Content (measure theory)
ગણિતમાં, ખાસ કરીને માપ સિદ્ધાંતમાં, સામગ્રી એ એક વાસ્તવિક મૂલ્યનું કાર્ય છે જે ઉપગણોના સંગ્રહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જેમ કે, સામગ્રી એ માપનું સામાન્યીકરણ છેઃ જ્યારે કે પછીનું ગણવા યોગ્ય રીતે યોગાત્મક હોવું જોઈએ, પહેલું માત્ર મર્યાદિત રીતે યોગાત્મક હોવું જોઈએ. ઘણી મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશનોમાં સેટની રીંગ તરીકે અથવા ઓછામાં ઓછા સેટની સેમિરીંગ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, જે કિસ્સામાં કેટલાક વધારાના ગુણધર્મો શોધી શકાય છે જે નીચે વર્ણવેલ છે. આ કારણોસર કેટલાક લેખકો માત્ર સેમિરીંગ અથવા રિંગ્સના કિસ્સામાં સામગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું પસંદ કરે છે. જો સામગ્રી વધુમાં σ-એડિટિવ હોય તો તેને પૂર્વ-માપ કહેવામાં આવે છે અને જો વધુમાં σ-બીજગણિત હોય, તો સામગ્રીને માપ કહેવામાં આવે છે. તેથી દરેક (વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન) માપ એક સામગ્રી છે, પરંતુ તેનાથી ઊલટું નહીં. સામગ્રીઓ જગ્યા પર બાઉન્ડેડ ફંક્શન્સને એકીકૃત કરવાની સારી કલ્પના આપે છે પરંતુ અનબાઉન્ડ ફંક્શન્સને એકીકૃત કરતી વખતે ખરાબ વર્તન કરી શકે છે, જ્યારે પગલાં અનબાઉન્ડ ફંક્શન્સને એકીકૃત કરવાની સારી કલ્પના આપે છે. ઉદાહરણો એક શાસ્ત્રીય ઉદાહરણ એ છે કે તમામ અડધા ખુલ્લા અંતરાલો પર સામગ્રીને તેમની સામગ્રીને અંતરાલોની લંબાઈમાં સેટ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવી, એટલે કે, કોઈ આગળ બતાવી શકે છે કે આ સામગ્રી ખરેખર σ-એડિટિવ છે અને આમ તમામ અડધા ખુલ્લા અંતરાલોના અર્ધવિરામ પર પૂર્વ-માપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આનો ઉપયોગ કારાથિઓડોરીના વિસ્તરણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા માટે લેબસ્ગ માપ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. સામાન્ય રચના પર વધુ વિગતો માટે લેબ્સગ્યુ માપ પરનો લેખ જુઓ. σ-બીજગણિત પર માપ ન હોય તેવી સામગ્રીનું ઉદાહરણ એ હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના તમામ ઉપગણ પરની સામગ્રી છે જે કોઈપણ પૂર્ણાંક પર મૂલ્ય ધરાવે છે અને કોઈપણ અનંત ઉપગણ પર અનંત હોય છે. હકારાત્મક પૂર્ણાંકો પરની સામગ્રીનું ઉદાહરણ જે હંમેશા મર્યાદિત હોય છે પરંતુ માપ નથી તે નીચે મુજબ આપી શકાય છે. બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ પર પોઝિટિવ લિનિયર ફંક્શનલ લો જે 0 છે જો સિક્વન્સમાં માત્ર બિન-શૂન્ય તત્વોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય અને સિક્વન્સ પર મૂલ્ય 1 લે છે જેથી અમુક અર્થમાં ફંક્શનલ કોઈપણ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સનું "સરેરાશ મૂલ્ય" આપે. (આવા વિધેયની રચના સ્પષ્ટ રીતે કરી શકાતી નથી, પરંતુ તે હાન-બનાચ પ્રમેય દ્વારા અસ્તિત્વમાં છે.) પછી હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના સમૂહની સામગ્રી એ અનુક્રમનું સરેરાશ મૂલ્ય છે જે આ સમૂહ પર 1 અને અન્યત્ર 0 છે. અનૌપચારિક રીતે, પૂર્ણાંકોના સબસેટની સામગ્રીને "તક" તરીકે વિચારી શકાય છે કે જે આ સબસેટમાં અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક છે (જોકે આ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં તકની સામાન્ય વ્યાખ્યાઓ સાથે સુસંગત નથી, જે ગણતરીપાત્ર ઉમેરણ ધારણ કરે છે). ગુણધર્મો વારંવાર સમાવિષ્ટો સમૂહોના સંગ્રહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે વધુ અવરોધોને સંતોષે છે. આ કિસ્સામાં વધારાના ગુણધર્મો શોધી શકાય છે જે સમૂહોના કોઈપણ સંગ્રહ પર વ્યાખ્યાયિત સામગ્રી માટે સામાન્ય રીતે રાખવામાં નિષ્ફળ જાય છે. સેમીરીંગ પર જો સમૂહોની સેમિરીંગ રચાય છે, તો નીચેના નિવેદનો કાઢી શકાય છેઃ દરેક સામગ્રી એકવિધ હોય છે, એટલે કે દરેક સામગ્રી સબએડિટિવ હોય છે, એટલે કે રિંગ્સ પરની દરેક સામગ્રી માટે, જો વધુમાં સેટની રિંગ હોય તો તેને વધારામાં મળે છેઃ સબટ્રેક્ટિવિટીઃ તેને સંતોષવા માટે સબએડિટિવિટીને અનુસરે છેઃ-સુપરએડિટિવિટીઃ કોઈપણ જોડી મુજબની વિસંગતતા સંતોષવા માટે આપણી પાસે જો મર્યાદિત સામગ્રી હોય, તો પછી સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત લાગુ પડે છેઃ જ્યાં બંધાયેલા કાર્યોના તમામ એકીકરણ માટે સામગ્રીના સંદર્ભમાં કાર્યોનું સામાન્ય એકીકરણ સારી રીતે વર્તે નહીં. જો કે એકીકરણની સારી વર્તણૂકની કલ્પના છે જો કે કાર્ય બંધાયેલ છે અને જગ્યાની કુલ સામગ્રી મર્યાદિત છે, જે નીચે મુજબ આપવામાં આવી છે. ધારો કે જગ્યાની કુલ સામગ્રી મર્યાદિત છે. જો જગ્યા પર બાઉન્ડેડ ફંક્શન હોય કે જેથી વાસ્તવિકના કોઈપણ ખુલ્લા સબસેટની ઇન્વર્સ ઈમેજમાં સામગ્રી હોય, તો આપણે સામગ્રીના સંદર્ભમાં ઇંટીગ્રલને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ કે જ્યાં અસંબદ્ધ અર્ધ-ખુલ્લા સેટનો મર્યાદિત સંગ્રહ રચાય છે, જેનું જોડાણ શ્રેણીને આવરી લે છે અને તે કોઈપણ તત્વ છે અને જ્યાં મર્યાદા લેવામાં આવે છે કારણ કે સેટના વ્યાસ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. બાઉન્ડેડ ફંક્શન્સની જગ્યાઓની જોડી ધારો કે તે અમુક જગ્યા પરનું માપ છે બાઉન્ડેડ માપી શકાય તેવા કાર્યો સર્વોચ્ચ ધોરણના સંદર્ભમાં બનાચ જગ્યા બનાવે છે. આ જગ્યાના દ્વિગુણના હકારાત્મક ઘટકો ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા આપવામાં આવેલ મૂલ્ય સાથે બાઉન્ડેડ સમાવિષ્ટોને અનુરૂપ છે તેવી જ રીતે આવશ્યક સર્વોચ્ચતા દ્વારા આપવામાં આવેલા ધોરણ સાથે આવશ્યક રીતે બાઉન્ડેડ વિધેયોની જગ્યા બનાવી શકાય છે, અને આ જગ્યાના દ્વિગુણના હકારાત્મક ઘટકો બાઉન્ડેડ સમાવિષ્ટો દ્વારા આપવામાં આવે છે જે માપ 0 ના સમૂહ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સામગ્રીમાંથી માપનું નિર્માણ ટોપોલોજિકલ જગ્યા પર સામગ્રીમાંથી માપને બનાવવાની ઘણી રીતો છે. આ વિભાગ સ્થાનિક રીતે સઘન હૌસડોર્ફ જગ્યાઓ માટે આવી એક પદ્ધતિ આપે છે જેમ કે સામગ્રી તમામ સઘન ઉપગણ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે આ માપ સામગ્રીનું વિસ્તરણ નથી, કારણ કે સામગ્રી ગણતરીમાં ઉમેરવામાં નિષ્ફળ થઈ શકે છે, અને સામગ્રી ન હોય તો પણ માપ સમાન રીતે શૂન્ય હોઈ શકે છે. પહેલા સામગ્રીને કોમ્પેક્ટ સેટ સુધી મર્યાદિત કરો. આ નીચેના ગુણધર્મો સાથે કોમ્પેક્ટ સેટ્સનું કાર્ય આપે છેઃ કોમ્પેક્ટ સેટ્સની તમામ જોડી માટે તમામ કોમ્પેક્ટ સેટ્સ માટે ડિસજોઈન્ટ કોમ્પેક્ટ સેટ્સની તમામ જોડી માટે. ઉપરોક્ત કાર્યોના ઉદાહરણો પણ છે જે સમાવિષ્ટોમાંથી બનાવવામાં આવ્યા નથી. સ્થાનિક રીતે સઘન જૂથ પર હાર માપના નિર્માણ દ્વારા એક ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે. આવા હાર માપના નિર્માણની એક પદ્ધતિ એ છે કે જૂથના કોમ્પેક્ટ સબસેટ પર ઉપરની જેમ લેફ્ટ-ઇનવેરિયન્ટ ફંક્શન ઉત્પન્ન કરવું, જેને પછી લેફ્ટ-ઇનવેરિયન્ટ માપ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ખુલ્લા સમૂહો પર વ્યાખ્યા ઉપર મુજબ આપેલ λ, આપણે બધા ખુલ્લા સમૂહો પર વિધેયને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ આ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છેઃ અલગ અલગ ખુલ્લા સમૂહોના કોઈપણ સંગ્રહ માટે ખુલ્લા સમૂહોના કોઈપણ સંગ્રહ માટે. બધા સમૂહો પર વ્યાખ્યા ઉપર મુજબ આપવામાં આવેલ, આપણે ફંકશન μ ને ટોપોલોજિકલ જગ્યાના તમામ ઉપગણ સુધી લંબાવીએ છીએ આ એક બાહ્ય માપ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો તેમાં નીચેના ગુણધર્મો છેઃ સમૂહોના કોઈપણ ગણતરીપાત્ર સંગ્રહ માટે. માપની રચના ઉપરનું વિધેય એ તમામ ઉપગણના પરિવાર પરનું બાહ્ય માપ છે. તેથી તે એક માપ બની જાય છે જ્યારે બાહ્ય માપ માટે માપી શકાય તેવા સબસેટ્સ સુધી મર્યાદિત હોય છે, જે એવા સબસેટ્સ છે કે જે તમામ સબસેટ્સ માટે જો જગ્યા સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ હોય તો દરેક ઓપન સેટ આ માપ માટે માપી શકાય છે. આ માપ કોમ્પેક્ટ સેટ પરની સામગ્રી સાથે સુસંગત હોવું જરૂરી નથી, જો કે તે આ અર્થમાં નિયમિત હોય કે કોઈપણ કોમ્પેક્ટ માટે તેમના આંતરિક ભાગમાં સમાવિષ્ટ કોમ્પેક્ટ સેટ માટે માહિતી છે. સંદર્ભ માપન સિદ્ધાંત પણ જુઓ સમૂહોના પરિવારો