Hartman–Grobman theorem
ગણિતમાં, ગતિશીલ પ્રણાલીઓના અભ્યાસમાં, હાર્ટમેન-ગ્રોબમેન પ્રમેય અથવા રેખીય પ્રમેય એ હાયપરબોલિક સંતુલન બિંદુની પડોશમાં ગતિશીલ પ્રણાલીઓના સ્થાનિક વર્તન વિશેનો એક પ્રમેય છે. તે ભારપૂર્વક જણાવે છે કે રેખીયકરણ-પ્રણાલીનું કુદરતી સરળીકરણ-વર્તનની ગુણાત્મક પેટર્નની આગાહી કરવામાં અસરકારક છે. આ પ્રમેયનું નામ ફિલિપ હાર્ટમેન અને ડેવિડ એમ. ગ્રોબમેનને આભારી છે. આ પ્રમેય જણાવે છે કે હાયપરબોલિક સંતુલન બિંદુની નજીકના ક્ષેત્રમાં ગતિશીલ પ્રણાલીની વર્તણૂક ગુણાત્મક રીતે આ સંતુલન બિંદુની નજીક તેના રેખીયકરણની વર્તણૂક જેવી જ છે, જ્યાં હાયપરબોલિસિટીનો અર્થ એ છે કે રેખીયકરણના કોઈ પણ આઈગન વેલ્યુનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્યની બરાબર નથી. તેથી, આવી ગતિશીલ પ્રણાલીઓ સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે સંતુલનની આસપાસ તેના વર્તનનું વિશ્લેષણ કરવા માટે પ્રણાલીના સરળ રેખીયકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. મુખ્ય પ્રમેય સ્થિતિ સાથે સમય સાથે વિકસતી પ્રણાલીનો વિચાર કરો જે કેટલાક સરળ નકશા માટે વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે. હવે ધારો કે નકશામાં હાયપરબોલિક સંતુલન સ્થિતિ છેઃ એટલે કે, અને એટ સ્ટેટના જેકોબિયન મેટ્રિક્સમાં શૂન્યની બરાબર વાસ્તવિક ભાગ સાથે કોઈ આઈગન વેલ્યુ નથી. પછી સંતુલન અને હોમોમોર્ફિઝમનું એક પડોશી અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેમ કે અને એવું કે પડોશમાં પ્રવાહ તેના રેખીયકરણના પ્રવાહ સાથે સતત નકશા દ્વારા ટોપોલોજીકલ રીતે સંયોજિત થાય છે. અનંત રીતે અલગ પાડી શકાય તેવા નકશાઓ માટે પણ, હોમોમોર્ફિઝમ સરળ હોવું જરૂરી નથી, ન તો સ્થાનિક રીતે લિપશિટ્ઝ. જો કે, તે હાઈપરબોલિસિટીના અચળાંકના આધારે ઘાતાંક સાથે હોલ્ડર કન્ટિન્યુઅસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. હાર્ટમેન-ગ્રોબમેન પ્રમેયને અનંત-પરિમાણીય બનાચ જગ્યાઓ, બિન-સ્વાયત્ત પ્રણાલીઓ (સંભવિત સ્ટોકેસ્ટિક) સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવ્યો છે, અને જ્યારે શૂન્ય અથવા નજીકના શૂન્ય વાસ્તવિક-ભાગ સાથે આઈગન મૂલ્યો હોય ત્યારે થતા ટોપોલોજિકલ તફાવતોને પહોંચી વળવા માટે. ઉદાહરણ આ ઉદાહરણ માટે જરૂરી બીજગણિત સરળતાથી વેબ સેવા દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે જે વિભેદક સમીકરણો, સ્વાયત્ત અથવા બિન-સ્વાયત્ત, નિર્ધારક અથવા સ્ટોકેસ્ટિકની પ્રણાલીઓના સામાન્ય સ્વરૂપ સંકલન પરિવર્તનની ગણતરી કરે છે. જોડીદાર વિભેદક સમીકરણોની જોડી અનુસાર વિકસતા ચલમાં 2D પ્રણાલીનો વિચાર કરો સીધી ગણતરી દ્વારા તે જોઈ શકાય છે કે આ પ્રણાલીનું એકમાત્ર સંતુલન મૂળ પર છે, એટલે કે. કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મ, જ્યાં, મૂળ અને નવા કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચે એક સરળ નકશો આપવામાં આવે છે, ઓછામાં ઓછું મૂળમાં સંતુલનની નજીક. નવા કોઓર્ડિનેટ્સમાં ગતિશીલ પ્રણાલી તેના રેખીયકરણમાં પરિવર્તિત થાય છે એટલે કે, રેખીયકરણનું વિકૃત સંસ્કરણ કેટલાક મર્યાદિત પડોશમાં મૂળ ગતિશીલતા આપે છે. લીનિયર એપ્રોક્સીમેશન સ્ટેબલ મેનીફોલ્ડ થીયરમ સંદર્ભો વધુ વાંચન વિશ્લેષણમાં બાહ્ય કડીઓ થીયરમ્સ ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સમાં થીયરમ્સ એપ્રોક્સીમેશન્સ