Complete set of invariants
ગણિતમાં, વર્ગીકરણ સમસ્યા માટે અપરિવર્તનોનો સંપૂર્ણ સમૂહ એ નકશાનો સંગ્રહ છે (જ્યાં અમુક સમાનતા સંબંધ સુધી વર્ગીકૃત કરવામાં આવતી વસ્તુઓનો સંગ્રહ છે, અને કેટલાક સમૂહો છે), જેમ કે જો અને માત્ર જો બધા માટે. શબ્દોમાં કહીએ તો, બે પદાર્થો સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે બધા અચળાંકો સમાન હોય. પ્રતીકાત્મક રીતે, અપરિવર્તનશીલોનો સંપૂર્ણ સમૂહ એ નકશાનો સંગ્રહ છે જે ઇન્જેક્ટિવ છે. જેમ કે વ્યાખ્યા પ્રમાણે, અપરિવર્તનશીલ પદાર્થો સમકક્ષ પદાર્થો પર સમાન હોય છે, અપરિવર્તનશીલ પદાર્થોની સમાનતા એ સમાનતા માટે જરૂરી શરત છે; અપરિવર્તનશીલ પદાર્થોનો સંપૂર્ણ સમૂહ એ એક એવો સમૂહ છે કે જેની સમાનતા પણ સમાનતા માટે પૂરતી છે. જૂથ ક્રિયાના સંદર્ભમાં, આને આ રીતે વર્ણવી શકાય છેઃ અપરિવર્તનશીલ એ સહપરિવર્તનશીલ (સમકક્ષતા વર્ગો, ભ્રમણકક્ષાઓ) ના કાર્યો છે, અને અપરિવર્તનશીલોનો સંપૂર્ણ સમૂહ સહપરિવર્તનશીલની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે (સહપરિવર્તનશીલ માટે સમીકરણોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો સમૂહ છે). ઉદાહરણો દ્વિ-પરિમાણીય બંધ મેનીફોલ્ડ્સના વર્ગીકરણમાં, યુલર લાક્ષણિકતા (અથવા જીનસ) અને ઓરિએન્ટેબિલિટી એ અપરિવર્તનોનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે. મેટ્રિક્સનું જોર્ડન નોર્મલ સ્વરૂપ સંયુગ્મન સુધીના મેટ્રિક્સ માટે સંપૂર્ણ અપરિવર્તનશીલ છે, પરંતુ આઈગનવેલ્યુ (ગુણાકાર સાથે) નથી. અપરિવર્તનની અનુભૂતિ અપરિવર્તનોનો સંપૂર્ણ સમૂહ તરત જ વર્ગીકરણ પ્રમેય ઉત્પન્ન કરતો નથીઃ અપરિવર્તનના તમામ સંયોજનોની અનુભૂતિ થઈ શકતી નથી. પ્રતીકાત્મક રીતે, વ્યક્તિએ સંદર્ભો ગાણિતિક પરિભાષાની છબી પણ નક્કી કરવી જોઈએ.