Waldhausen category
ગણિતમાં, વાલ્ડહાઉસન શ્રેણી એ કેટલીક વધારાની માહિતીથી સજ્જ શ્રેણી C છે, જે કહેવાતા S-નિર્માણનો ઉપયોગ કરીને C ના K-સિદ્ધાંત વર્ણપટનું નિર્માણ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. તેનું નામ ફ્રીડહેલ્મ વાલ્ડહાઉસનના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે બીજગણિત કે-સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓને બીજગણિત મૂળની જરૂર ન હોય તેવી શ્રેણીઓમાં વિસ્તારવા માટે આ કલ્પના (કોફિબ્રેશન અને નબળા સમકક્ષતા સાથેની શ્રેણી શબ્દ હેઠળ) રજૂ કરી હતી, ઉદાહરણ તરીકે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણી. વ્યાખ્યા ધારો કે સી એક શ્રેણી છે, કો (સી) અને અમે (સી) સીમાં મોર્ફિઝમ્સના બે વર્ગો છે, જેને અનુક્રમે કોફિબ્રેશન અને નબળા સમાનતા કહેવાય છે. ત્રિપલ (સી, કો (સી), વી (સી)) ને વાલ્ડહૌસેન શ્રેણી કહેવામાં આવે છે જો તે કોફિબ્રેશનની કલ્પનાઓ અને ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની નબળી હોમોટોપી સમાનતાઓ માટે સમાન ગુણધર્મો દ્વારા પ્રેરિત હોય, તો તે નીચેના સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છેઃ સી પાસે શૂન્ય પદાર્થ છે, જે 0 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે; આઇસોમોર્ફિઝમ્સ સહ (સી) અને આપણે (સી) બંનેમાં શામેલ છે; સહ (સી) અને આપણે (સી) રચના હેઠળ બંધ છે; દરેક પદાર્થ A bul C માટે અનન્ય નકશો 0 → એ એક કોફિબ્રેશન છે, એટલે કે. તે સહ (સી) નું એક તત્વ છે; સહ (સી) અને અમે (સી) ચોક્કસ અર્થમાં પુશઆઉટ સાથે સુસંગત છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોફિબ્રેશન હોય અને કોઈ નકશો હોય, તો ત્યાં એક પુશઆઉટ અસ્તિત્વમાં હોવો જોઈએ, અને કુદરતી નકશો કોફિબ્રેશન હોવો જોઈએઃ અન્ય કલ્પનાઓ સાથેના સંબંધો બીજગણિત કે-થિયરી અને હોમોટૉપી થિયરીમાં મોર્ફિઝમના કેટલાક ચોક્કસ વર્ગોથી સજ્જ શ્રેણીઓની ઘણી કલ્પનાઓ છે. જો C ચોક્કસ શ્રેણીનું માળખું ધરાવે છે, તો પછી આપણે (C) ને સમરૂપતા તરીકે, સહ (C) ને સ્વીકાર્ય સમરૂપતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને, C પર વાલ્ડહાઉસન શ્રેણીનું માળખું મેળવી શકાય છે. બંને પ્રકારના માળખાનો ઉપયોગ ચોક્કસ માળખા માટે Q-નિર્માણ અને વાલ્ડહાઉસન માળખા માટે S-નિર્માણનો ઉપયોગ કરીને C ના K-સિદ્ધાંતને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે. એક મહત્વપૂર્ણ હકીકત એ છે કે પરિણામી કે-થિયરી જગ્યાઓ હોમોટૉપી સમકક્ષ છે. જો C એ શૂન્ય પદાર્થ સાથેની પ્રતિકૃતિ શ્રેણી છે, તો પછી C માં કોફિબ્રન્ટ પદાર્થોની સંપૂર્ણ પેટા શ્રેણીને વાલ્ડહાઉસન માળખું આપવામાં આવી શકે છે. એસ-નિર્માણ વાલ્ડહાઉસન એસ-નિર્માણ વાલ્ડહાઉસન શ્રેણી સીમાંથી કાન સંકુલોનો ક્રમ ઉત્પન્ન કરે છે, જે વર્ણપટ બનાવે છે. ચાલો ભૌમિતિક અનુભૂતિના લૂપ સ્પેસને દર્શાવીએ. પછી જૂથ C નું n-th K-જૂથ છે. આમ, તે ઉચ્ચ K-જૂથોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો માર્ગ આપે છે. ઉચ્ચ કે-સિદ્ધાંત માટેનો બીજો અભિગમ ક્વિલેનનું ક્યૂ-નિર્માણ છે. તેનું બાંધકામ ફ્રીડહેલ્મ વાલ્ડહાઉસેનને કારણે થયું છે. જો તેમાં કોફિબ્રેશન હોય અને તેની વિરુદ્ધ શ્રેણી સી. ઓ. પી. માં પણ હોય તો બાયવાલ્ડહૌસેન શ્રેણી એ શ્રેણી સી બાયફિબ્રેશનથી સજ્જ છે. તે કિસ્સામાં, આપણે સી. ઓ. પી. ના તંતુઓને ક્વોટ (સી) દ્વારા સૂચવીએ છીએ. તે કિસ્સામાં, સી એ બાયવાલ્ડહાઉસન શ્રેણી છે જો સીમાં બાયફિબ્રેશન અને નબળા સમાનતાઓ હોય જેમ કે બંને (સી, કો (સી), વી) અને (સીઓપી, ક્વોટ (સી), વીઓપી) વાલ્ડહાઉસન શ્રેણીઓ છે. વાલ્ડહાઉસન અને બાયવાલ્ડહાઉસન શ્રેણીઓ બીજગણિત કે-સિદ્ધાંત સાથે જોડાયેલી છે. ત્યાં, ઘણી રસપ્રદ શ્રેણીઓ જટિલ બાયવાલ્ડહાઉસેન શ્રેણીઓ છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ચોક્કસ શ્રેણી પર બંધાયેલ સાંકળ સંકુલની શ્રેણી. જ્યારે હોય ત્યારે ફંકટરની શ્રેણી. અને આકૃતિ આપવામાં આવે તો, જ્યારે હોય ત્યારે તે એક સરસ જટિલ બાયવાલ્ડહાઉસેન શ્રેણી છે. સંદર્ભો સી. વેઇબેલ, કે-બુક, બીજગણિત કે-સિદ્ધાંતનો પરિચય-http://www.math.rutgers.edu ~ વેઇબેલ/કેબુક. એચટીએમએલ જી. ગાર્કુશા, આકૃતિ શ્રેણીઓની પ્રણાલીઓ અને કે-સિદ્ધાંત-https://arxiv.org/abs/math/0401062 સંપૂર્ણ સેગલ અવકાશ બાહ્ય કડીઓ શ્રેણી સિદ્ધાંત બીજગણિત કે-સિદ્ધાંત પણ જુઓ