Anisohedral tiling
ભૂમિતિમાં, જો તે ટાઇલિંગ સ્વીકારે તો આકારને એનિસોહેડ્રલ કહેવામાં આવે છે, પરંતુ આવી કોઈ ટાઇલિંગ આઇસોહેડ્રલ (ટાઇલ-ટ્રાન્ઝિટિવ) નથી; એટલે કે, તે આકાર દ્વારા કોઈપણ ટાઇલિંગમાં બે ટાઇલ્સ હોય છે જે ટાઇલિંગની કોઈપણ સમપ્રમાણતા હેઠળ સમકક્ષ નથી. એનિસોહેડ્રલ ટાઇલ દ્વારા ટાઇલિંગને એનિસોહેડ્રલ ટાઇલિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અસ્તિત્વ હિલ્બર્ટની અઢારમી સમસ્યાના પ્રથમ ભાગમાં પૂછવામાં આવ્યું હતું કે શું યુક્લિડિયન 3-સ્પેસમાં એનિસોહેડ્રલ પોલિહેડ્રોન અસ્તિત્વમાં છે; ગ્રુનબૌમ અને શેફર્ડ સૂચવે છે કે હિલ્બર્ટ એમ ધારી રહ્યા હતા કે પ્લેનમાં આવી કોઈ ટાઇલ અસ્તિત્વમાં નથી. રેઇનહાર્ટે 1928માં હિલ્બર્ટની સમસ્યાનો જવાબ આવા પોલિહેડ્રાના ઉદાહરણો શોધીને આપ્યો હતો અને ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે વિમાનમાં આવી કોઈ ટાઇલ્સ અસ્તિત્વમાં નથી તેનો તેમનો પુરાવો ટૂંક સમયમાં દેખાશે. જો કે, હેશે 1935માં પ્લેનમાં એનિસોહેડ્રલ ટાઇલનું ઉદાહરણ આપ્યું હતું. કન્વેક્સ ટાઇલ્સ રેઇનહાર્ટે અગાઉ એનિસોહેડ્રલ બહિર્મુખ બહુકોણના પ્રશ્નને ધ્યાનમાં લીધો હતો, જે દર્શાવે છે કે ત્યાં કોઈ એનિસોહેડ્રલ બહિર્મુખ ષટ્કોણ ન હતા પરંતુ આવા કોઈ બહિર્મુખ પંચકોણ ન હતા તે બતાવવામાં અસમર્થ હતા, જ્યારે સમતલને આઇસોહેડ્રલી રીતે ટાઇલિંગ કરતા પાંચ પ્રકારના બહિર્મુખ પંચકોણને શોધી કાઢ્યા હતા. કેર્શનરે 1968માં ત્રણ પ્રકારનાં એનિસોહેડ્રલ બહિર્મુખ પંચકોણ આપ્યા હતા; આમાંથી એક ટાઇલમાં પ્રતિબિંબ અથવા ગ્લાઇડ પ્રતિબિંબ વિના માત્ર સીધા સમમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, તેથી હેશના પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો હતો. આઇસોહેડ્રલ સંખ્યાઓ એનિસોહેડ્રલ ટાઇલિંગની સમસ્યાનું સામાન્યીકરણ એમ કહીને કરવામાં આવ્યું છે કે ટાઇલની આઇસોહેડ્રલ સંખ્યા તે ટાઇલિંગના સમપ્રમાણતા જૂથની ક્રિયા હેઠળ તે ટાઇલની કોઈપણ ટાઇલિંગમાં ટાઇલ્સની સૌથી ઓછી સંખ્યાની ભ્રમણકક્ષા (સમકક્ષતા વર્ગો) છે, અને આઇસોહેડ્રલ નંબર k સાથેની ટાઇલ k-એનિસોહેડ્રલ છે. બર્ગલુન્ડે પૂછ્યું કે શું તમામ k માટે k-anisohedral ટાઇલ્સ અસ્તિત્વમાં છે, k ≤ 4 માટે ઉદાહરણો આપ્યા (2-anisohedral અને 3-anisohedral ટાઇલ્સના ઉદાહરણો અગાઉ જાણીતા હતા, જ્યારે આપવામાં આવેલી 4-anisohedral ટાઇલ આ પ્રકારની પ્રથમ પ્રકાશિત ટાઇલ હતી). ગુડમેન-સ્ટ્રોસે આને સામાન્ય પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં ધ્યાનમાં લીધું હતું કે આપેલ ટાઇલ અથવા ટાઇલ્સના સમૂહની વર્તણૂક કેટલી જટિલ હોઈ શકે છે, માયર્સના 10-ઍનિસોહેડ્રલ ઉદાહરણની નોંધ લેતા. ગ્રુનબૌમ અને શેફર્ડે અગાઉ આ જ પ્રશ્ન પર થોડો તફાવત ઉઠાવ્યો હતો. સોકોલારએ 2007માં દર્શાવ્યું હતું કે જો ટાઇલ ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે, અથવા કયા રંગો અડીને હોઈ શકે તેના પર મર્યાદાઓ સાથે રંગીન ધાર હોય, અને રંગો વિના જોડાયેલ ટાઇલ સાથે ત્રણ પરિમાણોમાં, તો મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ આઇસોહેડ્રલ સંખ્યાઓ બે પરિમાણોમાં પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, અને નોંધ્યું હતું કે રંગો વિના જોડાયેલ ટાઇલ માટે બે પરિમાણોમાં સૌથી વધુ જાણીતી આઇસોહેડ્રલ સંખ્યા 10 છે. જોસેફ માયર્સે ઉચ્ચ આઇસોહેડ્રલ સંખ્યાઓ સાથે ટાઇલ્સનો સંગ્રહ તૈયાર કર્યો છે, ખાસ કરીને આઇસોહેડ્રલ સંખ્યા 10 (અનુવાદ હેઠળ 20 ભ્રમણકક્ષાઓમાં જોવા મળે છે) અને આઇસોહેડ્રલ સંખ્યા 9 (અનુવાદ હેઠળ 36 ભ્રમણકક્ષાઓમાં જોવા મળે છે) સાથેનો બહુભુજ. સંદર્ભો બાહ્ય કડીઓ જ્હોન બર્ગલંડ, એનિસોહેડ્રલ ટિલિંગ્સ પેજ જોસેફ માયર્સ, પોલીમિનો, પોલીહેક્સ અને પોલીઆમન્ડ ટાઇલિંગ ટેસેલેશન