Filling radius
રીમાનિયન ભૂમિતિમાં, રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ X ની ભરણ ત્રિજ્યા એ X ની મેટ્રિક અપરિવર્તનશીલ છે. તે મૂળરૂપે 1983 માં મિખાઇલ ગ્રોમોવ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે તેનો ઉપયોગ આવશ્યક મેનીફોલ્ડ્સ માટે તેમની સિસ્ટોલિક અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે કર્યો હતો, લોવેનરની ટોરસ અસમાનતા અને વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન માટે પુની અસમાનતાને વ્યાપકપણે સામાન્ય બનાવી હતી અને તેના આધુનિક સ્વરૂપમાં સિસ્ટોલિક ભૂમિતિ બનાવી હતી. સમતલમાં સરળ લૂપ C ની ભરવાની ત્રિજ્યાને વર્તુળની સૌથી મોટી ત્રિજ્યા, R> 0 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે C ની અંદર બંધબેસે છેઃ પડોશ દ્વારા બેવડી વ્યાખ્યા ત્યાં એક પ્રકારનો બેવડા દ્રષ્ટિકોણ છે જે વ્યક્તિને આ કલ્પનાને અત્યંત ફળદાયી રીતે સામાન્ય બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, જેમ કે ગ્રોમોવ દ્વારા બતાવવામાં આવ્યું છે. એટલે કે, આપણે લૂપ C ના-પડોશીઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જે સૂચવવામાં આવે છે જેમ જેમ વધે છે તેમ,-પડોશી લૂપના આંતરિક ભાગને વધુને વધુ ગળી જાય છે. ગળી જવાનો છેલ્લો બિંદુ ચોક્કસપણે સૌથી મોટા અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. તેથી, આપણે ઉપરની વ્યાખ્યાને અનંત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સુધારી શકીએ છીએ જેથી લૂપ સી એક બિંદુ સુધી સંકોચાય. યુક્લિડિયન જગ્યા E માં સમાયેલ કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડ X ને જોતાં, આપણે પડોશના કદને ઘટાડીને, જેમાં X ને નાના પરિમાણીય કંઈક, દા. ત., લોઅર-ડાયમેન્શનલ પોલિહેડ્રોન સાથે સમરૂપ કરી શકાય છે, તે એમ્બેડિંગની સાપેક્ષમાં ભરણ ત્રિજ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. તકનીકી રીતે સમરૂપ વ્યાખ્યા સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ છે. હોમોલોજીકલ વ્યાખ્યા ગુણાંક રિંગ A દ્વારા સૂચવે છે અથવા, X ઓરિએન્ટેબલ છે કે નહીં તેના આધારે. પછી કોમ્પેક્ટ એન-ડાયમેન્શનલ મેનીફોલ્ડ X નો મૂળભૂત વર્ગ, [X] સૂચવવામાં આવે છે, તે હોમોલોજી જૂથનું જનરેટર છે, અને આપણે સેટ કરીએ છીએ કે ઇન્ક્લુઝન હોમોમોર્ફિઝમ ક્યાં છે. એવી પરિસ્થિતિમાં સંપૂર્ણ ભરણ ત્રિજ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કે જ્યાં X એ રીમાનિયન મેટ્રિક ગ્રામથી સજ્જ છે, ગ્રોમોવ નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છે. એક કુરાટોવસ્કી એમ્બેડિંગનો ફાયદો ઉઠાવે છે. એક X પર બંધાયેલ બોરેલ વિધેયોની બનાચ જગ્યામાં X ને સમાવિષ્ટ કરે છે, જે સુપર ધોરણથી સજ્જ છે. એટલે કે, આપણે બધા માટેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય માટે એક બિંદુનો નકશો બનાવીએ છીએ, જ્યાં d એ મેટ્રિક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અંતર કાર્ય છે. ત્રિકોણ અસમાનતા દ્વારા આપણી પાસે છે અને તેથી એમ્બેડિંગ મજબૂત રીતે આઇસોમેટ્રિક છે, ચોક્કસ અર્થમાં કે આંતરિક અંતર અને આજુબાજુનું અંતર એક સાથે આવે છે. જો આજુબાજુની જગ્યા હિલ્બર્ટ જગ્યા હોય, તો X એ રીમાનિયન વર્તુળ હોય ત્યારે પણ (વિરોધી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 2 નહીં, 2 હોવું જોઈએ!), તો આટલું મજબૂત આઇસોમેટ્રિક એમ્બેડિંગ અશક્ય છે. પછી આપણે ઉપરના સૂત્રમાં સેટ કરીએ છીએ, અને ગુણધર્મોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કે ભરવાની ત્રિજ્યા વ્યાસના મહત્તમ ત્રીજા ભાગની હોય છે (કાટ્ઝ, 1983). સ્થિર વળાંકના મેટ્રિક સાથે વાસ્તવિક પ્રક્ષેપાત્મક જગ્યાની ભરવાની ત્રિજ્યા તેના રીમાનિયન વ્યાસનો ત્રીજો ભાગ છે, જુઓ (કાટ્ઝ, 1983). સમાનરૂપે, આ કિસ્સાઓમાં ભરણ ત્રિજ્યા સિસ્ટોલનો છઠ્ઠો ભાગ છે. 2π લંબાઈના રીમાનિયન વર્તુળની ભરવાની ત્રિજ્યા, એટલે કે. પ્રેરિત રીમાનિયન અંતર વિધેય સાથેનું એકમ વર્તુળ, π/3 બરાબર છે, એટલે કે. તેની લંબાઈનો છઠ્ઠો ભાગ. આ સિસ્ટોલ (ગ્રોમોવ, 1983) ની દ્રષ્ટિએ ગ્રોમોવની નીચલી બાઉન્ડ સાથે ઉપર ઉલ્લેખિત વ્યાસની ઉપરની બાઉન્ડને જોડીને અનુસરે છે, આવશ્યક મેનીફોલ્ડ M ની સિસ્ટોલ તેની ભરવાની ત્રિજ્યાના મહત્તમ છ ગણી હોય છે, જુઓ (ગ્રોમોવ, 1983). અસમાનતા એ અર્થમાં શ્રેષ્ઠ છે કે સમાનતાનો સીમા કેસ ઉપરોક્ત વાસ્તવિક પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. કોમ્પેક્ટ મેનીફોલ્ડની ઇન્જેક્ટિવિટી ત્રિજ્યા ભરણ ત્રિજ્યા પર નીચલી સીમા આપે છે. એટલે કે, આવશ્યક મેનીફોલ્ડ્સ માટે પૂરતા વિસ્તારનું અનુમાન ગ્રોમોવની સિસ્ટોલિક અસમાનતા પણ જુઓ સંદર્ભો ગ્રોમોવ, એમ.: રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સ ભરવું, જર્નલ ઓફ ડિફરન્શિયલ ભૂમિતિ 18 (1983), 1-147. કાટ્ઝ, એમ.: બે-બિંદુ સજાતીય જગ્યાઓની ભરવાની ત્રિજ્યા. જર્નલ ઓફ ડિફરન્શિયલ જીઓમેટ્રી 18, નંબર 3 (1983), 505-511. રીમાનિયન ભૂમિતિ વિભેદક ભૂમિતિ સિસ્ટોલિક ભૂમિતિ