Moment distribution method
ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિ એ હાર્ડી ક્રોસ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત બીમ અને ફ્રેમ માટેની માળખાકીય વિશ્લેષણ પદ્ધતિ છે. તે 1930માં એ. એસ. સી. ઈ. જર્નલમાં પ્રકાશિત થયું હતું. આ પદ્ધતિ માત્ર લવચીક અસરો માટે જવાબદાર છે અને અક્ષીય અને શીયર અસરોને અવગણે છે. 1930ના દાયકાથી માળખાઓની રચના અને વિશ્લેષણમાં કોમ્પ્યુટરનો વ્યાપક ઉપયોગ શરૂ થયો ત્યાં સુધી મોમેન્ટ વિતરણ પદ્ધતિ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ હતી. પરિચય ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિમાં, વિશ્લેષણ કરવાના માળખાના દરેક સાંધાને નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે જેથી નિશ્ચિત-અંતની ક્ષણો વિકસી શકે. પછી દરેક સ્થિર સાંધાને ક્રમિક રીતે મુક્ત કરવામાં આવે છે અને જ્યાં સુધી સંતુલન પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી નિશ્ચિત-અંતની ક્ષણો (જે મુક્તિના સમય સુધીમાં સંતુલનમાં હોતી નથી) નજીકના સભ્યોમાં વહેંચવામાં આવે છે. ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિને પુનરાવર્તન દ્વારા એક સાથે સમીકરણોના સમૂહને ઉકેલવાની પ્રક્રિયા તરીકે દર્શાવી શકાય છે. ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિ માળખાકીય વિશ્લેષણની વિસ્થાપન પદ્ધતિની શ્રેણીમાં આવે છે. અમલીકરણ માળખાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે, નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. નિશ્ચિત અંતિમ ક્ષણો એ બાહ્ય ભાર દ્વારા સભ્યના છેડા પર ઉત્પન્ન થતી ક્ષણો છે. બેન્ડિંગ સ્ટિફનેસ સભ્યની બેન્ડિંગ સ્ટિફનેસ (EI/L) ને સભ્યની લંબાઈ (L) દ્વારા વિભાજિત સભ્યની લવચીકતા (સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ (E) અને વિસ્તારની બીજી ક્ષણ (I) નું ઉત્પાદન) તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિમાં જે જરૂરી છે તે ચોક્કસ મૂલ્યો નથી પરંતુ તમામ સભ્યો વચ્ચે નમવાની જડતાના ગુણોત્તર છે. વિતરણ પરિબળો જ્યારે સાંધાને છોડવામાં આવે છે અને અસંતુલિત ક્ષણ હેઠળ ફેરવવાનું શરૂ કરે છે, ત્યારે સંયુક્ત પર એકસાથે રચાયેલા દરેક સભ્ય પર પ્રતિકાર બળો વિકસે છે. કુલ પ્રતિકાર અસંતુલિત ક્ષણ જેટલો હોવા છતાં, દરેક સભ્ય પર વિકસિત પ્રતિકાર બળોની તીવ્રતા સભ્યોની નમવાની કઠોરતા દ્વારા અલગ પડે છે. વિતરણ પરિબળોને દરેક સભ્ય દ્વારા વહન કરવામાં આવતી અસંતુલિત ક્ષણોના પ્રમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ, સંયુક્ત પર રચાયેલ સભ્યનું વિતરણ પરિબળ આ રીતે આપવામાં આવે છેઃ જ્યાં n એ સંયુક્ત પર રચાયેલ સભ્યોની સંખ્યા છે. વહન પરિબળો જ્યારે સાંધાને મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સંતુલન ક્ષણ અસંતુલિત ક્ષણને સંતુલિત કરવા માટે થાય છે. સંતુલનની ક્ષણ શરૂઆતમાં નિશ્ચિત-અંતની ક્ષણ જેવી જ હોય છે. આ સંતુલન ક્ષણ પછી સભ્યના બીજા છેડે લઈ જવામાં આવે છે. બીજા છેડે કેરી-ઓવર મોમેન્ટ અને પ્રારંભિક છેડે ફિક્સ્ડ-એન્ડ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર એ કેરી-ઓવર પરિબળ છે. વહન પરિબળોનું નિર્ધારણ ચાલો એક નિશ્ચિત કિરણનો એક છેડો (અંત A) છોડવામાં આવે અને એક ક્ષણ લાગુ કરવામાં આવે જ્યારે કે બીજો છેડો (અંત B) સ્થિર રહે. આ અંત A ને એક ખૂણામાં ફેરવવાનું કારણ બનશે. એકવાર અંત B પર વિકસિત પરિમાણ મળી જાય પછી, આ સભ્યનું વહન પરિબળ ઉપરના ગુણોત્તર તરીકે આપવામાં આવે છેઃ સતત ક્રોસ-સેક્શન સાથે લંબાઈ L ના બીમના કિસ્સામાં જેની લવચિક કઠોરતા હોય છે, તેથી વહન પરિબળ સાઇન કન્વેન્શન એકવાર સાઇન કન્વેન્શન પસંદ કરવામાં આવે, તે સમગ્ર માળખા માટે જાળવવું પડશે. મોમેન્ટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પદ્ધતિની ગણતરીમાં પરંપરાગત ઇજનેરની સાઇન કન્વેન્શનનો ઉપયોગ થતો નથી, જો કે પરિણામો પરંપરાગત રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. બીએમડીના કિસ્સામાં, ડાબી બાજુની ક્ષણ ઘડિયાળની દિશામાં હોય છે અને બીજી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે તેથી વળાંક હકારાત્મક હોય છે અને તેને સેગિંગ કહેવામાં આવે છે. ફ્રેમ કરેલ માળખું ફ્રેમ કરેલ માળખું બાજુની સાથે અથવા વગર મોમેન્ટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થિર રીતે અનિશ્ચિત બીમનું વિશ્લેષણ કરવાનું છે. બીમને ત્રણ અલગ અલગ સભ્યો, એબી, બીસી અને સીડી ગણવામાં આવે છે, જે બી અને સી પર નિશ્ચિત અંત (ક્ષણ પ્રતિકાર) સાંધા દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. એબી, બીસી, સીડી સભ્યોની સમાન અવધિ હોય છે. ફ્લેક્સુરલ કઠોરતા અનુક્રમે EI, 2EI, EI છે. તીવ્રતાનું કેન્દ્રિત ભાર આધાર A થી અંતર પર કાર્ય કરે છે. તીવ્રતાનો એકસમાન ભાર BC પર કાર્ય કરે છે. સભ્યની સીડી તેના મધ્યકાળમાં તીવ્રતાના કેન્દ્રિત ભાર સાથે લોડ થાય છે. નીચેની ગણતરીઓમાં ઘડિયાળની દિશામાં ક્ષણો હકારાત્મક છે. ફિક્સ્ડ એન્ડ મોમેન્ટ્સ બેન્ડિંગ સ્ટિફનેસ અને ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફેક્ટર્સ એબી, બીસી અને સીડી સભ્યોની બેન્ડિંગ સ્ટિફનેસ અનુક્રમે અને છે. તેથી, દશાંશ સંકેતનું પુનરાવર્તન કરીને પરિણામોને વ્યક્ત કરવુંઃ A અને D સાંધાના વિતરણ પરિબળો અને છે. વહન પરિબળો વહન પરિબળો છે, સિવાય કે વહન પરિબળ D (નિશ્ચિત આધાર) થી C જે શૂન્ય છે. ક્ષણ વિતરણ ભૂખરા રંગની સંખ્યાઓ સંતુલિત ક્ષણો છે; તીર (→/→) સભ્યના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ક્ષણના વહનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પગલું 1: જેમ જેમ સાંધા A મુક્ત થાય છે, તેમ તેમ નિશ્ચિત અંતિમ ક્ષણની સમાન તીવ્રતાની સંતુલન ક્ષણ વિકસિત થાય છે અને સાંધા A થી સાંધા B સુધી લઈ જવામાં આવે છે. પગલું 2: સંયુક્ત B પરની અસંતુલિત ક્ષણ હવે નિશ્ચિત અંતિમ ક્ષણોનો સરવાળો છે, અને સંયુક્ત A થી કેરી-ઓવર ક્ષણ. આ અસંતુલિત ક્ષણ બી. એ. અને બી. સી. ના સભ્યોને વિતરણ પરિબળો અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે. પગલું 2 સંતુલિત ક્ષણને સાંધામાં લઈ જવા સાથે સમાપ્ત થાય છે સી. સંયુક્ત એ એક રોલર સપોર્ટ છે જેમાં કોઈ પરિભ્રમણ સંયમ નથી, તેથી સંયુક્ત બીથી સંયુક્ત એ સુધી ક્ષણ વહન શૂન્ય છે. પગલું 3: સંયુક્ત C પરની અસંતુલિત ક્ષણ હવે નિશ્ચિત અંતિમ ક્ષણોનો સરવાળો છે, અને સંયુક્ત B થી વહન ક્ષણ છે. અગાઉના પગલાની જેમ, આ અસંતુલિત ક્ષણ દરેક સભ્યને વહેંચવામાં આવે છે અને પછી સંયુક્ત D પર અને સંયુક્ત B પર પાછા લઈ જવામાં આવે છે. સંયુક્ત ડી એ એક નિશ્ચિત આધાર છે અને આ સંયુક્તમાં વહન કરવામાં આવતી ક્ષણો વહેંચવામાં આવશે નહીં કે સંયુક્ત સી પર લઈ જવામાં આવશે નહીં. પગલું 4: સંયુક્ત બીમાં હજુ પણ સંતુલિત ક્ષણ છે જે સંયુક્ત સીથી પગલું 3 માં વહન કરવામાં આવી હતી. ક્ષણ વિતરણને પ્રેરિત કરવા અને સંતુલન પ્રાપ્ત કરવા માટે સંયુક્ત B ફરી એકવાર મુક્ત થાય છે. પગલાં 5-10: જ્યાં સુધી દરેક સાંધાના કદ શૂન્યની અસંતુલિત ક્ષણો ન હોય અથવા જરૂરી ચોકસાઇમાં અવગણનાપાત્ર રીતે નાની ન હોય ત્યાં સુધી સાંધાને મુક્ત કરવામાં આવે છે અને ફરીથી નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. અંકગણિત રીતે દરેક સંબંધિત સ્તંભમાં તમામ ક્ષણોનો સરવાળો અંતિમ ક્ષણ મૂલ્યો આપે છે. ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિ દ્વારા નિર્ધારિત સાંધા પર પરિણામની ક્ષણો પરંપરાગત ઇજનેરની સંકેત પરંપરાનો ઉપયોગ અહીં થાય છે, એટલે કે. હકારાત્મક ક્ષણો બીમ સભ્યના તળિયે ભાગમાં વિસ્તરણનું કારણ બને છે. તુલનાત્મક હેતુઓ માટે, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના પરિણામો ઉત્પન્ન થાય છે. નોંધ લો કે ઉપરના વિશ્લેષણમાં, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા> 0.01 ચોકસાઇ સુધી કરવામાં આવી હતી. મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ પરિણામો અને ક્ષણ વિતરણ વિશ્લેષણ પરિણામો 0.001 ચોકસાઇ સાથે મેળ ખાય છે તે હકીકત માત્ર સંયોગ છે. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ દ્વારા નિર્ધારિત સાંધાઓ પરની ક્ષણો નોંધ લો કે ક્ષણ વિતરણ પદ્ધતિ માત્ર સાંધાઓ પરની ક્ષણો નક્કી કરે છે. સંપૂર્ણ બેન્ડિંગ મોમેન્ટ આકૃતિઓ વિકસાવવા માટે નિર્ધારિત સંયુક્ત ક્ષણો અને આંતરિક વિભાગ સંતુલનનો ઉપયોગ કરીને વધારાની ગણતરીઓની જરૂર પડે છે. વિસ્થાપન પદ્ધતિ દ્વારા પરિણામ હાર્ડી ક્રોસ પદ્ધતિ માત્ર અંદાજિત પરિણામો પ્રદાન કરે છે, પુનરાવર્તનની સંખ્યાના વિપરીત પ્રમાણમાં ભૂલના ગાળા સાથે, આ પદ્ધતિ કેટલી સચોટ હોઈ શકે છે તેનો ખ્યાલ હોવો મહત્વપૂર્ણ છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, અહીં ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ પરિણામ છેઃ વિસ્થાપન પદ્ધતિ આ માટે, વિસ્થાપન પદ્ધતિ સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ ધારણ કરે છેઃ આ ઉદાહરણમાં વર્ણવેલ માળખા માટે, જડતા મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ છેઃ સમકક્ષ નોડલ બળ વેક્ટરઃ સમીકરણમાં ઉપર રજૂ કરેલા મૂલ્યોને બદલીને અને તેને ઉકેલવાથી નીચેના પરિણામ તરફ દોરી જાય છેઃ તેથી, નોડ B માં મૂલ્યાંકન કરાયેલ ક્ષણો નીચે મુજબ છેઃ નોડ C માં મૂલ્યાંકન કરાયેલ ક્ષણો નીચે મુજબ છેઃ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ પણ જુઓ સ્લોપ ડિફ્લેક્શન પદ્ધતિ નોંધો સંદર્ભો માળખાકીય વિશ્લેષણ