Porous set
ગણિતમાં, છિદ્રાળુ સમૂહ એ મેટ્રિક જગ્યાઓના અભ્યાસમાં એક ખ્યાલ છે. ઓછા અને શૂન્ય સમૂહને માપવાની વિભાવનાઓની જેમ, છિદ્રાળુ સમૂહને "વિરલ" અથવા "જથ્થાનો અભાવ" ગણી શકાય; જો કે, છિદ્રાળુ સમૂહ ઓછા સમૂહની સમકક્ષ નથી અથવા શૂન્ય સમૂહને માપતા નથી, જેમ કે નીચે દર્શાવેલ છે. વ્યાખ્યા ધારો કે (X, d) સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા છે અને E એ X નો સબસેટ છે. ધારો કે B (x, r) બંધ દડોને (X, d) માં કેન્દ્ર x Π X અને ત્રિજ્યા r> 0 સાથે સૂચવે છે. E ને છિદ્રાળુ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં 0 <α <1 અને r0> 0 સ્થિરાંકો અસ્તિત્વમાં હોય, જેમ કે, દરેક 0 <r ≤ r0 અને દરેક x ω X માટે, X ના ઉપગણ સાથે અમુક બિંદુ y ω X હોય તો તેને σ-છિદ્રાળુ કહેવામાં આવે છે જો તે X ના છિદ્રાળુ ઉપગણોનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ હોય. ગુણધર્મો કોઈપણ છિદ્રાળુ સમૂહ ક્યાંય ગાઢ નથી હોતો. તેથી, તમામ σ-છિદ્રાળુ સમૂહો ઓછા સમૂહો (અથવા પ્રથમ શ્રેણીના) છે. જો X એ મર્યાદિત-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ Rn હોય, તો છિદ્રાળુ ઉપગણ એ લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્યનો સમૂહ છે. જો કે, Rn નો બિન-σ-છિદ્રાળુ સબસેટ P અસ્તિત્વમાં છે જે પ્રથમ શ્રેણીનો છે અને લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય છે. આને ઝાજીસેકના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. છિદ્રાળુતા અને ક્યાંય ગાઢ ન હોવા વચ્ચેનો સંબંધ નીચે પ્રમાણે સચિત્ર કરી શકાય છેઃ જો E ક્યાંય ગાઢ ન હોય, તો x ωX અને r> 0 માટે, એક બિંદુ y ωX અને s> 0 એવું છે કે જો E પણ છિદ્રાળુ હોય, તો પછી s = αr (ઓછામાં ઓછા નાના પર્યાપ્ત r માટે) લેવાનું શક્ય છે, જ્યાં 0 <α <1 એ એક અચળાંક છે જે ફક્ત E. સંદર્ભો મેટ્રિક ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે.