Adjoint bundle
ગણિતમાં, સંલગ્ન બંડલ એ વેક્ટર બંડલ છે જે કુદરતી રીતે કોઈપણ મુખ્ય બંડલ સાથે સંકળાયેલું છે. સંલગ્ન બંડલના તંતુઓ લાઈ બીજગણિત માળખું ધરાવે છે જે સંલગ્ન બંડલને (બિન-સહયોગી) બીજગણિત બંડલમાં બનાવે છે. એડજોઈન્ટ બંડલ્સ જોડાણોના સિદ્ધાંતમાં તેમજ ગેજ સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ઉપયોગો ધરાવે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા ધારો કે G એ લાઈ બીજગણિત સાથેનું લાઈ જૂથ છે, અને P એ સરળ મેનીફોલ્ડ M પર મુખ્ય G-બંડલ છે. ધારો કે તે G ની (ડાબે) સંલગ્ન રજૂઆત છે. P નું સંલગ્ન બંડલ સંકળાયેલ બંડલ છે. સંલગ્ન બંડલ પણ સામાન્ય રીતે આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ રીતે, સંલગ્ન બંડલના ઘટકો એ જોડીઓના [p, X] સમકક્ષ વર્ગો છે, જેમ કે p ω P અને X ω બધા g ω G માટે. સંલગ્ન બંડલના માળખા જૂથમાં લાઈ બીજગણિત ઓટોમોર્ફિઝમ્સનો સમાવેશ થતો હોવાથી, તંતુઓ કુદરતી રીતે લાઈ બીજગણિત માળખું ધરાવે છે, જે સંલગ્ન બંડલને M પર લાઈ બીજગણિતના બંડલમાં બનાવે છે. બંધ પેટાજૂથમાં પ્રતિબંધ ચાલો G લાઈ બીજગણિત સાથેનું કોઈપણ લાઈ જૂથ હોય, અને H એ G નું બંધ પેટાજૂથ હોય. G ની (ડાબે) સંલગ્ન રજૂઆત દ્વારા, G એક ટોપોલોજિકલ પરિવર્તન જૂથ બની જાય છે. G ની સંલગ્ન રજૂઆતને પેટા જૂથ H સુધી મર્યાદિત કરીને, H પણ ટોપોલોજીકલ પરિવર્તન જૂથ તરીકે કાર્ય કરે છે. એચમાં દરેક એચ માટે, લાઈ બીજગણિત ઓટોમોર્ફિઝમ છે. H એ લાઈ જૂથ G નું બંધ પેટા જૂથ હોવાથી, સજાતીય જગ્યા M = G/H એ કુલ જગ્યા G અને માળખું જૂથ H સાથે મુખ્ય બંડલની આધાર જગ્યા છે. તેથી H-મૂલ્યના સંક્રમણ કાર્યોનું અસ્તિત્વ સુનિશ્ચિત છે, જ્યાં M માટે ખુલ્લું આવરણ છે, અને સંક્રમણ કાર્યો M પર સંક્રમણ કાર્યનું કોસાઈકલ બનાવે છે. સંકળાયેલ ફાઇબર બંડલ એ લાઈ આલ્જેબ્રાનું બંડલ છે, જેમાં લાક્ષણિક ફાઇબર હોય છે, અને સતત મેપિંગ દરેક ફાઇબર પર લાઈ કૌંસને પ્રેરિત કરે છે. ગુણધર્મો M પરના મૂલ્યો સાથેના વિભેદક સ્વરૂપો આડા, G-સમકક્ષ Lie બીજગણિત-મૂલ્યવાન સ્વરૂપો સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારમાં હોય છે. એક મુખ્ય ઉદાહરણ એ P પરના કોઈપણ જોડાણની વળાંક છે જેને M પર મૂલ્યો સાથે 2-સ્વરૂપ તરીકે ગણી શકાય. સંલગ્ન બંડલના વિભાગોની જગ્યા કુદરતી રીતે એક (અનંત-પરિમાણીય) લાઈ બીજગણિત છે. તેને પી ના ગેજ પરિવર્તનના અનંત-પરિમાણીય લાઈ જૂથના લાઈ બીજગણિત તરીકે ગણી શકાય, જેને બંડલના વિભાગો તરીકે વિચારી શકાય છે જ્યાં કોન્જ એ (ડાબે) જોડાણ દ્વારા પોતે જ G ની ક્રિયા છે. જો વેક્ટર બંડલનું ફ્રેમ બંડલ હોય, તો તેમાં ફાઇબર સામાન્ય રેખીય જૂથ (ક્યાં તો વાસ્તવિક અથવા જટિલ, તેના આધારે) હોય છે. આ માળખા જૂથમાં લાઈ બીજગણિત છે જેમાં તમામ મેટ્રિસીસનો સમાવેશ થાય છે, અને આને વેક્ટર બંડલના એન્ડોમોર્ફિઝમ્સ તરીકે વિચારી શકાય છે. ખરેખર એક કુદરતી સમરૂપતા છે. નોંધો સંદર્ભો. પીડીએફ લાઈ આલ્જેબ્રા વેક્ટર બંડલ તરીકે