Value function
ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનું મૂલ્ય કાર્ય ઉકેલ પર ઉદ્દેશ્ય કાર્ય દ્વારા પ્રાપ્ત મૂલ્ય આપે છે, જ્યારે માત્ર સમસ્યાના પરિમાણો પર આધાર રાખે છે. નિયંત્રિત ગતિશીલ પ્રણાલીમાં, મૂલ્ય કાર્ય સમય-ટી સ્થિતિ ચલ x (t) = x પર શરૂ થાય ત્યારે અંતરાલ [t, t1] પર પ્રણાલીની શ્રેષ્ઠ ચૂકવણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો ઉદ્દેશ્ય કાર્ય અમુક ખર્ચને રજૂ કરે છે જેને ઘટાડવાનો હોય, તો મૂલ્ય કાર્યને શ્રેષ્ઠ કાર્યક્રમ સમાપ્ત કરવા માટેના ખર્ચ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે, અને આમ તેને "ખર્ચ-થી-જવા કાર્ય" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આર્થિક સંદર્ભમાં, જ્યાં ઉદ્દેશ્ય કાર્ય સામાન્ય રીતે ઉપયોગિતાને રજૂ કરે છે, મૂલ્ય કાર્ય કલ્પનાત્મક રીતે પરોક્ષ ઉપયોગિતાના કાર્યની સમકક્ષ હોય છે. શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણની સમસ્યામાં, મૂલ્ય કાર્યને સ્વીકાર્ય નિયંત્રણોના સમૂહ પર લેવામાં આવેલા ઉદ્દેશ્ય કાર્યના સર્વોચ્ચ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આપેલ છે કે, એક લાક્ષણિક શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સમસ્યા પ્રારંભિક સ્થિતિ ચલ સાથે આધીન છે. ઉદ્દેશ્ય કાર્યને તમામ સ્વીકાર્ય નિયંત્રણો પર મહત્તમ કરવાનું છે, જ્યાં લેબસ્ગ્યુ માપવા યોગ્ય કાર્ય કેટલાક નિર્ધારિત મનસ્વી સેટમાં છે. મૂલ્ય કાર્ય પછી સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં "સ્ક્રેપ મૂલ્ય" છે. જો નિયંત્રણ અને રાજ્યના માર્ગની શ્રેષ્ઠ જોડી હોય, તો પછી. જે કાર્ય વર્તમાન સ્થિતિના આધારે શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ આપે છે તેને પ્રતિસાદ નિયંત્રણ નીતિ અથવા ફક્ત નીતિ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. બેલમેનનો શ્રેષ્ઠતાનો સિદ્ધાંત આશરે જણાવે છે કે વર્તમાન સ્થિતિને "નવી" પ્રારંભિક સ્થિતિ તરીકે લેતી સમયે કોઈપણ શ્રેષ્ઠ નીતિ બાકીની સમસ્યા માટે શ્રેષ્ઠ હોવી જોઈએ. જો મૂલ્ય કાર્ય સતત વિકલનક્ષમ હોય, તો આ હેમિલ્ટન-જેકોબી-બેલમેન સમીકરણ તરીકે ઓળખાતા મહત્વપૂર્ણ આંશિક વિકલન સમીકરણને જન્મ આપે છે, જ્યાં જમણી બાજુના મહત્તમને પણ હેમિલ્ટોનિયન તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે, જેમ કે કોસ્ટેટ ચલની ભૂમિકા ભજવવાની સાથે. આ વ્યાખ્યાને જોતાં, આપણી પાસે આગળ છે, અને HJB સમીકરણની બંને બાજુઓને તેના સંદર્ભમાં અલગ કર્યા પછી, જે યોગ્ય શબ્દોને બદલ્યા પછી કોસ્ટેટ સમીકરણને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં સમયના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન માટે ન્યૂટન નોટેશન છે. મૂલ્ય કાર્ય એ હેમિલ્ટન-જેકોબી-બેલમેન સમીકરણનો અનન્ય સ્નિગ્ધતા ઉકેલ છે. ઓનલાઈન ક્લોઝ-લૂપ અંદાજિત શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણમાં, મૂલ્ય કાર્ય એ લિયાપુનોવ કાર્ય પણ છે જે ક્લોઝ-લૂપ પ્રણાલીની વૈશ્વિક એસિમ્પ્ટોટિક સ્થિરતા સ્થાપિત કરે છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગ શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ