Cohomological dimension
અમૂર્ત બીજગણિતમાં, કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ એ જૂથનું અપરિવર્તનશીલ છે જે તેની રજૂઆતની સમરૂપ જટિલતાને માપે છે. ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત, ટોપોલોજી અને બીજગણિત સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં તેનો મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગ થાય છે. મોટાભાગના કોહોમોલોજીકલ અપરિવર્તન તરીકે, કોહોમોલોજીકલ પરિમાણમાં "ગુણાંકની વીંટી" R ની પસંદગીનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં R = Z, પૂર્ણાંકોની વીંટી દ્વારા આપવામાં આવેલ એક અગ્રણી વિશેષ કેસ છે. ધારો કે G એક અલગ જૂથ છે, R એક એકમ સાથે બિન-શૂન્ય રિંગ છે, અને RG જૂથ રિંગ છે. જૂથ G નું કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ n કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય છે, જે cdR (G) ≤ n તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, જો તુચ્છ RG-મોડ્યુલ R ની લંબાઈ n, એટલે કે પ્રોજેક્ટિવ રિઝોલ્યુશન હોય. ત્યાં પ્રોજેક્ટિવ RG-મોડ્યુલો P0,., Pn અને RG-મોડ્યુલ હોમોમોર્ફિઝમ્સ dk: PkPk−1 (k = 1,., n) અને d0: P0R છે, જેમ કે dk ની છબી k = 1,., n માટે dk−1 ના કર્નલ સાથે મેળ ખાય છે અને dn નો કર્નલ તુચ્છ છે. સમાનરૂપે, કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ n કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય છે જો મનસ્વી RG-મોડ્યુલ M માટે, M માં ગુણાંક સાથે G ની કોહોમોલોજી k> n ડિગ્રીમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે, એટલે કે, જ્યારે પણ k> n હોય ત્યારે Hk (G, M) = 0. મુખ્ય p માટે p-આલ્કોહોલોજીકલ પરિમાણ એ જ રીતે p-વળાંક જૂથો Hk (G, M) {p} ના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. G નું કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ n કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય તેવું સૌથી નાનું n એ G (ગુણાંક R સાથે) નું કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ છે, જે સૂચવવામાં આવે છે. સંકોચાય તેવી ટોપોલોજિકલ જગ્યા X પર જૂથ G ની મુક્ત ક્રિયાથી મુક્ત રીઝોલ્યુશન મેળવી શકાય છે. ખાસ કરીને, જો X એ કોષોને પર્મ્યુટ કરતા અલગ જૂથ G ની મુક્ત ક્રિયા સાથે પરિમાણ n નું સંકોચાય તેવું CW સંકુલ છે, તો પછી. ઉદાહરણો ઉદાહરણોના પ્રથમ જૂથમાં, ગુણાંકની રીંગ R હોવી જોઈએ. મુક્ત જૂથમાં કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ હોય છે. જ્હોન સ્ટેલિંગ્સ (મર્યાદિત રીતે પેદા થયેલા જૂથ માટે) અને રિચાર્ડ સ્વાન (સંપૂર્ણ સામાન્યતામાં) દ્વારા દર્શાવ્યા મુજબ, આ ગુણધર્મ મુક્ત જૂથોની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે. આ પરિણામને સ્ટેલિંગ-સ્વાન પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જૂથ G માટે સ્ટેલિંગ્સ-સ્વાન પ્રમેય કહે છે કે G મુક્ત છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો G દ્વારા દરેક વિસ્તરણને અબેલિયન કર્નલ સાથે વિભાજિત કરવામાં આવે. ગોળા સિવાયની કોમ્પેક્ટ, કનેક્ટેડ, ઓરિએન્ટેબલ રીમાન સપાટીના મૂળભૂત જૂથમાં કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ બે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, પરિમાણ n ના બંધ, જોડાયેલા, ઓરિએન્ટેબલ એસફેરિકલ મેનીફોલ્ડના મૂળભૂત જૂથમાં કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ n હોય છે. ખાસ કરીને, બંધ ઓરિએન્ટેબલ હાયપરબોલિક n-મેનિફોલ્ડના મૂળભૂત જૂથમાં કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ n હોય છે. બિન-તુચ્છ મર્યાદિત જૂથોમાં અનંત કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ હોય છે. વધુ સામાન્ય રીતે, બિન-તુચ્છ વળાંકવાળા જૂથો માટે પણ આ જ સાચું છે. હવે સામાન્ય રીંગ R નો વિચાર કરો. A જૂથ G નું કોહોમોલોજીકલ પરિમાણ 0 હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની જૂથ રીંગ RG અર્ધ-સરળ હોય. આમ મર્યાદિત જૂથનું કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ 0 હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેનો ક્રમ (અથવા, સમકક્ષ રીતે, તેના તત્વોના ક્રમ) આરમાં ઉલટાવી શકાય તેવું હોય. માટે સ્ટેલિંગ્સ-સ્વાન પ્રમેયને સામાન્ય બનાવતા, માર્ટિન ડનવુડીએ સાબિત કર્યું કે જૂથ એક મનસ્વી રીંગ આર પર વધુમાં વધુ એક કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે મર્યાદિત જૂથોના જોડાયેલા ગ્રાફનું મૂળભૂત જૂથ હોય જેમના ક્રમ આરમાં ઉલટાવી શકાય તેવા હોય. ક્ષેત્રનું કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ કે ક્ષેત્રનું પી-આલ્કોહોલોજિકલ પરિમાણ કે એ કે ના અલગ કરી શકાય તેવા બંધના ગેલોઇસ જૂથનું પી-આલ્કોહોલોજિકલ પરિમાણ છે. કે નું કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ એ બધા પર પી-આલ્કોહોલોજિકલ પરિમાણનું સર્વોચ્ચ છે. દરેક મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ આઇસોમોર્ફિક હોય છે અને તેથી કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ 1 હોય છે. બિન-શૂન્ય લાક્ષણિકતાના બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર k પર ઔપચારિક લોરેન્ટ શ્રેણીનું ક્ષેત્ર પણ નિરપેક્ષ ગેલોઇસ જૂથ આઇસોમોર્ફિક ધરાવે છે અને તેથી કોહોમોલોજિકલ પરિમાણ 1 છે. આઇલેનબર્ગ-ગેનીયા અનુમાન જૂથ કોહોમોલોજી વૈશ્વિક પરિમાણ સંદર્ભો જૂથ સિદ્ધાંત સમરૂપ બીજગણિત પણ જુઓ.