Classical probability density
શાસ્ત્રીય સંભાવના ઘનતા એ સંભાવના ઘનતા કાર્ય છે જે શાસ્ત્રીય યાંત્રિક પ્રણાલીમાં સંભવિત ઊર્જાને આધિન ચોક્કસ સ્થાનની નજીકમાં કણ શોધવાની સંભાવનાને રજૂ કરે છે. આ સંભાવનાઓની ઘનતા પત્રવ્યવહારના સિદ્ધાંતની સમજ મેળવવા અને અભ્યાસ હેઠળની ક્વોન્ટમ પ્રણાલી અને શાસ્ત્રીય મર્યાદા વચ્ચે જોડાણ કરવામાં મદદરૂપ થાય છે. ગાણિતિક પૃષ્ઠભૂમિ એક સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો જે શરૂઆતમાં કંપનવિસ્તાર સાથે આરામ કરે છે. ધારો કે આ સિસ્ટમ હળવા ચુસ્ત કન્ટેનરની અંદર એવી રીતે મૂકવામાં આવી હતી કે કોઈ તેને ફક્ત કેમેરાનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકે જે અંદર શું થઈ રહ્યું છે તેનો સ્નેપશોટ જ લઈ શકે. દરેક સ્નેપશોટમાં તેના માર્ગ સાથે કોઈપણ સંભવિત સ્થિતિ પર ઓસિલેટર જોવાની થોડી સંભાવના હોય છે. શાસ્ત્રીય સંભાવના ઘનતા એ સમાવી લે છે કે કઈ સ્થિતિ વધુ સંભવિત છે, જે ઓછી સંભાવના છે, સિસ્ટમની સરેરાશ સ્થિતિ, અને તેથી વધુ. આ કાર્ય મેળવવા માટે, એ હકીકતને ધ્યાનમાં લો કે જે સ્થાનો પર ઓસિલેટર મળવાની સૌથી વધુ સંભાવના છે તે તે સ્થાનો છે જ્યાં ઓસિલેટર તેનો મોટાભાગનો સમય વિતાવે છે. ખરેખર, આપેલ મૂલ્ય પર હોવાની સંભાવના તે મૂલ્યની નજીકમાં વિતાવેલા સમયના પ્રમાણમાં હોય છે. જો ઓસિલેટર આપેલ-મૂલ્યની નજીકમાં અનંત સમય વિતાવે છે, તો તે નજીકમાં હોવાની સંભાવના હશે કારણ કે ઓસિલેટર પર કામ કરતું બળ રૂઢિચુસ્ત હોય છે અને ગતિ મર્યાદિત ક્ષેત્ર પર થાય છે, તેથી ગતિ અમુક સમયગાળા સાથે ચક્રીય હશે જે સૂચવવામાં આવશે. ન્યૂનતમ શક્ય-મૂલ્ય અને મહત્તમ શક્ય-મૂલ્ય વચ્ચેની કોઈપણ સંભવિત સ્થિતિ પર ઓસિલેટરની સંભાવના 1 હોવી આવશ્યક છે, તેથી સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ થાય છે, જ્યાં સામાન્યીકરણ અચળાંક છે. ઓસિલેટિંગ માસ તેના અડધા સમયગાળામાં સ્થિતિઓની આ શ્રેણીને આવરી લે છે (એક સંપૂર્ણ સમયગાળો ત્યાંથી પાછો જાય છે) તેથી ઇન્ટિગ્રલ ઓવર બરાબર છે, જે સેટ થાય છે. સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે ઊંચાઈ પર દળ વિલંબિત છે તેની દ્રષ્ટિએ મૂકી શકાય છે, તેથી આપણી સંભાવના ઘનતા તેની સ્થિતિના કાર્ય તરીકે ઓસિલેટરની ઝડપ ક્યાં છે તે બની જાય છે. (નોંધ લો કે ઝડપ સ્કેલર હોવાથી, બંને અર્ધ સમયગાળા માટે સમાન છે.) આ બિંદુએ, જે જરૂરી છે તે મેળવવા માટે કાર્ય પ્રદાન કરવાનું છે. રૂઢિચુસ્ત દળોને આધિન પ્રણાલીઓ માટે, આ ગતિને ઊર્જા સાથે સંબંધિત કરીને કરવામાં આવે છે. ગતિ ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા હોવાથી, સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જા ક્યાં છે, ઝડપને ઉપજ માટે આપણી અભિવ્યક્તિમાં પ્લગ કરવા તરીકે લખી શકાય છે. જો કે આપણું પ્રારંભિક ઉદાહરણ હાર્મોનિક ઓસિલેટર હતું, આ બિંદુ સુધીનું તમામ ગણિત રૂઢિચુસ્ત બળને આધિન કણ માટે સંપૂર્ણપણે સામાન્ય રહ્યું છે. આ સૂત્રને કોઈપણ એક-પરિમાણીય ભૌતિક પ્રણાલી માટે અનુરૂપ સંભવિત ઊર્જા કાર્યમાં પ્લગ કરીને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે. એકવાર આ થઈ જાય પછી, કોઈપણ માન્ય ઊર્જા માટે સહેલાઈથી મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણો સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર ઉપરના વ્યુત્પન્નમાં ઉપયોગમાં લેવાતા ઉદાહરણથી શરૂ કરીને, સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરમાં સંભવિત ઊર્જા કાર્ય હોય છે જ્યાં ઓસિલેટરનો સ્પ્રિંગ અચળાંક હોય છે અને તે ઓસિલેટરની કુદરતી કોણીય આવર્તન હોય છે. ઓસિલેટરની કુલ ઊર્જા વળાંક બિંદુઓ પર મૂલ્યાંકન કરીને આપવામાં આવે છે. આને ઉપજ માટે અભિવ્યક્તિમાં જોડવું આ કાર્યમાં વળાંક બિંદુઓ પર બે ઊભી એસિમ્પ્ટોટ્સ હોય છે, જે ભૌતિક અર્થમાં બનાવે છે કારણ કે વળાંક બિંદુઓ તે છે જ્યાં ઓસિલેટર આરામ કરે છે, અને તેથી તે કિંમતોની નજીકમાં જોવા મળે તેવી શક્યતા છે. નોંધ લો કે સંભાવના ઘનતા કાર્ય અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તેમ છતાં સંભાવના હજુ પણ વળાંક હેઠળના વિસ્તારને કારણે મર્યાદિત છે, અને પોતે વળાંકને કારણે નહીં, જે સંભાવનાને રજૂ કરે છે. બાઉન્સિંગ બોલ લોસલેસ બાઉન્સિંગ બોલ માટે, સંભવિત ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા એ છે જ્યાં બોલ મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. આને ઉપજમાં જોડવું જ્યાં સંબંધનો ઉપયોગ પરિબળોને સરળ બનાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. આ કાર્યનું ક્ષેત્ર છે (દડો ફ્લોર પરથી નીચે પડતો નથી), તેથી વિતરણ સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરની જેમ સપ્રમાણ નથી. ફરીથી, વળાંક બિંદુ પર એક ઊભી એસિમ્પ્ટોટ છે. મોમેન્ટમ-સ્પેસ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પોઝિશન સ્પેસમાં સંભાવના વિતરણને જોવા ઉપરાંત, તેની ગતિના આધારે સિસ્ટમની લાક્ષણિકતા દર્શાવવી પણ મદદરૂપ છે. ઉપરની જેમ સમાન દલીલને અનુસરીને, પરિણામ એ છે કે કણ પર સ્થિતિના કાર્ય તરીકે કાર્ય કરતું બળ ક્યાં છે. વ્યવહારમાં, આ કાર્યને ચલમાં ફેરફાર દ્વારા વેગના સંદર્ભમાં મૂકવું આવશ્યક છે. સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર ઉપરના સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું ઉદાહરણ લેતા, સંભવિત ઊર્જા અને બળને સિસ્ટમના મહત્તમ વેગ તરીકે ઓળખવા તરીકે લખી શકાય છે, આ નોંધવાનું સરળ બનાવે છે કે આ સ્થિતિ-અવકાશ સંભાવના વિતરણ જેવું જ કાર્યાત્મક સ્વરૂપ ધરાવે છે. આ સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સમસ્યા માટે વિશિષ્ટ છે અને ગતિના સમીકરણોમાં અને વચ્ચેની સમપ્રમાણતાને કારણે ઉદભવે છે. બાઉન્સિંગ બોલ બાઉન્સિંગ બોલનું ઉદાહરણ વધુ સીધું છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં બળ સતત હોય છે, પરિણામે સંભાવના ઘનતા કાર્ય થાય છે જ્યાં બોલની મહત્તમ ગતિ હોય છે. આ પ્રણાલીમાં, તમામ મોમેન્ટા સમાન રીતે સંભવિત છે. સંભવિતતા ઘનતા કાર્ય પત્રવ્યવહાર સિદ્ધાંત શાસ્ત્રીય મર્યાદા તરંગ કાર્ય સંદર્ભો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિભાવનાઓ શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર