Erdős–Mordell inequality
યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં, એર્દોસ-મોર્ડેલ અસમાનતા જણાવે છે કે ABCની અંદરના કોઈપણ ત્રિકોણ ABC અને બિંદુ P માટે, P થી બાજુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો P થી શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરના સરવાળાના અડધા કરતાં ઓછો અથવા બરાબર હોય છે. તેનું નામ પોલ એર્દોસ અને લુઇસ મોર્ડેલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. અસમાનતાને સાબિત કરવાની સમસ્યા ઊભી થઈ; બે વર્ષ પછી એક પુરાવા દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવ્યું હતું. જોકે આ ઉકેલ બહુ પ્રાથમિક ન હતો. ત્યારપછીના સરળ પુરાવાઓ, અને દ્વારા મળી આવ્યા હતા. બેરોની અસમાનતા એ એર્ડોસ-મોર્ડેલ અસમાનતાનું એક મજબૂત સ્વરૂપ છે જેમાં P થી બાજુઓ સુધીના અંતરને P થી તે બિંદુઓ સુધીના અંતર દ્વારા બદલવામાં આવે છે જ્યાં  anth APB,  anth BPC અને  anth CPA ના દ્વિભાજક ખૂણા બાજુઓને પાર કરે છે. બદલાયેલ અંતર લાંબા હોવા છતાં, તેમનો સરવાળો હજુ પણ શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરના સરવાળા કરતાં ઓછો અથવા અડધો છે. નિવેદન આપેલ ત્રિકોણની અંદર મનસ્વી બિંદુ P હોવું જોઈએ, અને ત્રિકોણની બાજુઓ સુધી લંબરૂપ હોવું જોઈએ. (જો ત્રિકોણ લંબ હોય, તો આમાંથી એક લંબ ત્રિકોણની જુદી બાજુથી પસાર થઈ શકે છે અને એક બાજુને ટેકો આપતી રેખા પર સમાપ્ત થઈ શકે છે.) પછી અસમાનતા જણાવે છે કે પુરાવો ધારો કે ABC ની બાજુઓ A ની વિરુદ્ધમાં, b ની વિરુદ્ધમાં અને c ની વિરુદ્ધમાં હોય; PA = p, PB = q, PC = r, dist (P; BC) = x, dist (P; CA) = y, dist (P; AB) = z પણ ધારો. જમણી બાજુ એ ત્રિકોણ ABC નું ક્ષેત્રફળ છે, પરંતુ ડાબી બાજુએ, r + z એ ત્રિકોણની ઓછામાં ઓછી ઊંચાઈ છે; પરિણામે, ડાબી બાજુ જમણી બાજુ કરતા નાની ન હોઈ શકે. હવે C પર દ્વિભાજક ખૂણા પર P ને પ્રતિબિંબિત કરો. આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે P ના પ્રતિબિંબ માટે cr ≤ ay + bx છે. એ જ રીતે, bq ≤ az + cx અને ap ≤ bz + cy. આપણે r, q અને p માટે આ અસમાનતાઓને હલ કરીએ છીએઃ ત્રણને ઉપર ઉમેરીને, આપણને મળે છે. સમાનતા માત્ર સમબાહુ ત્રિકોણ માટે જ લાગુ પડે છે, જ્યાં P તેનો કેન્દ્રબિંદુ છે. અન્ય મજબૂત સંસ્કરણ ધારો કે ABC એ વર્તુળ (O) માં અંકિત ત્રિકોણ છે અને P એ ABC ની અંદર એક બિંદુ છે. ધારો કે D, E, F એ BC, CA, AB પર P ના ઓર્થોગોનલ અંદાજો છે. M, N, Q એ અનુક્રમે A, B, C પર (O) ની સ્પર્શક પર P ના ઓર્થોગોનલ અંદાજો છે, તો પછીઃ સમાનતા ત્યારે જ રહે છે જો ત્રિકોણ ABC સમબાહુ હોય (;) એક સામાન્યીકરણ ચાલો બહિર્મુખ બહુકોણ હોઈએ, અને તેનો આંતરિક બિંદુ હોઈએ. ધારો કે શિરોબિંદુથી અંતર, બાજુ વચ્ચેનું અંતર, કોણના દ્વિભાજકનું બાજુ સાથેના તેના આંતરછેદ સુધીનું ખંડ પછીઃ નિરપેક્ષ ભૂમિતિમાં એર્ડોસ-મોર્ડેલ અસમાનતા એ નિવેદનની સમકક્ષ છે, જે સાબિત થાય છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બે સમકોણ કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે. ત્રિકોણ અસમાનતાની યાદી સંદર્ભો પણ જુઓ. . . . . . . . . બાહ્ય કડીઓ એલેક્ઝાન્ડર બોગોમોલની, "એર્ડોસ-મોર્ડેલ અસમાનતા", કટ-ધ-ગાંઠમાંથી. ત્રિકોણની અસમાનતાઓ