Direct linear transformation
ડાયરેક્ટ લિનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન (ડી. એલ. ટી.) એ એક એલ્ગોરિધમ છે જે સમાનતા સંબંધોના સમૂહમાંથી ચલોના સમૂહને ઉકેલે છેઃ જ્યાં અને જાણીતા વેક્ટર છે, તે અજ્ઞાત સ્કેલર ગુણાકાર સુધીની સમાનતાને સૂચવે છે, અને તે એક મેટ્રિક્સ (અથવા રેખીય પરિવર્તન) છે જેમાં ઉકેલવા માટે અજ્ઞાત હોય છે. આ પ્રકારનો સંબંધ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં વારંવાર જોવા મળે છે. વ્યવહારુ ઉદાહરણોમાં દ્રશ્યમાં 3D બિંદુઓ અને પિનહોલ કેમેરાના ઇમેજ પ્લેન પર તેમના પ્રક્ષેપણ અને હોમોગ્રાફી વચ્ચેના સંબંધનો સમાવેશ થાય છે. પરિચય માટે રેખીય સમીકરણોની એક સામાન્ય પ્રણાલીને ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેને મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરીકે ફરીથી લખીને જ્યાં મેટ્રિક્સ અને વેક્ટર ધરાવે છે અને તેમના સંબંધિત સ્તંભોમાં. એક અનોખો ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે તે જોતાં, તે ઉકેલો દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સમીકરણો વધુ અથવા ઓછા નિર્ધારિત હોય તેવા કિસ્સામાં પણ વર્ણવી શકાય છે. સીધી રેખીય પરિવર્તન સમસ્યાને ઉપરોક્ત પ્રમાણભૂત કેસથી અલગ બનાવે છે તે હકીકત એ છે કે વ્યાખ્યાયિત સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ અજ્ઞાત ગુણાકાર પરિબળ દ્વારા અલગ પડી શકે છે જે k પર આધારિત છે. પરિણામે, પ્રમાણભૂત કેસની જેમ ગણતરી કરી શકાતી નથી. તેના બદલે, સમાનતા સંબંધોને યોગ્ય રેખીય સજાતીય સમીકરણો તરીકે ફરીથી લખવામાં આવે છે જેને પછી પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. સમાનતાના સમીકરણોને સજાતીય રેખીય સમીકરણો તરીકે ફરીથી લખવા અને તેમને પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલવાના સંયોજનને સીધા રેખીય પરિવર્તન અલ્ગોરિધમ અથવા DLT અલ્ગોરિધમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ડી. એલ. ટી. નું શ્રેય ઇવાન સદરલેન્ડને આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે. ચાલો અને બે જાણીતા વેક્ટર હોઈએ, અને આપણે મેટ્રિક્સને એવી રીતે શોધવા માંગીએ છીએ કે સમીકરણ k સાથે સંબંધિત અજ્ઞાત સ્કેલર પરિબળ ક્યાં છે. અજ્ઞાત સ્કેલરથી છુટકારો મેળવવા અને સજાતીય સમીકરણો મેળવવા માટે, એન્ટિ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કરો અને સમીકરણની બંને બાજુઓને ડાબી બાજુથી ગુણાકાર કરો કારણ કે નીચેના સજાતીય સમીકરણો, જેમાં હવે અજ્ઞાત સ્કેલર નથી, હાથમાં છે. સજાતીય સમીકરણોનો સમૂહ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે જ્યાં એક મેટ્રિક્સ છે જે તેની પંક્તિઓમાં જાણીતા વેક્ટર ધરાવે છે. અજ્ઞાત નક્કી કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, એકવચન મૂલ્યના વિઘટન દ્વારા; એકવચન મૂલ્યને અનુરૂપ એક જમણો એકવચન વેક્ટર છે જે શૂન્ય બરાબર છે. એકવાર નક્કી થઈ ગયા પછી, મેટ્રિક્સના ઘટકો વેક્ટરથી ફરીથી ગોઠવી શકાય છે. નોંધ લો કે સ્કેલિંગ અથવા મહત્વનું નથી (સિવાય કે તે બિન-શૂન્ય હોવું જોઈએ) કારણ કે વ્યાખ્યાયિત સમીકરણો પહેલેથી જ અજ્ઞાત સ્કેલિંગ માટે પરવાનગી આપે છે. વ્યવહારમાં વેક્ટર અને તેમાં ઘોંઘાટ હોઈ શકે છે જેનો અર્થ છે કે સમાનતા સમીકરણો માત્ર લગભગ માન્ય છે. પરિણામે, એક વેક્ટર ન પણ હોઈ શકે જે સજાતીય સમીકરણને બરાબર ઉકેલે. આ કિસ્સાઓમાં, કુલ લઘુત્તમ વર્ગ ઉકેલનો ઉપયોગ વધુ સામાન્ય કિસ્સાઓમાં સૌથી નાના એકવચન મૂલ્યને અનુરૂપ જમણા એકવચન વેક્ટર તરીકે પસંદ કરીને કરી શકાય છે અને, પરંતુ સમાનતાવાળા સંબંધોને સજાતીય રેખીય સમીકરણોમાં ફરીથી લખવાની સામાન્ય વ્યૂહરચના બંને માટે મનસ્વી પરિમાણોમાં સામાન્યીકૃત કરી શકાય છે અને જો અને અગાઉની અભિવ્યક્તિઓ હજી પણ એક સમીકરણ તરફ દોરી શકે છે જ્યાં હવે દરેક k અજ્ઞાત ઘટકોમાં એક સમીકરણ પ્રદાન કરે છે અને સાથે મળીને આ સમીકરણો જાણીતા મેટ્રિક્સ અને અજ્ઞાત 2q-પરિમાણીય વેક્ટર માટે લખી શકાય છે. સૌથી સામાન્ય કિસ્સામાં અને. અગાઉની સરખામણીમાં મુખ્ય તફાવત એ છે કે મેટ્રિક્સ હવે અને એન્ટિ-સિમેટ્રિક છે. જ્યારે આવા મેટ્રિસીસની જગ્યા હવે એક-પરિમાણીય નથી, ત્યારે તે પરિમાણની હોય છે આનો અર્થ એ છે કે k નું દરેક મૂલ્ય એ પ્રકારનાં M સજાતીય સમીકરણો પ્રદાન કરે છે અને જ્યાં વિરોધી સમમિતિય મેટ્રિસીસની જગ્યાનો M-પરિમાણીય આધાર છે. ઉદાહરણ p = 3 એ કિસ્સામાં કે p = 3 નીચેના ત્રણ મેટ્રિસીસ પસંદ કરી શકાય છે, આ ચોક્કસ કિસ્સામાં, સજાતીય રેખીય સમીકરણોને વેક્ટર ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ ક્યાં છે તે રીતે લખી શકાય છે. નોંધ લો કે આ છેલ્લું સમીકરણ વેક્ટર મૂલ્યનું છે; ડાબી બાજુ શૂન્ય તત્વ છે. k નું દરેક મૂલ્ય તેના અજ્ઞાત ઘટકોમાં ત્રણ સજાતીય રેખીય સમીકરણો પ્રદાન કરે છે. જો કે, ક્રમ = 2 હોવાથી, વધુમાં વધુ બે સમીકરણો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય છે. વ્યવહારમાં, તેથી, ત્રણ મેટ્રિસીસમાંથી માત્ર બેનો ઉપયોગ કરવો સામાન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, m = 1,2 માટે. જો કે, સમીકરણો વચ્ચેની રેખીય નિર્ભરતા તેના પર નિર્ભર છે, જેનો અર્થ છે કે કમનસીબ કિસ્સાઓમાં, ઉદાહરણ તરીકે, m = 2,3 પસંદ કરવું વધુ સારું હોત. પરિણામે, જો સમીકરણોની સંખ્યા ચિંતાનો વિષય ન હોય, તો જ્યારે મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે ત્યારે ત્રણેય સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું રહેશે. પરિણામી સજાતીય રેખીય સમીકરણો વચ્ચેની રેખીય નિર્ભરતા એ કેસ પી> 2 માટે એક સામાન્ય ચિંતા છે અને તેની સાથે કાં તો સમપ્રમાણતા વિરોધી મેટ્રિસીસના સમૂહને ઘટાડીને અથવા સંદર્ભો નક્કી કરવા માટે જરૂરી કરતાં મોટા બનવાની મંજૂરી આપીને વ્યવહાર કરવો પડે છે બાહ્ય કડીઓ એલન ડબરોફસ્કી દ્વારા હોમોગ્રાફી અંદાજ (§ 2.1 સ્કેચ "બેઝિક ડીએલટી અલ્ગોરિધમ") કમ્પ્યુટર વિઝન પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં હ્સિયાંગ-જેન (જોની) ચિયન ભૂમિતિ દ્વારા મેટલેબ પર આધારિત ડીએલટી સોલ્વર