Limit point compact
ગણિતમાં, જો દરેક અનંત સબસેટમાં મર્યાદા બિંદુ હોય તો ટોપોલોજિકલ જગ્યાને મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ અથવા નબળી રીતે ગણતરીપાત્ર રીતે કોમ્પેક્ટ કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક અવકાશમાં, મર્યાદા બિંદુ સઘનતા, સઘનતા અને ક્રમિક સઘનતા બધા સમાન છે. સામાન્ય ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ માટે, જોકે, કોમ્પેક્ટનેસની આ ત્રણ કલ્પનાઓ સમકક્ષ નથી. ગુણધર્મો અને ઉદાહરણો ટોપોલોજિકલ અવકાશમાં, મર્યાદા બિંદુ વિનાના ઉપગણ બરાબર તે જ હોય છે જે સબસ્પેસ ટોપોલોજીમાં બંધ અને અલગ હોય છે. તેથી જગ્યા મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેના તમામ બંધ અલગ ઉપગણ મર્યાદિત હોય. એક જગ્યા મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની પાસે અનંત બંધ અલગ સબસ્પેસ હોય. ક્લોઝ્ડ ડિસ્ક્રીટ સબસેટનો કોઈપણ સબસેટ પોતે જ ક્લોઝ્ડ અને ડિસ્ક્રીટ હોવાથી, આ તે જરૂરિયાતની સમકક્ષ છે જે ગણતરીપૂર્વક અનંત ક્લોઝ્ડ ડિસ્ક્રીટ સબસ્પેસ ધરાવે છે. મર્યાદિત બિંદુ કોમ્પેક્ટ ન હોય તેવી જગ્યાઓના કેટલાક ઉદાહરણોઃ (1) તેની સામાન્ય ટોપોલોજી સાથે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ, કારણ કે પૂર્ણાંકો અનંત સમૂહ છે પરંતુ તેમાં મર્યાદા બિંદુ નથી; (2) અલગ ટોપોલોજી સાથેનો અનંત સમૂહ; (3) અગણિત સમૂહ પર ગણતરીપાત્ર પૂરક ટોપોલોજી. દરેક ગણતરીપાત્ર કોમ્પેક્ટ જગ્યા (અને તેથી દરેક કોમ્પેક્ટ જગ્યા) મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ છે. T1 જગ્યાઓ માટે, મર્યાદા બિંદુ સઘનતા એ ગણતરીપાત્ર સઘનતા સમાન છે. મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ સ્પેસનું ઉદાહરણ કે જે ગણતરીપાત્ર રીતે કોમ્પેક્ટ નથી તે "પૂર્ણાંકોને બમણી કરીને" મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે, પ્રોડક્ટને લઈને જ્યાં ડિસ્ક્રીટ ટોપોલોજી સાથે તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે અને તે અવિવેકી ટોપોલોજી ધરાવે છે. જગ્યા ઓડ-ઇવન ટોપોલોજી માટે હોમોમોર્ફિક છે. આ જગ્યા T0 નથી. તે લિમિટ પોઇન્ટ કોમ્પેક્ટ છે કારણ કે દરેક નોન એમ્પ્ટી સબસેટમાં લિમિટ પોઇન્ટ હોય છે. T0 જગ્યાનું ઉદાહરણ કે જે મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ છે અને ગણનાત્મક રીતે કોમ્પેક્ટ નથી તે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાં યોગ્ય ક્રમની ટોપોલોજી છે, એટલે કે, તમામ અંતરાલો દ્વારા પેદા થયેલ ટોપોલોજી જગ્યા મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ છે કારણ કે કોઈપણ બિંદુ આપવામાં આવે તો દરેક એક મર્યાદા બિંદુ છે. મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ જગ્યાના બંધ સબસ્પેસ મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ છે. મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ જગ્યાની સતત છબી મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉપરના ઉદાહરણની જેમ સ્વતંત્ર અને અવિવેકી હોય, તો પ્રથમ સંકલન પર પ્રક્ષેપણ દ્વારા આપવામાં આવેલ નકશો સતત છે, પરંતુ તે મર્યાદિત બિંદુ સઘન નથી. મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ જગ્યા સ્યુડોકોમ્પેક્ટ હોવી જરૂરી નથી. એક ઉદાહરણ અવિવેકી બે-બિંદુ જગ્યા સાથે આપવામાં આવ્યું છે અને નકશો કે જેની છબી સ્યુડોકોમ્પેક્ટ જગ્યામાં બંધાયેલ નથી તે મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ હોવું જરૂરી નથી. કોકાઉન્ટેબલ ટોપોલોજી સાથે અગણિત સમૂહ દ્વારા એક ઉદાહરણ આપવામાં આવે છે. દરેક સામાન્ય સ્યુડોકોમ્પેક્ટ જગ્યા મર્યાદા બિંદુ compact.Proof છેઃ ધારો કે તે એક સામાન્ય જગ્યા છે જે મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ નથી. ટિટ્ઝ એક્સ્ટેંશન થીયરમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સતત કાર્યને બધા પર (અમર્યાદિત) વાસ્તવિક-મૂલ્યના સતત કાર્ય સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ જગ્યાઓ ગણતરીપાત્ર હદ ધરાવે છે. જો અને હોય તો ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ તેના કરતા વધુ બારીક હોય અને તે મર્યાદા બિંદુ કોમ્પેક્ટ હોય, તો તે પણ જુઓ નોંધો ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સંદર્ભ ગુણધર્મો કોમ્પેક્ટનેસ (ગણિત)