The Fifty-Nine Icosahedra
પચાસ-નવ ઇકોસાહેદ્રા એ એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, પી. ડુ વેલ, એચ. ટી. ફ્લેધર અને જે. એફ. પેટ્રી દ્વારા લખાયેલ અને સચિત્ર પુસ્તક છે. તે જે. સી. પી. મિલર દ્વારા રજૂ કરાયેલા નિયમોના સમૂહ અનુસાર, નિયમિત બહિર્મુખ અથવા પ્લેટોનિક આઇકોસાહેડ્રોનના ચોક્કસ સ્તંભોની ગણતરી કરે છે. પ્રથમ 1938માં યુનિવર્સિટી ઓફ ટોરોન્ટો દ્વારા પ્રકાશિત, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ દ્વારા બીજી આવૃત્તિ 1982માં પુનઃમુદ્રિત કરવામાં આવી હતી. તારક્વિનની 1999ની ત્રીજી આવૃત્તિમાં નવી સંદર્ભ સામગ્રી અને કે. અને ડી. ક્રેનેલના ફોટોગ્રાફ્સનો સમાવેશ થતો હતો. લેખકોના યોગદાન મિલરના નિયમો જોકે મિલરે પુસ્તકમાં સીધું યોગદાન આપ્યું ન હતું, તે કોક્સેટર અને પેટ્રીના નજીકના સહયોગી હતા. કયા નક્ષત્ર સ્વરૂપોને "યોગ્ય રીતે નોંધપાત્ર અને વિશિષ્ટ" ગણવા જોઈએ તે નિર્ધારિત કરવા માટેના તેમના નિયમોના સમૂહમાં તેમનું યોગદાન અમર છેઃ (i) ચહેરાઓ વીસ સ્તરોમાં હોવા જોઈએ, એટલે કે, નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનના બાઉન્ડિંગ પ્લેન. (ii) ચહેરાની રચના કરતા તમામ ભાગો દરેક સમતલમાં સમાન હોવા જોઈએ, જો કે તેઓ તદ્દન ડિસ્કનેક્ટ થઈ શકે છે. (iii) કોઈપણ એક સમતલમાં સમાવિષ્ટ ભાગોમાં પ્રતિબિંબ વિના અથવા પ્રતિબિંબ સાથે ત્રિકોણીય સમપ્રમાણતા હોવી આવશ્યક છે. આ સમગ્ર ઘન માટે આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સુરક્ષિત કરે છે. (iv) કોઈપણ સમતલમાં સમાવિષ્ટ તમામ ભાગો પૂર્ણ થયેલા ઘનમાં "સુલભ" હોવા જોઈએ. તેઓ "બહાર" પર હોવા જોઈએ. અમુક કિસ્સાઓમાં આપણે બધી બહારની બાજુ જોવા માટે પ્રચંડ કદના નમૂનાઓની જરૂર હોવી જોઈએ. સામાન્ય કદના નમૂના સાથે, "બહાર" ના કેટલાક ભાગોને માત્ર ક્રોલિંગ જંતુ દ્વારા જ શોધી શકાય છે). (v) આપણે એવા કિસ્સાઓમાં વિચારણાથી બાકાત રાખીએ છીએ જ્યાં ભાગોને બે સમૂહમાં વહેંચી શકાય છે, જેમાં દરેક સંપૂર્ણ આકૃતિ જેટલી સમપ્રમાણતા સાથે ઘન આપે છે. પરંતુ આપણે કોઈ સામાન્ય ભાગ (જે વાસ્તવમાં માત્ર એક જ કિસ્સામાં થાય છે) ધરાવતી એનાન્ટિઓમોર્ફસ જોડીના સંયોજનને મંજૂરી આપીએ છીએ. નિયમો (i) થી (iii) ફેસ પ્લેન માટે સમપ્રમાણતા જરૂરિયાતો છે. નિયમ (iv) દફનાવવામાં આવેલા છિદ્રોને બાકાત રાખે છે, જેથી કોઈ પણ બે સ્ટેલેશન બાહ્ય રીતે સમાન ન દેખાય. નિયમ (v) સરળ સ્ટેલેશનના કોઈપણ વિચ્છેદિત સંયોજનને અટકાવે છે. કોક્સેટર કોક્સેટર આ કાર્ય પાછળનું મુખ્ય પ્રેરક બળ હતું. તેમણે મિલરના નિયમો પર આધારિત મૂળ વિશ્લેષણ હાથ ધર્યું હતું, જેમાં કોમ્બિનેટોરિક્સ અને એબ્સ્ટ્રેક્ટ ગ્રાફ થિયરી જેવી સંખ્યાબંધ તકનીકો અપનાવી હતી, જેનો ભૌમિતિક સંદર્ભમાં ઉપયોગ તે સમયે નવીન હતો. તેમણે અવલોકન કર્યું હતું કે નક્ષત્ર આકૃતિમાં ઘણા રેખાખંડોનો સમાવેશ થાય છે. ત્યારબાદ તેમણે નજીકના સમતલ પ્રદેશોના સંયોજનોમાં હેરફેર કરવા માટેની પ્રક્રિયાઓ વિકસાવી, જેથી ઔપચારિક રીતે મિલરના નિયમો હેઠળ માન્ય સંયોજનોની ગણતરી કરી શકાય. તેમનો આલેખ, જે અહીં પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં આવ્યો છે, તે નક્ષત્ર આકૃતિમાં ઓળખાયેલા વિવિધ ચહેરાની જોડાણ દર્શાવે છે (નીચે જુઓ). ગ્રીક પ્રતીકો સંભવિત વિકલ્પોના સમૂહને રજૂ કરે છેઃ λ એ 3 અથવા 4 હોઈ શકે છે, 7 હોઈ શકે છે અથવા 8 હોઈ શકે છે, 11 હોઈ શકે છે અથવા 12 હોઈ શકે છે, ડુ વેલ ડુ વેલ એ અવલોકનના આધારે એકરૂપ કોષોના સમૂહને ઓળખવા માટે એક પ્રતીકાત્મક સંકેત તૈયાર કર્યો છે કે તેઓ મૂળ આઇકોસાહેડ્રોનની આસપાસ "શેલો" માં આવેલા છે. આના આધારે તેમણે મિલરના નિયમો સામે તમામ સંભવિત સંયોજનોનું પરીક્ષણ કર્યું, જે કોક્સેટરના વધુ વિશ્લેષણાત્મક અભિગમના પરિણામની પુષ્ટિ કરે છે. ફ્લેધર ફ્લેધરનું યોગદાન પરોક્ષ હતુંઃ તેમણે તમામ 59 કાર્ડ મોડલ બનાવ્યા હતા. જ્યારે તેઓ પ્રથમ વખત કોક્સેટરને મળ્યા ત્યારે તેમણે કેટલાક "નોન-મિલર" ઉદાહરણો સહિત ઘણા સ્ટેલેશન પહેલેથી જ કરી દીધા હતા. તેમણે 59ની શ્રેણી પૂર્ણ કરી, જે ઇંગ્લેન્ડની કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીના ગણિત પુસ્તકાલયમાં સચવાયેલી છે. પુસ્તકાલયમાં કેટલાક બિન-મિલર નમૂનાઓ પણ છે, પરંતુ તે જાણીતું નથી કે તે ફ્લેધર દ્વારા બનાવવામાં આવ્યા હતા કે મિલરના પછીના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા. પેટ્રી જ્હોન ફ્લિન્ડર્સ પેટ્રી કોક્સેટરના આજીવન મિત્ર હતા અને ચાર પરિમાણીય ભૂમિતિને કલ્પના કરવાની નોંધપાત્ર ક્ષમતા ધરાવતા હતા. તેમણે અને કોક્સેટરએ ઘણી ગાણિતિક સમસ્યાઓ પર સાથે કામ કર્યું હતું. 59 આઇકોસાહેડ્રામાં તેમનું સીધું યોગદાન ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્રોનો ઉત્કૃષ્ટ સમૂહ હતો જે પ્રકાશિત કાર્યનું મોટાભાગનું આકર્ષણ પ્રદાન કરે છે. ધ ક્રેનેલ્સ ફોર ધ થર્ડ એડિશન, કેટ અને ડેવિડ ક્રેનેલે લખાણને રીસેટ કર્યું અને આકૃતિઓને ફરીથી બનાવી. તેઓએ એક સંદર્ભ વિભાગ પણ ઉમેર્યો જેમાં કોષ્ટકો, આકૃતિઓ અને કેમ્બ્રિજના કેટલાક નમૂનાઓના ફોટોગ્રાફ્સ હતા (જે તે સમયે ફ્લેધરના હોવાનું માનવામાં આવતું હતું). આ આવૃત્તિમાં સુધારાઓ ઓનલાઇન પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. પચાસ નવ આઇકોસાહેડ્રાની સૂચિ કોક્સેટર પહેલાં, માત્ર બ્રૂકનર અને વ્હીલરએ કોઈ નોંધપાત્ર સમૂહ નોંધ્યા હતા, જો કે મહાન આઇકોસાહેડ્રોન જેવા કેટલાક લાંબા સમયથી જાણીતા હતા. ધ 59 ના પ્રકાશન પછી, વેનિંગરે કેટલાકના નમૂનાઓ બનાવવા માટેની સૂચનાઓ પ્રકાશિત કરી; તેમના પુસ્તકમાં વપરાયેલી ક્રમાંકન યોજના વ્યાપકપણે સંદર્ભિત થઈ છે, જો કે તેમણે માત્ર થોડા જ શબ્દસમૂહો નોંધ્યા છે. સૂચિ અનુક્રમણિકા સંખ્યાઓ પરની નોંધો ક્રેનેલ છે જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોયઃ ક્રેનેલ ક્રેનેલ દ્વારા ત્રીજી આવૃત્તિમાં ઉમેરવામાં આવેલા અનુક્રમણિકા ક્રમાંકનમાં, પ્રથમ 32 સ્વરૂપો (સૂચકાંકો 1-32) પ્રતિબિંબીત નમૂનાઓ છે, અને છેલ્લા 27 (સૂચકાંકો 33-59) માત્ર જમણા હાથના સ્વરૂપો સાથે કિરાલ છે. આ તે ક્રમને અનુસરે છે જેમાં પુસ્તકમાં વર્ણનો દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ડુ વેલના સંકેતલિપીમાં, દરેક શેલને બોલ્ડ પ્રકારમાં ઓળખવામાં આવે છે, જે a, b, c,., h તરીકે બહારની તરફ કામ કરે છે, જેમાં a મૂળ આઇકોસાહેડ્રોન છે. કેટલાક કોષો બે પ્રકારના કોષોમાં વિભાજિત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે e માં e1 અને e2નો સમાવેશ થાય છે. સમૂહ એફ 1 આગળ જમણા અને ડાબા હાથના સ્વરૂપોમાં વિભાજિત થાય છે, અનુક્રમે એફ 1 (સાદા પ્રકાર) અને એફ 1 (ઇટાલિક). જ્યાં નક્ષત્રમાં બાહ્ય કોશની અંદર તમામ કોષો હાજર હોય છે, ત્યાં બાહ્ય કોશને મૂડીકૃત કરવામાં આવે છે અને આંતરિક કોષને અવગણવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે a + b + c + e1 ને Ce1 તરીકે લખવામાં આવે છે. ચહેરાઓ તમામ સ્ટેલેશનને સ્ટેલેશન આકૃતિ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. અહીં બતાવેલ આકૃતિમાં, ક્રમાંકિત રંગો નક્ષત્ર આકૃતિના પ્રદેશોને સૂચવે છે જે એક સમૂહ તરીકે એકસાથે હોવા જોઈએ, જો સંપૂર્ણ આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા જાળવવી હોય તો. આ આકૃતિમાં આવા 13 સમૂહો છે. આમાંના કેટલાક કાયરલ જોડીઓમાં વિભાજિત થાય છે (બતાવેલ નથી), જે પરિભ્રમણ સાથે સ્ટેલેશનને મંજૂરી આપે છે પરંતુ પ્રતિબિંબીત સમપ્રમાણતા નથી. કોષ્ટકમાં, જે ચહેરાઓ નીચેથી દેખાય છે તે એપોસ્ટ્રોફી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે 3. વેન્નિંગર અનુક્રમણિકા સંખ્યાઓ અને ક્રમાંકિત નામોને વેન્નિંગરના પ્રકાશક દ્વારા તેમના પુસ્તક પોલિહેડ્રોન મોડેલ્સમાં તેમની ઘટના અનુસાર મનસ્વી રીતે ફાળવવામાં આવ્યા હતા અને તેનો કોઈ પણ ગાણિતિક ક્રમ સાથે કોઈ સંબંધ નથી. તેમના માત્ર થોડા જ નમૂનાઓ આઈકોસાહેડ્રાના હતા. તેમના નામો ટૂંકા સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યા છે, જેમાં ". ઓફ ધ આઇકોસાહેડ્રોન" બાકી છે. વ્હીલરને તારાંકન આકૃતિમાંથી રેખા વિભાગો પસંદ કરીને તેની આકૃતિઓ અથવા આઇકોસાહેડ્રોનના "સ્વરૂપો" મળ્યા. તેમણે આને કેપ્લરની શાસ્ત્રીય નક્ષત્ર પ્રક્રિયાથી કાળજીપૂર્વક અલગ પાડ્યું. કોક્સેટર એટ અલ. આ તફાવતની અવગણના કરી અને તે બધાને સ્ટેલેશન તરીકે ઓળખાવ્યા. બ્રૂકનર મેક્સ બ્રૂકનરે ઘણા પોલિહેડ્રાના નમૂનાઓ બનાવ્યા અને ફોટોગ્રાફ કર્યા, જેમાંથી માત્ર થોડા જ આઇકોસાહેડ્રાના હતા. તાફ. તે તાફેલનું ટૂંકું નામ છે, પ્લેટ માટે જર્મન. ટિપ્પણી નં. 8 ને કેટલીકવાર સ્પાઈની એન્ટિએટર અથવા ઇકિડના સાથે કાલ્પનિક સમાનતા પછી ઇકિડનાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે. આ ઉપયોગ કેપ્લર દ્વારા તેમના નિયમિત તારા પોલિહેડ્રાને તેમના ઇકિડને તરીકે વર્ણવવામાં આવેલા વર્ણનથી સ્વતંત્ર છે. પચાસ-નવ આઇકોસાહેડ્રાનું કોષ્ટક કેટલીક છબીઓ એફ 1 કોષને બદલે એફ 1 સાથે મિરર-ઇમેજ આઇકોસાહેડ્રોનને સમજાવે છે. વેન્નિંગર પોલિહેડ્રોન મોડેલોની સૂચિ પણ જુઓ-વેન્નિંગરના પુસ્તક પોલિહેડ્રોન મોડેલોમાં આમાંથી 21 સ્ટેલેશનનો સમાવેશ થાય છે. આઇકોસાહેડ્રલ સમપ્રમાણતા સાથે ઘન નોંધો સંદર્ભો બ્રકનર, મેક્સ (1900). વિજ્ઞાન અને વિજ્ઞાન. લેઇપઝિગઃ બી. જી. ટ્રુબ્નર. . વર્લ્ડકેટ ઇંગ્લિશઃ પોલિગોન્સ એન્ડ પોલિહેડ્રાઃ થિયરી એન્ડ હિસ્ટ્રી. મોડેલોના ફોટોગ્રાફ્સઃ ટેફેલ VIII (પ્લેટ VIII), વગેરે. ઉચ્ચ રેઝ. સ્કેન કરે છે. એચ. એસ. એમ. કોક્સેટર, પેટ્રિક ડુ વેલ, એચ. ટી. ફ્લેધર, જે. એફ. પેટ્રી (1938) ધ ફિફ્ટી-નાઇન ઇકોસાહેદ્રા, યુનિવર્સિટી ઓફ ટોરોન્ટો સ્ટડીઝ, ગાણિતિક શ્રેણી 6:1-26. ત્રીજી આવૃત્તિ (1999) તારક્વિન વેનિંગર, મેગ્નસ જે. (1983) પોલિહેડ્રોન નમૂનાઓ; કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, પેપરબેક આવૃત્તિ (2003). . એ. એચ. વ્હીલર (1924) "આઇકોસાહેડ્રોનના અમુક સ્વરૂપો અને ઉચ્ચ પોલિહેડ્રા મેળવવા અને નિયુક્ત કરવાની પદ્ધતિ", પ્રોસિડિંગ્સ ઓફ ધ ઇન્ટરનેશનલ કોંગ્રેસ ઓફ મેથેમેટિસિયન્સ, ટોરોન્ટો, વોલ્યુમ. 1, pp 701-708. બાહ્ય કડીઓ આઇકોસાહેડ્રોનના ઉદાહરણ સ્ટેલેશન આઇકોસાહેડ્રોન જ્યોર્જ હાર્ટના નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન સ્ટેલેશનના 59 સ્ટેલેશન, આઇકોસાહેડ્રોનના 59 સ્ટેલેશન-વી. આર. એમ. એલ. 3ડી ફાઇલો. પોલિહેડ્રલ સ્ટેલેશન ગણિત પુસ્તકો