Tits alternative
ગણિતમાં, ટિટ્સ વૈકલ્પિક, જેક્સ ટિટ્સના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, તે મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલ રેખીય જૂથોની રચના વિશે એક મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય છે. નિવેદન ટિટ્સ દ્વારા સાબિત થયેલ પ્રમેય નીચે મુજબ વર્ણવવામાં આવ્યો છે. પરિણામ એક રેખીય જૂથ જો અને માત્ર ત્યારે જ અનુકૂળ ન હોય જો તેમાં બિન-એબેલિયન મુક્ત જૂથ હોય (આમ વોન ન્યુમેન અનુમાન, સામાન્ય રીતે સાચું ન હોવા છતાં, રેખીય જૂથો માટે માન્ય હોય). બહુપદી વૃદ્ધિના જૂથો પર ગ્રોમોવના પ્રમેયના પુરાવામાં ટિટ્સ વૈકલ્પિક એક મહત્વપૂર્ણ ઘટક છે. હકીકતમાં વૈકલ્પિક અનિવાર્યપણે રેખીય જૂથો માટે પરિણામ સ્થાપિત કરે છે (તે તેને ઉકેલવા યોગ્ય જૂથોના કિસ્સામાં ઘટાડે છે, જેની સાથે પ્રાથમિક માધ્યમો દ્વારા વ્યવહાર કરી શકાય છે). સામાન્યીકરણ ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતમાં, જૂથ G એ ટિટ્સ વિકલ્પને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે જો G ના દરેક પેટાજૂથ H માટે ક્યાં તો H વર્ચ્યુઅલ રીતે ઉકેલવા યોગ્ય હોય અથવા H માં નોનબેલિયન મુક્ત પેટાજૂથ હોય (વ્યાખ્યાના કેટલાક સંસ્કરણોમાં આ શરત માત્ર G ના તમામ મર્યાદિત રીતે ઉત્પન્ન થયેલા પેટાજૂથો માટે સંતોષવાની જરૂર છે). ટિટ્સ વિકલ્પને સંતોષતા જૂથોના ઉદાહરણો કે જે કાં તો રેખીય નથી, અથવા ઓછામાં ઓછા રેખીય હોવાનું જાણીતું નથી, તે છેઃ હાયપરબોલિક જૂથો વર્ગ જૂથોનું મેપિંગ; આઉટ (Fn); બીજગણિત સપાટીઓના દ્વિવાર્ષિક પરિવર્તનના અમુક જૂથો. ટિટ્સ વિકલ્પને સંતોષતા ન હોય તેવા જૂથોના ઉદાહરણો છેઃ ગ્રિગોરચુક જૂથ; થોમ્પસનનું જૂથ એફ. પુરાવો મૂળ ટિટ્સ વિકલ્પનો પુરાવો ઝરીસ્કી ક્લોઝર ઓફ ઇનને જોઈને છે. જો તે ઉકેલવા યોગ્ય હોય તો જૂથ ઉકેલવા યોગ્ય છે. નહિંતર કોઈ લેવી ઘટકની છબીને જુએ છે. જો તે બિન-કોમ્પેક્ટ હોય તો પિંગ-પૉંગ દલીલ સાબિતીને સમાપ્ત કરે છે. જો તે કોમ્પેક્ટ હોય તો કાં તો છબીમાંના તત્વોના તમામ આઈગન વેલ્યુ એકતાના મૂળ છે અને પછી છબી મર્યાદિત છે, અથવા કોઈ એવી એમ્બેડિંગ શોધી શકે છે જેમાં કોઈ વ્યક્તિ પિંગ-પૉંગ વ્યૂહરચનાને લાગુ કરી શકે છે. નોંધ લો કે ઉપરોક્ત તમામ સામાન્યીકરણોનો પુરાવો પણ પિંગ-પૉંગ દલીલ પર આધારિત છે. સંદર્ભો અનંત જૂથ સિદ્ધાંત ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંત સમૂહ સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયો