Euclidean field
ગણિતમાં, યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર એ એક ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર છે જેના માટે દરેક બિન-નકારાત્મક તત્વ એક વર્ગ છેઃ એટલે કે, in સૂચવે છે કે કેટલાક માટે. રચનાત્મક સંખ્યાઓ યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર બનાવે છે. તે સૌથી નાનું યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર છે, કારણ કે દરેક યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર તેને ક્રમબદ્ધ પેટા ક્ષેત્ર તરીકે ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રચનાત્મક સંખ્યાઓ પરિમેય સંખ્યાઓના યુક્લિડિયન બંધની રચના કરે છે. ગુણધર્મો દરેક યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર એ ક્રમબદ્ધ પાયથાગોરિયન ક્ષેત્ર છે, પરંતુ વિપરીત સાચું નથી. જો E/F એ મર્યાદિત વિસ્તરણ છે, અને E એ યુક્લિડિયન છે, તો તે જ રીતે F. આ "ગોઇંગ-ડાઉન થીયરમ" એ ડિલર-ડ્રેસ થીયરમનું પરિણામ છે. ઉદાહરણો વાસ્તવિક રચનાક્ષમ સંખ્યાઓ, તે (હસ્તાક્ષરિત) લંબાઈ કે જે તર્કસંગત ખંડમાંથી શાસક અને હોકાયંત્રની રચના દ્વારા બનાવી શકાય છે, તે યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર બનાવે છે. દરેક વાસ્તવિક બંધ ક્ષેત્ર યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર છે. નીચેના ઉદાહરણો પણ વાસ્તવિક બંધ ક્ષેત્રો છે. સામાન્ય કામગીરીઓ અને ક્રમ સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર બનાવે છે. વાસ્તવિક બીજગણિત સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર છે. અતિ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર યુક્લિડિયન ક્ષેત્ર છે. પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો સામાન્ય કામગીરીઓ અને ક્રમ સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ યુક્લિડિયન ક્ષેત્રની રચના કરતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 2 એ ચોરસ નથી કારણ કે 2 નું વર્ગમૂળ અતાર્કિક છે. ઉપરના નીચે જતા પરિણામ દ્વારા, કોઈ બીજગણિત સંખ્યા ક્ષેત્ર યુક્લિડિયન ન હોઈ શકે. જટિલ સંખ્યાઓ યુક્લિડિયન ક્ષેત્રની રચના કરતી નથી કારણ કે તેમને ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્રની રચના આપી શકાતી નથી. યુક્લિડીયન બંધ એ ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્રનું યુક્લિડીયન બંધ એ વર્ગાત્મક બંધનું વિસ્તરણ છે જે ક્રમબદ્ધ ક્ષેત્ર હોવાના સંદર્ભમાં મહત્તમ છે. તે યુક્લિડિયન ક્ષેત્રના બીજગણિત બંધનું સૌથી નાનું પેટાક્ષેત્ર પણ છે અને તેનું ક્રમબદ્ધ વિસ્તરણ છે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ ક્ષેત્ર (ગણિત)