Resolution of singularities
બીજગણિત ભૂમિતિમાં, એકાત્મકતાના રિઝોલ્યુશનની સમસ્યા પૂછે છે કે શું દરેક બીજગણિત વિવિધતા V નું રિઝોલ્યુશન છે, જે યોગ્ય દ્વિવાર્ષિક નકશા W → V સાથે બિન-એકાત્મક વિવિધતા W છે. લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્રો પરની જાતો માટે આ હિરોનાકા (1964) માં સાબિત થયું હતું, જ્યારે લાક્ષણિકતા p ના ક્ષેત્રો પરની જાતો માટે તે ઓછામાં ઓછા 4 પરિમાણોમાં ખુલ્લી સમસ્યા છે. વ્યાખ્યાઓ મૂળભૂત રીતે સિંગ્યુલારીટીઝના રિઝોલ્યુશનની સમસ્યા વિવિધ X ના ફંક્શન ફિલ્ડ માટે નોન-સિંગ્યુલર મોડેલ શોધવાની હતી, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો સમાન ફંક્શન ફિલ્ડ સાથે સંપૂર્ણ નોન-સિંગ્યુલર વેરાયટી X′. વ્યવહારમાં નીચે પ્રમાણે અલગ સ્થિતિ માટે પૂછવું વધુ અનુકૂળ છેઃ જો આપણે X′ નો બિન-એકવચન પ્રકાર અને X′ થી X સુધીનો યોગ્ય દ્વિવાર્ષિક નકશો શોધી શકીએ તો X પ્રકારનો એકવચનતાનો ઠરાવ હોય છે. નકશો યોગ્ય છે તે શરત તુચ્છ ઉકેલોને બાકાત રાખવા માટે જરૂરી છે, જેમ કે X′ ને X ના બિન-એકવચન બિંદુઓની પેટા વિવિધતા તરીકે લેવી. વધુ સામાન્ય રીતે, તે ઘણીવાર મોટી વિવિધતા W માં જડિત વિવિધ X ની એકતાને ઉકેલવા માટે ઉપયોગી છે. ધારો કે આપણી પાસે નિયમિત વિવિધતા W માં X નું બંધ એમ્બેડિંગ છે. X નું મજબૂત ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન નીચેની કેટલીક શરતોને આધિન નિયમિત વિવિધતા W′ થી W થી યોગ્ય બાયરેશનલ મોર્ફિઝમ દ્વારા આપવામાં આવે છે (શરતોની ચોક્કસ પસંદગી લેખક પર આધાર રાખે છે): X નું કડક પરિવર્તન X′ નિયમિત છે, અને રિઝોલ્યુશન મોર્ફિઝમના અપવાદરૂપ સ્થાનથી ત્રાંસા છે (તેથી ખાસ કરીને તે X ની એકતાને હલ કરે છે). X′ થી X ના કડક પરિવર્તનનો નકશો એ X. W′ ના એકવચન બિંદુઓથી દૂર એક સમરૂપતા છે, જે W ની નિયમિત બંધ પેટા વિવિધતાઓ અથવા X ની વધુ મજબૂત નિયમિત પેટા વિવિધતાઓને વારંવાર ઉડાવીને બનાવવામાં આવે છે, જે અગાઉના વિસ્ફોટોના અપવાદરૂપ સ્થાનથી ત્રાંસા હોય છે. W′ નું નિર્માણ W માટે સરળ મોર્ફિઝમ્સ અને W ને મોટી વિવિધતામાં એમ્બેડ કરવા માટે કાર્યાત્મક છે. (તેને કોઈ પણ વાજબી રીતે બધા (જરૂરી નથી કે સરળ) મોર્ફિઝમ્સ માટે કાર્યાત્મક બનાવી શકાતું નથી.) X′ થી X સુધીની મોર્ફિઝમ W માં X ના એમ્બેડિંગ પર આધારિત નથી. અથવા સામાન્ય રીતે, સરળ મોર્ફિઝમ્સના સંદર્ભમાં બ્લોઇંગનો ક્રમ કાર્યાત્મક હોય છે. હિરોનાકાએ દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે પણ X ને લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ત્યારે ઉપરની પ્રથમ ત્રણ શરતોને સંતોષતા મજબૂત ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન હોય છે, અને તેની રચનામાં ઘણા લેખકો દ્વારા સુધારો કરવામાં આવ્યો હતો (નીચે જુઓ) જેથી તે ઉપરની તમામ શરતોને સંતોષે. દરેક બીજગણિત વળાંકમાં એક અનોખું નોન-સિંગ્યુલર પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તમામ રીઝોલ્યુશન પદ્ધતિઓ આવશ્યકપણે સમાન હોય છે કારણ કે તે બધા આ મોડેલનું નિર્માણ કરે છે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં આ હવે સાચું નથીઃ જાતોમાં ઘણાં વિવિધ નોન-સિંગ્યુલર પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ્સ હોઈ શકે છે. વળાંકની એકલતાના ઠરાવને સાબિત કરવાની લગભગ 20 રીતોની યાદી આપે છે. ન્યૂટનની પદ્ધતિ વળાંકની એકલતાનું રિઝોલ્યુશન અનિવાર્યપણે સૌપ્રથમ તેમના દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે એક વળાંક માટે પુઇસેક્સ શ્રેણીનું અસ્તિત્વ દર્શાવ્યું હતું, જેમાંથી રિઝોલ્યુશન સરળતાથી અનુસરે છે. રીમેનની પદ્ધતિ રીમેને એક જટિલ બીજગણિત વળાંકના કાર્ય ક્ષેત્રમાંથી એક સરળ રીમેન સપાટીનું નિર્માણ કર્યું, જે તેની એકલતાનું રિઝોલ્યુશન આપે છે. આ રીમાન સપાટીના વિકલ્પ તરીકે ક્ષેત્રની અલગ મૂલ્યાંકન રિંગ્સના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને વધુ સામાન્ય ક્ષેત્રો પર કરી શકાય છે. આલ્બનીઝની પદ્ધતિ આલ્બનીઝની પદ્ધતિમાં એક વળાંક લેવાનો સમાવેશ થાય છે જે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા પરિમાણ (વળાંકની ડિગ્રી કરતા બમણાથી વધુ) ની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યામાં ફેલાયેલો હોય છે અને વારંવાર એકવચન બિંદુઓથી નાના પરિમાણની પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ તરફ આગળ વધે છે. આ પદ્ધતિ ઉચ્ચ-પરિમાણીય જાતો સુધી વિસ્તરે છે, અને દર્શાવે છે કે કોઈપણ એન-પરિમાણીય વિવિધતા મહત્તમ એન! પર ગુણાકારની એકવચનતા સાથે પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ ધરાવે છે. વળાંક માટે, n = 1, અને આમ કોઈ એકવચન બિંદુઓ નથી. સામાન્યીકરણએ વળાંકનું સામાન્યીકરણ કરીને વળાંકની એકલતાને ઉકેલવાની એક પગલાની પદ્ધતિ આપી. સામાન્યીકરણ કોડીમેન્શન 1 માં તમામ એકતાને દૂર કરે છે, તેથી તે વળાંક માટે કામ કરે છે પરંતુ ઉચ્ચ પરિમાણોમાં નહીં. મૂલ્યાંકન રિંગ્સ વળાંકની એકલતાને ઉકેલવાની બીજી એક-પગલાની પદ્ધતિ એ છે કે વળાંકના કાર્ય ક્ષેત્રની મૂલ્યાંકન રિંગ્સની જગ્યા લેવી. આ જગ્યાને મૂળ વળાંકના દ્વિસંગી બિન-કોણીય પ્રક્ષેપાત્મક વળાંકમાં બનાવી શકાય છે. વળાંકના એકવચન બિંદુઓને વારંવાર ઉડાડવાથી આખરે એકત્વનું સમાધાન થશે. આ પદ્ધતિનું મુખ્ય કાર્ય એ છે કે એકત્વની જટિલતાને માપવાનો માર્ગ શોધવો અને બતાવવું કે ઉડાડવાથી આ માપમાં સુધારો થાય છે. આ કરવા માટે ઘણી રીતો છે. ઉદાહરણ તરીકે, વળાંકની અંકગણિત જાતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. નોઇથરની પદ્ધતિ નોઇથરની પદ્ધતિ સમતલ વળાંક લે છે અને વારંવાર દ્વિઘાત પરિવર્તન લાગુ કરે છે (એકવચન બિંદુ અને સામાન્ય સ્થિતિમાં બે બિંદુઓ દ્વારા નિર્ધારિત). આખરે આ એક સમતલ વળાંક ઉત્પન્ન કરે છે જેની એકવચનતા માત્ર સામાન્ય બહુવિધ બિંદુઓ છે (બધી સ્પર્શક રેખાઓ બહુવિધતા બે ધરાવે છે). બર્ટિનીની પદ્ધતિ બર્ટિનીની પદ્ધતિ નોથરની પદ્ધતિ જેવી જ છે. તે સમતલ વળાંકથી શરૂ થાય છે, અને વળાંકને સુધારવા માટે સમતલમાં વારંવાર દ્વિવાર્ષિક પરિવર્તન લાગુ કરે છે. નોઇથરની પદ્ધતિમાં ઉપયોગમાં લેવાતા દ્વિઘાત પરિવર્તન કરતાં દ્વિવાર્ષિક પરિવર્તન વધુ જટિલ છે, પરંતુ વધુ સારું પરિણામ ઉત્પન્ન કરે છે કે માત્ર એકવચનતા સામાન્ય બેવડા બિંદુઓ છે. સપાટીઓની એકલતાના રિઝોલ્યુશનમાં ઘણાં વિવિધ નોન-સિંગ્યુલર પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ્સ હોય છે (વણાંકોના કેસથી વિપરીત જ્યાં નોન-સિંગ્યુલર પ્રોજેક્ટિવ મોડેલ અનન્ય છે). જો કે, સપાટી હજુ પણ એક અનન્ય ન્યૂનતમ રીઝોલ્યુશન ધરાવે છે, જે અન્ય તમામ પરિબળો દ્વારા પરિબળ છે (અન્ય તમામ તેના ઠરાવો છે). ઉચ્ચ પરિમાણોમાં ન્યૂનતમ રિઝોલ્યુશન હોવું જરૂરી નથી. જટિલ સંખ્યાઓ પરની સપાટીઓ માટે,,, અને દ્વારા રિઝોલ્યુશન સાબિત કરવાના ઘણા પ્રયાસો થયા હતા, પરંતુ નિર્દેશ કરે છે કે આ પ્રારંભિક પ્રયાસોમાંથી કોઈ પણ પૂર્ણ નથી, અને દલીલના અમુક નિર્ણાયક તબક્કે બધા અસ્પષ્ટ (અથવા તો ખોટા) છે. પ્રથમ સખત પુરાવો દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો, અને લાક્ષણિકતા 0 ના તમામ ક્ષેત્રો માટે બીજગણિત પુરાવો દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. બિન-શૂન્ય લાક્ષણિકતાની સપાટીઓ માટે પુરાવા આપ્યા. તમામ ઉત્કૃષ્ટ દ્વિ-પરિમાણીય યોજનાઓ (તમામ અંકગણિત સપાટીઓ સહિત) માટે પણ એકતાનું રિઝોલ્યુશન દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ઝારિસ્કીની પદ્ધતિ સપાટીઓ માટે એકતાના રિઝોલ્યુશનની પદ્ધતિ એ છે કે સપાટીને વારંવાર વૈકલ્પિક રીતે સામાન્ય બનાવવી (જે કોડિમેન્શન 1 એકતાને મારી નાખે છે) બ્લો અપ પોઇન્ટ સાથે (જે કોડિમેન્શન 2 એકતાને વધુ સારી બનાવે છે, પરંતુ નવી કોડિમેન્શન 1 એકતાને રજૂ કરી શકે છે). જો કે આ સપાટીઓની એકલતાને જાતે જ હલ કરશે, ઝરિસ્કીએ વધુ ગોળાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યોઃ તેમણે પ્રથમ સ્થાનિક એકરૂપતા પ્રમેય સાબિત કર્યું જે દર્શાવે છે કે સપાટીનું દરેક મૂલ્યાંકન ઉકેલી શકાય છે, પછી ઝારિસ્કી-રીમેન સપાટીની સઘનતાનો ઉપયોગ કરીને બતાવ્યું કે સપાટીઓનો મર્યાદિત સમૂહ શોધવો શક્ય છે કે જેથી દરેક મૂલ્યાંકનનું કેન્દ્ર આમાંની ઓછામાં ઓછી એક સપાટી પર સરળ હોય, અને અંતે સપાટીઓ વચ્ચેના દ્વિવાર્ષિક નકશાનો અભ્યાસ કરીને દર્શાવ્યું કે સપાટીઓના આ મર્યાદિત સમૂહને એક બિન-એકાકાર સપાટી દ્વારા બદલી શકાય છે. જંગની પદ્ધતિ વળાંક માટે મજબૂત એમ્બેડેડ રિઝોલ્યુશન લાગુ કરીને, માત્ર વિશિષ્ટ સિંગ્યુલારીટી (અબેલિયન ભાગાકાર સિંગ્યુલારીટી) સાથે સપાટી પર ઘટાડે છે, જેની સાથે પછી સ્પષ્ટ રીતે વ્યવહાર કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનું ઉચ્ચ-પરિમાણીય સંસ્કરણ ડી જોંગની પદ્ધતિ છે. આલ્બનીઝ પદ્ધતિ સામાન્ય રીતે વળાંક માટે આલ્બનીઝની પદ્ધતિનું એનાલોગ દર્શાવે છે કે કોઈપણ વિવિધતા માટે મહત્તમ n! પર ક્રમની એકવચનતા ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં n એ પરિમાણ છે. સપાટીઓ માટે આ ક્રમ 2 ની એકલતાના કિસ્સામાં ઘટાડે છે, જે સ્પષ્ટ રીતે કરવા માટે પૂરતી સરળ છે. અભ્યંકરની પદ્ધતિએ મૂલ્યાંકન રિંગ્સ માટે સ્થાનિક એકરૂપતા પ્રમેયને સાબિત કરીને કોઈપણ લાક્ષણિકતાના ક્ષેત્ર પર સપાટીઓ માટે એકતાના ઠરાવને સાબિત કર્યો. સૌથી મુશ્કેલ કેસ એ ક્રમ 1 ની મૂલ્યાંકન રિંગ્સ છે જેનું મૂલ્યાંકન જૂથ તર્કસંગત સંખ્યાઓનું બિન-અલગ પેટાજૂથ છે. બાકીનો પુરાવો ઝરીસ્કીની પદ્ધતિને અનુસરે છે. હિરોનાકાની પદ્ધતિની મનસ્વી લાક્ષણિક જાતો માટેની હિરોનાકાની પદ્ધતિ સપાટીઓ માટે રીઝોલ્યુશન પદ્ધતિ આપે છે, જેમાં એકવચન સમૂહમાં વારંવાર બિંદુઓ અથવા સરળ વળાંકને ઉડાડવાનો સમાવેશ થાય છે. લિપમેનની પદ્ધતિએ દર્શાવ્યું હતું કે સપાટી Y (એક 2-પરિમાણીય ઘટાડેલી નોથેરિયન યોજના) નું ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે તેનું નોર્મલાઇઝેશન Y પર મર્યાદિત હોય અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સામાન્ય હોય (તેના એકવચન બિંદુઓની પૂર્ણતા સામાન્ય હોય) અને તેમાં માત્ર મર્યાદિત રીતે ઘણા એકવચન બિંદુઓ હોય. ખાસ કરીને જો Y ઉત્તમ હોય તો તેમાં ડીસિંજ્યુલરાઇઝેશન હોય છે. તેમની પદ્ધતિ સામાન્ય સપાટીઓ Z ને Y માટે દ્વિસંગી યોગ્ય નકશા સાથે ધ્યાનમાં લેવાની હતી અને બતાવવાની હતી કે ઓછામાં ઓછી શક્ય અંકગણિત જાતિ સાથે ઓછામાં ઓછી એક છે. તે પછી તે દર્શાવે છે કે આ ન્યુનતમ ઝેડની તમામ સિંગ્યુલારીટીઝ સ્યુડો રેશનલ છે, અને દર્શાવે છે કે સ્યુડો રેશનલ સિંગ્યુલારીટીઝને વારંવાર પોઈન્ટ ઉડાડીને ઉકેલી શકાય છે. ઉચ્ચ પરિમાણોમાં એકતાનું સમાધાન ઉચ્ચ પરિમાણોમાં એકતાના સમાધાનની સમસ્યા ઘણા ખોટા પ્રકાશિત પુરાવાઓ અને ક્યારેય ન દેખાતા પુરાવાઓની ઘોષણાઓ માટે કુખ્યાત છે. ઝારિસ્કીની પદ્ધતિ 3-ગણો માટે એકતાના ઠરાવને લાક્ષણિકતા 0 દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી. તેમણે સૌપ્રથમ મૂલ્યાંકન રિંગ્સના સ્થાનિક એકરૂપકરણ વિશે એક પ્રમેય સાબિત કર્યો, જે લાક્ષણિકતા 0 ના કોઈપણ ક્ષેત્ર પર કોઈપણ પરિમાણની જાતો માટે માન્ય છે. ત્યારબાદ તેમણે દર્શાવ્યું કે મૂલ્યાંકનની ઝારિસ્કી-રીમેન જગ્યા અર્ધ-કોમ્પેક્ટ છે (કોઈપણ ક્ષેત્ર પર કોઈપણ પરિમાણની કોઈપણ વિવિધતા માટે), જે સૂચવે છે કે કોઈપણ પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતાના મોડેલ્સનો એક મર્યાદિત પરિવાર છે જેમ કે કોઈપણ મૂલ્યાંકન ઓછામાં ઓછા એક પર સરળ કેન્દ્ર ધરાવે છે. સાબિતીનો અંતિમ અને સૌથી મુશ્કેલ ભાગ, જે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે વિવિધતા પરિમાણ 3 ની છે પરંતુ જે તમામ લાક્ષણિકતાઓ માટે કામ કરે છે, તે બતાવવાનું છે કે આપેલ 2 મોડેલોમાંથી કોઈ એક તૃતીયાંશ શોધી શકે છે જે આપેલ બે મોડેલોમાંથી દરેકની એકલતાને હલ કરે છે. અભ્યંકરની પદ્ધતિએ 6 કરતા મોટી લાક્ષણિકતામાં 3-ગણો માટે એકતાનું રિઝોલ્યુશન સાબિત કર્યું. લાક્ષણિકતા પર પ્રતિબંધ ઊભો થાય છે કારણ કે અભ્યંકર દર્શાવે છે કે લાક્ષણિકતા કરતાં ઓછી 3 ગણી ગુણાકારની કોઈપણ એકતાને ઉકેલવી શક્ય છે, અને પછી અલ્બનીઝની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવે છે કે એકતાને મહત્તમ (પરિમાણ) ગુણાકારમાં ઘટાડી શકાય છે! = 3! = 6. અભ્યંકરના સાબિતીનું સરળ સ્વરૂપ આપ્યું. તમામ લાક્ષણિકતાઓમાં 3-ગણોની એકલતાનું રિઝોલ્યુશન સાબિત થયું, મહત્તમ 3 પરિમાણમાં સ્થાનિક એકરૂપતાને સાબિત કરીને, અને પછી તે ચકાસીને કે ઝારિસ્કીનો પુરાવો કે આ 3-ગણો માટેનું રિઝોલ્યુશન સૂચવે છે તે હજુ પણ હકારાત્મક લાક્ષણિકતાના કિસ્સામાં કામ કરે છે. હિરોનાકાની પદ્ધતિ તમામ પરિમાણોમાં લાક્ષણિકતા 0 માં એકતાનું રિઝોલ્યુશન સૌપ્રથમ દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે સાબિત કર્યું કે પરિમાણ પર ઇન્ડક્શન દ્વારા ખૂબ જ જટિલ દલીલનો ઉપયોગ કરીને, બિન-એકલ ઉપ-વિવિધતાઓ સાથે વારંવાર ઉડાડીને લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્રો પર જાતોની એકતાને ઉકેલવી શક્ય છે. તેમના પ્રચંડ પુરાવાની સરળ આવૃત્તિઓ ઘણા લોકો દ્વારા આપવામાં આવી હતી, જેમાં,,,,, નો સમાવેશ થાય છે. તાજેતરના કેટલાક પુરાવા હિરોનાકાના મૂળ પુરાવાની લંબાઈના લગભગ દસમા ભાગ જેટલા છે, અને પ્રારંભિક સ્નાતક અભ્યાસક્રમમાં આપવા માટે પૂરતા સરળ છે. પ્રમેયના એક્સપોઝીટરી એકાઉન્ટ માટે, જુઓ અને ઐતિહાસિક ચર્ચા માટે જુઓ. ડી જોંગની પદ્ધતિએ એકતાના ઠરાવ માટે એક અલગ અભિગમ શોધી કાઢ્યો, જે સપાટીઓ માટે જંગની પદ્ધતિને સામાન્ય બનાવે છે, જેનો ઉપયોગ લાક્ષણિકતા 0 માં એકતાના ઠરાવને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ડી જોંગની પદ્ધતિએ લાક્ષણિકતા પીમાં તમામ પરિમાણોની જાતો માટે નબળું પરિણામ આપ્યું હતું, જે ઘણા હેતુઓ માટે રિઝોલ્યુશનના વિકલ્પ તરીકે કામ કરવા માટે પૂરતું મજબૂત હતું. ડી જોંગે સાબિત કર્યું કે ક્ષેત્ર પરની કોઈપણ વિવિધતા X માટે એક પ્રબળ યોગ્ય આકારવાદ છે જે પરિમાણને નિયમિત વિવિધતાથી X પર સાચવે છે. આ દ્વિવાર્ષિક નકશો હોવો જરૂરી નથી, તેથી તે એકતાનો ઠરાવ નથી, કારણ કે તે સામાન્ય રીતે એક માટે મર્યાદિત હોઈ શકે છે અને તેથી તેમાં X ના કાર્ય ક્ષેત્રનું મર્યાદિત વિસ્તરણ સામેલ છે. ડી જોંગનો વિચાર એ હતો કે X ને નાની જગ્યા Y પર વળાંકવાળા તંતુઓ સાથે તંતુ તરીકે રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરવો (આમાં X ને સુધારવાનો સમાવેશ થઈ શકે છે), પછી પરિમાણ પર ઇન્ડક્શન દ્વારા Y ની એકતાને દૂર કરવી, પછી તંતુઓમાં એકતાને દૂર કરવી. યોજનાઓનું સમાધાન અને સમસ્યાની સ્થિતિ તમામ યોજનાઓમાં સમાધાનની વ્યાખ્યાનો વિસ્તાર કરવો સરળ છે. તમામ યોજનાઓમાં તેમની એકતાના ઠરાવો હોતા નથીઃ દર્શાવ્યું કે જો સ્થાનિક રીતે નોથેરિયન યોજના X પાસે એવો ગુણધર્મ હોય કે જે X પરની કોઈપણ મર્યાદિત અભિન્ન યોજનાની એકતાને ઉકેલી શકે, તો X અર્ધ-ઉત્કૃષ્ટ હોવો જોઈએ. ગ્રોથેન્ડીકે એવું પણ સૂચવ્યું હતું કે વિપરીત હોઈ શકે છેઃ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સ્થાનિક રીતે નોથેરિયન યોજના X ઘટાડવામાં આવે અને અર્ધ ઉત્તમ હોય, તો તેની એકલતાને ઉકેલવી શક્ય છે. જ્યારે X ને લાક્ષણિકતા 0 ના ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે નોથેરિયન છે, ત્યારે આ હિરોનાકાના પ્રમેયને અનુસરે છે, અને જ્યારે X નું પરિમાણ વધુમાં વધુ 2 હોય ત્યારે તે લિપમેન દ્વારા સાબિત થયું હતું. વણઉકેલાયેલી લાક્ષણિકતા પી રિઝોલ્યુશન સમસ્યા પર કામનું સર્વેક્ષણ આપ્યું. લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં સાબિતીની પદ્ધતિ મજબૂત ડીસિંગ્યુલરાઇઝેશનની ઘણી રચનાઓ છે પરંતુ તે બધા આવશ્યકપણે સમાન પરિણામ આપે છે. દરેક કિસ્સામાં વૈશ્વિક ઓબ્જેક્ટ (ડિસીન્ગુલરાઇઝ કરવાની વિવિધતા) ને સ્થાનિક ડેટા દ્વારા બદલવામાં આવે છે (વિવિધતાનો આદર્શ આવરણ અને અપવાદરૂપ વિભાજકો અને કેટલાક ક્રમ જે તે પગલામાં આદર્શને કેટલું ઉકેલવું જોઈએ તે રજૂ કરે છે). આ સ્થાનિક માહિતી સાથે ઉડાડવાના કેન્દ્રોને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કેન્દ્રોને સ્થાનિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે અને તેથી તે ખાતરી આપવી એક સમસ્યા છે કે તેઓ વૈશ્વિક કેન્દ્ર સાથે મેળ ખાશે. દરેક આદર્શને ઉકેલવા માટે કયા પ્રહારોને મંજૂરી આપવામાં આવે છે તે વ્યાખ્યાયિત કરીને આ કરી શકાય છે. યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે તો, આ કેન્દ્રોને આપમેળે મેળ ખાતું બનાવશે. બીજી રીત એ છે કે સ્થાનિક અપરિવર્તનને વિવિધતા અને ઠરાવના ઇતિહાસ (અગાઉના સ્થાનિક કેન્દ્રો) ના આધારે વ્યાખ્યાયિત કરવું જેથી કેન્દ્રોમાં અપરિવર્તનના મહત્તમ સ્થાનનો સમાવેશ થાય. આની વ્યાખ્યા એવી રીતે કરવામાં આવી છે કે આ પસંદગી કરવી અર્થપૂર્ણ છે, જે અસાધારણ વિભાજકોને સરળ કેન્દ્રો આપે છે. બંને કિસ્સાઓમાં સમસ્યાને આદર્શ આવરણ અને વધારાના ડેટા (અપવાદરૂપ વિભાજક અને ક્રમ, ડી, જેમાં ઠરાવ તે આદર્શ માટે જવું જોઈએ) દ્વારા રચાયેલી ટુપલની એકતાને ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. આ ટુપલને ચિહ્નિત આદર્શ કહેવામાં આવે છે અને બિંદુઓનો સમૂહ જેમાં આદર્શનો ક્રમ d કરતા મોટો હોય તેને તેનો સહ-આધાર કહેવામાં આવે છે. ચિહ્નિત આદર્શો માટે ઠરાવ છે તેનો પુરાવો પરિમાણ પર ઇન્ડક્શન દ્વારા કરવામાં આવે છે. ઇન્ડક્શન બે તબક્કામાં વિભાજિત થાય છેઃ પરિમાણ n − 1 ના ચિહ્નિત આદર્શનું ફંક્શનરીયલ ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન એ પરિમાણ n ના મહત્તમ ક્રમના ચિહ્નિત આદર્શોનું ફંક્શનરીયલ ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન સૂચવે છે. પરિમાણ n ના મહત્તમ ક્રમના ચિહ્નિત આદર્શોનું ફંક્શનરીયલ ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન એ પરિમાણ n ના (સામાન્ય) ચિહ્નિત આદર્શનું ફંક્શનરીયલ ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન સૂચવે છે. અહીં આપણે કહીએ છીએ કે ચિહ્નિત આદર્શ મહત્તમ ક્રમનો હોય છે જો તેના સહ-સમર્થનના અમુક બિંદુએ આદર્શનો ક્રમ d ની બરાબર હોય. મજબૂત રીઝોલ્યુશનમાં મુખ્ય ઘટક એ વિવિધતામાં બિંદુઓના સ્થાનિક રિંગ્સના હિલ્બર્ટ-સેમ્યુઅલ ફંક્શનનો ઉપયોગ છે. આ રિઝોલ્યુશન ઇનવેરિયન્ટના ઘટકોમાંનું એક છે. ઉદાહરણો ફ્લૂપ હેઠળ મલ્ટીપ્લિસિટીમાં ઘટાડો થવાની જરૂર નથી સિંગ્યુલારિટીનો સૌથી સ્પષ્ટ અપરિવર્તન તેની મલ્ટીપ્લિસિટી છે. જો કે બ્લોઅપ હેઠળ આમાં ઘટાડો થવાની જરૂર નથી, તેથી સુધારણાને માપવા માટે વધુ સૂક્ષ્મ ફેરફારોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેમ્ફોઇડ કસ્પ y2 = x5 મૂળમાં ક્રમ 2 ની એકવચનતા ધરાવે છે. તેના એકવચન બિંદુ પર ફૂંકાયા પછી તે સામાન્ય કસ્પ y2 = x3 બની જાય છે, જે હજુ પણ ગુણાકાર 2 ધરાવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે એકતામાં સુધારો થયો છે, કારણ કે બહુપદીને વ્યાખ્યાયિત કરવાની માત્રામાં ઘટાડો થયો છે. સામાન્ય રીતે આવું થતું નથી. એક ઉદાહરણ જ્યાં તે થતું નથી તે મૂળમાં x2 + y3z + z3 = 0 ની અલગ એકવચનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેને ફૂંકવાથી એકત્વ x2 + y2z + yz3 = 0 મળે છે. તે તરત જ સ્પષ્ટ થતું નથી કે આ નવી એકવચનતા વધુ સારી છે, કારણ કે બંને એકવચનતાઓમાં ગુણાકાર 2 હોય છે અને તે 2,3 અને 4 ડિગ્રીના એકવચનના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. સૌથી વધુ એકવચન બિંદુઓને ઉડાડવું કામ કરતું નથી એકવચનતા સુધારવાનો કુદરતી વિચાર "સૌથી ખરાબ" એકવચન બિંદુઓના સ્થાનને ઉડાડવાનો છે. વ્હીટની છત્ર x2 = y2z એ ઝેડ અક્ષને એકવચન સેટ કર્યો છે, જેનો મોટાભાગનો બિંદુ સામાન્ય બેવડા બિંદુઓ છે, પરંતુ મૂળ પર વધુ જટિલ ચપટી બિંદુ એકવચનતા છે, તેથી સૌથી ખરાબ એકવચન બિંદુઓને ઉડાડવું સૂચવે છે કે વ્યક્તિએ મૂળને ઉડાડીને શરૂઆત કરવી જોઈએ. જો કે મૂળને ઉડાડવાથી એક સંકલન ચાર્ટ પર સમાન એકત્વનું પ્રજનન થાય છે. તેથી (દેખીતી રીતે) "સૌથી ખરાબ" એકવચન બિંદુઓને ઉડાડવાથી એકવચનતામાં સુધારો થતો નથી. તેના બદલે એકતાને ઝેડ-અક્ષ સાથે ઉડાડીને ઉકેલી શકાય છે. એવા અલ્ગોરિધમ્સ છે જે અમુક અર્થમાં "સૌથી ખરાબ" એકવચન બિંદુઓને ઉડાડીને કામ કરે છે, જેમ કે, પરંતુ આ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે "સૌથી ખરાબ" બિંદુઓની વ્યાખ્યા એકદમ સૂક્ષ્મ હોવી જરૂરી છે. વધુ જટિલ એકવચનતા માટે, જેમ કે x2 = ymzn જે x = yz = 0 સાથે એકવચન છે, મૂળ પર સૌથી ખરાબ એકવચનતાને ઉડાડીને એકવચનતા x2 = ym + n − 2zn અને x2 = ymzm + n − 2 ઉત્પન્ન કરે છે જે મૂળ એકવચનતા કરતાં વધુ ખરાબ છે જો m અને n બંને ઓછામાં ઓછા 3 હોય. રિઝોલ્યુશન પછી, કુલ પરિવર્તન (સખત પરિવર્તન અને અપવાદરૂપ વિભાજકનું જોડાણ) એ સરળ સામાન્ય ક્રોસિંગ પ્રકારની એકવચનતા સાથે વિવિધતા છે. આ પ્રકારની એકતાને ઉકેલ્યા વિના એકતાને ઉકેલવાની સંભાવનાને ધ્યાનમાં લેવી સ્વાભાવિક છે, આ એક ઠરાવ શોધે છે જે સરળ અને સરળ સામાન્ય ક્રોસિંગ બિંદુઓના સમૂહ પર એક સમરૂપતા છે. જ્યારે સ્ટ્રિક્ટ ટ્રાન્સફોર્મ એ વિભાજક હોય (એટલે કે, તેને સરળ વિવિધતામાં એક ઉપ-વિવિધતા તરીકે કોડીમેન્શન તરીકે એમ્બેડ કરી શકાય છે) ત્યારે તે જાણીતું છે કે સરળ સામાન્ય ક્રોસિંગ પોઇન્ટને ટાળીને એક મજબૂત રીઝોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં છે. વ્હિટનીની છત્ર બતાવે છે કે સામાન્ય ક્રોસિંગની એકતાને ઉડાવી દેવાને ટાળીને એકતાને ઉકેલવી શક્ય નથી. ઇન્ક્રિમેંટલ રિઝોલ્યુશન પ્રક્રિયાઓને મેમરીની જરૂર છે સિંગ્યુલારીટીઝને ઉકેલવાની એક કુદરતી રીત એ છે કે અમુક કેનોનિકલી પસંદ કરેલી સરળ સબવેરીટીને વારંવાર ઉડાડવી. આ નીચેની સમસ્યામાં જાય છે. x2 = y2z2 નો એકવચન સમૂહ એ y અને z અક્ષો દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખાઓની જોડી છે. ઉડાવવા માટે એકમાત્ર વાજબી જાતો મૂળ છે, આ બે અક્ષોમાંથી એક, અથવા સંપૂર્ણ એકવચન સમૂહ (બંને અક્ષો). જો કે સમગ્ર એકવચન સમૂહનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી કારણ કે તે સરળ નથી, અને બે અક્ષોમાંથી એકને પસંદ કરવાથી તેમની વચ્ચેની સમપ્રમાણતા તૂટી જાય છે તેથી તે પ્રમાણભૂત નથી. આનો અર્થ એ છે કે આપણે મૂળને ઉડાવીને શરૂઆત કરવી પડશે, પરંતુ આ મૂળ એકલતાને પુનઃઉત્પાદિત કરે છે, તેથી આપણે વર્તુળોમાં ફરતા હોય તેવું લાગે છે. આ સમસ્યાનો ઉકેલ એ છે કે મૂળને ઉડાડવાથી એકત્વના પ્રકારમાં ફેરફાર થતો નથી, તેમ છતાં તે એક સૂક્ષ્મ સુધારો આપે છેઃ તે બે એકવચન અક્ષો વચ્ચેની સમપ્રમાણતાને તોડે છે કારણ કે તેમાંથી એક અગાઉના વિસ્ફોટ માટે અપવાદરૂપ વિભાજક છે, તેથી હવે તેમાંથી માત્ર એકને ઉડાડવાની મંજૂરી છે. જો કે, આનો ઉપયોગ કરવા માટે રિઝોલ્યુશન પ્રક્રિયાને આ 2 એકતાને અલગ રીતે વર્તવાની જરૂર છે, ભલે તે સ્થાનિક રીતે સમાન હોય. આ કેટલીકવાર રિઝોલ્યુશન પ્રક્રિયાને થોડી મેમરી આપીને કરવામાં આવે છે, તેથી દરેક પગલા પર બ્લોઅપનું કેન્દ્ર માત્ર એકવચનતા પર જ નહીં, પરંતુ તેને ઉત્પન્ન કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા અગાઉના બ્લોઅપ્સ પર પણ આધાર રાખે છે. કેટલાક રિઝોલ્યુશન પદ્ધતિઓ (લાક્ષણિકતા 0 માં) તમામ સરળ મોર્ફિઝમ્સ માટે ફંક્શનલ છે. જો કે, તમામ (સંભવતઃ બિન-સરળ) મોર્ફિઝમ્સ માટે મજબૂત રિઝોલ્યુશન ફંક્શનલ શોધવું શક્ય નથી. (X, Y) થી (2XY, X2 − Y2, X2 + Y2) સુધી લઈ જતા એફીન પ્લેન A2 થી કોનિકલ સિંગ્યુલારીટી x2 + y2 = z2 સુધીના નકશા દ્વારા એક ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે. XY-પ્લેન પહેલેથી જ નોન-સિંગ્યુલર છે તેથી તેને રિઝોલ્યુશન દ્વારા બદલવું જોઈએ નહીં, અને કોનિકલ સિંગ્યુલારિટીનું કોઈપણ રિઝોલ્યુશન એકવચન બિંદુને ઉડાડીને આપવામાં આવેલા ન્યૂનતમ રિઝોલ્યુશન દ્વારા ફેક્ટરાઇઝ થાય છે. જો કે XY-પ્લેનથી આ વિસ્ફોટ સુધીનો તર્કસંગત નકશો નિયમિત નકશા સુધી વિસ્તર્યો નથી. લઘુતમ ઠરાવો અસ્તિત્વમાં હોવા જરૂરી નથી લઘુતમ ઠરાવો (ઠરાવો જેમ કે તેમના દ્વારા દરેક ઠરાવ પરિબળો) પરિમાણો 1 અને 2 માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પરંતુ હંમેશા ઉચ્ચ પરિમાણોમાં નહીં. અતિયાહ ફ્લોપ કોઈ ન્યૂનતમ રીઝોલ્યુશન વિના એકલતાના 3 પરિમાણોમાં ઉદાહરણ આપે છે. ધારો કે Y એ A4 માં xy = zw ના શૂન્ય છે, અને V એ મૂળમાં Y નો ફટકો છે. આ વિસ્ફોટનું અપવાદરૂપ સ્થાન P1 × P1 માટે આઇસોમોર્ફિક છે, અને તેને 2 અલગ અલગ રીતે P1 સુધી ઉડાડી શકાય છે, જે Y ના બે નાના ઠરાવો X1 અને X2 આપે છે, જેમાંથી કોઈ પણ આગળ ઉડાડી શકાતું નથી. ઉત્પાદનો સાથે રિઝોલ્યુશનની અવરજવર ન થવી જોઈએ તે નીચેનું ઉદાહરણ આપે છે જે દર્શાવે છે કે ઉત્પાદનો સાથે અવરજવર કરવા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં સારી રિઝોલ્યુશન પ્રક્રિયાની અપેક્ષા રાખી શકાતી નથી. જો f: A → B એ એફાઇન 3-સ્પેસમાં ચતુર્ભુજ શંકુ B ના મૂળનો વિસ્ફોટ છે, તો પછી f × f: A × A → B × B એટેલ સ્થાનિક રીઝોલ્યુશન પ્રક્રિયા દ્વારા ઉત્પન્ન કરી શકાતું નથી, કારણ કે અપવાદરૂપ લોકસમાં 2 ઘટકો હોય છે જે છેદે છે. ટોરિક જાતોની એકલતા ટોરિક જાતોની એકલતા ઉચ્ચ-પરિમાણીય એકતાના ઉદાહરણો આપે છે જે સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલવા માટે સરળ છે. ટોરિક વિવિધતાને પંખા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે જાળીમાં શંકુઓનો સંગ્રહ છે. એકતાને દરેક શંકુને શંકુના જોડાણમાં વિભાજિત કરીને ઉકેલી શકાય છે, જેમાંથી દરેક જાળી માટેના આધાર દ્વારા પેદા થાય છે, અને અનુરૂપ ટોરિક વિવિધતા લે છે. એવા કેન્દ્રોની પસંદગી કરવી કે જે X ની નિયમિત પેટા જાતો છે વિવિધ X ના ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશનની રચના એ બ્લોઇંગના કેન્દ્રો ઉત્પન્ન કરી શકશે નહીં જે X ની સરળ પેટા જાતો છે. અમૂર્ત વિવિધતા X ના ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશનની ઘણી રચનાઓ સ્થાનિક રીતે સરળ વિવિધતા W માં X ને એમ્બેડ કરીને, W માં તેના આદર્શને ધ્યાનમાં રાખીને અને આ આદર્શના કેનોનિકલ ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશનની ગણતરી કરીને આગળ વધે છે. આદર્શોનું ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન આદર્શ કેટલો એકવચન છે તેના માપ તરીકે આદર્શના ક્રમનો ઉપયોગ કરે છે. આદર્શનું અવમૂલ્યન એવી રીતે કરી શકાય છે કે સ્થાનિક કેન્દ્રો વૈશ્વિક કેન્દ્રો આપવા માટે એક સાથે જોડાય તે વાજબી ઠેરવી શકાય. આ પદ્ધતિ એવા પુરાવા તરફ દોરી જાય છે જે હિરોનાકાના મૂળ સાબિતીની સરખામણીમાં રજૂ કરવા માટે પ્રમાણમાં સરળ છે, જે હિલ્બર્ટ-સેમ્યુઅલ કાર્યનો ઉપયોગ કેવી રીતે ખરાબ એકવચનતા છે તેના માપ તરીકે કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રૂફ ઇન,, અને આ વિચારનો ઉપયોગ કરો. જો કે, આ પદ્ધતિ માત્ર ડબલ્યુ. માં નિયમિત હોય તેવા વિસ્ફોટોના કેન્દ્રોને સુનિશ્ચિત કરે છે. નીચેનું ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે આ પદ્ધતિ એવા કેન્દ્રો પેદા કરી શકે છે જે એક્સ (નું કડક રૂપાંતર) સાથે બિન-સરળ આંતરછેદો ધરાવે છે. તેથી, પરિણામી ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન, જ્યારે અમૂર્ત વિવિધતા X સુધી મર્યાદિત હોય, ત્યારે X ની નિયમિત પેટા વિવિધતાઓને ઉડાડીને પ્રાપ્ત થતું નથી. ધારો કે X એ y2-x3 અને x4 + xz2-w3 દ્વારા પેદા થયેલ x, y, z, w કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ચાર-પરિમાણીય એફાઇન પ્લેનની પેટા વિવિધતા છે. આ જનરેટર સાથે આદર્શનું કેનોનિકલ ડિસીંગ્યુલરાઇઝેશન x = y = z = w = 0 દ્વારા આપવામાં આવેલ કેન્દ્ર C0 ને ઉડાવી દેશે. જો x-y2 અને y2 (y2 + z2-w3) દ્વારા ઉત્પન્ન થાય તો x-ચાર્ટમાં આદર્શનું રૂપાંતર. C1 ને ઉડાડવાનું આગળનું કેન્દ્ર x = y = 0 દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો કે, X નું કડક રૂપાંતર X1 છે, જે x-y2 અને y2 + z2-w3 દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે C1 અને X1 નું આંતરછેદ x = y = 0 અને z2-w3 = 0 દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે નિયમિત નથી. બ્લોઇંગના કેન્દ્રો ઉત્પન્ન કરવા માટે કે જે X ની નિયમિત પેટા વિવિધતાઓ છે, મજબૂત પુરાવાઓ W માં સ્થાનિક એમ્બેડિંગમાં તેના આદર્શના ક્રમને બદલે X ની સ્થાનિક રિંગ્સના હિલ્બર્ટ-સેમ્યુઅલ કાર્યનો ઉપયોગ કરે છે. એકતાના ઠરાવોના અન્ય પ્રકારો ઠરાવ પછી કુલ પરિવર્તન, કડક પરિવર્તન, X અને અપવાદરૂપ વિભાજકનું જોડાણ, એક વિવિધતા છે જે શ્રેષ્ઠ રીતે, સરળ સામાન્ય ક્રોસિંગ એકકતાઓ માટે બનાવી શકાય છે. પછી આ પ્રકારની એકતાને ઉકેલ્યા વિના એકતાને ઉકેલવાની સંભાવનાને ધ્યાનમાં લેવી સ્વાભાવિક છે. સમસ્યા એ છે કે એક ઠરાવ શોધવો જે સરળ અને સરળ સામાન્ય ક્રોસિંગ બિંદુઓના સમૂહ પર એક સમરૂપતા છે. જ્યારે X એ વિભાજક હોય, એટલે કે. તેને કોડીમેન્શન તરીકે એમ્બેડ કરી શકાય છે-સરળ વિવિધતામાં એક સબવેરિટી તે સાચું હોવાનું જાણીતું છે કે સરળ સામાન્ય ક્રોસિંગ પોઇન્ટને ટાળીને મજબૂત રીઝોલ્યુશનનું અસ્તિત્વ છે. વિવિધ પ્રકારની એકલતાને ટાળવા માટેનો સામાન્ય કેસ અથવા સામાન્યીકરણ હજુ પણ જાણી શકાયું નથી. અમુક વિશિષ્ટતાઓને ટાળવી અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય ક્રોસિંગની એકલતાને ઉડાવી દેવાને ટાળીને કોઈ એકલતાને ઉકેલી શકતું નથી. હકીકતમાં, પિંચ પોઇન્ટ સિંગ્યુલારીટીને ઉકેલવા માટે સમગ્ર સિંગ્યુલર લોકસને ઉડાડવાની જરૂર છે, જેમાં સામાન્ય ક્રોસિંગ સિંગ્યુલારીટી હાજર હોય તેવા બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. સંદર્ભ ગ્રંથસૂચિ (1998ની બીજી આવૃત્તિ) અને (તેમના રિઝોલ્યુશન ઓફ સિંગ્યુલારિટીઝ-સિએટલ વ્યાખ્યાન જેવું જ. , બાહ્ય લિંક્સ રિઝોલ્યુશન ઓફ સિંગ્યુલારિટીઝ I માં પુનઃમુદ્રિત, હિરોનાકાના પ્રવચનનો એક વીડિયો. બીજગણિત ભૂમિતિમાં એકતાનું રિઝોલ્યુશન, હિરોનાકાના પ્રવચનનો એક વીડિયો. એકતાના કેટલાક ચિત્રો અને તેમના ઠરાવો એક જ છેઃ એકતાને ઉકેલવા માટેના પેકેજો સાથેની કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલી. એકલતાના ઠરાવ પર કાર્યકારી સપ્તાહ માટે નોંધો અને પ્રવચનો ટિરોલ 1997, સપ્ટેમ્બર 7-14,1997, ઓબર્ગર્ગલ, ટિરોલ, ઑસ્ટ્રિયા વ્યાખ્યાન નોટ્સ ઓન ધ સમર સ્કૂલ ઓન રિઝોલ્યુશન ઓફ સિંગુલારિટીઝ, જૂન 2006, ટ્રીસ્ટે, ઇટાલી. ડેસિંગ-એકતાના ઠરાવ માટે કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ હોઝરનું હોમ પેજ જેમાં એકતાના ઠરાવ પર અનેક એક્સપોઝીટરી કાગળો છે બીજગણિત ભૂમિતિ એકત્વ સિદ્ધાંત ભૂમિતિમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ