Generic property
ગણિતમાં, "લાક્ષણિક" ઉદાહરણો ધરાવતા ગુણધર્મોને સામાન્ય ગુણધર્મો કહેવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે, વિધેયોના વર્ગનો સામાન્ય ગુણધર્મ એ છે કે જે તે વિધેયોના "લગભગ તમામ" માટે સાચું છે, જેમ કે નિવેદનોમાં, "સામાન્ય બહુપદીમાં શૂન્ય પર મૂળ નથી", અથવા "સામાન્ય વર્ગ મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે". બીજા ઉદાહરણ તરીકે, જગ્યાનો સામાન્ય ગુણધર્મ એ એવી મિલકત છે જે જગ્યાના "લગભગ તમામ" બિંદુઓ પર ધરાવે છે, જેમ કે નિવેદનમાં, "જો સરળ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચે સરળ કાર્ય હોય, તો સામાન્ય બિંદુ એ નિર્ણાયક મૂલ્ય નથી". (આ સાર્દના પ્રમેય દ્વારા છે.) ગણિતમાં "સામાન્ય" (જેનો અર્થ "લગભગ બધા" થાય છે) ની ઘણી જુદી જુદી વિભાવનાઓ છે, જેમાં "લગભગ કંઈ નહીં" (નગણ્ય સમૂહ) ની અનુરૂપ બેવડી વિભાવનાઓ છે; બે મુખ્ય વર્ગો છેઃ માપ સિદ્ધાંતમાં, સામાન્ય ગુણધર્મ તે છે જે લગભગ દરેક જગ્યાએ ધરાવે છે, જેમાં બેવડી વિભાવના નલ સેટ છે, જેનો અર્થ થાય છે "સંભાવના 0 સાથે". ટોપોલોજી અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં, સામાન્ય ગુણધર્મ એ છે કે જે ગાઢ ખુલ્લા સમૂહ પર અથવા વધુ સામાન્ય રીતે શેષ સમૂહ પર ધરાવે છે, જેમાં બેવડા ખ્યાલ ક્યાંય ગાઢ સમૂહ નથી, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે અલ્પ સમૂહ છે. એવા ઘણા કુદરતી ઉદાહરણો છે જ્યાં તે કલ્પનાઓ સમાન નથી. દાખલા તરીકે, લિઉવિલે સંખ્યાઓનો સમૂહ ટોપોલોજિકલ અર્થમાં સામાન્ય છે, પરંતુ તેમાં લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય છે. માપ સિદ્ધાંતમાં માપ સિદ્ધાંતમાં, સામાન્ય ગુણધર્મ એ છે જે લગભગ દરેક જગ્યાએ હોય છે. બેવડી વિભાવના એ નલ સેટ છે, એટલે કે શૂન્ય માપનો સમૂહ. સંભાવનામાં, સામાન્ય ગુણધર્મ એ એક એવી ઘટના છે જે લગભગ ચોક્કસપણે થાય છે, એટલે કે તે સંભાવના 1 સાથે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોટી સંખ્યાનો નિયમ જણાવે છે કે નમૂનાનો સરેરાશ લગભગ ચોક્કસપણે વસ્તીના સરેરાશ સાથે એકરૂપ થાય છે. સંભાવના જગ્યા માટે વિશિષ્ટ માપ સિદ્ધાંત કેસમાં આ વ્યાખ્યા છે. વિવિક્ત ગણિતમાં, લગભગ તમામ શબ્દનો ઉપયોગ કોફિનાઈટ (બધા પરંતુ મર્યાદિત રીતે ઘણા), કોકાઉન્ટેબલ (બધા પરંતુ ગણનીય રીતે ઘણા), પૂરતી મોટી સંખ્યાઓ માટે, અથવા, કેટલીકવાર, એસિમ્પ્ટોટિકલી લગભગ ચોક્કસ અર્થમાં થાય છે. રેન્ડમ ગ્રાફના અભ્યાસમાં આ ખ્યાલ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે. ટોપોલોજી અને બીજગણિત ભૂમિતિમાં, સામાન્ય ગુણધર્મ એ છે કે જે ગાઢ ખુલ્લા સમૂહ પર અથવા વધુ સામાન્ય રીતે શેષ સમૂહ (ગાઢ ખુલ્લા સમૂહોનું ગણતરીપાત્ર આંતરછેદ) પર ધરાવે છે, જેમાં બેવડા ખ્યાલ બંધ ક્યાંય ગાઢ સમૂહ નથી, અથવા વધુ સામાન્ય રીતે અલ્પ સમૂહ (ક્યાંય ગાઢ બંધ સમૂહોનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ) છે. જો કે, સામાન્ય ગુણધર્મને લાક્ષણિકતા આપવા માટે માત્ર ઘનતા પૂરતી નથી. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં પણ જોઈ શકાય છે, જ્યાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને તેમના પૂરક, અતાર્કિક સંખ્યાઓ બંને ગાઢ હોય છે. કારણ કે તે કહેવાનો કોઈ અર્થ નથી કે સમૂહ અને તેના પૂરક બંને લાક્ષણિક વર્તન દર્શાવે છે, તર્કસંગત અને અતાર્કિક બંને લાક્ષણિક બનવા માટે પૂરતા મોટા સમૂહોના ઉદાહરણો ન હોઈ શકે. પરિણામે, આપણે ઉપરની મજબૂત વ્યાખ્યા પર આધાર રાખીએ છીએ જે સૂચવે છે કે અતાર્કિક લાક્ષણિક છે અને તર્કસંગત નથી. એપ્લિકેશનો માટે, જો કોઈ ગુણધર્મ અવશેષ સમૂહ પર હોય, તો તે દરેક બિંદુ માટે ન હોઈ શકે, પરંતુ તેને સહેજ વિચલિત કરવાથી સામાન્ય રીતે અવશેષ સમૂહની અંદર એક ઊતરી જશે (ઓછા સમૂહના ઘટકોની ક્યાંય ઘનતા દ્વારા નહીં), અને આમ આ પ્રમેયો અને અલ્ગોરિધમ્સમાં સંબોધવા માટેનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસ છે. ફંક્શન સ્પેસમાં એ ગુણધર્મ એ સીઆરમાં સામાન્ય છે જો આ ગુણધર્મ ધરાવતો સમૂહ સીઆર ટોપોલોજીમાં શેષ સબસેટ ધરાવે છે. અહીં CR એ ફંક્શન સ્પેસ છે, જેના સભ્યો મેનીફોલ્ડ M થી મેનીફોલ્ડ N સુધીના r કન્ટિન્યુઅસ ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે કન્ટિન્યુઅસ ફંક્શન્સ છે. ફંક્શન સ્પેસનો આ ગુણધર્મ સામાન્ય ગુણધર્મોને લાક્ષણિક બનાવે છે. બીજગણિત ભૂમિતિમાં બીજગણિત જાતો ઇરેડ્યુસિબલ બીજગણિત વિવિધતા X નો ગુણધર્મ સામાન્ય રીતે સાચો હોવાનું કહેવાય છે જો તે X ના યોગ્ય ઝરીસ્કી-બંધ ઉપગણ સિવાય ધરાવે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તે ખાલી ન હોય તેવા ઝરીસ્કી-ખુલ્લા ઉપગણ પર ધરાવે છે. આ વ્યાખ્યા ઉપરના ટોપોલોજિકલ સાથે સંમત થાય છે, કારણ કે ઈરીડ્યુસિબલ બીજગણિત જાતો માટે કોઈપણ બિન-ખાલી ઓપન સેટ ગાઢ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિતતા માટે જેકોબિયન માપદંડ દ્વારા, લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર વિવિધતાનો સામાન્ય બિંદુ સરળ છે. (આ નિવેદન સામાન્ય સરળતા તરીકે ઓળખાય છે.) આ સાચું છે કારણ કે જેકોબિયન માપદંડનો ઉપયોગ એવા બિંદુઓ માટે સમીકરણો શોધવા માટે થઈ શકે છે જે સરળ નથીઃ તે બરાબર એવા બિંદુઓ છે જ્યાં X ના બિંદુના જેકોબિયન મેટ્રિક્સનો સંપૂર્ણ ક્રમ નથી. લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં, આ સમીકરણો બિન-તુચ્છ હોય છે, તેથી તેઓ વિવિધતાના દરેક બિંદુ માટે સાચા ન હોઈ શકે. પરિણામે, X ના તમામ બિન-નિયમિત બિંદુઓનો સમૂહ એ X નો યોગ્ય ઝરીસ્કી-બંધ ઉપગણ છે. અહીં એક બીજું ઉદાહરણ છે. ધારો કે f: X → Y એ બે બીજગણિત જાતો વચ્ચેનો નિયમિત નકશો છે. Y ના દરેક બિંદુ y માટે, y પર f ના તંતુના પરિમાણને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે, મંદ f − 1 (y). સામાન્ય રીતે, આ સંખ્યા અચળ છે. તે દરેક જગ્યાએ સતત હોય તે જરૂરી નથી. જો, કહો કે, X એ એક બિંદુ પર Y નો વિસ્ફોટ છે અને f એ કુદરતી પ્રક્ષેપણ છે, તો પછી f નું સાપેક્ષ પરિમાણ શૂન્ય છે સિવાય કે જે બિંદુને ફૂંકવામાં આવે છે, જ્યાં તે મંદ Y-1 છે. કેટલીક મિલકતો ખૂબ જ સામાન્ય રીતે હોવાનું કહેવાય છે. વારંવાર આનો અર્થ એ થાય છે કે જમીનનું ક્ષેત્ર અગણિત છે અને મિલકત યોગ્ય ઝરીસ્કી-બંધ ઉપગણ (એટલે કે, મિલકત ગાઢ Gδ સમૂહ પર ધરાવે છે) ના ગણતરીપાત્ર જોડાણ સિવાય સાચું છે. દાખલા તરીકે, તર્કસંગત જોડાણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે ખૂબ જ સામાન્ય કલ્પના થાય છે. જો કે, ખૂબ જ સામાન્ય વ્યાખ્યાઓ અન્ય સંદર્ભોમાં થઈ શકે છે અને થઈ શકે છે. સામાન્ય બિંદુ બીજગણિત ભૂમિતિમાં, બીજગણિત વિવિધતાનો સામાન્ય બિંદુ એ એક બિંદુ છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ વિવિધતાના દરેક બિંદુથી સંતુષ્ટ હોય તેના કરતાં અન્ય કોઈ બીજગણિત સંબંધને સંતુષ્ટ કરતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ક્ષેત્ર પર એફાઇન જગ્યાનું સામાન્ય બિંદુ એ એક બિંદુ છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ બીજગણિત રીતે સ્વતંત્ર હોય છે. યોજના સિદ્ધાંતમાં, જ્યાં બિંદુઓ પેટા જાતો હોય છે, ત્યાં વિવિધતાનો સામાન્ય બિંદુ એ એક બિંદુ છે જે ઝારિસ્કી ટોપોલોજી માટે સંપૂર્ણ વિવિધતા છે. સામાન્ય ગુણધર્મ એ સામાન્ય બિંદુનો ગુણધર્મ છે. કોઈપણ વાજબી મિલકત માટે, તે તારણ આપે છે કે મિલકત સામાન્ય રીતે પેટા વિવિધતા પર સાચી છે (ખુલ્લા ગાઢ સબસેટ પર સાચી હોવાના અર્થમાં) જો અને માત્ર ત્યારે જ જો મિલકત સામાન્ય બિંદુ પર સાચી હોય. ઇજીએ IV 8 માં વિકસાવવામાં આવેલી એફાઇન યોજનાઓની મર્યાદાઓની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આવા પરિણામો વારંવાર સાબિત થાય છે. સામાન્ય સ્થિતિ બીજગણિત ભૂમિતિમાં સંબંધિત ખ્યાલ એ સામાન્ય સ્થિતિ છે, જેનો ચોક્કસ અર્થ સંદર્ભ પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડિયન સમતલમાં, સામાન્ય સ્થિતિમાં ત્રણ બિંદુઓ સમરેખીય નથી. આનું કારણ એ છે કે કોલિનિયર ન હોવાનો ગુણધર્મ એ R2 માં ત્રણ બિંદુઓની રૂપરેખાંકન જગ્યાનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે. ગણતરીક્ષમતામાં ગણતરીક્ષમતા અને અલ્ગોરિધમિક અવ્યવસ્થિતતામાં, કુદરતી સંખ્યાઓની અનંત સ્ટ્રિંગને 1-સામાન્ય કહેવામાં આવે છે જો, દરેક સી. ઇ. માટે. સેટ, ક્યાં તો પ્રારંભિક સેગમેન્ટ ધરાવે છે, અથવા પ્રારંભિક સેગમેન્ટ ધરાવે છે જેમ કે દરેક એક્સ્ટેંશન ડબલ્યુ. 1-જેનરિકમાં નથી, તે ગણતરીમાં મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે ઘણી રચનાઓને યોગ્ય 1-જેનરિકને ધ્યાનમાં લઈને સરળ બનાવી શકાય છે. કેટલાક મુખ્ય ગુણધર્મો આ પ્રમાણે છેઃ 1-જેનરિક તત્વ તરીકે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા ધરાવે છે; કોઈ 1-જેનરિક ગણતરીપાત્ર નથી (અથવા તો ગણતરીપાત્ર કાર્ય દ્વારા બંધાયેલ નથી); તમામ 1-જેનરિક સામાન્યીકૃત નીચા છેઃ 1-સામાન્યતા નીચે પ્રમાણે "સામાન્ય" ની ટોપોલોજિકલ કલ્પના સાથે જોડાયેલી છે. બેયર સ્પેસમાં કુદરતી સંખ્યાઓની દરેક મર્યાદિત સ્ટ્રિંગ માટે મૂળભૂત ખુલ્લા સમૂહો સાથે ટોપોલોજી છે. પછી, એક તત્વ 1-સામાન્ય હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે કોઈપણ ખુલ્લા સમૂહની સીમા પર ન હોય. ખાસ કરીને, દરેક ગાઢ ખુલ્લા સમૂહને પહોંચી વળવા માટે 1-જેનેરિક્સની જરૂર પડે છે (જોકે આ સખત રીતે નબળો ગુણધર્મ છે, જેને નબળો 1-જેનેરિક કહેવાય છે). સામાન્યતા સાર્ડના સિદ્ધાંતનું પરિણામ આપે છેઃ જો સરળ મેનીફોલ્ડ્સ વચ્ચેનું સરળ કાર્ય હોય, તો પછી N નો સામાન્ય બિંદુ એ f નું નિર્ણાયક મૂલ્ય નથી-f ના નિર્ણાયક મૂલ્યો એ N માં નલ સેટ છે. જેકોબિયન માપદંડ/સામાન્ય સરળતાઃ લાક્ષણિકતા શૂન્યના ક્ષેત્ર પર વિવિધતાનો સામાન્ય બિંદુ સરળ છે. રેખીય સમય-પરિવર્તનશીલ પ્રણાલીઓની નિયંત્રણક્ષમતા અને અવલોકનક્ષમતા ટોપોલોજીકલ અને માપન સિદ્ધાંત બંને અર્થમાં સામાન્ય છે. સંદર્ભો એકાત્મકતા સિદ્ધાંત બીજગણિત ભૂમિતિ