Superperfect group
ગણિતમાં, જૂથ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં, એક જૂથને સુપરપરફેક્ટ કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેના પ્રથમ બે સમરૂપતા જૂથો તુચ્છ હોય છેઃ H1 (G, Z) = H2 (G, Z) = 0. આ એક સંપૂર્ણ જૂથ કરતાં વધુ મજબૂત છે, જે તે છે જેનું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. વધુ શાસ્ત્રીય શબ્દોમાં, એક સુપરપરફેક્ટ જૂથ તે છે જેનું અબેલિયનકરણ અને શુર ગુણક બંને અદૃશ્ય થઈ જાય છે; અબેલિયનકરણ પ્રથમ સમરૂપતા બરાબર છે, જ્યારે શૂર ગુણક બીજા સમરૂપતા બરાબર છે. વ્યાખ્યા જૂથનું પ્રથમ સમરૂપતા જૂથ એ જૂથનું જ અબેલિયનકરણ છે, કારણ કે જૂથ G નું સમરૂપતા એ પ્રકાર K (G, 1) ની કોઈપણ આઈલેનબર્ગ-મેકલેઇન જગ્યાનું સમરૂપતા છે; K (G, 1) નું મૂળભૂત જૂથ G છે, અને પછી K (G, 1) નું પ્રથમ સમરૂપતા તેના મૂળભૂત જૂથનું અબેલિયનકરણ છે. આમ, જો કોઈ જૂથ સુપરપરફેક્ટ હોય, તો તે સંપૂર્ણ છે. એક મર્યાદિત સંપૂર્ણ જૂથ સુપરપરફેક્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે તેનું પોતાનું સાર્વત્રિક કેન્દ્રીય વિસ્તરણ (યુસીઈ) હોય, કારણ કે સંપૂર્ણ જૂથનું બીજું સમરૂપતા જૂથ કેન્દ્રીય વિસ્તરણને પરિમાણ આપે છે. ઉદાહરણો ઉદાહરણ તરીકે, જો G એ સમરૂપતા ગોળાનું મૂળભૂત જૂથ છે, તો G સુપરપરફેક્ટ છે. સૌથી નાનું મર્યાદિત, બિન-તુચ્છ સુપરપરફેક્ટ જૂથ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ (પોઇનકેરે હોમોલોજી ગોળાનું મૂળભૂત જૂથ) છે. વૈકલ્પિક જૂથ A5 સંપૂર્ણ છે પરંતુ સુપરપરફેક્ટ નથીઃ તેમાં બિન-તુચ્છ કેન્દ્રીય વિસ્તરણ છે, દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ (જે હકીકતમાં તેનું UCE છે) સુપરપરફેક્ટ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, પ્રોજેક્ટિવ વિશેષ રેખીય જૂથો પી. એસ. એલ. (એન, ક્યૂ) પી. એસ. એલ. (2,2) અને પી. એસ. એલ. (2,3) સિવાય સરળ (તેથી સંપૂર્ણ) છે, પરંતુ સુપરપરફેક્ટ નથી, જેમાં વિશેષ રેખીય જૂથો એસ. એલ. (એન, ક્યૂ) કેન્દ્રીય વિસ્તરણ તરીકે છે. આ કુટુંબમાં દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ (એસ. એલ. (2,5) તરીકે માનવામાં આવે છે) એ એ5 (પી. એસ. એલ. (2,5) તરીકે માનવામાં આવે છે) ના યુ. સી. ઇ. તરીકે સામેલ છે. દરેક એસાયક્લિક જૂથ સુપરપરફેક્ટ છે, પરંતુ વિપરીત સાચું નથીઃ દ્વિસંગી આઇકોસાહેડ્રલ જૂથ સુપરપરફેક્ટ છે, પરંતુ એસાયક્લિક નથી. સંદર્ભો એ. જોન બેરિક અને જોનાથન એ. હિલમેન, "મર્યાદિત રીતે પ્રસ્તુત કરી શકાય તેવા જૂથોના સંપૂર્ણ અને ચક્રીય પેટાજૂથો", જર્નલ ઓફ ધ લંડન મેથેમેટિકલ સોસાયટી (2) 68 (2003), નં. 3, 683-698. જૂથોના ગુણધર્મો