Heteroskedasticity-consistent standard errors
રેખીય રીગ્રેસન અને સમય શ્રેણી વિશ્લેષણના સંદર્ભમાં આંકડાશાસ્ત્ર અને ઇકોનોમેટ્રિક્સમાં હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-કોન્સિસ્ટન્ટ (એચસી) પ્રમાણભૂત ભૂલોનો વિષય ઊભો થાય છે. ફ્રીડહેલ્મ ઐકેર, પીટર જે. હ્યુબેર અને હેલ્બર્ટ વ્હાઇટના યોગદાનને ઓળખવા માટે આને હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-રોબસ્ટ પ્રમાણભૂત ભૂલો (અથવા ફક્ત મજબૂત પ્રમાણભૂત ભૂલો), ઐકેર-હ્યુબર-વ્હાઇટ પ્રમાણભૂત ભૂલો (હ્યુબર-વ્હાઇટ પ્રમાણભૂત ભૂલો અથવા વ્હાઇટ પ્રમાણભૂત ભૂલો પણ) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. રીગ્રેસન અને ટાઇમ-સિરીઝ મોડેલિંગમાં, મોડેલોના મૂળભૂત સ્વરૂપો એવી ધારણાનો ઉપયોગ કરે છે કે ભૂલો અથવા વિક્ષેપ તમામ નિરીક્ષણ બિંદુઓમાં સમાન તફાવત ધરાવે છે. જ્યારે આ કિસ્સો ન હોય ત્યારે, ભૂલોને હેટેરોસ્કેડેસ્ટિક અથવા હેટેરોસ્કેડેસ્ટિસિટી હોવાનું કહેવાય છે, અને આ વર્તન ફીટ કરેલા મોડેલમાંથી અંદાજિત અવશેષોમાં પ્રતિબિંબિત થશે. હેટરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલોનો ઉપયોગ એવા મોડેલની ફિટિંગને મંજૂરી આપવા માટે થાય છે જેમાં હેટરોસ્કેડાસ્ટિક અવશેષો હોય છે. આ પ્રકારનો પ્રથમ અભિગમ હ્યુબર (1967) દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો, અને ત્યારથી ક્રોસ-સેક્શનલ ડેટા, ટાઇમ-સિરીઝ ડેટા અને GARCH અંદાજ માટે વધુ સુધારેલી પ્રક્રિયાઓ તૈયાર કરવામાં આવી છે. હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલો જે શાસ્ત્રીય પ્રમાણભૂત ભૂલોથી અલગ હોય છે તે મોડેલની ખોટી વ્યાખ્યા સૂચવી શકે છે. હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલોને બદલવાથી આ ખોટી વિગતવાર વર્ણનનું સમાધાન થતું નથી, જે ગુણાંકમાં પૂર્વગ્રહ તરફ દોરી શકે છે. મોટાભાગની પરિસ્થિતિઓમાં, સમસ્યાને શોધી કાઢવી જોઈએ અને તેને ઠીક કરવી જોઈએ. અન્ય પ્રકારના પ્રમાણભૂત ભૂલ ગોઠવણો, જેમ કે ક્લસ્ટર્ડ પ્રમાણભૂત ભૂલો અથવા એચ. એ. સી. પ્રમાણભૂત ભૂલો, એચ. સી. પ્રમાણભૂત ભૂલોના વિસ્તરણ તરીકે ગણી શકાય. ઇતિહાસ હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-સુસંગત પ્રમાણભૂત ભૂલો ફ્રીડહેલ્મ ઈકર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી છે, અને હેલ્બર્ટ વ્હાઇટ દ્વારા ઇકોનોમેટ્રિક્સમાં લોકપ્રિય કરવામાં આવી છે. સમસ્યા સ્કેલર માટે રેખીય રીગ્રેસન મોડેલનો વિચાર કરો. જ્યાં વ્યાખ્યાત્મક ચલ (લક્ષણો) નું k x 1 સ્તંભ વેક્ટર છે, તે અંદાજિત કરવાના પરિમાણોનું k × 1 સ્તંભ વેક્ટર છે, અને તે શેષ ભૂલ છે. ઓર્ડિનરી લીસ્ટ સ્ક્વેર્સ (OLS) એસ્ટિમેટર એ છે કે જ્યાં અવલોકનોનો વેક્ટર છે, અને ડેટામાં જોવા મળતા સ્ટેક્ડ મૂલ્યોના મેટ્રિક્સને સૂચવે છે. જો નમૂનાની ભૂલોમાં સમાન તફાવત હોય અને તે અસંબદ્ધ હોય, તો પછી ઓછામાં ઓછો ચોરસ અંદાજ BLUE (શ્રેષ્ઠ રેખીય નિષ્પક્ષ અંદાજક) છે, અને તેના તફાવતનો અંદાજ રીગ્રેસન અવશેષો ક્યાં છે તેની સાથે કરવામાં આવે છે. જ્યારે ભૂલની શરતોમાં સતત તફાવત ન હોય (એટલે કે, ની ધારણા ખોટી છે), ત્યારે OLS અંદાજકાર તેના ઇચ્છનીય ગુણધર્મો ગુમાવે છે. ભિન્નતા માટેનું સૂત્ર હવે સરળ બનાવી શકાતું નથીઃ જ્યાં OLS બિંદુ અંદાજકાર નિષ્પક્ષ રહે છે, તે લઘુત્તમ સરેરાશ વર્ગ ભૂલ હોવાના અર્થમાં "શ્રેષ્ઠ" નથી, અને OLS ભિન્નતા અંદાજકાર OLS અંદાજોના ભિન્નતાનો સુસંગત અંદાજ પ્રદાન કરતું નથી. કોઈપણ બિન-રેખીય મોડેલ માટે (દાખલા તરીકે લોગિટ અને પ્રોબિટ મોડેલ્સ), જોકે, હેટેરોસ્કેડેસ્ટિસિટી વધુ ગંભીર પરિણામો ધરાવે છેઃ પરિમાણોના મહત્તમ સંભાવના અંદાજો પક્ષપાતી (અજ્ઞાત દિશામાં) તેમજ અસંગત (જ્યાં સુધી શક્યતા કાર્યને યોગ્ય રીતે ધ્યાનમાં લેવા માટે સુધારવામાં ન આવે ત્યાં સુધી) હેટેરોસ્કેડેસ્ટિસિટીનું ચોક્કસ સ્વરૂપ). ગ્રીન દ્વારા સૂચવ્યા મુજબ, "અન્યથા અસંગત અંદાજકાર માટે મજબૂત સહપરિવર્તન મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાથી તેને મુક્તિ મળતી નથી". ઉકેલ જો પ્રતિગમન ભૂલો સ્વતંત્ર હોય, પરંતુ તેમાં અલગ ભિન્નતા હોય, તો જેની સાથે અંદાજ લગાવી શકાય છે. આ વ્હાઇટનો (1980) અંદાજ પૂરો પાડે છે, જેને ઘણીવાર એચસીઈ (હેટેરોસ્કેડેસ્ટિસિટી-સુસંગત અંદાજ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છેઃ જ્યાં ઉપર મુજબ ડેટામાંથી સ્ટેક્ડ મૂલ્યોના મેટ્રિક્સને સૂચવે છે. અંદાજકર્તાને ક્ષણોની સામાન્યીકૃત પદ્ધતિ (જી. એમ. એમ.) ની દ્રષ્ટિએ મેળવી શકાય છે. સાહિત્યમાં પણ ઘણીવાર ચર્ચા કરવામાં આવે છે (વ્હાઇટના પેપર સહિત)-સુસંગત મર્યાદિત વિતરણનું સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ છેઃ ક્યાં અને આમ, અને ચોક્કસપણે કયા સહપ્રસરણ મેટ્રિક્સ ચિંતાનો વિષય છે તે સંદર્ભની બાબત છે. મેકકિનન એન્ડ વ્હાઇટ (1985) માં વૈકલ્પિક અંદાજકારોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી છે જે વિવિધ લીવરેજને કારણે રીગ્રેસન અવશેષોના અસમાન ભિન્નતા માટે યોગ્ય છે. એસિમ્પ્ટોટિક વ્હાઇટના અંદાજકારથી વિપરીત, જ્યારે ડેટા હોમોસેડેસ્ટિક હોય ત્યારે તેમના અંદાજકાર નિષ્પક્ષ હોય છે. ચાર વ્યાપક રીતે ઉપલબ્ધ વિવિધ વિકલ્પોમાંથી, જેને ઘણીવાર એચસી0-એચસી3 તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, એચસી3 સ્પષ્ટીકરણ શ્રેષ્ઠ રીતે કામ કરે છે, પરીક્ષણો એચસી3 અંદાજકાર પર આધાર રાખે છે જે વધુ સારી શક્તિ અને લક્ષિત કદની નજીક છે, ખાસ કરીને નાના નમૂનાઓમાં. જેટલા મોટા નમૂના, તેટલા નાના વિવિધ અંદાજકર્તાઓ વચ્ચેનો તફાવત. હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટીનું સ્પષ્ટ રીતે મોડેલિંગ કરવાનો વિકલ્પ વાઇલ્ડ બૂટસ્ટ્રેપ જેવી રીસેમ્પલિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો છે. સ્ટુડન્ટાઇઝ્ડ બૂટસ્ટ્રેપ, જે તેની પ્રમાણભૂત ભૂલ દ્વારા રીસેમ્પલ્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સને પ્રમાણિત કરે છે, તે એસિમ્પ્ટોટિક રિફાઇનમેન્ટ આપે છે, તેમ છતાં હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી-રોબસ્ટ પ્રમાણભૂત ભૂલો ઉપયોગી રહે છે. હેટેરોસ્કેડેસ્ટિક ભૂલોને ધ્યાનમાં લેવાને બદલે, મોટાભાગના રેખીય મોડેલોને હોમોસ્કેડેસ્ટિક ભૂલની શરતોમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે (જ્યાં સુધી ભૂલ શબ્દ બાંધકામ દ્વારા હેટેરોસ્કેડેસ્ટિક ન હોય, દા. ત. રેખીય સંભાવના મોડેલમાં). આવું કરવાની એક રીત વજનવાળા ઓછામાં ઓછા ચોરસનો ઉપયોગ કરવાનો છે, જેમાં કાર્યક્ષમતાના સુધારેલા ગુણધર્મો પણ છે. ડેલ્ટા પદ્ધતિ પણ જુઓ જનરલાઈઝ્ડ લીસ્ટ સ્ક્વેર્સ જનરલાઈઝ્ડ એસ્ટિમેટિંગ સમીકરણો વેઇટેડ લીસ્ટ સ્ક્વેર્સ, એક વૈકલ્પિક ફોર્મ્યુલેશન વ્હાઇટ ટેસ્ટ-હેટેરોસ્કેડાસ્ટિસિટી હાજર છે કે કેમ તે માટેની કસોટી. નેવે-વેસ્ટ અંદાજકાર અર્ધ-મહત્તમ સંભાવના અંદાજ સોફ્ટવેર ઇવીવ્ઝઃ ઇવીવ્ઝ વર્ઝન 8 મજબૂત લઘુત્તમ ચોરસ માટે ત્રણ અલગ અલગ પદ્ધતિઓ પ્રદાન કરે છેઃ એમ-અંદાજ (હ્યુબર, 1973), એસ-અંદાજ (રુસીઉ અને યોહાઈ, 1984), અને એમ. એમ.-અંદાજ (યોહાઈ 1987). જુલિયાઃ કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ પેકેજ હેટેરોસ્કેડેસ્ટિક મજબૂત વેરિયન્સ કોવેરિયન્સ મેટ્રિક્સ માટે ઘણી પદ્ધતિઓ પ્રદાન કરે છે. MATLAB: ઇકોનોમેટ્રિક્સ ટૂલબોક્સમાં એચએસી કાર્ય જુઓ. પાયથોનઃ સ્ટેટસ્મોડેલ પેકેજ વિવિધ મજબૂત પ્રમાણભૂત ભૂલ અંદાજો પ્રદાન કરે છે, વધુ વર્ણન માટે statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults જુઓ R: પેકેજમાંથી vcovHC () આદેશ. RATS: વિકલ્પ ઘણા રીગ્રેસન અને ઓપ્ટિમાઇઝેશન આદેશો (,, વગેરે) માં ઉપલબ્ધ છે. સ્થિતિઃ ઘણી બનાવટી-આજીવિકા આધારિત પ્રક્રિયાઓમાં લાગુ પડતો મજબૂત વિકલ્પ. ગ્રેટલઃ વિકલ્પ-- ક્રોસ-વિભાગીય ડેટાસેટના સંદર્ભમાં કેટલાક અંદાજ આદેશો (જેમ કે ઓએલએસ) પર બ્રોસ્ટ મજબૂત પ્રમાણભૂત ભૂલો પેદા કરે છે. સંદર્ભો વધુ વાંચન બુજા, એન્ડ્રેસ, વગેરે. "અંદાજો તરીકે નમૂનાઓ-રીગ્રેસનમાં શાસ્ત્રીય અનુમાન સામે રેન્ડમ રીગ્રેસર અને મોડેલ વિચલનોનું કાવતરું". આંકડાકીય વિજ્ઞાન (2015): 1. પી. ડી. એફ. રીગ્રેસન વિશ્લેષણ એક સાથે સમીકરણ પદ્ધતિઓ (ઇકોનોમેટ્રિક્સ) અંદાજ પદ્ધતિઓ સમય શ્રેણી માળખા સાથે રીગ્રેસન