Biarc
બિયાર્ક એ બે ગોળાકાર કમાનોમાંથી બનેલો એક સરળ વળાંક છે. બિયાર્કને સરળ (G1 સતત) બનાવવા માટે, બંને કમાનો જ્યાં મળે છે તે જોડાણ બિંદુ પર સમાન સ્પર્શક હોવી જોઈએ. બિયાર્ક્સનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ભૌમિતિક મોડેલિંગ અને કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં થાય છે. તેનો ઉપયોગ બિયાર્કના બે બાહ્ય અંતિમ બિંદુઓને અંદાજિત કરવા માટેના વળાંક સાથે મૂકીને, વળાંક સાથે મેળ ખાતી સ્પર્શક સાથે, અને પછી વળાંકને શ્રેષ્ઠ રીતે બંધબેસતા મધ્યમ બિંદુને પસંદ કરીને સ્પ્લાઇન અને અન્ય સમતલ વળાંકને અંદાજિત કરવા માટે થઈ શકે છે. ત્રણ બિંદુઓ અને બે સ્પર્શકની આ પસંદગી ગોળાકાર ચાપની એક અનન્ય જોડી નક્કી કરે છે, અને મધ્યમ બિંદુઓનું સ્થાન કે જેના માટે આ બે ચાપ બાયર્ક બનાવે છે તે પોતે એક ગોળાકાર ચાપ છે. ખાસ કરીને, આ રીતે બેઝિયર વળાંકનો અંદાજ કાઢવા માટે, બિયાર્કના મધ્યબિંદુને બેઝિયર વળાંકના બે અંતિમ બિંદુઓ અને જ્યાં તેમના બે સ્પર્શક મળે છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના પ્રેરક તરીકે પસંદ કરવું જોઈએ. વધુ સામાન્ય રીતે, બાયર્ક્સના સરળ ક્રમ દ્વારા વળાંકનો અંદાજ લગાવી શકાય છે; અનુક્રમમાં વધુ બાયર્ક્સનો ઉપયોગ કરવાથી સામાન્ય રીતે મૂળ વળાંક સાથે અંદાજની નિકટતામાં સુધારો થશે. બિયાર્ક વળાંકના ઉદાહરણો નીચે આપેલા ઉદાહરણોમાં બિયાર્કને તાર દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે અને તે જોડ બિંદુ છે. પ્રારંભ બિંદુ પર સ્પર્શક વેક્ટર છે, અને તે અંતિમ બિંદુ પર સ્પર્શક છે. 2 દર્શાવે છે કે બિયાર્ક્સના છ ઉદાહરણો બિયાર્ક્સ 1 એ બિયાર્ક્સ 2-6 સાથે દોરવામાં આવ્યું છે. બિયાર્ક 3માં સીધી રેખા ખંડનો સમાવેશ થાય છે. બિયાર્ક્સ 1-4 એ અર્થમાં ટૂંકા હોય છે કે તેઓ અંતિમ બિંદુઓની નજીક વળતા નથી. વૈકલ્પિક રીતે, બિયાર્ક્સ 5,6 લાંબા હોય છેઃ અંતિમ બિંદુઓમાંથી એકની નજીક વળવાનો અર્થ એ છે કે તેઓ તારની ડાબી અથવા જમણી પૂરકને અનંત સીધી રેખા સાથે છેદે છે. બિયાર્ક્સ 2-6 શેર એન્ડ સ્પર્શક. તેઓ અંજીરના નીચલા ભાગમાં મળી શકે છે. 3, સામાન્ય સ્પર્શક સાથે બિયાર્ક્સના પરિવારમાં. અંજીર. 3 બિયાર્ક પરિવારોના બે ઉદાહરણો દર્શાવે છે, જે અંતિમ બિંદુઓ અને અંતિમ સ્પર્શરેખાઓ વહેંચે છે. અંજીર. 4 બાયર્ક પરિવારોના બે ઉદાહરણો દર્શાવે છે, જે અંતિમ બિંદુઓ અને અંતિમ સ્પર્શકને વહેંચે છે, અંતિમ સ્પર્શક સમાંતર છેઃ આકૃતિ. 5 દર્શાવે છે કે આકૃતિ 3,4,5 માં વિવિધ રંગો ધરાવતા ચોક્કસ પરિવારોને નીચે પેટા પરિવારો તરીકે સમજાવવામાં આવ્યા છે. ખાસ કરીને, છાયાવાળી પૃષ્ઠભૂમિ (લેન્સ જેવી અથવા લ્યુન જેવી) પર ભૂરા રંગમાં દર્શાવવામાં આવેલા બિયાર્ક્સ માટે, નીચે મુજબ છેઃ વળાંકનું કુલ પરિભ્રમણ (વળાંક કોણ) બરાબર છે (નહીં, જે અન્ય બિયાર્ક્સ માટે પરિભ્રમણ છે);: સરવાળો એ લેન્સ/લ્યુનની કોણીય પહોળાઈ છે, જે બિયાર્કને આવરી લે છે, જેનું ચિહ્ન સામાન્યીકૃત વોગ્ટના પ્રમેય () અનુસાર બિયાર્કની વધતી જતી (+ 1) અથવા ઘટતી વક્રતા (−1) ને અનુરૂપ છે. સામાન્ય અંતિમ સ્પર્શરેખાઓ સાથે બિયાર્ક્સનો પરિવાર સામાન્ય અંતિમ બિંદુઓ અને સામાન્ય અંતિમ સ્પર્શરેખાઓ (1) સાથે બિયાર્ક્સનો પરિવાર અથવા, ટૂંકમાં, પારિવારિક પરિમાણ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. બિયાર્ક ગુણધર્મો નીચે લેખના સંદર્ભમાં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. બાયાર્કનું નિર્માણ શક્ય છે જો સૂચવે, અને વળાંક, વળાંક કોણ અને ચાપની લંબાઈઃ;, અને ચાપ માટે સમાનઃ. પછી (કારણે,). વળાંક કોણઃ જોડ બિંદુઓનું સ્થાન વર્તુળ છે (Fig.3, Fig.5 માં દર્શાવેલ છે). આ વર્તુળ (જો સીધી રેખા હોય તો, Fig.4) બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને બિયાર્ક્સ હોવાની સ્પર્શક આ વર્તુળને અચળ ખૂણા ટેન્જેન્ટ વેક્ટર હેઠળ જોડ બિંદુ પર બિયાર્ક સાથે છે, જ્યાં બિયાર્ક્સ વાય-અક્ષ પર જોડ બિંદુ ધરાવે છે અને ન્યૂનતમ વળાંક મેળવે છે, ડીજનરેટ બિયાર્ક્સ પર છેઃ બિયાર્ક્સઃ જેમ, ચાપ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. બિયાર્કઃ જેમ, ચાપ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અસંગત બાયાર્કમાં સીધી રેખાનો સમાવેશ થાય છે અથવા તે અનંત બિંદુમાંથી પસાર થાય છેઃ Figs.3 માં શ્યામ લેન્સ જેવો પ્રદેશ, 4 બાયાર્કથી ઘેરાયેલો છે તે અસંગત બાયાર્ક સાથે બાયાર્કને આવરી લે છે જે લાલ ડેશ-ડોટેડ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આખા પરિવારને બિન-ક્ષીણ બિયાર્ક્સના ત્રણ પેટા પરિવારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છેઃ જો પેટા પરિવાર અદૃશ્ય થઈ જાય તો પેટા પરિવાર અદૃશ્ય થઈ જાય છે જો આંકડામાં 3,4,5 બિયાર્ક્સને ભૂરા રંગમાં, બિયાર્ક્સને વાદળી રંગમાં અને બિયાર્ક્સને લીલા રંગમાં દર્શાવવામાં આવે. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ બિયાર્ક આંતરધ્રુવીય ભાગાકાર-ગોળાકાર વળાંકો વિભાજીત (ગણિત) વર્તુળો