Categorical distribution
સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં, શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ (જેને સામાન્યીકૃત બર્નૌલી વિતરણ, મલ્ટીનૌલી વિતરણ પણ કહેવાય છે) એ એક અલગ સંભાવના વિતરણ છે જે દરેક શ્રેણીની સંભાવના સાથે અલગથી નિર્દિષ્ટ K સંભવિત શ્રેણીઓમાંથી એકને લઈ શકે તેવા અવ્યવસ્થિત ચલનાં સંભવિત પરિણામોનું વર્ણન કરે છે. આ પરિણામોનો કોઈ જન્મજાત અંતર્ગત ક્રમ નથી, પરંતુ વિતરણનું વર્ણન કરવામાં સુવિધા માટે સંખ્યાત્મક લેબલો ઘણીવાર જોડવામાં આવે છે, (દા. ત. 1 થી K). કે-પરિમાણીય શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ એ કે-વે ઘટના પરનું સૌથી સામાન્ય વિતરણ છે; કદ-કે નમૂનાની જગ્યા પરનું અન્ય કોઈપણ અલગ વિતરણ એક વિશેષ કેસ છે. દરેક સંભવિત પરિણામની સંભાવનાઓને સ્પષ્ટ કરતા પરિમાણો માત્ર એ હકીકત દ્વારા મર્યાદિત છે કે દરેક 0 થી 1 ની શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ, અને બધાનો સરવાળો 1 હોવો જોઈએ. શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ એ શ્રેણીબદ્ધ રેન્ડમ ચલ માટે બર્નૌલી વિતરણનું સામાન્યીકરણ છે, એટલે કે. બે કરતાં વધુ સંભવિત પરિણામો સાથે અલગ ચલ માટે, જેમ કે પાસાનો રોલ. બીજી બાજુ, શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ એ બહુપદી વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે, જેમાં તે બહુવિધ રેખાંકનોને બદલે એક જ ચિત્રના સંભવિત પરિણામોની સંભાવનાઓ આપે છે. પરિભાષા પ્રસંગોપાત, શ્રેણીબદ્ધ વિતરણને "અલગ વિતરણ" કહેવામાં આવે છે. જો કે, આ યોગ્ય રીતે વિતરણના એક ચોક્કસ પરિવારનો નહીં પરંતુ વિતરણના સામાન્ય વર્ગનો સંદર્ભ આપે છે. કેટલાક ક્ષેત્રોમાં, જેમ કે મશીન લર્નિંગ અને નેચરલ લેંગ્વેજ પ્રોસેસિંગ, શ્રેણીબદ્ધ અને બહુપદી વિતરણોને સંયોજિત કરવામાં આવે છે, અને જ્યારે "શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ" વધુ ચોક્કસ હોય ત્યારે "બહુપદી વિતરણ" ની વાત કરવી સામાન્ય છે. આ અચોક્કસ ઉપયોગ એ હકીકત પરથી ઉદ્ભવે છે કે શ્રેણીબદ્ધ વિતરણના પરિણામને 1 થી K ની શ્રેણીમાં પૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરવાને બદલે "1-ઓફ-K" વેક્ટર (1 ધરાવતા એક તત્વ અને 0 ધરાવતા અન્ય તમામ ઘટકો સાથેનું વેક્ટર) તરીકે વ્યક્ત કરવું કેટલીકવાર અનુકૂળ હોય છે; આ સ્વરૂપમાં, શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ એ એક અવલોકન માટે બહુપદી વિતરણની સમકક્ષ હોય છે (નીચે જુઓ). જો કે, શ્રેણીબદ્ધ અને બહુપદી વિતરણોને જોડવાથી સમસ્યાઓ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિરીક્લેટ-મલ્ટીનોમિયલ વિતરણમાં, જે સામાન્ય રીતે કુદરતી ભાષા પ્રક્રિયા મોડેલોમાં (જોકે સામાન્ય રીતે આ નામ સાથે નહીં) ગિબ્સ નમૂનાના પતનના પરિણામે ઉદભવે છે, જ્યાં ડિરીક્લેટ વિતરણો અધિક્રમિક બાયેસિયન મોડેલમાંથી તૂટી જાય છે, તે શ્રેણીબદ્ધ અને મલ્ટીનોમિયલને અલગ પાડવાનું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. સમાન ડિરીક્લેટ-મલ્ટીનોમિયલ વિતરણ સાથે સમાન ચલોનું સંયુક્ત વિતરણ બે અલગ અલગ સ્વરૂપો ધરાવે છે, જે તેના પર આધાર રાખે છે કે શું તે વિતરણ તરીકે વર્ગીકૃત થયેલ છે કે જેનું ડોમેન વ્યક્તિગત શ્રેણીબદ્ધ ગાંઠો પર છે અથવા દરેક ચોક્કસ શ્રેણીમાં ગાંઠોની મલ્ટીનોમિયલ-શૈલીની ગણતરીઓ પર છે (બર્નૌલી-વિતરિત ગાંઠોના સમૂહ અને એક દ્વિપદી-વિતરિત ગાંઠો વચ્ચેના તફાવત જેવું જ). બંને સ્વરૂપોમાં ખૂબ સમાન દેખાતા પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન્સ (પી. એમ. એફ.) છે, જે બંને શ્રેણીમાં નોડ્સની મલ્ટીનોમિયલ-શૈલીની ગણતરીઓનો સંદર્ભ આપે છે. જો કે, બહુપદી-શૈલીના પી. એમ. એફ. માં એક વધારાનું પરિબળ હોય છે, એક બહુપદી ગુણાંક, જે શ્રેણીબદ્ધ-શૈલીના પી. એમ. એફ. માં 1 બરાબર અચળાંક હોય છે. બંનેને મૂંઝવણમાં મૂકવાથી સેટિંગ્સમાં સરળતાથી ખોટા પરિણામો તરફ દોરી શકે છે જ્યાં વ્યાજની વહેંચણીના સંદર્ભમાં આ વધારાનું પરિબળ સ્થિર નથી. ગિબ્સ સેમ્પલિંગમાં ઉપયોગમાં લેવાતી સંપૂર્ણ શરતો અને પરિવર્તનશીલ પદ્ધતિઓમાં શ્રેષ્ઠ વિતરણમાં આ પરિબળ વારંવાર સ્થિર રહે છે. વર્ગીકરણ વિતરણ એ એક અલગ સંભાવના વિતરણ છે જેની નમૂનાની જગ્યા એ વ્યક્તિગત રીતે ઓળખાયેલી વસ્તુઓનો સમૂહ છે. તે શ્રેણીબદ્ધ રેન્ડમ ચલ માટે બર્નૌલી વિતરણનું સામાન્યીકરણ છે. વિતરણની એક રચનામાં, નમૂનાની જગ્યાને પૂર્ણાંકોની મર્યાદિત શ્રેણી તરીકે લેવામાં આવે છે. લેબલ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાતા ચોક્કસ પૂર્ણાંકો બિનમહત્વપૂર્ણ છે; તેઓ {0,1,., k − 1} અથવા {1,2,., k} અથવા મૂલ્યોનો અન્ય કોઈપણ મનસ્વી સમૂહ હોઈ શકે છે. નીચેના વર્ણનોમાં, આપણે સગવડ માટે {1,2,., k} નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જો કે આ બર્નૌલી વિતરણ માટેની પરંપરા સાથે અસંમત છે, જે {0,1} નો ઉપયોગ કરે છે. આ કિસ્સામાં, પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન f છેઃ જ્યાં, તત્વ i અને જોવાની સંભાવનાને રજૂ કરે છે. અન્ય રચના જે વધુ જટિલ લાગે છે પરંતુ ગાણિતિક હેરફેરને સરળ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે, આઇવરસન કૌંસનો ઉપયોગ કરીનેઃ જ્યાં 1 જો, 0 અન્યથા મૂલ્યાંકન કરે છે. આ રચનાના વિવિધ ફાયદા છે, દા. ત. : સ્વતંત્ર રીતે સમાન રીતે વિતરિત શ્રેણીબદ્ધ ચલોના સમૂહના સંભાવના કાર્યને લખવું સરળ છે. તે શ્રેણીબદ્ધ વિતરણને સંબંધિત બહુપદી વિતરણ સાથે જોડે છે. તે દર્શાવે છે કે શા માટે ડિરીક્લેટ વિતરણ એ શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ પહેલાનું સંયુગ્મ છે, અને પરિમાણોના પશ્ચાદવર્તી વિતરણની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. હજુ સુધી અન્ય એક રચના વર્ગીકરણ અને બહુપદી વિતરણ વચ્ચેના જોડાણને સ્પષ્ટ કરે છે, જેમાં વર્ગીકરણ વિતરણને બહુપદી વિતરણના એક વિશેષ કેસ તરીકે ગણવામાં આવે છે જેમાં બહુપદી વિતરણ (નમૂનારૂપ વસ્તુઓની સંખ્યા) નું પરિમાણ n 1 પર નિશ્ચિત હોય છે. આ રચનામાં, નમૂનાની જગ્યાને પરિમાણ k ના 1-ઓફ-K એન્કોડેડ રેન્ડમ વેક્ટર x નો સમૂહ ગણી શકાય, જેનો ગુણધર્મ છે કે બરાબર એક તત્વનું મૂલ્ય 1 છે અને અન્યનું મૂલ્ય 0 છે. મૂલ્ય 1 ધરાવતું ચોક્કસ તત્વ સૂચવે છે કે કઈ શ્રેણી પસંદ કરવામાં આવી છે. આ ફોર્મ્યુલેશનમાં પ્રોબેબીલીટી માસ ફંક્શન f છેઃ જ્યાં તત્વ i અને જોવાની પ્રોબેબીલીટીને રજૂ કરે છે. આ બિશપ દ્વારા અપનાવવામાં આવેલી રચના છે. ગુણધર્મો વિતરણ સંપૂર્ણપણે દરેક સંખ્યા i:, i = 1,., k, જ્યાં સાથે સંકળાયેલી સંભાવનાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંભાવનાઓના સંભવિત સમૂહો બરાબર પ્રમાણભૂત-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સમાં છે; k = 2 માટે આ બર્નૌલી વિતરણની સંભવિત સંભાવનાઓને 1-સિમ્પ્લેક્સ તરીકે ઘટાડે છે, વિતરણ એ "મલ્ટિવેરિયેટ બર્નૌલી વિતરણ" નો એક વિશેષ કેસ છે જેમાં બરાબર k 0-1 ચલમાંથી એક મૂલ્ય લે છે. ચાલો શ્રેણીબદ્ધ વિતરણમાંથી અનુભૂતિ કરીએ. રેન્ડમ વેક્ટર Y ને ઘટકોથી બનેલા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જ્યાં I એ સૂચક કાર્ય છે. પછી Y પાસે એક વિતરણ છે જે પરિમાણ સાથે બહુપદી વિતરણનો એક વિશેષ કેસ છે. સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત આવા રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ Y નો સરવાળો પરિમાણ સાથે શ્રેણીબદ્ધ વિતરણમાંથી બનાવવામાં આવે છે જે પરિમાણો સાથે બહુપરીમાણીય રીતે વહેંચવામાં આવે છે અને શ્રેણીબદ્ધ વિતરણનું સંયોજિત પૂર્વ વિતરણ એ ડિરીક્લેટ વિતરણ છે. વધુ ચર્ચા માટે નીચેનો વિભાગ જુઓ. n સ્વતંત્ર અવલોકનોમાંથી પર્યાપ્ત આંકડા એ દરેક શ્રેણીમાં અવલોકનોની ગણતરીઓ (અથવા, સમકક્ષ, પ્રમાણ) નો સમૂહ છે, જ્યાં પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા (= n) નિશ્ચિત હોય છે. Iવર્સન કૌંસ કાર્ય અથવા ક્રોનેકર ડેલ્ટા કાર્યની સમકક્ષ મૂલ્ય i ધરાવતા નિરીક્ષણનું સૂચક કાર્ય બર્નૌલી છે, જે પૂર્વ સંયુગ્મનો ઉપયોગ કરીને બાયેસિયન અનુમાન પરિમાણ સાથે વહેંચાયેલું છે. બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રમાં, ડિરીક્લેટ વિતરણ એ શ્રેણીબદ્ધ વિતરણનું પૂર્વ સંયુગ્મ વિતરણ છે (અને બહુપદી વિતરણ પણ). આનો અર્થ એ છે કે અજ્ઞાત પરિમાણ વેક્ટર p સાથે શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ ધરાવતા ડેટા પોઇન્ટ ધરાવતા મોડેલમાં, અને (પ્રમાણભૂત બાયેસિયન શૈલીમાં) આપણે આ પરિમાણને રેન્ડમ વેરિયેબલ તરીકે ગણવાનું પસંદ કરીએ છીએ અને તેને ડિરીક્લેટ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત પૂર્વ વિતરણ આપીએ છીએ, પછી અવલોકન કરેલા ડેટામાંથી મેળવેલા જ્ઞાનનો સમાવેશ કર્યા પછી પરિમાણનું પશ્ચાદવર્તી વિતરણ પણ ડિરીક્લેટ છે. સહજ ભાવે, આવા કિસ્સામાં, ડેટા પોઇન્ટનું નિરીક્ષણ કરતા પહેલા પરિમાણ વિશે જે જાણીતું છે તેનાથી શરૂ કરીને, ડેટા પોઇન્ટના આધારે જ્ઞાનને અપડેટ કરી શકાય છે, જે જૂના જેવા જ સ્વરૂપનું નવું વિતરણ આપે છે. જેમ કે, ગાણિતિક મુશ્કેલીઓનો સામનો કર્યા વિના, એક સમયે એક નવા નિરીક્ષણોનો સમાવેશ કરીને પરિમાણનું જ્ઞાન ક્રમિક રીતે સુધારી શકાય છે. ઔપચારિક રીતે, આને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે. એક મોડેલને જોતાં નીચે મુજબ છેઃ આ સંબંધનો ઉપયોગ બાયેસિયન આંકડાશાસ્ત્રમાં N નમૂનાઓના સંગ્રહને ધ્યાનમાં રાખીને વર્ગીકરણ વિતરણના અંતર્ગત પરિમાણ p નો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. સહજ ભાવે, આપણે હાયપરપ્રાયર વેક્ટર α ને સ્યુડોકાઉન્ટ્સ તરીકે જોઈ શકીએ છીએ, એટલે કે. આપણે પહેલેથી જ જોયેલી દરેક શ્રેણીમાં અવલોકનોની સંખ્યાને રજૂ કરે છે. પછી આપણે પશ્ચાદવર્તી વિતરણ મેળવવા માટે તમામ નવા અવલોકનો (વેક્ટર સી) માટે ગણતરીઓ ઉમેરીએ છીએ. વધુ અંતઃપ્રેરણા પશ્ચાદવર્તી વિતરણના અપેક્ષિત મૂલ્યમાંથી આવે છે (ડિરીક્લેટ વિતરણ પરનો લેખ જુઓ): આ કહે છે કે પશ્ચાદવર્તી વિતરણ દ્વારા પેદા થયેલ વિવિધ સ્વતંત્ર વિતરણો વચ્ચે શ્રેણી i જોવાની અપેક્ષિત સંભાવના એ ડેટામાં ખરેખર જોવા મળતી તે શ્રેણીની ઘટનાઓના પ્રમાણની બરાબર છે, જેમાં અગાઉના વિતરણમાં સ્યુડોકાઉન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે. આ ખૂબ જ સાહજિક અર્થ ધરાવે છેઃ જો, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ સંભવિત શ્રેણીઓ હોય, અને શ્રેણી 1 અવલોકન કરેલા ડેટામાં 40 ટકા સમય જોવા મળે, તો સરેરાશ વ્યક્તિ પશ્ચાદવર્તી વિતરણમાં પણ સમયની શ્રેણી 1 40% જોવાની અપેક્ષા રાખશે. (આ અંતઃપ્રેરણા પૂર્વ વિતરણની અસરને અવગણી રહી છે. વધુમાં, પશ્ચાદવર્તી એ વિતરણ પરનું વિતરણ છે. પશ્ચાદવર્તી વિતરણ સામાન્ય રીતે પ્રશ્નમાં પરિમાણનું વર્ણન કરે છે, અને આ કિસ્સામાં પરિમાણ પોતે એક અલગ સંભાવના વિતરણ છે, એટલે કે. વાસ્તવિક શ્રેણીબદ્ધ વિતરણ કે જેણે માહિતી પેદા કરી. ઉદાહરણ તરીકે, જો 40:5:55 ગુણોત્તરમાં 3 શ્રેણીઓ અવલોકન કરેલા ડેટામાં હોય, તો પછી અગાઉના વિતરણની અસરને અવગણીને, સાચું પરિમાણ-એટલે કે. સાચું, અંતર્ગત વિતરણ કે જેણે આપણી અવલોકન કરેલી માહિતી પેદા કરી છે-તેનું સરેરાશ મૂલ્ય (0.40,0.05,0.55) હોવાની અપેક્ષા રાખવામાં આવશે, જે ખરેખર પશ્ચાદવર્તી દર્શાવે છે. જો કે, સાચું વિતરણ વાસ્તવમાં (0.35,0.07,0.58) અથવા (0.42,0.04,0.54) અથવા અન્ય વિવિધ નજીકના વિકલ્પો હોઈ શકે છે. અહીં સામેલ અનિશ્ચિતતાની માત્રા પશ્ચાદવર્તીની ભિન્નતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જે અવલોકનોની કુલ સંખ્યા દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે-જેટલી વધુ માહિતી અવલોકન કરવામાં આવે છે, સાચા પરિમાણ વિશે ઓછી અનિશ્ચિતતા.) (તકનીકી રીતે, અગાઉના પરિમાણને વાસ્તવમાં શ્રેણીના અગાઉના અવલોકનોના પ્રતિનિધિત્વ તરીકે જોવું જોઈએ. પછી, સુધારેલ પશ્ચાદવર્તી પરિમાણ પશ્ચાદવર્તી અવલોકનો રજૂ કરે છે. આ એ હકીકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે ડિરીક્લેટ વિતરણ સંપૂર્ણપણે સપાટ આકાર ધરાવે છે-અનિવાર્યપણે, પી ના સંભવિત મૂલ્યોના સિમ્પ્લેક્સ પર સમાન વિતરણ. તાર્કિક રીતે, આ પ્રકારનું સપાટ વિતરણ સંપૂર્ણ અજ્ઞાનને રજૂ કરે છે, જે કોઈ પણ પ્રકારના અવલોકનોને અનુરૂપ નથી. જો કે, જો આપણે આ શબ્દની અવગણના કરીએ અને α વેક્ટરને સીધા સ્યુડોકાઉન્ટ્સના સમૂહને રજૂ કરે છે તેવું વિચારીએ તો પશ્ચાદવર્તીનું ગાણિતિક અપડેટિંગ સારું કામ કરે છે. વધુમાં, આમ કરવાથી 1 કરતા ઓછા મૂલ્યોના અર્થઘટનનો મુદ્દો ટાળી શકાય છે.) એમએપી અંદાજ ઉપરોક્ત મોડેલમાં પરિમાણ પીનો મહત્તમ-એ-પશ્ચાદવર્તી અંદાજ એ ફક્ત પશ્ચાદવર્તી ડિરીક્લેટ વિતરણની રીત છે, એટલે કે, ઘણા વ્યવહારુ કાર્યક્રમોમાં, તમામ માટે સેટ કરવાની શરતની બાંયધરી આપવાનો એકમાત્ર રસ્તો છે. સીમાંત સંભાવના ઉપરોક્ત મોડેલમાં, અવલોકનોની સીમાંત સંભાવના (એટલે કે. અવલોકનોની સંયુક્ત વહેંચણી, જેમાં અગાઉના પરિમાણને હાંસિયામાં ધકેલી દેવામાં આવ્યું છે) એ ડિરીક્લેટ-બહુપદી વહેંચણી છેઃ આ વહેંચણી અધિક્રમિક બાયેસિયન નમૂનાઓમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, કારણ કે જ્યારે ગિબ્સ સેમ્પલિંગ અથવા વેરિયેશનલ બેયસ જેવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આવા નમૂનાઓ પર અનુમાન કરવામાં આવે છે, ત્યારે ડિરીક્લેટ અગાઉના વિતરણોને ઘણીવાર હાંસિયામાં ધકેલી દેવામાં આવે છે. વધુ વિગતો માટે આ વિતરણ પરનો લેખ જુઓ. પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ ઉપરોક્ત મોડેલમાં નવા અવલોકનનું પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ એ વિતરણ છે જે એન શ્રેણીબદ્ધ અવલોકનોના સમૂહને ધ્યાનમાં રાખીને નવું નિરીક્ષણ લેશે. ડિરીક્લેટ-મલ્ટીનોમિયલ વિતરણ લેખમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, તેનું ખૂબ જ સરળ સ્વરૂપ છેઃ આ સૂત્ર અને અગાઉના સૂત્રો વચ્ચે વિવિધ સંબંધો છેઃ કોઈ ચોક્કસ શ્રેણીને જોવાની પશ્ચાદવર્તી આગાહી સંભાવના તે શ્રેણીમાં અગાઉના અવલોકનોના સંબંધિત પ્રમાણ જેટલી જ છે (અગાઉના સ્યુડો-અવલોકનો સહિત). આ તાર્કિક અર્થમાં છે-સાહજિક રીતે, આપણે તે શ્રેણીની પહેલેથી જ અવલોકન કરાયેલી આવર્તન અનુસાર ચોક્કસ શ્રેણી જોવાની અપેક્ષા રાખીએ છીએ. પશ્ચાદવર્તી આગાહી સંભાવના પશ્ચાદવર્તી વિતરણના અપેક્ષિત મૂલ્ય જેટલી જ છે. આ નીચે વધુ સમજાવવામાં આવ્યું છે. પરિણામે, આ સૂત્રને ફક્ત "શ્રેણી જોવાની પશ્ચાદવર્તી આગાહી સંભાવના તે શ્રેણીની કુલ અવલોકન ગણતરીના પ્રમાણસર છે", અથવા "શ્રેણીની અપેક્ષિત ગણતરી એ શ્રેણીની કુલ અવલોકન ગણતરી જેટલી જ છે" તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, જ્યાં "અવલોકન ગણતરી" ને પહેલાંના બનાવટી-અવલોકનોનો સમાવેશ કરવા માટે લેવામાં આવે છે. પશ્ચાદવર્તી આગાહી સંભાવના અને p ના પશ્ચાદવર્તી વિતરણના અપેક્ષિત મૂલ્ય વચ્ચેની સમાનતાનું કારણ ઉપરોક્ત સૂત્રની ફરીથી તપાસ સાથે સ્પષ્ટ થાય છે. પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ લેખમાં સમજાવ્યા મુજબ, પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત સંભાવના માટેનું સૂત્ર પશ્ચાદવર્તી વિતરણના સંદર્ભમાં લેવામાં આવેલા અપેક્ષિત મૂલ્યનું સ્વરૂપ ધરાવે છેઃ ઉપરની નિર્ણાયક રેખા ત્રીજી છે. બીજું અપેક્ષિત મૂલ્યની વ્યાખ્યાથી સીધું અનુસરે છે. ત્રીજી લીટી વર્ગીકરણ વિતરણ માટે ખાસ છે, અને એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે, વર્ગીકરણ વિતરણમાં ખાસ કરીને, ચોક્કસ મૂલ્ય i જોવાનું અપેક્ષિત મૂલ્ય સીધા સંબંધિત પરિમાણ π દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ચોથી પંક્તિ એ માત્ર એક અલગ સંકેતમાં ત્રીજું પુનર્લેખન છે, જેમાં પરિમાણોના પશ્ચાદવર્તી વિતરણના સંદર્ભમાં લેવામાં આવેલી અપેક્ષા માટે વધુ ઉપરના સંકેતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ડેટા બિંદુઓનું એક પછી એક નિરીક્ષણ કરો અને દરેક વખતે ડેટા બિંદુને અવલોકન કરતા પહેલા અને પશ્ચાદવર્તીને અપડેટ કરતા પહેલા તેમની આગાહીની સંભાવનાને ધ્યાનમાં લો. આપેલ કોઈપણ ડેટા બિંદુ માટે, આપેલ શ્રેણી ધારીને તે બિંદુની સંભાવના તે શ્રેણીમાં પહેલેથી જ ડેટા બિંદુઓની સંખ્યા પર આધારિત છે. આ દૃશ્યમાં, જો કોઈ શ્રેણીમાં ઘટનાની આવર્તન વધારે હોય, તો નવા ડેટા પોઇન્ટ તે શ્રેણીમાં જોડાય તેવી શક્યતા વધુ હોય છે-જે તે જ શ્રેણીને વધુ સમૃદ્ધ બનાવે છે. આ પ્રકારના દૃશ્યને ઘણીવાર પ્રેફરેન્શિયલ જોડાણ (અથવા "સમૃદ્ધ વધુ સમૃદ્ધ બને છે") મોડેલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ ઘણી વાસ્તવિક દુનિયાની પ્રક્રિયાઓનું મોડેલ છે, અને આવા કિસ્સાઓમાં પ્રથમ થોડા ડેટા બિંદુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલી પસંદગીઓ બાકીના ડેટા બિંદુઓ પર બાહ્ય પ્રભાવ ધરાવે છે. પશ્ચાદવર્તી શરતી વિતરણ ગિબ્સ સેમ્પલિંગમાં, વ્યક્તિએ સામાન્ય રીતે બહુ-ચલ બેયસ નેટવર્કમાં શરતી વિતરણમાંથી દોરવાની જરૂર હોય છે જ્યાં દરેક ચલ અન્ય તમામ પર શરતી હોય છે. એવા નેટવર્કમાં કે જેમાં ડિરીક્લેટ પ્રાયર્સ (દા. ત. ડિરીક્લેટ પ્રાયર્સ) સાથે શ્રેણીબદ્ધ ચલોનો સમાવેશ થાય છે. મિશ્રણ મોડેલો અને મિશ્રણ ઘટકો સહિતના મોડેલો), ડિરીક્લેટ વિતરણો ઘણીવાર નેટવર્કમાંથી "તૂટી જાય છે" (હાંસિયામાં ધકેલાય છે), જે આપેલ અગાઉના આધારે વિવિધ શ્રેણીબદ્ધ ગાંઠો વચ્ચે નિર્ભરતાનો પરિચય આપે છે (ખાસ કરીને, તેમનું સંયુક્ત વિતરણ ડિરીક્લેટ-બહુપદી વિતરણ છે). આવું કરવાનું એક કારણ એ છે કે આવા કિસ્સામાં, અન્યને આપવામાં આવેલા એક શ્રેણીબદ્ધ નોડનું વિતરણ બરાબર બાકીના નોડનું પશ્ચાદવર્તી આગાહીયુક્ત વિતરણ છે. એટલે કે, ગાંઠોના સમૂહ માટે, જો પ્રશ્નમાં નોડને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે અને બાકીનો ભાગ આ રીતે દર્શાવવામાં આવે, તો પછી નોડ n સિવાયના ગાંઠોમાં શ્રેણી i ધરાવતા ગાંઠોની સંખ્યા ક્યાં છે. નમૂના લેવાની સંખ્યાબંધ પદ્ધતિઓ છે, પરંતુ શ્રેણીબદ્ધ વિતરણમાંથી નમૂના લેવાની સૌથી સામાન્ય રીત ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મ સેમ્પલિંગના પ્રકારનો ઉપયોગ કરે છેઃ ધારો કે વિતરણને અમુક અભિવ્યક્તિના "પ્રમાણસર" તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેમાં અજ્ઞાત સામાન્યીકરણ અચળાંક હોય છે. કોઈપણ નમૂના લેતા પહેલા, નીચે મુજબ કેટલાક મૂલ્યો તૈયાર કરવામાં આવે છેઃ દરેક શ્રેણી માટે વિતરણના બિનપરંપરાગત મૂલ્યની ગણતરી કરો. તેમને સરવાળો કરો અને દરેક મૂલ્યને આ રકમ દ્વારા વિભાજીત કરો, જેથી તેમને સામાન્ય બનાવી શકાય. શ્રેણીઓ પર અમુક પ્રકારનો હુકમ લાગુ કરો (દા. ત. અનુક્રમણિકા દ્વારા જે 1 થી k સુધી ચાલે છે, જ્યાં k એ શ્રેણીઓની સંખ્યા છે). દરેક મૂલ્યને અગાઉના તમામ મૂલ્યોના સરવાળા સાથે બદલીને મૂલ્યોને સંચિત વિતરણ કાર્ય (સી. ડી. એફ.) માં રૂપાંતરિત કરો. આ O (k) સમયમાં કરી શકાય છે. પ્રથમ શ્રેણી માટે પરિણામી મૂલ્ય 0 હશે. પછી, દરેક વખતે મૂલ્યનો નમૂનો લેવો જરૂરી છેઃ 0 અને 1 વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલ સંખ્યા પસંદ કરો. સી. ડી. એફ. માં સૌથી મોટી સંખ્યા શોધો જેનું મૂલ્ય હમણાં પસંદ કરેલી સંખ્યા કરતાં ઓછું અથવા બરાબર હોય. આ દ્વિસંગી શોધ દ્વારા સમય O (log (k)) માં કરી શકાય છે. આ સી. ડી. એફ. મૂલ્યને અનુરૂપ શ્રેણી પરત કરો. જો સમાન શ્રેણીબદ્ધ વિતરણમાંથી ઘણા મૂલ્યો દોરવા જરૂરી હોય, તો નીચેનો અભિગમ વધુ કાર્યક્ષમ છે. તે ઓ (એન) સમયમાં એન નમૂનાઓ ખેંચે છે (એમ ધારીને કે ઓ (1) અંદાજનો ઉપયોગ દ્વિપદી વિતરણમાંથી મૂલ્યો દોરવા માટે થાય છે). ફંક્શન ડ્રો _ કેટેગોરિકલ (n)// જ્યાં n એ શ્રેણીબદ્ધ વિતરણમાંથી દોરવા માટેના નમૂનાઓની સંખ્યા છે r = 1 s = 0 i માટે 1 થી k// જ્યાં k એ શ્રેણીઓની સંખ્યા છે v = દ્વિપદી (n, p [i]/r) વિતરણમાંથી દોરવું// જ્યાં p [i] એ 1 થી v z [s + +] = i// માટે શ્રેણી i ની સંભાવના છે જ્યાં z એ એક એરે છે જેમાં પરિણામો સંગ્રહિત થાય છે n = n-v r = r-p [i] શફલ (અવ્યવસ્થિત રીતે ફરીથી ક્રમમાં) ઝેડ રીટર્નના ઘટકો ઝેડ સેમ્પલિંગ મારફતે ગુંબેલ વિતરણ મશીન લર્નિંગમાં શ્રેણીબદ્ધ વિતરણને પરિમાણવાચક બનાવવું સામાન્ય છે. આ રજૂઆતને જોતાં, સોફ્ટમેક્સ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય છે, જે પછી ઉપર વર્ણવેલ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને નમૂના લઈ શકાય છે. જો કે વધુ સીધી નમૂનાની પદ્ધતિ છે જે ગુંબેલ વિતરણમાંથી નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરે છે. ધારો કે પ્રમાણભૂત ગુંબેલ વિતરણમાંથી k સ્વતંત્ર રીતે ખેંચે છે, પછી ઇચ્છિત શ્રેણીબદ્ધ વિતરણમાંથી એક નમૂનો હશે. (જો પ્રમાણભૂત સમાન વિતરણનો નમૂનો હોય, તો તે પ્રમાણભૂત ગુંબેલ વિતરણનો નમૂનો છે.) આ પણ જુઓ શ્રેણીબદ્ધ ચલ સંબંધિત વિતરણો ડિરીક્લેટ વિતરણ બહુપરીમાણીય વિતરણ ડિરીક્લેટ-બહુપરીમાણીય વિતરણ નોંધો સંદર્ભો શ્રેણીબદ્ધ ડેટા અલગ વિતરણો ઘાતાંકીય કુટુંબ વિતરણો