Vietoris–Rips complex
ટોપોલોજીમાં, વિએટોરિસ-રિપ્સ કોમ્પ્લેક્સ, જેને વિએટોરિસ કોમ્પ્લેક્સ અથવા રિપ્સ કોમ્પ્લેક્સ પણ કહેવાય છે, તે બિંદુઓના સમૂહમાં અંતરથી ટોપોલોજિકલ જગ્યા બનાવવાની એક રીત છે. તે એક અમૂર્ત સરળ સંકુલ છે જેને કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યા M અને અંતર δ થી મહત્તમ δ વ્યાસ ધરાવતા બિંદુઓના દરેક મર્યાદિત સમૂહ માટે સિમ્પ્લેક્સ બનાવીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એટલે કે, તે M ના મર્યાદિત ઉપગણોનું એક કુટુંબ છે, જેમાં આપણે k બિંદુઓના ઉપગણને (k−1)-પરિમાણીય સિમ્પ્લેક્સ (બે બિંદુઓ માટે ધાર, ત્રણ બિંદુઓ માટે ત્રિકોણ, ચાર બિંદુઓ માટે ટેટ્રાહેડ્રોન વગેરે) તરીકે વિચારીએ છીએ. ); જો મર્યાદિત સમૂહ S પાસે એવો ગુણધર્મ હોય કે S માં બિંદુઓની દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર મહત્તમ δ હોય, તો આપણે S ને કોમ્પ્લેક્સમાં સિમ્પ્લેક્સ તરીકે શામેલ કરીએ છીએ. ઇતિહાસ વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલને મૂળરૂપે વિએટોરિસ સંકુલ કહેવામાં આવતું હતું, લિયોપોલ્ડ વિએટોરિસ માટે, જેમણે તેને સરળ સંકુલથી મેટ્રિક જગ્યાઓ સુધી સમરૂપતા સિદ્ધાંતને વિસ્તૃત કરવાના સાધન તરીકે રજૂ કર્યું હતું. એલિયાહુ રિપ્સે હાયપરબોલિક જૂથોના અભ્યાસમાં સમાન સંકુલ લાગુ કર્યા પછી, તેનો ઉપયોગ લોકપ્રિય બન્યો, જેમણે તેને રિપ્સ સંકુલ નામ આપ્યું. "વિએટોરિસ-રિપ્સ કોમ્પ્લેક્સ" નામ તેના કારણે છે. ચેચ સંકુલ સાથેનો સંબંધ વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ દડાઓના સમૂહના ચેચ સંકુલ (અથવા ચેતા) સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જેમાં ખાલી આંતરછેદ સાથે દડાઓના દરેક મર્યાદિત સબસેટ માટે સિમ્પ્લેક્સ હોય છે. ભૌગોલિક રીતે બહિર્મુખ જગ્યા Y માં, અંતર δ માટે કોઈપણ પેટા જગ્યા X વાયના વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલમાં X ના બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત હોય તેવા Y માં ત્રિજ્યા δ/2 ના દડાઓના સમૂહના ચેચ સંકુલ જેવા જ બિંદુઓ અને ધાર હોય છે. જો કે, ચેચ સંકુલથી વિપરીત, X નું વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ માત્ર X ની આંતરિક ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે, અને કોઈ મોટી જગ્યામાં X ના કોઈપણ એમ્બેડિંગ પર નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ બિંદુઓ ધરાવતી એકસમાન મેટ્રિક જગ્યા M3 ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં દરેક એકબીજાથી એકમ અંતર પર હોય છે. એમ3ના વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલમાં, δ = 1 માટે, એમ3માં બિંદુઓના દરેક સબસેટ માટે એક સિમ્પ્લેક્સનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં એમ3 માટે જ ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે. જો આપણે યુક્લિડિયન સમતલમાં M3 ને સમબાહુ ત્રિકોણ તરીકે એમ્બેડ કરીએ, તો પછી M3 ના બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા-1/2 દડાઓના ચેચ સંકુલમાં વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલના અન્ય તમામ સિમ્પ્લેક્સ હશે પરંતુ તેમાં આ ત્રિકોણ નહીં હોય, કારણ કે ત્રણેય દડાઓમાં સમાયેલ સમતલનો કોઈ બિંદુ નથી. જો કે, જો M3 ને તેના બદલે મેટ્રિક જગ્યામાં જડિત કરવામાં આવે, જેમાં M3 ના ત્રણ બિંદુઓમાંથી દરેકથી 1/2 અંતરે ચોથું બિંદુ હોય, તો આ જગ્યામાં ત્રિજ્યા-1/2 દડાઓના ચેચ સંકુલમાં ત્રિકોણ હશે. આમ, M3 પર કેન્દ્રિત નિશ્ચિત ત્રિજ્યાના દડાઓનું ચેચ સંકુલ તેના આધારે અલગ પડે છે કે કઈ મોટી જગ્યામાં M3 જડિત થઈ શકે છે, જ્યારે વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ યથાવત રહે છે. જો કોઈ મેટ્રિક જગ્યા X ઇન્જેક્ટીવ મેટ્રિક જગ્યા Y માં જડિત હોય, તો અંતર δ અને X માટે વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ Y માં X ના બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા δ/2 ના દડાઓના ચેચ સંકુલ સાથે એકરુપ થાય છે. આમ, કોઈપણ મેટ્રિક જગ્યા M નું વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ M ના ચુસ્ત ગાળામાં દડાની પ્રણાલીના ચેચ સંકુલની બરાબર છે. એકમ ડિસ્ક આલેખ અને જૂથ સંકુલ સાથેનો સંબંધ δ = 1 માટે વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલમાં દરેક જોડી બિંદુઓ માટે એક ધાર હોય છે જે આપેલ મેટ્રિક જગ્યામાં એકમ અંતર અથવા તેનાથી ઓછી હોય છે. જેમ કે, તેનું 1-કંકાલ તેના બિંદુઓનો એકમ ડિસ્ક આલેખ છે. તેમાં એકમ ડિસ્ક આલેખમાં દરેક જૂથ માટે એક સિમ્પ્લેક્સ હોય છે, તેથી તે એકમ ડિસ્ક આલેખનું જૂથ સંકુલ અથવા ધ્વજ સંકુલ છે. વધુ સામાન્ય રીતે, કોઈપણ આલેખ Gનું ક્લીક કોમ્પ્લેક્સ મેટ્રિક જગ્યા માટે વિએટોરિસ-રિપ્સ કોમ્પ્લેક્સ છે, જે Gના શિરોબિંદુઓને બિંદુઓ તરીકે ધરાવે છે અને તેના અંતર તરીકે Gમાં સૌથી ટૂંકા માર્ગોની લંબાઈ ધરાવે છે. અન્ય પરિણામો જો M એ બંધ રીમાનિયન મેનીફોલ્ડ હોય, તો δના પૂરતા નાના મૂલ્યો માટે Mનું વિએટોરિસ-રિપ્સ કોમ્પ્લેક્સ, અથવા Mની પૂરતી નજીકની જગ્યાઓ, Mની સમકક્ષ હોમોટૉપી છે. યુક્લિડિયન સમતલમાં નિર્ધારિત કોઈપણ મર્યાદિત બિંદુના રીપ્સ સંકુલમાં આપેલ ચક્ર સંકોચાય તેવું છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ્સનું વર્ણન કરો. એકમ ડિસ્ક આલેખની જેમ, વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં કામચલાઉ વાયરલેસ સંચાર નેટવર્કની ટોપોલોજીનું મોડેલ બનાવવા માટે લાગુ કરવામાં આવ્યું છે. આ એપ્લિકેશનમાં વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલનો એક ફાયદો એ છે કે તે તેમના ચોક્કસ ભૌતિક સ્થાનોનું અનુમાન કર્યા વિના, માત્ર સંચાર ગાંઠો વચ્ચેના અંતરથી નક્કી કરી શકાય છે. એક ગેરલાભ એ છે કે, ચેચ સંકુલથી વિપરીત, વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ સંચાર કવરેજમાં અંતર વિશે સીધી માહિતી પ્રદાન કરતું નથી, પરંતુ આ ખામીને δ ના વિવિધ મૂલ્યો માટે બે વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ વચ્ચે ચેચ સંકુલને સેન્ડવીચ કરીને સુધારી શકાય છે. વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલોનું અમલીકરણ ટીડીએસ્ટેટ્સ આર પેકેજમાં મળી શકે છે. ડિજિટલ ઇમેજ ડેટામાં સુવિધા-નિષ્કર્ષણ માટે વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલ પણ લાગુ કરવામાં આવ્યા છે; આ એપ્લિકેશનમાં, સંકુલ ઉચ્ચ-પરિમાણીય મેટ્રિક જગ્યામાંથી બનાવવામાં આવ્યું છે જેમાં બિંદુઓ નિમ્ન-સ્તરની છબી સુવિધાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તમામ વિએટોરિસ-રિપ્સ સંકુલોનો સંગ્રહ એ સતત સમરૂપતા અને ટોપોલોજિકલ ડેટા વિશ્લેષણમાં સામાન્ય રીતે લાગુ કરાયેલ રચના છે, અને તેને રિપ્સ ગાળણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. નોંધો સંદર્ભો. . . . . . . . . . . બીજગણિત ટોપોલોજી ભૌમિતિક આલેખ સિદ્ધાંત સરળ સમૂહો