Flat manifold
ગણિતમાં, રીમાનિયન મેનીફોલ્ડને સપાટ કહેવામાં આવે છે જો તેનો રીમાન વળાંક ટેન્સર દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય. સહજ ભાવે, સપાટ મેનીફોલ્ડ એ છે જે અંતર અને ખૂણાઓની દ્રષ્ટિએ "સ્થાનિક રીતે યુક્લિડિયન જગ્યા જેવું દેખાય છે", દા. ત. ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓ 180° સુધી ઉમેરે છે. સંપૂર્ણ સપાટ મેનીફોલ્ડનું સાર્વત્રિક આવરણ યુક્લિડિયન અવકાશ છે. આનો ઉપયોગ એ સિદ્ધાંતને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે કે તમામ કોમ્પેક્ટ ફ્લેટ મેનીફોલ્ડ્સ ટોરી દ્વારા મર્યાદિત રીતે આવરી લેવામાં આવે છે; 3-પરિમાણીય કેસ અગાઉ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. ઉદાહરણો નીચેના મેનીફોલ્ડ્સને સપાટ મેટ્રિકથી સંપન્ન કરી શકાય છે. નોંધ લો કે આ તેમનું 'પ્રમાણભૂત' મેટ્રિક ન પણ હોઈ શકે (ઉદાહરણ તરીકે, 2-પરિમાણીય ટોરસ પરનું સપાટ મેટ્રિક તેના સામાન્ય એમ્બેડિંગ દ્વારા પ્રેરિત મેટ્રિક નથી). પરિમાણ 1 દરેક એક-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ સપાટ હોય છે. તેનાથી વિપરીત, આપેલ છે કે દરેક જોડાયેલ એક-પરિમાણીય સરળ મેનીફોલ્ડ બંનેમાંથી કોઈ એક માટે ડિફિયોમોર્ફિક છે અથવા તે જોવાનું સરળ છે કે દરેક જોડાયેલ એક-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ નીચેનામાંથી એક માટે આઇસોમેટ્રિક છે (દરેક તેમની પ્રમાણભૂત રીમાનિયન રચના સાથે): વાસ્તવિક રેખા અમુક સંખ્યા માટે ખુલ્લું અંતરાલ અને અમુક સંખ્યા માટે ત્રિજ્યાનું વર્તુળ માત્ર પ્રથમ અને છેલ્લું પૂર્ણ થાય છે. જો કોઈ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ-વિથ-બાઉન્ડરીનો સમાવેશ કરે છે, તો પછી અર્ધ-ખુલ્લા અને બંધ અંતરાલો પણ શામેલ હોવા જોઈએ. આ કિસ્સામાં સંપૂર્ણ વર્ણનની સરળતા એ હકીકતને આભારી હોઈ શકે છે કે દરેક એક-પરિમાણીય રીમાનિયન મેનીફોલ્ડમાં એક સરળ એકમ-લંબાઈ વેક્ટર ક્ષેત્ર હોય છે, અને ઉપરોક્ત મોડેલના ઉદાહરણોમાંથી એક આઇસોમેટ્રી અભિન્ન વળાંકને ધ્યાનમાં લઈને પ્રદાન કરવામાં આવે છે. પરિમાણ 2 ડિફિયોમોર્ફિઝમ સુધીની પાંચ શક્યતાઓ જો એક સરળ દ્વિ-પરિમાણીય જોડાયેલ સંપૂર્ણ સપાટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોય, તો તે મોબિયસ પટ્ટી અથવા ક્લેઇન બોટલ માટે ડિફિયોમોર્ફિક હોવી જોઈએ. નોંધ લો કે એકમાત્ર સઘન શક્યતાઓ અને ક્લેઇન બોટલ છે, જ્યારે એકમાત્ર ઓરિએન્ટેબલ શક્યતાઓ છે અને આ જગ્યાઓ પર વિશિષ્ટ સંપૂર્ણ સપાટ રીમાનિયન મેટ્રિક્સનું વર્ણન કરવા માટે વધુ પ્રયત્નો કરવા પડે છે. દાખલા તરીકે, બે પરિબળો તેમની ત્રિજ્યા તરીકે કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ ધરાવી શકે છે. આ મેટ્રિક્સ તેમના બે ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે, તેથી આ જગ્યામાં અનંત રીતે ઘણા જુદા જુદા ફ્લેટ પ્રોડક્ટ મેટ્રિક્સ છે જે સ્કેલ ફેક્ટર સુધી આઇસોમેટ્રિક નથી. પાંચ શક્યતાઓ વિશે એકસમાન રીતે વાત કરવા માટે, અને ખાસ કરીને મોબિયસ પટ્ટી અને ક્લેઇન બોટલ સાથે અમૂર્ત મેનીફોલ્ડ્સ તરીકે નક્કર રીતે કામ કરવા માટે, જૂથ ક્રિયાઓની ભાષાનો ઉપયોગ કરવો ઉપયોગી છે. આપેલ આઇસોમેટ્રી સુધીની પાંચ શક્યતાઓ, ચાલો આપણે આપેલા અનુવાદને સૂચવીએ. પૂરી પાડવામાં આવેલ આ બધા જૂથો મુક્તપણે અને યોગ્ય રીતે અસંગત રીતે કાર્ય કરે છે અને તેથી વિવિધ કોસેટ જગ્યાઓ કુદરતી રીતે દ્વિ-પરિમાણીય સંપૂર્ણ સપાટ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સની રચના ધરાવે છે. તેમાંથી કોઈ પણ એકબીજા સાથે આઇસોમેટ્રિક નથી, અને કોઈપણ સરળ દ્વિ-પરિમાણીય સંપૂર્ણ ફ્લેટ જોડાયેલ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ તેમાંથી એક માટે આઇસોમેટ્રિક છે. ઓર્બિફોલ્ડ્સ પર લેખમાં સૂચિબદ્ધ સપાટ મેટ્રિક (ટોરસ અને ક્લેઇન બોટલ સહિત) સાથે 17 કોમ્પેક્ટ 2-ડાયમેન્શનલ ઓર્બિફોલ્ડ્સ છે, જે 17 વોલપેપર જૂથોને અનુરૂપ છે. ટિપ્પણીઓ નોંધે છે કે ડોનટ તરીકે ટોરસનું પ્રમાણભૂત 'ચિત્ર' તેને સપાટ મેટ્રિક સાથે રજૂ કરતું નથી, કારણ કે કેન્દ્રથી સૌથી દૂરના બિંદુઓમાં હકારાત્મક વળાંક હોય છે જ્યારે કેન્દ્રની નજીકના બિંદુઓમાં નકારાત્મક વળાંક હોય છે. કુઇપરના નેશ એમ્બેડિંગ થીયરમની રચના અનુસાર, એક એમ્બેડિંગ છે જે કોઈપણ સપાટ ઉત્પાદન મેટ્રિક્સને પ્રેરિત કરે છે જે અસ્તિત્વમાં છે પરંતુ તે સરળતાથી જોઈ શકાતા નથી. કારણ કે તેને કોઈપણ (સપાટ) ઉત્પાદન માળખાના એમ્બેડેડ સબમેનિફોલ્ડ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે જે કુદરતી રીતે તેના સબમેનિફોલ્ડ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે તેવી જ રીતે, ક્લેઇન બોટલના પ્રમાણભૂત ત્રિ-પરિમાણીય વિઝ્યુલાઇઝેશન સપાટ મેટ્રિક રજૂ કરતા નથી. મોબિયસ પટ્ટીની પ્રમાણભૂત રચના, કાગળની પટ્ટીના છેડાઓને એકસાથે ચોંટાડીને, ખરેખર તેને સપાટ મેટ્રિક આપે છે, પરંતુ તે પૂર્ણ નથી. પરિમાણ 3 ત્યાં 6 ઓરિએન્ટેબલ અને 4 નોન-ઓરિએન્ટેબલ કોમ્પેક્ટ ફ્લેટ 3-મેનિફોલ્ડ્સ છે, જે તમામ સીફર્ટ ફાઇબર સ્પેસ છે; તેઓ 10 ટોર્સિયન-ફ્રી ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક જૂથો દ્વારા ભાગાકાર જૂથો છે. ત્યાં 4 ઓરિએન્ટેબલ અને 4 નોન-ઓરિએન્ટેબલ નોન-કોમ્પેક્ટ જગ્યાઓ પણ છે. ઓરિએન્ટેબલ 10 ઓરિએન્ટેબલ ફ્લેટ 3-મેનિફોલ્ડ્સ છેઃ યુક્લિડિયન 3-સ્પેસ,. 3-ટોરસ, સમઘનની વિરુદ્ધ બાજુઓને ચોંટાડીને બનાવવામાં આવે છે. એક જોડી પર અડધા વળાંક સાથે સમઘનની વિરુદ્ધ બાજુઓને ચોંટાડીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. એક જોડી પર 1/4 વળાંક સાથે સમઘનની વિરુદ્ધ બાજુઓને ચોંટાડીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. ષટ્કોણ મુખ પર 1/3 વળાંક સાથે ષટ્કોણ પ્રિઝમના વિરુદ્ધ ચહેરાને ચોંટાડીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. ષટ્કોણ ચહેરાઓ પર 1/6 વળાંક સાથે ષટ્કોણ પ્રિઝમના વિરુદ્ધ ચહેરાઓને ચોંટાડીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. હેન્ટ્ઝશે-વેન્ડ્ટ મેનીફોલ્ડ. મેનીફોલ્ડ બે સમાંતર વિમાનો વચ્ચેની જગ્યા તરીકે બનાવવામાં આવે છે જે એકસાથે ગુંદર ધરાવતા હોય છે. અનંત ચોરસ ચીમનીની વિરુદ્ધ દિવાલોને ચોંટાડીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. એક જોડી પર અડધા વળાંક સાથે અનંત ચોરસ ચીમનીની વિરુદ્ધ દિવાલોને ચોંટાડીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. નોન-ઓરિએન્ટેબલ 8 નોન-ઓરિએન્ટેબલ 3-મેનિફોલ્ડ્સ છેઃ વર્તુળ અને ક્લેઈન બોટલનું કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન. ઉપરોક્ત સમાન એક મેનીફોલ્ડ, પરંતુ ગ્લાઇડ પ્લેનની સમાંતર એક દિશામાં અનુવાદાત્મક રીતે સરભર કરે છે; આ દિશામાં આગળ વધવું મેનીફોલ્ડની વિરુદ્ધ બાજુએ પાછું આવે છે. બે પેરેન્ડિક્યુલર ગ્લાઇડ પ્લેનમાં એક બિંદુને પ્રતિબિંબિત કરીને અને ત્રીજી દિશામાં અનુવાદ કરીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત સમાન મેનીફોલ્ડ, પરંતુ ટ્રાન્સલેશનલ રીતે એક ગ્લાઇડ પ્લેનની સમાંતર એક દિશામાં સરભર કરે છે; આ દિશામાં આગળ વધવું મેનીફોલ્ડની વિરુદ્ધ બાજુએ પાછું આવે છે. વર્તુળ અને (અમર્યાદિત) મોબિયસ પટ્ટીનું કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન. એક અક્ષ સાથે બિંદુને અનુવાદિત કરીને અને તેને લંબરૂપ ગ્લાઇડ પ્લેન પર પ્રતિબિંબિત કરીને બનાવવામાં આવેલ મેનીફોલ્ડ. એક અક્ષ સાથે બિંદુને અનુવાદિત કરીને અને તેને સમાંતર ગ્લાઇડ પ્લેન પર પ્રતિબિંબિત કરીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. બે લંબરૂપ ગ્લાઇડ પ્લેનમાં એક બિંદુને પ્રતિબિંબિત કરીને મેનીફોલ્ડ બનાવવામાં આવે છે. ઉચ્ચ પરિમાણો યુક્લિડિયન જગ્યા તોરી સપાટ મેનીફોલ્ડ્સના ઉત્પાદનો મુક્તપણે કામ કરતા જૂથો દ્વારા સપાટ મેનીફોલ્ડ્સના ગુણોત્તર. અનુકૂળતા સાથેનો સંબંધ બિન-સકારાત્મક વિભાગીય વળાંકવાળા તમામ બંધ મેનીફોલ્ડ્સમાં, સપાટ મેનીફોલ્ડ્સને ચોક્કસપણે અનુકૂળ મૂળભૂત જૂથ સાથે દર્શાવવામાં આવે છે. આ એડમ્સ-બોલમેન પ્રમેય (1998) નું પરિણામ છે, જે આ લાક્ષણિકતાને હેડામર્ડ જગ્યાઓના આઇસોમેટ્રીના અલગ કો-કોમ્પેક્ટ જૂથોના વધુ સામાન્ય સેટિંગમાં સ્થાપિત કરે છે. આ બીબરબેકના પ્રમેયનું દૂરગામી સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે. એડમ્સ-બોલમેન પ્રમેયમાં વિસંગતતા ધારણા આવશ્યક છેઃ અન્યથા, વર્ગીકરણમાં કેપ્રેસ-મોનોડના "અવિવેકી" બીબરબેક પ્રમેયને ધ્યાનમાં રાખીને સમપ્રમાણ જગ્યાઓ, બ્રુહટ-ટિટ્સ ઇમારતો અને બાસ-સેર વૃક્ષોનો સમાવેશ થવો આવશ્યક છે. સ્પેસ ફોર્મ્સ ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક જૂથો રિક્કી-ફ્લેટ મેનીફોલ્ડ કન્ફોર્મલી ફ્લેટ મેનીફોલ્ડ એફાઈન મેનીફોલ્ડ રેફરન્સ નોટ્સ ગ્રંથસૂચિ પણ જુઓ. . . બાહ્ય કડીઓ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ