Development (differential geometry)
શાસ્ત્રીય વિભેદક ભૂમિતિમાં, વિકાસ એ યુક્લિડિયન અવકાશમાં એક સરળ સપાટીને બીજી ઉપર ફેરવવાના સરળ વિચારનો સંદર્ભ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ પર સપાટી પરના સ્પર્શક સમતલ (જેમ કે ગોળા અથવા નળાકાર) ને અન્ય બિંદુઓ પર સ્પર્શક સમતલ મેળવવા માટે સપાટીની આસપાસ ફેરવી શકાય છે. ગુણધર્મો એકબીજા પર વળેલી સપાટીઓ વચ્ચેનો સ્પર્શક સંપર્ક બે સપાટીઓ પરના બિંદુઓ વચ્ચેનો સંબંધ પૂરો પાડે છે. જો આ સંબંધ (કદાચ માત્ર સ્થાનિક અર્થમાં) સપાટીઓ વચ્ચેનું દ્વિભાજન હોય, તો પછી બંને સપાટીઓ એકબીજા પર વિકાસક્ષમ અથવા એકબીજાના વિકાસ હોવાનું કહેવાય છે. અલગ રીતે કહીએ તો, પત્રવ્યવહાર સ્થાનિક રીતે, બે સપાટીઓ વચ્ચે એક સમપ્રમાણતા પ્રદાન કરે છે. ખાસ કરીને, જો સપાટીઓમાંથી એક સપાટી હોય, તો બીજીને વિકસાવી શકાય તેવી સપાટી કહેવામાં આવે છેઃ આમ વિકસાવી શકાય તેવી સપાટી તે છે જે સપાટી માટે સ્થાનિક રીતે આઇસોમેટ્રિક હોય છે. નળાકાર વિકસાવી શકાય તેવું છે, પરંતુ ગોળાકાર નથી. સપાટ જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને વિકાસને વધુ સામાન્ય બનાવી શકાય છે. આ દ્રષ્ટિકોણથી, સપાટી પર સ્પર્શક સપાટીને ફેરવવી એ સપાટી પર એફાઇન જોડાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (તે વળાંક સાથે સમાંતર પરિવહનનું ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે), અને વિકાસક્ષમ સપાટી તે છે જેના માટે આ જોડાણ સપાટ છે. વધુ સામાન્ય રીતે મેનીફોલ્ડ પરનું કોઈપણ સપાટ કાર્ટન જોડાણ મોડેલ સ્પેસ પર તે મેનીફોલ્ડના વિકાસને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. કદાચ સૌથી પ્રસિદ્ધ ઉદાહરણ અનુરૂપ રીતે સપાટ એન-મેનિફોલ્ડ્સનો વિકાસ છે, જેમાં મોડેલ-સ્પેસ એ એન-ગોળા છે. અનુરૂપ રીતે સપાટ મેનીફોલ્ડનો વિકાસ એ મેનીફોલ્ડના સાર્વત્રિક આવરણથી એન-ગોળા સુધી એક અનુરૂપ સ્થાનિક ડિફિયોમોર્ફિઝમ છે. અવિકસિત સપાટીઓ બેવડા વળાંકવાળી સપાટીઓ (અવિકસિત સપાટીઓ) ના વર્ગમાં એવી વસ્તુઓ હોય છે જેને સરળતાથી ખોલી શકાતી નથી (વિકસિત). આવી સપાટીઓને માત્ર રેખીય સપાટી તત્વોની કેટલીક વિકૃતિઓ સાથે જ વિકસાવી શકાય છે (સ્ટ્રેચ્ડ ગ્રીડ પદ્ધતિ જુઓ) વિકાસક્ષમ સપાટી શાસિત સપાટી સંદર્ભો વિભેદક ભૂમિતિ જોડાણ (ગણિત) પણ જુઓ.