Homotopy category of chain complexes
ગણિતમાં હોમોલોજિકલ બીજગણિતમાં, એડિટિવ શ્રેણી A માં સાંકળ સંકુલની હોમોટૉપી શ્રેણી K (A) એ સાંકળ હોમોટૉપીઝ અને હોમોટૉપી સમકક્ષતા સાથે કામ કરવા માટેનું માળખું છે. જ્યારે A એબેલિયન હોય ત્યારે તે સાંકળ સંકુલની શ્રેણી કોમ (A) અને A ની વ્યુત્પન્ન શ્રેણી D (A) વચ્ચે મધ્યવર્તી હોય છે; પહેલાની વિપરીત તે ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે, અને પછીની રચનાથી વિપરીત તેની રચના માટે A એબેલિયન હોવાની જરૂર નથી. ફિલોસોફિકલ રીતે, જ્યારે ડી (એ) કોમ (એ) માં અર્ધ-સમરૂપતા ધરાવતા સંકુલના કોઈપણ નકશાને સમરૂપતામાં ફેરવે છે, ત્યારે કે (એ) માત્ર "સારા કારણ" માટે અર્ધ-સમરૂપતા ધરાવતા લોકો માટે જ આવું કરે છે, એટલે કે વાસ્તવમાં સમરૂપતા સમકક્ષતા સુધી વ્યસ્તતા ધરાવે છે. આમ, કે (એ) એ ડી (એ) કરતાં વધુ સમજી શકાય તેવું છે. વ્યાખ્યાઓ A ને એક એડિટિવ શ્રેણી બનવા દો. હોમોટૉપી શ્રેણી K (A) નીચેની વ્યાખ્યા પર આધારિત છેઃ જો આપણી પાસે સંકુલ A, B હોય અને A થી B સુધીના નકશા f, g હોય, તો f થી G સુધીની સાંકળ હોમોટૉપી એ નકશાનો સંગ્રહ છે (સંકુલોનો નકશો નહીં) જેમ કે અથવા ફક્ત આ રીતે દર્શાવી શકાય છેઃ આપણે એમ પણ કહી શકીએ કે f અને g સાંકળ હોમોટોપિક છે, અથવા તે નલ-હોમોટોપિક અથવા 0 માટે હોમોટોપિક છે. વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સંકુલના નકશા જે નલ-હોમોટોપિક હોય છે તે ઉમેરા હેઠળના જૂથની રચના કરે છે. સાંકળ સંકુલ K (A) ની હોમોટૉપી શ્રેણીને પછી નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છેઃ તેની વસ્તુઓ કોમ (A) ની વસ્તુઓ જેવી જ છે, એટલે કે સાંકળ સંકુલ. તેના મોર્ફિઝમ્સ "કોમ્પ્લેક્સ મોડ્યુલો હોમોટોપીના નકશા" છેઃ એટલે કે, જો f એ g માટે હોમોટોપિક હોય તો આપણે સમકક્ષ સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને આ સંબંધ દ્વારા ભાગાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે આ એક એડિટિવ શ્રેણીમાં પરિણમે છે જો કોઈ નોંધે કે આ નલ-હોમોટોપિક નકશાના પેટાજૂથ દ્વારા ભાગાકાર લેવા જેવું જ છે. વ્યાખ્યાના નીચેના પ્રકારો પણ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છેઃ જો કોઈ વ્યક્તિ માત્ર બાઉન્ડેડ કોમ્પ્લેક્સને બદલે બાઉન્ડેડ-નીચે (એન <<0 માટે એન = 0), બાઉન્ડેડ-ઉપર (એન>> 0 માટે એન = 0), અથવા બાઉન્ડેડ (એન = 0 માટે |n |>> 0) કોમ્પ્લેક્સ લે છે, તો તે બાઉન્ડેડ-નીચે હોમોટોપી શ્રેણી વગેરેની વાત કરે છે. તેઓ અનુક્રમે K + (A), K − (A) અને Kb (A) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. મોર્ફિઝમ કે જે કે (એ) માં આઇસોમોર્ફિઝમ છે તેને હોમોટોપી સમકક્ષતા કહેવામાં આવે છે. વિગતવાર, આનો અર્થ એ છે કે બીજો નકશો છે, જેમ કે બે રચનાઓ ઓળખ માટે સમસ્થાનિક છેઃ અને. "હોમોટોપી" નામ એ હકીકત પરથી આવ્યું છે કે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના હોમોટોપિક નકશા એકવચન સાંકળોના હોમોટોપિક (ઉપરોક્ત અર્થમાં) નકશાને પ્રેરિત કરે છે. ટિપ્પણીઓ બે સાંકળ હોમોટોપિક નકશા f અને g સમરૂપતા પર સમાન નકશાને પ્રેરિત કરે છે કારણ કે (f−g) ચક્રને સીમાઓ પર મોકલે છે, જે સમરૂપતામાં શૂન્ય હોય છે. ખાસ કરીને સમસ્થાનિક સમાનતા એ અર્ધ-સમરૂપતા છે. (વિપરીત સામાન્ય રીતે ખોટું છે.) આ દર્શાવે છે કે વ્યુત્પન્ન શ્રેણીમાં કેનોનિકલ ફંકટર છે (જો A એબેલિયન છે). ત્રિકોણાકાર માળખું જટિલ A નું સ્થળાંતર A [1] એ નીચેનું સંકુલ છે (નોંધ લો કે), જ્યાં વિભેદક છે. મોર્ફિઝમ f ના શંકુ માટે આપણે મેપિંગ શંકુ લઈએ છીએ. ત્યાં કુદરતી નકશા છે આ આકૃતિને ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે. હોમોટૉપી શ્રેણી K (A) એ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે, જો કોઈ વિશિષ્ટ ત્રિકોણને સમરૂપ (K (A) માં, એટલે કે સમરૂપતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ઉપરના ત્રિકોણ માટે સમસ્થાનિક સમકક્ષ), મનસ્વી A, B અને f માટે. આ જ વાત બંધાયેલા પ્રકારો K + (A), K − (A) અને Kb (A) માટે પણ લાગુ પડે છે. ત્રિકોણ કોમ (એ) માં પણ અર્થપૂર્ણ હોવા છતાં, તે શ્રેણી આ વિશિષ્ટ ત્રિકોણના સંદર્ભમાં ત્રિકોણાકાર નથી; ઉદાહરણ તરીકે, ઓળખ નકશાનો શંકુ જટિલ 0 માટે સમરૂપ ન હોવાથી તેને અલગ કરવામાં આવતો નથી (જો કે, શૂન્ય નકશો એક સમસ્થાનિક સમાનતા છે, જેથી આ ત્રિકોણને કે (એ) માં અલગ પાડવામાં આવે છે). વધુમાં, વિશિષ્ટ ત્રિકોણનું પરિભ્રમણ દેખીતી રીતે કોમ (એ) માં અલગ નથી, પરંતુ (ઓછું સ્પષ્ટ રીતે) કે (એ) માં અલગ છે. વિગતો માટે સંદર્ભો જુઓ. સામાન્યીકરણ વધુ સામાન્ય રીતે, વિભેદક શ્રેણીબદ્ધ શ્રેણી સીની હોમોટૉપી શ્રેણી હો (સી) ને સી જેવી જ વસ્તુઓ હોવાનું વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ મોર્ફિઝમ્સને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. (આ સાંકળ સંકુલની હોમોટૉપી સુધી ઉકળે છે જો સી એ સંકુલની શ્રેણી છે જેમના મોર્ફિઝમ્સને તફાવતોને માન આપવાની જરૂર નથી). જો સી પાસે યોગ્ય અર્થમાં શંકુ અને શિફ્ટ હોય, તો હો (સી) પણ ત્રિકોણાકાર શ્રેણી છે. સંદર્ભો હોમોલોજિકલ બીજગણિત એડિટિવ વર્ગો