Generalized Dirichlet distribution
આંકડામાં, સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ વિતરણ (જી. ડી.) એ વધુ સામાન્ય સહપ્રસરણ માળખા અને પરિમાણોની સંખ્યા કરતાં લગભગ બમણી સંખ્યા સાથે ડિરીક્લેટ વિતરણનું સામાન્યીકરણ છે. જી. ડી. વિતરણ સાથે રેન્ડમ વેક્ટર સંપૂર્ણપણે તટસ્થ હોય છે. ઘનતા કાર્ય તે છે જ્યાં આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. અહીં બીટા કાર્ય સૂચવે છે. આ પ્રમાણભૂત ડિરીક્લેટ વિતરણમાં ઘટાડો કરે છે જો માટે (મનસ્વી છે). ઉદાહરણ તરીકે, જો k = 4 હોય, તો તેનું ઘનતા વિધેય ક્યાં અને છે. કોનોર અને મોસિમેન પીડીએફને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમ તેઓએ નીચેના કારણોસર કર્યું હતું. સાથે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સને વ્યાખ્યાયિત કરો. પછી સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ વિતરણ ઉપરના પરિમાણો પ્રમાણે કરો, જો તે પરિમાણો સાથે સ્વતંત્ર બીટા હોય,. વોંગ વોંગ દ્વારા આપવામાં આવેલ વૈકલ્પિક સ્વરૂપ ક્યાં માટે અને માટે થોડું વધુ સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ આપે છે. નોંધ લો કે વોંગ પરિમાણીય જગ્યા પર વિતરણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે) જ્યારે કોનોર અને મોસીમેન પરિમાણીય જગ્યાનો ઉપયોગ કરે છે. જનરલ મોમેન્ટ ફંક્શન ઇફ્, પછી ક્યાં માટે અને. આમ પ્રમાણભૂત ડિરીક્લેટ વિતરણમાં ઘટાડો ઉપર જણાવ્યા મુજબ, જો તે માટે વિતરણ પ્રમાણભૂત ડિરીક્લેટમાં ઘટાડો કરે છે. આ સ્થિતિ સામાન્ય કેસથી અલગ છે, જેમાં સામાન્યીકૃત વિતરણના વધારાના પરિમાણોને શૂન્ય પર સેટ કરવાથી મૂળ વિતરણમાં પરિણામ મળે છે. જો કે, જી. ડી. ડી. ના કિસ્સામાં, આ ખૂબ જ જટિલ ઘનતા કાર્યમાં પરિણમે છે. બાયેસિયન વિશ્લેષણ ધારો કે સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ છે, અને તે પરીક્ષણો સાથે બહુપદી છે (અહીં). માટે અને તેના સંયુક્ત પશ્ચાદવર્તી માટે લખવું એ સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ વિતરણ છે જ્યાં અને નમૂના પ્રયોગ માટે વોંગ ડિરીક્લેટ અને સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ વિતરણો કેવી રીતે અલગ પડે છે તેના ઉદાહરણ તરીકે નીચેની પદ્ધતિ આપે છે. તે માને છે કે મોટા કળશમાં વિવિધ રંગોના દડા હોય છે. દરેક રંગનું પ્રમાણ અજ્ઞાત છે. કળશમાં રંગ સાથે દડાઓના પ્રમાણ માટે લખો. પ્રયોગ 1. વિશ્લેષક 1 માને છે કે (એટલે કે, પરિમાણો સાથે ડિરીક્લેટ છે). પછી વિશ્લેષક કાચની પેટીઓ બનાવે છે અને પેટીમાં રંગીન આરસ મૂકે છે (એવું માનવામાં આવે છે કે તે પૂર્ણાંકો છે). પછી વિશ્લેષક 1 કળશમાંથી એક દડો ખેંચે છે, તેના રંગનું નિરીક્ષણ કરે છે (રંગ કહો) અને તેને પેટીમાં મૂકે છે. તે સાચા બૉક્સને ઓળખી શકે છે કારણ કે તે પારદર્શક હોય છે અને અંદરના આરસના રંગો દૃશ્યમાન હોય છે. આ પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી દડા દોરવામાં ન આવે. પશ્ચાદવર્તી વિતરણ પછી ડિરીક્લેટ છે જેમાં પરિમાણો દરેક બૉક્સમાં આરસની સંખ્યા છે. પ્રયોગ 2. વિશ્લેષક 2 માને છે કે સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ વિતરણને અનુસરે છેઃ બધા પરિમાણો ફરીથી હકારાત્મક પૂર્ણાંકો હોવાનું માનવામાં આવે છે. વિશ્લેષક લાકડાના ડબ્બા બનાવે છે. બૉક્સમાં બે ક્ષેત્રો હોય છેઃ એક દડા માટે અને એક આરસ માટે. દડા રંગીન હોય છે પણ આરસ રંગીન હોતા નથી. પછી, તે રંગના દડા અને આરસપહાણને પેટીમાં મૂકે છે. તે પછી તે બૉક્સમાં રંગનો દડો મૂકે છે. પછી વિશ્લેષક કળશમાંથી એક દડો ખેંચે છે. બૉક્સ લાકડાના હોવાથી, વિશ્લેષક કહી શકતો નથી કે કયા બૉક્સમાં બોલ મૂકવો (જેમ કે તે ઉપરના પ્રયોગ 1 માં કરી શકે છે); તેની યાદશક્તિ પણ નબળી છે અને તે યાદ રાખી શકતો નથી કે કયા બૉક્સમાં કયા રંગના દડા હોય છે. તેણે શોધવું પડશે કે બોલ મૂકવા માટે કયું બોક્સ યોગ્ય છે. તે બોક્સ 1 ખોલીને અને તેમાંના દડાની સરખામણી દોરેલા દડા સાથે કરીને આમ કરે છે. જો રંગ અલગ હોય, તો બૉક્સ ખોટો છે. વિશ્લેષક બોક્સ 1 માં આરસપહાણ મૂકે છે અને બોક્સ 2 તરફ આગળ વધે છે. તે આ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરે છે જ્યાં સુધી બોક્સમાંના દડા ડ્રો કરેલા દડા સાથે મેળ ખાતા નથી, તે સમયે તે મેળ ખાતા રંગના અન્ય દડાઓ સાથે બૉક્સમાં દડો મૂકે છે. વિશ્લેષક પછી કળશમાંથી બીજો દડો ખેંચે છે અને દડા ખેંચાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તન કરે છે. પછી પાછળના ભાગને સામાન્યીકૃત ડિરીક્લેટ કરવામાં આવે છે, જેમાં દરેક બૉક્સમાં દડાની સંખ્યા અને આરસની સંખ્યા હોય છે. નોંધ લો કે પ્રયોગ 2 માં, પ્રયોગ 1 થી વિપરીત, બોક્સનો ક્રમ બદલવાની બિન-તુચ્છ અસર પડે છે. ડિરીક્લેટ-બહુપદી વિતરણ પણ જુઓ લુકાક્સનું પ્રમાણ-સરવાળો સ્વતંત્રતા પ્રમેય સંદર્ભો સતત વિતરણો બહુવિધ સતત વિતરણો અગાઉના વિતરણોને સંયોજિત કરે છે ઘાતાંકીય કુટુંબ વિતરણો