Diophantus II.VIII
ડાયોફેન્ટસ () દ્વારા લખાયેલા અંકગણિતના બીજા પુસ્તકની આઠમી સમસ્યા એ છે કે એક ચોરસને બે ચોરસના સરવાળામાં વહેંચવો. ડાયોફેન્ટસ ડાયોફેન્ટસ દ્વારા આપવામાં આવેલ ઉકેલ ચોરસને 16 તરીકે લે છે અને સમસ્યાને નીચે પ્રમાણે હલ કરે છેઃ આપેલ ચોરસને બે ચોરસના સરવાળામાં વહેંચવી. 16 ને બે ચોરસના સરવાળામાં વિભાજીત કરવા. પ્રથમ સરવાળો હોવો જોઈએ, અને આમ બીજો. બાદમાં એક ચોરસ હોવું જોઈએ. હું [ના] 16 ના મૂળ દ્વારા ઘટેલા x ના મનસ્વી ગુણાંકના તફાવતનો વર્ગ રચું છું, એટલે કે 4 દ્વારા ઘટ્યો છે. હું, ઉદાહરણ તરીકે, 2x−4 નો વર્ગ રચું છું. તે છે. મેં આ અભિવ્યક્તિને સમાન મૂકી છે. હું બંને બાજુઓ ઉમેરું છું અને 16 બાદ કરું છું. આ રીતે હું પ્રાપ્ત કરું છું, તેથી. આમ એક સંખ્યા 256/25 અને બીજી 144/25 છે. આ સંખ્યાઓનો સરવાળો 16 છે અને દરેક સરવાળો એક ચોરસ છે. ભૌમિતિક રીતે ભૌમિતિક અર્થઘટન, આપણે વર્તુળ x2 + y2 = 42 અને રેખા y = 2x-4 દોરીને આ પદ્ધતિને સમજાવી શકીએ છીએ. માંગવામાં આવેલા ચોરસની જોડી પછી x02 અને y02 છે, જ્યાં (x0, y0) એ બિંદુ છે જે y-અક્ષ પર નથી જ્યાં રેખા અને વર્તુળ છેદે છે. આ નજીકના આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ડાયોફેન્ટસના ઉકેલનું સામાન્યીકરણ આપણે કોઈપણ વર્ગ માટે સમસ્યાનું સમાધાન કરવા માટે ડાયોફેન્ટસના ઉકેલને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ, જેને આપણે બીજગણિત રીતે a2 તરીકે રજૂ કરીશું. ઉપરાંત, ડાયોફેન્ટસ એ x ના મનસ્વી ગુણાંકનો સંદર્ભ આપે છે, તેથી આપણે મનસ્વી ગુણાંકને tx તરીકે લઈશું. પછીઃ તેથી, આપણે જોઈએ છીએ કે એક સરવાળો છે અને બીજો છે. આ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે અને દરેક સરવાળો એક ચોરસ છે. ભૌમિતિક રીતે, આપણે વર્તુળ x2 + y2 = a2 ને y = tx-a રેખા સાથે છેદે છે, જે નજીકના આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. ત્રિકોણ OAB ની બાજુઓની લંબાઈ, OB, OA અને AB ને ક્રમબદ્ધ ટુપલ તરીકે લખીને, આપણે ત્રિપલ મેળવીએ છીએ. ડાયોફેન્ટસ દ્વારા મેળવેલ ચોક્કસ પરિણામ a = 4 અને t = 2 લઈને મેળવી શકાય છેઃ આપણે જોઈએ છીએ કે ડાયોફેન્ટસનું ચોક્કસ દ્રાવણ હકીકતમાં સૂક્ષ્મ રીતે છૂપાયેલું (3,4,5) ત્રણ ગણું છે. જો કે, જ્યાં સુધી a અને t તર્કસંગત હોય ત્યાં સુધી ત્રિપલ હંમેશા તર્કસંગત રહેશે, તેથી આપણે t ના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરીને અને તેથી x ના મનસ્વી ગુણાંકના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરીને તર્કસંગત ત્રિપલની અનંતતા મેળવી શકીએ છીએ. આ બીજગણિત ઉકેલને પ્લેટોનિક ક્રમ પર પહોંચવા માટે માત્ર એક વધારાના પગલાની જરૂર છે અને તે છે ઉપરોક્ત ત્રણ ગણોની તમામ બાજુઓને પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવો. એ પણ નોંધ લો કે જો a = 1 હોય, તો બાજુઓ [OB, OA, AB] ઘટીને θ થઈ જાય છે. ડાયોફેન્ટસ દ્વારા આપવામાં આવેલા ચોક્કસ ઉદાહરણમાં, t નું મૂલ્ય 2 છે, જે x નો મનસ્વી ગુણક છે. છેદને સાફ કર્યા પછી, આ અભિવ્યક્તિ પાયથાગોરિયન ત્રિપલ પેદા કરશે. રસપ્રદ રીતે, x નો મનસ્વી ગુણક જનરેટર અભિવ્યક્તિ (ઓ) નો પાયાનો બની ગયો છે. ડાયોફેન્ટસ II.IX એ જ દ્રાવણ સુધી વધુ ઝડપી માર્ગ દ્વારા પહોંચે છે જે ઉપરના 'સામાન્યીકૃત દ્રાવણ' જેવું જ છે. ફરી એકવાર સમસ્યા 16 ને બે ચોરસમાં વહેંચવાની છે. ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા N છે અને બીજી N ની મનસ્વી ગુણાંક છે, જે 16 ના મૂળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે 2N−4. પછીઃ ફર્માટની પ્રખ્યાત ટિપ્પણી જે પાછળથી ફર્માટનો છેલ્લો પ્રમેય બની હતી તે અંકગણિતની 1670ની આવૃત્તિના પાન 61 પર 'ક્વેસ્ટિયો VIII' અને 'ક્વેસ્ટિયો IX' વચ્ચે સેન્ડવિચ થયેલ દેખાય છે. ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય અને ડાયોફેન્ટસ II.VIII સંદર્ભો ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો પણ જુઓ.