Diffraction from slits
તરંગોને અસર કરતી વિવર્તન પ્રક્રિયાઓ માત્રાત્મક વર્ણન અને વિશ્લેષણ માટે અનુકૂળ છે. આવી સારવાર એક અથવા વધુ સ્લિટ્સમાંથી પસાર થતા તરંગ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, જેની પહોળાઈ તરંગલંબાઇના પ્રમાણ તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ફ્રેસ્નલ અને ફ્રાઉનહોફર અંદાજો સહિત આંકડાકીય અંદાજોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. સામાન્ય વિવર્તન કારણ કે વિવર્તન એ તમામ અવરોધિત માર્ગો પર (આપેલ તરંગલંબાઇના) તમામ તરંગોના ઉમેરાનું પરિણામ છે, સામાન્ય પ્રક્રિયા એ છે કે ચોક્કસ માર્ગની આસપાસ અનંત નાના પડોશના યોગદાનને ધ્યાનમાં લેવું (આ યોગદાનને સામાન્ય રીતે વેવલેટ કહેવામાં આવે છે) અને પછી સ્રોતથી ડિટેક્ટર (અથવા સ્ક્રીન પર આપેલ બિંદુ) સુધીના તમામ માર્ગો (= તમામ વેવલેટ ઉમેરો) પર એકીકૃત કરવું. આમ વિવર્તન દ્વારા ઉત્પન્ન પેટર્ન નક્કી કરવા માટે, દરેક વેવલેટના તબક્કા અને કંપનવિસ્તારની ગણતરી કરવામાં આવે છે. એટલે કે, અવકાશના દરેક બિંદુ પર આપણે આવતા તરંગમુખ પરના દરેક સરળ સ્રોતો વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરવું જોઈએ. જો દરેક સરળ સ્રોતનું અંતર તરંગલંબાઇની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા અલગ હોય, તો તમામ તરંગો તબક્કામાં હશે, પરિણામે રચનાત્મક દખલ થશે. જો દરેક સ્રોતનું અંતર એક પૂર્ણાંક વત્તા તરંગલંબાઇનો અડધો ભાગ હોય, તો ત્યાં સંપૂર્ણ વિનાશક દખલ હશે. સામાન્ય રીતે, અવલોકન કરાયેલી વિવર્તન અસરોને સમજાવવા માટે આ મિનિમા અને મેક્સિમા નક્કી કરવા માટે તે પૂરતું છે. વિવર્તનનું સૌથી સરળ વર્ણન તે છે જેમાં પરિસ્થિતિને દ્વિ-પરિમાણીય સમસ્યામાં ઘટાડી શકાય છે. પાણીના મોજાઓ માટે, આ પહેલેથી જ કેસ છે, કારણ કે પાણીના મોજાઓ માત્ર પાણીની સપાટી પર ફેલાય છે. પ્રકાશ માટે, આપણે ઘણીવાર એક પરિમાણની અવગણના કરી શકીએ છીએ જો વિવર્તનશીલ પદાર્થ તે દિશામાં તરંગલંબાઇ કરતા ઘણા વધારે અંતર સુધી વિસ્તરે છે. નાના ગોળાકાર છિદ્રોમાંથી ચમકતા પ્રકાશના કિસ્સામાં આપણે સમસ્યાની સંપૂર્ણ ત્રિ-પરિમાણીય પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેવી પડશે. સામાન્ય રીતે વિવર્તનના કેટલાક ગુણાત્મક અવલોકનો કરી શકાય છેઃ વિવર્તન પેટર્નમાં લક્ષણોનું કોણીય અંતર વિવર્તનનું કારણ બને છે તે પદાર્થના પરિમાણોના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તોઃ ડિફ્રેક્ટિંગ ઓબ્જેક્ટ જેટલું નાનું હોય છે, પરિણામી ડિફ્રેક્શન પેટર્ન તેટલી વિશાળ હોય છે, અને તેનાથી ઊલટું. (વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો, આ ખૂણાઓના સંકેતો માટે સાચું છે.) સ્કેલિંગ હેઠળ વિવર્તન ખૂણાઓ અપરિવર્તનશીલ હોય છે; એટલે કે, તેઓ માત્ર તરંગલંબાઇ અને વિવર્તનશીલ પદાર્થના કદના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. જ્યારે ડિફ્રેક્ટિંગ ઓબ્જેક્ટની સામયિક રચના હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે ડિફ્રેક્શન ગ્રેટિંગમાં, લાક્ષણિકતાઓ સામાન્ય રીતે વધુ તીક્ષ્ણ બને છે. ચોથી આકૃતિ, ઉદાહરણ તરીકે, પાંચ સ્લિટ્સ દ્વારા રચાયેલી પેટર્ન સાથે ડબલ-સ્લિટ પેટર્નની સરખામણી દર્શાવે છે, સ્લિટ્સના બંને સેટ એક સ્લિટના કેન્દ્ર અને બીજા વચ્ચે સમાન અંતર ધરાવે છે. અંદાજો વિસર્જિત તરંગ કેવો દેખાય છે તેની ગણતરી કરવાની સમસ્યા એ આવનારી તરંગ સામેના દરેક સરળ સ્રોતોનો તબક્કો નક્કી કરવાની સમસ્યા છે. ફાર-ફિલ્ડ અથવા ફ્રાઉનહોફર વિવર્તનના કેસને ધ્યાનમાં લેવાનું ગાણિતિક રીતે સરળ છે, જ્યાં નિરીક્ષણનું બિંદુ વિવર્તન અવરોધથી દૂર હોય છે, અને પરિણામે, નજીકના ક્ષેત્ર અથવા ફ્રેસ્નલ વિવર્તનના વધુ સામાન્ય કેસ કરતાં ઓછા જટિલ ગણિતનો સમાવેશ થાય છે. આ નિવેદનને વધુ માત્રાત્મક બનાવવા માટે, મૂળમાં કદ ધરાવતી વિક્ષેપિત વસ્તુને ધ્યાનમાં લો. નિશ્ચિતતા માટે ચાલો આપણે કહીએ કે આપણે પ્રકાશને વિક્ષેપિત કરી રહ્યા છીએ અને પદાર્થથી દૂર સ્ક્રીન પર તીવ્રતા કેવી દેખાય છે તેમાં આપણને રસ છે. સ્ક્રીન પરના અમુક તબક્કે પદાર્થની એક બાજુના માર્ગની લંબાઈ પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે જો આપણે હવે તે પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ કે જ્યાં, માર્ગની લંબાઈ બની જાય છે. વસ્તુઓને વધુ સરળ બનાવવા માટેઃ જો વિસર્જિત પદાર્થ અંતર કરતાં ઘણો નાનો હોય, તો છેલ્લો શબ્દ માર્ગની લંબાઈમાં તરંગલંબાઇ કરતાં ઘણો ઓછો ફાળો આપશે, અને પછી તબક્કાને નોંધપાત્ર રીતે બદલશે નહીં. તે છે. પરિણામ એ ફ્રાઉનહોફર અંદાજ છે, જે પદાર્થથી માત્ર ખૂબ દૂર માન્ય છે, જે વિવર્તન પદાર્થના કદ, પદાર્થનું અંતર અને તરંગની તરંગલંબાઇ, ફ્રેસ્નલ અંદાજ, ફ્રાઉનહોફર અંદાજ અથવા ન તો અંદાજ માન્ય હોઈ શકે છે. જેમ જેમ વિવર્તનના માપેલા બિંદુ અને અવરોધ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર વધે છે તેમ, આગાહી કરાયેલ વિવર્તન પેટર્ન અથવા પરિણામો ફ્રોનહોફર વિવર્તન તરફ ભેગા થાય છે, જે દૃશ્યમાન પ્રકાશની અત્યંત નાની તરંગલંબાઇને કારણે પ્રકૃતિમાં વધુ જોવા મળે છે. બહુવિધ સાંકડી સ્લિટ્સ એક સરળ માત્રાત્મક વર્ણન બહુવિધ-સ્લિટ્સની ગોઠવણીને ગાણિતિક રીતે બહુવિધ સરળ તરંગ સ્રોતો તરીકે ગણી શકાય, જો સ્લિટ્સ પૂરતી સાંકડી હોય. પ્રકાશ માટે, સ્લિટ એ એક છિદ્ર છે જે એક પરિમાણમાં અનંત રીતે વિસ્તૃત છે, અને આ 3D-અવકાશમાં તરંગ સમસ્યાને 2D-અવકાશમાં સરળ સમસ્યામાં ઘટાડવાની અસર ધરાવે છે. સૌથી સરળ કેસ એ છે કે બે સાંકડી સ્લિટ્સ, જે એક અંતરના અંતરે છે. કંપનવિસ્તારમાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ નક્કી કરવા માટે આપણે પ્રથમ સ્લિટ અને બીજા સ્લિટનો માર્ગ તફાવત નક્કી કરવો જ જોઇએ. ફ્રાઉનહોફર અંદાજમાં, નિરીક્ષક સ્લિટ્સથી દૂર હોવાથી, બે સ્લિટ્સના માર્ગની લંબાઈમાં તફાવત છબીમાંથી જોઈ શકાય છે કે તીવ્રતામાં મેક્સિમા થાય છે જો આ માર્ગની લંબાઈનો તફાવત તરંગલંબાઇની પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય. જ્યાં એક પૂર્ણાંક છે જે દરેક મહત્તમના ક્રમને લેબલ કરે છે, તે તરંગલંબાઇ છે, સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે, અને તે ખૂણો છે જેના પર રચનાત્મક દખલ થાય છે. અનુરૂપ મિનિમા પૂર્ણાંક સંખ્યા અને તરંગલંબાઇના અડધા માર્ગ તફાવતો પર હોય છેઃ સ્લિટ્સની શ્રેણી માટે, મિનિમા અને મેક્સિમાની સ્થિતિ બદલાતી નથી, સ્ક્રીન પર દેખાતી કિનારીઓ જો કે વધુ તીક્ષ્ણ બને છે, જેમ કે છબીમાં જોઈ શકાય છે. ગાણિતિક વર્ણન આ તીવ્રતાની પેટર્નની ગણતરી કરવા માટે, કેટલીક વધુ વ્યવહારદક્ષ પદ્ધતિઓ રજૂ કરવાની જરૂર છે. રેડિયલ તરંગની ગાણિતિક રજૂઆત તેના દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં, તરંગલંબાઇ છે, તે તરંગની આવર્તન છે અને સમય t = 0 પર સ્લિટ્સ પર તરંગનો તબક્કો છે. સ્લિટ્સના સમતલથી થોડા અંતરે સ્ક્રીન પરનું તરંગ દરેક સ્લિટ્સમાંથી નીકળતા તરંગોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સમસ્યાને થોડી સરળ બનાવવા માટે, આપણે જટિલ તરંગ રજૂ કરીએ છીએ, જેનો વાસ્તવિક ભાગ સમાન છે આ કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય તરંગ કંપનવિસ્તાર આપે છે, અને કાર્યનો જટિલ તબક્કો તરંગના તબક્કાને અનુરૂપ છે. તેને જટિલ કંપનવિસ્તાર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સ્લિટ્સ સાથે, સ્ક્રીન પરના બિંદુ પર કુલ તરંગ છે કારણ કે આપણે આ ક્ષણે માત્ર કંપનવિસ્તાર અને સંબંધિત તબક્કામાં જ રસ ધરાવીએ છીએ, તેથી આપણે કોઈપણ એકંદર તબક્કાના પરિબળોને અવગણી શકીએ છીએ જે અથવા તેના પર નિર્ભર નથી. આપણે અંદાજ લગાવીએ છીએ. ફ્રાઉનહોફર મર્યાદામાં આપણે ઘાતાંકીયમાં ક્રમની શરતો અને છેદને સમાવતી કોઈપણ શરતોને અવગણી શકીએ છીએ. સરવાળો બને છે સરવાળો ભૌમિતિક સરવાળાનું સ્વરૂપ ધરાવે છે અને તે આપવા માટે તેનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. તીવ્રતા એ જટિલ કંપનવિસ્તાર વર્ગના નિરપેક્ષ મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં તે જટિલ સંયુગ્મ સૂચવે છે. સિંગલ સ્લિટ ઉદાહરણ તરીકે, હવે સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તનના કિસ્સામાં કોણના કાર્ય તરીકે વિવર્તન પેટર્નની તીવ્રતા માટે ચોક્કસ સમીકરણ મેળવી શકાય છે. સમીકરણ શરૂ કરવા માટે હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતની ગાણિતિક રજૂઆતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. a પહોળાઈના સ્લિટ પર તરંગલંબાઇની λ ઘટનાના એકવર્ણી જટિલ સમતલ તરંગને ધ્યાનમાં લો. જો સ્લિટ x′-y′ પ્લેનમાં આવેલું હોય, અને તેનું કેન્દ્ર મૂળમાં હોય, તો એવું માની શકાય છે કે વિવર્તન એક જટિલ તરંગ ઉત્પન્ન કરે છે, જે સ્લિટથી દૂર r દિશામાં ત્રિજ્યાત્મક રીતે મુસાફરી કરે છે, અને આ આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ ચાલો સ્લિટની અંદર એક બિંદુ બનો કે જેના પર તેને એકીકૃત કરવામાં આવી રહ્યું છે. જો તે સ્થાન છે કે જ્યાં વિવર્તન પેટર્નની તીવ્રતાની ગણતરી કરવામાં આવી રહી છે, તો સ્લિટ થી, અને થી સુધી વિસ્તરે છે. સ્લોટથી અંતર r છેઃ એમ ધારીએ તો ફ્રાઉનહોફર વિવર્તન નિષ્કર્ષમાં પરિણમશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લક્ષ્યનું અંતર લક્ષ્ય પરની વિવર્તન પહોળાઈ કરતાં ઘણું મોટું છે. દ્વિપદી વિસ્તરણ નિયમ દ્વારા, દ્વિઘાત અને તેનાથી વધુ શબ્દોની અવગણના કરીને, જમણી બાજુના જથ્થાનો અંદાજ આ પ્રમાણે કરી શકાય છેઃ તે જોઈ શકાય છે કે સમીકરણની સામે 1/r બિન-ઓસિલેટરી છે, એટલે કે. તીવ્રતાની તીવ્રતામાં તેનું યોગદાન આપણા ઘાતાંકીય પરિબળોની તુલનામાં નાનું છે. તેથી, આપણે તેને 1/z તરીકે અંદાજિત કરીને થોડી ચોકસાઈ ગુમાવીશું. વસ્તુઓને સ્વચ્છ બનાવવા માટે, પ્લેસહોલ્ડર C નો ઉપયોગ સમીકરણમાં સ્થિરાંકોને દર્શાવવા માટે થાય છે. એ ધ્યાનમાં રાખવું અગત્યનું છે કે C કાલ્પનિક સંખ્યાઓ ધરાવી શકે છે, આમ તરંગ કાર્ય જટિલ હશે. જો કે, અંતે, si ને કૌંસ કરવામાં આવશે, જે કોઈપણ કાલ્પનિક ઘટકોને દૂર કરશે. હવે, ફ્રાઉનહોફર વિવર્તનમાં, નાનું છે, તેથી (નોંધ લો કે આ ઘાતાંકીયમાં ભાગ લે છે અને તેને સંકલિત કરવામાં આવી રહ્યું છે). તેનાથી વિપરીત શબ્દને સમીકરણમાંથી દૂર કરી શકાય છે, કારણ કે જ્યારે કૌંસ કરવામાં આવે છે ત્યારે તે 1 આપે છે. (આ જ કારણસર આપણે આ શબ્દને પણ દૂર કર્યો છે) પરિણામોમાં લેવુંઃ તે યુલરના સૂત્ર અને તેના વ્યુત્પન્ન દ્વારા નોંધી શકાય છે કે અને. જ્યાં (અસામાન્ય) સિંક કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. હવે, θ ખૂણા પર વિવર્તન તરંગોની તીવ્રતા (વર્ગ કંપનવિસ્તાર) આના દ્વારા આપવામાં આવે છેઃ બહુવિધ સ્લિટ્સ ચાલો આપણે ફરીથી હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતની ગાણિતિક રજૂઆતથી શરૂઆત કરીએ. અક્ષ સાથે ફેલાયેલા સમાન કદ અને અંતરના મુખ્ય સમતલમાં સ્લિટ્સનો વિચાર કરો. ઉપરની જેમ, સ્લિટ 1 થી અંતર છેઃ આને સ્લિટ્સમાં સામાન્ય બનાવવા માટે, આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે જ્યારે અને સ્થિર રહે છે, ત્યારે દ્વારા શિફ્ટ થાય છે આમ અને તરંગ કાર્યમાં તમામ યોગદાનોનો સરવાળો છેઃ ફરીથી નોંધવું કે તે નાનું છે, તેથી, આપણી પાસે છેઃ હવે, આપણે નીચેની ઓળખનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, આપણા સમીકરણમાં બદલીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએઃ હવે આપણે પહેલાની જેમ આપણી અવેજી કરીએ છીએ અને 1-સ્લિટ વિવર્તનની જેમ ચલ દ્વારા તમામ બિન-ઓસિલેટિંગ સ્થિરાંકોને રજૂ કરીએ છીએ અને પરિણામને કૌંસ કરીએ છીએ. યાદ રાખો કે આ આપણને ટેઇલિંગ એક્સ્પોનન્ટને કાઢી નાખવાની મંજૂરી આપે છે અને આપણી પાસે આપણો જવાબ છેઃ દૂરના ક્ષેત્ર માટે સામાન્ય કેસ દૂરના ક્ષેત્રમાં, જ્યાં અનિવાર્યપણે અચળ હોય છે, તો સમીકરણઃ અવરોધમાંના અંતરાયો પર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કરવા સમાન છે. આ પણ જુઓ વિવર્તન ગ્રેટિંગ પરબિડીયું (તરંગો) ફોરિયર વિશ્લેષણ એન-સ્લિટ ઇન્ટરફેરોમીટર રેડિયો ટેલીસ્કોપ સંદર્ભો ભૌતિકશાસ્ત્ર તરંગ મિકેનિક્સના સમીકરણો