Out(Fn)
ગણિતમાં, આઉટ (એફએન) એ એન જનરેટર પરના મુક્ત જૂથનું બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે. આ જૂથો ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. આઉટર સ્પેસ આઉટ (એફએન) કુલર-વોગ્ટમેન આઉટર સ્પેસ તરીકે ઓળખાતા કોષ સંકુલ પર ભૌમિતિક રીતે કાર્ય કરે છે, જેને વર્તુળોના સમૂહ માટે ટેકમુલર જગ્યા તરીકે વિચારી શકાય છે. વ્યાખ્યા બાહ્ય અવકાશનો એક બિંદુ અનિવાર્યપણે એક-ગ્રાફ X હોમોટૉપી છે જે n વર્તુળોના પુષ્પગુચ્છની સમકક્ષ છે, જેમાં X થી n વર્તુળોના પુષ્પગુચ્છની હોમોટૉપી સમાનતાના મુક્ત હોમોટૉપી વર્ગની ચોક્કસ પસંદગી છે. એક-ગ્રાફ એ માત્ર વજન સાથેનો ભારિત આલેખ છે. બધા વજનોનો સરવાળો 1 હોવો જોઈએ અને બધા વજન હકારાત્મક હોવા જોઈએ. અસ્પષ્ટતા ટાળવા માટે (અને મર્યાદિત પરિમાણીય જગ્યા મેળવવા માટે) વધુમાં જરૂરી છે કે દરેક શિરોબિંદુની સંયોજકતા ઓછામાં ઓછી 3 હોવી જોઈએ. હોમોટૉપી સમકક્ષતા f ને ટાળીને વધુ વર્ણનાત્મક દૃષ્ટિકોણ નીચે મુજબ છે. આપણે n ચલમાં મુક્ત જૂથ સાથે n વર્તુળોના પુષ્પગુચ્છના મૂળભૂત જૂથની ઓળખ નક્કી કરી શકીએ છીએ. વધુમાં, આપણે X માં મહત્તમ વૃક્ષ પસંદ કરી શકીએ છીએ અને દરેક બાકીની ધાર માટે એક દિશા પસંદ કરી શકીએ છીએ. હવે આપણે દરેક બાકીની ધારને નીચેની રીતે એક શબ્દ સોંપીશું. બંધ માર્ગને ધ્યાનમાં લો જે e થી શરૂ થાય છે અને પછી મહત્તમ વૃક્ષમાં e ના મૂળ તરફ પાછા જાય છે. f સાથે આ માર્ગની રચના કરવાથી આપણને n વર્તુળોના સમૂહમાં એક બંધ માર્ગ મળે છે અને તેથી તેના મૂળભૂત જૂથમાં એક તત્વ મળે છે. આ તત્વ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી; જો આપણે મુક્ત હોમોટૉપી દ્વારા f ને બદલીએ તો આપણને બીજું તત્વ મળે છે. તે તારણ આપે છે કે, તે બે તત્વો એકબીજા સાથે સંયોજિત છે, અને તેથી આપણે આ સંયોગ વર્ગમાં અનન્ય ચક્રીય રીતે ઘટાડેલા તત્વને પસંદ કરી શકીએ છીએ. આ માહિતીમાંથી મુક્ત હોમોટૉપી પ્રકાર f નું પુનઃનિર્માણ કરવું શક્ય છે. આ દૃશ્યનો ફાયદો એ છે કે તે f ની વધારાની પસંદગીને ટાળે છે અને તેમાં ગેરલાભ એ છે કે વધારાની અસ્પષ્ટતા ઊભી થાય છે, કારણ કે વ્યક્તિએ મહત્તમ વૃક્ષ અને બાકીની ધારની દિશા પસંદ કરવી પડે છે. બાહ્ય અવકાશ પર આઉટ (એફએન) ની કામગીરીને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દરેક ઓટોમોર્ફિઝમ g એ n વર્તુળોની કલગીની સ્વ હોમોટોપી સમાનતા g′ ને પ્રેરિત કરે છે. f ને g′ સાથે કંપોઝ કરવાથી ઇચ્છિત ક્રિયા મળે છે. અને અન્ય મોડેલમાં તે માત્ર g નો ઉપયોગ છે અને પરિણામી શબ્દને ચક્રીય રીતે ઘટાડે છે. લંબાઈ કાર્યો સાથે જોડાણ બાહ્ય અવકાશમાં દરેક બિંદુ એક અનન્ય લંબાઈ કાર્ય નક્કી કરે છે. એક શબ્દ પસંદ કરેલ હોમોટૉપી સમકક્ષતા દ્વારા X માં બંધ માર્ગ નક્કી કરે છે. શબ્દની લંબાઈ તે બંધ માર્ગના મુક્ત હોમોટૉપી વર્ગમાં માર્ગની ન્યૂનતમ લંબાઈ છે. આવા લંબાઈ કાર્ય દરેક સંયોગ વર્ગ પર અચળ હોય છે. આ સોંપણી બાહ્ય અવકાશને અમુક અનંત પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં એમ્બેડ કરવાની વ્યાખ્યા આપે છે. બાહ્ય અવકાશ પર સરળ માળખું બીજા મોડેલમાં તે બધા-આલેખ દ્વારા એક ખુલ્લું સિમ્પ્લેક્સ આપવામાં આવે છે, જે સંયુક્ત રીતે સમાન અંતર્ગત આલેખ ધરાવે છે અને સમાન ધારને સમાન શબ્દો સાથે લેબલ કરવામાં આવે છે (માત્ર ધારની લંબાઈ અલગ હોઈ શકે છે). આવા સિમ્પ્લેક્સની સીમા સરળતામાં તમામ આલેખનો સમાવેશ થાય છે, જે એક ધારને તોડી પાડીને આ આલેખમાંથી ઉદ્ભવે છે. જો તે ધાર લૂપ હોય તો તેને ગ્રાફના હોમોટૉપી પ્રકારને બદલ્યા વિના તોડી શકાતી નથી. તેથી કોઈ બાઉન્ડ્રી સિમ્પ્લેક્સ નથી. તેથી કોઈ પણ વ્યક્તિ બાહ્ય અવકાશને એક સરળ સંકુલ તરીકે વિચારી શકે છે જેમાં કેટલીક સરળતાઓ દૂર કરવામાં આવી છે. તેની ચકાસણી કરવી સરળ છે, કે તેની ક્રિયા સરળ છે અને તેમાં મર્યાદિત આઇસોટ્રોપી જૂથો છે. માળખું એબેલિયનકરણ નકશો સામાન્ય રેખીય જૂથમાંથી હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે, જે બાદમાં ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ છે. આ નકશો ઉપર છે, જે જૂથ વિસ્તરણ બનાવે છે. કર્નલ એ ટોરેલી જૂથ છે. આ કિસ્સામાં, નકશો એક સમરૂપતા છે. મેપિંગ વર્ગ જૂથો સાથે સામ્યતા કારણ કે તે n વર્તુળોના પુષ્પગુચ્છનું મૂળભૂત જૂથ છે, તેને ટોપોલોજીકલ રીતે n વર્તુળોના પુષ્પગુચ્છના મેપિંગ વર્ગ જૂથ તરીકે વર્ણવી શકાય છે (હોમોટૉપી શ્રેણીમાં), બંધ સપાટીના મેપિંગ વર્ગ જૂથની સામ્યતામાં જે તે સપાટીના મૂળભૂત જૂથના બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ સાથે સમરૂપ છે. આ પણ જુઓ ટ્રેન ટ્રેક નકશો મુક્ત જૂથનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ બાહ્ય અવકાશ સંદર્ભો ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત