1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
ગણિતમાં, અનંત શ્રેણી છે જેની શરતો વૈકલ્પિક સંકેતો સાથે બેની ક્રમિક શક્તિઓ છે. ભૌમિતિક શ્રેણી તરીકે, તે તેના પ્રથમ પદ, 1 અને તેના સામાન્ય ગુણોત્તર,-2 દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની શ્રેણી તરીકે તે અલગ પડે છે, તેથી સામાન્ય અર્થમાં તેનો કોઈ સરવાળો નથી. વધુ વ્યાપક અર્થમાં, શ્રેણી ν સિવાયના અન્ય મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલી છે, એટલે કે, જે 2-એડિક મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીની મર્યાદા છે. ઐતિહાસિક દલીલો ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝે 1673ની શરૂઆતમાં અલગ અલગ વૈકલ્પિક શ્રેણી ગણાવી હતી. તેમણે એવી દલીલ કરી હતી કે ડાબી કે જમણી બાજુએ બાદબાકી કરીને, કોઈ પણ વ્યક્તિ હકારાત્મક કે નકારાત્મક અનંત ઉત્પન્ન કરી શકે છે, અને તેથી બંને જવાબો ખોટા છે અને સમગ્ર મર્યાદિત હોવા જોઈએઃ હવે સામાન્ય રીતે પ્રકૃતિ મધ્ય પસંદ કરે છે જો બંનેમાંથી કોઈની મંજૂરી ન હોય, અથવા જો તે નક્કી કરી શકાતું નથી કે બેમાંથી કોને મંજૂરી છે, અને સમગ્ર મર્યાદિત જથ્થા બરાબર છે, તો લીબનીઝે શ્રેણીનો સરવાળો હોવાનો દાવો કર્યો ન હતો, પરંતુ તેમણે મર્કેટરની પદ્ધતિને અનુસરવા સાથે જોડાણનું અનુમાન કર્યું હતું. આધુનિક ગણિતમાં કોઈ તફાવત કરવામાં આવ્યો નથી, તેમ છતાં 18મી સદીમાં એવું વલણ કે શ્રેણી ખરેખર તેને સરવાળા તરીકે ઉમેર્યા વિના અમુક મર્યાદિત જથ્થાની બરાબર થઈ શકે છે તે સામાન્ય બાબત હશે. ક્રિશ્ચિયન વોલ્ફે 1712ના મધ્યમાં લીબનીઝની ગ્રાન્ડી શ્રેણીની સારવાર વાંચ્યા પછી, વોલ્ફ ઉકેલથી એટલા ખુશ થયા કે તેમણે અંકગણિત સરેરાશ પદ્ધતિને વધુ અલગ શ્રેણીઓ સુધી વિસ્તારવાની માંગ કરી. ટૂંકમાં, જો કોઈ આ શ્રેણીના આંશિક સરવાળાને ઉપાંત્ય પદના કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરે છે, તો તે ક્યાં તો અથવા મેળવે છે. આ મૂલ્યોનો સરેરાશ છે, અને એમ ધારીને કે અનંત સમયે શ્રેણીના મૂલ્ય તરીકે ઉપજ મળે છે. લીબનીઝની અંતઃપ્રેરણાએ તેમને તેમના ઉકેલને આટલે સુધી દબાવતા અટકાવ્યા, અને તેમણે પાછું લખ્યું કે વોલ્ફનો વિચાર રસપ્રદ હતો પરંતુ ઘણા કારણોસર અમાન્ય હતો. પડોશી આંશિક સરવાળાના અંકગણિત માધ્યમો કોઈ ચોક્કસ મૂલ્યમાં એકરૂપ થતા નથી, અને તમામ મર્યાદિત કિસ્સાઓમાં એક પાસે નથી. સામાન્ય રીતે, સારાંશ શ્રેણીની શરતો ઘટીને શૂન્ય થવી જોઈએ; તેને આવી શ્રેણીની મર્યાદા તરીકે પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. લીબનીઝ વોલ્ફને પુનર્વિચાર કરવાની સલાહ આપે છે જેથી તે "વિજ્ઞાન અને પોતાને લાયક કંઈક ઉત્પન્ન કરી શકે". આધુનિક પદ્ધતિઓ ભૌમિતિક શ્રેણી નિયમિતતા, રેખીયતા અને સ્થિરતાના ગુણધર્મો ધરાવતી કોઈપણ સરવાળો પદ્ધતિ ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો કરશે આ કિસ્સામાં a = 1 અને r = − 2, તેથી સરવાળો છે. યુલરનો સરવાળો તેમના 1755 સંસ્થાનોમાં, લિયોનહાર્ડ યુલર અસરકારક રીતે કન્વર્જન્ટ શ્રેણી પર પહોંચ્યા, જેને હવે યુલર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે. બાદમાંનો સરવાળો હોવાથી, યુલરે તે તારણ કાઢ્યું. અનંત શ્રેણી પરના તેમના વિચારો આધુનિક અભિગમને તદ્દન અનુસરતા નથી; આજે એક કહે છે કે તે યુલર સારાંશ છે અને તેનો યુલર સરવાળો છે. યુલર રૂપાંતર હકારાત્મક શબ્દોના ક્રમ સાથે શરૂ થાય છેઃ a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,. પછી આગળના તફાવતોનો ક્રમ એ છે કે α0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, α1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, α2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, α3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, જે માત્ર એક જ ક્રમ છે. તેથી પુનરાવર્તિત આગળનો તફાવત ક્રમ દરેક n માટે શરૂ થાય છે. યુલર રૂપાંતર એ શ્રેણી છે આ એક અભિસારી ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનો સરવાળો સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા થાય છે. બોરેલ સરવાળો પણ બોરેલ સરવાળો છે; જ્યારે એમિલ બોરેલે 1896માં બોરેલ સરવાળાની મર્યાદા રચના રજૂ કરી હતી, ત્યારે 1 −1 + 1 −1 + ꯘꯥ-adic સંખ્યાઓ પછી આ તેમનું પ્રથમ ઉદાહરણ હતું. આમ. આ પણ જુઓ 1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ નોંધો સંદર્ભો ભિન્ન શ્રેણી ભૌમિતિક શ્રેણી પી-એડિક સંખ્યાઓ