Multiplicative cascade
ગણિતમાં, ગુણાકાર કાસ્કેડ એ પુનરાવર્તિત અને ગુણાકાર યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ બિંદુઓનું ફ્રેક્ટલ/મલ્ટિફ્રેક્ટલ વિતરણ છે. વ્યાખ્યા ઉપરના આલેખ ગુણાકાર કાસ્કેડ મલ્ટીફ્રેક્ટલ્સના ઉદાહરણો છે. આ વિતરણો બનાવવા માટે કેટલાક પગલાં લેવા પડશે. સૌપ્રથમ, આપણે કોષોનું જાળી બનાવવું જોઈએ જે આપણું અંતર્ગત સંભાવના ઘનતા ક્ષેત્ર હશે. બીજું, જાળીના બહુવિધ સ્તરો બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને અનુસરવામાં આવે છેઃ દરેક પુનરાવર્તન સમયે કોષો ચાર સમાન ભાગો (કોષો) માં વહેંચાય છે. દરેક નવા કોષને પછી બદલી વગર સમૂહમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે સંભાવના સોંપવામાં આવે છે, જ્યાં. આ પ્રક્રિયા નવમા સ્તર સુધી ચાલુ રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્તર 8 સુધી આવા નમૂનાનું નિર્માણ કરતી વખતે આપણે કોષોની 48 શ્રેણીનું ઉત્પાદન કરીએ છીએ. ત્રીજું, કોષો નીચે પ્રમાણે ભરવામાં આવે છેઃ આપણે કોષના પોતાના પાઈ અને તેના તમામ માતાપિતા (સ્તર 1 સુધી) ના ઉત્પાદન તરીકે કોષ પર કબજો કરવાની સંભાવનાને લઈએ છીએ. મોન્ટે કાર્લો અસ્વીકાર યોજનાનો ઉપયોગ ઇચ્છિત કોષની વસ્તી પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી વારંવાર કરવામાં આવે છે, જે નીચે મુજબ છેઃ x અને y કોષના કોઓર્ડિનેટ્સને અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, અને 0 અને 1 વચ્ચેની યાદૃચ્છિક સંખ્યા સોંપવામાં આવે છે; (x, y) કોષ પછી નિયુક્ત કરવામાં આવે છે તેના આધારે કે શું સોંપાયેલ સંખ્યા કોષના વ્યવસાયની સંભાવના (પરિણામઃ વસ્તી નથી) કરતા ઓછી છે અથવા (પરિણામઃ વસ્તી) કરતા વધારે અથવા સમાન છે. ઉદાહરણો ઉપરના પ્લોટ બનાવવા માટે આપણે સંભાવના ઘનતા ક્ષેત્રને 256 × 256 ની જગ્યામાં 5,000 બિંદુઓથી ભરી દીધું છે. સંભાવના ઘનતા ક્ષેત્રનું ઉદાહરણ છેઃ અસ્થિભંગ સામાન્ય રીતે સ્કેલ-ઇનવેરિયન્ટ નથી અને તેથી તેને પ્રમાણભૂત અસ્થિભંગ ગણી શકાય નહીં. જો કે, તેમને બહુવિધ વ્યવહારો તરીકે ગણી શકાય. રેની (સામાન્યીકૃત) પરિમાણોની સૈદ્ધાંતિક રીતે આગાહી કરી શકાય છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે, જ્યાં N એ ગ્રીડ રિફાઇનમેન્ટનું સ્તર છે અને, ફ્રેક્ટલ ડાયમેન્શન હૌસડોર્ફ ડાયમેન્શન સ્કેલ ઇનવેરિયન્સ પણ જુઓ.