Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
ગણિતમાં, અમૂર્ત બીજગણિતના ક્ષેત્રમાં, મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલો માટેનું માળખું પ્રમેય એ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ અબેલિયન જૂથોના મૂળભૂત પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ છે અને આશરે જણાવે છે કે મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર (પી. આઈ. ડી.) પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલો અનન્ય રીતે વિઘટિત થઈ શકે છે. ક્ષેત્રો પર ચોરસ મેટ્રિસીસ માટે વિવિધ કેનોનિકલ ફોર્મ પરિણામોને સમજવા માટે પરિણામ એક સરળ માળખું પ્રદાન કરે છે. નિવેદન જ્યારે F ક્ષેત્ર પરની વેક્ટર જગ્યા મર્યાદિત જનરેટિંગ સેટ ધરાવે છે, ત્યારે કોઈ વ્યક્તિ તેમાંથી વેક્ટરની મર્યાદિત સંખ્યા n નો સમાવેશ કરતો આધાર કાઢી શકે છે, અને તેથી જગ્યા Fn માટે આઇસોમોર્ફિક છે. મુખ્ય આદર્શ ડોમેન R માટે સામાન્યીકૃત F સાથેનું અનુરૂપ નિવેદન હવે સાચું નથી, કારણ કે R પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ માટેનો આધાર અસ્તિત્વમાં નથી. જો કે આવા મોડ્યુલ હજુ પણ n મર્યાદિત સાથે કેટલાક મોડ્યુલ Rn ના ભાગાકાર માટે સમરૂપ છે (આ જોવા માટે તે મોર્ફિઝમનું નિર્માણ કરવા માટે પૂરતું છે જે Rn ના કેનોનિકલ પાયાના તત્વોને મોડ્યુલના જનરેટરમાં મોકલે છે, અને ભાગાકારને તેના કર્નલ દ્વારા લે છે.) જનરેટિંગ સેટની પસંદગીને બદલીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ વાસ્તવમાં મોડ્યુલને ખાસ કરીને સરળ પેટા મોડ્યુલ દ્વારા કેટલાક Rn ના ભાગાકાર તરીકે વર્ણવી શકે છે, અને આ માળખું પ્રમેય છે. મુખ્ય આદર્શ ક્ષેત્ર પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલો માટેનું માળખું પ્રમેય સામાન્ય રીતે નીચેના બે સ્વરૂપોમાં દેખાય છે. અપરિવર્તનશીલ પરિબળ વિઘટન મુખ્ય આદર્શ ડોમેન પર દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ માટે, યોગ્ય આદર્શોનો એક અનોખો ઘટતો ક્રમ હોય છે, જેમ કે ચક્રીય મોડ્યુલોના સરવાળા માટે આઇસોમોર્ફિક હોય છેઃ આદર્શોના જનરેટર એકમ દ્વારા ગુણાકાર સુધી અનન્ય હોય છે, અને તેમને M ના અપરિવર્તનશીલ પરિબળો કહેવામાં આવે છે. આદર્શો યોગ્ય હોવા જોઈએ, તેથી આ પરિબળો પોતે ઉલટાવી શકાય તેવા ન હોવા જોઈએ (આ સરવાળામાં તુચ્છ પરિબળોને ટાળે છે), અને આદર્શોનો સમાવેશ કરવાનો અર્થ એ છે કે વ્યક્તિ પાસે વિભાજનક્ષમતા છે. મુક્ત ભાગ પરિબળોને અનુરૂપ વિઘટનના ભાગમાં દેખાય છે. આવા પરિબળો, જો કોઈ હોય તો, ક્રમના અંતે થાય છે. જ્યારે સીધો સરવાળો અનન્ય રીતે આના દ્વારા નક્કી થાય છે, ત્યારે વિઘટન આપતું આઇસોમોર્ફિઝમ સામાન્ય રીતે અનન્ય નથી. દાખલા તરીકે, જો વાસ્તવમાં એક ક્ષેત્ર હોય, તો પછી બનતા તમામ આદર્શો શૂન્ય હોવા જોઈએ, અને એક મર્યાદિત પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાનું એક પરિમાણીય પેટા-જગ્યાઓના સીધા સરવાળામાં વિઘટન મેળવે છે; આવા પરિબળોની સંખ્યા નિશ્ચિત છે, એટલે કે જગ્યાનું પરિમાણ, પરંતુ પેટા-જગ્યાઓ જાતે (જો) પસંદ કરવા માટે ઘણી સ્વતંત્રતા છે. બિન-શૂન્ય ઘટકો, જેની સંખ્યા શૂન્ય છે તેની સાથે મળીને, મોડ્યુલ માટે અચળાંકનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે. સ્પષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે સમાન અચળાંકના સમૂહને વહેંચતા કોઈપણ બે મોડ્યુલો આવશ્યકપણે આઇસોમોર્ફિક છે. કેટલાક M ના મુક્ત ભાગને અલગથી લખવાનું પસંદ કરે છેઃ જ્યાં દૃશ્યમાન બિન-શૂન્ય હોય છે, અને f એ મૂળ અનુક્રમમાં s ની સંખ્યા છે જે 0 છે. પ્રાથમિક વિઘટન મુખ્ય આદર્શ ડોમેન R પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ દરેક મોડ્યુલ M એ પ્રાથમિક આદર્શો ક્યાં અને ક્યાં છે તે સ્વરૂપમાંથી એક માટે આઇસોમોર્ફિક છે. આ અનન્ય છે (એકમો દ્વારા ગુણાકાર સુધી). તત્વોને M ના પ્રાથમિક વિભાજક કહેવામાં આવે છે. PID માં, બિન-શૂન્ય પ્રાથમિક આદર્શો એ અવિભાજ્યની ઘાત હોય છે, અને તેથી. જ્યારે, પરિણામી અયોગ્ય મોડ્યુલ પોતે જ છે, અને આ M ના ભાગની અંદર છે જે એક મુક્ત મોડ્યુલ છે. સારાંશો બિનસંયોજનક્ષમ હોય છે, તેથી પ્રાથમિક વિઘટન એ બિનસંયોજનક્ષમ મોડ્યુલોમાં વિઘટન છે, અને આમ પી. આઈ. ડી. પર દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ સંપૂર્ણપણે વિઘટનક્ષમ મોડ્યુલ છે. પી. આઈ. ડી. એ નોથેરિયન રિંગ્સ હોવાથી, આને લેસ્કર-નોઇથર થીયરમની અભિવ્યક્તિ તરીકે જોઈ શકાય છે. પહેલાની જેમ, મુક્ત ભાગને (જ્યાં) અલગથી લખવું અને M ને આ રીતે વ્યક્ત કરવું શક્ય છેઃ જ્યાં દૃશ્યમાન બિન-શૂન્ય હોય. પુરાવો એક પુરાવો નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છેઃ પી. આઈ. ડી. પર દરેક મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલ પણ મર્યાદિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે કારણ કે પી. આઈ. ડી. નોથેરિયન છે, જે સુસંગતતા કરતાં પણ વધુ મજબૂત સ્થિતિ છે. એક પ્રસ્તુતિ લો, જે એક નકશો છે (જનરેટર સાથેના સંબંધો), અને તેને સ્મિથ સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકો. આનાથી અપરિવર્તનશીલ પરિબળનું વિઘટન થાય છે, અને સ્મિથના સામાન્ય સ્વરૂપની વિકર્ણ એન્ટ્રીઓ અપરિવર્તનશીલ પરિબળો છે. સાબિતીની બીજી રૂપરેખાઃ ટી. એમ. દ્વારા એમ. ના ટોર્શન સબમોડ્યુલને દર્શાવો. પછી એમ./ટી. એમ. એ ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ ટોર્સન ફ્રી મોડ્યુલ છે, અને પરિવર્તનીય પી. આઈ. ડી. પરનું આવું મોડ્યુલ ફાઈનાઈટ રેન્કનું ફ્રી મોડ્યુલ છે, તેથી તે પોઝિટિવ ઇન્ટિજર એન માટે આઇસોમોર્ફિક છે. આ ફ્રી મોડ્યુલને એમ. ના સબમોડ્યુલ એફ. તરીકે એમ્બેડ કરી શકાય છે, જેમ કે એમ્બેડિંગ સ્પ્લિટ (એ પ્રક્ષેપણ નકશાનો જમણો ઇન્વર્સ છે); તે પરિણામે એફ. ના દરેક જનરેટરને એમ. માં ઉપાડવા માટે પૂરતું છે. R માં મુખ્ય તત્વ p માટે આપણે પછી વાત કરી શકીએ છીએ. આ ટી. એમ. નું પેટા મોડ્યુલ છે, અને તે તારણ આપે છે કે દરેક એન. પી. એ ચક્રીય મોડ્યુલોનો સીધો સરવાળો છે, અને તે ટી. એમ. એ મર્યાદિત સંખ્યામાં અલગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે એન. પી. નો સીધો સરવાળો છે. કોરોલરીઝ આમાં વિશેષ કેસ તરીકે મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાઓનું વર્ગીકરણ શામેલ છે, જ્યાં. ક્ષેત્રોમાં કોઈ બિન-તુચ્છ આદર્શો ન હોવાથી, દરેક મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલ વેક્ટર જગ્યા મુક્ત હોય છે. ઉપજ લેવાથી મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા અબેલિયન જૂથોના મૂળભૂત પ્રમેયની ઉપજ મળે છે. ધારો કે T એ મર્યાદિત-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા V પર K પર રેખીય ઓપરેટર છે. K માં ગુણાંક ધરાવતા બહુપદીઓના બીજગણિતને T પર મૂલ્યાંકન કરીને, T વિશેની માળખાની માહિતી મળે છે. છેલ્લું અપરિવર્તનશીલ પરિબળ એ ન્યૂનતમ બહુપદી છે, અને અપરિવર્તનશીલ પરિબળોનું ગુણાકાર એ લાક્ષણિક બહુપદી છે. માટે પ્રમાણભૂત મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ સાથે જોડાઈને, આ વિવિધ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપો આપે છેઃ અપરિવર્તનશીલ પરિબળો + સાથી મેટ્રિક્સ ઉપજ ફ્રોબેનિયસ સામાન્ય સ્વરૂપ (ઉર્ફ, તર્કસંગત કેનોનિકલ સ્વરૂપ) પ્રાથમિક વિઘટન + સાથી મેટ્રિક્સ ઉપજ પ્રાથમિક તર્કસંગત કેનોનિકલ સ્વરૂપ પ્રાથમિક વિઘટન + જોર્ડન બ્લોક્સ ઉપજ જોર્ડન કેનોનિકલ સ્વરૂપ (આ પછીનું માત્ર બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર ધરાવે છે) વિશિષ્ટતા જ્યારે અપરિવર્તનશીલ (ક્રમ, અપરિવર્તનશીલ પરિબળો અને પ્રાથમિક ભાજકો) અનન્ય હોય છે, એમ અને તેના કેનોનિકલ સ્વરૂપ વચ્ચેનું આઇસોમોર્ફિઝમ અનન્ય નથી, અને તે સીધા સરવાળા વિઘટનને પણ જાળવી રાખતું નથી. આ અનુસરે છે કારણ કે આ મોડ્યુલોના બિન-તુચ્છ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ છે જે સરવાળાને જાળવી રાખતા નથી. જો કે, એકમાં કેનોનિકલ ટોર્શન સબમોડ્યુલ T છે, અને દરેક (વિશિષ્ટ) અપરિવર્તનશીલ પરિબળને અનુરૂપ સમાન કેનોનિકલ સબમોડ્યુલ્સ છે, જે કેનોનિકલ ક્રમ આપે છેઃ જોર્ડન-હોલ્ડર પ્રમેયમાં રચના શ્રેણીની સરખામણી કરો. દાખલા તરીકે, જો, અને એક આધાર છે, તો તે બીજો આધાર છે, અને આધાર મેટ્રિક્સનો ફેરફાર સરવાળાને જાળવી રાખતો નથી. જો કે, તે સરવાળાને જાળવી રાખે છે, કારણ કે આ ટોર્સિયન સબમોડ્યુલ છે (સમકક્ષ અહીં, 2-ટોર્સિયન તત્વો). સામાન્યીકરણ જૂથો જોર્ડન-હોલ્ડર પ્રમેય એ મર્યાદિત જૂથો (અથવા મનસ્વી રીંગ પરના મોડ્યુલો) માટે વધુ સામાન્ય પરિણામ છે. આ સામાન્યતામાં, વ્યક્તિ સીધી રકમને બદલે રચના શ્રેણી મેળવે છે. ક્રુલ-શ્મિટ પ્રમેય અને સંબંધિત પરિણામો એવી પરિસ્થિતિઓ આપે છે કે જેમાં મોડ્યુલમાં પ્રાથમિક વિઘટન જેવું કંઈક હોય છે, જે બિનસંયોજનક્ષમ મોડ્યુલોના સીધા સરવાળા તરીકે વિઘટન છે જેમાં સરવાળા ક્રમમાં અનન્ય હોય છે. પ્રાથમિક વિઘટન પ્રાથમિક વિઘટન પરિવર્તનીય નોથેરિયન રિંગ્સ પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ મોડ્યુલોમાં સામાન્ય બને છે, અને આ પરિણામને લેસ્કર-નોઇથર પ્રમેય કહેવામાં આવે છે. બિનસંયોજિત મોડ્યુલો તેનાથી વિપરીત, બિનસંયોજિત પેટા મોડ્યુલોમાં અનન્ય વિઘટન અત્યાર સુધી સામાન્ય થતું નથી, અને નિષ્ફળતા આદર્શ વર્ગ જૂથ દ્વારા માપવામાં આવે છે, જે પી. આઈ. ડી. માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. મુખ્ય આદર્શ ડોમેન્સ ન હોય તેવી રિંગ્સ માટે, બે ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ રિંગ પર મોડ્યુલો માટે અનન્ય વિઘટન પણ જરૂરી નથી. રીંગ R = Z માટે, મોડ્યુલ R અને તેના 2 અને 1 + √−5 દ્વારા પેદા થયેલ પેટા મોડ્યુલ M બંને બિનસંયોજનક્ષમ છે. જ્યારે R એ M માટે આઇસોમોર્ફિક નથી, R ≤ R એ M ≤ M માટે આઇસોમોર્ફિક છે; આમ M સરવાળાઓની છબીઓ અયોગ્ય પેટા મોડ્યુલો L1, L2 <R ≤ R આપે છે જે R ≤ R નું અલગ વિઘટન આપે છે. ટોર્સિયન મુક્ત પૂરક (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય) સાથે હજુ પણ એક અનોખો ટોર્સિયન ભાગ છે, પરંતુ ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન પર ટોર્સિયન મુક્ત મોડ્યુલ હવે મુક્ત હોવું જરૂરી નથી. ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન પર ટોર્સિયન ફ્રી મોડ્યુલો ક્રમ અને સ્ટેનિટ્ઝ વર્ગ (જે આદર્શ વર્ગ જૂથમાં મૂલ્ય લે છે) દ્વારા (આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી) નક્કી કરવામાં આવે છે, અને આર (ક્રમ એક મુક્ત મોડ્યુલો) ની નકલોના સીધા સરવાળામાં વિઘટનને સીધા સરવાળા ક્રમ એક પ્રોજેક્ટિવ મોડ્યુલો દ્વારા બદલવામાં આવે છેઃ વ્યક્તિગત સરવાળા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવતા નથી, પરંતુ સ્ટેનિટ્ઝ વર્ગ (સરવાળાનો) છે. બિન-મર્યાદિત રીતે જનરેટેડ મોડ્યુલો એ જ રીતે એવા મોડ્યુલો માટે કે જે મર્યાદિત રીતે જનરેટેડ નથી, કોઈ આવા સરસ વિઘટનની અપેક્ષા રાખી શકતું નથીઃ પરિબળોની સંખ્યા પણ બદલાઈ શકે છે. ક્યુ4 ના ઝેડ-સબમોડ્યુલ્સ છે જે એક સાથે બે બિન-કમ્પોઝેબલ મોડ્યુલ્સનો સીધો સરવાળો અને ત્રણ બિન-કમ્પોઝેબલ મોડ્યુલ્સનો સીધો સરવાળો છે, જે દર્શાવે છે કે પ્રાથમિક વિઘટનનું એનાલોગ અનંત જનરેટેડ મોડ્યુલો માટે રાખી શકાતું નથી, પૂર્ણાંકો પર પણ, ઝેડ. નોન-ફાઈનાઈટલી જનરેટેડ મોડ્યુલો સાથે ઊભી થતી અન્ય સમસ્યા એ છે કે ત્યાં વળાંક-મુક્ત મોડ્યુલો છે જે મફત નથી. દાખલા તરીકે, પૂર્ણાંકોની રીંગ Z ને ધ્યાનમાં લો. પછી ક્યૂ એ વળાંક-મુક્ત ઝેડ-મોડ્યુલ છે જે મુક્ત નથી. આવા મોડ્યુલનું બીજું શાસ્ત્રીય ઉદાહરણ બેર-સ્પેકર જૂથ છે, જે ટર્મવાઇઝ એડિશન હેઠળ પૂર્ણાંકોના તમામ ક્રમોનું જૂથ છે. સામાન્ય રીતે, કયા અનંત રીતે પેદા થયેલા વળાંક-મુક્ત અબેલિયન જૂથો મુક્ત છે તે પ્રશ્ન કયા મોટા કાર્ડિનલ્સ અસ્તિત્વમાં છે તેના પર આધાર રાખે છે. પરિણામ એ છે કે અનંત જનરેટેડ મોડ્યુલો માટે કોઈપણ માળખું પ્રમેય સમૂહ સિદ્ધાંત સ્વયંસિદ્ધોની પસંદગી પર આધાર રાખે છે અને અલગ પસંદગી હેઠળ અમાન્ય હોઈ શકે છે. અમૂર્ત બીજગણિતમાં સંદર્ભ પ્રમેય મોડ્યુલ સિદ્ધાંત ડીઃ Hauptidealring#Moduln über હાઉપ્ટીડિયલરિંગેન