Apeirotope
ભૂમિતિમાં, એપીરોટોપ અથવા અનંત પોલીટોપ એ એક સામાન્યીકૃત પોલીટોપ છે જે અનંત રીતે ઘણા પાસાઓ ધરાવે છે. એક અમૂર્ત એન-પોલીટોપ એ આંશિક રીતે ક્રમાંકિત સમૂહ પી છે (જેના તત્વોને ચહેરા કહેવામાં આવે છે) જેમ કે પી ઓછામાં ઓછો ચહેરો અને સૌથી મોટો ચહેરો ધરાવે છે, દરેક મહત્તમ સંપૂર્ણપણે ક્રમાંકિત સબસેટ (જેને ફ્લેગ કહેવાય છે) બરાબર એન + 2 ચહેરાઓ ધરાવે છે, પી મજબૂત રીતે જોડાયેલ છે, અને ત્યાં બરાબર બે ચહેરાઓ છે જે સખત રીતે a અને b વચ્ચે આવેલા છે તે બે ચહેરાઓ છે જેની શ્રેણી બેથી અલગ છે. એક અમૂર્ત પોલીટોપને અમૂર્ત એપીરોટોપ કહેવામાં આવે છે જો તેના અનંત મુખ હોય. એક અમૂર્ત પોલીટોપને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેનું ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથ પી. વર્ગીકરણના તમામ ફ્લેગ પર અસ્થાયી રીતે કાર્ય કરે તો એપીરોટોપનાં બે મુખ્ય ભૌમિતિક વર્ગો છેઃ એન પરિમાણોમાં હનીકોમ્બ, જે સંપૂર્ણપણે એન-પરિમાણીય જગ્યાને ભરે છે. ઉચ્ચ જગ્યામાં n-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ ધરાવતા સ્ક્યુ એપીરોટોપ હનીકોમ્બ્સ સામાન્ય રીતે, n પરિમાણોમાં હનીકોમ્બ એ n + 1 પરિમાણોમાં પોલીટોપનું અનંત ઉદાહરણ છે. પ્લેનની ટિલિંગ્સ અને પોલિહેડ્રાના ક્લોઝ-પેક્ડ સ્પેસ-ફિલિંગ્સ અનુક્રમે બે અને ત્રણ પરિમાણોમાં હનીકોમ્બના ઉદાહરણો છે. અનંત ઘણા મર્યાદિત વિભાગોમાં વહેંચાયેલી રેખા એ એપિરોગોનનું ઉદાહરણ છે. બે પરિમાણોમાં વક્ર એપિરોગોન સમતલમાં વાંકીચૂંકી રેખા બનાવે છે. જો વાંકોચૂંકો સરખો અને સપ્રમાણ હોય, તો એપિરોગોન નિયમિત હોય છે. સ્ક્યુ એપિરોગન્સ કોઈપણ સંખ્યામાં પરિમાણોમાં બનાવી શકાય છે. ત્રણ પરિમાણોમાં, નિયમિત ત્રાંસા એપિરોગોન હેલિકલ સર્પાકારને શોધી કાઢે છે અને તે ડાબા અથવા જમણા હાથનું હોઈ શકે છે. અનંત સ્ક્યુ પોલીહેડ્રા ત્રણ નિયમિત સ્ક્યુ એપીરોહેડ્રા છે, જે પોલીહેડ્રલ સ્પંજ જેવા દેખાય છેઃ દરેક શિરોબિંદુની આસપાસ 6 ચોરસ, કોક્સેટર પ્રતીક {4,6|4} દરેક શિરોબિંદુની આસપાસ 4 ષટ્કોણ, કોક્સેટર પ્રતીક {6,4|4} દરેક શિરોબિંદુની આસપાસ 6 ષટ્કોણ, કોક્સેટર પ્રતીક {6,6|3} યુક્લિડિયન અવકાશમાં ત્રીસ નિયમિત એપીરોહેડ્રા છે. તેમાં ઉપર સૂચિબદ્ધ પ્રકારોનો સમાવેશ થાય છે, તેમજ (સમતલમાં) પ્રકારનાં બહુપદીઓઃ {ini, 3}, {ini, 4}, {ini, 6} અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, આને કાં તો એપિરોગન અથવા રેખા ખંડ સાથે મિશ્રિત કરે છે, અને "શુદ્ધ" ત્રિ-પરિમાણીય એપિરોહેડ્રા (સંખ્યામાં 12) સંદર્ભો ગ્રંથસૂચિ બહુ-પરિમાણીય ભૂમિતિ