છે. બર્ટ્રાન્ડ રસેલે ધ પ્રિન્સિપલ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ (1903) માં ક્રમિક સંબંધોનો ઉપયોગ કર્યો હતો કારણ કે તેમણે ક્રમ સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગોના પાયાની શોધ કરી હતી. ક્રમિક સંબંધ શબ્દનો ઉપયોગ બી દ્વારા પણ કરવામાં આવ્યો હતો. એ. બર્નસ્ટીન એક લેખ માટે દર્શાવે છે કે ક્રમ સિદ્ધાંતમાં ચોક્કસ સામાન્ય સિદ્ધાંતો લગભગ અસંગત છેઃ જોડાણ, અપરિવર્તનીયતા અને સંક્રમણ. ક્રમિક સંબંધ R એ સમૂહ U પરનું એન્ડોરિલેશન છે. રસેલ દ્વારા જણાવ્યા મુજબ, જ્યાં સાર્વત્રિક અને અસ્તિત્વના પરિમાણો યુ નો સંદર્ભ આપે છે. સંબંધોની સમકાલીન ભાષામાં, આ ગુણધર્મ કુલ સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પરંતુ કુલ સંબંધ વિજાતીય હોઈ શકે છે. શ્રેણીબદ્ધ સંબંધો ઐતિહાસિક રસ ધરાવે છે. સંબંધ R માટે, ચાલો {y: xRy} એ x ના "અનુગામી પડોશી" ને સૂચવે છે. ક્રમિક સંબંધને સમાન રીતે એવા સંબંધ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે કે જેના માટે દરેક તત્વ પાસે બિન-ખાલી અનુગામી પડોશી હોય છે. તેવી જ રીતે, ઇન્વર્સ સીરીયલ સંબંધ એ એક એવો સંબંધ છે જેમાં દરેક તત્વમાં ખાલી ન હોય તેવો "પુરોગામી પડોશી" હોય છે. સામાન્ય મોડલ તર્કશાસ્ત્રમાં, ક્રમિક ગુણધર્મ દ્વારા મૂળભૂત સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ K નું વિસ્તરણ સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ D માં પરિણમે છે. રસેલની શ્રેણી સંબંધોનો ઉપયોગ ગણિતના સિદ્ધાંતોમાં શ્રેણી વિકસાવવા માટે થાય છે. પ્રોટોટાઇપ એ કુદરતી સંખ્યાઓ પર એક-એક સંબંધ તરીકે પીનોના અનુગામી કાર્ય છે. રસેલની શ્રેણી મર્યાદિત હોઈ શકે છે અથવા ચક્રીય ક્રમ આપતા સંબંધ દ્વારા પેદા થઈ શકે છે. તે કિસ્સામાં, બિંદુ-જોડી અલગ સંબંધનો ઉપયોગ વર્ણન માટે થાય છે. પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તેને જનરેટિંગ સંબંધને જોડાયેલ સંબંધ હોવો જરૂરી છે. પછી ક્રમિક સંખ્યાઓ પ્રગતિમાંથી મેળવવામાં આવે છે, મર્યાદિત સંખ્યાઓ મર્યાદિત ક્રમિક હોય છે. ખુલ્લી અને બંધ શ્રેણીને અલગ પાડવાથી કુલ ચાર ક્રમમાં પરિણમે છેઃ મર્યાદિત, એક અંત, કોઈ અંત અને ખુલ્લો નહીં, અને કોઈ અંત અને બંધ નહીં. અન્ય લેખકોથી વિપરીત, રસેલ નકારાત્મક ઓર્ડિનલ્સ સ્વીકારે છે. પ્રેરણા માટે, વૈજ્ઞાનિક સંકેતનો ઉપયોગ કરીને માપનના માપદંડને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં દસની શક્તિ માપનના દાયકાને રજૂ કરે છે. અનૌપચારિક રીતે, આ પરિમાણ ભૌતિક એકમોનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા તીવ્રતાના ક્રમને અનુરૂપ છે. પરિમાણ નકારાત્મક તેમજ હકારાત્મક મૂલ્યો પર લે છે. સ્ટ્રેચ રસેલે સ્ટ્રેચ શબ્દને મેઇનોન્ગ પરથી અપનાવ્યો હતો, જેમણે અંતરના સિદ્ધાંતમાં ફાળો આપ્યો હતો. સ્ટ્રેચ એ શ્રેણીમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના મધ્યવર્તી શબ્દોનો સંદર્ભ આપે છે, અને "શબ્દોની સંખ્યા સમગ્ર અંતર અને વિભાજનક્ષમતાને માપે છે". મેઇનોન્ગને સમજાવવા માટે, રસેલ કેલે-ક્લેન મેટ્રિકનો ઉલ્લેખ કરે છે, જે લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને અંતર નક્કી કરતા અનહાર્મોનિક ગુણોત્તરમાં ખેંચાણ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ અહીંઃ પાન 416.. દ્વિસંગી સંબંધો ક્રમ સિદ્ધાંત