State-population monotonicity
રાજ્ય-વસ્તી એકવિધતા એ વિભાજન પદ્ધતિઓની મિલકત છે, જે સંઘીય રાજ્યો વચ્ચે સંસદમાં બેઠકો ફાળવવાની પદ્ધતિઓ છે. મિલકત કહે છે કે, જો કોઈ રાજ્યની વસ્તી અન્ય રાજ્યોની સરખામણીએ ઝડપથી વધે છે, તો તેણે એક પણ બેઠક ગુમાવવી જોઈએ નહીં. એક વિભાજન પદ્ધતિ જે આ મિલકતને સંતોષવામાં નિષ્ફળ જાય છે તે વસ્તી વિરોધાભાસ હોવાનું કહેવાય છે. વિભાજન સાહિત્યમાં, આ ગુણધર્મને ફક્ત વસ્તી એકવિધતા કહેવામાં આવે છે. જો કે, "વસ્તી એકવિધતા" શબ્દનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સંસાધન-ફાળવણીના નિયમોની ખૂબ જ અલગ મિલકતને દર્શાવવા માટે થાય છેઃ સંસાધન ફાળવણીમાં, મિલકત વિભાજન પ્રક્રિયામાં ભાગ લેનારા એજન્ટોના સમૂહ સાથે સંબંધિત છે. વસ્તીમાં વધારાનો અર્થ એ છે કે અગાઉ હાજર એજન્ટો ઓછી વસ્તુઓ માટે હકદાર છે, કારણ કે ત્યાં ખવડાવવા માટે વધુ મોં છે. વધુ માહિતી માટે વસ્તી એકવિધતા જુઓ. વિભાજનમાં, મિલકત વ્યક્તિગત રાજ્યની વસ્તી સાથે સંબંધિત છે, જે રાજ્યની હકદારી નક્કી કરે છે. વસ્તીમાં વધારાનો અર્થ એ છે કે રાજ્ય વધુ બેઠકો માટે હકદાર છે. વાજબી વિભાજનમાં સમાંતર ગુણધર્મને વજન એકવિધતા કહેવામાં આવે છેઃ જ્યારે એજન્ટનું "વજન" (-હક) વધે છે, ત્યારે તેની ઉપયોગિતામાં ઘટાડો થવો જોઈએ નહીં. રાજ્ય-વસ્તી એકવિધતા (પીએમ) ના ઘણા પ્રકારો છે; વ્યાખ્યાઓ અને સંકેતો માટે વિભાજનનું ગણિત જુઓ. એર્લાંગ પીએમ પીએમની સૌથી સરળ વ્યાખ્યા એ છે કે, જો એક રાજ્યની વસ્તી વધે છે અને અન્ય રાજ્યોની વસ્તી સમાન રહે છે (જેમ કે અન્ય રાજ્યોના વધારા અને અધિકારોમાં ઘટાડો થાય છે), તો પછી નબળી વહેંચણી વધે છે. આ વિચાર 1907માં અગ્નર ક્રારુપ એર્લાંગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને 1978માં આનંદ હિલેન્ડ દ્વારા તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. આ વિચાર સાથે સમસ્યા એ છે કે, વ્યવહારમાં, રાજ્યોની વસ્તી એકસરખી રહેતી નથી, તે એક સાથે વધે છે. મજબૂત પીએમ પીએમના એક મજબૂત સ્વરૂપ માટે જરૂરી છે કે, જો રાજ્યનો હક વધે (એટલે કેઃ તેની વસ્તીને તમામ વસ્તીના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે), તો નબળું વિભાજન વધે છે. આ પ્રકાર ખૂબ જ મજબૂત છેઃ જ્યારે પણ ઓછામાં ઓછા 3 રાજ્યો હોય અને બેઠકોની સંખ્યા રાજ્યોની સંખ્યા જેટલી બરાબર ન હોય, ત્યારે કોઈ આંશિક વિભાજન પદ્ધતિ (= રાજ્યો અને બેઠકોની નિશ્ચિત સંખ્યા માટે વિભાજન પદ્ધતિ) મજબૂત રીતે-પીએમ હોય છે. પુરાવોઃ વિરોધાભાસ દ્વારા ધારો કે આંશિક વિભાજન મજબૂત-પીએમ છે. કેટલાક કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લોઃ-ત્યાં માત્ર એક જ બેઠક છે. બે હકદારી વેક્ટરોનો વિચાર કરો-તમામ હકદારીઓ સમાન છે. પછી સમપ્રમાણતા દ્વારા, તમામ વિભાજન પરત કરવું આવશ્યક છે જેમાં અમુક સ્થિતિ 1 મેળવે છે અને અન્ય 0 મેળવે છે. કેટલાક બે રાજ્યોના અધિકારો તેના કરતા પણ મોટા છે. પછી મજબૂત વડાપ્રધાન દ્વારા બંનેને ઓછામાં ઓછી 1 બેઠક મળવી જ જોઇએ, પરંતુ આ અશક્ય છે. રાજ્યોની સરખામણીએ ઓછી બેઠકો છે. ત્રણ હકદારી વેક્ટરોનો વિચાર કરોઃ એક મનસ્વી વેક્ટર સાથે, જ્યાં પ્રથમ રાજ્યોના હકદારી સંતોષાય છે, અને રાજ્યની હકદારી તેના કરતા ઓછી હોય છે. આવા વેક્ટર માટે વિભાજન દ્વારા દર્શાવો. પ્રથમ રાજ્યોના અધિકારો બધા સમાન છે, જ્યાં પૂરતા પ્રમાણમાં નાના છે, અને રાજ્યનો અધિકાર તેના કરતા ઓછો છે. પછી મજબૂત પીએમ અને સમપ્રમાણતા દ્વારા પ્રથમ રાજ્યોને કોઈપણ વિભાજનમાં ઓછામાં ઓછી બેઠકો મળવી આવશ્યક છે. આ માટે ઓછામાં ઓછી બેઠકોની જરૂર છે. જો એમ હોય તો તે અશક્ય છે. ભલે, તે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે. આનો અર્થ એ છે કે તેનાથી ઓછી પાત્રતા ધરાવતા કોઈપણ રાજ્યને વધુમાં વધુ 1 બેઠક મળવી જોઈએ અને તેનાથી ઓછી પાત્રતા ધરાવતા કોઈપણ રાજ્યને 0 બેઠકો મળવી જોઈએ. [માટે]: રાજ્ય 1 નો હક છે અને અન્ય રાજ્યોના હક છે, જે તેના કરતા ઓછા છે. પછી, સ્થિતિ 1 નું વિભાજન હોવું જોઈએ અને અન્ય સ્થિતિઓનું 0 હોવું જોઈએ. પરંતુ પછી ફાળવણીનો સરવાળો બેઠકોની સંખ્યા કરતાં ઓછો છે-એક વિરોધાભાસ. - સામાન્ય સ્થિતિ-રાજ્યો કરતાં વધુ બેઠકો છે. ખાસ કિસ્સામાં, જેમાં કડક-પીએમ નિયમો હોય છે. વસ્તી-જોડી એકવિધતા જો બે રાજ્યોના અધિકારો વચ્ચેનું પ્રમાણ વધે, તો રાજ્યને ઓછી બેઠકો ન મળવી જોઈએ જ્યારે રાજ્યને વધુ બેઠકો મળે છે. આ ગુણધર્મને મત-ગુણોત્તર એકવિધતા પણ કહેવામાં આવે છે; વધુ માહિતી માટે તે પાનું જુઓ. મતદાર એકવિધતા મતદાર એકવિધતા એ જોડી મુજબ-પીએમ કરતાં નબળી મિલકત છે. તે કહે છે કે, જો પાર્ટી આઈ વધુ મતદારોને આકર્ષે છે, જ્યારે અન્ય તમામ પક્ષો સમાન સંખ્યામાં મતદારો રાખે છે, તો પાર્ટી આઈ એ એક બેઠક ગુમાવવી જોઈએ નહીં. મતદારની એકવિધતાની નિષ્ફળતાને નો-શો વિરોધાભાસ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે મતદાર મતદાન ન કરીને તેમના પક્ષને મદદ કરી શકે છે. ડ્રૂપ ક્વોટા સાથેની સૌથી મોટી-રિમેઇન્ડર પદ્ધતિ મતદારોની એકવિધતામાં નિષ્ફળ જાય છે. નબળી વસ્તી-એકરૂપતા ("સુસંગતતા") નબળી વસ્તી-એકરૂપતા, જેને સુસંગતતા પણ કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મિલકત છેઃ તે કહે છે કે મોટી વસ્તી ધરાવતા રાજ્યને નાની ફાળવણી ન મળવી જોઈએ. ઔપચારિક રીતે, જો તે પછી. વિભાજનની તમામ જાણીતી પદ્ધતિઓ સુસંગત છે. ખાસ કરીને, ઉચ્ચતમ સરેરાશ પદ્ધતિઓ અને સૌથી મોટી શેષ પદ્ધતિઓ બંને સુસંગત છે. કેટલીક વિભાજક પદ્ધતિઓ સાથે એક સરસ બિંદુ છે જેમાં વિભાજક ક્રમ 0 થી શરૂ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એડમ્સ વિભાજન પદ્ધતિમાં, દરેક એજન્ટનો ભાગાકાર જેની વર્તમાન ફાળવણી 0 છે, તે અનંત છે. તેથી, જો એજન્ટો કરતાં ઓછી વસ્તુઓ હોય, તો એડમ્સ પદ્ધતિ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, વસ્તુઓને મનસ્વી રીતે ફાળવવાની મંજૂરી આપે છે, નાના હક ધરાવતા એજન્ટોને વધુ વસ્તુઓ પણ આપે છે, જે સુસંગતતાને વિરોધાભાસી બનાવે છે. વ્યવહારમાં, આવું ભાગ્યે જ થાય છે, કારણ કે વસ્તુઓની સંખ્યા સામાન્ય રીતે એજન્ટોની સંખ્યા કરતા વધારે હોય છે. ઔપચારિક રીતે, એડમ્સની પદ્ધતિ સામાન્ય રીતે એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જ્યારે પણ વસ્તુઓની સંખ્યા એજન્ટોની સંખ્યા કરતાં ઓછી હોય ત્યારે તે ખાલી સેટ પરત કરે છે. સંદર્ભ વિભાજન પદ્ધતિ માપદંડ