Filter (set theory)
ગણિતમાં, સમૂહ પરનું ફિલ્ટર એ ઉપગણોનું એક કુટુંબ છે જેમ કેઃ અને જો અને, પછી જો, અને, પછી સમૂહ પરનું A ફિલ્ટર "મોટા ઉપગણોનો સંગ્રહ" રજૂ કરે છે તેવું માનવામાં આવી શકે છે, એક સાહજિક ઉદાહરણ પડોશી ફિલ્ટર છે. ગાળકો ક્રમ સિદ્ધાંત, નમૂના સિદ્ધાંત અને સમૂહ સિદ્ધાંતમાં દેખાય છે, પરંતુ તે ટોપોલોજીમાં પણ મળી શકે છે, જેમાંથી તેઓ ઉદ્દભવે છે. ફિલ્ટરની બેવડી કલ્પના એક આદર્શ છે. 1937માં હેનરી કાર્ટન દ્વારા ગાળકો રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા અને ટોપોલોજીમાં ગાળકોને સમર્પિત લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ, ત્યારબાદ નિકોલસ બોરબાકી દ્વારા તેમના પુસ્તક ટોપોલોજી જનરલમાં 1922માં ઇ. એચ. મૂરે અને હર્મન એલ. સ્મિથ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી જાળીની સંબંધિત કલ્પનાના વિકલ્પ તરીકે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ઓર્ડર ફિલ્ટર્સ એ સમૂહોમાંથી મનસ્વી રીતે આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહો સુધીના ગાળકોનું સામાન્યીકરણ છે. ખાસ કરીને, સેટ પરનું ફિલ્ટર એ ખાસ કિસ્સામાં માત્ર એક યોગ્ય ઓર્ડર ફિલ્ટર છે જ્યાં આંશિક રીતે ઓર્ડર કરેલ સેટમાં સેટ સમાવેશ દ્વારા ઓર્ડર કરેલ પાવર સેટનો સમાવેશ થાય છે. પ્રારંભિક ધારણાઓ, સંકેતો અને મૂળભૂત ધારણાઓ આ લેખમાં, મોટા ભાગના રોમન અક્ષરો જેવા કે સમૂહને સૂચવે છે (પરંતુ અન્યથા સૂચવવામાં ન આવે ત્યાં સુધી પરિવારોને નહીં) અને પાવર સમૂહના પાવર સમૂહને સૂચવે છે પાવર સમૂહના એ સબસેટને કહેવામાં આવે છે (અથવા ફક્ત,) જ્યાં તે જો સમૂહના પરિવારોનો સબસેટ હોય તો તેને મોટા ભાગના સુલેખન અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવશે જેમ કે જ્યારે પણ આ ધારણાઓની જરૂર પડશે, ત્યારે એવું માનવું જોઈએ કે તે ખાલી નથી અને તે વગેરે છે. "પ્રીફિલ્ટર" અને "ફિલ્ટર બેઝ" એ સમાનાર્થી શબ્દો છે અને તેનો એકબીજાના બદલે ઉપયોગ કરવામાં આવશે. સ્પર્ધાત્મક વ્યાખ્યાઓ અને સંકેતો વિશે ચેતવણી કમનસીબે ફિલ્ટર્સના સિદ્ધાંતમાં ઘણા શબ્દો છે જે વિવિધ લેખકો દ્વારા અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આમાં "ફિલ્ટર" જેવા કેટલાક સૌથી મહત્વપૂર્ણ શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે. ફિલ્ટર્સ (અને પોઇન્ટ-સેટ ટોપોલોજી) ની ખૂબ જ તકનીકી પ્રકૃતિને કારણે સમાન શબ્દની વિવિધ વ્યાખ્યાઓ સામાન્ય રીતે નોંધપાત્ર ઓવરલેપ ધરાવે છે, તેમ છતાં વ્યાખ્યાઓમાં આ તફાવતો ઘણીવાર મહત્વપૂર્ણ પરિણામો ધરાવે છે. ગાણિતિક સાહિત્ય વાંચતી વખતે, એવી ભલામણ કરવામાં આવે છે કે વાચકો તપાસ કરે કે ફિલ્ટર સંબંધિત પરિભાષા લેખક દ્વારા કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ કારણોસર, આ લેખ બધી વ્યાખ્યાઓ સ્પષ્ટ રીતે જણાવશે કારણ કે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કમનસીબે, ગાળકો સાથે સંબંધિત તમામ સંકેતો સારી રીતે સ્થાપિત નથી અને કેટલાક સંકેતો સાહિત્યમાં મોટા પ્રમાણમાં બદલાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ પરના તમામ પ્રિફિલ્ટરોના સમૂહ માટે સંકેતો) તેથી આવા કિસ્સાઓમાં આ લેખ જે પણ સંકેતો સૌથી વધુ સ્વ-વર્ણન અથવા સરળતાથી યાદ રાખવામાં આવે છે તેનો ઉપયોગ કરે છે. ફિલ્ટર્સ અને પ્રીફિલ્ટર્સનો સિદ્ધાંત સારી રીતે વિકસિત છે અને તેમાં ઘણી બધી વ્યાખ્યાઓ અને સંકેતો છે, જેમાંથી ઘણા હવે આ લેખને પ્રોલિક્સ બનતા અટકાવવા અને સંકેતો અને વ્યાખ્યાઓને સરળ રીતે જોવા માટે મંજૂરી આપવા માટે બિનઅનુભવી રીતે સૂચિબદ્ધ છે. તેમના મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પાછળથી વર્ણવવામાં આવ્યા છે. ઓપરેશન્સ સુયોજિત કરે છે સમૂહના કુટુંબનું અથવા તે જ રીતે સમગ્ર છે, તે એક નકશો છે અને તે એક સમૂહ છે. નેટ્સ અને તેમની પૂંછડીઓ A એ પ્રીઓર્ડર સાથેનો સમૂહ છે, જે (સ્પષ્ટ રીતે અન્યથા સૂચવવામાં ન આવે ત્યાં સુધી) દ્વારા સૂચવવામાં આવશે, જે () માં બને છે; આનો અર્થ એ છે કે બધા માટે કેટલાક એવા અસ્તિત્વમાં છે કે જે કોઈપણ સૂચકાંકો માટે નોટેશનનો અર્થ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે તેનો અર્થ તે ધરાવે છે પરંતુ તે સાચું છે કે (જો એન્ટીસિમેટ્રિક હોય તો આ તેની સમકક્ષ છે). A એ બિન-ખાલી નિર્દેશિત સમૂહમાંથી એક નકશો છે નોટેશનનો ઉપયોગ સખત સરખામણીનો ઉપયોગ કરવા વિશે ડોમેન ચેતવણી સાથે નેટને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવશે અને પછી જે સમૂહને બોલાવવામાં આવે છે તે ખાલી હોવું શક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો નિર્દેશિત સમૂહની ઉપરની સીમા હોય તો આવું થાય છે). આ કિસ્સામાં, કુટુંબમાં ખાલી સેટ હશે, જે તેને પ્રીફિલ્ટર (પછીથી વ્યાખ્યાયિત) બનવાથી અટકાવશે. તેને બદલે અથવા સમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનું આ (મહત્વપૂર્ણ) કારણ છે અને તે આ જ કારણ છે કે સામાન્ય રીતે, જાળીની પૂંછડીના પ્રિફિલ્ટર સાથે કામ કરતી વખતે, કડક અસમાનતાનો ઉપયોગ અસમાનતા ફિલ્ટર અને પ્રિફિલ્ટર સાથે એકબીજાના બદલે થઈ શકતો નથી. જ્યારે પણ તે જરૂરી હોય, ત્યારે એવું માનવું જોઈએ કે ઉપર અને નીચે વ્યાખ્યાયિત ઘણા ગુણધર્મો, જેમ કે "યોગ્ય" અને "નીચે તરફ નિર્દેશિત", તેના પર આધાર રાખતા નથી તેથી આવા શબ્દોનો ઉપયોગ કરતી વખતે સમૂહનો ઉલ્લેખ કરવો વૈકલ્પિક છે. "ઉપરની તરફ બંધ" હોવાની વ્યાખ્યાઓ જેમ કે "ફિલ્ટર ઓન" તેના પર આધાર રાખે છે તેથી જો તે સંદર્ભથી સ્પષ્ટ ન હોય તો સમૂહનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ. ત્યાં કોઈ પ્રીફિલ્ટર્સ નથી (ન તો તેમાં કોઈ જાળીનું મૂલ્ય છે), તેથી જ મોટાભાગના લેખકોની જેમ આ લેખ પણ ટિપ્પણી કર્યા વિના આપમેળે ધારશે કે જ્યારે પણ આ ધારણાની જરૂર પડશે. મૂળભૂત ઉદાહરણો નામના ઉદાહરણો સિંગલટન સમૂહને અથવા તે અનન્ય ફિલ્ટર કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે દરેક ફિલ્ટરનો સબસેટ છે; જો કે, તે દરેક પ્રીફિલ્ટરનો સબસેટ હોવો જરૂરી નથી. તે એકમાત્ર ડ્યુઅલ આઇડિયલ છે જેના પર ફિલ્ટર નથી જો તે ટોપોલોજિકલ જગ્યા હોય અને પછી પડોશી ફિલ્ટર પર ફિલ્ટર હોય. a) જો અને માત્ર જો પ્રીફિલ્ટર હોય (રેસ્પ. એક ફિલ્ટર સબબેઝ છે) અને જે ફિલ્ટર જનરેટ કરે છે તે પડોશી ફિલ્ટરની બરાબર છે ખુલ્લા પડોશના સબફૅમિલી એ બંને માટે ફિલ્ટર બેઝ છે પ્રીફિલ્ટર્સ પણ ટોપોલોજી માટે બેઝ બનાવે છે જેમાં પેદા થયેલ ટોપોલોજી તેના કરતા બરછટ હોય છે. એક ક્રમ દ્વારા પેદા થયેલ પૂંછડીનું ફિલ્ટર જે આખરે સ્થિર નથી તે જરૂરી રીતે અલ્ટ્રાફિલ્ટર છે. ગણતરીપાત્ર સમૂહ પરનું દરેક મુખ્ય ફિલ્ટર ક્રમિક હોય છે, જેમ કે ગણતરીપાત્ર અનંત સમૂહ પરનું દરેક કોફાઇનાઇટ ફિલ્ટર હોય છે. મર્યાદિત રીતે ઘણા ક્રમિક ગાળકોનું આંતરછેદ ફરીથી ક્રમિક છે. તમામ કોફિનાઈટ ઉપગણોનો સમૂહ (એટલે કે તે સમૂહો કે જેમના પૂરક મર્યાદિત હોય છે) યોગ્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે અનંત હોય (અથવા સમકક્ષ રીતે, અનંત હોય), જે કિસ્સામાં 'અથવા' તરીકે ઓળખાતું ફિલ્ટર હોય. જો અનંત હોય તો સિંગલટન સમૂહોના પૂરકોનું કુટુંબ એ ફિલ્ટર સબબેઝ છે જે ફ્રેચેટ ફિલ્ટર જનરેટ કરે છે, જેમ કે સમૂહોના કોઈપણ પરિવાર સાથે, જેમાં ફ્રેચેટ ફિલ્ટરનો કર્નલ હોય છે, તે ખાલી સમૂહ છેઃ કોઈપણ બિન-ખાલી કુટુંબમાં તમામ તત્વોનું આંતરછેદ પોતે એક ફિલ્ટર હોય છે જેને અથવા કહેવાય છે, તેથી જ તેને અલગ રીતે સેડ દ્વારા સૂચવી શકાય છે, કારણ કે દરેક ફિલ્ટર પર સબસેટ તરીકે હોય છે, આ આંતરછેદ ક્યારેય ખાલી નથી. વ્યાખ્યા મુજબ, અનંત એ દરેક સભ્યના સબસેટ તરીકે સમાયેલ શ્રેષ્ઠ/સૌથી મોટું (સંબંધિત) ફિલ્ટર છે જો ફિલ્ટર્સ હોય તો તેમનું અનંત ફિલ્ટર છે જો પ્રીફિલ્ટર્સ હોય તો તે એક પ્રીફિલ્ટર છે જે બંને (એટલે કે,) કરતાં (સંદર્ભમાં) બરછટ હોય છે; ખરેખર, તે આવા શ્રેષ્ઠ પ્રીફિલ્ટર્સમાંથી એક છે, જેનો અર્થ છે કે જો તે પ્રીફિલ્ટર હોય તો તે જરૂરી છે. આ ડ્યુઅલ આઇડિયલ એ છે કે જ્યાં સેટના કોઈપણ નોન-એમ્પ્ટી ફેમિલીની જેમ જનરેટ થયેલ-સિસ્ટમ છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ ફિલ્ટરમાં સમાયેલી હોય જો તે ફિલ્ટર સબબેઝ હોય, અથવા સમકક્ષ રીતે, જો અને માત્ર ત્યારે જ ફિલ્ટર હોય કે જે કિસ્સામાં આ ફેમિલી સબસેટ તરીકેના દરેક એલિમેન્ટને સમાવવા પર સૌથી નાનું (સંબંધિત) ફિલ્ટર હોય અને જરૂરી હોય તો ચાલો અને દો અથવા જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો, વ્યાખ્યા દ્વારા સબસેટ તરીકેના દરેક એલિમેન્ટને સમાવતું સૌથી નાનું (સંબંધિત) ફિલ્ટર છે. જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો આવશ્યકપણે (ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ) અને તે સમાવતી તમામ ગાળકોના આંતરછેદના બરાબર પણ હશે. ખરેખર, જો તેમાં ઓછામાં ઓછા 2 અલગ ઘટકો હોય તો ત્યાં ફિલ્ટર્સ અસ્તિત્વમાં છે, જેના માટે એક ફિલ્ટર અસ્તિત્વમાં છે, જેમાં બંનેનો સમાવેશ થાય છે. જો તે ફિલ્ટર સબબેઝ ન હોય તો તેનું સર્વોપરિતા અસ્તિત્વમાં નથી અને તે જ તેના સર્વોપરિતા માટે સાચું છે, પરંતુ તમામ દ્વિ આદર્શોના સમૂહમાં તેમનું સર્વોપરિતા અસ્તિત્વમાં છે (તે ડીજનરેટ ફિલ્ટર છે). જો પ્રીફિલ્ટર્સ હોય (રેસ્પ. ફિલ્ટર ચાલુ કરો) પછી પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ. ફિલ્ટર) જો અને માત્ર જો તે બિન-ડીજનરેટ હોય (અથવા અલગ રીતે કહેવામાં આવે, જો અને માત્ર જો જાળીદાર હોય), તો તે કિસ્સામાં તે સૌથી બરછટ પ્રીફિલ્ટર્સ (આર. એસ. પી.) છે. (સંદર્ભમાં) સૌથી બરછટ ફિલ્ટર) જે બંને કરતાં વધુ સારું (સંદર્ભમાં) છે તેનો અર્થ એ છે કે જો કોઈ પ્રીફિલ્ટર (આર. એસ. પી.) છે. કોઈપણ ફિલ્ટર) જેમ કે પછી જરૂરી છે કે જે કિસ્સામાં તેને બિન-ખાલી સમૂહો તરીકે સૂચવવામાં આવે અને દરેક માટે ડ્યુઅલ આઇડિયલ પર ડ્યુઅલ આઇડિયલ હોવો જોઈએ. નિયમિત બિનગણતરી કાર્ડિનલનું ક્લબ ફિલ્ટર એ તેના ક્લબ સબસેટ ધરાવતા તમામ સેટનું ફિલ્ટર છે. તે કર્ણ આંતરછેદ હેઠળ બંધ એક-પૂર્ણ ફિલ્ટર છે. અન્ય ઉદાહરણો ચાલો અને દો જે પ્રીફિલ્ટર અને ફિલ્ટર સબબેઝ બનાવે છે જે મર્યાદિત આંતરછેદો હેઠળ બંધ નથી. કારણ કે તે એક પ્રિફિલ્ટર છે, જે ધરાવતું સૌથી નાનું પ્રિફિલ્ટર છે. ખાસ કરીને, ફિલ્ટર સબબેઝ ધરાવતું સૌથી નાનું પ્રિફિલ્ટર એ સેટના તમામ મર્યાદિત આંતરછેદોના સમૂહની બરાબર છે. નોન-ડિજનરેટ, ફિલ્ટર સબબેઝ, પ્રીફિલ્ટર, મર્યાદિત યુનિયનો હેઠળ બંધ) પછી તે જ સાચું છે જો ફિલ્ટર ચાલુ હોય તો તે પ્રીફિલ્ટર છે પરંતુ જરૂરી નથી કે ફિલ્ટર ચાલુ હોય, જો કે તે સમકક્ષ ફિલ્ટર હોય. જો જગ્યા બેયર જગ્યા હોય, તો ગાઢ ખુલ્લા ઉપગ્રહોના તમામ ગણતરીપાત્ર આંતરછેદાઓનો સમૂહ એક-પ્રણાલી અને એક પ્રીફિલ્ટર છે જે તેના કરતા વધુ સૂક્ષ્મ હોય છે જો (સાથે) તો પછી મર્યાદિત લેબસ્ગ્યુ માપ ધરાવતા તમામનો સમૂહ એક યોગ્ય-પ્રણાલી અને મુક્ત પ્રીફિલ્ટર છે જે પ્રીફિલ્ટર્સનો યોગ્ય ઉપસમૂહ પણ છે અને સમકક્ષ છે અને તેથી તે જ ફિલ્ટર જનરેટ કરે છે. આ ઉદાહરણ ફિલ્ટર સબબેઝના બિનપરંપરાગત વર્ગને સમજાવે છે જ્યાં બંનેમાં તમામ સમૂહો અને તેની જનરેટેડ-સિસ્ટમને ફોર્મના સમૂહો તરીકે વર્ણવી શકાય છે જેથી ખાસ કરીને, જનરેટેડ-સિસ્ટમને વર્ણવવા માટે બેથી વધુ ચલો (ખાસ કરીને,) ની જરૂર ન પડે. બધા માટે જ્યાં હંમેશા હોય ત્યાં ધારણા ઉમેરવાથી કોઈ સામાન્યતા ખોવાઈ નથી. બધા માટે વાસ્તવિક જો બિન-નકારાત્મક હોય તો પછી હકારાત્મક વાસ્તવિકતાના દરેક સમૂહ માટે, ચાલો અને ધારો કે તે સિંગલટન સમૂહ નથી. પછી તે ફિલ્ટર સબબેઝ છે પરંતુ પ્રીફિલ્ટર નથી અને તે-સિસ્ટમ છે જે તે જનરેટ કરે છે, તેથી તે સમાવતું અનન્ય સૌથી નાનું ફિલ્ટર છે જો કે, તે એક ફિલ્ટર છે (ન તો તે પ્રીફિલ્ટર છે કારણ કે તે નીચે તરફ નિર્દેશિત નથી, જો કે તે ફિલ્ટર સબબેઝ છે) અને ફિલ્ટરનો યોગ્ય સબસેટ છે. અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પણ તે લેખમાં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. કોઈપણ બિન-અપક્ષયી કુટુંબ કે જેમાં ઘટક તરીકે સિંગલટન સમૂહ હોય તે અલ્ટ્રા હોય છે, તે કિસ્સામાં તે અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર હશે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં મર્યાદિત આંતરછેદ ગુણધર્મ પણ હોય. તુચ્છ ફિલ્ટર અલ્ટ્રા છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સિંગલટન સેટ હોય. અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્મા નીચેના મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય આલ્ફ્રેડ ટાર્સ્કી (1930) ને કારણે છે. અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્માનું પરિણામ એ છે કે દરેક ફિલ્ટર તે ધરાવતા તમામ અલ્ટ્રાફિલ્ટર્સના આંતરછેદના બરાબર છે. ઝર્મેલો-ફ્રેન્કેલ (ઝેડએફ) ના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને ધારીએ તો, અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્મા પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ (ખાસ કરીને ઝોર્નના લેમ્માથી) થી અનુસરે છે પરંતુ તે તેના કરતા સખત રીતે નબળા છે. અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્મા મર્યાદિત સમૂહો માટે પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતને સૂચવે છે. જો હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે, તો ટોપોલોજીમાં મોટાભાગના મૂળભૂત પરિણામો (જેમ કે પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમોમાં જોવા મળે છે) (જેમ કે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે ટાયકોનોફના પ્રમેય અને એલેક્ઝાન્ડર સબબેઝ પ્રમેય) અને કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં (જેમ કે હેન-બનાચ પ્રમેય) માત્ર અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્માનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે; પસંદગીના સ્વયંસિદ્ધની સંપૂર્ણ તાકાતની જરૂર ન પડી શકે. કર્નલ પ્રીફિલ્ટર્સ અને સમૂહના અન્ય પરિવારોના ગુણધર્મોને વર્ગીકૃત કરવામાં ઉપયોગી છે. જો પછી કોઈ પણ બિંદુ માટે કર્નલોના ગુણધર્મો જો તે પછી અને આ સમૂહ પણ-પ્રણાલીના કર્નલની બરાબર હોય જે તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. ખાસ કરીને, જો ફિલ્ટર સબબેઝ હોય તો નીચેના તમામ સમૂહોના કર્નલો સમાન હોય છેઃ (1) (2) દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ-પ્રણાલી અને (3) દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ફિલ્ટર જો નકશો હોય તો અને જો પછી જો અને સમકક્ષ હોય તો સમકક્ષ પરિવારો પાસે સમાન કર્નલો હોય છે. બે મુખ્ય પરિવારો સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો તેમના કર્નલો સમાન હોય; એટલે કે, જો અને મુખ્ય હોય તો તેઓ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ પરિવારોને તેમના કર્નલો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે. ખાસ કરીને, જો ગણતરીપાત્ર હોય તો તે ફિલ્ટર સબબેઝ છે (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાઇમ), મર્યાદિત માપના સમૂહમાં અલ્પ સમૂહ છે, અથવા જો સિંગલટન સમૂહ હોય તો તે ફ્રેચેટ ફિલ્ટર માટે સબબેઝ છે દરેક ફિલ્ટર માટે બેવડા આદર્શોની એક અનન્ય જોડી અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે મુક્ત, મુખ્ય અને જાળીદાર નથી (એટલે કે,). બેવડા આદર્શને વાઇલ કહેવામાં આવે છે જ્યાં આ બેવડા આદર્શોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક ફિલ્ટર હોય છે. જો મુખ્ય હોય તો અન્યથા, અને તે મુક્ત (બિન-ડીજનરેટ) ફિલ્ટર છે. મર્યાદિત પ્રીફિલ્ટર્સ અને મર્યાદિત સમૂહો જો ફિલ્ટર સબબેઝ મર્યાદિત હોય તો તે નિશ્ચિત હોય છે (એટલે કે, મુક્ત નહીં); આનું કારણ એ છે કે તે મર્યાદિત આંતરછેદ છે અને ફિલ્ટર સબબેઝમાં મર્યાદિત આંતરછેદ ગુણધર્મ છે. મર્યાદિત પ્રીફિલ્ટર આવશ્યકપણે મુખ્ય હોય છે, જો કે તેને મર્યાદિત આંતરછેદો હેઠળ બંધ કરવાની જરૂર નથી. જો મર્યાદિત હોય તો ઉપરના તમામ તારણો કોઈપણ માટે માન્ય છે. ખાસ કરીને, મર્યાદિત સમૂહ પર કોઈ મુક્ત ફિલ્ટર પેટા પાયા નથી (અને તેથી કોઈ મુક્ત પ્રીફિલ્ટર્સ નથી), બધા પ્રીફિલ્ટર્સ મુખ્ય છે, અને તેના પરના તમામ ફિલ્ટર્સ તેમના (બિન-ખાલી) કર્નલો દ્વારા પેદા થયેલ મુખ્ય ફિલ્ટર્સ છે. તુચ્છ ફિલ્ટર હંમેશા મર્યાદિત ફિલ્ટર હોય છે અને જો તે અનંત હોય તો તે એકમાત્ર મર્યાદિત ફિલ્ટર છે કારણ કે સમૂહ પર બિન-તુચ્છ મર્યાદિત ફિલ્ટર શક્ય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મર્યાદિત હોય. જો કે, કોઈપણ અનંત સમૂહ પર બિન-તુચ્છ ફિલ્ટર પેટા પાયા અને પ્રીફિલ્ટર્સ હોય છે જે મર્યાદિત હોય છે (જોકે તેઓ ફિલ્ટર ન હોઈ શકે). જો સિંગલટન સમૂહ હોય તો તુચ્છ ફિલ્ટર એ એકમાત્ર યોગ્ય સબસેટ છે અને વધુમાં, આ સમૂહ મુખ્ય અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર છે અને મર્યાદિત આંતરછેદના ગુણધર્મ સાથેનું કોઈપણ સુપરસેટ (જ્યાં) પણ મુખ્ય અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર હશે (ભલે તે અનંત હોય). નિશ્ચિત અલ્ટ્રા પ્રિફિલ્ટરની લાક્ષણિકતા જો સમૂહોનું કુટુંબ નિશ્ચિત હોય (એટલે કે,) તો પછી અલ્ટ્રા હોય છે જો અને માત્ર જો કોઈ તત્વ સિંગલટન સમૂહ હોય, તો તે કિસ્સામાં તે જરૂરી રીતે પ્રિફિલ્ટર હશે. દરેક મુખ્ય પ્રીફિલ્ટર નિશ્ચિત હોય છે, તેથી મુખ્ય પ્રીફિલ્ટર અલ્ટ્રા હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સિંગલટન સેટ હોય. તેના પરનું દરેક ફિલ્ટર એક જ બિંદુ પર મુખ્ય હોય છે તે અલ્ટ્રાફિલ્ટર છે, અને જો વધુમાં મર્યાદિત હોય, તો આ સિવાય અન્ય કોઈ અલ્ટ્રાફિલ્ટર નથી. આગળનો પ્રમેય દર્શાવે છે કે દરેક અલ્ટ્રાફિલ્ટર બે શ્રેણીઓમાંથી એકમાં આવે છેઃ ક્યાં તો તે મુક્ત છે અથવા અન્યથા તે એક જ બિંદુ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ મુખ્ય ફિલ્ટર છે. ફાઈનર/કોર્સર, સબઓર્ડિનેશન અને મેશિંગ ટોપોલોજીમાં પ્રીફિલ્ટર્સ (અને ફિલ્ટર્સ) ના ઉપયોગ માટે નીચે વ્યાખ્યાયિત થયેલ પ્રીઓર્ડર મૂળભૂત મહત્વ ધરાવે છે. દાખલા તરીકે, આ પ્રીઑર્ડરનો ઉપયોગ "અનુગામી" ની સમકક્ષ પ્રિફિલ્ટરને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે, જ્યાં "" નું અર્થઘટન "અનુગામી" તરીકે કરી શકાય છે (તેથી "ગૌણ" એ "અનુગામી" ની સમકક્ષ પ્રિફિલ્ટર છે). તેનો ઉપયોગ ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં પ્રિફિલ્ટર કન્વર્જન્સને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પણ થાય છે. સમૂહ બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ટોપોલોજીમાં જાળીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેની સાથે પ્રીઓર્ડર નજીકથી સંબંધિત છે. સમૂહના બે પરિવારો અને છે, જો મેશ ન હોય તો તે લખીને સૂચવવામાં આવે છે. જો પછી એમ કહેવામાં આવે કે જો જાળીદાર હોય, અથવા સમકક્ષ હોય, જો તેના કુટુંબમાં ખાલી સમૂહ ન હોય, જ્યાં ટ્રેસને ઉદાહરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છેઃ જો તે અનુગામી હોય તો તે પ્રતીકોમાં ગૌણ હોય છેઃ અને સાદા અંગ્રેજીમાં પણ દર્શાવવામાં આવ્યું હોય, તો અનુગામીની પૂંછડીઓનું પ્રિફિલ્ટર હંમેશા મૂળ ક્રમને ગૌણ હોય છે. આ જોવા માટે, ચાલો મનસ્વી હોઈએ (અથવા સમકક્ષ રીતે, મનસ્વી હોઈએ) અને તે બતાવવાનું બાકી રહે છે કે આ સમૂહમાં કેટલાક સમાવિષ્ટો છે. પરિણામે, ડાબા હાથની બાજુ જમણા હાથની બાજુનો સબસેટ હશે જો (દાખલા તરીકે) દરેક બિંદુ અનન્ય હોય (એટલે કે, જ્યારે ઇન્જેક્ટિવ હોય) અને સમ-અનુક્રમિત અનુગામી હોય કારણ કે આ શરતો હેઠળ, દરેક પૂંછડી (દરેક માટે) અનુગામી જમણા હાથની બાજુના ફિલ્ટરની હશે પરંતુ ડાબા હાથની બાજુના ફિલ્ટરની નહીં. બીજા ઉદાહરણ માટે, જો કોઈ પરિવાર હોય તો તે હંમેશા ધરાવે છે અને વધુમાં, ધારો કે તે સમૂહોના પરિવારો છે જે સંતોષ આપે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, જો બંને અને જો કોઈપણ બે તત્વોનું આંતરછેદ ખાલી ન હોય, તો જાળીદાર. દરેક ફિલ્ટર સબબેઝ તે જનરેટ કરે છે તે સિસ્ટમ અને તે જનરેટ કરે છે તે ફિલ્ટર બંને કરતાં બરછટ હોય છે. જો એવા પરિવારો હોય કે જેમનો પરિવાર અતિવાદી હોય, અને પછી તે અતિવાદી હોવો જરૂરી છે. તે અનુસરે છે કે કોઈપણ કુટુંબ કે જે અલ્ટ્રા ફેમિલીની સમકક્ષ છે તે આવશ્યકપણે અલ્ટ્રા હશે. ખાસ કરીને, જો પ્રીફિલ્ટર હોય તો તે અને તે જે ફિલ્ટર બનાવે છે તે બંને અલ્ટ્રા હોય છે અથવા એક પણ અલ્ટ્રા નથી. જો ફિલ્ટર સબબેઝ અલ્ટ્રા હોય તો તે જરૂરી છે કે તે પ્રીફિલ્ટર હોય, તે કિસ્સામાં તે જે ફિલ્ટર ઉત્પન્ન કરે છે તે પણ અલ્ટ્રા હશે. ફિલ્ટર સબબેઝ કે જે પ્રીફિલ્ટર નથી તે અલ્ટ્રા ન હોઈ શકે; પરંતુ તેમ છતાં પ્રિફિલ્ટર અને ફિલ્ટર દ્વારા પેદા થયેલ અલ્ટ્રા હોવા હજુ પણ શક્ય છે. જો ઉપરની તરફ બંધ હોય તો તાબેદારીના સંબંધિત ગુણધર્મો સંબંધ પ્રતિબિંબીત અને સંક્રમક હોય છે, જે તેને પૂર્વ ક્રમમાં બનાવે છે. : કોઈપણ માટે તેથી સમૂહમાં એક કરતાં વધુ બિંદુ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો સંબંધ સપ્રમાણ હોય. : જો પરંતુ જ્યારે વિપરીત સામાન્ય રીતે પકડી ન રાખે, તો તે પકડી રાખે છે જો ઉપરની તરફ બંધ હોય (જેમ કે જો ફિલ્ટર હોય). બે ગાળકો સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ સમાન હોય, જે તેને અસમપ્રમાણતા વિરોધી બનાવે છે. પરંતુ સામાન્ય રીતે, તેના પર અથવા તેના પર અસમપ્રમાણતા વિરોધી હોય છે; એટલે કે, તે આવશ્યકપણે સૂચવે છે; ભલે બંને પ્રિફિલ્ટર્સ હોય. દાખલા તરીકે, જો પ્રીફિલ્ટર હોય પરંતુ ફિલ્ટર ન હોય તો સમૂહોના સમકક્ષ પરિવારો પ્રીઓર્ડર તેના કેનોનિકલ સમાનતા સંબંધને પ્રેરિત કરે છે કે જો નીચેની કોઈપણ સમકક્ષ શરતો હોય તો બધા માટે ક્યાં છે. બે ઉપર તરફ બંધ (in) ઉપગણ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ સમાન હોય. જો પછી જરૂરી હોય અને સમકક્ષ હોય તો દરેક સમકક્ષ વર્ગ સિવાયના દરેક સમકક્ષ વર્ગમાં એક અનન્ય પ્રતિનિધિ (એટલે કે, સમકક્ષ વર્ગનું તત્વ) હોય છે જે સમકક્ષ પરિવારો વચ્ચે સંરક્ષિત ગુણધર્મોમાં ઉપરની તરફ બંધ હોય. જો સમકક્ષ હોય (જે સૂચવે છે કે) તો પછી નીચે સૂચિબદ્ધ દરેક નિવેદનો/ગુણધર્મો માટે, કાં તો તે સાચું છે અથવા અન્યથા તે ખોટું છેઃ યોગ્ય ખાલી નથી (એટલે કે, એક તત્વ નથી) વધુમાં, કોઈપણ બે અધોગતિગ્રસ્ત પરિવારો આવશ્યકપણે સમકક્ષ છે. સબબેઝ પ્રીફિલ્ટર ફિલ્ટર કરો જે કિસ્સામાં સમાન ફિલ્ટર જનરેટ થાય છે (એટલે કે, તેમની ઉપરની તરફના બંધ સમાન હોય છે). ફ્રી પ્રિન્સિપલ અલ્ટ્રા તુચ્છ ફિલ્ટરની બરાબર છે શબ્દોમાં કહીએ તો, આનો અર્થ એ છે કે તેનો એકમાત્ર સબસેટ તુચ્છ ફિલ્ટરની સમકક્ષ છે. સામાન્ય રીતે, સમાનતાનો આ નિષ્કર્ષ બિન-તુચ્છ ગાળકો સુધી વિસ્તરતો નથી (એક અપવાદ એ છે કે જ્યારે બંને પરિવારો ગાળકો હોય). ઉપરની સૂચિમાંથી ગુમ થયેલ શબ્દ "ફિલ્ટર" છે કારણ કે આ ગુણધર્મ સમાનતા દ્વારા સાચવવામાં આવે છે. જો કે, જો ફિલ્ટર્સ ચાલુ હોય તો તેઓ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ સમાન હોય; આ લાક્ષણિકતા પ્રીફિલ્ટર્સ સુધી વિસ્તરે છે. પ્રીફિલ્ટર્સ અને ફિલ્ટર સબબેઝની સમાનતા જો પ્રીફિલ્ટર હોય તો નીચેના પરિવારો હંમેશા એકબીજાની સમકક્ષ હોય છેઃ; દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ-સિસ્ટમ; દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ફિલ્ટર; અને વધુમાં, આ ત્રણ પરિવારો બધા એક જ ફિલ્ટર ઉત્પન્ન કરે છે (એટલે કે, આ પરિવારોમાં ઉપરની તરફના બંધ સમાન છે). ખાસ કરીને, દરેક પ્રીફિલ્ટર તે પેદા કરે છે તે ફિલ્ટરની સમકક્ષ હોય છે. સંક્રમણ દ્વારા, બે પ્રીફિલ્ટર્સ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ સમાન ફિલ્ટર જનરેટ કરે. દરેક પ્રીફિલ્ટર બરાબર એક ફિલ્ટરની સમકક્ષ હોય છે જેના પર તે ફિલ્ટર બનાવે છે (એટલે કે, પ્રીફિલ્ટરનું ઉપરનું બંધ). અલગ રીતે કહીએ તો, પ્રીફિલ્ટર્સના દરેક સમકક્ષ વર્ગમાં બરાબર એક પ્રતિનિધિ હોય છે જે ફિલ્ટર છે. આ રીતે, ગાળકોને પ્રિફિલ્ટર્સના આ સમકક્ષ વર્ગના વિશિષ્ટ ઘટકો તરીકે ગણી શકાય. ફિલ્ટર સબબેઝ કે જે પ્રીફિલ્ટર પણ છે તે તે જનરેટ કરે છે તે પ્રીફિલ્ટર (અથવા ફિલ્ટર) ની સમકક્ષ હોઈ શકે છે. તેનાથી વિપરીત, દરેક પ્રીફિલ્ટર તે પેદા કરે છે તે ફિલ્ટરની સમકક્ષ હોય છે. આ જ કારણ છે કે પ્રિફિલ્ટર્સ, મોટા ભાગે, તેઓ પેદા કરે છે તે ફિલ્ટર્સ સાથે એકબીજાના બદલે વાપરી શકાય છે જ્યારે ફિલ્ટર સબબેઝ કરી શકતા નથી. દરેક ફિલ્ટર એ-સિસ્ટમ અને સેટની રીંગ બંને છે. સમાનતા/બિન-સમાનતા નક્કી કરવાના ઉદાહરણોઃ ચાલો અને ચાલો પૂર્ણાંકોનો સમૂહ (અથવા સમૂહ) હોઈએ. સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરો ત્રણેય સમૂહ ફિલ્ટર સબબેઝ છે પરંતુ કોઈ પણ ફિલ્ટર ચાલુ નથી અને માત્ર પ્રીફિલ્ટર છે (હકીકતમાં, મર્યાદિત આંતરછેદો હેઠળ મુક્ત અને બંધ પણ છે). જ્યારે મુક્ત હોય ત્યારે સમૂહ નિશ્ચિત હોય છે (સિવાય કે). તેઓ સંતુષ્ટ કરે છે પરંતુ આમાંથી કોઈ બે પરિવારો સમકક્ષ નથી; વધુમાં, આ ત્રણ ફિલ્ટર પેટા પાયા દ્વારા પેદા થયેલ કોઈપણ બે ફિલ્ટર્સ સમકક્ષ/સમાન નથી. આ નિષ્કર્ષ પર તે બતાવીને પહોંચી શકાય છે કે તેઓ જે-પ્રણાલીઓ ઉત્પન્ન કરે છે તે સમકક્ષ નથી. ઉપગણ તરીકે સમાવિષ્ટો દ્વારા પેદા થયેલ-પ્રણાલીના દરેક સમૂહથી વિપરીત, જે તેમની પેદા થયેલ-પ્રણાલીઓ (અને તેથી તેમના ઉત્પન્ન થયેલ ગાળકો) ને સમકક્ષ બનવાથી અટકાવે છે. જો તેના બદલે હોત તો ત્રણેય પરિવારો મુક્ત હોત અને તેમ છતાં સેટ એકબીજાની સમકક્ષ રહેશે, તેમ છતાં તેમની જનરેટેડ-સિસ્ટમ્સ સમાન હશે અને પરિણામે, તેઓ સમાન ફિલ્ટર જનરેટ કરશે; જો કે, આ સામાન્ય ફિલ્ટર હજી પણ સેટ સૈદ્ધાંતિક ગુણધર્મો અને બાંધકામો દ્વારા જનરેટેડ ફિલ્ટર કરતાં સખત બરછટ હશે. ફિલ્ટર) પછી જેનું ટ્રેસ ફેમિલી છે તે પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ) છે. એક ફિલ્ટર) જો અને માત્ર જો જાળીદાર (એટલે કે,) હોય, તો તે કિસ્સામાં તેનું નિશાન હોવાનું કહેવાય છે. જો અલ્ટ્રા હોય અને જો મેશ હોય તો ટ્રેસ અલ્ટ્રા હોય છે. જો અલ્ટ્રાફિલ્ટર ચાલુ હોય તો ટ્રેસ એક ફિલ્ટર ચાલુ છે જો અને માત્ર જો ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે તે એક ફિલ્ટર ચાલુ છે જે એવું છે કે પછી જાળીદાર અને તેના પર ફિલ્ટર જનરેટ કરે છે જે પ્રિફિલ્ટર્સ જાળીદાર કરતાં સખત રીતે વધુ સારી હોય જ્યારે ખાલી ન હોય તેવા પરિવારોને સંતોષ આપે છે અને જો યોગ્ય હોય (રેસ્પ. એક પ્રીફિલ્ટર, એક ફિલ્ટર સબબેઝ) પછી આ બંને માટે પણ સાચું છે યોગ્ય હોવાની જરૂરિયાતો વિશેની કોઈપણ અર્થપૂર્ણ કપાત કરવા માટે (એટલે કે, જે "મેશ" ની વ્યાખ્યા માટે પ્રેરણા છે. આ કિસ્સામાં, તે પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ) છે. ફિલ્ટર સબબેઝ) જો અને માત્ર જો આ બંને માટે સાચું હોય તો અલગ રીતે કહ્યું, જો પ્રીફિલ્ટર્સ હોય તો તેઓ જો અને માત્ર જો પ્રીફિલ્ટર હોય તો જ મેશ કરે છે. સામાન્યીકરણ સંપૂર્ણપણે તાબેદારી (એટલે કે,) ની દ્રષ્ટિએ "જાળીદાર" ની જાણીતી લાક્ષણિકતા આપે છેઃ બે પ્રીફિલ્ટર્સ (રેસ્પ. ફિલ્ટર સબબેઝ) જો અને માત્ર ત્યારે જ જાળીદાર હોય જો ત્યાં પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ) હોય. ફિલ્ટર સબબેઝ) જેમ કે અને જો બે ફિલ્ટર્સની ઓછામાં ઓછી ઉપરની બાઉન્ડ અસ્તિત્વમાં હોય તો આ ઓછામાં ઓછી ઉપરની બાઉન્ડ છબીઓ અને સમગ્ર કાર્યો હેઠળની પ્રિમેજની બરાબર છે, જે ખાલી ન હોય તેવા સમૂહો વચ્ચેના નકશા હશે. પ્રીફિલ્ટર્સની છબીઓ નકશાની છબીઓ હેઠળ ઘણા ગુણધર્મો સાચવવામાં આવે છે; નોંધપાત્ર અપવાદોમાં ઉપરની તરફ બંધ થવું, મર્યાદિત આંતરછેદો હેઠળ બંધ થવું અને ફિલ્ટર હોવું શામેલ છે, જે જરૂરી નથી કે સાચવવામાં આવે. સ્પષ્ટ રીતે, જો નીચેના ગુણધર્મોમાંથી એક સાચું હોય તો તે પણ જરૂરી રીતે સાચું હશે (જો કે સંભવતઃ કોડોમેન પર નહીં જ્યાં સુધી તે સર્જેક્ટિવ ન હોય): ફિલ્ટર ગુણધર્મોઃ અલ્ટ્રા, અલ્ટ્રાફિલ્ટર, ફિલ્ટર, પ્રીફિલ્ટર, ફિલ્ટર સબબેઝ, ડ્યુઅલ આઇડિયલ, ઉપરની તરફ બંધ, યોગ્ય/બિન-ડિજનરેટ. આદર્શ ગુણધર્મોઃ આદર્શ, મર્યાદિત જોડાણ હેઠળ બંધ, નીચે તરફ બંધ, ઉપર તરફ નિર્દેશિત. અલ્ટ્રા સેટના નકશા હેઠળની છબી ફરીથી અલ્ટ્રા હોય છે અને જો અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર હોય તો તે પણ અલ્ટ્રા છે જો ફિલ્ટર હોય તો તે શ્રેણી પરનું ફિલ્ટર હોય છે પરંતુ તે કોડોમેન પર ફિલ્ટર હોય છે જો અને માત્ર જો તે સર્જેક્ટિવ હોય. નહિંતર તે માત્ર એક પ્રીફિલ્ટર ચાલુ છે અને ફિલ્ટર મેળવવા માટે તેની ઉપરની તરફ બંધ કરવી આવશ્યક છે. ઉપરનું બંધ એ છે કે જ્યાં જો ઉપર તરફ બંધ હોય (એટલે કે, ફિલ્ટર) તો આ સરળ બને છેઃ જો પછી સમાવેશ નકશો તરીકે લેવું એ દર્શાવે છે કે કોઈપણ પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ). અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર, ફિલ્ટર સબબેઝ) પણ પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ) છે. અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર, ફિલ્ટર સબબેઝ) પ્રીફિલ્ટર્સની પ્રિમેજીસ પર ધારો કે તે સર્જેક્ટિવ છેઃ એક પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ) છે. ફિલ્ટર સબબેઝ,-સિસ્ટમ, મર્યાદિત યુનિયનો હેઠળ બંધ, યોગ્ય) જો અને માત્ર જો આ સાચું હોય તો જ જો અલ્ટ્રાફિલ્ટર ચાલુ હોય તો પણ જો તે સર્જેક્ટિવ હોય (જે પ્રીફિલ્ટર બનાવશે), તેમ છતાં પ્રીફિલ્ટર માટે ન તો અલ્ટ્રા હોવું શક્ય છે અને ન તો ફિલ્ટર ચાલુ હોવું શક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે આ ફૂટનોટ જુઓ). જો સર્જેક્ટિવ ન હોય તો આ કિસ્સામાં ચોક્કસ કિસ્સામાં ટ્રેસ ક્યાં સંતુષ્ટ થાય છે તેના ટ્રેસને સૂચવોઃ અને પરિણામે પણઃ આ છેલ્લી સમાનતા અને હકીકત એ છે કે ટ્રેસ એ સેટ ઓવરનો પરિવાર છે તેનો અર્થ એ છે કે ટ્રેસ વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે તેના સ્થાને ઉપયોગ કરી શકાય છે અને તેના સ્થાને ઉપયોગ કરી શકાય છે. ફિલ્ટર સબબેઝ,-સિસ્ટમ, યોગ્ય) જો અને માત્ર જો આ સાચું હોય તો આ રીતે, જ્યાં (જરૂરી) સર્જેક્ટિવ ન હોય તે કેસને સર્જેક્ટિવ ફંક્શનના કિસ્સામાં ઘટાડી શકાય છે (જે એક કેસ છે જે આ પેટા વિભાગની શરૂઆતમાં વર્ણવવામાં આવ્યો હતો). જો અલ્ટ્રાફિલ્ટર ચાલુ હોય તો પણ જો તે સર્જેક્ટિવ ન હોય તો તે શક્ય છે કે જે અધોગતિ પણ કરશે. આગામી લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે કે અધોગતિ એ એકમાત્ર અવરોધ છે. જો પ્રીફિલ્ટર હોય તો નીચેના સમકક્ષ છેઃ પ્રીફિલ્ટર છે; પ્રીફિલ્ટર છે; સાથે જોડાય છે અને વધુમાં, જો પ્રીફિલ્ટર હોય તો પણ એવું જ છે. બીજેક્શન્સ, ઇન્જેક્શન અને સર્જેક્શન ફિલ્ટરને લગતા તમામ ગુણધર્મો બીજેક્શન્સ હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો બાયજેક્શન હોય, તો તે પ્રીફિલ્ટર (રેસ્પ) છે. અલ્ટ્રા, અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર, ફિલ્ટર સબબેઝ પર અલ્ટ્રાફિલ્ટર પર ફિલ્ટર,-સિસ્ટમ, આદર્શ ચાલુ વગેરે) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો એક નકશો ઇન્જેક્ટીવ હોય જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તમામ પ્રીફિલ્ટર્સ ઇન્જેક્શન હેઠળના સેટના અલ્ટ્રા ફેમિલીની છબી ફરીથી અલ્ટ્રા હોય. નકશો એક સરજેક્શન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે પણ પ્રિફિલ્ટર ચાલુ હોય ત્યારે તે સાચું છે (આ પરિણામ માટે અલ્ટ્રાફિલ્ટર લેમ્માની જરૂર નથી). સબોર્ડિનેશન છબીઓ અને પૂર્વલક્ષી છબીઓ દ્વારા સાચવવામાં આવે છે આ સંબંધ સમૂહના પરિવારોની છબીઓ અને પૂર્વલક્ષી છબીઓ બંને હેઠળ સાચવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિવારો માટે વધુમાં, નીચેના સંબંધો હંમેશા સમૂહના પરિવાર માટે હોય છેઃ જ્યાં સમાનતા રહેશે જો તે વ્યક્તિલક્ષી હોય. વધુમાં, જો ઇન્જેક્ટિવ હોય તો પછી અને જ્યાં સમાનતા રહેશે. પ્રીફિલ્ટર્સના ઉત્પાદનો ધારો કે એક અથવા વધુ ખાલી ન હોય તેવા સમૂહોનું કુટુંબ છે, જેમના ઉત્પાદનને દરેક અનુક્રમણિકા દ્વારા સૂચવવામાં આવશે અને ચાલો કેનોનિકલ પ્રક્ષેપણને સૂચવીએ. ચાલો બિન-ખાલી પરિવારો પણ હોઈએ, જેમ કે દરેક પરિવારો માટે ઉત્પાદન ટોપોલોજીના મૂળભૂત ખુલ્લા ઉપગણને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (જો આ તમામ ટોપોલોજીઓ હોય તો) સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એટલે કે, બંને સંકેતો બધા નળાકાર ઉપગણોના કુટુંબને સૂચવે છે જેમ કે બધા માટે પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા અને જ્યાં આમાંથી કોઈપણ માટે મર્યાદિત રીતે ઘણા અપવાદો (એટલે કે, આવા કોઈપણ માટે જે જરૂરી છે). જ્યારે દરેક ફિલ્ટર સબબેઝ હોય ત્યારે કુટુંબ એ ફિલ્ટર સબબેઝ દ્વારા જનરેટ થયેલ ફિલ્ટર માટે ફિલ્ટર સબબેઝ હોય છે. જો દરેક પ્રીફિલ્ટર હોય તો તે પ્રીફિલ્ટર ચાલુ રહેશે અને વધુમાં, આ પ્રીફિલ્ટર સૌથી બરછટ પ્રીફિલ્ટરની બરાબર હશે જેમ કે દરેક માટે. જો દરેક સેટ બાદબાકી પર ફિલ્ટર હોય તો પણ તે ફિલ્ટર બનવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે અને કેટલાક ઉદાહરણો કર્નલના સબસેટને બાદ કરીને સેટ કરો જો પ્રીફિલ્ટર હોય તો તે પ્રીફિલ્ટર છે, જ્યાં આ પછીનો સેટ ફિલ્ટર છે જો અને માત્ર જો ફિલ્ટર હોય અને ખાસ કરીને, જો ટોપોલોજિકલ જગ્યામાં ઓછામાં ઓછા 2 પોઇન્ટ ધરાવતા બિંદુ પર પડોશી આધાર હોય, તો તે પ્રીફિલ્ટર કન્વર્જન્સની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વપરાય છે. આદર્શો અને દ્વૈત આદર્શો વચ્ચે દ્વૈતતાનો ઉપયોગ એક દ્વૈત સંબંધ છે અથવા જેનો અર્થ એ થાય છે કે દરેક માટે કેટલાક સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે દરેક માટે, કેટલાક એવા છે કે આ સંબંધ બેવડા અર્થમાં છે કે જો અને માત્ર જો સંબંધ ઉપર તરફના બંધ કુટુંબ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે રીતે કુટુંબના નીચલા બંધ સાથે નજીકથી સંબંધિત હોય. એક ઉદાહરણ માટે કે જે આ દ્વૈતતાનો ઉપયોગ કરે છે, ધારો કે તે એક નકશો છે અને વ્યાખ્યાયિત કરો કે જેમાં ખાલી સમૂહ હોય તો જ અને જો હોય તો જ. અલ્ટ્રાફિલ્ટર બનવું અને મર્યાદિત આંતરછેદો હેઠળ ખાલી અથવા બંધ ન હોવું શક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે ફૂટનોટ જુઓ). જો તે નીચે તરફ બંધ હોય તો તે ગાળકોના ગુણધર્મોને ખૂબ સારી રીતે સાચવતું નથી (રેસ્પ. મર્યાદિત યુનિયનો હેઠળ બંધ, એક આદર્શ) પછી આદર્શો અને બેવડા આદર્શો વચ્ચેના દ્વૈતનો ઉપયોગ કરવા માટે પણ આ સાચું રહેશે જે નીચેના ફિલ્ટરના નિર્માણ માટે પરવાનગી આપે છે. ધારો કે ફિલ્ટર ચાલુ છે અને તેને ઇફ્માં ડ્યુઅલ થવા દો તો ડ્યુઅલ ફિલ્ટર હશે. અન્ય ઉદાહરણો ઉદાહરણોઃ ટોપોલોજિકલ જગ્યાના તમામ ગાઢ ખુલ્લા ઉપગણોનો સમૂહ એક યોગ્ય-પ્રણાલી અને પ્રીફિલ્ટર છે. જો જગ્યા બેયર જગ્યા હોય, તો પછી ગાઢ ખુલ્લા ઉપગણોના તમામ ગણતરીપાત્ર આંતરછેદાઓનો સમૂહ એ-સિસ્ટમ અને પ્રીફિલ્ટર છે જે ઉદાહરણ કરતાં વધુ સારી છેઃ મર્યાદિત લેબસ્ગ્યુ માપ ધરાવતા તમામ ગાઢ ખુલ્લા સમૂહોનો પરિવાર યોગ્ય-સિસ્ટમ અને મુક્ત પ્રીફિલ્ટર છે. પ્રિફિલ્ટર યોગ્ય રીતે પ્રિફિલ્ટરમાં સમાયેલું છે અને તેની સમકક્ષ નથી કારણ કે તે બેર સ્પેસ છે, સેટનું દરેક ગણતરીપાત્ર આંતરછેદ ગાઢ છે (અને કમગ્રે અને નોન-મીજર પણ) તેથી તત્વોના તમામ ગણતરીપાત્ર આંતરછેદાઓનો સમૂહ પ્રિફિલ્ટર અને-સિસ્ટમ છે; તે ફિલ્ટર્સ અને જાળીઓ કરતાં પણ વધુ સૂક્ષ્મ છે અને તેની સમકક્ષ નથી આ વિભાગ પ્રિફિલ્ટર્સ અને જાળીઓ વચ્ચેના સંબંધોને ખૂબ વિગતવાર વર્ણવશે કારણ કે આ વિગતો ટોપોલોજીમાં ફિલ્ટર્સને લાગુ કરી રહી છે-ખાસ કરીને જાળીનો ઉપયોગ કરવાથી ફિલ્ટર્સ અને વાઇસ શ્લોકનો ઉપયોગ કરવા માટે બદલવામાં-અને કારણ કે તે પછીથી સમજવામાં સરળ બનાવે છે કે શા માટે સબનેટ (તેમની સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી વ્યાખ્યાઓ સાથે) જો નકશો હોય અને તે જાળી હોય તો જાળી માટે પ્રિફિલ્ટર્સ એ એ એક જોડી છે જેમાં ખાલી ન હોય તેવા સમૂહ અને એક તત્વનો સમાવેશ થાય છે કોઈપણ પરિવાર માટે જો એમ હોય તો પણ આ પ્રીઓર્ડર સમપ્રમાણતા વિરોધી નથી અને સેટના કોઈપણ કુટુંબને આંશિક રીતે ઓર્ડર આપવામાં આવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેમાં સંપૂર્ણપણે સિંગલટન સેટ હોય તો. જો મહત્તમ તત્વ છે; વધુમાં, બધા મહત્તમ તત્વો આ સ્વરૂપના છે. જો અને માત્ર જો તે કિસ્સામાં તમામ મહાન તત્વોનો સમૂહ હોય તો જ તે સૌથી મોટું તત્વ છે. જો કે, સૌથી મોટું તત્વ એ મહત્તમ તત્વ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ મહત્તમ એક તત્વ હોય જે મહત્તમ અને સૌથી મોટું બંને હોય. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક કેનોનિકલ નકશો છે જો કે, સામાન્ય રીતે, આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ નથી, તે નિર્દેશિત સમૂહ છે જો (અને માત્ર જો) પ્રિફિલ્ટર હોય. તેથી "પ્રિફિલ્ટર દ્વારા પ્રેરિત જાળી" ની વ્યાખ્યા માટે સૌથી તાત્કાલિક પસંદગી એ છે કે 'ઈનટુ' માંથી અસાઇનમેન્ટ 'ઇફ' એ પ્રિફિલ્ટર છે અને તેની સાથે સંકળાયેલ પ્રિફિલ્ટર છે; એટલે કેઃ 'ઈનટુ' ના યોગ્ય સબસેટ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હોત તો આ સાચું હોત તે જરૂરી નથી. તેના બદલે સિંગલટન સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હોત કે જ્યાં પ્રતિબંધ અસ્થાયી રૂપે સૂચવવામાં આવશે ત્યાં સુધીમાં તેની સાથે સંકળાયેલ પૂંછડીઓનું પ્રિફિલ્ટર મૂળ ફિલ્ટરને બદલે મુખ્ય પ્રિફિલ્ટર હશે; આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા છે, તેથી પ્રિફિલ્ટરથી વિપરીત વોર્સ સ્ટિલમાંથી પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે, જ્યારે પ્રિફિલ્ટર પરનું અનન્ય ફિલ્ટર તેના બદલે ફિલ્ટર (એટલે કે અલ્ટ્રાફિલ્ટર) જનરેટ કરે છે. અલ્ટ્રાનેટ્સ અને અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર્સ નેટને એન અથવા ઇન કહેવામાં આવે છે જો દરેક સબસેટ આખરે અંદર હોય અથવા તે આખરે અંદર હોય; આ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે અને માત્ર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે તે અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર હોય. પ્રીફિલ્ટર એ અલ્ટ્રા પ્રીફિલ્ટર છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ જાળીમાં અલ્ટ્રાનેટ હોય તો કેનોનિકલ જાળીનું ડોમેન સામાન્ય રીતે આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ નથી. જો કે, 1955 માં બ્રુન્સ અને શ્મિટએ એક એવી રચનાની શોધ કરી જે કેનોનિકલ નેટને આંશિક રીતે આદેશિત અને નિર્દેશિત બંને ડોમેનની મંજૂરી આપે છે; આ 1970 માં આલ્બર્ટ વિલાન્સ્કી દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે ફરીથી શોધવામાં આવ્યું હતું. તે કડક આંશિક ક્રમના સમૂહ પર કડક આંશિક ક્રમ (એટલે કે સંક્રમક અને અપરિવર્તનીય સંબંધ) ના નિર્માણ સાથે શરૂ થાય છે, જે કડક આંશિક ક્રમના લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમ જેવું જ હોય છે. કોઈપણ વ્યક્તિ માટે તે જાહેર કરવામાં આવે છે કે જો અને માત્ર જો અથવા સમકક્ષ રીતે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દ્વારા સૂચિત બિન-કડક આંશિક ક્રમને આ વ્યાખ્યાઓને અનવાઇન્ડીંગ કરીને નીચેની લાક્ષણિકતા આપે છે તેવું જાહેર કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવેઃ જે દર્શાવે છે કે તે માત્ર લેક્સિકોગ્રાફિક ક્રમ છે જે દ્વારા પ્રેરિત થાય છે જ્યાં આંશિક રીતે સમાનતા દ્વારા આદેશ આપવામાં આવે છે. બંને ક્રમિક છે અને ન તો સૌથી મોટું તત્વ અથવા મહત્તમ તત્વ ધરાવે છે; આ સાચું રહે છે જો તેઓ દરેક વ્યાખ્યાયિત કરેલા સબસેટ સુધી મર્યાદિત હોય જ્યાંથી તે હવેથી ધારવામાં આવશે. આ ઉપગણમાંથી સોંપણીને આ રીતે દર્શાવોઃ જો પછી પહેલાની જેમ જ, શરૂઆતની પૂંછડી બરાબર હોય તો જો તે પ્રીફિલ્ટર હોય તો તે એક જાળી હોય છે જેના ડોમેનમાં આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ સમૂહ હોય છે અને વધુમાં, કારણ કે તેની પૂંછડીઓ સમાન હોય છે (કારણ કે બંને પ્રીફિલ્ટરની બરાબર હોય છે), સામાન્ય રીતે એવું ધારીને કંઈ ખોવાઈ જતું નથી કે પ્રીફિલ્ટર સાથે સંકળાયેલ જાળીનું ડોમેન બંને આંશિક રીતે ક્રમબદ્ધ હોય છે. જો સમૂહને હકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે બદલવામાં આવે તો કડક આંશિક ક્રમ પણ ગાઢ ક્રમ હશે. ગૌણ ગાળકો અને સબનેટ્સ "ગૌણ છે" (લેખિત) ની કલ્પના ગાળકો અને પ્રિફિલ્ટર્સ માટે છે જે "અનુગામી છે" તે સિક્વન્સ માટે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પૂંછડીના સમૂહને સૂચવે છે અને જો અનુગામી (જ્યાં) ની પૂંછડીના સમૂહને સૂચવે છે તો (એટલે કે,) સાચું છે પરંતુ સામાન્ય રીતે ખોટું છે. સબનેટ્સ અને ગૌણ ગાળકોની બિન-સમાનતા પૂર્વનિર્ધારિત જગ્યાનો સબસેટ છે અથવા જો દરેક માટે ત્યાં કેટલીક પૂંછડી હોય તો તેને અથવા કહેવામાં આવે છે; સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં કેટલીક (એટલે કે,) અસ્તિત્વમાં છે. અંતિમ સમૂહ ખાલી હોવો જરૂરી નથી. એક સબસેટ અંતિમ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનું પૂરક વારંવાર ન હોય (જેને કહેવામાં આવે છે). બે પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહો વચ્ચેનો નકશો એ છે કે જ્યારે પણ વિલાર્ડના અર્થમાં સબનેટ અને કેલીના અર્થમાં સબનેટ "સબનેટ" ની સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી વ્યાખ્યાઓ હોય. સબનેટની પ્રથમ વ્યાખ્યા 1955માં જ્હોન એલ. કેલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. સ્ટીફન વિલાર્ડે 1970માં કેલીની સબનેટની વ્યાખ્યાનો પોતાનો પ્રકાર રજૂ કર્યો હતો. સ્માઇલી (1957), આર્નેસ એન્ડ એન્ડેનેસ (1972) અને મુર્ડેશ્વર (1983) દ્વારા એએ-સબનેટ સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા; એએ-સબનેટનો આર્નેસ અને એન્ડેનેસ દ્વારા ખૂબ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો પરંતુ તેનો વારંવાર ઉપયોગ થતો નથી. કેલીએ નકશાને ક્રમમાં સાચવવાની જરૂર નહોતી પાડી, જ્યારે એએ-સબનેટની વ્યાખ્યા બે જાળીઓના ડોમેન્સ વચ્ચેના કોઈપણ નકશાને સંપૂર્ણપણે દૂર કરે છે અને તેના બદલે સંપૂર્ણપણે જાળીના સામાન્ય કોડોમેન પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. દરેક વિલાર્ડ-સબનેટ એ કેલી-સબનેટ છે અને બંને એએ-સબનેટ છે. ખાસ કરીને, જો વિલાર્ડ-સબનેટ અથવા કેલી-સબનેટ હોય તો ઉદાહરણ તરીકેઃ ચાલો અને ચાલો એક અચળ ક્રમ હોઈએ, ચાલો અને તેથી તે પર ચોખ્ખો છે પછી એ. એ.-સબનેટ છે કારણ કે તે વિલાર્ડ-સબનેટ નથી કારણ કે ત્યાં કોઈ નકશો અસ્તિત્વમાં નથી જેની છબી સહ-અંતિમ સબસેટ છે અને ન તો તે કેલી-સબનેટ છે કારણ કે જો કોઈ નકશો હોય તો તે સહ-અંતિમ સબસેટ છે પરંતુ આખરે એ. એ.-સબનેટમાં નથી, તે વ્યાખ્યાયિત લાક્ષણિકતા ધરાવે છે જે તરત જ દર્શાવે છે કે તેઓ ઉપ (ક્રમિક) ફિલ્ટર્સ સાથે સંપૂર્ણપણે વિનિમયક્ષમ છે. સ્પષ્ટ રીતે, તેનો અર્થ એ છે કે એએ-સબનેટ માટે નીચેનું નિવેદન સાચું છેઃ જો પ્રીફિલ્ટર્સ હોય તો તે એએ-સબનેટ છે જો "એએ-સબનેટ" ને "વિલાર્ડ-સબનેટ" અથવા "કેલી-સબનેટ" દ્વારા બદલવામાં આવે તો પછી ઉપરોક્ત નિવેદન બની જાય છે. ખાસ કરીને, સમસ્યા એ છે કે નીચેનું નિવેદન સામાન્ય રીતે ખોટું છેઃ નિવેદનઃ જો દરેક વિલાર્ડ-સબનેટ એ કેલી-સબનેટ હોવાથી, જો "કેલી-સબનેટ" શબ્દને "વિલાર્ડ-સબનેટ" સાથે બદલવામાં આવે તો આ નિવેદન ખોટું રહે છે. : બધા માટે ચાલો જે એક યોગ્ય સિસ્ટમ છે, અને જ્યાં બંને પરિવારો કુદરતી સંખ્યાઓ પર પ્રીફિલ્ટર્સ છે કારણ કે અનુગામી તરીકે ક્રમ છે. તેથી આદર્શ રીતે, તેનું સબનેટ હોવું જોઈએ ચાલો ડોમેનમાં કો-ફાઇનલ સબસેટ હોય છે જે ક્રમમાં આઇસોમોર્ફિક હોય છે અને પરિણામે ન તો મહત્તમ કે ન તો સૌથી મોટું તત્વ હોય છે. ચાલો તે બંનેનું મહત્તમ અને સૌથી મોટું તત્વ છે નિર્દેશિત સમૂહમાં એક એવો સબસેટ પણ હોય છે જે ક્રમમાં આઇસોમોર્ફિક હોય છે (કારણ કે તેમાં આવો સબસેટ હોય છે) પરંતુ મહત્તમ તત્વને કારણે આવો કોઈ સબસેટ કો-ફાઇનલ ન હોઈ શકે પરિણામે, કોઈપણ ક્રમ-જાળવણી નકશો આખરે સ્થિર (મૂલ્ય સાથે) હોવો જોઈએ જ્યાં તે પછી શ્રેણીનું સૌથી મોટું તત્વ છે. વિરોધાભાસ ખાતર ધારો કે એક એવો નકશો અસ્તિત્વમાં છે જે આખરે બધા માટે છે કારણ કે ત્યાં એવું અસ્તિત્વ છે કે દરેક માટે કારણ કે આખરે તેમાં છે તે જરૂરી છે કે ખાસ કરીને, જો પછી વ્યાખ્યા દ્વારા જે સમકક્ષ છે તે ખોટું છે. જો "સબનેટ" ને વિલાર્ડ-સબનેટ અથવા કેલી-સબનેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો જાળી અને ગાળકો સંપૂર્ણપણે વિનિમયક્ષમ નથી કારણ કે ત્યાં ફિલ્ટર-સબ (ઓર્ડિનેટ) ફિલ્ટર સંબંધો અસ્તિત્વમાં છે જે બે પ્રેરિત જાળી વચ્ચેના નેટ-સબનેટ સંબંધની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાતા નથી. ખાસ કરીને, સમસ્યા એ છે કે કેલી-સબનેટ અને વિલાર્ડ-સબનેટ ગૌણ ગાળકો સાથે સંપૂર્ણપણે વિનિમયક્ષમ છે. જો "સબનેટ" ની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવામાં ન આવે અથવા જો "સબનેટ" ને એએ-સબનેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો આ એક સમસ્યા બનવાનું બંધ થઈ જાય છે અને તેથી તે કહેવું સાચું બને છે કે જાળી અને ગાળકો વિનિમયક્ષમ છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે એએ-સબનેટમાં વિલાર્ડ અને કેલી સબનેટની સમસ્યા નથી, તેમ છતાં તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થતો નથી અથવા તેના વિશે જાણીતું નથી. નોંધો પુરાવા સંદર્ભો પણ જુઓ (ટોપોલોજી અને મેટ્રિક જગ્યાઓમાં ગાળકોની પ્રારંભિક સમીક્ષા પ્રદાન કરે છે.) સામાન્ય ટોપોલોજી ક્રમ સિદ્ધાંત સમૂહ સિદ્ધાંત