Homogeneous relation
ગણિતમાં, X સમૂહ પરનો સજાતીય સંબંધ (જેને એન્ડોરિલેશન પણ કહેવાય છે) એ X અને પોતાની વચ્ચેનો દ્વિસંગી સંબંધ છે, એટલે કે. તે કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનનો સબસેટ છે. આને સામાન્ય રીતે "X પરનો સંબંધ" અથવા "X પરનો સંબંધ" તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. એકરૂપ સંબંધનું ઉદાહરણ સગપણનો સંબંધ છે, જ્યાં લોકો વચ્ચે સંબંધ હોય છે. એન્ડોરિલેશનના સામાન્ય પ્રકારોમાં ઓર્ડર, આલેખ અને સમકક્ષતાનો સમાવેશ થાય છે. ક્રમ સિદ્ધાંત અને આલેખ સિદ્ધાંતના વિશિષ્ટ અભ્યાસોએ એન્ડોરિલેશનની સમજણ વિકસાવી છે. ગ્રાફ થિયરી માટે વિશિષ્ટ પરિભાષાનો ઉપયોગ વર્ણન માટે થાય છે, જેમાં સામાન્ય (દિશાહીન) ગ્રાફ સમપ્રમાણ સંબંધને અનુરૂપ હોવાનું માનવામાં આવે છે, અને નિર્દેશિત ગ્રાફને અનુરૂપ સામાન્ય એન્ડોરિલેશન. એન્ડોરિલેશન R એ 0s અને 1s ના તાર્કિક મેટ્રિક્સને અનુરૂપ છે, જ્યાં અભિવ્યક્તિ xRy ગ્રાફમાં x અને y વચ્ચેની ધારને અનુરૂપ છે, અને R ના ચોરસ મેટ્રિક્સમાં 1 ને અનુરૂપ છે. તેને ગ્રાફ પરિભાષામાં સંલગ્નતા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. ચોક્કસ સજાતીય સંબંધો સમૂહ X પર કેટલાક ચોક્કસ સજાતીય સંબંધો (મનસ્વી તત્વો સાથે,) આ પ્રમાણે છેઃ ખાલી સંબંધ; એટલે કે, ક્યારેય ધારણ કરતો નથી; સાર્વત્રિક સંબંધ; એટલે કે, હંમેશા ધારણ કરે છે; ઓળખ સંબંધ (ઓળખ કાર્ય પણ જુઓ)}; એટલે કે, જો અને માત્ર જો ધારણ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે પૃથ્વીના પોપડાની પંદર મોટી ટેકટોનિક પ્લેટો એકરૂપ સંબંધમાં એકબીજાનો સંપર્ક કરે છે. સંબંધને તાર્કિક મેટ્રિક્સ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે જેમાં 1 સંપર્ક સૂચવે છે અને 0 કોઈ સંપર્ક નથી. આ ઉદાહરણ સપ્રમાણ સંબંધને વ્યક્ત કરે છે. ગુણધર્મો સમૂહ પરના સજાતીય સંબંધમાં હોઈ શકે તેવા કેટલાક મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો છેઃ બધા માટે,. ઉદાહરણ તરીકે, ± એ એક પ્રતિબિંબીત સંબંધ છે પરંતુ> નથી. (અથવા) બધા માટે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે,> એક અપરિવર્તનીય સંબંધ છે, પરંતુ ω નથી. બધા માટે, જો પછી. ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકો પરનો સંબંધ જેમાં દરેક વિષમ સંખ્યા પોતાની સાથે સંબંધિત છે તે એક કોરફ્લેક્સિવ સંબંધ છે. સમાનતા સંબંધ એ પ્રતિબિંબીત અને કોરફ્લેક્સિવ સંબંધ બંનેનું એકમાત્ર ઉદાહરણ છે, અને કોઈપણ કોરફ્લેક્સિવ સંબંધ એ ઓળખ સંબંધનો સબસેટ છે. બધા માટે, જો પછી. બધા માટે, જો પછી. બધા માટે, જો પછી અને. સંબંધ અર્ધ-પ્રતિબિંબીત હોય છે જો, અને માત્ર ત્યારે જ જો તે ડાબી અને જમણી અર્ધ-પ્રતિબિંબીત હોય. અગાઉના 6 વિકલ્પો સંપૂર્ણ નથી; દા. ત., દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિસંગી સંબંધ ન તો અપરિવર્તનીય છે, ન તો કોરફ્લેક્સિવ છે, ન તો પ્રતિબિંબીત છે, કારણ કે તેમાં જોડી છે, અને, પરંતુ અનુક્રમે નથી. પછીની બે હકીકતો (કોઈપણ પ્રકારની) અર્ધ-પ્રતિબિંબીતાને પણ નકારી કાઢે છે. બધા માટે, જો પછી. ઉદાહરણ તરીકે, "રક્ત સંબંધિત છે" એ એક સપ્રમાણ સંબંધ છે, કારણ કે તે રક્ત સંબંધિત છે જો અને માત્ર જો તે રક્ત સંબંધિત હોય તો. બધા માટે, જો અને પછી. ઉદાહરણ તરીકે, ω એ અસમપ્રમાણતા વિરોધી સંબંધ છે; તેથી તે> છે, પરંતુ શૂન્ય છે (વ્યાખ્યામાં શરત હંમેશા ખોટી હોય છે). બધા માટે, જો નહીં. સંબંધ અસમપ્રમાણ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો તે અસમપ્રમાણતા વિરોધી અને અપરિવર્તનીય હોય. ઉદાહરણ તરીકે,> એ અસમપ્રમાણ સંબંધ છે, પરંતુ ± નથી. ફરીથી, અગાઉના 3 વિકલ્પો સંપૂર્ણ નથી; કુદરતી સંખ્યાઓ પર એક ઉદાહરણ તરીકે, દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંબંધ ન તો સપ્રમાણ છે અને ન તો અસમપ્રમાણ છે. બધા માટે, જો અને પછી. જો અને માત્ર જો તે અસમપ્રમાણ હોય તો જ સંક્રમક સંબંધ અપરિવર્તનીય હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, "ના પૂર્વજ છે" એ એક સંક્રમક સંબંધ છે, જ્યારે "ના પિતૃ છે" એ નથી. બધા માટે, જો અને પછી ક્યારેય નહીં. જો R નું પૂરક સંક્રમક હોય. એટલે કે, બધા માટે, જો, પછી અથવા. આનો ઉપયોગ રચનાત્મક ગણિતમાં સ્યુડો-ઓર્ડરમાં થાય છે. બધા માટે, જો અને પણ ન તો, પછી પણ નહીં. બધા માટે, જો અને તેના સંદર્ભમાં અજોડ છે અને જો તે જ સાચું છે અને, તો પછી અને તેના સંદર્ભમાં પણ અજોડ છે. આનો ઉપયોગ નબળા ક્રમમાં થાય છે. ફરીથી, અગાઉના 5 વિકલ્પો સંપૂર્ણ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધ જો (અથવા) આમાંથી કોઈ પણ ગુણધર્મને સંતોષે નહીં. બીજી બાજુ, ખાલી સંબંધ તે બધાને તુચ્છ રીતે સંતુષ્ટ કરે છે. આવા બધા માટે, આવા કેટલાક અસ્તિત્વમાં છે અને. આનો ઉપયોગ ગાઢ ક્રમમાં થાય છે. બધા માટે, જો પછી અથવા. આ ગુણધર્મને કેટલીકવાર "કુલ" કહેવામાં આવે છે, જે નીચે આપેલી "ડાબી/જમણી-કુલ" ની વ્યાખ્યાઓથી અલગ છે. બધા માટે, અથવા. આ ગુણધર્મને પણ કેટલીકવાર "કુલ" કહેવામાં આવે છે, જે નીચે આપેલી "ડાબી/જમણી-કુલ" ની વ્યાખ્યાઓથી અલગ છે. બધા માટે, બરાબર એક, અથવા ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,> એ ત્રિકોણીય સંબંધ છે, જ્યારે કુદરતી સંખ્યાઓ પર "વિભાજિત" સંબંધ નથી. (અથવા માત્ર) બધા માટે, જો અને પછી. ઉદાહરણ તરીકે, = એ યુક્લિડિયન સંબંધ છે કારણ કે જો અને પછી. બધા માટે, જો અને પછી. નો દરેક નોન એમ્પ્ટી સબસેટ ના સંદર્ભમાં ન્યૂનતમ તત્વ ધરાવે છે. સારી રીતે સ્થાપિત થવું એ અવરોહી સાંકળની સ્થિતિ સૂચવે છે (એટલે કે, કોઈ અનંત સાંકળ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે નહીં). જો આશ્રિત પસંદગીનો સિદ્ધાંત ધારવામાં આવે, તો બંને શરતો સમાન છે. વધુમાં, સામાન્ય રીતે દ્વિસંગી સંબંધોના તમામ ગુણધર્મો સજાતીય સંબંધોને પણ લાગુ પડી શકે છેઃ બધા માટે, આવા તમામનો વર્ગ જે સમૂહ છે. (આનો અર્થ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે યોગ્ય વર્ગો પરના સંબંધોને મંજૂરી આપવામાં આવે.) બધા અને બધા માટે, જો અને પછી. બધા અને બધા માટે, જો અને પછી. (જેને લેફ્ટ-ટોટલ પણ કહેવાય છે) બધા માટે એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ ગુણધર્મ જોડાયેલની વ્યાખ્યાથી અલગ છે (કેટલાક લેખકો દ્વારા તેને કુલ પણ કહેવામાં આવે છે). (જેને રાઇટ-ટોટલ પણ કહેવાય છે) બધા માટે, xRy જેવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે. A એ એક એવો સંબંધ છે જે પ્રતિબિંબીત અને સંક્રમણશીલ છે. એ, જેને અથવા પણ કહેવામાં આવે છે, તે એક એવો સંબંધ છે જે પ્રતિબિંબીત, સંક્રમક અને જોડાયેલ છે. એ, જેને એ પણ કહેવામાં આવે છે, તે એક એવો સંબંધ છે જે પ્રતિબિંબીત, અસમપ્રમાણતા વિરોધી અને સંક્રમક છે. એ, જેને એ પણ કહેવામાં આવે છે, તે એક એવો સંબંધ છે જે અપરિવર્તનીય, અસમપ્રમાણતા વિરોધી અને સંક્રમક છે. એ, જેને, અથવા પણ કહેવામાં આવે છે, તે એક એવો સંબંધ છે જે પ્રતિબિંબીત, અસમપ્રમાણતા વિરોધી, સંક્રમક અને જોડાયેલ છે. એ, જેને અથવા પણ કહેવામાં આવે છે, તે એક એવો સંબંધ છે જે અપરિવર્તનીય, અસમપ્રમાણતા વિરોધી, સંક્રમક અને જોડાયેલ છે. A એ એક એવો સંબંધ છે જે સપ્રમાણ અને સંક્રમક છે. એન એ એક એવો સંબંધ છે જે પ્રતિબિંબીત, સપ્રમાણ અને સંક્રમક છે. તે એક એવો સંબંધ પણ છે જે સપ્રમાણ, સંક્રમક અને કુલ છે, કારણ કે આ ગુણધર્મો પ્રતિબિંબીતતા સૂચવે છે. જો R એ સમૂહ X પરનો સજાતીય સંબંધ હોય તો નીચે આપેલા દરેક સંબંધ X પરનો સજાતીય સંબંધ છેઃ R = તરીકે વ્યાખ્યાયિત અથવા R ધરાવતા X પરનો સૌથી નાનો પ્રતિબિંબીત સંબંધ. આ R ધરાવતા તમામ પ્રતિબિંબીત સંબંધોના આંતરછેદનની બરાબર સાબિત થઈ શકે છે. R = તરીકે વ્યાખ્યાયિત અથવા R, R + માં સમાવિષ્ટ X પરનો સૌથી મોટો અપરિવર્તનીય સંબંધ. R ધરાવતા X પરનો સૌથી નાનો સંક્રમક સંબંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત. આ R, R * ધરાવતા તમામ સંક્રમક સંબંધોના આંતરછેદનની બરાબર જોઈ શકાય છે. {| વર્ગ = "વિકિટેબલ સૉર્ટેબલ" શૈલી = "લખાણ-સંરેખિતઃ કેન્દ્ર;" | + ગુણધર્મ દ્વારા એકરૂપ સંબંધો |-! ! રિફ્લેક્સિવિટી! સમપ્રમાણતા! પારગમન! જોડાણ! પ્રતીક! ઉદાહરણ |-! નિર્દેશિત આલેખ | | | | | | | |-! દિશાહીન આલેખ | | | | | | | |-! નિર્ભરતા | | | | | | |-! ટુર્નામેન્ટ | | | | પેકિંગ ઓર્ડર |-! પ્રીઓર્ડર કરો | | | | | ≤ | પસંદગી |-! કુલ પ્રીઓર્ડર | | | | | ≤ | |-! આંશિક ક્રમ | | | | | ≤ | ઉપગણ |-! સખત આંશિક ક્રમ | | | | | | | | સખત ઉપગણ |-! કુલ ક્રમ | | | | ≤ | મૂળાક્ષર ક્રમ |-! સખત કુલ ક્રમ | | | | | | | સખત મૂળાક્ષર ક્રમ |-! આંશિક સમાનતા સંબંધ | | | | | | | |-! સમાનતા સંબંધ | | | ̃, ષ્ણ | સમાનતા |} ગણતરી X સમૂહ પરના તમામ સજાતીય સંબંધોનો સમૂહ એ સમૂહ છે જે બુલિયન બીજગણિત છે જે તેના વિપરીત સંબંધ સાથેના સંબંધના મેપિંગના સમાવેશ સાથે સંવર્ધિત થાય છે. સંબંધોની રચનાને દ્વિસંગી કામગીરી તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, તે ઇન્વોલ્યુશન સાથે મોનોઈડ બનાવે છે જ્યાં ઓળખ તત્વ એ ઓળખ સંબંધ છે. એન-તત્વ સમૂહ પર વિશિષ્ટ સજાતીય સંબંધોની સંખ્યા છેઃ નોંધોઃ અપરિવર્તનીય સંબંધોની સંખ્યા પ્રતિબિંબીત સંબંધોની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે. કડક આંશિક ક્રમની સંખ્યા (અપરિવર્તનીય સંક્રમક સંબંધો) આંશિક ક્રમની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે. કડક નબળા ઓર્ડરની સંખ્યા કુલ પ્રી-ઓર્ડર જેટલી જ હોય છે. કુલ ઓર્ડર એ આંશિક ઓર્ડર છે જે કુલ પૂર્વ ઓર્ડર પણ છે. પ્રીઓર્ડરની સંખ્યા કે જે ન તો આંશિક ક્રમ છે અને ન તો કુલ પ્રીઓર્ડર છે, તેથી, પ્રીઓર્ડરની સંખ્યા, બાદબાકી આંશિક ઓર્ડરની સંખ્યા, બાદબાકી કુલ પ્રીઓર્ડરની સંખ્યા, વત્તા કુલ ઓર્ડરની સંખ્યાઃ અનુક્રમે 0,0,0,3 અને 85 છે. સમાનતા સંબંધોની સંખ્યા એ પાર્ટીશનોની સંખ્યા છે, જે બેલ નંબર છે. સજાતીય સંબંધોને જોડી (સંબંધ, પૂરક) માં જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે, સિવાય કે સંબંધ માટે તેનું પોતાનું પૂરક હોય છે. બિન-સમમિતીય રાશિઓને ચાર ભાગમાં વહેંચી શકાય છે (સંબંધ, પૂરક, વ્યુત્ક્રમ, વ્યુત્ક્રમ પૂરક). કડક ક્રમ સહિત ક્રમ સંબંધોના ઉદાહરણોઃ મોટા કરતાં અથવા સમાન કરતાં ઓછા અથવા સમાન કરતાં ઓછા (સમાનરૂપે) સમાનતાના સંબંધોના ઉપગણને વિભાજિત કરે છેઃ (સંલગ્ન જગ્યાઓ માટે) સમપ્રમાણતા સાથે સમાનતા સમાંતર અથવા "આઇસોમોર્ફિક ઇક્વિપોલેન્ટ લાઇન સેગમેન્ટ્સ સાથે દ્વિભાજનમાં છે" સહિષ્ણુતા સંબંધ, એક પ્રતિબિંબીત અને સમપ્રમાણ સંબંધઃ નિર્ભરતા સંબંધ, મર્યાદિત સહિષ્ણુતા સંબંધ સ્વતંત્રતા સંબંધ, કેટલાક નિર્ભરતા સંબંધોનું પૂરક સગપણ સંબંધો સામાન્યીકરણ સામાન્ય રીતે દ્વિસંગી સંબંધ એકરૂપ હોવો જરૂરી નથી, તેને મનસ્વી સમૂહો X અને Y માટે ઉપગણ R × X × Y તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એક પરિમિત સંબંધ એ અમુક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે ઉપગણ R′ X1 ×. × Xn છે અને મનસ્વી સમૂહો X1,., Xn, તેને n-ary સંબંધ પણ કહેવામાં આવે છે. સંદર્ભો દ્વિસંગી સંબંધો