Liouville's equation
ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં લિઉવિલેના સમીકરણ માટે, લિઉવિલેનો પ્રમેય (હેમિલ્ટોનિયન) જુઓ. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં લિઉવિલના સમીકરણ માટે, વોન ન્યુમેન સમીકરણ જુઓ. યુક્લિડિયન અવકાશમાં લિઉવિલના સમીકરણ માટે, લિઉવિલ-બ્રાટુ-ગેલફાન્ડ સમીકરણ જુઓ. વિભેદક ભૂમિતિમાં, જોસેફ લિઉવિલેના નામ પરથી નામ આપવામાં આવેલું લિઉવિલેનું સમીકરણ એ બિનરેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે જે સ્થિર ગૌસીયન વળાંકની સપાટી પર મેટ્રિકના અનુરૂપ પરિબળ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છેઃ જ્યાં સપાટ લાપ્લાસ સંચાલક લિઉવિલેનું સમીકરણ વિભેદક ભૂમિતિમાં આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સના અભ્યાસમાં દેખાય છેઃ સ્વતંત્ર ચલો કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જ્યારે સપાટ મેટ્રિકના સંદર્ભમાં અનુરૂપ પરિબળ તરીકે વર્ણવી શકાય છે. પ્રસંગોપાત તે ચોરસ છે જેને પોતાને બદલે કન્ફોર્મલ ફેક્ટર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ડેવિડ હિલ્બર્ટે તેમની ઓગણીસમી સમસ્યાની રચનામાં લિઉવિલના સમીકરણને એક ઉદાહરણ તરીકે પણ લીધું હતું. લિઉવિલેના સમીકરણના અન્ય સામાન્ય સ્વરૂપો ચલોના પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, લિઉવિલેના સમીકરણનું બીજું સામાન્ય રીતે જોવા મળતું સ્વરૂપ મેળવવામાં આવે છેઃ સમીકરણના અન્ય બે સ્વરૂપો, જે સામાન્ય રીતે સાહિત્યમાં જોવા મળે છે, તે ચલોના અગાઉના ફેરફારના નાના પ્રકાર અને વિર્ટિંગર કલનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છેઃ નોંધ કરો કે તે અગાઉના બે સ્વરૂપોમાંના પ્રથમ સ્વરૂપમાં જ છે કે જે લિઉવિલેના સમીકરણને ડેવિડ હિલ્બર્ટે તેની ઓગણીસમી સમસ્યાની રચનામાં ટાંક્યું હતું. લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરતી રચના વધુ અપરિવર્તનશીલ રીતે, સમીકરણને આંતરિક લાપ્લાસ-બેલ્ટ્રામી ઓપરેટરની દ્રષ્ટિએ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છેઃ ગૌસ-કોડાઝી સમીકરણો સાથે ગુણધર્મોનો સંબંધ લિઉવિલેનું સમીકરણ 3-જગ્યામાં ન્યૂનતમ નિમજ્જન માટે ગૌસ-કોડાઝી સમીકરણોની સમકક્ષ છે, જ્યારે મેટ્રિકને આઇસોથર્મલ કોઓર્ડિનેટ્સમાં લખવામાં આવે છે, જેમ કે હોપ્ફ વિભેદક છે. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ સરળ રીતે જોડાયેલા ક્ષેત્રમાં, લિઉવિલેના સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ વિર્ટિંગર કલનનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. તેનું સ્વરૂપ દરેક માટે કોઈ પણ મેરોમોર્ફિક કાર્ય ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેમાં સૌથી સરળ ધ્રુવો હોય છે. લિઉવિલેના સમીકરણનો ઉપયોગ સપાટીઓ માટે નીચેના વર્ગીકરણ પરિણામોને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છેઃ યુક્લિડીયન 3-અવકાશમાં મેટ્રિક સાથેની અને સતત સ્કેલર વળાંક ધરાવતી સપાટી સ્થાનિક રીતે સમમિતીય છેઃ ગોળાકાર જો; યુક્લિડીયન સમતલ જો; લોબાચેવસ્કિયન સમતલ જો. લિઉવિલે ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત પણ જુઓ, જે દ્વિ-પરિમાણીય અનુરૂપ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત છે, જેનું ગતિનું શાસ્ત્રીય સમીકરણ લિઉવિલેના સમીકરણનું સામાન્યીકરણ છે. . મેરી ફ્રાન્સિસ વિન્સ્ટન ન્યૂસન દ્વારા અંગ્રેજીમાં અનુવાદિત. વિભેદક સમીકરણો વિભેદક ભૂમિતિ