Data transformation (statistics)
આંકડામાં, ડેટા ટ્રાન્સફોર્મેશન એ ડેટા સેટમાં દરેક બિંદુ પર નિર્ધારક ગાણિતિક કાર્યનો ઉપયોગ છે-એટલે કે, દરેક ડેટા બિંદુ ઝીને રૂપાંતરિત મૂલ્ય yi = f (zi) સાથે બદલવામાં આવે છે, જ્યાં f એ એક કાર્ય છે. પરિવર્તન સામાન્ય રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે જેથી ડેટા આંકડાકીય અનુમાન પ્રક્રિયાની ધારણાઓને વધુ નજીકથી પૂર્ણ કરે જે લાગુ કરવાની હોય, અથવા ગ્રાફની અર્થઘટનક્ષમતા અથવા દેખાવને સુધારવા માટે દેખાય. લગભગ હંમેશા, ડેટાને રૂપાંતરિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતું કાર્ય ઉલટાવી શકાય તેવું હોય છે, અને સામાન્ય રીતે સતત હોય છે. પરિવર્તન સામાન્ય રીતે તુલનાત્મક માપના સંગ્રહ પર લાગુ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે કોઈ ચલણ એકમમાં લોકોની આવક પરની માહિતી સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ, તો દરેક વ્યક્તિના આવક મૂલ્યને લઘુગણક કાર્ય દ્વારા રૂપાંતરિત કરવું સામાન્ય બાબત હશે. માહિતીને કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવી જોઈએ, અથવા પરિવર્તનને બિલકુલ લાગુ કરવું જોઈએ કે કેમ તે માટે પ્રેરણા માર્ગદર્શન, કરવા માટેના ચોક્કસ આંકડાકીય વિશ્લેષણમાંથી આવવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, વસ્તી સરેરાશ માટે અંદાજે 95 ટકા વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવાની એક સરળ રીત એ છે કે સરેરાશ વત્તા અથવા ઓછા બે પ્રમાણભૂત ભૂલ એકમોનો નમૂનો લેવો. જો કે, અહીં વપરાયેલ અચળ પરિબળ 2 સામાન્ય વિતરણ માટે વિશિષ્ટ છે, અને તે ત્યારે જ લાગુ પડે છે જ્યારે નમૂનાનો સરેરાશ લગભગ સામાન્ય રીતે બદલાય. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય જણાવે છે કે ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, નમૂનાનું કદ વ્યાજબી રીતે મોટું હોય તો નમૂનાનો સરેરાશ સામાન્ય રીતે બદલાય છે. જો કે, જો વસ્તી નોંધપાત્ર રીતે વક્ર હોય અને નમૂનાનું કદ સૌથી વધુ મધ્યમ હોય, તો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય દ્વારા પ્રદાન કરાયેલ અંદાજ નબળો હોઈ શકે છે, અને પરિણામી વિશ્વાસ અંતરાલમાં ખોટી કવરેજ સંભાવના હશે. આમ, જ્યારે ડેટામાં નોંધપાત્ર તિરાડ હોવાના પુરાવા મળે છે, ત્યારે વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવતા પહેલા ડેટાને સમપ્રમાણ વિતરણમાં રૂપાંતરિત કરવું સામાન્ય બાબત છે. જો ઇચ્છિત હોય, તો વિશ્વાસ અંતરાલને ડેટા પર લાગુ કરવામાં આવેલા પરિવર્તનના વ્યસ્ત ઉપયોગનો ઉપયોગ કરીને મૂળ સ્કેલમાં પાછું રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. ડેટાને વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવામાં સરળ બનાવવા માટે તેને રૂપાંતરિત પણ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે આપણી પાસે એક સ્કેટરપ્લોટ છે જેમાં બિંદુઓ વિશ્વના દેશો છે, અને રચવામાં આવતા ડેટા મૂલ્યો દરેક દેશના જમીન વિસ્તાર અને વસ્તી છે. જો પ્લોટ બિનપરિવર્તિત ડેટાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે (દા. ત. વિસ્તાર માટે ચોરસ કિલોમીટર અને વસ્તી માટે લોકોની સંખ્યા), મોટાભાગના દેશોને આલેખના નીચલા ડાબા ખૂણામાં બિંદુઓના ચુસ્ત સમૂહમાં ગોઠવવામાં આવશે. ખૂબ મોટા વિસ્તારો અને/અથવા વસ્તી ધરાવતા થોડા દેશો ગ્રાફના મોટાભાગના વિસ્તારની આસપાસ પાતળા ફેલાયેલા હશે. ફક્ત એકમોને પુનઃસ્થાપિત કરવાથી (દા. ત., હજાર ચોરસ કિલોમીટર અથવા લાખો લોકો માટે) આ બદલાશે નહીં. જો કે, વિસ્તાર અને વસ્તી બંનેના લઘુગણક પરિવર્તનને પગલે, બિંદુઓ આલેખમાં વધુ સમાન રીતે ફેલાશે. ડેટા પરિવર્તન લાગુ કરવાનું બીજું કારણ અર્થઘટનક્ષમતામાં સુધારો કરવાનો છે, ભલે કોઈ ઔપચારિક આંકડાકીય વિશ્લેષણ અથવા વિઝ્યુલાઇઝેશન કરવામાં ન આવે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે આપણે કારની તેમની ઇંધણ બચતની દ્રષ્ટિએ સરખામણી કરી રહ્યા છીએ. આ માહિતી સામાન્ય રીતે "કિલોમીટર પ્રતિ લિટર" અથવા "માઇલ પ્રતિ ગેલન" તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. જો કે, જો ધ્યેય એ છે કે એક વ્યક્તિ એક કાર ચલાવતી વખતે બીજા વર્ષની સરખામણીમાં એક વર્ષમાં કેટલું વધારાનું બળતણ વાપરશે, તો પારસ્પરિક કાર્ય લાગુ કરીને, લિટર પ્રતિ કિલોમીટર અથવા ગેલન પ્રતિ માઇલ દ્વારા રૂપાંતરિત ડેટા સાથે કામ કરવું વધુ સ્વાભાવિક છે. જો મૂળ ડેટા રેખીય રીગ્રેસનની એક અથવા વધુ ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન કરે છે, તો ડેટા પરિવર્તનનો ઉપયોગ રેખીય રીગ્રેસન સાથે મોડેલિંગ માટે યોગ્ય ડેટા બનાવવા માટે ઉપચારાત્મક માપ તરીકે થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી સરળ રેખીય રીગ્રેસન મોડેલો વાયના અપેક્ષિત મૂલ્ય (આગાહી કરવા માટેના પ્રતિસાદ ચલ) અને દરેક સ્વતંત્ર ચલ (જ્યારે અન્ય સ્વતંત્ર ચલ સ્થિર રાખવામાં આવે છે) વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ ધારે છે. જો રેખીયતા જાળવી રાખવામાં નિષ્ફળ જાય તો પણ, રેખીયતામાં સુધારો કરવા માટે રીગ્રેસન મોડેલમાં સ્વતંત્ર અથવા આશ્રિત ચલોનું પરિવર્તન કરવું કેટલીકવાર શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મૂળ સ્વતંત્ર ચલોના વર્ગાત્મક કાર્યોનો ઉમેરો Y ના અપેક્ષિત મૂલ્ય સાથે રેખીય સંબંધ તરફ દોરી શકે છે, પરિણામે બહુપદી રીગ્રેસન મોડેલમાં પરિણમે છે, જે રેખીય રીગ્રેસનનો એક ખાસ કેસ છે. રેખીય રીગ્રેસનની બીજી ધારણા હોમોસેડાસ્ટિસિટી છે, એટલે કે ભૂલોની ભિન્નતા આગાહીકારોના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન હોવી જોઈએ. જો આ ધારણાનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે (એટલે કે. જો માહિતી હેટેરોસેડેસ્ટિક હોય), તો એકલા વાયનું પરિવર્તન અથવા એક્સ (આગાહી કરનાર ચલ) અને વાય બંનેનું પરિવર્તન શોધવું શક્ય બની શકે છે, જેમ કે હોમોસેડેસ્ટિસિટી ધારણા (રેખીય ધારણા ઉપરાંત) રૂપાંતરિત ચલ પર સાચું પડે છે અને તેથી આ પર રેખીય રીગ્રેસન લાગુ કરી શકાય છે. માહિતી પરિવર્તનનો બીજો ઉપયોગ ભૂલની દ્રષ્ટિએ સામાન્યતાના અભાવની સમસ્યાનું સમાધાન કરવાનો છે. રીગ્રેસન પરિમાણોના ઓછામાં ઓછા ચોરસના અંદાજો અર્થપૂર્ણ હોય તે માટે એકરૂપ સામાન્યતાની જરૂર નથી (જુઓ ગૌસ-માર્કોવ પ્રમેય). જો કે વિશ્વાસ અંતરાલ અને પૂર્વધારણા પરીક્ષણોમાં વધુ સારા આંકડાકીય ગુણધર્મો હશે જો ચલ બહુવિધ સામાન્યતા દર્શાવે છે. પરિવર્તન કે જે ભૂલની શરતોના તફાવતને સ્થિર કરે છે (એટલે કે. જેઓ હેટેરોસેડેટીસિટીને સંબોધિત કરે છે) ઘણીવાર ભૂલની શરતોને લગભગ સામાન્ય બનાવવામાં પણ મદદ કરે છે. ઉદાહરણ સમીકરણઃ અર્થઃ X માં એકમ વધારો એ Y માં સરેરાશ b એકમોના વધારા સાથે સંકળાયેલ છે. સમીકરણઃ (સમીકરણની બંને બાજુઓને સૂચિત કરવાથીઃ) અર્થઃ X માં એકમ વધારો એ b એકમોના સરેરાશ વધારા સાથે સંકળાયેલો છે, અથવા તેની સમકક્ષ, Y સરેરાશ ગુણાકાર પરિબળ દ્વારા વધે છે. દૃષ્ટાંતરૂપ હેતુઓ માટે, જો ઉપરોક્ત પરિવર્તનમાં કુદરતી લઘુગણકને બદલે આધાર-10 લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે અને સમાન પ્રતીકો (a અને b) નો ઉપયોગ પ્રતિગમન ગુણાંક દર્શાવવા માટે કરવામાં આવે, તો X માં એકમ વધારો Y માં સરેરાશ એક ગણો વધારો તરફ દોરી જશે. જો b એ 1 હોત, તો આ X સમીકરણમાં એકમ વધારા માટે Y માં 10 ગણો વધારો સૂચવે છેઃ અર્થઃ X માં k-ગણો વધારો Y માં એકમોના સરેરાશ વધારા સાથે સંકળાયેલો છે. દૃષ્ટાંતરૂપ હેતુઓ માટે, જો ઉપરોક્ત પરિવર્તનમાં કુદરતી લઘુગણકને બદલે આધાર-10 લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે અને પ્રતિગમન ગુણાંક દર્શાવવા માટે સમાન પ્રતીકો (a અને b) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો X માં દસ ગણો વધારો Y સમીકરણમાં એકમોની સરેરાશ વૃદ્ધિમાં પરિણમશેઃ (સમીકરણની બંને બાજુઓને સૂચિત કરવાથીઃ) અર્થઃ X માં k-ગણો વધારો સરેરાશ Y માં ગુણાકાર વૃદ્ધિ સાથે સંકળાયેલ છે. આમ જો X બમણો થાય, તો તે Y ના ગુણાકાર પરિબળ દ્વારા બદલાશે. વૈકલ્પિક સામાન્યીકૃત રેખીય નમૂનાઓ (જી. એલ. એમ.) સામાન્ય રેખીય પ્રતિગમનનું લવચીક સામાન્યીકરણ પ્રદાન કરે છે જે સામાન્ય વિતરણ સિવાયના ભૂલ વિતરણ નમૂનાઓ ધરાવતા પ્રતિભાવ ચલ માટે પરવાનગી આપે છે. જી. એલ. એમ. રેખીય મોડેલને કડી કાર્ય દ્વારા પ્રતિભાવ ચલ સાથે સંબંધિત થવા દે છે અને દરેક માપના ભિન્નતાની તીવ્રતાને તેના અનુમાનિત મૂલ્યનું કાર્ય બનવાની મંજૂરી આપે છે. સામાન્ય કિસ્સાઓમાં લઘુગણક પરિવર્તન અને વર્ગમૂળ પરિવર્તનનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે હકારાત્મક ડેટા માટે થાય છે, અને ગુણાકાર વ્યસ્ત પરિવર્તન (પારસ્પરિક પરિવર્તન) નો ઉપયોગ બિન-શૂન્ય ડેટા માટે થઈ શકે છે. પાવર ટ્રાન્સફોર્મેશન એ બિન-નકારાત્મક મૂલ્ય λ દ્વારા પરિમાણિત પરિવર્તનોનું એક કુટુંબ છે જેમાં લઘુગણક, વર્ગમૂળ અને વિશેષ કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર વ્યુત્ક્રમ પરિવર્તનોનો સમાવેશ થાય છે. ડેટા ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યવસ્થિત રીતે સંપર્ક કરવા માટે, પાવર ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં પરિમાણ λ નો અંદાજ કાઢવા માટે આંકડાકીય અંદાજ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, જેનાથી આપેલ સેટિંગમાં લગભગ સૌથી યોગ્ય પરિવર્તનને ઓળખવામાં આવે છે. શક્તિ પરિવર્તન કુટુંબમાં ઓળખ પરિવર્તનનો પણ સમાવેશ થતો હોવાથી, આ અભિગમ એ પણ સૂચવી શકે છે કે પરિવર્તન વિના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવું શ્રેષ્ઠ રહેશે કે નહીં. પ્રતિગમન વિશ્લેષણમાં, આ અભિગમને બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પારસ્પરિક પરિવર્તન, યેઓ-જોહ્નસન પરિવર્તન જેવા કેટલાક શક્તિ પરિવર્તન અને ઇન્વર્સ હાયપરબોલિક સાઇન લાગુ કરવા જેવા કેટલાક અન્ય પરિવર્તન, એવા ડેટા પર અર્થપૂર્ણ રીતે લાગુ કરી શકાય છે જેમાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે (જો λ એક વિષમ પૂર્ણાંક હોય તો તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર શક્તિ પરિવર્તન ઉલટાવી શકાય તેવું હોય છે). જો કે, જ્યારે નકારાત્મક અને સકારાત્મક બંને મૂલ્યો જોવા મળે છે, ત્યારે કેટલીકવાર તમામ મૂલ્યોમાં અચળાંક ઉમેરીને શરૂઆત કરવી સામાન્ય છે, જે બિન-નકારાત્મક માહિતીનો સમૂહ ઉત્પન્ન કરે છે જેના પર કોઈપણ શક્તિ પરિવર્તન લાગુ કરી શકાય છે. એક સામાન્ય પરિસ્થિતિ જ્યાં ડેટા પરિવર્તન લાગુ કરવામાં આવે છે તે છે જ્યારે વ્યાજનું મૂલ્ય તીવ્રતાના વિવિધ ક્રમમાં હોય છે. ઘણી ભૌતિક અને સામાજિક ઘટનાઓ આવી વર્તણૂક દર્શાવે છે-આવક, પ્રજાતિઓની વસ્તી, આકાશગંગાના કદ અને વરસાદનું પ્રમાણ. પાવર ટ્રાન્સફોર્મ અને ખાસ કરીને લઘુગણકનો ઉપયોગ ઘણીવાર આવા ડેટામાં સમપ્રમાણતાને પ્રેરિત કરવા માટે થઈ શકે છે. લઘુગણકને ઘણીવાર પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેના પરિણામને "ગણો ફેરફારો" ની દ્રષ્ટિએ અર્થઘટન કરવું સરળ છે. લઘુગણક ગુણોત્તર પર પણ ઉપયોગી અસર કરે છે. જો આપણે X/Y ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને હકારાત્મક જથ્થા X અને Y ની સરખામણી કરી રહ્યા છીએ, તો પછી જો X <Y, ગુણોત્તર અંતરાલ (0,1) માં છે, જ્યારે જો X> Y, ગુણોત્તર અર્ધ-રેખા (1, φ) માં છે, જ્યાં 1 નો ગુણોત્તર સમાનતાને અનુરૂપ છે. વિશ્લેષણમાં જ્યાં X અને Y ને સમપ્રમાણ રીતે ગણવામાં આવે છે, ત્યાં સમાનતાના કિસ્સામાં લોગ-રેશિયો લોગ (X/Y) શૂન્ય હોય છે, અને તેમાં એવો ગુણધર્મ હોય છે કે જો X એ Y કરતા K ગણો વધારે હોય, તો લોગ-રેશિયો શૂન્યથી સમાન અંતરે હોય છે, જેમ કે Y એ X કરતા K ગણો વધારે હોય તેવી સ્થિતિમાં (આ બે પરિસ્થિતિઓમાં લોગ-રેશિયો લોગ (K) અને − લૉગ (K) હોય છે). જો મૂલ્યો કુદરતી રીતે 0 થી 1 ની શ્રેણીમાં મર્યાદિત હોય, જેમાં અંતિમ બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી, તો પછી લોગિટ પરિવર્તન યોગ્ય હોઈ શકે છેઃ આ શ્રેણીમાં મૂલ્યો આપે છે. સામાન્યતામાં પરિવર્તન 1. ડેટા સમૂહને સામાન્ય વિતરણની જેમ રૂપાંતરિત કરવું હંમેશા જરૂરી અથવા ઇચ્છનીય હોતું નથી. જો કે, જો સમપ્રમાણતા અથવા સામાન્યતા ઇચ્છનીય હોય, તો તે ઘણીવાર એક શક્તિ પરિવર્તન દ્વારા પ્રેરિત થઈ શકે છે. 2. ભાષાકીય શક્તિ કાર્ય ઝિપ્ફ-મેન્ડલબ્રોટ કાયદા અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે. વિતરણ અત્યંત તીક્ષ્ણ અને લેપ્ટોક્યુર્ટિક છે, આ જ કારણ છે કે સંશોધકોએ તેને ઉકેલવા માટે આંકડાશાસ્ત્ર તરફ પીઠ ફેરવવી પડી હતી. લેખકત્વ એટ્રિબ્યુશન સમસ્યાઓ. તેમ છતાં, માહિતી પરિવર્તન લાગુ કરીને ગૌસીયન આંકડાશાસ્ત્રનો ઉપયોગ સંપૂર્ણપણે શક્ય છે. 3. પરિવર્તન પછી સામાન્યતા પ્રાપ્ત થઈ છે કે કેમ તેનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, કોઈપણ પ્રમાણભૂત સામાન્યતા પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ગ્રાફિકલ અભિગમ સામાન્ય રીતે ઔપચારિક આંકડાકીય પરીક્ષણ કરતાં વધુ માહિતીપ્રદ હોય છે અને તેથી સામાન્ય વસ્તીમાં ડેટા સેટની યોગ્યતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે સામાન્ય માત્રાત્મક પ્લોટનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, નમૂનાના સ્ક્યુનેસ અને કુર્ટોસિસના આધારે અંગૂઠાના નિયમો પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે. જો આપણે કોઈ સંબંધ વિના n મૂલ્યો X1,., Xn નો સમૂહ અવલોકન કરીએ (એટલે કે, ત્યાં n અલગ મૂલ્યો છે), તો આપણે xi ને રૂપાંતરિત મૂલ્ય yi = k સાથે બદલી શકીએ છીએ, જ્યાં k ને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે xi એ તમામ X મૂલ્યોમાં kth સૌથી મોટું છે. આને રેન્ક ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે, અને એક સમાન વિતરણ માટે સંપૂર્ણ ફિટ સાથે ડેટા બનાવે છે. આ અભિગમ વસ્તી એનાલોગ ધરાવે છે. પ્રોબેબિલિટી ઇન્ટિગ્રલ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, જો X કોઈ રેન્ડમ વેરિયેબલ હોય અને F એ Xનું સંચિત વિતરણ કાર્ય હોય, તો જ્યાં સુધી F ઇન્વર્ટિબલ હોય, ત્યાં સુધી રેન્ડમ વેરિયેબલ U = F (X) એકમ અંતરાલ [0,1] પર સમાન વિતરણને અનુસરે છે. એકસમાન વિતરણમાંથી, આપણે ઇન્વર્ટિબલ ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન સાથે કોઈપણ વિતરણમાં પરિવર્તિત થઈ શકીએ છીએ. જો G એક ઇન્વર્ટિબલ ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન છે, અને U એક સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ વેરિયેબલ છે, તો રેન્ડમ વેરિયેબલ G−1 (U) તેના ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન તરીકે G ધરાવે છે. બંનેને એકસાથે મૂકીએ તો, જો X કોઈ રેન્ડમ વેરિયેબલ હોય, તો F એ Xનું ઇન્વર્ટિબલ ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન છે, અને G એ ઇન્વર્ટિબલ ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન છે, તો રેન્ડમ વેરિયેબલ G−1 (F (X)) તેના ક્યુમુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન તરીકે G ધરાવે છે. પરિવર્તનને સ્થિર કરતી ભિન્નતા આંકડાકીય માહિતીના ઘણા પ્રકારો "તફાવત-પર-અર્થ સંબંધ" દર્શાવે છે, જેનો અર્થ છે કે વિવિધ અપેક્ષિત મૂલ્યો સાથેના ડેટા મૂલ્યો માટે પરિવર્તનશીલતા અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિશ્વની વિવિધ વસ્તીની સરખામણીમાં, આવકમાં તફાવત સરેરાશ આવક સાથે વધવાનું વલણ ધરાવે છે. જો આપણે સંખ્યાબંધ નાના ક્ષેત્ર એકમો (દા. ત., યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સમાં કાઉન્ટીઓ) ને ધ્યાનમાં લઈએ અને દરેક કાઉન્ટીની અંદર આવકનો સરેરાશ અને તફાવત મેળવીએ, તો તે સામાન્ય બાબત છે કે વધુ સરેરાશ આવક ધરાવતી કાઉન્ટીઓમાં પણ વધુ તફાવત હોય છે. ભિન્નતા-સ્થિર પરિવર્તનનો ઉદ્દેશ ભિન્નતા-પર-અર્થ સંબંધને દૂર કરવાનો છે, જેથી ભિન્નતા સરેરાશની સાપેક્ષમાં સતત બની રહે. ભિન્નતા-સ્થિર પરિવર્તનના ઉદાહરણોમાં નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક માટે ફિશર પરિવર્તન, પોઈસન ડેટા માટે વર્ગમૂળ પરિવર્તન અથવા એન્સકોમ્બ પરિવર્તન (ગણતરી ડેટા), પ્રતિગમન વિશ્લેષણ માટે બોક્સ-કોક્સ પરિવર્તન અને પ્રમાણ માટે આર્ક્સાઇન વર્ગમૂળ પરિવર્તન અથવા કોણીય પરિવર્તન (દ્વિપદી ડેટા) છે. જ્યારે સામાન્ય રીતે પ્રમાણસર માહિતીના આંકડાકીય વિશ્લેષણ માટે વપરાય છે, ત્યારે આર્ક્સાઇન વર્ગમૂળ પરિવર્તનની ભલામણ કરવામાં આવતી નથી કારણ કે લોજિસ્ટિક રીગ્રેસન અથવા લોગિટ પરિવર્તન અનુક્રમે દ્વિપદી અથવા બિન-દ્વિપદી પ્રમાણ માટે વધુ યોગ્ય છે, ખાસ કરીને પ્રકાર-II ભૂલમાં ઘટાડાને કારણે. મલ્ટીવેરિયેટ ડેટા માટે પરિવર્તન યુનિવેરિયેટ કાર્યોને તેમના સીમાંત વિતરણમાં ફેરફાર કરવા માટે મલ્ટીવેરિયેટ ડેટાને બિંદુ મુજબ લાગુ કરી શકાય છે. યોગ્ય રીતે બાંધવામાં આવેલા પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને બહુવિધ વિતરણના કેટલાક લક્ષણોમાં ફેરફાર કરવો પણ શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમય શ્રેણી અને અન્ય પ્રકારના ક્રમિક ડેટા સાથે કામ કરતી વખતે, સ્થિરતામાં સુધારો કરવા માટે ડેટામાં તફાવત કરવો સામાન્ય છે. જો રેન્ડમ વેક્ટર X દ્વારા પેદા થયેલ માહિતીને સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ σ સાથેના અવલોકનોના વાહક xi તરીકે જોવામાં આવે, તો ડેટાને સુશોભિત કરવા માટે રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચોલ્સ્કી વિઘટનનો ઉપયોગ 'એ. એ.' = એ. એ. 'ને વ્યક્ત કરવા માટે થાય છે. પછી રૂપાંતરિત વેક્ટર Yi = A − 1X "i તેના સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખ મેટ્રિક્સ ધરાવે છે. આર્કસિન ફીચર એન્જિનિયરિંગ લોજિટ પીયર્સન સહસંબંધ ગુણાંક પાવર ટ્રાન્સફોર્મ (બોક્સ-કોક્સ) વિલ્સન-હિલ્ફર્ટી ટ્રાન્સફોર્મેશન વ્હાઈટનિંગ ટ્રાન્સફોર્મેશન સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ લોગ ટ્રાન્સફોર્મેશન ફોર સ્ક્યુડ એન્ડ વાઈડ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન-લોગ અને "સહી કરેલ લઘુગણક" પરિવર્તનની ચર્ચા ("પ્રાયોગિક ડેટા સાયન્સ વિથ આર" માંથી એક પ્રકરણ) પણ જુઓ. આંકડાકીય અનુમાન