Ideal (set theory)
સમૂહ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં, આદર્શ એ સમૂહોનો આંશિક ક્રમબદ્ધ સંગ્રહ છે જેને "નાનું" અથવા "નગણ્ય" માનવામાં આવે છે. આદર્શના તત્વનો દરેક સબસેટ પણ આદર્શમાં હોવો જોઈએ (આ વિચારને સંહિતાબદ્ધ કરે છે કે આદર્શ એ નાનપણની કલ્પના છે), અને આદર્શના કોઈપણ બે તત્વોનું જોડાણ પણ આદર્શમાં હોવું જોઈએ. વધુ ઔપચારિક રીતે, સમૂહને એક આદર્શ આપવામાં આવે તો તે પાવરસેટનો બિન-ખાલી સબસેટ છે કેઃ જો અને પછી અને જો પછી કેટલાક લેખકો ચોથી શરત ઉમેરે છે જે પોતે તેમાં નથી; આ વધારાના ગુણધર્મવાળા આદર્શોને કહેવામાં આવે છે. સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક અર્થમાં આદર્શો ક્રમ-સૈદ્ધાંતિક અર્થમાં બરાબર આદર્શો છે, જ્યાં સંબંધિત ક્રમ સેટ સમાવેશ છે. ઉપરાંત, તેઓ અંતર્ગત સમૂહના પાવરસેટ દ્વારા રચાયેલી બુલિયન રિંગ પર રિંગ-સૈદ્ધાંતિક અર્થમાં બરાબર આદર્શો છે. આદર્શની બેવડી કલ્પના એ ફિલ્ટર છે. પરિભાષા આદર્શના તત્વને અથવા, અથવા સરળ રીતે અથવા જો આદર્શને સંદર્ભમાંથી સમજવામાં આવે તો કહેવામાં આવે છે. જો એક આદર્શ હોય તો તેનો સબસેટ (અથવા ન્યાયી) કહેવામાં આવે છે જો તે એક તત્વ હોય. ના બધા-હકારાત્મક સબસેટ્સનો સંગ્રહ સૂચવવામાં આવે છે. આદર્શોના ઉદાહરણો સામાન્ય ઉદાહરણો કોઈપણ સમૂહ માટે અને કોઈપણ મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલા ઉપગણ માટે આદર્શ સ્વરૂપના ઉપગણ મર્યાદિત માટે બધા આદર્શો આ સ્વરૂપના હોય છે. કોઈપણ માપની જગ્યા માટે, શૂન્ય માપના સમૂહના ઉપગણ પર કોઈપણ સમૂહના મર્યાદિત ઉપગણ આદર્શ બનાવે છે. કોઈપણ માપની જગ્યા માટે, મર્યાદિત માપનો સમૂહ. આમાં મર્યાદિત ઉપગણ (ગણતરીના માપનો ઉપયોગ કરીને) અને નીચેના નાના સમૂહોનો સમાવેશ થાય છે. સમૂહ પરની બોર્નોલોજી એ એક આદર્શ છે જે ઉપગણોનું ખાલી ન હોય તેવું કુટુંબ આવરી લે છે અને તે યોગ્ય આદર્શ છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે તે યોગ્ય ફિલ્ટર પર હોય જેમાં તેને સૂચવવામાં આવે અને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે (ફિલ્ટર એટલે જો તે બરાબર ન હોય તો). પાવર સેટનો ડ્યુઅલ પોતે જ છે; એટલે કે, જો અને માત્ર ત્યારે જ નોન-એમ્પ્ટી ફેમિલી એક આદર્શ છે જો તેનો ડ્યુઅલ ડ્યુઅલ આઇડિયલ હોય (જે વ્યાખ્યા દ્વારા ક્યાં તો પાવર સેટ હોય અથવા તો યોગ્ય ફિલ્ટર હોય). પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પરના આદર્શો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના તમામ મર્યાદિત સમૂહોના આદર્શને ફિન તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. કુદરતી સંખ્યાઓ પર, કુદરતી સંખ્યાઓના તમામ સમૂહોનો સંગ્રહ સૂચવવામાં આવે છે જેમ કે સરવાળો મર્યાદિત હોય છે. નાના સમૂહ જુઓ. કુદરતી સંખ્યાઓ પર, કુદરતી સંખ્યાઓના તમામ સમૂહોનો સંગ્રહ સૂચવવામાં આવે છે, જેમ કે તેનાથી ઓછી કુદરતી સંખ્યાઓનો અપૂર્ણાંક શૂન્ય તરફ વળે છે અને અનંત તરફ વળે છે. (એટલે કે, ની એસિમ્પ્ટોટિક ઘનતા શૂન્ય છે.) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પરના આદર્શો એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ સમૂહોનો સંગ્રહ છે જેમ કે લેબસ્ગ્યુ માપ શૂન્ય છે. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ ઓછા સમૂહોનો સંગ્રહ છે. અન્ય સમૂહો પરના આદર્શો જો અગણિત કોફિનેલિટીની ક્રમિક સંખ્યા હોય, તો ચાલુ એ તેના તમામ ઉપગણોનો સંગ્રહ છે જે સ્થિર સમૂહો નથી. આ આદર્શનો ડબ્લ્યુ. હ્યુ વુડિન દ્વારા વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આદર્શો પરની કામગીરીઓ આપેલ આદર્શો અને અંતર્ગત સમૂહો પર અને અનુક્રમે, કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન પર નીચે પ્રમાણે ઉત્પાદન રચાય છેઃ કોઈપણ સબસેટ માટે એટલે કે, ઉત્પાદન આદર્શમાં સમૂહ નગણ્ય છે જો-કોઓર્ડિનેટ્સનો માત્ર નજીવો સંગ્રહ-દિશામાંના બિન-નજીવી સ્લાઇસને અનુરૂપ હોય. (કદાચ વધુ સ્પષ્ટઃ જો હકારાત્મક રીતે ઘણા-કોઓર્ડિનેટ્સ હકારાત્મક સ્લાઇસને અનુરૂપ હોય તો સમૂહ ઉત્પાદન આદર્શમાં હોય છે.) સમૂહ પરનો આદર્શ પાવરસેટ પર સમકક્ષ સંબંધને પ્રેરિત કરે છે, ધ્યાનમાં લે છે અને સમકક્ષ (ના સબસેટ માટે) હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અને નો સપ્રમાણ તફાવત એક તત્વ હોય. આ સમાનતા સંબંધ દ્વારા ભાગાકાર એ બુલિયન બીજગણિત છે, જે સૂચવવામાં આવે છે ("મોડનો પી" વાંચો). દરેક આદર્શ માટે એક અનુરૂપ ફિલ્ટર હોય છે, જેને તેનું કહેવાય છે. જો આદર્શ ચાલુ હોય, તો ડ્યુઅલ ફિલ્ટર એ તમામ સમૂહોનો સંગ્રહ છે જ્યાં એક તત્વ છે. (અહીં સંબંધિત પૂરક સૂચવે છે; એટલે કે, તેમાં રહેલા તમામ તત્વોનો સંગ્રહ). આદર્શો વચ્ચેના સંબંધો જો અને અનુક્રમે આદર્શો હોય, અને જો તેઓ સમાન આદર્શ હોય તો તેમના અંતર્ગત સમૂહોના તત્વોના નામ બદલવા સિવાય (નગણ્ય સમૂહોને અવગણીને). વધુ ઔપચારિક રીતે, જરૂરિયાત એ છે કે ત્યાં અને અનુક્રમે સમૂહો અને ઘટકો હોય, અને કોઈ પણ સબસેટ માટે બાયજેક્શન હોય, જો અને માત્ર જો નીચેની છબી રુડિન-કીસ્લર આઇસોમોર્ફિક હોય, તો અને બુલિયન આલ્જેબ્રા તરીકે આઇસોમોર્ફિક હોય. આદર્શોના રુડિન-કીસ્લર આઇસોમોર્ફિઝમ્સ દ્વારા પ્રેરિત ભાગાકાર બુલિયન આલ્જેબ્રાના આઇસોમોર્ફિઝમ્સ કહેવાય છે. સંદર્ભ સમૂહ સિદ્ધાંત પણ જુઓ