Semi-implicit Euler method
ગણિતમાં, અર્ધ-સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિ, જેને સિંપ્લેક્ટિક યુલર, અર્ધ-સ્પષ્ટ યુલર, યુલર-ક્રોમર અને ન્યૂટન-સ્ટોર્મર-વર્લેટ (એન. એસ. વી.) પણ કહેવામાં આવે છે, તે હેમિલ્ટનના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે યુલર પદ્ધતિનો ફેરફાર છે, જે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ઉદ્ભવતા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની પદ્ધતિ છે. તે એક સિંપ્લેક્ટિક સંકલનકર્તા છે અને તેથી તે પ્રમાણભૂત યુલર પદ્ધતિ કરતાં વધુ સારા પરિણામો આપે છે. અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ એ સ્વરૂપના વિભેદક સમીકરણોની જોડી પર લાગુ કરી શકાય છે જ્યાં f અને g ને વિધેયો આપવામાં આવે છે. અહીં, x અને v ક્યાં તો સ્કેલર અથવા વેક્ટર હોઈ શકે છે. હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં ગતિના સમીકરણો આ સ્વરૂપ લે છે જો હેમિલ્ટોનિયન સ્વરૂપનું હોય તો વિભેદક સમીકરણોને પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે હલ કરવાના હોય છે પદ્ધતિ અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ પુનરાવર્તન કરીને અંદાજિત સ્વતંત્ર ઉકેલ ઉત્પન્ન કરે છે જ્યાં δt એ સમય પગલું છે અને tn = t0 + nδt એ n પગલાં પછીનો સમય છે. પ્રમાણભૂત યુલર પદ્ધતિ સાથેનો તફાવત એ છે કે અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ xn + 1 માટેના સમીકરણમાં vn + 1 નો ઉપયોગ કરે છે, જ્યારે યુલર પદ્ધતિ vn નો ઉપયોગ કરે છે. થી ની ગણતરી અને ફરીથી ગોઠવણી માટે નકારાત્મક સમયના પગલા સાથે પદ્ધતિનો ઉપયોગ અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિના બીજા પ્રકાર તરફ દોરી જાય છે જે સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે. અર્ધ-ગર્ભિત યુલર એ પ્રમાણભૂત યુલર પદ્ધતિની જેમ પ્રથમ ક્રમનો સંકલનકાર છે. આનો અર્થ એ છે કે તે Δt ના ક્રમની વૈશ્વિક ભૂલ કરે છે. જો કે, અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ પ્રમાણભૂત પદ્ધતિથી વિપરીત, એક સિંપ્લેક્ટિક સંકલનકર્તા છે. પરિણામે, અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ લગભગ ઊર્જાની બચત કરે છે (જ્યારે હેમિલ્ટોનિયન સમય-સ્વતંત્ર હોય છે). ઘણીવાર, જ્યારે પ્રમાણભૂત યુલર પદ્ધતિ લાગુ કરવામાં આવે છે ત્યારે ઊર્જા સતત વધે છે, જે તેને ઘણી ઓછી સચોટ બનાવે છે. અર્ધ-ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિના બે પ્રકારો વચ્ચે ફેરબદલ કરવાથી સ્ટોર્મર-વર્લેટ એકીકરણમાં એક સરળીકરણ થાય છે અને લીપફ્રોગ એકીકરણમાં થોડું અલગ સરળીકરણ થાય છે, જે ભૂલના ક્રમ અને ઊર્જાની જાળવણીના ક્રમ બંનેમાં વધારો કરે છે. અર્ધ-ગર્ભિત પદ્ધતિનો સ્થિરતા વિસ્તાર નિરાનેન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, જોકે અર્ધ-ગર્ભિત યુલરને તેમના પેપરમાં ગેરમાર્ગે દોરતા સપ્રમાણ યુલર કહેવામાં આવ્યા હતા. અર્ધ-ગર્ભિત પદ્ધતિ સિમ્યુલેટેડ સિસ્ટમને યોગ્ય રીતે મોડેલ કરે છે જો લાક્ષણિક સમીકરણના જટિલ મૂળ નીચે દર્શાવેલ વર્તુળની અંદર હોય. વાસ્તવિક મૂળ માટે સ્થિરતા ક્ષેત્ર વર્તુળની બહાર વિસ્તરે છે જેના માટે માપદંડ છે જેમ કે જોઈ શકાય છે, અર્ધ-ગર્ભિત પદ્ધતિ બંને સ્થિર પ્રણાલીઓનું યોગ્ય રીતે અનુકરણ કરી શકે છે જેમના મૂળ ડાબા અડધા સમતલમાં હોય છે અને અસ્થિર પ્રણાલીઓ કે જે તેમના મૂળ જમણા અડધા સમતલમાં હોય છે. ફોરવર્ડ (સ્ટાન્ડર્ડ) યુલર અને બેકવર્ડ યુલર પર આ સ્પષ્ટ ફાયદો છે. જ્યારે મૂળના નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગો કાલ્પનિક અક્ષની નજીક આવે છે ત્યારે ફોરવર્ડ યુલરમાં વાસ્તવિક પ્રણાલીની તુલનામાં ઓછું ભીનાશ હોય છે અને જ્યારે મૂળ જમણા અડધા સમતલમાં હોય ત્યારે પણ પછાત યુલર પ્રણાલી સ્થિર હોવાનું બતાવી શકે છે. ઉદાહરણ હૂકના કાયદાને સંતોષતા સ્પ્રિંગની ગતિ આ સમીકરણ માટે અર્ધ-ગર્ભિત યુલર બીજા સમીકરણમાં પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી અભિવ્યક્તિ સાથે અવેજી છે, પુનરાવર્તનને નીચેના મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે અને મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક 1 હોવાથી પરિવર્તન ક્ષેત્ર-સંરક્ષિત છે. પુનરાવર્તન સંશોધિત ઊર્જાને કાર્યાત્મક રીતે સાચવે છે, જે સ્થિર સામયિક ભ્રમણકક્ષાઓ (પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પગલાના કદ માટે) તરફ દોરી જાય છે જે ચોક્કસ ભ્રમણકક્ષાઓથી વિચલિત થાય છે. આંકડાકીય અંદાજમાં ચોક્કસ ગોળાકાર આવર્તન એક પરિબળ દ્વારા વધે છે. સંદર્ભો સંખ્યાત્મક વિભેદક સમીકરણો