Geodesic convexity
ગણિતમાં-ખાસ કરીને, રીમાનિયન ભૂમિતિમાં-ભૌગોલિક બહિર્મુખતા એ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સના સમૂહો અને કાર્યો માટે બહિર્મુખતાનું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે. ઉપસર્ગ "જીઓડેસિક" ને છોડવું અને સમૂહ અથવા કાર્યની "બહિર્મુખતા" નો ઉલ્લેખ કરવો સામાન્ય બાબત છે. વ્યાખ્યાઓ ચાલો (એમ, જી) રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોય. M ના સબસેટ C ને ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ સમૂહ કહેવામાં આવે છે, જો C માં કોઈપણ બે બિંદુઓ આપવામાં આવે, તો C ની અંદર એક અનન્ય લઘુતમ ભૌગોલિક હોય છે જે તે બે બિંદુઓને જોડે છે. ધારો કે C એ M નો ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ સબસેટ છે. A ફંક્શનને (કડક રીતે) ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે જો રચના દરેક એકમ ઝડપ માટે સામાન્ય અર્થમાં (કડક રીતે) બહિર્મુખ ફંક્શન હોય તો જિયોડેસિક ચાપ γ: [0, T] → M C માં સમાયેલ છે. ગુણધર્મો A એ ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ (a નો સબસેટ) રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ પણ ભૌગોલિક અંતરના સંદર્ભમાં બહિર્મુખ મેટ્રિક જગ્યા છે. ઉદાહરણો એન-ડાયમેન્શનલ યુક્લિડિયન સ્પેસ એનનો પેટા સમૂહ તેના સામાન્ય સપાટ મેટ્રિક સાથે ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ હોય છે જો અને માત્ર જો તે સામાન્ય અર્થમાં બહિર્મુખ હોય, અને તે જ રીતે કાર્યો માટે. તેના સામાન્ય મેટ્રિક સાથે 2-પરિમાણીય ગોળા S2 નો "ઉત્તરીય ગોળાર્ધ" ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ છે. જો કે, 45° દક્ષિણ કરતાં વધુ ઉત્તરમાં અક્ષાંશ ધરાવતા બિંદુઓનો સમાવેશ કરતો S2 નો ઉપગણ A ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ નથી, કારણ કે A ની દક્ષિણ સીમા પર બે અલગ-અલગ બિંદુઓને જોડતી લઘુતમ ભૌગોલિક (મહાન વર્તુળ) ચાપ A ને છોડી દે છે (દા. ત. રેખાંશમાં 180°ના અંતરે બે બિંદુઓના કિસ્સામાં, ભૌગોલિક ચાપ દક્ષિણ ધ્રુવ પરથી પસાર થાય છે). સંદર્ભો કન્વેક્સ ઓપ્ટિમાઇઝેશન રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ જીઓડેસિક (ગણિત)