Breather surface
વિભેદક ભૂમિતિમાં, શ્વાસોચ્છવાસની સપાટી એ ગાણિતિક સપાટીઓનું એક-પરિમાણ કુટુંબ છે જે સાયન-ગોર્ડન સમીકરણના શ્વાસોચ્છવાસના ઉકેલોને અનુરૂપ છે, જે સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં દેખાતા વિભેદક સમીકરણ છે. સપાટીઓમાં નોંધપાત્ર ગુણધર્મ છે કે તેઓ સતત વળાંક ધરાવે છે, જ્યાં વળાંક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય છે. આ તેમને સામાન્યીકૃત સ્યુડોસ્ફિયરના ઉદાહરણો બનાવે છે. ગાણિતિક પૃષ્ઠભૂમિ સતત વળાંક-1 ની એમ્બેડેડ સપાટીઓ વચ્ચે પત્રવ્યવહાર છે, જેને સ્યુડોસ્ફિયર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અને સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણના ઉકેલો છે. આ પત્રવ્યવહાર સ્યુડોસ્ફિયરના સૌથી સરળ ઉદાહરણ, ટ્રેકટ્રોઇડથી શરૂ કરીને બનાવી શકાય છે. એસિમ્પ્ટોટિક કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ઓળખાતા કોઓર્ડિનેટ્સના વિશિષ્ટ સમૂહમાં, ગૌસ-કોડાઝી સમીકરણો, જે સુસંગતતા સમીકરણો છે જે નિર્ધારિત કરે છે કે જ્યારે નિર્ધારિત પ્રથમ અને બીજા મૂળભૂત સ્વરૂપની સપાટીને સપાટ મેટ્રિક સાથે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં જડિત કરી શકાય છે, ત્યારે તેને ઘટાડીને સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણ કરી શકાય છે. પત્રવ્યવહારમાં, ટ્રેક્ટરોઇડ સાઇન-ગોર્ડન દ્રાવણના સ્થિર 1-સોલિટોન દ્રાવણને અનુરૂપ છે. સાઇન-ગોર્ડનની લોરેન્ટ્ઝ ઇનવેરિયન્સને કારણે, લોરેન્ટ્ઝ બૂસ્ટ્સના એક-પરિમાણ કુટુંબને નવા ઉકેલો મેળવવા માટે સ્થિર ઉકેલ પર લાગુ કરી શકાય છેઃ સ્યુડોસ્ફિયર બાજુ પર, આને લાઈ ટ્રાન્સફોર્મેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે ટ્રેકટ્રોઇડને એક-પરિમાણ કુટુંબની સપાટીઓમાં વિકૃત કરે છે જે દીનીની સપાટી તરીકે ઓળખાય છે. બેક્લંડ પરિવર્તનની પદ્ધતિ સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણ, બહુ-સોલિટોન ઉકેલો માટે મોટી સંખ્યામાં અલગ ઉકેલોના નિર્માણની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2-સોલિટોન ક્યુએન સપાટીને અનુરૂપ છે. જો કે, જ્યારે આ ઉકેલોનો અનંત પરિવાર પેદા કરે છે, ત્યારે શ્વાસ લેનાર ઉકેલો તેમની વચ્ચે નથી. તેના બદલે બ્રીધર સોલ્યુશન્સ સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણ માટે ઇન્વર્સ સ્કેટરિંગ પદ્ધતિમાંથી મેળવવામાં આવે છે. તેઓ અવકાશમાં સ્થાનિક છે પરંતુ સમય જતાં દોલન કરે છે. સાઇન-ગોર્ડન સમીકરણનો દરેક ઉકેલ પ્રથમ અને બીજું મૂળભૂત સ્વરૂપ આપે છે જે ગૌસ-કોડાઝી સમીકરણોને સંતોષે છે. સપાટી સિદ્ધાંતનો મૂળભૂત પ્રમેય પછી ખાતરી આપે છે કે ત્યાં એક પરિમાણિત સપાટી છે જે નિર્ધારિત પ્રથમ અને બીજા મૂળભૂત સ્વરૂપોને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે. સ્થાનિક રીતે પરિમાણ સારી રીતે વર્તવામાં આવે છે, પરંતુ મનસ્વી રીતે વિસ્તૃત પરિણામી સપાટીમાં સ્વ-આંતરછેદો અને કસ્પ્સ હોઈ શકે છે. ખરેખર, હિલ્બર્ટનો એક પ્રમેય કહે છે કે કોઈપણ સ્યુડોસ્ફિયરને નિયમિત રીતે (આશરે, એટલે કે કસ્પ્સ વિના) તેમાં સમાવી શકાતું નથી. પરિમાણીકરણ પરિમાણ સાથેનું પરિમાણીકરણ સંદર્ભો દ્વારા આપવામાં આવે છે બાહ્ય કડીઓ ઝાહ લી વેબ-સપાટી ગેલેરી વર્ચ્યુઅલ ગણિત સંગ્રહાલયમાં શ્વાસની સપાટી સપાટી ગણિતના લેખો પર નિષ્ણાત ધ્યાન આપવાની જરૂર છે વિભેદક સમીકરણો