Erdős–Diophantine graph
એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખ એ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણોના ગાણિતિક વિષયમાં એક પદાર્થ છે જેમાં સમતલમાં પૂર્ણાંક અંતર પર પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સમૂહ હોય છે જેને કોઈ વધારાના બિંદુઓ દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાતો નથી. સમાનરૂપે, ભૌમિતિક આલેખ સિદ્ધાંતમાં, તેને પૂર્ણાંક ચોરસ ગ્રીડ પર સ્થિત શિરોબિંદુઓ સાથે સંપૂર્ણ ગ્રાફ તરીકે વર્ણવી શકાય છે, જેમ કે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના તમામ પરસ્પર અંતર પૂર્ણાંક હોય છે, જ્યારે અન્ય તમામ ગ્રીડ બિંદુઓ ઓછામાં ઓછા એક શિરોબિંદુ સુધી બિન-પૂર્ણાંક અંતર ધરાવે છે. એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખનું નામ એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના પોલ એર્ડોસ અને ડાયોફેન્ટસના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તેઓ ડાયોફેન્ટાઇન આકૃતિઓના સમૂહનો સબસેટ બનાવે છે, જેને ડાયોફેન્ટાઇન સમતલમાં સંપૂર્ણ આલેખ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેના માટે તમામ ધારની લંબાઈ પૂર્ણાંકો (એકમ અંતર આલેખ) હોય છે. આમ, એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખ બરાબર ડાયોફેન્ટાઇન આંકડાઓ છે જેને વિસ્તૃત કરી શકાતા નથી. એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખનું અસ્તિત્વ એર્ડોસ-એનિંગ પ્રમેયને અનુસરે છે, જે મુજબ અનંત ડાયોફેન્ટાઇન આંકડાઓ ડાયોફેન્ટાઇન સમતલમાં સમરેખીય હોવા જોઈએ. તેથી, શિરોબિંદુઓ ઉમેરીને બિન-સમરેખીય ડાયોફેન્ટાઇન આકૃતિને લંબાવવાની કોઈપણ પ્રક્રિયા આખરે એક આકૃતિ સુધી પહોંચવી જોઈએ જેને હવે લંબાવી શકાતી નથી. ઉદાહરણો શૂન્ય અથવા એક બિંદુના કોઈપણ સમૂહને તુચ્છ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને બે બિંદુઓના કોઈપણ ડાયોફેન્ટાઇન સમૂહને સમાન રેખા પર વધુ બિંદુઓ દ્વારા વિસ્તૃત કરી શકાય છે. તેથી, ત્રણ કરતા ઓછા ગાંઠોવાળા તમામ ડાયોફેન્ટાઇન સમૂહોને વિસ્તૃત કરી શકાય છે, તેથી ત્રણથી ઓછા ગાંઠો પર એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકતા નથી. આંકડાકીય શોધ દ્વારા, દર્શાવ્યું છે કે ત્રણ-નોડ એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. સૌથી નાનો એર્દોસ-ડાયોફેન્ટાઇન ત્રિકોણ ધાર લંબાઈ 2066,1803 અને 505 દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. આગામી મોટા એર્દોસ-ડાયોફેન્ટાઇન ત્રિકોણની ધાર 2549,2307 અને 1492 છે. બંને કિસ્સાઓમાં, ત્રણ ધાર-લંબાઈનો સરવાળો સરખો છે. બ્રાંચેવાએ સાબિત કર્યું છે કે આ ગુણધર્મ તમામ એર્દોસ-ડાયોફેન્ટાઇન ત્રિકોણ માટે છે. વધુ સામાન્ય રીતે, એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન આલેખમાં કોઈપણ બંધ માર્ગની કુલ લંબાઈ હંમેશા સરખી હોય છે. 4-નોડ એર્ડોસ-ડાયોફેન્ટાઇન ગ્રાફનું ઉદાહરણ 4 અને 3 બાજુઓ સાથે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત ચાર નોડ દ્વારા રચાયેલા સંપૂર્ણ ગ્રાફ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સંદર્ભો ડાયોફેન્ટાઇન આલેખ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો બીજગણિત ભૂમિતિ અલગ ભૂમિતિ ભૌમિતિક આલેખ સમતલ ભૂમિતિના અંકગણિત સમસ્યાઓ