Sample mean and covariance
નમૂનાનો સરેરાશ (નમૂનાની સરેરાશ) અથવા પ્રયોગમૂલક સરેરાશ (પ્રયોગમૂલક સરેરાશ), અને નમૂનાનું સહપરિવર્તન અથવા પ્રયોગમૂલક સહપરિવર્તન એ એક અથવા વધુ અવ્યવસ્થિત ચલ પર ડેટાના નમૂનામાંથી ગણતરી કરાયેલ આંકડા છે. નમૂનાનો સરેરાશ એ સંખ્યાઓની મોટી વસ્તીમાંથી લેવામાં આવેલી સંખ્યાના નમૂનાનું સરેરાશ મૂલ્ય (અથવા સરેરાશ મૂલ્ય) છે, જ્યાં "વસ્તી" લોકોની સંખ્યા નહીં પરંતુ સંબંધિત માહિતીની સંપૂર્ણતા સૂચવે છે, પછી ભલે તે એકત્રિત કરવામાં આવે કે નહીં. ફોર્ચ્યુન 500 માંથી 40 કંપનીઓના વેચાણના નમૂનાનો ઉપયોગ વસ્તી, તમામ 500 કંપનીઓના વેચાણને જોવાને બદલે સગવડ માટે થઈ શકે છે. નમૂનાના સરેરાશનો ઉપયોગ વસ્તીના સરેરાશ માટે અંદાજકાર તરીકે થાય છે, સમગ્ર વસ્તીમાં સરેરાશ મૂલ્ય, જ્યાં અંદાજ વસ્તીની નજીક હોવાની શક્યતા વધુ હોય છે એટલે કે જો નમૂના મોટા અને પ્રતિનિધિ હોય. નમૂનાના સરેરાશની વિશ્વસનીયતાનો અંદાજ પ્રમાણભૂત ભૂલનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, જે બદલામાં નમૂનાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. જો નમૂનો અવ્યવસ્થિત હોય, તો પ્રમાણભૂત ભૂલ નમૂનાના કદ સાથે પડે છે અને નમૂનાનું કદ વધવાની સાથે નમૂનાનું સરેરાશ વિતરણ સામાન્ય વિતરણની નજીક પહોંચે છે. "સેમ્પલ મીન" શબ્દનો ઉપયોગ સરેરાશ મૂલ્યોના વેક્ટરને સંદર્ભિત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે જ્યારે આંકડાશાસ્ત્રી નમૂનામાં કેટલાક ચલ મૂલ્યો જોઈ રહ્યા હોય, દા. ત. ફોર્ચ્યુન 500 કંપનીઓના નમૂનાનું વેચાણ, નફો અને કર્મચારીઓ. આ કિસ્સામાં, દરેક ચલ માટે માત્ર એક નમૂનાનો તફાવત નથી પરંતુ એક નમૂનાનો તફાવત-સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ (અથવા ફક્ત સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ) છે જે ચલની દરેક જોડી વચ્ચેનો સંબંધ પણ દર્શાવે છે. જ્યારે 3 ચલ ગણવામાં આવે ત્યારે આ 3 × 3 મેટ્રિક્સ હશે. નમૂનાનું સહપરિવર્તન અંદાજકાર તરીકે નમૂનાના માધ્યમોની વિશ્વસનીયતાને નક્કી કરવામાં ઉપયોગી છે અને વસ્તી સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સના અંદાજ તરીકે પણ ઉપયોગી છે. તેમની ગણતરીની સરળતા અને અન્ય ઇચ્છનીય લાક્ષણિકતાઓને કારણે, નમૂનાના સરેરાશ અને નમૂનાના સહપ્રસરણનો ઉપયોગ આંકડામાં નમૂનામાં મૂલ્યોના વિતરણના સ્થાન અને પ્રસરણને રજૂ કરવા અને વસ્તી માટેના મૂલ્યોનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. નમૂનાની વ્યાખ્યા સરેરાશ નમૂનામાં ચલ મૂલ્યોની સરેરાશ છે, જે મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત તે મૂલ્યોનો સરવાળો છે. ગાણિતિક સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, જો ચલ X પરના N અવલોકનોના નમૂનાને વસ્તીમાંથી લેવામાં આવે, તો નમૂનાનો સરેરાશ છેઃ આ વ્યાખ્યા હેઠળ, જો નમૂનો (1,4,1) વસ્તીમાંથી લેવામાં આવે (1,1,3,4,0,2,1,0), તો નમૂનાનો સરેરાશ, વસ્તીના સરેરાશની સરખામણીમાં છે. જો નમૂના અવ્યવસ્થિત હોય તો પણ, તે ભાગ્યે જ સંપૂર્ણ રીતે પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને અન્ય નમૂનાઓમાં અન્ય નમૂનાનો અર્થ હશે, ભલે તે બધા નમૂનાઓ એક જ વસ્તીના હોય. ઉદાહરણ તરીકે, નમૂના (2,1,0) નો સરેરાશ 1 હશે. જો આંકડાશાસ્ત્રીને એકને બદલે K ચલમાં રસ હોય, તો દરેક અવલોકનમાં તે દરેક K ચલ માટે મૂલ્ય હોય છે, એકંદર નમૂનાના સરેરાશમાં વ્યક્તિગત ચલ માટે K નમૂનાનો અર્થ હોય છે. ચાલો જે. ટી. એચ. રેન્ડમ ચલ (જે = 1,., કે) પર ith સ્વતંત્ર રીતે દોરેલું નિરીક્ષણ (i = 1,., N) હોઈએ. આ અવલોકનોને N કૉલમ વેક્ટરમાં ગોઠવી શકાય છે, જેમાં દરેકને K એન્ટ્રીઓ સાથે ગોઠવી શકાય છે, જેમાં K × 1 કૉલમ વેક્ટર સૂચવવામાં આવતા તમામ ચલોનું i-th નિરીક્ષણ આપે છે (i = 1,., N). નમૂનાનો સરેરાશ વેક્ટર એ એક સ્તંભ વેક્ટર છે, જેનું જે-વી તત્વ એ જે-વી ચલનાં એન અવલોકનોની સરેરાશ કિંમત છેઃ આમ, નમૂનાનું સરેરાશ વેક્ટર દરેક ચલનાં અવલોકનોની સરેરાશ ધરાવે છે, અને તેને નમૂનાનાં સહપરિવર્તનની વ્યાખ્યા તરીકે લખવામાં આવે છે. અવલોકન વેક્ટરની દ્રષ્ટિએ, નમૂનાનું સહપરિવર્તન વૈકલ્પિક રીતે, અવલોકન વેક્ટરને મેટ્રિક્સના સ્તંભો તરીકે ગોઠવે છે, જેથી, જે K પંક્તિઓ અને N સ્તંભોનું મેટ્રિક્સ હોય. અહીં, નમૂનાના કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છે, જ્યાં એકના વેક્ટર દ્વારા N છે. જો અવલોકનો સ્તંભોને બદલે પંક્તિઓ તરીકે ગોઠવાયેલા હોય, તો હવે તે 1 × K પંક્તિ વેક્ટર છે અને તે એક N × K મેટ્રિક્સ છે, જેની સ્તંભ j એ ચલ j પર N અવલોકનોના વેક્ટર છે, પછી યોગ્ય સ્થળોએ ટ્રાન્સપોઝ લાગુ કરવાથી ઉપજ મળે છે. તેને સાબિત કરવા માટે, નોંધ લો કે કોઈપણ મેટ્રિક્સ માટે મેટ્રિક્સ પોઝિટિવ અર્ધ-નિશ્ચિત છે. વધુમાં, સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ હકારાત્મક ચોક્કસ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો વેક્ટરનો ક્રમ K હોય. નિષ્પક્ષતા નમૂનાનો સરેરાશ અને નમૂનાનો સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ એ રેન્ડમ વેક્ટરના સરેરાશ અને સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સના નિષ્પક્ષ અંદાજો છે, એક પંક્તિ વેક્ટર જેનું jth તત્વ (j = 1,., K) રેન્ડમ ચલમાંથી એક છે. નમૂનાના સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સ બેસલના સુધારાના પ્રકારને બદલે છેદમાં છેઃ ટૂંકમાં, નમૂનાનું સહપરિવર્તન દરેક નિરીક્ષણ અને નમૂનાના સરેરાશ વચ્ચેના તફાવત પર આધાર રાખે છે, પરંતુ નમૂનાનો સરેરાશ દરેક નિરીક્ષણ સાથે થોડો સહસંબંધિત છે કારણ કે તે તમામ અવલોકનોના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જો વસ્તીનો સરેરાશ જાણીતો હોય, તો વસ્તીના સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને સમાન નિષ્પક્ષ અંદાજ છેદમાં હોય છે. સંભાવના અને આંકડામાં રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ (અપર કેસ અક્ષરો) અને રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ (લોઅર કેસ અક્ષરો) ની અનુભૂતિ વચ્ચે તફાવત કરવો શા માટે જરૂરી છે તેનું આ એક ઉદાહરણ છે. ગૌસીયન વિતરણ કેસ માટે સહપરિવર્તનની મહત્તમ સંભાવના અંદાજમાં પણ છેદમાં N છે. મોટા N માટે 1/N થી 1/(N−1) નો ગુણોત્તર 1 સુધી પહોંચે છે, તેથી જ્યારે નમૂનો મોટો હોય ત્યારે મહત્તમ સંભાવના અંદાજ લગભગ નિષ્પક્ષ અંદાજની બરાબર હોય છે. નમૂનાનું વિતરણ સરેરાશ દરેક રેન્ડમ ચલ માટે, નમૂનાનો સરેરાશ એ વસ્તીના સરેરાશનો સારો અંદાજ છે, જ્યાં "સારા" અંદાજકર્તાને કાર્યક્ષમ અને નિષ્પક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અલબત્ત અંદાજકાર સંભવતઃ વસ્તીના સરેરાશનું સાચું મૂલ્ય નહીં હોય કારણ કે સમાન વિતરણમાંથી લેવામાં આવેલા જુદા જુદા નમૂનાઓ જુદા જુદા નમૂનાના માધ્યમો આપશે અને તેથી સાચા સરેરાશના જુદા જુદા અંદાજો. આમ નમૂનાનો સરેરાશ એક અવ્યવસ્થિત ચલ છે, અચળાંક નથી, અને પરિણામે તેનું પોતાનું વિતરણ છે. જે. ટી. એચ. રેન્ડમ ચલ પર એન અવલોકનોના રેન્ડમ નમૂના માટે, નમૂનાનું સરેરાશ વિતરણ પોતે વસ્તીના સરેરાશ અને તફાવતની બરાબર છે, જ્યાં વસ્તી તફાવત છે. વસ્તીના અંકગણિત સરેરાશ અથવા વસ્તીના સરેરાશને ઘણીવાર μ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. નમૂનાનો સરેરાશ (વસ્તીમાંથી લેવામાં આવેલા મૂલ્યોના નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશ) વસ્તીના સરેરાશનો સારો અંદાજ બનાવે છે, કારણ કે તેનું અપેક્ષિત મૂલ્ય વસ્તીના સરેરાશ જેટલું છે (એટલે કે, તે એક નિષ્પક્ષ અંદાજ છે). નમૂનાનો સરેરાશ એક અવ્યવસ્થિત ચલ છે, અચળાંક નથી, કારણ કે વસ્તીના કયા સભ્યોના નમૂના લેવામાં આવે છે તેના આધારે તેનું ગણતરી કરેલું મૂલ્ય અવ્યવસ્થિત રીતે બદલાશે, અને પરિણામે તેનું પોતાનું વિતરણ હશે. એન સ્વતંત્ર અવલોકનોના રેન્ડમ નમૂના માટે, નમૂનાના સરેરાશનું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે અને નમૂનાના સરેરાશમાં તફાવત છે જો નમૂનાઓ સ્વતંત્ર ન હોય, પરંતુ સહસંબંધિત હોય, તો સ્યુડોરોપ્લિકેશનની સમસ્યાને ટાળવા માટે વિશેષ કાળજી લેવી પડશે. જો વસ્તી સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલી હોય, તો નમૂનાનો સરેરાશ સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે વહેંચવામાં આવે છેઃ જો વસ્તી સામાન્ય રીતે વહેંચાયેલી ન હોય, તો પણ જો n મોટી હોય અને σ2/n <+ φ હોય તો નમૂનાનો સરેરાશ લગભગ સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે. આ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનું પરિણામ છે. ભારિત નમૂનાઓ ભારિત નમૂનામાં, દરેક વેક્ટર (દરેક કે રેન્ડમ ચલ પર એકલ અવલોકનોના દરેક સમૂહ) ને વજન સોંપવામાં આવે છે. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, ધારો કે વજન સામાન્ય થયેલ છેઃ (જો તે ન હોય તો, વજનને તેમના સરવાળાથી વિભાજીત કરો). પછી ભારિત સરેરાશ વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવે છે અને ભારિત સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સના ઘટકો આ પ્રમાણે છે જો તમામ વજન સમાન હોય, તો ભારિત સરેરાશ અને સહપ્રસરણ ઉપર ઉલ્લેખિત (પક્ષપાતી) નમૂનાના સરેરાશ અને સહપ્રસરણમાં ઘટાડો થાય છે. ટીકા નમૂનાનું સરેરાશ અને નમૂનાનું સહપરિવર્તન મજબૂત આંકડાશાસ્ત્ર નથી, એટલે કે તેઓ બાહ્યરેખાઓ પ્રત્યે સંવેદનશીલ છે. મજબૂતાઇ ઘણીવાર ઇચ્છિત લક્ષણ હોવાથી, ખાસ કરીને વાસ્તવિક દુનિયાના ઉપયોગોમાં, મજબૂત વિકલ્પો ઇચ્છનીય સાબિત થઈ શકે છે, ખાસ કરીને માત્રાત્મક-આધારિત આંકડાઓ જેમ કે સ્થાન માટે નમૂના માધ્યમ અને ફેલાવા માટે ઇન્ટરક્વાર્ટાઇલ રેન્જ (IQR). અન્ય વિકલ્પોમાં ટ્રીમિંગ અને વિન્સોરાઇઝિંગનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે ટ્રીમ્ડ મીન અને વિન્સોરાઇઝ્ડ મીન. કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ સ્કેટર મેટ્રિક્સનો અંદાજ પણ જુઓ પ્રમાણભૂત વિચલન સંદર્ભો કોવેરિયન્સ અને સહસંબંધ અંદાજ પદ્ધતિઓનો નિષ્પક્ષ અંદાજ સારાંશ આંકડા મેટ્રિક્સ યુ-આંકડાશાસ્ત્ર