Pivot element
પાઇવોટ અથવા પાઇવોટ એલિમેન્ટ એ મેટ્રિક્સ અથવા એરેનું એલિમેન્ટ છે, જે એલ્ગોરિધમ દ્વારા પ્રથમ પસંદ કરવામાં આવે છે (દા. ત. ગૌસીયન નાબૂદી, સિમ્પ્લેક્સ અલ્ગોરિધમ વગેરે. ), ચોક્કસ ગણતરીઓ કરવા માટે. મેટ્રિક્સ અલ્ગોરિધમ્સના કિસ્સામાં, પિવોટ એન્ટ્રી સામાન્ય રીતે ઓછામાં ઓછી શૂન્યથી અલગ હોવી જરૂરી છે, અને ઘણીવાર તેનાથી દૂર હોવી જરૂરી છે; આ કિસ્સામાં આ તત્વને શોધવાને પિવોટિંગ કહેવામાં આવે છે. પિવોટને નિશ્ચિત સ્થિતિ પર લાવવા માટે અને અલ્ગોરિધમને સફળતાપૂર્વક આગળ વધવાની મંજૂરી આપવા માટે અને સંભવતઃ રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલને ઘટાડવા માટે પંક્તિઓ અથવા સ્તંભોની અદલાબદલી દ્વારા પિવોટિંગને અનુસરી શકાય છે. તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર રો ઈચેલોન સ્વરૂપની ચકાસણી માટે થાય છે. પિવોટિંગને મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ અથવા સ્તંભોને અદલાબદલી અથવા સૉર્ટ કરવા તરીકે વિચારી શકાય છે, અને આમ તેને ક્રમચય મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. જો કે, અલ્ગોરિધમ્સ ભાગ્યે જ મેટ્રિક્સ તત્વોને ખસેડે છે કારણ કે આમાં ઘણો સમય લાગશે; તેના બદલે, તેઓ માત્ર ક્રમચયો પર નજર રાખે છે. એકંદરે, પિવોટિંગ અલ્ગોરિધમનો કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચમાં વધુ કામગીરી ઉમેરે છે. કેટલીકવાર અલ્ગોરિધમ કામ કરવા માટે આ વધારાની કામગીરીઓ જરૂરી હોય છે. અન્ય સમયે આ વધારાની કામગીરીઓ સાર્થક હોય છે કારણ કે તે અંતિમ પરિણામમાં સંખ્યાત્મક સ્થિરતા ઉમેરે છે. પ્રણાલીઓના ઉદાહરણો કે જેને પિવોટિંગની જરૂર હોય ગૌસીયન નાબૂદીના કિસ્સામાં, અલ્ગોરિધમ માટે જરૂરી છે કે પિવોટ તત્વો શૂન્ય ન હોય. શૂન્ય ધરી તત્વના કિસ્સામાં પંક્તિઓ અથવા સ્તંભોની અદલાબદલી કરવી જરૂરી છે. નીચેની પ્રણાલીને નાબૂદી કરવા માટે પંક્તિઓ 2 અને 3 ની અદલાબદલીની જરૂર છે. પિવોટિંગથી જે સિસ્ટમ પરિણમે છે તે નીચે મુજબ છે અને તે એલિમિનેશન અલ્ગોરિધમ અને બેકવર્ડ સબસ્ટિટ્યુશનને સિસ્ટમના સોલ્યુશનને આઉટપુટ કરવાની મંજૂરી આપશે. વધુમાં, ગૌસીયન નાબૂદીમાં સામાન્ય રીતે મોટા નિરપેક્ષ મૂલ્ય સાથે ધરી તત્વ પસંદ કરવું ઇચ્છનીય છે. આ આંકડાકીય સ્થિરતામાં સુધારો કરે છે. જ્યારે ગૌસીયન નાબૂદી અને પછાત અવેજી કરવામાં આવે છે ત્યારે નીચેની પ્રણાલી રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલથી નાટ્યાત્મક રીતે પ્રભાવિત થાય છે. આ પ્રણાલીમાં x1 = 10.00 અને x2 = 1.000 નો ચોક્કસ ઉકેલ છે, પરંતુ જ્યારે નાબૂદી અલ્ગોરિધમ અને પછાત અવેજી ચાર આંકડાના અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, ત્યારે a11નું નાનું મૂલ્ય નાની રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલોને ફેલાવવાનું કારણ બને છે. પિવોટિંગ વિના અલ્ગોરિધમ x1 ≈ 9873.3 અને x2 ≈ 4 નો અંદાજ આપે છે. આ કિસ્સામાં તે ઇચ્છનીય છે કે આપણે બે પંક્તિઓનું વિનિમય કરીએ જેથી a21 ધરીની સ્થિતિમાં હોય. આ પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લેતા, નાબૂદી અલ્ગોરિધમ અને ચાર આંકડાના અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીને પછાત અવેજી યોગ્ય મૂલ્યો x1 = 10.00 અને x2 = 1.000 આપે છે. આંશિક, રોક અને સંપૂર્ણ પિવોટિંગ આંશિક પિવોટિંગમાં, અલ્ગોરિધમ મેટ્રિક્સના સ્તંભમાંથી સૌથી મોટા નિરપેક્ષ મૂલ્ય સાથે પ્રવેશને પસંદ કરે છે જેને હાલમાં પિવોટ તત્વ તરીકે ગણવામાં આવે છે. વધુ ખાસ રીતે, જ્યારે મેટ્રિક્સને પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે, ત્યારે સ્તંભની પંક્તિના ઘટાડા પહેલાં આંશિક પિવોટિંગ સ્વેપ પંક્તિઓ એ જ સ્તંભમાં નીચે આપેલા તત્વોની તુલનામાં પિવોટ તત્વનું સૌથી મોટું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ધરાવે છે. આંશિક પિવોટિંગ સામાન્ય રીતે રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલને પર્યાપ્ત રીતે ઘટાડવા માટે પૂરતું છે. જો કે, અમુક સિસ્ટમો અને અલ્ગોરિધમ્સ માટે, સ્વીકાર્ય ચોકસાઈ માટે સંપૂર્ણ પિવોટિંગ (અથવા મહત્તમ પિવોટિંગ) જરૂરી હોઈ શકે છે. મેટ્રિક્સમાં સૌથી મોટા (સંપૂર્ણ મૂલ્ય દ્વારા) તત્વનો ઉપયોગ કરવા માટે સંપૂર્ણ પિવોટિંગ પંક્તિઓ અને સ્તંભો બંનેનું આદાનપ્રદાન કરે છે. આંકડાકીય સ્થિરતાની ખાતરી કરવા માટે સામાન્ય રીતે સંપૂર્ણ પિવોટિંગ જરૂરી નથી અને મહત્તમ તત્વની શોધના વધારાના ખર્ચને કારણે, આંકડાકીય સ્થિરતામાં જે સુધારો તે પ્રદાન કરે છે તે સામાન્ય રીતે નાના મેટ્રિસીસ સિવાય તમામ માટે તેની ઓછી કાર્યક્ષમતા કરતાં વધારે છે. તેથી, તેનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે. અન્ય વ્યૂહરચના, જેને રોક પિવોટિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે પણ પંક્તિઓ અને સ્તંભો બંનેને અદલાબદલી કરે છે પરંતુ માત્ર બાંયધરી આપે છે કે પસંદ કરેલ પિવોટ એક સાથે તેની હરોળમાં સૌથી મોટો સંભવિત પ્રવેશ છે અને તેના સ્તંભમાં સૌથી મોટો સંભવિત પ્રવેશ છે, જે સમગ્ર બાકીના પેટા મેટ્રિક્સમાં સૌથી મોટો શક્ય છે. જ્યારે સીરીયલ કમ્પ્યુટર્સ પર અમલ કરવામાં આવે છે ત્યારે આ વ્યૂહરચના આંશિક પિવોટિંગ કરતાં માત્ર ત્રણ ગણી અપેક્ષિત કિંમત ધરાવે છે અને તેથી તે સંપૂર્ણ પિવોટિંગ કરતાં સસ્તી છે. સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારમાં આંશિક પિવોટિંગ કરતાં રુક પિવોટિંગ વધુ સ્થિર સાબિત થયું છે. સ્કેલ્ડ પિવોટિંગ આંશિક પિવોટિંગ વ્યૂહરચનાની વિવિધતા સ્કેલ્ડ પિવોટિંગ છે. આ અભિગમમાં, અલ્ગોરિધમ તેની હરોળની એન્ટ્રીઓની સરખામણીમાં સૌથી મોટી એન્ટ્રીને પિવોટ એલિમેન્ટ તરીકે પસંદ કરે છે. આ વ્યૂહરચના ઇચ્છનીય છે જ્યારે એન્ટ્રીઓની તીવ્રતામાં મોટા તફાવતો રાઉન્ડ-ઓફ ભૂલના પ્રસાર તરફ દોરી જાય છે. સ્કેલ્ડ પિવોટિંગનો ઉપયોગ નીચેની સિસ્ટમ જેવી સિસ્ટમમાં થવો જોઈએ જ્યાં હરોળની એન્ટ્રીઓ તીવ્રતામાં ખૂબ બદલાય છે. નીચે આપેલા ઉદાહરણમાં, બે હરોળને અદલાબદલી કરવી ઇચ્છનીય રહેશે કારણ કે વર્તમાન ધરી તત્વ 30 5.291 કરતા મોટું છે પરંતુ તે તેની હરોળની અન્ય એન્ટ્રીઓની તુલનામાં પ્રમાણમાં નાનું છે. આ કિસ્સામાં પંક્તિ વિનિમય વિના, ગોળાકાર ભૂલો અગાઉના ઉદાહરણની જેમ પ્રચાર કરવામાં આવશે. મુખ્ય સ્થાન મેટ્રિક્સમાં એક મુખ્ય સ્થાન, A, એ મેટ્રિક્સમાં એક સ્થાન છે જે A ના ઘટાડેલા પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપમાં પંક્તિ-અગ્રણી 1 ને અનુરૂપ છે. એ નું ઘટાડેલું પંક્તિ સ્તર સ્વરૂપ અનન્ય હોવાથી, ધરીની સ્થિતિ અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે ઘટાડાની પ્રક્રિયામાં પંક્તિ વિનિમય કરવામાં આવે છે કે નહીં તેના પર આધાર રાખતું નથી. ઉપરાંત, હરોળની ધરી ઉપરની હરોળમાં ધરીની જમણી બાજુએ હરોળના સ્તરના સ્વરૂપમાં દેખાવી જોઈએ. સંદર્ભો આર. એલ. બર્ડન, જે. ડી. ફેયર્સ, આંકડાકીય વિશ્લેષણ, 8મી આવૃત્તિ, થોમસન બ્રૂક્સ/કોલ, 2005. જી. એચ. ગોલુબ, સી. એફ. લોન, મેટ્રિક્સ કમ્પ્યુટેશન્સ, ત્રીજી આવૃત્તિ, જોન્સ હોપકિન્સ, 1996. આંકડાકીય રેખીય બીજગણિત વિનિમય અલ્ગોરિધમ્સ એસ. વી.: મુખ્ય ઘટક