Construction of t-norms
ગણિતમાં, ટી-નોર્મ્સ એ વાસ્તવિક એકમ અંતરાલ [0,1] પર એક ખાસ પ્રકારની દ્વિસંગી કામગીરી છે. ટી-ધોરણોની વિવિધ રચનાઓ, સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા દ્વારા અથવા અગાઉ જાણીતા કાર્યોમાંથી પરિવર્તન દ્વારા, ઉદાહરણો અને ટી-ધોરણોના વર્ગોની સંપૂર્ણતા પ્રદાન કરે છે. આ મહત્વપૂર્ણ છે, દા. ત., પ્રતિ-ઉદાહરણો શોધવા માટે અથવા અસ્પષ્ટ તર્કના ઇજનેરી ઉપયોગોમાં ઉપયોગ માટે ચોક્કસ ગુણધર્મો સાથે ટી-ધોરણો પૂરા પાડવા માટે. ટી-ધોરણોના નિર્માણની મુખ્ય રીતોમાં જનરેટરનો ઉપયોગ, ટી-ધોરણોના પેરામેટ્રિક વર્ગોને વ્યાખ્યાયિત કરવા, પરિભ્રમણ અથવા ટી-ધોરણોના ક્રમિક સરવાળાનો સમાવેશ થાય છે. સંબંધિત પૃષ્ઠભૂમિ ટી-ધોરણો પરના લેખમાં મળી શકે છે. ટી-નોર્મ્સના જનરેટર જનરેટર દ્વારા ટી-નોર્મ્સ બનાવવાની પદ્ધતિમાં કેટલાક જાણીતા દ્વિસંગી કાર્ય (મોટેભાગે, ઉમેરા અથવા ગુણાકાર) ને ટી-નોર્મમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે યુનરી કાર્ય (જનરેટર) નો ઉપયોગ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. બિન-ઉદ્દેશ્ય જનરેટરનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપવા માટે, જેમાં વ્યુત્ક્રમ કાર્ય નથી, સ્યુડો-વ્યુત્ક્રમ કાર્યની નીચેની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છેઃ ધારો કે f: [a, b] → [c, d] વિસ્તૃત વાસ્તવિક રેખાના બે બંધ પેટા અંતરાલો વચ્ચે એક મોનોટોન કાર્ય છે. એડિટિવ જનરેટર દ્વારા ટી-નોર્મ્સની રચના નીચેના પ્રમેય પર આધારિત છેઃ ધારો કે f: [0,1] → [0, + ≤] એ સખત રીતે ઘટતું વિધેય છે જેમ કે f (1) = 0 અને f (x) + f (y) એ f ની શ્રેણીમાં હોય અથવા બધા x માટે f (0 +) અથવા + ≤ ની બરાબર હોય. પછી કાર્ય T: [0,1] 2 → [0,1] ને T (x, y) = f (-1) (f (x) + f (y)) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે એક t-ધોરણ છે. વૈકલ્પિક રીતે, કોઈ વ્યક્તિ સ્યુડો-ઇન્વર્સ ફંક્શનની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવાનું ટાળી શકે છે. અનુરૂપ અવશેષ પછી આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. અને બાયરેસિડ્યુમ તરીકે. જો ટી-નોર્મ ટી એ ફંક્શન એફ દ્વારા પછીની રચનામાંથી પરિણમે છે જે 0 માં જમણી-સતત છે, તો પછી એફને ટીનું એડિટિવ જનરેટર કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણોઃ [0,1] માં x માટે ફંક્શન એફ (એક્સ) = 1-એક્સ એ લુકાસીવિઝ ટી-નોર્મનું એડિટિવ જનરેટર છે. ફંક્શન f ને f (x) =-log (x) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો 0 <x ≤ 1 અને f (0) = + ≤ એ ઉત્પાદન t-ધોરણનું એક એડિટિવ જનરેટર છે. ફંક્શન f ને f (x) = 2-x તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો 0 ≤ x <1 અને f (1) = 0 એ તીવ્ર t-ધોરણનું એડિટિવ જનરેટર છે. એડિટિવ જનરેટરના મૂળભૂત ગુણધર્મોને નીચેના પ્રમેય દ્વારા સારાંશ આપવામાં આવે છેઃ ધારો કે f: [0,1] → [0, + φ] એ t-નોર્મ Tનું એડિટિવ જનરેટર છે. T સતત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો f સતત હોય. T એ સખત રીતે એકવિધ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો f (0) = + φ હોય. (0,1) નું દરેક તત્વ T નું નિલપોટેન્ટ તત્વ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો f (0) <+ φ હોય. હકારાત્મક અચળાંક દ્વારા f નો ગુણાંક પણ T. T નો એક એડિટિવ જનરેટર છે. તેમાં કોઈ બિન-તુચ્છ આઇડેમ્પોટન્ટ નથી. (પરિણામે, દા. ત., લઘુતમ ટી-ધોરણમાં કોઈ એડિટિવ જનરેટર નથી.) ગુણાકાર જનરેટર લઘુગણક અને ઘાતાંકીય કાર્ય દ્વારા [0, + ν] પરના ઉમેરા અને [0,1] પરના ગુણાકાર વચ્ચેનું સમરૂપતા ટી-ધોરણના યોગાત્મક અને ગુણાકાર જનરેટર વચ્ચે દ્વિ-માર્ગી પરિવર્તનને મંજૂરી આપે છે. જો f એ t-નોર્મ Tનું એડિટિવ જનરેટર હોય, તો h: [0,1] → [0,1] ફંક્શનને h (x) = e −f (x) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે Tનું મલ્ટિપ્લિકેટિવ જનરેટર છે, એટલે કે, એક ફંક્શન h કે જેમાં h સખત રીતે વધી રહ્યો છે h (1) = 1h (x)·h (y) એ h ની રેન્જમાં હોય અથવા 0 ની બરાબર હોય અથવા h (0 +) બધા x માટે, y એ [0,1] h માં 0 T (x, y) = h (−1) (h (x)·h (y) માં જમણી-સતત હોય છે. ઊલટું, જો h એ T નું ગુણાકાર જનરેટર હોય, તો f: [0,1] → [0, + ini] જે f (x) = − log (h (x)) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે તે T નું એક એડિટિવ જનરેટર છે. સૂચિમાં નીચેની વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવશેઃ p દ્વારા પરિમાણિત t-ધોરણો Tp નો પરિવાર વધી રહ્યો છે જો Tp (x, y) ≤ Tq (x, y) બધા x માટે, y [0,1] માં જ્યારે પણ p ≤ q (તે જ રીતે ઘટતા અને સખત રીતે વધતા અથવા ઘટતા માટે). જો પરિમાણના તમામ મૂલ્યો માટે p0 હોય તો ટી-નોર્મ્સ Tp નું કુટુંબ પરિમાણ p ના સંદર્ભમાં સતત છે. શ્વીઝર-સ્ક્લર ટી-નોર્મ્સ 1960ના દાયકાની શરૂઆતમાં બર્થોલ્ડ શ્વીઝર અને એબે સ્ક્લર દ્વારા રજૂ કરાયેલ શ્વીઝર-સ્ક્લર ટી-નોર્મ્સનો પરિવાર પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે, એ શ્વીઝર-સ્ક્લર ટી-નોર્મ આર્કિમિડીયન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પી> − ν સતત હોય અને માત્ર ત્યારે જ જો પી <+ ν સખત હોય જો અને માત્ર ત્યારે જ જો − ν <પી ≤ 0 (પી = −1 માટે તે હેમાકર પ્રોડક્ટ છે) નિલપોટેન્ટ જો અને માત્ર ત્યારે જ જો 0 <પી <+ ν (પી = 1 માટે તે લુકાસીવિઝ ટી-નોર્મ છે). કુટુંબ p ≤ 0 માટે સખત રીતે ઘટી રહ્યું છે અને [− ≤, + ≤] માં p ના સંદર્ભમાં સતત છે. 1970 ના દાયકાના અંતમાં હોર્સ્ટ હેમાકર દ્વારા રજૂ કરાયેલ હેમાકર ટી-નોર્મ્સનો પરિવાર, 0 ≤ પી ≤ + ≤ માટે નીચેની પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ટી-નોર્મને હેમાકર પ્રોડક્ટ કહેવામાં આવે છે. હમાકર ટી-નોર્મ્સ એ એકમાત્ર ટી-નોર્મ્સ છે જે તર્કસંગત કાર્યો છે. હામાચેર ટી-નોર્મ કડક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો પી <+ φ (પી = 1 માટે તે ઉત્પાદન ટી-નોર્મ હોય). કુટુંબ પી ના સંદર્ભમાં સખત રીતે ઘટતું જાય છે અને સતત રહે છે. પી <+ φ માટે એક એડિટિવ જનરેટર ફ્રેન્ક ટી-નોર્મ્સ છે 1970 ના દાયકાના અંતમાં એમ. જે. ફ્રેન્ક દ્વારા રજૂ કરાયેલ ફ્રેન્ક ટી-નોર્મ્સનો પરિવાર, 0 ≤ પી ≤ + φ માટે પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા દ્વારા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છેઃ જો પી <+ φ હોય તો ફ્રેન્ક ટી-નોર્મ સખત હોય છે. કુટુંબ પી ના સંદર્ભમાં સખત રીતે ઘટી રહ્યું છે અને સતત છે. માટે એક એડિટિવ જનરેટર છે યાગર ટી-નોર્મ્સ યાગર ટી-નોર્મ્સનો પરિવાર, જે 1980 ના દાયકાની શરૂઆતમાં રોનાલ્ડ આર. યાગર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો, તે 0 ≤ પી ≤ + ≤ માટે આપવામાં આવે છે. કુટુંબ પી ના સંદર્ભમાં સખત રીતે વધી રહ્યું છે અને સતત છે. 0 <પી <+ ν માટે યાગર ટી-નોર્મ તેના એડિટિવ જનરેટરને પી ની શક્તિ સુધી વધારીને લ્યુકાસીવિઝ ટી-નોર્મમાંથી ઉદભવે છે. 0 <પી <+ ν માટે એક એડિટિવ જનરેટર એઝેલ-એલસિના ટી-નોર્મ છે. 1980 ના દાયકાની શરૂઆતમાં જાનોસ એકઝેલ અને ક્લાઉડી અલસિના દ્વારા રજૂ કરાયેલ એકઝેલ-એલસિના ટી-નોર્મનો પરિવાર, 0 ≤ પી ≤ + ν માટે આપવામાં આવે છે. p ના સંદર્ભમાં કુટુંબ સખત રીતે વધી રહ્યું છે અને સતત છે. 0 <p <+ φ માટે Aczél-Alsina t-ધોરણ ઉત્પાદન t-ધોરણમાંથી તેના એડિટિવ જનરેટરને p ની શક્તિમાં વધારીને ઉદભવે છે. 0 <p <+ φ માટે એડિટિવ જનરેટર એ ડોમ્બી t-ધોરણ છે. જોઝેફ ડોમ્બી (1982) દ્વારા રજૂ કરાયેલ ડોમ્બી t-ધોરણોનું કુટુંબ, 0 ≤ p ≤ + ≤ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડોમ્બી t-ધોરણ કડક છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો 0 <p <+ ≤ (p = 1 માટે તે હામાચેર ઉત્પાદન છે). કુટુંબ પી ના સંદર્ભમાં સખત રીતે વધી રહ્યું છે અને સતત છે. 0 <પી <+ ν માટે ડોમ્બી ટી-નોર્મ તેના એડિટિવ જનરેટરને પી ની શક્તિ સુધી વધારીને હામાચેર પ્રોડક્ટ ટી-નોર્મમાંથી ઉદભવે છે. 0 <પી <+ ν માટે એડિટિવ જનરેટર સુજેનો-વેબર ટી-નોર્મ છે સુજેનો-વેબર ટી-નોર્મનો પરિવાર 1980 ના દાયકાની શરૂઆતમાં સિગફ્રાઇડ વેબર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો; બેવડા ટી-કોર્મની વ્યાખ્યા 1970 ના દાયકાની શરૂઆતમાં મિચિઓ સુજેનો દ્વારા પહેલેથી જ કરવામાં આવી હતી. તે −1 ≤ p ≤ + ≤ દ્વારા આપવામાં આવે છે સુગેનો-વેબર ટી-નોર્મ એ નિલપોટેન્ટ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો −1 <p <+ ≤ (પી = 0 માટે તે લુકાસીવિઝ ટી-નોર્મ છે). p ના સંદર્ભમાં કુટુંબ સખત રીતે વધી રહ્યું છે અને સતત છે. 0 <p <+ φ [sic] માટે એક એડિટિવ જનરેટર ઓર્ડિનલ સમ છે. ઓર્ડિનલ સમ ટી-નોર્મ્સના પરિવારમાંથી ટી-નોર્મ બનાવે છે, તેમને અંતરાલ [0,1] ના અલગ-અલગ પેટા અંતરાલમાં સંકોચાઈને અને બાકીના એકમ વર્ગ પર લઘુત્તમનો ઉપયોગ કરીને ટી-નોર્મ પૂર્ણ કરે છે. તે નીચેના પ્રમેય પર આધારિત છેઃ ધારો કે અનુક્રમણિકા સમૂહમાં i માટે Ti એ t-નોર્મ્સનો પરિવાર છે અને (એઆઇ, બાય) [0,1] ના જોડી મુજબના ડિસજોઈન્ટ (બિન-ખાલી) ખુલ્લા પેટા અંતરાલોનો પરિવાર છે. પછી કાર્ય T: [0,1] 2 → [0,1] ને t-ધોરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.] પરિણામી ટી-નોર્મને I માં i માટે સરવાળા (Ti, એઆઇ, બાય) નો ક્રમિક સરવાળો કહેવામાં આવે છે, જે I દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અથવા જો I મર્યાદિત હોય તો. ટી-નોર્મ્સનો સામાન્ય સરવાળો નીચેના ગુણધર્મોનો આનંદ માણે છેઃ દરેક ટી-નોર્મ એ સમગ્ર અંતરાલ [0,1] પર પોતે જ એક તુચ્છ ક્રમિક સરવાળો છે. ખાલી ક્રમિક રકમ (ખાલી અનુક્રમણિકા સમૂહ માટે) લઘુતમ ટી-નોર્મ ટી. એમ. આઈ. એન. આપે છે. પરિણામી ટી-ધોરણમાં ફેરફાર કર્યા વિના લઘુત્તમ ટી-ધોરણ સાથેના સારાંશોને મનસ્વી રીતે ઉમેરી અથવા અવગણી શકાય છે. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના એવું માની શકાય છે કે અનુક્રમણિકા સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે, કારણ કે વાસ્તવિક રેખામાં માત્ર વધુને વધુ ગણતરીમાં ઘણા અલગ-અલગ પેટા અંતરાલ હોઈ શકે છે. ટી-નોર્મનો ક્રમિક સરવાળો સતત હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક સરવાળો સતત ટી-નોર્મ હોય. (સમાનરૂપે ડાબી-સાતત્યતા માટે.) એક ક્રમિક સરવાળો આર્કિમિડીયન છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે સમગ્ર એકમ અંતરાલ પર એક આર્કિમિડીયન ટી-નોર્મનો તુચ્છ સરવાળો હોય. એક ક્રમિક સરવાળામાં શૂન્ય વિભાજક હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અમુક અનુક્રમણિકા i માટે, એઆઇ = 0 અને ટીઆઈ શૂન્ય વિભાજક હોય. (સમાનરૂપે નિલપોટેન્ટ તત્વો માટે.) જો લેફ્ટ-કન્ટિન્યુઅસ ટી-નોર્મ હોય, તો તેનું રેસિડ્યુમ આર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં રી એ ટીઆઈનું રેસિડ્યુમ છે, I માં દરેક i માટે. કન્ટિન્યુઅસ ટી-નોર્મનો ઓર્ડિનલ સરવાળો કન્ટિન્યુઅસ ટી-નોર્મના પરિવારનો ઓર્ડિનલ સરવાળો એ કન્ટિન્યુઅસ ટી-નોર્મ છે. મોસ્ટર્ટ-શીલ્ડ્સ પ્રમેય અનુસાર, દરેક સતત ટી-ધોરણ આર્કિમિડીયન સતત ટી-ધોરણોના ક્રમિક સરવાળા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. બાદમાં ક્યાં તો નિલપોટેન્ટ (અને પછી લ્યુકાસીવિઝ ટી-નોર્મ માટે આઇસોમોર્ફિક) અથવા કડક (પછી પ્રોડક્ટ ટી-નોર્મ માટે આઇસોમોર્ફિક) હોવાથી, દરેક સતત ટી-નોર્મ લ્યુકાસીવિઝ અને પ્રોડક્ટ ટી-નોર્મ્સના ક્રમિક સરવાળા માટે આઇસોમોર્ફિક છે. સતત ટી-ધોરણોના ક્રમિક સરવાળાના મહત્વના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છેઃ 1980ના દાયકાની શરૂઆતમાં ડિડિઅર ડુબોઇસ અને હેનરી પ્રાદે દ્વારા રજૂ કરાયેલા ડુબોઇસ-પ્રાઇડ ટી-ધોરણો, [0, પી] પરના ઉત્પાદન ટી-ધોરણના ક્રમિક સરવાળા છે, જે [0,1] માં પી પરિમાણ માટે અને બાકીના એકમ અંતરાલ પર (મૂળભૂત) લઘુત્તમ ટી-ધોરણ છે. 1990ના દાયકાની શરૂઆતમાં ગેસ્પર મેયર અને જોન ટોરેન્સ દ્વારા રજૂ કરાયેલા મેયર-ટોરેન્સ ટી-ધોરણો, [0,1] માં પી પરિમાણ માટે [0, પી] પરના લુકાસીવિઝ ટી-ધોરણના ક્રમિક સરવાળા છે અને બાકીના એકમ અંતરાલ પર (મૂળભૂત) લઘુતમ ટી-ધોરણ છે. મેયર-ટોરેન્સ ટી-નોર્મ્સનો પરિવાર ઘટી રહ્યો છે અને પી. રોટેશનના સંદર્ભમાં સતત છે. રોટેશન દ્વારા ટી-નોર્મ્સનું નિર્માણ સેન્ડોર જેની (2000) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તે નીચેના પ્રમેય પર આધારિત છેઃ ધારો કે T એ શૂન્ય ભાજકો વગરનો ડાબો-સતત t-નોર્મ છે, N: [0,1] → [0,1] એ વિધેય કે જે 1 − x ને x અને t = 0.5 સોંપે છે. ધારો કે T1 એ T નું [t, 1] માં રેખીય રૂપાંતર છે અને પછી કાર્ય એ ડાબી-સતત t-ધોરણ છે, જેને t-ધોરણ T નું પરિભ્રમણ કહેવાય છે. ભૌમિતિક રીતે, રચનાને પહેલા t-ધોરણ T ને અંતરાલ [0.5,1] સુધી સંકોચાય છે અને પછી તેને બિંદુઓ (0,0,1) અને (1,1,0) ને જોડતી રેખાની આસપાસ બંને દિશામાં 2π/3 ખૂણાથી ફેરવવા તરીકે વર્ણવી શકાય છે. પ્રમેયને N માટે કોઈપણ મજબૂત નકારાત્મકતા લઈને સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે, એટલે કે, [0,1] પર એક અનૈચ્છિક સખત રીતે ઘટતું સતત કાર્ય, અને n નો અનન્ય નિશ્ચિત બિંદુ લેવા માટે. પરિણામી t-ધોરણ N ના સંદર્ભમાં નીચેની પરિભ્રમણ અપરિવર્તન ગુણધર્મનો આનંદ માણે છેઃ T (x, y) ≤ z જો અને માત્ર ત્યારે જ જો T (y, N (z)) ≤ N (x) બધા x, y, z માટે [0,1]. ટ્રોટ દ્વારા પ્રેરિત નકારાત્મકતા એ કાર્ય N છે, એટલે કે, તમામ x માટે N (x) = Rrot (x, 0), જ્યાં Rrot એ ટ્રોટનું અવશેષ છે. ટી-નોર્મ ટી-નોર્મ ફઝી લોજિક સંદર્ભો ક્લેમેન્ટ, એરિક પીટર; મેસિયર, રાડકો; અને પેપ, એન્ડ્રે (2000), ત્રિકોણાકાર નોર્મ્સ પણ જુઓ. ડોર્ડ્રેક્ટઃ ક્લૂવર. . ફોડોર, જાનોસ (2004), "લેફ્ટ-કન્ટિન્યુઅસ ટી-નોર્મ્સ ઇન ફઝી લોજિકઃ એન ઓવરવ્યૂ". એક્ટા પોલિટેકનીકા હંગેરિકા 1 (2), આઇએસએસએન <આઇડી1> ડોમ્બી, જોઝેફ (1982), "ફઝી ઓપરેટર્સનો એક સામાન્ય વર્ગ, ફઝી ઓપરેટર્સનો ડિમોર્ગન વર્ગ અને ફઝી ઓપરેટરો દ્વારા પ્રેરિત ફઝીનેસ પગલાં". ફઝી સેટ્સ અને સિસ્ટમ્સ 8,149-163. જેની, સેન્ડોર (2000), "સ્ટ્રક્ચર ઓફ લેફ્ટ-કન્ટિન્યુઅસ ટી-નોર્મ્સ વિથ સ્ટ્રોંગ ઇન્ડ્યુસ્ડ નેગેશન્સ. (I) પરિભ્રમણ રચના ". જર્નલ ઓફ એપ્લાઇડ નોન-ક્લાસિકલ લોજિક્સ 10,83-92. નવારા, મિર્કો (2007), "ત્રિકોણીય ધોરણો અને કોનૉર્મ્સ", સ્કોલરપીડિયા. અસ્પષ્ટ તર્ક