Undefined (mathematics)
ગણિતમાં, અવ્યાખ્યાયિત શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર એવી અભિવ્યક્તિનો સંદર્ભ આપવા માટે થાય છે જેને અર્થઘટન અથવા મૂલ્ય સોંપવામાં આવતું નથી (જેમ કે અનિશ્ચિત સ્વરૂપ, જેમાં વિવિધ મૂલ્યો ધારણ કરવાની સંભાવના હોય છે). આ શબ્દ સંદર્ભના આધારે વિવિધ અર્થો લઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં, અમુક વિભાવનાઓને આદિમ ધારણાઓ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે (દા. ત., ભૂમિતિમાં "બિંદુ", "રેખા" અને "સમતલ" શબ્દો). આ શબ્દોને અન્ય વિભાવનાઓની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતા નથી, તેથી તેમને "અવ્યાખ્યાયિત શબ્દો" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કાર્યને તેના કાર્યક્ષેત્રની બહારના બિંદુઓ પર "અવ્યાખ્યાયિત" કહેવામાં આવે છે-ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક મૂલ્યનું કાર્ય નકારાત્મક માટે અવ્યાખ્યાયિત છે (એટલે કે, તે નકારાત્મક દલીલોને કોઈ મૂલ્ય આપતું નથી). બીજગણિતમાં, કેટલીક અંકગણિત કામગીરીઓ તેના ઓપરેન્ડ્સના ચોક્કસ મૂલ્યોને અર્થ ન આપી શકે (દા. ત., શૂન્ય દ્વારા વિભાજન). આ કિસ્સામાં, આવા ઓપરેન્ડ્સ સાથે સંકળાયેલા અભિવ્યક્તિઓને "અવ્યાખ્યાયિત" કહેવામાં આવે છે. વર્ગમૂળમાં, કોઈ પણ નકારાત્મક સંખ્યાના વર્ગમૂળો અવ્યાખ્યાયિત હોય છે કારણ કે તમે સમાન હકારાત્મક કે નકારાત્મક સંખ્યાના 2 ને ગુણાકાર કરીને નકારાત્મક સંખ્યા મેળવી શકતા નથી, જેમ કે-4,-9,-16 વગેરે. (ઉદાઃ 6x6 = 36 અને-6x-6 = 36). અવ્યાખ્યાયિત શબ્દો પ્રાચીન સમયમાં, ભૂમિતિશાસ્ત્રીઓએ દરેક શબ્દને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડે એક બિંદુને "જેનો કોઈ ભાગ નથી" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે. આધુનિક સમયમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ માને છે કે દરેક શબ્દને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ અનિવાર્યપણે ગોળાકાર વ્યાખ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે, અને તેથી કેટલાક શબ્દો (જેમ કે "બિંદુ") ને અવ્યાખ્યાયિત છોડી દે છે (વધુ માટે આદિમ કલ્પના જુઓ). આ વધુ અમૂર્ત અભિગમ ફળદાયી સામાન્યીકરણ માટે પરવાનગી આપે છે. ટોપોલોજીમાં, ટોપોલોજિકલ જગ્યાને ચોક્કસ ગુણધર્મોથી સંપન્ન બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ સામાન્ય સેટિંગમાં, આ "બિંદુઓ" ની પ્રકૃતિ સંપૂર્ણપણે અવ્યાખ્યાયિત રહે છે. તેવી જ રીતે, શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં, શ્રેણીમાં "પદાર્થો" અને "તીર" નો સમાવેશ થાય છે, જે ફરીથી આદિમ, અવ્યાખ્યાયિત શબ્દો છે. આ આવા અમૂર્ત ગાણિતિક સિદ્ધાંતોને ખૂબ જ વૈવિધ્યસભર નક્કર પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અંકગણિતમાં અભિવ્યક્તિ અંકગણિતમાં અવ્યાખ્યાયિત છે, જેમ કે શૂન્ય દ્વારા વિભાજનમાં સમજાવવામાં આવ્યું છે (અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ અનિશ્ચિત સ્વરૂપને રજૂ કરવા માટે કલનમાં થાય છે). ગણિતશાસ્ત્રીઓના જુદા જુદા મંતવ્યો છે કે શું તેને 1 ની બરાબર વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ, અથવા તેને અવ્યાખ્યાયિત છોડી દેવું જોઈએ. મૂલ્યો કે જેના માટે કાર્યો અવ્યાખ્યાયિત છે સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેના માટે કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેને કાર્યનું ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ સંખ્યા કાર્યના ક્ષેત્રમાં ન હોય, તો કાર્યને તે સંખ્યા માટે "અવ્યાખ્યાયિત" કહેવામાં આવે છે. બે સામાન્ય ઉદાહરણો છે, જે માટે અવ્યાખ્યાયિત છે, અને જે (વાસ્તવિક સંખ્યા પ્રણાલીમાં) નકારાત્મક માટે અવ્યાખ્યાયિત છે. ત્રિકોણમિતિમાં, બધા માટે, કાર્યો અને બધા માટે અવ્યાખ્યાયિત છે, જ્યારે કાર્યો અને બધા માટે અવ્યાખ્યાયિત છે. જટિલ વિશ્લેષણમાં, જટિલ વિશ્લેષણમાં, એક બિંદુ જ્યાં હોલોમોર્ફિક કાર્ય અવ્યાખ્યાયિત હોય તેને સિંગ્યુલારીટી કહેવામાં આવે છે. એક દૂર કરી શકાય તેવી એકવચનતા (એટલે કે, કાર્યને હોલોમોર્ફિકલી રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે), ધ્રુવો (એટલે કે, કાર્યને મેરોમોર્ફિકલી રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે), અને આવશ્યક એકવચનતા (એટલે કે, કોઈ મેરોમોર્ફિક વિસ્તરણ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે નહીં) વચ્ચે તફાવત કરે છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં નોટેશનનો ઉપયોગ કરતા ′ અને ^ કોમ્પ્યુટેબિલીટી થિયરીમાં, જો આંશિક કાર્ય હોય અને તે એક તત્વ હોય, તો તેને આ રીતે લખવામાં આવે છે, અને "f (a) વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. જો તે ડોમેનમાં નથી, તો પછી આ તરીકે લખવામાં આવે છે, અને "અવ્યાખ્યાયિત છે" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. અનંતના પ્રતીકો વિશ્લેષણ, માપન સિદ્ધાંત અને અન્ય ગાણિતિક શાખાઓમાં, પ્રતીકનો ઉપયોગ વારંવાર અનંત સ્યુડો-નંબરને તેના નકારાત્મક સાથે દર્શાવવા માટે થાય છે. પ્રતીકનો પોતાનામાં કોઈ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અર્થ નથી, પરંતુ જેમ કે એક અભિવ્યક્તિ અલગ ક્રમ માટે લઘુલિપિ છે, જે અમુક સમયે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા કરતાં આખરે મોટી હોય છે. પ્રતીકો સાથે પ્રમાણભૂત અંકગણિત કામગીરી કરવી એ અવ્યાખ્યાયિત છે. કેટલાક વિસ્તરણ, જોકે, સરવાળા અને ગુણાકારના નીચેના સંમેલનોને વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ બધા માટે. બધા માટે. બધા માટે. નીચેના કિસ્સાઓમાં સરવાળા અને ગુણાકારનું કોઈ સમજદાર વિસ્તરણ અસ્તિત્વમાં નથીઃ (જોકે માપ સિદ્ધાંતમાં, આને ઘણીવાર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે) વધુ વિગત માટે, વિસ્તૃત વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા જુઓ. સંદર્ભો વધુ વાંચન ગાણિતિક પરિભાષા ગણતરી