Outer space (mathematics)
ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક વિષયમાં, કુલર-વોગ્ટમેન આઉટર સ્પેસ અથવા મુક્ત જૂથ Fn ની માત્ર આઉટર સ્પેસ એ એક ટોપોલોજિકલ સ્પેસ છે જેમાં Fn પર વોલ્યુમ 1 ના કહેવાતા "ચિહ્નિત મેટ્રિક ગ્રાફ સ્ટ્રક્ચર્સ" નો સમાવેશ થાય છે. બાહ્ય અવકાશ, જેને Xn અથવા CVn સૂચવવામાં આવે છે, તે Fn ના બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ્સ આઉટ (Fn) ના જૂથની કુદરતી ક્રિયાથી સજ્જ છે. આઉટર સ્પેસની રજૂઆત 1986માં માર્ક કુલર અને કારેન વોગ્ટમેનના પેપરમાં કરવામાં આવી હતી, અને તે હાયપરબોલિક સપાટીના ટેકમુલર સ્પેસના મુક્ત જૂથ એનાલોગ તરીકે કામ કરે છે. આઉટર સ્પેસનો ઉપયોગ આઉટ (એફએન) ના સમરૂપતા અને સમરૂપતા જૂથોના અભ્યાસ માટે અને આઉટ (એફએન) ના બીજગણિત, ભૌમિતિક અને ગતિશીલ ગુણધર્મો, તેના પેટાજૂથો અને એફએનના વ્યક્તિગત બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ્સ વિશે માહિતી મેળવવા માટે થાય છે. અવકાશ Xn ને R-વૃક્ષો T પર Fn પર Fn ની ન્યૂનતમ મુક્ત સ્વતંત્ર આઇસોમેટ્રિક ક્રિયાઓના આઇસોમેટ્રી પ્રકારોના સમૂહ તરીકે પણ વિચારી શકાય છે, જેમ કે ભાગાકાર મેટ્રિક ગ્રાફ T/Fn નું કદ 1 હોય છે. ઇતિહાસ બાહ્ય અવકાશની રજૂઆત 1986માં માર્ક કુલર અને કારેન વોગ્ટમેનના પેપરમાં કરવામાં આવી હતી, જે હાયપરબોલિક સપાટીની ટેચમુલર જગ્યા સાથે સામ્યતાથી પ્રેરિત હતી. તેઓએ બતાવ્યું કે ઓનની કુદરતી ક્રિયા યોગ્ય રીતે અસંગત છે, અને તે સંકોચાય તેવી છે. એ જ પેપરમાં કુલર અને વોગ્ટમેને નીચે ચર્ચા કરાયેલા અનુવાદ લંબાઈ કાર્યો દ્વારા, અનંત-પરિમાણીય પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં એમ્બેડિંગનું નિર્માણ કર્યું હતું, જ્યાં તેના તત્વોના બિન-તુચ્છ જોડાણ વર્ગોનો સમૂહ છે. તેઓએ એ પણ સાબિત કર્યું કે ઇનનું ક્લોઝર કોમ્પેક્ટ છે. પાછળથી કોહેન અને લુસ્ટિગ અને બેસ્ટવિના અને ફીઘનના પરિણામોના સંયોજનથી વૃક્ષો પરની "ખૂબ જ નાની" ન્યૂનતમ સમમિતિય ક્રિયાઓના પ્રક્ષેપાત્મક વર્ગોની જગ્યા સાથે જગ્યા ઓળખી કાઢવામાં આવી (વિભાગ 1.3 જુઓ). ઔપચારિક વ્યાખ્યા ચિહ્નિત મેટ્રિક આલેખ ચાલો n ≤ 2. મુક્ત જૂથ Fn માટે "ગુલાબ" Rn ને ઠીક કરો, જે એક ફાચર છે, n વર્તુળોની શિરોબિંદુ v પર વીંટળાયેલી છે, અને Fn અને Rn ના મૂળભૂત જૂથ 1 (Rn, v) વચ્ચે સમરૂપતા નક્કી કરો. આ બિંદુ પરથી આપણે આ સમરૂપતા દ્વારા Fn અને 1 (Rn, v) ને ઓળખીએ છીએ. Fn પરના માર્કિંગમાં હોમોટૉપી સમકક્ષતા f: Rn → γ હોય છે જ્યાં γ એ ડિગ્રી-1 અને ડિગ્રી-2 શિરોબિંદુઓ વગરનો મર્યાદિત જોડાયેલ આલેખ છે. (મુક્ત) સમસ્થાનિક સુધી, f એ વિશિષ્ટ રીતે સમરૂપતા f #: દ્વારા નક્કી થાય છે, જે સમરૂપતા દ્વારા છે. મેટ્રિક આલેખ એ એક મર્યાદિત જોડાયેલ આલેખ છે જે હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા L (e) ની દરેક ટોપોલોજિકલ ધાર e ની સોંપણી સાથે જોડાયેલો છે, જેને e ની લંબાઈ કહેવાય છે. મેટ્રિક ગ્રાફનું કદ તેની ટોપોલોજિકલ ધારની લંબાઈનો સરવાળો છે. એફ. એન. પર ચિહ્નિત મેટ્રિક આલેખ માળખામાં એફઃ આર. એન. → જે. સાથે મેટ્રિક આલેખ માળખું એલ. નો સમાવેશ થાય છે. બે ચિહ્નિત મેટ્રિક ગ્રાફ માળખાઓ f1: Rn → γ1 અને f2: Rn → γ2 સમકક્ષ છે જો આઇસોમેટ્રી અસ્તિત્વમાં હોય તો θ: γ1 → γ2 એવી રીતે કે, મુક્ત હોમોટૉપી સુધી, આપણી પાસે θ o f1 = f2 છે. આઉટર સ્પેસ Xn માં Fn પર તમામ વોલ્યુમ-એક ચિહ્નિત મેટ્રિક ગ્રાફ માળખાઓના સમકક્ષ વર્ગોનો સમાવેશ થાય છે. બાહ્ય અવકાશ પર નબળી ટોપોલોજી ખુલ્લી સરળતાઓ ચાલો f: Rn → k જ્યાં k એ માર્કિંગ છે અને k એ k માં ટોપોલોજિકલ ધારની સંખ્યા છે. આપણે e1,., ek તરીકે જાતની કિનારીઓનો ક્રમ આપીએ છીએ. ચાલો Rk માં પ્રમાણભૂત (k−1)-પરિમાણીય ઓપન સિમ્પ્લેક્સ હોઈએ. f આપેલ હોય તો, એક કુદરતી નકશો j: δk → Xn છે, જ્યાં x = (x1,., xk) ωk માટે, Xn નો બિંદુ j (x) મેટ્રિક ગ્રાફ માળખા L સાથે મળીને f ને ચિહ્નિત કરીને આપવામાં આવે છે, જેમ કે i = 1,., k માટે L (ei) = xi. સમૂહ j (Δk) ને Xn માં f ને અનુરૂપ ઓપન સિમ્પ્લેક્સ કહેવામાં આવે છે અને તેને S (f) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. બાંધકામ દ્વારા, Xn એ Fn પરના તમામ નિશાનોને અનુરૂપ ખુલ્લી સરળતાનું જોડાણ છે. નોંધ લો કે Xn માં બે ખુલ્લી સરળતાઓ કાં તો અસંબદ્ધ છે અથવા એકરુપ છે. ક્લોઝ્ડ સિમ્પ્લિસીસ ચાલો f: Rn → j જ્યાં j એ માર્કિંગ છે અને k એ j માં ટોપોલોજિકલ ધારની સંખ્યા છે. પહેલાની જેમ, આપણે e1,., ek તરીકે જાતની કિનારીઓનો ક્રમ આપીએ છીએ. તમામ x = (x1,., xk) ωRk ના સમૂહ તરીકે ωRk ને વ્યાખ્યાયિત કરો, જેમ કે, દરેક xi ω0 અને એવી રીતે કે xi = 0 સાથે તમામ ધારોનો સમૂહ ω માં પેટા વન છે. નકશો જેઃ δk → Xn નીચે પ્રમાણે નકશા h: δk′ → Xn સુધી વિસ્તરે છે. x માટે k માં h (x) = j (x) મૂકો. x ω ω k′ − ω k માટે Xn નો બિંદુ h (x) ચિહ્નિત f લઈને, xi = 0 સાથે તમામ ધારને સંકોચીને નવું ચિહ્નિત f1: Rn → ω1 મેળવવા માટે મેળવવામાં આવે છે અને પછી ω1 લંબાઈ xi> 0 ની દરેક હયાત ધારને સોંપવામાં આવે છે. તે દર્શાવી શકાય છે કે દરેક ચિહ્નિત f માટે નકશો h: Δk′ → Xn હજુ પણ ઇન્જેક્ટિવ છે. h ની છબીને f ને અનુરૂપ Xn માં બંધ સિમ્પ્લેક્સ કહેવામાં આવે છે અને તેને S′ (f) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. Xn માં દરેક બિંદુ માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા બંધ સરળતાઓને અનુસરે છે અને Xn ના બિંદુને ચિહ્નિત f: Rn →  તાઇ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે જ્યાં આલેખ ત્રિ-વેલન્ટ છે જે Xn માં એક અનન્ય બંધ સિમ્પ્લેક્સ સાથે સંબંધિત છે, એટલે કે S′ (f). બાહ્ય અવકાશ Xn પરની નબળી ટોપોલોજીને એમ કહીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે Xn નો સબસેટ C બંધ થાય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક માર્કિંગ f: Rn →  તાઇ માટે સમૂહ h − 1 (C) Δk′ માં બંધ હોય. ખાસ કરીને, નકશો h: Δk′ → Xn એ ટોપોલોજિકલ એમ્બેડિંગ છે. વૃક્ષો પરની ક્રિયાઓ તરીકે બાહ્ય અવકાશના બિંદુઓ ચાલો x એ Xn માં એક બિંદુ છે જે f: Rn → γ ચિહ્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં વોલ્યુમ-એક મેટ્રિક ગ્રાફ માળખું L એ γ પર હોય છે. ધારો કે T એ જાતું સાર્વત્રિક આવરણ છે. આમ T એ સરળ રીતે જોડાયેલ આલેખ છે, એટલે કે T એ ટોપોલોજિકલ વૃક્ષ છે. આપણે મેટ્રિક માળખું L થી T ને T ની દરેક ધારને તેની છબીની લંબાઈ જેટલી જ લંબાઇ આપીને પણ ઉપાડી શકીએ છીએ. આ T ને મેટ્રિક સ્પેસ (T, d) માં ફેરવે છે જે એક વાસ્તવિક વૃક્ષ છે. મૂળભૂત જૂથ 1 (જાતૂ) પરિવર્તનને આવરી લઈને T પર કાર્ય કરે છે, જે ભાગાકાર જગ્યા T/1 (જાતૂ) = જાતૂ સાથે (T, d) ની સમમિતિઓ પણ છે. પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ f #એ Fn = 1 (Rn) અને 1 (k) વચ્ચેનું આઇસોમોર્ફિઝમ હોવાથી, આપણે T/Fn = k સાથે T પર Fn ની આઇસોમેટ્રિક ક્રિયા પણ મેળવીએ છીએ. આ ક્રિયા મુક્ત અને સ્વતંત્ર છે. એક ડિગ્રી-એક શિરોબિંદુઓ વગરનો એક મર્યાદિત જોડાયેલ આલેખ હોવાથી, આ ક્રિયા પણ ન્યૂનતમ છે, જેનો અર્થ છે કે T પાસે કોઈ યોગ્ય Fn-અપરિવર્તનશીલ પેટા વૃક્ષો નથી. તદુપરાંત, વાસ્તવિક વૃક્ષ પર Fn ની દરેક ન્યૂનતમ મુક્ત અને સ્વતંત્ર સમમિતિય ક્રિયા જેમાં ભાગાકાર વોલ્યુમ એકનો મેટ્રિક ગ્રાફ હોય છે તે આ રીતે Xn ના અમુક બિંદુ x થી ઉદ્ભવે છે. આ Xn અને વોલ્યુમ-1 ક્વોટિએન્ટ સાથે વાસ્તવિક વૃક્ષો પર Fn ની ન્યૂનતમ મુક્ત અને સ્વતંત્ર આઇસોમેટ્રિક ક્રિયાઓના સમકક્ષ વર્ગોના સમૂહ વચ્ચેના બાયજેક્ટિવ પત્રવ્યવહારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. અહીં વાસ્તવિક વૃક્ષો T1 અને T2 પર Fn ની આવી બે ક્રિયાઓ સમકક્ષ છે જો T1 અને T2 વચ્ચે Fn-સમકક્ષ આઇસોમેટ્રી અસ્તિત્વમાં હોય. લંબાઈના કાર્યો વાસ્તવિક વૃક્ષ T પર ઉપરની જેમ Fn ની ક્રિયા આપો, આ ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ અનુવાદ લંબાઈ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ g §1 માટે T માં R ની એક (અનન્ય) સમમિતીય રીતે જડિત નકલ છે, જેને g ની અક્ષ કહેવાય છે, જેમ કે g તીવ્રતાના અનુવાદ દ્વારા આ અક્ષ પર કાર્ય કરે છે. આ કારણોસર તેને g ની અનુવાદ લંબાઈ કહેવામાં આવે છે. આપણી પાસે Fn માં કોઈપણ g, u માટે, તે G માં દરેક જોડાણ વર્ગ પર અચળ કાર્ય છે. બાહ્ય અવકાશ અનુવાદ લંબાઈ કાર્યોના ચિહ્નિત મેટ્રિક ગ્રાફ મોડેલમાં નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ધારો કે Xn માં T ને f: Rn → k ચિહ્ન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમાં વોલ્યુમ-એક મેટ્રિક ગ્રાફ માળખું L એ k પર હોય છે. ધારો કે g bul Fn = 1 (Rn). બંધ લૂપ મેળવવા માટે પહેલા f #દ્વારા g ને આગળ ધપાવો અને પછી આ લૂપને એક ડૂબી ગયેલી સર્કિટમાં સજ્જડ કરો. આ પરિપથની L-લંબાઈ એ g ની અનુવાદ લંબાઈ છે. વાસ્તવિક વૃક્ષો પર જૂથ ક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાંથી એક મૂળભૂત સામાન્ય હકીકત કહે છે કે બાહ્ય અવકાશનો એક બિંદુ તેના અનુવાદ લંબાઈ કાર્ય દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે. એટલે કે જો Fn ની ન્યૂનતમ મુક્ત આઇસોમેટ્રિક ક્રિયાઓ ધરાવતા બે વૃક્ષો Fn પર સમાન અનુવાદ લંબાઈ કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરે તો પછી બે વૃક્ષો Fn-સમતુલ્ય આઇસોમેટ્રિક છે. તેથી Fn પર Xn થી R-મૂલ્યના વિધેયોના સમૂહનો નકશો ઇન્જેક્ટિવ છે. એક Xn પર લંબાઈ કાર્ય ટોપોલોજી અથવા અક્ષો ટોપોલોજીને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. Xn માં દરેક T માટે, Fn ના દરેક મર્યાદિત સબસેટ K અને દરેક ε> 0 ચાલો Xn માં દરેક T માટે લંબાઈ કાર્ય ટોપોલોજીમાં Xn માં T ના પડોશનો આધાર VT (K, ε) પરિવાર દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં K એ Fn નો મર્યાદિત સબસેટ છે અને જ્યાં ε> 0 છે. લંબાઈ કાર્ય ટોપોલોજીમાં સિક્વન્સના કન્વર્જન્સને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. Xn માં T માટે અને Xn માં અનુક્રમ Ti માટે આપણી પાસે જો અને માત્ર ત્યારે જ હોય જો Fn માં દરેક g માટે આપણી પાસે ગ્રોમોવ ટોપોલોજી હોય તો અન્ય ટોપોલોજી કહેવાતી ગ્રોમોવ ટોપોલોજી અથવા સમતુલ્ય ગ્રોમોવ-હૌસડોર્ફ કન્વર્જન્સ ટોપોલોજી છે, જે આઇસોમેટ્રિક જૂથ ક્રિયાના સેટિંગને અનુરૂપ ગ્રોમોવ-હૌસડોર્ફ કન્વર્જન્સનું સંસ્કરણ પ્રદાન કરે છે. ગ્રોમોવ ટોપોલોજીને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે, વ્યક્તિએ બિંદુઓને વૃક્ષો પરની ક્રિયાઓ તરીકે વિચારવું જોઈએ. અનૌપચારિક રીતે, એક વૃક્ષ આપવામાં આવે તો, અન્ય વૃક્ષ ગ્રોમોવ ટોપોલોજીમાં "નજીક" છે, જો કેટલાક મોટા મર્યાદિત પેટા વૃક્ષો અને મોટા મર્યાદિત સબસેટ માટે અને જેની સાથે (આંશિક) ક્રિયાઓ ચાલુ હોય અને લગભગ સંમત હોય તેની વચ્ચે "લગભગ આઇસોમેટ્રી" અસ્તિત્વમાં હોય. ગ્રોમોવ ટોપોલોજીની ઔપચારિક વ્યાખ્યા માટે જુઓ. નબળા, લંબાઈ કાર્ય અને ગ્રોમોવ ટોપોલોજીનો સંયોગ એક મહત્વપૂર્ણ મૂળભૂત પરિણામ જણાવે છે કે ગ્રોમોવ ટોપોલોજી, નબળા ટોપોલોજી અને Xn પર લંબાઈ કાર્ય ટોપોલોજી એક સાથે આવે છે. આઉટર સ્પેસ પર એક્શન ઓફ આઉટ (Fn) ગ્રુપ આઉટ (Fn) Xn પર હોમોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા કુદરતી યોગ્ય ક્રિયાને સ્વીકારે છે. પહેલા આપણે Xn પર ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ ઓટ (Fn) ની ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે αωt (Fn) એ Fnનું ઓટોમોર્ફિઝમ છે. ધારો કે x એ Xn નો એક બિંદુ છે જે f: Rn →  તાઇ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં વોલ્યુમ-એક મેટ્રિક ગ્રાફ માળખું L એ  તાઇ પર હોય છે. ધારો કે τ: Rn → Rn એ હોમોટોપી સમકક્ષતા છે જેનું મૂળભૂત જૂથ સ્તરે પ્રેરિત હોમોમોર્ફિઝમ એ Fn = 1 (Rn) નું ઓટોમોર્ફિઝમ α છે. Xn નું તત્વ xα એ f.65 τ: Rn → k ચિહ્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં મેટ્રિક માળખું L એ k પર હોય છે. એટલે કે, x માંથી xα મેળવવા માટે આપણે ફક્ત τ સાથે x ને વ્યાખ્યાયિત કરતા માર્કિંગનો પ્રીકોમ્પસ કરીએ છીએ. વાસ્તવિક વૃક્ષના નમૂનામાં આ ક્રિયાને નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છે. ચાલો Xn માં T એ Fn ની ન્યૂનતમ મુક્ત અને સ્વતંત્ર સહ-વોલ્યુમ-એક સમમિતિય ક્રિયા સાથેનું વાસ્તવિક વૃક્ષ છે. ધારો કે αωt (Fn). મેટ્રિક જગ્યા તરીકે, Tα એ T ની બરાબર છે. Fn ની ક્રિયાને α દ્વારા વળાંક આપવામાં આવે છે. એટલે કે, T માં કોઈપણ t માટે અને Fn માં g માટે આપણી પાસેઃ અનુવાદ લંબાઈના કાર્યોના સ્તરે વૃક્ષ Tα આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ એક પછી તપાસે છે કે બાહ્ય જગ્યા Xn પર ઓટ (Fn) ની ઉપરોક્ત ક્રિયા માટે આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ્સ ઇન (Fn) નું પેટાજૂથ આ ક્રિયાના કર્નલમાં સમાયેલું છે, એટલે કે દરેક આંતરિક ઓટોમોર્ફિઝમ Xn પર તુચ્છ રીતે કાર્ય કરે છે. તે અનુસરે છે કે Xn પર આઉટ (Fn) = ઓટ (Fn)/ઇન (Fn) ની ક્રિયા દ્વારા Xn અવતરણો પર ઓટ (Fn) ની ક્રિયા થાય છે. એટલે કે, જો φ ω આઉટ (Fn) એ Fnનું બાહ્ય ઓટોમોર્ફિઝમ છે અને જો ઓટો (Fn) માં α એ φનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું વાસ્તવિક ઓટોમોર્ફિઝમ છે, તો Xnમાં કોઈપણ x માટે આપણી પાસે xφ = xα છે. Xn પર આઉટ (Fn) ની જમણી ક્રિયાને પ્રમાણભૂત રૂપાંતર પ્રક્રિયા દ્વારા ડાબી ક્રિયામાં ફેરવી શકાય છે. એટલે કે, Xn સમૂહમાં φ ω આઉટ (Fn) અને x માટે φx = xφ−1. Xn પર આઉટ (Fn) ની આ ડાબી ક્રિયાને કેટલીકવાર સાહિત્યમાં પણ ગણવામાં આવે છે, જો કે મોટાભાગના સ્રોતો યોગ્ય ક્રિયા સાથે કામ કરે છે. ભાગાકાર જગ્યા એમએન = એક્સએન/આઉટ (એફએન) એ મોડુલી જગ્યા છે જેમાં ડિગ્રી-1 અને ડિગ્રી-2 શિરોબિંદુઓ વિના મર્યાદિત જોડાયેલા આલેખના આઇસોમેટ્રી પ્રકારોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં મૂળભૂત જૂથો એફએન માટે આઇસોમોર્ફિક છે (એટલે કે, પ્રથમ બેટ્ટી સંખ્યા એનની બરાબર છે) જે વોલ્યુમ-1 મેટ્રિક માળખાઓથી સજ્જ છે. એમએન પર ભાગાકાર ટોપોલોજી એ એમએનના બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા મેટ્રિક આલેખ વચ્ચેના ગ્રોમોવ-હૌસડોર્ફ અંતર દ્વારા આપવામાં આવેલ સમાન છે. મોડ્યુલી જગ્યા એમએન કોમ્પેક્ટ નથી અને એમએનમાં "કસ્પ્સ" હોમોટોપિકલી નોન-ટ્રીવીયલ સબગ્રાફ્સ (દા. ત.) માટે કિનારીઓની શૂન્ય લંબાઈ તરફ ઘટવાથી ઉદ્ભવે છે. મેટ્રિક ગ્રાફની એક આવશ્યક સર્કિટ). બાહ્ય અવકાશ વિશેના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને તથ્યો બાહ્ય અવકાશ Xn સંકુચિત છે અને Xn પર આઉટ (Fn) ની ક્રિયા યોગ્ય રીતે અસંગત છે, જેમ કે કુલર અને વોગ્ટમેન દ્વારા તેમના મૂળ 1986 ના પેપરમાં સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું જ્યાં બાહ્ય અવકાશ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. અવકાશ Xn ટોપોલોજીકલ પરિમાણ 3n−4 ધરાવે છે. તેનું કારણ એ છે કે જો જાત ડિગ્રી-1 અને ડિગ્રી-2 શિરોબિંદુઓ વગરનો એક મર્યાદિત જોડાયેલ આલેખ હોય, જેમાં મૂળભૂત જૂથ Fn સાથે સમરૂપ હોય, તો પછી જાત પાસે મહત્તમ 3n−3 ધાર હોય છે અને જ્યારે જાત ત્રિકોણીય હોય ત્યારે તેની બરાબર 3n−3 ધાર હોય છે. તેથી Xn માં ટોપ-ડાયમેન્શનલ ઓપન સિમ્પ્લેક્સનું પરિમાણ 3n−4 છે. બાહ્ય અવકાશ Xn માં એક ચોક્કસ વિકૃતિ હોય છે જે Xn ના Kn ને પાછું ખેંચે છે, જેને બાહ્ય અવકાશની કરોડરજ્જુ કહેવાય છે. સ્પાઇન Kn નું પરિમાણ 2n−3 છે, તે આઉટ (Fn)-ઇનવેરિયન્ટ છે અને આઉટ (Fn) ની ક્રિયા હેઠળ કોમ્પેક્ટ ભાગાકાર ધરાવે છે. અનપ્રોજેક્ટિવાઈઝ્ડ આઉટર સ્પેસ અનપ્રોજેક્ટિવાઈઝ્ડ આઉટર સ્પેસમાં Fn પર તમામ ચિહ્નિત મેટ્રિક ગ્રાફ માળખાઓના સમકક્ષ વર્ગોનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં માર્કિંગમાં મેટ્રિક ગ્રાફનું કદ કોઈપણ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાની મંજૂરી છે. આ જગ્યાને આર-વૃક્ષો પર એફએનની તમામ મુક્ત ન્યૂનતમ સ્વતંત્ર આઇસોમેટ્રિક ક્રિયાઓના સમૂહ તરીકે પણ વિચારી શકાય છે, જેને એફએન-સમકક્ષ આઇસોમેટ્રી તરીકે ગણવામાં આવે છે. બિન-અનુમાનિત બાહ્ય અવકાશ એ જ માળખાને વારસામાં મેળવે છે, જેમાં ત્રણ ટોપોલોજી (ગ્રોમોવ, અક્ષો, નબળા) અને એક-ક્રિયાના સંયોગનો સમાવેશ થાય છે. વધુમાં, સ્કેલર ગુણાકાર દ્વારા એક કુદરતી ક્રિયા છે. ટોપોલોજીકલ રીતે, તે હોમોમોર્ફિક છે. ખાસ કરીને, તે પણ કરારપાત્ર છે. પ્રોજેક્ટીવાઈઝ્ડ આઉટર સ્પેસ પ્રોજેક્ટીવાઈઝ્ડ આઉટર સ્પેસ એ સ્કેલર ગુણાકાર દ્વારા ચાલુ ક્રિયા હેઠળની ભાગાકાર જગ્યા છે. આ જગ્યા ભાગાકાર ટોપોલોજીથી સજ્જ છે. વૃક્ષ માટે તેનો પ્રક્ષેપાત્મક સમાનતા વર્ગ સૂચવવામાં આવે છે. ઓનની ક્રિયા કુદરતી રીતે ઓનની ક્રિયા તરફ દોરી જાય છે. એટલે કે, માટે અને મૂકો. એક મુખ્ય અવલોકન એ છે કે નકશો એક સમતુલ્ય હોમોમોર્ફિઝમ છે. આ કારણોસર જગ્યાઓ અને ઘણીવાર ઓળખવામાં આવે છે. બાહ્ય અવકાશ માટે રુડોલ્ફ લિપ્સિટ્ઝ પરથી નામ આપવામાં આવેલું લિપ્સિટ્ઝ અંતર ટેચમુલર અવકાશમાં થર્સ્ટન મેટ્રિકને અનુરૂપ છે. Xn માં બે બિંદુઓ માટે (જમણે) લિપ્સિટ્ઝ અંતરને મહત્તમ ખેંચાયેલા બંધ માર્ગના (કુદરતી) લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ અને આ એક અસમપ્રમાણ મેટ્રિક છે (જેને કેટલીકવાર અર્ધમિતિક પણ કહેવાય છે), એટલે કે. તે માત્ર સમપ્રમાણતામાં નિષ્ફળ જાય છે. સપ્રમાણ લિપશિટ્ઝ મેટ્રિક સામાન્ય રીતે સૂચવે છેઃ સર્વોચ્ચતા હંમેશા મેળવવામાં આવે છે અને તેની ગણતરી મર્યાદિત સમૂહ દ્વારા કરી શકાય છે, જેને કહેવાતા ઉમેદવારોના છે. એફએનમાં સંયુગ્મતા વર્ગોનો મર્યાદિત સમૂહ ક્યાં છે જે સરળ લૂપ, આઠની આકૃતિ અથવા માર્કિંગ દ્વારા બારબેલના એમ્બેડિંગને અનુરૂપ છે (આકૃતિ જુઓ). સ્ટ્રેચિંગ ફેક્ટર પણ માર્કિંગ પર વહન કરતી હોમોટૉપી સમકક્ષતાના ન્યૂનતમ લિપ્સિટ્ઝ અચળાંકની બરાબર છે, એટલે કે. સતત કાર્યો ક્યાં છે જેમ કે માર્કિંગ પર માર્કિંગ માટે મુક્તપણે હોમોટોપિક હોય છે. પ્રેરિત ટોપોલોજી નબળા ટોપોલોજી જેવી જ છે અને આઇસોમેટ્રી જૂથ બંને માટે છે, સપ્રમાણ અને અસમપ્રમાણ લિપશિટ્ઝ અંતર. એપ્લિકેશન્સ અને સામાન્યીકરણ લંબાઈ કાર્ય ટોપોલોજીમાં બંધ થવામાં આર-વૃક્ષો પર એફએનની તમામ ખૂબ જ નાની ન્યૂનતમ આઇસોમેટ્રિક ક્રિયાઓ (એફએન-સમકક્ષ આઇસોમેટ્રી વર્ગો) નો સમાવેશ થાય છે. અહીં વૃક્ષો પરની તમામ ન્યૂનતમ આઇસોમેટ્રિક "ઈરીડ્યુસિબલ" ક્રિયાઓની જગ્યામાં બંધ કરવામાં આવે છે, જેને સમતુલ્ય આઇસોમેટ્રી ગણવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે ઇરીડ્યુસિબલ ક્રિયાઓની જગ્યા પર ગ્રોમોવ ટોપોલોજી અને એક્સિસ ટોપોલોજી એક સાથે આવે છે, તેથી ક્લોઝરને કોઈપણ અર્થમાં સમજી શકાય છે. હકારાત્મક સ્કેલર દ્વારા ગુણાકારના સંદર્ભમાં પ્રોજેક્ટિવાઇઝેશન એ જગ્યા આપે છે જે થર્સ્ટનના ટેચમુલર જગ્યાના કોમ્પેક્ટિફિકેશનને અનુરૂપ અને અને ની લંબાઈ કાર્ય કોમ્પેક્ટિફિકેશન છે. બાહ્ય જગ્યાના એનાલોગ અને સામાન્યીકરણ મફત ઉત્પાદનો માટે, જમણા ખૂણાવાળા આર્ટિન જૂથો માટે, જૂથ ક્રિયાઓની કહેવાતી વિકૃતિ જગ્યાઓ માટે અને કેટલાક અન્ય સંદર્ભોમાં વિકસાવવામાં આવ્યા છે. બેઝ-પોઇન્ટ્સ સાથે ચિહ્નિત મેટ્રિક આલેખ માટે આઉટર સ્પેસ તરીકે ઓળખાતી આઉટર સ્પેસની બેઝ-પોઇન્ટેડ આવૃત્તિ 1998માં હેચર અને વોગ્ટમેન દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી. આઉટર સ્પેસ આઉટર સ્પેસ સાથે સામાન્ય રીતે ઘણા ગુણધર્મો વહેંચે છે, પરંતુ માત્ર એક ક્રિયા સાથે આવે છે. ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત મેપિંગ વર્ગ જૂથ ટ્રેન ટ્રેક નકશો બહાર (એફએન) સંદર્ભો વધુ વાંચન મ્લાડેન બેસ્ટવિના, ધ ટોપોલોજી ઓફ આઉટ (એફએન) જુઓ. પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ ઇન્ટરનેશનલ કોંગ્રેસ ઓફ મેથેમેટિસિયન્સ, વોલ્યુમ. II (બેઇજિંગ, 2002), પીપી. 373-384, હાયર એજ્યુકેશન પ્રેસ, બેઇજિંગ, 2002; કારેન વોગ્ટમેન, બાહ્ય અવકાશની ભૂમિતિ પર. બુલેટિન ઓફ ધ અમેરિકન મેથેમેટિકલ સોસાયટી 52 (2015), નં. 1, 27-46. ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત ભૌમિતિક ટોપોલોજી