1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
ગણિતમાં, અનંત શ્રેણી એ ભૌમિતિક શ્રેણીનું પ્રાથમિક ઉદાહરણ છે જે સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે. શ્રેણીનો સરવાળો 1 છે. સારાંશ સંકેતલિપીમાં, આને વ્યક્ત કરી શકાય છે કારણ કે આ શ્રેણી પ્રાચીનકાળમાં માનવામાં આવતા દાર્શનિક પ્રશ્નો સાથે સંબંધિત છે, ખાસ કરીને ઝેનોના વિરોધાભાસ સાથે. સાબિતી કોઈપણ અનંત શ્રેણીની જેમ, સરવાળાને અનંતની નજીક પહોંચતા પ્રથમ શબ્દોના આંશિક સરવાળાની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિવિધ દલીલો દ્વારા, કોઈ વ્યક્તિ બતાવી શકે છે કે જેમ જેમ અનંતની નજીક પહોંચે છે, તેમ તેમ આ શબ્દ 0 ની નજીક પહોંચે છે અને તેથી 1 તરફ વળે છે. ઝેનો વિરોધાભાસ આ શ્રેણીનો ઉપયોગ ઝેનોના ઘણા વિરોધાભાસની રજૂઆત તરીકે કરવામાં આવ્યો હતો. ઉદાહરણ તરીકે, એચિલીસ અને કાચબાના વિરોધાભાસમાં, યોદ્ધા એચિલિસે કાચબા સામે સ્પર્ધા કરવાની હતી. આ ટ્રેક 100 મીટર લાંબો છે. એચિલીસ 10 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે દોડી શકતો હતો, જ્યારે કાચબો માત્ર 5 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે દોડી શકતો હતો. ઝેનોએ દલીલ કરી હતી કે 10 મીટરના લાભ સાથે કાચબો જીતશે. એચિલિસે કાચબાને પકડવા માટે 10 મીટર આગળ વધવું પડશે, પરંતુ ત્યાં સુધીમાં કાચબો પહેલેથી જ વધુ પાંચ મીટર આગળ વધી ચૂક્યો હશે. એચિલિસે પછી 5 મીટર ખસેડવું પડશે, જ્યાં કાચબો 2.5 મીટર ખસેડશે, અને તેથી વધુ. ઝેનોએ દલીલ કરી હતી કે કાચબો હંમેશા એચિલીસથી આગળ રહેશે. દ્વિભાજન વિરોધાભાસ એ પણ જણાવે છે કે ચોક્કસ અંતર ખસેડવા માટે, તમારે તેનો અડધો ભાગ, પછી બાકીના અંતરનો અડધો ભાગ અને તેથી વધુ ખસેડવું પડશે, તેથી અનંત સમય અંતરાલ હોય છે. આને સરળતાથી એ નોંધ કરીને ઉકેલી શકાય છે કે દરેક સમય અંતરાલ એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો શબ્દ છે, અને તેનો સરવાળો મર્યાદિત સંખ્યામાં થશે. હોરસની આંખના ભાગો એક સમયે શ્રેણીના પ્રથમ છ સારાંશોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા હોવાનું માનવામાં આવતું હતું. અસંખ્ય યુગમાં તે સમાપ્ત થશે નહીં આ શ્રેણીનું એક સંસ્કરણ પ્રાચીન તાઓવાદી પુસ્તક ઝુઆંગઝીમાં જોવા મળે છે. પરચુરણ પ્રકરણો "ઓલ અંડર હેવન" માં નીચેના વાક્યનો સમાવેશ થાય છેઃ "એક ચી લાંબી લાકડી લો અને દરરોજ અડધી કાઢી નાખો, અગણિત યુગમાં તે ખતમ નહીં થાય". આ પણ જુઓ 0.999.1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ꯘꯥ વાસ્તવિક અનંત નોંધો સંદર્ભો ભૌમિતિક શ્રેણી 1 (સંખ્યા)