Modulus and characteristic of convexity
ગણિતમાં, બહિર્મુખતાનું માપાંક અને બહિર્મુખતાની લાક્ષણિકતા એ બનાચ અવકાશમાં એકમ દડો "કેટલો બહિર્મુખ" છે તેના માપ છે. અમુક અર્થમાં, બહિર્મુખનું માપાંક સમાન બહિર્મુખતાની ε-δ વ્યાખ્યા સાથે સમાન સંબંધ ધરાવે છે, જેમ કે સાતત્યનું માપાંક સાતત્યની ε-δ વ્યાખ્યા સાથે કરે છે. વ્યાખ્યાઓ બનાચ જગ્યા (X, | | | |) ની બહિર્મુખતાનું માપાંક એ કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જ્યાં S એ (X, | | |) ના એકમ ગોળાને સૂચવે છે. δ (ε) ની વ્યાખ્યામાં, કોઈ પણ વ્યક્તિ તમામ વેક્ટર x પર અનંત પણ લઈ શકે છે, x માં y જેમ કે અને. અવકાશ (X, | | |) ની બહિર્મુખતાની લાક્ષણિકતા એ ε0 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંખ્યા છે આ ધારણાઓ J. A દ્વારા સમાન બહિર્મુખતાના સામાન્ય અભ્યાસમાં ગર્ભિત છે. ક્લાર્કસન (; આ એ જ પેપર છે જેમાં ક્લાર્કસનની અસમાનતાના નિવેદનો છે). "મોડ્યુલસ ઓફ કન્વેક્સિટી" શબ્દ એમ. એમ. ડેને કારણે હોવાનું જણાય છે. ગુણધર્મો બહિર્મુખતાનું માપાંક, δ (ε), એ εનું બિન-ઘટતું કાર્ય છે, અને ભાગાકાર પણ બિન-ઘટતો જાય છે. બહિર્મુખનું માપાંક પોતે εનું બહિર્મુખ કાર્ય હોવું જરૂરી નથી. જો કે, બહિર્મુખતાનું માપાંક નીચેના અર્થમાં બહિર્મુખ કાર્યની સમકક્ષ છેઃ ત્યાં એક બહિર્મુખ કાર્ય δ1 (ε) અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે સામાન્ય જગ્યા સમાન રીતે બહિર્મુખ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની બહિર્મુખતાની લાક્ષણિકતા ε0 એ 0 ની બરાબર હોય, એટલે કે, જો અને માત્ર જો દરેક માટે. બનાચ જગ્યા એ કડક રીતે બહિર્મુખ જગ્યા છે (એટલે કે, એકમ દડો B ની સીમા કોઈ રેખા વિભાગો ધરાવતી નથી) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો δ (2) = 1, એટલે કે, જો એકમ ગોળાના માત્ર વિરોધી બિંદુઓ (x અને y = −x સ્વરૂપના) નું અંતર 2 જેટલું હોઈ શકે. જ્યારે X સમાન રીતે બહિર્મુખ હોય છે, ત્યારે તે બહિર્મુખતાના પાવર પ્રકાર મોડ્યુલસ સાથે સમકક્ષ ધોરણ સ્વીકારે છે. એટલે કે, ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે અને એક સ્થિરાંક છે કે એલ. પી. જગ્યાઓની બહિર્મુખતાનું મોડ્યુલસ બહિર્મુખતાનું મોડ્યુલસ એલ. પી. જગ્યાઓ માટે જાણીતું છે. જો, તો તે નીચેના ગર્ભિત સમીકરણને સંતોષે છેઃ એ જાણીને કે કોઈ એવું માની શકે છે. આને ઉપરોક્તમાં બદલીને, અને ડાબી બાજુને આસપાસ ટેલર શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરીને, કોઈ પણ ગુણાંકની ગણતરી કરી શકે છેઃ કારણ કે, કોઈની પાસે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ છે તેથી,. યુનિફોર્મલી સ્મૂથ સ્પેસ નોટ્સ રેફરન્સ ફસ્ટર, એનરિક લોરેન્સ પણ જુઓ. મેટ્રિક ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ થિયરી સાથે સંબંધિત કેટલાક મોડ્યુલી અને સ્થિરાંકો. મેટ્રિક ફિક્સ્ડ પોઇન્ટ થિયરીની હેન્ડબુક, 133-175, ક્લુવર એકેડ. પ્રકાશક., ડોર્ડ્રેક્ટ, 2001. લિન્ડેનસ્ટ્રાસ, જોરમ અને બેન્યામિની, યોવ. ભૌમિતિક બિનરેખીય કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ કોલોક્વિયમ પ્રકાશનો, 48. અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી. . વિટાલી ડી. મિલ્મેન. બનાચ જગ્યાઓનો ભૌમિતિક સિદ્ધાંત II. એકમ ગોળાની ભૂમિતિ. યુસ્પેચી મેટ. નૌક, વોલ્યુમ. 26, નં. 6, 73-149,1971; રશિયન મઠ. સર્વેક્ષણો, v. 26 6,80-159. બનાચ સ્પેસ કન્વેક્સ વિશ્લેષણ