Group Hopf algebra
ગણિતમાં, આપેલ જૂથનું જૂથ હોપ્ફ બીજગણિત એ જૂથ ક્રિયાઓની સમપ્રમાણતા સાથે સંબંધિત ચોક્કસ રચના છે. હોપ્ફ આલ્જેબ્રાના જૂથની વિકૃતિઓ ક્વોન્ટમ જૂથોના સિદ્ધાંતમાં પાયાની છે. વ્યાખ્યા ધારો કે G એ જૂથ છે અને k એ ક્ષેત્ર છે. G નું હોપફ બીજગણિત જૂથ k પર, જેને kG (અથવા k [G]) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તે સમૂહ (અને વેક્ટર જગ્યા) તરીકે G પર મુક્ત વેક્ટર જગ્યા k પર છે. બીજગણિત તરીકે, તેના ગુણાકારને G માં જૂથ રચનાના રેખીય વિસ્તરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં ગુણાકાર એકમ G માં ઓળખ છે; આ ઉત્પાદનને કોન્વોલ્યુશન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. નોંધ લો કે જ્યારે મર્યાદિત જૂથના જૂથ બીજગણિતને જૂથ પરના કાર્યોની જગ્યા સાથે ઓળખી શકાય છે, ત્યારે અનંત જૂથ માટે આ અલગ છે. જૂથ બીજગણિત, જેમાં મર્યાદિત રકમનો સમાવેશ થાય છે, તે જૂથ પરના વિધેયોને અનુરૂપ છે જે મર્યાદિત રીતે ઘણા બિંદુઓ માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે; ટોપોલોજીકલ રીતે (સ્વતંત્ર ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરીને), આ એવા વિધેયોને અનુરૂપ છે જે માત્ર મર્યાદિત સમૂહ પર બિન-શૂન્ય હોય છે. જો કે, જૂથ બીજગણિત અને-G ગુણ્યા k ના કાર્યોનું પરિવર્તનીય બીજગણિત-દ્વિગુણિત છેઃ જૂથ બીજગણિતનું એક તત્વ અને જૂથ પરના કાર્યને જોતાં આ જોડી k નું એક તત્વ આપે છે જેના દ્વારા તે સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત સરવાળો છે કારણ કે તે મર્યાદિત છે. હોપ્ફ બીજગણિત માળખું આપણે જી પર વ્યાખ્યાયિત નીચેના નકશાના રેખીય વિસ્તરણ તરીકે સહઉત્પાદન, કાઉન્ટીટ અને એન્ટિપોડને વ્યાખ્યાયિત કરીને કે. જી. ને સહપરિવર્તનશીલ હોપ્ફ બીજગણિતનું માળખું આપીએ છીએઃ જરૂરી હોપ્ફ બીજગણિત સુસંગતતા સ્વયંસિદ્ધ સરળતાથી તપાસવામાં આવે છે. નોંધ લો કે, કે. જી. ના જૂથ જેવા તત્વોનો સમૂહ (એટલે કે. તત્વો જેમ કે અને), ચોક્કસપણે G છે. જૂથ ક્રિયાઓની સમપ્રમાણતા ચાલો G એ જૂથ અને X એ ટોપોલોજિકલ જગ્યા છે. X પર G ની કોઈપણ ક્રિયા હોમોમોર્ફિઝમ આપે છે, જ્યાં F (X) એ k-મૂલ્યના કાર્યોનું યોગ્ય બીજગણિત છે, જેમ કે અનંત સમયે અદ્રશ્ય થઈ રહેલા સતત કાર્યોનું ગેલફાન્ડ-નૈમાર્ક બીજગણિત. હોમોમોર્ફિઝમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, માટે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંલગ્ન સાથે, અને. આને રેખીય નકશા દ્વારા વર્ણવી શકાય છે જ્યાં, G ના તત્વો છે, અને, જેમાં ગુણધર્મ છે કે જે જૂથ જેવા તત્વો F (X) ના ઓટોમોર્ફિઝમ્સને જન્મ આપે છે. નીચે વર્ણવેલ એક મહત્વપૂર્ણ વધારાની રચના સાથે એફ (એક્સ) પ્રદાન કરે છે. હોપ્ફ મોડ્યુલ આલ્જેબ્રા અને હોપ્ફ સ્મેશ પ્રોડક્ટ ચાલો એચ એ હોપ્ફ બીજગણિત છે. એ (ડાબે) હોપ્ફ એચ-મોડ્યુલ બીજગણિત એ એક બીજગણિત છે જે બીજગણિત એચ પર (ડાબે) મોડ્યુલ છે જેમ કે અને જ્યારે પણ, અને સમલેસ સ્વીડલર નોટેશનમાં. જ્યારે અગાઉના વિભાગમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, ત્યારે આ એફ (એક્સ) ને ડાબી બાજુના હોપ્ફ કેજી-મોડ્યુલ બીજગણિતમાં ફેરવે છે, જે નીચેની રચનાને મંજૂરી આપે છે. ધારો કે H એ હોપ્ફ બીજગણિત છે અને A એ ડાબું હોપ્ફ H-મોડ્યુલ બીજગણિત છે. સ્મેશ પ્રોડક્ટ બીજગણિત એ ઉત્પાદન સાથે વેક્ટર જગ્યા છે, અને આપણે આ સંદર્ભમાં લખીએ છીએ. અમારા કિસ્સામાં, અને, અને અમારી પાસે છે. આ કિસ્સામાં સ્મેશ પ્રોડક્ટ બીજગણિત પણ આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. હોપ્ફ સ્મેશ ઉત્પાદનોની ચક્રીય સમરૂપતાની ગણતરી કરવામાં આવી છે. જો કે, ત્યાં સ્મેશ પ્રોડક્ટને ક્રોસ પ્રોડક્ટ કહેવામાં આવે છે અને સૂચવવામાં આવે છે-- ડાયનેમિકલ સિસ્ટમ્સમાંથી મેળવેલા ક્રોસ પ્રોડક્ટ સાથે ગેરસમજ ન થવી જોઈએ. સંદર્ભો હોપ્ફ આલ્જેબ્રા ક્વોન્ટમ જૂથો