Stable normal bundle
શસ્ત્રક્રિયા સિદ્ધાંતમાં, ગણિતની એક શાખા, વિભેદક મેનીફોલ્ડનું સ્થિર સામાન્ય બંડલ એ એક અપરિવર્તનશીલ છે જે સ્થિર સામાન્ય (દ્વિગુણિત, સ્પર્શક) ડેટાને એન્કોડ કરે છે. મેનીફોલ્ડના સામાન્યીકરણ માટે એનાલોગ છે, ખાસ કરીને પી. એલ.-મેનિફોલ્ડ્સ અને ટોપોલોજિકલ મેનીફોલ્ડ્સ. પોઇનકેરે જગ્યાઓ માટે હોમોટોપી સિદ્ધાંતમાં એક એનાલોગ પણ છે, જે સ્પિવાક ગોળાકાર તંતુ છે, જેનું નામ માઇકલ સ્પિવાકના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. એમ્બેડિંગ્સ દ્વારા બાંધકામ યુક્લિડિયન અવકાશમાં મેનીફોલ્ડનું એમ્બેડિંગ આપવામાં આવે છે (હેસ્લર વ્હિટનીના પ્રમેય દ્વારા પ્રદાન કરાયેલ), તેમાં સામાન્ય બંડલ છે. એમ્બેડિંગ અનન્ય નથી, પરંતુ યુક્લિડિયન જગ્યાના ઉચ્ચ પરિમાણ માટે તે આઇસોટોપી સુધી અનન્ય છે, આમ (વર્ગનું) બંડલ અનન્ય છે, અને તેને સ્થિર સામાન્ય બંડલ કહેવામાં આવે છે. આ બાંધકામ કોઈપણ પોઇનકેર સ્પેસ X માટે કામ કરે છેઃ એક મર્યાદિત CW-સંકુલ સામાન્ય સ્થિતિ દ્વારા યુક્લિડિયન જગ્યામાં સ્થિર અનન્ય (હોમોટૉપી સુધી) એમ્બેડિંગ સ્વીકારે છે, અને આ એમ્બેડિંગ X પર ગોળાકાર તંતુ પેદા કરે છે. વધુ પ્રતિબંધિત જગ્યાઓ (ખાસ કરીને પી. એલ.-મેનિફોલ્ડ્સ અને ટોપોલોજિકલ મેનિફોલ્ડ્સ) માટે, વ્યક્તિને મજબૂત ડેટા મળે છે. વિગતો જો એમ્બેડિંગ દ્વારા બે એમ્બેડિંગ હોમોટોપિક હોય તો તે આઇસોટોપિક હોય છે. મેનીફોલ્ડ અથવા અન્ય યોગ્ય જગ્યા X આપવામાં આવે તો, યુક્લિડિયન જગ્યામાં બે એમ્બેડિંગ્સ સાથે આ સામાન્ય રીતે આઇસોટોપિક નહીં હોય, અથવા તો સમાન જગ્યામાં નકશા પણ નહીં હોય (સમાનની જરૂર નથી). જો કે, છેલ્લા કોઓર્ડિનેટ્સને 0: આપીને આને મોટી જગ્યામાં એમ્બેડ કરી શકાય છે. યુક્લિડિયન અવકાશની નજીકની તુચ્છ નકલોની આ પ્રક્રિયાને સ્થિરીકરણ કહેવામાં આવે છે. આમ યુક્લિડિયન અવકાશમાં કોઈપણ બે એમ્બેડિંગ્સને એક જ યુક્લિડિયન અવકાશમાં (લેવા) નકશો બનાવવા માટે ગોઠવી શકાય છે, અને વધુમાં, જો તે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી હોય, તો આ એમ્બેડિંગ્સ આઇસોટોપિક છે, જે એક પ્રમેય છે. આમ એમ્બેડિંગનો એક અનન્ય સ્થિર આઇસોટોપી વર્ગ છેઃ તે કોઈ ચોક્કસ એમ્બેડિંગ નથી (કારણ કે તેમાં ઘણી એમ્બેડિંગ્સ છે), ન તો આઇસોટોપી વર્ગ (કારણ કે લક્ષ્ય જગ્યા નિશ્ચિત નથીઃ તે માત્ર "પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી યુક્લિડિયન જગ્યા" છે), પરંતુ નકશાનો સ્થિર આઇસોટોપી વર્ગ છે. આ (સ્થિર વર્ગ) એમ્બેડિંગ સાથે સંકળાયેલ સામાન્ય બંડલ પછી સ્થિર સામાન્ય બંડલ છે. આ સ્થિર સમસ્થાનિક વર્ગને લક્ષ્ય સ્થાન નક્કી કરીને વાસ્તવિક સમસ્થાનિક વર્ગ સાથે બદલી શકાય છે, ક્યાં તો લક્ષ્ય સ્થાન તરીકે હિલ્બર્ટ સ્પેસનો ઉપયોગ કરીને, અથવા (મેનીફોલ્ડના નિશ્ચિત પરિમાણ માટે) પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા નિશ્ચિતનો ઉપયોગ કરીને, કારણ કે N માત્ર n પર આધાર રાખે છે, પ્રશ્નના મેનીફોલ્ડ પર નહીં. વધુ અમૂર્ત રીતે, એમ્બેડિંગને સ્થિર કરવાને બદલે, કોઈ પણ એમ્બેડિંગ લઈ શકે છે, અને પછી પૂરતી સંખ્યામાં તુચ્છ લાઇન બંડલ્સ સાથે વેક્ટર બંડલનો સીધો સરવાળો લઈ શકે છે; આ સ્થિર એમ્બેડિંગના સામાન્ય બંડલને બરાબર અનુરૂપ છે. એક એન-મેનીફોલ્ડ એમમાં સ્પર્શક બંડલ હોય છે, જેમાં વર્ગીકરણ નકશો (હોમોટૉપી સુધી) હોય છે, જે સ્થિર સ્પર્શક બંડલના સમાવેશની ઉપજ (વર્ગીકરણ નકશાના હોમોટૉપી વર્ગ) સાથે બનેલો હોય છે. એમ્બેડિંગ (મોટા) નું સામાન્ય બંડલ તેના માટે ઊલટું છે, જેમ કે વ્હિટની રકમ તુચ્છ છે. સંયુક્તનો હોમોટૉપી વર્ગ એમ્બેડિંગની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે, જે સ્થિર સામાન્ય બંડલનું વર્ગીકરણ કરે છે. સ્પર્શક અથવા કોટેનજેન્ટ વેક્ટરથી વિપરીત, મેનીફોલ્ડ માટે સામાન્ય વેક્ટરની કોઈ આંતરિક કલ્પના નથી-દાખલા તરીકે, સામાન્ય જગ્યા તે કયા પરિમાણમાં જડિત થઈ રહી છે તેના પર આધાર રાખે છે-તેથી સ્થિર સામાન્ય બંડલ તેના બદલે સ્થિર સામાન્ય જગ્યાની કલ્પના પ્રદાન કરે છેઃ સામાન્ય જગ્યા (અને સામાન્ય વેક્ટર) તુચ્છ સરવાળા સુધી. સ્થિર સ્પર્શકને બદલે સ્થિર સામાન્ય કેમ? અસ્થિર સ્પર્શક ડેટાને બદલે સ્થિર સામાન્ય ડેટાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કારણ કે મેનીફોલ્ડ્સના સામાન્યીકરણમાં કુદરતી સ્થિર સામાન્ય-પ્રકારની રચનાઓ હોય છે, જે ટ્યુબ્યુલર પડોશીઓ અને સામાન્યીકરણમાંથી આવે છે, પરંતુ અસ્થિર સ્પર્શક નથી, કારણ કે સ્થાનિક માળખું સરળ નથી. અવકાશ X પર ગોળાકાર તંતુઓને નકશાના હોમોટૉપી વર્ગો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેમાં હોમોટૉપી જૂથો ગોળાના સ્થિર હોમોટૉપી જૂથો છે. ભૂલી જવાનો નકશો ફાઇબરશન ક્રમ સુધી વિસ્તરે છે. પોઇનકેર સ્પેસ Xમાં સ્પર્શક બંડલ હોતું નથી, પરંતુ તેમાં સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સ્થિર ગોળાકાર તંતુ હોય છે, જે વિકલનક્ષમ મેનીફોલ્ડ માટે સ્થિર સામાન્ય બંડલ સાથે સંકળાયેલ ગોળાકાર તંતુ હોય છે; આમ વિકલનક્ષમ મેનીફોલ્ડની હોમોટૉપી પ્રકાર ધરાવતી X માટે પ્રાથમિક અવરોધ એ છે કે ગોળાકાર તંતુ વેક્ટર બંડલ તરફ વધે છે, એટલે કે, સ્પિવાક ગોળાકાર તંતુએ ઉપર ઉઠવું જ જોઈએ, જે નકશાને નલ હોમોટોપિક હોવાની સમકક્ષ છે. ગૌણ અવરોધ એ દિવાલ શસ્ત્રક્રિયાની અવરોધ છે. એપ્લિકેશન્સ સ્થિર સામાન્ય બંડલ શસ્ત્રક્રિયાના સિદ્ધાંતમાં પ્રાથમિક અવરોધ તરીકે મૂળભૂત છેઃ પોઇનકેરે સ્પેસ X માટે સરળ મેનીફોલ્ડની હોમોટૉપી પ્રકાર હોય, તો નકશો નલ હોમોટૉપિક હોવો જોઈએ બે મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેની હોમોટૉપી સમાનતા માટે ડિફિયોમોર્ફિઝમ માટે હોમોટૉપિક હોવા માટે, તેણે N પર સ્થિર સામાન્ય બંડલને M પર સ્થિર સામાન્ય બંડલમાં પાછું ખેંચવું આવશ્યક છે. વધુ સામાન્ય રીતે, તેના સામાન્યીકરણ (અસ્થિર) સ્પર્શક બંડલ માટે અવેજી તરીકે કામ કરે છે. સંદર્ભો વિભેદક ભૂમિતિ શસ્ત્રક્રિયા સિદ્ધાંત