Frobenius characteristic map
ગણિતમાં, ખાસ કરીને પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને સંયોજનશાસ્ત્રમાં, ફ્રોબેનિયસ લાક્ષણિક નકશો એ સપ્રમાણ જૂથોના અક્ષરોની વીંટી અને સપ્રમાણ કાર્યોની વીંટી વચ્ચેનું સમમિતીય સમરૂપતા છે. તે સપ્રમાણ જૂથોના પ્રતિનિધિત્વ સિદ્ધાંત અને બીજગણિત સંયોજન વચ્ચે સેતુ બનાવે છે. આ નકશો સપ્રમાણ કાર્યોની મદદથી પ્રતિનિધિત્વ સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને તેનાથી ઊલટું. આ નકશાનું નામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ફર્ડિનાન્ડ જ્યોર્જ ફ્રોબેનિયસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વ્યાખ્યા અક્ષરોની વીંટી ઉપરના તમામ ઈરીડ્યુસિબલ અક્ષરો દ્વારા પેદા થયેલ-મોડ્યુલ હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને અને તેથી. અક્ષરોની વીંટીને ક્રમિક પરિવર્તનીય વીંટી બનાવવા માટે નીચેના ગુણાકાર સાથે સીધો સરવાળો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપેલ અને, ઉત્પાદનને તે સમજણ સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે પ્રેરિત પાત્રમાં સમાયેલ છે અને સૂચવે છે. ફ્રોબેનિયસ લાક્ષણિકતા નકશો માટે, ફ્રોબેનિયસ લાક્ષણિકતા નકશાનું મૂલ્ય, જેને ફ્રોબેનિયસ છબી પણ કહેવામાં આવે છે, તેને બહુપદી ટિપ્પણીઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્યારે અને, પાર્ટીશનને અનુરૂપ છે. તેનાથી વિપરીત, (તરીકે લખાયેલું) નું પાર્ટીશન કોન્જ્યુગેસી ક્લાસ નક્કી કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક કોન્જ્યુગેસી ક્લાસ આપવામાં આવ્યો છે. તેથી સંકેતનાં દુરૂપયોગનો ઉપયોગ સંયુગ્મ વર્ગ દ્વારા નિર્ધારિત મૂલ્યને દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે. નોંધ લો કે આ હંમેશા અર્થપૂર્ણ છે કારણ કે તે એક વર્ગ કાર્ય છે. ચાલો એક પાર્ટીશન હોઈએ, તો તે ચલ દ્વારા નિર્ધારિત પાવર સમ સપ્રમાણ બહુપદીઓનું ગુણાકાર છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ, એક પાર્ટીશન, છેવટે, તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં કોન્જ્યુગેસી ક્લાસની કાર્ડિનાલિટી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્યારે. તેથી ની બીજી વ્યાખ્યાને સીધી રીતે ન્યાયી ઠેરવી શકાય છેઃ ગુણધર્મો આંતરિક ઉત્પાદન અને આઇસોમેટ્રી હોલ આંતરિક ઉત્પાદન સપ્રમાણ કાર્યોની વીંટી પરનું આંતરિક ઉત્પાદન હોલ આંતરિક ઉત્પાદન છે. તે જરૂરી છે. અહીં, એક મોનોમિયલ સપ્રમાણ કાર્ય છે અને તે સંપૂર્ણપણે સજાતીય સપ્રમાણ કાર્યોનું ઉત્પાદન છે. ચોક્કસપણે કહીએ તો, પૂર્ણાંકનું વિભાજન થવા દો, પછી ખાસ કરીને, આ આંતરિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં, ઓર્થોગોનલ આધાર બનાવે છેઃ, અને શુર બહુપદીઓ ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છેઃ, જ્યાં ક્રોનેકર ડેલ્ટા છે. અક્ષરોનું આંતરિક ગુણાકાર દો, તેમના આંતરિક ગુણાકારને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો, તો આઇસોમેટ્રી તરીકે ફ્રોબેનિયસ લાક્ષણિકતાનો નકશો સ્પષ્ટ ગણતરી દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે કે ફ્રોબેનિયસ લાક્ષણિકતાનો નકશો એ આઇસોમેટ્રી છે. આ બતાવવા માટે, તે ધારવું પૂરતું છે કેઃ રીંગ આઇસોમોર્ફિઝમ નકશો અને-રીંગ વચ્ચેનો આઇસોમોર્ફિઝમ છે. આ નકશો રિંગ હોમોમોર્ફિઝમ છે તે હકીકત ફ્રોબેનિયસ પારસ્પરિકતા દ્વારા બતાવી શકાય છે. માટે અને, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીને, ફ્રોબેનિયસ લાક્ષણિકતા નકશાને ટૂંકા સ્વરૂપમાં લખી શકાય છેઃ ખાસ કરીને, જો ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત હોય, તો તે ચલોનું શુર બહુપદી છે. તે અનુસરે છે કે એક ઓર્થોનોર્મલ પાયાના ઓર્થોનોર્મલ પાયાના નકશા બનાવે છે. તેથી તે એક આઇસોમોર્ફિઝમ છે. ઉદાહરણ ફ્રોબેનિયસ છબીની ગણતરી ચાલો વૈકલ્પિક રજૂઆત કરીએ, જે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં ક્રમચયની નિશાની છે. સંયુગ્મતાના ત્રણ વર્ગો છે, જેને (ઓળખ અથવા ત્રણ 1-ચક્રનું ઉત્પાદન), (સ્થાનાંતરણ અથવા એક 2-ચક્ર અને એક 1-ચક્રનું ઉત્પાદન) અને (3-ચક્ર) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. તેથી આ ત્રણ સંયોગ વર્ગો,, દ્વારા આપવામાં આવેલા ત્રણ પાર્ટીશનોને અનુરૂપ છે. આ ત્રણ વર્ગોના મૂલ્યો અનુક્રમે છે. તેથીઃ કારણ કે તે ઈરીડ્યુસિબલ રજૂઆત છે (જે તેના અક્ષરોની ગણતરી કરીને બતાવી શકાય છે), ઉપરની ગણતરી પાર્ટીશનને અનુરૂપ ત્રણ ચલોનું શુર બહુપદી આપે છે. સંદર્ભ પ્રતિનિધિત્વ _ સિદ્ધાંત સંયોજનશાસ્ત્ર