Pseudoelementary class
તર્કશાસ્ત્રમાં, સ્યુડોએલિમેન્ટરી ક્લાસ એ માળખાઓનો એક વર્ગ છે જે તેના કેટલાક પ્રકારો અને સંબંધોને બાદ કરીને પ્રાથમિક વર્ગ (પ્રથમ ક્રમના તર્કશાસ્ત્રમાં વ્યાખ્યાયિત) માંથી મેળવવામાં આવે છે. તે શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં (કોડોમેન) એક ભૂલી ગયેલા ફંકટરની કલ્પનાનું ગાણિતિક તર્ક પ્રતિરૂપ છે, અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં (પૂર્વધારણા) છુપાયેલા ચલ સિદ્ધાંતો જે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સને સમજાવવા માટે ઉદ્દેશિત છે. પ્રાથમિક વર્ગો (શૂન્યરૂપે) સ્યુડોએલિમેન્ટરી હોય છે પરંતુ તેનાથી વિપરીત હંમેશા સાચું હોતું નથી; તેમ છતાં સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગો પ્રાથમિક વર્ગોના કેટલાક ગુણધર્મો શેર કરે છે જેમ કે અલ્ટ્રાપ્રોડક્ટ્સ હેઠળ બંધ થવું. વ્યાખ્યા સ્યુડોએલિમેન્ટરી ક્લાસ એ પ્રાથમિક વર્ગનો ઘટાડો છે. એટલે કે, તે (બહુવિધ-વર્ગીકૃત) પ્રાથમિક વર્ગના કેટલાક પ્રકારો અને સંબંધોને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. ઉદાહરણો સંઘ અને આંતરછેદ હેઠળના સમૂહોની સમાનતા સાથેનો સિદ્ધાંત, જેની રચનાઓ (W, ≤, ≤) સ્વરૂપની હોય છે, તેને નિષ્કપટ રીતે એ સ્વરૂપ (A, W, ≤, ≤, ≤) ના બંધારણોના બે-ક્રમાંકિત પ્રાથમિક વર્ગમાંથી રચાયેલા સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ તરીકે સમજી શકાય છે, જ્યાં ≤ A × W અને ≤ અને ≤ એ ડબલ્યુ પર દ્વિસંગી કામગીરીઓ (ક્વા ત્રિમાસિક સંબંધો) છે. [a ω X ω Y ω a ω X ω a ω Y] ω X, Y ω W. [a ω X ω Y ω A ω X ω A ω Y] ω X, Y ω W. [(એ. એ.) ઈરાદાપૂર્વકના અર્થઘટનમાં A એ અણુનો સમૂહ છે a, b,., W એ અણુનો સમૂહ છે X, Y, અને bul એ અણુઓ અને સમૂહો વચ્ચેનો સભ્યપદ સંબંધ છે. આ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના પરિણામોમાં વિતરણ જાળીના તમામ નિયમોનો સમાવેશ થાય છે. પછીના નિયમો અણુનો કોઈ ઉલ્લેખ કરતા નથી, તેથી તેઓ અણુઓના પ્રકાર A અને સભ્યપદ સંબંધને બાદ કરીને ઉપરોક્ત સિદ્ધાંતના નમૂનાઓમાંથી મેળવેલી રચનાઓ માટે અર્થપૂર્ણ રહે છે. તમામ વિતરણ લેટીસ યુનિયન અને આંતરછેદ હેઠળના સમૂહોના સમૂહ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાંથી આ સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ હકીકતમાં એક પ્રાથમિક વર્ગ છે, એટલે કે વિતરણ લેટીસની વિવિધતા. આ ઉદાહરણમાં બંને વર્ગો (અનુક્રમે બાદ કરતાં પહેલાં અને પછી) મર્યાદિત રીતે સ્વયંસિદ્ધ કરી શકાય તેવા પ્રાથમિક વર્ગો છે. પરંતુ જ્યારે પછીના વર્ગને સ્વયંસિદ્ધ કરવાનો પ્રમાણભૂત અભિગમ વિતરણ જાળીને સ્વયંસિદ્ધ કરવા માટે નવ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરે છે, ત્યારે પહેલાના વર્ગને ફક્ત ઉપરના ત્રણ સ્વયંસિદ્ધોની જરૂર પડે છે, જે પછીના વર્ગને સામાન્ય રીતે સીધા કરતા પહેલાના ઘટાડા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનું ઝડપી બનાવે છે. સંઘ હેઠળ દ્વિસંગી સંબંધોની સમાનતા સાથેનો સિદ્ધાંત R ≤ S, આંતરછેદ R ≤ S, પૂરક R −, સંબંધાત્મક રચના R; S, અને સંબંધાત્મક કન્વર્ઝ R, જેની રચનાઓ (W, ≤, ≤, ≤,) સ્વરૂપની હોય છે, તેને સ્વરૂપના માળખાઓના ત્રણ-વર્ગીકૃત પ્રાથમિક વર્ગ (A, P, W, ≤, ≤, ≤) માંથી રચાયેલા સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ તરીકે સમજી શકાય છે. ત્રણ પ્રકારોનું ઇચ્છિત અર્થઘટન અણુઓ, અણુઓની જોડી અને અણુઓની જોડીનો સમૂહ છે, π: A ×; A → P અને λ, ρ: P → A એ સ્પષ્ટ જોડી નિર્માણકર્તાઓ અને વિનાશક છે, અને Π ×; W એ જોડી અને સંબંધો (જોડીના સમૂહ તરીકે) વચ્ચેનો સભ્યપદ સંબંધ છે. ઉદાહરણ 1 સાથે સામ્યતા દ્વારા, W પર વ્યાખ્યાયિત શુદ્ધ સંબંધાત્મક સંયોજનોને પરિચયાત્મક ગ્રંથોની રૂઢિગત રીતે અણુઓ અને અણુઓની જોડીની દ્રષ્ટિએ નિષ્કપટ રીતે સ્વયંસિદ્ધ કરી શકાય છે. દ્વિસંગી સંબંધોનો શુદ્ધ સિદ્ધાંત પછી આ પ્રાથમિક વર્ગના નમૂનાઓના ઘટાડાના સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગના સિદ્ધાંત તરીકે મેળવી શકાય છે, જે અણુ અને જોડીના પ્રકારો અને અવગણાયેલા પ્રકારોને સંડોવતા તમામ સંબંધોને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. આ ઉદાહરણમાં બંને વર્ગો પ્રાથમિક છે, પરંતુ માત્ર પહેલાનો વર્ગ મર્યાદિત રીતે સ્વયંસિદ્ધ છે, જો કે પછીનો વર્ગ (ઘટાડો) 1955 માં ટાર્સ્કી દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો હતો, તેમ છતાં તે વિવિધતા છે, એટલે કે આર. આર. એ., પ્રતિનિધિત્વ કરી શકાય તેવા સંબંધ આલ્જેબ્રા. આદિમ વીંટી એ સરળ વીંટીની કલ્પનાનું સામાન્યીકરણ છે. તે રિંગના તત્વો અને આદર્શોની દ્રષ્ટિએ પ્રાથમિક (પ્રથમ ક્રમ) ભાષામાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે રિંગ્સ અને આદર્શો ધરાવતી બે-વર્ગીકૃત રચનાઓના પ્રાથમિક વર્ગને જન્મ આપે છે. આદિમ વીંટીઓનો વર્ગ આ પ્રાથમિક વર્ગમાંથી આદર્શો સાથે સંકળાયેલા પ્રકારો અને ભાષાને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે, અને તેથી તે એક સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ છે. આ ઉદાહરણમાં તે એક ખુલ્લો પ્રશ્ન છે કે શું આ સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ પ્રાથમિક છે. ઘાતાંકીય રીતે બંધ ક્ષેત્રોનો વર્ગ એક સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ છે જે પ્રાથમિક નથી. સાર્વત્રિક હોર્ન સિદ્ધાંતના નમૂનાઓના વર્ગ તરીકે તાર્કિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરાયેલ એક અર્ધપરિમાણને સમરૂપતા, સબએલજેબ્રા અને ઘટાડેલા ઉત્પાદનો હેઠળ બંધ માળખાઓના વર્ગ તરીકે બીજગણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઘટાડેલા ઉત્પાદનની કલ્પના સીધી ઉત્પાદન કરતાં વધુ જટિલ હોવાથી, કેટલીકવાર સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગોના સંદર્ભમાં તાર્કિક અને બીજગણિત લાક્ષણિકતાઓનું મિશ્રણ કરવું ઉપયોગી છે. આવી જ એક મિશ્રિત વ્યાખ્યા અર્ધ-વિવિધતાઓને આઇસોમોર્ફિઝમ્સ, સબએલજેબ્રાઝ અને ડાયરેક્ટ પ્રોડક્ટ્સ હેઠળ બંધ થયેલા સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગ તરીકે વર્ણવે છે (સ્યુડોએલિમેન્ટરી ગુણધર્મ "ઘટાડેલા" ને "ડાયરેક્ટ" માં સરળ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે). આ લાક્ષણિકતાનું પરિણામ એ છે કે કોઈ વ્યક્તિ (બિન-રચનાત્મક રીતે) સહાયક પ્રકારો અને સંબંધો સાથે માળખાના કેટલાક વિસ્તરણને સ્વયંસિદ્ધ કરીને અને પછી સહાયક રચનાઓને છોડીને મેળવેલા સ્યુડોએલિમેન્ટરી વર્ગને સબએલજેબ્રા અને સીધા ઉત્પાદનો હેઠળ બંધ કરીને વર્ગના સાર્વત્રિક હોર્ન સ્વયંસિદ્ધીકરણના અસ્તિત્વને સાબિત કરી શકે છે. આ તકનીક ઉદાહરણ 2 માટે કામ કરે છે કારણ કે દ્વિસંગી સંબંધોના બીજગણિતના ઉપ-બીજગણિત અને પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદનો પોતે દ્વિસંગી સંબંધોના બીજગણિત છે, જે દર્શાવે છે કે પ્રતિનિધિત્વ કરી શકાય તેવા સંબંધ બીજગણિતનો વર્ગ આર. આર. એ. એક અર્ધ-વિવિધતા (અને એક પ્રાથમિક વર્ગ) છે. આ ટૂંકો પુરાવો અમૂર્ત નોનસેન્સનો અસરકારક ઉપયોગ છે; તાર્સ્કી દ્વારા મજબૂત પરિણામ એ છે કે આર. આર. એ હકીકતમાં વધુ પ્રમાણિક મહેનતની જરૂર છે. સંદર્ભો પોલ સી. એકલોફ (1977), અલ્ટ્રાપ્રોડક્ટ્સ ફોર અલજેબ્રિસ્ટ્સ, ઇન હેન્ડબુક ઓફ મેથેમેટિકલ લોજિક (આવૃત્તિ. જોન બારવાઇઝ), નોર્થ-હોલેન્ડ. આદર્શ સિદ્ધાંત સાર્વત્રિક બીજગણિત