1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
ગણિતમાં, અનંત શ્રેણી એ ગણિતના ઇતિહાસમાં સારાંશિત કરવામાં આવેલી પ્રથમ અનંત શ્રેણીઓમાંથી એકનું ઉદાહરણ છે; તેનો ઉપયોગ આર્કિમિડીઝ લગભગ 250-200 BC દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. તે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર સાથેની ભૌમિતિક શ્રેણી હોવાથી, તેનો સરવાળો દ્રશ્ય પ્રદર્શનો છે આ શ્રેણી કેટલાક ખાસ કરીને સરળ દ્રશ્ય પ્રદર્શનો માટે પોતાને ઉધાર આપે છે કારણ કે ચોરસ અને ત્રિકોણ બંને ચાર સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે, જેમાં દરેકમાં મૂળનું ક્ષેત્રફળ હોય છે. ડાબી બાજુની આકૃતિમાં, જો મોટા ચોરસને ક્ષેત્રફળ 1 તરીકે લેવામાં આવે, તો સૌથી મોટા કાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ × = છે. તેવી જ રીતે, બીજા સૌથી મોટા કાળા ચોરસમાં વિસ્તાર છે, અને ત્રીજા સૌથી મોટા કાળા ચોરસમાં વિસ્તાર છે. તેથી તમામ કાળા ચોરસ દ્વારા એકસાથે લેવામાં આવેલો વિસ્તાર છે, અને આ તે વિસ્તાર પણ છે જે ગ્રે ચોરસ અને સફેદ ચોરસ દ્વારા લેવામાં આવે છે. આ ત્રણ ક્ષેત્રો એકમ ચોરસને આવરી લે છે, તેથી આ આંકડો દર્શાવે છે કે આર્કિમિડીઝનું પોતાનું ચિત્ર, ટોચ પર સ્વીકારવામાં આવ્યું હતું, તે થોડું અલગ હતું, જે સમીકરણની નજીક હતું. એ જ ભૌમિતિક વ્યૂહરચના ત્રિકોણ માટે પણ કામ કરે છે, જેમ કે જમણી બાજુની આકૃતિમાંઃ જો મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 1 હોય, તો સૌથી મોટા કાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હોય છે, અને તેથી વધુ. સમગ્ર આકૃતિ મોટા ત્રિકોણ અને તેના ઉપ-ત્રિકોણ વચ્ચે સ્વ-સમાનતા ધરાવે છે. એક સંબંધિત રચના જે આકૃતિને તેના ત્રણેય ખૂણાના ટુકડાઓ જેવી બનાવે છે તે સિયેરપિન્સ્કી ત્રિકોણ ઉત્પન્ન કરે છે. આર્કિમિડીઝ દ્વારા પુરાવા આર્કિમિડીઝ તેમના કાર્ય ક્વાડ્રેચર ઓફ ધ પેરાબોલા માં શ્રેણીનો સામનો કરે છે. તે થાકની પદ્ધતિ દ્વારા પરવલયની અંદરનો વિસ્તાર શોધે છે, અને તેને ત્રિકોણની શ્રેણી મળે છે; બાંધકામનો દરેક તબક્કો અગાઉના તબક્કાના વિસ્તારની સરખામણીમાં વિસ્તારનો એક ગણો ઉમેરો કરે છે. તેનું ઇચ્છિત પરિણામ એ છે કે કુલ વિસ્તાર પ્રથમ તબક્કાના વિસ્તારનો ગુણાકાર છે. ત્યાં પહોંચવા માટે, તે બીજગણિત લેમ્માને રજૂ કરવા માટે પેરાબોલાથી વિરામ લે છેઃ પ્રપોઝિશન 23. ક્ષેત્રોની શ્રેણીને જોતાં, જેમાંથી A સૌથી મોટો છે, અને દરેક ક્રમમાં આગામીના ચાર ગણા બરાબર છે, પછી આર્કિમિડીઝ પહેલા ગણતરી કરીને દરખાસ્તને સાબિત કરે છે. આજે, આર્કિમિડીઝના પ્રસ્તાવનો વધુ પ્રમાણભૂત શબ્દસમૂહ એ છે કે શ્રેણીનો આંશિક સરવાળો આ પ્રમાણે છેઃ આ સ્વરૂપ બંને બાજુઓને 1-વડે ગુણાકાર કરીને સાબિત કરી શકાય છે અને અવલોકન કરી શકાય છે કે સમીકરણની ડાબી બાજુએ પ્રથમ અને છેલ્લા શબ્દો સિવાયના તમામ જોડીઓમાં રદ થાય છે. આ જ વ્યૂહરચના કોઈપણ મર્યાદિત ભૌમિતિક શ્રેણી માટે કામ કરે છે. મર્યાદા આર્કિમિડીઝ પ્રપોઝિશન 24 પ્રપોઝિશન 23 માં મર્યાદિત (પરંતુ અનિશ્ચિત) સરવાળાને ડબલ રિડક્ટિયો એડ અબ્સર્ડમ દ્વારા પેરાબોલા અંદરના વિસ્તાર પર લાગુ કરે છે. તેઓ ઉપરોક્ત આંશિક રકમની મર્યાદાને સંપૂર્ણપણે સ્વીકારતા નથી, પરંતુ આધુનિક કલનશાસ્ત્રમાં આ પગલું પૂરતું સરળ છેઃ અનંત શ્રેણીના સરવાળાને તેના આંશિક સરવાળાની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી એચ. ટી. એમ. એલ. પર પૃષ્ઠની છબીઓ અને ભૌમિતિક શ્રેણી પર ટિપ્પણીઓ શબ્દો વિનાના પુરાવા