Dual cone and polar cone
દ્વિ શંકુ અને ધ્રુવીય શંકુ બહિર્મુખ વિશ્લેષણમાં નજીકથી સંબંધિત વિભાવનાઓ છે, જે ગણિતની એક શાખા છે. ડ્યુઅલ શંકુ વેક્ટર અવકાશમાં ઉપગણ C નો ડ્યુઅલ શંકુ C રેખીય અવકાશ X માં વાસ્તવિક પર, દા. ત. યુક્લિડિયન સ્પેસ આરએન, ડ્યુઅલ સ્પેસ એક્સ સાથે સેટ છે જ્યાં એક્સ અને એક્સ વચ્ચે દ્વૈત જોડી છે, એટલે કે. . C હંમેશા બહિર્મુખ શંકુ હોય છે, ભલે C ન તો બહિર્મુખ હોય કે ન તો શંકુ. ટોપોલોજિકલ વેક્ટર અવકાશમાં જો X એ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ પરની ટોપોલોજિકલ વેક્ટર જગ્યા હોય, તો પછી ઉપગણ C′X નો દ્વિ શંકુ એ X: પર સતત રેખીય વિધેયોનો નીચેનો સમૂહ છેઃ, જે સમૂહ-C નો ધ્રુવીય છે. C ગમે તે હોય, તે બહિર્મુખ શંકુ હશે. જો C. {0} તો. હિલ્બર્ટ અવકાશમાં (આંતરિક દ્વિ શંકુ) વૈકલ્પિક રીતે, ઘણા લેખકો દ્વિ શંકુને વાસ્તવિક હિલ્બર્ટ અવકાશના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જેમ કે યુક્લિડિયન આંતરિક ઉત્પાદનથી સજ્જ આરએન) જેને કેટલીકવાર આંતરિક દ્વિ શંકુ કહેવામાં આવે છે. C માટે આ પછીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે કે જ્યારે C એ શંકુ હોય, ત્યારે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ એક બિન-શૂન્ય વેક્ટર y એ C માં હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો નીચેની બંને શરતો જાળવી રાખેઃ y એ હાયપરપ્લેનની ઉત્પત્તિ પર નોર્મલ છે જે C. y ને ટેકો આપે છે અને C તે સહાયક હાયપરપ્લેનની એક જ બાજુએ આવેલા છે. સી બંધ અને બહિર્મુખ છે. સૂચવે છે. જો સી પાસે ખાલી આંતરિક હોય, તો સી પોઇન્ટેડ છે, એટલે કે. સી * તેની સંપૂર્ણતામાં કોઈ રેખા ધરાવતું નથી. જો C એ શંકુ હોય અને C નું બંધ બિંદુ હોય, તો C નો આંતરિક ભાગ ખાલી નથી. C એ C ધરાવતા સૌથી નાના બહિર્મુખ શંકુને બંધ કરે છે (હાયપરપ્લેન સેપરેશન થીયરમનું પરિણામ) સ્વયં-દ્વૈત શંકુ X વેક્ટર સ્પેસમાં A શંકુ C ને સ્વ-દ્વૈત કહેવામાં આવે છે જો X ને આંતરિક ઉત્પાદનથી સજ્જ કરી શકાય છે એટલે કે આ આંતરિક ઉત્પાદન સાથે સંબંધિત આંતરિક દ્વૈત શંકુ C ની બરાબર હોય. જે લેખકો વાસ્તવિક હિલ્બર્ટ સ્પેસમાં દ્વૈત શંકુને આંતરિક દ્વૈત શંકુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે તેઓ સામાન્ય રીતે કહે છે કે શંકુ સ્વ-દ્વૈત છે જો તે તેના આંતરિક દ્વૈતની બરાબર હોય. આ ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાથી થોડી અલગ છે, જે આંતરિક ઉત્પાદનમાં ફેરફારની મંજૂરી આપે છે. દાખલા તરીકે, ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા આરએનમાં લંબગોળ આધાર સ્વ-દ્વૈત સાથે શંકુ બનાવે છે, કારણ કે આંતરિક ઉત્પાદનને આધાર ગોળાકાર બનાવવા માટે બદલી શકાય છે, અને આરએનમાં ગોળાકાર આધાર સાથેનો શંકુ તેના આંતરિક દ્વૈતની બરાબર છે. આરએનનો બિન-નકારાત્મક ઓર્થન્ટ અને તમામ હકારાત્મક અર્ધ-અનંત મેટ્રિક્સની જગ્યા સ્વ-દ્વૈત છે, જેમ કે લંબગોળ આધાર ધરાવતા શંકુ (જેને ઘણીવાર "ગોળાકાર શંકુ", "લોરેન્ટ્ઝ શંકુ" અથવા કેટલીકવાર "આઈસ્ક્રીમ શંકુ" કહેવામાં આવે છે). તેવી જ રીતે R3 માં બધા શંકુ છે, જેનો આધાર અનિયમિત સંખ્યામાં શિરોબિંદુઓ સાથે નિયમિત બહુકોણનો બહિર્મુખ આવરણ છે. એક ઓછું નિયમિત ઉદાહરણ આર 3 માં શંકુ છે જેનો આધાર "ઘર" છેઃ ચોરસનું બહિર્મુખ આવરણ અને ચોરસની બહાર એક બિંદુ ચોરસની એક બાજુ સાથે સમબાહુ ત્રિકોણ (યોગ્ય ઊંચાઈનું) બનાવે છે. ધ્રુવીય શંકુ X માં સમૂહ C માટે, C નો ધ્રુવીય શંકુ એ સમૂહ છે તે જોઈ શકાય છે કે ધ્રુવીય શંકુ દ્વિ શંકુના નકારાત્મક સમાન છે, એટલે કે. કો = − સી. X માં બંધ બહિર્મુખ શંકુ C માટે, ધ્રુવીય શંકુ C માટે ધ્રુવીય સમૂહની સમકક્ષ છે. આ પણ જુઓ દ્વિધ્રુવીય પ્રમેય ધ્રુવીય સમૂહ સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ બહિર્મુખ વિશ્લેષણ બહિર્મુખ ભૂમિતિ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ