Iitaka dimension
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, બીજગણિત વિવિધતા X પર રેખા બંડલ L નું Iitaka પરિમાણ એ L દ્વારા નિર્ધારિત પરિમાણીય નકશાની છબીનું પરિમાણ છે. આ L ની વિભાગ રિંગના પરિમાણ કરતાં 1 ઓછું છે. L નું Iitaka પરિમાણ હંમેશા X ના પરિમાણ કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય છે. જો L અસરકારક ન હોય, તો તેના આઈતાક પરિમાણને સામાન્ય રીતે નકારાત્મક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અથવા ફક્ત નકારાત્મક કહેવામાં આવે છે (કેટલાક પ્રારંભિક સંદર્ભો તેને −1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે). L ના આઈતાક પરિમાણને કેટલીકવાર L-પરિમાણ કહેવામાં આવે છે, જ્યારે વિભાજક D ના પરિમાણને D-પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. ઇટાકા પરિમાણ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. મોટી લાઇન બંડલ એક લાઇન બંડલ મોટું હોય છે જો તે મહત્તમ ઇટાકા પરિમાણનું હોય, એટલે કે, જો તેનું ઇટાકા પરિમાણ અંતર્ગત વિવિધતાના પરિમાણ જેટલું હોય. વિશાળતા એ દ્વિવાર્ષિક અપરિવર્તનશીલ છેઃ જો જાતોનું દ્વિવાર્ષિક આકારવાદ હોય, અને જો L એ X પરનું મોટું રેખા બંડલ હોય, તો f * L એ Y પરનું મોટું રેખા બંડલ છે. બધા પૂરતા લાઇન બંડલ મોટા છે. મોટા રેખાના બંડલને તેની છબી સાથે X ના બાયરેશનલ આઇસોમોર્ફિઝમ્સને નિર્ધારિત કરવાની જરૂર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો સી એ અતિ લંબગોળ વળાંક છે (જેમ કે જીનસ બેનો વળાંક), તો તેનું કેનોનિકલ બંડલ મોટું છે, પરંતુ તે નિર્ધારિત કરે છે તે તર્કસંગત નકશો દ્વિસંગી સમરૂપતા નથી. તેના બદલે, તે C ના કેનોનિકલ વળાંકનું બે-થી-એક આવરણ છે, જે તર્કસંગત સામાન્ય વળાંક છે. કોડાઇરા પરિમાણ સરળ જાતના કેનોનિકલ બંડલના ઇટાકા પરિમાણને તેનું કોડાઇરા પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. આઈતાક અનુમાન નીચેની જટિલ બીજગણિત જાતો પર વિચાર કરો. H0 (M, Km) નું પરિમાણ, Km ના હોલોમોર્ફિક વિભાગો, Pm (M) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેને m-જિનસ કહેવાય છે. ધારો કે પછી N (M) બિન-શૂન્ય m-જિનસ સાથેનો તમામ હકારાત્મક પૂર્ણાંક બની જાય છે. જ્યારે N (M) ખાલી ન હોય, ત્યારે m-બહુવચન નકશાને નકશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં H0 (M, Km) ના પાયા છે. પછી, ની છબીને સબમેનિફોલ્ડ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ચોક્કસપણે એમ-પ્લુરિકનોનિકલ નકશો હોવો જોઈએ જ્યાં ડબલ્યુ એ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ પી. એન. માં જડિત જટિલ મેનીફોલ્ડ છે. κ (M) = 1 ધરાવતી સપાટીઓના કિસ્સામાં ઉપરના W ને વળાંક C દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે લંબગોળ વળાંક (κ (C) = 0) છે. આપણે આ હકીકતને સામાન્ય પરિમાણ સુધી વિસ્તારવા માંગીએ છીએ અને ઉપરની જમણી આકૃતિમાં દર્શાવેલ વિશ્લેષણાત્મક ફાઇબર માળખું મેળવવા માંગીએ છીએ. દ્વિવાર્ષિક નકશાને જોતાં, એમ-પ્લુરિકનોનિકલ નકશો ડાબી આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિવર્તનીય આકૃતિ લાવે છે, જેનો અર્થ છે કે, એટલે કે. એમ-પ્લુરિકનોનિકલ જીનસ દ્વિવાર્ષિક રીતે અપરિવર્તનશીલ છે. ઈટાકા દ્વારા બતાવવામાં આવ્યું છે કે n-પરિમાણીય કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ M તેના કોડાઇરા પરિમાણ κ (M) સાથે 1 ≤ κ (M) ≤ n-1 ને સંતોષ આપે છે, ત્યાં પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા m1, m2 છે અને તે દ્વિવાર્ષિક રીતે સમકક્ષ છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં દ્વિવાર્ષિક નકશો છે. એટલે કે, જમણી આકૃતિમાં દર્શાવેલ આકૃતિ પરિવર્તનીય છે. વધુમાં, કોઈ વ્યક્તિ પસંદ કરી શકે છે કે જેની સાથે દ્વિવાર્ષિક છે અને જે બંને સાથે દ્વિવાર્ષિક છે અને જેમ કે દ્વિવાર્ષિક નકશો, તેના તંતુઓ સરળતાથી જોડાયેલા હોય છે અને તેના સામાન્ય તંતુઓમાં કોડાઇરા પરિમાણ 0 હોય છે. ઉપરોક્ત ફાઇબર માળખાને ઇટાકા ફાઇબર સ્પેસ કહેવામાં આવે છે. સપાટી S (n = 2 = મંદ (S)) ના કિસ્સામાં, W * એ બીજગણિત વળાંક છે, તંતુ માળખું પરિમાણ 1 નું છે, અને પછી સામાન્ય તંતુઓમાં કોડેરા પરિમાણ 0 એટલે કે. લંબગોળ વળાંક. તેથી, S એ લંબગોળ સપાટી છે. આ હકીકતોને સામાન્ય n તરીકે સામાન્ય કરી શકાય છે. તેથી ઉચ્ચ-પરિમાણીય દ્વિસંગી ભૂમિતિના અભ્યાસમાં κ =-ini, 0, n ના ભાગમાં વિઘટિત થાય છે અને ફાઇબર સ્પેસ કે જેના તંતુઓ κ = 0 ના હોય છે. ઈટાકા દ્વારા નીચેનું વધારાનું સૂત્ર, જેને ઇટાકા અનુમાન કહેવાય છે, તે બીજગણિત જાતો અથવા કોમ્પેક્ટ કોમ્પ્લેક્સ મેનીફોલ્ડ્સના વર્ગીકરણ માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ અનુમાન માત્ર અંશતઃ હલ કરવામાં આવ્યું છે, ઉદાહરણ તરીકે મોઇશેઝોન મેનીફોલ્ડ્સના કિસ્સામાં. વર્ગીકરણ સિદ્ધાંતને ઇટાકા અનુમાનને ઉકેલવા અને અન્ય પ્રમેયો તરફ દોરી જવાનો પ્રયાસ કહેવામાં આવી શકે છે કે ત્રિ-પરિમાણીય વિવિધતા V એ અબેલિયન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો κ (V) = 0 અને q (V) = 3 અને તેનું સામાન્યીકરણ આમ જ ચાલુ રહે. ન્યૂનતમ મોડેલ કાર્યક્રમ આ અનુમાનમાંથી દોરી શકાય છે. સંદર્ભો બાયરેશનલ ભૂમિતિ વેક્ટર બંડલ