Quasi-isometry
ગણિતમાં, અર્ધ-સમમિતિ એ બે મેટ્રિક જગ્યાઓ વચ્ચેનું કાર્ય છે જે આ જગ્યાઓની મોટા પાયે ભૂમિતિને માન આપે છે અને તેમની નાના પાયે વિગતોની અવગણના કરે છે. બે મેટ્રિક જગ્યાઓ અર્ધ-સમમિતીય હોય છે જો તેમની વચ્ચે અર્ધ-સમમિતી હોય. અર્ધ-સમમિતીય હોવાનો ગુણધર્મ મેટ્રિક જગ્યાઓના વર્ગ પર સમાનતા સંબંધની જેમ વર્તે છે. અર્ધ-સમમિતિની વિભાવના ખાસ કરીને ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ છે, જે ગ્રોમોવના કાર્યને અનુસરે છે. વ્યાખ્યા ધારો કે તે એક મેટ્રિક જગ્યાથી બીજી મેટ્રિક જગ્યા સુધી (સતત હોવું જરૂરી નથી) વિધેય છે. પછી તેને અર્ધ-સમમિતિ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં અચળાંકો અસ્તિત્વમાં હોય, અને જેમ કે નીચેના બે ગુણધર્મો બંને ધરાવે છેઃ દરેક બે બિંદુઓ માટે અને અંદર, તેમની છબીઓ વચ્ચેનું અંતર તેમના મૂળ અંતરના પરિબળમાં એડિટિવ અચળાંકો સુધી હોય છે. વધુ ઔપચારિક રીતેઃ દરેક બિંદુ છબી બિંદુના સતત અંતરની અંદર હોય છે. વધુ ઔપચારિક રીતેઃ બે મેટ્રિક જગ્યાઓ અને જો ત્યાં અર્ધ-સમમિતિ અસ્તિત્વમાં હોય તો તેને અર્ધ-સમમિતિ કહેવામાં આવે છે. નકશાને અર્ધ-આઇસોમેટ્રિક એમ્બેડિંગ કહેવામાં આવે છે જો તે પ્રથમ શરતને સંતોષે છે પરંતુ જરૂરી નથી કે બીજી (એટલે કે. તે બરછટ લિપશિટ્ઝ છે પરંતુ બરછટ સર્જેક્ટિવ બનવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો નકશા દ્વારા, તેની પેટા જગ્યાના અર્ધ-સમમિતીય છે. બે મેટ્રિક જગ્યાઓ M1 અને M2 ને અર્ધ-સમમિતીય કહેવામાં આવે છે, જો અર્ધ-સમમિતી અસ્તિત્વમાં હોય તો સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણો યુક્લિડિયન પ્લેન અને મેનહટન અંતર સાથેના પ્લેન વચ્ચેનો નકશો જે દરેક બિંદુને પોતાની પાસે મોકલે છે તે અર્ધ-સમપ્રમાણતા છેઃ તેમાં, અંતરને મહત્તમના પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. નોંધ લો કે કોઈ આઇસોમેટ્રી હોઈ શકતી નથી, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, મેનહટન અંતરમાં બિંદુઓ એકબીજાથી સમાન અંતરના હોય છે, પરંતુ યુક્લિડિયન સમતલમાં, એવા કોઈ 4 બિંદુઓ નથી કે જે એકબીજાથી સમાન અંતરના હોય. નકશો (બંને યુક્લિડિયન મેટ્રિક સાથે) જે પૂર્ણાંકોના દરેક-ટુપલને પોતાની પાસે મોકલે છે તે અર્ધ-સમપ્રમાણતા છેઃ અંતર બરાબર સચવાય છે, અને દરેક વાસ્તવિક ટુપલ પૂર્ણાંક ટુપલના અંતરની અંદર હોય છે. બીજી દિશામાં, અસંગત કાર્ય કે જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના દરેક ટુપલને નજીકના પૂર્ણાંક ટુપલ સાથે ગોળાકાર કરે છે તે પણ અર્ધ-સમપ્રમાણતા છેઃ દરેક બિંદુને આ નકશા દ્વારા તેના અંતરની અંદરના બિંદુ પર લઈ જવામાં આવે છે, તેથી ગોળાકાર બિંદુઓની જોડી વચ્ચેનું અંતર વધુમાં વધુ ઉમેરીને અથવા બાદ કરીને બદલે છે. મર્યાદિત અથવા બંધાયેલ મેટ્રિક જગ્યાઓની દરેક જોડી અર્ધ-સમમિતીય છે. આ કિસ્સામાં, એક જગ્યાથી બીજી જગ્યા સુધી દરેક કાર્ય અર્ધ-સમપ્રમાણતા છે. સમાનતા સંબંધ જો અર્ધ-સમમિતિ હોય, તો અર્ધ-સમમિતિ અસ્તિત્વમાં છે. ખરેખર, તેની છબીમાં કોઈપણ બિંદુને અંતરની અંદર રાખીને અને કોઈપણ બિંદુને અંદર રાખીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઓળખ નકશો અર્ધ-સમમિતિ હોવાથી, અને બે અર્ધ-સમમિતિની રચના અર્ધ-સમમિતિ હોવાથી, તે અનુસરે છે કે અર્ધ-સમમિતિનો ગુણધર્મ મેટ્રિક જગ્યાઓના વર્ગ પર સમાનતા સંબંધની જેમ વર્તે છે. ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગ મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ જૂથ G ના મર્યાદિત જનરેટિંગ સમૂહ S ને જોતાં, આપણે S અને G નો અનુરૂપ કેલે ગ્રાફ બનાવી શકીએ છીએ. જો આપણે દરેક ધારની લંબાઈ 1 જાહેર કરીએ તો આ આલેખ મેટ્રિક સ્પેસ બની જાય છે. અલગ મર્યાદિત જનરેટિંગ સેટ T લેવાથી અલગ ગ્રાફ અને અલગ મેટ્રિક સ્પેસમાં પરિણામો મળે છે, જો કે બે જગ્યાઓ અર્ધ-સમમિત છે. આ અર્ધ-સમમિતિ વર્ગ આમ જૂથ G નો અપરિવર્તનશીલ છે. મેટ્રિક જગ્યાઓનો કોઈપણ ગુણધર્મ કે જે માત્ર જગ્યાના અર્ધ-સમમિતિ વર્ગ પર આધાર રાખે છે તે તરત જ જૂથોના અન્ય અપરિવર્તનશીલ પેદા કરે છે, જે જૂથ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રને ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ માટે ખોલે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, સ્વાર્ક-મિલ્નર લેમ્મા જણાવે છે કે જો જૂથ G યોગ્ય ભૌગોલિક જગ્યા X પર કોમ્પેક્ટ ભાગાકાર સાથે યોગ્ય રીતે અસંગત રીતે કાર્ય કરે છે, તો G એ X માટે અર્ધ-સમમિતીય છે (જેનો અર્થ છે કે G માટે કોઈપણ કેલે ગ્રાફ છે). આ એકબીજાના અર્ધ-સમમિત જૂથોના નવા ઉદાહરણો આપે છેઃ જો G 'એ G માં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું પેટા જૂથ હોય તો G' એ G માટે અર્ધ-સમમિત છે; જો G અને H સમાન પરિમાણ d ના બે સઘન હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડ્સના મૂળભૂત જૂથો હોય તો તે બંને હાયપરબોલિક જગ્યા Hd માટે અર્ધ-સમમિત છે અને તેથી એકબીજા માટે; બીજી તરફ મર્યાદિત-વોલ્યુમના મૂળભૂત જૂથોના અનંત ઘણા અર્ધ-સમમિત વર્ગો છે. ક્વાસિગોડેસિક્સ અને મોર્સ લેમ્મા મેટ્રિક જગ્યામાં અર્ધ-જિયોડેસિક એ અર્ધ-આઇસોમેટ્રિક એમ્બેડિંગ છે. વધુ ચોક્કસપણે એક નકશો અસ્તિત્વમાં છે જેથી તેને-અર્ધ-ભૌગોલિક કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે ભૂગણિત (આર્ક્લેન્થ દ્વારા પરિમાણિત) અર્ધ-ભૂગણિત છે. હકીકત એ છે કે કેટલીક જગ્યાઓમાં વિપરીત એકદમ સાચું છે, એટલે કે. દરેક અર્ધ-ભૌગોલિક સાચા ભૌગોલિકના બંધાયેલ અંતરની અંદર રહે છે, તેને મોર્સ લેમ્મા કહેવામાં આવે છે (વિભેદક ટોપોલોજીમાં મોર્સ લેમ્મા સાથે ગેરસમજ ન થવી જોઈએ). ઔપચારિક રીતે નિવેદન છેઃ ચાલો અને યોગ્ય δ-હાયપરબોલિક જગ્યા. એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે કોઈપણ-અર્ધ-ભૌગોલિક માટે એક ભૌગોલિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેમ કે બધા માટે. તે ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં એક મહત્વપૂર્ણ સાધન છે. તાત્કાલિક ઉપયોગ એ છે કે યોગ્ય હાયપરબોલિક જગ્યાઓ વચ્ચેની કોઈપણ અર્ધ-આઇસોમેટ્રી તેમની સીમાઓ વચ્ચે હોમોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે. આ પરિણામ મોસ્ટો કઠોરતા પ્રમેયની સાબિતીમાં પ્રથમ પગલું છે. વધુમાં, આ પરિણામને ગૂગલ મેપ્સ જેવી એપ્લિકેશનોમાં વપરાશકર્તા ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ડિઝાઇનનું વિશ્લેષણ કરવામાં ઉપયોગિતા મળી છે. જૂથોના અર્ધ-સમમિતિ અપરિવર્તનના ઉદાહરણો નીચેના જૂથ કેલે આલેખના ગુણધર્મોના કેટલાક ઉદાહરણો છે જે અર્ધ-સમમિતિ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છેઃ હાયપરબોલિસિટી એ જૂથને હાયપરબોલિક કહેવામાં આવે છે જો તેના કેલે આલેખમાંથી એક કેટલાક δ માટે δ-હાયપરબોલિક જગ્યા હોય. હાયપરબોલિસિટીની વિવિધ વ્યાખ્યાઓ વચ્ચે અનુવાદ કરતી વખતે, δનું ચોક્કસ મૂલ્ય બદલાઈ શકે છે, પરંતુ હાયપરબોલિક જૂથની પરિણામી કલ્પનાઓ સમકક્ષ સાબિત થાય છે. હાયપરબોલિક જૂથોમાં ઉકેલી શકાય તેવી શબ્દની સમસ્યા હોય છે. તેઓ બાયઆટોમેટિક અને ઓટોમેટિક છે. : ખરેખર, તેઓ મજબૂત રીતે ભૌગોલિક રીતે સ્વચાલિત છે, એટલે કે, જૂથ પર એક સ્વચાલિત માળખું છે, જ્યાં સ્વીકારકર્તા શબ્દ દ્વારા સ્વીકારવામાં આવેલી ભાષા એ તમામ ભૌગોલિક શબ્દોનો સમૂહ છે. વૃદ્ધિ સમપ્રમાણ પેદા કરતા સમૂહના સંદર્ભમાં જૂથનો વૃદ્ધિ દર જૂથમાં દડાઓના કદને વર્ણવે છે. જૂથના દરેક તત્વને જનરેટરના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે, અને વૃદ્ધિ દર એ ઘટકોની સંખ્યાની ગણતરી કરે છે જેને લંબાઈ n ના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. ગ્રોમોવના પ્રમેય અનુસાર, બહુપદી વૃદ્ધિનું જૂથ વર્ચ્યુઅલ રીતે નિલપોટેન્ટ છે, એટલે કે. તેમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું નિલપોટેન્ટ પેટાજૂથ છે. ખાસ કરીને, બહુપદી વૃદ્ધિનો ક્રમ કુદરતી સંખ્યા હોવો જોઈએ અને હકીકતમાં. જો કોઈપણ ઘાતાંકીય કાર્ય કરતાં વધુ ધીમે વધે છે, તો G નો ઉપ-ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર છે. આવા કોઈપણ જૂથ સ્વીકાર્ય છે. અંત ટોપોલોજિકલ જગ્યાના છેડા, આશરે કહીએ તો, જગ્યાની "આદર્શ સીમા" ના જોડાયેલા ઘટકો છે. એટલે કે, દરેક છેડો અવકાશમાં અનંત તરફ જવાની ટોપોલોજીકલ રીતે અલગ રીત રજૂ કરે છે. દરેક છેડે એક બિંદુ ઉમેરવાથી મૂળ જગ્યાનું સંકોચન થાય છે, જેને અંતિમ સંકોચન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જૂથના છેડાઓને અનુરૂપ કેલે આલેખના છેડા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે; આ વ્યાખ્યા મર્યાદિત પેદા કરતા સમૂહની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે. દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અનંત જૂથમાં ક્યાં તો 0,1,2, અથવા અનંત ઘણા છેડા હોય છે, અને જૂથોના છેડા વિશે સ્ટેલિંગનો સિદ્ધાંત એકથી વધુ છેડા ધરાવતા જૂથો માટે વિઘટન પ્રદાન કરે છે. જો બે જોડાયેલા સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત આલેખ અર્ધ-સમમિતીય હોય તો તેમની પાસે સમાન સંખ્યામાં છેડા હોય છે. ખાસ કરીને, બે અર્ધ-સમમિતીય મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જૂથોમાં સમાન સંખ્યામાં છેડા હોય છે. સુલભતા એક અનુકૂળ જૂથ એ સ્થાનિક રીતે સઘન ટોપોલોજિકલ જૂથ G છે જે મર્યાદિત કાર્યો પર એક પ્રકારની સરેરાશ કામગીરી કરે છે જે જૂથ ઘટકો દ્વારા અનુવાદ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય છે. મૂળ વ્યાખ્યા, જી ના ઉપગણ પર મર્યાદિત રીતે ઉમેરણીય અપરિવર્તનશીલ માપ (અથવા સરેરાશ) ની દ્રષ્ટિએ, જ્હોન વોન ન્યુમેન દ્વારા 1929માં બનાચ-ટાર્સ્કી વિરોધાભાસના જવાબમાં જર્મન નામ "મેસબાર" (અંગ્રેજીમાં "માપી શકાય તેવું") હેઠળ રજૂ કરવામાં આવી હતી. 1949માં માહલોન એમ. ડેએ અંગ્રેજી અનુવાદ "એમેનેબલ" રજૂ કર્યો, દેખીતી રીતે એક શ્લેષ તરીકે. અલગ જૂથ સિદ્ધાંતમાં, જ્યાં G પાસે અલગ ટોપોલોજી છે, ત્યાં એક સરળ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ થાય છે. આ સેટિંગમાં, જૂથ અનુકૂળ છે જો કોઈ કહી શકે કે કોઈપણ આપેલ સબસેટ G નું કેટલું પ્રમાણ લે છે. જો જૂથમાં ફોલનર ક્રમ હોય તો તે આપમેળે અનુકૂળ હોય છે. લક્ષણવિહીન શંકુ એક અતિ મર્યાદા એ ભૌમિતિક રચના છે જે મેટ્રિક જગ્યા Xn એ મર્યાદિત મેટ્રિક જગ્યાના ક્રમને સોંપે છે. અલ્ટ્રાલીમીટનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ મેટ્રિક જગ્યાઓના કહેવાતા એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ છે. ધારો કે (X, d) મેટ્રિક જગ્યા છે, ધારો કે ω એ બિન-મુખ્ય અલ્ટ્રાફિલ્ટર છે અને ધારો કે pn bul X એ આધાર-બિંદુઓનો ક્રમ છે. પછી ક્રમની ω-અલ્ટ્રાલિમિટને ω અને અને ના સંદર્ભમાં X નો એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ કહેવામાં આવે છે. ઘણીવાર આધાર-બિંદુ ક્રમને અચળ તરીકે લેવામાં આવે છે, pn = p કેટલાક p ω X માટે; આ કિસ્સામાં એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ p ω X ની પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી અને તેને દ્વારા અથવા ન્યાયી રીતે સૂચવવામાં આવે છે. એસિમ્પ્ટોટિક શંકુની કલ્પના ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે કારણ કે એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ (અથવા, વધુ ચોક્કસપણે, તેમના ટોપોલોજિકલ પ્રકારો અને દ્વિ-લિપ્સિટ્ઝ પ્રકારો) સામાન્ય રીતે મેટ્રિક જગ્યાઓ અને ખાસ કરીને મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જૂથોના અર્ધ-આઇસોમેટ્રી અપરિવર્તન પ્રદાન કરે છે. એસિમ્પ્ટોટિક શંકુ પણ પ્રમાણમાં હાયપરબોલિક જૂથો અને તેમના સામાન્યીકરણના અભ્યાસમાં ઉપયોગી સાધન સાબિત થાય છે. આઇસોમેટ્રી બરછટ માળખું પણ જુઓ સંદર્ભો ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત મેટ્રિક ભૂમિતિ સમાનતા (ગણિત)