Excellent ring
પરિવર્તનીય બીજગણિતમાં, અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ રીંગ એ નોથેરિયન પરિવર્તનીય રીંગ છે જે પૂર્ણતાની કામગીરીના સંદર્ભમાં સારી રીતે વર્તે છે, અને જો તે સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી પણ હોય તો તેને ઉત્તમ રીંગ કહેવામાં આવે છે. ઉત્તમ વીંટીઓ એ સંખ્યા સિદ્ધાંત અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં જોવા મળતી મોટાભાગની વીંટીઓ ધરાવતી "સારી વર્તણૂક ધરાવતી" વીંટીઓના કુદરતી વર્ગને શોધવાની સમસ્યાનો એક જવાબ છે. એક સમયે એવું લાગતું હતું કે નોથેરિયન રિંગ્સનો વર્ગ આ સમસ્યાનો જવાબ હોઈ શકે છે, પરંતુ માસાયોશી નાગાતા અને અન્યને કેટલાક વિચિત્ર પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો મળ્યા જે દર્શાવે છે કે સામાન્ય રીતે નોથેરિયન રિંગ્સને સારી રીતે વર્તવાની જરૂર નથીઃ ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ વિશ્લેષણાત્મક રીતે સામાન્ય હોવાની જરૂર નથી. ઉત્તમ વીંટીના વર્ગને એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક (1965) દ્વારા સારી વર્તણૂકવાળા વીંટીના આવા વર્ગના ઉમેદવાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો હતો. અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ રિંગ્સને બેઝ રિંગ્સ તરીકે અનુમાન કરવામાં આવે છે, જેના માટે સિંગ્યુલારિટીના રિઝોલ્યુશનની સમસ્યાનું સમાધાન કરી શકાય છે; આ લાક્ષણિકતા 0 માં દર્શાવવામાં આવી છે, પરંતુ સકારાત્મક લાક્ષણિકતા કેસ (2016 મુજબ) હજુ પણ એક મોટી ખુલ્લી સમસ્યા છે. અનિવાર્યપણે તમામ નોથેરિયન રિંગ્સ કે જે બીજગણિત ભૂમિતિ અથવા સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં કુદરતી રીતે જોવા મળે છે તે ઉત્તમ છે; હકીકતમાં નોથેરિયન રિંગ્સના ઉદાહરણો બનાવવાનું ખૂબ મુશ્કેલ છે જે ઉત્તમ નથી. વ્યાખ્યાઓ ઉત્કૃષ્ટ રિંગ્સની વ્યાખ્યા ખૂબ જ સંકળાયેલી છે, તેથી આપણે તે સંતોષતી તકનીકી પરિસ્થિતિઓની વ્યાખ્યાઓને યાદ કરીએ છીએ. તેમ છતાં તે શરતોની લાંબી સૂચિ જેવી લાગે છે, વ્યવહારમાં મોટાભાગની રિંગ્સ ઉત્તમ છે, જેમ કે ક્ષેત્રો, બહુપદી રિંગ્સ, સંપૂર્ણ નોથેરિયન રિંગ્સ, લાક્ષણિકતા 0 (જેમ કે) પર ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સ, અને આ રિંગ્સના ભાગાકાર અને સ્થાનિકીકરણ રિંગ્સ. રિકોલ કરેલી વ્યાખ્યાઓ ક્ષેત્ર ધરાવતી રીંગને ભૌમિતિક રીતે નિયમિત ઓવર કહેવામાં આવે છે જો રીંગના કોઈપણ મર્યાદિત વિસ્તરણ માટે નિયમિત હોય. રિંગ્સના હોમોમોર્ફિઝમને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તે સપાટ હોય અને દરેક માટે ફાઇબરના અવશેષ ક્ષેત્ર પર ભૌમિતિક રીતે નિયમિત હોય. રિંગને જી-રિંગ (અથવા ગ્રોથેન્ડીક રિંગ) કહેવામાં આવે છે જો તે નોથેરિયન હોય અને તેના ઔપચારિક તંતુઓ ભૌમિતિક રીતે નિયમિત હોય; આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ માટે, સ્થાનિક રિંગમાંથી તેની પૂર્ણતા સુધીનો નકશો ઉપરના અર્થમાં નિયમિત છે. છેવટે, જો કોઈ મર્યાદિત પ્રકાર-બીજગણિત J-1 હોય, તો રિંગ J-2 છે, જેનો અર્થ થાય છે કે નિયમિત સબશીમ ખુલ્લી છે. (અર્ધ-) ઉત્કૃષ્ટતાની વ્યાખ્યા જો તે જી-રિંગ અને જે-2 રિંગ હોય તો રિંગને અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ કહેવામાં આવે છે. જો તે અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ અને સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી હોય તો તેને ઉત્કૃષ્ટ પીજી 214 કહેવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં લગભગ તમામ નોથેરિયન રિંગ્સ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી હોય છે, તેથી ઉત્તમ અને અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ રિંગ્સ વચ્ચે બહુ ઓછો તફાવત છે. એક યોજનાને ઉત્કૃષ્ટ અથવા અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ કહેવામાં આવે છે જો તેની પાસે સમાન મિલકત સાથે ઓપન એફાઇન સબ્સિમ્સ દ્વારા કવર હોય, જે સૂચવે છે કે દરેક ઓપન એફાઇન સબ્સિમ્સમાં આ ગુણધર્મ હોય છે. ગુણધર્મો કારણ કે એક ઉત્તમ રીંગ એ જી-રીંગ છે, તે વ્યાખ્યા દ્વારા નોથેરિયન છે. કારણ કે તે સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી છે, મુખ્ય આદર્શોની દરેક મહત્તમ સાંકળની લંબાઈ સમાન હોય છે. આ પ્રકારની વીંટીના પરિમાણ સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપયોગી છે કારણ કે તેમના પરિમાણોને નિશ્ચિત મહત્તમ સાંકળ દ્વારા બંધાવી શકાય છે. વ્યવહારમાં, આનો અર્થ એ છે કે અનંત-પરિમાણીય નોથેરિયન રિંગ્સ કે જે મુખ્ય આદર્શોની મહત્તમ સાંકળોની પ્રેરક વ્યાખ્યા ધરાવે છે, જે અનંત-પરિમાણીય રિંગ આપે છે, તેનું નિર્માણ કરી શકાતું નથી. યોજનાઓ એક ઉત્તમ યોજના અને સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રકારનાં મોર્ફિઝમને જોતાં, પછી ઉત્તમ pg 217 છે. અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ કોઈપણ અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ વીંટી એ નાગાટા વીંટી છે. કોઈપણ અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ ઘટાડેલી સ્થાનિક રીંગ વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઘટાડવામાં આવે છે. કોઈપણ અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ સામાન્ય સ્થાનિક વીંટી વિશ્લેષણાત્મક રીતે સામાન્ય છે. ઉદાહરણો ઉત્તમ રિંગ્સ સંખ્યા સિદ્ધાંત અથવા બીજગણિત ભૂમિતિમાં સૌથી વધુ કુદરતી રીતે બનતી પરિવર્તનીય રિંગ્સ ઉત્તમ છે. ખાસ કરીનેઃ તમામ સંપૂર્ણ નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ્સ, ઉદાહરણ તરીકે તમામ ક્ષેત્રો અને-adic પૂર્ણાંકોની રિંગ, ઉત્તમ છે. લાક્ષણિકતાના તમામ ડેડેકાઇન્ડ ક્ષેત્રો ઉત્તમ છે. ખાસ કરીને પૂર્ણાંકોની વીંટી ઉત્તમ છે. જરૂર કરતાં વધુ લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્રો પર ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન્સ ઉત્તમ નથી. કન્વર્જન્ટ પાવર સિરીઝની રિંગ્સ મર્યાદિત સંખ્યામાં વેરિયેબલ્સ પર અથવા ઉત્તમ છે. ઉત્તમ રીંગનું કોઈપણ સ્થાનિકીકરણ ઉત્તમ છે. ઉત્કૃષ્ટ રીંગ પર કોઈપણ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ બીજગણિત ઉત્તમ છે. આમાં ઉત્કૃષ્ટ સાથે તમામ બહુપદી બીજગણિતનો સમાવેશ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે બીજગણિત ભૂમિતિમાં ગણવામાં આવતી મોટાભાગની વીંટીઓ ઉત્તમ છે. જે-2 રીંગ કે જે જી-રીંગ નથી અહીં પરિમાણ અને લાક્ષણિકતાના અલગ મૂલ્યાંકન રીંગનું ઉદાહરણ છે જે-રીંગ નથી પરંતુ અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ નથી. જો લાક્ષણિકતાનું કોઈ ક્ષેત્ર હોય અને તે શક્તિ શ્રેણીની વીંટી હોય જે મર્યાદિત હોય તો તેના ઔપચારિક તંતુઓ બધા ભૌમિતિક રીતે નિયમિત નથી તેથી તે-રિંગ નથી. તે એક વીંટી છે કારણ કે પરિમાણની તમામ નોથેરિયન સ્થાનિક વીંટીઓ મોટાભાગે વીંટીઓ હોય છે. તે સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી પણ છે કારણ કે તે ડેડેકાઇન્ડ ડોમેન છે. અહીં ફ્રોબેનિયસ મોર્ફિઝમ હેઠળની છબી સૂચવે છે. જી-રીંગ જે જે-2 રીંગ નથી અહીં એક રીંગનું ઉદાહરણ છે જે જી-રીંગ છે પરંતુ જે-2 રીંગ નથી અને તેથી અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ નથી. જો તમામ જનરેટરના ચોરસ અને સમઘન દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ અનંત જનરેટરમાં બહુપદી રિંગની સબરીંગ હોય, અને કેટલાક દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા કોઈ પણ આદર્શમાં નહીં પણ તમામ ઘટકોના નજીકના વ્યુત્ક્રમો દ્વારા મેળવવામાં આવે, તો તે 1-પરિમાણીય નોથેરિયન ડોમેન છે જે રિંગ નથી કારણ કે દરેક બંધ બિંદુ પર કસ્પ સિંગ્યુલારીટી ધરાવે છે, તેથી એકવચન બિંદુઓનો સમૂહ બંધ નથી, જો કે તે જી-રિંગ છે. આ વીંટી સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી પણ છે, કારણ કે દરેક મુખ્ય આદર્શ પર તેનું સ્થાનિકીકરણ નિયમિત વીંટીનો ભાગાકાર છે. એક અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ વીંટી જે 2-પરિમાણીય નોથેરિયન સ્થાનિક વીંટીનું ઉત્કૃષ્ટ ઉદાહરણ નથી, જે કેટેનરી છે પરંતુ સાર્વત્રિક રીતે કેટેનરી નથી, તે જી-રિંગ છે, અને જે-2 રિંગ પણ છે કારણ કે કોઈપણ સ્થાનિક જી-રિંગ જે-2 રિંગ છે. તેથી તે અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ કેટેનરી સ્થાનિક વીંટી છે જે ઉત્તમ નથી. સિંગ્યુલારીટીનું રિઝોલ્યુશન અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ રિંગ્સ સિંગ્યુલારીટીના રિઝોલ્યુશનની સમસ્યા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, અને તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ગ્રોથેન્ડીકની પ્રેરણા પી. જી. 218 હોવાનું જણાય છે. ગ્રોથેન્ડીક (1965) એ અવલોકન કર્યું હતું કે જો તમામ સંપૂર્ણ અભિન્ન સ્થાનિક નોથેરિયન રિંગ્સની એકતાને ઉકેલવી શક્ય હોય, તો પછી તમામ ઘટાડેલી અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ રિંગ્સની એકતાને ઉકેલવી શક્ય છે. હિરોનાકા (1964) એ લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્ર પરની તમામ સંપૂર્ણ અભિન્ન નોથેરિયન સ્થાનિક રિંગ્સ માટે આ સાબિત કર્યું, જે તેમના પ્રમેયને સૂચવે છે કે લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્ર પર ઉત્કૃષ્ટ યોજનાઓની તમામ એકતાને ઉકેલી શકાય છે. તેનાથી વિપરીત જો નોથેરિયન રીંગ R પર તમામ અભિન્ન મર્યાદિત બીજગણિતની વર્ણપટની તમામ એકતાને ઉકેલવી શક્ય હોય તો રીંગ R અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ છે. એકતાનું ઠરાવ સંદર્ભો એલેક્ઝાન્ડર ગ્રોથેન્ડીક, જીન ડ્યુડોન, એલેમેન્ટ્સ ડી જીઓમેટ્રી આલ્જેબ્રિક IV પબ્લિકેશન્સ મેથેમેટિક્સ ડી એલ 'આઇએચઇએસ 24 (1965), વિભાગ 7 બીજગણિત ભૂમિતિ પરિવર્તનીય બીજગણિત પણ જુઓ.