Flat (geometry)
ભૂમિતિમાં, સપાટ અથવા એફાઇન સબસ્પેસ એ એફાઇન સ્પેસનો સબસેટ છે જે પોતે એક એફાઇન સ્પેસ (સમાન અથવા નીચલા પરિમાણની) છે. જો મૂળ જગ્યા યુક્લિડિયન હોય, તો સપાટ એ યુક્લિડિયન પેટા જગ્યા છે જે તેના મૂળ જગ્યાથી અંતરની કલ્પનાને વારસામાં મેળવે છે. સમતલમાં સપાટ (દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા) બિંદુઓ, રેખાઓ અને સમતલ પોતે છે; ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સપાટ બિંદુઓ, રેખાઓ, સમતલ અને અવકાશ પોતે છે. એક-પરિમાણીય અવકાશમાં, દરેક પરિમાણના-ફ્લેટ હોય છે, જેમાં 0 થી; સબસ્પેસ હોય છે, જે મૂળ અવકાશ કરતાં એક પરિમાણ ઓછું હોય છે,-ફ્લેટ હોય છે, જેને હાયપરપ્લેન કહેવામાં આવે છે. ફ્લેટ્સ રેખીય બીજગણિતમાં, રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉકેલ સમૂહોની ભૌમિતિક અનુભૂતિ તરીકે થાય છે. ફ્લેટ એ મેનીફોલ્ડ અને બીજગણિત વિવિધતા છે, અને તેને અન્ય મેનીફોલ્ડ અથવા જાતોથી અલગ પાડવા માટે કેટલીકવાર રેખીય મેનીફોલ્ડ અથવા રેખીય વિવિધતા કહેવામાં આવે છે. સમીકરણો દ્વારા વર્ણનો એક સપાટને રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક રેખાને એક જ રેખીય સમીકરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે અનેઃ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, એક જ રેખીય સમીકરણ સામેલ છે, અને સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યારે રેખીય સમીકરણોની જોડીનો ઉપયોગ રેખાને વર્ણવવા માટે કરી શકાય છે. સામાન્ય રીતે, ચલમાં રેખીય સમીકરણ હાયપરપ્લેનનું વર્ણન કરે છે, અને રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિ તે હાયપરપ્લેનના આંતરછેદનું વર્ણન કરે છે. સમીકરણો સુસંગત અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે એમ ધારીને, સમીકરણોની પદ્ધતિ પરિમાણના સપાટનું વર્ણન કરે છે. પેરામેટ્રિક એ ફ્લેટને રેખીય પેરામેટ્રિક સમીકરણોની પદ્ધતિ દ્વારા પણ વર્ણવી શકાય છે. એક રેખાને એક પરિમાણને સમાવતા સમીકરણો દ્વારા વર્ણવી શકાય છેઃ જ્યારે સમતલના વર્ણન માટે બે પરિમાણોની જરૂર પડશેઃ સામાન્ય રીતે, પરિમાણના સપાટ પરિમાણને પરિમાણોની જરૂર પડશે. ફ્લેટ ઇન્ટરસેક્ટિંગ, પેરેલલ અને સ્ક્યુ ફ્લેટ પર કામગીરી અને સંબંધો ફ્લેટનું આંતરછેદ ફ્લેટ અથવા ખાલી સેટ હોય છે. જો એક ફ્લેટની દરેક રેખા બીજા ફ્લેટની કોઈ રેખા સાથે સમાંતર હોય, તો આ બંને ફ્લેટ સમાંતર છે. સમાન પરિમાણના બે સમાંતર ફ્લેટ કાં તો એક સાથે આવે છે અથવા એકબીજાને છેદતા નથી; તેમને રેખીય સમીકરણોની બે પ્રણાલીઓ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે જે ફક્ત તેમની જમણી બાજુઓમાં જ અલગ પડે છે. જો ફ્લેટ એકબીજાને છેદતા નથી, અને પ્રથમ ફ્લેટની કોઈ રેખા બીજા ફ્લેટની રેખાને સમાંતર નથી, તો તે સ્ક્યુ ફ્લેટ છે. તે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે તેમના પરિમાણોનો સરવાળો આજુબાજુની જગ્યાના પરિમાણ કરતાં ઓછો હોય. પરિમાણોના બે ફ્લેટ માટે જોડાઓ અને ત્યાં ઓછામાં ઓછો ફ્લેટ હોય છે જેમાં તે મહત્તમ પરિમાણનો હોય છે. જો બે ફ્લેટ એકબીજાને છેદે છે, તો સમાવતી ફ્લેટનું પરિમાણ આંતરછેદના પરિમાણને બાદબાકી કરવા બરાબર છે. કામગીરીના ગુણધર્મો આ બે કામગીરીઓ (મીટ એન્ડ જોઈન તરીકે ઓળખાય છે) યુક્લિડિયન-સ્પેસમાં તમામ ફ્લેટના સમૂહને જાળી બનાવે છે અને કોઈપણ પરિમાણમાં ફ્લેટ માટે વ્યવસ્થિત કોઓર્ડિનેટ્સ બનાવી શકે છે, જે ગ્રાસમેન કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા ડ્યુઅલ ગ્રાસમેન કોઓર્ડિનેટ્સ તરફ દોરી જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક રેખા બે અલગ-અલગ બિંદુઓ અથવા બે અલગ-અલગ સમતલ દ્વારા નક્કી થાય છે. જો કે, તમામ ફ્લેટની જાળી વિતરણ જાળી નથી. જો બે રેખાઓ અને આંતરછેદ થાય, તો તે એક બિંદુ છે. જો એક જ સમતલ પર એક બિંદુ ન હોય, તો પછી, બંને એક રેખાને રજૂ કરે છે. પરંતુ જ્યારે અને જ્યારે સમાંતર હોય, ત્યારે આ વિતરણ નિષ્ફળ જાય છે, જે ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુએ ત્રીજી સમાંતર રેખા આપે છે. યુક્લિડીયન ભૂમિતિ ઉપરોક્ત તથ્યો યુક્લિડીયન અવકાશ (એટલે કે, યુક્લિડીયન અંતરને સમાવતી) ની રચના પર આધારિત નથી અને કોઈપણ સંલગ્ન અવકાશમાં સાચા છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાંઃ સપાટ અને બિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે. (ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુથી સમતલ સુધીનું અંતર અને એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર જુઓ.) બે ફ્લેટ વચ્ચેનું અંતર છે, જો તેઓ એકબીજાને છેદે તો તે 0 બરાબર છે. (ઉદાહરણ તરીકે બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર (એક જ સમતલમાં) અને જુઓ.) બે ફ્લેટ વચ્ચેનો ખૂણો છે, જે 0 અને જમણા ખૂણા વચ્ચેના અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે. (ઉદાહરણ તરીકે ડાયહેડ્રલ ખૂણો (બે સમતલ વચ્ચે) જુઓ. ફ્લેટ વચ્ચેના ખૂણા પણ જુઓ.) એન-ડાયમેન્શનલ સ્પેસ મેટ્રોઇડ કોપ્લાનારીટી આઇસોમેટ્રી નોટ્સ સંદર્ભો હેઇનરિચ ગુગેનહેઇમર (1977) લાગુ પડતી ભૂમિતિ, પાનું 7, ક્રીગર, ન્યૂ યોર્ક પણ જુઓ. મૂળ સ્ટેનફોર્ડ પીએચ. ડી. નિબંધમાંથી, પ્રિમિટિવ્સ ફોર કોમ્પ્યુટેશનલ જીઓમેટ્રી, ડીઇસી એસઆરસી રિસર્ચ રિપોર્ટ 36 તરીકે ઉપલબ્ધ છે. બાહ્ય કડીઓ યુક્લિડિયન ભૂમિતિ એફાઇન ભૂમિતિ રેખીય બીજગણિત fr: હાયપરપ્લાન