Schröder–Bernstein theorems for operator algebras
સમૂહ સિદ્ધાંતમાંથી શ્રોડર-બર્નસ્ટીન પ્રમેય સંદર્ભ સંચાલક બીજગણિતમાં એનાલોગ ધરાવે છે. આ લેખ આવા સંચાલક-બીજગણિત પરિણામોની ચર્ચા કરે છે. વોન ન્યુમેન બીજગણિત માટે ધારો કે M એ વોન ન્યુમેન બીજગણિત છે અને E, F એ M માં અંદાજો છે. ચાલો M પર મરે-વોન ન્યુમેન સમકક્ષતા સંબંધને સૂચવીએ. જો E 'F' ≤ F હોય તો E 'F દ્વારા અંદાજોના પરિવાર પર આંશિક ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, E' F જો આંશિક આઇસોમેટ્રી U ≤ M એવી રીતે અસ્તિત્વમાં હોય કે જે U * U = E અને UU * ≤ F હોય. બંધ પેટા જગ્યાઓ M અને N માટે જ્યાં અનુક્રમે M અને N પર PM અને PN ના અંદાજો હોય, તો M, M 'N ના ઘટકો છે. શ્રોડર-બર્નસ્ટીન પ્રમેય જણાવે છે કે જો એમ "એન અને એન" એમ હોય, તો એમ ~ એન. એ સાબિતી, જે સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક દલીલ જેવી જ હોય, તેને નીચે પ્રમાણે સ્કેચ કરી શકાય છે. બોલચાલની ભાષામાં, N "M નો અર્થ એ છે કે N એ M માં સમમિતીય રીતે જડિત થઈ શકે છે. તેથી જ્યાં N0 એ M માં N ની સમમિતીય નકલ છે. ધારણા દ્વારા, તે પણ સાચું છે કે, N, તેથી N0, M ની સમમિતીય નકલ M1 ધરાવે છે. સી *-આલ્જેબ્રાની રજૂઆતો સી *-આલ્જેબ્રાની રજૂઆતો માટે શ્રોડર-બર્નસ્ટીનનું એનાલોગ પણ છે. જો A એ C *-બીજગણિત હોય, તો A નું પ્રતિનિધિત્વ એ *-હોમોમોર્ફિઝમ છે, જે A થી L (H) માં, અમુક હિલ્બર્ટ જગ્યા H પર બંધાયેલા ઓપરેટરો છે. જો L (H) માં એક પ્રક્ષેપણ P અસ્તિત્વમાં હોય, જ્યાં A માં દરેક a માટે P φ (a) = φ (a) P હોય, તો પછી φ ની પેટા રજૂઆત σ ને કુદરતી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છેઃ σ (a) એ φ (a) છે જે P ની શ્રેણી સુધી મર્યાદિત છે. તેથી φ પછી તેને બે પેટા રજૂઆતોના સીધા સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. H1 અને H2 પર અનુક્રમે બે રજૂઆતો φ1 અને φ2 ને એકાત્મક રીતે સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એકાત્મક સંચાલક U: H2 → H1 અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે φ1 (a) U = Uφ2 (a), દરેક a માટે. આ સેટિંગમાં, શ્રોડર-બર્નસ્ટીન પ્રમેય વાંચે છેઃ જો હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ H અને G પર અનુક્રમે બે રજૂઆતો ρ અને σ, દરેક એકાત્મક રીતે બીજાની પેટા રજૂઆતની સમકક્ષ હોય, તો તે એકાત્મક રીતે સમકક્ષ છે. અગાઉની દલીલ જેવી દેખાતી સાબિતીની રૂપરેખા આપી શકાય છે. ધારણા સૂચવે છે કે H થી G અને G થી H સુધી સર્જેક્ટિવ આંશિક આઇસોમેટ્રી અસ્તિત્વમાં છે. દલીલ માટે આવી બે આંશિક આઇસોમેટ્રી નક્કી કરો. એક પાસે બદલામાં, ઇન્ડક્શન દ્વારા, અને હવે ડાયરેક્ટ સમ એક્સપ્રેશનમાં દરેક વધારાનો સરવાળો બે ફિક્સ્ડ પાર્શિયલ આઇસોમેટ્રીમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી આ પ્રમેયને સાબિત કરે છે. માપી શકાય તેવી જગ્યાઓ માટે શ્રોડર-બર્નસ્ટીન પ્રમેય પણ જુઓ શ્રોડર-બર્નસ્ટીન ગુણધર્મ સંદર્ભો બી. બ્લેકડાર, ઓપરેટર આલ્જેબ્રાસ, સ્પ્રિંગર, 2006. સી *-આલ્જેબ્રા કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ સંચાલક સિદ્ધાંત વોન ન્યુમેન આલ્જેબ્રા