Catenary ring
ગણિતમાં, પરિવર્તનીય વીંટી R એ કેટેનરી છે જો મુખ્ય આદર્શો p, q ની કોઈપણ જોડી માટે, કોઈપણ બે સખત રીતે વધતી સાંકળો p = p0. p1......................... ભૌમિતિક પરિસ્થિતિમાં, જેમાં મુખ્ય આદર્શ સાથે જોડાયેલ બીજગણિત વિવિધતાનું પરિમાણ ઘટશે કારણ કે મુખ્ય આદર્શ મોટો થાય છે, આવી સાંકળ n ની લંબાઈ સામાન્ય રીતે પરિમાણોમાં તફાવત હોય છે. એક વીંટીને સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી કહેવામાં આવે છે જો તેની ઉપરના તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ આલ્જેબ્રા કેટેનરી રિંગ્સ હોય. 'કેટેનરી' શબ્દ લેટિન શબ્દ કેટેના પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "સાંકળ". સમાવેશની નીચેની સાંકળ છે. પરિમાણ સૂત્ર ધારો કે A એ નોથેરિયન ડોમેન છે અને B એ A ધરાવતું ડોમેન છે જે A પર મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થાય છે. જો P એ B નો મુખ્ય આદર્શ છે અને p એ A સાથે તેનું આંતરછેદ છે, તો સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી રિંગ્સ માટેનું પરિમાણ સૂત્ર કહે છે કે જો A સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી હોય તો સમાનતા રહે છે. અહીં κ (P) એ P અને tr.deg નું અવશેષ ક્ષેત્ર છે. તેનો અર્થ થાય છે ઉત્કૃષ્ટતા ડિગ્રી (ભાગાકાર ક્ષેત્રોની). હકીકતમાં, જ્યારે A સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી નથી, પરંતુ, ત્યારે સમાનતા પણ જાળવી રાખે છે. ઉદાહરણો બીજગણિત ભૂમિતિમાં દેખાતી લગભગ તમામ નોથેરિયન વીંટીઓ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી છે. ખાસ કરીને નીચેની રિંગ્સ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી છેઃ સંપૂર્ણ નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ્સ ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સ (અને ક્ષેત્રો) કોહેન-મેકાલે રિંગ્સ (અને નિયમિત સ્થાનિક રિંગ્સ) સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી રિંગનું કોઈપણ સ્થાનિકીકરણ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી રિંગ પર કોઈપણ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ બીજગણિત. એક વીંટી જે કેટેનરી છે પરંતુ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી નથી તે નોથેરિયન રિંગ્સના ઉદાહરણો બનાવવાનું નાજુક છે જે સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી નથી. પ્રથમ ઉદાહરણ દ્વારા મળી આવ્યું હતું, જેમણે 2-પરિમાણીય નોથેરિયન સ્થાનિક ડોમેન શોધી કાઢ્યું હતું જે કેટેનરી છે પરંતુ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી નથી. નાગતાનું ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે. એક ક્ષેત્ર k પસંદ કરો અને રિંગ S માં ઔપચારિક પાવર શ્રેણીમાં ઔપચારિક પાવર શ્રેણી z = ssi> 0aixi પસંદ કરો જેથી z અને x બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર હોય. ઝેડ1 = ઝેડ અને ઝી + 1 = ઝી/એક્સ-આઈ વ્યાખ્યાયિત કરો. ધારો કે R એ x અને તમામ તત્વો ઝી દ્વારા પેદા થયેલ (નોન-નોથેરિયન) રિંગ છે. ધારો કે m એ આદર્શ (x) છે, અને n એ x-1 અને તમામ તત્વો ઝી દ્વારા પેદા થયેલ આદર્શ છે. સ્થાનિક વીંટી Rm એ પરિમાણ 1 ની નિયમિત સ્થાનિક વીંટી છે (આનો પુરાવો એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે z અને x બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર છે) અને સ્થાનિક વીંટી Rn એ પરિમાણ 2 ની નિયમિત નોથેરિયન સ્થાનિક વીંટી છે. ધારો કે B એ m અથવા n ન હોય તેવા તમામ તત્વોના સંદર્ભમાં Rનું સ્થાનિકીકરણ છે. પછી B એ 2 મહત્તમ આદર્શો, mB (ઊંચાઈ 1) અને nB (ઊંચાઈ 2) સાથે 2-પરિમાણીય નોથેરિયન અર્ધ-સ્થાનિક વીંટી છે. ચાલો હું B નો જેકોબસન આમૂલ છું, અને ચાલો A = k + I. રિંગ A એ મહત્તમ આદર્શ I સાથે પરિમાણ 2 નું સ્થાનિક ડોમેન છે, તેથી તે કેટેનરી છે કારણ કે તમામ 2-પરિમાણીય સ્થાનિક ડોમેન કેટેનરી છે. રિંગ એ નોથેરિયન છે કારણ કે બી નોથેરિયન છે અને તે મર્યાદિત એ-મોડ્યુલ છે. જો કે A એ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી નથી, કારણ કે જો તે હોત તો B ના આદર્શ mB ની ઊંચાઈ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી રિંગ્સ માટેના પરિમાણ સૂત્ર દ્વારા mB θA જેટલી જ હોત, પરંતુ પછીના આદર્શની ઊંચાઈ મંદ (A) = 2 જેટલી હોય છે. નાગાતાનું ઉદાહરણ અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ વીંટી પણ છે, તેથી અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ વીંટીનું ઉદાહરણ આપે છે જે ઉત્તમ વીંટી નથી. ઔપચારિક રીતે કેટેનરી રિંગ (જે સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી રિંગ જેવી જ છે) પણ જુઓ. સંદર્ભો એચ. માત્સુમુરા, પરિવર્તનીય બીજગણિત 1980. નાગાટા, માસાયોશી સ્થાનિક રિંગ્સ. શુદ્ધ અને લાગુ ગણિતમાં આંતરવિજ્ઞાન ટ્રેક્ટ્સ, નં. 13 ઇન્ટરસાયન્સ પબ્લિશર્સ જ્હોન વિલી એન્ડ સન્સ, ન્યૂ યોર્ક-લંડન 1962નો એક વિભાગ, જે આર. ઇ. ક્રીગર પબ દ્વારા પુનઃમુદ્રિત કરવામાં આવ્યો હતો. કો (1975) રીંગ થિયરી પણ જુઓ સ્થાનિક રીંગ કોમ્યુટેટિવ રીંગ કોહેન-મેકૉલે રીંગ ગોરેનસ્ટીન સ્થાનિક રીંગ બીજગણિત ભૂમિતિ કોમ્યુટેટિવ બીજગણિત