Differentiation of trigonometric functions
ત્રિકોણમિતીય કાર્યોનું વિભેદન એ ત્રિકોણમિતીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન અથવા ચલના સંદર્ભમાં તેના પરિવર્તનનો દર શોધવાની ગાણિતિક પ્રક્રિયા છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાઇન ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન sin′ (a) = cos (a) લખવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે x = a ચોક્કસ ખૂણા પર sin (x) ના ફેરફારનો દર તે ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા આપવામાં આવે છે. વર્તુળાકાર ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના તમામ વ્યુત્પન્ન sin (x) અને cos (x) માંથી તન (x) = sin (x)/cos (x) જેવા વિધેયોને લાગુ પડતા ભાગાકાર નિયમ દ્વારા મળી શકે છે. આ વ્યુત્પન્નને જાણીને, વ્યુત્ક્રમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના વ્યુત્પન્ન ગર્ભિત તફાવતનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના વ્યુત્પન્નોનો પુરાવો sin (θ)/θ ની મર્યાદા કારણ કે θ એ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે જમણી બાજુનો આકૃતિ કેન્દ્ર O અને ત્રિજ્યા r = 1 સાથેનું વર્તુળ દર્શાવે છે. ચાલો બે ત્રિજ્યાઓ OA અને OB એ θ રેડિયનની ચાપ બનાવે. આપણે મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કારણ કે θ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, આપણે ધારી શકીએ કે θ એ એક નાની હકારાત્મક સંખ્યા છે, પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં 0 <θ <1⁄2π કહો. આકૃતિમાં, ચાલો R1 ત્રિકોણ OAB, R2 ગોળાકાર ક્ષેત્ર OAB અને R3 ત્રિકોણ OAC હોય. ત્રિકોણ OAB નું ક્ષેત્રફળ છેઃ વર્તુળાકાર ક્ષેત્ર OAB નું ક્ષેત્રફળ છે, જ્યારે ત્રિકોણ OAC નું ક્ષેત્રફળ આના દ્વારા આપવામાં આવે છે કારણ કે દરેક પ્રદેશ આગામીમાં સમાયેલ છે, એક પાસે છેઃ વધુમાં, પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં હોવાથી, આપણે 1⁄2 દ્વારા વિભાજીત કરી શકીએ છીએ, જે આપે છેઃ છેલ્લા પગલામાં આપણે ત્રણ હકારાત્મક શબ્દોના પારસ્પરિક લીધા, અસમાનતાને ઉલટાવી. આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે 0 <θ <1⁄2π માટે, જથ્થો હંમેશા 1 કરતા ઓછો અને હંમેશા cos (θ) કરતા વધારે હોય છે. આમ, જેમ જેમ θ એ 0 ની નજીક આવે છે, તેમ તેમ ઊંચાઈ 1 પરની ટોચમર્યાદા અને ઊંચાઈ પરની સપાટી વચ્ચે "સંકોચાય છે", જે 1 તરફ વધે છે; તેથી sin (θ)/θ એ 1 તરફ વળવું જોઈએ કારણ કે θ એ હકારાત્મક બાજુથી 0 તરફ વળવું જોઈએઃ જ્યાં θ એ એક નાની નકારાત્મક સંખ્યા છે-1⁄2 π <θ <0, આપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે sine એ એક વિચિત્ર કાર્ય છેઃ (cos (θ)-1)/θ ની મર્યાદા કારણ કે θ એ 0 તરફ વળે છે છેલ્લો વિભાગ આપણને પ્રમાણમાં સરળતાથી આ નવી મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. આ એક સરળ યુક્તિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. આ ગણતરીમાં, θ નું ચિહ્ન બિનમહત્વપૂર્ણ છે. ઉત્પાદનની મર્યાદા એ મર્યાદાનું ગુણાકાર છે અને અગાઉના વિભાગમાંથી મર્યાદાનું પરિણામ છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કેઃ ટેન (θ)/θ ની મર્યાદા કારણ કે θ એ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. સાઇન ફંક્શનની મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને, હકીકત એ છે કે સ્પર્શક કાર્ય વિચિત્ર છે, અને ઉત્પાદનની મર્યાદા મર્યાદાનું ગુણાકાર છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કેઃ સાઇન ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન આપણે મર્યાદા વ્યાખ્યામાંથી સાઇન ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએઃ કોણ ઉમેરા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છેઃ સાઇન અને કોસાઇન ફંક્શન્સ માટેની મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરીનેઃ કોસાઇન ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન આપણે વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યામાંથી ફરીથી મર્યાદા વ્યાખ્યામાંથી કોસાઇન ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએઃ કોણનો ઉપયોગ કરીનેઃ આ ત્રણ તથ્યોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નીચે મુજબ લખી શકીએ છીએ, આપણે સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને આને અલગ કરી શકીએ છીએ. લેટિંગ, આપણી પાસે છેઃ તેથી, અમે તે સાબિત કર્યું છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા પરથી સ્પર્શક કાર્ય ટેન θ ના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે, આપણે પ્રથમ સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વ્યાખ્યા મુજબઃ જાણીતા કોણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસેઃ ઉત્પાદનની મર્યાદા એ મર્યાદાનું ગુણાકાર છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીનેઃ સ્પર્શક કાર્ય માટેની મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને, અને હકીકત એ છે કે ટેન δ 0 તરફ વળે છે કારણ કે δ 0 તરફ વળે છેઃ આપણે તરત જ જોઈએ છીએ કેઃ ભાગાકાર નિયમમાંથી ભાગાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શક કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી પણ કરી શકાય છે. પાયથાગોરિયન ઓળખ દ્વારા અંશને 1 સુધી સરળ બનાવી શકાય છે, જે આપણને આપે છે, તેથી, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના વ્યુત્પન્નોનો પુરાવો નીચેના વ્યુત્પન્ન y ચલને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતીય વિધેયની બરાબર સુયોજિત કરીને મળી આવે છે જેનું આપણે વ્યુત્પન્ન લેવા માંગીએ છીએ. ગર્ભિત વિભેદનનો ઉપયોગ કરીને અને પછી dy/dx માટે હલ કરીને, વ્યુત્ક્રમ વિધેયનું વ્યુત્પન્ન y ની દ્રષ્ટિએ જોવા મળે છે. x ની દ્રષ્ટિએ dy/dx ને પાછું અસ્તિત્વમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે એકમ વર્તુળ પર સંદર્ભ ત્રિકોણ દોરી શકીએ છીએ, જેમાં θ ને y ગણી શકાય. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને નિયમિત ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આખરે x ની દ્રષ્ટિએ dy/dx ને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. ઇન્વર્સ સાઇન ફંક્શનને આપણે ક્યાં મૂકીએ છીએ. પછી બંને બાજુના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નને લઈને અને dy/dx માટે ઉકેલવુંઃ ઉપરથી અવેજીમાં મૂકવું, ઉપરથી અવેજીમાં મૂકવું, ઇન્વર્સ કોસાઇન ફંક્શનને અલગ પાડવું. ઇન્વર્સ સ્પર્શક કાર્યને અલગ પાડવું પછી બંને બાજુના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નને લઈને અને dy/dx માટે ઉકેલવુંઃ ડાબી બાજુઃ પાયથાગોરિયન ઓળખ જમણી બાજુનો ઉપયોગ કરીનેઃ તેથી, ઉપરથી અવેજીમાં, આપણે ઇન્વર્સ કોટાન્જેન્ટ કાર્યને અલગ પાડીએ છીએ. પછી બંને બાજુના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન લેવું અને dy/dx માટે ઉકેલવુંઃ ડાબી બાજુઃ પાયથાગોરિયન ઓળખ જમણી બાજુનો ઉપયોગ કરવોઃ તેથી, વૈકલ્પિક રીતે, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યુત્પન્ન કરવામાં આવે છે, પછી ઓળખનો ઉપયોગ કરીને તરત જ અનુસરે છે કે ગર્ભિત તફાવતનો ઉપયોગ કરીને ઇન્વર્સ સેકન્ટ ફંક્શનને અલગ પાડવું પછી (અભિવ્યક્તિમાં નિરપેક્ષ મૂલ્ય જરૂરી છે કારણ કે y ના અંતરાલમાં સેકન્ટ અને સ્પર્શકનું ગુણાકાર હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, જ્યારે આમૂલ હંમેશા મુખ્ય વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા દ્વારા બિન-નકારાત્મક હોય છે, તેથી બાકીનું પરિબળ પણ બિન-નકારાત્મક હોવું જોઈએ, જે x ના નિરપેક્ષ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે.) સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને વૈકલ્પિક રીતે, આર્કસેકન્ટનું વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને આર્કોસિનના વ્યુત્પન્નમાંથી મેળવી શકાય છે. ચાલો ક્યાં અને પછી, સાંકળ નિયમને ક્યાં અને ક્યાં લાગુ કરીએઃ ગર્ભિત તફાવતનો ઉપયોગ કરીને ઇન્વર્સ કોસેકેન્ટ કાર્યને અલગ પાડવું પછી (અભિવ્યક્તિમાં નિરપેક્ષ મૂલ્ય જરૂરી છે કારણ કે y ના અંતરાલમાં કોસેકેન્ટ અને કોટાન્જેન્ટનું ગુણાકાર હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, જ્યારે રેડિકલ હંમેશા મુખ્ય વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા દ્વારા બિન-નકારાત્મક હોય છે, તેથી બાકીનું પરિબળ પણ બિન-નકારાત્મક હોવું જોઈએ, જે x ના નિરપેક્ષ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે.) સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને વૈકલ્પિક રીતે, આર્કોસેકેન્ટનું વ્યુત્પન્ન સાંકળ નિયમનો ઉપયોગ કરીને આર્ક્સાઇનના વ્યુત્પન્નમાંથી મેળવી શકાય છે. ચાલો ક્યાં અને પછી, સાંકળ નિયમને આ રીતે લાગુ કરીએઃ સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ હેન્ડબુક ઓફ મેથેમેટિકલ ફંક્શન્સ, એબ્રામોવિટ્ઝ અને સ્ટેગન દ્વારા સંપાદિત, નેશનલ બ્યુરો ઓફ સ્ટાન્ડર્ડ્સ, એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ સિરીઝ, 55 (1964) પુરાવા ધરાવતા લેખો વિભેદક કલન વિભેદક સમીકરણો ગાણિતિક ઓળખ