Multiplicative digital root
સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં, આપેલ સંખ્યાના આધારમાં કુદરતી સંખ્યાનું ગુણાકાર ડિજિટલ મૂળ એકબીજાના અંકોનો ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે, પછી આ કામગીરીને માત્ર એક આંકડાના અવશેષો સુધી પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, જેને ગુણાકાર ડિજિટલ રુટ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ થોડા હકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે ગુણાકાર ડિજિટલ રુટ છેઃ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,2,4,6,8,0,4,8,0,3,6,9,2,5,8,2,8,4,0. ગુણાકાર ડિજિટલ મૂળ એ ડિજિટલ મૂળના ગુણાકાર સમકક્ષ છે. વ્યાખ્યા ચાલો એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોઈએ. અમે આધાર માટે અંક ઉત્પાદનને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએઃ જ્યાં આધારમાં સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા છે, અને તે સંખ્યાના દરેક અંકનું મૂલ્ય છે. કુદરતી સંખ્યા એ ગુણાકાર ડિજિટલ રુટ છે જો તે માટે એક નિશ્ચિત બિંદુ હોય, જે ત્યારે થાય છે જો. ઉદાહરણ તરીકે, આધારમાં, 0 એ 9876 નું ગુણાકાર ડિજિટલ રુટ છે, કારણ કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પૂર્વવર્તી બિંદુઓ છે, આધારને ધ્યાનમાં લીધા વગર. આનું કારણ એ છે કે જો, તો પછી અને તેથી જો, તો પછી તુચ્છ રીતે તેથી, એકમાત્ર સંભવિત ગુણાકાર ડિજિટલ મૂળ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, અને તેના નિશ્ચિત બિંદુઓ સિવાય અન્ય કોઈ ચક્ર નથી. ગુણાકારની દ્રઢતા નિશ્ચિત બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી પુનરાવર્તનની સંખ્યા એ ગુણાકારની દ્રઢતા છે. જો તે ક્યારેય નિશ્ચિત બિંદુ સુધી ન પહોંચે તો ગુણાકારની દ્રઢતા અવ્યાખ્યાયિત છે. આધાર 10 માં, એવું અનુમાન કરવામાં આવે છે કે ગુણાકારની દ્રઢતા ધરાવતી કોઈ સંખ્યા નથીઃ આ સંખ્યાઓ માટે સાચું હોવાનું જાણીતું છે. 0, 1,. ની દ્રઢતા ધરાવતી સૌથી નાની સંખ્યાઓ છેઃ 0,10,25,39,77,679,6788,687889,26888999,3778888999,2777778888899. આ વિક્રમી સંખ્યાઓના દશાંશ અંકોના વધારાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આ સંખ્યાઓની શોધને ઝડપી બનાવી શકાય છે. આ અંકોને ક્રમબદ્ધ કરવા જોઈએ, અને, પ્રથમ બે અંકો સિવાય, બધા અંકો 7,8 અથવા 9 હોવા જોઈએ. પ્રથમ બે અંકો પર વધારાના પ્રતિબંધો પણ છે. આ પ્રતિબંધોના આધારે, વિક્રમજનક દ્રઢતા સાથે-અંક સંખ્યાઓ માટેના ઉમેદવારોની સંખ્યા માત્ર તમામ સંભવિત-અંક સંખ્યાઓના નાના અપૂર્ણાંકના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. જો કે, ઉપરના ક્રમમાં ગુમ થયેલ કોઈપણ સંખ્યામાં ગુણાકારની દ્રઢતા> 11 હશે; આવી સંખ્યાઓ અસ્તિત્વમાં નથી એવું માનવામાં આવે છે, અને જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો 20,000 થી વધુ અંકોની જરૂર પડશે. નકારાત્મક પૂર્ણાંકો સુધી વિસ્તરણ ગુણાકાર ડિજિટલ રુટને દરેક પૂર્ણાંકને રજૂ કરવા માટે હસ્તાક્ષરિત-અંકની રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને નકારાત્મક પૂર્ણાંકો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. પ્રોગ્રામિંગનું ઉદાહરણ નીચેનું ઉદાહરણ પાયથોનમાં ગુણાકાર ડિજિટલ મૂળ અને ગુણાકાર સાતત્ય શોધવા માટે ઉપરની વ્યાખ્યામાં વર્ણવેલ અંક ઉત્પાદનનો અમલ કરે છે. ડેફ ડિજિટ પ્રોડક્ટ (x: પૂર્ણાંક, b: પૂર્ણાંક)-> પૂર્ણાંકઃ જો x = = 0: વળતર 0 કુલ = 1 જ્યારે x> 1: જો x% b = = 0: વળતર 0 જો x% b> 1: કુલ = કુલ * (x% b) x = x// b વળતર કુલ ડેફ મલ્ટિપ્લિકેટિવ ડિજિટલ રુટ (x: પૂર્ણાંક, b: પૂર્ણાંક)-> પૂર્ણાંકઃ જોવામાં આવ્યું = [] જ્યારે x જોવામાં આવ્યું નથીઃ seen.append (x) x = ડિજિટ પ્રોડક્ટ (x, b) વળતર x ડિફ મલ્ટિપ્લિકેટિવ પર્સિસ્ટન્સ (x: પૂર્ણાંક, b: પૂર્ણાંક)-> પૂર્ણાંકઃ જોવામાં આવ્યું = [] જ્યારે x જોવામાં આવ્યું નથીઃ seen.append (x) x = અંક