Leibniz harmonic triangle
લીબનીઝ હાર્મોનિક ત્રિકોણ એ એકમ અપૂર્ણાંકની ત્રિકોણાકાર વ્યવસ્થા છે જેમાં સૌથી બહારના કર્ણ પંક્તિ સંખ્યાઓના પારસ્પરિક હોય છે અને દરેક આંતરિક કોષ ઉપર ત્રાંસા રીતે કોષ હોય છે અને ડાબી બાજુએ ડાબી બાજુના કોષને બાદ કરે છે. બીજગણિતમાં કહીએ તો, (જ્યાં 1 થી શરૂ થતી પંક્તિની સંખ્યા છે, અને સ્તંભ સંખ્યા છે, જે ક્યારેય r કરતા વધુ નથી) અને મૂલ્યો પ્રથમ આઠ પંક્તિઓ છેઃ છેદ સૂચિબદ્ધ છે, જ્યારે અંકો બધા 1s છે. શરતો શરતો પુનરાવર્તનો દ્વારા અને સ્પષ્ટપણે દ્વિપદી ગુણાંક ક્યાં છે તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે. પાસ્કલના ત્રિકોણ સાથે સંબંધ જ્યારે કે પાસ્કલના ત્રિકોણમાં દરેક એન્ટ્રી એ ઉપરની હરોળમાં બે એન્ટ્રીઓનો સરવાળો છે, ત્યારે લીબનીઝ ત્રિકોણમાં દરેક એન્ટ્રી એ તેની નીચેની હરોળમાં બે એન્ટ્રીઓનો સરવાળો છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાંચમી હરોળમાં, એન્ટ્રી (1/30) એ છઠ્ઠી હરોળમાં બે (1/60) નો સરવાળો છે. જેમ પાસ્કલના ત્રિકોણની ગણતરી દ્વિપદી ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, તેવી જ રીતે લીબનીઝ પણ કરી શકે છેઃ વધુમાં, આ ત્રિકોણની એન્ટ્રીઓની ગણતરી પાસ્કલમાંથી કરી શકાય છેઃ "દરેક હરોળની શરતો એ સંબંધિત પાસ્કલ ત્રિકોણ એન્ટ્રીઓ દ્વારા વિભાજિત પ્રારંભિક શબ્દ છે". હકીકતમાં, દરેક વિકર્ણ અનુરૂપ પાસ્કલ ત્રિકોણ વિકર્ણો સાથે સંબંધિત છેઃ પ્રથમ લીબનીઝ વિકર્ણમાં 1/(1x પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ), 1/(2x ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ) નો બીજો, 1/(3x ચતુષ્કોણીય સંખ્યાઓ) નો ત્રીજો અને તેથી વધુનો સમાવેશ થાય છે. વધુમાં, હાર્મોનિક ત્રિકોણમાં દરેક પ્રવેશ પાસ્કલના ત્રિકોણમાં સંબંધિત પ્રવેશના પારસ્પરિક ગુણાકાર સાથે સંબંધિત હરોળના પારસ્પરિક સમાન છે, જ્યાં હાર્મોનિક ત્રિકોણમાં પ્રવેશ છે અને પાસ્કલની ત્રિકોણ અનંત શ્રેણીમાં સંબંધિત પ્રવેશ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાંક માટેના સૂત્રને બદલીને આપણને અનંત શ્રેણી મળે છે, અહીં આપવામાં આવેલું પ્રથમ ઉદાહરણ મૂળરૂપે 1694 ગુણધર્મોની આસપાસ લીબનીઝના કાર્ય પર દેખાયું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રીજી પંક્તિ માટે, આપણી પાસે 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22 છે. આપણી પાસે પાસ્કલનો નિયમ હોકી-સ્ટિક ઓળખ સંદર્ભો પણ છે ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનીઝ સંખ્યાઓના ત્રિકોણ