Skew lattice
અમૂર્ત બીજગણિતમાં, વક્ર જાળી એ બીજગણિત માળખું છે જે જાળીનું બિન-પરિવર્તનીય સામાન્યીકરણ છે. જ્યારે સ્ક્યુ લેટીસ શબ્દનો ઉપયોગ જાળીના કોઈપણ બિન-પરિવર્તનીય સામાન્યીકરણનો સંદર્ભ આપવા માટે થઈ શકે છે, 1989 થી તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા સ્ક્યુ લેટીસ એ બે સહયોગી, આદર્શ દ્વિસંગી કામગીરીઓથી સજ્જ સમૂહ S છે, જેને મીટ એન્ડ જોઈન કહેવાય છે, જે નીચેના શોષણ નિયમોની બેવડી જોડીને માન્ય કરે છે. તે જોતાં અને સહયોગી અને સક્ષમ છે, આ ઓળખ નિવેદનોની નીચેની બેવડી જોડીને માન્ય કરવા સમાન છેઃ જો, જો. ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ 60 વર્ષથી વધુ સમયથી, જાળીની બિનપરિવર્તનશીલ વિવિધતાઓનો વિવિધ પ્રેરણાઓ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. કેટલાક લોકો માટે પ્રેરણા જાળી સિદ્ધાંતની વૈચારિક સીમાઓમાં રસ ધરાવે છે; અન્ય લોકો માટે તે તર્ક અને બુલિયન બીજગણિતના બિનપરિવર્તનશીલ સ્વરૂપોની શોધ હતી; અને અન્ય લોકો માટે તે રિંગ્સમાં આઇડેમ્પોટેન્ટ્સની વર્તણૂક રહી છે. બિનપરિવર્તનશીલ જાળી, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક બીજગણિત છે જ્યાં અને તે સહયોગી, નિષ્ક્રિય દ્વિસંગી કામગીરીઓ છે જે શોષણ ઓળખ દ્વારા જોડાયેલી છે જે બાંયધરી આપે છે કે કોઈક રીતે દ્વિગુણિત થાય છે. પસંદ કરેલી ચોક્કસ ઓળખ અંતર્ગત પ્રેરણા પર આધાર રાખે છે, જેમાં વિવિધ પસંદગીઓ બીજગણિતની અલગ જાતો ઉત્પન્ન કરે છે. પાસ્કલ જોર્ડન, ક્વોન્ટમ તર્કશાસ્ત્રના પ્રશ્નોથી પ્રેરિત થઈને, તેમના 1949ના પેપર, über Nichtkommutative verbändeમાં નોન-કોમ્યુટેટિવ લેટીસનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો હતો, જેમાં તેમણે શોષણ ઓળખ પસંદ કરી હતી. આ ઓળખને બદલીને અથવા વધારીને, જોર્ડન અને અન્યોએ બિનપરિવર્તનશીલ જાળીની સંખ્યાબંધ જાતો મેળવી. જોનાથન લીચના 1989 ના પેપરથી શરૂ કરીને, ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ રિંગ્સમાં સ્ક્યુ લેટીસ, સ્ક્યુ લેટીસ અભ્યાસના પ્રાથમિક ઉદ્દેશો રહ્યા છે. આને બેન્ડ્સ વિશેના અગાઉના પરિણામો દ્વારા મદદ મળી હતી. આ ખાસ કરીને ઘણી મૂળભૂત મિલકતો માટે હતું. મૂળભૂત ગુણધર્મો કુદરતી આંશિક ક્રમ અને કુદરતી અર્ધ ક્રમ વક્ર જાળીમાં, કુદરતી આંશિક ક્રમને જો, અથવા દ્વિસંગી, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નેચરલ પ્રીઓર્ડર ચાલુ હોય તો અથવા દ્વિસંગી રીતે આપવામાં આવે છે. જ્યારે અને જાળીઓ પર સંમત થાય છે, ત્યારે બિનપરિવર્તનશીલ કિસ્સામાં યોગ્ય રીતે સુધારે છે. પ્રેરિત કુદરતી સમાનતા જો, એટલે કે, અને અથવા દ્વિસંગી રીતે, અને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પાર્ટીશનના બ્લોક જો અને અસ્તિત્વમાં હોય તો તેના દ્વારા ક્રમબદ્ધ થયેલ જાળી છે. આ આપણને નીચેની જોડી જેવા ત્રાંસા જાળીઓના હાસ આકૃતિઓ દોરવાની મંજૂરી આપે છેઃ દા. ત., ઉપરની ડાબી બાજુના આકૃતિમાં, જે અને સંબંધિત છે તે ડેશ કરેલા વિભાગ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ઢાળવાળી રેખાઓ અલગ-અલગ વર્ગના ઘટકો વચ્ચેનો કુદરતી આંશિક ક્રમ દર્શાવે છે. તત્વો, અને સિંગલટન-વર્ગો બનાવે છે. એક વર્ગ ધરાવતી લંબચોરસ વક્ર જાળીઓને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે. તેઓ સમાન ઓળખ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છેઃ, અને. લંબચોરસ વક્ર જાળીઓ નીચેની રચના ધરાવતી વક્ર જાળીઓ માટે સમરૂપ હોય છે (અને તેનાથી વિપરીત): ખાલી ન હોય તેવા સમૂહો આપવામાં આવે છે અને, વ્યાખ્યાયિત કરવા પર અને. ઉપરના આકૃતિઓમાં દર્શાવ્યા મુજબ, તિર્યક જાળીનું-વર્ગ વિભાજન, તેના મહત્તમ લંબચોરસ સબએલજેબ્રામાં તેનું અનન્ય વિભાજન છે, વધુમાં, પ્રેરિત ભાગાકાર બીજગણિત તેની મહત્તમ જાળીની છબી સાથે એકરૂપ છે, આમ દરેક તિર્યક જાળીને લંબચોરસ સબએલજેબ્રાની જાળી બનાવે છે. સ્ક્યુ લેટીસ માટે આ ક્લિફોર્ડ-મેકલીન પ્રમેય છે, જે સૌપ્રથમ ક્લિફોર્ડ અને મેકલીન દ્વારા બેન્ડ માટે અલગથી આપવામાં આવ્યો હતો. તે સ્ક્યુ લેટીસ માટેના પ્રથમ વિઘટન પ્રમેય તરીકે પણ ઓળખાય છે. જમણી (ડાબી) બાજુએ વળાંકવાળી જાળી અને કિમુરા ફેક્ટરાઇઝેશન એક વળાંકવાળી જાળી જમણી બાજુએ હોય છે જો તે ઓળખને સંતોષ આપે છે અથવા દ્વિસંગી હોય છે. આ ઓળખ અનિવાર્યપણે દરેક વર્ગમાં તેનો દાવો કરે છે. દરેક વક્ર જાળીમાં એક અનન્ય મહત્તમ જમણા હાથની છબી હોય છે જ્યાં એકરૂપતાને જો બંને અને (અથવા દ્વૈત, અને) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે વક્ર જાળી દરેક વર્ગમાં ડાબા હાથની હોય છે. ફરીથી તિર્યક જાળીની મહત્તમ ડાબા હાથની છબી એ છબી છે જ્યાં એકરૂપતાને બેવડી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વક્ર જાળીના ઘણા ઉદાહરણો જમણા અથવા ડાબા હાથના હોય છે. એકરૂપતાના જાળીમાં, અને તે ઓળખની એકરૂપતા છે. પ્રેરિત એપીમોર્ફિઝમ્સ અને બંને દ્વારા પ્રેરિત એપીમોર્ફિઝમ પરિબળો. સેટિંગ, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોમોમોર્ફિઝમ, એક આઇસોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરે છે. આ તેના મહત્તમ જમણા અને ડાબા હાથની છબીઓના તંતુમય ઉત્પાદનમાં કિમુરા ફેક્ટરાઇઝેશન છે. ક્લિફોર્ડ-મેકલીન પ્રમેયની જેમ, કિમુરા ફેક્ટરાઇઝેશન (અથવા સ્ક્યુ લેટીસ માટેનું બીજું વિઘટન પ્રમેય) સૌપ્રથમ નિયમિત બેન્ડ (મધ્યમ શોષણ ઓળખને સંતોષતા બેન્ડ) માટે આપવામાં આવ્યું હતું. ખરેખર, બંને અને નિયમિત બેન્ડ કામગીરી છે. ઉપરોક્ત પ્રતીકો, અને અલબત્ત, મૂળભૂત અર્ધસમૂહ સિદ્ધાંતમાંથી આવે છે. સ્ક્યુ લેટીસની પેટા જાતો સ્ક્યુ લેટીસ વિવિધ પ્રકારની રચના કરે છે. લંબચોરસ ત્રાંસા જાળી, ડાબા હાથની અને જમણા હાથની ત્રાંસા જાળી તમામ પેટા જાતો બનાવે છે જે ત્રાંસા જાળીના મૂળભૂત માળખા સિદ્ધાંતના કેન્દ્રમાં છે. અહીં કેટલાક વધુ છે. સમમિતીય ત્રાંસા જાળી એક ત્રાંસા જાળી S સમમિતીય છે જો કોઈ હોય તો. આ રીતે આવા ત્રાંસા જાળીઓ માટે પરિવર્તનની ઘટનાઓ અસંદિગ્ધ છે, જેમાં જોડી મુજબના પરિવર્તનશીલ તત્વોના સબસેટ સાથે પરિવર્તનશીલ સબઅલ્જેબ્રા, એટલે કે સબલેટીસ ઉત્પન્ન થાય છે. (આ સામાન્ય રીતે સ્ક્યુ લેટીસ માટે સાચું નથી.) સ્પિંક્સ દ્વારા સૌપ્રથમ આપવામાં આવેલ આ પેટા વિવિધતા માટેના સમતુલ્ય પાયા છેઃ અને. ત્રાંસા જાળીનો જાળી વિભાગ એ એક જ તત્વ પર દરેક વર્ગને મળવાની એક સબલેટિસ છે. આમ તે જાળીની આંતરિક નકલ છે જેની રચના આઇસોમોર્ફિઝમ છે. બધા સપ્રમાણ વક્ર જાળી કે જેના માટે જાળી વિભાગ દાખલ થાય છે. સમમિતીય હોય કે ન હોય, જાળી વિભાગ હોવાની બાંયધરી આપે છે કે જેમાં આંતરિક નકલો પણ હોય છે અને અનુક્રમે અને દ્વારા આપવામાં આવે છે, ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને ક્યાં અને આમ અને આઇસોમોર્ફિઝમ્સ છે. આ અગાઉના કિમુરા આકૃતિને દ્વિગુણિત કરવા માટે પરિવહન આકૃતિ તરફ દોરી જાય છે. કેન્સેલેટિવ સ્ક્યુ લેટીસ એક સ્ક્યુ લેટીસ રદ કરે છે જો અને સૂચવે છે અને તેવી જ રીતે અને સૂચવે છે. કેન્સેલેટિસ સ્ક્યુ લેટીસ સમપ્રમાણતાવાળા હોય છે અને તેને વિવિધતા બનાવતા દર્શાવી શકાય છે. જાળીઓથી વિપરીત, તેઓ વિતરણાત્મક અને તેનાથી વિપરીત હોવાની જરૂર નથી. ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ સ્ક્યુ લેટીસ ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ સ્ક્યુ લેટીસ ઓળખ દ્વારા નક્કી થાય છેઃ (D1) (D '1) લેટીસથી વિપરીત, (D1) અને (D' 1) સામાન્ય રીતે સ્ક્યુ લેટીસ માટે સમકક્ષ નથી, પરંતુ તે સપ્રમાણ સ્ક્યુ લેટીસ માટે છે. સ્થિતિ (D1) ને (D2) સુધી મજબૂત કરી શકાય છે, જે કિસ્સામાં (D '1) એક પરિણામ છે. એક વક્ર જાળી (D2) અને તેના દ્વૈત બંનેને સંતોષે છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે વિતરણ જાળી અને લંબચોરસ વક્ર જાળીના ઉત્પાદન તરીકે પરિબળ કરે. આ પછીના કિસ્સામાં (D2) ને અને સુધી મજબૂત કરી શકાય છે. (D3) જ્યારે સમપ્રમાણતા ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તેના પોતાના પર, (D3) એ (D2) ની સમકક્ષ હોય છે. આમ આપણી પાસે અનુક્રમે (D1), (D2), (D3) અને તેમના ડ્યુઅલ દ્વારા નિર્ધારિત સ્ક્યુ લેટીસની છ પેટા જાતો છે. ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે સામાન્ય વક્ર જાળીઓ, અને ઓળખને સંતોષ આપે છે. મજબૂત ઓળખને સંતોષતા બેન્ડને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. સ્ક્યુ જાળી એ સામાન્ય સ્ક્યુ છે જો તે સંતોષ આપે છે સામાન્ય સ્ક્યુ જાળીમાં દરેક તત્વ a માટે, {} અથવા સમકક્ષ {} દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમૂહ એ સબલેટિસ છે, અને તેનાથી વિપરીત છે. (આમ સામાન્ય વક્ર જાળીઓને સ્થાનિક જાળી પણ કહેવામાં આવે છે.) જ્યારે બંને અને બંને સામાન્ય હોય છે, ત્યારે સમરૂપ રીતે જાળી અને લંબચોરસ વક્ર જાળીના ઉત્પાદનમાં વિભાજિત થાય છે, અને તેનાથી વિપરીત. આમ સામાન્ય સ્ક્યુ લેટીસ અને સ્પ્લિટ સ્ક્યુ લેટીસ બંને જાતો બનાવે છે. વિતરણ તરફ પાછા ફરવું, જેથી તે વિતરણની વિવિધતાને લાક્ષણિકતા આપે છે, અને (D3) સમપ્રમાણ, વિતરણની વિવિધતાને લાક્ષણિકતા આપે છે. જો કોસેટ બાયજેક્શન્સના બિન-ખાલી સંયોજનો કોસેટ બાયજેક્શન્સ હોય તો શ્રેણીબદ્ધ સ્ક્યુ લેટીસ શ્રેણીબદ્ધ છે. શ્રેણીબદ્ધ ત્રાંસા જાળી વિવિધ પ્રકારની રચના કરે છે. રિંગ્સમાં સ્ક્યુ લેટીસ અને સામાન્ય સ્ક્યુ લેટીસ આ વિવિધતામાં આલ્જેબ્રાના ઉદાહરણો છે. સાથે દો, અને, લેવા માટે કોસેટ બાયજેક્શન બનો, લેવા માટે કોસેટ બાયજેક્શન બનો અને છેવટે લેવા માટે કોસેટ બાયજેક્શન બનો. જો કોઈની પાસે હંમેશા સમાનતા હોય, એટલે કે વક્ર જાળી એ સ્પષ્ટ છે. જો સંયુક્ત આંશિક બાયજેક્શન જો ખાલી ન હોય તો તે a-કોસેટથી a-કોસેટ સુધીનું કોસેટ બાયજેક્શન છે. તે છે. તમામ ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ સ્ક્યુ લેટીસ શ્રેણીબદ્ધ છે. જોકે સપ્રમાણ વક્ર જાળીઓ ન પણ હોઈ શકે. એક અર્થમાં તેઓ સમપ્રમાણતા અને વિતરણના ગુણધર્મો વચ્ચેની સ્વતંત્રતા દર્શાવે છે. સ્ક્યુ બુલિયન આલ્જેબ્રા એ સ્ક્યુ લેટીસ S માં શૂન્ય તત્વ એ S નું એક તત્વ 0 છે કે જેથી બધા માટે અથવા, દ્વિસંગી રીતે, (0) બુલિયન સ્ક્યુ લેટીસ એ 0 સાથે સપ્રમાણ, વિતરણ સામાન્ય સ્ક્યુ લેટીસ છે, જે દરેક માટે બુલિયન લેટીસ છે. આદિમ વક્ર બુલિયન બીજગણિતમાં 0 અને એક બિન-0 D-વર્ગ હોય છે. આમ તે 0 ને લંબચોરસ તિર્યક જાળી D સાથે (0) ની સાથે, જો અને અન્યથા જોડવાનું પરિણામ છે. દરેક વક્ર બુલિયન બીજગણિત એ આદિમ બીજગણિતનું ઉપ-પ્રત્યક્ષ ઉત્પાદન છે. સ્ક્યુ બુલિયન આલ્જેબ્રા બુલિયન વર્તણૂકના સાર્વત્રિક બીજગણિતમાં વિભેદક જાતો અને અન્ય સામાન્યીકરણના અભ્યાસમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. વીંટીઓમાં વક્ર જાળીઓ ચાલો એક વીંટી બનીએ અને અંદરના તમામ આદર્શ ઘટકોના સમૂહને દર્શાવીએ. બધા સેટ અને. સ્પષ્ટ રીતે પણ તે સહયોગી પણ છે. જો સબસેટ અને હેઠળ બંધ હોય, તો તે ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ, કેન્સેલેટિવ સ્ક્યુ લેટીસ છે. એકમાં આવા ત્રાંસા જાળી શોધવા માટે બેન્ડને જુએ છે, ખાસ કરીને જે અમુક અવરોધના સંદર્ભમાં મહત્તમ હોય છે. હકીકતમાં, યોગ્ય નિયમિત (=) હોવાના સંદર્ભમાં તેમાંનો દરેક ગુણાકાર બેન્ડ પણ નીચે બંધ હોય છે અને તેથી જમણા હાથની વક્ર જાળી બનાવે છે. સામાન્ય રીતે, દરેક જમણી બાજુનો નિયમિત પટ્ટો જમણા હાથની વક્ર જાળી પેદા કરે છે. ડાબી બાજુના નિયમિત બેન્ડ (ઓળખને સંતોષતા બેન્ડ) માટે પણ બેવડી ટિપ્પણીઓ હોય છે. મહત્તમ નિયમિત બેન્ડને વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ બંધ કરવાની જરૂર નથી; ગુણાકાર લંબચોરસ બેન્ડનો ઉપયોગ કરીને પ્રતિકૂળ ઉદાહરણો સરળતાથી મળી આવે છે. આ કિસ્સાઓ બંધ છે, જો કે, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્યુબિક વેરિઅન્ટ હેઠળ કારણ કે આ કિસ્સાઓમાં ડ્યુઅલ લંબચોરસ બેન્ડ આપવા માટે ઘટાડે છે. નિયમિતતાની સ્થિતિને સામાન્યતા દ્વારા બદલીને, દરેક મહત્તમ સામાન્ય ગુણાકાર બેન્ડ પણ નીચે બંધ થાય છે, જ્યાં, બુલિયન સ્ક્યુ જાળી બનાવે છે. જ્યારે પોતે ગુણાકાર હેઠળ બંધ હોય છે, ત્યારે તે એક સામાન્ય પટ્ટો હોય છે અને આમ બુલિયન સ્ક્યુ જાળી બનાવે છે. હકીકતમાં, કોઈપણ વક્ર બુલિયન બીજગણિતને આવા બીજગણિતમાં સમાવી શકાય છે. જ્યારે A ની ગુણાકાર ઓળખ હોય છે, ત્યારે જે સ્થિતિ ગુણાકાર રૂપે બંધ હોય છે તે બુલિયન બીજગણિત બનાવે છે તે સૂચવવા માટે જાણીતી છે. વીંટીઓમાં વક્ર જાળીઓ ઉદાહરણો અને પ્રેરણાનો સારો સ્રોત બની રહી છે. બરાબર બે ડી-વર્ગ ધરાવતા આદિમ સ્ક્યુ જાળીઓને આદિમ સ્ક્યુ જાળી કહેવામાં આવે છે. - વર્ગ સાથે આવા વક્ર જાળીને જોતાં, પછી કોઈપણ અને માટે, ઉપગણ {} અને {} ને અનુક્રમે, B માં A ના કોસેટ અને A માં B ના કોસેટ કહેવામાં આવે છે. આ કોસેટ B અને A ને અને સાથે વિભાજિત કરે છે. કોસેટ હંમેશા તેમના-વર્ગોમાં લંબચોરસ સબએલજેબ્રા હોય છે. વધુ શું છે, આંશિક ક્રમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોસેટ બાયજેક્શનને પ્રેરિત કરે છેઃ iff, for અને. સામૂહિક રીતે, કોસેટ બાયજેક્શન્સ ઉપગણ અને વચ્ચે વર્ણવે છે. તેઓ અલગ-અલગ વર્ગના તત્વોની જોડી પણ નક્કી કરે છે. ખરેખર, આપેલ અને, અંદર અને અંદરના કોસેટ્સ વચ્ચેનો ખર્ચ દ્વિભાજન હોવો જોઈએ. પછીઃ અને. સામાન્ય રીતે, આપેલ અને સાથે અને, પછી સામાન્ય-કોસેટ સાથે સંબંધિત હોય છે અને સામાન્ય-કોસેટ સાથે સંબંધિત હોય છે જો અને માત્ર જો. આમ દરેક કોસેટ બાયજેક્શન, અમુક અર્થમાં, પરસ્પર સમાંતર જોડીનો મહત્તમ સંગ્રહ છે. દરેક આદિમ વક્ર જાળી પરિબળો તેની મહત્તમ ડાબી અને જમણી હાથની આદિમ છબીઓના તંતુમય ઉત્પાદન તરીકે છે. જમણા હાથની આદિમ વક્ર જાળીઓ નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવી છે. ચાલો અને વિભાજીત બિન-ખાલી સમૂહોના પાર્ટીશનો બનો અને, જ્યાં બધા અને એક સામાન્ય કદ ધરાવે છે. દરેક જોડી માટે એક નિશ્ચિત બાયજેક્શન પસંદ કરો. ચાલુ કરો અને અલગથી સુયોજિત કરો અને; પરંતુ આપેલ અને, સુયોજિત કરો અને ક્યાં અને સાથે કોષ સાથે સંબંધિત અને કોષ સાથે સંબંધિત. વિવિધ કોસેટ બાયજેક્શન્સ છે. આ નીચેની આંશિક હાસ્સ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે જ્યાં અને તીર-આઉટપુટ અને અને માંથી સૂચવે છે. એક ડાબોડી શૈલીમાં ડાબા હાથની આદિમ વક્ર જાળી બનાવે છે. બધા જમણા [ડાબા] હાથના આદિમ વક્ર જાળીઓ આ રીતે બનાવી શકાય છે. ત્રાંસા જાળીનું કોસેટ માળખું એક લંબચોરસ ત્રાંસા જાળી તેના મહત્તમ આદિમ ત્રાંસા જાળી દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છેઃ તુલનાત્મક-વર્ગો આપવામાં આવે તો, આવા ઉપ-બીજગણિતમાં સ્થિત મહત્તમ આદિમ ઉપ-બીજગણિત અને દરેક-વર્ગ રચાય છે. આ આદિમ સબએલજેબ્રા પરની કોસેટ રચનાઓ પરિણામો નક્કી કરવા માટે ભેગા થાય છે અને ઓછામાં ઓછા ક્યારે અને નીચે તુલનાત્મક હોય છે. તે તારણ આપે છે કે અને સામાન્ય રીતે કોસેટ્સ અને તેમના બાયજેક્શન્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જો કે-તુલનાત્મક કેસ કરતાં થોડી ઓછી સીધી રીતે. ખાસ કરીને, બે અજોડ D-વર્ગો A અને B ને D-વર્ગ J સાથે જોડીને અને D-વર્ગને મળ્યા પછી, A અને B ના સંદર્ભમાં J (અથવા M) ના બે કોસેટ વિઘટન વચ્ચે રસપ્રદ જોડાણો ઉદ્ભવે છે. આમ તિર્યક જાળીને લંબચોરસ તિર્યક જાળીઓના કોસેટ એટલાસ તરીકે જોઈ શકાય છે જે જાળીના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચે કોસેટ બાયજેક્શન હોય છે, બાદમાં દરેક કોસેટ બાયજેક્શન સાથે લંબચોરસ આલ્જેબ્રા વચ્ચે આંશિક આઇસોમોર્ફિઝમ્સ તરીકે જોવામાં આવે છે જે અનુરૂપ જોડી કોસેટ નક્કી કરે છે. આ પરિપ્રેક્ષ્ય, સારમાં, વક્ર જાળીનો હાસ આકૃતિ આપે છે, જે પ્રમાણમાં નાના ક્રમના કિસ્સાઓમાં સરળતાથી દોરવામાં આવે છે. (ઉપરના વિભાગ 3 માં આકૃતિઓ જુઓ.) ડી-વર્ગોની સાંકળને જોતાં, એકમાં કોસેટ બાયજેક્શન્સના ત્રણ સેટ હોય છેઃ એ થી બી, બી થી સી અને એ થી સી. સામાન્ય રીતે, કોસેટ બાયજેક્શન્સ આપવામાં આવે છે અને, આંશિક બાયજેક્શન્સની રચના ખાલી હોઈ શકે છે. જો તે ન હોય તો, એક અનન્ય કોસેટ બાયજેક્શન અસ્તિત્વમાં છે. (ફરીથી, અને માં કોસેટની જોડી વચ્ચેનું દ્વિભાજન છે.) આ સમાવેશ કડક હોઈ શકે છે. જ્યારે S સ્પષ્ટ હોય ત્યારે તે હંમેશા આપેલ સ્ક્યુ લેટીસ S પર સમાનતા (આપવામાં આવે છે) હોય છે. આ કિસ્સામાં, દરેક લંબચોરસ ડી-વર્ગ પર ઓળખ નકશા અને યોગ્ય રીતે તુલનાત્મક ડી-વર્ગો વચ્ચે નજીકના ખાલી બાયજેક્શનનો સમાવેશ કરીને, તેમની વચ્ચે લંબચોરસ આલ્જેબ્રા અને કોસેટ બાયજેક્શનની શ્રેણી હોય છે. વિભાગ 3 માં સરળ ઉદાહરણો સ્પષ્ટ છે. આ પણ જુઓ સેમિગ્રુપ થિયરી લેટીસ થિયરી સંદર્ભ લેટીસ થિયરી સેમિગ્રુપ થિયરી