Rotor (mathematics)
રોટર એ વેક્ટર સ્પેસના ભૌમિતિક બીજગણિત (જેને ક્લિફોર્ડ બીજગણિત પણ કહેવાય છે) માં એક પદાર્થ છે જે મૂળ વિશેના પરિભ્રમણને રજૂ કરે છે. આ શબ્દ વિલિયમ કિંગડન ક્લિફોર્ડ સાથે ઉદ્દભવ્યો છે, જે દર્શાવે છે કે ચતુર્થાંશ બીજગણિત એ હર્મન ગ્રાસમેનના "વિસ્તરણના સિદ્ધાંત" (ઑસ્ડેહનુંગસ્લેહરે) નો માત્ર એક વિશેષ કેસ છે. હેસ્ટેન્સે રોટરને ભૌમિતિક બીજગણિતના કોઈપણ તત્વ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જે એકમ વેક્ટરની સમ સંખ્યાના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે અને સંતોષ આપે છે, જ્યાં "વિપરીત" છે-એટલે કે, સમાન વેક્ટરનું ગુણાકાર, પરંતુ વિપરીત ક્રમમાં. વ્યાખ્યા ગણિતમાં, વેક્ટર સ્પેસ V ના ભૌમિતિક બીજગણિતમાં રોટર એ સ્પિન જૂથ સ્પિન (V) ના તત્વ જેવું જ છે. અમે નીચે આ જૂથને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે V એ વેક્ટર સ્પેસ છે જે હકારાત્મક ચોક્કસ વર્ગાત્મક સ્વરૂપ q સાથે સજ્જ છે, અને ધારો કે Cl (V) એ V સાથે સંકળાયેલ ભૌમિતિક બીજગણિત છે. બીજગણિત Cl (V) એ બધા માટેના સંબંધો દ્વારા V ના ટેન્સર બીજગણિતનો ભાગ છે. (સીએલ (વી) માં ટેન્સર પ્રોડક્ટને ભૌમિતિક બીજગણિતમાં ભૌમિતિક પ્રોડક્ટ કહેવામાં આવે છે અને આ લેખ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.) V ના ટેન્સર બીજગણિત પર Z-ગ્રેડિંગ એ Cl (V) પર Z/2Z-ગ્રેડિંગ પર ઉતરી જાય છે, જેને આપણે અહીં સૂચવીએ છીએ, ક્લીવન (V) સમ-ડિગ્રી બ્લેડ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને ક્લોડ (V) વિષમ-ડિગ્રી બ્લેડ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. ક્લ (વી) નું એક અનોખું એન્ટીઆટોમોર્ફિઝમ છે જે વી પરની ઓળખ સુધી મર્યાદિત છેઃ આને ટ્રાન્સપોઝ કહેવામાં આવે છે, અને કોઈપણ મલ્ટીવેક્ટર a નું ટ્રાન્સપોઝ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બ્લેડ પર (એટલે કે, એક સરળ ટેન્સર), તે ફક્ત પરિબળોના ક્રમને ઉલટાવી દે છે. સ્પિન જૂથ સ્પિન (V) ને ક્લિવન (V) ના પેટા જૂથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં મલ્ટીવેક્ટર્સ R હોય છે, એટલે કે તેમાં મલ્ટીવેક્ટર્સ હોય છે જેને સમાન સંખ્યામાં એકમ વેક્ટર્સના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. વેક્ટર સ્પેસ પર પરિભ્રમણ તરીકે ક્રિયાને ભૌમિતિક બીજગણિતમાં વેક્ટર સાથેના પ્રતિબિંબને પ્રતિબિંબના હાયપરપ્લેનને લંબરૂપ બિન-નલ વેક્ટર v અને તે વેક્ટરના વ્યસ્ત v−1: વચ્ચે મલ્ટીવેક્ટર M ને (માઇનસ) સેન્ડવીચ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને તે સમ ગ્રેડના હોય છે. રોટર R દ્વારા પેદા થતા પરિભ્રમણ હેઠળ, એક સામાન્ય મલ્ટીવેક્ટર M બે બાજુએ રૂપાંતરિત થશે કારણ કે આ ક્રિયા સ્પિન (V) ને SO (V) ના બેવડા આવરણ તરીકે રજૂ કરતી સર્જેક્ટિવ હોમોમોર્ફિઝમ આપે છે. (વધુ વિગતો માટે સ્પિન જૂથ જુઓ.) પ્રતિબંધિત વૈકલ્પિક રચના યુક્લિડિયન જગ્યા માટે, વૈકલ્પિક રચનાને ધ્યાનમાં લેવી અનુકૂળ હોઈ શકે છે, અને કેટલાક લેખકો પ્રતિબિંબની કામગીરીને (બાદબાકી) એકમના સેન્ડવિચિંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. નોર્મલાઇઝ્ડ) મલ્ટીવેક્ટરઃ રોટર બનાવે છે જે આપમેળે નોર્મલાઇઝ થાય છેઃ વ્યુત્પન્ન રોટર ક્રિયાને પછી રિવર્સ સાથે સેન્ડવિચ પ્રોડક્ટ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છેઃ પ્રતિબિંબ માટે કે જેના માટે સંકળાયેલ વેક્ટર નકારાત્મક સ્કેલર સાથે ચોરસ થાય છે, જેમ કે સ્યુડો-યુક્લિડિયન સ્પેસ સાથે કેસ હોઈ શકે છે, આવા વેક્ટરને ફક્ત તેના ચોરસની નિશાની સુધી નોર્મલાઇઝ કરી શકાય છે, અને એપ્લિકેશનની નિશાનીની વધારાની હિસાબી રાખવાની જરૂર પડે છે. ઉપરની જેમ ઇન્વર્સ સાથે સેન્ડવિચ પ્રોડક્ટની દ્રષ્ટિએ ફોર્મ્યુલેશનમાં આવી કોઈ ખામી નથી. મલ્ટીવેક્ટર્સ અને સ્પિનર્સનું પરિભ્રમણ જોકે, મલ્ટીવેક્ટર્સ પણ બે બાજુએ પરિવર્તિત થાય છે, રોટર્સને જોડી શકાય છે અને એક જૂથ બનાવી શકાય છે, અને તેથી બહુવિધ રોટર્સ એક બાજુએ રચના કરે છે. ઉપરની વૈકલ્પિક રચના સ્વ-સામાન્યીકરણ નથી અને ભૌમિતિક બીજગણિતમાં સ્પિનોરની વ્યાખ્યાને એક એવી વસ્તુ તરીકે પ્રેરિત કરે છે જે એકતરફી રીતે પરિવર્તિત થાય છે-એટલે કે, સ્પિનોરને બિન-સામાન્યકૃત રોટર તરીકે ગણી શકાય જેમાં સેન્ડવિચ ઉત્પાદનમાં વ્યસ્તને બદલે વિપરીતનો ઉપયોગ થાય છે. એકરૂપ પ્રતિનિધિત્વ બીજગણિત એકરૂપ પ્રતિનિધિત્વ બીજગણિતમાં જેમ કે અનુરૂપ ભૌમિતિક બીજગણિત, પ્રતિનિધિત્વ અવકાશમાં રોટર એક મનસ્વી બિંદુ, અનુવાદ અથવા કદાચ આધાર અવકાશમાં અન્ય પરિવર્તન વિશેના પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે. આ પણ જુઓ ડબલ રોટેશન લાઈ ગ્રૂપ યુલરનું સૂત્ર જનરેટર (ગણિત) આવૃત્તિ સંદર્ભો ભૌમિતિક બીજગણિત