Fractional approval voting
અપૂર્ણાંક મંજૂરી મતદાન એ મંજૂરી મતપત્રોનો ઉપયોગ કરતી ચૂંટણી પ્રણાલી છે (દરેક મતદાર એક અથવા વધુ ઉમેદવાર વિકલ્પો પસંદ કરે છે), જેમાં પરિણામ અપૂર્ણાંક હોય છેઃ દરેક વૈકલ્પિક જે માટે 0 અને 1 ની વચ્ચે અપૂર્ણાંક પીજે હોય છે, જેમ કે પીજેનો સરવાળો 1 હોય છે. તેને મંજૂરી મતદાનના સામાન્યીકરણ તરીકે જોઈ શકાય છેઃ બાદમાં, એક ઉમેદવાર જીતે છે (pj = 1) અને અન્ય ઉમેદવાર હારી જાય છે (pj = 0). અપૂર્ણાંક pj ને સેટિંગના આધારે વિવિધ રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ઉદાહરણો છેઃ સમયની વહેંચણીઃ દરેક વૈકલ્પિક જે સમયના અપૂર્ણાંક પીજે અમલમાં મૂકવામાં આવે છે (દા. ત. દરેક ઉમેદવાર જે ઓફિસમાં મુદતનો અપૂર્ણાંક પીજે સેવા આપે છે). બજેટ વિતરણઃ દરેક વૈકલ્પિક જે કુલ બજેટનો અપૂર્ણાંક પીજે મેળવે છે. સંભાવનાઓઃ અપૂર્ણાંક પરિણામોની ગણતરી કર્યા પછી, એક ઉમેદવાર પસંદ કરવા માટે લોટરી હોય છે, જ્યાં દરેક ઉમેદવાર જે સંભાવના pj સાથે ચૂંટાય છે. હકદારીઓઃ આંશિક પરિણામોનો ઉપયોગ ફાળવણીના નિયમોમાં હકદારીઓ (જેને વજન પણ કહેવાય છે) તરીકે અથવા વિવિધ હકદારીઓ સાથે વાજબી વિભાજનના અલ્ગોરિધમ્સમાં થાય છે. અપૂર્ણાંક મંજૂરી મતદાન એ આંશિક સામાજિક પસંદગીનો એક વિશેષ કેસ છે જેમાં તમામ મતદારોની દ્વિવિધ પસંદગીઓ હોય છે. તે સાહિત્યમાં ઘણી જુદી જુદી શરતો હેઠળ દેખાય છેઃ લોટરી, વહેંચણી, વિભાજન, મિશ્રણ અને વિતરણ. ઔપચારિક વ્યાખ્યાઓ ઉમેદવારોનો મર્યાદિત સમૂહ C છે (જેને પરિણામો અથવા વિકલ્પો પણ કહેવાય છે), અને n મતદારોનો મર્યાદિત સમૂહ N છે (જેને એજન્ટો પણ કહેવાય છે). દરેક મતદાર 'i' એ 'C' નો ઉપગણ 'AI' નિર્દિષ્ટ કરે છે, જે મતદાર દ્વારા મંજૂર કરાયેલા ઉમેદવારોના સમૂહને રજૂ કરે છે. અપૂર્ણાંક મંજૂરી મતદાન નિયમ સમૂહ એઆઇના સમૂહને ઇનપુટ તરીકે લે છે, અને આઉટપુટ તરીકે મિશ્રણ (જેને વિતરણ અથવા લોટરી પણ કહેવાય છે) તરીકે પરત કરે છે-[0,1] માં વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો વેક્ટર પી, દરેક ઉમેદવાર માટે એક સંખ્યા, જેમ કે સંખ્યાઓનો સરવાળો 1 છે. એવું માનવામાં આવે છે કે દરેક એજન્ટ i દરેક ઉમેદવાર પાસેથી તેના મંજૂરી સેટ AI માં 1 ની ઉપયોગિતા મેળવે છે, અને AI માં ન હોય તેવા દરેક ઉમેદવાર પાસેથી 0 ની ઉપયોગિતા મેળવે છે. તેથી, એજન્ટ i દરેક મિશ્રણ p માંથી મેળવે છે, જેની ઉપયોગિતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો મિશ્રણ p ને બજેટ વિતરણ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે, તો i ની ઉપયોગિતા એ તેને ગમતા પરિણામો માટે ફાળવેલ કુલ બજેટ છે. ઇચ્છિત ગુણધર્મો મૂળભૂત ગુણધર્મો સામાન્ય રીતે મતદાનના નિયમોના બે મૂળભૂત ગુણધર્મો અને ખાસ કરીને અપૂર્ણાંક-મંજૂરી-મતદાનના નિયમો આ પ્રમાણે છેઃ અનામિકતા-મતદારોના નામથી કોઈ ફરક પડતો નથી; તટસ્થતા-ઉમેદવારોના નામથી કોઈ ફરક પડતો નથી; કાર્યક્ષમતા ગુણધર્મો પેરેટો-કાર્યક્ષમતા (પી. ઈ.) નો અર્થ એ છે કે કોઈ પણ મિશ્રણ એક એજન્ટને ઉચ્ચ ઉપયોગિતા આપતું નથી અને ઓછામાં ઓછું અન્ય તમામને ઉચ્ચ ઉપયોગિતા આપે છે. એક્સ-પોસ્ટ પી. ઈ. એક નબળી મિલકત છે, જે લોટરી તરીકે મિશ્રણના અર્થઘટન માટે જ સુસંગત છે. તેનો અર્થ એ છે કે, લોટરી પછી, કોઈ પરિણામ એક એજન્ટને વધુ ઉપયોગીતા આપતું નથી અને ઓછામાં ઓછું અન્ય તમામને વધુ ઉપયોગીતા આપે છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે પી. ઈ. પરિણામો પરનું મિશ્રણ છે). ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે ત્યાં 5 ઉમેદવાર (એ, બી, સી, ડી, ઇ) અને 6 મતદારો મંજૂરી સમૂહ (એસી, એડ, એઈ, બીસી, બીડી, બી) સાથે છે. કોઈપણ એક ઉમેદવારની પસંદગી પી. ઈ. છે, તેથી દરેક લોટરી એક્સ-પોસ્ટ પી. ઈ. છે. પરંતુ સી, ડી, ઇ ની પસંદગી કરતી લોટરી દરેકની સંભાવના 1/3 સાથે પીઇ નથી, કારણ કે તે દરેક મતદારને 1/3 ની અપેક્ષિત ઉપયોગિતા આપે છે, જ્યારે સંભાવના 1/2 સાથે એ, બી પસંદ કરતી લોટરી દરેક મતદારને 1/2 ની અપેક્ષિત ઉપયોગિતા આપે છે. PE હંમેશા પૂર્વ-પોસ્ટ PE સૂચવે છે. નીચેના કિસ્સાઓમાં પણ વિપરીત સાચું છેઃ જ્યારે મહત્તમ 4 મતદારો હોય, અથવા મહત્તમ 3 ઉમેદવાર હોય. જ્યારે ઉમેદવારોને એક લીટી પર ઓર્ડર કરી શકાય છે જેથી દરેક મંજૂરી સમૂહ એક અંતરાલ હોય (સમાનરૂપે એક ટોચની પસંદગીઓ). નિષ્પક્ષતાના ગુણધર્મો નિષ્પક્ષતાની જરૂરિયાતો વાજબી શેર (એફ. એસ.) ની કલ્પનાના પ્રકારો દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. ઇન્ડિવિડ્યુઅલ-એફ. એસ. (જેને ફેયર વેલ્ફેર શેર પણ કહેવાય છે) નો અર્થ એ છે કે દરેક મતદારની ઉપયોગિતા ઓછામાં ઓછી 1/એન છે, એટલે કે બજેટનો ઓછામાં ઓછો 1/એન હિસ્સો તેમના દ્વારા મંજૂર કરાયેલા ઉમેદવારોને ફાળવવામાં આવે છે. વ્યક્તિગત-પરિણામ-એફ. એસ. નો અર્થ એ છે કે દરેક મતદારની ઉપયોગિતા ઓછામાં ઓછી તેમની લોટરીમાં ઉપયોગિતા છે જે ઉમેદવારને અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરે છે, એટલે કે ઓછામાં ઓછું કે./|C., જ્યાં કે એ દ્વારા મંજૂર કરાયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા છે. વ્યક્તિગત-એફ. એસ. અને વ્યક્તિગત-પરિણામ-એફ. એસ. અપૂરતી છે કારણ કે તેઓ મતદારોના જૂથોની અવગણના કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો 99 ટકા મતદારો X ને મંજૂરી આપે અને 1 ટકા મતદારો Y ને મંજૂરી આપે, તો બંને મિલકતો બજેટનો અડધો ભાગ X ને અને અડધો ભાગ Y ને આપવાની મંજૂરી આપે છે. વાય સમર્થકોના જૂથ માટે આ દલીલપૂર્વક અયોગ્ય છે. સિંગલ-વોટ-એફએસ (જેને વફાદાર પણ કહેવાય છે) નો અર્થ એ છે કે, જો દરેક મતદાર એક જ ઉમેદવારને મંજૂરી આપે છે, તો દરેક ઉમેદવાર જે ને સોંપેલ અપૂર્ણાંક એ મતદારોની સંખ્યા સમાન છે જે જે ને એન દ્વારા વિભાજિત કરે છે. સિંગલ-વોટ-એફએસ એ મૂળભૂત જરૂરિયાત છે, પરંતુ તે અપૂરતી છે કારણ કે તે કેસ વિશે કંઇ કહેતું નથી જેમાં મતદારો બે અથવા વધુ ઉમેદવારોને મંજૂરી આપી શકે છે. સર્વસંમતિથી-FS નો અર્થ એ છે કે, સમાન પસંદગીઓ ધરાવતા મતદારોના દરેક સમૂહ S માટે, S માં દરેક સભ્યની ઉપયોગિતા ઓછામાં ઓછી |S |/n છે. સર્વસંમત-એફ. એસ. એ સિંગલ-વોટ-એફ. એસ. સૂચવે છે, પરંતુ તે હજુ પણ અપૂરતું છે કારણ કે તે એજન્ટોના જૂથો વિશે કંઇ કહેતું નથી જેમની મંજૂરી-સેટ ઓવરલેપ થાય છે. ગ્રુપ-એફએસ (જેને પ્રમાણસર વહેંચણી પણ કહેવાય છે) નો અર્થ એ છે કે, દરેક મતદાર સમૂહ એસ માટે, એસ ના ઓછામાં ઓછા એક સભ્ય દ્વારા મંજૂર કરાયેલા ઉમેદવારોને ફાળવવામાં આવેલું કુલ બજેટ ઓછામાં ઓછું |S |/n છે. ગ્રુપ-એફએસ એટલે સર્વસંમત-એફએસ, સિંગલ-વોટ-એફએસ અને વ્યક્તિગત-એફએસ. ગ્રુપ-એફ. એસ. એ વિઘટનક્ષમતા તરીકે ઓળખાતી મિલકતની સમકક્ષ છેઃ રકમ 1/એનના n વિતરણોમાં વિતરણને વિઘટિત કરવું શક્ય છે, જેમ કે એજન્ટ i ને ભલામણ કરાયેલ વિતરણ માત્ર i દ્વારા મંજૂર કરાયેલા ઉમેદવારો પર હકારાત્મક હોય છે. સરેરાશ-એફ. એસ. નો અર્થ એ છે કે, દરેક મતદાર સમૂહ S માટે ઓછામાં ઓછો એક સ્વીકૃત ઉમેદવાર સામાન્ય હોય, S માં મતદારોની સરેરાશ ઉપયોગિતા ઓછામાં ઓછી |S |/n હોય છે. કોર-એફએસનો અર્થ એ છે કે, દરેક મતદાર સમૂહ એસ માટે, તેમના |S |/n બજેટની અન્ય કોઈ વહેંચણી નથી, જે એસના તમામ સભ્યોને વધુ ઉપયોગીતા આપે છે. કોર-FS એટલે ગ્રુપ-FS. વ્યૂહાત્મક ગુણધર્મો મતદાનના નિયમો માટે સ્ટ્રેટેજીપ્રૂફનેસ (એસ. પી.) ના વિવિધ પ્રકારોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છેઃ વ્યક્તિગત-એસ. પી. નો અર્થ એ છે કે વ્યક્તિગત મતદાર, જે નિષ્ઠાહીન પસંદગીઓનો અહેવાલ આપે છે, તેને વધુ ઉપયોગીતા ન મળી શકે. નબળા-જૂથ-એસ. પી. નો અર્થ એ છે કે મતદારોનું એક જૂથ, જે સંકલનમાં નિષ્ઠાહીન પસંદગીઓની જાણ કરે છે, તે બધા માટે વધુ ઉપયોગીતા મેળવી શકતા નથી. ગ્રુપ-એસ. પી. નો અર્થ એ છે કે મતદારોનું એક જૂથ, જે સંકલનમાં નિષ્ઠાહીન પસંદગીઓની જાણ કરે છે, તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક માટે ઉચ્ચ ઉપયોગિતા મેળવી શકતા નથી, અને ઓછામાં ઓછી તે બધા માટે ઉચ્ચ ઉપયોગિતા મેળવી શકતા નથી. પસંદગી-એકવિધતાનો અર્થ એ છે કે જો કોઈ મતદાર, જેણે અગાઉ ચોક્કસ ઉમેદવાર X ને ટેકો આપ્યો ન હતો, તે X ને ટેકો આપવાનું શરૂ કરે છે, તો અન્ય ઉમેદવારોના શેરમાં વધારો થતો નથી. આ વ્યક્તિગત-એસ. પી. સૂચવે છે. એસપીનો નબળો પ્રકાર બાકાત એસપી છે. તે એવી પરિસ્થિતિઓમાં સુસંગત છે જ્યાં મતદારોને કેટલાક ઉમેદવાર વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરવાથી બાકાત રાખવું શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉમેદવારોની મુલાકાતનો સમય હોય, તો મતદારોએ મંજૂરી ન આપી હોય તેવા સમયે તેમને બેઠકમાં ભાગ લેવાથી બાકાત રાખવાનું શક્ય છે. આ તેને હેરફેર કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે, અને તેથી, જરૂરિયાત નબળી છે. ભાગીદારી સંપત્તિ નિયમોએ મતદારોને મતદાન પ્રક્રિયામાં ભાગ લેવા માટે પ્રોત્સાહિત કરવા જોઈએ. ભાગીદારીના કેટલાક માપદંડોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છેઃ નબળી ભાગીદારીઃ જ્યારે મતદાર ભાગ લે છે ત્યારે તેની ઉપયોગિતા ઓછામાં ઓછી તેની ઉપયોગિતા જેટલી વધારે હોય છે જ્યારે તે ભાગ લેતો નથી (આ નો શો વિરોધાભાસની અવગણના છે). સખત ભાગીદારીઃ જ્યારે મતદાર ભાગ લે છે ત્યારે તેની ઉપયોગિતા તેની ઉપયોગિતા કરતાં સખત રીતે વધારે હોય છે જ્યારે તે ભાગ લેતો નથી. ખાસ કરીને, મતદારને ભાગ લેવાથી ફાયદો થાય છે, ભલે તેની પાસે "ક્લોન" હોય-સમાન પસંદગીઓ ધરાવતા મતદારો. સહભાગી અંદાજપત્રની ગોઠવણીમાં મજબૂત મિલકતની જરૂર પડે છે જેમાં વહેંચવાનું બજેટ મતદારો દ્વારા જાતે દાન કરવામાં આવે છેઃ પૂલિંગ ભાગીદારીઃ મતદાર જ્યારે આ પદ્ધતિ દ્વારા દાન કરે છે ત્યારે તેની ઉપયોગિતા ઓછામાં ઓછી તેની ઉપયોગિતા જેટલી વધારે હોય છે જ્યારે તે જાતે દાન કરે છે. નિયમો ઉપયોગિતાવાદી નિયમ ઉપયોગિતાવાદી નિયમનો ઉદ્દેશ ઉપયોગિતાઓનો સરવાળો વધારવાનો છે, અને તેથી તે મતદારોની સૌથી મોટી સંખ્યા દ્વારા મંજૂર કરાયેલા ઉમેદવારોમાં સમગ્ર બજેટનું વિતરણ કરે છે. ખાસ કરીને, જો સૌથી વધુ મત ધરાવતા એક ઉમેદવાર હોય, તો આ ઉમેદવારને 1 (એટલે કે, તમામ બજેટ) મળે છે અને અન્યને 0 મળે છે, જેમ કે એક-વિજેતા મંજૂરી મતદાનમાં. જો સમાન સૌથી વધુ મત ધરાવતા કેટલાક કે ઉમેદવાર હોય, તો બજેટ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવામાં આવે છે, જેમાં આવા દરેક ઉમેદવારને 1/કે અને અન્ય તમામને 0 આપવામાં આવે છે. ઉપયોગિતાવાદી નિયમમાં ઘણા ઇચ્છનીય ગુણધર્મો છેઃ તે અનામી, તટસ્થ, પી. ઈ., વ્યક્તિગત-એસ. પી. અને પસંદગી-મોનોટોન છે. તેની ગણતરી કરવી પણ સરળ છે. જો કે, તે લઘુમતીઓ પ્રત્યે વાજબી નથી-તે ઇન્ડિવિડ્યુઅલ-એફએસ (તેમજ એફએસના તમામ મજબૂત પ્રકારો) નું ઉલ્લંઘન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો 51 ટકા મતદારો X ને મંજૂરી આપે અને 49 ટકા મતદારો Y ને મંજૂરી આપે, તો ઉપયોગિતાવાદી નિયમ તમામ બજેટ X ને આપે છે અને Y ને કોઈ બજેટ આપતું નથી, તેથી Y ને મત આપનારા 49 ટકા લોકોને 0 ની ઉપયોગિતા મળે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે બહુમતીના જુલમની મંજૂરી આપે છે. ઉપયોગિતાવાદી શાસન પણ નબળા-જૂથ-એસ. પી. (અને તેથી જૂથ-એસ. પી.) નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે ત્યાં 3 ઉમેદવાર (એ, બી, સી) અને 3 મતદારો છે, તેમાંના દરેક એક ઉમેદવારને મંજૂરી આપે છે. જો તેઓ નિષ્ઠાપૂર્વક મત આપે છે, તો પછી ઉપયોગિતાવાદી મિશ્રણ (1/3,1/3,1/3) છે તેથી દરેક એજન્ટની ઉપયોગિતા 1/3 છે. જો એક પણ મતદાર અસંવેદનશીલ રીતે મત આપે (જેમ કે, પ્રથમ મતદાર એ અને બી બંનેને મત આપે છે), તો પછી મિશ્રણ (0,1,0) છે, જે અસંવેદનશીલ મતદાર માટે વધુ ખરાબ છે. જો કે, જો બે મતદારો સાંઠગાંઠ કરે અને નિષ્ઠાપૂર્વક મત આપે (જેમ કે, પ્રથમ બે મતદારો પ્રથમ બે પરિણામો માટે મત આપે છે), તો પછી ઉપયોગિતાવાદી મિશ્રણ (1/2,1/2,0) છે, જે બંને નિષ્ઠાહીન મતદારો માટે વધુ સારું છે. નેશ-ઓપ્ટિમલ નિયમ નેશ-ઓપ્ટિમલ નિયમ ઉપયોગિતાઓના લઘુગણકનો સરવાળો મહત્તમ કરે છે. તે અનામી અને તટસ્થ છે, અને નીચેના વધારાના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ પી. ઈ.; ગ્રૂપ-એફ. એસ. (વિઘટનક્ષમતા), એવરેજ-એફ. એસ., કોર-એફ. એસ.; પૂલિંગ ભાગીદારી (અને કડક ભાગીદારી); અન્ય કોઈ વ્યૂહરચના પ્રતિરોધક ગુણધર્મ (બાકાત-એસ. પી. માં પણ નિષ્ફળ જાય છે); નેશ-ઓપ્ટિમલ નિયમની ગણતરી બહિર્મુખ પ્રોગ્રામને હલ કરીને કરી શકાય છે. અન્ય એક નિયમ છે, જેને વાજબી ઉપયોગિતાવાદી કહેવાય છે, જે સમાન ગુણધર્મો (પી. ઈ. અને જૂથ-એફ. એસ.) ને સંતોષે છે પરંતુ તેની ગણતરી કરવી સરળ છે. સમતાવાદી નિયમ સમતાવાદી (લેક્સિમિન) નિયમ સૌથી નાની ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરે છે, પછી પછીની સૌથી નાની, વગેરે. તે અનામી અને તટસ્થ છે, અને નીચેના વધારાના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ પીઇ; વ્યક્તિગત-એફએસ, પરંતુ સર્વસંમત-એફએસ નહીં; બાકાત-વ્યક્તિગત-એસપી, પરંતુ વ્યક્તિગત-એસપી નહીં; નબળી-ભાગીદારી, પરંતુ કડક-ભાગીદારી નહીં (કારણ કે "ક્લોન"-સમાન પસંદગીઓ ધરાવતા મતદારો-ને એક જ મતદાર તરીકે ગણવામાં આવે છે). અન્ય કલ્યાણવાદી નિયમો કોઈપણ એકવિધ રીતે વધતા કાર્ય f માટે, કોઈ પણ f (ui) નો સરવાળો મહત્તમ કરી શકે છે. ઉપયોગિતાવાદી નિયમ એ એક વિશેષ કેસ છે જ્યાં f (x) = x, અને નેશ નિયમ એક વિશેષ કેસ છે જ્યાં f (x) = log (x). દરેક એફ-મેક્સિમાઇઝિંગ નિયમ પીઇ છે, અને તેમાં નીચેના વધારાના ગુણધર્મો છેઃ જો એફ એ લોગનું કોઈ અંતર્મુખ કાર્ય છે, તો તે ઇન્ડિવિડ્યુઅલ-એફએસની બાંયધરી આપે છે. જો-અને-માત્ર-જો f એ લોગ કાર્ય પોતે જ હોય, તો તે જૂથ-FS અને સર્વસંમત-FS ની બાંયધરી આપે છે (આ નેશ-ઓપ્ટિમલ નિયમને અનુરૂપ છે). જો-અને-માત્ર-જો f એક રેખીય કાર્ય છે, તો તે વ્યક્તિગત-એસ. પી. છે (આ ઉપયોગિતાવાદી નિયમને અનુરૂપ છે). જો-અને-માત્ર-જો તે ઉપયોગિતાવાદી અથવા સમતાવાદી નિયમ છે, તો તે બાકાત-એસપીને સંતોષે છે; જો-અને-માત્ર-જો તે ઉપયોગિતાવાદી કે સમતાવાદી નિયમ નથી, તો તે કડક-ભાગીદારીને સંતોષે છે. અગ્રતાના નિયમો એક અગ્રતાના નિયમ (જેને ક્રમિક સરમુખત્યારશાહી પણ કહેવાય છે) ને મતદારોના ક્રમચયો દ્વારા પરિમાણિત કરવામાં આવે છે, જે અગ્રતાના ક્રમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે એક પરિણામ પસંદ કરે છે જે સર્વોચ્ચ-પ્રાથમિકતા એજન્ટની ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરે છે; તેને આધીન, બીજા-સર્વોચ્ચ-પ્રાથમિકતા એજન્ટની ઉપયોગિતાને મહત્તમ કરે છે; અને તેથી વધુ. દરેક પ્રાથમિકતાનો નિયમ તટસ્થ, પી. ઈ., નબળા-જૂથ-એસ. પી. અને પસંદગી-મોનોટોન છે. જો કે, તે અનામી નથી અને કોઈપણ નિષ્પક્ષતાની કલ્પનાને સંતોષતું નથી. રેન્ડમ પ્રાયોરિટી નિયમ મતદારોના ક્રમચયને એકસરખી રીતે પસંદ કરે છે, અને પછી તે ક્રમચય માટે પ્રાયોરિટી નિયમ લાગુ કરે છે. તે અનામી, તટસ્થ છે અને નીચેના વધારાના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ એક્સ-પોસ્ટ PE, પરંતુ (એક્સ-એન્ટે) PE નહીં. સિંગલ-પીક પસંદગીઓના એનાલોગ સાથે (ઉમેદવારોને એક લીટી પર ઓર્ડર આપવામાં આવે છે અને દરેક મતદાર અંતરાલને મંજૂરી આપે છે), રેન્ડમ-પ્રાથમિકતા પી. ઈ. છે. નબળા જૂથ-એસ. પી. જૂથ-એફ. એસ. આ નિયમનો ગેરલાભ એ છે કે ચોક્કસ સંભાવનાઓ શોધવી ગણતરીત્મક રીતે મુશ્કેલ છે (જુઓ સરમુખત્યારશાહી mechanism#Computation). શરતી ઉપયોગિતાવાદી નિયમ શરતી ઉપયોગિતાવાદી નિયમમાં, દરેક એજન્ટને કુલ બજેટનો 1/n હિસ્સો મળે છે. દરેક એજન્ટ જે ઉમેદવારોને મંજૂરી આપે છે તેમાંથી એવા ઉમેદવારોને શોધે છે જેમને સૌથી વધુ સંખ્યામાં અન્ય એજન્ટો દ્વારા ટેકો આપવામાં આવે છે, અને તેમનું બજેટ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચે છે. તે અનામી અને તટસ્થ છે, અને નીચેના વધારાના ગુણધર્મોને સંતોષે છેઃ વ્યક્તિગત-એસ. પી.; જૂથ-એફ. એસ.; ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પી. ઈ. પરંતુ (ભૂતપૂર્વ) પી. ઈ. નહીં. તે સિદ્ધાંત અને સિમ્યુલેશન બંનેમાં રેન્ડમ-પ્રાથમિકતા કરતાં વધુ કાર્યક્ષમ છે. તે હંમેશા જૂથ-એફ. એસ. વિતરણોના સબસેટમાં પી. ઈ. નું વિતરણ શોધે છે. બહુમતીવાદી શાસન બહુમતીવાદી શાસનનો ઉદ્દેશ નિષ્પક્ષતાની બાંયધરી આપતી વખતે શક્ય તેટલી વધુ સત્તા થોડા ઉમેદવારોના હાથમાં કેન્દ્રિત કરવાનો છે. તે રાઉન્ડમાં આગળ વધે છે. શરૂઆતમાં તમામ ઉમેદવાર અને મતદારો સક્રિય હોય છે. દરેક રાઉન્ડમાં, નિયમ એક સક્રિય ઉમેદવાર સી પસંદ કરે છે જેને સક્રિય મતદારોના સૌથી મોટા સમૂહ, એન. સી. દ્વારા મંજૂરી આપવામાં આવે છે. પછી, નિયમ આ મતદારોને એન. સી. થી સી. ને "સોંપે છે", એટલે કે, તે ધારે છે કે એન. સી. માં મતદારોએ માત્ર સી. ને મત આપ્યો હતો, અને સી. ને અપૂર્ણાંક |Nc |/n સોંપે છે. પછી, ઉમેદવાર સી અને એન. સી. માં મતદારો નિષ્ક્રિય થઈ જાય છે, અને નિયમ આગામી રાઉન્ડમાં આગળ વધે છે. નોંધ લો કે શરતી-ઉપયોગિતાવાદી નિયમ સમાન છે, સિવાય કે એન. સી. માં મતદારો નિષ્ક્રિય થતા નથી. બહુમતીવાદી નિયમ અનામી, તટસ્થ છે, જે વ્યક્તિગત-એફએસ અને સિંગલ-વોટ-એફએસની બાંયધરી આપે છે. અશક્યતા પરિણામો ગુણધર્મોના કેટલાક સંયોજનો એક સાથે પ્રાપ્ત કરી શકાતા નથી. ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પી. ઈ. અને જૂથ-એસ. પી. અસંગત છે (3 મતદારો અને 3 ઉમેદવારો માટે). અનામીપણું, તટસ્થતા, ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પીઇ અને નબળા જૂથ-એસપી અસંગત છે (4 મતદારો અને 6 ઉમેદવારો માટે). જો આપણે આ ગુણધર્મોમાંથી એકને દૂર કરીએ, તો બાકીના ત્રણ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પીઇ, વ્યક્તિગત-એસ. પી. અને વ્યક્તિગત-પરિણામ-એફ. એસ. અસંગત છે (3 મતદારો અને 3 ઉમેદવારો માટે). જો આપણે આ ગુણધર્મોમાંથી એકને દૂર કરીએ, તો બાકીના બે મેળવી શકાય છે. જો કે, જો આપણે દરેક એજન્ટને તેના વાજબી-પરિણામ-શેરના માત્ર ε ગણા આપવાની મંજૂરી આપીને વ્યક્તિગત-પરિણામ-FS ને નબળા પાડીએ, તો કેટલાક ε> 0 માટે, અશક્યતા રહે છે. અનામિકતા, તટસ્થતા, પી. ઈ., વ્યક્તિગત-એસ. પી. અને વ્યક્તિગત-એફ. એસ. અસંગત છે (5 મતદારો અને 17 ઉમેદવારો માટે). જો આપણે PE અથવા વ્યક્તિગત-SP અથવા વ્યક્તિગત-FS ને દૂર કરીએ, તો બાકીના ચાર ગુણધર્મો પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. જો આપણે અનામીતા અને તટસ્થતાને દૂર કરીએ, તો અશક્યતા હજુ પણ છે, પરંતુ સાબિત કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. તેનાથી વિપરીત, સિંગલ-પીક પસંદગીઓના એનાલોગમાં (ઉમેદવારોને એક લીટી પર ક્રમ આપવામાં આવે છે અને દરેક મતદાર અંતરાલને મંજૂરી આપે છે), તમામ ગુણધર્મો રેન્ડમ-પ્રાથમિકતા દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. જો આપણે વ્યક્તિગત-એસ. પી. ને બાકાત-એસ. પી. માં નબળા પાડીએ, તો મિલકતો સમાનતાવાદી નિયમ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. તે ખુલ્લું છે કે શું પીઇ અને બાકાત-એસપી કડક-ભાગીદારી અને/અથવા સર્વસંમત-એફએસ સાથે સુસંગત છે. પીઇ, પ્રેફરન્સ-મોનોટોનિસિટી અને પોઝિટિવ-શેર (વ્યક્તિગત-એફએસ કરતાં નબળી મિલકત) અસંગત છે (6 મતદારો અને 6 ઉમેદવારો માટે). અનામિકતા, તટસ્થતા, પી. ઈ., વ્યક્તિગત-એસ. પી. અને જૂથ-એફ. એસ. અસંગત છે (5 મતદારો અને 4 ઉમેદવારો માટે). જો આપણે PE અથવા વ્યક્તિગત-SP અથવા જૂથ-FS ને દૂર કરીએ, તો બાકીના ચાર ગુણધર્મો પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. જો આપણે અનામીતા અને તટસ્થતાને દૂર કરીએ, તો અશક્યતા હજુ પણ છે, પરંતુ સાબિત કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. જ્યારે મહત્તમ 4 મતદારો હોય અથવા મહત્તમ 3 ઉમેદવાર હોય, ત્યારે અવ્યવસ્થિત સરમુખત્યારશાહીનો એક સરળ પ્રકાર તમામ 5 ગુણધર્મો પ્રાપ્ત કરે છેઃ એક સરમુખત્યારને અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને તેને ગમતું સૌથી લોકપ્રિય પરિણામ પસંદ કરવામાં આવે છે. આ નિયમ અનામી, તટસ્થ, ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પી. ઈ., વ્યક્તિગત-એસ. પી., જૂથ-એફ. એસ. અને ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પી. ઈ. છે; પરંતુ મહત્તમ 4 મતદારો અથવા મહત્તમ 3 ઉમેદવારો સાથે, ભૂતપૂર્વ પોસ્ટ પી. ઈ. એટલે પી. ઈ. પી. ઈ., વ્યક્તિગત-એસ. પી. અને સકારાત્મક-હિસ્સો અસંગત છે (6 મતદારો અને 4 ઉમેદવારો માટે). આ 386 વિવિધ રૂપરેખાઓનો ઉપયોગ કરીને SAT સોલ્વરની મદદથી સાબિત થયું હતું-જે કદાચ સામાજિક પસંદગીનો સૌથી લાંબો પુરાવો છે. વધારાની મિલકતો તરીકે અનામીતા અને તટસ્થતા સાથે, અસંગતતા પહેલેથી જ 5 મતદારો અને 4 ઉમેદવારો માટે છે, અને સાબિતી ઘણી સરળ છે. સારાંશ કોષ્ટક નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં, દરેક કોષની સંખ્યા મિલકતની "તાકાત" રજૂ કરે છેઃ 0 એટલે કંઈ નહીં (મિલકત સંતુષ્ટ નથી); 1 મિલકતના નબળા પ્રકારને અનુરૂપ છે; 2 મજબૂત પ્રકારને અનુરૂપ છે; વગેરે. ન્યાયી પ્રતિનિધિત્વ પણ જુઓ-વાજબી-શેર જેવી જ મિલકત, પરંતુ અલગ પરિણામો માટે. પક્ષ-મંજૂરી મતદાન-ઉમેદવાર પક્ષો છે, અને દરેક પક્ષને ફાળવવામાં આવેલ અપૂર્ણાંક સંસદમાં તેને મળવી જોઈએ તેવી બેઠકોના અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ છે. સહભાગી બજેટિંગ અલ્ગોરિધમ્સ-બજેટને વાજબી રીતે વહેંચવા માટેના અન્ય અભિગમો. કેટલાક લેખકોએ વિતરણના વિવિધ નિયમોની નિષ્પક્ષતાની કિંમતનો અભ્યાસ કર્યો હતો. વિતરણ સમસ્યાનો અભ્યાસ વધુ પડકારજનક સેટિંગમાં પણ કરવામાં આવ્યો છે જેમાં એજન્ટોમાં એડિટિવ ઉપયોગિતાઓ હોય છે. સંદર્ભો સામાજિક પસંદગી સિદ્ધાંત મતદાનને મંજૂરી