Discontinuous Galerkin method
લાગુ ગણિતમાં, વિસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિઓ (DG પદ્ધતિઓ) વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો વર્ગ બનાવે છે. તેઓ મર્યાદિત તત્વ અને મર્યાદિત વોલ્યુમ માળખાના લક્ષણોને જોડે છે અને એપ્લિકેશનોની વિશાળ શ્રેણીમાંથી ઉદ્ભવતા હાયપરબોલિક, લંબગોળ, પેરાબોલિક અને મિશ્ર સ્વરૂપની સમસ્યાઓ પર સફળતાપૂર્વક લાગુ કરવામાં આવ્યા છે. ડી. જી. પદ્ધતિઓને ખાસ કરીને પ્રભાવશાળી પ્રથમ ક્રમના ભાગ સાથેની સમસ્યાઓ માટે નોંધપાત્ર રસ મળ્યો છે, દા. ત. ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ, ફ્લુઇડ મિકેનિક્સ અને પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સમાં. આંશિક વિભેદક સમીકરણોને આંકડાકીય રીતે ઉકેલવાની તકનીક તરીકે 1970ના દાયકાની શરૂઆતમાં અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિઓ સૌપ્રથમ પ્રસ્તાવિત અને વિશ્લેષણ કરવામાં આવી હતી. 1973માં રીડ અને હિલે હાયપરબોલિક ન્યુટ્રોન પરિવહન સમીકરણને ઉકેલવા માટે DG પદ્ધતિ રજૂ કરી. લંબગોળ સમસ્યાઓ માટે DG પદ્ધતિની ઉત્પત્તિ એક જ પ્રકાશનમાં શોધી શકાતી નથી કારણ કે આધુનિક અર્થમાં જમ્પ પેનલાઇઝેશન જેવી સુવિધાઓ ધીમે ધીમે વિકસાવવામાં આવી હતી. જો કે, પ્રારંભિક પ્રભાવશાળી યોગદાન આપનારાઓમાં બાબુસ્કા, જે. એલ. લાયન્સ, જોઆચિમ નિત્શે અને મિલોસ ઝ્લામલ હતા. 1977માં ચોથા ક્રમના સમીકરણોના સેટિંગમાં ગાર્થ બેકર દ્વારા એક પેપરમાં લંબગોળ સમસ્યાઓ માટે DG પદ્ધતિઓ પહેલેથી જ વિકસાવવામાં આવી હતી. ઐતિહાસિક વિકાસનું વધુ સંપૂર્ણ વર્ણન અને લંબગોળ સમસ્યાઓ માટે DG પદ્ધતિઓનો પરિચય આર્નોલ્ડ, બ્રેઝી, કોકબર્ન અને મારિનીના પ્રકાશનમાં આપવામાં આવ્યો છે. કોકબર્ન, કર્ણિયાદાકિસ અને શુ દ્વારા સંપાદિત કાર્યવાહીના ગ્રંથમાં DG પદ્ધતિઓ પર સંખ્યાબંધ સંશોધન દિશા નિર્દેશો અને પડકારો એકત્રિત કરવામાં આવ્યા છે. સારાંશ સતત ગેલર્કિન (CG) પદ્ધતિની જેમ, વિસંગત ગેલર્કિન (DG) પદ્ધતિ એ ચોક્કસ મોડેલ સિસ્ટમની નબળી રચનાના સંબંધમાં ઘડવામાં આવેલી મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ છે. પરંપરાગત CG પદ્ધતિઓથી વિપરીત, DG પદ્ધતિ એવા કાર્યોની પરીક્ષણ જગ્યા પર કામ કરે છે જે માત્ર પીસવાઇઝ કન્ટિન્યુઅસ હોય છે, અને આમ ઘણીવાર સુસંગત પદ્ધતિઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતી મર્યાદિત-પરિમાણીય આંતરિક ઉત્પાદન પેટા જગ્યાઓ કરતાં વધુ સમાવિષ્ટ કાર્ય જગ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "સ્રોતો" અથવા "સિંક" વિના અવકાશી ક્ષેત્રમાં અજ્ઞાત સ્કેલર માટે સાતત્ય સમીકરણને ધ્યાનમાં લોઃ ક્યાંનો પ્રવાહ છે. હવે સ્વતંત્ર ત્રિકોણ સુધી મર્યાદિત અવકાશી ક્ષેત્ર પર અસંગત પીસવાઇઝ બહુપદી કાર્યોની મર્યાદિત-પરિમાણીય જગ્યાને ધ્યાનમાં લો, જે દ્વારા અનુક્રમિત તત્વ કરતાં ઓછી અથવા તેની બરાબર ડિગ્રી ધરાવતી બહુપદીઓની જગ્યા તરીકે લખવામાં આવે છે. પછી મર્યાદિત તત્વ આકારના કાર્યો માટે ઉકેલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે પછી તે જ રીતે સાતત્ય સમીકરણનો ગુણાકાર કરીને અને અવકાશમાં ભાગો દ્વારા સંકલન કરીને પરીક્ષણ કાર્ય પસંદ કરવાથી, અર્ધ-વિવિક્ત DG રચના બને છેઃ સ્કેલર હાયપરબોલિક સંરક્ષણ કાયદો એ સ્વરૂપનો છે જ્યાં કોઈ અજ્ઞાત સ્કેલર કાર્ય માટે ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરે છે, અને કાર્યો સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે. સ્પેસ ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન-સ્પેસને ડિસ્ક્રીટાઈઝ કરવામાં આવશે વધુમાં, આપણને નીચેની વ્યાખ્યાઓની જરૂર છે ફંક્શન સ્પેસ માટે આધાર આપણે આપણા ઉકેલની ફંક્શન સ્પેસ માટે આધાર રજૂઆત મેળવીએ છીએ. ફંક્શન સ્પેસને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં અંતરાલ પરના પ્રતિબંધને સૂચવે છે, અને મહત્તમ ડિગ્રીની બહુપદીઓની જગ્યાને સૂચવે છે. અનુક્રમણિકા દ્વારા આપવામાં આવેલ અંતર્ગત વિવેકીકરણ સાથેનો સંબંધ દર્શાવવો જોઈએ. અહીં નોંધો કે જે આંતરછેદ બિંદુઓ પર અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. શરૂઆતમાં આપણે અંતરાલ પર ચોક્કસ બહુપદી આધારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, લિજેન્ડ્રે બહુપદીઓ, એટલે કે, ખાસ કરીને ઓર્થોગોનાલિટી સંબંધો અંતરાલ પર પરિવર્તનની નોંધ લો, અને સામાન્યીકરણ એવા કાર્યો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે જે ઓર્થોનોર્માલિટી સંબંધને પૂર્ણ કરે છે. છેવટે, આપણે આપણા ઉકેલોની આધાર રજૂઆતને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ અહીં નોંધ કરો, જે ઇન્ટરફેસ સ્થાનો પર વ્યાખ્યાયિત નથી. આ ઉપરાંત, પ્રિઝમ પાયાનો ઉપયોગ પ્લેનર જેવી રચનાઓ માટે કરવામાં આવે છે, અને તે 2-ડી/3-ડી સંકરણ માટે સક્ષમ છે. DG-યોજના સંરક્ષણ કાયદાને પરીક્ષણ કાર્યો સાથે ગુણાકાર કરીને અને પરીક્ષણ અંતરાલો પર એકીકરણ કરીને તેના નબળા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. છેવટે, DG-યોજનાને સ્કેલર લંબગોળ સમીકરણ તરીકે લખી શકાય છે A સ્કેલર લંબગોળ સમીકરણ આ સ્વરૂપનું છે આ સમીકરણ સ્થિર-સ્થિતિ ઉષ્મા સમીકરણ છે, જ્યાં તાપમાન છે. સ્પેસ ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન ઉપરની જેમ જ છે. આપણે યાદ કરીએ છીએ કે અંતરાલ લંબાઈના અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આપણે નોડ પર જમ્પ અને ફંક્શન્સની સરેરાશ રજૂ કરીએ છીએઃ આંતરિક દંડ વિસંગત ગેલર્કિન (આઇ. પી. ડી. જી.) પદ્ધતિ છેઃ જ્યાં દ્વિરેખીય સ્વરૂપો અને છે અને છે અને છે ત્યાં સંતોષકારક શોધો. તેનું મૂલ્ય વધારવાથી વિસંગત દ્રાવણમાં કૂદકો ઘટશે. આ શબ્દ સમપ્રમાણ આંતરિક દંડ ગેલર્કિન પદ્ધતિ માટે સમાન પસંદ કરવામાં આવ્યો છે; તે બિન-સમપ્રમાણ આંતરિક દંડ ગેલર્કિન પદ્ધતિ માટે સમાન છે. ડાયરેક્ટ ડિસ્કન્ટિન્યુઅસ ગેલર્કિન પદ્ધતિ ડાયરેક્ટ ડિસ્કન્ટિન્યુઅસ ગેલર્કિન (ડીડીજી) પદ્ધતિ એ પ્રસરણ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટેની નવી ડિસ્કન્ટિન્યુઅસ ગેલર્કિન પદ્ધતિ છે. 2009માં, લિયુ અને યાનએ પ્રથમ વખત પ્રસરણ સમીકરણો ઉકેલવા માટે ડીડીજી પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિની સરખામણીમાં આ પદ્ધતિનો ફાયદો એ છે કે સીધી અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિ મધ્યવર્તી ચલ રજૂ કર્યા વિના કાર્યના આંકડાકીય પ્રવાહ અને પ્રથમ વ્યુત્પન્ન પદને સીધા લઈને આંકડાકીય સ્વરૂપ મેળવે છે. આપણે હજુ પણ આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વાજબી આંકડાકીય પરિણામો મેળવી શકીએ છીએ, અને વ્યુત્પત્તિ પ્રક્રિયા વધુ સરળ છે, ગણતરીની માત્રામાં ઘણો ઘટાડો થાય છે. સીધી અસંગત મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ એ અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિઓની એક શાખા છે. તેમાં મુખ્યત્વે સમસ્યાને પરિવર્તનશીલ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવી, પ્રાદેશિક એકમનું વિભાજન કરવું, પાયાના કાર્યોનું નિર્માણ કરવું, અસંગત મર્યાદિત તત્વ સમીકરણોની રચના અને નિરાકરણ કરવું અને અભિસરણ અને ભૂલ વિશ્લેષણનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિનરેખીય પ્રસરણ સમીકરણને ધ્યાનમાં લો, જે એક-પરિમાણીય છેઃ, જેમાં સ્પેસ ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન પ્રથમ, અને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી આપણે સ્પેસ ડિસ્ક્રીટાઈઝેશન કર્યું છે. પણ, વ્યાખ્યાયિત કરો. આપણે એવું અંદાજ શોધવા માંગીએ છીએ કે, બહુપદીઓની જગ્યા મહત્તમ ડિગ્રી સાથે હોય. ફ્લક્સ યોજનાની રચનાઃ : સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ. સમીકરણને સરળ કાર્ય સાથે ગુણાકાર કરો જેથી આપણે નીચેના સમીકરણો મેળવી શકીએઃ, અહીં મનસ્વી છે, સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ અંદાજિત ઉકેલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, એટલે કે, આપણને જરૂરી સંખ્યાત્મક ઉકેલ વિભેદક સમીકરણોને હલ કરીને મેળવવામાં આવે છે. ડી. ડી. જી. પદ્ધતિની ચોકસાઈ માટે યોગ્ય આંકડાકીય પ્રવાહ પસંદ કરવો એ આંકડાકીય પ્રવાહ મહત્વપૂર્ણ છે. આંકડાકીય પ્રવાહને નીચેની શરતોને સંતોષવાની જરૂર છેઃ તે સુસંગત છે. તેમાં-સ્થિરતા છે; તે પદ્ધતિની ચોકસાઈમાં સુધારો કરી શકે છે. આમ, આંકડાકીય પ્રવાહ માટે એક સામાન્ય યોજના આપવામાં આવી છેઃ આ પ્રવાહમાં, બે પડોશી કમ્પ્યુટિંગ એકમોમાં બહુપદીઓનો મહત્તમ ક્રમ છે. તે કાર્યનો કૂદકો છે. નોંધ લો કે બિન-સમાન ગ્રીડમાં, તે સમાન ગ્રીડમાં હોવી જોઈએ. ભૂલ અંદાજ સૂચવે છે કે ચોક્કસ ઉકેલ અને આંકડાકીય ઉકેલ વચ્ચેની ભૂલ છે. આપણે ભૂલને નીચેના ધોરણો સાથે માપીએ છીએઃ અને આપણી પાસે છે, ગેલર્કિન પદ્ધતિ સંદર્ભો ડી. એન. પણ જુઓ. આર્નોલ્ડ, એફ. બ્રેઝી, બી. કોકબર્ન અને એલ. ડી. મરીની, લંબગોળ સમસ્યાઓ માટે અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિઓનું એકીકૃત વિશ્લેષણ, સિયામ જે. નુમર. ગુદા. 39 (5): 1749-1779,2002. જી. બેકર, બિન-અનુરૂપ તત્વોનો ઉપયોગ કરીને લંબગોળ સમીકરણો માટે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓ, ગણિત. કોમ્પ. 31 (1977), નં. 137, 45-59. એ. કેંગિયાની, ઝેડ. ડોંગ, ઇ. એચ. જ્યોર્જોલિસ, અને પી. હ્યુસ્ટન, એચપી-વર્ઝન ડિસકોન્ટિન્યુઅસ ગેલર્કિન મેથડ્સ ઓન પોલિગોનલ એન્ડ પોલિહેડ્રલ મેશ, સ્પ્રિંગર બ્રીફ્સ ઇન મેથેમેટિક્સ, (ડિસેમ્બર 2017). ડબ્લ્યુ. માઈ, જે. હુ, પી. લી, અને એચ. ઝાઓ, "વિખેરાયેલા સમાંતર-પ્લેટ જોડીમાં મનસ્વી આકારના એન્ટીપેડ્સ માટે અનુકૂલનશીલ માપદંડ સાથે કાર્યક્ષમ અને સ્થિર 2-ડી/3-ડી વર્ણસંકર વિસંગત ગેલર્કિન સમય-ક્ષેત્ર વિશ્લેષણ", IEEE ટ્રાન્સ. માઇક્રો. થિયરી ટેક., વોલ્યુમ. 65, નં. 10, પીપી. 3671-3681, ઓક્ટોબર 2017. ડબ્લ્યુ. માઈ એટ અલ., "તુલનાત્મક ભૂલને નિયંત્રિત કરતી 2-ડી/3-ડી વર્ણસંકર વિસંગત ગેલર્કિન સમય-ડોમેન પદ્ધતિ માટે એક સીધું અદ્યતન માપદંડ", IEEE ટ્રાન્સ. માઇક્રો. થિયરી ટેક., વોલ્યુમ. 66, ના. 4, પીપી. 1713-1722, એપ્રિલ. 2018 માં તા. બી. કોકબર્ન, જી. ઈ. કર્ણિયાદાકિસ અને સી. ડબલ્યુ. શુ (આવૃત્તિઓ. ), અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિઓ. થિયરી, કોમ્પ્યુટેશન અને એપ્લિકેશન્સ, લેક્ચર નોટ્સ ઇન કોમ્પ્યુટેશનલ સાયન્સ એન્ડ એન્જિનિયરિંગ, 11. સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન, 2000. પી. લેસેન્ટ અને પી. એ. રવિઅર્ટ. "ન્યુટ્રોન પરિવહન સમીકરણને ઉકેલવા માટે મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ પર". આંશિક વિભેદક સમીકરણોમાં મર્યાદિત તત્વોના ગાણિતિક પાસાઓ 33 (1974): 89-123. ડી. એ. ડી પિએટ્રો અને એ. અર્ન, મેથેમેટિકલ એસ્પેક્ટ્સ ઓફ ડિસ્કન્ટિન્યુઅસ ગેલર્કિન મેથડ્સ. ગણિત અને એપ્લિકેશન્સ, વોલ્યુમ. 69, સ્પ્રિંગર-વેરલેગ, બર્લિન, 2011. જે. એસ હેસ્ટહેવન અને ટી. વોરબર્ટન, નોડલ ડિસ્કન્ટિન્યુઅસ ગેલર્કિન પદ્ધતિઓઃ અલ્ગોરિધમ્સ, એનાલિસિસ અને એપ્લિકેશન્સ. સ્પ્રિંગર ટેક્સ્ટ્સ ઇન એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ 54. સ્પ્રિંગર વેર્લાગ, ન્યૂયોર્ક, 2008. બી. રિવિયર, લંબગોળ અને પેરાબોલિક સમીકરણો ઉકેલવા માટે અસંગત ગેલર્કિન પદ્ધતિઓઃ સિદ્ધાંત અને અમલીકરણ. SIAM ફ્રન્ટિયર્સ ઇન એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ, 2008. CFD વિકી http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin W. H. રીડ અને ટી. આર. ન્યુટ્રોન પરિવહન સમીકરણ માટે હિલ, ત્રિકોણાકાર જાળીદાર પદ્ધતિઓ, ટેક. રિપોર્ટ એલ. એ.-યુ. આર.-<આઇ. ડી. 1>, લોસ એલામોસ સાયન્ટિફિક લેબોરેટરી, 1973. આંકડાકીય વિભેદક સમીકરણો આંશિક વિભેદક સમીકરણો મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ