Non-positive curvature
ગણિતમાં, બિન-હકારાત્મક વળાંકની જગ્યાઓ ઘણા સંદર્ભોમાં જોવા મળે છે અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિના સામાન્યીકરણની રચના કરે છે. રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ્સની શ્રેણીમાં, કોઈ પણ મેનીફોલ્ડની વિભાગીય વળાંકને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે અને જરૂરી છે કે આ વળાંક દરેક જગ્યાએ શૂન્ય કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોય. વળાંકની કલ્પના ભૌગોલિક મેટ્રિક જગ્યાઓની શ્રેણી સુધી વિસ્તરે છે, જ્યાં કોઈ જગ્યાના વળાંકને માપવા માટે તુલનાત્મક ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરી શકે છે; આ સંદર્ભમાં, બિન-સકારાત્મક વક્ર જગ્યાઓને (સ્થાનિક રીતે) કે. એ. ટી. (0) જગ્યાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. રીમાન સપાટીઓ જો બંધ, ઓરિએન્ટેબલ રીમાન સપાટી હોય તો તે યુનિફોર્માઇઝેશન થીયરમને અનુસરે છે જે કાં તો, અથવા તો સતત ગૌસીયન વળાંક સાથે સંપૂર્ણ રીમાનિયન મેટ્રિકથી સંપન્ન હોઈ શકે છે. ગૌસ-બોનેટ પ્રમેયના પરિણામે કોઈ પણ વ્યક્તિ નક્કી કરી શકે છે કે જે સપાટીઓ સતત વળાંકની રીમાનિયન મેટ્રિક ધરાવે છે એટલે કે. રીમાન સપાટીઓ બિન-સકારાત્મક સતત વળાંકના સંપૂર્ણ, રીમાનિયન મેટ્રિક સાથે, બરાબર તે જ છે જેની જાતિ ઓછામાં ઓછી છે. યુનિફોર્માઇઝેશન થીયરમ અને ગૌસ-બોનેટ થીયરમ બંનેને સીમા સાથે ઓરિએન્ટેબલ રીમાન સપાટીઓ પર લાગુ કરી શકાય છે જે દર્શાવે છે કે જે સપાટીઓ બિન-સકારાત્મક યુલર લાક્ષણિકતા ધરાવે છે તે બરાબર તે જ છે જે બિન-સકારાત્મક વળાંકના રીમાનિયન મેટ્રિકને સ્વીકારે છે. તેથી આવી સપાટીઓના હોમોમોર્ફિઝમ પ્રકારોનો અનંત પરિવાર છે જ્યારે રીમાન ગોળા એ સતત ગૌસીયન વળાંકની એકમાત્ર બંધ, લક્ષી રીમાન સપાટી છે. ઉપરની વળાંકની વ્યાખ્યા રીમાનિયન મેટ્રિકના અસ્તિત્વ પર આધારિત છે અને તેથી તે ભૂમિતિના ક્ષેત્રમાં છે. જો કે ગૌસ-બોનેટ પ્રમેય એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે સપાટીની ટોપોલોજી સંપૂર્ણ રીમાનિયન મેટ્રિક્સ પર અવરોધો મૂકે છે જે સપાટી પર લાદવામાં આવી શકે છે તેથી બિન-સકારાત્મક વળાંકની મેટ્રિક જગ્યાઓનો અભ્યાસ ભૂમિતિ અને ટોપોલોજી બંનેના ગાણિતિક ક્ષેત્રોમાં મહત્વપૂર્ણ રસ ધરાવે છે. બિન-સકારાત્મક વળાંકની સપાટીઓના શાસ્ત્રીય ઉદાહરણો યુક્લિડિયન સમતલ અને સપાટ ટોરસ (વળાંક માટે) અને હાયપરબોલિક સમતલ અને સ્યુડોસ્ફિયર (વળાંક માટે) છે. આ કારણોસર આ મેટ્રિક્સ તેમજ રીમાન સપાટીઓ કે જેના પર તેઓ સંપૂર્ણ મેટ્રિક્સ તરીકે આવેલા છે તેને અનુક્રમે યુક્લિડિયન અને હાયપરબોલિક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સામાન્યીકરણ બિન-સકારાત્મક વક્ર રીમાન સપાટીઓની ભૂમિતિના લાક્ષણિક લક્ષણોનો ઉપયોગ રીમાન સપાટીઓના અભ્યાસની બહાર બિન-સકારાત્મકની કલ્પનાને સામાન્ય બનાવવા માટે થાય છે. ઉચ્ચ પરિમાણના મેનીફોલ્ડ્સ અથવા ઓર્બિફોલ્ડ્સના અભ્યાસમાં, વિભાગીય વળાંકની કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેમાં કોઈ વ્યક્તિ આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શક જગ્યાના દ્વિ-પરિમાણીય પેટા-જગ્યાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. મોસ્ટો-પ્રસાદ કઠોરતા પ્રમેય કરતાં મોટા પરિમાણોમાં તે સુનિશ્ચિત કરે છે કે મર્યાદિત ક્ષેત્રના હાયપરબોલિક મેનીફોલ્ડમાં એક અનન્ય સંપૂર્ણ હાયપરબોલિક મેટ્રિક હોય છે તેથી આ સેટિંગમાં હાયપરબોલિક ભૂમિતિના અભ્યાસ ટોપોલોજીના અભ્યાસ માટે અભિન્ન છે. મનસ્વી જીઓડેસિક મેટ્રિક અવકાશમાં ગ્રોમોવ હાયપરબોલિક હોવાની અથવા કે. એ. ટી. (0) અવકાશ હોવાની કલ્પનાઓ એ ધારણાને સામાન્ય બનાવે છે કે બિન-સકારાત્મક વળાંકની રીમાન સપાટી પર, ત્રિકોણ કે જેની બાજુઓ ભૌગોલિક હોય છે તે પાતળા દેખાય છે જ્યારે સકારાત્મક વળાંકની ગોઠવણીમાં તેઓ જાડા દેખાય છે. બિન-સકારાત્મક વળાંકની આ કલ્પના બિન-સકારાત્મક વળાંકની કલ્પનાને મંજૂરી આપે છે જે સામાન્ય રીતે આલેખ પર લાગુ થાય છે અને તેથી સંયોજનશાસ્ત્ર અને ભૌમિતિક જૂથ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રોમાં તેનો ખૂબ ઉપયોગ થાય છે. માર્ગુલિસ લેમ્મા સંદર્ભો વળાંક (ગણિત) હાયપરબોલિક ભૂમિતિ મેટ્રિક ભૂમિતિ પણ જુઓ.