Compass equivalence theorem
ભૂમિતિમાં, હોકાયંત્ર સમાનતા પ્રમેય હોકાયંત્ર અને સીધી ધારની રચનાઓમાં એક મહત્વપૂર્ણ નિવેદન છે. આ બાંધકામોમાં પ્લેટો દ્વારા જે સાધનની હિમાયત કરવામાં આવી છે તે વિભાજક અથવા તૂટી પડતું હોકાયંત્ર છે, એટલે કે, એક હોકાયંત્ર જે જ્યારે પણ તેને પૃષ્ઠ પરથી ઊંચકવામાં આવે ત્યારે "તૂટી જાય છે", જેથી તેનો સીધો ઉપયોગ અંતરને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે ન થઈ શકે. તેના સ્થિર છિદ્ર સાથે આધુનિક હોકાયંત્રનો ઉપયોગ સીધા અંતરને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે થઈ શકે છે અને તેથી તે વધુ શક્તિશાળી સાધન હોવાનું જણાય છે. જો કે, હોકાયંત્ર સમાનતા પ્રમેય જણાવે છે કે "આધુનિક હોકાયંત્ર" દ્વારા કોઈપણ બાંધકામ તૂટી રહેલા હોકાયંત્ર દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ સ્થાપિત કરીને બતાવી શકાય છે કે તૂટી રહેલા હોકાયંત્ર સાથે, સમતલમાં એક વર્તુળ આપવામાં આવે તો, સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ પર કેન્દ્રિત સમાન ત્રિજ્યાનું બીજું વર્તુળ બનાવવું શક્ય છે. આ પ્રમેય યુક્લિડ એલિમેન્ટ્સના પુસ્તક I નો પ્રપોઝિશન II છે. આ પ્રમેયનો પુરાવો એક ચેકર ઇતિહાસ ધરાવે છે. બાંધકામ યુક્લિડ દ્વારા તેમના એલિમેન્ટ્સમાં નીચેની રચના અને ચોકસાઈનો પુરાવો આપવામાં આવ્યો છે. જો કે યુક્લિડની સારવારમાં ઘણા કિસ્સાઓ હોવાનું જણાય છે, અસ્પષ્ટ સૂચનાઓનું અર્થઘટન કરતી વખતે કરવામાં આવેલી પસંદગીઓના આધારે, તે બધા એક જ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે, અને તેથી, ચોક્કસ પસંદગીઓ નીચે આપવામાં આવી છે. આપેલ બિંદુઓ, અને, ત્રિજ્યાની લંબાઈ સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળ બનાવો (એટલે કે, ઘન લીલા વર્તુળની સમકક્ષ, પરંતુ કેન્દ્રમાં). કેન્દ્રમાં અને તેમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરો અને તેનાથી ઊલટું (લાલ વર્તુળો) દોરો. તેઓ બિંદુ પર આંતરછેદ કરશે અને સમબાહુ ત્રિકોણ બનાવશે. ભૂતકાળને વિસ્તૃત કરો અને લેબલ કરેલું અને વર્તુળનું આંતરછેદ શોધો. (વાદળી વર્તુળ) પર કેન્દ્રિત અને તેમાંથી પસાર થતું વર્તુળ બનાવો. ભૂતકાળને વિસ્તૃત કરો અને લેબલ કરેલું અને વર્તુળનું આંતરછેદ શોધો. (બિંદુવાળું લીલું વર્તુળ) પર કેન્દ્રિત અને તેમાંથી પસાર થતું વર્તુળ બનાવો કારણ કે તે એક સમબાહુ ત્રિકોણ છે. કારણ કે અને આસપાસ એક વર્તુળ પર છે. તેથી, તા. કારણ કે તે વર્તુળ પર છે. તેથી, તા. સીધી ધાર વિના વૈકલ્પિક બાંધકામ સીધી ધારનો ઉપયોગ કર્યા વિના હોકાયંત્રની સમાનતા સાબિત કરવી શક્ય છે. આ મોહર-માસ્ચેરોની પ્રમેયના પુરાવાઓમાં "નિશ્ચિત હોકાયંત્ર" ચાલ (અલગ સ્થાન પર આપેલ ત્રિજ્યાના વર્તુળનું નિર્માણ) ના ઉપયોગને ન્યાયી ઠેરવે છે, જે જણાવે છે કે સીધી ધાર અને હોકાયંત્ર સાથે શક્ય કોઈપણ બાંધકામ માત્ર હોકાયંત્ર દ્વારા જ પૂર્ણ કરી શકાય છે. આપેલ બિંદુઓ, અને, ત્રિજ્યા સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળ બનાવો, જેમાં માત્ર તૂટી રહેલા હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરો અને કોઈ સીધી ધાર ન હોય. કેન્દ્રમાં અને તેમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરો અને તેનાથી ઊલટું (વાદળી વર્તુળો) દોરો. તેઓ બિંદુઓ અને પર આંતરછેદ કરશે. કેન્દ્રો પર અને (લાલ વર્તુળો) સાથે વર્તુળો દોરો. તેમના અન્ય આંતરછેદને લેબલ કરો. કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું વર્તુળ (લીલું વર્તુળ) દોરો. આ જરૂરી વર્તુળ છે. આ રચનાની ચોકસાઈના ઘણા પુરાવા છે અને તેને ઘણીવાર વાચક માટે એક કવાયત તરીકે છોડી દેવામાં આવે છે. અહીં પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરતી એક આધુનિક છે. રેખા એ લંબ દ્વિભાજક છે. આમ થ્રુ લાઇનનું પ્રતિબિંબ છે. બાંધકામ દ્વારા, તે થ્રુ લાઇનનું પ્રતિબિંબ છે. પ્રતિબિંબ એક આઇસોમેટ્રી હોવાથી, તે ઇચ્છાનુસાર તેને અનુસરે છે. સંદર્ભો હોકાયંત્ર અને સીધી ધારની રચનાઓ