Affine manifold
વિભેદક ભૂમિતિમાં, એફાઇન મેનીફોલ્ડ એ સપાટ, વળાંક-મુક્ત જોડાણથી સજ્જ એક વિભેદક મેનીફોલ્ડ છે. સમાનરૂપે, તે એક મેનીફોલ્ડ છે જે (જો જોડાયેલ હોય તો) એક ખુલ્લા સબસેટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે, જેમાં મોનોડ્રોમી એફીન પરિવર્તન દ્વારા કાર્ય કરે છે. આ સમાનતા કાર્ટન-એમ્બ્રોસ-હિક્સ પ્રમેયનો સરળ પરિણામ છે. સમાનરૂપે, તે એટલાસથી સજ્જ એક મેનીફોલ્ડ છે-જેને એફાઇન સ્ટ્રક્ચર કહેવાય છે-જેમ કે ચાર્ટ્સ વચ્ચેના તમામ સંક્રમણ કાર્યો એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે (એટલે કે, સતત જેકોબિયન મેટ્રિક્સ ધરાવે છે); જો મેનીફોલ્ડ બંનેને સબજુગેટેડ એટલાસ સ્વીકારે તો બે એટલાસ સમકક્ષ હોય છે, જેમાં બંને એટલાસમાંથી નાના એટલાસમાં સંક્રમણો એફાઇન હોય છે. વિશિષ્ટ એફાઇન માળખું ધરાવતા મેનીફોલ્ડને એફાઇન મેનીફોલ્ડ કહેવામાં આવે છે અને જે ચાર્ટ્સ એફાઇન માળખા સાથે સંબંધિત હોય છે તેને એફાઇન ચાર્ટ્સ કહેવામાં આવે છે. દરેક એફાઇન કોઓર્ડિનેટ ડોમેનમાં કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર ક્ષેત્રો તે ડોમેનની સમાંતર રચના કરે છે, તેથી દરેક ડોમેન પર સંકળાયેલ જોડાણ હોય છે. આ સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત જોડાણો ઓવરલેપિંગ ભાગો પર સમાન હોય છે, તેથી એફાઇન માળખા સાથે સંકળાયેલ એક અનન્ય જોડાણ છે. નોંધ લો કે રેખીય જોડાણ (જેને એફાઇન જોડાણ પણ કહેવાય છે) અને વેબ વચ્ચે એક કડી છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા એક એફાઇન મેનીફોલ્ડ એ ચાર્ટ સાથેનો એક વાસ્તવિક મેનીફોલ્ડ છે જે બધા માટે એફાઇન પરિવર્તનના લાઈ જૂથને સૂચવે છે. ફેન્સીયર શબ્દોમાં તે a (G, X)-મેનીફોલ્ડ છે જ્યાં અને એ એફાઇન પરિવર્તનોનું જૂથ છે. એક એફાઇન મેનીફોલ્ડને પૂર્ણ કહેવામાં આવે છે જો તેનું સાર્વત્રિક આવરણ હોમોમોર્ફિક હોય. કોમ્પેક્ટ એફાઇન મેનીફોલ્ડના કિસ્સામાં, ચાલો મૂળભૂત જૂથ બનીએ અને તેનું સાર્વત્રિક આવરણ બનીએ. કોઈ એવું બતાવી શકે છે કે દરેક-પરિમાણીય એફાઇન મેનીફોલ્ડ વિકાસશીલ નકશા અને હોમોમોર્ફિઝમ સાથે આવે છે, જેમ કે એક નિમજ્જન અને તેના સંદર્ભમાં સમાન છે. કોમ્પેક્ટ સંપૂર્ણ ફ્લેટ એફાઇન મેનીફોલ્ડના મૂળભૂત જૂથને એફાઇન ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક જૂથ કહેવામાં આવે છે. એફાઇન સ્ફટિકીય જૂથોનું વર્ગીકરણ એક મુશ્કેલ સમસ્યા છે, જે ઉકેલાઈ નથી શકતી. રિમાનિયન સ્ફટિકશાસ્ત્રીય જૂથો (જેને બીબરબેક જૂથો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) નું વર્ગીકરણ લુડવિગ બીબરબેક દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું, જેમાં ડેવિડ હિલ્બર્ટ દ્વારા પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં આવ્યો હતો. હિલ્બર્ટની 18મી સમસ્યા પરના તેમના કાર્યમાં, બીબરબેકે સાબિત કર્યું કે કોઈપણ રીમાનિયન સ્ફટિકશાસ્ત્રીય જૂથમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું અબેલિયન પેટાજૂથ હોય છે. મહત્વપૂર્ણ લાંબા સમયથી ચાલતા અનુમાનો એફીન મેનીફોલ્ડ્સની ભૂમિતિ અનિવાર્યપણે લાંબા સમયથી ચાલતા અનુમાનોની જાળ છે; તેમાંના મોટાભાગના ઓછા પરિમાણમાં અને કેટલાક અન્ય વિશેષ કિસ્સાઓમાં સાબિત થાય છે. તેમાંના સૌથી મહત્વપૂર્ણ છેઃ માર્કસ અનુમાન (1962) જણાવે છે કે કોમ્પેક્ટ એફાઇન મેનીફોલ્ડ ત્યારે જ પૂર્ણ થાય છે જ્યારે તેમાં સમાંતર કદ હોય. પરિમાણ 2 માં ઓળખાય છે. ઑસલેન્ડર અનુમાન (1964) જણાવે છે કે કોઈપણ એફાઇન સ્ફટિકશાસ્ત્રીય જૂથમાં મર્યાદિત અનુક્રમણિકાનું પોલીસાયક્લિક પેટાજૂથ હોય છે. 6 સુધીના પરિમાણોમાં જાણીતું છે, અને જ્યારે સપાટ જોડાણનું હોલોનોમી લોરેન્ટ્ઝ મેટ્રિક સાચવે છે. દરેક વર્ચ્યુઅલ પોલીસાયક્લિક સ્ફટિકશાસ્ત્રીય જૂથ વોલ્યુમ સ્વરૂપને જાળવી રાખે છે, તેથી ઑસલેન્ડર અનુમાન માર્કસ અનુમાનનો "માત્ર જો" ભાગ સૂચવે છે. ચેરન અનુમાન (1955) એક અફાઇન મેનીફોલ્ડનો યુલર વર્ગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. નોંધો સંદર્ભો જૂથ સિદ્ધાંત સંલગ્ન ભૂમિતિ બહુવિધ પર માળખાં વિભેદક ભૂમિતિ સૂચવે છે