Random measure
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ માપ એ માપ-મૂલ્ય ધરાવતું રેન્ડમ તત્વ છે. ઉદાહરણ તરીકે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં રેન્ડમ પગલાંનો ઉપયોગ થાય છે, જ્યાં તેઓ પોઈસન બિંદુ પ્રક્રિયાઓ અને કોક્સ પ્રક્રિયાઓ જેવી ઘણી મહત્વપૂર્ણ બિંદુ પ્રક્રિયાઓ બનાવે છે. વ્યાખ્યા રેન્ડમ પગલાંને સંક્રમણ કર્નલો અથવા રેન્ડમ તત્વો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. બંને વ્યાખ્યાઓ સમાન છે. વ્યાખ્યાઓ માટે, ચાલો એક અલગ કરી શકાય તેવી સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા હોઈએ અને તેનું બોરેલ-બીજગણિત હોઈએ. (અલગ કરી શકાય તેવી સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યાનું સૌથી સામાન્ય ઉદાહરણ છે) સંક્રમણ કર્નલ તરીકે એક અવ્યવસ્થિત માપ એ (એ. એસ.) સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત સંક્રમણ કર્નલ છે જે (અમૂર્ત) સંભાવના જગ્યાથી. સંક્રમણ કર્નલ હોવાનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ નિશ્ચિત માટે, મેપિંગ એકથી બીજા સુધી માપી શકાય તેવું છે દરેક નિશ્ચિત માટે, મેપિંગ એ સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત હોવા પરનું એક માપ છે જેનો અર્થ એ છે કે પગલાં તમામ બંધાયેલા માપી શકાય તેવા સમૂહો માટે અને કેટલાક-નલ સેટ સિવાયના બધા માટે સંતોષ આપે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓના સંદર્ભમાં સ્ટોકેસ્ટિક કર્નલ, સંભાવના કર્નલ, માર્કોવ કર્નલનો સંબંધિત ખ્યાલ છે. રેન્ડમ એલિમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો અને સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પગલાંના સબસેટ દ્વારા બધા બાઉન્ડેડ માપી શકાય તેવા માટે, મેપિંગ્સને થી થી વ્યાખ્યાયિત કરો. ચાલો-બીજગણિત ચાલુ મેપિંગ્સ દ્વારા પ્રેરિત અને-બીજગણિત ચાલુ મેપિંગ્સ દ્વારા પ્રેરિત. તેની નોંધ લો. રેન્ડમ માપ એ એક રેન્ડમ તત્વ છે જે લગભગ ચોક્કસપણે મૂળભૂત સંબંધિત વિભાવનાઓમાં મૂલ્યો લે છે તીવ્રતા માપ રેન્ડમ માપ માટે, દરેક હકારાત્મક માપી શકાય તેવા કાર્ય માટે સંતોષકારક માપને તીવ્રતા માપ કહેવામાં આવે છે. તીવ્રતાનું માપ દરેક અનિયમિત માપ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે s-અનંત માપ છે. સહાયક માપ યાદૃચ્છિક માપ માટે, તમામ હકારાત્મક માપી શકાય તેવા કાર્યો માટે સંતોષકારક માપને સહાયક માપ કહેવામાં આવે છે. સહાયક માપ તમામ અવ્યવસ્થિત પગલાં માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તેને મર્યાદિત તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ રેન્ડમ માપ માટે, લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મને દરેક પોઝિટિવ માપી શકાય તેવા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મૂળભૂત ગુણધર્મો ઇન્ટિગ્રલ્સની માપનક્ષમતા રેન્ડમ માપ માટે, ઇન્ટિગ્રલ્સ અને પોઝિટિવ-માપી શકાય તેવા માપી શકાય તેવા છે, તેથી તે રેન્ડમ ચલ છે. વિશિષ્ટતા રેન્ડમ માપનું વિતરણ વિશિષ્ટ રીતે કોમ્પેક્ટ સપોર્ટ સાથે તમામ સતત કાર્યો માટેના વિતરણ દ્વારા નક્કી થાય છે. નિશ્ચિત સેમિરીંગ માટે કે જે આ અર્થમાં ઉત્પન્ન કરે છે કે, રેન્ડમ માપનું વિતરણ પણ તમામ હકારાત્મક સરળ-માપી શકાય તેવા કાર્યો પર અભિન્ન દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. વિઘટન એક માપ સામાન્ય રીતે આ રીતે વિઘટિત થઈ શકે છેઃ અહીં અણુ વિનાનું ફેલાયેલું માપ છે, જ્યારે તે શુદ્ધ અણુ માપ છે. રેન્ડમ ગણતરી માપ ફોર્મનું રેન્ડમ માપઃ જ્યાં ડીરાક માપ છે, અને રેન્ડમ ચલ છે, તેને બિંદુ પ્રક્રિયા અથવા રેન્ડમ ગણતરી માપ કહેવામાં આવે છે. આ રેન્ડમ માપ એન કણોના સમૂહને વર્ણવે છે, જેમના સ્થાનો (સામાન્ય રીતે વેક્ટર મૂલ્યવાન) રેન્ડમ ચલ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગણતરીના માપ માટે ફેલાયેલો ઘટક શૂન્ય છે. ઉપરના ઔપચારિક સંકેતલિપીમાં રેન્ડમ ગણતરી માપ એ સંભાવના જગ્યાથી માપી શકાય તેવી જગ્યા માટેનો નકશો છે. અહીં તમામ મર્યાદિત રીતે મર્યાદિત પૂર્ણાંક-મૂલ્યના પગલાં (જેને ગણતરીના પગલાં કહેવાય છે) ની જગ્યા છે. અપેક્ષા માપ, લાપ્લાસ કાર્યાત્મક, ક્ષણ માપ અને અવ્યવસ્થિત પગલાં માટેની સ્થિરતાની વ્યાખ્યાઓ બિંદુ પ્રક્રિયાઓને અનુસરે છે. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓના વર્ણન અને વિશ્લેષણમાં રેન્ડમ પગલાં ઉપયોગી છે, જેમ કે મોન્ટે કાર્લો સંખ્યાત્મક ચતુર્ભુજ અને કણ ગાળકો. પોઈસન રેન્ડમ માપ વેક્ટર માપ એકત્રિત સંદર્ભો માપ (માપ સિદ્ધાંત) સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાઓ પણ જુઓ.