Hitchin's equations
ગણિતમાં, અને ખાસ કરીને વિભેદક ભૂમિતિ અને ગેજ સિદ્ધાંતમાં, હિચિનના સમીકરણો એ 1987માં નિગેલ હિચિન દ્વારા રીમાન સપાટી પર વેક્ટર બંડલ અથવા મુખ્ય બંડલ પર જોડાણ અને હિગ્સ ક્ષેત્ર માટે આંશિક વિભેદક સમીકરણોની પદ્ધતિ છે. હિચિનના સમીકરણો સ્થાનિક રીતે માળખા જૂથની સમપ્રમાણતાવાળી જગ્યામાં સપાટી માટે હાર્મોનિક નકશા સમીકરણની સમકક્ષ છે. તેઓ સ્વ-દ્વૈત યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોના ચાર પરિમાણોમાંથી બે પરિમાણોમાં પરિમાણીય ઘટાડા તરીકે પણ દેખાય છે, અને હિચિનના સમીકરણોના ઉકેલો હિગ્સ બંડલ્સ અને હોલોમોર્ફિક જોડાણોના ઉદાહરણો આપે છે. કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટી પર હિચિનના સમીકરણોના ઉકેલોનું અસ્તિત્વ અનુરૂપ હિગ્સ બંડલ અથવા અનુરૂપ હોલોમોર્ફિક જોડાણની સ્થિરતાને અનુસરે છે, અને આ નોનબેલિયન હોજ પત્રવ્યવહારનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ છે. હિચિનના સમીકરણોના ઉકેલોની મોડ્યુલી જગ્યા હિચિન દ્વારા કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટી પર બે ક્રમના કિસ્સામાં બનાવવામાં આવી હતી અને તે બાંધવામાં આવેલા હાયપરકેહલર મેનીફોલ્ડના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંનું એક હતું. નોનબેલિયન હોજ પત્રવ્યવહાર દર્શાવે છે કે તે હિગ્સ બંડલ મોડ્યુલી જગ્યા અને હોલોમોર્ફિક જોડાણોના મોડ્યુલી જગ્યા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. હિચિનના સમીકરણોની દ્રષ્ટિએ તેના વર્ણન દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ હિગ્સ બંડલ મોડ્યુલી જગ્યા પર મેટ્રિક માળખાનો ઉપયોગ કરીને, હિચિનએ હિચિન પ્રણાલીનું નિર્માણ કર્યું, જે સંપૂર્ણપણે સંકલિત પ્રણાલી છે, જેનું મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર ટ્વિસ્ટેડ જનરલાઈઝેશન નો ઉપયોગ ન્ગો બાઓ ચાઉ દ્વારા લેંગલેન્ડ્સ પ્રોગ્રામમાં મૂળભૂત લેમ્માના પુરાવા તરીકે કરવામાં આવ્યો હતો, જેના માટે તેમને 2010 ફીલ્ડ્સ મેડલ આપવામાં આવ્યો હતો. વ્યાખ્યા વ્યાખ્યા વેક્ટર બંડલ અથવા મુખ્ય બંડલ પરના જોડાણ માટે શબ્દપ્રયોગ કરી શકાય છે, જેમાં બે પરિપ્રેક્ષ્યો અનિવાર્યપણે વિનિમયક્ષમ છે. અહીં મુખ્ય બંડલની વ્યાખ્યા રજૂ કરવામાં આવી છે, જે હિચિનના કાર્યમાં દેખાય છે. ચાલો કોમ્પેક્ટ રીમાન સપાટી પર કોમ્પેક્ટ વાસ્તવિક લાઈ જૂથ માટે મુખ્ય-બંડલ બનીએ. સરળતા માટે આપણે વિશેષ એકાત્મક જૂથ અથવા વિશેષ ઓર્થોગોનલ જૂથના કેસને ધ્યાનમાં લઈશું. ધારો કે એક જોડાણ ચાલુ છે, અને ચાલો જટિલ વેક્ટર બંડલનો એક વિભાગ હોઈએ, જ્યાં લાઈ બીજગણિતની જટિલતા દ્વારા આપવામાં આવેલા ફાઇબર સાથે સંલગ્ન બંડલનું જટિલતા છે. એટલે કે, તે એક જટિલ-મૂલ્યવાન-સ્વરૂપ છે. યાંગ-મિલ્સ સિદ્ધાંતમાં દેખાતા સહાયક હિગ્સ ક્ષેત્ર સાથે સામ્યતામાં આવા ક્ષેત્રને હિગ્સ ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. જોડી માટે, હિચિનના સમીકરણો ભારપૂર્વક જણાવે છે કે જ્યાં વળાંક સ્વરૂપ છે, તે જટિલ સંલગ્ન બંડલ પર પ્રેરિત જોડાણનો-ભાગ છે, અને લાઈ બીજગણિત-મૂલ્યવાન વિભેદક સ્વરૂપોના અર્થમાં-મૂલ્યવાન એક-સ્વરૂપોનું પરિવર્તક છે. કારણ કે તે પ્રકારનો છે, હિચિનના સમીકરણો દાવો કરે છે કે-ઘટક. કારણ કે, આ સૂચવે છે કે તે ડોલબીઓલ્ટ ઓપરેટર છે અને આ લાઈ બીજગણિત બંડલને હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલની રચના આપે છે. તેથી, શરતનો અર્થ એ છે કે તે હોલોમોર્ફિક-વેલ્યુડ-ફોર્મ છે. હોલોમોર્ફિક એન્ડોમોર્ફિઝમ-વેલ્યુડ-ફોર્મ સાથે હોલોમોર્ફિક વેક્ટર બંડલ ધરાવતી જોડીને હિગ્સ બંડલ કહેવામાં આવે છે, અને તેથી હિચિનના સમીકરણોનો દરેક ઉકેલ હિગ્સ બંડલનું ઉદાહરણ ઉત્પન્ન કરે છે. વ્યુત્પત્તિ હિચિનના સમીકરણો યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોના ચાર પરિમાણોમાંથી બે પરિમાણોમાં પરિમાણીય ઘટાડા તરીકે મેળવી શકાય છે. તુચ્છ મુખ્ય-બંડલ ઓવર પર જોડાણનો વિચાર કરો. પછી ત્યાં ચાર કાર્યો અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે પ્રમાણભૂત સંકલન વિભેદક સ્વરૂપો ક્યાં છે. જોડાણ માટેના સ્વ-દ્વૈત સમીકરણો, યાંગ-મિલ્સ સમીકરણોના ચોક્કસ કિસ્સામાં, લખી શકાય છે જ્યાં વળાંકનું બે સ્વરૂપ છે. પરિમાણીય રીતે બે પરિમાણો સુધી ઘટાડવા માટે, એક લાદવામાં આવે છે કે જોડાણ સ્વરૂપો પરના કોઓર્ડિનેટ્સથી સ્વતંત્ર છે. આમ ઘટકો પ્રતિબંધિત બંડલ પર જોડાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને જો એક રિલેબલ હોય, તો આ સહાયક-મૂલ્યવાન ક્ષેત્રો છે. જો કોઈ હવે લખે છે અને જ્યાં પ્રમાણભૂત જટિલ સ્વરૂપ છે, તો પછી ઉપરના સ્વ-દ્વૈત સમીકરણો ચોક્કસપણે હિચિનના સમીકરણો બની જાય છે. આ સમીકરણો સુસંગત રીતે અપરિવર્તનશીલ હોવાથી, તેઓ સમતલ, રીમાન સપાટીના અનુરૂપ સંકોચન પર અર્થપૂર્ણ બને છે. સંદર્ભો વિભેદક ભૂમિતિ