Intercept theorem
ઇન્ટરસેપ્ટ થીયરમ, જેને થેલ્સ થીયરમ, બેઝિક પ્રોપોર્શનાલિટી થીયરમ અથવા સાઇડ સ્પ્લિટર થીયરમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે વિવિધ રેખા ખંડોના ગુણોત્તર વિશે પ્રાથમિક ભૂમિતિમાં એક મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય છે જે સામાન્ય પ્રારંભિક બિંદુ સાથેના બે કિરણોને સમાંતર જોડી દ્વારા અટકાવવામાં આવે તો બનાવવામાં આવે છે. તે સમાન ત્રિકોણમાં ગુણોત્તર વિશેના પ્રમેયની સમકક્ષ છે. તે પરંપરાગત રીતે ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી થેલ્સને આભારી છે. તે પ્રાચીન બેબીલોનીઓ અને ઇજિપ્તવાસીઓ માટે જાણીતું હતું, જોકે તેનો પ્રથમ જાણીતો પુરાવો યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સમાં જોવા મળે છે. પ્રમેયની રચના ધારો કે S એ બે કિરણોનું સામાન્ય પ્રારંભિક બિંદુ છે અને A, B એ બે સમાંતર સાથે પ્રથમ કિરણોના આંતરછેદો છે, જેમ કે B એ કરતાં S વધુ દૂર છે, અને તેવી જ રીતે C, D એ બે સમાંતર સાથે બીજા કિરણોના આંતરછેદો છે જેમ કે D એ C કરતા S વધુ દૂર છે. આ રૂપરેખાંકનમાં નીચેના નિવેદનો ધરાવે છેઃ પ્રથમ કિરણો પરના કોઈપણ બે વિભાગોનો ગુણોત્તર બીજા કિરણો પરના વિભાગો અનુસાર ગુણોત્તર સમાન છેઃ, S થી શરૂ થતા સમાન કિરણો પરના બે વિભાગોનો ગુણોત્તર સમાંતર પરના વિભાગોનો ગુણોત્તર સમાન છેઃ પ્રથમ નિવેદનનું વિપરીત પણ સાચું છે, એટલે કે. જો બે કિરણોને બે મનસ્વી રેખાઓ દ્વારા અટકાવવામાં આવે અને પકડી રાખવામાં આવે તો બે અવરોધન રેખાઓ સમાંતર હોય છે. જો કે, બીજા નિવેદનનું વિપરીત સાચું નથી (પ્રતિકૂળ ઉદાહરણ માટે ગ્રાફિક જુઓ). વિસ્તરણ અને તારણો પ્રથમ બે નિવેદનો સાચા રહે છે જો બે કિરણોને આંતરછેદ કરતી બે રેખાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે. આ કિસ્સામાં સંદર્ભમાં બે દૃશ્યો છે, ક્યાં તો તે 2 સમાંતર (X આકૃતિ) વચ્ચે આવેલું છે અથવા તે નથી (V આકૃતિ). જો બે સમાંતર વચ્ચે સ્થિત ન હોય, તો મૂળ પ્રમેય સીધા જ લાગુ પડે છે. જો બે સમાંતર વચ્ચે આવેલું હોય, તો સમાન માપ સાથે V આંકડાનું અને ઉપજ પરનું પ્રતિબિંબ જેના માટે મૂળ પ્રમેય હવે લાગુ પડે છે. ત્રીજું નિવેદન (વિપરીત) જોકે રેખાઓ માટે સાચું નથી. જો બેથી વધુ કિરણો શરૂ થાય છે અથવા બેથી વધુ રેખાઓ છેદે છે, તો દરેક સમાંતરમાં એકથી વધુ રેખા ખંડ હોય છે અને એક સમાંતર પર બે રેખા ખંડોનો ગુણોત્તર અન્ય સમાંતર પર રેખા વિભાગો અનુસારના ગુણોત્તર બરાબર હોય છે. દાખલા તરીકે, જો ત્યાં ત્રીજું કિરણ સમાંતર રેખાઓથી શરૂ થાય છે અને તેને છેદે છે, જેમ કે તેનાથી વધુ દૂર હોય, તો નીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છેઃ બીજા સમીકરણ માટે વિપરીત પણ સાચું છે, એટલે કે જો 3 કિરણોને બે રેખાઓ દ્વારા અટકાવવામાં આવે અને દરેક રેખા પરના રેખા વિભાગો અનુસાર ગુણોત્તર સમાન હોય, તો તે 2 રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ. સંબંધિત વિભાવનાઓ સમાનતા અને સમાન ત્રિકોણ અવરોધન પ્રમેય સમાનતા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. તે સમાન ત્રિકોણના ખ્યાલની સમકક્ષ છે, એટલે કે. તેનો ઉપયોગ સમાન ત્રિકોણના ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે અને સમાન ત્રિકોણોનો ઉપયોગ અવરોધન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે. સમાન ખૂણાઓને સરખાવીને તમે હંમેશા બે સમાન ત્રિકોણને એક બીજામાં મૂકી શકો છો જેથી તમને તે રૂપરેખાંકન મળે જેમાં અવરોધન પ્રમેય લાગુ થાય છે; અને તેનાથી વિપરીત અવરોધન પ્રમેય રૂપરેખાંકનમાં હંમેશા બે સમાન ત્રિકોણ હોય છે. વેક્ટર જગ્યાઓમાં સ્કેલર ગુણાકાર નોર્મ્ડ વેક્ટર જગ્યામાં, સ્કેલર ગુણાકાર (ખાસ કરીને અને) ને લગતા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો સુનિશ્ચિત કરે છે કે ઇન્ટરસેપ્ટ થીયરમ ધરાવે છે. હોકાયંત્ર અને શાસક રચનાઓની બીજગણિત રચના પ્રાથમિક ભૂમિતિમાં ત્રણ પ્રખ્યાત સમસ્યાઓ છે જે ગ્રીકો દ્વારા હોકાયંત્ર અને સીધી ધારની રચનાના સંદર્ભમાં રજૂ કરવામાં આવી હતીઃ કોણને ત્રિવિભાજિત કરવું સમઘનને બમણો કરીને વર્તુળને ચોરસ બનાવવું તે ત્રણેયને આખરે અશક્ય હોવાનું દર્શાવવામાં આવે ત્યાં સુધી 2000 વર્ષથી વધુ સમય લાગ્યો. આ 19મી સદીમાં બીજગણિત પદ્ધતિઓની મદદથી હાંસલ કરવામાં આવ્યું હતું, જે ત્યાં સુધીમાં ઉપલબ્ધ થઈ ગઈ હતી. ક્ષેત્રના વિસ્તરણોનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ ત્રણ સમસ્યાઓને સુધારવા માટે, હોકાયંત્ર અને સીધી ધારની રચનાઓ સાથે ક્ષેત્રની કામગીરીને સરખાવવાની જરૂર છે (રચનાત્મક સંખ્યા જુઓ). ખાસ કરીને એ ખાતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે કે આપેલ બે લાઇન સેગમેન્ટ્સ માટે, એક નવો લાઇન સેગમેન્ટ બનાવી શકાય છે, જેમ કે તેની લંબાઈ અન્ય બેની લંબાઈના ગુણાકાર જેટલી હોય. તેવી જ રીતે લંબાઈના રેખા ખંડ માટે, લંબાઈના નવા રેખા ખંડનું નિર્માણ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. ઇન્ટરસેપ્ટ થીયરમનો ઉપયોગ એ બતાવવા માટે કરી શકાય છે કે બંને કિસ્સાઓમાં, આવી રચના શક્ય છે. આપેલ ગુણોત્તરમાં રેખા ખંડને વિભાજિત કરીને ચેઓપ્સ પિરામિડની ઊંચાઈ માપવી અને તેનું સર્વેક્ષણ કરવું કેટલાક ઐતિહાસિક સ્રોતો અનુસાર ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી થેલ્સે ચેઓપ્સ પિરામિડની ઊંચાઈ નક્કી કરવા માટે અવરોધન પ્રમેય લાગુ કર્યો હતો. નીચેનું વર્ણન પિરામિડની ઊંચાઈની ગણતરી કરવા માટે ઇન્ટરસેપ્ટ થીયરમનો ઉપયોગ સમજાવે છે. જો કે, તે થેલ્સની મૂળ રચનાનું વર્ણન કરતું નથી, જે ખોવાઈ ગઈ હતી. થેલ્સે પિરામિડની લંબાઈ અને તેના થાંભલા ની ઊંચાઈ માપી હતી. પછી દિવસના તે જ સમયે તેમણે પિરામિડની છાયાની લંબાઈ અને ધ્રુવની છાયાની લંબાઈ માપી. આનાથી નીચેની માહિતી મળીઃ ધ્રુવની ઊંચાઈ (એ): ધ્રુવની છાયા (બી): પિરામિડ આધારની 2 મીટર લંબાઈઃ પિરામિડની છાયા 230 મીટરઃ 65 મીટર આમાંથી તેમણે એ, બી અને સી જાણવાની ગણતરી કરી હવે તેઓ ગણતરી કરવા માટે અવરોધન પ્રમેય લાગુ કરવામાં સક્ષમ હતા ત્રિકોણ અને ટ્રેપેઝોઇડ્સમાં નદીની સમાંતર રેખાઓની પહોળાઈ માપવા અવરોધન પ્રમેયનો ઉપયોગ એ સાબિત કરવા માટે કરી શકાય છે કે ચોક્કસ બાંધકામ સમાંતર રેખા (સેગમેન્ટ) s ઉત્પન્ન કરે છે. ઐતિહાસિક પાસાઓ આ પ્રમેય પરંપરાગત રીતે ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી થેલ્સ ઓફ મિલેટસને આભારી છે, જેમણે ઇજિપ્તમાં પિરામિડની ઊંચાઈ નક્કી કરવા અને કિનારાથી જહાજના અંતરની ગણતરી કરવા માટે પ્રમેયના અમુક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કર્યો હોઈ શકે છે. પુરાવો પ્રમેયનો પ્રાથમિક પુરાવો ગુણોત્તર (દાવો 1) વિશેના મૂળભૂત નિવેદનો મેળવવા માટે સમાન વિસ્તારના ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરે છે. અન્ય દાવાઓ પછી પ્રથમ દાવો અને વિરોધાભાસ લાગુ કરે છે. દાવો 1 દાવો 2 દાવો 3 નોંધો સંદર્ભો () () () () લોરેન્ઝ હાલ્બીસેન, નોર્બર્ટ હંગરબુહલર, જુઆન લૌચલીઃ મિટ હારમોનિશેન વેરહાલ્ટનિસેન ઝુ કેગેલ્સક્નિટેનઃ પર્લેન ડેર ક્લાસિસચેન જીઓમેટ્રી. સ્પ્રિંગર 2016, પીપી. 191-208 (જર્મન) બાહ્ય કડીઓ પ્લેનેટમેથ પર ઇન્ટરસેપ્ટ પ્રમેય એલેક્ઝાન્ડર બોગોમોલનીઃ થેલ્સના પ્રમેયો અને ખાસ કરીને કટ-ધ-ગાંઠ ઇન્ટરસેપ્ટ પ્રમેય પર થેલ્સના પ્રમેયો સમતલ ભૂમિતિમાં ઇન્ટરેક્ટિવ યુક્લિડિયન ભૂમિતિ પ્રમેયો