Stack (mathematics)
ગણિતમાં ઢાળ અથવા 2-ઢાળ, આશરે કહીએ તો, એક ઢાળ છે જે સમૂહોને બદલે વર્ગોમાં મૂલ્યો લે છે. સ્ટેક્સનો ઉપયોગ ડિસેન્ટ થિયરીની કેટલીક મુખ્ય રચનાઓને ઔપચારિક બનાવવા માટે થાય છે, અને જ્યારે ફાઇન મોડ્યુલી સ્પેસ અસ્તિત્વમાં ન હોય ત્યારે ફાઇન મોડ્યુલી સ્ટેક્સ બનાવવા માટે થાય છે. વંશ સિદ્ધાંત એવી પરિસ્થિતિઓના સામાન્યીકરણ સાથે સંબંધિત છે જ્યાં સમરૂપ, સુસંગત ભૌમિતિક પદાર્થો (જેમ કે ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ પર વેક્ટર બંડલ્સ) ને ટોપોલોજિકલ આધારના પ્રતિબંધની અંદર "એકસાથે ચોંટાડી શકાય છે". વધુ સામાન્ય સેટ-અપમાં પ્રતિબંધોને પુલબેક્સ સાથે બદલવામાં આવે છે; તંતુમય વર્ગો પછી આવા ગ્લુઇંગની શક્યતા અંગે ચર્ચા કરવા માટે એક સારું માળખું બનાવે છે. સ્ટેકનો સાહજિક અર્થ એ છે કે તે એક તંતુમય શ્રેણી છે જેમ કે "તમામ સંભવિત ગ્લુઇંગ્સ કામ કરે છે". ગ્લુઇંગ્સના સ્પષ્ટીકરણ માટે આવરણની વ્યાખ્યાની જરૂર છે જેના સંદર્ભમાં ગ્લુઇંગ્સને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. તે તારણ આપે છે કે આ આવરણોનું વર્ણન કરવા માટેની સામાન્ય ભાષા ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજીની છે. આમ એક ઢગલાને ઔપચારિક રીતે અન્ય પાયાની શ્રેણી પર તંતુમય શ્રેણી તરીકે આપવામાં આવે છે, જ્યાં આધારમાં ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી હોય છે અને જ્યાં તંતુમય શ્રેણી કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે જે ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં ચોક્કસ ગ્લૂઇંગ્સના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાને સુનિશ્ચિત કરે છે. ઝાંખી સ્ટેક્સ એ બીજગણિત સ્ટેક્સ (જેને આર્ટિન સ્ટેક્સ પણ કહેવાય છે) અને ડેલીગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટેક્સનું અંતર્ગત માળખું છે, જે યોજનાઓ અને બીજગણિત જગ્યાઓને સામાન્ય બનાવે છે અને જે મોડુલી જગ્યાઓના અભ્યાસમાં ખાસ કરીને ઉપયોગી છે. ત્યાં સમાવેશ થાય છેઃ યોજનાઓ બીજગણિત જગ્યાઓ ડિલિગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટેક્સ બીજગણિત સ્ટેક્સ (આર્ટિન સ્ટેક્સ) સ્ટેક્સ. અને સ્ટેક્સનો સંક્ષિપ્ત પરિચયાત્મક અહેવાલ આપે છે, અને વધુ વિગતવાર પરિચય આપે છે, અને વધુ અદ્યતન સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે. પ્રેરણા અને ઇતિહાસ સ્ટેક્સની વિભાવનાનું મૂળ અસરકારક વંશના ડેટાની વ્યાખ્યામાં છે. 1959માં સેરેને લખેલા પત્રમાં, ગ્રોથેન્ડીકે અવલોકન કર્યું હતું કે સારી મોડુલી જગ્યાઓ બનાવવા માટે મૂળભૂત અવરોધ ઓટોમોર્ફિઝમનું અસ્તિત્વ છે. સ્ટેક્સ માટે મુખ્ય પ્રેરણા એ છે કે જો ઓટોમોર્ફિઝમ્સના અસ્તિત્વને કારણે કોઈ સમસ્યા માટે મોડ્યુલી જગ્યા અસ્તિત્વમાં નથી, તો પણ મોડ્યુલી સ્ટેકનું નિર્માણ કરવું શક્ય બની શકે છે. સ્ટેક્સને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા તે પહેલાં, લંબગોળ વળાંકના મોડ્યુલી સ્ટેકના પિકાર્ડ જૂથનો અભ્યાસ કર્યો હતો. સ્ટેક્સને સૌપ્રથમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા હતા, અને "સ્ટેક્સ" શબ્દ મૂળ ફ્રેન્ચ શબ્દ "ચેમ્પ" માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો જેનો અર્થ "ક્ષેત્ર" થાય છે. આ પેપરમાં તેઓએ ડેલીગ્ને-મમફોર્ડ સ્ટેક્સ પણ રજૂ કર્યા, જેને તેઓ બીજગણિત સ્ટેક્સ કહેતા હતા, જોકે "બીજગણિત સ્ટેક્સ" શબ્દ હવે સામાન્ય રીતે તેમના દ્વારા રજૂ કરાયેલા વધુ સામાન્ય આર્ટિન સ્ટેક્સનો સંદર્ભ આપે છે. જ્યારે સમૂહ ક્રિયાઓ દ્વારા યોજનાઓના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ભાગાકાર માટે યોજના બનવું ઘણીવાર અશક્ય હોય છે અને તેમ છતાં ભાગાકાર માટે ઇચ્છનીય ગુણધર્મોને સંતોષે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કેટલાક બિંદુઓમાં બિન-તુચ્છ સ્ટેબિલાઇઝર્સ હોય, તો પછી શ્રેણીબદ્ધ ભાગાકાર યોજનાઓમાં અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં, પરંતુ તે એક સમૂહ તરીકે અસ્તિત્વમાં રહેશે. એ જ રીતે, વળાંક, વેક્ટર બંડલ્સ અથવા અન્ય ભૌમિતિક પદાર્થોની મોડ્યુલી જગ્યાઓને ઘણીવાર યોજનાઓને બદલે સ્ટેક્સ તરીકે શ્રેષ્ઠ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મોડ્યુલી જગ્યાઓની રચનાઓ ઘણીવાર પહેલા પ્રશ્નમાં રહેલા પદાર્થોને મોટા અવકાશ પરિમાણો બનાવીને આગળ વધે છે, અને પછી જૂથ ક્રિયા દ્વારા ભાગાકાર કરીને ઓટોમોર્ફિઝમ્સ ધરાવતા પદાર્થો માટે જવાબદાર હોય છે જેની વધુ ગણતરી કરવામાં આવી છે. વ્યાખ્યાઓ એબ્સ્ટ્રેક્ટ સ્ટેક્સ એક શ્રેણીમાં ફંકટર સાથેની શ્રેણીને ફાઇબરવાળી શ્રેણી કહેવામાં આવે છે, જો છબીમાં કોઈપણ મોર્ફિઝમ માટે અને છબીની કોઈપણ વસ્તુ માટે (ફંકટર હેઠળ), ત્યાં 'બાય' નું પુલબેક હોય. આનો અર્થ એ છે કે છબી સાથે મોર્ફિઝમ કે જે છબી સાથેના કોઈપણ મોર્ફિઝમને એક અનન્ય મોર્ફિઝમ દ્વારા પરિબળ બનાવી શકાય છે જેમાં ફંકટર નકશો બનાવે છે. આ તત્વને પુલબેક ઓફ અલોંગ કહેવામાં આવે છે અને તે કેનોનિકલ આઇસોમોર્ફિઝમ સુધી અનન્ય છે. શ્રેણી સી ને ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી સાથે શ્રેણી સી પર પ્રીસ્ટેક કહેવામાં આવે છે જો તે સી પર ફાઇબર કરેલ હોય અને સી ની કોઈપણ વસ્તુ યુ અને છબી યુ સાથે સી ની વસ્તુ x, y માટે, શ્રેણી સી/યુ થી એફઃ વી → યુ થી હોમ (એફ * એક્સ, એફ * વાય) લેતા સમૂહો માટે ફંકટર એક આવરણ છે. આ પરિભાષા શીવ્સ માટેની પરિભાષા સાથે સુસંગત નથીઃ પ્રીસ્ટેક્સ એ પ્રીશીવ્સને બદલે અલગ પ્રીશીવ્સના એનાલોગ છે. કેટલાક લેખકોને પ્રીસ્ટેક્સને બદલે સ્ટેક્સની મિલકત તરીકે આની જરૂર પડે છે. શ્રેણી સી ને ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી સાથે શ્રેણી સી પર સ્ટેક કહેવામાં આવે છે જો તે સી પર પ્રીસ્ટેક હોય અને દરેક વંશના ડેટમ અસરકારક હોય. વંશના ડેટમમાં આશરે વી પરિવાર દ્વારા સીની વસ્તુ વીનું આવરણ, વી ઉપર ફાઇબરમાં તત્વો xi, અને xi અને xj થી Vij = Vi × Vvj ના પ્રતિબંધો વચ્ચે મોર્ફિઝમ્સ fji સુસંગતતા શરત fki = fkjfj ને સંતોષે છે. વંશના ડેટમને અસરકારક કહેવામાં આવે છે જો ઘટકો xi અનિવાર્યપણે છબી V સાથે તત્વ x ના પુલબેક્સ હોય. એક સ્ટેકને ગ્રૂપોઇડ્સમાં સ્ટેક કહેવામાં આવે છે અથવા (2,1)-શીફ જો તે ગ્રૂપોઇડ્સમાં પણ ફાઇબર કરેલ હોય, એટલે કે તેના તંતુઓ (C ની વસ્તુઓની વ્યસ્ત છબીઓ) ગ્રૂપોઇડ્સ છે. કેટલાક લેખકો ગ્રૂપોઇડ્સમાં સ્ટેકની વધુ પ્રતિબંધિત કલ્પનાનો સંદર્ભ આપવા માટે "સ્ટેક" શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે. બીજગણિત સ્ટેક્સ એક બીજગણિત સ્ટેક્સ અથવા આર્ટિન સ્ટેક્સ એ એફ. પી. પી. એફ. સાઇટ પર ગ્રુપોઇડ્સ X માં એક સ્ટેક્સ છે જેમ કે X નો કર્ણ નકશો રજૂ કરી શકાય તેવું છે અને ત્યાં એક યોજના (સંકળાયેલ સ્ટેક્સ) થી X સુધી એક સરળ સરજેક્શન અસ્તિત્વમાં છે. સ્ટેક્સના મોર્ફિઝમ Y X નું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકાય છે, જો દરેક મોર્ફિઝમ S X માટે (સંકળાયેલ સ્ટેક્સ) એક યોજનાથી X સુધી, ફાઇબર પ્રોડક્ટ Y × X S એ બીજગણિત જગ્યા (સંકળાયેલ સ્ટેક્સ) માટે આઇસોમોર્ફિક હોય. સ્ટેક્સના ફાઇબર પ્રોડક્ટને સામાન્ય સાર્વત્રિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને તે જરૂરિયાતને બદલીને કે જે આકૃતિઓ 2-કમ્યુટની જરૂરિયાત સાથે પરિવહન કરે છે. વધુ માહિતી માટે બીજગણિત સ્ટેક્સનું આકારવાદ પણ જુઓ. વિકર્ણની પ્રતિનિધિત્વક્ષમતા પાછળની પ્રેરણા નીચે મુજબ છેઃ વિકર્ણ મોર્ફિઝમ પ્રતિનિધિત્વક્ષમ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો બીજગણિત જગ્યાઓના મોર્ફિઝમ્સની કોઈપણ જોડી માટે, તેમનું ફાઇબર ઉત્પાદન પ્રતિનિધિત્વક્ષમ હોય. ડિલિગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટૅક એ બીજગણિત સ્ટૅક X છે જેમ કે સ્કીમમાંથી X સુધી étale સર્જેક્શન હોય છે. આશરે કહીએ તો, ડેલીગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટેક્સને બીજગણિત સ્ટેક્સ તરીકે વિચારી શકાય છે, જેમના પદાર્થોમાં કોઈ અનંત ઓટોમોર્ફિઝમ નથી. બીજગણિત સ્ટેક્સની સ્થાનિક રચના બીજગણિત સ્ટેક્સની શરૂઆતથી જ એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવતી હતી કે તેઓ તે સ્વરૂપના સ્થાનિક ભાગાકાર સ્ટેક્સ છે જ્યાં એક રેખીય રીતે રિડક્ટિવ બીજગણિત જૂથ છે. તાજેતરમાં આ કિસ્સો સાબિત થયો હતોઃ બીજગણિત રીતે બંધ ક્ષેત્ર પર સ્થાનિક રીતે મર્યાદિત પ્રકારનો અર્ધ-અલગ બીજગણિત સ્ટેક આપવામાં આવે છે, જેના સ્ટેબિલાઇઝર્સ એફાઇન હોય છે, અને રેખીય રીતે રિડક્ટિવ સ્ટેબિલાઇઝર જૂથ સાથે એક સરળ અને બંધ બિંદુ આપવામાં આવે છે, ત્યાં GIT ક્વોશન્ટનું એટેલ કવર અસ્તિત્વમાં છે, જ્યાં, જેમ કે આકૃતિ કાર્ટેશિયન હોય છે, અને ત્યાં અને પર સ્ટેબિલાઇઝર જૂથોના આઇસોમોર્ફિઝમને પ્રેરિત કરતી ઇટેલ મોર્ફિઝમ અસ્તિત્વમાં છે. ઉદાહરણો પ્રાથમિક ઉદાહરણો ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી ધરાવતી શ્રેણીમાંથી દરેક આવરણને પ્રમાણભૂત રીતે ઢગલામાં ફેરવી શકાય છે. ઓબ્જેક્ટ માટે, સમૂહને બદલે એક ગ્રૂપોઇડ હોય છે જેની ઓબ્જેક્ટ તેના તત્વો હોય છે અને તીર એ ઓળખ મોર્ફિઝમ હોય છે. વધુ ચોક્કસપણે, ચાલો એક વિરોધાભાસી ફંકટર બનીએ પછી, આ ફંકટર નીચેની શ્રેણી નક્કી કરે છે કે ઑબ્જેક્ટ એક જોડી છે જેમાં એક યોજના હોય છે અને એક તત્વ જેમાં મોર્ફિઝમ હોય છે. ભૂલી ગયેલા ફંકટર દ્વારા, આ શ્રેણી ફાઇબરવાળી શ્રેણી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ યોજના છે, તો તે વિરોધાભાસી ફંકટર નક્કી કરે છે અને અનુરૂપ ફાઇબરવાળી શ્રેણી છે. સ્ટેક્સ (અથવા પ્રીસ્ટેક્સ) ને આ બાંધકામના એક પ્રકાર તરીકે બનાવી શકાય છે. હકીકતમાં, અર્ધ-કોમ્પેક્ટ કર્ણ સાથેની કોઈપણ યોજના એ યોજના સાથે સંકળાયેલ બીજગણિત સમૂહ છે. વસ્તુઓના ઢગલા એ જૂથ-ઢગલા. વેક્ટર બંડલ્સનો મોડ્યુલી સ્ટેકઃ વેક્ટર બંડલ્સની શ્રેણી V → S એ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓ S ની શ્રેણી પરનો એક સ્ટેક છે. V → S થી W → T સુધીના મોર્ફિઝમમાં S થી T અને V થી W (ફાઈબર્સ પર રેખીય) સુધીના સતત નકશાઓનો સમાવેશ થાય છે જેથી સ્પષ્ટ ચોરસ અવરજવર થાય. આ એક ફાઇબરવાળી શ્રેણી છે તે શરત અનુસરે છે કારણ કે કોઈ વ્યક્તિ ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓના સતત નકશા પર વેક્ટર બંડલ્સનું પુલબેક લઈ શકે છે, અને ડિસેન્ટ ડેટમ અસરકારક છે તે શરત અનુસરે છે કારણ કે કોઈ વ્યક્તિ ખુલ્લા આવરણના ઘટકો પર વેક્ટર બંડલ્સને એકસાથે ગ્લુઇંગ કરીને જગ્યા પર વેક્ટર બંડલ બનાવી શકે છે. યોજનાઓ પર અર્ધ-સુસંગત આવરણોનો સમૂહ (એફ. પી. ક્યુ. સી.-ટોપોલોજી અને નબળા ટોપોલોજીના સંદર્ભમાં) આધાર યોજના પર જોડાણ યોજનાઓનો સમૂહ (ફરીથી એફ. પી. ક્યુ. સી. ટોપોલોજી અથવા નબળા એકના સંદર્ભમાં) જોડાણ અવતરણો સાથેની રચનાઓ જો એક યોજના હોય અને તેના પર કામ કરતી એક સરળ જોડાણ જૂથ યોજના હોય, તો ત્યાં એક ભાગાકાર બીજગણિત સમૂહ હોય છે, જે એક યોજનાને-સમાન નકશાઓ સાથે-યોજના પર-ટોર્સર્સના સમૂહમાં લઈ જાય છે. સ્પષ્ટ રીતે, એક-ક્રિયા સાથેની જગ્યા આપવામાં આવે તો, એક માળખું રચાય છે જે (સહજ ભાવે કહીએ તો) પુલબેક આકૃતિઓના જૂથને જગ્યા મોકલે છે, જ્યાં જગ્યાઓનું સમતુલ્ય મોર્ફિઝમ હોય છે અને તે મુખ્ય-બંડલ હોય છે. આ શ્રેણીમાં મોર્ફિઝમ્સ માત્ર આકૃતિઓના મોર્ફિઝમ્સ છે જ્યાં જમણી બાજુના તીર સમાન હોય છે અને ડાબી બાજુના તીર મુખ્ય-બંડલના મોર્ફિઝમ્સ હોય છે. સ્ટેક્સનું વર્ગીકરણ આનો એક ખાસ કિસ્સો જ્યારે X એક બિંદુ હોય ત્યારે તે એક સરળ એફાઇન જૂથ યોજના G નું વર્ગીકરણ સ્ટેક્સ BG આપે છેઃ તેનું નામ એટલા માટે રાખવામાં આવ્યું છે કારણ કે શ્રેણી, Y ઉપરનું ફાઇબર, ચોક્કસપણે મુખ્ય-બંડલની શ્રેણી છે. નોંધ લો કે પોતે એક સ્ટૅક તરીકે ગણી શકાય, જે વાય પર મુખ્ય જી-બંડલનો મોડ્યુલી સ્ટેક છે. આ બાંધકામનું એક મહત્વપૂર્ણ ઉપ-ઉદાહરણ એ છે કે જે મુખ્ય-બંડલનો મોડુલી સ્ટેક છે. મુખ્ય-બંડલનો ડેટા રેન્ક વેક્ટર બંડલના ડેટાની સમકક્ષ હોવાથી, આ રેન્ક વેક્ટર બંડલના મોડ્યુલી સ્ટેક માટે આઇસોમોર્ફિક છે. લાઇન બંડલ્સનો મોડ્યુલી સ્ટેક લાઇન બંડલ્સનો મોડ્યુલી સ્ટેક એ છે કારણ કે દરેક લાઇન બંડલ મુખ્ય-બંડલ માટે સમરૂપ છે. ખરેખર, એક યોજના પર એક રેખા બંડલ આપવામાં આવે છે, સંબંધિત ભૌમિતિક રેખા બંડલને સ્પષ્ટ કરે છે. શૂન્ય ખંડની છબીને દૂર કરીને, એક મુખ્ય-બંડલ પ્રાપ્ત થાય છે. તેનાથી વિપરીત, રજૂઆતમાંથી, સંકળાયેલ લાઇન બંડલનું પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. જર્બ્સ એ જર્બ્સ એ ગ્રૂપોઇડ્સનો એક સમૂહ છે જે હંમેશા બિન-ખાલી શ્રેણી ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તુચ્છ સૂક્ષ્મજીવ કે જે દરેક યોજનાને કેટલાક જૂથ માટે યોજના પર મુખ્ય-બંડલના જૂથને સોંપે છે. જો A એ યોજના S પર બીજગણિત સ્ટૅક X માં આલ્જેબ્રાનું અર્ધ-સુસંગત આવરણ હોય, તો ત્યાં એક સ્ટૅક સ્પેક (A) છે જે પરિવર્તનીય રિંગ A ના સ્પેક્ટ્રમ સ્પેક (A) ની રચનાને સામાન્ય બનાવે છે. સ્પેક્સ (એ) નો પદાર્થ એસ-સ્કીમ ટી દ્વારા આપવામાં આવે છે, એક્સ (ટી) નો પદાર્થ x, અને એક્સ * (એ) થી ટીના કોઓર્ડિનેટ રિંગ ઓ (ટી) સુધી આલ્જેબ્રાના આવરણોનું મોર્ફિઝમ. જો એ એ યોજના એસ પર બીજગણિત સ્ટેક એક્સમાં ક્રમિક બીજગણિતનું અર્ધ-સુસંગત આવરણ હોય, તો ત્યાં એક શ્રેણીબદ્ધ રિંગ એ. મોડુલી સ્ટેક્સના પ્રોજેક્ટિવ સ્કીમ પ્રોજ (એ) ની રચનાને સામાન્ય બનાવતી એક સ્ટેક પ્રોજ (એ) હોય છે. મોડુલી સ્ટેક્સ લંબગોળ વળાંકના મોડુલી સ્ટેક્સ એમ1,1 નો અભ્યાસ કરે છે, અને દર્શાવે છે કે તેનું પિકાર્ડ જૂથ ક્રમ 12 નું ચક્રીય છે. જટિલ સંખ્યાઓ પર લંબગોળ વળાંક માટે અનુરૂપ માળખું મોડ્યુલર જૂથની ક્રિયા દ્વારા ઉપલા અર્ધ-સમતલના ભાગાકાર જેવું જ હોય છે. બીજગણિત વળાંકની મોડ્યુલી જગ્યા જે આપેલ જાતિના સરળ વળાંકના સાર્વત્રિક પરિવાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે બીજગણિત વિવિધતા તરીકે અસ્તિત્વમાં નથી કારણ કે ખાસ કરીને ત્યાં બિન-તુચ્છ ઓટોમોર્ફિઝમ્સને સ્વીકારતા વળાંક છે. જો કે ત્યાં એક મોડ્યુલી સ્ટેક છે જે સરળ જીનસ વળાંકની અસ્તિત્વમાં ન હોય તેવી ફાઇન મોડ્યુલી જગ્યા માટે સારો વિકલ્પ છે. વધુ સામાન્ય રીતે ચિહ્નિત બિંદુઓ સાથે જીનસ વણાંકોનો મોડ્યુલી સ્ટેક હોય છે. સામાન્ય રીતે આ એક બીજગણિત સમૂહ છે, અને તે અથવા માટે અથવા (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો જ્યારે વળાંકના ઓટોમોર્ફિઝમ જૂથો મર્યાદિત હોય છે) માટે ડિલિગ્ને-મમ્ફોર્ડ સમૂહ છે. આ મોડ્યુલી સ્ટૅકમાં સ્થિર વળાંક (આપેલ અને માટે) ના મોડ્યુલી સ્ટેકનો સમાવેશ થાય છે જે સ્પેક ઝેડ પર યોગ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોજેક્ટિવ સામાન્ય રેખીય જૂથનું વર્ગીકરણ સ્ટેક છે. (વ્યાખ્યાયિત કરવામાં એક સૂક્ષ્મતા છે, કારણ કે તેને બનાવવા માટે યોજનાઓને બદલે બીજગણિત જગ્યાઓનો ઉપયોગ કરવો પડે છે.) કોન્ટ્સેવિચ મોડ્યુલી જગ્યાઓ મોડ્યુલી જગ્યાઓનો અન્ય વ્યાપક અભ્યાસ કરાયેલ વર્ગ કોન્ટ્સેવિચ મોડ્યુલી જગ્યાઓ છે જે નિશ્ચિત જાતિના વણાંકો વચ્ચે સ્થિર નકશાની જગ્યાને નિશ્ચિત જગ્યામાં પરિમાણિત કરે છે જેની છબી નિશ્ચિત કોહોમોલોજી વર્ગને રજૂ કરે છે. આ મોડ્યુલી જગ્યાઓ સૂચવવામાં આવે છે અને તેમાં જંગલી વર્તણૂક હોઈ શકે છે, જેમ કે ઘટાડી શકાય તેવા ઢગલાઓ જેમના ઘટકો બિન-સમાન પરિમાણ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોડ્યુલી સ્ટેકમાં ખુલ્લા સબસેટ દ્વારા પરિમાણિત સરળ વળાંક હોય છે. મોડ્યુલી જગ્યાની સીમા પર, જ્યાં વળાંક ઘટાડી શકાય તેવા વળાંકમાં અધોગતિ પામી શકે છે, ત્યાં જીનસ ઘટક અને એક બિંદુ પર છેદતા જીનસ ઘટક સાથે સબસ્ટેક પરિમાણ ઘટાડી શકાય તેવા વળાંક છે, અને નકશો જીનસ વળાંકને એક બિંદુ પર મોકલે છે. આવા તમામ જીનસ વળાંકો દ્વારા પરિમાણિત હોવાથી, અને આ વળાંકો જીનસ વળાંક પર ક્યાં છેદે છે તેની વધારાની પરિમાણીય પસંદગી હોવાથી, સીમા ઘટકનું પરિમાણ હોય છે. અન્ય મોડ્યુલી સ્ટેક્સ એ પિકાર્ડ સ્ટેક્સ પિકાર્ડની વિવિધતાને સામાન્ય બનાવે છે. ઔપચારિક જૂથ કાયદાઓનો મોડ્યુલી સ્ટેક ઔપચારિક જૂથ કાયદાઓનું વર્ગીકરણ કરે છે. અનંત પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ અને ઔપચારિક યોજના જેવી ઇન્ડ-સ્કીમ એ સ્ટેક્સ છે. ભૌમિતિક લેંગલેન્ડ્સ પ્રોગ્રામમાં શ્ટુકાના મોડુલી સ્ટેકનો ઉપયોગ થાય છે. (શ્ટુકા પણ જુઓ.) ભૌમિતિક સ્ટેક્સ ભારિત પ્રોજેક્ટિવ સ્ટેક્સ ભારિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યાઓના નિર્માણમાં-ક્રિયા દ્વારા કેટલાકની ભાગાકાર વિવિધતા લેવાનો સમાવેશ થાય છે. ખાસ કરીને, ક્રિયા ટુપ્લેન્ડ મોકલે છે અને આ ક્રિયાના ભાગાકારથી ભારિત પ્રોજેક્ટિવ જગ્યા મળે છે. તેના બદલે આને સ્ટૅક ભાગાકાર તરીકે લઈ શકાય છે, તેથી ભારિત પ્રોજેક્ટિવ સ્ટૅક pg 30 એ લાઇન બંડલમાં ભારિત બહુપદીના અદ્રશ્ય થઈ રહેલા સ્થાનને લેવાથી સ્ટેકી ભારિત પ્રોજેક્ટિવ વિવિધતા મળે છે. સ્ટેકી વણાંકો, અથવા ઓર્બીકર્વ્સ, સામાન્ય બિંદુઓ પર આવરણના મોનોડ્રોમી જૂથ દ્વારા વણાંકોના મોર્ફિઝમના સ્ટેક ભાગાકારને લઈને બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોજેક્ટિવ મોર્ફિઝમ લો, જે સામાન્ય રીતે ઈટેલ છે. દ્વારા ડોમેનનો સ્ટેક ભાગાકાર સ્ટેકી બિંદુઓ સાથે સ્ટેકી આપે છે જે-ચાર્ટમાં એકતાના પાંચમા મૂળ પર સ્ટેબિલાઇઝર જૂથ ધરાવે છે. આનું કારણ એ છે કે આ તે બિંદુઓ છે જ્યાં આવરણ વિસ્તૃત થાય છે. નોન-એફાઇન સ્ટેકનું ઉદાહરણ બે સ્ટેકી મૂળ સાથે અર્ધ-રેખા દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને બે સમાવેશના કોલિમિટ તરીકે બનાવી શકાય છે. બીજગણિત ઢાળ પર અર્ધ-સુસંગત ઢાળ એક બીજગણિત ઢાળ પર કોઈ યોજના પર અર્ધ-સુસંગત ઢાળની શ્રેણીની જેમ અર્ધ-સુસંગત ઢાળની શ્રેણી બનાવી શકે છે. અર્ધ-સુસંગત આવરણ આશરે એવું હોય છે જે સ્થાનિક રીતે વીંટી પર મોડ્યુલના આવરણ જેવું દેખાય છે. પ્રથમ સમસ્યા એ નક્કી કરવાની છે કે "સ્થાનિક રીતે" નો અર્થ શું છેઃ આમાં ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજીની પસંદગીનો સમાવેશ થાય છે, અને આ માટે ઘણી સંભવિત પસંદગીઓ છે, જે બધામાં કેટલીક સમસ્યાઓ છે અને જેમાંથી કોઈ પણ સંપૂર્ણપણે સંતોષકારક લાગતું નથી. ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી એટલી મજબૂત હોવી જોઈએ કે જેથી આ ટોપોલોજીમાં સ્ટેક સ્થાનિક રીતે સંલગ્ન હોયઃ યોજનાઓ સ્થાનિક રીતે ઝરીસ્કી ટોપોલોજીમાં સંલગ્ન હોય છે તેથી સેરની શોધ મુજબ યોજનાઓ માટે આ એક સારી પસંદગી છે, બીજગણિત જગ્યાઓ અને ડેલીગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટેક્સ સ્થાનિક રીતે ઇટેલ ટોપોલોજીમાં સંલગ્ન હોય છે તેથી કોઈ સામાન્ય રીતે આ માટે ઇટેલ ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરે છે, જ્યારે બીજગણિત સ્ટેક્સ સ્થાનિક રીતે સરળ ટોપોલોજીમાં સંલગ્ન હોય છે જેથી કોઈ આ કિસ્સામાં સરળ ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરી શકે. સામાન્ય બીજગણિત સ્ટેક્સ માટે ઇટેલ ટોપોલોજીમાં પૂરતા ખુલ્લા સમૂહો નથીઃ ઉદાહરણ તરીકે, જો G એક સરળ જોડાયેલ જૂથ છે, તો વર્ગીકરણ સ્ટેક્સ BG ના એકમાત્ર ઇટેલ આવરણ BG ની નકલોના જોડાણ છે, જે ક્વાસિકોહેરન્ટ શીવ્ઝનો યોગ્ય સિદ્ધાંત આપવા માટે પૂરતા નથી. બીજગણિત સ્ટેક્સ માટે સરળ ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરવાને બદલે ઘણીવાર તેના ફેરફારનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેને લિસ-એટ ટોપોલોજી કહેવાય છે (લિસે-એટેલ માટે ટૂંકુંઃ લિસે એ સરળ માટેનો ફ્રેન્ચ શબ્દ છે), જેમાં સરળ ટોપોલોજી જેવા જ ખુલ્લા સમૂહો હોય છે પરંતુ ખુલ્લા આવરણો સરળ નકશાને બદલે ઇટેલ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સામાન્ય રીતે અર્ધ-સુસંગત આવરણની સમકક્ષ શ્રેણી તરફ દોરી જાય છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ કરવો સરળ છેઃ ઉદાહરણ તરીકે બીજગણિત જગ્યાઓ પર એટેલ ટોપોલોજી સાથે સરખામણી કરવી સરળ છે. લિસ-એટ ટોપોલોજીમાં એક સૂક્ષ્મ તકનીકી સમસ્યા છેઃ સ્ટેક્સ વચ્ચેનું મોર્ફિઝમ સામાન્ય રીતે અનુરૂપ ટોપોઇ વચ્ચે મોર્ફિઝમ આપતું નથી. (સમસ્યા એ છે કે જ્યારે કોઈ ટોપોઈના ભૌમિતિક આકારવાદ માટે જરૂરી સંલગ્ન ફંકટર f *, f * ની જોડી બનાવી શકે છે, ત્યારે ફંકટર f * સામાન્ય રીતે ચોક્કસ છોડવામાં આવતો નથી. આ સમસ્યા પ્રકાશિત થયેલા કાગળો અને પુસ્તકોમાં કેટલીક ભૂલો કરવા માટે કુખ્યાત છે.) આનો અર્થ એ છે કે સ્ટેક્સના મોર્ફિઝમ હેઠળ અર્ધ-સુસંગત આવરણના પુલબેકનું નિર્માણ કરવા માટે કેટલાક વધારાના પ્રયત્નોની જરૂર પડે છે. વધુ સારી ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરવો પણ શક્ય છે. મોટાભાગની વાજબી "પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી" ગ્રોથેન્ડીક ટોપોલોજી અર્ધ-સુસંગત આવરણની સમકક્ષ શ્રેણીઓ તરફ દોરી જાય છે, પરંતુ મોટી ટોપોલોજીને સંભાળવી એટલી જ મુશ્કેલ હોય છે, તેથી સામાન્ય રીતે જ્યાં સુધી તેમની પાસે પૂરતા પ્રમાણમાં ખુલ્લા સમૂહ હોય ત્યાં સુધી નાની ટોપોલોજીનો ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોટી એફ. પી. પી. એફ. ટોપોલોજી અનિવાર્યપણે લિસ-એટ ટોપોલોજીની જેમ અર્ધ-સુસંગત આવરણની સમાન શ્રેણી તરફ દોરી જાય છે, પરંતુ તેમાં એક સૂક્ષ્મ સમસ્યા છેઃ આ ટોપોલોજીમાં ઓ. એક્સ. મોડ્યુલોમાં અર્ધ-સુસંગત આવરણનું કુદરતી એમ્બેડિંગ ચોક્કસ નથી (તે સામાન્ય રીતે કર્નલોને સાચવતું નથી). અન્ય પ્રકારનાં સ્ટેક્સ અને ટોપોલોજિકલ સ્ટેક્સને બીજગણિત સ્ટેક્સ જેવી જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સિવાય કે એફાઇન યોજનાઓની અંતર્ગત શ્રેણીને સરળ મેનીફોલ્ડ્સ અથવા ટોપોલોજિકલ જગ્યાઓની શ્રેણી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. વધુ સામાન્ય રીતે કોઈ એન-શીફ અથવા એન-1 સ્ટેકની કલ્પનાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, જે લગભગ એન-1 વર્ગોમાં મૂલ્યો લેતી શીફની એક પ્રકારની છે. આવું કરવાની ઘણી અસમાન રીતો છે. 1-શીવ્સ શીવ્સ જેવા જ હોય છે, અને 2-શીવ્સ સ્ટેક્સ જેવા જ હોય છે. તેમને હાયર સ્ટેક્સ કહેવામાં આવે છે. એક ખૂબ જ સમાન અને સમાન વિસ્તરણ એ બિન-સ્વતંત્ર પદાર્થો પર સ્ટેક થિયરી વિકસાવવાનું છે (એટલે કે, જગ્યા ખરેખર બીજગણિત ટોપોલોજીમાં સ્પેક્ટ્રમ છે). પરિણામી સ્ટેકી પદાર્થોને વ્યુત્પન્ન સ્ટેક્સ (અથવા સ્પેક્ટ્રલ સ્ટેક્સ) કહેવામાં આવે છે. જેકબ લુરીનું નિર્માણાધીન પુસ્તક સ્પેક્ટ્રલ બીજગણિત ભૂમિતિ એક સામાન્યીકરણનો અભ્યાસ કરે છે જેને તેઓ સ્પેક્ટ્રલ ડિલિગ્ને-મમ્ફોર્ડ સ્ટેક કહે છે. વ્યાખ્યા મુજબ, તે એક વીંટીવાળું φ-ટોપોસ છે જે સ્થાનિક રીતે E φ-રિંગનું એટેલ સ્પેક્ટ્રમ છે (આ કલ્પના ઓછામાં ઓછી લાક્ષણિકતા શૂન્યમાં, વ્યુત્પન્ન યોજનાનો સમાવેશ કરે છે.) સેટ-સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ સ્ટેક્સના સિદ્ધાંતના સામાન્ય પાયા સાથે કેટલીક નાની સેટ સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ છે, કારણ કે સ્ટેક્સને ઘણીવાર સેટની શ્રેણીમાં ચોક્કસ ફંકટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેથી તે સેટ નથી. આ સમસ્યાનો સામનો કરવા માટે ઘણી રીતો છેઃ કોઈ વ્યક્તિ ગ્રોથેન્ડીક બ્રહ્માંડ સાથે કામ કરી શકે છેઃ એક સમૂહ પછી અમુક નિશ્ચિત ગ્રોથેન્ડીક બ્રહ્માંડના વર્ગો વચ્ચે કાર્યકર્તા છે, તેથી આ વર્ગો અને સમૂહ મોટા ગ્રોથેન્ડીક બ્રહ્માંડમાં ગોઠવાયેલા છે. આ અભિગમની ખામી એ છે કે વ્યક્તિએ પૂરતા પ્રમાણમાં ગ્રોથેન્ડીક બ્રહ્માંડના અસ્તિત્વને ધારણ કરવું પડે છે, જે અનિવાર્યપણે એક મોટો મુખ્ય સિદ્ધાંત છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ સ્ટેક્સને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા રેન્કના સેટના ફંકટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, અને ઉપયોગમાં લેવાતા વિવિધ સેટના રેન્ક પર સાવચેતીપૂર્વક નજર રાખી શકે છે. આની સાથે સમસ્યા એ છે કે તેમાં કેટલીક વધારાની કંટાળાજનક હિસાબીનો સમાવેશ થાય છે. સમૂહ સિદ્ધાંતમાંથી પ્રતિબિંબ સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે જેમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે ZFC ના સ્વયંસિદ્ધના કોઈપણ મર્યાદિત ટુકડાના સમૂહ નમૂનાઓ શોધી શકાય છે જે દર્શાવે છે કે કોઈ વ્યક્તિ આપમેળે એવા સમૂહો શોધી શકે છે જે તમામ સમૂહોના બ્રહ્માંડની પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક છે. સમસ્યાને સરળતાથી અવગણી શકાય છે. ઘણા લેખકો દ્વારા આ અભિગમ અપનાવવામાં આવ્યો છે. ડેલિન-મમ્ફોર્ડ સ્ટેકનું બીજગણિત સ્ટૅક ચાઉ જૂથ પણ જુઓ બીજગણિત ભૂમિતિના શબ્દકોષનો પીછો કરતા સ્ટેક્સ બીજગણિત સ્ટેકની ભાગાકાર જગ્યા મોડ્યુલર સ્વરૂપોની રીંગ સરળ પ્રીશીફ સ્ટેક્સ પ્રોજેક્ટ ટોરિક સ્ટેક નોંધો શૈક્ષણિક સંદર્ભો એ ઉદાહરણો સાથે સ્ટેક્સની મૂળભૂત બાબતોને વર્ણવતો એક એક્સપોઝીટરી લેખ છે. સાહિત્ય તરફ માર્ગદર્શન આપે છે https://maths-people.anu.edu.au ~ અલ્પર્જ/કાગળો/સ્ટેક્સ-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 સંદર્ભો કમનસીબે આ પુસ્તક ખોટા દાવાનો ઉપયોગ કરે છે કે બીજગણિત સ્ટેક્સના મોર્ફિઝમ્સ લિસે-એટેલ ટોપોઇના મોર્ફિઝમ્સને પ્રેરિત કરે છે. આમાંની કેટલીક ભૂલો દ્વારા સુધારવામાં આવી હતી. વધુ વાંચન બાહ્ય કડીઓ "બીજગણિત સ્ટેક્સ પર સારા પ્રારંભિક સંદર્ભો?" બીજગણિત ભૂમિતિ વર્ગ સિદ્ધાંત