Anti-symmetric operator
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, રાઇઝિંગ અથવા લોઅરિંગ ઓપરેટર (સામૂહિક રીતે લેડર ઓપરેટર્સ તરીકે ઓળખાય છે) એ એક ઓપરેટર છે જે અન્ય ઓપરેટરના આઈગન વેલ્યુને વધારે છે અથવા ઘટાડે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, રાઇઝિંગ ઓપરેટરને કેટલીકવાર ક્રિએશન ઓપરેટર અને લોઅરિંગ ઓપરેટરને એનિહિલેશન ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં લેડર ઓપરેટરોની જાણીતી એપ્લિકેશનો ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર અને એંગ્યુલર મોમેન્ટમની ઔપચારિકતાઓમાં છે. પરિચય 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં શોધાયેલ ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીમાં અન્ય પ્રકારનો ઓપરેટર, એન્ટિ-સિમેટ્રિક ઓપરેટર તરીકે ઓળખાય છે. બિન-સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સ્પિન જેવું જ આ ઓપરેટર એક લેડર ઓપરેટર છે જે બે ફર્મિઓનમાંથી બોસોન અથવા બોસોનમાંથી વિરુદ્ધ સ્પિનના બે ફર્મિઓન બનાવી શકે છે. એનરિકો ફર્મિ પરથી નામ આપવામાં આવેલ ફર્મિઓન એ અર્ધ-પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવતો કણ છે, જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન. આ એક દ્રવ્ય કણ છે. એસ. એન. બોઝના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલ બોસોન એ ફોટોન અને ડબલ્યુ જેવા સંપૂર્ણ પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવતો કણ છે. આ કણ વહન કરતું બળ છે. સ્પિન પ્રથમ, આપણે બિન-સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ માટે સ્પિનની સમીક્ષા કરીશું. સ્પિન, કોણીય વેગ સમાન આંતરિક ગુણધર્મ, સ્પિન ઓપરેટર એસ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગ માટે ઓપરેટર એલ જેવી જ સિસ્ટમ પર ભૂમિકા ભજવે છે. ઓપરેટરો અને જેમના આઈગનવેલ્યુ અનુક્રમે અને છે. આ ઔપચારિકતાઓ કોણીય વેગ માટે સામાન્ય પરિવર્તન સંબંધોનું પણ પાલન કરે છે, અને. રાઇઝિંગ અને લોઅરિંગ ઓપરેટર્સ, અને, અનુક્રમે અને તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ લેડર ઓપરેટરો રાજ્ય પર નીચે મુજબ અને અનુક્રમે કાર્ય કરે છે. ઓપરેટરો S _ x અને S _ y ને નિસરણી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. સ્પિન 1/2 કેસ (ફર્મિઓન) ના કિસ્સામાં, સ્થિતિ પર કામ કરતો ઓપરેટર અને ઉત્પન્ન કરે છે. તેવી જ રીતે, રાજ્ય પર કામ કરતો ઓપરેટર અને ઉત્પન્ન કરે છે. આ ઓપરેટરોની મેટ્રિક્સ રજૂઆતો નીચે મુજબ બનાવવામાં આવી છેઃ તેથી, અને મેટ્રિક્સ રજૂઆતો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છેઃ બે ઓપરેટરો A અને B માટે સામાન્યીકૃત અનિશ્ચિતતા સંબંધને યાદ કરીને, આપણે તરત જ જોઈ શકીએ છીએ કે ઓપરેટર્સનો અનિશ્ચિતતા સંબંધ અને તે નીચે મુજબ છેઃ તેથી, ભ્રમણકક્ષાના કોણીય વેગની જેમ, આપણે એક સમયે માત્ર એક સંકલન નિર્દિષ્ટ કરી શકીએ છીએ. આપણે ઓપરેટરો અને નો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ. ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગ બોસોનમાંથી કણ અને વિરોધી કણની રચનાને સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે પરંતુ અનંત પરિમાણો માટે. તેથી, અનંત પરિમાણો માટે લેવી-સિવિતા પ્રતીક રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. પરિવર્તન સંબંધો ફક્ત અનંત પરિમાણો સુધી લઈ જવામાં આવે છે. તે હવે જ્યાં n = φ બરાબર છે. તેનું આઈગન વેલ્યુ છે. ચુંબકીય ક્વોન્ટમ સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરવી, ઝેડ દિશામાં પ્રક્ષેપિત કોણીય વેગ, સ્પિનની સરળ સ્થિતિ કરતાં વધુ પડકારજનક છે. આ સમસ્યા શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં જડતાના ક્ષણની સમાન બની જાય છે અને તે n પરિમાણો માટે સામાન્ય છે. તે આ મિલકત છે જે બોસન્સની રચના અને વિનાશ માટે પરવાનગી આપે છે. તેમના સ્પિન દ્વારા લાક્ષણિકતા ધરાવતા બોસન્સ, બોસોનિક ક્ષેત્ર સ્કેલર ક્ષેત્રો, વેક્ટર ક્ષેત્રો અને ટેન્સર ક્ષેત્રો પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રનું પરિમાણ એ ફોટોન ક્ષેત્ર છે, જેને કેનોનિકલ અથવા પાથ ઇન્ટિગ્રલ ક્વાન્ટાઇઝેશનની પરંપરાગત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પરિમાણિત કરી શકાય છે. આ ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સિદ્ધાંત તરફ દોરી ગયું છે, જે દલીલપૂર્વક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સૌથી સફળ સિદ્ધાંત છે. ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ પરિમાણિત ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર છે. ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રને માપવા માટે હજુ એક સિદ્ધાંત બાકી છે, પરંતુ સ્ટ્રિંગ સિદ્ધાંત જેવા સિદ્ધાંતોને ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્રને માપવા માટે વિચારી શકાય છે. બિન-સાપેક્ષવાદી બોસોનીક ક્ષેત્રનું ઉદાહરણ એ છે કે તે હીલિયમ-4 જેવા ઠંડા બોસોનીક અણુઓનું વર્ણન કરે છે. મુક્ત બોસોનિક ક્ષેત્રો પરિવર્તન સંબંધોનું પાલન કરે છેઃ ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે આપણી પાસે એન બોસોનની પ્રણાલી છે જે પરસ્પર ઓર્થોગોનલ એક-કણ સ્થિતિઓ વગેરે ધરાવે છે. સામાન્ય રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દરેક કણને સ્થિતિ સોંપીને અને પછી વિનિમય સમપ્રમાણતા લાદીને પ્રણાલીનું પ્રદર્શન કરીએ છીએ. આ તરંગ સમીકરણને બીજા પરિમાણિત અભિગમનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે, જેને બીજા પરિમાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. દરેક એક-કણોની સ્થિતિમાં કણોની સંખ્યા સૂચિબદ્ધ છે. રચના અને વિનાશ સંચાલકો, જે બહુ-કણોની સ્થિતિમાંથી કણોને ઉમેરે છે અને બાદ કરે છે. આ સર્જન અને વિનાશ ઓપરેટરો ક્વોન્ટમ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે વ્યાખ્યાયિત કરેલા સમાન છે, જે ઊર્જા ક્વોન્ટાને ઉમેરે છે અને બાદ કરે છે. જો કે, આ ઓપરેટરો શાબ્દિક રીતે આપેલ ક્વોન્ટમ સ્થિતિ સાથે કણો બનાવે છે અને તેનો નાશ કરે છે. બોસોનિક વિનાશ ઓપરેટર અને સર્જન ઓપરેટરની નીચેની અસરો હોય છેઃ રચના અને વિનાશ ઓપરેટરોની જેમ અને ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતમાં પણ જોવા મળે છે, રચના અને વિનાશ ઓપરેટરો અને બહુવિધ કણોની સ્થિતિમાં બોસન્સ પર કાર્ય કરે છે. જ્યારે અને આપણને તે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે કે સિસ્ટમમાં કણ બનાવવામાં આવ્યો હતો કે નાશ પામ્યો હતો, સ્પિન ઓપરેટરો અને આપણને તે કેવી રીતે તે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ફોટોન પોઝિટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને બની શકે છે અને તેનાથી ઊલટું. સમપ્રમાણતા વિરોધી આંકડાને કારણે, સ્પિનનો એક કણ પાઉલી-બાકાત નિયમનું પાલન કરે છે. બે કણો એક જ સ્થિતિમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો કણોની સ્પિન વિરુદ્ધ હોય. આપણા ઉદાહરણ પર પાછા આવો, કણની સ્પિન સ્થિતિ સ્પિન-1 છે. સમમિતીય કણો અથવા બોસન્સને પાઉલી-બાકાત સિદ્ધાંતનું પાલન કરવાની જરૂર નથી તેથી આપણે કણોની સ્પિન સ્થિતિને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકીએ છીએઃ અને વિનાશ સ્પિન ઓપરેટર, તેનું નામ સૂચવે છે તેમ, ફોટોનને ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન બંનેમાં નાશ કરે છે. તેવી જ રીતે, ક્રિએશન સ્પિન ઓપરેટર ફોટોન બનાવે છે. આ ઉદાહરણમાં ફોટોન પ્રથમ સ્થિતિ અથવા બીજી સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે. જો આપણે રેખીય મોમેન્ટમ ઓપરેટર ફર્મિઓન લાગુ કરીએ તો, આપણે ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને. બિન-સાપેક્ષ કણોના કિસ્સામાં, જો ફર્મિઓન પર બે વાર લાગુ કરવામાં આવે, તો પરિણામી આઈગન વેલ્યુ 0 છે. તેવી જ રીતે, જ્યારે ફર્મિઓન પર બે વાર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે આઈગન વેલ્યુ 0 હોય છે. આ સંબંધ પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતને સંતોષે છે. જો કે, બોસોન એ સપ્રમાણ કણો છે, જે પાઉલી બાકાત સિદ્ધાંતનું પાલન કરતા નથી. સંદર્ભો ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ ક્વોન્ટમ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત