Proof that π is irrational
1760ના દાયકામાં, જોહાન હેઇનરિચ લેમ્બર્ટે સૌપ્રથમ સાબિત કર્યું હતું કે સંખ્યા અતાર્કિક છે, એટલે કે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને બંને પૂર્ણાંકો છે. 19મી સદીમાં, ચાર્લ્સ હર્માઇટે એક એવો પુરાવો શોધી કાઢ્યો કે જેમાં મૂળભૂત ગણતરીથી આગળ કોઈ પૂર્વશરત જ્ઞાનની જરૂર નથી. હર્માઇટના પુરાવાના ત્રણ સરળીકરણ મેરી કાર્ટરાઇટ, ઇવાન નિવેન અને નિકોલસ બોરબાકીને કારણે છે. અન્ય સાબિતી, જે લેમ્બર્ટના સાબિતીનું સરળીકરણ છે, તે મિક્લોસ લેક્ઝકોવિચને કારણે છે. આમાંના ઘણા વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા છે. 1882માં, ફર્ડિનાન્ડ વોન લિન્ડમેને સાબિત કર્યું કે તે માત્ર અતાર્કિક જ નહીં, પણ દિવ્ય પણ છે. લેમ્બર્ટનો પુરાવો 1761 માં, લેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે આ સતત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ ધરાવે છે તે દર્શાવીને તે અતાર્કિક છેઃ પછી લેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે જો બિન-શૂન્ય અને તર્કસંગત હોય, તો આ અભિવ્યક્તિ અતાર્કિક હોવી જોઈએ. કારણ કે, તે અનુસરે છે કે તે અતાર્કિક છે, અને તેથી તે પણ અતાર્કિક છે. લેમ્બર્ટના સાબિતીનું સરળીકરણ નીચે આપવામાં આવ્યું છે. હર્માઇટનો પુરાવો 1873 માં લખાયેલ, આ પુરાવો સૌથી નાની હકારાત્મક સંખ્યા તરીકેની લાક્ષણિકતાનો ઉપયોગ કરે છે, જેનો અડધો ભાગ કોસાઇન કાર્યનો શૂન્ય છે અને તે વાસ્તવમાં સાબિત કરે છે કે તે અતાર્કિક છે. અતાર્કિકતાના ઘણા પુરાવાઓની જેમ, તે વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવો છે. વાસ્તવિક વિધેયોના ક્રમને ધ્યાનમાં લો અને તેના દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેઃ ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીને આપણે તે સાબિત કરી શકીએ છીએ અને તેથી આપણી પાસે છેઃ તેથી જે સમાન છે. ક્રમની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અને ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીને આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના બહુપદી વિધેયો ક્યાં અને ક્યાં છે અને તેની ડિગ્રી તેના કરતા નાની અથવા સમાન છે. જો પછી, ભાગો દ્વારા સંકલન અને લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, એકને મળે છે જો સાથે અને અંદર, તો પછી, કારણ કે તેના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે અને તેની ડિગ્રી અમુક પૂર્ણાંકો કરતા નાની અથવા સમાન છે. હર્માઇટે પોતાનો પુરાવો પોતે જ અંત તરીકે રજૂ કર્યો ન હતો, પરંતુ તેની ઉત્કૃષ્ટતાના પુરાવા માટેની તેમની શોધમાં એક વિચાર તરીકે તેમણે પુનરાવર્તન સંબંધોને પ્રેરિત કરવા અને અનુકૂળ અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વ મેળવવા માટે ચર્ચા કરી હતી. એકવાર આ અભિન્ન પ્રતિનિધિત્વ પ્રાપ્ત થઈ જાય પછી, અભિન્નથી શરૂ કરીને સંક્ષિપ્ત અને સ્વ-સમાવિષ્ટ પુરાવા રજૂ કરવાની વિવિધ રીતો છે (જેમ કે કાર્ટરાઇટની, બોરબાકીની અથવા નિવેનની પ્રસ્તુતિઓમાં), જે હર્માઇટ સરળતાથી જોઈ શકતો હતો (જેમ કે તેણે તેના ઉત્કૃષ્ટતાના પુરાવામાં કર્યું હતું). વધુમાં, હર્માઇટનો પુરાવો લેમ્બર્ટના પુરાવોની લાગે તે કરતાં વધુ નજીક છે. હકીકતમાં, કાર્ટરાઇટના પુરાવા માટે લેમ્બર્ટના સતત અપૂર્ણાંકનું "અવશેષ" (અથવા "શેષ") હેરોલ્ડ જેફ્રીસે લખ્યું છે કે આ સાબિતી મેરી કાર્ટરાઇટ દ્વારા 1945માં કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી ખાતેની પરીક્ષામાં એક ઉદાહરણ તરીકે સેટ કરવામાં આવી હતી, પરંતુ તેણે તેનું મૂળ શોધી કાઢ્યું ન હતું. કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીમાં એનાલિસિસ આઇએ અભ્યાસક્રમ માટે તે આજે પણ ચોથી સમસ્યા પત્રક પર છે. સંકલનોનો વિચાર કરો જ્યાં બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. ભાગો દ્વારા બે એકીકરણ પુનરાવર્તન સંબંધ આપે છે જો પછી આ બને છે વધુમાં, અને તેથી બધા માટે જ્યાં અને ડિગ્રીની બહુપદીઓ છે અને પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે (લેવા પર આધાર રાખીને અને જો શક્ય હોય તો ધારો કે ક્યાં અને કુદરતી સંખ્યાઓ છે (એટલે કે, ધારો કે તે તર્કસંગત છે). પછી જમણી બાજુ એક પૂર્ણાંક છે. બીજી બાજુ, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા એટલે કે, આપણે અને વચ્ચેનો પૂર્ણાંક શોધી શકીએ છીએ. આ સાબિતી હર્માઇટના સાબિતી જેવી જ છે. ખરેખર, જો કે, તે સ્પષ્ટ રીતે સરળ છે. આ વિધેયોની પ્રેરક વ્યાખ્યાને અવગણીને અને પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે તેમની અભિવ્યક્તિને અભિન્ન તરીકે લઈને પ્રાપ્ત થાય છે. નિવેનનો પુરાવો આ પુરાવો સાઇન ફંક્શનના સૌથી નાના હકારાત્મક શૂન્ય તરીકેની લાક્ષણિકતાનો ઉપયોગ કરે છે. ધારો કે તે તર્કસંગત છે, એટલે કે. કેટલાક પૂર્ણાંકો માટે અને જેને સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના બંનેને હકારાત્મક ગણી શકાય. કોઈપણ સકારાત્મક પૂર્ણાંકને જોતાં આપણે બહુપદી કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએઃ અને, દરેક માટે દાવો 1: એક પૂર્ણાંક છે. પુરાવોઃ એકસૂત્રોના સરવાળા તરીકે વિસ્તરણ, નો ગુણાંક એ સ્વરૂપની સંખ્યા છે જ્યાં પૂર્ણાંક છે, જે છે જો તેથી, ક્યારે છે અને તે દરેક કિસ્સામાં બરાબર છે, તે એક પૂર્ણાંક છે અને તેથી તે એક પૂર્ણાંક છે. બીજી બાજુ, અને તેથી દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે ખાસ કરીને, તેથી, તે પણ એક પૂર્ણાંક છે અને તે જ રીતે એક પૂર્ણાંક પણ છે (હકીકતમાં, તે જોવાનું સરળ છે કે પૂર્ણાંકો હોવાથી, તેમનો સરવાળો પણ છે. દાવો 2: પુરાવોઃ શૂન્ય બહુપદી હોવાથી, આપણી પાસે sine અને cosine વિધેયના વ્યુત્પન્ન sin '= cos અને cos' = − sin દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી ઉત્પાદન નિયમ સૂચવે છે કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા અને (અહીં આપણે સાઇન ફંક્શનના શૂન્ય તરીકે ઉપરોક્ત લાક્ષણિકતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ), દાવો 2 નીચે મુજબ છે. નિષ્કર્ષઃ ત્યારથી અને માટે (કારણ કે તે સાઇન ફંક્શનનું સૌથી નાનું હકારાત્મક શૂન્ય છે), દાવો 1 અને 2 દર્શાવે છે કે તે હકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. કારણ કે અને માટે આપણી પાસે છે, જેની મૂળ વ્યાખ્યા મોટા કરતાં નાની છે તેથી દાવા 2 દ્વારા આ માટે. હકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે આ અશક્ય છે આ દર્શાવે છે કે મૂળ ધારણા જે તર્કસંગત છે તે વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે, જે સાબિતીને સમાપ્ત કરે છે. ઉપરોક્ત પુરાવો એક પોલિશ્ડ સંસ્કરણ છે, જે ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા મેળવવામાં આવતા સૂત્રના વિશ્લેષણની પૂર્વજરૂરીયાતોને લગતી શક્ય તેટલી સરળ રાખવામાં આવે છે. દાવો 2 અનિવાર્યપણે આ સૂત્રને સ્થાપિત કરે છે, જ્યાં ઉપયોગ ભાગો દ્વારા પુનરાવર્તિત એકીકરણને છુપાવે છે. છેલ્લું ઇન્ટિગ્રલ અદૃશ્ય થઈ જાય છે કારણ કે તે શૂન્ય બહુપદી છે. દાવો 1 દર્શાવે છે કે બાકીનો સરવાળો એક પૂર્ણાંક છે. નિવેનનો પુરાવો કાર્ટરાઇટના (અને તેથી હર્માઇટના) પુરાવોની નજીક છે જે તે પહેલી નજરમાં દેખાય છે. ખાસ કરીને, પુરાવાઓ વચ્ચેનો બીજો સંબંધ એ હકીકતમાં રહેલો છે કે હર્માઇટ પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કરે છે કે જો બહુપદી કાર્ય છે અને ત્યારબાદ તે અનુસરે છે કે બોરબાકીના સાબિતી બોરબાકીના સાબિતીને તેમના કલન ગ્રંથમાં એક કવાયત તરીકે દર્શાવવામાં આવી છે. દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા b અને દરેક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરો કારણ કે તે પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું અભિન્ન અંગ છે જે મૂલ્ય લે છે અને જે અન્યથા કરતા વધારે છે, તે ઉપરાંત, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે જો તે પૂરતી મોટી હોય, કારણ કે અને તેથી બીજી તરફ, ભાગો દ્વારા પુનરાવર્તિત એકીકરણ આપણને તે તારણ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે કે, જો અને તે કુદરતી સંખ્યાઓ છે અને તે પછીથી વ્યાખ્યાયિત થયેલ બહુપદી કાર્ય છેઃ આ છેલ્લું અભિન્ન કારણ એ છે કે તે નલ કાર્ય છે (કારણ કે તે ડિગ્રીનું બહુપદી કાર્ય છે) કારણ કે દરેક કાર્ય (પૂર્ણાંક મૂલ્યો સાથે અને તે જ વસ્તુ સાઇન અને કોસાઇન કાર્યો સાથે થાય છે, આ સાબિત કરે છે કે તે એક પૂર્ણાંક છે. કારણ કે તે તેના કરતા પણ મોટી હોવાથી તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ. પરંતુ તે પણ સાબિત થયું હતું કે જો તે પૂરતું મોટું છે, તો તે વિરોધાભાસ સુધી પહોંચે છે. આ પુરાવો નિવેનના પુરાવોની એકદમ નજીક છે, તેમની વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ સાબિત કરવાની રીત છે કે સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકો છે. લેક્ઝકોવિચનો પુરાવો મિકલોસ લેક્ઝકોવિચનો પુરાવો લેમ્બર્ટના મૂળ પુરાવોની સરળીકરણ છે. તેઓ દાવા 1 સિવાય કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે આ વિધેયોને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છેઃ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે નીચેનો પુનરાવર્તન સંબંધ પુરાવો ધરાવે છેઃ દાવો 2 ની સત્તાઓના ગુણાંકની સરખામણી કરીને આ સાબિત કરી શકાય છેઃ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે પુરાવોઃ હકીકતમાં, ક્રમ બંધાયેલો છે (કારણ કે તે ઉપરની સીમા સાથે એકરૂપ થાય છે અને જો તે પછી દાવો 3: જો તર્કસંગત હોય, અને પછી પુરાવોઃ અન્યથા, ત્યાં એક સંખ્યા અને પૂર્ણાંકો હશે અને તે જોવા માટે કે શા માટે, પૂર્ણાંકો લો અને જો અન્યથા, પૂર્ણાંકો પસંદ કરો અને વ્યાખ્યાયિત કરો દરેક કિસ્સામાં, એવું ન હોઈ શકે કારણ કે અન્યથા તે દાવા 1 થી અનુસરશે કે દરેક () એ હશે જે દાવા 2 નો વિરોધ કરશે. હવે, એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા લો કે જેથી ત્રણેય સંખ્યાઓ અને પૂર્ણાંકો હોય અને ક્રમને ધ્યાનમાં લો પછી બીજી બાજુ, તે દાવો 1 થી અનુસરે છે જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે અને તેનું રેખીય સંયોજન છે. ઉપરાંત, તે દાવો 2 પરથી અનુસરે છે કે દરેક તેના કરતા મોટો છે (અને તેથી જો તે પૂરતો મોટો હોય અને તમામનો ક્રમ તેમાં એકરૂપ થાય છે. બીજી બાજુ, દાવો 3 નું બીજું પરિણામ એ છે કે, જો તે અતાર્કિક છે. લેક્ઝકોવિચનો પુરાવો ખરેખર હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્ય વિશે છે. હકીકતમાં, અને ગૌસે તેના કાર્યાત્મક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને હાયપરજિયોમેટ્રિક કાર્યનું સતત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ શોધી કાઢ્યું. આનાથી લેક્ઝકોવિચને એ હકીકતનો નવો અને સરળ પુરાવો શોધવાની મંજૂરી મળી કે સ્પર્શક કાર્યમાં સતત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ છે જે લેમ્બર્ટે શોધ્યું હતું. લેક્ઝકોવિચનું પરિણામ પ્રથમ પ્રકારના બેસલ કાર્યોમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. હકીકતમાં, (જ્યાં ગામા કાર્ય છે). તેથી લેક્ઝકોવિચનું પરિણામ આની સમકક્ષ છેઃ જો તર્કસંગત હોય, અને પછી એ પણ જુઓ કે પુરાવો કે e એ અતાર્કિક પુરાવો છે જે દિવ્ય સંદર્ભો છે.