Subnet (mathematics)
ટોપોલોજી અને ગણિતના સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં, સબનેટ એ જાળીના કિસ્સામાં અનુગામીની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે. જાળી માટે "અનુગામી" નું એનાલોગ એ "સબનેટ" ની કલ્પના છે. વ્યાખ્યા સંપૂર્ણપણે સીધી નથી, પરંતુ અનુગામીઓ વિશેના ઘણા પ્રમેયોને શક્ય તેટલી જાળીમાં સામાન્ય બનાવવાની મંજૂરી આપવા માટે રચાયેલ છે. "સબનેટ" ની ત્રણ બિન-સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ છે. સબનેટની પ્રથમ વ્યાખ્યા 1955માં જ્હોન એલ. કેલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી અને બાદમાં, સ્ટીફન વિલાર્ડે 1970માં કેલીની વ્યાખ્યાનો પોતાનો (બિન-સમકક્ષ) પ્રકાર રજૂ કર્યો હતો. વિલાર્ડના અર્થમાં સબનેટ્સ અને કેલીના અર્થમાં સબનેટ્સ એ "સબનેટ" ની સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી વ્યાખ્યાઓ છે પરંતુ તે દરેક "ગૌણ ફિલ્ટર" ની વિભાવનાની સમકક્ષ છે, જે ગાળકો માટે "અનુગામી" નું એનાલોગ છે (તેઓ આ અર્થમાં સમકક્ષ નથી કે ગૌણ ગાળકો અસ્તિત્વમાં છે જેમના ફિલ્ટર/ગૌણ-ફિલ્ટર સંબંધને અનુરૂપ નેટ/સબનેટ સંબંધની દ્રષ્ટિએ વર્ણવી શકાતા નથી). "સબનેટ" ની ત્રીજી વ્યાખ્યા (કેલી અથવા વિલાર્ડ દ્વારા આપવામાં આવેલી સમકક્ષ નહીં) કે જે "ગૌણ ફિલ્ટર" ની વિભાવનાની સમકક્ષ છે તે સ્મીલી (1957), આર્નેસ એન્ડ એન્ડેનેસ (1972), મુર્ડેશ્વર (1983) અને સંભવતઃ અન્ય લોકો દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે રજૂ કરવામાં આવી હતી, જોકે તેનો વારંવાર ઉપયોગ થતો નથી. આ લેખ વિલાર્ડને કારણે વ્યાખ્યાની ચર્ચા કરે છે (અન્ય વ્યાખ્યાઓ topology#Subnets માં લેખ ફિલ્ટરમાં વર્ણવવામાં આવી છે). વ્યાખ્યાઓ "સબનેટ" ની ઘણી જુદી જુદી બિન-સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ છે અને આ લેખમાં સ્ટીફન વિલાર્ડ દ્વારા 1970માં રજૂ કરવામાં આવેલી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે, જે નીચે મુજબ છેઃ જો અને અનુક્રમે નિર્દેશિત સમૂહોમાંથી સમૂહમાં જાળી હોય, તો પછી એ (અથવા એ) નું કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એક મોનોટોન અંતિમ કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે એ કાર્ય છે, અને જ્યારે પણ અને તેને કહેવામાં આવે છે જો તેની છબી સહ-અંતિમ હોય. સ્પષ્ટ રીતે, ક્રમને a કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો સખત રીતે વધતો ક્રમ અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે દરેક માટે (એટલે કે, જેમ કે). આમ ક્રમ એ જો અને માત્ર ત્યારે જ એક અનુગામી છે જો ત્યાં સખત રીતે વધતા કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે અનુગામીઓ સબનેટ હોય દરેક અનુગામી એક સબનેટ છે કારણ કે જો તે અનુગામી હોય તો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નકશો એક ક્રમ-સંરક્ષિત નકશો છે જેની છબી તેના કોડોમેનમાં સહ-અંતિમ છે અને તમામ અનુક્રમ અને સબનેટ માટે સંતોષ આપે છે પરંતુ અનુગામી નથી અનુક્રમ એ સબનેટ હોવા છતાં અનુગામી નથી કારણ કે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નકશો એક ક્રમ-સંરક્ષિત નકશો છે જેની છબી બધા માટે છે અને સંતોષ આપે છે. મુખ્ય તફાવત એ છે કે સબનેટ નેટમાં એક જ બિંદુનો ઘણી વખત ઉપયોગ કરી શકે છે અને સબનેટના અનુક્રમણિકા સમૂહમાં ઘણી મોટી કાર્ડિનાલિટી હોઈ શકે છે. વધુ સામાન્ય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને જ્યાં આપણને એકવિધતાની જરૂર નથી, એક ક્રમ એ આપેલ ક્રમનું સબનેટ છે, જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે તેની શરતોને પુનરાવર્તિત કરીને અને તેમને ફરીથી ગોઠવીને કેટલાક અનુગામીમાંથી મેળવી શકાય. ક્રમની સબનેટ કે જે ક્રમ નથી એ ક્રમની સબનેટ એ જરૂરી રીતે એક ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સામાન્ય ક્રમ દ્વારા નિર્દેશિત કરીએ અને પછીની ટોચમર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ તે એક ક્રમ-જાળવણી નકશો છે (કારણ કે તે બિન-ઘટતું કાર્ય છે) જેની છબી તેના કોડોમેનનો સહ-અંતિમ સબસેટ છે. ચાલો કોઈપણ ક્રમ (જેમ કે અચળ ક્રમ, ઉદાહરણ તરીકે) અને દરેક માટે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચાલો). આ નેટ કોઈ ક્રમ નથી કારણ કે તેનું ડોમેન અગણિત સમૂહ છે. જો કે, તે અનુક્રમનું સબનેટ છે કારણ કે (વ્યાખ્યા દ્વારા) દરેક માટે ધરાવે છે. વધુમાં, ક્રમ પણ એક સબનેટ છે કારણ કે સમાવેશ નકશો (જે મોકલે છે) એક ક્રમ-જાળવણી નકશો છે જેની છબી તેના કોડોમેનનો સહ-અંતિમ સબસેટ છે અને બધા માટે ધરાવે છે આમ અને (વારાફરતી) એકબીજાના સબનેટ છે. ઉપગણ દ્વારા પ્રેરિત ઉપગણ ધારો કે તે એક અનંત સમૂહ છે અને તે એક ક્રમ છે. પછી તેના પર એક જાળી પણ છે (સમાવેશ નકશો તરીકે લો). આ સબનેટ બદલામાં સૌથી નાના મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને અનુગામીને પ્રેરિત કરે છે (એટલે કે, દરેક પૂર્ણાંક માટે દો અને દો). આ રીતે, દરેક અનંત સબસેટ એક કેનોનિકલ સબનેટને પ્રેરિત કરે છે જેને અનુગામી તરીકે લખી શકાય છે. જો કે, નીચે દર્શાવ્યા મુજબ, અનુક્રમનું દરેક સબનેટ અનુગામી નથી. એપ્લિકેશન્સ વ્યાખ્યા અનુગામીઓ વિશેના કેટલાક મુખ્ય પ્રમેયોને સામાન્ય બનાવે છેઃ જો અને માત્ર ત્યારે જ ચોખ્ખું એક ક્લસ્ટર બિંદુ ધરાવે છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની પાસે એક સબનેટ હોય જે એક ટોપોલોજિકલ સ્પેસમાં એકરૂપ થાય તો જ કોમ્પેક્ટ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો દરેક નેટમાં કન્વર્જન્ટ સબનેટ હોય (સાબિતી માટે ચોખ્ખું જુઓ). "સબનેટ" ની વ્યાખ્યામાં ઓળખ નકશાને ધ્યાનમાં લેતા અને a ની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે, જે અપૂરતી સાબિત થાય છે, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે આપણી જાતને કો-ફાઇનલ સબનેટ સુધી મર્યાદિત રાખીએ તો ઉપરનું બીજું પ્રમેય ટાયકોનોફ પાટિયું માટે નિષ્ફળ જાય છે. ક્લસ્ટરિંગ અને ક્લોઝર જો સબસેટમાં નેટ હોય અને જો ક્લસ્ટર પોઇન્ટ હોય તો બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સબસેટમાં નેટનો દરેક ક્લસ્ટર પોઇન્ટ તે સેટના ક્લોઝર સાથે સંબંધિત છે. જો ચોખ્ખો હોય તો અંદરના તમામ ક્લસ્ટર બિંદુઓનો સમૂહ દરેક કન્વર્જન્સ વિરુદ્ધ ક્લસ્ટરિંગ માટે ક્યાં બરાબર છે. સામાન્ય રીતે વિપરીતની ખાતરી આપવામાં આવતી નથી. એટલે કે, જાળીનો સમૂહ બિંદુ બનવું શક્ય છે, પરંતુ તેમાં એકરૂપ થવું શક્ય છે. જો કે, જો ક્લસ્ટરો હોય તો ત્યાં એક સબનેટ અસ્તિત્વમાં હોય છે જે તેમાં એકરૂપ થાય છે. આ સબનેટને સ્પષ્ટ રીતે નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છે અને પડોશી ફિલ્ટર નીચે પ્રમાણે છેઃ તે પછી અને તે એક સબનેટ છે તે જાહેર કરીને નિર્દેશિત સમૂહ બનાવો કારણ કે નકશો એક મોનોટોન કાર્ય છે જેની છબી સહ-અંતિમ સબસેટ છે અને આમ, એક બિંદુ એ આપેલ જાળીનો સમૂહ બિંદુ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તેની પાસે એક સબનેટ હોય જે પણ જોવા માટે એકરૂપ થાય છે.