Modes of convergence
ગણિતમાં, એવી ઘણી ઇન્દ્રિયો છે જેમાં ક્રમ અથવા શ્રેણીને અભિસારી કહેવામાં આવે છે. આ લેખ વિવિધ સ્થિતિઓ (ઇન્દ્રિયો અથવા પ્રજાતિઓ) નું વર્ણન કરે છે જ્યાં તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અભિસરણના પ્રકારોની યાદી માટે, જુઓ અભિસરણના પ્રકારો (એનોટેટેડ અનુક્રમણિકા) નોંધ કરો કે નીચેની દરેક વસ્તુઓ તેની પહેલાના પ્રકારોનો એક વિશેષ કેસ છેઃ સમૂહો, ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ, એકસમાન જગ્યાઓ, ટીએજી (ટોપોલોજિકલ અબેલિયન જૂથો), પ્રમાણભૂત જગ્યાઓ, યુક્લિડિયન જગ્યાઓ અને વાસ્તવિક/જટિલ સંખ્યાઓ. ઉપરાંત, નોંધ લો કે કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યા એક સમાન જગ્યા છે. ટોપોલોજીકલ સ્પેસ કન્વર્જન્સના તત્વોને પ્રથમ-ગણતરીપાત્ર જગ્યાઓમાં ક્રમની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. નેટ્સ એ ક્રમોનું સામાન્યીકરણ છે જે એવી જગ્યાઓમાં ઉપયોગી છે જે પ્રથમ ગણતરીપાત્ર નથી. ફિલ્ટર કન્વર્જન્સની વિભાવનાને વધુ સામાન્ય બનાવે છે. મેટ્રિક જગ્યાઓમાં, કોઈ કોચી સિક્વન્સને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. કોચી જાળી અને ગાળકો એકસમાન જગ્યાઓનું સામાન્યીકરણ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોચી જગ્યાઓ એવી જગ્યાઓ છે જેમાં કોચી ગાળકોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. કન્વર્જન્સ "કોચી-કન્વર્જન્સ" સૂચવે છે, અને કોચી-કન્વર્જન્સ, કન્વર્જન્ટ અનુગામીના અસ્તિત્વ સાથે કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. મેટ્રિક જગ્યાઓની સંપૂર્ણતાની વિભાવના અને તેના સામાન્યીકરણને કોચી સિક્વન્સની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ટોપોલોજિકલ અબેલિયન જૂથમાં તત્વોની શ્રેણી ટોપોલોજિકલ અબેલિયન જૂથમાં, શ્રેણીના અભિસરણને આંશિક સરવાળાના ક્રમના અભિસરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. શ્રેણીની વિચારણા કરતી વખતે એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ બિનશરતી અભિસરણ છે, જે ખાતરી આપે છે કે શ્રેણીની મર્યાદા સરવાળાના ક્રમચયો હેઠળ અપરિવર્તનશીલ છે. નોર્મ્ડ વેક્ટર સ્પેસમાં, સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સને નોર્મ્સ () ની શ્રેણીના કન્વર્જન્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સંપૂર્ણ અભિસરણ એ આંશિક સરવાળાના ક્રમ (ત્રિકોણ અસમાનતા દ્વારા) નું કોચી અભિસરણ સૂચવે છે, જે બદલામાં કેટલાક જૂથોનું સંપૂર્ણ-અભિસરણ સૂચવે છે (પુનઃક્રમિત નહીં). જૂથ દ્વારા મેળવેલ આંશિક રકમનો ક્રમ એ મૂળ શ્રેણીના આંશિક રકમનો અનુગામી ક્રમ છે. સંપૂર્ણપણે અભિસારી શ્રેણીનું પ્રમાણભૂત અભિસરણ એ પ્રમાણભૂત રેખીય જગ્યા માટે બનાચ (એટલે કે. : પૂર્ણ). સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સ અને કન્વર્જન્સ એકસાથે બિનશરતી કન્વર્જન્સ સૂચવે છે, પરંતુ બિનશરતી કન્વર્જન્સ સામાન્ય રીતે સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સ સૂચવતું નથી, ભલે જગ્યા બનાચ હોય, તેમ છતાં સૂચિતાર્થ તેમાં રહે છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર કાર્યોના ક્રમનું કન્વર્જન્સ કાર્યોના ક્રમ માટે કન્વર્જન્સનો સૌથી મૂળભૂત પ્રકાર (ખાસ કરીને, તે કાર્યોના ક્ષેત્ર પર કોઈ ટોપોલોજિકલ માળખું ધારણ કરતું નથી) એ પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ છે. તેને દરેક બિંદુ પર કાર્યોના મૂલ્યોના ક્રમના અભિસરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો વિધેયો તેમના મૂલ્યોને એક સમાન જગ્યામાં લે છે, તો પછી કોઈ બિંદુ મુજબ કોચી કન્વર્જન્સ, યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ અને સિક્વન્સના યુનિફોર્મ કોચી કન્વર્જન્સને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ એ પોઇન્ટવાઇઝ કોચી-કન્વર્જન્સ સૂચવે છે, અને જો કાર્યો જે જગ્યામાં તેમના મૂલ્યો લે છે તે પૂર્ણ હોય તો કન્વર્સ ધરાવે છે. યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ એટલે પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ અને યુનિફોર્મ કોચી કન્વર્જન્સ. યુનિફોર્મ કોચી કન્વર્જન્સ અને અનુગામીનું પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ અનુક્રમનું યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ સૂચવે છે, અને જો કોડોમેન પૂર્ણ હોય, તો યુનિફોર્મ કોચી કન્વર્જન્સ યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. જો કાર્યોનું ક્ષેત્ર ટોપોલોજિકલ જગ્યા હોય, તો સ્થાનિક એકરૂપ અભિસરણ (એટલે કે. દરેક બિંદુના પડોશ પર એકસમાન અભિસરણ) અને સઘન (એકસમાન) અભિસરણ (એટલે કે. તમામ કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સ પર સમાન કન્વર્જન્સ) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. નોંધ લો કે "કોમ્પેક્ટ કન્વર્જન્સ" હંમેશા "કોમ્પેક્ટ યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ" માટે ટૂંકું હોય છે, કારણ કે "કોમ્પેક્ટ પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ" નો અર્થ "પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ" (બિંદુઓ હંમેશા કોમ્પેક્ટ હોય છે) સમાન હોય છે. યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ સ્થાનિક યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ અને કોમ્પેક્ટ કન્વર્જન્સ બંને સૂચવે છે, કારણ કે બંને સ્થાનિક કલ્પનાઓ છે જ્યારે યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ વૈશ્વિક છે. જો X સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોય (સૌથી નબળા અર્થમાં પણઃ દરેક બિંદુ કોમ્પેક્ટ પડોશી ધરાવે છે), તો સ્થાનિક એકસમાન કન્વર્જન્સ કોમ્પેક્ટ (એકસમાન) કન્વર્જન્સની સમકક્ષ છે. આશરે કહીએ તો, આનું કારણ એ છે કે "સ્થાનિક" અને "કોમ્પેક્ટ" એક જ વસ્તુને સૂચિત કરે છે. ટોપોલોજીકલ અબેલિયન જૂથ પર વિધેયોની શ્રેણી પોઇન્ટવાઇઝ અને વિધેયોની શ્રેણીના સમાન અભિસરણને આંશિક સરવાળાના ક્રમના અભિસરણની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત રેખીય અવકાશમાં મૂલ્યો લેતા વિધેયો માટે, નિરપેક્ષ અભિસરણ એ હકારાત્મક, વાસ્તવિક મૂલ્યના વિધેયોની શ્રેણીના અભિસરણનો સંદર્ભ આપે છે. "પોઇન્ટવાઇઝ એબ્સોલ્યુટ કન્વર્જન્સ" એ પછી ફક્ત પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ છે. નોર્મલ કન્વર્જન્સ એ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓની શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ છે જે ગણવેશ લઈને મેળવવામાં આવે છે (એટલે કે. શ્રેણીમાં દરેક ફંકશન (નું સમાન કન્વર્જન્સ) નું "સુપર") ધોરણ. બનાચ જગ્યાઓમાં, પોઇન્ટવાઇઝ એબ્સોલ્યુટ કન્વર્જન્સ પોઇન્ટવાઇઝ કન્વર્જન્સ સૂચવે છે, અને નોર્મલ કન્વર્જન્સ યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યો માટે, શ્રેણીના આંશિક સરવાળાના સંદર્ભમાં સ્થાનિક સમાન અભિસરણ અને સઘન (સમાન) અભિસરણને (ઉપર મુજબ) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો વધુમાં, વિધેયો પ્રમાણભૂત રેખીય અવકાશમાં મૂલ્યો લે છે, તો પછી સ્થાનિક સામાન્ય અભિસરણ (સ્થાનિક, સમાન, નિરપેક્ષ અભિસરણ) અને સઘન સામાન્ય અભિસરણ (સઘન સમૂહો પર નિરપેક્ષ અભિસરણ) ને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. નોર્મલ કન્વર્જન્સ સ્થાનિક નોર્મલ કન્વર્જન્સ અને કોમ્પેક્ટ નોર્મલ કન્વર્જન્સ બંને સૂચવે છે. અને જો ડોમેન સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોય (સૌથી નબળા અર્થમાં પણ), તો સ્થાનિક સામાન્ય કન્વર્જન્સ કોમ્પેક્ટ સામાન્ય કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. માપન અવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યો જો કોઈ માપી શકાય તેવા કાર્યોના ક્રમને ધ્યાનમાં લે છે, તો પછી અભિસરણની ઘણી રીતો ઊભી થાય છે જે માત્ર ટોપોલોજિકલ ગુણધર્મોને બદલે માપન-સૈદ્ધાંતિક પર આધાર રાખે છે. આમાં લગભગ દરેક જગ્યાએ બિંદુવાર અભિસરણ, પી-અર્થમાં અભિસરણ અને માપમાં અભિસરણનો સમાવેશ થાય છે. આ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ખાસ રસ ધરાવે છે. ટોપોલોજી કન્વર્જન્સ (ગણિત) પણ જુઓ.