Banach–Stone theorem
ગણિતમાં, બનાચ-સ્ટોન થીયરમ એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પર સતત કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં એક શાસ્ત્રીય પરિણામ છે, જેનું નામ ગણિતશાસ્ત્રીઓ સ્ટીફન બનાચ અને માર્શલ સ્ટોનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. ટૂંકમાં, બનાચ-સ્ટોન થીયરમ X પર સતત વાસ્તવિક-અથવા જટિલ-મૂલ્યવાન વિધેયોની જગ્યા C (X) ના બનાચ સ્પેસ સ્ટ્રક્ચરમાંથી કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ X ને પુનઃપ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો કોઈને C (X) ની બીજગણિત રચનાનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવે તો આ સરળ છે-આપણે C (X) ના વર્ણપટ સાથે X ને ઓળખી શકીએ છીએ, જે સ્કેલર ક્ષેત્રમાં બીજગણિત હોમોમોર્ફિઝમ્સનો સમૂહ છે, જે બેવડા અવકાશ C (X) * માંથી વારસામાં મળેલી નબળી *-ટોપોલોજીથી સજ્જ છે. બનાચ-સ્ટોન પ્રમેય C (X) * ના એકમ દડાના આત્યંતિક બિંદુઓમાંથી X ને પુનઃપ્રાપ્ત કરીને ગુણાકાર માળખાના સંદર્ભને ટાળે છે. કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ સ્પેસ X માટે નિવેદન, ચાલો C (X) એ X પર સતત વાસ્તવિક-અથવા જટિલ-મૂલ્યવાન વિધેયોની બનાચ જગ્યાને સૂચવે છે, જે સર્વોચ્ચ ધોરણ ′·′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ થી સજ્જ છે. કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ X અને Y આપવામાં આવે તો, ધારો કે T: C (X) → C (Y) એક સર્જેક્ટિવ રેખીય આઇસોમેટ્રી છે. પછી ત્યાં એક હોમોમોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે φ: Y → X અને એક કાર્ય g ωC (Y) એવું છે કે જ્યાં X અને Y કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક જગ્યાઓ છે તે કેસ બનાચને કારણે છે, જ્યારે કોમ્પેક્ટ હૌસડોર્ફ જગ્યાઓનું વિસ્તરણ સ્ટોનને કારણે છે. હકીકતમાં, તેઓ બંને થોડું સામાન્યીકરણ સાબિત કરે છે-તેઓ એવું માનતા નથી કે T રેખીય છે, માત્ર મેટ્રિક સ્પેસના અર્થમાં તે એક આઇસોમેટ્રી છે, અને તે બતાવવા માટે મઝુર-ઉલમ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે કે T એ એફાઇન છે, અને તે જ રીતે એક રેખીય આઇસોમેટ્રી છે. સામાન્યીકરણ બનાચ-સ્ટોન પ્રમેયમાં કોમ્પેક્ટ, હૌસડોર્ફ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પર વેક્ટર-મૂલ્યના સતત કાર્યો માટે કેટલાક સામાન્યીકરણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો E એ તુચ્છ સેન્ટ્રલાઈઝર સાથે બનાચ જગ્યા છે અને X અને Y કોમ્પેક્ટ છે, તો પછી C (Y; E) પર C (X; E) ની દરેક રેખીય આઇસોમેટ્રી એક મજબૂત બનાચ-સ્ટોન નકશો છે. X પર કાર્યોની કેટલીક અન્ય જગ્યાઓના દ્વિગુણના આત્યંતિક બિંદુઓમાંથી જગ્યા X ને પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે પણ સમાન તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. બનાચ-સ્ટોન થીયરમનું બિનપરિવર્તનશીલ એનાલોગ એ લોકકથા પ્રમેય છે કે બે એકાત્મક સી *-આલ્જેબ્રા આઇસોમોર્ફિક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેઓ સંપૂર્ણપણે આઇસોમેટ્રિક હોય (એટલે કે, તમામ મેટ્રિક્સ સ્તરો પર આઇસોમેટ્રિક). માત્ર આઇસોમેટ્રી પૂરતું નથી, જેમ કે સી *-બીજગણિતના અસ્તિત્વ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે જે તેના વિરુદ્ધ બીજગણિત (જે તુચ્છ રીતે સમાન બનાચ અવકાશ માળખું ધરાવે છે) માટે આઇસોમોર્ફિક નથી. આ પણ જુઓ સતત કાર્યોનો સંદર્ભ સિદ્ધાંત કાર્યાત્મક વિશ્લેષણમાં સંચાલક સિદ્ધાંત પ્રમેયો