Hellinger distance
સંભાવના અને આંકડામાં, હેલિંગર અંતર (ભટ્ટાચાર્યા અંતરથી અલગ હોવા છતાં નજીકથી સંબંધિત) નો ઉપયોગ બે સંભાવના વિતરણ વચ્ચેની સમાનતાને માપવા માટે થાય છે. તે એફ-ડાયવર્ઝનનો એક પ્રકાર છે. હેલિંગર અંતરને હેલિંગર ઇન્ટિગ્રલના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે અર્ન્સ્ટ હેલિંગર દ્વારા 1909માં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તેને કેટલીકવાર જેફ્રીનું અંતર કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા માપન સિદ્ધાંત માપન સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ હેલિંગર અંતરને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, સહાયક માપના સંદર્ભમાં સંપૂર્ણપણે સતત હોય તેવા માપ અવકાશ પર બે સંભાવના પગલાંને દર્શાવો અને દર્શાવો. આવા માપ હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે, દા. ત. અને વચ્ચેના હેલિંગર અંતરનો વર્ગ અહીંના જથ્થા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને એટલે કે. અને તેના સંદર્ભમાં અનુક્રમે P અને Q ના રેડોન-નિકોડીમ વ્યુત્પન્ન છે. આ વ્યાખ્યા તેના પર આધારિત નથી, એટલે કે. પી અને ક્યૂ વચ્ચેનું હેલિંગર અંતર બદલાતું નથી જો તેને અલગ સંભાવના માપ સાથે બદલવામાં આવે જેના સંદર્ભમાં પી અને ક્યૂ બંને સંપૂર્ણપણે સતત હોય. સઘનતા માટે, ઉપરોક્ત સૂત્રને ઘણીવાર લેબસેગ માપનો ઉપયોગ કરીને સંભાવના સિદ્ધાંત તરીકે લખવામાં આવે છે પ્રાથમિક સંભાવના સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ હેલિંગર અંતરને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, આપણે λ ને લેબસેગ માપ તરીકે લઈએ છીએ, જેથી dP/dλ અને dQ/dλ ફક્ત સંભાવના ઘનતા કાર્યો છે. જો આપણે ઘનતાઓને અનુક્રમે f અને g તરીકે દર્શાવીએ, તો ચોરસ હેલિંગર અંતરને પ્રમાણભૂત કલન સંકલન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જ્યાં બીજું સ્વરૂપ ચોરસને વિસ્તૃત કરીને અને તેના ક્ષેત્ર પર સંભાવના ઘનતાનું સંકલન 1 બરાબર છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. હેલિંગર અંતર H (P, Q) ગુણધર્મને સંતોષે છે (કોચી-શ્વાર્ઝ અસમાનતામાંથી વ્યુત્પન્ન) અલગ વિતરણ બે અલગ સંભાવના વિતરણો માટે અને, તેમના હેલિંગર અંતરને તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે વર્ગમૂળ વેક્ટરના તફાવતના યુક્લિડિયન ધોરણ સાથે સીધા સંબંધિત છે, એટલે કે. ઉપરાંત, ગુણધર્મો હેલિંગર અંતર આપેલ સંભાવના જગ્યા પર સંભાવના વિતરણની જગ્યા પર બંધાયેલ મેટ્રિક બનાવે છે. મહત્તમ અંતર 1 ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે P દરેક સમૂહને સંભાવના શૂન્ય સોંપે છે જેને Q હકારાત્મક સંભાવના સોંપે છે, અને ઊલટું. કેટલીકવાર ઇન્ટિગ્રલની સામેના પરિબળને અવગણવામાં આવે છે, આ કિસ્સામાં હેલિંગર અંતર શૂન્યથી બે વર્ગમૂળ સુધી હોય છે. હેલિંગર અંતર ભટ્ટાચાર્ય ગુણાંક સાથે સંબંધિત છે કારણ કે તેને હેલિંગર અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેનો ઉપયોગ ક્રમિક અને એસિમ્પ્ટોટિક આંકડાશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતમાં થાય છે. બે સામાન્ય વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને તે છેઃ બે બહુવિધ સામાન્ય વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને તે બે ઘાતાંકીય વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને તે છેઃ બે વેઇબુલ વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને (જ્યાં એક સામાન્ય આકાર પરિમાણ છે અને તે અનુક્રમે સ્કેલ પરિમાણો છે): દર પરિમાણો સાથે બે પોઈસન વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને, જેથી અને, તે છેઃ બે બીટા વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને તે છેઃ બીટા કાર્ય ક્યાં છે. બે ગામા વિતરણો વચ્ચેનું ચોરસ હેલિંગર અંતર અને છેઃ ગામા કાર્ય ક્યાં છે. કુલ ભિન્નતાના અંતર સાથે જોડાણ હેલિંગર અંતર અને કુલ ભિન્નતાના અંતર (અથવા આંકડાકીય અંતર) નીચે મુજબ સંબંધિત છેઃ આ અસમાનતામાં અચળાંકો તમે કયા પુનરાવર્તન (અથવા) પસંદ કરો છો તેના આધારે બદલાઈ શકે છે. આ અસમાનતાઓ 1-ધોરણ અને 2-ધોરણ વચ્ચેની અસમાનતાઓથી તરત જ અનુસરે છે. આંકડાકીય અંતર કુલબેક-લીબલર વિચલન ભટ્ટાચાર્ય અંતર કુલ ભિન્નતા અંતર માછીમાર માહિતી મેટ્રિક નોંધો સંદર્ભો સંભાવના વિતરણનો સિદ્ધાંત F-વિચલન આંકડાકીય અંતર