Permutohedron
ગણિતમાં, ક્રમ n નો પર્મ્યુટોહેડ્રોન (પર્મ્યુટાહેડ્રોનની જોડણી પણ) એ n-પરિમાણીય અવકાશમાં જડિત (n−1)-પરિમાણીય પોલીટોપ છે. તેના શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ (લેબલ્સ) એ પ્રથમ n કુદરતી સંખ્યાઓના ક્રમચયો છે. ધાર ટૂંકા શક્ય માર્ગો (સ્થાનાંતરણના સમૂહ) ને ઓળખે છે જે બે શિરોબિંદુઓ (ક્રમચયો) ને જોડે છે. ધાર દ્વારા જોડાયેલા બે ક્રમચયો માત્ર બે સ્થળોએ (એક સ્થાનાંતર) અલગ પડે છે, અને આ સ્થાનો પરની સંખ્યાઓ પડોશીઓ છે (મૂલ્યમાં 1 થી અલગ પડે છે). જમણી બાજુની છબી ક્રમ 4 નો પર્મ્યુટોહેડ્રોન દર્શાવે છે, જે કપાયેલ ઓક્ટાહેડ્રોન છે. તેના શિરોબિંદુઓ (1,2,3,4) ના 24 ક્રમચયો છે. સમાંતર ધાર સમાન ધાર રંગ ધરાવે છે. 6 ધાર રંગો 4 તત્વોના 6 સંભવિત સ્થાનાંતરણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. તેઓ સૂચવે છે કે કયા બે સ્થળોએ જોડાયેલા ક્રમચયો અલગ પડે છે. (દા. ત. લાલ ધાર ક્રમચયોને જોડે છે જે છેલ્લા બે સ્થળોએ અલગ પડે છે.) ઇતિહાસ અનુસાર, પરમુટોહેડ્રા દ્વારા સૌપ્રથમ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. પર્મુટોડ્રે નામ તેમના દ્વારા રચવામાં આવ્યું હતું. તેઓ આ શબ્દને બર્બર, પરંતુ યાદ રાખવામાં સરળ તરીકે વર્ણવે છે, અને તેને તેમના વાચકોની ટીકા સમક્ષ રજૂ કરે છે. કેટલીકવાર વૈકલ્પિક જોડણી પર્મુતાહેડ્રોનનો પણ ઉપયોગ થાય છે. પર્મ્યુટોહેડ્રાને કેટલીકવાર ક્રમચય પોલીટોપ કહેવામાં આવે છે, પરંતુ આ પરિભાષાનો ઉપયોગ સંબંધિત બિર્ખોફ પોલીટોપ માટે પણ થાય છે, જેને ક્રમચય મેટ્રિક્સના બહિર્મુખ હલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, તે શબ્દનો ઉપયોગ કોઈપણ પોલીટોપ માટે થાય છે, જેના શિરોબિંદુઓમાં અમુક સમૂહના ક્રમચયો સાથે દ્વિભાજન હોય છે. શિરોબિંદુઓ, ધાર અને પાસાઓ ક્રમના પર્મ્યુટોહેડ્રોનમાં શિરોબિંદુઓ હોય છે, જેમાંથી દરેક અન્યને અડીને હોય છે. ધારની સંખ્યા છે, અને તેમની લંબાઈ છે. બે જોડાયેલા શિરોબિંદુઓ બે કોઓર્ડિનેટ્સની અદલાબદલી કરીને અલગ પડે છે, જેના મૂલ્યો 1 થી અલગ પડે છે. અદલાબદલી સ્થાનોની જોડી ધારની દિશાને અનુરૂપ છે. (ઉદાહરણ છબીમાં શિરોબિંદુઓ અને વાદળી ધાર દ્વારા જોડાયેલા છે અને પ્રથમ બે સ્થાનો પર 2 અને 3 ને અદલાબદલી કરીને અલગ પડે છે. મૂલ્યો 2 અને 3 એ 1 થી અલગ પડે છે. તમામ વાદળી ધાર પ્રથમ બે સ્થાનો પરના કોઓર્ડિનેટ્સની અદલાબદલીને અનુરૂપ છે.) પાસાઓની સંખ્યા છે, કારણ કે તેઓ ખાલી ન હોય તેવા યોગ્ય ઉપગણને અનુરૂપ છે. સબસેટને અનુરૂપ બાજુના શિરોબિંદુઓમાં સમાનતા હોય છે, કે અંદરના સ્થાનો પરના તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ બાકીના કરતા નાના હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, પરિમાણો 0 (શિરોબિંદુઓ) થી (સ્વયં પર્મ્યુટોહેડ્રોન) ના મુખ સમૂહના કડક નબળા ક્રમને અનુરૂપ હોય છે. તેથી બધા ચહેરાઓની સંખ્યા એ-th ક્રમાંકિત ઘંટડી સંખ્યા છે. પરિમાણનો ચહેરો સમકક્ષતા વર્ગો સાથેના ક્રમને અનુરૂપ છે. |} ક્રમના પર્મ્યુટોહેડ્રોનમાં પરિમાણના મુખની સંખ્યા ત્રિકોણ દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બીજા પ્રકારની સ્ટર્લિંગ સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી વખતે તે જમણી બાજુએ તેની પંક્તિના સરવાળા, ક્રમબદ્ધ બેલ સંખ્યાઓ સાથે દર્શાવવામાં આવે છે. અન્ય ગુણધર્મો પર્મ્યુટોહેડ્રોન શિરોબિંદુ-સંક્રમક છેઃ સમપ્રમાણ જૂથ Sn કોઓર્ડિનેટ્સના ક્રમચય દ્વારા પર્મ્યુટોહેડ્રોન પર કાર્ય કરે છે. પર્મ્યુટોહેડ્રોન એક ઝોનોટોપ છે; પર્મ્યુટોહેડ્રોનની અનુવાદિત નકલ એન (એન-1)/2 લાઇન સેગમેન્ટ્સના મિન્કોવ્સ્કી સરવાળા તરીકે પેદા કરી શકાય છે જે પ્રમાણભૂત બેસિસ વેક્ટરની જોડીને જોડે છે. પર્મ્યુટોહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ અને ધાર સમપ્રમાણ જૂથના કેલે આલેખમાંથી એક માટે સમરૂપ છે, એટલે કે તે સ્થાનાંતરણ દ્વારા પેદા થાય છે જે સતત તત્વોને અદલાબદલી કરે છે. કેલે આલેખના શિરોબિંદુઓ પર્મ્યુટોહેડ્રોનમાંના શિરોબિંદુઓના વ્યસ્ત ક્રમચયો છે. જમણી બાજુની છબી S4 નો કેલે ગ્રાફ દર્શાવે છે. તેના ધાર પરના રંગો 3 જનરેટિંગ ટ્રાન્સપોઝિશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છેઃ, આ કેલે ગ્રાફ હેમિલ્ટોનિયન છે; હેમિલ્ટોનિયન ચક્ર સ્ટેઇનહાઉસ-જોહ્નસન-ટ્રોટર અલ્ગોરિધમ દ્વારા મળી શકે છે. અવકાશનું ટેસેલેશન n ક્રમનો પર્મ્યુટોહેડ્રોન સંપૂર્ણપણે ()-પરિમાણીય હાયપરપ્લેનમાં આવેલો છે, જેમાં તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમના કોઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો સંખ્યા 1 + 2 + + n = n (n + 1)/2 થાય છે. વધુમાં, આ હાયપરપ્લેનને પર્મ્યુટોહેડ્રોનની અનંત અનુવાદિત નકલો દ્વારા ટાઇલ કરી શકાય છે. તેમાંના દરેક મૂળભૂત પરમ્યુટોહેડ્રોનથી ચોક્કસ (n−1)-પરિમાણીય જાળીના તત્વ દ્વારા અલગ પડે છે, જેમાં પૂર્ણાંકોના n-ટુપલ્સનો સમાવેશ થાય છે જેનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે અને જેના અવશેષો (મોડ્યુલો n) બધા સમાન હોય છેઃ x1 + x2 +. + xn = 0 x1 ષ્ણ x2 ષ્ણ. ષ્ણ xn (મોડ n). આ જાળી છે, જે મૂળ જાળીની બેવડી જાળી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પરમ્યુટોહેડ્રોન એ વોરોનોઈ કોષ છે. તદનુસાર, આ જાળીને કેટલીકવાર પર્મ્યુટોહેડ્રલ જાળી કહેવામાં આવે છે. આમ, ઉપર દર્શાવેલ ક્રમ 4 નો પર્મ્યુટોહેડ્રોન અનુવાદ દ્વારા ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાને ટાઇલ્સ કરે છે. અહીં ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા એ x, y, z, w કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે 4-પરિમાણીય જગ્યા R4 ની એફાઇન સબસ્પેસ છે જેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓના 4-ટુપલ્સનો સમાવેશ થાય છે જેનો સરવાળો 10, x + y + z + w = 10 છે. એક સરળતાથી તપાસે છે કે નીચેના ચાર વેક્ટરમાંથી દરેક માટે, (1,1,1, −3), (1,1, −3,1), (1, − 3,1,1) અને (−3,1,1,1), કોઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો શૂન્ય છે અને તમામ કોઓર્ડિનેટ્સ 1 (મોડ 4) સાથે એકરૂપ છે. આમાંથી કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર અનુવાદ જાળી ઉત્પન્ન કરે છે. અનુક્રમે ક્રમ-2, ક્રમ-3 અને ક્રમ-4 પરમ્યુટોહેડ્રાથી આ રીતે રચાયેલા ટેસેલેશનમાં એપિરોગોન, નિયમિત ષટ્કોણ ટાઇલિંગ અને બિટ્રન્કેટેડ ક્યુબિક હનીકોમ્બ છે. બેવડા ટેસેલેશનમાં તમામ સિમ્પ્લેક્સ પાસાઓ હોય છે, જો કે તે ક્રમ-3ની બહાર નિયમિત પોલીટોપ નથી. ઉદાહરણો એસોસિઆહેડ્રોન સાયક્લોહેડ્રોન પર્મ્યુટોસોસિઆહેડ્રોન નોટ્સ રેફરન્સ પણ જુઓ. . . . ગૂગલબુક, 370-381 પણ કે. એન. એ. ડબલ્યુ. ડિજિટલ લાઈબ્રેરી પર http://www.dwc.knaw.nl/toegangen/digital-library-knaw/?pagetype=publDetail&pId=PU00011495 પર ઓનલાઇન. . વધુ વાંચન. બાહ્ય કડીઓ ક્રમચયો પોલીટોપ