Intrinsic dimension
ડેટા સમૂહ માટેના આંતરિક પરિમાણને ડેટાની ન્યૂનતમ રજૂઆતમાં જરૂરી ચલની સંખ્યા તરીકે વિચારી શકાય છે. તેવી જ રીતે, બહુ-પરિમાણીય સંકેતોની સંકેત પ્રક્રિયામાં, સંકેતનું આંતરિક પરિમાણ વર્ણવે છે કે સંકેતનો સારો અંદાજ પેદા કરવા માટે કેટલા ચલની જરૂર છે. આંતરિક પરિમાણનો અંદાજ કાઢતી વખતે, જો કે, બહુવિધ પરિમાણ પર આધારિત થોડી વ્યાપક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે, જ્યાં આંતરિક પરિમાણમાં પ્રતિનિધિત્વ માત્ર સ્થાનિક રીતે અસ્તિત્વમાં હોવું જરૂરી છે. આવી આંતરિક પરિમાણ અંદાજ પદ્ધતિઓ આમ ડેટા સેટના વિવિધ ભાગોમાં વિવિધ આંતરિક પરિમાણો સાથે ડેટા સેટને નિયંત્રિત કરી શકે છે. આને ઘણીવાર સ્થાનિક આંતરિક પરિમાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આંતરિક પરિમાણનો ઉપયોગ પરિમાણ ઘટાડા દ્વારા ડેટાને કયા પરિમાણમાં સંકુચિત કરવું શક્ય છે તેની નીચલી સીમા તરીકે થઈ શકે છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ ડેટા સમૂહ અથવા સંકેતની જટિલતાના માપ તરીકે પણ થઈ શકે છે. ડેટા સમૂહ અથવા N ચલોના સંકેત માટે, તેનું આંતરિક પરિમાણ M 0 ≤ M ≤ N ને સંતોષે છે, જો કે અંદાજકર્તાઓ ઉચ્ચ મૂલ્યો આપી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે ચાલો બે-ચલ કાર્ય (અથવા સંકેત) હોઈએ જે કેટલાક એક-ચલ કાર્ય g માટે સ્વરૂપનું છે જે અચળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે f, g અનુસાર, પ્રથમ ચલ સાથે અથવા પ્રથમ સંકલન સાથે બદલાય છે. બીજી બાજુએ, f એ બીજા ચલના સંદર્ભમાં અથવા બીજા સંકલન સાથે અચળ છે. f નું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે માત્ર એક, એટલે કે પ્રથમ ચલનું મૂલ્ય જાણવું જરૂરી છે. તેથી, તે બે ચલ કાર્ય છે પરંતુ તેનું આંતરિક પરિમાણ એક છે. એક થોડું વધુ જટિલ ઉદાહરણ છે. f હજુ પણ આંતરિક એક-પરિમાણીય છે, જે ચલ પરિવર્તન કરીને જોઈ શકાય છે અને જે આપે છે. કારણ કે f માંની વિવિધતાને એક ચલ y1 દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, તેનું આંતરિક પરિમાણ એક છે. જે કિસ્સામાં f અચળ છે, તેનું આંતરિક પરિમાણ શૂન્ય છે કારણ કે વિવિધતાને વર્ણવવા માટે કોઈ ચલની જરૂર નથી. સામાન્ય કિસ્સામાં, જ્યારે બે-ચલ વિધેય f નું આંતરિક પરિમાણ શૂન્ય કે એક ન હોય, ત્યારે તે બે હોય છે. સાહિત્યમાં, આંતરિક પરિમાણ શૂન્ય, એક કે બે હોય તેવા કાર્યોને કેટલીકવાર અનુક્રમે i0D, i1D અથવા i2D તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સંકેતો માટે ઔપચારિક વ્યાખ્યા N-ચલ કાર્ય f માટે, ચલોનો સમૂહ N-પરિમાણીય વેક્ટર x તરીકે રજૂ કરી શકાય છેઃ જો કોઈ M-ચલ વિધેય g અને M × N મેટ્રિક્સ A માટે એમ હોય કે બધા x માટે; M એ સૌથી નાની સંખ્યા છે જેના માટે f અને g વચ્ચેનો ઉપરોક્ત સંબંધ મળી શકે છે, તો f નું આંતરિક પરિમાણ M છે. એટલે કે, જો ઉપરોક્ત સંબંધ કેટલાક f, g અને A માટે સંતુષ્ટ હોય, તો તે દ્વારા આપવામાં આવેલ સમાન f અને g′ અને A′ માટે પણ સંતુષ્ટ હોવો જોઈએ અને જ્યાં B એ બિન-એકવચન M × M મેટ્રિક્સ છે, કારણ કે. નીચા આંતરિક પરિમાણના સંકેતોના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ એન ચલ કાર્ય કે જે આંતરિક પરિમાણ એમ <એન ધરાવે છે તે લાક્ષણિક ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ધરાવે છે. સહજ ભાવે, આ પ્રકારનું કાર્ય એક અથવા અનેક પરિમાણો સાથે અચળ હોવાથી તેનું ફોરિયર રૂપાંતરણ આવર્તન ક્ષેત્રમાં સમાન પરિમાણ સાથે આવેગ (અચળાંકનું ફોરિયર રૂપાંતરણ) જેવું દેખાવું જોઈએ. એક સરળ ઉદાહરણ દો કે f એ બે-ચલ કાર્ય છે જે i1D છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એક સામાન્ય વેક્ટર અને એક-ચલ વિધેય g અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે બધા માટે. જો F એ f નું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે (બંને બે-ચલ વિધેયો છે) તો એવું હોવું જોઈએ. અહીં G એ g નું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે (બંને એક ચલ કાર્ય છે), δ એ ડીરાક ઇમ્પલ્સ કાર્ય છે અને m એ n ને લંબરૂપ નોર્મલાઇઝ્ડ વેક્ટર છે. આનો અર્થ એ છે કે F દરેક જગ્યાએ અદૃશ્ય થઈ જાય છે સિવાય કે એક રેખા જે આવર્તન ક્ષેત્રના મૂળમાંથી પસાર થાય છે અને m ને સમાંતર હોય છે. આ રેખા સાથે F એ G અનુસાર બદલાય છે. સામાન્ય કિસ્સામાં ચાલો f એ N-ચલ કાર્ય છે જેનું આંતરિક પરિમાણ M છે, એટલે કે, ત્યાં એક M-ચલ કાર્ય g અને M × N મેટ્રિક્સ A અસ્તિત્વમાં છે. તેના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ F ને પછી નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છેઃ પરિમાણ M ની પેટા જગ્યા સિવાય દરેક જગ્યાએ F અદૃશ્ય થઈ જાય છે પેટા જગ્યામાં M એ મેટ્રિક્સ A ની પંક્તિઓ દ્વારા ફેલાયેલું છે. પેટા જગ્યામાં, F એ G અનુસાર બદલાય છે જે g સામાન્યીકરણનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે. ઉપર વર્ણવેલ આંતરિક પરિમાણનો પ્રકાર ધારે છે કે F ના દરેક મૂલ્યને રજૂ કરવા માટે જરૂરી M ચલ પેદા કરવા માટે N-ચલ કાર્ય f ના કોઓર્ડિનેટ્સ પર રેખીય પરિવર્તન લાગુ કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે N અને M પર આધાર રાખીને f રેખાઓ, સમતલ અથવા હાયપરપ્લેન સાથે અચળ છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, જો M કાર્યો a1, a2, aM અને M-ચલ કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોય તો f નું આંતરિક પરિમાણ M હોય છે. સ્થાનિક આંતરિક પરિમાણીયતા સ્થાનિક આંતરિક પરિમાણીયતા (એલ. આઈ. ડી.) એ અવલોકનનો સંદર્ભ આપે છે કે જ્યારે માહિતીના નજીકના ઉપગણને જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે ઘણીવાર માહિતીને નિમ્ન-પરિમાણી મેનીફોલ્ડ પર વહેંચવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યને એક-પરિમાણીય ગણી શકાય જ્યારે y એ 0 ની નજીક હોય (એક ચલ x સાથે), દ્વિ-પરિમાણીય જ્યારે y એ 1 ની નજીક હોય, અને ફરીથી એક-પરિમાણીય જ્યારે y હકારાત્મક હોય અને 1 કરતા ઘણું મોટું હોય (ચલ x + y સાથે). સ્થાનિક આંતરિક પરિમાણીયતાનો ઉપયોગ ઘણીવાર માહિતીના સંદર્ભમાં થાય છે. તે પછી સામાન્ય રીતે ડેટા પોઇન્ટના નજીકના પડોશીઓ k ના આધારે અંદાજવામાં આવે છે, જે ઘણીવાર ગણિતમાં બમણા પરિમાણ સાથે સંબંધિત ખ્યાલ પર આધારિત હોય છે. ડી-ગોળાનું કદ ડીમાં ઝડપથી વધતું હોવાથી, શોધ ત્રિજ્યામાં વધારો થતાં નવા પડોશીઓ જે દરે મળી આવે છે તેનો ઉપયોગ સ્થાનિક આંતરિક પરિમાણીયતાનો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે (દા. ત., જીઈડી અંદાજ). જો કે, અંદાજના વૈકલ્પિક અભિગમો પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે કોણ-આધારિત અંદાજ. આંતરિક પરિમાણ અંદાજ ડેટા મેનીફોલ્ડ્સના આંતરિક પરિમાણનો અંદાજ ઘણી પદ્ધતિઓ દ્વારા કરી શકાય છે, જે ડેટા મેનીફોલ્ડ્સની ધારણાઓ પર આધારિત છે. 2016 ની સમીક્ષા છે. બે નજીકના પડોશીઓ (ટુએનએન) પદ્ધતિ એ ડૂબી ગયેલા રીમાનિયન મેનીફોલ્ડના આંતરિક પરિમાણનો અંદાજ કાઢવાની એક પદ્ધતિ છે. અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છેઃ મેનીફોલ્ડ પર કેટલાક બિંદુઓને છૂટા કરો. ઘણા બિંદુઓ માટે માપ, બિંદુના બે નજીકના પડોશીઓ વચ્ચેનું અંતર ક્યાં છે. પ્રયોગમૂલક સી. ડી. એફ. ને ફિટ કરો. પાછા આવો. 1950ના દાયકા દરમિયાન સામાજિક વિજ્ઞાનમાં બહુ-પરિમાણીય ડેટા સમૂહોને શોધવા અને સારાંશ આપવા માટે કહેવાતી "સ્કેલિંગ" પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી હતી. શેપાર્ડે 1962માં બિન-મેટ્રિક બહુ-પરિમાણીય સ્કેલિંગની રજૂઆત કર્યા પછી બહુ-પરિમાણીય સ્કેલિંગ (એમ. ડી. એસ.) ના મુખ્ય સંશોધન ક્ષેત્રોમાંનું એક આંતરિક પરિમાણનો અંદાજ હતો. આ વિષયનો અભ્યાસ માહિતી સિદ્ધાંતમાં પણ કરવામાં આવ્યો હતો, જેની પહેલ 1965માં બેનેટ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે "આંતરિક પરિમાણ" શબ્દ બનાવ્યો હતો અને તેનો અંદાજ કાઢવા માટે કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ લખ્યો હતો. 1970ના દાયકા દરમિયાન આંતરિક પરિમાણીયતા અંદાજ પદ્ધતિઓનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હતું જે પરિમાણીયતા ઘટાડા પર આધારિત ન હતી જેમ કે એમ. ડી. એસ.: સ્થાનિક આઈગન વેલ્યુઓ પર આધારિત, અંતર વિતરણ પર આધારિત, અને અન્ય પરિમાણ-આધારિત ભૌમિતિક ગુણધર્મો પર આધારિત સમૂહના આંતરિક પરિમાણનો અંદાજ અને સંભાવના માપનો પણ 1980ની આસપાસ ગતિશીલ પ્રણાલીઓના ક્ષેત્રમાં વ્યાપક અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જ્યાં (વિચિત્ર) આકર્ષણના પરિમાણો રસનો વિષય રહ્યા છે. વિચિત્ર આકર્ષકો માટે કોઈ મેનીફોલ્ડ ધારણા નથી, અને માપવામાં આવેલ પરિમાણ એ ફ્રેક્ટલ પરિમાણની કેટલીક આવૃત્તિ છે-જે બિન-પૂર્ણાંક પણ હોઈ શકે છે. જો કે, ફ્રેક્ટલ ડાયમેન્શનની વ્યાખ્યાઓ મેનીફોલ્ડ્સ માટે મેનીફોલ્ડ ડાયમેન્શન આપે છે. 2000 ના દાયકામાં આંતરિક પરિમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે "પરિમાણીયતાના શ્રાપ" નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. એપ્લિકેશન્સ બે-ચલ સિગ્નલનો કેસ જે i1D છે તે કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ અને છબી પ્રક્રિયામાં વારંવાર દેખાય છે અને સ્થાનિક છબી પ્રદેશોનો વિચાર મેળવે છે જેમાં રેખાઓ અથવા ધાર હોય છે. આવા પ્રદેશોના વિશ્લેષણનો લાંબો ઇતિહાસ છે, પરંતુ જ્યાં સુધી આવી કામગીરીની વધુ ઔપચારિક અને સૈદ્ધાંતિક સારવાર શરૂ ન થઈ ત્યાં સુધી આંતરિક પરિમાણની વિભાવના સ્થાપિત થઈ ન હતી, તેમ છતાં નામ અલગ અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જે ખ્યાલને અહીં આંતરિક પરિમાણ 1 અથવા i1D પડોશીની છબી પડોશી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે તેને નટ્સન (1982) દ્વારા 1-પરિમાણીય, બિગન અને ગ્રાનલુન્ડ (1987) દ્વારા રેખીય સમપ્રમાણ અને ગ્રાનલુન્ડ અને નટ્સન (1995) માં સરળ પડોશી કહેવામાં આવે છે. ડાયમેન્શન ફ્રેક્ટલ ડાયમેન્શન હૌસડોર્ફ ડાયમેન્શન ટોપોલોજિકલ ડાયમેન્શન સંદર્ભો કમ્પ્યુટર વિઝન ઇમેજ પ્રોસેસિંગ પણ જુઓ.