Mean curvature flow
ગણિતમાં વિભેદક ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં, સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ એ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડમાં અતિસંવેદનશીલ સપાટીઓના ભૌમિતિક પ્રવાહનું ઉદાહરણ છે (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં સરળ સપાટીઓ). સાહજિક રીતે, સપાટીઓનું કુટુંબ સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ હેઠળ વિકસિત થાય છે જો સપાટી પરના વેગનો સામાન્ય ઘટક સપાટીની સરેરાશ વળાંક દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળ ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ગોળાકાર ખાસ કિસ્સાઓ સિવાય, સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ એકલતા વિકસાવે છે. બંધ થયેલ વોલ્યુમ સ્થિર હોય તે અવરોધ હેઠળ, તેને સપાટીના તણાવનો પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે. તે એક પેરાબોલિક આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે, અને તેને "સ્મૂથિંગ" તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા માઈકલ ગેજ અને રિચાર્ડ એસ. હેમિલ્ટન દ્વારા પેરાબોલિક ભૌમિતિક પ્રવાહ માટે હેમિલ્ટનના સામાન્ય અસ્તિત્વ પ્રમેયના ઉપયોગ તરીકે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. ચાલો કોમ્પેક્ટ સ્મૂથ મેનીફોલ્ડ હોઈએ, સંપૂર્ણ સ્મૂથ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોઈએ, અને સ્મૂથ નિમજ્જન થવા દો. પછી એક હકારાત્મક સંખ્યા છે, જે અનંત હોઈ શકે છે, અને નીચેના ગુણધર્મો સાથેનો નકશો છેઃ કોઈપણ માટે જેમ કોઈની પાસે છે તેમ કોઈપણ માટે સરળ નિમજ્જન છે, વળાંકનું વ્યુત્પન્ન એટના સરેરાશ વળાંક વેક્ટરની બરાબર છે. જો ઉપરના ચાર ગુણધર્મો સાથેનો કોઈ અન્ય નકશો હોય, તો પછી અને કોઈપણ જરૂરી માટે, 'to' નું પ્રતિબંધ છે. એક પ્રારંભિક માહિતી સાથે (મહત્તમ વિસ્તૃત) સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ તરીકે ઉલ્લેખ કરે છે. રિચી પ્રવાહ પર હેમિલ્ટનના 1982ના યુગના કાર્યને અનુસરીને, 1984માં ગેરહાર્ડ હ્યુસ્કેને નીચેના સમાન પરિણામ ઉત્પન્ન કરવા માટે સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ માટે સમાન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કર્યો હતોઃ જો યુક્લિડિયન જગ્યા હોય, જ્યાં પરિમાણ સૂચવે છે, તો તે જરૂરી રીતે મર્યાદિત હોય છે. જો 'પ્રારંભિક નિમજ્જન' નું બીજું મૂળભૂત સ્વરૂપ સખત હકારાત્મક હોય, તો નિમજ્જનનું બીજું મૂળભૂત સ્વરૂપ પણ દરેક માટે સખત હકારાત્મક છે, અને વધુમાં જો કોઈ એવું કાર્ય પસંદ કરે કે જેથી રીમાનિયન મેનીફોલ્ડનું કદ સ્વતંત્ર હોય, તો જેમ જેમ નિમજ્જન સરળતાથી નિમજ્જનમાં એકરૂપ થાય છે જેની છબી ગોળ ગોળ હોય છે. નોંધ લો કે જો અને તે એક સરળ હાયપરસર્ફેસ નિમજ્જન છે જેનું બીજું મૂળભૂત સ્વરૂપ હકારાત્મક છે, તો ગૌસ નકશો એક ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે, અને તેથી શરૂઆતથી જ કોઈ જાણે છે કે તે ડિફિયોમોર્ફિક છે અને, પ્રાથમિક વિભેદક ટોપોલોજીથી, કે ઉપર ગણવામાં આવેલા તમામ નિમજ્જન એમ્બેડિંગ્સ છે. ગેજ અને હેમિલ્ટને હ્યુસ્કેનના પરિણામને કેસ સુધી લંબાવ્યું. મેથ્યુ ગ્રેસન (1987) એ દર્શાવ્યું હતું કે જો કોઈ સરળ એમ્બેડિંગ હોય, તો પ્રારંભિક માહિતી સાથેના સરેરાશ વળાંક પ્રવાહમાં આખરે સખત હકારાત્મક વળાંક સાથે ફક્ત એમ્બેડિંગનો સમાવેશ થાય છે, જે સમયે ગેજ અને હેમિલ્ટનનું પરિણામ લાગુ પડે છે. સારાંશમાંઃ જો સરળ એમ્બેડિંગ હોય, તો પ્રારંભિક માહિતી સાથે સરેરાશ વળાંકના પ્રવાહને ધ્યાનમાં લો. પછી દરેક માટે એક સરળ એમ્બેડિંગ છે અને ત્યાં એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેમાં દરેક માટે હકારાત્મક (બાહ્ય) વળાંક હોય. જો કોઈ હ્યુસ્કેનના પરિણામની જેમ કાર્યને પસંદ કરે છે, તો પછી જેમ એમ્બેડિંગ્સ સરળતાથી એમ્બેડિંગમાં ભેગા થાય છે જેની છબી ગોળ વર્તુળ છે. ગુણધર્મો સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ સપાટીના વિસ્તારને ચરમસીમાએ પહોંચાડે છે, અને ન્યૂનતમ સપાટીઓ સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ માટે નિર્ણાયક બિંદુઓ છે; મિનિમા આઇસોપેરિમેટ્રિક સમસ્યાનું સમાધાન કરે છે. કેલર-આઈન્સ્ટાઈન મેનીફોલ્ડમાં જડિત મેનીફોલ્ડ્સ માટે, જો સપાટી લેગ્રેન્જિયન સબમેનીફોલ્ડ હોય, તો સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ લેગ્રેન્જિયન પ્રકારનો હોય છે, તેથી સપાટી લેગ્રેન્જિયન સબમેનીફોલ્ડ્સના વર્ગમાં વિકસિત થાય છે. હ્યુસ્કેનનું મોનોટોનિક સૂત્ર સરેરાશ વળાંક પ્રવાહમાંથી પસાર થતી સપાટી સાથે સમય-વિપરીત ઉષ્મા કર્નલના કન્વોલ્યુશનનો મોનોટોનિક ગુણધર્મ આપે છે. સંબંધિત પ્રવાહો આ પ્રમાણે છેઃ વળાંક-ટૂંકા પ્રવાહનો એક-પરિમાણીય કિસ્સો સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ સપાટીના તણાવનો પ્રવાહ લાગ્રેન્જિયન સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ વ્યસ્ત સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ ત્રિ-પરિમાણીય સપાટીનો સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ દ્વારા આપવામાં આવેલ સપાટીના સરેરાશ-વળાંક પ્રવાહ માટેનું વિભેદક સમીકરણ વળાંક અને સપાટીની ગતિને સંબંધિત સતત હોવા દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને સરેરાશ વળાંક મર્યાદામાં હોય છે અને, જેથી સપાટી તેની સામાન્ય સાથે લગભગ સમતલ હોય અને લગભગ ઝેડ અક્ષની સમાંતર હોય, આ એક પ્રસરણ સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે જ્યારે પરંપરાગત પ્રસરણ સમીકરણ એક રેખીય પેરાબોલિક આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે અને એકલતા વિકસાવતું નથી (જ્યારે સમય જતાં આગળ ચાલે છે). સામાન્ય રીતે સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ હેઠળ એકતાને રોકવા માટે સપાટી પર વધારાના અવરોધો મૂકવાની જરૂર છે. દરેક સરળ બહિર્મુખ સપાટી સરેરાશ-વળાંક પ્રવાહ હેઠળ એક બિંદુ પર તૂટી પડે છે, અન્ય એકવચનતા વિના, અને ગોળાના આકારમાં એકરૂપ થાય છે. બે કે તેથી વધુ પરિમાણોની સપાટીઓ માટે આ ગેરહાર્ડ હ્યુસ્કેનનો પ્રમેય છે; એક-પરિમાણીય વળાંક-ટૂંકા પ્રવાહ માટે તે ગેજ-હેમિલ્ટન-ગ્રેસન પ્રમેય છે. જો કે, ગોળા સિવાય બે અથવા વધુ પરિમાણોની એમ્બેડેડ સપાટીઓ અસ્તિત્વમાં છે જે સ્વયં-સમાન રહે છે કારણ કે તેઓ એન્જેનેન્ટ ટોરસ સહિત સરેરાશ-વળાંક પ્રવાહ હેઠળ એક બિંદુ પર સંકોચાય છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ m-પરિમાણીય ગોળાઓનો સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ સરેરાશ વળાંક પ્રવાહનું એક સરળ ઉદાહરણ કેન્દ્રિત ગોળાકાર અતિસંવેદનશીલ ગોળાઓના પરિવાર દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રિજ્યાના-પરિમાણીય ગોળાની સરેરાશ વળાંક છે. ગોળાની પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાને કારણે (અથવા સામાન્ય રીતે, આઇસોમેટ્રી હેઠળ સરેરાશ વળાંકની અપરિવર્તનશીલતાને કારણે) સરેરાશ વળાંક પ્રવાહ સમીકરણ ત્રિજ્યાના પ્રારંભિક ગોળા માટે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડો કરે છે, આ ODE નો ઉકેલ (મેળવેલ, દા. ત., ચલોના વિભાજન દ્વારા) છે, જે માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સંદર્ભો. . . ખાસ કરીને સમીકરણો 3a અને 3b જુઓ. ભૌમિતિક પ્રવાહ વિભેદક ભૂમિતિ