Word (group theory)
જૂથ સિદ્ધાંતમાં, શબ્દ એ જૂથ તત્વો અને તેમના વ્યુત્ક્રમોનું કોઈપણ લેખિત ઉત્પાદન છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો x, y અને z એ G જૂથના ઘટકો હોય, તો xy, z − 1xz અને y − 1zx − 1yz − 1 એ સમૂહ {x, y, z} માં શબ્દો છે. બે જુદા જુદા શબ્દો G માં અથવા દરેક જૂથમાં પણ સમાન મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે. મુક્ત જૂથો અને પ્રસ્તુતિઓના સિદ્ધાંતમાં શબ્દો મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, અને સંયોજન જૂથ સિદ્ધાંતમાં અભ્યાસના કેન્દ્રિય પદાર્થો છે. વ્યાખ્યાઓ ધારો કે G એ એક જૂથ છે, અને S એ G નો સબસેટ છે. S માં એક શબ્દ એ સ્વરૂપની કોઈપણ અભિવ્યક્તિ છે જ્યાં s1,., sn એ S ના ઘટકો છે, જેને જનરેટર કહેવાય છે, અને દરેક εi એ ±1 છે. સંખ્યા n શબ્દની લંબાઈ તરીકે ઓળખાય છે. S માં દરેક શબ્દ G ના તત્વને રજૂ કરે છે, એટલે કે અભિવ્યક્તિનું ઉત્પાદન. પરંપરા દ્વારા, અનન્ય ઓળખ તત્વને ખાલી શબ્દ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જે લંબાઈ શૂન્યનો અનન્ય શબ્દ છે. સંકેતલિપી શબ્દો લખતી વખતે, સંક્ષિપ્ત તરીકે ઘાતાંકીય સંકેતલિપીનો ઉપયોગ કરવો સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, શબ્દને આ રીતે લખી શકાય છે આ પછીની અભિવ્યક્તિ પોતે એક શબ્દ નથી-તે ફક્ત મૂળ માટે ટૂંકા સંકેત છે. લાંબા શબ્દો સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે, S ના તત્વોના વ્યુત્ક્રમને સૂચવવા માટે ઓવરલાઇનનો ઉપયોગ કરવો મદદરૂપ થઈ શકે છે. ઓવરલાઇન નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, ઉપરોક્ત શબ્દ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશેઃ ઘટાડેલા શબ્દો કોઈપણ શબ્દ જેમાં જનરેટર તેના પોતાના વ્યુત્ક્રમ (xx−1 અથવા x−1x) ની બાજુમાં દેખાય છે તેને બિનજરૂરી જોડીને બાદ કરીને સરળ બનાવી શકાય છેઃ આ કામગીરીને ઘટાડો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને તે શબ્દ દ્વારા રજૂ કરાયેલા જૂથ તત્વને બદલતું નથી. ઘટાડાને સંબંધો (નીચે વ્યાખ્યાયિત) તરીકે વિચારી શકાય છે જે જૂથ સ્વયંસિદ્ધમાંથી અનુસરે છે. ઘટાડેલો શબ્દ એ એવો શબ્દ છે જેમાં કોઈ બિનજરૂરી જોડી નથી. ઘટાડાનો ક્રમ ચલાવીને કોઈપણ શબ્દને ઘટાડેલા શબ્દમાં સરળ બનાવી શકાય છેઃ પરિણામ તે ક્રમ પર આધારિત નથી જેમાં ઘટાડો કરવામાં આવે છે. જો શબ્દના દરેક ચક્રીય ક્રમચયને ઘટાડવામાં આવે તો જ શબ્દને ચક્રીય રીતે ઘટાડવામાં આવે છે. શબ્દો પરની ક્રિયાઓ બે શબ્દોનું ગુણાકાર સંયોજન દ્વારા મેળવવામાં આવે છેઃ જો બે શબ્દો ઘટાડવામાં આવે તો પણ ગુણાકાર ન પણ હોઈ શકે. દરેક જનરેટરને ઊંધું કરીને અને તત્વોના ક્રમને ઉલટાવીને શબ્દનો ઊલટું મેળવવામાં આવે છેઃ તેના ઊલટું સાથે શબ્દના ગુણાકારને ખાલી શબ્દમાં ઘટાડી શકાય છેઃ તમે જનરેટરને શબ્દની શરૂઆતથી અંત સુધી સંયોજન દ્વારા ખસેડી શકો છોઃ જૂથ G ના સમૂહ A સબસેટ S ને જનરેટ કરતા સમૂહને જનરેટિંગ સેટ કહેવામાં આવે છે જો G ના દરેક તત્વને S માં શબ્દ દ્વારા રજૂ કરી શકાય. જ્યારે S એ G માટે જનરેટિંગ સેટ ન હોય, ત્યારે S માં શબ્દો દ્વારા રજૂ કરાયેલા તત્વોનો સમૂહ એ G નું પેટા જૂથ છે, જેને S દ્વારા જનરેટેડ G ના પેટા જૂથ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે. તે G નું સૌથી નાનું પેટાજૂથ છે જે S ના ઘટકો ધરાવે છે. સામાન્ય સ્વરૂપો સમૂહ S ઉત્પન્ન કરવા સાથે G જૂથ માટે એક સામાન્ય સ્વરૂપ એ G ના દરેક તત્વ માટે S માં એક ઘટાડેલા શબ્દની પસંદગી છે. ઉદાહરણ તરીકેઃ 1, i, j, ij શબ્દો ક્લેઈન ચાર-જૂથ માટે સામાન્ય સ્વરૂપ છે જેમાં} અને 1 ખાલી શબ્દ (જૂથ માટે ઓળખ તત્વ) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. 1, r, r2,., rn-1, s, sr,., srn-1 શબ્દો ઉપર મુજબ ડાયહેડ્રલ જૂથ ડિહ્ન સાથે અને 1 માટે સામાન્ય સ્વરૂપ છે. m માટે xmyn સ્વરૂપના શબ્દોનો સમૂહ, n bul Z એ ચક્રીય જૂથોના સીધા ગુણાકાર માટે અને} સાથે સામાન્ય સ્વરૂપ છે. S માં ઘટાડેલા શબ્દોનો સમૂહ એ S પર મુક્ત જૂથ માટે અનન્ય સામાન્ય સ્વરૂપ છે. સંબંધો અને પ્રસ્તુતિઓ જો S એ G જૂથ માટે ઉત્પન્ન સમૂહ છે, તો સંબંધ એ S માં શબ્દોની જોડી છે જે G ના સમાન તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ સામાન્ય રીતે સમીકરણો તરીકે લખવામાં આવે છે, દા. ત. સંબંધોનો સમૂહ G ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જો G માં દરેક સંબંધ જૂથ માટે સ્વયંસિદ્ધ શબ્દોનો ઉપયોગ કરતા લોકોથી તાર્કિક રીતે અનુસરે છે. G માટે પ્રેઝન્ટેશન એ જોડી છે, જ્યાં S એ G માટે જનરેટિંગ સેટ છે અને સંબંધોનો વ્યાખ્યાયિત સમૂહ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્લેઇન ચાર-જૂથને પ્રસ્તુતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અહીં 1 ખાલી શબ્દને સૂચવે છે, જે ઓળખ તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. મુક્ત જૂથો જો S કોઈ સમૂહ હોય, તો S પર મુક્ત જૂથ પ્રસ્તુતિ સાથેનું જૂથ છે. એટલે કે, S પર મુક્ત જૂથ એ S ના ઘટકો દ્વારા પેદા થયેલ જૂથ છે, જેમાં કોઈ વધારાના સંબંધો નથી. મુક્ત જૂથના દરેક તત્વને એસ માં ઘટાડેલા શબ્દ તરીકે અનન્ય રીતે લખી શકાય છે. જૂથો માટે શબ્દ સમસ્યા (ગણિત) શબ્દ સમસ્યા નોંધો સંદર્ભો પણ જુઓ. સંયોજન જૂથ સિદ્ધાંત જૂથ સિદ્ધાંત શબ્દો પર સંયોજનશાસ્ત્ર