Elastic instability
સ્થિતિસ્થાપક અસ્થિરતા એ સ્થિતિસ્થાપક પ્રણાલીઓમાં થતી અસ્થિરતાનું એક સ્વરૂપ છે, જેમ કે મોટા સંકોચક ભારને આધિન બીમ અને પ્લેટોનું બકિંગ. આ પ્રકારની અસ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવાની ઘણી રીતો છે. તેમાંથી એક એ છે કે સંતુલન દ્રાવણ પર નાના વિક્ષેપને સુપરપોઝ કરવાના આધારે વૃદ્ધિશીલ વિકૃતિઓની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો. સિંગલ ડિગ્રી ઑફ ફ્રીડમ-સિસ્ટમ્સ એક સરળ ઉદાહરણ તરીકે L લંબાઈના કઠોર બીમનો વિચાર કરો, જે એક છેડે ટકી રહે છે અને બીજા છેડે મુક્ત હોય છે, અને ટકી રહેલા છેડે કોણીય સ્પ્રિંગ જોડાયેલ હોય છે. બીમની સંકુચિત અક્ષીય દિશામાં કામ કરતા બળ F દ્વારા બીમ મુક્ત છેડે લોડ થાય છે, જમણી બાજુની આકૃતિ જુઓ. મોમેન્ટ ઇક્વિલિબ્રિયમની સ્થિતિ ઘડિયાળની દિશામાં કોણીય વળાંક ધારીએ તો, બળ દ્વારા લાદવામાં આવેલી ઘડિયાળની દિશામાં ક્ષણ બની જાય છે. મોમેન્ટ ઇક્વિલિબ્રિયમ સમીકરણ કોણીય સ્પ્રિંગ (Nm/રેડિયન) નો સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે તે પૂરતું નાનું છે, સાઇન ફંક્શનના ટેલર વિસ્તરણનો અમલ કરવો અને બે પ્રથમ શરતોની ઉપજને જાળવી રાખવી જેમાં ત્રણ ઉકેલો છે, તુચ્છ અને જે કાલ્પનિક છે (એટલે કે. ભૌતિક નહીં) માટે અને અન્યથા વાસ્તવિક. આ સૂચવે છે કે નાના સંકોચક દળો માટે, એકમાત્ર સંતુલન સ્થિતિ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યારે જો બળ મૂલ્ય કરતાં વધી જાય તો અચાનક વિરૂપણની બીજી રીત શક્ય બને છે. ઊર્જા પદ્ધતિ ઊર્જા સંબંધોને ધ્યાનમાં લઈને સમાન પરિણામ મેળવી શકાય છે. કોણીય સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઊર્જા છે અને બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય ફક્ત બીમના અંતના ઊભી વિસ્થાપન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવતું બળ છે, જે છે. આમ, ઊર્જા સંતુલનની સ્થિતિ હવે પહેલાની જેમ (તુચ્છ સિવાય) ઉપજ આપે છે. ઉકેલોની સ્થિરતા કોઈપણ ઉકેલ સ્થિર હોય છે જો વિરૂપતાના ખૂણામાં થોડો ફેરફાર પ્રતિક્રિયાની ક્ષણમાં પરિણમે છે જે વિરૂપતાના મૂળ ખૂણાને પુનઃસ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. બીમ પર કામ કરતી ચોખ્ખી ઘડિયાળની દિશામાં ક્ષણ એ એક ક્ષણમાં વિરૂપતા ખૂણાના અનંત ઘડિયાળની દિશામાં ફેરફાર છે જે ક્ષણની સંતુલન સ્થિતિને કારણે ફરીથી લખી શકાય છે. હવે, ઉકેલ સ્થિર છે જો ઘડિયાળની દિશામાં ફેરફાર ક્ષણના નકારાત્મક ફેરફારમાં પરિણમે છે અને ઊલટું. આમ, સ્થિરતા માટેની સ્થિતિ બની જાય છે ઉકેલ માત્ર માટે સ્થિર છે, જે અપેક્ષિત છે. સમીકરણમાં કોસાઇન પદને વિસ્તૃત કરીને, અંદાજિત સ્થિરતા સ્થિતિ પ્રાપ્ત થાય છેઃ માટે, જેને અન્ય બે ઉકેલો સંતોષે છે. તેથી, આ ઉકેલો સ્થિર છે. બહુવિધ ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ-સિસ્ટમ્સ કોણીય સ્પ્રિંગના માધ્યમથી મૂળ સિસ્ટમ સાથે અન્ય કઠોર બીમ જોડવાથી બે ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ-સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે. સરળતા માટે ધારો કે બીમ લંબાઈ અને કોણીય ઝરણા સમાન છે. સંતુલનની સ્થિતિઓ બે કિરણના ખૂણા ક્યાં અને ક્યાં છે તે બની જાય છે. આ ખૂણાઓને નાની ઉપજ ધારીને લીનિયરાઇઝિંગ સિસ્ટમના બિન-તુચ્છ ઉકેલો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સના નિર્ધારકના મૂળને શોધીને મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે. આમ, બે ડિગ્રીઝ ઓફ ફ્રીડમ-સિસ્ટમ માટે લાગુ બળ એફ માટે બે નિર્ણાયક મૂલ્યો છે. આ વિરૂપતાના બે અલગ અલગ પ્રકારોને અનુરૂપ છે જેની ગણતરી સિસ્ટમ મેટ્રિક્સના નલસ્પેસમાંથી કરી શકાય છે. સમીકરણોને ઉપજ દ્વારા વિભાજીત કરવું નીચલા નિર્ણાયક બળ માટે ગુણોત્તર હકારાત્મક હોય છે અને બે બીમ એક જ દિશામાં વિક્ષેપિત થાય છે જ્યારે ઉચ્ચ બળ માટે તેઓ "બનાના" આકાર બનાવે છે. વિરૂપતાની આ બે સ્થિતિઓ સિસ્ટમના બકલિંગ મોડ આકારોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ પણ જુઓ બકલિંગ કેવિટેશન (ઇલાસ્ટોમર્સ) ડ્રકર સ્થિરતા વધુ વાંચન સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરતાનો સિદ્ધાંત, એસ. ટિમોશેન્કો અને જે. ગેરે કોન્ટિનમ મિકેનિક્સ માળખાકીય વિશ્લેષણ મિકેનિક્સ