Singular integral
ગણિતમાં, એકવચન સંકલન હાર્મોનિક વિશ્લેષણ માટે કેન્દ્રિય છે અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસ સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલા છે. વ્યાપક રીતે કહીએ તો એકવચન અભિન્ન એ એક અભિન્ન સંચાલક છે જેનું કર્નલ કાર્ય K: Rn × Rn → R કર્ણ x = y સાથે એકવચન છે. ખાસ કરીને, સિંગ્યુલારીટી એવી છે કે |K (x, y) | નું કદ |x −y | −n એસિમ્પ્ટોટિક રીતે |x −y | → 0 છે. આવા ઇન્ટિગ્રલ્સ સામાન્ય રીતે સંપૂર્ણપણે ઇન્ટિગ્રેબલ ન હોઈ શકે, તેથી સખત વ્યાખ્યાએ તેમને |y −x |> ε પર ઇન્ટિગ્રલની મર્યાદા તરીકે ε → 0 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવી આવશ્યક છે, પરંતુ વ્યવહારમાં આ એક તકનીકીતા છે. સામાન્ય રીતે એલ. પી. (આર. એન.) પર તેમની મર્યાદા જેવા પરિણામો મેળવવા માટે વધુ ધારણાઓ જરૂરી છે. હિલ્બર્ટ ટ્રાન્સફોર્મ આર્કેટિપલ સિંગ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર હિલ્બર્ટ ટ્રાન્સફોર્મ H છે. તે R માં x માટે કર્નલ K (x) = 1/(πx) સામે કન્વોલ્યુશન દ્વારા આપવામાં આવે છે. વધુ ચોક્કસપણે, આમાંના સૌથી સીધા ઉચ્ચ પરિમાણ એનાલોગ રીઝ ટ્રાન્સફોર્મ છે, જે K (x) = 1/x ને જ્યાં i = 1,., n સાથે બદલે છે અને Rn માં x નો i-th ઘટક છે. આ તમામ ઓપરેટરો એલ. પી. પર બંધાયેલા છે અને નબળા પ્રકારના (1,1) અંદાજોને સંતોષે છે. કન્વોલ્યુશન પ્રકાર A નું એકવચન ઇન્ટિગ્રલ એ ઓપરેટર T છે જે કર્નલ K સાથે કન્વોલ્યુશન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જે Rn\{0} પર સ્થાનિક રીતે ઇન્ટિગ્રેબલ છે, તે અર્થમાં કે ધારો કે કર્નલ સંતોષે છેઃ K ના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પરની કદની સ્થિતિ સરળતાની સ્થિતિઃ કેટલાક C> 0 માટે, પછી તે બતાવી શકાય છે કે T Lp (Rn) પર બંધાયેલ છે અને નબળા પ્રકાર (1,1) અંદાજને સંતોષે છે. ગુણધર્મ 1. તેની ખાતરી કરવા માટે જરૂરી છે કે કન્વોલ્યુશન () ટેમ્પર્ડ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સાથે પી. વી. મુખ્ય મૂલ્ય સંકલન દ્વારા આપવામાં આવેલ K એ L2 પર સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત ફોરિયર ગુણક છે. 1. અથવા 2. ગુણધર્મોમાંથી કોઈ પણ ચકાસવા માટે જરૂરી નથી, અને વિવિધ પર્યાપ્ત શરતો અસ્તિત્વમાં છે. સામાન્ય રીતે એપ્લિકેશનોમાં, રદ કરવાની શરત પણ હોય છે જે તપાસવા માટે એકદમ સરળ હોય છે. તે સ્વચાલિત છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો K એક વિચિત્ર કાર્ય છે. જો, વધુમાં, એક 2 ધારે છે. અને નીચેની કદની સ્થિતિ પછી તે બતાવી શકાય છે કે 1. અનુસરે છે. સરળતા સ્થિતિ 2. ને સિદ્ધાંતમાં તપાસવી પણ ઘણીવાર મુશ્કેલ હોય છે, કર્નલ K ની નીચેની પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છેઃ અવલોકન કરો કે હિલ્બર્ટ અને રીસ ટ્રાન્સફોર્મ માટે આ શરતો સંતુષ્ટ છે, તેથી આ પરિણામ તે પરિણામનું વિસ્તરણ છે. નોન-કન્વોલ્યુશન પ્રકારનાં સિંગ્યુલર ઇંટીગ્રલ્સ આ વધુ સામાન્ય ઓપરેટર્સ છે. જો કે, આપણી ધારણાઓ એટલી નબળી હોવાથી, તે જરૂરી નથી કે આ ઓપરેટરો એલ. પી. પર બંધાયેલા હોય. કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ કર્નલો એ કાર્યને કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ કર્નલ કહેવામાં આવે છે જો તે કેટલાક સ્થિરાંકો C> 0 અને δ> 0 માટે નીચેની શરતોને સંતોષે છે. નોન-કન્વોલ્યુશન પ્રકાર T ના સિંગ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ્સને કેલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ કર્નલ K સાથે સંકળાયેલા નોન-કન્વોલ્યુશન પ્રકારનો સિંગ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે, જો જ્યારે પણ f અને g સ્મૂથ હોય અને તેમાં ડિસજોઈન્ટ સપોર્ટ હોય. આવા ઓપરેટરોને એલ. પી. કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ ઓપરેટરો પર બંધાયેલ હોવાની જરૂર નથી કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ કર્નલ K સાથે સંકળાયેલ બિન-કન્વોલ્યુશન પ્રકાર T ના એકવચન ઇન્ટિગ્રલને જ્યારે તે L2 પર બંધાયેલ હોય ત્યારે કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, ત્યાં એક C> 0 હોય છે જે તમામ સરળ કોમ્પેક્ટ રીતે સપોર્ટેડ f માટે હોય છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે આવા ઓપરેટરો, હકીકતમાં, તમામ એલ. પી. પર 1 <પી <φ સાથે પણ બંધાયેલા હોય છે. ટી (બી) થીયરમ ટી (બી) થીયરમ એકવચન ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટરને કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ ઓપરેટર બનવા માટે પૂરતી શરતો પૂરી પાડે છે, જે એલ 2 પર બંધાયેલા કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ કર્નલ સાથે સંકળાયેલા એકવચન ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર માટે છે. પરિણામ જણાવવા માટે આપણે પહેલા કેટલીક શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરવી પડશે. નોર્મલાઇઝ્ડ બમ્પ એ એક સ્મૂથ ફંક્શન φ છે જે Rn પર ત્રિજ્યા 1 ના દડામાં સપોર્ટેડ હોય છે અને મૂળ પર કેન્દ્રિત હોય છે, જેમ કે તમામ બહુ-સૂચકાંકો |α | ≤ n + 2 માટે. Rn અને r> 0 માં તમામ x માટે τx (φ) (y) = φ (y − x) અને φr (x) = r − nφ (x/r) દ્વારા દર્શાવો. ઓપરેટરને નબળા રીતે બંધાયેલ હોવાનું કહેવાય છે જો ત્યાં સ્થિરાંક C હોય કે જે તમામ સામાન્યીકૃત બમ્પ્સ φ અને si માટે હોય. જો r માં બધા x માટે સ્થિરાંક c> 0 હોય તો વિધેયને સંકોચક કહેવામાં આવે છે. ટી (બી) થીયરમ જણાવે છે કે કાલ્ડેરોન-ઝિગ્મંડ કર્નલ સાથે સંકળાયેલ એકવચન ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર ટી એલ 2 પર બંધાયેલ છે જો તે કેટલાક બંધાયેલા એક્રેટિવ ફંક્શન્સ બી 1 અને બી 2 માટે નીચેની તમામ ત્રણ શરતોને સંતોષે છેઃ નબળા બંધાયેલ છે; બી. એમ. ઓ. માં છે; બી. એમ. ઓ. માં છે, જ્યાં ટી ટી. ટી. એ ટી. નું ટ્રાન્સપોઝ ઓપરેટર છે. બંધ વળાંક પરના સિંગ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ ઓપરેટર્સ પણ જુઓ. . . (રશિયનમાં). . , (યુરોપિયન આવૃત્તિઃ). બાહ્ય કડીઓ હાર્મોનિક વિશ્લેષણ વાસ્તવિક વિશ્લેષણ